五次方程式
x = ( α 1 α 2 + α 2 α 3 + α 3 α 4 + α 4 α 5 + α 5 α 1 − α 1 α 3 − α 2 α 4 − α 3 α 5 − α 4 α 1 − α 5 α 2 ) 2 {\displaystyle x=(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}+\alpha _{3}\alpha _{4}+\alpha _{4}\alpha _{5}+\alpha _{5}\alpha _{1}-\alpha _{1}\alpha _{3}-\alpha _{2}\alpha _{4}-\alpha _{3}\alpha _{5}-\alpha _{4}\alpha _{1}-\alpha _{5}\alpha _{2})^{2}}
この場合出現する式は6通りであり、6次方程式を解くことに帰着する。もちろんこれを代数的に解くことは一般的状況では不可能であるが、根の平方が有理数になる場合に限り、実質的な次数が下がり、代数的に解ける。以下は3次、4次のラグランジュの解法同様にして元の方程式の根を得る。これが五次方程式が代数的に解ける必要十分条件である。
一般に一変数の五次方程式は
a5 x + a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 = 0, (a5 ≠ 0)
の形で表現される。
代数学の基本定理によれば、任意の複素数係数方程式は複素数の中に根が存在する。その一方、五次以上の一般の方程式に対する代数的解法は存在しない。すなわち、一般の五次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。もう少し詳しく書くと、五次の一般方程式の根を、その式の各項の係数と有理数の、有限回の四則演算及び有限回の根号をとる操作の組み合わせで表示することはできない。
これはルフィニ、アーベルらによって示された(アーベル–ルフィニの定理参照)。 またガロアによって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている(ガロア理論参照)。
なお、代数的ではないが、楕円関数などを用いた根の公式は存在する。