加群の直和
この集合は成分ごとの和とスカラー倍を経由して加群の構造を引き継ぐ。具体的には、2つのそのような列(あるいは関数) α と β はすべての i に対して ( α + β ) i = α i + β i {\displaystyle (\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}} (これは再び有限個を除くすべての添え字に対して 0 であることに注意する)と書くことによって足すことができ、そのような関数は R の元 r によってすべての i に対して r ( α ) i = ( r α ) i {\displaystyle r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}} と定義することによって掛けることができる。このようにして、直和は左 R-加群になり、それは
⨁ i ∈ I M i . {\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}.}
と表記される。列 ( α i ) {\displaystyle (\alpha _{i})} を和 ∑ α i {\displaystyle \textstyle \sum \alpha _{i}} として書くのが慣習である。ときどき有限個を除くすべての項が 0 であることを示すためにプライム付総和 ∑ ′ α i {\displaystyle \textstyle \sum '\alpha _{i}} が使われる。
二つのバナッハ空間 X, Y の直和とは、X と Y を単にベクトル空間と見なしてとった直和に、ノルムを
‖ ( x , y ) ‖ := ‖ x ‖ X + ‖ y ‖ Y ( ∀ x ∈ X , ∀ y ∈ Y ) {\displaystyle \|(x,y)\|:=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}\quad (\forall x\in X,\forall y\in Y)}
によって定めたものをいう。
一般に、バナッハ空間の族 Xi で、添字 i は添字集合 I をわたるものとするとき、直和 ⨁ i ∈ I X i {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}} は、I 上で定義された函数 x であって、x(i) ∈ Xi (∀i ∈ I) かつ