平行移動
T v p = ( 1 0 0 v x 0 1 0 v y 0 0 1 v z 0 0 0 1 ) ( p x p y p z 1 ) = ( p x + v x p y + v y p z + v z 1 ) = p + v {\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }
は所期のものであることが確認できる。平行移動行列の逆行列は、ベクトルの向きを逆にすればよいから、
T v − 1 = T − v {\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }}
で与えられる。同様に、平行移動行列の積は、ベクトルの和に対する平行移動
T u T v = T u + v {\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }}
になる。ベクトルの和は可換であるから、平行移動行列同士の積もそうである(任意の行列の積が非可換であるのとは異なる)。
物理学における平行移動は並進運動とも呼ばれ、物体の位置を変える運動である(回転運動に対照する)。例えば Whittaker (1988, p. 1) によれば、
平行移動は物体の各点 (x, y, z) を
( x , y , z ) → ( x + Δ x , y + Δ y , z + Δ z ) {\displaystyle (x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)}
なる形の式に従って変化させる操作である。ただし、(Δx, Δy, Δz) は物体の各点に共通のベクトルとする。この物体の各点に共通の平行移動ベクトル (Δx, Δy, Δz) は、(「角」変位 (angular displacement) と呼ばれる回転を含む変位と区別して)ふつう「線型」変位または「直線」変位 (linear displacement) と呼ばれる特定の種類の変位を記述するものである。
時空を考えるとき、時間座標の変化は平行移動であると考えられる。例えば、ガリレイ変換群やポワンカレ群は時間に関する平行移動を含む。