進化的安定戦略
となり、定義1で登場する不等式の左辺と一致する。同様の理由により混合戦略 σ {\displaystyle \sigma } を取る個体の利得の期待値は
E ( σ , ( 1 − ε ) σ ∗ + ε σ ) {\displaystyle E(\sigma ,(1-\varepsilon )\sigma _{*}+\varepsilon \sigma )}
となり、定義1で登場する不等式の右辺と一致する。
したがって定義1は混合戦略 σ {\displaystyle \sigma } を取る個体群が ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 以下の割合εだけ侵入したとしても、混合戦略 σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} を取る個体の利得の期待値の方が混合戦略 σ {\displaystyle \sigma } を取る個体の利得の期待値よりも真に大きくなる事を示している。
定義1は進化的安定性の直観的な意味を自然に定式化したものになっているものの、この定義に基づいて混合戦略の進化的安定性を直接チェックするのは容易ではない。そこで進化的安定性をより簡単にチェックする事を可能にする、別の特徴付けを紹介する:
定理3(進化的安定性の特徴づけ) ― Gを対称な行列ゲームとし、EをGの利得関数とする。 このとき、Gにおける混合戦略 σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} が進化的に安定である必要十分条件は、任意の混合戦略σに対して以下の2条件を両方とも満たす事である。
(均衡条件) E ( σ ∗ , σ ∗ ) ≥ E ( σ , σ ∗ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma _{*})\geq E(\sigma ,\sigma _{*})}
(安定条件) E ( σ ∗ , σ ∗ ) = E ( σ , σ ∗ ) ⇒ E ( σ ∗ , σ ) > E ( σ , σ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma _{*})=E(\sigma ,\sigma _{*})~\Rightarrow ~E(\sigma _{*},\sigma )>E(\sigma ,\sigma )}
(1)式で示したように利得関数は線形性を満たすので、これを利用して定義1に登場する式の両辺を変形すると、
前節で説明した例をはじめとして、生物による多くの駆け引きは、自身の利得を最大化しようとする個体の同士による一種のゲーム(進化ゲーム)とみなす事ができる為、生物の駆け引きをゲーム理論により記述する事ができる。
進化的安定性の概念もゲーム理論の枠組みで記述でき、その定式化にはゲーム理論における混合戦略の概念が有用となる。
前節で説明した例を使って説明すると、闘争が必要になった時、各個体が取りうる選択肢として、「タカ戦略」と「ハト戦略」という二種類の戦略(純粋戦略)があった。しかし各個体はこれらの純粋戦略のうちひとつを常に取り続けるわけではなく、「30%の確率でタカ戦略を取り、70%の確率でハト戦略を取る」といった戦略をも取りうる。
混合戦略とは、このように個々の純粋戦略の上に確率を付与した戦略を指す。進化的安定性の概念は、この混合戦略の概念に対して定式化される。
これまで全ての個体が対等である状況を考察してきたが、実際の生物学では「オス vs. メス」、「テリトリーの所有者 vs. テリトリーへの侵入者」、「体の大きい個体 vs. 体の小さい個体」のように2つの非対称な立場がある個体同士が闘争する。しかし前章でも述べたように、進化ゲーム理論ではこうした非対称なゲームに関しては何らかの「対称化」を施すことにより、対象なゲームとして進化的安定性を定義する。