環の局所化
抽象代数学における環の局所化(きょくしょか、英: localization)あるいは分数環 (ring of fraction)、商環 (ring of quotient) は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 R とその部分集合 S が与えられたとき、環 R' と R から R' への環準同型を構成して、S の準同型像が R' における単元(可逆元)のみからなるようにする。さらに、R' が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える(こういった状況はふつうは普遍性によって表されるべきものである)。環 R の部分集合 S による局所化は SR で表され、あるいは S が素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} の補集合であるときには R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} で表される。SR のことを RS と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。
局所化は完備化と重要な関係があり、環を局所化すると完備になるということがよくある。