ペル方程式
右辺を1の代わりに4としたもの
x − ny = ±4
もペル方程式とよばれることがあるが、これは二次体の単数と深く関連している。K を二次体とし、D をその判別式とすると、
x − Dy = ±4
の整数解に対して
(x + y√D)/2
全体は K の単数全体と一致する。特に最小解を (x1, y1) とおくと、
α = x 1 + y 1 D 2 , β = x 1 − y 1 D 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}}}{2}},\beta ={\frac {x_{1}-y_{1}{\sqrt {D}}}{2}}}
は K の基本単数となり、この方程式の解について、通常のペル方程式の場合と類似した公式
x k + y k D 2 = ( x 1 + y 1 D 2 ) k {\displaystyle {\frac {x_{k}+y_{k}{\sqrt {D}}}{2}}=\left({\frac {x_{1}+y_{1}{\sqrt {D}}}{2}}\right)^{k}}
が得られる。