多重劣調和函数
ケーラー多様体との関係: n-次元複素ユークリッド空間 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 上で f ( z ) = | z | 2 {\displaystyle f(z)=|z|^{2}} は多重劣調和函数である。実際、 − 1 ∂ ∂ ̄ f {\displaystyle {\sqrt {-1}}\partial {\overline {\partial }}f} は、定数倍を除き C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} の上の標準ケーラー形式に等しい。さらに一般的には、 g {\displaystyle g} が、あるケーラー形式 ω {\displaystyle \omega } に対し、
− 1 ∂ ∂ ̄ g = ω {\displaystyle {\sqrt {-1}}\partial {\overline {\partial }}g=\omega }
を満たすと、 g {\displaystyle g} は多重劣調和函数であり、これはケーラーポテンシャルと呼ばれる。
ディラックのデルタとの関係: 1-次元複素ユークリッド空間 C 1 {\displaystyle \mathbb {C} ^{1}} 上で、 u ( z ) = log  ( z ) {\displaystyle u(z)=\log(z)} は多重劣調和函数である。 f {\displaystyle f} がコンパクトな台を持つ C-級函数とすると、コーシーの積分公式 からは、
多重劣調和函数は、1942年に岡潔とピエール・ルロン(英語版)によって定義された。