ルベーグ外測度
R の部分集合 E がルベーグ測度零またはルベーグ零集合であるとは、そのルベーグ外測度の値が零となるときに言う。これはルベーグの測度論においては、外測度零の任意の集合が可測でありかつその任意の部分集合が測度零であるという形で生じる。
区間 I = [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] × ... × [ a n , b n ] ( a i ≤ b i ) {\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}]\quad (a_{i}\leq b_{i})} に対し μ ∗ ( I ) = ( b 1 − a 1 ) ( b 2 − a 2 ) ⋯ ( b n − a n ) . {\displaystyle \mu ^{*}(I)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\dotsb (b_{n}-a_{n}).}
特に μ ∗ ( ∅ ) = 0. {\textstyle \mu ^{*}(\emptyset )=0.}
劣加法性: μ ∗ ( ⋃ j = 1 ∞ E j ) ≤ ∑ j = 1 ∞ μ ∗ ( E j ) . {\displaystyle \mu ^{*}{\Big (}\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}{\Bigr )}\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu ^{*}(E_{j}).