収束級数
1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = e {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=e}
すべての平方数の逆数和が収束することはバーゼル問題といい、オイラーが肯定的に解決した。これはリーマンゼータ関数の 2 における値 ζ(2) である。
1 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\pi ^{2} \over 6}}
すべての2の冪の逆数和は2に収束する。
1 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n − 1 = 2 {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n-1}=2}