馬蹄形写像
Σ 上の σ は次のような軌道を持つ。
可算無限個のあらゆる周期の周期軌道
非可算無限個の非周期軌道
Σ 内を稠密に動き回る軌道
そして、不変集合 Λ へ作用する馬蹄形写像 h は、ρ: Λ → Σ を位相共役写像にして σ: Σ → Σ と位相共役の関係にある。すなわち、h の Λ への制限 h|Λ: Λ → Λ は、
ρ ∘ h | Λ = σ ∘ ρ {\displaystyle \rho \circ h|_{\Lambda }=\sigma \circ \rho }
を満たす。したがって、σ が持つ上記の性質を h も備えている。Λ 上の任意の点はどんなに小さな近傍上の点とも有限回の反復である距離以上に離れてしまう性質を持ち、h は初期値鋭敏性を持つ閉不変集合上のカオス力学系である。さらに、h の全ての周期点は、安定集合と不安定集合を持つサドル点となる。
不変集合 Λ は非遊走集合でもある。ある力学系 f について点 x0 が非遊走的であるとは、x0 の適当な近傍 U 上の任意の点 x に写像の反復を繰り返すと、ある有限の反復繰り返し数 k で f(x) が U と含まれることをいう。非遊走的な点とは、その点を含めたある領域に写像の反復を繰り返すと、その領域自身に必ずいつか戻って来るという性質を持つ点だといえる。非遊走集合とは非遊走的な点の集まりのことで、ある力学系 f の全ての非遊走的な点を集めた非遊走集合を Ω(f) などと表す。