断面曲率
リーマン幾何学において、断面曲率(英: sectional curvature)は、リーマン多様体の曲率(英語版)を記述する方法のひとつである。断面曲率 K(σp) は p の接空間内の 2次元平面 σp に依存する。断面曲率は曲面のガウス曲率であり、σp 方向の点 p から始まる測地線より得られる p での接平面 σp を持つ(言い換えると、この平面は、p での指数写像(英語版)の下の像である。断面曲率は、多様体上の 2次元グラスマン多様体(英語版)のファイバーバンドル上の滑らかな実数値函数である。
断面曲率は、リーマン曲率テンソルを完全に決定する。
リーマン多様体のある点上の 2つの線型独立な接ベクトル u と v に対し、断面曲率を
K ( u , v ) = ⟨ R ( u , v ) v , u ⟩ ⟨ u , u ⟩ ⟨ v , v ⟩ − ⟨ u , v ⟩ 2 {\displaystyle K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}}
と定義する。ここに R はリーマン曲率テンソルである。
特に u と v が正規直交であれば、
K ( u , v ) = ⟨ R ( u , v ) v , u ⟩ {\displaystyle K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle }
である。実際、断面曲率は、p 上の接空間の中で u と v によりはられる 2次元平面 σp に依存する。これを、2次元平面 σp の断面曲率との呼び、K(σp) で表す。
定数である断面曲率を持つリーマン多様体は最も単純であり、これらは空間の形(英語版)(space form)と呼ばれる。計量をリスケールすることにより、3通りの可能性がある。
負の曲率 −1, 双曲幾何学
曲率 0, ユークリッド幾何学
正の曲率 +1, 楕円幾何学
3つの幾何学的なモデルとなる多様体は、双曲空間(英語版)(hyperbolic space), ユークリッド空間 と単位球面である。これらは、与えられた断面曲率を持つ単連結で完備で単連結なリーマン多様体である。これ以外の単連結の定数曲率を持つ多様体すべては、ある等長(isometries)でこれらを割った商空間である。
(次元が 3 または、それ以上の次元の)連結なリーマン多様体の各々の点に対し、断面曲率は 2-平面とは独立であるので、断面曲率は、実際、多様体全体で定数である。