キャッソン不変量
λ ( Σ + 1 m + 1 ⋅ K + 1 n + 1 ⋅ L ) − λ ( Σ + 1 m ⋅ K + 1 n + 1 ⋅ L ) − λ ( Σ + 1 m + 1 ⋅ K + 1 n ⋅ L ) + λ ( Σ + 1 m ⋅ K + 1 n ⋅ L ) {\displaystyle \lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m+1}}\cdot K+{\frac {1}{n+1}}\cdot L\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K+{\frac {1}{n+1}}\cdot L\right)-\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m+1}}\cdot K+{\frac {1}{n}}\cdot L\right)+\lambda \left(\Sigma +{\frac {1}{m}}\cdot K+{\frac {1}{n}}\cdot L\right)}
キャッソン不変量は(上記の性質に関して)すべての定数による積を除き、一意である。
λ C W L ( M ) = | t o r s i o n ( H 1 ( M ; Z ) ) | ( ( a ∪ b ∪ c ) ( [ M ] ) ) 2 {\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=\left\vert \mathrm {torsion} (H_{1}(M;\mathbb {Z} ))\right\vert \left((a\cup b\cup c)([M])\right)^{2}}
である。
M の第一ベッチ数が 3 よりも大きいと、 λ C W L ( M ) = 0 {\displaystyle \lambda _{CWL}(M)=0} である。
キャッソン・ウォーカー・レスコップ不変量は次の性質を持つ。
M が向きつけられて、第一ベッチ数が奇数であれば、キャッソン・ウォーカー・レスコップ不変量は変わらなく、そうでない場合は符号を変える。
多様体の連結和に対し、
λ C W L ( M 1 # M 2 ) = | H 1 ( M 2 ) | λ C W L ( M 1 ) + | H 1 ( M 1 ) | λ C W L ( M 2 ) . {\displaystyle \lambda _{CWL}(M_{1}\#M_{2})=\left\vert H_{1}(M_{2})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{1})+\left\vert H_{1}(M_{1})\right\vert \lambda _{CWL}(M_{2})\ .}