ダランベールの微分方程式
p = d y d x {\displaystyle p={\frac {dy}{dx}}} とおくと、(1) は、
y = x f ( p ) + g ( p ) {\displaystyle y=xf(p)+g(p)\,} ... (2)
となる。 (2) の両辺を x で微分すると、
p = f ( p ) + x f ′ ( p ) d p d x + g ′ ( p ) d p d x {\displaystyle p=f(p)+xf'(p){\frac {dp}{dx}}+g'(p){\frac {dp}{dx}}}
である。 p を独立変数、x を p の関数とみなすと、f(p) ≠ p だから、
d x d p + f ′ ( p ) f ( p ) − p x + g ′ ( p ) f ( p ) − p = 0 {\displaystyle {\frac {dx}{dp}}+{\frac {f'(p)}{f(p)-p}}x+{\frac {g'(p)}{f(p)-p}}=0} ... (3)
となる。