連結空間
連結集合からなる開基を持つ位相空間は、局所連結(きょくしょれんけつ、locally connected)であるという。位相空間 X が局所連結となることと、X のどの開集合に対しても、その任意の連結成分がまた開集合となることとは同値である。連結だが局所連結でない位相空間の例として、再び位相幾何学者の正弦曲線を挙げることができる。
同様にして、弧状連結な部分集合からなる開基を持つ位相空間は局所弧状連結(きょくしょこじょうれんけつ、locally path-connected)であるという。局所弧状連結空間の開集合は、それが連結であるならば弧状連結である。このことは一般に n 次元数空間 R, C が局所弧状連結であることから、その開部分集合についても言える。したがってなお一般に、位相多様体は(各点の近傍が数空間の開集合に同相であるから)すべて局所弧状連結であることが従う。