オイラーのφ関数
φ ( n ) = ∏ k = 1 d ( p k e k − p k e k − 1 ) = n ∏ k = 1 d ( 1 − 1 p k ) {\displaystyle \varphi (n)=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{d}\left({p_{k}}^{e_{k}}-{p_{k}}^{e_{k}-1}\right)=n\prod \limits _{k=1}^{d}\left(1-{\dfrac {1}{p_{k}}}\right)}
自然数 n, d で d が n を割り切るものとすると、1 から n までの自然数のうち n との最大公約数が n/d であるものの数は φ(d) 個である。特に、1 から n までの自然数は n との最大公約数によって類別されるから、d が n の正の約数全てをわたる和に関して等式
∑ d ∣ n φ ( d ) = n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{d\mid n}\varphi (d)=n}
が成り立つ(d | n は d が n を割り切るの意)。
G を位数 n の巡回群とすれば、n の約数 d に対して G の位数 d の元は φ(d) 個存在する。特に、巡回群 G の生成元になりうる元は φ(n) 個存在する。
自然数 a, m (1 ≤ a < m) とするとき、剰余環 Z/mZ に属する剰余類 a + mZ が既約、つまり Z/mZ の単数である必要十分な条件は代表元 a が m と互いに素であることであるから、既約剰余類の数は φ(m) に等しい。