ベルトラン・ダルブーの定理
ここに a , b , b ′ , c 1 , c 2 {\displaystyle a,b,b',c_{1},c_{2}} はすべてはゼロでない定数である。
直交座標、極座標、放物線座標(英語版)、楕円座標のいずれかで変数分離可能である。
従ってベルトラン・ダルブーの定理は、運動量について2次の積分によって可積分系となる系は常に変数分離可能であること、そしてそのような分離座標はこれら4つのものしかないことを示している。なお、変数分離可能でない可積分系も存在し、そのような系に関してはベルトラン・ダルブーの定理は有用な知見を与えない。例えば戸田格子の非自明な積分は運動量について2次ではないため、ベルトラン・ダルブーの定理は適用できない。
ベルトラン・ダルブーの定理(ベルトラン・ダルブーのていり、Bertrand-Darboux theorem)は、古典力学において2自由度の系のハミルトン–ヤコビ方程式の変数分離可能性に関する定理である。この定理によると、系が直交座標、極座標、放物線座標、楕円座標のいずれかで変数分離可能であるとき、またそのときに限り、運動量について2次の運動の積分が存在し求積可能である。
ポテンシャル V = U 1 ( x ) + U 2 ( y ) {\displaystyle V=U_{1}(x)+U_{2}(y)} の場合、直交座標により系は変数分離可能であり、ハミルトニアンと独立な運動の積分としては例えば Φ = 1 2 p x 2 + U 1 ( x ) {\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}p_{x}^{2}+U_{1}(x)} が取れる。
ポテンシャル V {\displaystyle V} が V = 1 r [ U 1 ( r + x 2 ) + U 2 ( r − x 2 ) ] {\displaystyle V={\frac {1}{r}}\left[U_{1}\left({\frac {r+x}{2}}\right)+U_{2}\left({\frac {r-x}{2}}\right)\right]} という形を取るとき、この系は放物線座標 ( ξ , η ) {\displaystyle (\xi ,\eta )} により変数分離可能である。この座標は以下のように定義される。
{ ξ = ( r + x ) / 2 η = ( r − x ) / 2 , { x = ξ − η y = 2 ξ η {\displaystyle {\begin{cases}\xi =(r+x)/2\\\eta =(r-x)/2\end{cases}},\ \ {\begin{cases}x=\xi -\eta \\y=2{\sqrt {\xi \eta }}\end{cases}}}
このとき、ハミルトニアンは