コンパクト開位相
↑ 内田伏一 1986, p. 168.
↑ 内田伏一 1986, p. 169.
↑ こちらのステートメントは X が局所コンパクトハウスドルフでなくとも成り立つ。
↑ 内田伏一 1986, p. 171.
↑ 内田伏一 1986, p. 170.
↑ 内田伏一 1986, p. 173.
定義域 X が局所コンパクトな場合、コンパクト開位相は ( f , x ) ↦ f ( x ) {\displaystyle (f,x)\mapsto f(x)} が連続となる最弱な位相として特徴づけられる:
定理 ― X, Y を位相空間とし、H ⊂ C(X, Y) とし、さらに φ H : H × X → Y {\displaystyle \phi _{H}\colon H\times X\to Y} を
φ H : ( f , x ) ↦ f ( x ) {\displaystyle \phi _{H}\colon (f,x)\mapsto f(x)}
により定義する。このとき、
X が局所コンパクトハウスドルフである場合、 φ H {\displaystyle \phi _{H}} は H にコンパクト開位相をいれたときに連続となる。
φ H {\displaystyle \phi _{H}} が H 上の位相 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} に関して連続であれば O {\displaystyle {\mathcal {O}}} はコンパクト開位相より強い。
値域が距離空間の場合、コンパクト開位相が定める収束概念は以下のように特徴づけられる: