トンネル効果
波動関数を以下のようにある関数の指数関数を取って表わすものとする。
Ψ ( x ) = e Φ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)=e^{\Phi (x)}} Φ ′′ ( x ) + Φ ′ ( x ) 2 = 2 m ħ 2 ( V ( x ) − E ) . {\displaystyle \Phi ''(x)+\Phi '(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right).}
Φ ′ ( x ) {\displaystyle \Phi '(x)} は実部と虚部に分けることができる。
Φ ′ ( x ) = A ( x ) + i B ( x ) {\displaystyle \Phi '(x)=A(x)+iB(x)} ここで、A(x) および B(x) は実値関数とする。
上の第二式にこれを代入し、左辺の虚部が零となる必要があることを用いると、次を得る。
A ′ ( x ) + A ( x ) 2 − B ( x ) 2 = 2 m ħ 2 ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)} .
この方程式を半古典近似を用いて解くには、各関数を ħ {\displaystyle \hbar } の羃級数に展開する。
以下の節では量子トンネルの数学的公式化について論じる。
電子の電界放出は半導体物理学や超伝導体物理学に関連する。これは電子がランダムに金属表面から飛び出すという点で熱電子放出と似ている。熱電子放出では互いに衝突しあう粒子がエネルギー障壁を越えるエネルギーを獲得して放出されるが、電界放出では強い電界をかけることによってエネルギー障壁が薄くなり、電子が原子状態からトンネル抜けすることによって電子の放出が起こる。したがって、電流は電界におおよそ指数関数的に依存する。フラッシュメモリーや真空管、電子顕微鏡などにおいて重要である。