ヴァイエルシュトラスの楕円函数
Δ < 0 ならば、慣習的に α > 0, β > 0 を用いて e1 = −α + βi, e3 は e1 の複素共軛、e は非負実数となるようにする。
ヴァイエルシュトラスのペー函数の半周期 ω1/2, ω2/2 は、これらの根との間に
℘ ( ω 1 / 2 ) = e 1 , ℘ ( ω 2 / 2 ) = e 2 , ℘ ( ω 3 / 2 ) = e 3 , ( ω 3 := − ( ω 1 + ω 2 ) ) {\displaystyle \wp (\omega _{1}/2)=e_{1},\quad \wp (\omega _{2}/2)=e_{2},\quad \wp (\omega _{3}/2)=e_{3},\qquad (\omega _{3}:=-(\omega _{1}+\omega _{2}))}
なる関係を持つ。ペー函数の導函数の平方は、上で述べた函数値の三次多項式に等しいから、
℘ ′ ( ω i / 2 ) 2 = ℘ ′ ( ω i / 2 ) = 0 {\displaystyle \wp '(\omega _{i}/2)^{2}=\wp '(\omega _{i}/2)=0}
と書ける。
ペー函数 ℘ は(周期を除いて)二つの零点を持ち、その導函数 ℘' は三つの零点を持つ。導函数 ℘' の零点の方は簡単に求められる、というのも ℘' は奇函数ゆえ零点は半周期点になければならないからである。他方、ペー函数 ℘ 自体の零点は,、母数 τ が特別な値である場合(例えば、周期格子がガウス整数全体の成す集合になるとき)を除けば、閉じた式に表すのは非常に困難である。一つの式が、ザギエとアイヒラーによって求められている。
ヴァイエルシュトラス理論には、ヴァイエルシュトラス・ゼータ函数というものもあり、これはペー函数 ℘ の不定積分で、二重周期函数にはならない。また、ヴァイエルシュトラス・ゼータを対数導函数とするような、ヴァイエルシュトラス・シグマ函数と呼ばれるテータ函数も持つ。このシグマ函数は任意の周期点に零点を持ち(かつそれ以外に零点を持たない)、ヤコビの楕円函数を用いて表すこともできる。これによって、ヴァイエルシュトラスの楕円函数とヤコビの楕円函数の間の相互変換の一つの方法が与えられる。
ヴァイエルシュトラス・シグマは整函数であり、J.E.リトルウッドのランダム整函数論において「典型的」な函数としての役割を持つ。