量子複製不可能定理
これは、 φ = ψ {\displaystyle \phi =\psi } (すなわち ⟨ φ | ψ ⟩ = 1 {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1} )か φ {\displaystyle \phi } が ψ {\displaystyle \psi } に直交する(すなわち ⟨ φ | ψ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0} )のいずれかが成り立つ事を意味している。しかし、任意の二つの状態に対して一般にこれらが当てはまる事はない。
特別に選んだ状態
| φ ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) {\displaystyle |\phi \rangle ={1 \over {\sqrt {2}}}{\bigg (}|0\rangle +|1\rangle {\bigg )}}
および
| ψ ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) {\displaystyle |\psi \rangle ={1 \over {\sqrt {2}}}{\bigg (}|0\rangle -|1\rangle {\bigg )}}
は ⟨ φ | ψ ⟩ = ⟨ φ | ψ ⟩ 2 {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{2}} の要求に適合するが、この結果はこれより一般的な状態に対しては得られない。従って Uは一般の状態を複製することはできない。これにより量子複製不可能定理が証明される。
結果Uは以下に仮定するコピー演算子
U | φ ⟩ A | e ⟩ B = | φ ⟩ A | φ ⟩ B {\displaystyle U|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}\,}
として、状態空間 ( | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } を含む)における可能な全ての状態 | φ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } に対し振る舞う。Uはユニタリであるので、以下の内積を保存する。
⟨ e | B ⟨ φ | A | ψ ⟩ A | e ⟩ B = ⟨ e | B ⟨ φ | A U † U | ψ ⟩ A | e ⟩ B = ⟨ φ | B ⟨ φ | A | ψ ⟩ A | ψ ⟩ B , {\displaystyle \langle e|_{B}\langle \phi |_{A}|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle e|_{B}\langle \phi |_{A}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{B}\langle \phi |_{A}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B},}
そして量子力学的な状態は規格化されていると仮定すると、以下が従う。
⟨ φ | ψ ⟩ = ⟨ φ | ψ ⟩ 2 . {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.\,}