ミンコフスキーの定理
S を体積が d (L) より大きな凸集合とすると、S は L を法として互いに合同な2点をもつ。つまり
v 1 − v 2 ∈ L ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\in L\backslash \{0\}}
となる v 1 , v 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S} がとれる。これは次のように証明できる。
L の基底 u 1 , u 2 , ... , u n {\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}} をとり
F = { a 1 u 1 + a 2 u 2 + ⋯ + a n u n , 0 ≤ a i < 1 } {\displaystyle F=\{a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {u} _{n},0\leq a_{i}<1\}}
をこの基底に対する L の基本領域とすると
V ( F ) = d ( L ) {\displaystyle V(F)=d(L)}
が成り立つ。