冪根
有限体 F について、その位数は素数 p の冪 q = p であるとする。このとき、有限体 F の零元 0 以外の元は単位元 1 の q − 1 乗根として得られる。すなわち
F ∖ { 0 } = { x ∈ F p ̄ ∣ x q − 1 − 1 = 0 } {\displaystyle F\smallsetminus \{0\}=\{x\in {\overline {\mathbb {F} _{p}}}\mid x^{q-1}-1=0\}}
が成り立つ。ここで F p ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}}}} は位数 p の有限体 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} の代数的閉包である。あるいは
F = { x ∈ F p ̄ ∣ x q − x = 0 } {\displaystyle F=\{x\in {\overline {\mathbb {F} _{p}}}\mid x^{q}-x=0\}}
と記しても同じことである。
複素数 a に対して、その冪根は極形式を用いれば簡単に表すことができる。a = 0 のときはその冪根は 0 のみであると定め、以下 a ≠ 0 として、 a = r e i θ ( r > 0 , 0 ≤ θ < 2 π ) {\displaystyle a=re^{i\theta }\ (r>0,0\leq \theta <2\pi )} をその極形式表示とする。
まず、r > 0 に対して x = r を満たす x > 0 はただ一つ存在する。それは
r n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}
である。このとき、n個の複素数
α k = r n exp  ( θ + 2 k π n i ) , ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) , {\displaystyle \alpha _{k}={\sqrt[{n}]{r}}\exp \left({\frac {\theta +2k\pi }{n}}i\right),\qquad \left(k=0,1,\cdots ,n-1\,\right),}
はすべて代数方程式 αk − a = 0 を満たす。代数学の基本定理より、複素数係数の n次方程式の解は n個であるから、a の n乗根は以上ですべて得られている。