数学
ヴィンチェンツォ・ガリレイは音楽(音程学・音響学)の研究に数学的手法を導入し、その息子ガリレオ・ガリレイは、父の影響を受け、物体の運動の研究(物理学)に数学的手法を導入し、物理学に大きな変革をもたらした。以後、(アイザック・ニュートンの『自然哲学の数学的諸原理』でも、「数学的原理」としており、書物名、タイトルにも顕著にあらわれているが)数学の発展と物理学の発展は密接な関係にある。 このほかの自然科学においても数学的な手法は基礎的な要素となっている。
初等教育では「算数」、中等教育では「数学」と表記されている。
学習する分野は、10年ごとに文部科学省から学習指導要領が告示され、その基準に基づいて決定される。
数理モデルは数理モデルは理想化されており、往々にして実際との間には「ずれ」が生じる、という問題はあるが、それでも、そうした分野の研究に、俯瞰的な視点を与え、研究に大きな進歩や高い次元からの洞察をもたらすこともある。
工学の他、社会学や言語学など幅広い分野に応用されている。
数学教育により抽象的な考えを養うことができるとされ、他分野への恩恵があるという。ドイツの学生は台湾の学生と比較して、モデリングにおける熟考能力が強みとされている。
フェルマーの最終定理—リーマン予想—連続体仮説—P≠NP予想—ゴールドバッハの予想—双子素数の予想—ゲーデルの不完全性定理—ポアンカレ予想—カントールの対角線論法—ピタゴラスの定理—中心極限定理—微積分学の基本定理—代数学の基本定理—四色定理—ツォルンの補題—オイラーの等式—コラッツの予想—合同数の問題—バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想—ヒルベルトの23の問題—スメイルの問題—ソファ問題
数学の基礎を明確にすること、あるいは数学そのものを研究することのために、集合論や数理論理学そしてモデル理論は発展してきた。フランスの数学者グループであるニコラ・ブルバキは、集合論による数学の基礎付けを行い、その巨大な体系を『数学原論』として著した。彼らのスタイルはブルバキ主義とよばれ、現代数学の発展に大きな影響をあたえた。個々の対象の持つ性質を中心とする研究方法である集合論とは別の体系として、対象同士の関係性が作るシステムに主眼を置くことにより対象を研究する方法として圏論がある。これはシステムという具体性からコンピュータネットワークなどに応用される一方で、極めて高い抽象性を持つ議論を経て極めて具体的な結果を得るようなアブストラクト・ナンセンスなどと呼ばれる形式性も持ち合わせている。
解析幾何学—位相幾何学—幾何学—三角法—代数幾何学—微分幾何学—線型代数学—フラクタル幾何—図形—図形の一覧—ベクトル解析