商群
赤い点で示されている、1の4乗根全体のなす部分群 N を考える。この正規部分群は群を赤、緑、青で示されている、3つの剰余類に分ける。剰余類たちが3元からなる群をなすことを確認できる(赤の元と青の元の積は青、青の元の逆元は緑、など)。したがって、商群 G/N は3色の群で、3つの元をもつ巡回群であることが分かる。
実数が加法についてなす群 R とその整数からなる部分群 Z を考える。R における Z の剰余類はすべて、0 ≤ a < 1 を実数として a + Z の形の集合である。そのような剰余類を足すことは対応する実数を足し、結果が 1 以上ならば 1 を引くことによってなされる。商群 R/Z は円周群 S に同型であり、これは絶対値 1 の複素数が乗法についてなす群、あるいはそれに対応して、2次元で原点についての回転のなす群、すなわち特殊直交群 SO(2) である。同型は f(a + Z) = exp(2πia) によって与えられる(オイラーの公式を参照)。
G が可逆 3 × 3 実行列全体の乗法群で、N がその行列式 1 の部分群であるとき、N は G において正規である(なぜなら行列式を取る準同型の核なので)。