臨界点 (数学)
臨界点は多様体や実代数多様体(英語版)のトポロジーの研究に対して基本的である。特に、それらはモース理論とカタストロフ理論の基本的な道具である。
臨界点とトポロジーとのつながりは抽象化のより低いレベルで既に現れる。例えば、V を R の部分多様体とし、P を V の外の点とする。V の点と P との距離の平方は V の各連結成分が距離が最小になるような少なくとも1つの臨界点を含むような可微分写像である。したがって V の連結成分の個数は臨界点の個数によって上から抑えられる。
実代数多様体の場合には、この観察をベズーの定理とあわせて、多様体を定義する多項式の次数のある関数によって連結成分の個数をおさえることができる。