ビオ・サバールの法則
微小な長さの電流要素 I dl によって r 離れた位置に作られる微小な磁場 dH は
d H = I d l × r 4 π r 3 {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {H}}={\frac {I\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\times {\boldsymbol {r}}}{4\pi r^{3}}}}
で表される。ここで r := |r| である。
電流がある程度の幅をもって流れているとき(すなわち、太さ無限小の線でなく領域 V を占めているとき)、電流密度 j を使った積分形で書く必要がある:
H = ∫ V j ( r ′ ) × ( r − r ′ ) 4 π | r − r ′ | 3 d 3 r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {H}}=\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}}')\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'}
なお上式では左辺の磁場 H は微小量ではない。
この法則は積分を実行して初めて有効な値が出る、すなわち実験的検証が間接的にならざるを得ない欠点がある。
1820年4月、デンマークの物理学者ハンス・クリスティアン・エルステッドはコペンハーゲン大学での講義中、電気回路をいじっていた時近くにあった方位磁石が北ではない方角を指し示していることに気が付き、電流と磁場の関係について数か月の研究の末、電流の磁気作用を発表した。 これを受け、ジャン・バティスタ・ビオとフェリックス・サバールは共同で実験を行い、この法則を発表するに至った。さらにこの数ヵ月後にはフランソワ・アラゴーが電磁石の原理を、アンドレ・マリー・アンペールがアンペールの法則を発見している。これらの功績がエルステッドの発見から僅か一年以内のことであったのは驚くべきことである。
さらに3年後の1823年にスタージャンが実際に電磁石を作成し、24年にアラゴーは回転磁気を発見している。この1820年からの数年間は科学史上重要な期間である。