逆温度
上の項で統計力学的に定義したβを、熱力学の関係式と比較することで、逆温度βと絶対温度Tの関係式が求まる。
エントロピーの定義式
S = k B ln  Ω {\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega \,}
より、lnΩをβの定義式へ代入すると、
β = 1 k B ∂ S ∂ E {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {\partial S}{\partial E}}}
となる。これを熱力学の公式
∂ S ∂ E = 1 T {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial E}}={\frac {1}{T}}}
と比較すると、βとTの関係式が次のように求まる。
β = 1 k B T {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}
統計力学では、逆温度βは接触した二つの系の平衡状態を考えることで定義される。
熱的に接触した二つの系1と2を考え、それぞれのエネルギーをE1、E2とする。E1とE2の和を一定であるとしてEとおく。それぞれの系の状態数をΩ1、Ω2とすると、状態数Ωiはエネルギー Ei を含む関数であるので、二つの結合した系の状態数は次のように表せる。
Ω ( E 1 + E 2 ) = Ω 1 ( E 1 ) Ω 2 ( E 2 ) = Ω 1 ( E 1 ) Ω 2 ( E − E 1 ) {\displaystyle \Omega (E_{1}+E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1})\,}
ここで、平衡状態に達した系の状態数は停留値(英語版)をとると仮定すると、平衡状態において上式の両辺をE1で微分して、
∂ ∂ E 1 Ω ( E 1 + E 2 ) = Ω 2 ( E 2 ) ∂ ∂ E 1 Ω 1 ( E 1 ) + Ω 1 ( E 1 ) ∂ ∂ E 2 Ω 2 ( E 2 ) ⋅ ∂ E 2 ∂ E 1 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\Omega (E_{1}+E_{2})=\Omega _{2}(E_{2}){\frac {\partial }{\partial E_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {\partial }{\partial E_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {\partial E_{2}}{\partial E_{1}}}=0}