メビウス変換
特性定数はその対数を考えることによってその性質を分類することができる。すなわち、
e ρ + α i = k {\displaystyle e^{\rho +\alpha i}=k}
とおくとき、実数 ρ はスケールファクタであり、不動点 γ1 からどれほど反発的か、および不動点 γ2 にどれほど吸引的かを指し示す。また実数 α は回転因子であり、この変換で不動点 γ1 の周りを反時計回りに、不動点 γ2 の周りを時計回りに、どれだけ回転するかを指し示す。
相対論的速度にまで加速した観測者には、地球付近での見え方から無限小メビウス変換に従って連続的に変形された星座が見えているはずである。このような考察はしばしばツイスター理論の出発点として行われる。
メビウス群のいくつかの部分群は(ガウス平面や双曲平面などの)単連結リーマン面上の自己同型群を成す。そのような事情から、メビウス変換はリーマン面の理論においても重要な働きをする。どんなリーマン面の基本群もメビウス群の離散部分群となるのである(フックス群、クライン群など参照)。メビウス群の特に重要な離散部分群としてモジュラー群があり、それはフラクタルやモジュラー形式、楕円曲線あるいはペル方程式などといった多くの理論において中心的な役割を果たしている。
もっと一般に n > 2 なる次元を持つ空間においても、メビウス変換をn-次元超球面からそれ自身への向きを保つ全単射共形変換として定義することができる(そのような変換はその領域における共形変換のもっとも一般な形のものである)。共形写像に関するリウヴィルの定理(英語版)に従えば、メビウス変換は平行移動、相似変換、直交変換、反転の合成として表すことができる。
方程式
w = a z + b c z + d {\displaystyle w={\frac {az+b}{cz+d}}}
は zw-平面における双曲線の標準形
c w z − a z + d w − b = 0 {\displaystyle cwz-az+dw-b=0}
と等価であるから、三つ組 (z1, z2, z3) を別の三つ組 (w1, w2, w3) へ写すメビウス変換 H ( z ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(z)} を構成する問題は、(zi, wi) (i = 1, 2, 3) を通る双曲線の係数 a, b, c, d を求める問題に等価である。このとき、明示的な方程式は行列式
det ( z w z w 1 z 1 w 1 z 1 w 1 1 z 2 w 2 z 2 w 2 1 z 3 w 3 z 3 w 3 1 ) {\displaystyle \det \!{\begin{pmatrix}zw&z&w&1\\z_{1}w_{1}&z_{1}&w_{1}&1\\z_{2}w_{2}&z_{2}&w_{2}&1\\z_{3}w_{3}&z_{3}&w_{3}&1\end{pmatrix}}}
を評価することによって求められる。この式を第 1-行の各成分を中心として余因子展開することにより得られる
幾何学における平面上のメビウス変換(メビウスへんかん、英: Möbius transformation)は、
f ( z ) = a z + b c z + d {\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
の形で表される複素一変数 z に関する有理函数である。ここで、係数 a, b, c, d は ad − bc ≠ 0 を満足する複素定数である。
幾何学的にはメビウス変換は、複素数平面を実二次元球面へ立体射影したものの上で回転と平行移動により各点の位置と向きを変更したものを再度平面に立体射影することによって得られる。これらの変換は
「角度」を保ち(「等角性」)、
任意の「直線または円」を「直線または円」に写し(「円円対応」)、
円に対して対称な二点は、メビウス変換の像の円に関しても対称な二点に写る(「対称原理」)。
メビウス変換は複素射影直線上の射影変換であり、その全体はメビウス群と呼ばれる射影一般線型群PGL(2, C) を成す。メビウス群およびその部分群は数学および物理学においてさまざまな応用を持つ。
メビウス変換の名はアウグスト・フェルディナント・メビウスの業績に因むものだが、ほかにも射影変換や一次分数変換(あるいは単に一次変換)などと呼ばれることもある。
位相幾何学的には、(恒等変換でない)メビウス変換が 2-点を固定するという事実は
χ ( C ^ ) = 2 , {\displaystyle \chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2,}
つまり、(リーマン)球面のオイラー標数が 2 であることに対応している。まず、射影線型群 PGL(2, K) の作用は単純 3-推移的である(3-点の順序三つ組がふたつ与えられれば、その一方を他方へ写す写像はただひとつメビウス変換として定まる)ことが代数的に(この群は 3-次元なので、本質的に次元の勘定(英語版)で)証明される。したがって、少なくともみっつの点を固定するようなメビウス変換は、恒等変換以外には無い。
つぎに、メビウス群は連結ゆえ任意のメビウス変換は恒等変換にホモトピックである。レフシェッツ-ホップの定理の述べるところによれば、高々有限個の不動点を持つ写像の不動点の指数(index; ここでは重複度のこと)の総和は写像のレフシェッツ数に等しい。この数はこの場合、ホモロジー群上の恒等写像のトレースであり、単純にオイラー標数と一致する。
これに対して、実数直線上の射影線型群 PGL(2, R) の作用は不動点を持つとは限らない。たとえば (1 + x)/(1 − x) は実数直線上に不動点を持たない(複素変換としてならば ±i を固定する)が、写像 2x は 0 と ∞ のふたつの点を固定する。これは円(実射影直線)のオイラー標数が 0 であり、したがってレフシェッツの不動点定理の主張が不動点の数は少なくとも 0 個なければならない(もちろん 0 個より多くてもよい)こと意味することに対応している。
実変数に関する(もちろん係数も全て実数の)メビウス変換を考えれば、双曲型でない斜航型変換は存在せず、分類は(円錐曲線と同様に)楕円型、抛物型、双曲型の三種になる。この用語法は、トレースの絶対値の半分 |tr|/2 を変換の離心率として考えることによるものである。2 で割っているのは次元に対する補正であり、恒等変換が離心率 1 となるようにするものである(このような理由から、代わりに tr/n を考えることもある)。また、絶対値をとるのは作用が PSL において ±1 の因子を除いて定まることに対する補正である。あるいはまた、先に述べたと同様に離心率の平方の代わりとしてトレースの平方の半分を用いることもある。これらの分類は(平方を取るのと絶対値を取るのとでは値が違うから、完全に離心率を与えるわけではないけれども)実トレースの場合は一致し、複素トレースの場合には一致しない。同じ用語法が SL(2, R) の元の分類に対しても用いられ、また別のところでも類似の分類が用いられる。斜航的変換は本質的に複素解析的な現象であり、複素的な離心率に対応するものである。
にすることができて、これは zz + ww = 1 なるスケールに制限すれば、上で述べた対応に一致する。この式の各成分はちょうど、直積
[ x 0 + x 1 x 2 + i x 3 x 2 − i x 3 x 0 − x 1 ] = 2 [ z w ] [ z ̄ w ̄ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}}
から得られる。まとめると、制限ローレンツ群 SO(1,3) の作用はメビウス群 PSL(2, C) のそれと一致する。このことは、以下の定義の動機付けになっている。n ≥ 2 に対して、
n-次元メビウス群 Möb(n) とは、n-次元球面 S からそれ自身への向きを保つ共形等距変換全体の成す群のことである。
ミンコフスキー空間 R 内の零錐の未来方向半直線全体の成す空間として共形球面を実現することにより、Möb(n) と、行列式が正で時間方向を保つローレンツ変換全体の成す制限ローレンツ変換群 SO(1, n + 1) との間に同型が存在する。