ルベーグ＝スティルチェス積分
手始めに、f が非負で g が右連続単調非減少のとき、測度 w を
w ( ( s , t ] ) := g ( t ) − g ( s ) , w ( { a } ) := 0 {\displaystyle w((s,t]):=g(t)-g(s),\quad w(\{a\}):=0}
と定める(g が左連続の場合には、w([s,t)) := g(t) − g(s) かつ w({b}) := 0 とおくと同様の議論ができる)。
カラテオドリの拡張定理により、[a, b] 上のボレル測度 μg で任意の区間 I 上で w に一致するものがただ一つ存在する。この測度は外測度(実は計量外測度)から
μ g ( E ) = inf { ∑ i μ g ( I i ) ∣ E ⊂ ⋃ i I i } {\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf {\Big \{}\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\mid E\subset \bigcup _{i}I_{i}{\Bigr \}}}
と定めることによって得られる。右辺の下限は E の可算個の半開区間からなる被覆全体を亘ってとる。この測度をしばしば g に付随するルベーグ=スティルチェス測度と呼ぶ。このとき、ルベーグ=スティルチェス積分