非可換幾何
可換環と普通の幾何学的な図形との間の対応の類推から、非可換な環は通常の図形からの何らかの変形を表していると見なすことができる。この新しい非可換環のカテゴリーに対し、可換環から図形の情報を引き出すときに用いられた方法論を適用することで非可換環が表している仮想的な図形に対する幾何学的な情報を定式化することができる。こうして非可換な環から、それが表す「非可換空間」についての幾何学的な情報を得ることができるようになるが、このときには「空間」という言葉自体はもはや中間項としてしか存在していないことに注意しなければならない。
量子力学における物理量がヒルベルト空間上の有界線型作用素として表されるように、非可換空間に対応するべき非可換環の例ははじめ作用素環論によって多く与えられており、アラン・コンヌらにより作用素環論を中心とした非可換幾何が大きく発展させられているが、1980年代の量子群、1990年代の非可換代数幾何など作用素環論の枠組みを超えて数学の様々な分野で非可換な幾何学のパラダイムが発展させられている。