開写像定理 (関数解析)
X あるいは Y の局所凸性は証明において本質的ではなく、完備性が本質である: この定理は X および Y がF-空間である場合にも同様に成り立つ。さらに、この定理はベールのカテゴリー定理とも、次のような形で組み合わされる (Rudin, Theorem 2.11):
X をF-空間とし、Y を位相ベクトル空間とする。もし A : X → Y が連続線形作用素であるなら、A(X) は Y 内の第一類集合(やせた集合、meager set)であるか、A(X) = Y である。後者の場合、A は開写像であり Y もF-空間となる。
さらに、後者の場合、N を A の核として
X → X / N → α Y {\displaystyle X\to X/N{\overset {\alpha }{{}\to {}}}Y}
なる形の A の標準的な分解が存在する。ここで X / N は、X の閉部分空間 N による商空間(これもやはりF-空間)で、商写像 X → X / N は開であり、写像 α は位相ベクトル空間の同型である。(Dieudonné, 12.16.8)