オイラーの五角数定理
1) m = s であり、すべての行が1つ上の行より1少ないという関係になっている。
この場合、先に述べた操作をすると
となり分割の偶奇性が変化しない。またこの操作を繰り返してももとには戻らない。この例では 5 + 4 + 3 -> 6 + 5 + 1 -> 7 + 5 となる。このような条件が満たす n は以下の式で求まる。m をもとの図の最下部の数とすると
n = m + ( m + 1 ) + ( m + 2 ) + ⋯ + ( 2 m − 1 ) = m ( 3 m − 1 ) 2 = k ( 3 k − 1 ) 2 {\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-1)={\frac {m(3m-1)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}}}
ここでkをmと等しい数とおいた。またこの分割に割当られる符号は (−1) となり、これはまた(−1) と等しい。
2) m = s+1 であり、すべての行が1つ上の行より1少ないという関係になっている。
これに先に述べた操作をすると、同じ要素数の行が2つできてしまい、これは相異なる自然数への分割という条件を満たさなる。