ヒルベルト・ポリア予想
ヒルベルト・ポリアの作用素と量子力学の関係は、ポリアにより与えられた。ヒルベルト・ポリア予想の作用素は、 1 / 2 + i H {\displaystyle \scriptstyle 1/2+iH} の形をしている。ここに H {\displaystyle \scriptstyle H} は、ポテンシャル V ( x ) {\displaystyle \scriptstyle V(x)} の中を運動している質量 m {\displaystyle m} を持った粒子のハミルトニアンである。リーマンの予想は、このハミルトニアンがエルミートであること、同じことだが、 V {\displaystyle \scriptstyle V} が実数であるということと同値である。
一次までの摂動論によれば、n-番目の固有状態のエネルギーは、ポテンシャルの期待値に関係している。
E n = E n 0 + ⟨ φ n 0 | V | φ n 0 ⟩ {\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\langle \varphi _{n}^{0}\vert V\vert \varphi _{n}^{0}\rangle }
ここに E n 0 {\displaystyle \scriptstyle E_{n}^{0}} と φ n 0 {\displaystyle \scriptstyle \varphi _{n}^{0}} は自由粒子のハミルトニアンの固有値、固有状態である。