不定積分
一変数関数の定義域内の定数 a から変数 x までの(端点が定数でない)積分で与えられる関数を関数 f(x) の a を基点とする不定積分 (indefinite integral with base point a) と言う。
関数 f(x) (積分される関数という意味で被積分関数という) が与えられたとき、微分方程式 d d x F ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}F(x)=f(x)} の解となる関数 F(x) 各々である特殊解を f(x) の原始関数といい、解となる関数 F(x) 全体である一般解を f(x) の 逆微分としての不定積分 という。原始関数という言葉はアドリアン=マリ・ルジャンドルによる。
関数 f(x) の不定積分は、端点を指定しないリーマン積分の記法(ライプニッツの記法)を用いて
∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\,dx}
のように表される。この表記はピエール・ド・フェルマーによる。定義から、不定積分は一つの関数を表すものではないことに注意すべきである (実際、一階の微分方程式の一般解なのであるから、少なくとも一つの積分定数と呼ばれる任意定数を含む)。ただし、実用上は任意定数の値を決めるごとに原始関数が一つ現れるから、あたかも一つの関数であるかのように扱うことができる。
n = 1 で X が閉区間とし、基点 a ∈ X を固定する。 Φ ( E ) {\displaystyle \Phi (E)} を X 上の連続関数 f の「集合関数としての不定積分」とするとき、変数 x ∈ X {\displaystyle x\in X} に対して、 x ≥ a {\displaystyle x\geq a} のとき F ( x ) := Φ ( [ a , x ] ) {\displaystyle F(x):=\Phi ([a,x])} と、また x ≤ a {\displaystyle x\leq a} のとき F ( x ) := − Φ ( [ x , a ] ) {\displaystyle F(x):=-\Phi ([x,a])} と置いて得られる関数 F(x) は、 ∫ a x f ( t ) d t = F ( x ) {\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,dt=F(x)} を満たすから、f(x) の「 a {\displaystyle a} を基点とする不定積分」を与える。
∫ d x = x + C . {\displaystyle \int dx=x+C.}
∫ x a d x = 1 a + 1 x a + 1 + C . ( a ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{a}dx={\frac {1}{a+1}}x^{a+1}+C.\quad (a\neq -1)}
∫ 1 x d x = ln  | x | + C . {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C.}
∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a arctan  x a + C . ( a ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}\,dx={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C.\quad (a\neq 0)}
∫ 1 x 2 − a 2 d x = 1 2 a ln  | x − a x + a | + C . ( a ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}-a^{2}}}\,dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C.\quad (a\neq 0)}
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin  x a + C . ( a > 0 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arcsin {\frac {x}{a}}+C.\quad (a>0)}
逆に連続関数 f(x) の原始関数 F(x) が与えられれば、微分積分学の基本定理(第二基本定理)から、定義域内の任意の閉区間 [a, b] に対して 微分積分学の基本公式
∫ a b f ( t ) d t = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)}
が成立するから、F(x) は f(x) の不定積分である。