超現実数
二つのゲーム G ≔ {L1 | R1}, H ≔ {L2 | R2} の和は、G + H ≔ {L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2} というゲームとして定義され、これは各プレイヤーが手番ごとに試技 (play) を行うゲームを選べることに対応するが、正規の手が打てなくなったプレイヤーが負けとなることは変わらない。例えば、二人のプレイヤーがチェス盤を二面使って指す場面を想像しよう、プレイヤーは交互に手を指すけれども、各手番においてどちらの盤面で指すかは完全にプレイヤーの自由にゆだねられる(どちらを選んでも選んだ方に一手を打てるだけで、選ばなかった盤面には何も干渉できない)というのがゲームの和の解釈である。ゲーム G = {L | R} に対して、−G とは {−R | −L} なるゲームのことで、これは二人のプレイヤーがその役割を入れ替えたものになっている。任意のゲーム G に対して G − G = 0 となることは容易にわかる(ここで、ゲームの差 G − H は G + (−H) で定義する)。
このようにゲームを実際の遊技に結び付ける単純な方法でも、非常に興味深い結果が得られる。二人の完璧なプレイヤーがひとつの遊技を与えられた盤面から始めるとき、その初期盤面に付随するゲームが x であるとすると、任意のゲームを以下の四種に分類できる:
x > 0 ならば Left が勝つ(どちらが先手・後手かに関わらず)
x < 0 ならば Right が勝つ(どちらが先手・後手かに関わらず)
< {0 | 1} = {−1, 0 | 1}
< {0 | } = {−1, 0 | }
< {1 | } = {0, 1 | } = {−1, 1 | } = {−1, 0, 1 | }
これら同値類の大小比較が、それを代表する形式の選び方に依らず無矛盾であることに注意せよ。三つほどわかることがある:
第二世代 S2 で新たに加わった超現実数は四つあり、その中に極端なものが二つある。ひとつは { | −1, 0, 1} で右集合に前世代の数をすべて含み、いまひとつの {−1, 0, 1 | } は左集合に前世代をすべて含む。残りの二つは、前世代を二つの空でない集合に分割する形になっている。
前世代に存在したすべての超現実数 x が全てこの世代にもあり、それぞれに対してそれを表す新たな形式を少なくとも一つ持っている。それは前世代の x 以外のすべての数を、x より小さい数は左集合に、x より大きい数は右集合にそれぞれ入れた分割の形をしている。
一つの超現実数の同値類は、左集合の極大元と右集合の極小元のみに依存して決まる。
略式的には {1 | } および { | −1} はそれぞれ "1 の直後の数" および "−1 の直前の数" と解釈できる。それら同値類には 2 および −2 のラベルを付ける。
超現実数は、超現実数からなる集合の対(ただし一方の集合の各元が他方の集合の任意の元よりも真に小さいという制約が付く)に関する同値類として帰納的に定義される。この構成は、相互に依存する三種類のルール(構成規則・比較規則・同値規則)からなる。
↑ NBGを用いたオリジナルの定式化において、超現実数の全体は集合でない真のクラスを成すのだから、厳密に言えば体を成すというのはミスフレージングである。この区別は重要であって、文献によっては体の算術的性質を満たす真の類は "Field" や "FIELD" と呼んでいる場合もある(そのようなことをしている日本語文献があるかはわからないが、さしあたって「体」とか体とか区別をつけることはできるだろう)。真の(つまり集合となる)体を得る方法としてグロタンディーク宇宙を一つ決めてその中で構成をするという手段が考えられる。それで得られるものは、適当な強到達不能基数を持つ集合であったり、用いた集合論によってはε0のような適当な可算順序数において停止する超限帰納法による構成となったりする。
↑ 直訳は「超現実数 – 二人の元学生は如何にして純粋数学に熱中し、そして完全な幸福を得たか」となるだろうか。和訳本の一つ (松浦俊輔訳、柏書房、2004年) には『至福の超現実数―純粋数学に魅せられた男と女の物語』とタイトルが付けられている。
