バナッハの不動点定理
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ε > 0 が任意であることより、列 {xn} はコーシー列であることが分かる。
補題 3 x* は T の不動点である。
証明 再帰的な関係 xn = T(xn−1) の両辺の極限を取る:
lim n → ∞ x n = lim n → ∞ T ( x n − 1 ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})}
T は縮小写像なので、連続である。したがって、極限を写像の内側で取ることが出来る:
lim n → ∞ x n = T ( lim n → ∞ x n − 1 ) . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right).}
したがって、x* = T(x*) である。
補題 4 x* は T の (X, d) 内における唯一つの不動点である。
証明 y も T(y) = y を満たす不動点であるとする。このとき
0 ≤ d ( x ∗ , y ) = d ( T ( x ∗ ) , T ( y ) ) ≤ q d ( x ∗ , y ) {\displaystyle 0\leq d(x^{*},y)=d(T(x^{*}),T(y))\leq qd(x^{*},y)}
が成り立つ。q ∈ [0, 1) であることに注意すると、この不等式は 0 ≤ (1−q)d(x*, y) ≤ 0 を意味する。したがって d(x*, y) = 0 であり、正定値性から x* = y が成り立つ。