ゲージ理論
L i n t = e ħ ψ ̄ ( x ) γ μ ψ ( x ) A μ ( x ) = J μ ( x ) A μ ( x ) {\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }={\frac {e}{\hbar }}{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)=J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)}
となる。ここに J μ ( x ) {\displaystyle J^{\mu }(x)} は、通常の 4元ベクトルの電気的カレンド密度である。従って、ゲージ原理は、電子の場へ電磁場のいわゆる最小結合(英語版)(minimal coupling)を導入することを意味する。 ちょうど電磁気学のように場の強さのテンソルへゲージ場 A μ ( x ) {\displaystyle A_{\mu }(x)} のラグランジアンを加えることにより、量子電磁気学の出発点として使われるラグランジアン
L Q E D = ψ ̄ ( i ħ c γ μ D μ − m c 2 ) ψ − 1 4 μ 0 F μ ν F μ ν {\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {QED} }={\bar {\psi }}(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2})\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}
を得る。ディラック方程式、マックスウェルの方程式、量子電磁気学も参照。
QED は一般に、最初の最も単純な物理的ゲージ理論と考えられている。ゲージ理論が与えられたとき、全体の構成の中で取りうるゲージ変換の集合は、ゲージ群を形成する。ゲージ群の元は時空の点から(有限次元の)リー群への滑らかな函数によりパラメトライズされ、各々の点での函数とその微分の値は、各々の点上のファイバーでのゲージ変換の作用を表す。
時空の各点で定数であるゲージ変換は、幾何学的な座標系のリジッドな回転に似ている。この定数ゲージ変換は、ゲージ表現の大域対称性を表す。リジッドな回転の場合のように、このゲージ変換は、真に局所的な量を表現する方法と同じ方法で、ゲージ独立な量を経路に沿って変更する比率を表現することへ影響する。パラメータが定数函数でないゲージ変換は、局所対称性と呼ばれる。微分を意味する効果と、しない効果とは量的な差異がある。(このことは、コリオリの力として表すことのできる、座標の非惰性的な変換の類似物である。
前のセクションで示した定式化の単純な応用として、電子の場だけがある電磁気学の場合を考える。裸の骨だけの(最も中心となる)電子の場であるディラック方程式を生成する作用は、
S = ∫ ψ ̄ ( i ħ c γ μ ∂ μ − m c 2 ) ψ d 4 x {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2})\psi \,\mathrm {d} ^{4}x}
である。
この系の大域対称性は、
ψ ↦ e i θ ψ {\displaystyle \psi \mapsto e^{i\theta }\psi }
である。
このゲージ群は U(1) であり、まさに定数 θ を持つ場の相(絶対値 1 の複素数値を角度で表したフェーズ)である。
この対称性を「局所化」することは、θ を θ(x) で置き換えることを意味する。適切な共変微分は、
D μ = ∂ μ − i e ħ A μ {\displaystyle \ D_{\mu }=\partial _{\mu }-i{\frac {e}{\hbar }}A_{\mu }}
となる。
「電荷」 e を普通の電荷(electric charge)(ゲージ理論の用語の使い方の原型)を同一視し、ゲージ場 A(x) を電磁場の 4元ベクトルポテンシャルと同一視すると、相互作用ラグランジアンは、
前のセクションでの古典ゲージ理論の描像は、ほぼ完全ではあるが、共変微分 D の定義するために、全ての時空の点でゲージ場 A ( x ) {\displaystyle A(x)} の値を知らねばならないという問題がある。この場の値を手で(manually)で特定する代わりに、場の方程式としてこれを与えることができる。さらに、この場の方程式を生成するラグランジアンも同じように局所ゲージ不変であることを要求すると、ゲージ場のラグランジアンの取りうる形は、
L g f = − 1 2 Tr  ( F μ ν F μ ν ) {\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })}
として表すことができる。ここでは、
F μ ν = 1 i g [ D μ , D ν ] {\displaystyle \ F_{\mu \nu }={\frac {1}{ig}}[D_{\mu },D_{\nu }]}
であり、トレースは場のベクトル空間上にとることとする。これをヤン・ミルズ作用(Yang–Mills action)と呼ぶ。
ゲージ理論は、場の量子論に適用される方法の特別化により量子化することが可能である。しかし、ゲージ固定(gauge constraint)による微妙な点があるので(上の数学的定式化のパラグラフを参照)、他の場の理論では発生し得ない問題の解決に多くの技術的な問題がある。と同時に、ゲージ理論の豊富な構造により、簡単に計算することができる量になることもあり、例えば、ウォード・高橋の恒等式は、もうひとつ別な繰り込み定数の定義に結び付いている。