集合環
X の部分集合族 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} が集合 X 上の集合環であるとは、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は空でない。 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は対称差に関して閉じている。 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は有限交叉に関して閉じている。
の三条件を満たすことを言う。
上で基本性質として注意したことは、この特徴付けが先の定義から導かれることを意味する。逆に、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} がこの三条件を満たすならば、これは差に関して閉じていて (A ∖ B = A Δ (A ∩ B)) かつ合併に関しても閉じている (A ∪ B = (A Δ B) Δ (A ∩ B)) ことが示せるからこれは集合環である。
集合 X の部分集合全体の成すブール代数(冪集合代数)は、対称差を加法(単位元は空集合 ∅)とし交叉を乗法(単位元は全体集合 X)とするブール環の構造を与えることを思い出そう。この構造に対して、X 上の集合環は、加法に関して部分群で乗法に関して閉じているから、擬環構造に対する部分構造を与えている。X 上の集合代数の場合も同様に、冪集合代数の部分集合として、加法に関して部分群で、乗法に関して閉じていて単位元も含むから、こちらは単位的環としての部分構造になっている。
集合 X の部分集合族 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} が集合環であるとは、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は空でない。 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は差に関して閉じている。 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} は有限合併に関して閉じている。
の三条件を満たすことを言う。
幾つかの文献では X が空でないことをも仮定することがあるが、本項ではこの追加の条件は仮定しない。