ベル多項式
数列 xn, yn, n = 1, 2, ..., に対し、ある種の畳み込みを次のように定める。
( x ♢ y ) n = ∑ j = 1 n − 1 ( n j ) x j y n − j {\displaystyle (x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}} .
ここで直和の上下限は 0 と n ではなく、1 と n− 1 であることに注意されたい。
x n k ♢ {\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }\,} を次の列の第 n 番目の項とする。
x ♢ ⋯ ♢ x ⏟ k f a c t o r s . {\displaystyle \displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\ \mathrm {factors} }.}
このとき、次が成り立つ。
B n , k ( x 1 , ... , x n − k + 1 ) = x n k ♢ k ! . {\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}
例えば、 B 4 , 3 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})} を計算する。
このとき
x = ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , ... ) {\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}
x ♢ x = ( 0 , 2 x 1 2 , 6 x 1 x 2 , 8 x 1 x 3 + 6 x 2 2 , ... ) {\displaystyle x\diamondsuit x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )}
x ♢ x ♢ x = ( 0 , 0 , 6 x 1 3 , 36 x 1 2 x 2 , ... ) {\displaystyle x\diamondsuit x\diamondsuit x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )}
であるため、
B 4 , 3 ( x 1 , x 2 ) = ( x ♢ x ♢ x ) 4 3 ! = 6 x 1 2 x 2 {\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x\diamondsuit x\diamondsuit x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}}
となる。
次の和
B n ( x 1 , ... , x n ) = ∑ k = 1 n B n , k ( x 1 , x 2 , ... , x n − k + 1 ) {\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}
はしばしば n 次完全ベル多項式と呼ばれる。それらと比較するために、上で定義された多項式 Bn,k はしばしば「部分」ベル多項式と呼ばれる。
完全ベル多項式は次の等式を満たす。
B n ( x 1 , ... , x n ) = det [ x 1 ( n − 1 1 ) x 2 ( n − 1 2 ) x 3 ( n − 1 3 ) x 4 ( n − 1 4 ) x 5 ⋯ ⋯ x n − 1 x 1 ( n − 2 1 ) x 2 ( n − 2 2 ) x 3 ( n − 2 3 ) x 4 ⋯ ⋯ x n − 1 0 − 1 x 1 ( n − 3 1 ) x 2 ( n − 3 2 ) x 3 ⋯ ⋯ x n − 2 0 0 − 1 x 1 ( n − 4 1 ) x 2 ⋯ ⋯ x n − 3 0 0 0 − 1 x 1 ⋯ ⋯ x n − 4 0 0 0 0 − 1 ⋯ ⋯ x n − 5 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 0 ⋯ − 1 x 1 ] .