局所連結空間
空間 X は X のすべての x に対して x において弱局所連結であるときに弱局所連結 (weakly locally connected) と言われる。
言い換えると、2 つの定義の唯一の違いは次のことである。x における局所連結性に対しては x を含む開連結集合の近傍基が要求され、x における弱局所連結性に対しては x を含む連結集合の近傍基のみ要求される。
明らかに x において局所連結である空間は x において弱局所連結である。逆は成り立たない(反例 broom space (ほうき空間)は下で与えられる)。一方局所連結空間が弱局所連結であることも同様に明らかであり、ここで逆は成り立つことが判明する: すべての点において弱局所連結な空間はすべての点において局所連結である必要がある。証明は下で与えられる。
次のとき X は x において局所弧状連結 (locally path connected at x) であるという。x を含むすべての開集合 V に対して、 x ∈ U ⊂ V {\displaystyle x\in U\subset V} なる弧状連結開集合 U が存在する。
X が局所連結であれば、上のように、 C x {\displaystyle C_{x}} は x を含む開かつ閉集合なので、 Q C x ⊆ C x {\displaystyle QC_{x}\subseteq C_{x}} でありしたがって Q C x = C x {\displaystyle QC_{x}=C_{x}} である。局所弧状連結性は局所連結性を意味するから、局所弧状連結空間のすべての点 x において
P C x = C x = Q C x {\displaystyle PC_{x}=C_{x}=QC_{x}} が成り立つことが従う。
例
1. quasicomponent が成分に等しくないような空間の例は離散位相を持った可算集合 X に次のような 2 点 a, b を足したものである。a の任意の近傍は b を含むかまたは X の有限個を除くすべての点を含み、b の任意の近傍は a を含むかまたは X の有限個を除くすべての点を含む。点 a は b の同じ quasicomponent にあるが b と同じ成分にはない。
2. Arens-Fort 空間(英語版)は局所連結ではないがそれにもかかわらず成分と quasicomponent は一致する: 実際すべての点 x に対して Q C x = C x = { x } {\displaystyle QC_{x}=C_{x}=\{x\}} である。