リカレンスプロット
周期性や繰り返しを示す自然のプロセスは多く、季節やミランコビッチ・サイクルのような明確な周期性だけでなく、エルニーニョ・南方振動のような不規則な周期性も存在する。観測された時系列が周期性をもつ場合、その背後に何らかの状態が繰り返すこと、すなわち状態が遷移した後に再び近い値に戻ってくる性質があることが想定される。こうした状態の回帰性は、決定論的な力学系の基本特性だけでなく、非線形・カオス系の性質としてもよく見られる(ポアンカレの回帰定理を参照)。自然界における繰り返しは、1890年にアンリ・ポアンカレが研究するなど、古くから知られている。
1987年に Eckmann らは位相空間内の軌跡の周期的な性質を視覚化するためにリカレンスプロットを導入した。位相空間は一般に高次である場合もあるが、リカレンスプロットでは低い次元(主に2次元)の位相空間に射影され、さらにバイナリー表現されることで情報が削減される。しかし、リカレンスプロットは2次元平面に描画される図であるにもかかわらず、m次元位相空間における特定の様相(特に周期性)をうまく表現する。例えば、時系列の値が厳密に周期 T {\displaystyle T} を持つならば、そのような時間のペア全体は T {\displaystyle T} の倍数ごとに分けられて、対角線(と並行な線)として描かれる。実際には、連続の値は計測時に標本化・量子化が行われるため、値が十分近い値になった場合にペアを描画する。
値の性質によって、リカレンスプロットに単一の点・対角線・垂直/水平線などの構造が見られる。そのような texture と呼ばれる大規模な構造は、均一、周期的、ドリフト・無秩序などに分けられる。
, N y {\displaystyle \mathbf {CR} (i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i),\,{\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad i=1,\dots ,N_{x},\ j=1,\dots ,N_{y}}
である。 2つのデータの次元は等しい必要があるが、データ長は異なっていても描画可能である。クロスリカレンスプロットは、2つの系の状態が類似する頻度を比較する。2つの系で類似したパターンを探すためや、時間スケールの異なる2つの系の時間の関係の研究のために用いることが可能である (Marwan & Knuths (2005))。
ジョイントリカレンスプロットは、下位系(サブシステム)を考慮した、リカレンスプロットのアダマール積である (Romano et al. (2004))。2つの系 x → {\displaystyle {\vec {x}}} と y → {\displaystyle {\vec {y}}} に対して、ジョイントリカレンスプロットは