重調和方程式
2次元の場合の一般解は
x v ( x , y ) − y u ( x , y ) + w ( x , y ) {\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}
ここで u ( x , y ) , v ( x , y ) , w ( x , y ) {\displaystyle u(x,y),v(x,y),w(x,y)} は調和関数で v ( x , y ) {\displaystyle v(x,y)} は u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)} の調和共役である。
2変数の調和関数は複素解析関数と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次のように書ける:
Im  ( z ̄ f ( z ) + g ( z ) ) {\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}
ここで f ( z ) {\displaystyle f(z)} と g ( z ) {\displaystyle g(z)} は解析関数である。
2次元の極座標系では、重調和方程式は
1 r ∂ ∂ r ( r ∂ ∂ r ( 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ φ ∂ r ) ) ) + 2 r 2 ∂ 4 φ ∂ θ 2 ∂ r 2 + 1 r 4 ∂ 4 φ ∂ θ 4 − 2 r 3 ∂ 3 φ ∂ θ 2 ∂ r + 4 r 4 ∂ 2 φ ∂ θ 2 = 0 {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}
となる。これは変数分離法によって解ける。その結果はミッシェル解(英語版)と呼ばれる。