モノイド対象
圏論において、モノイド対象(モノイドたいしょう、英: monoid object)(M, μ, η) は、モノイド圏 (C, ⊗, I) が与えられたとき、C の対象 M および二つの射(乗法: μ: M ⊗ M → M および単位射: η: I → M の組を言う。ただし二つの射はそれぞれ、五角形図式
および単位子図式
を可換にするものでなければならない。上記の図式に現れる記号について、I はモノイド圏 C の ⊗ に対する(自然同型を除く)単位元であり、三つの射 α, λ, ρ はそれぞれ C における(自然同型を除く)結合律、左単位律、右単位律を与える射である。
モノイド圏 C におけるモノイド対象のことを、単にその圏の(内部)モノイドとも呼ぶ。これと双対的に、モノイド圏 C の余モノイド対象 (comonoid) は双対圏 C のモノイド対象を言う。
モノイド圏 C が対称(英語版)(すなわち、自然同型を除く対称律を定める射 γ を持つ)ならば、C のモノイド対象 M が可換 (commutative) とは μ ∘ γ = μ となることを言う。