位相多様体
定義により、局所ユークリッド空間の任意の点は R の開部分集合に同相な近傍を持つ。そのような近傍はユークリッド的近傍 (Euclidean neighborhood) と呼ばれる。領域不変性定理(英語版) からユークリッド的近傍はつねに開集合であることが従う。R の「よい」開集合に同相なユークリッド的近傍を見つけることがつねに可能である。実際、空間 M が局所ユークリッド的であることと以下の同値な条件のいずれかが成り立つことは同値である。
M の任意の点は R の開球体に同相な近傍を持つ。
M の任意の点は R 自身に同相な近傍を持つ。
R の開球体に同相なユークリッド的近傍はユークリッド的球体 (Euclidean ball) と呼ばれる。ユークリッド的球体たちは局所ユークリッド空間の位相の基底をなす。
任意のユークリッド的近傍 U に対して、同相 φ: U → φ(U) ⊂ R は U 上の座標チャート (coordinate chart) と呼ばれる(「チャート」という用語はそのような写像の定義域あるいは値域を指して使われることがしばしばあるが)。
レンズ空間は奇数次元球面の商である多様体のクラスである。
リー群は群構造を持った多様体である。
n 次元多様体の任意の開部分集合は部分空間位相で n 次元多様体である。