単振動
複素指数関数による形式では次のとおりである。単振動の複素指数関数の形式を t で1回微分すれば
d x d t = i ω A c e i ω t {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=i\omega A_{c}e^{i\omega t}}
となり、t で2回微分すれば、
d 2 x d t 2 = − ω 2 A c e i ω t {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}A_{c}e^{i\omega t}}
となる。したがって、元の x に iω を1回掛ければ速度となり、元の x に iω を2回掛ければ加速度になる。また、
i = e i π 2 {\displaystyle i=e^{\frac {i\pi }{2}}}
という関係があるので、上式は次のような位相の関係が明確にした形に変形できる。
d x d t = ω A c e i ( ω t + π 2 ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\omega A_{c}e^{i(\omega t+{\frac {\pi }{2}})}}
d 2 x d t 2 = ω 2 A c e i ( ω t + π ) {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\omega ^{2}A_{c}e^{i(\omega t+\pi )}}
これらの実部が、cos 形式の x の速度と加速度に対応する。