プランクの法則
統計力学に従い、特定のモードのエネルギー準位についての確率分布はカノニカル分布になる
P r = exp  ( − β E ( r ) ) Z ( β ) {\displaystyle P_{r}={\frac {\exp \left(-\beta E\left(r\right)\right)}{Z\left(\beta \right)}}}
で与えられる。ここでβは
β = d e f 1 / ( k T ) {\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 1/\left(kT\right)}
で定義される逆温度である。
分母 Z(β) は単モードの分配関数であり、Pr を正しく規格化する。
Z ( β ) = ∑ r = 0 ∞ exp  ( − β E ( r ) ) = 1 1 − exp  ( − β ε ) {\displaystyle Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }\exp(-\beta E(r))={\frac {1}{1-\exp(-\beta \varepsilon )}}}
ここで
ε = d e f h c 2 L n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 {\displaystyle \varepsilon \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}}
は単一光子のエネルギーである。
となり、レイリー・ジーンズの法則に漸近する。
また、プランクの法則の周波数(波長)についての積分
j ⋆ ( T ) = ∫ 0 ∞ I ( ν , T ) d ν ∫ d Ω = π ∫ 0 ∞ I ( ν , T ) d ν = σ T 4 , σ = 2 π 5 k 4 15 c 2 h 3 {\displaystyle j^{\star }(T)=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\mathrm {d} \nu \int \mathrm {d} \Omega =\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\mathrm {d} \nu =\sigma T^{4},\quad \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}}
より、単位面積、単位時間当たりに放出される輻射場のエネルギーが T に比例するというシュテファン=ボルツマンの法則が得られる。
さらに、 ∂ I ′ ( λ , T ) / ∂ λ = 0 {\displaystyle \partial I'(\lambda ,T)/\partial \lambda =0} よりプランクの法則の分光放射輝度 I' (λ, T) が最大となる波長 λ を求めることにより、ヴィーンの変位則が得られる。
u ( ν , T ) = A m n N m B n m N n − B m n N m = A m n B n m g n g m e E m − E n k T − B m n {\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {A_{mn}N_{m}}{B_{nm}N_{n}-B_{mn}N_{m}}}={\frac {A_{mn}}{B_{nm}{\frac {g_{n}}{g_{m}}}e^{\frac {E_{m}-E_{n}}{kT}}-B_{mn}}}}
が得られる。u(ν, T) が温度の増大とともに無限大になる条件から
g n B n m = g m B m n {\displaystyle g_{n}B_{nm}=g_{m}B_{mn}}
であり、さらに u(ν, T)=νf(ν/T) の関数形であるというウィーンの法則の結果から、
A m n B m n = α ν 3 {\displaystyle {\frac {A_{mn}}{B_{mn}}}=\alpha \nu ^{3}} (α: 定数)
とボーアの振動数条件
E m − E n = h ν m n {\displaystyle E_{m}-E_{n}=h\nu _{mn}}
が成り立つ。その帰結としてプランクの公式
u ( ν , T ) = α ν 3 e h ν / k T − 1 {\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {\alpha \nu ^{3}}{e^{h\nu /kT}-1}}}
が得られる。