変分原理
{\displaystyle {\begin{aligned}E[\Psi ]&={\frac {\left\langle \Psi \right|{\hat {H}}\left|\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi |\Psi \right\rangle }}\\&={\frac {\sum _{\lambda }\sum _{\lambda '}\left\langle \psi _{\lambda }\right|c_{\lambda }^{*}{\hat {H}}c_{\lambda '}\left|\psi _{\lambda '}\right\rangle }{\sum _{\lambda }\sum _{\lambda '}\left\langle \psi _{\lambda }\right|c_{\lambda }^{*}c_{\lambda '}\left|\psi _{\lambda '}\right\rangle }}\\&={\frac {\sum _{\lambda }E_{\lambda }\left|c_{\lambda }\right|^{2}\langle \psi _{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle }{\sum _{\lambda }\left|c_{\lambda }\right|^{2}\langle \psi _{\lambda }|\psi _{\lambda }\rangle }}.\end{aligned}}}
となる。ここで固有状態の直交性を用いた。
⟨ ψ λ | ψ λ ′ ⟩ = 0 , λ ≠ λ ′ .
平衡状態において密度行列について変分を考えるギブズの変分原理がある。
変分原理(へんぶんげんり、英語: variational principle)は、変分法を用いた物理学の原理。 特に、
幾何光学においては、フェルマーの原理
電磁気学におけるディリクレの原理
古典力学、電磁気学、量子力学などにおいては、作用次元を持つので、最小作用の原理という。
変分原理は積分の形で扱うので、座標系の取り方に依存しない。従って拡張性に優れ、いろいろな分野に応用、利用される。