大津の二値化法
tr  ( S b ) = ω 0 [ ( μ 0 i − μ T i ) 2 + ( μ 0 j − μ T j ) 2 ] + ω 1 [ ( μ 1 i − μ T i ) 2 + ( μ 1 j − μ T j ) 2 ] = ( μ T i ω 0 − μ i ) 2 + ( μ T j ω 0 − μ j ) 2 ω 0 ( 1 − ω 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {tr} (S_{b})\\[4pt]={}&\omega _{0}[(\mu _{0i}-\mu _{Ti})^{2}+(\mu _{0j}-\mu _{Tj})^{2}]+\omega _{1}[(\mu _{1i}-\mu _{Ti})^{2}+(\mu _{1j}-\mu _{Tj})^{2}]\\[4pt]={}&{\frac {(\mu _{Ti}\omega _{0}-\mu _{i})^{2}+(\mu _{Tj}\omega _{0}-\mu _{j})^{2}}{\omega _{0}(1-\omega _{0})}}\end{aligned}}}
ここで
μ i = ∑ i = 0 s − 1 ∑ j = 0 t − 1 i P i j {\displaystyle \mu _{i}=\sum _{i=0}^{s-1}\sum _{j=0}^{t-1}iP_{ij}}
μ j = ∑ i = 0 s − 1 ∑ j = 0 t − 1 j P i j {\displaystyle \mu _{j}=\sum _{i=0}^{s-1}\sum _{j=0}^{t-1}jP_{ij}}
1次元の大津の方法と同様に、最適なしきい値 ( s , t ) {\displaystyle (s,t)} は、 tr  ( S b ) {\displaystyle \operatorname {tr} (S_{b})} を最大化することで取得される。
μ 0 ( t ) = ∑ i = 0 t − 1 i p ( i ) ω 0 ( t ) μ 1 ( t ) = ∑ i = t L − 1 i p ( i ) ω 1 ( t ) μ T = ∑ i = 0 L − 1 i p ( i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{0}(t)&={\frac {\sum _{i=0}^{t-1}ip(i)}{\omega _{0}(t)}}\\[4pt]\mu _{1}(t)&={\frac {\sum _{i=t}^{L-1}ip(i)}{\omega _{1}(t)}}\\\mu _{T}&=\sum _{i=0}^{L-1}ip(i)\end{aligned}}}
である。以上の関係は以下のように簡単に確かめることができる。
ω 0 μ 0 + ω 1 μ 1 = μ T ω 0 + ω 1 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{0}\mu _{0}+\omega _{1}\mu _{1}&=\mu _{T}\\\omega _{0}+\omega _{1}&=1\end{aligned}}}
クラス確率とクラス平均は、繰り返し計算することができる。このアイデアは効果的なアルゴリズムを生む。