反復積分に関するコーシーの公式
d d x f ( − 1 ) ( x ) = d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{(-1)}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=f(x)} ;
ここで、
f ( − 1 ) ( a ) = ∫ a a f ( t ) d t = 0 {\displaystyle f^{(-1)}(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,\mathrm {d} t=0} .
今、nのとき主張が正しいと仮定し、n+1のときも主張が成立することを示そう。帰納法の仮定を適用し、積分の順序を入れ替えて、
f − ( n + 1 ) ( x ) = ∫ a x ∫ a σ 1 ⋯ ∫ a σ n f ( σ n + 1 ) d σ n + 1 ⋯ d σ 2 d σ 1 = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ∫ a σ 1 ( σ 1 − t ) n − 1 f ( t ) d t d σ 1 = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ∫ t x ( σ 1 − t ) n − 1 f ( t ) d σ 1 d t = 1 n !