指数関数
上記のテイラー展開の x に任意の正方行列 X を代入することにより、行列の指数関数 exp X が定義される。
とくに、X が n 次の実一般線型群 GL(n, R) のリー環 gl(n, R) すなわち n 次の実正方行列全体を亘るとすれば、この指数関数
exp : g l ( n , R ) → G L ( n , R ) {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )\to {GL}(n,\mathbb {R} )}
はリー環からリー群への指数写像の一つの例を与える。
行列の積の非可換性ゆえに、行列の指数函数は指数法則 e = e⋅e を一般には満たさない(もちろん、XY = YX であるような X, Y に対しては満たす)。この両辺の誤差についてはベイカー–キャンベル–ハウスドルフの公式(英語版)を参照せよ。