対称群
これは、交代群に関する現象から対称群に関する現象が導ける(例えば自然な全射 A4 ↠ C3 は自然な全射 S4 ↠ S3 に延びるし、A6 および A7 の三重被覆は S6 および S7 の三重被覆に延びる)けれども、しかしそれは「ホモロジー的」(ホモロジーを取る操作と可換)ではないという意味である。つまり、全射 S4 ↠ S3 で S4 や S3 をそのアーベル化に取り替えることはできないし、後者の例では三重被覆をホモロジーに対応させることができないということになる。
このホモロジーは安定ホモトピー(英語版)論でいう意味で「安定」である。すなわち、包含写像 Sn → Sn+1 と適当な整数 k が存在して、ホモロジーの間の包含写像
H k ( S n ) → H k ( S n + 1 ) {\displaystyle H_{k}(S_{n})\to H_{k}(S_{n+1})}
が十分大きな n に対して同型となる。これはリー群のホモロジーの安定性の類似である。
無限対称群のホモロジーはそのコホモロジー代数をホップ代数化することによって (Nakaoka 1961) で計算されている。
任意の置換は実は隣接互換の積に分解できる。つまり、対称群 Sn は隣接互換で生成される。Sn における隣接互換 σi = (i (i + 1)) は組み紐関係式
σ i σ j = σ j σ i ( | j − i | ≠ 1 ) {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\quad (\vert j-i\vert \neq 1)}
σ i σ i + 1 σ i = σ i + 1 σ i σ i + 1 {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}
を満たし、組み紐群 Bn を生成元が対合となるという関係式
σ i 2 = 1 {\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1}
で割って Sn 得られる。すなわち、Sn は An-型のコクセター群である。
体上の多変数多項式環 k[X] は対称群 S|X| の X への作用を移すことで S|X| が作用する。この作用の下で不変な元の全体を
k [ X ] S | X | := { f ( X ) ∈ k [ X ] ∣ f σ = f for all σ ∈ S | X | } {\displaystyle k[X]^{{\mathfrak {S}}_{|X|}}:=\{f(X)\in k[X]\mid f^{\sigma }=f{\text{ for all }}\sigma \in {\mathfrak {S}}_{|X|}\}}
などであらわし、その元を対称式と呼ぶ(|X| = ∞ のときは、無限変数の多項式環と無限対称群とを考えるならば同様の概念を構成できて、不変元は対称函数と呼ばれる)。