アフィン接続
従って、ここで証明すべきことのすべては、この写像が実際に接ベクトル場を定義することである。すなわち、S の中の x に対して、
⟨ ( ∇ X Y ) x , x ⟩ = 0 ( 1 ) {\displaystyle \langle (\nabla _{X}Y)_{x},x\rangle =0\qquad (1)}
が成り立つことを証明する。
写像
{ f : S 2 → R x ⟼ ⟨ Y x , x ⟩ . {\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbf {S} ^{2}\to \mathbf {R} \\x\longmapsto \langle Y_{x},x\rangle .\end{cases}}}
を考える。
写像 f は定数であるので、その微分は 0 である。特に
d f x ( X ) = ⟨ ( d Y ) x ( X ) , x ⟩ + ⟨ Y x , X x ⟩ = 0. {\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(X)=\langle (\mathrm {d} Y)_{x}(X),x\rangle +\langle Y_{x},X_{x}\rangle =0.\,}
である。
上の式 (1) が従う。 ◻ {\displaystyle \Box }
直線はアフィン幾何学の概念であるので、アフィン接続はアフィン測地線と呼ばれる任意のアフィン多様体上の(パラメータ化された)直線の一般的な概念を定義する。抽象的に言うと、パラメータ化された曲線 γ : I → M は、接ベクトルが曲線 γ に沿って移動するときに自分自身と平行で向いている方向を等しくするときに直線である。この直線という観点より、アフィン接続 M は、次の方法でのアフィン測地線を識別する。滑らかな曲線 γ : I → M がアフィン測地線(affine geodesic)であるとは、 γ ̇ {\displaystyle {\dot {\gamma }}} が γ に沿って平行移動する、つまり、
τ t s γ ̇ ( s ) = γ ̇ ( t ) {\displaystyle \tau _{t}^{s}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t)}
であるときを言う。ここに τt : TγsM → TγtM は、接続を定義する平行移動写像である。
無限小接続 ∇ のことばでは、この方程式の微分の意味は、すべての t ∈ I に対し、
∇ γ ̇ ( t ) γ ̇ ( t ) = 0 {\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}
という意味である。逆に、この微分方程式の任意の解は、曲線に沿って曲線の接ベクトルが平行移動していることを意味する。
さらに、γ に沿う ax の置き換えが、(x の無限小な置き換えである)x = γ(t) での γ への接ベクトル γ′(t) と(近似的、無限小的に)同一視することができるという意味で、アフィン空間 Ax は M と接していることが要求される。
理由は、
ax(γ(t + δt)) − ax(γ(t)) = θ(γ′(t))δt,であり、ここに θ は θ(X) = θ(X)e1 + ... + θ(X)en により定義され、この同一視は θ により定義されるので、θ に対しては各々の点で線型同型であることが要求されるからである。
このように、接しているアフィン空間 Ax は、直感的に x の無限小アフィン近傍と直感的に同一視される。
現代的な観点は、主バンドルを使いこの直感をより正確にする(本質的な考え方は、標構や変数標構をこの空間の上の全標構と函数へと置き換えることにある)。この考え方は、フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムに動機を持って記述されてもいて、そこでは幾何学が、等質空間として定義される。アフィン空間はこの意味で幾何学であり、平坦なカルタン接続を持っている。このように、一般的なアフィン多様体は、アフィン空間の平坦モデルの幾何学の曲がった変形と見なされる。