0の0乗
実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。
( ∗ ) x 1 := x , ( ∗ ∗ ) x n + 1 := x n × x ( n ≥ 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&(*)&x^{1}&:=x,\\&(**)&x^{n+1}&:=x^{n}\times x\quad (n\geq 1).\end{aligned}}}
x を定義する場合には、関係式 ( ∗ ∗ ) {\displaystyle (**)} が n = 0 でも成立するように定義を拡張するのが自然である。
そこで、 ( ∗ ∗ ) {\displaystyle (**)} に無理やり n = 0 を代入すれば、x = x × x すなわち x = x × x となり、x が 0 でなければ両辺を x で割って x = 1 を得る。すなわち、x ≠ 0 の場合は、x ≔ 1 と定めることで、関係式 ( ∗ ∗ ) {\displaystyle (**)} が n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} に対して成り立つように定義を拡張できる。