歪エルミート行列
A A ∗ = A ∗ A {\displaystyle AA^{*}=A^{*}A}
を満たす。実際、AA = A(−A) = (−A)A = AA であり、A と A は可換である。
任意の正方行列 M はエルミート行列 H と歪エルミート行列 A の和として一意に表せる。
M = H + A {\displaystyle M=H+A}
行列 M + M はエルミートであり、M − M は歪エルミートであるので、これらを H/2 および A/2 と定義すれば上述の関係を得る。
歪エルミート行列の冪乗 A は、指数 p が奇数なら歪エルミート、偶数ならエルミートである。
( A p ) ∗ = ( A ∗ ) p = ( − 1 ) p A p {\displaystyle {\left(A^{p}\right)}^{*}={\left(A^{*}\right)}^{p}={\left(-1\right)}^{p}A^{p}\!}
A が歪エルミートならば行列指数関数 e はユニタリ行列になる。
( e A ) ∗ = e A ∗ = e − A = ( e A ) − 1 {\displaystyle {(\mathrm {e} ^{A})}^{*}=\mathrm {e} ^{A^{*}}=\mathrm {e} ^{-A}={(\mathrm {e} ^{A})}^{-1}\!}
歪エルミート行列の固有値は 0 か純虚数なので、e の固有値の絶対値は 1 になる。