準素分解
このとき
集合 E = {√Qi | 1 ≤ i ≤ r} は集合 {√(I : x) | x ∈ R} のすべての素イデアルの集合である.
E の極小元全体の集合は I 上の極小素イデアル全体の集合と同じである.さらに,極小素イデアル P に対応する準素イデアルは I RP の逆像であり,したがって I によって一意的に決定される.
さて、任意の可換環 R、 イデアル I、 I 上の極小素イデアル P に対して、局所化写像のもとでの I RP の逆像は I を含む最小の P 準素イデアルである。したがって、直前の定理の設定では、極小素イデアル P に対応する準素イデアル Q は I を含む最小の P 準素イデアルでもあり、I の P 準素成分と呼ばれる。
例えば、素イデアル P の冪 P が準素分解を持てば、その P 準素成分は P の 記号的 n-乗(英語版)である。