次数付き環
次数付き可換環 A 上の次数付き加群 M が与えられたとき、形式的ベキ級数 P ( M , t ) ∈ Z [ [ t ] ] {\displaystyle P(M,t)\in \mathbb {Z} [\![t]\!]} を関連付けることができる:
P ( M , t ) = ∑ l ( M n ) t n {\displaystyle P(M,t)=\sum \ell (M_{n})t^{n}}
( l ( M n ) {\displaystyle \ell (M_{n})} は有限であると仮定している。)これは M のヒルベルト–ポアンカレ級数と呼ばれる。
次数付き加群は加群として有限生成なときに有限生成という。生成元は(斉次部分におきかえることで)斉次にとることができる。
k を体、A を多項式環 k [ x 0 , ... , x n ] {\displaystyle k[x_{0},\dots ,x_{n}]} 、M を A 上有限生成な次数付き加群とする。このとき関数 n ↦ dim k  M n {\displaystyle n\mapsto \dim _{k}M_{n}} は M のヒルベルト関数と呼ばれる。この関数は十分大きい n に対して M のヒルベルト多項式と呼ばれる整数値多項式(英語版)と一致する。