ボーア・モレルップの定理
を意味する。しかし、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } とすると d 2 d x 2 log  Γ ( n + x ) → 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log \Gamma (n+x)\to 0} であるから d 2 d x 2 log  G ( n + x ) → − ε < 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log {G(n+x)}\to -\epsilon <0} とならなければならず、 G ( x ) {\displaystyle G(x)} が対数凸であるという要求に反する。故に背理法の仮定は成立せず、常に f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} であり、 G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} である。以上により、 x > 0 {\displaystyle x>0} で G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} が示されたが、一致の定理により正則な定義域全体で G ( z ) = Γ ( z ) {\displaystyle G(z)=\Gamma (z)} となる。