絶対収束
そこで | p n | ≤ ∏ i = 1 n ( 1 + | a i | ) ≤ ∏ i = 1 n exp  ( | a i | ) = exp  ( ∑ i = 1 n | a i | ) {\displaystyle |p_{n}|\leq \prod _{i=1}^{n}(1+|a_{i}|)\leq \prod _{i=1}^{n}\exp(|a_{i}|)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|\right)} ≤ exp  ( ∑ i = 1 ∞ | a i | ) = e S {\displaystyle \leq \exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}|\right)=e^{S}}
より、 | y n | = | p n − 1 a n | ≤ e S | a n | {\displaystyle |y_{n}|=|p_{n-1}a_{n}|\leq e^{S}|a_{n}|}
となる。よって ∑ i = 1 ∞ | y i | ≤ e S ∑ i = 1 ∞ | a i | = e S S . {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|y_{i}|\leq e^{S}\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}|=e^{S}S.} すなわち ∑ i = 1 ∞ y i {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }y_{i}} は絶対収束するから、 ∑ i = 1 n y i = p n = ∏ i = 1 n ( 1 + a i ) {\textstyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}=p_{n}=\prod _{i=1}^{n}(1+a_{i})} も収束する。(証明終り)