ゼノンのパラドックス
二つの条件(亀がアキレスの前からスタートする、亀はアキレスより遅い)の下において、追付くか否かが問題とされている。純粋に数学的に見れば、この条件下では、それは定まらない。ゼノン式に捉えたとしてもそれは同じである。従って、ゼノンの誤りは、何れとも決せられないことであるのに、一方を断じていることである。そのことは、アリストテレスを始めとする、ゼノン式の捉え方そのものが問題を孕むのだとする論議は、追付かないケースもある事を見ていない限りにおいて、何処かに問題を孕んでいる可能性があることを示唆している。
追付かない事例は、亀がアキレスより遅い事を維持しつつ、両者の速度差が急速に縮まる設定にすれば、亀に追いつくまでのゼノン式捉え方での時間の積算が発散する事例を作ることが出来る。この事例は、古代ギリシャ時代の数学では困難であったかも知れない。
追付く事例も無数に作りうる。例えば、両者がそれぞれ等速度で動くと仮定すると、亀に追いつくまでの時間のゼノン式捉え方での各過程の経過時間の積算はコーシー列となる。よって上限を持ち、追付くと言いうる。この仮定の下での計算例を、以下参考に示す。
アキレスの走行速度を v m/s、亀の歩行速度を rv m/s とし、亀はアキレスより L m 前方にいるとする。
「まず第一の議論は、移動するものは、目的点へ達するよりも前に、その半分の点に達しなければならないがゆえに、運動しない、という論点にかんするものである」。この文は二通りに解釈しうる。