アルゴリズム的ランダムな無限列
コルモゴロフ複雑性による特徴付けはランダムな列は圧縮不可能であるという直感を与える。すなわちどんな接頭辞もそれよりもはるかに短いプログラムからは作られない。
ヌル被覆による特徴付けはランダムな実数は「普通でない」性質は持たないという直感を与える。測度0の集合は普通はない性質と思うことができる。列がどの測度0の集合にも入らないことは不可能である、なぜなら1点集合は測度0であるからである。マルティンレーフの発想は測度0の集合を構成的に記述可能なものに制限することであった。すなわち構成可能なヌル被覆の定義は可算個の構成可能で記述可能な測度0の集合を与え、ランダムな列をそのような特別な測度0の集合に含まれないと定義したのである。測度0の集合の可算和は測度0であるから、この定義からランダムな列の測度1の集合があることが分かる。ここで二進列のカントール空間を[0,1]の実数区間と同一視すれば、カントール空間の測度はルベーグ測度に一致することに注意して欲しい。
チャイティンの停止確率 Ω {\displaystyle \Omega } はランダムな列の族である。
RAND(RANDの補集合)はすべての無限列の集合の中の測度0の部分集合である。これは構成可能なヌル被覆は測度0の集合しか覆えず、構成可能なヌル被覆は可算個しか存在せず、測度0の集合の可算和は測度0であることから導かれる。よってRANDは測度1の集合である。
すべてのランダムな列は正規数である。
RANDを決める構成可能なヌル被覆が存在する。すなわちすべての構成可能なランダムネスのテスト(すなわち構成可能なヌル被覆)は、ある意味この万能なランダムネスのテストに含まれる、なぜならこの一つのランダムネスのテストを通過するどんな列はどんなランダムネスのテストをも通過するであろうから。(マルティンレーフ1966年)
万能な構成可能なマルチンゲールdが存在する。すなわちどんな構成可能なマルチンゲールdに対しても、dがある列で成功すればdもその列で成功するという意味で万能なマルチンゲールである。よってdはRANDのどの列でも成功する(が、dは構成可能なので、RANDのどの列でも成功しない)。(シュノア1971)
RANDはカントール空間の Σ 2 0 {\displaystyle \Sigma _{2}^{0}} 集合である。ここで Σ 2 0 {\displaystyle \Sigma _{2}^{0}} とは算術的階層の2番目である。