群作用
G が位相群、X が位相空間であるとき、写像 G × X → X がG × X の積位相に関して連続であるような G の X への連続群作用 (continuous group actions) を考えることもよくある。この場合、位相空間 X を G-空間 (G-space) とも呼ぶ。任意の群は離散位相に関する位相群と見ることができるから、これは実際には一般化になっている。既に述べた各種概念はこの文脈でもそのまま考えることができるが、G-空間の間の射としては G の作用と両立する「連続写像」を考えるのが普通である。商 X/G には X から誘導される商位相を入れて位相空間としたものを、この作用に関する商空間 (quotient space) と呼ぶ。正則、自由、推移的な作用に対する同型射について上述した主張は、連続群作用に対してはもはや正しくない。
G が位相空間 X に作用する離散群であるとき、作用が固有不連続あるいは真性不連続 (properly discontinuous) であるのは、X の各点 x に対して開近傍 U が存在して、g(U) ∩ U ≠ ∅ となるような G の元 g 全体成す集合が、ただ一つ単位元のみからなるようにできるときである。
任意の群 G に対して自明な作用 (trivial action) は、群 G 全体が X 上の恒等変換を誘導する、つまり G の任意の元 g と X の任意の元に対して g • x = x が成立することをいう。
任意の群 G は G 自身への自然だが本質的に異なる二種類の作用g • x = gx (∀x ∈ G)g • x = gxg (∀x ∈ G)を持つ。後者の作用は内部自己同型による作用、両側移動作用 (twosided translation)、共軛作用 (conjugation) あるいは随伴作用 (adjoint action) などと呼ばれ、この右作用版はよく冪記法を使って x = gxg のように書かれる。これは (x) = x を満足する。
対称群 Sn とその部分群は、集合{ 1, ..., n } に元の置換として作用する。
多面体の対称性の群(英語版)は、多面体の頂点集合に作用し、多面体の面集合にも作用する。
任意の幾何学的対象の対称性の群は、その対象の点集合の上に作用する。
ベクトル空間、グラフ、群、環などの自己同型群はそれぞれ、そのベクトル空間、グラフの頂点集合、その群、その環などに作用する。
この作用は群 G の各元に対して X の置換を以下のように割り当てる。
群 G の単位元に対応する X 上の置換は、X 上の恒等変換である。
群 G におけるふたつの元の積 gh に対応する X 上の置換は、g および h にそれぞれ対応する置換の合成である。
ここでは G の各元が置換として表現されているので、このような群作用は群の置換表現 (permutation representation) としても知られる。
群作用を考えることによって得られる抽象化は、幾何学的な考え方をより抽象的な対象にも応用できるという面で非常に強力である。多くの数学的対象はその上で定義される自然な群作用というものを持っており、特に群は別な群や自分自身への群作用を考えることができる。このような一般性を持つにもかかわらず、群作用の理論は(軌道-安定化群定理 (orbit stabilizer theorem) のような)適用範囲の広い定理を含み、さまざまな分野での深い結果を示すのに用いられる。