単純リー群
例えば、群 SO(p,q,R)(英語版) および SO(p+q,R) は、異なる実リー環を生じるが、同じディンキン図形を持つ。一般に同じ複素リー環の異なる実形(英語版)が存在するかもしれない。
いわゆる例外群はG2(英語版), F4(英語版), E6(英語版), E7(英語版), E8(英語版) を参照。これらは次元の増加する群の無限系列に落とし込むことができないので「例外的」(英語版)と見なされている。各群を別々に考えると、それほど異常なことは何もない。これらの例外群は複素数上の単純リー環の分類において1890年頃発見された(ヴィルヘルム・キリングによってされ、そしてエリ・カルタンによって再びなされた)。しばらくの間それらが具体的にどのように現れるか、例えば微分系の対称群として、を見つけることが研究課題だった。
E71⁄2(英語版)も参照。