リウヴィルの定理 (物理学)
リウヴィル方程式は、相空間上の分布関数の時間発展を記述する。この方程式は通常、「リウヴィル方程式」と呼ばれる。ウィラード・ギブズは、最初に統計力学の基本方程式としてのこの方程式の重要性を認識した。この非標準的な系の微分を、1838年にリウヴィルが導入するとき、最初の等式を使ったことから、リウヴィル方程式と呼ばれるようになった。 i = 1 , ... , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} として、正準座標 qi と共役運動量 pi を持つハミルトン力学系を考える。すると、相空間の分布 ρ ( p , q ) {\displaystyle \rho (p,q)} は、無限小の相空間体積 d n q d n p {\displaystyle \mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p} の中にある確率 ρ ( p , q ) d n q d n p {\displaystyle \rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p} を決定する。リウヴィル方程式は、時刻 t での ρ ( p , q ; t ) {\displaystyle \rho (p,q;t)} の時間発展を統制する。
d ρ d t = ∂ ρ ∂ t + ∑ i = 1 n ( ∂ ρ ∂ q i q ̇ i + ∂ ρ ∂ p i p ̇ i ) = 0.