ヘンゼルの補題
f = ( f 1 , ... , f n ) {\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},\ldots ,f_{n})} を A から自身への写像と考え、 J f ( x ) {\displaystyle J_{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )} をそのヤコビ行列とする。a = (a1, ..., an) ∈ A を f = 0 の近似解、つまり
f i ( a ) ≡ 0 mod ( det J f ( a ) ) 2 m , 1 ⩽ i ⩽ n {\displaystyle f_{i}(\mathbf {a} )\equiv 0{\bmod {(}}\det J_{\mathbf {f} }(a))^{2}{\mathfrak {m}},\qquad 1\leqslant i\leqslant n}
が成り立つものとする。このとき、ある b = (b1, ..., bn) ∈ A で f(b) = 0 を満たすもの、つまり
f i ( b ) = 0 , 1 ⩽ i ⩽ n {\displaystyle f_{i}(\mathbf {b} )=0,\qquad 1\leqslant i\leqslant n}
が成り立つものが存在する。さらに、この解は
1次持ち上げは法 I n {\displaystyle I^{n}} での因数分解を法 I n + 1 {\displaystyle I^{n+1}} での因数分解に持ち上げるものであった。2次持ち上げでは法 I 2 n {\displaystyle I^{2n}} での因数分解に一気に持ち上げる。しかし、ベズーの等式の持ち上げも必要になり、(上述の1次持ち上げでは)法 I での計算だけで済んだが法 I n {\displaystyle I^{n}} での計算が必要になるため、追加の計算コストがかかる。
どちらの方法でも大きな N に対して法 I N {\displaystyle I^{N}} まで持ち上げることができる。例えば N = 2 k {\displaystyle N=2^{k}} の場合に法 I N {\displaystyle I^{N}} まで因数分解を持ち上げるためには、1次持ち上げを使うと N − 1 回の反復計算が必要になるが、 2次持ち上げを使えば k − 1 回の反復計算で済む。しかし、2次持ち上げを使う方法では扱わなければならない係数のサイズが計算中に増大していく。これは、一番いい持ち上げの方法は、N の値や R の性質、 使用する乗算アルゴリズム、 ハードウェアの特性などの状況に依存することを意味する。
2次持ち上げは次の性質を利用する。
ある正の整数 k に対して因数分解
h ≡ α f g ( mod I k ) {\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}}}
δ h = h − α f g {\displaystyle \delta _{h}=h-\alpha fg} と置いてもよいが、他のものを選んだ方が計算が簡単になることがある。例えば R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で I = p Z {\displaystyle I=p\mathbb {Z} } の場合には、係数が区間 [ 0 , p − 1 ] {\displaystyle [0,p-1]} に入る整数係数の多項式 δ h ′ {\displaystyle \delta '_{h}} を使って δ h = p k δ h ′ {\displaystyle \delta _{h}=p^{k}\delta '_{h}} と表せるようなものを取ることができるので、こう取ったほうがよい。
g はモニックなので、多項式に対する除法の原理を a δ h {\displaystyle a\delta _{h}} と g に適用し、q と c で a δ h = q g + c {\displaystyle a\delta _{h}=qg+c} かつ deg  c < deg  g {\displaystyle \deg c<\deg g} となるものを見つけることができる。この q と c は I k R [ X ] {\displaystyle I^{k}R[X]} に入っている。
があったとし、f と g はモニック多項式で、ある a , b ∈ R [ X ] {\displaystyle a,b\in R[X]} が存在し a f + b g ≡ 1 ( mod I k ) {\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I^{k}}}} が成り立つという意味で法 I で互いに素だったとする。このとき、ある多項式 δ f , δ g ∈ I k R [ X ] {\displaystyle \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X]} が存在し、 deg  δ f < deg  f {\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f} かつ deg  δ g < deg  g {\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g} かつ
h ≡ α ( f + δ f ) ( g + δ g ) ( mod I 2 k ) {\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{2k}}}}
が成り立つ。さらに f + δ f {\displaystyle f+\delta _{f}} と g + δ g {\displaystyle g+\delta _{g}} は次の形のベズーの等式
( a + δ a ) ( f + δ f ) + ( b + δ b ) ( g + δ g ) ≡ 1 ( mod I 2 k ) {\displaystyle (a+\delta _{a})(f+\delta _{f})+(b+\delta _{b})(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I^{2k}}}}
611 + 678 ⋅ 727 + 596 ⋅ 727 2 + 228 ⋅ 727 3 + ... 724 + 181 ⋅ 727 + 189 ⋅ 727 2 + 565 ⋅ 727 3 + ... {\displaystyle \beta =\left\{{\begin{array}{rrr}3\;+&\!\!\!545\cdot 727\;+&\!\!\!537\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!161\cdot 727^{3}+\ldots \\116\;+&\!\!\!48\cdot 727\;+&\!\!\!130\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!498\cdot 727^{3}+\ldots \\119\;+&\!\!\!593\cdot 727\;+&\!\!\!667\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!659\cdot 727^{3}+\ldots \\608\;+&\!\!\!133\cdot 727\;+&\!\!\!59\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!67\cdot 727^{3}+\ldots \\611\;+&\!\!\!678\cdot 727\;+&\!\!\!596\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!228\cdot 727^{3}+\ldots \\724\;+&\!\!\!181\cdot 727\;+&\!\!\!189\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!565\cdot 727^{3}+\ldots \end{array}}\right.}
である。