加算性白色ガウス雑音
現代の通信システムでは、帯域制限されたAWGNは無視できない。フェーザ領域で帯域制限されたAWGNをモデル化すると、統計的解析により、実部および虚部の振幅はガウス分布モデルに従う独立変数であることが分かる。これらを結びつけると、合成したフェーザの位相は0から2πまで均一に分布している一方、大きさはレイリー分布のランダム変数である。
右のグラフは、帯域制限されたAWGNがコヒーレントキャリア信号にどのように影響するかの一例を示している。ノイズベクトルの瞬時応答は正確に予測することはできないが、時間平均応答は統計的に予測することができる。グラフに示されている通り、我々はノイズフェーザの約38%は1σ円内に存在することを確信をもって予測することができる。約86%は2σ円内、約98%は3σ円内に存在する。
各コード名はそれぞれパワー制約を満たすため、平均もパワー制約を満たす。 上の不等式を簡単にすると、
1 2 log  ( 1 + 1 n ∑ i = 1 n P i N ) ≤ 1 2 log  ( 1 + P N ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{N}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)\,\!}
よって、全体を合わせると R ≤ 1 2 log  ( 1 + P N ) + ε n {\displaystyle R\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)+\epsilon _{n}} となる。したがって R {\displaystyle R} は ε n → 0 {\displaystyle \epsilon _{n}\rightarrow 0} のとき、前に導出した容量よりも幾分か小さい値でなくてはならない。