群のコホモロジー
以下では M は G 加群とする。
G 加群を群環 Z[G] 上の加群とみると
H 0 ( G , M ) = M G = Hom Z [ G ]  ( Z , M ) {\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}
であることに注意する。つまり M の G 不変な元からなる部分群は Z ——これは自明な G 加群(G のすべての元が単位元として作用する)と見做す——から M への準同型からなる群と同一視される。したがって Ext 関手は Hom 関手の導来関手であるから、自然同型
H n ( G , M ) = Ext Z [ G ] n  ( Z , M ) {\displaystyle H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M)}
がある。これらの Ext 群は Z の射影分解から計算することもでき、そのような分解は G のみに依存し、M には依存しないという利点がある。
位相幾何学や微分幾何学における他のコホモロジー論(たとえば特異コホモロジーやド・ラーム・コホモロジー)などと同様に群のコホモロジーも積構造を持っている。どんな G 加群 M と N に対してもカップ積(英: cup product)と呼ばれる自然な写像
H n ( G , N ) ⊗ H m ( G , M ) → H n + m ( G , M ⊗ N ) {\displaystyle H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)}
がある。これは ⨁ n ≥ 0 H n ( G , R ) {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{n}(G,R)} に次数つき反可換環の構造を与える。ここで R は Z や Z/p などの環である。有限群 G に対して、このコホモロジー環の標数 p における偶数次部分 ⨁ n ≥ 0 H 2 n ( G , Z / p ) {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)} は G の群構造に関する多くの情報を持っている。たとえばこの環のクルル次元はアーベル部分群 (Z/p) の最大ランクに等しい。
G を位数2の離散群とする。実射影空間 P(R) は群 G の分類空間である。k = F2 を二元体とする。このとき
H ∗ ( G , k ) ≅ k [ x ] {\displaystyle H^{*}(G,k)\cong k[x]}
となる。これは P(R) の胞体コホモロジー環だからである。