米田の補題
米田写像 y を、自然変換 τ に対して y ( τ ) = τ A ( i d A ) {\displaystyle y(\tau )=\tau _{A}(\mathrm {id} _{A})} で定める。y が全単射であることを示す。
単射性:a ∊ F(A) に対して、自然変換 τ : H ⇒ F が存在して y(τ) = a であったとする。このとき、任意の射 f : A → Y に対して τ は τ Y ( a ) = F f ( a ) {\textstyle \tau _{Y}(a)=Ff(a)} を満たす。これにより τ の全てのコンポーネントが一意に定まる、すなわちそのような τ は一意に定まるため、y は単射である。
全射性:a ∊ F(A) を任意に固定する。C の対象 X それぞれに対して、写像 τX : hom(A, X) → F(X) を τ X ( f ) = F f ( a ) {\textstyle \tau _{X}(f)=Ff(a)} で定める。このとき、f : X → Y と g : A → X に対して F f ( τ X ( g ) ) = F ( f ∘ g ) ( a ) = τ Y ( f ∘ g ) {\displaystyle Ff(\tau _{X}(g))=F(f\circ g)(a)=\tau _{Y}(f\circ g)} が成り立つことから、τX はある自然変換 τ : H ⇒ F のコンポーネントである。定義から τA(idA) = a であるため y(τ) = a が成り立つ。すなわち y は全射である。