体の拡大
(可換)体の組 K, k が与えられるとき、体の拡大 K/k とは、k は K に集合として含まれ、k の体構造が K の体構造の制限として得られる構造に一致していることをいう。またこのとき、k は K の部分体(ぶぶんたい、subfield)、基礎体(きそたい)あるいは下にある体であるといい、K は k の拡大体(かくだいたい、extension field)あるいは上にある体であるという。
同じことだが、可換体 K が体 k を集合として含み、かつ k-多元環の構造をもつとき K/k を体の拡大という。後の条件のないときは拡大体といわず上体と呼ぶ流儀もある。いずれの場合も上にあるとか下にあるとかといった言い回しは用いて構わない。多元環は積を持つベクトル空間であるから、拡大 K/k において上の体 K を下の体 k 上のベクトル空間と見なすことができる。k ベクトル空間としての K の次元のことを拡大 K/k の次数(じすう、degree of field extension)といい、[K : k] などで表す。特に、体 K が有限次元 k ベクトル空間なら、拡大 K/k は有限次拡大であるといい、そうでないとき無限次元拡大という。