小行列式
正方行列 A の (i, j) 小行列式 (minor, first minor) とは、第 i 行と第 j 列を除いて得られる小行列の行列式のことである。この数はしばしば Mi,j と書かれる。(i, j)余因子 (cofactor) とは、(i, j)小行列式に (−1) を掛けて得られる値のことである。
例えば、次の 3次正方行列を考える:
[ 1 4 7 3 0 5 − 1 9 11 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\end{bmatrix}}}
小行列式 M2,3 と余因子 ~a2,3 を計算するため、上の行列から第2行と第3列を除いた小行列の行列式を求める。
M 2 , 3 = | 1 4 ◻ ◻ ◻ ◻ − 1 9 ◻ | = | 1 4 − 1 9 | = ( 9 − ( − 4 ) ) = 13 {\displaystyle M_{2,3}={\begin{vmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=(9-(-4))=13}
したがって (2, 3) 余因子は
a ~ 2 , 3 = ( − 1 ) 2 + 3 M 2 , 3 = − 13 {\displaystyle {\widetilde {a}}_{2,3}=(-1)^{2+3}M_{2,3}=-13}