数論的関数
sum of digits 関数 s q ( n ) = ∑ j ≥ 0 b j ( n ) {\displaystyle \textstyle s_{q}(n)=\sum _{j\geq 0}b_{j}(n)}
digit counting 関数 e q ( b ; n ) = # { j | b j ( n ) = b } {\displaystyle e_{q}(b;n)=\#\{j|b_{j}(n)=b\}} 但し、b は 1 , 2 , ... , q − 1 {\displaystyle \scriptstyle 1,2,\ldots ,q-1} のいずれか。
(1) 約数関数 d ( n ) {\displaystyle d(n)}
最大位数は、
2 log  n / log  log  n {\displaystyle 2^{\log n/\log \log n}\!}
であり、平均位数は log  n {\displaystyle \log n} である。 さらに log  d ( n ) {\displaystyle \log d(n)} の正規位数は l o g 2 log  log  n {\displaystyle log2\log \log n} である。 従って、任意の正数 ε とほとんど全ての正整数 n に対して
( log  n ) ( 1 − ε ) log  2 < d ( n ) < ( log  n ) ( 1 + ε ) log  2 {\displaystyle (\log n)^{(1-\epsilon )\log 2}<d(n)<(\log n)^{(1+\epsilon )\log 2}\!}
が成立する。
つまり、ほとんど全ての正整数に対して、 d ( n ) {\displaystyle d(n)} の値は、平均位数よりも小さい。
(2) 約数和関数 σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)}
最大位数は