巨大過剰数
533187564151227457465199401229454876347036513892234205802944360099435118364718466037392872608220305945979716166395732328054742493039981726997486787797703088097204529280000
で、 σ ( n ) n {\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}} は10.5681...で、約数の和が自分自身の10.5681...倍になる。
また、少なくとも10番目までは、隣り合う巨大過剰数の比は素数になる。10番目の巨大過剰数は、77908696桁の数で、 σ ( n ) n {\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}} は33.849...で、約数の和が自分自身の33.849...倍になる。
σ ( c ) c ≥ n {\displaystyle {\frac {\sigma (c)}{c}}\geq n} を満たす最小の巨大過剰数 c は、
6, 120, 55440, 367567200, 288807105787200, 1970992304700453905270400, 46015447651610234928592313897306120347488000, 20945137389024582113645213620899991935836129981347124754955196200225728000,...(オンライン整数列大辞典の数列 A110442)
優高度合成数(英: superior highly composite number)は自然数 n であって、nより小さいすべての自然数k、nより大きいすべての自然数kに対して
d ( n ) n ε ≥ d ( k ) k ε {\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}}
を満たすようなものである。ただし d は約数関数である。優高度合成数は、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより考案された。
優高度合成数は、小さい順に
2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800, 13967553600, 321253732800, 2248776129600, 65214507758400, 195643523275200, 6064949221531200,...(オンライン整数列大辞典の数列 A002201)
2 は合成数ではないが、優高度合成数に含める。すべての優高度合成数は高度合成数である。2から6983776800までの最初の15個は、巨大過剰数と同じ数で、13967553600が最小の巨大過剰数でない数になる。優高度合成数は素数階乗の積で表すことができる。