単位円板
複素函数
f ( z ) = z 1 − | z | 2 {\displaystyle f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}}
は単位開円板からガウス平面への実解析的かつ全単射な函数の一例である(逆函数もまた解析的)。従って、二次元の実解析的多様体(英語版)と見做した単位開円板は、平面全体と(実解析的)同型である。特に、単位開円板は全平面に同相である。
しかし単位開円板から全平面への等角全単射は存在しないから、単位開円板とガウス平面はリーマン面としては異なる。
一方、単位開円板から上半平面への等角全単射が存在するから、リーマン面としては単位円板は上半平面に同型(双正則または等角同値)である(もっと一般に、リーマンの写像定理は「ガウス平面上の全平面でない任意の単連結開集合から単位開円板への等角全単射がとれる」ことを主張する)。これにはよく用いられるものが二種類あり、その一つはメビウス変換