リプシッツ連続
至る所微分可能な函数 g: R → R がリプシッツ連続(リプシッツ定数 K = sup|g'(x)| を持つ)であるための必要十分条件は、それが有界な一階導函数を持つことである。一方の含意は平均値の定理から従う。特に、任意の連続的微分可能な函数は局所リプシッツである(連続函数は局所有界だから、その連続な導函数も局所有界である)。
リプシッツ函数 g: R → R は絶対連続であり、したがって殆ど至る所微分可能(つまりルベーグ測度 0 の集合の外側の任意の点で微分可能)である。その導函数は絶対値がリプシッツ定数を本質的上界として本質的有界(英語版)である。また、a < b に対して、差分 g(b) − g(a) は導函数 g' の区間 [a, b] 上の積分に等しい。 逆に、f: I → R が絶対連続、従って殆ど至る所微分可能であるとし、|f'(x)| ≤ K (a.a. x ∈ I) を満たすならば、f はリプシッツ定数が高々 K のリプシッツ連続である。 より一般にラーデマッハーの定理は、この結果をユークリッド空間の間のリプシッツ写像に対して拡張する。U を R の開集合として、リプシッツ写像 f: U → R が殆ど至る所微分可能とする。