誤差関数
逆誤差関数は次のような級数となる。
erf − 1  ( z ) = ∑ k = 0 ∞ c k 2 k + 1 ( π 2 z ) 2 k + 1 {\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\left(z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1}\,\!}
ここで、 c 0 = 1 {\displaystyle c_{0}=1} であり、
c k = ∑ m = 0 k − 1 c m c k − 1 − m ( m + 1 ) ( 2 m + 1 ) = { 1 , 1 , 7 6 , 127 90 , ... } {\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}}
erfc  ( x ) = 1 − erf  ( x ) = 2 π ∫ x ∞ e − t 2 d t = e − x 2 erfcx  ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} (x)\end{aligned}}}
スケーリング相補誤差関数(英: scaled complementary error function) erfcxも定義される (アンダーフローを避けるために、 erfc の代わりに用いる)。
複素誤差関数 (英: complex error function) は w ( x ) {\displaystyle w\left(x\right)} と表記され、やはり誤差関数を使って次のように定義される(Faddeeva関数とも呼ぶ)。
w ( x ) = e − x 2 e r f c ( − i x ) {\displaystyle w\left(x\right)=e^{-x^{2}}{\mathrm {erfc} }(-ix)\,\!}
erf  ( z ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ ( z ∏ k = 1 n − ( 2 k − 1 ) z 2 k ( 2 k + 1 ) ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ z 2 n + 1 ∏ k = 1 n − z 2 k {\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}}
− ( 2 k − 1 ) z 2 k ( 2 k + 1 ) {\displaystyle {\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}} は k {\displaystyle k} 番目の項から k + 1 {\displaystyle k+1} 番目の項を得る係数を表している。
f = erf  ( z ) {\displaystyle f=\operatorname {erf} \left(z\right)} や f = erfc  ( z ) {\displaystyle f=\operatorname {erfc} \left(z\right)} と f = exp  ( − z 2 ) {\displaystyle f=\exp \left(-z^{2}\right)} を比較するには、次の級数が利用できる。
誤差関数(ごさかんすう、英: error function)は、数学におけるシグモイド形状の特殊関数(非初等関数)の一種で、確率論、統計学、物質科学、偏微分方程式などで使われる。ガウスの誤差関数とも。定義は以下の通り。
erf  ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t {\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt}
相補誤差関数 (英: complementary error function) は erfc と表記され、誤差関数を使って以下のように定義される。