ウィルティンガーの微分
この節以降 z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} は複素ベクトルであり z ≡ ( x , y ) = ( x 1 , ... , x n , y 1 , ... , y n ) {\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})} ただし x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} は実ベクトルで n ≥ 1 とする。また、部分集合 Ω {\displaystyle \Omega } は R あるいは C の領域とする。証明は全て定義1、定義2、そして(常あるいは偏)微分の対応する性質の容易な結果である。
複素数 z ∈ C を実部と虚部に分解して z = x + iy と書き、C の適当な領域 G 上の実可微分関数 f = u + iv: G → C に対し、偏微分
∂ f ∂ x = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x , ∂ f ∂ y = ∂ u ∂ y + i ∂ v ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}},\quad {\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial y}}+i{\frac {\partial v}{\partial y}}}
を考えることができる。座標関数として x, y ではなく z = x + iy, z = x − iy を考えるとき、これとは別の偏微分作用素としてヴィルティンガー微分が定義されるが、複素数値関数を実部と虚部に明示的に分けずとも計算できるため扱いはより平易なものとなる。
可微分関数 f の全微分 df を偏微分を用いて
d f = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y {\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy}
と書くとき、z = x + iy, z = x − iy とすれば微分小に関して
定義1. 複素平面 C ≡ R 2 = { ( x , y ) ∣ x ∈ R , y ∈ R } {\displaystyle \mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x\in \mathbb {R} ,\ y\in \mathbb {R} \}} を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階線型偏微分作用素として定義される:
∂ ∂ z = 1 2 ( ∂ ∂ x − i ∂ ∂ y ) , ∂ ∂ z ̄ = 1 2 ( ∂ ∂ x + i ∂ ∂ y ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}
明らかに、これらの偏微分作用素の自然な定義域は領域 Ω ⊆ R 2 {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}} 上の C 1 {\displaystyle C^{1}} 級関数の空間であるが、これらの作用素は線型であり定数係数であるから、超関数の各空間にただちに拡張できる。
定義2. 複素数体上のユークリッド空間 C n = R 2 n = { ( x , y ) = ( x 1 , ... , x n , y 1 , ... , y n ) ∣ x , y ∈ R n } {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}} を考えよう。ウィルティンガーの微分は次の一階行列線型偏微分作用素として定義される:
{ ∂ ∂ z 1 = 1 2 ( ∂ ∂ x 1 − i ∂ ∂ y 1 ) ⋮ ∂ ∂ z n = 1 2 ( ∂ ∂ x n − i ∂ ∂ y n ) , { ∂ ∂ z ̄ 1 = 1 2 ( ∂ ∂ x 1 + i ∂ ∂ y 1 ) ⋮ ∂ ∂ z ̄ n = 1 2 ( ∂ ∂ x n + i ∂ ∂ y n ) .