整数の合同
先述の代数的性質は、法 n に関する加法と乗法において、加えたり掛けたりする数を法 n で合同な別の数に置き換えてもよいことを示している。これはつまり、法 n で合同な数すべてを一つのあつまり(同値類、合同類、剰余類)として扱えば、法 n に関する加法と乗法がこの類の代表元の取り方に依らずに定まるということになる。同じ類に属する整数は法 n で割った剰余がみな同じであるようなものたちであり、法 n で割った剰余のみに注目するのが自然である。つまり、集合 Zn あるいは Z/nZ を法 n で割った余りからなる n-元集合 { 1, 2, ..., n − 1 } (あるいは単に 1, 2, ..., n − 1} とも書く)として、加法と乗法をこの集合上で考えるのがよい。この集合を法 n に関する合同類環、剰余環あるいは商環と呼ぶ。
この集合上での加法と乗法は、整数に関する加法と乗法と同様に定義される:
加法: 二つの剰余類 a, b に対して剰余類 a + b modulo n を割り当てる。理論的には整数の加法と異なる和であるから別の記号で表すべきであるかもしれないが、簡便さを保つために整数の和と同じ記号 "+" をそのまま使うことも多い。 例えば法 6 に関する合同類環では 3 + 2 = 5 が整数の加法同様に成り立つが、4 + 2 は 6 で割った剰余が 0 に等しいから 4 + 2 = 0 が成り立つ。