多胞体
四次元における半正多胞体とは、3次元でいう半正多面体に相当する多胞体のことである。その定義は
全ての胞が数種類の正多面体、または半正多面体でできている。
全ての頂点が合同である。
4次元の場合、半正多胞体は全部で58種類ある(正多面体、半正多面体を底胞とする超角柱を含む。ただし角柱を底胞とする超角柱などの無限系列は除く)。その中には、正多胞体の頂点や辺、面を削ったものなどがある。四次元における例外的な立体が存在として捩れ二十四胞体と大反角柱の2つがある。3次元では一般的と考えられる、捩れ操作による半正多胞体は高次元では一般的ではないのである。
一様多胞体とは、3次元でいう一様多面体に相当する多胞体のことである。4次元の一様多胞体は現在、1849種類が確認されている。