ジョーンズ多項式
「もともとのジョーンズ多項式は3次元球面(3次元空間R3, 3次元球体B3)の中の絡み目に対して定義されたが、他の3次元多様体の中の絡み目の場合にジョーンズ多項式の定義を拡張せよ。」
この問題の背景や歴史については、この論文 の§1.2 を参照のこと。 この問題は`有向閉曲面と閉区間の積多様体’の場合には、カウフマンによって ヴァーチャル絡み目 というものを導入することによって肯定的に解かれた。 他の場合については未解決である。WittenによるJones多項式を表す有名な経路積分は 全てのコンパクト3次元多様体の場合に形式的には書けているが 3次元球面(3次元空間R3, 3次元球体B3)の場合以外は、物理的な意味での計算すらされていない。すなわち物理的な意味でもこの問題は未解決である。 ちなみにアレクサンダー多項式の場合にはこの問題は解決されている(有名な事実)。
ブラケットによる ジョーンズ 多項式の定義により、結び目 K の鏡像の ジョーンズ 多項式は V(K) の t {\displaystyle t} に t − 1 {\displaystyle t^{-1}} を代入して得られることが簡単にわかる。よって、自分自身の鏡像と同値な結び目である 両手型結び目 は、その ジョーンズ 多項式に回文的な成分を持つことがわかる。
ジョーンズ多項式の典型的な計算法は、絡み目 L の正則表示 D に現れる交点のひとつに対してスケイン関係式を適用し、等式変形をすることである(スケイン関係式の計算例(英語) )。うまく交点を選べば変形後の式は、D よりも交点数が小さい表示を持つ絡み目のジョーンズ多項式たちの線形和になり、再帰的な計算で L のジョーンズ多項式の値を求めることができる。
.. , e n − 1 {\displaystyle 1,e_{1},\dots ,e_{n-1}} はテンパーリーリーブ代数の標準的な生成元)。これが表現になることは簡単に確かめられる。
L から得られる組み紐群の語 σ {\displaystyle \sigma } をとり、 δ n − 1 t r ρ ( σ ) {\displaystyle \delta ^{n-1}tr\rho (\sigma )} を計算する(tr は マルコフトレース)。この量はブラケット多項式 ⟨ L ⟩ {\displaystyle \langle L\rangle } を与える。このことは カウフマンが行ったように、テンパーリーリーブ代数をある図式の代数とみなすことによって得られた。
このアプローチの利点は、他の代数への表現で同じように不変量を考えられることである。実際、量子群の R-行列と線形表現や岩堀–ヘッケ代数の表現を使った数多くの不変量が定義され考察された。