主曲率
この事実はレオンハルト・オイラー(Leonhard Euler) (1760) の結果であり、主方向(principal directions)と呼ばれる。現代的な観点からは、対称テンソルの主軸(英語版)(principal axes) - 第二基本形式(second fundamental form)であるので、この定理はスペクトル定理から従う。主曲率と主方向の系統的な解析は、ジャン・ガストン・ダルブー(Gaston Darboux)によりダルブー標構(英語版)(Darboux frame)を使って研究された。
2つの主曲率の積 k1k2 がガウス曲率 K であり、平均 (k1 + k2)/2 が平均曲率(英語版)(mean curvature) H である。
すくなくとも主曲率の片方が 0 であれば、ガウス曲率は 0 となり、曲面は可展面である。極小曲面(minimal surface)に対し、平均曲率はすべての点で 0 である。