ベクトル空間
の全体からなる線型空間で、これらの元は a をスカラーとして
a ( v ⊗ w ) = ( a v ) ⊗ w = v ⊗ ( a w ) {\displaystyle a({\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}})=(a{\boldsymbol {v}})\otimes {\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {v}}\otimes (a{\boldsymbol {w}})}
v 1 + v 2 ⊗ w = v 1 ⊗ w + v 2 ⊗ w {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}+{\boldsymbol {v}}_{2}\otimes {\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {v}}_{1}\otimes {\boldsymbol {w}}+{\boldsymbol {v}}_{2}\otimes {\boldsymbol {w}}}
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間(ベクトルくうかん、英: vector space)、または、線型空間(せんけいくうかん、英: linear space)は、ベクトル(英: vector)と呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。
ベクトルには和(wikidata)が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積(スカラー乗法)を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー乗法の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件(#定義節を参照)を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である(同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す)。同じ調子で、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。
ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元(大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの)によって特徴づけられる。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。