超積
σ を一つの指標とし、集合 I 上の超フィルター U が与えられ、各 i ∈ I に対して Mi が σ-型の構造とする。M を Mi の U に関する超積 M = ∏ i ∈ I M i / U {\textstyle M=\prod _{i\in I}M_{i}/U} とすれば、各 a 1 , ... , a n ∈ ∏ M i ( a k = ( a i k ) i ∈ I ) {\textstyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod M_{i}\quad (a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I})} および任意の σ-式 φ に対し、 M ⊨ φ [ [ a 1 ] , ... , [ a n ] ] ⟺ { i ∈ I : M i ⊨ φ [ a i 1 , ... , a i n ] } ∈ U {\displaystyle M\models \phi [[a^{1}],\ldots ,[a^{n}]]\iff \{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\in U} が成り立つ。
定理は式 φ の複雑さに関する帰納法で示せる。U が超フィルターである(単にフィルターとなるだけでない)ことはこの節の否定において用いられており、また存在量化のステップでは選択公理が必要である。応用として、超実数に対する移行原理(英語版)が得られる。