算術幾何平均
複素数 a , b {\displaystyle a,\ b} の算術幾何平均が収束することは、以下によって証明できる。
a n 2 − b n 2 = ( a n + b n ) ( a n − b n ) {\displaystyle a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}=(a_{n}+b_{n})(a_{n}-b_{n})} a n + 1 2 − b n + 1 2 = ( a n + b n 2 ) 2 − a n b n = ( a n − b n ) 2 4 {\displaystyle a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}=\left({\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right)^{2}-a_{n}b_{n}={\frac {(a_{n}-b_{n})^{2}}{4}}}
| a n − b n | < | a n + b n | {\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right|<\left|a_{n}+b_{n}\right|} となるように b n {\displaystyle b_{n}} の根号の符号を決めると約束したので、
| a n + 1 2 − b n + 1 2 | | a n 2 − b n 2 | = | a n − b n | 4 | a n + b n | < 1 4 {\displaystyle {\frac {\left|a_{n+1}^{\;2}-b_{n+1}^{\;2}\right|}{\left|a_{n}^{\;2}-b_{n}^{\;2}\right|}}={\frac {\left|a_{n}-b_{n}\right|}{4\left|a_{n}+b_{n}\right|}}<{\frac {1}{4}}}
| arg  ( b / a ) | ≠ π {\displaystyle |\arg(b/a)|\neq \pi } である複素数 a , b {\displaystyle a,\ b} について
a 0 = a , b 0 = b {\displaystyle a_{0}=a,\quad b_{0}=b} a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = a n b n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\quad (n\geq 0)}
と定めれば数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} と { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} は同じ値に収束する。その極限を a , b {\displaystyle a,\ b} の算術幾何平均と呼ぶ。ただし、幾何平均 b n {\displaystyle b_{n}} の根号の符号は算術平均 a n {\displaystyle a_{n}} の側にあるものを選ぶものとする。
正の定数 c > 0 {\displaystyle c>0} に対し
M ( c a , c b ) = c M ( a , b ) {\displaystyle M(ca,cb)=cM(a,b)}
が成り立つ。
この数列の収束は
| a n + 1 − b n + 1 | = ( a n − b n ) 2 2 ( a n + b n ) 2 ≤ C ( a n − b n ) 2 {\displaystyle |a_{n+1}-b_{n+1}|={\frac {(a_{n}-b_{n})^{2}}{2({\sqrt {a_{n}}}+{\sqrt {b_{n}}})^{2}}}\leq C(a_{n}-b_{n})^{2}}
を満たすので、1回のステップで精度が2倍になる。
また次のことが知られている。
π 2 = M ( 1 , 1 − k 2 ) ∫ 0 1 d z ( 1 − z 2 ) ( 1 − k 2 z 2 ) . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})\int _{0}^{1}{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^{2}z^{2})}}}.}
右辺の積分は、楕円積分であり簡単には積分できない。しかし、算術幾何平均の収束が速いので、数値計算による円周率の計算に用いられることがある。
また、 u ′ = R ( b / a ) {\displaystyle u'=\Re \left({\sqrt {b/a}}\right)} , v ′ = I ( b / a ) {\displaystyle v'=\Im \left({\sqrt {b/a}}\right)} とすると、
t = b / a x 2 − a / b 2 x = ( u ′ + i v ′ ) 2 x 2 − 1 ( u ′ + i v ′ ) x = ( u ′ 2 + v ′ 2 ) ( u ′ + i v ′ ) x 2 − ( u ′ − i v ′ ) 2 ( u ′ 2 + v ′ 2 ) x {\displaystyle {\begin{aligned}t&={\frac {{\sqrt {b/a}}\;x^{2}-{\sqrt {a/b}}}{2x}}={\frac {(u'+iv')^{2}x^{2}-1}{(u'+iv')x}}\\&={\frac {(u'^{2}+v'^{2})(u'+iv')x^{2}-(u'-iv')}{2(u'^{2}+v'^{2})x}}\\\end{aligned}}}
これに x 2 = 1 u ′ 2 + v ′ 2 {\displaystyle x^{2}={\frac {1}{u'^{2}+v'^{2}}}} を代入すれば
t = i v ′ u ′ 2 + v ′ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}t&={\frac {iv'}{\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}\\\end{aligned}}}
であるから、積分路は極 ± i {\displaystyle \pm {i}} の間を通る。
M ( a , b ) = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n {\displaystyle M(a,b)=\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}
R ( b / a ) > 0 {\displaystyle \Re (b/a)>0} の場合、算術幾何平均は次式の楕円積分で表される。
M ( a , b ) = π 2 / ∫ 0 π / 2 d θ a 2 cos 2  θ + b 2 sin 2  θ {\displaystyle M(a,b)={\frac {\pi }{2}}{\bigg /}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}}
R ( b / a ) = 0 {\displaystyle \Re (b/a)=0} の場合は、次式になる。