モノイド
二つのモノイド M, N に対して(より一般に、有限個のモノイド M1, ..., Mk に対して、あるいは無限族 {Mi}i∈I に対して)、それらの直積集合 M × N(あるいは M1 × ⋯ × Mk, ∏i∈I Mi)もまたモノイドとなる。モノイド演算および単位元は、成分ごとの積および成分ごとの単位元の組として与えられる。
与えられたモノイド M に対し、与えられた集合 S から M への写像の全体 Map(S, M) は再びモノイドとなる。単位元は任意の元を M の単位元へ写す定値写像で、演算は M の積から導かれる点ごとの積で、それぞれ与えられる。これは S で添字付けられたモノイドの族 {M}i∈S の直積モノイドと本質的に同じものである。