コラッツの問題
k-サイクルとは、奇数が連続する増加列 k 個と偶数が連続する減少列 k 個の 2k 個の部分で全体が構成されたサイクルである。例えばサイクルが、奇数による増加列1個と、偶数による減少列1個で構成されたなら、1-サイクルと呼ぶ。Steiner (1977)は、1-サイクルが、自明なサイクル(1;2)のみであることを証明した。ジョン・サイモンズ (John L. Simons) は、Steinerの方法を使って、2-サイクルが存在しないことを証明した。サイモンズとde Wegerはこの証明を拡張して、k = 68 までの場合において、非自明なk-サイクルが存在しないことを示した。また、k が69以上の場合においては、存在した場合のサイクルの最小値の範囲を与えた。例えば k = 69 の場合は、サイクルの最小値は 3.3389×10より大きく 6.4877×10より小さいことが示されている。
n が奇数であるときに 3n + 1 は必ず偶数になることから、コラッツ写像の「ショートカット」形式が次の定義で与えられる:
T ( x ) = { x / 2 if x ≡ 0 ( mod 2 ) , ( 3 x + 1 ) / 2 if x ≡ 1 ( mod 2 ) . {\displaystyle T(x)={\begin{cases}x/2&{\text{if }}x\equiv 0{\pmod {2}},\\(3x+1)/2&{\text{if }}x\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}}
コラッツ数列のサイクルとは相異なる正整数からなる数列 ( a 0 , a 1 , ... , a q ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},\ldots ,a_{q})} であって、 T ( a 0 ) = a 1 {\displaystyle T(a_{0})=a_{1}} , T ( a 1 ) = a 2 {\displaystyle T(a_{1})=a_{2}} , ..., T ( a q ) = a 0 {\displaystyle T(a_{q})=a_{0}} を満たすものである。唯一知られているサイクルは長さ2の ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1,2)} で、これは自明なサイクルと呼ばれる。