エルデシュ＝シュトラウス予想
もし、上記のような解が十分異なる剰余について見つけられ、合同性の完全な被覆系(英語版)を形成できれば、問題は解決される。しかし、Mordell (1967) が示したように、r mod p に合同な n の値に対して解を与える恒等多項式は、r が p のsquare moduloに合同でないときだけ存在しうる(より正確に言うと、この種の恒等式は r が p の平方剰余でないときのみ存在しうる。)。例えば、2は3の平方でない剰余であるから、モーデルの結果によれば2 mod 3と合同な n に対して恒等式が存在しうる。しかしながら、1は3の平方剰余である(1および2 mod 3両者の二乗に等しい)から、1 mod 3と合同な「すべての」n に対して類似する恒等式は存在しえない。より一般的に、1が n > 1 となるすべての n に対して平方剰余となる以上、1が常に含まれないため合同恒等式の完全な被覆系は存在しえない。
モーデルの結果がこの問題に対する合同恒等式の形式を限定しているにもかかわらず、依然として合同恒等式を用いたエルデシュ=シュトラウス予想解決の可能性が残されている。素数は立体数ではないため、ハッセ・ミンコフスキーの定理より、p が素数ならば、p が q の平方剰余とならないような、より大きな素数 q が存在する。証明を解決するための可能性あるアプローチのひとつとして、任意の素数 p に対してより大きな素数 q を探し、p と q に関して合同な、4/n 問題の解となる n を見つけるというものがある。もしそのような例が見つかれば、全ての素数 p は予想の反例とならなくなり、したがって予想が正しいことになる。