連続体力学
K S {\displaystyle K_{S}} = p x ( n ) d S − p x ( e 1 ) d S 1 − p x ( e 2 ) d S 2 − p x ( e 3 ) d S 3 {\displaystyle ={\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{1})\mathrm {d} S_{1}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{2})\mathrm {d} S_{2}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{3})\mathrm {d} S_{3}} = ( p x ( n ) − p x ( e 1 ) ⋅ e 1 − p x ( e 2 ) ⋅ e 2 − p x ( e 3 ) ⋅ e 3 ) d S {\displaystyle =({\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {n}})-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{1})\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{2})\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {e}}_{3})\cdot {\boldsymbol {e}}_{3})\mathrm {d} S}
となる。
四面体に働く体積力をKVとすると、力の釣り合いから
K S + K V = 0 {\displaystyle K_{S}+K_{V}=0}
Vを連続体上の(時間変化しない)任意の領域とするとき、運動量保存の法則から以下が成立する:
(単位時間にVに働く力積の総和)
= (単位時間にVに流出する運動量の総和)
+ (単位時間にVに働く体積力による力積)
+ (単位時間にVの境界に働く面積力による力積)
上の式を具体的に書き下すことで、連続体の運動方程式を導出できる。
連続体の点xにおける時刻tでの密度をρ=ρ(x,t)とし、速度ベクトルをv=v(x,t)とするとき、
(単位時間にVに働く力積の総和) = d d t ∫ V ρ v d V = ∫ V ∂ ( ρ v ) ∂ t d V , {\displaystyle ={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{V}\rho {\boldsymbol {v}}\mathrm {d} V=\int _{V}{\partial (\rho {\boldsymbol {v}}) \over \partial t}\mathrm {d} V,}
であり、
弾性体が等方かつ線形であれば(B3)、 (E3)より 各iに対し、
div  ( ∂ t σ i j ) j = ∇ ⋅ ( λ ∑ k ∂ t E k k δ i j + 2 μ ∂ t E i j ) j {\displaystyle \operatorname {div} (\partial _{t}\sigma _{ij})_{j}=\nabla \cdot (\lambda \sum _{k}\partial _{t}E_{kk}\delta _{ij}+2\mu \partial _{t}E_{ij})_{j}} = ∇ ⋅ ( λ δ i j ∇ ⋅ v + μ ( ∂ i v j + ∂ j v i ) ) j {\displaystyle =\nabla \cdot (\lambda \delta _{ij}\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\mu (\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}))_{j}} = ( λ + μ ) ∂ i ∇ ⋅ v + μ Δ v j {\displaystyle =(\lambda +\mu )\partial _{i}\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\mu \Delta v_{j}}
よって等方かつ線形な弾性体の運動方程式は以下のようになる