行列の定値性
線型代数学における行列の定値性(ていちせい、英: definiteness)は、その行列に付随する二次形式が一定の符号を持つか否か (二次形式の定値性) と密接な関係を持つ概念だが、付随する二次形式を経ることなくその行列自身の持つ性質によって特徴づけることもできる。
この概念は対称行列およびエルミート行列に対して定義するのが通例であるが、そうではない行列を含むように「定値性」の概念を一般化して適用する文献もある。
対称行列(またはエルミート行列) A の定値性は固有値の符号と関係している。「すべての固有値の符号」がわかれば定値性がわかり、 逆に定値性がわかれば「すべての固有値の符号」が正なのか負なのか正負混じっているのかなどが以下のようにわかる。
すべての固有値λが正値 λ > 0 ⇔ 行列 A は正定値行列
すべての固有値λが非負値 λ ≧ 0 ⇔ 行列 A は半正定値行列
すべての固有値λが負値 λ < 0 ⇔ 行列 A は負定値行列
すべての固有値λが非正値 λ ≦ 0 ⇔ 行列 A は半負定値行列
少なくとも1つの正値の固有値λpが存在し、かつ少なくとも1つの負値の固有値λnが存在する ⇔ 行列 A は不定値行列