アティヤ＝ボットの不動点定理
そのような T は、レフシェッツ数
L(T)
を持つ。ここで定義より、このレフシェッツ数はその楕円型複体のホモロジーの各段階上のトレースの交項級数である。
以上の準備の下で、アティヤ=ボットの不動点定理は、次の式で表される。
L(T) = Σ (Σ (−1) trace φj,x)/δ(x).
ここでトレース φj,x は、f の不動点 x における φj, のトレースを意味し、δ(x) は自己準同型 I − Df の x での行列式である。但し Df は f の導函数(横断性により、これは消失しない)である。外側の和は不動点 x に関するもので、内側の和は楕円型複体の添字 j に関するものである。
アティヤ=ボットの定理を、滑らかな微分形式のド・ラーム複体へ特殊化することで、元のレフシェッツの不動点定理が導かれる。アティヤ=ボットの定理の有名な応用として、リー群の理論におけるワイルの指標公式に対する簡単な証明が挙げられる。