カントールの対角線論法
¬∃x∀y.(P(x,y)⇔¬P(y,y)) すなわち ∀x∃y.((P(x,y)∧P(y,y))∨(¬P(x,y)∧¬P(y,y)))
すなわち、 ¬ 0 = 1 {\displaystyle \neg {0}=1\quad } 、 ¬ 1 = 0 {\displaystyle \neg {1}=0\quad } 。このとき、 φ x 0 = g {\displaystyle \phi _{x_{0}}=g} となる x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} は存在しない。
実際、もしそのような x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} が存在すれば、 φ x 0 ( x 0 ) = g ( x 0 ) = ¬ φ x 0 ( x 0 ) {\displaystyle \phi _{x_{0}}(x_{0})=g(x_{0})=\neg \phi _{x_{0}}(x_{0})} となり矛盾する。 第一の等号は φ x 0 = g {\displaystyle \phi _{x_{0}}=g} より。第二の等号はgの定義より。