自励系
自励系で成立する基本的定理が、独立変数 t を一定値ずらした解もまた解となる点である。解 x を t の函数として x(t) と表す。自励系の微分方程式系
d x ( t ) d t = f ( x ( t ) ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}(t)}{dt}}=f({\boldsymbol {x}}(t))}
は、任意の定数 c ∈ R を t に加えた解 x(t + c) についても、
d x ( t + c ) d t = f ( x ( t + c ) ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}(t+c)}{dt}}=f({\boldsymbol {x}}(t+c))}
が満たされる。この性質は非自励系では成り立たず、x(t) がある非自励系の解であったとしても、x(t + c) は一般に解にならない。この性質が、自励系と非自励系の本質的な違いといえる。
従属変数 (x1, x2, ..., xn) の組でつくられる空間を、力学系分野では相空間という。相空間上に描くことができる、解を表す曲線を軌道という。自励系の軌道の接ベクトルは、与えられた微分方程式(系)のベクトル f(x) と等しい。
x(t) に対して x(t + c) も解になるという性質から、自励系の軌道は相空間上で交わらないという性質が導かれる。別の言い方をすると、自励系の2つの軌道がある点 x0 を共に通るならば、それら2つの軌道は同一の軌道である。x0 を通る軌道の形は、x0 を通る時刻 t の値に無関係に決まる。また、自励系の軌道が、自身と交わることもない。
ここで、
x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ⊤ {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})^{\top }}
d x d t = ( d x 1 d t , d x 2 d t , ⋯ , d x n d t ) ⊤ {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=\left({\dfrac {dx_{1}}{dt}},\ {\dfrac {dx_{2}}{dt}},\cdots ,{\dfrac {dx_{n}}{dt}}\right)^{\top }}
f = ( f 1 , f 2 , ⋯ , f n ) ⊤ {\displaystyle f=(f_{1},\ f_{2},\cdots ,\ f_{n})^{\top }}
であり、右肩の ⊤ は転置行列を意味する。力学系分野では、独立変数 t を時間とみなす。
このような微分方程式系において右辺の函数 f が引数として t を含まないとき、すなわち、ある微分方程式系が
d x d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=f({\boldsymbol {x}})}