ヒルベルト行列
すなわちヒルベルト行列の行列式の逆数は整数であり、その整数はルジャンドル多項式に関連するある種の超幾何多項式の判別式として書ける。これは次の恒等式からも分かる:
1 det ( H ) = c 2 n c n 4 = n ! ⋅ ∏ i = 1 2 n − 1 ( i [ i / 2 ] ) {\displaystyle {1 \over \det(H)}={{c_{2n}} \over {c_{n}^{\;4}}}=n!\cdot \prod _{i=1}^{2n-1}{i \choose [i/2]}}
log  c n {\displaystyle \log c_{n}} に対してオイラー=マクローリンの総和公式を適用することで、ヒルベルトは次の漸近形を得た:
det ( H ) = 4 − n 2 + r n {\displaystyle \det(H)=4^{-n^{2}+r_{n}}}
ここで誤差項 r n {\displaystyle r_{n}} は o ( n 2 ) {\displaystyle o(n^{2})} である。より正確な漸近形は階乗に対するスターリングの公式を使って
det ( H ) = a n n − 1 / 4 ( 2 π ) n 4 − n 2 {\displaystyle \det(H)=a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}}}
として得られる。ここで a n {\displaystyle a_{n}} は n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } のとき定数 a ∞ = 0.6450... {\displaystyle a_{\infty }=0.6450...} に収束する。