コールブルックの式
この式は両辺にf のある陰的な方程式であり、fの陽的な表現(f = f (Re , ε/DH)という形)を初等関数だけ表すことは出来ないことが知られている。そのためf の値を求めるには何らかの数値計算が必要となる。例えば、Microsoft Office Excelが使えるのであれば、ゴールシーク(英語版)機能により求めることができる。
2006年、ランベルトのW関数を導入することで陽的な表現が得られるようになった。
a = 2.51 R e , b = ε / D H 3.7 {\displaystyle a={\frac {2.51}{\mathrm {Re} }},\;b={\frac {\varepsilon /D_{\mathrm {H} }}{3.7}}} として
1 f = 2 ln  10 W ( ln  10 2 a 10 b 2 a ) − b a {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}={\frac {2}{\ln 10}}W({\frac {\ln 10}{2a}}10^{\frac {b}{2a}})-{\frac {b}{a}}}
ただしW関数の値を得るためにはやはり数値計算が必要である。