コンパクト空間
コンパクト性は、有向点族と本質的に同値な概念であるフィルターの収束によっても特徴づけられる。また普遍有向点族やその対応概念である超フィルターを用いても特徴づける事ができる。これまでに述べて特徴づけも含め、こうしたコンパクト性の様々な特徴づけを列挙する
定理 (コンパクトの特徴づけ) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} に対し、以下は全て同値である。
Xはハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義を満たす。
Xは 有限交差性によるコンパクトの定義を満たす。
Xはボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義を満たす
X上の任意のフィルターは収束する細分を持つ
X上の任意の有向点族は集積点を持つ
X上の任意のフィルターは集積点を持つ
X上の任意の普遍有向点族は収束する
X上の任意の超フィルターは収束する
以上で述べた概念の中で重要なものの一つにパラコンパクトがある。本節ではパラコンパクトの性質について述べる。なおパラコンパクトの定義において我々は文献Kellyに従い、ハウスドルフ性を条件として課したが、書籍によってはハウスドルフ性を仮定していないので、注意が必要である。
パラコンパクトに関しては以下のようにも特徴づけられる。なお(ハウスドルフ性を満たす)パラコンパクトな空間は必ず正規空間になる事が知られている。
定理 (パラコンパクトの特徴づけ) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を正則な位相空間とするとき、下記の条件は全て同値である:
Xはパラコンパクト
Xの任意の開被覆は局所有限で開な細分を持つ
Xの任意の開被覆は局所有限で閉な細分を持つ
ここで細分が開であるとは細分が開被覆になっている事を意味する。同様に細分が閉であるとは細分が被覆になっている事を意味する。上記の定理はパラコンパクトな空間において開被覆が単に局所有限な細分を持つだけでなく、局所有限でしかも開な細分や閉な細分を持つ事を保証している。
コンパクト性は開被覆が、(開な)部分被覆を持つ事を保証しているので、パラコンパクトな空間において開で局所有限な細分が保証される事は、コンパクト性において成り立っている議論をパラコンパクト性に拡張する際に有益である。
ハイネ・ボレル性は定理の証明などでXの各点xの近傍 O x {\displaystyle O_{x}} 上で局所的に示されている性質をX全体に広げる際に用いられる。この場合、ハイネ・ボレル性でいう開被覆 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} は典型的には各点の近傍の集合 S = { O x ∣ x ∈ X } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{O_{x}\mid x\in X\}} であり、ハイネ・ボレル性はこの無限個の開集合からなる開被覆から有限部分被覆 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} を抽出して、無限に伴う証明の困難さを回避する事を可能にする。
具体的には以下の定理の証明をもとに、ハイネ・ボレル性の使い方を説明する:
定理 (ハイネ・カントールの定理) ― 距離空間X、Yに対し、Xがコンパクトであれば、X上定義された任意の連続関数 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} は一様連続である
この定理は、ハイネ・ボレル性を利用して以下のように証明する。まずfの連続性により、任意にε>0を固定するとき、Xの各点xの、あるδx-近傍が f ( B δ x ( x ) ) ⊂ B ε ( f ( x ) ) {\displaystyle f(B_{\delta _{x}}(x))\subset B_{\varepsilon }(f(x))} を満たす。
パラコンパクトな空間の重要な性質の一つとして、開被覆に従属する1の分割の存在が保証されるというものがある。この事実を述べるためにまず1の分割の定義、およびそれが開被覆と両立する事の定義を述べる:
定義 (1の分割) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とする。X上の1の分割(英: partition of unity)とは(fα)α∈AをXから[0,1]区間への連続関数
f α : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f_{\alpha }\colon X\to [0,1]}
で、以下の2性質を満たすものを言う。
集合族 { x ∈ X ∣ f α ( x ) ≠ 0 } α ∈ A {\displaystyle \{x\in X\mid f_{\alpha }(x)\neq 0\}_{\alpha \in A}} は局所有限
任意のx∈Xに対し、 ∑ α f α ( x ) = 1 {\displaystyle \sum _{\alpha }f_{\alpha }(x)=1}
なお上述の条件1に対する関連概念として関数の台(英: support)
以上の概念は以下の関係性を満たす:
定理 (各種概念の関係性) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とする。
Xが第二可算公理を満たせばリンデレーフ
Xが距離化可能空間であれば、リンデレーフ性と第二可算公理と可分性は同値
Xがσコンパクトかつ局所コンパクトならパラコンパクトである。
Xがσ-コンパクトならリンデレーフ空間
Xが正則リンデレーフ空間であればパラコンパクト
Xが擬距離化可能ならパラコンパクト
XがメタコンパクトなT1空間であれば、可算コンパクト性とコンパクト性は同値。