疫学における区画モデル
は感染力であり、これは、当然、年齢間の相互作用に依存する。
新生児の初期条件(すなわち、a=0の場合)によって複雑さが付加される。この初期条件は感染区分および隔離区分については
i ( t , 0 ) = r ( t , 0 ) = 0 {\displaystyle i(t,0)=r(t,0)=0}
と明快であるが、感受性を持つ新生児の密度については非局所的である。
s ( t , 0 ) = ∫ 0 a M ( φ s ( a ) s ( a , t ) + φ i ( a ) i ( a , t ) + φ r ( a ) r ( a , t ) ) d a {\displaystyle s(t,0)=\int _{0}^{a_{M}}\left(\varphi _{s}(a)s(a,t)+\varphi _{i}(a)i(a,t)+\varphi _{r}(a)r(a,t)\right)\,da}
上式において、 φ j ( a ) , j = s , i , r {\displaystyle \varphi _{j}(a),j=s,i,r} は大人の出生率である。
さらに、現在の総人口 n ( t , a ) = s ( t , a ) + i ( t , a ) + r ( t , a ) {\displaystyle n(t,a)=s(t,a)+i(t,a)+r(t,a)} の密度を定義すると、
であり、 u T {\displaystyle u_{T}} は I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0} を満たす。
上述した R ∞ {\displaystyle R_{\infty }} に関する超越方程式によって、 u T = e − ( R ∞ − R ( 0 ) ) / ρ ( = S ∞ / S ( 0 ) {\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)} if S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle S(0)\neq 0)} および I ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty }=0} となる。
Millerによって見出された等価な解析解により
S ( t ) = S ( 0 ) e − ξ ( t ) I ( t ) = N − S ( t ) − R ( t ) R ( t ) = R ( 0 ) + ρ ξ ( t ) ξ ( t ) = β N ∫ 0 t I ( t ∗ ) d t ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\[8pt]I(t)&=N-S(t)-R(t)\\[8pt]R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\[8pt]\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{aligned}}}
ここで、 S + E + I + R = N {\displaystyle S+E+I+R=N} であるが、 これは、出生率と死亡率が等しいという(縮退した)仮定のために一定であるだけで、一般的に N {\displaystyle N} は変数である。
このモデルについて、基本再生産数は
R 0 = a μ + a β μ + γ {\displaystyle R_{0}={\frac {a}{\mu +a}}{\frac {\beta }{\mu +\gamma }}}
である。
SIRモデルと同様に、この場合においても、感染症の無い平衡解(DFE: N,0,0,0)とエンデミックな平衡解(EE)があり、生物学的に意味を持つ初期条件とは独立に以下を示すことができる。
( S ( 0 ) , E ( 0 ) , I ( 0 ) , R ( 0 ) ) ∈ { ( S , E , I , R ) ∈ [ 0 , N ] 4 : S ≥ 0 , E ≥ 0 , I ≥ 0 , R ≥ 0 , S + E + I + R = N } {\displaystyle \left(S(0),E(0),I(0),R(0)\right)\in \left\{(S,E,I,R)\in [0,N]^{4}:S\geq 0,E\geq 0,I\geq 0,R\geq 0,S+E+I+R=N\right\}}
これは