コレスキー分解
ここで、Ii−1 は i − 1 次の単位行列、ai, i は i 番目の対角要素、bi は i 列目の下三角部、B は、A のi+1行・列以降の部分でやはりエルミートである。次に、Li を
L i := [ I i − 1 0 0 0 a i , i 0 0 1 a i , i b i I n − i ] {\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{i}:={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {I}}_{i-1}&0&0\\0&{\sqrt {a_{i,i}}}&0\\0&{\dfrac {1}{\sqrt {a_{i,i}}}}{\boldsymbol {b}}_{i}&{\boldsymbol {I}}_{n-i}\end{bmatrix}}}
と定義するとAは、
A ( i ) = L i A ( i + 1 ) L i ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{(i)}={\boldsymbol {L}}_{i}{\boldsymbol {A}}^{(i+1)}{\boldsymbol {L}}_{i}^{*}}
と書ける(A = Li A Liより)。ここで、A は
A ( i + 1 ) = [ I i − 1 0 0 0 1 0 0 0 B ( i ) − 1 a i , i b i b i ∗ ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{(i+1)}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {I}}_{i-1}&0&0\\0&1&0\\0&0&{\boldsymbol {B}}^{(i)}-{\dfrac {1}{a_{i,i}}}{\boldsymbol {b}}_{i}{\boldsymbol {b}}_{i}^{*}\end{bmatrix}}}