1+2+3+4+…
一つの方法はオイラーの論法に沿ったもので、リーマンゼータ関数とディリクレイータ関数(英語版) η(s) との間の関係を用いる。このイータ関数は交代ディリクレ級数によって定義されるもので、故にこの方法は古き経験論的方法をなぞるものである。両ディリクレ級数が収束する領域において、等式
ζ ( s ) = 1 − s + 2 − s + 3 − s + 4 − s + 5 − s + 6 − s + ⋯ 2 ⋅ 2 − s ζ ( s ) = 2 ⋅ 2 − s + 2 ⋅ 4 − s + 2 ⋅ 6 − s + ⋯ ( 1 − 2 1 − s ) ζ ( s ) = 1 − s − 2 − s + 3 − s − 4 − s + 5 − s − 6 − s + ⋯ = η ( s ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{8}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots &\\2\cdot 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\cdot 2^{-s}&&{}+2\cdot 4^{-s}&&{}+2\cdot 6^{-s}+\cdots &\\\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s)\\\end{alignedat}}}
.....)。 f(x) = x とすれば f の一階導関数が f = 1 で残りはすべて消えるから、
c = − 1 6 ⋅ 1 2 ! = − 1 12 {\displaystyle c=-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{2!}}=-{\frac {1}{12}}}
を得る。
矛盾が起きるのを避けるため、ラマヌジャン総和法の現代的理論では、f の高階導関数が「オイラー=マクローリンの公式の剰余項が 0 に収束するのに充分な速さで減少する」という意味の「正則性」を持つことを要求する。ラマヌジャンはこの性質を暗に仮定している。この正則性を課すことによって、そのような正則な関数をとることができない 0 + 2 + 0 + 4 + ... のような病的な級数にラマヌジャン総和法が適用されることは防げる。そのような級数について、ラマヌジャン和の代わりにゼータ関数正規化によって解釈されるべきである。この理由を以ってハーディは、既知の級数のラマヌジャン和を関連する級数の和を求めるのに用いるときには「厳重な注意」("great caution") を要すると述べた。