ビジービーバー
n > 4 についての Σ(n) は未算出だが、4098 と 10 18267 {\displaystyle 10^{18267}} いう下限値がそれぞれ n = 5 と n = 6 について得られている。n = 12 については、Dewdney[1984] は次のいささか大きな下限を紹介している:
Σ ( 12 ) ≥ 6 ⋅ 4096 4096 4096 . . . 4096 4 = 6 ⋅ ( 4096 ↑ ) 166 4 > 4096 ↑↑ 166 {\displaystyle \Sigma (12)\ \ \geq \ \ 6\ \cdot \ 4096^{4096^{4096^{~.~^{~.~^{~.~^{4096^{4}}}}}}}=6\cdot \left(4096\uparrow \right)^{166}4>4096\uparrow \uparrow 166}
ここで指数の塔には 4096 が 166 回出現し、指数の塔の頂上に 4 が乗る。
Σ ( 2 k + 4 ) = Σ ( 2 ( k + 2 ) ) > 3 ↑ k 3 = hyper  ( 3 , k + 2 , 3 ) = 3 ↑ k + 1 2 > A ( k , k ) = 2 ↑ k − 2 ( k + 3 ) − 3 {\displaystyle \Sigma (2k+4)=\Sigma \left(2(k+2)\right)>3\ \uparrow ^{k}3=\operatorname {hyper} (3,k+2,3)=3\ \uparrow ^{k+1}2>A\left(k,k\right)=2\uparrow ^{k-2}\left(k+3\right)-3} ( ↑ {\displaystyle \uparrow } は クヌースの矢印表記 、 hyper {\displaystyle \operatorname {hyper} } は ハイパー演算子 であり、A は アッカーマン関数)
すなわち、
Σ ( 2 k ) > hyper  ( 3 , k , 3 ) > A ( k − 2 , k − 2 ) = 2 ↑ k − 4 ( k + 1 ) − 3 {\displaystyle \Sigma \left(2k\right)>\operatorname {hyper} (3,k,3)>A\left(k-2,k-2\right)=2\uparrow ^{k-4}\left(k+1\right)-3}
従って、
結果: 0 0 1 1 1 1 0 0 (6 ステップ、合計 4個の "1")
3-状態ビジービーバーの状態表とその「走行」について、チューリングマシンの例(en)を参照。
以下の表は、次に挙げる値を生成するビジービーバーの実例である。Σ(1) と S(1)、Σ(2) と S(2)、Σ(3) (ただし S(3) は生成しない)、Σ(4) と S(4)、および既知の最も優れた Σ(5) と S(5)、Σ(6) と S(6) の下限。
表の中で、列は現状態を表し、行はテープから読み込まれた現記号に対応する。表の中の3文字は(記述順に)テープに印字すべき記号、移動する方向、および遷移先の状態を表す。Hは停止状態を示す。
各マシンは状態 A と空テープ(0 で埋まったテープ)から処理を開始する。従って最初にテープから読み込まれる記号は 0 である。
結果の見方:(下線位置から動作を開始し、太字の位置で停止する)