ゲーム理論
1964年に鈴木光男がプリンストン留学から帰国し東京工業大学に就職した頃、東工大では、理工学部という単一の学部から複数の学部を作る構想が盛んに議論されており、その中に社会工学部構想があった。その背景のひとつに「工学の社会化」があった。すなわち、当時日本が高度工業社会になったことによって環境問題の表面化などにも見られるように社会と工学との関係がより密接になり、社会的な問題を抜きにしては工学が成り立たない状況になっているという認識があった。もうひとつの背景として「社会の工学化」が挙げられる。すなわち、工学の中に社会科学や人文学を取り込むことによって、理工学が開発してきた技術によって社会問題を解決しようという機運が高まっていた。東京工業大学人文社会群に所属していた鈴木光男、永井道雄、川喜田二郎、阿部統らは各々に、「社会工学私見」等という社会工学部設立の構想を当時学長であった大山義年に提出した。大山は社会工学部設立の構想を積極的に進め、1967年に工学部社会工学科が設立された。設立当初より社会工学科では「計画数理」という講座を鈴木が担当しており、その講座において日本で初めてのゲーム理論の講義が行われた。
新古典派経済学の理論モデルは物理量をポテンシャルの最大化原理として記述する理論物理学を模倣し、数理最適化と呼ばれる既存の数学を応用することによって構築された。サミュエルソンによって完成されることとなるこの経済理論がいわば「物理学の借り物」であったのに対して、ゲーム理論は経済学の中から独自に生まれた唯一の数学理論である。ゲーム理論の誕生を機に、経済学が他の科学分野の理論的枠組みを輸入するだけの段階から、他の科学分野に理論的枠組みを提供する段階へと進展した。ゲーム理論の具体的な応用分野については後述する。
彼らによって考案された期待利得関数(英: expected utility function)は混合拡大(英: mixed extension)された戦略集合の直積集合 Q := × k ∈ N Q k {\displaystyle Q:=\times _{k\in N}Q_{k}} 上の実数値関数であり、プレイヤーiの期待利得関数 Fi は
F i ( q 1 , . . . , q n ) := ∏ j ∈ N ∑ s j ∈ S j { ∏ k ∈ N q k ( s k ) } f i ( s 1 , . . . , s n ) {\displaystyle F_{i}(q_{1},...,q_{n}):=\prod _{j\in N}\sum _{s_{j}\in S_{j}}\left\{\prod _{k\in N}q_{k}(s_{k})\right\}f_{i}(s_{1},...,s_{n})}
と定義される。
なお、戦略形ゲームにおいては各プレイヤーが選択した戦略の組がゲームの帰結を表すのに対して、展開形ゲームにおいてはゲームの木(英: game tree)を構成する頂点(英: terminal nodes)がゲームの帰結に相当する。そのため、展開形ゲームでは頂点の集合を定義域とする実数値関数として利得関数が定義される。
非協力ゲームにおいては、各プレイヤーがすべてのプレイヤーの利得関数を知っているかどうかは分析において大きな問題であり、あらかじめ知っている場合や経験によって次第に知る場合、何らかの推定値として知っている場合など、さまざまな場合が仮定される。
これら一群の研究は Review of Economic Studies の66巻(1999年)で特集されている。不完備契約の研究はGrossman & Hart 1986とHart & Moore 1988にその起源を持ち、不完備契約理論を金融契約に応用した Aghion & Bolton 1992、不完備契約下での配分問題を考察した Maskin & Tirole 1999、再交渉がある場合の不完備契約を考察した Segal 1999 と Hart & Moore 1999 などが重要である。不完備契約は完備契約よりも現実に即したモデルであり、不完備契約理論の発展によってより複雑な所有権、組織、法律、制度などが分析できるようになった。
1999年1月1日にはGame Theory Societyというゲーム理論を専門とした史上初の国際学会が発足し、日本からは奥野正寛東京大学教授が executive committee として参加した。当学会は International Journal of Game Theory および Games and Economic Behavior というゲーム理論研究の学術誌を発行している。
