直既約加群
PID上の有限生成加群は PID上の有限生成加群の構造定理によって分類される。準素分解は直既約加群への分解であるので、PID上のすべての有限生成加群は完全直可約である。
明示的に書けば、素イデアル P に対して R/P の形の加群(P = 0 を含む、このとき R になる)は直既約である。すべての有限生成 R-加群はこれらの直和である。これが単純であることは n = 1(または P = 0)であることと同値であることに注意せよ。例えば、位数4の巡回群 Z/4Z は直既約であるが単純でない。この群は位数 2 の部分群 2Z/4Z しか非自明な部分群を持たないが、これは直和因子でない。
整数環 Z 上の加群はアーベル群である。有限生成アーベル群が直既約であることとそれが Z か素数 p と正整数 n について Z/pZ の形の商群と同型であることは同値である。すべての有限生成アーベル群は(有限個の)直既約アーベル群の直和である。
しかしながら、有限生成でない直既約アーベル群が存在する。有理数 Q はその最も単純な例である。
また代数的閉体上の一変数多項式環 K[x] 上の有限生成直既約加群はジョルダン標準形の理論により K[x]/(x − λ) (λ ∈ K, n ∈ N) に限る。
固定した正整数 n に対し、実数体(または任意の体 K)上の n 次全行列環 R を考える。このとき K は(行列の積によるスカラー倍によって)左 R-加群である。これは同型の違いを除いて唯一の直既約 R-加群である。すべての左 R-加群はこの加群 K のコピーの(有限か無限の)直和である。
多くの状況において、興味の対象である加群は完全直可約である。したがってこのとき直既約加群は「構造の基本単位」であり研究する必要のある唯一の対象と考えられる(クルル・シュミットの定理)。体上の加群(ベクトル空間)や単項イデアル整域 (PID) 上の有限生成加群はこの場合であり、線型作用素のジョルダン標準形の基礎となっている。