モジュラー形式
モジュラー群とは次の群のことをいう。
S L ( 2 , Z ) = { ( a b c d ) | a , b , c , d ∈ Z , a d − b c = 1 } {\displaystyle SL(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}
正の整数 k にたいし、重さ k のモジュラー形式とは、次の 3つの条件を満たす上半平面 H = {z ∈ C, Im(z) > 0} 上の複素数値函数 f である。
(1) f は H 上の正則函数である。
(2) H のすべての z と上記の SL(2,Z) のすべての行列に対し、
f ( a z + b c z + d ) = ( c z + d ) k f ( z ) {\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}
が成立する。
(3) f は、z → i∞ として正則である。
注意: