ヒルベルト・サミュエル関数
ヒルベルト関数とは違って、ヒルベルト・サミュエル関数は完全列に対して加法的でない。しかしながら、アルティン・リースの補題の結果として、それはなお加法的であることにある程度近い。 P I , M {\displaystyle P_{I,M}} でヒルベルト・サミュエル多項式を表記する。すなわち、それは十分大きい整数に対してヒルベルト・サミュエル関数と一致する。
( R , m ) {\displaystyle (R,m)} をネーター局所環とし、I を m-準素イデアルとする。
0 → M ′ → M → M ′′ → 0 {\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}
が有限生成 R-加群の完全列で、 M / I M {\displaystyle M/IM} の長さが有限であれば、
P I , M = P I , M ′ + P I , M ′′ − F {\displaystyle P_{I,M}=P_{I,M'}+P_{I,M''}-F}
ただし F は次数が P I , M ′ {\displaystyle P_{I,M'}} の次数よりも真に小さい多項式で、正の leading coefficient をもつ。