ツェルメロ集合論
ツェルメロ集合論の公理の言明の対象のうち、いくつかは集合に対する言明であり(ただし必ずしもすべてではない)、それ以外はアトム(urelement)や集合以外に対する言明である。ツェルメロの言語では暗黙的に帰属関係 ∈、等号関係 = (背景の論理に含まれていないならば)、そして対象が集合であるかどうかを述べる単項述語が含まれる。新しい版の集合論では、アトムをなくし単項述語が不要になるように、しばしばすべての対象が集合であることを仮定する。
公理 I. 外延性の公理 (Axiom der Bestimmtheit) 「集合 M のすべての要素が集合 N の要素でもあり、逆も成り立てば、M ≡ {\displaystyle \equiv } N である。要するに、すべての集合は要素によって決定される。」
公理 II. 基本的集合の公理 (Axiom der Elementarmengen) 「要素を一切持たない集合である空集合 ∅ が存在する。a が議論領域の任意の対象であるならば、a を含み要素が a のみである集合 {a} が存在する。a と b が議論領域の任意の2つの対象であるならば、要素として a と b を含むが a, b 両方と異なる対象 x は含まない集合 {a, b} がつねに存在する。」対の公理も参照せよ。
公理 III.