超現実数
除法は、逆数(乗法逆元)をとり、それを掛ける操作 x⁄y ≔ x⋅(1⁄y) に分けてしまえば、正の y に対する反転を
と帰納的に定義することに帰着される。この式において、上付きの y は左集合 yL において正の値のみ残して、非正の値は捨てたものであることを意味するものとする(y は(右集合 yR の各項は常に正だからそのままでもよいが)左集合の記法と合わせて上付きになっているだけである)。
さてこの定義式は、y の左集合および右集合から取った数で割り算するという意味で再帰的であるばかりでなく、1⁄y それ自身の左集合および右集合の元をとらないといけないという意味でも再帰的になっていることに注意する。
0 は 1⁄y の左集合に常に入っているから、それを使って(左集合や右集合に入る)ほかの項を再帰的に順番に求めていくことは可能である。
数値形式 x ≔ {XL | XR}, y ≔ {YL | YR} に対して、x ≤ y が成り立つとは xL ∈ XL で y ≤ xL となるようなものが存在しない(x の左集合の元は何れも y より小さい); yR ∈ YR で yR ≤ x を満たすものが存在しない(y の右集合の元は何れも x より大きい)
という条件がともに成立することをいう。
形式 y と超現実数 c との間の比較 y ≤ c は、同値類 c の代表元となる形式 z を取って y ≤ z を評価するならば意味を持つ。同様に形式 x との比較 c ≤ x や超現実数同士の比較 b ≤ c も定義できる。