ヒルベルトの第3問題
上記のデーンの定理に照らして考えると、次の疑問が浮かぶ:「多面体が分割合同であるのはどのようなときか?」
ジャン=ピエール・シドラー(英語版)は、2個の多面体が分割合同であるのは、それらの体積とデーン不変量がいずれも等しいとき、かつそのときに限ることを証明した(1965年)。ボルゲ・ジェッセン(英語版)は後にシドラーの結果を4次元空間にまで拡張した。1990年 Dupont と Sah は、命題をある古典群(英語版)のホモロジーに関するものだと解釈し直すことで、シドラーの結果のより簡単な証明を与えた。
1980年、Debrunner は3次元空間の周期的な空間充填ができる多面体のデーン不変量は必ず0であることを証明した。
ジェッセンはまた、彼の結果が球面幾何学や双曲幾何学においても正しいかどうかを問うた。これらの幾何学においてもデーンの手法は通用し、2個の「多面体」が分割合同であればデーン不変量が等しいことが分かっている。ところが、これらの空間での体積とデーン不変量がいずれも等しい2個の多面体が分割合同かどうかは未だに解決されていない。
ヒルベルトの第3問題(ヒルベルトのだい3もんだい、英: Hilbert's third problem)は1900年に提出された問題で、ヒルベルトの23の問題のうち最も早く解決されたものである。問題は次の問いと関係している:「同体積の多面体が2個与えられたとき、一方を有限個の多面体に切断して組み換えることで、他方を作ることは常に可能か?」
これに先立つカール・フリードリヒ・ガウスの記述に基づき、ヒルベルトはこの操作は常に可能とは限らないと予想した。これはその年の内に、教え子のマックス・デーンにより実証された。デーンは反例を構成することで、この問いの答えは一般的には "no" であることを証明したのである。
2次元の多角形に対する同様の問いの答えは "yes" であることが長く知られていた(ボヤイの定理)。
ヒルベルトとデーンの知らぬことだったが、同問題は1882年のクラクフ芸術科学アカデミーの数学コンテストにおいて Władysław Kretkowski によって出題されており、Antoni Birkenmajer がデーンとは異なる解法を与えていた。Birkenmajer はこの結果を公刊せず、彼の解法が含まれる元の手稿は後年になって再発見された。