剰余類環
コンピュータなど計算機において多用される固定長の整数型の演算は、剰余類環における演算である。たとえば16ビットの場合 2 = 65536 であるから(しばしば short integer として扱われる)16ビット整数の全体は剰余類環 Z/65536Z を成す。たとえば、足し算 65535 + 1 の結果として計算機は 0 を返し、32768×2 も同様に 0 になる(以上は符号無し(unsigned)の場合)。
合同類における算術の一つの例をアナログ時計の文字盤を使って図示することができる。時計の文字盤には「時間」に応じて 1 から 12 までの番号が振られていて「12時」は「0時」と同一であり、「0時」から始めて「1時間」加えるごとに順番に、12の数字のそれぞれを辿ることができる。
「時間」を足し算するには、加えられるほうの時間を起点にして、加えたい時間ぶんだけ時計を進めればよい。たとえば 4 + 5 がいくつになるのか知りたければ、「4時」のところを起点にして「5時間」後にいる場所が「9時」のところなので 4 + 5 = 9 という具合である。これで 9 + 5 がいくつになるか計算してみよう。同様に「9時」のところを基点に、針を「5時間」進めると「2時」のところにいるはずである。つまり、この系のなかでは 9 + 5 = 2 ということになる。さて、どうしてこうなるのか少し考えてみよう。単純に 5 と 9 とを足し合わせると 14 となるのだが、時計の盤面では「14時」は「2時」と一致するから、ここでは 14 = 2 であったわけで、ここでの加法はふつうの和を計算してから12を引けるだけ引いたものということになる。