行列の基本変形
基本行列は正則行列であり、その単純な形から簡単に行列式や逆行列を求めることができる。 また、任意の(m, n)型行列は基本変形を繰り返し適用することによって、以下のような単純な形の(m, n)型行列(以下、標準形 (*) と呼ぶ)に変形することができることが知られている。さらに、このような変形を得るための決定的な手続きも知られている。
[ 1 1 ⋱ 1 0 0 ⋱ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&1&&&&&&\\&&\ddots &&&&&\\&&&1&&&&\\&&&&0&&&\\&&&&&0&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&\\\end{bmatrix}}}
今、(m, n) 型行列 Aに関して基本変形を繰り返し適用することによって上のような標準形 F に変形できたとする。 このとき、基本変形と基本行列の同値性から、p 個の (m, m)型基本行列 M1, ... Mp と q 個の (n, n)型基本行列 N1, ... Nq とを用いて下のように表せる。
F = M 1 M 2 ⋯ M p A N 1 N 2 ⋯ N q {\displaystyle F=M_{1}M_{2}\cdots M_{p}AN_{1}N_{2}\cdots N_{q}}
このとき、A についてのさまざまな量を計算することができる。
R i , j , c = [ 1 ⋱ 1 c ⋱ 1 ⋱ 1 ] ( 1 ≤ i ≠ j ≤ n , c ≠ 0 ) {\displaystyle R_{i,j,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&c&&\\&&&\ddots &&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\\\end{bmatrix}}(1\leq i\neq j\leq n,c\neq 0)}
つまり、
Pi, j は、単位行列の i 行目と j 行目を取り換えた行列
Qi, c は、単位行列の (i, i) 成分を c にした行列
Ri, j, c は、単位行列の (i, j) 成分を c にした行列
である。
[ 1 / 2 0 − 1 / 2 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1/2&0\\-1/2&1\\\end{bmatrix}}}