超フィルター
X が有限集合のとき U が自由な超フィルターだとすると ∅ = X ∈ U より矛盾するので、有限集合上には単項フィルターしか存在しない。
無限集合 X の補有限部分集合全体 P(X) ≔ {A ⊆ X : |X ∖ A| ≤ ∞} は真のフィルターとなりフレシェ (仏: Fréchet) フィルターと呼ばれる。超フィルターが自由なこととフレシェフィルターを含むことが同値。
無限集合 X の超フィルター全体 Ult(X) の濃度は、X の冪集合 P(P(X )) の濃度と等しくなる(これはフィルター全体や自由な超フィルター全体の濃度とも等しい)。
無限集合 X 無限基数 κ < |X| にたいし、X 上の集合族 P(X) ≔ {A ⊆ X : |X ∖ A| < κ} は真のフィルターとなり(特に κ = |X| のとき)一般化されたフレシェ (英: generalized Fréchet) フィルターと呼ばれる。X 上の超フィルターが κ-一様なことと、P(X) を含むことが同値。
I を無限集合、U を I 上の自由な超フィルター、{Mi}i∈I をある構造に関する I で添字付けられたモデルの族とする。このとき、∏i∈I Mi を同値関係
(ai)i∈I ∼ (bi)i∈I ⇔ {i ∈ I : ai = bi} ∈ U
で割った商空間 ∏i∈I Mi/U 上には自然に構造が入る。これを超積という。 これは U を I 上の測度と同一視して見たとき、殆どいたるところ一致する元を同一視した空間である。
特に Mi が常に一つのモデル M を取るとき、M/U とかき M の超フィルター U による超冪とよばれる。このとき M/U は M の初等拡大になっている。特に M がある構造に関する標準モデル(英: standard model)のとき、M/U はその構造に関する超準モデル(英: non-standard model)となっている。例えば実数の超準モデルである超実数は実数と様々な性質を共有し実数上の関係や関数は超実数上の関係や関数として自然に拡張できるが完備性などの様々な重要な性質については異なっている。(超積、算術の超準モデル等を参照)