フロベニウスの硬貨交換問題
n = 3 に対するフロベニウス数を求める高速なアルゴリズムは知られている(数値半群を参照)。しかし、手作業での計算は非常に面倒である。また、n = 3 のフロベニウス数に対する下限および上限はすでに得られている。Davisonによって与えられたフロベニウス数の下限は
g ( a 1 , a 2 , a 3 ) ≥ 3 a 1 a 2 a 3 − a 1 − a 2 − a 3 {\displaystyle g(a_{1},a_{2},a_{3})\geq {\sqrt {3a_{1}a_{2}a_{3}}}-a_{1}-a_{2}-a_{3}}
であることが知られている。
また、平均は
g ( a 1 , a 2 , a 3 ) + a 1 + a 2 + a 3 ∼ 8 π a 1 a 2 a 3 {\displaystyle g(a_{1},a_{2},a_{3})+a_{1}+a_{2}+a_{3}\sim {\frac {8}{\pi }}{\sqrt {a_{1}a_{2}a_{3}}}}
に漸近することが知られている。また、この左辺は修正フロベニウス数と呼ばれる、正の整数の線形和で表現できない最大の整数である。