フーコーの振り子
本記事で出典として使用していない文献のうち有用なものを、発表順に示す。
ターンテーブルの上で揺れる振り子をテーブル上の観測者の視点からは、振り子の振動面がテーブルと同じ角速度で回転して観測できることは、比較的容易に理解できる。しかし、前述のようにフーコーの振り子の振動面の回転は緯度への依存性があり、理解が難しい。例えば、東京を通る北緯35度で、減衰しない理想的な振り子を振動させたとき、振動面は1時間あたり8.6度、1日で206.5度回転する。つまり振り子の振動面は前日とは異なる位置になるが、夜空の星座の位置は24時間経過すると、ほぼ同じ位置に戻っている。この違いもフーコーの振り子を直感的に理解することを困難にさせる要因である。
原理上、地球上で振動している振り子は、すべてフーコーの振り子といえる。しかし、振り子によって地球の自転を観察するためには、振り子を長時間振動させる必要があり、また錘の楕円運動など阻害要因を可能な限り除去する必要がある。振り子の振動において楕円運動が生じると、地球が自転していなくても振動面が徐々に回転する。このため、基本的に長い弦と質量の大きい錘が求められる。
他方、フーコーの振り子の装置は通常大型となり、また振り子による地球の自転の観測は時間がかかる。このため、チャールズ・ホイートストンが1851年に発表した装置(#ホイートストンの装置を参照)をはじめとして、模型を使って簡易的に原理を説明する試みも多数発表されている。以下にターンテーブルを使った模型によるフーコーの振り子のデモンストレーションを撮影した動画を示す。
これは1857年頃に輸入された蘭書で現在「武雄鍋島文書」内に保存されている。
「東洋学芸雑誌」第25号(1883年10月発行)に掲載された菊池大麓が著した「地動說ノ証據」の中で、地球の自転に関する解説がある。この解説では、地球の自転を示す証拠としてフーコーの振り子とジャイロスコープが説明されている。またこの解説には、東京大学でフーコーの振り子の実験を行ったことについて簡単な記述がある。このとき使用された振り子は、弦が長さ16から17尺(約4.8から約5.2m)の銅線、錘の重さが11貫目(約41kg)、錘の直径が7寸(約21cm)であった。
1932年の天文学術誌「天界」に広島文理科大学の中村饒がフーコーの振り子の実験方法の改良について記事を投稿した。中村は、振り子の錘に豆電球を取り付け、これを発光させながら振り子を振動させ、下面から写真機を長時間露光することで振動面の回転を記録するというものであった。
1934年4月21日に東京科学博物館上野新館(現:国立科学博物館日本館)に設置された。常設展示としては日本初である。
コリオリの力を使ったフーコーの振り子のモデルを考える。緯度 θ {\displaystyle \theta } にある振り子の運動を考える。錘の質量を m {\displaystyle m} 、弦の長さ l {\displaystyle l} 、弦に働く張力を F {\displaystyle F} 、地球の自転の角速度を ω {\displaystyle \omega } とする。また振り子の支点の真下に錘の質点がくる点を原点とした座標系を設定する。振り子の振動が弦の長さに比べて十分に小さく、振り子の錘の運動は x y {\displaystyle xy} 平面内の運動としてみなす。すなわち、座標系の原点回りの回転による遠心力と、 z {\displaystyle z} 軸成分を省略した錘の運動は以下の運動方程式となる。
m d 2 x d t 2 = − F x l + 2 m ω sin  θ d y d t {\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-F{\frac {x}{l}}+2m\omega \sin \theta {\frac {dy}{dt}}} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (4-1)
これは試験質量を x {\displaystyle x} 軸、 y {\displaystyle y} 軸に沿った方向にバネで支持して振動させ、各軸の変位を観測することで角速度を検出する。「全角度モード・ジャイロスコープ」はさらに、 x {\displaystyle x} 軸方向と y {\displaystyle y} 軸方向の振動を完全対称(周波数、振幅、Q値などを同一)にすると、試験質量にはコリオリ力が働き、フーコーの振り子と同じく振動面が回転する。
カリフォルニア大学アーバイン校のマイクロシステム研究室が作成したものは、4つの「プルーフマス」を使用した全角度モード・ジャイロスコープである。彼らの主張によると、事実上入力角度の範囲は無制限で、ドリフト現象も1時間あたり0.5度以下に抑えられたとしている。
