随伴関手
忘却関手Field → Dommは左随伴を持つ。これは全ての整域に商の体を割り当てる。
多項式環。Ring*を基点付き可換環の圏とする(環Aとその元aの対 (A, a)を対象として、射はこの区別された元を保存する準同型とする)。忘却関手G:Ring* → Ringは左随伴を持ち、各環Rに対して(R[x], x)を割り当てる。ここでR[x]はRを係数とする多項式環である。
アーベル化: アーベル群から群への包含関手G : Ab → Grpを考えると、アーベル化と呼ばれる左随伴を持つ。これは各群Gに商群G=G/[G,G]を割り当てる。
グロタンディーク構成: 発端は、K-理論において位相空間上のベクトル束の圏が直和の下で可換モノイド構造を持つことである。各ベクトル束(の同値類)に加法逆元を形式的に追加することにより、このモノイドをグロタンディーク群と呼ばれるアーベル群にすることができる。同じことだが、各群を(逆元の存在を忘れることにより)その台となるモノイドへ写す函手は左随伴を持つ。このようなグロタンディーク構成は、自然数からの負の整数の構成をなぞるようにすることもできるし、存在定理として使うこともある。有限項演算の代数構造の場合に対しては、そのような構成の存在性は普遍代数学やモデル理論に言及することもできるし、圏論的に適当な形での証明としても自然に述べられる。
群の表現論におけるフロベニウス相互律によれば、表現の誘導は表現の制限の左随伴である。
F : D → C , G : C → D {\displaystyle F\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\quad G\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
の対であって、圏 C {\textstyle {\mathcal {C}}} の任意の対象 X、圏 D {\textstyle {\mathcal {D}}} の任意の対象 Y に対して、集合の全単射
hom C  ( F Y , X ) ≅ hom D  ( Y , G X ) {\displaystyle \operatorname {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \operatorname {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}
が存在して、これが X と Y について自然となるものを言う。このとき、関手 F を左随伴函手と呼び、他方 G を右随伴函手と呼ぶ。また、「F は G の左随伴である」 (同じことだが、「G は F の右随伴である」)という関係を
F ⊣ G {\displaystyle F\dashv G}
と書く。
これがFの射関数である 分解についての可換図式から自然変換としての可換図式が得られる。よって、 η : 1 D → G ∘ F {\displaystyle \eta :1_{D}\to G\circ F} は自然変換となる 分解の一意性とGが関手であることから、Fの射関数が射の合成と恒等射を保存することがわかる
自然同型 Φ : h o m C ( F − , − ) → h o m D ( − , G − ) {\displaystyle \Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)} を構成する Cの各対象XとDの各対象Yに対して、 ( F ( Y ) , η Y ) {\displaystyle (F(Y),\eta _{Y})} は普遍射であることから、 Φ Y , X {\displaystyle \Phi _{Y,X}} は全単射となる。
quantification Any morphism f : X → Y in a category with pullbacks induces a monotonous map f ∗ : Sub ( Y ) → Sub ( X ) {\displaystyle f^{*}:{\text{Sub}}(Y)\to {\text{Sub}}(X)} acting by pullbacks (A monotonous map is a functor if we consider the preorders as categories). If this functor has a left/right adjoint, the adjoint is called ∃ f {\displaystyle \exists _{f}} and ∀ f {\displaystyle \forall _{f}} , respectively.
In the category of sets, if we choose subsets as the canonical subobjects, then these functions are given by:
正しいEを選ぶには少しこつがいる。たとえば、単位的でない環Rがあった場合に、圏Eの対象は非単位的環の準同型 R → S であって、Sが乗法的単位元をもつものであるする。対象 R → S1 と 対象R → S2 の間の射は三角可換図式(R → S1,R → S2, S1 → S2)のうち、S1 → S2 が単位元を保存する環の準同型になっているとする。対象 R → S1 と 対象R → S2 の間に射が存在するということは、S1 は少なくとも S2 よりもより効率的な解であることを示している。すなわち、S2 は S1 よりも多くの元を持っていたり、公理にない関係を満たすことが可能である。よって、R → R* が E の始対象であるということは、始対象からはE の他のどの対象へも射が存在するということから、R* はもっとも効率的な解であることがいえる。
非単位的環を環に変えるこの方法がもっとも効率的で決まりきった方法であるということを、この方法が随伴関手を定めていると一言で表現することができる。