平方完成
正方行列 M が冪等とは M = M が成り立つことである。
M = ( a b b 1 − a ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}
は、 a 2 + b 2 = a {\displaystyle a^{2}+b^{2}=a} ならば冪等行列である。平方完成により
( a − 1 2 ) 2 + b 2 = 1 4 {\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}}
M が実行列なら、これは ab-平面において中心 (1/2, 0)、半径 1/2 の円の方程式である。角度 θ を用いて書けば、
M = 1 2 ( 1 − cos  θ sin  θ sin  θ 1 + cos  θ ) {\displaystyle M={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}
と媒介変数表示できる。