Μ再帰関数
「 だがそれにもかかわらず、R(x,y) をうまく選択すれば、εyR(x,y) を効率的に計算可能かもしれない...何らかの効率的な手続きをとれば。
「したがって、述語 (Ey)R(x,y) を効率的に決定可能である場合のみ、関数 εyR(x,y) を効率的に計算可能である」(Kleene pp. 317-318)
そこで、我々の採用しているアルゴリズムが「決定可能」かどうかをどうやって判断すればよいだろうか。「停止判定」アルゴリズムを使って停止するかどうかを調べられるだろうか。そのような判定が不可能であるという証明は非常に複雑である。重要な点は、クリーネが全ての全域再帰関数をゲーデル数によって数え上げ、カントールの対角線論法を使って、それ以上の再帰関数が定義可能であることを示したことである。
結論から言えば、μ再帰関数の停止判定はμ再帰関数の体系では不可能であり、チューリングマシンの停止問題と実質的に同じ問題であることが判っている。