パーマネント (数学)
コーシー=シュワルツの不等式を適用すれば、 perm  ( ( ⟨ x i , x j ⟩ ) 1 ≤ i , j ≤ k ) ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {perm} ((\langle x_{i},x_{j}\rangle )_{1\leq i,j\leq k})\geq 0} および
| perm  ( ( ⟨ x i , y j ⟩ ) 1 ≤ i , j ≤ k ) | 2 ≤ perm  ( ( ⟨ x i , x j ⟩ ) 1 ≤ i , j ≤ k ) ⋅ perm  ( ( ⟨ y i , y j ⟩ ) 1 ≤ i , j ≤ k ) {\displaystyle {\Bigl |}\operatorname {perm} ((\langle x_{i},y_{j}\rangle )_{1\leq i,j\leq k}){\Bigr |}^{2}\leq \operatorname {perm} ((\langle x_{i},x_{j}\rangle )_{1\leq i,j\leq k})\cdot \operatorname {perm} ((\langle y_{i},y_{j}\rangle )_{1\leq i,j\leq k})}
が確かめられる。
パーマネントを多変数母函数を通じて解釈する視点もある。n次正方行列 A = (aij) に対して、多変数母函数
F ( x 1 , x 2 , ... , x n ) := ∏ i = 1 n ( ∑ j = 1 n a i j x j ) = ( ∑ j = 1 n a 1 j x j ) ( ∑ j = 1 n a 2 j x j ) ⋯ ( ∑ j = 1 n a n j x j ) {\displaystyle F(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}):=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}{\biggl (}\sum \limits _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}{\biggr )}={\biggl (}\sum \limits _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}{\biggr )}{\biggl (}\sum \limits _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j}{\biggr )}\cdots {\biggl (}\sum \limits _{j=1}^{n}a_{nj}x_{j}{\biggr )}}
を考えると、F(x1, x2, ..., xn) における x 1 x 2 ... x n {\displaystyle x_{1}x_{2}\dots x_{n}} の係数は perm(A) に等しい。
このことの一般化として、