アーベル群のランク
アーベル群 A のランクは Q-ベクトル空間 A ⊗ Q の次元と一致する。A が捩れなしであれば自然な写像 A → A ⊗ Q は単射であり A のランクはアーベル部分群として A を含む Q-ベクトル空間の最小の次元である。とくに、任意の中間群 Z < A < Q はランク n をもつ。
ランク 0 のアーベル群はちょうど周期的アーベル群である。
有理数の群 Q はランク 1 をもつ。ランク 1 の捩れなしアーベル群(英語版)は Q の部分群として実現され、それらの同型を除いた十分な分類が存在する。対照的に、ランク 2 の捩れなしアーベル群の十分な分類は存在しない。
ランクは短完全列上加法的である:
0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\;}
がアーベル群の短完全列であれば、rk B = rk A + rk C である。これは Q の平坦性とベクトル空間の対応する事実から従う。
ランクは任意の直和上加法的である:
rank  ( ⨁ j ∈ J A j ) = ∑ j ∈ J rank  ( A j ) , {\displaystyle \operatorname {rank} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {rank} (A_{j}),}
ただし右辺の和は濃度演算を使う。