微細構造 (原子物理学)
E n ( 1 ) = − 1 8 m 3 c 2 ⟨ ψ 0 | p 2 p 2 | ψ 0 ⟩ = − 1 8 m 3 c 2 ⟨ ψ 0 | ( 2 m ) 2 ( E n − V ) 2 | ψ 0 ⟩ = − 1 2 m c 2 ( E n 2 − 2 E n ⟨ V ⟩ + ⟨ V 2 ⟩ ) {\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=\displaystyle -{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle \\&=\displaystyle -{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}\vert \psi ^{0}\rangle \\&=\displaystyle -{\frac {1}{2mc^{2}}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle )\end{aligned}}}
となる(最後の式では ⟨ ψ 0 | ⋯ | ψ 0 ⟩ = ⟨ ⋯ ⟩ {\displaystyle \langle \psi ^{0}\vert \cdots \vert \psi ^{0}\rangle =\langle \cdots \rangle } と省略して書いた)。