重複組合せ
重複組合せの総数は、区別のある n 個の箱に”区別のない” k 枚のカードを入れる(1つの箱に複数枚入れてもよい)ときの場合の数である。まず、区別のある n 個の箱に”区別のある” k 枚のカードを入れる場合の数を求める。ただし箱の中のカードの相対的な位置も区別して数える。1枚目のカードの入れ方は n 通り、2枚目は1枚目のカードの上下どちらに入れるかの選択肢も増えるので入れ方は n + 1 通り、3枚目はさらに選択肢が増え n + 2 通り。結局 k 枚の入れ方の総数は上昇階乗冪 n k ̄ = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⋯ ( n + k − 1 ) {\displaystyle n^{\overline {k}}=n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1)} である。これは重複組合せの総数に k 枚のカードの順列の総数 k! をかけたものに等しいので、重複組合せの総数は n k ̄ / k ! {\displaystyle n^{\overline {k}}/k!} である。(組合せの総数が下降階乗冪を用いて n k _ / k ! {\displaystyle n^{\underline {k}}/k!} となるのと対をなしている。)