三角関数
角度、辺の長さといった幾何学的な概念への依存を避けるため、また定義域を複素数に拡張するために、級数(他の定義を採用した三角関数のテイラー展開に一致する)を用いて定義することもできる。この定義は実数の範囲では単位円による定義と一致する。以下の級数は共に示される収束円内で収束する。
z を複素変数、Bn をベルヌーイ数、En をオイラー数とする。
sin  z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! z 2 n + 1 for all z , cos  z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! z 2 n for all z , tan  z = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n ( 1 − 2 2 n ) B 2 n ( 2 n ) ! z 2 n − 1 for | z | < π 2 , cot  z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n B 2 n ( 2 n ) ! z 2 n − 1 for 0 < | z | < π , sec  z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! z 2 n for | z | < π 2 , csc  z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 − 2 2 n ) B 2 n ( 2 n ) ! z 2 n − 1 for 0 < | z | < π . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!
三角関数は以下のように部分分数に展開される。