三項系
これらを合わせて得られる線型写像
V + ⊗ V − → g l ( V + ) ⊕ g l ( V − ) {\displaystyle V_{+}\otimes V_{-}\to {\mathfrak {gl}}(V_{+})\oplus {\mathfrak {gl}}(V_{-})}
の像は部分リー環 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} であり、ジョルダン律は
V + ⊕ g 0 ⊕ V − {\displaystyle V_{+}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus V_{-}}
上の次数付きリー括弧積に対するヤコビ律となるから、従って逆に
g = g + 1 ⊕ g 0 ⊕ g − 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{+1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{-1}}
が次数付きリー環ならば、対 ( g + 1 , g − 1 ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}}_{+1},{\mathfrak {g}}_{-1})} は括弧積