二項関係
X の任意の元 x と Y の任意の元 y, z について、x R y かつ x R z なるときは必ず y = z であるような二項関係は右一意的あるいは函数的 (functional)であるという。このような関係は、部分写像とも呼ばれる。
多くの文脈では、写像の終域と値域とを異なるものとして峻別して扱うので、ひとつの「規準」として例えば実数 x に x を対応させるとき、終域を実数全体 R とするか、あるいはより精密に非負の実数全体 R とするかによって、二つの異なる写像 f: R → R および g: R → R が得られる。しかし別な文脈では、写像とは単に第一成分が一意であるような順序対の集合として扱われることもある。この差異はとある自明でない問題から生じていると見ることができる。例えば、前者の立場では写像の性質として全射性を考えることができるし、一方で後者は集合を生み出す関係性として写像を捉えることができる。
この二つの異なる定義の違いが問題となるのは圏論のような極めて厳密な文脈のみであって、殆どの場面で何れの流儀であってもさほど問題となることはないし、必要に応じて適当に用語や記法を変更してやれば、関係の制限や関係の合成、逆関係といった概念を定義することができる。
S ∘ R ≔ {(x, z) | (x, y) ∈ R かつ (y, z) ∈ S となるような y ∈ Y が存在する}.
ここで用いた R と S の順番(合成順とは逆順)は写像の合成の標準的な記法と一致する。正順に書く記法として R ; S または R⨟S と(あるいは少し紛らわしいが R ∘ S とも)書くことがある。
X の任意の空でない部分集合Aが極小元a(Aのどの元xもxRaとならない)を持つときR は整礎的であるという。
自然数上の大小関係"≤"は整礎的である。正則性公理を仮定すると∈は任意の集合上で整礎的である。
もっと別な解決の方法として、真の類を持つような集合論、たとえばノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論(英語版)やモース=ケリー集合論のようなものを考え、始域 (domain)、終域 (codomain)(およびグラフ)が(集合だけでなく)真の類であることを許すような関係を考えるというのがある。このような集合論と関係の定義であれば、先ほどの恒等関係、帰属関係、包含関係は特に注釈を入れることなくそのまま二項関係として扱うことができる(順序三つ組 (X, Y, G) の概念を考えるには少々修正が必要で、通常は真の類は順序組の元になれないものとする。もちろんこの文脈でもグラフを指示函数と同一視することは可能である)。
ほとんどの数学的な文脈では、恒等関係、帰属関係、包含関係は暗黙のうちに適当な集合に制限して考えているものとして扱って差し支えない。