エタール基本群
体 k 上の幾何的に連結な任意の代数多様体 X (つまり Xsep := X ×k ksep が連結となるような X)に対して副有限群の完全系列
1 → π1(Xsep, x) → π1(X, x) → Gal(ksep / k) → 1
が成り立つ。
正標数の代数的閉体 k 上の代数多様体の場合は、アルティン・シュライアー被覆の存在により結果は異なる。例えば、アフィン直線 A k 1 {\displaystyle \mathbf {A} _{k}^{1}} の基本群は位相的に有限生成とはならない。スキーム U の順分岐基本群(tame fundamental group)とは、U のエタール基本群の商であって、D に沿って順分岐な被覆のみを考慮したものである。ここで X は適当なコンパクト化で D は X における U の補集合である。例えばアフィン直線の順分岐基本群は自明な群である。
複素数体 C 上の有限型スキーム X に対しては X のエタール基本群と X に付随する複素解析空間 X(C) の通常の位相幾何学的な意味での基本群との間に密接な関係がある。代数的基本群(この場合にはよくこう呼ばれる)は通常の意味での基本群 π1(X(C)) の副有限完備化と同型である。これは、X(C) のすべての有限エタール被覆は X のそれから来ることを主張するリーマンの存在定理の帰結である。特に C 上の滑らかな曲線(開リーマン面である)の基本群の構造はよく知られているので、そのエタール基本群の構造もよく分かっていると言える。
一般に、代数的閉体上の代数多様体の基礎体を別の代数的閉体に拡大しても代数的基本群は変化しない。これを使えば、標数0の任意の代数的閉体上の固有スキームの基本群は複素数体上の代数多様体に帰着させることで計算できる。