エクイティプレミアムパズル
数式による説明におけるルーカス型資産価格モデルは完備市場であることを暗に仮定している。例えば代表的個人の仮定も完備市場や実質的に完備な市場においては正当化できるが、そうではないようなモデルでは正当化できない。そこで金融投資でヘッジできないリスクが存在する非完備市場を想定することでエクイティプレミアムパズルを説明しようとする試みがなされている。
具体的には各消費者にはそれぞれ異なる労働所得などの不確実性が存在し、その不確実性は金融取引でヘッジできない場合を想定している。家計ごとの消費額は数式による説明における効用最大化問題の解として解釈できるので、総消費額ではなく各家計ごとの消費額を用いて資産価格モデルが成立しているかどうかを確認できる。実際に各家計ごとの消費額で資産価格モデルが成立するかどうかを検証すると、比較的妥当な相対的リスク回避度で株式のリスクプレミアムをよく説明できることが確認されている。
ここではMehra and Prescott & (2003)における説明を述べる。Mehra and Prescott & (2003)ではルーカス型資産価格モデルを用いた説明がなされている。完全市場の下で、消費者は単一の代表的個人で表され、消費者の効用関数は時間について加法分離的であり、さらにその効用関数は相対的リスク回避度が一定であるCRRA型効用関数であるとする。また市場では単一の株式とゼロ・クーポン債券のみが取引されているとする。この時、消費者は次の期待効用最大化問題を解く。
max c E 0 [ ∑ t = 0 ∞ β t u ( c t ) ] {\displaystyle \max _{c}E_{0}\left[\sum _{t=0}^{\infty }\beta ^{t}u(c_{t})\right]}
subject to c t + p e , t q e , t + p b , t q b , t ≤ ( p e , t + d e , t ) q e , t − 1 + p b , t q b , t − 1 {\displaystyle {\mbox{subject to }}c_{t}+p_{e,t}q_{e,t}+p_{b,t}q_{b,t}\leq (p_{e,t}+d_{e,t})q_{e,t-1}+p_{b,t}q_{b,t-1}}