調和平均
正の実数の集合に対して、調和平均を H, 算術平均を A, 幾何平均を G とすると、3つの平均の間には関係 H ≤ G ≤ A が成り立つ。平均を取る数の値がすべて等しいとき、かつそのときに限り、3つの平均は等しくなる。
また、2数 x1, x2 について考えると、調和平均は
H = 2 x 1 x 2 x 1 + x 2 {\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}}
と書ける。この場合算術平均は A = (x1 + x2)/2, 幾何平均は G = x 1 x 2 {\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}}} であるから、
H = G 2 A {\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}}
という関係が成り立つ。これは G = A H {\displaystyle G={\sqrt {AH}}} とも書け、2つの数の幾何平均は算術平均と調和平均の幾何平均に等しいということである。
この関係は n(データ集合の大きさ)が3以上の場合に拡張することができ、一般の場合の関係は次のようになる: