確率変数の収束
確率収束するならば、分布収束する。
確率収束しても、必ずしも概収束しない。
逆に、分布収束が確率収束を意味するためには、極限の確率変数 X が定数である必要がある。
連続写像定理(英語版)によると、どのような連続関数 g(·) に対しても、 X n → p X {\displaystyle \scriptstyle X_{n}{\xrightarrow {p}}X} であるならば g ( X n ) → p g ( X ) {\displaystyle \scriptstyle g(X_{n}){\xrightarrow {p}}g(X)} が成立する。
確率収束は、ある固定された確率空間に対する確率変数の空間上の位相を定義する。この位相は、次に述べるカイ・ファン(英語版)計量により距離化可能である:
d ( X , Y ) = inf { ε > 0 : Pr ( | X − Y | > ε ) ≤ ε } {\displaystyle d(X,Y)=\inf \!{\big \{}\varepsilon >0:\ \Pr {\big (}|X-Y|>\varepsilon {\big )}\leq \varepsilon {\big \}}}
あるいは
d ( X , Y ) = E [ min ( | X − Y | , 1 ) ] {\displaystyle d(X,Y)=\mathbb {E} \left[\min(|X-Y|,1)\right]} .
F(a) = Pr(X ≤ a) であることから、分布収束は、十分大きい n に対して Xn がある与えられた領域に含まれる確率と、その領域に X が含まれる確率がほとんど等しいことを意味する。
一般的に分布収束は、対応する確率密度関数の列が同様に収束するということは意味しない。その一例として、密度 fn(x) = (1 − cos(2πnx))1{x∈(0,1)} を備える確率変数を考える。そのような確率変数は一様分布 U(0, 1) へと分布収束するが、その密度が収束することはない。
ポートマントーの補題(英語版)では、分布収束のいくつかの同値な定義が述べられている。それらの定義は直感にそぐわないものでもあるかも知れないが、統計学における多くの定理の証明に利用されている。その補題によれば、(Xn) が X へ分布収束するための必要条件は、次のいずれかが成立することである:
Ef(Xn) → Ef(X) がすべての有界な連続関数 f に対して成立する;
Eƒ(Xn) → Ef(X) がすべての有界なリプシッツ関数 f に対して成立する;