楕円曲線
の整数解 (x, y) であるとき、任意の正の定数 ε に対して、 k と ε のみに依存する計算可能な定数 c が存在して
max ( | x | , | y | ) < exp  ( c k 1 + ε ) {\displaystyle \max(|x|,|y|)<\exp \left(ck^{1+\epsilon }\right)}
が成り立つ。
一般に、E を数体 K 上の楕円曲線、x と y をワイエルシュトラス座標とすると、x-座標が整数環 OK に属するような E(K) の点は有限個しかなく、その大きさに対して、計算可能な上界が与えられる。したがって、原理的にはそれらの点は決定可能である。
例えば、方程式 y = x + 17 は y > 0 の 8 個の整数解を持つ。
(x, y) = (−1,4), (−2,3), (2,5), (4,9), (8,23), (43,282), (52,375), (5234,378661).
別な例は、リュングレンの方程式(英語版)
Y 2 = 2 X 4 − 1 {\displaystyle Y^{2}=2X^{4}-1}
で、ワイエルシュトラス形式は y = x − 2x であり( y = 2XY, x = 2X とおく)、この曲線は y ≥ 0 で 4個の解しか持たない。
(x, y) = (0,0), (−1,1), (2, 2), (338,6214).
弱い形のモーデル・ヴェイユの定理と高さ関数の第二の性質により、P はある決められた有限個の点の整数係数の線型結合として表される。
これまでに、E(Q)/mE(Q) の代表元を決定する一般的なプロセスが知られていないので、この定理は有効である(計算可能である)とは言えない。
E(K) の中の Z のコピーの数、同じことであるが無限位数の独立な点の個数を、E(K) の階数あるいはランク(英語版)と呼ぶ。また、E(K) の中の有限巡回群の有限個の直和となっている部分はE(K)の有限位数の点全体からなる部分群に対応する。そこでこの部分をねじれ部分群といい、E(K)の有限位数の点をねじれ点ともいう。したがって E(K) のランクを r とおくと、E(K) 上の点 P 1 , P 2 , ⋯ , P r {\displaystyle P_{1},P_{2},\cdots ,P_{r}} をうまくとれば E(K) 上の任意の点 P は
P = m 1 P 1 + m 2 P 2 + ⋯ + m r P r + T {\displaystyle P=m_{1}P_{1}+m_{2}P_{2}+\cdots +m_{r}P_{r}+T}
とあらわすことができる。ここでTはねじれ点である。このとき、標準的高さは