リー環の拡大
{\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{a}(x),J_{b}(y)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imy}{L}}T_{b}^{-m}\right]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}e^{\frac {2\pi imy}{L}}[T_{a}^{-n},T_{b}^{-m}].\end{aligned}}}
For simplicity, switch coordinates so that y → 0, x → x − y ≡ z and use the commutation relations,
[ G i m , G j n ] = C i j k G k m + n + m δ i j δ m + n , 0 C , [ C , G i m ] = 0 , 1 ≤ i , j , N , m , n ∈ Z [ D , G i m ] = m G i m [ D , C ] = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}
これらがちょうど untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数の簡略な記述である.要約するため,有限次元単純リー環からはじめる.係数がその有限次元単純リー環の形式ローラン多項式の空間を定義する.対称非退化交代双線型形式と導分の援助のうけ,2-コサイクルが定義され,続いて 2-コサイクルによる中心拡大の標準的な処方箋に用いられる.この新しい空間に導分を拡張し,導分による分裂拡大の標準的な処方箋を用い,untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数が得られる.
The relativistic classical open string (background) is subject to quantization. This roughly amounts to taking the position and the momentum of the string and promoting them to operators on the space of states of open strings. Since strings are extended objects, this results in a continuum of operators depending on the parameter σ. The following commutation relations are postulated in the Heisenberg picture.
[ X I ( τ , σ ) , P τ J ( τ , σ ) ] = i η I J δ ( σ − σ ′ ) , [ x 0 − ( τ ) , p + ( τ ) ] = − i . {\displaystyle {\begin{aligned}{}[X^{I}(\tau ,\sigma ),{\mathcal {P}}^{\tau J}(\tau ,\sigma )]&=i\eta ^{IJ}\delta (\sigma -\sigma '),\\{}[x_{0}^{-}(\tau ),p^{+}(\tau )]&=-i.\end{aligned}}}
All other commutators vanish.
g を N 次元複素単純リー環で次のような正規化された基底をもつものとする:構造定数はすべての添え字について反対称であり,交換関係は
[ G i , G j ] = C i j k G k , 1 ≤ i , j , N {\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k},\quad 1\leq i,j,N}
である.untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数 g は次のようにして得られる.各 n ∈ Z に対して基底をコピーし(コピーたちを相異なると見て),ベクトル空間として
g ̄ = F C ⊕ F D ⊕ ⨁ 1 ≤ i ≤ N , m ∈ Z F G m i {\displaystyle {\overline {\mathfrak {g}}}=FC\oplus FD\oplus \bigoplus _{1\leq i\leq \mathbb {N} ,m\in \mathbb {Z} }FG_{m}^{i}}
e^{i\xi (g_{1},g_{2})\xi (g_{1}^{-1},g_{2}^{-1})\xi (g_{1}g_{2},g_{1}^{-1}g_{2}^{-1})}U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right|_{t=0}\\&\equiv {\frac {d}{dt}}\left.\Omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right|_{t=0}\\&=\left.{\frac {dU(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})}{dt}}\right|_{t=0}+\left.{\frac {d\Omega (g_{1},g_{2})}{dt}}\right|_{t=0}I,\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0),\end{aligned}}}
なぜならば Ω と U はともに t = 0 において単位元になるからである.位相因子 ξ の説明は,ウィグナーの定理(英語版)を参照.g における基底に対する交換関係
[ G i , G j ] = C i j k G k {\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}^{k}}G_{k}}
は u において
[ U i , U j ] = C i j k U k + D i j I {\displaystyle [U_{i},U_{j}]={C_{ij}^{k}}U_{k}+D_{ij}I}
となるので, u がブラケットで閉じている(したがって実際にリー環である可能性を持つ)ためには,中心電荷 I が含まれていなければならない.
Expressions on a slightly different form can be found tough in Tuynman & Wiegerinck (1987) and Bargmann (1954).
↑ これを見るには,式 (4) を Ψgg' に適用し,Φ は準同型であることを思い出し,Φg(e) = e を数回使う.
↑ Aut h) のリー環が Der h, h のすべての導分の集合(それ自身明らかなブラケットによりリー環である)であるという事実は Rossmann 2002, p. 51 において見つけられる.
↑ Since U = −i∑αTa and U are constant, they may be pulled out of partial derivatives. The U and U then combine in UU = I by unitarity.
↑ This follows from Gauss law is based on the assumption of a sufficiently rapid fall-off of the fields at infinity.
↑ There are alternative routes to quantization, e.g.