谷山–志村予想
谷山・志村予想とは、志村五郎による定式化によれば、任意の Q 上の楕円曲線には、ある整数 N に対するモジュラー曲線
X 0 ( N ) {\displaystyle X_{0}(N)\ }
からの非定数有理写像(英語版)が存在する、というものである。この曲線には明示的に定義が与えられ、整数係数を持つ。レベル N のモジュラのパラメタ表示(modular parametrization)と呼ばれる。N がそのようなパラメタ表示の中で最小の整数(モジュラリティ定理自体により、導手という数値として知られる)であれば、このパラメタ表示は、重さ 2 でレベル N の特殊なモジュラ形式、すなわち、(必要であれば同種に従い)正規化された整数のq-展開をもつ新形式(英語版)(newform)の生成する写像として、定義される。
モジュラリティ定理は、次の谷山豊による解析的なステートメントにも言い換えられる。Q 上の楕円曲線 E の楕円曲線のL-函数を L(s, E) とする。このL-函数は、ディリクレ級数であり、
L ( s , E ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle L(s,E)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
と表すことができる。
係数 a n {\displaystyle a_{n}} の一種の母函数を