対数平均温度差
二重管熱交換器等のように、一方向に流体が流れる熱交換器を考える。両流体の流れる向きに応じて並流形および向流形があり、各流体の温度は図 1 のように指数関数的に変化する。
位置を表す座標として、熱交換器の左端 A からその位置までの伝熱面積 a を選ぶ。左端では a = 0 、右端では a = Ar である。
高温流体、低温流体の物理量を h、cの添え字で区別し、それぞれの流体の温度を Th(a) 、Tc(a) とする。
位置 a における微小区間 da の局所伝熱量 dq は、次式で表すことができる。
d q = K ( T h − T c ) d a = K Δ T d a ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {d} q=K(T_{h}-T_{c})\mathrm {d} a=K\Delta T\mathrm {d} a\qquad (1)}
各流体の熱収支より、この伝熱量はこの区間での温度変化と熱容量との積に等しい。
d q = − ( c m ̇ ) h d T h = − C h d T h ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {d} q=-(c{\dot {m}})_{h}\mathrm {d} T_{h}=-C_{h}\mathrm {d} T_{h}\qquad (2)}
d q = ± ( c m ̇ ) c d T c = ± C c d T c ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {d} q=\pm (c{\dot {m}})_{c}\mathrm {d} T_{c}=\pm C_{c}\mathrm {d} T_{c}\qquad (3)}
C は比熱 c と質量流量 m ̇ {\displaystyle {\dot {m}}} の積で、単位時間に通過する熱容量を表す。第 2 式の複号は上が並流形、下が向流形に対応する (以下も同様)。
式 (2)、(3) より
d ( Δ T ) = d T h − d T c = − ( 1 C h ± 1 C c ) d q {\displaystyle \mathrm {d} (\Delta T)=\mathrm {d} T_{h}-\mathrm {d} T_{c}=-\left({\frac {1}{C_{h}}}\pm {\frac {1}{C_{c}}}\right)\mathrm {d} q}
これに式 (1) の dq を用いて、ΔT(a) に関する次の微分方程式が得られる。
d ( Δ T ) Δ T = − ( 1 C h ± 1 C c ) K d a ( 4 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (\Delta T)}{\Delta T}}=-\left({\frac {1}{C_{h}}}\pm {\frac {1}{C_{c}}}\right)K\mathrm {d} a\qquad (4)}
これを積分して、a = 0 で ΔT = ΔTA であることを用いると、