ピカール・レフシェッツ理論
ピカール・レフシェッツ公式は臨界点におけるモノドロミーを描写する。
f を (k + 1) 次元複素射影多様体から射影直線 Pへの正則写像とする。すべての臨界点は非退化かつそれぞれ異なるファイバー上に存在すると仮定し、それらの像を x1, ..., xn ∈ P と書く。x ≠ x1, ..., xn なる点 x ∈ P を取る。基本群 π1(P – {x1, ..., xn}, x) は点 xi の周りを周るループ wi によって生成され、各点 xi に対して x におけるファイバー Yx のホモロジー Hk(Yx) 内の消滅サイクル(英語版)(vanishing cycle)が存在する。ここで、ファイバーは複素次元 k であり、よって実次元 2k であることからこのホモロジーの次数は中間の次数であることに注意せよ。 Hk(Yx) 上の π1(P – {x1, ..., xn}, x) のモノドロミー作用は以下のピカール・レフシェッツ公式で得られる(他のホモロジー群上のモノドロミー作用は自明である)。