ポワンソーの楕円体
慣性主軸座標系においては角運動量ベクトル L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} は外部トルクが作用していなくても保存されず、オイラーの運動方程式 に従って動き回る。しかし、角運動量ベクトル L {\displaystyle L\ } の絶対値と運動エネルギー T {\displaystyle T\ } はともに保存される。
L 2 = L 1 2 + L 2 2 + L 3 2 {\displaystyle L^{2}=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}}
T = L 1 2 2 I 1 + L 2 2 2 I 2 + L 3 2 2 I 3 {\displaystyle T={\frac {L_{1}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2I_{3}}}}
ここで L k {\displaystyle L_{k}\ } は慣性主軸座標系における角運動量の各成分、 I k {\displaystyle I_{k}\ } は主慣性モーメントの各成分である。