積分微分方程式
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各項にラプラス変換を適用し、微積分の法則を利用することで、上記の積分微分方程式は次のような代数的方程式へ変換される。
s U ( s ) − u ( 0 ) + 2 U ( s ) + 5 s U ( s ) = 1 s . {\displaystyle sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.}
したがって
U ( s ) = 1 s 2 + 2 s + 5 {\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}}
が得られる。線積分を用いながら逆変換を行うことで、結果として
u ( x ) = 1 2 e − x sin  ( 2 x ) {\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)}
が得られる。