アポロニウスの円
{\displaystyle \Leftrightarrow ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}-{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }})\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {PO} }}+{\frac {1}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {QR} }})=0.}
⇔ | P O → | 2 = ( 1 2 ) 2 | Q R → | 2 . {\displaystyle \Leftrightarrow |{\overrightarrow {\mathrm {PO} }}|^{2}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}|{\overrightarrow {\mathrm {QR} }}|^{2}.}
⇔ P O = 1 2 Q R . {\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {PO} ={\frac {1}{2}}\mathrm {QR} .}
これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径 1 2 Q R {\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {QR} } の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。
線分QRの中点をOとすると、点Oはアポロニウスの円の中心となり、
P O → = P Q → + P R → 2 = 1 2 ( n P A → + m P B → n + m + n P A → − m P B → n − m ) = ( n − m ) ( n P A → + m P B → ) + ( n + m ) ( n P A → − m P B → ) 2 ( n + m ) ( n − m ) = 2 n 2 P A → − 2 m 2 P B → 2 ( n 2 − m 2 ) = n 2 P A → − m 2 P B → n 2 − m 2 .