1−2+3−4+…
以下の議論は単なるヒューリスティクスであり、現代的な観点からは厳密な証明とは認められない。
S = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ... とおき、4S を計算する。
4S = (1−2+3−4+5−...)+(1−2+3−4+5−...)+(1−2+3−4+5−...)+(1−2+3−4+5−6+...)
= (1−2+3−4+...)+1+(−2+3−4+5−...)+1+(−2+3−4+5−...)+1−2+(+3−4+5−6+...)
= 1+(1−2−2+3)+(+3−4−4+5)+(−2+3+3−4)+(−4+5+5−6)+...
= 1
よって、S = 1/4 である。
なお
2S = (1−2+3−4+5−...)+(1−2+3−4+5−6+...)
= 1+(−2+3−4+5−...)+1−2+(+3−4+5−6+...)
= 0+(−2+3)+(+3−4)+(−4+5)+(+5−6)+...
= 1−1+1−1+...
2S = 1/2 なので、1−1+1−1+... = 1/2 となる。
(1−1+1−1+...
1−2+3−4+... は、ディリクレのイータ関数(英語版)
η ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s . {\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n^{s}}.}
において s = −1 を形式的に代入したものである。右辺の級数は s の実部が正でなければ収束しないが、イータ関数は複素数平面全域に解析接続されて、η(−1) の値も定義され、その値は 1/4 である。実際、イータ関数はリーマンゼータ関数 ζ(s) と
η ( s ) = ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) {\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}
という関係を持つので、ゼータ関数の関数等式よりイータ関数の関数等式を得るし、ゼータ関数の特殊値 ζ(−1) = −1/12 から η(−1) の値を得る。 また(例えばアーベルの)総和法によっても、この形式的な和を正当化することが出来る。すなわちg(x)を
g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − x ) n − 1 n {\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-x)^{n-1}n}}