ガンマ関数
Γ ( z ) = i 2 sin  π z ∫ C ( − t ) z − 1 e − t d t ( z ∈ C ∖ Z ) Γ ( z ) = 1 e 2 π i z − 1 ∫ C s z − 1 e − s d s ( z ∈ C ∖ Z ) 1 Γ ( z ) = i 2 π ∫ C ( − t ) − z e − t d t ( z ∈ C ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (z)={\frac {i}{2\sin {\pi }z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\&\Gamma (z)={\frac {1}{e^{2{\pi }iz}-1}}\int _{C}s^{z-1}e^{-s}{\rm {d}}s\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\&{\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} )\\\end{aligned}}}
これをハンケルの積分表示と呼ぶ。このハンケルの積分表示は、積分経路を適当に変形し、数値積分でガンマ関数の値を求めるために使われることがある。
よって
2 2 z − 1 Γ 2 ( z ) = Γ ( 2 z ) B ( 1 2 , z ) {\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=\Gamma (2z)\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)}
よって
B ( 1 2 , z ) = Γ ( 1 2 ) Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) , Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma (z)}{\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)}},\quad \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
よって以下の式が成り立つ。
Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) . {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}