2の自然対数
複利計算における「倍増年」(元利合計が2倍になる年数)の近似計算にも log 2 が現れる。
元金を X (> 0)、年利率を r (> 0) とし、n 年後に元利合計が2倍になるとすれば、
X (1 + r) = 2X
となる。この両辺の自然対数をとると
n log(1 + r) = log 2
n = log 2/log(1 + r)
ここで、r ≪ 1、すなわち r が 1 に比べて十分に小さい場合には、log(1 + r) ≒ r と近似できるので、
n ≒ (log 2)/r ≒ 0.693/r
となる。
すなわち「倍増年」は、「0.693を年利で割った値」又は「69.3を年利(%表示)で割った値」で近似できる。実用上は、69.3を切りの良い70や約数の多い72で置き換えることが多い。たとえば、年利が3%ならば、72÷3 = 24 なので、約24年後に元利合計が倍増する。この法則は、72の法則と呼ばれ、15世紀のイタリアで知られていた。