籌算
籌算による除算で、各桁の数を除したときに剰余が出たならば、剰余と除数は上下に並べて置いておかなければならない。劉徽による『九章算術』の注釈では、上の数は「实(実)」、下の数は「法」と呼ばれていた。『孫子算経』では上の数は「子」または「分子」、下の数は「母」または「分母」とされており、現代中国語・日本語の分数用語と同じである。右図の例では、1が分子(剰余)、7が分母(除数)であり、それら2つを合わせて分数 1/7 となる。前節の除算 309/7 の商は 441/7 と読むこともできる。劉徽は『海島算経(中国語版)』において分数を含む計算を多数行った。
このように分子を上に、分母を下に置いて間に水平線を書かない分数の表し方は、除算法と同時にアラビア国家に伝えられた。その使用例は10世紀のアル=ウクリーディスィーや、15世紀にアル=カーシーが書いた『算術の鍵』にみられる。
『孫子算経』の方法で除算 309/7 = 441/7 を行う手順を下図に示す。計算は三段に分けて行い、上段から順に「商」、「実(被除数)」、「法(除数)」の名がつけられる。
『孫子算経』の除算アルゴリズムはインドを経由して、825年にアル=フワーリズミーの手によりそのままの形でイスラム国家に伝えられた。13世紀にはアル=フワーリズミーの著書がラテン語に翻訳され、孫子の除算法はヨーロッパに広まりガレー算(英語版)へと発展した。925年にアル=ウクリーディスィー(英語版)が書いた Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi や、11世紀にKushyar ibn Labbanが書いた Principles of Hindu Reckoning にみられる除算法は孫子のアルゴリズムと同じものである。
x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 − 16 w 2 − 4 x y + 6 x z + 16 y w − 24 z w − 2 y z {\displaystyle x^{2}+4y^{2}+9z^{2}-16w^{2}-4xy+6xz+16yw-24zw-2yz}