三角関数の公式の一覧
x = tan 2  ( π 2 n + 1 ) , tan 2  ( 2 π 2 n + 1 ) , ⋅ ⋅ ⋅ , tan 2  ( n π 2 n + 1 ) {\displaystyle x=\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {\pi }{2n+1}}{\Bigr )},\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {2\pi }{2n+1}}{\Bigr )},\cdot \cdot \cdot ,\tan ^{2}{\Bigl (}{\frac {n\pi }{2n+1}}{\Bigr )}}
のとき、
∑ k = 0 n ( ( − 1 ) k ( 2 n + 1 2 k + 1 ) x k ) = 0 {\displaystyle {\sum _{k=0}^{n}{\biggl (}{(-1)^{k}{\binom {2n+1}{2k+1}}x^{k}}}{\biggr )}=0}
が成り立つ。また分子と分母で2項係数が逆順になるため、
= sin  x ⋅ ( sin 2  60 ∘ ⋅ cos 2  x − cos 2  60 ∘ ⋅ sin 2  x ) {\displaystyle =\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot \cos ^{2}{x}-\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \sin ^{2}{x}\right)} = sin  x ⋅ ( sin  60 ∘ ⋅ cos  x + cos  60 ∘ ⋅ sin  x ) ( sin  60 ∘ ⋅ cos  x − cos  60 ∘ ⋅ sin  x ) {\displaystyle =\sin {x}\cdot \left(\sin {60^{\circ }}\cdot \cos {x}+\cos {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)\left(\sin {60^{\circ }}\cdot \cos {x}-\cos {60^{\circ }}\cdot \sin {x}\right)}
= sin  x ⋅ sin  ( 60 ∘ + x ) ⋅ sin  ( 60 ∘ − x ) {\displaystyle =\sin {x}\cdot \sin {(60^{\circ }+x)}\cdot \sin {(60^{\circ }-x)}}
が成り立つ。
x = 10 ∘ {\displaystyle x=10^{\circ }} を入力すると、 sin  10 ∘ ⋅ sin  50 ∘ ⋅ sin  70 ∘ = sin  30 ∘ 4 = 1 8 {\displaystyle \sin {10^{\circ }}\cdot \sin {50^{\circ }}\cdot \sin {70^{\circ }}={\frac {\sin {30^{\circ }}}{4}}={\frac {1}{8}}} となる。
− cos  ( 2 α ) + cos  ( 2 β ) + cos  ( 2 γ ) = − 4 cos  α sin  β sin  γ + 1 {\displaystyle -\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,}
sin 2  α + sin 2  β + sin 2  γ = 2 cos  α cos  β cos  γ + 2 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\,}
− sin 2  α + sin 2  β + sin 2  γ = 2 cos  α sin  β sin  γ {\displaystyle -\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,}
cos 2  α + cos 2  β + cos 2  γ = − 2 cos  α cos  β cos  γ + 1 {\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\,}
sinの3倍角の公式を加法定理で変形すると、
sin  3 x = 3 sin  x − 4 sin 3  x {\displaystyle \sin {3x}=3\sin {x}-4\sin ^{3}{x}} から、
sin  3 x 4 = sin  x ⋅ ( 3 4 − sin 2  x ) {\displaystyle {\frac {\sin {3x}}{4}}=\sin {x}\cdot \left({\frac {3}{4}}-\sin ^{2}{x}\right)} = sin  x ⋅ ( sin 2  60 ∘ − ( sin 2  60 ∘ + cos 2  60 ∘ ) ⋅ sin 2  x ) {\displaystyle =\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}-(\sin ^{2}{60^{\circ }}+\cos ^{2}{60^{\circ }})\cdot \sin ^{2}{x}\right)} = sin  x ⋅ ( sin 2  60 ∘ ⋅ ( 1 − sin 2  x ) − cos 2  60 ∘ ⋅ sin 2  x ) {\displaystyle =\sin {x}\cdot \left(\sin ^{2}{60^{\circ }}\cdot (1-\sin ^{2}{x})-\cos ^{2}{60^{\circ }}\cdot \sin ^{2}{x}\right)}
(Weierstrass substitution) 以下の変換は、カール・ワイエルシュトラスの名がつけられている。
t = tan  x 2 {\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}
とおくと、
sin  x = 2 t 1 + t 2 , cos  x = 1 − t 2 1 + t 2 , e i x = 1 + i t 1 − i t , d x = 2 d t 1 + t 2 {\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}},\mathrm {d} x={\frac {2\,\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}}
となる。
積分の計算において、被積分関数がxの三角関数の有理関数 R(sin x, cos x) である場合にこの変換を用いると、t についての有理関数の積分の計算に帰着することができる。
正弦関数と余弦関数の和に関する以下のような公式がある。
sin  φ + sin  ( φ + α ) + sin  ( φ + 2 α ) + ⋯ ⋯ + sin  ( φ + n α ) = sin  ( ( n + 1 ) α 2 ) ⋅ sin  ( φ + n α 2 ) sin  α 2 . cos  φ + cos  ( φ + α ) + cos  ( φ + 2 α ) + ⋯ ⋯ + cos  ( φ + n α ) = sin  ( ( n + 1 ) α 2 ) ⋅ cos  ( φ + n α 2 ) sin  α 2 .
またド・モアブルの定理、あるいはオイラーの公式を利用し、以下のように表すことができる。
cos  ( n θ ) = 1 2 { ( cos  θ + i sin  θ ) n + ( cos  θ − i sin  θ ) n } , sin  ( n θ ) = − i 2 { ( cos  θ + i sin  θ ) n − ( cos  θ − i sin  θ ) n } , tan  ( n θ ) = − i ( 1 + i tan  θ ) n − ( 1 − i tan  θ ) n ( 1 + i tan  θ ) n + ( 1 − i tan  θ ) n {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(n\theta )&={\frac {1}{2}}\left\{(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right\},\\\sin(n\theta )&=-{\frac {i}{2}}\left\{(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}-(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right\},\\\tan(n\theta )&=-i{\frac {(1+i\tan \theta )^{n}-(1-i\tan \theta )^{n}}{(1+i\tan \theta )^{n}+(1-i\tan \theta )^{n}}}\end{aligned}}}