超球面
V n = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π V n − 2 ( 1 − r 2 ) n − 2 r d θ d r = ∫ 0 1 ∫ 0 2 π V n − 2 ( 1 − r 2 ) n / 2 − 1 r d θ d r = 2 π V n − 2 ∫ 0 1 ( 1 − r 2 ) n / 2 − 1 r d r = 2 π V n − 2 [ − 1 n ( 1 − r 2 ) n / 2 ] r = 0 r = 1 = 2 π V n − 2 1 n = 2 π n V n − 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}({\sqrt {1-r^{2}}})^{n-2}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}(1-r^{2})^{n/2-1}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\int _{0}^{1}(1-r^{2})^{n/2-1}\,r\,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\left[-{\frac {1}{n}}(1-r^{2})^{n/2}\right]_{r=0}^{r=1}\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}{\frac {1}{n}}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}.\end{aligned}}}
ある R > 0 に対して離散位相を持った点の対 {±R} 。不連結な唯一の球面。自然なリー群構造を持ち、O(1) に同型。平行化可能。自己交叉を許して滑らかかつ連続的に1次元空間内で裏返しができる。