補群
補群は必ずしも存在するとは限らない。
もし補群が存在するとしても、それがただ一つとも限らない。すなわちG の相異なる部分群 K1 および K2 があって、ともに H の補群であるようなものが存在することもありうる。
もし K が G に於ける H の補群であるとき、K の要素は、H の (左右の) 剰余類の完全代表系を成す(下記補足説明も参照)。
H が正規部分群の場合は、補群 K は、商群 G/H と同型である。補群が複数存在するならば、それらはすべて G/H と同型である。
シューア–ツァッセンハウスの定理(英語版) は、有限群の正規ホール部分群の補群の存在を保証する。
三番目の性質について数式で書くと以下のようになる。
⋃ k ∈ K H k = G {\displaystyle \bigcup _{k\in K}Hk=G} かつ
k 1 ≠ k 2 {\displaystyle k_{1}\neq k_{2}} ならば H k 1 ∩ H k 2 = ∅ {\displaystyle Hk_{1}\cap Hk_{2}=\emptyset } ただし ( k 1 , k 2 ∈ K ) {\displaystyle (k_{1},k_{2}\in K)}
この性質は以下のように簡単に証明できる。 最初の条件は、補群の定義の一番目の条件 G = H K より明らか。 二番目の条件は、もし H k 1 ∩ H k 2 ≠ ∅ {\displaystyle Hk_{1}\cap Hk_{2}\neq \emptyset } ならば、ある g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対して、 h 1 , h 2 ∈ H {\displaystyle h_{1},h_{2}\in H} が存在して、 g = h 1 k 1 = h 2 k 2 {\displaystyle g=h_{1}k_{1}=h_{2}k_{2}} と二通りに表すことができる。 これは、最初の定義の所で述べた表し方の一意性 に矛盾する。
この説明は、右剰余類のケースであるが、左剰余類についても同様である。