フレシェ微分
数学におけるフレシェ微分(フレシェびぶん、英: Fréchet derivative)は、モーリス・ルネ・フレシェの名にちなむバナッハ空間上で定義される微分法の一種である。フレシェ微分は、実一変数の実数値函数の導函数を、実多変数のベクトル値函数の場合へ一般化するのに広く用いられ、また変分法で広範に用いられる汎函数微分を定義するのにもつかわれる。
一般に、これは実一変数実数値函数の微分の概念をバナッハ空間上の写像へ拡張するものであり、より一般のガトー微分(古典的な方向微分の一般化)とは対比されるべきものである。
フレシェ微分は解析学や物理科学の至る所(特に、変分法、非線型解析学の多く、および非線型函数解析)で非線型問題に応用を持つ。
以下同様に、n-階導函数は V から W への連続な n-重線型写像全体の成すバナッハ空間に値を取る写像
D n f : U → L n ( V × V × ⋯ × V , W ) {\displaystyle D^{n}f\colon U\to L^{n}(V\times V\times \cdots \times V,W)}
になる。帰納的に、函数 f が U 上で n + 1 回微分可能であるとは、それが U 上で n 回微分可能かつ、各 x ∈ U に対して n + 1 変数の連続重線型写像 A で極限
lim h n + 1 → 0 ‖ D n f ( x + h n + 1 ) ( h 1 , h 2 , ... , h n ) − D n f ( x ) ( h 1 , h 2 , ... , h n ) − A ( h 1 , h 2 , ... , h n , h n + 1 ) ‖ ‖ h n + 1 ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{h_{n+1}\to 0}{\frac {\|D^{n}f(x+h_{n+1})(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})-D^{n}f(x)(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})-A(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n},h_{n+1})\|}{\|h_{n+1}\|}}=0}
が V 内の任意の有界集合上で h1, h2, ..., hn に関して一様に存在するものが取れることを言う。この場合 A が f の x における (n + 1)-階導函数になる。