ベズーの定理
ここでは、代数的閉体 E として複素数体を考えているものとする。
2つの異なる直線は、平行でなければちょうど1点で交わる。平行であれば、無限遠点でちょうど1回交わる。代数的な操作でこのことを見るために、例として2つの直線 x + 2y = 3 と x + 2y = 5 を考えよう。射影曲線としては、斉次多項式 x + 2y - 3z = 0 と x + 2y - 5z = 0 で定義される。連立方程式として代数的に解くと、x = -2y, z = 0 を得る。よって、2つの直線の交点は同次座標として [-2 : 1 : 0] で与えられる。z 座標が 0 であるため、これは無限遠直線上の1点である。
2つの曲線の一方が直線である場合、主張は代数学の基本定理より導かれる。この場合の定理の主張は、n 次曲線は与えられた直線と(重複度を込めて)ちょうど n 回交わる、ということである。例えば、放物線 y - x = 0 の次数は 2、直線 y - ax = 0 の次数は 1 であるから、定理によれば両者はちょうど2点で交わる。a = 0 の場合は原点で接し、ここで2回交わっていると解釈する。
定理によれば、2つの円錐曲線は4点で交わる。ただし、そのうちのいくつかは一致するかもしれない。4つの交点を適切に計算するには、複素数の範囲まで許さなければならないし、無限遠点まで考慮に入れなければならない。例えば、2つの円は最高でも2点でしか交わらないように思われる。定理の主張とのギャップは、複素数の範囲で無限遠点を含めることによって解消する。