力場 (物理学)
粒子が経路 C に沿って力場を通って移動するとき、その力によって行われる仕事 W は次の線積分で与えられる。
W = ∫ C F → ⋅ d r → {\displaystyle W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}}
この値は粒子が経路に沿って移動する速度/運動量とは無関係である。保存力場の場合、この値は経路によらず、始点と終点のみで決定される。したがって、保存場において始点と終点が同じであれば仕事は0になる:
∮ C F → ⋅ d r → = 0 {\displaystyle \oint _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=0}
保存場の場合、保存ベクトル場 F → {\displaystyle {\vec {F}}} をスカラーポテンシャル関数 φ {\displaystyle \phi } の勾配として記述できる。
F → = ∇ φ {\displaystyle {\vec {F}}=\nabla \phi }
これに着目すれば、仕事量はより簡単に評価できる。保存場の仕事量は単純に経路の始点と終点のポテンシャルの差となる。始点が r → = a → {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {a}}} 、終点が r → = b → {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {b}}} で与えられる場合、次のようになる:
W = φ ( b → ) − φ ( a → ) {\displaystyle W=\phi ({\vec {b}})-\phi ({\vec {a}})}