体球調和関数
}
Φ(r) = F(r) Yl をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。
1 r ∂ 2 ∂ r 2 r F ( r ) = l ( l + 1 ) r 2 F ( r ) ⟹ F ( r ) = A r l + B r − l − 1 . {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.}
ラプラス方程式の解のうち一部が正則な体球調和関数
R l m ( r ) ≡ 4 π 2 l + 1 r l Y l m ( θ , φ ) , {\displaystyle R_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}
であり、また一部が非正則な体球調和関数
I l m ( r ) ≡ 4 π 2 l + 1 Y l m ( θ , φ ) r l + 1 . {\displaystyle I_{\ell }^{m}({\boldsymbol {r}})\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.}
である。