経済成長の黄金律
∫ 0 ∞ δ t C t H d t ≤ K 0 H + ∫ 0 ∞ δ t w t A t N t H d t {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta _{t}{\frac {C_{t}}{H}}dt\leq {\frac {K_{0}}{H}}+\int _{0}^{\infty }\delta _{t}w_{t}{\frac {A_{t}N_{t}}{H}}dt}
これを有効労働あたりで表すと次のとおりである。
∫ 0 ∞ δ t e g t c t d t ≤ k 0 + ∫ 0 ∞ δ t e g t w t d t {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta _{t}e^{gt}c_{t}dt\leq k_{0}+\int _{0}^{\infty }\delta _{t}e^{gt}w_{t}dt}
以上をまとめて家計の最適化問題を設定するためラグランジュ関数を次のように定義する。
L = ∫ 0 ∞ e − ( ρ + θ a − g ) t u ( c t ) d t {\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }e^{-(\rho +\theta a-g)t}u(c_{t})dt} + λ [ k 0 + ∫ 0 ∞ δ t e g t w t d t − ∫ 0 ∞ δ t e g t c t d t ] {\displaystyle +\lambda {\bigg [}k_{0}+\int _{0}^{\infty }\delta _{t}e^{gt}w_{t}dt-\int _{0}^{\infty }\delta _{t}e^{gt}c_{t}dt{\bigg ]}}