条件付き独立
各セルは、考えられるアウトカムを表す。事象 R {\displaystyle \color {red}R} 、 B {\displaystyle \color {blue}B} 、 Y {\displaystyle \color {gold}Y} をそれぞれ赤色、青色、黄色のセルで表し、例えば事象 R {\displaystyle \color {red}R} とイベント B {\displaystyle \color {blue}B} の重複は 紫色 のセルで表す。これらの事象の確率は、全体の面積に対する色付きの面積の比に相当する。
どちらの例でも、 Y {\displaystyle \color {gold}Y} を条件として R {\displaystyle \color {red}R} と B {\displaystyle \color {blue}B} は条件付き独立である(次式)。
Pr ( R , B ∣ Y ) = Pr ( R ∣ Y ) Pr ( B ∣ Y ) {\displaystyle \Pr({\color {red}R},\,{\color {blue}B}\mid {\color {gold}Y})=\Pr({\color {red}R}\mid {\color {gold}Y})\,\Pr({\color {blue}B}\mid {\color {gold}Y})}
X ⊥ ⊥ A , B ⟺ p X , A , B ( x , a , b ) = p X ( x ) p A , B ( a , b ) ⟹ ∫ B p X , A , B ( x , a , b ) d b = ∫ B p X ( x ) p A , B ( a , b ) d b ⟺ p X , A ( x , a ) = p X ( x ) p A ( a ) ⟺ X ⊥ ⊥ A {\displaystyle {\begin{aligned}&X\perp \!\!\!\perp A,B\\&\iff p_{X,\,A,\,B}(x,\,a,\,b)=p_{X}(x)\,p_{A,\,B}(a,\,b)\\&\implies \int _{B}p_{X,\,A,\,B}(x,\,a,\,b)\,db=\int _{B}p_{X}(x)\,p_{A,\,B}(a,\,b)\,db\\&\iff p_{X,\,A}(x,\,a)=p_{X}(x)\,p_{A}(a)\\&\iff X\perp \!\!\!\perp A\end{aligned}}}