変分法
変分法はヨハン・ベルヌーイ (1696) のとり挙げた最速降下曲線問題に始まるといわれる それはすぐにヤコブ・ベルヌーイおよびギヨーム・ド・ロピタルの目に留まるが、この主題について初めて詳しく述べたのはレオンハルト・オイラーであった。オイラーの成果は1733年に始まり、著書 Elementa Calculi Variationum はこの分野の名の由来となった。ジョゼフ=ルイ・ラグランジュはこの理論の拡張に貢献し、アドリアン=マリ・ルジャンドル (1786) は最大および最小を判別する方法を(十分とまではいかなくとも)確立した。アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツもまたこの主題に対して先駆的な注目を与えている。この判別法に対して、Brunacci(英語版) (1810), カール・フリードリヒ・ガウス (1829), シメオン・ポワソン (1831), ミハイル・オストログラツキー (1834), カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ (1837) など多くの貢献がある。重要な一般論は ピエール・フレデリック・サラス (1842) によるものを オーギュスタン=ルイ・コーシー (1844) が精密化および改善した。
変分法は汎函数の極大と極小(総称して「極値」と呼ばれる)に注目する。函数が数値的な変数に依存して決まるのとある意味同じように、汎函数は函数に依存して決まり、またその意味で函数の函数としても記述される。 固定された定義域の上で定義された函数からなる函数空間が与えられたとき、その元を動く函数変数 y に関して汎函数は極値を持つ。汎函数 J[ y ] が函数 f において極値を持つとは、増分 ΔJ = J[y] - J[f] が f の任意に小さな近傍に属する任意の y に対して同じ符号を持つときに言う。このとき函数 f は極値函数あるいは極値点 (extremal) と呼ばれる。極値 J[f] が極大であるとは f の任意に小さな近傍の各点において ΔJ ≤ 0 を満たすときに言う。また極小であるとは同様に ΔJ ≥ 0 であるときに言う。連続函数の空間に対して、対応する汎函数の極値は、連続函数の一階導函数が全て連続となるかまたは否かに従って、それぞれ弱極値 (weak extrema) または強極値 (strong extrema) と呼ばれる。
汎函数の強極値・弱極値はともに連続函数の空間に対するものだが、弱極値はその空間に属する函数の一階導函数が連続という追加の要件を持つ。強極値は弱極値でもあるが、逆は真ではない。強極値を求めることは弱極値を求めることよりも困難である。弱極値を求めるために用いる必要条件の一つの例として、オイラー=ラグランジュ方程式がある 。
David: Applied Mathematics, 3rd Ed. Wiley-Interscience, 2006
Roubicek, T.: Calculus of variations. Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7, pp. 551–588.
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Chapter 8: Calculus of Variations, from Optimization for Engineering Systems, by Ralph W. Pike, Louisiana State University.