分解型八元数
分解型八元数の積は非結合的であるから、それを通常の行列として表すことはできない(行列の積は常に結合的である)。マックス・オーギュスト・ツォルンは、行列の積を少しく修正したものを用いて、スカラーとベクトルを混合的に成分に持つ「行列」として書き表す方法を発見した 具体的に、ベクトル行列は、実数 a, b および R のベクトル v, w を成分に持つ 2 × 2 行列として
の形に書き表されるものと定義する。このベクトル行列の乗法規則は、三次元ベクトルの点乗積 ⋅ および交叉積 × を用いて
と定義される。加法とスカラー倍は通常の通り成分ごとに定めるものとすると、ベクトル行列の全体は R 上八次元の単位的分配多元環を成し、ツォルンのベクトル行列代数と呼ばれる。 ベクトル行列の「行列式」を
なる規則で定めれば、この「行列式」det はツォルンのベクトル行列代数上の二次形式として、合成律:
を満足する。 実はこのベクトル行列代数は分解型八元数全体の成す多元環に同型になる。分解型八元数 x を実数 a, b および純虚四元数 v, w(これを R のベクトルと見る)を用いて
と書けば、分解型八元数全体からベクトル行列代数への同型 φ が
で与えられる。この同型は、N(x) = det(φ(x)) が成り立つから、ノルムを保つ。