多項係数
非負整数列 k1, k2, ..., kr および n = k1 + k2 + ... + kr に対して、多項係数が定義される。
多項係数を直接表示すると
( n k 1 , k 2 , ... , k r ) := n ! k 1 ! ⋯ k r ! {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\dotsc ,k_{r}}}:={\frac {n!}{k_{1}!\dotsm k_{r}!}}}
となる。ここに x! は x の階乗を表す。
多項係数は帰納的に表すこともできる:
( n k 1 , ⋯ , k r ) := ( n − 1 k 1 − 1 , k 2 , ⋯ , k r ) + ⋯ + ( n − 1 k 1 , ⋯ , k r − 1 , k r − 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\cdots ,k_{r}}}:={\binom {n-1}{k_{1}-1,k_{2},\cdots ,k_{r}}}+\cdots +{\binom {n-1}{k_{1},\cdots ,k_{r-1},k_{r}-1}}}