ディリクレの単数定理
K を数体とし、K の各々の固定された有理素点上の素点 P に対して、局所単数を UP で表し、U1,P で UP の中での主単数の部分群を表すとする。さらに、
U 1 = ∏ P | p U 1 , P {\displaystyle U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}}
と置き、E1 で大域的単数 ε の集合を表すとする。ここで ε は E の大域的単数の対角埋め込みを通して U1 へ写す。
E1 は大域的単数の有限指数部分群であるので、E1 は階数 r1 + r2 − 1 のアーベル群である。p-進単数基準(p-adic regulator)とは、この群の生成元の p-進対数で作られた行列の行列式である。レオポルドの予想(英語版)は、この行列式が 0 ではないと予想している。
ディリクレの単数定理は、単数群が有限生成であり、階数(乗法的に独立な元の最大数)が
r = r1 + r2 − 1
に等しいと主張する。ここに r1 は、代数体 K の実埋め込みの数で、r2 は虚埋め込みの共役ペアの数である。この r1 と r2 は、複素数体への K の埋め込みが次数 n = [K : Q] と同じだけあるという考えの元に特徴付けられている。これらの埋め込みは、実数への埋め込みか、または、複素共役のペアとなる埋め込みのいずれかであるので、
n = r1 + 2r2
となる。
K が Q 上のガロア拡大であれば、r1 と r2 のいずれかは 0 でないが、両方が同時に 0 にならないことに注意する。
r1 と r2 を決定する他の方法は以下のとおりである。
原始元の定理を使い K = Q(α) と書くと、α の実数である共役元の数は r1 個であり、虚数である共役元の数は 2r2 個である。
体のテンソル積 K ⊗QR を体の積として書くと、これは、r1 個の R のコピーと r2 個の C のコピーの積である。
例として K を二次体とすると、実二次体ではランクは 1 であり、虚二次体ではランクは 0 である。実二次体の理論は本質的には、ペル方程式の理論である。
ランクが 0 の Q と虚二次体を例外として除くと、全ての数体に対するランクは正になる。