クリフォード代数
ベクトル空間V の体 K 上の次元が n であり {e1, ..., en} が (V, Q) の直交基底(英語版)であれば、 クリフォード代数 Cl(V, Q) は K 上自由でその基底(の 1 つ)は以下で与えられる。
{ e i 1 e i 2 ⋯ e i k ∣ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n and 0 ≤ k ≤ n } {\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n{\text{ and }}0\leq k\leq n\}} .
空積 (k = 0) は代数の乗法の単位元として定義される。k の各値に対して n C k {\displaystyle {}_{n}C_{k}} 個の基底元が存在する、したがってクリフォード代数の総次元は
dim  C l ( V , Q ) = ∑ k = 0 n ( n k ) = 2 n . {\displaystyle \dim C\ell (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=2^{n}.}
V は二次形式を伴っているので、V の 特別な基底として直交基底を選べる。直交基底(英語版) は
この写像は線型同型であることを示すことができ、それは自然である。
関係を見るより洗練された方法は Cl(V, Q) 上フィルトレーション(英語版)を構成することである。テンソル代数 T(V) は自然なフィルトレーションを持つことを思い出そう: F ⊂ F ⊂ F ⊂ ⋯、ただし F は k-階以下のテンソルの和を含む。これをクリフォード代数に射影することで Cl(V, Q) 上のフィルトレーションが得られる。伴う次数代数
Gr F  C l ( V , Q ) = ⨁ k F k / F k − 1 {\displaystyle \operatorname {Gr} \nolimits _{F}C\ell (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}
は自然に外積代数 ⋀(V) に同型である。フィルター代数の伴う次数代数は(すべての k に対してF のコンポーネントを F の中に選ぶことによって)つねにフィルターベクトル空間としてフィルター代数に同型であるから、これは任意の標数において、2 でさえも、(自然なものではないが)同型を提供する。
C l i ( V , Q ) C l j ( V , Q ) = C l i + j ( V , Q ) {\displaystyle C\ell ^{\,i}(V,Q)C\ell ^{\,j}(V,Q)=C\ell ^{\,i+j}(V,Q)}
が従う、ただし右上の添え字は modulo 2 で読まれる。これは Cl(V, Q) に Z2-次数代数の構造を与える。部分空間 Cl(V, Q) は Cl(V, Q) の部分代数をなし、偶部分代数 (even subalgebra) と呼ばれる。部分空間 Cl(V, Q) は Cl(V, Q) の奇成分 (odd part) と呼ばれる(部分代数ではない)。この Z2-次数付けはクリフォード代数の解析と応用において重要な役割を果たす。自己同型 α は主対合 (main involution) あるいは次数付き対合 (grade involution) と呼ばれる。この Z2-次数付けにおいて pure な元は単に even あるいは odd と呼ばれる。
数学において、クリフォード代数 (クリフォードだいすう、英: Clifford algebra) は結合多元環の一種である。K-代数として、それらは実数、複素数、四元数、そしていくつかの他の超複素数系を一般化する。クリフォード代数の理論は二次形式と直交変換の理論と密接な関係がある。クリフォード代数は幾何学、理論物理学、デジタル画像処理を含む種々の分野において重要な応用を持つ。イギリス人幾何学者ウィリアム・キングドン・クリフォード(英語版)にちなんだ名称である。
最もよく知られたクリフォード代数、あるいは直交クリフォード代数 (ちょっこうクリフォードだいすう、英: orthogonal Clifford algebra) は、リーマンクリフォード代数 (リーマンクリフォードだいすう、英: Riemannian Clifford algebra) とも呼ばれる。