元 (数学)
数学において元(げん、英: element または member)とは、集合を構成する個々の数学的対象のことである。元素、要素ともいう。
ジュゼッペ・ペアノの導入した記法に従えば、対象 x が集合 E の元であることを、 「x ∈ E 」と書き表す。
このとき、対象 x が集合 E に属する(ぞくする、英: membership)、あるいは集合 E は対象 x を含むとも言う。また集合を空間、元を点と言うこともある。
先に与えた定義に従って記述された式
x ∈ M {\displaystyle x\in M}
において、文字 M が表すものは集合である。
素朴集合論においてよく知られた逆理が導かれるなどの理由により、元 x の属する対象 M は集合でなく類(クラス)と考えたほうが有効な場面がある。例えば圏論では圏に属する元(圏論の文脈ではこれを「対象」と呼ぶ)の全体は類と考える。
ZF(C)集合論においてよく用いられる類の定式化は、単項述語そのものを類と見做すことである。つまり、「x が類 M の元である」とは単に述語 P を用いた式 P(x) のことに他ならない。
最もよく用いられる ZFC 集合論では全ての元がそれ自身集合として実現されるが、別の集合論では必ずしもそうではない。集合の元であって、かつそれ自身は集合として実現されないような元を原子 (atom) あるいは urelement(英語版)(根源的元/原要素/原始元/基本元素) と呼ぶ。
そのような場合においては、必ずしも集合でないような対象に対しても、考えている数学的体系に属する対象であることを以って「元」と呼ぶ方が自然である。数、点、函数など(これらは集合として実現できる)と言った従来の数学的体系の殆どに加えて、星、分子、カエルなどもその体系における「元」ということになる。