一般化多角形
一般化された二角形 (n = 2) は完全二部グラフ Ks+1,t+1 である。
n ≥ 3 なる自然数について、通常の n-辺多角形をとり、多角形の頂点を点とし、辺を直線として、通常の接続関係を備えた幾何を考えると、それは s = t = 1 なる一般化 n-角形を与える。
階数 2 の任意のリー型の群 G に対し、それに付随する一般化された多角形 X(ただし、n は 3, 4, 6 のいずれか)が存在して、G は X の旗の集合上に可移に作用する。
Feit & Higman (1964) は、有限一般化 n-角形で s ≥ 2, t ≥ 2 であるものが存在するのは、n が
2, 3, 4, 6, 8
のいづれかであるときに限ることを示した。さらに
n = 2 のとき、この構造は完全二部グラフである。
n = 3 のとき、この構造は有限射影平面であり、かつ s = t である。
n = 4 のとき、この構造は有限一般化四角形であり、かつ t ≤ s ≤ t が成り立つ。
n = 6 のとき、st は完全平方かつ t ≤ s ≤ t が成り立つ。
n = 8 のとき、2st は完全平方かつ t ≤ s ≤ t が成り立つ。
s または t が 1 となることを許して、構造として通常の n-角形でないようなものも考えれば、n の値として(上掲のものに加えて)さらに n = 12 の場合(のみ)が考えうる。
などが成り立つ。
s と t の双方が無限大であるとき、2 以上の各 n に対して一般化された多角形が存在する。一方が有限で他方が無限であるとき(この場合を半有限という)は、一般化多角形の存在の有無は知られていない。