有向点族
部分有向点族の概念は点列の部分列の概念の自然な一般化になっており、実際点列(x n)nの部分列 ( x n k ) k {\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}} を考えた場合、添字集合間の写像 k ↦ n k {\displaystyle k\mapsto n_{k}} は上の2条件を満たす。
しかし部分有向点族の定義は1つだけ点列の部分列の定義とは大きく異なる所があり、点列の部分列の場合は k ↦ n k {\displaystyle k\mapsto n_{k}} は必ず単射になるのに対し、部分有向点族の定義はh が単射である事を要求しない。これはもしh に単射性を要求すると病的な例(Tychonoff plank)のせいでいくつかの当然と思われる定理が成り立たなくなってしまうからである。(なお、h が単射である場合の部分有向点族を特に共終部分有向点族と呼ぶ。)
こうした差異が原因で、点列(x n)nを有向点族とみなした場合の部分有向点族は点列になっていない場合もあり得る。実際、(x h(γ))γ∈Γを(x n)nの部分有向点族とすると、h が単射でない事から同じx nが部分有向点族に複数回(場合によっては非可算無限回)登場するかもしれないし、Γも全順序ではないかもしれない。
有向点族の概念を用いると、位相空間上の以下の性質も特徴づける事が出来る:

なお、後者の事実の結論部分は点列コンパクトの概念における点列を有向点族に置き換えたものである。
しかし点列の場合はXに適切な仮定(例えば距離空間など)を置かない限り、必要条件でも十分条件でもない。
概要でも記したように、有向点族の概念を用いる事で位相構造を特徴づける事ができる。ここでは閉包の特徴づけのみを説明するが、他の位相に関する概念、例えば閉集合、開集合、内点、外点、境界点も有向点族で特徴づけが可能である。
一方、点列の概念を用いた場合は閉集合と開集合を点列で特徴づけられるには空間が可算性に関する条件を満たす必要があるし、閉包が点列で特徴づけられるにはさらに厳しい条件が必要となる。(詳細は列型空間を参照)。
上の定理は以下のように非常に簡単に示せる。 まずよく知られているように a ∈ A ̄ {\displaystyle a\in {\bar {A}}} である事は以下と同値である:
a の任意の近傍U に対し、 U ∩ A ≠ ∅ {\displaystyle U\cap A\neq \emptyset } ...(2)