ジャイロベクトル空間
相対論的速度は双曲幾何学におけるBeltrami–Kleinモデルの点とみなすことができ、Beltrami-Kleinモデルにおけるベクトルの加算はVelocity-addition formulaによって与えられる。 この公式を4次元以上の双曲空間におけるベクトルの加算に一般化するためには、クロス積の使用を避けてドット積で公式を記述する必要がある。
一般の場合、速度 u {\displaystyle \mathbf {u} } , v {\displaystyle \mathbf {v} } のアインシュタイン加算を座標軸に依存しない形で書くと次のようになる。
u ⊕ E v = 1 1 + u ⋅ v c 2 { u + 1 γ u v + 1 c 2 γ u 1 + γ u ( u ⋅ v ) u } {\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}}
マグマ ( G , ⊕ ) {\displaystyle (G,\oplus )} は、二項演算 ⊕ {\displaystyle \oplus } が次の公理を満たすときジャイロ群であるという。
Gは少なくとも1つの左単位元0を持ち、全ての a ∈ G {\displaystyle a\in G} に対して 0 ⊕ a = a {\displaystyle 0\oplus a=a} を満たす。
各 a ∈ G {\displaystyle a\in G} に対してaの左逆元 ⊖ a ∈ G {\displaystyle \ominus a\in G} が存在し、 ⊖ a ⊕ a = 0 {\displaystyle \ominus a\oplus a=0} を満たす。
全ての a , b , c ∈ G {\displaystyle a,b,c\in G} に対してGの要素 g y r [ a , b ] c {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]c} が1つ定まり、ジャイロ結合則 a ⊕ ( b ⊕ c ) = ( a ⊕ b ) ⊕ g y r [ a , b ] c {\displaystyle a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus \mathrm {gyr} [a,b]c} を満たす。
c ↦ g y r [ a , b ] c {\displaystyle c\mapsto \mathrm {gyr} [a,b]c} によって定義される写像 g y r [ a , b ] : G → G {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]:G\to G} は マグマ ( G , ⊕ ) {\displaystyle (G,\oplus )} の自己同型である。
ジャイロ群(gyrogroup)は弱い結合性を持つ、群に似た構造である。Ungarはジャイロ可換性を持つジャイロ群をジャイロ可換ジャイロ群(gyrocommutative gyrogroup)と呼び、ジャイロ群という用語は必ずしもジャイロ可換ではないジャイロ群を指すように提案した。ジャイロ群はボルループ(英語版)の一種である。ジャイロ可換ジャイロ群はK-ループと一致する。Bruckループやdyadic symsetという用語も使用される。