最大公約数
たとえば有理整数環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } では 4 {\displaystyle 4} と 6 {\displaystyle 6} の最大公約数は ± 2 {\displaystyle \pm 2} であり、多項式環 R [ X ] {\displaystyle \mathbb {R} [X]} では x 3 − x {\displaystyle x^{3}-x} と x 3 + x 2 − x − 1 {\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1} の最大公約数は c ( x 2 − 1 ) {\displaystyle c(x^{2}-1)} ( c ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle c\in \mathbb {R} \setminus \{0\}} ) である。しかし考えている環が整域であれば、最大公約数は存在すれば単元倍を除いて一意なのでそれぞれ単に 2 {\displaystyle 2} や x 2 − 1 {\displaystyle x^{2}-1} と書いてよい。
このように一般の整域でも最大公約数は存在するとは限らないが、すべての二つの元について最大公約数が存在するような整域をGCD整域と言い、特に一意分解整域であればGCD整域である。さらに単項イデアル整域であれば元 a 1 , ... , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} に対して ( a 1 , ..