バーンスタイン多項式
[0, 1] の範囲において連続な関数 f (x) を用いたバーンスタイン多項式
B n ( f ) ( x ) = ∑ ν = 0 n f ( ν n ) b ν , n ( x ) . {\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}
は、[0, 1] の範囲で以下のように、一様に収束する。
lim n → ∞ B n ( f ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}
このことは、各点収束するが一様収束はしないという命題に比べ、より強い命題である。この一様収束は、以下のように明確に示される。
lim n → ∞ sup 0 ≤ x ≤ 1 | f ( x ) − B n ( f ) ( x ) | = 0. {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f(x)-B_{n}(f)(x)\right|=0.}