可換環
環 R のクルル次元あるいは単に次元 dim R は、環のある種の大きさを測る概念で、かなり大雑把にいえば R が持つ独立な元を数えるものである。具体的には、素イデアルの成す昇鎖列
0 ⊆ p0 ⊆ p1 ⊆ ... ⊆ pn.
の長さ n の上限として定義される。例えば、体の素イデアルは零イデアルのみであるから、体は零次元である。可換環がアルティン環となるための必要十分条件として、それがネーターかつ零次元(即ち任意の素イデアルが極大イデアル)であることというのが知られている。有理整数環 Z は、任意のイデアルが主イデアルゆえ、素イデアルの任意の昇鎖は素数 p に対する
0 = p0 ⊆ pZ = p1
の形となるので、一次元である。
次元の概念は、考えている環がネーターならばよく振る舞う。例えばその場合、成り立ってほしい等式
dim R[X] = dim R + 1
が実際に成立する(一般の場合には dim R + 1 ≤ dim R[X] ≤ 2 dim R + 1 が成り立つことしか言えない)。
↑ この概念は線型作用素のスペクトルとも関係がある。C*-環のスペクトルまたはゲルファント表現の項も参照。