行列
可換環 K 上の m × n 行列の全体 Mm×n(K) は加法とスカラー倍について K-加群を成すばかりでなく、その上の三項演算
M m × n ( K ) × M m × n ( K ) × M m × n ( K ) → M m × n ( K ) ; ( X , Y , Z ) ↦ { X , Y , Z } := X t Y Z {\displaystyle M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\times M_{m\times n}(K)\to M_{m\times n}(K);\quad (X,Y,Z)\mapsto \{X,Y,Z\}:=X\,{}^{t}Y\,Z}
を定義することができる。これと同様の方法で得られる三重線型な三項系(三項積)の一般論は、ジョルダン環あるいはリー環の理論とかかわりを持つ。
行列は数または数を表わす文字から成る要素 (英: element) を矩形状に書き並べて、大きな丸括弧(あるいは角括弧)で括った形に書かれる。ここで文字送りの方向(横)の並びを行 (英: row) といい、行送りの方向(縦)の並びを列 (英: column) と呼ぶ。例えば
[ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ] , ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ) , [ 3 − 4 6 0 1 − 2 ] , ( 3 − 4 6 0 1 − 2 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}},\ {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}},\ {\begin{bmatrix}3&-4&6\\0&1&-2\end{bmatrix}},\ {\begin{pmatrix}3&-4&6\\0&1&-2\end{pmatrix}}}
は 2 つの行と 3 つの列を持つ行列である。行列自身は、ふつうはアルファベットの大文字イタリック(しばしば太字)で表し、その要素は対応する小文字に二つの添字を付けたもので表す(略式的に行列を表す大文字に添字を付けたものを用いることもあるが、その場合小行列の記号と紛らわしい)。つまり一般の m 行 n 列の行列を
n × n 行列 A = [ai j] のトレースまたは跡とは、その対角線上にある成分の和
tr  ( A ) = a 11 + a 22 + ⋯ + a n n {\displaystyle \operatorname {tr} (A)=a_{11}+a_{22}+\dotsb +a_{nn}}
のことである。これは tr(A B) = tr(B A) を満たし、行列のトレースはその固有値の和に等しい。
行列の応用は科学的な分野の大半に及ぶ。
特に物理学において行列は、古典力学、光学、電磁気学、量子力学などにおける様々な物理現象のモデル化と研究に利用される。
運動学やロボット工学では座標変換や姿勢制御などに行列が使われる。特に同次座標(英語版)変換のため、2次元の座標変換では3×3行列が、3次元の座標変換では4×4行列が使われることが多い。コンピュータグラフィックスにも応用されている(後述)。
確率論や統計学、確率行列において行列は確率の組を表現するのに用いられ、例えば、これはGoogle検索におけるページランクのアルゴリズムで使われている。
行列の微積分(英語版)は、古典的な解析学における微分や指数関数の概念を高次元へ一般化するものである。
経済学では経済上の関係のシステムを説明するのに行列が用いられる。
また、その他の応用としては、線型方程式系の解法が挙げられる。行列が正方行列であるとき、そのいくつかの性質は、行列式を計算することによって知ることができる。例えば、正方行列において、行列式の値が非零となることは、それが正則であるための必要十分条件である。固有値と固有ベクトルは一次変換の幾何学に対する洞察を与える。