ルベーグの被覆補題
U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を X {\displaystyle X} の開被覆とする。 X {\displaystyle X} はコンパクトだから有限部分被覆 { A 1 , ... , A n } ⊆ U {\displaystyle \{A_{1},\ldots ,A_{n}\}\subseteq {\mathcal {U}}} を抜き取ることができる。
各 i ∈ { 1 , ... , n } {\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}} に対して、 C i := X ∖ A i {\displaystyle C_{i}:=X\setminus A_{i}} とおいて、関数 f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } を f ( x ) := 1 n ∑ i = 1 n d ( x , C i ) {\displaystyle f(x):={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d(x,C_{i})} で定める。
f {\displaystyle f} はコンパクト集合上で連続だから、最小値 δ {\displaystyle \delta } を取る。鍵となる観察は δ > 0 {\displaystyle \delta >0} である。
U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を X {\displaystyle X} の開被覆とする。どんな δ > 0 {\displaystyle \delta >0} に対しても V δ = { x ∈ X | ∃ U x ∈ U , ∀ x ′ ∈ X , d ( x , x ′ ) ≤ δ ⇒ x ′ ∈ U x } {\displaystyle V_{\delta }=\{x\in X|\exists U_{x}\in {\mathcal {U}},\forall x'\in X,d(x,x')\leq \delta \Rightarrow x'\in U_{x}\}} は開集合である。なぜなら、各 x ∈ V δ {\displaystyle x\in V_{\delta }} に対して、 X ∖ U x {\displaystyle X\setminus U_{x}} と x {\displaystyle x} の周りのコンパクト δ {\displaystyle \delta } -球の間には正の距離 ε {\displaystyle \varepsilon } があるから、開 ε {\displaystyle \varepsilon } -球もまた V δ {\displaystyle V_{\delta }} に含まれる。