行列の平方根
A {\textstyle A} が固有値ゼロを持たない場合は解が4組、固有値ゼロを持つ場合( Δ = 0 {\textstyle \Delta =0} の場合)は解が2組であるが、これは上記の明示公式で尽くされているので、これら以外には、平方根は存在しない。
δ = 0 {\textstyle \delta =0} の場合は、複雑になる。
D が n × n 対角行列ならば、D の対角成分の任意の平方根を対応する位置の対角成分に持つ対角行列 R を作れば平方根が得られる。D の対角成分が非負の実数ならば、先の対角行列 R で各成分の符号を全て正としたものは D の主平方根である。
冪等行列の平方根は、自身を平方根に持つ。
固有値が正の実数となる他の任意の平方根 T は T = I + M の形で M が冪零かつ N と(したがって L と)可換となるようにとれる。しかしこのとき 0 = S − T = 2(L − M)(I + (L + M)/2) であり、また L と M の可換性により L + M は冪零ゆえ I + (L + M)/2 は可逆(逆行列はノイマン級数で与えられる)となるから、したがって L = M.
すべての固有値が正の実数であるような行列 A の最小多項式を p(t) とするとき、A の一般固有空間へのジョルダン分解は p(t) の部分分数分解から導かれる。すなわち、対応する一般固有空間の上への射影は A の実係数多項式として与えられ、各固有空間上で A は上記の通り λ(I + N) の形をしている。固有空間上での平方根の冪級数展開は、A の主平方根が実係数多項式 q(t) に対する q(A) の形をしていることを示すものである。
対角化可能行列 A に対し、適当な行列 V と対角行列 D が存在して A = VDV と書ける。これは A が C を張る n 個の固有値を持つことと同値である。このとき V はその列ベクトルが n 個の固有ベクトルであるように選べる。そうして A の平方根は D の任意の平方根を用いて R = V S V − 1 {\textstyle R=VSV^{-1}} と書ける。実際、 ( V D 1 / 2 V − 1 ) 2 = V D 1 / 2 ( V − 1 V ) D 1 / 2 V − 1 = V D V − 1 = A {\textstyle (VD^{1/2}V^{-1})^{2}=VD^{1/2}(V^{-1}V)D^{1/2}V^{-1}=VDV^{-1}=A} である。 A が対称行列ならば対角化に用いる行列 V は固有ベクトルを適当に選んで直交行列となるようにとれる。この場合、V の逆行列はたんに転置をとるだけであるから、 R = V S t V {\textstyle R=VS{}^{\,t\!}V} と書ける。