テンソル積
が存在すること。左辺から右辺への写像を構成するには、普遍性により、適当な双線型写像 V × W → W ⊗ V を与えることが十分である。ここでは、(v, w) を w ⊗ v に写す写像を与えればよい。反対方向の写像も同様に定義して、それら二つの線型写像 V ⊗ W → W ⊗ V と W ⊗ V → V ⊗ W が互いに他方の逆写像となっていることを確認して証明は完成する。
同様にしてテンソル積の結合性、すなわち自然同型
V 1 ⊗ ( V 2 ⊗ V 3 ) ≅ ( V 1 ⊗ V 2 ) ⊗ V 3 {\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}}
の存在も証明できる。これにより、この互いに同型な空間を、括弧を落として V1 ⊗ V2 ⊗ V3 のようにも書く。