高木の存在定理
存在定理の特別な場合は、m = (1) で H = P(1) の場合である。この場合には、一般化されたイデアル類群は K のイデアル類群であり、L が K の全ての素因子で不分岐であるような K のイデアル類群に同型なガロア群を持つアーベル拡大 L/K が一意に存在することを存在定理は言っている。この体の拡大をヒルベルト類体という。ヒルベルト類体の存在はダフィット・ヒルベルトにより予想され、その特別な場合の存在は高木の一般的な存在定理に先立ち、1907年フィリップ・フルトヴェングラーにより証明されていた。
ヒルベルト類体のさらに特別な性質は、もともとの代数体 K のイデアルはヒルベルト類体へ引き戻すと主イデアルとなるというものである。この主イデアル化が起きることの証明は、エミール・アルティンとフルトヴェングラーが行った。