ドゥーブのマルチンゲール不等式
P [ sup 0 ≤ t ≤ T B t ≥ C ] = P [ sup 0 ≤ t ≤ T exp  ( λ B t ) ≥ exp  ( λ C ) ] ≤ E [ exp  ( λ B T ) ] exp  ( λ C ) = exp  ( 1 2 λ 2 T − λ C ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]&=\mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right]\\&\leq {\frac {\mathbf {E} \left[\exp(\lambda B_{T})\right]}{\exp(\lambda C)}}\\&=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}T-\lambda C\right)\end{aligned}}}
ここで対数正規分布の計算から E [ exp  ( λ B t ) ] = exp  ( 1 2 λ 2 t ) {\displaystyle \mathbf {E} \left[\exp(\lambda B_{t})\right]=\exp \left({\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}t\right)} であることを用いた。この最左辺は λ に依らないので、λ を、最右辺が最小になるような λ = C/T と選んでよい。このとき示したかった不等式が得られる。