合成作用素
合成作用素の定義域は適当なバナッハ空間(これは、しばしば正則函数からなる)に取るのが普通である。例えば、ハーディ空間やベルグマン空間がそのような空間として挙げられる。合成作用素の研究における興味深い問題は、作用素のスペクトル性質が函数空間にどのように依存するか、という点に関するものが多い。またその他の問題として、Cφ がコンパクトであるかあるいはトレースクラスであるか、というものがある。その答えは通常、函数 φ がある領域の境界上でどのように振る舞うか、という点に依存して変わる。
数学において、記号 φ との合成作用素(ごうせいさようそ、英: composition operator)Cφ とは、
C φ ( f ) = f ∘ φ {\displaystyle C_{\phi }(f)=f\circ \phi }
という決まりによって定義される線型作用素のことを言う。ここで f ∘ φ は合成写像を意味する。圏論の用語を用いると、合成作用素とは、可測函数の空間上の引き戻しである。したがって引き戻しが押し出し(英語版)の随伴となるのと同様に、合成作用素は転送作用素の随伴となる。すなわち合成作用素は逆像函手(英語版)である。
合成作用素の研究は AMS category 47B33 によりカバーされている。