放物線の求積
証明を完成させるために、アルキメデスは
1 + 1 4 + 1 16 + 1 64 + ⋯ = 4 3 {\displaystyle 1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {4}{3}}}
だと示している。上記の公式は等比級数、すなわちそれぞれの項は前項の四分の一となっている。現代的に言えば、この公式は等比級数の和の公式の特殊例である。
アルキメデスは、上記の画像に描かれたような完全な幾何的手法を用いて和を評価している。この画像は単位正方形が無限個のより小さな正方形によって分割されている様を示している。それぞれの紫色の正方形の面積は一回り大きなものの四分の一となっており、その総和は
1 4 + 1 16 + 1 64 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots }
である。ここで、紫色の正方形は隣接する2つの黄色の正方形と合同であるから、単位正方形の面積の 1/3 を占めていることになる。したがって上記の級数の和は(1 + 1/3 = 4/3 より) 4/3となる。
命題18-21にかけて、アルキメデスは緑色の三角形の面積が青色の三角形の 1/8であり、それゆえそれぞれの和が青色の三角形の 1/4 になることを示している。現代的な観点からいえば、これは緑色の三角形の幅と高さがそれぞれ青色の三角形の 1/2 および 1/4 であることによる。
同様の議論により、4つの黄色の三角形それぞれが緑色の 1/8 すなわち青色の 1/64 の面積をもち、その和は青色の 4/64 = 1/16 となる。2 = 8 個の赤色の三角形それぞれが黄色の 1/8 の面積を持ち、合計で青色の 2/8 = 1/64 の面積となる。取り尽くし法を用いて、放物領域の面積(Area)は
Area = T + 1 4 T + 1 4 2 T + 1 4 3 T + ⋯ {\displaystyle {\text{Area}}\;=\;T\,+\,{\frac {1}{4}}T\,+\,{\frac {1}{4^{2}}}T\,+\,{\frac {1}{4^{3}}}T\,+\,\cdots }
で求まる。ここで T は大きい青色の三角形の面積を表し、第2項は緑色の面積の総和、第3項は黄色の面積の総和と続く。これを簡素にまとめて
Area = ( 1 + 1 4 + 1 16 + 1 64 + ⋯ ) T {\displaystyle {\text{Area}}\;=\;\left(1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \right)T}
となる。