変形
行列形式は以下の通りである。
F = [ F 11 F 12 0 F 21 F 22 0 0 0 1 ] {\displaystyle F={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
変形勾配は極分解により、引き延ばしを表す部分 U と回転を表す部分 R に分解することができる。全ての変形が平面内であるため、以下のように記述できる。
F = R U = [ cos  θ sin  θ 0 − sin  θ cos  θ 0 0 0 1 ] [ λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 1 ] {\displaystyle F=RU={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
ここで、θは回転角度、λ1 、λ2 はストレッチである。