幾何化予想
群 S L ( 2 , R ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )} は、単連結空間ではないので、普遍被覆へいくこととなる。このことは、局所的な性質の差異をなくすることから、 S L ( 2 , R ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )} は、基本モデルであるといわれる。
S L ~ ( 2 , R ) {\displaystyle {\tilde {\mathrm {SL} }}(2,\mathbb {R} )} 上の計量は、次のように記述される。 P S L ( 2 , R ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )} を実メビウス変換の群であり、等方的な双曲平面は、 H 2 {\displaystyle \mathbb {H} ^{2}} である。 H 2 {\displaystyle \mathbb {H} ^{2}} の等方性は、 P S L ( 2 , R ) ≅ U T H 2 {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )\cong UT\mathbb {H} ^{2}} を適用して選択された統一した接ベクトルの像により一意に決まる。
2次元多様体では3種類の幾何構造(ユークリッド構造、ロバチェフスキー構造、リーマン構造)が考えられ、全ての2次元多様体はこの内1つを自然な幾何構造として持つというのは良く知られた事実であったが3次元多様体は自由度が高すぎるため一般には自然な幾何構造は持たせることはできないと考えられていた(実際これは正しい)。
これに対しウィリアム・サーストンは3次元の多様体上の自然な幾何構造というものを新たに定義しそれに基づけば8種類の幾何構造を考えられることを示した。これらには2次元にも存在する3種類の幾何構造と2次元の円筒に対応する球面及び双曲面と線分の積空間のもつ構造(円周と線分の積空間である2次元多様体、円筒は2次元ユークリッド構造をもつ。また、平面と線分の積空間は3次元ユークリッド構造を持つ)、及び2次の実特殊線形群(双曲平面の変換群)の普遍被覆空間(なお、球面の変換群の普遍被覆空間は3次元球面)及びニル (Nil) とソル (Sol) と呼ばれる、合わせて3つの、2次元と1次元の多様体の単純な積では構成できない特殊な幾何構造がある。サーストンの幾何化予想とは全ての3次元多様体はこれらのいずれかの幾何構造を持つ幾つかの部分多様体に分解できるというものである。
全ての 3次元の基本モデルの幾何学がこれらで記述されることを証明するには、等長群(isometry group)の安定化を使い証明する。安定化するとは、ある点を固定するモデルの等長変換全体のなす群である。ユークリッド空間の場合に、サーストンは、直交群 O(3) の例、従って、3次元の例を構成した。一方、 R {\displaystyle \mathbb {R} } 方向との積の幾何学では、安定化は SO(2) の 1次元の部分集合に相当する。安定化する次元の大きさは、モデルの対称性によって決定される。
ファイバー構造(英語版)(fibration)を見つけ出すことで、さらに厳密化でき、ファイバー構造は等長群の下に不変であり、ファイバーは安定化自身により写像されることがわかる。ファイバー構造のような積の幾何学では、与えられた断面 S 2 × { p } {\displaystyle S^{2}\times \{p\}} や H 2 × { p } {\displaystyle \mathbb {H} ^{2}\times \{p\}} により、簡素化される。いづれの場合も、そのようなファイバーは必然的に 2次元のモデルとなるので、次のような一覧表を得る。
他の成分は、全てが一意的にアトロイダル(英語版)(atoroidal)となるか、またはザイフェルトファイバー(英語版)(Seifert fibered)多様体になるまで、トーラスに沿って分解することができる。この分解をジャコ・シャーレン・ヨハンソン分解、短くはJSJ分解(英語版)(JSJ decomposition)と言う。
この方法により、分解を逆にたどると(連結和(connected sum)とトーラスを貼り付けることにより)、全ての 3次元多様体を再び得ることができる。従って、3次元多様体の分類は、JSJ分解の基本ブロックを理解すれは十分であることがわかる。すなわち、既約多様体は、有限群を基本群としてもつもの、ザイフェルトファイバー空間とアトロイダル(atoroidal)な多様体である。