角運動量保存の法則
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ここで, もし内力が中心力ならば(すなわち, 質点同士が互いに及ぼす力が, 両者を結ぶ直線上にあるならば), r i − r j {\displaystyle {\boldsymbol {r_{i}}}-{\boldsymbol {r_{j}}}} と F i j {\displaystyle {\boldsymbol {F_{ij}}}} は互いに平行であるので, (外積の性質より)この式の ∑ {\displaystyle \sum } の中は 0 {\displaystyle {\boldsymbol {0}}} になる。つまりこの式は 0 {\displaystyle {\boldsymbol {0}}} になる。従って,
d d t ∑ i L i = ∑ i r i × F i e {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{i}{\boldsymbol {L}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {r_{i}}}\times {\boldsymbol {F_{i}^{e}}}}
となる。すなわち, 質点系の全角運動量の時間変化(左辺)は, 質点系に外力が及ぼす全トルク(右辺)に等しい。
角運動量保存の法則(かくうんどうりょうほぞんのほうそく)とは、質点系について、単位時間あたりの全角運動量の変化は外力によるトルク(力のモーメント)に等しい(ただし内力が中心力であるときに限る)という法則である。角運動量保存則ともいう。 この特別な場合として、外力が働かない(もしくは外力が働いていたとしてもそれによるトルクが0の)場合、質点系の角運動量は常に一定である。例えば、フィギュアスケートの選手がスピンをする際、前に突き出した腕を体に引きつけることで回転が速くなる(角速度が大きくなる)。このとき回転軸から腕先までの距離が短くなるため、かわりに回転が速くなることによって、角運動量が一定に保たれる。
回転する「こま」は、回転軸にそって、(上から見て)時計回りなら下向きの、反時計回りなら上向きの角運動量を持っている。独楽の回転軸(それは重心を貫いている)が鉛直方向に平行であれば、独楽にかかる重力と、床から独楽が受ける垂直抗力が共に1本の直線上(回転軸上)にあるため、独楽に働く外力によるトルクは0である。従って、この場合独楽の角運動量は一定であり、独楽は軸周りの回転だけを続ける。ところが、独楽が傾くと独楽にかかる重力と、床から独楽が受ける垂直抗力は、1本の直線上には乗らず、従って、これらの力がトルクを生じさせる。このトルクが独楽の角運動量を変化させる。その結果、独楽は本来の回転軸のまわりの回転に加えて、それとは別の軸(独楽と床が接する点を通る鉛直線)のまわりでも回転をする。それが独楽の「みそすり運動」すなわち歳差運動である。