ラグランジュ力学
座標変換は
W ( p , Q , t ) = p i ⋅ g i ( Q , t ) {\displaystyle W(p,Q,t)=p_{i}\cdot g_{i}(Q,t)}
で定義される母関数により生成される。 座標変換は
q i = ∂ W ∂ p i {\displaystyle q_{i}={\frac {\partial W}{\partial p_{i}}}}
で与えられ、新たな運動量は
P I = ∂ W ∂ Q I {\displaystyle P_{I}={\frac {\partial W}{\partial Q_{I}}}}
で与えられる。
先の任意関数によるラグランジュ関数の変換を伴う場合の母関数は
W ( p , Q , t ) = p i ⋅ g i ( Q , t ) + f ( Q , t ) {\displaystyle W(p,Q,t)=p_{i}\cdot g_{i}(Q,t)+f(Q,t)}
で与えられる。
となるので、この変換に対して、共役運動量は
p i ′ = ∂ L ′ ∂ q ̇ i = p i + ∂ f ∂ q i {\displaystyle p'_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=p_{i}+{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}}
と変換される。したがって、新たな共役運動量の時間微分は
p ̇ i ′ = p ̇ i + d d t ∂ f ∂ q i {\displaystyle {\dot {p}}'_{i}={\dot {p}}_{i}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}}
となる。一方、一般化された力は
∂ L ′ ∂ q i = ∂ L ∂ q i + ∂ ∂ q i d d t f {\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}{\frac {d}{dt}}f}
と変換される。任意関数 f に作用する全微分 d/dt と座標の偏微分 ∂/∂q が交換可能なので、この変換に対して運動方程式が保たれる。