写像の合成
例えば、二つの写像 f: X → Y および g: Y → Z について、g の引数を x の代わりに f(x) とすることにより、f と g を「合成」(compose) することができる。直観的には、z が写像 g で対応する y の函数で、y が写像 f で対応付けられる x の函数ならば、z は x の函数であるということを述べている。
これにより、写像 f: X → Y と写像 g: Y → Z との合成写像 (composite function/mapping)
g ∘ f : X → Z , X → f Y → g Z ⏟ f ; g ( = g ∘ f ) {\displaystyle g\circ f\colon X\to Z,\quad \underbrace {X{\stackrel {f}{{}\to {}}}Y{\stackrel {g}{{}\to {}}}Z} _{\qquad f;g(=g\circ f)}}
が X の各元 x に対して
( g ∘ f ) ( x ) := g ( f ( x ) ) {\displaystyle (g\circ f)(x):=g(f(x))}
とおくことによって定まる。"g ∘ f" は図式的に写像 f, g を施す順番とは逆順となるため、しばしば正順に "fg", "f ; g" などと記す流儀もみられる(後述)。