パスカルの三角形
パスカルの三角形の最も単純な性質として、以下のようなものがある。
頂上から右下・左下の方向へ並ぶ数字はすべて1である。
2段目の 1 から右下・左下の方向(すべて1の方向を除く。以下同じ)には自然数の列が現れる。
3段目の 1 から右下・左下の方向には三角数の列が現れる。
4段目の 1 から右下・左下の方向には三角錐数の列が現れる。
5段目の 1 から右下・左下の方向には五胞体数の列が現れる。
一般的に n 段目の 1 から右下・左下の方向には n − 1 次元単体数が現れる。 tri 0 ( n ) = 1 , tri d ( n ) = ∑ i = 1 n t r i d − 1 ( i ) . {\displaystyle {\textrm {tri}}_{0}(n)=1,\quad {\textrm {tri}}_{d}(n)=\sum _{i=1}^{n}\mathrm {tri} _{d-1}(i).}
前項までと同じ内容を次のように表現してもよい。(頂点と両辺に並んだ)1を除くすべての数は、その右上から左上端まで伸びる数列の総和に等しく、左上から右上端まで伸びる数列の総和に等しい。例えば6段目の左から3番目の10は、右上の6とその左上の3, その左上の1の総和に等しく、左上の4とその右上の3, その右上の2, その右上の1の総和に等しい。これは10が4番目の三角数であり、3番目の三角錐数であることと等価である。
パスカルの三角形は、二項展開でよく使用される。例えば
( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}
のそれぞれの係数は三角形の3段目の数 1 2 1 と一致する。一般に
( x + y ) n = a 0 x n + a 1 x n − 1 y + a 2 x n − 2 y 2 + ⋯ + a n − 1 x y n − 1 + a n y n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}}
とおくと、ai たちは、パスカルの三角形の n + 1 段目に並んでいる数である。このことは数学的帰納法により示すことができる。まず、n = 0 の場合は明らかである。次に、
( x + y ) n = ∑ i = 0 n a i x n − i y i {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}}
とすると、
1 + 2 = 3 {\displaystyle 1+2=3} 4 + 5 + 6 = 7 + 8 {\displaystyle 4+5+6=7+8} 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 {\displaystyle 9+10+11+12=13+14+15}
...
と続くもの、
3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} 10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 {\displaystyle 10^{2}+11^{2}+12^{2}=13^{2}+14^{2}} 21 2 + 22 2 + 23 2 + 24 2 = 25 2 + 26 2 + 27 2 {\displaystyle 21^{2}+22^{2}+23^{2}+24^{2}=25^{2}+26^{2}+27^{2}}
...
と続くものもある。
ブレーズ・パスカルは1655年に発表した『Traité du triangle arithmétique』の中でこの三角形について言及している。彼はこの中で今までに知られていた結果をまとめ、確率論の研究に利用している。
パスカルより後の数学者では、アブラーム・ド・モアブルらが「算術の三角形」と呼んでいる。