量子群
Strictly, 量子群 Uq(G) は準三角ではないが、R 行列の役割を果たす形式無限和が存在するという意味で「ほぼ準三角」と考えることができる。この形式無限和は生成元 ei, fi とカルタン生成元 tλ の項で表現できる。ここで kλ は形式的に q と同一視される。形式無限和は2つの因子
q η ∑ j t λ j ⊗ t μ j {\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}}
とある形式無限和の積である。ただし λj はカルタン部分環の双対空間のある基底で、μj は双対基底で、η = ±1 である。
R 行列の役割を果たす形式無限和は2つの既約最高ウェイト加群のテンソル積に well-defined な作用を持ち、また2つの最低ウェイト加群のテンソル積にも well-defined な作用を持つ。具体的には、v がウェイト α を持ち w がウェイト β を持つならば、
q η ∑ j t λ j ⊗ t μ j . ( v ⊗ w ) = q η ( α , β ) v ⊗ w {\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}.(v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w}
であり、加群がともに最高ウェイト加群あるいはともに最低ウェイト加群であるという事実は v ⊗ w {\displaystyle v\otimes w} 上の他の因子の作用を有限和にreduceする。
具体的には、V が最高ウェイト加群であれば、形式無限和 R は V ⊗ V 上の well-defined で可逆な作用を持ち、(End(V ⊗ V) の元としての)R のこの値はヤン・バクスター方程式(英語版)を満たし、したがって組み紐群の表現を決定でき、結び目、絡み目、組み紐の quasi-invariants を定義することができる。
[ e i , f j ] = δ i j k i − k i − 1 q i − q i − 1 , {\displaystyle [e_{i},f_{j}]=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}},}
i ≠ j のとき
∑ n = 0 1 − a i j ( − 1 ) n [ 1 − a i j ] q i ! [ 1 − a i j − n ] q i ! [ n ] q i ! e i n e j e i 1 − a i j − n = 0 , {\displaystyle \sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}=0,} ∑ n = 0 1 − a i j ( − 1 ) n [ 1 − a i j ] q i ! [ 1 − a i j − n ] q i ! [ n ] q i ! f i n f j f i 1 − a i j − n = 0. {\displaystyle \sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}=0.