表現論
結合代数の表現を考える場合、基礎となる体を忘れて、単純に環としての結合代数と加群としての表現を考えることができる。このアプローチは、驚くほど豊かで、表現論の多くの結果が、環上の加群についての結果の特別な場合と解釈することができる。
集合 X 上の群 G の集合論的表現(set-theoretic representation)(群の作用、あるいは置換表現としても知られている)は、G から X から X への函数の集合 で、すべての g1, g2 とすべての X のx に対し、
ρ ( 1 ) [ x ] = x {\displaystyle \rho (1)[x]=x}
ρ ( g 1 g 2 ) [ x ] = ρ ( g 1 ) [ ρ ( g 2 ) [ x ] ] . {\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]].}
を満たすある X への函数により与えられる。
群に対してのこの条件と公理は、ρ(g) が G のすべての g に対して全単射(あるいは、置換)であることである。このように、置換表現を G から X の対称群 SX への群準同型として定義することは同値であろう。