熱力学的状態方程式
ジュール=トムソン係数 μJT は次式で定義される。
μ JT = ( ∂ T ∂ P ) H {\displaystyle \mu _{\text{JT}}=\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)_{H}}
偏微分の公式と定圧熱容量 CP の定義式を使うと μJT は
μ JT = − ( ∂ H ∂ P ) T / ( ∂ H ∂ T ) P = − 1 C P ( ∂ H ∂ P ) T {\displaystyle \mu _{\text{JT}}=-\left({\frac {\partial H}{\partial P}}\right)_{T}/\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{P}=-{\frac {1}{C_{P}}}\left({\frac {\partial H}{\partial P}}\right)_{T}}
熱力学的状態方程式を使うと、ファンデルワールスの状態方程式に従う気体が断熱自由膨張するとき、気体の温度が低下することを示すことができる。
断熱自由膨張では外部との熱のやりとりがなく、なおかつ、気体が外部に仕事をしないので、熱力学第一法則から気体の内部エネルギー U は過程の前後で変化しない。よって、断熱自由膨張するときの気体の温度変化を調べるには、 U 一定の条件下での T の体積依存性 (∂T/∂V)U を調べればよい。偏微分の公式と定積熱容量 CV の定義式を使うと (∂T/∂V)U は
( ∂ T ∂ V ) U = − ( ∂ U ∂ V ) T / ( ∂ U ∂ T ) V = − 1 C V ( ∂ U ∂ V ) T {\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{U}=-\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}/\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}=-{\frac {1}{C_{V}}}\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}}
と表される。ファンデルワールスの状態方程式
および
( ∂ U ∂ P ) T = ( ∂ H ∂ P − ∂ ∂ P n R T ) T = 0 {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial P}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial H}{\partial P}}-{\frac {\partial }{\partial P}}nRT\right)_{T}=0}
が成り立つ。すなわち状態方程式 PV = nRT に従う気体について
( ∂ U ∂ V ) T = ( ∂ H ∂ P ) T = ( ∂ H ∂ V ) T = ( ∂ U ∂ P ) T = 0 {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial H}{\partial P}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial H}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial U}{\partial P}}\right)_{T}=0}
でなければならないことが、熱力学的状態方程式から導かれる。この結果は、T と n が同じならば、理想気体の内部エネルギー U は V にも P にも依らずに同じ値になることを示している。理想気体のエンタルピー H についても同様で、T と n が一定値ならば、 H もまた一定値になる。