有限生成加群
より一般に、代数(例えば環)は有限生成加群であれば有限生成代数(英語版)である。逆に、有限生成代数が(係数環上)整であれば、有限生成加群である。(詳細は整拡大参照。)
0 → M' → M → M'' → 0 を加群の完全列とする。このとき M', M'' が有限生成であれば M は有限生成である。この部分的な逆が成り立つ。M が有限生成で M'' が有限表示(これは有限生成よりも強い、下記参照)であれば、M' は有限生成である。また、M がネーター的(あるいはアルティン的)であることと M', M'' がネーター的(あるいはアルティン的)であることは同値である。
B を環とし A をその部分環で B は忠実平坦右 A-加群とする。このとき左 A-加群 F が有限生成(あるいは有限表示)であることと B-加群 B ⊗ A F {\displaystyle B\otimes _{A}F} が有限生成(あるいは有限表示)であることは同値である。
連接加群 (coherent module) M は有限生成部分加群が有限表示であるような有限生成加群である。
任意の環 R 上で、連接加群は有限表示であり、有限表示加群は有限生成かつ有限関係である。ネーター環 R 上の加群において、有限生成、有限表示、連接は同値な条件である。
射影および平坦加群に対していくつかのクロスオーバーが起こる。有限生成射影加群は有限表示であり、有限関係平坦加群は射影的である。
環 R に対して次の条件が同値であるということもまた正しい。
R は右連接環である。
加群 RR は連接加群である。
すべての有限表示右 R 加群は連接である。
連接性は有限生成や有限表示よりも扱いにくそうに見えるが、それらよりも優れている。なぜならば、連接加群の圏はアーベル圏であるのに対し、有限生成加群や有限表示加群はどちらも一般にはアーベル圏をなさないからである。