オリバー・ハートとベント・ホルムストロム「契約理論に関する功績」を称えられて2016年にノーベル経済学賞を受賞した。契約理論は一般均衡理論的な問題には触れずに少数経済主体の取引関係を分析するため、ゲーム理論の一分野とみなされることも多い。具体的には、契約理論の基本モデルであるモラルハザードと逆選択はそれぞれ展開形ゲームのサブゲーム完全均衡とベイズ完全均衡に対応している。ただし契約理論は、ゲームの均衡概念を明示することなく一般均衡理論のような条件付き最適化モデルとして問題を分析するため、契約理論をゲーム理論とは独立した「ミクロ経済学の第三の分野」と捉える見方もある。ハートとホルムストロムは1970年代から1980年代にかけて最適なインセンティブを設計するための分析的枠組みを確立しており、今日的な契約理論の基本モデルの構築に貢献している。ゲーム理論の成果は経済学の枠組みを大きく変え、現実の制度設計などにも広く応用されているが、その多くがハートやホルムストロムらによって確立された契約理論を通じて実装された。
非協力ゲームを展開形で表記する際に特有な構成要素として情報構造がある。情報構造はしばしば情報分割(英: information partition)と呼ばれる概念を用いて表現される。情報分割 U = [ U 0 , . . . , U n ] {\displaystyle U=[U_{0},...,U_{n}]} はプレイヤー分割 P = [ P 0 , . . . , P n ] {\displaystyle P=[P_{0},...,P_{n}]} の1つの細かな分割であり、プレイヤーi の情報分割 Ui に含まれる集合 u をプレイヤー i の情報集合(英: information set)と呼ぶ。すなわち、ゲームの中で情報集合 u に属する手番 x に到達したとき、プレイヤー i は情報集合 u に含まれるある手番に到達したことを知るが、情報集合 u に含まれるどの手番に到達したかは知らない。したがって情報集合の概念を用いることによって、各プレイヤーが各手番において何を知り何を知らないかを数学的に定義することが可能となる。過去の手番で選択された戦略が全てのプレイヤーから知られているゲームを完全情報ゲーム(英: games with perfect information)と呼び、そうでないゲームを不完全情報ゲーム(英: games with imperfect information)と呼ぶ。情報構造の詳細については展開形ゲームの項目を参照。
したがって、ドナー交換ネットワークなどの『社会的なシステム』によりドナー交換腎移植を推進すべきものではない。」という否定的な見解を示しており、日本ではドナー交換腎移植が行われていない。
日本で実用化された数少ない分野のひとつとして研修医マッチングが挙げられる。アメリカで大きな成功を収めていた受入保留方式(英: deferred acceptance algorithm)を用いた研修医マッチングが2004年度から日本においても導入された。導入当初は研修医の希望を尊重して配属病院を決定するマッチング方式が医師の地方偏在を悪化させてしまうという問題が指摘されたが、鎌田雄一郎と小島武仁の研究によって理論的な解決策が示されている。
11498/jshet2005.49.137。ISSN 1880-3164。CRID 1390001205362424448。https://doi.org/10.11498/jshet2005.49.137。
岡田章『エリノア・オストロム教授のノーベル経済学賞受賞の意義』2007b。http://wakame.econ.hit-u.ac.jp/~aokada/kakengame/Dr.Elinor%20Ostrom_Nobel%20Prize%20in%20Economics.pdf。
岡田章『ゲーム理論』(新)有斐閣、2011年。ISBN 4-641-16382-0。
奥野正寛『ミクロ経済学』東京大学出版会、2008年。ISBN 978-4130421270。
奥野正寛; 鈴村興太郎『ミクロ経済学(第一巻)』 第一巻、岩波書店〈岩波モダン・エコノミックス〉、1985年。ISBN 4-00-004321-8。
小原一郎「経済学とゲーム理論: 歴史と展望」『総力ガイド!豪華61人の経済学者による徹底解説 これからの経済学: マルクス、ピケティ、その先へ』日本評論社〈経済セミナー増刊〉、2015年、118-119頁。
川越敏司『行動ゲーム理論入門』NTT出版、2010年。ISBN 978-4757122581。
川越敏司『マーケット・デザイン:オークションとマッチングの経済学』講談社〈講談社選書メチエ〉、2015年。ISBN 978-4062585965。
河野敬雄「ゲーム理論の数学的基礎:批判的再検討」『Rokko Lectures in Mathematics』第25巻、i - 94頁、2017年。doi:10.24546/81009833。https://doi.
