部分積分
部分積分(ぶぶんせきぶん、英: Integration by parts)とは、微分積分学・解析学における関数の積の積分に関する定理であり、積の積分をより計算が容易な積分に変形するために頻繁に使われる手法である。
具体的には、2つの微分可能な関数 u ( x ) {\textstyle u(x)} 、 v ( x ) {\textstyle v(x)} 、区間 a ≤ x ≤ b {\textstyle a\leq x\leq b} に対して成り立つ以下のような関係式を指す。
∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx}
弱微分、およびシュワルツの分布関数の定式化。
スツルム=リウヴィル理論における境界値問題。
変分法によるオイラー=ラグランジュ方程式の導出。
複素解析における漸近展開の導出。
数値積分への応用。
例えば次の例では、
∫ sec 2  x ln  | sin  x | d x {\displaystyle \int \sec ^{2}x\ln |\sin x|dx}
u ( x ) = ln  | sin  x | {\textstyle u(x)=\ln |\sin x|} として、また v ( x ) = sec 2  x {\textstyle v(x)=\sec ^{2}x} とすると、 u {\textstyle u} を微分すると合成関数の微分法により 1 / tan  x {\textstyle 1/\tan x} となり、 v {\textstyle v} を積分すると tan  x {\textstyle \tan x} となる。したがって公式により、
∫ sec 2  x ln  | sin  x | d x = tan  x ln  | sin  x | − ∫ tan  x 1 tan  x d x {\displaystyle \int \sec ^{2}x\ln |\sin x|dx=\tan x\ln |\sin x|-\int \tan x{\frac {1}{\tan x}}dx}
被積分関数は 1 となり、積分して x {\textstyle x} となる。積が簡単な形になる組み合わせを探すにはある程度の試行錯誤が必要なことがある。
その他いくつかのテクニックを以下の例で示す。
d v = d x ⇒ v = x {\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x}
以下のように計算出来る。
∫ arctan  x d x = x arctan  x − ∫ x 1 + x 2 d x = x arctan  x − 1 2 ∫ 2 x 1 + x 2 d x = x arctan  x − 1 2 ∫ d ( 1 + x 2 ) 1 + x 2 = x arctan  x − 1 2 ln  ( 1 + x 2 ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan x\,dx&=x\arctan x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx\\&=x\arctan x-\left.{\frac {1}{2}}\right.\int {\frac {2x}{1+x^{2}}}\,dx\\&=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\int {\frac {d(1+x^{2})}{1+x^{2}}}\\&=x\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C\end{aligned}}}
ここでは逆関数の微分法を使用した。