原始元定理
これらを線型方程式系としてとると、あるいは分解することによって、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} と 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} について Q ( γ ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )} 上解くことができ(例えば 2 = γ 3 − 9 γ 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}=\scriptstyle {\frac {\gamma ^{3}-9\gamma }{2}}} を得る)これは γ のこの選択が確かにこの例の原始元であることを意味している。ガロワ理論によって与えられるすべての部分体の知識を仮定すればより簡単な議論は 1, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , and 2 3 {\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}} の有理数体上の独立性に注目することである。これは γ によって生成される部分体は 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} あるいは 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} あるいは 2 3 {\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}} によってすべての次数 2 の部分体を使い果たして生成される体ではありえないことを示している。したがってそれは体全体でなければならない。