ホッジ双対
n = 4 の場合では、ホッジ双対は 2-ベクトルのなす空間の自己準同型として作用する(つまり、 4 − 2 = 2 であるので、ホッジ双対は 2-形式から 2-形式への写像である)。このときホッジ双対は対合であり、よって、ホッジ双対は自分から自分自身への自己双対と反自己双対な部分空間へ分解し、その上でホッジ双対がそれぞれ +1 , −1 として作用する。
他の有用な例は、n = 4 次元の計量の符号 (+ − − −) と 座標 (t, x, y, z) を使いミンコフスキー空間に対し、(ε0123 = 1 を使い、) 1-形式に対し、
⋆ d t = d x ∧ d y ∧ d z {\displaystyle \star \mathrm {d} t=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
⋆ d x = d t ∧ d y ∧ d z {\displaystyle \star \mathrm {d} x=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
⋆ d y = d t ∧ d z ∧ d x {\displaystyle \star \mathrm {d} y=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}
⋆ d z = d t ∧ d x ∧ d y {\displaystyle \star \mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
であり、一方、2-形式に対し、
この表現の有利な点のひとつは、どの場合でも成り立つ恒等式 d = 0 が、残る 2つをまとめ、curl(grad( f )) = 0 と div(curl(F)) = 0 と得る。特に、マクスウェルの方程式は、外微分とホッジスター作用素で表すと、特別に単純でエレガントな形となる。
ラプラシアンも得ることができる。上の情報と ∆ f = div grad f という事実を使うと、0-形式 ω = f(x, y, z) に対し、
Δ ω = ⋆ d ⋆ d ω = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle \Delta \omega =\star \mathrm {d} {\star \mathrm {d} \omega }={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
となる。
上の構成を向きづけられた n次元のリーマン多様体、あるいは擬リーマン多様体の余接空間に対しても適用でき、k-形式のホッジ双対 (n − k)-形式を得る。すると、ホッジスターは多様体上の微分形式のL-ノルムである内積を与える。 ⋀ k ( T ∗ M ) {\textstyle \bigwedge ^{k}(T^{*}M)} の切断 η と ζ に対し、
( η , ζ ) = ∫ M η ∧ ⋆ ζ = ∫ M ⟨ η , ζ ⟩ d V o l {\displaystyle (\eta ,\zeta )=\int _{M}\eta \wedge \star \zeta =\int _{M}\langle \eta ,\zeta \rangle \,\mathrm {d} \mathrm {Vol} }
である(切断の集合は、 Ω k ( M ) = Γ ( ⋀ k ( T ∗ M ) ) {\textstyle \Omega ^{k}(M)=\Gamma {\bigl (}\bigwedge ^{k}(T^{*}M){\bigr )}} と書かれることが多い。Ω(M) の元は、外 k-形式と呼ばれる)。
さらに一般的には、向き付けされていない場合は、k-形式のホッジスターを (n − k)-擬微分形式(英語版)(pseudo differential form)、すなわち、標準ラインバンドル Ω(M) に値を持つ微分形式として定義することができる。