指標表
有限群 G の複素数体 C 上既約表現 X: G → GLn(C) に対して写像 χ = Tr X: G → C を次数 n の既約指標という。既約指標の数と共役類の数は等しい。群 G の既約指標 χ1, ..., χk と共役類の完全代表系 g1, ..., gk に対して正方行列 T = [ χi(gj) ]1 ≤ i, j ≤ k を指標表という。指標は類関数なので指標表は矛盾なく定まるが、行と列に関する入れ替えを除いてしか決まらない。
3次対称群 G := S3 の既約表現は同値なものを除くと次で定まる準同型写像 X1, X2, X3 の3つである。
X1 : G → GL1(C) (1, 2)(3) ↦ [1], (1, 2, 3) ↦ [1]
X2 : G → GL1(C) (1, 2)(3) ↦ [-1], (1, 2, 3) ↦ [1]
X3 : G → GL2(C) (1, 2)(3) ↦ [ 0 1 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}} , (1, 2, 3) ↦ [ e 2 π i / 3 0 0 e − 2 π i / 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}e^{2\pi i/3}&0\\0&e^{-2\pi i/3}\end{bmatrix}}}
したがってχj = Tr Xj とおけば G の指標表は次のようになる。