ジョルダンの補題
z = iはfの単純な極であり、1 + z = (z + i)(z − i)であるため、次のようになる。
Res  ( f , i ) = lim z → i ( z − i ) f ( z ) = lim z → i e i z z + i = e − 1 2 i {\displaystyle \operatorname {Res} (f,i)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}}{z+i}}={\frac {e^{-1}}{2i}}}
そのため
∫ − ∞ ∞ cos  x 1 + x 2 d x = Re  ∫ − ∞ ∞ e i x 1 + x 2 d x = π e . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{e}}\,.}
この結果は、古典的な方法での計算が難しい積分のうち、一部が複素解析により簡単に求まることの例である。