ボレル総和
数学、特に解析学において、ボレル総和(ボレルそうわ、英: Borel summation)とはエミール・ボレルによって1899年に導入された、発散級数に対する総和法のひとつである。これは発散するような漸近級数に対して有用で、級数に対してある意味で最適な「和」と呼ばれる値を与える。同じ「ボレル総和」という語で呼ばれる数種類の手法があり、さらにその一般化にミッタク=レフラー総和法がある。
タウバー型定理は、ある総和法の収束性が別の総和法の収束性を導く条件を提示する。ボレル総和に対する主なタウバー型定理は、弱-ボレル総和法での総和可能性から級数の収束性が導かれる十分条件を与える。
定理 (Hardy 1992)
A(z) が z0 ∈ C において(wB)の意味で収束して ∑ a k z 0 k = a ( z 0 ) {\displaystyle \sum a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})} となり、かつすべての k ≥ 0 において
a k z 0 k = O ( k − 1 / 2 ) {\displaystyle a_{k}z_{0}^{k}=O(k^{-1/2})}
が成立するとき、 ∑ k = 0 ∞ a k z 0 k = a ( z 0 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})} が成立してかつ |z| < |z0| を満たすすべての z で収束する。