自由電子
自由電子はポテンシャルを V ( r ) = 0 {\displaystyle V(\mathbf {r} )=0} であるため、ハミルトニアンの固有値問題(定常状態のシュレーディンガー方程式)は次のように書ける。
− ħ 2 2 m ∇ 2 ψ ( r ) = E ψ ( r ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}
ここでmは自由電子の質量、ħはディラック定数、温度は絶対零度(T = 0 K)である。これを解くと、得られるエネルギー固有値は次のようになる。
E ( k ) = ħ 2 k 2 2 m {\displaystyle E({\boldsymbol {k}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}
ここで k {\displaystyle {\boldsymbol {k}}} は波数ベクトルである。よってE-k曲線(分散関係)は波数の二乗に比例し、放物線となることがわかる。
また得られるエネルギー固有状態は平面波であることがわかる。
ψ k ( r ) = 1 Ω r e i k ⋅ r {\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}