部分リーマン多様体の接続と曲率
これまで同様 M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} をリーマン多様体、 M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} をその部分多様体とし、PをMの点とし、X、YをTPMの元とし、ηを法ベクトル空間NPMの元とする。
定義 (第三基本形式) ―
I I I ( X , Y ) = ∑ i = 1 m g ( I I ( X , e i ) , I I ( Y , e i ) ) {\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (X,Y)=\sum _{i=1}^{m}g(\mathrm {I\!I} (X,e_{i}),\mathrm {I\!I} (Y,e_{i}))}
を第三基本形式という。 ここでmはMの次元であり、 e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} はTPMの正規直交基底である。
第三基本形式 I I I ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (X,Y)} は二次形式 φ X , Y ( Z , W ) = g ( I I ( X , Z ) , I I ( Y , W ) ) {\displaystyle \varphi _{X,Y}(Z,W)=g(\mathrm {I\!I} (X,Z),\mathrm {I\!I} (Y,W))} のトレースであるので、 I I I ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (X,Y)} は基底の取り方に依存せずwell-definedである。
が成立する。
Mが偶数次元だという仮定から、 N ~ {\displaystyle {\tilde {N}}} は奇数次元であり、縁のないコンパクト奇数次元多様体のオイラー標数はポアンカレの双対性定理から常に0なので、前述の式から
χ ( M ) = 1 2 χ ( N ) {\displaystyle \chi (M)={1 \over 2}\chi (N)}
が言え、定理が証明される。
上記の定理にガウス曲率がオイラー形式で表記できたという事実を適用する事で、ホップは以下を示した:
定理 ( R m + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}} 内かつ余次元1の場合のガウス・ボンネの定理) ― 記号を上述の定理と同様に取る。このとき、
∫ M e u ( Ω ) = χ ( M ) {\displaystyle \int _{M}\mathrm {eu} (\Omega )=\chi (M)}
が成立する。ここで e u ( Ω ) {\displaystyle \mathrm {eu} (\Omega )} はMのオイラー形式である。
ここで我々はm=2kとすると、
V o l ( S m ) = 2 ( 2 π ) k 1 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ ( 2 k − 1 ) {\displaystyle \mathrm {Vol} (S^{m})={\frac {2(2\pi )^{k}}{1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2k-1)}}}
のm-i次の項を ( − 1 ) m − i ( n k ) {\displaystyle (-1)^{m-i}\textstyle {\binom {n}{k}}} で割った値
( − 1 ) m − i ( n k ) t r ( ∧ i S η ) {\displaystyle {(-1)^{m-i} \over \textstyle {\binom {n}{k}}}\mathrm {tr} (\wedge ^{i}S_{\eta })}
ここで ∧ i S η {\displaystyle \wedge ^{i}S_{\eta }} は S η : T P M → T P M {\displaystyle S_{\eta }~:~T_{P}M\to T_{P}M} が ∧ i T P M {\displaystyle \wedge ^{i}T_{P}M} に誘導する写像を ∧ i S η : ∧ i T P M → ∧ i T P M {\displaystyle \wedge ^{i}S_{\eta }~:~\wedge ^{i}T_{P}M\to \wedge ^{i}T_{P}M} である。
第四に、平均曲率に関しては、 M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} が余次元1でなくとも、 I I ( X , Y ) | P {\displaystyle \mathrm {I\!I} (X,Y)|_{P}} を法ベクトル空間 N P M {\displaystyle N_{P}M} に値を取る二次形式とみなしたときのトレース(の1/n)として定義できる:
一方、奇数次元のガウス曲率はMに内在的な量ではない。実際ガウス曲率の定義 K = d e t I I η = κ 1 ⋯ κ m {\displaystyle K=\mathrm {det} \mathrm {I\!I} _{\eta }=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}} はMの単位法線ηというMに外在的な量に依存しており、ηの向きを変えれば κ 1 , ... , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} の符号は全て反転してしまい、次元mが奇数である事から K = κ 1 ⋯ κ m {\displaystyle K=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}} の符号も反転してしまう。
しかし次元mが奇数の場合であっても、符号を除いてガウス曲率は内在的な量となる事を前述のTheorema Egregiumの一般化から示すことができる:
系 (符号を除いたガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取る。Mの次元mが奇数であっても、 M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} におけるMのガウス曲率Kは符号を除いて内在的な量である
