直線
ユークリッドの幾何学では、直線は本質的に無定義述語である。つまり、「直線とは何か」を直接定義せずに、ただある関係(公理・公準)を満たすものであるとして理論を展開していくのである。ユークリッド幾何学においては以下のようなことである:
二つの異なる点を与えれば、それを通る直線は一つに決まる。
一つの直線とその上にない一つの点が与えられたとき、与えられた点を通り与えられた直線に平行な直線を、ただ一つ引くことができる。
また、このような公理から例えば以下のようなことが導かれる:二つの異なる直線は高々一つの点を共有する。二つの異なる平面は、高々一つの直線を共有する。
通常は、直線や線分は向きを持たず、半直線は向きを持つものとして扱われる。たとえば、2 点 A と B を結ぶ線分を AB と書くと、AB = BA である。一方で、向き付けられた直線、線分や向きを持たない半直線というものも考えることがある。たとえば線分の始点と終点を区別し、線分に向きを考えたものを有向線分と呼んで、有向線分としては AB ≠ BA と考える。
ユークリッド空間内の有向線分を、その位置のみの違いを除くことにより類別して、幾何学的ベクトル(いわゆる矢印ベクトル)の概念を考えることができる。逆にベクトルを用いてユークリッド空間やその中の線分・直線を定式化することもできるが、これについては後述する。
ユークリッド幾何学のように、無定義述語と公理によって構築される幾何学では、直線が「まっすぐ」であるなどのイメージは本質を持たない。曲がった空間の幾何学である非ユークリッド幾何学での直線(測地線)はユークリッド幾何学の中で見ると曲がって見えるのである。