順序数
α, β を順序数とする。 整列集合 (A, <A), (B, <B) を ord(A, <A) = α, ord(B, <B) = β をみたすように取り、A × B 上の関係 <A ⊗ <B を、
⟨x1, y1⟩ (<A ⊗ <B) ⟨x2, y2⟩ ⇔ y1 <B y2 または (y1 = y2 かつ x1 <A x2)
によって定義すれば、(A × B, <A ⊗ <B) は整列集合であり、その順序数は (A, <A), (B, <B) の特定の取り方によらず一定である。そこで ord(A × B, <A ⊗ <B) を α と β の積といい、これを α · β で表す。直観的には、α · β というのは α を β 個並べてできる整列集合の順序数である。
順序数の積について次が成り立つ:
α, β が有限順序数ならば、積 α · β は自然数の通常の積に一致する。
そこで、 ⋃ α ∈ O α {\textstyle \bigcup _{\alpha \in O}\alpha } を sup(O) とも書く。
順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。
順序数の並び方を次のように図示することができる:
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数(自然数)が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界(後に ω + ω と呼ばれる)が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は“永遠に”続いていくのである。