ディガンマ関数
これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示
1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) e − z / n {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl (}1+{\frac {z}{n}}{\biggr )}e^{-z/n}}
の対数微分から導かれるものである、
また、 z = 0 {\displaystyle z=0} でのテイラー展開により、 | z | < 1 {\displaystyle |\,z\,|<1} の領域で次のように級数表示される。
ψ ( z + 1 ) = − γ + ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) z n − 1 {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}\zeta (n)z^{n-1}}
ただし、 ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} はリーマンゼータ関数を表す。