半直積
定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群 をあげることができる。n 次元アフィン変換
( A , b ) : R n → R n ; ( A , b ) x = A x + b {\displaystyle (A,b)\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n};\;(A,b)x=Ax+b}
は n 次元一般線型変換 A ∈ G L ( n , R ) {\displaystyle A\in {\mathit {GL}}(n,\mathbb {R} )} と n次元の並進変換 b ∈ R n {\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}} を合成したものであり、この変換の全体は群を成し、これを Aff  ( R n ) {\displaystyle \operatorname {Aff} (\mathbb {R} ^{n})} で表し、n 次元アフィン変換群と呼ぶ。2つのアフィン変換 ( A 1 , b 1 ) {\displaystyle (A_{1},b_{1})} と ( A 2 , b 2 ) {\displaystyle (A_{2},b_{2})} の合成変換を考えると、
( A 1 , b 1 ) ( A 2 , b 2 ) x = ( A 1 , b 1 ) ( A 2 x + b 2 ) = A 1 A 2 x + A 1 b 2 + b 1 {\displaystyle (A_{1},b_{1})(A_{2},b_{2})x=(A_{1},b_{1})(A_{2}x+b_{2})=A_{1}A_{2}x+A_{1}b_{2}+b_{1}}
G を正規部分群 N と部分群 H の(内部)半直積であるとする。Aut(N) を N のすべての自己同型からなる群とする。次で定義される写像 φ: H → Aut(N) は群準同型である。φ(h) = φh, ただしすべての h ∈ H と n ∈ N に対し、φh(n) = hnh.(N は G の正規部分群であるから hnh∈N であることに注意。)N, H, φ の三つ組は以下で示すように G を同型の違いを除いて決定する。
2つの群 N と H(与えられた群の部分群である必要はない)と群準同型 φ: H → Aut(N) が与えられると、次のように定義される、φ に関する N と H の(外部)半直積と呼ばれる新しい群 N ⋊ φ H {\displaystyle N\rtimes _{\varphi }H} を構成することができる。
集合としては、 N ⋊ φ H {\displaystyle N\rtimes _{\varphi }H} はデカルト積 N × H である。
N ⋊ φ H {\displaystyle N\rtimes _{\varphi }H} の元の乗法は、準同型 φ {\displaystyle \varphi } によって決定される。演算は n1, n2 ∈ N と h1, h2 ∈ H に対して