二次曲面 (射影幾何学)
射影空間において、各直線は二次曲面 Q と高々二点で交わる(交点数が零として、交わらない場合も含む)か、さもなくば Q に全く含まれる。実際、相異なる二点 p = [ u ] , q = [ v ] {\displaystyle p=[u],q=[v]} の定める直線は、係数体 K からとった、同時に零となることはない任意のスカラー a, b によって [ a u + b v ] {\displaystyle [au+bv]} の形に書くことのできる点全体の成す集合であり、この一般の点が二次曲面 Q に載っていることと F ( a u + b v ) = 0 {\displaystyle F(au+bv)=0} , 即ち
a 2 F ( u ) + a b ( u ⋅ ( ∂ F ( v ) ) ) + b 2 F ( v ) = 0 {\displaystyle a^{2}F(u)+ab(u\cdot (\partial F(v)))+b^{2}F(v)=0}
が成り立つこととは同値であって、交点数は三つの係数
A = F ( u ) , B = u ⋅ ( ∂ F ( v ) ) , C = F ( v ) {\displaystyle A=F(u),\quad B=u\cdot (\partial F(v)),\quad C=F(v)}
に依存して決まる。A, B, C が三つとも零ならば、任意の a, b が等式を満たすから、直線は Q に全く含まれることになる。そうでない場合には、
Δ = B 2 − 4 A C {\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}
が負、零、正となるのに従って、それぞれ交点数が 0, 1, 2 で与えられる。