中心つき六角数
H n = 6 Δ n − 1 + 1 = 3 n 2 − 3 n + 1 = 3 n ( n − 1 ) + 1 {\displaystyle H_{n}=6\Delta _{n-1}+1=3n^{2}-3n+1=3n(n-1)+1\,}
である。ここに、Δn は n 番目の三角数である。中心つき六角数の母関数は
x 2 + 4 x + 1 ( 1 − x ) 3 = 1 + 7 x + 19 x 2 + 37 x 3 + ⋯ {\displaystyle {\frac {x^{2}+4x+1}{(1-x)^{3}}}=1+7x+19x^{2}+37x^{3}+\cdots }
で与えられる。
n 番目までの中心つき六角数の和は立方数となる。すなわち
∑ k = 1 n H k = n 3 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=n^{3}}
が成り立つ。これは
H n = n 3 − ( n − 1 ) 3 {\displaystyle H_{n}=n^{3}-(n-1)^{3}\,}
より分かる。別の表現をすると、中心つき六角数は立方体数のグノモンである。