ファブリ・ペロー干渉計
光学において、ファブリ・ペロー干渉計(ファブリ・ペローかんしょうけい、英: Fabry–Pérot interferometer)もしくはファブリ・ペローのエタロン (英: etalon) は、2つの部分反射面をもつ透明板や2つの平行な半透鏡からなる機器である。その透過波長スペクトルは共振波長に大きな透過率のピークを示す。シャルル・ファブリとアルフレッド・ペローに因み命名された。「エタロン」とは「測定器」や「標準」を意味するフランス語: étalonから来ている。
エタロンは通信技術やレーザー技術、分光技術などにおいて光の波長を制御・測定するために広く応用されている。近年、技術の進歩により非常に精密に調整されたファブリ・ペロー干渉計の作成が可能となっている。正確には、反射面の間の距離を調整できる構造のものを干渉計、調節できない構造のものをエタロンと呼ぶが、混同されることが多い。
ファブリ・ペロー共振器のスペクトル応答は入射光と共振器内で反射を繰り返す光との干渉に基いている。これら二つの光の位相が一致した場合、強めあう干渉が起こり、共振器内の光は増強される。位相が一致していない場合、共振器内に蓄えられるのは入射光の一部のみである。この結果、透過光は入射光に比べてスペクトルが変化している。
幾何学的な距離 l をおいて対向する二枚の鏡の間に、屈折率 n の均一な媒質が満たされているファブリ・ペロー共振器に光が直角に入射するものとする。共振器内の往復時間を tRT、真空中の光速を c0、媒質中の光速を c = c0/n とすると、自由スペクトル領域 ΔνFSR は以下のように求められる。
t RT = 1 Δ ν FSR = 2 l c {\displaystyle t_{\text{RT}}={\frac {1}{\Delta \nu _{\text{FSR}}}}={\frac {2\ell }{c}}}
鏡 i における振幅反射率 ri および強度反射率 Ri の間には以下の関係式が成り立つ。
r i 2 = R i {\displaystyle r_{i}^{2}=R_{i}}
その他の共振損失はないものとすると、共振器内における光子の減衰時定数 τc は次のように与えられる。
1 τ c = − ln  ( R 1 R 2 ) t R T {\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\mathrm {c} }}}={\frac {-\ln {(R_{1}R_{2})}}{t_{RT}}}}
いかなる周波数に対しても、どんな干渉があったとしてもエネルギーが保存することはすぐに示すことができる。
A trans ′ + A refl ′ = I trans + I refl I inc = 1 {\displaystyle A_{\text{trans}}^{\prime }+A_{\text{refl}}^{\prime }={\frac {I_{\text{trans}}+I_{\text{refl}}}{I_{\text{inc}}}}=1}
外部共鳴増強因子(右図参照)は以下のようになる
A circ ′ = I circ I i n c = ( 1 − R 1 ) A circ = 1 − R 1 ( 1 − R 1 R 2 ) 2 + 4 R 1 R 2 sin 2  ( φ ) {\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }={\frac {I_{\text{circ}}}{I_{inc}}}=(1-R_{1})A_{\text{circ}}={\frac {1-R_{1}}{\left({1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}}\right)^{2}+4{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\sin ^{2}(\phi )}}}
共鳴周波数 νq においては sin(φ) = 0 が成り立つので、以下のように書ける。
A circ ′ ( ν q ) = 1 − R 1 ( 1 − R 1 R 2 ) 2 {\displaystyle A_{\text{circ}}^{\prime }(\nu _{q})={\frac {1-R_{1}}{\left(1-{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\right)^{2}}}}
t m = T R m e i m δ {\displaystyle t_{m}=TR^{m}e^{im\delta }\,}
よって、透過光全体の振幅はこれらを全て足し上げて得られ、以下のようになる。
t = ∑ m = 0 ∞ t m = T ∑ m = 0 ∞ R m e i m δ {\displaystyle t=\sum _{m=0}^{\infty }t_{m}=T\sum _{m=0}^{\infty }R^{m}\,e^{im\delta }}
幾何級数を解くと、さらに次のように書き下される。
t = T 1 − R e i δ {\displaystyle t={\frac {T}{1-Re^{i\delta }}}} .
透過光の強度は t とその複素共役を掛け合せれば得られる。入射光の振幅を1としたので、透過係数は以下のように得られる。
T e = t t ∗ = T 2 1 + R 2 − 2 R cos  δ {\displaystyle T_{e}=tt^{*}={\frac {T^{2}}{1+R^{2}-2R\cos \delta }}}
キャビティが非対称の場合、つまり2つの反射面の反射率が異なる場合は次のように一般化される。
T e = T 1 T 2 1 + R 1 R 2 − 2 R 1 R 2 cos  δ {\displaystyle T_{e}={\frac {T_{1}T_{2}}{1+R_{1}R_{2}-2{\sqrt {R_{1}R_{2}}}\cos \delta }}}
右図に2つの透過光線、T0 はそのままエタロンを透過する光線、T1 は2回反射したのち透過する光線を示す。 光の振幅は1回反射されるごとに √R 倍、また1回透過するごとに √R 倍に減る。吸収は無いものと仮定すると、エネルギー保存則から T + R = 1 が要請される。以下では、 n はエタロン内部の屈折率、 n0 はエタロン外部の屈折率とする。また、 n > n0 を満たすものとする。点 a における入射光の振幅を 1 とし、光の振幅をフェーザ表示を用いて表わすものとする。すると、点 b における透過光の振幅は以下のようになる。
t 0 = T e i k l / cos  θ {\displaystyle t_{0}=T\,e^{ik\ell /\cos \theta }}
ここで、エタロン内部における波数 k = 2 π n / λ {\displaystyle k=2\pi n/\lambda } を用いた。 λは真空中での光の波長である。同様に、点cでの透過光の振幅は以下のようになる。
t 1 ′ = T R e 3 i k l / cos  θ {\displaystyle t'_{1}=TR\,e^{3ik\ell /\cos \theta }}
2つの光線の方向に垂直な線上における振幅を足し合わせれば、透過光の全体の振幅が得られる。
ファブリ・ペロー共振器の応答を導出するのに最も簡単な方法は循環場アプローチである。このアプローチでは定常状態を仮定し、様々な電場の間の関係式をたてる(右図参照)。
共振器中を循環する電場 Ecirc と共振器内へ入射する電場 Ecirc との間には次のような関係式が成り立つ。
E circ = E laun + E RT = E laun + r 1 r 2 e − i 2 φ E circ ⇒ E circ E laun = 1 1 − r 1 r 2 e − i 2 φ {\displaystyle E_{\text{circ}}=E_{\text{laun}}+E_{\text{RT}}=E_{\text{laun}}+r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }E_{\text{circ}}\Rightarrow {\frac {E_{\text{circ}}}{E_{\text{laun}}}}={\frac {1}{1-r_{1}r_{2}e^{-i2\phi }}}}
共振器内の光による物理過程のみを考えると、入射光強度と循環光強度との比は一般エアリー分布として次のように導出される。