ウィグナー結晶
絶対零度における均一な電子ガスは、ウィグナー・ザイツ半径(英語版)と呼ばれる無次元パラメータrs = a/abにより特徴づけられる。ここでaは平均粒子間隔、abはボーア半径である。電子ガスの運動エネルギーは単純なフェルミ気体モデルを考えればわかるとおり、1/rsに比例する。一方で位置エネルギーは1/rsに比例するため、rsが大きくなる低密度領域では後者が支配的となり電子はできるかぎりお互いから離れようとした結果、最密充填格子へと凝縮する。こうして形成された結晶をウィグナー結晶と呼ぶ。
リンデマンの融解則に基づいて、rsの臨界値を推定することができる。この法則によれば、変位の二乗平均平方根√⟨r⟩が格子間隔aのおよそ4分の1となったとき結晶は融ける。電子の振動がほぼ調和的であると仮定し、量子調和振動子の基底状態を想定すると変位の二乗平均平方根は3次元系では次の式で与えられる。
⟨ r 2 ⟩ = 3 ħ 2 m e ω {\displaystyle {\sqrt {\langle r^{2}\rangle }}=3{\frac {\hbar }{2m_{e}\omega }}}
ここでħはディラック定数、meは電子質量、ωは振動子の固有振動数である。ωは電子が格子点からrだけ変位したときに感じる静電ポテンシャルを考えれば推計できる。格子点にともなうウィグナーザイツ胞がおおよそ、半径a/2の球で近似されるとすると、一様背景電荷の電荷密度はeを電気素量として6e/πaとなる。変位した電子の感じる静電ポテンシャルは以下のように与えられる。