ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件
J = ∮ p d q = 2 ∫ − 2 E / ω + 2 E / ω 2 m ( E − m ω 2 2 q 2 ) d q = 2 π ω E {\displaystyle J=\oint p\,\mathrm {d} q=2\int _{-{\sqrt {2E/\omega }}}^{+{\sqrt {2E/\omega }}}{\sqrt {2m\left(E-{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q^{2}\right)}}\,\mathrm {d} q={\frac {2\pi }{\omega }}E}
と求まる。従って、量子化条件 J = nh (n = 1, 2, ⋯) から、量子化されたエネルギー
E = h ω 2 π n = ħ ω n ( n = 1 , 2 , ... ) {\displaystyle E={\frac {h\omega }{2\pi }}n=\hbar \omega n\quad (n=1,2,\dots )}
が得られる。ここで、ħ はディラック定数である。