差商に対する平均値の定理
どの二つも相異なる n + 1 個の点 x0, ..., xn を含む定義域上で n 回微分可能な函数 f に対し、内点 ξ ∈ ( min { x 0 , ... , x n } , max { x 0 , ... , x n } ) {\displaystyle \xi \in (\min\{x_{0},\dots ,x_{n}\},\,\max\{x_{0},\dots ,x_{n}\})} が存在して、その点での f の n-階微分係数が、与えられた点における n-次差商の n!-倍に等しい。式で書けば f [ x 0 , ... , x n ] = f ( n ) ( ξ ) n ! {\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}} が成り立つ。
n = 1 のとき、上記の主張は函数の二点間の値に対する、通常の平均値の定理である。
点 x0, ..., xn における f のラグランジュ補間多項式を P とするとき、ニュートン形を考えれば P の最高次項は f [ x 0 , ... , x n ] ( x − x n − 1 ) ⋯ ( x − x 1 ) ( x − x 0 ) {\textstyle f[x_{0},\dots ,x_{n}](x-x_{n-1})\dotsb (x-x_{1})(x-x_{0})} である。