二項定理
であり、これは n に関して単調増加である。この和の第 k 項
( n k ) 1 n k = 1 k ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)}
は n → ∞ のとき 1 k ! {\displaystyle {\frac {1}{k!}}} に収束する。 故に e は級数として
e = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ {\displaystyle e={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\dotsb }
と書ける。
複素数に対する二項定理とド・モアブルの定理を合わせれば、正弦函数、余弦函数の多倍角公式が得られる。ド・モアブルの公式によれば
cos  ( n x ) + i sin  ( n x ) = ( cos  x + i sin  x ) n {\displaystyle \cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos x+i\sin x)^{n}}
が成り立つから、二項定理を用いて右辺を展開して実部と虚部を比較すれば cos(nx) および sin(nx) に対する公式を得る。
n = 2 の場合は、
( cos  x + i sin  x ) 2 = cos 2  x + 2 i cos  x sin  x − sin 2  x {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x}
から倍角公式
cos  ( 2 x ) = cos 2  x − sin 2  x , sin  ( 2 x ) = 2 cos  x sin  x {\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x,\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x}
を得る。
n = 3 の場合は、
( cos  x + i sin  x ) 3 = cos 3  x + 3 i cos 2  x sin  x − 3 cos  x sin 2  x − i sin 3  x {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x}