余因子展開
と定義し、それらの置換の符号を
ε { i , j } , { p , q } = sgn  [ 1 2 3 4 i j p q ] {\displaystyle \varepsilon ^{\{i,j\},\{p,q\}}=\operatorname {sgn} {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\i&j&p&q\end{bmatrix}}}
と定義することで、A の行列式は
| A | = ∑ H ∈ S ε H , H ′ b H c H ′ {\displaystyle |A|=\sum _{H\in S}\varepsilon ^{H,H'}b_{H}c_{H'}}
と書き下せる。ただし H′ は H の補集合である。
我々の明示的な例でこれを計算すると次のようになる。
τ は σ で次のように表せる:
τ = [ 1 ⋯ i − 1 i ⋯ n − 1 ( ← ) j σ ( 1 ) ⋯ ( ← ) j σ ( i − 1 ) ( ← ) j σ ( i + 1 ) ⋯ ( ← ) j σ ( n ) ] {\displaystyle \tau ={\begin{bmatrix}1&\cdots &i-1&i&\cdots &n-1\\(\leftarrow )_{j}\sigma (1)&\cdots &(\leftarrow )_{j}\sigma (i-1)&(\leftarrow )_{j}\sigma (i+1)&\cdots &(\leftarrow )_{j}\sigma (n)\end{bmatrix}}}
ただし、(←)j はこの場だけの省略記法で、巡回置換 (n, n − 1, ..., j + 1, j) を表すものとする。つまり、j より大きい番号は 1 ずつ減らし、j は n に写す置換(したがって、τ の像がきちんと集合 {1, 2, ..., n − 1} になる)を意味するものとする。
τ からもとの σ を以下のようにして導出することができる:τ ∈ Sn−1 を τ′ ∈ Sn に拡張すると(このとき τ′(n) = n にならざるを得ない)、
∑ σ ∈ S n σ ( i ) = j ( sgn  σ ) a 1 , σ ( 1 ) ⋯ a n , σ ( n ) = ∑ τ ∈ S n − 1 ( − 1 ) i + j ( sgn  τ ) a i , j b 1 , τ ( 1 ) ⋯ b n − 1 , τ ( n − 1 ) = a i , j ( − 1 ) i + j | M i , j | = a i , j a ~ i , j {\displaystyle {\begin{aligned}\textstyle \sum \limits _{\sigma \in S_{n} \atop \sigma (i)=j}(\operatorname {sgn} \sigma )\,a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}&=\textstyle \sum \limits _{\tau \in S_{n-1}}(-1)^{i+j}(\operatorname {sgn} \tau )\,a_{i,j}\,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{n-1,\tau (n-1)}\\&=a_{i,j}(-1)^{i+j}\left|M_{i,j}\right|\\&=a_{i,j}\,{\widetilde {a}}_{i,j}\end{aligned}}}
となり、ここから所期の結果が得られる。(証明終)