サレム数
を満たす。
サレム数はピゾ=ヴィジャヤラガヴァン数(英語版)から構築できる。すなわち、後者のうち最小のものは三次多項式
x 3 − x − 1 {\displaystyle x^{3}-x-1}
の唯一の実数根(プラスチック数として知られる)であり、その値はおよそ 1.324718 である。これを用いて既知のうち最小のものを含む、いくらかの小さなサレム数の族を生成できる。一般的な方法はピゾ=ヴィジャヤラガヴァン数の最小多項式 P(x) およびその相反多項式 P*(x) をとり、方程式
x n P ( x ) = ± P ∗ ( x ) {\displaystyle x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)\,}
を境界より大きな整数 n について解くというものである。一辺を他方から引き、因数分解し、不要な項を無視すると特定のサレム数に対する最小多項式を得られる。例えば、上式の負の場合を用いると
x n ( x 3 − x − 1 ) = − ( x 3 + x 2 − 1 ) {\displaystyle x^{n}(x^{3}-x-1)=-(x^{3}+x^{2}-1)}
となり、n = 8 として、次のように因数分解できる。
( x − 1 ) ( x 10 + x 9 − x 7 − x 6 − x 5 − x 4 − x 3 + x + 1 ) = 0 {\displaystyle (x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1)=0}
ここで、十次式はレーマー多項式となっている。より高次元の n を用いることで、プラスチック数へ至る根を持つ族を得られる。これは次のように理解できる。両辺の n 乗根を取って
x ( x 3 − x − 1 ) 1 / n = ± ( x 3 + x 2 − 1 ) 1 / n {\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n}}
より、n が大きくなるにつれ、 x が x − x − 1 = 0 の解に近づく。もし正の場合を用いる場合、x は反対側からプラスチック数に近づく。2番目に小さいピゾ=ヴィジャヤラガヴァン数の最小多項式を用いることで
x n ( x 4 − x 3 − 1 ) = − ( x 4 + x − 1 ) {\displaystyle x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1)}
が得られ、これは n = 7 の場合
( x − 1 ) ( x 10 − x 6 − x 5 − x 4 + 1 ) = 0 {\displaystyle (x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0}
と因数分解できる。ここで、前述のものとは異なる十次式が得られ、これは根 x = 1.216391...(既知で5番目に小さなサレム数)を持つ。n が無限に近づくにつれ、この族は x − x − 1 = 0 のより大きな実数根に近づく傾向にある。