二個の平方数の和
p a ( x − 1 ) 2 = 1 + ( y x − 1 ) 2 0 ≡ 1 + ( y x − 1 ) 2 ( mod p ) − 1 ≡ ( y x − 1 ) 2 ( mod p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&pa(x^{-1})^{2}=1+(yx^{-1})^{2}\\&0\equiv {1+(yx^{-1})^{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)\\&-1\equiv {(yx^{-1})^{2}}\;(\operatorname {mod} \;p)\\\end{aligned}}}
となる。しかし、これは − 1 {\displaystyle -1} が p ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 3\;(\operatorname {mod} \;4)} の平方剰余にならないという事実に反する。従って、 p ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 3\;(\operatorname {mod} \;4)} の形の素因数を平方以外の形で持つ合成数が二個の平方数の和で表されることはない。
( − 3 12 n + 1 ) = ( − 1 12 n + 1 ) ( 3 12 n + 1 ) = ( − 1 12 n + 1 ) ( 12 n + 1 3 ) = 1 , ( − 3 12 n + 5 ) = ( − 1 12 n + 5 ) ( 3 12 n + 5 ) = ( − 1 12 n + 5 ) ( 12 n + 5 3 ) = − 1 , ( − 3 12 n + 7 ) = ( − 1 12 n + 7 ) ( 3 12 n + 7 ) = ( − 1 12 n + 7 ) ( 12 n + 7 3 ) = 1 , ( − 3 12 n + 11 ) = ( − 1 12 n + 11 ) ( 3 12 n + 11 ) = ( − 1 12 n + 11 ) ( 12 n + 11 3 ) = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {-3}{12n+1}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+1}}\right)\left({\frac {3}{12n+1}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+1}}\right)\left({\frac {12n+1}{3}}\right)=1,\\&\left({\frac {-3}{12n+5}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+5}}\right)\left({\frac {3}{12n+5}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+5}}\right)\left({\frac {12n+5}{3}}\right)=-1,\\&\left({\frac {-3}{12n+7}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+7}}\right)\left({\frac {3}{12n+7}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+7}}\right)\left({\frac {12n+7}{3}}\right)=1,\\&\left({\frac {-3}{12n+11}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+11}}\right)\left({\frac {3}{12n+11}}\right)=\left({\frac {-1}{12n+11}}\right)\left({\frac {12n+11}{3}}\right)=-1\\\end{aligned}}}
平方剰余の相互法則の補充法則により、 p ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle p\equiv 1\;(\operatorname {mod} \;4)} であれば
r 2 ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle r^{2}\equiv -1\;(\operatorname {mod} \;p)}
となる自然数 r {\displaystyle r} が存在する。 0 ≤ x i , y i < p {\displaystyle 0\leq {x_{i},y_{i}}<{\sqrt {p}}} とすると ( x i , y i ) {\displaystyle (x_{i},y_{i})} の組み合せの個数は ( ⌊ p ⌋ + 1 ) 2 > p {\displaystyle (\lfloor {\sqrt {p}}\rfloor +1)^{2}>p} である。従って、 ( x 1 , y 1 ) ≠ ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})} で