多項式の展開
( ∑ i = 1 m a i ) ( ∑ j = 1 n b j ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i b j {\displaystyle {\Bigl (}\sum _{i=1}^{m}a_{i}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{j}}
である。言葉で表現するならば、
第一因子の項と第二因子の項、全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である
ということである。第一因子が m 個の項の和、第二因子が n 個の項の和であれば、第一因子の項と第二因子の項の組み合わせは mn 通りであるから、展開した結果は mn 個の項の和になる。
3つ以上の多項式の積についても同様のことがいえる。すなわち、
それぞれの因子からひとつずつ項を選ぶ、その全ての組み合わせについて積をとり、その和が展開の結果である
ことがしたがう。k 個の多項式の積であって、i 番目の多項式が ni 個の項の和であれば、展開した結果は n1 ⋯ nk 個の項の和になる。
数学において多項式の展開(たこうしきのてんかい、英: polynomial expansion)とは、複数の多項式の積を一つの多項式で表すことをいう。これは因数分解と逆の操作である。式の見た目として括弧がなくなるため、展開することを俗に「括弧を外す」ということもある。因数分解には統一的な方法論が無いのに対し、展開は分配法則を用いて機械的に行うことができる。この法則は、級数に対するものに自然に拡張される。