線型代数群
代数的閉体 k に関して、行列 g ∈ GLn(k) は対角化可能であるとき半単純 semisimple と呼ばれ、g − 1 がべき零であるときべき単 unipotent と呼ばれる。言い換えると、 g がべき単であるのは g のすべての固有値が 1 と等しいことである。正則行列の乗法的ジョルダン分解はすべての行列 g ∈ GLn(k) が積 g = gs gu として一意的に書けると述べている。ここで gs は半単純、 gu はべき単であり、gs と gu は互いに可換である。
任意の体 k に関して、元 g ∈ GLn(k) は k の代数的閉包上で対角化可能であるとき半単純という。体 k が完全であるとき、元 g の半単純成分とべき単成分もまた GLn(k) に属する。最後に、体 k 上の任意の線型代数群 G ⊂ GLn に対して、 G の k 値点は GLn(k) 内の半単純元あるいはべき単元であるとき、半単純あるいはべき単と定める。(これらの性質は G の忠実表現の取り方に依存しない。)体 k が完全であるとき、k 値点の半単純成分とべき単成分もまた G に属する。すなわち、すべての元 g ∈ G(k) は G(k) において積 g = gs gu として一意的に書ける(ジョルダン分解 Jordan decomposition)。ここで gs は半単純、 gu はべき単であり、gs と gu は互いに可換である。これによって G(k) の共役類を記述する問題は半単純な場合とべき単の場合に還元される。