コーシーの積分定理
積分路Cを1サイクル、即ち有限個の閉曲線の形式和C=C_1+...C_nとして次のように一般化することが出来る。
1サイクルに対するコーシーの定理
D を領域とし、f(z) は D 上で正則である複素関数とする。D 内の区分的に滑らかな1サイクルC がD 内で 0にホモローグであるとき、
∮ C f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z\ =0}
ここでD 内で0にホモローグ(homologous to 0)とは0にホモトピー同値な有限個のD 内の閉曲線の形式和として書けることを言う。
1サイクルC がD 内で 0にホモローグであるとはつまり「Cで囲まれる有界領域」がDに含まれるということである。ただし「Cで囲まれる有界領域」という概念は(視覚的には明らかに指定出来るものであるが)正確な数学的定式化にはジョルダンの曲線定理(ただし区分的C^1なJordan曲線に対するもので十分であり、この場合に限った証明は随分簡単になる)を仮定するか回転数 (数学)#複素解析学という概念を用いるかしなければならない。