ヒルベルトスキーム
Macaulay (1927) では、多項式のヒルベルトスキーム Hilb(n, P) が空ではないことが示され、Hartshorne (1966) は、Hilb(n, P) が空でないならば線型連結であることが示された。従って、射影空間の 2つの部分スキームが同じヒルベルトスキームの連結成分となることと、それらが同じヒルベルト多項式を持つこととは同値である。
ヒルベルトスキームは、全ての点で被約ではない既約成分のように、悪い特異点を持つことがある。それらは予期せぬ高次元の既約成分を持つこともある。例えば、次元 n のスキームの d 個の点のヒルベルトスキーム(もう少し正確には、次元 0で長さ d の部分スキーム)は、次元 dn を持つことが期待されるが、n ≥ 3 の場合には既約成分がもっと大きな次元を持つことがありうる。
代数幾何学では、ヒルベルトスキーム(英: Hilbert scheme)とは、周多様体(英語版)(Chow variety)を精密化したある射影空間(より一般的には射影スキーム)の閉部分スキームのパラメータ空間であるスキームである。ヒルベルトスキームは、ヒルベルト多項式に対応する閉部分スキーム(英語版)(closed subscheme)の共通点を持たない合併である。ヒルベルトスキームの基本理論は、(Alexander Grothendieck 1961)により開発された。広中の例(英語版)は、非射影多様体はヒルベルトスキームを必ずしも持たないことを示している。
ヒルベルトスキーム Hilb(X)S は同じ方法で任意の射影スキーム X に対し定義され、構成される。非公式には、この点は X の閉点に対応している。
M を c1 = 0 である複素ケーラー曲面(K3曲面、もしくはトーラス)とすると、小平の曲面の分類に従い、M の標準バンドルは自明である。よって、M は正則なシンプレクティック形式を持つ。藤木明(英語版)(Akira Fujiki)(n = 2 の場合)とアルナウ・ベルヴィル(英語版)(Arnaud Beauville)により、M も正則なシンプレクティックとなることが確認された。n = 2に対しては、このことはさほどは難しくない。実際、M は M の二重対称積のブローアップである。Sym M の特異点は、局所的に C × C/{±1} と同型である。C/{±1} のブローアップは、TP(C) であり、この空間はシンプレクティックである。このことはシンプレクティック形式は自然に M の例外因子の滑らかな部分へ拡張される。M の残りの部分は、ハルトークスの拡張定理により拡張される。
正則なシンプレクティックケーラー多様体は、超ケーラーであることは、カラビ・ヤウの定理より得られる。K3曲面や 4-次元次トーラス上の点のヒルベルトスキームは、超ケーラー多様体の例、K3曲面の点のヒルベルトスキームと一般化されたクンマー多様体をもたらす。