特性類
, C ̄ m {\displaystyle {\bar {C}}_{1},\ldots ,{\bar {C}}_{m}} を偶数個または奇数個かけ合わせたものとPσを使って書ける。
まず示すべき命題を厳密に記述する:
命題 ― n=2m+1のときW=W(SO(n))の任意の元は、
[ C ̄ 1 ε 1 ⋯ C ̄ m ε m P σ ] {\displaystyle [{\bar {C}}_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots {\bar {C}}_{m}{}^{\varepsilon _{m}}P_{\sigma }]}
という(偶数個または奇数個の)積の形で書ける。 ここで [ ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ]} は(ワイル群は正規化群を中心化群で割ったものであったので)中心化群による同値類を表し、σは置換である。
nが偶数の場合と同様の議論により、 ワイル群の任意の元が
[ C 1 ε 1 ⋯ C m ε m M δ P σ ] {\displaystyle [C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}}M^{\delta }P_{\sigma }]} s.t. ε 1 + ⋯ + ε m + δ = 0 mod 2 {\displaystyle \varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{m}+\delta =0{\bmod {2}}}
という形で書ける事を示せる。 よって、
を第iチャーン類(英: i-th Chern class)と呼ぶ。
紛れがなければ添字を省略し、 c i ( n ) {\displaystyle c_{i}^{(n)}} を単に c i {\displaystyle c_{i}} と書く。
分類空間 H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )} の元と特性類は1対1でするので、第iチャーン類 c i {\displaystyle c_{i}} に対応する特性類
c i ( ξ ) {\displaystyle c_{i}(\xi )}
をベクトルバンドルξの第iチャーン類という。分類空間の元 c i {\displaystyle c_{i}} を c i ( ξ ) {\displaystyle c_{i}(\xi )} と区別したいときは、 c i {\displaystyle c_{i}} を第i普遍チャーン類(英: i-th universal Chern class)という。
なお、 1 ∈ H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) {\displaystyle 1\in H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )} を「0次の基本対象式」とみなし、 c 0 ( n ) := ( ι ∗ ) − 1 ( 1 ) = 1 {\displaystyle c_{0}^{(n)}:=(\iota ^{*})^{-1}(1)=1} を第0チャーン類と呼ぶ。
また明らかに μ ( a ) = μ ( b ) ⟺ [ ( a , 1 ) ] = [ ( b , 1 ) ] ⟺ a = b {\displaystyle \mu (a)=\mu (b)\iff [(a,1)]=[(b,1)]\iff a=b} なので、μは単射でもある。μとμの連続性の証明は省略する。
以上の事実を用いて命題を示す。定義より B φ g : B G → B G {\displaystyle B\varphi _{g}~:~BG\to BG} は主バンドル P B × φ g G → B G {\displaystyle PB\times _{\varphi _{g}}G\to BG} に対応する分類写像であり、上記の議論によりこの主バンドルは P G → B G {\displaystyle PG\to BG} 自身に等しいので、分類定理より B φ A {\displaystyle B\varphi _{A}} は恒等写像とホモトープである。
nが奇数の場合は上述の命題から自明に定理が従うので、nが偶数の場合のみ定理を示す。 n = 2 m {\displaystyle n=2m} とする。
m=1の場合は、変数γiが1つしかないため「λiの偶数回の符号反転」は恒等写像のみであるので、定理は自明に従う。
m≧2に対し、任意の f ( γ 1 , ... , γ m ) ∈ Λ [ γ 1 , γ 2 ] W {\displaystyle f(\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m})\in \Lambda [\gamma _{1},\gamma _{2}]^{W}} は
f ( γ 1 , ... , γ m ) = ∑ ε 1 , ... , ε m ∈ { 0 , 1 } f ε 1 , ... , ε m ( γ 1 2 , ... , γ m 2 ) γ 1 ε 1 ⋯ γ m ε m {\displaystyle f(\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m})=\sum _{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{m}\in \{0,1\}}f_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{m}}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})\gamma _{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots \gamma _{m}{}^{\varepsilon _{m}}}
という形で書きあらわせる。ここで f ε 1 , ... , ε m ( γ 1 2 , ...
B ι ∗ : H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) → H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) Z 2 {\displaystyle B\iota ^{*}~:~H^{*}(BO(n);\Lambda )\to H^{*}(BSO(n);\Lambda )^{\mathbb {Z} _{2}}}
は環同型である。
部分群の分類空間に関する定理の証明からもわかるように、 B ι : B S O ( n ) → B O ( n ) {\displaystyle B\iota ~:~BSO(n)\to BO(n)} はBO(n)の二重被覆で、 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} はそのデッキ変換としてBSO(n)に作用する。
C ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle C_{*}(BO(n);\Lambda )} を特異ホモロジーのΛ-係数チェイン複体とするとき、 ∑ i a i s i ∈ C ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle \sum _{i}a_{i}s_{i}\in C_{*}(BO(n);\Lambda )} の各チェイン単体siは二重被覆BSO(n)に2つのリフト s i ′ {\displaystyle s'_{i}} 、 s i ′′ {\displaystyle s''_{i}} を持ち、この2つのリフトはデッキ変換で移り合う。そこで写像p!を
p !
