リーマン球面
リーマン球面には特定のリーマン計量が標準的に備わっている訳ではない。しかしリーマン球面の複素構造は、等角同値を除き一意に計量を決定する(二つの計量は、正値の滑らかな関数を掛けただけしか差がないとき、等角同値という)。 逆に、向きの付いた曲面上の任意の計量は複素構造を一意に決定する。これは等角同値を除き計量に完全に依存して定まる。従って、向きの付いた曲面上の複素構造はその曲面上の計量の等角同値類と一対一に対応する。
ある等角同値類の中で、便利な特性を有する計量を代表元として選ぶために、等角対称性を使うことができる。特に、任意の等角同値類には定曲率の完備な計量が常に存在する。
リーマン球面の場合には、ガウス・ボンネの定理により、定曲率計量は、必ず正の曲率 K を有することが帰結される。 そこでこの計量は、立体射影を通じて R 内の半径 1 / K {\displaystyle 1/{\sqrt {K}}} の球面の距離を保たなければならない。 リーマン球面の ζ-局所座標系では、K = 1 である計量は、以下により与えられる。
d s 2 = ( 2 1 + | ζ | 2 ) 2 | d ζ | 2 = 4 ( 1 + ζ ζ ̄ ) 2 d ζ d ζ ̄ {\displaystyle ds^{2}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}|d\zeta |^{2}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\bar {\zeta }}\right)^{2}}}\,d\zeta \,d{\bar {\zeta }}}
この意味で、ξ-局所座標系の原点は、ζ-局所座標系において “∞” の役割を有する。 対称的に、ζ = 0 の点は 1/0 の ξ-値を持ち、ζ-局所座標系の原点は、ξ-局所座標系に関し ∞ の役割を有する。
位相幾何学的には、結果として得られるリーマン球面は、平面を一点コンパクト化し球面にしたものである。 しかし、リーマン球面は単なる位相的球面ではない。リーマン球面は上手く定義された複素構造を持つ球面であり、球面上の任意の点は、C と正則同相な近傍を有する。 他方、リーマン面の分類論の中心的な結果である一意化定理によれば、単連結な 1 次元複素多様体は、複素平面、双曲平面、リーマン球面の何れかしかない。 勿論、リーマン球面は、閉曲面(境界がないコンパクト曲面)としては唯一のものである。 したがって、2 次元球面には、1 次元複素多様体としての複素構造が一意に存在する。
実座標 ζ = u + iv において、この式は、以下のとおりとなる。
d s 2 = 4 ( 1 + u 2 + v 2 ) 2 ( d u 2 + d v 2 ) {\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right)}
定数因子を除き、この計量は複素射影空間(リーマン球面はその一例である)のフビニ・スタディー計量に一致する。
逆に、S を(抽象的な微分多様体または位相多様体としての)球面とする。 一意化定理により、S には複素構造が一意に存在する。 S 上の任意の計量は、円形計量(英: round metric)に共形同値である。 これらすべての計量は、同一の共形幾何学を決定する。 従って「円形性」は共形幾何学の不変量でないので、円形計量はリーマン球面にとって内在的なものではない。 リーマン球面は単に共形多様体に過ぎず、リーマン多様体ではない。 しかし、リーマン球面上でリーマン幾何学をする必要があるのであれば、円形計量は自然な選択である。