反対称交換相互作用
A B {\displaystyle AB} に沿った n {\displaystyle n} 回回転対称軸 C n {\displaystyle C_{n}} ( n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} )が存在するとき、 D ∥ A B {\displaystyle \mathbf {D} \parallel AB}
守谷の原論文で論じられるとおり、ベクトル D i j {\displaystyle \mathbf {D} _{ij}} の向きは対称性による拘束を受ける。隣接する2イオン間の磁気相互作用が超交換相互作用により第三のイオン(配位子)へ伝達される場合(図を参照)、 D i j {\displaystyle \mathbf {D} _{ij}} の向きは単純な関係 D i j ∝ r i × r j = r i j × x {\displaystyle \mathbf {D} _{ij}\propto \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {r} _{j}=\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {x} } により決まる。つまり、 D i j {\displaystyle \mathbf {D} _{ij}} は3つのイオンにより張られる三角形に垂直な方向を向く。3つのイオンが直線上に並ぶ場合は D i j = 0 {\displaystyle \mathbf {D} _{ij}=0} となる。
また、 φ n ( r − R ) {\displaystyle \phi _{n}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )} は R {\displaystyle \mathbf {R} } に位置するイオンの基底軌道波動関数を現わす。基底状態が縮退していない場合、 L {\displaystyle \mathbf {L} } の行列成分は純虚数となり、 δ E {\displaystyle \delta E} は以下のように書き下せる。
δ E = 2 λ ∑ m J ( n n ′ m n ′ ) E n − E m ⟨ n | L i | m ⟩ ⋅ [ S i , ( S i ⋅ S j ) ] + 2 λ ∑ m ′ J ( n n ′ n m ′ ) E n ′ − E m ′ ⟨ n ′ | L j | m ′ ⟩ ⋅ [ S j , ( S i ⋅ S j ) ] = 2 i λ ∑ m , m ′ [ J ( n n ′ m n ′ ) E n − E m ⟨ n | L i | m ⟩ − J ( n n ′ n m ′ ) E n ′ − E m ′ ⟨ n ′ | L j | m ′ ⟩ ] ⋅ [ S i × S j ] = D i j ⋅ [ S i × S j ] .