多変数の微分
D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の開集合とし、
A = ( a 11 , ⋯ , a 1 n ) {\displaystyle A=({{a}_{11}},\cdots ,{{a}_{1n}})} (6-1-1)
を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、 各成分が関数である行列のことを意味する。
式(6-1-1)の A {\displaystyle A} に対し、
f ( x ) = A {\displaystyle {f}(x)=A} (6-1-2)
を充たす、一変数スカラー値関数 f {\displaystyle {f}} を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、 A {\displaystyle A} のスカラーポテンシャルという。
以下、1行n列の行列値関数 A {\displaystyle A} があたえられたとき、 A {\displaystyle A} のスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法(所謂ポアンカレの補助定理)について述べる。
一方、
lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}} = lim f ( x ) → f ( p ) ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ {\displaystyle {\underset {\mathbf {f} (\mathbf {x} )\to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}} (3-14)
f ′ ( x ) = ( ( ∂ f ∂ x 1 ) ( x ) , ⋯ , ( ∂ f ∂ x n ) ( x ) ) {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}\right)(\mathbf {x} ),\cdots ,\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\right)(\mathbf {x} )\right)} (5-2)
で定まる行列値関数であるため、
f ′ ( x ) = ∑ i = 1 n ( ( ∂ f ∂ x i ) ( x ) ) t e i {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right){\ }^{t}\mathbf {e} _{i}} (5-3)
であり、
f ′ ( x ) = ∑ i = 1 n ( ( ∂ f ∂ x i ) ( x ) ) ( r i ′ ( x ) ) {\displaystyle \mathbf {f} '(\mathbf {x} )=\sum \limits _{i=1}^{n}\left(\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{i}}}\right)(\mathbf {x} )\right)\left(r_{i}'(\mathbf {x} )\right)} (5-4)