多項式
通常の多変数多項式環は、変数と係数および変数同士の可換性が仮定されている。この変数の間の可換性を仮定からはずすことで、非可換多項式環が定義される。可換性をはずしたために、非可換多項式を一般に書き表すのは困難であるが、非可換多項式環はテンソル代数として記述することができる。X = {x1, x2, ..., xn}を基底とする有限次元 K ベクトル空間あるいは可換環 K 上の階数有限な自由加群 V 上のテンソル代数 T(V) を
T ( V ) =: K ⟨ x 1 , x 2 , ... , x n ⟩ = K ⟨ X ⟩ {\displaystyle T(V)=:K\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle =K\langle \mathbf {X} \rangle }
などと記してK 上の非可換多項式環と呼ぶ。ここで術語「自由」(free) は、この環が必ずしも乗法が可換でないような多元環としての普遍性を持つということを意味している。K 上で有限生成な(非可換)環 A
A = K ⟨ α 1 , α 2 , ... , α n ⟩ := { ∑ l c l α i 1 ( l ) α i 2 ( l ) ⋯ α i k l ( l ) ∣ c l ∈ K , α i j ( l ) ∈ { α 1 , ...
不定元 x, y に関する2変数の多項式とは、たとえば −2xy + x − 17xy − 4 のように、有限個の axy(k, l は非負整数、a は数)の和として表される式のことをいう。同様にして、任意の正整数 m について m 変数の多項式の概念を考えることができる。2変数以上の多項式は、一般に多変数の多項式とよばれる。
K を数の集合とする。m 個の不定元 x1, x2, ..., xm に関する K 上の多項式 f は、m 個の非負整数の組全体の集合を Z≥0 で表すとき、Z≥0 のある有限部分集合 I を用いて
∑ ( k 1 , k 2 , ... , k m ) ∈ I a k 1 k 2 ⋯ k m x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle \sum _{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})\in I}a_{k_{1}k_{2}\dotsb k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dotsb x_{m}^{k_{m}}}
不定元 x に関する(1変数の)多項式とは、
a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}
という形の式のことをいう。これを
∑ k = 0 n a k x k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}
とも書く。ただし、n は非負整数で、an, an − 1, ..., a0 は数である。各々の akx (k = 0, ..., n) のことを項(より詳しくは k 次の項)とよび、ak をその項の係数とよぶ。特に、0次の項 a0 は定数項とよばれる。たとえば、多項式 3x − 7x + 2x − 23 の項とは 3x, −7x, 2x, −23 のことで、−7x の係数は −7 であり、またこの多項式の定数項は −23 である。
項を並べる順番は変更してよい。たとえば −7x − 23 + 2x + 3x は 3x − 7x + 2x − 23 と同じ多項式である。また、0 を係数とする項は省略してもよい。