波動関数
基底として位置を表す演算子 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} の固有ベクトル、つまり位置が定まった状態の全体 { | x ⟩ } {\displaystyle \{|x\rangle \}} を選んだ場合、任意の状態を { | x ⟩ } {\displaystyle \{|x\rangle \}} の重ね合わせで表現できる。この基底に対する係数 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} を座標表示での波動関数、あるいはシュレーディンガーの波動関数などと呼ぶ。 通常、位置は連続的な値を取るため、状態ベクトルの展開は形式的に積分形で表される:
| ψ ⟩ = ∫ ψ ( x ) | x ⟩ d x {\displaystyle |\psi \rangle =\int \psi (x)|x\rangle dx}
波動関数 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} を定めれば | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } は一意的に決まるので、 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } の代わりに ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} を用いても状態を表すことができる。