線型位相空間
線型位相空間 E から係数体 K 自身への連続線型写像は連続線型汎関数あるいは単に汎関数(はんかんすう、functional)とよばれる。E の上の連続線型汎関数の空間 E は E の(連続的)双対空間とよばれる。これは E を(位相を考えない)抽象ベクトル空間としてみたときの、代数的な双対空間 (algebraic dual) HomK(E, K) の部分線型空間になっている。また、滑らかな汎関数が考えられるときには滑らかな双対空間 (smooth dual) を部分空間として含む。
E がノルム空間のとき、双対空間 E 上に E の単位球上での汎関数の振る舞いをもとにしたノルムを導入することができ E の上のノルム位相を考えることができる(E はこのノルムに関して完備になる)。このとき、E は E の双対空間 E に自然に埋め込まれていると見なすことができるが、E が無限次元の場合には E と E はしばしば異なったものになる(双対をとった方が大きい)。E と E が一致している場合には E は回帰的(反射的, reflexive)であるといわれる。回帰的な空間の例としてヒルベルト空間が挙げられる。
線型位相空間の間の連続線型写像 f: E → F に対してその共役写像が f による引き戻し
F ∗ → E ∗ ; φ ↦ φ ∘ f {\displaystyle F^{*}\to E^{*};\ \phi \mapsto \phi \circ f}
として定められる。これは双対空間上の妥当な位相に関して連続になる。