物質微分
( g i j {\displaystyle g_{ij}} は計量テンソル)である。
先で述べたように
[ ( v ⋅ grad ) A ] j = ∑ k v k ( 1 h k ∂ ∂ q k ) A j {\displaystyle [({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\boldsymbol {A}}]_{j}=\sum _{k}v_{k}\left({\frac {1}{h_{k}}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)A_{j}}
とはデカルト座標系 ( h 1 = h 2 = h 3 = 1 ) {\displaystyle (h_{1}=h_{2}=h_{3}=1)} においてのみ等しい。
A = v {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {v}}} とした時の物質微分(=加速度)の対流項に現れる第2項
∑ k { v k h k h j ( v j ∂ h j ∂ q k − v k ∂ h k ∂ q j ) } {\displaystyle \sum _{k}\left\{{\frac {v_{k}}{h_{k}h_{j}}}\left(v_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{k}}}-v_{k}{\frac {\partial h_{k}}{\partial q^{j}}}\right)\right\}}
は曲線直交座標系で現れる見かけの力に対応する。
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} v^{\mu }(x)}{\mathrm {D} \tau }}&=v^{\nu }\nabla _{\nu }v^{\mu }=v^{\nu }\left(\partial _{\nu }v^{\mu }+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }v^{\lambda }\right)\\&={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \tau }}{\frac {\partial v^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }v^{\lambda }v^{\nu }\\&={\frac {\partial ^{2}x^{\mu }}{\partial \tau ^{2}}}+\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{\frac {\partial x^{\lambda }}{\partial \tau }}{\frac {\partial x^{\lambda }}{\partial \tau }}=0.\\\end{aligned}}}