付値
体 K の 0 でない n-変数多項式 p ( x 1 , ... , x n ) = ∑ j 1 = 1 m 1 ⋯ ∑ j n = 1 m n a j 1 ... j n x 1 j 1 ⋯ x n j n ( a j 1 ... j n ∈ K , m 1 , ... , m n ≥ 0 ) {\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{m_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{m_{n}}a_{j_{1}\ldots j_{n}}x_{1}^{j_{1}}\cdots x_{n}^{j_{n}}\quad (a_{j_{1}\ldots j_{n}}\in K,\ m_{1},\ldots ,m_{n}\geq 0)} に対して、Z の辞書式順序に関して v ( p ) = min { ( j 1 , ... , j n ) ∣ a j 1 ... j n ≠ 0 } ∈ Z n {\displaystyle v(p)=\min\{(j_{1},\ldots ,j_{n})\mid a_{j_{1}\ldots j_{n}}\neq 0\}\in \mathbb {Z} ^{n}} とするとき、K 上の n-変数有理関数体 K(x1, ..., xn) の 0 でない元 f ( x 1 , ... , x n ) = g ( x 1 , ... , x n ) h ( x 1 , ... , x n ) ( g ( x 1 , ... , x n ) , h ( x 1 , ...
どのふたつも互いに同値ではない、体 K の非自明な乗法賦値 |•|1, ... , |•|n にたいし、実数 c1, ... ,cn が存在して、K の 0 でない任意の元 a に対し
∏ i = 1 n | a | i c i = 1 {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}|a|_{i}^{c_{i}}=1}
が成立するならば、c1 = ... = cn = 0 である。これを乗法付値に対する独立性定理という。