静磁場
次元解析をすると、式(3-5-1)は、エネルギーの次元を持つことが判るが、実際に、式(3-5-1)は、全系のエネルギーとなっている。 ここで、 < | > {\displaystyle <\ |\ >} は、内積を表す。νの定義は、式(3-3-4)に記載のとおりである。
式(3-5-1)が、本当に、「磁気ベクトルポテンシャルの停留汎関数」ことを検証しよう。 Aに対し、微小な摂動δA を与えた際の第一変分δF、即ち、
δF=F[A+δA]-F[A] (3-5-2)
を求める。
F[A+δA]は、以下の被積分関数を、全空間でsについて積分したものである。
本節では、定常な(つまり時刻tに依存しない)磁化が作り出す磁束密度について、一般に成り立つ事柄について述べる。ただし、時間的な変動の影響はもちろんのこと、これ以外にも、電場や強制電荷、分極電荷の影響は排除されているものとする。
空間内の領域 Ω {\displaystyle \Omega } に物質が置かれ、前記物質が、定常な(つまり時刻tに依存しない)磁化 M ( r ) {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )} を帯びているとする。
先に定義した、(磁化による)磁場
H M ( r ) = 1 4 π ∫ s ∈ Ω grad r  [ ⟨ M ( s ) | ( r − s ) ⟩ | r − s | 3 ] d 3 s {\displaystyle \mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\rangle }{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]\ {d}^{3}{s}} (2-3-1)
の原因が、磁荷であると考えた場合に、それは、どのようなものであるのかを検討しよう。
ベクトル解析の公式より、
定義は、以下の通りである。 ∫ s ∈ S X ( s ) | d 2 S | := ∫ ( u 1 , u 2 ) ∈ I X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) | ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 | d u 1 d u 2 {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\ |{d}^{2}S|:={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ \left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|\ d{u}_{1}d{u}_{2}}
さらに、上式の右辺第二項の積分にベクトル解析の公式を適用すると、
− μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω rot s  [ M ( s ) | r − s | ] d 3 s = μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( M ( s ) | r − s | ) × d 2 s {\displaystyle -{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\mathbf {s} \ ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\times {d}^{2}\mathbf {s} \ } (2-4-5)
を得る。さらに、右辺にベクトル解析の公式を適用すると、