基数
有限集合の濃度となる基数を有限基数といい、自然数 n にたいし、n 点集合の濃度を n と書く。 無限集合の濃度となる基数を無限基数という。自然数全体からなる集合の濃度を א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} と書く( א 0 = | N | {\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |} )。実数全体からなる集合の基数を c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} などと書き( c = ב 1 = | R | = | 2 N | {\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth _{1}=|\mathbb {R} |=|2^{\mathbb {N} }|} )連続体濃度と呼ぶ。
整列可能定理を仮定しない場合、以下の方法を用いて整列可能とは限らない集合 X に濃度として以下の集合を割り当てる(詳しくはスコットのトリックを参照):
| X | := {A : | A | = | X | かつ、任意の集合 B にたいし「| B | = | X | → rank( A) ≤ rank( B)」}
このとき基数はある集合と濃度が等しい集合のうち階数が一番小さいもの全体からなる集合として定義される。
どのような定義を採用するにしろ2つの基数が等しいのは、それらの基数を濃度とするような集合の間に全単射が構成できるちょうどそのときである。整列可能な集合の濃度として表せる基数をアレフ数(aleph number)という。ここでは基数全体からなるクラスを C N {\displaystyle \mathbb {CN} } とかく。 C N {\displaystyle \mathbb {CN} } は真のクラスである。