素数の間隔
を証明し、2年後これを改良し、
lim inf n → ∞ g n log  p n ( log  log  p n ) 2 < ∞ . {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .}
とした。 2013年、張益唐は
lim inf n → ∞ g n < 7 ⋅ 10 7 , {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},}
を証明した。これは70 000 000を超えない間隔が無限にあるという意味である。張の境界を最適化するPolymathプロジェクトの共同作業により、2013年7月20日に境界を4680まで下げることに成功した。2013年11月、ジェームズ・メイナードはGPYふるいを新たに改善したものを導入し、境界を600まで下げ、任意のmについて、それぞれがm個の素数を含む解釈が無限である境界間隔が存在することを示した。メイナードの考えを用いて、Polymathプロジェクトは境界を246に改良した。エリオット・ハルバースタム予想(英語版)とその一般形を仮定すると、Nはそれぞれ12と6に減少される。