主束
主 G 束とは、ファイバー束 π : P → X と、位相群 G による連続の右作用 P × G → P を合わせた概念であって、G が P のファイバーを保存し、その上に自由かつ推移的に作用するもののことをいう。 主束の抽象ファイバーは、G 自身である。 (場合により、底空間 X にハウスドルフ空間であることを要求し、時としてパラコンパクトであることも要求することがある。)
G の作用による軌道は、π : P → X のファイバーに完全に一致し、軌道空間 P/G は底空間 X と同相である。 G の主等質空間は、G に同相な空間だが、単位元として適切な、あるいは自然な選択がないため、群の構造を欠く。
主 G 束はまた、ファイバー G を有する G 束 π : P → X であって、構造群 G がファイバーに左乗法により作用するものということができる。 ファイバーに対する G の右乗法は、構造群の作用と可換なため、P の上への G の右乗法の不変な概念が存在する。 従って、π のファイバーは、この作用に関し、G の右主等質空間になる。
主 G 束は、滑らかな多様体の圏として定義することもできる。 ここで、π : P → X は、滑らかな多様体間の滑らかな写像、G はリー群、対応する P の上への作用は滑らかであることが要件となる。
Φ : π(U) ∋ p → Φ(p) = (π(p),φ(p)) ∈ U × G
と書くと、写像 φ : P → G は、
φ(p·g) = φ(p)g
を満たす。 従って、同値な自明性は、ファイバーの G の主等質空間としての構造を保存する。 同伴する局所的切断 s に関して、写像 φ は
φ(s(x)·g) = g
により与えられる。 つまり、切断定理の局所化は、主束の同値な局所的自明性が局所的切断と一対一対応することを主張するものである。
P の同値な局所的自明性 ({Ui}, {Φi} が与えられたとき、各 Ui 上で局所的切断 si が得られる。 重なり合う部分では、構造群 G の作用により、これらは互いに関係しなければならない。 実際、推移関数
s j ( x ) = s i ( x ) ⋅ t i j ( x ) {\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x)}
により、この関係が証明される。 任意の x ∈ Ui ∩ Uj に対し、
s j ( x ) = s i ( x ) ⋅ t i j ( x ) {\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x)}
である。