義務論理
以下の二つの命題があるとする。
ジョーンズは、強盗の被害者であるスミスを助けなければならない。(It ought to be the case that Jones helps Smith who has been robbed.)
スミスは強盗の被害者でなければならない。(It ought to be the case that Smith has been robbed.)
「ジョーンズが強盗の被害者であるスミスを助ける」ということと「ジョーンズはスミスを助ける、かつ、スミスは強盗の被害者である」ということは同値であるはずである。そこで「ジョーンズはスミスを助ける」を h、「スミスは強盗の被害者である」を r と記号化すると、上の二つの命題は次のように表現しうる。
O ( h ∧ r ) {\displaystyle O(h\land r)}
O r {\displaystyle Or}
さて、「ジョーンズは、強盗の被害者であるスミスを助けなければならない」は真であるとする。標準義務論理によれば、 O ( h ∧ r ) {\displaystyle O(h\land r)} から O r {\displaystyle Or} が論理的に導ける。よってこのとき、「スミスは強盗の被害者でなければならない」も真となる。しかし「スミスは強盗の被害者でなければならない」が真であるというのはいかにも奇妙である。このような問題を、よきサマリア人のパラドックスと言う。
義務論理の重要な問題として、条件付き義務をどう正しく表現するかという問題がある。すなわち、「あなたがタバコを吸うなら、あなたは灰皿を使うべきだ」のような文である。以下の2つの表現のどちらが適切かは明確ではない。
O ( s m o k e → a s h t r a y ) {\displaystyle O(\mathrm {smoke} \rightarrow \mathrm {ashtray} )}
s m o k e → O ( a s h t r a y ) {\displaystyle \mathrm {smoke} \rightarrow O(\mathrm {ashtray} )}
1つめの表現は、タバコを吸わない場合、第二行為がどうであれ全体として空虚な真(vacuous truth)となる(Von Wright 1956, cited in Aqvist 1994)。2つめの表現では、以下の「慈悲深い殺人のパラドックス」に陥る。
アンダーソンの義務論理は、様相演算子 ◻ {\textstyle \Box } に対する通常の様相論理の公理(必然化規則Nおよび分離公理K)に加えて、義務定項 s {\textstyle s} に対して次の公理を追加するだけで得られる。その公理とは、 ¬ ◻ s {\textstyle \lnot \Box s} (もしくはこれと論理的に同値な ◊ ¬ s {\textstyle \Diamond \lnot s} でもよい)というもので、その直観的な意味は、「すべてのサンクションを回避するということは可能である」というものである。アンダーソンの義務論理のこのバージョンは、標準義務論理と同等である。
しかし、様相公理T( ◻ A → A {\textstyle \Box A\to A} )を加えたならば、アンダーソンの義務論理においては O ( O A → A ) {\textstyle O(OA\to A)} が証明できる。これは標準義務論理では証明できない論理式である。アンダーソンの義務論理では、義務演算子 O {\textstyle O} は不可避的に様相演算子 ◻ {\textstyle \Box } と連動することになるので、場合によっては問題含みとなりうる。