論理学の歴史
ブールは三段論法の理論で取り扱うような「一次命題」と命題論理学で取り扱う「二次命題」を区別し、異なる「解釈」の下で代数系が両者をどう表せるのかを示した。一次命題とは例えば「全住民がヨーロッパ系かアジア系である」である。二次命題とは例えば「全住民がヨーロッパ系であるか全住民がアジア系であるかのどちらかである」である。この二つは現代的な論理演算においては容易に区別でき、さらに後者は前者に包含されることも示せるが、ブールの体系ではこれを表すことができないのがブールの体系の大きな欠点である。
『記号論理学』(英:Symbolic Logic、1881年)において、ジョン・ヴェンは命題のクラスと真理値のBoolean relationを記述する上で領域の重なる図式を用いた。1869年にジェヴォンズはブールの方法が機械的に進められることを示し、「論理機械」を組み立てて翌年に王立協会に提出した。1885年にアラン・マーカンドが論理機械の電動版を作成しており、今も現存する(picture at the Firestone Library)。
(存在命題を表すのにvという文字を使うなどの)ブールの体系の欠点は全て彼の追随者たちによって改善された。ジェヴォンズは1864年に『純粋論理学、または量とは別の質の論理学』(英:Pure Logic; or, the Logic of Quality apart from Quantity)を出版し、その中で非常に簡素化されたブールの体系に則って排他的論理和を表す記号を提案した。
中国では孔子と同時代の墨子が墨家の祖とされているが、墨家の聖典は正しい結論を導く条件や妥当な推論といった問題を取り扱っている。中でも、墨家から別れた学派の名家は原始的な形式論理学を研究したものと何人かの研究者に考えられている。秦王朝成立に続く法家の苛烈な支配によって論理学の研究はいったん途絶え、仏教徒によってインド哲学が導入されるのを待つことになる。
ブール以降、次の大きな発展はドイツの数学者ゴットロープ・フレーゲによってなされた。フレーゲの目的は論理主義の計画、つまり算術は論理と全く等しいと示すこと、にあった。論理学に対する厳密で形式的なアプローチにおいてフレーゲは先達の遥か先を行っており、また彼の計算法、いわゆる概念記法は重要である。フレーゲは数の概念が純粋に論理学的な手法で表されることを示そうと試み、その結果(彼が正しければ)計算や計算に還元できる全ての数学の分野は論理学に包含されるようになった。かれはこのことを提案した最初の著述家ではない。彼の先駆的作品『算術の基礎』(15章-17章)において、彼はライプニッツ、ミル、ジェヴォンズの業績を認めており、ジェヴォンズの「代数学は高度に発達した論理学、つまり論理的区別を欠いた数である」という主張を引いている。
フレーゲの処女作『概念記法』は命題論理を厳密に公理化した体系であり、たった二つの論理和(否定と論理包含)、二つの推論規則(モーダスポネンスと代入)、六つの公理のみで構築されている。フレーゲはこの体系の「完全性」に言及しているが、それを証明することはできなかった。しかし、最も顕著な革新は彼による、数学の関数の概念を使った量化子の説明であった。伝統的論理学では「カエサルは人間である」という文を「全ての人間は死すべきものである」と根本的には同じ形式のものだとして扱う。固有名詞を主語とする文はその固有名詞が普遍を表すものとして扱われ、「全てのカエサルは人間である」と解釈される。