固有関数
量子力学では、波動関数 Ψ {\displaystyle \left.\Psi \right.} 、演算子 A ^ {\displaystyle \left.{\hat {A}}\right.} に対して次の方程式(固有値方程式)が成立する時、 Ψ {\displaystyle \left.\Psi \right.} は A ^ {\displaystyle \left.{\hat {A}}\right.} の固有関数であるという。
A ^ Ψ = a Ψ {\displaystyle \left.{\hat {A}}\Psi =a\Psi \right.}
ここで a {\displaystyle \left.a\right.} は固有値と呼ばれ、演算子ではない通常の数であり、一般に複素数である。実際に実験によって観測される物理量は、演算子やその固有関数ではなくその固有値である。現実の観測量に複素数が現れる事は考えにくいため、演算子 A ^ {\displaystyle \left.{\hat {A}}\right.} の性質に制限がある(エルミート性)。
2つの演算子 A ^ , B ^ {\displaystyle \left.{\hat {A}},{\hat {B}}\right.} に対し、交換関係
[ A ^ , B ^ ] ≡ A ^ B ^ − B ^ A ^ {\displaystyle \left.[{\hat {A}},{\hat {B}}]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\right.}
を定義する。この値が0である時、「それらの演算子は交換する」と言う。
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この時、波動関数 Ψ {\displaystyle \left.\Psi \right.} は物体が様々な運動量 p {\displaystyle \left.p\right.} の値を持っている場合の重ね合わせである。 Ψ = Ψ ( p = 0.0 [ k g ⋅ m / s ] ) + Ψ ( p = 0.0001 ⋯ ) + ⋯ {\displaystyle \left.\Psi =\Psi _{(p=0.0[kg\cdot m/s])}+\Psi _{(p=0.0001\cdots )}+\cdots \right.}
固有関数の物理的意味は「定在波」だと考えてそれほど差し支えない。例えばシュレーディンガー方程式
H ^ Ψ = E Ψ {\displaystyle {\hat {H}}\Psi =E\Psi }
はハミルトニアン H ^ {\displaystyle \left.{\hat {H}}\right.} とその固有値(観測されるエネルギー値) E {\displaystyle \left.E\right.} に対する固有値方程式である。ポテンシャル中に閉じ込められた粒子は、そのポテンシャル中で波動関数が定在波となるような状態しか持たない。そのために実験で観測される粒子のエネルギーも連続的にはならず、離散的となる。エネルギー E {\displaystyle \left.E\right.} の正準共役変数である時間 t {\displaystyle \left.t\right.} の様々な変化に依らず安定して存在する波(定在波)のみが固有関数として許される。