多重線型形式
k = 2, すなわち変数が2つだけのときは、f を双線型形式と呼ぶ。
重要なタイプの多重線型形式として、交代多重線型形式 (alternating multilinear form) —交代性: 2つの引数が同じときに消える f ( ... , x , ... , x , ... ) = 0 {\displaystyle f(\dots ,x,\dots ,x,\dots )=0} という追加の性質を持つもの—がある。V 上の k-重線型交代形式の全体 Ak(V) は、V* の k-次外冪 ⋀(V*)に同型であり、交代多重線型形式は多重余ベクトル (multi-covector) に対応する。
微分形式は多様体上の共変テンソル場であり、多様体の各点 p において p における接空間上の交代多重線型形式を与える。
k-重線型形式全体の成す空間 Lk(V) は点ごとの積に関しては閉じていないが、f ∈ Lk(V), g ∈ Ll(V) の点ごとの積:
は (k + l)-重線型形式となる(これを f と g とのテンソル積と呼ぶ)。したがって Lk(V) ⊗ Ll(V) ⊂ Lk+l(V) であり、無限直和 ⨁ k L k ( V ) {\textstyle \bigoplus _{k}L_{k}(V)} はこの積に関して閉じていて、次数付き多元環として共変テンソル代数との自然な同型 ⨁ k L k ( V ) ≅ T ∙ ( V ) {\textstyle \bigoplus _{k}L_{k}(V)\cong T_{\bullet }(V)} がある。
このように定義された多重線型形式のテンソル積は可換でない。しかしテンソル積は結合的かつ双線型な乗法を与えている。