スカラー場の理論
ここで、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} はラグランジアン密度である。これは場φについて2次の項のみで構成されており、導出される運動方程式がφの1次までの微分方程式として表されることから、線形項と呼ばれる。mに比例する項は質量項と呼ばれ、量子化された際には粒子の質量として解釈される。
上記のラグランジアン密度をスカラー場φについてのオイラー=ラグランジュ方程式に代入することで、この理論の運動方程式が得られる。
∂ μ ∂ μ φ + m 2 φ = ∂ t 2 φ − ∇ 2 φ + m 2 φ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0}
これはクライン=ゴルドン方程式と同様の形式である。ただし、ここでは量子力学の方程式ではなく、古典場の方程式として解釈している。