対称行列
n 次実対称行列は、例えば実 n 変数の二回連続的微分可能な函数のヘッセ行列として現れる。
R 上の任意の二次形式 q は n 次対称行列 A を用いて q(x) = xAx の形に一意的に表される。上述のスペクトル論から、任意の二次形式は R の適当な正規直交基底を選べば、適当な実数 λi に対して
q ( x 1 , ... , x n ) = ∑ i = 1 n λ i x i 2 {\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}
なる形に書くことができる(ラグランジュ 1759)。これにより二次形式の、あるいは円錐曲線の一般化としての等位集合 {x : q(x) = 1} の研究は大幅に簡素化される。
任意の多変数可微分函数の二階の振舞いは、テイラーの定理の帰結
f ( x + Δ x ) ≈ f ( x ) + J ( x ) Δ x + 1 2 Δ x T H ( x ) Δ x {\displaystyle f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )\approx f(\mathbf {x} )+J(\mathbf {x} )\Delta \mathbf {x} +{\frac {1}{2}}\Delta \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }H(\mathbf {x} )\Delta \mathbf {x} }
として、その函数のヘッセ行列に付随する二次形式によって記述されるから、二次形式のスペクトル論はこの場合においてもそれなりに重要である。