広義積分
厳密に言えば広義積分とは積分の一種ではなく、以下のような形の式の総称である。まず
lim b → c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{b\to c}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
ここで c は正または負の無限大であるか、x → c − 0 につれて | f (x)| が無限大となるような定数である。 または
lim b → a ∫ b c f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{b\to a}\int _{b}^{c}f(x)\,dx}
ここで a は正または負の無限大であるか、x → a + 0 につれて | f (x)| が無限大となるような定数である。 あるいは以下のような形もある。
lim s → a ∫ s b f ( x ) d x + lim t → c ∫ b t f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{s\to a}\int _{s}^{b}f(x)\,dx+\lim _{t\to c}\int _{b}^{t}f(x)\,dx}
a および c は正または負の無限大であるか、x が積分区間の内側から近づくにつれて | f (x)| が無限大となるような定数である。この値は(存在する限り)b の取り方によらない。
こうして、この分野における基本的な問がどんなものか分かる:
極限は(解析学的な意味で)存在するか?
存在するとして、その値を計算できるか?
2つ目の問には微積分計算のテクニックも使えるが、場合により周回積分やフーリエ変換等の高度な技法が必要なこともある。
lim a → ∞ ∫ − a a 2 x d x x 2 + 1 = 0 {\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0}
であるが
lim a → ∞ ∫ − 2 a a 2 x d x x 2 + 1 = − ln  4 {\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4}
である。この場合も前者は主値であり、似て非なる次式はよく定義されていない:
∫ − ∞ ∞ 2 x d x x 2 + 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}} (これは−∞+∞になる)
これらの極限はいずれも∞−∞の形の不定形である。
なおこれらの病的な例は、ルベーグ可積分な関数すなわち絶対値の積分が有限な関数に対しては問題にならない。