連続 (数学)
連続性は、各点の周りで考えられる概念である。1変数実関数 f(x) がある点 x0 で連続であるとは、x が x0 に限りなく近づくならば、f(x) が f(x0) に限りなく近づくことを言う:
lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}
これはε-δ論法を用いれば次のように定式化できる:
任意の正の数 ε に対して、ある正の数 δ が存在し、x0 との距離が δ 未満であるどんな x に対しても、f(x) は f(x0) の差が ε より小さくなる:
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 s.t. ∀ x [ | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x\;[\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ]}
一般に、f を位相空間 X から位相空間 Y への写像とするとき、f が x ∈ X で連続であるとは、f(x) ∈ Y の任意の近傍 V に対して、x のある近傍 Ux を取れば、それの像が f(Ux) ⊆ V とできることをいう。
これは、Y の点 f(x) を含む任意の近傍の f による逆像がまた x の近傍であるとき、f は x において連続であるというと言い換えることができる。また、f が X 全体で連続であるということは、単に Y の任意の開集合の逆像がまた X の開集合であるのと同じである。
実数や複素数(あるいはその列)の全体に対して、絶対値(あるいはノルム)を距離関数として距離空間の位相を導入すれば、「連続関数」は「連続写像」の例であることが理解される。