境界 (位相空間論)
実数直線 R に通常の位相(つまり、開区間を開基とする位相)を考えると、たとえば
∂(0,5) = ∂[0,5) = ∂(0,5] = ∂[0,5] = {0,5}
∂∅ = ∅
∂Q = R
∂(Q ∩ [0,1]) = [0,1]
などが成立する。最後のふたつの例は、内点を持たない稠密集合の境界はその集合の閉包に一致するという一般的な事実を説明するものになっている。
有理数全体の集合に通常の位相(R の部分位相空間としての位相)を考えた位相空間の中では、a が無理数であるときの区間 (−∞, a) の境界は空集合である。
集合の境界というのは位相的な概念であり、集合に入れる位相を変えれば(同じ集合であっても)何が境界であるかが変わってくる。例えば、通常の位相を持つ R における閉円板 Ω = {(x, y) | x + y ≤ 1} の境界は、この円板を囲む円周 ∂Ω = {(x, y) | x + y = 1} である。もしここで、この円板を通常の位相をもつ R の部分集合 Ω = {(x, y, 0) | x + y ≤ 1} と見るならば、この円板の境界は円板自身 ∂Ω = Ω であり、また円板それ自身を(相対位相に関する)位相空間と見れば、その境界は空となる。