局所環
環 R が局所環であるとは、以下に挙げる同値な条件を一つ(したがって全て)満たすもののことである:
R は極大左イデアルを唯一つだけ持つ。
R は極大右イデアルを唯一つだけ持つ。
R において 1 と 0 が等しくなく、また R のどの二つの非可逆元の和も再び非可逆となる。
R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 − x のいずれかは必ず可逆である。
R の元の適当な有限和が単元となるならば、和の項となる元の中に単元が必ずある(特にもし、何も加えないという和を考えるなら、それは 0 を意味するのであって、いま 1 と異なるのであるから単元でない)。
R/J は可除環である。ただし J は R のジャコブソン根基を表す。
これらの性質が成り立つとき、唯一の極大左イデアルは唯一の極大右イデアルに一致し、またジャコブソン根基にも一致する。
特にこの局所環の極大イデアルは f(0) = 0 を満たすような函数芽全体に一致する。
これと同じようなことは、位相空間とその上の一点と実数値連続函数から芽の環を考えることでもできるし、可微分多様体上に一点をとって、可微分写像から芽の環を考えても、あるいは点つきの代数多様体上の有理函数から芽の環を考えてもよいが、結果として、これらの芽の環は局所環となる。またこれらの例は、代数多様体の一般化であるスキームが、どうして特殊な局所環付き空間として定義されるのかということの説明の一助となる。
もう少し算術的な例として、分母が奇数となるような有理数全体の成す環 Z(2) は局所環である。その極大イデアルは、分子が偶数で分母が奇数であるような分数全体 2Z(2) である。もっと一般に、可換環 R とその素イデアル P が与えられたとき、R の P における局所化は、P の生成する唯一の極大イデアルを持つ局所環である。
体上の(一変数あるいは多変数の)形式冪級数環も局所環の例である。極大イデアルは定数項を持たない冪級数全体である。(一方で体上の多項式環は局所環ではない。)
体上の二元数の成す多元環も局所環である。もう少し一般に、F が体で n が正整数であるならば、商環 F[X]/(X) は、定数項を持たない多項式の類全体の成す極大イデアルを持つ局所環となる。