アペリーの定理
ζ ( 2 n + 1 ) π 2 n + 1 {\displaystyle {\frac {\zeta (2n+1)}{\pi ^{2n+1}}}}
はすべての整数 n ≥ 1 に対して超越数であることが予想されている。
このため、奇数に対するゼータ定数は、すべて超越数であると信じられているにもかかわらず、無理数であることの証明は見つかっていなかった。しかしながら、1978年6月、ロジェ・アペリーは "Sur l'irrationalité de ζ(3)"(ζ(3)の無理性に関して)という題の講演を行った。講演において彼は ζ(3) と ζ(2) が無理数であることの証明の概略を話した。後者は π を用いた表示に頼るのではなく前者のための手法を単純化したものを用いた。結果の全く予想外の性質とアペリーの主題への無感動で非常に概略的なアプローチのために、聴衆の数学者の多くは証明には欠陥があると捨て去った。しかしながら、アンリ・コーエン(英語版)、ヘンドリック・レンストラ(英語版)、アルフレッド・ファン・デル・ポールテン(英語版)はアペリーは良い線を行っているかもしれないと思い、彼の証明の確認を始めた。2ヶ月の後に彼らはアペリーの証明の確認を終わり、8月18日にコーエンは証明の全詳細を与える講演を行った。講演の後アペリー自身が演説をし彼のアイデアのもととなったものを説明した。