関数の極限
f(x) を実関数とし、c を実数とする。式
lim x → c f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
または
f ( x ) → L ( x → c ) {\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow c)}
は x の値を c に“十分に近づければ”f(x) の値を L に望む限りいくらでも近づけることができることを意味する。このとき「x を c に近づけたときの f(x) の極限は L である」という。これはイプシロン-デルタ論法により
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 ; ∀ x [ 0 < | x − c | < δ ⟹ | f ( x ) − L | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}
という形で厳密に定義される。このとき極限 L は存在するならば、その値は関数 f(x) と点 c から一意に定まる。一方この極限と関数 f(x) の x = c における値は無関係であり、f(c) ≠ L であることもある(右図)。
関数の極限(かんすうのきょくげん)とは、ある関数に対して、その変数をある値に限りなく近づける操作、および極限操作によって定まる関数の値である。
極限操作は、記号 lim を用いて表される。例えば関数 f に対して変数 x を c へ近づける極限は以下のように表される: