エルハート多項式
具体的に、ユークリッド空間 R 内の格子 L と、同じく R 内の d-次元多面体 P を考え、多面体 P の各頂点は格子 L 上の点であるものと仮定する(よくあるのは L = Z で多面体 P の頂点座標が全て整数値であるような場合である)。任意の正の整数 t に対し、 tP を P の t-倍相似拡大とし、
L ( P , t ) = ♯ ( t P ∩ L ) {\displaystyle L(P,t)=\sharp (tP\cap L)}
を tP が含む格子点の数とする。エルハートは1962年に L が t に関して次数 d の有理多項式であること、すなわち有理数 a0, ..., ad で、任意の正整数 t に対して
L(P, t) = adt + ad−1t + ... + a0
となるようなものが存在することを示した。さらに P が閉(つまり境界面が P に属する)ならば L(P, t) の係数のいくつかは簡単な解釈をもつ。
最高次係数 ad は P の d-次元体積を d(L) で割ったものに等しい(格子 L の容量 (content) もしくは共容積 (covolume) d(L) については格子群を参照せよ)。