ゾンマーフェルト展開
∫ − ∞ ∞ d ε 2 π { 1 1 + e β ( ε − μ ) − θ ( − ε ) } = ( μ 2 π ) , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}=\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right),}
∫ − ∞ ∞ d ε 2 π ( ε 2 π ) { 1 1 + e β ( ε − μ ) − θ ( − ε ) } = 1 2 ! ( μ 2 π ) 2 + T 2 4 ! , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{2!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{2}+{\frac {T^{2}}{4!}},}
∫ − ∞ ∞ d ε 2 π 1 2 ! ( ε 2 π ) 2 { 1 1 + e β ( ε − μ ) − θ ( − ε ) } = 1 3 ! ( μ 2 π ) 3 + ( μ 2 π ) T 2 4 !
この種類の積分は、自由電子模型における固体の電子熱容量など、電子の物性を算出する際に頻出する。これらの計算において、上述の展開は物理量 H ( ε ) {\displaystyle H(\varepsilon )} の期待値を表わす。このとき、 β {\displaystyle \beta } は逆温度、 μ {\displaystyle \mu } は化学ポテンシャルに相当する。したがって、ゾンマーフェルト展開は逆温度 β {\displaystyle \beta } の高い(温度の低い)系に有効である。