対称式
s 次の対称式 f(x1,x2,...,xn) を、
f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ t = 1 s f t ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\sum _{t=1}^{s}f_{t}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}
のように、 t 次の斉次多項式 ft(x1,x2,...,xn) の和として表せば、それぞれの斉次多項式 ft は対称式である。
ft は、基本対称式を変数とする、重さが t の単項式の全て Tt,1, Tt,2, ..., Tt,m の線型結合によって
f t ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = ∑ i = 1 m c i T t , i = c 1 T t , 1 + c 2 T t , 2 + ⋯ + c m T t , m {\displaystyle f_{t}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\ T_{t,i}=c_{1}\ T_{t,1}+c_{2}\ T_{t,2}+\cdots +c_{m}\ T_{t,m}}
の形で表すことができる。この式に現れる係数 c1, ..., cm を求めることで、 ft が、基本対称式を変数とする多項式で表される。
このようにして、ft の和である f も、基本対称式を変数とする多項式で表されることになる。
計算例はこちら→
Λn = {1,2,3,...,n} とし、Sn は Λn に作用する n 次の対称群とする。
n 変数の多項式 f(x1,x2,...,xn) が、任意の σ ∈ Sn に対して
f(x1,x2,...,xn) = f(xσ(1),xσ(2),...,xσ(n)) = f(x1,x2,...,xn)
を満たすとき、f(x1,x2,...,xn) を、対称多項式あるいは対称式という。
要は f は変数をどのように入れ替えても不変な多項式である。
同様に有理式
f ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) = h ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) g ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})={h(x_{1},x_{2},\cdots x_{n}) \over g(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})}}
が、任意の σ ∈ Sn に対して
f ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) σ = h ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) σ g ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) σ = f ( x 1 , x 2 , ⋯ x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{\sigma }={h(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{\sigma } \over g(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{\sigma }}=f(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})}