乗法
自然数や整数における上記の積の定義を再考すれば、加えられる対象である m は自然数や整数に限らずともよいことがわかる。実際、x として有理数や実数など和が定義できるものを考えれば、x を繰り返し加えることとして自然数を掛けることができる。また整数を掛けるためには、数 x は加法的逆元(マイナスの数)が定義できるものであれば何でも良い。すなわち x をあるアーベル群の元とするとき、n が整数であれば
n x = { x + x + ⋯ + x ⏞ n t i m e s n > 0 0 n = 0 ( − x ) + ( − x ) + ⋯ + ( − x ) ⏟ | n | t i m e s n < 0 {\displaystyle nx={\begin{cases}\overbrace {x+x+\cdots +x} ^{n{\rm {\ times}}}&n>0\\0&n=0\\\underbrace {(-x)+(-x)+\cdots +(-x)} _{|n|{\rm {\ times}}}&n<0\end{cases}}}
として n を掛ける操作を定義できる。このことを「整数全体の集合はアーベル群に自然に作用する」と言い表す。