経路積分
1 + 1 次元時空 (x, t) を考える。粒子の質量を m(粒子は古典的なものではなく量子力学的なものとする)、粒子の感じるポテンシャル場を V(x) とし、始点を A、終点を B とする。これに関しての作用積分(S[x(t)] とする)は、
S [ x ( t ) ] = ∫ t A t B [ 1 2 m ( d x d t ) 2 − V ( x ) ] d t {\displaystyle S[x(t)]=\int _{t_{\rm {A}}}^{t_{\rm {B}}}\left[{1 \over 2}m\left({dx \over {dt}}\right)^{2}-V(x)\right]dt}
となり、A → B における確率振幅は、
K A → B = ∫ − ∞ ∞ d x 1 ∫ − ∞ ∞ d x 2 ⋯ ∫ − ∞ ∞ d x N − 1 e i ħ S [ x ( t ) ] {\displaystyle K_{\rm {A\to B}}=\int _{-\infty }^{\infty }dx_{1}\int _{-\infty }^{\infty }dx_{2}\cdots \int _{-\infty }^{\infty }dx_{N-1}e^{{i \over {\hbar }}S[x(t)]}}
となる。上式右辺の多重積分部分は、時間の経過 tA → tB を N 等分したものである(厳密には、N → ∞ と無限の多重積分となる)。つまり時間を離散化して、粒子の運動の経路を細かく分けた微小な直線として、それらすべてをサンプルとした和(つまり経路に対する積分)を行っている。