エミー・ネーター
ネーターの第一の時代の結果は印象的かつ有用ではあるものの、彼女の数学者としての名声は、ヘルマン・ヴァイルとファン・デル・ヴェルデンによって彼女の obituary において書かれているように、彼女の第二・第三時代に彼女がしたパイオニア的仕事により基づいている。
これらの時代において、彼女は単にそれ以前の数学者のアイデアや手法を適用しただけではない。むしろ、彼女は将来の数学者によって使われる新しい数学の定義を作っていた。特に、彼女は先のリヒャルト・デデキント (Ricahrd Dedekind) の仕事を一般化して、環のイデアルの全く新しい理論を展開した。彼女はまた昇鎖条件を展開したことでも名高い。これは単純な有限性の条件で、彼女の手により強力な結果が得られた。そのような条件とイデアルの理論によってネーターは多くの以前の結果を一般化し、彼女の父によって研究されていた除去理論(英語版)や代数多様体のような、古い問題を新しい観点から扱うことができた。
ガロワ理論は方程式の根を置換する数体の変換と関係する。変数 x の n 次の多項式方程式を考えよう。係数はある基礎体(英語版)からとられる。例えば、実数体とか、有理数体、7 を法とした整数、など。この多項式の値が 0 になるような x はあるかもしれないしないかもしれない。もし存在すれば、それは根と呼ばれる。多項式が x + 1 で体が実数体ならば、多項式は根を持たない、なぜならば x をどのようにとっても多項式の値は 1 以上になるからである。しかしながら、体が拡大されると、多項式は根を持ち得、十分に拡大されれば、必ず次数に等しい個数の根を持つ。前の例を続ければ、体が複素数体に拡大されれば、多項式は 2 つの根 i と −i を得る。ここに i は虚数単位、すなわち、i = −1 を満たす数である。より一般に、多項式が根に分解するような拡大体を多項式の分解体と呼ぶ。
多項式のガロワ群は分解体の変換であって基礎体と多項式の根を保つようなものすべてからなる集合である。(数学用語ではこれらの変換は自己同型と呼ばれる。)x + 1 のガロワ群は2つの元からなる。すべての複素数を自分自身に送る恒等変換と、i を −i に送る複素共役写像である。ガロワ群は基礎体を変えないから、多項式の係数は変わらないままであり、したがってすべての根の集合も変わらないままである。
第一次大戦が終わった時、1918年から19年のドイツ革命が社会的態度に重要な変化をもたらし、女性により権利が与えられた。1919年ゲッチンゲン大学はネーターが habilitation(英語版)(在職の適任性)を続行することを許可した。彼女の口頭試験は5月下旬に開かれ、彼女は6月に講師資格講演を無事遂行した。
3年後彼女はPrussian Minister for Science, Art, and Public Education から手紙を受け取った。彼はその手紙で彼女に nicht beamteter ausserordentlicher Professor (an untenured professor with limited internal administrative rights and functions) の肩書きを授与した。これは無給の「異常な」教授の職であり、公務員であるより高い「通常の」教授職ではなかった。それは彼女の仕事の重要性を認めてはいたが、相変わらず給与は無かった。ネーターは一年後 Lehrbeauftragte für Algebra の特別職に任命されるまで講義の給与を支払われなかった。
ネーターはダフィット・ヒルベルトとフェリックス・クラインによりゲッチンゲンに招聘された。主にアルベルト・アインシュタインが発展させた重力の幾何学的理論である一般相対論を理解する助けとなるために彼らは彼女の不変式論の知識を欲していた。ヒルベルトは一般相対論ではエネルギー保存則は成り立たないようだと観察していた、なぜならば重力エネルギーはそれ自身重力に引かれるからである。ネーターはこのパラドックスの解決法と現代理論物理学の基本的な道具を1915年に証明したが1918年まで出版しなかったネーターの第一定理とともに提案した。彼女は一般相対論の問題を解いただけでなく連続対称性を有する物理法則のすべての系に対する保存量の決定もした。
彼女の仕事を受けてアインシュタインはヒルベルトに書いた:"Yesterday I received from Miss Noether a very interesting paper on invariants. I'm impressed that such things can be understood in such a general way. The old guard at Göttingen should take some lessons from Miss Noether! She seems to know her stuff."(訳:昨日私はネーター氏から不変量に関する非常に興味深い論文を受け取りました。私はそのようなことがそのように一般的な方法で理解できるということに感銘を受けています。
この時代、ネーターは昇鎖条件 (Teilerkettensatz) や降鎖条件 (Vielfachenkettensatz) を巧みに用いたことで有名になった。集合 S の空でない部分集合の列 A1, A2, A3, ... は、各部分集合が次の部分集合の部分集合になっている
A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂ ⋯ {\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset \cdots }
ときに通常 ascending と言われる。
逆に、S の部分集合の列が descending とは、各部分集合が次の部分集合を含む
A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ ⋯ {\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }
ことをいう。
鎖はある n が存在してすべての m ≥ n に対して An = Am となるようなとき有限個のステップの後停留的になるという。与えられた集合の部分集合の集まりが昇鎖条件を満たすとは、任意の昇鎖列が有限個のステップの後停留的になることをいう。降鎖条件を満たすとは任意の降鎖列が有限個のステップの後停留的になることをいう。
この態度はドイツで彼女の問題を引き起こし,学生のリーダーたちが「マルクス主義趣向のユダヤ人」と同居することに不満を言った後に,ついには彼女はペンションから立ち退くこととなった.
ネーターはモスクワに帰ることを計画し,アレクサンドロフから支援を受けた.1933年に彼女がドイツを去った後彼は Soviet Education Ministry(英語版) を通して Moscow State University で彼女が職を得られるよう手伝った.この努力は実らなかったが,彼らは1930年代の間頻繁に文通し,1935年に彼女はソヴィエト連邦に帰る計画を立てた.その間彼女の弟フリッツ(英語版)は,ドイツで職を失った後,ロシアの Siberian Federal District のトムスクの Research Institute for Mathematics and Mechanics で職を得た.