分解体
抽象代数学において、与えられた多項式の分解体(ぶんかいたい、英: splitting field)とは、その多項式を一次式の積に因数分解 (splitting) できるような係数体の拡大体を言う。特にそのような拡大体のうち拡大次数(英語版)が最小となる最小分解体 (smallest splitting field) は多項式に対して同型を除いて一意に定まるため、最小分解体のことを指して単に分解体と呼ぶことも多い。
多項式の求根は古代ギリシアの時代より重要な問題であった。しかしいくつかの多項式、例えば X + 1 のようなものは実数体 R の範囲で考える限りにおいて根を持たない。そのような多項式に対する分解体の構成は、新たな体の中に多項式の根を求めることを可能にするものである。
標数 7 の素体 GF7 上の二次式 x + 1 の分解体は、位数 49 のガロア体 GF49 である。−1 は GF7 上平方根を持たないからである。
GF7 上の二次式 x − 1 の分解体は、GF7 である。 x − 1 = (x + 1)(x − 1) と GF7 で一次式の積に因数分解できるからである。