ヘンゼルの補題
R [ X ] {\displaystyle R[X]} の2つの多項式 f と g が法 I で係数が等しくなるとき、つまり f − g ∈ I R [ X ] {\displaystyle f-g\in IR[X]} であるとき、この2つの多項式は法 I で合同であるといい、 f ≡ g ( mod I ) {\textstyle f\equiv g{\pmod {I}}} で表す。 h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} の法 I での因数分解とは、h を法 I で R [ X ] {\displaystyle R[X]} の2つ(以上)の多項式 f, g の積として書き表す h ≡ f g ( mod I ) {\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}} ことをいう。
持ち上げとは還元の逆の操作である。
数学のヘンゼルの補題(ヘンゼルのほだい、英: Hensel's lemma)とは、1変数多項式が素数 p を法として単根(英語版)を持つならば、その根は p の任意の冪乗を法とする根に一意的に持ち上げられるという、合同算術における補題である。この補題は、多項式が法 p で2つの互いに素な多項式(英語版)に因数分解できるならば、その因数分解は p の任意の冪乗を法とする因数分解に持ち上げることができるという補題に一般化できる。因数分解に現れる多項式の次数が1の場合が根の場合に相当する。ヘンゼルの持ち上げ補題(英: Hensel's lifting lemma)とも呼ばれる。名称はクルト・ヘンゼルに因む。
p の冪指数を無限に大きくしていったときの(射影極限の意味での)極限を取ることにより、法 p での根(または因数分解)を p 進整数上での根(または因数分解)に持ち上げることができる。