イプシロン-デルタ論法
ε-δ論法(イプシロンデルタろんぽう、英語: (ε, δ)-definition of limit)は、解析学において、実数値のみを用いることで(無限を直接に扱うことを回避しながら)関数の極限を厳密に定義する方法である。列の極限を定義する類似の方法にε-N論法(イプシロンエヌろんぽう)があり、本記事ではこれも扱う。
限りなく近付くという極限の概念は、以下に示す、有限の値をとる変数の論理式だけで定義することができる。
実関数 f: R → R に対して、極限の式
lim x → a f ( x ) = b {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b}
とは、
(もし)x を a に限りなく近づけさえすれば、f(x) は(必ず)b に近づく
ことであった。これを ε-δ論法で定義すると
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 ; ∀ x ∈ R [ 0 < | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) − b | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\in \mathbb {R} \;[0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon ]}
となる。これは
任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、0 < |x − a| < δ を満たす全ての実数 x に対し、|f(x) − b| < ε が成り立つ。
という意味の条件である。ε-δ論法による極限値の定義の妥当性は次のようになる。