割り箸 (手遊びゲーム)
機能的に異なるペアは15個(00, 01, 02, 03, 04, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44)存在し、いずれのプレイヤー(ターンプレイヤーとターンプレイヤーでないプレイヤー)もこれらのペアのいずれかの状態をとるから、単に15×15で、225個の機能的に異なる状態が得られる。
余分なもの(機能的に重複するもの)を含めると625個の状態がある。
機能的に異なる状態は225個ある。
到達可能な状態は204個ある。
21個の到達不可能な状態(0000, 0100, 0200, 0300, 0400, 1100, 1101, 1200, 1300, 1400, 2200, 2202, 2300, 2400, 3300, 3303, 3400, 3444, 4400, 4404, 4444)が存在する。
このうち15個はターンプレイヤーの手が異なる15個のペア(00, 01, 02, 03, 04, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44)のいずれかとなり、もう一方のプレイヤーが負けている(つまり00の手をもつ)という状態である。問題は、負けたプレイヤーがちょうど自分のターンを行ったプレイヤーとなっている(すなわち“00”が右側にある)ことである。プレイヤーは自身のターンに負けることはできないため、これらの状態は明らかに到達不可である。
ターンプレイヤーが値 r − 2 {\displaystyle r-2} の手を1個と 値 r − 1 {\displaystyle r-1} の手を h − 1 {\displaystyle h-1} 個もち、もう一方のプレイヤーが値 r − 1 {\displaystyle r-1} の手を h {\displaystyle h} 個もつという状態は、ポイント4で挙げた状態からのみ到達可能であるが、ポイント4の状態は初期状態から到達不可能であるため、この状態も同様に到達不可能である。
ポイント2と3で挙げた状態のうち、「ターンプレイヤーが値1の手を h {\displaystyle h} 個もち、もう一方のプレイヤーが値1の生きている手を1つだけもつという状態」の1つを除いて、「自殺」ルールを採用すると到達可能である。「ターンプレイヤーが値1の手を h {\displaystyle h} 個もち、もう一方のプレイヤーが値1の生きている手を1つだけもつという状態」は「自殺」ルールと「メタ」ルールをともに採用してプレイしたゲームにおいては到達可能である。ポイント4と5で挙げた2つの状態は「サンズ」ルールを採用すると、ポイント4の状態が初期状態であるため、到達可能であるが、最初の2ターン以降で、それら2つの状態に到達することはできない。以上のことから、「自殺」「メタ」「サンズ」をすべて採用してプレイすると、合計で ( r + h − 1 h ) {\displaystyle {r+h-1 \choose h}} 個の到達不可能な状態と ( r + h − 1 h ) 2 − ( r + h − 1 h ) {\displaystyle {r+h-1 \choose h}^{2}-{r+h-1 \choose h}} 個の到達可能な状態が存在する。