バーンサイドの定理
N を ρ の核とする。ρ(g) は像 Im(ρ) において中心的であるが、 g は G において中心的ではない。G/N と Im(ρ) が標準的に同型である( x N ↦ ρ ( x ) {\displaystyle xN\mapsto \rho (x)} )ことを考えると、N は単位元以外の元を含む。ここで G は単純群だから、N は G と一致する。ところがこれは、 ρ は自明表現でないとしていた仮定と矛盾する。
以上よりバーンサイドの定理は証明された。Q.E.D.
(χi)1≤i≤h を G の C 上の既約指標全体( χ1 は自明指標)とする。g は単位元 1G と共役でないから、群の指標表における直交関係より
ここで χi(g) は正則行列 ρ(g) の固有値の和に等しいが、ρ(g) の最小多項式は T ord  ( g ) − 1 {\displaystyle T^{\operatorname {ord} (g)}-1} を割り切るので、固有値はみな1の冪根である。よって χi(g) は代数的整数である。
もし、χ(g) が0にならないような全ての非自明な既約指標について χ(1G) が q で割り切れるならば
となる。ところが左辺は有理整数でない有理数だから代数的整数ではなく、右辺は代数的整数の有理整数倍の和だから代数的整数であり、矛盾する。よって望んでいた条件を満たす既約指標の存在が言えた。