関手圏
D において実行できるほとんどの構成は、「成分ごと」に、C の各対象に対してバラバラに実行することで、D においても実行できる。例えば、D の任意の2つの対象 X と Y が積 X × Y を持つとき、D の任意の2つの関手 F と G は次で定義される積 F × G を持つ:C の任意の対象 c に対して (F × G)(c) = F(c) × G(c). 同様に、ηc: F(c)→G(c) が自然変換で各 ηc が圏 D において核 Kc をもつとき、関手圏 D における η の核は、C のすべての c に対して K(c) = Kc なる関手 K である。
結果として、関手圏 D は D のほとんどの「よい」性質を共有するという一般的 rule of thumb(英語版) がある:
D が完備(あるいは余完備)ならば D もそうである。;
D がアーベル圏ならば D もそうである;
また次も成り立つ:
C が任意の小さい圏ならば、前層(英語版)の圏 Set はトポスである。
なので上の例から、有向グラフ、G 集合、位相空間上の前層の圏はすべて完備かつ余完備なトポスで、G の表現、環 R 上の加群、位相空間 X 上のアーベル群の前層の圏はすべてアーベル、完備、余完備であることがただちに結論付けられる。