モノイド閉圏
集合と写像の圏 Set にデカルト積をモノイド積とするモノイド圏はモノイド閉圏である(さらにデカルト閉圏でもある)。ここに内部 Hom A ⇒ B は A から B への写像全体の成す集合 B である。計算機科学において、特に函数型プログラミング言語において、このモノイド積と内部 Hom の間の全単射はカリー化と呼ばれる。実際に、Haskell や Caml(英語版) のようないくつかの言語では函数の矢印記法を明示的に用いている。
より一般に、任意のデカルト閉圏は(そのモノイド構造をデカルト積構造とするとき)対称モノイド閉圏である。この場合、内部 Hom A ⇒ B は、冪対象 B として書くのが普通。
有限次元線型空間と線型写像の圏 FdVect に通常のテンソル積を入れたモノイド圏はモノイド閉圏である。ここで内部 Hom A ⇒ B は A から B への線型写像全体の成す線型空間である。この例はさらにコンパクト閉圏(英語版)でもある。
より一般に、任意のコンパクト閉圏は、その内部 Hom A ⇒ B を B ⊗ A* で与えて、対称モノイド閉圏になる。
厳密に言えば、前節で定義したのは右閉モノイド圏 (right closed monoidal category) である(任意対象のテンソル右乗が右随伴を持つことしか要求していない)。同様に左閉 (left closed) であることを、任意の対象 A によるテンソル左乗函手 B ↦ A ⊗ B が右随伴 B ↦ (B ⇐ A) を持つことと定義する。