状態空間 (制御理論)
状態変数は、任意の時点でシステム全体の状態を表せるシステム変数群の最小の部分集合である。状態変数群は線形独立でなければならない。すなわち、ある状態変数を別の状態変数群の線形結合で表すことはできない。システムを表現するのに必要な状態変数の最小個数 n {\displaystyle n} は、一般にそのシステムを定義する微分方程式の次数に等しい。システムが伝達関数形式で表されるとき、状態変数の最小個数は伝達関数を適切に約分したときの分母の次数に等しい。状態空間実現(state space realization)を伝達関数形式に変換することで、システムについての内部情報を失う可能性があるが、状態空間実現では不安定なはずなのに安定しているシステムを説明できることがある。電気回路では、状態変数の数は回路内のエネルギー蓄積部品(コンデンサやコイル)の個数と同じであることが多い(常にそうとは限らない)。
古典的な非線形システムとして、力を加えない単純な振り子を考える。
m l θ ̈ ( t ) = − m g sin  θ ( t ) − k l θ ̇ ( t ) {\displaystyle ml{\ddot {\theta }}(t)=-mg\sin \theta (t)-kl{\dot {\theta }}(t)}
ここで、
θ ( t ) {\displaystyle \theta (t)} は(重力の方向から見た)振り子の角度である。
m {\displaystyle m} は振り子の質量である(先端にのみ質量があると見なす)。
g {\displaystyle g} は重力加速度である。
k {\displaystyle k} は支点における摩擦係数である。
l {\displaystyle l} は振り子の長さ(回転半径)である(質量 m {\displaystyle m} の重心までの距離)。
すると、状態方程式は次のようになる。
x 1 ̇ ( t ) = x 2 ( t ) {\displaystyle {\dot {x_{1}}}(t)=x_{2}(t)} x 2 ̇ ( t ) = − g l sin  x 1 ( t ) − k m x 2 ( t ) {\displaystyle {\dot {x_{2}}}(t)=-{\frac {g}{l}}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m}}{x_{2}}(t)}
ここで、
x 1 ( t ) := θ ( t ) {\displaystyle x_{1}(t):=\theta (t)} は、振り子の角度である。
したがって、 k 1 {\displaystyle k_{1}} についても m {\displaystyle m} についてもフルランクである。
可観測性を評価すると、次のようになる。
[ C C A ] = [ [ 1 0 ] [ 1 0 ] [ 0 1 − k 2 m − k 1 m ] ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}C\\CA\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\\\left[{\begin{matrix}1&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {k_{2}}{m}}&-{\frac {k_{1}}{m}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right]}
したがって、フルランクである。以上から、このシステムは制御可能で、かつ観測可能である。