体上有限生成環の理論
より強くA の素イデアルの列
0 = P 0 ⊊ P 1 ⊊ P 2 ⊊ . . . ⊊ P r {\displaystyle 0=P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq P_{2}\subsetneq ...\subsetneq P_{r}}
で、Pr は極大イデアルであり、Pi と Pi+1 の間には素イデアルが存在しないようなもの(飽和した素イデアル列)を取ると、r が A の商体の超越次数と一致することを示す。正規化補題によれば、A は多項式環と同型なその部分環 k[a1 , ... , am] 上整であり、m は A の商体の k 上の超越次数と一致する。r の帰納法で示す。r = 0 ならば A は体であるので、k[a1 , ... , am]も体になり(整拡大参照)m = 0 = r となる。 m > 1 の時は、正規化補題の後半により、帰納法の仮定を A/P1 と k[a2 , ... , am] に適用すれば、定理の前半を得る。後半は、A / m のクルル次元は 0 であることを前半に適用して、A / m の k 上の超越次数が0であることから従う。