ドッティ数
ドッティ数(英: Dottie number)とは、次の方程式を満たす唯一の実数解(x ≈ 0.739085...)のことである。
cos  x = x {\displaystyle \cos x=x}
この数はリンデマンの定理より超越数である。関数 f(x) = cos x − x は無限個の複素数根を持つが、うち吸引的不動点となるのはドッティ数に限る。
ラグランジュ反転公式(英語版)により関数 f(x) = cos x − x の無限級数表示
f ( x ) = π 2 + ∑ n o d d a n π n {\displaystyle f(x)={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {odd} }a_{n}\pi ^{n}}
が得られる。ここで an は奇数 n について次のように定められる有理数である。
a n = 1 n ! 2 n lim m → π 2 ∂ n − 1 ∂ m n − 1 ( cos  m m − π / 2 − 1 ) − n = − 1 4 , − 1 768 , − 1 61440 , − 43 165150720 , .