超完全数
以下の約数関数 σ を用いた数式において m = 1 のとき完全数、m = 2 のとき超完全数、そして m ≥ 3 のとき m-超完全数は存在しない。
σ m ( n ) = 2 n {\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n}
これよりm-超完全数とは以下の数式を満たす n で(m , k)-完全数という。
σ m ( n ) = k n {\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn}
(m , k)-完全数の表記において, 完全数は(1 , 2)-完全数、倍積完全数は(1 , k)-完全数、超完全数は(2 , 2)-完全数となる。 m-超完全数とは(m , 2)-完全数のことである。
以下に(m , k)-完全数の例を示す。
上の表で(2 , k)-完全数の一覧はオンライン整数列大辞典の数列 A019278を参照。
(m, k)-完全数を考えたときそれぞれの数の最小回数で整数倍になる m の値は 1, 2, 4, 2, 5, 1, 5, 2, 7, 4, 15, 3, 13,...である。