自由境界問題
この表面は、二つの相の間の界面(interface)である。ν を、第二の(固体の)相への外向き単位法ベクトルとする。このときステファン問題は、向き ν への自由境界の速度 V によって支配されるある方程式によって与えられる、表面 Γ の発展を決定するものである。特に、
L V = α 1 ∂ ν T 1 − α 2 ∂ ν T 2 {\displaystyle LV=\alpha _{1}\partial _{\nu }T_{1}-\alpha _{2}\partial _{\nu }T_{2}}
が成り立つ。ここで L は融解の潜熱(latent heat)を表す。T1 は x が領域 T > 0 から Γt へ近付くときの勾配の極限を意味し、T2 は x が領域 T < 0 から Γt へ近付くときの勾配の極限を意味する。
この問題において、全領域 Ω は前もって知られているが、氷/水の表面 Γ は時刻 t = 0 におけるものしか知られていない。そのステファン問題を解く上で、各領域における熱方程式を解くだけでなく、自由境界 Γ についても追って考えなければならない。
一相ステファン問題は、α1 あるいは α2 のいずれかをゼロとするような問題に相当する。すなわち、それは二相ステファン問題の特別な場合である。この観点から、より複雑な問題として、任意の数の相を伴う問題を考えることも出来る。
楕円型偏微分方程式の理論においては、いくつかの関数解析的議論が用いられることで、理にかなって簡単な形状の微分方程式については、その弱解の存在が示される。しかし、そのような弱解は、望んだよりも少ない階数の導関数を持つ関数の空間に含まれることがある:例えば、ポアソン問題に対しては、Hに属する弱解の存在は簡単に主張できるが、その解は二階微分を持たないこともあり得る。そのとき、その弱解が実際に十分正則であることを示すための、いくつかの微積分的な評価を適用できる。
自由境界問題に対しては、二つの理由から、この問題はより注意すべきものとなる。一つ目の理由として、解は自由境界から離れた任意の近傍においては解析的であるかもしれないが、その自由境界を超える際に不連続な導関数を持つことがしばしばある、という点が挙げられる。二つ目の理由として、自由境界それ自身の正則性を示さなければならない、という点が挙げられる。例えば、ステファン問題に対しては、自由境界は C 曲面である。