発散 (ベクトル解析)
a-方向の単位ベクトルを ea と書くことにして、円筒座標系で表されたベクトル
F = e r F r + e z F z + e θ F θ {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{r}F_{r}+{\boldsymbol {e}}_{z}F_{z}+{\boldsymbol {e}}_{\theta }F_{\theta }}
に対し、その発散は、
div  F = ∇ ⋅ F = 1 r ∂ ∂ r ( r F r ) + 1 r ∂ F θ ∂ θ + ∂ F z ∂ z {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {F}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}
と書ける。
球面座標系において、天頂角を θ, z-軸周りの回転角を φ とすれば、発散は
div  F = ∇ ⋅ F = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 F r ) + 1 r sin  θ ∂ ∂ θ ( sin  θ F θ ) + 1 r sin  θ ∂ F φ ∂ φ {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\bigl (}r^{2}F_{r}{\bigr )}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}}
と書ける。