逆関係
写像が(写像として)可逆であるための必要十分条件は、写像の逆関係が再び写像となることである。この逆関係こそが逆写像である。
写像 f: X → Y の逆関係 f: Y → X は
graph f − 1 = { ( y , x ) ∣ y = f ( x ) } {\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\mid y=f(x)\}}
で定義される。これは必ずしも写像でなくてもよいが、f が単射であることを課さなければ f は多価になってしまう。この条件は f が部分写像であるためには十分であり、さらにこのとき f が(全域)写像となるための必要十分条件が f が全射(したがって全単射)となることであるのは明らかである。f が全単射であるとき、f は f の逆写像と呼ばれる。
当然、 f {\displaystyle f} の逆写像は f {\displaystyle f} との合成で恒等写像すなわち恒等関係を導くので、 f {\displaystyle f} を関係とみなせば f − 1 {\displaystyle f^{-1}} はその裏関係である。