代数的数
代数的整数全体の集合は、環をなし、代数的整数環または、単に整数環と呼ばれる。代数的整数環 I {\displaystyle \mathbb {I} } に対して、以下が成り立つ。
I ∩ Q = Z {\displaystyle \mathbb {I} \cap \mathbb {Q} =\mathbb {Z} } (つまり、有理数である代数的整数は、有理整数である。 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } を有理整数環という。)
任意の代数的数 α に対して、代数的整数 β と、有理整数 d が存在して、α = β/d となる。dα が代数的整数となる最小の正整数のことを、α の分母 (denominator) といい、den α で表す。
0 ではない代数的整数のハウスは、1 以上である。ハウスが 1 である代数的整数は、1 のベキ根に限る。
また、 Q ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} と同様で、代数的整数を係数とするモニック多項式(最高次の係数が 1 である多項式)の根は、やはり代数的整数であるので、整数環は、整閉包である。
複素数 α に対し、有理数を係数とする多項式
f ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 {\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}
が存在して、f(α) = 0 となるとき α を代数的数という。
まず α が有理数ならば
f(x) = x − α
は、α を根に持つので、有理数はすべて代数的数である。
さらに実数の 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は
f(x) = x − 2
の根であるから代数的数であり、また複素数の i は
f(x) = x + 1
の根であるから代数的数である。他にも円周率 π の有理数倍における三角関数 sin, cos, tan の値は代数的数であることが知られている。その上、代数的数の四則演算による結果もまた代数的数である。
しかしながら、全ての複素数が代数的数であるかというと、そうではない。そのような複素数は超越数と呼ばれる。たとえば自然対数の底(ネイピア数)e の超越性は1873年にエルミートにより証明されている。また円周率 π の超越性は1882年にリンデマンにより証明されている。(これによりギリシアの三大作図問題のうち最後まで未解決であった円積問題は否定的に解決された。)
代数的数 α の共役数を α 1 , α 2 , ⋯ , α n {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n}} とする。
D α = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α i − α j ) 2 {\displaystyle D_{\alpha }=\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}
を α の判別式 (discriminant) という。代数的数の判別式は有理数であり、代数的整数の判別式は有理整数である。0 でない代数的数の判別式は 0 ではない。