根と係数の関係
x に関する n 次式を
f(x) = an x + an−1 x + ... + a1 x + a0
とする。
代数学の基本定理より、f(x) は複素数の範囲で根を少なくとも1つ持つ。それを α1 とする。
因数定理より、
f(x) = (x − α1) g(x)
と表せる。g(x) は (n − 1) 次式である。
g(x) に対して、同様に代数学の基本定理、因数定理を適用し、これを繰り返すと、
f(x) = an (x − α1) ... (x − αn)
右辺を展開し、元の式と係数比較をすると
s k ( n ) = ( − 1 ) k ⋅ a n − k a n ( k = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle s_{k}^{(n)}=(-1)^{k}\cdot {\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}\qquad (k=1,\cdots ,n)}
が成り立つ。■
x についての四次式
g ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e {\displaystyle g(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}
の根を x = α, β, γ, δ とする。因数定理より
f ( x ) = a ( x − α ) ( x − β ) ( x − γ ) ( x − δ ) {\displaystyle f(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )}
であるから、展開して係数を比較すると