理想数
これは分解体の Q 上の拡大次数が Q(η) と同じく e であることと Q(α)/Q が巡回拡大であることから分かる。したがって Q(η)/Q においても q は e 個の素イデアルに分解する。
q は剰余体の標数が q なので、この e 個の素イデアルのうちの一つである。
Q(η) が q の分解体なので、q は拡大 Q(α)/Q(η) で分解せず、剰余体の拡大のみ起きる。したがって qZ[α] は Z[α] の素イデアルである。
有限体 Z[α]/qZ[α] は有限体 Z[η, η1, ..., ηe − 1]/q ≅ Fq の f 次拡大である。また α, α, ... , α の剰余類がその基底である。
したがって、f (α) = ∑ f − 1j = 0 αφj(η) が mod qZ[α] で 0 になることと、すべての φj(η) が mod q で 0 になることは同値である。また、φj(η) の mod q での剰余類は φj(ur) の mod q での剰余類と自然に同一視できる。
以上から、円分整数 f (α) が素イデアル qZ[α] に含まれることと「置換 η = ur に属する q の理想素因子を含む」ことは同値である。
象徴的に言えば、「理想素因子を含む」の定義はイデアル論での「素イデアルを含む」の定義と完全に一致している、ということになる。