ファイバー束
ベクトル束と呼ばれる、ファイバー束の特別なクラスがあり、これはファイバーがベクトル空間であるようなファイバー束である。(ベクトル束であるためには、束の構造群は線型群でなければならない)。ベクトル束の重要な例には、滑らかな多様体の接束や余接束がある。任意のベクトル束から、主束(下記参照)である、基底の枠束(英語版)を構成することができる。
主束と呼ばれる、ファイバー束の別の特別なクラスがあり、これはその上に群 G による自由かつ推移的な作用が与えられていて、各ファイバーが主等質空間(英語版)であるような束である。束はしばしば主 G 束と呼ぶことによって群とともに特定される。群 G はまた束の構造群でもある。G のベクトル空間 V 上の表現 ρ が与えられると、構造群として ρ(G)⊆Aut(V) なるベクトル束を構成でき、これを同伴束(英語版)と呼ぶ。
ここでは、座標束 {E, π, B, F, G, Ua, φa}a∈A を定義する。添字集合などを省略して (E, π, B, F, G, Ua, φa) などとも書く。
束 (E, π, B) と位相空間 F, F の効果的な位相変換群 G, 底空間 B の開被覆 {Ua}a∈A が与えられているとする。Ua を、座標近傍 (coordinate neighborhood) という。各座標近傍 Ua には同相写像
φa: Ua × F → π(Ua)
が存在し、任意の x ∈ Ua および f ∈ F に対して
π ∘ φa(x, f) = x
を満たす。
この φa という同相写像によって Ua × F と π(Ua) はしばしば同一視される。座標束を説明する図を描くときも Ua × F という直積の図を π(Ua) とみなして説明することも少なくない。φa を局所自明化という。
a を固定した F 上の
φa, x: F → π(Ua)
φa, x(f) = φa(x, f)
という写像は、x ∈ Ua ∩ Ub に対して、
座標束をここで述べるような同値関係で分類するとファイバー束が得られる。多様体において座標近傍系を極大座標近傍系にし、座標の取り方によらない幾何学を目指したのと同様に、座標束を座標近傍 {Ua} や座標関数 {φa} のとり方によらないように分類したものがファイバー束である。つまりファイバー束を具体的に調べる際に、特定の開被覆を取って調べたりする場合、そこで調べているものは座標束ということになる。
座標近傍や座標関数の取り方の違う 2つの座標束 (E, π, B, F, G, Ua, φa) および (E, π, B, F, G, Vb, ψb) があるとき、x ∈ Ua ∩ Vb に対して
hba(x) := ψ −1b, x ∘ φa, x
が、hba(x) ∈ G となり
hba: Ua ∩ Vb → G
が連続写像であるとき、この 2つの座標束は同値 (equivalent) であるといい、この同値関係による同値類をファイバー束あるいは G 束 (G-bundle) といい、ξ = (E, π, B, F, G) と書く。F や G なども省略して、π: E → B によってファイバー束を表すこともある。