リーマンゼータ関数
∫ 0 1 x s 2 { 1 x ψ ( 1 x ) + 1 2 x − 1 2 } d x x + ∫ 1 ∞ x s 2 ψ ( x ) d x x {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{s \over 2}\left\{{1 \over {\sqrt {x}}}\psi \left({1 \over x}\right)+{1 \over 2{\sqrt {x}}}-{1 \over 2}\right\}\,{\frac {dx}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}}
つまり
1 s − 1 − 1 s + ∫ 0 1 x s − 1 2 ψ ( 1 x ) d x x + ∫ 1 ∞ x s 2 ψ ( x ) d x x {\displaystyle {1 \over {s-1}}-{1 \over s}+\int \limits _{0}^{1}x^{{s-1} \over 2}\psi \left({1 \over x}\right)\,{\frac {dx}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{{s} \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}}
よって
よってポアソン和公式から以下が成り立つ。
∑ n = − ∞ ∞ e − n 2 π x = 1 x ∑ n = − ∞ ∞ e − n 2 π x {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi x}}={1 \over {\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi \over x}}}
よって
2 ψ ( x ) + 1 = 1 x { 2 ψ ( 1 x ) + 1 } {\displaystyle 2\psi (x)+1={1 \over {\sqrt {x}}}\left\{2\psi \left({1 \over x}\right)+1\right\}}
である。よって
π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = ∫ 0 1 x s 2 ψ ( x ) d x x + ∫ 1 ∞ x s 2 ψ ( x ) d x x {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}+\int _{1}^{\infty }x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}}
は以下の式と等しい。