ジョルダンの補題
関数
f ( z ) = e i z 1 + z 2 , z ∈ C ∖ { i , − i } , {\displaystyle f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}},\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\},}
はR ≠ 1をみたすR > 0に対してa = 1でジョルダンの補題の条件を満たす。 R > 1の場合、
M R = max θ ∈ [ 0 , π ] 1 | 1 + R 2 e 2 i θ | = 1 R 2 − 1 , {\displaystyle M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,,}
したがって、( * )が成り立つ。上半平面におけるfの唯一の特異点はz = iにあるため
∫ − ∞ ∞ e i x 1 + x 2 d x = 2 π i Res  ( f , i ) . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,.}