実二次正方行列
z = x I + n , ( x = a + d 2 , n = z − x I ) {\displaystyle z=xI+n,\quad (x={\frac {a+d}{2}},\quad n=z-xI)}
と書けて、
n 2 = p I ( p = ( a − d ) 2 4 + b c ) {\displaystyle n^{2}=pI\quad (p={\frac {(a-d)^{2}}{4}}+bc)}
を得る。これにより z に関する三分律を得る。
p < 0 のとき、z は通常の複素数: q := 1/√−p, m := qn と置けば、m = −I で z = xI + m√−p.
p = 0 のとき、z は二重数: z = xI + n.
p > 0 のとき、z は分解型複素数: q := 1/√p, m := qn と置けば、m = +I で z = xI + m√p.
同様に、2×2 行列を(先述の極分解によって)極座標で表すことができる(無論、二重数の場合に連結成分が二つ存在すること、および分解型四元数の場合に連結成分が四つ存在することに注意せねばならない)。