リーマン・ロッホの定理
次数 d の既約な平面代数曲線は、固有に特異点の数を数えると、(d - 1)(d - 2)/2 - g 個の特異点を持っている。このことは、もし曲線が (d - 1)(d - 2)/2 個の異なる特異点を持っていたとすると、有理曲線となるので、有理パラメータ化が可能である。
リーマン面や代数曲線の間の(分岐)写像に関連するリーマン・フルヴィッツの公式は、リーマン・ロッホの定理の結果である。
特別因子のクリフォードの定理(英語版)もまた、リーマン・ロッホの定理の結果である。クリフォードの定理は、 l ( D ) ≥ 0 {\displaystyle l(D)\geq 0} を満たす特殊因子(つまり、 l ( K − D ) ≥ 0 {\displaystyle l(K-D)\geq 0} )に対して、次の不等式が成立する。
l ( D ) ≤ deg  D 2 + 1. {\displaystyle l(D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1.}
種数 g = 2 の場合は数列 l(nP) は、
1, 1, ?, 2, 3, ...
である。このことから、次数 2 の ? のついた項が、点 P に依って 1 または 2 になることを示そう。種数 2 の場合には、その数列が 1, 1, 2, 2, ... となるような点がちょうど 6つの存在して、残りの点では一般の列 1, 1, 1, 2, ... となる。特に、種数 2 の曲線のことを超楕円曲線という。g > 2 に対して数列は、ほとんどの点で g + 1 個の1から始まり、そのほかとなる点は有限個しか存在しない(ヴァイエルシュトラスの点(英語版)(Weierstrass point)を参照)。