対数
用語としての対数(logarithm)はネイピアがギリシャ語のロゴス(関係)とアリトモス(数)を組み合わせたものだという。
対数表の近似精度を高めることはネイピア以降もしばしば行われ、産業政策にも利用された。1790年にフランスで ガスパール・ド・プロニー が失業中の理髪師たちを集めて雇用し計算させたのをはじめに、チャールズ・バベッジの階差機関への挑戦(1827年)や20世紀初頭アメリカ・ニューディール政策における公共事業促進局の実施するプロジェクト (Mathematical Tables Project) において精度向上の試みが行われた。
指数関数的に変化する量を対数に変換してみると、線型性などの綺麗な性質が浮かび上がる。また、双曲線などの面積を求める積分にも対数があらわれる(たとえば、∫A1 x dx = loge |A| である)。これらの例の他にも対数はいろいろな場面であらわれ、単なる「簡便な計算法」以上の意味を持つことも多い。そのため対数は、詳しく研究されてきた関数の一つでもある。
ネイピアらが示した対数の定義は現在用いられているものとは異なっていた。
ネイピアによる対数の定義は次のようなものである:正の実数 x に対して
x = 10 7 ( 1 − 1 10 7 ) p {\displaystyle x=10^{7}\left(1-{\frac {1}{10^{7}}}\right)^{p}}
を満たす実数 p がただ一つ定まる。この p のことを ネイピアの対数(英: Napierian logarithm)という。この値は、−10 ln (x/10) と 7 桁の精度で一致する。ネイピアは、1594年に対数の概念に到達し、この定義を用いて20年間計算を続け、7 桁の数の対数表を完成させて1614年に発表した。
ビュルギもまた対数の発見者であるが、ビュルギが用いた定義はネイピアのものとはわずかに異なっている。ビュルギによる対数の定義は次のようなものである:正の実数 x に対して
x = 10 8 ( 1 + 1 10 4 ) p {\displaystyle x=10^{8}\left(1+{\frac {1}{10^{4}}}\right)^{p}}
を満たす実数 p がただ一つ定まる。この p のことをビュルギの対数という。この値は、10 ln (x/10) と4桁の精度で一致する。ビュルギは、ネイピアよりも早く1588年に対数の概念を発見したが、1620年まで公表しなかったため、対数の発見者としてはネイピアが称えられることが多い。