ガウス積分
勝手なガウス函数の積分は
あるいは
で与えられる 。
∫ exp  ( − ( x 2 + y 2 ) ) d A {\displaystyle \int \exp(-(x^{2}+y^{2}))\,dA}
に等しいことが確かめられる。ただし、積分域は {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)} を頂点集合とする正方形である。
指数函数は全実数に対して正の値を取るから、上記の積分域の内接円上での積分は I(a) よりも小さく、同様に外接円上での積分は I(a) よりも大きい。これら二つの円板上での積分は、直交座標系から極座標系へ
x = r cos  θ , y = r sin  θ , d x d y = r d r d θ {\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta ,\quad dx\,dy=rdr\,d\theta }
なる標準的な変換でうつれば容易に計算できるから、積分を実行して
π ( 1 − e − a 2 ) < I ( a ) 2 < π ( 1 − e − 2 a 2 ) {\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})<I(a)^{2}<\pi (1-e^{-2a^{2}})}
なる評価を得ることができる。a → ∞ なる極限をとれば、はさみうちの原理によって等式
( ∫ − ∞ ∞ exp  ( − x 2 ) d x ) 2 = π {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-x^{2})\,dx\right)^{2}=\pi }
が正当化できる。