フロケ理論
ν {\displaystyle \nu } が整数であるなら、 F ν ( w ) {\displaystyle F_{\nu }(w)} および F ν ( − w ) {\displaystyle F_{\nu }(-w)} は線型独立な解である。さらに、
y ( w + k π ) = e i ν k π y ( w ) or y ( w + k π ) = e − i ν k π y ( w ) , {\displaystyle y(w+k\pi )=e^{i\nu k\pi }y(w){\text{ or }}y(w+k\pi )=e^{-i\nu k\pi }y(w),\,}
がそれぞれ解 F ν ( w ) {\displaystyle F_{\nu }(w)} or F ν ( − w ) {\displaystyle F_{\nu }(-w)} に対して成立する。
ペア (a, q) は | cosh  ( i ν π ) | < 1 {\displaystyle |\cosh(i\nu \pi )|<1} を満たすようなもので、したがって解 y ( w ) {\displaystyle y(w)} は実軸上で有界であるものと仮定する。マシュー方程式の一般解は、( q ∈ R {\displaystyle q\in \mathbb {R} } および ν {\displaystyle \nu } は非整数)次のような形式で記述される。
y ( w ) = c 1 e i w ν P ( w ) + c 2 e − i w ν P ( − w ) , {\displaystyle y(w)=c_{1}e^{iw\nu }P(w)+c_{2}e^{-iw\nu }P(-w),\,}