外積代数
ベクトルの外積(がいせき、äußeres Produkt, exterior product)や楔積(くさびせき、英: wedge product)は、クロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。
クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。
外積代数(グラスマン代数)は、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。
形式的には、外積代数は ⋀(V) あるいは ⋀*(V) で表され、V を線型部分空間として含む、外積あるいは楔積と呼ばれる ∧ で表される乗法を持つ、体 K 上の単位的結合代数である。外積は結合的で双線型な乗法
∧ : ⋀ ( V ) × ⋀ ( V ) → ⋀ ( V ) ; ( α , β ) ↦ α ∧ β {\displaystyle \textstyle \wedge \colon \bigwedge (V)\times \bigwedge (V)\to \bigwedge (V);\;(\alpha ,\beta )\mapsto \alpha \wedge \beta }
V の次元を有限な n とし、{e1, ..., en} を V の一つの基底とする。このとき、集合
{ e i 1 ∧ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i k ∣ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n } {\displaystyle \{e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}
は k-次外冪 ⋀(V) の基底を成す。実際に任意の元が
v 1 ∧ ⋯ ∧ v k {\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}}
の形に与えられたとき、各ベクトル vj は基底 ei の線型結合に書けるから、楔積の重線型性を使って展開すればこれを基底ベクトル同士の楔積の線型結合に書き直すことができる。このとき、楔積の中に同じベクトルがあれば 0 になるし、基底ベクトルが順番に現われていなければ符号を変えて順番を入れ替えて、基底を順番通りに並ばせることができる。
∗ : ⋀ k ( V ) → ⋀ n − k ( V ) {\displaystyle \textstyle *\colon \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{n-k}(V)}
はホッジ双対、あるいは一般にはホッジ ∗-作用素と呼ばれる。∗-作用素とそれ自身の合成写像 ⋀(V) → ⋀(V) は常に恒等写像のスカラー倍である。ほとんどの応用においては、体積形式はそれが V のある正規直交基底の楔積であるという意味で内積と両立する。この場合は
∗ ∘ ∗ : ⋀ k ( V ) → ⋀ k ( V ) = ( − 1 ) k ( n − k ) + q I {\displaystyle \textstyle *\circ *\colon \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}I}
になっている。ここで I は恒等写像で、内積は計量符号数 (p , q) (プラスが p 個、マイナスが q 個)を持つ。