解析学
19世紀に入って解析学は、今まで直感任せであった無限小や極限、収束といったその基礎に疑いの目が向けられるようになり、それを厳密化することによって発展してゆくこととなる。
18世紀より、弦の振動を表す微分方程式から、「任意の関数は三角級数の和で表せるか?」という問題があったが、この問題で重要となったのはフーリエが熱伝導問題で用いたフーリエ級数
y ( x ) = a 0 2 + ∑ k = 0 ∞ ( a k cos  k x + b k sin  k x ) {\displaystyle y(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}\cos {kx}+b_{k}\sin {kx})}
である。この級数は19世紀数学において主要な役割を果たし、この級数の収束について厳密に証明するために、それまでは必ずしもそこまでの厳密さが必要ではなかった級数・関数・実数などといった現代の解析学では常識と化している概念の厳密な基礎付けが行われていくこととなる。