体積要素
向き付け可能な次元 n のリーマン多様体における体積要素は定数関数の f(x) = 1 のホッジ双対に等しい。
ω = ⋆ 1 {\displaystyle \omega =\star 1}
これと等価に、体積要素は正確にレヴィ=チヴィタテンソル ε と正確に一致する。座標を用いて書けば、以下のようになる。
ω = ε = | det g | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {|\det g|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}
ここで det g はその座標系における計量テンソル g の行列式である。
| ∂ ( x , y , z ) ∂ ( ρ , θ , φ ) | = ρ 2 sin  φ {\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }
となり、したがって体積要素は以下のように書ける。
d V = ρ 2 sin  φ d ρ d θ d φ . {\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}
このことは微分形式が引き戻し(英語版) F により以下のように変換することの例と見ることができる。
F ∗ ( u d y 1 ∧ ⋯ ∧ d y n ) = ( u ∘ F ) det ( ∂ F j ∂ x i ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle F^{*}(u\;\mathrm {d} y^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} y^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}