関数の極限
g ( x ) = { x x 2 + 1 , if x ≠ 2 0 , if x = 2 {\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{if }}x\neq 2\\0,&{\mbox{if }}x=2\end{cases}}}
を考える。x が 2 に近づくときの g(x) の極限は 0.4 であるが、 lim x → 2 g ( x ) ≠ g ( 2 ) {\displaystyle \lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)} である。故に g(x) は x = 2 で連続でない。
また、x→ c のとき、f(x) の値が限りなく大きくなることを、「x が c に限りなく近づくとき関数 f(x) は正の無限大に発散する」といい、
lim x → c f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty }
または
f ( x ) → ∞ ( x → c ) {\displaystyle f(x)\to \infty \quad (x\to c)}
と表す。このことは次のように厳密に定義される。
∀ K > 0 , ∃ δ > 0 ; ∀ x [ 0 < | x − c | < δ ⟹ f ( x ) > K ] {\displaystyle {}^{\forall }K>0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}