巡回群
群論における巡回群(じゅんかいぐん、英: cyclic group、英: monogenous group)とは、ただ一つの元で生成される群(単項生成群)のことである。ここで群が「ただ一つの元で生成される」というのは、その群の適当な元 g をとれば、その群のどの元も(群が乗法的に書かれている場合は)g の整数冪として(群が加法的に書かれている場合は g の整数倍として)表されるということであり、このような元 g はこの群の生成元(generator)あるいは原始元(primitive)と呼ばれる。
アーベル群 Z/nZ の自己準同型環は、環としての Z/nZ 自身に同型である。この同型のもとで、数 r は Z/nZ の r 倍写像(各元をその r 個のコピーの和として得られる元に写す自己準同型)に対応する。この自己準同型が全単射となる必要十分条件は r が n と互いに素となることであり、従って Z/nZ の自己同型群は上述の単元群 (Z/nZ) に同型である。
同様に加法群 Z の自己準同型群は環 Z に同型であり、自己同型群は環 Z の単元群 { ±1 } ≅ C2 に同型である。
かつ有限な n に対しては
C n = ⟨ x ∣ x n ⟩ {\displaystyle C_{n}=\langle x\mid x^{n}\rangle }
と書ける。
基本巡回群(英語版) とは任意の素数 p と任意の正の整数 k に対して Z/pZ の形に表される群(素冪位数の群)のことである。有限生成アーベル群の基本定理は、任意の有限生成アーベル群 A が有限個の(有限)基本巡回群と有限個の無限巡回群との直積になることを主張するものである。
A = Z / p 0 k 0 Z × Z / p 1 k 1 Z × ⋯ × Z / p m k m Z × Z n . {\displaystyle A=\mathbb {Z} /{p_{0}}^{k_{0}}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /{p_{1}}^{k_{1}}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /{p_{m}}^{k_{m}}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{n}.}
Z/nZ および Z は(可換群の構造のみならず)可換環の構造ももつ。p が素数ならば Z/pZ は有限体であり、Fp や GF(p) などとも記される。p 個の元を持つ体は必ずこの Fp に同型となる。