特異ホモロジー
任意の単位的 環 R が与えられると、ある位相空間上の特異 n-単体全体の集合が自由 R-加群 の生成元であるようにとることができる。つまり、上記の構成を自由アーベル群から始めるのではなく、かわりに自由 R-加群を使うのである。構成のすべては、ほとんどあるいは全く変更することなしにできる。この結果は
H n ( X , R ) {\displaystyle H_{n}(X,R)\ }
でありこれはR-加群である。もちろん、普通は自由加群ではない。普通のホモロジー群は環を整数環にとるときに
H n ( X , Z ) = H n ( X ) {\displaystyle H_{n}(X,\mathbb {Z} )=H_{n}(X)}
に注意することによって再び得られる。表記 Hn(X, R) をよく似た表記 Hn(X, A) と混同してはならない。これは相対ホモロジー(下記)を表す。
数学の一分野である代数トポロジーにおいて、特異ホモロジー (singular homology) とは位相空間 X の代数的不変量(英語版)のある種の集合、いわゆるホモロジー群 (homology group) H n ( X ) {\displaystyle H_{n}(X)} の研究のことである。直感的に言えば、特異ホモロジーは、各次元 n に対して、空間の n 次元の穴を数える。特異ホモロジーはホモロジー論の例である。これは今では理論のかなり大きな集まりに成長している。様々な理論の中で、特異ホモロジーはかなり具体的な構成に基づいているのでおそらく理解するのが容易なものの1つである。
手短に言えば、特異ホモロジーは標準単体から位相空間への連続写像の族σをとり、それらから特異チェイン (singular chain) と呼ばれる形式和を作ることによって構成される。単体上の境界作用素は特異チェイン複体を誘導する。すると特異ホモロジーはそのチェイン複体のホモロジーである。得られるホモロジー群はすべてのホモトピー同値な空間に対して同じであり、これがそれらの研究の理由である。これらの構成はすべての位相空間に対して適用することができるので、特異ホモロジーは圏論の言葉で表現できる。そこではホモロジー群は位相空間の圏から次数付きアーベル群の圏への関手になる。これらのアイデアは以下でもっと詳細に説明される。
なお「特異」という言葉はσが必ずしも良い埋め込みである必要が無いが、その像がもはや単体には見えないという”特異性”を強調する意味合いで使われている。