バナッハ極限
無限大超自然数 ν {\displaystyle \nu } を固定する。 L I M {\displaystyle \mathrm {LIM} } を次のように定める:
L I M ( x ) = s t ( 1 ν ∑ i = ν 2 ν − 1 ∗ x i ) {\displaystyle \mathrm {LIM} (x)=\mathrm {st} ({\frac {1}{\nu }}\sum _{i=\nu }^{2\nu -1}{}^{\ast }x_{i})}
ただし s t {\displaystyle \mathrm {st} } は超実数の標準部分、 ∑ {\displaystyle \sum } は内的な有限和を表す。また ∗ x = ( ∗ x i ) {\displaystyle {}^{\ast }x=({}^{\ast }x_{i})} は x = ( x i ) {\displaystyle x=(x_{i})} の自然延長である。
標準部分が存在することを示す。すなわち s t ( ⋯ ) {\displaystyle \mathrm {st} (\cdots )} の内部が有限超実数であることを示す。 x {\displaystyle x} は有界であるから、ある非負実数 M {\displaystyle M} に対して | x i | ≤ M {\displaystyle |x_{i}|\leq M} が成り立つ。移行原理(英語版)より | ∗ x i | ≤ M {\displaystyle |{}^{\ast }x_{i}|\leq M} が成り立つ。