超球の体積
}}R^{n},}
V ∞ n ( R ) = ( 2 R ) n {\displaystyle V_{\infty }^{n}(R)=(2R)^{n}}
で与えられる。これらは正軸体および超立方体の体積に一致する。
V p n ( R ) {\displaystyle V_{p}^{n}(R)} は以下の漸化式 を満たす:
V p n ( R ) = 2 ( 1 p ) ! R ( n − 1 p ) ! ( n p ) ! V p n − 1 ( R ) {\displaystyle V_{p}^{n}(R)={\frac {2\left({\tfrac {1}{p}}\right)!R\left({\frac {n-1}{p}}\right)!}{\left({\frac {n}{p}}\right)!}}V_{p}^{n-1}(R)}
一部の例外的なpを除き、l-球面(l-球体の境界)の表面積は、l-球体の半径に関する微分として計算することはできないが、余面積公式(英語版)を用いて、体積を表面積上の積分として表すことができる。
余面積公式には、点から点へ p-ノルムがどのくらい変化するかを考慮した相関係数が含まれる。p = 2 および p = ∞ に対してこの因子は 1 だが、p = 1 ならば相関因子は √n である(半径 R の (n − 1)-次元 L-球面の表面積は √n 掛ける l-球体の体積の R における微分係数)。ほとんどの p の値に対してこの定数は複雑な積分になる。
A n ( R ) = d d R V n + 1 ( R ) {\displaystyle A_{n}(R)={\frac {d}{dR}}V_{n+1}(R)} = ( n + 1 ) V n + 1 ( 1 ) R n {\displaystyle =(n+1)V_{n+1}(1)R^{n}}
という関係がある。これはB(R)がR' ≦ Rに対するS(R')の和集合である事から従う。Vn+1(R)の具体的表記から、以下が従う:
定理 ―
A n ( R ) {\displaystyle A_{n}(R)} = π ( n + 1 ) / 2 ( n − 1 2 ) ! R n {\displaystyle ={\frac {\pi ^{(n+1)/2}}{\left({\tfrac {n-1}{2}}\right)!}}R^{n}} = 2 ⌈ ( n + 1 ) / 2 ⌉ π ⌊ ( n + 1 ) / 2 ⌋ ( n − 1 ) ! ! R n {\displaystyle ={2^{\lceil (n+1)/2\rceil }\pi ^{\lfloor (n+1)/2\rfloor } \over (n-1)!!}R^{n}}
よってn=2k+1の場合は、