クライン-ゴルドン方程式
物理における他の基礎方程式と同様に、クライン–ゴルドン方程式も作用積分に対する変分から導くことができる(変分原理)。 クライン–ゴルドン方程式において、作用積分
I = ∫ d 4 x L ( x ) ( x = ( t , x ) ) {\displaystyle I=\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}(x)\quad (x=(t,\mathbf {x} )\,)}
のラグランジアン密度は、
L ( x ) = ħ 2 2 ( ∂ μ φ ) ( ∂ μ φ ) − 1 2 m 2 c 2 φ 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\frac {\hbar ^{2}}{2}}(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}m^{2}c^{2}\phi ^{2}} = ħ 2 2 { 1 c 2 ( ∂ φ ∂ t ) 2 − ( ∂ φ ∂ x ) 2 − ( ∂ φ ∂ y ) 2 − ( ∂ φ ∂ z ) 2 } − 1 2 m 2 c 2 φ 2 {\displaystyle ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left\{{\frac {1}{c^{2}}}{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\biggr )}^{2}\right\}-{\frac {1}{2}}m^{2}c^{2}\phi ^{2}}
質量m の自由粒子を表すクライン–ゴルドン場を φ ( x , t ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)} とすると、クライン–ゴルドン方程式は
[ 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 + ( m c ħ ) 2 ] φ ( x , t ) = 0 {\displaystyle \left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\biggl (}{\frac {mc}{\hbar }}{\biggr )}^{2}\right]\phi ({\boldsymbol {x}},t)=0}
と表される。但し、∇はラプラス作用素、c は光速度、 ħ {\displaystyle \hbar } はプランク定数を2πで割った定数(ディラック定数)である。クライン–ゴルドン方程式は、ローレンツ変換に対して形を変えない、相対論的に不変な方程式である。