タングル
コンパクトで向き付けられた 1次元多様体(閉じた成分があってもよいし、空集合であってもよい)の R 2 × I {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times I} への適切な埋め込みをタングル(tangle)と呼ぶ。境界を固定する全同位で移りあうタングルは同値であるとする。
T をタングル φ : X → R 2 × I {\displaystyle \phi :X\to \mathbb {R} ^{2}\times I} とする。T の下側の境界 φ ( X ) ∩ ( R 2 × { 0 } ) {\displaystyle \phi (X)\cap (\mathbb {R} ^{2}\times \{0\})} 、上側の境界 φ ( X ) ∩ ( R 2 × { 1 } ) {\displaystyle \phi (X)\cap (\mathbb {R} ^{2}\times \{1\})} はそれぞれ一つの直線上に等間隔で並んでいると仮定し、特にこの項では y 軸に平行な直線 { ( 0 , t , 0 ) | t ≥ 0 } {\displaystyle \{(0,t,0)|t\geq 0\}} と { ( 0 , t , 1 ) | t ≥ 0 } {\displaystyle \{(0,t,1)|t\geq 0\}} の上にあるとする。また、上下の境界がそれぞれ m 個、n 個の点からなるとき、特に T を (m,n) タングルと呼ぶ。 例えば結び目や絡み目は (0,0) タングルであり、n-ブレイドは (n,n) タングルである。