2の立方根
2 の立方根は複素数の範囲に 3 つあり、そのうち 1 つは実数である。実数の立方根を
2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}
と書き、虚数の立方根は
− 1 + 3 i 2 2 3 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}} , − 1 − 3 i 2 2 3 {\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}}
と書き表すことができる。
2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} が無理数であることは、2の平方根の場合と同様、有理根定理、背理法(無限降下法)、または素因数分解の一意性を利用して証明することができる。 オンライン整数列大辞典では 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} の十進記数法における小数点以下 107 桁まで表示されている。
2 3 = {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=} 1.2599210498 9487316476 7210607278 2283505702 5146470150 ...
この数の並びには無限回の循環はない。このことは、 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} が無理数であることによる。