ウィグナー関数
古典力学的には、粒子は決まった位置と運動量を持ち、その運動状態は位相空間上の一点により表現される。多数の粒子の集合体が与えられたとき、位相空間内の特定の領域に粒子をみいだす確率はリウビル確率密度と呼ばれる確率密度関数に従う。しかし、このような決定論的な取扱いは量子力学的な粒子に対しては不確定性原理のために不可能である。ウィグナー関数は古典的な確率密度分布と同様に取り扱うことができるが、ウィグナー関数は古典的な確率密度関数の満すべき条件を全て満たしてはいない。そのかわり、古典的な分布が必ずしも満たさない有界性を満たしている。
たとえば、ウィグナー関数は古典的分布ではありえない負値をとることがよくある。そして、ウィグナー関数が負値をとることは量子干渉が起きていることを示す指標である。ウィグナー関数にディラック定数 ħ よりも小さな位相空間体積における構造を無視するような処理(たとえば 伏見表示(後述)を得るために位相空間上のガウス関数で畳み込むなど)を施すと、半正定値関数となり半古典形式に粗視化できる。
負の値をとる領域が存在しても、(幅の小さいガウス関数と畳み込んだ場合)多くの場合その領域は「小さく」なる。つまり、その領域は ħ の数倍より大きくなることはなく、そのため古典極限(英語版)においては消滅する。 これは、位相空間上で ħ よりも小さな体積をもつ領域に粒子の運動状態を特定することはできないとする不確定性原理による遮蔽であり、「負の確率」という概念の矛盾を軽減している。
⋆ {\displaystyle \star } 合成は完全に非局所(モヤルが指摘したように、「量子確率流体」は拡散する)であるため、通常はウィグナー関数の発展につれて、局所的な軌道のなごりはほとんど確認できなくなる。 ⋆ {\displaystyle \star } 積の積分表示においては、 ⋆ {\displaystyle \star } 積を連続的に位相空間経路積分に適用することで、このウィグナー関数の発展方程式を解くことができる(以下も参照)。
ウィグナー関数の時間発展の例
図4: モースポテンシャル: U ( x ) = 20 ( 1 − e − 0.16 x ) 2 {\displaystyle U(x)=20(1-e^{-0.16x})^{2}} (原子単位(a. u.))。緑の点線はハミルトニアンの等値線を示す。
図5: 4次ポテンシャル: U ( x ) = 0.1 x 4 {\displaystyle U(x)=0.1x^{4}} (原子単位(a. u.))。実線はハミルトニアンの等値線を示す。
図6: ポテンシャル障壁を越える量子トンネリング: U ( x ) = 8 e − 0.25 x 2 {\displaystyle U(x)=8e^{-0.25x^{2}}} (原子単位(a. u.))。実線はハミルトニアンの等値線を示す。