フーリエ変換
で定義される函数 ƒR を考える。さらに ƒ が L(R) に属すると仮定する。n = 1 で 1 < p < ∞ とし、SR = (−R, R) と置くと、ヒルベルト変換の有界性から ƒR は R を無限大に飛ばす極限で ƒ に L 内で収束する。素朴に n > 1 の場合にも同様であることを期待するかもしれない。SR を一辺の長さが R の立方体とするならば、確かに部分和作用素はもとの函数に収束する。別の自然な候補としてユークリッド球体 SR = {ξ : |ξ| < R} をとると、部分和作用素が収束するためには単位球体に対するマルチプライヤーが L(R) において有界である必要がある。n ≥ 2 に対しては、単位球体に対するマルチプライヤーは p = 2 でない限り有界にはならないというよく知られたチャールズ・フェファーマンの定理がある。事実として、p ≠ 2 のときには ƒR が ƒ に L 内で収束しないだけではなく、函数 ƒ ∈ L(R) であっても ƒR が L の元でさえないようなものまでが存在する。
∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 d x = ∫ − ∞ ∞ | f ^ ( ξ ) | 2 d ξ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }
が成立する。プランシュレルの定理により、L(R) に属する関数の後述する意味でのフーリエ変換を定義することが可能になる。プランシュレルの定理は、フーリエ変換はもとの量のエネルギーを保存するという自然科学における解釈を持つ。著者によってはこれらの定理のどちらともをプランシュレルの定理あるいはパーセバルの定理と呼んでいる場合があるので注意を要する。
局所コンパクトアーベル群に関する文脈におけるフーリエ変換の概念の一般の定式化についてはポントリャーギン双対の項を参照されたい。
イメージとしては、超関数は関数列の極限であるが、関数列自体が超関数であり、 lim n → ∞ f n ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)} が収束値を持つ必要はない。
急減少関数は絶対可積分関数であるため、絶対可積分関数としてのフーリエ変換が定義されるが、急減少関数のフーリエ変換は急減少関数になるという性質がある。この性質を利用し、次のように超関数のフーリエ変換が定義される。
定義: 急減少関数の列である超関数 { f n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} のフーリエ変換は、急減少関数の列 { ∫ − ∞ ∞ f n ( x ) e − 2 π i x ξ d x } n = 1 ∞ {\displaystyle \{\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}(x)e^{-2\pi ix\xi }dx\}_{n=1}^{\infty }} からなる超関数と定義される。
フーリエ変換は勝手な次元 n において考えることができる。1-次元の場合と同様にさまざまな流儀があるが、本項では絶対可積分函数 ƒ(x) に対して、
f ^ ( ξ ) = F ( f ) ( ξ ) = ∫ R n f ( x ) e − 2 π i x ⋅ ξ d x {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )={\mathcal {F}}(f)(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }\,dx}
をフーリエ変換の定義とする。ここで、x および ξ は n-次元ベクトルであり、x · ξ はベクトルの点乗積である。点乗積はしばしば <x, ξ> とも書き表される。
プランシュレルの定理やパーセバルの定理がそうであるように、上述の基本性質は n-次元フーリエ変換においても成立する。函数が絶対可積分であるとき、フーリエ変換はやはり一様連続であり、リーマン・ルベーグの補題が成立する。
より高い次元ではフーリエ変換の制限問題の研究が興味深いものになる。絶対可積分函数のフーリエ変換は連続で、この函数の任意の集合への制限が定義される。
実数直線上で定義される関数 f が絶対可積分であるとは、
∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty }
を満たすルベーグ可測関数であることをいう。
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ A ( ξ ) e i ( 2 π ξ x + φ ( ξ ) ) d ν {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\,e^{i(2\pi \xi x+\varphi (\xi ))}\,d\nu }
と書くことができる。各成分は振幅が A(ξ) で(x = 0 における)初期位相角が φ(ξ) であるような e のかたちの複素正弦曲線である。
フーリエ変換は函数空間の間の写像として考えることもできる。この写像はここでは F {\displaystyle {\mathcal {F}}} で表し、函数 f のフーリエ変換には F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} が用いられる。この写像 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は函数空間上の線型変換とみることができ、それによって F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} と書く代わりに、ベクトル(ここでは函数 f)の線型変換を表す線型代数学の標準的な記法で F f {\displaystyle {\mathcal {F}}f} と書くこともできる。函数にフーリエ変換を施した結果は再び函数となるから、この新たな函数の ξ における値というものには意味があり、それを F ( f ) ( ξ ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)(\xi )} あるいは ( F f ) ( ξ ) {\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\xi )} などと表す。