放物型偏微分方程式
放物型偏微分方程式(ほうぶつがたへんびぶんほうていしき、英: parabolic partial differential equation)とは、二階の偏微分方程式(PDE)の一種で、熱拡散や海洋音波伝播(英語版)などを含む様々な科学の問題に現れるものである。
次の形式で記述される偏微分方程式
A u x x + 2 B u x y + C u y y + D u x + E u y + F = 0 {\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0\,}
は、次の条件を満たすとき放物型であると言われる:
B 2 − A C = 0. {\displaystyle B^{2}-AC=0.\ }
この定義は、平面の放物線の定義と似たものである。
放物型偏微分方程式の簡単な例として、一次元の熱方程式
u t = k u x x {\displaystyle u_{t}=ku_{xx}\ }
が挙げられる。ここで、 u ( t , x ) {\displaystyle u(t,x)} は時間 t {\displaystyle t} における位置 x {\displaystyle x} の温度を表し、 k {\displaystyle k} は定数とする。 u t {\displaystyle u_{t}} は、時間変数 t {\displaystyle t} に関する u {\displaystyle u} の偏微分を表し、 u x x {\displaystyle u_{xx}} は同様に空間変数 x {\displaystyle x} に関する u {\displaystyle u} の二階の偏微分を表す。