因子 (代数幾何学)
0 でない有理型関数 f に対して、点 P での位数 vP(f) を、f が点 P で n 位の零点を持つとき n 、n 位の極を持つとき -n と定める( f = 0 の時は、全ての P に対して vP(f) = +∞ と約束する)。D をC 上の有限個の点の整数係数の型式和 n1P1 + ... + nmPm に対しても、同語反復的に vP(D) を P = Pi のとき ni 、P がどの Pi とも一致しないときは 0 と定める。そして、
L ( D ) = { f ∈ M ( C ) ∣ v P ( f ) ⩾ − v P ( D ) } {\displaystyle L(D)=\{f\in M(C)\mid v_{P}(f)\geqslant -v_{P}(D)\}}
とおくと、これは L(nP) の一般化になっており、このベクトル空間はいつでも C 上有限次元になる。ここに現れた D が C 上の因子である。
リーマン・ロッホの定理によれば、ある種の場合 L(D) の次元は明示的に計算可能である。C の種数 が 0 の時には、空間 L(nP) の次元は n が非負のとき n + 1 次元になる事が分かり、特に n =1 のときを見ると C には1位の極をひとつだけもった有理型関数(すなわちリーマン球面 P C 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbf {C} }^{1}} への正則写像)が存在する事になるので、C は常に P C 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbf {C} }^{1}} と同型になる事がわかる。種数が 1 の時には、 L(nP) の次元が n が正の時 n になることがわかる。
X を体 k 上定義された正規代数多様体とし、D をその上のヴェイユ因子とする。D に付随する完備線形系 (complete linear system) | D | とは D と線形同値な有効因子全体のなす空間のことである。L(D) を層 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} の大域切断のなす k-ベクトル空間 Γ ( X , O X ( D ) ) {\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D))} とすると、
L ( D ) = { f ∈ k ( X ) ∣ v Z ( D ) + v Z ( f ) ≥ 0 } {\displaystyle L(D)=\{f\in k(X)\mid v_{Z}(D)+v_{Z}(f)\geq 0\}}
であるから、E ∈ | D | は L(D) に属する有理関数 f を用いて
E = D + (f)
と書ける。主因子 (f) は f の定数倍の差に拠らないから、| D | は L(D) に付随する射影空間 P L ( D ) {\displaystyle \mathbb {P} L(D)} と同一視される。L(D) の部分線形空間 V をとると、それに対応して部分射影空間 Λ ⊂ | D | が定まる。このようにして定まる Λ を線形系 (linear system) という。
いま、線形系 Λ に属する因子 D に対して L ( D ) = Γ ( X , O X ( D ) ) {\displaystyle L(D)=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D))} が有限次元であると仮定する。