クラメール・ラオの限界
これらはいずれも実数値関数であるので、
フィッシャー情報量も実数値であり、
I ( θ ) = E  [ ( ∂ ∂ θ ln  f n ( X ; θ ) ) 2 ] {\displaystyle I(\theta )=\operatorname {E} \left[\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln f_{n}({\boldsymbol {X}};\theta )\right)^{2}\right]}
となる。
本記事でここまでに述べた事柄は、次の置き換えをすれば基本的に全て同じ形式で成り立つ。
X → X , x → x , ∫ R ( ⋯ ) d x → ∫ R n ( ⋯ ) d x {\displaystyle X\to {\boldsymbol {X}},\quad x\to {\boldsymbol {x}},\quad \int _{\mathbb {R} }(\cdots )\,dx\to \int _{\mathbb {R} ^{n}}(\cdots )\,d{\boldsymbol {x}}}
V {\displaystyle V} と T {\displaystyle T} の共分散 Cov  ( V , T ) {\displaystyle \operatorname {Cov} (V,T)} は、 E  [ V ] = 0 {\displaystyle \operatorname {E} \left[V\right]=0} だから Cov  ( V , T ) = E  [ V T ] {\displaystyle \operatorname {Cov} (V,T)=\operatorname {E} \left[VT\right]} 、よって次式を得る。
Cov  ( V , T ) = E  [ T ⋅ { 1 f ( X ; θ ) ∂ ∂ θ f ( X ; θ ) } ] = ∫ R t ( x ) [ 1 f ( x ; θ ) ∂ ∂ θ f ( x ; θ ) ] f ( x ; θ ) d x = ∂ ∂ θ [ ∫ R t ( x ) f ( x ; θ ) d x ] = ∂ ∂ θ E  [ T ] = ψ ′ ( θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} (V,T)&=\operatorname {E} \left[T\cdot \left\{{\frac {1}{f(X;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(X;\theta )\right\}\right]\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} }t(x)\left[{\frac {1}{f(x;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]f(x;\theta )\,dx\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial \theta }}\left[\int _{\mathbb {R} }t(x)f(x;\theta )\,dx\right]={\frac {\partial }{\partial \theta }}\operatorname {E} \left[T\right]=\psi ^{\prime }(\theta )\end{aligned}}}
クラメール・ラオの不等式は Var  ( T ) ≥ 1 I n {\displaystyle \operatorname {Var} (T)\geq {\frac {1}{I_{n}}}} だが、この場合は等号が成り立っているため、推定量が有効(英語版)であることがわかる。
不偏でない推定量を用いれば、分散及び平均二乗誤差をより小さくすることもできる。例えば T b = ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 n + 2 {\displaystyle T_{b}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{n+2}}} とすれば、分散は明らかにより小さくなる。実際
Var  ( T b ) = 2 n ( σ 2 ) 2 ( n + 2 ) 2 < Var  ( T ) {\displaystyle \operatorname {Var} (T_{b})={\frac {2n(\sigma ^{2})^{2}}{(n+2)^{2}}}<\operatorname {Var} (T)}
ここで偏りは − b ( σ 2 ) = σ 2 − E  [ T b ] = ( 1 − n n + 2 ) σ 2 = 2 σ 2 n + 2 {\displaystyle -b(\sigma ^{2})=\sigma ^{2}-\operatorname {E} [T_{b}]=\left(1-{\frac {n}{n+2}}\right)\sigma ^{2}={\frac {2\sigma ^{2}}{n+2}}} であり、平均二乗誤差は、『(平均二乗誤差(MSE))=(分散)+(偏りの2乗)』の分解式から