スペクトル定理
初めに C あるいは R 上のエルミート行列を考える。より一般に、ある正定値エルミート内積を備える有限次元の実あるいは複素内積空間 V 上のエルミート作用素を考える。エルミート条件とは
( ∀ x , y ∈ V ) : ⟨ A x , y ⟩ = ⟨ x , A y ⟩ {\displaystyle (\forall x,y\in V):\langle Ax,\,y\rangle =\langle x,\,Ay\rangle }
のことを言う。これと同値な条件として、A* = A がある。ただし A* は A のエルミート共役である。A があるエルミート行列と見なされるとき、A* の行列はその共役転置と見なされる。A が実行列であるなら、このことは A = A と同値である(すなわち、A は対称行列)。
この条件より容易に、エルミート写像のすべての固有値は実数であることが分かる。実際、x = y が固有ベクトルの場合に条件を適用すればよい(ここである線型写像 A の固有ベクトルとは、あるスカラー λ に対して Ax = λx を満たすような(非ゼロの)ベクトル x であったことに注意されたい。そのような値 λ は対応する固有値であり、それらは特性多項式の解である)。
定理: A の固有ベクトルで構成される V のある正規直交基底が存在する。なおかつ A の固有値はすべて実数である。