行列の分解
quasimatrix(準行列)および cmatrix あるいは continuous matrix(連続行列)に対して SVD, QR, LU, コレスキー分解の類似がある。‘quasimatrix’は,行列のように、長方形の体系で、元は添え字付けられているが、1つの離散的な添え字が連続的な添え字に置き換えられる。同様に,‘cmatrix’は両方の添え字が連続である。cmatrix の例として,積分作用素の核を考えることができる。
これらの分解は Fredholm (1903), Hilbert (1904), Schmidt (1907) による初期の研究に基づいている。これら独創的な論文の説明と英訳は Stewart (2011) を参照
適用:正方行列 A
分解:A = LU,、ただし L は下三角行列で U は上三角行列
関連:LDU分解は A = LDU である、ただし L は下三角行列で対角線に 1 が並び、U は上三角行列で対角線に 1 が並び、D は対角行列である.
関連:LUP分解(英語版)は A = LUP である、ただし L は下三角行列で、U は上三角行列で、P は置換行列である.
存在: LUP 分解は任意の正方行列 A に対して存在する。P が単位行列のとき、LUP分解はLU分解となる。LU分解が存在すればLDU分解も存在する。
コメント:LUP 分解と LU 分解は n × n の線型方程式系 Ax = b を解く際に有用である。これらの分解はガウスの消去法の過程を行列の形にまとめたものである。行列 P はガウスの消去法の過程で行われる任意の行の交換を表す。ガウスの消去法で行の交換なしに行階段形になれば P = I であり、したがって LU 分解は存在する。
適用:正方実行列 A で真に正の成分からなるもの.
分解:A = D1SD2, ただし S は 二重確率行列で D1 と D2 は真に正の成分からなる実対角行列である.
数値解析において、異なる分解が効率的な行列アルゴリズムを実装するために用いられる。
例えば、線型方程式系(連立一次方程式)Ax = b を解くとき、行列 A はLU分解により分解できる。LU分解は行列を下三角行列 L と上三角行列 U の積に分解する。系 L(Ux) = b と Ux = Lb は、もとの系 Ax = b と比べて解くのに必要な加法や乗法が少ないが、浮動小数点のような不正確な計算ではかなりの桁数を必要とし得る。
同様に、QR分解は A を直交行列 Q と上三角行列 R の積 QR として表す。系 Q(Rx) = b は Rx = Qb = c によって解かれ、系 Rx = c は '後退代入(英語版)' によって解かれる。必要な加法と乗法の回数はLU分解のときの約2倍だが、QR分解は数値的に安定(英語版)なため不正確な計算においてより多くの桁数が必要とならない。