シューア多項式
n = 3, d = 4の場合の例を示す。 この場合、4の分割で深さが3以下のものは4つある。例えば、
s ( 2 , 1 , 1 ) ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 Δ det [ x 1 4 x 2 4 x 3 4 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x 1 x 2 x 3 ] = x 1 x 2 x 3 ( x 1 + x 2 + x 3 ) {\displaystyle s_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{matrix}}\right]=x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,(x_{1}+x_{2}+x_{3})}
, x n ) = ∑ T x T = ∑ T x 1 t 1 ⋯ x n t n {\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{T}x^{T}=\sum _{T}x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{n}^{t_{n}}}
ここで和は、分割 λ {\displaystyle \lambda } 上の半標準ヤング盤 T {\displaystyle T} の全体を動く。指数に現れる t 1 , ... , t n {\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}} は、 T {\displaystyle T} のウェイト、すなわち、 T {\displaystyle T} に現れる i {\displaystyle i} の個数が t i {\displaystyle t_{i}} である。 この式が定義と同値であることは、第一ギャンベリ公式と Lindström–Gessel–Viennot の補題から従う。
シューア多項式 Sλ は、単項対称式の一次結合 mμ として表され、その係数は非負整数で、コストカ数 Kλμ と呼ばれている。
s λ = ∑ μ K λ μ m μ . {\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu }.\ }
シューア多項式は、対称群の表現論や一般線形群・ユニタリ群の表現論に現れる。 ワイルの指標公式は、シューア多項式が、一般線形群の有限次元既約表現の指標に他ならないことを意味しており、シューアの結果を他の半単純コンパクトリー群へ拡張したものと言える。
この関係を表す式はいろいろあるが、最も重要なもののひとつは、シューア多項式 s λ {\displaystyle s_{\lambda }} をべき和対称式 p k = ∑ i x i k {\displaystyle p_{k}=\sum _{i}x_{i}^{k}} で展開する式である。 χ ρ λ {\displaystyle \chi _{\rho }^{\lambda }} を、分割 λ {\displaystyle \lambda } に対応する対称群の既約表現の指標に対する、巡回置換型が分割 ρ {\displaystyle \rho } であるような共役類での値とする。 このとき