楕円有理関数
9, 13.9)。たとえば、 R 8 ( ξ , x ) {\displaystyle R_{8}(\xi ,x)} の零点は次のように表せる:
X n ≡ R n ( ξ , x ) L n ≡ R n ( ξ , ξ ) t n ≡ 1 − 1 / L n 2 . {\displaystyle X_{n}\equiv R_{n}(\xi ,x)\qquad L_{n}\equiv R_{n}(\xi ,\xi )\qquad t_{n}\equiv {\sqrt {1-1/L_{n}^{2}}}.}
と定義すれば、「入れ子関係」を持ちいることで
R 2 ( ξ , x ) = ( t + 1 ) x 2 − 1 ( t − 1 ) x 2 + 1 {\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}}
t ≡ 1 − 1 / ξ 2 {\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}} とすれば、
L 2 = 1 + t 1 − t , L 4 = 1 + t 2 1 − t 2 , L 8 = 1 + t 4 1 − t 4 {\displaystyle L_{2}={\frac {1+t}{1-t}},\qquad L_{4}={\frac {1+t_{2}}{1-t_{2}}},\qquad L_{8}={\frac {1+t_{4}}{1-t_{4}}}}
{\displaystyle x={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t\,\left({\frac {1-X_{2}}{1+X_{2}}}\right)}}}},\qquad X_{2}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{2}\,\left({\frac {1-X_{4}}{1+X_{4}}}\right)}}}},\qquad X_{4}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{4}\,\left({\frac {1-X_{8}}{1+X_{8}}}\right)}}}}.\qquad }
R 8 ( ξ , x ) {\displaystyle R_{8}(\xi ,x)} の零点を求めるには、 3番目の式で、 X 8 = 0 {\displaystyle X_{8}=0} としたうえで X 4 {\displaystyle X_{4}} の値2つを求め、求めた X 4 {\displaystyle X_{4}} を用いることで、2番目の等式から4つの X 2 {\displaystyle X_{2}} の値を求め、最後に、これらの値を使うことで最初の等式から R 8 ( ξ , x ) {\displaystyle R_{8}(\xi ,x)} の8つの零点を求めることができる。. ( t n {\displaystyle t_{n}} も同様な再帰で求めることができる。) また、逆数関係を用いれば、極の位置も求めることができる。
n次の楕円有理関数の零点を、 x n , i ( ξ ) {\displaystyle x_{n,i}(\xi )} あるいは ξ {\displaystyle \xi } が明らかな場合は単に x n , i {\displaystyle x_{n,i}} と書く。 また、楕円有理関数の零点は、有理式の分子の多項式の零点である。
以下の楕円有理関数の零点の導出はチェビシェフ多項式の零点の決定と類似のものである。
任意のzについて成り立つ次の等式を( z = L n {\displaystyle z=L_{n}} の場合にも成り立つ)使う
c d ( ( 2 m − 1 ) K ( 1 / z ) , 1 z ) = 0 {\displaystyle \mathrm {cd} \left((2m-1)K\left(1/z\right),{\frac {1}{z}}\right)=0\,}
すると零点 x n , m {\displaystyle x_{n,m}} は、楕円有理関数のヤコビ楕円関数を用いた表示式から、次式を満たす。
n K ( 1 / L n ) K ( 1 / ξ ) c d − 1 ( x n , m , 1 / ξ ) = ( 2 m − 1 ) K ( 1 / L n ) {\displaystyle n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\mathrm {cd} ^{-1}(x_{n,m},1/\xi )=(2m-1)K(1/L_{n})}
楕円有理関数 (英: Elliptic rational functions)とは、実数係数を持つ 有理関数 の数列であり、フィルタ回路の一種である楕円フィルタの設計で利用される。楕円有理関数は、チェビシェフ有理関数と呼ばれることもあるが、同名の別のチェビシェフ有理関数(英語: Chebyshev rational functions))があるので注意が必要。 楕円有理関数は正の次数nと選択係数と呼ばれるパラメータξ ≥ 1 を持つ。次数nで選択係数が ξ {\displaystyle \xi } で変数がxの楕円有理関数は、次のようなヤコビの楕円関数を用いた表示を持つ:
R n ( ξ , x ) ≡ c d ( n K ( 1 / L n ) K ( 1 / ξ ) c d − 1 ( x , 1 / ξ ) , 1 / L n ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\,\mathrm {cd} ^{-1}(x,1/\xi ),1/L_{n}\right)}