スペクトル (関数解析学)
有界な作用素 T において、T が下に有界でかつ稠密な値域を持つことと、T が逆作用素を持つ、すなわち有界な逆元を持つこととは同値である。したがって、T のスペクトルは、以下のように分類できる。
T - λI が下に有界でない場合。特に T - λI が単射でない、つまり λ が固有値であるとき T - λI は下に有界でない。T の固有値の集合を 点スペクトルといい、 σp(T) と表す。あるいは、 T - λI は単射だが下に有界でない場合もある。このような λ を近似固有値という(固有値も近似固有値に含める)。T の近似固有値の集合(点スペクトルを含む)を近似点スペクトルといい、 σap(T) と表す。
T - λI が稠密な値域を持たない場合。そのような場合には、λ は T の圧縮スペクトル σcp(T) に属するという。
近似点スペクトルと圧縮スペクトルは必ずしも排反でないことに注意されたい。
以下に、σ(T) の 3 つの部分について、より詳しく述べる。