区間 (数学)
実数直線 R 内の区間の概念は、R の連結部分集合の概念にちょうど一致する。したがって、任意の区間を任意の実数値連続函数で写した像もまた区間となることがわかる。これは中間値の定理の一つの定式化である。
区間の概念はまた R 内の凸部分集合の概念とも一致する。ゆえに部分集合 X の区間包は X の凸包である。
区間からなる任意の族の交わりは必ず一つの区間である。二つの区間の合併がふたたび区間となるための必要十分条件は、両区間の交わりが空でないか、一方の区間の開端点が他方の閉端点に一致することである。後者は例えば、(a, b) ∪ [b, c] = (a, c] のようなことを言っている。
R を距離空間と見るとき、その開球体とは有界開区間 (c + r, c − r) のことであり、その閉球体とは有界閉区間 [c + r, c − r] のことを言う。ここで中心が c, 半径は r であることに注意せよ。
区間 I の任意の元 x は I の交わりの無い三つの区間 I1, I2, I3 への分割を定義する。これら三つは順に、I のx より小さい元全体、一点集合 [x, x] = {x}、x より大きい元全体である。分割片 I1, I3 がともに空でない(特に内部が空でない)ための必要十分条件はx が I の内部に属することである。これを区間に対する三分原理(英語版)と言う。