ハンセン–ジャガナサン境界
となる。特に両辺を E t [ m t + 1 ] {\displaystyle E_{t}\left[m_{t+1}\right]} の2乗で割り、平方根を取れば、 m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} が非負の時、
V a r t ( m t + 1 ) E t [ m t + 1 ] ≥ | E t [ R t + 1 − R f , t + 1 ] V a r t ( R t + 1 − R f , t + 1 ) | {\displaystyle {\frac {\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{E_{t}\left[m_{t+1}\right]}}\geq {\Big |}{\frac {E_{t}\left[R_{t+1}-R_{f,t+1}\right]}{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}-R_{f,t+1})}}}{\Big |}}
となる。右辺はシャープ・レシオの絶対値である。
金融資産 i {\displaystyle i} の時点 t {\displaystyle t} における価格 p i , t {\displaystyle p_{i,t}} が次の方程式で決定されるとする。
p i , t = E t [ m t + 1 ( p i , t + 1 + d i , t + 1 ) ] {\displaystyle p_{i,t}=E_{t}[m_{t+1}(p_{i,t+1}+d_{i,t+1})]}
ただし、 d i , t + 1 {\displaystyle d_{i,t+1}} は時点 t + 1 {\displaystyle t+1} において金融資産 i {\displaystyle i} を保持していることによる利益(インカム・ゲインのことで、例えば株式なら配当、債券ならクーポンなど)で、 E t {\displaystyle E_{t}} は時点 t {\displaystyle t} までの情報による条件付き期待値である。 m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} は時点 t + 1 {\displaystyle t+1} における、全ての金融資産に共通の確率的割引ファクターである。
ここで、金融市場に存在する全てのリスクのある金融資産のグロスのトータルリターン p i , t + 1 + d i , t + 1 p i , t {\displaystyle {\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{p_{i,t}}}} を並べたベクトルを R t + 1 {\displaystyle R_{t+1}} とする。
ハンセン–ジャガナサン境界の原型となる不等式はロバート・シラーによって1982年にもたらされている。ハンセンとジャガナサンはそれを一般化した形で1991年にハンセン–ジャガナサン境界を提示した。ハンセンとジャガナサンは、経済学で通常用いられる時間について加法分離的な相対的リスク回避度一定(CRRA)型効用関数を想定した場合の確率的割引ファクターはハンセン–ジャガナサン境界の不等式を満たしていないことを実際のデータを使って実証した。この実証結果はエクイティプレミアムパズルの結果と整合的であると彼らは結論付けている。