三次元球面
三次元球面の構成法はよく知られたものがいくつか存在する。ここではふたつの三次元球体の張り合わせによる方法と三次元ユークリッド空間の一点コンパクト化としての構成法に関して述べる。
三次元球面は、位相的には、通常の三次元球体二つを、それらの境界を張り合わせることによって得られる。三次元球体の境界は通常の二次元球面であるから、この構成は二つの二次元球面を同一視するということである。(位相的には大きさは関係ないから)同じ大きさの三次元球体を思い浮かべよう、そしてそれらの境界となる二次元球面を併せるように重ね合わせれば、二次元球面上のたがいに対応する点の全体は恒等的に一致させられる。二次元球面を二次元円板の(境界となる円周での)張り合わせで作る場合のアナロジーで、この貼り合わせる二次元球面を「赤道球面」(equatorial sphere) と呼ぶ。
上記の重ね合わせでは、三次元球体の「内部」は貼り合わせてはいけないことに注意しなければならない。四次元で考えるための一つの方策として、三次元球体の各点の三次元座標にそのうえの連続な実数値函数の値を第四の座標として付け加える—たとえば球体の各点での「温度」を考えればよい—という方法が挙げられる。