完全順列
モンモール数 an を与える漸化式を考える。
n番目に置く数の選び方は 1 から(n - 1)までの(n - 1)通りである。ここで選んだ数を i とする。次に、i番目が n かどうかで場合分けをする。i番目が n であれば、i番目に置かれた n とn番目に置かれた i を除く(n - 2)個の数の並べ方の総数は、(n - 2)個の数による完全順列の数、すなわち an-2に等しい。i番目が n でない場合は、n番目に置かれた i を除く(n - 1)個の数の並べ方の総数は、(n - 1)個の数による完全順列の数、すなわち an-1となる。
以上をまとめると、以下の漸化式が得られる。
a n = ( n − 1 ) ( a n − 1 + a n − 2 ) , n ≧ 3 {\displaystyle a_{n}=(n-1)(a_{n-1}+a_{n-2}),\quad n\geqq 3}
a1 = 0, a2 = 1 は#例のように計算できて、漸化式に n = 2 を代入して a0 = 1 が得られるので、この条件の下で漸化式を解くと、一般項は
a n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k n ! k ! , n ≧ 0 {\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}n!