巡回行列
F n ( c ∗ x ) = F n ( c ) F n ( x ) = F n ( b ) {\displaystyle \ {\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} *\mathbf {x} )={\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} ){\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {b} )}
従って、次のようになる。
x = F n − 1 [ ( ( F n ( b ) ) ν ( F n ( c ) ) ν ) ν ∈ Z ] {\displaystyle \ \mathbf {x} ={\mathcal {F}}_{n}^{-1}\left[\left({\frac {({\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {b} ))_{\nu }}{({\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} ))_{\nu }}}\right)_{\nu \in \mathbf {Z} }\right]}
このアルゴリズムは通常のガウスの消去法よりも高速であり、特に高速フーリエ変換を使えば高速になる。
グラフ理論において、隣接行列が巡回行列になっているグラフをcirculant graph(循環グラフ、巡回グラフ)と呼ぶ。グラフが circulant であるとは、その自己同型群 (automorphism group) に全長サイクル (full-length cycle) が含まれる場合を指す。circulant graph の例としてメビウスの梯子がある。