余代数
で定めると ( P , Δ , ε ) {\displaystyle (P,\Delta ,\varepsilon )} は余代数となる。
C {\displaystyle C} を K {\displaystyle K} -ベクトル空間とし、その基底を { s , c } {\displaystyle \{s,c\}} とする。余積と余単位を
Δ ( s ) = s ⊗ c + c ⊗ s , Δ ( c ) = c ⊗ c − s ⊗ s , ε ( s ) = 0 , ε ( c ) = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Delta (s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad &\Delta (c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\\varepsilon (s)&=0,\quad &\varepsilon (c)&=1\end{alignedat}}}
で定めると ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。