メルテンスの定理
収束性は
∑ p ≤ n − log  ( 1 − 1 p ) = ∑ p ≤ n 1 p + ∑ p ≤ n ∑ m ≥ 2 1 m p m {\displaystyle \sum _{p\leq n}-\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}+\sum _{p\leq n}\sum _{m\geq 2}{\frac {1}{mp^{m}}}}
および
∑ p > n ∑ m ≥ 2 1 m p m = O ( ∑ p > n 1 p 2 ) = O ( 1 n ) {\displaystyle \sum _{p>n}\sum _{m\geq 2}{\frac {1}{mp^{m}}}=O\left(\sum _{p>n}{\frac {1}{p^{2}}}\right)=O\left({\frac {1}{n}}\right)}
から、第二定理よりすぐに導かれる。
定数部分が e − γ {\displaystyle e^{-\gamma }} であることの証明は概略のみ述べる。
h ( s ) = ∑ p 1 p s , g ( s ) = h ( s ) + log  ζ ( s ) = ∑ p 1 p s − log  ( 1 − 1 p s ) , P ( x ) = ∑ p ≤ x 1 p {\displaystyle h(s)=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}},g(s)=h(s)+\log \zeta (s)=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}-\log \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right),P(x)=\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}}