ハーディ空間
L において有界であるが、H において非有界であるような列 H を見つけることが出来る。例えば、実数直線上の以下の函数が挙げられる。
f k ( x ) = 1 [ 0 , 1 ] ( x − k ) − 1 [ 0 , 1 ] ( x + k ) , k > 0. {\displaystyle f_{k}(x)=\mathbf {1} _{[0,1]}(x-k)-\mathbf {1} _{[0,1]}(x+k),\ \ \ k>0.}
L と H のノルムは H 上で同値ではなく、H は L において閉ではない。H の双対は、有界平均振動(英語版)の函数の空間 BMO である。空間 BMO は非有界な函数を含む(これは再び、H が L において閉でないことを意味する)。
p < 1 であるなら、ハーディ空間 H は函数ではない元を持ち、その双対は次数 n(1/p − 1) の同次リプシッツ空間である。p < 1 のとき、H-準ノルムは劣加法的ではないため、ノルムではない。p次のベキ ||f ||Hp は p < 1 のとき劣加法的であり、ハーディ空間 H 上のある距離を定義する。それは位相を定義し、H を完備距離空間にする。