ローラン級数
ローラン級数の収束性を問題にすることなく形式ローラン級数 (formal Laurent series) は定義される。係数 ak は適当な可換環 K から取ることができる。この場合、負冪の項はその係数が有限個の例外を除き 0 であるもののみを扱う。また特に、中心を 0 にとる。つまり、K に係数を持つ形式ローラン級数とは K 内の適当な(多くは負の)整数 N から添字をはじめる数列 (an)n=N,N+1,N+2,... によって定まる級数
∑ n = N ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}x^{n}}
のことである。これを、紛れのおそれの無い場合には
∑ n = − ∞ ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}}
と記す。正冪の項も有限個の例外を除いたすべての係数が 0 であるとき、つまり正冪部分が多項式であるような形式ローラン級数をローラン多項式 (Laurent polynomial) という。
二つの形式ローラン級数が等しいというのは、全ての係数が数列として互いに等しいときである:
∑ n = − ∞ ∞ a n x n = ∑ n = − ∞ ∞ b n x n ⟺ a n = b n for any n . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}x^{n}\iff a_{n}=b_{n}{\mbox{ for any }}n.