ラシュバ効果
副次的な効果としては、 p z {\displaystyle p_{z}} バンドを p x {\displaystyle p_{x}} 、 p y {\displaystyle p_{y}} バンドと混成させる。この混成は強結合近似の下で理解される。サイト i {\displaystyle i} にありスピンが σ {\displaystyle \sigma } であって p z {\displaystyle p_{z}} 軌道にある状態が、サイト j {\textstyle j} にありスピン σ ′ {\displaystyle \sigma '} で p x {\displaystyle p_{x}} 軌道または p y {\displaystyle p_{y}} 軌道にある状態 に移る飛び移り要素は、
t i j ; σ σ ′ x , y = ⟨ p z , i ; σ | H | p x , y , j ; σ ′ ⟩ {\displaystyle t_{ij;\sigma \sigma '}^{x,y}=\langle p_{z},i;\sigma |H|p_{x,y},j;\sigma '\rangle } ,
で与えられる。ここで H {\displaystyle H} は全ハミルトニアンである。
対称性を破る電場が無ければ、すなわち H E = 0 {\displaystyle H_{E}=0} であれば、飛び移り要素は対称性により消える。しかし、 H E ≠ 0 {\displaystyle H_{E}\neq 0} であれば飛び移り要素は有限の値を持つ。例えば
、最隣接サイト間の飛び移り要素は、
t σ σ ′ x , y = E 0 ⟨ p z , i ; σ | z | p x , y , i + 1 x , y ; σ ′ ⟩ = t 0 s g n ( 1 x , y ) δ σ σ ′ {\displaystyle t_{\sigma \sigma '}^{x,y}=E_{0}\langle p_{z},i;\sigma |z|p_{x,y},i+1_{x,y};\sigma '\rangle =t_{0}\,\mathrm {sgn} (1_{x,y})\delta _{\sigma \sigma '}} ,
である。ここで 1 x , y {\displaystyle 1_{x,y}} はそれぞれ x , y {\displaystyle x,y} 方向の単位長さで、 δ σ σ ′ {\displaystyle \delta _{\sigma \sigma '}} はクロネッカーのデルタである。
ラシュバ効果は、2次元平面に垂直な方向の対称性の破れの直接的な結果である。 したがって、ハミルトニアンに電界の形でこの対称性を破る項を追加しよう.
H E = − E 0 z {\displaystyle H_{E}=-E_{0}z} ,
相対論的補正により、電界内で速度vで移動する電子は、有効な磁場Bを感じる。
B = − ( v × E ) / c 2 {\displaystyle \mathbf {B} =-(\mathbf {v} \times \mathbf {E} )/c^{2}} ,
ここで c {\displaystyle c} は光の速さである。この磁場は電子のスピンと結合する。
H S O = g μ B 2 c 2 ( v × E ) ⋅ σ {\displaystyle H_{\mathrm {SO} }={\frac {g\mu _{\rm {B}}}{2c^{2}}}(\mathbf {v} \times \mathbf {E} )\cdot {\boldsymbol {\sigma }}} ,
ここで − g μ B σ / 2 {\displaystyle -g\mu _{\rm {B}}\mathbf {\sigma } /2} は電子の磁気モーメントである。
このトイモデルでは、ラシュバハミルトニアンは次で与えられる。