区分線形関数
f が区間 [ x 1 , x 2 ] {\displaystyle [x_{1},x_{2}]} 上の実数値関数である場合には、f が区分線形であるための必要十分条件は [ x 1 , x 2 ] {\displaystyle [x_{1},x_{2}]} を有限個の小区間に分割して、各小区間 I のうえで f が一次函数
f(x) = aI x + bI
に等しくなるようにできることである。
絶対値関数 f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|} は区分線形関数のよい例である。他にも、矩形波関数、のこぎり波関数、床関数などがある。
次の関数
f ( x ) = { − 3 − x if x ≤ − 3 x + 3 if − 3 ≤ x ≤ 0 3 − 2 x if 0 ≤ x ≤ 3 0.5 x − 4.5 if 3 ≤ x {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{lll}-3-x&{\text{if}}&x\leq -3\\x+3&{\text{if}}&-3\leq x\leq 0\\3-2x&{\text{if}}&0\leq x\leq 3\\0.5x-4.5&{\text{if}}&3\leq x\\\end{array}}\right.}
は4つの区分をもつ区分線形関数である。(この関数のグラフを右に示す。)線形関数のグラフは直線であるので、区分線形関数のグラフは線分と半直線からなる。