フロー (数学)
今
G ( x , t ) := ( F ( x , t ) , 1 ) , y ( t ) := ( x ( t ) , t + t 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {x}},t):=({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}},t),1),\qquad {\boldsymbol {y}}(t):=({\boldsymbol {x}}(t),t+t_{0})}
を定義する。すると y(t) が時間独立な初期値問題
y ̇ ( s ) = G ( y ( s ) ) , y ( 0 ) = ( x 0 , t 0 ) {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {y}}}(s)={\boldsymbol {G}}({\boldsymbol {y}}(s)),\qquad {\boldsymbol {y}}(0)=({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0})}
の解であることと、x(t) が元の時間依存の初期値問題の解であることは同値である。するとさらに、写像 φ は時間独立なベクトル場 G のフローとなる。