球函数に対するプランシュレルの定理
アダマールの降下法は H 3 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{3}} における径数 y に関する平行移動全体の成す一径数部分群の作用のもと不変な函数に依拠するものである。フレンステッド-イェンゼンの方法は、SO(2) の SL(2,C) における中心化群を用いるもので、これは SL(2.C) を SO(2) と
g t = ( cosh  t i sinh  t − i sinh  t cosh  t ) {\displaystyle g_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&i\sinh t\\-i\sinh t&\cosh t\end{pmatrix}}}
なる形の行列全体の成す一径数部分群 K1 との直積に分解する。対称空間 SL(2,C)/SU(2) は、行列式の値が 1 の正値な二次正方行列 A 全体の成す空間 H と同一視することができる。そのような行列
A = ( a + b x + i y x − i y a − b ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a+b&x+iy\\x-iy&a-b\end{pmatrix}}}
に群作用は
g ⋅ A = g A g ∗ {\displaystyle g\cdot A=gAg^{*}}
で与えられる。従って
Rosenberg (1977) は、先の証明を大いに簡略化する技法によって、ペイリー-ウィーナーの定理と球反転定理が同時に証明されることを注意している。
ローゼンバーグの証明の第一段階は、ハリッシュ=チャンドラ c-函数を用いて定義される逆変換が、ペイリー-ウィーナーの評価を満足するとき、原点中心の半径 R の閉球体の中に台を持つ函数を定めることを、直截に示すことからなる。これにより、逆変換を定義する非積分函数が a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}} の複素化上の有理型函数に延長できるから、積分を a + ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}} の元 μ と t > 0 に対する a ∗ + i μ t {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}+i\mu t} にシフトすることができる。ハリッシュ=チャンドラによる φλ の展開とガンマ函数を用いた c(λ) の公式を用いると、積分を十分大きな t で抑えることができて、従って原点中心・半径 R の閉球体の外側で積分が消えることが示せる。
この部分で、ペイリー-ウィーナーの定理からは
T ( f ) = ∫ a + ∗ f ~ ( λ ) | c ( λ ) | − 2 d λ {\displaystyle T(f)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda }
が与えられる。これらの公式は、もともと t ∗ × t {\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}\times {\mathfrak {t}}} および t ∗ {\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}} の上で定義され、それをその複素化まで正則に拡張したものである。さらに言えば、
χ λ ( e X ) = ∑ σ ∈ W s i g n ( σ ) e i λ ( σ X ) δ ( e X ) {\displaystyle \chi _{\lambda }(e^{X})={\sum _{\sigma \in W}{\rm {sign}}(\sigma )e^{i\lambda (\sigma X)} \over \delta (e^{X})}}
が成り立つ。ただし、W はワイル群 W = NU(T)/T で δ(e) は t {\displaystyle {\mathfrak {t}}} の複素化へ正則に拡張した積公式(ワイルの分母公式)で与えられる。同様の積公式が λ に関する多項式である d(λ) にも存在する。
複素群 G 上で両側 U-不変函数 F の積分は、 a = i t {\displaystyle {\mathfrak {a}}=i{\mathfrak {t}}} として
が原点 o に台を持つ G/K 上のシュヴァルツ超函数を定めることがわかる。積分のさらなる評価によって、実はこれが測度によって与えられること、またそれにより定数 C で
T ( f ) = C f ( o ) {\displaystyle T(f)=Cf(o)}
を満たすものが存在することが示される。この結果を
f 1 ( g ) = ∫ K f ( x − 1 k g ) d k {\displaystyle f_{1}(g)=\int _{K}f(x^{-1}kg)\,dk}
に適用すれば、
C f = ∫ a + ∗ f ~ ( λ ) φ λ | c ( λ ) | − 2 d λ {\displaystyle Cf=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda }
が従う。さらに適当な拡大縮小を施すことにより、評価不等式における C を 1 としてよいことが、 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上のペイリー-ウィーナーの定理およびプランシュレルの定理から演繹される。
で定義されるものとし、また
Δ a = − ∑ X i 2 {\displaystyle \Delta _{\mathfrak {a}}=-\sum X_{i}^{2}}
は任意に選んだ正規直交基底 (Xi) に対応する a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上のラプラス作用素である。
以上より、
L = L 0 − ∑ α > 0 m α ( coth  α − 1 ) A α , ( L 0 = Δ a − ∑ α > 0 A α ) {\displaystyle L=L_{0}-\sum _{\alpha >0}m_{\alpha }\,(\coth \alpha -1)A_{\alpha },\quad (L_{0}=\Delta _{\mathfrak {a}}-\sum _{\alpha >0}A_{\alpha })}
となるから、L を定数係数作用素 L0 の摂動と見做すことができる。
いま、球函数 φλ はラプラス作用素
Δ φ λ = ( ‖ λ ‖ 2 + ‖ ρ ‖ 2 ) φ λ {\displaystyle \Delta \varphi _{\lambda }=(\|\lambda \|^{2}+\|\rho \|^{2})\varphi _{\lambda }}
の固有函数、従って a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上の W-不変函数と見るとき L の固有函数である。