ラプラシアン行列
変形ラプラシアン(deformed laplacian)は通常以下のように定義される。
Δ ( s ) = I − s A + s 2 ( D − I ) {\displaystyle \Delta (s)=I-sA+s^{2}(D-I)}
上式において、Iは単位行列、Aは隣接行列、Dは次数行列、sは(複素)数である。ここで留意すべきは、標準的なラプラシアンは単に Δ ( 1 ) {\textstyle \Delta (1)} となることである。
lim t → ∞ φ ( t ) {\textstyle \lim _{t\to \infty }\phi (t)} を理解するためには、残る項 c i ( t ) = c i ( 0 ) e − k λ i t {\textstyle c_{i}(t)=c_{i}(0)e^{-k\lambda _{i}t}} は λ i = 0 {\textstyle \lambda _{i}=0} のもののみであることに留意すべきである。これは
lim t → ∞ e − k λ i t = { 0 if λ i > 0 1 if λ i = 0 } {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-k\lambda _{i}t}=\left\{{\begin{array}{rlr}0&{\text{if}}&\lambda _{i}>0\\1&{\text{if}}&\lambda _{i}=0\end{array}}\right\}}
となるためである。
言い換えると、系の平衡状態は L {\textstyle L} の核によって完全に決定される。
これは以下のように見ることができる。 L sym {\textstyle L^{\text{sym}}} は対称であるため、その固有値は実数である。これらの固有値は全て非負である。固有値λを持つ L sym {\textstyle L^{\text{sym}}} の固有ベクトル g {\textstyle g} を考え、 g = D 1 2 f {\textstyle g=D^{\frac {1}{2}}f} を仮定する(gおよびfを頂点v上の実関数と見なすことができる)。すると、
λ = ⟨ g , L sym g ⟩ ⟨ g , g ⟩ = ⟨ g , D − 1 2 L D − 1 2 g ⟩ ⟨ g , g ⟩ = ⟨ f , L f ⟩ ⟨ D 1 2 f , D 1 2 f ⟩ = ∑ u ∼ v ( f ( u ) − f ( v ) ) 2 ∑ v f ( v ) 2 d v ≥ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &={\frac {\langle g,L^{\text{sym}}g\rangle }{\langle g,g\rangle }}\\&={\frac {\langle g,D^{-{\frac {1}{2}}}LD^{-{\frac {1}{2}}}g\rangle }{\langle g,g\rangle }}\\&={\frac {\langle f,Lf\rangle }{\langle D^{\frac {1}{2}}f,D^{\frac {1}{2}}f\rangle }}\\&={\frac {\sum _{u\sim v}(f(u)-f(v))^{2}}{\sum _{v}f(v)^{2}d_{v}}}\geq 0\end{aligned}}}