分解型複素数
これは以下の事実
‖ z w ‖ = ‖ z ‖ ‖ w ‖ {\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert }
から従う。一般符号数を持つノルム代数の詳細は (Harvey 1990) を参照。
定義により、分解型複素数の環は位数 2 の巡回群 C2 に対する実数体 R 上の群環 R[C2] に同型であることが従う。
分解型複素数全体の環はクリフォード代数の特別の場合で、正定値二次形式を備えた一次元ベクトル空間上のクリフォード代数になっている。対して通常の複素数は負定値二次形式を備えた一次元ベクトル空間上のクリフォード代数である。この枠組みにおける分解型複素数はクリフォード代数 Cl 1,0 (R) = Cl 01,1 (R) の元のことである。実数を同様に拡張して複素数を C ≔ Cl 0,1 (R) = Cl 02,0 (R) と定義することができる。
分解型複素数の名称は著者によってかなりバラつきがある。いくつか挙げれば
実テッサリン:(real) tessarine, James Cockle (1848)
代数的運動子:(algebraic) motor, William Kingdon Clifford (1882)
双曲(型)複素数:hyperbolic complex number, J.C. Vignaux (1935) および G. Sobczyk (1995)
反複素数、双曲数:countercomplex or hyperbolic number(ハイパー数の一部として)
二重数:double number, Isaak Yaglom (1968) および Encyclopedia of Mathematics の "Double and dual numbers" の項
異常複素数:anormal-complex number, W. Benz (1973)
双数:dual number, Louis Kauffman (1985) および J. Hucks (1993)
当惑数、複雑数:perplex number, P. Fjelstad (1986) [同定は De Boer (1987) を見よ]
ローレンツ数:Lorentz number, F. R. Harvey (1990)
分裂複素数、分解型複素数:split-complex number, B. Rosenfeld (1997)
分解型複素数やその高次元版(分解型四元数や分解型八元数)はシャルル・ミュゼ(英語版)が考案したハイパー数(英語版)計画の部分集合であるため、「ミュゼ数」としてたびたび言及される。