ローレンツ変換
また、パラメータ θ を用いて、
v c = tanh  θ {\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh \theta }
とすると
c t ′ = c t cosh  θ − x sinh  θ x ′ = x cosh  θ − c t sinh  θ {\displaystyle {\begin{aligned}ct'&=ct\cosh {\theta }-x\sinh {\theta }\\x'&=x\cosh {\theta }-ct\sinh {\theta }\end{aligned}}}
虚時間 w = i ct を用いれば、
w ′ = w cos  i θ − x sin  i θ x ′ = x cos  i θ + w sin  i θ {\displaystyle {\begin{aligned}w'&=w\cos {i\theta }-x\sin {i\theta }\\x'&=x\cos {i\theta }+w\sin {i\theta }\end{aligned}}}
行列を用いれば、それぞれ
こうして定義されるローレンツ変換は、時空の二点 x =(x, x, x, x)、y =(y, y, y, x)のローレンツ内積
x ⋅ y = x μ y μ = x 0 y 0 − x 1 y 1 − x 2 y 2 − x 3 y 3 {\displaystyle x\cdot y=x^{\mu }y_{\mu }=x^{0}y^{0}-x^{1}y^{1}-x^{2}y^{2}-x^{3}y^{3}}
を不変に保つ。
x ′ ⋅ y ′ = x ⋅ y ( x ′ = Λ x , y ′ = Λ y ) {\displaystyle x'\cdot y'=x\cdot y\quad (x'=\Lambda x,y'=\Lambda y)}
この性質から、特に時空の計量