減衰振動
X = ∂ W ∂ P = x e γ t , {\displaystyle X={\frac {\partial W}{\partial P}}=xe^{\gamma t},}
K ( X , P ) = H + ∂ W ∂ t = P 2 2 m + m 2 ω 0 2 X 2 + γ X P . {\displaystyle K(X,P)=H+{\frac {\partial W}{\partial t}}={\frac {P^{2}}{2m}}+{\frac {m}{2}}\omega _{0}^{2}X^{2}+\gamma XP.}
と表され、ハミルトニアン K が時間 t を含まないことからこの系は時間変化しない保存量 K をもつ保存系であることが分かる。
K ( X , P ) = P 2 2 m + m 2 ω 0 2 X 2 + γ X P = const. {\displaystyle K(X,P)={\frac {P^{2}}{2m}}+{\frac {m}{2}}\omega _{0}^{2}X^{2}+\gamma XP={\text{const.}}}
正準変換前の変数 x, p で表すと
e − 2 γ t 2 m p 2 + e 2 γ t m 2 ω 0 2 x 2 + γ x p = const. {\displaystyle {\frac {e^{-2\gamma t}}{2m}}p^{2}+e^{2\gamma t}{\frac {m}{2}}\omega _{0}^{2}x^{2}+\gamma xp={\text{const.}}}
ただし K は減衰振動系のエネルギーを表さないことに注意が必要である。