ホモトピー
位相空間 X, Y が与えられたとき、
f ∘ g ≃ i d Y , g ∘ f ≃ i d X {\displaystyle f\circ g\simeq \mathrm {id} _{Y},\,g\circ f\simeq \mathrm {id} _{X}}
であるような連続写像 f: X → Y, g: Y → X が存在するとき、 X と Y はホモトピー同値 (homotopy equivalent) であるという。ホモトピー同値は位相同型よりも粗い同値関係を与える。例えば 1 点とユークリッド空間 R は同じホモトピー型をもつ。一方、n 次元球面 S はすべて互いに異なったホモトピー型をもつ。