接続 (ファイバー束)
d d t s ( t ) = L i f t s ( t ) ( d d t c ( t ) ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}s(t)=\mathrm {Lift} _{s(t)}\left({\tfrac {d}{dt}}c(t)\right)}
を満たす事である。
常微分方程式 d d t s ( t ) = L i f t s ( t ) ( d d t c ( t ) ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}s(t)=\mathrm {Lift} _{s(t)}\left({\tfrac {d}{dt}}c(t)\right)} の解の局所的な存在一意性から、平行移動は局所的に存在し、かつ一意である。
すなわちsを曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} の時刻t0のファイバー E c ( t 0 ) {\displaystyle E_{c(t_{0})}} の元とするとき、(t0とsに依存した)t0の近傍 ( − ε , ε ) {\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )} が存在し、 ( − ε , ε ) {\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )} 上ではsの平行移動が一意に存在する。
である事が知られているので、
H ( [ ∂ 1 ∗ , ∂ 2 ∗ ] ) = H ( L i f t ( ∂ 1 ) , L i f t ( ∂ 2 ) ) = L i f t ( [ ∂ 1 , ∂ 2 ] ) = 0 {\displaystyle H([\partial _{1}^{*},\partial _{2}^{*}])=H(\mathrm {Lift} (\partial _{1}),\mathrm {Lift} (\partial _{2}))=\mathrm {Lift} ([\partial _{1},\partial _{2}])=0}
であり、したがって、
[ ∂ 1 ∗ , ∂ 2 ∗ ] = V ( [ ∂ 1 ∗ , ∂ 2 ∗ ] ) = V ( [ H ( ∂ 1 ∗ ) , H ( ∂ 2 ∗ ) ] ) = − Ω ( ∂ 1 ∗ , ∂ 2 ∗ ) {\displaystyle [\partial _{1}^{*},\partial _{2}^{*}]=V([\partial _{1}^{*},\partial _{2}^{*}])=V([H(\partial _{1}^{*}),H(\partial _{2}^{*})])=-\Omega (\partial _{1}^{*},\partial _{2}^{*})}
であるので定理が証明された。
前節ではフレームバンドルFG(E)に接続が定義されている状況下でその接続がEに誘導するKoszul接続を考察してきたが、本節ではこの逆、すなわちEのKoszul接続∇がどのような条件を満たせば∇がフレームバンドルFG(E)に接続から誘導されたものと一致するかを調べる。このために以下の定義をする:
定義 (構造群と両立するKoszul接続) ― Mを連結な多様体とし、Gを G L n ( R n ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} ^{n})} の閉部分リー群とし、 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を構造群Gを持つベクトルバンドルとし、∇を E → M {\displaystyle E\to M} のKoszul接続とする。このとき、∇がGと両立する(英: G-compatible)とは、 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の任意の局所自明化
φ : π − 1 ( U ) → ~ V × R n {\displaystyle \varphi ~:~\pi ^{-1}(U){\tilde {\to }}V\times \mathbb {R} ^{n}} where U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} open、 V ⊂ R m {\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{m}} open
φ : p ∈ P x ( 0 ) ↦ p ′ ∈ P x ( 1 ) {\displaystyle \varphi ~:~p\in P_{x(0)}\mapsto p'\in P_{x(1)}}
とすると、
φ ( p g ) = φ ( p ) g {\displaystyle \varphi (pg)=\varphi (p)g}
が任意の p ∈ P x ( 0 ) {\displaystyle p\in P_{x(0)}} 、 g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対して成立する。
よって特に以下が成立する:
系 ― 記号を上述の定理のように取る。x(0)、x(1)の周りに局所座標を取り、局所座標で P x ( 0 ) ≈ G {\displaystyle P_{x(0)}\approx G} 、 P x ( 1 ) ≈ G {\displaystyle P_{x(1)}\approx G} と表す事で φ {\displaystyle \varphi } をG上の自己同型とみなすと、
φ ( g ) = h φ g {\displaystyle \varphi (g)=h_{\varphi }g}
と書ける h φ ∈ G {\displaystyle h_{\varphi }\in G} が存在する。
実際、 h φ = φ ( e ) {\displaystyle h_{\varphi }=\varphi (e)} とすれば上の系が成立する。ここでeはGの単位元である。
基本ベクトル場の定義より明らかに各 p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、写像
ζ p : A ∈ g ↦ A _ p ∈ V p {\displaystyle \zeta _{p}~:~A\in {\mathfrak {g}}\mapsto {\underline {A}}_{p}\in {\mathcal {V}}_{p}}
