解析的トーション
T M ( ρ ; E ) = exp  ( 1 2 ∑ q = 0 n ( − l ) q q d d s ζ q ( s ; ρ ) | s = 0 ) . {\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\exp {\biggl (}{\frac {1}{2}}\sum _{q=0}^{n}(-l)^{q}q{\frac {d}{ds}}\zeta _{q}(s;\rho ){\biggl |}_{s=0}{\biggr )}.}
により定義できる。
1971に、D.B. レイとI.M. シンガーは、任意のユニタリ表現 ρ に対し T M ( ρ ; E ) = τ M ( ρ ; μ ) {\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\tau _{M}(\rho ;\mu )} であろうことを予想したRay and Singer (1971)。 J. Cheeger Cheeger (1977, 1979) と W. Muller Müller (1978) は、このレイ-シンガーの予想を独立に証明した。彼らのアイデアはトーションの対数を考え、そのトレースを取るというものである。最初に奇数次元の多様体に対して証明し、それから技術的に困難がある偶数に対して証明した。
後年、アティヤ・パトーディ・シンガーの指数定理とともに、2つのトーションが同値であるというチーガー-ミューラーの定理は、チャーン-サイモンズ摂動論の基礎をなしている。このもう一つの側面として、1978年に出されたA. シュワルツの論文が重要である。
を持つ。上の定義と同様に、Λ (E ) 上のラプラシアン Δq に付随するゼータ函数を
ζ q ( s ; ρ ) = ∑ λ j > 0 λ j − s = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 T r  ( e − t Δ q − P q ) d t , R e ( s ) > n 2 {\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\mathop {Tr} (e^{-t\Delta _{q}}-P_{q})dt,\ \ \ \mathrm {Re} (s)>{\frac {n}{2}}}
と定義することができる。ここに P はラプラシアン Δq の、L Λ(E ) の核空間 H q ( E ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(E)} の上への写像である。
1967年、セーレイは ζ q ( s ; ρ ) {\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )} が s = 0 で正則な s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbf {C} } の有理型函数に拡張することができることを証明した(Seeley 1967)。
直交表現の場合は、解析トーション T M ( ρ ; E ) {\displaystyle T_{M}(\rho ;E)} を