メビウスの反転公式
組合せ数学においてより有用な反転公式は次のようなものである。F (x) と G (x) は区間 [1, ∞) 上で定義された複素数値関数であって、
G ( x ) = ∑ 1 ≤ n ≤ x F ( x / n ) for all x ≥ 1 {\displaystyle G(x)=\sum _{1\leq n\leq x}F(x/n)\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1}
であれば、
F ( x ) = ∑ 1 ≤ n ≤ x μ ( n ) G ( x / n ) for all x ≥ 1 {\displaystyle F(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)G(x/n)\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1}
である。ここで和は x 以下のすべての正の整数 n を走る。
これはさらに一般化される。 α ( n ) {\displaystyle \alpha (n)} がディリクレ逆元(英語版) α − 1 ( n ) {\displaystyle \alpha ^{-1}(n)} を持つ数論的関数であるとき、
G ( x ) = ∑ 1 ≤ n ≤ x α ( n ) F ( x / n ) for all x ≥ 1 {\displaystyle G(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\alpha (n)F(x/n)\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1}
と定義すると、