固有状態熱化仮説
演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の期待値の長時間平均を次のように定義できる:
A ̄ ≡ lim τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ ⟨ Ψ ( t ) | A ^ | Ψ ( t ) ⟩ d t . {\displaystyle {\overline {A}}\equiv \lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle ~dt.}
期待値の時間発展をあらわに書けば、以下のように書き換えられる:
A ̄ = lim τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ [ ∑ α , β = 1 D c α ∗ c β A α β e − i ( E β − E α ) t / ħ ] d t . {\displaystyle {\overline {A}}=\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left[\sum _{\alpha ,\beta =1}^{D}c_{\alpha }^{*}c_{\beta }A_{\alpha \beta }e^{-i\left(E_{\beta }-E_{\alpha }\right)t/\hbar }\right]~dt.}
積分の部分は計算できて、以下の結果が得られる:
A ̄ = ∑ α = 1 D | c α | 2 A α α + i ħ lim τ → ∞ [ ∑ α ≠ β D c α ∗ c β A α β E β − E α ( e − i ( E β − E α ) τ / ħ − 1 τ ) ] .