セルバーグクラス
(Selberg 1992)でセルバーグは、S の函数に関連する予想を提出した。
予想 1: S の全ての F に対し、整数 nF が存在し、
∑ p ≤ x | a p | 2 p = n F log  log  x + O ( 1 ) {\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {|a_{p}|^{2}}{p}}=n_{F}\log \log x+O(1)}
となり、F が原始的であれば、いつも nF = 1 であろう。
予想 2: 異なる原始的な F, F′ ∈ S に対し
∑ p ≤ x a p a p ′ p = O ( 1 ) {\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {a_{p}a_{p}^{\prime }}{p}}=O(1)}
となるであろう。
予想 3: もし、
F = ∏ i = 1 m F i {\displaystyle F=\prod _{i=1}^{m}F_{i}}
が原始的な函数へと分解し、χ が原始的ディリクレ指標であれば、 F χ = ∏ i = 1 m F i χ {\displaystyle F^{\chi }=\prod _{i=1}^{m}F_{i}^{\chi }}
となり、Fi は原始的であろう。
S に対するリーマン予想: S の全ての元 F に対し、F の非自明なゼロ点は全て直線 Re(s) = 1/2 の上にあるであろう。
μi が負のとき、リーマン予想を満たさないような L-函数が知られているので、条件として μi の実部が非負であることを加えている。特に、例外固有値に関連付いているマースカスプ形式(Maass cusp form)は、ラマヌジャン・ピーターソン予想が成り立ち、函数等式を持つが、リーマン予想を満たさない。
θ < 1/2 という条件は重要である。θ = 1/2 の場合は、ディリクレのエータ函数(英語版)(Dirichlet eta-function)があるが、リーマン予想が成立しない。
条件 4 は、an が乗法的であることを言っていて、
F p ( s ) = ∑ n = 0 ∞ a p n p n s for Re ( s ) > 0 {\displaystyle F_{p}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{p^{n}}}{p^{ns}}}{\text{ for Re}}(s)>0}
が成り立つ。
予想 1 と 2 は、F が s = 1 で位数 m の極を持つと、F(s)/ζ(s) は整函数であることを示唆している。特にこの結果は、デデキント予想を含んでいる。
ラム・ムーティ(英語版)(M. Ram Murty)は (Murty 1994) で、予想 1 と 2 はアルティン予想(Artin conjecture)を含むことを示した。実際、ムーティは、有理数の可解拡大(solvable extension)のガロア群に対応するアルティンのL-函数が、ラングランズ予想により予想されるように、保型表現であることを示した。
S の函数は、素数定理の類似をも満たす。F(s) は直線 Re(s) = 1 上のゼロ点を持たない。上記のように、予想 1 と 2 は S の中の函数の原始的な函数への一意的な分解を意味する。他の結果としては、F が原始的であれば、nF = 1 と同値である。
γ ( s ) = e i φ Q s ∏ i = 1 k Γ ( ω i s + μ i ) {\displaystyle \gamma (s)=e^{i\phi }Q^{s}\prod _{i=1}^{k}\Gamma (\omega _{i}s+\mu _{i})} ここに、 φ {\displaystyle \phi } は実数であり、Q は実数で正、Γ はガンマ函数、ω1 は実数で正、μi は非負な実部を持つ複素数で、函数 Φ ( s ) = γ ( s ) F ( s ) {\displaystyle \Phi (s)=\gamma (s)F(s)\,} は、 Φ ( s ) = Φ ( 1 − s ̄ ) ̄ ; {\displaystyle \Phi (s)={\overline {\Phi (1-{\overline {s}})}};} を満たす。
オイラー積: F(s) は、次のように素数を渡る積として書くことができる。 F ( s ) = ∏ p F p ( s ) for Re ( s ) > 1 {\displaystyle F(s)=\prod _{p}F_{p}(s){\text{ for Re}}(s)>1\,} ここに、 log  F p ( s ) = ∑ n = 0 ∞ b p n p n s {\displaystyle \log F_{p}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{p^{n}}}{p^{ns}}}} であり、ある θ < 1/2 が存在して、 b p n = O ( p n θ ) {\displaystyle b_{p^{n}}=O(p^{n\theta })} である。