メビウスの反転公式
g ( x ) = ∑ m = 1 ∞ f ( m x ) m s for all x ≥ 1 ⟺ f ( x ) = ∑ m = 1 ∞ μ ( m ) g ( m x ) m s for all x ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&&g(x)&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {f(mx)}{m^{s}}}&{\mbox{for all }}x\geq 1\\&\Longleftrightarrow &f(x)&=\sum _{m=1}^{\infty }\mu (m){\frac {g(mx)}{m^{s}}}&{\mbox{for all }}x\geq 1\end{aligned}}}
(ただし、級数は絶対収束すると仮定する。)上と同様、これは α ( n ) {\displaystyle \alpha (n)} がディリクレ逆元 α − 1 ( n ) {\displaystyle \alpha ^{-1}(n)} を持つ数論的関数である場合に一般化される。
g ( x ) = ∑ m = 1 ∞ α ( m ) f ( m x ) m s for all x ≥ 1 ⟺ f ( x ) = ∑ m = 1 ∞ α − 1 ( m ) g ( m x ) m s for all x ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&&g(x)&=\sum _{m=1}^{\infty }\alpha (m){\frac {f(mx)}{m^{s}}}&{\mbox{for all }}x\geq 1\\&\Longleftrightarrow &f(x)&=\sum _{m=1}^{\infty }\alpha ^{-1}(m){\frac {g(mx)}{m^{s}}}&{\mbox{for all }}x\geq 1\end{aligned}}}
最初の一般化は次のように証明できる。Iverson's convention を使う。これは [条件] がその条件の指示関数、つまり、条件が真であれば 1 で偽であれば 0 であるような関数を表すというものである。次の結果を使う。 ∑ d | n μ ( d ) = ε ( n ) {\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)=\varepsilon (n)} , つまり、1*μ = ε。
すると以下のようになる。