交代群
群の一次元ホモロジー群は群のアーベル化に一致する(また、An は知られた例外を除いて完全である)から、
H 1 ( A n , Z ) = 0 for n = 0 , 1 , 2 ; {\displaystyle H_{1}(A_{n},\mathbb {Z} )=0{\mbox{ for }}n=0,1,2;}
H 1 ( A 3 , Z ) = A 3 ab = A 3 = Z / 3 Z ; {\displaystyle H_{1}(A_{3},\mathbb {Z} )=A_{3}^{\text{ab}}=A_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ;}
H 1 ( A 4 , Z ) = A 4 ab = Z / 3 Z ; {\displaystyle H_{1}(A_{4},\mathbb {Z} )=A_{4}^{\text{ab}}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ;}
H 1 ( A n , Z ) = 0 for n ≥ 5 {\displaystyle H_{1}(A_{n},\mathbb {Z} )=0{\mbox{ for }}n\geq 5}
が得られる。これは以下のようにすれば直接確認することも容易である。