ヴァイエルシュトラスの楕円函数
三次の多項式方程式 4t − g2t − g3 = 0 とその三根 e1, e2, e3 を考える。判別式 Δ = g2 − 27g3 が零でなければ、これらの根はどの二つも相異なる。この多項式には二次の項がないから、根は
e 1 + e 2 + e 3 = 0 {\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0}
を満たす。一次の項と定数項の係数(それぞれ g2 と g3) は根と係数の関係により
g 2 = − 4 ( e 1 e 2 + e 1 e 3 + e 2 e 3 ) = 2 ( e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 ) {\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})=2(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2})}
および
g 3 = 4 e 1 e 2 e 3 {\displaystyle g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}
を満たす。
不変量が実数の場合には、Δ の符号は根の特性を決定する。Δ > 0 ならば、三根は全て実数で、慣習的に e1 > e2 > e3 であるものとする。
モジュラー判別式 (modular discriminant) Δ は
Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}
で定義される。この判別式は、それ自体が(周期格子の函数としての)尖点形式と見て、モジュラー形式論における研究の対象になる。デテキントのイータ関数 η を用いれば、
Δ = ( 2 π ) 12 η 24 {\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}
と書けることに注意。この 24 という数は、イータ函数とリーチ格子にあるような、何か別の現象との関連によって理解することができる。
g2 および g3 は Im(τ)>0 において正則だから Δ も Im(τ)>0 において正則である。さらに Im(τ)>0 において Δ(τ) ≠ 0 が成り立つ。
さて上記判別式は重み 12 のモジュラー形式である。すなわち a,b,c,d が ad − bc = 1 を満たす整数(つまり ( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} がモジュラー群 SL(2, Z) に属する)のとき Im(τ)>0 において