四平方定理
オイラーの四平方恒等式
( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 + b 4 2 ) = ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 ) 2 + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 + a 3 b 4 − a 4 b 3 ) 2 + ( a 1 b 3 − a 2 b 4 − a 3 b 1 + a 4 b 2 ) 2 + ( a 1 b 4 + a 2 b 3 − a 3 b 2 − a 4 b 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=&(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4})^{2}\\+&(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\+&(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}-a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}\\+&(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{1})^{2}\end{aligned}}}
により、各々高々四個の平方数の和に表される二数の積は高々四個の平方数の和に表される。
従って、全ての素数に関して高々四個の四角数の和に表されることを証明すれば、全ての合成数も高々四個の四角数の和に表されることになる。