行列指数関数
ヤコビの公式から、任意の複素正方行列について次のトレース恒等式(英語版)が成り立つ:
det ( e A ) = e tr  ( A ) . {\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}~.}
計算に役立つだけでなく、上記の等式の右辺は常に非零であるから、左辺の行列式は非零 det(e) ≠ 0 であり、したがって行列指数関数 e は常に正則であることが分かる。
実行列の場合、上記の公式から写像
exp : M n ( R ) → G L ( n , R ) {\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}
が全射ではないことも分かる。なぜならば、実行列について公式の右辺は常に正であるが、行列式が負の正則行列は存在するからである。このことは先に触れた複素行列の場合とは対照的である。
ここから、指数写像はコンパクト部分集合 Mn(C) 上で連続かつリプシッツ連続であることが従う。
写像
t ↦ e t X ( t ∈ R ) {\displaystyle t\mapsto e^{tX}\quad (t\in \mathbb {R} )}
は t = 0 で単位元を通る、一般線型群内の滑らかな曲線を定義する。実は
e t X e s X = e ( t + s ) X {\displaystyle e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}}
が成り立つから、これらは一般線型群の1パラメータ部分群(英語版)を与えている。
この曲線の t 上の微分係数(あるいは接ベクトル)は
で与えられる。t = 0 での微分係数はまさに行列 X であり、これはつまり X がこの一径数部分群を生成することを示している。
より一般に、t に依存する生成的指数 X(t) に対して
d d t e X ( t ) = ∫ 0 1 e α X ( t ) d X ( t ) d t e ( 1 − α ) X ( t ) d α {\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha }