半周長
この節の中では半周長を s で表す。
三角形の面積を S とする。三角形の面積は、内接円の半径 r と半周長の積に等しい。
S = r s {\displaystyle S=rs}
三角形の面積は、三辺の長さを a, b, c としたときヘロンの公式によって以下のように表すことができる。
S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle S={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}
外接円の半径 R は、半周長と3辺の長さを用いて以下のように表すことができる。
R = a b c 4 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}}
この式は正弦定理から導くことができる。
内接円の半径は
r = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) s {\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}}
となる。