バナッハ＝タルスキーのパラドックス
F 2 = a S ( a − 1 ) ∪ S ( a ) , {\displaystyle F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a),\,}
および
F 2 = b S ( b − 1 ) ∪ S ( b ) . {\displaystyle F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b).\,}
である。 aS(a)という表記は、S(a)の元の左にaをかけた文字列の全体である。
最後の行がこの証明の核心である。例えば集合 a S ( a − 1 ) {\displaystyle aS(a^{-1})} は a a − 1 b {\displaystyle aa^{-1}b} という文字列を含む。 a {\displaystyle a} は a − 1 {\displaystyle a^{-1}} の直前直後に現れてはいけないというルールにより、この文字列は b {\displaystyle b} となる。同様に、 a S ( a − 1 ) {\displaystyle aS(a^{-1})} は a − 1 {\displaystyle a^{-1}} で始まる全ての文字列を含む(例えば文字列 a a − 1 a − 1 {\displaystyle aa^{-1}a^{-1}} は a − 1 {\displaystyle a^{-1}} となるため)。このようにして、 a S ( a − 1 ) {\displaystyle aS(a^{-1})} は b {\displaystyle b} , b − 1 {\displaystyle b^{-1}} , a − 1 {\displaystyle a^{-1}} で始まる全ての文字列を含む。