ガロワコホモロジー
乗法群の 2-コサイクルの場合はブラウアー群のそれであり、その関係は1930年代の代数学者にはよく知られていたようである。
別の方向、torsor(英語版) のそれにおいて、これらはすでに楕円曲線に対するフェルマーの無限降下法の議論において潜在的に含まれていた。大量の直接計算がされ、モーデル・ヴェイユの定理の証明はある特定の H 群に対する有限性証明のある代用物によって進行しなければならなかった。代数的閉でない体上の対象の 'twisted' nature は、同型でないが代数閉包上同型になり、一般論が到来する前1930年代に(二次形式、単純多元環、セヴェリ・ブラウアー多様体(英語版)のような)他の代数群につながる多くの場合においてもまた知られていた。 数論の必要性はガロワコホモロジーの局所大域原理を制御する要求によって特に表現された。これはハッセのノルム定理(英語版)のような類体論の結果の手段によって定式化された。楕円曲線の場合にはセルマー群におけるテイト・シャファレヴィッチ群、これは局所大域原理の成功の障害物である、の重要な定義を導いた。例えばバーチ・スウィンナートン=ダイアー予想において、それは非常に重要であるにもかかわらず、カール・ルビン(英語版)の結果がある場合にそれが有限であること(その予想の秩序は L-関数の公式によって予言されたから一般に信じられている結果)を示すための道を与えるまで、それはその制御を得ることはとても難しいことを証明した。
理論の別の主要な発達は、これもジョン・テイトと関係するが、テイト・ポワトゥ双対(英語版)の結果であった。
技術的に言えば、G は射有限群でもよく、この場合定義を連続なコチェインのみを許すように直す必要がある。