超準解析
写像 ∗ {\displaystyle \ast } は V ( S ) {\displaystyle V(S)} と ∗ V ( S ) {\displaystyle {}^{\ast }V(S)} の形式的性質を関連付ける。さらに、飽和性のより簡素な形である可算飽和性を考えることもできる。この簡素化されたアプローチはモデル理論やロジックの専門家ではない数学者が超準解析を使用する場合により適している。なぜなら、可算飽和性を満たすモデルは前述したフレシェ超フィルターによる超冪によって構成でき、各々の超準的対象は「標準的対象の可算列の同値類」という具体的な描像を持つからである。(一方、より飽和性の高いモデルの構成には、善良超フィルターや初等鎖の極限など、より高度な集合論的・モデル論的な道具立てを必要とする。)
「構文論的アプローチ」は数理論理学とモデル理論に関して遥かに少ない理解と使用を要する。このアプローチは1970年代半ばに数学者エドワード・ネルソン(英語版)によって開発せられた。ネルソンは内的集合論(英語版)(IST)と彼が呼ぶ完全に公理的な超準解析の定式化を導入した。
アブラハム・ロビンソンの書 Non-standard analysis は1966年に出版された。この本で開発された幾つかのトピックは、彼の1961年の同名の論文(Robinson 1961)で既に与えられている。この本は、超準解析の最初の完全な取扱いを含むことの他にも、詳細な歴史的な章を含んでいる。そこでロビンソンは、無限小が矛盾した量であるという超準解析以前(pre-NSA)の認識に基づく、数学の歴史に関する広く信じられている幾つかの見解に挑戦している。ロビンソンは、連続関数の級数の収束に関するオーギュスタン=ルイ・コーシーの Cours d'Analyse にある "sum theorem" が誤りであるという考え方に挑み、この"定理"の仮定に無限小に基く解釈を与えて正しい定理になるようにすることを目論んだ。
超準解析を考えることには少なくとも3つの理由(歴史的、教育的、技術的)がある。
Wilkie: Gromov's Theorem on Groups of Polynomial Growth and Elementary Logic, Journal of Algebra, Vol 89, 1984.
↑ Manevitz, Larry M.; Weinberger, Shmuel: Discrete circle actions: a note using non-standard analysis. Israel J. Math. 94 (1996), 147--155.
↑ Stroyan, K. D. and Luxemburg, W. A. J. Introduction to the theory of infinitesimals. New York-London, Academic Press (1976)
↑ McCord, M. C. Non-standard analysis and homology, Fundamenta Mathematicae, 74, 21-28 (1972)
↑ Zivaljevic, Rade T. Infinitesimals, Microsimplexes and Elementary Homology Theory, The American Mathematical Monthly 93(7), 540-544 (1986)
↑ S. Mardesic, J. Segal. Shape Theory: The Inverse System Approach, North-Holland, 1982.
↑ Garavaglia, Steven.
より精密には χ ( X ) {\displaystyle \chi (X)} -飽和性があれば十分である。ここで χ ( X ) {\displaystyle \chi (X)} は X {\displaystyle X} の指標を表す。この事実は、開集合、連続写像、コンパクト性などの概念の標準的な定義と超準的な定義との同値性を示すのに使われる。一方、実数全体 R {\displaystyle \mathbb {R} } は第一可算であるので、初等的な解析学に関する限り、可算飽和性があれば十分である。
いかなる基数 κ {\displaystyle \kappa } に対しても、( κ {\displaystyle \kappa } を固定する毎に) κ {\displaystyle \kappa } -飽和的な拡大を構成できる。 集合論(の十分大きい部分(例えば上部構造))の超準モデル M {\displaystyle M} が κ {\displaystyle \kappa } -飽和的なとき、 M {\displaystyle M} の内的な無限集合の濃度は κ {\displaystyle \kappa } より大きい。特に台集合 M {\displaystyle M} の濃度は κ {\displaystyle \kappa } より大きい。
一方で次の飽和原理の弱い形である広大化(enlargement)の原理は基数の制限を除くことができる。
位相空間論への最初の包括的な応用はロビンソンによる前掲書において与えられた。彼は距離空間および一般の位相空間における基本的な概念の超準的な特徴付けを与え、それを標準的な定理の証明に応用した。とりわけ次に示すコンパクト性の超準的特徴付けは、位相空間論に限らず、超準解析の応用に於いて広く用いられている。とくに、超準解析による最初期の成果であるBernstein-Robinsonの定理は、この特徴付けを利用している。
定理. 位相空間 X {\displaystyle X} がコンパクトであるのは ∗ X {\displaystyle {}^{\ast }X} の全ての点が近標準的(nearstandard)であるときである。ここで超準点 x ∈ ∗ X {\displaystyle x\in {}^{\ast }X} が近標準的とは、ある標準点 y ∈ X {\displaystyle y\in X} に対して x ∈ μ X ( y ) := ⋂ { ∗ U ∣ y ∈ U : open } {\displaystyle x\in \mu _{X}(y):=\bigcap \{{}^{\ast }U\mid y\in U\colon {\mbox{open}}\}} が成り立つときを言う。
位相空間論へのさらなる応用はStroyan and Luxemburgに見られる。