オイラー＝ラグランジュ方程式
∂ F ∂ u i ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) − ∂ ∂ x μ ( ∂ F ∂ ( ∂ μ u i ) ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial u_{i}}}(u(x),\partial u(x),x)-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\left({\frac {\partial F}{\partial (\partial _{\mu }u_{i})}}(u(x),\partial u(x),x)\right)=0}
と表記する事が多い。 この表記では F に代入される値としての u i , ∂ μ u i {\displaystyle u_{i},\partial _{\mu }u_{i}} が F の変数としての v i , m i , μ {\displaystyle v_{i},m_{i,\mu }} と混用されている。
さらにベクトル表記により f 個の式を一括して
∂ F ∂ u ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) − ∇ ⋅ ( ∂ F ∂ ( ∇ u ) ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial {\boldsymbol {u}}}}(u(x),\partial u(x),x)-\nabla \cdot \left({\frac {\partial F}{\partial (\nabla {\boldsymbol {u}})}}(u(x),\partial u(x),x)\right)=0}
とも書き表す。
ニュートンの方程式がデカルト座標を用いて運動を記述する必要があるのに対し、 オイラー=ラグランジュ方程式は任意の座標(一般化座標)を用いる事ができる。 この点においてもオイラー=ラグランジュ方程式の方がニュートンの方程式よりも本質的である事が分かる。
またラグランジアンから一般化運動量、一般化力という、運動量と力を一般化した概念が定式化でき、 これらを用いると、オイラー=ラグランジュ方程式は一般化力=(一般化運動量の時間微分)という形に書ける。 ニュートンの運動方程式は、力=(運動量の時間微分)であるので、オイラー=ラグランジュ方程式は ニュートンの運動方程式を一般化座標に拡張したものと捉える事もできる。