前加法圏
以下の特別な場合の前加法圏のおおくについては既に上で述べたが、参考のためにここでもあわせて挙げておく。
環はちょうどひとつの対象をもつ前加法圏である
加法圏は全ての有限双積をもつ前加法圏である
前アーベル圏は全ての核と余核をもつ加法圏である
アーベル圏は全てのモノ射とエピ射が正規(英語版)である前アーベル圏である
研究されているほとんどの前加法圏は実際にはアーベル圏である。例えば、Abはアーベル圏である。
前加法圏のhom集合はゼロ射を持っているので、核と余核の概念が意味を持つ。それは、f: A → B を前加法圏の射としたとき、f の核は f と A から B へのゼロ射とのイコライザーであり、fの余核は f とこのゼロ射の余イコライザーである。積と余積の場合と異なり、前加法圏では f の核と余核は一般には等しくない。
可換群や環上の加群に特化すると、核の概念は通常の準同型の核と一致する、ただし、f: A → B の通常の核 K とその埋め込み K → A を同一視する。しかし、一般の前加法圏では核や余核の存在しない射も存在する。
核と余核とhom集合の群構造には便利な関係がある。f と g を平行射とするとき、f と g のイコライザーと g − f の核は片方が存在すれば一致する。同様のことが余イコライザーに関しても成り立つ。この事実から二項イコライザーには「差核」という別の名前がある。
双積と核と余核が全て存在する前加法圏を前アーベル圏と呼ぶ。前加法圏の核と余核は前アーベル圏において主に有用であり、さらに多くの性質を見出すことができる。