付値体
有限次代数拡大体 L / K {\displaystyle L/K} が特にガロア拡大体であるとする。
今、 R , P {\displaystyle \scriptstyle R,\ {\mathfrak {P}}} を L の付値環、付値イデアルとしたとき、各 i ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle i\geq 0} に対して、 R / P i + 1 {\displaystyle \scriptstyle R/{\mathfrak {P}}^{i+1}} の元を動かさないような L / K {\displaystyle L/K} の同型写像の集合を
G i = { σ ∈ Gal  ( L / K ) | σ ( x ) ≡ x mod P i + 1 , ( for any x ∈ R ) } {\displaystyle G_{i}=\{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)|\ \sigma (x)\equiv x\ {\bmod {\ }}{\mathfrak {P}}^{i+1},\ ({\mbox{for any }}x\in R)\}}
とおくと、 G i {\displaystyle G_{i}} は Gal  ( L / K ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Gal} (L/K)} の部分群となる。
このとき、R 係数多項式 g ( x ) , h ( x ) {\displaystyle g(x),\ h(x)} ( deg  g = deg  g ~ ) {\displaystyle (\deg g=\deg {\tilde {g}})} が存在して
f ( x ) = g ( x ) h ( x ) , g ( x ) ≡ g ~ ( x ) ( mod m ) , h ( x ) ≡ h ~ ( x ) ( mod m ) {\displaystyle f(x)=g(x)h(x),\ \ \ g(x)\equiv {\tilde {g}}(x){\pmod {\mathfrak {m}}},\ \ \ \ h(x)\equiv {\tilde {h}}(x){\pmod {\mathfrak {m}}}}
が成立する。
つまり、K 係数多項式の可約性が、K よりも単純な体である剰余体上での可約性に帰着される。
ヘンゼルの補題を用いて、以下のことが示される。(さらなる応用例はヘンゼル体を参照のこと)
以下において、K を非アルキメデス付値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} による完備体とし、R を付値環、 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を付値イデアルとする。
R 係数多項式 f ( x ) = a n x n + ⋯ + a 0 {\displaystyle \scriptstyle f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0}} ( a n ≠ 0 ) {\displaystyle \scriptstyle (a_{n}\neq 0)} において、 a n ∈ m {\displaystyle \scriptstyle a_{n}\in {\mathfrak {m}}} であり、 a j ∉ m {\displaystyle \scriptstyle a_{j}\not \in {\mathfrak {m}}} となる j ( 1 ≤ j < n ) {\displaystyle \scriptstyle (1\leq j<n)} が存在すれば、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は R係数多項式上可約である。
K 係数の既約なモニック多項式 f ( x ) = x n + ⋯ + a 0 {\displaystyle \scriptstyle f(x)=x^{n}+\cdots +a_{0}} において、 a 0 ∈ R {\displaystyle \scriptstyle a_{0}\in R} であるならば、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は R 係数の既約多項式である。