行列の対数
リー群論において、リー代数 g から対応するリー群 G への指数写像
exp : g → G {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}
が存在する。行列リー群に対して、g および G の元は正方行列であり、指数写像は行列の指数関数で与えられる。その逆写像 log := exp は多価であり、本項で扱う行列の対数と一致する。対数写像はリー群 G を付随するリー代数 g へ写す。ここで、指数写像は零行列 0 ∈ g の近傍 U と単位行列 1 ∈ G の近傍 V の間の局所微分同相写像であることに注意する。したがって、(行列の)対数函数は
log : V ( ⊂ G ) → U ( ⊂ g ) {\displaystyle \log \colon V_{(\subset G)}\to U_{(\subset {\mathfrak {g}})}}
なる写像として矛盾なく定義される。このとき、ヤコビの公式の重要な系として
log  ( det ( A ) ) = tr  ( log  A ) {\displaystyle \log(\det(A))=\operatorname {tr} (\log A)}
が成り立つ。