二項型多項式列
ふたつの形式冪級数
∑ n = 0 ∞ a n n ! t n , ∑ n = 0 ∞ b n n ! t n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n},\quad \sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}t^{n}}
の積はコーシー積
c n = ∑ k = 0 n ( n k ) a k b n − k {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k}b_{n-k}}
で与えられる。x をこのような冪級数の族を添字付ける助変数と考えれば、二項型の等式は x + y で添字付けられた冪級数が、x, y のそれぞれで添字付けられた冪級数の積になることを 実際には言っているのだから、x は和を積に写す函数、つまり指数函数
g ( t ) x = e x f ( t ) {\displaystyle g(t)^{x}=e^{xf(t)}}
の引数であると捉えられる。ただし、f(t) は上に書いた形である。
二項型多項式列の一次の項の係数からなる数列 κn をもとの多項式列の累積率と呼ぶことができる。任意の二項型多項式列はその累積率によって決定することができることが示せる(キュムラントの項を参照)。そして pn′(0) = κn は n-次の累積率であり、また pn(1) = μn′ は n-次積率である(これら「形式」累積率および「形式」積率は、確率分布の累積率および積率に相当するものである)。
累積母函数を
f ( t ) = ∑ n = 1 ∞ κ n n ! t n {\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}}{n!}}t^{n}}
と書けば、f(D) がもとの多項式列に付随するデルタ作用素、即ち
f − 1 ( D ) p n ( x ) = n p n − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}
が成り立つ。