交代行列
n次正方行列 A = (ai,j) が歪対称(skew-symmetric)あるいは交代的 (alternative) であるとは、以下の関係
A ⊤ = − A ( ⟺ a i , j = − a j , i ( ∀ i , j ) ) {\displaystyle A^{\top }=-A\quad (\iff a_{i,j}=-a_{j,i}\quad (\forall i,j))}
を満足するときに言う。成分を用いない形では、R の標準内積を ⟨,⟩ と書けば、n次実正方行列 A が歪対称であるための必要十分条件は
⟨ A x , y ⟩ = − ⟨ x , A y ⟩ ( ∀ x , y ∈ R n ) {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad (\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n})}
を満たすことである。これはまた、交代的であるための必要十分条件は
⟨ x , A x ⟩ = 0 ( ∀ x ∈ R n ) {\displaystyle \langle x,Ax\rangle =0\quad (\forall x\in \mathbb {R} ^{n})}
が成り立つことであるとも言い表せる。