ボルツマン因子
E ( ω j ) ≪ E {\displaystyle E(\omega _{j})\ll E} より、
S R ( E − E ( ω j ) ) = S R ( E ) − d S R ( E ) d E E ( ω j ) {\displaystyle S_{R}(E-E(\omega _{j}))=S_{R}(E)-{\frac {\mathrm {d} S_{R}(E)}{\mathrm {d} E}}E(\omega _{j})}
よって
S R ( E − E ( ω 2 ) ) − S R ( E − E ( ω 1 ) ) = − d S R ( E ) d E ( E ( ω 2 ) − E ( ω 1 ) ) {\displaystyle S_{R}(E-E(\omega _{2}))-S_{R}(E-E(\omega _{1}))=-{\frac {\mathrm {d} S_{R}(E)}{\mathrm {d} E}}(E(\omega _{2})-E(\omega _{1}))}
粒子の出入りがないので、熱浴において、熱力学の基本関係式は、
d S R = d E R + P d V R T {\displaystyle \mathrm {d} S_{\mathrm {R} }={\frac {\mathrm {d} E_{\mathrm {R} }+P\mathrm {d} V_{\mathrm {R} }}{T}}}