局所コンパクト空間
例えば、X を定義域とする実数値や複素数値の連続函数が無限遠において消える(英語版)とは、与えられた任意の正数 ε に対して X の適当なコンパクト部分集合 K で |f(x)| < ε が K の外側にある各点 x において成り立つものが取れるときに言う。この定義は任意の位相空間 X において意味を持つ。X が局所コンパクトハウスドルフのとき、そのような函数はちょうど X の一点コンパクト化 a(X) = X ∪ {∞} 上の連続函数 g で g(∞) = 0 を満たすものに延長することができる。
無限遠点で消えている複素数値連続函数全体の成す集合 C0(X) は C*-環を成す。実は任意の可換 C*-環は、ある(同相の違いを除いて)一意に定まる局所コンパクトハウスドルフ空間 X 上の C0(X) に同型である。より詳しく述べれば、局所コンパクトハウスドルフ空間の圏と可換 C*-環の圏は双対であることが、ゲルファント表現(英語版)を用いて示される。この双対性において、X から一点コンパクト化 a(X) を作る操作は C0(X) に単位元を添加 (adjoin) する操作に対応する。
任意の局所コンパクトハウスドルフ空間 X はチホノフであるから、ストーン-チェックコンパクト化(英語版)を用いてコンパクトハウスドルフ空間 b(X) に埋め込める。しかし実は、局所コンパクトの場合にはより単純な方法として、X にただ一点のみ余分な点を付け加えることにより X をコンパクトハウスドルフ空間 a(X) に埋め込める、一点コンパクト化(英語版)がある(一点コンパクト化自体は他の種類の空間にも適用することができるが、a(X) がハウスドルフとなることと X が局所コンパクトハウスドルフであることは同値)。従って、局所コンパクトハウスドルフ空間は、コンパクトハウスドルフ空間の開部分集合として特徴づけられる。
直観的に言えば、a(X) において付け加えられた余分な点は無限遠点と見做せる。つまり無限遠点は X の任意のコンパクト部分集合の外側にあるものと考えることができて、無限遠に飛ばす極限を考えることに関する多くの直観的概念がこの考えの下で局所コンパクトハウスドルフ空間に対しても定式化することができる。