同値類
X から X/R への各元をその同値類に写す全射 x ↦ [ x ] {\displaystyle x\mapsto [x]} は標準射影と呼ばれる.
各同値類の元を(しばしば暗黙に)選ぶと,切断(英語版)と呼ばれる単射が定義される.この切断を s で表せば,各同値類 c に対して [s(c)] = c である.元 s(c) は c の代表元 (representative) と呼ばれる.切断を適切に取って類の任意の元をその類の代表元として選ぶことができる.
ある切断が他の切断よりも「自然」であることがある.この場合,代表元を標準(英語版)代表元と呼ぶ.例えば,合同算術において,整数上の同値関係で,a ∼ b を a − b が法と呼ばれる与えられた整数 n の倍数であると定義したものを考える.各類は n 未満の非負整数を唯一つ含み,これらの整数が標準的な代表元である.類とその代表元は多かれ少なかれ同一視され,例えば a mod n という表記は類を表すことも標準的な代表元(a を n で割った余り)を表すこともある.
任意の二項関係は有向グラフによって,同値関係のような対称的なものは無向グラフによって表すことができる.∼ が集合 X 上の同値関係であるとき,グラフの頂点全体を X の元全体とし,s ∼ t のとき,かつそのときに限り頂点 s と t を結ぶ.同値類はこのグラフにおいてグラフの連結成分(英語版)をなす極大クリークによって表される.