直交曲線座標
変数分離とは、複雑なd次元の問題を、「既知の関数で解くことができるd個の1次元の問題」に変換する数学的手法である。多くの方程式は、ラプラス方程式やヘルムホルツ方程式に還元することができる。ラプラス方程式は、下表13番に示す座標系(トロイダル座標を除く下表14番に示す座標)で変数分離可能であり、ヘルムホルツ方程式は、下表11番の座標系で変数分離可能である。
直交曲線座標は、計量テンソルの非対角項を決して持たない。つまり、無限小の2乗距離、即ち ds は、常に、「無限小の座標変位の2乗の総和」として書くことができる。
即ち、: d s 2 = ∑ k = 1 d ( h k d q k ) 2 {\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}}
ここで、d は次次元を表す。 また、スケーリング関数(スケールファクター、h-パラメータ)
h k ( q ) = d e f g k k ( q ) = | e k | {\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|}