離散化
数学において、離散化 (discretization) 連続関数、モデル、変数、方程式を離散的な対応する物へ移す過程のこと。この過程は普通、それらをデジタルコンピュータ上での数値評価および実装に適したものにするために最初に行われるステップである。二分化 (dichotomization) は離散クラスの数が2である離散化の特別な場合であり、これにより連続変数を2値変数として近似することができる(2項分類のようにモデリングの目的で2分法を作成する)。
離散化は離散数学にも関係しており、グラニュラーコンピューティング(英語版)の重要な成分である。この文脈において、離散化は、複数の離散変数が集約されるもしくは複数の離散圏が融合する場合のときのように、変数もしくは圏のグラニュラリティの変更をさすこともある。
連続的なデータが離散化されるときは常にある程度の離散化誤差がある。目標は手元のモデル化の目的では無視できると考えられるレベルまでその量を減らすことである。
離散化と量子化 (quantization) という用語はしばしば同じ意味を持つが、必ずしも同じ意味というわけではない(具体的には2つの用語は意味領域を共有している)。離散化誤差と量子化誤差についても同様である。
離散化に関する数学的方法にはオイラー・丸山法(英語版)とゼロ次ホールド(英語版)がある。
R d = 1 T R {\displaystyle \mathbf {R} _{d}={\frac {1}{T}}\mathbf {R} }
である。 T {\displaystyle T} はサンプル時間、 A ⊤ {\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }} は A {\displaystyle \mathbf {A} } 行列である。
1つのステップで Ad と Bd を計算するための巧妙な手段は次の特性を使うことである
e [ A B 0 0 ] T = [ M 11 M 12 0 I ] {\displaystyle e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {M_{11}} &\mathbf {M_{12}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}
ここで
A d = M 11 {\displaystyle \mathbf {A} _{d}=\mathbf {M} _{11}}
B d = M 12 {\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\mathbf {M} _{12}}