線型多段法
常微分方程式とその初期値問題を次のように定める。
y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 . {\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}
離散的な時間 t i {\displaystyle t_{i}} における y ( t ) {\displaystyle y(t)} の値は次のようになる。
t i = t 0 + i h {\displaystyle t_{i}=t_{0}+ih}
y i = y ( t i ) = y ( t 0 + i h ) {\displaystyle y_{i}=y(t_{i})=y(t_{0}+ih)}
y i ′ = f ( t i , y i ) {\displaystyle y_{i}'=f(t_{i},y_{i})}
ここで h {\displaystyle h} は時間の刻み幅であり、 Δ t {\displaystyle \Delta t} とも書かれる。
線型多段法では、求める y {\displaystyle y} の値を計算するために y i {\displaystyle y_{i}} と y i ′ {\displaystyle y_{i}'} の線型結合を用いる。 s {\displaystyle s} 段法では次の値を計算するため、過去の s {\displaystyle s} 個の値 y n , ... , y n + s − 1 {\displaystyle y_{n},\ldots ,y_{n+s-1}} を用いる。そのため、求める最新の値は y n + s {\displaystyle y_{n+s}} となる。