半角正接置換
冒頭でも説明したとおり、半角正接置換を施すことにより、
sin  θ = 2 t 1 + t 2 , cos  θ = 1 − t 2 1 + t 2 , d θ = 2 1 + t 2 d t {\displaystyle \sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad {\rm {d}}\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t}
のように変形することができる。
I = ∫ csc  x d x = ∫ csc  x ( csc  x − cot  x ) csc  x − cot  x d x = ∫ csc 2  x − cos  x csc  x − cot  x d x = ∫ d u u u = csc  x − cot  x = log  | u | + C = log  | csc  x − cot  x | + C = log  | tan  x 2 | + C csc  x − cot  x = tan  x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \csc x\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {\csc x\,(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {\csc ^{2}x-\cos x}{\csc x-\cot x}}\,{\rm {d}}x\\[3pt]&=\int {\frac {{\rm {d}}u}{u}}&u=\csc x-\cot x\\[3pt]&=\log |u|+C\\[3pt]&=\log |\!\csc x-\cot x|+C\\[3pt]&=\log {\biggl |}\!\tan {\dfrac {x}{2}}{\biggr |}+C&\csc x-\cot x=\tan {\dfrac {x}{2}}\end{aligned}}}
のように求まる。
次の積分:
I = ∫ csc  x d x = ∫ d x sin  x {\displaystyle I=\int \csc x\,{\rm {d}}x=\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sin x}}}
を解くことを考える。置換 t = tan x/2 を用いれば、
I = ∫ csc  x d x = ∫ d x sin  x = ∫ 1 + t 2 2 t 2 1 + t 2 d t t = tan  x 2 = log  | t | + C = log  | tan  x 2 | + C {\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int \csc x\,{\rm {d}}x=\int {\frac {{\rm {d}}x}{\sin x}}\\[3pt]&=\int {\frac {1+t^{2}}{2t}}{\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t&t=\tan {\dfrac {x}{2}}\\[3pt]&=\log |t|+C\\[3pt]&=\log {\biggl |}\!\tan {\frac {x}{2}}{\biggr |}+C\end{aligned}}}
のように求まる。ただし、ここで C は積分定数である。また、この積分は t = tan x/2 と置換せずとも、u = csc x − cot x と置換することによって、