レーン＝エムデン方程式
となる。ここでさらに、圧力が密度のべき乗に比例するというポリトロープの関係式
P = K ρ 1 + 1 n {\displaystyle P=K\rho ^{1+{\frac {1}{n}}}}
を仮定すれば、
d d r ( r 2 ρ d P d r ) = K ( 1 + 1 n ) d d r ( r 2 ρ 1 n − 1 d ρ d r ) = − 4 π G r 2 ρ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dr}}\left({{\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}\right)&=K\left({1+{\frac {1}{n}}}\right){\frac {d}{dr}}\left({r^{2}\rho ^{{\frac {1}{n}}-1}{\frac {d\rho }{dr}}}\right)\\&=-4\pi Gr^{2}\rho \\\end{aligned}}}
となり、ρ(r )についての微分方程式が得られる。最後に、r とρを無次元数ξとθでつぎのように表す。
r = α ξ = ( ( n + 1 ) K ρ c 1 n − 1 4 π G ) 1 2 ξ {\displaystyle r=\alpha \xi =\left({\frac {(n+1)K\rho _{c}^{{\frac {1}{n}}-1}}{4\pi G}}\right)^{\frac {1}{2}}\xi }
ρ = ρ c θ n . {\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}.\,}
ρc は定数であるが、上で定めたθの境界条件よりρc はr =0における密度に等しいことが分かる。これらを代入すれば、求める方程式
1 ξ 2 d d ξ ( ξ 2 d θ d ξ ) + θ n = 0 {\displaystyle {\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0}
が得られる。なおポリトロープの関係式より、r =0における圧力Pc と、ρc との間には
P c = K ρ c 1 + 1 n {\displaystyle P_{c}=K\rho _{c}^{1+{\frac {1}{n}}}}
の関係があることも分かる。