接続 (ファイバー束)
ファイバーバンドルの接続概念は、ベクトルバンドルの接続における平行概念を自然に拡張する事で定義する。
このようにすると、 M = R {\displaystyle M=\mathbb {R} } 上の直線 c ( t ) = t {\displaystyle c(t)=t} に沿って点 0 ∈ M = R {\displaystyle 0\in M=\mathbb {R} } のファイバー上の点 ( 0 , y 0 ) ∈ M × R = R × R {\displaystyle (0,y_{0})\in M\times \mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} } を平行移動した結果できる曲線は
( x , y ) = ( t , 1 y 0 − 1 − t ) {\displaystyle (x,y)=\left(t,{1 \over y_{0}{}^{-1}-t}\right)}
である事を容易に示す事ができる。この平行移動は
t < 1 y 0 {\displaystyle t<{1 \over y_{0}}}
の範囲でしか延長できず、完備でない事が言えた。
上記の例でも分かるように、水平移動の局所的存在性において、水平移動が存在する範囲 ( − ε , ε ) {\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )} がファイバーの元(上記の例ではy0)に依存しており、上記の例であれば ε < 1 y 0 {\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{y_{0}}}} でなくてはならない。この事が水平移動の大域的存在性を保証できない原因となっている。
定理 (誘導された接続の共変微分と接続形式の関係) ― pを P → M {\displaystyle P\to M} の切断とし、 a : M → F {\displaystyle a~:~M\to F} をなめらかな写像とし、sを u ∈ M {\displaystyle u\in M} に同値類 [ ( p u , a u ) ] ∈ P × G F {\displaystyle [(p_{u},a_{u})]\in P\times _{G}F} を対応させる切断とする。ここで a u := a ( u ) {\displaystyle a_{u}:=a(u)} である。
このとき、XをM上のベクトル場とすると、
∇ X s | u = ( ψ p u ) ∗ ( a ∗ ( X u ) + ω p u ( X u ) ̄ | a u ) {\displaystyle \nabla _{X}s|_{u}=(\psi _{p_{u}})_{*}(a_{*}(X_{u})+{\overline {\omega _{p_{u}}(X_{u})}}|_{a_{u}})}
が成立する。
ここで ω p u ( X u ) ̄ {\displaystyle {\overline {\omega _{p_{u}}(X_{u})}}} はリー代数の元 ω p u ( X u ) {\displaystyle \omega _{p_{u}}(X_{u})} の基本ベクトル場である。
前述した主接続の曲率の性質から、Pに接続形式ωが定義されているとき、
Ω ∈ A A d 2 ( P ; g ) ≈ A 2 ( M ; P × A d g ) {\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}_{\mathrm {Ad} }^{2}(P;{\mathfrak {g}})\approx {\mathcal {A}}^{2}(M;P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}})}
が成立する。すなわち曲率形式は随伴バンドルの元と見なすことができる。 一方、接続形式は(恒等的に0でない限り)テンソル形式の定義における水平性を満たさないので、 ω ∉ A A d 1 ( P ; g ) {\displaystyle \omega \notin {\mathcal {A}}_{\mathrm {Ad} }^{1}(P;{\mathfrak {g}})} である。
この e t {\displaystyle e_{t}} を使って曲率形式を特徴づける事ができる:
定理 ― 記号を上のように取る。このとき、 E φ ( O ) {\displaystyle E_{\varphi (O)}} を局所座標で表すと、その局所座標で定義される足し算に関して、
e t = e − Ω ( ∂ 1 ∗ , ∂ 2 ∗ ) t 2 + O ( t 2 ) {\displaystyle e_{t}=e-\Omega (\partial _{1}^{*},\partial _{2}^{*})t^{2}+O(t^{2})}
が成立する。
一般に、多様体N上の2つのベクトル場X1、X2とN上の関数fに対し、 Ψ i t := exp  ( t X i ) {\displaystyle \Psi _{i}^{t}:=\exp(tX_{i})} とすると、点 a ∈ N {\displaystyle a\in N} の局所座標 ( y 1 , ... , y n ) {\displaystyle (y^{1},\ldots ,y^{n})} で
