基底 (位相空間論)
線型代数学におけるベクトル空間の基底の場合とは対照的に、開基は極大であることを要しない(実際、ただ一つ存在する極大開基は、開集合系としての位相自身に一致してしまう)。実は、開基 B の生成する位相を備えた空間 X において、任意の開集合を開基 B にさらに追加しても、生成される位相には何らの変化も生じないのである。開基が取り得る最小の濃度を、その位相空間の荷重または重み (weight) と呼ぶ。
開基とならないような開集合族の例としては、a を実数として (−∞, a) および (a, ∞) なる形に書ける半無限区間全体の成す集合 S が挙げられる。この S は実数直線 R 上のどんな位相の開基にもならない。これを示すために、仮にそのような位相が存在したとして、例えば (−∞, 1) と (0, ∞) はともに開基 S の元ひとつからなる合併、従って S の生成する位相に関する開集合であり、それらの交わり (0,1) もまたそうであるはずだが、一方 (0, 1) が S の元の合併として書くことができないことは明らかである。先に挙げた開基の特徴付けを使って言えば二つ目の性質が成り立たない、これは交わり (0,1) の内部に「嵌る」ような開基の元が無いということである。
位相の開基が与えられたとき、列または有向点族の収斂性を示すには、開基の元で想定される極限を含むようなもの全てについて、その列または有向点族が殆ど含まれる (eventually in) ことを示せば十分である。
開集合 U の各点 x に対して、x を含み U に含まれるような開基の元が存在する。
位相 T2 が別の位相 T1 よりも細かいための必要十分条件は、各点 x と x を含む T1 の開基の元 B に対して、x を含む T2 の開基の元で B に含まれるようなものが取れることである。
B1, B2, ..., Bn がそれぞれ位相T1, T2, ..., Tn の開基ならば直積集合 B1 × B2 × ... × Bn は積位相 T1 × T2 × ... × Tn の開基になる。無限積の場合には、有限個の例外を除く全ての開基を全体空間とすることを除けば従前の通りである。
B が空間 X の開基で Y を X の部分空間とすると、開基 B の各元と Y との交わりをとって得られる集合の全体は、部分空間 Y の開基となる。
写像 f: X → Y が X の開基の任意の元を Y の開集合に写すならば、f は開写像である。同様に、Y の開基の任意の元の逆像が X の開集合であるならば、f は連続写像である。
X の部分集合族 S が X 上の位相となるための必要十分条件は、S が自分自身を生成する(つまり S が生成する位相が S 自身に一致する)ことである。
X の部分集合族 B が位相空間 X の開基となるための必要十分条件は、X の各点 x において、B の元で x を含むようなもの全体の成す B 部分族が、x の局所基を成すことである。