フレドホルム行列式
という不等式によって、わずかに改良される。
A と B がトレースクラスであるなら、
d e t ( I + A ) ⋅ d e t ( I + B ) = d e t ( I + A ) ( I + B ) {\displaystyle {\rm {det}}(I+A)\cdot {\rm {det}}(I+B)={\rm {det}}(I+A)(I+B)}
が成り立つ。
関数 det は、非ゼロ複素数の乗法群 C* への G の準同型写像である。
T が G に含まれ、X が可逆であるなら、
d e t X T X − 1 = d e t T {\displaystyle {\rm {det}}\,XTX^{-1}={\rm {det}}\,T}
が成り立つ。
A がトレースクラスであるなら、
d e t e A = exp T r ( A ) {\displaystyle {\rm {det}}\,e^{A}=\exp \,{\rm {Tr}}(A)}
と
log  d e t ( I + z A ) = T r ( log  ( I + z A ) ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 T r A k k z k {\displaystyle \log {\rm {det}}\,(I+zA)={\rm {Tr}}(\log {(I+zA)})=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {{\rm {Tr}}A^{k}}{k}}z^{k}}
が成り立つ。