回転行列
と表示できる。また、任意のベクトル r {\displaystyle \mathbf {r} } へのその作用は
R n ( θ ) r = r cos  θ + n ( n ⋅ r ) ( 1 − cos  θ ) + ( n × r ) sin  θ {\displaystyle R_{\mathbf {n} }(\theta )\mathbf {r} =\mathbf {r} \cos \theta +\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} )(1-\cos \theta )+(\mathbf {n} \times \mathbf {r} )\sin \theta }
と書ける。
任意の回転行列は、ある軸 n {\displaystyle \mathbf {n} } まわりの角度 θ {\displaystyle \theta } の回転という形に表示できる(オイラーの定理 (剛体) (英語版))。このような回転行列はロドリゲスの回転公式により
R n ( θ ) = [ cos  θ + n x 2 ( 1 − cos  θ ) n x n y ( 1 − cos  θ ) − n z sin  θ n z n x ( 1 − cos  θ ) + n y sin  θ n x n y ( 1 − cos  θ ) + n z sin  θ cos  θ + n y 2 ( 1 − cos  θ ) n y n z ( 1 − cos  θ ) − n x sin  θ n z n x ( 1 − cos  θ ) − n y sin  θ n y n z ( 1 − cos  θ ) + n x sin  θ cos  θ + n z 2 ( 1 − cos  θ ) ] {\displaystyle R_{\mathbf {n} }(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta +n_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)-n_{z}\sin \theta &n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)+n_{y}\sin \theta \\n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)+n_{z}\sin \theta &\cos \theta +n_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)-n_{x}\sin \theta \\n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)-n_{y}\sin \theta &n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)+n_{x}\sin \theta &\cos \theta +n_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)\\\end{bmatrix}}}