点と直線の距離
もしベクトル空間が正規直交系ならば、方向ベクトル u → {\displaystyle {\vec {u}}} を持ち点Aを通る直線lを考えると点Pと直線lの距離は、
d ( P , l ) = ‖ A P → × u → ‖ ‖ u → ‖ {\displaystyle d(\mathrm {P} ,l)={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}}
ここで A P → × u → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}} はベクトル A P → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}} と u → {\displaystyle {\vec {u}}} の外積で、 ‖ u → ‖ {\displaystyle \|{\vec {u}}\|} は u → {\displaystyle {\vec {u}}} のノルムである。
但し、外積が存在するのは3次元と7次元の場合に限ることに注意せねばならない。