複素線積分
| ∫ C R f ( z ) 5 − z d z | ≤ 2 π ρ ( 3 + 1 1000 ) 3 4 ρ 1 4 2 − 1 1000 ∈ O ( ρ 5 4 ) → 0 {\displaystyle \left|\int _{C_{R}}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {(3+{\frac {1}{1000}})^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{2-{\frac {1}{1000}}}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0}
が得られる。
ここで留数定理より(今考えている積分路は、内側には有限個の孤立特異点を囲めていない事に注意する)、
( − i + 1 ) I = − 2 π i ( R e s z = 5 f ( z ) 5 − z + R e s z = ∞ f ( z ) 5 − z ) {\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\mathrm {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\mathrm {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right)}
となる。ここで右辺の最初に負号がついているのは、特異点から見ると積分路は時計回りをしているからである。上で定めた対数関数の枝を使うと、明らかに
R e s z = 5 f ( z ) 5 − z = − 5 3 4 exp  ( log  ( − 2 ) 4 ) .
R e s z = i f ( z ) = lim z → i ( z − i ) f ( z ) = lim z → i e i t z z + i = e − t 2 i {\displaystyle \mathrm {Res} _{z=i}f(z)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{e^{itz} \over z+i}={e^{-t} \over 2i}}
である。留数定理により、
∫ C f ( z ) d z = 2 π i Res z = i  f ( z ) = π e − t {\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=\pi e^{-t}}
となる。積分路 C は「まっすぐな (straight)」部分と曲がった弧 (arc) とに分けられるので
∫ straight + ∫ arc = π e − t {\displaystyle \int _{\text{straight}}+\int _{\text{arc}}=\pi e^{-t}}
でありしたがって
∫ − a a = π e − t − ∫ arc {\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\text{arc}}}
となる。t > 0 のとき
複素解析における基本的な結果は z の周回積分が 2πi であることである、ただし積分路は単位円周を反時計回りに一周するものをとる(あるいは 0 についての任意の正の向きのジョルダン曲線でもよい)。単位円周の場合には積分
∮ C 1 z d z {\displaystyle \oint _{C}{1 \over z}\,dz}
を計算する直接的な方法がある。この積分の計算では、単位円周 |z| = 1 を z(t) = e (t ∈ [0, 2π]) で径数付けしたものを積分路として使う。すると dz/dt = ie であり、積分は次のように計算される。
∮ C 1 z d z = ∫ 0 2 π 1 e i t i e i t d t = i ∫ 0 2 π d t = 2 π i . {\displaystyle \oint _{C}{1 \over z}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }dt=2\pi i.}
複素解析において、積分路は複素平面内の曲線の一種である。路に沿う積分では、積分路がその上で積分が適切に定義できる曲線の正確な定義を与える。複素平面内の曲線は、実数直線の閉区間から複素平面への連続関数 z: [a, b] → C として定義される。
曲線のこの定義は、直感的な概念と一致するが、閉区間からの連続関数による径数付けを含む。このより正確な定義により、曲線が積分に有用なためにもたなければならない性質が何であるかを考えることができる。以下の小節では、積分できる曲線を、向きを与えることができる有限個の連続曲線から作ることのできるものだけに絞る。さらに、「断片」は互いに交わらない場合だけを考え、各断片は有限の(消えない)連続微分を持つと仮定する。これらの仮定は次のような曲線だけを考えることと対応する。例えばペンによって、切れ目なく一筆書きで、曲線の新しい断片を始める時だけ止まり、ずっとペンは持ち上げないように、たどることができる。
i の周りでの f (z) のローラン展開を考える(i は考える必要のある唯一の特異点である)。すると
f ( z ) = − 1 4 ( z − i ) 2 + − i 4 ( z − i ) + 3 16 + i 8 ( z − i ) + − 5 64 ( z − i ) 2 + ⋯ {\displaystyle f(z)={-1 \over 4(z-i)^{2}}+{-i \over 4(z-i)}+{3 \over 16}+{i \over 8}(z-i)+{-5 \over 64}(z-i)^{2}+\cdots }
となる(この級数の導出はローラン級数(英語版)の計算例を参照)。
留数が −i/4 であることは見た目から明らかである(これを確かめるには、上の等式に z − i を掛けたものを考え、コーシーの積分公式を用いて両辺を積分すると、第二項のみが 0 でない値となる)。よって留数定理より
∮ C f ( z ) d z = ∮ C 1 ( z 2 + 1 ) 2 d z = 2 π i R e s z = i f = π 2 . ◻ {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{1 \over (z^{2}+1)^{2}}\,dz=2\pi i\,\mathrm {Res} _{z=i}f={\frac {\pi }{2}}.\quad \square }
したがって前と同じ結果が得られた。