多様体
多様体(たようたい、英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit)とは、解析学(微分積分学、複素解析)を展開するために必要な構造を備えた空間のことである(ただし位相多様体においてはその限りではない。ただ、単に多様体と言った場合、可微分多様体か複素多様体のことを指す場合が多い)。それは局所的にユークリッド空間と見なせるような図形や空間(位相空間)として定義される。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。
M をハウスドルフ空間とする。M の任意の点 a に対して、a を含む m 次元座標近傍 (U, φ) が存在するとき、M を(境界のない)m 次元位相多様体 (topological manifold) という。
これまで、局所座標 φ(a) はユークリッド空間 R に値を取ると考えてきたが、代わりに半空間 H = {(x1, x2, ..., xm) ∈ R | xm ≥ 0} に値を取ると考え局所座標の定義を修正すると境界のある位相多様体が定義される。
N をハウスドルフ空間とし、N の任意の点 a に対して、a を含む m 次元座標近傍 (U, φ) が存在するとする。
半空間 H = {(x1, x2, ..., xm) ∈ R | xm ≥ 0} の部分空間として G = {(x1, x2, ..., xm) ∈ R | xm = 0} を取ればそれは R になる。