慣性モーメント
半径 a 、全質量 M の、一様な密度 ρ = M / πa をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは
I = 1 2 a 2 M {\displaystyle I={\frac {1}{2}}a^{2}M}
となる。
これは中心から半径 r 、幅 dr << r のリングの質量 dM を考えると
d M = 2 π r ρ d r {\displaystyle \mathrm {d} M=2\pi r\rho \mathrm {d} r}
より、このリングの慣性モーメント dI が
d I = r 2 d M = 2 π ρ r 3 d r {\displaystyle \mathrm {d} I=r^{2}\mathrm {d} M=2\pi \rho r^{3}\mathrm {d} r}
だから
I = ∫ 0 a d I = 2 π ρ ∫ 0 a r 3 d r = 1 2 ρ π a 4 {\displaystyle I=\int _{0}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho \int _{0}^{a}r^{3}\mathrm {d} r={\frac {1}{2}}\rho \pi a^{4}}
より求めることができる。
重さの無視できる長さ L の棒の両端に、質量 m 、M の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ a、L - a とする。このとき、中心に対する慣性モーメント I は、
I = m a 2 + M ( L − a ) 2 = ( m + M ) ( a − M m + M L ) 2 + m M m + M L 2 {\displaystyle I=ma^{2}+M(L-a)^{2}=(m+M)\left(a-{\frac {M}{m+M}}L\right)^{2}+{\frac {mM}{m+M}}L^{2}}
と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心(回転軸)のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。