クンマー理論
とする。実際には、群 Δ の任意の生成集合について、それぞれの元から代表をひとつとって、その n 乗根を添加すれば十分である。 逆に、L を K のクンマー拡大とすると、Δ は
Δ = K × ∩ ( L × ) n {\displaystyle \Delta =K^{\times }\cap (L^{\times })^{n}}
という規則により復元される。
この場合には、同型
Δ ≅ Hom c  ( Gal  ( L / K ) , μ n ) {\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})}
が、
a ↦ ( σ ↦ σ ( α ) α ) {\displaystyle a\mapsto {\biggl (}\sigma \mapsto {\frac {\sigma (\alpha )}{\alpha }}{\biggr )}}
により与えられる。ここに、α は L の元 a の n 乗根である。また μ n {\displaystyle \mu _{n}} は 1 の n 乗根がなす乗法群であり、 K に含まれる。