マートンのポートフォリオ問題
標準的な仮定の下で、マートンのポートフォリオ問題の価値関数 V ( t , x ) {\displaystyle V(t,x)} は以下のハミルトン=ヤコビ=ベルマン方程式の解となる。
∂ V ( t , x ) ∂ t + sup α t , c t { ( ( ( μ − r ) α t + r ) x − c t ) ∂ V ( t , x ) ∂ x + 1 2 α t 2 σ 2 x 2 ∂ 2 V ( t , x ) ∂ x 2 + e − ρ t u ( c t ) } = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V(t,x)}{\partial t}}+\sup _{\alpha _{t},c_{t}}\left\{{\Big (}((\mu -r)\alpha _{t}+r)x-c_{t}{\Big )}{\frac {\partial V(t,x)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\alpha _{t}^{2}\sigma ^{2}x^{2}{\frac {\partial ^{2}V(t,x)}{\partial x^{2}}}+e^{-\rho t}u(c_{t})\right\}=0}
V ( T , x ) = u ( x ) {\displaystyle V(T,x)=u(x)}
微分方程式に含まれる最大値問題の解は、価値関数 V ( t , x ) {\displaystyle V(t,x)} が x {\displaystyle x} について単調増加な凹関数であるとすると、それぞれ