時間依存ハートリー＝フォック方程式
この右辺第 3 項は非局所的な効果を表す。この項を落とすことで、
i ħ ∂ ∂ t ψ n ( r , t ) = − ħ 2 2 m ∇ 2 ψ n ( r , t ) + W ( r ) ψ n ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{n}(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{n}(\mathbf {r} ,t)+W(\mathbf {r} )\psi _{n}(\mathbf {r} ,t)}
が得られる。この W(r) が平均一体場である。
W ( r ) = ∑ j = 1 A ∫ d 3 r ′ v ( r − r ′ ) | ψ j ( r ′ , t ) | 2 {\displaystyle W(\mathbf {r} )=\sum _{j=1}^{A}\int d^{3}r'\ v(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')|\psi _{j}(\mathbf {r} ',t)|^{2}}
この TDHF 方程式は単一粒子に対するシュレーディンガー方程式と大変よく似ているが、ポテンシャル W(r) が他のすべての粒子の状態に依存しているため、厳密には反復法で解かなくてはならない。そのための試行関数としてスレイター行列式を用いる。
この形式での TDHF 方程式は(反復計算を除けば)結局のところ偏微分方程式であるから、多くの学生たちにとっては比較的扱いやすいものである。
g μ i , g μ i ∗ {\displaystyle g_{\mu i},g_{\mu i}^{*}} は行列をなし、それは p-p 型、h-h 型、p-h 型の 3 つに分類できる。これを p-h 型のエルミート行列 K を用いて代用できる。
K ≡ ( 0 η η + 0 ) {\displaystyle K\equiv {\begin{pmatrix}0&\eta \\\eta ^{+}&0\end{pmatrix}}}
この η, η は行列であり、 ( η ) μ i = η μ i , ( η + ) i μ = η μ i ∗ {\displaystyle (\eta )_{\mu i}=\eta _{\mu i},(\eta ^{+})_{i\mu }=\eta _{\mu i}^{*}} 。これらを用いて一般のスレイター行列式は
| K ⟩ = exp  ( i G ^ ( K ) ) | Φ 0 ⟩ {\displaystyle |K\rangle =\exp(i{\hat {G}}(K))|\Phi _{0}\rangle }
G ^ ( K ) = ∑ μ i ( η μ i a μ † b i † − η μ i ∗ b i a μ ) {\displaystyle {\hat {G}}(K)=\sum _{\mu i}(\eta _{\mu i}a_{\mu }^{\dagger }b_{i}^{\dagger }-\eta _{\mu i}^{*}b_{i}a_{\mu })}
時間依存ハートレー・フォック方程式(じかんいそんハートレー・フォックほうていしき、英: time-dependent Hartree–Fock equation, TDHF)とは、静的なハートレー・フォック方程式の解である複数の平均一体場の間を、時間依存性をもつユニタリ変換で結ぶことによって平均一体場の形状の時間変化を記述するものである。
TDHF は量子力学を用いて多粒子系を記述する一つの理論であるにもかかわらず、それが 1970 年代に入り、重イオン衝突などのシミュレーションに応用された結果、その結果(核子密度分布の振舞いなど)があまりに古典力学的であったことが研究者達に困惑を与えた。その後 TDHF の「量子化」の処方も研究された。