アーベルの連続性定理
係数 a n {\displaystyle a_{n}} , 変数 x {\displaystyle x} が実数の時、この定理は次のようになる。
アーベルの連続性定理(実数版) ― ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} は収束するとし、中心 x = 0 {\displaystyle x=0} 、収束半径が1の冪級数を f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} とおく。ここでは各 a n {\displaystyle a_{n}} , x {\displaystyle x} は実数とする。このとき、 x {\displaystyle x} が | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} であるようにして1に近づくならば、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は f ( 1 ) {\displaystyle f(1)} に近づく。
係数 a n {\displaystyle a_{n}} , 変数 z {\displaystyle z} が複素数の時、この定理は次のように拡張される。
アーベルの連続性定理(複素数版) ― ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} は収束するとし、中心 z = 0 {\displaystyle z=0} 、収束半径が1の冪級数を f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n z n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}} とおく。