レイリー・プレセット方程式
レイリー・プレセット方程式は気泡半径を動的パラメータとして完全に第一原理で求められる。 時間 t {\displaystyle t} に依存する半径 R ( t ) {\displaystyle R(t)} を持つ球面の気泡を考えよう。 温度 T B ( t ) {\displaystyle T_{B}(t)} および圧力 P B ( t ) {\displaystyle P_{B}(t)} が均一で均質に分布した水蒸気または気体を含む気泡を仮定する。 気泡外部は一定の密度 ρ L {\displaystyle \rho _{\mathrm {L} }} 、動粘度 μ L {\displaystyle \mu _{\mathrm {L} }} で無限の領域に満たされた液体があるとする。 気泡から無限遠点における温度と圧力をそれぞれ T ∞ {\displaystyle T_{\infty }} 、 P ∞ ( t ) {\displaystyle P_{\infty }(t)} とする。 気泡の中心からの半径方向距離 r {\displaystyle r} において、圧力 P ( r , t ) {\displaystyle P(r,t)} 、温度 T ( r , t ) {\displaystyle T(r,t)} 、および外向きの速度 u ( r , t ) {\displaystyle u(r,t)} が液体の変動するパラメータとなる。 ただし、それらの液体のパラメータは気泡の外部 r ≥ R ( t ) {\displaystyle r\geq R(t)} においてのみ定義されることに注意する。
ν L = μ L / ρ L {\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}} で置き換えることで、レイリー・プレセット方程式を得る
P B ( t ) − P ∞ ( t ) ρ L = R d 2 R d t 2 + 3 2 ( d R d t ) 2 + 4 ν L R d R d t + 2 S ρ L R {\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}
時間についてドット記法を用いると、レイリー・プレセット方程式はより簡潔に書ける
P B ( t ) − P ∞ ( t ) ρ L = R R ̈ + 3 2 ( R ̇ ) 2 + 4 ν L R ̇ R + 2 S ρ L R {\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}\left({\dot {R}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}
液体中における気泡の中心から半径方向外向きの垂直応力を σ r r {\displaystyle \sigma _{rr}} とする。 球面座標系では、一定の密度および一定の粘度を持つ流体に対して、その垂直応力は
σ r r = − P + 2 μ L ∂ u ∂ r {\displaystyle \sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}}
と求められる。 ゆえに気泡表面の微小部分では、単位面積当たりの境界の薄い層にかかる力は
σ r r ( R ) + P B − 2 S R = − P ( R ) + 2 μ L ∂ u ∂ r | r = R + P B − 2 S R = − P ( R ) + 2 μ L ∂ ∂ r ( R 2 r 2 d R d t ) r = R + P B − 2 S R = − P ( R ) − 4 μ L R d R d t + P B − 2 S R {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2S}{R}}&=-P(R)+2\mu _{L}\left.{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\\end{aligned}}}