実解析的アイゼンシュタイン級数
上半平面の変数 z = x + iy のアイゼンシュタイン級数で表された E(z, s) は、Re(s) > 1 である複素数の s の値に対して
E ( z , s ) = 1 2 ∑ ( m , n ) = 1 y s | m z + n | 2 s {\displaystyle E(z,s)={1 \over 2}\sum _{(m,n)=1}{y^{s} \over |mz+n|^{2s}}}
により定義され、Re(s) > 1 以外へは解析接続される。和は互いに素な整数のペア全体を渡る。
注意:いくつかの少し異なる定義もある。因子 1⁄2 を省略する著者もいるし、(m, n)が渡る和の範囲を(0, 0)を除くすべての整数のペアとする著者もいる。後者の場合、E(z, s)は上の定義のζ(2s)倍になる。