冪零群
考えている群が冪零であるとは、以下の同値な条件の何れか(したがってすべて)を満足するときに言う:
有限の長さの中心列(英語版)を持つ。それはすなわち、正規部分群からなる有限の系列 { 1 } = G 0 ◃ G 1 ◃ ⋯ ◃ G n = G {\displaystyle \{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G} であって、Gi+1/Gi ≤ Z(G/Gi) あるいは同じことだが [G, Gi+1] ≤ Gi となるものである。
降中心列(英語版)が有限の長さで自明群に到達する。すなわち、G0 ≔ G および Gi+1 ≔ [Gi, G] によって定まる正規部分群の系列で G = G 0 ▹ G 1 ▹ ⋯ ▹ G n = { 1 } {\displaystyle G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}} とできる。
昇中心列(英語版)が有限の長さでもとの群に到達する。
既に述べたように、任意のアーベル群は冪零である。
小位数の非アーベルな例として、最小の非アーベル p-群である四元数群 Q8 を挙げることができる。その中心は位数 2 の {1, −1} であり、昇中心列 {1}, {1, −1}, Q8 が得られるから、これは冪零度 2 の例ということになる。
実は任意の有限 p-群が冪零である。位数 p の p-群に対し、最大の冪零度は n - 1 である。冪零度最大の 2-群は、四元数群、二面体群あるいは半二面体群(英語版)の一般化と考えられる。
二つの冪零群の直積はまた冪零である。
逆に、任意の有限冪零群は p-群の直積になる。
ハイゼンベルク群は非アーベル無限冪零群の例である。
任意の体 F 上の n-次冪単行列(英語版)(単上三角行列)全体の成す乗法群は、冪零度 n − 1 の冪零(代数)群(英語版)である。
F 上の n-次正則上三角行列全体の成す乗法群は一般には冪零群でない(が、可解群ではある)。