多元数
1995年にイアン・ポーテアス(英語版)は自身のクリフォード線型環に関する著書で “The recognition of subalgebras”(部分多元環の解釈)について書いている。その命題 11.4 に多元数の場合がまとめられている:単位元 1 を持つ結合的実多元環 A について、
1 は実数体 R を生成する。
e0 = −1 を満たす任意の元 e0 ∈ A の生成する二次元部分環は、複素数体 C に同型である。
e0 = +1 を満たす任意の元 e0 ∈ A の生成する二次元部分環は、分解型複素数環 R に同型である。
互いに反交換する A の二元 {e0, e1} の生成する四次元部分環は、e0 = e1 = −1 ならば必ず四元数体 H に同型である。
互いに反交換する A の二元 {e0, e1} の生成する四次元部分環は、e0 = e1 = +1 ならば必ず余四元数(英語版)環 M2(R) に同型である。
互いに反交換する A の三元 {e0, e1, e2} の生成する八次元部分環は、e0 = e1 = e2 = −1 ならば必ず分解型双四元数(英語版) H に同型である。
互いに反交換する A の三元 {e0, e1, e2} の生成する八次元部分環は、e0 = e1 = e2 = +1 ならば必ず双四元数(英語版)環(あるいはパウリ代数)M2(C) に同型である。
古典多元環を超えた拡張については、クリフォード代数の分類(英語版)の項を参照せよ。