有界変動函数
実数直線内の区間 [a, b] ⊂ R 上で定義された実数値(あるいはより一般に複素数値)函数 f の全変動(英語版) V ba (f) (= V[a, b](f) = V(f, [a,b])) は V a b ( f ) := sup P ∈ P ∑ i = 0 n P − 1 | f ( x i + 1 ) − f ( x i ) | {\displaystyle V_{a}^{b}(f):=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|} で定義される量である。ここに上限(英語版)は与えられた区間の分割の全体 P = {P = {x0, ..., xnP} : P は区間 [a, b] の分割} に亙ってとるものとする。
f が微分可能かつその導函数がリーマン可積分ならば、f の全変動はグラフの弧長の垂直成分 V a b ( f ) = ∫ a b | f ′ ( x ) | d x {\textstyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,{\mathit {dx}}} に等しい。
↑ トネリが導入したものは、今日ではトネリに因んでトネリ平面変動 (Tonelli plane variation) と呼ばれるものである。この概念および関連するほかの一般化に関する解析は全変動(英語版)の項を参照せよ。
↑ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Jordan decomposition of a function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Jordan_decomposition_%28of_a_function%29
↑ 例えば Kolmogorov & Fomin (1969, pp. 374–376).
↑ この話題に関する一般論は Riesz & Szőkefalvi-Nagy (1990) 参照.
局所および大域の有界変動函数の空間を表す記号法について、基本的には二つの異なる規約が存在し、困ったことにそれら二つはよく似ている。一つは本項でも用いた記法であり、例えば Giusti (1984) (partially), Hudjaev & Vol'pert (1985) (partially), Giaquinta, Modica & Souček (1998) で用いられているものだが、
BV(Ω) は大域有界変動函数の空間を表し
BVloc(Ω) が局所有界変動函数の空間を表す
というものである。いま一つは、Vol'pert (1967) および Maz'ya (1985) (partially) で用いられたもので、
BV(Ω) で大域有界変動函数の空間を表し、
BV(Ω) が局所有界変動函数の空間を表す
というものである。