数学的対象
しかしながら、もし数学的存在論が数学の内部無矛盾性を成立させるために作られているとしたら、数学的対象はそのパラドックスの本質をあらわにするために、実際の実践とは無関係に、ある単一の方法で(例えば、集合として)定義ができることはより重要である。これは数学基礎論によって取られてきた観点である。数学基礎論は伝統的に、数学的対象を集合として定義することに対する正当化として、パラドックスをうまく扱うことに数学的実践の詳細を正確に反映することよりも高い優先順位を与えてきた。
集合を備えた数学的対象のこの根本的な同定によって作られた緊張の多くは、根本的な目的を過度に妥協することなく和らげることができる。すなわち、二種類の対象を数学的宇宙、集合および関係の中へ入れることによって、その二つの対象を単なる他のものの実体と見なすような要求は生じない。これらは、述語論理の議論領域としてモデル理論の基礎を形成している。この観点では、数学的対象は述語論理の言語で表現された形式理論(英語版)の公理を満たす実体である。