トランスクリティカル分岐
次の微分方程式はトランスクリティカル分岐を起こす一例である。
d x d t = μ ln  x + x − 1 {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu \ln x+x-1}
この系では x = 0 が μ によらず常に固定点となる。分岐値は μc = −1 で、(x = 0, μ = −1) でトランスクリティカル分岐が起こる。
次の写像は離散力学系でトランスクリティカル分岐を起こす一例で、ロジスティック写像として知られる
x ↦ μ x ( 1 − x ) {\displaystyle x\mapsto \mu x(1-x)}
この系でも x = 0 が μ によらず常に固定点である。分岐値は μc = 1 で、(x = 0, μ = 1) でトランスクリティカル分岐が起こる。
一般に、連続力学系の周期軌道の問題は、ポアンカレ写像によって次元を1つ減らした離散力学系の問題に帰着できる。周期軌道のポアンカレ写像がトランスクリティカル分岐が起こす場合は、元の相空間上では2つの安定・不安定な周期軌道が衝突・通過し、安定性が入れ替わるような挙動となる。
小室 元政、2005、『基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ』新版、サイエンス社 ISBN 4-7819-1118-8
松葉 育雄、2011、『力学系カオス』第1版、森北出版 ISBN 978-4-627-15451-3
S. ウィギンス、丹羽 敏雄(監訳)、今井 桂子・田中 茂・水谷 正大・森 真(訳)、2013、『非線形の力学系とカオス』新装版、丸善出版 ISBN 978-4-621-06435-1
Steven H. Strogatz、田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人(訳)、2015、『ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6
桑村 雅隆、2015、『パターン形成と分岐理論 ―自発的パターン発生の力学系入門』初版、共立出版〈シリーズ・現象を解明する数学〉 ISBN 978-4-320-11004-5