一様空間
が生成するF(X,Y)上の一様構造を S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元に関する一様収束の一様構造(英: uniformity of uniform convergence on members of S {\displaystyle {\mathcal {S}}} )といい、この一様構造がF(X,Y)に定める位相を S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元に関する一様収束の位相構造(英: topology of uniform convergence on members of S {\displaystyle {\mathcal {S}}} )といい、さらにこの位相におけるネットの収束を S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元に関する一様収束(英: uniform convergence on members of S {\displaystyle {\mathcal {S}}} )という。
特に、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元に関する一様収束(の一様構造、位相構造)において、
S = { X } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X\}} のとき、単に一様収束(の一様構造、位相構造)という。
S = { X {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X} の一点集合 } {\displaystyle \}} のとき、各点収束(の一様構造、位相構造)という。
S = { X {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X} のコンパクトな部分集合 } {\displaystyle \}} のときコンパクト収束(の一様構造、位相構造)という。
S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元に関する一様収束の一様構造は以下のように擬距離により特徴づける事が可能である。
U α k ⊂ B k {\displaystyle U_{\alpha _{k}}\subset B_{k}}
を満たす U α k {\displaystyle U_{\alpha _{k}}} が存在する。
定義からXは非可算集合なので、 可算個の元 ( α k ) k ∈ N {\displaystyle (\alpha _{k})_{k\in \mathbb {N} }} のいずれよりも大きい順序数 η {\displaystyle \eta } が存在する。
定義から任意の k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } に対し ( α k , η ) ∈ U α k ⊂ B k {\displaystyle (\alpha _{k},\eta )\in U_{\alpha _{k}}\subset B_{k}} であるが、 ( α k , η ) ∉ U η {\displaystyle (\alpha _{k},\eta )\notin U_{\eta }} である。 よって ( α k , η ) ∈ B k ∖ U η {\displaystyle (\alpha _{k},\eta )\in B_{k}\setminus U_{\eta }} である。したがって U η {\displaystyle U_{\eta }} は(1)を満たさない事になり矛盾するので、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が擬距離化不能な事を示された。
本節ではまず、位相空間における点列概念の2つの一般化であるネットとフィルターに対し、コーシー列の概念の一般化であるコーシーネットの概念とコーシーフィルターの概念を定義し、これらをベースにして一様空間の完備性を定義し、最後の一様空間の完備化を扱う。