ナブラ
ベクトル解析における演算子 ∇(ナブラ、英: nabla、del)は、ベクトル微分演算を表し、特に一次元の領域で定義された函数に施すとき、微分積分学で定義される通常の微分 D = d/dx と同じになる。多次元の領域上で定義された場に施すときには、スカラー場の勾配 grad や、ベクトル場に対しては作用のさせ方により回転 curl や発散 div を与えたりする。
厳密に言えば、∇ は特定の作用素を意味するのではなくて、いま挙げたような演算に対する簡便記法と考えるべきであって、これにより様々な等式が覚え易く書き易いものとなる。∇ を偏微分作用素を成分とするベクトルと解釈すれば、三種の演算 grad, div, curl(またはrot) は、場と ∇ とのそれぞれスカラー倍、点乗積、交叉積を形式的に取ったものと見做すことができる。これらの形式的な積が、必ずしも他の作用素や積と可換であることは要求されない。
上で述べたベクトルの性質の大部分は(∇の微分的性質に陽に依存する部分、例えば積の法則などを除いて)記号の再配置のみに依っていて、∇を他のベクトルで置き換えても必然的に成り立たなければならない。これは∇をそれ自身ベクトルとして表すことで得られた莫大な価値の一部である。
∇をベクトルで置き換えてベクトルの恒等式をしばしば得ることができるが、恒等式を直観的に作ることに関して、逆は必ずしも信用できない。∇はしばしば可換でないことが理由である。
∇の可換性に対する反例として、通常成り立つ等式
( u ⋅ v ) f = ( v ⋅ u ) f {\displaystyle ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}})f=({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}})f}
に対して
( ∇ ⋅ v ) f ≠ ( v ⋅ ∇ ) f {\displaystyle (\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})f\neq ({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla )f}
であることを挙げよう。実際、
と
スカラー場 f のベクトル微分は勾配(en:gradient)と呼ばれ、
grad  f = ∂ f ∂ x x ^ + ∂ f ∂ y y ^ + ∂ f ∂ z z ^ = ∇ f {\displaystyle \operatorname {grad} f={\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {\boldsymbol {x}}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {\boldsymbol {y}}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {\boldsymbol {z}}}=\nabla f}
で表されるベクトル場である。これは常に f の最も増加の大きい方向を指し、その点における最大増加率に等しい大きさを持つ(通常の微分と同様)。特に、丘陵を平面上の高さ函数 h(x, y) として定めるとき、各地点での勾配を平面に射影したものは(地図上の矢印のような類で)各地点の最も傾きが急な方向を指す xy-平面上のベクトルとなり、勾配の大きさは、この最も急な傾きの値になる。