コラッツの問題
別のアプローチをとってみる:ボトムアップ方式でいわゆるコラッツグラフを作成してみる。 コラッツグラフは、以下のように操作を逆にして定義する。
R ( n ) = { { 2 n } if n ≡ 0 , 1 , 2 , 3 , 5 { 2 n , n − 1 3 } if n ≡ 4 ( mod 6 ) . {\displaystyle R(n)={\begin{cases}\{2n\}&{\text{if }}n\equiv 0,1,2,3,5\\[4px]\left\{2n,{\frac {n-1}{3}}\right\}&{\text{if }}n\equiv 4\end{cases}}{\pmod {6}}.}
したがって、すべての正の整数が最終的に1になることを証明する代わりに、1がすべての正の整数に逆方向につながることを証明すればよい。 任意の整数n, n ≡ 1 (mod 2) ⇔ 3n + 1 ≡ 4 (mod 6) である。ゆえに、 n − 1/3 ≡ 1 (mod 2) ⇔ n ≡ 4 (mod 6)である。
推測的に、この逆関係は、1–2–4ループ(この記事の問題の説明のセクションで定義されている変更されていない関数fの4–2–1ループの逆)を除いてツリーを形成する。
操作3n + 1を、ショートカット操作3n + 1/2に置き換えた場合は、 コラッツグラフの定義は以下のようになる。
R ( n ) = { { 2 n } if n ≡ 0 , 1 { 2 n , 2 n − 1 3 } if n ≡ 2 ( mod 3 ) . {\displaystyle R(n)={\begin{cases}\{2n\}&{\text{if }}n\equiv 0,1\\[4px]\left\{2n,{\frac {2n-1}{3}}\right\}&{\text{if }}n\equiv 2\end{cases}}{\pmod {3}}.}
任意の整数n, n ≡ 1 (mod 2) ⇔ 3n + 1/2 ≡ 2 (mod 3)。ゆえに、 2n − 1/3 ≡ 1 (mod 2) ⇔ n ≡ 2 (mod 3)である 。推測的に、この逆関係は、1–2ループ(上記のように修正された関数f(n)の1–2ループの逆)を除いてツリーを形成する。