自己回帰和分移動平均モデル
ARIMAモデルの予測区間(予測の信頼区間)は、残差が無相関で正規分布しているという仮定に基づいている。これらの仮定のいずれかが当てはまらない場合、予測間隔が正しくない可能性がある。このため、研究者は予測区間を作成する前に、過程をチェックするために残差のACFとヒストグラムをプロットする。
95%の予測区間は
y ^ T + h ∣ T ± 1.96 v T + h ∣ T {\displaystyle {\hat {y}}_{T+h\,\mid \,T}\pm 1.96{\sqrt {v_{T+h\,\mid \,T}}}}
ここで、 v T + h ∣ T {\displaystyle v_{T+h\mid T}} は y T + h ∣ y 1 , ... , y T {\displaystyle y_{T+h}\mid y_{1},\dots ,y_{T}} の分散である
h = 1 , v T + h ∣ T = σ ^ 2 {\displaystyle h=1,\,v_{T+h\,\mid \,T}={\hat {\sigma }}^{2}} のとき、パラメータや次数に関係なく、すべてのARIMAモデルに適用される。
次数pおよびqは、サンプル自己相関関数(ACF)、偏自己相関関数(PACF)、拡張自己相関関数(EACF)法を用いて決定することができる。
その他の代替法として、AIC、BICなどがある。非季節性ARIMAモデルの次数を決定するためには赤池情報量規準(AIC)が有用である。AICは次のように書かれる。
AIC = − 2 log  ( L ) + 2 ( p + q + k ) , {\displaystyle {\text{AIC}}=-2\log(L)+2(p+q+k),}
ここで、Lはデータの尤度、pは自己回帰モデル部分の次数、qは移動平均モデル部分の次数であり、k' はARIMAモデルの切片を表す。AICでは k = 1の場合はARIMAモデルに切片があり(c ≠ 0)、k = 0 の場合はARIMAモデルに切片がない(c = 0)ことになる。
ARIMAモデルの補正AICは、次のように書くことができる。
AICc = AIC + 2 ( p + q + k ) ( p + q + k + 1 ) T − p − q − k − 1 . {\displaystyle {\text{AICc}}={\text{AIC}}+{\frac {2(p+q+k)(p+q+k+1)}{T-p-q-k-1}}.
時系列データXt(tは整数インデックス、Xtは実数)が与えられたとき、 ARMA ( p ′ , q ) {\displaystyle {\text{ARMA}}(p',q)} モデルは下記のようになる。
X t − α 1 X t − 1 − ⋯ − α p ′ X t − p ′ = ε t + θ 1 ε t − 1 + ⋯ + θ q ε t − q , {\displaystyle X_{t}-\alpha _{1}X_{t-1}-\dots -\alpha _{p'}X_{t-p'}=\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{t-q},}
または同等に
( 1 − ∑ i = 1 p ′ α i L i ) X t = ( 1 + ∑ i = 1 q θ i L i ) ε t {\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}
ここで、 L {\displaystyle L} はラグ演算子、 α i {\displaystyle \alpha _{i}} はモデルの自己回帰部分のパラメーター、 θ i {\displaystyle \theta _{i}} は移動平均部分のパラメータ、 ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} は誤差項である。
ここで、mは各季節の期間の数を意味し、大文字のP、D、QはARIMAモデルの季節部分の自己回帰項、差分項、移動平均項を意味する 。
3つの項のうち2つがゼロの場合、モデルを表す頭字語のうちゼロではないパラメータを用いてモデルを記載することができる。例えば、 A R I M A ( 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathrm {ARIMA} (1,0,0)} は A R ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {AR} (1)} 、 A R I M A ( 0 , 1 , 0 ) {\displaystyle \mathrm {ARIMA} (0,1,0)} は I ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {I} (1)} 、 A R I M A ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle \mathrm {ARIMA} (0,0,1)} は M A ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {MA} (1)} と記載される。
ARIMAモデルは、ボックス・ジェンキンス法に従って推定することができる。
いくつかのよく知られていた特殊なケースは、自然に生じたり、他の一般的な予測モデルと数学的に同等であったりする。例えば:
A R I M A ( 0 , 1 , 0 ) {\displaystyle \mathrm {ARIMA} (0,1,0)} モデル(または I ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {I} (1)} モデル)は次の式で与えられ、ランダムウォークを示す。 X t = X t − 1 + ε t {\displaystyle X_{t}=X_{t-1}+\varepsilon _{t}}
定数項を伴う A R I M A ( 0 , 1 , 0 ) {\displaystyle \mathrm {ARIMA} (0,1,0)} モデルは次の式で与えられ、ドリフトを伴うランダムウォークを示す。 X t = c + X t − 1 + ε t {\displaystyle X_{t}=c+X_{t-1}+\varepsilon _{t}}
A R I M A ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathrm {ARIMA} (0,0,0)} モデルはホワイトノイズモデルである。