双対錐と極錐
ベクトル空間 X 内の錐 C が自己双対(self-dual)であるとは、内積 ⟨⋅,⋅⟩ に関する内的双対錐が C に等しいような内積を X が備えることが出来ることを言う。実ヒルベルト空間における内的双対錐として双対錐を定義する研究者はしばしば、錐が自己双対であるとはそれがその内的双対と等しいことであると定義する。これは、内積の変化を許す上述の定義とは異なる。例えば、上述の定義では楕円型基を備える R 内の錐は自己双対である。なぜならば、内積はその基を球状に変えることができ、R 内の球状の基はその内的双対に等しいからである。
R の非負の象限とすべての半正定値行列の空間は、楕円型の基を備えるため、自己双対錐である(しばしば球錐やローレンツ錐、アイスクリーム錐などと呼ばれる)。したがってそのような基を備える R 内のすべての錐は、奇数個の頂点を持つ正多角形の凸包である。
少し変わった例として、基が「家」の形をした R 内の錐が挙げられる。すなわち、ある正方形と、その外側の点を正方形の一辺と結ぶことで構成される正三角形の凸包である。