二階導関数
以下のように、極限を用いて二階導函数を表記できる。
f ′′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 {\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}}
この極限は二階対称導函数と呼ばれる。たとえ(通常の)二階導函数が存在しないときでも二階対称導函数が存在しうることに注意。
式の右辺は差分商の差分商として次のように表記可能である。
f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 = f ( x + h ) − f ( x ) h − f ( x ) − f ( x − h ) h h {\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}}
この極限は、数列の二階差分の連続版と見なすことができる。
しかしながら、上記の極限が存在しても、函数 f {\displaystyle f} が二階導函数を持つとは限らない。上の極限は二階微分の計算の可能性を与えるだけで、定義はしていない。反例として
sgn  ( x ) = { − 1 if x < 0 , 0 if x = 0 , 1 if x > 0. {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}