階乗
一般の k-重階乗 n!k は正整数 n に関して帰納的に n ! k = { 1 if n = 0 , n if 0 < n < k , n ( ( n − k ) ! k ) if n ≥ k . {\displaystyle n!_{k}={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\n&{\text{if }}0<n<k,\\n\,\left((n-k)!_{k}\right)&{\text{if }}n\geq k.\end{cases}}}
と定義できる。これと異なる定義として
z ! ( k ) = z ( z − k ) ⋯ ( k + 1 ) = k ( z − 1 ) / k ( z k ) ( z − k k ) ⋯ ( k + 1 k ) = k ( z − 1 ) / k Γ ( z k + 1 ) Γ ( 1 k + 1 ) . {\displaystyle z!^{(k)}=z(z-k)\cdots (k+1)=k^{(z-1)/k}\left({\frac {z}{k}}\right)\left({\frac {z-k}{k}}\right)\cdots \left({\frac {k+1}{k}}\right)=k^{(z-1)/k}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{k}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)}}.}
とするものもある。
より一般に多重階乗 (multifactorial) は、連続した整数の積である通常の階乗 n!、一つ飛ばしの積である二重階乗 n!!、二つ飛ばしの積である三重階乗 n!!! または n!3、三つ飛ばしの四重階乗 n!!!! または n!4 などを総称して言う。
三重階乗の例
1、4、28、280、3640。
2、10、80、880、12320。
3、18、162、1944、29160。
4、28、280、3640、58240。
5、40、440、6160、104720。
6、54、648、9720、174960。
7、70、910、14560、276640。
8、88、1232、20944、418880。
9、108、1620、29160、612360。
10、130、2080、39520、869440。
四重階乗の例
1、5、45、585。
2、12、120、1680。
3、21、231、3465。
4、32、384、6144。
5、45、585、9945。
6、60、840、15120。
7、77、1155、21945。
8、96、1536、30720。
9、117、1989、41769。
10、140、2520、55440。
関係式 n! = n × (n − 1)! を使えばある整数に対する階乗をそれより「小さい」整数の階乗から計算できる。この関係式を逆に使えば、「大きい」整数に対して与えられた階乗から
( n − 1 ) ! = n ! n {\displaystyle (n-1)!={\frac {n!}{n}}}
と計算することも可能である。しかし注意すべきは、これでは負の整数に関する階乗を計算することはできないということである(この式に従って (−1)! を計算するには零除算が必要となりこれ以下の負の整数における階乗の値の計算は不可能となる)。このことはガンマ函数においても同じことで、ガンマ函数は負の整数を除くガウス平面の全域において定義できるにも拘らず、負の整数における値だけは定義することができない。
零個の対象の置換は(「何もしない」という)ちょうど一通りであること。
n > 0 のとき有効な漸化式 (n + 1)! = n! × (n + 1), が n = 0 の場合にも延長できること。
指数函数などの冪級数としての表示 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}} など多くの公式が短く表せるようになること。
組合せ論における多くの等式が任意のサイズに適用して意味を持つこと。例えば零個の元を空集合から選ぶ方法の総数は ( 0 0 ) = 0 ! 0 ! 0 ! = 1 {\displaystyle {\binom {0}{0}}={\frac {0!}{0!\,0!}}=1} であり、一般に n 元集合から n 個全ての元を選び出す方法の総数は ( n n ) = n ! n ! 0 ! = 1 {\displaystyle {\binom {n}{n}}={\frac {n!}{n!\,0!}}=1} と書ける。
など様々に挙げることができる。
より進んだ数学においては、引数が非整数の場合にも階乗函数を定義することができる(後述)。そういった一般化された定義のもとでの階乗は関数電卓や、Maple や Mathematica などの数学ソフトウェアで利用できる。