散乱理論
ここで、z軸上の無限遠(-∞)から平面波が入射して、これがポテンシャルV(r)によって散乱され、球面波となって出て行く場合、全体の散乱状態の波動関数は次のように漸近すると考える。
Ψ ∼ e i k z ⋅ z + f ( θ ) e i k ⋅ r r {\displaystyle \Psi \sim e^{ik\mathbf {z} \cdot \mathbf {z} }+f(\theta ){e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} } \over {r}}}
ここで、f(θ)は散乱の確率振幅(散乱振幅、θは極座標の角度成分)であり、これはシュレディンガー方程式の解と比較することで、次のように表される。
f ( θ ) = 1 k ∑ l = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) e i δ l sin  δ l ⋅ P l ( cos  θ ) {\displaystyle f(\theta )={1 \over {k}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}\cdot P_{l}(\cos \theta )}
散乱振幅は本来、f(θ,φ)と表されるが(φは極座標におけるもう1つの角度成分)、マフィンティンポテンシャルは球対称なのでθのみに依存し、φに依らない。ここで散乱振幅の二乗が微分散乱断面積(dσ/dΩ、σ:全断面積、dΩ:微小立体角)となる。
d σ d Ω = | f ( θ , φ ) | 2 {\displaystyle {d\sigma \over {d\Omega }}=\,|f(\theta ,\phi )|^{2}}
T = V + V G 0 { V + V G 0 V + ⋅ ⋅ ⋅ } = V + V G 0 T {\displaystyle T=V+VG_{0}\{V+VG_{0}V+\cdot \cdot \cdot \}=V+VG_{0}T}
とも表せる。よってT行列の行列要素は、
⟨ k + q | T | k ⟩ = − 1 k 0 ∑ l e i δ l sin  δ l ⋅ 4 π ( 2 l + 1 ) P l ( cos  θ ) = − 1 k 0 ∑ l , m e i δ l sin  δ l ⋅ Y l m ( k + q ) Y l m ( k ) {\displaystyle \langle \mathbf {k} +\mathbf {q} |T|\mathbf {k} \rangle =\,-{1 \over {k_{0}}}\sum _{l}e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}\cdot 4\pi (2l+1)P_{l}(\cos \theta )=-{1 \over {k_{0}}}\sum _{l,m}e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}\cdot Y_{lm}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )Y_{lm}(\mathbf {k} )}
となる。ここで Y l m {\displaystyle Y_{lm}} は球面調和関数で、 m {\displaystyle m} は軌道磁気量子数である。