ウェーブレット
∫ − ∞ ∞ t m ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{m}\,\psi (t)\,dt=0}
マザーウェーブレットは、 a {\displaystyle a} の因数による拡大縮小(スケール)と、 b {\displaystyle b} の因数による平行移動(シフト)により、(Morlet によるオリジナルの定式化のように)以下のように与えられる。
ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t − b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over a}\right)} .
連続ウェーブレット変換では、(a,b) のペアは全半平面 R + × = R {\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times =R} 上で変化する。また離散ウェーブレット変換では、このペアは、affine群とも呼ばれる離散部分集合上で変化する。
これらの関数はたびたび(連続)変換の基底関数という誤った捉え方をされる。事実、連続フーリエ変換にあるような基底は、連続ウェーブレット変換にはみあたらない。時間周波数解釈では少し違う定式化が使用される(Delpratによる)。
が構成される。これらより、系列
{ 0 } ⊂ ⋯ ⊂ V 1 ⊂ V 0 ⊂ V − 1 ⊂ ⋯ ⊂ L 2 ( R ) {\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}
は L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} の多重解像度解析を形成することになり、また部分空間 ... , W 1 , W 0 , W − 1 , ... ... {\displaystyle \dots ,W_{1},W_{0},W_{-1},\dots \dots } は上の系列の直交する差分、つまり W m {\displaystyle W_{m}} は V m − 1 {\displaystyle V_{m-1}} 中にある V m {\displaystyle V_{m}} の直交補空間となる。サンプリング定理と同様に、sampling distance 2 m {\displaystyle 2^{m}} の空間 V m {\displaystyle V_{m}} は 0 から 2 − m − 1 {\displaystyle 2^{-m-1}} の周波数帯域をほぼカバーすることになる。また W m {\displaystyle W_{m}} は直交補空間として帯域 [ 2 − m − 1 , 2 − m ] {\displaystyle [2^{-m-1},2^{-m}]} を大まかにカバーする。