全有界空間
ある距離空間 X の部分集合 S が全有界であるための必要十分条件は、任意の正の実数 E が与えられたとき、各直径が E 以下であるような X の部分集合による S の有限被覆が存在することを言う(但し、ここでの「大きさ」は正の実数で、部分集合の大きさが E であるとは、その直径が E 以下であることを言う)。また同値であるが、S が全有界であるための必要十分条件は、上述のように与えられる任意の E に対して、各点を中心とする半径 E の球の合併が S を含むような X の元 a1, a2, ..., an が存在することである。
位相ベクトル空間、あるいはより一般に位相アーベル群 X の部分集合 S が全有界であるための必要十分条件は、X の単位(ゼロ)元の任意の近傍 E が与えられたとき、各々が E の部分集合の平行移動であるような X の部分集合の有限被覆によって S が覆われることを言う(但し、ここでの「大きさ」は単位元の近傍で、部分集合の大きさが E であるとは、それが E の部分集合の平行移動であることを言う)。また同値であるが、S が全有界であるための必要十分条件は、上述のように与えられる任意の E に対して、各点による E の平行移動の合併に S が含まれるような X の元 a1, a2, ..., an が存在することである。
ある位相群 X が左全有界(left-totally bounded)であるための必要十分条件は、「左」平行移動について上述の位相アーベル群に対する全有界の定義を満たすことである。