フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
クラス存在定理に必要だった対の公理と正則性公理は、上記の通り与えられている。NBG はほかに 4 つの集合公理を含む。このうち 3 つは集合に適用されるクラス演算として扱われる。
定義. 以下が成り立てば F {\displaystyle F} は関数である
集合論において、関数を定義する際に始域と終域を特定する必要はない(関数(集合論)を参照)。NBG の関数の定義では、 ZFC の定義のうち、順序類の集合を順序対のクラスに一般化したものになる。
ZFC における像、和集合、冪集合といった集合演算の定義もクラス演算に一般化される。 F {\displaystyle F} によるクラス A {\displaystyle A} の像は F [ A ] = { y : ∃ x ( x ∈ A ∧ ( x , y ) ∈ F ) } {\displaystyle F[A]=\{y:\exists x(x\in A\,\land \,(x,y)\in F)\}} である。 この定義は A ⊆ D o m ( F ) {\displaystyle A\subseteq Dom(F)} を必要としない。クラス A {\displaystyle A} の和は ∪ A = { x : ∃ y ( x ∈ y ∧ y ∈ A ) } {\displaystyle \cup A=\{x:\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in A)\}} となる。クラス A {\displaystyle A} の冪集合は P ( A ) = { x : x ⊆ A } {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{x:x\subseteq A\}} となる。
V {\displaystyle V} の直積. 任意のクラス A {\displaystyle A} に対して、最初の要素が A {\displaystyle A} に属する順序対からなるクラス B {\displaystyle B} が存在する。
∀ A ∃ B ∀ u [ u ∈ B ⟺ ∃ x ∃ y ( u = ( x , y ) ∧ x ∈ A ) ] {\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\iff \exists x\,\exists y\,(u=(x,y)\land x\in A)]}
巡回置換. 任意のクラス A {\displaystyle A} に対して、 A {\displaystyle A} の 3-組に巡回置換 ( y , z , x ) ↦ ( x , y , z ) {\displaystyle (y,z,x)\mapsto (x,y,z)} を適用して得られる 3-組からなるクラス B {\displaystyle B} が存在する。
∀ A ∃ B ∀ x ∀ y ∀ z [ ( x , y , z ) ∈ B ⟺ ( y , z , x ) ∈ A ] {\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (y,z,x)\in A]}
転置.
NBGにおいてクラスはいくつかの使用例がある:
クラスによって集合論を有限公理化する。
"非常に強い形の選択公理"を表現するのに用いられる。—すなわち、大域選択公理(英語版)のことである。大域選択公理の内容は以下の通り:すべての空でない集合 x {\displaystyle x} に対して G ( x ) ∈ x {\displaystyle G(x)\in x} である、すべての空でない集合のクラス上に定義された大域選択関数 G {\displaystyle G} が存在する。大域選択公理はZFCの選択公理よりも強い。ZFCの選択公理の内容は以下の通り:任意の空でない集合の集合 s {\displaystyle s} について、すべての x ∈ s {\displaystyle x\in s} に対して f ( x ) ∈ x {\displaystyle f(x)\in x} である s {\displaystyle s} 上の選択関数(英語版) f {\displaystyle f} が存在する。
集合でないクラスが存在することを認めると、集合論的パラドックスは解決される。例えば、すべての順序数のクラス O r d {\displaystyle Ord} を集合であると仮定する。
関数 F = ∅ {\displaystyle F=\emptyset } と、無限公理で与えられる集合 a {\displaystyle a} を仮定する。置換公理より、 F {\displaystyle F} による a {\displaystyle a} の像は、 ∅ {\displaystyle \emptyset } と等しい集合である。
NBG の無限公理は ZFC の無限公理から含意される: ∃ a [ ∅ ∈ a ∧ ∀ x ( x ∈ a ⟹ x ∪ { x } ∈ a ) ] {\displaystyle \,\exists a\,[\emptyset \in a\,\land \,\forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)]} 。 x ⊂ x ∪ { x } {\displaystyle x\subset x\cup \{x\}} であるため、 ZFC 公理の論理積の第1項、つまり ∅ ∈ a {\displaystyle \emptyset \in a} が NBG 公理の論理積の第1項を含意する。ZFC 公理の論理積の第2項、すなわち ∀ x ( x ∈ a ⟹ x ∪ { x } ∈ a ) {\displaystyle \forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)} が NBG 公理の論理積の第2項を含意する。 NBG の無限公理から ZFC の無限公理を証明するには、ほかの NBG 公理が必要である(弱い選択公理を参照)。