ゼルニケ多項式
x軸に関する軸対称性より、
Z n m ( ρ , φ ) = ( − 1 ) m Z n m ( ρ , − φ ) {\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,-\varphi )}
原点に関する点対称性より、
Z n m ( ρ , φ ) = ( − 1 ) m Z n m ( ρ , φ + π ) {\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi +\pi )}
ここで、 n − m {\displaystyle n-m} は偶数であると仮定しているので、 ( − 1 ) m {\displaystyle (-1)^{m}} は ( − 1 ) n {\displaystyle (-1)^{n}} と書き換えることができる。
フリンジゼルニケ多項式は、以下のように定義される。
j = ( 1 + n + | m | 2 ) 2 − 2 | m | + 1 − sgn  m 2 {\displaystyle j=\left(1+{\frac {n+|m|}{2}}\right)^{2}-2|m|+{\frac {1-\operatorname {sgn} m}{2}}}
この定義は光学設計ソフトウェアや光学検査で多く用いられる。初めの20項を下表に示す。
動径多項式は、二項係数を用いて、
R n m ( ρ ) = ∑ k = 0 n − m 2 ( − 1 ) k ( n − k k ) ( n − 2 k n − m 2 − k ) ρ n − 2 k {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}} .
と書き表すことができ、これより多項式の係数はすべて整数であることが示される。
ガウスの超幾何関数を用いて表現することもできる。この表現は、漸化式や微分方程式の導出の他、本多項式がヤコビの多項式の一部であることを示すのに有用である。