単葉関数
U で z 0 {\displaystyle z_{0}} 以外に零点が存在する場合は、閉包がその零点を含まないようにUを選び直す(このような操作は零点が有限個であるから可能である)。
g ( z ) = f ( z ) − f ( z 0 ) {\displaystyle g(z)=f(z)-f(z_{0})} と置けば g ( z 0 ) = g ′ ( z 0 ) = 0 {\displaystyle g(z_{0})=g'(z_{0})=0} である。従って z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} における g {\displaystyle g} の位数は2以上で、これを n {\displaystyle n} とすれば g ( z ) = ( z − z 0 ) n g 1 ( z ) {\displaystyle g(z)=(z-z_{0})^{n}g_{1}(z)} 、 g 1 ( z 0 ) ≠ 0 {\displaystyle g_{1}(z_{0})\neq 0} と置くことができる。
g {\displaystyle g} は ∂ U {\displaystyle \partial U} 上で零点を持たず、また ∂ U {\displaystyle \partial U} はコンパクトであるため、 0 < | − α | < min z ∈ ∂ U | g ( z ) | {\displaystyle 0<|-\alpha |<\min _{z\in \partial U}|g(z)|} を満たす複素数 α {\displaystyle \alpha } を任意に選べば、ルーシェの定理から U における g ( z ) {\displaystyle g(z)} と g ( z ) − α {\displaystyle g(z)-\alpha } の零点の全位数は共に1である。
すなわち、 g ( z ) = α {\displaystyle g(z)=\alpha } となる点が U においてただ一つ存在する。 V = { z ∣ | g ( z ) | < min z ∈ ∂ U | g ( z ) | } ⊂ U {\displaystyle V=\{z\mid |g(z)|<\min _{z\in \partial U}|g(z)|\}\subset U} と置けば、V 上で g ( z ) {\displaystyle g(z)} および f ( z ) = g ( z ) + f ( z 0 ) {\displaystyle f(z)=g(z)+f(z_{0})} は単葉である。