ヘルダーの不等式
(Ω, μ) を測度空間とし、1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ を 1/p + 1/q = 1 なる実数とする。(p = 1 のとき q = ∞ とする。)Ω 上の可測関数 f, g について、
‖ f g ‖ L 1 ( Ω , μ ) ≤ ‖ f ‖ L p ( Ω , μ ) ‖ g ‖ L q ( Ω , μ ) . {\displaystyle \|fg\|_{L^{1}(\Omega ,\mu )}\leq \|f\|_{L^{p}(\Omega ,\mu )}\|g\|_{L^{q}(\Omega ,\mu )}.}
が成り立つ。これは、左辺が無限大になる場合も込めて成立する不等式であり、特に f が L級、g が L級関数のときに fg は L級関数になることを主張している。このような p と q の関係は共役指数と呼ばれる。p = q = 2 の場合のこの不等式はコーシー・シュワルツの不等式と呼ばれる。