テータ関数
| e 2 m π i τ | < 1 {\displaystyle |e^{2m{\pi }i{\tau }}|<1} であるから θ 3 ( v ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}(v;\tau )} の零点は
cos  2 π v = − e ( 2 m − 1 ) π i τ + e − ( 2 m − 1 ) π i τ 2 cos  2 π v = e ( 2 m − 1 ) π i τ + π i + e − ( 2 m − 1 ) π i τ − π i 2 2 π v = ( ( 2 m − 1 ) π τ + π ) ± 2 π n v = 2 n ′ + 1 2 + 2 m ′ + 1 2 τ {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {2{\pi }v}&=-{\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }}}{2}}\\\cos {2{\pi }v}&={\frac {e^{(2m-1){\pi }i{\tau }+{\pi }i}+e^{-(2m-1){\pi }i{\tau }-{\pi }i}}{2}}\\2{\pi }v&=\left((2m-1){\pi }{\tau }+{\pi }\right)\pm 2{\pi }n\\v&={\frac {2n'+1}{2}}+{\frac {2m'+1}{2}}\tau \end{aligned}}}
楕円テータ関数(だえんテータかんすう、英: elliptic theta function)は、以下のように定義された関数である。 ただし、 I m τ > 0 {\displaystyle \mathrm {Im} \,\tau >0} , q := e π i τ {\displaystyle q:=e^{\pi i\tau }} である。
θ 2 ( v + 1 ; τ ) = − θ 2 ( v ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{2}(v+1;\tau )=-\vartheta _{2}(v;\tau )}
θ 3 ( v + 1 ; τ ) = θ 3 ( v ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}(v+1;\tau )=\vartheta _{3}(v;\tau )}
θ 4 ( v + 1 ; τ ) = θ 4 ( v ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{4}(v+1;\tau )=\vartheta _{4}(v;\tau )}
などが得られ、更に z = 0 とすれば