リー代数
ベクトルのクロス積により与えられるリーブラケットを持つ 3次元ユークリッド空間 R は、3次元リー代数である。
ハイゼンベルク代数(英語版) H3(R) は、次の関係式を満たすリーブラケットを持つ要素 x, y, z によって生成される3次元リー代数である:
[ x , y ] = z , [ x , z ] = 0 , [ y , z ] = 0 {\displaystyle [x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0}
この代数は、3×3 の狭義上三角行列全体からなる空間に、リーブラケットを行列の交換子によって与えたものとして、明示的に構成される。 x = [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] , y = [ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] , z = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle x=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right],\quad y=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right],\quad z=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right]~\quad }
上記の例では、(リー代数の行列 X と Y に対する)リーブラケット [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} は [ X , Y ] = X Y − Y X {\displaystyle [X,Y]=XY-YX} として定義する。
生成子 T の集合が与えられると、構造定数 f は、生成子の対のリーブラケットを生成子の線型結合として表す、すなわち [T, T] = f T.構造定数はリー代数の元のリーブラケットを決定し、したがってリー群の群構造をほぼ完全に決定する。単位元の近くのリー群の構造は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(英語版)により明示的に表される。この公式は、リー代数の元 X, Y とその(入れ子になった)リーブラケットによる展開によって単一の冪で表す: exp(tX) exp(tY) = exp(tX+tY+1⁄2 t[X,Y] + O(t) ).
リー群からリー代数への写像は関手的である。これはリー群の準同型がリー代数の準同型に持ち上がることを意味し、様々な性質がこの持ち上げによって満たされる。合成と可換であり、リー群の部分リー群、核、商、余核をそれぞれリー代数の部分代数、核、商、余核に写す。
各リー群をそのリー代数に写し、各準同型をその微分へ写す関手 L は、忠実かつ完全である。しかしながら、圏同値ではない。異なるリー群が同型なリー代数を持つかもしれず(例えば SO(3) と SU(2))、また、いかなるリー群にも伴わない(無限次元の)リー代数が存在するからである。
リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元からなる集合が生成子であるとは、その集合を含む g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の最小のリー部分代数が全体 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} と一致することである。リー代数の 次元は、 F {\displaystyle \,\mathbb {F} } 上のベクトル空間としての次元で定める。リー代数の生成集合の最小個数は、常に次元以下である。