捩率テンソル
捩率テンソルは 2つの既約な部分に分解することができる。トレースを持たない部分とトレース項を持つもうひとつの部分である。添字表記法を使うと、T のトレースは、
a i = T k i k , {\displaystyle a_{i}=T^{k}{}_{ik},}
で与えられ、トレースを持たない部分は、
B i j k = T i j k + 1 n − 1 δ i j a k − 1 n − 1 δ i k a j {\displaystyle B^{i}{}_{jk}=T^{i}{}_{jk}+{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{j}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{k}a_{j}}
で与えられる。ここの δj はクロネッカーのデルタである。
本質的には、次式を得る。
T ∈ Hom  ( ∧ 2 T M , T M ) . {\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left(\wedge ^{2}TM,TM\right).}