超実数
実数列から超実数体が構成できることを見てゆこう。次のようにして、実数列の加法と乗法を定義する:
( a 0 , a 1 , a 2 , ... ) + ( b 0 , b 1 , b 2 , ... ) = ( a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ... ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )}
( a 0 , a 1 , a 2 , ... ) ( b 0 , b 1 , b 2 , ... ) = ( a 0 b 0 , a 1 b 1 , a 2 b 2 , ... ) {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}b_{0},a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\ldots )}
これにより、実数列全体の成す集合は可換環(実際には実多元環)A を成す。 実数 r と数列 (r, r, r, ...) を同一視することによって、R の A への自然な埋め込みが存在する。この同一視は実数の代数的演算を保存する。 直感的な動機は、例えば、ゼロに収束するような数列を用いて無限小超実数を表したいということである。そのような数列の逆元が無限大超実数を表すことになるだろう。