行列式に対するライプニッツの明示公式
体 K 上の行列環上で定義された函数 F : M n ( K ) → K {\displaystyle F\colon M_{n}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} } で、列ベクトルに関して多重線型かつ交代的で、F(I) = 1 を満たすものはただ一つ存在する。ただし I は n-次単位行列。
上記の明示式で定義された函数 det は実際にこれら条件を満たすから、このような函数は存在する。逆にこれら条件から上記の明示式が出ることを見れば一意性が示せる。これにより、定理の条件を満たす函数 F が明示公式で与えられる行列式函数にほかならないことがわかるから、行列式 det : M n ( K ) → K {\textstyle \det \colon M_{n}(\mathbb {K} )\to \mathbb {K} } を明示公式によって定義することも、定理の条件を満たす唯一の函数として定義することもできる。
F を定理の条件を満たす函数とし、任意の n × n 行列 A ≔ (a ji )j=1,...,ni=1,...,n に対して、A の第 j-列ベクトルを a ≔ (a ji )i=1,...,n と書くことにする—すなわち A = (a, ..., a) である。同様に単位行列 I もその第 k-列を e として I = (e, ..., e) と書く。
函数 F はライプニッツの公式によって定義された函数とし、以下この F が定理の条件をすべて満たすことを見る。