解析的トーション
γ ∗ : D ∗ → D ∗ + 1 {\displaystyle \gamma _{*}:D_{*}\to D_{*+1}} を D* の任意の鎖収縮、つまりすべての n に対して d n + 1 ∘ γ n + γ n − 1 ∘ d n = i d D n {\displaystyle d_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ d_{n}=\mathrm {id} _{D_{n}}} とすると、 D o d d := ⊕ n o d d D n {\displaystyle D_{odd}:=\oplus _{n\,odd}\,D_{n}} , D e v e n := ⊕ n e v e n D n {\displaystyle D_{even}:=\oplus _{n\,even}\,D_{n}} として、同型 ( d ∗ + γ ∗ ) o d d : D o d d → D e v e n {\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{odd}:D_{odd}\to D_{even}} を得る。ライデマイスタートーション を次のように定義する。
ρ ( X ; U ) := | det ( A ) | − 1 ∈ R > 0 {\displaystyle \rho (X;U):=|\det(A)|^{-1}\in \mathbf {R} ^{>0}}
ここで A は与えられた基底に関する ( d ∗ + γ ∗ ) o d d {\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{odd}} の行列である。
ライデマイスタートーションは、最初はライデマイスター(Reidemeister 1935)により、3-次元レンズ空間の組み合わせ的論な分類に使われた。高次元への一般化はフランツによりなされた。この分類は、同相ではないがホモトピー同値な 3 次元多様体の例を含んでいる。1935年当時、その分類はPL 同相の差を除いた分類でしか無かったが、後に (Brody 1960) はこの分類が実は、同相の差を除いた分類となっていることを示した。
J. H. C. ホワイトヘッドは有限複体の間のホモトピーの「トーション」を定義した。これはライデマイスター、フランツ、ドラムの考えたライデマイスタートーションの直接の一般化であるが、より微妙な不変量である。ホワイトヘッドトーション(英語版) は非自明な基本群を持つ組み合わせ的、もしくは微分可能多様体の研究の重要なツールを提供し、密接に「単純ホモトピータイプ」の考えに関連している。(Milnor 1966) を参照。