ブローアップ (数学)
U と V の境界は単位球面である。これで貼り合わせたものが A 2 # P 2 {\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}} である。これが原点でのブローアップになっていることを見るために、 A 2 # P 2 {\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}} から A × P への写像 f を定める。U ⊂ A の元 (x, y) に対しては f ((x, y)) = ((x, y), [y:x])、V ⊂ P の元 [a:b:c] に対しては f ([a:b:c]) = (ct(a, b), [b:a]) と定める。t は先ほどと同様に定義される関数で、バーは複素共役である。これが well-defined であることは簡単にわかる。また、同一視している U の境界と V の境界で f が well-defined であることやこれがブローアップへの同相であることもわかる。
複素数体上、CP の連結和を取るこの操作では向きづけられた多様体をできあがりとしたい。このためには CP に逆の向きを与えなければならない。記号で書くとブローアップは C 2 # C P 2 ̄ {\displaystyle \mathbf {C} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}} ということになる。ここで C P 2 ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}} は標準的な向きの逆の向きを与えた CP である。