モチヴィック・コホモロジー
例えば、基礎体 k が複素数体であれば、エタール・コホモロジーは(有限な係数の)特異コホモロジーと一致する。ヴォエヴォドスキーによって証明されたベイリンソン・リヒテンバウム予想は、多くのモチヴィック・コホモロジー群は、実際にはエタール・コホモロジー群と同型であるというもので、強力な結果である。これはノルム剰余同型定理の帰結である。つまり、ベイリンソン・リヒテンバウム予想(ヴォエヴォドスキーの定理)は、体 k 上滑らかなスキーム X と k で可逆である正の整数 m に対して、サイクル写像
H i ( X , Z / m ( j ) ) → H e t i ( X , Z / m ( j ) ) {\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))}
は全ての j ≥ i に対して同型写像であり、全ての j ≥ i − 1 に対して単射であると主張する。
任意の体 k と可換環 R に対して、ヴォエヴォドスキーは k 上の R 係数の モチーフの導来圏 DM(k; R) と呼ばれる R 線形3角圏(英語版) を定義した。k 上のスキーム X から、X のモチーフ M(X) と X のコンパクト台のモチーフ M(X) という2つの DM の対象が得られる。X が k 上固有(英語版) であれば、この2つは同型である。
モチーフの導来圏の基本的なことの一つは、4種類のモチヴィック・ホモロジーとモチヴィック・コホモロジーは全てこの圏における射の集合として生じるということだ。これを記述するために、まず全ての整数 j に対しテイト・モチーフ R(j) と呼ばれる DM(k; R) の対象が存在し、射影空間のモチーフはテイト・モチーフの直和となることに注意する:
M ( P k n ) ≅ ⊕ j = 0 n R ( j ) [ 2 j ] {\displaystyle M(\mathbf {P} _{k}^{n})\cong \oplus _{j=0}^{n}R(j)[2j]}
ここで M ↦ M[1] は3角圏 DM(k; R)のずらし関手(もしくは"移動関手")と呼ばれる関手である。これらを使うと、k 上有限型なスキーム X の(例えば)モチヴィック・コホモロジーは
H i ( X , R ( j ) ) ≅ Hom D M ( k ; R ) ( M ( X ) , R ( j ) [ i ] ) {\displaystyle H^{i}(X,R(j))\cong {\text{Hom}}_{DM(k;R)}(M(X),R(j)[i])}
となっている。そして、スキーム X の閉部分スキーム Z に対して、チャウ群の局所化系列で終わるモチヴィック・ホモロジー群の長完全局所化系列
⋯ → H 2 i + 1 ( X − Z , Z ( i ) ) → H 2 i ( Z , Z ( i ) ) → H 2 i ( X , Z ( i ) ) → H 2 i ( X − Z , Z ( i ) ) → 0 {\displaystyle \cdots \rightarrow H_{2i+1}(X-Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(X,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(X-Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow 0}
が存在する。
実際には、これはヴォエヴォドスキーによって作られた4つの理論、すなわち、モチヴィック・コホモロジー、コンパクト台モチヴィック・コホモロジー、ボレル・ムーア・モチヴィック・ホモロジー(これが今説明したもの)、コンパクト台モチヴィック・ホモロジーのうちのひとつに過ぎない。これらの理論は対応する位相幾何学の理論の多くの形式的な性質を持つ。例えば、体上有限型な任意のスキーム X に対して、モチヴィック・コホモロジー群 H(X,Z(j)) は2重次数つきの環をなす。