ボース気体
定積比熱においても同様である。
C v = ∂ U ∂ T = k ( α + 1 ) U β {\displaystyle C_{v}={\frac {\partial U}{\partial T}}=k(\alpha +1)\,U\beta }
エントロピーは次式で与えられる。
T S = U + P V − G {\displaystyle TS=U+PV-G\,}
高温の極限をとると、次式が得られる。
T S = ( α + 1 ) + ln  ( τ α ζ ( α ) ) {\displaystyle TS=(\alpha +1)+\ln \left({\frac {\tau ^{\alpha }}{\zeta (\alpha )}}\right)}
これは α = 3/2 では単なるザックール・テトローデ方程式を書き換えたものである。 デルタ相互作用をもつ1次元ボース粒子はフェルミ粒子として振る舞い、パウリの排他原理に従う。 デルタ相互作用をもつ1次元ボース粒子はベーテ仮設により厳密に解くことができる。 バルク自由エネルギーと熱力学的ポテンシャルは楊振寧によって計算された。 1次元の場合における相関関数も評価された。 1次元ボース気体は量子的な非線形シュレーディンガー方程式と等価である。