ウィグナーのD行列
ウィグナーのD行列の要素 D m k j ( α , β , γ ) {\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )} は、オイラー角α, β, γの直交関数群を成す。
∫ 0 2 π d α ∫ 0 π d β sin  β ∫ 0 2 π d γ D m ′ k ′ j ′ ( α , β , γ ) ∗ D m k j ( α , β , γ ) = 8 π 2 2 j + 1 δ m ′ m δ k ′ k δ j ′ j {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }d\beta \sin \beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,\,D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{\ast }D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {8\pi ^{2}}{2j+1}}\delta _{m'm}\delta _{k'k}\delta _{j'j}}
これはシューアの直交関係の特殊例である。
ピーター・ワイルの定理(英語版)により、これらは完全系を成すことが重要である。
D行列の複素共役が満たすさまざまな性質を簡潔にあらわすため、次の演算子 ( x , y , z ) = ( 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle (x,y,z)=(1,2,3)} を導入する。
J ^ 1 = i ( cos  α cot  β ∂ ∂ α + sin  α ∂ ∂ β − cos  α sin  β ∂ ∂ γ ) J ^ 2 = i ( sin  α cot  β ∂ ∂ α − cos  α ∂ ∂ β − sin  α sin  β ∂ ∂ γ ) J ^ 3 = − i ∂ ∂ α {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {J}}}_{1}&=i\left(\cos \alpha \cot \beta {\frac {\partial }{\partial \alpha }}+\sin \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\cos \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{2}&=i\left(\sin \alpha \cot \beta {\partial \over \partial \alpha }-\cos \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\sin \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{3}&=-i{\partial \over \partial \alpha }\end{aligned}}}
Jx, Jy, JzをSU(2)およびSO(3)のリー代数の生成子とする。量子力学において、これらの3つの演算子は角運動量演算子のベクトル成分である。たとえば、原子内における電子の軌道角運動量、電子のスピン角運動量、剛体回転子の角運動量として現われる。
これら全ての場合において、上の3演算子は次の交換関係を満たす。
[ J x , J y ] = i J z , [ J z , J x ] = i J y , [ J y , J z ] = i J x {\displaystyle [J_{x},J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},J_{z}]=iJ_{x}}
ここで、iは虚数単位であり、ディラック定数ħは1とした。カシミール演算子(英語版)
J 2 = J x 2 + J y 2 + J z 2 {\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}
はこれらすべてのリー代数生成子と交換する。したがって、Jzと同時に対角化することができる。
ここから球面基底、すなわち次を満たすケットからなる完全系を定義することができる。
D m ′ m j ( α , β , γ ) ≡ ⟨ j m ′ | R ( α , β , γ ) | j m ⟩ = e − i m ′ α d m ′ m j ( β ) e − i m γ {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\gamma }}
ここで、
d m ′ m j ( β ) = ⟨ j m ′ | e − i β J y | j m ⟩ = D m ′ m j ( 0 , β , 0 ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle =D_{m'm}^{j}(0,\beta ,0)}
はウィグナーの(小文字)d行列の行列要素である。
したがって、この基底では
D m ′ m j ( α , 0 , 0 ) = e − i m ′ α δ m ′ m {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,0,0)=e^{-im'\alpha }\delta _{m'm}}
は対角行列で、γ要素についても同様だが、β要素については対角行列でない。