テンソル空間
.. i m G i m + 1 i m + 2 i m + 3 ... i m + n {\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\ldots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\ldots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}\ldots i_{m+n}}}
となり、二つのテンソルのテンソル積の成分は通常の積によって与えられることが分かる。別な例として、(1, 1)-型テンソル U の成分を Uβ, (1, 0)-型テンソル V の成分を V とすれば、これらのテンソル積は成分に関して
U α β V γ = ( U ⊗ V ) α β γ , V μ U ν σ = ( V ⊗ U ) μ ν σ {\displaystyle U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }=(U\otimes V)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\quad V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }=(V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }}
で与えられる。
テンソル空間 T rs (V) は対角作用を考えることにより自然にリー代数 End(V) 上の加群と看做すことができる。すなわち、簡単のため r = s = 1 とすれば、各 u ∈ End(V) に対し
u ( a ⊗ b ) = u ( a ) ⊗ b − a ⊗ u ∗ ( b ) {\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b)}
と作用する。ただし、u ∈ End(V) は u の転置。V ⊗ V の自然な内積を用いれば、この作用は
⟨ u ( a ) , b ⟩ = ⟨ a , u ∗ ( b ) ⟩ {\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle }
とも書ける。自然な同型
T 1 1 ( V ) → End  ( V ) ; ( a ⊗ b ) ( x ) = ⟨ x , b ⟩ a ( ∀ x ∈ V ) {\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \operatorname {End} (V);\;(a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a\quad (\forall x\in V)}
が存在する。この同型の元、任意の u ∈ End(V) をまず T 11 (V) の自己準同型とみたものを、さらに End(V) の自己準同型と見ることができる。実はそれは End(V) の随伴表現 ad(u) になる。