ナブラ
ベクトル場 v ( x , y , z ) = v x x ^ + v y y ^ + v z z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {v}}(x,y,z)=v_{x}{\hat {\boldsymbol {x}}}+v_{y}{\hat {\boldsymbol {y}}}+v_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}} の回転(en:curl ,rotation)は
curl  v = ( ∂ v z ∂ y − ∂ v y ∂ z ) x ^ + ( ∂ v x ∂ z − ∂ v z ∂ x ) y ^ + ( ∂ v y ∂ x − ∂ v x ∂ y ) z ^ = ∇ × v {\displaystyle \operatorname {curl} {\boldsymbol {v}}=\left({\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right){\hat {\boldsymbol {x}}}+\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\right){\hat {\boldsymbol {y}}}+\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right){\hat {\boldsymbol {z}}}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}}
ラプラス作用素はベクトル場にもスカラー場にも施せるスカラー作用素である。直交座標系では
Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}
で与えられ、より一般の座標系に対してはベクトルラプラス作用素(英語版)によって定義することができる。
ラプラス作用素は現代的な数理物理学に遍在しており、そのごく一部を挙げるならばラプラス方程式、ポアソン方程式、熱方程式、波動方程式、シュレーディンガー方程式などにおいて現れる。
div  ( curl  v ) = ∇ ⋅ ( ∇ × v ) {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {curl} {\boldsymbol {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\boldsymbol {v}})}
curl  ( curl  v ) = ∇ × ( ∇ × v ) {\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {curl} {\boldsymbol {v}})=\nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {v}})}
Δ v = ∇ 2 v {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {v}}=\nabla ^{2}{\boldsymbol {v}}}
これらは常に一意と言うわけでも互いに独立と言うわけでもないという意味でそれ自体興味深い。素性のよい函数に対しては、これらのうちの二つが常に零、即ち
curl  ( grad  f ) = ∇ × ( ∇ f ) = 0 {\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)=\nabla \times (\nabla f)=0}
が成り立つが、一般には
( u x ) × ( u y ) = x y ( u × u ) = 0 {\displaystyle ({\boldsymbol {u}}x)\times ({\boldsymbol {u}}y)=xy({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {0}}}
である。
これらの違いが生じる根本は、∇が単なるベクトルではなくてベクトル作用素であるという事実である。ベクトルが明確に数値的な大きさと方向を持つ対象であるのに対し、∇は何かに作用することができて初めて大きさや向きが明確となる。
こういった理由によって、∇を含む恒等式の導出は、ベクトルの恒等式と(積の法則のような)微分の恒等式の両方に基づいて慎重に行われなければならない。