リーマン積分
f: [0, 1] → R を至る所 1 である函数とする。[0, 1] 上の f の任意のリーマン和の値は 1 になるから、[0, 1] 上の f のリーマン積分の値も 1 である。
ディリクレの函数 IQ: [0, 1] → R は区間 [0, 1] に含まれる有理数全体の成す集合の指示函数、つまり有理数の上で 1, 無理数の上で 0 となるような函数である。この函数はリーマン積分を持たない。これを示すには、リーマン和が 0 および 1 にそれぞれいくらでも近づけることができるような点付き分割を構成すればよい。
点付き分割 (x0, ..., xn; t0, ..., tn−1) からはじめて、ε > 0 を選ぶ。ti は既に確定しているから、そこでの f の値を変更することはできないが、ti の周りをごく小さい小区間に分ければ ti の寄与は十分小さくすることができるから、新しい識別点を注意深く選べば、リーマン和の値を 0 あるいは 1 の好きなほうとの差を ε より小さくできることを示す。
最初の段階は分割の細分である。ti は n 個あり、それらの寄与の総計を ε より小さくしたい。そこでそれらの点を長さが ε/n より小さい小区間に入るようにすれば、各 ti のリーマン和への寄与は 0 から ε/n の間に収まるから、それらの総計は 0 から ε の間に収まることになる。