二項定理
定理によれば、x + y の冪を展開すると、冪指数 n を自然数として、
となる。この展開した式の係数 (nk) を二項係数と呼び、正整数となる。この等式はしばしば二項公式(ドイツ語版)あるいは二項(恒)等式とも呼ばれる。
x = y :=1と定義すれば、全ての項を総和記号 Σ で一律に表示できる:
最後の等号は、x, y についての対称性と、二項係数の列の対称性により得られる。
二項公式を簡略化した一変数版もよく知られる:
( 1 + x ) n = ( n 0 ) + ( n 1 ) x 1 + ( n 2 ) x 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x n − 1 + ( n n ) x n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k . {\displaystyle (1+x)^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x^{1}+{\binom {n}{2}}x^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}x^{n-1}+{\binom {n}{n}}x^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{k}.}
逆に、二項定理の一変数版からもとの二項定理を、指数法則などの基本的な計算法則により導くことができる。