アーノルドの舌
数学の、特に力学系理論において、ある円周写像の有限パラメータ族のアーノルドの舌(アーノルドのした、英: Arnold tongue)とは、パラメータ空間内でその写像が局所的に一定な有理回転数(英語版)を持つ領域のことを言う。ウラジーミル・アーノルドの名にちなむ。言い換えると、回転数の等位集合でその内部が空でないもののことを言う。
チリコフ標準写像は、次のように記述される似た漸化式を持つことで円周写像と関連付けられる。
θ n + 1 = θ n + p n + K 2 π sin  ( 2 π θ n ) {\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n}+{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n})}
p n + 1 = θ n + 1 − θ n . {\displaystyle p_{n+1}=\theta _{n+1}-\theta _{n}.}
これらはいずれも 1 を法として反復される。本質的に、標準写像は、円周写像にあるために固定されるよりも力学的に変動するようなモーメント p n {\displaystyle p_{n}} を導く。標準写像は物理学において、撃力回転子(英語版)ハミルトニアンとして研究される。
アーノルドの舌は、アンドレイ・コルモゴロフによって初めて定義された円周上の力学系の族に対して初めて調べられた。コルモゴロフはその族を、被動機械ローター(特に、バネによってモーターに弱い力で結びつけられる自由回転ホイール)の簡単なモデルとして提唱していた。またその円周写像の方程式は、電子工学における位相同期回路の簡単なモデルでもあった。その写像は、駆動周波数と同期(電子回路の言葉で、位相同期あるいはモード同期)されるパラメータのある領域を示すものであった。他にも応用はあるが、例えば円周写像は心臓の鼓動の力学的挙動を研究する上で用いられている。
そのような円周写像は、次の写像の反復で与えられる:
θ n + 1 = θ n + Ω − K 2 π sin  ( 2 π θ n ) . {\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+\Omega -{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{n}).}
ここで θ {\displaystyle \theta } は、値が 0 と 1 の間にある極角として解釈される。
この写像は、組合せ強度 K と駆動位相 Ω という二つの媒介変数を持つ。位相同期回路のモデルに対して、Ω は駆動周波数として解釈されることもある。K = 0 かつ Ω が無理数であるなら、写像は無理回転となる。