調和数列
調和数列の級数は一般調和級数
∑ n = 1 ∞ a 1 + ( n − 1 ) d = a d ∑ n = 1 ∞ 1 n − 1 + 1 d {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a}{1+(n-1)d}}={\frac {a}{d}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n-1+{\frac {1}{d}}}}}
になる。これは発散級数である。
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一般項 h n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle h_{n}={\frac {a}{1+(n-1)d}}} , 項数 n の調和数列 {hn} の総乗は
h 1 h 2 ⋯ h n = ( a d ) n ( 1 d ) n ̄ = ( a d ) n Γ ( 1 d ) Γ ( 1 d + n ) {\displaystyle h_{1}h_{2}\cdots h_{n}={\frac {\left({\frac {a}{d}}\right)^{n}}{\left({\frac {1}{d}}\right)^{\overline {n}}}}=\left({\frac {a}{d}}\right)^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{d}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{d}}+n\right)}}}
で表される。ここで、 x n ̄ {\displaystyle x^{\overline {n}}} は上昇階乗冪(x から 1 ずつ増やしながら x + n − 1 までの n 個の総乗(階乗の類似物)、Γ は ガンマ関数を表す。