単調収束定理
が成立する。 lim j f j ( x ) ≥ g k ( x ) {\displaystyle \lim _{j}f_{j}(x)\geq g_{k}(x)} であるという仮定により、B に含まれるどのような x も、十分大きい n に対して B n {\displaystyle B_{n}} に含まれ、したがって
⋃ n B n = B {\displaystyle \bigcup _{n}B_{n}=B}
が得られる。したがって
∫ g k d μ = ∫ 1 B d μ = μ ( B ) = μ ( ⋃ n B n ) {\displaystyle \int g_{k}\,\mathrm {d} \mu =\int 1_{B}\,\mathrm {d} \mu =\mu (B)=\mu \left(\bigcup _{n}B_{n}\right)}
が得られる。測度の単調性を用いることで、上の等式を次のように続けることが出来る:
μ ( ⋃ n B n ) = lim n μ ( B n ) ≤ lim n ( 1 − ε ) − 1 ∫ f n d μ . {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n}B_{n}\right)=\lim _{n}\mu (B_{n})\leq \lim _{n}(1-\epsilon )^{-1}\int f_{n}\,\mathrm {d} \mu .}
k → ∞ とし、任意の正の ε に対してこれが真であるという事実を用いることで、求める結果が得られる。