双子のパラドックス
段階2 : T 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle :\quad T\ {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}
ここでTはK系から見た時間を表していて、例の場合には1年である。
よって宇宙船が感じる固有時間は 1.38 × 10 7 {\displaystyle 1.38\times 10^{7}} 秒となる。
以上の結果からすべての時間を足し合わせると宇宙船が旅行から戻ってきたときには宇宙船の時計はだいたい2003年9月22日の時刻を表していると求められる。
地球に滞在する人の座標系、宇宙船に乗っている人についての座標系をそれぞれK系とK'系と呼ぶことにする。いま旅行の手順の時間については地球にいる人からみた計画で行われるとする。ここでは地球の影響による時間の流れの変化は無視するとする。
2000年1月1日から2006年1月1日までの旅行を考える。2192日間を365.3日の6つの段階に分ける。
段階1 - 宇宙船が静止した状態から一定の固有加速度を受け、K系から見た時間で1年間で光速の90%の速度に加速される。
段階2 - 宇宙船は光速の90%の速度で、K系から見た時間で1年間等速直線運動をする。
段階3 - 宇宙船は一定の固有加速度を受け、光速の90%の速度からK系から見た時間で1年間かけて減速し目的の場所に到着静止する。
段階4 - 宇宙船は静止した状態から一定の固有加速度を受け、K系から見た時間で1年間で地球向きに光速の90%の速度に加速される。
段階5 - 宇宙船は光速の90%の速度で、K系から見た時間で1年間等速直線運動をする。
段階6 - 宇宙船は一定の固有加速度を受け、K系で見た時間で1年間かけて減速し地球に到着静止する。
このそれぞれの段階について宇宙船に乗っている人から見た時間、固有時間を求める。
宇宙船の固有時間と静止した状態との時間との関係は次の式で与えられる。
Δ τ = ∫ 1 − ( v ( t ) / c ) 2 d t {\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {1-(v(t)/c)^{2}}}\ dt\ }
加速と減速の物理現象の対称性から段階1、3、4、6は同じ時間を宇宙船からみて感じる固有時間は等しいので段階1についてのみ考える。
双子のパラドックスのストーリーは次のようになる。双子の兄弟がいて、弟は地球に残り、兄は光速に近い速度で飛ぶことができるロケットに乗って、宇宙の遠くまで旅行したのちに地球に戻ってくるものとする。このとき、弟から見れば兄の方が動いているため、特殊相対性理論が示すように兄の時間が遅れるはずである。すなわち、ロケットが地球に戻ってきたときは、兄の方が弟よりも加齢が進んでいない。一方、運動が相対的であると考えるならば、兄から見れば弟の方が動いているため、特殊相対性理論が示すように弟の時間が遅れるはずである。すなわち、ロケットが地球に戻ってきたときは、弟の方が兄よりも加齢が進んでいない。これは前の結果と逆になっており、パラドックスである。
このパラドックスは、双子の兄弟の運動が対称ではないことから解決される。弟は地球(慣性系と仮定してよい)にいるのに対し、ロケットに乗った兄は、出発するときおよび、Uターンするときに加速されるため、少なくとも加速系に一時期いることになる。すなわち、ずっと慣性系にいる弟とは条件が異なるのである。
兄弟それぞれの年齢は固有時を積分することで算出できる。