ハーディ空間
1 ≤ p < ∞ のとき、後述の実ハーディ空間 H は現在の文脈で容易に表現することが出来る。単位円上の実函数 f は、それが H(T) 内のある函数の実部であるなら、実ハーディ空間 H(T) に属する。また複素函数 f が実ハーディ空間に属するための必要十分条件は、Re(f) および Im(f) がその空間に属することである(後述の実ハーディ空間に関する節を参照されたい)。
p < 1 に対し、フーリエ係数やポアソン積分、共役函数のような道具はもはや有効ではない。例えば、
F ( z ) = 1 + z 1 − z , | z | < 1 {\displaystyle F(z)={\frac {1+z}{1-z}},\quad |z|<1}
と
f ( e i θ ) := F ~ ( e i θ ) = i cot  ( θ 2 ) {\displaystyle f(e^{i\theta }):={\tilde {F}}(e^{i\theta })=i\,\cot({\tfrac {\theta }{2}})}
を考える。函数 F は全ての p < 1 に対して H に含まれ、半径に関する極限 f は H(T) 内にあるが Re(f) はほとんど至る所で 0 とする。Re(f) から F を得ることはもはや出来なく、上述のような簡単な方法で実 H(T) を定義することは出来ない。
同じ函数 F に対し、fr(e) = F(re) とする。r → 1 としたときの Re(fr) の超函数の意味での円上の極限は、z = 1 でのデルタ超函数の非ゼロの倍数に等しい。単位円上の任意の点でのデルタ超函数は、全ての p < 1 に対して実 H(T) に属する(後述の議論を参照)。
この不等式の左辺の数は、f に対するハーディ空間の p-ノルムであり、 ‖ f ‖ H p {\displaystyle \|f\|_{H^{p}}} と記述される。これは p ≥ 1 のときはノルムであるが、0 < p < 1 のときはノルムとならない。
H は円板上の有界正則函数からなるベクトル空間として定義され、そのノルムは
‖ f ‖ H ∞ := sup | z | < 1 | f ( z ) | {\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}:=\sup _{|z|<1}\left|f(z)\right|}
となる。0 < p ≤ q ≤ ∞ に対し、クラス H は H の部分集合であり、H-ノルムは p について増加である(これは L-ノルムが確率測度、すなわち総質量が 1 である測度に対して増加であるというヘルダーの不等式による)。
また H は L(T) を弱-L(T) にも写す。1 ≤ p < ∞ のとき、単位円上の実数値可積分函数 f に対して、以下は同値である。
函数 f はある函数 g ∈ H(T) の実部;
函数 f とその共役 H(f) は L(T) に属する;
半径極大函数 M f は L(T) に属する。
1 < p < ∞ のとき、f ∈ L(T) であるなら H(f) は L(T) に属し、したがって実ハーディ空間 H(T) はこの場合 L(T) と一致する。p = 1 に対し、実ハーディ空間 H(T) は L(T) の真部分空間となる。
L 函数の極大函数 M f は常に有界であり、実 H が L と等しくなることは望まれていないため、p = ∞ の場合は実ハーディ空間の定義から除外することが出来る。しかし、実数値函数 f に対して次の二つの性質は同値となる。
函数 f がある函数 g ∈ H(T) の実部;
函数 f とその共役 H(f) が L(T) に属する。