位相空間
しかも前節で述べたように ( x U ) U ∈ V a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}} は有向点族でありしかもa に収束する。
( ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } )逆にa に収束するA 上の有向点族(xλ)λ∈Λがあったとすれば、収束性の定義からa の任意の近傍U 内に有向点族の点xλが存在する。しかも仮定からxλ ∈ A でもあったので、これは(1)が成立する事を意味し、したがって a ∈ A ̄ {\displaystyle a\in {\bar {A}}} である。
距離空間では、点列の収束概念を用いて閉包や閉集合を同様にして特徴づけができる事が知られており、上記の2つの定理はこの特徴づけを一般の位相空間に拡張したものである。しかし一般の位相空間の場合、上記2定理で述べられているように、距離空間と違い「点列」ではなく「有向点族」で特徴づける必要がある。
なぜなら点列の添字が全順序な可算集合であるという制約が原因で、一般の位相空間の性質を記述するには不足であり、点列の概念で閉集合や開集合を特徴づけるには位相空間の方にも可算性に関する条件を満たす必要があるからである。詳細は列型空間を参照されたい。
位相空間の定義それ自身は可能な限り一般的に定義されているため、個々の応用では位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものを考えることが多い。
本節では、そうしたプラスアルファの性質のうち代表的なものを紹介する。
これについては基本近傍系について記述する際、より詳しく述べる。
さらに次が成立する。
命題 ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の任意の部分集合Aに対し次が成立する:
内部、境界、外部は、全空間X を排他的に分割する。すなわち、 A ∘ ⊔ Fr  ( A ) ⊔ A e = X {\displaystyle A^{\circ }\sqcup \operatorname {Fr} (A)\sqcup A^{e}=X}
A ∘ ⊂ A ⊂ A ̄ {\displaystyle A^{\circ }\subset A\subset {\bar {A}}}
Aの内部、外部は開集合で、境界、閉包は閉集合である。
(3⇒2): O = ⋃ x λ ∈ Λ B ε λ ( x λ ) {\displaystyle O=\bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })} と書ければ、任意のx ∈ Oに対し、 x ∈ O ⟺ ∃ x λ ∈ Λ : x ∈ B ε λ ( x λ ) {\displaystyle x\in O\iff \exists x_{\lambda }\in \Lambda ~:~x\in B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })} なので、 δ x := ε λ − d ( x , x λ ) {\displaystyle \delta _{x}:=\varepsilon _{\lambda }-d(x,x_{\lambda })} とすれば、 δ x > 0 {\displaystyle \delta _{x}>0} であり、 B δ x ( x ) ⊂ B ε λ ( x λ ) ⊂ ⋃ x λ ∈ Λ B ε λ ( x λ ) = O {\displaystyle B_{\delta _{x}}(x)\subset B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })\subset \bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })=O} である。x ∈ OIの任意性から、Oは O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} の開集合である。
上述の命題の条件3から特に次の系が従う:
系 ― 開球は O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} の開集合である。
分離公理とは、位相空間 X 上の2つの対象(点や閉集合)を開集合により「分離」(separate)する事を示す一連の公理、もしくはそこから派生した公理である。
代表的な分離公理としてハウスドルフの分離公理があり、これは以下のような公理であり、前述のようにこれは有向点族の収束の一意性と同値である。
X 上の相異なる2点 x、y に対し、x、y の開近傍 U、V があり、 U ∩ V = ∅ {\displaystyle U\cap V=\emptyset } である。
ハウスドルフの分離公理は、直観的には点 x と y が開近傍という位相的な性質を利用して「区別」(separate) できる事を意味している。すなわちX の位相は点の区別が可能なほど細かい事をこの公理は要請している。
他にも下記のような分離公理がある:
( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 、 ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} を位相空間、 C ( X , Y ) {\displaystyle C(X,Y)} を ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} から ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} への連続写像全体とする。このとき K ⊂ X , O ⊂ Y {\displaystyle K\subset X,O\subset Y} に対し、 W ( K , O ) {\displaystyle W(K,O)} を
W ( K , O ) = { f ∈ C ( X , Y ) ∣ f ( K ) ⊂ O } {\displaystyle W(K,O)=\{f\in C(X,Y)\mid f(K)\subset O\}}
とより定義する。
このとき {W(K, O) : K は X のコンパクト部分集合、 O ∈ O Y {\displaystyle O\in {\mathcal {O}}_{Y}} } を準開基とする位相を C ( X , Y ) {\displaystyle C(X,Y)} のコンパクト開位相(英: compact-open topology)という。
O {\displaystyle {\mathcal {O}}} が以下の性質を満たすとき、組 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を X を台集合とし O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を開集合系とする位相空間と呼び、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の元を X の開集合と呼ぶ。
∅ , X ∈ O {\displaystyle \emptyset ,\,X\in {\mathcal {O}}}
∀ O 1 , ∀ O 2 ∈ O : O 1 ∩ O 2 ∈ O {\displaystyle \forall O_{1},\forall O_{2}\in {\mathcal {O}}~:~O_{1}\cap O_{2}\in {\mathcal {O}}}
∀ { O λ } λ ∈ Λ ⊂ O : ⋃ λ ∈ Λ O λ ∈ O {\displaystyle \forall \{O_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset {\mathcal {O}}~:~\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}}
本節では(実または複素)ベクトル空間における距離と位相の関係を述べる。本節の内容はベクトル空間が有限次元の場合は幾何学、無限次元の場合は解析学に応用がある。
ベクトル空間では、ノルムの概念を定義する事ができ、ベクトル空間上の距離としてはノルムから定まるものを考える事が多い。本節ではまずノルムの定義を振り返り、ノルムから定まる距離を定義し、その距離から定まる位相の性質を見る。