位相空間論
一般位相の研究はいくつかの流れを取りまとめる形で始まった。主なものは
実数直線の部分集合についての詳細研究、かつて「点集合に関する位相幾何学」(topology of point sets) と呼ばれていたもの、
多様体概念の導入、
距離空間論、特にノルム線型空間の研究(後の函数解析学)
などが挙げられる。分野としての位相空間論は1940年頃には成立しており、それにより例えば連続性に関する直観の殆どを、数学の各分野で応用することができるようなものとして、技術的にふさわしい形で捉えることができるようになった。
位相、あるいは位相空間は集合 X とその開集合系とも呼ばれる部分集合の族 Σ の組 (X, Σ) として与えられる。ここで、Σ の元は X の開集合と呼ばれ、三つの公理
開集合の(任意濃度の)合併もまた開集合である。
開集合の有限個の交叉もまた開集合である。
X および空集合 ∅ は開集合である。
を満足する。