P進数
Ap = {0, 1, 2, ..., p − 1} とする。Qp の任意の元 x に対し、整数 N と Ap における数列 {an}n ≧ N が存在して、
x = ∑ n = N ∞ a n p n {\displaystyle x=\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}p^{n}}
と一意的に展開される(N は x の p 進付値 vp(x) に一致する)。これを x の p 進展開という。逆に、Ap における数列 {an}n ≧ N が与えられたとき、和 ∞∑n=N anp は p 進距離に関して収束して、p 進数を一意的に定める。この展開は、整数環 Z の p を法とする剰余環 Z/pZ を n ≧ 1 の各値で考えたものたち(とそれらの間の自然な射影たち)の成す射影系 {Z/pZ}n ≧ 1 の射影極限として Zp が得られることを示している。逆に、射影極限として Zp を定義し、その商体として Qp を定義する流儀もある。{Z/pZ}n ≧ 1 の全ての元の共通部分は {0} なので、この展開は完備化の操作を具体的に記述したものと見ることができる。
1897年 ヘンゼルが論文 Hensel (1897) を発表する。この年に p 進数が創始されたとする文献もある。しかしこの論文で扱われているのは代数的数の p 進展開だけで、代数的数ではない p 進数は現れていない。論文の冒頭でヘンゼルは、一変数代数関数の理論と代数的整数論の類似から、代数的数を代数関数のようにべき級数展開すればそれが理想因子への分解の代わりとして使えるのではないか、という考えを述べている。
1900年 ダフィット・ヒルベルトが国際数学者会議で23の問題を提起する。第12問題を述べる中でヒルベルトは、ヘンゼルは一変数代数関数論におけるべき級数展開の代数的整数論での類似を提唱し研究した、とヘンゼルの研究に言及している。
1902年 ヘンゼルは Hensel (1897) で述べた着想を詳細化し論文として公表する。ここでも p 進展開が考えられているだけであり、代数的数ではないような p 進数はまだ考えられていない。
1904年 ヘンゼルは論文 Hensel (1904) を発表する。この論文ではじめて代数的数とは限らない p 進数が考えられている。かつてレオポルト・クロネッカーは「神が整数を作り給うた。他はすべて人間業である」と言った。p 進数という新しい数を作った(もしくは発見した)ヘンゼルはクロネッカーの学生であった。論文の冒頭には、「算術において正の整数は、そしてこれらだけが天から与えられたものである; 零、負の整数、分数、無理数、虚数は、すべての計算がうまくいくようにするためには、受け入れねばならない記号なのである」と書かれている。
有理数体 Q の p 進付値が定める距離(p 進距離)dp による完備化を Qp と表し、その元を p 進数と呼ぶ。Qp は Q における四則演算と距離空間の位相とを自然に拡張した演算と、p 進距離により定まる位相構造とを持つ。この四則演算に関して Qp は体をなし、演算はこの距離位相に関して連続である。この両立する演算と位相を持つ位相体 Qp を p 進数体という。
p 進数 x は、その付値 vp(x) が 0 以上であるとき、p 進整数と呼ばれる。p 進整数の全体の成す集合
{ x ∈ Q p ∣ v p ( x ) ≧ 0 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} _{p}\mid v_{p}(x)\geqq 0\}}
を Zp で表す。Zp は環を成し、p 進整数環と呼ばれる。
p 進数が p 進展開と一対一に対応することから、p 進数体は連続体濃度を持つ。Q を部分体として含むので、標数は 0 である。どのように順序を入れても順序体にはできない。実数体 R の代数閉包(複素数体 C)が二次拡大で完備であるのに対し、p 進数体 Qp の代数閉包 Qp は無限次拡大でしかも完備ではない。その完備化は代数閉体であって、Cp と表される。これは複素数体 C と体として同型であるが、同型写像の存在は選択公理に依存しており、具体的に同型写像を与えることはできない。
Zp の単数群(可逆元全体の成す乗法群)は Zp = {x ∈ Qp | vp(x) = 0} となる。Zp は局所環であり、その唯一の極大イデアルは
p = { x ∈ Z p ∣ v p ( x ) > 0 } {\displaystyle {\mathfrak {p}}=\{x\in \mathbb {Z} _{p}\mid v_{p}(x)>0\}}
と表される。これは p で生成される単項イデアル (p) = pZp である。
+n するという写像は実数の場合には平行移動という写像なので形を変えない。p 進数の場合にもこの写像は p 進距離を保つ。この図では、n+pZp に対応する四角形を全て同じ形で描くことでこのことを表現している。
n+pZp は n との p 進距離が 1/p 以下であるものの集まりである。このことは図で表せていない。
n+pZp 上で複素数値 an を取る、Zp 上の局所定数関数を考える。ハール測度 μ でのこの関数の積分値は an の総和を p で割ったものになる。こういった局所定数関数の積分は ζ 関数をイデール上の積分で表す岩澤テイトの方法や保型表現論でよく現れる。例えば、pZp 上で自明になる加法指標などがこういった局所定数関数の例である。
mod p での剰余類を考えることによりさらに細かく分割できる。例えば、pZp を pn +pZp の非交和で表すことができる。この細分も同様の図で表せる。
この図は2次元的に描いたものであるが、1次元的に描くこともできる。