集合半環
R のルベーグ測度を構成する方法の一つに、端点が ai と bi であるような(閉、開あるいは半開)区間の直積として得られる超矩形 P の体積を、単に超矩形の辺の長さの積
μ ( P ) = ∏ i = 1 n ( b i − a i ) {\displaystyle \mu (P)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})}
として定義して、それをルベーグ可測集合族にまで延長する方法がある。
この構成は、陰にせよ陽にせよ、上で述べた集合半環上の測度の集合環への延長に関する命題を、有界区間の有限合併全体が成す集合環へ適用するものになっている。上で述べたのと同様、ここでも集合半環を考える意味は、延長の次の段階であるカラテオドリの拡張定理によって補完され、最終的に得られる測度の σ-加法性は、超矩形の場合に制限して σ-加法性を確かめるだけで言うことができる。
以下のドロップボックス内にこの確認(これは自明なことではない)について述べる。半環の使い方もわかるはずである。
有界区間の直積全体の成す集合半環を S {\displaystyle {\mathcal {S}}} とし、この半環上の測度 μ を一つ定める。
初めに示すべきは、μ が次に述べる意味で加法的であることである。