分解型複素数
分解型複素数の使用は、1848年にジェームズ・クックル(英語版)が双複素数の概念を発明したときにまで遡れる。ウィリアム・クリフォード(英語版)はスピンの和を表すために分解型複素数を用いている。クリフォードは、分解型複素数を今日分解型双四元数と呼ばれる四元数代数の係数としての使用法を導入した。彼はその元を "motor" と呼んで分解型複素数の研究で幾度か用いている。
20世紀に入ると、分解型複素数は双曲的回転によって基準系間の速度変化をよく表していたため、時空平面におけるローレンツ変換や空間の相対性を記述するものとして表舞台に現れる。
1935年に J. C. Vignaux, A. Durañona, Vedia らは雑誌 Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticasにおける4つの論文で分解型複素幾何代数や函数論を展開した。詳細は分解型複素変数函数(英語版)の項を参照。
1941年 E.F. Allen は分解型複素幾何の算術を用いて zz* = 1 に内接する三角形の9点双曲線(英語版)を構成した。
しばしばヌル錐 (null cone) とも呼ばれるこの2本の直線は傾き ±1 を持ち、R において直交する。
分解型複素数 z, w が ⟨z, w⟩ = 0 を満たすとき、双曲的に直交する(英語版)という。これは特に通常の複素数の算術として知られている通常の意味での直交性の類似であるけれども、この条件はそれよりは判りにくいものである。これは時空における同時超平面 (simultaneous hyperplane) の概念の根幹を成す。
複素数におけるオイラーの公式の分解型複素数に該当する類似物として
exp  ( j θ ) = cosh  ( θ ) + j sinh  ( θ ) {\displaystyle \exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}
が成立する。このことは、双曲線余弦関数 cosh(θ) の冪級数展開が偶数次の項のみからなり、双曲線正弦関数 sinh(θ) が奇数次の項のみからなることを用いて導出することができる。任意の実数値を取る双曲角(英語版) θ に対し、分解型複素数 λ ≔ exp(jθ) はノルムが 1 で単位双曲線の右側の枝上にある。このような数 λ は双曲ベルソルと呼ばれる。
分解型複素数は z = x + jy なる形をしている。ここで x, y は実数で、量 j は j = +1 を満たす、実数(つまり ±1)でない量(「虚数単位」)である。
通常の複素数と異なるのは、虚数単位が i = −1 でなく j = +1 であることである。
分解型複素数 z 全体からなる集合は分解型複素平面 (split-complex plane) と呼ばれる。分解型複素数の加法と乗法は
(x + jy) + (u + jv) = (x + u) + j(y + v),
(x + jy)(u + jv) = (xu + yv) + j(xv + yu)
で定義される。この乗法は可換結合的であり、加法に対して分配的である。