バーゼル問題
である。ゆえに、f(x) のフーリエ級数は
f ( x ) = π 2 12 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n 2 cos  n x {\displaystyle f(x)={\frac {\pi ^{2}}{12}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}\cos nx}
であり、両辺に x = π を代入すると
π 2 4 = π 2 12 + ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle {\frac {{\pi }^{2}}{4}}={\frac {{\pi }^{2}}{12}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
となる。ゆえに、バーゼル問題の解
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {{\pi }^{2}}{6}}}
が得られる。