ダルブー導関数
モノドロミーを用いると、ωをダルブー導関数に持つ関数が存在する必要十分条件を特徴づける事ができる:
定理 (微分積分学の基本定理(英: Fundamental theorem of calculus)) ― Gをリー群とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をGのリー代数とし、Mを多様体とし、ωをM上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -値1-形式とする。このとき、ダルブー導関数 ω f {\displaystyle \omega _{f}} がωと一致する関数 f : M → G {\displaystyle f~:~M\to G} が存在する必要十分条件は、以下の2条件が成立する事である:
d ω + 1 2 [ ω , ω ] = 0 {\displaystyle d\omega +{1 \over 2}[\omega ,\omega ]=0}
よってMの点P0におけるMの基本群 π 1 ( M , P 0 ) {\displaystyle \pi _{1}(M,P_{0})} を考えると、 [ c ] ∈ π 1 ( M , P 0 ) {\displaystyle [c]\in \pi _{1}(M,P_{0})} にcの発展 c ~ {\displaystyle {\tilde {c}}} の終点 ∈ G {\displaystyle \in G} を対応させる写像は代表元cの取り方によらずwell-definedである。
定理・定義 (モノドロミー) ― 記号を上述のように取るとき、写像
Φ ω : [ c ] ∈ π 1 ( M , P 0 ) ↦ ( {\displaystyle \Phi _{\omega }~:~[c]\in \pi _{1}(M,P_{0})\mapsto (} 単位元eからの c {\displaystyle c} の発展 c ~ {\displaystyle {\tilde {c}}} の終点) ∈ G {\displaystyle \in G}
は準同型になる。 Φ ω {\displaystyle \Phi _{\omega }} をωのモノドロミー表現(英: monodromy representation)といい、Gの部分群 Φ ω ( π 1 ( M , P 0 ) ) ⊂ G {\displaystyle \Phi _{\omega }(\pi _{1}(M,P_{0}))\subset G} をモノドロミー群(英: monodromy group)もしくは周期群(英: period group)という。