直観主義論理
( ∀ x φ ( x ) ) → ¬ ( ∃ x ¬ φ ( x ) ) {\displaystyle (\forall x\ \phi (x))\to \neg (\exists x\ \neg \phi (x))}
( ∃ x φ ( x ) ) → ¬ ( ∀ x ¬ φ ( x ) ) {\displaystyle (\exists x\ \phi (x))\to \neg (\forall x\ \neg \phi (x))}
( ∃ x ¬ φ ( x ) ) → ¬ ( ∀ x φ ( x ) ) {\displaystyle (\exists x\ \neg \phi (x))\to \neg (\forall x\ \phi (x))}
( ∀ x ¬ φ ( x ) ) ↔ ¬ ( ∃ x φ ( x ) ) {\displaystyle (\forall x\ \neg \phi (x))\leftrightarrow \neg (\exists x\ \phi (x))}
すると、例えば、 "a or b" は "if not a, then b" よりも強い主張となる。これは古典論理において同値であることと対照的である。他方で "not (a or b)" と "not a, and also not b" は同値となる。
同値を結合子のリストに入れるならば、いくつかの結合子は他から定義できる:
( φ ↔ ψ ) ↔ ( ( φ → ψ ) ∧ ( ψ → φ ) ) {\displaystyle (\phi \leftrightarrow \psi )\leftrightarrow ((\phi \to \psi )\land (\psi \to \phi ))}
したがってこの論理式の付値は真であり、妥当であることが従う。
しかし排中律 A ∨ ¬ A {\displaystyle A\vee \neg A} は非妥当である。それには A {\displaystyle A} に ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} を割り当てるとよい。すると ¬ A {\displaystyle \neg A} の付値は ( − ∞ , 0 ] {\displaystyle (-\infty ,0]} の内部、すなわち ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle (-\infty ,0)} であり、目的の論理式の付値は ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} および ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle (-\infty ,0)} の和集合、すなわち R ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}} となる。これは空間全体に一致しない。
数直線からハイティング代数を作る上のやり方は任意の位相空間に対しても適用できる。位相空間論では閉包の開核がもとと一致する集合を正則開集合という。これはこのハイティング代数における二重否定で不変な集合と同じものである。正則開集合の全体は(完備)ブール代数を成す。これは古典論理が二重否定によって直観主義論理に埋め込めるというグリベンコの定理に対応している。
直観主義命題論理の論理式は次のように様相命題論理S4の論理式に翻訳できる:
またこれにより直観主義論理を模倣できる。すなわち翻訳された論理式が様相命題論理S4で妥当であることと、翻訳前の論理式が直観主義命題論理IPCで妥当であることは同値である。上のような変換はゲーデル=マッキンゼー=タルスキ変換と呼ばれる。
様相論理S4の直観主義版は構成的様相論理CS4と呼ばれる。