多重線型交代写像
と展開して計算できる( S n {\textstyle {\mathfrak {S}}_{n}} は n-次対称群、ε は置換の符号、函数 dete は順序基底 e に関する表現行列 (Xij) の行列式である)。したがって、ベクトル f ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle f(e_{1},\dots ,e_{n})} (これは W の任意の元をとりうる)が分かれば、f の決定には十分である:
定理 ― V が n 次元のとき、V から W への n-重線型交代写像全体の成すベクトル空間 A n ( V ; W ) {\displaystyle A_{n}(V;W)} は W に同型である。
また W = K のときを考えれば、函数 det e {\displaystyle \det \nolimits _{e}} は f ( e 1 , ... , e n ) = 1 {\displaystyle f(e_{1},\dots ,e_{n})=1} を満たす唯一の n-重線型交代形式 f として特徴づけられる。 ふたたび V の次元を n とするとき、n > k と仮定して k-重線型交代写像を考える(n < k の場合には k-重線型交代写像は零写像しかない)。