ホップ代数
弱ホップ代数(英語版),あるいは量子亜群は,ホップ代数の一般化である.ホップ代数と同様,弱ホップ代数たちは代数の自己双対なクラスをなす,つまり,H が(弱)ホップ代数ならば,H 上の線型形式からなる双対空間 H* もそうである(H との自然なペアリングとその余代数・代数構造から得られる代数・余代数構造に関して).弱ホップ代数 H は通常次のように取られる:
有限次元代数かつ余代数で,余積 Δ: H → H ⊗ H と余単位射 ε: H → k を持ち,Δ(1) ≠ 1 ⊗ 1 あるいはある a, b ∈ H に対して ε(ab) ≠ ε(a)ε(b) でもよいが,他のすべてのホップ代数の公理を満たす.あるいは,以下を要求する:すべての a, b, c ∈ H に対して,
( Δ ( 1 ) ⊗ 1 ) ( 1 ⊗ Δ ( 1 ) ) = ( 1 ⊗ Δ ( 1 ) ) ( Δ ( 1 ) ⊗ 1 ) = ( Δ ⊗ Id ) Δ ( 1 ) {\displaystyle (\Delta (1)\otimes 1)(1\otimes \Delta (1))=(1\otimes \Delta (1))(\Delta (1)\otimes 1)=(\Delta \otimes {\mbox{Id}})\Delta (1)} ε ( a b c ) = ∑ ε ( a b ( 1 ) ) ε ( b ( 2 ) c ) = ∑ ε ( a b ( 2 ) ) ε ( b ( 1 ) c ) {\displaystyle \epsilon (abc)=\sum \epsilon (ab_{(1)})\epsilon (b_{(2)}c)=\sum \epsilon (ab_{(2)})\epsilon (b_{(1)}c)}
A をホップ代数とし,M と N を A 加群とする.このとき,M ⊗ N も次のようにして A 加群である:m ∈ M, n ∈ N, Δ(a) = (a1, a2) に対して,
a ( m ⊗ n ) := Δ ( a ) ( m ⊗ n ) = ( a 1 ⊗ a 2 ) ( m ⊗ n ) = ( a 1 m ⊗ a 2 n ) . {\displaystyle a(m\otimes n):=\Delta (a)(m\otimes n)=(a_{1}\otimes a_{2})(m\otimes n)=(a_{1}m\otimes a_{2}n).}
さらに,自明表現を基礎体 K に m ∈ K に対して
a ( m ) := ε ( a ) m {\displaystyle a(m):=\epsilon (a)m}
として定義できる.最後に,A の双対表現が定義できる:M が A 加群で M* がその双対空間のとき,f ∈ M* と m ∈ M に対して
( a f ) ( m ) := f ( S ( a ) m ) . {\displaystyle (af)(m):=f(S(a)m).}
Δ, ε, S の間の関係により,ベクトル空間のある自然な準同型は実際 A 加群の準同型であることが保証される.例えば,ベクトル空間の自然な同型 M → M ⊗ K と M → K ⊗ M は A 加群の同型でもある.また,ベクトル空間の写像 M* ⊗ M → K, f ⊗ m → f(m) も A 加群の準同型である.しかしながら,写像 M ⊗ M* → K は A 加群の準同型であるとは限らない.