ヒッチン汎函数
作用汎函数は、しばしば M {\displaystyle M} の上の幾何学構造を決定し、幾何学構造はある可積分条件に従う M {\displaystyle M} 上の特別な微分形式の存在によって特徴付けられる。
もし m-形式 ω {\displaystyle \omega } が局所座標で記述されるとし、
ω = d p 1 ∧ d q 1 + ⋯ + d p m ∧ d q m {\displaystyle \omega =dp_{1}\wedge dq_{1}+\cdots +dp_{m}\wedge dq_{m}}
さらに
d ω = 0 {\displaystyle d\omega =0}
とすると、 ω {\displaystyle \omega } はシンプレクティック構造を決定する。
p-形式 ω ∈ Ω p ( M , R ) {\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M,\mathbb {R} )} が安定とは、n = dim(M) としたとき、この微分形式が局所 G L ( n , R ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )} 作用の開軌道の中にある場合、つまり、小さな摂動 ω ↦ ω + δ ω {\displaystyle \omega \mapsto \omega +\delta \omega } は、局所 G L ( n , R ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )} 作用により元に戻せる場合を言う。
両方ともヒッチンの汎函数である。Grimm & Louis (2004)
弦理論への応用として、有名な OSV 予想 Ooguri, Strominger & Vafa (2004) では、ヒッチン汎函数を位相的弦と 4-次元ブラックホールのエントロピーを関連付けるために使用された。同じようなテクニックを G 2 {\displaystyle G_{2}} ホロノミーの中で使い、Dijkgraaf et al. (2004) では、位相的なM-理論が議論されているし、 S p i n ( 7 ) {\displaystyle Spin(7)} ホロノミーでは、位相的 F-理論が議論できるかもしれない。
さらに最近、エドワード・ウィッテンは、6次元 (2,0)-超共形場理論と呼ばれる 6次元の中にミステリアスな超共形場理論があることを主張している。Witten (2007) ヒッチン汎函数は、それへひとつの基礎を与えている。