格子振動
3次元結晶のポテンシャルエネルギーを平衡位置からのずれ(変位) u {\displaystyle u} でテイラー展開すると、次のように書ける。
U = U 0 + ∑ l b α ∂ U ∂ u α ( l b ) | 0 u α ( l b ) + 1 2 ! ∑ l b , l ′ b ′ ∑ α β ∂ 2 U ∂ u α ( l b ) ∂ u β ( l ′ b ′ ) | 0 u α ( l b ) u β ( l ′ b ′ ) + 1 3 ! ∑ l b , l ′ b ′ , l ′′ b ′′ ∑ α β γ ∂ 2 U ∂ u α ( l b ) ∂ u β ( l ′ b ′ ) ∂ u γ ( l ′′ b ′′ ) | 0 u α ( l b ) u β ( l ′ b ′ ) u γ ( l ′′ b ′′ ) + ... = U 0 + 1 2 ! ∑ l b , l ′ b ′ ∑ α β Φ α β ( l b , l ′ b ′ ) u α ( l b ) u β ( l ′ b ′ ) + 1 3 ! ∑ l b , l ′ b ′ , l ′′ b ′′ ∑ α β γ Φ α β γ ( l b , l ′ b ′ , l ′′ b ′′ ) u α ( l b ) u β ( l ′ b ′ ) u γ ( l ′′ b ′′ ) + ... = U 0 + U 2 + U 3 + ...
原子の3次元格子を扱う前に、単純化した1次元格子(または線形鎖)のモデルを考える。このモデルでも十分に複雑で、フォノンの重要な特徴が表れている。
原子間に働く力は線形で、最近傍のみ働くと過程すると、弾性ばねによって表される。 それぞれの原子は点粒子と仮定し、原子核と電子は互いに足並みを合わせて運動すると考える(断熱近似)。
n − 1 n n + 1 ← d →
···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···
→→ → →→→ un − 1 un un + 1
ここでnはn番目の原子、dは鎖が平衡状態にあるときの原子間距離、 unはn番目の原子の平衡位置からの変位である。
Cをばね定数、mを原子の質量とすると、n番目の原子の運動方程式は次にようになる。
− 2 C u n + C ( u n + 1 + u n − 1 ) = m d 2 u n d t 2 {\displaystyle -2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}}
これは結合方程式であり、解は振動的だと予想されるため、離散フーリエ変換によって新たな座標を定義して分解することができる。