接ベクトル空間
d d t ( f ∘ φ ) ( 0 ) = { d x 1 d t ( 0 ) ∂ ∂ x 1 + d x 2 d t ( 0 ) ∂ ∂ x 2 + ⋯ + d x m d t ( 0 ) ∂ ∂ x m } f {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f\circ \phi )(0)=\left\{{\frac {dx_{1}}{dt}}(0){\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+{\frac {dx_{2}}{dt}}(0){\frac {\partial }{\partial x_{2}}}+\dotsb +{\frac {dx_{m}}{dt}}(0){\frac {\partial }{\partial x_{m}}}\right\}f}
のように関数 f とそれに作用する作用素とに分け、この作用素を接ベクトルと定義するのである。
すなわち、局所座標系に依存しない速度ベクトルのようなものを探し求めた結果
∑ i = 1 m a i ∂ ∂ x i {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}
という形をした微分作用素の一次結合(接ベクトル)を用いることで解決できる事が分かる。この接ベクトルの全体を接ベクトル空間という。
作用素をベクトルと呼ぶために、少し抽象的でわかりにくい話になるが、そういう場合は関数 f に具体的な形をいくつか与えてみて多様体の形を感じ取るのがよい。