ノルム剰余同型定理
この予想は体 k {\displaystyle k} のミルナーのK-群の l {\displaystyle \ell } -次の余捩れ (cotorsion) ( l {\displaystyle \ell } -可除元のなす部分群による商)が1の l {\displaystyle \ell } -乗根のなすガロア加群を係数とする k {\displaystyle k} のガロアコホモロジーに等しいことを主張する。予想の重要な点は、ミルナーのK-群には成立することが容易に分かるが、ガロアコホモロジーで成立するか直ちに分からない性質、あるいはその逆の性質があることである。ノルム剰余同型定理は、同型の片側の対象に適用可能なテクニックを,もう一方の側の対象へ適用することを可能にする。
n {\displaystyle n} が0の場合は自明であり、 n = 1 {\displaystyle n=1} の場合はヒルベルトの定理90から容易に従う。 n = 2 {\displaystyle n=2} かつ l = 2 {\displaystyle \ell =2} の場合は (Merkurjev 1981) で証明された。
ミルナー予想の最初の証明は1995年のヴォエヴォツキーのプレプリント にあり、これはモラヴァのK-理論(英語版) (Morava K-theory) の代数的類似があるべきだというアイデアに基づいている(この代数的モラヴァのK-理論は、後日、シモーヌ・ボルゲーシ (Simone Borghesi)により構成された)。1996年のプレプリントで、ヴォエヴォツキーは代数的コボルディズム(英語版) (algebraic cobordism) を導入し、当時は証明されていなかったそれらの性質(後日これらの性質は証明された)を使うことで、モラヴァの K-理論を描像から取り去ることを可能とした。1995年と1996年のプレプリントの構成は正しいことが知られているが、ミルナー予想の最初の完全な証明はいくらか異なる枠組みを使っている。
その枠組みはブロック・加藤予想全体の証明が得られる枠組みでもある。それは1996年のプレプリントから数ヶ月後に、ヴォエヴォツキーにより考案された。この枠組みを実現するには、ある一連の性質を持つ代数多様体の構成法を見つけるとともに、モチーフ的ホモトピー論(英語版)(motivic homotopy theory) の分野の進展が必要とされた。具体的には、モチーフ的ホモトピー論からは次のことが要求された。