一般化アペル多項式
一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。
p n ( z ) = ∑ k = 0 n z k Ψ k h k . {\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.}
この定数は
h k = ∑ P a j 0 g j 1 g j 2 ⋯ g j k {\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}}
で与えられる。ただしこの和は n {\displaystyle n} を k + 1 {\displaystyle k+1} 個に分割するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべての { j } {\displaystyle \{j\}} に対して取られる。
j 0 + j 1 + ⋯ + j k = n . {\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}
アペル多項式に対し、これは次の公式となる。
p n ( z ) = ∑ k = 0 n a n − k z k k ! . {\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.}
数学において、ある多項式列 { p n ( z ) } {\displaystyle \{p_{n}(z)\}} に一般化アペル表現(いっぱんかアペルひょうげん、英: generalized Appell representation)が存在するとは、その多項式の母関数が次の形式を取ることを言う:
K ( z , w ) = A ( w ) Ψ ( z g ( w ) ) = ∑ n = 0 ∞ p n ( z ) w n . {\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}.}
ただし母関数あるいは核と呼ばれる K ( z , w ) {\displaystyle K(z,w)} は、次の級数によって構成される:
A ( w ) = ∑ n = 0 ∞ a n w n {\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}\quad } with a 0 ≠ 0 {\displaystyle a_{0}\neq 0}