ベクトル解析
が成立する。
そこで線素dsを
d  s := ‖ d  x ‖ = d  x 1 2 + d  x 2 2 + d  x 3 2 {\displaystyle \operatorname {d} s:=\|\operatorname {d} \mathbf {x} \|={\sqrt {\operatorname {d} x_{1}{}^{2}+\operatorname {d} x_{2}{}^{2}+\operatorname {d} x_{3}{}^{2}}}}
と定義し、スカラー場の線積分を
∫ C F d  s {\displaystyle \int _{C}F\operatorname {d} s}
と表記する。
Cの始点と終点が一致するとき(すなわちCが閉曲線のとき)はそのことを強調して
∮ C F d  s {\displaystyle \oint _{C}F\operatorname {d} s}
とも表記する。
簡単な計算により、任意のスカラー場Fと任意のベクトル場Xに対し
rot  ( grad  F ) = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} (\operatorname {grad} F)=0}
div  ( rot  X ) = 0 {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {rot} \mathbf {X} )=0}
が恒等的に成立する事が簡単な計算により確認できる。
また3次元ユークリッド空間上では次が成立する(ポアンカレの補題):
rot  X {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {X} } が恒等的に0 ⟺ grad  φ = X {\displaystyle \iff \operatorname {grad} \phi =\mathbf {X} } となるφが存在する
div  X {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {X} } が恒等的に0 ⟺ rot  A = X {\displaystyle \iff \operatorname {rot} \mathbf {A} =\mathbf {X} } となるAが存在する
このようなφ、Aが存在するとき、φ、AをそれぞれXのスカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルという。
なお、ポアンカレの補題が成り立つのはユークリッド空間では1次以上のコホモロジー(ド・ラームコホモロジー)が消えている事と関係しており、一般の多様体では必ずしもこの補題は成り立たない。
∂ ∂ u | d  Φ u d  x | = tr  ( d  Φ u d  x ~ ∂ ∂ u d  Φ u d  x ) {\displaystyle {\partial \over \partial u}\left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|=\operatorname {tr} \left({\widetilde {\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }}{\partial \over \partial u}{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right)}
ここで、 A ~ {\displaystyle {\tilde {A}}} はAの余因子行列である。 Φ0は恒等写像なので、Iを単位行列とすると、1パラメーター変換の定義より、
∂ ∂ u | d  Φ u d  x | u = 0 = tr  ( I ~ d  X d  x ) = div  X {\displaystyle {\partial \over \partial u}\left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|_{u=0}=\operatorname {tr} \left({\tilde {I}}{\operatorname {d} \mathbf {X} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right)=\operatorname {div} \mathbf {X} }
すなわち、div Xは 微小体積の1パラメーター変換による変化率を表している。
スカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルとも、存在する場合には一意ではない。しかし、φ1、φ2を同一のベクトル場Xのスカラー・ポテンシャルとするとき、
φ 2 ( x ) = φ 1 ( x ) + const. {\displaystyle \phi _{2}(\mathbf {x} )=\phi _{1}(\mathbf {x} )+{\text{const.}}}
である事が容易に示せる。
またA1、A2を同一のベクトル場Xのスカラー・ポテンシャルとするとき、
A 2 = A 1 + grad  F {\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\mathbf {A} _{1}+\operatorname {grad} F}
を満たす Fが必ず存在する。 実際、ベクトル・ポテンシャルの定義より、
rot  ( A 2 − A 1 ) = rot  A 2 − rot  A 1 = X − X = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {A} _{2}-\mathbf {A} _{1})=\operatorname {rot} \mathbf {A} _{2}-\operatorname {rot} \mathbf {A} _{1}=\mathbf {X} -\mathbf {X} =0}
なので、ポアンカレの補題より
A 2 − A 1 = grad  F {\displaystyle \mathbf {A} _{2}-\mathbf {A} _{1}=\operatorname {grad} F}
となるFが存在する。