ラックス・ペア
次の微分方程式をKdV方程式 (Korteweg–de Vries equation) と呼ぶ。この方程式は、その数値解析において初めてソリトン解が発見されたことで有名である。KdV方程式を例に、時刻発展型偏微分方程式がラックス方程式で書き換え可能であるとはどういう意味かをもう少し具体的に説明する。
∂ u ∂ t = 6 u ∂ u ∂ x − ∂ 3 u ∂ x 3 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}}
ここで、解 u は 時刻 t および空間方向について1次元の独立変数x の関数である (つまり u = u ( t , x ) {\displaystyle u=u(t,x)} )。
実は、ラックス・ペアを次のように取ると、ラックス方程式からKdV方程式が導かれる。
L = − ∂ x 2 + u {\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u}
A = − 4 ∂ x 3 + 3 u ∂ x + 3 ∂ x u = − 4 ∂ x 3 + 6 u ∂ x + 3 u x {\displaystyle A=-4\partial _{x}^{3}+3u\partial _{x}+3\partial _{x}u=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}