ベクトル場
現代数学ではこの定義がさらに抽象化され多様体 M の上で各点に対する接ベクトルの分布を与えるものとして理解される。M の点 p における接ベクトル v を考えることと、p のまわりで定義された微分可能関数にたいして p において v の方向への微分を与える作用素 ∂ v {\displaystyle \partial _{v}} を考えることは同じことになる。したがって p における微分写像のなす空間 TpM (この概念は o のまわりの座標の取り方によらない)が p における接ベクトルの空間を与えていると見なせ、ベクトル場は接ベクトルの分布をあらわす写像 X : M → T M = ⋃ p ∈ M T p M , X ( p ) ∈ T p M {\displaystyle X:M\rightarrow TM=\bigcup _{p\in M}T_{p}M,X(p)\in T_{p}M} によって与えられていると考えることができる。