体上有限生成環の理論
, xm] の極大イデアル m に対して A / m は k 上代数的になる(前定理後半)ので、A / m = kとなる。よって、m = mp = ( x1 - a1 , ... , xm - am) と p = (a1 , ... , am) ∈ k を用いて表せる(ヒルベルトの零点定理の「弱形」)。よって、アフィン代数多様体 V = V ( I ) ⊂ A k n {\displaystyle V=V(I)\subset \mathbb {A} _{k}^{n}} に対しては I ( V ( I ) ) = ⋂ p ∈ V I ( { p } ) = ⋂ I ⊂ m p m p = I {\displaystyle I(V(I))=\bigcap _{p\in V}I(\{p\})=\bigcap _{I\subset m_{p}}m_{p}={\sqrt {I}}} となる(記号などについては代数多様体#アフィン代数多様体の座標環とヒルベルトの零点定理参照)。代数幾何学のコンテクストではこれをヒルベルトの零点定理と呼ぶことが多い。