正軸体
これはパスカルのピラミッド(英語版)の第 n + 1 段の三角形の第 m + 2 段の数字の総和に等しい。反対側のファセットの中心同士を結ぶ線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、 3 n = ( 1 + 2 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+2)^{n}} を二項展開し、 3 n = ( 1 + 1 + 1 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+1+1)^{n}} を三項展開することで示すことができる。特に、頂点(0次元面)は 2 n {\displaystyle 2n} 個、ファセットは 2 n {\displaystyle 2^{n}} 個である。 n C m + 1 {\displaystyle {}_{n}\operatorname {C} _{m+1}} はパスカルの三角形の第 n + 1 段の m + 2 番目の数字であり、n - 1 次元単体の m 次元面の個数である。
m (0 ≤ m ≤ n - 2) 次元面に集まるl (m + 1 ≤ l ≤ n - 1) 次元面の個数は
2 l − m n − m − 1 C l − m {\displaystyle 2^{l-m}{}_{n-m-1}\operatorname {C} _{l-m}}
である。これはパスカルのピラミッドの第 n - m 段の三角形の第 l - m + 1 段の数字の総和に等しく、 n - m - 1 次元正軸体の l - m - 1 次元面の個数である。
双対は超立方体(正測体)である。