クールノー競争
このとき、 p = a − b q 1 − b q 2 {\displaystyle p=a-bq_{1}-bq_{2}} となる。
逆需要関数を価格関数 p ( Q ) {\displaystyle p(Q)} に代入すると、利潤関数:
Π 1 ( q 1 , q 2 ) = ( a − b q 1 − b q 2 − χ ) q 1 {\displaystyle \Pi _{1}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{1}}
Π 2 ( q 1 , q 2 ) = ( a − b q 1 − b q 2 − χ ) q 2 {\displaystyle \Pi _{2}(q_{1},q_{2})=(a-bq_{1}-bq_{2}-\chi )q_{2}}
が得られる。利潤最大化の1階の条件は、
∂ Π 1 ( q 1 , q 2 ) ∂ q 1 = a − 2 b q 1 − b q 2 − χ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{1}(q_{1},q_{2})}{\partial q_{1}}}=a-2bq_{1}-bq_{2}-\chi =0}
この2つの式は、各企業が直面する価格 p {\displaystyle p} と限界費用 χ {\displaystyle \chi } 、ライバル企業の生産量を所与に最適な生産量を記述している。これは即ち企業の最適応答関数である。
これらの最適応答関数の交点としてナッシュ均衡を求めることができる。企業が対象的(限界費用とパラメーター( χ {\displaystyle \chi } )と直面する価格( p {\displaystyle p} が同じ)であるから、生産量が2つの企業で同一である q 1 = q 2 = q ∗ {\displaystyle q_{1}=q_{2}=q^{*}} とすることで均衡を求めることができる。 q ∗ {\displaystyle q^{*}} を q 1 , q 2 {\displaystyle q_{1},q_{2}} に代入すると、均衡生産量 q ∗ = a − χ 3 b {\displaystyle q^{*}={\frac {a-\chi }{3b}}} を求めることができる。各企業が均衡生産量だけ生産するときの市場全体の生産量(供給量)は Q = q 1 ∗ + q 2 ∗ = 2 ( a − χ ) 3 b {\displaystyle Q=q_{1}^{*}+q_{2}^{*}={\frac {2(a-\chi )}{3b}}} となる。
消費者の価格 p {\displaystyle p} におけるミネラルウォーターへの需要 D {\displaystyle D} を F ( p ) {\displaystyle F(p)} とする。 F {\displaystyle F} の逆需要関数を f {\displaystyle f} とし、市場清算価格は p = f ( D ) {\displaystyle p=f(D)} で得られるとする。ただし、 D = D 1 + D 2 {\displaystyle D=D_{1}+D_{2}} and D i {\displaystyle D_{i}} は企業 i {\displaystyle i} による供給量(生産量)である。
各企業は、競合他社が供給している量を知っており、それを考慮して自分の供給を調整して利潤を最大化する。均衡では、両企業とも供給量を変更する誘因を持たない。