体上の多元環
K は体、A を K 上のベクトル空間で付加的な二項演算 "⋅": A × A → A, (x, y) ↦ xy を持つものとする(x, y を A の任意の元とするとき、xy をそれらの積と呼ぶ)。このとき、A が K 上の多元環であるとは、A の任意の元 x, y, z と K の任意の元(スカラー)α について、以下の条件
左分配律: (x + y) z = xz + yz
右分配律: x(y + z) = xy + xz
スカラー律: (αx)y = α(xy) = x(αy)
を満足するときに言う。このときの二項演算 "⋅" は、ふつう A 上の乗法と言い、これらの三公理はまとめて、乗法の双線型性と呼ばれる。K 上の多元環は、短く K-多元環とも呼び、また K は多元環 A の係数体 (scalar field) または基礎体 (base field, ground field) という。
本項においては、規約として多元環の元の乗法が結合的であることは仮定しないが、文献によっては結合的なものを単に「多元環」と呼んでいる場合があるので注意を要する。
また、(先の複素数の例などのように)ベクトル空間の上の乗法が可換であるときには、左分配性と右分配性とはまったく一致する条件であるが、一般に非可換である場合には(後述する四元数の例のように)両条件は同値ではない。したがって、これらは別々に要請されるべき公理であることに注意を要する。
↑ Hazewinkel et al. 2004, pp. 2–3.
↑ Schafer 1966, p. 1.
↑ Schafer 1966, p. 11.
↑ Schafer 1966, p. 2.
↑ Schafer 1966.
↑ Study, E. (1890), “Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen”, Monatshefte für Mathematik und Physik 1 (1): 283–354, doi:10.1007/BF01692479, JFM 22.0387.02
スカラー乗法の閉性: cx ∈ L
任意左乗法の閉性: zx ∈ L
をすべて満足することをいう。最後の条件を「任意右乗法の閉性 xz ∈ L」に取り換えれば右イデアル (right ideal) の定義を得る。両側イデアル (two-sided ideal) は左イデアルでも右イデアルでもあるような部分集合を言う。単に「イデアル」と言った時には、両側イデアルの意味であるのが普通である。もちろん、多元環が可換であるときには、これらのイデアルの概念はいずれも一致してしまうので、この場合は単にイデアルと呼ぶ。上二つの条件は L が A の部分線型空間であることを言うものであることを指摘しておく。また最後の条件からは、任意の左および右イデアルが部分多元環となることがわかる。
いま定義したイデアルの概念が、環のイデアルとは異なる概念であることに留意することは重要である(スカラー倍に関する条件が加わっている)。もちろん、考える多元環が単型であるときには、スカラー倍に関する条件は最後の条件に含まれる。
多元環が零多元環 (zero algebra) とは、任意の元 u, v に対して uv = 0 となることを言う。ただ一つの元からなる多元環(自明な多元環)を零(多元)環と呼ぶこともある(それはいま言う意味での零環でもある)が、混同してはならない。零環は本質的に(自明環でなければ)単位的でなく、しかし結合的かつ可換である。
単型零環 (unital zero algebra) は、体(あるいはより一般の環)k と k-線型空間(加群)V との直和をとり、V の二元の積が常に零ベクトルであるものと定めて得られる。即ち、λ, μ ∈ k および u, v ∈ V ならば (λ + u)(μ + v) = λμ + (λv + μu) となる。e1, ..., ed が V の基底であるとすれば、単型零環は多項式環 k[e1, ..., en] の全ての対 (i, j) に対する eiej の全体が生成するイデアルによる剰余環である。
構造係数のいくつか異なる組に対して、同型な多元環が生じ得ることは留意すべきである。
多元環が計量を備えているときには、構造係数の添字は上付きと下付きに書いて、座標変換に対するそれらの変換規則を区別する。具体的には、数理物理において、下付き添字は共変添字で、引き戻し(英語版)を通じて変換し、他方上付き添字は反変添字で、押し出しのもとで変換するので、このとき構造係数は ci,j と書かれ、またアインシュタインの縮約記法を用いるなら定義式は
eiej = ci,j ek
と書くことができる。ベクトルの成分に関する添字記法を用いるならば、これは
(xy) = ci,jxy
と書くこともできる。
K が単に可換環であって体を成さない場合、同様の過程は A が自由加群であるときに限れば通用する。そうでなくとも、A の乗法は A を生成する集合上の作用が決まるならばやはり完全に決めることができるが、しかしこの場合には構造係数を任意に決めるということはできず、構造係数から同型を除いて多元環を決定するということも可能にはならない。