尖点
ピュイズー級数(英語版)論からわかることとして、F が解析函数(たとえば多項式函数はそうである)ならば、尖点の近傍において適当な線型座標変換により曲線を
と媒介表示できることが言える。ただし、a は適当な実数、m は正の偶数で、S(t) は位数(最も次数の低い非零項の次数)k が m より大きい冪級数とする。このとき、m をこの尖点の位数 (order) または重複度 (multiplicity) と呼び、これは F の最低次非零成分の次数に等しくなる。
これらの定義を、ルネ・トムおよびウラジーミル・アーノルドは、可微分函数の定める曲線に対するものへ一般化した。すなわち、曲線がある点に尖点を持つとは、全体空間で考えたその点の近傍上で微分同相写像が存在して、その曲線を上で定義された意味での尖点の上へ写すことができるときに言う。
文脈によっては、単に「尖点」と言えばここでいう位数 m = 2 の尖点のみを特に指すものとして定めていることもある。本項も以下そのような制限された意味でこれを用いることとする。位数 2 の尖点を持つ平面曲線は、適当な微分同相により、適当な自然数 k に対する曲線 x – y = 0 の形におくことができる。