クローニッヒ・ペニーのモデル
ħ 2 2 m a A = − a 4 α [ cot  ( k a 2 − α a 2 ) − cot  ( k a 2 + α a 2 ) ] {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]}
cotの和を用い、sinの積(cotの和の公式の一部)
cos  ( k a ) = cos  ( α a ) + m A ħ 2 α sin  ( α a ) {\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)}
この式は、αを通じたエネルギーと波数ベクトルkの関係を示す。見てわかるように、この式の右辺は-1から1の範囲のみであるため、これらの式の解が存在しないαがある。つまり系がとることができないある範囲のエネルギーがある(エネルギーギャップ)。これがいわゆるエネルギーギャップで、デルタ型または長方形型の障壁だけでなく全ての形の周期ポテンシャルで存在する。
バンド間のギャップについての別の詳細な計算について、また1次元シュレーディンガー方程式の固有値の準位分裂については文献 を参照。コサイン型ポテンシャル(マシュー方程式)での結果についても、文献で詳細に与えられている。
cos  ( k a ) = cos  ( β b ) cosh  [ α ( a − b ) ] + β 2 − α 2 2 α β sin  ( β b ) sinh  [ α ( a − b ) ] ( α 2 ≡ 2 m | E | ħ 2 , β 2 ≡ 2 m ( V 0 − | E | ) ħ 2 ) {\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]+{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)]\quad \left(\alpha ^{2}\equiv {2m|E| \over \hbar ^{2}},\quad \beta ^{2}\equiv {2m(V_{0}-|E|) \over \hbar ^{2}}\right)}
先ほどと同じ近似( b → 0 , V 0 → ∞ , V 0 b = c o n s t a n t {\displaystyle b\to 0,\quad V_{0}\to \infty ,\quad V_{0}b=\mathrm {constant} } )により、αとkは次式を満たさなければならない。
cos  ( k a ) = cos  ( α a ) + P sin  ( α a ) α a {\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}}}