射影作用素
量子論では,ある条件を満たす状態の全体は状態空間の部分空間と考えることができるので,量子力学的な命題と部分空間,すなわち射影演算子とを対応させることができる(量子論理).
統計力学では、運動の粗視化を射影演算子を使って定式化する方法(射影演算子の方法)がある.
分子対称性、分子振動、格子振動、結晶の波動関数では、任意の関数からある対称性に従う関数のみを作りたい時に、射影演算子が用いられる。たとえば射影演算子を用いれば、既約表現の表現行列からその基底関数(基準振動、基準モードなど)を求めることができる。
より一般に、ノルム空間の間の写像 T: V → W が与えられたとき、同じようにこれが核の直交補空間上の等距写像となることを要求することができる。その ( ker  T ) ⊥ → W {\displaystyle (\ker T)^{\perp }\to W} は等距であり、特に全射でなければならない。直交射影の場合というのは W が V の部分空間であるときである。リーマン幾何学においてこのことはリーマン沈め込みの定義に使われている。
線型代数学および函数解析学における射影作用素あるいは単に射影(しゃえい、英: projection)とは、いわゆる射影(投影)を一般化した概念である。有限次元ベクトル空間 V の場合は、V 上の線型変換 P: V → V であって、冪等律 P = P を満たすものを言う。ベクトル v の像 Pv を v の射影という。射影作用素はベクトル空間 V を U⊕W と直和分解したときに、V の元 v = u + w (u ∈ U, w ∈ W) を u に写すような変換である。ベクトル空間の次元が無限次元の場合には、連続性を考慮しなければならない。例えばヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} における射影作用素とは、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の有界線型作用素 P ∈ L ( H ) {\displaystyle P\in {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})} であって、冪等律 P = P を満たすものを言う。このときさらに自己共役性 P = P を持つときには直交射影(ちょっこうしゃえい、英: orthogonal projection)という。直交射影のことを単に射影と呼ぶこともある。
この定義は抽象的ではあるが、投影図法の考え方を一般化し、定式化したものになっている。 幾何学的対象上の射影の影響は、その対象の各点における射影の影響を調べることでわかる。