合同ゼータ関数
Z ( V , u ) = exp  ( ∑ m = 1 ∞ N m u m m ) {\displaystyle {\mathit {Z}}(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}{\frac {u^{m}}{m}}\right)}
で定義される。
あるいは同じことだが、
( 1 ) Z ( V , 0 ) = 1 {\displaystyle (1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1}
( 2 ) d d u log  Z ( V , u ) = ∑ m = 1 ∞ N m u m − 1 {\displaystyle (2)\ \ {\frac {d}{du}}\log {\mathit {Z}}(V,u)=\sum _{m=1}^{\infty }N_{m}u^{m-1}}
が定義に採用されることもある。 言い換えると、合同ゼータ関数 Z(V, u) とは、有限体 F 上で V を定義する方程式の F の k 次拡大体 Fk における解の数の生成母関数が、Z(V, u) の対数微分となるような関数とも定義できる。