コンパクト一様収束
X = ( 0 , 1 ) ⊂ R {\displaystyle X=(0,1)\subset \mathbb {R} } および Y = R {\displaystyle Y=\mathbb {R} } (通常の位相)とし、 f n ( x ) := x n {\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}} とすれば、 f n {\displaystyle f_{n}} は定数関数 0 にコンパクト収束するが、一様収束ではない。
X = ( 0 , 1 ] , Y = R {\displaystyle X=(0,1],\,Y=\mathbb {R} } とし、 f n ( x ) = x n {\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}} とすれば、 f n {\displaystyle f_{n}} は ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} 上 で0の値を, { 1 } {\displaystyle \{1\}} 上で 1の値を取る関数に各点収束するが、コンパクト収束しない。
コンパクト収束を示す非常に強力な道具はアスコリ・アルツェラの定理である。この定理にはいくつかのバージョンがあるが、おおまかに言えば、同程度連続かつ一様有界な写像の列は連続写像にコンパクト収束する部分列を持つ、というものである。