ツェルメロ＝フレンケル集合論
同じ元を持つ場合、2つの集合は等しい(同じ集合である)。
∀ x ∀ y [ ∀ z ( z ∈ x ⇔ z ∈ y ) ⇒ x = y ] . {\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}
この公理の逆は、等式の置換特性に由来する。等号" = {\displaystyle =} "を含まない論理体系の場合、 x = y {\displaystyle x=y} は次の式の略語として定義できる。
∀ z [ z ∈ x ⇔ z ∈ y ] ∧ ∀ w [ x ∈ w ⇔ y ∈ w ] . {\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].}
この場合、外延性の公理は次のように定式化できる。
∀ x ∀ y [ ∀ z ( z ∈ x ⇔ z ∈ y ) ⇒ ∀ w ( x ∈ w ⇔ y ∈ w ) ] , {\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],}
この式は、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が同じ元を持つ場合、それらは同じ集合に属することを意味する。