行列値関数
代表的な特殊関数、具体的には
ガンマ関数
エアリー関数
ベッセル関数
直交多項式
超幾何級数
などの関数、もしくはそのq類似についても行列バージョンを考えることができる。例えば、行列からなる無限乗積の収束を適切に定義したうえで、qポッホハマー記号の行列バージョンは次のように定義できる。
( A ; q ) n := ∏ k = 0 n − 1 ( I − A q k ) , ( A ; q ) ∞ := lim n → ∞ ( A ; q ) n , | q | < 1 , A ∈ C n × n {\displaystyle (A;q)_{n}\!:=\!\prod _{k=0}^{n-1}(I-Aq^{k}),\quad (A;q)_{\infty }\!:=\!\lim _{n\to \infty }(A;q)_{n},\quad |q|<1,\quad A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}
これを使って、en:q-gamma functionの行列バージョンも導入できる。
Γ q ( A ) := ( q ; q ) ∞ ( q A ; q ) ∞ − 1 ( 1 − q ) I − A , | q | < 1 {\displaystyle \Gamma _{q}(A):=(q;q)_{\infty }(q^{A};q)_{\infty }^{-1}(1-q)^{I-A},\quad |q|<1}