弱解
(ここで φ {\displaystyle \varphi } がコンパクトな台を持つために、積分は −∞ から ∞ まで行われているが本質的に有限な区間で留められており、また、有界な項を導入すること無しに部分積分が可能となっていることに注意されたい。)
u が連続的微分可能である限り、方程式 (1) と方程式 (2) は同値であることは示されている。弱解の概念のカギとなるのは、任意の φ {\displaystyle \varphi } に対して方程式 (2) を満たす関数 u で、微分可能ではなくしたがって方程式 (1) を満たさないようなものが存在する。という事実である。そのような関数の簡単な例は、すべての t および x に対して定義される u(t, x) = |t − x| である(この方法で定義される u が方程式 (2) を満たすことは簡単に確かめられる。直線 x = t の上部と下部の領域に分けて積分をし、部分積分を用いれば良い)。方程式 (2) の解 u は、方程式 (1) の弱解と呼ばれる。