関数の微分
は
Δ y = f ′ ( x ) Δ x + ε = d f ( x ) + ε {\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,}
を満たす。ここで近似における誤差 ε は、Δx → 0 のとき ε/Δx → 0 を満たす。言い換えると、近似式
Δ y ≈ d y {\displaystyle \Delta y\approx dy}
が成り立ち、その誤差は Δx に対して相対的にいくらでも小さくすることが、Δx を十分小さく取るすることによってできる。つまり、Δx → 0 のとき
構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikipedia.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\to 0
である。この理由のために、関数の微分は関数の増分の主要(線型)部(英語版) (principal (linear) part) と呼ばれる:微分は増分 Δx の線型関数であり、誤差 ε は非線型かもしれないが、Δx が 0 に向かうとき急速に 0 に向かう。
多変数関数の微分は以下の様に定義される。
y = f ( x 1 , ... , x n ) , {\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),\,}
で定義される多変数関数を考える。n 個の独立変数うち任意の一つ xi の増分 dxi に対する y の増分の主要部は、y の xi に関する偏微分を用いて
∂ y ∂ x i d x i {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}dx_{i}}
と表される。全ての独立変数について以下の様に総和を取ったものを全微分(total differential)または単に微分と呼び、これが独立変数 x1...xn の増分に対する y の増分の主要部にあたる。
d y = ∂ y ∂ x 1 d x 1 + ⋯ + ∂ y ∂ x n d x n {\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}}
より正確には、多変数関数の微分は以下の様に定義される。f が微分可能関数であるならばフレシェ微分可能の定義より、その増分は