フラクタル圧縮
コラージュ定理が、縮小関数の反復関数系は必ず不動点を持つという不動点定理の応用に基づいており、それがそのままフラクタル圧縮の原理となっている。
f ( x ) = x ÷ 3 + 6 {\displaystyle f(x)=x\div 3+6}
という関数を考えた時、f(x)をy=f(x)、z=f(y)、... と反復する、言い換えるとf(f(f(f(x))))とすると、最初のxがどんな値であろうとも必ず9になる。つまりf(x)は9という不動点を持つ。
同様に、画像xを画像g(x)とする関数を考えたとしても(それが縮小関数であるならば)同じように何らかの不動点(不動画像?)を持つことになる。この不動点が原画像(の良い近似)となるような縮小関数g(x)を圧縮結果とするのがフラクタル圧縮であり、このg(x)がコラージュであっても成り立つことを証明したのがコラージュ定理である。