ヤング図形
ヤング盤は、ヤング図形を1つ取り、同図形の n 個の箱に 1, 2, ..., n の数を、以下の制約に基づいて埋めることによって得られる。
各行で、数は左から右に増加する。
各列で、数は上から下に増加する。
各数が1つの箱に必ず1回きり現れるとき、その盤を標準盤(英: standard tableau)という。右上図は、分割 10 = 5 + 4 + 1 に対応する標準盤の一つである。
半標準盤(英: semi-standard tableaux)は、この変種で、全ての数が盤に現れる必要はない代わりに、ある数が複数個の箱に現れうるものである。半標準盤では、上の最初の制約が、以下のように弱められる。
各行で、数は左から右に非減少である。
半標準盤は、1, 2, ..., t のどの数も持ちうる。ここで一般に、t は特定されている。この集合 1, 2, ..., t から全ての数が半標準盤に現れる必要はなく、またある数は複数回現れても良い。数は列の中では増加しなければならないので、半標準盤が存在するためには、t ≧ m が必要である。
n − 1 個の要素の対称群 Sn−1 は自然に n 個の要素の対称群 Sn の部分群と見なすことができる。このことから、任意の n 次対称群 Sn の表現 V は、 n − 1 次対称群 Sn−1 の表現と見なせる。これを表現 Vの制限(英: restriction)という。一般に既約表現の制限は既約になるとは限らない。そこで対称群 Sn の既約表現に対応するヤング図形が与えられたとき、その制限の直和成分として現れる既約表現に対応するヤング図形を決定することが問題となる。
その答えは、対称群 Sn の表現のヤング図形から一つ箱を取り除き、その結果が依然として正しいヤング図形になる場合のヤング図形に対応するものに一致する。
ヤング盤は、対称群の任意の体の上の表現を構成し、その構造を研究することもできる。 正標数の場合には、これらの表現は既約とは限らない。