写像
A からそれ自身への全単射全体の集合を S(A) とすると、写像の合成は結合法則を満たし、恒等写像を単位元として、任意の全単射が逆写像を逆元に持つから、これは群をなす。特に A が n 個の元からなる有限集合の場合の S(A) を n 次対称群という。
f: A → B, g: C → D の合成 g ∘ f: A → D が定義可能で全単射であるとき、g が全射であることおよび f が単射であることが容易に確かめられるが、このことの逆も次の意味で成り立つ。
f: A → B が全射であるとき、(選択公理を仮定すると)B から A への写像 r が存在して右可逆性 f ∘ r = idB が成り立つ。この r のことを、f の右逆写像という。
f: A → B (A ≠ ∅)が単射であるとき、B から A への写像 l が存在して左可逆性 l ∘ f = idA が成り立つ。この l のことを、f の左逆写像という。
この二つの事実には、正確に逆が成り立つ。従って、全射と単射を次のように定義することもできる;
写像 f が右逆写像を持つとき、f を全射といい、f が左逆写像を持つとき、f を単射という。
集合 A の各元に対してそれぞれ集合 B の元をただひとつずつ指定するような規則 f が与えられているとき、f を「定義域(あるいは始域) A から終域 B への写像」といい
f : A → B , A → f B {\displaystyle f\colon A\to B,\quad A{\stackrel {f}{{}\to {}}}B}
などと表す。また f は A で(あるいは A の上で)定義されているといい、あるいはまた f は B に(あるいは B の中に)値を持つという。始域 A を sour(f)、終域 B を tar(f) のように記すこともある。また、A の元 a に対して f によって指定される B の元が b である(このことを、a が f によって b に写されるという)とき、b を a における f の像あるいは値(あたい、value)と呼び、b を f(a) で表す。 f によって A の元 a が B の元 f(a) に写されることは、
a ↦ f(a)
という記法で表される。変数 x を用いて x ↦ f(x) のように写像を表すとき、f は、 A をわたる(または動く)変数 x の関数である、あるいは変数 x に従属するという。
2つの写像 f : A→B、 g : A→B の相等関係について、次が成り立つ:
f = g ⇔ ∀a∈A ( f(a) = g(a) )。