行列の階数
B を任意の n × k 行列として rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B)) が成り立つ。 B が行充足階数 n × k 行列ならば rank(AB) = rank(A) が成り立つ。 C が列充足階数 l × m 行列ならば rank(CA) = rank(A) が成り立つ。
rank(A) = r となるための必要十分条件は、m × m 正則行列 X と n × n 正則行列 Y が存在して X A Y = [ I r 0 0 0 ] {\displaystyle XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}} が成立することである。ただし Ir は r × r 単位行列である。右辺の行列は A の階数標準形と呼ばれる。
rank(A) = rank(A)( A は転置行列)
階数・退化次数の定理が成立