オイラー法
y n + 1 = y n + h f ( t n + 1 , y n + 1 ) + O ( h 2 ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1})+O(h^{2})}
O ( h 2 ) {\displaystyle O(h^{2})} の項を切り捨てて、それが後退オイラー法の公式となる。
右側に f ( t n + 1 , y n + 1 ) {\displaystyle f(t_{n+1},y_{n+1})} の項が存在するため、後退オイラー法は陰公式となる。すなわち、現在値を求めるために過去の数値だけではなく、現在や未来の数値を知らなければならない(後退オイラー法では未来値に依存しない)。結果として、一時刻ごとに方程式系を解かなければならない。ゆえに、特に非線型方程の場合、計算コストが大分上がる。
とはいえ、この方法はA-安定(英: A-stable)である。よって近似解は刻み幅に関係なく収束する。後退オイラー法も普通は使われない。
オイラー法は1次方法である。1次方法は極端に精度が低いので、実践には向かない。そのため、もっと次数の高い方法が必要となる。オイラー法と後退オイラー法の公式をもとにして平均値を取ると次の公式となる。
y n + 1 = y n + 1 2 h ( f ( t n , y n ) + f ( t n + 1 , y n + 1 ) ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\frac {1}{2}}h(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}))}
これは微分方程式での台形公式である。有限差分法を用いて偏微分方程式に適用するときはクランク・ニコルソン法とも呼ばれる。この方法が2次方法でA-安定であることを証明できる。
台形公式は見ての通り陰公式である。それを陽公式にも変換できる。yn+1をもう一度オイラー法で近似すると次の公式となる。