ラグランジアン (場の理論)
D μ F μ ν = − μ 0 j ν {\displaystyle D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}
となる。ここで、 D μ {\displaystyle D_{\mu }} は共変微分である。 束縛がない空間に対し、電流テンソルは j μ = 0 {\displaystyle j^{\mu }=0} とすることができる。 束縛がない空間の中に球対称に分布した質量の周りでアインシュタイン方程式とマクスウェル方程式を解くと、(自然単位系での電荷 Q を持つ)次の線素が定めるライスナー・ノルドシュトロム解を持つブラックホールの式を得る。
d s 2 = ( 1 − 2 M r + Q 2 r 2 ) d t 2 − ( 1 − 2 M r + Q 2 r 2 ) − 1 d r 2 − r 2 d Ω 2 {\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}}
電磁場のラグランジアンと重力のラグランジアンを統合する方法の一つとして、(五次元を用いる)カルツァ=クライン理論がある。
微分形式を使うと、(擬)リーマン多様体 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 上の真空の中の電磁作用 S は(自然単位系を使い、c = ε0 = 1 として)、
S [ A ] = ∫ M ( − 1 2 F ∧ ⋆ F + A ∧ ⋆ J ) {\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {A} ]=\int _{\mathcal {M}}\left(-{\frac {1}{2}}\,\mathbf {F} \wedge \star \mathbf {F} +\mathbf {A} \wedge \star \mathbf {J} \right)}
と書くことができる。ここで、A は電磁ポテンシャルの 1-形式を表し、J は電流の 1-形式、F は場の強さの 2-形式であり、スターはホッジスター作用素である。この表現は、座標(被積分函数を基底で表すと全く同じだが冗長な表現になる)を使わないことを除いては、上の節で示したものと全く同一なラグランジアンである。 微分形式は、座標に関する微分を自動的に組み込んでいるので、微分形式を使った表現には積分測度を加える必要がないことに留意されたい。作用の変分は、
d ⋆ F = J {\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} }
となる。これらは電磁ポテンシャルに対するマクスウェルの方程式である。F は完全形式であるので、F = dA を代入すると、直ちに、場の方程式
d F = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}
を得る。
S [ φ i ] = ∫ L ( φ i ( s ) , { ∂ φ i ( s ) ∂ s α } , { s α } ) d n s {\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{{\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm {d} ^{n}s}
は微分可能な従属変数 φi(s)、その導関数および s 自身の汎函数である。添え字はα = 1, 2, 3,..., nであり、中カッコは{・∀α}を表す。s = { s} は n 個の独立変数がなす集合を表し、これには時間変数も含む。筆書体の L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は体積密度を表す場合に用い、体積は場の定義域の積分測度つまり d n s {\displaystyle \mathrm {d} ^{n}s} による。