ブレートシュナイダーの公式
円に内接する四角形については、対角の和の半分が 90°であることから、ブラーマグプタの公式
S = √(T − p)(T − q)(T − r)(T − s)
が成り立つ。また、円に外接する四角形については、対辺の和が等しく、T = p + r = q + s であることから
S = p q r s sin  A + C 2 {\displaystyle S={\sqrt {pqrs}}\sin {\frac {A+C}{2}}}
が成り立つ。さらに外接円と内接円を持つ四角形、つまり双心四角形については、
S = √pqrs
となる。また、上記の証明は p = 0 として三角形の面積を考えているとしても通用し、ヘロンの公式
S = √T(T − q)(T − r)(T − s)
を得る。
であるから
1 4 ( q 2 + r 2 − p 2 − s 2 ) 2 = ( p s ) 2 cos 2  A + ( q r ) 2 cos 2  C − 2 p q r s cos  A cos  C {\displaystyle {\frac {1}{4}}(q^{2}+r^{2}-p^{2}-s^{2})^{2}=(ps)^{2}\cos ^{2}A+(qr)^{2}\cos ^{2}C-2pqrs\cos A\cos C}
を得る。4S についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos(A + C) = cos A cos C − sin A sin C を用いると、
4 S 2 + 1 4 ( q 2 + r 2 − p 2 − s 2 ) 2 = ( p s ) 2 + ( q r ) 2 − 2 p q r s cos  ( A + C ) {\displaystyle 4S^{2}+{\frac {1}{4}}(q^{2}+r^{2}-p^{2}-s^{2})^{2}=(ps)^{2}+(qr)^{2}-2pqrs\cos(A+C)}
となる。