円に内接する四角形
円に内接する直交対角線四角形において、反中心は対角線の交点となる点に一致する。
ブラーマグプタの定理の述べるところによれば、内接四角形がさらに対角線直交であるならば、対角線の交点から任意の辺に下ろした垂線は対辺を二等分する。
内接四角形が直交対角線でもあるならば、外心から任意の辺へ測った距離は対辺の長さの半分に等しい。
円に内接する直交対角線四角形において、二つの対角線それぞれの中点同士の距離は、外心と対角線の交点との距離に等しい。
内接四角形 □ABCD において、四つの三角形 △DAB, △ABC, △BCD, △CDA の内心をそれぞれ M1, M2, M3, M4 とすれば、この四点を頂点とする四角形は長方形になる。これは日本人の定理と呼ばれる定理のひとつで、丸山良寛の定理と呼ばれる。同じ四つの三角形の、こんどは垂心を考えればそれらを頂点とする四角形は □ABCD に合同であり、また重心で同様に考えれば別の内接四角形となる。
内接四角形 □ABCD の外心を O とし、二つの対角線 AC と BD の交点を P とするとき、∠APB の角度は ∠AOB と ∠COD の算術平均である。これは円周角の定理と外角定理からの直接の帰結である。
面積が有理数で、どの二つも相異なる有理数の長さの辺となるような四角形で、その辺の長さが算術数列または幾何数列を成すとき、そのような四角形は共円でない。
内接四角形の辺の長さが算術数列を成すならば、その四角形は傍接四角形(英語版)(したがって、傍双心四角形(英語版))である。
内接四角形の二組の向かい合う辺を延長して、それらがそれぞれ点 E, F で交わるならば、E および F のそれぞれにおいてなす角の二等分線は直交する。
凸四角形が内接四角形であるための必要十分条件は四つある辺の垂直二等分線が共点となる(つまり一点で交わる)ことである。このとき共有される点は外心と呼ばれる。
凸四角形 □ABCD が内接四角形となるための必要十分条件は、その向かい合う角が互いに補角となることである。式で書けば、四つの角が隣り合う順に α, β, γ, δ の角度を持つとすれば α + γ = β + δ = π ( = 180 ∘ ) {\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \;(=180^{\circ })} と書ける。直接の定理はエウクレイデスの『原論』第3巻の命題22であるが、同値な言い換えとして、凸四角形が内接四角形となるための必要十分条件は、その各外角が内対角に等しいことである。
凸四角形 □ABCD が内接四角形となる別の必要十分条件は、ひとつの辺と一方の対角線との間の角が対辺と他方の対角線との間の角に等しいことである。つまり例えば ∠ A C B = ∠ A D B {\textstyle \angle ACB=\angle ADB} のときはそうである。
トレミーの定理の述べるところは、内接四角形のふたつの対角線の長さ e, f の積は、二組ある対辺の長さの積の和に等しいことである。式では e f = a c + b d {\displaystyle ef=ac+bd} と書ける。