標準写像
K = 0 {\displaystyle K=0} に対し、この写像は線型であり、周期軌道および準周期軌道のみが現れる。相空間(θ–p 平面)にプロットされるとき、周期軌道は閉曲線として現れ、準周期軌道は別の大きな閉曲線の中に中心を持つような閉曲線の縞として現れる。どのタイプの軌道が観測されるかは、写像の初期条件に依存する。
写像の非線型性は K とともに増加し、それに伴って、適切な初期条件に対してはカオス的挙動を観測することが可能になる。これは様々な値の K > 0 {\displaystyle K>0} に対する標準写像が導く異なる軌道を集めた、本記事の図に示されている。その大部分の軌道は周期的あるいは準周期的であるが、緑色のものはカオス的であり、相空間の広大な領域において明らかにランダムな点の集合として発展するものである。特に刮目すべきものは、当てにならないこともあるが、カオス領域において極めて一様な分布である。すなわち、カオス的領域の中でさえも、拡大図で示されるように、反復では決して到達されない小さな島が無限個存在しているのである。