レヴィ・チヴィタ接続
と書ける。
一般の ( r , s ) {\displaystyle (r,s)} -テンソルの場合の公式は上記の公式にライプニッツ則を適用する事で得られる。例えば ( 2 , 0 ) {\displaystyle (2,0)} -テンソルに対しては、
∇ X , Y 2 Z 1 ⊗ Z 2 − ∇ Y , X 2 Z 1 ⊗ Z 2 = ( R ( X , Y ) Z 1 ) ⊗ Z 2 + Z 1 ⊗ R ( X , Y ) Z 2 {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}Z_{1}\otimes Z_{2}-\nabla _{Y,X}^{2}Z_{1}\otimes Z_{2}=(R(X,Y)Z_{1})\otimes Z_{2}+Z_{1}\otimes R(X,Y)Z_{2}}
であるし、 ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} -テンソルに対しては、下記のとおりである:
∇ X , Y 2 Z ⊗ α − ∇ Y , X 2 Z ⊗ α = ( R ( X , Y ) Z ) ⊗ α − Z ⊗ R ( X , Y ) ⌟ α {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}Z\otimes \alpha -\nabla _{Y,X}^{2}Z\otimes \alpha =(R(X,Y)Z)\otimes \alpha -Z\otimes R(X,Y)\lrcorner \alpha }
M上の関数 f : M → R {\displaystyle f~:~M\to \mathbb {R} } に対し、前節のように ∇ f {\displaystyle \nabla f} を定義すると、 ∇ f = d f {\displaystyle \nabla f=df} である。前節同様2階共変微分 ∇ X , Y 2 f {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}f} を定義する。
定義・定理 ―
∇ X , Y 2 f = ( Y X − ∇ Y X ) f = ( ∂ f ∂ x i ∂ x j − ∂ f ∂ x k Γ k i j ) X i Y j {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}f=(YX-\nabla _{Y}X)f=\left({\partial f \over \partial x^{i}\partial x^{j}}-{\partial f \over \partial x^{k}}\Gamma ^{k}{}_{ij}\right)X^{i}Y^{j}}
が成立する。 ∇ X , Y 2 f {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}f} をfのヘッシアン(英: Hessian)という。
ヘッシアンは
∇ X , Y 2 f = ∇ Y , X 2 f {\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}f=\nabla _{Y,X}^{2}f}
を満たすことを証明できるので、ヘッシアンは対称2次形式である。
本節では勾配、発散、ラプラシアンという、ユークリッド空間におけるベクトル解析の演算子をリーマン多様体上で定義する。
測地線の概念を全く違った角度から特徴づける事ができる。
, x m ) ) {\displaystyle {\vec {y}}(x^{1},\ldots ,x^{m})=(y^{1}(x^{1},\ldots ,x^{m}),\ldots ,y^{n}(x^{1},\ldots ,x^{m}))}
と表すと、
d d t v → ( t ) {\displaystyle {d \over dt}{\vec {v}}(t)} = d d t ( v k ( t ) ∂ y → ∂ x k ( x ( t ) ) ) {\displaystyle ={d \over dt}\left(v^{k}(t){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))\right)} = d v k ( t ) d t ∂ y → ∂ x k ( x ( t ) ) + v k ( t ) d x j ( t ) d t ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k ( x ( t ) ) {\displaystyle ={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))}
である。 ∂ y → ∂ x k ( x ( t ) ) {\displaystyle {\tfrac {\partial {\vec {y}}}{\partial x^{k}}}(x(t))} はMの y → ( x ( t ) ) {\displaystyle {\vec {y}}(x(t))} における接平面に属しているので、
↑ なおこれらの文献では、後述する公理を満たすものをレヴィ-チヴィタ接続と呼び、この公理を満たすものがここに挙げた形で書ける事を「定理」としているが、公理を満たすものは一意なので、ここに挙げたものを定義としてもよい。
↑ 成分 ω i j {\displaystyle \omega ^{i}{}_{j}} 接続形式といい、ωを接続行列(英: connection matrix)と呼ぶ場合もある。
↑ 厳密には以下の通りである。Mの曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って定義された局所的な基底 e ( t ) = ( e 1 ( t ) , ... , e m ( t ) ) {\displaystyle e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))} を考え、 e ( 0 ) {\displaystyle e(0)} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って平行移動したものを e ̄ ( t ) = ( e ̄ 1 ( t ) , ...
ここで ∧ ◯ {\displaystyle {~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}} は下記のKulkarni–Nomizu積である:
( h ∧ ◯ k ) ( X , Y , Z , W ) := h ( X , Z ) k ( Y , W ) + h ( Y , W ) k ( X , Z ) − h ( X , W ) k ( Y , Z ) − h ( Y , Z ) k ( X , W ) {\displaystyle {\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(X,Y,Z,W):={}&h(X,Z)k(Y,W)+h(Y,W)k(X,Z)\\&{}-h(X,W)k(Y,Z)-h(Y,Z)k(X,W)\end{aligned}}}
レヴィ-チヴィタ接続は以下の性質により特徴づけられる:
定理 (リーマン幾何学の基本定理) ― レヴィ-チヴィタ接続は以下の5つの性質を満たす。またM上のベクトル場の組にM上のベクトル場を対応させる汎関数で以下の5つの性質をすべて満たすものはレヴィ-チヴィタ接続に限られる:
∇ f X + g Y Z = f ∇ X Z + g ∇ Y Z {\displaystyle \nabla _{fX+gY}Z=f\nabla _{X}Z+g\nabla _{Y}Z} (関数に関する左線形性)
∇ X ( a Y + b Z ) = a ∇ X Y + b ∇ X Z {\displaystyle \nabla _{X}(aY+bZ)=a\nabla _{X}Y+b\nabla _{X}Z} (実数に関する右線形性)
∇ X ( f Y ) = X ( f ) Y + f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}(fY)=X(f)Y+f\nabla _{X}Y} (ライプニッツ則)
∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] {\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]} (捻れなし)
∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z = X Y ( Z i ) ∂ ∂ x i − Y X ( Z i ) ∂ ∂ x i = [ X , Y ] ( Z i ) ∂ ∂ x i = ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle \nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z=XY(Z^{i}){\partial \over \partial x^{i}}-YX(Z^{i}){\partial \over \partial x^{i}}=[X,Y](Z^{i}){\partial \over \partial x^{i}}=\nabla _{[X,Y]}Z}
が常に成立する事を示せる。そこで
R ( X , Y ) Z := ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}
と定義すると、 R ( X , Y ) Z {\displaystyle R(X,Y)Z} はMが「平たい」ときには恒等的にゼロになり、この意味において R ( X , Y ) Z {\displaystyle R(X,Y)Z} はMの「曲がり具合」を表している考えられる。