アインシュタイン・ヒルベルト作用
{\displaystyle \nabla _{\lambda }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })=\partial _{\lambda }(\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho })+\Gamma _{\sigma \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\sigma }\delta \Gamma _{\sigma \mu }^{\rho }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\sigma }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }.}
ここで上のリーマン曲率テンソルの変分の表現は、2つの項の差
δ R ρ σ μ ν = ∇ μ ( δ Γ ν σ ρ ) − ∇ ν ( δ Γ μ σ ρ ) {\displaystyle \delta R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho })}
に等しいということが分かる。
リーマン曲率テンソルの変分は単純にリーマンテンソルの変分の 2つのインデックスを簡約することで求めることができ、次のパラティーニ恒等式(英語版)(Palatini identity)を得る。
δ R μ ν ≡ δ R ρ μ ρ ν = ∇ ρ ( δ Γ ν μ ρ ) − ∇ ν ( δ Γ ρ μ ρ ) .