自己同型
自己同型の正確な定義は「数学的対象」の種類や、その対象上の「同型射」の定義によって変化する。「自己同型」という言葉が意味を持つ最も一般性の高い領域は圏論と呼ばれる数学の抽象的な分野である。圏は、抽象的な対象(object)とそれらの対象の間の射(morphism)を扱う。圏論においては、(圏論的な意味で)同型でもあるような自己準同型(つまり、対象から対象自身への射である)である。
圏論では、射は函数である必要もないし、対象は集合である必要もないので、この定義は非常に抽象的な定義である。しかし、より具体的な設定では、対象はある加法構造を持つであろうし、射はこの構造を保つであろう。 抽象代数学の文脈では、「数学的対象」とは例えば、群、環、ベクトル空間といった代数的構造である。この場合は、同型は単に全単射な準同型である。(準同型の定義は代数構造の種類に依存する、例えば、群準同型、環準同型、線型作用素を参照。)
恒等射は自明な自己同型(trivial automorphism)と呼ばれることもある。他の(恒等射ではない)自己同型は非自明な自己同型(nontrivial automorphisms)と呼ばれる。