スペクトル系列
E p , q r {\displaystyle E_{p,q}^{r}} をスペクトル系列とする。もし全ての q < 0 に対して E p , q r = 0 {\displaystyle E_{p,q}^{r}=0} ならば、r ≥ 2 に対して
E p , 0 r + 1 = ker  ( d : E p , 0 r → E p − r , r − 1 r ) {\displaystyle E_{p,0}^{r+1}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{r}\to E_{p-r,r-1}^{r})}
でなければならない(分母がゼロとなるので)。したがって、単射準同型の列
E p , 0 r → E p , 0 r − 1 → ⋯ → E p , 0 3 → E p , 0 2 {\displaystyle E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}}
が存在する。これはエッジ写像(edge map)と呼ばれている。同様に、全ての p < 0 に対して E p , q r = 0 {\displaystyle E_{p,q}^{r}=0} ならば、 全射準同形の列
環上の加群のようなアーベル圏を一つ固定する。コホモロジー的なスペクトル系列とは、一つの非負整数 r 0 {\displaystyle r_{0}} と、全ての整数 r ≥ r 0 {\displaystyle r\geq r_{0}} に対して定義されている次の3つのものの集まりである:
シート (紙1枚のイメージ)、ページ、もしくは項と呼ばれる対象 E r {\displaystyle E_{r}}
境界写像、もしくは微分と呼ばれる、自己準同型 d r : E r → E r {\displaystyle d_{r}\colon E_{r}\to E_{r}} であって d r ∘ d r = 0 {\displaystyle d_{r}\circ d_{r}=0} を満たすもの
E r + 1 {\displaystyle E_{r+1}} と、 E r {\displaystyle E_{r}} の d r {\displaystyle d_{r}} についてのホモロジー H ( E r ) {\displaystyle H(E_{r})} との間の同型写像
通常、 E r + 1 {\displaystyle E_{r+1}} と H ( E r ) {\displaystyle H(E_{r})} との間の同型写像への記号の割り当ては省略され、これらの間の関係は等式で表される。 E r + 1 {\displaystyle E_{r+1}} を E r {\displaystyle E_{r}} の 導来(derived)対象 と呼ぶこともある。
今の例で行ったような計算は、コホモロジー的なスペクトル系列に対しても簡単に適用できる。 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} を第1象限スペクトル系列(定義は後の節参照)とし、減少フィルトレーション
0 = F n + 1 H n ⊂ F n H n ⊂ ⋯ ⊂ F 0 H n = H n {\displaystyle 0=F^{n+1}H^{n}\subset F^{n}H^{n}\subset \dots \subset F^{0}H^{n}=H^{n}}
を持つ H に収束、つまり E ∞ p , q = F p H p + q / F p + 1 H p + q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}} が成り立っているとしよう。p か q が負であれば E 2 p , q {\displaystyle E_{2}^{p,q}} はゼロであるので、
0 → E ∞ 0 , 1 → E 2 0 , 1 → d E 2 2 , 0 → E ∞ 2 , 0 → 0. {\displaystyle 0\to E_{\infty }^{0,1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to E_{\infty }^{2,0}\to 0.