計量ベクトル空間
V が内積空間 C[−π,π] ならば、整数全体の成す集合で添字付けられた連続函数の双無限列 e k ( t ) = e i k t 2 π {\displaystyle e_{k}(t)={\frac {e^{ikt}}{\sqrt {2\pi }}}} は L-内積に関して空間 C[−π,π] の正規直交基底であり、写像 f ↦ { 1 2 π ∫ − π π f ( t ) e − i k t d t } k ∈ Z {\displaystyle f\mapsto \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}\,dt\right\}_{k\in \mathbb {Z} }} は稠密な像を持つ等距線型写像になる。
点列 {ek}k の直交性は k ≠ j のとき
∫ − π π e − i ( j − k ) t d t = 0 {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(j-k)t}\,dt=0}
から直ちにわかる。正規性は列の作り方による(即ち、列の各係数はノルムが 1 となるように選ばれたものである)。 最後に、この列が内積の定めるノルムに関して稠密な(代数的)線型包を持つことは、このとき [−π,π] 上の連続な周期函数が一様ノルムに関して成すノルム空間においてこの列が稠密な線型包を持つことから従う。これは、三角多項式の一様稠密性に関するヴァイエルシュトラスの定理の内容である。
この空間が完備でないことは、たとえば閉区間 [−1, 1] 上で f k ( t ) = { 0 ( t ∈ [ − 1 , 0 ] ) 1 ( t ∈ [ 1 k , 1 ] ) k t ( t ∈ ( 0 , 1 k ) {\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&(t\in [-1,0])\\1&(t\in [{\tfrac {1}{k}},1])\\kt&(t\in (0,{\tfrac {1}{k}})\end{cases}}} で定義される階段函数列 {fk}k を考えれば、この列は内積の導くノルムに関してコーシー列を成すが、これは「連続」函数に収斂しないことを見ればよい。
実確率変数 X, Y に対して、それらの積の期待値 ⟨ X, Y⟩ := E(XY) は内積になる。この場合、⟨X, X⟩ = 0 なる必要十分条件は確率に関して Pr(X = 0) = 1 が成り立つ(即ち、X = 0 が殆ど確実(英語版)に成り立つ)ことである。この期待値を内積とする定義は確率ベクトル(英語版)に対しても同様に拡張することができる。
実平方行列に対し、⟨A, B⟩ := tr(AB) に転置 ⟨ A , B ⟩ ̄ = ⟨ B ⊤ , A ⊤ ⟩ {\displaystyle {\overline {\langle A,B\rangle }}=\langle B^{\top },A^{\top }\rangle } を共軛変換と考えたものは、内積になる。
V を次元 n を持つ有限次元内積空間とする。任意の基底はちょうど n 本の線型独立なベクトルからなることを思い出そう。グラム–シュミットの正規直交化法を用いれば、任意の基底を正規直交基底に取り換えてから話を進めて良い。即ち、基底は各ベクトルが単位ノルムを持ち互いに直交するものとする。式で書けば、基底 {e1, ..., en} が正規直交であるとは、i ≠ j ならば ⟨ei, ej⟩ = 0, かつ各 i に対して ⟨ei, ei⟩ = ǁeiǁ = 1 を満足することを言う。
この正規直交基底の定義は、以下のように無限次元内積空間に対して一般化することができる。V は任意の内積空間として、ベクトルの系 E = {eα ∈ V}α∈A が V の(位相的)基底であるとは、E の元からなる有限線型結合全体の成す V の部分集合が V において(内積の導くノルムに関して)稠密となるときに言う。基底 E が V の正規直交基底であるとは、それが各添字 α, β ∈ A に対して α ≠ β ならば ⟨eα, eβ⟩ = 0 かつ ⟨eα, eα⟩ = ǁeαǁ = 1 を満足することをいう。
グラム-シュミットの方法の無限次元版を用いれば
内積は角度や長さといった言葉で幾何学的に解釈することができるので、内積空間において幾何学的な用語法を用いる動機付けを与えるものとなる。実際、コーシー=シュワルツの不等式の直接の帰結として、F = R の場合には、二つの非零ベクトル x, y の間の角を等式 angle  ( x , y ) = arccos  ⟨ x , y ⟩ ‖ x ‖ ⋅ ‖ y ‖ {\displaystyle \operatorname {angle} (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\cdot \|y\|}}} で定義することが正当化できる。ここでは角度の値を [0, π] から選ぶものとする。これは二次元ユークリッド空間における場合の対応物になっている。F = C の場合の角度(閉区間 [0, π/2] は angle  ( x , y ) = arccos  | ⟨ x , y ⟩ | ‖ x ‖ ⋅ ‖ y ‖ {\displaystyle \operatorname {angle} (x,y)=\arccos {\frac {|\langle x,y\rangle |}{\|x\|\cdot \|y\|}}} と定義するのが典型的である。このような角度の定義に呼応して、V の二つの非零ベクトル x, y が直交することの必要十分条件をそれらの内積の値が 0 となることと定める。