射影的対象
R を 1 をもつ環とする.左 R 加群の圏 M R {\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}} を考える. M R {\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}} はアーベル圏である. M R {\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}} における射影的対象はちょうど射影左 R 加群である.なので R はそれ自身 M R {\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}} の射影的対象である.双対的に, M R {\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}} における単射的対象はちょうど単射的左 R 加群である.
左(右)R 加群の圏は充分射影的対象を持つ.なぜならば,任意の左(右)R 加群 M に対して,F として M の生成集合 X(M でよい)によって生成される自由(したがって射影)R 加群をとることができるからである.すると 標準射影 π: F → M が所望の全射である.