C*-環
C*-環 A の元のうちで x.x* とかけるものは正(非負)であると呼ばれる。A の正な元全体の集合は錐(加法と正の実数倍について閉じている)をなし、A の正錐 (positive cone) と呼ばれる。局所コンパクト空間上の連続関数環内で正な元とは各点で正(非負)の実数値を取る関数のことであり、ヒルベルト空間 H 上の具体的な C*-環の中で正な元とは任意の H のベクトル ξ について (Tξ, ξ) ≥ 0 となるような作用素 T のことになる。
単位的 C*-環 A 上の汎関数(連続線形形式)φ で、正な元を正の実数にうつし、φ(1) = 1を満たすようなものは A 上の状態(英語版)と呼ばれる。A 上の汎関数 φ が状態であるということは φ が ‖ φ ‖ = φ(1) = 1 を満たすということと同値になる。単位的とは限らない C*-環の上の状態は正な元を正の実数にうつし、かつノルム 1 であるような汎関数として定義される。局所コンパクト空間上の連続関数環に対する状態とは正則ボレル測度で全測度 1 であるようなものについての関数の積分である。A がヒルベルト空間 H上に表現された C*-環のとき、ノルム 1 のベクトル ξ ∈ AH は φξT ↦ (Tξ, ξ) によって A 上の状態を定める。これは量子力学の数学的定式化における特定の状態の下での物理量の測定の期待値を与える操作に対応しており、「状態」という用語のもとになっている。
一般的には上の条件 1, 2 を満たすものを *-環あるいは対合(付き)環、条件 1, 3 を満たすものをバナッハ環あるいは省略して B-環、条件 1, 2, 3 を満たすものをバナッハ *-環あるいは省略して B*-環という。すなわち C*-環とはバナッハ *-環でノルムの C*-性を満たすものである。一般の C*-環は乗法の単位元 1 を持つことを仮定されないが、乗法の単位元を持つような C*-環は単位的 (unital) であると言われる。
C*-環 A と B について、A から B への環の準同型写像 f で対合作用 "∗" を保つものは C*-環の準同型、または *-準同型とよばれる。実は f に対する代数的な仮定から f がノルム 1 以下の(特に、連続な)線形写像であることが従う。とくに、与えられた C*-環に対してその *-構造と両立するノルムは1つしか存在しない。