射影直線
射影直線は代数曲線の基本的な例である。代数幾何学の観点からは、P(K) は種数 0 の非特異曲線になる。K が代数閉体ならば、そのような曲線はK-有理同値(英語版)の違いを除いて一意である。一般に、種数 0 の非特異曲線は K 上の円錐曲線 C に K-有理同値であり、それ自身が射影直線と双有理同値となるための必要十分条件は C が K 上定義された点 P を持つことである。幾何学的にはそのような点 P を明示的な双有理同値を作るための原点として利用できる。
射影直線の函数体は、一つの不定元 T に関する K 上の有理函数体 K(T) である。K(T) の K-自己同型群は、上でも述べた PGL2(K) に他ならない。
K 上の代数多様体 V の任意の函数体 K(V) は(一点を除いて)K(T) に同型な部分体を含む。双有理幾何学の観点からは、これは V から P(K) への定数でない有理写像(英語版)が存在することを意味する。その像は P(K) の有限個の点のみが落ちており、また典型点 P の逆像は次元 dim V − 1 となる。これは代数幾何学における次元に関する帰納的方法の出発点である。
実数体 R 上の射影直線を実射影直線と呼ぶ。これは実数直線 R = R に理想化された一つの無限遠点 ∞ を付け加えたものとしても考えられ、R の両端点は無限遠で接合されて閉路(位相的な意味での円周)を成す。
これは例えば、実平面 R の各点を単位円周の上への射影して対蹠点(英語版)を同一視することで得られる。群論の言葉で言えば、円周群をその部分群 {1, −1} で割った剰余群である。
実数直線 R に相異なる二つの無限遠点 ∞, −∞ を付け加えて得られる補完数直線の場合と比較せよ。