一様空間
定理 ― f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} を一様空間Xから一様空間Yへの写像とするとき、以下が成立する:
fは一様連続⇒fはコーシー連続⇒fは連続
Xが完備であればfのコーシー連続性とfは連続性は同値である。
Xを(完備とは限らない)一様空間とし、 X ̄ {\displaystyle {\bar {X}}} をその完備化とし、Yを完備な一様空間とし、さらに f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} をコーシー連続な関数とすると、連続関数 f ̄ : X ̄ → Y {\displaystyle {\bar {f}}~:~{\bar {X}}\to Y} で f ̄ ∣ X = f {\displaystyle {\bar {f}}\mid _{X}=f} となるものが存在する。
とすると、 U {\displaystyle {\mathfrak {U}}} は被覆による一様構造になる。
逆に U {\displaystyle {\mathfrak {U}}} を被覆によるX上の一様構造とするとき、
B := { ⋃ A ∈ A A × A ∣ A ∈ U } {\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}}A\times A\mid {\mathcal {A}}\in {\mathfrak {U}}\}}
とし、
U := { U ⊂ X × X ∣ ∃ B ∈ B : B ⊂ U } {\displaystyle {\mathcal {U}}:=\{U\subset X\times X\mid \exists B\in {\mathcal {B}}~:~B\subset U\}}
とすると、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} は対角線によるX上の一様構造になる。
前一様構造の和集合は前一様構造だったので、 S = { U d , r ∣ d ∈ D , r ∈ R > 0 } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{U_{d,r}\mid d\in D,r\in \mathbb {R} _{>0}\}} も前一様構造であり、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が生成する一様構造はDが定める一様構造と一致する。
なお、集合X上の擬距離の集合 D {\displaystyle D} の事をゲージ(英: gauge)と呼び、XとゲージDの組(X, D)の事をゲージ空間(英: gauge space)と呼ぶことがあるが、書籍によってこの言葉の意味が異なるので注意が必要である。Schechterでは上述したように集合X上の任意の擬距離の集合をゲージと呼んでいるが、Kellyではより狭い意味で用いており、KellyにおけるゲージとはX上の何らかの一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} で一様連続となる全ての擬距離の集合の事である。
..(1)
を満たす。
定義から U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の任意の元は S = ( U α ) α ∈ X {\displaystyle {\mathcal {S}}=(U_{\alpha })_{\alpha \in X}} の有限個の元 U α 1 , ... , U α n {\displaystyle U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}} の和集合を部分集合として含むが、 ∩ i U α i = U min i α i {\displaystyle \cap _{i}U_{\alpha _{i}}=U_{\min _{i}\alpha _{i}}} なので、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の任意の元Uには U α ⊂ U {\displaystyle U_{\alpha }\subset U} を満たす α ( = min i α i ) {\displaystyle \alpha (=\min _{i}\alpha _{i})} が存在する事になる。
よって各 B k ∈ B ⊂ U {\displaystyle B_{k}\in {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {U}}} に対し、