ケーラー多様体
逆に,ポアンカレの補題を使えば、任意のケーラー計量は局所的にこのように表示できる。
すなわち、 ( K , ω ) {\displaystyle (K,\omega )} をケーラー多様体とすると、任意の点 p ∈ K {\displaystyle p\in K} に対して 、 p {\displaystyle p} の近傍 U {\displaystyle U} と函数 ρ ∈ C ∞ ( U , R ) {\displaystyle \rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )} が存在し、 ω | U = i ∂ ∂ ̄ ρ {\displaystyle \omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho } となる。このとき、 ρ {\displaystyle \rho } は (局所)ケーラーポテンシャル と呼ばれる。