判別式
5次以上の代数方程式には、解の公式が存在しない(アーベル-ルフィニの定理)。
4次以下の代数方程式には、解の公式に判別式が現れる。
多項式 f の判別式 D は、f とその導関数 f' の終結式に ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n {\displaystyle {\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}} を掛けた値に等しい。すなわち、
D = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n | a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 | {\displaystyle D={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}}
(対角成分に an が (n − 1)個、1a1 が n個)
二次方程式 ax + bx + c = 0 の判別式は
Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}