部分対象
詳しくは,A をある圏の対象とする.余域を A とする2つの単射
u: S → A
v: T → A
が与えられたとき,u ≤ v とは,u が v を通して分解する(英語版)こととする,つまり,ある w: S → T が存在して u = v ∘ w {\displaystyle u=v\circ w} とする.次で定義される二項関係 ≡:
u ≡ v ⇔ u ≤ v かつ v ≤ u
は余域を A とする単射上の同値関係であり,これらの単射の対応する同値類は A の部分対象 (subobject) である.2つの単射が A の同じ部分対象を表すとき,それらの始域は同型である.A を余域とする単射の集まりに関係 ≤ をいれたものは前順序をなすが,部分対象の定義は A の部分対象の集まりが半順序であることを保証する.(ある対象の部分対象の集まりは実は真クラスかもしれない;なのでこの議論は少々不正確である.任意の対象の部分対象の集まりが集合であるとき,圏は well-powered である.)
商対象という双対概念を得るには,単射を全射に置き換え射の向きを逆にすればよい.