光円錐座標系
粒子の位置が x で表されているとする。この粒子の運動を記述するために、光円錐座標系における時間に相当するパラメータを考える。 光円錐座標系における座標成分は、空間的な成分と光的な成分だけであり、時間的な成分を持たない。 しかし、光的な成分 x と x は、粒子が質量を持つ場合には、時間の経過(x の増加)に対して単調に増加するので、どちらも時間に相当する座標として用いることができる。そこで x を光円錐座標系における時間に相当する成分に選び、光速度 c を用いて
t lc = 1 c x + {\displaystyle t_{\text{lc}}={\frac {1}{c}}x^{+}}
によって光円錐時間を定義する。 粒子の位置の光円錐時間 tlc による微分
V μ = d x μ d t lc {\displaystyle V^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{dt_{\text{lc}}}}}
によって光円錐速度が定義される。V を具体的に計算することで
V + = c {\displaystyle V^{+}=c}
であることが分かる。
相対論的な粒子の運動を表す作用は粒子の運動の経路の長さに比例し
S [ x ] = − m c ∫ d s = − m c ∫ − η μ ν V μ V ν d t lc {\displaystyle S[x]=-mc\int ds=-mc\int {\sqrt {-\eta _{\mu \nu }V^{\mu }V^{\nu }}}\,dt_{\text{lc}}}
で与えられる。座標に共役な運動量は