自然変換
関手 F: C → D と G: D → C に対して、F と G が随伴 F ⊣ G であることは、自然な同型写像 φx, y: D(Fx, y) ≅ C(x, Gy) によって定まる (このとき φx, y は2つの関手 D(F_, _), C(_, G_): C × D → Set の間の自然同型を定めるコンポーネントとなる)。また、F と G が随伴 F ⊣ G であるとき、随伴の単位および余単位と呼ばれる自然変換 η: IdC ⇒ GF と ε: FG ⇒ IdD が存在して、η は G への普遍射、ε は F からの普遍射となる。単位および余単位が同型であるとき、C と D は圏同値であるため、この意味で随伴を持つ関係は圏同値の一般化と言える。
重要な随伴関手の例として自由関手と忘却関手、テンソル積 _ ⊗ X と hom関手 hom(X, _) が挙げられる。
圏 C と D に対して、F と G を C から D への関手とするとき、F から G への自然変換 η : F ⇒ G (あるいは η : F → ∙ G {\textstyle \eta :F{\stackrel {\scriptscriptstyle \bullet }{\to }}G} と表記する) とは、C の対象でパラメータ付けられた D の射の族 {ηX: F(X) → G(X)}X ∈ C であって、任意の C の射 f : X → Y に対して η Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η X {\textstyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}} を満たすもの、すなわち次の図式を可換にするものである:
自然変換 η : F ⇒ G を構成するそれぞれの射 ηX: F(X) → G(X) は η のコンポーネント (英: component) と呼ばれる。コンポーネントがすべて同型射であるとき、η は自然同型 (英: natural isomorphism) あるいは自然同値 (英: natural equivalence) であるという。
開集合族は包含関係について半順序をなすため、圏論的に捉えると前層とは Set への反変関手 A : O X o p → S e t {\textstyle A:{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} } と思うことができる。このとき、前層 (層) の間の射を関手の間の自然変換として定義できる。従って、関手圏がそのまま前層の圏 P s h ( X ) = S e t O X o p {\textstyle \mathrm {Psh} (X)=\mathbf {Set} ^{{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {op} }}} となり、層の圏はその充満部分圏を構成する。
数学において「局所から大域へ」という状況が数多く存在するために、層理論は代数幾何を始めとした数多くの分野と影響を及ぼしあっている。
位相空間 ( X , O X ) {\textstyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} に対して、X 上の前層とは、X の開集合 U ∈ O X {\textstyle U\in {\mathcal {O}}_{X}} に対してそれぞれ集合 A ( U ) ∈ S e t {\textstyle A(U)\in \mathbf {Set} } を割り当てる写像であって、開集合の包含 V ⊂ U {\textstyle V\subset U} に対して制限 (と呼ばれる写像) r U , V : A ( U ) → A ( V ) {\textstyle r_{U,V}:A(U)\to A(V)} が存在して、よい条件を満たすものである。さらに任意の開集合、その開被覆 O X ∋ U = ⋃ i ∈ I U i {\textstyle {\mathcal {O}}_{X}\ni U=\bigcup _{i\in I}U_{i}} 、および共通部分を互いに共有する { f i ∈ A ( U i ) } i ∈ I {\textstyle \{f_{i}\in A(U_{i})\}_{i\in I}} (すなわち、 r U i , U i ∩ U j ( f i ) = r U j , U i ∩ u j ( f j ) {\textstyle r_{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}(f_{i})=r_{U_{j},U_{i}\cap u_{j}}(f_{j})} を満たす) に対して、 f i = r U , U i ( f ) {\textstyle f_{i}=r_{U,U_{i}}(f)} を満たす f ∈ A ( U ) {\textstyle f\in A(U)} の存在が成り立つとき、そのような前層を層という。