ルンゲ＝クッタ法
(文献によって、等価であるが上と異なる定義の仕方をしているものがあることに注意する)。
陽的ルンゲ゠クッタ法が目的の精度 p になる係数を持つためには、十分に大きな段数 s が必要になる。少なくとも次数以上の段数が必要 ( s ≥ p {\displaystyle s\geq p} ) であり、更に5次以上の場合には段数は次数よりも大きく取らなければならない ( s > p {\displaystyle s>p} ) ことが知られている。各次数 p に対する最低段数 s の一般式は未解決問題である。具体的な値が幾つか知られている:
p 1 2 3 4 5 6 7 8 min s 1 2 3 4 6 7 9 11 {\displaystyle {\begin{array}{c|cccccccc}p&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline \min s&1&2&3&4&6&7&9&11\end{array}}}
最も単純なルンゲ゠クッタ法が 1段1次 の方法であり、一意に定まる。(前進) オイラー法と等価になる。
y n + 1 = y n + h f ( t n , y n ) . {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}
以下のブッチャー配列で表現される。
一連のルンゲ=クッタ公式の中で最も広く知られているのが、古典的ルンゲ=クッタ法 (RK4、もしくは単に狭義の ルンゲ=クッタ法、英: the (classical) Runge–Kutta method) などと呼ばれる4次の公式である。
次の初期値問題を考える。
y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 . {\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}
但し、y(t) が近似的に求めたい未知関数であり、その t における勾配は f(t, y) によって t 及び y(t) の関数として与えられている。時刻 t0 における初期値は y0 で与えられている。
今、時刻 tn における値 yn = y(tn) が既知のとき、十分に小さなステップ幅 h に対して yn+1, tn+1 を以下の式で与えると、yn+1 は y(tn+1) の 4次精度の近似になっている。このステップを逐次的に繰り返すことによって、初期値 y0 から任意の時刻 tn における近似値 yn が求められる。
y n + 1 = y n + h 6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) , t n + 1 = t n + h . {\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{h \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}),\\t_{n+1}&=t_{n}+h.\end{aligned}}}