テンソル積
群 G の同じ体上のベクトル空間 Vi における表現
ρ i : G → G L ( V i ) ( i = 1 , ... , n ) {\displaystyle \rho _{i}\colon G\to GL(V_{i})(i=1,\ldots ,n)}
が与えられたとき
ρ 1 ( g ) v 1 ⊗ ⋯ ⊗ ρ n ( g ) v n ( ∀ g ∈ G , v i ∈ V i ) {\displaystyle \rho _{1}(g)v_{1}\otimes \dotsb \otimes \rho _{n}(g)v_{n}\quad (\forall g\in G,\,v_{i}\in V_{i})}
に対してテンソル積の普遍性を適用することにより、表現のテンソル積
ρ 1 ⊗ ⋯ ⊗ ρ n : G → G L ( V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V n ) {\displaystyle \rho _{1}\otimes \dotsb \otimes \rho _{n}\colon G\to GL(V_{1}\otimes \dotsb \otimes V_{n})}
が誘導される。
↑ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules. Springer. p. 100. ISBN 978-1-4020-2690-4
↑ Permutation Operator - PlanetMath.(英語)
また、K 上のベクトル空間 V から W への K-線型写像の全体 L(V, W) は双対空間 V* を用いれば
V ∗ ⊗ W → L ( V , W ) ; ( f , w ) ↦ f ( ∙ ) w {\displaystyle V^{*}\otimes W\to L(V,W);\;(f,w)\mapsto f(\bullet )w}
なる線型同型によってテンソル積で書き表せる。もっと一般に、n 個のベクトル空間 W1, ..., Wn のテンソル積はこれらの双対空間からの n 重線型形式の空間 L(W ∗1 , ..., W ∗n ; K) とのあいだに同型
W 1 ⊗ ⋯ ⊗ W n ≅ L ( W 1 ∗ , ... , W n ∗ ; K ) {\displaystyle W_{1}\otimes \cdots \otimes W_{n}\cong L(W_{1}^{*},\ldots ,W_{n}^{*};K)}
を持つことによって特徴付けられる。