バターワースフィルタ
バターワースフィルタの簡単な例として三次ローパスフィルタを右図に示す。 C 2 = 4 / 3 {\displaystyle C_{2}=4/3} F、 R 4 = 1 {\displaystyle R_{4}=1} Ω、 L 1 = 3 / 2 {\displaystyle L_{1}=3/2} H、 L 3 = 1 / 2 {\displaystyle L_{3}=1/2} H とする。 s = σ + j ω {\displaystyle s=\sigma +j\omega } は複素周波数とする。コンデンサ C のインピーダンスを 1/Cs、コイル L のインピーダンスを Ls としたとき、この回路の伝達関数は以下のようになる。
H ( s ) = V o u t ( s ) V i n ( s ) = 1 1 + 2 s + 2 s 2 + s 3 {\displaystyle H(s)={\frac {V_{out}(s)}{V_{in}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3}}}}
周波数応答の大きさ(利得) G ( ω ) {\displaystyle G(\omega )} は以下の式で得られる。
バターワースフィルタの周波数応答は通過帯域では最大限平坦であり(リップルがない)、除去帯域に向かってゼロに近づいていく。対数目盛のボーデ図で見ると、応答曲線は線形に負の無限大に近づいていく。一次フィルタの場合、応答曲線の傾斜は -6dB/octave または -20dB/decade となる(回路構成に関わらず、一次のバターワースフィルタは全てこの特性を示す)。二次バターワースフィルタの場合、応答曲線の傾斜は -12dB/octave、三次の場合 -18dB/octave となる。バターワースフィルタは、ωに対して振幅が単調に変化する。バターワースフィルタは高次になっても特性曲線が同じ形状(ただし、傾斜はきつくなる)だが、他のフィルタ(ベッセル、チェビシェフ、楕円など)は高次になると曲線の形状が変わる。
他のフィルタに比べるとバターワースフィルタによる減衰は緩やかであるため、特定の除去帯域仕様を実装するには高次な実装を必要とする。しかし、通過帯域は他のフィルタより線形な位相応答を示す。