八元数
を満足する。
八元数とその共役との積は x x = x x を満たし、
x ∗ x = x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 . {\displaystyle x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}.}
故に、常に非負の実数となることがわかる。これを用いて、八元数のノルムを
‖ x ‖ = x ∗ x {\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}
で定義することができる。このノルムは R 上の通常のユークリッドノルムに一致する。
O におけるノルムの存在から、O の零でない任意の元に対してその逆元が存在することが導かれる。実際、x ≠ 0 の逆元は
x − 1 = x ∗ ‖ x ‖ 2 {\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}
で与えられ、確かに x x = x x = 1 を満足する。
より機械的な八元数の構成がケイリー・ディクソン構成を用いて与えられる。四元数を複素数の対として構成したのとまったく同じに、八元数は四元数の対として定義できる。対における加法は成分ごとに行い、乗法は四元数の対 (a, b) および (c, d) に対して
( a , b ) ( c , d ) = ( a c − d ∗ b , d a + b c ∗ ) {\displaystyle \ (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}
で定める。ここで z は四元数 z の共軛を意味する。この定義で、当初定義における八つの単位八元数を、以下の八つの対
(1, 0), (i, 0), (j, 0), (k, 0), (0, 1), (0, i), (0, j), (0, k)
と同一視してやると、当初定義と同値になる。