オイラー積
1 3 s ( 1 − 1 2 s ) ζ ( s ) = 1 3 s + 1 9 s + 1 15 s + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+\cdots }
となり、再び辺々引くと
( 1 − 1 2 s ) ( 1 − 1 3 s ) ζ ( s ) = 1 1 s + 1 5 s + 1 7 s + ⋯ {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots }
以下同様に次々と素数の-s乗を両辺にかけて前の式から引くという操作を続けると右辺の 1/1 以外の項は(素因数分解の一意性によって)消えるので
( 1 − 1 2 s ) ( 1 − 1 3 s ) ( 1 − 1 5 s ) ( 1 − 1 7 s ) ⋯ ζ ( s ) = 1 1 s = 1 {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\cdots \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}=1}