一様ノルム
lim p → ∞ ‖ f ‖ p = ‖ f ‖ ∞ ( ‖ f ‖ p = ( ∫ D | f | p d μ ) 1 / p ) {\displaystyle \lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty }\quad \left(\|f\|_{p}={\Big (}\int _{D}|f|^{p}\,d\mu {\Big )}^{\!1/p}\right)}
が成り立つことによる。ここで D は f の定義域、積分は D が離散集合のときは単なる総和で置き換えられる。
有界でない関数 f をも考慮に入れるならば、上の定義は厳密な意味でのノルムあるいは距離を導くものではない。しかしいわゆる拡張距離が得られるので、それにより考える関数空間上に位相を定義することは可能である。
二変数関数
d ( f , g ) = ‖ f − g ‖ ∞ {\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }}
は、ある特定の定義域上のすべての有界関数からなる空間(および、その任意の部分集合)上の距離となる。関数列 {fn : n = 1, 2, 3, ...} がある関数 f に一様収束するための必要十分条件は
lim n → ∞ ‖ f n − f ‖ ∞ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}
が成り立つことである。この距離位相について閉集合および閉包を定めることが出来る; 一様ノルムについての閉集合は一様閉と呼ばれ、同様に閉包は一様閉包と呼ばれる。関数からなる集合 A の一様閉包は、A 上の一様収束する関数列により近似されるようなすべての関数からなる集合である。例えば、ストーン=ワイエルシュトラスの定理の主張を「区間 [a, b] 上のすべての連続関数からなる集合は、[a, b] 上の多項式すべてからなる集合の一様閉包である」という形に述べることができる。