位相多様体
多様体が距離化可能であることとパラコンパクトであることは同値である。距離化可能性は位相空間のそのような望むべき性質であるから、多様体の定義にパラコンパクト性を加えることが一般的である。いずれにせよ、パラコンパクトでない多様体は一般に病的と見なされる。パラコンパクトでない多様体の例は長い直線によって与えられる。パラコンパクト多様体は距離空間のすべての位相的性質を有する。特に、完全正規ハウスドルフ空間(英語版)である。
多様体は第二可算であることを要求することも一般的である。これはちょうど、多様体がある有限次元ユークリッド空間に埋め込めることを保証するための条件である。任意の多様体に対して、第二可算であること、リンデレフであること、σコンパクトであることはみな同値である。
任意の第二可算多様体はパラコンパクトであるが、逆は成り立たない。しかしながら、逆はほぼ正しい。パラコンパクト多様体が第二可算であることと可算個の連結成分を持つことは同値である。特に、連結多様体がパラコンパクトであることと第二可算であることは同値である。任意の第二可算多様体は可分かつパラコンパクトである。さらに、多様体が可分かつパラコンパクトならば、第二可算でもある。
任意のコンパクト多様体は第二可算かつパラコンパクトである。
任意の空でないパラコンパクト連結1次元多様体は R か円周に同相である。連結でないものは単にこれらの直和である。
局所ユークリッド的であるという性質は局所同相によって保たれる。つまり、X が局所ユークリッド的で n 次元で、f: Y → X が局所同相ならば、Y も局所ユークリッド的で n 次元である。特に、局所ユークリッド的であることは位相的性質である。
多様体はユークリッド空間の局所的な性質の多くを引き継ぐ。特に、それらは局所コンパクト、局所連結、第一可算、局所可縮、局所距離化可能である。多様体は、局所コンパクトハウスドルフなので、チコノフ(英語版)でなければならない。
ハウスドルフの条件を課すことで多様体に対していくつかの性質が同値になる。例えば、ハウスドルフ多様体に対して、σコンパクト性と第二可算性の概念は同じであることを示すことができる。実際、ハウスドルフ多様体は局所コンパクトハウスドルフだから、(完全)正則である。そのような空間 X がσコンパクトであるとする。するとそれはリンデレフであり、リンデレフかつ正則ならばパラコンパクトであるから、X は距離化可能である。しかし距離化可能空間において第二可算性はリンデレフ性と一致するから、X は第二可算である。逆に、X がハウスドルフ第二可算多様体ならば、σコンパクトでなければならない。
多様体は連結であるとは限らないが、任意の多様体 M は連結多様体の直和である。これらは単に M の連結成分であり、多様体は局所連結だからこれらは開集合である。多様体は局所弧状連結なので、弧状連結であることと連結であることは同値である。弧状連結成分は連結成分と同じであることが従う。