数学の哲学
哲学の数学とは、数学の一分野で、数学的方法を用いて哲学的問題にアプローチしようとするものである。
例えば功利主義では、様々な状況のもとで行うべき最善の行動が何かを明らかにするために、快楽と苦痛という名の計測単位を用いて、いろいろな複雑な公式を作ったりする。
歴史上、多くの思想家が、数学とは何かに関して彼らの考えを明らかにしてきた。今日でも数学の哲学者たちの中には、この種の問いとその成果をあるがまま説明しようとする人々もいるが、他方で、単純な解説に飽きたらず、批判的分析へと進む役割をもって任じる人々もいる。
西洋哲学と東洋哲学の両方に、数学的哲学の伝統がある。西洋の数学の哲学は、ピタゴラス教団の教祖ピタゴラスを源流として、数学的対象の存在論的地位を研究したプラトンと、論理学や無限(実無限と可能無限)に関する諸問題を研究したアリストテレスにまで遡る。数学に関するギリシア哲学は、彼らの幾何学の研究の強い影響の下にあった。かつてギリシア人は、1は数ではなく、むしろ任意の長さの単位であるという意見を持っていた。数は、多であると定義された。それゆえ、例えば、3は、単位長の多を表しており、本当の意味の数では決してなかった。また同様の理由で、2は数ではなく、1対(つい)という基本概念であるとする議論が行われた。この理解は、「直線・辺・コンパス」という、たぶんに幾何学的なギリシアの視点に由来している。
数学の哲学で繰り返し検討されているテーマには以下のようなものがある。
数学で扱われる主題の源泉は何か。
数学的実体の存在論的地位は何か。
数学的対象を指示するとはどういうことか。
数学的命題の特徴は何か。
論理学と数学はどんな関係にあるか。
数学において解釈学はどんな役割を果たすか。
数学ではどんな研究が有用か。
数学的研究の目的は何か。
どうすれば数学は現実世界と関わるか。
数学の背後にはどんな人間的特性があるか。
数学における美とは何か。
数学的真理の源泉は何か、数学的真理とは何か。
数学という抽象的な世界は、物質世界とどんな関係をもつか。