積率母関数
積率母関数はリーマン=スティルチェス積分で次のように与えられる。
M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x d F ( x ) {\displaystyle M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)}
ここで F は累積分布関数である。
X が連続な確率密度関数 f(X) を持つ場合、 M X ( − t ) {\displaystyle M_{X}(-t)} は f(x) の両側ラプラス変換である。
M X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e t x f ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ ( 1 + t x + t 2 x 2 2 ! + ⋯ ) f ( x ) d x = 1 + t m 1 + t 2 m 2 2 ! + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\dotsb \right)f(x)\,\mathrm {d} x\\&=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\dotsb \end{aligned}}}
ここで、 m i {\displaystyle m_{i}} は i番目のモーメントである。