単位ベクトル
零ベクトルでないベクトル p は、その大きさと単位ベクトルで表すことができる:
p = ‖ p ‖ p ‖ p ‖ {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\|{\boldsymbol {p}}\|{\frac {\boldsymbol {p}}{\|{\boldsymbol {p}}\|}}}
ここで p ‖ p ‖ {\displaystyle {\frac {\boldsymbol {p}}{\|{\boldsymbol {p}}\|}}} が単位ベクトルであることは、ノルムの線形性の一部から従う:
‖ p ‖ p ‖ ‖ = 1 ‖ p ‖ ‖ p ‖ = 1 {\displaystyle \left\|{\frac {\boldsymbol {p}}{\|{\boldsymbol {p}}\|}}\right\|={\frac {1}{\|{\boldsymbol {p}}\|}}\|{\boldsymbol {p}}\|=1}
これにより、ある方向のベクトル同士は、大きさと向き(固定した単位ベクトルと同じか逆か)で表すことができる。
ベクトルの正射影にも、単位ベクトルによる表記が簡潔である。ベクトル p を(方向が同じとは限らない)単位ベクトル e に正射影したとき、