ピタゴラス素数
ピタゴラス素数が有限個しか存在しないと仮定し、p1, ..., pk がその全てとする。
N = 4 ( p 1 ⋯ p k ) 2 + 1 {\displaystyle N=4(p_{1}\cdots p_{k})^{2}+1}
とおくと、N の素因子は全てピタゴラス素数である。なぜならば、素数 q が N を割ると、平方数 4(p1 ... pk) が q を法として -1 と合同になって、第一補充法則に反するからである。さて、N を p1, ..., pk で割った余りは 1 なので、N はこれらを素因子には持たない。よって、N を割るピタゴラス素数は、リストにはない新しいピタゴラス素数である。これは矛盾であり、したがってピタゴラス素数は無数に存在する。
二個の平方数の和である奇数は 4n + 1 の形をしているが、21 のように 4n + 1 の形をしていても二個の平方数の和に表せないものもある。フェルマーの示したところによると、2 および 4n + 1 の形をした素数は二個の平方数の和で表され、かつ二個の平方数の和で表される素数はそのようなものに限る。そして、二個の平方数の和で表す方法は、和の順序の入れ替えを区別しなければただ一通りである。
ピタゴラスの定理によれば、二個の平方数の和で表した表現は、図形の話に翻訳される。すなわち、p がピタゴラス素数であって p = x + y であるならば、(x, y, √p) は直角三角形の3辺の長さになる。よって、奇素数 p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして √p が現れることに他ならない。また、奇素数 p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして p 自身が現れること、といっても差し支えない。なぜならば、p = x + y であるとき、
p 2 = ( x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 x y ) 2 {\displaystyle p^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+(2xy)^{2}}