実二次正方行列
実二次正方行列(じつ2じせいほうぎょうれつ、英: 2×2 real matrix; 二行二列実行列)とは、数学の線型代数学において、成分が実数である 2次正方行列のことである。
行列の演算をもつ。すなわち、行列の和(英語版)が定義される。さらに、正方行列の演算をもつ。すなわち、行列の積が定義される。したがって、実二次正方行列全体は行列環をなし、記号で M(2, R) と表す。
実二次正方行列
q = [ a b c d ] {\displaystyle q={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
に対して対合
q ∗ = [ d − b − c a ] {\displaystyle q^{*}={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}
が定義され、
qq* = q* q = (ad − bc)I
が成り立つ(ここで I は 2次単位行列、ad − bc は q の行列式である)。従って ad − bc ≠ 0 ならば q は正則行列で、その逆行列が
q − 1 = 1 a d − b c q ∗ {\displaystyle q^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}\,q^{*}}
で与えられる。
正則行列全体の成す集合は一般線型群 GL(2, R) である。抽象代数学の観点からは、GL(2, R) は実2次正方行列環 M(2, R) に付随する加法および乗法に関して環の単元群である。また M(2, R) は実数体上四次元のベクトル空間でもあり、結局実数体上の結合多元環として理解できる。M(2, R) は分解型四元数(英語版)の全体と環同型になるが、その平面部分環族 (profile) は異なる。
各実2次正方行列 [abcd ] は二次元の数ベクトル空間からそれ自身への線型写像
[ x y ] ↦ [ a b c d ] [ x y ] = [ a x + b y c x + d y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}}}
と一対一対応する。