三次関数
適当な平行移動および原点に関する拡大縮小をおこなうことにより、任意の三次函数 f を
g ( u ) = u 3 + k u {\displaystyle g(u)=u^{3}+ku}
なる形の三次函数 g に帰着することができる。ここに一次の係数は k ∈ {−1, 0, 1} に取れる。これらの正規形 (normal form) は以下のように特徴を述べることができる:
k = −1: g は二つの極値点を持つ。
k = 0: 極値点は一致して一つの鞍点となる。
k = 1: g は極値点も鞍点も持たない(実際、このとき導函数は常に正である)。
この正規形を得るために行った変換は極値の存在性を変えないので、これらの特徴付けはもとの函数 f にも適用できる。実は係数 k は f の一階導函数の判別式の符号を変えたものになっている。