Hom関手
C を局所的に小さな圏(英語版)、つまり、任意のhom-クラスが真クラスではなく集合である圏とする。C の中のすべての対象 A と B に対し、次のように集合の圏 Set への関手を定義する。
関手 Hom(_, B) は、B の点の関手(英語版)(英語: functor of points)とも呼ばれる。関手のペア Hom(A, _) と Hom(_, B) は自然な方法で関係付けられる。任意の射のペア f : B → B' と h : A' → A に対して、次の図式が可換となる。
2つの経路は g : A → B を f∘g∘h : A' →B' に写す。
上の図式の可換性は、Hom(_, _) が C × C から Set への、第1変数について反変で第2変数について共変である双関手(英語版)であることを示している。すなわち、Hom(_, _) は双関手
である。C は C の逆圏である。関手が圏 C からのものであることを強調するために、HomC (_, _) という記号が使われることもある。