ハイネ・カントールの定理
いま x , y ∈ M {\displaystyle x,y\in M} について d M ( x , y ) < δ {\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta } と仮定する。ある i {\displaystyle i} に対して x ∈ D M ( x i ; δ i ) {\displaystyle x\in D_{M}(x_{i};\delta _{i})} である。よって三角不等式より y ∈ D M ( x i ; δ + δ i ) ⊆ D M ( x i ; 2 δ i ) {\displaystyle y\in D_{M}(x_{i};\delta +\delta _{i})\subseteq D_{M}(x_{i};2\delta _{i})} である。ここから x , y ∈ U x i {\displaystyle x,y\in U_{x_{i}}} が分かる。すなわち f ( x ) , f ( y ) ∈ D N ( f ( x i ) ; ε / 2 ) {\displaystyle f(x),f(y)\in D_{N}(f(x_{i});\varepsilon /2)} である。三角不等式から d N ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε {\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon } が分かる。