超楕円曲線
代数幾何学では、超楕円曲線(ちょうだえんきょくせん、英: hyperelliptic curve)は、次の形の方程式で与えられる代数曲線である。
y 2 = f ( x ) {\displaystyle y^{2}=f(x)}
ここに、f(x) は n 個の異なった根を持つ次数 n > 4 の多項式である。超楕円函数(hyperelliptic function)は、そのような曲線上の、もしくは曲線上のヤコビ多様体上の函数体の元である。これらの 2つの概念は楕円曲線の場合には一致するが、しかし、現在のケースでは異なっている。図 1 は、
f ( x ) = x 5 − 2 x 4 − 7 x 3 + 8 x 2 + 12 x = x ( x + 1 ) ( x − 3 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x\\&=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)\end{aligned}}}
としたときの、 C : y 2 = f ( x ) {\displaystyle C:y^{2}=f(x)} のグラフである。