円の面積
小学校において円の面積の公式が導入された後、高校の数学IIIの課程において「いろいろな曲線で囲まれた図形の面積」を積分法によって導出することが可能になるが、この一連の流れは循環論法をなしていることが指摘されている。
循環論法の流れ (山川 2007に基づく)
円の面積の公式 S = πr から、中心角 θ (rad) の扇形の面積は 1/2πrθ である。
中心角 θ (rad) の扇型の面積を用いて、不等式 1/2rsin θ < 1/2rθ < 1/2rtan θ が導出される。
はさみうちの原理により、limθ → 0sin θ/θ = 1 が導出される。
limθ → 0sin θ/θ = 1 より、d/dx(sin x) = cos x である。
sin x の微分が cos x であることを用いて、 ∫ 0 r r 2 − x 2 d x = π r 2 4 {\textstyle \int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx={\frac {\pi r^{2}}{4}}} を得る。従って S = πr である。
古代エジプトにおいては、リンド・パピルスの問題50に円の面積を求める方法が記録されている。
リンド・パピルスでは、円の直径 d {\displaystyle d} からその 1 9 {\displaystyle {\frac {1}{9}}} を引いた数の2乗、
S = ( d − d 9 ) 2 = 64 81 d 2 {\displaystyle S=(d-{\frac {d}{9}})^{2}={\frac {64}{81}}d^{2}}
として円の面積を求めている。これは半径 r {\displaystyle r} を用いて書き直せば、
S = 256 81 r 2 {\displaystyle S={\frac {256}{81}}r^{2}}
となる。したがって、現代の視点ではリンド・パピルスにおける計算は円周率を
π ≈ 256 81 ( = 3.16 ... ) {\displaystyle \pi \approx {\frac {256}{81}}\,(=3.16\ldots )}
と近似したものと見なせる。ただしこのことは、古代エジプト人が円周率を知っていたことや円周率の近似値を種々の計算に利用していたことを直ちに意味しない。
S 4 = lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( ξ k ) ( x k − x k − 1 ) = lim n → ∞ ∑ k = 1 n r 2 − ξ k 2 ( x k − x k − 1 ) {\displaystyle S_{4}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})(x_{k}-x_{k-1})=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {r^{2}-\xi _{k}^{2}}}(x_{k}-x_{k-1})}
である。
ここで、分割方法をn等分とすれば、 x k − x k − 1 = r n {\displaystyle x_{k}-x_{k-1}={\frac {r}{n}}} であり、 ξ k = k r n {\displaystyle \xi _{k}={\frac {kr}{n}}} とおくと、