移流拡散方程式
上記からさらに、定常としたときの解析解はより簡単になる。このとき移流拡散方程式は
c d φ d x = D d 2 φ d x 2 {\displaystyle c{\frac {d\phi }{dx}}=D{\frac {d^{2}\phi }{dx^{2}}}}
である。x の範囲は区間 [0, L ] 内とし、境界条件として
φ ( 0 ) = φ 0 , φ ( L ) = φ L {\displaystyle \phi (0)=\phi _{0},\quad \phi (L)=\phi _{L}}
とする。この時の解析解は
φ ( x ) = φ 0 + exp  ( P e ⋅ x / L ) − 1 exp  ( P e ) − 1 ( φ L − φ 0 ) {\displaystyle \phi (x)=\phi _{0}+{\frac {\exp(Pe\cdot x/L)-1}{\exp(Pe)-1}}(\phi _{L}-\phi _{0})}
ただし
P e := c L D {\displaystyle Pe:={\frac {cL}{D}}}
と表される。ここでPe はペクレ数(Péclet number)といい、移流と拡散の比を表す無次元量である。
この解はとても簡単であるため、CFDにおいて解法の評価に用いられる。
φ ( 0 , x ) = 0 ( x ≥ 0 ) {\displaystyle \phi (0,x)=0\quad (x\geq 0)}
(実質的にt > 0, x > 0 の解にのみ興味がある。)
このとき、解は
φ ( t , x ) = 1 2 exp  ( c 2 D x ) [ exp  ( − c 2 D x ) erfc  ( 1 2 D t ( x − c t ) ) + exp  ( c 2 D x ) erfc  ( 1 2 D t ( x + c t ) ) ] {\displaystyle \phi (t,x)={\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {c}{2D}}x\right)\left[\exp \left(-{\frac {c}{2D}}x\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{2{\sqrt {Dt}}}}(x-ct)\right)+\exp \left({\frac {c}{2D}}x\right)\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{2{\sqrt {Dt}}}}(x+ct)\right)\right]}
となる。ここで、erfc(z )は相補誤差関数である。