命題論理
個々に挙げられた規則の重要な性質は健全性と完全性である。直感的には、これらの規則は正しくしかも他に必要な規則はないということである。これは以下のようにして形式化される。
真理値の割り当てを、命題変数に対して真( ⊤ {\displaystyle \top } )または偽( ⊥ {\displaystyle \bot } )の値を対応させる関数だと考えることにする。形式的でない言い方をすれば、真理値の割り当てとは、特定の叙述が真になり他は偽になるような「おきうる事態」(またはありうる世界)についての説明だと理解できる。その「事態」においてそれぞれの式が正しくなるのはどんなときかを定めることで式の意味論が定式化できる。
真理値の割り当て A {\displaystyle A} がどんなときに特定の整式を充足するか、ということを以下の規則によって定める。
A ( P ) = ⊤ {\displaystyle A(P)=\top } であるとき、およびそのときに限って A {\displaystyle A} は命題変数 P {\displaystyle P} を充足する
A {\displaystyle A} が φ {\displaystyle \phi } を充足しないとき、およびそのときに限って A {\displaystyle A} は ¬ φ {\displaystyle \lnot \phi } を充足する
ここでの命題計算では八つの推論規則を考える。これらの規則によって真だと仮定された式たちからほかの真な式を導くことができる。最初の六つは単に特定の整式をほかの整式から導けると述べている。しかしながら、最後の二つの前提では、特定の式を導けるか見てみるために(まだ証明されていない)仮定もが推論された式の集合の一部として一時的に用いられるという意味で、仮定的な理由づけを用いている。最初の六つの規則はこれをやっていないので非仮定的規則と説明され、最後の二つは仮定的規則といわれる。