特異点解消
曲線の特異点解消は、本質的には Newton (1676) において最初の証明が与えられた。ここでは曲線に対してピュイズー級数(英語版)の存在が示され、解消はこれから容易にしたがう。
Muhly & Zariski (1939) において、曲線の正規化(英語版)を取ることにより、一度の操作で曲線の特異点を解消する方法が与えられた。正規化は余次元(英語版)1の全ての特異点を取り除くので曲線に対しては上手くいくが、高次元ではそうはいかない。
任意次元の標数0の代数多様体についての広中の特異点解消方法は、標数0の曲面にも適用できる。これは、特異集合の中の点または滑らかな曲線に対してブローアップを繰り返すというものである。
代数多様体 X の非特異化の構成では、X の滑らかな部分代数多様体がブローアップの中心になるとは限らない。抽象的な代数多様体 X の非特異化は、多くの場合、局所的に X を滑らかな代数多様体 W に埋め込み、W におけるそのイデアルを考え、このイデアルの標準的な非特異化を計算することにより作られる。イデアルの非特異化ではイデアルの位数をイデアルの特異度を測るものとして使う。イデアルの非特異化は局所的な中心を貼り合わせて大域的な中心を作るというやり方でなされる。この方法による証明は、ヒルベルト・サミュエル関数で特異点の悪さを測る広中の元の証明に比べて、相対的に簡単である。例えば Villamayor (1992), Encinas & Villamayor (1998), Encinas & Hauser (2002), Kollár (2007) ではこのアイデアを使って証明している。しかしこの方法ではブローアップの中心は W で正則であることしか保証されない。
次の例 (Bierstone & Milman 2007) は、この方法により X(の強変換)との交叉が滑らかではない中心が生じ、したがって抽象的な代数多様体 X の非特異化が X の正則部分代数多様体でのブローアップとして得られていないものの例である。