類体論
類体論のもう1つの一般化は遠アーベル幾何学であり、完全な絶対ガロア群または代数的基本群(Algebraic fundamental group)の情報から元のオブジェクト(たとえば、数体またはその上の双曲線)を復元するアルゴリズムを研究するものである。
もう1つ、数論幾何における自然な展開は、高次局所体および高次大域体のアーベル拡大を構成及び理解することである。後者の高次大域体は、整数環上の有限型スキームの函数体およびその適当な局所化や完備化として生じる。「高次局所および大域類体論」は代数的 K-理論や、一次元類体論で用いられる K1 の代わりに適当なミルナー K-群を用いる。高次局所および大域類体論は、A. パーシン、加藤和也、イヴァン・フェセンコ、スペンサー・ブロック、斎藤秀司らの数学者が展開した。代数的 K-理論を用いずに高次大域類体論を展開しようとする試みもある (G. Wiesend) が、このやり方は高次局所類体論を含むものではなく、また局所理論と大域理論との間に互換性がない。
類体論の起源はガウスによって与えられた平方剰余の相互律にある。それが一般化されるまでには長きに亙る歴史的な取り組み、たとえば二次形式とその「種の理論」(英語版)(Genus of a quadratic form)、クンマー・クロネッカー・ヘンゼルなどのイデアルおよび完備化に関する業績、円分体およびクンマー拡大の理論などがあった。
最初の二つの類体論は、非常にはっきりした円分類体論と虚数乗法類体論である。これらは付加的な構造(有理数体の場合には 1 の冪根、有理数体の虚二次拡大体の場合には楕円曲線が虚数乗法を持つことと位数有限であること)が利用できる。随分後になって、志村の理論は代数的数体のクラスに対する非常に明示的な新たな類体論を与えた。これらは基礎体の具体的な構造を非常に陽に用いる理論であって、勝手な数体に対してもうまくいくように拡張することはできない。正標数 p の体に関しては、河田と佐武がヴィット双対性を用いて相互律準同型の p-成分の非常に平易な記述を得ている。
しかし、一般類体論はこういったものとは異なる概念を用い、その構成法が任意の大域体に対してうまく機能するようにしなければならない。
大きな転機となったのは1898年ヒルベルトが(狭義の)ヒルベルト類体の存在と性質を予想したことである。また彼の提起した有名な問題が更なる発展の刺激となって、高木貞治、フィリップ・フルトヴェングラー、エミール・アルティン、ヘルムート・ハッセほか多数による種々の相互律が導かれることとなった。
α と β を K の0ではない元とする。分数イデアル (α/β − 1) の分子が整イデアル m0 によって割り切れ、分母が m0 と互いに素であるとき、α と β は m0 を法として乗法合同であるという。モジュラス m の有限部分 m0 を法として α と β が乗法合同であり、かつ m を割るすべての実素点による埋め込みで α と β の符号が等しいとき、α と β はモジュラス m を法として乗法合同である、ということもある。この言葉を使うならば、Pm は m を法として1と乗法合同である元で生成される単項イデアル全体、と言い表すことができる。
イデアルの言葉による類体論は、具体的であり、多くの場合に最も便利である。しかし、モジュラス m を固定するため一度に取り扱えるのは導手が m を割る有限次アーベル拡大だけであったり、また無限次アーベル拡大が扱えないなどの短所もある。イデールの言葉による類体論では、無限次拡大も扱え、すべてのアーベル拡大を同時に取り扱える。
K を大域体、つまり代数体もしくは有限体上の1変数代数関数体とし、そのイデール群を JK、イデール類群を CK、最大アーベル拡大を K と表す。このとき、大域アルティン写像(global Artin map)、または大域相互律写像(global reciprocity map)、標準射(canonical morphism)などと呼ばれる準同型
φ K : J K → G a l ( K a b / K ) {\displaystyle \varphi _{K}:J_{K}\to \mathrm {Gal} (K^{\mathrm {ab} }/K)}
が存在して、次を満たす。
L/K を代数体の有限次アーベル拡大、m をこの拡大に対してアルティン相互法則が成り立つようなモジュラスとする。このとき、相対判別式 disc(L/K) と導手を関係づける公式
d i s c ( L / K ) = ∏ χ f χ , 0 {\displaystyle \mathrm {disc} (L/K)=\prod _{\chi }{\mathfrak {f}}_{\chi ,0}}
が知られている。ここで χ は Im/Hm の指標をすべてわたり、fχ は合同群 Ker χ に対応するアーベル拡大の導手、fχ, 0 はその有限部分である。これはハッセの判別公式(独: Führerdiskriminantenproduktformel)と呼ばれている。