位相的場の理論
ここで、対応するハール測度に対する観測可能量 < O i >:= ∫ d μ O i e i S {\displaystyle <O_{i}>:=\int d\mu O_{i}e^{iS}} の平均は、幾何学的な場 B {\displaystyle B} に対し独立であるので、位相的である。
δ δ B < O i >= ∫ d μ O i i δ δ B S e i S ∝ ∫ d μ O i δ G e i S = δ ( ∫ d μ O i G e i S ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta B}}<O_{i}>=\int d\mu O_{i}i{\frac {\delta }{\delta B}}Se^{iS}\propto \int d\mu O_{i}\delta Ge^{iS}=\delta (\int d\mu O_{i}Ge^{iS})=0} .
第三の同号は、 δ O i = δ S = 0 {\displaystyle \delta O_{i}=\delta S=0} と対称性変換の下ではハール測度は不変であるという事実を使った。 ∫ d μ O i G e i S {\displaystyle \int d\mu O_{i}Ge^{iS}} は数値でしかないので、リー微分はこれへ適用すると 0 となる。