群のコホモロジー
考えている特異単体が明らかで T を [012] と表しているときは κ([012]) = [x, y] と書ける。
一般の場合も同様にして定める。これで
S ( X ) : S 0 ⟵ ∂ S 1 ⟵ ∂ ⋯ ↓ κ ↓ κ ↓ κ B ( G ) : B 0 B 1 ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}S(X):&S_{0}&{\stackrel {\partial }{\longleftarrow }}&S_{1}&{\stackrel {\partial }{\longleftarrow }}&\cdots \\&\;\;\downarrow \kappa &&\;\;\downarrow \kappa &&\;\;\downarrow \kappa \\B(G):&B_{0}&&B_{1}&&\cdots \\\end{matrix}}}
という図式ができた。κ が複体の射となるように、つまりこの図が可換図式となるように ∂ : Bn → Bn−1 を定めたい。
例として n = 2 の場合を考える。T を 特異2単体とし、これを [012] と書くことにする。また境界を [01], [12], [02] と書くことにする。先ほどと同様に辺01が定める基本群の元を x、辺12が定める基本群の元を y で表す。特異複体の境界作用素の定義から ∂[012] = [01] + [12] − [02] である。辺02は辺01と辺12を繋いだものとホモトープなので κ([02]) = [xy] である(考えている特異単体がホモトピー写像を与える)。これに注意することにより κ∂[012] = [y] − [xy] + [x] が分かる。