拡大行列
として得られる。この種の行列は、線型方程式系を解く際に有用となる。
与えられた未知関数の数に対し、線型方程式系の解の数は、その系を表す行列の階数および対応する拡大係数行列の階数にのみ依存する。特に、ルーシェ=カペリの定理によれば、任意の線型方程式系は、その拡大係数行列の階数が係数行列の階数よりも大きいとき、矛盾系(解を持たない)となる。一方、それら二つの行列の階数が等しいなら、その系は少なくとも一つの解を持つ。その解が一意的であるための必要十分条件は、その階数が系の変数の数と等しいことである。そのようにならない場合、その変数と階数の差を k として、系の一般解は k 個の自由パラメータを持つ。したがって、そのような場合には解が無限に存在する。
拡大行列はまた、単位行列と組み合わせることにより、逆行列を見つけるために用いられる。