勾配 (ベクトル解析)
関数 f: R → R の点 x ∈ R における最適線型近似は、R から R への線型汎関数であり、x における f の微分係数あるいは全微分係数 dfx, Df(x) と呼ばれる。従って勾配は全微分係数との間に
( ∇ f ) x ⋅ v = d f x ( v ) ( v ∈ R n ) {\displaystyle (\nabla f)_{x}\cdot v=df_{x}(v)\quad (v\in \mathbb {R} ^{n})}
なる関係で結ばれている。x を dfx へ写す関数 df は f の全微分または全導関数と呼ばれ、これを一次微分形式と解釈して f の外微分と見做すこともできる。
R を(長さ n で成分が実数値の)列ベクトル全体の成す空間と見るとき、全微分 df を行ベクトル
d f = ( ∂ f ∂ x 1 , ... , ∂ f ∂ x n ) {\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}
と見做して、dfx(v) を行列の積で与えることができる。このとき、勾配は列ベクトル
∇ f = t ( d f ) {\displaystyle \nabla f={}^{t}(df)}
に対応する。
円筒座標系において勾配は
∇ f ( ρ , φ , z ) = ∂ f ∂ ρ e ρ + 1 ρ ∂ f ∂ φ e φ + ∂ f ∂ z e z {\displaystyle \nabla f(\rho ,\phi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}}
で与えられる(Schey 1992, pp. 139–142)。ここで φ は方位角、z は軸方向の座標および eρ, eφ, ez は各座標軸方向に沿った単位ベクトルである。
リーマン多様体 (M, g) 上の任意の滑らかな関数 f に対し、f の勾配 ∇f とは、任意のベクトル場 X について
g ( ∇ f , X ) = ∂ X f , i.e., g x ( ( ∇ f ) x , X x ) = ( ∂ X f ) ( x ) {\displaystyle g(\nabla f,X)=\partial _{X}f,\quad {\text{i.e.,}}\quad g_{x}((\nabla f)_{x},X_{x})=(\partial _{X}f)(x)}
を満たすベクトル場を言う。ただし gx( , ) は計量 g の定める x における接ベクトルの内積で、∂Xf(X(f) とも書く)は各点 x ∈ M において X 方向への f の方向微分の x における値をとる関数である。言い換えれば、座標チャート φ において M の開集合から R の開集合への写像 (∂Xf)(x) は
∑ j = 1 n X j ( φ ( x ) ) ∂ ∂ x j ( f ∘ φ − 1 ) | φ ( x ) {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X^{j}(\varphi (x)){\frac {\partial }{\partial x_{j}}}(f\circ \varphi ^{-1}){\Big |}_{\varphi (x)}}