3乗剰余の相互法則
[ m n ] 3 = { 1 m is a cubic residue mod n − 1 m is a cubic non-residue mod n {\displaystyle \left[{\frac {m}{n}}\right]_{3}={\begin{cases}1&m{\text{ is a cubic residue }}{\bmod {n}}\\-1&m{\text{ is a cubic non-residue }}{\bmod {n}}\end{cases}}}
この記号は、ルジャンドル記号のような乗法性を持たないことに注意が必要である。このためには、のちの節で定義するような真の3乗剰余記号が必要となる。
オイラーの予想 : p = a + 3bを素数とすると、以下が成り立つ: [ 2 p ] 3 = 1 ⟺ 3 ∣ b , [ 3 p ] 3 = 1 ⟺ 9 ∣ b or 9 ∣ ( a ± b ) , [ 5 p ] 3 = 1 ⟺ 15 ∣ b or ( 3 ∣ b and 5 ∣ a ) or 15 ∣ ( a ± b ) or 15 ∣ ( 2 a ± b ) , [ 6 p ] 3 = 1 ⟺ 9 ∣ b or 9 ∣ ( a ± 2 b ) , [ 7 p ] 3 = 1 ⟹ ( 3 ∣ b and 7 ∣ a ) or 21 ∣ ( b ± a ) or 7 ∣ ( 4 b ± a ) or 21 ∣ b or 7 ∣ ( b ± 2 a ) .