ヘッセ行列
↑ Binmore, Ken; Davies, Joan (2007). Calculus Concepts and Methods. Cambridge University Press. p. 190. ISBN 9780521775410. OCLC 717598615
↑ Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J. -B. (1998). Variational analysis. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 317. Springer-Verlag. ISBN 3-540-62772-3. MR1491362. Zbl 0888.49001. https://books.google.com/books?id=w-NdOE5fD8AC. "Theorem 2.14 (higer-dimensional derivative tests)"
↑ Magnus, J.R. and H. Neudecker: "Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics", page 136. Wiley, 1988
{\displaystyle {\mbox{Hess}}(f)=\nabla _{i}\,\partial _{j}f\ dx^{i}\!\otimes \!dx^{j}=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right)dx^{i}\otimes dx^{j}.}
ここに Γ i j k {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}} は接続のクリストッフェル記号である。ヘシアンの他の同値な形が以下で与えられる。
Hess ( f ) ( X , Y ) = ⟨ ∇ X grad f , Y ⟩ , {\displaystyle {\mbox{Hess}}(f)(X,Y)=\langle \nabla _{X}{\mbox{grad}}f,Y\rangle ,}
Hess ( f ) ( X , Y ) = X ( Y f ) − d f ( ∇ X Y ) . {\displaystyle {\mbox{Hess}}(f)(X,Y)=X(Yf)-df(\nabla _{X}Y).}
凸開集合 O ⊆ R 上で2階の偏導関数が存在する実数値関数 f の凸性はヘッセ行列で判定できる。以下の2条件は同値である。
関数 f は O 上で凸。
任意の点 x ∈ O でヘッセ行列 ∇f(x) は半正定値である。
また、任意の点 x ∈ O でヘッセ行列 ∇f(x) が正定値であることは関数 f が O 上で狭義凸関数であるための十分条件を与える。