トーリック多様体
N内の 有理な凸超多面体(convex polytope) の扇は、固有の面の上方にある錐で構成される。超多面体のトーリック多様体とは、その扇のトーリック多様体である。この構造の多様体は、Nの双対にある有理な超多面体をとることができ、N内にてその極集合のトーリック多様体をとることができる。
トーリック多様体は、ファイバーがトーラス位相となるNの双対の中に、超多面体の写像を有する。例えば、複素射影平面(英語版)(complex projective plane)CPは3つの複素座標によって表される。
| z 1 | 2 + | z 2 | 2 + | z 3 | 2 = 1 , {\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}=1,\,\!}
ここでの総和は、射影写像での実際の拡大縮小(rescaling) 部分を構成するために選択され、座標は以下の U(1)の作用によってさらに識別されなければならない。
( z 1 , z 2 , z 3 ) ≈ e i φ ( z 1 , z 2 , z 3 ) . {\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})\approx e^{i\phi }(z_{1},z_{2},z_{3}).\,\!}
トーリック幾何のアプローチで書くのなら、
( x , y , z ) = ( | z 1 | 2 , | z 2 | 2 , | z 3 | 2 ) .