導来圏
グロタンディークアーベル圏は、環の上の加群の圏や位相空間上のアーベル群の層の圏や他の例を多く含んでいる。
しかしながら、導来圏での 2つの射の合成は、合成される 2つの射の頂点に、ある第三の射を見つけることで完成する。このことが確認できて始めて、well-definedで結合的な合成であることが完成する。
K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} は三角圏(英語版)であるので、 K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} の局所化 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} も三角圏である。整数 n と双対鎖複体 X に対し、X を n シフトした双対鎖複体 X[n] を
X [ n ] i = X n + i {\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i}}
と微分
d X [ n ] = ( − 1 ) n d X {\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}}
により定義する。
定義から、 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} の完全三角形は、ある双対鎖複体の射 f: X → Y から導かれる三角形 X → Y → Cone(f) → X[1] と D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} において同型な三角形である。