位置空間と運動量空間
ハミルトン力学では、座標または運動量の一方のみを用いるラグランジュ力学とは異なり、ハミルトン方程式は座標と運動量を対等の立場に置く。 ハミルトニアン H(q, p, t) で表される系の運動方程式は次のように書ける。
q ̇ i = ∂ H ∂ p i , p ̇ i = − ∂ H ∂ q i . {\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}
演算子rとpはユニタリー同値であり、そのユニタリー演算子はフーリエ変換によって与えられる。 よってこれらは同じスペクトルを持つ。 物理学的に言うと、運動量空間の波動関数に作用するpは、(フーリエ変換の像のもとで)位置空間の波動関数に作用するrと同じである。
波動関数の運動量表示はフーリエ変換と周波数領域の概念と関連している。 量子力学において粒子は運動量に比例する周波数を持つ(上述のド・ブロイの式p = ħk)。そのため運動量成分の和として粒子を記述することは周波数成分の和として記述することと等価である(すなわちフーリエ変換) 。 このことは以下のように、ある表示から別の表示にどのように変換できるかを考えるとわかる。