置換公理
そうでない場合、 θ ( E ) {\displaystyle \theta (E)} が成り立つ A {\displaystyle A} の元 E {\displaystyle E} を選ぶ。次にクラス関数 F {\displaystyle F} を以下のように定義する:任意の元 D {\displaystyle D} に対して θ ( D ) {\displaystyle \theta (D)} が成り立つ場合は F ( D ) = D {\displaystyle F(D)=D} 、成り立たない場合は F ( D ) = E {\displaystyle F(D)=E} 。すると F {\displaystyle F} による A {\displaystyle A} の像、すなわち集合 B = F ′′ A := { F ( x ) : x ∈ A } = A ∩ { x : θ ( x ) } {\displaystyle B=F''A:=\{F(x):x\in A\}=A\cap \{x:\theta (x)\}} が存在し(置換公理による)、まさしく分出公理に必要な集合 B {\displaystyle B} となる。