順序統計量
f X ( k ) ( x ) = d d x F X ( k ) ( x ) = d d x ∑ j = k n ( n j ) F ( x ) j ( 1 − F ( x ) ) n − j = n f ( x ) ( ∑ j = k − 1 n − 1 ( n − 1 j ) F ( x ) j ( 1 − F ( x ) ) ( n − 1 ) − j − ∑ j = k n ( n − 1 j ) F ( x ) j ( 1 − F ( x ) ) ( n − 1 ) − j ) {\displaystyle {\begin{aligned}f_{X_{(k)}}(x)&={\frac {d}{dx}}F_{X_{(k)}}(x)\\&={\frac {d}{dx}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}F(x)^{j}(1-F(x))^{n-j}\\&=nf(x)\left(\sum _{j=k-1}^{n-1}{\binom {n-1}{j}}F(x)^{j}(1-F(x))^{(n-1)-j}-\sum _{j=k}^{n}{\binom {n-1}{j}}F(x)^{j}(1-F(x))^{(n-1)-j}\right)\end{aligned}}}
となる。上記の畳み込み級数の総和は、最初と最後の項以外は全て相殺されるため