置換 (数学)
二つの置換の積は、それらの写像としての合成によって与えられる。つまり、σπ は与えられた集合の各元 x を σ(π(x)) へ写す。ここで注意すべきは、写像の記法に従って書いているため、一番右にある置換が最初に引数に適用されるということである。文献によっては、一番左の因子を最初に作用させる代わりに、置換をその引数の「右側」に書くものもある。例えば、冪記法を用いて、σ が x に作用することを x で書けば、積は x = (x) によって定められる。それでも、これらは置換の乗法に関して「異なる」規則を与えるものであるから、本項では写像の記法に従って一番右の因子から適用する流儀に従うものとする。
二つの全単射の合成は再び全単射を与えるから、二つの置換の積は再び置換を与える。写像の合成は結合的であるから、置換の積に関してもそうで、 (σπ)ρ = σ(πρ) が任意の置換に関して成立する。これにより、二つより多くの置換の積において、積の順番を表すグループ化の括弧を書かないのが普通である。また、中黒などの乗法を指し示す記号も、省略するのが通例である。
集合の各元をそれ自身に写す恒等置換は、この置換の積に関する単位元である。二行記法で言えば、この単位元は