線型汎函数
上で述べた積分汎函数 I は、次数 n 以下の多項式全体の成す C[a, b] の部分空間 Pn 上の線型汎函数を定める。x0, ..., xn が [a, b] の相異なる n + 1 個の点ならば、Pn の任意の元 f に対して
I ( f ) = a 0 f ( x 0 ) + a 1 f ( x 1 ) + ⋯ + a n f ( x n ) {\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}
を満たす係数 a0, ..., an が定まる。これが数値求積法の理論の基礎を成している。
この事実から、上で述べた評価汎函数 evxi : ƒ → ƒ(xi) は Pn の双対空間の基底を成すことがわかる(Lax 1996)。
線型汎函数が初めて現れたのは、函数解析学における函数の成すベクトル空間の研究に際してである。積分は線型汎函数の典型例で、リーマン積分
I ( f ) = ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
によって与えられる汎函数は、区間 [a, b] 上の連続函数全体の成すベクトル空間 C[a, b] から実数全体 R への線型汎函数になる。I(f) の線型性は、積分に関して
I ( f + g ) = ∫ a b ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x = I ( f ) + I ( g ) I ( α f ) = ∫ a b α f ( x ) d x = α ∫ a b f ( x ) d x = α I ( f ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx\\&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\[5pt]I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx\\&=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f)\end{aligned}}}
が成り立つという標準的な事実から従う。