フビニの定理
次の例では、フビニの定理およびトネリの定理のいくつかの仮定が満たされないとき、どのようにして定理が成立しないかを示す。
たとえ σ-有限でない空間であっても、極大積測度が用いられるなら、フビニの定理は成立する。実際、上記の例において極大積測度を考えると、対角は無限測度を持ち、したがって |f| の二重積分は無限大となるため、(空虚な意味で)フビニの定理は成立する。しかし X×Y を、測度の集合がその水平区分のルベーグ測度の和であるような積測度とするとき、|f| の二重積分はゼロであるが、二つの逐次積分の値は依然として異なるものであり得る。これはフビニの定理が成立しないような積測度の例である。
このことにより、二つの測度空間の同一の積上の異なる二つの積測度の例が得られた。二つの σ-有限測度空間の積として、唯一つの積測度が存在する。
フビニの定理によれば、(σ-有限測度空間の積上の可測函数に対して)絶対値の積分が有限であるなら、積分の順序は問題にならない。すなわち、はじめに x について積分し、続いて y について積分すれば、はじめに y、続いて x について積分したものと同じ結果が得られる。絶対値の積分は有限であるという仮定は、ルベーグ可積分性であり、この仮定が無いと二つの逐次積分は異なる値を取り得る。
逐次積分が一般に異なる値を取る簡単な例として、二つの測度空間を正の整数として定め、函数 f(x,y) は x=y なら 1、x=y+1 なら -1、それ以外なら 0 となるものが挙げられる。このとき二つの逐次積分はそれぞれ 0 と 1 という異なる値を取る。
他の例として、次の函数が考えられる。
x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 = − ∂ 2 ∂ x ∂ y arctan  ( y / x ) . {\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}\arctan(y/x).}
このとき逐次積分は