フィックの法則
J = − 1 2 τ ( N ( x + a ) − N ( x ) ) = − 1 2 τ d N d x a {\displaystyle J=-{\frac {1}{2\tau }}(N(x+a)-N(x))=-{\frac {1}{2\tau }}{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} x}}a}
となる。濃度 c = N / a {\displaystyle c=N/a} で書き換えると
J = − D d c d x {\displaystyle J=-D{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} x}}}
ここで、
D = a 2 2 τ {\displaystyle D={\frac {a^{2}}{2\tau }}}
である。 D {\displaystyle D} を定数としていることは、平均自由時間 τ {\displaystyle \tau } よりも長時間の時間スケールで運動を見ているということ(粗視化)を意味する。
第2法則は、非定常状態拡散、すなわち、拡散における濃度が時間に関して変わる時に使われる。実際の拡散の状態は、非定常状態がほとんどである。拡散係数D が定数のとき、濃度c の時間変化は次の拡散方程式で表される:
∂ c ∂ t = − div  J = D ∇ 2 c {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}=D\nabla ^{2}c}
これは広義の連続の式と等価である。あるいは1次元なら、
∂ c ∂ t = D ∂ 2 c ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}c}{\partial x^{2}}}}
記号は第1法則と同様である。