オイラーの公式
証明 — ド・モアブルの定理を用いた証明を示す。 ド・モアブルの定理より
cos  n θ + i sin  n θ = ( cos  θ + i sin  θ ) n , cos  n θ − i sin  n θ = ( cos  θ − i sin  θ ) n . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos n\theta +i\sin n\theta &=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n},\\\cos n\theta -i\sin n\theta &=(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}.\end{aligned}}}
辺々加えて
2 cos  n θ = ( cos  θ + i sin  θ ) n + ( cos  θ − i sin  θ ) n . {\displaystyle 2\cos n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}.}
右辺の 2 つの項を二項定理によって展開すれば、i の奇数乗の項は相殺し、i の偶数乗の項だけを二重に加えることになるので
数学の複素解析におけるオイラーの公式(オイラーのこうしき、英: Euler's formula)とは、複素指数関数と三角関数の間に成り立つ、以下の恒等式のことである:
e i z = cos  z + i sin  z {\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z}
ここで z {\displaystyle z} は任意の複素数、 e {\displaystyle e} はネイピア数、 i {\displaystyle i} は虚数単位、 cos {\displaystyle \cos } は余弦関数、 sin {\displaystyle \sin } は正弦関数である。
特に、 z = φ ( ∈ R ) {\displaystyle z=\varphi (\in \mathbb {R} )} とする場合がよく使われ、この場合、 e i φ {\displaystyle e^{i\varphi }} は、絶対値 1 {\displaystyle 1} , 偏角 φ [ r a d ] {\displaystyle \varphi [\mathrm {rad} ]} の複素数に等しい。
オイラーの公式は、複素解析をはじめとする数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要である。物理学者のリチャード・P・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 だと述べている。