スターリングの近似
Γ ( z + 1 ) ∼ z z + 1 e − z 2 π z = 2 π z ( z e ) z {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim z^{z+1}e^{-z}{\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}
を得る。 ε = z − 1 3 {\displaystyle \varepsilon =z^{-{\tfrac {1}{3}}}} として、近似の誤差は
| ∫ − 1 − ε e − z { u − log  ( 1 + u ) } d u | ≤ 1 ε ∫ − 1 − ε | − u ( 1 + u ) e − z { u − log  ( 1 + u ) } | d u = 1 ε z [ e − z { u − log  ( 1 + u ) } ] − 1 − ε = 1 ε z { e − z ( ε 2 2 + O ( ε 3 ) ) } − 0 ≈ z 2 3 e − z 1 / 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{-1}^{-\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\right|&\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{-1}^{-\varepsilon }\left|{\frac {-u}{(1+u)}}e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right|du={\frac {1}{\varepsilon z}}\left[e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}\right]_{-1}^{-\varepsilon }\\&={\frac {1}{\varepsilon z}}\left\{e^{-z\left({\tfrac {\varepsilon ^{2}}{2}}+O(\varepsilon ^{3})\right)}\right\}-0\approx z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\end{aligned}}}
となるが、 z {\displaystyle z} が十分に大きければ u = 0 {\displaystyle u=0} の付近が支配的であるから
Γ ( z + 1 ) ≈ z z + 1 e − z ∫ − ε ε e − z { u − log  ( 1 + u ) } d u ≈ z z + 1 e − z ∫ − ε ε e − z u 2 2 d u ≈ z z + 1 e − z ∫ − ∞ ∞ e − z u 2 2 d u {\displaystyle \Gamma (z+1)\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du\approx z^{z+1}e^{-z}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}du}
という近似が許され、ガウス積分により
| ∫ 0 ∞ arctan  ( t / z ) e 2 π t − 1 d t | ≤ | ∫ 0 | z | 1 / 2 arctan  ( t / z ) e 2 π t − 1 d t | + | ∫ | z | 1 / 2 ∞ arctan  ( t / z ) e 2 π t − 1 d t | ≤ ∫ 0 | z | 1 / 2 ∑ k = 1 ∞ | t / z | k d t 2 π t + M ∫ | z | 1 / 2 ∞ e 2 π d t ( e 2 π − 1 ) e t e 2 π ( | z | > 1 ) ≤ ∫ 0 | z | 1 / 2 d t 2 π ( | z | − t ) + M e 2 π e 2 π − 1 ∫ t = | z | 1 / 2 ∞ e − 2 π t d t {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|&\leq \left|\int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|+\left|\int _{|z|^{1/2}}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|\\&\leq \int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {\sum _{k=1}^{\infty }|t/z|^{k}dt}{2\pi t}}+M\int _{|z|^{1/2}}^{\infty }{\frac {e^{2\pi }dt}{(e^{2\pi }-1)e^{t}e^{2\pi }}}\qquad (|z|>1)\\&\leq \int _{0}^{|z|^{1/2}}{\frac {dt}{2\pi (|z|-t)}}+{\frac {Me^{2\pi }}{e^{2\pi }-1}}\int _{t=|z|^{1/2}}^{\infty }e^{-2\pi t}dt\end{aligned}}}
従って
n ! ∼ 2 π n ( n e ) n exp  ( 1 12 n ) {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({\frac {1}{12n}}\right)}
オイラーの乗積表示によるガンマ関数の定義の対数をとり
log  Γ ( z ) = log  { ( z − 1 ) Γ ( z − 1 ) } = lim N → ∞ ( z − 1 ) log  N + ∑ n = 1 N { log  n − log  ( n + z − 1 ) } {\displaystyle {\begin{aligned}\log \Gamma (z)&=\log {\big \{}(z-1)\Gamma (z-1){\big \}}\\&=\lim _{N\to \infty }(z-1)\log N+\sum _{n=1}^{N}{\big \{}\log n-\log(n+z-1){\big \}}\end{aligned}}}
f ( n ) = log  n − log  ( n + z − 1 ) {\displaystyle f(n)=\log n-\log(n+z-1)} にオイラーの和公式を適用すれば
log  Γ ( z ) = lim N → ∞ ( z − 1 ) log  N + ∫ n = 1 N f ( n ) d n + 1 2 ( f ( N ) + f ( 1 ) ) + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( N ) − f ( 2 k − 1 ) ( 1 ) ) + ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) ( 2 m + 1 ) !
2002年、Robert H. Windschitl がリソースの制限された計算機(電卓など)でのそれなりの正確性を持った近似としてこれを示した。
Gergő Nemes は 2007年にほぼ同程度の結果を与える近似式を提案した。こちらはより単純である。
Γ ( z ) ∼ 2 π z { 1 e ( z + 1 12 z − 1 10 z ) } z {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left\{{\frac {1}{e}}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right\}^{z}}
これは、次と同等である。
ln  Γ ( z ) ∼ 1 2 ( ln  2 π − ln  z ) + z { ln  ( z + 1 12 z − 1 10 z ) − 1 } {\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim {\frac {1}{2}}\left(\ln 2\pi -\ln z\right)+z\left\{\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right\}}