階数・退化次数の定理
階数・退化次数の定理は、代数学の第一同型定理のベクトル空間の場合に対する内容の一つである。分割補題(英語版)へと一般化される。
より現代的な言葉を用いると、この定理はまた次のように記述することができる:
0 → U → V → R → 0
をベクトル空間の短完全系列とすると、
dim U + dim R = dim V
が成立する。ここで R は im T の役割を担い、U は ker T である。すなわち、
0 → ker  T → I d V → T im  T → 0 {\displaystyle 0\rightarrow \ker T~{\overset {Id}{\rightarrow }}~V~{\overset {T}{\rightarrow }}~\operatorname {im} T\rightarrow 0}
である。
有限次元の場合、この定式化は一般化しやすいものとなる:
0 → V1 → V2 → ⋯ → Vr → 0
が有限次元ベクトル空間の完全系列であるなら、
∑ i = 1 r ( − 1 ) i dim  V i = 0 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{r}(-1)^{i}\dim V_{i}=0}
続いて、Ax = 0 の解はどのようなものでも X の列ベクトルの線型結合で表現されることを示す。このことを示すために、Au = 0 を満たす任意のベクトル
u = [ u 1 u 2 ] {\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {u}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{2}\end{bmatrix}}}
を定める。A1 の列ベクトルは線型独立であることにより、A1x = 0 であれば x = 0 が成立することに注意されたい。したがって、
T { c 1 w 1 + ⋯ + c n w n } = o {\displaystyle T\{c_{1}{\boldsymbol {w}}_{1}+\cdots +c_{n}{\boldsymbol {w}}_{n}\}={\boldsymbol {o}}}
∴ c 1 w 1 + ⋯ + c n w n ∈ ker T {\displaystyle \therefore c_{1}{\boldsymbol {w}}_{1}+\cdots +c_{n}{\boldsymbol {w}}_{n}\in \operatorname {ker} \;T}
すると、{Tw1, ..., Twn} は ker T を張るから、
c 1 w 1 + ⋯ + c n w n = d 1 u 1 + ⋯ + d m u m {\displaystyle c_{1}{\boldsymbol {w}}_{1}+\cdots +c_{n}{\boldsymbol {w}}_{n}=d_{1}{\boldsymbol {u}}_{1}+\cdots +d_{m}{\boldsymbol {u}}_{m}}
とスカラー di で表せる。しかし、{u1, ..., um, w1, ..., wn} は V の基底であるから、線形結合の表示は一意であり、ゆえに、全ての ci および di はゼロに等しい。したがって、{Tw1, ..., Twn} は線型独立であり、image T の基底である。このことから、image T の次元は n であることが分かり、目標は達成された。
より抽象的な言い方をすると、写像 T: V → image T は分裂する。