留数
留数定理を用いると、例えば
∫ − ∞ ∞ d x ( 1 + x 2 ) n + 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}}
のような積分が計算できる。まず、f(x) = 1 /(1 + x) を複素領域へ拡張した f(z) を考えると、これは z = ±i に極を持つ。十分大きな R > 0 を取り、区間 [−R, R] を直径とする原点中心の半円板で z = i を含むほうの周を C0、C0 から直径 [−R, R] を除いた部分を C とする。実軸上を正の向きに進むものとして C0 上で f(z) を積分すれば
∫ C 0 d z ( 1 + z 2 ) n + 1 = ∫ − R R d x ( 1 + x 2 ) n + 1 + ∫ C d z ( 1 + z 2 ) n + 1 {\displaystyle \int _{C_{0}}{{\mathit {dz}} \over (1+z^{2})^{n+1}}=\int _{-R}^{R}{{\mathit {dx}} \over (1+x^{2})^{n+1}}+\int _{C}{{\mathit {dz}} \over (1+z^{2})^{n+1}}}
である。このとき C が十分大きければ R に依らず、C0 の囲む領域内で f(z) は (n + 1)-位の極 z = i をもち、かつそれ以外には特異点を持たないから、留数定理により左辺は
2 π i Res z = i f ( z ) = 2 π i n !