ホモロジカルミラー対称性予想
開いた弦については、超対称性を保存する境界条件を導入する必要がある。A-モデルでは、この境界条件として追加された構造(ブレーン構造と言う)を持った Y 上のラグランジアン部分多様体から導出される。B-モデルは、境界条件として X の上の正則(もしくは代数的)ベクトルバンドルを持つ部分多様体から導出される。これらは適当な圏を形成する対象で、AブレーンやBブレーンということもある。圏のモルフィズムは2つのブレーンの間に張られた開いた弦の無質量なスペクトルにより与えられる。
A-モデルとB-モデルの閉じた弦は、単純に弦理論の全体の一部(トポロジカルセクター)と考えられ、また同様に、これらのモデルのブレーン構造は、Dブレーンという力学的対象全体の位相的な近似と考えられる。しかし、弦理論のこの部分から出てくる数学的結果は深く、また難しい問題である。
ところで、3-次元の場合(この場合を通常はカラビ・ヤウ多様体と呼ぶ)には、面白いことが起きる。ホッジダイアモンドが対角線(斜め線)を中心線として対称なホッジ数を持つペア M と W が存在することがある。
M のダイアモンド:
W のダイアモンド:
この場合には、M と W は弦理論のA-モデルとB-モデルに対応する。なお、ミラー対称性は、ホモロジカルな次元を入れ替えるだけでなく、ミラーペアの上のシンプレクティック構造と複素構造を入れ替える。
1990-1991年に、Philip Candelas, Xenia C. de la Ossa, and Paul S. Green et al. (1991) は、数え上げ代数幾何学のみならず、数学全体へ大きな影響をもち、Kontsevich (1994)への動機ともなった。この論文の中のクインティックスリーフォールドのホッジダイアモンドは、次の 2つのホッジダイアモンドとなる。