物理数学
物理数学が実際にどのように物理現象に適用されるか調べる初等的な例として、電磁気学における静電ポテンシャルの問題について述べる。ここでは用いた物理数学の手法を明示するため、意図的に詳しく解答を掲載している。
G ( r , r ′ ) {\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )} のフーリエ変換を g ( k , r ′ ) {\displaystyle g(\mathbf {k} ,\mathbf {r'} )} として両辺をフーリエ変換すると次の式を得る。
− | k | 2 g ( k , r ′ ) = − e − i k ⋅ r ′ {\displaystyle -|\mathbf {k} |^{2}g(\mathbf {k} ,\mathbf {r'} )=-e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r'} }}
これを g ( k , r ′ ) {\displaystyle g(\mathbf {k} ,\mathbf {r'} )} について解き、逆フーリエ変換するとグリーン関数 G ( r , r ′ ) {\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )} について次の式を得る。