カルマンフィルター
情報フィルターもしくは逆共分散フィルターにおいては、カルマンフィルターにおける推定された共分散と状態が、各々フィッシャー情報行列と情報ベクトルに置き換わる。
Y k | k ≜ P k | k − 1 {\displaystyle Y_{k|k}\triangleq P_{k|k}^{-1}} y ^ k | k ≜ P k | k − 1 x ^ k | k {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k}\triangleq P_{k|k}^{-1}{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k}}
同様に、予測された共分散と状態は情報形式と等価になり、以下と定義する。
Y k | k − 1 ≜ P k | k − 1 − 1 {\displaystyle Y_{k|k-1}\triangleq P_{k|k-1}^{-1}} y ^ k | k − 1 ≜ P k | k − 1 − 1 x ^ k | k − 1 {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k-1}\triangleq P_{k|k-1}^{-1}{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}
観測共分散と観測ベクトルがあるとして、以下で定義する。
となり、さらに変形
P k | k = ( I − K k H k ) c o v ( x k − x ^ k | k − 1 ) ( I − K k H k ) T + K k c o v ( v k ) K k T {\displaystyle P_{k|k}=(\mathrm {I} -K_{k}H_{k})\mathrm {cov} ({\boldsymbol {x}}_{k}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1})(\mathrm {I} -K_{k}H_{k})^{\textrm {T}}+K_{k}\mathrm {cov} ({\boldsymbol {v}}_{k})K_{k}^{\textrm {T}}}
して、前述の不偏量 Pk|k-1 と、観測誤差共分散 Rk を用いて、
P k | k = ( I − K k H k ) P k | k − 1 ( I − K k H k ) T + K k R k K k T {\displaystyle P_{k|k}=(\mathrm {I} -K_{k}H_{k})P_{k|k-1}(\mathrm {I} -K_{k}H_{k})^{\textrm {T}}+K_{k}R_{k}K_{k}^{\textrm {T}}}
を得る。この式は、 Kk がどんな値であっても成立するが、 Kk が、最適カルマンゲインの時は、以下のようにさらに簡略化される。
有本卓:「カルマン・フィルター」、産業図書、ISBN 978-4782852545(1977年)。
片山徹:「新版 応用カルマンフィルタ」、朝倉書店、ISBN 978-4254201017(2000年2月1日)。
片山徹:「非線形カルマンフィルタ」、朝倉書店、ISBN 978-4254201482 (2011年11月30日)。
足立修一、丸田一郎:「カルマンフィルタの基礎」、東京電機大学出版局、ISBN 978-4501328900(2012年10月10日)。
野村俊一:「カルマンフィルタ:Rを使った時系列予測と状態空間モデル」、共立出版、ISBN 978-4320112537 (2016年9月8日)。
大住晃、亀山建太郎、松田吉隆:「カルマンフィルタとシステムの同定:動的逆問題へのアプローチ」、森北出版、 ISBN 978-4627922112(2016年11月)。
森平爽一郎:「経済・ファイナンスのためのカルマンフィルター入門」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-12841-3(2019年2月1日)。
w k ∼ N ( 0 , Q k ) {\displaystyle {\boldsymbol {w}}_{k}\sim N(0,Q_{k})}
これがシステムの状態の遷移を記述する状態方程式である。
ある時刻 k {\displaystyle k} において、観測量(測定量) z k {\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}} は、真の(すなわち観測不可能な)状態 x k {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}} と、以下のような関係にある。
z k = H k x k + v k {\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}=H_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}}
ここに、 H k {\displaystyle H_{k}} は状態空間を観測空間に線形写像する役割を担う観測モデルで、 v k {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k}} は、共分散行列 R k {\displaystyle R_{k}} かつ零平均の多変数正規(ガウス)分布に従うような雑音である(観測雑音 (observation noise) )。