ガウシアンビーム
U ( x , y , z , t ) = u ( x , y , z ) e − i ( k z − ω t ) {\displaystyle U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-\omega t)}}
ここで、ビームは十分にコリメート(英語版)されている、すなわち z 軸に対して十分平行であるため、∂u/∂z は無視できるものと仮定している。この解を上の波動方程式に代入すると、下に示す近軸近似の下での波動方程式が得られる。
∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 2 i k ∂ u ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}}
この微分方程式は無限の解関数を持つが、ガウシアンビームはそれらのうち最も低次のモードである。
w0 = w(0) はビームウェストでのスポットサイズ
R(z)は波面の曲率半径
ζ(z) はガウシアンビームに見られる特別な寄与であるグイ位相シフト
厳密には時間依存因子 e もかかっているが、上の式では省略されている。
対応する時間平均強度分布は以下のように表わされる。
I ( r , z ) = | E ( r , z ) | 2 2 η = I 0 ( w 0 w ( z ) ) 2 exp  ( − 2 r 2 w 2 ( z ) ) {\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)}
ここで I0 = I(0,0) はビームウェストの中心における放射照度であり、定数 η はビームの伝播している媒質の特性インピーダンスである。自由空間においては、 η = η0 = √μ0/ε0 = 1/(cε0) ≈ 376.7 Ω となる。