複比
λが特定の値のとき、対称性が高くなるため交差比の可能な値は6つより少なくなる。 λのこれらの値は、リーマン球面上のS3の作用の固定点に対応する(前述の6つの関数によって与えられる)。言い換えると、この順列群に非自明なスタビライザーを持つこれらの点に対応する。
固定点の最初の集合は{0, 1, ∞}である。ただし、点 A, B, C, D がすべて異なる場合、複比はこれらの値を取ることはできない。これらの値は、座標の1つのペアが互いに接近するときの極限値である。
( Z , B ; Z , D ) = ( A , Z ; C , Z ) = 0 {\displaystyle (Z,B;Z,D)=(A,Z;C,Z)=0}
( Z , Z ; C , D ) = ( A , B ; Z , Z ) = 1 {\displaystyle (Z,Z;C,D)=(A,B;Z,Z)=1}
( Z , B ; C , Z ) = ( A , Z ; Z , D ) = ∞ . {\displaystyle (Z,B;C,Z)=(A,Z;Z,D)=\infty .}
固定点の2番目の集合は{−1, 1/2, 2}である。この状況は、古典的に調和複比と呼ばれるもので、射影調和共役で起こりうる。実数の範囲では、他に例外的な軌道はない。
複素数の範囲では、最も対称的な複比は λ = e ± i π / 3 {\displaystyle \lambda =e^{\pm i\pi /3}} である場合にみられる。これらは複比の唯一の2つの値であり、これらは順列の符号に従って作用する。