ブレイド群
{\displaystyle \sigma _{i}\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1}x_{i}x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{n}\right).}
このように、元 xi と xi+1 の場所を交換し、加えて、xi が xi+1 に対応する内部自己同型(inner automorphism)によりツイストされる — これは、x の成分の積が単位元のままであることを保証する。これはブレイド群の関係式を満たすことが確認され、実際、この式が X 上の Bn の群作用を定義する。別な例として、ブレイドモノイダル圏(英語版)(braided monoidal category)は、ブレイド群の作用を持つモノイダル圏である。そのような構造は、現代の数理物理学で重要な役目を果し、量子結び目不変量を導く。
糸がどのように捩れたり交差したりしているかを忘れると、n 本の糸のブレイドは n 個の元の置換を決める。この対応関係は上への写像であり、合成と整合する。従って、ブレイド群から対称群への全射群準同型 Bn → Sn が存在する。ブレイド σi ∈ Bn の像は、移動 si = (i, i+1) ∈ Sn である。これらの移動は対称群を生成し、位数 2 のブレイド群の関係式を満たす。この写像は対称群のコクセター群の中へのブレイド群のアルティン表示を変換する。
S n = ⟨ s 1 , ... , s n − 1 | s i s i + 1 s i = s i + 1 s i s i + 1 , s i s j = s j s i for | i − j | ≥ 2 , s i 2 = 1 ⟩ .