運動量
ポテンシャルが速度に依存するときもある。このとき直交座標系における一般化運動量はニュートン力学におけるものとは異なっている。
p i = ∂ ( K ( v ) − U ( x , v ) ) ∂ v i ≠ ∂ K ( v ) ∂ v i = m v i . {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial (K({\boldsymbol {v}})-U({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}}))}{\partial v_{i}}}\neq {\frac {\partial K({\boldsymbol {v}})}{\partial v_{i}}}=mv_{i}.}
このような系の例として、電磁場中を運動する電荷を持つ粒子の非相対論的な運動が挙げられる。 この系のラグランジアンは具体的に
L ( x , v ) = m 2 v 2 − e φ ( x ) + e v ⋅ A ( x ) {\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}})={\frac {m}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}-e\phi ({\boldsymbol {x}})+e{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})}
である。ここで e は物体の持つ電荷、φ はスカラーポテンシャル、A はベクトルポテンシャルである。