クロネッカーの定理
ポントリャーギン双対性により、T′ を χ の核の部分集合とすることができ、故に T 全体には等しくない。
実際、ここでポントリャーギン双対性を完全に使うと、クロネッカーの定理の全体は、
χ(P) = 1
となる χ の核の交叉として、<P> の閉包を記述するものとなる。
このことは、T の単元生成な(英語版)(monogenic)な閉部分群の間の(単調な)ガロア接続と(位相的な意味で、単一の生成子を持つ)、与えられた点を含む核を持つ指標の集合を与える。すべての閉部分群が単調生成であるわけではない。たとえば、単位元の連結成分が次元 ≥ 1 のトーラスを持ち、連結でない閉部分集合はそのような部分集合ではありえない。
定理において、どのようにうまく(統一的に)P の多重化 mP が閉包を満たすかは、未解決である。1次元の場合、分布は等分布定理(英語版)(equidistribution theorem)により一様である。