疫学における区画モデル
感染(infectious)個体数のこと。感染した個体であり、感受性個体を感染させる可能性がある。
多くの重要な感染症では、個体は感染しているが、まだ発症していない潜伏期間が存在する。この期間中、個体は区画E(exposed)にいる。
潜伏期間がパラメータ a {\displaystyle a} を持つ指数分布の確率変数であると仮定し(すなわち、平均潜伏期間は a − 1 {\displaystyle a^{-1}} )、また、出生率 Λ {\displaystyle \Lambda } が死亡率 μ {\displaystyle \mu } に等しい人口動態の存在を仮定すると、モデルは次のようになる。
d S d t = μ N − μ S − β I N S d E d t = β I N S − ( μ + a ) E d I d t = a E − ( γ + μ ) I d R d t = γ I − μ R . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dE}{dt}}&=\beta {\frac {I}{N}}S-(\mu +a)E\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=aE-(\gamma +\mu )I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R.\end{aligned}}}
ここで留意すべきは、上述したモデルにおいて、関数
F = β I {\displaystyle F=\beta I}
は、感受性保持者の区画から感染者の区画への遷移速度をモデル化し、これを感染力と呼ぶ。しかしながら、伝染病の多くのグループについては、感染力は感染者の絶対数に依存せず、(一定総人口に対する N {\displaystyle N} に対する)感染者の割合に依存すると考える方がより現実的である。
F = β I N {\displaystyle F=\beta {\frac {I}{N}}}
Capassoと、その後、他の著者らは、伝染過程をより現実的にモデル化するために、非線形感染力を提案した。
麻疹を含む多くの感染症では、新生児は感受性区間へは入らず、生後数か月間は母体由来の抗体(胎盤を介して、さらに初乳を介して伝達される)による保護のために、病気に対する免疫を持っている。これは受動免疫と呼ばれる。この追加の詳細は、モデルの最初にMクラス(母体由来の免疫)を含めることによって示すことができる。
これを数学的に示すために、追加の区間M(t) が追加される。これにより、次のような微分方程式が得られる。
d M d T = Λ − δ M − μ M d S d T = δ M − β S I N − μ S d I d T = β S I N − γ I − μ I d R d T = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dT}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[8pt]{\frac {dS}{dT}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[8pt]{\frac {dI}{dT}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dT}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}
結核といった感染症にかかったことのある人の中には、完全に回復することはなく、病気自体には罹患していないものの、感染症を抱え続けている人もいる。彼らはその後、再び感染区画に移動し、(結核のように)症状に苦しむかもしれない。または彼らは症状に苦しんでいない間、キャリア状態で他の人に感染し続けるかもしれない。最も有名な例は、22人を腸チフスに感染させたメアリー・マロンであろう。キャリア区画はCとラベル付けされる。
死亡率 μ {\displaystyle \mu } および出生率 Λ {\displaystyle \Lambda } によって特徴付けられ、伝染病が蔓延している母集団を考えてみる。質量作用伝播を持つモデルは
d S d t = Λ − μ S − β I S N d I d t = β I S N − γ I − μ I d R d t = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta IS}{N}}\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I-\mu I\\[8pt]{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}
であり、このモデルに対する感染症の無い平衡解(disease-free equilibrium: DFE)は