幾何化予想
3次元多様体は、8つの幾何学モデルのうちのひとつへ帰着できることは、3次元多様体のトポロジーへ重要な結論をもたらす。モデルは双曲的(hyperboloc)や球面的(spherical)なファイバー構造だけはなく、多様体はザイフェルトファイバー(英語版)の構造を持つことがある。ザイフェルト多様体のトポロジーは、よくわかっている。これらの基本群は、例えば、いつも 2-トーラスの基本群 Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } の部分群に同型であり、次のように幾何化を定式化できる。
全ての既約な閉 3-次元多様体は次の 3つの条件のうちのいづれかの一つに一致する。 球面の計量を持ったもの 双曲な計量を持ったもの 基本群が、 Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } の部分群となっているもの
いまのところ、球面的な多様体と双曲的な多様体に対し、多くの可能性があり、これらを完全には分類しきれてはいない。しかしながら、性質の多くが理解され、分類は純粋に群論的な問題となっている(すなわち、 S 3 {\displaystyle S^{3}} や H 3 {\displaystyle \mathbb {H} ^{3}} 、従って S O ( 3 , R ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3,\mathbb {R} )} や P S L ( 2 , C ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )} の等長群の全ての自由な離散部分群(discrete subgroups)を決定する問題となっている)。
2次元で曲率で分類できたことと同様に、3次元では、それぞれ、定数(0, 1 正, -1 負)の断面曲率を持つことに対応するモデルが、下記のように存在する。
ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
3-球面 S 3 {\displaystyle S^{3}} (4次元球体の表面)
双曲空間 H 3 {\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}