弧長
実函数 f (x) で、f および導函数 f ’ が閉区間 [a, b] 上の連続函数であるようなものを考えると、f のグラフの x = a から x = b までの間の弧長 s は
s = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}
で与えられる。
曲線が x = X(t), y = Y(t) と媒介変数表示されている場合、f ’(x) = dy/dx = dy/dt / dx/dt であるから
s = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ a b 1 + [ Y ′ ( t ) X ′ ( t ) ] 2 d x = ∫ a b 1 X ′ ( t ) [ X ′ ( t ) ] 2 + [ Y ′ ( t ) ] 2 d x = ∫ a b [ X ′ ( t ) ] 2 + [ Y ′ ( t ) ] 2 d x ⋅ d t d x = ∫ X − 1 ( a ) X − 1 ( b ) [ X ′ ( t ) ] 2 + [ Y ′ ( t ) ] 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left[{\frac {Y'(t)}{X'(t)}}\right]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {1}{X'(t)}}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dx\cdot {\frac {dt}{dx}}\\&=\int _{X^{-1}(a)}^{X^{-1}(b)}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dt\end{aligned}}}