シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
ラマヌジャンは、現在ラマヌジャンのデルタと呼ばれている次の保型形式を計算した。
Δ = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x n ) 24 = ∑ n = 1 ∞ τ ( n ) x n {\displaystyle \Delta =x\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{24}=\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)x^{n}}
彼は x のべきの係数 τ ( n ) {\displaystyle \tau (n)} が乗法的な関数であることを見抜き、さらにそこから
∑ n = 1 ∞ τ ( n ) n − s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)n^{-s}}
を考えて、そのオイラー積表示
∏ p 1 1 − τ ( p ) p − s + p 11 − 2 s {\displaystyle \prod _{p}{\frac {1}{1-\tau (p)p^{-s}+p^{11-2s}}}}
を与えた。このオイラー積には p という p の2次の因子が現れており、このようなオイラー積はラマヌジャンによって初めて発見されたものである(「2次のゼータ」の発見)。