直積集合
が成り立つ。直積はいくつかの集合算に対して分配的であることが示せる:
A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) , {\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C),}
A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) , {\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C),}
A × ( B ∖ C ) = ( A × B ) ∖ ( A × C ) , {\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C),}
∁ ( A × B ) = ( ∁ A × ∁ B ) ∪ ( ∁ A × B ) ∪ ( A × ∁ B ) , {\displaystyle \complement (A\times B)=(\complement A\times \complement B)\cup (\complement A\times B)\cup (A\times \complement B),}
ここで ∁A は A の補集合である。
一般に
( ∏ λ ∈ Λ A λ ) ∩ ( ∏ μ ∈ Λ B μ ) = ∏ λ ∈ Λ ( A λ ∩ B λ ) {\displaystyle (\prod _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda })\cap (\prod _{\mu \in \Lambda }B_{\mu })=\prod _{\lambda \in \Lambda }(A_{\lambda }\cap B_{\lambda })}
Aλ = ∅ であるような λ ∈ Λ が少なくとも一つ存在すれば、∏λ∈Λ Aλ = ∅ であることは、直ちに示される一方、その逆にあたる命題は選択公理 (と同値)である。
直積集合の視覚的にわかりやすい例としては、標準的な52枚一組のトランプのデッキがある。トランプのランクは {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} という 13 の元からなる集合である。スーツは {♠, ♥, ♦, ♣} という 4 の元からなる集合である。この2つの集合の直積集合は、52 の組の元からなる集合であり、それぞれの元は、52枚のトランプのカードと1対1に対応している。
たとえば、ランク × スーツ という直積集合は、
{(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}
という集合であり、スーツ × ランク という直積集合は、
{(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}
という集合である。
直積集合の元は順序対なので、同じ元はひとつも含まれていない。
1 2 添字集合 Λ が空集合の場合、圏論においては任意の一元集合 1 が集合の圏の零対象として(同型を除いて)唯一存在するから、∏∅X = 1 (X は任意) とすることで空積に意味を持たせることができる(点付き集合の圏で基点 ∗ を固定するならば、より強く(英語版) 1 = {∗} ととれる)。また、集合論においては標準的に 0 = ∅, 1 = {∅} ととれるから、その意味において X = 1 と置くことは Map(∅, X) = {∅}(右辺はすなわち空写像)と考えることにより、ここでの定義と矛盾しない(集合をその冪集合によって同定し部分集合の意味で基点 ∅ が付随すると考えるならば、点付き集合としての話とみることもできる)。
直積は次のような普遍性を持つものとして特徴付けることができる: