ブールの不等式
有限個の事象に関するブールの不等式は、帰納法を使って証明することができる。
n = 1 {\displaystyle n=1} の場合について当然
P ( A 1 ) ≤ P ( A 1 ) {\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1})}
ということになる。
n {\displaystyle n} の場合に
P ( ⋃ i = 1 n A i ) ≤ ∑ i = 1 n P ( A i ) {\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i})}
であると仮定する。
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) {\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)} であり、和集合演算は結合則を満たすため、
P ( ⋃ i = 1 n + 1 A i ) = P ( ⋃ i = 1 n A i ) + P ( A n + 1 ) − P ( ⋃ i = 1 n A i ∩ A n + 1 ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)}
確率論において、ブールの不等式(ブールのふとうしき、英: Boole's inequality)またはユニオンバウンド(union bound)は、事象の有限あるいは可算集合について、少くとも1つの事象が起こる確率は個別の事象の確率の和よりも大きくない、ことを示す。
ブールの不等式の名称はジョージ・ブールにちなむ。
形式的に、事象A1, A2, A3, ...の可算集合について、
P ( ⋃ i A i ) ≤ ∑ i P ( A i ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}{\mathbb {P} }(A_{i})}
が成り立つ。
測度論の用語では、ブールの不等式は測度(および任意の確率測度)がσ-劣加法的である事実から得られる。