算術幾何平均
つまり、調和幾何平均と算術幾何平均の積は幾何平均の自乗に等しい。このことは、 a n , b n {\displaystyle a_{n},\ b_{n}} を逆数にして
( 1 / a n + 1 ) = ( 1 / a n ) + ( 1 / b n ) , ( 1 / b n + 1 ) = ( 1 / a n ) ( 1 / b n ) {\displaystyle (1/a_{n+1})=(1/a_{n})+(1/b_{n}),\quad (1/b_{n+1})={\sqrt {(1/a_{n})(1/b_{n})}}} HGM  ( a , b ) = 1 AGM  ( 1 a , 1 b ) = a b AGM  ( b , a ) {\displaystyle \operatorname {HGM} (a,b)={\frac {1}{\operatorname {AGM} \left({\frac {1}{a}},{\frac {1}{b}}\right)}}={\frac {ab}{\operatorname {AGM} \left(b,a\right)}}}
から明らかである。