インパルス応答
実際のシステムでは、テスト用の入力として完全なインパルスを生成するのは不可能である。したがって、インパルスの近似として短いパルスを使う。そのパルスがインパルス応答に比較して短ければ、その結果は理論上のインパルス応答に十分近いと言える。
もちろん、この式は以下の項が T の定義域にある場合のみ意味がある。
∑ k x [ k ] δ [ n − k ] {\displaystyle \sum _{k}x\left[k\right]\delta \left[n-k\right]}
ここで、T は線形で、かつ変換に対して不変であるから、次のように書き換えられる。
T [ x [ n ] ] = ∑ k x [ k ] T [ δ [ n − k ] ] {\displaystyle T\left[x\left[n\right]\right]=\sum _{k}x\left[k\right]T\left[\delta \left[n-k\right]\right]}
出力 y[k] は次のように与えられる。
y [ k ] = T [ x [ k ] ] {\displaystyle y\left[k\right]=T\left[x\left[k\right]\right]}
したがって、次のように書くことができる。
y [ n ] = ∑ k x [ k ] T [ δ [ n − k ] ] {\displaystyle y\left[n\right]=\sum _{k}x\left[k\right]T\left[\delta \left[n-k\right]\right]}
ここで
また、次も成り立つ。
T [ λ x [ n ] ] = λ T [ x [ n ] ] {\displaystyle T\left[\lambda x\left[n\right]\right]=\lambda T\left[x\left[n\right]\right]}
また、T が y [ n ] = T [ x [ n ] ] {\displaystyle y\left[n\right]=T\left[x\left[n\right]\right]} であるとき y [ n − k ] = T [ x [ n − k ] ] {\displaystyle y\left[n-k\right]=T\left[x\left[n-k\right]\right]} となるような変換について不変であるとする。このようなシステムでは、入力から得られる出力を計算で求めることができ、インパルス応答と呼ばれる特殊な並びでそのシステムの特性を完全に表すことができる。これは、次のように示すことができる。次の恒等式がある。
x [ n ] = ∑ k x [ k ] δ [ n − k ] {\displaystyle x\left[n\right]=\sum _{k}x\left[k\right]\delta \left[n-k\right]}
この両辺に T を作用させる。
T [ x [ n ] ] = T [ ∑ k x [ k ] δ [ n − k ] ] {\displaystyle T\left[x\left[n\right]\right]=T\left[\sum _{k}x\left[k\right]\delta \left[n-k\right]\right]}
インパルス応答(インパルスおうとう、英語: impulse response)とは、インパルスと呼ばれる非常に短い信号を入力したときのシステムの出力である。インパルス反応とも。インパルスとは、時間的幅が無限小で高さが無限大のパルスである。実際のシステムではこのような信号は生成できないが、理想化としては有益な概念である。
LTIシステム(線形時不変系)と呼ばれるシステムは、そのインパルス応答によって完全に特徴付けられる。