ルンゲ現象
関数とN次補間多項式の誤差は、関数のN次導関数に制限される。
上記示した関数の2次までの導関数は次のようになる。
f ′ ( x ) = − 50 x ( 1 + 25 x 2 ) 2 ⇒ | f ′ ( 1 ) | = 50 26 2 ≈ 0.0740 f ′′ ( x ) = 5000 x 2 ( 1 + 25 x 2 ) − 50 ( 1 + 25 x 2 ) 2 ( 1 + 25 x 2 ) 4 ⇒ | f ′′ ( 1 ) | = 96200 26 4 ≈ 0.2105 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)=-{\frac {50x}{\left(1+25x^{2}\right)^{2}}}&\Rightarrow \left|f'(1)\right|={\frac {50}{26^{2}}}\approx 0.0740\\f''(x)={\frac {5000x^{2}(1+25x^{2})-50(1+25x^{2})^{2}}{\left(1+25x^{2}\right)^{4}}}&\Rightarrow \left|f''(1)\right|={\frac {96200}{26^{4}}}\approx 0.2105\end{aligned}}}
見ての通り、高次の導関数の方が大きくなっている。従って、(補間点間の)誤差の上限も補間多項式の次数が高くなるほど大きくなる。