フルビッツ行列
を多項式 p {\displaystyle p} に対するフルビッツ行列と呼ぶ。1895年にアドルフ・フルビッツは、実多項式 p {\displaystyle p} が安定であること(すなわちその全ての根が複素平面の開左半平面に存在すること)の必要十分条件として、そのフルビッツ行列 H ( p ) {\displaystyle H(p)} の主座小行列式すべてが正であること(たとえば
ここでそのような G ( s ) {\displaystyle G(s)} は、必ずしもフルビッツ行列である必要はなく、また正方行列である必要もないことに注意されたい。この概念とフルビッツ行列との関係として、もし行列 A {\displaystyle A} がフルビッツ行列であるなら、力学系
x ̇ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}
y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) {\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}
にはフルビッツ伝達関数が存在する、というものが挙げられる。
連続的な力学系の任意の双曲型不動点(あるいは平衡点)が局所的に漸近安定であることと、その力学系のヤコビ行列がその不動点においてフルビッツ安定であることは、必要十分である。
フルビッツ安定行列の概念は制御理論において重要な位置を占める。システムは、その制御行列がフルビッツ行列であるなら、安定となる。その行列の固有値の負の実成分はネガティブフィードバックを表す。同様に、どの固有値も正の実成分を持つようなシステムは不安定となり、これはポジティブフィードバックを表す。
Δ 1 ( p ) = | a 1 | = a 1 > 0 Δ 2 ( p ) = | a 1 a 3 a 0 a 2 | = a 2 a 1 − a 0 a 3 > 0 Δ 3 ( p ) = | a 1 a 3 a 5 a 0 a 2 a 4 0 a 1 a 3 | = a 3 Δ 2 − a 1 ( a 1 a 4 − a 0 a 5 ) > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}
が成立することなど)を得た。各小行列式 Δ k ( p ) {\displaystyle \Delta _{k}(p)} ( k = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle (k=1,2,\cdots )} はフルビッツ行列式と呼ばれる。