バリンスキーの定理
バリンスキーの証明は、凸ポリトープ上の線型関数の最小あるいは最大を見つける上でのシンプレックス法(線型計画問題)の正確さに依拠している。シンプレックス法では、ポリトープに含まれる任意のある頂点から出発し、関数の値を改善するような隣接する頂点への移動を繰り返す。そのような改善が出来なくなったときに、最適な関数値が得られるということである。
S を、ポリトープのグラフから取り除かれるべき、d より少ない数の頂点からなる集合としたとき、バリンスキーの証明ではそれにもう一つの頂点 v0 を加え、その集合上では値が 0 となるが全空間では恒等的に 0 ではない線型関数 ƒ を見つける。すると、ƒ が非負となるような任意の残された頂点(v0 も含む)は、シンプレックス法によって、ƒ の値が最大となるような頂点へと連結される一方、任意の残された頂点で ƒ の値が非正となるようなもの(やはり v0 も含む)は、同様に、ƒ の値が最小となるような頂点へと連結される。結果として、残されたグラフは全体で連結ということになる。