二重階乗
整数 n に対して
∫ 0 π 2 sin n  x d x = ∫ 0 π 2 cos n  x d x = ( n − 1 ) ! ! n ! ! × { 1 if n is odd π 2 if n is even . {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}
奇階乗の複素変数への延長を用いた場合には、
∫ 0 π 2 sin n  x d x = ∫ 0 π 2 cos n  x d x = ( n − 1 ) ! ! n ! ! π 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.}
ガンマ函数を用いた最後の式はもとと比べて非常に広く定義されるもので、この定義により z! は負の実軸上にある k の負の倍数を除く任意の複素数に対して定義された函数と見なせる。そして「z ≡ 1 mod α なる整数 z に対しては z! = z!(α) を満たす」という意味でこの二つの定義は両立する。
z! がほとんどの複素数 z に対して延長できることに加え、α も任意の正実数値としてこの定義は意味を為す。さらに言えば、k = 1 のとき、定義される函数 Π(z) はパイ函数である。また k = 2 のときは、奇階乗の複素変数への拡張に一致する。