半ノルム
逆向き三角不等式: | p ( x ) − p ( y ) | ≤ p ( x − y ) {\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y)}
の成立も確かめられる。さらに、半ノルムが劣線型(ドイツ語版)となることは、絶対連続性が正斉次性を導くことから従い、半ノルムの凸性も
p ( t x + ( 1 − t ) y ) ≤ p ( t x ) + p ( ( 1 − t ) y ) = t p ( x ) + ( 1 − t ) p ( y ) ( 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle p(tx+(1-t)y)\leq p(tx)+p((1-t)y)=tp(x)+(1-t)p(y)\qquad (0\leq t\leq 1)}
と確かめられる。逆に、絶対斉次凸函数は劣線型であり、したがって半ノルムになる(それを確かめるには、凸性を表す式で t = 1/2 と置いて全体を 2-倍すればよい)。