Smoothed Particle Hydrodynamics
∫ Ω φ ( y ) d y ≈ ∑ i = 1 N m i ρ i φ ( x i ) ( 4 ) {\displaystyle \int _{\Omega }\phi (y)dy\approx \sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\phi (x_{i})\qquad \qquad {\rm {(4)}}}
と近似される。ここに、 m i {\displaystyle m_{i}} と ρ i {\displaystyle \rho _{i}} はそれぞれ、粒子 x i {\displaystyle x_{i}} が代表する質量と密度である。
勾配作用素 ∇ {\displaystyle \nabla } (1階の微分作用素)は、カーネルの勾配の積算で近似される。
近似関数 ⟨ φ ( x ) ⟩ {\displaystyle \langle \phi (x)\rangle } を微分して
⟨ ∇ φ ( x ) ⟩ = ∑ i = 1 N m i ρ i φ ( x i ) ∇ w h ( | x − x i | ) ( 6 ) {\displaystyle \langle \nabla \phi (x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\phi (x_{i})\nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(6)}}}
と定義される。
また、 ∇ φ {\displaystyle \nabla \phi } が