置換公理
より厳密には、すべての式を一階述語論理によって量化することはできないので、メタ変項(英語版)として式 φ {\displaystyle \phi } 、及びその変数 w 1 , ... , w n , A , x , y {\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y} を用いて、
∀ w 1 , ... , w n ∀ A ( [ ∀ x ∈ A ∃ ! y φ ( x , y , w 1 , ... , w n , A ) ] ⟹ ∃ B ∀ y [ y ∈ B ⇔ ∃ x ∈ A φ ( x , y , w 1 , ... , w n , A ) ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \exists B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \exists x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{aligned}}}
とする。 ∃ ! {\displaystyle \exists !} はただ一つ存在することを表す。