ポアンカレの回帰定理
前述の A の零集合 N に対し、
N + = ⋃ n = 0 ∞ T n N {\displaystyle N_{+}=\bigcup _{n=0}^{\infty }T^{n}N}
と定めると、μ(N+)=0 であるから、任意の ω∈A \ N+に対し、ある n>0 が存在し、T ω∈A \ N+ となる。したがって、この論法を繰り返すことができ、ω∈A \ N+に対し、Tω は無限回 A \ N+ に戻ってくることがわかる。
古典力学におけるポアンカレの回帰定理に対し、その量子力学版といえる量子回帰定理が存在する。この定理によれば、離散的なエネルギー準位のみをもつ量子系は、時間発展により、初期状態のいくらでも近くに戻ってくる。 離散エネルギー準位のみを持つ量子系において、系の状態ベクトルを|ψ(t)⟩で表す。このとき、任意の正の定数 ε > 0と任意の初期時刻t0に対し、
| | | ψ ( T ) ⟩ − | ψ ( t 0 ) ⟩ | | < ε {\displaystyle ||\,|\psi (T)\rangle -|\psi (t_{0})\rangle ||<\epsilon }
を満たす時刻 T (> t0) が存在する。但し、|||Ψ⟩||は|||Ψ⟩||=⟨Ψ|Ψ⟩で与えられるノルムである。