零ベクトル空間
線型代数学における零ベクトル空間(れいベクトルくうかん、ゼロベクトルくうかん、英: zero-vector space, 独: Nullvektorraum)あるいは短く零空間(ゼロくうかん、英: zero space, 独: Nullraum)は零ベクトルただ一つだけからなるベクトル空間 {0} を言う。零ベクトル空間は同型を除いて唯一の次元が 0 のベクトル空間で、その基底は空集合である。任意のベクトル空間が、その最小の部分空間として零ベクトル空間を持つ。ベクトル空間の直和やベクトル空間の直積をベクトル空間の間の演算と見なすとき、零ベクトル空間はそれら演算の単位元となる。圏論的には、零ベクトル空間は与えられた体上のベクトル空間の圏における零対象となる(零対象 (代数学)(英語版) も参照)。
与えられた体 K 上の任意のベクトル空間 V をとると、V にはベクトルの加法に関する単位元として零ベクトル 0V が一意的に存在する。部分集合 U ≔ {0V} はベクトルの加法およスカラー乗法に関して閉じている—式で書けば
U ≠ ∅ {\displaystyle U\neq \emptyset }
0 V + 0 V = 0 V ∈ U {\displaystyle 0_{V}+0_{V}=0_{V}\in U}
α ⋅ 0 V = 0 V ∈ U ( ∀ α ∈ K ) {\displaystyle \alpha \cdot 0_{V}=0_{V}\in U\qquad (\forall \alpha \in K)}
が成り立つ—から、U は V の部分空間となる。よって U はそれ自身零ベクトル空間に同型な一元ベクトル空間を成し、V の(部分)零ベクトル空間などと呼ばれる。部分空間は少なくとも一つの元を含まなければならないから、零ベクトル空間は最小の部分空間である。U1, U2 が V において互いに補な部分空間ならば常に
である。