キュリーの法則
計算を簡単にするために、2状態の粒子を考える。2状態とは、粒子の磁気モーメントが磁場に対して平行(平行で向きも同じ)と反平行(平行だが向きは逆)のどちらかをとることができるということを意味する。よって磁気モーメントに許される値は μ {\displaystyle \mu } または − μ {\displaystyle -\mu } である。この模型をイジング模型とよぶ。この場合、各粒子は
E 0 = − μ B {\displaystyle E_{0}=-\mu B}
か
E 1 = μ B {\displaystyle E_{1}=\mu B}
のどちらかのエネルギーをもつことができる。
次に、粒子が磁場の方向に向くときの向きやすさを考える。この向きやすさを磁化 μ {\displaystyle \mu } の期待値で考える。
⟨ μ ⟩ = μ P ( μ ) + ( − μ ) P ( − μ ) = 1 Z ( μ e μ B β − μ e − μ B β ) = 2 μ Z sinh  ( μ B β ) , {\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\sinh(\mu B\beta ),}
常磁性磁子が古典的な自由に回転する磁気モーメントであると考えられる場合には、異なる扱いが適用される。この場合、磁気モーメントの状態は球座標における角度で表すことができる。またひとつ当たりのエネルギー E {\displaystyle E} は以下で表される。
E = − μ B cos  θ , {\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}
ここで θ {\displaystyle \theta } は磁気モーメントと磁場の間の角度である。なお、ここでは磁場は z {\displaystyle z} 軸方向を向いているとする。
対応する分配関数 Z {\displaystyle Z} は以下で表される。
Z = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π d θ sin  θ exp  ( μ B β cos  θ ) = − 2 π exp  ( μ B β cos  θ ) μ B β | 0 π = 4 π sinh  ( μ B β ) μ B β {\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\\&=-2\pi {\frac {\exp(\mu B\beta \cos \theta )}{\mu B\beta }}{\Bigg |}_{0}^{\pi }\\&={\frac {4\pi \sinh(\mu B\beta )}{\mu B\beta }}\end{aligned}}}