ニールセンの不動点定理
ニールセンの元々の理論では、次の様な概念が導入された:空間 X 上の自己写像 f の不動点の集合について同値関係を定義する。x が y と同値であるとは、x から y への道 c で、f(c) が c と道としてホモトピックであるようなものが存在することを言う。この関係についての同値類は f のニールセン類(Nielsen class)と呼ばれ、不動点指数(英語版)の和がゼロでないニールセン類の数をニールセン数 N(f) とする。
ニールセンは次の不等式を証明した。
N ( f ) ≤ M F [ f ] . {\displaystyle N(f)\leq {\mathit {MF}}[f].}
このことより、計算の難しい MF[f] を評価することが可能となった。これより、現在ニールセンの不動点定理として知られる次の定理が直ちに従う:任意の写像は少なくとも N(f) 個の不動点を持つ。
不動点指数(英語版)に関する定義より、ニールセン数はレフシェッツ数と密接に関連している。実際、ニールセンの仕事のすぐ後、これら二つの不変量はウェッケンとライデマイスター(英語版)によって「一般化レフシェッツ数」として一つにまとめられた。これは、より最近ではライデマイスター跡 (Reidemeister trace) とも呼ばれる。