冪零群
すなわち、Z0 ≔ {1} および Zi+1 は Zi+1/Zi = Z(G/Zi) なる G の部分群と定めるとき、得られる正規部分群の系列で { 1 } = Z 0 ◃ Z 1 ◃ ⋯ ◃ Z n = G {\displaystyle \{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G} とできる。
冪零群 G に対して、G が長さ n の中心列を持つとき(定義により、長さ n を持つとは中心列に自明群と G 自身を含めて n + 1 個の部分群が並ぶときに言う)、そのような n の最小値を G の冪零度 (nilpotency class; 冪零性の等級) と呼び、また G は冪零度 n の冪零群であるという。G の冪零度は、降中心列または昇中心列を用いても同じ値が定められる。
冪零度を上記のどの仕方で定義したとしても、直ちにわかることに「自明群が冪零度零の唯一の群である」ことおよび「冪零度 1 の群は非自明なアーベル群である」ことが挙げられる
群論における冪零群(べきれいぐん、英: nilpotent group)は、「ほとんど」アーベルな群である。この概念は、冪零群が可解群となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して位数が互いに素な二元は可換となる。有限冪零群はさらに超可解(英語版)でさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者セルゲイ・チェルニコフ(英語版)の業績に帰せられる。
冪零群はガロワ理論において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、リー群の分類においても顕著である。
冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、(導来群を作る操作を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて)リー環の理論においても用いられる(冪零リー環の項を参照)。
昇中心列の連続する部分群による各剰余群 Zi+1/Zi はアーベル群であり、かつ列は有限であるから、任意の冪零群は比較的単純な構造を持つ可解群である。
冪零度 n の冪零群の任意の部分群は、冪零度高々 n である。加えて、f が冪零度 n の冪零群上の準同型ならば、f の像は冪零度高々 n の冪零群になる。
有限群に対して以下は同値であり、冪零性の有効性が顕わになる:
(a) G は冪零群である。
(b) 正規化性質: H が G の真の部分群ならば、H は(H の G における)正規化群 NG の真の正規部分群になる。
(c) G の任意のシロー部分群は正規部分群である。
(d) G はそのシロー部分群の直積である。
G がアーベル群ならば、任意の H に対して NG(H) = G であるからよい。そうでないとき、中心 Z(G) が H を含まないならば、hZ⋅H −1Z h = hHh = H であるから、H·Z(G) は H を正規化する。
以下、それ以外のときについて G の位数 |G| に関する帰納法で示す。Z(G) が H を含むならば H/Z(G) は G/Z(G) に含まれる。G/Z(G) が冪零であることに注意せよ。