特性関数 (確率論)
φ X + Y ( t ) = φ X ( t ) φ Y ( t ) = ( 1 − θ i t ) − k 1 ( 1 − θ i t ) − k 2 = ( 1 − θ i t ) − ( k 1 + k 2 ) {\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{1}}(1-\theta \,i\,t)^{-k_{2}}=\left(1-\theta \,i\,t\right)^{-(k_{1}+k_{2})}}
これは、尺度母数 θ、形状母数 k1 + k2 のガンマ分布の特性関数に他ならない。したがって、最終的に次の結果が得られる。
X + Y ∼ Γ ( k 1 + k 2 , θ ) {\displaystyle X+Y\sim \Gamma (k_{1}+k_{2},\theta )}
この結果は、尺度母数が同じ n 個の独立なガンマ分布の確率変数に拡張することができ、以下の関係が導かれる。
∀ i ∈ { 1 , ... , n } : X i ∼ Γ ( k i , θ ) ⇒ ∑ i = 1 n X i ∼ Γ ( ∑ i = 1 n k i , θ ) {\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta )\qquad \Rightarrow \qquad \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right)}
特性関数は確率変数のモーメントを求める場合にも使える。n-次のモーメントがある場合、特性関数は n 階微分可能で、次が成り立つ:
E  [ X n ] = i − n φ X ( n ) ( 0 ) = i − n [ d n d t n φ X ( t ) ] t = 0 . {\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } [X^{n}]=i^{-n}\,\varphi _{X}^{(n)}(0)=i^{-n}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}.}
例えば、X が標準的なコーシー分布に従うとする。すると φ X ( t ) = e − | t | {\displaystyle \varphi _{X}(t)=e^{-|t|}} である。コーシー分布には期待値がなく、この特性関数は点 t = 0 で微分可能ではない。また、n 回の独立な観測についての標本の平均 X の特性関数は、上の節にあるように φ X ̄ ( t ) = ( e − | t | / n ) n = e − | t | {\displaystyle \varphi _{\overline {X}}(t)=(e^{-|t|/n})^{n}=e^{-|t|}} となる。これは標準のコーシー分布の特性関数であり、標本の平均と母集団は同じ分布である。
特性関数の対数はキュムラント母関数であり、キュムラントを求める際に有用である。ただし、キュムラント母関数を積率母関数の対数と定義する場合もあり、その場合は特性関数の対数を第 2 キュムラント母関数と呼ぶ。