線形応答理論
アインシュタインによるブラウン運動の理論の後,ランジュバンによってランジュバン方程式が導入されたのが1908年である。さらに1927年にジョン・バートランド・ジョンソンは抵抗の両端に発生する揺動起電力を発見し,起電力のゆらぎと抵抗を結びつけるナイキストの定理は1928年に提案されている.このナイキストの定理は第二種揺動散逸関係式に他ならない.またオンサーガーの相反定理は1931年に発表されている。
一方,古典的なリウヴィル方程式や量子的なフォン・ノイマン方程式から粗視化によってボルツマン方程式やフォッカー・プランク方程式を導くという研究が戦後の大きな流れとなった.その中でよく知られているのは分布関数のBBGKYヒエラルキーの存在であり,BBGKYヒエラルキーの最低次である1体分布関数の時間発展において,2体相関以下を無視したものがボルツマン方程式に対応するという事実である.一般にBBGKYヒエラルキーでは分布関数の時間発展を解こうとすると,より多体の分布関数の情報が必要になる.ジョン・G・カークウッドは更に研究を進めて,ブラウン運動における第二種揺動散逸関係式,すなわち揺動力の時間相関で摩擦係数を表現することも行なっている.
応答関数のフーリエ変換である複素感受率(複素アドミッタンス) φ ( ω ) = φ R ( ω ) + i φ I ( ω ) {\displaystyle \phi (\omega )=\phi _{R}(\omega )+i\phi _{I}(\omega )} の実部と虚部に対して、以下のクラマース・クローニッヒの関係式が成立する。
φ R ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ φ I ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle \phi _{R}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi _{I}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '} φ I ( ω ) = − 1 π P ∫ − ∞ ∞ φ R ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle \phi _{I}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi _{R}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '}
ここで P {\displaystyle {\mathcal {P}}} はコーシーの主値をとることを表す。