フレシェ空間
なる極限が存在することを言う。さらに写像 P が U において連続的微分可能であるとは
D ( P ) : U × X → Y {\displaystyle D(P):U\times X\to Y}
が連続であることとする。フレシェ空間の積はやはりフレシェ空間になるので、さらに D(P) を微分することを考えることができて、この方法論で P の高階導関数を定義することができる。
P(ƒ) = ƒ′ で定義される微分作用素 P: C([0,1]) → C([0,1]) はそれ自身無限階微分可能であり、一階導関数は C([0,1]) の任意の二元 ƒ および h に対して
D ( P ) ( f ) ( h ) = h ′ {\displaystyle D(P)(f)(h)=h'}
で与えられる。これはフレシェ空間 C([0,1]) の(有限な k に対する)バナッハ空間 C([0,1]) に対する優位性である。
連続的微分可能写像 P: U → Y に対して、微分方程式
x ′ ( t ) = P ( x ( t ) ) , x ( 0 ) = x 0 ∈ U {\displaystyle x'(t)=P(x(t)),\quad x(0)=x_{0}\in U}
は解を持たないかもしれないし、持ったとしても必ずしも一意ではない。これもバナッハ空間の場合との明確な違いである。
逆写像定理はフレシェ空間においては成り立たない(部分的にはナッシュ・モーザーの定理で置き換えられる)。
X 内の点列 (xn) が各半ノルム ǁ ⋅ ǁk に関してコーシー列を成すならば、適当な点 x ∈ X が存在して (xn) が各半ノルム ǁ ⋅ ǁk に関して x に収束する。
このとき、これらの半ノルムから(上述の如く)導かれる位相によって X はフレシェ空間になる。実際、半ノルムに関する条件の前者からはハウスドルフ性が、後者からは完備性がそれぞれ保証される。これと同じ位相を誘導する平行移動不変かつ完備な距離関数を
d ( x , y ) = ∑ k = 0 ∞ ‖ x − y ‖ k 1 + ‖ x − y ‖ k 2 − k , ( x , y ∈ X ) {\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\|x-y\|_{k}}{1+\|x-y\|_{k}}}\;2^{-k},\quad (x,y\in X)}
で定義することができる。
関数 u → u/(1+u) は [0, ∞) を単調に [0, 1) に写すことに注意すれば、故に上記定義からは d(x, y) が「十分小さい」ことと「十分大きな」K が存在して k = 0, ..., K に対する ǁx - yǁk が何れも「小さい」こととが同値になることが保証されることがわかる。