ウラムの螺旋
ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとジョン・エデンサー・リトルウッドは1923年のゴールドバッハの予想に関する論文の中でいくつかの予想を述べているが(ハーディ・リトルウッド予想と総称される)、その中にはもし真であればウラムの螺旋の特に目立つ特徴について説明を与える可能性があるものが含まれている。ハーディとリトルウッドが“F予想”と呼ぶこの予想は、ベイトマン・ホーン予想(英語版)の特殊な場合であり、ax + bx + cの形をした素数の個数の漸近式について主張するものである。ウラムの螺旋の中央部から生じる、水平線と垂線に対し45°の角度をなす半直線上に乗る数字は4x + bx + cで表すことができ、ここにbは偶数である。水平もしくは垂直な半直線の上に乗る数字は先述の公式でbが奇数の場合である。F予想は、こうした半直線上に乗る素数の密度を見積もる公式を与える。これは半直線によって密度が相当ばらつくことを示唆している。とりわけ、密度は判別式b − 16cにかなり左右される。
F予想はax + bx + cのa、b、cがすべて整数であり、aが正の整数の場合を考えるものである。もし係数が1より大きい公約数を持っているか、もしくは判別式Δ = b − 4acが平方数であるならば、この多項式は因数分解できるのでxが0, 1, 2, ...の値をとれば合成数を与える(ただし、xの取り方によっては片方の素因数が1である可能性はある。そのようなxは高々2個存在する)。