平方三角数
平方三角数(へいほうさんかくすう、英: square triangular number)は平方数のうち三角数でもある自然数である。例えば 36 は6番目の平方数 6 であり、また8番目の三角数 8(8+1)/2 でもあるので平方三角数である。平方三角数は無数にあり、最小のものは 1 である。
平方三角数を小さい順に列記すると
1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A1110)
となる。
k 番目の平方三角数 Nk は
N k = 1 32 ( ( 1 + 2 ) 2 k − ( 1 − 2 ) 2 k ) 2 {\displaystyle N_{k}={1 \over 32}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}}
で与えられる。この公式は、1778年にオイラーが発見している。