ビネ方程式
ニュートン力学の運動の第2法則は、中心力のみが働く場合、次のように表わされる。
F ( r ) = m ( r ̈ − r θ ̇ 2 ) {\displaystyle F(r)=m({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2})}
角運動量保存則から、次が要請される。
r 2 θ ̇ = h = constant {\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h={\text{constant}}}
r の時間微分を、次のように u の角度微分に書き直す。
d u d θ = d d t ( 1 r ) d t d θ = − r ̇ r 2 θ ̇ = − r ̇ h d 2 u d θ 2 = − 1 h d r ̇ d t d t d θ = − r ̈ h θ ̇ = − r ̈ h 2 u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {r}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\\\end{aligned}}}
ここで、c は光速、rs はシュワルツシルト半径である。ライスナー・ノルドシュトロム計量用のものは次のようになる。
d 2 u d θ 2 + u = r s c 2 2 h 2 + 3 r s 2 u 2 − G Q 2 4 π ε 0 c 4 ( c 2 h 2 u + 2 u 3 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u={\frac {r_{s}c^{2}}{2h^{2}}}+{\frac {3r_{s}}{2}}u^{2}-{\frac {GQ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}\left({\frac {c^{2}}{h^{2}}}u+2u^{3}\right)}
ここで、Q は電荷、ε0 は真空の誘電率である。
ビネ方程式(ビネほうていしき、英: Binet equation)は、ジャック・フィリップ・マリー・ビネが導出した方程式で、平面極座標系で表わされた軌道運動と、中心力を結びつける方程式である。中心力から軌道を導出する場合は、一般には二階非線形(英語版)常微分方程式となる。力の中心回りの周回運動となる場合は、一意解は存在しない。