極座標系
極座標系(きょくざひょうけい、英: polar coordinate system)とは、n 次元ユークリッド空間 R 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ1, ..., θn−1 からなる座標のことである。点 S(0, 0, x3, ...,xn) を除く直交座標系は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。
2 次元ユークリッド空間 R における極座標は円座標(英: circular coordinates)と呼ばれ、一つの動径座標と一つの角度座標からなる、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面(または平面極座標)ともいう。特異点は (r, θ) = (0, θ) 即ち、xy座標での原点 (x, y) = (0, 0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して z = re と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上で円を描く。
円座標 (r,θ) から直交直線座標 (x,y) への変換は
{ x = r cos  θ y = r sin  θ {\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \\\end{cases}}}
で与えられる。角度座標の範囲を −π < θ ≤ π とする場合の直交直線座標から円座標への変換は
{ r = x 2 + y 2 θ = sgn  ( y ) arccos  ( x / x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta =\operatorname {sgn}(y)\arccos(x/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})\\\end{cases}}}
で与えられる。ここで sgn は符号関数である。原点 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため θ が定まらない。