双曲3次元多様体
1912年に初めて発見された、尖った双曲3次元多様体はギーゼキング多様体である。それはイデアル双曲四面体の面を貼り合わせることで構成される。
3次元球面における結び目と絡み目の補空間は、頻繁に尖った(frequently cusped)双曲多様体である。この例には、8の字結び目やボロミアン環、ホワイトヘッド絡み目(英語版)の補空間が含まれる。より一般に幾何化によると、サテライト結び目(英語版)でもトーラス結び目でもない結び目は、双曲結び目である。
双曲デーン手術(英語版)に関するサーストンの定理では、充填スロープの有限の集まりが除かれる場合、双曲絡み目についての残ったデーン充填は双曲3次元多様体であることが示されている。ザイフェルト=ウェーバー空間(英語版)は、十二面体の向かい合う面を貼り合わせることで得られる、コンパクトな双曲3次元多様体である。
任意の閉じた向き付け可能な双曲3次元多様体上には、双曲体積を定義することができる。ウィークス多様体は、任意の向き付けられた閉双曲3次元多様体の中で最小の体積を持つ多様体である。
サーストンは、円上の曲面束(英語版)が双曲であるための必要十分条件を与えた。すなわち、その束のモノドロミーが擬アノソフ(英語版)であることである。これはハーケン多様体(英語版)に対する彼の有名な双曲化定理(英語版)の一部である。
ペレルマンによって証明されたサーストンの幾何化予想によれば、無限の基本群を持つ任意の閉、既約(英語版)かつアトロイダル(英語版)な3次元多様体は、双曲多様体である。境界を持つ3次元多様体に対しても、同様の主張が成り立つ。