動吸振器
非常に不規則な励振を受けるなどの場合は、特定の励振周波数近辺よりも、すべての周波数域で振動が最少となるように設計した方がよい。このような設計手法として、最小分散規範と呼ばれる最適化法がある。最小分散規範は、1963年にステファン・H・クランドル(Stephen H. Crandall)とウィリアム・D・マーク(William D. Mark)により発表された 。
最小分散規範では、伝達される振動エネルギーに注目して、これが最少となるように設計する。すなわち、共振曲線を積分して得られる面積二乗値が最少となるようにする。具体的には、主系の基礎部がホワイトノイズランダム振動を行う場合は、主系と従系の質量比μより以下のような最適値が求まる。
α o p t = 1 1 + μ 2 + μ 2 {\displaystyle \alpha _{opt}={\frac {1}{1+\mu }}{\sqrt {\frac {2+\mu }{2}}}}
ζ a o p t = μ ( 4 + 3 μ ) 8 ( 1 + μ ) ( 2 + μ ) {\displaystyle \zeta _{a\ opt}={\sqrt {\frac {\mu (4+3\mu )}{8(1+\mu )(2+\mu )}}}}
上記の通り、定点理論と異なり2つの共振点の高さは一致せず、常に曲線上左側(周波数が低い側)の共振点が、曲線上右側(周波数が高い側)の共振点よりも大きくなる特徴がある。
となり、振幅f0 / kaで、位相は加振力と180°ずれて振動する。さらに、このときの従系質量体がばねを通じて主系質量体へ及ぼす力Faは、xm = 0なので、
F a = − k a ( x m − x a ) = f 0 cos  ( Ω t + π ) = − f 0 cos  ( Ω t ) {\displaystyle F_{a}=-k_{a}(x_{m}-x_{a})=f_{0}\cos(\Omega t+\pi )=-f_{0}\cos(\Omega t)}
となり、加振力を完全に打ち消すような力が、従系から主系へ加わっていることがわかる。
以上のように、理論上はωaをΩと一致させるように設計すれば主系の振動を0にできるが、実際にはΩが一定値に限定できる場合は少ない。共振曲線を見ると、Ω/ωa=1の反共振点のすぐそばにω1、ω2による共振点が存在する。すなわち、Ωが反共振点から変動すると振幅はすぐに大きくなる傾向がある。一方、主系・従系質量比μ = ma/mmに注目すると、μが大きいほど(=従系質量が主系質量に近いほど)、反共振点から離れても振幅倍率の立ち上がりが緩やかである。振動抑制の観点からは、このように主系・従系質量比を大きく取る方が都合が良いが、実際の設計ではそのような大きな動吸振器を付けることは通常は制約がある。このような欠点を解決するため、下記の減衰付動吸振器が有用となる。
より一般的な、主系にも減衰がある場合を考える。ばねkm、減衰器cmで基礎に支えられた質量mmからなる主系(制振対象)に、ばねka、減衰器caと質量maからなる従系(動吸振器)が取り付けられたモデルの運動方程式は、主系に対して力励振f(t)が加わる場合と基礎に対して変位励振x0(t)が発生する場合、それぞれで以下のようになる。
主系に対して力励振f(t)が加わる場合:
m m x ̈ m + c m x ̇ m + k m x m + c a ( x ̇ m − x ̇ a ) + k a ( x m − x a ) = f ( t ) {\displaystyle m_{m}{\ddot {x}}_{m}+c_{m}{\dot {x}}_{m}+k_{m}x_{m}+c_{a}({\dot {x}}_{m}-{\dot {x}}_{a})+k_{a}(x_{m}-x_{a})=f(t)}
m a x ̈ a + c a ( x ̇ a − x ̇ m ) + k a ( x a − x m ) = 0 {\displaystyle m_{a}{\ddot {x}}_{a}+c_{a}({\dot {x}}_{a}-{\dot {x}}_{m})+k_{a}(x_{a}-x_{m})=0}
基礎に対して変位励振x0(t)が発生する場合: