クロネッカーの極限公式
クロネッカーの極限公式を使って虚二次体 k のヘッケ L 函数の s = 1 での値を計算することができる。
簡単のため、χ を k のイデアル類群の自明でない指標として、これに対するヘッケ L 函数 L(s, χ) の場合を考える。この L 函数は、定義より次のように部分 ζ 函数の和に分解できる。
L ( s , χ ) = ∑ A χ ( A ) ζ ( s , A ) {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{A}\chi (A)\zeta (s,A)}
ここで A は k のイデアル類(イデアル類群の元)をすべて渡り、ζ は ζ(s, A) = ∑a ∈ A Na で定義される部分 ζ 函数である。今イデアル類 A に含まれるイデアル b を一つ固定する。A に含まれる任意のイデアル a に b をかけると単項イデアルになるので、ab = (γ) となる b の元 γ が単数倍を除き一意に定まる。逆に b の元 γ があると ab = (γ) となる A に属するイデアル a が定まるので、w を k に含まれる単数(有限個)の個数とすると、A のイデアルと b のゼロではない元の間に1対 w の対応が定まる。