f ( Ψ 2 − t ∘ Ψ 1 − t ∘ Ψ 2 t ∘ Ψ 1 t ( a ) ) = f ( a ) + t 2 [ X 1 , X 2 ] | a f ( a ) + o ( t 2 ) {\displaystyle f(\Psi _{2}^{-t}\circ \Psi _{1}^{-t}\circ \Psi _{2}^{t}\circ \Psi _{1}^{t}(a))=f(a)+t^{2}[X_{1},X_{2}]|_{a}f(a)+o(t^{2})}
定義 (リー群の随伴表現) ― Gをリー群とし g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をそのリー代数とする。このとき、Gの線形表現
A d : G → G L ( g ) {\displaystyle \mathrm {Ad} ~:~G\to \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}
を g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対し、
A d ( g ) : d h d t ( 0 ) ∈ g ↦ d d t g h ( t ) g − 1 | t = 0 ∈ g {\displaystyle \mathrm {Ad} (g)~:~{\tfrac {dh}{dt}}(0)\in {\mathfrak {g}}\mapsto \left.{\tfrac {d}{dt}}gh(t)g^{-1}\right|_{t=0}\in {\mathfrak {g}}}
により定義し、AdをGの随伴表現(英: adjoint representation)という。
ここで G L ( g ) {\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})} は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の線形同型全体のなすリー群である。随伴表現の定義は h ( t ) {\displaystyle h(t)} の取り方によらずwell-defninedである。
と定義すると、Ωは C ∞ ( E ) {\displaystyle C^{\infty }(E)} -線形である。ここで [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} はリー括弧(英語版)である。
よってΩは双線形写像
Ω : T E × T E → V {\displaystyle \Omega ~:~TE\times TE\to {\mathcal {V}}}
であるとみなせる。 ΩをファイバーバンドルEの接続 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} に関する曲率形式という。
なお、Frölicher–Nijenhuis bracket [ ⋅ , ⋅ ] F N {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{FN}} を用いると、曲率形式は
Ω = − 1 2 [ V , V ] F N = − 1 2 [ H , H ] F N {\displaystyle \Omega =-{1 \over 2}[V,V]_{FN}=-{1 \over 2}[H,H]_{FN}}
とも書き表せる。 さらに曲率形式に対する下記の(第二)ビアンキ恒等式が成立する事も示せる
[ V , Ω ] F N = 0 {\displaystyle [V,\Omega ]_{FN}=0} .
すでに述べたようにベクトルバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} 上のKoszul接続∇には、それと対応するファイバーバンドルとしての接続 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} が定義可能であるが、上述したKoszul接続の曲率は前述した一般のファイバーバンドルの曲率形式 Ω ( ξ , η ) = − V ( [ H ( ξ ) , H ( η ) ] ) {\displaystyle \Omega (\xi ,\eta )=-V([H(\xi ),H(\eta )])} と以下の関係を満たす。ここでHは水平部分空間への射影である。
定理 ― 記号を上述のように取る。このとき、M上の点u、ベクトル X , Y ∈ T u M {\displaystyle X,Y\in T_{u}M} 、 s ∈ E u {\displaystyle s\in E_{u}} に対し、以下が成立する:
により定義する事で引き戻し π ′ : f ∗ E → N {\displaystyle \pi '~:~f^{*}E\to N} に接続 { V e } e ∈ f ∗ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in f^{*}E}} を定義できる。ここで V f ~ ( e ) {\displaystyle {\mathcal {V}}_{{\tilde {f}}(e)}} 、 V e ′ {\displaystyle {\mathcal {V}}'_{e}} はそれぞれ π ′ : f ∗ E → N {\displaystyle \pi '~:~f^{*}E\to N} 、 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の垂直部分空間である。
接続 { V e } e ∈ f ∗ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in f^{*}E}} を π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} の引き戻し(英: pullback)という。
