複素対数函数
各非零複素数 z = x + yi に対して、その対数の主値 Log z とは、虚部が区間 (−π, π] に属する対数を言う。e = 0 を満たす複素数 w は存在しないから、式 Log 0 はやはり定義されない。
この主値はいくつか別のやり方でも記述できる。
Log z の表式を得るために、z を極形式 z = re で表せば、θ に 2πi の整数倍を加えるだけの不定性を以って z の極形式は一意ではないが、θ が区間 (−π, π] に属する(この θ を偏角の主値 Arg z という)とすれば「一意にする」ことができるから、これにより対数主値を Log  z := ln  r + i θ = ln  | z | + i Arg  z {\displaystyle \operatorname {Log} z:=\ln r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z} と定義することができる。右辺の ln は通常の実自然対数である。例えば Log(−3i) = ln 3 − πi/2 となる。
もう一つの Log z の記述の仕方は前節で述べたように複素指数函数の制限の逆函数としてのもので、垂直な帯状領域 S を w = x + yi (−π < y ≤ π) なる複素数全体の成す集合とすれば、これはどの二つも 2πi の整数倍の差を持つことのない領域であるから、指数函数を S に制限したものは逆函数を持つ。実は、複素指数函数は S を穴あき平面 C* = C ∖ {0} へ全単射に写し、逆函数は Log: C* → S となる。
C の連結開集合上定義された正則函数 f に対し、U 上定義された log f の枝とは、U 上の連続函数 g で e = f(z) (∀z ∈ U を満たすものを言う。そのような函数 g は g′(z) = f′(z)/f(z) (∀z ∈ U) を満たす正則函数であることが必要である。
U が C の単連結開集合で、f が U 上至る所消えていない正則函数ならば、U 上定義された log f の枝は、始点 a ∈ U と f(a) の対数 b を選んで
g ( z ) := b + ∫ a z f ′ ( w ) f ( w ) d w ( ∀ z ∈ U ) {\displaystyle g(z):=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw\quad (\forall z\in U)}
と定めることによって構成できる。