ラグランジアン (場の理論)
量子色力学(QCD)のラグランジアン密度は、
L Q C D = ∑ n ( i ħ c ψ ̄ n D / ψ n − m n c 2 ψ ̄ n ψ n ) − 1 4 G α μ ν G α μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=\sum _{n}\left(i\hbar c{\bar {\psi }}_{n}{D}\!\!\!\!/\ \psi _{n}-m_{n}c^{2}{\bar {\psi }}_{n}\psi _{n}\right)-{1 \over 4}G^{\alpha }{}_{\mu \nu }G_{\alpha }{}^{\mu \nu }}
である。ここで、D は QCD ゲージ共変微分(英語版)であり、n = 1、2、...、6 はクォークのタイプの数、 G α μ ν {\displaystyle G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!} はグルーオン場の強さのテンソル(英語版)である。
このラグランジアンは、単純に上記の平坦なラグランジアンの中のミンコフスキー計量を一般的な(曲がった)計量 g μ ν ( x ) {\displaystyle g_{\mu \nu }(x)} へ置き換えることによって得られる。このラグランジアンを使い、電磁場のある中でのアインシュタイン場の方程式を構築することができる。エネルギー・運動量テンソルは、
T μ ν ( x ) = 2 − g ( x ) δ δ g μ ν ( x ) S Maxwell = 1 μ 0 ( F λ μ ( x ) F ν λ ( x ) − 1 4 g μ ν ( x ) F ρ σ ( x ) F ρ σ ( x ) ) {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g(x)}}}{\frac {\delta }{\delta g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}}_{\text{Maxwell}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{{\text{ }}\lambda }^{\mu }(x)F^{\nu \lambda }(x)-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }(x)F_{\rho \sigma }(x)F^{\rho \sigma }(x)\right)}
である。