両側加群
両側加群のこのテンソル積は(唯一の自然な同型の違いを除いて)結合的であり、それゆえ対象が環であり射が両側加群であるような圏を構成することができる。実際これは2-圏であり、自然な方法で R-S 両側加群 M と N の間の射はちょうど両側加群の準同型、すなわち、関数
f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N}
であって、m ∈ M, r ∈ R, s ∈ S に対して
f ( m + m ′ ) = f ( m ) + f ( m ′ ) {\displaystyle f(m+m')=f(m)+f(m')}
f ( r m s ) = r f ( m ) s {\displaystyle f(rms)=rf(m)s} ,
を満たすものである。ただちに両側加群準同型に対する相互交換法則が確かめられる。すなわち
( f ′ ⊗ g ′ ) ∘ ( f ⊗ g ) = ( f ′ ∘ f ) ⊗ ( g ′ ∘ g ) {\displaystyle (f'\otimes g')\circ (f\otimes g)=(f'\circ f)\otimes (g'\circ g)}
が、左辺と右辺のうち一方が(したがってもう一方も)定義されているときにいつでも成り立つ。ただし ∘ は準同型の通常の合成である。