多変数の微分
しかし、この逆は成り立たない。つまり、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、任意の a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能」であっても、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」とは限らない。
「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能である」とは、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、 e 1 , ⋯ , e j ⋯ , e n {\displaystyle {{\mathbf {e} }_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{n}}} 全てについて偏微分可能であり、かつ e 1 , ⋯ , e j ⋯ , e n {\displaystyle {{\mathbf {e} }_{1}},\ \cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{j}}\cdots ,\ {{\mathbf {e} }_{n}}} についての偏導関数がすべて D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続であること」を意味する。
lim t → 0 f ( t a + p ) − f ( p ) t = A ⋅ a {\displaystyle {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\,{\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-{\textbf {f}}(\mathbf {p} )}{t}}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} } (2-7)
となる。以上より f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} に対して偏微分可能であることが示された。
式 (1-5), (2-6) から、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能ならば
∂ [ a ] f | [ p ] = A ⋅ a {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} } (2-8)
であることが分かる。
さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 ( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ) の標準座標系を ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle } と表記し、値域側 ( R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} ) の標準座標系も ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r m ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle } と表記していては紛らわしいので、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の標準座標系を ⟨ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},{\textit {x}}_{2},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle } と書くことにする。つまり、
x j ( x ) = r j ( x ) y i ( y ) = r i ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{j}(\mathbf {x} )=r_{j}(\mathbf {x} )\\&y_{i}(\mathbf {y} )=r_{i}(\mathbf {y} )\end{aligned}}} (1-10)
とする。 以降、「 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に、標準座標系 ⟩ x 1 , ⋯ , x n ⟨ {\displaystyle \rangle x_{1},\cdots ,x_{n}\langle } が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。