ユークリッド空間
現代数学において、ユークリッド空間はほかのより複雑な幾何学的対象の原型を成している。例えば、可微分多様体は局所的にユークリッド空間に微分同相であるようなハウスドルフ位相空間である。微分同相写像は距離や角度といったものは考慮しないので、ユークリッド幾何学で重要な役割であったこれらの概念を可分多様体の上で考えることは一般にはできない。それでも、多様体の接空間上に滑らかに変化する内積を入れることはできて、そのようなものをリーマン多様体と呼ぶ。表現を変えれば、リーマン多様体はユークリッド空間を変形し、貼り合わせて構成される空間である。そのような空間では距離や角度の概念を取り扱うことができるが、その振る舞いは曲率を伴う非ユークリッド的なものとなる。最も単純なリーマン多様体は、一定の内積を備えた R で、これは本質的に n-次元ユークリッド空間そのものと同一視される。
(S, V) を n次元ユークリッド空間とする。二変数の函数 d: S × S → R を
d ( P , Q ) := ‖ P Q → ‖ = ⟨ P Q → , P Q → ⟩ {\displaystyle d(P,Q):=\|{\overrightarrow {PQ}}\|={\sqrt {\langle {\overrightarrow {PQ}},{\overrightarrow {PQ}}\rangle }}}
によって定義すればこの d は距離関数の条件を満たし、d(P, Q) を P と Q の間の距離と呼ぶ。したがって (S, d) は距離空間である。場合によっては、この距離空間と同相な位相空間もユークリッド空間と呼び、E などで表すこともある。(O; B) が直交座標系である場合、この座標系における S の点 P および Q の座標をそれぞれ x = (x1, x2, ..., xn) および y = (y1, y2, ..., yn) とすれば、P と Q との距離は
d ( P , Q ) = ∑ i = 1 n ( y i − x i ) 2 {\displaystyle d(P,Q)={\sqrt {\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}}
と表すことができる。
(S, V) をユークリッド空間とする。S の異なる2点 P, Q に対して、S の部分集合