0.999...
0.999... という実数を明確にとらえるには、やはり小数点以下の位がすべて 9 であることを利用する。位取り記数法で表された有限小数における"位ごとの四則演算"が無限小数に対しても適用できる、と見なすと、0.999... = 1 を初等的に導くことができる。
0.999... と 1 の等価性は、実数の体系(これは解析学では最も一般的に用いられる体系である)に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある。そのような体系の大半は、標準的な解釈の下で式 0.999... の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999..." に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる。
算数・数学教育において、0.999... = 1 という関係(または類似の関係)が正しいことを教えることは一つの課題となっている。個別には例えば、1 のような簡単な数に対しても別の表示方法(この場合、0.999...)があることや、0.999... が数列の極限の簡便な記法であること、極限の値は必ずしも元の数列に含まれないこと、また極限という概念そのものの理解が難しいことなどが挙げられる。
有限桁目が全て 3 だと仮定する。つまり
Z + ⊆ { n ∈ ∗ Z + ∣ d ( n ) = 3 } {\displaystyle \mathbb {Z} _{+}\subseteq \{n\in {}^{\ast }\mathbb {Z} _{+}\mid d(n)=3\}}
である。ここにoverspill principleを適用すると、ある無限大超自然数 n {\displaystyle n} があって
[ 1 , n ] ⊆ { n ∈ ∗ Z + ∣ d ( n ) = 3 } {\displaystyle [1,n]\subseteq \{n\in {}^{\ast }\mathbb {Z} _{+}\mid d(n)=3\}}
が成り立つ。つまり d {\displaystyle d} は "0.333...;...333000..." や "0.333...;...333001854..." のように、ある無限大桁目まで3が連続する超実数でなければならない。なお、超実数体は順序体であるから順序位相を考えることができるが、(超)実数の可算列 { 1 − 10 − n } n ∈ N {\displaystyle \{1-10^{-n}\}_{n\in \mathbb {N} }} は収束しないから、標準桁目だけがちょうど 9 であるような超実数はそうした有限小数表示の位相的極限と見做すとしてもなお存在しない。
数 0.999... の標準的な定義は 0.9, 0.99, 0.999, ...