特異値分解
1つの特異値に対し、2つ以上の線形独立な右(あるいは左)特異ベクトルが存在する場合、その特異値は縮退 (degenerate) しているという。縮退のない特異値に対しては常に、左右の特異ベクトルがそれぞれ(位相 e の違いを除いて)唯一つ存在する。結果として、もし行列 M のすべての特異値が正であり縮退のない場合、特異値分解は(ユニタリ行列 U, V の各列にかかる位相 e の違いを除いて)唯一つに定まる。
縮退のある特異値 σdeg に対して、左特異ベクトル u1, u2 の正規化された線型結合 uc = αu1 + βu2 を考えると、左特異ベクトルの線型結合 uc もまた特異値 σdeg の左特異ベクトルとなっている。同様のことが右特異ベクトルについても成り立つ。特異値分解のユニタリ行列 V, U の特異値 σdeg に対応する列ベクトルは、特異ベクトルの線型結合の中から自由に選ぶことができるため、結果として行列 M の分解は一意ではなくなる。
固有値分解が正方行列に対してのみ適用できるのに対し、特異値分解は任意の矩形行列に対して適用が可能である。また、行列 M が正定値のエルミート行列(したがって正方行列)である場合、M の固有値は実数かつ非負であり、このとき M の特異値と特異ベクトルはそれぞれ M の固有値と固有ベクトルに一致する。