コンパクト空間
一方 ∏ i ∈ N I i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }I_{i}} に箱型積位相を入れたものはコンパクトではない。実際、 x = ( x i ) i ∈ N ∈ ∏ i ∈ N I i {\displaystyle x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \prod _{i\in \mathbb {N} }I_{i}} に対し、ノルムを
‖ x ‖ ∞ = sup i | x i | {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{i}|x_{i}|}
と定義すると、箱型積位相はこのノルムから定まる位相と一致する事を簡単に確かめる事ができる。そこで e n = ( δ n , k ) k ∈ N {\displaystyle \mathbb {e} _{n}=(\delta _{n,k})_{k\in \mathbb {N} }} として無限次元ノルム空間の場合と同様の議論でコンパクトでない事を示せる。
コンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事は距離空間よりも一般的な一様空間でも成立する:
定理 (一様空間におけるコンパクト性の特徴づけ) ― X を一様空間とするとき以下の3つは同値である。
X はコンパクトである。
X は全有界かつ完備である。
一様空間の定義は当該項目を参照されたい。一様空間における全有界性と完備性は以下のように定義される:
定義・定理 (一様空間における全有界性) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} と一致するものとする。
このとき以下の条件は全て同値である。これらの条件の少なくとも1つ(したがって全て)を満たすとき、 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} は全有界(英: totally bounded)もしくはプレコンパクト(英: precompact)であるという。
すでに述べたように、有限次元ベクトル空間やより一般に有限次元の完備リーマン多様体の部分集合に対してはコンパクト性は有界閉集合と等しい。一方無限次元の空間の場合は、どのような空間にどのような位相を入れるかにより結論が異なる。
を開基とする。
Λが無限集合のときは、「有限個のλを除いて...」という条件が原因で、箱型積位相と差が生じる。例えば R 1 , R 2 , ... {\displaystyle \mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\ldots } を R {\displaystyle \mathbb {R} } の(可算)無限個のコピーとし、 U 1 , U 2 , ... {\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots } を U = ( 0 , 1 ) {\displaystyle U=(0,1)} の無限個のコピーとするとき、直積
∏ i ∈ N U i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}}
は直積位相に関して
∏ i ∈ N R i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} _{i}}
の開集合ではない。実際、前述の「有限個を除いて...」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。
なお、有向集合の二項関係「≤ 」は、反射律と推移律を満たすのものの反対称律は満たす必要がないので、前順序ではあるものの順序の定義は満たしていない。
点列と同様、有向点族に対して収束概念や部分有向点族の概念を定義する事ができる。詳細は有向点族の項目を参照されたい。
有向点族の概念は、点列概念と違い、添字が可算である事も全順序である事も要求しない。この事が有向点族に点列にはない優位性をもたらしており、例えば有向点族の収束の概念を用いれば、閉集合など位相空間の諸概念を特徴づける事ができる事が知られているが、点列の場合はそうではない。なぜなら点列概念は添字が可算である事が原因となり、点列で閉集合を特徴づけるには位相空間の方にも何らかの可算性を要求する必要が生じてしまうからである。詳細は列型空間を参照。