磁気双極子
仮想的に磁気単極子を考え、正負の磁荷 ±qm が位置 d/2 に対になって存在するものとする。ベクトル m を次のように定める。
m = 1 μ 0 q m d {\displaystyle {\boldsymbol {m}}={\frac {1}{\mu _{0}}}q_{m}{\boldsymbol {d}}}
m を一定に保ったまま d を無限に小さくするとき、その極限は磁気モーメント m の磁気双極子とみなすことができる。 磁荷の対がつくる磁気双極子は外部から見ればループ電流と等価であり区別できない。ただし双極子内部の磁場は異なる。
B ( r ) = − μ 0 4 π ∫ rot ′  rot ′  M ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ = μ 0 M ( r ) + μ 0 4 π grad  ∫ div ′  M ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})&=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\operatorname {rot} '\operatorname {rot} '{\boldsymbol {M}}({\boldsymbol {r}}')}{\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}}\right|}}\;\mathrm {d} ^{3}r'\\&=\mu _{0}{\boldsymbol {M}}({\boldsymbol {r}})+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\operatorname {grad} \int {\frac {\operatorname {div} '{\boldsymbol {M}}({\boldsymbol {r'}})}{\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}}\right|}}\;\mathrm {d} ^{3}r'\end{aligned}}}
となる。