連結空間
位相空間の連結性のより強い形がある。例えば
位相空間 X に2つの交わりを持たない空でない開集合が存在しないとき、X は連結でなければならず、したがって超連結空間(英語版)は連結である。
単連結空間は定義により弧状連結であるから、任意の単連結空間は連結でもある。しかしながら、単連結性の定義から「弧状連結性」の仮定を落とすと、連結になるとは限らないことに注意。
さらに強い連結性の概念に、可縮空間がある。任意の可縮空間は弧状連結だから連結でもある。
一般に、任意の弧状連結空間は連結であるが、弧状連結でない連結空間が存在することに注意しよう。deleted comb space はそのような例であり、また上に述べた位相幾何学者の正弦曲線もそうである。
位相空間 X はその任意の点 a, b を結ぶ道をとることができるとき弧状連結(こじょうれんけつ、path-connected, pathwise connected)または道連結(みちれんけつ)であるという。 ここで始点 a と終点 b を結ぶ道 (path) とは、f(0) = a かつ f(1) = b を満たす、単位閉区間 [0, 1] から X への連続写像 f のことである。(これは「パラメータ付けられた曲線」であって、単なる点の集合ではないことに注意を要する。)
弧状連結な位相空間は常に連結である。また、アレクサンドロフの長い直線とよばれる非可算無限個の単位半開区間の直積空間の一点コンパクト化や、sin(1/x) のグラフに原点を加えたもの(位相幾何学者の正弦曲線)は、連結だが弧状連結でない位相空間の例として挙げることができる。
一方、実数直線 R の部分集合では連結であることと弧状連結であることとが同値であり、そのようなものは R の区間に限られる。n 次元数空間 R, C に対しても、連結な開部分集合が常に弧状連結となることがいえる。あるいは、有限集合に位相を入れて考えるときにも、連結性と弧状連結性は同値になる。