曲面
様々な例をみてみることで、一般的な曲面の概念と、曲面概念がいかに多様で豊富であるかがわかる。どんな形式的定義によってもこの多様さを包摂することはできないだろう。
可展面 (developable surface) は内在的には「曲がっていない」曲面、つまり平面から伸縮することなく得られる曲面である。例として柱面・錐面、4次元空間におけるトーラスがあげられる。ペーパークラフトは可展面により構成される。
線織面 (ruled surface) 各点についてそこを通る内在的に「まっすぐな」線が存在するような曲面。柱面や一葉双曲面がその例になっている。
回転面 (surface of revolution) は円柱対称性をもった曲面である。
極小曲面 (minimal surface) とは与えられた境界条件に対し面積を極小・最小にするような曲面である。カテノイド(懸垂面)やヘリコイド(常螺旋面)が例として挙げられる。針金の枠に張ったシャボン膜は表面張力がはたらくことにより極小曲面をなす。
代数曲面は代数方程式系の零点集合として定義される。例として二次曲面・三次曲面・ヴェロネーゼ曲面が挙げられる。
陰伏曲面 (implicit surface) は一般的な方程式系の零点集合として定義される。
クラインの壺やメビウスの帯は向きのつかない多様体の例である。
リーマン面とは複素解析的な構造を持つ曲面のことであり、特に、それらの間の正則写像の概念が定義できる。例えば球面やトーラスが挙げられる。
射影曲面は射影空間の中で定義される。
アレクサンダーの角付き球面は、普通のなめらかな曲面とカントール集合になっている特異点集合をあわせた位相構造を持つ曲面の例になっている。