相対位相
与えられた位相空間 (X, τ) と X の部分集合 S に対し、S 上の相対位相は
τ S = { S ∩ U ∣ U ∈ τ } {\displaystyle \tau _{S}=\{S\cap U\mid U\in \tau \}}
で定義される。つまり、S の部分集合が相対位相に関して S の開集合であるための必要十分条件は、それが X の開集合(τ に属する元)との交わりに書けることである。S が相対位相 τS を備えているならば、S はそれ自身位相空間 (S, τS) を成し、(X, τ) の部分空間と呼ばれる。特に断らない限り、位相空間の部分集合には、相対位相が入っているものと仮定するのが普通である。
あるいは、位相空間 X の部分集合 S の相対位相を、包含写像
ι : S ↪ X {\displaystyle \iota \colon S\hookrightarrow X}
を連続にする最も粗い位相として定義することもできる。
より一般に、集合 S から位相空間 X への単射 i が存在するとき、S 上の誘導位相は i を連続にする最も粗い位相として定義される。この位相に関する開集合系は、ちょうど X の開集合 U に対する引き戻し i(U) の形になっている部分集合の全体によって与えられる。このとき、S は X における自身の像(像には X からの相対位相を入れる)と同相であり、i は位相埋め込みと呼ばれる。