双対位相
与えられた双対組 ( X , Y , ⟨ , ⟩ ) {\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )} に対し、 X {\displaystyle X} 上の双対位相は局所凸位相 τ {\displaystyle \tau } である。したがって、
( X , τ ) ′ ≃ Y {\displaystyle (X,\tau )'\simeq Y}
となる。ここで ( X , τ ) ′ {\displaystyle (X,\tau )'} は ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} の連続双対を表し、 ( X , τ ) ′ ≃ Y {\displaystyle (X,\tau )'\simeq Y} は線型同型
Ψ : Y → ( X , τ ) ′ , y ↦ ( x ↦ ⟨ x , y ⟩ ) {\displaystyle \Psi :Y\to (X,\tau )',\quad y\mapsto (x\mapsto \langle x,y\rangle )}
の存在を意味する(ある y {\displaystyle y} に対する線型汎函数 x ↦ ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle } は X {\displaystyle X} 上で連続ではないので、 X {\displaystyle X} 上の局所凸位相 τ {\displaystyle \tau } が双対位相でないなら、 Ψ {\displaystyle \Psi } は全射でないか、ill-defined である)。