線型方程式系
方程式系が非斉次 (b ≠ 0) であるとき、b が線型写像 fA の像に含まれていなければ方程式系の解は存在せず、b が A の像に属すならば少なくとも一つの解が存在する。さらに線型写像 fA が全射ならば、任意の b ∈ W に対して方程式系は解を持つ。列ベクトル a1, a2, ..., ak によって A = (a1, a2, ..., ak) と表すと、b が線型写像 fA の像に含まれるということは、a1, a2, ..., ak の線型結合として b が表されるということであり、またこれは階数を用いれば、行列 A と行列 B = (a1, a2, ..., ak, b) の間に等式 rank A = rank B が成立することと述べることもできる。
非斉次の線型方程式系が2つの解 x と y を持つとき、差 x − y は 写像 fA の線型性によって A(x − y) = 0 をみたす。したがって、非斉次の線型方程式系の二つの解は随伴する斉次方程式系の解を加える分の違いしか持たない。ゆえに非斉次方程式系の解の一つ(特殊解)と随伴斉次方程式系の一般解により、非斉次方程式のすべての解を記述することができる。つまり、 x0 が A x = b の特殊解であるならば、非斉次方程式の解の全体は