極限 (圏論)
添え字圏Jが連結である(そして空でない)場合は、随伴の単位射 (unit) はlimがΔの左逆になるような同型射である。これはJが連結でない場合は正しくない。例えば、Jが離散圏である場合、単位射のコンポーネントは対角射 δ : N → N である。
双対的に、形がJ(Jは小さいとする)であるCの全ての図式が余極限を持つとき、余極限関手
c o l i m : C J → C {\displaystyle \mathrm {colim} :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}
が存在し、各図式をその余極限に写す。この関手は対角関手Δ : C → Cの左随伴であり、自然な全単射
H o m ( c o l i m F , N ) ≅ C o c o n e ( F , N ) . {\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {colim} F,N)\cong \mathrm {Cocone} (F,N).}
が存在する。この随伴の単位射はFからcolim Fへの普遍余錐である。Jが連結で(空でない)とき、余単位射はcolimがΔの左逆となるような同型射である。
極限関手も余極限関手も共変関手であることに注意すること。