ベッセル関数
第1種及び第2種の変形ベッセル関数から、変形球ベッセル関数(英:modified spherical Bessel functions)が以下のように定義される。
i α ( x ) = ( π 2 x ) 1 / 2 I α + 1 / 2 ( x ) {\displaystyle i_{\alpha }(x)=\left({\frac {\pi }{2x}}\right)^{1/2}I_{\alpha +1/2}(x)}
k α ( x ) = ( 2 π x ) 1 / 2 K α + 1 / 2 ( x ) {\displaystyle k_{\alpha }(x)=\left({\frac {2}{\pi x}}\right)^{1/2}K_{\alpha +1/2}(x)}
これらの関数は、変形球ベッセル微分方程式
x 2 d 2 y d x 2 + 2 x d y d x − ( x 2 + α ( α + 1 ) ) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha (\alpha +1)\right)y=0}
に対する2つの線形独立な解を与えている。
変形球ベッセル関数には以下の性質がある。
k − n − 1 / 2 ( x ) = k n + 1 / 2 ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}k_{-n-1/2}(x)=k_{n+1/2}(x)\end{aligned}}}
ここで、n は正の整数またはゼロ。
ベッセルの微分方程式は2階の線形微分方程式であるので、線形独立な2つの解が存在するはずである。しかしながら、解を議論する状況に応じて解の様々な表現が便利に使われている。代表的ないくつかの解の表現について以下で説明する。