無理数
古代インドやギリシアの数学者たちの間では半径 r の円の面積が円周率 π を使って πr であることも知られ、アルキメデスは半径 r の球の体積が 4/3πr であることや、この球の表面積が 4πr (その球の大円の面積の4倍)であることを示していた。円周率 π が無理数であることはすでにアリストテレスによって予想されていたが、実際に証明されたのはそれよりはるかに後の時代のことである(ヨハン・ハインリヒ・ランベルト)。
自然対数の底であるネイピア数 e は、1618年にジョン・ネイピアが発表した対数の研究の付録の表にその端緒があるが、定性的に研究したのはレオンハルト・オイラーである。
1872年にリヒャルト・デデキントは『連続性と無理数』を出版し、デデキント切断を用いて無理数を定義した。
リーマンゼータ関数の特殊値 ζ(3) は、アペリーによって1979年に無理数であることが証明された(アペリーの定数)。π + e は、ネステレンコ(英語版)によって無理数であることが証明された。
数 α に対して
| α − p q | < 1 q κ {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\kappa }}}}
を満たす有理数 p/q は有限個しかない、という性質を満たす κ の下限を α の無理数度 (英: irrationality measure) という。
有理数の無理数度は 1, ディリクレの定理およびロスの定理より代数的無理数の無理数度は 2, リウヴィル数の無理数度は ∞ である。ディリクレの定理より無理数の無理数度は全て 2 以上である。e の無理数度は 2 であることが知られている。また、πの無理数度の上限は7.103程度であることがわかっている。
ルベーグ測度に関してほとんど全ての数の無理数度は 2 である。