サドルノード分岐
離散力学系におけるサドルノード分岐の標準形は、次の1次元写像で与えられる。
x ↦ f ( x , μ ) = x + μ ∓ x 2 {\displaystyle x\mapsto f(x,\mu )=x+\mu \mp x^{2}}
連続力学系と同じく、ここでは、右辺第3項の符号が負である場合を考える。この写像の固定点(不動点)とは、
f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x}
を満たす点 x である。連続力学系と同じく固定点を x で表すと、離散力学系の標準形の固定点も、μ > 0 では x = ±√μ で、μ < 0 では存在しない。x-y 平面で考えると、y = f(x) の曲線が y = x の直線と交わる箇所が固定点である。μ を変化させると、f(x) の曲線は以下の図のように変化する。分岐点の μ = 0 で f(x) の曲線が対角線にちょうど接する。このため、1次元離散力学系のサドルノード分岐は接線分岐(英語: tangent bifurcation)という名でも呼ばれる。
標準形のパラメータ μ と固定点 x の変化は次のようになっている。
μ < 0 では、固定点は存在しない。
μ = 0 では、x = 0 にただ1つの固定点が現れる。
μ > 0 では、1つだった固定点は x = ±√μ という2つの固定点に分かれる。μ が 1 よりも十分小さい範囲で、片方の x = √μ が沈点で、もう片方の x = −√μ が源点である。
離散力学系の標準形の分岐図は、連続力学系と同じ形である。