トロイダルモーメント
すべての双極子モーメントはベクトルであり、空間反転(P: r↦−r)と時間反転(T: t↦−t)の下での対称性の違いによって区別できる。以下の表は、双極子モーメントそれぞれが、各対称変換の下で不変("+1")か、符号反転するか("-1")をまとめたものである。
微視的な磁気トロイダルモーメントの長距離秩序相への自発的相転移は、「フェロトロイド性」英: Ferrotoroidicityと呼ばれる。これは、空間的にも時間的にも奇な巨視的秩序パラメータをもつ、一次フェロイクス(英語版)(自発的な点対称性の破れを伴う相転移)の対称性スキームを占めることが予想されている。フェロトロイダル物質は、例えば回転をもつ磁場など適切な磁場によって切り替えることができる磁区を持つことが期待される。これら2つのフェロイック状態に特徴的な特性は、どちらもナノ磁性体(英語版)アレイに基づく人工フェロイトロイドモデル系で実証されている。
フェロトロイド性の存在はまだ議論中であり、明確な証拠は示されていない。これは主に、フェロトロイド性と反強磁性秩序がどちらも正味の磁化をもたず秩序パラメーターの対称性も同じであるため区別することが難しいことに起因する。
複素表示を用いると、電流密度Jは、直交座標系上もしくは極座標形上の微分演算子を用いて電気多重極子、磁気多重極子、およびトロイダル多重極子の総和として書くことができる。最も低次のトロイダル項はトロイダル双極子である。その方向iに沿う大きさは次の式で与えられる。
T i = 1 10 c ∫ [ r i ( r ⋅ J ) − 2 r 2 J i ] d 3 x {\displaystyle T_{i}={\frac {1}{10c}}\int [r_{i}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {J} )-2r^{2}J_{i}]\mathrm {d} ^{3}x}
この項は、電流密度を2次まで拡張した場合にのみ現われるため、長波長近似下では通常消滅する。
しかし、最近の研究では、トロイダル多重極子は高次の電気多重極子であり、別種の多重極子ではないとする結果が得られている。