フィッシャーの方程式
数学におけるフィッシャーの方程式(フィッシャーのほうていしき、英: Fisher's equation)あるいはフィッシャー=コルモゴロフ方程式またはフィッシャー=KPP方程式として知られる方程式は、ロナルド・フィッシャー(およびアンドレイ・コルモゴロフ)の名にちなむ、次の偏微分方程式のことを言う:
∂ u ∂ t = u ( 1 − u ) + ∂ 2 u ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=u(1-u)+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.\,}
フィッシャーはこの方程式を、優性アレルの空間伝播を表現するために提唱し、その進行波解を発見した。任意の波速度 c ≥ 2 に対し、フィッシャーの方程式には次の形式で記述される進行波解が存在する:
u ( x , t ) = v ( x ± c t ) ≡ v ( z ) , {\displaystyle u(x,t)=v(x\pm ct)\equiv v(z),\,}
ここで v {\displaystyle \textstyle v} は増加函数であり、
lim z → − ∞ v ( z ) = 0 , lim z → ∞ v ( z ) = 1 {\displaystyle \lim _{z\rightarrow -\infty }v\left(z\right)=0,\quad \lim _{z\rightarrow \infty }v\left(z\right)=1}
が成立する。