コンマ圏
コンマ圏(the comma category;(T↓S) )とは、圏 C の射 f : T e → S d とドメイン・コドメインの元の圏の対象 e ∈ ObjE, d ∈ ObjD との三組 <e,d,f> を対象、圏 E の射 k : e → e' と圏 D の射 h : d → d' で f'・T k = S h・f を満たすものの組 <k,h> : <e,d,f> → <e',d',f'> を射とする圏である。なお、射の合成 <k',h'>・<k,h> は <k'・k,h'・h> で定義される。
圏 C の対象を a とする。a の上方の対象からなる圏(the category of objects over a)とは、a をコドメインとする射 g : d → a を対象、ドメイン間の射 k : d' → d を射とする圏である。
同じく形式的には、a の上方対象からなる圏 (C↓a) とは、a をコドメインとする射 g : d → a とそのドメイン d との組 <d,g> を対象、射 k : <d,g> → <d',g'> は C の射 k : d' → d で g・k = g' を満たすものからなる圏である。スライス圏(slice category)とも呼ばれ、(C↓a) の代わりに C/a と表記される。
圏を C, D, E、関手を S : D → C, T : E → C とする。