有限可換群上の調和解析
全単射 ˆ : l(G) → C がエルミート空間の同型となるため線型空間 C 上のエルミート内積を (gδχ)χ ∈ ˆG が正規直交基底となるように
⟨ f | h ⟩ = 1 g 2 ∑ χ f ̄ ( χ ) h ( χ ) {\displaystyle \langle f|h\rangle ={\frac {1}{g^{2}}}\sum _{\chi }{\bar {f}}(\chi )h(\chi )}
と定める。このエルミート内積は ˆG 上の質量 1/g のハール測度に対応し、エルミート空間 l(G) の定義で導入されたエルミート内積は G 上の質量 1 のハール測度に対応していることに注意する。ここで l(ˆG) は線型空間 C に上のエルミート内積を備えたものとする。
フーリエ変換
^ : l 2 ( G ) → l 2 ( G ^ ) {\displaystyle {\hat {}}\colon \ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}({\hat {G}})}
はエルミート空間の同型である。特に
⟨ a ^ | b ^ ⟩ l 2 ( G ^ ) = ⟨ a | b ⟩ l 2 ( G ) {\displaystyle \langle {\hat {a}}|{\hat {b}}\rangle _{\ell ^{2}({\hat {G}})}=\langle a|b\rangle _{\ell ^{2}(G)}}
が成り立つ。