レイリー商
変分を計算すると、
δ x ∗ ( M x − λ x ) + ( x ∗ M − λ x ∗ ) δ x = 0 ∴ M x = λ x . {\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\boldsymbol {x}}^{*}({\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {x}}-\lambda {\boldsymbol {x}})+({\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {M}}-\lambda {\boldsymbol {x}}^{*})\delta {\boldsymbol {x}}&=0\\\therefore {\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {x}}&=\lambda {\boldsymbol {x}}.\end{aligned}}}
なので、停留点において未定乗数 λ は M の固有値で、x は対応する固有ベクトルであり、レイリー商は
R ( M , x ) = x ∗ M x x ∗ x = λ , {\displaystyle R({\boldsymbol {M}},{\boldsymbol {x}})={\frac {{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {x}}}{{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}}}=\lambda ,}
すなわち L {\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}} の停留値となる。この性質は主成分分析や正準相関分析(英語版)の基礎となっている。