ガンマ行列
ディラック表現において、 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} 、 γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} 、及び σ μ ν {\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }} は
γ 0 = [ 1 0 0 − 1 ] , γ j = [ 0 σ j − σ j 0 ] , γ 5 = [ 0 1 1 0 ] , σ 0 j = [ 0 i σ j i σ j 0 ] , σ j k = ε i j k [ σ i 0 0 σ i ] {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}},~\gamma ^{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\\\end{bmatrix}},~\gamma _{5}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}},~\sigma ^{0j}={\begin{bmatrix}0&i\sigma _{j}\\i\sigma _{j}&0\\\end{bmatrix}},~\sigma ^{jk}=\epsilon _{ijk}{\begin{bmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\\\end{bmatrix}}}
ガンマ行列 γ は以下の反交換関係を満たす行列の組として定義される。
{ γ μ , γ ν } = γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 g μ ν 1 {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }\mathbf {1} }
ここで μ,ν = 0, 1, 2, ..., d − 1 は d 次元時空の添え字で、g は時空の計量で、この場合 g = diag(+1, −1, −1, ..., −1) である。1 は単位行列で、この式が行列としての等式であることを明示しているが、しばしば省略される。行列を成分で書けば、
{ γ μ , γ ν } a b = ( γ μ ) a c ( γ ν ) c b + ( γ μ ) a c ( γ ν ) c b = 2 g μ ν δ a b {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}_{a}{}^{b}=(\gamma ^{\mu })_{a}{}^{c}(\gamma ^{\nu })_{c}{}^{b}+(\gamma ^{\mu })_{a}{}^{c}(\gamma ^{\nu })_{c}{}^{b}=2g^{\mu \nu }\delta _{a}^{b}}