ラドン＝ニコディムの定理
が成り立ち、したがって max{ f 1, f 2} ∈ F となる。
今 { fn } を、次を満たす F 内の函数列とする。
lim n → ∞ ∫ X f n d μ = sup f ∈ F ∫ X f d μ . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}
fn をはじめの n 個の函数の最大で置き直すことで、{ fn } は増加列であると仮定することが出来る。g を次で定義される函数とする。
g ( x ) := lim n → ∞ f n ( x ) . {\displaystyle g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}
ルベーグの単調収束定理より、各 A ∈ Σ に対して
∫ A g d μ = lim n → ∞ ∫ A f n d μ ≤ ν ( A ) {\displaystyle \int _{A}g\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu \leq \nu (A)}
が成り立ち、したがって g ∈ F となる。また、g の構成法より
∫ X g d μ = sup f ∈ F ∫ X f d μ {\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu }