三角行列
1 2 Axler 1996, pp. 86–87, 169.
↑ Herstein 1975, pp. 285–290.
↑ Borel subgroup in nLab
↑ parabolic subgroup in nLab
↑ Heisenberg group in nLab
上(resp. 下)正則三角行列全体の成す集合は群、実際にはリー群を成し、正則行列全体の成す一般線型群の部分群となる。三角行列が可逆となるのはちょうどすべての対角成分が可逆つまり非零となるときであることに注意する。
実係数で考えれば、この群は非連結で、各対角成分が正または負となることに応じて 2 個の連結成分を持つ。単位成分は対角成分が全て正の正則三角行列全体に等しく、また正則三角行列全体の成す群はこの単位成分の群と対角線上に ±1 が(各連結成分に対応して)並ぶ対角成分との半直積になる。
正則上三角行列全体の成すリー群に付随するリー環は、必ずしも正則でない上三角行列全体の成す集合であり、それは可解リー環である。これらはそれぞれ、一般線型リー群 GLn の標準ボレル部分群 B および、一般線型リー環 g l n {\textstyle {\mathfrak {gl}}_{n}} の標準ボレル部分リー環と呼ばれる。