補空間
線型代数学におけるベクトル空間の与えられた線型部分空間に対し、別の部分空間がその相補部分空間(そうほぶぶんくうかん、英: complementary subspace)または補空間(ほくうかん、英: complementary space)あるいは互いに相補的 (complement) であるとは、もとの部分空間と零ベクトルのみで交わる可能な限り大きな部分空間を言う。これにより、もとのベクトル空間全体は二つの互いに線型独立な成分に分解される。
ベクトル空間 V ≔ R(デカルト平面)の部分空間として U ≔ {(0, y) | y ∈ R}(y-軸)を考える(図を参照)。
任意の実数 a に対して、Wa は原点を通る傾き a の直線とすれば、それら部分空間 Wa の各々すべてが V における U の補空間であり、対応する射影は行列表示すれば P a = ( 0 0 − a 1 ) {\textstyle P_{a}={\begin{pmatrix}0&0\\-a&1\end{pmatrix}}} で与えられる(行列の第一行はすべて 0 だから、この像が U となることを直接確かめることは難しくない)。Pa の核が Wa となることは、Pa(xy ) = (00 ) を解けばわかるが、実際
だから、核は y = ax を満たす (xy ) の全体、すなわち原点を通る傾き a の直線である。