クラマース・クローニッヒの関係式
クラマース・クローニッヒの関係式は、刺激よりも前に応答は起こりえないという因果律から導かれる。
線形応答においてはt=0におけるインパルスδ(t)に対する応答h(t)が決まれば、任意の刺激に対する応答が決定される。h(t)を偶関数he(t)と奇関数ho(t)の和の形
h ( t ) = h ( t ) + h ( − t ) 2 + h ( t ) − h ( − t ) 2 ≡ h e ( t ) + h o ( t ) {\displaystyle h(t)={\frac {h(t)+h(-t)}{2}}+{\frac {h(t)-h(-t)}{2}}\equiv h_{\mathrm {e} }(t)+h_{\mathrm {o} }(t)}
に分解すると、因果律よりt<0でh(t)=0なのでho(t)=he(t)·sgn(t)、he(t)=ho(t)·sgn(t)となる。
インパルス応答をフーリエ変換して周波数応答関数を求めると、
H R ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ d t h e ( t ) e i ω t = ∫ − ∞ ∞ d t h o ( t ) sgn  ( t ) e i ω t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ d ω ′ i H I ( ω ′ ) sgn ^ ( ω − ω ′ ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ d ω ′ H I ( ω ′ ) ω ′ − ω i H I ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ d t h e ( t ) sgn  ( t ) e i ω t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ d ω ′ H R ( ω ′ ) sgn ^ ( ω − ω ′ ) = 1 π i P ∫ − ∞ ∞ d ω ′ H R ( ω ′ ) ω ′ − ω {\displaystyle {\begin{aligned}H_{\mathrm {R} }(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {e} }(t)e^{i\omega t}=\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {o} }(t)\operatorname {sgn}(t)e^{i\omega t}\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega '\,iH_{\mathrm {I} }(\omega '){\widehat {\operatorname {sgn} }}(\omega -\omega ')\\&={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega '\,{\frac {H_{\mathrm {I} }(\omega ')}{\omega '-\omega }}\\iH_{\mathrm {I} }(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }dt\,h_{\mathrm {e} }(t)\operatorname {sgn}(t)e^{i\omega t}\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega '\,H_{\mathrm {R} }(\omega '){\widehat {\operatorname {sgn} }}(\omega -\omega ')\\&={\frac {1}{\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }d\omega '\,{\frac {H_{\mathrm {R} }(\omega ')}{\omega '-\omega }}\end{aligned}}}