カメラ行列
前のセクションで導出されたカメラ行列 C {\displaystyle \mathbf {C} } には、次のベクトルがまたがる零空間がある。
n = ( 0 0 0 1 ) {\displaystyle \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}
これは、座標 (0,0,0) を持つ3次元点の同次表現でもある。つまり、「カメラの中心」(入射瞳とも呼ばれるピンホール カメラのピンホールの位置)は O にある。つまり、カメラの中心は(そしてこの点だけが)、カメラによって画像平面内の点にマッピングすることができない(あるいは、画像上のすべての光線はこのポイントを通過するため、画像上のすべての点にマッピングされる)。
x 3 = 0 {\displaystyle x_{3}=0} の他の3次元点の場合、結果の y ∼ C x {\displaystyle \mathbf {y} \sim \mathbf {C} \,\mathbf {x} } は well-defined であり、 y = ( y 1 y 2 0 ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}\,y_{2}\,0)^{\top }} の形式になる。これは、射影画像平面の無限遠点に対応する(ただし、画像平面がユークリッド平面であるとみなされる場合、対応する交点は存在しない)。
正規化されたカメラ行列により生成されたマッピングが与えられると、結果の正規化された画像座標は、任意の2次元ホモグラフィによって変換できる。これには、2次元の平行移動と回転とスケーリング(等方性と異方性)だけでなく、一般的な二次元透視変換も含まれる。このような変換は正規化された同次画像座標 y {\displaystyle \mathbf {y} } を変換された同次画像座標 y ′ {\displaystyle \mathbf {y} '} にマッピングする 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 行列 H {\displaystyle \mathbf {H} } として表せる。
y ′ = H y {\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {H} \,\mathbf {y} }
3次元座標に関して正規化された画像座標に上記の式を挿入すると、
y ′ = H C N x ′ {\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {H} \,\mathbf {C} _{N}\,\mathbf {x} '}
こうして、最も一般的な形式のカメラ行列が得られる。
C = H C N = H ( R t ) {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {H} \,\mathbf {C} _{N}=\mathbf {H} \,\left({\begin{array}{c|c}\mathbf {R} &\mathbf {t} \end{array}}\right)}