微分
そのような多様体間の可微分写像 f: M → N の点 x ∈ M における微分係数あるいは微分は、x における M の接空間から f(x) における N の接空間への線型写像であり、導函数は M の接束から N の接束への写像となる。この定義は微分幾何学において基本的であり、多くの応用がある。微分写像(押し出し)および引き戻し (微分幾何学)(英語版)の項を参照。
バナッハ空間やフレシェ空間のような無限次元線型空間の間の写像に対する微分法も定義できる。方向微分の一般化であるガトー微分や函数の微分の一般化であるフレシェ微分などがある。
古典的な微分の欠点は微分可能な函数がそれほどまでには多くないことである。それにも関わらず、微分の概念を拡張して任意の連続函数やほかの多くの函数を微分可能とするものに、弱微分がある。これは連続函数をより大きな分布の空間に埋め込んで、「平均の上で」のみ微分可能性を課すというものである。
微分の性質に着想を得て代数学や位相空間論における同様の対象がたくさん導入され研究されている。例えば導分(英語版)、微分環などを参照。
微分の離散的対応物は差分である。微分法の研究は時間尺度微分積分学において差分法と統一される。
算術微分(英語版)(数論的微分)
微分の概念を多くの他の状況設定の下でも拡張して定義することができる。共通することは、一つの点における函数の導函数がその点における函数の線型近似として働くことである。
実函数の微分の重要な一般化は、ガウス平面上の領域からガウス平面 C への函数のような複素変数の複素函数の微分である。複素函数の微分の概念は、実函数の微分の定義において実変数であるところを複素変数に置き換えることで得られる。二つの実数 x, y を用いて複素数 z = x + i y と書くことによりガウス平面 C を座標平面 R と同一視するとき、C から C への複素可微分函数は R から R へのある種の(その偏導函数が全て存在するという意味での)実可微分函数とみなすことができるが、逆は一般には成り立たない(複素微分が存在するのは実導函数が「複素線型」であるときに限り、これは二つの偏導函数がコーシー–リーマン方程式と呼ばれる関係式を満足することを課すものである)。正則函数の項を参照。
別の一般化として可微分多様体(滑らかな多様体)の間の写像の微分を考えることができる。直観的に言えば、可微分多様体 M とはその各点 x の近くで接空間と呼ばれるベクトル空間によって近似することのできる空間である(原型的な例は R 内の滑らかな曲面(英語版)である)。