有界作用素
Δ : H 2 ( R n ) → L 2 ( R n ) {\displaystyle \Delta \colon H^{2}({\mathbb {R} }^{n})\to L^{2}({\mathbb {R} }^{n})\,}
は有界である。
x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + ⋯ < ∞ {\displaystyle x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty \,} を満たすような実数からなるすべての数列 (x0, x1, x2...) からなる関数空間 l 上のシフト作用素
L ( x 0 , x 1 , x 2 , ... ) := ( 0 , x 0 , x 1 , x 2 , ... ) {\displaystyle L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots ):=(0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\,}
は有界である。その作用素ノルムが 1 であることはすぐに分かる。
ノルム空間上の線形作用素の有界性に関する条件は、次のように言い換えることが出来る。作用素は、すべての有界集合をふたたび有界集合へと写すとき、有界であると言われる。ここでの集合の有界性は、線形位相空間の集合に対するより一般的な条件を意味する: 集合が有界であることと、その集合が 0 のすべての近傍により吸収されることは必要十分である。有界性についての二つの記述は、局所凸空間に対しては同じ意味となる。
これより、一般的な線形位相空間の間の作用素が有界であるということを、その作用素が有界集合を有界集合へと写す、ということにより定義することが出来る。この文脈において、すべての連続作用素が有界作用素であるということは依然として正しいが、その逆は成立しない。すなわち、有界作用素は必ずしも連続作用素ではない。このことは明らかに、有界性はもはやリプシッツ連続性と同値にはならない、ということを意味している。
そのような逆は、定義域が擬距離空間であるような場合に成立する。例えばフレッシェ空間などがこの場合に含まれる。LF-空間に対しては、次のような弱い意味での逆が成立する; LF-空間からの任意の有界線形作用素は、点列連続(英語版)である。