ランベルトのW関数
W ( 0 ) = 0 {\displaystyle W(0)=0}
W ( 1 ) = Ω = 1 ∫ − ∞ + ∞ d t ( e t − t ) 2 + π 2 − 1 ≈ 0.56714329 ... {\displaystyle W(1)=\Omega ={\frac {1}{\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}}}-1\approx 0.56714329\dots } (オメガ定数)
W ( 1 ) = e − W ( 1 ) = − ln  W ( 1 ) {\displaystyle W(1)=e^{-W(1)}=-\ln W(1)}
W ( e ) = 1 {\displaystyle W(e)=1}
− W ( − 1 ) = e − W ( − 1 ) = ln  ( − W ( − 1 ) ) ≈ 0.31813 ... + 1.33723 ... i {\displaystyle -W(-1)=e^{-W(-1)}=\ln(-{W(-1)})\approx 0.31813\dots \ +1.33723\dots \,i}
W ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle W'(0)=1}
x n {\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}}\ x^{n}}
となることが示せる(これは一般に、位数 r のローラン級数になっている)。あるいは同じことだが、この式を W0(x)/x の冪に関するテイラー級数として
( W 0 ( x ) x ) r = exp  ( − r W 0 ( x ) ) = ∑ n = 0 ∞ r ( n + r ) n − 1 n ! ( − x ) n {\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=\exp(-rW_{0}(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r(n+r)^{n-1}}{n!}}(-x)^{n}}
と書くことができる。これは任意の r ∈ C と |x| < e に対して成立する。
三つ目の式 ∫ 0 ∞ W ( 1 x 2 ) d x = 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }W({\tfrac {1}{x^{2}}})\,dx={\sqrt {2\pi }}} は、二つ目の式で u = 1/x と置き換えることによって得られる。