級数
例えば、有限個の例外を除いて全ての項が 0 である無限列(実質有限列)に対しては、0 である項は総和に寄与しない(ので無いも同然の)ものと考えることにより、0 でない有限個の項の総和の値を以って所期の級数の値、すなわち無限個の項の総和であるとすることは自然である。そうでない場合、つまり 0 でない項が無数にある無限列に対しては、実質的有限であることは必ずしも期待できないので、総和のきちんとした定義は、やはり極限や収束について考えられなければならない。
有限個の項の和である部分和は、初等代数の意味での総和として定義されている。部分和の列 {SN} が適当な意味で収束して有限な値 α を持つならば、級数 ∑ an は収束 (英: converge) するといい、α を数列 {an} あるいは級数 ∑ an の和の値と呼んで、
∑ n = 0 ∞ a n = lim N → ∞ S N = α {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\alpha }
で表す。部分和が有限な値に収束しない(極限が無いかあっても有限でない)級数は発散 (英: diverge) するという。級数に和の値が結び付けられているとき、しばしば便宜的に「級数の和の値」の意味で「級数」という言葉を用いることがある(和の値を単に和と呼ぶことがあるのと同様である)。これらは厳密に言えば異なる概念であるが、いずれの意味であるのかは文脈から明らかなはずである。
絶対収束級数は無条件収束する。無条件収束でない(実数項の)収束級数は、適当な置換を選んで並べ替えることにより、任意の(実数)値に収束または発散させることができる。
整数の集合など、整列可算集合ではない添字集合 I によって項が数え上げられた級数 ∑ i ∈ I a i {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}a_{i}} に関しても以下のように収束性の概念を定めることができる。添字集合の有限部分集合のなす直系について、対応する項の和が収束、すなわち
lim → F  ∑ F ⊂ I : | F | < ∞ ; i ∈ F a i = ∃ s {\displaystyle \varinjlim _{F}\sum _{F\subset I:|F|<\infty ; \atop i\in F}a_{i}={}^{\exists }s}
となるとき、級数 ∑ i ∈ I a i {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}a_{i}} は条件収束しているといい、各項の絶対値を考えられて
∑ F ⊂ I : | F | < ∞ ; i ∈ F | a i | < ∞ {\displaystyle \sum _{F\subset I:|F|<\infty ; \atop i\in F}|a_{i}|<\infty }
となっているとき ∑ i ∈ I a i {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i\in I}a_{i}} は絶対収束していると言われる。
Computing hypergeometric functions rigorously. arXiv preprint arXiv:1606.06977.
1 2 Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. en:Cambridge university press.
↑ ニコラ・ブルバキ 村田全、杉浦光夫 他訳. ブルバキ数学史
1 2 ヴィクター・J・カッツ 著、上野健爾、中根美知代 訳『数学の歴史』共立出版、2005年。ISBN 978-4320017658。
↑ Cajori, Florian. A history of mathematical notations. 2
↑ A. Dvoretzky, A. C. Rogers (1950). “Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces”. Proc. National Academy of Science of U.S.A. 36: 192-97. doi:10.1073/pnas.36.3.192.
↑ Ivan Singer (1964). “A proof of the Dvoretzky-Rogers theorem”. Israel Journal of Mathematics 2 (4): 249-250. doi:10.1007/BF02759741.