超球面
半径 R の (n + 1)-次元球体の境界となる n-次元球面の「表面積」(正確には n-次元体積)は同球体の (n + 1)-次元体積との間に、微分方程式
S n R n = d V n + 1 R n + 1 d R = ( n + 1 ) V n + 1 R n {\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}}
によって表される関係を持つ。あるいは同じことだが、単位 (n + 1)-次元球体を無数の同心 n-次元「球殻」の合併として表すことにより
V n + 1 = ∫ 0 1 S n r n d r = S n n + 1 {\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {S_{n}}{n+1}}}
を得る。
(n + 2)-次元単位球面を、各部分が何れも円(一次元球面)と n-次元球面との直積として得られる (n + 1)-次元のトーラスとなっているような和集合として表すこともできる。r = cos(θ) かつ r + R = 1, 従って R = sin(θ) かつ dR = cos(θ) dθ と置くと、
同様に、半径 1 の n 次元球面 S n − 1 {\displaystyle \mathbf {S} ^{n-1}} のステレオグラフ射影は x n {\displaystyle \ x_{n}} 軸に垂直な n − 1 {\displaystyle n-1} 次元超平面 R n − 1 {\displaystyle \mathbf {R} ^{n-1}} に次のように写る
[ x 1 , x 2 , ... , x n ] ↦ [ x 1 1 − x n , x 2 1 − x n , ... , x n − 1 1 − x n ] . {\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}
最も高密度な球充填は 24 次元空間において可能であり、これはリーチ格子(英語版)の一意的なクオリティーに関係している。
位相幾何学的には、n 次元球面は n 次元ユークリッド空間の1点コンパクト化として構成できる。手短に言えば、n 次元球面は S n = R n ∪ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {S} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}} として記述でき、これは n 次元ユークリッド空間プラス全ての方向における無限大を表す一点である。特に、一点が n 次元球面から除かれると、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に同相になる。これは立体射影の原理である。