仕事 (物理学)
ばねを伸び縮みさせる際に生じる仕事を考える。ばねの伸び縮みを s とする。フックの法則より、ばねの復元力はばねの伸び縮み s に比例するので、ばねを変形させるのに必要な力 F→ もまたばねの伸び縮みに比例する。このとき現れる比例定数 k はばね定数と呼ばれる。
F → ( s → ) = k s → . {\displaystyle {\vec {F}}({\vec {s}})=k{\vec {s}}.}
このばねを s = 0 から s = x まで変形させるとき(x が正ならばねは伸ばされ、x が負ならばねは縮められている)、ばねを変形させるのに必要な仕事 W は、
W = ∫ 0 x F → ( s → ) ⋅ d s → = ∫ 0 x k s → ⋅ d s → = ∫ 0 x k s d s = 1 2 k x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}W&=\int _{0}^{x}{\vec {F}}\!({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} \!\!\;{\vec {s}}=\int _{0}^{x}k{\vec {s}}\cdot \mathrm {d} \!\!\;{\vec {s}}\\&=\int _{0}^{x}ks\mathrm {d} s={1 \over 2}kx^{2}\end{aligned}}}
となる。すなわち、ばねを変形するために生じた仕事 W はばねの弾性エネルギー 1/2kx として蓄えられる。