正規部分群
群 G の部分群 N が正規部分群であるとは、共役変換によって不変、すなわち N の任意の元 n と G の任意の元 g に対して、元 gng が再び N に属するときにいう。これを
N ⊴ G ( ⟺ ∀ n ∈ N , ∀ g ∈ G , g n g − 1 ∈ N ) {\displaystyle N\trianglelefteq G\quad (\iff \forall n\in {N},\,\forall g\in {G},\,gng^{-1}\in {N})}
で表す。任意の部分群について、以下の条件はどれも上記の正規性の条件と同値である。このため、これらの条件のどれかを正規部分群の定義にしてもよい。
G の任意の元 g に対して gNg ⊆ N が成り立つ。
G の任意の元 g に対して gNg = N が成り立つ。
部分群の正規性は、全射準同型で保たれる。また、逆像をとる操作によっても保たれる。
正規性は群の直積をとる操作によっても保存される。
正規部分群の正規部分群は、もとの群の正規部分群であるとは限らない。すなわち、正規性は推移的ではない。しかしながら、正規部分群の特性部分群はもとの群の正規部分群である。また中心因子の正規部分群はもとの群においても正規であり、特に直積因子の正規部分群は下の群でも正規部分群となる。
部分群の指数 が2 である任意の部分群は正規部分群である。一般に、有限指数 n をもつ G の部分群 H は、その正規核と呼ばれる、G における指数が n! を割り切るような G の正規部分群 K を含む。特に、p が G の位数を割り切る最小の素数である場合、指数 p の任意の部分群は正規部分群である。