微分位相幾何学
微分幾何学はカール・フリードリヒ・ガウスやベルンハルト・リーマン等による曲率の研究に、位相幾何学(トポロジー)はゴットフリート・ライプニッツやレオンハルト・オイラー等による位置の解析に端を発するが、微分幾何学と位相幾何学の初期の学際はアンリ・ポアンカレによる三(多)体問題の解析がある。三(多)体問題とは天体力学から派出したもので静かな空間に3つ(もしくはそれ以上)の物体が浮かんでいるときその物体はどのような運動をするかという力学系(従って解析学)の問題である。ポアンカレはこの力学系を定める微分方程式のベクトル場がある多様体を作ることに注目して、その多様体にトポロジー的知見から迫ることでニュートンの時代からある難問を解いた。ポアンカレはカオス的な振る舞いをする力学系を初めて発見した解析学者であり、トポロジーを1つの学問として定式化したトポロジストでもある。
純粋な多様体の問題に関する初期の例には前述のポアンカレやドイツの数学者フェリックス・クラインとその弟子パウル・ケーベ等による2次元多様体(曲面)の幾何構造による分類がある。幾何構造は曲率から生まれた概念でしたがって微分幾何学に関係する。彼等は全ての2次元多様体にそれと同相で(位相的に等しく)自然な幾何構造をもつものがあることを証明した。後にジョン・ナッシュはこれを発展させたナッシュのリーマン多様体埋め込み定理を証明した。