差積
差積を導入する意義として大きなものは、その変数の入れ替えに関する交代性である。順序付けられている、n 個の変数列 X1, X2, ..., Xn に、奇置換を施すと差積の符号が変わるが、偶置換を施しても差積の値は変化しない。実は差積は、最も単純な交代式(最簡交代式;the basic alternating polynomial) として特徴づけられる(後述)。
差積は交代式であるから、ある2つの変数が等しい差積は零に等しい。これは、等しい2つの変数を互換しても(入れ替えて)式は変わらない(が符号は変化する)から Vn = −Vn, すなわち Vn = 0 を得る。
逆に、差積は任意の交代式を割り切る。実際、先に述べた通り、任意の交代式はどの2つの変数についてもそれらが等しいとき零となるのだったから、因数定理により、任意の i < j に対する Xi − Xj が交代式の因数となる。帰結として
多項式の判別式とは、重根があるかどうかを判別する式であるが、これは根の差積の平方により定義される(が、差積自身を判別式とする文献もある)。
判別式 Δ の一部である、差積の平方 Vn は、根を入れ替えても (−1) = 1 より変化せず、対称式であると分かる。すなわち、差積の平方は、多項式の根の集合(非順序組)に対して定まる不変式となる。
n変数対称式環 Λn に差積を添加して得られる二次拡大(英語版) Λ n [ V n ] / ⟨ V n 2 − Δ ⟩ {\textstyle \Lambda _{n}[V_{n}]/\langle {V_{n}}^{2}-\Delta \rangle } として n変数交代式環を表すことができる。