次元論 (代数学)
f が有限加群 M 上非零因子であれば、 pd R  M ≥ pd R 1  ( M ⊗ R 1 ) {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\geq \operatorname {pd} _{R_{1}}(M\otimes R_{1})} .
証明: pd R  M = 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0} であれば、M は R-自由でありしたがって M ⊗ R 1 {\displaystyle M\otimes R_{1}} は R 1 {\displaystyle R_{1}} -自由である。次に pd R  M > 0 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M>0} と仮定する。すると、K がある自由加群から M への全射の核であるとき、 pd R  K = pd R  M − 1 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1} である。したがって、帰納法により、 pd R  M = 1 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1} の場合を考えれば十分である。このとき射影分解
0 → P 1 → P 0 → M → 0 {\displaystyle 0\to P_{1}\to P_{0}\to M\to 0} ,
が存在して、これより
R をネーター環または付値環とする。すると
dim  R [ x ] = dim  R + 1 {\displaystyle \operatorname {dim} R[x]=\operatorname {dim} R+1}
である。R がネーター環であるときは、これは下記の基本定理(特に、クルルの単項イデアル定理)から従う。しかしそれはまたより精密な結果からも従う。R の任意の素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に対して以下が成り立つ。
ht  ( p R [ x ] ) = ht  ( p ) {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}R[x])=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})} .
p 0 ⊊ ⋯ ⊊ p m {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}} を R の素イデアルの列とする。 D = R / p 0 {\displaystyle D=R/{\mathfrak {p}}_{0}} とし、x を 0 でも単元でもない D の元とする。x は零因子でないので、完全列
0 → D → x D → D / x D → 0 {\displaystyle 0\to D{\overset {x}{\to }}D\to D/xD\to 0}
がある。さて、Hilbert-Samuel 多項式の次数のboundによって d ( D ) > d ( D / x D ) ≥ d ( R / p 1 ) {\displaystyle d(D)>d(D/xD)\geq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})} である。(これは本質的にアルティン・リースの補題から従う。ステートメントと証明はヒルベルト・サミュエル関数を参照。) R / p 1 {\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{1}} において、列 p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} は長さ m − 1 {\displaystyle m-1} の列になり、したがって、帰納法の仮定と再び次数の評価によって、