アインシュタイン方程式
エネルギー・運動量テンソル Tμν が自由空間中の電磁場のみに由来する場合、すなわち電磁テンソルを用いて以下のように表わせるとき
T α β = − 1 μ 0 ( F α ψ F ψ β + 1 4 g α β F ψ τ F ψ τ ) {\displaystyle T^{\alpha \beta }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}
これを代入したアインシュタイン方程式はアインシュタイン・マクスウェル方程式と呼ばれ、(宇宙定数を含む形式では)以下のように書き下せる。
R α β − 1 2 R g α β + Λ g α β = 8 π G c 4 μ 0 ( F α ψ F ψ β + 1 4 g α β F ψ τ F ψ τ ) {\displaystyle R^{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}Rg^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {8\pi G}{c^{4}\mu _{0}}}\left(F^{\alpha }{}^{\psi }F_{\psi }{}^{\beta }+{\frac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}