外微分
外微分はテクニカルな意味で自然である: f: M → N が滑らかな写像で Ω が各多様体に多様体上の k-形式の空間を割り当てる滑らかな反変関手であれば、次の図式は交換する
よって d(f*ω) = f*dω である、ただし f* は f の引き戻し(英語版)を表す。このことは、f∗ を f の押し出し(微分)として、f*ω(•) が定義により ω(f∗(•)) に等しいことから従う。ゆえに d は Ω から Ω への自然変換である。
ここで ⋆ {\displaystyle \star } はホッジのスター演算子であり、 ♭ {\displaystyle \flat } および ♯ {\displaystyle \sharp } は音楽同型(英語版)、 f {\displaystyle f} はスカラー場、 F {\displaystyle F} はベクトル場である。