摂動函数
( X , X ∗ ) {\displaystyle (X,X^{*})} と ( Y , Y ∗ ) {\displaystyle (Y,Y^{*})} を双対組とする。ある線型作用素 T : X → Y {\displaystyle T:X\to Y} とその随伴作用素 T ∗ : Y ∗ → X ∗ {\displaystyle T^{*}:Y^{*}\to X^{*}} の存在を仮定する。また主目的函数(英語版)(指示函数による制限も含む)は、 J : X × Y → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle J:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} に対して f ( x ) = J ( x , T x ) {\displaystyle f(x)=J(x,Tx)} と表すことが出来るものとする。このとき、摂動函数は次で与えられる。
F ( x , y ) = J ( x , T x − y ) {\displaystyle F(x,y)=J(x,Tx-y)} .
特に、主目的函数が f ( x ) + g ( T x ) {\displaystyle f(x)+g(Tx)} であるなら、摂動函数は F ( x , y ) = f ( x ) + g ( T x − y ) {\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Tx-y)} で与えられるが、これはフェンシェル双対性の伝統的な定義である。
}
主問題が、 f ~ ( x ) = f ( x ) + I R + d ( − g ( x ) ) {\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(-g(x))} に対し
inf x : g ( x ) ≤ 0 f ( x ) = inf x ∈ X f ~ ( x ) {\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq 0}f(x)=\inf _{x\in X}{\tilde {f}}(x)}
で与えられるとする。このとき、摂動が
inf x : g ( x ) ≤ y f ( x ) {\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq y}f(x)}
で与えられるなら、摂動函数は
F ( x , y ) = f ( x ) + I R + d ( y − g ( x ) ) {\displaystyle F(x,y)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(y-g(x))}
となる。したがって、ラグランジアン双対性との関連は、L が明らかに次で与えられることから分かる。
L ( x , y ∗ ) = { f ( x ) + y ∗ ( g ( x ) ) if y ∗ ∈ R + d − ∞ else {\displaystyle L(x,y^{*})={\begin{cases}f(x)+y^{*}(g(x))&{\text{if }}y^{*}\in \mathbb {R} _{+}^{d}\\-\infty &{\text{else}}\end{cases}}} .