級数
級数の概念をバナッハ空間の元の列に対するものに拡張するのは容易である。(xn) をバナッハ空間 X 内の点列とするとき、級数 ∑ xn が x ∈ X に収束するとは、その部分和の列が N → ∞ の極限で
‖ x − ∑ n = 0 N x n ‖ → 0 {\displaystyle {\bigl \|}x-\sum _{n=0}^{N}x_{n}{\bigr \|}\to 0}
となる意味で x に収束することを言う。
さらに一般に、任意の位相アーベル群(分離位相群を成す可換群)における収束級数の概念を定義することができる。この場合も具体的には、級数 ∑ xn が x に収束するということを、その部分和の列が x に収束することを以って定める。
すべての項が正の数である級数(正項級数)∑an が、ある正の数 α に対して、 a n a n + 1 = 1 + α n + O ( 1 n 2 ) {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\alpha }{n}}+O\!\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)} と書けるならば、∑an は α > 1 のとき収束し、α ≤ 1 のとき発散する。
ある種の関数の漸近級数あるいは漸近展開とは、定義域内の点における部分和がその関数のよい近似を与えるような無限級数をいう。漸近級数は、一般には必ずしも収束しないが、近似列として見れば有効であり、任意の有限項で打ち切った和の値があるべき「真の値」に近いものを与える。ただし、真の値がそのまま得られる収束級数とは異なり、漸近級数を利用するにはきちんと誤差を評価する必要がある。事実として典型的な漸近級数では、ある程度多くの項を加えて初めて「最適」な近似が得られるようになり、また一方で加える項の数が多くなりすぎると近似の精度が悪くなるという特徴が見られる。