三次元球面
H0(S, Z) = H3(S, Z) = Z, Hi(S, Z) = {0} (∀i (≠ 0, 3)).
これとまったく同じホモロジー群を持つ任意の位相空間を三次元ホモロジー球面(英語版)。アンリ・ポアンカレは初め、任意の三次元ホモロジー球面は S に同相であろうと予想したが、自身の手でこんにちポワンカレホモロジー球面(英語版)と呼ばれる反例を構成して、予想は否定的に解決された。今ではホモロジー球面は無限個存在することが知られている。例えば、三次元球面上にある任意の結び目についての傾き 1/n のデーン充填(英語版)はホモロジー球面を与えるが、これらは典型的には三次元球面に同相でない。
同様にホモトピー群は π1(S) = π2(S) = {0} および π3(S) = Z であり、それより高次(以下の表で k ≥ 4)の場合は全て有限アーベル群となるが、その現れ方は単純に記述できるようなパターンにはなっていない。より詳細は球面のホモトピー群(英語版)を見よ。