余因子行列
e 1 ∧ ⋯ ∧ e ^ j ∧ ⋯ ∧ e n ↦ ∑ k = 1 n ( det A j k ) e 1 ∧ ⋯ ∧ e ^ k ∧ ⋯ ∧ e n {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{j}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\mapsto \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\,{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}}
これらのそれぞれの項の φ e i {\displaystyle \phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}} による像は、k = i の項を除いて 0 になる。それ故、 φ e i {\displaystyle \phi _{{\boldsymbol {e}}_{i}}} の引き戻しは次の線形写像になる:
| a i m a i n a j m a j n | = det [ a i m a i n a j m a j n ] = det | a i m a i n a j m a j n | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}=\det {\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}}
である。余因子行列はこれの転置行列であるから、
ここで n は A の次数、総和 ∑ の s, 数列 kl ≥ 0 は次の 1次ディオファントス方程式を満たしながら取るものとする:
s + ∑ l = 1 n − 1 l k l = n − 1 {\displaystyle s+\textstyle \sum \limits _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1}
特に 2次の場合は、次のようになる:
adj  ( A ) = I 2 ( tr  A ) − A {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=I_{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A}
3次の場合は
adj  ( A ) = 1 2 I 3 ( ( tr  A ) 2 − tr  A 2 ) − A ( tr  A ) + A 2 {\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\frac {1}{2}}I_{3}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)-A\left(\operatorname {tr} A\right)+A^{2}}
↑ Felix Gantmacher (1960). The Theory of Matrices. 1. New York: Chelsea. pp. 76-89. ISBN 0-8218-1376-5. https://books.google.com/books?id=ePFtMw9v92sC&pg=PA76
1 2 斎藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学1〉、1966年3月31日。ISBN 978-4130620017。