代数幾何学と解析幾何学
周の定理(Chow's theorem)は、Wei-Liang Chow(英語版)(中国語版)により証明された定理で、比較すること最も有益な例である。この定理は、通常のトポロジーの意味で閉じた複素射影空間の解析的部分空間は、代数部分多様体であるということである。このことは、「射影複素多様体の強トポロジーでは閉な任意の解析的部分空間は、ザリスキー位相の中でも閉である」と言い換えることもできる。このことにより、代数幾何学の古典的な部分の中で複素解析的な方法を自由に使うことが可能となっている。
R {\displaystyle {\mathcal {R}}} が X 上の O X a n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }} 加群の解析的連接層であれば、 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 加群の代数的連接層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} と同型 F a n ≅ R {\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}} が存在する。
少し一般性は低くなるが、GAGAの定理は、複素多様体 X の上の代数的連接層の圏と対応する解析空間 X の上の解析的連接層の圏が、圏同値であることを言っている。解析空間 X は、大まかには、座標変換(the coordinate charts)を通して C から決まる複素構造を X へ引き戻すことによって得られる。実際、この方法で定理を言い換えることはセールの論文の精神に近く、上記の公式のステートメントを使うことでその重要さが分かるスキーム論は、GAGAの出版された当時はまだ理解されてはいなかった。