量子力学の数学的定式化
⟨ − i ∂ j φ , ψ ⟩ = ∫ R d ( − i ∂ j φ ( x ) ) ∗ ψ ( x ) d x {\displaystyle \langle -i{\partial _{j}}\phi ,\psi \rangle =\int _{\mathbf {R} ^{d}}(-i{\partial _{j}}\phi (x))^{*}\psi (x)\mathrm {d} x} = i ∂ j ∫ R d φ ( x ) ψ ( x ) d x − ∫ R d φ ∗ ( x ) ( − i ∂ j ψ ( x ) ) d x = ⟨ φ , − i ∂ j ψ ⟩ {\displaystyle =i\partial _{j}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\phi (x)\psi (x)\mathrm {d} x-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\phi ^{*}(x)(-i{\partial _{j}}\psi (x))\mathrm {d} x=\langle \phi ,-i\partial _{j}\psi \rangle }
である。(A1)の形の微分作用素は − i ∂ j {\displaystyle -i\partial _{j}} の実数係数多項式であるので、
⟨ D ( φ ) , ψ ⟩ = ⟨ φ , D ( ψ ) ⟩ {\displaystyle \langle D(\phi ),\psi \rangle =\langle \phi ,D(\psi )\rangle }
が成立する。Dの定義域C∞0(R)は H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} で稠密だったので、これはDが対称作用素である事を意味する。
d A t ( ψ ) d t = [ H , A t ] ( ψ ) {\displaystyle {\mathrm {d} A_{t}(\psi ) \over \mathrm {d} t}=[H,A_{t}](\psi )}
が成立する事が示せる。ここで上式左辺の時間微分は強微分である。
一般に自己共役作用素の族 { B t } t ∈ R {\displaystyle \{B_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} と、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元ψに対し、
d B t ( ψ ) d t = [ H , B t ] ( ψ ) {\displaystyle {\mathrm {d} B_{t}(\psi ) \over \mathrm {d} t}=[H,B_{t}](\psi )}
という形の { B t } t ∈ R {\displaystyle \{B_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} に関する方程式をハイゼンベルクの運動方程式という。上述した A t {\displaystyle A_{t}} に関する議論は、ハイゼンベルクの運動方程式の解が存在する十分条件を示した事になる。
定義 ― 緩増加超関数Tのフーリエ変換
F ( T ) ( ψ ) := ⟨ T , F ( ψ ) ⟩ {\displaystyle {\mathcal {F}}(T)(\psi ):=\langle T,{\mathcal {F}}(\psi )\rangle }
により定義し、同様にフーリエ逆変換を
F ∗ ( T ) ( ψ ) := T ( F ∗ ( ψ ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}(T)(\psi ):=T({\mathcal {F}}^{*}(\psi ))}
により定義する。
これらの変換は緩増加超関数全体の集合 S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} で逆写像の関係にある事を以下のように簡単に示すことができる:
F ( F ∗ ( T ) ) ( ψ ) := T ( F ( F ∗ ( ψ ) ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{*}(T))(\psi ):=T({\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{*}(\psi )))} = T ( ψ ) {\displaystyle =T(\psi )}
S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} 上のフーリエ変換が連続であることから、上に定義した S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} 上のフーリエ変換も連続である事が従う。
以上の準備のもと、直積分によるスペクトル分解を定式化する:
定理 (直積分によるスペクトル定理) ― H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をヒルベルト空間とし、Aを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素とする。このときAのスペクトルσ(A)上のσ-有限測度μAと可測構造つきヒルベルト空間族 ( H λ ) λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in \sigma (A)}} が存在し、以下が成立する ヒルベルト空間としての同型写像
