有界変動函数
可積分函数 u ∈ L(Ω) の Ω における全変動(英語版) は V ( u , Ω ) = V Ω ( u ) := sup { ∫ Ω u ( x ) div  φ ( x ) d x : φ ∈ C c 1 ( Ω , R n ) , ‖ φ ‖ ∞ ≤ 1 } {\displaystyle V(u,\Omega )=V_{\Omega }(u):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\,\operatorname {div} \varphi (x){\mathit {dx}}:\varphi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\,\|\varphi \|_{\infty }\leq 1\right\}} で定義される。ここに、‖ • ‖∞ は Ω 上の本質的上限ノルムである。
カチョッポリ集合(英語版)の理論などでは、これが u の弱勾配 Du の全変動であることを強調するために ∫Ω‖ Du ‖ := V(u, Ω) のように書くこともある。
Boris Golubov によれば、一変数の有界変動函数を初めて導入したのはカミーユ・ジョルダンで、フーリエ級数の収束を扱った論文 (Jordan 1881) においてである。多変数函数に対する有界変動の概念の一般化に成功した最初の段階はレオニダ・トネリによるもの で、トネリは1926年に、変分法における問題の解を求めるための、自身の直接法を多変数に拡張するために、連続有界変動函数のクラスを導入した(Cesari 1986, pp. 47–48)。Cesari (1936) はトネリの定義における連続性の仮定をより制限の緩い「可積分性」の要求に置き換えて、全く一般の多変数有界変動函数のクラスを初めて得ている。ジョルダンがかつてしたように、チェザリはこれをフーリエ級数の収束問題の解法に用いたが、それは「二変数」の函数に対するものであった。チェザリ以降、さまざまな数学者たちが、有界変動函数を多変数のフーリエ級数、幾何学的測度論(英語版)、変分法および数理物理学に応用した。