トゥシャール多項式
T n ( x ) = e − x ∑ k = 0 ∞ x k k n k ! . {\displaystyle T_{n}(x)=e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}k^{n}}{k!}}.}
この事実より、この多項式列は二項型であることが直ちに示される。すなわち、次の等式が成り立つ。
T n ( λ + μ ) = ∑ k = 0 n ( n k ) T k ( λ ) T n − k ( μ ) . {\displaystyle T_{n}(\lambda +\mu )=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(\lambda )T_{n-k}(\mu ).}
トゥシャール多項式は、すべての多項式の第一次数の項の係数が 1 であるような二項型の多項式列のみを作る。
T n + 1 ( x ) = x ∑ k = 0 n ( n k ) T k ( x ) . {\displaystyle T_{n+1}(x)=x\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}T_{k}(x).}
トゥシャール多項式は、ロドリゲスの公式に似た次の公式を満たす。
T n ( e x ) = e − e x d n d x n ( e e x ) {\displaystyle T_{n}\left(e^{x}\right)=e^{-e^{x}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{e^{x}}\right)}