極化恒等式
ここで、符号はベクトル空間の方向によって決まる。
この場合、恒等式は次のようになる。
⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u ‖ 2 − ‖ v ‖ 2 ) ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) ⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)\\[3pt]\langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\\[3pt]\langle u,v\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\end{aligned}}}
逆に、ベクトル空間のノルムが中線定理を満たす場合、上記の恒等式のいずれかを使用して矛盾なく内積を定義できる。 関数解析では、このような内積ノルムの導入は、 バナッハ空間をヒルベルト空間にするためによく使われる。
大小関係には ‖ x + z ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ z ‖ {\displaystyle \|x+z\|\leq \|x\|+\|z\|} (三角不等式)を用いた。
上と同様に、 x , z , y {\displaystyle x,z,y} の代わりに x , z , − y {\displaystyle x,z,-y} とした場合を考慮することで、 ⟨ x + z , y ⟩ − ⟨ x , y ⟩ − ⟨ z , y ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle x+z,y\rangle -\langle x,y\rangle -\langle z,y\rangle \geq 0} を証明できる。 したがって ⟨ x + z , y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ + ⟨ z , y ⟩ {\displaystyle \langle x+z,y\rangle =\langle x,y\rangle +\langle z,y\rangle } が成り立つ。