シュニレルマン密度
以下、 a + b ( a ∈ A , b ∈ B ) {\displaystyle a+b(a\in A,b\in B)} と表されるもの全体の集合を A + B {\displaystyle A+B} と記す。また、 a 1 + a 2 + ... + a n ( a i ∈ A ) {\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}(a_{i}\in A)} と表されるもの全体の集合を nA と記す。 nA が自然数全体の集合と一致する最小の n に対して A を位数 n の加法的な基(additive basis)もしくは単に基であるという。たとえば四平方定理より 0 と平方数からなる集合は位数 4 の基である。 どのような整数列が基であるか、また基であるときにその位数がいくつかを知ることが加法的整数論の中心的な課題である。
定理 A と B を自然数の集合で、共に 0 を含むものとする。 C = A + B {\displaystyle C=A+B} とすると、
σ C ≥ σ A + σ B − σ A ⋅ σ B {\displaystyle \sigma C\geq \sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B}
が成り立つ。
このことは次のようにして分かる。 0 < a 1 < a 2 < ... {\displaystyle 0<a_{1}<a_{2}<\ldots } を A の元全体とする。
上記の二つの定理から、A が 0 を含んでおり、正のシュニレルマン密度を持つならば、ある自然数 n に対して σ ( n − 1 ) A > 1 / 2 {\displaystyle \sigma (n-1)A>1/2} となり、よって 2 ( n − 1 ) A {\displaystyle 2(n-1)A} はすべての整数を含んでいることがわかる。つまり
定理. (シュニレルマン) A ⊆ N {\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} } とする。 σ A > 0 {\displaystyle \sigma A>0} であれば、
⨁ i = 1 k A = N . {\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{k}A=\mathbb {N} .}
となるような k {\displaystyle k} が存在する。
有限和 A ⊕ A ⊕ ⋯ ⊕ A = N {\displaystyle A\oplus A\oplus \cdots \oplus A=\mathbb {N} } という性質を持つ部分集合 A ⊆ N {\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} } を加法的な基(additive basis)といい、そのようにとることが可能な最小の和の数を基の次数(degree)という。