主成分分析
ここで Λ は XX の固有値 λk からなる対角行列である。固有値 λk は対応する添え字の主成分得点の二乗和に等しい。
λ k = ‖ X w k ‖ 2 = ∑ i = 1 n ( x i ⋅ w k ) 2 = ∑ i = 1 n t k ( i ) 2 . {\displaystyle \lambda _{k}=\|\mathbf {X} \mathbf {w} _{k}\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {w} _{k})^{2}=\sum _{i=1}^{n}t_{k(i)}^{2}.}
行列 W が得られれば、行列 W の直交性を利用して、主成分ベクトルを基底とする経験共分散行列として次の表示が得られる。
W T Q W ∝ W T W Λ W T W = Λ . {\displaystyle \mathbf {W} ^{\mathrm {T} }\mathbf {Q} \mathbf {W} \propto \mathbf {W} ^{\mathrm {T} }\mathbf {W} \,\mathbf {\Lambda } \,\mathbf {W} ^{\mathrm {T} }\mathbf {W} =\mathbf {\Lambda } .}