ディリクレ核
ディリクレ核はフーリエ級数との関連において重要である。ディリクレ核 Dn と周期 2π の任意の函数 f との畳み込みは f の n-次のフーリエ級数近似となる。すなわち、
f ^ ( k ) = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i k x d x {\displaystyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx}
を f の k-次フーリエ係数として、
( D n ∗ f ) ( x ) = 1 2 π ∫ − π π f ( y ) D n ( x − y ) d y = ∑ k = − n n f ^ ( k ) e i k x {\displaystyle (D_{n}*f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)D_{n}(x-y)\,dy=\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(k)e^{ikx}}