反ド・ジッター空間
2次元球面
S 2 = O ( 3 ) O ( 2 ) {\displaystyle S^{2}={\frac {\mathrm {O} (3)}{\mathrm {O} (2)}}}
が2つの直交群の商であるのと同様に、パリティ付き反ド・ジッター空間(鏡映対称)と時間反転対称性は2つの一般直交群(英語版)の商となる:
A d S n = O ( 2 , n − 1 ) O ( 1 , n − 1 ) {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}={\frac {\mathrm {O} (2,n-1)}{\mathrm {O} (1,n-1)}}}
一方、P や C のない AdS はスピン群の商となる:
S p i n + ( 2 , n − 1 ) S p i n + ( 1 , n − 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {Spin} ^{+}(2,n-1)}{\mathrm {Spin} ^{+}(1,n-1)}}}
商表現によって A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} に等質空間の構造が生じる。一般直交群 o ( 1 , n ) {\displaystyle o(1,n)} のリー代数は行列によって与えられる:
半径 α {\displaystyle \alpha } の A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} 計量は対称的 n-次元時空のうち最大のものの一つであり、いかの幾何学的性質を持つ:
リーマン曲率テンソル:
R μ ν α β = − 1 α 2 ( g μ α g ν β − g μ β g ν α ) {\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }-g_{\mu \beta }g_{\nu \alpha })}
リッチ曲率:
R μ ν = − ( n − 1 ) α 2 g μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {-(n-1)}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }}
スカラー曲率:
R = − n ( n − 1 ) α 2 {\displaystyle R={\frac {-n(n-1)}{\alpha ^{2}}}}
数学と物理学において、反ド・ジッター空間(はんどじったーくうかん、英: Anti-de Sitter space)とは、最大の対称性を持ち、負の定スカラー曲率を持つローレンツ多様体である。n次元の反ド・ジッター空間は AdSn と表記される。
一般相対性理論における反ド・ジッター空間は、時空の曲率の符号を変えた以外は、ド・ジッター空間と似ている。反ド・ジッター空間では、物質やエネルギーがないため、空間的な曲率は負となり、双曲幾何学に対応し、最初は平行な時間的な測地線が最終的に交差する。これは負の宇宙定数に相当し、空の空間自体は負のエネルギー密度を持つが、正の圧力を持つ。これは我々の宇宙を記述する標準的なΛ-CDMモデルでは遠くの超新星の観測により(漸近的な)ド・ジッター空間に対応する正の宇宙定数が示唆されていることとは対照的である。
反ド・ジッター空間では、ド・ジッター空間と同様に、固有の時空の曲率が宇宙定数に対応する。
この後は、これらの概念の詳細を、より厳密で正確な数学的・物理的記述で説明する。人間は5次元以上のものを視覚化するのに不向きであるが、数式はそのような問題とは無縁で、視覚化しやすい3次元や4次元の概念を数式で表現するのと同じように、5次元の概念を適切に表現することができるのである。
上記のド・ジッター空間と反ド・ジッター空間の類推に基づく発見的記述とは異なる、より正確な数学的記述の特に重要な意味がある。反ド・ジッター空間の数学的記述は、曲率の概念を一般化する。この数学的記述では、曲率は特定の点の性質であり、時空の曲がった点が融合する目に見えない表面とは切り離すことができる。そのため、たとえば、現実の幾何学では表現しきれない特異点(一般相対性理論で最も広く知られているのはブラックホール)のような概念も、数学的な方程式の特定の状態に対応させることができるのである。
また、この数学的記述は、一般相対性理論における空間的次元と時間的次元の微妙な区別を捉えることができる。