群の直和
非自明な部分群の直和として書ける群は直可約 (decomposable) と呼ばれ、そうでないとき直既約 (indecomposable) と呼ばれる。
より一般に、G が部分群の有限集合 {Hi} の直和であるとは、
各 Hi は G の正規部分群であり
各 Hi は部分群 ⟨{Hj : j ≠ i}⟩ と自明な共通部分をもち
G = ⟨{Hi}⟩; 言い換えると、G は部分群の集合 {Hi} の合併によって生成される。
G が部分群の集合 {Hi} の直和であることを、しばしば G = ∑Hi と書く。
G が部分群の(非可算の場合も許す)無限集合の直和の場合において群の直和と直積との関係を述べるには、より多くの注意が必要である。
G が部分群の無限集合 {Hλ} の内部直和 (internal direct sum) ∑Hλであるとは、G の各元 g が適当な有限集合 S = Sg と {hi ∈ Hi : i ∈ S} を選んで、g = ∏ {hi : i ∈ S} と一意的に表せるときに言う。
g が群の無限直積 ∏{Hλ} の元であるとき、この直積における g の第 λ-成分を gλ と書くことにする。群の集合 {Hλ} の外部直和 (external direct sum)(あるいは制限直積) ∑E{Hλ} は、直積 ∏{Hλ} の次のような部分集合である。
各元 g ∈ ∑E{Hλ} の成分gλ は有限個を除くすべてが単位元 e H λ {\displaystyle e_{H_{\lambda }}} に一致する(同じことだが、gλ のうち有限個だけが単位元でない)。
外部直和における群演算は通常の直積のように成分ごとの積とする。この部分集合は確かに群をなす。特に、群の有限集合に対して、それらの外部直和は直積に等しい。
G = ∑Hλ であるとき、G は ∑E{Hλ} に同型である。したがって、このときの直和はある意味「内部」(internal) 外部直和である。