位相群の群環
以下、C[G] は離散群 G の群環とする。
局所コンパクト群 G に対し、G の群 C-環 C(G) は L(G) の C-展開環、すなわち π がヒルベルト空間における Cc(G) の非退化 ∗-表現の全てを亙るときの最大 C-ノルム
‖ f ‖ C ∗ := sup π ‖ π ( f ) ‖ {\displaystyle \|f\|_{C^{*}}:=\sup _{\pi }\|\pi (f)\|}
に関する Cc(G) の完備化として定義される。G が離散のときは三角不等式により、そのような π の何れに対しても三角不等式
‖ π ( f ) ‖ ≤ ‖ f ‖ 1 {\displaystyle \|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1}}
が成り立つから、このノルムは矛盾なく定まる。
定義により、C(G)は以下の普遍性を持つ。
C[G] から適当な B(H)(適当なヒルベルト空間 H 上の有界作用素全体の成す C-環)への任意の ∗-準同型は包含写像 C [ G ] ↪ C ∗ ( G ) {\displaystyle \mathbb {C} [G]\hookrightarrow C^{*}(G)} を経由する。