第一可算的空間
普通に使われる空間のほとんどは第一可算的である。特に、距離空間はすべて第一可算的である。というのは、各点 x に対し、それを中心とする半径 1/n (n は正の整数) の開球の系列は x の可算な基本近傍系となっている。
第一可算的でない空間の例として、補有限位相を入れた (実数直線などの) 非可算集合がある。
別の反例としては順序数空間 ω1+1 = [0, ω1] がある。ここで ω1 は最小の非可算順序数である。
点 ω1 は [0, ω1) の極限点であるが、そのどんな可算点列を持ってきても ω1 を極限としては持てない。特に、 ω1+1 = [0, ω1] の点である ω1 は可算な基本近傍系を持てない。部分空間である ω1 = [0, ω1) は第一可算的である。
商位相空間 R/N (実数直線上の自然数全体を一つの点と見なした空間)は第一可算的でない。しかしながら、この空間には「任意の部分集合 A とその閉包の任意の点 x に対し、A の点列で x に収束するものがある」という性質がある。このような性質をもつ空間をフレシェ-ウリゾーン空間という。
数学の位相空間論において、第一可算空間(だいいちかさんくうかん、英: first-countable space)とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系(局所基)をもつこと」を指す。すなわちx の可算個の開近傍 U1, U2, ...で以下の性質を満たすものが存在するということである:x の任意の近傍 V に対しある i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } が存在し、Vは Uiを部分集合として含む。