メビウス関数
また次のような基本的な公式が成り立つ。
これは n = 1 のときは自明である。n が 1 より大きい場合について、平方因子をもつ因数 d については μ(d) = 0 であるから、n が平方因子をもたない場合を見ておけばよい。n は k 個の素数の積であるとする。n の約数は、その素因数をいくつか掛け合わせたものになるが、偶数個(0 を含む)の素因数からなる約数 d に対しては μ(d) = 1 であり、奇数個の素因数からなる約数 d に対しては μ(d) = −1 となるから、因子の組合せの数を考慮すれば
∑ d ∣ n μ ( d ) = k C 0 − k C 1 + k C 2 − k C 3 + ⋯ + ( − 1 ) k k C k = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i k C i = ( 1 − 1 ) k = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid n}\mu (d)&={}_{k}\mathrm {C} _{0}-{}_{k}\mathrm {C} _{1}+{}_{k}\mathrm {C} _{2}-{}_{k}\mathrm {C} _{3}+\dotsb +(-1)^{k}{}_{k}\mathrm {C} _{k}\\[-10pt]&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{}_{k}\mathrm {C} _{i}=(1-1)^{k}=0\end{aligned}}}