双一次変換
連続時間フィルタの周波数応答は、伝達関数 H a ( s ) {\displaystyle H_{a}(s)\ } で s = j ω {\displaystyle s=j\omega \ } とすれば求められる。同様に離散時間フィルタの周波数応答は伝達関数 H d ( z ) {\displaystyle H_{d}(z)\ } で z = e j ω T {\displaystyle z=e^{j\omega T}\ } とすれば求められる。双一次変換で設計された離散時間フィルタに実際に ω {\displaystyle \omega \ } が入力されたとき、その周波数応答が連続時間フィルタのどの周波数 ω a {\displaystyle \omega _{a}\ } に対応するかというと、
H d ( z ) = H a ( 2 T z − 1 z + 1 ) {\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ }
となり、これは離散時間フィルタにおいてz平面内の単位円上のすべての点、 z = e j ω T {\displaystyle z=e^{j\omega T}\ } が連続時間フィルタのs平面上の j ω {\displaystyle j\omega \ } 軸、 s = j ω a {\displaystyle s=j\omega _{a}\ } に写像されることを示している。よって双一次変換での離散時間周波数から連続時間周波数への写像は