因数定理
f(X1, X2, ..., Xn) が X1 − g(X2, ..., Xn) を因子に持つための必要十分条件は、f(g(X2, ..., Xn), X2, ..., Xn) = 0 となることである。
これは f, g を X1 の多項式と見れば g は X1 に関して定数であるから、一変数の場合の因数定理から従う。注目する変数を変えれば、各変数について同様の主張が成り立つ。
例えば f をヴァンデルモンドの行列式
f ( X 1 , X 2 , ... , X n ) := | 1 X 1 X 1 2 ⋯ X 1 n − 1 1 X 2 X 2 2 ⋯ X 2 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 X n X n 2 ⋯ X n n − 1 | {\displaystyle f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}):={\begin{vmatrix}1&X_{1}&{X_{1}}^{2}&\cdots &{X_{1}}^{n-1}\\1&X_{2}&{X_{2}}^{2}&\cdots &{X_{2}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&X_{n}&{X_{n}}^{2}&\cdots &{X_{n}}^{n-1}\end{vmatrix}}}
とするとき f(X2, X2, ..., Xn) = 0 が明らかに成り立つから、g(X2, ..., Xn) ≔ X2 として因数定理を適用すれば、f は X1 − X2 で割り切れると分かる。同様の議論により、f は差積 ⊿(X1, X2, ..., Xn) で割り切れると分かる。