特殊相対性理論
左辺の空間成分 = γ d p d t {\displaystyle =\gamma {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}}
右辺の空間成分 = γ q ( E + v × B ) {\displaystyle =\gamma q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})}
となることがわかる。ここで γ はローレンツ因子 1 / √1 − (|v|/c) である。
すなわち相対論における運動方程式の空間成分は、ローレンツ力に関する運動方程式
d p d t = q ( E + v × B ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})}
と完全に一致する。
運動方程式の時間成分に関しては、cp が質点のエネルギー E を表していた事に着目すると、
a → = a μ e → μ = a μ e → μ {\displaystyle {\vec {a}}=a^{\mu }{\vec {e}}_{\mu }=a_{\mu }{\vec {e}}^{\mu }}
b → = b ν e → ν = b ν e → ν {\displaystyle {\vec {b}}=b^{\nu }{\vec {e}}_{\nu }=b_{\nu }{\vec {e}}^{\nu }}
と成分表示する(アインシュタインの縮約で表記)と、
T ( a → , b → ) = T μ ν a μ b ν = T μ ν a μ b ν = T μ ν a μ b ν = T μ ν a μ b ν {\displaystyle T({\vec {a}},{\vec {b}})=T_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu }=T^{\mu }{}_{\nu }a_{\mu }b^{\nu }=T_{\mu }{}^{\nu }a^{\mu }b_{\nu }=T^{\mu \nu }a_{\mu }b_{\nu }}
が成立する。
上述の4通りの成分表示において、T は上付きの添え字に対し反変、下付きの添え字に対し共変であるという。
今、長さ l のハシゴ と奥行き L < l のガレージがあるとし、ハシゴは高速でガレージに近づいてきたとする。ガレージが静止して見える慣性系から見ると、ハシゴがローレンツ収縮するので、ハシゴはガレージに入ってしまう。一方、ハシゴが静止して見える慣性系からみると、逆にガレージの方がローレンツ収縮してしまうので、ハシゴはガレージに入らないはずである。正しいのはどちらであろうか。
結論からいうと、どちらも正しく、ガレージの系から見た場合は、ハシゴはガレージに入るように見え、ハシゴの系から見るとハシゴはガレージに入らないように見える。すなわち、ハシゴの前端と後端に関する事象を区別して述べれば、ガレージの静止系ではハシゴの後端がガレージに入りきった後、ハシゴの前端がガレージの裏の壁にぶつかるのに対し、ハシゴの静止系ではハシゴがガレージに入り切らず、ハシゴの後端がガレージに入る前にハシゴの前端がガレージの裏壁にぶつかる。ハシゴの前端がガレージの裏壁にぶつかる事象とハシゴの後端がガレージに入りきる事象には因果関係がないので、どちらが先に起こるのかは慣性系によって変化するのである。
}
このとき、マクスウェル方程式は4元電流密度を用いて
◻ A → = μ 0 j → {\displaystyle \Box {\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {j}}}
という一本の式で書き表せる。ここで
◻ := 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ 2 ∂ y 2 − ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \Box :={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}
はダランベルシアンである。
観測者 A、B が慣性運動しており、さらに質点 C が運動しているとする(慣性運動とは限らない)。
観測者 A の座標系を (ct, x, y, z) とし、観測者 B の座標系を (ct′, x′, y′, z′) とし、A から見た B の相対速度の大きさを V とし、
γ = 1 / 1 − ( V / c ) 2 {\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}
をローレンツ因子とする。
必要ならミンコフスキー空間の原点を取り替えることで C は原点を通っているとしてよく、さらに C の運動方向は y軸、z軸と直交しているとし、y'軸、z'軸がy軸、z軸と一致しているとしても一般性を失わない。
観測者 A、B から見た C の速度をそれぞれ (vx,vy,vz)、(v′x,v′y,v′z) とするとき、B の座標系から A の座標系への速度変換則は、ローレンツ変換の(L4)式より以下のようになる:
本項では、ミンコフスキー内積を
η ( ( c t , x , y , z ) , ( c t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) ) = ( c t ) ⋅ ( c t ′ ) − x x ′ − y y ′ − z z ′ {\displaystyle \eta ((ct,x,y,z),(ct',x',y',z'))=(ct)\cdot (ct')-xx'-yy'-zz'}
としたが、書籍によっては符号を逆にした
η ( ( c t , x , y , z ) , ( c t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) ) = − ( c t ) ⋅ ( c t ′ ) + x x ′ + y y ′ + z z ′ {\displaystyle \eta ((ct,x,y,z),(ct',x',y',z'))=-(ct)\cdot (ct')+xx'+yy'+zz'}
をミンコフスキー内積としているものもあるので注意が必要である。
本項と同じ符号づけを時間的規約、本項とは反対の符号づけを空間的規約と呼んで両者を区別する。
また本項ではミンコフスキー内積を η で表したが、g で表したり、両者を混用することもある。例えば佐藤 (1994)は、特殊相対性理論には η を用いる一方で一般相対性理論では g を用いている。またシュッツ (2010)ではミンコフスキー内積には g を用いてその行列表示は η としている。
4元ベクトルの場合と同様、基底を別のものに取り替えたとき T の各成分は、反変の添え字に関しては基底変換行列の逆行列が、共変の添え字に関しては基底変換行列そのものが作用する。例えば
e′→ν = e→μΛν
とすると
e′ → = e→(Λ)μ
なので、ダッシュつきの基底に関する成分 T′ν は
T ′ μ ν = T ( e → ′ μ , e → ν ′ ) = T ( e → ξ , e → κ ) ( Λ − 1 ) ξ μ Λ κ ν = T ξ κ ( Λ − 1 ) ξ μ Λ κ ν {\displaystyle T'^{\mu }{}_{\nu }=T({\vec {e}}'^{\mu },{\vec {e}}'_{\nu })=T({\vec {e}}^{\xi },{\vec {e}}_{\kappa })(\Lambda ^{-1})_{\xi }{}^{\mu }\Lambda ^{\kappa }{}_{\nu }=T^{\xi }{}_{\kappa }(\Lambda ^{-1})_{\xi }{}^{\mu }\Lambda ^{\kappa }{}_{\nu }}
と、上付きの添え字には反変、下付の添え字には共変に変化する。