ヘヴィサイドの階段関数
とおくと、これは x < 0 のとき区間 ( − ∞ , x ] {\displaystyle (-\infty ,x]} は 0 を含まず、x ≧ 0 のとき区間 ( − ∞ , x ] {\displaystyle (-\infty ,x]} が 0 を含むことから
χ ( − ∞ , x ] ( 0 ) = { 0 ( x < 0 ) 1 ( x ≧ 0 ) {\displaystyle \chi _{(-\infty ,x]}(0)={\begin{cases}0&(x<0)\\1&(x\geqq 0)\end{cases}}}
となる。つまり
H 1 ( x ) = ∫ − ∞ x δ ( ξ ) d ξ {\displaystyle H_{1}(x)=\int _{-\infty }^{x}\delta (\xi )d\xi }
と表される。この意味でヘヴィサイドの階段関数はディラックのデルタ関数を確率密度関数とするときの累積分布関数に相当する。