関孝和
関の最大の業績は、天元術を革新して傍書法・点竄術を確立したことである。これは記号法の改良と理論の前進の双方を含み、後に和算で高度な数学が展開するための基礎を提供した。
天元術は中国で発達した代数的解法である。求める数を未知数(天元の一と呼ぶ)とし、演算を施して方程式を立てる。問題を1元方程式に帰着できれば、次数に拘わらず算木によるホーナー法で近似的に解けた。しかし明代に入ると中国では天元術は衰え、もっぱら李氏朝鮮で継承されてゆく。朝鮮での発展や日本への流入の過程は今日でも不明な点が多い。日本では17世紀に入ってから、主に京阪の和算家の橋本正数・沢口一之らによって熱心に研究された。沢口の『古今算法記』(寛文10年、1670年)は、天元術の学習がほぼ完了したことを示している。
天元術には多変数の高次方程式を扱えない欠点があった。これは未知数を記号ではなく算木を置く場所で表現しているからで、例えば (1 3 4) の配置は1変数の多項式 1 + 3 x + 4 x 2 {\displaystyle 1+3x+4x^{2}} または多変数の1次式 x + 3 y + 4 z {\displaystyle x+3y+4z} のいずれかを表す。したがって2個目以降の未知数を文章による議論で消去してから、天元術を用いらねばならなかった。
『古今算法記』巻末の15問の未解決問題(遺題)はまさに多変数の方程式を必要とした。関は『発微算法』(延宝2年、1674年)でそれらすべての解を与えている。それは傍書法、すなわち算木による数ではなく紙の上の文字によって算式を論じる代数筆算を用い、2個目以降の未知数を文字で表して多変数の方程式を表現し、それを点竄術で処理して求めた。