連続線型拡張
[ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上のすべての階段関数からなる空間に L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} ノルム(Lp空間を参照)を備えたものはノルム線型空間であり、ここではそれを S {\displaystyle {\mathcal {S}}} と表す。階段関数の積分を、次のように定義する:
I ( ∑ i = 1 n r i 1 [ x i − 1 , x i ) ) = ∑ i = 1 n r i ( x i − x i − 1 ) . {\displaystyle {\mathsf {I}}\left(\sum _{i=1}^{n}r_{i}{\mathit {1}}_{[x_{i-1},x_{i})}\right)=\sum _{i=1}^{n}r_{i}(x_{i}-x_{i-1}).}
このとき、関数としての I {\displaystyle {\mathsf {I}}} は、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} から R {\displaystyle \mathbb {R} } への有界線型変換である。
L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} ノルムについて右側連続であるような、 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上の区分的連続かつ有界関数からなる空間を、 P C {\displaystyle {\mathcal {PC}}} で表す。