量子群
α β = μ β α , {\displaystyle \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,}
α β ∗ = μ β ∗ α , {\displaystyle \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,}
α α ∗ + μ 2 β ∗ β = α ∗ α + β ∗ β = I , {\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}
また
w = ( α μ β − β ∗ α ∗ ) , {\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}
よって余積は Δ(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α によって決定され、余逆は κ(α) = α, κ(β) = −μβ, κ(β) = −μβ, κ(α) = α によって決定される。w はユニタリ表現であることに注意。2つの実現は方程式 γ = μ β {\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\,\beta } によって同一視できる。
μ = 1 のとき、SUμ(2) は具体的なコンパクト群 SU(2) 上の関数の代数 C(SU(2)) に等しい。
( v ⊗ w ) = k i . v ⊗ e i . w + e i . v ⊗ w {\displaystyle e_{i}.(v\otimes w)=k_{i}.v\otimes e_{i}.w+e_{i}.v\otimes w} および f i . ( v ⊗ w ) = v ⊗ f i . w + f i . v ⊗ k i − 1 . w {\displaystyle f_{i}.(v\otimes w)=v\otimes f_{i}.w+f_{i}.v\otimes k_{i}^{-1}.w} である。
上で記述された可積分最高ウェイト加群は、1次元加群(すべての λ に対して kλ = cλ で、すべての i に対して ei = fi = 0)と、0 でないベクトル v0 であってすべてのウェイト λ に対して k λ . v 0 = q ( λ , ν ) v 0 {\displaystyle k_{\lambda }.v_{0}=q^{(\lambda ,\nu )}v_{0}} とすべての i に対して e i . v 0 = 0 {\displaystyle e_{i}.v_{0}=0} を満たすものによって生成された最高ウェイト加群の、テンソル積である。
G が(カッツ・ムーディ代数の特別な場合としての)有限次元リー環である場合には、優整最高ウェイトを持つ既約表現も有限次元である。
最高ウェイト加群のテンソル積の場合には、その部分加群への分解はカッツ・ムーディ代数の対応する加群のテンソル積と同じである(その最高ウェイトやその重複度は同じである)。
一般に「量子群」と呼ばれる対象の1つのタイプはホップ代数の圏において半単純リー環あるいはより一般にカッツ・ムーディ代数の普遍包絡環の変形としてウラジーミル・ドリンフェルトと神保道夫の研究において現れた。結果の代数は付加構造を持っており、準三角ホップ代数(英語版)となる。
A = (aij) をカッツ・ムーディ代数のカルタン行列とし、q を 0 でも 1 でもない複素数とする。このとき量子群 Uq(G), ただし G はカルタン行列が A であるリー環、は以下の生成元と関係式により定まる単位的結合代数として定義される。生成元は、kλ(ただし λ はウェイト格子の元、つまり 2(λ, αi)/(αi, αi) はすべての i に対して整数)、ei, fi(単純ルート αi に対して)。関係式は
k 0 = 1 , {\displaystyle k_{0}=1,}
k λ k μ = k λ + μ , {\displaystyle k_{\lambda }k_{\mu }=k_{\lambda +\mu },}
k λ e i k λ − 1 = q ( λ , α i ) e i , {\displaystyle k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i},}
k λ f i k λ − 1 = q − ( λ , α i ) f i , {\displaystyle k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i},}