ハッセ・ヴェイユのゼータ函数
p 個の元を持つ有限体 Fp 上の代数多様体 Vp はまさに V の方程式を還元することにより得られる。ほとんど全ての p に対して、Vp は非特異となる。複素変数 s のディリクレ級数として局所ゼータ函数
ζ V , p ( p − s ) {\displaystyle \zeta _{V,p}\left(p^{-s}\right)}
の無限積として
Z V , Q ( s ) {\displaystyle Z_{V,Q}(s)}
を定義する。
すると、Z(s) は、定義に従い、有限個の p の有理函数による乗法のみを除外して well-defined である。
この有理函数による乗法の不定性は比較的実害がない。たとえば有理型函数として解析接続することができるので、Z(s) が有理型函数に解析接続されるという性質はこの不定性に依存しない。また函数等式についても、函数等式の対称軸の正確な位置は悪い因子に依存するものの、函数等式が存在する事自体にはいくつかの因子を除いた事は影響しない。
エタールコホモロジーの発展により、正確な定義が可能となった。とくに、悪い還元に対応するオイラー因子が何かということを説明することができる。