J-不変量
j の注目すべき性質のいくつかは、q = exp(2πiτ) でのローラン級数として書かれるq-展開(フーリエ級数展開)に関連している。q-展開は、
j ( τ ) = 1 q + 744 + 196884 q + 21493760 q 2 + 864299970 q 3 + 20245856256 q 4 + ⋯ {\displaystyle j(\tau )={1 \over q}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots }
で始まっている。
なお、 j は尖点で一位の単純極を持つので、q-展開には q 以下の項がない。
このフーリエ係数はすべて整数であり、このことがいくつかの概整数、例えば有名なラマヌジャン定数(英語版)(Ramanujan's constant)の理由となる。
e π 163 ≈ 640320 3 + 744 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744}
q の係数の漸近公式(英語版)(asymptotic formula)は、ハーディ・リトルウッドの円周法(英語版)(Hardy–Littlewood circle method)で示すことができたように、
e 4 π n 2 n 3 / 4 {\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}n^{3/4}}}} ,
により与えられる。
Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 = ( 2 π ) 12 η ( τ ) 24 = ( 2 π ) 12 ( 1 2 a b c ) 8 {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\eta (\tau )^{24}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}}
となる。このようにすると、j (τ) を早く計算できる形に書き換えることができる。
j ( τ ) = 1728 g 2 3 g 2 3 − 27 g 3 2 = 32 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 ( a b c ) 8 . {\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3} \over (abc)^{8}}.}
ただし、
a 4 − b 4 + c 4 = 0 {\displaystyle a^{4}-b^{4}+c^{4}=0}
であることに注意する。
{\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}.}
函数 j (τ) をこの領域へ制限すると、複素数 C のすべての値をちょうど一度だけ取る。言い換えると、C すべての元 c に対し、c = j(τ) となる基本領域の元 τ が一意に存在する。このように、j は基本領域を全複素平面へ写像するという性質を持っている。
リーマン面として、基本領域の種数は 0 であり、すべての(レベル 1 の)モジュラー函数は j の有理函数であり、逆に、j のすべての有理函数はモジュラー函数である。言い換えると、モジュラー函数全体のなす体は C(j) である。
チュダノフスキー兄弟(英語版)(Chudnovsky brothers)は、1987年に、
1 π = 12 640320 3 / 2 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 163 ⋅ 3344418 k + 13591409 ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( − 640320 ) 3 k {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}}
を発見し、 j ( 1 + − 163 2 ) = − 640320 3 {\displaystyle j{\big (}{\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}{\big )}=-640320^{3}} という事実を示すことに使用した。同様な公式は、ラマヌジャン・佐藤級数(英語版)(Ramanujan-Sato series)を参照。