K関数
K関数とバーンズのG関数との積は次のようにかける。
K ( z ) ⋅ G ( z ) = exp  { ( z − 1 ) ⋅ log  [ Γ ( z ) ] } . {\displaystyle K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\}.}
ここで、 z ∈ C , z ∉ Z ∖ N , z ≠ 0. {\displaystyle z\in \mathbb {C} ,z\notin \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} ,z\neq 0.}
Benoit Cloitreは2003年、下の式を発表した。
1 K ( n + 1 ) = ( − 1 ) n det  | − 1 − 1 − 1 ⋯ − 1 1 2 1 4 1 8 ⋯ 1 2 n − 1 3 − 1 9 − 1 27 ⋯ − 1 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( − 1 ) n n ( − 1 ) n n 2 ( − 1 ) n n 3 ⋯ ( − 1 ) n n n | {\displaystyle {\frac {1}{K(n+1)}}=(-1)^{n}\operatorname {det} {\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}&\cdots &{\frac {1}{2^{n}}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}&-{\frac {1}{27}}&\cdots &-{\frac {1}{3^{n}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}}}&\cdots &{\frac {(-1)^{n}}{n^{n}}}\\\end{vmatrix}}} .