コットンテンソル
R ~ λ μ α β = R λ μ α β + ∇ α S β μ λ − ∇ β S α μ λ + S α ρ λ S β μ ρ − S β ρ λ S α μ ρ {\displaystyle {{\widetilde {R}}^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }}
n {\displaystyle n} -次元多様体では、リッチテンソルは縮約したRiemannテンソルで表すことで、次の式になることが分かる。
R ~ λ μ α β = R λ μ α β + ∇ α S β μ λ − ∇ β S α μ λ + S α ρ λ S β μ ρ − S β ρ λ S α μ ρ {\displaystyle {{\widetilde {R}}^{\lambda }}{}_{\mu \alpha \beta }={R^{\lambda }}_{\mu \alpha \beta }+\nabla _{\alpha }S_{\beta \mu }^{\lambda }-\nabla _{\beta }S_{\alpha \mu }^{\lambda }+S_{\alpha \rho }^{\lambda }S_{\beta \mu }^{\rho }-S_{\beta \rho }^{\lambda }S_{\alpha \mu }^{\rho }}