キュムラント
確率論や統計学において、キュムラント(きゅむらんと、英: cumulant)は、分布を特徴付ける特性値の一つ。キュムラント母関数を級数展開した際の係数として定義する。その性質を研究したT. N. ティエレに因み 、ティエレの半不変数(英: semi-invariant)とも呼ぶ。
確率密度関数が
p ( x ) = 1 2 π σ exp  ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle p(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
で与えられるガウス分布において、キュムラント母関数は
log  M ( s ) = μ s + σ 2 2 ! s 2 {\displaystyle \log {M(s)}=\mu s+{\frac {\sigma ^{2}}{2!}}s^{2}}
であり、キュムラントは
c 1 = μ c 2 = σ 2 c n = 0 n = 3 , 4 , ... {\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=\mu \\c_{2}&=\sigma ^{2}\\c_{n}&=0\quad n=3,4,\dots \end{aligned}}}
となる。このように三次以上の高次のキュムラントが全て0になるのが、ガウス分布の特徴である。