多項式の根
ただし、 f [ u , v ] = f ( u ) − f ( v ) u − v {\textstyle f[u,v]={\frac {f(u)-f(v)}{u-v}}} は差商である。
しかし、この近似多項式を使うことは、この多項式の根の選択に問題を生じる。そこでミュラーは同じ多項式を、根に収束する xn に対する a n ( x − x n ) 2 + b n ( x − x n ) + c n {\textstyle a_{n}(x-x_{n})^{2}+b_{n}(x-x_{n})+c_{n}} の形で用いることを考えた。このアルゴリズムを詳しく書けば、xn を複素数として、各係数は
a n = P [ x n − 2 , x n − 1 , x n ] {\displaystyle a_{n}=P[x_{n-2},x_{n-1},x_{n}]}
b n = P [ x n − 1 , x n ] − a n × ( x n − 1 − x n ) {\displaystyle b_{n}=P[x_{n-1},x_{n}]-a_{n}\times (x_{n-1}-x_{n})}
c n = P ( x n ) {\displaystyle c_{n}=P(x_{n})}
「根」という語は gizr のチェスターのロバートとクレモナのジェラルドによるラテン翻訳に由来する。用語 gizr は根を意味し、ラテン語に訳せば radix である。用語 gizr は8世紀ペルシアの数学者アル゠フワーリズミにより、はじめて二次方程式の実根の包括的な計算を扱った著作 Kitâb al-jabr wa al-muqâbala(英語版) で用いられた。