平面波
と変形できる。従って、重ね合わせを計算する問題は、式(2-2’)を求める問題に帰着される。計算上の便宜としての複素正弦波を持ち出す最大の理由は、式(2-2)から(2-2’)(特に振幅の関係式)が導き出せることにある。
一般には、これ以上簡単な形に変形することは難しいが、いくつかの特殊な場合には振幅の項あるいは位相項の片方あるいは両方がより簡単な形になる。例えば
θ 1 = k ⋅ x − ω t θ 2 = k ⋅ x − ω t + δ m = 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\theta _{1}={\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t\\&\theta _{2}={\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t+\delta \\&m=2\end{aligned}}}
のときには、
a = a 1 2 + a 2 2 + 2 a 1 a 2 cos  δ {\displaystyle a={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+2a_{1}a_{2}\cos \delta }}}
となる。この問題は、2つの位相差のある平面正弦波の重ねあわせの問題である。
波動関数は、基底関数で展開した形で記述することができる。この時に用いられる基底の1つに平面波基底(英: Plane wave basis)がある。バンド計算における表式化が比較的簡単で(それ故、プログラムも構築し易い)力やストレスの計算も他の基底(局在基底など)を使った場合より容易に実現が可能である。また、平面波基底では、Pulay補正項の問題が回避できることも利点のひとつである。
欠点として、例えば波動関数や電荷密度への寄与の s, p, d 軌道毎への分割や、ユニットセル内の特定の原子の電荷を求めることが困難になることが挙げられる。
k = ( k 1 ⋮ k d ) , x = ( x 1 ⋮ x d ) , K = ( k 1 ⋮ k d − ω ) , X = ( x 1 ⋮ x d t ) {\displaystyle {\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}k_{1}\\\vdots \\k_{d}\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{d}\end{pmatrix}},\qquad {\boldsymbol {K}}={\begin{pmatrix}k_{1}\\\vdots \\k_{d}\\-\omega \end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {X}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{d}\\t\end{pmatrix}}}
である。