LC回路
そして、初期条件を与えれば A {\displaystyle A\,} と B {\displaystyle B\,} を求めることができる。
この指数は複素数なので、この解は正弦波の交流を表している。
初期条件が A = B {\displaystyle A=B\,} となるものだった場合、オイラーの公式により、振幅 2 A {\displaystyle 2A} で角周波数 ω = 1 L C {\displaystyle \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,} の実正弦波が得られる。
したがって、解は以下のようになる。
i ( t ) = 2 A cos  ω t {\displaystyle i(t)=2A\cos \omega t\,}
この結果を満足する初期条件は次の通りである。
i ( t = 0 ) = 2 A {\displaystyle i(t=0)=2A\,}
かつ
d i ( t = 0 ) d t = 0 {\displaystyle {\frac {di(t=0)}{dt}}=0\,}
ここで、ωを次のように定義する。
ω = 1 L C {\displaystyle \omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,}
すると、微分方程式を次のように単純化できる。
d 2 i ( t ) d t 2 + ω 2 i ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+\omega ^{2}i(t)=0\,}
これは多項式 s 2 + ω 2 = 0 {\displaystyle s^{2}+\omega ^{2}=0\,} と同じ形式であり、
s = + j ω {\displaystyle s=+j\omega \,}
または
s = − j ω {\displaystyle s=-j\omega \,}
となる。ここで j は虚数単位である。したがって、この微分方程式の完全な解は次のような形式になる。
i ( t ) = A e + j ω t + B e − j ω t {\displaystyle i(t)=Ae^{+j\omega t}+Be^{-j\omega t}\,}