大局次元
A = k[x1, ..., xn] を体 k 上の n 変数多項式環とする。このとき A の大局次元は n と等しい。このステートメントはダフィット・ヒルベルトによる多項式環のホモロジー的性質の基礎的な研究にさかのぼる。ヒルベルトのsyzygy定理(英語版)を参照。より一般的に、R が有限の大局次元 d のネーター環で A = R[x] が R 上一変数の多項式環であれば、A の大局次元は d + 1 に等しい。
自然数 n が平方因子を持たないときには環 Z/nZ の大局次元は無限大である。
体 k の標数が有限群 G の位数を割り切るとき群環 kG の左大局次元は無限大である。
1次のワイル代数 A1 は大局次元 1 の非可換ネーター整域である。
環論とホモロジー代数において、環 A の左(右)大局次元あるいは大域次元(英: global dimension)(または大局ホモロジー次元(英: global homological dimension)、ときには単にホモロジー次元(英: homological dimension)と呼ばれる)は、すべての左(右) A-加群の射影次元の集合の上限として定義される環のホモロジー的不変量である。それは非負の整数か無限大に値をとり l. gl. dim A (r. gl. dim A )と書かれる。さらに両者が一致するときには単に大局次元と言い gl. dim A と書かれる。
一般の非可換環 A に対しては左と右の大局次元は異なるかもしれない。しかしながら、A が左かつ右ネーター環であれば、これらの大局次元は両方とも、定義が左右対称的な弱大局次元に等しいことがわかる。したがって、左かつ右ネーター環に対しては、両者は一致し、大局次元について話すことが正当化される。
大局次元は可換ネーター環の次元論で重要な技術的概念である。