代数的サイクル
代数的サイクルは、代数的K-理論に密接に関連していることが示されている。
良く使われる交叉理論のためには、様々な代数的サイクルの同値関係(英語版)(equivalence relations on algebraic cycles)が使われる。特に重要なことは、いわゆる有理的同値(rational equivalence)である。有理同値を無視してのサイクルは、次数付き環、周環(英語版)(Chow ring)を形成し、積は交叉積により与えられる。さらに基本的な関係には、代数的同値(algebraic equivalence)、数値的同値(numerical equivalence)やホモロジカル同値(homological equivalence)がある。一部は予想に過ぎないが、これらはモチーフの理論への応用を持っている。
代数多様体、あるいはスキーム X の代数的サイクルは、既約(irreducible)かつ被約な(英語版)(reduced)閉部分スキーム(英語版)(closed subscheme)の形式的線型結合 V = ∑ ni·Vi である。係数 ni は V の中での Vi の多重度である。最初は、係数は整数として取られるが、有理数の係数も広く使われる。
対応
{既約かつ被約な閉部分スキーム V ⊂ X} ↭ {X の点}
(V は(ザリスキー位相に関して)生成点(英語版)(generic point)へ写像され、逆に点は(被約な部分スキームをもつ)閉包へ写像され、)従って、代数的サイクルはまさに X の点の形式的な線型結合となる。
サイクルの群は自然に、サイクルの次元による次数をもつ群 Z*(X) を形成する。余次元による次数も有益で、群は通常 Z(X) と書かれる。