位相の特徴付け
近傍を保存する写像すべて。ただし、近傍を保つとは写像 f: (X, N) → (Y, N')
が、V ∈ N(f(x)) ならば f(U) が V に含まれるような U ∈ N(x) が必ず存在することをいう。これは、V ∈ N(f(x)) なるとき常に f(V) ∈ N(x) であるかを問うことに等価である。
この定義は近傍の概念を公理化したものであり、U が N(x) に属するとき U は x の近傍であるという。近傍系から開集合の概念を回復するには、集合が開であることを、その集合が自身に属する全ての点の近傍となることと定めればよい。このとき、先ほどの公理の最後の条件は任意の近傍が開集合を含むことを述べたものであることが分かる。
近傍系による位相空間の定義はハウスドルフによる『集合論要諦』初版でのオリジナルの位相空間の定義に近いものとなっている。
定義 (ハウスドルフによる位相空間の定義(志賀浩二による訳)) ― 位相空間というのは、集合 E と、各元(点)x に近傍とよばれるある部分集合 Ux が対応して、次の条件をみたしているものである。
通常の意味での任意の連続写像、つまり任意の開集合の逆像が開集合となるような写像すべて。
通常は、これを位相空間の圏 Top として扱う。