ガウス曲率
曲面の古典論(英語版)(classical theory of surfaces)の観点からは、そのような抽象的な曲面は R へ埋め込まれ(embedded)、第一基本形式により与えられるリーマン計量を持っている。R の中に曲面 S が埋め込まれていることを想定する。局所等長性(local isometry)は、S ∩ U への制限が像の上において等長(isometry)となるような R の開領域微分同相写像 f: U → V である。従って、Theorema Egregium では次のように記述されている。
R に埋め込まれた滑らかな曲面のガウス曲率は、局所等長変換の下に不変である。
例えば、円筒形のガウス曲率は 0 であり、「捩れていない」(平坦である)チューブも同様である。一方、半径 R の球面は正の定数曲率 R を持ち、平坦な平面が曲率 0 を持ち、これら 2つの曲面は局所的にさえ等長ではない。このように、球面の一部でさえ、平面表現(planar representation) は距離を混乱させてしまう。従って、いかなる地図の投影法も完全ではない。