粗空間
集合 S {\displaystyle S} から粗空間 X {\displaystyle X} への二つの写像 f , g : S → X {\displaystyle f,g\colon S\to X} について、 { ( f ( a ) , g ( a ) ) : a ∈ S } {\displaystyle \{(f(a),g(a)):a\in S\}} が X {\displaystyle X} の近縁になるとき f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} は近い(close)あるいはボルノトピック(bornotopic)であるという。
粗空間 X {\displaystyle X} から粗空間 Y {\displaystyle Y} への写像 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} について、全ての X {\displaystyle X} の近縁 E {\displaystyle E} に対し、 { ( f ( x ) , f ( y ) ) : ( x , y ) ∈ E } {\displaystyle \{(f(x),f(y)):(x,y)\in E\}} が Y {\displaystyle Y} の近縁になるとき f {\displaystyle f} はボルノロガス(bornologous)(又は coarsely uniform) であるという。
粗空間 X {\displaystyle X} から粗空間 Y {\displaystyle Y} へのボルノロガス写像 X : X → Y {\displaystyle X\colon X\to Y} について、ある粗写像 g : Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} が存在し g ∘ f {\displaystyle g\circ f} と i d X {\displaystyle \mathrm {id} _{X}} 、 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} と i d Y {\displaystyle \mathrm {id} _{Y}} がそれぞれ近いとき、 f {\displaystyle f} を粗同値写像(coarsely equivalence)という。
このとき、 g {\displaystyle g} を f {\displaystyle f} の粗逆写像という。また、粗同値写像が存在するときに、粗空間 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} は 粗同値(coarsely equivalent)であるという。
有界な粗空間は(空でなければ)全て互いに粗同値である。
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} から Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} への各成分の整数部分を対応させる写像は有界粗構造について粗同値写像である。
E {\displaystyle E} が E {\displaystyle {\mathcal {E}}} に属すとき、その部分集合 F ⊆ E {\displaystyle F\subseteq E} も E {\displaystyle {\mathcal {E}}} に属す。
E {\displaystyle E} が E {\displaystyle {\mathcal {E}}} に属すとき、その逆 E − 1 := { ( y , x ) ∈ X × X : ( x , y ) ∈ E } {\displaystyle E^{-1}:=\{(y,x)\in X\times X:(x,y)\in E\}} も E {\displaystyle {\mathcal {E}}} に属す。
を満足するとき、 ( X , E ) {\displaystyle (X,{\mathcal {E}})} を、 X {\displaystyle X} を台集合、 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} を粗構造(又は近縁系(system of entourages))とする粗空間という。二番目及び四番目の条件より、粗構造は P ( X × X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X\times X)} 上のイデアルとなっている)。
以下混乱の恐れがないときは粗空間 ( X , E ) {\displaystyle (X,{\mathcal {E}})} を X {\displaystyle X} と書く。
数学の一分野である粗幾何学(英: coarse geometry)における粗空間(英: coarse space)とは、空間の大尺度の構造に関する情報を取り出した構造の一つである粗構造(英: coarse structure)を備えた空間である。伝統的な位相空間論では近傍系や連続性などの小尺度構造を問題にしてきたのと対照的に、粗幾何学では(非)有界性や漸近挙動などの大尺度構造を問題にする。粗構造は距離構造の一般化の一つであり、位相構造ではなく一様構造の大尺度構造に関する類似物といえる(位相空間の類似物に当たるのは有界型空間といわれる)。