相対論的力学
自由粒子のハミルトン関数は、平坦な時空においては
H X ( P , e ) = P μ X ̇ μ ( λ ) − L X = e 2 [ P μ P μ ( λ ) + m 2 c 2 ] {\displaystyle H_{X}(P,e)=P_{\mu }{\dot {X}}^{\mu }(\lambda )-L_{X}={\frac {e}{2}}\left[P^{\mu }P_{\mu }(\lambda )+m^{2}c^{2}\right]}
となり、曲がった時空においては
H X ( X , P , e ) = e 2 [ g μ ν ( X ) P μ P ν ( λ ) + m 2 c 2 ] {\displaystyle H_{X}(X,P,e)={\frac {e}{2}}\left[g_{\mu \nu }(X)P^{\mu }P^{\nu }(\lambda )+m^{2}c^{2}\right]}
となる。
ベクトル場 A と相互作用する粒子のハミルトン関数は
H ( X , P , e ) = e 2 [ ( P μ − q A μ ) ( P μ − q A μ ) + m 2 c 2 ] {\displaystyle H(X,P,e)={\frac {e}{2}}\left[(P^{\mu }-qA^{\mu })(P_{\mu }-qA_{\mu })+m^{2}c^{2}\right]}
となる。
平坦な時空における相対論的な自由粒子の作用汎関数は
S X [ X , e ] = ∫ L X ( X ̇ , e ) d λ {\displaystyle S_{X}[X,e]=\int L_{X}({\dot {X}},e)\,d\lambda }
L X ( X ̇ , e ) = e 2 [ e − 2 X ̇ μ X ̇ μ ( λ ) − m 2 c 2 ] {\displaystyle L_{X}({\dot {X}},e)={\frac {e}{2}}\left[e^{-2}{\dot {X}}^{\mu }{\dot {X}}_{\mu }(\lambda )-m^{2}c^{2}\right]}
で書かれる。ここで e はラグランジュ関数に導関数が含まれない補助変数である。パラメータ付替えの下で
e ( λ ) d λ → e ′ ( λ ′ ) d λ ′ {\displaystyle e(\lambda )\,d\lambda \to e'(\lambda ')\,d\lambda '}
複数の粒子がある場合は、粒子を区別する添え字 i を導入し、各々の粒子の位置 Xi に対する作用汎関数を足し合わせることで相互作用のない自由粒子系の作用汎関数が得られる。すなわち
S X [ X , e ] = 1 2 ∫ ∑ i ∈ I [ e i − 2 X ̇ i μ X ̇ i μ − m i 2 c 2 ] e i d λ {\displaystyle S_{X}[X,e]={\frac {1}{2}}\int \sum _{i\in I}\left[e_{i}^{-2}{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i\mu }-m_{i}^{2}c^{2}\right]e_{i}\,d\lambda }
である。補助変数 e は粒子 i ごとに導入される。拘束条件として各々の粒子ごとに質量殻条件が得られて、これを用いて補助変数を消去すれば
S X [ X ] = − ∑ i ∈ I m i c ∫ − X ̇ i μ X ̇ i μ d λ = − ∑ i ∈ I m i c 2 ∫ d τ i {\displaystyle {\begin{aligned}S_{X}[X]&=-\sum _{i\in I}m_{i}c\int {\sqrt {-{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i\mu }}}d\lambda \\&=-\sum _{i\in I}m_{i}c^{2}\int d\tau _{i}\\\end{aligned}}}
となる。
δ S [ X ] δ X μ ( λ ) = q ∂ μ A ν ( X ) X ̇ ν ( λ ) − P ̇ μ ( λ ) = q F μ ν ( X ) X ̇ ν ( λ ) − p ̇ μ ( λ ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta S[X]}{\delta X^{\mu }(\lambda )}}&=q\partial _{\mu }A_{\nu }(X){\dot {X}}^{\nu }(\lambda )-{\dot {P}}_{\mu }(\lambda )\\&=qF_{\mu \nu }(X){\dot {X}}^{\nu }(\lambda )-{\dot {p}}_{\mu }(\lambda )\\&=0\\\end{aligned}}}
p ̇ μ ( λ ) = q F μ ν ( X ) X ̇ ν ( λ ) {\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }(\lambda )=qF_{\mu \nu }(X){\dot {X}}^{\nu }(\lambda )}
が導かれる。ベクトル場が電磁場である場合は、これはローレンツ力であり、4元力は
K μ ( λ ) = q F μ ν ( X ) U ν ( λ ) {\displaystyle K^{\mu }(\lambda )=qF^{\mu }{}_{\nu }(X)U^{\nu }(\lambda )}
質量 m の粒子の4元運動量は
p μ ( λ ) = m U μ ( λ ) {\displaystyle p^{\mu }(\lambda )=mU^{\mu }(\lambda )}
で与えられる。4元速度の定義から ppμ = −mc である。この関係式は質量殻条件(mass-shell condition)と呼ばれる。
補助変数 e はラグランジュ関数に導関数が含まれないため、共役運動量が
P e ( λ ) = ∂ L X ∂ e ̇ = 0 {\displaystyle P_{e}(\lambda )={\frac {\partial L_{X}}{\partial {\dot {e}}}}=0}
となり、 e ̇ {\displaystyle {\dot {e}}} について解けない特異ラグランジュ系である。この特異系には一次拘束条件 φ = P e ≈ 0 {\displaystyle \phi =P_{e}\approx 0} が課されている。
特異ラグランジュ系からハミルトン系へ移行するとき、ハミルトン関数は一意に定まらず、未定乗数 b を導入して
H tot = e χ + b φ {\displaystyle H_{\text{tot}}=e\chi +b\phi }
と書かれる。拘束関数 φ = P e {\displaystyle \phi =P_{e}} の導関数はポアソン括弧により
と変換して、作用汎関数のパラメータ付替え不変性を保障する。
力学変数 X に共役な運動量は
P μ ( λ ) = ∂ L X ∂ X ̇ μ = e − 1 X ̇ μ ( λ ) {\displaystyle P_{\mu }(\lambda )={\frac {\partial L_{X}}{\partial {\dot {X}}^{\mu }}}=e^{-1}{\dot {X}}_{\mu }(\lambda )}
であり、運動方程式として
δ S X [ X , e ] δ X μ ( λ ) = − P ̇ μ ( λ ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S_{X}[X,e]}{\delta X^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {P}}_{\mu }(\lambda )=0}
が導かれて、自由粒子の運動量は保存する。
ニュートンの運動方程式により、ニュートン力学における力は運動量の時間導関数と関係付けられた。 相対論においては自然なパラメータが存在しないため、導関数 p ̇ {\displaystyle {\dot {p}}} は物理的意味を持たない。 そこで運動のパラメータとして固有時間 τ を選び、相対論的な粒子の運動方程式を
d p μ d τ = K μ ( τ ) {\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}=K^{\mu }(\tau )}
と表わす。このときの K が4元力である。
適当なパラメータ λ を用いた場合は連鎖律により
p ̇ μ ( λ ) = K μ ( λ ) c − X ̇ μ X ̇ μ {\displaystyle {\dot {p}}^{\mu }(\lambda )={\frac {K^{\mu }(\lambda )}{c}}{\sqrt {-{\dot {X}}^{\mu }{\dot {X}}_{\mu }}}}
で表される。