差分作用素
実多変数実数値函数 F: R → R が与えられたとき、二点 a 1 = ( a 1 1 , ... , a n 1 ) , a 2 = ( a 1 2 , ... , a n 2 ) {\textstyle a^{1}=(a_{1}^{1},\ldots ,a_{n}^{1}),a^{2}=(a_{1}^{2},\ldots ,a_{n}^{2})} に対する差分作用素は、
で定義される。二つのベクトルの各成分を入れ替えることにより得られる任意のベクトルは R 内の超矩形の 2 個の頂点を与えるから、上記の定義式は、各頂点における函数の値に、もとのベクトルのどの成分であったかに依存して決まる符号をつけて加え合わせたものになっている。例えば n = 2 のとき、二点 a = (a1, a2), b = (b1, b2) に対して、F の差分は
であたえられる。 また、第 ν-成分に関する偏差分作用素は
で与えられる。ここで第 ν-成分は定数だが、通常はまだ R 上の函数と見なされるから、さらに差分作用素を適用することができる。