有限差分
であり、前進差分に関しても同じ式
∇ h [ f ] ( x ) h − f ′ ( x ) = O ( h ) → 0 ( as h → 0 ) {\displaystyle {\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad ({\text{as }}h\to 0)}
が満足される。中心差分を用いればより精密な近似が可能で、f が二回微分可能ならば
δ h [ f ] ( x ) h − f ′ ( x ) = O ( h 2 ) {\displaystyle {\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2})}
が成り立つ。しかし中心差分法の主な問題は、振動する函数の微分が零ということになってしまう場合があることである。例えば、奇数の n に対して f(nh) = 1 かつ偶数の n に対して f(nh) = 2 とすれば、中心差分法で計算すると f'(nh) = 0 となる。これは f の定義域が離散の場合に特に問題になる。
「有限差分」を有限差分近似の意味で用いる文献では、「前進・後退・中心差分」は(前節の意味ではなく)本節で言う商として定義される。
函数 f の点 x における微分は函数の極限
f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
で定義される。ここで h を零に近づける代わりに非負の値に固定すれば、右辺は
f ( x + h ) − f ( x ) h = Δ h [ f ] ( x ) h {\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}}
と書けるから、これは h が小さいとき、歩み h の前進差分が微分を近似するものであることを意味する。この近似の誤差はテイラーの定理から評価することができる。実際、f が微分可能であると仮定すれば
Δ h [ f ] ( x ) h − f ′ ( x ) = O ( h ) → 0 ( as h → 0 ) {\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad ({\text{as }}h\to 0)}
ニュートン級数はニュートンの前進差分方程式の項からなる。これは本質的にニュートン補間公式であり、1687年に著書『プリンキピア・マスマティカ』において最初に公表された。具体的には、連続的なテイラー展開の離散版
f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ Δ k [ f ] ( a ) k ! ( x − a ) k = ∑ k = 0 ∞ ( x − a k ) Δ k [ f ] ( a ) {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)}
が任意の多項式函数 f に対して成立する。これはさらに多くの(全てではない)解析函数でも成立する。ここで
( x k ) = ( x ) k k ! {\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}
は二項係数であり、
( x ) k = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − k + 1 ) {\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}
は下降階乗(下方階乗)である(空積 (x)0 は 1 とする)。これは後述する一般化において、x の変化の歩み (step) が h = 1 であると仮定した特別の場合である。
この結果とテイラーの定理との形式的な対応に注意せよ。