生存関数
これをさらに簡略化するには、部分積分を用いるとよい。
− ∫ 0 ∞ t S ′ ( t ) d t = − t S ( t ) | 0 ∞ + ∫ 0 ∞ S ( t ) d t {\displaystyle -\int _{0}^{\infty }tS'(t)dt=-tS(t){\bigg |}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }S(t)dt}
定義により、 S ( ∞ ) = 0 {\displaystyle S(\infty )=0} であり、境界項はまったく0に等しいことを意味する。したがって、期待値は単に生存関数の積分であると結論づけることができる。
E ( T ) = ∫ 0 ∞ S ( t ) d t {\displaystyle \mathbb {E} (T)=\int _{0}^{\infty }S(t)dt}