抽象添字記法
ここで、 R {\displaystyle R} でリーマンテンソルを表し、 V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V {\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V} の中のテンソルと考えると、ビアンキの第一恒等式は、
R + τ ( 123 ) R + τ ( 132 ) R = 0 {\displaystyle R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0}
となる。
抽象的添字は次のようにブレイド写像を扱う。特殊なテンソル積では、抽象的な添次の順序付けが、固定されている(通常は、これは辞書式付けである)。従って、ブレイドは添字のラベルの置換により、この記法で表される。このようにすると、たとえば、リーマンテンソルは、
R = R a b c d ∈ V a b c d = V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V , {\displaystyle R={R_{abc}}^{d}\in {V_{abc}}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,}
となり、ビアンキ恒等式は、
R a b c d + R c a b d + R b c a d = 0 {\displaystyle {R_{abc}}^{d}+{R_{cab}}^{d}+{R_{bca}}^{d}=0}
となる。