生存分析
ハザード比 HR = exp(coef) = 1.58 で、95%信頼区間は 0 .934 から 2.68 である。HRの信頼区間には 1 が含まれているので、これらの結果は、腫瘍の厚さを制御した後の、性別がHRの差に与える影響は小さく、有意な傾向があるのみということを示している。性別による log(thickness) のグラフと、性別による log(thickness) の t検定 を調べると、どちらも最初にクリニックを受診した時の腫瘍の厚さに男女の間で有意な差があることがわかる。
Coxモデルは、ハザードが比例することを前提としている。比例ハザードの仮定は、R関数の cox.zph() を使用して検定できる。p値 が 0.05 未満の場合は、ハザードが比例していないことを示している。黒色腫データの場合は p=0.222 であり、ハザードが少なくとも近似的に比例していることを示している。Coxモデルを検討するためのその他の検定やグラフについては、引用した教科書に記載されている。
Coxモデルを拡張して、単純な分析のバリエーションを扱うことができる。
層別化(stratification)。被験者は層に分割することができ、ある層内の被験者は、他の層から無作為に選ばれた被験者よりも、相対的に互いに類似していると予想される。回帰パラメータは層全体で同一であると仮定されるが、ベースラインハザードは層ごとに異なるかもしれない。層別化は、マッチさせた被験者を用いた分析、異なるクリニックなどの患者サブセットを扱う場合、および比例ハザード仮定の違反を扱う場合に有用である。
時間依存性共変量(time-varying covariates、時変共変量)。性別や治療群のようないくつかの変数は、一般的に臨床試験では変化しない。血清タンパク質レベルや併用薬の投与量などの他の臨床変数は、臨床試験の期間中に変化することがある。Coxモデルは、このような時間的に依存して変化する共変量に対して拡張することができる。
単一の生存木を構築する代わりに、多くの生存木を構築することもできる。各木がデータのサンプルを用いて構築され、木を平均化して生存を予測する。これは、生存ランダムフォレストモデル(survival random forest models)の基礎となる方法である。生存ランダムフォレスト分析は、Rパッケージ「randomForestSRC」で利用できる。
randomForestSRCパッケージには、データセットpbcを使用した生存ランダムフォレスト分析の例が含まれている。このデータは、1974年から1984年にかけてメイヨークリニックで実施された原発性胆汁性肝硬変(PBC)の肝臓治験からのものである。この例では、ランダムフォレスト生存モデルがCox PHモデルよりも正確な生存の予測を行う。予測誤差は、ブートストラップ・リサンプリング法によって推定される。
μ ( x ) = − d d x ln  ( S ( x ) ) = f ( x ) S ( x ) {\displaystyle \mu (x)=-{d \over dx}\ln(S(x))={\frac {f(x)}{S(x)}}}
死力は故障力(force of failure)とも呼ばれる。これは、死亡率の分布の確率密度関数である。
保険数理では、ハザード率は、x 歳の生命の死亡率である。x 歳の生命の場合、t 年後の死力は、(x + t) 歳の死力となる。ハザード率は故障率とも呼ばれる。ハザード率と故障率は、信頼性理論で使われる名前である。
任意の関数 h は、次の特性を満たしている場合に限り、ハザード関数となる。
∀ x ≥ 0 ( h ( x ) ≥ 0 ) {\displaystyle \forall x\geq 0\left(h(x)\geq 0\right)} ,
∫ 0 ∞ h ( x ) d x = ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }h(x)dx=\infty } .
実際、ハザード率は通常、生存時間分布の他の表現よりも、故障の根本的な機構についてより多くの情報を提供する。
ハザード関数は、非負で、λ(t) ≥ 0 であること、 [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} での積分が無限大であることが必要で、それ以外の制約はない。
生存分析では一般的に、次の用語が使用される。
事象(Event): 死亡、疾患の発生、疾患の再発、回復、またはその他の興味ある経験
時間(Time): 観察期間の開始(手術や治療の開始など)から、(i) 事象の発生、または (ii) 試験の終了、または (iii) 連絡が途絶えたり研究から離脱するまでの時間。
打ち切り/打ち切り観測(Censoring/Censored observation): 打ち切りは、個人の生存時間に関するいくらかの情報を持っている時、生存時間が正確にわからない場合に起こる。その被験者は、打ち切り後は何も観察されないし、何も知らされないという意味で、打ち切られる。打ち切られた被験者は、観察時間の終了後に事象が発生するかもしれないし、しないかもしれない。
生存関数(survival function) S(t): ある被験者が時間 t より長く生存する確率。
生存モデル(survival models)は、目的変数が時間である通常の回帰モデルと見なすことができる。しかし、尤度関数の計算(パラメータの適合や他の種類の推論に必要な)は、打ち切りによって複雑になる。打切りデータがある場合の生存モデルの尤度関数は、次のように定式化される。定義によれば、尤度関数は、モデルのパラメータが与えられた場合の、データの条件付き確率である。通常、パラメータが与えられると、データは独立であると仮定する。その場合、尤度関数は、各データの尤度の積である。データを4つのカテゴリー(打ち切り無し、左側打ち切り、右側打ち切り、区間打ち切り)に分けると便利である。これらは下の式でそれぞれ「unc.」、「l.c.」、「r.c.」、「i.c.」と示されている。
L ( θ ) = ∏ T i ∈ u n c . Pr ( T = T i ∣ θ ) ∏ i ∈ l . c . Pr ( T < T i ∣ θ ) ∏ i ∈ r . c . Pr ( T > T i ∣ θ ) ∏ i ∈ i . c . Pr ( T i , l < T < T i , r ∣ θ ) . {\displaystyle L(\theta )=\prod _{T_{i}\in unc.}\Pr(T=T_{i}\mid \theta )\prod _{i\in l.