環上の加群
右 R-加群の場合も同様。特に R が可換ならば R-加群の準同型 h: M → N の全体は R-加群になる(実は N の部分加群となる)。
X が可微分多様体のとき、X 上の実数に値をとる滑らかな函数の全体は環 C(X) を成す。X 上で定義される滑らかなベクトル場全体の成す集合は C(X) 上の加群を成す。X 上のテンソル場の全体や微分形式の全体についても同様である。もっと一般に、任意のベクトル場の切断の全体は C(X) 上の射影加群であり、スワンの定理により、逆に任意の射影加群はあるベクトル束の切断全体の成す加群に同型になる。すなわち、C(X)-加群の圏と X 上のベクトル束の圏は同値である。
成分が実数の n-次正方行列の全体は環を成す。それを R とし、n-次元ユークリッド空間 R(元は縦ベクトルで考える)に対して行列の乗法によって R の作用をさだめれば、これは左 R-加群となる。
R を任意の環、I を R の任意の左イデアルとすると、I は R 上の左加群である。もちろん同様に右イデアルは右加群である。
R を環とし、環 R を R から台となる集合と加法はそのままで乗法だけを逆にして得られる環(反対環)とする。つまり、R において ab = c ならば R において ba = c である。このとき、任意の左 R-加群 M はそのまま右 R-加群と見ることができ、R 上の任意の右加群は R 上の左加群と考えることができる。