一般相対性理論の数学
d d t X i ( t ) = ∇ C ( t ) X i ( t ) = Γ j k i X j ( t ) C k ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}X^{i}(t)=\nabla _{C(t)}X^{i}(t)=\Gamma _{jk}^{i}X^{j}(t)C^{k}(t)}
を解くことにより成分毎に計算することができる。ここに、 C j ( t ) {\displaystyle \scriptstyle \,C^{j}(t)} は、点 γ ( t ) {\displaystyle \scriptstyle \gamma (t)} での曲線に接するベクトルである。
一般相対性理論で重要なアフィン接続はレヴィ・チヴィタ接続であり、レヴィ・チヴィタ接続は、曲線にそって定数であるベクトルの内積を保つような接ベクトルの平行移動から得られる対称接続である。その結果得られる接続係数(クリストッフェル記号)は、計量から直接計算(英語版)することができる。このことから、この接続はしばしば計量接続とも呼ばれる。
一般相対性理論に於いて重要な不変量としては次のものがある。
リッチスカラー: R = R a b g a b {\displaystyle \scriptstyle R\;=\;R^{ab}g_{ab}}
クレッツェマンスカラー(英語版)(Kretschmann scalar): K = R a b c d R a b c d {\displaystyle \scriptstyle K\;=\;R^{abcd}R_{abcd}}
相対性理論での不変量の他の例は、電磁不変量(英語版)(electromagnetic invariants) や、他にも様々な曲率不変量(英語版)(curvature invariants) があり、後者としては重力エントロピー(英語版)(gravitational entropy) やワイル曲率仮設(英語版)(Weyl curvature hypothesis) の研究における応用の探索がある。
一般相対性理論の主要な特徴のひとつは、(座標系による)物理法則の不変性という考え方である。この不変性はいろいろなやりかた、例えば、局所ローレンツ共変(英語版)(local Lorentz covariance) や一般相対性原理や微分同相共変性 (diffeomorphism covariance)で記述できる。
より明確な記述はテンソルを用いることで可能となる。このアプローチで用いられるテンソルの重要な特徴は、(ひとたび計量が与えられたとすれば)階数(ランク)がR のテンソルのすべての添字を縮約すると不変量と呼ばれる数値(スカラー)が得られて、この不変量は縮約に使った座標チャートには無関係になるという事実である。このことは物理的には、(異なる座標系にある)2人の観測者が不変量を計算すると、同じ数値が得られる、したがって不変量は観測者とは無関係の意味を持っていることを意味する。
となる。これが求めている方程式で、この式に名前を付ける必要がある。
∇ σ ∇ μ V ν − ∇ μ ∇ σ V ν = ( ∂ μ Γ ρ σ ν − ∂ σ Γ ρ μ ν + Γ α σ ν Γ ρ α μ − Γ α μ ν Γ ρ α σ ) V ρ {\displaystyle \nabla _{\sigma }\nabla _{\mu }V_{\nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }V_{\nu }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \mu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \sigma })V_{\rho }}
上式の左辺は3つの、右辺は4つの添字を持つことに注意すると、添字のペアにわたって和をとる必要がある。
実際、上記の表現では、共変微分 ∇ a {\displaystyle \scriptstyle \nabla _{a}} を「任意」の捩れのない接続 ∇ ~ a {\displaystyle \scriptstyle {\tilde {\nabla }}_{a}} 、あるいは、局所的には座標独立な微分 ∂ a {\displaystyle \scriptstyle \partial _{a}} と置き換えることができる。このことは、リー微分は計量独立であることを示している。しかし共変微分のほうは添字の上げ下げと可換である点で便利である。
一般相対性理論においてリー微分の主要な使い方のひとつは、時空の対称性を研究する場合である。時空の対称性があると、テンソルや他の幾何学的な対象が保存され る。特に、キリングの対称性(リー微分による函数の引き継ぎの下での計量の対称性)は、時空の研究に非常に頻繁に現れてくる。上の公式を使い、キリング対称性を生成するベクトル場が満たす条件を書き下すことができる。
L X g a b = 0 ⇔ ∇ a X b + ∇ b X a = 0 ⇔ X c g a b , c + X , a c g b c + X , b c g a c = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}g_{ab}&=0\\\Leftrightarrow \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}&=0\\\Leftrightarrow X^{c}g_{ab,c}+X_{,a}^{c}g_{bc}+X_{,b}^{c}g_{ac}&=0\end{aligned}}}