ワイルの補題 (ラプラス方程式)
ワイルの補題は、楕円型あるいは準楕円型作用素の正則性に関するより一般の結果より従う。滑らかな係数を持つある線型偏微分作用素 P {\displaystyle P} が準楕円型であるなら、すべての超函数 u {\displaystyle u} に対し、 P u {\displaystyle Pu} の特異台は u {\displaystyle u} のそれと一致する。ラプラス作用素は準楕円型であるため、 Δ u = 0 {\displaystyle \Delta u=0} であるなら、 0 {\displaystyle 0} の特異台が空であることから u {\displaystyle u} の特異台も空となるが、このことは u ∈ C ∞ ( Ω ) {\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )} を意味する。実際、ラプラス作用素は楕円型なので、より強い結果が成り立ち、 Δ u = 0 {\displaystyle \Delta u=0} の解は実解析的となる。