位相的場の理論
これは M {\displaystyle M} のトポロジーを反映している。
もし ∂ M = Σ {\displaystyle \partial M=\Sigma } であれば、ヒルベルト空間 Z ( Σ ) {\displaystyle Z(\Sigma )} の中のベクトル Z ( M ) {\displaystyle Z(M)} は、 M {\displaystyle M} により定義された 真空期待値 と考えることができる。閉じた多様体 M {\displaystyle M} に対して、数値 Z ( M ) {\displaystyle Z(M)} は真空期待値である。統計力学とのアナロジーでは、分配関数と呼ばれる。
ゼロハミルトニアンを持つ理論がなぜうまく定式化されるかの理由は、場の量子論(QFT)への経路積分のアプローチにある。これは相対論的な不変性 (これが (d+1) 次元の「時空」を提供するのあるが) とあいまって、理論が形式的に適当なラグランジアン -つまり理論の古典場の汎関数を書き下すことにより定義される。時間に関しての形式的な第一微分を意味するラグランジアンは、ゼロハミルトニアンを導出するが、ラグランジアン自体は M {\displaystyle M} のトポロジーにハミルトニアンを関連付ける非自明な様子を呈するかもしれない。