トレースクラス
A {\displaystyle A} を、可分なヒルベルト空間 H {\displaystyle H} 内のトレースクラス作用素とし、 { λ n ( A ) } n = 1 N , {\displaystyle \{\lambda _{n}(A)\}_{n=1}^{N},} N ≤ ∞ {\displaystyle N\leq \infty } を A {\displaystyle A} の固有値とする。 λ n ( A ) {\displaystyle \lambda _{n}(A)} は、代数的重複度も考慮して数え上げられる(すなわち、 λ {\displaystyle \lambda } の代数的重複度が k {\displaystyle k} であるなら、リスト λ 1 ( A ) , λ 2 ( A ) , ... {\displaystyle \lambda _{1}(A),\lambda _{2}(A),\dots } において λ {\displaystyle \lambda } は k {\displaystyle k} 回繰り返される)ものとする。
行列に対する定義と似ているが、可分なヒルベルト空間 H 上の有界線型作用素 A がトレースクラスに属するとは、H のいくつかの(実際には全ての)正規直交基底 {ek}k に対して、正の項の和
‖ A ‖ 1 = T r | A | := ∑ k ⟨ ( A ∗ A ) 1 / 2 e k , e k ⟩ {\displaystyle \|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|:=\sum _{k}\langle (A^{*}A)^{1/2}\,e_{k},e_{k}\rangle }
が有限であることを言う。この場合、和
T r A := ∑ k ⟨ A e k , e k ⟩ {\displaystyle {\rm {Tr}}A:=\sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle }
は絶対収束し、その正規直交基底の選び方に依らない。この値は、A のトレースと呼ばれる。H が有限次元であるなら、すべての作用素はトレースクラスであり、この A のトレースの定義は、行列に対するトレースの定義と一致する。
A が非負の自己共役作用素であるなら、発散することもあり得る和
∑ k ⟨ A e k , e k ⟩ {\displaystyle \sum _{k}\langle Ae_{k},e_{k}\rangle }
によって、A のトレースを拡大実数として定義することも出来る。
Tf が正作用素であるような場合には、任意の正規直交基底 ui に対して、
∑ i ⟨ T f u i , u i ⟩ = f ( I ) ≤ ‖ f ‖ , {\displaystyle \sum _{i}\langle T_{f}u_{i},u_{i}\rangle =f(I)\leq \|f\|,}
が成立する。ここで I は恒等作用素
I = ∑ i ⟨ ⋅ , u i ⟩ u i {\displaystyle I=\sum _{i}\langle \cdot ,u_{i}\rangle u_{i}}
である。しかしこのことは、Tf がトレースクラスであることを意味する。極分解(英語版)により、これはより一般的な、Tf が必ずしも正ではない場合に拡張される。
有限ランク作用素を介した極限の議論により、||Tf ||1 = || f || が得られる。したがって、K(H)* は C1 と等長同型である。