軌道角運動量
簡単な計算から交換関係
[ L ^ z , L ^ ± ] = ± ħ L ^ ± {\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]=\pm \hbar {\hat {L}}_{\pm }}
を満たすので、ψを固有値mħに対するˆLzの固有関数とすると、次の式が成りたつ。
L ^ z ( L ^ ± ψ ) = L ^ ± L ^ z ψ + [ L ^ z , L ^ ± ] ψ = ( m ± 1 ) ħ ( L ^ ± ψ ) {\displaystyle {\hat {L}}_{z}({\hat {L}}_{\pm }\psi )={\hat {L}}_{\pm }{\hat {L}}_{z}\psi +[{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{\pm }]\psi =(m\pm 1)\hbar ({\hat {L}}_{\pm }\psi )}
したがって、L±ψはˆLzの固有関数であり、その固有値は(m+1)ħである。
すなわち、昇降演算子はmħに対応する固有関数を(m±1)ħに対応する固有関数に移す。
よって特に
Y l , m = L + m Y l , 0 {\displaystyle Y_{\ell ,m}=L_{+}{}^{m}Y_{\ell ,0}} ×(定数)
が成立する。
球面座標 (r, θ, φ) を用いると、ˆL は
( L ^ x , L ^ y , L ^ z ) = ( i ħ ( sin  φ ∂ ∂ θ + cot  θ cos  φ ∂ ∂ φ , ) , i ħ ( − cos  φ ∂ ∂ θ + cot  θ sin  φ ∂ ∂ φ ) , − i ħ ∂ ∂ φ ) {\displaystyle ({\hat {L}}_{x},{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z})=\left(i\hbar \left(\sin \varphi {\partial \over \partial \theta }+\cot \theta \cos \varphi {\partial \over \partial \varphi },\right),i\hbar \left(-\cos \varphi {\partial \over \partial \theta }+\cot \theta \sin \varphi {\partial \over \partial \varphi }\right),-i\hbar {\partial \over \partial \varphi }\right)}
と書ける。
さらに球面座標表示した曲線 R(r)=(r,0,0)、Θ(θ)=(0,θ,0)、Φ(φ)=(0,0,φ) の原点における接線方向の単位ベクトルを er、eθ、eφ とするとき、er、eθ、eφ 方向の軌道角運動量演算子 ˆLr, ˆLθ, ˆLφ とすると、以下が成立する:
L r = 0 {\displaystyle L_{r}=0}
L θ = i ħ 1 sin  θ ∂ ∂ φ {\displaystyle L_{\theta }=i\hbar {\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}}
L φ = − i ħ ∂ ∂ θ {\displaystyle L_{\phi }=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}}
この演算子は軌道角運動量の各成分と可換である:
[ L 2 ^ , L ^ x ] = [ L 2 ^ , L ^ y ] = [ L 2 ^ , L ^ z ] = 0 {\displaystyle [{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}},{\hat {L}}_{x}]=[{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}},{\hat {L}}_{y}]=[{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}},{\hat {L}}_{z}]=0}