グロタンディーク群
この場合、各々の k[G]-加群をブラウアー指標に対応させる定義された似たような写像も、ブラウアー指標環の上への自然な同型 G 0 ( F ̄ p [ G ] ) → B C h ( G ) {\displaystyle G_{0}({\overline {\mathbf {F} }}_{p}[G])\to \mathrm {BCh} (G)} をもたらす。このようにグロタンディーク群は表現論において現れる。
この普遍性は、G0(R) を一般化されたオイラー標数の「普遍的受け皿(universal receiver)」とする。特に、すべての R-加群の中の対象の有界鎖複体
⋯ → 0 → 0 → A n → A n + 1 → ⋯ → A m − 1 → A m → 0 → 0 → ⋯ {\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to A^{n}\to A^{n+1}\to \cdots \to A^{m-1}\to A^{m}\to 0\to 0\to \cdots }
に対して、標準的な元
[ A ∗ ] = ∑ i ( − 1 ) i [ A i ] = ∑ i ( − 1 ) i [ H i ( A ∗ ) ] ∈ G 0 ( R ) {\displaystyle [A^{\ast }]=\sum _{i}(-1)^{i}[A^{i}]=\sum _{i}(-1)^{i}[H^{i}(A^{\ast })]\in G_{0}(R)}
を得る。事実、グロタンディーク群は、元来、オイラー標数の研究のために導入された。