レヴィ＝チヴィタ変換
Levi-Civita変換では物理的な時間 t {\displaystyle t} の代わりにfictitious time s {\displaystyle s} を独立変数として扱う。その定義は
d t = D ( Q 1 , Q 2 ) d s {\displaystyle dt=D(Q_{1},Q_{2})ds}
である。この変換を行うと、上の正準方程式は
d Q j d s = P j , d P j d s = 8 H ~ ( P , Q ) Q j , d t d s = D {\displaystyle {\frac {dQ_{j}}{ds}}=P_{j},\ \ {\frac {dP_{j}}{ds}}=8{\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )Q_{j},\ \ {\frac {dt}{ds}}=D}
という方程式系へと変換される。これは極限 r = Q 1 2 + Q 2 2 → 0 {\displaystyle r=Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}\to 0} での特異性を持たない。