1+2+3+4+…
が成り立ち、この等式 ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) = η ( s ) {\displaystyle (1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)} は、上記の級数が発散する領域の s に対しても、解析接続によって延長すれば保たれる。故に s = −1 を代入して −3ζ(−1) = η(−1) を得るが、このイータ関数はこの級数を定義するアーベル和に等しいから η(−1) は容易に計算できる。つまり、片側極限
− 3 ζ ( − 1 ) = η ( − 1 ) = lim x ↗ 1 ( 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ ) = lim x ↗ 1 1 ( 1 + x ) 2 = 1 4 {\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\nearrow 1}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)=\lim _{x\nearrow 1}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}
が求まって、両辺を −3 で割れば、ζ(−1) = −1/12 を得る。
リーマンゼータ関数を部分和にした
P s ( n ) = ∑ k = 1 n k − s = 2 s π s − 1 ( sin  π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle P_{s}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{-s}=2^{s}\pi ^{s-1}(\sin {\frac {\pi s}{2}})\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}
を複素平面上にプロットした時、 s {\displaystyle s} の虚部に対して n {\displaystyle n} が十分大きくなると対数螺旋のような軌跡を描く。その軌跡の中心は元となったゼータ関数の値に近似していることが観測されており、 s {\displaystyle s} の実部を − 1 {\displaystyle -1} として虚部を十分小さくした時にこの方法で P s ( n ) {\displaystyle P_{s}(n)} を観測すると −1/12に近似する(函数等式)。
デーヴィッド・リーヴィット(英語版)の小説 The Indian Clerk には、ハーディとリトルウッドがこの級数について議論するシーンが出てくる。サイモン・マクバーニーの2007年の作品 A Disappearing Number では舞台の冒頭でこの級数が取り上げられている。
2014年1月9日、YouTube の番組 Numberphile でこの級数に関する動画が投稿され、公開から1ヶ月間で 150 万以上の再生数を獲得した。動画は 8 分間でノッティンガム大学の物理学者、トニー・パディーヤ(英語版)が解説をしている。パディーヤは S1 = 1 − 1 + 1 − 1 + ... と S2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ... から始め、最後に S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... を、ラマヌジャンの議論と同様に項別の引き算を用いてそれらの級数の関連性を述べている。