アスコリ＝アルツェラの定理
さらに、次の結果も示される。
{ fn } が [a, b] 上の実数値函数の一様有界列で、各 f は同じリプシッツ定数 K によってリプシッツ連続であるとする。すなわち、
| f n ( x ) − f n ( y ) | ≤ K | x − y | {\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|}
がすべての x, y ∈ [a, b] と fn に対して成り立つとする。このとき、[a, b] 上で一様収束する部分列が存在する。
この極限の函数も同じリプシッツ定数 K によってリプシッツ連続である。この結果をさらに改良すると次のようになる。
[a, b] の函数 f で、一様有界かつ次数 α, 0 < α ≤ 1 と固定された定数 M に対するヘルダー条件
| f ( x ) − f ( y ) | ≤ M | x − y | α , x , y ∈ [ a , b ] {\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|\leq M\,|x-y|^{\alpha },\qquad x,y\in [a,b]}
を満たすものからなる集合 F は、C([a, b]) 内において相対コンパクトである。特に、ヘルダー空間 C([a, b]) は C([a, b]) 内においてコンパクトである。
この結果は、より一般に、コンパクト距離空間 X 上のスカラー函数で、その距離に関するヘルダー条件を満たすものに対しても成立する。