ベクトル空間の双対系
数学の函数解析学周辺分野におけるベクトル空間の双対系(そうついけい、英: dual system)あるいは双対組 (dual pair; 双対対) は、付随する双線型形式(内積, pairing)を持つようなベクトル空間の対である。
ノルム線型空間の研究においてよく用いられる函数解析学的方法に、もとの空間とその連続的双対空間、すなわちもとの空間上の連続線型形式全体の成すベクトル空間(双対ベクトル空間)との関係性を調べるというものがある。双対対はこのような双対性の概念を一般化して、素性の良い双線型形式によって「双対性」が与えられる任意のベクトル空間の対を考えるものである。付随する双線型形式を用いて、半ノルムから極位相を定めると、ベクトル空間は局所凸空間(ノルム空間の一般化)になる。
双対対 (X, Y, ⟨⟩) に付随して、X から Y* への単射が
x ↦ ( y ↦ ⟨ x , y ⟩ ) {\displaystyle x\mapsto (y\mapsto \langle x,y\rangle )}
と置くことによって得られる。Y から X* への単射も同様に定められる。
特に X, Y の何れか一方が有限次元ならば、この写像は線型同型になる。