確率質量関数
さて ( B , B , μ ) {\displaystyle (B,{\mathcal {B}},\mu )} を数え上げ測度を持った測度空間とする。数え上げ測度に関する X の確率密度関数 f は、存在すれば、(数え上げ測度に関しての)X の pushforward measure のラドン=ニコディム微分であり、したがって f = d X ∗ P / d μ {\displaystyle f=dX_{*}P/d\mu } であり f は B から非負の実数への関数である。したがって、任意の b ∈ B に対して、
P ( X = b ) = P ( X − 1 ( { b } ) ) := ∫ X − 1 ( { b } ) d P = ∫ { b } f d μ = f ( b ) {\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(\{b\})):=\int _{X^{-1}(\{b\})}\,dP=\int _{\{b\}}f\,d\mu =f(b)}
が成り立ち、f が実際確率質量関数であることが証明された。