リアプノフ指数
力学系が k 次元の相空間を持つ高次元力学系の場合、各方向に別々のリアプノフ指数が存在する。すなわち高次元力学系であれば、軌道のずれは、ある方向には離れていくが、別の方向では縮まっていく状況がありえる。よって k 個のリアプノフ指数を得ることができる。このような k 個のリアプノフ指数の組を、リアプノフスペクトラム(英: Lyapunov spectrum)と呼ぶ。
λ i = { λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ k } {\displaystyle \lambda _{i}=\{\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{k}\}}
リアプノフスペクトラムでは一般に λ1 から値が大きい順に並べる。最大値である λ1 を、特に最大リアプノフ指数(英: maximal Lyapunov exponent, maximum Lyapunov exponent)と呼ぶ。記事冒頭で述べたように、相空間上の2つの軌道上の時刻 t における点の間の距離、すなわちずれを δ(t) とする。リアプノフスペクトラム λi は以下のように定義される。
λ i = lim t → ∞ 1 t ln  α i ( i = 1 , 2 , ⋯ , k ) {\displaystyle \lambda _{i}=\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\ln \alpha _{i}\quad (i=1,2,\cdots ,k)}
一般に λi は初期値 x(0) に依存する。
リアプノフ指数(リアプノフしすう、英: Lyapunov exponent)とは、力学系においてごく接近した軌道が離れていく度合いを表す量である。リャプノフ指数とも表記される。ロシア人科学者 Алекса́ндр Ляпуно́в(アレクサンドル・リプノーフ、Aleksandr Lyapunov)にその名をちなむ。
系の相空間上の2つの軌道について考える。2つの軌道上の時刻 t における点の距離をベクトル δ(t) として、初期状態 t = 0 には、これらの軌道は距離 δ(0) だけ離れているとする。δ(t) を近似的に次のように表す。
‖ δ ( t ) ‖ ≈ ‖ δ ( 0 ) ‖ e λ t {\displaystyle \|{\boldsymbol {\delta }}(t)\|\approx \|{\boldsymbol {\delta }}(0)\|e^{\lambda t}}