重複置換
自然数の列 n1, n2, ..., nk で n1 + n2 + ... + nk = n を満たすものを与えたとき、 x 1 n 1 x 2 n 2 ⋯ x k n k {\displaystyle \textstyle x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\dotsb x_{k}^{n_{k}}} の形の項の総数は重複度 (n1, n2, ..., nk) の n-重複置換の総数に等しい。
こうして多項定理:
( x 1 + x 2 + ... + x k ) n = ∑ n 1 + n 2 + ... + n k = n n ! n 1 ! n 2 ! ... n k ! x 1 n 1 x 2 n 2 ... x k n k {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{k})^{n}=\sum _{n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}=n}{\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\ldots n_{k}!}}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\ldots x_{k}^{n_{k}}}
を得る(k = 2 のとき二項定理が導かれる)。
演算 "+" が可換(あるいはより一般に和の各項が "+" に関して可換)であるとき、
( x 1 + x 2 + ⋯ + x k ) n = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k ) ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k ) ⋯ ( x 1 + x 2 + ⋯ + x k ) ⏟ n factors {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{k})^{n}=\underbrace {(x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{k})(x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{k})\dotsb (x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{k})} _{n{\text{ factors}}}}
を、1 ≤ i ≤ n なる任意の i について i 番目の因子から取った項を第 i-成分とする x1, x2, ..., xk からなる n-組の積の和の形に展開することを考える。任意の 1 ≤ i ≤ k に対して、この n-組に現れる xi の個数を ni とすると n1 + n2 + ... + nk = n が成り立ち、対応する積は x 1 n 1 x 2 n 2 ⋯ x k n k {\displaystyle \textstyle x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\dotsb x_{k}^{n_{k}}} の形になる。