空間 (数学)
滑らかな多様体(可微分多様体)は、殊更に「空間」と呼びはせずとも、空間と考えることができる。定義により、与えられた滑らかな多様体において、滑らかな函数(可微分函数)、滑らかな道、滑らかな写像などから接空間が生じる。任意の滑らかな多様体は位相多様体であり、また有限次元線型空間における滑らかな曲面(多面体などではなく楕円面のような曲面)は滑らかな多様体である。任意の滑らかな多様体は、適当な次元の有限次元線型空間に埋め込むことができる。滑らかな多様体上の滑らかな道は、各点においてその点に付随する接空間に属する接ベクトルを持つ。n-次元可微分多様体に対する接空間は n-次元線型空間になる。滑らかな函数は各点において(接空間上の線型汎函数としての)微分を持つ。実(または複素)有限次元の線型、アフィン、および射影空間はそれぞれ滑らかな多様体と考えることもできる。
リーマン多様体あるいはリーマン空間は、接空間が(適当な条件を満たす)内積を持つような可微分多様体である。例えばユークリッド空間やユークリッド空間内の滑らかな曲面はリーマン空間になる。また、双曲的非ユークリッド空間もリーマン空間である。リーマン空間内の曲線は長さを持ち、最短曲線の長さによって距離が定められるから、リーマン空間は滑らかな多様体であるとともに距離空間でもある。また二つの曲線の間の角度が、それらの曲線の交点における接線の間の角度によって与えられる。
接空間上で内積の正値性を落としたものを考えれば、一般相対論で非常に重要となる、擬リーマン空間(特にローレンツ空間)を得る。