非線形制御
フロベニウスの定理(英語版)は微分幾何学中の深い結果(deep result)(英語版)である。 非線形制御に適用した場合、次のことが言える:
『 x ∈ R n {\displaystyle x\in R^{n}} , f 1 , ... , f k {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}} が分散 Δ {\displaystyle \Delta } に属するベクトル場であり、 u i ( t ) {\displaystyle u_{i}(t)} が制御関数であるとき、式
x ̇ = ∑ i = 1 k f i ( x ) u i ( t ) {\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)u_{i}(t)\,}
で与えられたシステムにおいて、 スパン( Δ = m {\displaystyle \Delta =m} ) と Δ {\displaystyle \Delta } が対合(involutive)な分散ならば、 x {\displaystyle x} の積分曲線が次元 m {\displaystyle m} の多様体に制限される』