ルーローの四面体
ルーローの三角形は定幅図形なので、ルーローの四面体も定幅図形であると考えるかもしれない。もし定幅図形なら、工学分野での応用が期待できる。しかし実際はルーローの四面体は定幅図形ではない。
ルーローの四面体の相対する辺の中点同士の距離は、
( 3 − 2 2 ) s ≈ 1.024944 s {\displaystyle \left({\sqrt {3}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)s\approx 1.024944s}
で、頂点と相対する面上の任意の点との距離 s より大きく、定幅は成り立たない。
ただし Meißner & Schiller (1912) は、ルーローの四面体の辺を削ってトーラスの部分集合で置き換えることで、定幅図形に修正できることを示した。この図形はマイスナー体 (Meissner bodies) やマイスナーの四面体 (Meissner tetrahedra) と呼ばれる。ルーローの三角形は幅が同じ2次元の定幅図形のうちで面積最小という性質が確認されているが、3次元においてマイスナーの四面体が同様か否かは未解決である(Bonnesen – Fenchel Conjecture ,1934)。