関数の微分
多変数関数についても同様に高階の微分を考えることが出来る。例えば、f が変数 x と y の2変数関数である時、
d n f = ∑ k = 0 n ( n k ) ∂ n f ∂ x k ∂ y n − k ( d x ) k ( d y ) n − k , {\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}
ここで ( n k ) {\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{k}}} は二項係数である。より一般の多変数の場合にも、多項係数を用いて拡張することにより同様の式に表すことが出来る。
多変数関数の場合も、変数が他の変数に依存する場合は高階の微分がより複雑な形となる。f が変数 x と y の2変数関数であり、かつ x と y がそれぞれ他の補助変数に依存する関数である時、f の2階の微分は以下の様になる。