方向微分
法線微分(normal derivative)とは、空間内のある曲面に対する法線方向(すなわち、直交する方向)に関する、方向微分である。あるいはより一般的に、法線微分とは、ある超曲面に直交する法線ベクトル場に沿った方向微分である。例えばノイマン境界条件を参照されたい。法線方向を n と表すとき、関数 f の方向微分はしばしば ∂f/∂n と表される、その他、
∂ f ∂ n = ∇ f ( x ) ⋅ n = ∇ n f ( x ) = ∂ f ∂ x ⋅ n = D f ( x ) [ n ] {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {n}}}}=\nabla f({\boldsymbol {x}})\cdot {\boldsymbol {n}}=\nabla _{\boldsymbol {n}}f({\boldsymbol {x}})={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\cdot {\boldsymbol {n}}=Df({\boldsymbol {x}})[{\boldsymbol {n}}]}
とも表される。
f ( S ) = f 1 ( S ) f 2 ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})} なら、 ∂ f ∂ S : T = ( ∂ f 1 ∂ S : T ) f 2 ( S ) + f 1 ( S ) ( ∂ f 2 ∂ S : T ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)} 。
f ( S ) = f 1 ( f 2 ( S ) ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))} なら、 ∂ f ∂ S : T = ∂ f 1 ∂ f 2 ( ∂ f 2 ∂ S : T ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)} 。