接続 (微分幾何学)
Ω ( L i f t ( v u ) , L i f t ( w u ) ) ∈ V E = T E u {\displaystyle \Omega (\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))\in VE=TE_{u}}
を定義でき、これは E u {\displaystyle E_{u}} 上のベクトル場とみなせる。さらに u 0 ∈ M {\displaystyle u_{0}\in M} をfixし、uから u 0 {\displaystyle u_{0}} までつなぐ曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って Ω ( L i f t ( v u ) , L i f t ( w u ) ) {\displaystyle \Omega (\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))} を平行移動したものを Ω c ( L i f t ( v u ) , L i f t ( w u ) ) {\displaystyle \Omega _{c}(\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))} と書く。
定理・定義 ― E u 0 {\displaystyle E_{u_{0}}} 上のベクトル場全体の集合 X ( E u 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(E_{u_{0}})} をリー括弧(英語版)に関する「無限次元リー代数」とみなしたとき、
∇ f X + g Y Z = f ∇ X Z + g ∇ Y Z {\displaystyle \nabla _{fX+gY}Z=f\nabla _{X}Z+g\nabla _{Y}Z} (関数に関する左線形性)
∇ X ( a Y + b Z ) = a ∇ X Y + b ∇ X Z {\displaystyle \nabla _{X}(aY+bZ)=a\nabla _{X}Y+b\nabla _{X}Z} (実数に関する右線形性)
∇ X ( f Y ) = X ( f ) Y + f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}(fY)=X(f)Y+f\nabla _{X}Y} (ライプニッツ則)
Mの接ベクトルバンドルTMの接続の事を特にアフィン接続(英: affine connection)という。
ここでXはM上の任意のベクトル場であり、sはEの任意の切断であり、fはM上定義された任意の実数値可微分関数であり、 f X {\displaystyle fX} は点uにおいて f ( u ) X u {\displaystyle f(u)X_{u}} となるベクトル場であり、 X ( f ) {\displaystyle X(f)} はfのX方向微分である。
上述の定義から、一般のベクトルバンドルの接続もレヴィ-チヴィタ接続と同様、
定理 ― sをMの開集合上で定義された切断とし、XをMのベクトル場とするとき
∇ X s = s ∗ ( X ) − L i f t ( X ) {\displaystyle \nabla _{X}s=s_{*}(X)-\mathrm {Lift} (X)}
をsのX方向の共変微分という。
同様にM上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った切断 s ( t ) {\displaystyle s(t)} に対し、 s ( t ) {\displaystyle s(t)} の c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った共変微分を
∇ d t s ( t ) = d d t s ( t ) − L i f t s ( t ) ( d d t c ( t ) ) {\displaystyle {\frac {\nabla }{dt}}s(t)={\frac {d}{dt}}s(t)-\mathrm {Lift} _{s(t)}({\frac {d}{dt}}c(t))}
により定義する。この事からすなわち、共変微分 ∇ d t s ( t ) {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}s(t)} とは、平行移動からのズレを表す量である事がわかる。
「G-フレーム」とは正規直交基底の概念を一般化したもので、Gが S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} の場合、G-フレームが正規直交基底に相当する。
定義 ― Gを G L n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} の部分リー群とし、 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を構造群Gを持つベクトルバンドルとし、uをMの点とし、 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} をEuの基底とする。 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} がEのuにおけるG-フレーム(英: G-flame)であるとは、Eのuにおけるバンドルチャート U × R n {\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}} と g ∈ G {\displaystyle g\in G} が存在し、このバンドルチャート上で
( e 1 , ... , e n ) = ( g e 1 ′ , ... , g e n ′ ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})=(ge'_{1},\ldots ,ge'_{n})}
E → M {\displaystyle E\to M} のフレームバンドル F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} の曲率形式とKoszul接続の曲率形式は以下の関係を満たす:
定理 ― ベクトルバンドル E → M {\displaystyle E\to M} のフレームバンドル F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} に接続形式がωの接続が定義されているとし、この接続の曲率形式をΩとする。
さらにこの接続がEに誘導する接続が定義するKoszul接続を∇とし、 e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} をMの開集合U上定義された F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} の切断とし、 Ω ^ e {\displaystyle {\hat {\Omega }}_{e}} を∇のeに関する曲率形式とする。このとき、以下が成立する:
Ω ^ e = e ∗ ( Ω ) {\displaystyle {\hat {\Omega }}_{e}=e^{*}(\Omega )}
↑ #Wendl3 p.90.なお本文献のみ「 ( R g ) ∗ ω p {\displaystyle (R_{g})^{*}\omega _{p}} 」ではなく「 ( R g ) ∗ ω p {\displaystyle (R_{g})_{*}\omega _{p}} 」になっているが、前後関係から「 ( R g ) ∗ ω p {\displaystyle (R_{g})^{*}\omega _{p}} 」の誤記と判断。
↑ #Tu p.123.
↑ #Salamon p.5.
↑ #Wendl3 p.83.
↑ #Pasquotto p.84.にこの定理のアフィン接続が述べられており、Koszul接続の場合も同様である旨が書いてある。このKoszul接続の場合は他の文献の記述からも従う。実際、 G = G L n ( R ) {\displaystyle G=\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} の場合に1:1対応する事は#森田 pp.319-321従い、この場合に ω ^ e = e ∗ ( ω ) {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}=e^{*}(\omega )} となる事は#Tu p.268から従う。そしてGが G L n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} の部分リー群である場合に関しては#Kobayashi-Nomizu1 p.
x 0 ∈ M {\displaystyle x_{0}\in M} をMの点とし、 c ( t ) ∈ M {\displaystyle c(t)\in M} をx0からx0自身への区分的になめらかな閉曲線とすると、接続が完備なのでx0のファイバー E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} の任意の元eに対し、eを c ( t ) ∈ M {\displaystyle c(t)\in M} に沿って一周平行移動してできた元を φ c ( e ) ∈ E x 0 {\displaystyle \varphi _{c}(e)\in E_{x_{0}}} とする事で、 E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} 上の可微分同相写像
φ c : E x 0 → E x 0 {\displaystyle \varphi _{c}~:~E_{x_{0}}\to E_{x_{0}}}
を定義できる。
定理・定義 (ホロノミー群) ―
H o l ( E , H , x 0 ) := { φ c ∣ c {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0}):=\{\varphi _{c}\mid c} はx0から出てP自身への区分的になめらかな閉曲線 } {\displaystyle \}}
は閉曲線の連結に関して自然に群構造をなす。この群をEの H {\displaystyle {\mathcal {H}}} に関するx0におけるホロノミー群(英: holonomy group)という。