ルジャンドル多項式
ルジャンドル多項式の重要な性質の一つは、これらが閉区間 [−1, 1] 上の L-内積に関して直交すること、即ち以下の式を満たすことである。
∫ − 1 1 P m ( x ) P n ( x ) d x = 2 2 n + 1 δ m n {\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)~\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}
ここで δmn はクロネッカーのデルタ、即ち m = n のとき 1 で、それ以外のときは 0 である。すなわち、関数系 {1, x, x,...} にシュミットの直交化法を適用することによってルジャンドル多項式を導出法とすることが可能である。この直交性により、ルジャンドル多項式系がエルミート微分作用素
d d x [ ( 1 − x 2 ) d d x P ( x ) ] = − λ P ( x ) {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P(x)\right]=-\lambda P(x)}
の固有値 λ = n(n + 1) に属する固有関数系となるようなスツルム・リウヴィル理論としてルジャンドルの微分方程式を捉えることができる。
ずらしルジャンドル多項式 (shifted Legendre polynomial) は
P ~ n ( x ) = P n ( 2 x − 1 ) {\displaystyle {\tilde {P}}_{n}(x)=P_{n}(2x-1)}
で定義される。ここで、ずらし写像(実はアフィン変換)x ↦ 2x − 1 は、区間 [0, 1] を区間 [−1, 1] へ写す全単射として選ばれたもので、それゆえ多項式系 ~Pn(x) の区間 [0, 1] 上での直交性
∫ 0 1 P m ~ ( x ) P n ~ ( x ) d x = 1 2 n + 1 δ m n {\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,\mathrm {d} x={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}}
が従う。