クレブシュ–ゴルダン係数
∫ 0 2 π d α ∫ 0 π sin  β d β ∫ 0 2 π d γ D M K J ( α , β , γ ) ∗ D m 1 k 1 j 1 ( α , β , γ ) D m 2 k 2 j 2 ( α , β , γ ) = 8 π 2 2 J + 1 ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ ⟨ j 1 k 1 j 2 k 2 | J K ⟩ {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma D_{MK}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{\ast }D_{m_{1}k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2}k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \langle j_{1}k_{1}j_{2}k_{2}|JK\rangle }
3j記号の対称性はより簡潔である。
量子数が整数または半整数になりうるので、位相因子を簡単にする場合は注意が必要である。 例えば ( − 1 ) 2 j {\displaystyle (-1)^{2j}} は整数 j {\displaystyle j} で1に等しく、半整数 j {\displaystyle j} で−1に等しい。 しかし以下の関係は、どちらの場合でも有効である。
( − 1 ) 4 j = ( − 1 ) 2 ( j − m ) = 1 {\displaystyle (-1)^{4j}=(-1)^{2(j-m)}=1\ }
同じクレブシュ–ゴルダン係数に現れる j 1 {\displaystyle j_{1}} 、 j 2 , {\displaystyle j_{2},} 、 J {\displaystyle J} では
( − 1 ) 2 ( j 1 + j 2 + J ) = ( − 1 ) 2 ( m 1 + m 2 + M ) = 1 {\displaystyle (-1)^{2(j_{1}+j_{2}+J)}=(-1)^{2(m_{1}+m_{2}+M)}=1}
(完全性関係 1 ≡ ∑ x | x ⟩ ⟨ x | {\displaystyle 1\equiv \sum _{x}|x\rangle \langle x|} を用いた )
第二の直交関係は
∑ m 1 m 2 ⟨ J M | j 1 m 1 j 2 m 2 ⟩ ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J ′ M ′ ⟩ = ⟨ J M | J ′ M ′ ⟩ = δ J , J ′ δ M , M ′ {\displaystyle \sum _{m_{1}m_{2}}\langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|J'M'\rangle =\langle JM|J'M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}}