バナッハ環
冪級数を介して定義されるいくつかの初等関数は、任意の単位的バナッハ環において定義されうる。そのような例として、指数関数や三角関数、さらに一般的な任意の整関数が挙げられる(特に、指数写像は抽象指数群(英語版)を定義するために用いられる)。幾何級数の公式は、一般の単位的バナッハ環においても依然として有効である。二項定理もまた、バナッハ環の二つの可換な元に対して成立する。
任意の単位的バナッハ環 A において可逆元全体の成す集合 A は開集合であり、その集合上で反転 x ↦ x は連続(したがって位相同型)ゆえ、A は乗法に関して位相群を成す。(位相線型環#性質も参照)
バナッハ環が単位元 1 を持つなら、1 は交換子にはなり得ない。すなわち、任意の x, y ∈ A に対して x y − y x ≠ 1 {\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} } となる。
上述の例に現れる様々な関数環は、実数環のような標準的な例とは大きく異なる性質を持つ。それは例えば、以下のようなものである: