射影幾何学
後者ではユークリッド幾何を埋め込むことができるから、拡張ユークリッド幾何と呼ぶこともある。
任意の射影幾何が持つ基本性質は「任意の相異なる二直線 l と m が射影平面においてただ一点 P のみで交わる」といった形の「楕円型接続関係」である。解析幾何学において特別な場合であった「平行線」も、交点 P が「無限遠直線」上にあるものとして他の場合と円滑にまとめることができる。つまり、射影幾何学では無限遠直線も他の普通の直線とまったく同様に扱うことができ、区別したり特別扱いをする必要はないのである(エルランゲン・プログラムの精神に添って言えば、これは射影変換の群は任意の直線を無限遠直線に移したり、その逆を行ったりすることができるということを意味する)。
与えられた直線 l とその上に無い点 P に対して、楕円型の平行線条件は放物型と双曲型の平行線条件に、以下のような対照を成すものである。
楕円型: 点 P を通る任意の直線は、直線 l とただ一点で交わる。
放物型: 点 P を通り、直線 l と交わらない直線がただ一つ存在する。
双曲型: 点 P を通り、直線 l と交わらない直線が一つより多く存在する。
楕円型の平行線条件が射影幾何の双対原理を(そして恐らく、全ての射影幾何が共通に持つ重要な性質のほとんどを)導く上で鍵となる考えである。
接続幾何 (incidence geometry) において、いくつかの文献が最小の有限射影平面としてのファノ平面 PG(2, 2) を扱っている。その公理系は次のようなものである。
(P1) 任意の相異なる二点に対してそれを通る直線がただ一つ存在する。
(P2) 任意の相異なる二直線はただ一点において交わる。
(P3) どの三つも同一直線上に無いような少なくとも四点が存在する。
コクセターの「幾何学入門」 にはバックマンによる射影幾何の五つの公理が掲載されている。これは上述の公理系にパップスの定理を加えて標数 2 の体上の射影平面を除外するものである。