フーリエ変換の応用
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「基本解」は粒子の「定常状態」と呼ばれ、フーリエのアルゴリズムでは、t = 0での値で与えられるψの時間発展の境界値問題を解くために用いることができる。これらのアプローチのどれも量子力学における実用的な用途ではない。境界値問題と波動関数の時間発展は、実用的な興味ではない。最も重要なのは定常状態である。
相対論的な量子力学では、古典物理学においては複素数値の波動が考慮されていることを除いて普通であるとして、シュレーディンガー方程式は波動方程式となる。他の粒子や場との相互作用が無い簡単な例として、無次元化された1次元自由クライン–ゴルドン–フォック方程式は、
( ∂ 2 ∂ x 2 + 1 ) ψ ( x , t ) = ∂ 2 ∂ t 2 ψ ( x , t ) . {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t).}
数学的な観点では、これは上記で解かれた古典物理学の波動方程式と同じである(複素数値の波動を持つが、方法において違いはない)。これは場の量子論における強力な使用である。波動のそれぞれの独立したフーリエ成分は、独立した調和振動子として扱うことができ、量子化され「第二量子化」として知られる。フーリエ法は非自明な相互作用を扱うためにも適用される。