原始帰納的算術
言語は論理記号を持たない点を除けば、上に述べたスコーレムの体系と同様であり、またそれらに対応する定義式を公理とする。命題論理のトートロジーや論理規則は持たない。
論理演算は算術的に表現することができる。例えば、差の絶対値は次のように原始再帰的に定義できる:
P ( 0 ) = 0 P ( S ( x ) ) = x x − ̇ 0 = x x − ̇ S ( y ) = P ( x − ̇ y ) | x − y | = ( x − ̇ y ) + ( y − ̇ x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}P(0)=0\quad &\quad P(S(x))=x\\x{\dot {-}}0=x\quad &\quad x{\dot {-}}S(y)=P(x{\dot {-}}y)\\|x-y|=&(x{\dot {-}}y)+(y{\dot {-}}x).\\\end{aligned}}}
すると x=y と |x-y|=0 は同値である。したがって | x − y | + | u − v | = 0 {\displaystyle |x-y|+|u-v|=0\!} と | x − y | ⋅ | u − v | = 0 {\displaystyle |x-y|\cdot |u-v|=0\!} によって x = y {\displaystyle x=y} と u = v {\displaystyle u=v} の論理積と論理和を表すことができる。否定は 1 − ̇ | x − y | = 0 {\displaystyle 1{\dot {-}}|x-y|=0} と表せる。