プロホロフの定理
さらに ( S , ρ ) {\displaystyle (S,\rho )} は完備距離(したがって ( S , ρ ) {\displaystyle (S,\rho )} はポーランド空間)であると仮定する。このとき、弱収束位相と同値であるような P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} 上のある完備距離 d 0 {\displaystyle d_{0}} が存在する。さらに、 K ⊂ P ( S ) {\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)} が緊密であるための必要十分条件は、 K {\displaystyle K} の閉包が ( P ( S ) , d 0 ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),d_{0})} においてコンパクトであることである。