有限幾何学
すべての体 K {\displaystyle K} に関連して、点、直線、平面がそれぞれ体 K {\displaystyle K} 上の4次元ベクトル空間における1,2,3次元部分空間とみなせるようなある(3次元)射影空間が存在する。
次に射影空間に対する公理の集合を示す。公理的に構成する射影幾何においては、点と直線として未定義要素が採用される。平面と3-空間は結合と存在の公理を使うことで定義される。
結合の公理
P-1: AとBが異なる点ならば、AとBの両方を含むような直線が少なくとも一つ存在する。
P-2: AとBが異なる点ならば、AとBの両方を含むような直線が一つより多くは存在しない。
P-3: 3点A,B,Cはどの二つも同一直線上になく、D,Eは、B, C, D が同一直線上にあり、C, A, E が同一直線上にあるような点とすると、ある点Fで、A,B,Fが同一直線上にありかつD,E,Fが同一直線上にあるようなものが存在する。
存在の公理
P-4: 少なくとも一つの直線が存在する。
P-5: 各直線上には少なくとも3つの異なった点が存在する。
どの3点も同一直線にないような4点集合が存在する。
最後の公理は、この幾何が空集合でないことを保証する。最初の二つはこの幾何の特性を規定する。
ただ4点のみを含むもっとも単純なアフィン平面は位数2のアフィン平面と呼ばれる。3点は同一直線上にないので、任意の点の対がただひとつの直線を定める。そしてこの平面は6直線を含む。 これは互いに交わらない辺を「平行」と見なした四面体に対応する。あるいは向かい合う2辺だけではなく2つの対角線も「平行」と見なした正方形にも対応する。
さらに一般的に、位数 n {\displaystyle n} の有限アフィン平面は n 2 {\displaystyle n^{2}} 個の点と n 2 + n {\displaystyle n^{2}+n} 本の直線を持ち、各直線は n {\displaystyle n} 個の点を含む。そして各点は n + 1 {\displaystyle n+1} 本の直線に含まれる。