ピカールの逐次近似法
ピカールの逐次近似法では初期値問題と同値な積分方程式を基づき、次のように初期条件から逐次的に関数列 {φn(t)} を構成する。
φ 0 ( t ) = ξ , φ n ( t ) = ξ + ∫ τ t f ( s , φ n − 1 ( s ) ) d s ( n = 1 , 2 , ⋯ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\varphi }}_{0}(t)&={\boldsymbol {\xi }},\\{\boldsymbol {\varphi }}_{n}(t)&={\boldsymbol {\xi }}+\int _{\tau }^{t}{\boldsymbol {f}}(s,{\boldsymbol {\varphi }}_{n-1}(s))\,ds\quad (n=1,2,\cdots ).\end{aligned}}}
このとき、極限関数
φ ( t ) = lim n → ∞ φ n ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}(t)=\lim _{n\to \infty }{{\boldsymbol {\varphi }}_{n}(t)}}
が存在すれば、これは上述の常微分方程式の初期値問題と同値な積分方程式を満たすことが期待される。