滑らかな無限小解析
直観的には、滑らかな無限小解析は、点ではなく、無限に小さな切片から構成された直線の世界を記述するものと解釈することができる。それらの切片は方向を持つに十分な長さであるが、曲がるには不十分な長さであると思うことができる。不連続関数の構成は失敗する。というのは、関数は曲線と同一視されるが、曲線を点毎に構成することはできないからである。中間値の定理の不成立は、無限小切片の持つ、線を跨ぐ能力に起因するものと想像することができる。(訳注:関数が無限小切片の中で中間値を通過した(跨いだ)とすると、その切片の中のどの点が中間値を与えるのかを特定できない。もちろん、[0, 1] 上定義された f(x) = x という具体的な関数が中間値 0≦m≦1 を持つことは、x = m と具体的に与えることで証明できる。中間値の定理が、全ての関数に対して中間値を取る点の存在を主張していること、これが問題である。これを証明するには、所与の関数と中間値から、その値を取る点を具体的に構成する手続きを与える必要があるが、前述の理由によって、そのことは叶わない。)同様に、バナッハ=タルスキのパラドックスは成立しない。なぜなら、大きさのある物体は点へと分解できないからである。
このアプローチは排中律を拒否することによって従来の数学に用いられている古典論理から離れる。例えば NOT (a ≠ b) は a = b を含意しない。とくに、滑らかな無限小解析の理論においては、全ての無限小 ε に対し、NOT (ε ≠ 0) を証明することができるが、それにもかかわらず、全ての無限小がゼロに等しいということは偽であると証明される。次の基本定理によって、排中律は成り立ちえないことが分かる(再び滑らかな無限小解析の文脈の中で理解するものとする):