射爆理論
t = r /σ、η = 2θとすれば、以下のように展開できる。 P = 1 4 π γ ∫ 0 a t exp  ( − ( 1 + γ 2 ) t 2 4 γ 2 ∫ 0 4 π exp  ( − t 2 ( 1 − γ 2 ) cos  η 4 γ 2 ) d η d t = 1 γ ∫ 0 a t exp  ( − ( 1 + γ 2 ) t 2 4 γ 2 I 0 ( ( 1 − γ 2 ) t 2 ) 4 γ 2 ) d t ≡ P P ( α , γ ) , α = a σ , γ = σ 2 σ , σ 1 = σ {\displaystyle {\begin{aligned}P&={\frac {1}{4\pi \gamma }}\int _{0}^{a}t\exp(-{\frac {(1+\gamma ^{2})t^{2}}{4\gamma ^{2}}}\int _{0}^{4\pi }\exp(-{\frac {t^{2}(1-\gamma ^{2})\cos \eta }{4\gamma ^{2}}})d\eta dt\\&={\frac {1}{\gamma }}\int _{0}^{a}t\exp(-{\frac {(1+\gamma ^{2})t^{2}}{4\gamma ^{2}}}{\mathit {I}}_{0}({\frac {(1-\gamma ^{2})t^{2})}{4\gamma ^{2}}})dt\equiv PP(\alpha ,\gamma ),\quad \quad \alpha ={\frac {a}{\sigma }},\gamma ={\frac {\sigma _{2}}{\sigma }},\sigma _{1}=\sigma \\\end{aligned}}}
矩形目標の2辺x1 とx2 が射線方向とそれに直交する方向に平行な場合の損傷関数D (x1 , x2 ) は以下の式で与えられる。 D ( x 1 , x 2 ) = { 1 | x 1 | ≦ a 1 , | x 2 | ≦ a 2 , 0 o t h e r w i s e {\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1&|x_{1}|\leqq a_{1},\quad |x_{2}|\leqq a_{2},\\0&otherwise\end{cases}}}
L = 4 a 1 a 2 {\displaystyle L=4a_{1}a_{2}} :致命域
単発撃破確率P は、以下の式になる。 P = [ φ ( μ 1 + a 1 σ 1 ) − φ ( μ 1 − a 1 σ 1 ) ] × [ φ ( μ 2 + a 2 σ 2 ) − φ ( μ 2 − a 2 σ 2 ) ] {\displaystyle P={\Bigg [}{\boldsymbol {\phi }}({\frac {\mu _{1}+a_{1}}{\sigma _{1}}})-{\boldsymbol {\phi }}({\frac {\mu _{1}-a_{1}}{\sigma _{1}}}){\Bigg ]}\times {\Bigg [}{\boldsymbol {\phi }}({\frac {\mu _{2}+a_{2}}{\sigma _{2}}})-{\boldsymbol {\phi }}({\frac {\mu _{2}-a_{2}}{\sigma _{2}}}){\Bigg ]}}
射弾が目標中心から外れた距離はミス・ディスタンス(miss distance, radial error)と呼ばれる。本節では、射撃時の零点規正や試射によって平均弾着点が目標中心に一致している場合を考えるものとし、射弾の平均弾着点、つまり目標中心からのずれた距離R をミス・ディスタンスと呼び、考慮する射撃空間の次元数によってn 次元ではRn とする。このミス・ディスタンスRn は、小目標での損傷関数や大目標での命中判定での引数となる。弾着分布に方向性がなく(円形分布)、目標中心を原点とする正規分布に従う時はミス・ディスタンスRn の確率密度関数fn (r ) 、つまり弾着が目標中心からr の距離に落ちる確率密度は、以下の式で表される。
1次元: f 1 ( r ) = 2 π 1 σ exp  ( − r 2 2 σ 2 ) {\displaystyle f_{1}(r)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{\sigma }}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
2次元: f 2 ( r ) = r σ 2 exp  ( − r 2 2 σ 2 ) {\displaystyle f_{2}(r)={\frac {r}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
φ ( x ) {\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}(x)} :標準正規分布の累積分布関数
上記の式をWilliamsの近似式に当てはめれば、以下の式となる。 P ≒ 1 2 [ − exp  ( − 2 ( μ + L / 2 ) 2 π σ 2 ) − − exp  ( − 2 ( μ − L / 2 ) 2 π σ 2 ) ] {\displaystyle P\fallingdotseq {\frac {1}{2}}\left[{\sqrt {-\exp \left(-{\frac {2(\mu +L/2)^{2}}{\pi \sigma ^{2}}}\right)}}-{\sqrt {-\exp \left(-{\frac {2(\mu -L/2)^{2}}{\pi \sigma ^{2}}}\right)}}\right]}
正しい偏差修正射撃とは、j+1発目の射撃距離はj発目のミス・ディスタンス量の1/jを前回の距離にたいして逆向きに修正するものである。これを次に式で示す。
x j + 1 − x j = − 1 j h z j {\displaystyle x_{j+1}-x_{j}=-{\frac {1}{jh}}z_{j}}
この場合のn+1発目のミス・ディスタンス量の期待値 h x n + 1 {\displaystyle hx_{n+1}} を次に示す。
h x n + 1 = − 1 n ∑ j = 1 n ξ j {\displaystyle hx_{n+1}=-{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\xi _{j}}