ビネ・コーシーの恒等式
以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である:
n を自然数とし、集合 {1, ..., n} を [n] と表記する。m を非負整数として、A を m × n行列、B を n × m行列とする。 S を [n] から m 個を選んだ部分集合とし、AS を A の n個の列から S に含まれる添字の列を取り出して得られた m × m行列、B を B の n個の行から S に含まれる添字の行を取り出して得られた m × m行列とする。
m × m行列である積 AB の行列式は
det ( A B ) = ∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) {\displaystyle \det(AB)=\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})}
となる。ただし、和において、S は、[n] の部分集合で要素数が m のものすべてを取るとする。
特別な場合として、m = 2 として
A = ( a 1 ... a n b 1 ...