ケルビン・ストークスの定理
また、 F {\displaystyle {\textbf {F}}} を R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の微分可能なベクトル場とする。このとき
∮ Γ F d Γ = ∫∫ S ∇ × F d S {\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,d\Gamma =\iint _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} \,d\mathbb {S} }
が成り立つ。ここで上式の左辺は「 F {\displaystyle \mathbf {F} } の Γ {\displaystyle \Gamma } に沿った線積分」を意味し、右辺は ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } を S {\displaystyle \mathbb {S} } で面積分したものを意味する。また、 ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } は F {\displaystyle \mathbf {F} } の回転を表すものとする。
γ ( t ) := ( γ 1 ⊕ γ 2 ⊕ γ 3 ⊕ γ 4 ) ( t ) {\displaystyle \gamma (t):=(\gamma _{1}\oplus \gamma _{2}\oplus \gamma _{3}\oplus \gamma _{4})(t)}
一方、仮定より, c1 と c2の間には、区分的に滑らかな、Tube-like-HomotopyH : D → Mが存在するので、
Γ i ( t ) := H ( γ i ( t ) ) , i = 1 , 2 , 3 , 4 {\displaystyle \Gamma _{i}(t):=H(\gamma _{i}(t)),\qquad i=1,2,3,4}
Γ ( t ) := H ( γ ( t ) ) = ( Γ 1 ⊕ Γ 2 ⊕ Γ 3 ⊕ Γ 4 ) ( t ) {\displaystyle \Gamma (t):=H(\gamma (t))=(\Gamma _{1}\oplus \Gamma _{2}\oplus \Gamma _{3}\oplus \Gamma _{4})(t)}