レーン＝エムデン方程式
ポリトロピック指数n のレーン=エムデン方程式は以下の微分方程式として表される。
1 ξ 2 d d ξ ( ξ 2 d θ d ξ ) + θ n = 0 {\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}
ここで、ξは半径r を無次元化した変数
r = α ξ = ( ( n + 1 ) P c 4 π G ρ c 2 ) 1 2 ξ {\displaystyle r=\alpha \xi =\left({\frac {(n+1)P_{c}}{4\pi G\rho _{c}^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\xi }
であり、θは密度ρを無次元化した変数
ρ = ρ c θ n {\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}\,}
である。ただし、G は万有引力定数、Pc は球対称な流体の中心圧力、ρc は中心密度であり、ポリトロピック指数n は圧力と密度の関係式(ポリトロピックな関係式)
P = K ρ 1 + 1 n {\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}}
を満たす(ただし、K は定数)。この式を満たす球対称な流体はポリトロープと呼ばれる。