固有振動
したがって管の満たすべき条件は
y ( 0 , t ) = 0 {\displaystyle y(0,t)=0} and ∂ y ( l , t ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\partial y(l,t) \over \partial x}=0} ... (4-10)
である。(4-7)に条件(4-10)を与えると
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0}
(4-8)に条件(4-10)を与えると
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0}
(4-9)に条件(4-10)を与えると
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} or X ( x ) = C 4 sin  ( 2 n − 1 ) π x 2 l {\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}}
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0} は気柱が振動していない様子を表すので、振動する気柱の解は
X ( x ) = C 4 sin  ( 2 n − 1 ) π x 2 l ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\quad (n=1,2,3,\ldots )} .
∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}}
の波動方程式を得る。この波動方程式を解くと、
y n ( x , t ) = A n cos  n π x l sin  ( ω n t + φ n ) ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle y_{n}(x,t)=A_{n}\cos {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )}
また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は
y ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n cos  n π x l sin  ( ω n t + φ n ) {\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})}
この系における固有角振動数は
ω n = n π v l = n π l K ρ {\displaystyle \omega _{n}={n\pi v \over l}={n\pi \over l}{\sqrt {K \over \rho }}}
である。
d θ d t = A ω cos  ( ω t + φ ) {\displaystyle {d\theta \over dt}=A\omega \,\cos(\omega t+\phi )}
d 2 θ d t 2 = − A ω 2 sin  ( ω t + φ ) = − ω 2 θ {\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}=-A\omega ^{2}\,\sin(\omega t+\phi )=-\omega ^{2}\theta } ... (2-6)
(2-4)と(2-6)から
− ω 2 θ = − g l θ {\displaystyle -\omega ^{2}\theta =-{g \over l}\theta } ... (2-7)
(2-7)式で ω 2 = g l {\displaystyle \omega ^{2}={g \over l}} を満足していれば解であることがいえる。
また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は
y ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n sin  ( 2 n − 1 ) π x 2 l sin  ( ω n t + φ n ) {\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})}
この系における固有角振動数は
ω n = ( 2 n − 1 ) π v 2 l = ( 2 n − 1 ) π 2 l K ρ {\displaystyle \omega _{n}={(2n-1)\pi v \over 2l}={(2n-1)\pi \over 2l}{\sqrt {K \over \rho }}}
である。