ハル・ホワイト・モデル
となる。 ここで、σP は、P(S,T) に関する対数正規分布の標準偏差である。 ここで、相当に面倒な代数計算を行うと、以下のとおり元の媒介変数と関連していることがわかる。
S σ P = σ α { 1 − e − α ( T − S ) } 1 − e − 2 α S 2 a {\displaystyle {\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}\left\{1-e^{-\alpha (T-S)}\right\}{\sqrt {\frac {1-e^{-2\alpha S}}{2a}}}}
ここでの計算は、満期時刻を S とする債券の測度に基づき期待されるものであるが、 元のハル・ホワイト過程では、測度は全く特定しなかったことに注意されたい。 しかしボラティリティのみが問題なのであり、測度に依存しないので、これは問題にならない。
金利キャップ・フロアは債券プット・コールと夫々等価であるから、上記の分析により、ハル・ホワイト・モデルでキャップとフロアを解析的に価格評価できる。 ハル・ホワイト・モデルにおいて、スワップションの現在の価格は現在の短期金利に関する単調関数であることから、 ジャムシディアンの方法 をハル・ホワイト・モデルに適用することにより、キャップの価格評価を知れば、スワップションの価格評価ができる。 この様に、キャップの価格評価を知れば、スワップションの価格評価に十分である。