指数層系列
層コホモロジーの長完全系列は、M の任意の開集合 U に対し、完全系列
⋯ → H 0 ( O U ) → H 0 ( O U ∗ ) → H 1 ( 2 π i Z | U ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{0}({\mathcal {O}}_{U})\to H^{0}({\mathcal {O}}_{U}^{*})\to H^{1}(2\pi i\,\mathbb {Z} |_{U})\to \cdots }
が得られることを示している。ここに H は単に U 上の切断を意味し、層コホモロジー H(2πiZ|U) は U の特異コホモロジーである。従って、関連する準同型は、一般化された回転数であり、U が可縮であることを妨げる度合いを測っている。言い換えると、0 にならない正則函数の大域的対数をとることができ、局所的には常に完全系列がえられるための位相的障害が存在する。
この系列の別の結果は、系列
⋯ → H 1 ( O M ) → H 1 ( O M ∗ ) → H 2 ( 2 π i Z ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})\to H^{2}(2\pi i\,\mathbb {Z} )\to \cdots }
が完全系列性である。ここに、H(OM) は、M 上の正則ラインバンドルのピカール群と同一視することができる。この準同型は、ラインバンドルを第一チャーン類へ写像する。