ホモロジー (数学)
ホモロジーを考える動機になる例は代数的位相幾何学に由来している。その例は単体複体 X の単体的ホモロジーである。ここで An は X の向き付けられた n 次元単体を生成元とする自由アーベル群である。写像は境界写像とよばれ、
( a [ 0 ] , a [ 1 ] , ... , a [ n ] ) {\displaystyle (a[0],a[1],\dots ,a[n])}
を頂点とする単体を、和
∑ i = 0 n ( − 1 ) i ( a [ 0 ] , ... , a [ i − 1 ] , a [ i + 1 ] , ... , a [ n ] ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}(a[0],\dots ,a[i-1],a[i+1],\dots ,a[n])}
に写す。ここでの右辺は、n = 0 のときには 0 であると考える。加群として、体上のものを取れば、X の n 次元ホモロジー群の次元は X の n 次元の「穴」の数であると考えることができる。
ただし、0 は自明な群を表し、i < 0 に対しては Ci ≡ 0 と定義する。
さらに、境界作用素 2 つの合成はいつでも 0 であるという要求も付け加える。つまり、すべての n に対して、
∂ n ∘ ∂ n + 1 = 0 {\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}
であるとする。右辺の 0 は群 Cn-1 の単位元への定数写像を意味する。このことは im(∂n+1) ⊆ ker(∂n) を意味する。
いま、各 Cn はアーベル群なので、im(∂n+1) は ker(∂n) の正規部分群である。さらに、この部分群を無視して考えたい。つまり、その差が im(∂n+1) に属するような 2 つの元は同値とみなし、ker(∂n) をその同値関係で分割するのである。X の n 次ホモロジー群 を剰余群(あるいは剰余加群)
Hn(X) = ker(∂n) / im(∂n+1)
によって定義する。また、ここでは ker(∂n) = Zn(X) と書き、im(∂n+1) = Bn(X) と書く。すると、
Hn(X) = Zn(X) / Bn(X)
である。ホモロジー群の元をホモロジー類という。