Particle-in-Cell法
Particle-in-Cell (PIC、セル内粒子) 法とは、特定の問題における偏微分方程式を解く方法の1つである。この方法では、個々の粒子 (または流体要素) が連続な相空間で追跡される。一方で、密度や電流といった分布の積率や電磁場が計算格子上で計算される。粒子の追跡はラグランジュ描像で、積率と電磁場の計算はオイラー描像で記述される。
PIC法は1955年には既に使用されていた。これは最初のFortranコンパイラが利用可能になるよりも昔の事である。当時の方法は、Buneman(英語版)、Dawson(英語版)、Hockney、Birdsall、Morseらにより、1950年代後半から1960年代初頭にかけてプラズマシミュレーションで人気を博した。プラズマシミュレーションにおけるPIC法では、固定格子上で計算されたセルフコンシステントな電磁場 (または静電場) 内の荷電粒子の軌道を追跡する。
電場と磁場は格子点でのみ計算されるため、粒子に作用する力の計算には直接使用できない。そのため、「電場と磁場の重み付け」によって内挿する必要がある:
E ( x ) = ∑ i E i S ( X i − x ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}})=\sum _{i}{\boldsymbol {E}}_{i}S({\boldsymbol {X}}_{i}-{\boldsymbol {x}})}
ここで、添え字 i {\displaystyle i} は格子点のラベルである。粒子に作用する力がセルフコンシステントに得られるためには、粒子から格子点への数密度および電流密度を割り当てる方法と、格子点から粒子への電磁場の補間方法との間に矛盾があってはならない。なぜなら、いずれの物理量もマクスウェル方程式の中に現れているからである。特に、電磁場の補間スキームでは運動量が保存される必要がある。これは、粒子と電磁場に同じ重み付けスキームを選択し、かつ適切な空間対称性を保証する (すなわち、自己力が無く、作用・反作用の法則を満たす) 事で実現可能である。
後者の条件は厳密に満たされる必要があり、シミュレーションを実施する上では、エネルギーを保存させる目的でより厳しい制約が要求される。そこで係数2の部分は1桁小さい数値に置き換えられ、一般的には Δ t ≤ 0.1 ω p e − 1 {\displaystyle \Delta t\leq 0.1\,\omega _{pe}^{-1}} が使用される。このように、プラズマの自然な時間スケールは逆プラズマ周波数 ω p e − 1 {\displaystyle \omega _{pe}^{-1}} によって、長さスケールはデバイ長 λ D {\displaystyle \lambda _{D}} によって与えられる。
また、陽的な電磁プラズマシミュレーションでは、時間ステップ幅はCFL条件も満たす必要がある。
Δ t < Δ x / c {\displaystyle \Delta t<\Delta x/c}
ここで、 Δ x ∼ λ D {\displaystyle \Delta x\sim \lambda _{D}} であり、 c {\displaystyle c} は光速である。