数
また、(現在の「ゼロ」に比べれば不完全な形ながらも)やっとなんとか「ゼロ」に近いものを思いつき、扱ってみようと試みる人が現れた後も、そのアイディアを口にしたり文章に書いたりすると、「そんな妙なアイディアは認めるべきでない」や「危険なアイディアだ」などと否定する人のほうがはるかに多く、結局、古代ギリシア文明のように「ゼロ」概念を(文明全体として)否定(や禁止)してしまったものもあったなど、古代のさまざまな文明で「ゼロ」という概念を巡り人々は迷い、争い、葛藤した。
長い時代を経て、自然数にゼロ(零)、およびひとつひとつの自然数と一対になっている「負の数」という概念(今で言う「負の整数」という概念)を加えることで、「整数」(英: integer)というまとまりが考えだされた。なお、この段階では「自然数」「ゼロ」および「負の数」で、「全ての数」と考えられていた(信じられていた)ので「integer」と呼ばれていたのである(もともとintegerとは「全体」や「欠けの無い」という意味を持つ)。
さらに整数の商を考えて有理数と拡張され、四則演算が自由に行える体系を得る。有理数から実数への拡張はこのような演算とは異なるギャップを埋めることで得られ、代数方程式の解法を通じて虚数を含む複素数へと拡張された。
自然数 → 整数 → 有理数 → 実数 → 複素数 複素数 - 虚数、実数 複素数 - 代数的数、超越数 実数 - 無理数、有理数 有理数 整数 - 自然数、負の整数 自然数 = 正の整数
フランスの数学者、アンリ・ポアンカレは「数」の定義は難しく、0、1などを厳密に定義するのは難しいと説明している。