モース-ケリー集合論
MK は Wang (1949) により創始され、 J. L. Kelley (1955) General Topology の付録で知られるようになった。後者は次の節に示す公理を用いている。Anthony Morse (1965) A Theory of Sets のシステムはケリーのものと等価であるが、前述の定式化のような標準的な一階述語論理ではなく、特異な形式の言語で定式化されたものであった。非可述的(英語版)クラス内包公理を含めた最初の集合論はクワインのML(Mathematical Logic) であった。これはZFCではなく、新基礎集合論のもとに構築されたものである。 非可述なクラス内包公理は Mostowski (1951) や Lewis (1991) でも提案されている。
数学基礎論において、モース-ケリー集合論(MK, 英: Morse-Kelley set theory)、ケリー-モース集合論(KM)、モース-タルスキー集合論(MT)、クワイン-モース集合論(QM)、またはクワインとモースのシステムとは一階述語論理によって記述される公理的集合論の一つ。MKと関連の深いフォン・ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論(NBG)は、クラス内包の公理型に現れる論理式の束縛変数を集合の範囲に制限するが、モース-ケリー集合論は、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインが新基礎集合論について提案したように、これらの束縛変数が集合だけでなく適当なクラスを含むことが可能なように構成されている。
モース-ケリー集合論は、数学者のジョン・ルロイ・ケリー(英語版)とアンソニー・モース(英語版)にちなんだ名前であり、Wang (1949)によって初めて言及され、後にケリーの教科書 General Topology (1955)の付録で大学院レベルのトポロジーの入門として示された。ケリーは、自身の本のシステムが、トアルフ・スコーレムとモースによるシステムの変形であると述べた。モース自身のバージョンは、後に彼の著書 A Theory of Sets (1965)に登場した。
ZFCの言語における言明がNBGで証明可能であるのは、それがZFCで証明可能である場合かつその場合に限るという点で、NBGはZFCの保存拡大である一方、モース-ケリー集合論は真の拡大である。クラス内包の公理型を有限個の公理で置き換えることができるNBGとは異なり、モース-ケリー集合論は有限公理化することができない。
NBGとMKでは存在論が共通する。議論領域は真のクラスからなる。ほかのクラスの要素となるクラスを集合と呼ぶ。集合でないクラスは真のクラスである。原始的な原子文(英語版)(atomic sentence)には帰属関係や等号を含む.
クラス内包に関する例外と細かな点を無視すれば、以下の公理はNBGと同じになる。公理の記号表現には以下の表記法を用いる:
M 以外の大文字は、クラスの変数とする(外延性、クラス内包、基礎の各公理に現れる)。小文字は真のクラスでない変数を表す(∈の左側に現れるため)。MKは1ソートの理論であるため、この表記規則は単にわかりやすくするだけのものである。
モナド的述語 M x {\displaystyle Mx} は「クラス x は集合である」という意味だが、 ∃ W ( x ∈ W ) {\displaystyle \exists W(x\in W)} と略記する。
空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } は ∀ x ( x ∉ ∅ ) {\displaystyle \forall x(x\not \in \varnothing )} で定義する。
クラス V はすべての可能な集合を要素に持つ全体クラスであり、 ∀ x ( M x → x ∈ V ) {\displaystyle \forall x(Mx\to x\in V)} で定義される。 V はフォン・ノイマン宇宙でもある。
外延性: 同じ要素を持つクラスは同じクラスである。
∀ X ∀ Y ( ∀ z ( z ∈ X ↔ z ∈ Y ) → X = Y ) . {\displaystyle \forall X\,\forall Y\,(\forall z\,(z\in X\leftrightarrow z\in Y)\rightarrow X=Y).