ポアソン＝ボルツマン方程式
いくつかのイオン性物質が溶媒に溶解した電解溶液を考え、その静電ポテンシャルをψ(r)とする。 ここで、i番目のイオンの平衡状態での濃度分布がボルツマン分布
n i ( r ) = n i o exp  ( − z i e ψ ( r ) k T ) {\displaystyle n_{i}(\mathbf {r} )=n_{i}^{o}\exp {\left(-{\frac {z_{i}e\psi (\mathbf {r} )}{kT}}\right)}}
に従うものと仮定する。但し、ziはイオンの価数、e は電荷素量であり、k はボルツマン定数、Tは絶対温度を表すものとする。このとき、静電ポテンシャルψ(r)はポアソン方程式を満たす。
∇ ⋅ ( ε ( r ) ∇ ψ ( r ) ) = − 4 π ρ ( r ) = − 4 π ( ρ f ( r ) + ρ ion ( r ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\varepsilon (\mathbf {r} )\nabla \psi (\mathbf {r} ))&=-4\pi \rho (\mathbf {r} )\\&=-4\pi (\rho ^{f}(\mathbf {r} )+\rho ^{\operatorname {ion} }(\mathbf {r} ))\end{aligned}}}