接束
接ベクトルの多様体の各点への滑らかな割り当てはベクトル場 (vector field) と呼ばれる。具体的には、多様体 M 上のベクトル場は滑らかな写像
V : M → T M {\displaystyle V\colon M\to TM}
であって、Vx と表記される x の像が x における接空間 TxM にあるようなものである。ファイバー束の言葉でいえば、そのような写像は断面 (section) と呼ばれる。M 上のベクトル場はしたがって M の接束の断面である。
M 上のすべてのベクトル場の集合は Γ(TM) によって表記される。ベクトル場は点ごとに足し合わせることができ
( V + W ) x = V x + W x {\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}
M 上の滑らかな関数を掛けることができ
( f V ) x = f ( x ) V x {\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}
別のベクトル場を得る。するとすべてのベクトル場の集合 Γ(TM) は M 上の滑らかな関数の可換環、C(M) と表記される、上の加群の構造をもつ。
M 上の局所ベクトル場は接束の局所断面 (local section) である。つまり、局所ベクトル場は M のある開集合 U 上でだけ定義され、U の各点に伴う接束のベクトルを割り当てる。M 上の局所ベクトル場全体の集合は M 上の実ベクトル空間の層として知られている構造をなす。
接束の主な役割の1つは滑らかな関数の微分の定義域と終域を提供することである。すなわち、M と N を滑らかな多様体として、f: M → N が滑らかな写像であれば、その微分 は滑らかな写像 Df: TM → TN である。
T ( T M ) ≈ T ( M × R n ) ≅ T M × T ( R n ) ≅ T M × ( R n × R n ) {\displaystyle T(TM)\approx T(M\times \mathbf {R} ^{n})\cong TM\times T(\mathbf {R} ^{n})\cong TM\times (\mathbf {R} ^{n}\times \mathbf {R} ^{n})}
そして写像 T T M → T M {\displaystyle TTM\to TM} は第一座標の上への射影である:
( T M → M ) × ( R n × R n → R n ) . {\displaystyle (TM\to M)\times (\mathbf {R} ^{n}\times \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}).}
最初の写像を零切断を通じて、および二番目の写像を対角写像によって分解することで自然なベクトル場が生まれる。
(x, v) が TM の局所座標であれば、ベクトル場は表現
V = ∑ i v i ∂ ∂ v i | ( x , v ) {\displaystyle V=\sum _{i}\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)}}
をもつ。