ヤコビの二平方定理
F ( v ) {\displaystyle F(v)} と G ( v ) {\displaystyle G(v)} は共に楕円関数である。且つ、
θ 1 ′ ( v + 1 2 + τ 2 ) = θ 2 ′ ( v + 1 2 + τ 2 ) = 0 θ 1 ′ ( v + τ 2 ) = θ 2 ′ ( v + τ 2 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}'\left(v+{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\right)=\vartheta _{2}'\left(v+{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\right)=0\\&\vartheta _{1}'\left(v+{\frac {\tau }{2}}\right)=\vartheta _{2}'\left(v+{\frac {\tau }{2}}\right)=0\\\end{aligned}}}
であるから、 G ( v ) = 0 {\displaystyle G(v)=0} となるところにおいて悉く F ( v ) = 0 {\displaystyle F(v)=0} となり、リウヴィルの定理によって F ( v ) / G ( v ) {\displaystyle F(v)/G(v)} は定数である。
二個の平方数の和
ヤコビの四平方定理