操作変数法
また同じ形の回帰モデルも導出できるとする。観測値のランダムなサンプルのサイズを T {\displaystyle T} とすると、最小二乗法による推定量は以下のようになる。
β ^ O L S = ( X ′ X ) − 1 X ′ y = ( X ′ X ) − 1 X ′ ( X β + e ) = β + ( X ′ X ) − 1 X ′ e {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {OLS} }=(X'X)^{-1}X'y=(X'X)^{-1}X'(X\beta +e)=\beta +(X'X)^{-1}X'e}
ここで X {\displaystyle X} はそれぞれの X i ′ {\displaystyle X_{i}'} を並べた T {\displaystyle T} 行の行列、 y {\displaystyle y} と e {\displaystyle e} は長さ T {\displaystyle T} の列ベクトルを表している。この方程式は導入節における c o v ( X , y ) {\displaystyle cov(X,y)} についての方程式と類似している(ここでの方程式は行列バージョンである)。 X {\displaystyle X} と e {\displaystyle e} が無相関であるとき、ある正則条件の下で第2項を X {\displaystyle X} で条件付けた期待値は0となり、さらに極限において0に収束する。よってこの推定量は不偏かつ一致推定量である。
β ^ G M M = ( Z ′ X ) − 1 ( Z ′ Z ) ( X ′ Z ) − 1 X ′ Z ( Z ′ Z ) − 1 Z ′ y = ( Z ′ X ) − 1 ( Z ′ Z ) ( Z ′ Z ) − 1 Z ′ y = ( Z ′ X ) − 1 Z ′ y = β ^ I V {\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }&=(Z'X)^{-1}(Z'Z)(X'Z)^{-1}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'y\\&=(Z'X)^{-1}(Z'Z)(Z'Z)^{-1}Z'y\\&=(Z'X)^{-1}Z'y\\&={\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }\end{aligned}}}
となり、 β ^ G M M {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {GMM} }} と β ^ I V {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{\mathrm {IV} }} が(適切に識別されている時に)一致することが分かる。参照文献として Davidson and Mackinnnon (1993) を挙げておく。
ここで、 m < k {\displaystyle m<k} の場合について同値な過小識別(英語版)推定量が存在する。パラメータは線形方程式のシステムの解であるので、方程式 Z ′ v = 0 {\displaystyle Z'v=0} を用いた過小識別モデルは一意解を持たない。
"Retrospectives: Who Invented Instrumental Variable Regression?". Journal of Economic Perspectives. 17 (3): 177–194. doi:10.1257/089533003769204416。
↑ Reiersøl, Olav (1945). Confluence Analysis by Means of Instrumental Sets of Variables. Arkiv for Mathematic, Astronomi, och Fysik. 32A. Uppsala: Almquist & Wiksells. OCLC 793451601
↑ Bowden, R.J.; Turkington, D.A. (1984). Instrumental Variables. Cambridge, England: Cambridge University Press
↑ 証明については を参照。
1 2 3 Pearl, J. (2000). Causality: Models, Reasoning, and Inference. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89560-X
↑ Leigh, J. P.; Schembri, M.