協力ゲーム
中村の定理によれば、この数は合理性の程度をはかる指標といえ、これ未満の数の選択肢までならうまくあつかえることが分かっている。
単純ゲームの持つ性質 (公理) のあいだの関係については以下が広く知られている (e.g., Peleg, 2002, Section 2.1):
弱い単純ゲームはプロパーである。
単純ゲームが独裁者を持つことは、それが強くて弱いことと同値である。
より一般的には、単純ゲームにかんする伝統的な4つの性質 (単調かどうか、プロパーかどうか、強いかどうか、拒否権プレーヤーなしかどうか) に加え、有限かどうか、「計算可能」かどうか をふくめた6つの性質のあいだの関係が完全に解明されており (Kumabe and Mihara, 2011) 、その結果は以下の表「単純ゲームの存在」に要約できる。たとえば伝統的4性質の組合せで定義される「タイプ」が無限ゲームを含むとき、そのタイプには計算可能なものも計算不能なものも含まれることが分かる。
単純ゲームにかかわる代表的な性質 (単調かどうか、プロパーかどうか、強いかどうか、拒否権プレーヤーなしかどうか、有限かどうか) がその中村ナンバーにあたえる制限については、完全に解明されている。特に、アルゴリズムによって計算可能でかつ拒否権プレーヤーをもたない単純ゲームが3より大きい中村ナンバーをもつとき、 その単純ゲームはプロパーかつ強くないことが分かっている。
複数企業 A , B , C {\displaystyle A,B,C} の共同事業を考えよう。それぞれの企業の利益を、
v ( { A } ) = 3 , v ( { B } ) = 6 , v ( { C } ) = 5 , v ( { A , B } ) = 10 , v ( { A , C } ) = 10 , v ( { B , C } ) = 12 , v ( { A , B , C } ) = 18 {\displaystyle v(\{A\})=3,v(\{B\})=6,v(\{C\})=5,v(\{A,B\})=10,v(\{A,C\})=10,v(\{B,C\})=12,v(\{A,B,C\})=18}
とする。
ここで、例えば v ( { A , B } ) {\displaystyle v(\{A,B\})} とは企業 A, B が協力したときの利益を示す。この例では、「優加法性」が常に成立しているといえる。例えば、( v ( { A , B , C } ) = 18 ≧ v ( { A , B } ) + v ( { C } ) = 15 {\displaystyle v(\{A,B,C\})=18\geqq v(\{A,B\})+v(\{C\})=15} である。)優加法的である場合、提携したほうが全体の利得は大きくなる。しかし、個々の企業にとって提携するかどうかは利得の分配によって変わる。
3社が共同したときの企業 A , B , C {\displaystyle A,B,C} の利得をそれぞれ x A , x B , x C {\displaystyle x_{A},x_{B},x_{C}} とする。
協力ゲームはあらゆるNの部分集合S(提携)にある値を特定することにより与えられる。数学的には、このゲーム (提携ゲーム) は有限なプレイヤー集合 N {\displaystyle N} と関数 v : 2 N → R {\displaystyle v:2^{N}\to \mathbb {R} } によって定義される。この関数は特性関数 (characteristic function) とも呼ばれる。協力ゲームはプレイヤーの集合Nと特性関数vの組 ( N , v ) {\displaystyle (N,v)} によって表される。協力ゲームの表現・解析には特性関数がよく用いられ、vをゲームと呼ぶこともある。
関数 v {\displaystyle v} は、 N {\displaystyle N} における提携それぞれに報酬を対応づけるものと解釈される。