畳み込み
適当な測度 λ を備えた群 G とその上の実または複素数値ルベーグ可積分函数 f と g が与えられれば, それらの畳み込みを
( f ∗ g ) ( x ) = ∫ G f ( y ) g ( y − 1 x ) d λ ( y ) {\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(y^{-1}x)\,d\lambda (y)}
で定義することができる. しかし一般には可換性が成り立たないことに注意すべきである.
函数 f と g がともにL(R)に属するルベーグ可積分函数ならば, それらの畳み込み f ∗ g が存在してやはり可積分である. これはトネリの定理の帰結である. このことは l に属する数列の離散畳み込みや、より一般の群上の L の畳み込みでも成立する.
同様にして, f ∈ L(R) と g ∈ L(R) が 1 ≤ p ≤ ∞ のとき, f ∗ g ∈ L(R) かつ
‖ f ∗ g ‖ p ≤ ‖ f ‖ 1 ‖ g ‖ p {\displaystyle \|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}}
を満たす. 特に p = 1 のとき, これにより L は畳み込みを積としてバナッハ代数を成す. (また, 等号成立は f と g がともに殆ど至る所非負のときである.)
より一般に, 畳み込みに対するヤングの不等式により, 畳み込み積は適当な L-空間上の連続双線型演算となることが従う. 具体的に書けば, 1 ≤ p,q,r ≤ ∞ が
1 p + 1 q = 1 r + 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}
なる関係を満足するとして,
ヒルベルト空間上のスペクトル論に従えば, S を同時対角化する正規直交基底 {hk} が存在して, これが円周上の畳み込みを特徴付ける. 具体的には
h k ( x ) = e i k x ( k ∈ Z ) {\displaystyle h_{k}(x)=e^{ikx}\quad (k\in \mathbb {Z} )}
がちょうど T の指標の全体の成す集合に一致する. この基底に属する各畳み込み作用素がコンパクト乗算作用素であることが, 上で述べた循環畳み込みに対する畳み込み定理としてみることができる.
離散畳み込みの例は位数 n の有限巡回群をとる. この場合の畳み込み作用素は巡回行列によって表現され, 離散フーリエ変換によって対角化することができる.
同様の結果が (アーベルとは限らない) コンパクト群 G に対しても知られている: 有限次元ユニタリ表現の行列要素の全体が L(G) の正規直交基底を成し (ピーター–ワイルの定理(英語版)), 適当な意味での畳み込み定理が (フーリエ変換に基づく調和解析の他の多くの側面とともに) 引き続き満足される.
それに先立ってはドイツ語: faltung(「畳み込み」)、composition product(「合成積」)、 superposition integral(「重ね合わせ積分」)などとも呼ばれ、あるいはカールソンの積分 (Carson's integral) とも言った。現代的な定義がより古い用例に馴染むわけでもないが、それでも早くは1903年ごろには出現している。
合成積の特別の場合としての演算
∫ 0 t φ ( s ) ψ ( t − s ) d s ( 0 ≤ t < ∞ ) {\displaystyle \int _{0}^{t}\varphi (s)\psi (t-s){\mathit {ds}}\quad (0\leq t<\infty )}
は Volterra (1913) "Leçons sur les fonctions de lignes" にある