レンズ空間
3次元レンズ空間 L ( p ; q ) {\displaystyle L(p;q)} は S 3 {\displaystyle S^{3}} の Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} -作用による商空間である。以下でより正確な定義を述べる。 p {\displaystyle p} と q {\displaystyle q} を互いに素な整数とし、 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 内の単位球として S 3 {\displaystyle S^{3}} を考える。 このとき, [ 1 ] ⋅ ( z 1 , z 2 ) := ( e 2 π i / p ⋅ z 1 , e 2 π i q / p ⋅ z 2 ) {\displaystyle [1]\cdot (z_{1},z_{2}):=(e^{2\pi i/p}\cdot z_{1},e^{2\pi iq/p}\cdot z_{2})} で生成される S 3 {\displaystyle S^{3}} 上の Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} -作用は自由である。 この作用による S 3 {\displaystyle S^{3}} の 商空間 を レンズ空間 L ( p ; q ) {\displaystyle L(p;q)} と定める。
この定義はより高次元のものに一般化できる。 n {\displaystyle n} を2以上の整数、 p , q 1 , ..