中心つき八面体数
アユイ八面体数は 18 世紀から 19 世紀初頭に活躍したフランスの鉱物学者であるルネ=ジュスト・アユイにちなんで名付けられた。アユイが提唱したアユイ構成は八面体をポリキューブで近似するものであり、中心となる立方体に同心状に立方体を接合することで近似した。中心つき八面体数はこの近似に用いられる立方体の数である。 アユイはこの八面体のアユイ構成を提唱しただけでなく、他の多面体を含め、結晶の構造解析モデルを提唱した。
原点とした立方体のみから n ステップ目の3次元格子の数は
( 2 n + 1 ) × ( 2 n 2 + 2 n + 3 ) 3 {\displaystyle {\frac {(2n+1)\times (2n^{2}+2n+3)}{3}}}
で表され、小さい順に列挙すると n = 0 から順に
1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A1845)
となる。母関数は
( 1 + x ) 3 ( 1 − x ) 4 . {\displaystyle {\frac {(1+x)^{3}}{(1-x)^{4}}}.}
中心つき八面体数 C(n)は漸化式
C ( n ) = C ( n − 1 ) + 4 n 2 + 2 {\displaystyle C(n)=C(n-1)+4n^{2}+2}
にも従い、2つの連続した八面体数としても表される。