三角形
初等幾何学における三角形(さんかくけい、さんかっけい、拉: triangulum, 独: Dreieck, 英, 仏: triangle,(古風)trigon)は、同一直線上にない3点と、それらを結ぶ3つの線分からなる多角形。その3点を三角形の頂点、3つの線分を三角形の辺という。
3点 A, B, C を頂点とする三角形は記号 △ を用いて △ABC と表記する。記号△はピエール・エリゴン(フランス語版)などが16世紀に使うようになった。
三角形の 2辺がなす角をその三角形の内角という。
図1においては、∠ABC が内角の 1つとなる。三角形は 3つの内角をもち、その和は平面上では2直角(180度)となる(本稿はユークリッド幾何学における三角形を論じる)。
また、∠ACD のように、1つの辺と、他の辺の延長が作る角を三角形の外角という。三角形の 1つの頂点(内角)に対して、内角をはさむ2辺以外の辺をその頂点(内角)の対辺という。また、三角形の 1つの辺に対して、辺の両端以外の頂点(内角)をその辺の対頂点(対角)という。
一般に、三角形の頂点やその頂点の内角を表すには、大文字のアルファベットを用いる。特に、内角(内角の大きさ)を表すときには、頂点の前に記号 ∠ をつけるか、頂点の文字を斜体にして表すのが慣例である。たとえば、図2 の頂点 B を持つ内角(内角の大きさ)を ∠B、または B と表す。
辺(辺の長さ)を表すには、対頂点(向かい合う頂点)の文字に対応する小文字のアルファベットで表すことが行われる。たとえば、図2 の角 B の対辺 CA は、b と表す。この記法は、18世紀のオイラーの頃から使われるようになった。
また、三角形の内角の和が一定(180度)であることを考えれば、"ASA" において与えられる2角は、辺を挟む 2角でなくともよいことが分かる。
一方で、"SAS" においては、ただ単に 2辺と 1角が等しいだけは、合同とは限らない。例を図13 に示す。図13 では、△ABC と △A'B'C' について、AB = A'B', AC = A'C', ∠ABC = ∠A'B'C' であるが、合同でない。
特に、1角が直角である場合は、加えて次の合同条件も成立する。
平面図形である多角形には内部と外部があり、面積を考えることができる。中でも基本的である三角形の面積の求め方は、基本的なものだけでもいくつかが知られている。どの式で求めるかは、分かっている量(辺の長さや内角など)に応じて使い分ければよい。