逆元
↑ Howie, prop. 2.3.3, p. 51
↑ MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 - Left and Right Inverses; Pseudoinverse.
このような半群の具体的な例は少ないが、そのほとんどは完全単純半群(英語版)である。翻って、∗-半群の重要なクラスは、正則 ∗-半群であり、このクラスの唯一つの擬逆元を持つ最もよく知られた例はおそらくムーア・ペンローズ擬似逆行列である。ただし、この場合の対合 a は擬逆行列ではない。もっと言えば、行列 x の擬逆行列は xyx = x, yxy = y, (xy) = xy, (yx) = yx をすべて満たす唯一の元 y である。正則 ∗-半群は逆半群の一般化であるから、このように定まる正則 ∗-半群の唯一の元は一般化逆元 (generalized inverse) あるいはペンローズ・ムーア逆元 (Penrose-Moore inverse) と呼ばれる。正則 ∗-半群 S において「S の任意の元 a に対して aa および aa が F(S) に属すような逆元 a がちょうどひとつ存在する」となるような、Pシステム(英語版)と呼ばれる冪等元からなるとくべつな部分集合 F(S) を考えることができる。
個々での例はどれも結合演算に関するものである。したがって単位的マグマに対する左・右逆元と、一般の場合の準逆元を考えることができる。