ボレル総和
(ここに Γ(*, *) は第二種不完全ガンマ関数を表す)となる。この積分はすべての t ≥ 0 に対して収束するので、元の発散級数もすべての t ≥ 0 に対してボレル総和可能となる。この関数は z → 0 の極限において元の級数を漸近展開にもつ。これは、時として発散するような漸近展開をボレル総和法が「正しく」総和するという事実の典型的な例である。
再び、
lim t t o ∞ e − t B ( A ) ( t z ) = lim t → ∞ e − t 1 + t z = 0 {\displaystyle \lim _{tto\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}(A)(tz)=\lim _{t\to \infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}=0}
がすべての t ≥ 0 に対して収束することと上記の同値性定理から、同じ領域 t ≥ 0 において弱-ボレル総和可能であることが保証される。
正の整数 mに対し、ωi (i = 1, 2, ..., m) は1の m 乗根を表すとする。次の級数
A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( ω 1 k + ⋯ + ω m k ) z k = ∑ i = 1 m 1 1 − ω i z {\displaystyle {\begin{aligned}A(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\omega _{1}^{k}+\cdots +\omega _{m}^{k}\right)z^{k}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{1-\omega _{i}z}}\end{aligned}}}
は開球 B(0, 1) ⊂ C 上収束する。C 上の関数として A(z) は SA = {ωi | i = 1, 2, ..., m} を特異点に持ち、したがってボレルポリゴン ΠA は原点を中心とし、1 ∈ C を辺の中心とする正m角形 として与えられる。