幾何学的群論
これは、組合せ曲率条件を介して、群の有限表示に対応するファンカンペン図式(英語版)を研究し、そのような解析から群の代数的およびアルゴリズム的性質を導くものである。 1977年のセールの本 で紹介されたバスセール理論は、単体ツリーに対する群作用を研究することにより、群に関する代数構造の情報を導き出す。幾何学的群論の外的な前身には、リー群の格子の研究、特にモストウの剛性定理、クライン群(英語版)の研究、1970年代と1980年代初頭に低次元トポロジーと双曲幾何学で達成された進歩、特にウィリアム・サーストンの幾何化プログラムが含まれる。
幾何学的群論が数学の別個の分野として出現したのは、通常、1980年代後半から1990年代初頭にさかのぼる。これはミハイル・グロモフの1987年のモノグラフ『Hyperbolic groups』 およびその後のモノグラフの『Asymptotic Invariants of Infinite Groups』 により拍車がかかった。前者は大尺度(large-scale)で負の曲率を持つ有限生成群の概念を捉えた双曲群(英語版)(語双曲群またはグロモフ双曲群または負曲率群としても知られる)を概念を導入したもので、後者は離散群の擬等長(英語版)類を理解するというグロモフのプログラムの概要を説明したものである。グロモフの研究は、離散群の研究に変革的な影響を与え、「幾何学的群論」というフレーズがその後すぐに現れ始めた。(例えば 参照)。
幾何学的群論は、群を自由群の商として説明する群の表示の解析を通じて離散群の性質を主に研究した組合せ群論(英語版)から生まれた。この分野は、1880年代初頭に、フェリックス・クラインの門生のヴァルター・フォン・ダイク(英語版)によって最初に体系的に研究された が、初期には、1856年のウィリアム・ローワン・ハミルトンによる、en:Icosian calculusとよばれる十二面体の辺グラフを用いた正十二面体群(英語版)の研究がある。現在、分野としての組合せ群論は、幾何学的群論に大きく含まれている。さらに、「幾何学的群論」という用語には、確率論的、測度論的、数論的、解析的、その他のアプローチを使用して、従来の組合せ群論の外にある離散群の研究がしばしば含まれるようになった。
20世紀の前半には、マックス・デーン、ヤコブ・ニールセン(en:Jakob Nielsen (mathematician))、クルト・ライデマイスター(英語版)、オットー・シュライアー(英語版)、J・H・C・ホワイトヘッド(英語版)、エグバート・ファンカンペン(英語版)などの先駆的な研究により、離散群の研究にトポロジー的および幾何学的なアイデアが導入された。幾何学的群論の他の前身には、スモールキャンセル理論(英語版)とバスセール理論(英語版)がある。スモールキャンセル理論は、1960年代にマーティン・グリンドリンガーによって導入され 、さらにロジャー・リンドン(英語版)とポール・シュップ(英語版)によって発展された。
1990年代と2000年代の幾何学的群論の注目すべきテーマと発展には、次のものがある。
群の擬等長の性質を研究するためのグロモフのプログラム。
この分野で特に影響力のある広大なテーマは、大尺度(large scale)な幾何学によって有限生成群を分類するグロモフのプログラム である。正確には、これは語距離(英語版)を入れた有限生成群の擬等長(英語版)類を分類することを意味する。このプログラムには以下が含まれる。
擬等長(英語版)の下で不変である性質の研究。有限生成群のこのような性質の例には、次のものがある。有限生成群の増大度(英語版)。有限表示群の等周関数(英語版)またはデーン関数(英語版)。群のエンドの数。 群の双曲性(英語版)。双曲群のグロモフ境界(英語版)の同相型; 有限生成群の漸近錐(英語版)(asymptotic cone)(たとえば 参照)。有限生成群の従順性 ;実質的に(en:virtually)アーベルである(つまり、有限位数のアーベル部分群をもつ)こと;実質的にべき零であること。実質的に自由であること。有限表示できること。語問題(英語版)が解ける有限表示群であること。など
擬等長不変量を用いて、群に関する代数的結果を証明する定理。例えば、グロモフの多項式増大定理(英語版); スターリングスのエンド定理; モストウの剛性定理。
擬等長剛性定理。つまり、与えられた群または距離空間に対して、擬等長であるすべての群を代数的に分類するもの。