ボレル・パデ解析
次のように発散級数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が有限次までしかわかっていないとする。
f ( x ) ∼ a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n + O ( x n ) ( x → 0 ) {\displaystyle f(x)\sim a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}+O(x^{n})\quad (x\rightarrow 0)}
このとき、この発散級数の収束半径は0でもよいとする。
まず、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のボレル変換 B f ( t ) {\displaystyle {\mathcal {B}}f(t)} を
B f ( t ) ≡ ∑ k = 0 n a k k ! t n {\displaystyle {\mathcal {B}}f(t)\equiv \sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}}{k!}}t^{n}}
と計算する。このとき、変換された級数の収束半径が有限であるとしてよいのならば、パデ近似により、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のボレル変換 B f ( t ) {\displaystyle {\mathcal {B}}f(t)} を