昇降演算子
2つの演算子X、Nが次の交換関係を満たすと仮定する。
[ N , X ] = c X {\displaystyle [N,X]=cX}
ここで c はスカラー量。 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } を演算子 N の固有状態とする。
N | n ⟩ = n | n ⟩ {\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle }
このとき演算子 X が | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } 作用すると固有値を c だけシフトする。
N X | n ⟩ = ( X N + [ N , X ] ) | n ⟩ = X N | n ⟩ + [ N , X ] | n ⟩ = X n | n ⟩ + c X | n ⟩ = ( n + c ) X | n ⟩ .
α と β の位相は物理的に意味はないので実数に選ぶと次のようになる。
J + | j , m ⟩ = ħ ( j − m ) ( j + m + 1 ) | j , m + 1 ⟩ = ħ j ( j + 1 ) − m ( m + 1 ) | j , m + 1 ⟩ , J − | j , m ⟩ = ħ ( j + m ) ( j − m + 1 ) | j , m − 1 ⟩ = ħ j ( j + 1 ) − m ( m − 1 ) | j , m − 1 ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}}
m は j ( − j ≤ m ≤ j {\displaystyle -j\leq m\leq j} ) に制限されるので
J + | j , j ⟩ = J − | j , − j ⟩ = 0. {\displaystyle J_{+}|j,j\rangle =J_{-}|j,-j\rangle =0.}
昇降演算子は、角運動量の量子力学的な取り扱いで用いられる。 一般的な角運動量ベクトル J(各成分は Jx, Jy, Jz )から、2つの昇降演算子J+ 、J–が定義できる。
J ± = J x ± i J y {\displaystyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}}
ここで i は虚数単位。
直交座標系での各成分は、次の交換関係を満たす。
[ J i , J j ] = i ħ ε i j k J k {\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}}
ここでεijk はレヴィ=チヴィタ記号、 i, j, k は x, y, zのいずれか。よって昇降演算子とJz の交換関係は
[ J z , J ± ] = ± ħ J ± , [ J + , J − ] = 2 ħ J z . {\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{z},J_{\pm }\right]&=\pm \hbar J_{\pm },\\\left[J_{+},J_{-}\right]&=2\hbar J_{z}.\end{aligned}}}
昇降演算子を演算子 Jz にかけると
J z J ± | j , m ⟩ = ( J ± J z + [ J z , J ± ] ) | j , m ⟩ = ( J ± J z ± ħ J ± ) | j , m ⟩ = ħ ( m ± 1 ) J ± | j , m ⟩ .