変換 (数学)
もっとも単純には、一つの集合 A が与えられたとき、A の各元 a に対して、A の元 b をただ一つ a の行き先 f(a) として指定するような対応規則 f のことである。すなわち、A から A 自身への写像(または関数)を (A の、A 上の、A 上で定義された、あるいは A における)変換というのである。文脈によっては、特にことわりなく可逆変換(全単射でしたがって逆写像を持つ変換)を意味することがある。
ただし通常、変換という語を用いるとき、与えられた集合には距離空間の位相やベクトル空間などの何らかの構造が入っているのが普通である。そして、(主に幾何学的な)構造を持つ集合 A に対しては、A 上の変換という語は、A から A 自身への構造を保つ写像に対して用いる。すなわち、写像 φ A → A でその像 φ(A) = {φ(a) | a ∈ A} ⊂ A が A と同様の数学的構造をもつ(言い換えれば φ(A) が A の部分系となる)ようなものに限って変換という語を充てるのである。