フレネ・セレの公式
T ( s ) = 1 r 2 + h 2 ( − r sin  ( ω t ) , r cos  ( ω t ) , h ) N ( s ) = ( − cos  ( ω t ) , − sin  ( ω t ) , 0 ) B ( s ) = 1 r 2 + h 2 ( h sin  ( ω t ) , − h cos  ( ω t ) , r ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {T}}(s)&={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}{\begin{pmatrix}-r\sin(\omega t),&r\cos(\omega t),&h\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {N}}(s)&={\begin{pmatrix}-\cos(\omega t),&-\sin(\omega t),&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {B}}(s)&={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}{\begin{pmatrix}h\sin(\omega t),&-h\cos(\omega t),&r\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
であり、曲率・捩率は
κ = r r 2 + h 2 τ = h r 2 + h 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\\tau &={\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}
となる。
h =0 のとき、軌道は xy 面内の半径 r の円周になり、曲率は κ=1/r 、 捩率は τ =0 となる。|h| が大きくなるにつれ、曲率はκ→0、捩率は τ →1/h となる。
ロボットマニピュレータの姿勢とその軌道を記述したり、蛇型ロボットや多関節ロボットを連続曲線で近似して表現する際に用いられる。