オイラー積分
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}
で定義される。
オイラー積分の性質として、正の整数 l {\displaystyle l} , m {\displaystyle m} , n {\displaystyle n} に対して、
B ( l , m ) = ( l − 1 ) ! ( m − 1 ) ! ( l + m − 1 ) ! = l + m l m ( l + m l ) {\displaystyle \mathrm {B} (l,m)={(l-1)!(m-1)! \over (l+m-1)!}={l+m \over lm{l+m \choose l}}}
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}
という表示もある。