ベッセル関数
ベッセルの微分方程式に対する線形独立な2つの解を与える表式には、ハンケル関数Hα(x) と Hα(x)があり、定義式は以下の通り。
H α ( 1 ) ( x ) = J α ( x ) + i Y α ( x ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)}
H α ( 2 ) ( x ) = J α ( x ) − i Y α ( x ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)}
ここで、 i {\displaystyle i} は虚数単位である。 J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} と Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} との線形結合によって与えられるこれらの解の表現は、第三種ベッセル関数として知られている(ハンケル関数は円筒波の方程式における、内側もしくは外側への円筒波の伝播の解を表現する)。
ここで、 i {\displaystyle i} は虚数単位である。
また、非負の整数 n について:
h n ( 1 ) ( x ) = ( − i ) n + 1 e i x x ∑ m = 0 n i m m ! ( 2 x ) m ( n + m ) ! ( n − m ) ! {\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}}
h n ( 2 ) {\displaystyle h_{n}^{(2)}} は、実数xに関して h n ( 1 ) ( x ) {\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)} の複素共役となる。
量子力学では、3次元井戸型ポテンシャルのシュレディンガー方程式における、ポテンシャル外部の動径方向の解は、球ハンケル関数で表される。第一種球ハンケル関数は外向き、第二種球ハンケル関数は内向きを表す。
これらの関数がベッセル関数群としては最も一般的な形式である。
ベッセル関数は超幾何級数(超幾何関数ともいう)によって、以下のように表現することができる。
J ν ( z ) = ( z / 2 ) ν Γ ( ν + 1 ) 0 F 1 ( ν + 1 ; − z 2 / 4 ) . {\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {(z/2)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\;_{0}F_{1}(\nu +1;-z^{2}/4).}