凸包
凸包作用素は「拡大性質」を持つ。即ち、任意の集合 X に対してその凸包は X を含む: X ⊆ Conv  ( X ) . {\displaystyle X\subseteq \operatorname {Conv} (X).}
凸包作用素は「単調性」を持つ。即ち、二つの集合 X, Y が X ⊆ Y を満たすならば、X の凸包は Y の凸包に含まれる: X ⊆ Y ⟹ Conv  ( X ) ⊆ Conv  ( Y ) . {\displaystyle X\subseteq Y\implies \operatorname {Conv} (X)\subseteq \operatorname {Conv} (Y).}
凸包作用素は「冪等性」を持つ。即ち、任意の X に対して X の凸包の凸包は X の凸包に等しい: Conv  ( Conv  ( X ) ) = Conv  ( X ) . {\displaystyle \operatorname {Conv} (\operatorname {Conv} (X))=\operatorname {Conv} (X).}
を満たす。
与えられた点集合が凸集合であるとは、その集合に属する点の任意の対を結ぶ線分がその集合に含まれることを言うのであった。与えられた集合 X に対して、その凸包は以下の同値な条件:
X を含む(唯一の)最小の凸集合、
X を含む凸集合全ての交わり、
X に属する点から得られる凸結合全体の成す集合、
X に属する点を頂点とする単体全ての合併
の何れか一つ(従って全て)を満たす集合として定義される。
一つ目の定式化については、任意の X に対して実際に X を含む最小の凸集合が存在して一つに定まることはそのままでは明らかなことでない。しかし二つ目の定式化では、X を含む全ての凸集合の交わりは明確に定まり(特に全体集合は凸であるから、これは空積にはならない)、かつこの交わりは(交わりの定義によって)X を含む任意の凸集合 Y に含まれるから、この交わりが X を含む唯一最小なる凸集合に他ならないことがわかる。
また、X を含む各凸集合は(それが凸であるという仮定によって)X に属する点の凸結合をすべて含むから、従ってこのような凸結合全体の成す集合は X を含む凸集合全ての交わりに含まれる。