ボーア＝ファン・リューエンの定理
ボーア=ファン・リューエンの定理は、磁性を説明するには量子力学が必要だと数学的に証明している。
磁場がない状態での電子の運動エネルギーは
p 2 2 m {\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}}
であり、したがってマクスウェル=ボルツマン統計によると分配関数の運動エネルギーに依存する部分は
Z 0 = ∫ − ∞ + ∞ exp  ( − 1 k B T p 2 2 m ) d p {\displaystyle Z_{0}=\int _{-\infty }^{+\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}{\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}\right)}d{\boldsymbol {p}}}
である。一方、磁場 B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} によるベクトルポテンシャル A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} 下での運動エネルギーは
p 2 2 m → ( p − e A / c ) 2 2 m {\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}\rightarrow {\frac {\left({\boldsymbol {p}}-e{\boldsymbol {A}}/c\right)^{2}}{2m}}}