CM体
数学において、CM体 (CM-field) は特別なタイプの代数体 K であり、虚数乗法 (complex multiplication) 論との密接な関係からこの名前がついた。J-体 (J-field) と呼ばれることもある。
省略形 "CM" は (Shimura & Taniyama 1961) によって導入された。
最も簡単な、そして動機付けとなる CM体の例は、虚二次体であり、その総実部分体は有理数体である。
CM体の最も重要な例の一つは、1 の原始 n 乗根で生成される円分体 Q ( ζ n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} である。この体は総実体 Q ( ζ n + ζ n − 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})} の総虚二次拡大である。 Q ( ζ n + ζ n − 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})} は複素共役写像の固定体であり、 Q ( ζ n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} はそれに ζ n 2 + ζ n − 2 − 2 = ( ζ n − ζ n − 1 ) 2 {\displaystyle \zeta _{n}^{2}+\zeta _{n}^{-2}-2=(\zeta _{n}-\zeta _{n}^{-1})^{2}} の平方根を添加することにより得られる。