多重対数関数
また、後述する例のように、 z {\displaystyle z} を特定の値に固定して、 Li s  ( z ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)} を s {\displaystyle s} の関数とみなす場合には、 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} の場合であっても、特定の s {\displaystyle s} に対しては Li s  ( z ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)} が収束する場合もある。
特に s = 1 {\displaystyle s=1} の場合はよく知られた自然対数に帰着される:
Li 1  ( z ) = − ln  ( 1 − z ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}
また s = 2 {\displaystyle s=2} および s = 3 {\displaystyle s=3} の場合は特にそれぞれdilogarithm(またはSpenceの関数、en:Spence's function)およびtrilogarithmと呼ばれる。これらの名前は、冒頭の和の代わりに以下のような積分の繰り返しによっても定義できることから来ている:
Li s + 1  ( z ) = ∫ 0 z Li s  ( t ) t d t {\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}dt}
解析学における多重対数関数(たじゅうたいすうかんすう)またはポリ対数関数(ポリたいすうかんすう、英: polylogarithm、略称ポリログ)もしくはジョンキエールの関数(ジョンキエールのかんすう、仏: fonction de Jonquière)とは特殊関数の一つで、通常 Li s  ( z ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)} と書かれ、以下のように定義される:
Li s  ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k s . {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.}
ここで s , z {\displaystyle s,z} は任意の複素数(ただし | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} )とする。普通、多重対数関数は(対数関数と異なり)初等関数には含めない。
一般に Li s  ( z ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)} は z {\displaystyle z} に関して z = 1 {\displaystyle z=1} に極または分岐点を持つので、定義式には | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} という条件が必要であるが、解析接続を用いることで、これより広い範囲の z {\displaystyle z} に対し多重対数関数を定義することができる。