乗法列の種数
ウィッテン種数(Witten genus)は、次の特性べき級数に関連した種数である。
Q ( z ) = z / σ L ( z ) = exp  ( ∑ k ≥ 2 2 G 2 k ( τ ) z 2 k ( 2 k ) ! ) {\displaystyle Q(z)=z/\sigma _{L}(z)=\exp \left(\sum _{k\geq 2}{2G_{2k}(\tau )z^{2k} \over (2k)!}\right)}
ここに σL は格子 L のワイエルシュトラスのシグマ函数(英語版)であり、G はアイゼンシュタイン級数の積である。
第一ポントリャーギン類がゼロとなるコンパクト向き付け可能で滑らかな 4k 次元多様体のウィッテン種数は、整数係数のウェイト 2k のモジュラ形式(modular form)である。
L-種数(L genus)は形式的べき級数
z tanh  ( z ) = ∑ k ≥ 0 2 2 k B 2 k z k ( 2 k ) ! = 1 + z 3 − z 2 45 + ⋯ {\displaystyle {{\sqrt {z}} \over \tanh({\sqrt {z}})}=\sum _{k\geq 0}{2^{2k}B_{2k}z^{k} \over (2k)!}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\cdots }
の種数であり、ここに B 2 k {\displaystyle B_{2k}} はベルヌーイ数である。
いくつかの最初の項を挙げると、
L 0 = 1 {\displaystyle L_{0}=1}
L 1 = p 1 / 3 {\displaystyle L_{1}=p_{1}/3}
L 2 = ( 7 p 2 − p 1 2 ) / 45. {\displaystyle L_{2}=(7p_{2}-p_{1}^{2})/45.}
ここで、M をポントリャーギン類 p i = p i ( M ) {\displaystyle p_{i}=p_{i}(M)} を持つ閉じた向き助可能で滑らかな次元 4n の多様体とする。