メルカトル級数
複素冪級数
∑ n = 1 ∞ z n n = z + z 2 2 + z 3 3 + z 4 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots }
は log を複素対数の主値とした際の −log(1−z) に対するテイラー級数である。この級数は |z| ≤ 1, z ≠ 1 を満たす全ての複素数に対して収束する。実際、ダランベールの収束判定法から、収束半径が1に等しいと分かるから、半径 r < 1 の全ての円板 B(0, r) 上で絶対収束する。更に、欠けた円板(nibbled disk) B ( 0 , 1 ) ̄ ∖ B ( 1 , δ ) {\displaystyle \scriptstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )} (δ > 0)上で一様収束する。このことは右辺が閉単位円板上全体で一様収束することに注目すれば、代数恒等式
( 1 − z ) ∑ n = 1 m z n n = z − ∑ n = 2 m z n n ( n − 1 ) − z m + 1 m {\displaystyle (1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}}}
から一度に導かれる。
ln  ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + ( − 1 ) n ∫ 0 x t n 1 + t d t {\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\ dt}
が得られる。
もし −1 < x ≤ 1 なら、剰余項は n → ∞ のとき0に収束する。
この式を更に k 回繰り返し積分することで
− x A k ( x ) + B k ( x ) ln  ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n + k n ( n + 1 ) ⋯ ( n + k ) {\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}}}
を得られる。ここで
A k ( x ) = 1 k ! ∑ m = 0 k ( k m ) x m ∑ l = 1 k − m ( − x ) l − 1 l {\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}
および
B k ( x ) = 1 k ! ( 1 + x ) k {\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}
は x の多項式である。