双有理幾何学
多様体 X が有理的とは、ある次元のアフィン空間(もしくは、同じことであるが、射影空間)と双有理的である場合を言う。有理性は、非常に自然な性質であって、X からより低い次元の部分集合を引いたものが、アフィン空間からあるより低い次元の部分集合を引いたものと同一視できることを意味する。
例えば、次の方程式を持つ円を考える。 x + y − 1 = 0 この円は、有理曲線である。というのは、式
x = 2 t 1 + t 2 {\displaystyle x={\frac {2\,t}{1+t^{2}}}}
と
y = 1 − t 2 1 + t 2 , {\displaystyle y={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,,}
は、アフィン直線から円への双有理写像を定義するからである。逆写像は、(x, y) を (1 − y) / x へ写す。
さらに一般的には、任意次元の滑らかな二次(次数 2)の超曲面 X は、立体射影により有理的である。(体 k 上で 2次的な X に対し、X はk-有理点を持っている。k が代数的閉体であれば、自動的にそのようになる。)立体射影を定義するために、p を X の点とすると、X の中の点 q を p と q を通る力線へ写像することにより、X から p を通る直線の射影空間 P への双有理写像を定義する。これは双有理写像であるが、しかし多様体の同型ではない。なぜならば、q = p では定義できないからである(そして、逆写像も X に含まれる p を通るこれらの直線を定義することができない)。
ブローアップ (数学)
小平次元
極小モデル
有理多様体