線型独立
別のやり方で、n 座標の m ベクトルを持っていて m < n とする。このとき A は n×m 行列であり Λ は m 成分を持つ列ベクトルで、再び AΛ = 0 に興味がある。前に見たように、これは n 方程式のリストに同値である。A の最初の m 列、最初の m 方程式を考えよう; 方程式の全リストの任意の解は減らされたリストでも解でなければならない。実は、〈i1,...,im〉 が m 行の任意のリストであれば、方程式はそれらの行に対して正しくなければならない。
A ⟨ i 1 , ... , i m ⟩ Λ = 0 . {\displaystyle A_{{\langle i_{1},\dots ,i_{m}}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .\,\!}
さらに、逆も正しい。つまり、m ベクトルが線型従属かどうかを m 行のすべての可能なリストに対して
det A ⟨ i 1 , ... , i m ⟩ = 0 {\displaystyle \det A_{{\langle i_{1},\dots ,i_{m}}\rangle }=0\,\!}
かどうかをテストすることによってテストできる。(m = n の場合、これは上のようにただ 1 つの行列式を要求する。m > n ならばベクトルは線型従属でなければならないことは定理である。)この事実は理論に値する; 実用計算においてはより効率的な方法が利用可能である。