一般四元数群
四元数群(しげんすうぐん、英: quaternion group)は
Q 8 = ⟨ i , j , k ∣ i 2 = j 2 = k 2 = i j k ⟩ {\displaystyle Q_{8}=\langle \,i,j,k\mid i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk\,\rangle }
という表示で定義される。これは位数 8 の非可換群で、すべての真部分群は巡回的である。元 ijk ∈ Q8 は唯一つの対合で中心的であり、 −1 と書かれることも多い。これらの記号はハミルトンの四元数環の生成系に由来する。群の生成元を
i ↦ [ − 1 0 0 − − 1 ] , j ↦ [ 0 1 − 1 0 ] , k ↦ [ 0 − 1 − 1 0 ] {\displaystyle i\mapsto {\begin{bmatrix}{\sqrt {-1}}&0\\0&-{\sqrt {-1}}\end{bmatrix}},\quad j\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\quad k\mapsto {\begin{bmatrix}0&{\sqrt {-1}}\\{\sqrt {-1}}&0\end{bmatrix}}}
のように対応させることで、忠実な行列表現を得ることができる。四元数群はハミルトン群、つまり、すべての部分群が正規部分群であるような非可換群の最小位数の例である。また自己同型群 Aut(Q8) は4次の対称群 S4 と同型である。