中心二項係数
∑ k = 0 n ( 2 k k ) ( 2 n − 2 k n − k ) = 4 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{n-k}}=4^{n}}
( 2 n n ) {\displaystyle \textstyle {\binom {2n}{n}}} はパスカルの三角形のn番目の行の2乗の合計になる。
( 2 n n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) 2 {\displaystyle {2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}}
数学における中心二項係数(ちゅうしんにこうけいすう、英: Central binomial coefficient)は、n番目の中心二項係数を
( 2 n n ) = ( 2 n ) ! ( n ! ) 2 = 2 n ( 2 n − 1 ) ! ! n ! ( n ≥ 0 ) {\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {2^{n}(2n-1)!!}{n!}}\qquad (n\geq 0)}
とする。パスカルの三角形の奇数行の真ん中にあるため、中心二項係数と呼ばれる。
中心二項係数の n ≧ 0 の値は
1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, 184756, 705432, 2704156, 10400600, 40116600, 155117520, 601080390, 2333606220, 9075135300, 35345263800, 137846528820, 538257874440, 2104098963720, 8233430727600, 32247603683100, 126410606437752, 495918532948104, 1946939425648112, .