次元解析
物理量Q がn 個の物理量xi によって決定されるとき、それらの関係を表す式
Q = F ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle Q=F(x_{1},\dots ,x_{n})}
が次元的に健全であるということは、次のように変形できることを意味する。
F ( x 1 , ... , x n ) = ∏ i [ X i ] a i × F ∗ ( x 1 ∗ , ... , x n ∗ ) {\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i}[X_{i}]^{a_{i}}\times F^{*}(x_{1}^{*},\dots ,x_{n}^{*})}
ここで [ X i ] {\displaystyle [X_{i}]} は物理量 x i {\displaystyle x_{i}} の単位または次元、*付きの変数は無次元量を意味する。
バッキンガムのΠ定理にしたがって考えると、物理量が m, k, x および T の4つで、次元が M , T , L {\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}},{\mathsf {L}}} の3種類なので、次元行列は
M = ( ⋅ m k x T M 1 1 0 0 T 0 − 2 0 1 L 0 0 1 0 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &m&k&x&T\\{\mathsf {M}}&1&1&0&0\\{\mathsf {T}}&0&-2&0&1\\{\mathsf {L}}&0&0&1&0\end{pmatrix}}}
となる(便宜的に列が m, k, x, T 、行が M , T , L {\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}},{\mathsf {L}}} に対応していることを明記しているが、本来の次元行列には含まれない)。null M = 1 から、1個の無次元量があることが分かる。関係式はすなわちこの無次元量が定数ということである。
T m / k = A ( = 2 π ) {\displaystyle {\frac {T}{\sqrt {m/k}}}=A(=2\pi )}