ヤングの定理
一階微分作用素 Di をユークリッド空間上の無限小作用素(英語版)と考える。つまり、Di はある意味 xi 軸に平行な変換の 1-パラメータ群(英語版)を生成する。これらの群は互いに交換し、したがって無限小生成元もそうである。リーブラケット
[ D i , D j ] = 0 {\displaystyle \left[D_{i},D_{j}\right]=0}
はこの性質の反映である。言い換えると、別の座標に関する 1 つの座標のリー微分は 0 である。
f の二階偏導関数からなる n × n の行列 fij は f のヘッセ行列と呼ばれる。主対角線を除いた成分は混合導関数(英: mixed derivative)である。つまり、異なる変数に関する逐次導関数である。
大抵の「実生活の」状況においてはヘッセ行列は対称である。しかしながら、対称性を持たない関数の例はとても多く、解析学は、関数 f にこの対称性を仮定することが、単に f の二階導関数が特定の点で存在することよりも強い要求であることを明らかにする。シュワルツの定理はこれが起こる f についての十分条件を与える。