ゲーゲンバウアー多項式
次の常微分方程式(ゲーゲンバウアーの微分方程式)を満たす:
( 1 − x 2 ) y ′′ − ( 2 α + 1 ) x y ′ + n ( n + 2 α ) y = 0 {\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0}
ロドリゲスの公式により次のように導出できる:
C n ( α ) ( x ) = ( − 2 ) n n ! Γ ( n + α ) Γ ( n + 2 α ) Γ ( α ) Γ ( 2 n + 2 α ) ( 1 − x 2 ) − α + 1 / 2 d n d x n [ ( 1 − x 2 ) n + α − 1 / 2 ] {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]}
次の直交関係を満たす: