カントール空間
ブラウウェルの定理から期待できる通り、カントール空間は様々な形で現れるが、カントール空間の多くの性質は 2 を用いて確立することができる。これは、直積空間としての構成が解析学によく馴染むことによる。
カントール空間は以下のような性質を持つ:
任意のカントール空間の濃度は、連続体濃度 2 である。
二つのカントール空間の直積空間はふたたびカントールである(任意有限個あるいは可算個でも同じことが言える)。カントール函数と併せて、この事実を空間充填曲線の構成に用いることができる。
ハウスドルフ位相空間がコンパクト距離化可能となるための必要十分条件は、それがカントール空間の連続像となることである。
C(X) で位相空間 X 上の実数値有界連続函数全体の成す空間を表すものとする。コンパクト距離空間 K およびカントール集合 Δ に対して、カントール集合は以下のような性質を持つ:
C(K) は C(Δ) の閉部分空間に等長である。
一般に、この等長写像は一意ではない。したがってまた、圏論的な意味での普遍性を示すものでもない。
カントール空間の自己同相群は単純である