パラコンパクト空間
連続性を証明するために、 x , N {\displaystyle x,N\,} を前のようにとり S = { U ∈ O : N meets U } {\displaystyle S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,} とする。これは有限である。すると f ↾ N = ∑ U ∈ S f U ↾ N {\displaystyle f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,} であり、これは連続関数である; したがって f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} の近傍の f {\displaystyle f\,} のもとでの原像は x {\displaystyle x\,} の近傍になる。
定理の証明 — O ∗ {\displaystyle {\mathcal {O}}*\,} を細分被覆 { V open : ( ∃ U ∈ O ) V ̄ ⊆ U } {\displaystyle \{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,} の局所有限部分被覆とする。
パラコンパクト空間はハウスドルフであることも要求されることがあり、性質が拡大する。
(Theorem of Jean Dieudonné) すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間は正規である。
すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間は shrinking space(英語版) である、つまり、パラコンパクトハウスドルフ空間のすべての開被覆は shrinking、すなわち同じ集合によって添え字づけられた別の開被覆であって新しい被覆の各集合の閉包が古い被覆の対応する集合の中にあるようなもの、を持つ。
パラコンパクトハウスドルフ空間上、層係数コホモロジーとチェックコホモロジー(英語版)は等しい。