シャノンの通信路符号化定理
≤ 1 + P e ( n ) n R + I ( X n ( W ) ; Y n ) {\displaystyle \leq 1+P_{e}^{(n)}nR+I(X^{n}(W);Y^{n})} (ファノの不等式を用いて)
≤ 1 + P e ( n ) n R + n C {\displaystyle \leq 1+P_{e}^{(n)}nR+nC} (通信路容量は、相互情報量を最大化したものであることから)
これらのステップの結果として、 P e ( n ) ≥ 1 − 1 n R − C R {\displaystyle P_{e}^{(n)}\geq 1-{\frac {1}{nR}}-{\frac {C}{R}}} が得られる。 R が C よりも大きい場合、ブロック長 n {\displaystyle n} を無限大に持って行くと、 P e ( n ) {\displaystyle P_{e}^{(n)}} は0より大きな下界を持つことになる。任意に小さな誤り率を得ることができるのは、R が C より小さい場合に限られる。
従って、情報は、通信路容量を超えた速度で通信路を介して確実に伝送されることを保証することはできない。この定理は、速度と容量が等しい稀な状況に対処するものではない。
通信路容量 C は、通信路の物理的特性から計算することができる。ガウス雑音を伴う帯域制限された通信路に対しては、シャノン=ハートレーの定理を用いる。
「メッセージが3回送信され、受信されたメッセージが異なる場合に、3つの中で最良の2つを使用する」などの単純なスキームは、非効率的な誤り訂正法であり、データブロックが誤りなしに通信できることを漸近的に保証することはできない。リード・ソロモン符号、低密度パリティ検査符号(LDPC)、ターボ符号などの高度な技術は、理論的な通信路容量に近づくが、計算上の複雑さを犠牲にしている。今日のデジタルシグナルプロセッサでは、これらの高性能な符号化と計算能力を使用することで、通信路容量に非常に近いところまで到達することが可能になっている。 実際、LDPC符号は、非常に長いブロック長を有する2進AWGNチャネルの場合に、通信路容量の0.0045dB以内に到達することができることが示された。