定数変化法
A ( x ) = − ∫ 1 W u 2 ( x ) b ( x ) d x , B ( x ) = ∫ 1 W u 1 ( x ) b ( x ) d x {\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}\,u_{2}(x)b(x)\,dx,\quad B(x)=\int {1 \over W}\,u_{1}(x)b(x)\,dx}
を計算すればよい。結局、
{ A ( x ) = − ∫ x e 2 x cosh  x d x = − 1 18 e x ( 9 ( x − 1 ) + e 2 x ( 3 x − 1 ) ) + C 1 B ( x ) = ∫ e 2 x cosh  x d x = 1 6 e x ( 3 + e 2 x ) + C 2 {\displaystyle {\begin{cases}A(x)=-\int xe^{2x}\cosh {x}\,dx=-{1 \over 18}e^{x}(9(x-1)+e^{2x}(3x-1))+C_{1}\\B(x)=\int e^{2x}\cosh {x}\,dx={1 \over 6}e^{x}(3+e^{2x})+C_{2}\end{cases}}}
が求まる。ただし、C1, C2 は積分定数である。
を満足する。(iii) を (i) に代入して (iv) を適用すれば
(v) ∑ i = 1 n c i ′ ( x ) y i ( n − 1 ) ( x ) = b ( x ) {\displaystyle {\text{(v) }}\quad \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)=b(x)}
を得る。yi(x) たちは線型独立だから、条件を満たすにはすべての x および i に対して ci′ = 0 でなければならない。従って、b(x) = 0 の場合には、すべての ci(x) が x に無関係な定数になる。
この n 本の線型方程式系はクラメルの公式を用いて解くことができて、
c i ′ ( x ) = W i ( x ) W ( x ) , ( i = 1 , ... , n ) {\displaystyle c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\quad (i=1,\ldots ,n)}
が導かれる。ただし、W(x) は解の基本系のロンスキー行列式で、Wi(x) は基本系のロンスキー行列式の第 i-列を (0, 0, ..., b(x)) で置き換えたものとする。
ゆえに、非斉次方程式の特殊解は
∑ i = 1 n [ ∫ W i ( x ) W ( x ) d x ] y i ( x ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left[\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}dx\right]y_{i}(x)}
と書くことができる。
数学における係数変化法(けいすうへんかほう、英: variation of parameters)または定数変化法(じょうすうへんかほう、ていすうへんかほう、英: variation of constants)は線型非斉次な常微分方程式の一般解法である。ラグランジュの定数変化法と呼ばれることもある。
一階の非斉次線型微分方程式は、かなり労力の少ない積分因子や未定係数法を通じて解けるのが普通であるが、それらは推測から来る経験則として利用するもので、しかもすべての非斉次微分方程式に対してうまくいくわけではない。
定数変化法は線型偏微分方程式にも拡張することができて、具体的に熱方程式、波動方程式、振動板方程式などの線型発展方程式の非斉次問題が解ける。この設定での定数変化法を用いた解法は、むしろデュアメルの原理としてよく知られている。この呼称は、非斉次熱方程式の解法として定数変化法を初めて適用したジャン=マリー・デュアメルに因むものであり、一般の定数変化法をデュアメルの原理と呼ぶこともある。