ナプキンリング問題
Pólya, George (1990), Mathematics and Plausible Reasoning, Vol. I: Induction and Analogy in Mathematics, Princeton University Press, pp. 191–192 . Reprint of 1954 edition.
Smith, David E.; Mikami, Yoshio (1914), A History of Japanese Mathematics, Open Court Publishing Company, pp. 121–123, https://archive.org/details/historyofjapanes00smitiala . Republished by Dover, 2004, ISBN 0-486-43482-6. Smith and Mikami discuss the napkin ring problem in the context of two manuscripts of Seki on the mensuration of solids, Kyuseki and Kyuketsu Hengyo So.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \pi ({\text{larger radius}})^{2}-\pi ({\text{smaller radius}})^{2}\\&=\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right).\end{aligned}}}
半径Rは最後の結果には出てこない。よってy ≤ h/2 ≤ Rである限り高さyにおける水平断面積はRによらない。バンドの体積は
∫ − h / 2 h / 2 ( area of cross-section at height y ) d y , {\displaystyle \int _{-h/2}^{h/2}({\text{area of cross-section at height }}y)\,dy,}
であり、これもRによらない。
これはカヴァリエリの原理の適用したものである。実際、断面積は体積が
4 3 π ( h 2 ) 3 = π h 3 6 . {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}
となる半径h/2の球の断面積と等しい。