主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
PID R 上の任意の有限生成加群 M は ⨁ i R / ( q i ) {\displaystyle \bigoplus _{i}R/(q_{i})}
の形の加群に同型である,ただし ( q i ) ≠ R {\displaystyle (q_{i})\neq R} であり ( q i ) {\displaystyle (q_{i})} は準素イデアルである.qi は(単元による積を除いて)一意である.
元 qi は M の elementary divisor と呼ばれる.PID において,零でない準素イデアルは素イデアルの冪であり,したがって ( q i ) = ( p i r i ) = ( p i ) r i {\displaystyle (q_{i})=(p_{i}^{r_{i}})=(p_{i})^{r_{i}}} である. q i = 0 {\displaystyle q_{i}=0} のとき,得られる直既約加群は R 自身であり,これは自由加群である M の一部に入っている.
直和成分 R / ( q i ) {\displaystyle R/(q_{i})} は直既約なので,準素分解は直既約加群への分解であり,したがって PID 上のすべての有限生成加群は完全直可約である.PID はネーター環だから,これはラスカー・ネーターの定理の現れと見ることもできる.
前のように,自由部分 (qi = 0) を分けて書き M を
R f ⊕ ( ⨁ i R / ( q i ) ) {\displaystyle R^{f}\oplus (\bigoplus _{i}R/(q_{i}))}
と表すことができる,ただし見えている qi は 0 でない.
数学において,抽象代数学の分野において,主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は有限生成アーベル群の基本定理の一般化であり,あらっぽく言えば,有限生成加群は整数の素因数分解とほぼ同じように一意的に分解するというものである.この結果は体上の正方行列に対する様々な標準形の結果を理解する単純な枠組みを提供する.
同様に有限生成でない加群に対して,そのような良い分解は期待できない:因子の個数さえ変わる.Q の Z 部分加群であって,2つの直既約加群の直和でもあり,3つの直既約加群の直和でもあるようなものが存在し,準素分解の類似が有理整数環 Z に対してさえ無限生成加群に対して成り立たないことが示される.
有限生成でない加群で生じる別の問題は自由でない捩れなし加群が存在することである.例えば,整数環 Z を考える.すると Q は捩れなし Z 加群であるが自由ではない.そのような加群の別の古典的な例は Baer–Specker 群(英語版),すべての整数列が項ごとの加法でなす群である.一般に,どの無限生成捩れなしアーベル群が自由であるかという問題はどの巨大基数が存在するかに依存する.結果は,無限生成加群の任意の構造定理は集合論の公理の取り方に依存し,異なる取り方では無効かもしれないということである.
ジョルダン・ヘルダーの定理は有限群(あるいは任意の環上の加群)に対するより一般的な結果である.この一般化では,直和ではなく組成列を得る.
クルル・シュミットの定理や関連する結果は加群が準素分解のようなもの,直和成分が順序を除いて一意的であるような直既約加群の直和としての分解,をもつ条件を与える.