有理数
既に述べたように、有理数全体は、通常の四則演算の下で体を成し、代数系 (Q, +, ×, 0, 1) は有理数体と呼ばれる。また、有理整数環 Z の商体である。加えて、有理数体 Q は標数 0 の体の中で最小のもので、標数 0 の素体と呼ばれる(すなわち、標数 0 の体は、Q に同型な部分体を含む)。Q の拡大体は一般に代数体、その元は代数的数と呼ばれ、特に代数的数全体は体を成し Q の代数的閉包 A(Q とも書く)となる。
Q は可算無限集合である(何故なら、分母と分子の組を二次元平面上の格子点と考え、例えばうずまき状に取り尽くしていけば、自然数全体に対応するからである)。実数全体 R は非可算なので、濃度の意味で(あるいはルベーグ測度の意味で)ほとんどの実数は無理数であることになる(可算性により Q のルベーグ測度は 0 となる)。
Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、2つの有理数の間には(それがいくら近い値だとしても)少なくとも1つ(従って無数の)有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず Q と順序同型である。
2つの有理数 a/b, c/d(a, b, c, d は整数、b, d はいずれも 0 でない)が等しいとは、整数の等式
a d − b c = 0 {\displaystyle ad-bc=0}
が成り立つことを言い、このとき
a b = c d {\displaystyle {a \over b}={c \over d}}
と記す。加法 "+"、および乗法 "×" が
a b + c d = a d + b c b d , a b × c d = a c b d {\displaystyle {a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\times {c \over d}={ac \over bd}}
によって定まり、反数および逆数について
− a b = − a b = a − b , ( c d ) − 1 = d c {\displaystyle -{a \over b}={-a \over b}={a \over -b},\quad \left({c \over d}\right)^{-1}={d \over c}}
(ここでは b, c, d はいずれも 0 でない)が成り立つ(特に集合として
a b + c d = a d + b c b d , a b × c d = a c b d {\displaystyle {a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\times {c \over d}={ac \over bd}}
で定めると、この加法と乗法は剰余類同士の演算として矛盾なく定義されている。実際、E における加法および乗法を
( a , b ) + ( c , d ) = ( a d + b c , b d ) , ( a , b ) × ( c , d ) = ( a c , b d ) {\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd),\quad (a,b)\times (c,d)=(ac,bd)}
と定めると、(a, b) ∼ (a′, b'), (c, d) ∼ (c′, d') ならば
( a , b ) + ( c , d ) ∼ ( a ′ , b ′ ) + ( c ′ , d ′ ) , ( a , b ) × ( c , d ) ∼ ( a ′ , b ′ ) × ( c ′ , d ′ ) {\displaystyle (a,b)+(c,d)\sim (a',b')+(c',d'),\quad (a,b)\times (c,d)\sim (a',b')\times (c',d')}