チャープ信号
φ ( t ) = φ 0 + 2 π ∫ 0 t f ( τ ) d τ = φ 0 + 2 π f 0 ∫ 0 t k τ d τ = φ 0 + 2 π f 0 ( k t − 1 ln  ( k ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (t)&=\phi _{0}+2\pi \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi f_{0}\int _{0}^{t}k^{\tau }d\tau \\&=\phi _{0}+2\pi f_{0}\left({\frac {k^{t}-1}{\ln(k)}}\right)\end{aligned}}}
φ 0 {\displaystyle \phi _{0}} は初期位相である( t = 0 {\displaystyle t=0} )。
対応する時間領域での指数チャープ正弦波は、ラジアンで表した位相の正弦関数であり:
x ( t ) = sin  [ φ 0 + 2 π f 0 ( k t − 1 ln  ( k ) ) ] {\displaystyle x(t)=\sin \left[\phi _{0}+2\pi f_{0}\left({\frac {k^{t}-1}{\ln(k)}}\right)\right]}
線形チャープと同様、指数チャープの瞬時周波数は f ( t ) = f 0 k t {\displaystyle f(t)=f_{0}k^{t}} としてあらわされ、周波数ドメインで見ると、基本周波数に高調波が付加されたものになる。
φ 0 {\displaystyle \phi _{0}} は、初期位相(時刻 t = 0 {\displaystyle t=0} )である。上記の式の形から、二次関数的位相信号(クアドラティックフェーズ信号)とも呼ばれる.
時間領域での正弦波の線形チャープはラジアンで表した位相のサイン関数であり、次の式になる:
x ( t ) = sin  [ φ 0 + 2 π ( f 0 t + k 2 t 2 ) ] {\displaystyle x(t)=\sin \left[\phi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {k}{2}}t^{2}\right)\right]}
周波数領域においては、 f ( t ) = f 0 + k t {\displaystyle f(t)=f_{0}+kt} で表される瞬時周波数と共に、周波数変調の結果生まれる余分な周波数成分(高調波)が伴う。この高調波は、ベッセル関数により定量的に記述することができるが、周波数対時間の関係を表すスペクトログラムを利用することで、線形チャープが基本波のチャープとその高調波成分を含むことを容易に確認することができる。
チャープ信号(チャープしんごう)とは、時間とともに周波数が増加(「アップチャープ」)するか、時間とともに周波数が減少(「ダウンチャープ」)するような信号である。スイープ信号と同等の意味でつかわれることもある。一般的にソナー及びレーダーで使用されるが、スペクトラム拡散通信のように他の用途でも利用される。スペクトル拡散で使用する場合には、RAC (reflective array compressors)のような表面弾性波デバイスを使って生成や復調されることが多い。光学系では、光学伝送路材料の持つ分散特性によってパルス信号の分散が増加したり、減少したりすることで、超短レーザパルスがチャープ信号に変化してしまう場合もある。チャープと言う名前は英語での鳥の発するチャープ音(さえずり)がもとになっている。