素朴集合論
公理的アプローチと他のアプローチのどちらを選ぶかは、主に利便性の問題である。日常の数学では、公理的集合論を非形式的に使うが最善の選択かもしれない。特定の公理への言及は、通常、慣例的に必要になったときにのみ生じる。たとえば、選択公理は、使用時に言及されることがよくある。同様に、形式的な証明は、例外的な状況によって保証された場合にのみ生じる。このような非形式的な公理的集合論の扱いは、以下に概説するように、(表記法によっては)素朴集合論の見た目そのものとなる。非形式的なものでは(ほとんどの主張、証明、および議論の定式化において)読み書きがかなり簡単になり、厳密に形式的なアプローチよりも誤りが起こりにくい。
素朴集合論は、考慮できる集合を正しく指定していれば、必ずしも矛盾を生じるわけではない。これは、暗黙の公理である定義によって行うことができる。ハルモスの Naive Set Theory の場合のように、すべての公理を明示的に述べることができるが、これは実際には通常の公理的ツェルメロ=フレンケル集合論の非形式な表現となる。言語と表記法が通常の非形式的な数学のものであり、公理系の無矛盾性や完全性を扱っていないという点で、素朴集合論は「素朴」である。
同様に、公理的集合論は必ずしも無矛盾というわけではなく、必ずしもパラドックスがないわけではない。ゲーデルの不完全性定理から、十分に複雑な一階述語論理システム(最も一般的な公理的集合論を含む)は、実際には無矛盾だとしても、理論自体の中から無矛盾性を証明できない。ただし、一般的な公理系は一般的に無矛盾と考えられている。これらの公理によって、ラッセルのパラドックスのようないくつかのパラドックスは排除されるためである。ゲーデルの定理に基づくと、これらの理論や一階述語論理の集合論にパラドックスが一切なくても、無矛盾性はわかっていないどころか、わかるものでもない。
素朴集合論という用語は、現代の公理的集合論の非形式的版ではなく、フレーゲとカントールによって研究された集合論を指して、今日でも一部の文献で用いられている。
ただし、すべての集合がこのように比較できるわけではなく、例えば、 R が P の部分集合であったり、P が R の部分集合であったりするわけではない。
2つの集合 A と B が与えられたときに「A = B ならば、そしてその場合に限り A ⊆ BとB ⊆ A である」ということは、前述の集合の同一性の定義からすぐにわかる。実際、これがしばしば同一性の定義として与えられる。また、2つの集合が等しいことを証明するとすれば、普通は上記の2つの包含関係を示すことを目的としている。空集合はすべての集合の部分集合である(空集合のすべての要素が任意の集合 A の要素でもあるという命題は空虚な真である)。
特定の集合 A のすべての部分集合の集合は、 A のべき集合と呼ばれ、 2 A {\displaystyle 2^{A}} 、 P ( A ) {\displaystyle P(A)} 、あるいはスクリプトフォントを用いて P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} のように表される。集合 A に n 個の要素がある場合、 P ( A ) {\displaystyle P(A)} は 2 n {\displaystyle 2^{n}} 個の要素を持つ。