非線形シュレディンガー方程式
デルタ関数型の相互作用を持つボーズ粒子系のハミルトニアンは、正準量子化されたボーズ場の演算子をφ=φ(x, t )とすると
H = ∫ d x ( φ x † φ x + κ φ † φ † φ φ ) {\displaystyle H=\int dx(\phi _{x}^{\dagger }\phi _{x}+\kappa \phi ^{\dagger }\phi ^{\dagger }\phi \phi )}
となる。
このとき、ハイゼンベルクの運動方程式
i φ t = [ φ , H ] {\displaystyle i\phi _{t}=[\phi ,H]}
から量子論的非線形シュレディンガー方程式
i φ t + φ x x − 2 κ φ † φ φ = 0 {\displaystyle i\phi _{t}+\phi _{xx}-2\kappa \phi ^{\dagger }\phi \phi =0}
が導かれる。この量子論的非線形シュレディンガー方程式は、ベーテ仮設法や量子逆散乱法で解くことができる。