ロジスティック写像
メイは、ティェンイェン・リー(英語版)とジェームズ・ヨーク(英語版)が論文 ”Period three implies chaos”(参考訳:3周期はカオスを意味する)で使った「カオス」という表現を積極的に用い、この論文にも注目を集めた。異論もあるが、このリーとヨークの論文は「カオス」という語を数学用語として最初に使ったと考えられており、同論文によって決定論的な無秩序的振る舞いを指す用語「カオス」が生まれたとされる。リーとヨークは、1973年に同論文を一旦完成させたが、The American Mathematical Monthly(英語版) に投稿したところ研究色が強過ぎるので分かりやすく大幅に書き直すように告げられ、掲載を却下された。その後、論文は書き直されることなく放っておかれていた。しかし、翌1974年にリーとヨークが居たメリーランド大学にメイが特別招待講義にやってきて、ロジスティック写像の話をした。当時、メイは、ロジスティック写像のカオス領域で何が起きているのかまだ理解できていなかったが、リーとヨークもまた、ロジスティック写像の周期倍化カスケードについて知らなかった。メイの話に興奮したリーとヨークは、講義後にメイを捕まえて2人が得た結果の話をし、メイもその結果に驚いた。すぐにリーとヨークは却下された論文を書き直して、再提出された論文は1975年に出版された。
また1975年頃、数理物理学者のミッチェル・ファイゲンバウムは、ロジスティック写像の周期倍化カスケードに注目すると、分岐値が等比級数的に収束するスケーリングの法則に気づき、今ではファイゲンバウム定数と呼ばれる定数の存在を数値実験から発見した。
ロジスティック写像は生態学上のモデルとして研究された経緯もあり、パラメータ a が負の場合について論じられることは少ない。a を 0 から減少させていくと、−1 < a < 0 では xf = 0 の安定不動点に漸近するが、a = −1 を超えたところから2周期点に分岐し、正のときと同じく周期倍化分岐を経てカオスへ至る。最終的には、a = −2 を下回るとプラス無限大へ発散するようになる。
カオス領域の全体に目を移すと、カオスであっても窓であっても、軌道図の縦軸の最大値と最小値(アトラクタの上限値と下限値)はある範囲内に限られている。式 (2-1) が示すようにロジスティック写像の最大値は a/4 で与えられ、これがアトラクタの上限値となる。アトラクタの下限値は、a/4 が写る点 f (a/4) で与えられる。結局、軌道図で xn が動く最大値と最小値は、パラメータ a に依存して
と与えられる。最終的には、a = 4 で軌道は [0, 1] 全体に及ぶ。
軌道図を観察すると、点の分布に特徴的な濃淡が見られる。点が濃い部分は、変数がその周辺の値を取る頻度が大きいことを意味しており、点が薄い部分は、変数がその周辺の値を取る頻度が小さいことを意味している。このような点が訪れる頻度の差異は、ロジスティック写像のグラフの形に起因して生まれる。グラフの最頂部 a/4 近辺が高頻度で軌道を呼び込み、そこから写された先の f (a/4) 近辺も高頻度になり、そこから写された先の f (a/4) 近辺も高頻度になり...、という具合に頻度の分布が生まれる。写像によって生まれる点の密度分布は不変測度や分布関数と呼ばれる量で特徴づけられ、アトラクタの不変測度は初期値に関わらず再現性がある。
軌道図カオス領域の初めの辺り、 a が最初の2周期倍化カスケードの集積点 a∞ = 3.56994... を少し超えた辺りを見てみると、軌道がいくつかの区間に分かれていることが観察できる。このように分かれた小領域はバンドと呼ばれる。バンドが複数ある場合、軌道は規則的に順番に各バンドを巡り、なおかつ各バンド内での取る値は不規則的となるような振る舞いを示す。
パラメータ a が特定のロジスティック写像については、時刻 n と初期値 x0 を陽に含む厳密解が以下のように得られている。