冪等行列
2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 冪等行列の例:
3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 冪等行列の例:
となる。 M {\displaystyle M} と X ( X T X ) − 1 X T {\displaystyle X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}} (後者は射影行列として知られている)は冪等かつ対称な行列であり、このことを用いると残差平方和の計算が
e ^ T e ^ = ( M y ) T ( M y ) = y T M T M y = y T M M y = y T M y {\displaystyle {\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(My)^{\textsf {T}}(My)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}My=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}My}
のように簡単になる。 M {\displaystyle M} の冪等性はこの他に、 β {\displaystyle \beta } の分散の推定量を計算するときにも用いられる。
冪等行列 P {\displaystyle P} の像空間を R(P)、零空間を N(P) とすれば、 P {\displaystyle P} は R(P) への射影作用素であり、さらに直交射影でもあるための必要十分条件は対称行列であることである。