指数積分
z の絶対値が十分大きいとき E1 は次のように近似できる。
E 1 ( z ) = − e − z { ∑ k = 1 n ( k − 1 ) ! ( − 1 z ) k + O ( 1 z n + 1 ) } {\displaystyle E_{1}(z)=-e^{-z}\left\{\sum _{k=1}^{n}(k-1)!\left(-{\frac {1}{z}}\right)^{k}+O\left({\frac {1}{z^{n+1}}}\right)\right\}}
右辺は n→∞ で発散するので適当な項数で打ち切って使用する。
Ein(z) のテイラー展開は次のように与えられる。
Ein  ( z ) = ∫ 0 z ∑ k = 1 ∞ ( − t ) k − 1 k ! d t = − ∑ k = 1 ∞ ( − z ) k k k ! {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ein} (z)&=\int _{0}^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-t)^{k-1}}{k!}}\,\operatorname {d} \!t\\&=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\end{aligned}}}
これは複素平面全体で収束する。また次のような展開も可能である。
Ein  ( z ) = ∫ 0 z e − t ∑ k = 1 ∞ t k − 1 k ! d t = e − z ∑ n = 1 ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k ) z n n ! Ein  ( z ) = ∫ 0 z e − t / 2 ∑ k = 0 ∞ ( t / 2 ) 2 k ( 2 k + 1 ) !