乱雑位相近似
ここで ( X ν Y ν ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{\nu }\\Y^{\nu }\end{pmatrix}}} は固有ベクトルであり、 ħ ω ν {\displaystyle \hbar \omega _{\nu }} は固有値であり励起状態を表す。
また、RPA方程式から得られる固有値が正の値をとる時、ハートレーフォック基底状態はエネルギーの極小値であることから 系のエネルギーは安定であることがわかる。しかし、固有値のなかに一つでも負の値のものが含まれる場合、 もはや安定ではなく異なる基底状態(真空)が存在する可能性、つまり相転移の可能性を示唆している。
固有ベクトルと固有値の存在は量子状態 | ν ⟩ {\displaystyle |\nu \rangle } が、状態 | m i ⟩ = a m † a i | H F ⟩ {\displaystyle |mi\rangle =a_{m}^{\dagger }a_{i}|HF\rangle } の線形結合を用いて、
| ν ⟩ ( = O ν † | Φ R P A ⟩ ) = ∑ m i ( X m i ν | m i ⟩ − Y m i ν | i m ⟩ ) {\displaystyle |\nu \rangle (=O_{\nu }^{\dagger }|\Phi _{RPA}\rangle )=\sum _{mi}(X_{mi}^{\nu }|mi\rangle -Y_{mi}^{\nu }|im\rangle )}
と表せることを示している。