一般相対性理論における測地線
完全な形式の測地線方程式を以下に示す。
d 2 x μ d s 2 = − Γ μ α β d x α d s d x β d s {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{\mu } \over \mathrm {d} s^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{\mathrm {d} x^{\beta } \over \mathrm {d} s}}
ここで、s は運動のスカラーパラメータ(例えば固有時)、 Γ μ α β {\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }\ } はクリストッフェル記号(たまにアフィン接続またはレヴィ・チヴィタ接続とも呼ばれる)で、下付き添字について対称である。ギリシャ文字の添字は [0,1,2,3] の値を取る。左辺の量は粒子の加速度であり、したがってこの方程式は同じ粒子の加速度についての方程式たる、ニュートンの運動方程式に類似したものであると言える。この運動方程式はアインシュタインの縮約記法を用いて書かれており、複数回登場する添字は0から3までの和を取ることとする。クリストッフェル記号は四次元時空座標の関数であり、したがって測地線に沿って運動する試験粒子の速度や加速度その他の特性からは独立である。
時空上の曲線に沿った世界間隔は次のような表式で書ける。
l = ∫ | g μ ν x ̇ μ x ̇ ν | d s {\displaystyle l=\int {\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\,\mathrm {d} s}
これに対応するオイラー・ラグランジュ方程式は、次のように得られる。
d d s ∂ ∂ x ̇ α | g μ ν x ̇ μ x ̇ ν | = ∂ ∂ x α | g μ ν x ̇ μ x ̇ ν | {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} s}{\partial \over \partial {\dot {x}}^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}}
等価原理からの測地線方程式の導出仮定において、粒子は局所慣性座標系において加速していないという仮定が置かれていた。しかし、実世界においては、粒子は電荷を帯びているかもしれず、それゆえローレンツ力に従って局所的に加速しているかもしれない。つまり、次のように書ける。
d 2 X μ d s 2 = q m F μ β d X α d s η α β {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}X^{\mu } \over \mathrm {d} s^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{\mathrm {d} X^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{\eta _{\alpha \beta }}}
ここで、次の条件を仮定する。
η α β d X α d s d X β d s = − 1 {\displaystyle {\eta _{\alpha \beta }}{\mathrm {d} X^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{\mathrm {d} X^{\beta } \over \mathrm {d} s}=-1}
ミンコフスキー計量テンソル η α β {\displaystyle \eta _{\alpha \beta }} は次のように定義される。
η α β = ( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}