Sumset
加法的組合せ論(英語版)において、加法群 G の 2つの部分集合 A と B の和(わ、英: sum)とは、A と B の元ごとの和全体の成す集合
A + B = { a + b : a ∈ A , b ∈ B } {\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}}
を言う。同じものを、アフィン幾何学周辺分野ではミンコフスキー和(英語版) (Minkowski sum) とも呼ぶ。例えば線型代数学において、二つの線型部分空間 U, V の和空間(英語版)(sum space) U + V はこの意味の和集合として定義される。
A の n-重反復和集合 (n-fold iterated sumset)(n-倍集合)とは
n A = A + ⋯ + A ⏟ n {\displaystyle nA=\underbrace {A+\dotsb +A} _{n}}
のこととする(ここで、n は右辺の項数である)。
加法的組合せ論や加法的数論(英語版)の多くの問題や結果を、この和集合を用いて言い表すことができる。例えば、ラグランジュの四平方定理は次の形で表すことができる。
4 ◻ = N . {\displaystyle 4\Box =\mathbb {N} .}
ここに、 ◻ {\displaystyle \Box } は平方数全体の成すの集合、N は自然数全体の成す集合である。多くの研究がなされる主題として、"small doubling"(小さい倍化)を持つ集合(すなわち、2-倍集合 A + A の大きさが(A に比べて)小さくなるような集合 A)の問題がある。フレイマンの定理(英語版)(Freiman's theorem)の例を参照。