リッチテンソル
ビアンキの恒等式からの帰結として、リーマン多様体のリッチテンソルは次の意味で対称となる。
Ric  ( ξ , η ) = Ric  ( η , ξ ) {\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\eta )=\operatorname {Ric} (\eta ,\xi )}
従って、リッチテンソルは、量 Ric  ( ξ , ξ ) {\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )} を単位長さのベクトル ξ {\displaystyle \xi } 全てについて知れば完全に決定されることになる。単位接線ベクトルについてのこの関数は、これを知ることがリッチ曲率テンソルを知ることと同値であるので、しばしば単純にリッチ曲率と呼ばれる。
リッチ曲率はリーマン多様体の断面曲率により定まるが、一般にはそれよりも情報を持っていない。実際、もし ξ {\displaystyle \xi } が n-次元リーマン多様体上の単位ベクトルであるとすると、Ric(ξ, ξ) は、断面曲率の ξ {\displaystyle \xi } を含む全ての二次元平面にわたる平均値のちょうど (n − 1) 倍となる。そのような二次元平面は (n−2)-次元の族を成すので、2次元および3次元においてのみリッチテンソルから完全な曲率テンソルを決定することができる。特記すべき例外として、多様体があらかじめユークリッド空間上の超曲面として与えられている場合がある。