モジュラー形式
偶数 k > 2 に対して Ek(Λ) を、
E k ( Λ ) = ∑ λ ∈ Λ − 0 λ − k {\displaystyle E_{k}(\Lambda )=\sum _{\lambda \in \Lambda -0}\lambda ^{-k}}
と定義する。これはアイゼンシュタイン級数とよばれる重さ k のモジュラー形式である。
条件 k > 2 は収束のために必要である。k が奇数のとき λ と (−λ) とが互いに打ち消しあい、級数は 0 になる。
R の偶ユニモジュラー格子(英語版)(even unimodular lattice) L とは、その基底をならべてできる行列の行列式が 1 で、L の元の長さの平方がすべて偶数であるという条件を満たす格子である。たとえばテータ函数
θ L ( z ) = ∑ λ ∈ L e π i ‖ λ ‖ 2 z {\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}
は、ポアソン和公式により重さ n/2 のモジュラー形式である。
Γ を SL(2,Z) の部分群で有限な指数を持つとすると、そのような群 Γ は、SL(2,Z) と同様に上半平面 H に作用する。商位相空間 Γ ∖ H {\displaystyle \Gamma \backslash H} はハウスドルフ空間であることが示される。この空間は必ずしもコンパクトでないが、カスプ(尖点)と呼ばれる有限個の点を加えてコンパクト化できる。カスプは H の境界を実軸とみなしたときにそのうちで有理数 Q に対応する点もしくは ∞ であり、その点を固定する Γ の放物元(トレースが ±2 である行列)が存在するような点をさす。これをつけ加えてコンパクトな位相空間 Γ ∖ H {\displaystyle \Gamma \backslash H} を考える事ができる。この商空間にリーマン面の構造を与えることができ、 Γ ∖ H {\displaystyle \Gamma \backslash H} 上の正則函数や有理型函数を定義することができる。
重要な例として、正整数 N に対し合同部分群 Γ0(N) は
Γ 0 ( N ) = { ( a b c d ) ∈ S L 2 ( Z ) : c ≡ 0 ( mod N ) } {\displaystyle \Gamma _{0}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}}
モジュラー形式は、モジュラー群という大きな群についての対称性をもつ上半平面上の複素解析的函数である。歴史的には数論で興味をもたれる対象であり、現代においても主要な研究対象である一方で、代数トポロジーや弦理論などの他分野にも現れる。
モジュラー函数(英: modular function)は重さ 0 、つまりモジュラー群の作用に関して不変であるモジュラー形式のことを言う。そしてそれゆえに、直線束の切断としてではなく、モジュラー領域上の函数として理解することができる。また、「モジュラー函数」はモジュラー群について不変なモジュラー形式であるが、無限遠点で f(z) が正則性を満たすという条件は必要ない。その代わり、モジュラー函数は無限遠点では有理型である。
モジュラー形式論は、もっと一般の場合である保型形式論の特別な場合であり、従って現在では、離散群の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。