一階偏微分方程式
数学において、一階偏微分方程式(いっかいへんびぶんほうていしき、英: first-order partial differential equations)とは、一般の n 個の変数の未知函数の高々一階の導函数のみが含まれる偏微分方程式のことを言う。次の形で表される。
F ( x 1 , ... , x n , u , u x 1 , ... u x n ) = 0. {\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.\,}
このような方程式は、双曲型偏微分方程式に対する特性曲面の構成や、変分法、いくつかの幾何学的問題、解が特性曲線法で求められる気体の挙動のシンプルなモデルなどに現れる。単一の一階偏微分方程式の解の族が見つけられれば、その族について解の包絡線を構成することで他の解を得ることが出来ることもある。それと関連して、常微分方程式の族を積分することによって一般解が得られることもある。
波動方程式に対する特性曲面は、次の方程式の解の等位面で得られる。
u t 2 = c 2 ( u x 2 + u y 2 + u z 2 ) . {\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}
一般性をあまり失うことなく、 u t = 1 {\displaystyle u_{t}=1} とすることも出来る。この場合、u は次を満たす。
u x 2 + u y 2 + u z 2 = 1 c 2 . {\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}
次のベクトルの記法を導入する。
x → = ( x , y , z ) and p → = ( u x , u y , u z ) . {\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}
等位面を平面とする解の族は、次で与えられる。