密着空間
位相空間を始域とし、密着空間 X を終域とする任意の写像は連続である。
密着空間 X は弧状連結(道連結)であり、従って連結である。
密着空間 X は第二可算であり、従って第一可算であり、可分であり、またリンデレーフである。
密着空間 X の任意の部分空間は密着空間である。
密着空間 X の任意の商空間は密着空間である。
密着空間の任意濃度の直積は(積位相でも箱位相でも)密着空間である。
密着空間 X の任意の点列は X の任意の点に収斂する。特に X の点列は(自身を部分列と見て)収斂部分列を持つから、X は点列コンパクト空間である。
密着空間 X の X を除く任意の部分集合の内部は空である。
密着空間 X の空でない任意の部分集合の閉包は全体空間 X である。言い換えれば、X の空でない任意の部分集合は X において稠密である。この性質は密着空間を特徴付けるものになっている。
密着空間 X の部分集合 S が二点以上を含むならば、X の点は全て S の極限点である。S が一元集合ならば X ∖ S の各点はやはり S の極限点である。
密着空間 X はベール空間である。
二つの密着空間が互いに同相となる必要十分条件はそれらの濃度が相等しいことである。