普遍性
(A1, φ1) を X1 から U への普遍射、 (A2, φ2) を X2 から U への普遍射とする。普遍性から、任意の射 h : X1 → X2 に対して一意な射 g : A1 → A2 が存在して、次の図式を可換にする。
もし 全ての C の対象 Xi にU への普遍射が認められるならば、Xi ↦ {\displaystyle \mapsto } Ai 及び h ↦ {\displaystyle \mapsto } g によってC から D への関手 Vが定義される。 これに伴って、φi は 1C (C の恒等関手) から U V への自然変換を定義する。関手 (V, U) は随伴関手の対となる。(V は U の左随伴、及び U は V の右随伴)
同様の言明は U からの普遍射という双対な状況においても適用できる。全ての C における X について、関手 V : C → D が得られ、これは U への右随伴になっている。(つまり U は V の左随伴である。