射影極限
もっと一般に、C が十分多くの入射対象を持つアーベル圏ならば、C もそうで、従って射影極限函手の右導来函手が定まる。 n-次の右導来函手を
R n lim ← : C I → C {\displaystyle R^{n}\varprojlim \colon C^{I}\to C}
で表す。C がグロタンディークの公理 (AB4*) を満足する場合には、ジャン=エリック・ルースが Ab 上の函手 limを
lim ← n ≅ R n lim ← {\displaystyle \varprojlim \nolimits ^{n}\cong R^{n}\varprojlim }
なる函手の系列 lim へ一般化した。ルースは凡そ40年を掛け、Roos (1961)「lim の導来函手における応用」において、I が非負整数で遷移射が全射となるような逆系(ミッターク=レフラー列) (Ai, fij) に対して、lim Ai = 0 となることを示した。
逆系 (Xi, fij) の添字集合 I が最大元 m を持つならば、射影極限 X からの自然な射影 πm: X → Xm は同型である。
位相空間の圏における逆極限は、逆系の各台集合に対して単に集合としての逆極限をとったものを台集合とし、それに始位相を入れて得られる位相空間である。これは極限位相としても知られる。 無限文字列全体の成す集合は有限文字列の集合の逆極限であり、したがって極限位相を持ちうる。もともとの空間が離散的ならば、得られる極限位相は完全不連結になる。これは、p-進数全体の成す集合やカントール集合を(無限文字列として)実現する一つのやり方である(つまり、有限展開を持つものの成す逆系から、その射影極限としての無限展開を許す)。
添字集合が自明な順序を持つ(つまり有向でない集合)とすると、そのような任意の逆系に対応する逆極限は単なる直積である。
三つの元からなる添字集合 I = {i, j, k} で i ≤ j かつ i ≤ k とする(これも有向集合ではない)と、そのような任意の逆系の逆極限は引戻しである。