振動積分作用素
振動積分作用素の L → L 作用(あるいは、L → L作用素ノルム)に対する上界についての次に述べる結果は、フーリエ積分作用素に関するラース・ヘルマンダーの論文において得られたものである。
x,y ∈ R, n ≥ 1 について考える。S(x,y) を実数値の滑らかな函数とし、a(x,y) を滑らかかつコンパクトな台を持つ函数とする。a(x,y) の台の上の至る所で d e t j , k  ∂ 2 S ∂ x j ∂ y k ( x , y ) ≠ 0 {\displaystyle \mathop {\rm {det}} _{j,k}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{j}\partial y_{k}}}(x,y)\neq 0} が成り立つなら、初めは滑らかな函数として定義される Tλ を L(R) から L(R) への連続作用素へと拡張し、そのノルムが任意の λ ≥ 1 に対して C λ − n / 2 {\displaystyle C\lambda ^{-n/2}\,} で評価されるようなある定数 C が存在する。すなわち、
| | T λ | | L 2 ( R n ) → L 2 ( R n ) ≤ C λ − n / 2 {\displaystyle ||T_{\lambda }||_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\lambda ^{-n/2}}
が成立するような、ある定数 C が存在する。