リアプノフ安定
次のような常微分方程式系が与えられるとき、
d X d t = f ( X ) , X = { x 1 , x 2 , x 3 , ⋯ } {\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=f(X),\ X=\{x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\cdots \}}
全ての時間 t について f(Xe) = 0 を満たす点 Xe を平衡点と呼ぶ。初期点 X0 を通る系の解軌道を X(t) と表すとする。リアプノフ安定は次のように定義される。
平衡点 Xe の任意の近傍 N に対して、N に含まれる Xe の近傍 N1 がとれて、N1に属する初期点 X0 の軌道 X(t) が全ての t ≥ 0において N に含まれるとき、Xe はリアプノフ安定であるという。
別の表現では、任意の ε > 0 に対して δ > 0が存在し、
‖ X 0 − X e ‖ < δ {\displaystyle \|X_{0}-X_{e}\|<\delta }
ならば、全ての t ≥ 0において、
‖ X ( t ) − X e ‖ < ε {\displaystyle \|X(t)-X_{e}\|<\epsilon }
であるならば、Xe はリアプノフ安定である。
このような安定性を単に「安定」と呼ぶ場合もある。ただし、他にも安定性の考え方が存在するので、このような条件を満たすことによる安定性を「リアプノフの意味で安定」という場合もある。