ペル数
{\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}={\frac {1}{1}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots } とだんだん√2の値に近付く。
ペル数の内累乗数は1と169のみである。
ペル数を使った以下の式で平方三角数を計算できる。
( ( P k − 1 + P k ) ⋅ P k ) 2 = ( P k − 1 + P k ) 2 ⋅ ( ( P k − 1 + P k ) 2 − ( − 1 ) k ) 2 . {\displaystyle {\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}
左辺は平方数、右辺は三角数を表している。
また以下の式で a+b=c を満たすピタゴラス数を表すこともできる。
( a , b , c ) = ( 2 P n P n + 1 , P n + 1 2 − P n 2 , P n + 1 2 + P n 2 = P 2 n + 1 ) {\displaystyle (a,b,c)=(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1})}