ハウスドルフ次元
H δ s ( X ) = inf ∑ i = 1 ∞ | U i | s {\displaystyle H_{\delta }^{s}(X)=\inf \sum _{i=1}^{\infty }\left\vert U_{i}\right\vert ^{s}}
と定義する。
被覆を抑える2つの直径 δ が δ2 < δ1 という大小関係にあるとする。このとき、直径を δ1 以下とする被覆は、直径を δ2 以下とする被覆を含んでいる。よって、H sδ1 の値は、H sδ2 よりも小さいか等しいかのいずれかとなる。結局、
δ 2 < δ 1 {\displaystyle \delta _{2}<\delta _{1}} ならば H δ 2 s ( X ) ≤ H δ 1 s ( X ) {\displaystyle H_{\delta _{2}}^{s}(X)\leq H_{\delta _{1}}^{s}(X)}
であるから、H sδ は δ の減少とともに単調増加する。したがって、
H s ( X ) = lim δ → 0 inf ∑ i = 1 ∞ | U i | s {\displaystyle H^{s}(X)=\lim _{\delta \to 0}\inf \sum _{i=1}^{\infty }\left\vert U_{i}\right\vert ^{s}}
という極限値が、 H (X) = ∞ の場合まで含めると常に存在する。この H (X) は外測度の条件を満たし、s 次元ハウスドルフ外測度やハウスドルフ s 次元外測度と呼ばれる。さらに、可測集合(または σ-集合体)に制限した H は s 次元ハウスドルフ測度やハウスドルフ s 次元測度と呼ばれる。
ハウスドルフ次元の意味を直感的に説明すると、ハウスドルフ外測度 H (X) の次元 s はものさしの粗さのようなもので、s < dimH(X) で H (X) = ∞ となるのは、集合 X の厚さを測るのには s がものさしとして細か過ぎて、そのものさしからは X は捕え切れないほど大きく見える状態である。一方、s > dimH(X) で H (X) = 0 となるのは、集合 X の厚さを測るのには s がものさしとして粗過ぎて、そのものさしからはX の厚さは無視できるほど小さく見える状態である。s = dimH(X) は、それらの中間で、X の厚さを測るのにちょうどいい粗さのものさしであることを意味している。
ハウスドルフ外測度を定義するために出てきた ∑∞i = 1|Ui| という和は、s = 1 を代入してみると、∑∞i = 1|Ui| という長さ |Ui| の線分の長さの合計となる。