調和数 (発散列)
調和数 Hn のパラメータ n を積分
H α = ∫ 0 1 1 − x α 1 − x d x {\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}dx}
によって拡張すれば、0 と 1 の間の分数値をもつパラメータ α に対する解析的な特殊値を定めることができる。あるいはさらに漸化式
H α = H α − 1 + 1 α {\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}}
によって拡張することもでき、結局は任意の x > 0 に対して(x が整数のときもそうでないときも)
H x = x ∑ k = 1 ∞ 1 k ( x + k ) {\displaystyle H_{x}=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}}
が成立する。いくつかの特殊値について計算すれば、以下のようになる。
が得られる。同じ表現は、第三レトケシュ恒等式(英語版)で x1 = 1, ..., xn = 1 とおき、
Π k ( 1 , ... , n ) = ( − 1 ) n − k ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! {\displaystyle \Pi _{k}(1,\ldots ,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!}
なる事実を用いることでも得られる。すなわち
H n = H n , 1 = ∑ k = 1 n 1 k = ( − 1 ) n − 1 n ! ∑ k = 1 n 1 k 2 Π k ( 1 , ...