8点アルゴリズム
記号 ∧ {\displaystyle \wedge } をウェッジ積とすると、 T ∧ X L {\displaystyle T\wedge X_{L}} から生成されるベクトルは T {\displaystyle T} と X L {\displaystyle X_{L}} の両方に直交するから、次の式が常に成り立つ。
X L T T ∧ X L − T T T ∧ X L = ( X L − T ) T T ∧ X L = 0 {\displaystyle X_{L}^{T}T\wedge X_{L}-T^{T}T\wedge X_{L}=(X_{L}-T)^{T}T\wedge X_{L}=0}
I = R T R {\displaystyle I=R^{T}R} であるから、次が得られる。
( X L − T ) T R T R T ∧ X L = 0 {\displaystyle (X_{L}-T)^{T}R^{T}RT\wedge X_{L}=0} .
( X L − T ) T R T {\displaystyle (X_{L}-T)^{T}R^{T}} を X R T {\displaystyle X_{R}^{T}} に置き換えることで、次が得られる。
X R T R T ∧ X L = X R T R S X L = X R T E X L = 0 {\displaystyle X_{R}^{T}RT\wedge X_{L}=X_{R}^{T}RSX_{L}=X_{R}^{T}EX_{L}=0}
正規化変換の目的は、一般に正規化された画像座標から構築された行列 Y ̄ {\displaystyle \mathbf {\bar {Y}} } が、 Y {\displaystyle \mathbf {Y} } よりも優れた条件数を持つようにすることである。これは、解 f ̄ {\displaystyle \mathbf {\bar {f}} } が同次方程式 Y ̄ f ̄ {\displaystyle \mathbf {\bar {Y}} \,\mathbf {\bar {f}} } の解として、 Y {\displaystyle \mathbf {Y} } に対する f {\displaystyle \mathbf {f} } に比べてより well-defined であることを意味する。 f ̄ {\displaystyle \mathbf {\bar {f}} } が決定し F ̄ {\displaystyle \mathbf {\bar {F}} } が再形成されると次の式に従って非正規化を行い F {\displaystyle \mathbf {F} } を得ることができる。
F = ( T ′ ) T F ̄ T {\displaystyle \mathbf {F} =(\mathbf {T} ')^{T}\,\mathbf {\bar {F}} \,\mathbf {T} }
一般に、基礎行列のこの推定値は、正規化されていない座標からの推定値よりも優れている。
T ∧ {\displaystyle T\wedge } は行列とみなすことができる。ロンゲ・ヒギンズは記号 S {\displaystyle S} を用いてそれを示した。積 R T ∧ = R S {\displaystyle RT\wedge =RS} はしばしば基本行列と呼ばれ E {\displaystyle E} で表される。
ベクトル O L p L ̄ , O R p R ̄ {\displaystyle {\overline {O_{L}p_{L}}},{\overline {O_{R}p_{R}}}} はベクトル O L P ̄ , O R P ̄ {\displaystyle {\overline {O_{L}P}},{\overline {O_{R}P}}} と平行であるから、これらのベクトルを置き換えても共平面性の制約は保持される。左右の画像平面へ P {\displaystyle P} を投影した座標を y , y ′ {\displaystyle y,y'} とすると、共平面性制約は次のように記述できる。
y ′ T E y = 0 {\displaystyle y'^{T}\mathbf {E} y=0}