ピタゴラス平均
これらの平均には順序があり(すべての x i {\displaystyle x_{i}} が正の場合)
min ≤ HM ≤ GM ≤ AM ≤ max {\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max }
となり、 x i {\displaystyle x_{i}} がすべて等しい場合にのみ等しくなる。
これは算術・幾何平均の不等式(英語版)の一般化であり、一般化平均(英語版)の不等式の特殊な場合である。証明は、算術・幾何平均の不等式(英語版)、 AM ≤ max {\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max } 、また逆数との双対性( min {\displaystyle \min } と min {\displaystyle \min } にも逆数との双対性がある)に従う。
ピタゴラス平均の研究は、Majorization(英語版)やSchur-convex function(英語版)の研究と密接な関係がある。調和平均と幾何平均は引数の凹対称函数であるため、Schur-concaveであり、算術平均は引数の一次関数であるため、凹と凸の両方である。