進化的安定戦略
E ( σ ∗ , σ ∗ ) − E ( σ , σ ∗ ) > ε E ( σ − σ ∗ , σ − σ ∗ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma _{*})-E(\sigma ,\sigma _{*})>\varepsilon E(\sigma -\sigma _{*},\sigma -\sigma _{*})} ...(B)
であるので(B)式が成り立つことを示せば良い。
均衡条件より(B)式の左辺 E ( σ ∗ , σ ∗ ) − E ( σ , σ ∗ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma _{*})-E(\sigma ,\sigma _{*})} は0もしくは正である。 (B)式の左辺 E ( σ ∗ , σ ∗ ) − E ( σ , σ ∗ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma _{*})-E(\sigma ,\sigma _{*})} が0である場合、安定条件より E ( σ ∗ , σ ) − E ( σ , σ ) > 0 {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma )-E(\sigma ,\sigma )>0} なので、
E ( σ − σ ∗ , σ − σ ∗ ) = ( E ( σ ∗ , σ ∗ ) − E ( σ , σ ∗ ) ) ⏟ = 0 − ( E ( σ ∗ , σ ) − E ( σ , σ ) ) < 0 {\displaystyle E(\sigma -\sigma _{*},\sigma -\sigma _{*})=\underbrace {(E(\sigma _{*},\sigma _{*})-E(\sigma ,\sigma _{*}))} _{=0}-(E(\sigma _{*},\sigma )-E(\sigma ,\sigma ))<0}
なお上の式における記号「δ」は、混合戦略の和「 ε 1 σ 1 + ⋯ + ε 1 σ m {\displaystyle \varepsilon _{1}\sigma _{1}+\cdots +\varepsilon _{1}\sigma _{m}} 」と区別する為につけられた単なる記号であると解釈して差し支えない。この場合、上記の式は数学的には形式和である。しかしこのδをX上で定義されたディラックのデルタ関数であると解釈する事で、上式をX上の分布を表す式とみなす事もできる。
また上では個体群が有限個の戦略σ1,...σm∈Xのいずれかしか取らない場合を考えたが、Xが性質のよい空間であれば無限個の戦略を取る場合も考える事ができる。しかし進化的安定性を定義する上では有限個の戦略を取る場合のみを考察すれば十分であるので、本稿では以下、無限個の戦略を取る場合は考えない。
本稿では個体群の性質として主として考えるのは個体群戦略のみなので、紛れがなければ個体群Πとその個体群戦略とで記号を混用し、
Π = ε 1 δ σ 1 + ⋯ + ε 1 δ σ m {\displaystyle \Pi =\varepsilon _{1}\delta _{\sigma _{1}}+\cdots +\varepsilon _{1}\delta _{\sigma _{m}}}
という表記も用いるものとする。
d d t N i ( t ) = f i ( p ( t ) ) N i ( t ) {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}N_{i}(t)=f_{i}(\mathbf {p} (t))N_{i}(t)} ...(Eq-R1)
が成立する。記号を簡単にするため、時間微分を N ̇ i ( t ) {\displaystyle {\dot {N}}_{i}(t)} のようにドットで書くことにすると、(Eq-R1)と N i ( t ) = p i ( t ) N ( t ) {\displaystyle N_{i}(t)=p_{i}(t)N(t)} より、
p ̇ i ( t ) = d d t ( N i ( t ) N ( t ) ) = N ̇ i ( t ) − p i ( t ) N ̇ ( t ) N ( t ) {\displaystyle {\dot {p}}_{i}(t)={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left({N_{i}(t) \over N(t)}\right)={{\dot {N}}_{i}(t)-p_{i}(t){\dot {N}}(t) \over N(t)}} = f i ( p ( t ) ) N i ( t ) − p i ( t ) N ̇ ( t ) N ( t ) = p i ( t ) ( f i ( p ( t ) ) − N ̇ ( t ) N ( t ) ) {\displaystyle ={f_{i}(\mathbf {p} (t))N_{i}(t)-p_{i}(t){\dot {N}}(t) \over N(t)}=p_{i}(t)\left(f_{i}(\mathbf {p} (t))-{{\dot {N}}(t) \over N(t)}\right)}
非対称なゲームに関する進化的安定性は、対称化したゲームの進化的安定性により定義する。すなわち個体戦略 ( ξ ∗ , ν ∗ ) ∈ X 1 × X 2 {\displaystyle (\xi _{*},\nu _{*})\in X_{1}\times X_{2}} が進化的安定であるとは、戦略空間が X 1 × X 2 {\displaystyle X_{1}\times X_{2}} であり利得関数が E {\displaystyle {\mathcal {E}}} であるゲームに関して進化的安定である事を指す。もちろんこの進化的安定性の概念は関数 ρ {\displaystyle \rho } に依存しており、 ρ {\displaystyle \rho } が異なれば進化的安定性の概念も異なる。
