多重ゼータ値
二つの許容インデックス k = (k1, ... , kr) と l = (l1, ... , ls) に対し
Z ( k ; l ) = ∑ 0 = m 0 < m 1 < ⋯ < m r 0 = n 0 < n 1 < ⋯ < n s ( ∏ i = 1 r m i − k i ) m r ! n s ! ( m r + n s ) ! ( ∏ j = 1 s n j − l j ) {\displaystyle Z({\boldsymbol {k}};{\boldsymbol {l}})=\sum _{0=m_{0}<m_{1}<\cdots <m_{r} \atop {0=n_{0}<n_{1}<\cdots <n_{s}}}\left(\prod _{i=1}^{r}m_{i}^{-k_{i}}\right){\frac {m_{r}!n_{s}!}{(m_{r}+n_{s})!}}\left(\prod _{j=1}^{s}n_{j}^{-l_{j}}\right)}
という級数を考える。これは二つの多重ゼータ値 ζ(k), ζ(l) が因子 mr!ns!/(mr+ns)! によって「繋がった」ものと思うことができ、この因子をコネクター (connector)、繋がれた和 Z(k;l) を連結和 (connected sum) と呼ぶ。このとき簡単な等式
∑ a = m + 1 ∞ 1 a a ! n ! ( a + n ) ! = 1 n m ! n ! ( m + n ) !
Ihara-Kaneko-Zagier において導分関係式 (derivation relation) という大きな関係式族が得られており、これは大野関係式から双対性を除いた関係式族 (弱大野関係式などと呼ばれる) と同値であることが分かっている。また Hoffman-Ohno による巡回和公式 (cyclic sum formula) は和公式の精密化を与える。冒頭で述べたように、ほかにもKZ方程式の基本解を調べることで得られるアソシエータ関係式 (associator relation) や射影平面 P1 から 0, 1, z, ∞ を除いた空間上で反復積分を考えることで得られる合流関係式 (confluence relation)、ニュートン級数を調べることで得られる川島関係式 (Kawashima relation)などがあり、これらはいずれも多重ゼータ値間の全線形関係式を導くと予想されているが証明はなされていない。