反発係数
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ′ + m 2 v 2 ′ {\displaystyle m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}}
⇔ m 1 ( v 1 − v 1 ′ ) = m 2 ( v 2 ′ − v 2 ) {\displaystyle \Leftrightarrow m_{1}(v_{1}-v'_{1})=m_{2}(v'_{2}-v_{2})}
ここで、衝突によってそれぞれの物体の速度が必ず変わると仮定すると、
v 1 − v 1 ′ ≠ 0 {\displaystyle v_{1}-v'_{1}\neq 0}
v 2 ′ − v 2 ≠ 0 {\displaystyle v'_{2}-v_{2}\neq 0}
よって、先程の2式を辺々割り算することができ、その結果として、
v 1 + v 1 ′ = v 2 ′ + v 2 {\displaystyle v_{1}+v'_{1}=v'_{2}+v_{2}}
⇔ v 1 − v 2 = − ( v 1 ′ − v 2 ′ ) {\displaystyle \Leftrightarrow v_{1}-v_{2}=-(v'_{1}-v'_{2})}
これは衝突の前後で相対速度が同じ大きさで逆向きであることを示している。よって、
e = − v 1 ′ − v 2 ′ v 1 − v 2 = 1 {\displaystyle e=-{\frac {v'_{1}-v'_{2}}{v_{1}-v_{2}}}=1}
となる。導出過程の通り、このことは物体の質量によらず成り立つ。