四元数
「共軛(きょうやく)」あるいは「共軛変換(英語版)」という言葉は、上で述べた意味以外にも、適当な非零元 r によって元 a を rar へ写す変換(内部自己同型)の意味にも使われる。この変換の意味で与えられた元に共軛な元の全体は、実部が等しく、かつベクトル部のノルムも等しい(従って、共軛四元数はこの変換の意味でも共軛元である)。
故に、非零四元数全体の成す乗法群は、純虚四元数全体の成す R の複製の上に共軛変換によって作用する。このとき、実部が 〖cos〗θ である単位四元数による共軛変換は、虚部方向を回転の軸とする回転角 2θ の回転になる。四元数を用いる優位性としては、
(オイラー角などの場合と比べて)非特異な表現である。
行列を用いるよりも簡潔に記述できて演算のスピードも速くできる。
単位四元数の対で、4次元空間の回転を表せる。
などが挙げられる。
単位四元数(ベルソル)の全体は三次元球面 S を成し、また乗法に関して群を成し、3次特殊直交群(行列式が 1 の 3次直交行列全体)〖SO〗(3,R) の二重被覆群というリー群になる(これは上記の対応において各回転に対応する単位四元数がちょうど「2つ」あることによる)。
(S 自体には標準的な群構造はないが)ベルソルの成す部分群の像は点群であり、逆に点群の逆像はベルソル全体の成す部分群となる。有限点群の逆像は、それぞれの点群の名前に二項 (binary) を付けて呼ぶ。例えば二十面体群の逆像は二項二十面体群である。
ベルソル全体の成す群は、2次特殊ユニタリ群 〖SU〗(2) に同型である。
a, b, c, d が何れも整数となるかまたは何れも分母が2の既約分数である有理数となる四元数 a + bi + cj + dk 全体の成す集合を A とする。集合 A は環(実は整域)であり、また束であって、フルヴィッツ整数環と呼ばれる。この環は 24 個の単位四元数を持ち、それらは正24胞体(シュレーフリ記号で {3,4,3})の頂点になっている。
となるので、ここで先の基底元の間の乗法規則を適用して
a 1 a 2 − b 1 b 2 − c 1 c 2 − d 1 d 2 + ( a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 − d 1 c 2 ) i + ( a 1 c 2 − b 1 d 2 + c 1 a 2 + d 1 b 2 ) j + ( a 1 d 2 + b 1 c 2 − c 1 b 2 + d 1 a 2 ) k {\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2}\\&\quad +(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\,i\\&\quad +(a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})\,j\\&\quad +(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})\,k\end{aligned}}}
を得る。