スティーフェル・ホイットニー類
写像 i*: H(P(R); Z/2Z) → H(P(R); Z/2Z) は同型であるので、 θ 1 ( γ 1 ) = w 1 ( γ 1 ) {\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})} であり、θ(γ) = w(γ) であることが分かる。E を空間 X 上のランク n の実ベクトルバンドルとすると、E は分解写像(英語版)(splitting map)、すなわち、ある空間 X が存在し、 f ∗ : H ∗ ( X ; Z / 2 Z ) ) → H ∗ ( X ′ ; Z / 2 Z ) {\displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )} が単射であり、ラインバンドル λ i → X ′ {\displaystyle \lambda _{i}\to X'} に対し、 f ∗ E = λ 1 ⊕ ⋯ ⊕ λ n {\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}} となるような写像 f : X′ → X となる。
)2つの実ベクトル束 E と F が同型か否かを判断することは一般的には困難であるが、スティーフェル・ホイットニー類 w(E) と w(F) は、簡単に計算可能な場合もある。スティーフェル・ホイットニー類が異なっていれば、E と F は同型ではない。
例としては、円 S 上、自明束に同型ではない直線束(つまり、階数 1 の実ベクトル束)が存在する。この直線束 L は、メビウスの帯(ベクトル束となるベクトル空間の構造をファイバーへいれることのできるファイバー束)である。コホモロジー群 H(S; Z/2Z) は、0 以外にはひとつしか元がない。この元が L の第一スティーフェル・ホイットニー類 w1(L) である。S 上の自明直線束の第一スティーフェル・ホイットニー類は 0 であるので、それは L とは同型ではない。
しかし、同じスティーフェル・ホイットニー類を持つ 2つのベクトル束 E と F は、必ずしも同型とは限らない。例えば、E と F が同じ底空間 X 上の異なる階数の自明な実ベクトル束であるときに、同型でないということが起きる。E と F が同じ階数であってもこのようなことが起きる。2-球面 S の接束と S 上の階数 2 の自明な実ベクトル束は同じスティーフェル・ホイットニー類を持つが、同型ではない。ところが、X 上 2 つの実直線束が同じスティーフェル・ホイットニー類を持てば、それらは同型である。