Montgomery curve
モンゴメリ曲線 M A , B {\displaystyle M_{A,B}} 上の与えられた点 P 1 {\displaystyle P_{1}} に対して、点 P 1 {\displaystyle P_{1}} において曲線と接する直線を考えたとき、2倍算の点 [ 2 ] P 1 {\displaystyle [2]P_{1}} は、直線と曲線の3番目の交点で表される。よって、点 P 3 = 2 P 1 {\displaystyle P_{3}=2P_{1}} の座標を見つけるには、加算で与えられたのと同じ方法に従えば十分である。ただし、この場合、直線 y = l x + m {\displaystyle y=lx+m} は点 P 1 {\displaystyle P_{1}} で曲線に接している必要がある。もし曲線 M A , B {\displaystyle M_{A,B}} が
f ( x , y ) = x 3 + A x 2 + x − B y 2 = 0 {\displaystyle f(x,y)=x^{3}+Ax^{2}+x-By^{2}=0}