ラッセルのパラドックス
ゆえに空集合の定義より y ∈ ∅ {\displaystyle y\in \varnothing } が成り立つ。逆に y ∈ ∅ {\displaystyle y\in \varnothing } を一度だけ仮定する。すると仮定および空集合の定義より矛盾 ⊥ {\displaystyle \bot } が導かれる。ゆえに爆発原理より y ∈ A {\displaystyle y\in A} が成り立つ。したがって A {\displaystyle A} と空集合は外延的に等価である。外延性公理より A = ∅ {\displaystyle A=\varnothing } が成り立つ。これは A ≠ ∅ {\displaystyle A\neq \varnothing } と矛盾する。
ウカシェヴィッチの3値論理上の素朴集合論では、 R ∈ R {\displaystyle R\in R} の真理値を不定値と解釈すればラッセルのパラドックスは生じない。ところが莫少揆のパラドックスと呼ばれる別のパラドックスが生じる。パラドックスを回避するには無限ウカシェヴィッチ論理を用いる必要がある。