内測度
集合 X 上の完全加法族 Σ と Σ 上の測度 μ に対し、μ が誘導する内測度 μ∗ は
で定義される。
本質的に μ∗ は、集合をその Σ-可測部分集合の μ-測度で測ることで保証できる、各集合の大きさの下限を与えるものである。この集合函数 μ∗ は測度にならない場合がふつうであるけれども、以下のような性質は測度と共通している:
μ∗(∅) = 0;
μ∗ は非負である;
E ⊆ F ならば μ∗(E) ≤ μ∗(F).
集合 X を固定する。X 上の内測度とは、X の冪集合 2 上定義された函数
で以下の条件を満足するものを言う。
空集合は零集合: φ ( ∅ ) = 0. {\textstyle \varphi (\emptyset )=0.}
優加法的: 部分集合 A, B が交わらないならば φ ( A ∪ B ) ≥ φ ( A ) + φ ( B ) {\textstyle \varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B)} が成り立つ。
減少列に関する単調性: 集合列 {Aj} が任意の j に対して Aj ⊃ Aj+1 を満たし、かつ φ(A1) < ∞ であるならば、 φ ( ⋂ j = 1 ∞ A j ) = lim j → ∞ φ ( A j ) {\displaystyle \varphi {\Big (}\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}{\Bigr )}=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})} が成立する。
測度無限大への到達可能性: φ(A) = ∞ となる A が存在するならば、任意の正の数 c に対して、A の部分集合 B が存在して c ≤ φ ( B ) < ∞ {\textstyle c\leq \varphi (B)<\infty } とできる。