汎函数微分
となる。この例は考える汎函数が、函数 ρ(r) とその勾配 ∇ρ(r) のみに依存するという特別な場合を示している。より一般には、汎函数は高次の導函数を含む
F [ ρ ( r ) ] = ∫ f ( r , ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) , ∇ 2 ρ ( r ) , ... , ∇ N ρ ( r ) ) d r {\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{2}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{N}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}}}
なる形も想定しなければならない。ここで ∇ は各第 n-成分が何れも i-階偏微分作用素、つまり
∂ i / ( ∂ r 1 i 1 ∂ r 2 i 2 ... ∂ r n i n ) ( i 1 + i 2 + ⋯ + i n = i ) {\displaystyle \partial ^{i}/(\partial r_{1}^{i_{1}}\,\partial r_{2}^{i_{2}}\dots \partial r_{n}^{i_{n}})\quad (i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{n}=i)}