円周率の無理性の証明
ただし、u n ( R ) と v n ( R ) は整数係数の R = r の多項式で、次数は高々 2 n + 1 である。
I m = J m = K m = L m = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{m}=J_{m}=K_{m}=L_{m}=0\\\end{aligned}}}
だと仮定すると
I 0 = J 0 = K 0 = L 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}=J_{0}=K_{0}=L_{0}=0\\\end{aligned}}}
である。ところが
2 I 0 + K 0 = r 2 ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}2I_{0}+K_{0}=r^{2}\neq 0\\\end{aligned}}}
なので矛盾である。したがって、I n , J n , K n , L n のうち少なくとも1つは、無限に多くのゼロでない項を持つ。それを M n とおく。
さて
R = r 2 = a b ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}R=r^{2}={a \over b}\neq 0\\\end{aligned}}}
が有理数で
cos  r = p q {\displaystyle {\begin{aligned}\cos r={p \over q}\\\end{aligned}}}
も有理数だと仮定する。すると、qb Mn は整数で、n → ∞ のとき限りなく小さくなる。したがって十分大きな n に対して、qb Mn = 0 となり、Mn = 0 となる。これは矛盾である。ゆえに、ニーベン・インケリの定理が証明された。