行空間
数学の線型代数学の分野における、ある行列の行空間(ぎょうくうかん、英: row space)とは、その行列の各行ベクトルの線型結合として起こり得るすべてのものからなる集合のことを言う。K を(実数や複素数の全体などのような)体とする。K に属する成分からなる m × n 行列の行空間は、n-空間 K の線型部分空間である。行空間の次元は、その行列の行ランクと呼ばれる。
整数の全体などのような環 K についての行列に対しても、同様の定義が存在する。
行列 A の零空間は、Ax = 0 が成立するようなすべてのベクトル x の集合として与えられる。行列 A とベクトル x の積は、ベクトルのドット積を用いて次のように書くことが出来る:
A x = [ r 1 ⋅ x r 2 ⋅ x ⋮ r m ⋅ x ] {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}}
ここで r1, ... , rm は A の行ベクトルである。したがって、Ax = 0 が成立するための必要十分条件は、x が A の各行ベクトルと直交することであることが分かる。
A の零空間は、A の行空間の直交補空間であることが従う。例えば、三次元において、行空間が原点を通る平面であるなら、零空間は原点を通る垂線となる。このことは、階数・退化次数の定理の証明を与える(上節次元を参照)。
行空間と零空間は、行列 A に関わる四つの基本部分空間の内の二つである(残りの二つは、列空間と左零空間である)。
K をスカラーの体とする。A を、行ベクトル r1, r2, ... , rm を伴う m × n 行列とする。それらの行ベクトルの線型結合は、次の形式で記述される任意のベクトルで与えられる:
c 1 r 1 + c 2 r 2 + ⋯ + c m r m , {\displaystyle c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},}
ここで c1, c2, ... , cm はスカラーである。ベクトル r1, ... , rm の線型結合として起こり得る全てのものからなる集合のことを、A の行空間と呼ぶ。すなわち、A の行空間は、ベクトル r1, ... , rm の張る部分空間である。
例えば、行列
A = [ 1 0 2 0 1 0 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}}}