平均
系列データ を平滑化する手法である。画像や音声等、デジタル信号処理に留まらず、テクニカル分析などの金融分野、気象、水象を含む計測分野等、広い技術分野で使われている。
加重平均も同様にベクトルに拡張でき、
w 1 x 1 + ⋯ + w n x n w 1 + ⋯ + w n {\displaystyle {\frac {w_{1}{\boldsymbol {x}}_{1}+\dots +w_{n}{\boldsymbol {x}}_{n}}{w_{1}+\dots +w_{n}}}}
と定義される。
m乗平均・一般化平均はスカラー
‖ x 1 ‖ m + ⋯ + ‖ x n ‖ m n , ‖ x 1 ‖ m + ⋯ + ‖ x n ‖ m n m {\displaystyle {\frac {\|{\boldsymbol {x}}_{1}\|^{m}+\dots +\|{\boldsymbol {x}}_{n}\|^{m}}{n}},\quad {\sqrt[{m}]{\frac {\|{\boldsymbol {x}}_{1}\|^{m}+\dots +\|{\boldsymbol {x}}_{n}\|^{m}}{n}}}}
として定義される。
↑ 最小二乗法において、加重和の最小化と加重平均の最小化は同じことである。
データの値それぞれに不均等な重みがある場合は、単に相加平均をとるのでなく重みを考慮した平均をとるべきである。各値 xi に、重み wi がついているときの加重平均(重み付き平均)は
w 1 x 1 + ⋯ + w n x n w 1 + ⋯ + w n {\displaystyle {\cfrac {w_{1}x_{1}+\dots +w_{n}x_{n}}{w_{1}+\dots +w_{n}}}}
と定義される。特に全ての重みが等しければ、これは通常の相加平均である。
例えば、重み付き最小二乗法では、誤差の小さなデータに大きな重みを与えた残差の加重平均を最小化することで、尤度の最大化を図る。重点サンプリング(英語版)によって期待値をモンテカルロ推定するときは、求めたい期待値に関する確率密度とサンプルの確率密度の比を重みとした加重平均を推定量とする。
相乗平均についての重み付き平均は
( x 1 w 1 ⋯ x n w n ) 1 / p {\displaystyle \left({x_{1}}^{w_{1}}\dotsb {x_{n}}^{w_{n}}\right)^{1/p}}
と定義される。ただし p = ∑ i = 1 n w i {\displaystyle p=\sum _{i=1}^{n}w_{i}} とする。
n個の実数が全て正の時、次の大小関係が成り立つ。
相加平均 ≥ 相乗平均 ≥ 調和平均
x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ x 1 x 2 ⋯ x n n ≥ n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}
等号成立条件は
x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
である。
左側の不等式は、両辺に対数をとりlogの凸性(イェンセンの不等式)を適用すれば証明できる(数学的帰納法を使った別証明も知られている)。右側の不等式は、調和平均が逆数の相加平均の逆数という事実を左側の不等式に適用すれば証明できる。
さらに拡張した p一般化平均 ( 1 n ∑ i = 1 n x i p ) 1 / p {\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\right)^{1/p}} (p は実数)について、一般には p の広義増加関数となる。p = 1 のとき相加平均、p = −1 のとき調和平均、p → 0 のとき極限として幾何平均になる(#一般化平均を参照)。
算術平均(さんじゅつへいきん、英: arithmetic mean, 独: arithmetisches Mittel, 仏: moyenne arithmétique)とも呼ぶ。
相加平均は
μ = 1 n ∑ i = 1 n x i = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n {\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\dfrac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}}
で定義される。式変形して
n μ = ∑ i = 1 n x i = x 1 + x 2 + ⋯ + x n {\displaystyle n\mu =\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}
と表すこともできる。
x 1 , x 2 , ... , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} の相加平均を x ̄ {\displaystyle {\bar {x}}} とも表す。
相加平均は、加法とスカラー倍が定義された数(実数、複素数、ベクトル等)に対して定義できる。