ボース＝アインシュタイン凝縮
粒子間の相互作用がない自由ボース粒子から構成されるボース粒子の集団を、理想ボース気体と呼ぶ。熱平衡状態の理想ボース気体において、あるエネルギー状態を占有する粒子数はボース分布で与えられる。ボース分布の性質から、ある転移温度以下では巨視的な数の粒子の最低エネルギー状態への占有、すなわち、BECが生じる。この相転移は純粋に量子統計的性質のみに起因し、液化や固化のようなほかの相転移と異なり、相互作用を必要としない点に特徴がある。箱の中の一様な理想ボース気体の系や理想ボース気体が調和振動子ポテンシャルにトラップされた系では、以下のように転移温度や凝縮相の粒子数が求まる。
一様なボース気体の系でBECが起きる条件 T ≤ Tc は
λ T = h 2 π m k B T {\displaystyle \lambda _{T}={\frac {h}{\sqrt {2\pi mk_{B}T}}}}
で定義される熱的ド・ブロイ波長を導入すると、粒子数密度 n=N/V と熱的ド・ブロイ波長により、
n λ T 3 ≥ ζ ( 3 2 ) = 2.612 ⋯ {\displaystyle n\lambda _{T}^{3}\geq \zeta \!\left({\frac {3}{2}}\right)=2.612\cdots }
と表すことができる。
ρ = n λ T 3 {\displaystyle \rho =n\lambda _{T}^{3}}
で定義される ρ は位相空間密度と呼ばれ、BEC発生を特徴づける指標である。条件 ρ ≥ 2.612は位相空間密度が1程度のオーダーとなるときにBECが起きることを表している。この条件は l=n=(V/N) で与えられる平均粒子間距離より、熱的ド・ブロイ波長が小さいことに対応する。
量子力学的なボース粒子が満たすボース=アインシュタイン統計は、サティエンドラ・ボースとアルベルト・アインシュタインによって、導入された。1924年6月、ボースはアインシュタインに手紙ともに論文を送り、ドイツ語への翻訳と出版を依頼した。この論文の中で、ボースは光子の統計性から黒体輻射のプランクの公式が導けることを示した。アインシュタインはこの論文の重要性を認め、ドイツの学術誌で出版した。ボースが扱ったのは、粒子数が不定で質量をもたないボース粒子である光子の場合であったが、アインシュタインは粒子数が保存される気体分子にもこの統計性を拡張し、より一般的な形でボース=アインシュタイン分布を導いた 。さらにアインシュタインは、この分布が持つ性質から逃散能 z=e が1の場合、ある転移温度以下で多数の粒子が基底状態に落ちこむこと、すなわち、ボース=アインシュタイン凝縮が起きることを予想した。アインシュタインは1925年の論文の中で次のように記している。
また、アインシュタインは1924年11月のポール・エーレンフェストへの手紙の中で、次のように述べている。
BECが最初に脚光を浴びたのは、1938年のフリッツ・ロンドンのBECによる超流動現象のモデルによってであった。1937年、ピョートル・カピッツァが液体ヘリウム4が超流動性を示すことを発見すると、ロンドンは超流動はヘリウム4のBECだと考え、転移温度を求めた。