極限順序数
順序数全体の成す類は整列順序付けられているから、有限でない最小の極限順序数 ω が存在する。この順序数 ω は、自然数の最小上界に一致するものとして、最小の超限順序数でもある。ゆえに、ω は自然数全体の成す集合の順序型を表している。それより大きい次の極限順序数として、まずは ω + ω = ω⋅2、これは任意の自然数 n に対する ω⋅n に一般化できる。ω⋅n 全体の成す集合における合併(順序数からなる任意の集合上で上限をとる操作と見なせる)を取って、ω·ω ≕ ω が得られ、これは任意の自然数 n に対する ω に一般化される。この過程はさらに繰り返すことができて、
なる系列が生み出される
一般に、このような再帰的定義は乗法、冪演算、反復冪などを通じてもできるが、何れも極限順序数を導き出す。ここまでで出てきた順序数はそれでもまだ可算順序数であるが、同様に可算順序数であるチャーチ–クレイニ順序数より小さいすべての順序数に系統的に名前を付けることのできる再帰的枚挙可能(英語版)な命名規則は存在しない。
可算順序数を超えて、最小の非可算順序数 ω1 は、これもまた極限順序数となる。同様に推し進めれば、以下のような系列(以下の列では項を追うごとに濃度も増大する):
が得られる。
一般に、順序数からなる空でない集合が最大元を持たなければ、合併を取れば常に極限順序数が得られる。
α > 0 に対する ωα 全体の成す集合は極限順序数からなる極限順序数、など。