熱場の量子論
ユークリッド計量を持つ時空の上では、(自然単位系を ħ = 1 {\displaystyle \hbar =1} を前提として)周期 β = 1 / ( k T ) {\displaystyle \beta =1/(kT)} を持つユークリッド時間発展方向に関して、トレース (Tr) がボゾニックな場は周期的であり、フェルミオニックな場は反周期的であることを要求する。そこでは、コンパクトなユークリッド時間を持つ経路積分やファインマン図のような通常の量子場の理論として、同じツールを使い計算を実行することができる。正規順序の定義を変更する必要があることに注意する。運動量空間では、このために、連続周期が離散的な虚周期(松原周期) v n = n / β {\displaystyle v_{n}=n/\beta } へ置き換り、ド・ブロイ関係式を通して、離散化された熱エネルギースペクトル E n = n K T {\displaystyle E_{n}=nKT} へ置き換わる。このことが、有限温度での量子場の振る舞いの研究に有益なツールであることを示している 。
この考え方は、ゲージ不変性を持つ理論へと一般化されていて、ヤン・ミルズ理論の非閉じ込め相転移を解明するための中心的なツールとなっている。このユークリッド的な場の理論では、実時間の観測量を、解析接続することにより、回復することが可能である。
架空の虚時間を使うもうひとつの使い方は、2-形式に表すことができる実時間定式化を使うことである。