E.ホップの拡張定理
が、 ∪ n = 1 ∞ A n ∈ Σ 0 {\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in \Sigma _{0}} を満たす Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 内の任意の互いに素な集合列 ( A n ) n ∈ N {\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }} に対して成り立つものとする(これらの2つの性質を満たす関数 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は前測度として知られている)。このとき μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} により生成されるσ-代数 Σ {\displaystyle \Sigma } 上で定義されるある測度へと拡張される。すなわち、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} への制限が μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} と一致するようなある測度
μ : Σ → R ∪ { ∞ } {\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}
が存在する。
μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} が σ-有限であるなら、この拡張は一意である。