多項式函数
次数 1 または 2 の多項式の根を求めることは、一次または二次方程式の解法として、初等数学において古典的である。次数 4 までの多項式の根の計算は、多項式の係数に四則演算と冪根をとる演算を用いた公式が、16世紀には既に知られていた(カルダノ–タルタリアの解法(フランス語版)、フェラリの解法(フランス語版))。
この種の一般公式は、アーベルが1824年に示した通り、次数が 5 以上の多項式に対しては存在しない。この結果は、ガロワにより展開されたより一般の理論にやや先行するものであった。ガロワの一般論は多項式の根の間の関係を詳しく調べることによって得られたものである。
与えられた多項式の実根の近似解を、ニュートン法を用いて求めることができる。あるいはまた複素数の算術を用いるラゲール法(英語版)はより効率的であり、任意の複素根の位置を知ることができる。これらのアルゴリズムは数値解析において研究される。
多項式 P(X) の根または零点とは、付随する多項式函数の零点すなわち P(r) = 0 を満たす数 r のことを言う。次数が 1 以上の多項式の根を決定すること、すなわち「代数方程式の求解」は、最も古来からある数学的問題の一つであった。ある種の多項式、例えば P(X) = X + 1 は実数の集合の中に根を持たない。根を複素数の集合の中に求めれば、少なくとも一つ(この場合は二つ)求まる。実際、任意の(定数でない)複素係数多項式は少なくとも一つの複素根を持つ(ダランベール–ガウスの定理)。