クヌースの矢印表記
ここでクヌースは、二重矢印をテトレーション(指数計算の反復)を表す演算子として定義した。
a ↑↑ b = a ↑ a ↑ ⋯ ↑ a ⏟ b copies of a = a a . . . a ⏟ b copies of a {\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{b{\text{ copies of }}a}=\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} _{b{\text{ copies of }}a}}
これを用いると、
2 ↑↑ 2 = 2 2 = 4 2 ↑↑ 3 = 2 2 2 = 2 4 = 16 2 ↑↑ 4 = 2 2 2 2 = 2 2 4 = 2 16 = 65536 2 ↑↑ 5 = 2 2 2 2 2 = 2 2 16 = 2 65536 ≈ 2.003 × 10 19728 {\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow 2&=2^{2}=4\,\\2\uparrow \uparrow 3&=2^{2^{2}}=2^{4}=16\,\\2\uparrow \uparrow 4&=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536\,\\2\uparrow \uparrow 5&=2^{2^{2^{2^{2}}}}=2^{2^{16}}=2^{65536}\approx 2.
003\times 10^{19728}\end{aligned}}}
3 ↑↑ 2 = 3 3 = 27 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}
3 ↑↑ 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7625597484987 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987}
3 ↑↑ 4 = 3 3 3 3 = 3 3 27 = 3 7625597484987 ≈ 1.258 × 10 3638334640024 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.258\times 10^{3638334640024}}
10 ↑↑ 3 = 10 10 10 = 10 10000000000 {\displaystyle 10\uparrow \uparrow 3=10^{10^{10}}=10^{10000000000}} (10の100億乗)
10 ↑↑ 4 = 10 10 10 10 = 10 10 10000000000 {\displaystyle 10\uparrow \uparrow 4=10^{10^{10^{10}}}=10^{10^{10000000000}}}
などと書ける。