球面調和関数
球面調和関数には「加法定理」と呼ばれる性質がある。これは三角関数における加法定理
cos  ( θ ′ − θ ) = cos  θ ′ cos  θ + sin  θ sin  θ ′ {\displaystyle \cos(\theta '-\theta )=\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '}
を一般化したものと捉えることができる。上式の右辺は球面調和関数に、左辺はルジャンドル多項式に置き換えられる。
二つの単位ベクトル x および y を考え、それらの球面座標をそれぞれ (θ, φ) および (θ′, φ′) とする。このとき、加法定理は以下のように表すことができる:
ここで Pl は l 次のルジャンドル多項式である。この表式は実数調和関数・虚数調和関数の双方について成り立つ。この結果は単位球面上のポアソン核の性質を用いて、あるいはベクトル y を z 軸に沿うように幾何的に回転させたのちに右辺を直接計算することにより解析的に証明することができる。
特に、x = y の場合はウンゼルトの定理
∑ m = − l l Y l m ∗ ( θ , φ ) Y l m ( θ , φ ) = 2 l + 1 4 π {\displaystyle \sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}}
}
しかもこのような族は一意である。
特に 3 次元の場合は、上述の事実と定理1から以下が成立する:
定理 ― 任意の f ∈ L(S) に対し、f を極座標で表したとき、
f ( θ , φ ) = ∑ k = 0 ∞ ∑ m = − k k A k m Y k m ( θ , φ ) {\displaystyle f(\theta ,\phi )=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{m=-k}^{k}A_{km}Y_{k}^{m}(\theta ,\phi )}
を満たす複素数の族 {Ak, m}k = 0, 1, ...; m = −k, ..., k で
∑ k = 0 ∞ ∑ m = − k k A k m 2 < ∞ {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{m=-k}^{k}A_{km}{}^{2}<\infty }
となるものが一意に存在する。
3次元空間 R の場合、R を球面座標 (r, θ, φ) で表すと、下記の Y mk (θ, φ) が球面調和関数になる事が知られている。
ここで
であり、P mk (t) はルジャンドルの陪多項式
である。すなわち P mk (t) はルジャンドルの陪微分方程式
( 1 − t 2 ) y ′′ ( t ) − 2 t y ′ ( t ) + [ k ( k + 1 ) − m 2 1 − t 2 ] y ( t ) = 0 {\displaystyle (1-t^{2})y''(t)-2t\,y'(t)+\left[k(k+1)-{\frac {m^{2}}{1-t^{2}}}\right]y(t)=0}
の解である。なお、ルジャンドルの陪微分方程式は条件 (B2) を満たすとき、およびそのときだけ解を持つことが知られている。また、Y mk (θ, φ) の定義における係数は、後述するノルムが1になるよう選んだものである。
Y mk (θ, φ) が球面調和関数の定義を満たすことは自明ではないが、p を p(r, θ, φ) = r Y mk (θ, φ) と定義した上で直交座標に変換すると p が斉次多項式になっている事を確認できる。
なお、本項では、「球面調和関数」という言葉をラプラス方程式の解となる斉次多項式(の球面への制限)一般を指す用語として用いるが、物理の教科書などでは上述した Y mk (θ, φ) のみを球面調和関数と呼んでいるものも多い。