曲線
I は実数直線内の区間とする。X が可微分多様体であるとき、X 内の可微分曲線の概念を考えることができる。厳密さをさておけば可微分曲線とは局所的に単射可微分写像 γ: I → X で定義される曲線である。より厳密には、可微分曲線は X の部分集合 C であって、C の各点に近傍 U が存在して、C ∪ U が実数直線内の区間に微分同相となる。すなわち、可微分曲線は一次元の可微分多様体である。この概念は、数学における曲線の使用の大半の部分をカバーするのに十分一般なものである。局所的に見れば X はユークリッド空間 R ととることができる。他方、より一般であることは有用で、例えば、可微分曲線の概念を用いて X の接ベクトルを定義することができる。
同様に X が滑らかな多様体であるとき X 内の滑らかな曲線あるいは C-級曲線を、滑らかな写像 γ: I → X によって定義することができる。あるいはより細かく、X が C-級可微分多様体(各チャートが k 回連続的微分可能)ならば、X 内の C-級可微分曲線あるいは短く C-級曲線は、写像 γ が k 回連続的微分可能とだけ仮定することで定義できる。