シューアの補題
シューアの補題の加群のバージョンは、加群 M が必ずしも単純でない場合へも一般化できる。このことは、M の加群としての性質と自己準同型環の間の関係を表している。
自己準同型環が局所環のとき、強直既約(strongly indecomposable)であるという。有限の長さ(finite length)を持つ加群のクラスは重要で、次のことが同値となるという性質を持っている(Lam 2001, §19)。
加群 M が直既約 (indecomposable)である。
M が強直既約である。
M のすべての自己準同型が、べき零かまたは可逆である。
一般に、シューアの補題の逆は成り立たない。単純でないが、自己準同型環が斜体であるような加群が存在する。そのような加群は、必ずしも直既約でなく、有限群の複素群環のような半単純環上に存在することができない。しかし、整数環の上でさえ、有理数の加群は斜体である自己準同型、特に有理数体を持っている。群環に対しても、体の標数が群の位数を割るとき例が存在する。要素が 3個である体上の 5個の点の交代群の 1-次元表現の射影被覆のヤコブソン根基 (Jacobson radical)は、自己準同型環としては 3つの要素の体を持っている。