階乗
となる。一般の m-次 exponential factorial は、
n ! m = ( n ! ( m − 1 ) ) ( n − 1 ) ! m = n ! ( m − 1 ) ( n − 1 ) ! ( m − 1 ) . . . 2 ! ( m − 1 ) 1 ! ( m − 1 ) = n ! ( m − 1 ) ↑ ( n − 1 ) ! ( m − 1 ) ↑ ⋯ ⋯ ↑ 2 ! ( m − 1 ) ↑ 1 ! ( m − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}n^{{!}^{m}}=\left(n^{{!}^{(m-1)}}\right)^{{(n-1)}^{!^{m}}}&={n^{{!^{(m-1)}}{(n-1)^{{!^{(m-1)}}{{.}^{{.}^{{.}^{2^{{!^{(m-1)}}{1^{!^{(m-1)}}}}}}}}}}}}\\&=n^{!^{(m-1)}}\uparrow (n-1)^{!^{(m-1)}}\uparrow \cdots \cdots \uparrow 2^{!^{(m-1)}}\uparrow 1^{!^{(m-1)}}\end{aligned}}}
で与えられる。ただし、n, m は自然数である。