QR分解
QR分解(キューアールぶんかい、英: QR decomposition, QR factorization)とは、m × n 実行列 Aを、 m 次直交行列 Q と m × n 上三角行列 R との積への分解により表すこと、またはそう表した表現をいう。このような分解は常に存在する。
QR分解は線型最小二乗問題を解くために使用される。また、固有値問題の数値解法の1つであるQR法の基礎となっている。
A = [ 12 − 51 4 6 167 − 68 − 4 24 − 41 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}12&-51&4\\6&167&-68\\-4&24&-41\end{bmatrix}}}
の分解を考える。
正規直交行列 Q {\displaystyle Q} に対して、
Q T Q = I {\displaystyle Q^{\textsf {T}}\,Q=I}
が常に成り立つから、グラム・シュミット法により以下の手順で Q {\displaystyle Q} を計算できる。
QR分解を正方行列の行列式の絶対値を求めるのに利用できる。ある行列が A = Q R {\displaystyle A=QR} と分解できるとする。このとき
det ( A ) = det ( Q ) ⋅ det ( R ) {\displaystyle \det(A)=\det(Q)\cdot \det(R)}
である。
Qはユニタリであるため、 | det ( Q ) | = 1 {\displaystyle |\det(Q)|=1} である。したがって、 r i i {\displaystyle r_{ii}} をRの対角要素とすると、
| det ( A ) | = | det ( R ) | = | ∏ i r i i | {\displaystyle \left|\det(A)\right|=\left|\det(R)\right|=\left|\prod _{i}r_{ii}\right|}
となる。
さらに、行列式は固有値の積に等しいため、 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} を A {\displaystyle A} の固有値とすると、
| ∏ i r i i | = | ∏ i λ i | {\displaystyle \left|\prod _{i}r_{ii}\right|=\left|\prod _{i}\lambda _{i}\right|}
となる。
岩澤分解(英語版)はQR分解を半単純リー群に一般化している。