クローニッヒ・ペニーのモデル
u ( x ) = A e i ( α − k ) x + A ′ e − i ( α + k ) x {\displaystyle u(x)=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\,\!}
固有値方程式に代入することで、エネルギーはαを用いて次のように求められる。
α 2 ≡ 2 m E ħ 2 {\displaystyle \alpha ^{2}\equiv {2mE \over \hbar ^{2}}}
同様に、 − b < x < 0 {\displaystyle -b<x<0} でのシュレーディンガー方程式は、
− ħ 2 2 m ψ x x = ( E + V 0 ) ψ {\displaystyle {-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=(E+V_{0})\psi }
この微分方程式の解は、あるβを用いて次のように表される。
ψ = B e i β x + B ′ e − i β x ( β 2 ≡ 2 m ( E + V 0 ) ħ 2 ) . {\displaystyle \psi =Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}\quad \left(\beta ^{2}\equiv {2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).}
ブロッホの定理より、
u ( x ) = B e i ( β − k ) x + B ′ e − i ( β + k ) x {\displaystyle u(x)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}}
3π/a < k < (25/7)π/a においては c0 と cm (m=3) は同符号であり、cm (m=1) の絶対値は 2(n+1)π/a において c0 と等しく、k が増加するにつれて減少する。
以上のように波動関数は変化していくが、k = nπ/a においては2つの波動関数が解となっている。すなわち k を小さい側から k → nπ/a に近づけた場合の解
ψ k ( x ) = c 0 e i k x − c 0 e − i k x {\displaystyle \psi _{k}(x)=c_{0}e^{ikx}-c_{0}e^{-ikx}}
と k を大きい側から k → nπ/a に近づけた場合の解
ψ k ( x ) = c 0 e i k x + c 0 e − i k x {\displaystyle \psi _{k}(x)=c_{0}e^{ikx}+c_{0}e^{-ikx}}
がある。差の形式の解においては波動関数はポテンシャルが値を持つ x = na の位置で 0 となりポテンシャルの影響を受けず、自由電子モデルの場合と同じエネルギー固有値を持つ。一方、和の形式の解においては、x = na の位置で波動関数は値を持つのでポテンシャルの影響を受けた分だけ高いエネルギー固有値を持つ。これにより k = nπ/a においてエネルギーが不連続にジャンプすることになり、バンドギャップが生じることになる。