減衰振動
減衰比ζが1でないときの解は、オイラーの公式などを用いて三角関数や双曲線関数を指数関数に直すことによって統一的に書き下すことができる。
x ( t ) = x 0 2 e − ζ ω 0 t { ( 1 + σ + ζ ζ 2 − 1 ) e ω 0 t ζ 2 − 1 + ( 1 − σ + ζ ζ 2 − 1 ) e − ω 0 t ζ 2 − 1 } {\displaystyle x(t)={\frac {x_{0}}{2}}e^{-\zeta \omega _{0}t}\left\{\left(1+{\frac {\sigma +\zeta }{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right)e^{\omega _{0}t{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}+\left(1-{\frac {\sigma +\zeta }{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right)e^{-\omega _{0}t{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right\}}