交代行列
Σ = [ 0 λ 1 − λ 1 0 0 ⋯ 0 0 0 λ 2 − λ 2 0 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 λ r − λ r 0 0 ⋱ 0 ] {\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0&&\\&\ddots &\\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}
(ただし、λk は実数)を用いて A = QΣQ の形に書くことができる。ここで直交行列とは Q = Q を満たす行列 Q のことである。行列 Σ の非零固有値は ±iλk である。奇数次の場合には、Σ は必ず少なくとも一つの行か列が全て 0 になる。