体積積分
3変数関数 f ( x , y , z ) = 1 {\displaystyle f(x,y,z)=1} を単位立方体(英語版)上で積分すると以下のようになる。
∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 1 − 0 ) d y d z = ∫ 0 1 ( 1 − 0 ) d z = 1 − 0 = 1 {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}
単位立方体の体積が1であるという予想通りの結果が得られる。これは自明な例だが、体積積分ははるかに有用である。例えば、単位立方体の密度分布を表すスカラー密度関数を体積積分することにより、その単位立方体の質量を得ることができる。ここでは以下の密度関数を考える。