ミラー対称性 (弦理論)
ミラー双対の片側に現れる幾何学の一種を理解するためには、ここで複素平面の点を同一視することで、トーラス(ドーナツのようにひとつの穴のあいた閉曲面)の構成を考える。このトーラスを構成するためには、最初に商 ω 1 / ω 2 {\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}} が実数ではない複素数のペア ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} と ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} を選ばねばならない. この最後の条件は、これらの点が一直線上にない(en:collinear)ことを確かなものとしている.従って、選択された点は、もう他の頂点が 0 と ω 1 + ω 2 {\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}} である平行四辺形を決定する。この平行四辺形の反対側の辺を同一視することで、求めるトーラスが得られる。
このようにして得られるトーラスは、ひとつのトーラスが他のトーラスと連続変形可能であるという意味ですべて同値である。 他方、トーラスは加法構造を持っているので、区別することが可能となる。
すなわち、この方法で構成されたトーラスは複素構造を持っていて、そのようなトーラス上の任意の点の近傍は、複素平面の中にある領域のように見えることを意味する。
このトーラスの構成の中で、替わりに元のペアと共通因子(つまり、ある複素数 λ {\displaystyle \lambda } により ω 1 ′ = λ ω 1 {\displaystyle \omega _{1}'=\lambda \omega _{1}} と ω 2 ′ = λ ω 2 {\displaystyle \omega _{2}'=\lambda \omega _{2}} である)としてリスケールによって複素数のペア ω 1 ′ {\displaystyle \omega _{1}'} と ω 2 ′ {\displaystyle \omega _{2}'} が関連づけられるとすると、同値なトーラスを得る。従って、「比率」 τ = ω 1 / ω 2 {\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}} でトーラス全体の集まりをパラメトライズすることはさらに便利である。この比率はリスケール ω i {\displaystyle \omega _{i}} によっては変わらない。
ミラー対称性を理解しようとするもう一つのアプローチは、アンドリュー・ストロミンジャー(Andrew Strominger)、シン=トゥン・ヤウ(en:Shing-Tung Yau)、エリック・ザスロフ(英語版)(Eric Zaslow)により1996年の論文で示唆された。 SYZ予想に従うと、ミラー対称性は複雑なカラビ・ヤウ多様体をより単純なピースへ分解し、これらのピースの上での T-双対を考えることにより理解することができる。
オーバービューのセクションでトーラスを考えたことを思い出すと、このトーラスが2つの円の積とみなすことができた。このことは、(図の中の赤い円として示したように)縦の円(経線)を集めた合併として考えることができることを意味する。これらの円をどのように編成するかという補助的な空間が存在し、この空間自体が円となる(ピンクの円で示した)。この空間はトーラス上で経線の円をパラメトライズすると言われる。
上で説明したように、ミラー対称性は経線に作用するT-双対に同値で、半径 R 1 {\displaystyle R_{1}} から 1 / R 1 {\displaystyle 1/R_{1}} へ変換することとなる。
SYZ予想は、このアイデアをより複雑な6次元カラビ・ヤウ多様体の場合へ一般化した予想である。トーラスの場合のように、6次元カラビ・ヤウ多様体をより単純なピースへ分割することができ、この場合には3次元トーラス(英語版)が3次元球面によりパラメトライズされる。 T-双対はこの分解に現れるように、円から3次元トーラスへ拡張が可能で、SYZ予想はミラー対称性がこれらの3次元トーラスのT-双対の同時に適用さることと同値であることを言っている。 このようにして、SYZ予想はカラビ・ヤウ多様体の上にミラー対称性がどのように作用するかの幾何学的な素描を与えた。