漸近線
直線 x = a がグラフ y = f(x) の漸近線であるための必要十分条件は、以下の4つのいずれかを満たすことである。
lim x → a + f ( x ) = ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)=\infty ,}
lim x → a + f ( x ) = − ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)=-\infty ,}
lim x → a − f ( x ) = ∞ , {\displaystyle \lim _{x\to a-}f(x)=\infty ,}
lim x → a − f ( x ) = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to a-}f(x)=-\infty .}
いずれも x = a で不連続の場合である。したがって、関数の不連続点が、y軸平行の漸近線の場所の候補である。
漸近線の定義に直線であることを仮定しない場合もある。曲線によっては曲線である漸近線も考えた方が形をとらえやすいことがある。
例えば、曲線
y = x 3 + 2 x 2 + 3 x + 4 x = x 2 + 2 x + 3 + 4 x {\displaystyle {\begin{aligned}y&={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}\\&=x^{2}+2x+3+{\frac {4}{x}}\end{aligned}}}
は、放物線 y = x + 2x + 3 に x → ±∞ で漸近する。
関数 y = f(x) のグラフは点 (x, f(x)) の集合であり、x を径数 t とすれば、径数付け(の一つ)
( α , β ) → R 2 , t ↦ ( t , f ( t ) ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )\rightarrow \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto (t,f(t))}
が得られる。
例えば、曲線 y = 1/x の右上の枝は媒介変数 t により x = t, y = 1/t (t > 0) と表示できる。まず、t → ∞ のとき x → ∞ であり、曲線上の点と x軸の距離 1/t は t → ∞ のとき 0 に収束する。したがって、x軸は曲線の漸近線である。また、t → 0+ のとき、y → ∞ であり、このとき曲線上の点と y軸の距離 t は 0 に収束する。したがって y軸も漸近線である。同様に、曲線の左下の枝も同じ2本の直線が漸近線であることが示される。
関数のグラフでは、垂直でない漸近線は x → ±∞ にそれぞれ高々1本ずつに限られるが、媒介変数表示から定まる一般の曲線は、垂直でない漸近線を3本以上持つこともあるし、1つの垂直な漸近線と2回以上交わる場合もある。