ポリトープ
正超多面体は最も高い対称性を持つ超多面体で、その多面体上の対称変換群に関する様々な推移軌道を持つ。例えば、正超多面体は、その旗(英語版)上推移的である。したがって特に、正超多面体の双対(英語版)はふたたび正超多面体となる。
正超多面体に関して三種類の主要なクラスが任意の次元 n に対して存在する:
単体(正単体 (simplex polytope)): 正三角形、正四面体など。正 n 超多面体。
超立方体(正測体 (measure polytope)): 正方形、立方体、テッセラクトなど。正 2n 超多面体。
直交軸体(正軸体 (cross polytope)): 正方形、正八面体など。正 2 超多面体。
二次元、三次元、四次元の正超多面体には、五回対称性を持つものが含まれ、そのうちのいくつかは非凸星型である。また二次元において、凸または (n ≥ 5 に対しては) 星型の何れの場合も、n 回対称性を持つ正多角形は無限個存在する。にもかかわらず、より高次元の場合にはそのような余計な正超多面体は存在しない
三次元において、凸プラトン立体には、五回対称的十二面体および二十面体が含まれ、また五回対称性を持つ四種の星型ケプラー-ポワンソ多面体が存在して、全部で九種の正多面体がある。
四次元における正四次元多面体(英語版)には、四回対称性を持つ凸超多面体ひとつと、五回対称性を持つもの二つが加わる。星型のシュレーフリ-ヘス四次元多面体(英語版)(何れも五回対称性を持つ)が十種あり、全部で16の正四次元多面体が存在する。
初等幾何学における超多面体(ちょうためんたい、英: polytope; ポリトープ)は、平坦な縁を持つ幾何学的対象である。任意の有限次元において存在し、各次元 n における超多面体を n-次元(超)多面体 (n-polytope) と呼ぶ。例えば二次元多面体は多角形、三次元多面体は通常の多面体である。多辺形や多面体のときと同様、「中身の詰まった」(solid) な n-次元多面体だけでなく、一般にはその境界である (n − 1)-次元図形を指して n-次元多面体と呼ぶことが多々あるので、文脈に注意すべきである。
超多面体の更なる一般化として、非有界な超無限面体(英語版)や、曲がった多様体の三角形分割(英語版)や単体分割あるいは空間充填(例えば、球面多面体(英語版)、および集合論的な抽象多面体(英語版)などが現れる理論もある。
三次元より高次の超多面体を最初に考え出したのはルートヴィッヒ・シュレーフリ(英語版)である。
数理最適化および線型計画法の研究において、線型函数の最大・最小は n-次元超多面体の境界において達成される。線型計画法において超多面体は一般化重心座標系(英語版)やスラック変数(英語版)を用いる際に生じる。
理論物理学の分野ツイスター理論において、振幅多面体(英語版)と呼ばれる超多面体が、亜原子粒子の衝突時の散乱振幅の計算に用いられる。この構成は純理論的で物理的扱いは知られていないが、ある種の計算を大きく簡単にするという。