アイゼンシュタイン級数
が成り立ち、他も同様に成り立つ。さらに興味深いことには、8 次元偶数モジュラ格子 Γ のテータ函数は、全モジュラ群に対し、ウェイト 4 のモジュラ形式である。このことは、タイプ E8 のルート格子(英語版)(E8 lattice)の長さ 2 n {\displaystyle {\sqrt {2n}}} のベクトルの数 rΓ(n) ついて、等式
θ Γ ( τ ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ r Γ ( 2 n ) q n = E 4 ( τ ) , r Γ ( n ) = 240 σ 3 ( n ) {\displaystyle \theta _{\Gamma }(\tau )=1+\sum _{n=1}^{\infty }r_{\Gamma }(2n)q^{n}=E_{4}(\tau ),\quad r_{\Gamma }(n)=240\sigma _{3}(n)}
をもたらす。
ディレクレ指標(英語版)(Dirichlet character)でツイストされた正則アイゼンシュタイン級数に対する同様のテクニックは、正の整数nに対しn を2、4、もしくは8個の平方数の和として表す方法の数の、nの因子を用いた公式をもたらす。
上記の漸化式を使い、全ての高次の E2k は E4 と E6 の多項式で表現することができる。例えば、
モジュラ群のどのモジュラ形式も、G4 と G6 の多項式として書き表すことができる。特に、高次オーダーの G2k は漸化式を通して、G4 と G6 の項として書くことができる。dk =(2k+3)k!G2k+4 とすると、全ての n ≥ 0 に対し、dk は関係式
∑ k = 0 n ( n k ) d k d n − k = 2 n + 9 3 n + 6 d n + 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}}
を満たす。ここに、 ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} は二項係数であり、 d 0 = 3 G 4 {\displaystyle d_{0}=3G_{4}} であり、 d 1 = 5 G 6 {\displaystyle d_{1}=5G_{6}} である。
dk は、ヴァイエルシュトラスの楕円函数
℘ ( z ) = 1 z 2 + z 2 ∑ k = 0 ∞ d k z 2 k k ! = 1 z 2 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k + 1 ) G 2 k + 2 z 2 k {\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}}
の級数展開で発生する。