ポアンカレ不等式
ポアンカレ不等式における最適な定数 C は、領域 Ω に対するポアンカレ定数(Poincaré constant)としても知られる。ポアンカレ定数を決定することは、一般には p の値と領域 Ω の形状に依存する非常に難しい問題である。しかし、いくつかの特別な場合では決定することが出来る。例えば、Ω をある有界かつ凸なリプシッツ領域で、その直径は d であるとすると、ポアンカレ定数は p = 1 に対しては高々 d/2 であり、p = 2 に対しては高々 d 2 / π 2 {\displaystyle \scriptstyle {d^{2}/\pi ^{2}}} である(Acosta & Durán 2004; Payne & Weinberger 1960)。またこれは、直径のみに関するポアンカレ定数の最適な評価である。滑らかな函数に対しては、この問題は函数の等位集合に対する等周不等式の応用として捉えることが出来る。
しかしいくつかの特別な場合では、定数 C は具体的に決定することが出来る。例えば p = 2 の場合、単位直角二等辺三角形の領域に対しては C = 1/π( < d/π。