ヤコビアン予想
Adjamagbo, Kossivi (1995), “On separable algebras over a U.F.D. and the Jacobian conjecture in any characteristic”, Automorphisms of affine spaces (Curaçao, 1994), Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 89–103, MR1352692
Adjamagbo, P. K.; van den Essen, A. (2007), “A proof of the equivalence of the Dixmier, Jacobian and Poisson conjectures”, Acta Math. Vietnam. 32: 205–214, MR2368008, http://journals.math.ac.vn/acta/pdf/0702205.pdf
Bass, Hyman; Connell, Edwin H.; Wright, David (1982), “The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse”, American Mathematical Society. Bulletin. New Series 7 (2): 287–330, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15032-7, ISSN 1088-9485, MR663785
数学におけるヤコビアン予想(英: Jacobian conjecture)とは多変数多項式に関する有名な問題である。これは1939年オット・ハインリヒ・ケラー(英語版)によって初めて提出された。これは、代数幾何における問いであって、その主張を述べるのに微分積分学をわずかに超える程度の知識だけを要するものの例として、シュリーラム・アビヤンカール(英語版)によって広く宣伝された。
ヤコビアン予想は膨大な証明が試みられては微妙な(些細で捉えにくい)誤りが判明してきたことで悪名高い。2018年現在これを証明したという尤もらしい主張はない。2変数の場合でさえ全ての努力に抵抗してきた。この予想が真であると信じるに足る説得的な理由は知られていないし、van den Essen (1997)によれば、変数が非常に多い場合にはこの予想は実際には偽であるという幾つかの疑いもある。ヤコビアン予想はスメイルの問題の16番にあたる。
k(X) が k(F) のガロア拡大の場合は、複素写像に対してはCampbell (1973)によって証明され、一般の写像についてはRazar (1979)およびWright (1981)によって独立に証明された。Moh (1983)は次数100以下の2変数のケースについて予想を検証した。
de Bondt, van den Essen & 2005, 2005とDrużkowski (2005)は独立に、ヤコビアン予想は立方斉次型で対称ヤコビアン行列を持つ複素写像の場合について証明すれば十分であることを示した。また立方線型で対称ヤコビアン行列を持つ写像について予想が成立することを、標数 0 の全ての体上で示した。
強実ヤコビアン予想とは、実多項式写像でヤコビアン行列がどこでも消えないものは滑らかな大域逆写像を持つ、というものである。これはそうした写像が位相的に固有写像になっているかを問うことに等しい。そのようなケースではその写像は単連結多様体の被覆写像になっており、したがって可逆である。Sergey Pinchuk (1994)は全次数が25あるいはそれ以上を持つ2変数の反例を構成した。
よく知られているように、ディキシミエ予想(英語版)はヤコビアン予想を導く(Bass et al. 1982 を参照)。逆に、土基善文 (2005)とAlexei Belov-Kanel and Maxim Kontsevich (2007)によって独立に示されたように、2N 変数のヤコビアン予想は N 次元のディキシミエ予想を導く。この最後の含意の自己完結的で純粋に代数的な証明はP. K. Adjamagbo and A. van den Essen (2007)によって与えられている。同論文ではこれらの予想がポワソン予想と同値であることも証明している。