ホッジ構造
ホッジ・テイト構造 Z(1) は Z-加群 2πi Z (Cの部分群とみなす)とその複素化の(自明な)直和分解 Z(1)⊗ C = H からなるウェイト −2 の純粋ホッジ構造である。またこれは、同型を同一視すれば、ウェイト -2 の唯一の1次元純粋ホッジ構造である。また、Z(1)のn次テンソル冪を Z(n) と書く。これは1次元のウェイト -2n の純粋ホッジ構造である。
完備なケーラー多様体のコホモロジーはホッジ理論によってホッジ構造を持ち、n次コホモロジー群はウェイト n の純粋ホッジ構造である。
複素多様体(特異点をもっていても、非完備でもよい)のコホモロジーは混合ホッジ構造を持つ。これはスムースな多様体に対しては Deligne (1971),Deligne (1971a) で示され、一般の場合は Deligne (1974) で示された。
ホッジ構造の変形(Variation of Hodge structure) (Griffiths (1968),Griffiths (1968a),Griffiths (1970)) は、複素多様体 X によりパラメトライズされたホッジ構造の族を言う。詳しくは、複素多様体 X 上のウェイト n のホッジ構造の変形は、X の上の有限生成アーベル群の局所定数層 S と、次の2つの条件を満たす S ⊗ OX 上の減少するホッジフィルトレーションから構成される。
フィルトレーションは層 S の各々の茎(stalk)の上にウェイト n のホッジ構造を引き起こす。
(グリフィス横断性(Griffiths transversality)S ⊗ OX 上の自然な接続は、F を F ⊗ ΩX の中へ写像する。
ここに S ⊗ OX の上の自然な(平坦)接続は、S 上の平坦接続と OX 上の平坦接続 d により引き起こされる。OX は X 上の正則函数の層であり、ΩX は X の上の1-形式の層である。この自然な平坦接続は、ガウス・マーニン接続(英語版) ∇ であり、従ってピカール・フックス方程式(英語版)で記述することができる.
混合ホッジ構造の変形 は同じ方法で定義することができ、次数を付け加えるか、もしくはフィルトレーション W に S を加える。