多項式の次数
{\displaystyle a+(-\infty )=-\infty .}
(a は任意の正整数)を追加することと合わせて、非常に有効である
以下のような例を見れば、前節で述べた次数公式とどのように整合するか理解されるだろう。
和 ( x 3 + x ) + ( 0 ) = x 3 + x {\displaystyle (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x} の次数は 3 であり、これは期待通り 3 ≤ max(3, -∞) に合致する。
差 ( x ) − ( x ) = 0 {\displaystyle (x)-(x)=0} の次数は −∞ であり、これは −∞ ≤ max(1,1) を満たしている。
積 ( 0 ) ( x 2 + 1 ) = 0 {\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0} の次数は −∞ であり、−∞ = −∞ + 2 は合理的である。
二つの定数でない多項式の合成の次数は、それら多項式の次数の積に等しい。すなわち
deg  ( P ∘ Q ) = deg  ( P ) deg  ( Q ) {\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)}
が成り立つ。例えば、
P = (x + x), Q = (x + 1) のとき P ∘ Q = (x + 1) + (x + 1) = x + 3x + 4x + 2 の次数は 3 ⋅ 2 = 6.