ルジャンドル変換
U が S, V について下に凸であるため、U(S, V), H(S, p), F(T, V), G(T, p) はルジャンドル変換を介して互いに等価である(同じ情報を持つ)。
ただしここではルジャンドル変換は
f † ( p ) = f ( x ) − x p at x such that f ′ ( x − 0 ) ≤ p ≤ f ′ ( x + 0 ) {\displaystyle f^{\dagger }(p)=f(x)-xp\quad {\text{ at }}x{\text{ such that }}f'(x-0)\leq p\leq f'(x+0)}
という定義が用いられる。この定義でも上に述べた性質はほぼ同様に成り立つが、符号や凸性の変化などがある。たとえば逆変換は
f ( x ) = f † ( p ) + x p {\displaystyle f(x)=f^{\dagger }(p)+xp}
に変わるという不便さがある。しかし多変数関数をこの定義で変換した場合、凸性の上下については、変換した変数についてのみ逆転し残りの変数についてはもとのまま保持されるという簡便さがある。
熱力学では導関数の不連続性は相転移として現れる。