バーンズのG関数
バーンズの示した通り、G(z + 1)の対数は
log  G ( z + 1 ) = 1 12 − log  A + z 2 log  2 π + ( z 2 2 − 1 12 ) log  z − 3 z 2 4 + ∑ k = 1 N B 2 k + 2 4 k ( k + 1 ) z 2 k + O ( 1 z 2 N + 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\log G(z+1)&={\frac {1}{12}}-\log A+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +\left({\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {1}{12}}\right)\log z\\&\quad -{\frac {3z^{2}}{4}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right)\end{aligned}}}
と漸近展開される。 ここで B k {\displaystyle B_{k}} はベルヌーイ数であり、 A {\displaystyle A} はグレイシャーの定数である。(バーンズの時代には少し紛らわしいことにベルヌイ数 B 2 k {\displaystyle B_{2k}} が ( − 1 ) k + 1 B k {\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}} と書かれることもあったが、現在ではそのような規約は用いられないことに注意)。この漸近展開は |z| が大きいとき、負の実軸を含まない任意の扇形に属する z に対して成り立つ。