準素分解
次の定理は環がそのイデアルについて準素分解を持つための必要十分条件を与える。
定理 ― R を可換環とする.このとき以下は同値である.
R のすべてのイデアルは準素分解をもつ.
R は以下の性質をもつ: (L1) 任意の真のイデアル I と素イデアル P に対して,ある x ∈ R − P が存在して,(I : x) が局所化写像 R → RP のもとでの I RP の逆像となる. (L2) 任意のイデアル I に対して,S は R のすべての積閉集合を走るとして,局所化写像 R → SR のもとでの I SR の逆像全ての集合は,有限である.
証明は Atiyah–MacDonald の Chapter 4 において一連の演習問題として与えられている。
イデアルが準素分解を持つための次の一意性定理もある。
定理 ― R を可換環とし,I をイデアルとする.I は極小準素分解 I = ∩ 1 r Q i {\displaystyle I=\cap _{1}^{r}Q_{i}} を持つとする(注:「極小」は Q i {\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}} たちが相異なることを含んでいることに注意).