ヤコビの公式
となる。
この加算は行列の n × n 要素すべてで実行される。
余因子展開右辺の ∂F/∂Aij を得るために、添字 i は任意に定められる(計算を最適化するため。他の任意の選択からも同様の結果が得られるが、過程がより困難なものとなりうる)。特に、∂ / ∂Aij の最初の添字と一致するように選ぶことができる。
∂ det ( A ) ∂ A i j = ∂ ∑ k A i k adj T  ( A ) i k ∂ A i j = ∑ k ∂ ( A i k adj T  ( A ) i k ) ∂ A i j {\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}={\partial \sum _{k}A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}}
積の微分法則より
∂ det ( A ) ∂ A i j = ∑ k ∂ A i k ∂ A i j adj T  ( A ) i k + ∑ k A i k ∂ adj T  ( A ) i k ∂ A i j {\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}}
となる。
ここで、もし行列 Aij の要素および要素 Aik の余因子 adj(A)ik が同じ行(あるいは列)にある場合、Aik の余因子はその行(あるいは列)以外の要素で表されることから、余因子は Aij の函数とならない。それゆえ
∂ adj T  ( A ) i k ∂ A i j = 0 {\displaystyle {\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=0}
であり、
∂ det ( A ) ∂ A i j = ∑ k adj T  ( A ) i k ∂ A i k ∂ A i j {\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}}