外積代数
2 つのベクトル空間 V, X に対し、V から X への交代作用素 (alternating operator) あるいは反対称作用素 (anti-symmetric operator) とは多重線型写像
f: V → X
であって、v1, ..., vk が線型従属なベクトルならば
f (v1, ..., vk) = 0
を常に満たすもののことである。最も有名な例は行列式でこれは (K) から K への交代作用素である。また、V の k 個のベクトルにその楔積となる k-重ベクトルを対応させる写像
w: V → ⋀ (V)
も交代的である。事実として、この写像は V 上定義される交代作用素の中で「もっとも一般」なものである。つまり、交代作用素 f: V → X が与えられたとき、線型写像 φ: ⋀(V) → X で f = φ ∘ w を満たすものが唯一つ存在する。この普遍性により ⋀(V) を特徴づけられる。この普遍性を ⋀(V) の定義とすることもある。
与えられた任意の単位的結合 K-代数 A と任意の K-線型写像 j: V → A で j(v)j(v) = 0 (v ∈ V) を満たすものに対して、 単位的代数の準同型(英語版) f: ⋀(V) → A で f(v) = j(v) (v ∈ V) を満たすものが「唯一つ」存在する。
V を含み、V の上で交代的な乗法を持つもっとも一般の多元環を構成するには、V を含む最も一般な多元環であるテンソル代数 T(V) から始めるのが自然であり、テンソル代数の適当な商をとることによって交代性を導入してやればよい。そこで v ⊗ v (v ∈ V) の形の元全体が生成する T(V) の両側イデアル I をとり、⋀(V) を
⋀ ( V ) = T ( V ) / I {\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)=T(V)/I}
で定義して、⋀(V) における乗法を表す記号として ∧ (wedge) を用いる。この ⋀(V) が V を含み、上記の普遍性を満たすことはすぐに判る。
この構成の結果として、ベクトル空間 V に外積代数 ⋀(V) に対応させる操作が、ベクトル空間の圏から多元環の圏への函手となる。
空間 ⋀(V) を始めに定義して、それらの直和として代数 ⋀(V) を構成する代わりに、最初に ⋀(V) を定義して、外冪 ⋀(V) を適当な部分空間と同一視するほうを好むかもしれない。このやり方はしばしば微分幾何で用いられる(次の節で記述する)。
V の k –次外冪 (k-th exterior power) ⋀(V) とは
x 1 ∧ x 2 ∧ ⋯ ∧ x k , x i ∈ V , i = 1 , 2 , ... , k {\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots ,k}
で張られる ⋀(V) の部分線型空間である。
α ∈ ⋀(V) とするとき、α は k-重ベクトル (k-multivector) と呼ばれる。更に、α が V の k 個の元の楔積で表すことができるならば、α は分解可能 (decomposable) であるという。
⋀(V) は分解可能多重ベクトルによって張られるけれども、全ての元が分解可能というわけではない。例えば、 R で次の 2 重ベクトル
α = e 1 ∧ e 2 + e 3 ∧ e 4 {\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}
は分解可能ではない(α ∧ α ≠ 0 であり、実際にはこれは斜交形式である)。