フィルター (数学)
フィルターの特別な例として冪集合上に定義されるフィルターが挙げられる。任意の集合 S に対し、その冪集合 P(S) 上に部分集合のあいだの包含関係によって半順序 ⊆ を定めることができ、これによって (P(S), ⊆) は束になる。特に混乱のないときは P(S) 上のフィルターは単に S 上のフィルターと呼ばれる。この集合 S 上のフィルター F は次のような P(S) の部分集合として特徴付けられる:
S は F に入っている(F は空でない)
空集合は F に入っていない(F は固有フィルター)
A と B が F に入っているならそれらの共通部分も F に入っている(F は有限の共通分操作について閉じている)
A が F の元、B が S の部分集合でかつ A が B の部分集合になっていれば B も F に入っている(F は上に閉じている)
はじめの3つの条件からフィルターは有限交差性を持つ(フィルターの元の有限個の共通分は空にならない)ことが分かる。
次の性質を持つ P(S) の部分集合 B はフィルター基と呼ばれる:
B に属する有限個の集合の共通部分は B のある集合を含む