整列集合
自然数の全体に通常の大小関係を考えたものとは異なり、整数全体の成す集合 Z に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列集合ではない。たとえば、負の整数全体の成す集合には最小元が存在しない。
たとえば、次のような二項関係 R を考えれば、Z を整列集合にすることができる。
ふたつの整数 x, y に対して、xRy となるための必要十分条件は
x = 0;
x が正で y が負;
x, y がともに正で、x ≤ y;
x, y がともに負で |x| ≤ |y|
のうちのいずれか一つが成立することと定める。この関係 R は要するに
0, 1, 2, 3, 4, ..., −1, −2, −3, ...
となる順序として表すことができる。この整列順序 R に関する整列集合 Z の順序型は順序数 ω + ω に順序同型である。
Z の別な整列順序の例としては、x ≤Z y ⇔ |x| < |y| または [|x| = |y| かつ x ≤ y] として定まる順序 ≤Z が挙げられる。図示すれば
0, −1, 1, −2, 2, −3, 3, −4, 4, ...
である。これは ω を順序型とする整列順序である。