アルキメデスの性質
順序群Gにおける正の元x, y について、xがyに対して無限小である(あるいは、yがxに対して無限大である)とは、任意の自然数 n について nx がyより小さいこと、つまり以下の不等式が成立することである。
x + ⋯ + x ⏟ n < y . {\displaystyle \underbrace {x+\cdots +x} _{n}<y.}
順序群Gにおける正の元の対x, yで、xがyに対して無限小になっているようなものは存在しないときGはアルキメデス的であると言われる。
順序構造を持つ単位的環の場合には、正の元xが乗法の単位元1に対して無限小であればxは無限小の元であると言われ、同様に元yが1に対して無限大であればyは無限大の元であると言われる。無限小の元も無限大の元も持たない順序環は順序群としてアルキメデス的になる。