水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
となる。こうして得た式(6.12)は下記の式(6.13)に示したラゲールの陪方程式(ラゲール陪関数)の形になっている。
ρ d 2  u ( ρ ) d  ρ 2 + ( m + 1 − ρ ) d  u ( ρ ) d  ρ + ( k − m ) u ( ρ ) = 0 {\displaystyle \rho {\frac {\operatorname {d} ^{2}u(\rho )}{\operatorname {d} \rho ^{2}}}+(m+1-\rho ){\frac {\operatorname {d} u(\rho )}{\operatorname {d} \rho }}+(k-m)u(\rho )=0} ...(C4)
ラゲールの陪方程式の解u(ρ)はラゲールの陪多項式(ラゲール陪関数)と呼ばれる形の定数倍になることが知られている。ラゲールの陪多項式(ラゲール陪関数)Lmk(ρ)は下記のように定義される。
L k m ( ρ ) = d m d  ρ m e ρ d k d  ρ k ( e − ρ ρ k ) ρ = 2 r n {\displaystyle L_{k}^{m}(\rho )={\frac {\operatorname {d} ^{m}}{\operatorname {d} \rho ^{m}}}e^{\rho }{\frac {\operatorname {d} ^{k}}{\operatorname {d} \rho ^{k}}}(e^{-\rho }\rho ^{k})\quad \rho ={2r \over n}}