コンラート1世 (ケルンテン公)
そのころ、コンラートはハインリヒと敵対していたコンラディン家のシュヴァーベン公ヘルマン2世の娘マティルデと結婚した。父と異なり、コンラートはヘルマン2世がドイツ王に立候補するのを支持した。最終的に、7月7日にハインリヒがドイツ王ハインリヒ2世として即位した。
コンラートとマティルデの結婚は近親婚であったため、ドイツ王ハインリヒ2世からティオンヴィルでの会議(1003年1月)において非難された。それにもかかわらず、コンラートが1011年に死去するまでコンラートとマティルデは夫婦であり続けた。
父オットーが1004年に死去した時、唯一生存していた息子であったコンラートは、ケルンテン公位とヴェローナ辺境伯位を継承した。しかしコンラート1世が死去した際には、マティルデとの間の息子コンラートは若年であり、ケルンテン公位を継承できなかった。代わりにマティルデの姉妹ベアトリクスと結婚していたエッペンシュタイン家のアダルベロが皇帝ハインリヒ2世よりケルンテン公位を与えられた。コンラートはヴォルムス大聖堂に埋葬された。妻マティルデはコンラートの死後、ロートリンゲン公フレデリック2世と再婚し、さらにアスカーニエン家のバレンシュテット伯エジコと再々婚した。