局所連結空間
空間 X が局所弧状連結であるとは、すべての x ∈ X に対して x において局所弧状連結であるということである。
弧状連結空間は連結であるから、局所弧状連結空間は局所連結である。今回は逆は成り立たない(下の例 6 参照)。
最初の例
1. 任意の正の整数 n に対して、ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} は連結かつ局所連結である。
2. 実数直線 R 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} の部分空間 [ 0 , 1 ] ∪ [ 2 , 3 ] {\displaystyle [0,1]\cup [2,3]} は局所連結だが連結でない。
3. 位相幾何学者の正弦曲線は連結だが局所連結でないユークリッド平面の部分空間である。
4. 標準的なユークリッド位相を与えられた有理数の空間 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } は連結でも局所連結でもない。
5. くし空間(英語版)は弧状連結だが局所弧状連結でない。
6. 補有限位相を与えられた可算無限集合は局所連結(実は既約)であるが、局所弧状連結でない。
さらなる例は記事で後で与えられる。