コーシー＝コワレフスカヤの定理
∂ k u i ∂ t k ( 0 , x ) = w i k ( x ) ( 1 ≤ i ≤ m , 0 ≤ k ≤ p i − 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u_{i}}{\partial t^{k}}}(0,x)=w_{ik}(x)\quad (1\leq i\leq m,0\leq k\leq p_{i}-1)}
の下に考える。各Fi (1 ≤ i ≤ m)は、左辺に現れる ∂ p i u i / ∂ t p i {\displaystyle \partial ^{p_{i}}u_{i}/\partial t^{p_{i}}} の項は含まず、正規形(normal form)であるとする。
ここでFi (1 ≤ i ≤ m)は、全変数 t , x , u 1 , ... , u m , ... , ( ∂ | ν | u j / ∂ t ν 0 ∂ x 1 ν 1 ⋯ ∂ x n ν n ) , ... {\displaystyle t,x,u_{1},\dotsc ,u_{m},\dotsc ,(\partial ^{|\nu |}u_{j}/\partial t^{\nu _{0}}\partial x_{1}^{\nu _{1}}\dotsb \partial x_{n}^{\nu _{n}}),\dotsc } について、(0,0,...,0)の近傍で収束べき級数を持つ、すなわち解析的(C級)であるとし、wik(x) (1 ≤ i ≤ m, 0 ≤ k ≤ pi-1)もx=0の近傍で解析的であるとする。このとき、上記の偏微分方程式の初期問題を満たす解析的な解ui(t, x) (1 ≤ i ≤ m)が(t,x)=(0,0)の近傍で一意的に存在する。