エネルギー保存の法則
19世紀前半のドイツの自然哲学では、「破壊されることもなく、形態が様々に変換する根源的な何か」を „Kraft”(力)と呼んでいた。この自然哲学の概念は、現在の「エネルギー保存の法則」という概念の成立に大きな影響を与えている。
もし、粒子が受ける力がポテンシャルのみによる場合、 f ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)} は存在しないので、粒子に与えられた仕事 W ( t 1 , t 2 ) {\displaystyle W(t_{1},t_{2})} はポテンシャルの差 − { V ( r ( t 2 ) ) − V ( r ( t 1 ) ) } {\displaystyle -\left\{V({\boldsymbol {r}}(t_{2}))-V({\boldsymbol {r}}(t_{1}))\right\}} に等しい。このときポテンシャル V ( r ( t ) ) {\displaystyle V({\boldsymbol {r}}(t))} は位置エネルギーと呼ばれる。
再び仕事の定義に戻ると、粒子の運動方程式より、次のように書き換えられる。
W ( t 1 , t 2 ) = ∫ t 1 t 2 F ( r ( t ) , t ) ⋅ d r ( t ) = ∫ t 1 t 2 m d 2 d t 2 r ( t ) ⋅ d r ( t ) = m ∫ t 1 t 2 d 2 d t 2 r ( t ) ⋅ d r ( t ) d t d t {\displaystyle {\begin{aligned}W(t_{1},t_{2})&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t),t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\\&=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\boldsymbol {r}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}dt\end{aligned}}}
熱力学におけるエネルギー保存の法則は、熱力学第一法則である。熱力学第一法則は次のように表現される。
d U = δ Q − δ W . {\displaystyle dU=\delta Q-\delta W.}
ここで dU は系の内部エネルギー U の変化量、δQ は系に与えられた熱量、δW は系から取り出された仕事を表す(d は完全微分を、δ は不完全微分(英語版)を表す)。仕事は熱力学的系に繋がっている力学的系へのエネルギーの移動を表し、熱はそれ以外の熱力学的系へのエネルギーの移動を表している。
熱力学第一法則は、エネルギーがひとりでに消えたり生じたりすることはない、という経験的事実を法則化したものであり、上述の定式化では、エネルギーの変化が熱と仕事の和として与えられることで表現されている。
熱力学において第一法則は、上式を満たす状態量(すなわち系に対する操作の方法や途中経過に依存しない量) U が存在することを主張する法則とみなされている。