マルファッティの円
与えられた三角形 ABC のマルファッティの円同士の接点を D, E, F とする。ただし、D を BC に接する2円の接点とする。このとき AD, BE, CF は1点で交わる。この交点を「第1安島-マルファッティ点」と呼ぶ。三角形の3つの傍心を IA, IB, IC としたとき、IAD, IBE, ICF の交点を「第2安島-マルファッティ点」と呼ぶ。
マルファッティの円の半径は、3辺の長さを a, b, c、内接円の半径を r、周長の半分を s = (a + b + c)/2、内心から長さ a, b, c の辺に向かい合う各頂点までの距離をそれぞれ d, e, f としたとき、以下の式で表すことができる。
r 1 = r 2 ( s − a ) ( s + d − r − e − f ) , {\displaystyle r_{1}={\frac {r}{2(s-a)}}(s+d-r-e-f),}
r 2 = r 2 ( s − b ) ( s + e − r − d − f ) , {\displaystyle r_{2}={\frac {r}{2(s-b)}}(s+e-r-d-f),}
r 3 = r 2 ( s − c ) ( s + f − r − d − e ) . {\displaystyle r_{3}={\frac {r}{2(s-c)}}(s+f-r-d-e).}
この式は 1811年にマルファッティが発表している。
この式は有理式なので、3辺と内接円の半径と内心から各頂点への距離がすべて有理数であれば、マルファッティの円の半径も有理数になる。たとえば、3辺が 28392, 21000, 25872 であれば内接円の半径は 6930 であり、マルファッティの円の半径は 3969, 4900, 4356 となる。また、3辺を 152460, 165000, 190740 とすれば内接円の半径は 47520 であり、マルファッティの円の半径は 27225, 30976, 32400 となる。