LTIシステム理論
(Goodman)上記の伝達関数 H ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle H(z_{1},z_{2})} に対しては、 A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , ( z 1 , z 2 ) ∈ S c ⇒ {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,(z_{1},z_{2})\in S_{c}\Rightarrow } システムが安定 システムが安定 ⇒ A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , ( z 1 , z 2 ) ∈ S o {\displaystyle \Rightarrow A(z_{1},z_{2})\neq 0,(z_{1},z_{2})\in S_{o}}
(Huang) T {\displaystyle T} にNSSKがない時、伝達関数 H ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle H(z_{1},z_{2})} は安定する必要十分条件は以下二組の条件を同時に満たすこと: 組I: A ( z 1 , ∞ ) ≠ 0 , | z 1 | ≥ 1 {\displaystyle A(z_{1},\infty )\neq 0,|z_{1}|\geq 1} A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , | z 1 | = 1 and | z 2 | ≥ 1 {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,|z_{1}|=1{\mbox{ and }}|z_{2}|\geq 1} 組II: A ( ∞ , z 2 ) ≠ 0 , | z 2 | ≥ 1 {\displaystyle A(\infty ,z_{2})\neq 0,|z_{2}|\geq 1} A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , | z 2 | = 1 and | z 1 | ≥ 1 {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,|z_{2}|=1{\mbox{ and }}|z_{1}|\geq 1}
固有関数とは、上述の作用素の出力が入力された関数に何らかのスケーリングを施した同じ関数になるときの入力された関数をいう。数式で表すと次の通り。
H f = λ f {\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f}
ここで、f が固有関数であり、 λ {\displaystyle \lambda } は固有値と呼ばれる定数である。
指数関数 z n = e s T n {\displaystyle z^{n}=e^{sTn}} ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } )は、線型時不変作用素の固有関数である。 T ∈ R {\displaystyle T\in \mathbb {R} } はサンプリング間隔であり、 z = e s T , z , s ∈ C {\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} } である。これについての簡単な証明を示す。
入力を x [ n ] = z n {\displaystyle x[n]=\,\!z^{n}} とする。インパルス応答 h [ n ] {\displaystyle h[n]} でのシステムの出力は次のようになる。