DCG
また2005年に提唱された適合度の高い文書に対しより高い評価を与えることを重視した DCG が代替的に使用されている:
D C G p = ∑ i = 1 p 2 r e l i − 1 log 2  ( i + 1 ) {\displaystyle \mathrm {DCG_{p}} =\sum _{i=1}^{p}{\frac {2^{rel_{i}}-1}{\log _{2}(i+1)}}}
後者の式は一般的なウェブ検索企業や Kaggle といったデータサイエンスの競技プラットフォームで用いらている指標となっている。
これら2つの DCG の式は文書に対する適合度が r e l i ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle rel_{i}\in \{0,1\}} の二値(英語版)で与えられるとき等しくなる。
なおクロフトら (2010) やバージェスら (2005) は下記の DCG 式の対数部分は自然対数として定義しているが、ここでは 2 を底とする対数を用いた DCG を定義している。第一式の DCG は対数の底の値によって nDCG の値は大きく変動しないが、第二式の DCG においては対数の底の値によって nDCG は大きな影響を受ける。これは明らかに、上記の DCG 式は対数の底によって割り引かれる程度が変動する。
検索クエリに対する文書のリストが与えられたときに、各文書のクエリに対する適合性を求める。各文書は、0: 関連がない、3: 関連がある、1, 2: 中間の評価として、0~3の値で判定する。文書に対してランキングアルゴリズムに則って評価値(ラベル)を順に与えるとき、各文書を
D 1 , D 2 , D 3 , D 4 , D 5 , D 6 {\displaystyle D_{1},D_{2},D_{3},D_{4},D_{5},D_{6}}
とおき、各文書ごとにクエリとの適合性の値を:
3 , 2 , 3 , 0 , 1 , 2 {\displaystyle 3,2,3,0,1,2}
と与える。
このとき、 D 1 {\displaystyle D_{1}} の適合性は 3、 D 2 {\displaystyle D_{2}} の適合性は 2 である。この検索結果リストに対する CG(累積利得)は:
C G 6 = ∑ i = 1 6 r e l i = 3 + 2 + 3 + 0 + 1 + 2 = 11 {\displaystyle \mathrm {CG_{6}} =\sum _{i=1}^{6}rel_{i}=3+2+3+0+1+2=11}
である。
検索結果リストの任意の2つの文書の順序を入れ替えることは CG の値に対し影響を与えない。ここで D 3 {\displaystyle D_{3}} および D 4 {\displaystyle D_{4}} を入れ替えると、CG は 11 と入れ替える前と同値ある。