変分法 (解析力学)
例えば、物性物理学について考えてみよう。多体問題において多体の波動関数を使って固有値問題を解析的かつ厳密に解くことは困難であり、何らかの近似法を用いて解かれる。その近似手法の一つに変分法がある。
ある多体系において、規格化、直交性などの条件の下で任意に選んだ試行関数(変分関数とも言う。ここでは多体の波動関数)を Ψtrial とする。試行関数はいろいろな選び方があるがここでは、Ψtrial は、系を記述する厳密な固有関数(波動関数)Ψi の展開で記述できるとする。
Ψ t r i a l = α 0 Ψ 0 + α 1 Ψ 1 + α 2 Ψ 2 + ⋯ {\displaystyle \Psi _{\mathrm {trial} }=\alpha _{0}\Psi _{0}+\alpha _{1}\Psi _{1}+\alpha _{2}\Psi _{2}+\cdots }
ここで、Ψ0 を基底状態の固有関数とする。また、Ψ1, Ψ2, ... は励起状態の固有関数である。系のハミルトニアンを H として、H に対する Ψi に対応する固有値を Ei とすると、試行関数 Ψtrial の固有値 Etrial は、