コーシー分布
φ X ̄ ( t ) = E  ( e i X ̄ , t ) = E  ( e i X 1 t / n ⋯ e i X n t / n ) = E  ( e i X 1 t / n ) ⋯ E  ( e i X n t / n ) = E  ( e i X t / n ) n = exp  ( i x 0 t / n − γ | t / n | ) n = φ X ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\overline {X}}(t)&=\operatorname {E} \left(e^{i{\overline {X}},t}\right)=\operatorname {E} \left(e^{iX_{1}t/n}\dotsb e^{iX_{n}t/n}\right)\\&=\operatorname {E} \left(e^{iX_{1}t/n}\right)\dotsb \operatorname {E} \left(e^{iX_{n}t/n}\right)=\operatorname {E} \left(e^{iXt/n}\right)^{n}\\&=\exp(ix_{0}t/n-\gamma |t/n|)^{n}=\phi _{X}(t)\end{aligned}}}
となることから導かれる。このように、コーシー分布に従う確率変数を増やしても、その算術平均の分布は正規分布に近づかないため、中心極限定理における有限分散の仮定は必須であることが分かる。また、これは安定分布族(コーシー分布は安定分布族に含まれる)における一般化中心極限定理の例でもある。
コーシー分布は無限分解可能な分布である。
自由度1のT分布は、標準コーシー分布と一致する。
コーシー分布が属している位置尺度母数分布族は、実係数メビウス変換に関して閉じている。