平面応力状態
平面応力状態における応力の平衡方程式は、外力が作用しない場合、次式となる:
∂ σ x ∂ x + ∂ τ x y ∂ y = 0 , ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y ∂ y = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial y}}=0,\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}=0.\end{aligned}}}
これは、次の関係式を満たすエアリー(Airy)の応力関数φを導入することで自動的に満足される:
σ x = ∂ 2 φ ∂ y 2 , σ y = ∂ 2 φ ∂ x 2 , τ x y = − ∂ 2 φ ∂ x ∂ y . {\displaystyle \sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}},\quad \sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}},\quad \tau _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial y}}.
平面応力状態(へいめんおうりょくじょうたい)とは、物体内の応力が平面的、すなわち、適当な座標系 (x , y , z ) に対して
σz = τzx = τzy = 0
となる応力状態である。z 軸方向に広がる薄い板の側面に、板の中央面に平行で、z 軸方向に関し一様な外力が作用し、かつ板の上下面に外力が作用しないとき平面応力状態とみなすことができる。さらにこの場合、残りの応力成分と変位成分は近似的にx , y の関数とみなしてよい。