弱作用素位相
定義よりただちに、共役作用 T → T* は WOT において連続であることが分かる。
積(multiplication)は、WOT において共同で連続(jointly continuous)ではない: 再び、T を片側シフトとする。コーシー-シュワルツより、T および T* のいずれも WOT において 0 に収束することが分かる。しかし、T*T はすべての n に対して恒等作用素である(有界集合上では WOT は σ-弱位相と一致するため、σ-弱位相においても積は共同で連続ではない)。
しかしながら、一つの弱い主張は成立する: 積は WOT においてそれぞれに連続(separately continuous)である。もし WOT においてネット Ti → T が成立するなら、STi → ST および TiS → TS が WOT において成立する。