熱力学ポテンシャル
H = U + p V = T S + ∑ i μ i N i , F = U − T S = − p V + ∑ i μ i N i , G = F + p V = ∑ i μ i N i , J = F − ∑ i μ i N i = − p V {\displaystyle {\begin{aligned}H&=U+pV=TS+\sum _{i}\mu _{i}N_{i},\\F&=U-TS=-pV+\sum _{i}\mu _{i}N_{i},\\G&=F+pV=\sum _{i}\mu _{i}N_{i},\\J&=F-\sum _{i}\mu _{i}N_{i}=-pV\end{aligned}}}
などの関係式が得られる。
また、この式を微分すると
S d T − V d p + ∑ i N i d μ i = 0 {\displaystyle S\,dT-V\,dp+\sum _{i}N_{i}\,d\mu _{i}=0}
の関係式が得られる。この関係式をギブズ-デュエムの関係と言い、示強性状態量の組 (T, p, μ) を系の平衡状態を指定する状態変数として選ぶことは出来ないことを表している。
∂ 2 U ∂ V 2 = − ( ∂ p ∂ V ) S = 1 V κ S ≥ 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial V^{2}}}=-\left({\frac {\partial p}{\partial V}}\right)_{S}={\frac {1}{V\kappa _{S}}}\geq 0}
∂ 2 U ∂ S 2 ∂ 2 U ∂ V 2 − ( ∂ 2 U ∂ S ∂ V ) 2 = T C p 1 V κ S = T C V 1 V κ T ≥ 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial S^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial V^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial S\partial V}}\right)^{2}={\frac {T}{C_{p}}}{\frac {1}{V\kappa _{S}}}={\frac {T}{C_{V}}}{\frac {1}{V\kappa _{T}}}\geq 0}
などが得られる。ここで、CV は定積熱容量、Cp は定圧熱容量、κS は断熱圧縮率、κT は等温圧縮率である。
平衡状態の安定性から熱力学ポテンシャルは一般に凸関数となる。