スケール因子 (宇宙論)
98±0.37 億年(2013年現在)を用いて、現在の a {\displaystyle a} の値は a ( t 0 ) {\displaystyle a(t_{0})} または 1 {\displaystyle 1} と与えられている。
ダイナミックな問いであるスケール因子の進化は一般相対性理論の方程式で決定され、これは宇宙が局所的に等方的で均質な場合のフリードマン方程式により表される。
ハッブル定数は以下のように定義される。:
H ≡ a ̇ ( t ) a ( t ) {\displaystyle H\equiv {{\dot {a}}(t) \over a(t)}}
ここで、 a {\displaystyle a} の上付きの点は 時間微分である。
前述の式 d ( t ) = d 0 a ( t ) {\displaystyle d(t)=d_{0}a(t)} から、 d ̇ ( t ) = d 0 a ̇ ( t ) {\displaystyle {\dot {d}}(t)=d_{0}{\dot {a}}(t)} とみなすことができ、また d 0 = d ( t ) a ( t ) {\displaystyle d_{0}={\frac {d(t)}{a(t)}}} でもあることから、これらを組み合わせて d ̇ ( t ) = d ( t ) a ̇ ( t ) a ( t ) {\displaystyle {\dot {d}}(t)={\frac {d(t){\dot {a}}(t)}{a(t)}}} が与えられ、上記のハッブルパラメータの定義に代入すれば、 d ̇ ( t ) = H d ( t ) {\displaystyle {\dot {d}}(t)=Hd(t)} となり、これはハッブル則である。