幾何学的不変式論
双有理類の全てのモデルの中での問題は、ある軌道の集合を分類する、あるいは、あるモジュライ問題の代数的軌道の集合を分類するような幾何学的点(geometric point)を持つモデルが存在するかということである。
第 5章で彼は、取り分けて、特殊なテクニカルな問題を指摘した。そこでは、モジュライ問題では、準古典的タイプ -- つまり、非特異であることによってのみ全ての代数多様体を対象とした(他に代数多様体の偏極(英語版)(polarization)という条件でも分類する)大きな集合が分類されている。モジュライはパラメータ空間により表される。例えば、代数曲線に対して、リーマンの時代から次元
0, 1, 3, 6, 9, ...
である連結な要素が存在するであろうことが知られている。
種数 g =0, 1, 2, 3, 4, ..., に従い、モジュライは各々の成分の上の函数である。粗いモジュライ問題(英語版)(coarse moduli problem)で、マンフォードは次の条件となるべき障害を考えている。
非分離的なモジュライ空間上のトポロジー(つまり、良い設定にはパラメータが不足している)
無限個の既約成分(これは避けられないが、局所有限性(英語版)(local finiteness)が保たれる)
トポロジカルには見通せるが、スキームとして表現することに失敗する要素がある
理論全体の動機の第三の点について、もし最初の 2つが解決したらに続けて、マンフォードは次のように書いている。
[第三の問題] 射影群によりヒルベルトスキームや周スキーム(英語版)(Chow scheme)のある局所閉(英語版)(locally closed)部分集合の軌道が存在するかどうかという疑問と本質的同値となる。