蛇行動
蛇行動を引き起こす原因は車輪の踏面勾配による復元力であるため、高速列車においては踏面勾配を小さく取ることが対策の一つとして有効である。日本においては、在来線車両の踏面勾配は1/20が標準であるのに対し、高速運転が前提の新幹線車両では1/40を標準としている。しかし、いたずらに踏面勾配を小さくすると曲線抵抗が大きくなる(曲線区間の通過が困難になる)などの問題もあるため、最小曲線半径に応じた適切な値を取ることが望ましい。
車輪踏面は走行時のレールとの摩擦により徐々に摩耗し、踏面形状が変化してしまう。このため車輪の新製時には問題がなくても、踏面摩耗により蛇行動安定性が悪化して蛇行動が発生するようになる場合がある。例えば、踏面に凹摩耗へこみが1mm程度でも、車輪・レール間の接触点が不連続に移り変わるため蛇行動誘発の原因となるときもある。摩耗による踏面形状は、長期的な踏面摩耗の結果、踏面はレールとなじんだ形状になり形状変化が落ち着くようになる。修正円弧踏面と呼ばれるJR在来線で標準的に使用されている踏面形状は、この最終的になじんだ形状と新製時形状を近づけることで摩耗による踏面の形状変化を緩和させることを1つの観点として設計されている。
19世紀にかけて、エドワード・ラウスによる安定性判別法(今日では制御理論分野におけるラウス・フルビッツの安定判別法として知られる)などのシステムの安定性解析理論が発達してきた。これらの理論の発達は飛行機のフラッター現象の解明などに応用されていく。カーターも、上記の研究の中でラウスの安定判別法を車両の運動解析に応用して蛇行動安定性解析を達成している。このようなカーターの働きにより鉄道車両の運動解析における理論的な基礎が確立された。その一方で、当時の職業鉄道技術者らは経験的な機械工学による設計手法を行ってきており、カーターが取り入れたような理論的手法に通じていなかった。理論結果を裏付ける実験的な基礎の不足もあり、カーターの成果は鉄道工学の中に広がりを見せず、その後20年間ほどの間は運動解析の面で特筆すべき進歩は僅かとなった。
蛇行動の基本的特性を考えるために、単体の輪軸がレールに沿って転がっている場合を考える。さらに、この輪軸の慣性を無視して車輪がレールに対して滑らないという仮定を置いて輪軸の動きを解析する。走行速度が非常に低い場合がこの仮定条件に近い。このような前提の輪軸の蛇行動を輪軸の幾何学的蛇行動と呼び、蛇行動の特性を考える上での基礎となる。
上記で説明した通り、車輪の踏面に勾配が存在する場合、輪軸が中立位置から偏ったとき、左右の車輪で回転半径が異なる。今、輪軸が一定の回転速度 θ ̇ {\displaystyle {\dot {\theta }}} で転がっているときに右側に横変位 y {\displaystyle y} が発生したとする。このとき右側車輪の前進速度 V R {\displaystyle V_{R}} と左側車輪の前進速度 V L {\displaystyle V_{L}} は以下のようになる。
V R = θ ̇ ( r + λ y ) , V L = θ ̇ ( r − λ y ) {\displaystyle V_{R}={\dot {\theta }}(r+\lambda y)\ ,\ V_{L}={\dot {\theta }}(r-\lambda y)} ... (1)
ここで、 r {\displaystyle r} :中立位置(両車輪で半径差が無くなる位置)での車輪半径、 λ {\displaystyle \lambda } :踏面勾配である。