ハイゼンベルク描像
ハイゼンベルク描像では、演算子の時間依存性により、同時刻以外ではシュレーディンガー描像を用いたときと交換関係が異なる。例として、一次元調和振動子の x(t1), x(t2), p(t1), p(t2) を考えてみると、系のハミルトニアンは
H ^ = p ^ 2 2 m + m ω 2 x ^ 2 2 . {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}}{2}}.}
よって位置演算子と運動量演算子の時間発展は下のようになる。
d d t x ^ ( t ) = i ħ [ H ^ , x ^ ( t ) ] = p ^ m , {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\hat {x}}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}},{\hat {x}}(t)]={\frac {\hat {p}}{m}},} d d t p ^ ( t ) = i ħ [ H ^ , p ^ ( t ) ] = − m ω 2 x ^ . {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\hat {p}}(t)={i \over \hbar }[{\hat {H}},{\hat {p}}(t)]=-m\omega ^{2}{\hat {x}}.