アイゼンシュタイン整数
単数ではなく、かつ自明な約数しか持たないアイゼンシュタイン整数をアイゼンシュタイン素数と呼ぶ。区別のために、通常の素数は有理素数と呼ぶこともある。ノルムが有理素数であるようなアイゼンシュタイン整数は素数であるが、その逆は正しくない。どのようなアイゼンシュタイン整数が素数であるかを見るには、有理素数が Z[ω] においてどのように分解するかを調べる必要がある。
まず、3 は −(1 + 2ω) と等しい。すなわち、3 は同伴な2つのアイゼンシュタイン素数の積に表せるのであって、この状況を「3 は分岐する」という。
次に、3n + 2 の形の有理素数 p は Z[ω] でも素数であることが分かる。この状況を「p は惰性する」という。実際、p = 3n + 2 が2つの(単数でない)アイゼンシュタイン整数の積 αβ に等しいとすると、ノルムを取って N(α)N(β) = p より N(α) = p を得るが、両辺を 3 で割った余りが等しくないので矛盾である。
最後に、証明は簡単ではないが、3n + 1 の形の有理素数 p は2つの同伴でないアイゼンシュタイン素数の積に表せることが知られている。このことは、p が x + 3y の形に表せることと同等である(参考:二個の平方数の和#重みつき平方数の和)。
結局、アイゼンシュタイン素数は以下の3つのタイプがあることが分かる。
ノルムが 3 であるもの。すなわち、±(1 − ω), ±(2 + ω), ±(1 + 2ω) の6つ。
ノルムが 3n + 1 の形の素数であるもの。例えば 1 + 3ω, 2 − ω など。
3n + 2 の形の有理素数と同伴であるもの。例えば 2, 2 + 2ω など。
アイゼンシュタイン整数 α = a + bω は二次方程式
x − (2a − b) x + (a − ab + b) = 0
の解である(よってアイゼンシュタイン整数は代数的整数である)。この方程式のもう一つの根は a + bω (= (a − b) − bω) である。これを α の共役といい、α で表す(この場合、α は α の複素共役でもある)。方程式の係数に現れる、共役との和 2a − b を α のトレース(英:trace、もしくはシュプール、独:Spur)、共役との積 a − ab + b を α のノルムという。すなわち、アイゼンシュタイン整数のノルムとは
N(a + bω) := a − ab + b
で与えられる非負の有理整数である。この値は 3 の倍数または 3 で割って 1 余る整数であることが容易に分かる。また、ノルムは絶対値の平方に等しいので、絶対値の乗法性よりノルムも乗法的性質を持つ。すなわち、2つのアイゼンシュタイン整数 α, β に対して
N(αβ) = N(α) N(β)
が成り立つ。