フォッカー・プランク方程式
フォッカー・プランク方程式(英: Fokker–Planck equation)とは、統計力学でクラマース・モヤル方程式(英語版)においてn ≥ 3 の項のない次の方程式のことをいう。
∂ P ( x , t ) ∂ t = − ∂ ∂ x α 1 ( x , t ) P ( x , t ) + 1 2 ∂ 2 ∂ x 2 α 2 ( x , t ) P ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial P(x,t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}\alpha _{1}(x,t)P(x,t)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\alpha _{2}(x,t)P(x,t)}
物理量x (t) の揺動が確率微分方程式
d x d t = a ( x , t ) + b ( x , t ) R ( t ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=a(x,t)+b(x,t)R(t)}
という形で与えられるとする。ただし、R (t) は白色雑音のガウス過程:
⟨ R ( t ) R ( t ′ ) ⟩ = D δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \langle R(t)R(t')\rangle =D\delta (t-t')}
である。このとき、x の確率分布P (x, t) はフォッカー・プランク方程式に従う。ただし係数の定義には以下の2つの流儀がある:
伊藤清の方法