標準偏差
X を離散型確率変数とする。X のとりうる値を x1, x2, ..., xn, ... とし、X が xi をとる確率を pi で表す。このとき
∑ i = 1 ∞ p i = 1 ( p i ≥ 0 ) {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1\quad (p_{i}\geq 0)}
である。このとき
E [ X ] = ∑ i = 1 ∞ p i x i {\displaystyle E[X]=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}x_{i}}
を確率変数 X の期待値という。また、
V [ X ] = E [ ( X − E [ X ] ) 2 ] = ∑ i = 1 ∞ p i ( x i − E [ X ] ) 2 = E [ X 2 ] − ( E [ X ] ) 2 {\displaystyle V[X]=E{\Bigl [}{\bigl (}X-E[X]{\bigr )}^{2}{\Bigr ]}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}{\bigl (}x_{i}-E[X]{\bigr )}^{2}=E[X^{2}]-(E[X])^{2}}
を確率変数 X の分散という。この分散の非負の平方根を標準偏差という。
標準偏差(、英: standard deviation, SD)とは、データや確率変数の、平均値からの散らばり具合(ばらつき)を表す指標の一つである。偏差ベクトルと、値が標準偏差のみであるベクトルは、ユークリッドノルムが等しくなる。
標準偏差を2乗したのが分散であり、従って、標準偏差は分散の非負の平方根である。標準偏差が 0 であることは、データの値が全て等しいことと同値である。
母集団や確率変数の標準偏差を σ で、標本の標準偏差を s で表すことがある。
二乗平均平方根 (RMS) を用いると、標準偏差は偏差の二乗平均平方根に等しくなる。
日本語の「不偏標準偏差」という語にも混乱がある。日本の大学教授の間でも、不偏分散 v の平方根を、不偏標準偏差だと教える大学教員も多いが、母集団の標準偏差の不偏推定量 D を不偏標準偏差だと教える教員もいる。
兵庫大学の河野稔によるウェブページや神戸大学の中澤港によるウェブページでは前者である。
東北学院大学の根市一志による資料では後者である。
このように、同じ用語でも話者によって定義が異なる場合がある。