運動論的方程式
時刻 t における速度分布関数 f(x, v, t) を考える。ここで、x, v はそれぞれ位置、速度で、f(x, v, t)dxdv は位相空間の微小体積要素 dxdv 内の粒子数を表す。するとこの速度分布関数の時間発展は
∂ f ∂ t + v ⋅ ∂ f ∂ x + F m ⋅ ∂ f ∂ v = ∂ f ∂ t | c o l l {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}+{\frac {\boldsymbol {F}}{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }}
の形の方程式により定まる。ここで m は粒子の質量、F は外力で、右辺は粒子間の衝突の効果を表し、衝突項と呼ばれる。
この形の方程式を運動論的方程式という。そして右辺の衝突項としてボルツマンの衝突項を用いたものがボルツマン方程式である。
f ≡ f ( v , r , t ) , f 1 ≡ f ( v 1 , r , t ) , f ′ ≡ f ( v ′ , r , t ) , f 1 ′ ≡ f ( v 1 ′ , r , t ) {\displaystyle f\equiv f({\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {r}},t),f_{1}\equiv f({\boldsymbol {v}}_{1},{\boldsymbol {r}},t),f'\equiv f({\boldsymbol {v}}',{\boldsymbol {r}},t),f_{1}'\equiv f({\boldsymbol {v}}_{1}',{\boldsymbol {r}},t)}
と略記してある。また g は衝突する2個の粒子の相対速度 g = v1 − v の大きさで、dΩ は衝突の微分断面積を表していて、2粒子間にはたらく力と相対位置を決めれば定まる量である。
ボルツマン方程式は1872年にボルツマンによって導入され、彼のH定理の証明に用いられた。またこの方程式は気体の輸送現象などを扱う気体分子運動論の基礎方程式として極めて重要である。
上記の方程式は右辺の衝突項を具体的に与えないと解くことができず、役にたたない。衝突項は厳密には(1体)速度分布関数だけでは書くことが出来ず、2体分布関数の知識が必要なので問題が閉じないが、適当な近似を使って1体分布関数を用いて書き下すことにより近似的に閉じさせることができる。ここではそのうちの典型的なものの解説を行う。