アトキンソン・スティグリッツの定理
個人の消費関数をベクトル形式で
C 1 = ∑ j C 1 j e j {\displaystyle {\textbf {C}}_{1}=\sum _{j}C_{1j}{\textbf {e}}_{j}}
C 2 = ∑ j C 2 j e j {\displaystyle {\textbf {C}}_{2}=\sum _{j}C_{2j}{\textbf {e}}_{j}\;}
と書く。この場合政府の財政に関する不等式は、
R ≤ ∑ k = 1 2 ( Y k N k ) − N 1 ∑ j C 1 j − N 2 ∑ j C 2 j {\displaystyle R\leq \sum _{k=1}^{2}(Y_{k}N_{k})-N_{1}\sum _{j}C_{1j}-N_{2}\sum _{j}C_{2j}\;}
となる。
従って最適解の条件は以下のようになり、
μ ∂ V 1 ∂ C 1 j − λ 2 ∂ V 2 ∂ C 1 j + λ 1 ∂ V 1 ∂ C 1 j − γ N 1 = 0 , {\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\gamma N_{1}=0\;,}