オイラーの五角数定理
{\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots .}
この等式はヤコビの三重積公式の特殊な場合であり、右辺に五角数が表れる。
五角数定理から分割関数の漸化式が導かれる。また、五角数定理は、整数を互いに異なる自然数に分割する方法のうち、偶数個に分割する方法に+1、奇数個に分割する方法に-1をわりあて、すべての分割に対する合計を考えたとき、五角数以外の整数ではその合計がゼロとなることを示す。 整数 n {\displaystyle n} の互いに異なる偶数個の自然数への分割を集合 Q 0 ( n ) {\displaystyle {\mathcal {Q}}^{0}(n)} で表し、互いに異なる奇数個の自然数への分割を集合 Q 1 ( n ) {\displaystyle {\mathcal {Q}}^{1}(n)} と表すと