長さの収縮
よって、 L 0 = T v {\displaystyle L_{0}=Tv} および L ′ = T 0 ′ v {\displaystyle L'=T'_{0}v} となる。時間の遅れの式を挿入すると、これらの長さの比は
L ′ L 0 = T 0 ′ v T v = 1 / γ {\displaystyle {\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma } .
となる。したがって、 S ′ {\displaystyle S'} で測定される長さは
L ′ = L 0 / γ {\displaystyle L'=L_{0}/\gamma }
と与えられる。そのため、棒を横切る時計の移動時間は、棒が静止した系 S {\displaystyle S} での方が、棒が動く系 S ′ {\displaystyle S'} より長く( S ′ {\displaystyle S'} における時間の遅れ)、棒の長さは S {\displaystyle S} での方が S ′ {\displaystyle S'} においての長さより長くなる( S ′ {\displaystyle S'} における長さの収縮)。逆に、時計は S {\displaystyle S} で静止しており、棒が S ′ {\displaystyle S'} にある場合、上記と同様の手順で
L = L 0 ′ / γ {\displaystyle L=L'_{0}/\gamma }
と与えられる。
Δ x ′ ≡ x 2 ′ − x 1 ′ = γ L 0 Δ t ′ ≡ t 2 ′ − t 1 ′ = − γ v L 0 / c 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta x'&\equiv x_{2}'-x_{1}'=\gamma L_{0}\\\Delta t'&\equiv t_{2}'-t_{1}'=-\gamma vL_{0}/c^{2}\end{aligned}}}
両方の端点の同時位置を得るには、2番目の端点がS'に対するSの速度 − v {\displaystyle -v} を − Δ t {\displaystyle -\Delta t} で進めなければならない。よって長さ L ′ {\displaystyle L'} を得るためには、量 ( − v ) ⋅ ( − Δ t ) {\displaystyle (-v)\cdot (-\Delta t)} を Δ x ′ {\displaystyle \Delta x'} に加える必要がある。
L ′ = Δ x ′ + v Δ t ′ = γ L 0 − γ v 2 L 0 / c 2 = L 0 / γ {\displaystyle {\begin{aligned}L'&=\Delta x'+v\Delta t'\\&=\gamma L_{0}-\gamma v^{2}L_{0}/c^{2}\\&=L_{0}/\gamma \end{aligned}}}
よってS'における運動する長さは収縮している。同様に、前記の計算ではS'において静止している物体に対して対照的な結果が得られる。
L = L 0 ′ / γ {\displaystyle L=L_{0}^{'}/\gamma }
慣性基準系Sにおいて、この系で運動している物体の端点を x 1 {\displaystyle x_{1}} と x 2 {\displaystyle x_{2}} とする。ここで長さ L {\displaystyle L} を上の決まりに従い t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}\,} の端点の同時位置を決定することで測定した。S'におけるこの物体の固有長はローレンツ変換を用いて計算する。時間座標をSからS'へ変換すると異なる時間となるが、S'では物体は静止しており、端点が測定された時間は関係ないため問題はない。したがって、空間座標の変換で十分であり、次式
x 1 ′ = γ ( x 1 − v t 1 ) a n d x 2 ′ = γ ( x 2 − v t 2 ) {\displaystyle x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad \mathrm {and} \quad x'_{2}=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)}
が得られる。
長さの収縮(ながさのしゅうしゅく、length contraction) は、運動する物体の長さが、自身の静止系で測定される長さである固有長(proper length)よりも短く測定される現象。ローレンツ収縮やローレンツ・フィッツジェラルド収縮(ヘンドリック・ローレンツとジョージ・フィッツジェラルドにちなむ)とも呼ばれる。物体が進んでいる方向のみに生じる。普通の物体ではこの効果は日常的な速度では無視でき、物体が観察者に対して光速に近づくときのみ重要となる。