代数多様体
体 k 上の射影空間 P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}} は n + 1 個の k の元の比 [a0 : a1 : ... : an] 全体の集合である。斉次多項式(含まれる単項式の次数が全て同じ)F(x0 , x1, ..., xn) はその次数が d なら、0 でない定数 t に対して、F(t.x0, t.x1, ..., t.xn) = t. F(x0, x1, ..., xn) となるので、射影空間の点 [a0 : a1 : ... : an] に対して、F(a0, a1, ..., an) = 0 となるかどうかは点を表す斉次座標の表示の仕方(定数倍の差異)に拠らずに定まっている。そこで、有限個の (n + 1)-変数斉次多項式系 F = (Fi | i = 0, ..., r) に対して射影代数的集合 Vh(F) を
V h ( F ) = { [ a 0 : ⋯ : a n ] ∈ P k n ∣ F i ( a 0 , ... , a n ) = 0 ( ∀ i ) } {\displaystyle V_{h}(\mathbf {F} )=\{[a_{0}:\cdots :a_{n}]\in \mathbb {P} _{k}^{n}\mid F_{i}(a_{0},\ldots ,a_{n})=0\;(\forall i)\}}
で定義できる。アフィン代数多様体の場合と同様に、真に含まれる射影代数的集合の和として書けない射影代数的集合を射影代数多様体と呼ぶ。
アフィン代数多様体 V ⊂ A k n {\displaystyle V\subset \mathbb {A} _{k}^{n}} , W ⊂ A k m {\displaystyle W\subset \mathbb {A} _{k}^{m}} に対しては、イデアル I(V) + I(W) ⊂ k[x1, ..., xn, y1, ..., ym] で定義される A k n + m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+m}} の中のアフィン代数多様体が積多様体 V × W を与える。一般の代数多様体は、有限個のアフィン代数多様体の和集合として、 X = ⋃ U i {\displaystyle X=\bigcup U_{i}} , Y = ⋃ V j {\displaystyle Y=\bigcup V_{j}} と書ける。そこで、集合 X × Y に アフィン代数多様体 Ui × Vj の貼り合わせとして代数多様体の構造を入れることができ、これが X と Y の積多様体を与えていることが証明できる。
最も初等的に定義される代数多様体は、アフィン代数多様体である。代数的閉体 k 上の n 次元のアフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} をここでは、ベクトル空間 k の点全体とする。k を係数にもつ有限個の n 変数多項式系 f = (fi(x1, ..., xn) | i = 1, 2, ..., r) に対して、それが定めるアフィン代数的集合 V(f) を
V ( f ) = { ( a 1 , ... , a n ) ∈ A k n ∣ f i ( a 1 , ... , a n ) = 0 ( ∀ i ) } {\displaystyle V(\mathbf {f} )=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {A} _{k}^{n}\mid f_{i}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\;(\forall i)\}}
で定義する。アフィン代数的集合 V が V に真に含まれるアフィン代数的集合の和集合として書けないとき、V は既約であるといい、既約なアフィン代数的集合をアフィン代数多様体という。
k を実数体 R や複素数体 C とした場合、アフィン空間はユークリッド空間になるので、アフィン代数多様体はその閉集合となり、普通の意味での位相空間となる。