ベルヌーイの不等式
実解析においてベルヌーイの不等式(ベルヌーイのふとうしき、Bernoulli's inequality)とは、 1 + x の冪乗に対して近似を与える不等式である。数学者のヤコブ・ベルヌーイにちなんでこの名で呼ばれている。
任意の整数 r ≥ 0 と全ての実数 x ≥ −1 に対し、次が成立する。
( 1 + x ) r ≥ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx\!}
指数 r が偶数の場合、この不等式は全ての実数 x に対して成り立つ。さらに厳しい条件のものとしては、任意の整数 r ≥ 2 と全ての実数 x ≥ −1 (ただし、x ≠ 0)に対し、次が成立する。
( 1 + x ) r > 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}>1+rx\!}
ベルヌーイの不等式は他の不等式を証明する際に重要な場面で用いられることがある。これは以下に示すように、数学的帰納法を使って証明することができる。