ファトゥの補題
以下、ルベーグ積分の定義により、f 以下の任意の非負の単関数 φ に対して
∫ E φ d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ E f n d μ {\displaystyle \int _{E}\varphi \,d\mu \leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu }
が成立することを示せば十分である。
はじめに、 ∫ E φ = ∞ {\displaystyle \int _{E}\varphi =\infty } である場合を考える。a を、φ の非負の値の最小値(そのような値は φ の積分が無限大であることより、必ず存在する)とする。
A = { x ∈ E | φ ( x ) > a } {\displaystyle A=\{x\in E|\varphi (x)>a\}}
を定義する。
∫ E φ ≤ M μ ( A ) , {\displaystyle \int _{E}\varphi \leq M\mu (A),}
であることから、μ(A) は無限大ある。ただし M は φ の到達する(必ず有限な)最大値とする。
A n = { x ∈ E | f k ( x ) > a ∀ k ≥ n } . {\displaystyle A_{n}=\{x\in E|f_{k}(x)>a~\forall k\geq n\}.}
を定義すると
A ⊆ ⋃ n A n ⇒ μ ( ⋃ n A n ) = ∞ {\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n}A_{n}\Rightarrow \mu (\bigcup _{n}A_{n})=\infty }
非負の関数列 g – fn に対してファトゥの補題を適用すればよい。
f1, f2, f3, . . . を、測度空間 (S,Σ,μ) 上の非負可測関数の列とする。関数 f : S → [0, ∞] を各点毎に
f ( s ) = lim inf n → ∞ f n ( s ) , s ∈ S {\displaystyle f(s)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(s),\quad s\in S}
と定義する。このとき f は可測であり、
∫ S f d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ S f n d μ {\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,}
が成立する。
注釈: これらの関数は +∞ の値を取ることも許されており、積分の値も無限となる場合がある。