群上の加群
作用を右からに変えて得られる圏 Mod-G についても同様である。
G-加群 M の部分 G-加群あるいはG-部分加群 (G-submodule) または単に(G-加群としての、G の作用まで込めた)部分加群とは、(抽象群としての)部分加群 A ⊆ M であって G の作用に関して不変、つまり任意の g ∈ G に対して、
g ⋅ a ∈ A , ( ∀ a ∈ A ) {\displaystyle g\cdot a\in A,\quad (\forall a\in A)}
となるものをいう。M とその部分加群 A が与えられたとき、商 G-加群あるいは G-商加群または剰余 G-加群あるいは G-剰余加群 (G-quotient module) M/A が、作用を考えない抽象群としての剰余群 M/A に G の作用を
g ⋅ ( m + A ) := g ⋅ m + A , ( g ∈ G , m ∈ M ) {\displaystyle g\cdot (m+A):=g\cdot m+A,\quad (g\in G,\,m\in M)}
とさだめることによって定まる。