四重積 (ベクトル解析)
が得られる。ただし [a, b, c] = a・(b×c) である。
2つの異なる右辺が導かれるのは左辺を X×(c×d) とみて展開したか (a×b)×Y とみて展開したかで異なるからである。幾何学的には、交線はそれぞれの平面に含まれるので、点を表すパラメータ表示が2通りあることを意味する。
2つの右辺が等しいことより恒等式
[ a , b , c ] r = [ r , b , c ] a + [ a , r , c ] b + [ a , b , r ] c {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {r}}=[{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {b}}+[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {r}}]{\boldsymbol {c}}}
が得られる。
これは [a, b, c]≠0 の場合、基底 {a, b, c} (正規直交基底とは限らない)における r の成分表示が