滑らかな射
例として、体 F p ( t p ) → F p ( t ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)} を考える。これは非分離拡大なので、これから定義されるスキームの射は滑らかではない。この体の拡大の最小多項式
f ( x ) = x p − t p {\displaystyle f(x)=x^{p}-t^{p}}
をとると、これは d f = 0 {\displaystyle df=0} なので、ケーラー微分がゼロにならない。
体の拡大 K → L {\displaystyle K\to L} が分離拡大であることと、ある g c d ( f ( x ) , f ′ ( x ) ) = 1 {\displaystyle gcd(f(x),f'(x))=1} を満たす多項式で
L = K [ x ] ( f ( x ) ) {\displaystyle L={\frac {K[x]}{(f(x))}}}
と書けることは同値であった。これをケーラー微分を用いて言い直すと、体の拡大が分離的であることと
Ω L / K = 0 {\displaystyle \Omega _{L/K}=0}
が成り立つことは同値である。 なお、体が完全体(有限体や標数0の体)の場合は全てこのケースである。