巨大基数
巨大基数(きょだいきすう、英: large cardinal)とは、数学の集合論における超限基数が有するある種の性質。この性質を持つ基数は、その名の通り、一般に大変「大きい」(例えば、α=ωαを満たすような最小の基数αよりも大きい)。そのような基数が存在するという命題は、集合論における最も標準的な公理系である ZFC からは証明できない。このことから、そのような命題は、何らかの望ましい結果を証明できるようになる上で ZFC を超えてどのぐらいの「量」の仮定を加えなければならないのかを測るある種の尺度になっている。別の言い方をすれば、デイナ・スコットが述べたように、巨大基数的性質は「より多くを求めるなら、より多くを仮定しなければならない」という事実を定量的に表現しているとみなせる。
大まかな約束事として、ZFCだけから結果を証明できる場合は特段の断り書きは要らないが、もしその他の主張(例えば巨大基数の存在など)が証明上必要なら、そのことは明記されねばならない。
巨大基数公理に関する目覚しい知見の一つとして、それらが無矛盾性の強さ(英語版) から見ると厳密な線形順序に従うという経験則がある。すなわち、次のことについてこれまで反例は知られていない。A1 と A2 をそれぞれ巨大基数公理とすると、以下の三つのうちのどれかが(排他的に)成立する:
ZFC から「ZFC + A1 が無矛盾である必要十分条件は ZFC + A2 が無矛盾であること」が証明される。
ZFC + A1 から ZFC + A2 が無矛盾であることが証明される。
ZFC + A2 から ZFC + A1 が無矛盾であることが証明される。
一つ目が成り立つ場合、A1 と A2 は無矛盾性同値(英語版)であるという。二つ目の場合は A1 は A2 よりも無矛盾性が強いという(三つ目の場合はその逆)。もし A2 が A1 よりも強いなら、ZFC + A1 から A2 の無矛盾性を証明することはできない。これはたとえ ZFC + A1 自体が無矛盾であるという仮定(無論、実際にもそうだとして)を加えても変わらない。このことはゲーデルの第二不完全性定理から導かれる。