クロソイド曲線
始点の座標をユークリッド空間上の原点として、 x {\displaystyle x} 軸を原点における接線方向に取れば、無次元化された座標 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} は媒介変数 θ {\displaystyle {\theta }} と既に定義されている無次元化された曲線長 l {\displaystyle l} を用いて次のように書き表される。
x ( l ) = ∫ 0 l cos θ 2 2 d θ , y ( l ) = ∫ 0 l sin θ 2 2 d θ {\displaystyle x(l)={\int }_{0}^{l}{\cos }{\frac {{\theta }^{2}}{2}}d{\theta },{\quad }y(l)={\int }_{0}^{l}{\sin }{\frac {{\theta }^{2}}{2}}d{\theta }}
本式中の積分はフレネル積分として知られている。
なお、 0 {\displaystyle 0} の曲率を有するものが直線で、そうではない有限値に曲率を固定したものが円である。
曲率を一定割合で変化させていった場合に描かれる軌跡がクロソイド曲線である。曲率半径と始点からの曲線長をそれぞれ R {\displaystyle R} と L {\displaystyle L} としたとき、両者の積は一定となる。
R L = A 2 {\displaystyle RL=A^{2}}
A {\displaystyle A} は、クロソイドパラメーターと呼ばれる、長さの次元を持つ定数である。 この式において、無次元量 r = R / A {\displaystyle r=R/A} および l = L / A {\displaystyle l=L/A} をそれぞれ定義すると、 r l = 1 {\displaystyle rl=1} となり、 r {\displaystyle r} および l {\displaystyle l} の幾何学的性質から、実際の応用にはスケール因子として機能する A {\displaystyle A} を調節することで足りる。 これは、初等幾何学の三角形の相似のように、多くの曲線の中で極稀な相似則を有する曲線である。 この相似則を利用して、直線・円弧・クロソイド曲線の複合した複雑な道路の路線設計が可能となる。