コーシーの主値
C 0 ∞ ( R ) {\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )} を数直線 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上のコンパクトな台を持つ滑らかな関数の集合とする。このとき、写像
p . v .  ( 1 x ) : C 0 ∞ ( R ) → C {\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)\,:C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} }
を、コーシーの主値を用いて
p . v .  ( 1 x ) ( u ) = lim ε → 0 + ∫ | x | > ε u ( x ) x d x {\displaystyle \operatorname {p.\!v.} \left({\frac {1}{x}}\right)(u)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {u(x)}{x}}\,dx} for u ∈ C 0 ∞ ( R ) {\displaystyle u\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )}
と定義すると、これは超関数である。この超関数は、例えばヘヴィサイドの階段関数のフーリエ変換などに現れる。