ブロッホの定理
k ≡ 2 π n N a {\displaystyle k\equiv {\frac {2\pi {}n}{Na}}}
と定義すると、(4)式は、
C a = e i k a {\displaystyle C_{a}=e^{ika}}
となる。よって、 C a {\displaystyle C_{a}} の値を(1)式に代入すると、
ψ ( x + a ) = e i k a ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x+a)=e^{ika}\psi (x)}
となる。
3次元の場合も同様に、格子が3方向に基本格子ベクトル a 1 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}} , a 2 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{2}} , a 3 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{3}} を持ち、格子ベクトル R {\displaystyle {\boldsymbol {R}}} を
R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle {\boldsymbol {R}}=n_{1}{\boldsymbol {a}}_{1}+n_{2}{\boldsymbol {a}}_{2}+n_{3}{\boldsymbol {a}}_{3}} ( n 1 {\displaystyle n_{1}} , n 2 {\displaystyle n_{2}} , n 3 {\displaystyle n_{3}} :整数)
量子力学や物性物理学におけるブロッホの定理(ブロッホのていり、英: Bloch's theorem)とは、ハミルトニアンが空間的な周期性(並進対称性)をもつ場合に、その固有関数が満たす性質を表した定理のこと。1928年に、フェリックス・ブロッホによって導出された。
結晶は基本格子ベクトルだけ並進すると自分自身と重なり合うため、並進対称性を持つ。よって結晶のエネルギーバンドを計算する際にブロッホの定理は重要となる。