シュレーディンガー方程式
シュレーディンガー方程式の形式は、水素原子に応用ができる。
E ψ = − ħ 2 2 μ ∇ 2 ψ − e 2 4 π ε 0 r ψ {\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\psi }
e は電気素量で、r は電子の位置(r = |r | は位置ベクトルの大きさで、原点からの距離を表す)、ハミルトニアンのポテンシャル項はクーロンの法則を表し、ε0 は真空の誘電率で
μ = m e m p m e + m p {\displaystyle \mu ={\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}}
は、質量mp の水素原子核(プロトン)と質量me の電子の二体換算質量である。陽子と電子は逆の電荷を持つから、ポテンシャルの項に負符号が現れる。電子質量の代わりに換算質量が使われるのは、電子と陽子が互いに共通の質量中心の周りを運動しているためであり、解くべき問題は二体問題になる。ここでは主に電子の運動に興味があるので、等価な一体問題として、換算質量を使った電子の運動を解くことになる。
水素に対する波動関数は電子の座標の関数で、実際にはそれぞれの座標の関数に分離できる。普通はこれは球面座標系でなされる:
ニュートンの運動方程式と同じように、シュレーディンガー方程式における時間の扱いは、相対論的な記述にするには不都合である。この問題は行列力学では波動力学ほど深刻ではなく、経路積分の方法では全く問題にならない。
つまり、系の全エネルギーは全ての粒子の運動エネルギーと、系のポテンシャルエネルギーを足しあわせたものであり、またハミルトニアンでもある。しかし、粒子間には相互作用(多体問題)がある可能性があるため、系のポテンシャルエネルギーV は全粒子の空間的な配置の変化と、あるいは時間によって変化する。一般的には系のポテンシャルエネルギーは、それぞれの粒子の持つ位置エネルギーの合計ではなく、粒子のすべての空間位置の関数である。明示的に書くと、
E = ∑ n = 1 N p n ⋅ p n 2 m n + V ( r 1 , r 2 ⋯ r N , t ) = H . {\displaystyle E=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\boldsymbol {p}}_{n}\cdot {\boldsymbol {p}}_{n}}{2m_{n}}}+V({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2}\cdots {\boldsymbol {r}}_{N},t)=H.\,\!}
シュレーディンガー方程式のもう1つの分類として、方程式の線型性がある。通常、線型なシュレーディンガー方程式は単にシュレーディンガー方程式と呼ばれる。線型なシュレーディンガー方程式は斉次方程式であるため、方程式の解となる波動関数の線型結合もまた方程式の解となる。 非線型シュレーディンガー方程式(英: non-linear Schrödinger equation; NLS)は、通常のシュレーディンガー方程式におけるハミルトニアンにあたる部分が波動関数自身に依存する形の方程式である。シュレーディンガー方程式に非線型性が現れるのは例えば、複数の粒子が相互作用する系について、相互作用ポテンシャルを平均場近似することにより一粒子に対するポテンシャルに置き換えることによる。相互作用ポテンシャルが求めるべき波動関数自身に依存する一体ポテンシャルとなる場合、方程式は非線型となる(詳細は例えばハートリー=フォック方程式、グロス=ピタエフスキー方程式などを参照)。本項では主に線型なシュレーディンガー方程式について述べる。
粒子の全エネルギーE は、運動エネルギーT と位置エネルギーV の和である。この和は古典力学では、ハミルトニアンH を表すためにもよく使われる。
E = T + V = H {\displaystyle E=T+V=H\,\!}
明示的に、一次元の粒子について、位置をx 、質量をm 、運動量をp 、位置と時刻t によって変化するポテンシャルエネルギーをV (x , t ) とすると
E = p 2 2 m + V ( x , t ) = H . {\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)=H.}
三次元では、位置ベクトルr と運動量ベクトルp が使われる。
E = p ⋅ p 2 m + V ( r , t ) = H {\displaystyle E={\frac {{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {p}}}{2m}}+V({\boldsymbol {r}},t)=H}
この形式は任意の一定数の粒子の集まりにまで拡大できる。