四次函数
数学において、四次関数(よじかんすう、英: quartic function, biquadratic function)は、次数 4 の多項式の定める函数である。一変数の場合には具体的に、a (≠ 0) および b, c, d を定数として
f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e {\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}
と表される。特別の場合として、x の二次関数:
f ( x ) = a x 4 + b x 2 + c {\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c}
を複二次関数 (biquadratic function)と呼ぶ。
四次関数 f(x) の零点(x切片)は四次方程式
f ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\quad (a\neq 0)}
の解である。また、四次関数の導函数は三次関数になる。
四次関数は偶数次の多項式関数だから、変数を正の無限大 +∞ に近づける極限でも、負の無限大 −∞ に近づける極限でも、ともに等しい極限を持つ。この極限は、最高次の係数 a が正ならば、正の無限大となり、従ってその四次関数は(大域的な)最小値を持つ。同じように、a が負ならば負の無限大へ発散し、(大域的な)最大値を持つ。