モーメント (確率論)
X を確率変数、α を定数としたときに、α に関するn次モーメント (n-th order moment) は次で定義される。
⟨ ( X − α ) n ⟩ n = 1 , 2 , ... {\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }
ここで、⟨...⟩ は期待値を取る操作を表す。
X が離散型の場合は、
⟨ ( X − α ) n ⟩ = ∑ i = 1 ∞ ( x i − α ) n Pr ( X = x i ) {\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-\alpha )^{n}\Pr(X=x_{i})}
ここで x1, x2, ... は確率変数 X の実現値である。
X が連続型の場合は、
⟨ ( X − α ) n ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ( x − α ) n p ( x ) d x {\displaystyle \langle (X-\alpha )^{n}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }(x-\alpha )^{n}p(x)\,dx}
ここで p(x) は確率変数 X の確率密度関数である。
特に α = 0 の場合に、モーメントは mn と記される。
m n = ⟨ X n ⟩ n = 1 , 2 , ...