平行
ユークリッド空間内の互いに平行な直線 l, m に対し、以下の性質は互いに同値である:
互いに一様等距離(英語版): 直線 m 上の点は、直線 l との(最短)距離がどの点においても同一の値を持つ
直線 m は直線 l と同一平面上にあるが、l とは交わらない(ここで、直線とは何れの方向にも無限に伸びているものを言うことに注意)
二直線 m, l がともに同一平面上にある第三の直線(横断線(英語版))と交わるとき、それらが横断線との交わりで生じる同位角が互いに合同である。
これらの性質は互いに同値であるから、これらのうち任意の一つをユークリッド空間における平行線の定義として採用することができるが、最初と最後のものは長さや角度を測ったりする操作が含まれ、そのぶん真ん中の性質よりは複雑になっている。そこで、真ん中の性質をユークリッド空間における平行性の定義に採用するのが普通である。そしてほかのふたつの性質は平行線の公理からの帰結ということになる。ほかにも、傾きを測る操作を含めれば、直線が互いに平行ということをそれらの傾きが同じであることによって定義することができる。
ウィルソンは自身の教科書の第三版以降、これを改めている。
他の改革者たちによって提案された、平行線の定義の置き換えとして用いられた他の性質も、大きく優れるものはなかった。主な難点は、ドッジソンの指摘したように、それらを用いるために系に余計な公理を追加する必要があったことである。ポセイドニウスの等距離直線としての定義は、Francis Cuthbertson が1874年の著書 Euclidean Geometry で解説したように、直線の片側に与えられた一定の距離に位置する点の全体が直線を成すことを示さなければならないという問題から逃れられない。これは証明できることではなく、それが真であるというのは改めて公理として要請しなければならないのである。横断線による同位角の性質を用いた定義は W. D. Cooley が1860年の著書 The Elements of Geometry, simplified and explained で用いたが、この性質を利用するには「一つの直線が直線の対に横断的に交わるとき同位角が合同となるならば、任意の横断線においてもそうでなければならない」という主張の証明が求められ、その正当化にはやはり新たな公理が必要であった。
1 2 Heath 1956, pp. 190–194.
↑ Richards 1988, pp. 161–200, Chap. 4: Euclid and the English Schoolchild..
↑ Carroll, Lewis (2009) [1879], Euclid and His Modern Rivals, Barnes & Noble, ISBN 978-1-4351-2348-9
↑ Wilson 1868.
↑ Einführung in die Grundlagen der Geometrie, I, p. 5
↑ Heath 1956, p. 194.
↑ Wilson 1868, p. 2.
↑ Wilson 1868, p. 12.
↑ Richards 1988, pp. 180–184.
↑ Heath 1956.
↑ Wylie, Jr. 1964, pp. 92–94.
↑ Coxeter, H. S. M. (1961), Introduction to Geometry, John Wiley & Sons
↑ Szmielew, Wanda (1983), From Affine to Euclidean Geometry, D. Reidel, ISBN 90-277-1243-3
↑ Liu, Andy (2011), “Is parallelism an equivalence relation?”, The College Mathematics Journal 42 (5)