多項式補間
最良の近似の一連の多項式 p n ∗ ( x ) {\displaystyle p_{n}^{*}(x)} が f(x) に一様に収束することは明らかである(ワイエルシュトラスの近似定理より)。したがって、ここでは個々の p n ∗ ( x ) {\displaystyle p_{n}^{*}(x)} をあるノード群の補間によって得られることを示せばよい。しかし、チェビシェフの交替定理として知られる最良近似の多項式ではそれが真である。特に補間多項式は f(x) と少なくとも n+1 回交差する。交差点が補間ノードとなるよう選択すると、最良の近似多項式と同一の補間多項式が得られる。
しかしこの方法の欠陥は、関数 f(x) 毎に改めて補間ノードを計算しなければならず、しかもそのアルゴリズムは数値的に実装するのが難しい点である。どんな連続関数 f(x) についても一連の補間多項式が収束するようなノードの組合せがあるだろうか? 答は残念ながら次の定理で示される通り否定的である。
ノードの任意の組合せについて、区間 [a,b] において一連の補間多項式が発散するような連続関数 f(x) が存在する。
その証明はルベーグ定数の下限推定を使うもので、それは上で定義したように Xn(すなわち Πn 上の射影作用素)の作用素ノルムである。