バナッハ空間
バナッハ空間の厳密な定義は、
ノルム空間 V がバナッハ空間であるとは、V 内の各コーシー列 {vn}∞n=1 に対して V の適当な元 v を選べば lim n → ∞ v n = v {\displaystyle \lim _{n\to \infty }v_{n}=v} とすることができるときに言う。
バナッハ空間のうち一般によく知られる二種類は、その台となる線型空間の係数体(基礎体)K が実数体 R または複素数体 C であるもので、それぞれ実バナッハ空間および複素バナッハ空間と呼ばれる。
p を 1 以上の実数とし、実数列 {an} であって p 乗総和可能、つまり ∑ n = 1 ∞ | a n | p < ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty } を満たすもの全体を l と書く。これは、a = {an} ∈ l に対して ‖ a ‖ p = ( ∑ n = 1 ∞ | a n | p ) 1 p {\displaystyle \lVert a\rVert _{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}} で定まるノルムに関してバナッハ空間である。
有界な実数列全体の集合 l は、a = {an} ∈ l に対して ‖ a ‖ ∞ = sup n = 1 , 2 , ... | a n | {\displaystyle \lVert a\rVert _{\infty }=\sup _{n=1,2,\ldots }|a_{n}|} で定まるノルムに関してバナッハ空間である。