マクスウェルの方程式
∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho } (微分形のマクスウェル-ガウスの式)
上の式は、電束が電荷の存在するところで増減(発生・消滅)し、それ以外のところでは保存されることを示す。
積分形で表すと次の式になる。
∮ S D ⋅ d S = Q e n c l {\displaystyle \oint _{S}{\boldsymbol {D}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=Q_{\rm {encl}}}
ここで dS は、閉曲面 S 上の面素ベクトルであり、Qencl は閉曲面 S で囲まれた領域内の電荷である。この積分形は、閉曲面上を積分したときにのみ意味があり、ガウスの法則としてよく知られている。
が定義される。 さらに F のホッジ双対として 2次微分形式
H ≡ 1 μ 0 F ∗ = 1 4 μ 0 ε μ ν ρ σ F μ ν d x ρ ∧ d x σ = 1 2 H μ ν d x μ ∧ d x ν = H x c d t ∧ d x + H y c d t ∧ d y + H z c d t ∧ d z + D x c d y ∧ d z + D y c d z ∧ d x + D z c d x ∧ d y {\displaystyle {\begin{aligned}H&\equiv {\tfrac {1}{\mu _{0}}}F^{*}={\tfrac {1}{4\mu _{0}}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }F^{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\rho }\wedge \mathrm {d} x^{\sigma }\\&={\tfrac {1}{2}}H_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=H_{x}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+H_{y}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+H_{z}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z+D_{x}c\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+D_{y}c\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+D_{z}c\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}}
(微分形による)マクスウェルの方程式は、以下の4つの連立偏微分方程式である。記号「 ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } 」、「 ∇ × {\displaystyle \nabla \times } 」はそれぞれベクトル場の発散 (div) と回転 (rot) である。
{ ∇ ⋅ B ( t , x ) = 0 ∇ × E ( t , x ) = − ∂ B ( t , x ) ∂ t ∇ ⋅ D ( t , x ) = ρ ( t , x ) ∇ × H ( t , x ) = j ( t , x ) + ∂ D ( t , x ) ∂ t {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})&=0\\\nabla \times {\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})&=-{\dfrac {\partial {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})}{\partial t}}\\\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {x}})&=\rho (t,{\boldsymbol {x}})\\\nabla \times {\boldsymbol {H}}(t,{\boldsymbol {x}})&={\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})+{\dfrac {\partial {\boldsymbol {D}}(t,{\boldsymbol {x}})}{\partial t}}\end{aligned}}\end{cases}}}