正規作用素
を得る。
同じ論法が、無限次元ヒルベルト空間のコンパクト正規作用素に対しても、ヒルベルト・シュミット内積(英語版)を用いて通用する。しかし、一般の有界正規作用素に対しては、不変部分空間の直交補空間で不変とならないものが存在し得る。これはつまり、そのような部分空間は固有ベクトルで張ることはできないということを意味する。例えば両側シフト作用素(英語版)を考えれば、これは固有値を持たない。両側シフト作用素の不変部分空間はバーリングの定理(英語版)によって特徴づけられる。