射影作用素
すなわち、作用素 Q もやはり射影を定め、Q の値域は P の核、Q の核は P の値域となる。逆もまた然り。
このとき P を(核)V に沿った(値域)U の上への射影と言い、また Q を U に沿った V の上への射影と呼ぶ。
ベクトル空間の、部分空間の直和への分解は一般には一意的でない。従って、部分空間 V が与えられたとき、その値域(もしくは核)が V となるような射影は一般に複数存在しうる。
射影のスペクトルが {0, 1} に含まれることは
( λ I − P ) − 1 = 1 λ I + 1 λ ( λ − 1 ) P {\displaystyle (\lambda I-P)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}I+{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}P}
から分かる。射影の固有値となれるのは 0 および 1 に限られるが、それらに対応する固有空間は射影の核および値域に他ならない。
自明でない射影は最小多項式が X 2 − X = X ( X − I ) {\displaystyle X^{2}-X=X(X-I)} となり、これは相異なる一次因子の積となっているから、P は対角化可能である。
↑ Reed & Simon 1980, p. 187.
↑ Reed & Simon 1980, p. 188.
↑ Meyer 2000, p. 433.
↑ Meyer 2000, p. 431.
↑ Meyer 2000, equation 5.13.4.
↑ Meyer 2000, equation 5.13.3.
↑ Meyer 2000, equation 7.10.39.
↑ Doković, D. Ž. (August 1991). “Unitary similarity of projectors”. Aequationes Mathematicae 42 (1): 220–224. doi:10.1007/BF01818492. http://www.springerlink.com/content/w3r57501226447m6/.
P A = A ( A ⊤ A ) + A ⊤ {\displaystyle P_{A}=A(A^{\top }A)^{+}A^{\top }}
という形になる。ここで A + {\displaystyle A^{+}} はムーア・ペンローズ擬似逆行列を表す。このような場合には、射影作用素を構成する方法は無数にあり、これはその無数の可能性のうちの一つに過ぎないことに注意すべきである。
あるいは、行列 [ A B ] {\displaystyle [A\ B]} が正則で AB = 0(つまり、B は A の零空間行列)のときには
I = A ( A ⊤ A ) − 1 A ⊤ + B ( B ⊤ B ) − 1 B ⊤ {\displaystyle I=A(A^{\top }A)^{-1}A^{\top }+B(B^{\top }B)^{-1}B^{\top }}
が成り立つ。直交条件を強めて、正則行列 W に対して AWB = AWB = 0 が成り立つものとすれば、
I = [ A B ] [ ( A ⊤ W A ) − 1 A ⊤ ( B ⊤ W B ) − 1 B ⊤ ] W {\displaystyle I={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}(A^{\top }WA)^{-1}A^{\top }\\(B^{\top }WB)^{-1}B^{\top }\end{bmatrix}}W}
が成立する。
これらの公式は(転置行列を随伴行列に取り替えれば)複素内積空間でも成立する。