アポロニウスの問題
同様の等式はリー球面幾何(英語版)の文脈においても導くことができる。リー球面幾何では、円・直線・点が 5 次元ベクトル X = (v, cx, cy, w, sr) として統一的に表される。ただし、c = (cx, cy) は円の中心であり、r は(非負の)半径である。もし r が 0 でなければ、符号 s は正もしくは負である。視覚的な観点から言うならば、s は円の向き(英語版)を表しており、反時計回りの円は正の s を持ち、時計回りの円は負の s を持つ。パラメーター w は、直線ならば 0 であり、そうでなければ 1 である。
この 5 次元の世界には、ドット積に似た双線形な乗法
( X 1 ∣ X 2 ) := v 1 w 2 + v 2 w 1 + c 1 ⋅ c 2 − s 1 s 2 r 1 r 2 {\displaystyle (X_{1}\mid X_{2}):=v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1}+\mathbf {c} _{1}\cdot \mathbf {c} _{2}-s_{1}s_{2}r_{1}r_{2}}
が存在する。リー二次曲線(英語版)とは、自身との積(二乗ノルム)が 0 となるベクトルの全体、すなわち (X | X) = 0 で定義される図形を言う。X1, X2 をこの二次曲線上の 2 つのベクトルとする。これらの差のノルムは、定義により
アポロニウスの問題とは3つの与えられた円、直線、点等のオブジェクトに接する1つ以上の円を平面上に描くものであった。これは10種類のアポロニウスの問題に分けることができる。それぞれ円、直線、点を組み合わせた問題であり、C, L, P のアルファベットでどのオブジェクトが与えられている問題なのかを表す。Cは与えられたオブジェクトが円(Circle)であることを示し、Lは与えられたオブジェクトが直線(Line)であることを示し、Pは与えられたオブジェクトが点(Point)であることを示す (表 1)。例えば、円、直線、点の3つのオブジェクトが与えられたアポロニウスの問題はCLPと表す。
特殊な場合のアポロニウスの問題では、3つの与えられた円に一般的な解を与えるよりも遥かに簡単に解くことができる場合がある。このような例としては、与えられた3つの点に対して接する円を書く場合(PPP)、また与えられた3つの直線に対して接する円を書く場合(LLL)が考えられ、これらの場合はユークリッドによって原論で初めて解が与えられた。例えば、PPPの問題は次のように解くことができる。この問題に対する解円は3つの与えられた点すべてから等しい距離の場所に中心を持つ。