ド・ラームコホモロジー
M を微分可能多様体とし Ω(M) を M 上の滑らかな函数の空間、Ω(M) を M 上の k 次微分形式の空間とする。d: Ω(M) → Ω(M) で外微分をあらわし、上で述べたように ker d の元を閉形式、Im d の元を完全形式と呼ぶ。dd = 0 をみたすことから次の系列
0 → Ω 0 ( M ) → d 0 Ω 1 ( M ) → d 1 Ω 2 ( M ) → d 2 Ω 3 ( M ) → ⋯ {\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\,{\xrightarrow {\,d^{0}\,}}\,\Omega ^{1}(M)\,{\xrightarrow {\,d^{1}\,}}\,\Omega ^{2}(M)\,{\xrightarrow {\,d^{2}\,}}\,\Omega ^{3}(M)\to \cdots }
は複体であり、これをド・ラーム複体と呼ぶ。この複体のコホモロジーがド・ラームコホモロジーである。すなわち、閉形式の空間を完全形式の空間でわった商
H d R k ( M ) = Ker  d k / Im  d k − 1 {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)=\operatorname {Ker} d_{k}/\operatorname {Im} d_{k-1}}
が k 次ド・ラームコホモロジー群である。
定義からわかるように HkdR = 0 であることと任意の k 次閉形式が完全形式であることが同値である。
n > 0 に対し、T を n 次元トーラスとすると、 H d R k ( T n ) ≃ R ( n k ) {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbf {R} ^{n \choose k}}
となる。