変分原理
ここでハミルトニアンの | φ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 表示における行列成分を H λ , λ ′ := ⟨ φ λ | H ^ | φ λ ′ ⟩ {\displaystyle H_{\lambda ,\lambda '}:=\langle \phi _{\lambda }|{\hat {H}}|\phi _{\lambda '}\rangle } 、試行関数の内積を Φ λ , λ ′ := ⟨ φ λ | φ λ ′ ⟩ {\displaystyle \Phi _{\lambda ,\lambda '}:=\langle \phi _{\lambda }|\phi _{\lambda '}\rangle } とそれぞれ表すことにすると、次のようになる。
δ E [ Ψ ] = δ ( ∑ λ ∑ λ ′ c λ ∗ c λ ′ H λ , λ ′ ∑ λ ∑ λ ′ c λ ∗ c λ ′ Φ λ , λ ′ ) .
}
| Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } を適当な試行関数 { | φ λ ⟩ } {\displaystyle \left\{|\phi _{\lambda }\rangle \right\}} で表せば、
| Ψ ⟩ = ∑ λ c λ | φ λ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\lambda }c_{\lambda }|\phi _{\lambda }\rangle }
E [ Ψ ] {\displaystyle E[\Psi ]} の変分は、パラメーター { c λ } {\displaystyle \left\{c_{\lambda }\right\}} の変分で表される。
δ E [ Ψ ] = δ ( ⟨ Ψ | H ^ | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | Ψ ⟩ ) = δ ( ∑ λ ∑ λ ′ c λ ∗ c λ ′ ⟨ φ λ | H ^ | φ λ ′ ⟩ ∑ λ ∑ λ ′ c λ ∗ c λ ′ ⟨ φ λ | φ λ ′ ⟩ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\delta E[\Psi ]&=\delta \left({\frac {\langle \Psi |{\hat {H}}|\Psi \rangle }{\langle \Psi |\Psi \rangle }}\right)\\&=\delta \left({\frac {\sum _{\lambda }\sum _{\lambda '}c_{\lambda }^{*}c_{\lambda '}\langle \phi _{\lambda }|{\hat {H}}|\phi _{\lambda '}\rangle }{\sum _{\lambda }\sum _{\lambda '}c_{\lambda }^{*}c_{\lambda '}\langle \phi _{\lambda }|\phi _{\lambda '}\rangle }}\right).\end{aligned}}}
δ S [ q ( t ) ] = S [ q + δ q ] − S [ q ] = ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) + δ q ( t ) , q ̇ ( t ) + δ q ̇ ( t ) , t ) d t − ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) d t = ∫ t 1 t 2 [ L ( q + δ q , q ̇ + δ q ̇ , t ) − { L ( q , q ̇ + δ q ̇ , t ) − L ( q , q ̇ + δ q ̇ , t ) } − L ( q , q ̇ , t ) ] d t , {\displaystyle {\begin{aligned}\delta S\left[q(t)\right]&=S\left[q+\delta q\right]-S\left[q\right]\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t)+\delta q(t),{\dot {q}}(t)+\delta {\dot {q}}(t),t)dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-\left\{L(q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-L(q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)\right\}-L(q,{\dot {q}},t)\right]dt,\end{aligned}}}
と変形できる。ここで δ q {\displaystyle \delta q} および δ q ̇ {\displaystyle \delta {\dot {q}}} は充分小さいので、積分中の第一項と第二項、第三項と第四項の組はそれぞれ偏微分の形に書き換えられ、