ベール関数
アンリ・ルベーグは、X がユークリッド空間の完全集合 ならば、全ての高々可算な順序数を階級とする関数が存在することを示した。 以下、特に断らない限り、この場合だけを考える。
X が連続体濃度を持てば、X 上の全てのベール関数の集合も連続体濃度を持つ。 特に、X 上の全ての関数の濃度は連続体濃度より大きいから、ベール関数でない X 上の関数は、関数体の濃度 (2) だけ存在する(ルベーグ)。
ベール関数であることとボレル可測関数であることは、同値である(ルベーグ)。
完備距離空間において、f の連続点の集合が稠密であることと、f が高々 1 階級の関数であることは、同値である(ベール)。