黄金進法
通常の意味での無理数であっても、Q(φ) の元であれば黄金進数表現において有限小数となる。
φ = (1+√5)/2 = 10φ
√5 = 10.1φ
一方、Q[φ] の元でない実数は循環しない無限小数となる。
π = 100.01001 01010 01000 10101 01000 00101...φ(オンライン整数列大辞典の数列 A102243)
e = 100.00001 00001 00100 00000 01000...φ(A105165)
√2 = 1.01000 00101 00101 00100 00000 10100 00000 00101...φ
N進数のときと同じように、黄金進数にも複数の表現がある。10進法における 0.999...=1 と同様に、φ進法では 0.1010101...φ が 1 と等しいことが、以下の各方法で確かめられる。
非標準形に変換する: 1 = 0.11φ = 0.1011φ = 0.101011φ = ... = 0.10101010...φ
等比級数: 1.0101010...φ は以下に等しい ∑ k = 0 ∞ φ − 2 k = 1 1 − φ − 2 = φ {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\phi ^{-2k}={\frac {1}{1-\phi ^{-2}}}=\phi }
"シフト"して差分を取る: φ x - x = 10.101010...φ - 0.101010...φ = 10φ = φ このとき x = φ/(φ - 1) = 1
この非一意性は記数法の特徴であり、1.0000 も 0.101010... も標準形である。一般に、φ進数における最後の 1 を 01 の繰り返しに置換することによって、別の標準形を作ることができる。