ヤコビ恒等式
リー環における積演算である括弧積はヤコビ恒等式を満たす。
[ [ X , Y ] , Z ] + [ [ Z , X ] , Y ] + [ [ Y , Z ] , X ] = 0 {\displaystyle [[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0}
括弧積を随伴作用と考えれば、環上の微分におけるライプニッツ則として捉えることができる。すなわち、
a d X ( Y ) = [ X , Y ] {\displaystyle \mathrm {ad} _{X}(Y)=[X,Y]}
と表せば、上述のヤコビ恒等式は
a d Z ( [ X , Y ] ) = [ a d Z ( X ) , Y ] + [ X , a d Z ( Y ) ] {\displaystyle \mathrm {ad} _{Z}([X,Y])=[\mathrm {ad} _{Z}(X),Y]+[X,\mathrm {ad} _{Z}(Y)]}
であり、ライプニッツ則として解釈できる。
数学におけるヤコビ恒等式(ヤコビこうとうしき、英語: Jacobi identity)とは、二項演算に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来する。