結合多元環
だが一方
ρ ( x ) ρ ( y ) = σ ( x ) σ ( y ) ⊗ Id W + σ ( x ) ⊗ τ ( y ) + σ ( y ) ⊗ τ ( x ) + Id V ⊗ τ ( x ) τ ( y ) {\displaystyle \rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}
となり、これは一般には同じではないから、積を保存するという性質は失われる。しかしこれら二つは、積 xy が反対称であるとき(例えば積がリー括弧積、つまり xy = M(x, y) := [x, y] ならば)恒等的に一致する。こうして結合代数からリー環の概念が生じる。
R-線型環 A の任意の環論的な意味でのイデアル I は、r·x = (r1A)x ゆえ自動的に R-加群の構造を持つ。従って剰余環 A/I にも R-加群の構造が入って、実は R-線型環を成す。従って A の任意の環準同型像がまた R-線型環となることがわかる。