弦の場の理論
整合性を持って S ( Ψ ) {\displaystyle S(\Psi )} を量子化するためには、ゲージを固定する必要がある。伝統的な(ゲージ固定の)選択はファインマンとジーゲルによるゲージ固定
b 0 Ψ = 0 {\displaystyle b_{0}\Psi =0\left.\right.}
である。ゲージ変換は、それ自体が冗長であるので(ゲージ変換のゲージ変換が存在する)、ゲージ固定の過程はBV形式(英語版)(BV formalism)を経由し、ゴースト数無限を導入する必要がある。 完全にゲージ固定された作用は、
S gauge-fixed = 1 2 ⟨ Ψ | c 0 L 0 | Ψ ⟩ + 1 3 ⟨ Ψ , Ψ , Ψ ⟩ {\displaystyle S_{\text{gauge-fixed}}={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |c_{0}L_{0}|\Psi \rangle +{\tfrac {1}{3}}\langle \Psi ,\Psi ,\Psi \rangle }
により与えられる。ここに場 Ψ {\displaystyle \Psi } は任意のゴースト数 であることが可能である。このゲージで、ファインマン・ダイアグラムが単純なプロパゲーターと頂点から構成される。
共変な閉弦の場の理論は、開弦とその仲間よりも込み入っていると想定される。たとえ閉弦の間の ツリーレベル の相互作用を生成するだけの弦の場の理論を構成しようとしても、古典的作用が 無限 個の頂点を含んでいる必要がある。 無限個の頂点は、弦の多面体から構成されている。
オンシェルの散乱図形が弦の結合の全てのオーダーで再現することを要求すると、同じように高い種数から発生する(従って ħ {\displaystyle \hbar } の高いオーダーの)頂点をさらに含まねばならない。一般には、明らかに BV 不変な量子化された作用は、次の形を取る。
S ( Ψ ) = ħ ∑ g ≥ 0 ( ħ g c ) g − 1 ∑ n ≥ 0 1 n ! { Ψ n } g {\displaystyle S(\Psi )=\hbar \sum _{g\geq 0}(\hbar g_{c})^{g-1}\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\{\Psi ^{n}\}_{g}}
ここに、 { Ψ n } g {\displaystyle \{\Psi ^{n}\}_{g}} は種数 g {\displaystyle g} の曲面から発生する n {\displaystyle n} 次のオーダーの頂点であり、 g c {\displaystyle g_{c}} は閉弦の結合である。原理的には、頂点の構造は最小領域の処方により決定される。 しかし、多面体の頂点に対してさえ、明らかに計算されているのは4次のオーダーでしかない。