根体
体 K 上の(既約)多項式 P(X) に関する K 上の根体とは、P(X) の根 a が K 上生成する単拡大体 K(a) を言う。
例えば、K = Q を有理数体、P(X) = X − 2 のとき、Q[√2] は P(X) の根体(のひとつ)になる。多項式の根体は必ずしもその多項式の全ての根を含むわけではない。実際、体 Q[√2] は P(X) の残り二つの虚根(すなわち、ω を 1 の虚立方根として、ω√2 および ω √2)を含まない。
K[X]/(P(X)) の構成は、根体の存在を保証し、ほかの任意の根体がこれに同型であるという性質はその一意性を示している。P の根を含む K の拡大体に関する研究は、K[X]/(P(X)) 上で有効である。すなわち、以下の定理を得た:
実は既約多項式 P の K 上の根体は P の根 α を含む K の拡大体の存在を仮定することなく、多項式環 K[X] を P で割った剰余の成す環 K[X]/(P) として構成することができる。P の次数が n ならば、この環は次数高々 n − 1 の多項式全体の成す集合であって、前節に述べた加法および乗法を持ち、それぞれの単位元 0 および 1 が存在する。これによりこの集合は環であって、また P が既約であることからベズーの等式により逆元がとれるから体を成す。この構成において X は P の根となる。
より抽象的に、K[X]/(P) は K[X] を P の生成するイデアル (P) で割った剰余環として定義される。P は既約であるから、(P) は素イデアルであり、さらに K[X] は主環(特にユークリッド環)だから極大イデアル、従って剰余環 K[X]/(P) は体を成す。K[X]/(P) の各剰余類は、次数高々 n − 1 の多項式をただ一つずつ含み、それらを完全代表系として先に述べた構成および計算が得られる。
この体は(K の各元は定数多項式と同一視することにより)K の拡大体で P の根を含むものとして構成されたものである。