指示関数
3 次元ユークリッド空間 R の図形 A が(リーマンあるいはルベーグの意味で)体積確定であるというのは、その指示関数 χA は(リーマンあるいはルベーグの意味で)可積分となることであり、積分値
m ( A ) := ∫ R 3 χ A ( x ) d x {\displaystyle m(A):=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\chi _{A}(x)dx}
がその集合 A の体積である。一般に可測空間 (X, M) (M ⊂ 2) が与えられたとき、X の部分集合 A がある測度 μ に関する可測集合であるなら、その指示関数 χA の測度 μ に関する積分値
vol μ  ( A ) = μ ( A ) := ∫ X χ A ( ξ ) d μ ( ξ ) {\displaystyle \operatorname {vol} _{\mu }(A)=\mu (A):=\int _{X}\chi _{A}(\xi )\,d\mu (\xi )}
を測度 μ に関する A の体積(たいせき、volume)と呼ぶ。
ある集合 X 上の可積分関数 f(x) に対して、X の部分集合 A における f の積分を、しばしば
∫ A f | A ( ξ ) d ξ := ∫ X χ A ( ξ ) f ( ξ ) d ξ {\displaystyle \int _{A}f|_{A}(\xi )\,d\xi :=\int _{X}\chi _{A}(\xi )f(\xi )\,d\xi }
によって(各積分が定義できる限り)定める。