GCD整域
数学の代数学における GCD整域(GCDせいいき、英: GCD domain)は、整域 R であって任意のふたつの非零元が最大公約元 (GCD) をもつという性質をもつものである。これは R の任意のふたつの非零元が最小公倍元 (LCM) をもつといってもよい。
この文脈において、(「最大」とは言いながら)一般にGCDは唯一でないことに注意すべきである。しかし、任意の二元 a, b に対しそのGCDは、どの二つも互いに同伴、したがって単元を掛ける違いを除いて一意に決まるから、GCDの任意の一つを指す意味で gcd(a, b) と書くことに誤解の虞はないであろう。一方、二元のGCD集合を GCD(a, b) ≔ {c ∈ R | c は a と b との GCD} として定義するならば、gcd(a, b) ∈ GCD(a, b) であり、また GCD(0, 0) = {0} や GCD(1, a) = U(R)(R の単元群)などが成り立つ。 LCMについても同様。
GCD整域は一意分解整域 (UFD) を次のような意味で非ネーターの場合に一般化する: