垂心
3つの頂点を A,B,C、垂心を H、3本の垂線の足を Ha,Hb,Hc とする。
重心・外心と同一直線上にある。この線をオイラー線という。
直角三角形の垂心は、直角となる頂点である。鈍角三角形の垂心は、その三角形の外部にある。
垂心は三角形HaHbHcの内心か傍心となる。
垂心と外心の中点は九点円の中心である。
三角形ABHの垂心は、Cである。
A H ̄ ⋅ H H a ̄ = B H ̄ ⋅ H H b ̄ = C H ̄ ⋅ H H c ̄ {\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HH_{a}}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HH_{b}}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HH_{c}}}}
{\displaystyle \left({\frac {\left|{\begin{array}{ccc}-x_{b}x_{c}-y_{a}^{2}&y_{a}&1\\-x_{a}x_{c}-y_{b}^{2}&y_{b}&1\\-x_{a}x_{b}-y_{c}^{2}&y_{c}&1\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{ccc}x_{a}&y_{a}&1\\x_{b}&y_{b}&1\\x_{c}&y_{c}&1\end{array}}\right|}},{\frac {\left|{\begin{array}{ccc}x_{a}&-x_{a}^{2}-y_{b}y_{c}&1\\x_{b}&-x_{b}^{2}-y_{a}y_{c}&1\\x_{c}&-x_{c}^{2}-y_{a}y_{b}&1\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{ccc}x_{a}&y_{a}&1\\x_{b}&y_{b}&1\\x_{c}&y_{c}&1\end{array}}\right|}}\right).}
3頂点が単位円周上にある場合、以下のように簡単に書くことができる。
(xa+xb+xc,ya+yb+yc)
重心座標による垂心の座標は tanα:tanβ:tanγ となる。