ケイリー・ハミルトンの定理
係数 ck を求める別の方法として、一般の n次正方行列でどの根も 0 でないものと仮定すれば、指数函数を用いた行列式の別表示
p ( λ ) = det ( λ I n − A ) = λ n exp  ( tr  ( log  ( I n − A / λ ) ) ) {\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}\exp(\operatorname {tr} (\log(I_{n}-A/\lambda )))}
を用いたアルゴリズムがある。メルカトル級数を用いて書けば
p ( λ ) = λ n exp ( − tr ∑ m = 1 ∞ ( A λ ) m m ) {\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}\exp \!{\bigg (}-\operatorname {tr} \textstyle \sum \limits _{m=1}^{\infty }{\dfrac {({\frac {A}{\lambda }})^{m}}{m}}{\biggr )}}
であるが、p(λ) は n次だから、この指数函数部分は λ のオーダーまで展開するだけでよい。λ の最後の負冪はケイリー・ハミルトンの定理により自動的に消える(再度、これには係数環が有理数体を含むことが必要である)。
が成り立つが、これに B = ∑mi= 0 Bi⋅t を代入して整理すれば
∑ i = 0 m B i A t i = ∑ i = 0 m A B i t i {\displaystyle \sum _{i=0}^{m}B_{i}At^{i}=\sum _{i=0}^{m}AB_{i}t^{i}}
が残る。各 i に対して係数比較(英語版)を行うことにより、所期の式 ABi = BiA が得られる。
このように実際に evA が環準同型となる適切な設定の下が求められたからには、定理の証明は
ev A  ( p ( t ) I n ) = ev A  ( ( t I n − A ) B ) p ( A ) = ev A  ( t I n − A ) ⋅ ev A  ( B ) p ( A ) = ( A I n − A ) ⋅ ev A  ( B ) = O ⋅ ev A  ( B ) = O {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ev} _{A}{\bigl (}p(t)I_{n}{\bigr )}&=\operatorname {ev} _{A}((tI_{n}-A)B)\\p(A)&=\operatorname {ev} _{A}(tI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)\\p(A)&=(AI_{n}-A)\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=O\end{aligned}}} として完成する。
この定理を証明するのに、固有多項式:
の λ を A に置き換えて
を得るとするのは、明らかに誤った論法である。
この論法が誤りである理由は、第一に、上式 error の左辺は n次正方行列、右辺はスカラーである 0 であり、(n = 1 でない限り)不合理である。
第二に、(1) の右辺の λ はスカラーだからこそ行列式として意味をもつものであり、行列式の展開の前に λ を A に置き換えると意味をなさなくなる。
様子が分かるように具体的に 2次の場合をとらえると、
p ( λ ) = | λ − a − b − c λ − d | {\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -a&-b\\-c&\lambda -d\end{vmatrix}}}
の λ を A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} に置き換えても、行列式としての意味をなさなくなることが分かる。
ただし、スカラーであるところをスカラー行列(単位行列のスカラー倍)で置き換えた区分行列
A 3 = ( tr  ( A ) A − det ( A ) I 2 ) A = tr  ( A ) ( tr  ( A ) A − det ( A ) I 2 ) − det ( A ) A = ( tr  ( A ) 2 − det ( A ) ) A − tr  ( A ) det ( A ) I 2 A 4 = ( ( tr  ( A ) 2 − det ( A ) ) A − tr  ( A ) det ( A ) I 2 ) A = ( tr  ( A ) 2 − det ( A ) ) ( tr  ( A ) A − det ( A ) I 2 ) − tr  ( A ) det ( A ) A = ( tr  ( A ) 3 − 2 tr  ( A ) det ( A ) ) A − ( tr  ( A ) 2 det ( A ) − det ( A ) 2 ) I 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}&=(\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2})A=\operatorname {tr} (A)(\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}\color {black})-\det(A)A=\color {green}{(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))A-\operatorname {tr} (A)\det(A)I_{2}}\\[5pt]A^{4}&=(\color {green}(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))A-\operatorname {tr} (A)\det(A)I_{2}\color {black})A=(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))(\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}\color {black})-\operatorname {tr} (A)\det(A)A\\&=(\operatorname {tr} (A)^{3}-2\operatorname {tr} (A)\det(A))A-(\operatorname {tr} (A)^{2}\det(A)-\det(A)^{2})I_{2}\end{aligned}}} のように次数の低い多項式表示に帰着される。
文献に掲載されている方法による。
A の固有多項式を p A ( t ) = det ( t I n − A ) {\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI_{n}-A)} , 固有値を λ1, ..., λn とする。
p A ( t ) = ( t − λ 1 ) ⋯ ( t − λ n ) {\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})\cdots (t-\lambda _{n})}
A を上三角化した行列を B とする。このとき対角成分に固有値 λ1, ..., λn が並ぶ:
B := P − 1 A P = ( λ 1 ∗ λ 2 λ 3 ⋱ λ n ) {\displaystyle B:=P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&&&*&\\&\lambda _{2}&&&\\&&\lambda _{3}&&\\&&&\ddots &\\&&&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}}