現代ポートフォリオ理論
3つの資産からなるポートフォリオの収益率の分散: σ p 2 = w A 2 σ A 2 + w B 2 σ B 2 + w C 2 σ C 2 + 2 w A w B ρ A B σ A σ B + 2 w A w C ρ A C σ A σ C + 2 w B w C ρ B C σ B σ C = ( w A w B w C ) ( σ A 2 ρ A B σ A σ B ρ A C σ A σ C ρ A B σ A σ B σ B 2 ρ B C σ B σ C ρ A C σ A σ C ρ B C σ B σ C σ C 2 ) ( w A w B w C ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{p}^{2}&=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}+2w_{A}w_{C}\rho _{AC}\sigma _{A}\sigma _{C}+2w_{B}w_{C}\rho _{BC}\sigma _{B}\sigma _{C}\\&=\left({\begin{matrix}w_{A}&w_{B}&w_{C}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\sigma _{A}^{2}&\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}&\rho _{AC}\sigma _{A}\sigma _{C}\\\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B}&\sigma _{B}^{2}&\rho _{BC}\sigma _{B}\sigma _{C}\\\rho _{AC}\sigma _{A}\sigma _{C}&\rho _{BC}\sigma _{B}\sigma _{C}&\sigma _{C}^{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}w_{A}\\w_{B}\\w_{C}\end{matrix}}\right)\end{aligned}}}
金融資産の数 n {\displaystyle n} が大きい時は行列による表現が用いられる。
現代ポートフォリオ理論の仮定の一つとして、投資家は自身の投資の収益率の分布についてその平均と分散のみを考慮し、歪度や尖度といった他の分布の特徴には関心を持たないことがある。このように平均と分散のみに着目したポートフォリオ選択理論を平均分散分析(英: mean-variance analysis)と呼ぶ。このような投資家の選好は平均分散型効用関数や期待効用関数であれば、2次効用関数、あるいは収益率の分布が同時正規分布に従う場合に正当化される。
上記の数学的な表現から無リスク資産が存在する場合の投資家のポートフォリオ選択問題は以下のようになる。ただし、リスク資産 i {\displaystyle i} に対して自己の資金を 100 w i {\displaystyle 100w_{i}} パーセント投資し、無リスク資産に対して自己の資金を 100 ( 1 − ∑ i = 1 n w i ) {\displaystyle 100\left(1-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)} パーセント投資するものとする。
min σ p 2 {\displaystyle {\mbox{min }}\sigma _{p}^{2}}
subject to ( 1 − ∑ i = 1 n w i ) r f + ∑ i = 1 n E  ( R i ) w i = μ p {\displaystyle {\mbox{subject to }}\left(1-\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)r_{\mathrm {f} }+\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (R_{i})w_{i}=\mu _{p}}