代数曲線
楕円曲線を有理点を持つ種数 1 の任意の曲線として定義することができる。よく用いられるモデルは非特異平面三次曲線(英語版)で、これは種数 1 の任意の曲線のモデルとして十分である。
種数1の曲線 E の任意の体 F 上の点 P に対し、上と同様に代数曲線に対するリーマン–ロッホの定理より、n > 0 ならば l(nP) = n が成り立つ。よって ( X ) + 2 ( P ) = 0 , ( Y ) + 3 ( P ) = 0 {\displaystyle (X)+2(P)=0,(Y)+3(P)=0} となる有理関数 X, Y がとれる。このとき7つの有理関数 1 , X , Y , X 2 , X Y , Y 2 , X 3 {\displaystyle 1,X,Y,X^{2},XY,Y^{2},X^{3}} はいずれも P において高々位数6の極をもち、その他の極をもたないから L(6P) に属する。しかし l(6P)=6 であるから、これらの7つの有理関数は線型従属である。したがって
どちらの方向についても、弧は非有界(無限弧 (infinite arc))となってもよいし、端点を持ってもよい(端点は特異点(後述)でもよいし、何れかの座標軸に平行となってもよい)。
例えば、チルンハウスの三次曲線(英語版)は、原点 (0,0) を端点に持つふたつの無限弧を持つ。原点はこの曲線上の唯一の特異点である。さらに二つ、原点を一方の端点に持ち、他方の端点は水平接線を持つ点とする有限弧があり、さらに後二つ、水平接線を持つ点を片方の端点とし、曲線上の唯一垂直接線を持つ点をともにもう片方の端点とする有限弧を持つ。他方、正弦曲線は明らかに代数曲線ではなく、無限個の単調弧を持つ。
代数曲線を描くためには、分点および分点での接線、無限弧となる枝と(もしあれば)その漸近線、およびそれら枝の分点での繋がり方などを知ることが重要である。変曲点も特徴点として考えるのは有効である。これらすべての情報を紙面に描き連ねたとき、曲線の形状はふつうはかなりはっきり見えてくるはずである。もし不足があるのならば、さらにいくつか曲線よく表す点および接線を描き加える。
特徴点およびその接線の計算法は後述。