スペクトル系列
この2つの記述の記述を比べて、同型
H q ( B ∙ ) / H q ( A ∙ ) ≅ ker  d 0 , q 1 : H q ( C ∙ ) → H q + 1 ( A ∙ ) {\displaystyle H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })\cong \ker d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })}
im H q + 1 f ∙ : H q + 1 ( A ∙ ) → H q + 1 ( B ∙ ) ≅ H q + 1 ( A ∙ ) / ( im d 0 , q 1 : H q ( C ∙ ) → H q + 1 ( A ∙ ) ) {\displaystyle {\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\cong H^{q+1}(A^{\bullet })/({\mbox{im }}d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet }))}
を得る。1番目の式から C のところでの完全性が従い、2番目の式から A のところでの完全性が従う。
特異点論(英語版)のアーノルドのスペクトル系列(英語版)
体の代数的K理論に収束するブロック・リヒテンバウム・スペクトル系列(英語版)
多様体のドルボーコホモロジーから始まり代数的ド・ラーム・コホモロジー(英語版)へ収束するフローリッヒ・スペクトル系列(英語版)
多様体の代数的ド・ラーム・コホモロジー(英語版)に収束するホッジ・ド・ラーム・スペクトル系列(英語版)
モチヴィックからK理論へのスペクトル系列(英語版)
が得られる。このフィルトレーションのスペクトル系列からホモロジーのホモロジーについての情報が得られることを示すために、T(C•,•) のフィルトレーション I についてのスペクトル系列の E、E、E 項を調べる。E 項は簡単で、
I E p , q 0 = T n ( C ∙ , ∙ ) p I / T n ( C ∙ , ∙ ) p + 1 I = ⨁ i + j = n i > p − 1 C i , j / ⨁ i + j = n i > p C i , j = C p , q {\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q}}
となっている。ここで、n = p + q である。
E 項を明らかにするためには、E での d + d を決定する必要がある。微分の次数は n に関して −1 であるから、次の写像
B ∞ p , q {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}} に対しては、フィルトレーションは覆い尽くしている(exhaustive)と仮定していたことを思い出そう。この仮定から、r が大きくなると、(2番目の式に出てくる)像は大きくなっていき B ∞ p , q = im ( C p + q − 1 → C p + q ) ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}={\text{im }}(C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}} に到達する。以上をまとめて
E ∞ p , q = gr p H p + q ( C ∙ ) {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}
が分かり、これからスペクトル系列の収束先(abutment)は C の (p+q) 番目のホモロジーの次数が p の部分になっていることが分かる。このスペクトル系列が収束するなら、
E r p , q ⇒ p H p + q ( C ∙ ) {\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}
となることがわかった。
この場合でも収束を先ほどと同様に定義するが、この場合には
E r p , q ⇒ p E ∞ n {\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}}
と表記し、これで p + q = n の場合には E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} が E ∞ p , q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}} に収束していることを意味するものとする。
収束を決定できる最も簡単な状況は、スペクトル系列が退化するときである。スペクトル系列がシート r で退化するとは、任意の s ≥ r に対して微分 ds が零写像であることを言う。これは Er ≅ Er+1 ≅ Er+2 ≅ ... であることを意味する。特に、Er は E∞ と同型になる。これは、最初にあげたフィルター無しの鎖複体の自明な例(鎖複体のスペクトル系列)で起きてたことである。あのスペクトル系列は1番目のシートで退化した。一般に、2重次数つきのスペクトル系列は、水平もしくは垂直な帯状領城の外でゼロならば退化する。先の方のシートでは、微分はその帯状領域の外の対象に対しての射か、もしくは外の対象からの射になるからである。
Er をスペクトル系列で、例えば r = 1 から始まるものとする。このとき、部分対象の列
0 = B 0 ⊂ B 1 ⊂ B 2 ⊂ ⋯ ⊂ B r ⊂ ⋯ ⊂ Z r ⊂ ⋯ ⊂ Z 2 ⊂ Z 1 ⊂ Z 0 = E 1 {\displaystyle 0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{1}}
が存在し、 E r ≃ Z r − 1 / B r − 1 {\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1}} が成り立つ。