構成主義 (数学)
古典的な実解析において、実数を定義(英語版)する方法の一つは有理数のコーシー列の同値類である。
構成的数学において、実数を構成する方法の一つは、正の整数 n をとり有理数 f(n) を出力する関数 f と、n が大きくなるにつれて ƒ(n) の値は互いに近づくように、正の整数 n をとり正の整数 g(n) を出力する以下を満たす関数 g を併用することである。
∀ n ∀ i , j ≥ g ( n ) | f ( i ) − f ( j ) | ≤ 1 n {\displaystyle \forall n\ \forall i,j\geq g(n)\quad |f(i)-f(j)|\leq {1 \over n}}
ƒ と g を併用すると、ƒ と g が表現する実数を任意精度の有理数近似として計算できる。
この定義のもとでは、e の単純な表現は以下のようになる:
f ( n ) = ∑ i = 0 n 1 i ! , g ( n ) = n . {\displaystyle f(n)=\sum _{i=0}^{n}{1 \over i!},\quad g(n)=n.}
この定義はコーシー列を用いた古典的な定義に、構成的な工夫を除いて対応する:古典的なコーシー列では、ある要素以降は列の各要素の距離が与えられた距離よりも小さくなるような要素が存在する、ということを要請する。