接続 (ベクトル束)
∇ X Y = ( X j ∂ Y i ∂ x j + X j Y k Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle \nabla _{X}Y=\left(X^{j}{\partial Y^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}}
where Γ j k i = 1 2 g i l ( ∂ g k l ∂ x j + ∂ g l j ∂ x k − ∂ g j k ∂ x l ) {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{i\ell }\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right)}
と書ける。 Γ i j k {\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}} を局所座標 ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} に関するクリストッフェル記号という。
接バンドルTMにアフィン接続 ∇ {\displaystyle \nabla } が定義されているとき、測地線の概念を以下のように定義する:
定義 (測地線) ― Mを多様体とし、 ∇ : X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) {\displaystyle \nabla ~:~{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)} をアフィン接続とする。このときM上の曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} が
∇ d t d d t P ( t ) = 0 {\displaystyle {\nabla \over dt}{d \over dt}P(t)=0}
が恒等的に成立する、という微分方程式を ( M , ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} 上における測地線方程式といい、測地線方程式を満たす曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} を ( M , ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} 上の測地線(英: geodesic)という。
すなわち「二階微分」が常に0になる曲線を測地線と呼ぶのである。平行移動の定義から、測地線とは d d t P ( t ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}P(t)} が P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿って平行であると言い換える事もできる。
実は d ∇ d ∇ s {\displaystyle d_{\nabla }d_{\nabla }s} は曲率に一致する事が知られている:
定理 (共変外微分による曲率の特徴づけ) ― 任意の s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle s\in \Gamma (E)} と任意の X , Y ∈ X ( M ) {\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {X}}(M)} に対し、以下が成立する(リッチの恒等式(英: Ricci's identity))。
( d ∇ d ∇ s ) ( X , Y ) = R ( X , Y ) s {\displaystyle (d_{\nabla }d_{\nabla }s)(X,Y)=R(X,Y)s}
なお、すでに述べたように d ∇ d ∇ {\displaystyle d_{\nabla }d_{\nabla }} は0になるとは限らないが、 d ∇ d ∇ d ∇ {\displaystyle d_{\nabla }d_{\nabla }d_{\nabla }} は必ず0になる事が知られており、この事実はビアンキの第二恒等式と同値である:
定理 ― 任意の s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle s\in \Gamma (E)} に対し、以下が成立する(ビアンキの第二恒等式(英: Bianchi's identity)):
d ∇ d ∇ d ∇ = d ∇ R = 0 {\displaystyle d_{\nabla }d_{\nabla }d_{\nabla }=d_{\nabla }R=0}
この ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} は以下の公理で特徴づけられる事が知られている:
定理 (リーマン幾何学の基本定理) ― M上のベクトル場の組にM上のベクトル場を対応させる汎関数∇で以下の5つの性質をすべて満たすものが唯一存在する。このを ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} のレヴィ-チヴィタ接続といい、 ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} をレヴィ-チヴィタ接続から定まるYのXによる共変微分という:
∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} はXに関して C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形
∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} はsに関して R {\displaystyle \mathbb {R} } -線形
∇ X ( f Y ) = X ( f ) Y + f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}(fY)=X(f)Y+f\nabla _{X}Y}
∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] {\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}
( e 1 , ... , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} を開集合 U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} 上で定義されたEの局所的な基底とする。接続 ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} はsに関して局所演算子であったので、 ∇ {\displaystyle \nabla } のUへの制限 ∇ U {\displaystyle \nabla ^{U}} を考える事ができる。以下、紛れがなければ ∇ U {\displaystyle \nabla ^{U}} の事を単に ∇ {\displaystyle \nabla } と書く。
XをM上のベクトル場とし、 s = s j e j {\displaystyle s=s^{j}e_{j}} をEの切断とすると、接続の定義から
∇ X s = X ( s j ) e j + s j ∇ X e j {\displaystyle \nabla _{X}s=X(s^{j})e_{j}+s^{j}\nabla _{X}e_{j}}
である。
接続の定義から明らかに以下の性質を示すことができる:
定理 ― ∇ 1 , ... , ∇ u {\displaystyle \nabla ^{1},\ldots ,\nabla ^{u}} を多様体M上ののベクトルバンドルEの接続とする。このとき、
∇ X s := ∇ X 1 s + ⋯ + ∇ X u s u {\displaystyle \nabla _{X}s:={\nabla _{X}^{1}s+\cdots +\nabla _{X}^{u}s \over u}}
もEの接続である。
また、2つの接続
∇ , ∇ ′ : X ( M ) × Γ ( E ) → Γ ( E ) {\displaystyle \nabla ,~\nabla '~:~{\mathfrak {X}}(M)\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)}
に対し、
A ( X , s ) := ∇ X s − ∇ X ′ s {\displaystyle A(X,s):=\nabla _{X}s-\nabla '_{X}s}
とすると、 A ( X , s ) {\displaystyle A(X,s)} がX、s双方に関して C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形である事が示せ、したがって前に述べた定理から A {\displaystyle A} は T M ⊕ E → E {\displaystyle TM\oplus E\to E} というバンドル写像だとみなせる。
c ( t ) {\displaystyle c(t)} を R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 上の以下のような閉曲線とする: O ∈ R 2 {\displaystyle O\in \mathbb {R} ^{2}} から t {\displaystyle t} だけ右に動き、 t {\displaystyle t} だけ上に動き、 t {\displaystyle t} だけ左に動き、 t {\displaystyle t} だけ下に動く。
このとき ξ ∘ c ( t ) {\displaystyle \xi \circ c(t)} に沿って、 ξ ( O ) {\displaystyle \xi (O)} のファイバー E φ ( O ) {\displaystyle E_{\varphi (O)}} の元eを平行移動したものは、
e t = Φ Y − t ∘ Φ X − t ∘ Φ Y t ∘ Φ X t ( e ) {\displaystyle e_{t}=\Phi _{Y}^{-t}\circ \Phi _{X}^{-t}\circ \Phi _{Y}^{t}\circ \Phi _{X}^{t}(e)}
に等しい。ここで e ′ ∈ E {\displaystyle e'\in E} に対し、 Φ X t ( e ′ ) {\displaystyle \Phi _{X}^{t}(e')} 、 Φ Y t ( e ′ ) {\displaystyle \Phi _{Y}^{t}(e')} はそれぞれ π ( e ′ ) {\displaystyle \pi (e')} からX、Yの積分曲線に沿ってtだけ進むのに合わせて e ′ ∈ E {\displaystyle e'\in E} を平行移動したものである。
上の定理で測地線の定義域 ( − ε , ε ) {\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )} を R {\displaystyle \mathbb {R} } 全域に拡張できるとは限らない。M上の ∇ {\displaystyle \nabla } に関する任意の測地線の定義域が R {\displaystyle \mathbb {R} } 全域に拡張できるとき、 ( M , ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} は測地線完備(英: geodesically complete)、あるいは単に完備(英: complete)であるという。
∇ {\displaystyle \nabla } がリーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続の場合は、測地線が R {\displaystyle \mathbb {R} } 全域に拡張できるか否かに関して以下の定理が知られている。
定理 (Hopf-Rinowの定理(英語版)) ― ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} を連結なリーマン多様体とし、 ∇ {\displaystyle \nabla } をM上のレヴィ-チヴィタ接続とする。このとき、以下の条件は互いに同値である:
( M , g ) {\displaystyle (M,g)} はgが定める距離に関し、距離空間として完備である。