3乗剰余の相互法則
1748年より前に、オイラーは小さな整数の3乗剰余性について最初の予想をしたが、彼の死後、1849年まで公表されなかった。
ガウスは、出版済みの著作において3乗剰余とその相互法則に関して3回言及している。1801年に公刊された著作 Disquisitiones Arithmeticae には、3乗剰余に関する結果が1つある。1818年には、平方剰余の相互法則の第五証明(数論のガウスの補題によるもの)と第六証明(二次のガウス和(英語版)によるもの)の導入において、これらの手法は3乗剰余および4乗剰余の相互法則(英語版)にも適用できると述べている。1832年には、4乗剰余の相互法則に関する(2つのうちの)2番目の脚注において、3乗剰余の相互法則はアイゼンシュタイン整数環によって最も簡単に記述されると述べている。
彼の日記やその他の未発表の資料からは、ガウスは1805年までに整数の3乗剰余および4乗剰余の相互法則を知っており、1814年頃にはそれらについての完全な定理とその証明を発見したようである 。これらの証明は彼の死後の論文で発見されたが、それらが彼によるものかアイゼンシュタインによるものかは明らかになっていない。
ヤコビは1827年に3乗剰余に関するいくつかの定理を証明なしに発表した。 1836年から1837年にかけてのケーニヒスベルクでの講演において、ヤコビは証明を提示したが、最初に出版された証明はアイゼンシュタインによる1844年のものである 。
フェルマーの小定理の類似物は、 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} でも成立する。 α {\displaystyle \alpha } を素数 π {\displaystyle \pi } で割り切れない元としたとき
α N ( π ) − 1 ≡ 1 mod π . {\displaystyle \alpha ^{N(\pi )-1}\equiv 1{\bmod {\pi }}.}
ここで N ( π ) ≠ 3 {\displaystyle N(\pi )\neq 3} なので N ( π ) ≡ 1 mod 3 . {\displaystyle N(\pi )\equiv 1{\bmod {3}}.} または別の言い方をすると 3 ∣ N ( π ) − 1. {\displaystyle 3\mid N(\pi )-1.