数列の極限
超実数を用いた極限の定義は添え字の「非常に大きい」値に対して対応する項が極限に「非常に近い」という直感を定式化する。より正確には、実数列 (xn) が L に収束するとは、任意の無限大超自然数 H に対して、項 xH が L に無限に近い、すなわち差 xH − L が無限小であることをいう。同じことだが、L は xH の標準部分(英語版)である:
L = st  ( x H ) . {\displaystyle L=\operatorname {st} (x_{H}).}
したがって、極限は
lim n → ∞ x n = s t ( x H ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H})}
によって定義できる、ただし極限が存在するのは右辺が無限大 H の取り方に依らないとき、かつそのときに限る。
正整数 n が大きくなるにつれて、値 n ⋅ sin1/n は 1 にいくらでも近くなる。「数列 n ⋅ sin1/n の極限は 1 である」という。
数学において、数列や点列の極限(英: limit of a sequence)は数列や点列の項が「近づく」値である。そのような極限が存在すれば、その列は収束する (convergent) と言われる。収束しない列は発散する (divergent) と言われる。点列の極限は解析学のすべての基本である。
極限は任意の距離空間や位相空間で定義できるが、普通まず実数の場合に出会う。
コーシー列は、最初の項を十分たくさん無視すれば最終的に項が互いにいくらでも近くなるような列である。コーシー列の概念は距離空間の点列の研究において、特に、実解析において、重要である。実解析における1つのとりわけ重要な結果は、列の収束のコーシーの判定法である:実数列が収束することとそれがコーシー列であることは同値である。これは他の完備距離空間においても正しい。