マッカラーの公式
.. {\displaystyle \textstyle =1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi -{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left[4\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\cos ^{2}\psi -4\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{4}\right]+\dots } = 1 + r ′ r cos  ψ − 1 2 ( r ′ r ) 2 + 3 2 ( r ′ r ) 2 cos 2  ψ + o [ ( r ′ r ) 3 ] {\displaystyle \textstyle =1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi -{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\cos ^{2}\psi +o\left[\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\right]}
V 3 {\displaystyle V_{3}} に対しては、
V 3 = − 3 2 G r − 3 ∫ M r ′ 2 sin 2  ψ d M = − 3 2 G r − 3 ∫ M r ′ 2 cos 2  α d M = − 3 2 G r − 3 I {\displaystyle V_{3}=-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\sin ^{2}\psi \,\mathrm {d} M=-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\cos ^{2}\alpha \,\mathrm {d} M=-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}I}
ここで I {\displaystyle I} は O P ̄ {\displaystyle {\overline {OP}}} -軸のまわりの慣性モーメントである。これより、次のマッカラーの公式(マッカラーの定理とも)が得られる。
V ( P ) = G M r − 1 − 3 2 G r − 3 ( I − I ̄ ) {\displaystyle V(P)=GMr^{-1}-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}(I-{\bar {I}})}
この公式は、地球や他の惑星等の球状に近い物体に適用するのに非常に便利である。物体に何らかの対称性があれば、近似は十分遠距離でも有効である。明らかに、2次までの近似であることから有効な適用範囲には限界があり、外部重力場をさらに正確に表すためにはより高次の調和関数が必要になる。
よって、
r ‖ r ′ − r ‖ = 1 + r ′ r cos  ψ + ( r ′ r ) 2 − 3 2 ( r ′ r ) 2 sin 2  ψ + ... {\displaystyle {\frac {r}{\|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|}}=1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}\psi +\dots }
が得られる 。これより P {\displaystyle P} での万有引力ポテンシャルは次のようになる。
V ( P ) = G r ∫ M d M + G r 2 ∫ M r ′ cos  ψ d M + G r 3 ∫ M r ′ 2 d M − 3 G 2 r 3 ∫ M r ′ 2 sin 2  ψ d M + ... {\displaystyle V(P)={\frac {G}{r}}\int _{M}\mathrm {d} M+{\frac {G}{r^{2}}}\int _{M}r'\cos \psi \mathrm {d} M+{\frac {G}{r^{3}}}\int _{M}r'^{2}\mathrm {d} M-{\frac {3G}{2r^{3}}}\int _{M}r'^{2}\sin ^{2}\psi \mathrm {d} M+\dots }
‖ r ′ − r ‖ = r 1 − 2 r ′ r cos  ψ + ( r ′ r ) 2 {\displaystyle \|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|=r{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}}}}
で、 G {\displaystyle G} はニュートンの万有引力定数である。
− 1 ≤ x ≤ + 1 {\displaystyle -1\leq x\leq +1} のとき ( 1 + x ) − 1 / 2 = 1 − x / 2 + 3 x 2 / 8 + o ( x 3 ) {\displaystyle (1+x)^{-1/2}=1-x/2+3x^{2}/8+o(x^{3})} だから、 x = − 2 ( r ′ / r ) cos  ψ + ( r ′ / r ) 2 {\displaystyle x=-2(r'/r)\cos \psi +(r'/r)^{2}} とおくと
1 1 − 2 r ′ r cos  ψ + ( r ′ r ) 2 = 1 + r ′ r cos  ψ − 1 2 ( r ′ r ) 2 + 3 2 ( r ′ r ) 2 cos 2  ψ + o [ ( r ′ r ) 3 ] {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}}}}=1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi -{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\cos ^{2}\psi +o\left[\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\right]}