ラプラスの方法
関数 f(x) が点 x0 においてのみ最大値をとると仮定する。数 n に対して、次の関数を考える。
g ( x ) = n f ( x ) h ( x ) = e n f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=nf(x)\\h(x)&=e^{nf(x)}\end{aligned}}}
点 x0 において関数 g と h も最大値をとることに注意する。また、このとき
g ( x 0 ) g ( x ) = n f ( x 0 ) n f ( x ) = f ( x 0 ) f ( x ) h ( x 0 ) h ( x ) = e n f ( x 0 ) e n f ( x ) = e n ( f ( x 0 ) − f ( x ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {g(x_{0})}{g(x)}}&={\frac {nf(x_{0})}{nf(x)}}={\frac {f(x_{0})}{f(x)}}\\{\frac {h(x_{0})}{h(x)}}&={\frac {e^{nf(x_{0})}}{e^{nf(x)}}}=e^{n(f(x_{0})-f(x))}\end{aligned}}}
である。
数 n が大きくなるにつれて h の比は指数的に大きくなる一方で g の比は変化しない。したがって、関数の積分における支配的な寄与は点 x0 の近傍における点 x のみから来るため近似ができる。