順序組
プログラミング言語に広く用いられる型理論において、順序組は直積型(英語版)を持つ(これは組の長さも各成分のもつ型も固定しない意味で言う)。形式的には
( x 1 , x 2 , ... , x n ) : T 1 × T 2 × ... × T n {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):{\mathsf {T}}_{1}\times {\mathsf {T}}_{2}\times \ldots \times {\mathsf {T}}_{n}}
であり、射影は項構成子:
π 1 ( x ) : T 1 , π 2 ( x ) : T 2 , ... , π n ( x ) : T n {\displaystyle \pi _{1}(x):{\mathsf {T}}_{1},~\pi _{2}(x):{\mathsf {T}}_{2},~\ldots ,~\pi _{n}(x):{\mathsf {T}}_{n}}
である。関係モデルで用いられるラベル付き要素の順序組はレコード型を持つ。これらの型は単純型付きラムダ計算の単純拡大として定義できる。
型理論における順序組の概念と集合論における順序組の概念には以下のような関係がある: 型理論の自然なモデルを考えれ、意味論的解釈にスコット括弧を用いれば、適当な集合 S 1 , S 2 , ... , S n {\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}} (ここでイタリックは集合をあらわし、その型特別するために用いることに注意)からなるモデルとして