ブロッホ群
二重対数関数(英語版)は |z| < 1 に対して次の冪級数で定義される。
Li 2  ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k 2 {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{2}}}}
この冪級数から二重対数関数の積分表示
Li 2  ( z ) = − ∫ 0 z log  ( 1 − t ) d t t {\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}\log(1-t)\;{\frac {dt}{t}}}
が得られる。ただし二重対数関数は2点 0, 1 で分岐しモノドロミー(多価性)を持つため、積分表示が冪級数表示に一致するためには 0 から z への積分路は z ∈ C ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}} の非自明なサイクルを含まないようなものをとる必要がある。
数学において、ブロッホ群(英: Bloch group)はブロッホ・ウィグナーの関数の線形関係式を記述する群であり、高次のブロッホ群は一般にブロッホ・ススリン複体のコホモロジー群として定義される。複体の名前はスペンサー・ブロッホ(英語版) (Spencer Bloch) とアンドレイ・ススリン(英語版) (Андре́й Су́слин) に因む。ブロッホ群は以下に述べるように多重対数関数、双曲幾何学、代数的K理論などと密接に関係している。
各々の理想四面体は、 Im  z > 0 {\displaystyle \operatorname {Im} z>0} となる複素数 z {\displaystyle z} (四面体の頂点の複比となるが、)に対し 0 , 1 , z , ∞ {\displaystyle 0,1,z,\infty } を頂点とする理想四面体のひとつにアイソメトリック(isometric)である。このように、四面体の体積は一つのパラメータ z {\displaystyle z} にのみ依存する。(Neumann & Zagier 1985) は、理想四面体 Δ {\displaystyle \Delta } に対し v o l ( Δ ( z ) ) = D 2 ( z ) , {\displaystyle vol(\Delta (z))=D_{2}(z),} ただし D 2 ( z ) {\displaystyle D_{2}(z)} はブロッホ・ウィグナーの二重対数、となることを示した。一般の 3次元双曲多様体に対し、理想四面体を互いに張り合わせることにより、
v o l ( X ) = ∑ j = 1 n {\displaystyle vol(X)=\sum _{j=1}^{n}}
を得る。モストウの剛性定理は、 Im z j > 0 {\displaystyle {\text{Im}}\ z_{j}>0} であるすべての j {\displaystyle j} に対する四面体の体積の値が一意に定まることを保証している。