ルンゲ・グロスの定理
∇ ⋅ ( ρ ( r , t 0 ) ∇ u k ( r ) ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\rho ({\boldsymbol {r}},t_{0})\nabla u_{k}({\boldsymbol {r}}))=0}
が成り立つと仮定し、これを全空間積分してグリーンの定理を適用すると次を得る。
0 = ∫ d r u k ( r ) ∇ ⋅ ( ρ ( r , t 0 ) ∇ u k ( r ) ) = − ∫ d r ρ ( r , t 0 ) ( ∇ u k ( r ) ) 2 + 1 2 ∫ d S ⋅ ρ ( r , t 0 ) ( ∇ u k 2 ( r ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}\ u_{k}({\boldsymbol {r}})\nabla \cdot (\rho ({\boldsymbol {r}},t_{0})\nabla u_{k}({\boldsymbol {r}}))\\&=-\int \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}\ \rho ({\boldsymbol {r}},t_{0})(\nabla u_{k}({\boldsymbol {r}}))^{2}+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\cdot \rho ({\boldsymbol {r}},t_{0})(\nabla u_{k}^{2}({\boldsymbol {r}}))\end{aligned}}}
ルンゲ・グロスによる上の証明はスカラー場の存在下における電子のみからなる純粋状態に対して有効なものである。その後、ルンゲ・グロスの定理はまずリウヴィル方程式を用いてハミルトニアンと密度行列を関連づけることにより、混合状態の時間発展に対しても有効であるように拡張され、時間依存する統計集団を扱えるようになった。系の構成要素を全て量子的に扱う場合に対象となる、2つ以上の種類の粒子からなる多元系に対してルンゲ・グロスの定理が拡張されたのは1986年である。磁場の影響を考慮するためにはベクトルポテンシャル A(r) を導入し、これとスカラーポテンシャルの組により確率流束が一意に決定されることを証明する必要がある。超伝導を扱うための時間依存密度汎関数理論は1994年および1995年に導入された。この場合、スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャルに加えてペアリングポテンシャル D(t) の3つ組と、 current density および anomalous density ΔIP(r,t) の2つ組が一対一対応する。