差分法
時刻 t n + 1 {\displaystyle t_{n+1}} に後退差分を用い、空間点 x j {\displaystyle x_{j}} で2階中央差分を用いれば、漸化式:
u j n + 1 − u j n k = u j + 1 n + 1 − 2 u j n + 1 + u j − 1 n + 1 h 2 {\displaystyle {\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}\,}
が得られる。これを陰解法という。
線形方程式系:
( 1 + 2 r ) u j n + 1 − r u j − 1 n + 1 − r u j + 1 n + 1 = u j n {\displaystyle (1+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=u_{j}^{n}}
を解けば、 u j n + 1 {\displaystyle u_{j}^{n+1}} が得られる。この方法は常に数値的に安定で収束するが、時刻ごとに方程式系を解く必要があるため、陽解法よりも繁雑である。誤差は時間ステップ数と空間ステップ数の4乗とに比例する。
さいごに、時刻 t n + 1 / 2 {\displaystyle t_{n+1/2}} で中央差分を、空間点 x j {\displaystyle x_{j}} での空間微分に2階中央差分を用いれば、漸化式:
2 ( u j n + 1 − u j n k ) = u j + 1 n + 1 − 2 u j n + 1 + u j − 1 n + 1 h 2 + u j + 1 n − 2 u j n + u j − 1 n h 2 {\displaystyle 2\left({\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}\right)={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}+{\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}\,}
が得られる。これをクランク・ニコルソン法(Crank-Nicolson method)という。
線形方程式系: