分数階微積分学
( J α f ) ( x ) = d − α d x − α f ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 x ( x − t ) α − 1 f ( t ) d t {\displaystyle (J^{\alpha }f)(x)={d^{-\alpha } \over dx^{-\alpha }}f(x)={1 \over \Gamma (\alpha )}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\;dt}
を与えることができる。これは実際に作用素として矛盾なく定まる。
作用素 J は可換かつ加法的である。つまり、
( J α ) ( J β ) f = ( J β ) ( J α ) f = ( J α + β ) f = 1 Γ ( α + β ) ∫ 0 x ( x − t ) α + β − 1 f ( t ) d t {\displaystyle (J^{\alpha })(J^{\beta })f=(J^{\beta })(J^{\alpha })f=(J^{\alpha +\beta })f={1 \over \Gamma (\alpha +\beta )}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha +\beta -1}f(t)\;dt}
が成立する。この性質は、分数階微積分作用素の半群性と呼ばれる。残念ながら微分作用素 D に関しての同様の議論はこれよりももっと著しく複雑なものになってしまうが、それでも D が一般には可換にも加法的にもならないことは示すことができる。
( J α f ) ( t ) = 1 Γ ( α ) L − 1 { ( L { p } ) ( L { f } ) } = 1 Γ ( α ) ( p ∗ f ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t p ( t − τ ) f ( τ ) d τ = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − τ ) α − 1 f ( τ ) d τ {\displaystyle {\begin{aligned}(J^{\alpha }f)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left({\mathcal {L}}\{p\}\right)({\mathcal {L}}\{f\})\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}(t-\tau )^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \end{aligned}}}
となることが示される。これは上述のコーシーの公式に他ならない。
ラプラス変換が上手く計算できる函数は比較的少ないが、しかし分数階微分方程式を解くにあたってはしばしば有用である。
D s {\displaystyle D^{s}}
にあたるものを決定できるかという問をも考えることができるだろう。このとき、s が整数 n を値にとるならば、n > 0 のときこの冪は通常の意味での n-階微分作用素となり、n < 0 のときは積分作用素 J の (−n)-乗となるように定義されるものでなければならない。
このようなことを考える理由はいくつかある。ひとつはそれによって「離散」的な変数 n で添字付けられる微分作用素の族 D 全体が作る半群を実数 s を径数とする「連続」的な半群のなかにあるとして考えられるようになることである。連続的半群というものは数学のさまざまなところに現われ、豊かな理論を備えている。分数階微分積分学では、冪として必ずしも有理数冪に限らず実数冪や複素数冪を一般に扱うため「分数階」という名称で呼ぶのは少々紛らわしいが、慣習的に「分数階微分積分学」の名称が使われている。