シュレーディンガー方程式
定常状態の波動関数の時間依存部分は以下のような指数関数で表される。
ψ ( x , t ) = e − i E t / ħ Ψ ( x ) . {\displaystyle \psi (x,t)=e^{-iEt/\hbar }\Psi (x).}
シュレーディンガー方程式の変数分離解は特別な定常状態の波動関数となるが、解の線型性から一般の波動関数をいくつかの定常状態の線型結合として表すことができる。
ψ ( x , t ) = ∑ k c E k e − E k t / ħ Ψ E k ( x ) . {\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{k}c_{E_{k}}e^{-E_{k}t/\hbar }\Psi _{E_{k}}(x).}
ここで Ek は k でラベル付けされたエネルギー固有値、ΨEk は対応する固有状態、cEk はそれぞれの定常状態の確率的な重みを表す複素数である。