ワイエルシュトラス関数
ブノワ・マンデルブロは、ワイエルシュトラス関数を一般化した次のワイエルシュトラス・マンデルブロ関数 (英:Weierstrass-Mandelbrot function)を提示した。
アンサンブル平均はゼロ ⟨ W ( t + τ ) − W ( t ) ⟩ e = 0 {\displaystyle \langle W(t+\tau )-W(t)\rangle _{e}=0}
分散はγについてのみスケール不変となる。
V ( τ ) = ⟨ W ( t + τ ) − W ( t ) ⟩ e = 2 ∑ n = − ∞ ∞ 1 − cos  ( γ n τ ) γ ( 4 − 2 D ) n , V ( γ τ ) = γ 4 − 2 D V ( τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}V(\tau )&=\langle W(t+\tau )-W(t)\rangle _{e}=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1-\cos(\gamma ^{n}\tau )}{\gamma ^{(4-2D)n}}},\\V(\gamma \tau )&=\gamma ^{4-2D}V(\tau )\end{aligned}}}
ハウスドルフ次元は次のとおりとなる。
D H = 2 + log  a log  b {\displaystyle D_{H}=2+{\frac {\log {a}}{\log {b}}}}