ボード線図
上記と同じ形式の伝達関数を考える。
H ( s ) = A ∏ ( s + x n ) a n ( s + y n ) b n {\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}}
ここでは、極や零点それぞれを独立にプロットし、それらを重ね合わせる。実際の位相曲線は − a r c t a n ( I m [ H ( s ) ] / R e [ H ( s ) ] ) {\displaystyle -\mathrm {arctan} (\mathrm {Im} [H(s)]/\mathrm {Re} [H(s)])} で得られる。
それぞれの極と零点について位相を描くには、次のようにする。
A が正の場合、始点は(傾斜0で)0度となる。
A が負の場合、始点は(傾斜0で)180度となる。
全ての ω = x n {\displaystyle \omega =x_{n}} について(安定零点 - R e ( z ) < 0 {\displaystyle Re(z)<0} )、傾斜を decade あたり 45 ⋅ a n {\displaystyle 45\cdot a_{n}} だけ増大させる(decade の始点は ω = x n {\displaystyle \omega =x_{n}} より前、つまり x n 10 {\displaystyle {\frac {x_{n}}{10}}} )。
ここで f は周波数(Hz)であり、f1 は極の位置(Hz)である。図では f1 = 100 Hz とされている。複素数の法則を使うと、この関数の振幅は次のようになる。
∣ T H i g h ( f ) ∣= f / f 1 1 + ( f / f 1 ) 2 {\displaystyle \mid \mathrm {T_{High}} (f)\mid ={\frac {f/f_{1}}{\sqrt {1+(f/f_{1})^{2}}}}\ }
一方位相は次のようになる。
φ T H i g h = 90 ∘ − tan − 1  ( f / f 1 ) {\displaystyle \varphi _{T_{High}}=90^{\circ }-\tan ^{-1}(f/f_{1})\ }
タンジェントの逆関数は、ここではラジアンではなく「度」を返すものとする。ゲイン線図において、デシベルを使うと、図に描かれる振幅の値は次の式から得られる。
20 log 10 ∣ T H i g h ( f ) ∣ = 20 log 10  ( f / f 1 ) {\displaystyle 20\log _{10}\mid \mathrm {T_{High}} (f)\mid \ =20\log _{10}\left(f/f_{1}\right)}
|βAOL|180 < 1 なら、不安定性は発生しない。|βAOL|180 と |βAOL| = 1 の振幅の差(デシベル)をゲイン余裕という。振幅が1なら0dBなので、ゲイン余裕は 20 log10( |βAOL|180) = 20 log10( |AOL|180) − 20 log10( 1 / β ) と等価な形式の1つにすぎない。
もうひとつの不安定性への接近性の尺度として位相余裕がある。ゲイン線図を使うと |βAOL| が単位元(1)に達する周波数 f0dB がわかる。この周波数を位相線図に適用すると βAOL の位相がわかる。位相 βAOL( f0dB) > −180° なら、どの周波数でも不安定な状態にはならない(f = f180 のときの振幅が1未満になるため)。f0dB における位相と −180°の位相差を位相余裕という。
単に安定かどうかを問うだけなら、f0dB < f180 であれば、その増幅回路は安定である。ただし、これが成り立つのは、極と零点の位置がある条件に適合している増幅回路(最小位相系)だけである。そうでない場合も例外的に存在し、その場合はナイキスト線図などの他の手法を使わなければならない。