垂心
a sin  α = b sin  β = c sin  γ = A H cos  α = B H cos  β = C H cos  γ = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {AH}{\cos \alpha }}={\frac {BH}{\cos \beta }}={\frac {CH}{\cos \gamma }}=2R} a,b,c は3辺の長さ。α・β・γは3つの角。R は外接円の半径である。
P を外接円上の点とし、M を PH の中点とする。 M は九点円上にある。 P におけるシムソン線は M を通る。
各頂点ABCを通る対辺に対する平行線を3本とも引き、新たな三角形A'B'C'を作る(右図参照)。このとき、三角形ABCの垂心と三角形A'B'C'の外心は一致する。
座標平面において、3頂点の座標を(xa,ya), (xb,yb), (xc,yc)とすると、垂心の座標は以下のようになる。
( | − x b x c − y a 2 y a 1 − x a x c − y b 2 y b 1 − x a x b − y c 2 y c 1 | | x a y a 1 x b y b 1 x c y c 1 | , | x a − x a 2 − y b y c 1 x b − x b 2 − y a y c 1 x c − x c 2 − y a y b 1 | | x a y a 1 x b y b 1 x c y c 1 | ) .