量化
クルト・ゲーデルが、1930年の一階述語論理の完全性定理に関する論文と、1931年のペアノ算術の不完全性定理で採用したのも、この記法であった。パースは後に存在グラフと呼ばれる記法を提案したが、これは最も浅いインスタンスによって変項の量化が暗黙的に決定されることを特徴とする。パースの量化に関する手法は Ernst Schroder や William Ernest Johnson に影響を与え、ジュゼッペ・ペアノ を通してヨーロッパ全体に影響を与えることとなった。パースの論理学は数十年間に渡って推論に興味を持つ人々に注目されることとなった。
ジュゼッペ・ペアノは、全称量化を (x) と記した。"(x)φ" は、x のあらゆる値について、式 φ が真であることを意味する。また彼は1897年に、存在量化を表す記法として (∃x) を採用した。アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルの『数学原理』Principia Mathematica ではペアノの記法が採用されている。また、ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインとアロンゾ・チャーチも生涯を通じて、ペアノの記法を使用した。ゲルハルト・ゲンツェンは1935年、ペアノの ∃ 記号からの類推で ∀ 記号を導入した。しかし、∀ が一般に浸透したのは1950年代になってからである。
全称量化子は "A" を逆さにした "∀" で記述され、これは "all" に由来する。存在量化子は "E" を裏返しにした "∃" で記述され、これは "exists" に由来する。これを使った量化式は次のようになる。
∃ x P ∀ x P {\displaystyle \exists {x}\,P\quad \forall {x}\,P}
ここで、"P" は何らかの(論理)式を表す。他にも様々な表記方法がある。
∃ x P ( ∃ x ) P ( ∃ x . P ) ( ∃ x : P ) ∃ x ( P ) ∃ x P ∃ x , P ∃ x ∈ N P ∃ x : N P {\displaystyle \exists {x}\,P\quad (\exists {x})P\quad (\exists x\ .\ P)\quad (\exists x:P)\quad \exists {x}(P)\quad \exists _{x}\,P\quad \exists {x}{,}\,P\quad \exists {x}{\in }\mathbb {N} \,P\quad \exists \,x{:}\mathbb {N} \,P}