可微分多様体
境界を持たないすべての第二可算 1 次元多様体は R(実数直線)と S(円周)の高々可算個のコピーの非交和に同相である。連結なのは R と S だけで、このうち S のみがコンパクトである。高次元では、分類理論は通常コンパクト連結多様体のみを考える。
2次元多様体の分類は、曲面(英語版)を参照:とくにコンパクトで連結な向き付けられた2次元多様体は非負整数である種数によって分類される。
3次元多様体(英語版)の分類は、原理的には、3次元多様体の幾何化と、モストウ (Mostow) の剛性定理や双曲群の同型問題に対するセラ (Sela) のアルゴリズム のような幾何化可能 3 次元多様体に対する様々な認知されている結果から従う。
n > 3 に対する n 次元多様体の分類はホモトピー同値の違いを除いてでさえ不可能なことが知られている。任意の有限表示群が与えられると、その群を基本群に持つ 4 次元閉多様体を構成できる。有限表示群の同型問題を決定するアルゴリズムは存在しないから、2つの4次元多様体が同じ基本群を持つかどうか決定するアルゴリズムは存在しない。
関数は S 上大域的に定義されていないから Γ が群であるとは限らないことに注意しよう。例えば、R 上のすべての局所的な C 級微分同相写像からなる集まりは擬群をなす。C の開集合の間のすべての双正則写像は擬群をなす。さらなる例: R の向きを保つ写像、シンプレクティック同相写像、メビウス変換、アフィン変換、など。したがって多種多様な関数のクラスが擬群をなす。
Ui ⊂ M から位相空間 S の開部分集合への同相写像 φi のアトラス (Ui, φi) が擬群 Γ と両立可能 (compatible) であるとは、変換関数 φj o φi: φi(Ui ∩ Uj) → φj(Ui ∩ Uj) がすべて Γ に入っていることをいう。
すると可微分多様体は R 上の C 級関数の擬群と両立可能なアトラスである。複素多様体は C の開集合上の双正則写像と両立可能なアトラスである。などなど。したがって擬群は微分幾何学や位相幾何学に重要な多様体の多くの構造を記述する1つだけの枠組みを提供する。
である。
すべての位相多様体はアトラスを持つ。C アトラスは変換関数が C 級のアトラスである。位相多様体は C アトラスを持ち、一般に C 級多様体は C 級アトラスを持つ。連続アトラスとは C アトラスであり、滑らかなアトラスは C アトラスであり、解析的アトラスは C アトラスである。アトラスが少なくとも C であれば、微分構造 (differential structure) あるいは可微分構造 (differentiable structure) とも呼ばれる。正則アトラス (holomorphic atlas) は台となるユークリッド空間が複素数体上定義されていて変換関数が双正則なアトラスである。
位相多様体とは、チャートと呼ばれる同相写像の集まりアトラス によって線型空間に局所的に同相な第二可算ハウスドルフ空間である。1 つのチャートの、別のチャートの逆写像との合成は、変換関数と呼ばれる関数であり、線型空間の開部分集合から線型空間の別の開部分集合の上への同相写像を定義する。これによって「空間の断片を貼り合わせて多様体を作る」という概念が定義される――作られた多様体はまたどのように貼り合わせられたかのデータも持っている。しかしながら、異なるアトラス(貼り合わせ)から「同じ」多様体が作られるかもしれない。多様体は好みのアトラスで来ない。そして、したがって、位相多様体はアトラスの同値類とともに上のような空間と定義される。アトラスの同値性は以下で定義する。
変換関数にどれだけの微分可能性を要求するかに従って可微分多様体の異なるタイプがある。以下はいくつかの一般的な例である。
可微分多様体 (differentiable manifold) とは、変換関数がすべて微分可能なアトラスの同値類を伴った位相多様体である。より広いことばでは、C 級多様体 (C-manifold) は変換関数がすべて k 回連続微分可能なアトラスを持つ位相多様体である。
滑らかな写像と滑らかな多様体の圏は望まれる性質をいくらか欠いており、人々はこれを修正するために滑らかな多様体を一般化しようとしてきた。微分空間(英語版)は "plot" と呼ばれるチャートの異なる概念を用いる。他の試みに Frölicher space(英語版) や軌道体(英語版) (orbifold) がある。
修正可能集合(英語版) (rectifiable set) は区分的に滑らかあるいは求長可能な曲線の概念を高次元に一般化する。しかしながら、修正可能集合は一般の多様体にない。
p ∈ M での接ベクトルは γ(0) = p なる微分可能曲線 γ を、曲線の間に定まる接する(一次の接触を持つ)という同値関係で割った、同値類である。したがってすべての座標チャート φ において
γ 1 ≡ γ 2 ⟺ d d t φ ∘ γ 1 ( t ) | t = 0 = d d t φ ∘ γ 2 ( t ) | t = 0 {\displaystyle \gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\iff \left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}}
である。したがって同値類は p において定められた速度ベクトルを持つような p を通る曲線たちである。p におけるすべての接ベクトルの集まりはベクトル空間をなす。これが p における M の接空間 TpM である。