フルヴィッツのゼータ函数
フルヴィッツのゼータ函数は、有理数での多くの印象的な恒等式の形をとる。特に、オイラー多項式 (Euler polynomial) E n ( x ) {\displaystyle E_{n}(x)} の項は、
E 2 n − 1 ( p q ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n − 1 ) ! ( 2 π q ) 2 n ∑ k = 1 q ζ ( 2 n , 2 k − 1 2 q ) cos  ( 2 k − 1 ) π p q {\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}}
と
E 2 n ( p q ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n ) ! ( 2 π q ) 2 n + 1 ∑ k = 1 q ζ ( 2 n + 1 , 2 k − 1 2 q ) sin  ( 2 k − 1 ) π p q {\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!
上で定義した函数 β {\displaystyle \beta } は、ベルヌーイ多項式 (Bernoulli polynomials)
B n ( x ) = − R [ ( − i ) n β ( x ; n ) ] {\displaystyle B_{n}(x)=-\Re \left[(-i)^{n}\beta (x;n)\right]}
を一般化する。ここに R z {\displaystyle \Re \,z} は z の実部を表す。代わりに、
ζ ( − n , x ) = − B n + 1 ( x ) n + 1 {\displaystyle \zeta (-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}}
と書く。
特に、 n = 0 {\displaystyle n=0} に対して関係式は保たれ、
ζ ( 0 , x ) = 1 2 − x {\displaystyle \zeta (0,x)={\frac {1}{2}}-x}
を得る。
L ( s , χ ) = 1 k s ∑ n = 1 k χ ( n ) ζ ( s , n k ) {\displaystyle L(s,\chi )={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{n=1}^{k}\chi (n)\;\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right)}
で、フルヴィッツのゼータ函数を表すこともできる。
乗法定理(multiplication theorem)
k s ζ ( s ) = ∑ n = 1 k ζ ( s , n k ) {\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right)}
もあり、この定理の有益な一般化は、分布関係 (distribution relation)
∑ p = 0 q − 1 ζ ( s , a + p / q ) = q s ζ ( s , q a ) {\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)}
である(最後の式は q が自然数で、1 − qa が自然数でない場合はいつでも有効である)。
も 1 ≤ p ≤ q {\displaystyle 1\leq p\leq q} に対して成り立つ。ここに、 C ν ( x ) {\displaystyle C_{\nu }(x)} と S ν ( x ) {\displaystyle S_{\nu }(x)} はルジャンドルのχ函数 (Legendre chi function) χ ν {\displaystyle \chi _{\nu }} を使い、
C ν ( x ) = Re χ ν ( e i x ) {\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}
と
S ν ( x ) = Im χ ν ( e i x ) {\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix})}
である。
整数の値 ν に対し、これらはオイラー多項式の項で表現される。これらの関係式は、上記のフルヴィッツ公式と函数等式を使い得ることができる。
Re(s) ≤ 1 であれば、フルヴィッツのゼータ函数は、式
ζ ( s , q ) = Γ ( 1 − s ) 1 2 π i ∫ C z s − 1 e q z 1 − e z d z {\displaystyle \zeta (s,q)=\Gamma (1-s){\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {z^{s-1}e^{qz}}{1-e^{z}}}dz}
で定義することができる。この積分路 (contour) C は負の実軸を回るループである。この定義は、 ζ ( s , q ) {\displaystyle \zeta (s,q)} の解析接続をもたらす。
フルヴィッツのゼータ函数は、s ≠ 1 である全ての複素数 s に対して定義される有理型函数へ解析接続により拡張される。また、s = 1 で、留数が 1 である単純極を持つ。定数項は、
lim s → 1 [ ζ ( s , q ) − 1 s − 1 ] = − Γ ′ ( q ) Γ ( q ) = − ψ ( q ) {\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)}
で与えられる。ここに Γ はガンマ函数であり、ψ はディガンマ函数である。
フルヴィッツのゼータ函数は、様々な分野で発生する。最も共通には数論で発生し、そこでの理論は最も深く、最も発達している。一方、フラクタルや力学系での研究でも発生する。統計力学にも適用され、ジップの法則やジップ・マンデルブロの法則(英語版) (Zipf–Mandelbrot law) でも発生する。素粒子物理学では、ジュリアン・シュウィンガー (Julian Schwinger) による公式でも発生し、均一な電気的な場の中のディラック電子の対生成率を正確にあたえる。