平面三項環
↑ 代数学においては、任意の非零元が可逆な半環を「半体(ドイツ語版)」と呼ぶので、それと混同してはならない
↑ 英語: nearfield はドイツ語: Fastkörper の借用翻訳で、接頭辞 "Fast-" は「ほとんど」もしくは「近い」を意味する。ここでは「ほとんど」の意味でとるのが自然と思われ、鈴木通夫(1982)は「概体 (Fastkörper, near field)」としている(言及の中に「概体というのは体の公理から片側の分配律と乗法の交換律とを除いた代数系で」ともある)。near-field を翻訳借用するならば「近体」であろうか。
↑ そのような方法は複数ある。Hall (1943) の用いた方法の短い記述は Dembowski (1968, p. 127) にある
↑ レンツ類 IVb の平面を双対平面(座標間の構成において点集合 P でなく直線集合 G と基底として「完全平行四辺形」を用いたもの)から始めると、この新しい双対化した平面の座標環は右準体になる。
a ⊗ b = T ( a , b , 0 ) {\displaystyle a\otimes b=T(a,b,0)} .
集合 R* ≔ R ∖ {0} はこの乗法に関して閉じている。(R*, ⊗) もまた単位元 1 を持つループになる。
平面三項環がさらに余分に特定の代数的条件を満足するとき、別の名が与えられる。ただし、その名称に関して必ずしも広く定まったものでなく文献によって揺れがあることに注意すべきである。以下は Dembowski (1968, p. 129) による:
線型平面三項環はその加法ループが結合的(したがって加法群)となるときデカルト群 (cartesian group) と言う。デカルト群において、写像 x ↦ −x ⊗ a + x ⊗ b および x ↦ a ⊗ x − b ⊗ x は a ≠ b なる限り置換でなければならない。(ここではデカルト群は加法に関して群を成すから、その意味で加法の記号に "+" を用いた) (右)準体(英語版) (quasifield) は右分配法則 ( x + y ) ⊗ z = x ⊗ z + y ⊗ z {\displaystyle (x+y)\otimes z=x\otimes z+y\otimes z} を満足するデカルト群を言う。任意の準体において加法は可換である。 (幾何学的)半体(英語版、ドイツ語版)は左分配法則 x ⊗ ( y + z ) = x ⊗ y + x ⊗ z {\displaystyle x\otimes (y+z)=x\otimes y+x\otimes z} も満たす準体(両側分配法則をみたすデカルト群)を言う。 平面概体(英語版) (planar nearfield; Fastkörper) は乗法ループが結合的(したがって乗法群)となるような quasi-field を言う。必ずしもすべての概体が平面概体とは限らない。
さらに交代体は半体で、斜体は交代体