基底変換
例えば、オイラー角で与えられる新たな基底を考える。その基底の行列は、各ベクトルの成分を列として持つことが分かる。したがって、この行列は以下のように表される:
[ R ] = [ c α c γ − s α c β s γ − c α s γ − s α c β c γ s β s α s α c γ + c α c β s γ − s α s γ + c α c β c γ − s β c α s β s γ s β c γ c β ] .
体 R についてのベクトル空間 V 上の双線型形式とは、各変数に関して線型であるような写像 V × V → R のことを言う。すなわち、B : V × V → R が双線型であるとは、写像
v ↦ B ( v , w ) {\displaystyle v\mapsto B(v,w)}
v ↦ B ( w , v ) {\displaystyle v\mapsto B(w,v)}
が V 内の各 w に対して線型であることを意味する。この定義は、加群準同型であるような線型写像を備える可換環上の加群に対しても同様によく適用される。
基底 α 1 , ... , α n {\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}} を備えるグラム行列 G は
G i , j = B ( α i , α j ) {\displaystyle G_{i,j}=B(\alpha _{i},\alpha _{j})\,}
で定義される。 v = ∑ i x i α i {\displaystyle v=\sum _{i}x_{i}\alpha _{i}} および w = ∑ i y i α i {\displaystyle w=\sum _{i}y_{i}\alpha _{i}} をベクトル v および w のこの基底に関する表現としたとき、双線型形式は
B ( v , w ) = v T G w {\displaystyle B(v,w)=v^{\mathsf {T}}Gw\,}
で与えられる。B が対称双線型形式であるなら、行列も対称行列となる。