ヤングの定理
ヤングの定理(ヤングのていり、英: Young's theorem)は、ある条件の下で多変数関数に対する偏微分の順序を交換できることを述べる定理である(下記参照)。ヤングの定理はしばしば二階導関数の対称性(英: symmetry of second derivatives)、または混合微分の等価性(英: equality of mixed partials)とも呼ばれる。n 変数の関数 f (x1, x2, ..., xn) について、xi に関する偏導関数を fi のように下付きの添え字 i で表せば、二階導関数の対称性とは、二階の偏導関数 fij とは、関数 f が
f i j = f j i {\displaystyle f_{ij}=f_{ji}}
を満たすことをいう。このとき関数 f の二階導関数 fij が成す行列(ヘッセ行列)は n 次対称行列を成す。
偏微分方程式の文脈では、それはシュワルツの可積分条件(英: Schwarz integrability condition)と呼ばれる。
二階偏導関数の対称性はたとえば、記号的には、
∂ ∂ x ( ∂ f ∂ y ) = ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}
であると言い表せる。この等式は
∂ x ∂ y f = ∂ y ∂ x f {\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f}
とも書ける。あるいは、対称性は xi についての偏導関数を取る微分作用素 Di に関する代数的ステートメントとしても書ける:
D i ⋅ D j = D j ⋅ D i . {\displaystyle D_{i}\cdot D_{j}=D_{j}\cdot D_{i}.}
この関係から Di によって生成される定数係数を持つ微分作用素の環が可換であることが従う。しかしもちろんこれらの作用素の定義域を明確にしなければならない。単項式が対称性を持つことを確認するのは容易であり、したがって定義域として xi たちの多項式を取ることができる。実際には滑らかな関数を定義域にとることが可能である。