C0半群
T(t1) のスペクトル半径が厳密に 1 より小さくなるような t1 > 0 が存在する。
すべての x∈X に対して ∫ 0 ∞ ‖ T ( t ) x ‖ p d t < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty } となるような p ∈ [1, ∞) が存在する。
すべての p ∈ [1, ∞) および x ∈ X に対して、 ∫ 0 ∞ ‖ T ( t ) x ‖ p d t < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty } が成立する。
これらの同値な条件を満たす半群は、指数安定あるいは一様安定であると言われる(関連文献においては、上の初めの三つの条件のうちのいずれかが定義として扱われることが多い)。L の条件が指数安定性と同値であることは、ダツコ-ペジーの定理として知られる。
X がヒルベルト空間である場合には、生成素のレゾルベント作用素に関する、次のような別の条件もまた半群の指数安定性と同値となる: 正の実部を持つすべての複素数 λ は A のレゾルベント集合に属し、そのレゾルベント作用素は右半平面において一様有界となる。すなわち、(λI − A) はハーディ空間 H ∞ ( C + ; L ( X ) ) {\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))} に属する。
強連続半群 T の無限小生成作用素 A は
A x = lim t ↓ 0 1 t ( T ( t ) − I ) x {\displaystyle A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {1}{t}}\,(T(t)-I)\,x}
によって定義される(右辺の極限が存在する場合)。A の定義域 D(A) は、そのような極限が存在するような x∈X からなる集合である。D(A) は線型部分空間で、A はその定義域上で線型である。A は必ずしも有界ではないが、閉であり、またその定義域は X において稠密である。
生成作用素 A を備える強連続半群 T は、しばしば記号 e を用いて表される。この記法は、行列指数関数や、汎函数計算(例えば、スペクトル定理)を通して定義される作用素の関数に対する記法と適合する。