グモウスキー・ミラの写像
グモウスキー・ミラの写像(グモウスキー・ミラのしゃぞう)は、イーゴリ・グモウスキー (Igor Gumowski) とクリスチャン・ミラ (Christian Mira) によって発表された非線形の2次元離散力学系である。加速器と蓄積リングにおける不安定性の研究を出自とする。相平面上に多様な形のストレンジアトラクタが現れることで知られる。
パラメータの値に応じて解の振る舞いが定性的に変化することを力学系では分岐と呼ぶ。グモウスキー・ミラの写像は μ に対して鋭敏に反応して分岐する傾向を持つ。下記に、散逸系のグモウスキー・ミラの写像(f2 )の軌道(アトラクタ)と、保存系のグモウスキー・ミラの写像(f1 )の軌道の例を示す。
散逸系のグモウスキー・ミラの写像のアトラクタ
f2-g1, α = 0.008, σ = 0.05, μ = −0.496
f2-g1, α = 0.009, σ = 0.05, μ = −0.801
f2-g1, α = 0.005, σ = 0.05, μ = −0.5(3個の周期点)
f2-g2, α = 0.0083, σ = 0.1, μ = −0.38
f2-g2, α = 0.01, σ = 0.1, μ = 0.8
f2-g2, α = 0.07, σ = 0.0075, μ = −0.43(25個の周期点)
保存系のグモウスキー・ミラの写像の軌道
f1-g1, μ = 0.39, x0 = 1, y0 = 1
f1-g1, μ = 0.365, x0 = 1, y0 = 1
f1-g1, μ = 0.34, x0 = 1, y0 = 1
一方、xn+1 と xn は正の傾きを持つ線形関係にある。また、yn+1 と xn も正の傾きを持つ線形関係にある。そして、yn+1 に対して yn は上に凸のグラフとなっており、単峰型の関数となっている。ロジスティック写像も単峰型の関数の形としており、問題となっている領域でグモウスキー・ミラの写像の yn+1 と yn の関係もそれと同形である。また、ロジスティック写像ではパラメータ a の値が増えるに従って単峰の最大値が徐々に大きくなる。問題となっている領域のグモウスキー・ミラの写像でも、xn の値が増えるに従って yn+1 対 yn の単峰グラフの最大値が徐々に大きくなる。したがって、問題のパラメータで相平面上に軌道を描くと、xn を少しづつ増やしながら yn の単峰関数に支配される yn+1 の終局的振る舞いを自動的に描くことなる。これは、パラメータ a を少しづつ増やしながら xn の単峰関数で与えられる xn+1 の終局的振る舞いを描くロジスティック写像分岐図の描き方と、結果的に同じである。
以上のようなロジスティック写像の分岐図に似た形を持つグモウスキー・ミラの写像の過渡的振る舞いは、カオス理論の一般向け書籍の発刊過程で、出版社の担当編集者が発見した。