等質空間
例えば直線幾何の場合には、H を、16次元一般線型群 GL(4) の次のような12次元部分群、すなわち行列の成分についての条件
h13 = h14 = h23 = h24 = 0
によって定義された部分群として、次のようにして同一視できる、すなわち最初の2つの標準基底ベクトルによって張られる部分空間の安定化群を探す。これは X の次元が 4 であることを示している。
小行列式によって与えられる斉次座標(英語版)は6個だから、これは後者が互いに独立ではないことを意味する。実は6つの小行列式の間には1つの二次関係が成り立ち、これは19世紀の幾何学者に知られていた。
これはグラスマン多様体(英語版)の例として射影空間の他に知られていた最初の例である。数学においてよく使われる古典的線型群の等質空間はもっとたくさんある。
エルランゲン・プログラムの観点から、X の幾何学において、「すべての点は同じである」と理解することができる。これは19世紀中頃のリーマン幾何学より前に提案された本質的にすべての幾何学について正しかった。
したがって、例えば、ユークリッド空間、アフィン空間、射影空間はすべて自然にそれらのそれぞれの対称変換群(英語版)の等質空間である。同じことは双曲空間(英語版)のような定曲率の非ユークリッド幾何学のモデルについても正しい。
さらなる古典的な例は3次元の射影空間の直線のなす空間(同じことであるが4次元ベクトル空間の2次元部分空間のなす空間)である。GL4 がそれらに推移的に作用することを示すのは簡単な線型代数である。line co-ordinates によってそれらを径数付けできる: これらは列が部分空間の2つの基底ベクトルである 4 × 2 行列の 2 × 2 小行列式(英語版)である。得られる等質空間の幾何学はユリウス・プリュッカー(英語版)の直線幾何学(英語版)である。