回転 (ベクトル解析)
ベクトル場 F の回転は、curl F または ∇ × F と書かれ、各点での値はその点を通る無数の直線の上への射影によって定義される。その点を始点とする任意の単位ベクトル n̂ に対し、F の回転の n̂ の上への射影は n̂ に直交する平面内の閉路上の積分を積分路が囲む面積で割った値の、積分路をその点へ無限に近づけるときの極限値として定義される。こうして定義される回転作用素 curl はC-級写像 R → R を C-級写像 R → R へ写す。
同じことだが式で書けば、
( curl  F ) ⋅ n ^ := lim A → 0 ( 1 | A | ∮ C F ⋅ d r ) {\displaystyle (\operatorname {curl} {\boldsymbol {F}})\cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}:=\lim _{A\to 0}\left({\frac {1}{|A|}}\oint _{C}{\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {r}}\right)}
によって curl は陰に定義されるのである。ここで右辺の ∮ C F ⋅ d r {\textstyle \oint _{C}{\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {r}}} は、問題の領域の境界に沿った線積分であり、|A| はその領域の面積の大きさである。ν̂ が領域の外側を向いた平面内の法線のとき、n̂ がこの平面に直交する単位ベクトルである限りにおいて、積分路 C の向きは、C の接ベクトル ω̂ が正の向きであることを、三つ組 (n̂, ν̂, ω̂) が R の正に向き付けられた基底(右手系)を成すことを以って定める。
a x d x + a y d y + a z d z ↔ ( a x , a y , a z ) . {\displaystyle a_{x}\,dx+a_{y}\,dy+a_{z}\,dz\quad \leftrightarrow \quad (a_{x},a_{y},a_{z}).}
ここで、ファインマンの下付き添字記法 ∇F を用いた。これは下付きにした勾配作用を因子 F のみに対して施すことを意味する。
他には例えば、∇ ×(∇ × F) を考えれば、これはデカルト座標系で
∇ × ( ∇ × F ) = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − ∇ 2 F {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {F}})=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {F}})-\nabla ^{2}{\boldsymbol {F}}}
となり、これを前の例で v → ∇ とした特別の場合として考えることができる。(この場合、 ∇F は、問題のベクトルの各成分に対して個別にラプラス作用素を施したベクトルであることに注意)。
任意のスカラー場 φ に対し、その勾配の回転は常に零ベクトル、即ち
∇ × ( ∇ φ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )={\boldsymbol {0}}}
が成り立つ。また、φ がスカラー値で F がベクトル場ならば、
∇ × ( φ F ) = ∇ φ × F + φ ∇ × F {\displaystyle \nabla \times (\phi {\boldsymbol {F}})=\nabla \phi \times {\boldsymbol {F}}+\phi \nabla \times {\boldsymbol {F}}}
が成り立つ。