ルーシェの定理
f ( z ) = z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 {\displaystyle f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}
を最高次数の係数が 1 の任意の n 次複素数係数多項式とした場合、 f ( z ) {\displaystyle f(z)\ } が複素平面上で n 個の零点を持つことを証明する。
R {\displaystyle R\ } を正の実数とし、 D = { z ∣ | z | < R } {\displaystyle D=\{z\mid |z|<R\}\ } と置く。また、
g ( z ) = a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 {\displaystyle g(z)=a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\ }
結局この式の値は log  ω {\displaystyle \log \omega } を C {\displaystyle C} 上のある点を始点として C {\displaystyle C} に沿って一周した場合の増分になるが、 ∂ D {\displaystyle \partial D} 上では | f ( z ) | > | g ( z ) | {\displaystyle |f(z)|>|g(z)|} という条件から C {\displaystyle C} 上では Re  ω {\displaystyle \operatorname {Re} \omega } は正であり、 C {\displaystyle C} は log  ω {\displaystyle \log \omega } の分岐点である ω = 0 {\displaystyle \omega =0} を一周しないので、その値は 0 である。従って、
n = 1 2 π i ∮ ∂ D d log  ( f ( z ) + g ( z ) ) d z d z = 1 2 π i ∮ ∂ D d log  f ( z ) d z d z {\displaystyle n={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log(f(z)+g(z))}{dz}}dz={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log f(z)}{dz}}dz}
が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。