リプシッツ連続
dX は集合 X 上の距離函数、dY は集合 Y 上の距離函数として二つの距離空間 (X, dX) と (Y, dY) が与えられたとき(例えば、Y を実数全体の成す集合 R に距離函数 dY(x, y) = |x − y| を入れたもの、および X を R の部分集合とすることができる)。このとき、写像 f: X → Y がリプシッツ連続(あるいは単にリプシッツ)であるとは、実定数 K ≥ 0 が存在して
d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ K d X ( x 1 , x 2 ) ( ∀ x 1 , x 2 ∈ X ) {\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq K\,d_{X}(x_{1},x_{2})\quad (\forall x_{1},x_{2}\in X)}
を満たすときに言う。このような K, あるいはそのうち最小のものを、関数 f のリプシッツ定数と呼ぶ。K = 1 ととることができるとき、その関数は非拡大写像(英語版)と呼ばれ、K < 1 なら縮小写像と呼ばれる。
この不等式は x1 = x2 のとき(自明な意味で)成り立つ。これを除けば、写像がリプシッツ連続であることの同値な別定義として、定数 K ≥ 0 が存在して、