交換子部分群
群 G がアーベル群となる必要十分条件は、導来部分群が自明となること([G, G] = {e})である。これは G がそのアーベル化と等しいことと言ってもよい。
群 G が完全群(英語版)となる必要十分条件は、導来部分群が群全体と等しいこと([G, G] = G)である。これは群のアーベル化が自明となることと言ってもよい。これは上記のアーベル群の場合と「逆」になっている。
適当な n ∈ N に対して、n 次導来部分群が G = {e} となるような群は可解群と呼ばれる。n = 1 のときはアーベル群であるから、可解群はアーベル群の性質を拡張した概念と考えることができる。
任意の n ∈ N に対して、n 次導来部分群がG ≠ {e} となる群は非可解群と言う。
適当な順序数(無限でもよい)α に対して G = {e} となるような群は超アーベル群(英語版) (hypoabelian group) と言う。これは可解であることよりも弱い(α が有限順序数、つまり自然数ならば可解)。
[xy, z] = [x, z] [y, z]. 同様に [x, yz] = [x, z] [x, y].
前の二つは G の交換子全体の成す部分集合が反転と共役に関して閉じていることを示すものである。三つ目の式で H = G と取れば、交換子全体の成す部分集合が G の任意の準同型で閉じていることを示すものとなる。この三つ目は実は二つ目の等式の一般化であり、実際に自己準同型 φ として共役変換 x ↦ x を取れば二つ目が出る。
しかし交換子二つ以上の積は必ずしも交換子とは限らない。一般的な例として、自由群の元 x, y, z, w に対して交換子の積 [x, y] [z, w] が交換子に書けないことを見ればよい。二つの交換子の積が交換子とならない最小位数の有限群は位数 96 であることが知られており、実はこの性質を持つ位数 96 の群は互いに同型でないものが二種類存在する。一方で、たとえば有限非可換単純群の場合には交換子の積は交換子で表せる——実際にはすべての元が交換子で表せる(Ore予想)——ことが知られている。