球面
より一般に、距離空間 (E, d) において、中心 x および半径 r > 0 の球面(距離球面)は d(x,y) = r なる点 y の軌跡として定義される。
中心が E の「原点」として捉えられる識別点にとるとき(例えば、ノルム空間は原点を持つ距離空間である)、定義や記法にその点は現れないかもしれない。半径を 1 に取るとき、単位球面と呼ぶのは従来通りである。
距離球体の場合と異なり、距離球体はそれが十分大きい半径を持つ場合でも空集合となり得る。例えばZ にユークリッド距離を入れるとき、半径 r の球面は空でないのは r が n 個の整数の平方和に書けるときに限る。
法線を含む平面との交線は「法断面」と呼ばれる曲線をなし、その曲線の曲率を「法曲率」と呼ぶ。多くの曲面に対してその上の点の多くは異なる切断に対して異なる曲率を持つ。それら曲率の中で最大および最小の値を持つものを主曲率と言う。任意の閉曲面は少なくとも四つの「臍点」と呼ばれる点を持つ。臍点にいてすべての断面曲率(特にふたつの主曲率)は等しい。臍点は曲面を球面で極めて近似できる点と見なすことができる。 球面に対しては全ての法断面の曲率が等しいから、任意の点が臍点である。この性質を満たす曲面は、球面と平面に限る。
「球面は中心曲面を持たない」 [注釈] 与えられた法断面に対して、断面曲率に等しい曲率を持ち曲面に接する円が存在して、その中心線は法線上に載る。例えば、最大および最小断面曲率に対応する中心点は「焦点」と呼ばれ、そのような中心点全体の成す集合は焦面(英語版)を成す。 大半の曲面では焦面は二葉曲面(それぞれが曲面となるような二つの集合)を成し、ふたつの葉は臍点で交わる。いくつかの場合は特別である: 管状曲面(英語版)の場合、一葉は曲線でありもう一葉は曲面となる。 円錐、円筒、トーラス、サイクライド(英語版)の場合は、二葉とも曲線を成す。 球面の場合、任意の接触円の中心は球の中心であり、焦面は一点となる。
相異なる二つの球面の方程式 f(x, y, z) = 0 および g(x, y, z) = 0 に対して
は、助変数 s, t の任意の値に対して、やはり球面の方程式を与える。適当な t, s に対してこの方程式を満足する球面すべてからなる族を、もとのふたつの球面(生成球面)から定まる球束または球面束 (pencil of spheres) と呼ぶ。ただし、この定義において「球面」には平面(無限遠点中心、半径無限大)の場合も許すものとする。生成球面が両方とも平面である場合には、球面束を成すすべての球面が平面となるか、さもなくば球面束はただ一つの平面(生成球面の根面)のみからなる。
球面束がすべて平面からなるのでないならば、それを以下の三種に分類することができる:
生成球面の交円が実円 C ならば、球面束は C を含む球面(根面も含めて)全体の成す族になる。