自己準同型環
R-加群の圏において、R-加群 M の自己準同型環は R-準同型からなり、これは一般にはアーベル群としての自己準同型環の真部分集合である。M が有限生成射影加群のとき、自己準同型環は加群の圏の森田同値を考える際に中心的な役割を果たす。
End  ( Z 2 × Z 2 , + ) ≅ M 2 ( Z 2 ) {\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2},+)\cong M_{2}(\mathbb {Z} _{2})} 。加法群 ( Z 2 × Z 2 , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2},+)} の自己準同型環は Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} 上の 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 行列環に同型である。
K を体とし、K上の数ベクトル空間 K を考えると、K の自己準同型環は K から K へのすべての K-線型写像からなる。これは K-多元環になる。基底を選べば、この環は自然に K 係数の n 次全行列環と同一視される。より一般に、自由加群 M = R の自己準同型環は自然に環 R 上の n 次全行列環である。
直前の具体例として、任意の単位的環 R について、End(RR) = R である。ただし R の元は R に 左 からの積で作用する。
一般に、自己準同型環は任意の前加法圏の対象に対して定義される。