群の位数に関する積の法則
H, K は群 G の部分群とし、部分群の積(英語版) HK は hk (h ∈ H, k ∈ K) の形の G の元全体の成す集合を表す。また H, K, H ∩ K の位数をそれぞれ |H|, |K|, |H ∩ K| とするとき、これらと HK の位数 HK との間に、積の法則と呼ばれる関係式
が成り立つ。
初等的な数え上げ問題として、羊飼いの補題 (lemme des bergers) に基づく証明を以下のように与えることができる:
H × K の G への作用を、各対 (h,k) は h を左から、k を右から掛けるものとして定めれば、この作用に関する単位元の軌道に対する 軌道–固定群の関係式あるいはバーンサイドの補題の応用として所期の積の法則を得ることもできる。