円柱座標変換
} (8-3-2)
である。
さらに、以下が成立する。
{ a r ( t ) = [ ( ( d 2 r / d t 2 ) ( t ) ) − ( ( d θ / d t ) ( t ) ) 2 ] a θ ( t ) = [ 2 ( ( d r / d t ) ( t ) ) ( ( ( d θ / d t ) ( t ) ) ) + ( r ( t ) ) ( ( d 2 θ / d t 2 ) ( t ) ) ] a z ( t ) = ( d 2 z / d t 2 ) ( t ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{{a}_{r}}(t)=[(({{d}^{2}}r/d{{t}^{2}})(t))-{{((d\theta /dt)(t))}^{2}}]\\{{a}_{\theta }}(t)=[2((dr/dt)(t))(((d\theta /dt)(t)))+(r(t))(({{d}^{2}}\theta /d{{t}^{2}})(t))]\\{{a}_{z}}(t)=({{d}^{2}}z/d{{t}^{2}})(t)\\\end{array}}\right.} (8-3-4)
数学的には、r -θ-ζ空間、x -y -z 空間は、共に3次元実数ベクトル空間( R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} )である。r -θ-ζ空間においては、第一軸方向をr 方向(r 軸)、第二軸方向をθ方向(θ軸)、第三軸方向をζ方向(ζ軸)とする。x -y -z 空間においても同様に、第一軸方向をx 方向(x 軸)、第二軸方向をy 方向(y 軸)、第三軸をz 方向(z軸)とする。この三軸によって定まる座標系を、「x -y -z 空間の標準座標系」(O-xyz 系)という。
ここではx -y -z 空間で定義されたスカラー値関数f の、式(3-1-1)の円柱M 内部での積分
∫ M f d x d y d z {\displaystyle {\int }_{M}f\ dxdydz} (5-1-1)
の計算方法を説明する。円柱M について
M = { ( x y z ) | x 2 + y 2 ≤ r 0 0 ≤ z ≤ z 0 } {\displaystyle M=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leq {{r}_{0}}\\0\leq z\leq {{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} = { ( x y z ) | − r 0 ≤ x ≤ r 0 − r 0 2 − x 2 ≤ y ≤ r 0 2 − x 2 0 ≤ z ≤ z 0 } {\displaystyle =\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}-r_{0}\leq x\leq r_{0}\\-{\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}\leq y\leq {\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}\\0\leq z\leq z_{0}\end{matrix}}\right.\right\}\right.
ただし
( rot  X ) r ( r , θ , z ) = 1 r ( ∂ X ζ ∂ r ) ( r , θ , z ) − ( ∂ X θ ∂ ζ ) ( r , θ , z ) {\displaystyle {{(\operatorname {rot} X)}_{r}}(r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial {{X}_{\zeta }}}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)-\left({\frac {\partial {{X}_{\theta }}}{\partial \zeta }}\right)(r,\theta ,z)}