超関数
このような話をさらに推し進めて、滑らかなベクトル束の超切断(一般化された切断)を考えることができる。これはシュワルツのように試験対象の双対対象を構成する方法によるもので、試験対象としてコンパクト台を持つバンドルの滑らかな切断を用いる。最も発展したのは、微分形式の双対にあたる微分カレントの理論である。これらの概念は、微分形式からド・ラムのコホモロジーが生じるのと同じ仕方で、ホモロジー的な特質を持つ。これにより、ストークスの定理を非常に一般な形で定式化することができるようになる。
19世紀の数学には、例えばグリーン関数の定義やラプラス変換、あるいは(可積分関数のフーリエ級数には必要でない部分の)リーマンの三角級数論などが、超関数論の片鱗として垣間見える。これらは当時、解析学の一部とは扱われていなかったものである。
ラプラス変換は工学において重用され、経験則に基づく記号的操作としての演算子法を生み出した。演算子法の正当化は発散級数を用いて与えられたため、純粋数学の観点からは悪い風評をうけることとなるが、これらは後に超関数法の典型的な応用先となった。1899年に出版されたヘヴィサイドの本 Electromagnetic Theory(『電磁気論』)は演算子法の定番の教科書となった。
ルベーグ積分が導入されると、超関数は初めて数学の中心に躍り出ることとなった。ルベーグ積分論では、殆ど至る所一致する可積分関数はすべて同値であると看做される。