は全単射であるので、ζpの写像の逆写像を垂直射影と合成する事で、
T p P → V p V p → ∼ ζ p − 1 g {\displaystyle T_{p}P{\underset {V_{p}}{\to }}{\mathcal {V}}_{p}{\underset {\zeta _{p}{}^{-1}}{\overset {\sim }{\to }}}{\mathfrak {g}}}
作る事ができる。この写像を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に値を取る1-形式とみなしたものを
ω p ∈ A p 1 ( P ; g ) {\displaystyle \omega _{p}\in {\mathcal {A}}_{p}^{1}(P;{\mathfrak {g}})}
Gをリー群とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をそのリー代数とし、さらにNをGが右から作用する多様体(例えばG-主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} の全空間P)とする。
定義 (基本ベクトル場) ― リー代数の元 A ∈ g {\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}} と点 p ∈ N {\displaystyle p\in N} に対し、
A _ p := d d t ( p ⋅ e x p ( t A ) ) | t = 0 ∈ T p N {\displaystyle {\underline {A}}_{p}:=\left.{\frac {d}{dt}}(p\cdot \mathrm {exp} (tA))\right|_{t=0}\in T_{p}N}
により、N上のベクトル場 A _ {\displaystyle {\underline {A}}} を定義する。 A _ {\displaystyle {\underline {A}}} をAに対応するNの基本ベクトル場(英語版)(英: fundamental vector field on N associated to A)という。
なお、NがG-主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} の全空間Pの場合には A _ p {\displaystyle {\underline {A}}_{p}} は垂直部分空間 V p {\displaystyle {\mathcal {V}}_{p}} の元である事が容易に示せる。
本節では共変微分を成分表示で表し、これにより水平リフトがなぜクリストッフェル写像と呼ばれるのかを見る。このためにファイバーバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の点 e 0 ∈ E {\displaystyle e_{0}\in E} に対し、 π ( e 0 ) ∈ M {\displaystyle \pi (e_{0})\in M} の近傍Uにおける局所座標 ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} を選び、さらに e 0 ∈ E {\displaystyle e_{0}\in E} の局所座標
( ( x 1 , ... , x m ) , ( y 1 , ... , y n ) ) ∈ U × V ⊂ E {\displaystyle ((x^{1},\ldots ,x^{m}),(y^{1},\ldots ,y^{n}))\in U\times V\subset E}
として、局所座標が ( ( x 1 , ... , x m ) , ( y 1 , ... , y n ) ) {\displaystyle ((x^{1},\ldots ,x^{m}),(y^{1},\ldots ,y^{n}))} の元を π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} で写像するしたものの局所座標が ( x 1 , ...
本節では主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} 上定義された接続 { H p } p ∈ P {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}} を用いて同伴バンドル P × G F → M {\displaystyle P\times _{G}F\to M} に接続を定義する方法を説明する。
a ∈ F {\displaystyle a\in F} に対し、写像
φ a : p ∈ P → [ ( p , a ) ] ∈ P × G F {\displaystyle \varphi _{a}~:~p\in P\to [(p,a)]\in P\times _{G}F}
を考える。
定義 (接続の誘導) ― P × G F {\displaystyle P\times _{G}F} の [ ( p , a ) ] {\displaystyle [(p,a)]} における水平部分空間 H [ ( p , a ) ] ′ {\displaystyle {\mathcal {H}}'_{[(p,a)]}} を
本節ではリー群の随伴バンドルを定義し、曲率形式は随伴バンドル上の微分形式とみなせる事を見る。まず随伴バンドルを定義する:
定義 (随伴バンドル) ― Gをリー群とし g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をそのリー代数とし、さらに P → M {\displaystyle P\to M} をG-主バンドルとし、 G ↷ A d g {\displaystyle G{\overset {\mathrm {Ad} }{\curvearrowright }}{\mathfrak {g}}} を随伴表現とする。このとき、
P × A d g → M {\displaystyle P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}\to M}
を P → M {\displaystyle P\to M} の随伴バンドル(英: adjoint bundle)という。