ウィーンの変位則
ヴィルヘルム・ヴィーンによって発見されたが、プランクの式から導くことができる。
プランクの式によると、黒体輻射の分光エネルギー密度 u は次式で表される:
u ( λ , T ) = 8 π h c λ 5 1 e h c / λ k T − 1 {\displaystyle u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}\,{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}}
波長の最大値 λmax を求めるために、波長分布 u(λ) を λ で偏微分して、0 になる波長を求めればよい。
∂ u ( λ m a x , T ) ∂ λ = 8 π h c ( h c k T λ max 7 exp  ( h c / λ max k T ) ( exp  ( h c / λ max k T ) − 1 ) 2 − 1 λ m a x 6 5 exp  ( h c / λ max k T ) − 1 ) = 0 ∴ h c λ m a x k T 1 1 − exp  ( − h c / λ max k T ) − 5 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u(\lambda _{\mathrm {max} },T)}{\partial \lambda }}=8\pi hc\left({\frac {hc}{kT\lambda _{\text{max}}^{7}}}{\frac {\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)}{\left(\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1\right)^{2}}}-{\frac {1}{\lambda _{\mathrm {max} }^{6}}}{\frac {5}{\exp(hc/\lambda _{\text{max}}kT)-1}}\right)=0\\\therefore {\frac {hc}{\lambda _{\mathrm {max} }kT}}\,{\frac {1}{1-\exp(-hc/\lambda _{\text{max}}kT)}}-5=0\end{aligned}}}
ここで x = hc/λmaxkT とすると、
x 1 − e − x − 5 = 0 {\displaystyle {\frac {x}{1-e^{-x}}}-5=0}
となる。この解はランベルトのW関数で、
x = W ( − 5 e − 5 ) + 5 ≈ 4.965114231744276 {\displaystyle x=W(-5e^{-5})+5\approx 4.965114231744276}
と表される。x から λmax を求めると、
λ max = h c x k T = b T , b = h c x k ≈ 2.897 772 × 10 − 3 m K {\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {hc}{xkT}}={\frac {b}{T}},\quad b={\frac {hc}{xk}}\approx 2.897~772\times 10^{-3}~{\text{m K}}}
を得る。