積分因子
次に積分因子 M ( x ) {\displaystyle M(x)} を具体的に求める。(2), (3) 式それぞれの左辺が等しくなるように M ( x ) {\displaystyle M(x)} をとっていることから、
M ′ ( x ) y + M ( x ) y ′ = M ( x ) y ′ + M ( x ) P ( x ) y {\displaystyle M'(x)y+M(x)y'=M(x)y'+M(x)P(x)y\quad \quad \quad }
となり、 M ( x ) {\displaystyle M(x)} がつぎの微分方程式
M ′ ( x ) = M ( x ) P ( x ) ( 4 ) {\displaystyle M'(x)=M(x)P(x)\quad \quad \quad (4)\,}
を満たすことがわかる。この式を変形すると、
M ′ ( x ) M ( x ) = P ( x ) ( 5 ) {\displaystyle {\frac {M'(x)}{M(x)}}=P(x)\quad \quad \quad (5)\,}
( ln  M ( x ) ) ′ = P ( x ) {\displaystyle (\ln M(x))'=P(x)}
したがって
M ( x ) = exp  ( ∫ P ( x ) d x ) {\displaystyle M(x)=\exp \left(\int P(x)\,dx\right)}
となる。
wikipedia.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): x と結ばれることのないような点 y ∈ W {\displaystyle y\in W} が存在する。
ψ ∧ d ψ = 0 {\displaystyle \psi \wedge d\psi =0}
任意の点 x ∈ M {\displaystyle x\in M} にある近傍 V {\displaystyle V} が存在し、 ψ {\displaystyle \psi } の V {\displaystyle V} への制限は積分因子を持つ。
この定理は1909年にコンスタンティン・カラテオドリによって熱力学第二法則の定式化のために導入された。 ψ {\displaystyle \psi } が閉形式(すなわち d ψ = 0 {\displaystyle d\psi =0} が成立するもの)であればポアンカレの補題により積分因子 1 {\displaystyle 1} が存在する。また n ≤ 2 {\displaystyle n\leq 2} のときカラテオドリの定理によりすべての 1-形式について積分因子の存在が保証される(これはJohann Friedrich Pfaffによって最初に示された)。