基本群
さらに、ひとつの基点を選んでホモトピー同値なループを考えるのではなく、空間の中の「すべて」の道のホモトピー類を考えることもできる(始点と終点は固定する)。これは群ではなく、亜群であり、空間の基本亜群となる。
さらに一般的に、幾何学的な状況に沿った選択をした基点の集合 A の上の基本亜群を考えることができて、例えば円周の場合は、共通部分が2つの連結成分を持つような、2つの連結開集合の合併として表現できるので、各成分の中から1つずつ基点を選択することができる。この理論が現れたのは、Topology and groupoidsとして現在は出版されている1968年と1988年の版で与えられ、被覆空間や軌道空間と関連する考え方も記載されている。
基本群は、空間の 1-次元の穴の構造を測る。「高次元の穴」の研究のためには、ホモトピー群が使われる。X の n-ホモトピー群の元は、S から X への(基点を保つ)写像のホモトピー類である。
特別な基点を持つループの集合は、ホモトピックなループを同値と考えずに研究される。この大きな対象は、ループ空間(英語版)である。
位相群では、つなぎ合わせではなく各点における積によって、ループの集合に別の群の積を割り当てることもできる。この群がループ群(英語版)である。