バーンズのG関数
となり、少し整理して項を並べ替えれば級数展開
∑ k = 1 ∞ { ( k + z ) log  ( 1 + z k ) − z 2 2 k − z } = − z log  z − z 2 log  2 π + z 2 + z 2 2 − z 2 γ 2 − z log  Γ ( z ) + log  G ( 1 + z ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\\&\qquad =-z\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)\end{aligned}}}
を得る。最後に、対数ガンマ函数のヴァイヤストラス乗積形をとって区間 [0,z] 上積分すれば