類体論
幾つかの小さい体、例えば有理数体 Q やその虚二次拡大体については、もっとたくさんの情報が得られる詳細な理論が存在する。例えば、Q の絶対ガロア群のアーベル化 G は、全ての素数に亙って取った p-進整数環の単元群の無限直積(に自然同型)であり、対応する Q の最大アーベル拡大は 1 の冪根全てによって生成された体となる。このことは、もとはレオポルト・クロネッカーの予想であったクロネッカー–ヴェーバーの定理として知られる。この場合の、類体論の相互律同型(あるいはアルティンの相互律写像)も同定理に従って具体的に書くことができる。1 の全ての冪根からなる群を
μ ∞ ( ⊂ C × ) {\displaystyle \mu _{\infty }(\subset \mathbb {C} ^{\times })}
と書くことにする(円周群 C のねじれ部分群)と、アルティンの相互律写像はそれが数論的正規化されているならば
K の任意の素点 v に対し、次の図式 K v × → ( 1 ) G a l ( K v a b / K v ) ↓ ( 4 ) ↓ ( 2 ) J K → ( 3 ) G a l ( K a b / K ) {\displaystyle {\begin{array}{ccc}K_{v}^{\times }&{\stackrel {(1)}{\to }}&\mathrm {Gal} (K_{v}^{\mathrm {ab} }/K_{v})\\\quad \downarrow {\stackrel {(4)}{}}&&\downarrow {\stackrel {(2)}{}}\\J_{K}&{\stackrel {(3)}{\to }}&\mathrm {Gal} (K^{\mathrm {ab} }/K)\end{array}}}
は可換図式。ここで、(1) の写像は局所類体論(英語版)で定義される局所アルティン写像、(2) は作用の制限から得られる写像、(3) は φK、(4) は K×v の元 x を v 成分は x でその他の成分は1のイデールに送る写像である。