連続線型拡張
上述の定理によって、有界線型変換 T : S → Y {\displaystyle T:S\rightarrow Y} を、「 S {\displaystyle S} が X {\displaystyle X} において稠密であるなら」、 S ̄ = X {\displaystyle {\bar {S}}=X} から Y {\displaystyle Y} へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。 S {\displaystyle S} が X {\displaystyle X} において稠密でない場合、ハーン=バナッハの定理を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。