インダクタンス
二次コイルに流れ込んだ磁束 Φ 2 = k Φ 1 {\displaystyle \Phi _{2}=k\Phi _{1}} の時間変化が二次コイルに電圧 V2 を生じさせる。
この1, 2の手順を数式でより正確に書くと、以下のようになる(これらの式は後で証明する)。なお下式では前節で用いた記号を流用した。
ここで M = k μ 1 N 1 N 2 | S 1 | l 1 {\displaystyle M=k{\tfrac {\mu _{1}N_{1}N_{2}|S_{1}|}{\ell _{1}}}} とおけば 相互インダクタンスの式は結合係数の定義式 Φ 2 = k Φ 1 {\displaystyle \Phi _{2}=k\Phi _{1}} と(A)、(B)から明らかに従う。
一方自己インダクタンスの式は、上の議論で1次コイル=2次コイルとすればやはり明らかに従う。(ここで自分自身との結合係数は1であることを用いた。)
よって後は(A)、(B)を示すだけである。
以下の議論は全て1次コイルに関するものなので、記号を簡単にするため Φ1、N1 等から1次コイルであることを表す添字1を略す。
断面 S 、高さ l {\displaystyle \ell } の円柱 S × [ 0 , l ] {\displaystyle S\times [0,\ell ]} に N 回導線が巻きついた インダクタ(ソレノイド・コイル)を考える。
S 上の任意の一点 P を固定し、以下のような曲線を考え、さらにこの曲線を縁に持つ曲面 K を考える。
円柱内を (P, 0) から (P, 1) へとまっすぐ進み(曲線のこの部分を以下 CP と表記)、
円柱の外側を通って (P, 1) から (P, 0) へと戻る(曲線のこの部分を以下C'P と表記)。
「 ∂ K {\displaystyle \partial K} 」を K の境界とすると、定義より以下が成り立つ:
j をインダクタを流れる電流の密度、E を j が誘導する電場、H を E が誘導する磁場とすると、以下が成立する:
ここで(4)と(5)はそれぞれストークスの定理と(1)から従い、 他のものは以下の理由により従う:
(2):電流密度の定義より、電流密度 j を導線の断面で面積分したものがインダクタを流れる電流 I に等しい。定義より K は導線と N 回交わるので、 ∫ K j ⋅ d S = N I {\displaystyle \int _{K}{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=NI} 。