デカルトの円定理
の解は媒介変数表示できて
[ v , x , y , z ] = [ 2 ( a b − c d ) ( a b + c d ) , ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ( a 2 − b 2 + c 2 − d 2 ) , 2 ( a c − b d ) ( a 2 + c 2 ) , 2 ( a c − b d ) ( b 2 + d 2 ) ] {\displaystyle [v,x,y,z]=[2(ab-cd)(ab+cd),(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}),2(ac-bd)(a^{2}+c^{2}),2(ac-bd)(b^{2}+d^{2})]}
となる。ここで a, b, c, d は以下の恒等式を満たすものである。
a 4 + b 4 = c 4 + d 4 {\displaystyle a^{4}+b^{4}=c^{4}+d^{4}}
特に v + x = y ∧ z ≠ 0 {\displaystyle v+x=y\land z\neq 0} のとき式(3)は
4 ( x 2 + v x + v 2 ) = z 2 {\displaystyle 4(x^{2}+vx+v^{2})=z^{2}}
と二元二次不定方程式の形になり、やはり解の形を書き下せる。