ガウス和
G ( χ ̄ ) = χ ( − 1 ) G ( χ ) ̄ . {\displaystyle G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}}.}
ここで χ は複素共役ディリクレ指標である。また χ′ を N と互いに素な N′ を法とするディリクレ指標とすると、次が成り立つ。
G ( χ χ ′ ) = χ ( N ′ ) χ ′ ( N ) G ( χ ) G ( χ ′ ) . {\displaystyle G(\chi \chi ^{\prime })=\chi (N^{\prime })\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G(\chi ^{\prime }).}
χ と χ′ が同じ法の指標で、χχ′ が原始的であるときの G(χχ′)、G(χ) および G(χ′) の間の関係は、ヤコビ和 J(χ, χ′) によって調べられる。具体的には、次が成り立つ:
G ( χ χ ′ ) = G ( χ ) G ( χ ′ ) J ( χ , χ ′ ) . {\displaystyle G(\chi \chi ^{\prime })={\frac {G(\chi )G(\chi ^{\prime })}{J(\chi ,\chi ^{\prime })}}.}
カール・フリードリヒ・ガウスによって元々考えられていたケースは、R が奇素数 p を法とする剰余体 Z/pZ で χ がルジャンドル記号である二次ガウス和(英語版)であった。ガウスは、いわゆるガウス和の符号を決定し
∑ r ( r p ) e 2 π i r / p = { p p ≡ 1 ( mod 4 ) i p p ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle \sum _{r}\left({\frac {r}{p}}\right)e^{2\pi ir/p}={\begin{cases}{\sqrt {p}}&p\equiv 1{\pmod {4}}\\i{\sqrt {p}}&p\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}
を証明した。
このガウス和の別の表現は、次のようなものである:
∑ r e 2 π i r 2 p {\displaystyle \sum _{r}e^{\frac {2\pi ir^{2}}{p}}}
二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。
ガウス和の一般論は、19世紀の初頭に、ヤコビ和とそれらの円分体内での素元分解を利用することによって構築された。N を法とする整数の剰余環上のガウス和は、ガウス周期(英語版)と呼ばれる密接に関連する和の線形結合である。
ガウス和の絶対値は、有限群上のプランシュレルの定理の応用の場面で通常現れる。R が p 個の元からなる体で、χ が非自明であれば、その絶対値は p となる。二次の場合のガウスの結果に続いて、一般のガウス和の厳密な値を決定することは、長く残されている問題となっている。いくつかの特別な場合については、クンマー和(英語版)を参照されたい。