P進ホッジ理論
が同型写像となるような p 進表現 V 全体からなる圏として定義される。
この定式化と周期環という名前は、 数論と複素幾何学における比較同型写像に関連した研究結果と予想に起源を持つ:
X を複素数体 C 上の固有かつ滑らかな なスキームとする。X の C 上の代数的ド・ラームコホモロジー と X(C) の特異コホモロジー の間には古典的な比較同型写像
H d R ∗ ( X / C ) ≅ H ∗ ( X ( C ) , Q ) ⊗ Q C {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/\mathbf {C} )\cong H^{\ast }(X(\mathbf {C} ),\mathbf {Q} )\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {C} }
が存在する。この同型写像は、微分形式をサイクルに沿って積分することで定義される代数的ド・ラーム・コホモロジーと特異コホモロジーのペアリング(英語版)を考えることにより定義される。この積分の積分値は周期と呼ばれる複素数であるが、一般には有理数にはならない。これが、比較同型写像の定式化で特異コホモロジーに C をテンソルすることが必要な理由である。複素数体 C は代数的 ド・ラームコホモロジーと特異コホモロジーの比較同型に必要な全ての周期を含んでいるので、そのことに鑑みて C をこの古典的な状況での周期環と呼んでもよいだろう。