双対ベクトル空間
体 F 上の任意のベクトル空間 V の(代数的)双対空間 V* は V 上の線型写像 φ: V → F(すなわち線型汎函数)全体の成す集合として定義される。集合としての V* には、次の加法とスカラー乗法
( φ + ψ ) ( x ) = φ ( x ) + ψ ( x ) , ( a φ ) ( x ) = a ( φ ( x ) ) ( φ , ψ ∈ V ∗ , x ∈ V , a ∈ F ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(\varphi +\psi )(x)=\varphi (x)+\psi (x),\\&(a\varphi )(x)=a{\bigl (}\varphi (x){\bigr )}\end{aligned}}\quad (\varphi ,\psi \in V^{*},\,x\in V,\,a\in F)}
を定義することができて、それ自身 F 上のベクトル空間となる。この代数的双対空間 V* の元を、余ベクトル(共変ベクトル)あるいは一次形式((代数的)1-形式)と呼ぶこともある。
双対空間 V* の元である汎函数 φ と V の元との対をしばしば括弧を用いて φ(x) = [φ, x] あるいは φ(x) = ⟨φ, x⟩で表す。この対の記法は非退化な双線型形式 [•,•]: V* × V → F を定める。このとき、[•,•] は V* と V との間に双対性を定める、V* と V を双対にする、あるいは V と V* の双対性を表す内積 (duality pairing) であると言う。