モーレー・カルタンの微分形式
外微分の定義により、X と Y とがベクトル場であるとき、各点 g での ω が Xg に対して取る値により定まる g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -値の関数を ω(X) と書くと、
dω(X, Y) = X(ω(Y)) − Y(ω(X)) − ω([X, Y])
が成り立っている。上式のX(ω(Y)) は関数 ω(Y) の X の方向へのリー微分である。
特に、X と Y とが左不変なベクトル場であるとき、
X(ω(Y)) = Y(ω(X)) = 0
が、従って
dω(X, Y) + [ω(X), ω(Y)] = 0
が成り立っている。ところで、この等式の左辺は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に値を取る2次の微分形式の表示になっており、X と Y との各点での値にしかよらない量を表している。不変ベクトル場の一点での値は任意に選べることから、この等式は左不変とは限らない任意のベクトル場 X, Y に対して成り立っている。この方程式は Maurer–Cartan 方程式と呼ばれており、外積代数における次数付き交換子 [ω, ω] を用いて
d ω + 1 2 [ ω , ω ] = 0 {\displaystyle d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]=0}
の形に表すこともできる。