正規数
正規数の概念は、1909年にボレルによって導入された。彼は「ほとんど全ての」実数は正規数であることを証明した。彼が証明したことを正確に述べると、2 以上の任意の整数 r に対して r 進正規でない数の集合はルベーグ零集合(ルベーグ測度が 0 である集合)である。可算個のルベーグ零集合の和集合はやはりルベーグ零集合であるから、正規でない数の集合もルベーグ零集合である。この事実から正規数が存在することが従うが、その例は1917年にシェルピンスキーによって初めて与えられた。
有理数はいかなる基数に関しても循環小数なので、定義より明らかに正規ではない。非正規数の集合はルベーグ零集合であるのである意味「小さい」が、非可算無限集合であるのでその意味では十分「大きい」とも言える。実際、例えば十進小数表示において 5 を含まない実数は明らかに非正規であり、そのような数は非可算無限個存在する。
チャンパーノウン定数
0.1234567891011121314151617...
は、十進小数表示において自然数が順に連なっている実数である。これは基数 10 に関して正規であるが (Champernowne, 1933)、他の基数に関しては正規か否かわかっていない。
コープランド-エルデシュ定数
0.235711131719232931374143...,
は、十進小数表示において素数が順に連なっている実数であり、これもまた基数 10 に関して正規である (Copeland and Erdős, 1946)。
正規数の例として人工的に作られたものではない数たちの正規性を示すことは一般には難しい。