アダマール正則化
H ∫ a b f ( t ) ( t − x ) 2 d t = lim ε → 0 + { ∫ a b ( t − x ) 2 f ( t ) ( ( t − x ) 2 + ε 2 ) 2 d t − π f ( x ) 2 ε − f ( x ) 2 ( 1 b − x − 1 a − x ) } . {\displaystyle {\mathcal {H}}\int _{a}^{b}{\frac {f(t)}{(t-x)^{2}}}\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left\{\int _{a}^{b}{\frac {(t-x)^{2}f(t)}{((t-x)^{2}+\varepsilon ^{2})^{2}}}\,dt-{\frac {\pi f(x)}{2\varepsilon }}-{\frac {f(x)}{2}}({\frac {1}{b-x}}-{\frac {1}{a-x}})\right\}.}
これらの定義は、a < x < b として関数 f (t) が t = x で無限階微分可能であると見なすこと、すなわち関数 f (t) が t = x の周りでテイラー展開可能であると見なすことから導かれる。
アダマールの有限部分積分(と未知関数 f (t))を含む積分方程式は、超特異積分方程式 (hypersingular integral equation) と呼ばれる。超特異積分方程式は破壊解析のような力学の問題を定式化する上でしばしば現れる。