熱力学的状態方程式
を用いると
u ( T ) = T 3 d u ( T ) d T − u ( T ) 3 {\displaystyle u(T)={\frac {T}{3}}{\frac {\mathrm {d} u(T)}{\mathrm {d} T}}-{\frac {u(T)}{3}}}
となり、u(T) についての微分方程式
d u d T = 4 T u {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} T}}={\frac {4}{T}}u}
が得られる。この微分方程式は求積法で解くことができて
∫ d u u = ∫ 4 T d T {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} u}{u}}=\int {\frac {4}{T}}\mathrm {d} T}
より、A を積分定数としてシュテファン=ボルツマンの法則
u = A T 4 {\displaystyle u=AT^{4}}
が導かれる。
ジュール=トムソン係数 μJT は、先に示したように (∂H/∂P)T に比例する。理想気体では (∂H/∂P)T = 0 なので、理想気体の μJT は常にゼロである。よって、理想気体ではジュール=トムソン効果が起こらない。