リーマン和
∫ a b f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( ξ k ) Δ x k {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}}
である。 ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。 最初にリーマン和を左リーマン和 ∑ k = 1 n f ( x k − 1 ) Δ x k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})\Delta x_{k}} と右リーマン和 ∑ k = 1 n f ( x k ) Δ x k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x_{k}} の形で導入したのはオイラーであるが、 それは「積分の定義」としてではなく「積分の近似式」としてであった。 以後、ラクロワ、ポアソンを経て、コーシーが、積分の定義とし採用する。 コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった 。 "Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが,Cauchy は定積分をまず定義した後, d d x ∫ a x f ( s ) d s = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(s)ds=f(x)} を定理として導いた.こうした発想の逆転も Cauchy に負う." これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。
左リーマン和
右リーマン和
中点則