対数平均
幾何平均: M lm ( x , y ) M lm ( 1 x , 1 y ) = x y {\displaystyle {\sqrt {\frac {M_{\text{lm}}\left(x,y\right)}{M_{\text{lm}}\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}}
調和平均: M lm ( 1 x , 1 y ) M lm ( 1 x 2 , 1 y 2 ) = 2 1 x + 1 y {\displaystyle {\frac {M_{\text{lm}}\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{M_{\text{lm}}\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}
対数の n 階導関数についての差商に対する平均値の定理を考慮することにより、対数平均を n+1 変数に一般化できる。結果、
M MV ( x 0 , ... , x n ) = ( − 1 ) n − 1 n ln  [ x 0 , ... , x n ] − n {\displaystyle M_{\text{MV}}(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{n-1}n\ln \left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]}}}
を得る。ただし ln[x0, ..., xn] は対数の差商を表し、差商に対する平均値の定理よりある ξ に対して
ln  [ x 0 , ... , x n ] = 1 n ! [ d n d x n ln  x ] x = ξ = ( − 1 ) n − 1 n ξ n {\displaystyle \ln \left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]={\frac {1}{n!}}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\ln {x}\right]_{x=\xi }={\frac {(-1)^{n-1}}{n\xi ^{n}}}}