二階導関数
二次導函数は、二次偏導函数の概念として高次元へ一般化される。函数 f: R → R に対して、これらは3つの二次偏導函数
∂ 2 f ∂ x 2 , ∂ 2 f ∂ y 2 , ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
および混合導函数
∂ 2 f ∂ x ∂ y , ∂ 2 f ∂ x ∂ z , ∂ 2 f ∂ y ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}}
を含む。
函数の像と定義域の両方がポテンシャルを持つ場合、これらはヘッセ行列と呼ばれる対称行列に当てはまる。この行列の固有値は、二次導函数判定の多変量アナログを実装するために使用できる。(Second partial derivative test を参照せよ。)
二階導函数とグラフの関係を利用することで、函数の停留点( f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} となる点)が極大・極小かを判定することができる。特に
f ′ ′ ( x ) < 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0} ならば、 f {\displaystyle f} は x {\displaystyle x} で極大となる。
f ′ ′ ( x ) > 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0} ならば、 f {\displaystyle f} は x {\displaystyle x} で極小となる。
f ′ ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0} ならば、変曲点候補の x {\displaystyle x} について何もわからない。
二階導函数がこのような結果をもたらす理由は、現実世界の例で説明できる。ある車両が、最初は大きな速度で、しかし負の加速度を伴って前進しているとする。速度がゼロになった地点での車両の位置は、明らかに出発地点からの距離が極大となる。この時点を過ぎると、速度は負となり、車両は逆走する。極小の場合も同様で、最初は負の速度だが正の加速度を持つ車両がある。
多くの境界条件の組み合わせにおいて、二次導函数の固有値と固有ベクトルの明示的な公式が得られる。例えば、 x ∈ [ 0 , L ] {\displaystyle x\in [0,L]} および同次元のディリクレ境界条件(すなわち、 v ( 0 ) = v ( L ) = 0 {\displaystyle v(0)=v(L)=0} )を仮定すると、固有値は λ j = − j 2 π 2 L 2 {\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}} となり、対応する固有ベクトル(固有函数とも呼ばれる)は v j ( x ) = 2 L sin  ( j π x L ) {\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)} となる。このとき、 v j ′′ ( x ) = λ j v j ( x ) , j = 1 , ... , ∞ {\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty } である。
その他の著名な例については、Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative を参照せよ。