多くのゲームにおいて、戦略空間Xは行列ゲームの場合と同様、有限個の純粋戦略を混合した混合戦略全体の空間であり、混合戦略 σ = ( p i ) i = 1 , ... , n {\displaystyle \sigma =(p_{i})_{i=1,\ldots ,n}} の利得は
E ( σ , Π ) = ∑ i p i E ( i , Π ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ,\Pi )=\sum _{i}p_{i}{\mathcal {E}}(i,\Pi )}
のように純粋戦略の利得の期待値として定義される。ここでさらに多型-単型同値が成り立てば、任意の個体群戦略 Π = ∑ j ε j δ σ j {\displaystyle \Pi =\textstyle \sum _{j}\varepsilon _{j}\delta _{\sigma _{j}}} は
本節では以下の2種類のレプリケーター方程式を紹介する:
離散レプリケーター方程式(discrete replicator equation):無性生殖する個体群の戦略の頻度分布を(オーバーラップのない)「世代」という離散的な時間で記述できると仮定した場合の方程式
連続レプリケーター方程式(continuous replicator equation):個体数が十分大きいため世代がオーバーラップし、連続的な時間によって(無性生殖する)個体群の戦略の頻度分布を記述できると近似した場合における方程式
分数は分母だと意味を持たないので、最後に離散レプリケーター方程式の分母について触れておく。離散レプリケーター方程式の直観的な意味から、利得の期待値 f i ( p ( t ) ) {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))} は
f i ( p ( t ) ) ≥ 0 {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} (t))\geq 0}
を満たす必要がある。また p i ( t ) {\displaystyle p_{i}(t)} は割合であったので 1 ≥ p i ( 0 ) ≥ 0 {\displaystyle 1\geq p_{i}(0)\geq 0} であり、数学的帰納法により、離散レプリケーター方程式の分母が0になる世代tの直前までは
1 ≥ p i ( t ) ≥ 0 {\displaystyle 1\geq p_{i}(t)\geq 0}
が成立する事も示せる。したがって離散レプリケーター方程式の分母が0になる場合、すなわち
f ̄ ( p ( t ) ) = ∑ j p j ( t ) f j ( p ( t ) ) = 0 {\displaystyle {\bar {f}}(\mathbf {p} (t))=\sum _{j}p_{j}(t)f_{j}(\mathbf {p} (t))=0}
の場合は、正の数の和が0である事になるので、
(Eq-R2)と進化的安定性の関係を述べるため、以下の概念を定義する。なお以下で、 p ( t ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)} は初期値が p ( 0 ) {\displaystyle \mathbf {p} (0)} であるときの(Eq-R2)の(必ず存在する一意な)解である:
定義R5 ― p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} を Δ n {\displaystyle \Delta _{n}} の元とする。このとき
初期値が p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} である(Eq-R2)の(必ず存在する一意な)解が時刻tに依存せず、常に p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} に留まるとき、 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} は(Eq-R2)の停留点(rest point)であるという。
停留点 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} のある近傍U、Vが存在し、 p ( 0 ) ∈ V {\displaystyle \mathbf {p} (0)\in V} であれば p ( t ) ∈ U {\displaystyle \mathbf {p} (t)\in U} が任意の p ( 0 ) ∈ V {\displaystyle \mathbf {p} (0)\in V} 、t>0に対して成立する時、 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} は安定(stable)であるという。
以上をまとめると次のようになる。なお以下でΔnは(Eq-G1)式で定義される集合であり、直観的には有限個(n個)の純粋戦略を混合した混合戦略全体の空間を意味する。
定義P1(個体群ゲーム) ― 戦略空間XがΔnであり、しかも関数 f 1 , ... , f n : X → R {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}~:~X\to \mathbf {R} } が存在し、任意の混合戦略 σ = ( p i ) i = 1 , ... , n , τ ∈ X {\displaystyle \sigma =(p_{i})_{i=1,\ldots ,n},~\tau \in X} に対し、利得関数 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} が
