保型形式
保型形式の定式化に当たっては、Γ に対する一般的な意味での保型因子(群コホモロジーの言葉で言えば 1-コサイクルの一種)j が必要である。j は複素数値(あるいは一般にベクトル値の保型形式を考える場合にはそれに応じて複素正方行列値)の函数である。保型因子に課されるコサイクル条件は、j がヤコビ行列から導かれる場合には連鎖律を用いて機械的に確認することができる。
一般的な状況では、保型形式は G 上の(ベクトル値で考える場合は、ある固定された有限次元ベクトル空間 V に値をとる)函数 F で、
Γ の元 γ による平行移動による変換は所与の保型因子 j に比例する、
G 上のあるカシミール作用素(英語版)の固有函数である、
無限遠での増加について特定の条件を満足する
という三種類の条件を満たすものである。最初の条件は F が「保型性」を持つ (automorphic)、つまり γ に対して F(g) と F(γg) との間に興味深い函数等式が満足されることを言っている。ベクトル値の場合は具体的に、群の有限次元表現 ρ が成分に作用して、それらを「ひねる」。カシミール作用素云々は、あるラプラス作用素が F を固有函数にもつということであり、これは F が優れた解析的性質を持つことを保障するが、しかしそれが実際に複素解析函数となるかどうかは場合による。三つ目の条件は G/Γ がコンパクトだが尖点を持つ場合を扱うためのものである。