潜在意味解析
この近似を次のように記述する。
X k = U k Σ k V k T {\displaystyle X_{k}=U_{k}\Sigma _{k}V_{k}^{T}}
ここで、以下のようなことが可能となる。
ベクトル d j ^ {\displaystyle {\hat {{\textbf {d}}_{j}}}} と d q ^ {\displaystyle {\hat {{\textbf {d}}_{q}}}} を(通常コサイン相関量によって)比較することで、文書 j {\displaystyle j} と q {\displaystyle q} の相関の度合いがわかる。これによって、文書群のクラスタリングが得られる。
ベクトル t i ^ {\displaystyle {\hat {{\textbf {t}}_{i}}}} と t p ^ {\displaystyle {\hat {{\textbf {t}}_{p}}}} を比較することで、単語 i {\displaystyle i} と p {\displaystyle p} 比較でき、概念空間における単語群のクラスタリングが得られる。
クエリが与えられたとき、これを短い文書と考え、概念空間内で文書群と比較できる。
最後の項目を行うには、最初にクエリを概念空間に変換してやる必要がある。したがって直観的に、次のように文書群に対して行ったのと同じように変換をする必要がある。
d j = U k Σ k d ^ j {\displaystyle {\textbf {d}}_{j}=U_{k}\Sigma _{k}{\hat {\textbf {d}}}_{j}}
σ l ] ⋅ [ [ v 1 ] ⋮ [ v l ] ] {\displaystyle {\begin{matrix}&X&&&U&&\Sigma &&V^{T}\\&({\textbf {d}}_{j})&&&&&&&({\hat {\textbf {d}}}_{j})\\&\downarrow &&&&&&&\downarrow \\({\textbf {t}}_{i}^{T})\rightarrow &{\begin{bmatrix}x_{1,1}&\dots &x_{1,n}\\\\\vdots &\ddots &\vdots \\\\x_{m,1}&\dots &x_{m,n}\\\end{bmatrix}}&=&({\hat {\textbf {t}}}_{i}^{T})\rightarrow &{\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}\,\\\,\\{\textbf {u}}_{1}\\\,\\\,\end{bmatrix}}\dots {\begin{bmatrix}\,\\\,\\{\textbf {u}}_{l}\\\,\\\,\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}&\cdot &{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &\sigma _{l}\\\end{bmatrix}}&\cdot &{\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}&&{\textbf {v}}_{1}&&\end{bmatrix}}\\\vdots \\{\begin{bmatrix}&&{\textbf {v}}_{l}&&\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}\end{matrix}}}
σ 1 , ... , σ l {\displaystyle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{l}} という値は特異値と呼ばれ、 u 1 , ... , u l {\displaystyle u_{1},\dots ,u_{l}} は左特異ベクトル、 v 1 , ... , v l {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{l}} は右特異ベクトルと呼ばれる。 U {\displaystyle U} のうち t i {\displaystyle {\textbf {t}}_{i}} に関与するのは第 i {\displaystyle i} 行だけである。