パウリ行列
X = ∑ μ = 0 3 σ μ x μ = x 0 I + x → ⋅ σ → = [ x 0 + x 3 x 1 + i x 2 x 1 − i x 2 x 0 − x 3 ] {\displaystyle X=\textstyle \sum \limits _{\mu =0}^{3}\sigma _{\mu }x^{\mu }=x^{0}I+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}={\begin{bmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}+ix^{2}\\x^{1}-ix^{2}&x^{0}-x^{3}\end{bmatrix}}}
を導入する。その行列式は
det X = ( x 0 ) 2 − ( x 1 ) 2 − ( x 2 ) 2 − ( x 3 ) 2 {\displaystyle \det X=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}}
であり、ミンコフスキー内積 ⟨x, x⟩ を与える。ここで SL(2, C) の元 A により、変換
X ′ = A X A † {\displaystyle X'=AXA^{\dagger }}
を定義すると、
det X ′ = det X {\displaystyle \det X'=\det X}
であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 Λ(A) を与える。さらに、±A は同じローレンツ変換 Λ(A) = Λ(−A) を与えることから、これは SL(2, C) から L+ への2対1の準同型写像を与える。その核は Z2 = {±1} であり、群の同型対応
S L ( 2 , C ) / Z 2 ≅ L + ↑ {\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )/\mathbb {Z} _{2}\cong L_{+}^{\uparrow }}
が成り立つ。
exp  ( i a → ⋅ σ → ) = I cos  | a → | + i ( n → ⋅ σ → ) sin  | a → | {\displaystyle \exp(i{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})=I\cos {|{\vec {a}}|}+i({\vec {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {|{\vec {a}}|}}
が成り立つ。ただし、n→ は
n → = 1 | a → | ( a 1 , a 2 , a 3 ) {\displaystyle {\vec {n}}={\frac {1}{|{\vec {a}}|}}(a_{1},a_{2},a_{3})}
で与えられる単位ベクトルである。
a→ が実ベクトルの場合、exp(i a→⋅σ→) は2次特殊ユニタリ群 SU(2) の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた iσk (k = 1, 2, 3) が SU(2) に対応するリー代数 su(2) の基底であることによる。