ベルンシュタインの定理
実際、x ∈ Ci, y ∈ Aで g − 1 ( y ) = f ( x ) {\displaystyle g^{-1}(y)=f(x)} が成り立つならば y ∈ Ci + 1となることから h の単射性が従う。一方、
g − 1 ( A ∖ C ) = g − 1 ( A ) ∖ g − 1 ( C ) {\displaystyle g^{-1}(A\setminus C)=g^{-1}(A)\setminus g^{-1}(C)}
であり、g(A) = B と
g − 1 ( C ) = g − 1 ( C ∖ C 0 ) = ∪ i = 1 ∞ g − 1 ( C i ) = ∪ i = 1 ∞ g − 1 ( g ( f ( C i − 1 ) ) ) = ∪ i = 0 ∞ f ( C i ) = f ( C ) {\displaystyle \quad g^{-1}(C)=g^{-1}(C\setminus C_{0})=\cup _{i=1}^{\infty }g^{-1}(C_{i})=\cup _{i=1}^{\infty }g^{-1}(g(f(C_{i-1})))=\cup _{i=0}^{\infty }f(C_{i})=f(C)}
から、 g − 1 ( A ∖ C ) = B ∖ f ( C ) {\displaystyle g^{-1}(A\setminus C)=B\setminus f(C)} であるが、これは h が全射であることを示している。