上記の解概念はいずれも完備情報ゲームにおけるそれであった。これに対して、あるプレイヤーが他プレイヤーの利得関数などを正確に知っていないようなゲームは不完備情報ゲーム(英: games of incomplete information)と呼ばれる。 不完備情報ゲームを分析する際に用いられる解概念のひとつがベイジアン均衡点であり、ジョン・ハルサニによって創始された。 このクラスのゲームにおいて、不完備情報である利得関数や戦略などを総称してタイプ(英: type)と呼び、 c = ( c 1 , . . . , c n ) {\displaystyle {\boldsymbol {c}}=(c_{1},...,c_{n})} などで表す。 一般に、「他プレイヤーのタイプに関する不完備情報(英: incomplete information)」を「自然手番(英: nature's moves)に関する不完全情報(英: imperfect information)」へと理論的に変形することによって、任意の不完備情報ゲームはベイジアンゲーム(英: Bayesian games)と呼ばれる完備情報不完全情報ゲームに変換することが可能である。
ゲーム理論において解(英: solution)とは特定の性質を持ったゲームにおいて現れる可能性のある結果を体系的に記述したものである。現実の多様な状況を分析するためにさまざまな解の概念が考案されている。戦略形や展開形の表現形式で定義されたゲームの解概念に対してはエダクティヴな解釈とエヴォルティヴな解釈がなされる。まずエダクティヴ(英: eductive)な解釈とは、ゲームの解が特定の状況におけるプレイヤーの行動を予測するという解釈である。この解釈において、プレイヤーはゲームのルールを熟知しており十分に理性的に行動した結果として均衡に到達すると考えられる。他方、エヴォルティヴ(英: evoltive)な解釈とは、ゲームの解が何らかの性質を持った状況において観察される規則性を説明するという解釈である。この解釈では人々が最適化問題を間違えずに解く能力を持っていることすら仮定されておらず、長期に渡って低い利得を生む戦略が淘汰されより優れた戦略が選別されていく進化論的な過程の結果として均衡に到達すると考えられる。後述する通り生物学では、明らかに思考を持たない動物の行動をゲーム理論の解概念によって予測・説明することに成功しており、生物学から逆輸入する形でエヴォルティヴな均衡解釈が体系化されている。以上が非協力ゲームの解概念の解釈であったのに対し、協力ゲーム理論における解概念とはプレイヤーが提携によって得た便益の分配方法を表すものである。本節ではこれらの解の概念について解説する。
また、1990年代にゲーム理論の応用分野として誕生したマーケットデザインは具体的な個別の各問題を分析・解決することを目的とした「オーダーメイド」の理論を構築することを志向している。
第2の前提条件である「合理性」に関して、新古典派は経済主体が所与の制約の中で最適な選択をするという強い仮定を課しているのに対して、異端派はハーバート・サイモンによって提唱された限定的で制限された合理性を採用している。ゲーム理論は成立当初は新古典派の合理性の仮定を踏襲していたが、1980年代から1990年代にかけて合理性を前提としないアプローチをも採用することとなった。合理性を限定したゲーム理論の研究アプローチについては後述の「#限定合理性アプローチ」の節を参照。
第3の前提条件である「存在論」の「方法論的個人主義」とは、新古典派においてプライステイカーの仮定として定式化されていたものであり、彼らの想定する経済主体は他者からの影響を受けることなく制約付き最適化行動をとる。他方、異端派が採用する有機体論において、個人は社会的存在とみなされ、マルクス経済学者によって強調されるように、文化や社会階層などを含む環境に影響される。これらに対して、ゲーム理論は方法論的個人主義がその基礎にあるものの、他者との関係性によって個人が成立しているというオーストリア学派の人間像が反映されており、個人間の有機体的な相互依存関係を重視している。
第4の前提条件である「政治的中心」は追加的な項目である。
ゲーム理論において動学的環境ではプレイヤーが互いの行動を完全に見えると仮定されることが多いが、このような完全観測(英: perfect monitoring)の仮定に対して次のような批判がある。
コモンズの管理に対するゲーム理論的な含意を実証研究によって明らかにした業績で2009年にノーベル経済学賞を受賞したエリノア・オストロムは、繰り返しゲームに対して次のように述べている。
— Ostrom, E. (2015) Governing the Commons
また、東京大学名誉教授の岩井克人は2015年に雑誌『経済セミナー』の「経済学はどこから来て、どこに向かうのか?」という鼎談企画の中で「最後に、経済学は今後、どこに向かっていくのかというテーマで、少しお話しいただければと思います。」と質問されて次のように答えている。
ジェームズ・ブキャナンは1986年に「公共選択の理論における契約・憲法面での基礎を築いたこと」を称えられてノーベル経済学賞を受賞した。ブキャナンは1962年に出版されたゴードン・タロックとの共著書 "The Calculus of Consent: Logical Foundations of Constitutional Democracy" において既に官僚、政党、投票者といった政治的な意思決定主体をゲーム理論の枠組みを用いて分析していた。ブキャナンは一貫して方法論的個人主義に立脚し、各個人のレベルを意思決定主体(プレイヤー)とみなすことによって政策立案や官僚機構といった政治プロセスそのものをミクロ経済学ないしゲーム理論の枠組みで分析する方法論を確立した。これは、現代さかんに研究されている比較制度分析のような制度それ自体を対象とした経済学的分析の先駆的な研究であり、同時に個人選好をいかなる集合的意思決定に結びつけるのかを問う試みでもあった。
戦略形ゲームにおいて戦略(英: strategy)とは各プレイヤーがとり得る選択肢を意味し、行動(英: action)と同義である。プレイヤー i にとって選択可能な戦略の集合を i の戦略集合(英: strategy set)とか戦略空間(英: strategy space)と呼び Si などによって表すが、一般に戦略集合はプレイヤーごとに異なるため、 n 人ゲームでは n 個の戦略集合の組 { S i } i ∈ N {\displaystyle \{S_{i}\}_{i\in N}} を定義する必要がある。戦略集合が有限であるようなゲームを有限ゲーム、そうでないゲームを無限ゲームという。
上記の意味における戦略には純戦略(英: pure strategy)と混合戦略(英: mixed strategy)とがある。前者は確定的にある一つの行動を選択する戦略であり、後者はある確率分布に従って選択を行う戦略である。