チェボタレフの密度定理
カール・フリードリヒ・ガウスが複素整数 Z[i] の研究をはじめたとき、この新しい整数の中では普通の意味での素数がさらに分解できることに気づいた。素数 p が mod 4 で1と合同ならば、2つの異なるガウス素数の積に分解する(完全分解)。素数 p が mod 4 で3と合同ならば素数のままである(惰性)。素数 p が2ならばガウス素数 (1+i) の平方と可逆なガウス整数 −i の積に分解する(分岐)。具体例は
5 = ( 1 + 2 i ) ( 1 − 2 i ) {\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)} は完全分解
3 {\displaystyle 3} は惰性
2 = − i ( 1 + i ) 2 {\displaystyle 2=-i(1+i)^{2}} は分岐
など。この合同による特徴づけから、完全分解する素数の割合は 1/2 で、Z[i] でも素数のままである素数の割合も同様であろうと想像がつく。
チェボタレフの密度定理はディリクレの算術級数定理の一般化と見ることもできる。定量的な形のディリクレの定理とは、N ≥ 2 を整数、a を N と互いに素な整数とすると、N を法として a に合同な素数 p の比率は漸近的には 1/n に等しい、というものであった。ここで n = φ(N) はオイラーの φ 関数である。これは1の原始 N 乗根を付け加えた円分体 K についてチェボタレフの密度定理を特殊化したものになっている。実際、まず K/Q のガロア群はアーベル群で mod N の可逆な剰余類のなす群と自然に同一視できることに注意する。N を割らない素数 p の分解不変量は単にその剰余類である。これは、自然な同一視の作り方からわかる。したがってチェボタレフの密度定理により素数は N と互いに素な剰余類たちに漸近的に一様分布する。
代数的整数論のチェボタレフの密度定理(チェボタレフのみつどていり、英: Chebotarev's density theorem)とは、有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } のガロア拡大 K における素数の分解の仕方について成り立つ統計的な法則を明らかにした定理である。一般に、素数は K の代数的整数の環でいくつかの理想因子に分解し、起こりうる分解のパターンは有限である。一般のガロア拡大において素数 p がどう分解するか完全に記述することは大きな未解決問題であるが、整数 N 未満の素数 p で与えられたパターンで分解するものの割合は、N を限りなく大きくしていったときある極限に収束することが証明された。これをチェボタレフの密度定理という。このことはニコライ・チェボタレフによって1922年に彼の学位論文にて証明され、(Tschebotareff 1926) で公表された。
簡単な場合についてこの定理の内容を述べると、有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の n 次ガロア拡大である代数体 K において完全分解する素数の素数全体の中での密度は
1/n
である、となる。一般には、フロベニウス元と呼ばれるガロア群
Gal(K/Q)
の元が(ほとんど)全ての素数に対して共役を除いて定まり、この不変量が素数の分解の仕方を決定している。このとき、密度定理の主張は、この不変量がガロア群の中で一様に漸近分布し、したがって k 個の元からなる共役類に入る頻度は漸近的には
k/n
である、というものである。