双対基底
ベクトルの演算を実行するにはその成分が必要となる。デカルト座標系において、ベクトルの成分を取り出すのに必要なのは標準基底とドット積である。たとえば3次元空間のベクトル
a = a x i + a y j + a z k {\displaystyle {\boldsymbol {a}}=a_{x}{\boldsymbol {i}}+a_{y}{\boldsymbol {j}}+a_{z}{\boldsymbol {k}}}
を考える(右図)。ここで {i, j, k} はデカルト座標系における標準基底を表す。このときベクトル a の各成分は
a x = a ⋅ i , a y = a ⋅ j , a z = a ⋅ k {\displaystyle a_{x}={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {i}},\quad a_{y}={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {j}},\quad a_{z}={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {k}}}
のように取り出すことができる。そうすると、より抽象的に各成分を取り出す写像
i ∗ ( a ) = a ⋅ i , j ∗ ( a ) = a ⋅ j , k ∗ ( a ) = a ⋅ k {\displaystyle {\boldsymbol {i}}^{*}({\boldsymbol {a}})={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {i}},\quad {\boldsymbol {j}}^{*}({\boldsymbol {a}})={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {j}},\quad {\boldsymbol {k}}^{*}({\boldsymbol {a}})={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {k}}}
が考えたくなる。これにより、たとえば
a = i ∗ ( a ) i + j ∗ ( a ) j + k ∗ ( a ) k {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {i}}^{*}({\boldsymbol {a}}){\boldsymbol {i}}+{\boldsymbol {j}}^{*}({\boldsymbol {a}}){\boldsymbol {j}}+{\boldsymbol {k}}^{*}({\boldsymbol {a}}){\boldsymbol {k}}}
などと書けるようになる。この {i*, j*, k*} が標準基底 {i, j, k} の双対基底である。
数学の線型代数学において、体 F 上のベクトル空間 V とその基底 B = {vi}i ∈ I が与えられたとき、その双対集合(そうついしゅうごう、英: dual set)とは、(代数的)双対空間V* ≔ HomF(V, F) 内のベクトルの集合 B* = {v}i ∈ I で、B と B* が二重直交系を構成するもののことを言う。これは δj でクロネッカーのデルタを表すとき
v i ( v j ) = δ i j ( i , j ∈ I ) {\displaystyle v^{i}(v_{j})={\delta ^{i}}_{j}\quad (i,j\in I)}
を満たすことを指す。双対集合 B* は常に線型独立であるが、V* を張るのは V が有限次元であるとき、かつそのときに限る。双対集合 B* が V* を張るとき、B* は基底 B に対する双対基底(そうついきてい、英: dual basis)と呼ばれる。
例えば、R(デカルト平面)の標準基底ベクトルは
{ e 1 , e 2 } = { ( 1 0 ) , ( 0 1 ) } {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1},{\boldsymbol {e}}_{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}
であり、その双対空間 (R)* の標準基底ベクトルは
{ e 1 , e 2 } = { ( 1 0 ) , ( 0 1 ) } {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}^{1},{\boldsymbol {e}}^{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}}
である。
三次元ユークリッド空間において、基底 {e1, e2, e3} が与えられたとき、その二重直交(双対)基底 {e, e, e} は次の式によって得ることが出来る: