反転幾何学
点 P′ は点 P を赤い円に関して反転した点である。
点 O を通る円(青)の、赤い円に関する反転は、点 O を通らない直線(緑)になる。逆もまた然り。
点 O を通らない円(青)の、赤い円に関する反転は、点 O を通らない円(緑)になり、逆もまた然り。
円 O の外側にある点 P の、反転点 P′ の作図方法。円 O の半径を r として、直角三角形 OPN, OP′N は相似ゆえ、OP : r は r : OP′ に等しい。
円に関する反転では、円の中心が写る先の円の中心へ写るわけではない。
平面において、中心 O, 半径 r の基準円 (reference circle) に関して点 P を反転すると、O を始点として P を通る半直線上で
O P × O P ′ = r 2 {\displaystyle \mathrm {OP} \times \mathrm {OP'} =r^{2}}