トレミーの不等式
トレミーの不等式は、しばしば特殊な場合である4点が周期的な順番で与えられる凸四辺形の頂点である場合で述べられる。しかし、この定理はより一般的に4つの点について適用され、4点が作る四辺形が凸、単純、平面である必要はない。
平面内の点の場合、トレミーの不等式は4つの点いずれかを中心とした反転により三角不等式から導き出すことができる。また、複素数の恒等式を用いて4点を複素数として解釈することでも導出できる。
( A − B ) ( C − D ) + ( B − C ) ( A − D ) = ( A − C ) ( B − D ) {\displaystyle (A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)}
辺の長さが与えられた四辺形の辺の積である三角形を作るために、この三角形に三角不等式を適用する。点を複素射影直線に属しているとみなし、不等式を点の2つの交差比の絶対値が少なくとも1つになる形式で表現し、これを交差比自体が正確に1つに加えられるという事実から推測できる。
3次元空間の点に対するこの不等式の証明は、任意の非平面四辺形に対して四辺形が平面になるまで対角線の周りで点の1つを回転させ、他の対角線の長さを伸ばし、他の5つの距離を一定に保つことが可能であることを観察することにより、平面の場合に縮小することができる。3よりも高い次元の空間では、任意の4点が3次元部分空間に存在し、同じ3次元の証明を使うことができる。