遺伝的有限集合
整礎的な遺伝的有限集合の帰納的定義は次のようにされる:
基底段階: 空集合は遺伝的有限である。
再帰段階: もし a 1 , ... , a k {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}} が遺伝的有限ならば { a 1 , ... , a k } {\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{k}\}} もそうである。
以上によって遺伝的有限集合とわかるものだけが遺伝的有限集合である。
全ての整礎的な遺伝的有限集合からなる集合を V ω {\displaystyle V_{\omega }} と書く。いま P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} で S {\displaystyle S} の冪集合を表すことにすれば、 V ω {\displaystyle V_{\omega }} は空集合から始めて次のように再帰的に定義できる:
V 0 = ∅ {\displaystyle V_{0}=\varnothing }
V n + 1 = P ( V n ) {\displaystyle V_{n+1}={\mathcal {P}}(V_{n})}
V ω = ⋃ n < ω V n {\displaystyle V_{\omega }=\bigcup _{n<\omega }V_{n}}