チャーン類
チャーン類は代数幾何学で自然に発生した。代数幾何学での一般化されたチャーン類は、任意の非特異多様体の上のベクトル束(さらに詳しくは、局所自由層)に対して定義することができる。代数幾何学的なチャーン類は、基礎となる多様体が何らかの特別な性質を持っていることを要求しない。特に、ベクトル束は複素数である必要はない。
特別なことを考えずに、チャーン類の直感的な意味をベクトル束の切断(英語版)(section)の「ゼロ点を要求する」ことに関係付ける。例えば、髪の毛の生えたボールを櫛で完全にとかすことはできないという定理のようなものです(毛の生えたボールの定理(英語版)(hairy ball theorem))。これは厳密に言うと、実 ベクトル束(ボールの上の「髪の毛」は、実際には直線のコピーである)についての質問であるにもかかわらず、髪の毛が複素数である場合、あるいは他の多くの場の上の 1-次元射影空間に対し、一般化できる(以下の複素数の髪の毛のボールの定理の例を参照)。
さらなる議論はチャーン・サイモンズ理論を参照。