非有界作用素
作用素 T が稠密に定義された閉対称作用素で、さらに T の定義域上で定義された作用素 T – i, および T + i が両方とも全空間 H への全射であれば、T は自己共役になる 。つまり、H 内のすべての x に対して、T の定義域に含まれるような y と z で T y – iy = x および Tz + iz = x. を満たすようなものが存在する、ということを意味する。
上記の方法は稠密に定義されていない閉作用素には適用できない。稠密に定義されていない作用素の対称性は、共役作用素ではなく直接あるいはグラフを通じて定義される。
対称作用素の研究はしばしばその有界変換であるケイリー変換(英語版)を通じて行われる。
稠密に定義された作用素 T は、もしその二次形式が非負であるなら、すなわち ⟨ T x ∣ x ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle \geq 0} が T の定義域内のすべての x に対して成立するなら、正あるいは非負と呼ばれる。そのような作用素は、必ず対称である。
稠密に定義されたすべての閉作用素 T に対して、作用素 TT は、自己共役かつ正である。
スペクトル定理は、自己共役作用素や正規作用素へと適用されるが、一般的に、稠密に定義された作用素や閉作用素へは適用されない。なぜならば、それらはスペクトルが空となる場合があるからである。
至る所で定義された対称作用素は閉で、したがって有界である。これはヘリンジャー-テープリッツの定理(英語版)として知られる。
非有界作用素の理論は、1920年代後半、量子力学に対する厳密な数学的基盤を構築するという試みから生じた。理論の系統的な発展はジョン・フォン・ノイマン と マーシャル・ストーンによるものであった。非有界作用素を解析するためにグラフを用いる手法は、フォン・ノイマンにより において導入された(Reed & Simon 1980, Notes to Chapter VIII, page 305)。