ゴムロープの上のアリ
最初の1秒でアリは α {\displaystyle \alpha } だけ進み、これは原点から目標地点(最初の1秒の間、ずっと位置 c + v {\displaystyle c+v} にある)までの距離の α c + v {\displaystyle {\frac {\alpha }{c+v}}} である。ロープが瞬間的に伸びると、アリも一緒になって動くから θ ( t ) {\displaystyle \theta (t)} は変わらない。よって θ ( 1 ) = α c + v {\displaystyle \theta (1)={\frac {\alpha }{c+v}}} 。次の1秒間にアリは再び α {\displaystyle \alpha } だけ進み、これは原点から目標地点までの α c + 2 v {\displaystyle {\frac {\alpha }{c+2v}}} である。よって θ ( 2 ) = α c + v + α c + 2 v {\displaystyle \theta (2)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}} 。同様にして任意の n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } に対し θ ( n ) = α c + v + α c + 2 v + ⋯ + α c + n v {\displaystyle \theta (n)={\frac {\alpha }{c+v}}+{\frac {\alpha }{c+2v}}+\cdots +{\frac {\alpha }{c+nv}}} が得られる。
上述した問題にはいくつかの前提を付け加えなければならない。それらをきちんと述べると次のようになる。
細くて無限に伸びるゴムロープが x {\displaystyle x} -軸上にピンと張られている。目標地点の位置を x = c ( > 0 ) {\displaystyle x=c(>0)} と表す。
時刻 t = 0 {\displaystyle t=0} で、ロープは端点 x = 0 {\displaystyle x=0} が固定されたまま全体が一様に伸び始め、目標地点は一定速度 v > 0 {\displaystyle v>0} で端点 x = 0 {\displaystyle x=0} から離れていく。
小さなアリは時刻 t = 0 {\displaystyle t=0} で端点 x = 0 {\displaystyle x=0} を出発し、ロープに対する一定の相対速度 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} で目標地点へ向かって進んでいく。
アリは目標地点に到達することができるか。