軌道角運動量
数学における球面調和関数pは L 2 ^ {\displaystyle {\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}} の固有関数である:
L 2 ^ p ( x ) = ħ 2 l ( l + 1 ) p ( x ) {\displaystyle {\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}p({\boldsymbol {x}})=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)p({\boldsymbol {x}})} ...(A1)
ここで l {\displaystyle \ell } は球面調和関数pの次数である。なお、 χ ( | x | ) {\displaystyle \chi (|{\boldsymbol {x}}|)} を動径方向の任意の自乗可積分関数とすると、上式から明らかに
より一般に、3次元空間の単位ベクトル n=(n1,n2,n3) に対し、内積
L ^ n = n ⋅ L ^ = n 1 L ^ x + n 2 L ^ y + n 3 L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{\boldsymbol {n}}={\boldsymbol {n}}\cdot {\hat {\boldsymbol {L}}}=n_{1}{\hat {L}}_{x}+n_{2}{\hat {L}}_{y}+n_{3}{\hat {L}}_{z}}
を n を回転軸とする軌道角運動量演算子という。
Rn(s) の微分を計算すると、
d  R ( s ) d  s | s = 0 = ( 0 − z y z 0 − x − y x 0 ) =: F n {\displaystyle \left.{\operatorname {d} R(s) \over \operatorname {d} s}\right|_{s=0}={\begin{pmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{pmatrix}}=:F_{\boldsymbol {n}}}
となる。 関数 λ* を、
λ ∗ ( d  R ( s ) d  s | s = 0 ) ( ψ ) = d d  s λ ( R ( s ) ) ( ψ ) | s = 0 {\displaystyle \lambda _{*}\left(\left.{\operatorname {d} R(s) \over \operatorname {d} s}\right|_{s=0}\right)(\psi )=\left.{\operatorname {d} \over \operatorname {d} s}\lambda (R(s))(\psi )\right|_{s=0}}
が任意の波動関数 ψ と SO(3) に値を取る任意の R(θ) に対して成立するよう定義する(詳細は省くがこのような関数はwell-definedに定義可能である)と、
最後の式だけ確認すると、
L ^ ± ′ = L ^ ± / i ħ {\displaystyle {\hat {L}}'_{\pm }={\hat {L}}_{\pm }/i\hbar } 、 L ^ w ′ = L ^ w / i ħ {\displaystyle {\hat {L}}'_{w}={\hat {L}}_{w}/i\hbar } for w=x, y, z、 L 2 ^ ′ = L 2 ^ / ( i ħ ) 2 {\displaystyle {\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}'={\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}/(i\hbar )^{2}} とすると、
λ ∗ ( [ F , G ] ) = [ λ ∗ ( F ) , λ ∗ ( G ) ] {\displaystyle \lambda _{*}([F,G])=[\lambda _{*}(F),\lambda _{*}(G)]}
が成立する事が知られている。よって
[ L ^ x , L ^ y ] = ( i ħ ) 2 λ ∗ ( F ( 1 , 0 , 0 ) ) , λ ∗ ( F ( 0 , 1 , 0 ) ) ] = ( i ħ ) 2 λ ∗ ( [ F ( 1 , 0 , 0 ) , F ( 0 , 1 , 0 ) ] ) {\displaystyle \left[{\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y}\right]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{(1,0,0)}),\lambda _{*}(F_{(0,1,0)})]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{(1,0,0)},F_{(0,1,0)}])}
すなわち軌道角運動量の交換関係は、Fn の交換関係から導かれたものである。
Fnは以下を満たす事が知られている。ここで「×」はクロス積である: