ゲルファント＝ナイマルクの定理
可換とは限らない任意のC*代数 A はあるヒルベルト空間 H 上の有界作用素のなす具体的なC*代数 B(H) と等距離∗同型となる。この定理もゲルファント=ナイマルクの定理と呼ばれ、可換なC*代数の場合と同じ1943年の論文の中でゲルファントとナイマルクによって示された。
この結果は、GNS表現と呼ばれる A の特別な表現、すなわち、 A からヒルベルト空間の B(H) への∗準同型 π の存在に基づき、導かれる。GNS表現では、状態と呼ばれる A から複素数体 C への規格化された正値線形汎関数 φ により、あるヒルベルト空間 Hφ への表現 πφ : A → B(Hφ) を導入することができる。EA を状態全体からなる集合としたときに、GNS表現の族 {(Hφ, πφ)}φ ∈ EA から直和表現による普遍表現
H = ⨁ φ ∈ E A H φ , π = ⨁ φ ∈ E A π φ {\displaystyle H=\bigoplus _{\varphi \in E_{A}}H_{\varphi },\,\,\pi =\bigoplus _{\varphi \in E_{A}}\pi _{\varphi }}
を構成すると、これは ||π(a)|| = ||a|| を満たす忠実な表現であり、 A は B(H) と等距離∗同型となる。