慣性モーメント
と表せる。この変換 I は2階のテンソルであり、LとIの各成分は
L j = ∑ k = 1 3 I j k ω k I j k = ∑ i m i ( r i 2 δ j k − r i , j r i , k ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{j}&=\sum _{k=1}^{3}I_{jk}\omega _{k}\\I_{jk}&=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}\delta _{jk}-r_{i,j}r_{i,k}\right)\end{aligned}}}
という形に表される。ここに δjk はクロネッカーのデルタ、ri, j はベクトル ri の j 成分である。I を行列表示すると
I = ∑ i ( m i ( r i 2 − x i 2 ) − m i x i y i − m i x i z i − m i y i x i m i ( r i 2 − y i 2 ) − m i y i z i − m i z i x i − m i z i y i m i ( r i 2 − z i 2 ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\sum _{i}{\begin{pmatrix}m_{i}(r_{i}^{2}-x_{i}^{2})&-m_{i}x_{i}y_{i}&-m_{i}x_{i}z_{i}\\-m_{i}y_{i}x_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-y_{i}^{2})&-m_{i}y_{i}z_{i}\\-m_{i}z_{i}x_{i}&-m_{i}z_{i}y_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-z_{i}^{2})\end{pmatrix}}}