四元数
↑ Hardy 1881 pg. 32. Ginn, Heath, & co.. (1881). https://books.google.com/?id=YNE2AAAAMAAJ&printsec=frontcover&dq=quotient+two+vectors+called+quaternion#PPA32,M1
↑ Journal of Theoretics. http://www.journaloftheoretics.com/articles/3-6/qm-pub.pdf.
1 2 3 Hazewinkel & et. al. (2004, p. 12)
↑ ジョン・ホートン・コンウェイ; Smith, Derek Alan (2003). On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic, and symmetry. p. 9. ISBN 1-56881-134-9. https://books.google.com/books?id=E_HCwwxMbfMC&pg=PA9
↑ Robert E. Bradley, Charles Edward Sandifer (2007). Leonhard Euler: life, work and legacy. p. 193. ISBN 0-444-52728-1. https://books.
p × q = 1 2 ( p q − q ∗ p ∗ ) {\displaystyle p\times q={\frac {1}{2}}(pq-q^{*}p^{*})}
なる等式が成り立つ。一般に p, q が四元数(純虚でなくてよい)のとき、これをスカラー部とベクトル部との和
p = p s + p → v , {\displaystyle p=p_{s}+{\vec {p}}_{v},}
q = q s + q → v {\displaystyle q=q_{s}+{\vec {q}}_{v}}
に分解すれば、等式
p q = p s q s − p → v ⋅ q → v + p s q → v + p → v q s + p → v × q → v {\displaystyle pq=p_{s}q_{s}-{\vec {p}}_{v}\cdot {\vec {q}}_{v}+p_{s}{\vec {q}}_{v}+{\vec {p}}_{v}q_{s}+{\vec {p}}_{v}\times {\vec {q}}_{v}}
が成り立つ。これを見ると、四元数の乗法の非可換性が純虚四元数の乗法からくるものであることが分かり、また2つの四元数が可換となるための必要十分条件がそれらのベクトル部が共線となることなども分かる。