リーマン・ロッホの定理
しかし、曲線という特別な場合の非特異射影多様体に対するセールの双対性は、 H 0 ( X , ω X ⊗ L ( D ) ∨ ) {\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })} が双対 H 1 ( X , L ( D ) ) ∨ {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }} に同型であることを言っている。すると、左辺は因子 D のオイラー標数に等しく、D = 0 のとき、構造層に対するオイラー標数 1 − g {\displaystyle 1-g} となる。 よって定理は D = 0 {\displaystyle D=0} について成り立つ。一般の因子の場合は、 D {\displaystyle D} に点 p {\displaystyle p} を追加して D + p {\displaystyle D+p} に置き換えたときに、定理の両辺が全く同様に変化することを確かめ、 D = 0 {\displaystyle D=0} の場合と合わせて数学的帰納法を適用する。
閉リーマン面に対する定理は、GAGA原理と周の定理を使い、代数的なバージョンから導くことができる。事実、すべての閉リーマン面は、ある複素射影空間の代数方程式によって定義されている。
リーマン面上の因子のリーマン・ロッホ定理の上の定式化の対象はすべて、代数幾何学に類似するものがある。リーマン面の類似物は、体 k 上の非特異な代数曲線 C である。用語の差異(曲線 vs. 曲面)は、実多様体としてはリーマン面の次元は 2 であるが、複素多様体としては1次元であることによる。リーマン面がコンパクトであることは、代数曲線が完備(英語版)であるという条件(この場合射影的であることにも同値)と並行して議論することができる。一般的な体 k 上には、特異(コ)ホモロジーの考え方はないので、いわゆる、幾何種数が次のように定義される。
g ( C ) := dim k  Γ ( C , Ω C 1 ) {\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}
つまり、この式の値は、大域的に定義された(代数的)1-形式の空間の次元である(ケーラー微分を参照)。最後に、リーマン面の有理型関数は局所的には正則関数の分数として表現される。したがって、それらは(代数多様体における)正則関数の分数として局所的に表せる有理関数に置き換えることができる。上と同じように、曲線上の有理関数 f で ( f ) + D ≥ 0 {\displaystyle (f)+D\geq 0} となるもの全体のなすベクトル空間の次元を l ( D ) {\displaystyle l(D)} とかくと、 上とまったく同じ公式が成り立つ。
l ( D ) − l ( K − D ) = deg  ( D ) + 1 − g .