五胞体数
五胞体数(ごほうたいすう、英: pentatope number)は、点を右図のように五胞体の形に並べたとき、そこに含まれる点の総数にあたる自然数である。三角錐数を 1 から小さい順に加えた数と定義してもよい。例:15(=1 + 4 + 10)、70(=1 + 4 + 10 + 20 + 35)
n 番目の五胞体数 Pn は 1 から n 番目までの三角錐数 n(n + 1)(n + 2)/6 までの和に等しいので
P n = ∑ k = 1 n k ( k + 1 ) ( k + 2 ) 6 = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 24 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)(k+2)}{6}}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}\end{aligned}}}
また組み合わせの記号を用いると P n = n + 3 C 4 {\displaystyle P_{n}={}_{n+3}{\rm {C}}_{4}} となる。
五胞体数を小さい順に列記すると
1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380, 3060, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A332)