微分同相写像
S の微分同相写像群は部分群 O(3) のホモトピー型を持つ。これは Steve Smale によって証明された。
トーラスの微分同相写像群はその線型自己同型のホモトピー型を持つ: S × S × GL(2, Z).
種数 g > 1 の向き付け可能な曲面の微分同相写像群は写像類群のホモトピー型を持つ、すなわち成分は可縮である。
3 次元多様体の微分同相写像群のホモトピー型は、少しの目立った未解決のケース、主として有限基本群を持つ 3 次元多様体、があるが、Ivanov, Hatcher, Gabai and Rubinstein の仕事によってかなりよく理解されている。
n > 3 に対して n 次元多様体の微分同相写像群のホモトピー型は十分に理解されていない。例えば、Diff(S) が2つよりも多くの成分を持つか否かは未解決問題である。しかし Milnor, Kahn and Antonelli の仕事によって Diff(S) は n > 6 であれば有限 CW 複体のホモトピー型を持たないことが知られている。