双曲線
双曲線は、直円錐を直円錐の頂点を通らず、上下両方の直円錐に交わる平面で切断したときの、切断面の境界である。
離心率が e であるような円錐曲線を Ce とする。このとき、e > 1 であれば、 Ce は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が x = -f , 焦点の一つが F(f,0) となったとする。双曲線の任意の点 P(x,y) に対し、方程式
e ( x − f ) = P F {\displaystyle e(x-f)=\mathrm {PF} }
が成立するが、 P F = ( x − f ) 2 + y 2 {\displaystyle \mathrm {PF} ={\sqrt {(x-f)^{2}+y^{2}}}} となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、
x 2 + 2 ( e 2 + 1 e 2 − 1 ) f x − y 2 e 2 − 1 = − f 2 {\displaystyle x^{2}+2\left({\frac {e^{2}+1}{e^{2}-1}}\right)fx-{\frac {y^{2}}{e^{2}-1}}=-f^{2}}