以上の事から、mが偶数の場合には M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} におけるMのガウス曲率をリーマン曲率で具体的に書きあらわす事ができる。次節では M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} がユークリッド空間である場合に対し、この具体的な表記を求める。
I I I ( X , Y ) = ∑ i = 1 m g ( I I ( X , e i ) , I I ( Y , e i ) ) {\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (X,Y)=\sum _{i=1}^{m}g(\mathrm {I\!I} (X,e_{i}),\mathrm {I\!I} (Y,e_{i}))} = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n − m g ( I I ( X , e i ) , η j ) g ( I I ( Y , e i ) , η j ) {\displaystyle =\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n-m}g(\mathrm {I\!I} (X,e_{i}),\eta _{j})g(\mathrm {I\!I} (Y,e_{i}),\eta _{j})} = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n − m g ( S η j ( X ) , e i ) g ( S η j ( Y ) , e i ) {\displaystyle =\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n-m}g(S_{\eta _{j}}(X),e_{i})g(S_{\eta _{j}}(Y),e_{i})} = ∑ j = 1 n − m g ( S η j ( X ) , S η j ( Y ) ) {\displaystyle =\sum _{j=1}^{n-m}g(S_{\eta _{j}}(X),S_{\eta _{j}}(Y))}
M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} が定曲率空間の場合、第三基本形式は以下を満たす:
定理 ― M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} が曲率cの定曲率空間であれば、以下が成立する:
R i c ( X , Y ) = ( m − 1 ) c + m g ( I I ( X , Y ) , H ) − I I I ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Ric} (X,Y)=(m-1)c+mg\left(\mathrm {I\!I} (X,Y),H\right)-\mathrm {I\!I\!I} (X,Y)}
であるので、Mの余次元が1な事から、
g ( I I ( e i , e l ) , I I ( e j , e k ) ) = { κ i κ j if ( i , j ) = ( l , k ) 0 otherwise {\displaystyle g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{i},e_{\ell }),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{j},e_{k}))={\begin{cases}\kappa _{i}\kappa _{j}&{\text{if }}(i,j)=(\ell ,k)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
である。
定曲率空間の場合は以下が成立する事が知られている:
定理 (定曲率空間における曲率の形) ― ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} をリーマン多様体とし、 c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } とする。このときMが曲率cの定曲率空間である必要十分条件は、Mの任意の点PとTPMの任意のベクトルX、Y、Z、Wに対し、
g ( R ( X , Y ) W , Z ) = c g ( X , W ) g ( Y , Z ) − c g ( Y , W ) g ( X , Z ) {\displaystyle g(R(X,Y)W,Z)=cg(X,W)g(Y,Z)-cg(Y,W)g(X,Z)}
が成立する事である。
よってi>j、k>lを満たすi, j, k, lに対し、
をそれぞれ T P M ̄ {\displaystyle T_{P}{\bar {M}}} の元の接ベクトル空間TPMへの射影、 T P M ̄ {\displaystyle T_{P}{\bar {M}}} の元の法ベクトルバンドル N P M {\displaystyle N_{P}M} への射影とする。
定義 (第二基本形式) ―
I I ( X , Y ) := ∇ ̄ X M Y − Pr ( ∇ ̄ X M Y ) {\displaystyle \mathrm {I\!I} (X,Y):={\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y-\Pr({\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y)}
をMの ( M ̄ , g ) {\displaystyle ({\bar {M}},g)} における第二基本形式(英: second fundamental form)、もしくは型テンソル(英: shape tensor)という。
また η ∈ N P {\displaystyle \eta \in NP} に対し、
I I η ( X , Y ) := g ( I I ( X , Y ) , η ) {\displaystyle \mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y):=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )}
と定義し、これも第二基本形式という。
なお、「第二基本形式」という名称はガウスの曲面論から来ており、ガウスの曲面論ではリーマン計量 I ( X , Y ) := g ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {I} (X,Y):=g(X,Y)} の事を第一基本形式というのに対応した名称である。