U : H → ~ ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A {\displaystyle U~:~{\mathcal {H}}{\tilde {\to }}\int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}}
が存在する。さらにAU := UAUとするとき、任意の s ∈ D o m ( A U ) {\displaystyle s\in \mathrm {Dom} (A_{U})} に対し、
( A U ( s ) ) ( λ ) = λ s ( λ ) {\displaystyle (A_{U}(s))(\lambda )=\lambda s(\lambda )}
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を状態空間とし、Hを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の(有界とは限らない)自己共役作用素とする。スペクトル測度によるスペクトル定理より、スペクトル測度μが一意に存在し、 H = ∫ σ ( H ) λ d μ {\displaystyle H=\int _{\sigma (H)}\lambda \mathrm {d} \mu } が成立する。
そこで有界可測関数 f : σ ( A ) → C {\displaystyle f~:~\sigma (A)\to \mathbf {C} } に対し、線形作用素f(A)を
f ( H ) := ∫ σ ( H ) f ( λ ) d μ {\displaystyle f(H):=\int _{\sigma (H)}f(\lambda )\mathrm {d} \mu }
により定義する事ができる。この手法により線形作用素f(A)を定義する手法を作用素解析(operational calculus)という。特に関数fとして指数関数を選ぶことで、
e x p ( H ) := ∫ σ ( H ) e x p ( λ ) d μ {\displaystyle \mathrm {exp} (H):=\int _{\sigma (H)}\mathrm {exp} (\lambda )\mathrm {d} \mu }
を定義できる。
以上で示したように、超関数の概念を用いる事でディラックによるデルタ関数の議論の一部を数学的に正当化できるが、超関数を用いても全ての議論を正当化できるわけではない。例えば以下の議論は超関数では正当化されない:
公式 ⟨ δ ( x − λ ) , δ ( x − τ ) ⟩ = δ ( λ − τ ) {\displaystyle \langle \delta (x-\lambda ),\delta (x-\tau )\rangle =\delta (\lambda -\tau )} :そもそも超関数同士の積は定義不可能である。(詳細はシュワルツ超関数の項目を参照されたい)
C∞0(Ω)以外のL空間の元とデルタ関数との内積を取ること:前述した内積の定義は超関数とC∞0(Ω)の元との間にのみ定義されているので、C∞0(Ω)に属していない元とは内積を取れない。
デルタ関数は超関数であり、L空間の元ではないので、デルタ関数をあたかも通常の状態ベクトルであるかのように扱う議論は必ずしも正当化できない。
実際、スペクトル点τ∈σ(A)においてμ({τ})>0であれば、sτ∈ H τ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\tau }} に対し切断を
s ( λ ) = { s τ if λ = τ 0 otherwise {\displaystyle s(\lambda )={\begin{cases}s_{\tau }&{\text{if }}\lambda =\tau \\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
により定義すると、写像
m τ : s τ ∈ H τ ↦ s ( τ ) ∈ ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A {\displaystyle m_{\tau }~:~s_{\tau }\in {\mathcal {H}}_{\tau }\mapsto s(\tau )\in \int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}}
しかも集合K、 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の元の族 { T k ( λ ) } λ ∈ R , k ∈ K {\displaystyle \{T_{k}(\lambda )\}_{\lambda \in \mathbb {R} ,k\in K}} 、および有限ボレル測度の族 { μ k } k ∈ K {\displaystyle \{\mu _{k}\}_{k\in K}} が存在し、任意の ψ ∈ G {\displaystyle \psi \in {\mathcal {G}}} に対し
ψ = ∑ k ∈ K ∫ R ⟨ T k ( λ ) , ψ ⟩ T k ( λ ) d μ k ( λ ) {\displaystyle \psi =\sum _{k\in K}\int _{\mathbf {R} }\langle T_{k}(\lambda ),\psi \rangle T_{k}(\lambda )\mathrm {d} \mu _{k}(\lambda )} 、
