慣性半径
高分子科学においては慣性半径は高分子鎖の空間的な大きさを表現するのに使われる。 ある単一の重合度Nのホモポリマーのある時刻での慣性半径は以下のように定義される。
R g 2 = d e f 1 N ∑ k = 1 N | r k − r m e a n | 2 {\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}\left|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\right|^{2}}
ここで、 r m e a n {\displaystyle \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }} はモノマー単位の平均座標である。 以下に示す通り、慣性半径は各モノマー間の距離の平均二乗距離に比例する長さとしても定義できる。
R g 2 = d e f 1 2 N 2 ∑ i , j | r i − r j | 2 {\displaystyle R_{\mathrm {g} }^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}}
R g 2 = d e f 1 2 N 2 ∑ i , j | r i − r j | 2 = 1 2 N 2 ∑ i , j ( r i ⋅ r i − 2 r i ⋅ r j + r j ⋅ r j ) = 1 2 N 2 [ N ∑ i ( r i ⋅ r I ) − 2 ∑ i , j ( r i ⋅ r j ) + N ∑ j ( r j ⋅ r j ) ] = 1 N ∑ k N ( r k ⋅ r k ) − 1 N 2 ∑ i , j ( r i ⋅ r j ) = 1 N ∑ k N ( r k ⋅ r k ) − r m e a n ⋅ r m e a n {\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {g} }^{2}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{2}\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}-2\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}+\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{2N^{2}}}\left[N\sum _{i}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{I}\right)-2\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)+N\sum _{j}\left(\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\right]\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i,j}\left(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k}^{N}\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)-\mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {mean} }\end{aligned}}}