フェルマーの小定理
上の補題と同様に、 ( x + y ) p ≡ x p + y p ( mod p ) {\displaystyle (x+y)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}{\pmod {p}}} が示せる。これより、
a p = [ 1 + ( a − 1 ) ] p ≡ 1 p + [ 1 + ( a − 2 ) ] p ≡ 1 + 1 p + [ 1 + ( a − 3 ) ] p ≡ a ( mod p ) {\displaystyle {\begin{aligned}a^{p}&=[1+(a-1)]^{p}\\&\equiv 1^{p}+[1+(a-2)]^{p}\\&\equiv 1+1^{p}+[1+(a-3)]^{p}\\&\equiv a{\pmod {p}}\end{aligned}}}
(証明終)