硬い方程式
線型常微分方程式に対する安定性は 線型安定性 (linear stability)、あるいは 絶対安定性 (absolute stability) という。線型テスト方程式
y ′ = λ y , t ≥ 0 , y ( 0 ) = 1 , λ ∈ C {\displaystyle y'=\lambda y,\quad t\geq 0,\quad y(0)=1,\quad \lambda \in \mathbb {C} }
を考える。この方程式は簡単に解くことができ、厳密解は y(t) = e である。Re λ < 0 が成立するとき、y の t → ∞ の極限も 0 である。理想的に、近似解にもそのような振舞いを期待できる。しかし刻み幅 h が一定のとき、すべての方法に対する近似解がそのような振舞いを持つわけではない。それを区別するのが線型安定性である。
一つの方法による時刻 tn での近似解を yn とする。複素数平面上の集合
D = { h λ ∈ C ∣ lim n → ∞ y n = 0 } {\displaystyle D=\{h\lambda \in \mathbb {C} \mid \lim _{n\to \infty }y_{n}=0\}}
は方法に対する 線型安定性領域 (linear stability domain)、あるいは 絶対安定性領域 (region of absolute stability) という。