ロジスティック写像
パラメータがちょうど a = 3 のときも、軌道は不動点 xf 2 = 1 − 1/a に収束する。しかし、2 < a < 3 のときよりも変数が収束する速さは遅い。a = 3 では、微分係数 f ′(xf 2) は −1 に達し、式 (3-1) を満たさなくなっている。a が 3 を過ぎると、f ′(xf 2) < −1 となり、xf 2 は不安定な不動点になる。すなわち、a = 3 でまた分岐が起こる。
a = 3 では、周期倍化分岐と呼ばれる種類の分岐が起こる。a > 3 からは、軌道は1点に収束しなくなり、十分に時間 n が進んだ後でも大きい値と小さい値を交互に取り続けるような振る舞いに変わる。例えば a = 3.3 であれば、変数は 0.4794... と 0.8236... という2つの値を交互に取り続ける。
このように同じ値を周期的に巡り続ける軌道を周期軌道と呼ぶ。今の場合、n → ∞ における変数の最終的な振る舞いは2周期の周期軌道である。周期軌道を構成する一つ一つの値(点)を周期点と呼ぶ。a = 3.3 の例で言えば、0.4794... と 0.8236... がそれぞれ周期点である。ある x が周期点だとすると、2周期点の場合は x に写像を2回適用すると元に戻るので、
という関係が成り立つ。この式にロジスティック写像の式 (1-4) を適用すると、
という4次方程式が得られる。
ロジスティック写像を生物の各世代の個体数を表すモデルと解釈すると、次の世代の個体数が現在の世代の個体数だけでなく、その1つ前の世代の個体数も現在の世代に影響する場合も考えられる。そのような例が
という差分方程式で、1つ前の世代の個体数 xn−1 がマイナスの密度効果として式に取り込まれている。xn+1 = yn とおけば、式 (6-4) は次のような2変数差分方程式に置き換えられる。
この力学系は準周期アトラクタの分岐の研究などに用いられ、遅延ロジスティック写像やディレイドロジスティックマップ(英語: delayed logistic map)と呼ばれる。遅延ロジスティック写像では a = 2 でネイマルク・サッカー分岐が起き、漸近安定な不動点が不安定になり、その不安定な不動点の周りに漸近安定な不変曲線ができる。
井上 政義・秦 浩起、1999、『カオス科学の基礎と展開 ―複雑系の理解に向けて』初版、共立出版 ISBN 4-320-03323-X
Robert L. Devaney、國府 寛司・石井 豊 ・新居 俊作・木坂 正史(新訂版訳)、後藤 憲一(訳)、2003、『カオス力学系入門』新訂版、共立出版 ISBN 4-320-01705-6
Steven H. Strogatz、田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人(訳)、2015、『ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6
合原 一幸、1993、『カオス ―まったく新しい創造の波』、講談社 ISBN 4-06-206287-9
P.コレ、J-P.エックマン、森 真(訳)、1993、『カオスの出現と消滅 ―1次元単峰写像を中心として』第1版、遊星社 ISBN 4-7952-6873-8
香田 徹、1990、「カオス概論」、合原 一幸(編)『カオス ―カオス理論の基礎と応用』初版、サイエンス社〈Information & Computing 49〉 ISBN 4-7819-0592-7
下條 隆嗣、1992、『カオス力学入門 ―古典力学からカオス力学へ』初版、近代科学社〈シミュレーション物理学6〉 ISBN 4-7649-2005-0