体上の多元環
体(または可換環)K 上の n-次全行列環。ここで乗法は通常の行列の積を考える。
群多元環は群を基底とするベクトル空間で、多元環としての乗法は群の乗法の線型な拡張である。
体 K 上の多項式全体 K[x] は可換多元環になる。
函数環: 例えば区間 [0, 1] 上で定義された実数値連続函数全体の成す R-多元環や、複素数平面内のある開集合上定義された正則函数全体の成す C-多元環など。いま挙げた例はともに可換多元環である。
接合環はある種の半順序集合から構築される。
(例えばヒルベルト空間上の)線型作用素環: ここでは多元環の積として作用素の合成をとる。今の例では位相も入っていて(そのほとんどは台となるバナッハ空間の上で定義されるものだが)バナッハ環になる。さらに対合も与えられているなら、B*-環やC*-環の概念も導かれる。これらは函数解析学に属する主題である。
a 2 = a , b 2 = b , a b = b a = 0 {\displaystyle a^{2}=a,\quad b^{2}=b,\quad ab=ba=0}
a 2 = a , b 2 = 0 , a b = b a = 0 {\displaystyle a^{2}=a,\quad b^{2}=0,\quad ab=ba=0}
a 2 = b , b 2 = 0 , a b = b a = 0 {\displaystyle a^{2}=b,\quad b^{2}=0,\quad ab=ba=0}
a 2 = 1 , b 2 = 0 , a b = − b a = b {\displaystyle a^{2}=1,\quad b^{2}=0,\quad ab=-ba=b}
a 2 = 0 , b 2 = 0 , a b = b a = 0 {\displaystyle a^{2}=0,\quad b^{2}=0,\quad ab=ba=0}
これらのうち四番目は非可換だが、他はみな可換である。