測度保存力学系
数学における測度保存力学系(そくどほぞんりきがくけい、英: measure-preserving dynamical system)は、力学系の抽象的形成や、特にエルゴード理論に現れる一研究対象である。
この定義は、T が系のダイナミクスを与えるために反復されるような単一の変換ではなく、s ∈ Z(あるいは R、N ∪ {0}、[0, +∞) など)によってパラメータ化された変換 Ts : X → X のモノイド(あるいは群)であるような場合に対しても一般化できる。そのような場合、各 Ts は上述の T と同様の性質を満たすものであり、特に次の法則が従う:
T 0 = i d X : X → X {\displaystyle T_{0}=id_{X}:X\rightarrow X} 。すなわち X 上の恒等函数;
T s ∘ T t = T t + s {\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{t+s}} 。但し各項は well-defined であるとする;
T s − 1 = T − s {\displaystyle T_{s}^{-1}=T_{-s}} 。但し各項は well-defined であるとする。
この議論に当てはまる簡単なケースとして、s ∈ N に対する Ts = T が考えられる。
ある写像やマルコフ過程の不変測度の存在は、クリロフ=ボゴリューボフの定理によって証明できる。