ド・グアの定理
ピタゴラスの定理とド・グアの定理はいずれも直交する頂点を持つ n-単体に関する定理の特別な場合(n = 2, 3)である。さらにこれ自体、Donald R. Conant と William A. Beyer による以下に述べる定理の特別な場合である。
U を、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の k-次元アフィン部分空間(よって k ≤ n {\displaystyle k\leq n} )に含まれるようなボレル集合とする。ちょうど k 個の要素からなる任意の部分集合 I = { i 1 , ... , i k } ⊆ { 1 , ... , n } {\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}} に対し、U の e i 1 , ... , e i k {\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}} による線型包への直交射影を U I {\displaystyle U_{I}} と書くことにする(ここで e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} は R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の標準基底)。このとき
vol k 2 ( U ) = ∑ I vol k 2 ( U I ) {\displaystyle {\mbox{vol}}_{k}^{2}(U)=\sum _{I}{\mbox{vol}}_{k}^{2}(U_{I})}