ライプニッツの公式
三角関数の一つ tan θ を θ について微分すると
d d θ tan  θ = 1 + tan 2  θ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\tan \theta =1+\tan ^{2}\theta }
となる。ここで tan θ = x とおくと
d x d θ = 1 + x 2 , d θ d x = 1 1 + x 2 ⋯ ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=1+x^{2},\quad {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{1+x^{2}}}\quad \cdots (1)}
が導かれる。
また以下の等比級数を考える。
1 − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − ⋯ = 1 1 + x 2 ( | x | < 1 ) ⋯ ( 2 ) {\displaystyle 1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-\cdots ={\frac {1}{1+x^{2}}}\qquad (|x|<1)\quad \cdots (2)}
左辺は公比が −x であり、|−x| < 1 すなわち |x| < 1 のとき 1/(1 + x) に収束する。(1), (2)式から