ダニエル積分
ある集合 X 上で定義される有界な実函数の族 H で以下の二つの公理を満たすものをとる(そして H に属する函数を基本函数 (elementary function) と呼ぶ)。
H は通常の(点ごとの)加法とスカラー倍に関して線型空間を成す。
函数 h が H に属するならばその各点の絶対値をとって得られる函数 |h| も H に属す。
さらに、H の各函数 h に対して h の基本積分 (elementary integral) と呼ばれる実数 Ih を対応させる。ここで基本積分は次の三つの公理を満足するものをいう。
線型性: h, k がともに H の元で、α, β が実数ならば I ( α h + β k ) = α I h + β I k {\displaystyle I(\alpha h+\beta k)=\alpha Ih+\beta Ik} が成立する。
非負性: H の元 h が h(x) > 0 を常に満たすならば、Ih ≥ 0 が成立する。
連続性: H の元の列 (hn) が非増大で、X の各点 x において 0 に収斂するならば、Ihn → 0 が成立する。
すなわち、基本函数全体のなす空間 H 上に非負値連続線型汎函数 I を定めるのである。
基本函数および基本積分には、任意の函数空間とその上の非負値連続線型汎函数をとることができる。
この方法で構成される一般の積分は、特に函数解析学の分野において旧来のルベーグ式の積分に対するいくつか優位な点を持つ。既に述べたように、基本函数として有限個の値をとる通常の階段函数をとって得られるダニエル積分の構成は、ルベーグ積分の構成と同値である。しかしながら、積分をより複雑な函数に対してまで拡張するとき(例えば、線型汎函数の積分を定義しようとしたとき)、ルベーグの構成を用いる際に生じる困難を、ダニエル積分の方法は緩和することができる。
ポーランドの数学者ミクシンスキーは、さらに別のより自然なダニエル積分の定式化を、絶対収斂級数の概念を用いて行った。ミクシンスキーの定式化はボホナー積分(バナッハ空間に値をとる函数に対するルベーグ式の積分)に対しても通用する。ミクシンスキーの補題を用いれば、零集合に言及することなく積分が定義できる。ミクシンスキーはまた、ボホナー積分に対する多重積分の変数変換定理とボホナー積分に対するフビニの定理とをダニエル積分法を用いて証明した。(Asplund & Bungart 1966) では、実数値函数に対してこの方法による明快な取り扱いがなされており、またダニエル=ミクシンスキーの方法を用いた抽象的ラドン=ニコディムの定理の証明が提示されている。