準正則元
準正則元の概念は直ちに半環 (semiring) へと一般化される。a が半環 S の元であれば、S から自身へのアフィン写像は μ a ( r ) = r a + 1 {\displaystyle \mu _{a}(r)=ra+1} である。S の元 a が右準正則 (right quasiregular) であるとは、 μ a {\displaystyle \mu _{a}} が一意とは限らない固定点をもつときにいう。各そのような固定点は a の左準逆元 (left quasi-inverse) と呼ばれる。b が a の左準逆元でさらに b = ab + 1 であれば、b は a の準逆元 (quasi-inverse) と呼ばれる。準逆元をもつ半環の任意の元を準正則 (quasiregular) と言う。半環のすべてではなく一部の元が準正則であるということはあり得る。例えば、通常の加法と乗法による非負の実数の半環において、 μ a {\displaystyle \mu _{a}} は固定点 1 1 − a {\displaystyle {\frac {1}{1-a}}} をすべての a < 1 に対してもつが、a ≥ 1 に対しては固定点をもたない。半環のすべての元が準正則であれば半環は準正則半環 (quasi-regular semiring)、閉半環 (closed semiring)、あるいは時折レーマン半環 (Lehmann semiring)と呼ばれる(後者は Daniel J. Lehmann の論文 に敬意を払っている)。