ゲーデルの不完全性定理
田中によれば、ゲーデル自身が不完全性定理について明言しているのは、1963年8月28日の次の文言である。
ゲーデルは慎重を重ねて言葉を選んでいるため、この表現を安易に変えようとすると、不具合を生じる。実際、この定理のいずれかの条件が落とされることで、多数の誤解が生じている(特に「有限的算術を含む」という条件が落とされていることが多い)。「ある程度の有限的算術を含む」という条件を、「十分大きな」「十分複雑な」「十分表現力のある」などといった曖昧な条件に置き換えることは誤りだが、一般向けの解説などには横行している(実際には、大きな理論で完全なものもあれば、小さな理論で不完全なものもある)。さらに見落とされやすい点は、不完全性定理の前提および結論部に「算術の条件」があることである。
要するに不完全性定理は、「算術を含む体系がその算術部分で不完全である」という主張であり、その算術の外側が完全か不完全かについては、この定理は何も語っていない。
高名な物理学者でさえ、間違いを冒すことがある。フリーマン・ダイソンとスティーヴン・ホーキングの論説は、万物理論の可能性を否定するのにゲーデルの定理を持ち出した。しかし仮に物理理論に不完全性定理が適用できたとしても、不完全性はその算術部分に見つかるだけで、その理論が完全か不完全かは別の問題である。
哲学
ゲーデルは「合理的な神学」の可能性を信じてはいたが、特定の宗教組織に所属することはなく、不完全性定理から哲学的・神学的解釈を引き出そうと試みることもしなかった。
ISBN 978-4-13-064097-8。
田中一之 編『ゲーデルと20世紀の論理学 4 集合論とプラトニズム』東京大学出版会、2007年7月。ISBN 978-4-13-064098-5。
Lindstrom, Per (1997), Aspects of Incompleteness, Lecture Notes in Logic 10, Springer-Verlag, ISBN 3-540-63213-1
Hajek, Petr; Pudlak, Pavel (2013-10-04) [1993], Metamathematics of First-Order Arithmetic, Perspectives in Mathematical Logic (Softcover reprint ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-63648-9
コンピュータ科学者・数理論理学者・哲学博士(Ph.D. in Philosophy)のトルケル・フランセーンによれば、不完全性定理のインパクトと重要性について、しばしば大げさな主張が繰り返されてきた。たとえば
数学ばかりでなく、科学全体も一新した
という言があるが、これらは乱暴な誇張とされる。不完全性定理が一番大きな衝撃を与えたと思われる数学においてさえ、「革命」らしきものは何も起きていない。
この定理は、数理論理学(数学の比較的小さな領域)で常に使われているが、普通の数学者の仕事にはほとんど何の役にも立っていない(そもそも計算機科学は、不完全性定理の証明後に、アラン・チューリング主導で成立した。不完全性定理が計算機科学に革命を発生させたと述べるのは、時系列が誤っている)。
ゲーデルの完全性定理と不完全性定理は、革命的出来事ではなく時代の流れの産物だった。ゲーデル以外の誰かがこれらの定理を発見するのは時間の問題だったとされており、ゲーデル自身もそう見ていた。
数学上の「無矛盾性」と不完全性定理について、フランセーンは以下の通り解説している。