楕円曲線
P が非特異点ならば、これは代数的数 f ( P ) ∈ K {\displaystyle f(P)\in K} の対数的高さと一致する。特に P のx-座標が有理数 x = ⁄q (p と q は互いに素)で x が P の x-座標を与える関数であるとき、 h x ( P ) = log  max ( | p | , | q | ) {\displaystyle h_{x}(P)=\log \max(|p|,|q|)} となる。 任意の定数 C に対し、高さ h f ( P ) ≤ C {\displaystyle h_{f}(P)\leq C} となる点 P ∈ E ( K ) {\displaystyle P\in E(K)} は有限個である。
f が偶関数であるとき、つまり f ( P ) = f ( − P ) {\displaystyle f(P)=f(-P)} が任意の点 P ∈ E ( K ) {\displaystyle P\in E(K)} について成り立つとき、つぎの3つの不等式が成り立つ。 任意の P , Q ∈ E ( K ̄ ) {\displaystyle P,Q\in E({\bar {K}})} に対し
h f ( P + Q ) + h f ( P − Q ) = 2 h f ( P ) + 2 h f ( Q ) + O ( 1 ) {\displaystyle h_{f}(P+Q)+h_{f}(P-Q)=2h_{f}(P)+2h_{f}(Q)+O(1)}
が成り立つ。ここで右辺の O ( 1 ) {\displaystyle O(1)} は E と f のみに依存し、 P や Q には依存しない。
で与えられる極限は f に依存せず定まる。この極限を標準的高さ (Canonical height) もしくは ネロン・テイトの高さ(英: Néron–Tate height という。標準的高さについて、
h ^ ( P + Q ) + h ^ ( P − Q ) = 2 h ^ ( P ) + 2 h ^ ( Q ) , {\displaystyle {\hat {h}}(P+Q)+{\hat {h}}(P-Q)=2{\hat {h}}(P)+2{\hat {h}}(Q),}
h ^ ( m P ) = m 2 h ^ ( P ) {\displaystyle {\hat {h}}(mP)=m^{2}{\hat {h}}(P)}
が成り立ち、さらに
⟨ P , Q ⟩ = h ^ ( P + Q ) − h ^ ( P ) − h ^ ( Q ) {\displaystyle \langle P,Q\rangle ={\hat {h}}(P+Q)-{\hat {h}}(P)-{\hat {h}}(Q)}
は E ( K ̄ ) {\displaystyle E({\bar {K}})} 上双線型的である。また任意の f に対し、
( deg  f ) h ^ ( P ) = h f ( P ) + O ( 1 ) {\displaystyle (\deg f){\hat {h}}(P)=h_{f}(P)+O(1)}
が成り立つ。ここで右辺の O ( 1 ) {\displaystyle O(1)} は f のみに依存し、 P には依存しない。
f ( z ) = q − 2 q 2 − 3 q 3 + 2 q 4 − 2 q 5 + 6 q 6 + ⋯ , q = exp  ( 2 π i z ) {\displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots ,\qquad q=\exp(2\pi iz)}
に関係付けられている。
l を 37 とは異なる素数とすると、係数の性質を比較することができる。従って、l = 3 とすると法 3 の方程式の解は (0, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1) であり、a(3) = 3 − 6 = −3 である。
この予想は1950年代に主張され、1999年にアンドリュー・ワイルズのアイデアを用いて完全に証明された。彼は1994年に大きな楕円曲線の族についてこの予想を証明した。
予想には様々な定式がある。これらが同値であることを示すことは難しく、20世紀の後半の数論の主要なテーマであった。導手 N の楕円曲線 E のモジュラーリティは、モジュラー曲線 X0(N) から E への、Q 上に定義された非定数の有理写像が存在することも表すことができる。特に、E の点はモジュラー関数によりパラメトライズされる。
が成り立つ。この写像φを楕円対数と呼ぶ。
通常の対数関数の一次形式の下からの評価に関するベイカーの定理に対応し、楕円対数の下からの評価が知られている。次の不等式が成り立つような、E と代数体 K およびランク r にのみ依存する計算可能な定数 c 1 , c 2 , c 3 {\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}} がとれる。 B = max | m i | {\displaystyle B=\max \left|m_{i}\right|} とおくと、格子Λ上の任意の点 l 1 ω 1 + l 2 ω 2 {\displaystyle l_{1}\omega _{1}+l_{2}\omega _{2}} に対して
| m 1 φ ( P 1 ) + m 2 φ ( P 2 ) + ⋯ + m r φ ( P r ) + φ ( T ) + l 1 ω 1 + l 2 ω 2 | > exp − c 1 ( log  B + c 2 ) ( log  log  B + c 3 ) . {\displaystyle \left|m_{1}\phi (P_{1})+m_{2}\phi (P_{2})+\cdots +m_{r}\phi (P_{r})+\phi (T)+l_{1}\omega _{1}+l_{2}\omega _{2}\right|>\exp -c_{1}(\log B+c_{2})(\log \log B+c_{3}).