ニュートンの恒等式
もなりたつ。一般に
p k ( x 1 , ... , x n ) = ( − 1 ) k − 1 k e k ( x 1 , ... , x n ) + ∑ i = 1 k − 1 ( − 1 ) k − 1 + i e k − i ( x 1 , ... , x n ) p i ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle p_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-1)^{k-1}ke_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})+\sum _{i=1}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{k-i}(x_{1},\dots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}
がすべてのn≥1とn≥K≥1について成り立つ。
p k ( x 1 , ... , x n ) = ∑ i = k − n k − 1 ( − 1 ) k − 1 + i e k − i ( x 1 , ... , x n ) p i ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle p_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=k-n}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{k-i}(x_{1},\dots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}
がk > n ≥ 1について成り立つ。
与えられたn、k=1,...,n について初等対称多項式 ek(x1,...,xn) はxi に関する対象式の代数的基底を形成する。xi のすべての置換について不変な多項式は基本対称式により表される。これは対称多項式の基本定理として知られている一般的な事実であり、ニュートンの恒等式はべき和対称多項式について明示的な関係を示しいる。
単項多項式 t n + ∑ k = 1 n ( − 1 ) k a k t n − k {\displaystyle \textstyle t^{n}+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{n-k}} にこれを適用すれば、この多項式の根についての対称式S(x1,...,xn)は、係数を用いた多項式P(a1,...,an)により表せることがわかる。このことはガロア理論の一般的結果である。
ニュートンの恒等式は、基本対称多項式をべき和対称多項式で表現することを可能にする。これは、任意の対称多項式がべき和で表現できることを示している。
0 = ( − 1 ) k k e k ( x 1 , ... , x k ) + ∑ i = 1 k ( − 1 ) k − i e k − i ( x 1 , ... , x k ) p i ( x 1 , ... , x k ) , {\displaystyle 0=(-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})+\sum _{i=1}^{k}(-1)^{k-i}e_{k-i}(x_{1},\ldots ,x_{k})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{k}),}
ここで i = 0 の項は、p0 の定義がないため、取り除かれている。この式は k 変数 k 番目のニュートンの恒等式を表している。
変数の数が n < k の場合は、k−n 個の変数をゼロとすることで得られる。また変数の数が n > k の場合、n 個の変数から k 個を選び、そのすべての組み合わせに対して k 変数 k 番目のニュートン恒等式を足し合わせることで得られる。