固有射
この定義は K の取り方によらない。
例えば、g: Y → Z を局所ネータースキームの固有射、Z0 を Z の閉部分集合、Y0 を Y の g(Y0) ⊂ Z0 となるような閉部分集合とすると、形式的完備化上の射 g ^ : Y / Y 0 → Z / Z 0 {\displaystyle {\widehat {g}}\colon Y_{/Y_{0}}\to Z_{/Z_{0}}} は形式スキームの固有射である。
グロタンディークはこの状況での連接定理(coherence theorem)を証明した。すなわち、 f : X → S {\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}} を局所ネーター形式スキームの固有射とし、F を X {\displaystyle {\mathfrak {X}}} 上の連接層とすると、高次順像 R i f ∗ F {\displaystyle R^{i}f_{*}F} は連接層である。
)これから、この定理の非常に単純な適用例として、体 k 上固有な スキーム X の正則関数のなす環は有限次元 k ベクトル空間であることが分かる。これは体 k 上のアフィン直線の正則関数のなす環は多項式環 k[x] であり、有限次元 k ベクトル空間ではないことと対照的である。
これは次のように少し一般化できる。 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} を有限型な射、S は局所的にネーター、 F {\displaystyle F} を O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 加群とする。F の台が S 上固有ならば、全ての i ≥ 0 {\displaystyle i\geq 0} に対して高次順像 R i f ∗ F {\displaystyle R^{i}f_{*}F} は連接層である。
X を複素数体上の有限型スキームとすると、その複素数値点の集合 X(C) は複素解析空間になり、古典的な(ユークリッド)位相が入る。X と Y が C 上分離的かつ有限型ならば、C 上の射 f: X → Y が固有であることと、誘導された連続写像 f: X(C) → Y(C) が固有であること、すなわち任意のコンパクト集合の逆像がコンパクトになることは同値である。
射 f: X→Y と g: Y→Z の合成 gf が固有で g が分離的ならば、f は固有である。これは、例えば次節の判定法を使って容易に示すことができる。
幾何学的には、これは原点を除いた開円板 Δ ∗ = { x ∈ C : 0 < | x | < 1 } {\displaystyle \Delta ^{*}=\{x\in \mathbb {C} :0<|x|<1\}} を表している。 Spec ( C ) {\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} )} 上のスキームの射に対して、離散付値環として上記のものを取って固有性の付値判定法の状況にあてはめると、次の可換図式になる。
Δ ∗ → X ↓ ↓ Δ → Y {\displaystyle {\begin{matrix}\Delta ^{*}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\\Delta &\to &Y\end{matrix}}}
固有性の付値判定法は、 Δ ∗ {\displaystyle \Delta ^{*}} から X {\displaystyle X} への射を点 0 ∈ Δ {\displaystyle 0\in \Delta } で埋めて Δ {\displaystyle \Delta } から X {\displaystyle X} への射にできることが、固有であることの必要十分条件だと主張している。