冪乗則
冪乗則を非常に興味深いものとする主な性質は、スケール不変性にある。 f ( x ) = a x k {\displaystyle f(x)=ax^{k}} という関係、あるいはいかなる同次多項式であっても、定数因子によって独立変数 x {\displaystyle x} のスケールを変化させることは、関数それ自体のスケーリングの比例に帰結するだけだ。
f ( c x ) = a ( c x ) k = c k f ( x ) ∝ f ( x ) {\displaystyle f(cx)=a(cx)^{k}=c^{k}f(x)\propto f(x)}
この式は、定数によるスケーリングとは、単に元の冪乗則関係に定数、 c k {\displaystyle c^{k}} を乗じることであることを示す。このように、特定のスケーリング指数を持つすべての冪乗則は、定数倍と同等となる。