積分差分方程式
空間一次元において、分散核はしばしば出発点と目的地の間の距離にのみ依存するものとされ、そのような場合には k ( x − y ) {\displaystyle k(x-y)} と書かれる。このとき、f と k に対するいくつかの自然な条件の下で、コンパクトな初期条件から生成される侵入波の伝播速度は well-defined となる。そのような波の速度はしばしば、線形化方程式
n t + 1 = ∫ − ∞ ∞ k ( x − y ) R n t ( y ) d y {\displaystyle n_{t+1}=\int _{-\infty }^{\infty }k(x-y)Rn_{t}(y)\,dy}
を調べることによって計算される。ここで R = d f / d n ( n = 0 ) {\displaystyle R=df/dn(n=0)} であり、この式は畳み込み
n t + 1 = f ′ ( 0 ) k ∗ n t {\displaystyle n_{t+1}=f'(0)k*n_{t}}
として書き表すことができる。ここで積率母関数変換