正多角形
(例):正六角形ABCDEFがあって、辺AB,CD,EFの中点を頂点とする三角形PQRは正六角形ABCDEFに内接する図形である。
以上のことを踏まえたうえで、一辺の長さが a である正 n 角形Fに相似である多角形のうち、Fに内接する、最も面積の小さいものの面積s、Fに外接する、最も面積の大きいものの面積Sはそれぞれ、
s = n a 2 4 cot  π n cos 2  π n {\displaystyle s={na^{2} \over 4}\cot {\pi \over {n}}\cos ^{2}{\pi \over {n}}}
S = n a 2 2 sin  2 π n {\displaystyle S={na^{2} \over 2\sin {2\pi \over {n}}}}
と表される。。
正多角形の重心は最長の対角線どうしの交点(正 2n 角形に限る)や外接円および内接円の中心に一致する。
正多角形は、角(辺)の数が増えるごとに円に近づいていくので、「周の長さ÷外接円の直径」を角の数が多い正多角形で計算すると、円周率に近づいていく。これは、初期の円周率の求め方で、円周率の歴史上の始まりに位置する。
また、上記のことを言い換えると「正多角形の極限は円になる」ということになる。これはつまり、「正∞角形を円とする」ということである。このような見方をする場合も増えている。
正偶数角形(正 2n 角形)の n 組の対辺はすべて平行であるが、正奇数角形ではどの2辺も平行にはならない。
角の数が素数 p のものを正p角形と呼ぶ。正p角形のうち、作図可能なものは、角(辺)の数 p がフェルマー素数 (3、5、17、257、65537) である場合のみであり、それぞれ正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形である。角の数が素数でないものについては、その数を素因数分解した時に奇数の因数がフェルマー素数のみでかつ、同じものが存在しない場合、または奇数の因数が存在しない(2の累乗数)場合のみ作図することが可能である。
例:正方形は、奇数の因数がないので (4=2×2) 作図することができる。正六角形や正十五角形は、奇数の因数がフェルマー素数のみなので (6=2×3、15=3×5) 作図する事ができる。正九角形は、奇数の因数はフェルマー素数のみだが同じ数の重複があるので (9=3×3) 作図できない。
正十七角形の作図可能性は、1796年3月30日にカール・フリードリヒ・ガウスが発見した。さらにガウスは1801年に出版したDisquisitiones Arithmeticae(『ガウス整数論』)の第365条、第366条において、作図できる正多角形の必要十分条件も示している。
もっとも角が少ないのは正二角形である。二角形は必ず正二角形になる。
この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形と同じ図形である。
正多角形(せいたかっけい、せいたかくけい、regular polygon)とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形である。なお、この記事では n は n ∈ R {\displaystyle n\in \mathbb {R} } を満たす数とする。
正多角形は線対称の図形であり、正 n 角形に対称軸は n 本ある。また、正偶数角形は点対称の図形でもある。
辺の数が同じ正多角形どうしは全て互いに相似である。