立体角
立体角(りったいかく、英語: solid angle)とは、二次元における角(平面角)の概念を三次元に拡張したものである。
われわれに馴染みの深い平面上における角とは、平面上の一点(角の頂点)から出る二つの半直線によって区切られた部分のことをいい、この2半直線の開き具合を角度という。角度は、角の頂点を中心とする半径1の円から、2半直線が切り取る円弧の長さで表すことができる。
これを拡張し、空間上における立体角とは、空間上の一点(角の頂点)から出る半直線が動いてつくる錐体面によって区切られた部分のことをいい、この錐体面の開き具合を立体角という。立体角は、角の頂点を中心とする半径1の球から、錐体面が切り取る曲面の面積で表すことができる。
空間内の曲面 S の張る原点の周りの立体角は積分
ω ( S ) = ∫ S r ⋅ d S r 3 = ∫ S sin  θ d θ d φ {\displaystyle \omega (S)=\int _{S}{\frac {{\boldsymbol {r}}\cdot d{\boldsymbol {S}}}{r^{3}}}=\int _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\phi }