部分群の指数
上記の考察は有限群に対しても正しい。例えば、掌性八面体群(英語版) O は 24 個の元をもつ。位数 8 の二面体部分群 D4 をもち(実は 3 つのそのようなものをもち)したがって O における指数 3 の部分群をもち、これを H と呼ぶことにしよう。この二面体群は 4 元からなる D2 部分群をもち、これを A と呼ぼう。H の右剰余類の任意の元を右に A の元によって掛けることは H の同じ剰余類の元を与える (Hca = Hc)。A は O において正規である。対称群 S3 の 6 個の元に対応して A の 6 個の剰余類が存在する。A の任意の特定の剰余類からのすべての元は H の剰余類の同じ置換を演じる。
一方、十二面体群(英語版) Th もまた 24 個の元をもち指数 3 の部分群(今回は D2h 角柱対称性(英語版)の群、三次元における点群参照)をもつが、この場合部分群全体が正規部分群である。特定の剰余類のすべての元これらの剰余類の同じ置換を実行するが、この場合 6 元からなる S3 対称群において 3 元からなる交代群しか表現しない。