規格化
∫ | Ψ | 2 d r = ∫ | Ψ ( r , t ) | 2 d r = 1 {\displaystyle \int |\Psi |^{2}d\mathbf {r} =\int |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r} =1}
と規格化される。これは、ある時刻tで粒子が位置 r での微小な領域 dr(=dxdydz) に存在する確率が、 | Ψ ( r , t ) | 2 d r {\displaystyle |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r} } であることを示している。それを全空間(粒子の存在しうる全領域)で積分すれば、確率の総和は1となる必要がある。この要請を満たすために規格化を行う。実際の数値計算等で求められる波動関数は、そのままでは上記の積分が1となる保証はないので、積分値が1となるように規格化される。
規格化 (きかくか、英: normalization) とは、ある空間で粒子が一つ存在し、それを記述する波動関数をΨとすると、Ψのノルムに関して、
∫ | Ψ | 2 d r = 1 {\displaystyle \int |\Psi |^{2}d\mathbf {r} =1}
とすることである。正規化とも言う。積分は当該粒子の存在する全空間に対して行われる。積分の範囲は、その粒子のなす系に課された境界条件によって変わる。一つの例として周期的境界条件に基づく結晶格子では、以下のようにその単位胞内で規格化のための積分が行われる。
∫ V c e l l | Ψ | 2 d r = 1 {\displaystyle \int _{V_{cell}}|\Psi |^{2}d\mathbf {r} =1}
ここで、Vcell は単位胞の体積である。
直交座標系を考えて、r=(x,y,z) とし、更に時間tも考えると、一粒子の波動関数は Ψ = Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi =\Psi (x,y,z,t)=\Psi (\mathbf {r} ,t)} で表され、これは、