距離空間
距離空間の族 (Xλ, dλ)λ ∈ Λが与えられたとき、 ∐ λ ∈ Λ X λ {\displaystyle \coprod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }} 上に拡張距離を
d ∐ ( x , y ) := { d λ ( x , y ) ( x , y ∈ X λ ) , ∞ (otherwise) {\displaystyle d_{\coprod }(x,y):={\begin{cases}d_{\lambda }(x,y)&(x,y\in X_{\lambda }),\\\infty &{\text{(otherwise)}}\end{cases}}}
と定めることが出来る。
距離空間 (X, d) と全射 f: X →Y が与えられたとき、Y 上に擬距離を
d f ( y 0 , y 1 ) := inf { ∑ n = 0 N d ( x 2 n , x 2 n + 1 ) : f ( x 2 n − 1 ) = f ( x 2 n ) ( 0 < n < N ) , y 0 = f ( x 0 ) , y 1 = f ( x 2 N + 1 ) } {\displaystyle d_{f}(y_{0},y_{1}):=\inf \left\{\sum _{n=0}^{N}d(x_{2n},x_{2n+1}):f(x_{2n-1})=f(x_{2n})\;(0<n<N),y_{0}=f(x_{0}),y_{1}=f(x_{2N+1})\right\}}
と定めることが出来る。この擬距離は f を1-リプシッツにする最大の擬距離である。
この2つの方法を組み合わせることにより距離空間の張り合わせが定義される。