アーベル多様体
スキーム理論的で相対的基底(英語版)(relative to a base)観点からもアーベル多様体の定義を定義することができ、アーベル多様体の mod p 簡約(リダクション)のような現象(アーベル多様体の数論を参照のこと)やアーベル多様体のパラメータ族の統一的な扱いができる。相対次元 g の基礎となるスキーム S の上の アーベルスキーム(abelian scheme)は、S 上の固有(proper)で滑らかな(smooth)群スキーム(英語版)(group scheme)で、その幾何学的ファイバーは連結で次元 g である。アーベルスキームのファイバーはアーベル多様体であるから、S によりパラメトライイズされた族として S 上のアーベルスキームを考えることができる。
次元が g の複素トーラスは、複素多様体の構造を持つ実次元が 2g のトーラスであり、常にランク 2g の格子による g-次元複素ベクトル空間の商空間として得ることができる。次元 g の複素アーベル多様体は、複素数体上の射影代数多様体でもある次元 g の複素トーラスとなるので、群の構造を持つ。アーベル多様体の射とは、基礎となっているアーベル多様体の群構造の単位元を保つ写像(射)のことをいう。この対応を 同種(isogeny)といい、有限個対 1 の対応である。
複素トーラスが代数多様体の構造を持つと、構造が必然的に一意となる。g = 1 の場合には、アーベル多様体は楕円曲線と同じであり、任意の複素トーラス(のアーベル多様体)はそのような曲線(楕円曲線)となる。g > 1 に対しては、リーマンにより、代数多様体となる条件が複素トーラスに対して条件を余分に課すことが知られている。
リーマンによる次の判定法は、与えられた複素トーラスが代数多様体であるか否か、すなわち射影空間へ埋め込むことができるか否か、を決定する。X を X = V/L として与えられる g-次元トーラスとしよう。ここで V は次元 g の複素ベクトル空間とし、L は V の格子である。このとき X がアーベル多様体であることと、V 上の正定値二次形式のエルミート形式で、その虚部が L×L 上で整数となるエルミート形式が存在することとが同値である。そのような X 上の(二次)形式は、通常、非退化リーマン形式と呼ばれる。V と L の基底を選ぶと、この条件はさらに明確とすることができる。これと同値ないくつかの条件があり、これらはすべてリーマンの条件として知られている。