微分可能関数
関数 f: R → R が点 x0 において微分可能であるとは、
lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) − J ( x 0 ) h ‖ h ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} (\mathbf {x_{0}} )\mathbf {h} }{\|\mathbf {h} \|}}=\mathbf {0} }
を満たすような線型写像 J: R → R が存在することを言う。関数が x0 において微分可能であるなら、そのすべての偏導関数は x0 において存在しなければならず、そのような場合、線型写像 J はヤコビ行列となる。高階導函数に関する同様の定式化は、一変数微分積分学でいうところの有限増分の補題(英語版)によって与えられる。
ここで、偏導関数の存在は(あるいは、すべての方向微分の存在でさえも)、ある点における関数の微分可能性を保証するものではない、ということに注意されたい。例えば、