順序対
J. Barkley Rosser (1953) はウィラード・ヴァン・オーマン・クワインに負うところよる自然数のア・プリオリな定義を必要とする順序対の定義を採用している。N を自然数全体の成す集合とし、函数
φ ( x ) = ( x ∖ N ) ∪ { n + 1 : n ∈ ( x ∩ N ) } {\displaystyle \varphi (x)=(x\smallsetminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}}
を定義する。この函数を適用するには、ただ x に属するどの自然数も 1 増やせばいい。とくに、φ(x) は最小の自然数である 0 を含まないので、任意の集合 x, y に対し
φ ( x ) ≠ { 0 } ∪ φ ( y ) {\displaystyle \varphi (x)\neq \{0\}\cup \varphi (y)}
が成立する。これを用いて順序対 (A, B) を
Wiener (1914) とほぼ同時期にハウスドルフは
( a , b ) := { { a , 1 } , { b , 2 } } {\displaystyle (a,b):=\{\{a,1\},\,\{b,2\}\}}
という順序対の定義を提唱した。「ここで、1 および 2 は、a とも b とも異なる、相異なるふたつの対象である」