周期点
さらに有理的中立周期点が存在すれば、それらはジュリア集合に含まれる。
ジュリア集合 J (f) が f の反発周期点の全体の閉包に一致することは、言い換えれば J 上で f の周期点の集合が稠密に存在することを意味する。一般に、コンパクトな距離空間 X 上の連続写像 f : X → X の周期点集合 Per(f) が X 上に稠密に存在し、なおかつ f が X 上で位相推移的であれば、f は初期値鋭敏性を持つ。ここで位相推移的であるとは、X の空ではない任意の部分開集合 U, V について f (U) ∩ V ≠ ∅ を満たす n > 0 が存在することをいう。ここで初期値鋭敏性を持つとは、ある δ > 0 があって、任意の x ∈ X とその任意の近傍 U について d(f (x), f (y)) > δ となるような y ∈ U と n > 0 が存在することをいう。これら周期点の稠密性・位相推移性・初期値鋭敏性を持つ系は、ドゥヴェイニー(英語版)の意味でカオス的である。広く合意されたカオスの数学的定義はないが、大雑把に言えばカオスとはある種の予測困難性を伴った不規則な振る舞いをいう。カオス的な系に周期点が稠密に存在することは、系の構造の中に規則性を持った骨格のようなものを存在していることを意味する。
変数 x ∈ R とその時間微分による自励系常微分方程式
d x d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)}
で定まる連続力学系でも周期性のある解(周期軌道)を持つ場合があり、このような軌道は相空間上で単純閉曲線となる。時刻 t と初期値 x0 に対して x の値を返す解を φ(t, x0): R × R → R と表すと、解は非平衡点 x と時間 τ > 0 について φ(t, x0) = φ(t + τ, x0) を満たし、τ を周期と呼ぶ。
連続力学系についての結果は、適当な条件があれば写像で定まる離散力学系の結果に翻訳することができる。具体的には、連続力学系の周期軌道 γ は、そのポアンカレ写像 P の不動点または周期点に対応する。周期軌道 γ がポアンカレ断面 Σ を n 回横切るような閉曲線であれば、Σ 上に P の n 周期点およびそれを含む n 周期軌道が存在する。
周期 T の周期性を持った非自励系常微分方程式
d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(t,x)}
f ( t , x ) = f ( t + T , x ) {\displaystyle f(t,x)=f(t+T,x)}
についても、時間 T 毎に断面を取るポアンカレ写像あるいはストロボ写像が適用できる。この場合、断面上の k 周期点は、元の微分方程式での周期 kT で同じ x に戻る周期解に対応する。