複素線積分
となるが、
exp  ( − 3 π i 4 ) = exp  ( 5 π i 4 ) {\displaystyle \exp(-{\tfrac {3\pi i}{4}})=\exp({\tfrac {5\pi i}{4}})}
だから、この両者は (−∞, 0) を越えて連続となることからわかる。図中では、2個の向きのついた黒い円周が、それぞれ z と (3−z) を定義している対数関数の偏角とともに示されている。
図中の緑色の積分路を使うことにする。このため線分のすぐ上側と、すぐ下側を通る経路上の積分を考える。これらの経路は極限では(つまり2個の緑色の円周が半径0となるとき)、z = r (0 ≤ r ≤ 3) となる。線分の上側では、f(z) の値は
r 3 4 exp  ( 0 π i 4 ) ( 3 − r ) 1 4 exp  ( 2 π i 4 ) = i r 3 4 ( 3 − r ) 1 4 {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}\exp({\tfrac {0\pi i}{4}})(3-r)^{\frac {1}{4}}\exp({\tfrac {2\pi i}{4}})=i\,r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}
と求まる。線分の下側では、
この節では、
∫ 0 ∞ log  ( x ) ( 1 + x 2 ) 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx}
のようなタイプの積分を扱う。
この積分を計算するのに、関数
f ( z ) = ( log  ( z ) 1 + z 2 ) 2 {\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log(z)}{1+z^{2}}}\right)^{2}}
を用い、 − π < arg  ( z ) ≤ π {\displaystyle -\pi <\arg(z)\leq \pi } に対応した対数関数の枝を考える。
f(z) の、右の図に示すような鍵穴積分路に沿った複素線積分を計算する。この積分は、冒頭に示した実積分の定数倍であることがわかり(後述)、積分値は留数定理により