連続の方程式
速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける。
0 = d d t ∫ Ω ( t ) ρ d V = ∫ Ω ( t ) ( D ρ D t + ρ ∇ ⋅ v ) d V {\displaystyle 0={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega (t)}\rho \,dV=\int _{\Omega (t)}\left({D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}\right)dV}
ここで、 D D t {\displaystyle {D \over Dt}} は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。
これより、
D ρ D t + ρ ∇ ⋅ v = 0 {\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}
速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は
j = ρ v {\displaystyle {\boldsymbol {j}}=\rho {\boldsymbol {v}}}
となる。
質量保存則から連続の式は
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v ) = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=0}
となる。
広義には、スカラー物理量 q についての保存則
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}
(ρ:q の密度、j:q の流束)
あるいは、更に一般化して、q の輸送方程式(一般の保存則)
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = σ {\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma }
(σ:q の湧き出し密度)
を指すこともある。
シュレディンガー方程式とその複素共役の式
i ħ ∂ Ψ ∂ t = − ħ 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ , − i ħ ∂ Ψ ∗ ∂ t = − ħ 2 2 m ∇ 2 Ψ ∗ + U Ψ ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ,\\-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}\end{aligned}}}
それぞれに Ψ , Ψ をそれぞれ掛けて2式の差を取ると
i ħ Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ t + i ħ Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ t = − ħ 2 2 m Ψ ∗ ∇ 2 Ψ + ħ 2 2 m Ψ ∇ 2 Ψ ∗ {\displaystyle \mathrm {i} \hbar \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\mathrm {i} \hbar \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}