プロパゲーター
スカラープロパゲーターはクライン・ゴルドン方程式のグリーン函数である。場の量子論で重要な関連する特異函数が存在する。ビヨルケン (Bjorken) とドレル (Drell) の記法を使う。またボゴリューボフ (Bogolyubov) とシルコフ (Shirkov) の (Appendix A) も参照のこと。これらの函数は非常に単純に、場の作用素の積の真空期待値 (en:vacuum expectation value) で定義される。
ここで、
τ x y := ( x 0 − y 0 ) 2 − ( x → − y → ) 2 {\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}}
は、 x {\displaystyle x} から y {\displaystyle y} への固有時間であり、 J 1 {\displaystyle J_{1}} は第一種ベッセル函数である。表現 y ≺ x {\displaystyle y\prec x} は y {\displaystyle y} が因果律に従っていることを意味し、ミンコフスキー時空では、
y 0 < x 0 {\displaystyle y^{0}<x^{0}} and τ x y 2 ≥ 0 {\displaystyle \tau _{xy}^{2}\geq 0} .
であることを意味する。この表現は、自由スカラー場の作用素の交換子の真空期待値 (en:vacuum expectation value) の項でも、次のように表現することができる。
G r e t ( x , y ) = i ⟨ 0 | [ Φ ( x ) , Φ ( y ) ] | 0 ⟩ Θ ( x 0 − y 0 ) {\displaystyle G_{\mathrm {ret} }(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0})}
上記に定義された遅延、前進、ファインマンプロパゲーターは、クライン・ゴルドン方程式のグリーン函数である。それらは、により特異函数へ関連づけられている。
G r e t ( x − y ) = − Δ ( x − y ) Θ ( x 0 − y 0 ) {\displaystyle \,G_{\mathrm {ret} }(x-y)=-\Delta (x-y)\Theta (x_{0}-y_{0})}
G a d v ( x − y ) = Δ ( x − y ) Θ ( y 0 − x 0 ) {\displaystyle \,G_{\mathrm {adv} }(x-y)=\Delta (x-y)\Theta (y_{0}-x_{0})}
2 G F ( x − y ) = − i Δ 1 ( x − y ) + ε ( x 0 − y 0 ) Δ ( x − y ) {\displaystyle \,2G_{F}(x-y)=-i\Delta _{1}(x-y)+\epsilon (x_{0}-y_{0})\Delta (x-y)}
ここに、 ε ( x 0 − y 0 ) = 2 Θ ( x 0 − y 0 ) − 1 {\displaystyle \,\epsilon (x_{0}-y_{0})=2\Theta (x_{0}-y_{0})-1} である。