核 (圏論)
核の双対概念は余核である。つまり,射の核は逆圏におけるその余核であり,逆もまたしかり。
上でのべたように,核は二項等化子あるいは差核のタイプである。逆に,前加法圏において,すべての二項等化子は核として構成できる。具体的に言うと,射 f と g の等化子は差 g − f の核である。記号では
eq (f, g) = ker (g − f)
である。二項等化子が射が引けない前加法でない圏においてさえ「差核」とよばれるのはこの事実のためである。
任意の核は,他の等化子がそうであるように,単射である。逆に,単射が正規(英語版)であるとは,ある射の核であることをいう。圏が正規であるとはすべての単射が正規であることをいう。
とくにアーベル圏はつねに正規である。この状況では任意の射の余核の核(アーベル圏では常に存在する)はその射の像であることがわかる;記号では
im f = ker coker f (アーベル圏において)。
m が単射であるとき,それはそれ自身の像でなければならない;したがって,アーベル圏は正規でありしたがってすべての単射が核であるだけではなく,単射がどの射の核であるかも知っている,つまりその余核の核である。記号では
m = ker (coker m) (アーベル圏における単射に対して)。