指標理論
この節で議論される指標は複素数値であると仮定する。H を有限群 G の部分群とする。G の指標 χ が与えられたとき、χH でその H への制限を表す。θ を H の指標とする。ファルディナンド・ゲオルグ・フロベニウスは今ではフロベニウスの相互律(英語版)と呼ばれるものを用いて θ から G の指標を構成する方法を示した。G の既約指標たちは G の複素数値類関数の空間の正規直交基底をなすから、次の性質を持つ G の類関数 θ が一意的に存在する:G の各既約指標 χ に対して
⟨ θ G , χ ⟩ G = ⟨ θ , χ H ⟩ H {\displaystyle \langle \theta ^{G},\chi \rangle _{G}=\langle \theta ,\chi _{H}\rangle _{H}}
(左辺の内積は G の類関数に対するもので、右辺の内積は H の類関数に対するものである)。G の指標の部分群 H への制限は再び H の指標であるから、この定義は θ が G の既約指標の非負線型結合でありしたがって実際 G の指標であることを明らかにする。それは θ から誘導される G の指標と呼ばれる。フロベニウス相互律の定義式は一般の複素数値類関数に拡張できる。
H の行列表示 ρ が与えられたとき、フロベニウスは後に G の行列表現を構成する明示的な方法を与え、ρ から誘導される(英語版)表現と呼ばれ、同様に ρ と書かれる。これは誘導指標 θ の別の記述を導いた。
G をリー群、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をそのリー環とし、H と h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} をそれぞれカルタン部分群、カルタン部分環とする。
V を G の表現とする。V のウェイト空間を Vλと書いて、リー群とリー環の形式指標を
χ V = ∑ dim  V λ e λ {\displaystyle \chi _{V}=\sum \dim V_{\lambda }e^{\lambda }}
と定義できる、ここで和はウェイト格子のすべてのウェイトを走る。上の式で e は e ⋅ e = e を満たす形式的な対象である。この形式指標は他の群の通常の指標と関係する。e ∈ H, ただし H は G のカルタン部分群(つまり X は h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} に属する)、ならば、
Tr  ( e X ) = ∑ dim  V λ e λ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Tr} (e^{X})=\sum \dim V_{\lambda }e^{\lambda (X)}}
である。テンソル積や他の表現の分解の上の議論は形式指標に対しても成り立つ。コンパクトリー群の場合には、ワイルの指標公式を形式指標を計算するのに使うことができる。