絶対性 (数理論理学)
スコーレムのパラドックスとは実数全体の集合は不可算 (これはZFC、あるいはZFCの小さな有限部分系ZFC'からも証明可能)であるが、その一方でZFC' の可算推移モデルが存在し (これはZFCで証明可能)、このモデルの実数全体の集合は(外から見れば)可算集合であるという、一見矛盾した状況を指す。このパラドックスは、可算性がZFCの特定のモデルの部分モデルに対して絶対的なものではないことに注意することで解決できる。集合 X はある集合論のモデルでは可算であるが、その部分モデルでは可算でないということがありうる。というのも、X の可算性を定義するのに必要な X と ω の間の全単射が部分モデルには存在していないかもしれないからである。ZFCに適用されるレーヴェンハイム-スコーレムの定理は、このような状況が起こることを示している。
シェーンフィールドの絶対性定理 は解析的階層 の Π 2 1 {\displaystyle \Pi _{2}^{1}} , Σ 2 1 {\displaystyle \Sigma _{2}^{1}} に属する文が、自然数に関する記述として解釈した場合に、ZFのモデル V とそのモデルの構成可能宇宙 L との間で絶対的なものであることを示したものである。この定理を相対化して、V の自然数の集合をパラメータとして使うこともできる、この場合、Lはそれらのパラメータと全ての順序数を含む最小の部分モデルに置き換えなければならない。この定理の系として Σ 3 1 {\displaystyle \Sigma _{3}^{1}} 文は上向き絶対的(L で成立する文は V でも成り立つ)であって Π 3 1 {\displaystyle \Pi _{3}^{1}} 文は下向き絶対的(V で成立する文は L でも成り立つ)である。同じ順序数を持つ集合論の任意の2つの推移モデルは同じ構成可能宇宙を持つので、シェーンフィールドの定理はそのような2つのモデルは全ての Π 2 1 {\displaystyle \Pi _{2}^{1}} 文の真理について一致しなければならないことを示している。
シェーンフィールドの定理の1つの帰結に選択公理に関するものがある。ゲーデルは、V がZFのみを満たすと仮定した場合でも、構成可能宇宙 L は常に選択公理を含むZFCを満たすことを証明した。