リーマン予想
幾何次元 1、例えば代数体、から、幾何次元 2、例えば数体上の楕円曲線の regular model, に行った時、モデルの数論的ゼータ函数に対する一般リーマン予想の2次元部分はゼータ関数の極を扱う。次元1ではテイト論文におけるゼータ積分の研究はリーマン予想に関して新しい重要な情報を導かなかった。これに対し、次元 2 ではテイト論文の2次元の一般化に関するイヴァン・フェセンコの研究はゼータ関数に密接に関係するゼータ積分の積分表現を含む。次元 1 では可能ではなかったこの新しい状況において、ゼータ関数の極はゼータ積分と付随するアデール群を通して研究することができる。ゼータ積分に伴う boundary function の四次導関数の正性に関する Fesenko (2010) の関連した予想は一般リーマン予想の極部分を本質的に含む。Suzuki (2011) はある技術的仮定と合わせて後者がフェセンコの予想を導くことを示した。
1859年、リーマンは論文「与えられた数より小さい素数の個数について」を発表し、その中でリーマン予想を提示した。リーマン自身はその証明を試みて成功しなかったことを認めているが中間的な結果としてゼータ関数の自明でない零点の実数部が 1/2 について対称であり、かつ 0 から 1 の間(境界を含む)にしか存在しないことを示していた。
1896年、ド・ラ・ヴァレ・プーサン(英語版)とアダマールが独立に素数定理を証明したが、それはゼータ関数の自明でない零点の実数部が 1 になりえないことの証明によるものだった。よって自明でない零点の実数部の範囲は、境界を含まないところまで狭められた。
1900年、パリで開かれた第2回国際数学者会議でヒルベルトは数学上の未解決の問題23題(ヒルベルトの23の問題)を提起した。リーマン予想はこの内、素数の分布に関する8番目の問題に含まれている。
1914年、ハーディとリトルウッドは Re s = 1/2 上に零点が無限に存在することを示した。ただし、この他に零点が存在する可能性は排除できていない。
1972年、ヒュー・モンゴメリー(英語版)と物理学者フリーマン・ダイソンが、ゼータ関数上の零点の分布の数式が、原子核のエネルギー間隔を表す式と一致することを示し、素数と核物理現象との関連性が示唆された。以降物理学者も含めてリーマン予想の研究が活発化する。
1996年、シアトルで第一回世界リーマン予想会議が開催される。この中でアラン・コンヌが素数問題と非可換幾何との関係性を示した。
2000年、クレイ数学研究所はリーマン予想の証明を含む数学の未解決問題7問に対してそれぞれ100万ドルの賞金を懸けた(ミレニアム懸賞問題)。
1 π Arg  ( Γ ( s 2 ) π − s 2 s ( s − 1 ) 2 ) = T 2 π log  T 2 π − T 2 π + 7 8 + O ( 1 T ) {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \left(\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}{\frac {s(s-1)}{2}}\right)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+{\frac {7}{8}}+O\left({\frac {1}{T}}\right)}
と小さいがよく分かっていない項
S ( T ) = 1 π Arg  ( ζ ( 1 2 + i T ) ) = O ( log  T ) {\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \left(\zeta \left({\frac {1}{2}}+iT\right)\right)=O(\log T)}
の和である。なので虚部が T の近くの零点の密度は約 log T/2π であり、関数 S はこれとの小さな差を記述する。関数 S(t) はゼータ関数の各零点において 1 飛び、t ≥ 8 に対しては零点の間で導関数がおよそ −log t で単調に減少する。
数学においてリーマン予想(リーマンよそう、英: Riemann hypothesis, 独: Riemannsche Vermutung、略称:RH)は、リーマンゼータ関数の零点が、負の偶数と、実部が 1/2 の複素数に限られるという予想である。リーマン仮説とも。ドイツの数学者ベルンハルト・リーマン(1859)により提唱されたため、その名称が付いている。この名称は密接に関連した類似物に対しても使われ、例えば有限体上の曲線のリーマン予想がある。
リーマン予想は素数の分布についての結果を含んでいる。適切な一般化と合わせて、純粋数学において最も重要な未解決問題であると考える数学者もいる。リーマン予想は、ゴールドバッハの予想とともに、ヒルベルトの23の問題のリストのうちの第8問題(英語版)の一部である。クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の1つでもある。
リーマンゼータ関数 ζ(s) は 1 を除くすべての複素数 s で定義され、複素数の値をとる関数である。その零点(つまり、関数値が 0 となる s)のうち、負の偶数 s = −2, −4, −6, ... はその自明な零点と呼ばれる。しかしながら、負の偶数以外の零点も存在し、非自明な零点と呼ばれる。リーマン予想はこの非自明な零点の位置についての主張である:
リーマンゼータ関数のすべての非自明な零点の実部は 1/2 である。
いいかえると、
リーマンゼータ関数のすべての非自明な零点は、複素数平面上の直線 1/2 + i t(t は実数)上にある。ここで i は虚数単位である。この直線を臨界線 (英語: critical line) という。
リーマン予想に関する非専門の本が何冊か存在する。
リーマン予想は M の増大度についてかなりきつい制限を与える、というのも Odlyzko & te Riele (1985) がわずかに強い Mertens 予想(英語版)
| M ( x ) | ≤ x {\displaystyle |M(x)|\leq {\sqrt {x}}}
を反証したからである.
リーマン予想は μ(n) の他の数論的関数の増大率についての多くの予想とも同値である。典型的な例は次の Robin の定理(英語版) (Robin 1984) である:σ(n) を
σ ( n ) = ∑ d ∣ n d {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}
で与えられる約数関数とすると、
σ ( n ) < e γ n log  log  n {\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}
がすべての n > 5040 に対して成り立つことと、リーマン予想が真であることが同値である。ここで γ は Euler–Mascheroni 定数である。
別の例は Jérôme Franel(英語版) によって発見され、ランダウによって拡張された。リーマン予想は Farey 数列の項がかなり規則的であることを示すいくつかの主張と同値である。
リーマン予想の仮定の下で真である命題や、リーマン予想と同値である命題が、多く知られている。