ラマヌジャンの合同式
24 λ ≡ 1 ( mod 5 a 7 b 11 c ) {\displaystyle 24\lambda \equiv 1{\pmod {5^{a}7^{b}11^{c}}}}
ならば、すべてのm=0,1,2,.. に対して
p ( 5 a 7 b 11 c m + λ ) ≡ 0 ( mod 5 a 7 b 11 c ) {\displaystyle p(5^{a}7^{b}11^{c}m+\lambda )\equiv 0{\pmod {5^{a}7^{b}11^{c}}}}
が成り立つ、とまとめることができる。この場合も、証明は5, 7, 11の場合をそれぞれ考えればよく、その他の場合は系として得られる。
ラマヌジャンは5と7の場合の証明のあらましを記している。しかしながら、1934年にサーバダマン・チョウラ(英語版)は7での反例を見出した。
24 ⋅ 243 ≡ 1 ( mod 7 3 ) {\displaystyle 24\cdot 243\equiv 1\quad ({\text{mod}}\,\,\,7^{3})}
であるが、
p ( 243 ) = 133978259344888 {\displaystyle p(243)=133978259344888}