離散空間
離散距離空間上の一様系は離散一様系であり、離散一様空間上の位相は離散位相である。故に、先に離散空間として挙げたいくつかの概念は、互いに両立する。他方、一様空間あるいは距離空間として離散でないものの中に、その位相が離散位相となるものが存在する。例えば、実数直線における通常の距離からくる距離空間 X := {1/n : n = 1, 2, 3, ...} を考えると、これが離散距離空間でないこと、また(完備でないから)一様空間としても離散でないことは明らかである。にもかかわらず、これは離散位相を備えた離散位相空間になる。すなわち、この X は「位相的に離散」だが、「一様離散」でも「距離的に離散」でもないということになる。
さらに以下のようなことが成り立つ。
離散空間の位相次元は 0 である。
位相空間が離散であるための必要十分条件は、その一元集合が必ず開になることであり、あるいはそれが集積点を一切含まないことである。
単元集合の全体は、離散位相に対する開基を成す。
一様空間 X が離散であるための必要十分条件は、その対角集合 Δ が近縁をなすことである。
任意の離散位相空間は各種の分離公理を全て満たす。
特に、任意の離散空間はハウスドルフ空間、つまり分離空間である。
離散空間がコンパクトであることと、それが有限集合であることとは同値である。
任意の離散一様空間あるいは離散距離空間は必ず完備空間である。
上二つの事実をあわせれば、任意の離散一様または距離空間が全有界であるための必要十分条件は、それが有限集合であることである。
任意の離散距離空間は有界空間である。
任意の離散空間は第一可算空間であり、さらに第二可算空間であることと可算であることとが同値になる。
少なくとも二点を含む任意の離散空間は完全不連結である。
任意の空でない離散空間は、ベールの第二類である。
濃度が同じ二つの離散空間は互いに同相である。
任意の離散空間は離散距離によって距離化可能である。
有限空間が距離化可能なのは、それが離散空間であるときに限る。
X が位相空間で Y が離散位相を備えた集合ならば、X は X × Y によって十分に被覆される(射影が所期の被覆になる)。
離散位相空間から他の位相空間への任意の写像は連続であり、離散一様空間から他の一様空間への任意の写像は一様連続になる。つまり、離散空間 X は位相空間と連続写像の圏および一様空間と一様連続写像の圏における X 上の自由対象である。