シュタイナー・レームスの定理
a c − a b 2 c ( a + c ) 2 = a b − a b c 2 ( a + b ) 2 b + b 2 c ( a + c ) 2 = c + b c 2 ( a + b ) 2 b ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b 2 c ( a + b ) 2 = c ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c 2 ( a + c ) 2 b ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b 2 c ( a + b + c − c ) 2 = c ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c 2 ( a + b + c − b ) 2 b ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b 2 c ( a + b + c ) 2 − 2 b 2 c 2 ( a + b + c ) + b 2 c 3 = c ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c 2 ( a + b + c ) 2 − 2 b 2 c 2 ( a + b + c ) + b 3 c 2 b ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b 2 c ( a + b + c ) 2 − b 3 c 2 = c ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c 2 ( a + b + c ) 2 − b 2 c 3 b ( ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c ( a + b + c ) 2 − b 2 c 2 ) = c ( ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c ( a + b + c ) 2 − b 2 c 2 ) b = c {\displaystyle {\begin{aligned}ac-{\frac {ab^{2}c}{(a+c)^{2}}}&=ab-{\frac {abc^{2}}{(a+b)^{2}}}\\b+{\frac {b^{2}c}{(a+c)^{2}}}&=c+{\frac {bc^{2}}{(a+b)^{2}}}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b)^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+c)^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c-c)^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c-b)^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c)^{2}-2b^{2}c^{2}(a+b+c)+b^{2}c^{3}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c)^{2}-2b^{2}c^{2}(a+b+c)+b^{3}c^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c)^{2}-b^{3}c^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{3}\\b((a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2})&=c((a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2})\\b&=c\\\end{aligned}}}
等しい長さの2つの角の二等分線を有する全ての三角形は二等辺三角形である。