グッドスタインの定理
ところが「1を引く」操作のほうは、並行数列の超限順序数を減算することに対応する。今の例では、この操作を施すと ω ω ω + ω {\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega } は ω ω ω + 4 {\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}+4} に減算される。順序数は整列順序 (well-order) なので、無限に減り続けるような順序数の数列は存在しない。従って並行数列は有限個の項の後で必ず0で終わらなければならない。グッドスタイン数列も、並行数列によって頭を押えられているので、同じく0で終わることになる。
グッドスタインの定理に関するこの証明はかなり易しいが、一方この定理がペアノ算術には含まれないと述べる「Kirby-Parisの定理」はテクニカルではるかに難しい。その中ではペアノ算術の可算で非標準的なモデルが利用される。そこでKirbyはグッドスタインの定理からゲンツェンの定理(en)が導かれることを示した。つまり、グッドスタインの定理はε0までの帰納法の代わりとなるのである。