零点
a を複素数とし、複素函数 f を
f : C → C ; z ↦ exp  ( z ) − exp  ( a ) − ( z − a ) exp  ( a ) {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;\;z\mapsto \exp(z)-\exp(a)-(z-a)\exp(a)}
と定めれば、これは整函数(つまり C の全域で正則)で、2-位の孤立零点である。実際、f(a) = f'(a) = 0 だが f"(a) ≠ 0 となることは容易に確かめられる。
ここに、函数 g は g(a) = αn ≠ 0 を満たす解析函数となる。g の a における連続性により、適当な実数 r (0 < r1 < r) が存在して、開円板 D(a; r1) 上で g が消えないようにすることができるから、まとめると f ( z ) = ( z − a ) n g ( z ) , g ( z ) ≠ 0 ( ∀ z ∈ D ( a ; r 1 ) ) {\displaystyle f(z)=(z-a)^{n}g(z),\quad g(z)\neq 0\quad (\forall z\in D(a;r_{1}))} となり、f は D(a; r1) 上 a のみで消える。すなわち、a は孤立零点である。
以上のことを、以下の定義および定理にまとめることができる。
f の零点 a が孤立しないならば、U に属する適当な円板 D(a; r) 上で f は恒等的に消えている。