マハラノビス距離
マハラノビス距離はまた、共分散行列が Σ {\displaystyle \Sigma } で同じ確率分布に従う2つの確率変数ベクトル、 x → {\displaystyle {\vec {x}}} と y → {\displaystyle {\vec {y}}} の間の隔たりの指標としても定義できる:
d ( x → , y → ) = ( x → − y → ) ⊺ Σ − 1 ( x → − y → ) {\displaystyle d({\vec {x}},{\vec {y}})={\sqrt {({\vec {x}}-{\vec {y}})^{\intercal }\Sigma ^{-1}({\vec {x}}-{\vec {y}})}}}
共分散行列が対角行列であれば(相異なる変数に相関がないということ)、マハラノビス距離は「正規化ユークリッド距離」と呼ばれる:
d ( x → , y → ) = ∑ i = 1 p ( x i − y i ) 2 σ i 2 {\displaystyle d({\vec {x}},{\vec {y}})={\sqrt {\sum _{i=1}^{p}{(x_{i}-y_{i})^{2} \over \sigma _{i}^{2}}}}}
ここで σ i {\displaystyle \sigma _{i}} は、 x i {\displaystyle x_{i}} の集合における標準偏差である。さらに共分散行列が単位行列であれば、マハラノビス距離はユークリッド距離と一致する。