A ψ = ∑ k ∈ K ∫ R λ ⟨ T k ( λ ) , ψ ⟩ T k ( λ ) d μ k ( λ ) {\displaystyle A\psi =\sum _{k\in K}\int _{\mathbf {R} }\lambda \langle T_{k}(\lambda ),\psi \rangle T_{k}(\lambda )\mathrm {d} \mu _{k}(\lambda )}
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のユニタリ変換全体の集合を U ( H ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathcal {H}})} と表記すると、強連続1パラメータユニタリ変換群 { V s } s ∈ R {\displaystyle \{V_{s}\}_{s\in \mathbf {R} }} は実数にユニタリ変換を対応させる準同型写像
s ∈ R ↦ V s ∈ U ( H ) {\displaystyle s\in \mathbf {R} \mapsto V_{s}\in {\mathcal {U}}({\mathcal {H}})}
とみなす事ができる。解析力学におけるネーターの定理はこうした実数からの写像だけでなく、一般の有限次元リー群からの写像に対しても成立していた。そこで本節では量子力学における有限次元リー群のネーターの定理を見出す。有限次元リー群Gから U ( H ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathcal {H}})} への写像
Π : G → U ( H ) {\displaystyle \Pi ~:~G\to {\mathcal {U}}({\mathcal {H}})}
で準同型性
∀ g , h ∈ G : Π ( g h ) = Π ( g ) Π ( h ) {\displaystyle \forall g,h\in G~:~\Pi (gh)=\Pi (g)\Pi (h)}
と強連続性
本項では相対論的効果を考えない量子力学の数学的定式化(りょうしりきがくのすうがくてきていしきか)を厳密に述べる。本項では量子力学に対する最低限の知識を仮定する。
定理 (スペクトル測度によるスペクトル分解定理) ― H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をヒルベルト空間とし、 A : H → H {\displaystyle A~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} を稠密に定義された非有界な任意の線形作用素とする。このときスペクトル測度μが一意に存在し、以下が成立する:
A = ∫ R λ d μ {\displaystyle A=\int _{\mathbf {R} }\lambda \mathrm {d} \mu }
なお、μはAのレゾルベント集合上で0になる事が知られているので、上述の積分を
A = ∫ σ ( A ) λ d μ {\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \mathrm {d} \mu }
と書き表す事もできる。
スペクトル分解定理は前述した有限次元の場合の固有値分解
A = ∑ j = 1 n λ j P j {\displaystyle A=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}P_{j}}
の無限次元版である。実際、ディラック測度δx(B)を
δ x ( B ) = { 0 , x ∉ B ; 1 , x ∈ B {\displaystyle \delta _{x}(B)={\begin{cases}0,&x\not \in B;\\1,&x\in B\end{cases}}}
により定義し、スペクトル測度μを
μ ( B ) = ∑ j = 1 n δ λ j ( B ) P j {\displaystyle \mu (B)=\sum _{j=1}^{n}\delta _{\lambda _{j}}(B)P_{j}}
とすれば、両者が一致する事を確認できる。
‖ ψ ‖ = ⟨ ψ , ψ ⟩ {\displaystyle \|\psi \|={\sqrt {\langle \psi ,\psi \rangle }}}
により定義し、 ψ , χ ∈ H {\displaystyle \psi ,\chi \in {\mathcal {H}}} の間の距離を
‖ ψ − χ ‖ {\displaystyle \|\psi -\chi \|}
により定義すると H {\displaystyle {\mathcal {H}}} はこの距離に関して距離空間の公理を満たす。
定義 (ヒルベルト空間) ― 複素計量ベクトル空間 ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )} がノルム ‖ ψ ‖ = ⟨ ψ , ψ ⟩ {\displaystyle \|\psi \|={\sqrt {\langle \psi ,\psi \rangle }}} から定まる距離 d ( ψ , χ ) = ‖ ψ − χ ‖ {\displaystyle d(\psi ,\chi )=\|\psi -\chi \|} に関して完備であるとき、複素計量ベクトル空間 ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )} を複素ヒルベルト空間、あるいは単にヒルベルト空間という。