カシュ環
同値な定義を右カシュ環に対してのみ紹介する。左カシュ環に対しても同様のことが正しい。カシュ条件には零化イデアルの概念を用いたいくつかの同値条件があり、この記事では零化イデアルの記事に現れるのと同じ表記を用いる。
導入部で与えられた定義に加えて、以下の性質は環 R が右カシュであるための同値な定義である。(Lam 1999, p. 281) に書かれている。
すべての単純右 R 加群 S に対して、M から R への非零加群準同型が存在する。
R の極大右イデアルは環の元の右零化イデアルである、つまり、各極大右イデアルは r . a n n ( x ) {\displaystyle \mathrm {r.ann} (x)\,} , ただし x は R の元、の形である。
R の任意の極大右イデアル T に対して、 l . a n n ( T ) ≠ { 0 } {\displaystyle \mathrm {\ell .ann} (T)\neq \{0\}} である。
R の任意の真の右イデアル T に対して, l . a n n ( T ) ≠ { 0 } {\displaystyle \mathrm {\ell .ann} (T)\neq \{0\}} である。
R の任意の極大右イデアル T に対して、 r . a n n ( l . a n n ( T ) ) = T {\displaystyle \mathrm {r.ann} (\mathrm {\ell .ann} (T))=T} である。
R は稠密右イデアルを R 自身を除いて持たない。