一元体
org/abs/0704.2030
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Lorscheid, Oliver (2009), Algebraic groups over the field with one element, http://arxiv.org/abs/0907.3824
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López Peña, Javier; Lorscheid, Oliver (2009), Mapping F1-land: An overview of geometries over the field with one element, http://arxiv.org/abs/0909.
一元体の拡大体は、1の冪根の成す群として、あるいはもっと精密に(幾何構造をも考え合わせた)1の冪根からなる群スキームとして定義することができる。1 の n-乗根全体の成す群 μn は位数 n の巡回群に(自然でない)同型をもち、この同型は1の原始冪根の選び方に依存する。一元体 F1 の n-次拡大体は
F 1 n = μ n {\displaystyle \mathbb {F} _{1^{n}}=\mu _{n}}
で与えられる。したがって、体 F1 上の d-次元ベクトル空間とは、位数 dn の基点付き有限集合で 1 の冪根が自由に作用するものである。
この観点で有限体 Fq は q − 1 を割り切る任意の自然数 n に対する F1 上の d = (q − 1)/n 次元の多元環とみなせる。このことは、有限体 Fq の単元群(これは 0 ではない q − 1 個の元からなる)が位数 q − 1 の巡回群であり、q − 1 を割り切る位数をもつ巡回群に(冪指数を上げるものとして)自由に作用すること、および零元 0 が体の基点をあたえるという事実に対応する。
同様に実数体 R は F1 上の無限次元多元環である(これは実数体は 1 の冪根のうち ±1 を含むがほかは含まないことに対応する)。また、複素数体 C は(任意の 1 の冪根を含む)任意の自然数 n に対する F1 上のやはり無限次元の多元環である(これは複素数体が 1 の任意の冪根を含むことに対応する)。
このような見方では、体が 1 の冪根を含むことのみに依存する現象は F1 の性質から来ているものとみなすことができる。たとえば、複素数値離散フーリエ変換や関連する Z/nZ-値数論的変換など。