ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
H をヒルベルト空間とし、L(H) を H 上の有界作用素の集合とする。T ∈ L(H) がコンパクト作用素であるとは、T の下での各有界集合の像が相対コンパクトであることを言う。コンパクト作用素のいくつかの一般的な性質を以下に挙げる。
X と Y がヒルベルト空間(実際、X はバナッハで Y はノルム空間であれば十分)であるとき、T: X → Y がコンパクト作用素であるための必要十分条件は、それが弱位相(英語版)を備える X から(ノルム位相を備える)Y への写像と見なしたときに連続であることである((Zhu 2007, Theorem 1.14, p.11)を参照されたい。また、この文献では、F ⊆ X が (∀φ є Hom(X, K)) sup{x**(φ) = φ(x):x} < ∞ を満たすときに一様有界性が適用されることに注意されたい。ここで K は考えている体である。ノルム位相を備える Hom(X, K) はバナッハ空間であり、写像 x**:Hom(X,K) → K はこの位相に関して連続準同型であるため、一様有界性の原理が適用される)。
コンパクト作用素の族は L(H) 内のノルム閉・両側 *-イデアルである。したがって、コンパクト作用素 T は、H が無限次元である場合には有界な逆を持たない。もし ST = TS = I が成立するなら、恒等作用素はコンパクトなるが、これは矛盾である。