解析力学
∑ i = 1 n { ( ∂ L ∂ x i − d d t ∂ L ∂ x i ̇ ) δ x i + ( ∂ L ∂ y i − d d t ∂ L ∂ y i ̇ ) δ y i + ( ∂ L ∂ z i − d d t ∂ L ∂ z i ̇ ) δ z i } = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left\{\left({\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{i}}}}}\right)\delta x_{i}+\left({\frac {\partial L}{\partial y_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {y_{i}}}}}\right)\delta y_{i}+\left({\frac {\partial L}{\partial z_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {z_{i}}}}}\right)\delta z_{i}\right\}=0}
これはつまり、ラグランジアンから一元的に運動方程式を導出する方法で、一部の力学の問題について計算を簡単にする方法だった。
幾何光学における変分原理であるフェルマーの原理からの類推で、古典力学において最小作用の原理(モーペルテューイの原理)が発見された。これにより、力学系の問題は、作用積分とよばれる量を最小にするような軌道をもとめる数学の問題になった。
こうして座標が一般座標に拡張され、ラグランジュ方程式が導き出された。 さらに、ラグランジアンから一般運動量を定義し、座標と運動量のルジャンドル変換によって、ハミルトン力学が導かれた。