二項分布
期待値 np および分散 np(1 − p) が 5 よりも大きい場合、二項分布 B(n, p) に対する良好な近似として正規分布がある。ただし、この近似を適用するにあたっては、変数のスケールに注意し、連続な分布への適切な処理がなされる必要がある。より厳密に述べれば、n が十分大きくかつ、期待値 np および 分散 np(1 − p) も十分大きい場合、期待値 np, 分散 np(1 − p) の正規分布 N(np, np(1 − p)) で近似することができ、期待値からの差 |k − np| が標準偏差 n p ( 1 − p ) {\textstyle {\sqrt {np(1-p)}}} と同程度となる k に対して
P [ X = k ] ≃ 1 2 π n p ( 1 − p ) exp  ( − ( k − n p ) 2 2 n p ( 1 − p ) ) {\displaystyle P[X=k]\simeq {\frac {1}{\sqrt {2\pi np(1-p)}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(k-np)^{2}}{2np(1-p)}}{\biggr )}}
が漸近的に成り立つ。二項分布が一定の条件下で正規分布に近づく、この近似式は数学者アブラーム・ド・モアブルが1733年に著書 The Doctrine of Chances の中で紹介したのが最初であり、ド・モアブル=ラプラスの極限定理またはラプラスの定理と呼ぶことがある。
単純な定義としては、成功確率pの試行を独立にn回行い、成功回数を横軸にとってヒストグラムを作成した時のグラフの形である。このグラフの関数は下記の性質を持つ。
2つの母数p(0 ≤ p ≤ 1となる実数), n(自然数)に対して、0 以上の整数を値としてとる確率変数Xを定める。このとき、Xは試行の成功回数なので、(0 ≤ X ≤ n)である。
そして、X = xとなるような確率についての関数(確率質量関数)fX(x)について、
f X ( x ) = ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x {\displaystyle f_{X}(x)={\binom {n}{x}}p^{x}(1-p)^{n-x}}
となることが性質よりわかる。
また、fX(x)は確率であるため、
∑ x = 0 n f X ( x ) = 1 {\displaystyle \sum _{x=0}^{n}f_{X}(x)=1}
も明らかである。
上記を定義として、xをkに書き換え、
f X ( k ) = P ( X = k ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k {\displaystyle f_{X}(k)=P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}