エントロピー
状態Aから状態Bへと移る任意の過程Xと、同じく状態Aから状態Bへと移る可逆過程Cを考え、−CをCの逆過程とする。このときXと−Cを連結させた過程X−Cはサイクルとなる。
このサイクルについて、導出と同様にクラウジウスの不等式から
∮ X − C d ′ Q T ex = ∫ X d ′ Q T ex + ∫ − C d ′ Q T ex = ∫ X d ′ Q T ex − ∫ C d ′ Q T ex ≤ 0 {\displaystyle \oint _{X-C}{\frac {d'Q}{T_{\text{ex}}}}=\int _{X}{\frac {d'Q}{T_{\text{ex}}}}+\int _{-C}{\frac {d'Q}{T_{\text{ex}}}}=\int _{X}{\frac {d'Q}{T_{\text{ex}}}}-\int _{C}{\frac {d'Q}{T_{\text{ex}}}}\leq 0}
∫ X d ′ Q T ex ≤ ∫ C d ′ Q T ex {\displaystyle \int _{X}{\frac {d'Q}{T_{\text{ex}}}}\leq \int _{C}{\frac {d'Q}{T_{\text{ex}}}}}
が導かれる。
∮ C ′ − C d ′ Q T = ∫ C ′ d ′ Q T + ∫ − C d ′ Q T = ∫ C ′ d ′ Q T − ∫ C d ′ Q T = 0 {\displaystyle \oint _{C'-C}{\frac {d'Q}{T}}=\int _{C'}{\frac {d'Q}{T}}+\int _{-C}{\frac {d'Q}{T}}=\int _{C'}{\frac {d'Q}{T}}-\int _{C}{\frac {d'Q}{T}}=0}
∫ C ′ d ′ Q T = ∫ C d ′ Q T {\displaystyle \int _{C'}{\frac {d'Q}{T}}=\int _{C}{\frac {d'Q}{T}}}
が成り立つ。つまり、この積分の値は始状態と終状態が同じならば可逆過程の選び方によらない。
そこで、適当に基準となる状態Oと、そのときの基準値S0を決めると、状態AにおけるエントロピーS(A)を
S ( A ) = S 0 + ∫ Γ ( A ) d ′ Q T {\displaystyle S({\text{A}})=S_{0}+\int _{\Gamma ({\text{A}})}{\frac {d'Q}{T}}}
と定義することができる。