代数学的には、Sω は四則演算で閉じていないから、体ではない。例えば ω + 1 を形式 {1, 2, 3, 4, ... | } + {0 | } = {1, 2, 3, 4, ..., ω | } で表せば、これは Sω に属するどのような超現実数とも一致しない。Sω の中で、四則演算(の有限回の繰り返し)で閉じているような極大部分集合は実数全体の成す体 R であり、これには無限大超現実数 ±ω も無限小超現実数 ±ε も各非零二進分数 y の無限小近傍 y ± ε も含まれることはない。
このように実数全体を構成する方法が、標準解析学におけるデデキント切断を用いた構成法と異なるのは、一般の有理数からの構成ではなく二進分数から始めることであり、また Sω において各二進分数との自然な同一視は前世代における形式を用いて記述できることである(Sω の実数元を表す ω-完全形式と、デデキント切断で得られる実数との間に一対一対応が存在する。その対応のもと、デデキント実数はその切断点を左集合および右集合から取り除いた形式によって表される有理数に対応する)。超現実数の構成法では、有理数の全体 Q を同定することのできる帰納段階ははなく、Q とは単に Sω の部分集合として、S∗ の適当な元 a と同じく非零元 b を取って x⋅b = a とできる元 x 全体の成す集合という意味にしかならない。
初期条件: 第零世代 S0 = {0} はただ一つの形式 { | } のみからなる 0 だけを含む集合とする。
帰納ステップ: 任意の順序数 n に対し、第 n-世代 Sn は、それより前の世代全ての合併 ⋃ i < n S i {\textstyle \bigcup _{i<n}S_{i}} から構成規則によって生成されるすべての超現実数からなる集合である。
初期条件は実際には(添字の 0 を最小の順序数とみなして)帰納ステップの特別な場合と見ることもできる。これは、i < 0 を満たす Si は存在しないから、そのようなものの合併 ⋃ i < n S i {\textstyle \bigcup _{i<n}S_{i}} もまた空であり、空集合の部分集合は空集合しかないから、したがって S0 は左右ともに空なただ一つの形式 { | } のみが属する同値類 0 のみからなる。
任意の有限順序数 n に対して Sn は、超現実数の比較規則によって誘導される順序に関して整列順序付けられる。
帰納規則を一回施すと、三種類の数形式が得られ、大きさ順にすると { | 0} < { | } < {0 | } と書ける(形式 {0 | 0} も出てくるがこれは数的でない: 0 ≤ 0)。これらの属する同値類に対し、{0 | } を含むものには 1 を { | 0} を含むものには −1 をラベルとして割り当てる。
x = 0 ならば後手が勝つ
x ‖ 0 ならば先手が勝つ
より一般に、G > H とは G - H > 0 となることと定義する、<, =, ‖ についても同様。ここに、記法 G ‖ H とは G と H が比較不能という意味で、G > H, G < H, G = H の何れも不成立ということと等価である。比較不能な遊技は、加えられた手によってどちらのプレイヤーが優勢となるかが変わるため、互いに混迷している (confused) ということもある。零ゲームと混迷しているゲームはファジー(わからない)(英語版)と言い、正・負・零とは対立する。ファジーゲームの例には、∗(英語版) が挙げられる。
遊技の終盤近くはときどき、相互に干渉しない複数の小さな遊技に分解する(その中の一つにしかプレイヤーの打てる手がないという場合を除いて)。例えば、囲碁において、盤面は徐々に碁石で埋まっていき、プレイヤーが手を指せる空所はいくつかの小さな島に分けられていくだろう。各島は、それ自体が区分けされた小さな盤面上の一つの囲碁のように見える。これらの小さな遊技のそれぞれを分析することができたなら、そのような分解は有効であって、そしてそれらの分析結果を繋ぎ合わせて遊技全体に対する分析を得る。しかし、そうやって分析することができると安易には言えないようにも思われる。例えば、先手必勝の二つの小さな遊技があったとして、しかしそれらを組み合わせて一つの大きな遊技としたとき、それが先手必勝の遊技であるかはもはや分からない。幸運にも、これを分析する方法がある。それには次の注目すべき定理を用いる: