数理論理学
証明論は様々な論理推論体系における形式的証明の研究である。それら形式的証明は形式的な数学的対象であるから、それらの解析は数学的手法を用いて行うことができる。ヒルベルト流の体系、自然演繹の体系、ゲンツェンによって開発されたシークエント計算などを含む、いくつかの推論体系はよく考察される
数理論理学の文脈において、構成的数学の研究は、可述的体系の研究のような、非古典論理の体系の研究を含む。可述主義の初期の支持者はヘルマン・ワイルである。彼は実解析の大部分を可述的な方法だけを用いて展開できることを示した(Weyl 1918)。
形式的証明は完全に有限的なものであるが、構造における真理性はそうでないことから、構成的数学での作業では証明可能性を強調することが多い。古典(または非構成的)体系における証明可能性と直観主義(または構成的)体系での証明可能性との間の関係はとりわけ関心が持たれる。ゲーデル・ゲンツェン変換のような結果は古典論理を直観主義論理に埋め込む(翻訳する)ことが可能であることを示している。直観主義的証明に関するある性質は古典論理の証明に関するそれに逆翻訳できる。
最近の証明論における発展にはUlrich Kohlenbachによるproof miningの研究やMichael Rathjenによる証明論的順序数の研究が含まれる。
数理論理学(すうりろんりがく、英 : mathematical logic)または現代論理学、記号論理学、数学基礎論、超数学は、数学の分野の一つであり、「数学の理論を展開する際にその骨格となる論理の構造を研究する分野」を指す。数理論理学(数学基礎論)と密接に関連している分野としてはコンピュータ科学(計算機科学)や理論コンピュータ科学(理論計算機科学)などがある。
数理論理学の主な目的は形式論理の数学への応用の探求や数学的な解析などであり、共通課題としては形式的体系の表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。
数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理や定義可能性に関する結果を共有している。計算機科学(とくにACM Classification(英語版)に現れるもの)における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。