リッカチの微分方程式
へ変換できる。この微分方程式はすぐに解けて、
u = C f ( x ) + g ( x ) , f ( x ) := exp  ( ∫ d x ( X 1 + 2 X y 1 ) ) , g ( x ) := f ( x ) ∫ d x X 1 f ( x ) , {\displaystyle u=Cf(x)+g(x),\qquad f(x):=\exp \left(\int dx\left(X_{1}+2Xy_{1}\right)\right),\qquad g(x):=f(x)\int dxX{\frac {1}{f(x)}},}
を得る。ただし、 C {\displaystyle C} は積分定数である。よって、元のリッカチの微分方程式の一般解は、
y = y 1 + 1 u = y 1 + 1 C f ( x ) + g ( x ) , {\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{u}}=y_{1}+{\frac {1}{Cf(x)+g(x)}},}
として得られる。なお、リウヴィルによる証明はたとえば文献の中で解説されている。
リッカチの微分方程式(リッカチのびぶんほうていしき、英: Riccati's differential equation)は、 非線形1階常微分方程式の1つである。ヤコポ・リッカチが考察した微分方程式である。 リッカチ微分方程式ということもある。リッカチの微分方程式は解が動く真性特異点を持たない1階の常微分方程式として 理論上重要である。