フォン・ノイマン環
H をヒルベルト空間、B(H) を H 上の有界線型作用素全体のなす C*-環とする。B(H) の部分 C*-環 M は次の二つの条件を満たすとき(H 上の)フォン・ノイマン環とよばれる。
M は H 上の恒等作用素を含む。
M は作用素の弱収束位相(H 上の弱位相が導く各点収束の位相)について閉じている。つまり、B(H) を H 上の連続な半双線型形式の空間と同一視((x, y) を H における内積とするとき、作用素 T に対し半双線型形式 (x, y) → (Tx, y) を対応させる)したときの各点収束位相について閉じている。
Mが上記の第二の条件のみを満たすときは、Hのある閉部分空間KについてKの上への射影子がMの乗法単位元になっていて、MをK上のフォン・ノイマン環と見なすことができる。
C*-環 A で、あるフォン・ノイマン環と同型であるようなものは W*-環 (W*-algebra) とよばれる。
フォン・ノイマン環 M で、その中心 M ∩ M′ が単位元(恒等作用素)の張る C 上一次元の部分空間になっているものは因子(factor)とよばれる。因子とは W*-環の直和への分解が自明なものに限るようなフォン・ノイマン環のことである。可分なヒルベルト空間 H {\displaystyle H} 上の任意のフォン・ノイマン環は因子の直積分(direct integral)に分解できる。