ディリクレ級数
ディリクレ級数
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
に対して、 g ( t ) {\displaystyle g(t)} を
g ( t ) = ∑ n = 1 ∞ a n e − n t {\displaystyle g(t)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-nt}}
で定める。
g ( t ) {\displaystyle g(t)} の t → 0 {\displaystyle \scriptstyle t\to 0} での漸近展開として、
g ( t ) ∼ b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + ⋯ {\displaystyle g(t)\sim b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+\cdots }
を持つ場合、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は全平面に正則に解析接続される。
任意のディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。
任意の複素数 s に対して、ディリクレ級数は収束する。
任意の複素数 s に対して、ディリクレ級数は発散する。
ディリクレ級数がsの実部Re(s) > σ c {\displaystyle >\sigma _{c}} を満たす複素数 s に対して収束し、Re(s) < σ c {\displaystyle <\sigma _{c}} を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} が存在する。
この σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} をディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。 収束軸について、ディリクレ級数が常に収束するときは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } 、常に発散する場合は + ∞ {\displaystyle \scriptstyle +\infty } と定める。