直和
集合論的な意味での、集合の(外部)直和は互いに交わらない(つまり共通部分が空である)ような集合の合併(英: disjoint union、非交和)によって与えられる。たとえば、ある位相空間の部分集合の、内部と境界と外部の和は直和になっている。
二つの集合 A, B がともに一つの集合の部分集合となっているときには、一般にはそれらが交わるため単純な合併では直和は与えられない。集合の(内部)直和は、各元の出自がどの集合であるかを指示する符牒を与えたうえでとった合併(discriminated union; 識別和)によって与えられる。A や B に属さない記号をたとえば * として、集合 A* ≔ A ∪ {*}, B* ≔ {*} ∪ B を考えてやると、二つの埋め込み
A ↪ A ∗ × B ∗ ; a ↦ ( a , ∗ ) , {\displaystyle A\hookrightarrow A^{*}\times B^{*};\;a\mapsto (a,*),}
B ↪ A ∗ × B ∗ ; b ↦ ( ∗ , b ) {\displaystyle B\hookrightarrow A^{*}\times B^{*};\;b\mapsto (*,b)}
が得られ、この埋め込みによって A* × B* の部分集合と見なした A, B は交わりを持たない。この埋め込み像を記号の濫用で A*, B* と書けば A* × B* の部分集合としてとった和集合 A* ∪ B* を A と B の直和といい A ⊔ B などと書く。誤解のおそれのない場合には A と A, B と B はそれぞれ同一視して区別しない。
対象の族 {Aλ}λ∈Λ を考える。対象 A と射 iλ: Aλ → A が存在して、任意の対象 X と写像 fλ: Aλ → X に対し、 f λ = f ∘ i λ {\displaystyle f_{\lambda }=f\circ i_{\lambda }} を満たす f: A → X がただ一つ存在する。
集合の圏では、この圏論的定義でいう直積・直和と、上で述べた 「集合の直積・直和」 の概念は一致する。ところが、一般にはそうはならない。たとえば、
単位元を持つ可換環の圏における直和とは 「環のテンソル積」 であって、上で述べた 「環の直和」 は圏論的直積である。
群の圏における直和は「群の自由積」と呼ばれるものである。
アーベル群の圏においては、直和は「直和」であり直積は「直積」である。この場合、有限個の対象に対する直積と直和は同じ対象を定め双積(英語版)と呼ばれる(これは環上の加群の圏においても同様である)。