代数体
数学の体論・代数的整数論における代数体(だいすうたい、英: algebraic number field)とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数 [ K : Q ] {\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]} を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。 特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。
K を n 次の代数体とすると、K は単拡大である。つまり、K の元 θ が存在して、K の任意の元 α は、以下の様に表される。
α = a 0 + a 1 θ + ⋯ + a n − 1 θ n − 1 {\displaystyle \alpha =a_{0}+a_{1}\theta +\cdots +a_{n-1}\theta ^{n-1}} 。但し、 a 0 , a 1 , ... , a n − 1 {\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n-1}} は有理数。
このとき θ は n 次の代数的数であるので、K を Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上のベクトル空間とみたとき、 { 1 , θ , ... , θ n − 1 } {\displaystyle \{1,\ \theta ,\ldots ,\ \theta ^{n-1}\}} は基底となる。