ねじれ群
なぜなら、 φ n {\displaystyle \varphi _{n}} の形の論理式は有限個しか含まれないので、十分大きな位数 n {\displaystyle n} の有限巡回群 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } において c {\displaystyle c} を 1 ̄ {\displaystyle {\bar {1}}} と解釈すればよいからである。コンパクト性定理より T ′ {\displaystyle T'} はモデル G {\displaystyle G} を持つ。 G {\displaystyle G} はねじれ群であるにもかかわらず無限位数の元 c G {\displaystyle c^{G}} を含む。これは矛盾である。
上記の証明は、定数記号を追加すれば、「ねじれなし元を含む群」(つまりねじれ群でない群)が一階論理で(無限)公理化可能であることも示している。また、ねじれなし群は一階論理で(無限)公理化可能である。なぜなら、群の公理系に ψ n : ∀ x . ( x n = e → x = e ) ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle \psi _{n}\colon \forall x.(x^{n}=e\to x=e)\ (n=1,2,3,\ldots )} という無限個の論理式を添加した公理系を考えれば、そのモデルはちょうどねじれなし群となるからである。