奇数
中国思想においては奇数は聖数とされる。日本の文化の中にもその影響が強く見られる。(例:七福神、祭日が3月3日・5月5日・7月7日・9月9日とある、など)
陰陽五行思想においては、十二支の奇数番目は陽、偶数番目は陰を司る。このため奇数は縁起が良いとされる。
日本では奇数は割り切れないことから縁起のいい数とされ、特に1, 3, 5, 7は好まれる傾向がある。しかし9は「苦」に通じるので奇数だが縁起の悪い数と受け取られることが多い。逆に、中国では9は「久」に通じるので縁起が好い数とされている。海外では、7は「ラッキーセブン」として好まれるが、13は縁起が悪い数だと考えられている(例:十三階段, 13日の金曜日)。
一つの事案に関して判断する際に、参加人数を奇数に設定する場合がある。これは多数決を取る際に賛否同数に分かれないようにするため。例として、日本の最高裁判所の判事は、15人で組織されている。
以下、n は正の整数(自然数)であるとする。
偶数と奇数の和、差はともに奇数である。奇数と奇数の積も、また奇数である。
奇数と奇数の和、奇数と偶数の積はともに偶数である。
負の実数の奇数乗は、負の実数になる。
五進法など「奇数進法」では、1÷2 のみならず 1÷偶数 が割り切れない。即ち、「半分」を有限小数として表現できない。
同じく、十六進法など「二の累乗数進法」では、1÷奇数(1と-1を除く) が割り切れない。即ち、「1/3」や「1/5」などを有限小数として表現できない。
2 以外の全ての素数は奇数である。つまり 3 以上の素数は全て奇数であり、それらを奇素数という。
フィボナッチ数のうち奇数であるのは、3n − 2 番目と 3n − 1 番目のフィボナッチ数である。
三角数のうち奇数であるのは、4n − 3 番目と 4n − 2 番目の三角数のみである。
知られている完全数は全て偶数であり、奇数の完全数が存在するかどうかは分かっていない。
約数の和で表せる奇数は、大抵の表せる個数は1個である。2個以上の約数の和で表せる奇数が無数にあるかどうかは分かっていない。