ゲージ理論
L → L ̄ = e − i q θ ψ ̄ ( i γ μ ∂ μ − m ) e i q θ ψ = e − i q θ e i q θ ψ ̄ ( i γ μ ∂ μ − m ) ψ = L {\displaystyle {\mathcal {L}}\rightarrow {\bar {\mathcal {L}}}=e^{-iq\theta }{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)e^{iq\theta }\psi =e^{-iq\theta }e^{iq\theta }{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi ={\mathcal {L}}}
となる。
これらの「古典的」連続体理論以外に、もっとも広く知られている理論が、量子電磁気学や素粒子物理学の標準模型を含む場の量子論である。場の量子論の出発点は、連続に類似する議論に非常に良く似ている。ゲージ共変な作用積分は、最小作用の原理に従い「可能な」物理的状況を特徴付ける。しかし、連続体の理論と場の量子論は、ゲージ変換により表される大きすぎる自由度をどのように扱うかということにおいて、重要な違いがある。 連続体の理論と教育的に扱われた最も単純な場の量子論は、ゲージ固定(英語版)(gauge fixing)の処方を使い、与えられた物理的状況を表わす数学的構成の軌道を、より小さな群の表す小さな軌道へ還元する。この小さな群は、大域対称群であったり、自明な群であったりする。
より複雑な場の量子論は、特に非アーベル的なゲージ群を持つ場合は、摂動論の枠内で、場(ファデエフ・ポポフゴースト場と、BRST量子化(英語版)(BRST quantization)として知られているアプローチで、アノマリキャンセル(英語版)(anomaly cancellation)に動機を持つ反対項を導入し、ゲージ対称性を破る。これらの問題はある意味非常にテクニカルなことであるが、問題は、観測の性質、物理的状況を知ることの限界、や不完全な特別の実験条件と不完全にしか理解されていない物理理論の間の相互作用といったことと密接に関係している。ゲージ理論を扱い易くするために開発された数学的テクニックは、固体物理学や結晶学から低次元トポロジーまで、多くの応用を持っている。
ゲージ理論の「ゲージ共変」バージョンは、ゲージ場を導入すること(数学のことばでは、エーレスマン接続)と、この接続の観点から共変微分の項で全ての変換の度合いを定式化することにより、この効果を考慮している。ゲージ場は、数学的構成の記述の本質的な部分となっている。ゲージ変換によりゲージ場を除去可能な構成は、場の強さ(英語版)(数学のことばでは、曲率)がどこでも 0 となる性質を持っている。ゲージ場はこれらの構成に限られているわけではない。言い換えると、ゲージ理論の際立った特性は、ゲージ場が単に単純な座標系の選択を償っているだけではないという特性であり、一般にはゲージ場を 0 とするようなゲージ変換は存在しない。
ゲージ理論の力学の解析のとき、物理的状況の記述での他の対象と同様に、ゲージ場は力学変数として扱わねばならない。共変微分を通して他の対象との基本相互作用に加えて、典型的にゲージ場は「自己エネルギー」項の形でエネルギーへ寄与する。ゲージ理論の方程式は次のようにして得ることができる。
ゲージ場がないというナイーブな仮設 (ansatz) より出発する(そこでは、微分が「裸の形」で現れる)。
連続パラメータにより特徴付けられる理論の大域対称性をリストアップする(一般には、回転角と同値である)。
場所により変換することができる対称性パラメータから来る結果の補正項を計算する。
これらの補正項をひとつあるいはそれ以上のゲージ場の結合と解釈し、これらの場の適切な自己エネルギー項と力学的な振る舞いを与える。
このことは、ゲージ理論が大域的対称性を局所対称性へと「拡張」することを意味し、一般相対論として知られている重力のゲージ理論の歴史的な発展と密接に関連する。