リー微分
微分はいくつかの等価な方法で定義することができる。簡単のため、本節ではまずスカラー関数とベクトル場に作用するリー微分から定義する。リー微分は後述するように一般のテンソル空間への作用として定義されるものである。
まず初めに、関数の微分法の言葉でリー微分を定義する。多様体 M 上で与えられた可微分関数 f: M → R および M 上のベクトル場 X に対して、点 p ∈ M における f のリー微分を
L X f ( p ) = X p ( f ) = ∇ X f ( p ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=X_{p}(f)=\nabla _{X}f(p)}
によって定義する。これは通常の意味での微分の言葉で言えば、関数 f のベクトル場 X に沿った微分を改めて X の定めるリー微分と呼んでいるということにすぎない。もうすこし装飾的な言葉を使えば、多様体 Mの接束と余接束の間の自然な双対性内積として
L X f ( p ) = d f ( p ) [ X ( p ) ] = ⟨ d f , X ⟩ ( p ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=df(p)[X(p)]=\langle df,X\rangle (p)}
と言い直すことができる。ここに df: M → TM は f の全微分、すなわち
d f = ∂ f ∂ x a d x a . {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x^{a}}}dx^{a}.}
で与えられる1次微分形式(右辺は a に関する和であるがアインシュタインの縮約記法を用いた)であり、dx は余接束 TM の基底ベクトルである。したがって df(p)[X(p)] は M 上の点 p における f の微分 df とベクトル場 X との自然な双対性を表す内積であると理解できる。
L Y α = i Y d α + d i Y α . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .}