ベッセルの不等式
数学の、特に函数解析学の分野におけるベッセルの不等式(ベッセルのふとうしき、英: Bessel's inequality)は、正規直交列についてのヒルベルト空間のある元 x {\displaystyle x} の係数に関する不等式である・
H {\displaystyle H} をヒルベルト空間とし、 e 1 , e 2 , . . . {\displaystyle e_{1},e_{2},...} を H {\displaystyle H} 内の正規直交列とする。このとき、 H {\displaystyle H} 内の任意の x {\displaystyle x} に対し
∑ k = 1 ∞ | ⟨ x , e k ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}
が成立する。ここで 〈•,•〉 はヒルベルト空間 H {\displaystyle H} の内積を表す。
e k {\displaystyle e_{k}} 方向のベクトル x {\displaystyle x} の無限和
x ′ = ∑ k = 1 ∞ ⟨ x , e k ⟩ e k , {\displaystyle x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},}