リウヴィルの定理 (物理学)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=0.}
リウヴィル方程式は相空間の分布函数(英語版)の時間発展を記述する。方程式は、通常「リウヴィルの方程式」と呼ばれているが、最初に統計力学の基本方程式として重要であることを認識したのは、ウィラード・ギブズである。非正準力学系の方程式の導出は、1828年にリウヴィルによって導かれた恒等式を使っているので、リウヴィル方程式と呼ばれる。
時間微分はドットで表され、系のハミルトン方程式に従い値が求められる。この方程式は、相空間における密度の保存を表している(この定理には、ウィラード・ギブスの名前が付けられた定理であった)。リウヴィルの定理は、
「分布函数は相空間内のすべての軌跡に沿って定数である」
という定理である。
リウヴィルの定理の証明は、発散定理の n 次元版を使っている。この証明は、発展 ρ は連続の方程式の n 次元版に従うという事実
シンプレクティック幾何学のことばでは、相空間はシンプレクティック多様体として表される。従って、定理はシンプレクティック多様体上の自然な体積形式はハミルトンフローの下に不変である。シンプレクティック構造は 2-形式として表され、dpi と dq のウェッジ積の和として表される。体積形式はシンプレクティック形式の最高次数外積であり、まさに上記の相空間の測度の別の表現である。定理のひとつの定式化は、この体積形式のリー微分がすべてのハミルトンベクトル場に沿って 0 であることをいっている。
実際、シンプレクティック構造自身は、最高次数外積のみならず、それ以下の次数についても保存される。
エルゴード理論と力学系では、与えられた物理的な考え方に動機を持っていたが、リウヴィルの定理としても対応する結果がある。ハミルトン力学では、相空間は自然に滑らかな測度(局所的には、6n-次元ルベーグ測度)を持つ微分可能多様体である。エルゴード理論の定理によると、この滑らかな測度はハミルトンフローの下に不変である。さらに一般的には、滑らかな測度がフローの下に不変である必要充分条件を記述することができるので、ハミルトニアンの場合は一般的結果の系となる。