ニュートン＝カントロビッチの定理
X ⊂ R n {\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}} を開集合として、 F : R n ⊃ X → R n {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\supset X\to \mathbb {R} ^{n}} を微分可能関数で局所的にリプシッツ連続であるとする。つまり、いかなる開集合 U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} に対しても定数 L > 0 {\displaystyle L>0} が存在して、任意の x , y ∈ U {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in U} に対して
‖ F ′ ( x ) − F ′ ( y ) ‖ ≤ L ‖ x − y ‖ {\displaystyle \|F'(\mathbf {x} )-F'(\mathbf {y} )\|\leq L\;\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|}
が成り立ち、任意の v ∈ R n {\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}} に対して不等式:
上記の仮定の下で α 0 ≤ 1 2 {\displaystyle \alpha _{0}\leq {\tfrac {1}{2}}} のとき、
F ( x ∗ ) = 0 {\displaystyle F(\mathbf {x} ^{*})=0} の解 x ∗ {\displaystyle \mathbf {x} ^{*}} が球 B ̄ ( x 1 , ‖ h 0 ‖ ) {\displaystyle {\bar {B}}(\mathbf {x} _{1},\|\mathbf {h} _{0}\|)} 内に存在する。
x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} で始まるニュートン反復が x ∗ {\displaystyle \mathbf {x} ^{*}} に少なくとも線形オーダーで収束する。
より精密だが証明が難しい主張は多項式:
p ( t ) = ( 1 2 L ‖ F ′ ( x 0 ) − 1 ‖ − 1 ) t 2 − t + ‖ h 0 ‖ {\displaystyle p(t)=\left({\tfrac {1}{2}}L\|F'(\mathbf {x} _{0})^{-1}\|^{-1}\right)t^{2}-t+\|\mathbf {h} _{0}\|} ,