テトレーション
一次近似(連続性のもと微分可能性を近似)は次のように与えられる。
x a ≈ { 1 + x − 1 < x ≤ 0 a ( x − 1 a ) 0 < x log a  ( x + 1 a ) x ≤ − 1 {\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\\\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\end{cases}}}
ゆえに

と以下続く。但しこの微分可能性はあくまで区分的なものである。整数 x を境に微分係数が ln a 倍されるため、(a = e の場合を除いて)整数 x において微分不可能となる。
以下は値の計算例である。
π / 2 e ≈ 5.868... − 4.3 0.5 ≈ 4.03335... − 5.264 0.6 ≈ − 5.35997... 3.1 0.7 ≈ 0.7580... {\displaystyle {\begin{aligned}{}^{\pi /2}e&\approx 5.868...\\{}^{-4.3}{0.5}&\approx 4.03335...\\{}^{-5.264}{0.6}&\approx -5.35997...\\{}^{3.1}{0.7}&\approx 0.7580...\end{aligned}}}
テトレーション a に対する a は正の実数に対して定義できるので、n を固定したときにそれぞれ微分と積分が定義できる。