全順序
二つの順序 ( A 1 , ≤ 1 ) {\displaystyle (A_{1},\leq _{1})} と ( A 2 , ≤ 2 ) {\displaystyle (A_{2},\leq _{2})} の非交和と呼ばれる自然な順序 ≤ + {\displaystyle \leq _{+}} が和集合 A 1 ∪ A 2 {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}} 上に定義される。しばしばこれを順序集合の和と呼び、単に A 1 + A 2 {\displaystyle A_{1}+A_{2}} で表す。
x , y ∈ A 1 ∪ A 2 {\displaystyle x,y\in A_{1}\cup A_{2}} に対し x ≤ + y {\displaystyle x\leq _{+}y} は以下の何れかひとつを満足することと定められる: x , y ∈ A 1 {\displaystyle x,y\in A_{1}} かつ x ≤ 1 y {\displaystyle x\leq _{1}y} x , y ∈ A 2 {\displaystyle x,y\in A_{2}} かつ x ≤ 2 y {\displaystyle x\leq _{2}y} x ∈ A 1 {\displaystyle x\in A_{1}} かつ y ∈ A 2 {\displaystyle y\in A_{2}}
通常のアルファベット順(A < B < C)はアルファベット全体の成す集合を全順序付ける。
全順序集合の任意の部分集合は、もとの全体集合の順序をその部分集合に制限することで、全順序付けられる。
順序数からなる任意の集合、あるいは基数からなる任意の集合。これらは単に全順序集合であるばかりでなく、さらに強く整列集合になる。
集合 X に対して、Xから全順序集合への単射写像 f が存在するとき、x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2) で X での順序を定めると、X は全順序集合になる。
適当な順序数で添字付けられた全順序集合族のデカルト積は、その上に辞書式順序を入れることにより、それ自身全順序集合になる。例えば、アルファベット順に並べた任意の語の集合が全順序付けられることは、(スペースの記号をどの文字よりも小さいものとして加えた)アルファベットの集合の可算個のコピーからなる集合族のデカルト積に辞書式順序を入れることで理解できる。