1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
アルキメデスの命題 24 は、命題 23 における有限の(しかし不定の)和を放物線の内側の領域に二重の背理法によって適用する。彼は完全には上記の部分和の極限をとっていないが、現代の微分積分学において、この段階は十分容易である。
lim n → ∞ 1 − ( 1 4 ) n + 1 1 − 1 4 = 1 1 − 1 4 = 4 3 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}}
級数の和はその部分和の極限として定義されるので、
1 + 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 + ⋯ = 4 3 {\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={\frac {4}{3}}}