終域
函数
f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
を「元の対応」
f : x ↦ x 2 ( i.e. f ( x ) := x 2 ) {\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}\quad ({\text{i.e. }}f(x):=x^{2})}
によって定義するとき、f の終域は R だが、f は任意の負の数に写る元を持たない。然るに f の値域は非負の数全体 R≥0(R+0, 無限半開区間 [0, ∞) などとも書く)である。
別な函数 g を
g : R → R 0 + ; x ↦ x 2 {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{0}^{+};\;x\mapsto x^{2}}
と定める。f と g は与えられた x をまったく同じ数に写すけれども、終域を重視する立場では、終域が異なるから同じ函数とは考えない。このことが意味のある区別であることを見るために、もう一つ函数 h を
h : x ↦ x {\displaystyle h\colon x\mapsto {\sqrt {x}}}
導入する。