ガウスの連分数
arctan  z = z 1 + ( 1 z ) 2 3 + ( 2 z ) 2 5 + ( 3 z ) 2 7 + ( 4 z ) 2 9 + ⋱ {\displaystyle \arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
が得られる。この展開は、虚軸上 i から無限遠点まで、−i から無限遠点までが切り取られた複素平面において逆正接関数の主枝 (数学)(英語版)に収束する。
この連分数は z = 1 で非常に高速に収束し、第9番目までの展開で π/4 の値を小数第7位まで与える。対応する級数
π 4 = 1 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + ⋱ = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 ± ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots }
の収束は非常に遅く、小数第7位まで正確に計算するには百万項以上を必要とする。
これと同様の論法で、自然対数、逆正弦関数、一般化二項級数といった関数の連分数表示が得られる。
最後は
2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = 1 + a b c 1 ! z + a ( a + 1 ) b ( b + 1 ) c ( c + 1 ) 2 ! z 2 + a ( a + 1 ) ( a + 2 ) b ( b + 1 ) ( b + 2 ) c ( c + 1 ) ( c + 2 ) 3 ! z 3 + ⋯ {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }
から、再び2つの恒等式を交互に用いる。
2 F 1 ( a , b ; c − 1 ; z ) − 2 F 1 ( a + 1 , b ; c ; z ) = ( a − c + 1 ) b z c ( c − 1 ) 2 F 1 ( a + 1 , b + 1 ; c + 1 ; z ) {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}
f 0 ( z ) = 1 F 1 ( a ; b ; z ) , {\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),}
f 1 ( z ) = 1 F 1 ( a + 1 ; b + 1 ; z ) , {\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}
f 2 ( z ) = 1 F 1 ( a + 1 ; b + 2 ; z ) , {\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}
f 3 ( z ) = 1 F 1 ( a + 2 ; b + 3 ; z ) , {\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}
f 4 ( z ) = 1 F 1 ( a + 2 ; b + 4 ; z ) {\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z)}
...と置く。これより恒等式群 f i − 1 − f i = k i z f i + 1 {\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}} (ここで k 1 = a − b b ( b + 1 ) , k 2 = a + 1 ( b + 1 ) ( b + 2 ) , k 3 = a − b − 1 ( b + 2 ) ( b + 3 ) , k 4 = a + 2 ( b + 3 ) ( b + 4 ) {\displaystyle k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+4)}}} , .