劣加法性
劣加法的関数とは、加法について閉じている定義域 A と順序付き余域 B を備え、次の性質
f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ) ( ∀ x , y ∈ A ) {\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)\quad (\forall x,y\in A)}
を満たすような写像 f: A → B を言う。加法および順序を備えた代数系として A = B = R を実数直線とした、劣加法的実函数は典型的である。
また、A が離散的、特に自然数の集合 N であるとき、劣加法的実数値函数は劣加法的数列と呼ばれる。一般に、B 内の点列 {an}n≥1 は、不等式
を満たすとき、劣加法列であると言われる。
ある種の優加法性と劣加法性が共に存在するとき、フェケテの補題によって存在の認められている極限へと収束する割合を導くような結果も知られている。
f が劣加法的関数で、0 がその定義域に含まれているなら、f(0) ≥ 0 が成立する。実際、 f ( x ) ≥ f ( x + y ) − f ( y ) {\displaystyle f(x)\geq f(x+y)-f(y)} であるために f ( 0 ) ≥ f ( 0 + y ) − f ( y ) = 0 {\displaystyle f(0)\geq f(0+y)-f(y)=0} が得られる。
f(0) = 0 であるような凹関数 f : [ 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f:[0,\infty )\to [0,\infty )} も劣加法的である。実際、 f ( x ) ≥ 0 f ( 0 ) + x x + y f ( x + y ) {\displaystyle f(x)\geq 0f(0)+\textstyle {\frac {x}{x+y}}f(x+y)} であることから、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} および f ( y ) {\displaystyle f(y)} に対するこの上限の適当に重み付けられた和によって、f が劣加法的であるということが分かる。
劣加法的関数にマイナスをかけたものは優加法的となる。