自己同型
体自己同型は体の拡大、特にガロア拡大の理論で重要である。ガロア拡大 L/K の場合には、K を各元ごとに固定する L の自己同型全体の部分群を拡大のガロア群と呼ぶ。
p-進数の体 Qp は非自明な自己同型を持たない。
グラフ理論では、グラフの自己同型(英語版)(automorphism of a graph)は、頂点の置換で隣接関係を保つ写像のことを言う。
関係性の自己同型については、自己同型を保存する関係(英語版)(relation-preserving automorphism)を参照。 順序理論(英語版)(order theory)については、順序自己同型(英語版)(order automorphism)を参照。
幾何学では、自己同型は空間の動き(英語版)(motion)と呼ばれる。下記の特別な意味で使われる。 計量幾何学(英語版)(metric geometry)では、自己同型は、自己等長写像を意味する。自己同型群は等長群(英語版)(isometry group)と呼ばれる。 リーマン面のカテゴリでは、自己同型は、あるリーマン面から自分自身への全単射な双正則(biholomorphic)写像をいう(共形写像とも言う)。 例えば、リーマン球面の自己同型はメビウス変換である。 微分可能多様体 M の自己同型は、M からそれ自身への微分同相写像である。自己同型群は Diff(M) と書く。 トポロジーでは、位相空間の間の準同型は、連続写像であり、位相空間の自己同型群は、空間から自分自身への同相群である(同相群(英語版)(homeomorphism group)を参照)。この例は、全単射が同型となることは充分ではないことを示している。