ブラック–ショールズ方程式
d C = ∂ C ∂ t d t + ∂ C ∂ S t d S t + σ 2 2 S t 2 ∂ 2 C ∂ S t 2 d t = ( ∂ C ∂ t + μ S t ∂ C ∂ S t + σ 2 2 S t 2 ∂ 2 C ∂ S t 2 ) d t + σ S t ∂ C ∂ S t d W t {\displaystyle {\begin{aligned}dC&={\frac {\partial C}{\partial t}}dt+{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}dS_{t}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial S_{t}^{2}}}dt\\&=\left({\frac {\partial C}{\partial t}}+\mu S_{t}{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial S_{t}^{2}}}\right)\!dt+\sigma S_{t}{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}dW_{t}\end{aligned}}}
係数を比較してやると、次の式が得られる。
a t = ∂ C ∂ S t , {\displaystyle a_{t}={\frac {\partial C}{\partial S_{t}}},}
μ a t S t + r b t B t = ∂ C ∂ t + μ S t ∂ C ∂ S t + σ 2 2 S t 2 ∂ 2 C ∂ S t 2 {\displaystyle \mu a_{t}S_{t}+rb_{t}B_{t}={\frac {\partial C}{\partial t}}+\mu S_{t}{\frac {\partial C}{\partial S_{t}}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial S_{t}^{2}}}}
ブラック–ショールズ方程式(ブラック–ショールズほうていしき、英: Black–Scholes equation)とは、デリバティブの価格づけに現れる偏微分方程式(およびその境界値問題)のことである。様々なデリバティブに応用できるが、特にオプションに対しての適用が著名である。ブラック-ショールズ方程式はヨーロピアンオプションのオプション・プレミアムの値を解析的に計算できるが、アメリカンタイプのプット・オプションについては(解析的には)計算できない。ただし、ブラック-ショールズモデルにおけるアメリカンコールオプションの理論価格はヨーロピアンコールオプションの理論価格と一致する。
ブラック–ショールズ方程式は1973年にフィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズによりオプションの価格付け問題についての研究の一環として発表された。後にロバート・マートンが彼らの方法に厳密な証明を与えた。これらの理論は現代金融工学の先がけとなったとも言われる。