シンプレクティック幾何学
20世紀初頭になると、シンプレクティック幾何学は更なる転機を迎える。量子力学の誕生である。ハイゼンベルクやシュレディンガーらによって、量子力学は始まるが、そこにおいてもシンプレクティック幾何は重要であった。ハイゼンベルクの行列力学はポアソン括弧から出発し、シュレディンガーの波動力学はハミルトン・ヤコビ方程式から出発するからである。その後、量子化の方法はいくつも提案されている。いくつか挙げるとすれば、
正準量子化
ファインマンの経路積分法による量子化
ネルソンによる確率力学
である。
n {\displaystyle n} 次元ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} においては、十分に正当性の高い量子化の方法が得られている。それは、上に挙げた正準量子化である。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上の絶対二乗可積分な関数全体のなすヒルベルト空間
L 2 ( R n ) = { f : R n → C | ∫ R n | f ( x ) | 2 d n x < ∞ } {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})=\left\{f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} \,\left|\,\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}d^{n}x<\infty \right.\right\}}
その後、ホーファー-サラモンや小野により、シンプレクティック多様体が半正(弱単調ともいう)という条件下で、アーノルド予想のベッチ数評価版が証明された。さらに、Liu-Tian及び深谷・小野により、一般のコンパクトなシンプレクティック多様体において、アーノルド予想ベッチ数評価版が証明された。
さらには、フレアーホモロジーの概念はハミルトン系の周期解に対するものだけでなく、低次元多様体上のSU(2)ゲージ理論やシンプレクティック多様体のラグランジュ部分多様体の交叉理論にも応用される。しかし、これらに共通しているのは、無限次元多様体上でのモース理論の適用である。
以下、ハミルトン系の周期軌道に対するフレアー理論を解説する。シンプレクティック多様体 M {\displaystyle M} の上の閉曲線全体 L M {\displaystyle {\mathcal {L}}M} を M {\displaystyle M} 上の自由ループ空間という。さらにその内で、1点に連続変形可能(可縮という)なものの全体を、 X = L 0 M {\displaystyle X={\mathcal {L}}_{0}M} と書くことにする。また、 S 1 {\displaystyle S^{1}} と書いたときは、 R / Z {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } とパラメトライズされていると仮定する。このとき、時間に依存するハミルトン関数 H ∈ C ∞ ( S 1 × M ) {\displaystyle H\in C^{\infty }(S^{1}\times M)} に対して、 X {\displaystyle X} 上の汎関数が次のように定まる:
を考え、位置 x j {\displaystyle \,x_{j}\,} と運動量 p j ( j = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle \,p_{j}\ (j=1,\cdots ,n)\,} に対応する物理量をそのヒルベルト空間 L 2 ( R n ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})} 上の自己共役作用素
( x ^ j f ) ( x ) = x j f ( x ) , ( p ^ j f ) ( x ) = − i ħ ∂ f ∂ x j ( x ) ( j = 1 , ⋯ n ) {\displaystyle {\begin{aligned}({\hat {x}}_{j}f)(x)&=x_{j}f(x),\\({\hat {p}}_{j}f)(x)&=-i\hbar {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)\end{aligned}}\quad (j=1,\cdots n)}
と置き換える。ここで、 ħ {\displaystyle \hbar } はプランク定数である。これらの作用素に対して、正準交換関係(ハイゼンベルクの交換関係、ボルン・ハイゼンベルク・ヨルダンの交換関係ともいう)
このとき、リーマン計量 g J = ω ( ∙ , J ∙ ) {\displaystyle g_{J}=\omega (\bullet ,J\bullet )} から可縮なループからなる「多様体」 X {\displaystyle X} 上の L 2 {\displaystyle L^{2}} -計量を定めることが出来るから、汎関数 A H {\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}} の(形式的な)勾配ベクトル場が X {\displaystyle X} 上定義される。いま X {\displaystyle X} 上の曲線 u : R → X {\displaystyle u:\mathbb {R} \to X} を考えると、それはシリンダー R × S 1 {\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}} から M {\displaystyle M} への写像と同一視できる。この同一視を使って、 A H {\displaystyle {\mathcal {A}}_{H}} の勾配方程式を書き下すと、フレアー方程式(摂動されたコーシー・リーマン方程式ともいう)
∂ u ∂ s + J ( u ) ( ∂ u ∂ t − X H t ( u ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}+J(u)\left({\frac {\partial u}{\partial t}}-X_{H_{t}}(u)\right)=0} ............(**)
となる。