ラグランジュの定理 (群論)
位数 p の巡回群 (Z/pZ) の乗法群 (Z/pZ) = {1, 2, 3, ... , p - 1} は位数 p - 1 の有限群になるから、(Z/pZ) の任意の元を a とすると、ラグランジュの定理の系(2) より、a = 1 が成り立つ。したがって、a ∈ {1, 2, 3, ..., p - 1} のとき a - 1 が素数 p で割り切れるから、a ≡ 1 (mod p) となる。よって、x ≡ a (mod p) のとき、x ≡ a (mod p) が成り立つので、x ≡ 1 (mod p) を得る。
より一般に、合成数 n についても乗法群 (Z/nZ) を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。
群 G の任意の元 g で生成される巡回群 ⟨g⟩を考えればよい。巡回群 ⟨g⟩は G の部分群になるので、その位数 |⟨g⟩| は群 G の位数 |G| を割り切ることになる。
群論において、ラグランジュの定理(英語:Lagrange's theorem)とは、次のような定理である。
ラグランジュの定理 ― G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき |G| = [G : H] |H| が成り立つ。ただし、[G : H] は G における H の指数である。
[G : H] に関しては#同値類による指数を参照。