漸化式
狭い意味での差分方程式とは数列 (an) およびその各階の階差数列との間に成り立つ等式のことをいう。広い意味では「差分方程式」を「漸化式」と同義に用いる(たとえば有理差分方程式(英語版)および線型差分方程式を参照)。
線型漸化式は狭い意味での差分方程式であり、逆もいえる。それはこれらが単純かつ共通した形の再帰性をもつからであり、文献によっては両者を逆に呼んでいるものもある。たとえば差分方程式
3 Δ 2 ( a n ) + 2 Δ ( a n ) + 7 a n = 0 {\displaystyle 3\Delta ^{2}(a_{n})+2\Delta (a_{n})+7a_{n}=0}
は、漸化式
3 a n + 2 = 4 a n + 1 − 8 a n {\displaystyle 3a_{n+2}=4a_{n+1}-8a_{n}}
と同値である。よって、多くの漸化式は差分方程式として読み替えて解くことができるし、差分方程式ならば常微分方程式の解法と類似の手法で解くことができる。しかし、アッカーマン数などは差分方程式に直すことが非常に困難であり、微分方程式の観点から得られるものは少ない。
このような微分方程式に対する微分方程式論の一意化については時間スケール微分積分学を参照せよ。
微分方程式に対をなすように積分方程式が考えられるのと同様、差分方程式の対となる和分方程式が考えられる。
漸化式が非斉次の場合、特殊解は未定係数法で求めることができて、一般の解は対応する斉次漸化式の一般解と先ほど得た特殊解の和として得られる。非斉次漸化式のほかの解法としては、記号微分 (symbolic differentiation) の方法がある。たとえば、次のような漸化式
a n + 1 = a n + 1 {\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+1}
を考える。これは非斉次の漸化式である。n → n + 1 と置き換えれば、漸化式
a n + 2 = a n + 1 + 1 {\displaystyle a_{n+2}=a_{n+1}+1}
を得る。もとの漸化式から辺々引いて整理すれば、
a n + 2 = 2 a n + 1 − a n {\displaystyle a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}}
が得られる。
( a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ ) ( 1 − c 1 x 1 − c 2 x 2 − ⋯ − c d x d ) = ( b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + ⋯ + b d − 1 x d − 1 ) {\displaystyle (a_{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots {})(1-c_{1}x^{1}-c_{2}x^{2}-\cdots -c_{d}x^{d})=(b_{0}+b_{1}x^{1}+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{d-1}x^{d-1})}
が成立し、両辺を割り算すれば
a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + ⋯ + b d − 1 x d − 1 1 − c 1 x 1 − c 2 x 2 − ⋯ − c d x d {\displaystyle a_{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots ={\frac {b_{0}+b_{1}x^{1}+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{d-1}x^{d-1}}{1-c_{1}x^{1}-c_{2}x^{2}-\cdots -c_{d}x^{d}}}}
という母函数の有理式表示を得る。
分母 xp(1/x) は特性多項式を変換したもの(あるいは同じことだが、係数の順番を逆順にしたもの)である。これに何かを掛けたものを使うこともできるが、特性多項式から簡単に求められて、b0 = a0 となるように正規化してある。
の形に書きなおせることが示せる。ここで、各定数は
M := α 2 + β 2 , cos  θ := α M , sin  θ := β M , C , D := E ∓ F i , G := E 2 + F 2 , cos  δ := E G , sin  δ := F G {\displaystyle {\begin{aligned}&M:={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}},\quad \cos \theta :={\frac {\alpha }{M}},\quad \sin \theta :={\frac {\beta }{M}},\\&C,D:=E\mp Fi,\\&G:={\sqrt {E^{2}+F^{2}}},\quad \cos \delta :={\frac {E}{G}},\quad \sin \delta :={\frac {F}{G}}\end{aligned}}}
で与えられるものである。E, F(あるいは同じことだが G, δ)は初期条件から決まる実定数である。
注意すべきは、特性根が相異なる実根の場合も、実重根の場合も、互いに共軛な複素根の場合も、すべての場合で方程式が安定である(つまり、変数 a が特定の値(特に 0)に収束する)ための必要十分条件は二つの特性根の絶対値が「ともに」1 より小さいこと、となることである。