Lp空間
再び、測度空間 (S, Σ, μ) を考える。 w : S → [ 0 , + ∞ ) {\textstyle w\colon S\to [0,+\infty )} をある可測函数とする。w で重み付けられた L 空間は、L(S, w dμ) と定義される。ここで、w dμ は
ν ( A ) ≡ ∫ A w ( x ) d μ ( x ) , ( A ∈ Σ ) {\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,d\mu (x),\quad (A\in \Sigma )}
あるいは、ラドン=ニコディム微分
w = d ν d μ {\displaystyle \ w={\frac {d\nu }{d\mu }}}
について定義される測度 ν を意味する。
L(S, w dμ) のノルムは、陽的には
弱 L 空間はローレンツ空間 L と一致するため、それらを表すためにこの L の記号が用いられることもある。
L-ノルムは、三角不等式を満たさないので、真のノルムではない。しかし、L(S, μ) に属する f に対して
‖ f ‖ p , w ≤ ‖ f ‖ p {\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}}
が成立し、特に L(S, μ) ⊂ L(S, μ) が成立する。二つの関数が一致するとは μ に関してほとんど至る所でそれらが一致することであるという慣例の下で、空間 L は完備である。
任意の 0 < r < p に対して、式
| | | f | | | L p , ∞ = sup 0 < μ ( E ) < ∞ μ ( E ) − 1 r + 1 p ( ∫ E | f | r d μ ) 1 r {\displaystyle |||f|||_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{p}}}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{\frac {1}{r}}}
は L-ノルムと比較可能である。さらに、p > 1 の場合、r = 1 であるならこの式はノルムを定める。したがって p > 1 に対して、弱 L 空間はバナッハ空間である。
L-空間を利用した主要な結果の一つに、 マルチンキェヴィチの補間定理(英語版)がある。それは、調和解析や特異積分(英語版)の研究に幅広く応用されている。
1 ≤ p < ∞ とし、(S, Σ, μ) を測度空間とする。絶対値の p 乗の積分が有界であるような、S から C(または R)への可測函数の集合を考える。すなわち、
‖ f ‖ p := ( ∫ S | f | p d μ ) 1 / p < ∞ {\displaystyle \|f\|_{p}:={\Big (}\int _{S}|f|^{p}\,d\mu {\Big )}^{1/p}<\infty }
であるような可測函数の集合を考える。
そのような函数の集合は、以下の自然な作用によりベクトル空間を構成する:
( f + g ) ( x ) := f ( x ) + g ( x ) and ( λ f ) ( x ) := λ f ( x ) {\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x){\text{ and }}(\lambda f)(x):=\lambda f(x)}
ここで λ は任意のスカラーである。
二つの p 乗可積分函数の和が再び p 乗可積分となることは、不等式 |f + g| ≤ 2 (|f| + |g|) より従う。実際、ミンコフスキーの不等式より、‖ • ‖p については三角不等式が成立することも従う。したがって p 乗可積分函数の集合は、函数 ‖ • ‖p を備える半ノルムベクトル空間であり、 L p ( S , μ ) {\textstyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )} と表記される。