エネルギー・運動量テンソル
相対論的粒子の系を記述する作用汎関数は
S [ g , X , γ ] = 1 2 ∫ ∑ i ( 1 γ i 2 g μ ν ( X i ) X ̇ i μ X ̇ i ν − m i 2 c 2 ) γ i ( λ ) d λ = 1 2 ∫ d 4 x ∫ ∑ i ( 1 γ i 2 g μ ν ( x ) X ̇ i μ X ̇ i ν − m i 2 c 2 ) δ 4 ( X i − x ) γ i ( λ ) d λ {\displaystyle {\begin{aligned}S[g,X,\gamma ]&={\frac {1}{2}}\int \sum _{i}\left({\frac {1}{{\gamma _{i}}^{2}}}g_{\mu \nu }(X_{i})\,{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\gamma _{i}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\int \sum _{i}\left({\frac {1}{{\gamma _{i}}^{2}}}g_{\mu \nu }(x)\,{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)\delta ^{4}(X_{i}-x)\,\gamma _{i}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\\end{aligned}}}
であり、ここからエネルギー・運動量テンソルが