強制法
X≠A であることを示す。 DA = { p : ∃n, n∈dom(p) かつ (p(n)=1 と n∉A は同値) } と する。DA は稠密である(任意の p に対して、n が p の定義域に入っていなくても n に対する値を n∈A かどうかに矛盾するように定義すればよい)。このとき p∈G∩DA は X≠A の証拠となる。つまり、X は ω の新しい 無限部分集合である。
ω を ω×ω2 で置き換える、すなわち今度の有限部分関数は、入力は n<ω と α<ω2 を用いて(n,α) の形で、出力はこれらに 0 と 1 を割り当てるものを考える。これにより ω2 個の ω の部分集合を得る。それらが全て異なることは稠密性に関する議論から分かる。α<β<ω2 に対して Dα,β={p:∃n, p(n,α)≠p(n,β)} はそれぞれ稠密で、 それに交わるジェネリック条件は α 番目の新しい集合は β 番目の新しい集合に一致しない。
これではまだ連続体仮説の否定が成り立つことにはなっていない。 作られた新しい関数が ω から ω1 や ω1 から ω2 への全射になっていないことを示す必要がある。というのも、Fin(ω,ω1) を考えたとき、V[G] では ω から ω1への全単射が 得られている。言い換えると、ω1 は 潰されていて、強制拡大内では可算順序数になっているのである。
連続体仮説の独立性を証明する最後のステップは、コーエン強制が基数を潰さないことを示すことである。 これには、組み合わせ論的性質としてはこの半順序の反鎖が可算個しかないこと、すなわち可算鎖条件があれば十分である。
ジェネリックフィルター G⊆P が与えられたとする。 M の要素であるP-名前全体によるクラスを M で表す。 M[G]={val(u,G):u∈M}とする。 M[G] で集合論を論じるのではなく、 M で論じるため、強制言語 を用いる。 これは一階述語論理のように構成され、所属関係は2項関係として、名前は定数として実現される。
p ⊩ M , P {\displaystyle \Vdash _{M,P}} φ(u1,...,un) ("半順序Pとモデル M の中で p が φ を強制する"と読む。)を定義する。 ここで p は条件、φ は強制言語の式、各 ui は名前である。 この式の意味は、G が p を要素に持つジェネリックフィルターであるなら M[G] ⊨ φ(val(u1,G),...,val(un,G))となることである。 特に、1 ⊩ M , P {\displaystyle \Vdash _{M,P}} φ は P ⊩ M , P {\displaystyle \Vdash _{M,P}} φ とか ⊩ M , P {\displaystyle \Vdash _{M,P}} φとも書かれる。そのような文は G が何であるかによらず M[G] で真となる。
極大反鎖 A が与えられたとして、D = { p : ある q∈A があって p≤q} と定義する。 このときD は稠密で、G∩D≠0 と G∩A≠0 は同値である。 逆に、稠密集合 D が与えられたとして、ツォルンの補題はから極大反鎖 A⊆D の存在が分かり、 G∩D≠0 と G∩A≠0 が同値になる。
P が c.c.c. を満たすとする。x,y ∈ V と V[G] 内の関数 f:x→yが与えられたとする。 f を V の内部から以下のように近似できる。 u をfの名前とする。p を条件で、u が x から y への関数となることを強制するものとする。 関数 F を次のように定義する。 定義域は x で F(a) = { b : ∃ q ≤ p, q は u(aˇ) = bˇ を強制する } である。 強制関係の定義可能性により、この定義は V で意味をなす。 c.c.c. により F(a) は可算である。
要約すると、f は G によって決まってくるV 内では何か分からないが、単に全く分からないのではなく、 c.c.c. forcing においては、G によらずに、任意の入力に対する f の値を推定する可算集合を特定することができる。
このことから重要な帰結が得られる。V[G] の中で f:α→β が無限順序数間の全射であるとき、 全射 g:ω×α→β が V の中にあって、全射 h:α→β が V の中にある。特に、基数が崩壊しない。 このことから、 2 ≥ א2 が V[G]の中で成り立つ。
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