余因子行列
adj0(A) = det A
adj1(A) = adj A
adjn(A) = 1
adjr(BA) = adjr(A) adjr(B)
adj r  ( A ) C r ( A ) = C r ( A ) adj r  ( A ) = ( det A ) I ( n r ) {\displaystyle \operatorname {adj} _{r}(A)C_{r}(A)=C_{r}(A)\operatorname {adj} _{r}(A)=(\det A)I_{\binom {n}{r}}} (Cr(A) は r次複合行列を表す)
高階余因子行列は通常の余因子行列と同様に、抽象代数学の言葉を用いても定義できる。 V {\displaystyle V} , ∧ n − 1 V {\displaystyle \wedge ^{n-1}V} をそれぞれ ∧ r V {\displaystyle \wedge ^{r}V} , ∧ n − r V {\displaystyle \wedge ^{n-r}V} に置き換えることでできる。
V に内積と体積形式が与えられていたら、この写像 φ はさらに分解される。この場合、φ はホッジ双対と双対化の合成ととらえることができる。特に、ω が体積形式のとき、それは内積とともに同型写像を引き起こす:
ω ∨ : ∧ n V → R {\displaystyle \omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbb {R} }
これは同型写像を引き起こす:
Hom  ( ∧ n − 1 R n , ∧ n R n ) ≅ ∧ n − 1 ( R n ) ∨ {\displaystyle \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbb {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n})^{\vee }}
v ∈ R は次の線型汎函数に一致する:
( α ↦ ω ∨ ( v ∧ α ) ) ∈ ∧ n − 1 ( R n ) ∨ {\displaystyle (\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n})^{\vee }}
ホッジ双対の定義により、この線型汎函数は *v と双対である。つまり、ω ∘ φ は v ↦ *v と見なせる。
例えば、実3次正方行列
A = [ − 3 2 − 5 − 1 0 − 2 3 − 4 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}}
の余因子行列は、
adj  A = [ − 8 18 − 4 − 5 12 − 1 4 − 6 2 ] {\displaystyle \operatorname {adj} A={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}}
となる。実際、余因子行列の (2,3)成分は (3,2)余因子であり、それは (3,2)小行列式(第3行、第2列を除いた小行列の行列式)に符号を掛けたものに等しい:
( − 1 ) 3 + 2 det  [ − 3 − 5 − 1 − 2 ] = − ( − 3 ⋅ − 2 − − 5 ⋅ − 1 ) = − 1 {\displaystyle (-1)^{3+2}\operatorname {det} {\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1}