特性関数 (確率論)
尺度母数 θ、形状母数 k のガンマ分布の特性関数は次の通りである。
( 1 − θ i t ) − k {\displaystyle (1-\theta \,i\,t)^{-k}}
ここで、次のような 2 つのガンマ分布を考える。
X ∼ Γ ( k 1 , θ ) and Y ∼ Γ ( k 2 , θ ) {\displaystyle X~\sim \Gamma (k_{1},\theta ){\mbox{ and }}Y\sim \Gamma (k_{2},\theta )}
X と Y が互いに独立のとき、X + Y がどのような分布になるかを求めたい。それぞれの特性関数は次の通りである。
φ X ( t ) = ( 1 − θ i t ) − k 1 , φ Y ( t ) = ( 1 − θ i t ) − k 2 {\displaystyle \varphi _{X}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{1}},\,\qquad \varphi _{Y}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{2}}}
X と Y が独立であることと、特性関数の基本性質から、次が導かれる。
上述した確率分布と特性関数の全単射は「連続」である。すなわち、累積分布関数の族 {Fj(x)} が何らかの分布 F(x) に弱収束(英語版)するとき、対応する一連の特性関数 {φj(t)} も収束し、極限 φ(t) はそのままの F の特性関数に対応する。これをより形式的に述べると、次のようになる。
レヴィの連続性定理 (Lévy's continuity theorem):n-変量確率変数の列 {Xj} が確率変数 X に分布において収束する場合、常に列 {φXj} は原点で連続な関数 φ に各点収束する。この φ は X の特性関数である。
この定理は大数の法則や中心極限定理の証明によく使われる。