2の平方根
背理法を用いずに証明することができる。ただし、その構想には、背理法による証明過程における、矛盾の発生した点から論理を始めるという点で、直観的ではなく、きわめて形式的である。
平方数の各素因数の個数は偶数個であることと、素因数分解の一意性を用いる。
任意の自然数 m, n に対して、m, 2n の素因数 2 の個数はそれぞれ偶数、奇数である。
ゆえに、素因数分解の一意性により、m ≠ 2n
∴ 2 ≠ m n {\displaystyle {\sqrt {2}}\neq {\frac {m}{n}}}
m, n の任意性より、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は無理数である。■
√2 の小数表示の求め方として、素朴に求めるには、20000...に近い平方数を探すという方法がある。より効率を追究した方法として、開平法がある。これは一般の位取り記数法表示でも可能である。