算術級数の素数定理
算術級数の素数定理
π d , a ( x ) ∼ 1 φ ( d ) L i ( x ) {\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)}
はシャルル=ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン(フランス語版)によって証明された。彼は素数定理を証明したのと同様の方法をディリクレのL関数に用い、 t が0でない実数で、 a < c / log  t {\displaystyle a<c/\log t} のとき L ( 1 − a + i t , χ ) ≠ 0 {\displaystyle L(1-a+it,\chi )\neq 0} となる定数 c が存在することを示すことによってこの定理をより強い形
π d , a ( x ) = 1 φ ( d ) L i ( x ) + O ( x exp  ( − c 1 log  x ) ) {\displaystyle \pi _{d,a}(x)={\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)+O(x\exp(-c_{1}{\sqrt {\log x}}))}
(ここで c1 は d に依存する正の定数)で証明した。