チョウラ＝セルバーグの公式
関数 η はデデキントのイータ関数で、h は類数(class number)、w は単位元の根の数である。
このような公式の起源は、虚数乗法の理論、特にCMアーベル多様体の周期の理論に見られる。その後、多くの研究と一般化がなされている。特に、P進ガンマ関数を含む p進数に対するチョウラ=セルバーグの公式として、グロス=コブリッツの公式が挙げられる。
チョウラ=セルバーグの公式は、イータ関数の値の有限の積を与えるものである。これを虚数乗法の理論と組み合わせることにより、イータ関数の個別の絶対値に関する次の公式が得られる。
I ( τ ) | η ( τ ) | 4 = α 4 π | D | ∏ r Γ ( r / | D | ) χ ( r ) w 2 h . {\displaystyle \Im (\tau )|\eta (\tau )|^{4}={\frac {\alpha }{4\pi {\sqrt {|D|}}}}\prod _{r}\Gamma (r/|D|)^{\chi (r){\frac {w}{2h}}}.}
ここで α はある代数的数である。
ガンマ関数に対する相反公式(reflection formula)を使えば、次が得られる。
η ( i ) = 2 − 1 π − 3 / 4 Γ ( 1 4 ) {\displaystyle \eta (i)=2^{-1}\pi ^{-3/4}\Gamma ({\tfrac {1}{4}})}