中村ナンバー
勝利提携(シンプルゲームの元である集合のこと)に属する個人が共有する選好が、社会(この例では5人からなる社会)全体の選好(社会選好)となる。
シンプルゲームの「中村ナンバー」とは、勝利提携からなる集合で、その集合に含まれる全ての勝利提携の共通部分が空集合となるようなもののうち、最も元の個数が少ない集合の元の個数のことである。よって、この例における中村ナンバーは3である。このことは、任意の2つの勝利提携の共通部分は少なくとも1人の同じ個人を含むが、 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} , { 4 , 5 , 1 } {\displaystyle \{4,5,1\}} , { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{2,3,4\}} という3つの勝利提携の共通部分は空になることから確認できる。
中村の定理 (Nakamura, 1979) は、シンプルゲームが全ての選好順序に対して非空のコアを持つための必要条件(選択肢集合が有限の場合は十分条件でもある)として、選択肢の数がそのシンプルゲームの中村ナンバーよりも小さいことを挙げている。上記のシンプルゲームの例でいえば、この定理から選択肢が3個以上ある場合選好順序の選び方によってはコアに属する選択肢がなくなるということがわかる。
選択肢を「順序づける」ことに関しては、社会選択理論における「アローの不可能性定理」その困難さを指摘しているが、選択肢を「選ぶ」ことに関しては、中村の定理がより直接的な関連性を持っている。