点拡がり関数
数学的には像は次のように表現される。
I ( x i , y i ) = ∫ ∫ O ( u , v ) P S F ( x i − M u , y i − M v ) d u d v {\displaystyle I(x_{i},y_{i})=\int \!\!\int O(u,v)~\mathrm {PSF} (x_{i}-Mu,y_{i}-Mv)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}
ここで PSF(xi − Mu, yi − Mv) はインパルス関数δ(xo − u, yo − v) の像である。 2次元インパルス関数は以下の図に示す角柱関数の(横の次元の w が零という)制限された関係として良い。
このように像平面は正方形の領域に分割され、これらはそれぞれが角柱関数で関連づいていると考える。 柱の高さh が1/w を保つなら、横次元としてのw は零となり、高さh は(積分された)体積が定数1のままであるという道理のため無限大となる。これは2次元インパルスに(上式で暗黙的に)ふるい分け性質を与え、2次元インパルス関数 (x − u, y − v) は、他のどんな連続関数f (u, v) に対しても積分され、たとえば点(x, y) のインパルスの位置でのf が「ふるい落とされ」る。
完全点光源物体の概念はPSFの考えにたいへん重要なので、先に進む前に時間を割く価値がある。
点拡がり関数は物体平面の位置に独立させて良い。この場合「シフト不変量」と呼ばれる。さらに光学系に歪曲が無い場合は、像平面の座標 (xi, yi ) と物体平面の座標 (xo, yo ) には倍率 M を用いて次の関係が成り立つ。
( x i , y i ) = ( M x o , M y o ) {\displaystyle (x_{i},y_{i})=(Mx_{o},My_{o})}
結像系が倒立像を作るなら、像平面の座標は物体平面の座標軸を単純に反転すれば良い。これら2つの仮定、つまりPSFがシフト不変量であり歪曲がないときには像平面の畳み込み積分の計算は素直な過程となる。数学的には物体平面視野を次のように表現することができる。
O ( x o , y o ) = ∫ ∫ O ( u , v ) δ ( x o − u , y o − v ) d u d v {\displaystyle O(x_{o},y_{o})=\int \!\!\int O(u,v)~\delta (x_{o}-u,y_{o}-v)~\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}
すなわち、重み付けしたインパルス関数の総和として、もっともこれは2次元のデルタ関数のふるい分け特性をほんの始めたばかりであるが(議論はずっと下方)。 像平面視野をそれぞれ独立したインパルス関数の重ね合わせとして計算するために、上記で許された形に物体透過関数を書き換えるなら、つまり物体平面 O (xo , yo ) と「同じ」重み付けを用いた像平面の中で加重点拡がり関数による重ね合わせであるとする。