波束
自由粒子の固有状態である平面波から作られるガウス波束を考える。3次元の自由粒子のシュレーディンガー方程式は、
i ħ ∂ φ ∂ t = − ħ 2 2 m ∇ 2 φ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\varphi }
この解の分散関係は次のように表され、この場合は分散があることがわかる。
ω = ħ | k | 2 2 m {\displaystyle \omega ={\frac {\hbar |\mathbf {k} |^{2}}{2m}}}
簡単のために1次元で考える。H0 = −ħ/2md/dx の固有値問題を解くと、固有状態である平面波 φk(x) = e と固有エネルギー Ek = ħk/2m が得られる。この平面波を係数 α(k) = √a/π exp[−a(k′ − k)/2] として重ね合わせると、次のようなガウス波束が得られる。
ψ ( x , 0 ) = 1 a 2 π 4 exp  [ − x 2 2 a + i k x ] {\displaystyle \psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{a^{2}\pi }}}\exp \left[-{\frac {x^{2}}{2a}}+ikx\right]}