フレシェ微分
↑ 定義の中に、得られる写像 g が連続線型作用素とならなければならないという条件を含めることもよく行われる。本項ではこの規約は採用しないので、存在しうる病的函数のクラスをもっとも広く取って説明することができる。
g ( a , b ) = { a 3 a 2 + b 2 if ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 if ( a , b ) = ( 0 , 0 ) . {\displaystyle g(a,b)={\begin{cases}{\dfrac {a^{3}}{a^{2}+b^{2}}}&{\mbox{ if }}(a,b)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ if }}(a,b)=(0,0).\end{cases}}}
となるが、函数 g は線型作用素でなく、故にこの函数 f はフレシェ微分可能でない。
より一般に、(r, φ) を (x, y) の極座標として、f(x, y) = g(r)h(φ) の形の函数は、g が 0 において微分可能で h(φ + π) = −h(φ) を満たすならば、(0, 0) において連続かつガトー微分可能となるが、ガトー導函数は線型であることしか言えず、フレシェ導函数が存在するのは h が正弦曲線であるときに限る。
別な状況として、
f ( x , y ) = { x 3 y x 6 + y 2 if ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 if ( x , y ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}}&{\mbox{ if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}