係数環の変更
この定義では環は結合的と仮定するが,可換であったり単位元を持ったりする必要はない.また,加群は左加群と仮定する.右加群の場合に必要な修正は容易である.
f: R → S を2つの環の間の準同型とし,M を R 上の加群とする.テンソル積 SM = S ⊗R M を考える,ただし S は f によって右 R 加群と見なす.S は自身の上の左加群でもあり,2つの作用は可換である,すなわち s, s′ ∈ S と r ∈ R に対して s ⋅ ( s ′ ⋅ r ) = ( s ⋅ s ′ ) ⋅ r {\displaystyle s\cdot (s'\cdot r)=(s\cdot s')\cdot r} である(よりフォーマルなことばでは,S は (S, R) 両側加群である)から,SM は S の左作用を引き継ぐ.それは s, s′ ∈ S と m ∈ M に対して s ⋅ ( s ′ ⊗ m ) = s s ′ ⊗ m {\displaystyle s\cdot (s'\otimes m)=ss'\otimes m} によって与えられる.この加群は M から係数拡大によって得られるといわれる.
インフォーマルには,係数拡大は「環と加群のテンソル積」である;よりフォーマルには,それは両側加群と加群のテンソル積の特別な場合である―― (S, R) 両側加群と R 加群のテンソル積は S 加群である.