ソロヴェイモデル
ソロヴェイは自身の論文で、到達不能基数の使用は必要ないかもしれないと示唆した。何人かの研究者はソロヴェイの結果の弱いバージョンを到達不能基数の存在を仮定せずに証明した。特に、Krivine (1969) は順序数定義可能な実数集合は全てルベーグ可測である ZFC のモデルの存在を示したし、ソロヴェイは ZF + DC のモデルであって、ルベーグ測度の拡張で平行移動不変性を持ちつつ全ての集合に定義可能であるような測度が存在するモデルの存在を示したし、そして Shelah (1984) は実数集合が全てベールの性質を持つモデルの存在を示した (つまり、実はベールの性質には到達不能基数は不要であった).
perfect set property についてのバージョンは Specker (1957) によって解かれた。スペッカーは ZF の下で、実数集合が全て perfect set property をもち、最初の不可算基数 א1 が正則ならその א1 が構成可能宇宙の中では到達不能基数になっていることを示した。
ソロヴェイの結果と合わせると、"到達不能基数が存在する" と "実数集合が全て perfect set property を持つ" は ZF の下で無矛盾同値であることが分かる。
最終的に、Shelah (1984) では到達不能基数の無矛盾性が、実数集合が全てルベーグ可測であるモデルの構成に必要であることが示された。もっと正確には、彼は全ての Σ13 な実数集合が可測であれば、最小の不可算基数 א1 が構成可能宇宙で到達不能になっていることを示した。つまり、ソロヴェイの定理から、到達不能基数の条件は外すことはできない。また、シェラは到達不能基数を用いずに全ての Δ13 実数集合が可測であるモデルを構成することで Σ13 の条件が射影階層の比較において最良であることも示している。Raisonnier (1984)、Stern (1985)、Miller (1989) はそのシェラの結果を説明している。
Shelah & Woodin (1990) はもし超コンパクト基数が存在するなら、L(R) において実数の集合が全てルベーグ可測でベールの性質を持つことを示した。