ポアソン分布
ポアソン分布の平均 E[X] および分散 V[X] は、λ に等しい。
E  [ X ] = λ , V  [ X ] = λ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\lambda ,\\\operatorname {V} [X]&=\lambda .\end{aligned}}}
平均 λ のポアソン分布の積率母関数 MX(t) は、
M X ( t ) = E  [ e t X ] = ∑ k = 0 ∞ e t k P ( X = k ) = ∑ k = 0 ∞ e t k λ k e − λ k ! = e λ ( e t − 1 ) {\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}P(X=k)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}{\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}=e^{\lambda (e^{t}-1)}}
で与えられる。
ポアソン分布の高次モーメントは、λ を含むトゥシャール多項式であり、二項係数を持つ。
m 1 = E [ X ] = λ , m 2 = E [ X 2 ] = λ 2 + λ , m 3 = E [ X 3 ] = λ 3 + 3 λ 2 + λ , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=E[X]=\lambda ,\\m_{2}&=E[X^{2}]=\lambda ^{2}+\lambda ,\\m_{3}&=E[X^{3}]=\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+\lambda ,\\&\vdots \end{aligned}}}
ポアソン分布の n 次の階乗モーメント(英語版)は λ である。
E  [ X ( X − 1 ) ⋯ ( X − n + 1 ) ] = λ n . {\displaystyle \operatorname {E} [X(X-1)\dotsm (X-n+1)]=\lambda ^{n}.}
ポアソン分布の n 次のキュムラント κn は全て、平均 λ と等しい。
κ n = ∂ n ∂ t n log  ( M X ( t ) ) | t = 0 = λ . {\displaystyle \kappa _{n}=\left.{\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}\log {\bigl (}M_{X}(t){\bigr )}\right\vert _{t=0}=\lambda .}