シュテファン＝ボルツマンの法則
この法則は光子気体のエネルギー密度 u と圧力 p の関係
p = u 3 {\displaystyle p={\frac {u}{3}}}
から導くことができる。これと U = uV を熱力学的状態方程式
( ∂ U ∂ V ) T = T ( ∂ p ∂ T ) V − p {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p}
に代入することで微分方程式
d u d T = 4 u T {\displaystyle {\frac {du}{dT}}={\frac {4u}{T}}}
が得られる。これを解くことで
u ∝ T 4 {\displaystyle u\propto T^{4}}
が導かれる。