コンパクト作用素のスペクトル理論
B をバナッハ空間 X 上の作用素で、ある n に対して B がコンパクトであるようなものとすると、上述の定理は B に対しても成り立つ。
( C − I ) y n + y n − ( C − I ) y m ∈ Y m − 1 {\displaystyle (C-I)y_{n}+y_{n}-(C-I)y_{m}\in Y_{m-1}}
に注意すると、||Cyn − Cym|| > 1⁄2 が分かる。これは矛盾であるため、列 { Yn = Ker(λi − A)} はある有限の m で止まることが従う。
核の定義より、Ker(λi − C) の単位球面はコンパクトであり、したがって Ker(λi − C) は有限次元であることが分かる。同様の理由で、Ker(λi − C) も有限次元となる。
iii) 固有ベクトル {xn} に対応する無限個(少なくとも可算)の固有値 {λn} で、すべての n に対して |λn| > ε を満たすものが存在すると仮定する。Yn = span{x1...xn} を定義する。このとき {Yn} は狭義増加列である。単位ベクトルを、yn ∈ Y かつ d(yn, Y) > 1⁄2 が成立するように選ぶ。このとき、n < m に対して次が成り立つ。
‖ C y n − C y m ‖ = ‖ ( C − λ n ) y n + λ n y n − ( C − λ m ) y m − λ m y m ‖ . {\displaystyle \left\|Cy_{n}-Cy_{m}\right\|=\left\|(C-\lambda _{n})y_{n}+\lambda _{n}y_{n}-(C-\lambda _{m})y_{m}-\lambda _{m}y_{m}\right\|.}
したがって xnk = (I - C)xnk + C xnk はある x にノルム収束する。これより (I − C)xnk → (I − C)x = y が従う。同様の議論は、距離 d(xn, Ker(I − C)) が有界である場合にも成り立つ。
特に d(xn, Ker(I − C)) は必ず有界となる。実際、逆を仮定する。X/Ker(I − C) 上の (I − C) の商写像を考える。それは依然として (I − C) と表すものとする。X/Ker(I − C) 上の商ノルムは依然として ||·|| で表され、{xn} は商空間おける同値類の代表元と見なされる。||xn|| > k であるような部分列 {xnk} を取り、単位ベクトルの列を znk = xnk/||xnk|| で定義する。再び、ある z に対して (I − C)znk → (I − C)z が成立する。||(I − C)znk|| = ||(I − C)xnk||/ ||xnk|| → 0 であるため、(I − C)z = 0、すなわち z ∈ Ker(I − C) が成り立つ。商写像を考えているため、z = 0 である。しかし、z は単位ベクトルの列のノルム極限であるため、これは矛盾である。以上より補題は示された。