付値環
( p ( D ′ ) {\displaystyle p(D')} は k ( p ) {\displaystyle k(p)} の付値環であることを確認し、q を対応する素点とすれば、あとは機械的である。)D が p の付値環であれば、そのクルル次元は p の p への特殊化以外の特殊化の濃度である。したがって、体 k 上の体 K の付値環 D をもった任意の素点 p に対し、以下が成り立つ。
t r . d e g k  k ( p ) + dim  D ≤ t r . d e g k  K {\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{k}k(p)+\dim D\leq \operatorname {tr.deg} _{k}K} .
p が素点で A が p の付値環の部分環であれば、 ker  ( p ) ∩ A {\displaystyle \operatorname {ker} (p)\cap A} は A における p の中心(center)と呼ばれる。
とくに、すべての付値環は局所環である。
体の付値環は支配(dominance)あるいは細分(refinement)によって順序を入れた体の局所部分環の集合の極大元である、ただし
A ⊃ B {\displaystyle A\supset B} かつ m A ∩ B = m B {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}\cap B={\mathfrak {m}}_{B}} ならば、 ( A , m A ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}}_{A})} は ( B , m B ) {\displaystyle (B,{\mathfrak {m}}_{B})} を支配する。
体 K のすべての局所環は K のある付値環によって支配される。
任意の素イデアルにおける局所化が付値環であるような整域はプリューファー整域と呼ばれる。