積に対するヤングの不等式
↑ 任意の実数の平方は 0 または正であるから、任意の実数の対 a, b に対して 0 ≤ (a − b) である。右辺を展開して整理すれば 2ab ≤ a + b であるから所期の不等式は直ちに出る。また、 a ′ := a / ε , b ′ := ε b {\displaystyle a':=a/{\sqrt {\varepsilon }},\quad b':={\sqrt {\varepsilon }}b} とおけば、ε 付きのほうも出る
↑ これをピーター–ポール不等式と言ったりもするが、この名称は第二項の厳格な制御が第一項のある制御を失うコストによって達成されることを表したもの「ピーターから取ってポールに払う」("rob Peter to pay Paul")。
f は凸函数として、そのルジャンドル変換(凸共軛)を g と書けば、
が成り立つ。これはルジャンドル変換の定義から直ちに従う。 より一般に、f が実線型空間 X 上で定義された凸函数で、その凸共軛を f*(これは双対空間 X* 上定義される)と書けば、
である。ただし、⟨,⟩: X* × X → R は双対性の内積とする。