期待値
連続型確率変数の期待値はルベーグ積分で定義されているので、計算するときには積分の変数変換を行って確率変数の分布で積分するのが普通である。確率変数 X の分布を PX とすると、任意の可測関数 f に対して
E [ f ( X ) ] = ∫ Ω f ( X ( ω ) ) d P ( ω ) = ∫ R f ( x ) P X ( d x ) {\displaystyle E[f(X)]=\int _{\Omega }f(X(\omega ))\,dP(\omega )=\int _{\mathbb {R} }f(x)\,P_{X}(dx)}
となり、さらに PX が確率密度関数 p を持つときは
E [ f ( X ) ] = ∫ R f ( x ) p ( x ) d x {\displaystyle E[f(X)]=\int _{\mathbb {R} }f(x)p(x)\,dx}
により、ルベーグ測度で計算できるようになる。