最大値最小値定理
有界性定理により f は上に有界ゆえ、実数のデデキント完備性(英語版)から f の最小上界(上限)M が存在するから、M = f(d) を満たす点 d ∈ [a, b] を見つければよい。自然数 n に対して、M が最小上界ならば M – 1/n は f の上界にはならないから、適当な dn ∈ [a, b] が存在して M – 1/n < f(dn) とできる。これにより点列 {dn} が作れる。最小上界 M は f の上界なのだから、任意の n について M – 1/n < f(dn) ≤ M が成り立ち、従って数列 {f(dn)} は M へ収斂する。
ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理により、適当な d に収斂する部分列 {dnk} が存在して、区間 [a, b] が閉ゆえ d は [a, b] に属する。f は d において連続だから、数列 {f(dnk)} は f(d) に収斂するが、数列 {f(dnk)} は M に収斂する数列 {f(dn)} の部分列ゆえ、M = f(d) でなければならない。従って f は d において上限 M に到達する。