交換子
ad  ( x ) ad  ( x ) ( y ) = [ x , [ x , y ] ] , {\displaystyle \operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (x)(y)=[x,[x,y]],} ad  ( x ) ad  ( a + b ) ( y ) = [ x , [ a + b , y ] ] . {\displaystyle \operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (a+b)(y)=[x,[a+b,y]].}
環または結合多元環の二つの元 a, b の交換子は
[a, b] = ab − ba
で定義される。交換子 [a, b] が 0 となるための必要十分な条件は、a と b とが互いに交換可能であることである。線型代数学では、ベクトル空間のふたつの自己準同型は、基底をひとつ定めれば(基底のとり方に関わらず)、互いに交換可能な行列によって表される。交換子をリー括弧積とみなすことにより、任意の結合多元環をリー環にすることができる。ヒルベルト空間において定義されるふたつの作用素の交換子は、それらの作用素によって記述されたふたつの観測可能量がどの程度よく振舞うかが交換子によって測れるという意味で、量子力学において重要である。不確定性原理はこれらの物理量の交換子をロバートソン–シュレーディンガー関係式を通して扱った定理である。