幾何学的トポロジー
m次元多様体 M のハンドル分解は、合併
∅ = M − 1 ⊂ M 0 ⊂ M 1 ⊂ M 2 ⊂ ⋯ ⊂ M m − 1 ⊂ M m = M {\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M}
である。ここに各々の M i {\displaystyle M_{i}} は、 M i − 1 {\displaystyle M_{i-1}} より i {\displaystyle i} -ハンドル(handles)を付けることによりえられる。ハンドル分解は、CW分割(CW-decomposition)が位相空間に対し適用されるように、多様体にたいして適用される。多くの観点より、ハンドル分解は、CW複体の類似をもっているが、滑らかな多様体(smooth manifold)の世界への適用される。このように、i-ハンドルは i-セルの滑らかな類似である。多様体のハンドル分解は、自然にモース理論を通して出てくる。ハンドル構造の変形は、サーフ理論(英語版)(Cerf theory)と密接に関連する。
すべての次元で、多様体の基本群は、非常に重要な不変量であり、構造の多くを決定する。次元 1, 2, 3 では、可能な基本群は限定され、一方、4 以上の次元では、すべての有限表示群は、多様体の基本群である(4次元と5次元多様体に対し、このことを示し、高次元の場合は球面との積を取ることで十分であることに注意する)。