算術級数定理
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が得られる。テイラー級数は収束円内で絶対収束するから、その収束円の半径を r {\displaystyle r} とすると、和の順序を交換した左辺のディリクレ級数も | 2 − s | < r {\displaystyle |2-s|<r} で収束する。しかし、 s = 1 / φ ( d ) {\displaystyle s=1/\varphi (d)} を代入すると、
∑ k ≥ 2 c k k 1 / φ ( d ) = ∑ p ∑ n ≥ 1 ∑ χ χ ( p n ) ( p n ) 1 / φ ( d ) ≥ ∑ p ∑ m ≥ 1 ∑ χ χ ( p m φ ( d ) ) ( p m φ ( d ) ) 1 / φ ( d ) = ∑ p ∑ m ≥ 1 ∑ χ χ φ ( d ) ( p m ) ( p m ) = ∑ p ∑ m ≥ 1 φ ( d ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{1/\varphi (d)}}}&=\sum _{p}\sum _{n\geq 1}{\frac {\sum _{\chi }\chi (p^{n})}{(p^{n})^{1/\varphi (d)}}}\\&\geq \sum _{p}\sum _{m\geq 1}{\frac {\sum _{\chi }\chi (p^{m\varphi (d)})}{(p^{m\varphi (d)})^{1/\varphi (d)}}}=\sum _{p}\sum _{m\geq 1}{\frac {\sum _{\chi }\chi ^{\varphi (d)}(p^{m})}{(p^{m})}}=\sum _{p}\sum _{m\geq 1}\varphi (d)\end{aligned}}}