一様凸空間
ミルマン=ペティスの定理(英語版)によると、すべての一様凸バナッハ空間は回帰的であるが、その逆は真ではない。
{ f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} が一様凸バナッハ空間において f {\displaystyle f} に弱収束する列で ‖ f n ‖ → ‖ f ‖ {\displaystyle \|f_{n}\|\to \|f\|} を満たすなら、 f n {\displaystyle f_{n}} は f {\displaystyle f} に強収束する: ‖ f n − f ‖ → 0. {\displaystyle \|f_{n}-f\|\to 0.}
バナッハ空間 X {\displaystyle X} が一様凸であるための必要十分条件は、その双対 X ∗ {\displaystyle X^{*}} が一様滑らか(英語版)であることである。
すべての一様凸空間は狭義凸である。