シンプレクティック幾何学
このような非可換な関数環を構成できれば、それに対応する「非可換な多様体」が構成できたことになるであろう。
幾何学的量子化は非可換幾何学と関係があるといったが、それは次のような意味においてである。 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} をシンプレクティック多様体とし、 ( H , Q ) {\displaystyle \,({\mathfrak {H}},Q)\,} をその幾何学的量子化とする。今、 C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} 上に積 ∗ {\displaystyle *} を
Q ( f ∗ g ) := Q ( f ) ∘ Q ( g ) , f , g ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle Q(f*g):=Q(f)\circ Q(g),\,\,\,\,\,f,g\in C^{\infty }(M)}
で定める(この段階では f ∗ g {\displaystyle f*g} の存在は保証されていないが、ここでは気にせず議論を進めることにする)。するとこの積 ∗ {\displaystyle *} は C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} に非可換な積を定めているはずであり、これにより多様体 M {\displaystyle M} の「非可換化」がなされるであろう。つまり、幾何学的量子化は空間の量子化を行っている、とも思える。
シンプレクティック多様体 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} からあるヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} を作り、 M {\displaystyle M} 上の滑らかな関数のなす関数環 C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} から H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} 上の線型作用素への対応 Q {\displaystyle Q} で次の性質を満たすものを構成せよ: [ Q ( f ) , Q ( g ) ] = i ħ Q ( { f , g } ) , f , g ∈ C ∞ ( M ) , {\displaystyle [Q(f),Q(g)]=i\hbar Q(\{f,g\}),\,\,\,\,f,g\in C^{\infty }(M),}
ここで、 [ X , Y ] = X Y − Y X {\displaystyle [X,Y]=XY-YX} である。
幾何学的量子化が T ∗ R n {\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}} の場合にうまくいくことは既に見た。問題は一般のシンプレクティック多様体に対して、上のような量子化ができるかである。
{\displaystyle \,c(M,\lambda \omega )=|\lambda |c(M,\omega ),\,\,\,\lambda \in \mathbb {R} \setminus \{0\}.\,}
0 < c ( B 2 n ( 1 ) , ω 0 ) = c ( Z ( 1 ) , ω 0 ) < ∞ . {\displaystyle \,0<c(B^{2n}(1),\omega _{0})=c(Z(1),\omega _{0})<\infty .\,}
特に n = 1 {\displaystyle n=1} のとき、
c ( M , ω ) = | ∫ M ω | {\displaystyle \,c(M,\omega )=\left|\int _{M}\omega \right|\,}
とすれば、これは2次元シンプレクティック多様体に対するシンプレクティック容量であることが確かめられる。しかし、 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} のとき、
c ( M , ω ) = | ∫ M ( − 1 ) n n ! ω n | 1 / n {\displaystyle c(M,\omega )=\left|\int _{M}{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\omega ^{n}\right|^{1/n}}
としても、これはシンプレクティック容量にはならない。