ハートマン＝グロブマンの定理
不動点が双曲型であれば、そこでの安定性の議論が可能となる。
一般に非線形な力学系の理論は困難を伴うが、それに比して、線形な力学系の解析は容易である。実際、不動点xを有し、n次の正方行列A で記述される線形な離散力学系
x n + 1 = A x n {\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}\,}
や連続力学系
d x d t = A ( x − x ̄ ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=A(x-{\bar {x}})}
については、行列Aの固有値、固有ベクトルを評価することで、その振る舞いを完全に調べることができる。
そこで非線形な力学系の解析においても、ヤコビ行列Df' によって、不動点近傍で線形化した方程式
f ( x ̄ ) = f ( x ̄ ) + D f ( x ̄ ) ( x − x ̄ ) + ⋯ ≈ D f ( x ̄ ) ( x − x ̄ ) {\displaystyle {\begin{aligned}f({\bar {x}})&=f({\bar {x}})+Df({\bar {x}})(x-{\bar {x}})+\cdots \\&\approx Df({\bar {x}})(x-{\bar {x}})\end{aligned}}}
に帰着させれば、近似的であるが線形力学系の手法で、不動点周りの挙動を理解することができる。ハートマン=グロブマンの定理は双曲型不動点において、その近傍での局所的な挙動が、線形化した方程式で解析できることを保証する。
または、微分方程式の定める流れ(一径数部分群)
φ t : R n → R n φ t ( x 0 ) ) = x ( t ) ( x ( 0 ) = x 0 ) φ s ∘ φ t = φ s + t {\displaystyle {\begin{aligned}&\phi _{t}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}\\&\phi _{t}(x_{0}))=x(t)\quad (x(0)=x_{0})\\&\phi _{s}\circ \phi _{t}=\phi _{s+t}\end{aligned}}}
で与えられる。
こうした力学系に対し、
f ( x ̄ ) = x ̄ {\displaystyle f({\bar {x}})={\bar {x}}\,} (離散力学系)
g ( x ̄ ) = 0 {\displaystyle g({\bar {x}})=0\,} (連続力学系)
を満たす点x を不動点、もしくは平衡点という。 写像の反復もしくは時間変数t に関して定常的となる不動点の近傍の振る舞いを解析することは、力学系の挙動を理解する上で重要である。また、離散系の不動点において、ヤコビ行列Df の固有値の絶対値が全て1ではない場合、不動点は双曲型であるという。同様に微分方程式の定める連続系の不動点において、ヤコビ行列の固有値Dg の実部が全て0ではない場合、不動点は双曲型であるという。