代数幾何学用語一覧
スキームが連結とは、位相空間として連結であること。連結成分であることは既約成分であることよりも緩い条件であるため、任意の既約スキームは連結であるが、逆は正しくない。アフィンスキーム Spec(R) が連結であることと、環 R が 0 と 1 以外のベキ等元を持たないことは同値である。このような環も連結環という。例:アフィン空間と射影空間は連結スキーム。Spec(k[x]×k[x]) は連結ではない。
代数多様体と同じ意味。
ベーレントの跡公式(英語版) はグロタンディークの跡公式(英語版)を一般化したもの。ともに l 進コホモロジーのフロベニウス(英語版)の跡を計算する公式。
後者では、 f {\displaystyle f} が射影的であることを、準連接次数付き OX 代数 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の大域的 Proj(英語版) で、しかも S 1 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}} が有限生成かつこれにより S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が生成されることと定義している。 X {\displaystyle X} がアフィン、あるいはより一般に準コンパクトかつ分離的かつ豊富層が存在するならば、2つの定義は一致する。例えば、 X {\displaystyle X} が環 A {\displaystyle A} 上の射影空間 P A n {\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}} の開部分スキームの場合などである。
分離射(英語版)とは、射 f {\displaystyle f} であって f {\displaystyle f} と f {\displaystyle f} のファイバー積の対角線が閉部分スキームとなるもの。対角射(英語版)が閉埋入(英語版)である、とも言い換えられる。
1. Ω X 1 {\displaystyle \Omega _{X}^{1}} は X 上のケーラー微分の層。
2. Ω X p {\displaystyle \Omega _{X}^{p}} は Ω X 1 {\displaystyle \Omega _{X}^{1}} の p 個の外積べキ。
商スタック(英語版)は、スキームや多様体の商を一般化したもの。通常 [X/G] と表記される。
倉西構造(英語版)参照。
階数が 1 の局所自由層。乗法群 G m {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} のトルソ(英語版)と言っても直線束と言っても同じこと。
基礎空間の点 P {\displaystyle P} は(ザリスキーやアンドレ・ヴェイユの意味での)生成点(英語版)の類似物も含んでいる。これは通常の意味での点に特殊化できる。 T {\displaystyle T} 値点は、米田の補題により S {\displaystyle S} を表現可能関手 h S {\displaystyle h_{S}} だと思う方法である。古くから、射影幾何学では元の対象を改善し幾何学を単純化するために点を付け加えるということを行ってきた。例えば、複素数の点を付け加え、無限遠直線(英語版)を付け加えてきた。 T {\displaystyle T} 値点はこれをさらに大きく進めたものである。広く普及しているグロタンディークのアプローチ(英語版)の一部として、射のファイバーにも対応する3つの概念がある。1つ目は素朴な点の逆像に対応する。残りの2つは、2つの射のファイバー積により対応するものが得られる。例えば、射 S ′ → S {\displaystyle S^{\prime }\to S} の幾何学的ファイバーは S ′ × S Spec ( K ̄ ) {\displaystyle S^{\prime }\times _{S}{\textrm {Spec}}({\overline {K}})}
である。スキームのファイバー積は代数のテンソル積(アフィンスキームの場合のファイバー積はテンソル積により得られる)の一般化であり、(一度理解してしまえば)とても便利に使える演算である。
正則スキーム(英語版)とは、局所環が正則局所環であるスキームのこと。例:体上の滑らかな代数多様体(英語版)は正則。一方、Spec k[x,y]/(x+x-y)== は正則ではない。
次数が 2 の代数曲線。
1. 半豊富な直線束 L の小平次元(飯高次元とも呼ばれる)とは、L の切断環の Proj の次元のこと。
2. 正規多様体 X の小平次元とは、その標準層の小平次元のこと。
射 f : Y → Xがエタールとは、平坦かつ不分岐であること。同値な定義がいくつかある。 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} が代数的閉体上の滑らかな多様体の場合には、エタール射であることと接ベクトル空間に同型写像 d f : T y Y → T f ( y ) X {\displaystyle df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X} が誘導されることは同値であり、微分幾何学におけるエタール写像と同じ概念である。エタール射は重要な射の種類である。エタール位相(英語版)の定義に使われ、これから現在の代数幾何学の礎石の1つであるエタール・コホモロジーが作られる。
1. スキーム X がスキーム X 0 {\displaystyle X_{0}} (X の極限という)に退化(英語版)するとは、生成ファイバー(英語版)(一般ファイバーとも)が X かつ特殊ファイバー(英語版)が X 0 {\displaystyle X_{0}} であるようなスキーム π : Y → A 1 {\displaystyle \pi :Y\to \mathbf {A} ^{1}} が存在することをいう。
2. 平坦退化(英語版)は、 π {\displaystyle \pi } が平坦であるような退化のこと。