フィンスラー多様体
(M, d) を準距離とする。つまり M は可微分多様体であり、d は M の微分構造と次の意味での互換性をもつ:
M の任意の点 z の近傍で滑らかな M のチャート (U, φ) と定数 C ≥ 1 が存在して、任意の x, y ∈ U に対して次が成り立つ: 1 C ‖ φ ( y ) − φ ( x ) ‖ ≤ d ( x , y ) ≤ C ‖ φ ( y ) − φ ( x ) ‖ . {\displaystyle {\frac {1}{C}}\|\phi (y)-\phi (x)\|\leq d(x,y)\leq C\|\phi (y)-\phi (x)\|.}
関数 d: M×M → [0, ∞] がいくつかpunctureされた対角の近傍の中で滑らか。
するとフィンスラー関数 F: TM → [0, ∞] を
F ( x , v ) := lim t → 0 + d ( γ ( 0 ) , γ ( t ) ) t {\displaystyle F(x,v):=\lim _{t\to 0+}{\frac {d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}}}
で定義できる。
エネルギー汎関数 E[γ] のオイラー・ラグランジュ方程式は TM の局所座標系 (x, ..., x, v, ..., v) で
g i k ( γ ( t ) , γ ̇ ( t ) ) γ ̈ i ( t ) + ( ∂ g i k ∂ x j ( γ ( t ) , γ ̇ ( t ) ) − 1 2 ∂ g i j ∂ x k ( γ ( t ) , γ ̇ ( t ) ) ) γ ̇ i ( t ) γ ̇ j ( t ) = 0 {\displaystyle g_{ik}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}{\ddot {\gamma }}^{i}(t)+\left({\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}{\Big (}\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t){\Big )}\right){\dot {\gamma }}^{i}(t){\dot {\gamma }}^{j}(t)=0}
である。ここで k = 1, ..., n、また gij は次で定義される基本テンソルの座標表現である:
g i j ( x , v ) := g v ( ∂ ∂ x i | x , ∂ ∂ x j | x ) .