カッツ・ムーディ代数
i ≠ j (したがって cij ≤ 0)のとき、 ad  ( e i ) 1 − c i j ( e j ) = 0 {\displaystyle \operatorname {ad} (e_{i})^{1-c_{ij}}(e_{j})=0} かつ ad  ( f i ) 1 − c i j ( f j ) = 0. {\displaystyle \operatorname {ad} (f_{i})^{1-c_{ij}}(f_{j})=0.} ここで、 ad : g → End  ( g ) , ad  ( x ) ( y ) = [ x , y ] {\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),\,\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]} は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の随伴表現である。
実リー環(無限次元でもよい)も、複素化(英語版)がカッツ・ムーディ・リー環であれば、カッツ・ムーディ・リー環と考えることができる。