ランベルトのW関数
W 函数の実装は:
LambertW in Maple,
lambertw in GP (glambertW in PARI),
lambertw in MATLAB,
lambertw in octave with the 'specfun' package,
lambert_w in Maxima,
ProductLog (with a silent alias LambertW) in Mathematica,
lambertw in Python scipy's special function package
gsl_sf_lambert_W0 and gsl_sf_lambert_Wm1 functions in special functions section of the GNU Scientific Library - GSL.
などがある。
{\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x.}
e W ( x ) = x / W ( x ) . {\displaystyle e^{W(x)}=x/W(x).}
W ( x ) = ln  x − ln  W ( x ) ( x ≥ − 1 / e ) . {\displaystyle W(x)=\ln x-\ln W(x)\quad (x\geq -1/e).}
ln  W ( x ) = ln  x − W ( x ) ( x > 0 ) . {\displaystyle \ln W(x)=\ln x-W(x)\quad (x>0).}
W ( n x n / W ( x ) n − 1 ) = n W ( x ) ( n > 0 , x > 0 ) . {\displaystyle W(nx^{n}/W(x)^{n-1})=nW(x)\quad (n>0,x>0).} (これは正しく枝を選べば他の n, x に対しても拡張できる)
f(ln(x)) を反転すれば
W ( x ln  x ) = ln  x = W ( x ) + ln  W ( x ) ( x > 0 ) {\displaystyle W(x\ln x)=\ln x=W(x)+\ln W(x)\quad (x>0)}
を得る。
オイラーの反復指数函数 h(x) を用いれば