ヒルベルト類体
ヒルベルト類体を使うと次のような論法でイデアル類群の性質を調べることができる。まずイデアル類群をヒルベルト類体を使ってガロア群と解釈する。ガロア群の性質を分岐理論などの代数的整数論や体論を使って調べる。調べたことを今度はガロア群をイデアル類群と解釈してイデアル類群の性質に翻訳する。
この論法が使われる例としてフルトヴェングラーの定理の証明を見る。
フルトヴェングラーの定理 l を素数、k′/k を体拡大でともに l ベキ分体に含まれるとする。つまり、ある自然数 n と1の l 乗根 ζl があって、k と k′ は Q(ζl) に含まれているとする。このとき k の類数 h は k′ の類数 h′ を割り切る。
この証明には先の論法で「イデアル類群」「ガロア群」をそれぞれ「類数」「体の拡大次数」に置き換えたより簡単な論法が使われる。具体的には次の通り。まず K を k のヒルベルト類体、K′ を k′ のヒルベルト類体とする。それぞれの拡大次数は h と h′ であるので、類数を体の拡大次数と解釈することができた。次にこの拡大次数を調べる。K は k の不分岐アーベル拡大なので、K と k′ の合成体 Kk′ は k′ 上の不分岐アーベル拡大である。