曲率は引き戻しに対して自然に振る舞う:
P → M {\displaystyle P\to M} を π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} に対応するG-主バンドルとすると、PはG-フレームバンドルと自然に同一視できる:
定理 ― 記号を上述のように取り、 U α ⊂ M {\displaystyle U_{\alpha }\subset M} 、 ψ α : π − 1 ( U α ) → ∼ U α × G {\displaystyle \psi _{\alpha }~:~\pi ^{-1}(U_{\alpha }){\overset {\sim }{\to }}U_{\alpha }\times G} をPのバンドルチャートとする。このときP(のバンドルチャート)から F G ( E ) {\displaystyle F^{G}(E)} への写像
( u , g ) ∈ U α × G ↦ ( g e 1 ′ , ... , g e n ′ ) ∈ F G ( E ) u {\displaystyle (u,g)\in U_{\alpha }\times G\mapsto (ge'_{1},\ldots ,ge'_{n})\in F_{G}(E)_{u}}
はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedで、しかも主バンドルとしての同型写像になる。
よって以後、 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} に対応するG-主バンドルと F G ( E ) {\displaystyle F^{G}(E)} を自然に同一視する。
定義 (共変微分) ― π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を接続 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} が定義されたファイバーバンドルとし、sをMの開集合U上で定義されたEの切断とし、XをUの点 x ∈ U {\displaystyle x\in U} におけるMの接ベクトルとする。sを多様体Uから多様体Eへの写像とみなしたときにsが接ベクトル空間に誘導する写像を
s ∗ : T U → T E {\displaystyle s_{*}~:~TU\to TE}
とする。このとき、 u ∈ M {\displaystyle u\in M} に対し、
∇ X s | u := V s u ( s ∗ ( X u ) ) {\displaystyle \nabla _{X}s|_{u}:=V_{s_{u}}(s_{*}(X_{u}))}
を点uにおけるsのX方向の共変微分という。
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をベクトルバンドルとし、∇をこのバンドルのKoszul接続とする。M上の任意の曲線c(t)とc(t)上の任意の切断s(t)で平行なものに対し、s(t)をE上の曲線とみなしたときに d s d t {\displaystyle {\tfrac {ds}{dt}}} が入るTeEの部分空間を「水平部分空間」と呼ぶ。
以上のように接続∇から水平部分空間が定まるが、逆に水平部分空間の情報があれば接続を再現できる事も知られている。実際、 d s d t {\displaystyle {\tfrac {ds}{dt}}} が常に水平部分空間に入るような切断s(t)を平行な切断とみなす事で水平部分空間から平行が再現でき、平行概念から接続概念を再現できる事も知られている。
よってベクトルバンドルの場合は接続概念は水平部分空間の概念は等価なので、一般のファイバーバンドルに対する接続を水平部分空間の概念を用いて定義する事にする。
”. コーネル大学. 2023年10月6日閲覧。
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本節では完備ではない接続の例をあげる。 M = R {\displaystyle M=\mathbb {R} } とし、M上のファイバーバンドル
π : ( x , y ) ∈ M × R ↦ x ∈ M {\displaystyle \pi ~:~(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mapsto x\in M}
を考え、このファイバーバンドル上に下記のような接続を考える:
点 ( x , y ) ∈ M × R {\displaystyle (x,y)\in M\times \mathbb {R} } における水平部分空間は、 T ( x , y ) ( M × R ) {\displaystyle T_{(x,y)}(M\times \mathbb {R} )} 内の傾き y 2 {\displaystyle y{}^{2}} の直線である
ここで直線の「傾き」は T ( x , y ) ( M × R ) {\displaystyle T_{(x,y)}(M\times \mathbb {R} )} を自然に M × R = R × R {\displaystyle M\times \mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} } と同一視したときの傾きである。