ルート系
V = R とし,Φ を長さ √2 の V のすべての整数ベクトルからなるとする.ルートの総数は 2n(n − 1) である.単純ルートたちの1つの選び方は:1 ≤ i < n − 1 に対して αi = ei − ei+1 と(An − 1 に対する単純ルートの上の選び方),αn = en + en−1 である.
αn に垂直な超平面を通る鏡映は隣り合う n 番目と n − 1 番目の座標を入れ替え −1 倍するのと同じである.任意の単純ルートと別の単純ルートに垂直なその鏡映との差は二番目のルートの0倍か1倍であり,それより大きくはない.
Dn ルート格子,つまり,Dn ルートによって生成される格子は,成分の和が偶数であるような整数ベクトル全部からなる.これは Cn ルート格子と同じである.
D3 は A3 と一致し,したがって相異なるルート系ではない.
D4 は triality(英語版) と呼ばれる追加の対称性を持つ.
与えられたルート系の単純ルートの集合の可能性は1つではないが,ワイル群はそのような選び方に推移的に作用する.したがって,ディンキン図形は単純ルートたちの選び方には依らず,ルート系自身によって決定される.逆に,同じディンキン図形をもつ2つのルート系が与えられると,基底のルートから合わせ始めて,2つが実は同じであることを示すことができる.
したがってルート系の分類の問題は可能なディンキン図形の分類の問題に帰着する.ルート系が既約であることとそのディンキン図形が連結であることは同値である.ディンキン図形は基底 Δ のことばで E の内積の情報を持っており,この内積が正定値でなければならないという条件は所望の分類を得るのに必要なすべてであることが判明する.
実際の連結図形は以下のとおりである.サブスクリプトは図形の頂点の個数(したがって対応する既約ルート系の階数)を指し示す.