数字根
f ( n ) , f ( f ( n ) ) , f ( f ( f ( n ) ) ) , ⋯ {\displaystyle f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),\dotsb } が最終的に定数となることの証明は以下の通り。
x = d 1 + 10 d 2 + ⋯ + 10 n − 1 d n {\displaystyle x=d_{1}+10d_{2}+\dotsb +10^{n-1}d_{n}} とし、 0 ≤ d i ∈ Z < 10 {\displaystyle 0\leq d_{i}\in \mathbb {Z} <10} とする(全ての i {\displaystyle i} について d i {\displaystyle d_{i}} は 0 以上、10 未満の整数である)。すると、 f ( x ) = d 1 + d 2 + ⋯ + d n {\displaystyle f(x)=d_{1}+d_{2}+\dotsb +d_{n}} となる。