ソボレフ不等式
ソボレフ埋蔵定理は、他の適切な領域 M 上のソボレフ空間 W(M) に対しても成立する。特に、上述の第一、第二のいずれの部分も成立するための十分条件として、次が挙げられる(Aubin 1982, Chapter 2; Aubin 1976):
M はリプシッツ境界を持つ(あるいは境界が錐条件を満たす;Adams 1975, Theorem 5.4)R 内の有界開集合;
M はコンパクトリーマン多様体;
M はリプシッツ境界を持つコンパクトリーマン多様体;
M は単射半径 δ > 0 と有界な断面曲率を持つ完備リーマン多様体。
u ∈ W 1 , n ( R n ) {\displaystyle u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})} なら、u は有界平均振動(英語版)の函数であり、
‖ u ‖ B M O ≤ C ‖ D u ‖ L n ( R n ) , {\displaystyle \|u\|_{BMO}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},}
が n にのみ依存するある定数 C に対して成立する。この評価はポアンカレ不等式の系である。
‖ u ^ ‖ L 2 = ‖ u ‖ L 2 {\displaystyle \|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}}
が得られる。これによりナッシュ不等式が従う。
n = 1 であるような特別な場合、ナッシュ不等式は L に対して拡張され、その場合はガリャルド=ニーレンバーグ=ソボレフ不等式の特別な場合と見なされる (Brezis 1999)。実際、I が有界区間なら、すべての 1 ≤ r < ∞ と 1 ≤ q ≤ p < ∞ に対して、次の不等式が成り立つ。
‖ u ‖ L p ( I ) ≤ C ‖ u ‖ L q ( I ) 1 − a ‖ u ‖ W 1 , r ( I ) a . {\displaystyle \|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a}.}
但し
a ( 1 q − 1 r + 1 ) = 1 q − 1 p {\displaystyle a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}}
が成立するものとする。