ディンキン図形
ディンキン図形は追加の制限を満たさなければならない、すなわち可能な辺のラベルは 2, 3, 4, 6 のみである。これはコクセター図形は持たない制限で、したがって有限群のすべてのコクセター図形がディンキン図形から来るわけではない。
ルート系のレベルでは、これはルートが格子をなす結晶学的制限定理(英語版)に対応する。
もう1つの違いは、様式上のものでしかないが、ディンキン図形は伝統的に、辺に "p" とラベル付けずに、(p = 4, 6 に対して)二重あるいは三重の辺で描く。
用語「ディンキン図形」は時には「有向」グラフを、時に「無向」グラフを意味する。正確を期すため、この記事では「ディンキン図形」は「有向」を意味し、underlying 無向グラフ「無向ディンキン図形」と呼ぶ。するとディンキン図形とコクセター図形は以下のように関係する:
これが意味するのは、有限群のコクセター図形は鏡映によって生成される点群に対応し、一方ディンキン図形は結晶学的制限定理(英語版)に対応する追加の制限を満たさなければならず、また、コクセター図形は無向であるが、一方ディンキン図形は(部分的に)有向であることである。
図形によって分類される対応する数学的対象は:
一般カルタン行列は群が有限型であるか(それが正定値行列のとき、すなわちすべての固有値が正のとき)、アファイン型であるか(それが正定値ではないが、半正定値であるとき、すなわちすべての固有値が非負のとき)、不定値型であるかを決定する。不定値型はしばしばさらに細分化され、例えばコクセター群がローレンツ型であるとは、それが1つの負の固有値を持ち全ての他の固有値は正であることをいう。さらに、複数の文献が双曲型コクセター群に言及しているが、この用語にはいくつかの同値でない定義がある。以下の議論では、双曲型コクセター群はローレンツ型の特別な場合で、ある追加の条件を満たすものである。階数 2 に対しては、行列式が負のすべてのカルタン行列は双曲型コクセター群に対応することに注意。しかし一般には、行列式が負のほとんどの行列は双曲型でもローレンツでもない。
(連結)有限型は (−a21, −a12) = (1, 1), (2, 1), (3, 1) で、アファイン型(行列式 0)は (−a21, −a12) = (2, 2), (4, 1) である。
ディンキン図形の基本的な興味はそれらが代数閉体上の半単純リー環を分類することである。そのようなリー環はそのルート系を通じて分類され、それはディンキン図形によって表せる。そしてディンキン図形は満たさなければならない制約条件によって下記のように分類される。
グラフの辺の向きを落とすことはルート系をそれが生成する有限鏡映群(英語版)、いわゆるワイル群で置き換えることに対応し、したがって無向ディンキン図形はワイル群を分類する。
ディンキン図形は一般カルタン行列と同値である。階数 2 のディンキン図形を対応する 2 × 2 カルタン行列とともに書いたこの表に示されているように。
階数 2 のときは、カルタン行列の形は
A = [ 2 a 12 a 21 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{bmatrix}}}
である。多重辺図形はカルタン行列の非対角成分 −a21, −a12 に対応し、描かれる辺の個数は max(−a21, −a12) に等しく、矢印は −1 でない元を指している。
一般カルタン行列は正方行列 A = (aij) であって以下を満たすものである:
対角成分に対して、aii = 2.
非対角成分に対して、aij ≤ 0.
aij = 0 ⇔ aji = 0.
ディンキン図形はイェヴゲニ・ディンキン(英語版)に因んで名づけられており、彼はそれを2つの論文 (1946, 1947) で用いて、半単純リー環の分類を簡素化した;(Dynkin 2000) を参照。ディンキンがソビエト連邦を1976年に去った時、当時それは反逆と同等と考えられており、ソビエトの数学者は彼の名前を用いずに「単純ルートの図形」と呼ぶよう指示された。
無向グラフは早くにコクセター (1934) によって鏡映群(英語版)を分類するために用いられていた、ここで頂点は単純鏡映に対応する;グラフはヴィット (1941) によって(長さの情報とともに)ルート系に関連して頂点が単純ルートと対応するよう今日用いられているように用いられた。ディンキンはそれらを1946年と1947年に用い、1947年の論文でコクセターとヴィットに謝意を表した。