整関数
増大度 ρ > 1/2 の整函数は π(2 − 1/ρ) より大きい角度を持つ任意の角において増大度 ρ である。
フランスの数学者 Milloux は1924年に受理された修士論文において、「充填円」(cercles de remplissages) と呼ばれる特定の円を定義した。それは以下のような形で述べられる:
Barnes, Ernest W. (1902), “A memoir of integral functions”, philosophical transactions of the royal society of London, series A 199: 411–500
Borel, Émile (1900), Leçons sur les fonctions entières, Paris: Gauthier-Villars, JFM 31.0392.02
Blumenthal, Otto (1910), Principes de la théorie des fonctions entières d’ordre infini., Paris: Gauthier-Villars., JFM 41.0462.01
Levin, Boris Yakovlevich (1996), Lectures on entire functions, Translations of Mathematical Monographs, 150, American Mathematical Soc., ISBN 9780821808979
Nevanlinna, Rolf H.
函数 f(z) は原点中心、半径 R の閉球体 B(0, R) において解析的とし、その実部の半径 r の円上でとる最大値を A(r) とすると、∀r ∈ (0, R) に対して、以下の不等式 M ( r ) ≤ 2 r R − r A ( R ) + R + r R − r | f ( 0 ) | {\displaystyle M(r)\leq {\frac {2r}{R-r}}A(R)+{\frac {R+r}{R-r}}|f(0)|} を得る。また A(R) ≥ 0 ならば max | z | = r | f ( n ) ( z ) | ≤ 2 n + 2 n ! R ( R − r ) n + 1 ( A ( R ) + | f ( 0 ) | ) {\displaystyle \max _{|z|=r}\left|f^{(n)}(z)\right|\leq {\frac {2^{n+2}n!R}{(R-r)^{n+1}}}(A(R)+|f(0)|)} を得る。
整函数の導函数はその整級数の形式微分によって得られる。コーシー–アダマールの公式を適用すると、整函数の導函数もまた整函数になることが分かる。導函数の増大度がどうなるかという問いが自然に生じるが、その増大度は上記の公式によって計算できて、以下のことが示される: