対数
積分に関する公式(以下の不定積分において C は積分定数とする)
∫ d x x = ln  | x | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C}
∫ ln  x d x = x ln  x − x + C {\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C}
∫ log a  x d x = x ln  x − x ln  a + C = x log a  x − x log a  e + C = x log a  x e + C {\displaystyle \int \log _{a}x\,dx={\frac {x\ln x-x}{\ln a}}+C=x\log _{a}x-x\log _{a}e+C=x\log _{a}{\frac {x}{e}}+C}
不等式
x 1 + x < ln  ( 1 + x ) < x ( x > 0 ) {\displaystyle {\frac {x}{1+x}}<\ln(1+x)<x\quad (x>0)}
定義より
a log a  x = x {\displaystyle a^{\log _{a}x}=x}
が成り立つ。
積の対数は(底が等しい)対数の和に等しい。
log a  x y = log a  x + log a  y {\displaystyle \log _{a}xy=\log _{a}x+\log _{a}y}
商の対数は(底が等しい)対数の差に等しい。
log a  x y = log a  x − log a  y {\displaystyle \log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y}
p 乗の対数は、対数の p 倍に等しい。
log a  x p = p log a  x {\displaystyle \log _{a}x^{p}=p\log _{a}x}
また、底の p 乗の対数は、対数の 1/p 倍に等しい。(pは0でない実数)
log a p  x = 1 p log a  x {\displaystyle \log _{a^{p}}{x}={\frac {1}{p}}\log _{a}x}