自由代数
に語の積が結合となる R-双線型な積が入ったものである、ただし X* は X 上の自由モノイド(すなわちアルファベット Xi 上の語すべてからなるモノイド)を表し、 ⊕ {\displaystyle \oplus } は外部直和を表し、Rw は1元、語 w 上の自由 R 加群を表す。
例えば、R⟨X1,X2,X3,X4⟩ において、スカラー α, β, γ, δ ∈ R に対して、2元の積の具体例は ( α X 1 X 2 2 + β X 2 X 3 ) ⋅ ( γ X 2 X 1 + δ X 1 4 X 4 ) = α γ X 1 X 2 3 X 1 + α δ X 1 X 2 2 X 1 4 X 4 + β γ X 2 X 3 X 2 X 1 + β δ X 2 X 3 X 1 4 X 4 {\displaystyle (\alpha X_{1}X_{2}^{2}+\beta X_{2}X_{3})\cdot (\gamma X_{2}X_{1}+\delta X_{1}^{4}X_{4})=\alpha \gamma X_{1}X_{2}^{3}X_{1}+\alpha \delta X_{1}X_{2}^{2}X_{1}^{4}X_{4}+\beta \gamma X_{2}X_{3}X_{2}X_{1}+\beta \delta X_{2}X_{3}X_{1}^{4}X_{4}} である。
自由 R-代数 R⟨X⟩ は自由モノイド X* の R 上のモノイド環 R[X*] と同一視できる。