群論の用語
任意の群 G は基本的に、その元全体からなる集合(台集合)G によって生成される自由群 F(G) の剰余群である。このことは、生成元と基本関係によって表示するという群の定式化を与えるものである。
群の直積、自由積、直和および半直積はそれぞれ異なるやりかたで、いくつかの群を組み合わせて一緒に扱う方法を与える。たとえば、群の有限族 Gi の直積はそれぞれの群の台集合 Gi たちの直積集合を台集合としてそこに成分ごとの演算を群演算として定めるものである。
群準同型は二つの群の間の写像 f: G → H で、演算の定める構造を保つもの、つまり
f(a • b) = f(a) • f(b).
を満たすものを言う。全単射、単射、全射な群準同型はそれぞれ群の同型 (isomorphism)、単準同型 (monomorphism), 全準同型 (epimorphism) と呼ぶ。準同型 f の核 ker(f) は常に正規部分群である。f は先ほどと同じ設定として、準同型定理は G, H および準同型 f の核 ker(f), 像 im(f) の構造に関係するもので、具体的には群の同型
G/ker(f) ≅ im(f).
が成り立つというものである。
群論における重要で基本的な問題の一つは、群を同型の違いを除いて全て決定するという群の分類である。
群の全体に群の間の準同型も全てあわせて考えたものは圏を成す。
普遍代数学において、群は (G, •, e, ) という形の代数的構造として一般に扱われる。つまり、単位元の存在や各元をその逆元に写す反転写像は、群の厳密な定義において不可欠なものとして扱われる。