微分
なお、上述の微分可能性の定義では h が 0 にどのようにして近づいても差分商が一定の値に収束することを要請したが、近づき方を限定することも考えられる。h が正の値をとりながら 0 に近づいたときの片側極限
lim h ↘ 0 f ( a + h ) − f ( a ) h {\displaystyle \lim _{h\searrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
が存在するとき、f(x) は x = a において右側微分可能であるといい、この片側極限を右側微分係数とよぶ。同様に、h が負の値をとりながら 0 に近づいたときの片側極限
lim h ↗ 0 f ( a + h ) − f ( a ) h {\displaystyle \lim _{h\nearrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
が存在するとき、f(x) は x = a において左側微分可能であるといい、この片側極限を左側微分係数とよぶ。f(x) が x = a において微分可能であるためには、「f(x) が x = a において右側微分可能かつ左側微分可能で、かつ右側微分係数と左側微分係数が一致する」ということが必要十分である。
を、f(x1, ..., xn) の点 (a1, ..., an) における xj に関する偏微分係数といい、
f x j ( a 1 , ... , a n ) {\displaystyle f_{x_{j}}(a_{1},\ldots ,a_{n})} , ∂ f ∂ x j ( a 1 , ... , a n ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})} , ∂ x j f ( a 1 , ... , a n ) {\displaystyle \partial _{x_{j}}f(a_{1},\ldots ,a_{n})}
などの記号で表す。また、点 (a1, ..., an) に対してこれらの偏微分係数を対応づける D 上の関数を f(x1, ..., xn) の xj に関する偏導関数といい、
f x j {\displaystyle f_{x_{j}}} , ∂ f ∂ x j {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}} , ∂ x j f {\displaystyle \partial _{x_{j}}f}
などで表す。丸い d の記号 ∂ は偏微分記号などとよばれる。
f(x1, ..., xn) が D の各点ですべての変数について偏微分可能で、かつすべての偏導関数 ∂f/∂xj が D で連続であるとき、関数 f は D で連続微分可能(または C 級)であるという。
関数 f(x) の導関数や高階導関数を表す記法には次のようなものがある。
また、y = f(x) とおいて、下記の記法における f を y で置き換えた記法も用いられる。