巡回符号
巡回符号(じゅんかいふごう、英: Cyclic code)は、符号理論における誤り訂正符号の一種である。
このとき、(n-m-1) シンボルの情報を符号語多項式で表したものを I(x) と置いて G(x) と I(x) の積で表される n-1次の多項式
C ( x ) = I ( x ) × G ( x ) {\displaystyle C(x)=I(x)\times G(x)}
を符号語とする。この C(x)は必ず巡回符号の定義を満たすことが知られている。これは以下のように証明できる。
まず定義より x - 1 は G(x)で割り切れるので
x n − 1 = G ( x ) × P ( x ) {\displaystyle x^{n}-1=G(x)\times P(x)}
で表すことが出来る。今 C(x)の多項式を
C ( x ) = c n − 1 x n − 1 + c n − 2 x n − 2 + ⋯ + c 1 x + c 0 {\displaystyle C(x)=c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\cdots +c_{1}x+c_{0}}
で表すとする。このときこの多項式を巡回シフトさせた多項式 C'(x) を考えると、
C ′ ( x ) = c n − 2 x n − 1 + c n − 3 x n − 2 + ⋯ + c 1 x 2 + c 0 x + c n − 1 {\displaystyle C'(x)=c_{n-2}x^{n-1}+c_{n-3}x^{n-2}+\cdots +c_{1}x^{2}+c_{0}x+c_{n-1}}
で表される。この式を C(x) との関係で表すと、