コットンテンソル
あるスカラー函数 ω {\displaystyle \omega } が存在して、計量 g ~ = e 2 ω g {\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\omega }g} の共形スケーリングの下では、クリストッフェル記号は次のように変換する。
Γ ~ β γ α = Γ β γ α + S β γ α {\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }+S_{\beta \gamma }^{\alpha }}
ここに S β γ α {\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }} は
S β γ α = δ γ α ∂ β ω + δ β α ∂ γ ω − g β γ ∂ α ω {\displaystyle S_{\beta \gamma }^{\alpha }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\partial _{\beta }\omega +\delta _{\beta }^{\alpha }\partial _{\gamma }\omega -g_{\beta \gamma }\partial ^{\alpha }\omega }
のテンソルである。リーマン曲率テンソルは次のように変換される。
同様に、リッチスカラー(スカラー曲率)は次のように変換される。
R ~ = e − 2 ω R − 2 e − 2 ω ( n − 1 ) ∇ α ∂ α ω − ( n − 2 ) ( n − 1 ) e − 2 ω ∂ λ ω ∂ λ ω {\displaystyle {\widetilde {R}}=e^{-2\omega }R-2e^{-2\omega }(n-1)\nabla ^{\alpha }\partial _{\alpha }\omega -(n-2)(n-1)e^{-2\omega }\partial ^{\lambda }\omega \partial _{\lambda }\omega }
これらの事実を互いに組み合わせると、コットン・ヨークテンソルは次のように変換されると結論づけられる。
C ~ α β γ = C α β γ + ( n − 2 ) ∂ λ ω W β γ α λ {\displaystyle {\widetilde {C}}_{\alpha \beta \gamma }=C_{\alpha \beta \gamma }+(n-2)\partial _{\lambda }\omega {W_{\beta \gamma \alpha }}^{\lambda }}
あるいは、座標とは独立な記述をするならば、
C ~ = C + grad ω ⌟ W , {\displaystyle {\tilde {C}}=C\;+\;\operatorname {grad} \,\omega \;\lrcorner \;W,}
となる。右辺の勾配(gradient)の部分はワイルテンソル(英語版) W の対称性を保つ部分との内積を取ることを意味する。