部分等長作用素
A をある C*-環とする。A のある元 W が部分等長であるための必要十分条件は、W W* あるいは W* W が A 内の射影(自己共役な冪等)であることである。この場合、W W* および W* W のいずれもが射影となり、
W*W は W の初期射影(initial projection)と呼ばれ、
W W* は W の最終射影(final projection)と呼ばれる。
A が作用素環であるとき、これらの射影の値域はそれぞれ W の初期部分空間および最終部分空間となる。
部分等長作用素が、次の等式によって特徴付けられることを示すことは難しくない。
W = W W ∗ W . {\displaystyle W=WW^{*}W.}
片方がある部分等長作用素の初期射影で、もう片方が同じ部分等長作用素の最終射影であるような射影のペアは、同値(equivalent)であると言われる。これらには実際、同値関係が成立し、それらは C*-環に対するK理論や、フォン・ノイマン環における射影のマレー(英語版)=フォン・ノイマン理論において重要な役割を果たす。
部分等長作用素(および射影)は、より抽象的な対合を備える半群(英語版)の理論においても定義される。その定義はこの記事で述べたものと合致するものである。