演算子法
当時ヘヴィサイドの方法は厳密でなく、彼の研究は数学者により直ちに発展させられることはなかった。なお、ヘヴィサイド自身は演算子法が数学的な厳密性に欠けるとの批判に対し、「私は消化のプロセスを知らないからといって食事をしないわけではない("I do not refuse my dinner simply because I do not understand the process of digestion.")」という有名な言葉を残している。
演算子法は1910年を過ぎてから、バーグ(E. J. Berg)、カーソン(J. R. Carson)およびブッシュの貢献により、電気工学の問題で線形回路の過渡現象の計算に応用され始めた。ヘヴィサイドの演算子法が厳密に数学的理論化されたのは、演算子法をラプラス変換と結び付けたブロムヴィッチ(T. Bromwich)の研究以降のことである(詳しい説明はJeffreys、Carslaw、MacLachlanの各著書を参照)。
ヘヴィサイド演算子法の別の理論化は、1920年代半ばに積分方程式の方法(Carsonなど)またはフーリエ変換(ノーバート・ウィーナーなど)を利用してなされた。
1930年代、これらとは別なやり方で演算子法を展開したのが、ポーランドの数学者ヤン・ミクシンスキーである。彼は代数的な方法を用いて演算子法を数学的に正当化した(ミクシンスキーの演算子法参照)。
演算子法の中心は、微分を関数に施される演算子(作用素) p = d / d t {\displaystyle p=d/dt} と捉える点にある。線形微分方程式は、演算子 p {\displaystyle p} を変数とする演算子値関数 F ( p ) {\displaystyle F(p)} を未知の関数に施したものが既知の関数に等しいという形に書き直せる。すると、 F {\displaystyle F} の逆演算子を既知の関数に施せば解が得られる。
電気回路の理論では、入力に対する応答を求めることが問題となる。線形性により、単位階段関数、すなわち H ( t < 0 ) = 0 {\displaystyle H(t<0)=0} かつ H ( t > 0 ) = 1 {\displaystyle H(t>0)=1} となるような関数 H ( t ) {\displaystyle H(t)} を考えれば十分である。演算子法の応用の最も単純な例は、 p y = H ( t ) {\displaystyle py=H(t)} を解く問題である。これは、
y = p − 1 H = ∫ 0 t H ( u ) d u = t H ( t ) {\displaystyle y=p^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)du=tH(t)}
となる。
この例から、 p − 1 {\displaystyle p^{-1}} は積分を表し、 p − n {\displaystyle p^{-n}} は n {\displaystyle n} 回反復積分を表すことがわかる。特に、
p − n H ( t ) = t n n ! H ( t ) {\displaystyle p^{-n}H(t)={\frac {t^{n}}{n!}}H(t)}
である。すると
p p − a H ( t ) = 1 1 − a p H ( t ) {\displaystyle {\frac {p}{p-a}}H(t)={\frac {1}{1-{\frac {a}{p}}}}H(t)}
には級数展開を用いた意味付けを行うことができる。つまり
1 1 − a p H ( t ) = ∑ n = 0 ∞ a n p − n H ( t ) = ∑ n = 0 ∞ a n t n n ! H ( t ) = e a t H ( t ) {\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {a}{p}}}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}p^{-n}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}t^{n}}{n!}}H(t)=e^{at}H(t)}
と考えるということである。このことはさらに、部分分数分解を通して、演算子 p {\displaystyle p} に関する任意の分数を定義することを可能にし、それを H ( t ) {\displaystyle H(t)} に施したものを計算できる。