連結和
2つの m-次元多様体の連結和は、各々の多様体の中にある球を削除し、境界として現れる球面を互いに貼り合わせる(英語版)(gluing together)ことにより得ることができる。
多様体が双方とも向きつけられていれば、貼りあわせ写像を反対向きにとることにより、一意に連結和が定義される。構成は球の選び方にかかわらず、結果は同相の下に一意である。滑らかな圏ではこの操作は可能で、結果は微分同相の下に一意である。滑らかな圏での場合は、微妙な問題があり、球の境界の間のすべての微分同相が、たとえ向き付けを正しく選択したとしても、合成されたときに同じ多様体を与えるとは限らない。たとえば、ミルナー (Milnor) は、2つの 7-次元胞体がを境界に沿って貼りあわせると、結果はエキゾチック球面(英語版)(exotic sphere)となり、7-球に同相ではあるが微分同相ではなくなることをしめした。
この操作の下では、3-次元空間内の向きつけられた結び目は、一意は素因数分解を持つ可換なモノイドを形成し、そこでは素結び目(英語版)(prime knot)の意味を定義することができる。可換性の証明は、連結和全体を縮め、片方の結び目を非常に小さくし他の結び目に沿って滑らせることができるようにして、示すことができる。自明な結び目は単元である。三葉結び目(trefoil)は(自明結び目を除くと)最も単純な素結び目である。高次元の結び目は、 n {\displaystyle n} -球面をスライスすることにより得ることができる。
3-次元では、自明な結び目は、2つの非自明な結び目の和としては表すことができない。この事実は、結び目種数の加法性より得られる。メイザーのまやかし(Mazur swindle)とも呼ばれることもある「無限の構成」を用いる別証明もある。高次元では(少なくとも余次元が 3)、2つの非自明な結び目の和が非自明となるものを作ることができる。
結び目の向きを考慮に入れないと、連結和の操作は(非向き付け)結び目のイソトピークラス上ではうまく定義することができない。このことを理解するために、2つの非可逆的な(向きつけられていない)非同値な結び目 K, L を考える。たとえば、2つプレッツェル結び目 K = P ( 3 , 5 , 7 ) {\displaystyle K=P(3,5,7)} と L = P ( 3 , 5 , 9 ) {\displaystyle L=P(3,5,9)} を取る。