複素平面
z を極形式表示すると、z = r(cosθ + i sinθ)(r ≥ 0, θ は実数)となり、ド・モアブルの定理より、乗法・除法・冪乗は原点中心の θ 回転に対応する。
複素数を、複素数への左からの作用と考えると、平面 R 上での原点を動かさない反転や回転を含む線型変換(一次変換)を引き起こす。この一次変換の表現行列は、複素数の実二次正方行列としての実現と考えることができる。
複素数の代数的演算により、ガウス平面上で平行移動と任意の一次変換が行えるから、したがって任意のアフィン変換を施すことが可能である。ここで、ガウス平面に無限遠点を付け加えて1点コンパクト化し、ガウス平面を拡張したリーマン球面(補完数平面)上で考えると、複素数 x + iy はリーマン球面上の点 [x : y : 1] と見なせる。リーマン球面上のアフィン変換は一次分数変換であり、複素数をアフィン変換の表現行列として実現することもできる。