スチューデント化残差
σ の推定量は
σ ^ 2 = 1 n − m ∑ j = 1 n ε ^ j 2 {\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={1 \over n-m}\sum _{j=1}^{n}{\widehat {\varepsilon }}_{j}^{2}}
で表される。ここで m はモデルの母数の個数 (この例では 2)である。
i 番のデータが「外れ値」かどうかを検討する時には、i番の観測を分散の推定には用いないことが望ましい。結局、以下の推定量が用いられる。
σ ^ ( i ) 2 = 1 n − m − 1 ∑ j = 1 j ≠ i n ε ^ j 2 , {\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{(i)}^{2}={1 \over n-m-1}\sum _{\begin{smallmatrix}j=1\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\widehat {\varepsilon }}_{j}^{2},}
ここで総和記号Σは i 番の観測を除くすべての観測に基づく和である。後者の推定量を用いる場合、i 番の観測は「除外された」ので、「外部スチューデント化残差」 (externally studentized residual)または「削除後スチューデント残差」 (deleted studentized residual) という。前者を用いる場合、i 番の観測を「含んだ」ので、「内部スチューデント化残差」 (internally studentized residual) という。
ここで ε i {\displaystyle \varepsilon _{i}} は i 番目の誤差、 ε ^ i {\displaystyle {\widehat {\varepsilon }}_{i}} は i 番目の残差を表す。
さらに、誤差と異なり残差は、同じ分散を持たない。分散は対応する x-値が x-値の平均から遠ざかるにつれ減少する。これは回帰分析の予測値が、説明変数の分布する領域の端の方であるほどより影響を受けることと、データの回帰係数に及ぼす影響力が高いほど変わりやすいということによるものである。これは説明変数の分布の端の方のデータにおける残差はまた傾きの推定値によって大きく影響を受けるが、説明変数の分布の平均辺りのデータにおける残差は傾きによる影響をあまり受けないということによっても確認できる。真の誤差の分散がすべて等しいにもかかわらず残差の分散が異なるという事実は、スチューデント化が必要な主要な理由である。これは単に母集団パラメータ(平均と標準偏差)が未知であるという問題ではなく、一変量分布についての点推定のように同じ残差分布をデータが共有するのとは異なり、回帰分析するということが異なるデータポイントに対して異なる残差分布を生み出してしまうということである。