ド・ドンデ-ワイル理論
ド・ドンデ-ワイル理論は、ルジャンドル変換と呼ばれる変数変換に基づいている。x (i = 1, ..., n) を時空座標(通常は空間3次元+時間1次元で n = 4 である)、y (a = 1, ..., m) を場の変数、L をラグランジアン密度
L = L ( y a , ∂ i y a , x i ) {\displaystyle L=L(y^{a},\partial _{i}y^{a},x^{i})}
とする。次で定義されるpolymomenta pia
p a i := ∂ L ∂ ( ∂ i y a ) {\displaystyle p_{a}^{i}:={\frac {\partial L}{\partial (\partial _{i}y^{a})}}}
およびド・ドンデ-ワイル ハミルトニアン関数 H
H := p a i ∂ i y a − L {\displaystyle H:=p_{a}^{i}\,\partial _{i}y^{a}-L}
を用いると、ド・ドンデ-ワイル方程式は以下のように表される:
∂ p a i ∂ x i = − ∂ H ∂ y a , ∂ y a ∂ x i = ∂ H ∂ p a i .