平面波
, Td が F の周期となるような d 次正則行列
T = ( T 1 , ... , T d ) {\displaystyle T=({\boldsymbol {T}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {T}}_{d})}
が定まる。本稿では、このような T を、F の周期行列と言うことにする。また、 T Z d {\displaystyle T{\mathbb {Z} }^{d}} を、F の周期格子という。
簡単な計算から以下の定理が判る。
定理 (周期関数の標準化) ― T を、d 次元正則行列とし、実 d 変数関数 F が T の列ベクトル全て、即ち T1, T2, ..., Td を F の周期とするような d 重周期関数とする。この時、
H ( y ) = F ( T y ) {\displaystyle H(y)=F(Ty)}
とすると、H(y) は、e1, ..., ed のすべてを周期とするような d 重周期関数である。
この定理により、周期行列が存在するようなd 重周期関数の問題は、すべて、標準正方格子を周期格子として持つような周期関数の問題に帰着されることが判る。
平面波(へいめんは、英: Plane wave)とは、等位相面が波数ベクトルを法線ベクトルとする等値平面から成る周期関数のことである。
と定め、d 次元正則行列 A によって生成された格子空間と呼ぶ。 A Z d {\displaystyle A\mathbb {Z} ^{d}} は、A の列ベクトル A1 , ... , Ad のZ結合で生成される。即ち、 A Z d {\displaystyle A\mathbb {Z} ^{d}} の点は、n 個の整数 z1 , ... , zd によって、
A ( z ) = A ( z 1 , ... , z d ) = z 1 A 1 + ⋯ + z d A d {\displaystyle A(z)=A(z_{1},\dots ,z_{d})=z_{1}{\boldsymbol {A}}_{1}+\cdots +z_{d}{\boldsymbol {A}}_{d}}
のように表すことが出来る。即ち、標準格子空間 Z d {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}} 上の点 z は、行列 A によって、必ず A Z d {\displaystyle A\mathbb {Z} ^{d}} に移すことが出来る。但し、Aj は、A の第 j 列ベクトルである。即ち Aj = Aej である。
時間変数を持つ平面波は、波動方程式の固有解に現れる。
実数または複素数に値を取る関数 Φ が時間変数を持つ平面波であるとは、空間変数 x (d 次元実数ベクトル)と時間変数t (実数)と、周期 2π の実1変数の周期関数 f と、波数ベクトル k(d 次元実定数ベクトル、但し k ≠ 0)と、角振動数 ω≠ 0 を用いて、
Φ ( x , t ) = f ( 2 π ( k ⋅ x − ω t ) ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}},t)=f(2\pi ({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t))}
であることを意味する。
尚、本稿では、時間変数と空間変数をX = (x , t) のように分ける。つまり、変数の最後の成分を時間変数と考える。
F ( x , y ) = f y ( x ) = ∑ n ∈ Z c n ( y ) exp  ( 2 π i n x ) = ∑ n ∈ Z ( ∑ m ∈ Z c n , m exp  ( 2 π i m y ) ) exp  ( 2 π i n x ) = ∑ n ∈ Z ∑ m ∈ Z c n , m exp  ( 2 π i m y ) exp  ( 2 π i n x ) = ∑ n ∈ Z ∑ m ∈ Z c n , m exp  ( 2 π i ( n x + m y ) ) = ∑ ( n , m ) ∈ Z 2 c n , m exp  ( 2 π i ( n x + m y ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(x,y)&=f_{y}(x)\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(y)\exp(2\pi inx)\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left(\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{n,m}\exp(2\pi imy)\right)\exp(2\pi inx)\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{n,m}\exp(2\pi imy)\exp(2\pi inx)\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\sum _{m\in \mathbb {Z} }c_{n,m}\exp(2\pi i(nx+my))\\&=\sum _{(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}}c_{n,m}\exp(2\pi i(nx+my))\end{aligned}}}
を得る。