ミラー対称性 (弦理論)
観察と整合性を持たせるためには、そのような時空の次元は4である必要があるので、通常の距離スケールでは弦理論の余剰次元を消し去る方法を見つけなくてはならない。弦理論を基礎とする最も現実的なモデルでは、コンパクト化と呼ばれる過程を通して行われる。コンパクト化の考え方は、弦理論の特定の次元が円をなして自分で「閉じている」ようなものかもしれない。次元が巻きあがっている極限では、非常に小さくなり、有効理論ではより低い次元となっている理論を得る。このことの標準的な類似物は、庭のホースのような多次元の対象を考えることである。ホースを充分に遠い距離で見ると1次元となり、長さしか持っていないように見える。しかし、ホースに近づくにつれ、第二の円周という次元を持っていることが分かる。このようにして、ホースの表面を這う蟻は2次元的に動くことができる。
コンパクト化は、時空の有効次元が4次元となるようなモデルを構成することに使うことができる。しかし、余剰次元をコンパクト化する全ての方法が、自然を記述する良い性質を持つモデルを作り出すとは限らない。素粒子物理学で確認できるようなモデルを構成するためには、コンパクトな余剰次元はカラビ・ヤウ多様体の形をしている必要がある。カラビ・ヤウ多様体は複雑な(典型では)6次元の形をしていて、あるテクニカルな条件を満たす。それらは、数学者のエウジェニオ・カラビ(Eugenio Calabi)とシン=トゥン・ヤウ(Shing-Tung Yau)の名前から命名された。
多くの異なって見える形が同じオイラー標数を持っていて、この不変量はカラビ・ヤウ多様体の形の単に粗い記述をするものでしかない。しかしながら、この粗さはベッチ数と呼ばれる数の和へとオイラー標数を分解することにより、詳しくすることができる。このためには、ホッジ数と呼ばれるミラーカラビ・ヤウ多様体の興味深い対称性を持っている不変量を使う。
一般にミラー対称性では、相関函数と呼ばれる物理量を計算することに興味がある。相関函数の例のひとつは、弦の相関函数である。A-モデルでは、弦の相関函数を表す、グロモフ・ウィッテン不変量と呼ばれる無限個の数値は計算することが難しい。しかしながら、ミラー対称性は、A-モデルの相関函数をB-モデルの相関函数へ関連付け、カラビ・ヤウ多様体の古典的な複素幾何学へ依存したものとし、より容易に計算を可能とする。この事実がミラー対称性の導入時に数学者たちを興味を惹いた点である。
一般にミラー対称性は、2つの物理理論の同値性であり、複素幾何学の問題をシンプレクティック幾何学の問題へ翻訳することでもある。ここで考えるトーラスは、単に位相空間としてコンパクトな(実)次元が2であるカラビ・ヤウ多様体であり、従って、ミラー対称性のもっとも単純な例である。 弦理論への応用では、普通、6次元のカラビ・ヤウ多様体を考える。この 6次元は、時空の観測されえない次元に対応する。
上記の例の中のように、カラビ・ヤウ多様体は非常に変わった形をしているかもしれない。6次元のカラビ・ヤウ多様体の形は、数学的にはある不変量(invariant)を使い記述される(不変量とは多様体に付随する数値であり、幾何学的に同じ多様体は同じ付随する数値を持つ)。例えば、カラビ・ヤウ多様体の形は大雑把にはオイラー標数と呼ばれる数値により記述され、ミラー双対のカラビ・ヤウ多様体は、(ペアの相手のカラビ・ヤウ多様体の)反対の符号をもつオイラー数となることができる。