ネヴァンリンナ理論
Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). “13. Nevanlinna Theory”. Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. pp. 444–478. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1115.11034
Vojta, Paul (1987). Diophantine Approximations and Value Distribution Theory. Lecture Notes in Mathematics. 1239. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-17551-3. Zbl 0609.14011
Vojta, Paul (2011). “Diophantine approximation and Nevanlinna theory”. In Corvaja, Pietro; Gasbarri, Carlo. Arithmetic geometry. Lectures given at the C.I.M.E summer school, Cetraro, Italy, September 10--15, 2007. Lecture Notes in Mathematics. 2009. Berlin: Springer-Verlag. pp. 111–224. ISBN 978-3-642-15944-2. Zbl 1258.11076
a ∈ C とし、次式のように定義する。
N ( r , a , f ) = N ( r , 1 f − a ) , m ( r , a , f ) = m ( r , 1 f − a ) {\displaystyle \quad N(r,a,f)=N\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right),\quad m(r,a,f)=m\left(r,{\dfrac {1}{f-a}}\right)}
ここで、 a = ∞ とすると、 N(r,∞,f) = N(r,f), m(r,∞,f) = m(r,f) となる。
ネヴァンリンナ理論の第一基本定理は、リーマン面の全ての a について、次のことを述べている。
T ( r , f ) = N ( r , a , f ) + m ( r , a , f ) + O ( 1 ) , {\displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1),\,}
ここで、境界項 O(1) は f と a に依存することがある。平面上の非定常な有理型関数の場合、 r が無限大になるにつれて T(r, f) は無限大になるので、第一基本定理は、和 N(r,a,f) + m(r,a,f) が a に依存しない速度で無限大になることを述べている。
欠陥関係(defect relation)は、第二基本定理の主要な従属関係の一つである。点 a における有理型関数の欠陥は、次の式で定義される。
δ ( a , f ) = lim inf r → ∞ m ( r , a , f ) T ( r , f ) = 1 − lim sup r → ∞ N ( r , a , f ) T ( r , f ) {\displaystyle \delta (a,f)=\liminf _{r\rightarrow \infty }{\frac {m(r,a,f)}{T(r,f)}}=1-\limsup _{r\rightarrow \infty }{\dfrac {N(r,a,f)}{T(r,f)}}}
第一基本定理では、 T(r,f) が無限大になる場合、 0 ≤ δ(a,f) ≤ 1 となる(これは平面上で有理型化する不変関数の場合には常にそうなる)。
ネヴァンリンナ理論(英語: Nevanlinna theory)とは、複素解析の分野における理論で、有理型関数の理論の一部である。1925年にロルフ・ネヴァンリンナによって考案された。ヘルマン・ワイルはこれを「今世紀(20世紀)における数少ない数学的偉業のうちの一つ」と呼んでいる。この理論は、方程式 f(z) = a の解の漸近分布を a の変化として記述している。基本的なツールは、有理型関数の増加率を測定するネヴァンリンナ標数 T(r, f) である。
この理論の20世紀前半の他の主な貢献者には、ラース・ヴァレリアン・アールフォルス、アンドレ・ブロッホ(英語版)、アンリ・カルタン、エドワード・コーリングウッド(英語版)、オットー・フロストマン(英語版)、フリチオフ・ネヴァンリンナ、ヘンリック・セルバーグ(英語版)、清水辰次郎、オズヴァルト・タイヒミュラー、ジョルジュ・ヴァリロン(英語版)がいる。元々の形式では、ネヴァンリンナ理論は、円盤 |z| ≤ R または複素平面全体 (R = ∞) で定義された1つの複素変数の有理型関数を扱う。その後の一般化により、ネヴァンリンナ理論は、代数関数、正則曲線(英語版)、任意次元の複素多様体間の正則写像、準規則写像(英語版)、極小曲面へと拡張された。
この項目では、主に複素平面上での有理型関数に重点を置き、1変数の有理型関数の古典的なバージョンを説明する。この理論の一般的な参照文献としては、Goldberg & Ostrovskii、Hayman、Lang (1987)がある。