ラザフォード散乱
中心力により相互作用する粒子の運動方程式から、散乱断面積を導出することができる。一般に、中心力により相互作用する二粒子は重心の運動と粒子同士の相対運動に分解することができる。ガイガー・マースデンの実験の場合のように、重い核により散乱される軽いアルファ粒子の場合、換算質量は基本的にアルファ粒子の質量となり、核は基本的に実験室系において静止することになる。
ビネ方程式に代入すると、次の飛跡方程式が得られる。
d 2 u d θ 2 + u = − Z 1 Z 2 e 2 4 π ε 0 m v 0 2 b 2 = − κ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}+u=-{\frac {Z_{1}Z_{2}e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}mv_{0}^{2}b^{2}}}=-\kappa }
ここで、u = 1/r であり、v0 は無限遠における速さ、b は衝突径数である。
上記の微分方程式の一般解は以下のように得られる。
u = u 0 cos  ( θ − θ 0 ) − κ {\displaystyle u=u_{0}\cos(\theta -\theta _{0})-\kappa }
これを r を用いて通常の極方程式に書き直せば、
r = 1 u 0 cos  ( θ − θ 0 ) − κ = − κ − 1 1 − u 0 κ − 1 cos  ( θ − θ 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {1}{u_{0}\cos(\theta -\theta _{0})-\kappa }}\\&={\frac {-\kappa ^{-1}}{1-u_{0}\kappa ^{-1}\cos(\theta -\theta _{0})}}\end{aligned}}}