確率の公理
∅ ⊂ E ⊂ Ω {\displaystyle \varnothing \subset E\subset \Omega } に単調性の性質を使うと、 P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle P(\varnothing )=0} より、
0 ≤ P ( E ) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1}
A , A c {\displaystyle A,A^{c}} は排反であり、 A ∪ A c = Ω {\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega } である。よって、
P ( A ∪ A c ) = P ( A ) + P ( A c ) {\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})} (公理3に従う)
そして P ( A ∪ A c ) = P ( Ω ) = 1 {\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1} (公理2に従う)
⇒ P ( A ) + P ( A c ) = 1 {\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1}
∴ P ( A c ) = 1 − P ( A ) {\displaystyle \therefore P(A^{c})=1-P(A)}
P ( ∅ ) = 0. {\displaystyle P(\varnothing )=0.}
事象が非可算の場合において、逆に確率が0でも事象が ∅ {\displaystyle \varnothing } とは限らない。