正規直交基底
ヒルベルト空間 H と H の互いに直交するベクトルからなる集合 S が与えられたとき、H の S を含む最小の閉部分空間 V をとれば、S は V の直交基底になる。V は全空間 H よりも小さいかもしれないし、一致するかもしれないが、前者のとき直交系 S は不完全 (incomplete) であるといい、後者のとき完全 (complete) であるという。
またさらに、標準基底を原点を通る軸の周りで回転させたものや、原点を通る平面に関して反転させたものも R の正規直交基底となることが示せる。
指数函数 fn(x) = exp(2πinx) を元とする集合 {fn : n ∈ Z} は自乗可積分函数の成す複素線型空間 L([0, 1]) の基底になる。このことはフーリエ級数論において基本的である。
集合 {eb : b ∈ B} を e b ( c ) = { 1 ( if b = c ) 0 (otherwise) {\displaystyle e_{b}(c)={\begin{cases}1&({\text{if }}b=c)\\0&{\text{(otherwise)}}\end{cases}}} で定めると、これは自乗総和可能数列の成す空間 l(B) の基底を成す。
スツルム・リウヴィル固有問題の固有函数全体
直交行列は、その各列ベクトルから成る集合が正規直交系を成す。