ライス＝シャピロの定理
x {\displaystyle x} が W e {\displaystyle W_{e}} に属すとき: φ k ( x ) = f {\displaystyle \varphi _{k(x)}=f} が成り立つ。仮定より f は A に属さないから、 k ( x ) ∉ I n d e x ( A ) {\displaystyle k(x)\notin \mathrm {Index} (A)} が成り立つ。
x {\displaystyle x} が W e {\displaystyle W_{e}} に属さないとき: φ k ( x ) = g {\displaystyle \varphi _{k(x)}=g} が成り立つ。仮定より g は A に属すから、 k ( x ) ∈ I n d e x ( A ) {\displaystyle k(x)\in \mathrm {Index} (A)} が成り立つ。
したがって N ∖ W e {\displaystyle \mathbb {N} \setminus W_{e}} は I n d e x ( A ) {\displaystyle \mathrm {Index} (A)} に多対一還元可能である。 I n d e x ( A ) {\displaystyle \mathrm {Index} (A)} は帰納的可算であるから、 N ∖ W e {\displaystyle \mathbb {N} \setminus W_{e}} も帰納的可算である。これは W e {\displaystyle W_{e}} の取り方に反する。