群論
初めて系統的な研究のなされた群のクラスは置換群である。 任意の集合 X と、X からそれ自身への全単射(置換とも呼ばれる)の集まり G で合成と反転に関して閉じているようなものが与えられたとき、G は X に作用する群であるという。
X がn 個の元からなり、G が置換全体からなるならば、G は n-次対称群 Sn と呼ばれる。 一般の置換群 G は X の対称群のある部分群となっているものをいう。 ケイリーによる初期の構成では、 任意の群は(左正則表現の意味で)X = G として自分自身に作用する置換群として提示された。
多くの場合、置換群の構造は対応する集合への作用の性質を用いて調べられる。 例えば、n ≥ 5 に対する交代群 An が単純群である。 つまり、真の正規部分群を持たない。 次の方法で示すことができる。An が単純であるという事実は、高次一般代数方程式の根の冪根による表示の不可能性において重要な役割を果たす。
組合せ数学においては、置換群や群作用の概念がしばしば使われ、集合の個数を計測する助けになる。バーンサイドの補題も参照。
五度圏には12周期群(巡回群)が現れる。
物理学においては、群は物理の法則に現れる対称性を記述するために使われる。物理学者は、群の表現、特にリー群の表現に興味を持っている。なぜならそれはしばしば、「可能な」物理法則を指し示すからである。物理における群論の応用には、たとえば標準模型、ゲージ理論、ローレンツ群、ポアンカレ群などがある。
化学、材料科学においては、群はおもに結晶構造や分子対称性を分類するのに使われる。構造に対応した点群により、物理的な性質(極性やキラリティ)や分子軌道を決定できる。ラマン分光法や赤外分光法も参照。分子の対称性は、化合物の多くの物理的・分光学的特性に関与しており、分子の対称性により化学反応がどのように起こるかを予想できる。与えられた分子に点群を割り当てるためには、その分子に存在する対称操作の集合を見つける必要がある。対称操作と対称要素は不可分の概念である。物体の位置と配向を、移動が行われる前と後で注目したとき、これら二つの場合の位置と配向が区別できないようならば、その移動が対称操作である。一方で、対称要素とは、幾何学的な意味での、線、面、点などであり、それらに関して一つまたはそれ以上の対称操作が行われるものである。以下で対称操作について詳しく説明する。化学では、以下の5つの重要な対称操作がある。それらは、同一性操作(E)、回転操作または本義回転(proper rotation)(Cn)、反射操作または鏡映(σ)、反転操作(i)、および回転反射操作または転義回転(improper rotation)(Sn)である。