ハルナックの不等式
R − r R ( R + r ) n − 1 ≤ R 2 − r 2 R | x − y | n ≤ R + r R ( R − r ) n − 1 . {\displaystyle \displaystyle {{R-r \over R(R+r)^{n-1}}\leq {R^{2}-r^{2} \over R|x-y|^{n}}\leq {R+r \over R(R-r)^{n-1}}.}}
この不等式を上述の積分に代入し、調和函数の球面についての平均はその球面の中心での函数の値と等しい、すなわち
f ( x 0 ) = 1 R n − 1 ω n − 1 ∫ | y − x 0 | = R f ( y ) d y {\displaystyle \displaystyle {f(x_{0})={1 \over R^{n-1}\omega _{n-1}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy}}
という事実を用いることで、ハルナックの不等式は示される。