行列環
R が実数体のとき、M2(R ) の対角部分環は分解型複素数 (split-complex number) に同型である。R が複素数体のとき、対角部分環は bicomplex numbers に同型である。R = H, 四元数の可除環であれば、対角部分環は split-biquaternions の環に同型であり、1873 に William K. Clifford によって示されている。
任意の環 R 上のすべての n×n 行列からなる集合。 Mn(R) あるいは Matn(R) や R と表記される。これは通常「n 次全行列環」(full ring of n by n matrices) と呼ばれる。これらの行列は自由加群 R の自己準同型を表す。
環上のすべての上(あるいは下)三角行列のなす集合。
R が単位元をもつ任意の環であれば、右 R 加群としての M = ⨁ i ∈ I R {\displaystyle \textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R} の自己準同型環は列有限行列 (column finite matrices) の環 C F M I ( R ) {\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)\,} と同型である。その成分は I × I {\displaystyle I\times I} で添え字づけられており、その各列は 0 でない成分を有限個しか含まない。M の左 R 加群としての自己準同型を考えると類似の対象、各行が 0 でない成分を有限個しか含まない行有限行列 (row finite matrices) R F M I ( R ) {\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)} を得る。
R がノルム環であれば、直前の例の行あるいは列の条件は弱めることができる。そのノルムによる絶対収束列を有限和の代わりに使うことができる。例えば、列の和が絶対収束列である行列は環をなす。