一様連続
W の定義より ( z , w ) ∈ U ~ x j {\displaystyle (z,w)\in {\tilde {U}}_{x_{j}}} を満たすので(3)より ( z , x j ) ∈ U x j {\displaystyle (z,x_{j})\in U_{x_{j}}} 、すなわち z ∈ U x j [ x j ] {\displaystyle z\in U_{x_{j}}[x_{j}]} が成立する。
以上で z ∈ U x j [ x j ] {\displaystyle z\in U_{x_{j}}[x_{j}]} 、 w ∈ U ~ x j [ x j ] ⊂ U x j [ x j ] {\displaystyle w\in {\tilde {U}}_{x_{j}}[x_{j}]\subset U_{x_{j}}[x_{j}]} が示されたので、(2)より f ( z ) , f ( w ) ∈ V ~ [ f ( x j ) ] ∩ V ~ − 1 [ f ( x j ) ] {\displaystyle f(z),f(w)\in {\tilde {V}}[f(x_{j})]\cap {\tilde {V}}^{-1}[f(x_{j})]} 。したがって(1)より ( f ( z ) , f ( w ) ) ∈ V {\displaystyle (f(z),f(w))\in V} 。すなわち(*)が示され、その結果としてf の一様連続性が示された。□
{ U ~ x [ x ] } x ∈ X {\displaystyle \{{\tilde {U}}_{x}[x]\}_{x\in X}} は明らかにX を被覆するので、X のコンパクト性より、
有限部分族 { U ~ x i [ x i ] } i = 1 , ... , n {\displaystyle \{{\tilde {U}}_{x_{i}}[x_{i}]\}_{i=1,\ldots ,n}} でX を被覆するものがある...(4)
一様空間の定義より有限個の近縁のUNIONは近縁なので、
W = d e f ⋂ i = 1 , ... , n U ~ x i {\displaystyle W{\underset {\mathrm {def} }{=}}\bigcap _{i=1,\ldots ,n}{\tilde {U}}_{x_{i}}}
はX の近縁である。この近縁W が性質
f ( W ) ⊂ V {\displaystyle f(W)\subset V} ...(*)
を満たしていれば、V の任意性によりf の一様連続性が言える。
そこで最後に(*)を示す。 任意に ( z , w ) ∈ W {\displaystyle (z,w)\in W} を選び固定する。(4)より、 w ∈ U ~ x j [ x j ] {\displaystyle w\in {\tilde {U}}_{x_{j}}[x_{j}]} を満たすj が存在する。すなわち ( w , x j ) ∈ U ~ x j {\displaystyle (w,x_{j})\in {\tilde {U}}_{x_{j}}} 。