対称微分
同様に、f(b) < f(a) ならば、開区間(a, b)においてfs(z) ≤ 0 となる点 z が存在する。
対称微分可能な関数に対する準平均値の定理は、関数 f が閉区間[a, b]において連続で、開区間(a, b)において対称微分可能ならば、開区間(a, b)において次を満たすような2点 x, y が存在する。
f s ( x ) ≤ f ( b ) − f ( a ) b − a ≤ f s ( y ) {\displaystyle f_{s}(x)\leq {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\leq f_{s}(y)} .
応用として、関数 f(x) = |x| の 0 を含む区間では、準平均値の定理により f の任意の割線の傾きは -1 と 1 の間である。
関数 f の対称微分がDarboux propertyを持つならば、通常の意味での平均値の定理が成立する。即ち、(a, b)において点 z が存在して、
f s ( z ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle f_{s}(z)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} .
結果として、関数が連続でその対称微分も連続ならば、その関数は通常の意味で微分可能である。