モデル理論
集合論(これは可算言語において表現されている)は可算モデルをもつ。すなわち、非可算集合の存在を仮定している集合論の文が可算モデルにおいても真であることから、これはスコーレムのパラドックス(英語版)として知られている。特に、連続体仮説の独立性(英語版)の証明はモデル内から見たとき非可算として現れるがモデル外から見たとき可算となるような集合をモデルの対象として必要とする。
モデル理論的な観点は集合論にとって有用である。例えば、ゲーデルがコーエンにより開発された強制法を用いて行った構成可能集合に対する仕事によって、(哲学的に興味深い)選択公理の独立性(英語版)および集合論の他の公理からの連続体仮説を証明することができる。
モデル理論を群のような(グラフ理論においては木のような)数学的対象のクラスへ応用する最初のステップは、多くの場合は自明であるが、シグネチャ σ を選択することおよびその数学的対象を σ-構造で表現することである。次のステップは、そのクラスが初等クラス(英語版)、すなわち、一階述語論理における公理化可能である(すなわち、σ-構造が理論Tを満足する場合のみ、クラス内にそのσ を含むような理論T が存在する)ことを示すことである。例えば、このステップは木では失敗する、連結性が一階述語論理内で表現できないためである。公理化可能性は、モデル理論が正当な対象について語ることができるのを保証する。量化記号消去法は、モデル理論がその対象について多くのことを言い過ぎないようにすることを保証する。理論 T は、T におけるすべてのモデルの下位構造(英語版)(これもモデルである)が初等下位構造ならモデル完全(英語版)と呼ばれる。