単調収束定理
全ての自然数 j および k に対して、aj,k は非負の実数かつ aj,k ≤ aj+1,k であるなら、
lim j → ∞ ∑ k a j , k = ∑ k lim j → ∞ a j , k {\displaystyle \lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}}
が成立する(例えばの p.168 を参照されたい)。
この定理では、
各列が弱増加かつ有界、および
各行に対して、その行の成分によって項が構成される級数が収束する
という性質が成り立つ、非負の無限実行列に対して、その行の和の極限が、列 k の極限によって項 k の与えられる級数の和に等しい(それはまた上限でもある)ということが述べられている。その級数が収束するための必要十分条件は、行和の(弱増加)列が有界で、したがって収束することである。
一例として、行の級数
( 1 + 1 n ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) / n k = ∑ k = 0 n 1 k ! × n n × n − 1 n × ⋯ × n − k + 1 n , {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}/n^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\times {\frac {n}{n}}\times {\frac {n-1}{n}}\times \cdots \times {\frac {n-k+1}{n}},}
(X, Σ, μ) を測度空間とする。 f 1 , f 2 , ... {\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots } を、[0, ∞] に値を取る Σ-可測関数の各点非減少列とする。すなわち、すべての k ≥ 1 および x ∈ X {\displaystyle x\in X} に対して
0 ≤ f k ( x ) ≤ f k + 1 ( x ) {\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\,}
が成立するものとする。また、その列 ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} の各点極限を f と定める。すなわち、すべての x ∈ X {\displaystyle x\in X} に対して
f ( x ) := lim k → ∞ f k ( x ) {\displaystyle f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)\,}
が成立するものとする。このとき f は Σ-可測であり、
lim k → ∞ ∫ f k d μ = ∫ f d μ {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int f_{k}\,\mathrm {d} \mu =\int f\,\mathrm {d} \mu }