リーマン曲率テンソル
したがって、
リーマン多様体の一部領域がユークリッド空間に一致⇔その領域における基本計量テンソル gij(x) を全部定数にする座標変換が存在する。
ここで、gij が全て定数であれば、クリストッフェル記号はその定義から明らかに0となる。逆にクリストッフェル記号が0であれば、リッチの補定理 ∇ k g i j = 0 {\displaystyle \nabla _{k}g_{ij}=0} から
∇ k g i j = ∂ g i j ∂ x k − ∑ a g a j { a i k } − ∑ a g i a { a j k } = ∂ g i j ∂ x k = 0 {\displaystyle \nabla _{k}g_{ij}={\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}-\sum _{a}g_{aj}\left\{{{a} \atop {ik}}\right\}-\sum _{a}g_{ia}\left\{{{a} \atop {jk}}\right\}={\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=0}
となり、gij は全て定数となる。よって、
ある領域における基本計量テンソル gij(x) を全部定数にする座標変換が存在する ⇔ その領域においてクリストッフェル記号を全て0にする座標変換が存在する。
ここで、座標系(u)がクリストッフェル記号を全て0にする座標系とすれば、クリストッフェル記号の変換公式より
となる。 ここで、 R k j i h = ∑ a R k j i a g a h {\displaystyle R_{kjih}=\sum _{a}R_{kji}{}^{a}g_{ah}} より
− ∑ a R k j i a g a h − ∑ a R k j h a g i a = − R k j i h − R k j h i = 0 {\displaystyle -\sum _{a}R_{kji}{}^{a}g_{ah}-\sum _{a}R_{kjh}{}^{a}g_{ia}=-R_{kjih}-R_{kjhi}=0}
従って、
R k j i h = − R k j h i {\displaystyle R_{kjih}=-R_{kjhi}}
となり、リーマン-クリストッフェルのテンソル R k j i h {\displaystyle R_{kjih}} 後ろ二つの添字 (i , h) について交代の性質を持つ