完備距離空間
「任意の完備距離空間 N と M から N への一様連続写像が与えられたとき、M′ から N への一様連続写像 f′ で f の延長となるものが一意に存在する」
という普遍性を持つ。空間 M′ は等距変換の違いを除いて、この普遍性によって決まり、M の完備化と呼ばれる。
M の完備化は M 内のコーシー列のある同値類集合として構成することができる。まず M 内の任意の二つのコーシー列 (xn)n と (yn)n に対して、それらの間の距離を
d ( x , y ) = lim n d ( x n , y n ) {\displaystyle d(x,y)=\lim _{n}d(x_{n},y_{n})}
で定める(この極限は、実数直線が完備であることから存在する)。これは実は擬距離であって距離関数ではない(二つの相異なるコーシー列の間の距離が 0 となることがあり得る)が、「距離が 0 である」というのはコーシー列全体の成す集合上の同値関係で、これで割って得られる同値類集合は距離空間となり、これが M の完備化を与える。もともとの空間 M は各元 x に対して、x に収束するコーシー列の同値類(これはつまり各項が常に x を値に取る定値列を含む同値類である)と x とを同一視することにより、完備化へ埋め込まれる。この埋め込みが所期の通り稠密部分空間の上への等距変換を定める。