コーシーの積分公式
D を単連結領域、C を D 内にある長さを持つ単純閉曲線、f(z) を D 上の正則関数とする。C によって囲まれる領域の任意の 1 点 a において、以下の式が成立する。
f ( a ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − a d z . {\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}dz.}
また、この式を用いて f(z) の n 階複素導関数を与えることができる。a を z に置き換えて、積分変数を ζ で置き換えると
f ( z ) = 1 2 π i ∮ C f ( ζ ) ζ − z d ζ . {\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}d\zeta .}
この式の両辺について、差分商 f ( z + h ) − f ( z ) h {\displaystyle {\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}} の極限をとることを繰り返すことで以下の式が示され、また正則な関数が複素変数の意味で無限回微分可能であることも示される。
f ( n ) ( z ) = n ! 2 π i ∮ C f ( ζ ) ( ζ − z ) n + 1 d ζ {\displaystyle f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{n+1}}}d\zeta \ }
{\displaystyle \oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.}
元の経路Cの積分は、これらの2つの積分の合計である。
∮ C g ( z ) d z = ∮ C 1 g ( z ) d z + ∮ C 2 g ( z ) d z = 2 π i ( z 1 2 z 1 − z 2 + z 2 2 z 2 − z 1 ) = 2 π i ( − 2 ) = − 4 π i . {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}}
他の解法では部分分数分解を使った初歩的な技法により積分が求められる。
∮ C g ( z ) d z = ∮ C ( 1 − 1 z − z 1 − 1 z − z 2 ) d z = 0 − 2 π i − 2 π i = − 4 π i {\displaystyle \oint _{C}g(z)\,dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)\,dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i}