よって以下が成立する。
命題 ― nが奇数のとき、 H ∗ ( B S O ( 2 ) m ; Z ) ≈ Z [ γ 1 , ... , γ m ] {\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]} 上のワイル群の作用は、 γ 1 , ... , γ m {\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}} を置換する写像と、任意個の γ i {\displaystyle \gamma _{i}} を符号反転する写像で生成される。
これらの写像で不変な元は γ i 2 {\displaystyle \gamma _{i}{}^{2}} の対称式なので、基本対称式 p i = σ i ( γ 1 2 , ... , γ m 2 ) {\displaystyle p_{i}=\sigma _{i}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})} を用いて、
H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) ≈ Λ [ p 1 , ... , p m ] {\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )\approx \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{m}]}
と書ける事がわかる。
チャーン類について記述するため、まず H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )} の具体的構成を調べる。 n = 1 {\displaystyle n=1} に対しては以下が成立する:
補題 ― H ∗ ( B U ( 1 ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )} をカップ積に関して次数付き環とみなしたとき、ある α ∈ H 2 ( B U ( 1 ) ; Z ) {\displaystyle \alpha \in H^{2}(BU(1);\mathbb {Z} )} が存在し、
H ∗ ( B U ( 1 ) ; Z ) = Z [ α ] {\displaystyle H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha ]}
が成立する。ここで Z [ α ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]} は変数 α {\displaystyle \alpha } に関する Z {\displaystyle \mathbb {Z} } に関する多項式環である。
なお、上の補題において α {\displaystyle \alpha } は偶数次のコホモロジーの元なので、 Z [ α ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]} 上カップ積は可換であるため、 Z [ α ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]} が可換環であるという事実と矛盾しない。
規約 ― H ∗ ( B S O ( 2 ) ; Λ ) = H ∗ ( B U ( 1 ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(2);\Lambda )=H^{*}(BU(1);\Lambda )} の生成元γとして、第一チャーン類 c 1 {\displaystyle c_{1}} を選ぶ。
上で自然な同型 S O ( 2 ) ≈ U ( 1 ) {\displaystyle SO(2)\approx U(1)} を用いた。このように規約を決めると、チャーン類の定義から γ = c 1 {\displaystyle \gamma =c_{1}} は整数係数のコホモロジー H ∗ ( B S O ( 2 ) ; Z ) = H ∗ ( B U ( 1 ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )=H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )} に属する事になるのが利点である。
本項の目標は、 H ∗ ( B S O ( 2 ) m , Λ ) ≈ Λ [ γ 1 , ... , γ m ] {\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m},\Lambda )\approx \Lambda [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]} を用いる事で H ∗ ( B S O ( n ) , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )} と H ∗ ( B O ( n ) , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )} の構造を特定し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する事である。
数学 > 位相幾何学 > 代数的位相幾何学 > コホモロジー、ファイバーバンドル > 特性類
特性類 (とくせいるい、英: Characteristic class) は、位相群を構造群とするファイバーバンドルの不変量であり、(十分性質がよい)位相空間Bを底空間とするファイバーバンドル
π : E → X {\displaystyle \pi ~:~E\to X}
に対し、Xのコホモロジー群の元を対応させる対応関係
c : ξ = ( E , X , π ) ↦ c ( ξ ) ∈ H q ( X ; A ) {\displaystyle c~:~\xi =(E,X,\pi )\mapsto c(\xi )\in H^{q}(X;A)}
で、「自然な」ものである。
原理的には任意のファイバーバンドルに対して特性類を定義できるが、研究が進んでいるのは主にベクトルバンドルに対する特性類である。ベクトルバンドルの特性類は以下の数学の分野に応用がある:
障害理論(英語版)
K理論
チャーン・ヴェイユ理論
コボルディズム理論

またXが可微分多様体であれば、Xの接バンドルTXの特性類をX自身の不変量とみなす事ができる。接バンドルTXはXの可微分構造に依存しているので、ミルナーはTXの特性類を利用する事により、7次元球面と位相同型だが微分位相同型ではない可微分多様体(英語版)の存在を示した。
1935年の多様体上のベクトル場についてのエドゥアルト・シュティーフェル (Eduard Stiefel) とハスラー・ホイットニー (Hassler Whitney) の仕事より、特性類の考え方が発生した。
上の定義に関して2つの注意点を述べる。第一に、上の定義におけるバンドル写像fは構造群GのFへの作用と両立するもののみを考えている。したがって例えばn次元実ベクトルバンドルを G L n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} を構造群として持つ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} -バンドルとみなしたとき、各点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} のファイバー F x {\displaystyle F_{x}} 上にバンドル写像fを制限した f | x : F x → F y {\displaystyle f|_{x}~:~F_{x}\to F_{y}} は線型同型写像でなければならず、行列式が0になってはならない。
一般のnに対して H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )} の具体的構造を求めるため、連続準同型写像
ι : U ( 1 ) n ↪ U ( n ) , ( A 1 , ... , A n ) ↦ A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\displaystyle \iota ~:~U(1)^{n}\hookrightarrow U(n),~~(A_{1},\ldots ,A_{n})\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}
を考える。ここで A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}} は A 1 , ... , A n {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}} をn×n行列の対角成分に配置した U ( n ) {\displaystyle U(n)} の元である。(なおリー群の観点からは、 U ( n ) {\displaystyle U(n)} の極大トーラス U ( 1 ) n {\displaystyle U(1)^{n}} である)。このとき以下が成立する。
補題 (Splitting Principle) ― ι {\displaystyle \iota } が誘導する写像
ι ∗ : H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) → H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) ≈ H ∗ ( B U ( 1 ) ; Z ) ⊗ ⋯ ⊗ H ∗ ( B U ( 1 ) ; Z ) = Z [ α 1 , .