ヒルベルト空間
u = ⟨ v , v ⟩ − 1 φ ( v ) ̄ v {\displaystyle u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v}
を満たすようにする。この対応関係 φ ↔ u は物理学ではお馴染みのブラ・ケット記法で大いに活用されている。物理学ではふつうは内積 ⟨x | y⟩ の右側の項に関して線型なので、
⟨ x ∣ y ⟩ := ⟨ y , x ⟩ {\displaystyle \langle x\mid y\rangle :=\langle y,x\rangle }
とすると、この ⟨x | y⟩ は、ブラベクトルと呼ばれる線型汎関数 ⟨x| がケットベクトルと呼ばれるベクトル |y⟩ に作用したものと見ることができる。
リースの表現定理は内積の存在に関して基本的であるばかりでなく、双対空間の完備性に関しても基本的である。事実、定理からは任意の内積空間の位相的双対がもとの空間の完備化と同一視できることが導かれる。リースの表現定理から直ちに導かれる結果としては他にも、ヒルベルト空間 H の回帰性、即ち H からその二重双対空間への自然な写像が同型となることも挙げられる。
作用素 Eλ は自己随伴作用素の間に定義される半順序に関して単調増大である。固有値はちょうど跳躍不連続点に対応しており、
T = ∫ R λ d E λ {\displaystyle T=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,dE_{\lambda }}
なるスペクトル論が得られる。右辺の積分はリーマン・スティルチェス積分として理解され、B(H) のノルムに関して収束する。特に、通常のスカラー値積分表現
⟨ T x , y ⟩ = ∫ R λ d ⟨ E λ x , y ⟩ {\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\langle E_{\lambda }x,y\rangle }
が得られる。正規作用素に対してもある程度似たようなスペクトル分解が成立するが、この場合実数でない複素数がスペクトルに含まれるから、作用素値スティルチェス測度 dEλ は 1 の分解で置き換えられなければならない。
スペクトル法の主な応用はスペクトル写像定理(英語版)で、これにより、積分
f ( T ) = ∫ σ ( T ) f ( λ ) d E λ {\displaystyle f(T)=\int _{\sigma (T)}f(\lambda )\,dE_{\lambda }}
を作って、自己随伴作用素 T に T のスペクトル上で定義される連続な複素関数を施すことができるようになる。このような連続汎函数計算(英語版)は特に擬微分作用素への応用を持つ。
「非有界」な自己随伴作用素のスペクトル論は、有界作用素に対するものと比べてさほど難しいわけではない。
B(H) の元 A は A = A を満たすとき自己随伴作用素もしくはエルミート作用素と呼ばれる。エルミート作用素 A が ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 を任意の x で満たすとき、A は非負であるといい、A ≥ 0; で表す。さらに等号成立が x = 0 のときに限るならば A は正であるという。また、
A − B ≥ 0 ならば A ≥ B
なるものと定義すれば、自己随伴作用素全体の成す集合に半順序 ≥ が導入できる。作用素 A が適当な B に対して A = BB なる形に書けるならば、A は非負であり、さらに B が可逆のとき A は正になる。また、非負作用素 A に対して
A = B 2 = B ∗ B {\displaystyle A=B^{2}=B^{*}B}
を満たす非負平方根 B が一意に定まるという意味で逆が成り立つ。これは、スペクトル論によって精緻化することができ、自己随伴作用素を「実」作用素と看做すことが有効であると分かる。B(H) の元 A が AA = A A を満たすとき、A は正規であるという。正規作用素は、自己随伴作用素と自己随伴作用素の虚数倍の和
A = A + A ∗ 2 + i ( A − A ∗ ) 2 i {\displaystyle A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {(A-A^{*})}{2i}}}
に分解され、各項は互いに可換になる。正規作用素をその実部と虚部とに分けて考えることも有用である。
S をヒルベルト空間 H の部分集合として、S に直交するベクトル全体の成す集合
S ⊥ = { x ∈ H : ⟨ x , s ⟩ = 0 ∀ s ∈ S } {\displaystyle S^{\perp }=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ \forall s\in S\right\}}
を考える。S は H の閉部分空間である(これは内積の連続性と線型性用いて容易に示せる)から、それ自身ヒルベルト空間になる。V が H の閉部分空間のとき、V は V の直交補空間と呼ばれる。事実、H の各元 x は x = v + w (v ∈ V, w ∈ V) なる形に一意的に表すことができる。従って、H は V と V との内部直和になっている。
この x を v へ写す線型作用素 PV: H → H を V の上への直交射影と呼ぶ。H の閉部分空間全体の成す集合と有界自己随伴作用素 P で P = P を満たすもの全体の成す集合との間に自然な一対一対応が存在する。