チャーン・サイモンズ理論
ウィッテンが示したように、相(phase)の曖昧さは、量子相関函数が古典的なデータによっては完全に決定できないという事実の反映である。ループの自分自身との交点数は分配函数の計算の中に入っているが、自己交点数は微小変形の下で不変ではなく、位相不変量ではない。しかし、各々のループに対しフレーミングを選択すると自己リンク数はうまく定義できるよう修正することができる。フレーミングを選択するとは、自己交点数を計算するためのループ変形の各点で適切な非ゼロの法ベクトルを選択することである。この過程は、1934年に量子場理論において発散するかのように見える量を定義するために、ポール・ディラックとルドルフ・パイエルス(Rudolf Peierls)によって導入された一点分解正規化の一例となっている。
マイケル・アティヤ卿は、フレーミングを選択する標準的な方法があることを示し、今日では文献の中で一般的に使われ、自己交点数をうまく定義することが可能となっている。標準的なフレーミングを選択すると上記の相(phase)は、2πi/(k + N) のベキに L の自己交点数をかけたものとなっている。
チャーン・サイモンズ理論の作用 S は、チャーン・サイモンズ3-形式の積分の値に比例する。
S = k 4 π ∫ M tr ( A ∧ d A + 2 3 A ∧ A ∧ A ) {\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A)}
定数 k は理論の レベルと呼ばれる。チャーン・サイモンズ理論の古典物理学は、レベル k の選択とは独立である。
古典的には、系は場 A の変分をすると作用の極値となる運動方程式により特徴づけられる。場の強さの項
F = d A + A ∧ A {\displaystyle F=dA+A\wedge A}
でいうと、場の方程式は明らかに
0 = δ S δ A = k 2 π F {\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F}
となる。従って、運動の古典的方程式を満たすことと曲率がどこでもゼロとなることとは同値である。曲率がゼロとなる場合を接続が 平坦 であるという。このようにして、G のチャーン・サイモンズ理論の古典解は 平坦 であるという。このようにして、G のチャーン・サイモンズ理論の古典解は M 上の主 G-バンドルの平坦接続である。平坦接続は完全に M をベースとする非可縮なサイクルの周りのホロノミーにより完全に決定される。さらに詳しくは、それらは M の基本群から共役による差異をのぞき、ゲージ群 G への準同型と1:1と対応する。
M が境界 N を持っていると、N 上で主 G-バンドルを自明化する選択を表す条件を追加することとなる。そのような選択は N から G への準同型を特徴付ける。この写像の力学はレベル k での N 上のベス・ズミノ・ウィッテン(WZW)モデルにより記述される。
弦理論の脈絡では、6次元多様体 X の向きづけられたラグラジアン 3-次元多様体 M 上の U(N) チャーン・サイモンズ理論は、X のA-モデルの位相的弦理論が、X へまきついたDブレーンに終端を持つ開弦として発生する。D5-ブレーンのスタックを満たす世界体積の上のB-モデルの位相的弦理論の開弦は、正則チャーン・サイモンズ理論として知られているチャーン・サイモンズ理論の6-次元への変形である。