ピカール＝リンデレーフの定理
ピカール=リンデレーフの定理は、解が存在することと、それが一意であることを示す。ペアノの存在定理は存在のみを示し、一意性は示さないが、これは f がリプシッツ連続ではなく、 y において連続であることのみを仮定している。例えば、方程式の右辺が dy/dt = y を初期条件 y(0) = 0 として計算すると、連続ではあるがリプシッツ連続ではない。実際、この方程式は一意ではなく、次の3つの解を持っている。
y ( t ) = 0 , y ( t ) = ± ( 2 3 t ) 3 2 {\displaystyle y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}}
さらに一般的なものとしてはカラテオドリの存在定理があり、これは f に関するより弱い条件の下で(より一般的な意味での)存在を証明するものである。これらの条件は十分条件でしかないが、岡村の定理のように、初期値問題の解が一意であるための必要十分条件も存在する。
数学の微分方程式論において、ピカール=リンデレーフの定理(Picard–Lindelöf theorem)、ピカールの存在定理(Picard's existence theorem)、コーシー=リプシッツの定理(Cauchy–Lipschitz theorem)、または解の存在と一意性の定理(かいのそんざいといちいせいのていり、existence and uniqueness theorem)とは、初期値問題の解が一意に存在するための十分条件を与える定理である。
定理の名前は、エミール・ピカール、エルンスト・レオナルド・リンデレーフ(英語版)、オーギュスタン=ルイ・コーシー、ルドルフ・リプシッツに因む。
次の初期値問題を考える。
y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0}}
関数 f が y に一様にリプシッツ連続(リプシッツ定数が t に依らないことを意味する)であり、かつ、 t に連続しているとすると、ある値 ε > 0 に対して、区間 [ t 0 − ε , t 0 + ε ] {\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]} 上で初期値問題の唯一の解 y(t) が存在する。