レイリー分布
確率変数を実数 x (x ≥ 0) とするときのレイリー分布の確率密度関数は以下の式で定義される。
x σ 2 exp  ( − x 2 2 σ 2 ) {\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
期待値は σ π 2 {\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}} 、分散は ( 2 − π 2 ) σ 2 {\displaystyle \left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}} である。
確率変数の観測値が Xi として得られたとき、パラメータ σ の最尤推定値は
σ ^ = 1 2 n ∑ i = 1 n X i 2 {\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}}}}
である。