代数曲線
b Y 2 + b 1 X Y + b 3 Y = b 0 X 3 + b 2 X 2 + b 4 X + b 6 {\displaystyle bY^{2}+b_{1}XY+b_{3}Y=b_{0}X^{3}+b_{2}X^{2}+b_{4}X+b_{6}}
となる b , b 0 , b 1 , ... , b 6 {\displaystyle b,b_{0},b_{1},\ldots ,b_{6}} が存在する。ここで b, b0 のどちらかが0ならばこれは有理曲線を表すから、 b, b0 はいずれも0ではない。よって X を何倍かしてテイト–ヴァイアシュトラス形
Y 2 + a 1 X Y + a 3 Y = X 3 + a 2 X 2 + a 4 X + a 6 {\displaystyle Y^{2}+a_{1}XY+a_{3}Y=X^{3}+a_{2}X^{2}+a_{4}X+a_{6}}
を得る。 Y = y / z , X = x / z {\displaystyle Y=y/z,X=x/z} とおくことで射影的に
y 2 z + a 1 x y z + a 3 y z 2 = x 3 + a 2 x 2 z + a 4 x z 2 + a 6 z 3 {\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}}
これにより、アフィン曲線とその射影完備化は同じもの(より精確には、アフィン曲線は射影曲線の中で「完全な」曲線を定めるに十分大きな部分を成している)と看做すことができる。このような観点は、射影完備化の中でアフィン部分に属さない(有限個の)点をアフィン曲線に関する「無限遠点」と呼ぶことによって広く言い表される。
射影曲線はそれ自身しばしば研究の対象となるが、アフィン曲線の研究にも有用である。例えば、p(x, y) がアフィン曲線を定義する多項式ならば、偏微分 p'x, p'y を持つが、そのほかに無限遠における微分 (derivative at infinity)
p ∞ ′ ( x , y ) = h p z ′ ( x , y , 1 ) {\displaystyle p'_{\infty }(x,y)={}^{h}p'_{z}(x,y,1)}
を考えることは有用である。例えば、方程式 p(x, y) = 0 のアフィン曲線の点 (a, b) における接線の方程式は
x p x ′ ( a , b ) + y p y ′ ( a , b ) + p ∞ ′ ( a , b ) = 0 {\displaystyle xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0}
で与えられる。
リーマン面とは複素一次元の連結な複素解析的多様体のことであり、これを連結な実二次元多様体と看做すことができる。リーマン面がコンパクトであるとは、それが位相空間としてコンパクトとなるときに言う。
C 上の非特異既約射影代数曲線の全体が(定数でない正則写像を射として)成す圏、コンパクトリーマン面の全体が(定数でない正則写像を射として)成す圏、C 上の一変数代数函数体の全体(が C を固定する体準同型を射として)成す圏の反対圏の三者の間には圏同値が存在する。これは、この三つの主題を研究するにあたって、そのうちの一つについて知ることはほかの二つにおいても同じであることを意味する。これにより、代数幾何学において複素解析的手法を用いたり、複素解析において代数幾何学的手法を用いたり、両方において体論的手法を用いたりすることができるようになる。これは代数幾何学におけるかなり広範なクラスの問題の持つ特徴である。