絶対可積分関数
絶対可積分関数とは、定義域全体において絶対値が積分可能な関数のことをいう。
実数値関数では、
∫ | f ( x ) | d x = ∫ f + ( x ) d x + ∫ f − ( x ) d x {\displaystyle \int |f(x)|dx=\int f^{+}(x)dx+\int f^{-}(x)dx}
ただし、
f + ( x ) = max ( f ( x ) , 0 ) , f − ( x ) = max ( − f ( x ) , 0 ) {\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0),f^{-}(x)=\max(-f(x),0)}
とし、 ∫ f + ( x ) d x {\displaystyle \int f^{+}(x)dx} と ∫ f − ( x ) d x {\displaystyle \int f^{-}(x)dx} は有限であるものとする。ルベーグ積分においては、任意の可測関数 f {\displaystyle f} は積分可能であることが必要条件となっている(この場合、積分は ∫ f + ( x ) d x − ∫ f − ( x ) d x {\displaystyle \int f^{+}(x)dx-\int f^{-}(x)dx} と等しくなる)。