二重指数関数
微分
d d x e e x = e x + e x {\displaystyle {d \over dx}e^{e^{x}}=e^{x+e^{x}}}
積分
積分定数は省略する。
∫ e e x d x = Ei  ( e x ) {\displaystyle \int e^{e^{x}}dx=\operatorname {Ei} (e^{x})}
ただし、ここで Ei  ( x ) {\displaystyle \operatorname {Ei} (x)} は指数積分である。
自然二重対数関数 e e x {\displaystyle e^{e^{x}}} は、ベル数 B n {\displaystyle B_{n}} の指数型母関数
∑ n = 0 ∞ B n n ! x n = e e x − 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}}
により
e e x = e ∑ n = 0 ∞ B n n ! x n {\displaystyle e^{e^{x}}=e\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}
とマクローリン展開される。