スペクトル分解 (関数解析学)
ヒルベルト空間はバナッハ空間であり、したがって上述の定理はヒルベルト空間上の有界作用素に対しても同様に適用することが出来る。しかし各作用素の共役作用素に関して、差異が生じる可能性がある。例えば、H をヒルベルト空間とし、T ∈ L(H) とすれば、σ(T*) は σ(T) と一致はしないが、その像は複素共役の下にある。
自己共役作用素 T ∈ L(H) に対して、ボレル汎函数計算(英語版)は、スペクトルを自然に分解する方法を提供するものである。
上述の議論は、非有界な自己共役作用素に対しても拡張できる。なぜならば、局所コンパクトハウスドルフ空間に対してもリース=マルコフの表現定理は成立するからである。
量子力学において、オブサーバブルは必ずしも有界ではない自己共役作用素で、それらのスペクトルは得られうる測定値である。物理学的なオブザーバブルの絶対連続スペクトルは、系の自由状態に対応し、純点スペクトルは束縛状態に対応する。特異スペクトルは、物理的に不可能な結果に対応する。純連続スペクトルを持つような量子力学的オブザーバブルの例に、直線上を動く自由粒子の位置演算子が挙げられる。そのスペクトルは、実数直線全体である。また、運動量演算子はフーリエ変換を介して位置演算子とユニタリ同値であるため、それらのスペクトルは等しい。
直感的には、スペクトルの離散性は対応する「局在化された」状態と密接な関係があるように思われるかも知れない。しかし、数学的解析を注意深く行えば、これは真でないことが分かる。次に定める f {\displaystyle f} は L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} の元で、 x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } に対して増加する:
f ( x ) = { n if x ∈ [ n , n + 1 n 4 ] , 0 else.