特異点解消
すべての代数曲線は一意な非特異射影モデルをもつ。このことは、どの解消方法もこのモデルを作るので、本質的にはすべての解消方法は同じであることを意味する。高次元ではこれは成り立たず、代数多様体は多くの異なる非特異射影モデルを持ち得る。
Kollár (2007) に曲線の特異点解消を証明する約20個の方法が列挙されている。
Lipman (1978) は、曲面(2次元被約ネータースキーム)Y が非特異化を持つのは、その正規化が Y 上有限かつ解析的正規(英語版)(特異点での完備化が正規)かつ有限個の特異点のみを持つとき、かつそのときに限ることを証明した。特に、Y が優秀ならば非特異化を持つ。
彼はまず Y への固有双有理写像を持つ正規曲面 Z を考え、最小の算術種数を持つ最小のものが存在することを示した。次に彼はこの最小の Z が持つ特異点はすべて擬有理(pseudo rational)であることを示し、擬有理特異点は点でのブローアップを繰り返すことにより解消できることを示した。
曲線の特異点でブローアップを繰り返せば、特異点はいつかは解消される。この方法の主なタスクは、特異点の複雑さを測る方法を見つけ、ブローアップにより複雑さが減ることを示すことである。これには多くの方法がある。例えば曲線の算術種数を使うことができる。