点ごと
順序理論において関数の点ごとの半順序を定義することが一般的である.A, B を半順序集合として,関数 A → B 全体の集合は,すべての x ∈ A に対して f(x) ≤ g(x) であるときに f ≤ g とすることで順序付けられる.点ごとの順序は半順序集合のいくつかの性質を受け継ぐ.例えば A と B が連続束(英語版)であれば,関数 A → B 全体の集合も点ごとの順序で連続束である.関数の点ごとの順序を用いて,他の重要な概念を簡潔に定義できる,例えば:
半順序集合 P 上の閉包演算子(英語版)は P 上の単調かつ冪等な自己写像(すなわち射影作用素(英語版))であってさらに idA ≤ c なるものである,ただし id は恒等写像である.
同様に,射影作用素 k が核作用素であることは,k ≤ idA であることと同値である.
無限項の点ごとの関係の例は関数の各点収束である――関数列
{ f n : X → Y } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}\colon X\to Y\}_{n=1}^{\infty }}
が関数 f に各点収束するとは,X の各元 x に対して
lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=f(x)}
となることをいう.
成分ごとの演算は通常ベクトルに定義され,ここでベクトルはある自然数 n とある体 K に対して集合 K の元である.ベクトル v の i 番目の成分を vi と書けば,成分ごとの加法は (u + v)i = ui + vi である.
タプル(英語版)は関数と見ることができ,ベクトルはタプルである.したがって,任意のベクトル v は f(i) = vi なる関数 f: n → K に対応し,ベクトルの任意の成分ごとの演算はそれらのベクトルに対応する関数の点ごとの演算である.