コーシー・ビネの公式
[ a , b , c ] d = [ d , b , c ] a + [ a , d , c ] b + [ a , b , d ] c ( [ a , b , c ] = a ⋅ ( b × c ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}~[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}&=[{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}\quad ([{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}}))\end{aligned}}}
が導かれる。
(例4)m = 4, n = 3 の場合として、行列 A = ( 1 1 2 3 1 − 1 1 − 1 0 1 0 0 ) , B = ( 1 1 0 1 3 1 0 0 0 2 1 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\\1&0&0\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&1&0&1\\3&1&0&0\\0&2&1&0\end{pmatrix}}} を考える。 A B = ( 4 6 2 1 6 2 − 1 3 − 2 0 0 1 1 1 0 1 ) , det ( A B ) = | 4 6 2 1 6 2 − 1 3 − 2 0 0 1 1 1 0 1 | = 0 {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6&2&1\\6&2&-1&3\\-2&0&0&1\\1&1&0&1\end{pmatrix}},\det(AB)={\begin{vmatrix}4&6&2&1\\6&2&-1&3\\-2&0&0&1\\1&1&0&1\end{vmatrix}}=0} である。
S {\displaystyle S} は存在しないから、
∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = 0. {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})=0.}
となる。