ハウスドルフ＝ヤングの不等式
ここで
1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
である。すなわち次が得られる。
( ∑ n = − ∞ ∞ | f ^ ( n ) | q ) 1 / q ≤ ( 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( t ) | p d t ) 1 / p . {\displaystyle \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(n)|^{q}\right)^{1/q}\leq \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(t)|^{p}\,dt\right)^{1/p}.}
これが有名なハウスドルフ=ヤングの不等式である。p > 2 に対して、この不等式の自然な拡張は成り立たず、ある函数が L p {\displaystyle L^{p}} に属するという事実は、それが l 2 {\displaystyle \ell ^{2}} に属するという事実を意味するのみであり、そのフーリエ級数の成長の次数についての他の情報は得られない。