Club集合
このとき、 γ ∈ S {\displaystyle \gamma \in S} とすると、各 β < γ {\displaystyle \beta <\gamma } に対して、 γ ∈ C β {\displaystyle \gamma \in C_{\beta }} である。各 β < α {\displaystyle \beta <\alpha } について、 α ∈ C β {\displaystyle \alpha \in C_{\beta }} である。従って、 α ∈ C {\displaystyle \alpha \in C} である。よって、閉集合であることは示された。 C {\displaystyle C} が非有界であることを示す。 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } として、可算列 ⟨ ξ i | i < ω ⟩ {\displaystyle \langle \xi _{i}|i<\omega \rangle } を以下のように定義する: ξ 0 = α {\displaystyle \xi _{0}=\alpha } とし、 ξ i + 1 {\displaystyle \xi _{i+1}} を、 ξ i + 1 > ξ i {\displaystyle \xi _{i+1}>\xi _{i}} なるうちでの ⋂ γ < ξ i C γ {\displaystyle \bigcap _{\gamma <\xi _{i}}C_{\gamma }} の最小要素とする。