疎集合
他のより単純な例として、有限のルベーグ測度をもつ R {\displaystyle \mathbb {R} } の稠密開集合 U {\displaystyle U} が与えられたとき、 R ∖ U {\displaystyle \mathbb {R} \setminus U} が必ず非有限ルベーグ測度をもつ R {\displaystyle \mathbb {R} } の閉部分集合となり、 R ∖ U {\displaystyle \mathbb {R} \setminus U} はまた R {\displaystyle \mathbb {R} } で疎集合となることが挙げられる。(なぜならば、 R ∖ U {\displaystyle \mathbb {R} \setminus U} の内部は空だから。)この有限測度を持つ稠密開集合 U {\displaystyle U} は、有理数全体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } がルベーグ測度0であることを証明するときによく構成される。
次のようにしても疎集合を得られる。全単射写像 f : N → Q {\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} } (実際は f {\displaystyle f} は全射写像で十分である。)を選び、適当な r > 0 {\displaystyle r>0} に対して
とする。
1 2 「疎集合」という名称を meagre set のために用い、nowhere dense には「至る所疎」や「至る所非稠密」などの訳語を充てる流儀もある。例えば 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎, http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
疎集合はあらゆる意味において無視可能(negligible)である必要はない。例えば、X を単位区間 [0,1] としたとき、それはルベーグ測度がゼロの稠密集合(有理数の集合など)を含むだけでなく、正測度を持つ疎集合をも含む。
(カントール集合の変形であるような)一例として、[0,1] からすべての二進分数(英語版)(既約分数として a/2 の形を持つような分数。ただし a と n は正の整数)とその周りの区間 (a/2 − 1/2, a/2 + 1/2) を除いたような集合を考える。各 n に対し、多くとも合計 1/2 の区間を除いているため、結局そのような区間を除かれた後に残った疎集合は少なくとも 1/2 の測度(実際は重なる部分の関係で 0.535... を少し超えた値)を持ち、そのため、ある意味で全体の空間 [0,1] の大部分を占めていることが分かる。この集合が疎であることは、それが閉であり空であるような内部を持つことから分かる。任意の区間 (a, b) はその集合には含まれない。なぜならば (a, b) に含まれる二進分数は取り除かれているからである。
この方法を一般化することで、 1 未満の任意の値に対して、その値と等しい測度を持つような単位区間内の疎集合を構成することができる。ただし、測度をちょうど 1 にすることはできない(できたとすると、その集合の閉包の補集合は測度 0 の開集合となるが、これは不可能である)。