導来圏
導来圏はこれらの函手を研究するための、ある意味で、「適切な」圏である。たとえば、F が A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の単射対象を G-非輪状(つまり、すべての i > 0 と単射写像 I に対し、 R i G ( F ( I ) ) = 0 {\displaystyle R^{i}G(F(I))=0} となるような函手であり、2つの函手の合成
A → F B → G C {\displaystyle {\mathcal {A}}\ \ {\stackrel {F}{\rightarrow }}\ \ {\mathcal {B}}\ \ {\stackrel {G}{\rightarrow }}\ \ {\mathcal {C}}}
のグロタンディークスペクトル系列(英語版)は、全導来函手の恒等射を表わす
R ( G ∘ F ) ≅ R G ∘ R F {\displaystyle R(G\circ F)\cong RG\circ RF}
である。ヴェルディエはアーベル圏に付帯する導来関手がどのようにすれば A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の適切な導来圏への埋め込みに沿ったカン拡張としてみることができるかを示した [Mac Lane]。