ディラック・スピノル
これら2種類の 4 × 4 行列は、ディラック基底のガンマ行列(Gamma matrices)と関係する。ここで、 0 {\displaystyle \mathbf {0} } と I {\displaystyle \mathbf {I} } は 2 × 2 行列を示す。
次のステップは、この形式に対する解の計算である。
ψ = ω e − i p ⋅ x {\displaystyle \psi =\omega e^{-ip\cdot x}} ,
同時に、 ω {\displaystyle \omega } を2つの2成分スピノルに分割する:
ω = [ φ χ ] {\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}} .
2つ目の方程式を χ {\displaystyle \chi } について解くと、以下のように書ける:
ω = [ φ χ ] = [ φ σ ⋅ p E + m φ ] {\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\phi \\{\dfrac {\mathbf {\sigma \cdot p} }{E+m}}\phi \end{bmatrix}}}
1つめの方程式を φ {\displaystyle \phi } について解くと、次式が求まる:
ω = [ φ χ ] = [ − σ ⋅ p − E + m χ χ ] {\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\dfrac {\mathbf {\sigma \cdot p} }{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}}
この解は、反粒子と粒子との関係を見るのに都合がよい。
2成分スピノルのもっとも便利な定義は次の通りである。
φ 1 = [ 1 0 ] , φ 2 = [ 0 1 ] {\displaystyle \phi ^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\phi ^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}
及び
χ 1 = [ 0 1 ] , χ 2 = [ 1 0 ] {\displaystyle \chi ^{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},\chi ^{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}