ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム
二つの数 a 0 , b 0 {\displaystyle a_{0},b_{0}} の算術幾何平均とは、数列
a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = a n b n {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\ b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}
の極限のことである。両数列は同一の極限値を持つ。
a 0 = 1 , b 0 = cos  φ {\displaystyle a_{0}=1,\ b_{0}=\cos \varphi } のとき、算術幾何平均は π 2 K ( sin  φ ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2K(\sin \varphi )}}} となる。ここで、 K ( k ) {\displaystyle K(k)} は第一種完全楕円積分である。
ガウス=ルジャンドルのアルゴリズムは楕円モジュラー関数を用いずに示すこともできる。初等的な積分を用いた証明が Lord (1992)、Milla (2019) によりなされている。
これによる円周率の計算方法は以下の通りである。