ミッタク＝レフラーの定理
有理型関数の極展開の例をいくつか挙げる:
1 sin  z = ∑ n ∈ Z ( − 1 ) n z − n π = 1 z + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 2 z z 2 − n 2 π 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sin z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2z}{z^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}}
cot  z ≡ cos  z sin  z = ∑ n ∈ Z 1 z − n π = 1 z + ∑ k = 1 ∞ 2 z z 2 − k 2 π 2 {\displaystyle \cot z\equiv {\frac {\cos z}{\sin z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-k^{2}\pi ^{2}}}}
複素解析において、ミッタク=レフラーの定理(ミッタク=レフラーのていり、英: Mittag-Leffler's theorem)とは、前もって与えられた極を持つ有理型関数の存在に関する定理である。一方、ワイエルシュトラスの因数分解定理は、前もって与えられた零点を持つ正則関数の存在を主張する定理であり、本定理と対をなす。この定理の名称は、ヨースタ・ミッタク=レフラー (Gösta Mittag-Leffler) に因んでいる。
1 sin 2  z = ∑ n ∈ Z 1 ( z − n π ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}z}}=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\pi )^{2}}}}
1 z sin  z = 1 z 2 + ∑ n ≠ 0 ( − 1 ) n π n ( z − π n ) = 1 z 2 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n π 2 z z 2 − π 2 n 2 {\displaystyle {\frac {1}{z\sin z}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\pi }}{\frac {2z}{z^{2}-\pi ^{2}n^{2}}}}