冪等元
e が自己準同型環 EndR (M) の冪等元であれば、自己準同型 f = 1 − 2e は M の R 加群対合である。つまり、f は f が M の恒等自己準同型であるような R 準同型である。
R の冪等元 e とそれに伴う対合 f から、R を左加群と見るか右加群と見るかに応じて、加群 R の 2 つの対合が生じる。r が R の任意の元を表すとき、f を右 R 準同型 r ↦ fr と見ることも左 R-準同型 r ↦ rf と見ることもできる。前者ならば ffr = r であり、後者ならば rff = r となる。
この過程は 2 が R の可逆元であれば逆にできる: f が対合であれば、2(1 − f) と 2(1 + f) は直交冪等元で、それぞれ e と 1 − e に対応する。したがって、2 が可逆であるような環に対して、冪等元は対合と 1 対 1 に対応する。