双代数
双代数の1つの例は,群 G から R への関数全体の集合であり,各 g ∈ G に対する標準基底ベクトル eg の線型結合からなるベクトル空間 R として表すことができ,係数がすべて非負で和が 1 のときには G 上の確率分布を表している.余単位的余代数を生じる適切な余積と余単位の例は
Δ ( e g ) = e g ⊗ e g , ε ( e g ) = 1 {\displaystyle \Delta (\mathbf {e} _{g})=\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{g},\quad \varepsilon (\mathbf {e} _{g})=1}
であり(R 全体には線型性で伸ばす),余積は確率変数のコピーを作ることを表し,余単位は確率変数を「探知する」ことを表す,つまり,(単一のテンソル因子で表される)確率変数の値は忘れて残りの変数上の周辺分布(残りのテンソル因子)を得る.上のような確率変数のことばでの (Δ, ε) の解釈が与えられると,双代数の一貫性の条件は以下のような (∇, η) の制約条件に相当する: