定常集合
三つめの意味は、モデル理論的な概念で、一般化された定常性として参照される。 この概念はM. Magidor(英語版), M. Foreman(英語版), サハロン・シェラハらによるものとされ、ヒュー・ウッディンによって顕著に使用された。
X {\displaystyle X} Xを空でない集合とする。 C ⊂ P ( X ) {\displaystyle C\subset {\mathcal {P}}(X)} がclubであるとは、 関数 F : [ X ] < ω → X {\displaystyle F:[X]^{<\omega }\to X} で C = { z : F [ [ z ] < ω ] ⊂ z } {\displaystyle C=\{z:F[[z]^{<\omega }]\subset z\}} を満たすものが存在することを言う。 ここで [ y ] < ω {\displaystyle [y]^{<\omega }} は y {\displaystyle y} の有限部分集合全体による集合のことである。
κ {\displaystyle \kappa } の共終数が可算であったとして、 S ⊂ κ {\displaystyle S\subset \kappa } が κ {\displaystyle \kappa } 内で定常であるのは κ ∖ S {\displaystyle \kappa \setminus S} が κ {\displaystyle \kappa } 内で有界であることと同値である。 特に、 κ {\displaystyle \kappa } の共終数が ω = א 0 {\displaystyle \omega =\aleph _{0}} であるなら任意の二つの κ {\displaystyle \kappa } の定常集合の共通部分は定常である。
これは κ {\displaystyle \kappa } の共終数が非可算なときは起こらない。 実際、 κ {\displaystyle \kappa } を正則基数で S ⊂ κ {\displaystyle S\subset \kappa } をその中の定常集合とすると、 S {\displaystyle S} は κ {\displaystyle \kappa } 個の互いに交わりのない定常集合に分割できる。この結果はロバート・ソロヴェイ(英語版)によるもので、 κ {\displaystyle \kappa } が後続型基数のとき、 このことはスタニスワフ・ウラムによって、 いわゆるウラム行列(Ulam matrix)と呼ばれるものを使って容易に示された。