完全微分
主変数 z は副変数 x, y の函数かつ x, y は u, v の函数とし、各々に関する微分は完全微分とする。連鎖律により、
となるが、やはり連鎖律により
および
により
となり、さらに
を導く。v = y と置けば
および u = y と置けば
あるいは、u = y, v = z と置いて
また相反関係式により三重積の微分法則
を得る。