分岐群 (数学)
ζ {\displaystyle \zeta } を1の原始 p n {\displaystyle p^{n}} 乗根とする。円分拡大 K n := Q p ( ζ ) / Q p {\displaystyle K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}} の分岐群は次のように具体的に計算できる。
G s = G a l ( K n / K e ) {\displaystyle G_{s}=Gal(K_{n}/K_{e})}
ここで e は p e − 1 ≤ s < p e {\displaystyle p^{e-1}\leq s<p^{e}} となるものである。
u ≥ − 1 {\displaystyle u\geq -1} である実数 u {\displaystyle u} に対して、 G u {\displaystyle G_{u}} を i ≥ u {\displaystyle i\geq u} である最小の整数 i の G i {\displaystyle G_{i}} として定義する。 s ∈ G u ⇔ i G ( s ) ≥ u + 1 {\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1} となるように定義する、と言ってもいい。 関数 φ {\displaystyle \phi } を
φ ( u ) = ∫ 0 u d t ( G 0 : G t ) {\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}
で定義する。ここで、 t = − 1 {\displaystyle t=-1} に対しては ( G 0 : G t ) {\displaystyle (G_{0}:G_{t})} は ( G − 1 : G 0 ) − 1 {\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}} とし、 − 1 < t ≤ 0 {\displaystyle -1<t\leq 0} に対しては 1 {\displaystyle 1} とする。