ポアソン二項分布
n 個の確率変数 Xi (i ∈ {1, 2, ..., n}) は、それぞれ独立で成功確率がそれぞれ p1, p2, ..., pn であるベルヌーイ試行とする。すなわち、
X i ∈ { 1 , 0 } , P ( X i = 1 ) = p i , Pr ( X i = 0 ) = 1 − p i {\displaystyle X_{i}\in \{1,0\},\qquad P(X_{i}=1)=p_{i},\qquad \Pr(X_{i}=0)=1-p_{i}}
とする。確率変数 X = ∑ i = 1 n X i {\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}} は、このような n 回の試行のうちで成功した回数を表す確率変数である。k 回成功する確率は次のような和で表現される。
Pr ( X = k ) = ∑ A ∈ F k ∏ i ∈ A p i ∏ j ∈ A c ( 1 − p j ) {\displaystyle \Pr(X=k)=\sum _{A\in F_{k}}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}
ただし、Fk は {1, 2, ..., n} から選べる全ての k要素部分集合の族である。例えば n = 3 なら、F2 = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} である。
∑ k = 0 ∞ | Pr ( S n = k ) − λ n k e − λ n k ! | < 2 ∑ i = 1 n p i 2 . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left|\Pr(S_{n}=k)-{\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}} \over k!}\right|<2\sum _{i=1}^{n}{p_{i}}^{2}.}
換言すれば、この和はポアソン分布で近似できる。
各分布がすべて同じ値 p i = λ n n {\displaystyle p_{i}={\frac {\lambda _{n}}{n}}} とすれば、右辺は 2 λ n 2 n {\displaystyle 2{\frac {{\lambda _{n}}^{2}}{n}}} となる。すなわち、この定理は、二項分布の極限がポアソン分布になるというポアソンの極限定理の一般化である。