向き付け可能性
向き付け可能の考え方は、本質的には実一般線型群のトポロジーより導かれる。 GL  ( n , R ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )} は、最低のホモトピー群 π 0 ( GL  ( n , R ) ) = Z / 2 {\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {GL} (n,\mathbf {R} ))=\mathbf {Z} /2} であるので、実ベクトル空間の可逆な変換は、向き付けを保つか、向き付けを反対にするかのどちらかである。
このことは、球面の自己ホモトピー同値の空間も 2つの連結成分をもつように、微分可能多様体のみならず、位相多様体に対しても成立する。これらの写像を「向きを保つ」写像、「向きをひっくり返す」写像と書くこともできる。
対称群の類似概念は、偶置換がなす交代群である。