乗法的積分
∏ a b f ( x ) d x := lim Δ x → 0 ∏ f ( x i ) Δ x = exp  ( ∫ a b ln  f ( x ) d x ) . {\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{dx}:=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp \left(\int _{a}^{b}\ln f(x)\,dx\right).}
これは乗法的作用素 (multiplicative operator) になる。
この定義は離散的な乗積作用素 ∏ba• の連続版であるとともに、通常の(加法的)積分 ∫ba•dx の乗法版である。
この定義の有用な点は、log との交換性:
ln  ∏ a b p ( x ) d x = ∫ a b ln  p ( x ) d x {\displaystyle \ln \prod _{a}^{b}p(x)^{dx}=\int _{a}^{b}\ln p(x)\,dx}
である。
幾何積分は乗法的微分積分学(英語版)の一種である幾何微分積分学 (geometric calculus) で中心的な役割を果たす。
前節と条件を同じく (X, μ) を測度空間 とし、任意の幾何可積分単函数 f ( x ) = ∑ k = 1 n a k I A k ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)} に対する幾何積分を
で定義する(上で定義した幾何積分の一般化である)。両辺の対数をとって、
(最後の等号は単函数に対する通常のルベーグ積分の定義である)、すなわち
を得るが、前節でみたのと同様に exp および ln の連続性と可積分函数 f が単函数列の単調増大極限であることにより、Def: II は「任意の」幾何可積分 f に対して満足される。これにより上で見た幾何積分に関する性質は一般化される。
そのような意味において、「幾何積分に関するルベーグ積分論」は完全に通常のルベーグ積分に関する「古典的ルベーグ積分論」に帰着される。
∏ a b ( 1 + f ( x ) d x ) := lim Δ x → 0 ∏ ( 1 + f ( x i ) Δ x ) . {\displaystyle \prod _{a}^{b}(1+f(x)\,dx):=\lim _{\Delta x\to 0}\prod (1+f(x_{i})\,\Delta x).}
この意味での乗法的積分に関して、実函数の可積分条件はリーマン可積分であることが必要十分である。同様の仕方で、乗法的ルベーグ積分(後述)、乗法的リーマン・スティルチェス積分、乗法的ヘンストック・クルツヴァイル積分など、より一般の乗法的積分などを考えることができる。
この定義はヴォルテラのオリジナルの定義に対応する。数値的な函数 f: [a, b] → R に対し、