ディガンマ関数
ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。
ψ ( 1 ) = − γ {\displaystyle \psi (1)=-\gamma }
ψ ( n ) = − γ + ∑ k = 1 n − 1 1 k = − γ + H n − 1 { n ∣ n ∈ Z + ∖ { 1 } } {\displaystyle \psi (n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}=-\gamma +H_{n-1}\qquad \{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\setminus \{1\}\,\}}
但し、 H n − 1 {\displaystyle H_{n-1}} は調和数を表す。
また、正の半整数において、次の値をとる。
ψ ( 1 / 2 ) = − γ − 2 ln  2 {\displaystyle \psi (1/2)=-\gamma -2\ln {2}}
ψ ( n + 1 / 2 ) = − γ − 2 ln  2 + 2 ∑ k = 0 n − 1 1 2 k + 1 { n ∣ n ∈ Z + } {\displaystyle \psi (n+1/2)=-\gamma -2\ln {2}+2\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2k+1}}\qquad \{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\,\}}