直交
ユークリッド平面あるいは高次のユークリッド空間において、二つのベクトルが直交する必要十分条件は、それらの点乗積が零となることであり、これはそれらの成す角が直角となることに他ならない。したがって、ベクトルの直交性はベクトルが垂直であることを高次元空間へ拡張した概念である。
部分空間をユークリッド部分空間(英語版)の意味にとるならば、任意の部分空間は「直交補空間」を持ち、その部分空間の任意の元は補空間の任意の元に直交する。
三次元ユークリッド空間において、任意の直線の直交補空間はその直線に垂直な平面であり、任意の平面の直交補空間はその平面に垂直な直線である。しかし、互いに垂直な平面同士の場合はこれに当てはまらないことに注意すべきである。
四次元ユークリッド空間の場合には、直線の直交補空間は超平面であり、超平面の直交補空間は直線である。また平面の直交補空間は平面である。
内積空間を考える代わりに、双線型形式を備えたベクトル空間を用いても直交性を一般化して考えることができる。すなわち、与えられた双線型形式に代入したとき、値が零となるようなベクトルの対は、(その双線型形式に関して)互いに直交するという。擬ユークリッド空間(英語版)の場合には双曲直交性(英語版)などの語も用いられる。右図において、二つの軸 x', t' は任意に与えられた φ に対して双曲直交する。
別の一般化として、加群 M およびその双対加群 M が与えられたとき、m' ∈ M および m ∈ M が直交するとは、それらの双対性内積が零、すなわち ⟨m', m⟩ ≔ m'(m) = 0 となるときに言う。また、二つの部分集合 S′ ⊆ M および S ⊆ M が直交するとは、S' の各元が S の各元に直交するときに言う。