ジャイロベクトル空間
すなわち、 g y r [ a , b ] ∈ A u t ( G , ⊕ ) {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]\in \mathrm {Aut} (G,\oplus )} である。自己同型 g y r [ a , b ] {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]} を a, bによって生成されるGのジャイロ自己同型(gyroautomorphism)という。 g y r : G × G → A u t ( G , ⊕ ) {\displaystyle \mathrm {gyr} :G\times G\to \mathrm {Aut} (G,\oplus )} はGのジャイレータ (gyrator) と呼ぶ。
ジャイロ自己同型 g y r [ a , b ] {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]} は左ループ性を持つ。すなわち、 g y r [ a , b ] = g y r [ a ⊕ b , b ] {\displaystyle \mathrm {gyr} [a,b]=\mathrm {gyr} [a\oplus b,b]} 。
最初の2つの公理は群の公理と類似している。 最後の2つの公理はジャイレータに関するものであり、真ん中の公理がそれらを繋げるものである。
ジャイロ群は逆元と単位元を持つため、準群であり、かつループ(英語版)でもある。
ジャイロ群は群の一般化である。実際、群はgyrが恒等写像であるようなジャイロ群と見なせる。
ここで γ u {\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }} はローレンツ因子であり、 γ u = 1 1 − | u | 2 c 2 {\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}} で与えられる。
同じ式を座標の形で書くと次のようになる。
( w 1 w 2 w 3 ) = 1 1 + u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 c 2 { [ 1 + 1 c 2 γ u 1 + γ u ( u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) ] ( u 1 u 2 u 3 ) + 1 γ u ( v 1 v 2 v 3 ) } {\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}}