順序対
Kuratowski (1921) は今日的に広く受け入れられている順序対 (a, b) の定義
( a , b ) K := { { a } , { a , b } } {\displaystyle (a,b)_{\text{K}}:=\{\{a\},\,\{a,b\}\}}
を提唱した。注目すべきは、これが第一成分と第二成分が等しいときにも
p = ( x , x ) = { { x } , { x , x } } = { { x } , { x } } = { { x } } {\displaystyle p=(x,x)=\{\{x\},\,\{x,x\}\}=\{\{x\},\{x\}\}=\{\{x\}\}}
として有効な定義になっていることである。
順序対 p が与えられたとき、「p の第一成分が x である」という性質は
∀ Y ∈ p : x ∈ Y {\displaystyle \forall Y\in p:x\in Y}
として定式化することができる。「p の第二成分が x である」という性質は
( ∃ Y ∈ p : x ∈ Y ) ∧ ( ∀ Y 1 , ∀ Y 2 ∈ p : Y 1 ≠ Y 2 → ( x ∉ Y 1 ∨ x ∉ Y 2 ) ) {\displaystyle (\exists Y\in p:x\in Y)\land (\forall Y_{1},\,\forall Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2}))}
と定式化できる。