不確定性原理
ここで [ A ^ , B ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]} は A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} と B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} の交換子
[ A ^ , B ^ ] = A ^ B ^ − B ^ A ^ {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}
であり、 ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ ψ {\displaystyle \langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle _{\psi }} は系の状態がψであるときに [ A ^ , B ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]} を観測したときの観測値の期待値である。
これまでψについて詳しく書いてこなかったが、実はψが適切な定義域に属している場合にしか不確定性原理は成り立たず、そうでない場合には反例がある事が知られているので注意が必要である。そこで次節でこの点を考慮して不確定性原理を厳密に定式化する。
歴史的に、不確定性原理は観察者効果と呼ばれる物理学におけるいくらか似た効果と混同されてきた。観察者効果とは、系を測定する行為それ自身が系に影響を与えてしまうというものである。
量子力学が成立するミクロな世界が測定による観測者効果で「揺動」してしまうという説明は、ハイゼンベルク自身が当初不確定性原理に対して与えたものであり、今日において繰り返し出てくるものの、根本的に誤解を招くおそれのあることが現在は知られている。
「不確定性原理は実際には量子系の基本的特性を述べており、現代のテクノロジーにおける測定精度の到達点について述べたものではない」。不確定性原理は全ての波のような系にもともと備わっている特性であること、不確定性は単純に全ての量子物体の物質波の性質によって現われることが今日の量子力学ではわかっている。
測定器の誤差と測定による反作用との不確定性とは区別して考えなければならない。量子論での時間発展や測定についての基本的要請をすべて使って展開できる量子測定理論を用いて、ハイゼンベルクの考察した「測定精度と反作用に関する不確定性原理」ははじめて導けるが、その結果得られる不等式の下限はケースバイケースで変わることが判っている。後述する小澤の不等式などがその1つである。
並木美喜雄『不確定性原理 量子力学を語る』共立出版〈物理学one point 18〉、1982年5月。ISBN 4-320-03172-5。 オリジナルの2006年8月13日時点におけるアーカイブ。https://web.archive.org/web/20060813134128/http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookhtml/0409/001075.html。
ハーバート, ニック『量子と実在 不確定性原理からベルの定理へ』はやしはじめ訳、白揚社、1990年11月。ISBN 4-8269-0045-7。 オリジナルの2016年3月4日時点におけるアーカイブ。https://web.archive.org/web/20160304102456/http://www.hakuyo-sha.co.jp/cgi-bin/search.cgi?mode=detail&mode2=search&id=246。
ハイゼンベルク, ヴェルナー 著「不確定性原理」、J・R・ニューマンほか 編『自然のなかの数学』林雄一郎訳編、東京図書〈科学技術選書〉、1970年。
原康夫『量子の不思議 不確定性原理の世界』中央公論社〈中公新書〉、1985年1月。