リース＝ソリンの定理
リース=ソリンの補間定理を述べる上でいくつかの方法がある:前節での記号を利用するために、ここでは加法的和集合を用いた方式を採用する。
リース=ソリンの補間定理 (Ω1, Σ1, μ1) および (Ω2, Σ2, μ2) を σ-有限測度空間とする。1 ≤ p0 ≤ p1 ≤ ∞, 1 ≤ q0 ≤ q1 ≤ ∞ とし、T : L(μ1) + L(μ1) → L(μ2) + L(μ2) を L(μ1)(L(μ1))から L(μ2)(L(μ2))への有界線型作用素とする。また 0 < θ < 1 に対し、pθ, qθ を前節のように定義する。このとき T は L(μ1) から L(μ2) への有界作用素であり、作用素ノルムに関する次の不等式を満たす: ‖ T ‖ L p θ → L q θ ≤ ‖ T ‖ L p 0 → L q 0 1 − θ ‖ T ‖ L p 1 → L q 1 θ . {\displaystyle \|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }.
前節で紹介されている証明の概要は、すでに T が解析的に変動する場合に対しても一般化されている。実際、整函数
φ ( z ) = ∫ ( T z f z ) g z d μ 2 {\displaystyle \varphi (z)=\int (T_{z}f_{z})g_{z}\,d\mu _{2}}
の上界を得る上ためには、同様の証明を行えば良い。すると、エリアス・スタインの1956年の論文において出版された次の結果が導かれる。
スタインの補間定理. (Ω1, Σ1, μ1) および (Ω2, Σ2, μ2) をσ-有限測度空間(英語版)とする。1 ≤ p0 ≤ p1 ≤ ∞, 1 ≤ q0 ≤ q1 ≤ ∞ を仮定し、次を定義する: S = {z ∈ C : 0 < Re(z) < 1} , S = {z ∈ C : 0 ≤ Re(z) ≤ 1} .
L(μ1) 内の単函数の空間から、Ω2 上のすべての μ2-可測函数の空間への線型作用素の集まり {Tz : z ∈ S} を考える。この作用素に対し、次の性質を仮定する: 写像 z ↦ ∫ ( T z f ) g d μ 2 {\displaystyle z\mapsto \int (T_{z}f)g\,d\mu _{2}} は、すべての単函数 f および g に対して、S 上連続かつ S 上正則である。