ポテンシャル論
調和函数の効果的な研究方法として、それらが満たす不等式を扱うというものが挙げられる。そのような不等式の中で恐らく最も基本的なものとして、最大値原理が知られており、その他のほとんどの不等式はそれから導出することが出来る。また別の重要な結果として、R 全体で定義される有界調和函数は定数であるということを述べたリウヴィルの定理が挙げられる。それらの基本的な不等式に加え、有界領域上の正の調和函数はほぼ定数であることを述べたハルナックの不等式が存在する。
それらの不等式の重要な使用法の一つとして、調和函数あるいは劣調和函数の族の収束を証明する際に用いる方法がある(ハルナックの不等式を参照)。それらの収束定理はしばしば、特定の性質を持つ調和函数の存在を証明する際に用いられる。