レーマーの予想
レーマーの予想 (Lehmer's conjecture)、レーマーのマーラー測度の問題(Lehmer's Mahler measure problem)としても知られている、は、デリック・ヘンリー・レーマー(英語版)(Derrick Henry Lehmer)により提起された数論の問題である。この予想は、ある絶対的な定数 μ > 1 {\displaystyle \mu >1} が存在して、すべての整数係数の多項式 P ( x ) ∈ Z [ x ] {\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]} は次の性質のどちらかを満たすであろうという予想である。
P ( x ) {\displaystyle P(x)} のマーラー測度 M ( P ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))} は μ {\displaystyle \mu } より大きいかまたは等しい。
P ( x ) {\displaystyle P(x)} は、円分多項式もしくは単項式 x {\displaystyle x} の積の整数倍である。この場合は M ( P ( x ) ) = 1 {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1} である。(同じことであるが、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} のすべての根は 1 のべき根かまたは 0 である。)
マーラー測度の定義にはいくつかあって、そのうちの一つは多項式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} を C {\displaystyle \mathbb {C} } 上分解して
P ( x ) = a 0 ( x − α 1 ) ( x − α 2 ) ⋯ ( x − α D ) {\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})}
とし、
M ( P ( x ) ) = | a 0 | ∏ i = 1 D max ( 1 , | α i | ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|)}
と定義するものがある。
知られている中で最も小さな(1 よりも大きい)マーラー測度は、レーマーの多項式
P ( x ) = x 10 + x 9 − x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 + x + 1 {\displaystyle P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1}
のマーラー測度であり、これはサレム数(Salem number)
M ( P ( x ) ) = 1.176280818 ... {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=1.176280818\dots }
である。
この例が、本当に最小の値、すなわち、レーマーの予想の μ = 1.176280818 ... {\displaystyle \mu =1.176280818\dots } であると広く信じられている。