冪等行列
唯一の正則な冪等行列は単位行列である。つまり、単位行列でない正方行列が冪等であるならば、その列ベクトル(または行ベクトル)のうち線型独立であるものの本数は行列の列数よりも小さい。
これは次のようにして分かる。 A 2 = A {\displaystyle A^{2}=A} であり、A が正則ならば、 A − 1 {\displaystyle A^{-1}} の左からの積を考えて A = I A = A − 1 A 2 = A − 1 A = I {\displaystyle A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I} 。
単位行列から冪等行列を引いた行列もやはり冪等である。なぜなら:
( I − A ) ( I − A ) = I − A − A + A 2 = I − A − A + A = I − A {\displaystyle (I-A)(I-A)=I-A-A+A^{2}=I-A-A+A=I-A}