第二量子化
量子場を導入する方法として2つの方法がある。
1つ目は、古典場を量子化する方法。このとき波動場を関数ではなく、正準交換関係や正準反交換関係といった「ある種の代数的関係」を満たす演算子に読み替える。
2つ目は、量子力学における同種粒子の統計性や不可弁別性に注目し、真空から粒子が生成したり、粒子が消滅する空間(フォック空間)から出発する方法である。
2体相互作用 V ( r 1 , r 2 ) {\displaystyle V({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2})} などの2体の物理量は次のように表せる。
第二量子化での物理量も、場の演算子や生成消滅演算子で表される。粒子密度演算子は場の演算子を用いて次のように与えられる。
ρ ^ ( r ) = ψ ^ † ( r ) ψ ^ ( r ) {\displaystyle {\hat {\rho }}({\boldsymbol {r}})={\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}){\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}})}
これを全体積で積分すれば全粒子数になる。
∫ ρ ^ ( r ) d r = ∫ ψ ^ † ( r ) ψ ^ ( r ) d r = ∑ i a ^ i † a ^ i = ∑ i n ^ i = N ^ {\displaystyle \int {\hat {\rho }}({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int {\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}){\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\sum _{i}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}=\sum _{i}{\hat {n}}_{i}={\hat {N}}}
1粒子ハミルトニアン H ^ ( r ) = − ħ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) {\displaystyle {\hat {H}}({\boldsymbol {r}})={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\boldsymbol {r}})} などの1体の物理量は次のように表せる。