モース理論
多様体 M 上の滑らかな実数値函数は、退化した臨界点を持たないとき、モース函数(Morse function)という。モース理論の基本的結果から、ほとんどすべての函数はモース函数であることが言える。テクニカルには、モース函数の集合は、 C位相ですべての滑らかな函数 M → R の集合の稠密な開部分集合をなすということである。このことは、「典型的な函数はモース函数である」、あるいは、「ジェネリック(英語版)(generic)な函数はモース函数である」ということもある。
このことを示す前に、M = f(−∞, a] のトポロジーが a の変化につれて、いつ変化するのかという問題に興味が湧く。この問題の答えの半分は次の定理によって与えられる。
定理: f を M 上の滑らかな実数値函数、a < b、f[a, b] はコンパクトで、a と b の間には臨界値が存在しないとすると、M は M は微分同相であり、M は M 上に連続縮小(英語版)(deformation retract)である。
この定理は、a が臨界点を通過したとき、M のトポロジーがどのように変化するのかを知るためも興味がもたれる。