ザリスキー位相
従って、スペクトルは k の全ての元 a に対応する閉点と零イデアルに対応する生成点から構成される。k が例えば実数体のような代数的閉体でなければ、非線型な既約多項式の存在により、描像はさらに複雑になる。例えば、R[t] のスペクトルは、R の中の a に対する閉点 (x − a) と p, q が R の元であり、負の判別式 p − 4q < 0 であるような (x + px + q) と最後に生成点から構成される。任意の体に対し、Spec k[t] の閉集合全体は閉点の有限個の合併と全体空間である。(これは代数的閉体に対しては上記の議論より明らかである。一般的な場合の証明は、いくつかの可換代数、つまり k[t] のクルル次元は 1 であるという事実 - クルルの主イデアル定理を参照 - 必要とする。
古いトポロジーの文献では、「コンパクト」はハウスドルフの性質に含まれていると理解されていて、この考え方は未だに代数幾何学では尊重されている。現代的な意味でのコンパクト性は、代数幾何学では「準コンパクト性」と呼ばれる。しかし、全ての点 (a1, ..., an) は多項式 x1 - a1, ..., xn - an の零点の集合であるので、点自体も閉点であり、全ての多様体はT1空間の公理を満たす。
全ての多様体の正則写像は、ザリスキー位相に関して連続である。事実、ザリスキー位相は(最も少ない開集合をもつ)最も弱いトポロジーで、そこでは上記は正しく、点は閉じている。このことは、容易に、ザリスキー閉集合が単純に多項式函数による 0 の逆像の交叉と単純に考えることにより理解されるので、 A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} への正則写像と考えることができる。