ソボレフ空間
ここでは R と R の部分集合 D 上のソボレフ空間を考える。単位円上での話を実数直線上のものに変えるには、フーリエの公式の技術的な変更のみ行えばよい(基本的にはフーリエ級数をフーリエ変換に取り替えて、和を積分にする)。多次元への移行は、まさにその定義からしてもっと複雑なものになる。1-次元の場合の、 f が f の積分になっているという仮定は一般化できない。このことの最も単純な解決法は微分を超函数の意味での微分と考えることである。
形式的な定義を以下に与える。D を R の開集合、k を自然数とし、1 ≤ p ≤ +∞ とする。ソボレフ空間 W(D) は D 上で定義される函数 f で任意の多重指数 α (|α| ≤ k) に対して混合偏微分
f ( α ) = ∂ | α | f ∂ x 1 α 1 ... ∂ x n α n {\displaystyle f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}
が局所可積分かつ L(D) に属する(つまり
‖ f ( α ) ‖ L p < ∞ {\displaystyle \|f^{(\alpha )}\|_{L^{p}}<\infty }
が成り立つ)ようなもの全体の成す集合として定義される。
[ [X, Y]a, [X, Y]b ]c = [X , Y]cb+(1−c)a.
コンパクト台無限回微分可能函数全体の成す空間 Cc(X) の H(X) における閉包として空間 H0(X) を定義する。上述のトレースを用いれば、定義を次のように述べることができる。
k が整数でない場合を扱うときには、誤解を防ぐために k の代わりに s を用いて W や H などと書くのが通例である。
n が n = tm なる整数ならば [ W 0 , p , W m , p ] t = W n , p {\displaystyle \left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_{t}=W^{n,p}} が成立する。
したがって複素補間は、W の間にある空間の連続体 W を得る一貫した方法である。さらに、これは分数階微分の成す空間と同じものを定めるのである(後述の作用素の拡張を参照)。