1−1+2−6+24−120+…
さて、値 x(1) がちょうど所望する級数和であることに注意する。一方、もとの方程式の解析解を求めれば
x ( t ) = e t ∫ t ∞ e − u u d u {\displaystyle x(t)=e^{t}\int _{t}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du}
であり、これを部分積分を繰り返し適用して展開すれば、得られる整級数は x(t) の漸近展開を与える。オイラーはこれらを等しいものとして
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ( n − 1 ) ! = e ∫ 1 ∞ e − u u d u {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n-1)!=e\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u}}\,du}
とした。これで得られる値は上記ボレル総和法で得たものと同じである。