タンジェント数
タンジェント数とセカント数を交互に並べた数列 T ^ k {\displaystyle {\hat {T}}_{k}} は、組み合わせ数学において、交代順列の込み合わせの数を与える。 交代順列とは、互いに異なる数値が与えられたとき、奇数番目が偶数番目より大きくなるように (先頭からたどると、大小関係が交互に切り替わるように) 並べた順列である。 さらに、先頭は2番目の値より大きいことも条件とする。 たとえば、1, 2, 3, 4 から交代順列を構成すると,
[ 2 , 1 , 4 , 3 ] , [ 3 , 1 , 4 , 2 ] , [ 3 , 2 , 4 , 1 ] [ 4 , 1 , 3 , 2 ] , [ 4 , 2 , 3 , 1 ] {\displaystyle {\begin{array}{lll}{}[2,1,4,3],&[3,1,4,2],&[3,2,4,1]\\{}[4,1,3,2],&[4,2,3,1]\end{array}}}
の5通りが可能である。 構成する数値が n {\displaystyle n} 個の場合、可能な交代順列の組み合わせは T ^ n {\displaystyle {\hat {T}}_{n}} 通りとなる。
さらに、加算のみによってタンジェント数とセカント数を算出するための表に現れる要素 E n k {\displaystyle E_{nk}} は、自然数 1 , 2 , ... , n {\displaystyle 1,2,\ldots ,n} で構成され、しかも、先頭が k {\displaystyle k} である交代順列の組み合せの数を与える。
タンジェント数はセカント数 (オイラー数 参照) と密接な関係がある。次のように正接関数と正割関数の和のテイラー展開:
tan  z + sec  z = ∑ k = 0 ∞ T ^ k k ! z k {\displaystyle \tan z+\sec z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\hat {T}}_{k}}{k!}}z^{k}}
の展開級数 T ^ k {\displaystyle {\hat {T}}_{k}} を考える。この展開係数はセカント数とタンジェント数の和、すなわち、 T ^ k = E ^ k + T k {\displaystyle {\hat {T}}_{k}={\hat {E}}_{k}+T_{k}} である。 セカント数のすべての奇数項がゼロ、タンジェント数のすべての偶数項がゼロであるので、展開係数 T ^ k {\displaystyle {\hat {T}}_{k}} は、偶数項がセカント数 E ^ k {\displaystyle {\hat {E}}_{k}} 、奇数項がタンジェント数 T k {\displaystyle T_{k}} であると解釈してもよい。 なお、セカント数は、オイラー数で説明しているように、 E ^ 2 k = ( − 1 ) k E 2 k {\displaystyle {\hat {E}}_{2k}=(-1)^{k}E_{2k}} にてオイラー数を符号補正した数列である。