曲面の不正則数
非特異射影複素(もしくはケーラー)曲面に対して、次の数値はすべて等しい。
不正則数
アルバネーゼ多様体の次元
ピカール多様体の次元
ホッジ数 h = dim(H(Ω))
ホッジ数 h = dim(H(Ω))
幾何種数と算術種数の差、pg − pa
正の標数もしくは、非ケーラー複素曲面に対しては、この数値は必ずしも等しくはならない。
Poincaré (1910) では、複素射影曲面に対して、ピカール多様体の次元がホッジ数 h に等しく、すべてのコンパクトなケーラー曲面に対しても同じことが成り立つことが証明された。なめらかなコンパクトケーラー曲面の不正則数は、双有理型変換の不変量である。
一般のコンパクト複素曲面に対し、2つのホッジ数 h と h は必ずしも等しくはないが、h は h かまたは、h+1 となり、コンパクトなケーラー曲面に対しては等しくなる。
数学では、複素曲面の不正則数(irregularity)とは、ホッジ数 h = dim H(OX) のことをいい、通常 q で表す(Wolf P. Barth, Klaus Hulek & Chris A.M. Peters et al. 2004)。代数曲面の不正則数は、このホッジ数として定義され、ピカール多様体の次元としても定義でき(Bombieri & Mumford 1977, p.26)、標数が 0 のときは同じ値をとるが、正の標数のときはより小さくなることがある。
「不正則数」という名称は、最初に詳細に研究された曲面である P に埋め込まれたなめらかな複素曲面に対して、不正則数がゼロになるという事実からくる。不正則数は、より複雑な曲面の幾何種数と算術種数の差 pg − pa を測る新しい「補正」項として現れる。曲面は不正則数がゼロであるか否かに従い、正則、不正則と呼ばれることがある。
一般次元の複素解析多様体 X に対し、ホッジ数 h = dim H(OX) のことを、不正則数 q と言う。