実閉体
実数体の著しく重要な性質は、それがアルキメデス体であること、つまり任意の実数に対して絶対値がそれより大きい整数が存在するというアルキメデスの性質をもつことである。任意の実数に対してそれよりも大きい整数と小さい整数の両方が存在する、と言っても同じことである。アルキメデス的でない実閉体は非アルキメデス順序体である。例えば、超実数からなる任意の体は実閉かつ非アルキメデスである。
アルキメデスの性質は共終数の概念と関係がある。順序集合 F に含まれる集合 X が F において共終であるとは、各 y ∈ F に対し x ∈ X が存在して y < x となることである。つまり、X は F における非有界列を成す。F の共終数は、最小の共終集合の大きさ(つまり、非有界列を与えることのできる集合の最小濃度)である。例えば自然数は実数全体の成す順序集合において共終であり、したがって実数体の共終数は א0 である。
いま実閉体 F の特質を定義する不変量として「F の濃度」と「F の共終数」を得た。これに加えて「F の重み (weight)」は F の稠密部分集合の大きさの最小値で与えられる。
↑ Rajwade 1993, pp. 222–223.
↑ Efrat 2006, p. 177.
↑ Euclidean geometry#TarskiAxioms in nLab
↑ Macpherson, Marker & Steinhorn 1998.
↑ Alling 1962.
↑ Dales, & Woodin 1996.