ディリクレの判定法
S n = ∑ k = 1 n a k b k {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}} 、 B n = ∑ k = 1 n b k {\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}} とおく。
部分和分法により S n = a n + 1 B n + ∑ k = 1 n B k ( a k − a k + 1 ) {\displaystyle S_{n}=a_{n+1}B_{n}+\sum _{k=1}^{n}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})} と変形できる。
B n {\displaystyle B_{n}} は絶対値が M で抑えられていて a n → 0 {\displaystyle a_{n}\rightarrow 0} なので、第1項は0に収束する:
a n + 1 B n → 0 {\displaystyle a_{n+1}B_{n}\to 0} ( n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } )
一方 a n {\displaystyle a_{n}} は非増加数列なので a k − a k + 1 {\displaystyle a_{k}-a_{k+1}} は任意の k に対し非負であり、 | B k ( a k − a k + 1 ) | ≤ M ( a k − a k + 1 ) {\displaystyle |B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M(a_{k}-a_{k+1})} となるが、