ケルビン・ストークスの定理
本節では以下の等式を示す。
∮ Γ F d Γ = ∮ γ ( F ∘ ψ ) d γ {\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\mathbf {F} d\Gamma ={\oint }_{\gamma }(\mathbf {F} \circ \psi )d\gamma }
上記の等式の証明は、主定理の左辺をグリーンの定理に帰着する過程に他ならない。
線積分の定義より、以下が成り立つ。
∮ Γ F d Γ = ∫ a b ⟨ ( F ∘ c ( t ) ) | d Γ d t ( t ) ⟩ d t {\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\mathbf {F} d\Gamma ={\int }_{a}^{b}\left\langle (\mathbf {F} \circ c(t))\ |\ {\frac {d\Gamma }{dt}}(t)\right\rangle dt}
ここで、上式左辺の被積分関数は R {\displaystyle \mathbb {R} } に値をとる t についての一変数関数であることに注意されたい。
合成関数の微分を考えると、
d Γ d t ( t ) = d ( ψ ∘ γ ) d t ( t ) = ( J ψ ) γ ( t ) ⋅ d γ d t ( t ) {\displaystyle {\frac {d\Gamma }{dt}}(t)={\frac {d(\psi \circ \gamma )}{dt}}(t)={(J\psi )}_{\gamma (t)}\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(t)}
主定理の証明は、以下のステップで行われる。以下に紹介する証明は、厳密な証明であり、かつ直接的には微分形式の予備知識を必要としない証明である。本証明では、グリーンの定理(本定理の平面曲線版)は既知とし、空間曲線における数理現象を平面曲線の問題に帰着する過程に重きを置く。
(1) P ( u , v ) {\displaystyle \mathbf {P} (u,v)} の定義:
P ( u , v ) = ( P 1 ( u , v ) , P 2 ( u , v ) ) {\displaystyle \mathbf {P} (u,v)=({P}_{1}(u,v),{P}_{2}(u,v))} を、 P {\displaystyle \mathbf {P} } が” F {\displaystyle {\textbf {F}}} の 引き戻しとなるように定める。 P ( u , v ) {\displaystyle \mathbf {P} (u,v)} は R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} に値をとる関数で、2つのパラメータ u , v を持つ。