グラハム数
この操作を6回繰り返した数がリトル・グラハム数である。
この大きさをたとえる話として、「リトル・グラハム数を十進記数法を用いて印字しようとした場合(十分に印刷できる面積を持つ物体があるとして)、この全宇宙にある物質すべてをインクに変えても全く足りない」というものがある。しかし、その例えを使ったとしてもF(4)にすら満たず、F(4)の時点で、グラハム数の大きさを例えるのに使用した、Unicodeや宇宙論を用いた例えがそのまま適用され、log10F≒Fと見做せる。
チェーン表記を用いても F = F(12) を簡潔に表すことはできないが、次の不等式が成立する。
3 → 2 → 8 → 2 < F < 3 → 2 → 9 → 2 {\displaystyle 3\rightarrow 2\rightarrow 8\rightarrow 2<F<3\rightarrow 2\rightarrow 9\rightarrow 2}
先述の通り、リトル・グラハム数自体は桁数を指数で表現することすら不可能なほど大きく、スーパーコンピュータでもF(4)の計算すら望めないが、末尾の数字を計算する方法は確立しており、ある程度の桁数は判明している。
2→3→F(2→3→12) を十進法で表したときの末尾3桁は 736 である。
これを用いて、関数 G(n) を
G ( n ) = 3 ↑ n 3 = 3 ↑ ⋯ ↑ ⏟ n arrows 3 {\displaystyle G(n)=3\uparrow ^{n}3=3\mathbin {\underbrace {\uparrow \cdots \uparrow } _{n\ {\textrm {arrows}}}} 3}
と定義したときの
この数は1970年のロナルド・グラハム、ブルース・リー・ロスチャイルドによる「グラハムの定理」
に関係する。つまり、n が十分大きければというが、
ということである。これがグラハム問題である。グラハムの定理より、解の存在は確かだが、具体的な値は現在にいたるまで得られていない。
しかし、この関係がグラハム数以上の n について成り立つことがグラハム自身によって証明された。つまり、解はグラハム数以下である。
ただし、グラハムらは実際にはこの数を論文では発表しておらず、翌1971年にグラハム数より小さなグラハム問題の解の上限として、小グラハム数という数を発表した。その後、マーティン・ガードナーが1977年にサイエンティフィック・アメリカンでグラハム数を紹介したことによってこの数は広く知られるようになった。
解の上限はのち2014年にミハイル・ラブロフらによってさらに小さい数が示された。
一方、この問題の解の下限(つまりこの数より小さい数では成り立たないことを示した数)としては、グラハムとロスチャイルドは1971年の小グラハム数を示したものと同じ論文中で 6 を与えた。ガードナーは1989年に著書の中でラムゼー理論の専門家はこの問題の解を 6 と考えていると紹介し、これが広く信じられてきたが、2003年にジェフ・エクスーがより良い下限として 11 を、2008年にはジェローム・バークレーが 13 を与えた。