最大絶対値の原理
≤ 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( ζ ) | r r d θ = 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( ζ ) | d θ ≤ 1 2 π ∫ 0 2 π M d θ = M {\displaystyle \leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{r}}\,rd\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f(\zeta )\right|d\theta \leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }Md\theta =M}
仮定により M ≤ |f(z0)| であるから、結局
| f ( z 0 ) | = 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( ζ ) | d θ = M {\displaystyle \left|f(z_{0})\right|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f(\zeta )\right|d\theta =M}
が成立つ。すなわち、Cr 上の任意の点 ζ で |f(z0)| = |f(ζ)| が成立つことになる。