シュール分解
v 1 = 1 3 [ 1 1 − 1 ] , u = 1 2 [ 1 − 1 0 ] , w = 1 6 [ − 1 − 1 − 2 ] {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}},{\boldsymbol {u}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}},{\boldsymbol {w}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}-1\\-1\\-2\end{bmatrix}}}
と選ぶことにする。これらを横に並べて Q 1 = [ v 1 → u → w → ] {\displaystyle Q_{1}={\begin{bmatrix}{\vec {{\mathbf {v} }_{1}}}&{\vec {\mathbf {u} }}&{\vec {\mathbf {w} }}\end{bmatrix}}} と3次正方行列を作ると、これはユニタリである。 ここで Q 1 − 1 A Q 1 {\displaystyle {Q_{1}}^{-1}AQ_{1}} の1列目は (1,1) 成分を除いて0である。なぜなら、この行列を単位ベクトル e 1 → = [ 1 0 0 ] {\displaystyle {\vec {{\mathbf {e} }_{1}}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}} に(左から)掛けることで1列目だけを取り出すと、