ルジャンドル変換
{ ∂ H ∂ p = q ̇ ∂ H ∂ q = − p ̇ d H d t = − ∂ L ∂ t {\displaystyle {\begin{cases}&{\dfrac {\partial H}{\partial p}}={\dot {q}}\\&{\dfrac {\partial H}{\partial q}}=-{\dot {p}}\\&{\dfrac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}=-{\dfrac {\partial L}{\partial t}}\end{cases}}}
逆にハミルトニアンからラグランジアンを得る場合には、関数 L を以下のように定義し、
L = q ̇ p − H {\displaystyle L={\dot {q}}p-H}
変数 p に対する偏微分が 0 になるようにする。すなわち、
∂ L ∂ p = q ̇ − ∂ H ∂ p = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial p}}={\dot {q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}=0\,.}
結局このとき変数 ·q はハミルトニアンの運動量微分に等しくなる。
多変数の場合には、ラグランジアンのすべての一般化速度についてルジャンドル変換を施したものがハミルトニアンと呼ばれる。また部分的にルジャンドル変換をしたものはラウシアン(英語版) (Routhian) と呼ばれる。
以下の不等式が成り立つ。この種の不等式はヤングの不等式と呼ばれる。
f ∗ ( p ) + f ( x ) ≥ p x . {\displaystyle f^{*}(p)+f(x)\geq px\,.}
ルジャンドル変換の定義より、
f ∗ ( p ) = sup x ( p x − f ( x ) ) ≥ p x − f ( x ) {\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x}(px-f(x))\geq px-f(x)}
であるから、f(x) を両辺に足せば上述の不等式が成り立つ。
↑ より初等的な最大値や最小値を用いて f ∗ ( p ) = max x ( p x − f ( x ) ) {\displaystyle f^{*}(p)=\max _{x}(px-f(x))} または f ∗ ( p ) = − min x ( f ( x ) − p x ) {\displaystyle f^{*}(p)=-\min _{x}(f(x)-px)} としている文献もある。ただしこの場合最大値や最小値には無限大も含むこととする。