クリストッフェル記号
リーマン幾何学においては、n 次元多様体と呼ばれる空間上にある曲線
x = x (t), t1 ≦ t ≦ t2
の長さを、積分
I = ∫ t 1 t 2 ∑ i , j g i j ( x ) d x i d t d x j d t d t {\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}(x){\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} t}}}}\,\mathrm {d} t}
で計算できるように、各座標近傍内に
gij(x) = gji(x)
という関数(基本計量テンソルと呼ばれる)が与えられている。この積分の第一変分 δI を 0 とおくことで得られるオイラー・ラグランジュの微分方程式は、測地線に沿っての孤の長さを媒介変数にとれば、
d 2 x h d s 2 + ∑ j , i { h j i } d x j d s d x i d s = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{h}}{\mathrm {d} s^{2}}}+\sum _{j,i}\left\{{{h} \atop {j\;i}}\right\}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} s}}=0}