多重対数関数
例えばdilogarithmは自然対数を用いた積分である等。
s {\displaystyle s} が負の整数値を取るとき、多重対数関数は有理関数となる。
定義式において、 z {\displaystyle z} の定義域を無視し、形式的に z = 1 {\displaystyle z=1} として、 Li s  ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)} を s {\displaystyle s} の関数とみなせば、定義式から明らかなように、リーマンゼータ関数 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} と一致する。つまり、次の関係が成り立つ。
Li s  ( 1 ) = ζ ( s ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)}
また、 z = − 1 {\displaystyle z=-1} とすれば、次の関係が成り立つ。
Li s  ( − 1 ) = ( 2 1 − s − 1 ) ζ ( s ) {\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=(2^{1-s}-1)\zeta (s)}
多重対数関数はフェルミ分布関数およびボース分布関数の積分を閉じた式で書くときに必要になり、そのような場合にはフェルミ=ディラック積分およびボース=アインシュタイン積分と呼ばれることもある。
多重対数関数(polylogarithm)をen:polylogarithmicな関数と混同しないよう注意すること。また、似た記法の補正対数積分とも混同しやすい。