スティーフェル・ホイットニー類
直線束へ上記の構成を限定する、つまり、X 上の直線束の空間 Vect1(X) を考えることとする。直線のグラスマン多様体 Gr1 はまさに無限次の射影空間である。
P ∞ ( R ) = R ∞ / R ∗ , {\displaystyle \mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},}
これは、無限次元球面 S によって対蹠的(英語版)に二重被覆されている。無限次元球面 S は可縮であるので、
π 1 ( P ∞ ( R ) ) = Z / 2 Z π i ( P ∞ ( R ) ) = π i ( S ∞ ) = 0 i > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}}
を得る。
スティーフェル・ホイットニー類 wk は、(Wu 1955) で吳文俊(英語版)(Wu Wenjun)により定義されたウー類(Wu classes) vk のスティンロッドの平方根(英語版)(Steenrod square)である。単純に、全スティーフェル・ホイットニー類は、全ウー類の全スティンロッドの平方根 Sq(v) = w である。ウー類はいつも暗にスティンロッドの平方根の項でスティンロッドの平方根を表現するコホモロジー類として定義される。多様体 X を n 次元とすると、次数 n-k のコホモロジー類 x に対し、 v k ∪ x = S q k ( x ) {\displaystyle v_{k}\cup x=Sq^{k}(x)} となる。特に、狭く ⟨ v k ∪ x , μ ⟩ = ⟨ S q k ( x ) , μ ⟩ {\displaystyle \langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle Sq^{k}(x),\mu \rangle } を要求すると、再び、次数 n-k のコホモロジー類 x に対し同じことになる。
πi−1Vn−i+1(F) は、無限巡回群か、もしくは、Z/2Z に同型であるので、Wi(E) のクラスの、スティーフェル・ホイットニー類である wi(E) ∈ H(X; Z/2Z) への標準的(英語版)(canonical)なリダクションが存在する。さらに、πi−1Vn−i+1(F) = Z/2Z であるときはいつも、2つのクラスは同一である。このようにして、w1(E) = 0 であることと、束 E → X が向き付け可能であることとは同値である。
クラス w0(E) は何も情報を持っていない。なぜなら、定義により 1 に等しいからである。ホイットニーによるこの構成は、創造的な考え方であり、ホイットニー和(英語版)(Whitney sum)公式 w(E1 ⊕ E2) = w(E1)w(E2) が正しいことを示した。しかしながら、多様体の一般化に際し(つまりあるホモロジー多様体(英語版)(homology manifold))、w0(M) ≠ 1 となることがある。8 を法として 1 になればよいのである。
X 上の任意のラインバンドルは、ある写像 g に対し g*γ の形をし、自然に θ(g*γ) = g*θ(γ) = g*w(γ) = w(g*γ1) となる。このように V e c t 1 ( X ) {\displaystyle Vect_{1}(X)} 上では、θ = w となる。上記の四番目の公理からは、
f ∗ θ ( E ) = θ ( f ∗ E ) = θ ( λ 1 ⊕ ⋯ ⊕ λ n ) = θ ( λ 1 ) ⋯ θ ( λ n ) = w ( λ 1 ) ⋯ w ( λ n ) = w ( f ∗ E ) = f ∗ w ( E ) {\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}
であることが分かる。f* は単射であるので、θ = w であるからである。このように、スティーフェル・ホイットニー類は 4つの公理を満たし、一意的な函手である。