超越数
以下の性質がある。
A 数からなる集合、S 数からなる集合、T 数からなる集合、U 数からなる集合は、いずれも空集合ではない。
α , β {\displaystyle \alpha ,\ \beta } を代数的従属である複素数としたとき、 α , β {\displaystyle \alpha ,\ \beta } は同じクラス(同じ分類の数)である。
A 数からなる集合は、代数的数全体の集合に等しい。
ほとんど全て の複素数は、S 数である。 さらに、ほとんど全ての実数は、タイプ 1 の S 数であり、ほとんど全ての複素数は、タイプ 1/2 の S 数である。
全てのリウヴィル数 は、U 数である。
任意の正整数 n {\displaystyle n} に対して、 μ ( α ) = n {\displaystyle \mu (\alpha )=n} を満たす U 数が存在する。
また、いくつかの具体的な超越数に対して、どのクラスに属するかについては、例えば、以下のことが知られている。
自然対数の底 e は、タイプ 1 の S 数である。
π は、U 数ではない。
チャンパーノウン定数は、S 数である。
r を 1 以外の正の有理数としたとき、 log  r {\displaystyle \log r} は、U 数ではない。
超越数(ちょうえつすう、英: transcendental number)とは、代数的数でない複素数、すなわちどの有理係数の代数方程式
x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 = 0 {\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0} (n は正の整数、各 ai は有理数)
の解(英語版)にもならない複素数のことである。有理数は一次方程式の解であるから、超越的な実数はすべて無理数であるが、例えば無理数 √2 は二次方程式 x − 2 = 0 の解であるから、その逆は成り立たない。超越数論は、超越数について研究する数学の分野で、与えられた数の超越性の判定などが主な問題である。
よく知られた超越数にネイピア数 e(自然対数の底)や円周率 πがあり、またほとんど全ての複素数が超越数であることが分かっている。ただし超越性が示されている複素数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率はともに超越数であるにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。
超越数 α {\displaystyle \alpha } に対して、 T ( α , n , H ) {\displaystyle T(\alpha ,n,H)} を、 n ≥ 1 , H ≥ 1 {\displaystyle \scriptstyle n\geq 1,\ H\geq 1} で定義された実数を値にとる関数とする。
次数が n {\displaystyle n} 以下で、各係数の絶対値が H {\displaystyle H} 以下である、0 以外の整数係数多項式に対して、
| f ( α ) | ≥ T ( α , n , H ) {\displaystyle |f(\alpha )|\geq T(\alpha ,n,H)}
が、任意の n ≥ 1 , H ≥ 1 {\displaystyle \scriptstyle n\geq 1,\ H\geq 1} で成立するとき、 T ( α , n , H ) {\displaystyle T(\alpha ,n,H)} を α {\displaystyle \alpha } の超越測度 (transcendence measure) という。
マーラーの分類のところで与えられた、 w n , H ( α ) {\displaystyle w_{n,H}(\alpha )} は、超越測度の1つであり、その定義から、最良の評価を与えるものである。