角谷の不動点定理
集合値函数 φ: X→2 が上半連続(英語版)であるとは、すべての開集合 W ⊂ Y に対して、集合 {x| φ(x) ⊂ W} が X において開であることをいう。
数学の解析学の分野における角谷の不動点定理(かくたにのふどうてんていり、英: Kakutani fixed-point theorem)は、集合値函数に対する不動点定理である。ユークリッド空間のあるコンパクトな凸部分集合が不動点(すなわちそれを含む集合へ写像される点)を持つための十分条件を与える定理である。角谷の不動点定理は、ブラウワーの不動点定理の一般化である。ブラウワーの不動点定理は、ユークリッド空間のコンパクトな凸部分集合上で定義される連続函数の不動点の存在を示すものであった。角谷の定理はこれを集合値函数に拡張したものである。
この定理は角谷静夫によって1941年に証明され、ジョン・ナッシュによりナッシュ均衡を表現するために用いられた。その後、ゲーム理論や経済学における幅広い分野で応用されている。
すると、[0,1] は凸集合なので、m ∈ [0,1] が成り立つ。
r ≥ m を満たす r ∈ φ(m) が存在するなら、次のように各数を定める。
ak+1 = m
bk+1 = bk
pk+1 = r
qk+1 = qk
もし存在しないなら、φ(m) は空でないので、s ≤ m を満たす s ∈ φ(m) が必ず存在する。このときは、次のように各数を定める。
ak+1 = ak
bk+1 = m
pk+1 = pk
qk+1 = s.
いずれの場合でも、このように定められた ak+1, bk+1, pk+1 および qk+1 は条件 (1)–(6) を満たすことが容易に確かめられる。
細分の極限点を見つける。
デカルト積 [0,1]×[0,1]×[0,1]×[0,1] は、チコノフの定理よりコンパクト集合である。列 (an, pn, bn, qn) はこのコンパクト集合に属するため、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より必ず収束部分列を持つ。そのような部分列に着目し、その極限を (a*, p*,b*,q*) とする。φ のグラフは閉であるため、p* ∈ φ(a*) および q* ∈ φ(b*) が成り立つ。さらに、条件 (5) より p* ≥ a* が成り立ち、条件 (6) より q* ≤ b* が成り立つ。
ところが、条件 (2) より (bi − ai) ≤ 2 であるため、