境界要素法
基本解u ,q は r = 0 で関数値が無限大に発散するため、点ξの境界上への移動は、境界積分が有限確定値となるように注意しながら、極限の意味で考える必要がある。その結果、先に示した積分方程式は、極限操作によって次のようになる。
c ( ξ ) u ( ξ ) + ∫ Γ q ∗ ( x ; ξ ) u ( x ) d Γ x − ∫ Γ u ∗ ( x ; ξ ) q ( x ) d Γ x = 0 , ( ξ , x ∈ Γ ) {\displaystyle c({\boldsymbol {\xi }})u({\boldsymbol {\xi }})+\int _{\Gamma }q^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }})u({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}-\int _{\Gamma }u^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }})q({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}=0,\quad \quad ({\boldsymbol {\xi }},{\boldsymbol {x}}\in \Gamma )}
ここで、c (ξ) は、点ξの境界形状から決まる定数で、境界が滑らかであれば 1/2、かど点であれば当該点での内角の大きさから与えられる。この式が境界積分方程式 (Boundary Integral Equation) であり,境界要素法の離散化の出発点となる重要な方程式である。
上述のように、境界要素法では規模の小さい連立一次方程式を取り扱うことができるものの、方程式の係数行列の成分はほぼ全て 0 でないものとなる。そのため、係数行列の保存に要する記憶量は方程式の元数N に比例する。また、連立方程式の解を得るためには、ガウスの消去法に代表される直接法を用いれば N に、反復法 (数値計算)を用いてもN に比例する計算量が必要となる。
領域内の離散化が必要となる有限要素法や有限差分法では、係数行列の成分のほとんどが 0 である疎行列となるため、多少問題の規模が大きくなっても使用メモリや計算量は境界要素法と比べて少なくて済む場合が少なくない。そのため、この点は境界要素法の最大の欠点の一つとして考えられている。解決策としては、多体問題の解析の高速化に用いられていた高速多重極展開法(英語版)の適用や、ウェーブレットの利用が提案されている。