シュワルツ超函数
m: U → R を無限回微分可能な函数、S を U 上のシュワルツ超函数とすると、それらの積 mS は任意のテスト函数 φ に対し (mS)(φ) = S(mφ) と置くことにより定まる。また同時に φ ∈ D(U) に対して
T m : φ ↦ m φ {\displaystyle T_{m}\colon \varphi \mapsto m\varphi }
で定まる変換の随伴作用素を考えると、任意のテスト函数 ψ に対し
⟨ T m φ , ψ ⟩ = ∫ U m ( x ) φ ( x ) ψ ( x ) d x = ⟨ φ , T m ψ ⟩ {\displaystyle \langle T_{m}\varphi ,\psi \rangle =\int _{U}m(x)\varphi (x)\psi (x)\,dx=\langle \varphi ,T_{m}\psi \rangle }
が成り立つから、Tm = Tm がわかる。上のことから、超函数 S に対して滑らかな函数 m の作用を
m S ( ψ ) = ⟨ m S , ψ ⟩ = ⟨ S , m φ ⟩ = S ( m φ ) {\displaystyle mS(\psi )=\langle mS,\psi \rangle =\langle S,m\varphi \rangle =S(m\varphi )}
で定義する。滑らかな函数による作用の下で、D′(U) は環 C 上の加群となる。この滑らかな函数による作用に関しても、微分積分学で馴染みのある積の微分法則がやはり有効である。しかし、この積に独特な等式もいくつか生じる。