ヘルダーの不等式
この形でのヘルダーの不等式は積に対するヤングの不等式から以下のようにして導くことができる:f, g をノルム 1 のそれぞれL関数、L関数とし、p と q を互いに共役な指数とする。ヤングの不等式によって
| f g ( x ) | ≤ | f ( x ) | p p + | g ( x ) | q q {\displaystyle |fg(x)|\leq {\frac {|f(x)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(x)|^{q}}{q}}}
が成り立っており、x に関する積分によって
‖ f g ‖ 1 ≤ ‖ f ‖ p p p + ‖ g ‖ q q q = 1 = ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q {\displaystyle \|fg\|_{1}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p}}+{\frac {\|g\|_{q}^{q}}{q}}=1=\|f\|_{p}\|g\|_{q}}
が得られる。一般の関数に対するヘルダーの不等式は、2つの関数を定数倍する操作に対して両辺の項が同じ応答を示すことから、上の場合に帰着できる。