グレブナー基底
となる。また、f2 で簡約化した g → f 2 h 2 {\displaystyle g{\underset {f_{2}}{{}\to {}}}h_{2}} は、
h 2 = g − ( 1 2 x 2 y ) f 2 = − 5 x + x 4 y 2 + 3 x y 2 {\displaystyle h_{2}=g-\left({\frac {1}{2}}x^{2}y\right)f_{2}=-5x+{\frac {x^{4}y}{2}}+3xy^{2}}
となる。このように簡約化には複数のやり方がある。簡約化は有限のステップで必ず終わるが、一般に結果は一意に決まらない。
以下に、簡約化についてのいくつかの表記方法をまとめる。
g が F のある要素 f で h に簡約化されることを g → F h {\displaystyle g{\underset {F}{{}\to {}}}h} で表す。
g が F のある要素 f による簡約化の有限のステップで h に簡約化されることを g → F ∗ h {\displaystyle g{\overset {*}{\underset {F}{{}\to {}}}}h} で表す。またこのようにして得られる h のことを h _ F {\displaystyle {\underline {h\!}}\,_{F}} とも書く。
また、g が F のどの要素でも簡約化できない時、g は F に関する正規形 (normal form) であるといい、簡約によって正規形を得ることを正規化という。