ブロッホ＝ドミニシスの定理
と全ての演算子の縮約の組み合わせ和に分解できる。ここで、P は(1, 2, ..., n)→(i1, i2, ..., in)なる置換を表し、和Σ'において、ここの縮約で対となる演算子は、ik-1 < ikを満たし、全体としてはi1 < i3 < ...< inの順序が満たされる項について和をとるものする。また、(±1)は、フェルミ粒子の隣合う演算子同士の並べ替えの際に付与する正負の符号の変化を表し、ボーズ粒子については+1、フェルミ粒子については演算子の並べ替えの回数に応じた符号(置換の符号)を与えるものとする。これをブロッホ=ドミニシスの定理またはウィックの定理と呼ぶ。
縮約について、記法
A ∙ B ∙ := ⟨ A B ⟩ 0 {\displaystyle A^{\bullet }B^{\bullet }:=\langle AB\rangle _{0}}
を導入すれば、全ての可能な縮約の組み合わせをとるというブロッホ=ドミニシスの定理は
一般に温度グリーン関数の計算において、相互作用にある系では、
H = H 0 + V {\displaystyle H=H_{0}+V\,}
とハミルトニアンを可解な非摂動項と相互作用を含む摂動項に分け、相互作用表示の演算子
A I ( τ ) = e + K 0 τ A e − K 0 τ A I ( τ ) † = e + K 0 τ A † e − K 0 τ ( K 0 := H 0 − μ N ) {\displaystyle {\begin{aligned}A_{I}(\tau )&=e^{+K_{0}\tau }Ae^{-K_{0}\tau }\\A_{I}(\tau )^{\dagger }&=e^{+K_{0}\tau }A^{\dagger }e^{-K_{0}\tau }\quad (K_{0}:=H_{0}-\mu N)\end{aligned}}}
に対して、摂動計算を行うことが必要となる。このとき、摂動計算において、
⟨ A 1 I ( τ 1 ) ⋯ A n I ( τ n ) ⟩ 0 = T r { e − β K 0 A 1 I ( τ 1 ) ⋯ A n I ( τ n ) } T r { e − β K 0 } {\displaystyle \langle A_{1I}(\tau _{1})\cdots A_{nI}(\tau _{n})\rangle _{0}={\frac {\mathrm {Tr} \{e^{-\beta K_{0}}A_{1I}(\tau _{1})\cdots A_{nI}(\tau _{n})\}}{\mathrm {Tr} \{e^{-\beta K_{0}}\}}}}
また、右辺の和は、X1,...,Xnをいくつかの集まりに分割する全ての組み合わせにわたってとるものである。例えば、3点相関関数、4点相関関数については、
⟨ X 1 X 2 ⟩ = ⟨ X 1 X 2 ⟩ c + ⟨ X 1 ⟩ c ⟨ X 2 ⟩ c ⟨ X 1 X 2 X 3 ⟩ = ⟨ X 1 X 2 X 3 ⟩ c + ⟨ X 1 ⟩ c ⟨ X 2 X 3 ⟩ c + ⟨ X 2 ⟩ c ⟨ X 1 X 3 ⟩ c + ⟨ X 3 ⟩ c ⟨ X 1 X 2 ⟩ c + ⟨ X 1 ⟩ c ⟨ X 2 ⟩ c ⟨ X 3 ⟩ c {\displaystyle {\begin{aligned}\langle X_{1}X_{2}\rangle =&\langle X_{1}X_{2}\rangle _{c}+\langle X_{1}\rangle _{c}\langle X_{2}\rangle _{c}\\\langle X_{1}X_{2}X_{3}\rangle =&\langle X_{1}X_{2}X_{3}\rangle _{c}+\langle X_{1}\rangle _{c}\langle X_{2}X_{3}\rangle _{c}+\langle X_{2}\rangle _{c}\langle X_{1}X_{3}\rangle _{c}+\langle X_{3}\rangle _{c}\langle X_{1}X_{2}\rangle _{c}+\langle X_{1}\rangle _{c}\langle X_{2}\rangle _{c}\langle X_{3}\rangle _{c}\end{aligned}}}
量子多体系における温度グリーン関数の理論では、温度グリーン関数によって系の様々な物理量を求めることができるともに、摂動計算を系統的に行うことができる。ここで演算子A, B の温度グリーン関数は
G A B ( τ , τ ′ ) := − ⟨ T τ [ A ( τ ) B ( τ ′ ) ] ⟩ {\displaystyle G_{AB}(\tau ,\tau '):=-\langle T_{\tau }[A(\tau )B(\tau ')]\rangle }
で定義される2点相関関数である。但し、記号 ⟨ ⋯ ⟩ {\displaystyle \langle \cdots \rangle } は
⟨ ⋯ ⟩ = T r { e − β ( H − μ N ) ⋯ } T r { e − β ( H − μ N ) } = T r { e − β K ⋯ } T r { e − β K } ( K := H − μ N ) {\displaystyle \langle \cdots \rangle ={\frac {\mathrm {Tr} \{e^{-\beta (H-\mu N)}\cdots \}}{\mathrm {Tr} \{e^{-\beta (H-\mu N)}\}}}={\frac {\mathrm {Tr} \{e^{-\beta K}\cdots \}}{\mathrm {Tr} \{e^{-\beta K}\}}}\quad (K:=H-\mu N)}