イデアル類群
いま d を平方因子を持たない整数(相異なる素数の積)で,1 でないとすると,Q(√d) は Q の二次拡大である.そうして d < 0 ならば,Q(√d) の代数的整数環 R の類数が 1 に等しいのは以下のいずれかの場合だけである:d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163. この結果は最初ガウスによって予想され,クルト・ヘーグナー(英語版)によって証明されたが,ヘーグナーの証明は後にハロルド・スターク(英語版)が1967年に証明を与えるまで信用されなかった.(スターク・ヘーグナーの定理(英語版)を参照.)これは有名な類数問題の特別な場合である.
一方で,d > 0 のときは,Q(√d) の類数が 1 になる場合が無限個あるかどうかは分かっていない.計算機による結果は,そのような体が非常に多くあることを示している.しかしながら,類数が 1 の代数体が無限個あるかどうかさえ知られていない.
Q(√d) のイデアル類群は,d < 0 のときは,Q(√d) の判別式に等しい判別式の整二項二次形式(英語版)のイデアル類群に同型である.しかし d > 0 に対して,イデアル類群の大きさは半分かもしれない,なぜならば整二項二次形式の類群は Q(√d) の狭義類群(英語版)に同型だからである.