弱微分
有理数の特性関数 χ Q {\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }} はどの点においても微分可能ではないが、それには弱微分が存在する。有理数の集合のルベーグ測度はゼロであるため、
∫ χ Q ( t ) φ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int \chi _{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)\,dt=0}
が成立する。したがって、 v ( t ) = 0 {\displaystyle v(t)=0} が χ Q {\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }} の弱微分である。この結果はLp空間の元と見なされたとき χ Q {\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }} はゼロ関数と同一視されるためであることに注意されたい。