転置写像
同じ係数体 F 上のベクトル空間 V, W と線型写像 f: V → W があるとき、その転置 (transpose) または双対 (dual), 随伴 (adjoint) は
t f : W ∗ → V ∗ ; φ ↦ φ ∘ f {\displaystyle {}^{t}\!f\colon W^{*}\to V^{*};\quad \varphi \mapsto \varphi \circ f}
と定義される。得られる汎函数 f(φ) を φ の f に沿った引き戻し(英語版) と言う。
この転置は以下の等式: 任意の φ ∈ W* および v ∈ V に対して
[ t f ( φ ) , v ] V = [ φ , f ( v ) ] W ( ∀ φ ∈ W ∗ , v ∈ V ) {\displaystyle [{}^{t}\!f(\varphi ),\,v]_{V}=[\varphi ,\,f(v)]_{W}\quad (\forall \varphi \in W^{*},v\in V)}
によって特徴付けられる。ただし、括弧 [·,·]V および [·,·]W はそれぞれ V と V* および W と W* の間の自然な双対性である。