特殊相対性理論
と定義すると、e→0、e→1、e→2、e→3 はあきらかにミンコフスキー空間の基底であり、しかも
を満たす。
ユークリッド空間の類似から(M2)式を満たす基底 e→0、e→1、e→2、e→3 を正規直交基底と呼ぶ事にすると、慣性座標系から正規直交基底が1つ定まった事になる。e→0 をこの基底の時間成分といい、e→1、e→2、e→3 をこの基底の空間成分という。
逆に(M2)式の意味で正規直交基底である e→0、e→1、e→2、e→3 を一つ任意に選び、この基底における座標の成分表示を (ct, x, y, z) と書くことにすると、ミンコフスキー内積が(M1)式を満たすことを簡単に確認できる。
以上の議論から、原点にいる観測者の慣性座標系と正規直交基底は1対1に対応する事がわかる。従って以下両者を同一視する。
ただし、正規直交基底の中には、e→0 が過去の方向を向いていたり、e→1、e→2、e→3 が左手系だったりするものもあるので、このようなものは以下除外して考えるものとする。
すでに電磁テンソルがローレンツ変換に対して共変であることを示したので、マクスウェル方程式を電磁場テンソルで表せば、マクスウェル方程式もローレンツ変換に対して共変であることを示せる。
電磁テンソルと4元電流密度を使うとマクスウェル方程式の2式
∇ ⋅ E = ρ ε 0 ∇ × B − 1 c 2 ∂ E ∂ t = μ 0 j {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {E}}&={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \times {\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}&=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}\end{aligned}}}
はいずれも
∂ α F α β = μ 0 j β {\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}j^{\beta }}
と同一の形で表現でき、残りの2式
この座標系に前述の公式を適用すれば、この座標系で観測者が原点から u→ の終点まで世界線を移動するのにかかる固有時間は
η ( u → , e → 0 ) = ‖ u → ‖ η ( e → 0 , e → 0 ) = ‖ u → ‖ {\displaystyle \eta ({\vec {u}},{\vec {e}}_{0})=\|{\vec {u}}\|\eta ({\vec {e}}_{0},{\vec {e}}_{0})=\|{\vec {u}}\|}
となり、最初の公式が示された。
上では観測者が原点を通る世界線に沿って移動する場合について述べたが、原点を通らない世界線に関しても、観測者が上を u→ から w→ まで直線的に動く間に ||u→ - w→|| の固有時間が流れる事を同様の議論により証明できる。
一方、基底の変更に対する共変成分の変化を見るため、双対基底が基底の変更でどのような影響を受けるか調べる。
e′→ = e→Γμ
とすると、
δ μ ν = η ( e → ′ μ , e → ν ′ ) = Γ μ ξ Λ κ ν η ( e → ξ , e → κ ) {\displaystyle \delta ^{\mu }{}_{\nu }=\eta ({\vec {e}}'^{\mu },{\vec {e}}'_{\nu })=\Gamma ^{\mu }{}_{\xi }\Lambda ^{\kappa }{}_{\nu }\eta ({\vec {e}}^{\xi },{\vec {e}}_{\kappa })} = Γ μ ξ Λ κ ν δ ξ κ = Γ μ ξ Λ ξ ν {\displaystyle =\Gamma ^{\mu }{}_{\xi }\Lambda ^{\kappa }{}_{\nu }\delta ^{\xi }{}_{\kappa }=\Gamma ^{\mu }{}_{\xi }\Lambda ^{\xi }{}_{\nu }}
すなわち、Γμ は Λμ の逆行列 (Λ)ν であるので、双対基底は
e′→ = e→(Λ)μ
という変換規則に従うことがわかる。よって4元ベクトル a→ の共変成分 a→ = a′νe′→ = aμe→ は、
a′ν = Λν aμ
という関係になるので、ダッシュつきの座標系にうつるとき、基底と共通の行列 Λν で結ばれる。それゆえ、「共通の変化」、すなわち共変と呼ばれる。
光速を超えないで運動する質点 x→ の世界線を x→ = x→(τ) と秒を単位とした固有時 τ でパラメトライズする。このとき、質点 x→ の4元運動量を
p → := m d x → d τ {\displaystyle {\vec {p}}:=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} \tau }}}
と定義する。ここで m は質点 x→ の慣性座標における質量(静止質量と呼ぶ)である。すなわち、4元運動量は、4元速度に静止質量を掛けたものである。
4元運動量の物理学的意味を見るため、慣性座標系 (x, x, x, x) を固定し、p→ をこの座標系に関して p→ = (p, p, p, p) と成分表示する。
ミンコフスキー計量 η も二次の対称テンソルであるので、上述のように成分表示できる。
基底が正規直交であれば、ミンコフスキー計量の成分表示は非常に簡単になり、
( η μ ν ) μ ν = ( η μ ν ) μ ν = ( 1 − 1 − 1 − 1 ) , {\displaystyle (\eta _{\mu \nu })_{\mu \nu }=(\eta ^{\mu \nu })_{\mu \nu }=\left({\begin{array}{cccc}1&&&\\&-1&&\\&&-1&\\&&&-1\end{array}}\right),}
( η μ ν ) μ ν = ( η μ ν ) μ ν = ( 1 1 1 1 ) . {\displaystyle (\eta _{\mu }{}^{\nu })_{\mu \nu }=(\eta ^{\mu }{}_{\nu })_{\mu \nu }=\left({\begin{array}{cccc}1&&&\\&1&&\\&&1&\\&&&1\end{array}}\right).}
のように書くことができる。