共役類
G の 2 元 a と b が共役ならば、同じ位数をもつ。より一般に、a についてのすべてのステートメントは b = gag についてのステートメントに翻訳できる、なぜならば写像 φ(x) = gxg は G の内部自己同型だからである。
G の元 a に対して、 {a} が共役類であることと a が中心 Z(G) に属することは同値である。
有限群の共役類の元の数は群の位数を割り切る。より精密には共役類 a の元の数 |a| は a の G における中心化群 CG(a) = { g ∈ G | ga = ag } の指数 [G : CG(a)] に等しい。これは共役作用に関する軌道・固定群定理による。
a と b が共役であれば、それらのベキ a と b も共役である。したがって k 乗をとることは共役類上の写像を与え、どの共役類がその原像にあるかを考えることができる。
3元のすべての6個の置換からなる対称群 S3 は3つの共役類をもつ:
変化なし (abc → abc)
2つの交換 (abc → acb, abc → bac, abc → cba)
3つすべての巡回置換 (abc → bca, abc → cab)
4元のすべての24個の置換からなる対称群 S4 は 5 つの共役類をもつ。共役類を巡回構造と位数と共に一覧にする。
(1)4: 変化なし (1 つの元: { {1, 2, 3, 4} } )
(2): 2つの交換 (6 つの元: { {1, 2, 4, 3}, {1, 4, 3, 2}, {1, 3, 2, 4}, {4, 2, 3, 1}, {3, 2, 1, 4}, {2, 1, 3, 4} })
(3): 3つの巡回置換 (8 個の元: { {1, 3, 4, 2}, {1, 4, 2, 3}, {3, 2, 4, 1}, {4, 2, 1, 3}, {4, 1, 3, 2}, {2, 4, 3, 1}, {3, 1, 2, 4}, {2, 3, 1, 4} } )