行列の平方根
X k {\displaystyle \exp(X)=\Sigma _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}} と定義すれば( X {\displaystyle X} はn次実数値正方行列)、
2乗すると A {\displaystyle A} となり、かつ全ての特性根の実数部分が正となる行列 A {\displaystyle {\sqrt {A}}} は、
A = exp  ( 1 2 log  ( A ) ) {\displaystyle {\sqrt {A}}=\exp \left({\frac {1}{2}}\log(A)\right)} により計算でき、かつこの行列に一意に定まる。
この方法は、固有値を全て求める必要がないこと(「全ての特性根の実数部分が正」という条件は、特性根を全て求めなくても、十分条件がいくつか知られている)、収束計算が速いこと、対称行列に限らず一般の行列に利用可能であることなど、現実的かつ速い計算方法になっている。
また、行列の平方根に限らず、n乗根も同様に計算することができる。
これにより任意の2次列ベクトル x v 1 + y v 2 {\textstyle xv_{1}+yv_{2}} が B {\textstyle B} によりどう変換されるかが定まるが、これは B {\textstyle B} が定まることを意味する。