帰納次元
まず一点集合の次元は 0 で、一点集合の境界は空であって欲しいというところから
ind ( ∅ ) = Ind ( ∅ ) = − 1 {\displaystyle {\text{ind}}(\emptyset )={\text{Ind}}(\emptyset )=-1}
と仮定するところから始める。次に ind(X) は、
任意の x ∈ X と x を含む開集合 U に対して、x を含む開集合 V で V の閉包が U に含まれ、かつ V の境界の小さい帰納次元が高々 n − 1 であるようなものが存在する
という条件を満たすような n の最小値として帰納的に定義される。最初の例では X を n-次元ユークリッド空間、V を x を中心とする n-次元球体と選べばよい。
大きい帰納次元の場合は、V の選び方にさらに制限を加える。すなわち、Ind(X) は
X の任意の開集合の閉部分集合 F に対し、中間開集合 V(つまり F は V に含まれ、かつ V の閉包が U に含まれるような V)が存在して、V の境界の大きい帰納次元が高々 n − 1 である
という条件を満たすような n の最小値として帰納的に定義される。