因子 (代数幾何学)
既約で被約な分離的スキーム X 上のカルティエ因子 D = { ( U i , g i ) } i {\displaystyle D=\{(U_{i},g_{i})\}_{i}} に対して、層 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} を
O X ( D ) ( V ) = { f ∈ k ( X ) ∣ f ⋅ g i ∈ O X ( U ) } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)(V)=\{f\in k(X)\mid f\cdot g_{i}\in {\mathcal {O}}_{X}(U)\}} 、ただし V ⊂ Ui
で定まる定数層 k(X) の部分層とすると、hij = gj / gi は零も極も持たないので、 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} は {hij} を変換関数とする可逆層(invertible sheaf; あるいは、スキーム X が体上定義されているときは直線束 (line bundle) と言っても同じ)になる。線形同値なカルティエ因子が定める変換関数は同じものになるから、線形同値なカルティエ因子は同型な可逆層を定める。
逆に、可逆層 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} が与えられたとき、層 L ⊗ k ( X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\otimes k(X)} の切断 s を L {\displaystyle {\mathcal {L}}} の有理切断 (rational section) という(スキーム X が体上定義されているときは、有理切断は L {\displaystyle {\mathcal {L}}} に対応する直線束 π : L → X に対して、有理写像 s : X → L で π ◦ s = idX をみたすものにほかならない)。