テイラーの定理
( x − a ) k {\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
である。テイラー多項式は次のような意味で「漸近的に最もフィットする」唯一の多項式である、すなわち、関数 hk: R → R と k 次多項式 p が存在して
f ( x ) = p ( x ) + h k ( x ) ( x − a ) k , lim x → a h k ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0}
となるならば、p = Pk である。テイラーの定理は剰余項
r k ( x ) = f ( x ) − P k ( x ) {\displaystyle r_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x)}
の漸近的な振る舞いを記述する。これは f をテイラー多項式で近似するときの近似誤差である。ランダウの記号を用いれば、テイラーの定理のステートメントは次のように書ける:
r k ( x ) = o ( | x − a | k ) , x → a . {\displaystyle r_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.}
}}(x-t)\right)+\cdots \\&\cdots +\left({\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{\frac {f^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}\right)\\={}&{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\end{aligned}}}
これを(*)に代入して計算すると
R k + 1 ( x ) = f ( k + 1 ) ( ξ ) k ! ( x − ξ ) k G ( x ) − G ( a ) G ′ ( ξ ) {\displaystyle R_{k+1}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}
ここで G ( t ) = ( t − x ) k + 1 {\displaystyle G(t)=(t-x)^{k+1}} と定めればラグランジュの剰余項、 G ( t ) = t − a {\displaystyle G(t)=t-a} と定めればコーシーの剰余項が得られる。
lim x → a [ f ( k − 1 ) ( x ) − f ( k − 1 ) ( a ) x − a − f ( k ) ( a ) ] = 1 k ! ( f ( k ) ( a ) − f ( k ) ( a ) ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P_{k}(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {(d/dx)(f(x)-P_{k}(x))}{(d/dx)(x-a)^{k}}}=\cdots =\lim _{x\to a}{\frac {(d/dx)^{k-1}(f(x)-P_{k}(x))}{(d/dx)^{k-1}(x-a)^{k}}}\\&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}\left[{\frac {f^{(k-1)}(x)-f^{(k-1)}(a)}{x-a}}-f^{(k)}(a)\right]\\&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-f^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}
ここで最後の等式は点 a での微分の定義による。従って
lim x → a h k ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0}