5040
n > 5040において上記の不等式が全ての n において偽ならばリーマン予想は真であることが Guy Robin によって1984年に証明された。
906番目のハーシャッド数である。1つ前は5031、次は5044。
5040 = 2 × 3 × 5 × 7 4つの異なる素因数の積で p × q × r × s の形で表せる最小の数である。次は7920。
約数の和が5040になる数は33個ある。(1560, 1740, 1824, 1836, 1992, 2148, 2214, 2262, 2296, 2392, 2470, 2492, 2514, 2528, 2596, 2668, 2876, 3058, 3154, 3471, 3567, 3777, 3835, 3895, 4147, 4195, 4199, 4609, 4667, 4769, 4843, 4897, 5039) 約数の和33個で表せる最小の数である。次は17064。
連続してある数に対して約数の和を求めていった場合87個の数が5040になる。5040より小さい数で87個ある数はない。1つ前は4800 (79個) 、次は6552 (92個) 。言いかえると σ m ( n ) = 5040 ( m ≧ 1 ) {\displaystyle \sigma ^{m}(n)=5040~(m\geqq 1)} を満たす n が87個あるということである。(ただし σ は約数関数) (オンライン整数列大辞典の数列 A241954)