コンウェイのチェーン表記
ここで関数 f を f(x) = X → (x) → q とおくと、最後の二つの条件は次のようにも述べられる。但し f は f の p 回反復合成である。
X → ( p + 1 ) → ( q + 1 ) = X → ( ⋯ → ( X → ( ⏟ p X ) → q ) → ⋯ ) → q ⏟ p = f ( ⋯ f ( ⏟ p X ) ⋯ ) ⏟ p = f p ( X ) {\displaystyle {\begin{aligned}X\rightarrow (p+1)\rightarrow (q+1)&=\underbrace {X\rightarrow {\biggl (}\cdots \rightarrow {\Bigl (}X\rightarrow (} _{p}\quad X\quad \underbrace {)\rightarrow q{\Bigr )}\rightarrow \cdots {\biggr )}\rightarrow q} _{p}\\&=\underbrace {f(\cdots f(} _{p}\quad X\quad \underbrace {)\cdots )} _{p}\\&=f^{p}(X)\end{aligned}}}
g 64 ( 4 ) = G ; {\displaystyle g^{64}(4)=G;}
= 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 → 4 ) ) ⋯ ) ) {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 4))\cdots ))} (64組の " 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3} ")
p → q → r → 1 = p ↑ ⋯ ↑ ⏟ r 本 q {\displaystyle {\begin{matrix}p\rightarrow q\rightarrow r\rightarrow 1&=&p\underbrace {\uparrow \cdots \uparrow } _{r{\text{本}}}q\end{matrix}}}
p → q → r → 2 = p → q → { p → q → ( r − 1 ) → 2 } → 1 = p → q → { p → q → ( r − 1 ) → 2 } = p → q → ( p → q → ⋯ ( p → q → ( ⏟ r 1 ) → 1 ) ⋯ → 1 ) ⏟ r = p ↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ p ↑ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ ⋮ ⏟ p ↑ ⋯ ↑ ⏟ p q 本 q 本 q 本 q } r 層 {\displaystyle \left.{\begin{matrix}p\rightarrow q\rightarrow r\rightarrow 2=p\rightarrow q\rightarrow \left\{p\rightarrow q\rightarrow (r-1)\rightarrow 2\right\}\rightarrow 1=p\rightarrow q\rightarrow \left\{p\rightarrow q\rightarrow (r-1)\rightarrow 2\right\}=\underbrace {p\rightarrow q\rightarrow (p\rightarrow q\rightarrow \cdots (p\rightarrow q\rightarrow (} _{r}1)\underbrace {\rightarrow 1)\cdots \rightarrow 1)} _{r}&=&p\underbrace {\uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{\scriptstyle p\underbrace {\uparrow \cdots \cdots \uparrow } _{\scriptstyle \underbrace {\quad ~\vdots ~\quad } _{\scriptstyle p\underbrace {\uparrow \cdots \uparrow } _{\scriptstyle p^{q}{\text{本}}}q{\text{本}}}}q{\text{本}}}q\end{matrix}}\right\}{\scriptstyle r{\text{層}}}}
= 3 ↑↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ⋅ ↑↑↑ ⏟ 3 3 ↑↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ↑↑↑ ⏟ 3 本 3 ↑↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ↑↑↑ ⏟ 3 本 ⋮ ⏟ 3 ↑↑↑ ⋯ ⋅ ↑↑↑ ⏟ 3 ↑ 3 本 3 本 } 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ↑ ⏟ 3 層 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 本 ⋮ ⏟ 3 ↑↑ ⋯ ⋅ ↑ ⏟ 3 ↑ 3 本 3 本 } 3 ↑ 3 = 27 層 {\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \uparrow \uparrow \uparrow } _{}3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow \uparrow \uparrow } _{}3{\text{本}}\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow \uparrow \uparrow } _{}3{\text{本}}\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow \uparrow \uparrow } _{3\uparrow 3{\text{本}}}3{\text{本}}\end{matrix}}\right\}\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3{\text{層 }}\\3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3{\text{本}}\\\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } _{3\uparrow 3{\text{本}}}3{\text{本}}\end{matrix}}\right\}\ 3\uparrow 3=27{\text{層 }}}
彼は上記以外の規則は変更しなかった。(一つのチェーンにおいては1種類の矢印のみを使用できた。つまりb≠dの際 a → b c → d e {\displaystyle a\rightarrow _{b}c\rightarrow _{d}e} は規則違反になる)
もし更に規則を若干訂正し
a → b c → d e = a → b c → d − 1 c → d − 1 c → d − 1 ⋯ → d − 1 c → d − 1 c → d − 1 c ⏟ e 本 の 矢 {\displaystyle a\rightarrow _{b}c\rightarrow _{d}e=a\rightarrow _{b}\underbrace {c\rightarrow _{d-1}c\rightarrow _{d-1}c\rightarrow _{d-1}\dots \rightarrow _{d-1}c\rightarrow _{d-1}c\rightarrow _{d-1}c} _{e{\text{ 本 の 矢}}}}
とすると、 a → b c → d e {\displaystyle a\rightarrow _{b}c\rightarrow _{d}e} は規則違反では無くなる上に表記法が更に強くなる(あまり意味はない。つまり、本質的に大きくする手段は別にある。)。