遅延ポテンシャル
尚、本記事では、変換後の関数は、ω成分を最後に書ことにし、 A ^ ( x , y , z , ω ) , i ^ ( x , y , z , ω ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}(x,y,z,\omega ),{\hat {\boldsymbol {i}}}(x,y,z,\omega )} のように書く。
↑ ここで、(r,ω)=(x,y,z,ω)である。
1 2 本によっては、本記事の式(2-2-1)の替りに D G ( r , ω ) = δ 3 ( r ) {\displaystyle DG({\boldsymbol {r}},\omega )={\delta }^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-2-1') を用いていることがある。この場合には、当然、式(2-2-2)は、 A ^ ( r , ω ) = + μ 0 ∫ s ∈ R 3 G ( r − s , ω ) ⋅ i ^ ( s , ω ) d s {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )=+{\mu }_{0}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}G({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}},\omega )\cdot {\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\ \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-2-2') となるが、その後の計算でも符号の逆転が起こり、主要な個所としてはグリーン関数(2-4-4),(2-4-5)も符号がかわる。
D [ G a d v ] = exp  ( i k r ) Δ [ − 1 4 π r ] {\displaystyle D[{G}_{\mathrm {adv} }]=\exp(ikr)\Delta [{\frac {-1}{4\pi r}}]} (2-4-17a)
同様に、
D [ G r e t ] = exp  ( − i k r ) Δ [ − 1 4 π r ] {\displaystyle D[{G}_{\mathrm {ret} }]=\exp(-ikr)\Delta [{\frac {-1}{4\pi r}}]} (2-4-17b)
となる。
ここで、ティラックのデルタの体積積分(補足参照)より、
Δ [ − 1 4 π r ] = δ ( r ) {\displaystyle \Delta \left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]=\delta (r)} (2-4-18)
であり、さらに、
exp  ( i k r ) δ ( r ) = { 0 exp  ( i k r ) if r ≠ 0 ∞ exp  ( i k 0 ) if r = 0. = { 0 if r ≠ 0 ∞ if r = 0. = δ ( r ) {\displaystyle \exp(ikr)\delta (r)={\begin{cases}0\exp(ikr)&{\text{if }}r\neq 0\\\infty \exp(ik0)&{\text{if }}r=0.\end{cases}}={\begin{cases}0&{\text{if }}r\neq 0\\\infty &{\text{if }}r=0.\end{cases}}=\delta (r)} (2-4-19a)
= ( − 2 x ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 = − 2 ( x ) | R 2 | 4 {\displaystyle =(-2{x}){({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{-2}={\frac {-2({x})}{{|{\mathfrak {R}}^{2}|}^{4}}}} (S4-2-1a)
が成り立つ。同様に、
∂ ∂ y [ 1 | R | 2 ] = − 2 y | R | 4 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{2}}}\right]={\frac {-2y}{{|{\mathfrak {R}}|}^{4}}}} (S4-2-1b)
∂ ∂ z [ 1 | R 2 | ] = − 2 z | R | 4 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}^{2}|}}\right]={\frac {-2z}{{|{\mathfrak {R}}|}^{4}}}} (S4-2-1c)
[SE2] D = ε 0 E {\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\epsilon _{0}}{\boldsymbol {E}}} (1-2-2b)
ここで、 i {\displaystyle {\boldsymbol {i}}} は、与えられた電流密度を表すベクトル場 ρは、電荷密度を表すスカラー場、 B , E , H , D {\displaystyle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {E}},{\boldsymbol {H}},{\boldsymbol {D}}} は、 それぞれ、磁束密度、電場、磁場、電束密度を表すベクトル場であり、 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は、真空の透磁率、 ε 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} は、真空の誘電率である。
マックスウェルの方程式に対し、ローレンツゲージ
div  A + 1 c ∂ φ ∂ t = 0 {\displaystyle \operatorname {div} A+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0} (1-2-3)
分数関数の偏微分と勾配ベクトル場について解説する。 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の点 R = ( x , y , z ) {\displaystyle {\mathfrak {R}}=(x,y,z)} r = ( x r , y r , z r ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({x}_{\boldsymbol {r}},{y}_{\boldsymbol {r}},{z}_{\boldsymbol {r}})} , s = ( x s , y s , z s ) {\displaystyle {\boldsymbol {s}}=({x}_{\boldsymbol {s}},{y}_{\boldsymbol {s}},{z}_{\boldsymbol {s}})} を考える。
| R | ≠ 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|\neq 0} において、
∂ ∂ x [ 1 | R | ] = ∂ ∂ x [ ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 1 / 2 ] = − 1 2 ( 2 x ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) − 3 / 2 = − x | R | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{-1/2}\right]={\frac {-1}{2}}(2{x}){({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})}^{-3/2}={\frac {-x}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}} (S4-1-1a)
である。ここで、
r=(x,y,z) (2-2-4)
である。
まず、式(2-2-3)の第一項について検討する。
DG(r-s,ω) = δ(r-s) (2-2-5)
であり、さらに、デルタ関数とのコンボリューションの性質から、
∫ s ∈ R 3 D [ G ( r − s , ω ) ] i ^ ( s , ω ) ⋅ d s = i ^ ( r , ω ) {\displaystyle \int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}D[G({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}},\omega )]{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}={\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )} (2-2-6)
遅延ポテンシャル(1-1-3)は、上記の偏微分方程式を、以下の仮定の下で解いた厳密解である。
電荷密度ρ(r, t )と、 電流密度 i ( r , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {r}},t)} とが、r, t のみの関数である(自分自身の作り出す電場や磁場の影響を受けない)。
前記の電流密度と、電荷密度以外に、電場、磁場を生み出すものが存在しない。
電荷密度、電流密度は、無限の過去では、0に収束する。
電荷密度、電流密度は、無限遠では0に収束する。
電荷密度、電流密度は、自由空間に配置されている(境界のない時空間を仮定している)。
時空因果律が成り立つ。
1番目以外の仮定以外は物理学的にもっともらしい仮定だが、1番目の仮定は近似的である。即ち、仮に真空中であってもベルシェ効果等の自己相互作用が無視できないケースでは、適用ができないことを意味し、さらに、物質が介在するような一般的な場合には、電流密度の存在が新たな電流密度(例えば、磁化電流や渦電流等)を発生させたり、電荷密度の存在が、あらたな電荷密度(分極電荷)を発生させるといった効果があり得るため、適用に注意を要する。この意味で、遅延ポテンシャルは数学的に厳密解であるのと同時に、物理学的には近似解としての性格を持つ。
一般のn変数関数(関数はベクトル値関数であってよい)fの定義域をΩとしたとき、
f ( r ) = ∫ s ∈ Ω f ( s ) δ n ( r − s ) d n s = f ∗ δ n {\displaystyle f({\boldsymbol {r}})={\int }_{{\boldsymbol {s}}\in \Omega }f({\boldsymbol {s}}){\delta }^{n}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})\ {d}^{n}s\ =f*{\delta }^{n}} (S5-1-1)
であることが知られている。ここで、上式の"*"は、合成積(乗算ではない)である。また、δは、n変数のδ関数である。詳細は、川村P46の式(2.53)を参照のこと。厳密な議論は、例えば、加藤P137付近を参照のこと。
A ^ r e t ( s , ω ) := − μ 0 ∫ s ∈ R 3 G r e t ( r − s ) i ^ ( s , ω ) ⋅ d s {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {s}},\omega ):=-\mu _{0}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{G}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-5-2)
A ^ a d v {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {adv} }} 、 A ^ r e t {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }} を、それぞれ式 式(2-5-1)、式(2-5-2)のように定める。さらに、