Theorema Egregium
Mをリーマン多様体Mの部分多様体とする。MがMにおいて余次元1であれば、第二基本形式が実数値の双線形写像になり、第二基本形式の固有値・固有ベクトルとして主曲率 κ 1 , ... , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} およびそれに対応する主方向 e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} が定義できる。さらに全ての主曲率の積としてガウス曲率 K = κ 1 ⋯ κ m {\displaystyle K=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}} が定義できる。(なおガウス曲率は第二基本形式の行列式に等しい)。
このとき、以下が成立する:
系 (断面曲率と主曲率の関係) ― i≠jを満たす任意のi, j ∈{1,...,m}に対し、以下が成立する:
S e c ( e i , e j ) = S e c ̄ ( e i , e j ) + κ i κ j {\displaystyle \mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})={\overline {\mathrm {Sec} }}(e_{i},e_{j})+\kappa _{i}\kappa _{j}}