陰函数定理
↑ イタリアの Pisan school によって、ウリッセ・ディニ(英語版)に因んで「ディニの定理」あるいは「ディニの補題」と呼ばれることもあるが、解析学でよく言われるディニの定理は別の定理である。
↑ See Chiang 1984, pp. 204–206.
↑ See Fritzsche & Grauert 2002, p. 34.
↑ See Lang 1999, pp. 15–21 and Edwards 1994, pp. 417–418.
↑ See Kudryavtsev 2001.
↑ See Jittorntrum 1978, pp. 575–577.
↑ See Kumagai 1980, pp. 285–288.
以下、座標系 (x1, ..., xm) で座標付けられた m-次元空間を考える。これに適当な函数系 h1, ..., hm を施して、新たな座標系 (x'1, ..., x'm) を導入する。すなわち、各点の新座標は旧座標から
x 1 ′ = h 1 ( x 1 , ... , x m ) , ... , x m ′ = h m ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle x'_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})}
と計算することができる。この逆が可能であるかどうか、すなわち各点の新座標 (x'1, ..., x'm) から旧座標 (x1, ..., xm) に戻せるか、を検証したいと考えるかもしれない。この問いに、陰函数定理は一つの答えを提供する。
新旧の座標の対、(x'1, ..., x'm, x1, ..., xm) は
f ( x 1 ′ , ... , x m ′ , x 1 , ... x m ) = ( h 1 ( x 1 , ... x m ) − x 1 ′ , ...