コンパクト化
チコノフ空間 X {\displaystyle X} とそのハウスドルフなコンパクト化 ( i , K ) {\displaystyle (i,K)} に対して X {\displaystyle X} 上の関数空間 C i ( X ) := { f ∘ i : f ∈ C ( K ) } {\displaystyle C_{i}(X):=\{f\circ i\colon f\in C(K)\}} を考える。 このとき自然な写像 i ∗ : X → ∏ f ∈ C i ( X ) I m ( f ) ̄ {\displaystyle i^{*}:X\to \prod _{f\in C_{i}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} は像への同相写像となる。 さらに関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成と同様の議論により i ∗ ( X ) ̄ {\displaystyle {\overline {i^{*}(X)}}} はコンパクトでありしかも K {\displaystyle K} と同相。 以上のことからハウスドルフなコンパクト化は関数空間を適切に制限することで関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成と同様の方法で与えることが出来る。
この方法は種々のコンパクト化を構成する上で基本的な方法論となっている。
位相空間がハウスドルフなコンパクト化を持つ必要十分条件はその位相空間がチコノフ空間(完全正則ハウスドルフ)であること。
ハウスドルフ空間 X {\displaystyle X} のハウスドルフなコンパクト化 ( i , K ) {\displaystyle (i,K)} に対し、 i ( X ) {\displaystyle i(X)} が K {\displaystyle K} の開部分集合となる必要十分条件は X {\displaystyle X} が局所コンパクトであること。
( i , K ) {\displaystyle (i,K)} をハウスドルフ空間 X {\displaystyle X} のハウスドルフなコンパクト化とするとき、 K {\displaystyle K} の濃度 | K | {\displaystyle |K|} は高々 2 2 | X | {\displaystyle 2^{2^{|X|}}} である。
T1空間には超フィルターを使ってストーン・チェックコンパクト化の類似物を構成することができる。これをウォールマンのコンパクト化といい、T1なコンパクト化になっている。
正規ハウスドルフ空間に対してはウォールマンのコンパクト化はストーン・チェックのコンパクト化と同値になる。数理論理学や周辺分野ではウォールマンのコンパクト化のことをストーン・チェックのコンパクト化といい、 β X {\displaystyle \beta X} のように表すことが多い。