モナド (圏論)
圏 C 上のモナド ( T , η , μ ) {\displaystyle (T,\eta ,\mu )} に対して、T のクライスリ圏 C T {\displaystyle \mathbb {C} _{T}} は C {\textstyle \mathbb {C} } と同一の対象を持ち、 C T ( x , y ) = C ( x , T y ) {\displaystyle \mathbb {C} _{T}(x,y)=\mathbb {C} (x,Ty)} によって定まる射を持つ圏である。このとき、 C T {\displaystyle \mathbb {C} _{T}} における射の合成は、 f : x → T y {\displaystyle f:x\to Ty} と g : y → T z {\displaystyle g:y\to Tz} に対して x → f T y → T g T 2 z → μ z T z {\textstyle x\xrightarrow {f} Ty\xrightarrow {Tg} T^{2}z\xrightarrow {\mu _{z}} Tz} で定まる。また、恒等射は η x : x → T x {\displaystyle \eta _{x}:x\to Tx} となる。
クライスリ圏 C T {\displaystyle \mathbb {C} _{T}} に対して、随伴となる関手 F T : C → C T {\textstyle F_{T}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} _{T}} と U T : C T → C {\textstyle U_{T}:\mathbb {C} _{T}\to \mathbb {C} } は次のように定められる: