バフスカ＝ラックス＝ミルグラムの定理
近代の、偏微分方程式の研究のための函数解析的手法においては、与えられた偏微分方程式を直接的に解くのではなく、可能な解のベクトル空間、例えばソボレフ空間 W の構造を利用することがある。抽象的に、U と V を二つの実ノルム線型空間とし、U と V をそれらそれぞれの連続双対空間とする。多くの応用において、U は可能な解の空間である。与えられたある偏微分作用素 Λ : U → V と特別な元 f ∈ V に対して、次を満たす u ∈ U を見つけることが目的である:
Λ u = f . {\displaystyle \Lambda u=f.\ }
しかし弱形式においては、この方程式は V の他のすべての可能な元について「テスト」されたときに成立することのみが求められる。この「テスト」は、微分作用素 Λ を書き直した双線型函数 B : U × V → R に対して達成されればよい。すなわち、この問題の弱解は、次の関係式を満たす u ∈ U である:
B ( u , v ) = ⟨ f , v ⟩ ∀ v ∈ V . {\displaystyle B(u,v)=\langle f,v\rangle \quad \forall \ v\in V.}
1954年のラックスとミルグラムの業績では、この弱形式が、特定のデータ f ∈ V に連続的に依存する唯一つの解を持つための十分条件を明らかにされた。それは U = V がヒルベルト空間であり、B が連続で、強圧的であることである:
∃ c > 0 s.t. | B ( u , u ) | ≥ c ‖ u ‖ 2 ∀ u ∈ U . {\displaystyle \exists \ c>0{\text{ s.t.