ヤコビ行列
円柱座標は、直交座標への座標変換 (x, y, z) = f (r, θ, z) = (r cos θ, r sin θ, z) を与えるから、ヤコビアンは
| J f | = | cos  θ − r sin  θ 0 sin  θ r cos  θ 0 0 0 1 | = r {\displaystyle |J_{f}|={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=r}
となる。従って、円座標のときと同じく、特異点は r = 0 となる点、即ち (0, θ, z) である。これは直交座標での (0, 0, z) すなわち z–軸を表す。
ここでは、多様体間の写像のヤコビ行列について述べる。
M, N をそれぞれ m 次元、n 次元の C (k ≥ 1) 多様体で、f をその間の C 級写像だとする。 このとき、f の点 p ∈ M での微分 dfp は、点 p における M の接ベクトル空間 TpM と、点 f(p) における N の接ベクトル空間 Tf(p)N の間の線型写像となる。p のまわりの M の局所座標 {x1, ..., xm} および f (p) のまわりの N の局所座標 {y 1, ..., yn} を定めると、それぞれの接ベクトル空間における基底が定まる。 この基底に関する dfp の表現行列を f の p におけるヤコビ行列と呼ぶ。
写像の微分は局所座標に依存しないが、ヤコビ行列は局所座標の選び方に依存する。 ただし、同じ写像の、局所座標の選び方を変えたヤコビ行列同士は互いに共役である。
この定義は、冒頭の定義の拡張となっている。 M = R(の開集合)、N = R とし、それぞれに自明な局所座標を選ぶことによって、冒頭の定義と一致する。