コーシー–アダマールの定理
一複素変数 z に関する、以下のような冪級数を考える。
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n . {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}.}
ここで a , c n ∈ C {\displaystyle a,c_{n}\in \mathbb {C} } とする。このとき、f の収束半径は以下のように与えられる。
1 R = lim sup n → ∞ ( | c n | 1 n ) . {\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\big (}|c_{n}|^{\frac {1}{n}}{\big )}.}
ただし、上極限 (lim sup) は次のように定義される。
lim sup n → ∞ u n := lim n → ∞ sup { u k : k ≥ n } . {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }u_{n}:=\lim _{n\to \infty }\sup\{u_{k}:k\geq n\}.}
なお、supは上限を意味する。
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