ルパート王子の立方体
解は常に代数的数になる。例えば ( m , n ) = ( 3 , 4 ) {\displaystyle (m,n)=(3,4)} のとき、問題は4次元超立方体に含まれる最大の立方体を求めるものとなる。マーティン・ガードナーが『サイエンティフィック・アメリカン』上でこの問題を提案した後、Kay R. Pechenick DeVicci や他の何人かの読者が、(3,4) の場合の解は多項式 4 x 4 − 28 x 3 − 7 x 2 + 16 x + 16 {\displaystyle 4x^{4}-28x^{3}-7x^{2}+16x+16} の2つの実数根のうち小さい方の正の平方根であることを証明した。これを算出すると約1.007435になる。 m = 2 {\displaystyle m=2} に対しては、 n {\displaystyle n} -次元超立方体に含まれる最大の正方形の1辺は n {\displaystyle n} が偶数であれば n / 2 {\displaystyle {\sqrt {n/2}}} 、奇数であれば n / 2 − 3 / 8 {\displaystyle {\sqrt {n/2-3/8}}} である。