関数方程式
f ( h ( x ) ) = c f ( x ) {\displaystyle f(h(x))=cf(x)} (シュレーダー方程式)
f ( h ( x ) ) = f ( x ) + 1 {\displaystyle f(h(x))=f(x)+1} (アーベル方程式)
漸化式、例えば
a ( n ) = 3 a ( n − 1 ) + 4 a ( n − 2 ) {\displaystyle a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)}
は整数変数の未知函数と平行移動作用素からなる関数方程式の一種である。
可換律、結合律も関数方程式の一種である。例えば結合律は、よく見る形だと二項演算の記号を二つの変数に中置して
( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}
のように書かれるので函数方程式であるということが直観的には見えにくいが、ここで a ∗ b などと書く代わりに写像の記法に従って ƒ(a, b) などと書けば、結合法則の式は
f ( f ( a , b ) , c ) = f ( a , f ( b , c ) ) {\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))}
と、それらしく書き表される。
上の例に共通しているのは、複数の既知関数(たとえば、定数倍や二つの変数の和や積など)が、求める未知関数に代入される点である。
は k 次の保型形式を定義する。ただし a、b、c、d は ad − bc = 1 を満たす整数とする。
その他にも多くの例を挙げることができる。
すべての指数関数は f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)} を満たす。
すべての対数関数は f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)} を満たす。
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)} (コーシーの関数方程式)
f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 [ f ( x ) + f ( y ) ] {\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]} (中線定理、平行四辺形の法則)
f ( ( x + y ) / 2 ) = ( f ( x ) + f ( y ) ) / 2 {\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2} (イェンゼン)
g ( x + y ) + g ( x − y ) = 2 [ g ( x ) g ( y ) ] {\displaystyle g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]} (ダランベール)