グロタンディーク宇宙
数学におけるグロタンディーク宇宙(グロタンディークうちゅう、英: Grothendieck universe、仏: Univers de Grothendieck)は次の性質をもった集合 U である:
x ∈ U, y ∈ x ⇒ y ∈ U( U は推移的集合)
x, y ∈ U ⇒ {x, y} ∈ U
x ∈ U ⇒ x のベキ集合 P(x) ∈ U
{ x α } α ∈ I {\displaystyle \{x_{\alpha }\}_{\alpha \in I}} が U の元の族で I ∈ U ⇒ ⋃ α ∈ I x α {\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}x_{\alpha }} ∈ U
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える(実際には、集合論のためのモデルを与える)。
グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある:
空集合
すべての遺伝的有限集合 の集合 V ω {\displaystyle V_{\omega }} 。
他の例は構成がより困難である。大まかに言うと、これはグロタンディーク宇宙が到達不能基数と同値なためである。より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である:
(U) すべての集合 x に対して、x ∈ {\displaystyle \in } U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。
(C) すべての基数 κ に対して、κ よりも巨大な強到達不能基数 λ が存在する。
この事実を証明するために、関数 c(U) を以下のように定義する:
c ( U ) = sup x ∈ U | x | {\displaystyle \mathbf {c} (U)=\sup _{x\in U}|x|}
ここで |x| は x の濃度を意味している。すると任意の宇宙 U に対して、c(U) は強到達不能となる:U の任意の元の冪集合は U の元で、U のすべての元は U の部分集合であるため、これは強極限基数である。厳密に言えば、cλ が I によって添え字付られた濃度の集まりとすれば、各 cλ の I の濃度が c(U) よりも小さい。そして、c(U) の定義によって、I と各 cλ は U の元によって置き換えられる。