M/M/1 待ち行列
M/M/1 待ち行列がある時刻に特定の状態にあったとき、時刻 t に依存する確率質量関数を書き下すことができる。初期状態を i とし、時刻 t に状態 k にある確率を pk(t) とすると、以下を得る。
p k ( t ) = e − ( λ + μ ) t [ ρ k − i 2 I k − i ( a t ) + ρ k − i − 1 2 I k + i + 1 ( a t ) + ( 1 − ρ ) ρ k ∑ j = k + i + 2 ∞ ρ − j / 2 I j ( a t ) ] {\displaystyle p_{k}(t)=e^{-(\lambda +\mu )t}\left[\rho ^{\frac {k-i}{2}}I_{k-i}(at)+\rho ^{\frac {k-i-1}{2}}I_{k+i+1}(at)+(1-\rho )\rho ^{k}\sum _{j=k+i+2}^{\infty }\rho ^{-j/2}I_{j}(at)\right]}
ここで、 ρ = λ / μ {\displaystyle \rho =\lambda /\mu } , a = 2 λ μ {\displaystyle a=2{\sqrt {\lambda \mu }}} とし、 Ik は第一種変形ベッセル関数とする。過渡解のモーメントは二つの単調関数の和として書くことができる。