メリン変換
さらに、 { M f } ( s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)} は a < R ( s ) < b {\displaystyle a<\Re (s)<b} で解析的な関数となる。
また、メリン逆変換は
{ M − 1 φ } ( x ) = f ( x ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ x − s φ ( s ) d s {\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}
により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 c は a < c < b {\displaystyle a<c<b} を満たす任意の実数である。 このような逆が存在するための条件は、メリン逆定理(英語版)で与えられている。
確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる。X を確率変数とし、X = max{X,0} をその正の部分、X = max{−X,0} をその負の部分としたとき、X のメリン変換は
M X ( s ) = ∫ 0 ∞ x s d F X + ( x ) + γ ∫ 0 ∞ x s d F X − ( x ) , {\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}
として定義される。ここで γ は、γ = 1 を満たすもの(formal indeterminate)である。この変換は、複素帯領域 D = {s: a ≤ Re(s) ≤ b}(ただしa ≤ 0 ≤ b)内のすべての s に対して存在する。
確率変数 X のメリン変換 M X ( i t ) {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {M}}_{X}(it)} は、その分布関数 FX を一意に定める。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: X および Y を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい。すなわち、
M X Y ( s ) = M X ( s ) M Y ( s ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)}
が成立する。