環の冪零根基
可換環の冪零根基は環のすべての冪零元からなる集合である。あるいは同じことだが、零イデアルの根基である。これはイデアルである、なぜなら任意の2つの冪零元の和は(二項定理により)冪零であり、任意の元と冪零元の積は(可換性により)冪零だからである。それはまた環のすべての素イデアルの共通部分として特徴づけることもできる。(実は、すべての極小素イデアル(英語版)の共通部分である。)
環は0でない冪零元をもたないとき被約と呼ばれる。したがって、環が被約であるのはその冪零根基が0であるとき、かつそのときに限る。 R が任意の可換環であれば、その冪零根基による商は被約環であり、 R red {\displaystyle R_{\text{red}}} と表記される。
すべての極大イデアルは素イデアルなので、ジャコブソン根基 — これは極大イデアルの共通部分である — は冪零根基を含まなければならない。環は R/P の冪零根基が R/P のジャコブソン根基と R のすべての素イデアル P について一致すれば、ジャコブソン環と呼ばれる。アルティン環はジャコブソン環であり、その冪零根基は環の極大冪零イデアルである。一般に、ベキ零根基が有限生成(例えば環がネーター的)ならば、それは冪零イデアルである。