五角数
n 番目の五角数は 3n − 1 番目の三角数の 1/3 に等しい。また 1 から n 番目までの五角数の相加平均は n 番目の三角数に等しい。
n 番目の五角数は n からの n 連続整数和で表せる。例. P2 = 2 + 3 、P3 = 3 + 4 + 5
五角数は奇数-奇数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また 1 と 5 以外の五角数は全て合成数である。
五角数はオイラーの五角数定理に現れる数である。
全ての自然数は高々5つの五角数の和で表すことができる。(→多角数定理)
五角数の逆数の無限和は 1 1 + 1 5 + 1 12 + . . . = 3 log  3 − 3 π 3 = 1.4820375... {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{12}}+...=3\log {3}-{\frac {{\sqrt {3}}\pi }{3}}=1.4820375...}
である。
五角数が三角数であるものは 1, 210, 40755, 7906276 ⋯ {\displaystyle \cdots } (オンライン整数列大辞典の数列 A014979)
五角数がハーシャッド数であるものは 1, 5, 12, 70, 117, 210, 247, 330, 715, ⋯ {\displaystyle \cdots } (オンライン整数列大辞典の数列 A242043)
五角数が平方数であるものは 0, 1, 9801, 94109401, ⋯ {\displaystyle \cdots } (オンライン整数列大辞典の数列 A036353)