局所体
局所体 K に対して、乗法群 K は以下の様に分解される。
K × ≃ ⟨ π ⟩ × U ≃ ⟨ π ⟩ × μ q − 1 × U ( 1 ) ≃ Z ⊕ Z / ( q − 1 ) Z ⊕ U ( 1 ) {\displaystyle K^{\times }\simeq \langle \pi \rangle \times U\simeq \langle \pi \rangle \times \mu _{q-1}\times U^{(1)}\simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(q-1)\mathbb {Z} \oplus U^{(1)}}
ここで、⟨π⟩ は素元 π によって生成される巡回群、q = p は K の剰余体の元の個数、μq − 1 は 1 の q − 1 乗根全体のなす群、U は単数群、U は主単数群である。
さらに単数群 U は、以下の様に分解される。
(1) K の標数が 0 であるとき
U ≃ μ ( K ) × Z p d ≃ ( Z / m Z ) ⊕ Z p d {\displaystyle U\simeq \mu (K)\times \mathbb {Z} _{p}^{d}\simeq (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\oplus \mathbb {Z} _{p}^{d}}
但し、μ(K) は K に含まれる 1 のベキ根全体のなす群であり、その位数を m とする。
(2) K の標数が 0 でないとき