スピン角運動量
Spin(3) = SU(2) は、α, β の実数を用いて
S U ( 2 ) = { ( α β − β ̄ α ̄ ) | α , β ∈ C , | α | 2 + | β | 2 = 1 } {\displaystyle \mathrm {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&{\bar {\alpha }}\end{pmatrix}}{\Bigg |}\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,~|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}} ...(X1)
と書き表すことができる事が簡単な計算から従う。
一方、n=(x, y, z)∈Rを単位ベクトルとし、パウリ行列を使って
σ n = x σ 1 + y σ 2 + z σ 3 {\displaystyle \sigma _{\mathbf {n} }=x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3}} ...(X2)
と定義すると簡単な計算により、
σ n 2 = I {\displaystyle \sigma _{\mathbf {n} }^{2}=I}
がわかる。よって行列Aに対する指数関数exp(A)を(A3)式のように定義すると、τ ∈ [0,2π]に対し、
exp  ( i τ σ n ) = ∑ j = 0 ∞ 1 j !
...C1
ここでSO(n)はn次元回転行列のなす群である。スピン角運動量の定義に必要なのは、次元が3の場合のスピン群Spin(3)であり、Spin(3)は2次元特殊ユニタリ変換群 SU(2) と同型なことが知られている:
S p i n ( 3 ) ≃ S U ( 2 ) = { U ∈ M 2 , 2 ( C ) : U ∗ U = I , d e t U = 1 } {\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\simeq \mathrm {SU} (2)=\{U\in \mathrm {M} _{2,2}(\mathbf {C} )~:~U^{*}U=I,~\mathrm {det} U=1\}}
したがって以下、特に断りがない限り Spin(3) と SU(2) を同一視する。
スピン群の定義より、回転行列 R は何らかのスピン群の元 U を用いて
R = Φ 3 ( U ) {\displaystyle R=\Phi _{3}(U)}
と書くことができる。これはすなわち、回転行列 R を直接扱う代わりに、スピン群の元 U により回転が記述可能な事を意味する。そこで SO(3) のユニタリ表現の代わりに Spin(3) のユニタリ表現を考える。SO(3) のユニタリ表現と違い、Spin(3) のユニタリ表現は以下を満たす:
定理3 ― sが整数であっても半整数であっても、Spin(3) の Vs 上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。
u≧0を整数もしくは半整数とし、Wuを2u+1次元の複素計量ベクトル空間とする。具体的には
一粒子のスピン角運動量を考える場合は、u=sで、Wuはスピノール空間Vs
一粒子の軌道角運動量を考える場合は、WuはL(R)の2u+1次元部分空間
一粒子の全角運動量を考える場合は、Wuは L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} の2u+1次元部分空間
を想定している。複数粒子の場合も同様である。定理1より、Spin(3)のWs上での既約ユニタリ表現が同型を除いて一意に存在するので、この既約ユニタリ表現を
D u : S p i n ( 3 ) → U ( W u ) {\displaystyle D^{u}~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (W_{u})}
と表記する。(H1)、(H2)ですでに述べたように、
W 1 / 2 = C 2 {\displaystyle W_{1/2}=\mathbf {C} ^{2}}
D 1 / 2 = i d {\displaystyle D^{1/2}=\mathrm {id} }
である。
一般のuに対するWuとDはW1/2とDから構成できる。
Wuの構成
対称テンソル積
Wuを構成する準備として、対称テンソル積を定義する。W1/2の2u個のコピーのテンソル積