シュタイナーの内接楕円
長軸は、3頂点からの距離が最も短くなる直線上にある 。
G, F+, F− を三角形の重心と2つのフェルマー点とする。シュタイナーの内接楕円の長軸は∠F+GF−の2等分線上にある。また、2つの軸の長さは |GF−| ± |GF+| という式で表される。
シュタイナー内接楕円の2つの軸はキーペルト放物線に接する。この放物線は、3辺とオイラー線とも接する。
シュタイナー内接楕円の2つの焦点は17点3次曲線上にある。
三角形ABCに内接する楕円の焦点を P, Q とすると以下の式が成り立つ。
P A ̄ ⋅ Q A ̄ C A ̄ ⋅ A B ̄ + P B ̄ ⋅ Q B ̄ A B ̄ ⋅ B C ̄ + P C ̄ ⋅ Q C ̄ B C ̄ ⋅ C A ̄ = 1. {\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}
幾何学における三角形のシュタイナーの内接楕円(シュタイナーのないせつだえん)は、三角形の3辺の中点でその三角形に接する楕円である。中点楕円、ガウス楕円とも呼ばれる。この楕円はデリーによってヤコブ・シュタイナーに属するものとされ、カルマンにより独立に証明されている 。
シュタイナーの名前を冠するシュタイナー楕円は、この楕円との対比から「シュタイナーの外接楕円」と呼ばれることもある。
以下の解説で特に説明がない場合、a, b, c は三角形の3辺の長さを表す。