平行軸の定理
対角要素(すなわちi = jの要素)に対して、回転軸と変位ベクトルが垂直であれば、上記の単純化した平行軸の定理が得られる。
一般化された平行軸の定理は、次のように座標系によらない形で表すことができる。
J = I + m [ ( R ⋅ R ) E 3 − R ⊗ R ] . {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} \right].}
ここでE3は3 × 3の単位行列、 ⊗ {\displaystyle \otimes } は直積である。
さらに一般化すると基準軸の組 x, y, z が重心を通るか否かに関係なく、これらに平行な任意の直交軸の組 x′, y′, z′ についての慣性テンソルが得られる。
歪対称行列を用いた平行軸の定理の定式化とテンソルによる定式化を比較するためには、以下の恒等式が有用である。
位置ベクトル R = (x, y, z) に関連する歪対称行列を [R] とおくと、慣性行列に現れる積は
− [ R ] [ R ] = − [ 0 − z y z 0 − x − y x 0 ] 2 = [ y 2 + z 2 − x y − x z − y x x 2 + z 2 − y z − z x − z y x 2 + y 2 ] {\displaystyle -[R][R]=-{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}}
となる。この積は、直積 [R R] により形成される行列を使用し、次の恒等式を使って計算できる。
一般性を失うことなく、デカルト座標系において重心は原点にあり、重心を通る回転軸は z 軸に一致し、それと平行な新しい回転軸 z′ は x 軸に沿って d 離れていると仮定する。z 軸に対する慣性モーメントは
I c m = ∫ ( x 2 + y 2 ) d m {\displaystyle I_{\mathrm {cm} }=\int (x^{2}+y^{2})\,dm}
で、軸 z′ に対する慣性モーメントは
I = ∫ [ ( x + d ) 2 + y 2 ] d m {\displaystyle I=\int \left[(x+d)^{2}+y^{2}\right]\,dm}
で求められる。かっこを展開すると
I = ∫ ( x 2 + y 2 ) d m + d 2 ∫ d m + 2 d ∫ x d m {\displaystyle I=\int (x^{2}+y^{2})\,dm+d^{2}\int dm+2d\int x\,dm}
となる。1番目の項は Icm であり、2番目の項は md となる。最後の項の積分は重心が原点にあるため 0 である。したがって平行軸の定理が導かれる。
I = I c m + m d 2 . {\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+md^{2}.}