Ω無矛盾
ある公理系が通常の意味で矛盾 (inconsistent) しているとは、ある論理式 P が存在して、P と ¬P とがともに証明可能であることを意味する。これに対し、公理系がω矛盾 (ω-inconsistent) するとは、自然数 n によって定まる論理式 Q(n) が存在して、次を満たすことをいう:
Q(0), Q(1), Q(2), ... が全て証明可能であるが、「∃n : ¬Q(n)」も証明可能である。
そして、矛盾していない公理系を無矛盾 (consistent)) であるといい、ω矛盾していない公理系をω無矛盾 (ω-consistent) であるという。
通常の感覚では、Q(0), Q(1), Q(2), ... が全て証明可能であれば、「∀n : Q(n)」も証明可能であるように思え、 したがってもし公理系が無矛盾なら「∃n : ¬Q(n)」は証明不能であるように思える。