アベル・プラナの和公式
lim y → + ∞ e − 2 π y f ( x ± i y ) = 0 {\displaystyle \lim _{y\to +\infty }e^{-2{\pi }y}f(x{\pm }iy)=0}
であることを条件とする。更に
lim x → + ∞ ∫ 0 + ∞ f ( x ± i y ) e 2 π y − 1 d y = 0 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\int _{0}^{+\infty }{\frac {f(x{\pm }iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy=0}
であれば
∑ n = 0 ∞ f ( n ) = 1 2 f ( 0 ) + ∫ 0 ∞ f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ f ( i y ) − f ( − i y ) e 2 π y − 1 d y {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\int _{0}^{\infty }f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy}
となる。
であり、仮定により
lim x → ∞ ∫ 0 ∞ e − 2 π y | f ( x ± i y ) | d y = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{\infty }e^{-2{\pi }y}\left|f(x{\pm }iy)\right|dy=0}
であるから