エルゴード理論
つまり任意の x ∈ [ 0 , 1 ] ∖ Q {\displaystyle x\in [0,1]\setminus \mathbb {Q} } は
x = a 1 ( x ) + 1 a 2 ( x ) + 1 a 3 ( x ) + 1 ⋱ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a_{1}(x)+{\cfrac {1}{a_{2}(x)+{\cfrac {1}{a_{3}(x)+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}\end{aligned}}}
と表される。 さらに、 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 上のボレル確率測度 μ {\displaystyle \mu } を
μ ( A ) = 1 log  2 ∫ A 1 1 + x d x {\displaystyle \mu (A)={\frac {1}{\log 2}}\int _{A}{\frac {1}{1+x}}dx}
と定義する。これはガウス測度と呼ばれることがある。
この μ {\displaystyle \mu } は T {\displaystyle T} -不変であるので ( [ 0 , 1 ] , B ( [ 0 , 1 ] ) , μ , T ) {\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\mu ,T)} は可測力学系となっている。
この力学系はエルゴード的であることも知られている。
T-不変な B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の部分集合を I = { A ∈ B : T − 1 A = A } {\displaystyle {\mathcal {I}}=\{A\in {\mathcal {B}}:T^{-1}A=A\}} とする。 ある可測力学系 ( X , B , μ , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)} が以下の同値な条件の一つを満たすときエルゴード的であるという。
任意の A ∈ I {\displaystyle A\in {\mathcal {I}}} に対して、 μ ( A ) = 0 {\displaystyle \mu (A)=0} または μ ( A ) = 1 {\displaystyle \mu (A)=1} が成り立つ。
任意の μ ( A △ T − 1 A ) = 0 {\displaystyle \mu (A\triangle T^{-1}A)=0} を満たす A ∈ B {\displaystyle A\in {\mathcal {B}}} に対して、 μ ( A ) = 0 {\displaystyle \mu (A)=0} または μ ( A ) = 1 {\displaystyle \mu (A)=1} が成り立つ。
任意の μ ( A ) , μ ( B ) > 0 {\displaystyle \mu (A),\mu (B)>0} を満たす A , B ∈ B {\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}} に対して、ある n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } があり、 μ ( T − n A ∩ B ) > 0 {\displaystyle \mu (T^{-n}A\cap B)>0} が成り立つ。