境界要素法
この恒等式を2回部分積分すると、 q ∗ = ∂ u ∗ / ∂ n {\displaystyle q^{*}=\partial u^{*}/\partial n} として、
∫ Γ q ( x ) u ∗ ( x ) d Γ x − ∫ Γ u ( x ) q ∗ ( x ) d Γ x + ∫ Ω u ( x ) ( ∂ 2 u ∗ ∂ x 1 2 ( x ) + ∂ 2 u ∗ ∂ x 2 2 ( x ) ) d Ω x = 0 , {\displaystyle \int _{\Gamma }q({\boldsymbol {x}})u^{*}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}-\int _{\Gamma }u({\boldsymbol {x}})q^{*}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}+\int _{\Omega }u({\boldsymbol {x}})\left({\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {x}})+{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {x}})\right)d\Omega _{x}=0,}
を得る。なお、下添字 x は点x に関する積分であることを表している。
得られた式を見ると、領域積分が1つだけ残っている。これを消し去るために、関数u は次式を満足するように与える。