E ( σ , δ τ ) = ∑ i p i f i ( τ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ,\delta _{\tau })=\sum _{i}p_{i}f_{i}(\tau )}
を満たすゲームを個体群ゲーム(population game)という。
定理P2(個体群ゲームの必要十分条件) ― 記号n、Xを定義P1と同様に取り、利得関数 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} が多型-単型同値を満たしているとする。 このとき、利得関数 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} を持つゲームが個体群ゲームである必要十分条件は E {\displaystyle {\mathcal {E}}} が左線形である事である。
停留点 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} が大域的に安定(grobally stable)であるとは、 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} が安定であり、 Δ n {\displaystyle \Delta _{n}{}} の内部 Δ n ∘ {\displaystyle \Delta _{n}{}^{\circ }} に属する任意の p ( t ) {\displaystyle \mathbf {p} (t)} に対し、 p ( t ) → p 0 {\displaystyle \mathbf {p} (t)\to \mathbf {p} _{0}} であるときにいう。
なお大域的安定性の定義で Δ n {\displaystyle \Delta _{n}} の境界 ∂ Δ n {\displaystyle \partial \Delta _{n}} の点に対して p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} への収束性を求めないのは、定理R1で述べたように、 ∂ Δ n {\displaystyle \partial \Delta _{n}} の点は(Eq-R2)における時間発展で ∂ Δ n {\displaystyle \partial \Delta _{n}} に留まり続ける為、 p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} に収束することはありえないからである。
このとき次が成立する。なおゲーム理論にも「フォーク定理」という名称の定理があるが、下のものはこれとは無関係の定理である。
E ( ( ξ 0 , ξ 1 ) , Π ) = ρ ( ξ 0 , ξ 1 ) E 0 ( ξ 0 , π 1 ( Π ) ) + ( 1 − ρ ( ξ 0 , ξ 1 ) ) E 1 ( ξ 1 , π 0 ( Π ) ) {\displaystyle {\mathcal {E}}((\xi _{0},\xi _{1}),\Pi )=\rho (\xi _{0},\xi _{1}){\mathcal {E}}_{0}(\xi _{0},\pi _{1}(\Pi ))+(1-\rho (\xi _{0},\xi _{1})){\mathcal {E}}_{1}(\xi _{1},\pi _{0}(\Pi ))}
により定義する。直観的には ρ ( ξ 0 , ξ 1 ) {\displaystyle \rho (\xi _{0},\xi _{1})} は個体戦略 ( ξ 0 , ξ 1 ) ∈ X 0 × X 1 {\displaystyle (\xi _{0},\xi _{1})\in X_{0}\times X_{1}} を取っている個体が立場0になる確率である。
なお、対称化が定数関数
ρ = const. {\displaystyle \rho ={\text{const.}}}
を用いて行われた場合、この対称化は戦略-立場独立(strategy-role independent)であるという。
E ( q ^ , ( 1 − x ∞ ) q ^ + x ∞ q ) > E ( q , ( 1 − x ∞ ) q ^ + x ∞ q ) {\displaystyle E({\hat {\mathbf {q} }},(1-x_{\infty }){\hat {\mathbf {q} }}+x_{\infty }\mathbf {q} )>E(\mathbf {q} ,(1-x_{\infty }){\hat {\mathbf {q} }}+x_{\infty }\mathbf {q} )}
である。したがって
r ∞ := ( 1 − x ∞ ) q ^ + x ∞ q {\displaystyle \mathbf {r} _{\infty }:=(1-x_{\infty }){\hat {\mathbf {q} }}+x_{\infty }\mathbf {q} }
とすれば、
E ( q ^ , r ∞ ) > E ( q , r ∞ ) {\displaystyle E({\hat {\mathbf {q} }},\mathbf {r} _{\infty })>E(\mathbf {q} ,\mathbf {r} _{\infty })}
である。
0 ≤ x ∞ < ε {\displaystyle 0\leq x_{\infty }<\varepsilon } より、