ファインマン–カッツの公式
v ( t , x ) {\displaystyle \;v(t,x)\;} は、状態空間 [ 0 , T ] × R d {\displaystyle \;[0,T]\times \mathbb {R} ^{d}\;} で 連続実数値、 かつ C 1 , 2 {\displaystyle \;C^{1,2}\;} 級関数と仮定する。 さらに、任意の x ∈ R d {\displaystyle \;x\in \mathbb {R} ^{d}\;} に対して、 ある定数 K > 0 {\displaystyle \;K>0\;} が存在し、定数 0 < a < 1 / ( 2 T d ) {\displaystyle \;0<a<1/(2Td)\;} に対して 条件
max 0 ≤ t ≤ T | v ( t , x ) | + max 0 ≤ t ≤ T | g ( t , x ) | ≤ K e a | | x | | 2 , {\displaystyle \;\max _{0\leq t\leq T}|v(t,x)|+\max _{0\leq t\leq T}|g(t,x)|\leq Ke^{a||x||^{2}},\;}
を満足すると仮定する。 このとき、コルモゴロフの後退方程式のコーシー問題
− ∂ v ∂ t + k ( t , x ) v = 1 2 ∇ 2 v + g ( t , x ) , t ∈ [ 0 , T ] , x ∈ R d , v ( T , x ) = f ( x ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\;-{\frac {\partial v}{\partial t}}+k(t,x)v={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}v+g(t,x),\quad t\in [0,T],\quad x\in \mathbb {R} ^{d},\quad v(T,x)=f(x),\end{aligned}}\;}