ベルトラン・ダルブーの定理
ハミルトン–ヤコビ理論では、 n {\displaystyle n} 自由度の自励ハミルトン系において、ある座標変換 ( x 1 , ⋯ , x n ) → ( u 1 , ⋯ , u n ) {\displaystyle (x_{1},\cdots ,x_{n})\to (u_{1},\cdots ,u_{n})} のもとで対応するハミルトン–ヤコビ方程式の完全解を
S = ∑ i = 1 n S i ( u i ; α 1 , ⋯ , α n ) {\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}S_{i}(u_{i};\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})}
という形に表示できるとき、この座標 ( u 1 , ⋯ , u n ) {\displaystyle (u_{1},\cdots ,u_{n})} を分離座標と呼び、求積することが可能となる。ここで α i {\displaystyle \alpha _{i}} は積分定数であり、自励系では常にそのひとつとしてハミルトニアン(エネルギー)を取ることができる。このような変数分離可能系は可積分系の重要なクラスをなす。
であり、ハミルトニアンは
H = 1 2 ( μ 2 − c 2 ) p μ 2 + ( c 2 − ν 2 ) p ν 2 μ 2 − ν 2 + U 1 ( μ ) + U 2 ( ν ) μ 2 − ν 2 , {\displaystyle H={\frac {1}{2}}{\frac {(\mu ^{2}-c^{2})p_{\mu }^{2}+(c^{2}-\nu ^{2})p_{\nu }^{2}}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}}+{\frac {U_{1}(\mu )+U_{2}(\nu )}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}},}
独立な積分は
Φ = 1 2 ν 2 ( μ 2 − c 2 ) p μ 2 + μ 2 ( c 2 − ν 2 ) p ν 2 μ 2 − ν 2 + ν 2 U 1 ( μ ) + μ 2 U 2 ( ν ) μ 2 − ν 2 {\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}{\frac {\nu ^{2}(\mu ^{2}-c^{2})p_{\mu }^{2}+\mu ^{2}(c^{2}-\nu ^{2})p_{\nu }^{2}}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}}+{\frac {\nu ^{2}U_{1}(\mu )+\mu ^{2}U_{2}(\nu )}{\mu ^{2}-\nu ^{2}}}}
である。楕円座標を用いて積分される系としては重力2中心問題が知られている。