バーンズのゼータ函数
バーンズのゼータ函数は次のように定義される。
ζ N ( s , w | a 1 , . . . , a N ) = ∑ n 1 , ... , n N ≥ 0 1 ( w + n 1 a 1 + ⋯ + n N a N ) s {\displaystyle \zeta _{N}(s,w|a_{1},...,a_{N})=\sum _{n_{1},\dots ,n_{N}\geq 0}{\frac {1}{(w+n_{1}a_{1}+\cdots +n_{N}a_{N})^{s}}}}
ここで、wとajは実部が正で、sの実部はNよりも大きいものとする。
全ての複素数sに解析接続可能であり、s = 1, 2, ..., Nにおいて単純極を持つ以外に特異点を持たない。特に、N = w = a1 = 1のとき、リーマンゼータ函数となる。