正則性公理
R ( α + 1 ) = P ( R ( α ) ) {\displaystyle R(\alpha +1)={\mathcal {P}}(R(\alpha ))}
α が極限順序数のとき、 R ( α ) = ⋃ β < α R ( β ) {\displaystyle R(\alpha )=\bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )}
クラス WF はこれらを全て集めたものとして定義される。
W F = ⋃ α ∈ O N R ( α ) {\displaystyle {\mathit {WF}}=\bigcup _{\alpha \in {\mathit {ON}}}R(\alpha )}
ZF公理系の他の公理から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常に WF 内に含まれる。すなわち V = WF の仮定は、全ての集合を ∅ に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。したがって、例えばx = {x}のような集合やx ∈ yかつy∈ xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない。
も同様。
WF の定義より、x ∈ WF のとき、x ∈ R(α) を満たす最小の順序数 α は後続順序数になる。実際、α を極限順序数として x ∈ R(α) 及び ∀β < α, x ∉ R(β) が成り立っているとすると、
x ∉ ⋃ β < α R ( β ) = R ( α ) {\displaystyle x\notin \bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )=R(\alpha )}
となって矛盾する。
そこで、集合 x のランクを次のように定義する。
x ∈ WF のとき、x ∈ R(β + 1) を満たす最小の β を集合 x のランクといい、rank(x) で表す。
よって、rank(x) = β ならば
∀ α > β ; x ∈ R ( α ) {\displaystyle \forall \alpha >\beta ;x\in R(\alpha )}
が成り立ち、x ∈ R(β) かつ x ⊂ R(β) となる。また、このランクの概念を用いて R(α) は次のように特徴付けられる。
∀ α ; R ( α ) = { x ∈ W F ∣ rank  ( x ) < α } {\displaystyle \forall \alpha ;R(\alpha )=\{x\in {\mathit {WF}}\mid \operatorname {rank} (x)<\alpha \}}
及び、