環の圏
環の圏 Ring から群の圏 Grp への自然な函手が、各環 R にその単元群 U(R) を対応させ、各環準同型を U(R) に制限することによって与えられる。この函手は左随伴を持ち、それは各群 G を整係数群環 Z[G] に送るものである。
もう一つ、環の圏 Ring から群の圏 Grp への函手として、各環 R を射影線型群 PGL(2, R)(環上の射影直線 P(R) に作用する二次行列環 M(2, R) の単数群)が挙げられる(先の例で U(R) は一般線型群 GL(1, R) と見ることができることに注意せよ)。
環の圏 Ring における入射対象は同型を除いて零環(すなわち終対象)ただ一つである。
環の圏 Ring には零射が存在しないから、Ring は前加法圏とはなり得ない。が、任意の環(をただ一つの対象を持つ小さい圏と見なしたもの)は前加法圏である。
環の圏 Ring は環のテンソル積 ⊗Z をモノイド積、有理整数環 Z を単位対象として対称モノイド圏を成す。これは Ring におけるモノイド対象 とは可換環に他ならないことを述べたエックマン–ヒルトンの定理(英語版)から従う。Ring において対象 A へのモノイド対象 R(つまり可換環)の作用は、ちょうどR-多元環である。