フォン・ノイマンエントロピー
である。従って、量 | a i | 2 {\displaystyle \left|a_{i}\right|^{2}} を保存する元々の役目は、系 S の密度行列としてとられる。
⟨ j | ρ | i ⟩ = a j a i ∗ . {\displaystyle \left\langle j\right|\rho \left|i\right\rangle =a_{j}a_{i}^{*}.}
従って 〈B〉 は
⟨ B ⟩ = t r ( ρ B ) . {\displaystyle \left\langle B\right\rangle =\mathrm {tr} (\rho B).}
である。
上の項の不変性は、行列の理論により記述される。数学的なフレームワークにおいて、行列のように量子的な作用素の期待値として行列のように記述されるとき、密度行列作用素 ˆρ と作用素 ˆB の積のトレースによりえることができる(作用素間のヒルベルトスカラー積)。ここでの行列による定式化は、通常の場合のように有限の量子系で適用されるにもかかわらず、統計力学的なフレームワークであり、そこでは系の状態は純粋状態として記述することはできないが、上記のように統計的作用素 ˆρ により表される。数学的には ˆρ が単位的なトレースをもつ半正定値エルミート行列である。