完全不連結群
s {\displaystyle s} は連続である。
xがGのコンパクト元ならば s ( x ) = 1 {\displaystyle s(x)=1} である。
n {\displaystyle n} が非負整数ならば s ( x n ) = s ( x ) n {\displaystyle s(x^{n})=s(x)^{n}} が成り立つ。
G上のモジュラー関数は Δ ( x ) = s ( x ) s ( x − 1 ) − 1 {\displaystyle \Delta (x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}} で与えられる。
局所コンパクト完全非連結群において、単位元の任意の近傍はコンパクト開部分群を含む。逆に、位相群Gが「単位元の任意の近傍がコンパクト開部分群を含む」という条件を満たすとき、Gは局所コンパクト完全非連結群である。