フォン・ノイマンの安定性解析
ただし u j n {\displaystyle u_{j}^{n}} は差分方程式(1)を丸め誤差なしで計算したときの解で、 N j n {\displaystyle N_{j}^{n}} は有限精度計算で得られた数値解である。厳密解 u j n {\displaystyle u_{j}^{n}} は差分方程式を厳密に満たすから、誤差 ε j n {\displaystyle \epsilon _{j}^{n}} もまた差分方程式を厳密に満たす。したがって誤差は次の漸化式を満たす。
ε j n + 1 = ε j n + r ( ε j + 1 n − 2 ε j n + ε j − 1 n ) {\displaystyle \epsilon _{j}^{n+1}=\epsilon _{j}^{n}+r\left(\epsilon _{j+1}^{n}-2\epsilon _{j}^{n}+\epsilon _{j-1}^{n}\right)} ・・・(2)
式(1), (2)は、誤差と数値解の両方が時間ステップに応じて同じように成長または減衰することを示す。周期境界条件を持つ線形微分方程式に対し、誤差の空間的変動は区間L で次のようにフーリエ級数に展開できる:
ε ( x ) = ∑ m = 1 M A m e i k m x {\displaystyle \epsilon (x)=\sum _{m=1}^{M}A_{m}e^{ik_{m}x}}
ここで
k m = π m L {\displaystyle k_{m}={\frac {\pi m}{L}}} :波数
M = L / Δ x {\displaystyle M=L/\Delta x} :分割数
である。