水素分子イオン
水素分子イオンは、2つの水素原子核A、Bと1つの電子を持つ。
ハミルトニアンは、 H ^ = − ħ 2 m ∇ 2 + V {\displaystyle {\hat {H}}=-{\hbar \over 2m}\nabla ^{2}+V} とかける。ここでVは電子に働くクーロンポテンシャルで
V = − e 2 4 π ε 0 ( 1 r A + 1 r B − 1 R ) {\displaystyle V=-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}-{\frac {1}{R}}\right)}
水素分子イオンの電子のシュレーディンガー方程式は次のように記述することができる。
( − ħ 2 2 m ∇ 2 + V ) ψ = E ψ {\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi =E\psi }
ここで核の運動は電子の運動に対して無視できるほど小さいという推定から核間距離Rは固定されているとする(ボルン・オッペンハイマー近似)と、この方程式は厳密に解くことができる。