射爆理論
以下に損傷区分の例を示す。
戦車 M-kill:戦車の運動が制御不能で乗員による修復が不可能 F-kill:主要武器が制御不能で乗員による修復が不可能 K-kill:修理不可能な破壊
航空機 K-kill:瞬間的に制御不能となり通常は30秒以内に墜落するもの A-kill:5分以内に墜落するもの B-damage:直ちに任務を中断して不時着を要するもの C-damage:任務の遂行能力が減退するもの
潜水艦 Overkill(撃沈):瞬時沈没 Critical Damage(沈没)100%沈没 Moderate Damage(大破)50%沈没、100%浮上 Light Damage(中破)50%浮上、100%基地回航 Minor Damage(小破)50%基地回航 Negligible Damage(軽微)0%基地回航
逐次修正射撃は、目標中心と弾着点とのずれが遠近、左右といった有無でしか認識出来ず、ずれの距離は得られない状況で行われる挟叉修正射撃と、遠近左右の情報に加えてずれの距離情報(ミス・ディスタンス)まで得られ、それに基いて修正を行う偏差修正射撃の2つがある。
目標中心と弾着点とのずれ Z j {\displaystyle Z_{j}} は、兵器目盛り上での縮尺係数 h {\displaystyle h} × 兵器の照準点と目標中心との誤差 x j {\displaystyle x_{j}} と、射撃ごとのランダムな弾道誤差 ξ j {\displaystyle \xi _{j}} との和で表される。
Z j = h x j + ξ j {\displaystyle Z_{j}=hx_{j}+\xi _{j}}
以下では簡単のために遠近方向の1次元についてのみ考察を行う。
クッキー・カッター型損傷関数の円形目標の近似は、以下のように表される。 D ( x 1 , x 2 ) = { 1 , x 1 2 + x 2 2 ≦ a 2 0 , x 1 2 + x 2 2 > a 2 {\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1,&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leqq a^{2}\\0,&x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>a^{2}\end{cases}}}
ただし a = L / π {\displaystyle a={\sqrt {L/\pi }}}
距離x = 0 で最大値D (x ) = 1 となる、釣鐘型の損傷関数である。 D ( x ) = exp  ( − x 2 2 a 2 ) {\displaystyle D(x)=\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2a^{2}}}\right)} ただし a = L 2 π {\displaystyle a={\frac {L}{\sqrt {2\pi }}}}
この破損関数を使用した目標は拡散型目標と呼ばれる。
exp  ( z cos  θ ) = I 0 ( z ) + 2 ∑ n = 1 ∞ I n ( z ) cos  ( n θ ) {\displaystyle \exp(z\cos \theta )={\mathit {I}}_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }{\mathit {I}}_{n}(z)\cos(n\theta )}
区間 [0, 2π] の間で積分すれば右辺 cos(n θ)= 0 になるので次式が成り立つ。 ∫ 0 2 π exp  ( μ r cos  θ σ 2 ) d θ = 2 π I 0 ( μ r σ 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\exp({\frac {\mu r\cos \theta }{\sigma ^{2}}})d\theta =2\pi {\mathit {I}}_{0}({\frac {\mu r}{\sigma ^{2}}})}
これらの式のa とμ、r をσで割って単発撃破確率P (α, β) を表せば、以下の式になる。 P ( α , β ) = exp  ( − β 2 2 ) ∫ 0 a t exp  ( − t 2 2 ) I 0 ( β t ) d t , α = a σ , β = μ σ , t = r σ . {\displaystyle P(\alpha ,\beta )=\exp(-{\frac {\beta ^{2}}{2}})\int _{0}^{a}t\exp(-{\frac {t^{2}}{2}}){\mathit {I}}_{0}(\beta t)dt,\quad \alpha ={\frac {a}{\sigma }},\quad \beta ={\frac {\mu }{\sigma }},\quad t={\frac {r}{\sigma }}.
目標の中心線X1 から左右にαだけ幅を持った帯状の内側への弾着で目標が撃破される時、このように傾いた帯状の損傷関数D (x1 , x2 ) は、以下の式になる。
D ( x 1 , x 2 ) = exp  ( − X 1 2 2 α 2 ) = exp  ( − ( x 1 cos  θ − x 2 sin  θ ) 2 2 α 2 ) {\displaystyle D(x_{1},x_{2})=\exp \left(-{\frac {X_{1}^{2}}{2\alpha ^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {(x_{1}\cos \theta -x_{2}\sin \theta )^{2}}{2\alpha ^{2}}}\right)}
単発撃破確率P は、以下の式になる。
P = α ( α 2 + σ 1 2 cos 2  θ + σ 2 2 sin 2  θ ) {\displaystyle P={\frac {\alpha }{\sqrt {(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2}\cos ^{2}\theta +\sigma _{2}^{2}\sin ^{2}\theta )}}}}
公算誤差は発射された弾の半数が入る、弾着中心からの距離で表される。このため、半数必中界とも呼ばれる。公算誤差r は射弾の半数が±r の範囲に入る距離を表し、1次元の射爆では以下の式で表される。 ∫ − μ + r μ + r 1 2 π σ exp  ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) d x = 1 2 {\displaystyle \int _{-\mu +r}^{\mu +r}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)dx={\frac {1}{2}}}
r を正規分布の分散σで表せば、1次元の射爆では以下のようになる。 r 1 ≒ 0.6745 σ {\displaystyle r_{1}\fallingdotseq 0.
2次元目標の単発撃破確率P は、基本的には1次元で1重積分であった計算が2重積分に変わるだけである。
P = ∫∫ − ∞ ∞ f ( x 1 , x 1 ) D ( x 1 , x 2 ) d x 1 d x 2 {\displaystyle P=\iint _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{1})D(x_{1},x_{2})dx_{1}dx_{2}}
f (x ) :弾着分布関数
D (x ) :損傷関数
ただし、目標が2次元であるため、2次元目標の損傷関数は形状が複雑となり、矩形やだ円形のそれぞれの向きが射線方向に正対する場合と斜めになる場合で計算が分かれる。損傷関数の近似は複数あるので以下にそれぞれの場合での2次元目標に対する単発撃破確率P を示す。