グロンウォールの不等式
u ( t ) ≤ α ( t ) + c ∫ a t α ( s ) exp  ( c ( t − s ) ) d s , t ∈ I {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\int _{a}^{t}\alpha (s)\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I}
が成立する。
さらにもし、その非負関数 α が非減少であるなら
u ( t ) ≤ α ( t ) + c α ( t ) ∫ a t exp  ( c ( t − s ) ) d s = α ( t ) exp  ( c ( t − a ) ) , t ∈ I {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+c\alpha (t)\int _{a}^{t}\exp {\bigl (}c(t-s){\bigr )}\,\mathrm {d} s=\alpha (t)\exp(c(t-a)),\qquad t\in I}
が得られる。
が成立する。測度 μ の n-重積に関して、それらはすべて等しい測度を持ち、集合 Sn には n! 個の組み合わせが含まれていることにより、主張されている不等式が成立する。
今、関数 t → μ([a,t]) が区間 I に含まれる t について連続であると仮定する。このとき、{1,2,...,n} に含まれる異なる添え字i および j に対して、集合
{ ( s 1 , ... , s n ) ∈ I s , t n ∣ s i = s j } {\displaystyle \{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}}
は超平面に含まれ、したがってフビニの定理を応用することにより、その μ の n-重積に関する測度はゼロとなる。
I s , t n ⊂ ⋃ σ ∈ S n A n , σ ( s , t ) ∪ ⋃ 1 ≤ i < j ≤ n { ( s 1 , ... , s n ) ∈ I s , t n ∣ s i = s j } {\displaystyle I_{s,t}^{n}\subset \bigcup _{\sigma \in S_{n}}A_{n,\sigma }(s,t)\cup \bigcup _{1\leq i<j\leq n}\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}}
であることにより、主張の不等式は成立する。
(a) 関数
v ( s ) = exp  ( − ∫ a s β ( r ) d r ) ∫ a s β ( r ) u ( r ) d r , s ∈ I {\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I}
を定義する。関数の積の微分公式、連鎖法則、指数関数の微分公式および微分積分学の基本定理を用いることにより、微分
v ′ ( s ) = ( u ( s ) − ∫ a s β ( r ) u ( r ) d r ⏟ ≤ α ( s ) ) β ( s ) exp  ( − ∫ a s β ( r ) d r ) , s ∈ I {\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I}
を得ることが出来る。ここで式の上からの評価のために、定理の仮定で現れた積分不等式を用いている点に注意されたい。関数 β および指数関数は非負であるため、この式は関数 v の微分に対する上からの評価を与えていることが分かる。