行列式に対するライプニッツの明示公式
物理学などではレヴィ゠チヴィタ記号 ε とアインシュタインの和の規約に則り
のように表すこともよくある。
ライプニッツの公式によって行列式を定義する場合、式に従って行列式を直接計算しようとすれば、その計算量は一般に Ω(n!⋅n)—つまり計算回数は n の階乗に漸近的に比例—となる(長さ n の置換の総数は n! であったことを思い出そう)。これは n が大きければそのような計算は実用的でないことを意味している。それでも、(典型的にはガウス消去法などを通じて)LU分解 A = LU が得られているならば、計算量は O(n) まで抑えられる—なぜならば、det(A) = det(L)det(U) であり、また L, U は三角行列であるからそれらの行列式は単に対角成分を全て掛けるだけで求められる(ただし、数値線形代数での実用的な応用で明示公式を用いることは稀である)。例えば Trefethen & Bau (1997) などを見よ。