密度行列
統計力学においては、状態のアンサンブルを混合状態と考えることができる。量子統計力学では、あるハミルトニアンの各エネルギー固有状態が混合していると考えて密度行列を表現することがよくある。
密度行列 ρ は、たとえば混合の比率がカノニカル分布で表せるとすると、
ρ = e − β H Tr  ( e − β H ) {\displaystyle \mathbf {\rho } ={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta H}}{\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H})}}}
グランドカノニカル分布では、
ρ = e − β H G Tr  ( e − β H G ) = e β ( Ω − H G ) {\displaystyle \rho ={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta H_{\mathrm {G} }}}{\operatorname {Tr} (\mathrm {e} ^{-\beta H_{\mathrm {G} }})}}=\mathrm {e} ^{\beta (\Omega -H_{\mathrm {G} })}}
で表される。
無偏光の光とは例えば、光に含まれる複数の光子のうち50%の光子が | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } の状態にあり、これらとは別の光子である残り50%の光子が | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } の状態にある場合である。このような状態にある光の中に重ね合わせ状態 ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} の光子は存在しない。また上述の状態にある光は横向きの偏光板を完全に通過するが、縦向きの偏光板にはある程度吸収されるなど、物理的性質も ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} とは異なる。
このような「50%が | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 、残り50%が | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 」という統計的な状態、すなわち個々の粒子が「確率1/2で | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 、確率1/2で | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 」となっている状態を記述するのが混合状態である。
| ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、...を完全正規直交系とする。密度行列
ρ := ∑ j p j | ψ j ⟩ ⟨ ψ j | {\displaystyle \rho :=\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|\,}
に対し、 ρ {\displaystyle \rho } のフォン・ノイマンエントロピーを S ( ρ ) {\displaystyle S(\rho )} を
S ( ρ ) := − k B ∑ j p j log e  p j {\displaystyle S(\rho ):=-k_{B}\sum _{j}p_{j}\log _{\mathrm {e} }p_{j}}
と呼ぶ。ここでkBはボルツマン定数である。
なおシャノンエントロピーの場合と同様、上述の定義で p j log e  p j = 0 {\displaystyle p_{j}\log _{\mathrm {e} }p_{j}=0} とみなす。