劣調和函数
劣調和函数は複素解析において特に重要な役割を担う。その分野では、劣調和函数は正則函数と密接に関連している。
ある集合 G ⊂ C {\displaystyle G\subset \mathbb {C} } で定義される複素変数(すなわち実 2 変数)の実数値連続函数 φ {\displaystyle \varphi } が劣調和的であるための必要十分条件は、 z {\displaystyle z} を中心とする半径 r {\displaystyle r} の任意の閉円板 D ( z , r ) ⊂ G {\displaystyle D(z,r)\subset G} に対して次が成立することである。
φ ( z ) ≤ 1 2 π ∫ 0 2 π φ ( z + r e i θ ) d θ . {\displaystyle \varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+r\mathrm {e} ^{i\theta })\,d\theta .}
直観的に言うと、劣調和函数の任意の点での値は、その点を中心とするある円板内の値の平均よりも大きくならないということをこの不等式は意味している。