ローレンツ群
を不変に保つ行列リー群として記述できる。この二次形式は、行列形式に直すと(古典直交群(英語版)を参照)、物理的にはミンコフスキー時空の計量テンソルであると理解される。
ローレンツ群は、六次元の連結でなくコンパクトでない非可換(英語版)実リー群である。その四つの連結成分は単連結ではない。ローレンツ群の単位元成分(英語版)(つまり単位元を含む成分)はそれ自身群を成し、しばしば制限ローレンツ群 (restricted Lorentz group) と呼ばれ、 SO(1, 3) と表記される。制限ローレンツ群は空間の向きと時間の方向を保存するローレンツ変換から成る。制限ローレンツ群はしばしば複四元数(英語版)代数を用いて表される。
制限ローレンツ群は別の、純粋数学的方法からも生じる。例えば、特定の常微分方程式の対称点群から生じる。このことは物理的重要性も持つ。
SL(2, C) の双曲型要素は
P 2 = [ exp  ( β / 2 ) 0 0 exp  ( − β / 2 ) ] {\displaystyle P_{2}=\left[{\begin{matrix}\exp(\beta /2)&0\\0&\exp(-\beta /2)\end{matrix}}\right]}
で、ξ = 0, ∞ を不動点として持つ。リーマン球面からユークリッド平面への立体投影の下、このメビウス変換の影響は原点からの発散となる。
スピノル変換により、これらは次のローレンツ変換に対応づけられる。