ハミルトン場の理論
ハミルトン密度は場についての連続体的な類似物である。これは場と、共役「運動量」の場、および場合によっては空間と時間の座標自体の関数である。1成分のスカラー場 φ(x, t) に対して、ハミルトン密度はラグランジアン密度から
H ( φ , π , x , t ) := φ ̇ π − L ( φ , ∇ φ , ∂ φ / ∂ t , x , t ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ,\pi ,\mathbf {x} ,t):={\dot {\phi }}\pi -{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {x} ,t)}
によって定義される。ここで ∇ はナブラ演算子、x は空間内の点の位置ベクトル、t は時間である。
, x , t ) , {\displaystyle B:=\int d^{3}x{\mathcal {B}}(\phi ^{1},\phi ^{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi ^{1},\nabla \phi ^{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t),}
および積分体積の境界ではゼロである場に対して、場の理論におけるポアソン括弧は次のように定義される(量子力学の交換子と混同しないこと):
[ A , B ] φ , π := ∫ d 3 x ∑ i ( δ A δ φ i δ B δ π i − δ B δ φ i δ A δ π i ) . {\displaystyle [A,B]_{\phi ,\pi }:=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi ^{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi ^{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right).