三十三角形
三十三角形(さんじゅうさんかくけい、さんじゅうさんかっけい、triacontatrigon)は、多角形の一つで、33本の辺と33個の頂点を持つ図形である。内角の和は5580°、対角線の本数は495本である。
cos  2 π 33 = cos  ( 8 π 11 − 2 π 3 ) = cos  8 π 11 cos  2 π 3 + sin  8 π 11 sin  2 π 3 = − 1 2 cos  8 π 11 + 3 2 sin  8 π 11 = − 1 4 2 + 2 cos  16 π 11 + 3 4 2 − 2 cos  16 π 11 = − 1 4 2 + 2 cos  6 π 11 + 3 4 2 − 2 cos  6 π 11 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{33}}=&\cos \left({\frac {8\pi }{11}}-{\frac {2\pi }{3}}\right)\\=&\cos {\frac {8\pi }{11}}\cos {\frac {2\pi }{3}}+\sin {\frac {8\pi }{11}}\sin {\frac {2\pi }{3}}\\=&-{\frac {1}{2}}\cos {\frac {8\pi }{11}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin {\frac {8\pi }{11}}\\=&-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2+2\cos {\frac {16\pi }{11}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}{\sqrt {2-2\cos {\frac {16\pi }{11}}}}\\=&-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2+2\cos {\frac {6\pi }{11}}}}+{\frac {\sqrt {3}}{4}}{\sqrt {2-2\cos {\frac {6\pi }{11}}}}\\\end{aligned}}}
整理すると
2 cos  2 π 33 + 2 cos  4 π 33 + 2 cos  8 π 33 + 2 cos  10 π 33 + 2 cos  14 π 33 + 2 cos  16 π 33 + 2 cos  20 π 33 + 2 cos  26 π 33 + 2 cos  28 π 33 + 2 cos  32 π 33 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{33}}+2\cos {\frac {4\pi }{33}}+2\cos {\frac {8\pi }{33}}+2\cos {\frac {10\pi }{33}}+2\cos {\frac {14\pi }{33}}+2\cos {\frac {16\pi }{33}}+2\cos {\frac {20\pi }{33}}+2\cos {\frac {26\pi }{33}}+2\cos {\frac {28\pi }{33}}+2\cos {\frac {32\pi }{33}}=1\end{aligned}}}
以下のように定義すると(角度を5倍して振り分ける)