モチーフ (数学)
代数幾何学では、モチーフ(motive、ときにはフランス語の使いかたに従い motif とすることもある)は、代数多様体の本質的な部分を表す。今日まで、ピュアモチーフは定義されているが、一方、予想されている混合モチーフは定義されていない。 ピュアモチーフは、三つ組 (X, p, m) で、この X は滑らかな射影多様体、p : X ⊢ X はべき等な(idempotent)対応、m は整数である。(X, p, m) から (Y, q, n) への射(morphism)は、次数 n - m の対応により与えられる。
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)に従い、混合モチーフに限っては、数学者たちが「普遍的」なコホモロジー論をもたらす適切な定義を求めている。圏論の言葉では、普遍的なコホモロジーは代数的代数的対応の圏でべき等分解(英語版)(splitting idempotents)を通した定義を意図していた。しかし、数十年間、標準予想を証明することに失敗して、これを定義することができなかった。現在示されているように、このことは「充分な」多くの射を持つことができない。 一方、モチーフの圏は、1960年代から1970年代にかけて、多く議論された普遍ヴェイユコホモロジーであることが想定されたが、この期待は完全に証明されてはいない。他方、現在は、全く異なる方法より、モチーフコホモロジー(motivic cohomology)が、現在、テクニカルな定義が数多くある。
結合関係は、次の函手となる。
h : S m P r o j ( k ) ⟶ C o r r ( k ) X ⟼ [ X ] := ( X , Δ ) X f ⟼ [ f ] := Γ f ⊂ X × Y {\displaystyle h:{\begin{array}{rcl}SmProj(k)&\longrightarrow &Corr(k)\\X&\longmapsto &[X]:=(X,\Delta )_{X}\\f&\longmapsto &[f]:=\Gamma _{f}\subset X\times Y\end{array}}} ,
ここに ΔX := [idX] は、X × X の対角である。モチーフ [X] は多様体 X に伴うモチーフと呼ばれる。
目的通り、Chow(k) は擬アーベル圏(英語版)(pseudo-abelian category)である。 有効モチーフの直和は、
( [ X ] , α ) ⊕ ( [ Y ] , β ) := ( [ X ∐ Y ] , α + β ) {\displaystyle ([X],\alpha )\oplus ([Y],\beta ):=([X\coprod Y],\alpha +\beta )}
で与えられる。有効モチーフのテンソル圏は、
(標数が ≠ l である任意の体上の)l-進コホモロジーは、標準的なガロア群作用、すなわち、(絶対)ガロア群の表現を持っている。
クリスタリンコホモロジー(英語版)(crystalline cohomology)
これらすべてのコホモロジー論は、共通の性質として、マイヤー・ヴィートリス系列、ホモトピー不変性 (H*(X) ≅ H*(X × A)、X の積、X とアフィン直線との積、などの性質を持っている。さらに、それらは比較同型定理により結びつけられている。例えば、有限係数の C 上の滑らかな多様体 X のベッチコホモロジー H*Betti(X, Z/n) は、有限係数の l-進コホモロジーに同型である。
モチーフの理論は、これらの特別なコホモロジー全てを埋め込むことのでき、
[projective line] = [line]+[point]
のような「方程式」のフレームワークを提供する試みである。特に、任意の多様体のモチーフを計算することは、直接、いくつかのヴェイユコホモロジーである、H*Betti(X)、H*DR(X) などについてのすべての情報をもたらす。
グロタンディエクに始まり、多くの年月をかけてこの理論を詳しく定義しようという努力が続けられている。