指標理論
マッキー分解はリー群の文脈でジョージ・マッキー(英語版) (George Mackey) によって定義され研究されたが、有限群の指標理論や表現論において強力な道具である。その基本的な形は、有限群 G の部分群 H から誘導された指標(あるいは加群)が G の(異なってもよい)部分群 K に再び制限したときにどのように振る舞うかを考え、G の (H, K)-両側剰余類 への分解を用いる。
G = ⋃ t ∈ T H t K {\displaystyle G=\bigcup _{t\in T}HtK}
が非交叉和で、θ が H の複素類関数ならば、マッキーの公式は
( θ G ) K = ∑ t ∈ T ( [ θ t ] t − 1 H t ∩ K ) K {\displaystyle \left(\theta ^{G}\right)_{K}=\sum _{t\in T}\left(\left[\theta ^{t}\right]_{t^{-1}Ht\cap K}\right)^{K}}
である、ただし θ はすべての h ∈ H に対して θ(tht) = θ(h) によって定義される tHt の類関数である。誘導加群の部分群への制限に対する類似の公式もあり、任意の環上の表現に対して成り立ち、代数とトポロジーの広範な文脈で応用がある。
マッキー分解は、フロベニウスの相互律とあわせて、部分群 H と K から誘導された2つの類関数 θ と ψ の内積に対する有名で有用な公式を生む。その有用性は H と K の共役がお互いにどのように交わるかのみに依るという事実にある。
表現の指標をベクトル空間の「捩れ」次元と解釈できる。指標を群の元の関数 χ(g) と扱うことで、その単位元での値は空間の次元である、なぜならば χ(1) = Tr(ρ(1)) = Tr(IV) = dim(V) だからである。したがって、指標の他の値を「捩れ」次元と見ることができる。
次元についての主張の指標や表現についての主張への類似や一般化を見つけることができる。これの洗練された例はモンストラス・ムーンシャインの理論において現れる:j 不変量はモンスター群の無限次元次数付き表現の次数付き次元(英語版)であり、次元を指標で置き換えることでモンスター群の各元に対してマッキー・トンプソン列(英語版)を得る。
ρ と σ を G の表現とする。このとき以下の等式が成り立つ:
χ ρ ⊕ σ = χ ρ + χ σ {\displaystyle \chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }}
χ ρ ⊗ σ = χ ρ ⋅ χ σ {\displaystyle \chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }}
χ ρ ∗ = χ ρ ̄ {\displaystyle \chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}}
χ A l t 2 ρ ( g ) = 1 2 [ ( χ ρ ( g ) ) 2 − χ ρ ( g 2 ) ] {\displaystyle \chi _{{\scriptscriptstyle {\rm {{Alt}^{2}}}}\rho }(g)={\tfrac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]}