ポアンカレの定理
アイザック・ニュートンらによって古典力学が定式化されると月の運動などへの興味から三体問題は詳細な研究対象となり、18世紀および19世紀を通じてオイラー積分(エネルギー、全運動量、全角運動量、重心運動)以外の運動の積分を見出す試みが継続された。しかしこれらの試みはすべて失敗し、本定理に先行する1887年に Heinrich Bruns によって三体問題には座標、運動量、時刻の代数関数として表される運動の積分はオイラー積分以外に存在しないことが示された。ただしこのブルンスの定理は対象が代数関数に限定されているため、三体問題の求積不可能性を示すためには十分ではなかった。
アンリ・ポアンカレは、スウェーデン王オスカル2世による三体問題に関する国際コンペティションに応募した研究の中で、ホモクリニック軌道の発見(これはカオスの最初の発見とみなされている)、リンドステット級数(Poincaré–Lindstedt method)が発散すること、といった成果とともに制限三体問題の求積不可能性を示す本定理に到達し、1890年に出版された研究報告の中でこの定理について述べている。
ハミルトン力学において、系の自由度に等しい数の独立な運動の積分が存在し、それらが互いにポアソン可換であるとき、この系は可積分系と呼ばれ解を求積法によって求めることができる(リウヴィルの定理)。特に、 n {\displaystyle n} 自由度系においてこれらの積分 Φ 1 {\displaystyle \Phi _{1}} , Φ 2 {\displaystyle \Phi _{2}} , ..., Φ n {\displaystyle \Phi _{n}} がそれぞれ一定値を取る超曲面
Φ s = C o n s t . {\displaystyle \Phi _{s}=\mathrm {Const.} }
が連結かつコンパクトであり、その上で勾配 ∇ Φ s {\displaystyle \nabla \Phi _{s}} が一次独立であるならば、この超曲面は n {\displaystyle n} 次元トーラス T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} と微分同相であり、トーラスの自然な座標 θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}} と正準共役な変数 J {\displaystyle \mathbf {J} } が存在し、ハミルトニアン H 0 {\displaystyle H_{0}} を H 0 = H 0 ( J ) {\displaystyle H_{0}=H_{0}(\mathbf {J} )} という形に表示することができる(リウヴィル=アーノルドの定理)。