調和級数
調和級数は、その項の極限が 0 になるにもかかわらず発散するという意味で、初学者にとっては直観的ではない級数である。つまり、0 に収束する数列の無限和が必ずしも有限値に収束するとは限らないことが示される。調和級数が発散することに起因するいくつかの逆理や直観に反する結果が知られている。
例えば、「ゴムひもの上の芋虫」(“worm on the rubber band”) と呼ばれる逆理がある。内容は「1メートルの(無限に伸びることができる)ゴムひもがある。ひもの一端からもう一方の端に向かって芋虫が毎分1センチの速さでひもの上を這うものとする。ゴムひもは1分ごとに(正確には芋虫が1センチ這った直後に)一様に長さが1メートル引き伸ばされる。すなわち、1分後に芋虫は始点から1センチ這っただけだが、実際は(ゴムひもが引き伸ばされたため)始点から2センチの位置にいることになる。2分後にはそこからさらに1センチしか這っていないにもかかわらず、実際は始点から4.5センチの位置にいる。このようなプロセスを繰り返すとき、芋虫はひもの端まで到達できるだろうか」というものである。答えは、直観に反して「到達できる」である。出発点とT 分後に芋虫がいる位置との距離を LT センチメートルとすると、LT は
L T = T + 1 T ( L T − 1 + 1 ) , {\displaystyle L_{T}={\frac {T+1}{T}}{\bigl (}L_{T-1}+1{\bigr )},} (ただし L 0 = 0 {\displaystyle L_{0}=0} とする)
という漸化式で表される。これを解くと、
アルバータ大学のバイロン・シュムランド (Byron Schmuland) は確率調和級数 (random harmonic series)
∑ n = 1 ∞ s n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}}}
の性質について研究した。分子の sn は ±1 の値をそれぞれ 1/2 の等確率でとる独立同分布確率変数列である。この確率変数の和がほとんど確実に収束することは、コルモゴロフの三級数定理などを利用して示せる。 シュムランドは、その極限がいくつかの興味深い性質を持った確率変数となることを示した。特に、その確率変数の確率密度関数 ±2 における値は
0.124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 764...
で、これは 1/8(=0.125) よりも 10 ほど小さい。シュムランドの論文には、この確率が 1/8 に近いが一致するわけではないことの説明が示されている。この確率の厳密な値は
1 π ∫ 0 ∞ cos  ( 2 x ) ∏ n = 1 ∞ cos  ( x n ) d x {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\Bigl (}{\frac {x}{n}}{\Bigr )}dx}
で与えられる。