ポアソン核
実数直線上の可積分函数からなるLp空間内のある函数 f ∈ L p ( R ) {\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )} が与えられたとき、u は f の上半平面への調和拡張と解釈される。単位円板の場合と同様に、u が上半平面において正則であるなら、u はハーディ空間 u ∈ H p {\displaystyle u\in H^{p}} の元で、特に
‖ u ‖ H p = ‖ f ‖ L p {\displaystyle \|u\|_{H^{p}}=\|f\|_{L^{p}}}
が成立する。したがって、上半平面上のハーディ空間 H はふたたびバナッハ空間となり、特にその実軸への制限は L p ( R ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )} の閉部分空間となる。この状況は単位円板の場合に類似しているが、同じというわけではない。単位円に対するルベーグ測度は有限であるが、実数直線に対するルベーグ測度は有限ではない。