クラウジウス–デュエムの不等式
クラウジウス–デュエムの不等式は内部エネルギーの観点から以下のように記述可能である。
ρ ( e ̇ − T η ̇ ) − σ : ∇ v ≤ − q ⋅ ∇ T T {\displaystyle \rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}}
ここで e ̇ {\displaystyle {\dot {e}}} は比内部エネルギー e {\displaystyle e\,} (単位質量あたりの内部エネルギー)の時間微分、 σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} はコーシー応力、 ∇ v {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} } は速度勾配。
上記の不等式は、エネルギー保存の法則と、運動量保存の法則をクラウジウス–デュエムの不等式に組み入れる。