積分曲線
数学において,積分曲線(せきぶんきょくせん,英: integral curve)は常微分方程式あるいは方程式系の特定の解を表すパラメトリック曲線である.微分方程式がベクトル場あるいは slope field(英語版) として表されているとき,対応する積分曲線は各点で場に接する.
積分曲線は,微分方程式やベクトル場の性質や解釈に応じて,様々な他の名前で呼ばれる.物理学では,電場や磁場に対する積分曲線は field line(英語版) と呼ばれ,流体の速度場(英語版)に対する積分曲線は流線と呼ばれる.力学系では,系を記述する微分方程式の積分曲線は軌道と呼ばれる.
上で α′(t) は時刻 t での α の微分,時刻 t で「α が指している方向」を表す.より抽象的な視点からは,これはフレシェ微分である:
( d t f ) ( + 1 ) ∈ T α ( t ) M . {\displaystyle (\mathrm {d} _{t}f)(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.}
M が R の開部分集合という特別な場合には,これはよく知っている微分
( d α 1 d t , ... , d α n d t ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right)}
である,ただし α1, ..., αn は通常の座標方向についての α の座標である.
同じことは誘導写像(英語版)のことばでさらに抽象的に述べることができる.J の接束 TJ は自明束 J × R であり,すべての t ∈ J に対して ι(t) = 1(より正確には ι((t, 1)) = 1)なるこの束の自然な切断 ι が存在する.曲線 α は次の図式が可換になるような束写像 α∗: TJ → TM を誘導する:

このとき時間微分 α′ は合成 α′ = α∗ ∘ ι であり,α′(t) は点 t ∈ J におけるその値である.