階段関数
階段関数のとる値は、有限個の可能性しかない。階段関数の定義において、区間 Ai たちを互いに素な R の分割にとっておけば、Ai の任意の元 x に対して f(x) = αi となる。
階段関数
f ( x ) = ∑ i = 1 n α i χ A i ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)}
のルベーグ積分は、区間 Ai の長さ L (Ai) が全て有限である場合、
∫ R f d x = ∑ i = 1 n α i L ( A i ) {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }fdx=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}L(A_{i})}
で与えられる。
2つの階段関数の和や積もまた階段関数である。この演算により、階段関数全体の集合は R 上の代数を成す。