ペル方程式
平方数でない正の整数 n に対してペル方程式は必ず自明な解 (x = 1, y = 0) 以外の整数解を持つことが知られている。また1つの解 (x, y) を得たとすれば、
x k + y k n = ( x + y n ) k {\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x+y{\sqrt {n}})^{k}}
は全てペル方程式の解になる。また逆にペル方程式の全ての解は最小解の冪乗になることが知られている。
最小解を得る法としては、連分数展開からの近似分数を利用する方法が良く用いられる。
具体的には、√n の連分数展開を、√n = A = [a0; a1, a2, ..., am] と置き、近似分数 P/Q を、P/Q = B = [a0; a1, a2, ..., am−1]とすると、(x, y) = (P, Q) が解になる。ただし、周期 m が奇数の場合は、右辺 = −1 の解が得られるので、1 の解を得るには上記の式で二乗する必要がある。ここで、A は a0 を整数部分、a1, a2, ..., am を循環節とする無限連分数で、B は循環節を一周期だけ採り、最後の項 am を除いた、有限連分数である。ちなみに、a1, a2, ..., am−1 は左右対称となっており、am = 2a0 が常に成立する。
例えば n が 7 ならば、√7 = [2; 1, 1, 1, 4] (周期は 4 で偶数) なので、[2; 1, 1, 1] から近似分数 8/3 が得られ、(x, y) = (8, 3) が最小解となる。