変数分離
次の形に書かれる常微分方程式を考える。
d d x f ( x ) = g ( x ) h ( f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)\,h(f(x))}
あるいは y = f (x ) と書くことにより、もっと簡単に
d y d x = g ( x ) h ( y ) ( 1 ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)\qquad \qquad (1)}
ここで、h (y ) ≠ 0 のとき、両辺を h (y ) で割って
1 h ( y ) d y d x = g ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)}
となる。この両辺を x で積分すると
∫ 1 h ( y ) d y d x d x = ∫ g ( x ) d x + C ( 2 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}dx=\int g(x)\,dx+C\qquad \qquad (2)}
次の微分方程式を考える。
∇ 2 v + λ v = ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + λ v = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}v+\lambda v={\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+\lambda v=0}
まず解の形を
v = X ( x ) Y ( y ) {\displaystyle v=X(x)Y(y)}
とおく。これ以外の解は、このような解の線形結合になっていると考える。
これを微分方程式に代入すると
X ′′ ( x ) Y ( y ) + X ( x ) Y ′′ ( y ) + λ X ( x ) Y ( y ) = 0 {\displaystyle X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0}
となる。この両辺を X (x ) でわって
X ′′ ( x ) Y ( y ) X ( x ) + Y ′′ ( y ) + λ Y ( y ) = 0 {\displaystyle {\frac {X''(x)Y(y)}{X(x)}}+Y''(y)+\lambda Y(y)=0}
さらに Y (y ) でわって