正単体
正単体(せいたんたい、regular simplex)は、2次元の正三角形、3次元の正四面体、4次元の正五胞体を各次元に一般化した正多胞体。なお、0次元正単体は点、1次元正単体は線分である。
また言い換えると、単体である正多胞体、つまり、辺の長さが全て等しい単体である。
α {\displaystyle \alpha } 体(アルファたい)ともいい、n (n ≥ 0) 次元正単体を α n {\displaystyle \alpha _{n}} と書く。
超立方体(正測体)、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。
n 次元正単体は、n + 1 次元空間内で作図するのが簡単である。 ( 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) {\displaystyle (1,0,0,\cdots ,0)} の巡回
( 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ⋯ , ( 0 , 0 , ⋯ , 0 , 1 ) {\displaystyle (1,0,0,\cdots ,0),(0,1,0,\cdots ,0),\cdots ,(0,0,\cdots ,0,1)}
を頂点として、互いを辺で結べばよい。この図形は、原点を中心とするn + 1 次元正軸体の n 次元面の一つである。例えば (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)を頂点とする正三角形(2次元正単体)は (0, 0, 0)を中心とする正八面体(3次元正軸体)の面の一つであるが、この場合は (1, 1, 1)を4番目の頂点とする正四面体の構成面でもあり、2種類の正多面体で空間充填が可能である。
n 次元空間内で作図するには、
座標変換する。
n - 1 次元単体を作図し、重心で直交する垂線上の適切な位置に頂点を追加する。
自明な0次元単体から開始し、再帰的に1つ上の次元の正単体を作図する。
などがある。