線形多自由度系の振動
建築物の例では、複数の階を持つ多層構造物が多自由度系の問題となる。柱と床から構成されるラーメン構造の建物が振動する場合を考える。柱は床に比べて柔らかいので、構造物が揺れるとき各階の床は水平方向に揺れ、柱は水平方向のばねとして働くと見なせる。これは、水平方向のみに動く2つの質点をばねで連結した2自由度系モデルと等価となる。2層構造物における、1層目の床質量を m1、2層目の床質量を m2、1層目の水平変位を x1、2層目の水平変位を x2、基礎と1層目の間の等価ばね定数を k1、1層目と2層目の間の等価ばね定数を k2 とすると、このモデルの運動方程式は
となる。行列表示すれば、
となり、この式では、 ( m 1 0 0 m 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{pmatrix}}} が質量行列、 ( k 1 + k 2 − k 2 − k 2 k 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}\end{pmatrix}}} が剛性行列である。
2のように仮定して上式に代入し、整理すると、
となる。さらに、
とおけば、式4.10は
となる。式4.12は、(複素指数関数や三角関数で解を仮定したときの)不減衰振動の固有値問題における λ を γ に置き換えただけの式になる。したがって、比例粘性減衰を仮定した減衰振動の固有モードは、同一の質量行列と剛性行列を有する不減衰振動の固有モードと同じである。
一方、比例粘性減衰を仮定した減衰振動の固有角振動数は、同一の質量行列と剛性行列の不減衰振動の固有角振動数よりも小さくなる。モード行列 U で減衰行列を対角化すると
となる。この行列の成分 αMr + βKr (r = 1, 2, ..., n) をモード減衰やモード減衰係数と呼び、 Cr などで表す。ここで、Mr はモード質量、Kr はモード剛性である。さらに、
という量を導入して、これでモード減衰を割った量
をモード減衰比と呼ぶ。多自由度系の減衰系では固有モードごとに減衰の効果が異なっており、モード減衰比が固有モードごとの減衰の効果の程度を表している。ζr ≥ 1 ならば過減衰の状態であり、その固有モードの振動は起こらない。ζr < 1 ならば減衰振動となり、その固有角振動数は
で与えられる。ωd,r を減衰固有角振動数と呼ぶ。以上のように、線形1自由度系の減衰振動の考え方が固有モードごとの振動にも当てはまる。正規座標へ変換を行い、モード減衰比と固有角振動数を用いて運動方程式を表すと、下記のように表現できる。
ζr < 1 であれば、qr の一般解は積分定数を ar と br として、
となる。物理座標 x へ逆変換すれば、比例粘性減衰系の自由振動の一般解は下記のようになる。
任意の励振力を受ける減衰の無い系の運動方程式は以下のように表される。
例えば、励振力が角振動数 Ω の余弦関数で与えられるとすれば、
となる。ここで、fa は、以下のような各自由度に対する励振力の振幅値の縦ベクトルである。
f a = ( f a , 1 f a , 2 ⋮ f a , n ) {\displaystyle {\boldsymbol {f_{a}}}={\begin{pmatrix}f_{a,1}\\f_{a,2}\\\vdots \\f_{a,n}\end{pmatrix}}}
式5.2に対して特解を x = u cosΩt と仮定し、式5.2に代入すれば
となるので、u および x は、
となる。ここで "" は逆行列を意味する。したがって、逆行列 (M − ΩK) を計算すれば式5.5から x の値が分かる。しかし、この逆行列を解析的に解くことは困難で、数値計算を行うにしても自由度の数が増えると膨大な計算量になる。もし励振力の角振動数 Ω を変えると、そのたびに逆行列を計算する必要がある。そのため、実際に x の解を求めるために行われるのは、下記のようなモード解析による手法である。
並進運動と回転運動が組み合わさった2自由度系の例として、自動車の上下振動とピッチング振動の簡易モデルがある。自動車を側面から見て、上下方向変位とピッチング回転だけの動きを考える。前位側のタイヤとサスペンションを1つのばねと見なして、後位側のタイヤとサスペンションも同様に1つのばねと見なし、剛体を前位と後位を2つのばねが支えているモデルを考える。前位側と後位側のばねのばね定数をそれぞれ k1、k2 とする。剛体の重心位置から前位側のばねまでの距離を l1、前位側のばねまでの距離を l2 とする。剛体の質量を m、重心位置周りのピッチング方向の慣性モーメントを IG とする。この剛体の重心の上下運動 x とその周りのピッチング運動 θ の運動方程式は次のようになる。
振動工学における線形多自由度系の振動(せんけいたじゆうどけいのしんどう)は、線形な特性を持ち、さらに2以上の自由度を持つ系で起きる振動である。運動方程式は一般的に連立2階常微分方程式となり、行列およびベクトルで表現される。
線形多自由度系の振動では、固有モードという多自由度系特有の概念が現れ、自由度の数だけ固有モードと固有振動数の組が存在する。固有モードの直交性によって、減衰の無い系であれば固有モードごとの1自由度系の問題に帰着でき、振動解析を容易化できるのが特徴である。この手法を利用した振動解析手法はモード解析と呼ばれる。減衰のある系でも、比例粘性減衰という仮定を導入することによって、同様なことが可能となる。
モード解析手法は、振動実験結果から振動特性を同定するのにも使われる。有限要素法による連続体の振動計算においても、線形多自由度系の理論にもとづくモード解析手法が強力な効果を発揮し、振動解析を容易にする。
u = ( u 1 u 2 ⋮ u n ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}}
式3.1に対して仮定として与えられる解には、他に、最初から単振動を仮定して複素指数関数や三角関数の形式もある。
式3.2を式3.1に代入して整理すると下記のような式になる。
この式が恒等的に成り立つには下記の条件が満たされる必要がある。
数学的には、この形式の方程式は一般化固有値問題として知られ、λ は固有値、u は固有ベクトルと呼ばれる。u = 0 であれば式3.4の条件は満たされるが、これは最初の釣り合いの位置からそのまま静止しているだけ状態を意味する解である。よって、ここでは u = 0 は興味の対象外で、それ以外の式3.4を満たす λ と u について知りたい。u ≠ 0 で、なおかつ式3.4が満たされる条件は、U の係数行列 λ M + K の逆行列が存在しないことである。したがって、係数行列の行列式が 0 であればこの条件が満たされる。したがって、λ が、
を満たすとき、式3.4が u = 0 以外の解を持つ。