ハミルトン–ヤコビ方程式
放物線柱座標(en:parabolic cylindrical coordinates)におけるハミルトニアンは
H = p σ 2 + p τ 2 2 m ( σ 2 + τ 2 ) + p z 2 2 m + U ( σ , τ , z ) {\displaystyle H={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z)}
ハミルトン–ヤコビ方程式が完全に分離可能なのは、 U {\displaystyle U} が以下のように同じような形で与えられた場合である。
U ( σ , τ , z ) = U σ ( σ ) + U τ ( τ ) σ 2 + τ 2 + U z ( z ) {\displaystyle U(\sigma ,\tau ,z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)}
U σ ( σ ) {\displaystyle U_{\sigma }(\sigma )} 、 U τ ( τ ) {\displaystyle U_{\tau }(\tau )} と U z ( z ) {\displaystyle U_{z}(z)} は任意の関数である。完全に分離された S = S σ ( σ ) + S τ ( τ ) + S z ( z ) − E t {\displaystyle S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-Et} をハミルトン–ヤコビ方程式に代入し、
楕円柱座標(en:elliptic cylindrical coordinates)のハミルトニアンは以下のように書かれる。
H = p μ 2 + p ν 2 2 m a 2 ( sinh 2  μ + sin 2  ν ) + p z 2 2 m + U ( μ , ν , z ) {\displaystyle H={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu ,z)}
ここで楕円の焦点は x {\displaystyle x} 軸上 ± a {\displaystyle \pm {a}} の点にある。ハミルトン–ヤコビ方程式が完全に分離可能なのは、 U {\displaystyle U} が以下のように同じような形で与えられた場合である。
U ( μ , ν , z ) = U μ ( μ ) + U ν ( ν ) sinh 2  μ + sin 2  ν + U z ( z ) {\displaystyle U(\mu ,\nu ,z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)}