連接環
ただし J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、 A {\displaystyle A} が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 ∐ i ∈ J G i ⟶ A {\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A} 、ただし J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} は有限、に対して完全列
∐ i ∈ K G i ⟶ ∐ i ∈ J G i ⟶ A ⟶ 0 {\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in K}G_{i}\longrightarrow \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0}
ただし K ⊂ I {\displaystyle K\subset I} は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。
すべての連接対象からなる C {\displaystyle {\mathfrak {C}}} の充満部分圏は、 C o h C {\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}} と表記されるが、アーベルであり、入射 C o h C ⟶ C {\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}\longrightarrow {\mathfrak {C}}} は完全である。
環 R {\displaystyle R} 上の左加群の圏 R M o d {\displaystyle _{R}Mod} は生成元として加群 R R {\displaystyle _{R}R} を持つグロタンディーク圏である。
X {\displaystyle X} を位相空間、 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} を X {\displaystyle X} 上の環の層、 O X M o d {\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} } を X {\displaystyle X} 上の左 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -加群の層(フランス語版)の圏とする。この圏 O X M o d {\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} } はグロタンディーク圏である。 O X M o d {\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} } における生成元の族は faisceaux induits O X | U {\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U} からなる、ただし U {\displaystyle U} は X {\displaystyle X} の開集合全部の集合を表記する。