ハウスドルフのパラドックス
φ {\displaystyle \varphi } をある軸の180度の回転、z軸の周りの120度の回転を ψ {\displaystyle \psi } とする。 これらによって生成された群をGとする。
回転軸を適当に選べば、 φ , ψ {\displaystyle \varphi ,\psi } は非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。
φ , ψ , ψ 2 {\displaystyle \varphi ,\psi ,\psi ^{2}} の2つ以上からなる積は、以下の α , β , γ , δ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } のタイプに分類される。ただし, m 1 , m 2 , ... , m n {\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}} は1または2である.
α = ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n φ β = φ ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n γ = φ ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n φ δ = ψ m 1 φ ψ m 2 ⋯ φ ψ m n {\displaystyle {\begin{array}{ccc}\alpha &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\beta &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\\\gamma &=&\varphi \psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\varphi \\\delta &=&\psi ^{m_{1}}\varphi \psi ^{m_{2}}\cdots \varphi \psi ^{m_{n}}\end{array}}}
1は、Aに属するものとする。 φ , ψ {\displaystyle \varphi ,\psi } はBに属するものとする。 ψ 2 {\displaystyle \psi ^{2}} はCに属するものとする。