剰余環
環 R とその両側イデアル I が与えられたとき、R 上の同値関係 ~ を
a ~ b ⇔ b − a ∈ I
で定める。a ~ b が成立することを「a と b はイデアル I を法として合同である」という。イデアルの性質から、これが合同関係を定義することを確かめるのは難しくない。
R の元 a の属する同値類は
[ a ] = a + I := { a + r ∣ r ∈ I } {\displaystyle [a]=a+I:=\{a+r\mid r\in I\}}
で与えられる。この同値類は a mod I とも書き、「a を I で割った剰余類」("residue class of a modulo I") と呼ばれる。
このような同値類全体の成す集合を R/I で表せば、これは
( a + I ) + ( b + I ) := ( a + b ) + I ; ( a + I ) ( b + I ) := ( a b ) + I {\displaystyle {\begin{aligned}(a+I)+(b+I)&:=(a+b)+I;\\(a+I)(b+I)&:=(ab)+I\end{aligned}}}
を演算とする環となる(これが矛盾無く定義できることは確認すべきことである)。これを R を I で割った商環、あるいは剰余環という。剰余環 R/I の零元は 0 + I = I であり、乗法単位元は 1 + I で与えられる。
環 R から剰余環 R/I への全射な環準同型 π が
π ( a ) := a + I {\displaystyle \pi (a):=a+I}
とおくことによって定まる。これは自然な射影や標準準同型などとも呼ばれる。
これにより代数多様体 V を調べることが、この座標環を調べることに帰着される。
M が C-多様体で p が M の元とするとき、M 上定義された C-級函数全体の成す環 R = C(M) と、そのような函数 f のうちで点 p の適当な近傍 U で(U は f ごとに異なってもよい)恒等的に消えているようなもの全体からなるイデアル I を考えると、剰余環 R/I は点 p における M 上のC-級函数の芽全体の成す環となる。
F を超実数体 *R の有限な元からなる環とする。これは標準実数とは無限小の寄与の分だけ異なる超実数全体からなる。言い換えれば、F は標準整数 n を十分大きく取れば −n < x < n とできるような超実数 x 全体からなる。また集合 I を *R の無限小の全体に 0 を合わせて得られるものとすると、これは F のイデアルとなり、剰余環 F/I は標準実数体 R に同型となる。この同型は F の各元 x に x の標準部分(x に無限に近い標準実数)st(x) を対応させることによって導かれる。実は、環 F を有限超準有理数(超準整数の比)の全体が成す環としても同じやり方で同じく R を得ることができる。