カルタン形式 (物理学)
⟨ x , y ⟩ = η i j ( e α i x α ) ( e β j y β ) {\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle =\eta _{ij}(e_{\alpha }^{i}\,x^{\alpha })(e_{\beta }^{j}\,y^{\beta })}
ここで、添字 α および β は接空間座標をなめ、 i および j はミンコフスキー座標をなめる。四つ組場 eiα は計量テンソル場を上述の手続で次のように定義する。
g α β ( x ) = η i j e α i ( x ) e β j ( x ) {\displaystyle g_{\alpha \beta }({\boldsymbol {x}})=\eta _{ij}\,e_{\alpha }^{i}({\boldsymbol {x}})\,e_{\beta }^{j}({\boldsymbol {x}})}
, x − n {\displaystyle x^{\mu }=x^{-1},\ldots ,x^{-n}} (添字の負号は単に fa の添字と区別するためのもの)および対応する接束の局所標構 ∂ μ = ∂ ∂ x μ {\displaystyle \partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}} を選ぶと、写像 e は基底断面の像
e a := e ( f a ) := e a μ ∂ μ {\displaystyle e_{a}:=e(f_{a}):=e_{a}^{\mu }\partial _{\mu }}
により決定される。これにより、接束の(非座標)基底が定義される(ただし、e が可逆な場合。また、B が局所的にのみ自明化される場合は基底も局所的なものとなる)。行列 e a μ , μ = − 1 , ... , − n , a = 1 , ... , n {\displaystyle e_{a}^{\mu },\mu =-1,\dots ,-n,a=1,\dots ,n} は四つ組(英語版)、四脚場、多脚場などと呼ばれる。これの局所標構としての解釈は局所基底の暗黙の選択に依存する。
同値関係 V ≅ T M {\displaystyle V\cong {\rm {T}}M} が成り立つ場合は、標構束(英語版)を B → Fr(M) のように縮小でき、これを接束の主束と呼ぶ。一般には、このような縮小は位相幾何学的な理由により不可能である。したがって、一般の連続写像 e に対しては、M 上のどこかの点で縮退してしまうことが避けられない。