バーンバウム＝オルリッチ空間
‖ X ‖ Ψ p = c → lim x → ∞ f X ( x ) exp  ( | x / c | p ) = 0. {\displaystyle \|X\|_{\Psi _{p}}=c\rightarrow \lim _{x\rightarrow \infty }f_{X}(x)\exp(|x/c|^{p})=0.}
したがってこの確率密度函数の末尾は漸近的に似たものであり、 exp  ( − | x / c | p ) {\displaystyle \exp(-|x/c|^{p})} によって上に有界となる。
Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{1}} ノルムは狭義単調積率母函数によって容易に計算できる。例えば、自由度 K のカイ自乗確率変数 X の積率母函数は M X ( t ) = ( 1 − 2 t ) − K / 2 {\displaystyle M_{X}(t)=(1-2t)^{-K/2}} であり、したがって Ψ 1 {\displaystyle \Psi _{1}} ノルムの逆は積率母函数の函数的逆と関連する。すなわち
‖ X ‖ Ψ 1 − 1 = M X − 1 ( 2 ) = ( 1 − 4 − 1 / K ) / 2 {\displaystyle \|X\|_{\Psi _{1}}^{-1}=M_{X}^{-1}(2)=(1-4^{-1/K})/2}
が成立する。