リエナールの定理
リエナール方程式は、
F ( x ) := ∫ 0 x f ( ξ ) d ξ {\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }
x 1 := x {\displaystyle x_{1}:=x\,}
x 2 := d x d t + F ( x ) {\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}
と置くことで、等価な2次元の常微分方程式系に変換できる。
[ x ̇ 1 x ̇ 2 ] = h ( x 1 , x 2 ) := [ x 2 − F ( x 1 ) − g ( x 1 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}
これをリエナール系と呼ぶ.