リー環のコホモロジー
M ↦ M g := { m ∈ M ∣ x m = 0 for all x ∈ g } {\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}}
の右導来関手である。
同様に、リー環のホモロジーを
H n ( g ; M ) := T o r n U g ( R , M ) {\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}
と定義でき(Tor の定義は Tor関手を参照)、これは右完全余不変(英語版)関手
M ↦ M g := M / g M . {\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}
の左導来関手と同値である。
リー環のコホモロジーについての重要な基本的な結果の中にはホワイトヘッドの補題(英語版)、ワイルの完全可約性定理(英語版)、レヴィ分解(英語版)定理がある。