クラフトの不等式
以上の議論より、符号語に対応する葉のラベルの総和 ∑ i = 1 n r − l i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r^{-\ell _{i}}} は根に割り振られたラベル(=1)以下である。よってクラフトの不等式が示せた。
また以上の議論から分かるように、頂点が丁度r個の子を持てば、その頂点の子に割り振られたラベルの総和は頂点iに割り振られたラベルに一致する。従って木が完全であるとき、葉に割り振られたラベルの総和は根に割り振られたラベル(=1)に一致する。 木の作り方より、木が完全である必要十分条件は、符号が完全である事である。よってクラフトの不等式の等号成立条件は符号が完全である事である。
最後に定理の逆を示す。今自然数 l 1 , l 2 , ... , l n {\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\ldots ,\ell _{n}\,} がクラフトの不等式を満たすとする。必要なら l n + 1 , l n + 2 , ... {\displaystyle \ell _{n+1},\ell _{n+2},\ldots } を付け加える事で、等号 ∑ i = 1 n r − l i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r^{-\ell _{i}}=1} が成立していると仮定しても一般性を失わない。総和が1であるので、 r − l i {\displaystyle r^{-\ell _{i}}} をなんらかの確率と解釈する事ができる。定理の逆は、i番目の符号語が生起する確率が r − l i {\displaystyle r^{-\ell _{i}}} であるとしたときのハフマン符号を作る事で証明できる。