二項積
A × ×  A = 2 [ ( a 1 × a 2 ) ( b 1 × b 2 ) + ( a 2 × a 3 ) ( b 2 × b 3 ) + ( a 3 × a 1 ) ( b 3 × b 1 ) ] {\displaystyle \mathbf {A} \mathop {_{\textstyle \times }} ^{\textstyle \times }\mathbf {A} =2[(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2})(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2})+(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})+(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1})(\mathbf {b} _{3}\times \mathbf {b} _{1})]}
は 0 でない。
行列として書けば
( 0 − 1 1 0 ) ( x y ) = ( − y x ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}.}
一般に、反時計回りの角 θ の二次元回転二項積は
I cos  θ + J sin  θ = ( cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ) {\displaystyle \mathbf {I} \cos \theta +\mathbf {J} \sin \theta ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\;\cos \theta \end{pmatrix}}}
で与えられる。ただし、I, J は上で与えたものとする。
多重線型代数学における二項積(にこうせき、英: dyadic)あるいは二項テンソル (dyadic tensor) は、二つのベクトルのある種の積として得られる二階テンソルである。二項積はしばしば二つのベクトルを併置することで表され、しかしその振舞いは行列に対応する法則に従う。二項積に関する用語や概念は今日では比較的時代遅れのものであるが、連続体力学や電磁気学などの物理学において引き続き用例がある。
二項積の記法を確立した最初の人はジョサイア・ウィラード・ギブスで1884年の事である。
(本項では、大文字太字は二項積、小文字太字はベクトルを表すものとする。別な表記法として二項積およびベクトルのそれぞれに二重および一重の上付きまたは下付きのバーを付けるものがある。)
この二項積の縮約をアインシュタインの和の規約に従って添字記法で書けば
| A | = A i i . {\displaystyle |\mathbf {A} |=A_{i}{}^{i}.}
また三次元の場合に限られるが、併置をクロス積(交叉積)で置き換えれば回転因子 (rotation factor) が得られる:
⟨ A ⟩ = A 11 i × i + A 12 i × j + A 31 i × k + A 21 j × i + A 22 j × j + A 23 j × k + A 31 k × i + A 32 k × j + A 33 k × k = A 12 k − A 31 j − A 21 k + A 23 i + A 31 j − A 32 i = ( A 23 − A 32 ) i + ( A 31 − A 13 ) j + ( A 12 − A 21 ) k .