正多角形
正多角形のすべての頂点は一つの円周上にある。つまり正多角形は円に内接する。最も角の数が少ないのは正三角形である。三角形では、すべての辺の長さが等しいもの、またはすべての角の大きさが等しいは必ず正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さがすべて等しく、なおかつ角の大きさがすべて等しいものでなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であって必ずしも正四角形(正方形)にはならない。菱形でありなおかつ長方形でもある四角形が正方形である。
度数法における正 n 角形の一つの内角の大きさは
180 ( n − 2 ) n {\displaystyle {\frac {180(n-2)}{n}}} である。どの内角も180°よりは小さいので、すべての正多角形は凸多角形である。
正 n 角形の面積は一辺を a とすると
n a 2 4 cot  π n {\displaystyle {na^{2} \over 4}\cot {\pi \over {n}}} と求められる。
この式は、正 n 角形の外心から、各頂点に向けて、線分を引き、n 個の二等辺三角形に分割することで容易に証明できる。(それぞれの二等辺三角形の高さが a 2 cot  π n {\displaystyle {a \over 2}\cot {\pi \over {n}}} となる。)
ある適当な多角形Fがあって、その多角形Fの辺上に頂点があって、なおかつそれらを結んでできる多角形がもとの多角形Fの内部にあるとき、その多角形は多角形Fに内接するといい、逆に、多角形Fの頂点に接する直線を辺として持ち、Fの外部にあるような多角形は多角形Fに外接するという。