H定理
H という量は、速度空間上の積分
H ≡ ∫ P ( ln  P ) d 3 v = ⟨ ln  P ⟩ {\displaystyle H\equiv \int {P({\ln P})\mathrm {d} ^{3}v}=\left\langle {\ln P}\right\rangle }
ここで P(v) は粒子の速度 v に関する確率密度関数
で定義される(つまり ln P の平均である)。これはのちにクロード・シャノンの定義した情報エントロピーと同じ形である。
ボルツマンはボルツマン方程式を用いてこの H を求めた。ボルツマン方程式は粒子間の衝突を表す項を含んでおり、これは一般には計算できないが、分子的混沌の仮定(衝突数の仮定)、つまり2粒子の速度の間には相関がないという仮定をおけば計算できる。
この場合、H を時間で微分したものの被積分関数は、−(f1 − f2)(ln f1 − ln f2) という形になる(f1, f2 はそれぞれ2粒子の確率密度関数)。これは常に負または0であることから、H は決して増大しないことが証明される。
N 個の統計学的に独立な粒子からなる系を考えると、H には熱力学エントロピー S と次のような関係がある:
S ≡ − N k H {\displaystyle S\equiv -NkH}
ゆえに H 定理から、S は減少しないことになる。