根軸
円の式を三線座標で表すと根心の位置を行列式で表すことができる。三角形 ABC 上の点 X を X = x : y : z とし、三辺の長さを a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| とする。3つの円は以下の形で表される。
(dx + ey + fz)(ax + by + cz) + g(ayz + bzx + cxy) = 0
(hx + iy + jz)(ax + by + cz) + k(ayz + bzx + cxy) = 0
(lx + my + nz)(ax + by + cz) + p(ayz + bzx + cxy) = 0
この時三円の根心の三線座標は以下の式で表される。
det [ g k p e i m f j n ] : det [ g k p f j n d h l ] : det [ g k p d h l e i m ] . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}g&k&p\\e&i&m\\f&j&n\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\f&j&n\\d&h&l\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\d&h&l\\e&i&m\end{bmatrix}}.}