内積
複素数体 C 上のベクトル空間 V 上で定義された二変数の写像 ⟨,⟩: V × V → C が内積あるいはエルミート内積であるとは、x, y, z ∈ V および λ ∈ C を任意として
第一変数に関する線型性: ⟨λx + y, z⟩ = λ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩;
第二変数に関する共軛線型性(英語版): ⟨x, λy + z⟩ = λ⟨x, y⟩ + ⟨x, z⟩;
エルミート対称性: ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩;
非退化性: V の元 x に対して ⟨x, x⟩ = 0 ならば x = 0;
半正定値性: V の任意の元 x に対して ⟨x, x⟩ ≥ 0
を満たすことを言う(ここで上付きのバー • は複素共役を表す)。すなわち、複素ベクトル空間上の内積は非退化正定値のエルミート形式である。
実ベクトル空間の場合も同様で、実ベクトル空間 V 上の二変数の写像 ⟨,⟩: V × V → R が内積であるとは、それが非退化正定値の対称双線型形式であるときに言う。
場合によっては、非負の「半定値」半双線型形式を考える必要があることがある。つまり、⟨x, x⟩ は非負であることのみが要求され、非退化でないものも考えるということである(後述)。
より抽象的に述べれば、外積はベクトルと余ベクトルとの対を階数 1 の線型写像へ写す双線型写像 W × V* → Hom(V,W)(すなわち (1,1)-型単純テンソル(英語版))であり、内積は余ベクトルのベクトルにおける値を評価する双線型な評価写像 V* × V → F である。ここで、各写像の定義域において直積をとる順番は、余ベクトルとベクトルとの区別を反映していることに注意。
上記の内積と外積に対して、混同するべきではないがよく似た積として内部積(英語版) (interior) と外(部)積 (exterior) というのが、ベクトル場や微分形式に対する、あるいはより一般に外積代数における演算として定義される。さらにややこしいことに、幾何代数(英語版)において、内積 (inner) と(グラスマン)外積 (exterior) は幾何積(クリフォード線型環におけるクリフォード積)に統合される(内積は二つのベクトル (1-階ベクトル) をスカラー (0-階ベクトル) へ写し、外積は二つのベクトルを二重ベクトル (2-階ベクトル) へ写す)。そしてこの文脈においてグラスマン積はふつうは「外積」(outer)(あるいはウェッジ積)と呼ばれ、またこの文脈での内積は(考える二次形式が必ずしも正定値であることを要求されないという意味では「内積」でないので)スカラー積と呼ぶのが形式上はより適切である。