サイコロ
任意の合計値となる出目の順列の数は、パスカルの三角形を応用し、 ( ∑ i = 0 p − 1 x i ) f {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{p-1}x^{i}\right)^{f}} の係数を求めることで算出可能である。任意の合計値を s(ただし s ∈ N {\displaystyle s\in \mathbb {N} } かつ f ≤ s ≤ fp)とすると、
(任意合計値順列数)= ∑ i = 0 ⌊ s − f p ⌋ s − p i − 1 C f − 1 ⋅ f C i ⋅ ( − 1 ) i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {s-f}{p}}\right\rfloor }{}_{s-pi-1}\mathrm {C} _{f-1}\cdot {}_{f}\mathrm {C} _{i}\cdot (-1)^{i}}
まず前述の式を変形し、パスカルの三角形の母関数を導き出す。
なお、玩具として、「各面の面積や形状が異なる」「各面が不均等な配置」などのものも売られているが、出目は統計的に好ましくなく、実用的ではない。正角柱で底面も使用するものや、ゾッキヘドロン(Zocchihedron)と呼ばれる100面ダイスなどが挙げられる。メビウスの輪の1面ダイスに至っては、「1」の目が出る確率が100%であり、ジョークグッズとなっている。また、完全に球状のサイコロで、内部にくぼみが設けられた空洞があり、振ると空洞内に入れられた鉄球がくぼみに入って目が出るような物もある。
ただし、各出目の出現確率が不均等である点を逆手に取り、特定の「出にくい目」などの効果を狙う使用法もある。たとえばまわり将棋では出目に大きく差がある将棋の駒をサイコロ代わりに使う。
また、特に球を元に作られたものを「ゴルフボール形ダイス」という場合があり、以下に示す画像では、11面、32面、50面、100面のサイコロがこれに相当する。
サイコロの出目の合計値を考えた場合、その中点値(mid-range)は、全種類の合計値の算術平均に等しく、また必ず期待値に一致する。このため、各合計値の確率を計算せずとも、中点値を求めることで、極めて平易に期待値を知ることができる。具体的には、最大値と最小値の和を2で割った値であり、回数と面数+1の積を2で割った値に等しい。
(中点値)= f p + f 2 = f ( p + 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {fp+f}{2}}={\frac {f(p+1)}{2}}}
例: 3 × 6 + 3 2 = 3 ( 6 + 1 ) 2 = {\displaystyle {\frac {3\times 6+3}{2}}={\frac {3(6+1)}{2}}=} 10.5(10) = 14.3(6)
算数の教科書では「さいころ」と表記している。国語辞典の見出しや、第一法規『用字用語 新表記辞典』でも同じく平仮名で表す。外来語ではないので、本来は片仮名で書く理由がないが、前後に平仮名が続く場合には読みにくいので、現在は片仮名での表記「サイコロ」が用いられることが多い。
「さいころ」の「さい」は、「塞」または「簺」の音読みであり、双六に似たゲーム、もしくはそれに使うサイコロのことである。それに接尾辞「ころ」が付いて、「さいころ」となった。 「采・賽」は当て字である。
前述の新羅時代の朝鮮半島の14面のサイコロ(酒令具)も、各面の面積や投げた場合の出る確率はほぼ同じであるが、正方形6面、六角形8面から成っているため、全ての面が同じ形状となっているわけではない。
『マジック:ザ・ギャザリング』や類するトレーディングカードゲームで用いられる「スピンダウン式ライフカウンター」は一見では通常の20面体ダイスだが、面に振ってある数字が散らされておらず、隣接する値(例えば19に対して18と20)がすぐ探せるようになっている。重心や形状に偏りがあった場合に統計的な影響が大きく出るため、乱数生成には理想的でない。
1面ダイス(メビウスの輪)
5面ダイス(三角柱)
7面ダイス(五角柱)
10面ダイス(双四角錐台)
11面ダイス
22面ダイス
32面ダイス
50面ダイス
100面ダイス(ゾッキヘドロン)
144面ダイス
球体ダイス
球体ダイスの断面
そろばん珠形ダイスと麺棒形ダイスの場合、理論上では面数は無限に増やせるが、面数が増えるほど、そろばん珠形は双円錐に、麺棒形は円柱にそれぞれ近付くので、サイコロとして機能しなくなってくる。実際に機能するのは、最大でも双角錐で48面(正双二十四角錐)、ねじれ双角錐で50面(正ねじれ双二十五角錐)、角柱で25面(正二十五角柱)、反角柱で24面(正反十二角柱)程度と考えられる。市販のサイコロでは最大で、そろばん珠形では50面のもの(正ねじれ双二十五角錐)が、麺棒形では20面のもの(正反十角柱)がそれぞれ存在する。
麺棒形ダイス
34面ダイス(ねじれ双十七角錐)
50面ダイス(ねじれ双二十五角錐)