線積分
∫ γ f ( z ) | d z | = ∫ f ( γ ( t ) ) | d γ d t | d t {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)|\mathrm {d} z|=\int f{\bigl (}\gamma (t){\bigr )}\left|{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}\right|\mathrm {d} t}
と定義できる。これら二種類の線積分について、特に
| ∫ γ f ( z ) d x | ≤ ∫ γ | f ( z ) | | d z | {\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{\gamma }|f(z)||\mathrm {d} z|}
が成り立つ。
複素函数の線積分を計算する方法はいろいろある。例えば、複素函数を実部と虚部に分けて考えれば、2 つの実数値線積分を計算する問題に帰着できる。コーシーの積分公式を用いて計算する方法もある。後者は複素線積分の被積分函数が、その積分路を含む領域内で解析的かつ特異点を含まないならば、その線積分の値は単に 0 になるというコーシーの積分定理からの帰結である。留数定理はコーシーの積分定理の一般化である。この定理は複素平面内の周回積分によって実函数(実変数実数値函数)の積分を計算するために、しばしば用いる。
数学における線積分(せんせきぶん、英: line integral; 稀に path integral, curve integral, curvilinear integral)は、曲線に沿って評価された函数の値についての積分の総称。ベクトル解析や複素解析において重要な役割を演じる。閉曲線に沿う線積分を特に閉路積分(へいろせきぶん)あるいは周回積分(しゅうかいせきぶん)と呼び、専用の積分記号 ∮ が使われることもある。周回積分法は複素解析における重要な手法の一つである。
線積分の対象となる函数は、スカラー場やベクトル場などとして与える。線積分の値は場の考えている曲線上での値に曲線上のあるスカラー函数(弧長、あるいはベクトル場については曲線上の微分ベクトルとの点乗積)による重み付けをしたものを「足し合わせた」ものとなる。この重み付けが、区間上で定義する積分と線積分とを分ける点である。
物理学における多くの単純な公式が、線積分で書くことによって自然に、連続的に変化させた場合についても一般化することができるようになる。例えば、力学的な仕事を表す式 W = F⋅s から曲線 C に沿っての仕事を表す式 W = ∫CF⋅ds を得る。例えば電場や重力場において運動する物体の成す仕事が計算できる。
スカラー場 f : U ⊆ R → R の滑らかな曲線 [a, b] ∋ t ↦ γ(t) = (γ1(t), γ2(t), ..., γn(t)) に沿った各軸方向の線積分は
∫ C f d x i = ∫ a b f ( r ( t ) ) d γ i ( t ) d t d t {\displaystyle \int _{C}f\,\mathrm {d} x_{i}=\int _{a}^{b}f{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t){\bigr )}{\frac {\mathrm {d} \,\gamma _{i}(t)}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t}
で与えられる。
このとき、函数 f を被積分函数 (integrand)、曲線 C を積分領域 (domain of integration) あるいは積分路 (path) と呼ぶ。