2020年1月22日、東芝が国際学会IEEE-MEMS 2020において、MEMS技術を用いた積分型ジャイロスコープ(Rate Integrating Gyroscope:略してRIG)の小型センサーモジュールを発表した。振動子に独自のドーナツマス構造を採用し、温度が変化しても縦横の振動特性が等しく変化し、対称性が保たれるので、温度変化による感度への影響が極めて小さいとしている。
Academy Pendulum Sales(英語)
教育支援:フーコー振子(島津理科)(日本語)
アメリカ合衆国オレゴン州ポートランドのオレゴン・コンベンション・センター(英語版) にあるフーコーの振り子は、弦の長さが約21m(70フィート)、錘の質量が約340kg(750ポンド)であり、錘の質量では世界最大を自称している。
ソビエト連邦時代、サンクトペテルブルクの聖イサアク大聖堂のドームにフーコーの振り子が設置されていた。当時、聖イサアク大聖堂は宗教利用を禁じられ博物館として利用されていた。大聖堂のドーム高は約100m。取り付けられた振り子の弦もドーム高に合わせて98mあり、恐らく世界で最も長い弦長をもつフーコーの振り子であった。
ラトビアの首都リガにあるリガ・ラジオ・アンド・テレビ・タワーは、再開発プロジェクトに合わせて2019年より改装工事を行っている 。リニューアル時に、塔を支える脚の間に、弦の長さが70m以上、錘の重量500kgのフーコーの振り子が設置されることになっている。竣工予定は2023年から2024年頃で、「完成すれば世界最大で最長のフーコーの振り子となる予定」と主張している。
次に、振り子の始動時について考察する。ここで振り子の振動数に比べて地球の自転角速度は無視できるほど小さい( ψ ≫ φ ̇ {\displaystyle \psi \gg {\dot {\phi }}} )。つまり φ ̇ ≃ 0 {\displaystyle {\dot {\phi }}\simeq 0} と考えると、
x ( t ) = ( A 1 + B 1 ) cos  ψ t − ( A 2 + B 2 ) sin  ψ t {\displaystyle x(t)=(A_{1}+B_{1})\cos \psi t-(A_{2}+B_{2})\sin \psi t}
y ( t ) = ( A 1 − B 1 ) sin  ψ t + ( A 2 − B 2 ) cos  ψ t {\displaystyle y(t)=(A_{1}-B_{1})\sin \psi t+(A_{2}-B_{2})\cos \psi t}
時刻 t = 0 {\displaystyle t=0} のとき、 y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=0} かつ x ̇ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\dot {x}}(0)=0} とすると、 A 2 = B 2 = 0 {\displaystyle A_{2}=B_{2}=0} であるので
x ( t ) = ( A 1 + B 1 ) cos  ψ t {\displaystyle x(t)=(A_{1}+B_{1})\cos \psi t} ⋯ {\displaystyle \qquad \cdots \ } (5-2)
スマートフォンやデジタルカメラなどに、本体の姿勢を検知するためにジャイロセンサーを内蔵した電子機器が数多く存在している。これらジャイロセンサーは振動型ジャイロスコープと呼ばれる種類が一般的で、半導体集積回路の製造技術から発展したMEMSと呼ばれる技術によって作りだされた。MEMSジャイロスコープは、角速度を出力するため回転角を取得するためには出力信号を積分する必要がある。しかし角速度信号は不安定で、これを積分すると経過時間と共に誤差が蓄積する現象(ドリフト現象)が発生することが知られている。
一方、「フーコーの振り子」は、ゆっくりとした地球の回転を測定できる高性能な積分ジャイロセンサーとみなすこともできる。フーコーの振り子を半導体チップ上に実現したデバイスを「全角度モード・ジャイロスコープ(英: Whole angle mode gyroscope)」と呼ぶ。例えば2011年に、カリフォルニア大学アーバイン校のマイクロシステム研究室は、MEMS技術を応用して半導体マイクロチップの上に「フーコーの振り子」を作ることに成功したと発表した。
「全角度モード・ジャイロスコープ」には、弦と錘の単振り子が入っているわけではなく、「プルーフマス(英: Proof mass、試験質量)」と呼ばれるものが使われている。
フーコーの振り子の性質上、精度の高い実験を行うためには長い弦と大きい質量の錘が必要となり、結果として装置が大型になる。