射影多様体
mi を交叉における既約成分 Zi の重複度(すなわち交叉重複度(英語版))とすると,ベズーの定理の一般化は次の主張である:
∑ 1 s m i deg  Z i = ∏ 1 r deg  V i . {\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\operatorname {deg} Z_{i}=\prod _{1}^{r}\operatorname {deg} V_{i}.}
交叉重複度 mi は P のチャウ環(英語版)における交叉積 V 1 ⋅ ... ⋅ V r {\displaystyle V_{1}\cdot {\dots }\cdot V_{r}} における Zi の係数として定義できる.
特に, H ⊂ P N {\displaystyle H\subset \mathbb {P} ^{N}} が X を含まない超曲面のとき,
∑ 1 s m i deg  Z i = deg  ( X ) deg  ( H ) {\displaystyle \sum _{1}^{s}m_{i}\operatorname {deg} Z_{i}=\operatorname {deg} (X)\operatorname {deg} (H)}
である,ただし Zi たちは X と H の重複度(局所環の長さ)mi のスキーム論的交叉(英語版)の既約成分である.