ヤコビの楕円関数
と定める。
そして、ノーム q を q = exp  ( π i τ ) {\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )} と定義し、ノーム q に関して、 l {\displaystyle \ell } を冪級数の商に展開すると、
l = q + q 9 + q 25 + ⋯ 1 + 2 q 4 + 2 q 16 + ⋯ {\displaystyle \ell ={q+q^{9}+q^{25}+\cdots \over 1+2q^{4}+2q^{16}+\cdots }}
となる。
級数の反転(英語版)を行うと、
q = l + 2 l 5 + 15 l 9 + 150 l 13 + 1707 l 17 + 20910 l 21 + 268616 l 25 + ⋯ {\displaystyle q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ell ^{25}+\cdots }
を得る。
τの虚部が 1/2 sqrt(3) 以上の場合に帰着すればよいので、q の絶対値は exp(-1/2 sqrt(3) π) ~ 0.0658 以下である場合だけを考えればよい。この値は小さいため、上の級数は急速に収束し、簡単にqの値を計算することができる。
関数名の文字の順序を反転した場合は、元の関数の逆数となる。
ns  ( u ) = 1 sn  ( u ) nc  ( u ) = 1 cn  ( u ) nd  ( u ) = 1 dn  ( u ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ns} (u)&={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {nc} (u)&={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}}\\[8pt]\operatorname {nd} (u)&={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}\end{aligned}}}
同様に、上の3つの関数どうしの比は、分子の関数の最初の文字と分母の関数の最初の文字を繋げたものになる。