ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
(A) R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} でのナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
f ( x , t ) ≡ 0 {\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0} とする。上に述べた前提を満たす初期条件 v 0 ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)} に対し、滑らかで大域的に定義されたナビエ-ストークス方程式の解が存在する。すなわち、速度ベクトル v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (x,t)} と圧力 p ( x , t ) {\displaystyle p(x,t)} が存在し、上の条件 1 と 2 を満たす。
(B) R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} でナビエ-ストークス方程式を解けないこと
上の条件 1 と 2 を満たす解 v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} (x,t)} と p ( x , t ) {\displaystyle p(x,t)} が存在しないような初期条件 v 0 ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)} と外力 f ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {f} (x,t)} が存在する。
座標を mod 1で考えることに注意する。これは空間全体 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ではうまくいかないが、3次元トーラスである次の商空間上ではうまくいく。
T 3 = { ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) : 0 ≤ θ i < 2 π , i = 1 , 2 , 3 } . {\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.}
ここで初めて、前提条件を取り出して記述することができる。初期条件 v 0 ( x ) {\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)} は滑らかで発散のない函数であることを前提とし、外力 f ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {f} (x,t)} も同様に滑らかであることを前提とする。物理的に適切な解のタイプは、次の条件を満たす解である。
3.
ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ(ナビエ–ストークスほうていしきのかいのそんざいとなめらかさ、英語: Navier–Stokes existence and smoothness)問題は、(例えば乱流のような)流体力学の重要な柱の一つであるナビエ-ストークス方程式の解の数学的性質に関連している。これらの方程式は空間の中の流体(つまり、液体や気体)の運動を記述する。ナビエ–ストークス方程式の解は、多くの実践的な応用で使われる。しかしながら、これらの方程式の理論的な理解は不完全である。特に、ナビエ–ストークス方程式の解は、乱流となることがあり、科学や工学に対し計り知れない重要性があるにもかかわらず、乱流は最も難しい物理学の未解決問題の一つとして残っている。
ナビエ–ストークス方程式の解の基本的性質さえ、証明されていない。方程式の 3次元の系について初期条件が与えられたとき、滑らかな解が常に存在すること、もし存在するとしたらその解が質量当たり有界なエネルギーを持っているかということを、数学的にはいまだに証明されていない。この問題を解の存在と滑らかさの問題という。
ナビエ–ストークス方程式の理解が、乱流のとらえどころのない現象の理解という第一段階と考えられているので、Clay Mathematics Institute(クレイ数学研究所)は2000年5月にこの問題を、数学の 7つのミレニアム懸賞問題の一つとした。最初にこの問題の解を与えたものに$1,000,000を賞金として進呈すると約束した。
次のステートメントを証明、もしくは反例を挙げよ: