ウィリアム・ホッジ
「中間の」空間Hに関するホッジ予想は一般の場合、まだ未解決である。この予想は、クレイ数学研究所により提起された七つのミレニアム問題の一つである。
ホッジは1903年にエディンバラに、公記録の検査官であるアーチバルド・ジェームズ・ホッジ(Archibald James Hodge)とその妻ジェーン・ヴァランス(Jane Vallance)との息子として生まれた。一家は、モーニングサイド地区のワンチャーチヒル街に住んだ。
ホッジはジョージ・ワトソン大学(英語版)に入学し、エディンバラ大学で学び、1923年に修士号を得た。E. T. ホイッテーカー(その息子のJ. M. ホイッテーカー(英語版)は大学時代の友人)からの助力により、ホッジはケンブリッジ数学優等卒業試験(英語版)を受けた。ケンブリッジでは、幾何学者H.F. ベイカー(英語版)の影響下にあった。1925年に2つ目の修士号を得た。
1926年ホッジはブリストル大学にて教員の地位につき、代数幾何学のイタリア学派(英語版)、特にフランチェスコ・セヴェリ(英語版)により提出された問題と、ソロモン・レフシェッツの位相幾何学的手法の間の境界領域について研究を始めた。アティヤの回想によれば、1931年レフシェッツとホッジはケンブリッジのマックス・ニューマンの部屋で会議をし、問題を解決しようとしていた。最後にはレフシェッツは納得した。1928年、ホッジはエディンバラ王立協会のフェローに選出された。推薦人はエドマンド・テイラー・ホイッテーカー卿とラルフ・サムプソン、チャールズ・バークラ、チャールズ・ゴールトン・ダーウィンだった。
ホッジの指数定理(英語版)は、代数曲面上の曲線に対する交点数理論の結果である。定理は、対応する二次形式の符号を決定する。この結果は、代数幾何学のイタリア学派(英語版)により追求されたが、レフシェッツの位相幾何学的手法により証明された。
調和積分の理論と応用は1930年代のホッジの一般理論の開発を要約したものである。これは、ラプラシアン理論の一つのケーラー計量の存在と共に始まる。それは、射影空間自体がそのような計量を伴うため、(複素、射影、非特異を仮定した)代数多様体Vに応用される。ド・ラームコホモロジーの用語では、次数kのコホモロジー類はあるk-form α on V(C)により表現される。唯一の代表系はないが、調和形式のアイデアを導入することにより(ホッジはそれにもかかわらずそれらを「integrals」と呼んだ)、それらはラプラス方程式の解となり、唯一のαが得られる。これは、(正則微分dzとその複素共役により張られた余接空間である)αを組み立てるために固定したdzの数字pによれば、
H(V(C), C)
を部分空間
H
に分裂させる重要で即座に従う結果である。その部分空間の次元はホッジ数である。
このホッジ分解は基本的なツールである。次元hは、識別可能な幾何学的意味を持った部分に細分することにより、ベッチ数を洗練させるだけでなく、ホッジ分解それ自身が複素ベクトル空間における変化する「フラグ」として、モジュライ問題に関連した意味を持つ。広い言い方をすれば、ホッジ理論は代数多様体の離散的・連続的双方の分類に貢献するのである。
他の人々によるさらなる発展は、特異多様体上の混合ホッジ構造(英語版)のアイデアと、エタールコホモロジーとの深いアナロジーに到った。