根二乗平均速度
根二乗平均速度(こんにじょうへいきんそくど、英: root-mean-square speed)とは、速度の絶対値の二乗平均平方根、すなわち速度の大きさの二乗 v の統計集団平均 ⟨ v 2 ⟩ {\displaystyle \langle v^{2}\rangle } の平方根 ⟨ v 2 ⟩ {\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}} である。 ここで速度 v の大きさ v は v の内積によって定められる。
v = | v | := v ⋅ v . {\displaystyle v=|{\boldsymbol {v}}|:={\sqrt {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}}}\,.}
根二乗平均速度は気体分子運動論などの議論において現れる。
速度の分散 | σ ( v ) | 2 {\displaystyle |\sigma ({\boldsymbol {v}})|^{2}} は速度の平均 ⟨ v ⟩ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}}\rangle } と速度の二乗平均 ⟨ v 2 ⟩ {\displaystyle \langle v^{2}\rangle } を用いて以下のように書き表すことができる。
| σ ( v ) | 2 = ⟨ v 2 ⟩ − ⟨ v ⟩ ⋅ ⟨ v ⟩ .
単原子分子の理想気体の内部エネルギー U (T ) は以下の関係を満たす。
U ( T ) = 3 2 n R T . ⋯ ( 1 ) {\displaystyle U(T)={3 \over 2}nRT\,.~~\cdots ~~(1)}
ここで n は系のモル数である。これをボルツマン定数 k B と気体分子の個数 N を用いて書き直せば、n = N/N A なので、
U ( T ) = 3 2 N k B T ⋯ ( 2 ) {\displaystyle U(T)={3 \over 2}Nk_{\mathrm {B} }T~~\cdots ~~(2)}
となる。理想気体の持つエネルギーは気体分子の持つエネルギーの総和に等しく、気体分子の持つエネルギーは運動エネルギーのみなので、次の関係を満たす。
U ( T ) = N ⟨ 1 2 m v 2 ⟩ .