運動量演算子
並進演算子を T(ε) とする。ここで ε は並進の長さを表す。この並進演算子は次の恒等式を満足する。
T ( ε ) | ψ ⟩ = ∫ d x T ( ε ) | x ⟩ ⟨ x | ψ ⟩ {\displaystyle T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }
これは次のようになる。
∫ d x | x + ε ⟩ ⟨ x | ψ ⟩ = ∫ d x | x ⟩ ⟨ x − ε | ψ ⟩ = ∫ d x | x ⟩ ψ ( x − ε ) {\displaystyle \int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )}
関数ψが解析的(すなわち複素平面のある領域で微分可能)であると仮定すると、x についてテイラー級数に展開できる。