ハーン多項式
α , β < − 1 {\displaystyle \alpha ,\beta <-1} または α , β < − N {\displaystyle \alpha ,\beta <-N} に対して以下の直交関係を満たす:
∑ x = 0 N ( α + x x ) ( β + N − x N − x ) Q m ( x ; α , β , N ) Q n ( x ; α , β , N ) = ( − 1 ) n ( n + α + β + 1 ) N + 1 ( β + 1 ) n n ! ( 2 n + α + β + 1 ) ( α + 1 ) n ( − N ) n N ! δ m n . {\displaystyle \sum _{x=0}^{N}{\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-x}{N-x}}Q_{m}(x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={\frac {(-1)^{n}(n+\alpha +\beta +1)_{N+1}(\beta +1)_{n}n!}{(2n+\alpha +\beta +1)(\alpha +1)_{n}(-N)_{n}N!}}\delta _{mn}.}
但し、 ( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} はポッホハマーの記号を表す。
ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される:
Q n ( x ; α , β , N ) = 3 F 2 ( − n , n + α + β + 1 , − x α + 1 , − N ; 1 ) , x = 0 , 1 , ... , N . {\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={_{3}F_{2}}\left({\begin{matrix}-n,n+\alpha +\beta +1,-x\\\alpha +1,-N\end{matrix}};1\right),\quad x=0,1,\ldots ,N.}