コンウェイの兵隊
まず、目的地が1マス上にある場合を考える。初期配置の得点を最大化すると、全てのマスに駒がある状態に相当する。
まず、1行目だけを考える。1行目(最前行)の得点は φ + 2 φ 2 + 2 φ 3 + ... = φ + 2 ( φ 2 + φ 3 + φ 4 + ... ) {\displaystyle {\varphi +2\varphi ^{2}+2\varphi ^{3}+\ldots =\varphi +2(\varphi ^{2}+\varphi ^{3}+\varphi ^{4}+\ldots )}} となる。次の行以降では、各マスが1マスだけ距離を増すため、1行離れるたびに得点は φ {\displaystyle \varphi } 倍になる。
そのため、全てのマスの得点を合計すると、
S 1 = ( φ + 2 ( φ 2 + φ 3 + φ 4 ... ) ) ( 1 + φ + φ 2 + φ 3 + ... ) {\displaystyle {{S}_{1}=(\varphi +2(\varphi ^{2}+\varphi ^{3}+\varphi ^{4}\ldots ))(1+\varphi +\varphi ^{2}+\varphi ^{3}+\ldots )}}