形式的冪級数
任意の個数(無限個でもよい)の不定元をもった形式的冪級数を定義することができる。Λ が添え字集合であり XΛ を λ ∈ Λ に対し不定元 Xλ 全体の集合とすれば、単項式 X は XΛ の元の任意の有限個の(重複を許した)積である。係数を環 A にもつ XΛ の形式的冪級数は単項式 X の集合から対応する係数 cα への任意の写像によって決定され、 ∑ α c α X α {\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }} と表記される。すべてのそのような形式的冪級数からなる集合を A[[XΛ]] と表記し、以下のように環の構造を与える。
( ∑ α c α X α ) + ( ∑ α d α X α ) := ∑ α ( c α + d α ) X α {\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right):=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}