順序集合
位相構造を持つ半順序集合P で以下の性質を満たすものを半順序空間(英語版)という:
a < b を満たす任意のa, b ∈ P に対し、a の開近傍Uで上方集合であるものと b の開近傍V で下方集合であるものが存在することである。
(P の位相構造でこの性質を満たすものは1つとは限らないが、それらを全て半順序空間という。) なお、半順序空間と名前の似たposet topology(英語版)は別概念であるので注意が必要である。
定義より明らかに半順序空間は常にハウスドルフ性を満たす。
半順序空間では以下が成立する:
ai → a, bi → b かつ任意の i に対して ai ≤ bi ならば a ≤ b である
位相構造を持つ半順序集合P が半順序空間である必要十分条件は以下を満たすことである:
半順序集合P 上の位相構造として、{(a, b) ∈ P × P | a ≤ b } が直積位相に関する閉部分集合になる。
2つ半順序空間の間の順序を保つ連続写像のことをdimapという。