可逆元
いくつかの冪等元を持つ半群 S について、S の元 a は S の元 b と冪等元 e が存在して ab = e となるとき e に対する右可逆元であるといい、 S の元 c と冪等元 e′ が存在して ca = e′ となるとき e′ に対する左可逆元であるという。a が冪等元 e に対して左可逆元かつ右可逆元であるとき、a は e に対する可逆元であるという。M が単位的半群であるとき、その単位元に対する(左、右)可逆な元をそれぞれ(左、右)単元 (unit) と呼ぶ。
群や単位的半群に対しては、それを半群と見るとき、その元が正則(一般化可逆、擬可逆)元であること、単位元に対する可逆元であること、および単元であることの概念は一致する。
半群 S はその任意の元が(左、右)可逆元であるとき、(左、右)可逆半群であるという。 逆半群(任意の元が(一般化)逆元を唯一つもつ半群)や左群(任意のふたつの元 a, b に対して ca = b となる元 c が唯一つ存在する半群)、右群(任意のふたつの元 a, b に対して ac = b となる元 c が唯一つ存在する半群)などはすべて可逆半群である。
半群 S に冪等元 e が存在するとき、e に関する可逆元の全体は e を単位元として含む S の極大部分群を成す。