分数次フーリエ変換
関数 ƒ: R → C に対する連続フーリエ変換 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は L 上のユニタリ作用素であり、関数 ƒ をその周波数版 ˆƒ̂ に変換する。
f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x} ここで ξ は全ての実数とする。
逆に、ƒ は ˆƒ̂ から逆変換 F − 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}} により得られる。
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e 2 π i ξ x d ξ , {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,\mathrm {d} \xi ,} ここで x は全ての実数とする。
S H ( u 0 ) [ f ( u ) ] = f ( u + u 0 ) {\displaystyle {\mathcal {SH}}(u_{0})[f(u)]=f(u+u_{0})} P H ( v 0 ) [ f ( u ) ] = e j 2 π v 0 u f ( u ) {\displaystyle {\mathcal {PH}}(v_{0})[f(u)]=e^{j2\pi v_{0}u}f(u)}
すると、 F α S H ( u 0 ) = e j π u 0 2 sin  α cos  α P H ( u 0 sin  α ) S H ( u 0 cos  α ) F α F α [ f ( u + u 0 ) ] = e j π u 0 2 sin  α cos  α e j 2 π u u 0 sin  α f α ( u + u 0 cos  α ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {SH}}(u_{0})&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }{\mathcal {PH}}(u_{0}\sin \alpha ){\mathcal {SH}}(u_{0}\cos \alpha )F_{\alpha }\\{\mathcal {F}}_{\alpha }[f(u+u_{0})]&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }e^{j2\pi uu_{0}\sin \alpha }f_{\alpha }(u+u_{0}\cos \alpha )\end{aligned}}}