サンクトペテルブルクのパラドックス
このパラドックスを理解するポイントの一つは、ゲームを繰り返す回数である。一言で説明すれば、あらかじめゲームを何回繰り返すかを決めておけば、比較的公平な賭け金を設定できる、ということである。
先述のように、賞金の期待値 W は発散する。したがって、第 n 回目の獲得賞金(n 回コインを投げるという意味ではなく、n はこのゲームに何回参加したかを表す) を Xn とすると、任意の実数 W に対して、
lim n → ∞ P ( | X 1 + X 2 + ... + X n n − W | < ε ) = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P\left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{n}}-W\right|<\epsilon \right)=1}
を満たす正数 ε は存在しない。
次に、どのように発散するかを定量的に評価することを考えてみよう。任意の正数 ε に対し、
lim n → ∞ P ( | X 1 + X 2 + ... + X n f ( n ) − W | < ε ) = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P\left(\left|{\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{f(n)}}-W\right|<\epsilon \right)=1}
∑ k = 1 ∞ { 1 2 k log  ( a − b 0 + 2 k − 1 ) } = log  a {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\{{\frac {1}{2^{k}}}\log \left(a-b_{0}+{2^{k-1}}\right)\right\}=\log a}
を解けばいい。たとえば、400万円に対しては約12円となり、かなり実感に近くなる。
ただし、以上のような対数関数的効用は、パラドックスの完全な解決にはならない。カール・メンガーは、1回裏を出すごとに賞金が2倍になるのではなく、2乗になるような賭では、(賞金が資産を十分上回った後には)効用は2倍になり、期待値は発散することを指摘した。これに対しては、効用の増加具合を自然対数より緩やか(恣意的な例ではあるが、対数の対数など)にすれば対応できる。これは、100万円が200万円になる効用より100億円が200億円になる効用のほうが少ないと言うことであり、「使い切れない」ということを考えれば妥当なモデルである。しかし、効用の増加がどれだけ緩やかでも、1回裏を出すごとに「効用が2倍になる」ように賞金額を設定すれば、効用の期待値はやはり発散する。
これを完全に防ぐためには、効用には上限があると考える必要がある。つまり、ある金額を超えれば、効用は基本的にそれ以上増えない、と考えるのである。効用の上限は、金で買える全ての欲望を満たした状態を意味し、これを「至福水準」と呼ぶ。この設定により、どれだけ急激に賞金が増えても、効用の期待値は有限にとどまる。