ヘロンの公式
ヘロンの公式の3次元版として、四面体の体積を6辺の長さから求める公式を紹介する。
3次元版ヘロンの公式 ― 6辺の長さが l 1 , l 2 , ⋯ , l 6 {\displaystyle l_{1},l_{2},\cdots ,l_{6}} である四面体の体積 V {\displaystyle V} は
V 2 = 1 144 { l 1 2 l 5 2 ( − l 1 2 + l 2 2 + l 3 2 + l 4 2 − l 5 2 + l 6 2 ) + l 2 2 l 6 2 ( l 1 2 − l 2 2 + l 3 2 + l 4 2 + l 5 2 − l 6 2 ) + l 3 2 l 4 2 ( l 1 2 + l 2 2 − l 3 2 − l 4 2 + l 5 2 + l 6 2 ) − l 1 2 l 2 2 l 4 2 − l 2 2 l 3 2 l 5 2 − l 1 2 l 3 2 l 6 2 − l 4 2 l 5 2 l 6 2 } .
(7)の式を(5)の式に代入して、
h 2 = c 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 2 a ) 2 = 4 a 2 c 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 ) 2 4 a 2 = ( 2 a c ) 2 − ( a 2 − b 2 + c 2 ) 2 4 a 2 = ( 2 a c + a 2 − b 2 + c 2 ) ( 2 a c − a 2 + b 2 − c 2 ) 4 a 2 = ( ( a + c ) 2 − b 2 ) ( b 2 − ( a − c ) 2 ) 4 a 2 = ( a + b + c ) ( a − b + c ) ( a + b − c ) ( − a + b + c ) 4 a 2 = ( a + b + c ) ( a + b + c − 2 b ) ( a + b + c − 2 c ) ( a + b + c − 2 a ) 4 a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=c^{2}-\left({\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}}\right)^{2}\\&={\frac {4a^{2}c^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}}{4a^{2}}}\\&={\frac {(2ac)^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}}{4a^{2}}}\\&={\frac {(2ac+a^{2}-b^{2}+c^{2})(2ac-a^{2}+b^{2}-c^{2})}{4a^{2}}}\\&={\frac {((a+c)^{2}-b^{2})(b^{2}-(a-c)^{2})}{4a^{2}}}\\&={\frac {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}{4a^{2}}}\\&={\frac {(a+b+c)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)(a+b+c-2a)}{4a^{2}}}\\\end{aligned}}}