ウィグナー関数
上に示したとおり、ウィグナー関数の形式化はいくつかの分野で独立に数回行われている。実際、ウィグナーは同じ量子論の分野でも、純粋に形式的なものにせよハイゼンベルクとディラックにより既に導入されていたことに気付いていなかった。この二人はウィグナー関数を完全に量子化された系の近似的形式化と考えており、この関数の重要さ、そして負値の重要さに気付いていなかった(偶然、ディラックは後にウィグナーの妹マルギット(Manci)と結婚したことによりウィグナーの義理の弟となった)。同様に、1940年代中頃の伝説的な18ヶ月にわたるモヤルとのやりとりにおいて、ディラックは後にモヤルが指摘するまでモヤルの量子運動量生成関数がウィグナー関数と等価であることに気付いていなかった。
∂ P ( x , p , t ) ∂ t = − { { P ( x , p , t ) , H ( x , p ) } } {\displaystyle {\partial P(x,p,t) \over \partial t}=-\{\{P(x,p,t)~,~H(x,p)\}\}}
に帰着する。ここで、H(x,p) はハミルトニアン、{{•, •}}はモヤル括弧(英語版)を表わす。古典極限 ħ → 0 では、モヤル括弧はポアソン括弧に帰着し、従ってこの時間発展方程式は古典統計力学におけるリウビル方程式に帰着する。
Quantum characteristicsの記法を用いて、上の方程式の形式的な厳密解は以下のように書ける。 P ( x , p , t ) = P ( ⋆ ( x − t ( x , p ) , p − t ( x , p ) ) , 0 ) {\displaystyle P(x,p,t)=P(\star (x_{-t}(x,p),p_{-t}(x,p)),0)} ここで x t ( x , p ) {\displaystyle x_{t}(x,p)} と p t ( x , p ) {\displaystyle p_{t}(x,p)} はいわゆる量子ハミルトン方程式の解で、初期条件 x t = 0 ( x , p ) = x {\displaystyle x_{t=0}(x,p)=x} 及び p t = 0 ( x , p ) = p {\displaystyle p_{t=0}(x,p)=p} に従い、 ⋆ {\displaystyle \star } 積の合成は全ての関数について成り立つものとする。