正規行列
複素行列の中でもユニタリ行列、エルミート行列、歪エルミート行列はすべて正規であり、実行列の場合に直交行列、対称行列、歪対称行列はいずれも正規である。しかし全ての正規行列がこれらのうちの何れかに分類されるというわけではない。例えば行列
A = [ 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}
は正規だが、ユニタリでもエルミートでも歪エルミートでもない。
二つの正規行列の和や積は必ずしも正規ではないが、その二つが可換であるときには正規になる。
A が三角行列でも正規行列でもあるならば、A は対角行列である。これは A が三角でも正規でもあるときの AA および AA の対角成分をみればわかる。具体的に A を上半三角として、AA および AA は任意の対角成分が等しいから、第 1-行のノルムと第 1-列のノルムは等しく
| | A e 1 | | 2 = | | A ∗ e 1 | | 2 {\displaystyle ||Ae_{1}||^{2}=||A^{*}e_{1}||^{2}}
が成り立つ。故に第 1-行と第 1-列の成分は等しく、第 1-列の 2 番目から n 番目までの項は(上半三角だから)0 であり、従って第 1-行もそうである。同じことを 2 番目から n 番目までの行と列の組に対して行えば A が対角行列となることがわかる。