エッジ検出
より洗練された2次のエッジ検出法として微分エッジ検出 (differential edge detection) がある。これは自動的にサブピクセルの正確さでエッジの位置を求めることができるもので、勾配方向の2次導関数のゼロ交差を以下のように検出する手法に基づいている。非最大抑制の必要条件を表現する微分幾何学的方法に基づき、画像の全ての点に画像の勾配方向を v-軸とする局所的な座標系 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} を導入する。画像は事前にガウシアン平滑化されているものとし、尺度 t {\displaystyle t} における尺度空間表現 L ( x , y ; t ) {\displaystyle L(x,y;t)} を計算しておく。尺度表現の勾配の大きさは、v-方向 L v {\displaystyle L_{v}} における1次微分係数に等しく、それをv-方向に1次微分した値はゼロになるはずである。
∂ v ( L v ) = 0 {\displaystyle \partial _{v}(L_{v})=0}
そして、 L v {\displaystyle L_{v}} をv-方向に2次微分すると負になる。
∂ v v ( L v ) ≤ 0 {\displaystyle \partial _{vv}(L_{v})\leq 0}
局所的な偏導関数 L x {\displaystyle L_{x}} , L y {\displaystyle L_{y}} ... L y y y {\displaystyle L_{yyy}} で明示的な式として書くと、このエッジの定義は微分不変量のゼロ交差曲線として表現できる。