カラビ・ヤウ多様体
カラビ・ヤウ多様体には、いくつかの異なる定義がある。ここでは、そのうち一般的なものをいくつか挙げ、それらの関係を述べる。
n次元のカラビ・ヤウ多様体とは、次の等価な条件のうちの一つを満たすコンパクトな n次元ケーラー多様体 M である。
M の標準バンドルが自明。
どこでもゼロにならない正則 n形式が M 上に存在する。
M の構造群が U(n) から SU(n) へ退化する。
SU(n) に含まれる大域的なホロノミー(英語版)を持つケーラー計量が M 上に存在する。
これらの条件から、M の整係数第一チャーン類 c1(M) がゼロになることが導かれるが、この逆は成立しない。その最も簡単な例は超楕円曲面(複素2次元の複素トーラスの有限商)である。超楕円曲面では、整数係数の第一チャーン類はゼロであるが、標準バンドルは自明ではない。
コンパクトな n次元ケーラー多様体 M に対して、次の条件は互いに同値になるが、上記の条件よりは弱い条件となる。しかし、この条件をカラビ・ヤウ多様体の定義として使うこともある。
M の第一実チャーン類は、0 である。
M は、リッチ曲率が 0 となるケーラー計量を持つ。
M は、SU(n) に含まれる局所ホロノミー(英語版)を持つケーラー計量を持つ。
M の標準バンドルは、ある正のべきで自明となる。
M は、自明な標準バンドルを持つような有限被覆を持つ。
M は、自明な標準バンドルを持つ単連結多様体とトーラスとの積となるような有限被覆を持つ。
特に、コンパクトなケーラー多様体が単連結であれば、上記の弱い定義と強い定義は一致する。
複素次元が 3 の場合は、カラビ・ヤウ多様体の分類問題は未解決だが、有限個の族が存在するとヤウにより予想されている。ただし、その数は20年前に彼が見積もった数より遥かに大きくなる。さらには、マイルス・リード(Miles Reid)は、3次元カラビ・ヤウ多様体の位相的な種類が無限個あることを予想し、それらすべてを(たとえば、コニフォールド(英語版)(conifold)のような)マイルドな特異性を通して、リーマン面で可能なように、連続的に変換することが可能なことも予想している 3次元カラビ・ヤウ多様体の一つの例として、CPの中の非特異なクインティックスリーフォールドは、CP の同次座標での同次 5次多項式のゼロ点からなる代数多様体がある。もう一つの例は、バース・ニエトの5次多様体(英語版)(Barth–Nieto quintic)のスムースなモデルである。クインティックスリーフォールドの Z5 作用による離散的な商もカラビ・ヤウ多様体となり、多くの文献で注目を集めている。これらうちの一つが、ミラー対称性 (弦理論)により、元々のクインティックスリーフォールドと関連付けられている。
すべての正の整数 n に対して、複素射影空間 CP の同次座標における同次 n+2 多項式の非特異なゼロ点集合は、コンパクトなカラビ-ヤウ多様体となる。その n = 1 の場合が楕円曲線、n = 2 の場合がK3曲面である。
すべての超ケーラー多様体は、カラビ・ヤウ多様体である。
カラビ・ヤウ多様体は超弦理論で重要となる。ほとんどの伝統的な超弦モデルで、弦理論で予想される次元 10 は、認識可能な4次元が6次元のファイブレーション(英語版)の一種を持つと提起されている。カラビ・ヤウ n 次元多様体でのコンパクト化は、元の超対称性のいくつかを保存するので、重要である。詳しくいうと、ラモン・ラモン場(英語版)(フラックス)のないところでは、カラビ・ヤウ3次元多様体(実次元は 6)は、ホロノミーが完全に SU(3) に一致している場合は、コンパクト化する前の超対称性の1/4を保存する。
さらに一般的には、ホロノミーSU(n) をもつ n-多様体でのフラックスのないコンパクト化では、もとの超対称性の 2 を破ることはなく、これがタイプ II のコンパクト化の場合にはスーパーチャージの 2 に対応し、タイプIのコンパクト化の場合にはスーパーチャージの 2 に対応する。フラックスを持っている場合は、超対称性条件はコンパクト化する多様体が一般化されたカラビ・ヤウ多様体となる。この考え方はHitchin (2003) で導入され、これらのモデルはフラックスコンパクト化として知られている。
本質的には、カラビ・ヤウ多様体が弦理論の「見えない」6次元(空間次元)の空間を形成する。現在観測可能である長さよりも小さいために、それらを検知することが出来ない。