ロピタルの定理
I ∖ { c } {\displaystyle I\setminus \{c\}} において g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} が成り立つという条件が成り立たない場合、次のような反例が存在する。
f ( x ) = x + cos  x sin  x {\displaystyle f(x)=x+\cos x\sin x}
g ( x ) = e sin  x ( x + cos  x sin  x ) {\displaystyle g(x)=e^{\sin x}(x+\cos x\sin x)}
とおくと、
f ( x ) / g ( x ) = 1 / e sin  x {\displaystyle f(x)/g(x)=1/e^{\sin x}}
は x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } のとき発散するが、
f ′ ( x ) g ′ ( x ) = 2 cos 2  x e sin  x cos  x ( x + ( sin  x + 2 ) cos  x ) = 2 cos  x e sin  x ( x + ( sin  x + 2 ) cos  x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}&={\frac {2\cos ^{2}x}{e^{\sin x}\cos x(x+(\sin x+2)\cos x)}}\\&={\frac {2\cos x}{e^{\sin x}(x+(\sin x+2)\cos x)}}\end{aligned}}}
は0に収束する。
L {\displaystyle L} が有限であり、 c {\displaystyle c} が正の無限大、そして f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} が正の無限大に発散するとする。 0 < ε < 1 {\displaystyle 0<\varepsilon <1} なる任意の ε {\displaystyle \varepsilon } に対してある a {\displaystyle a} が存在し、
x ≥ a ⇒ | f ′ ( x ) g ′ ( x ) − L | < ε / 3 {\displaystyle x\geq a\Rightarrow \left|{\frac {f'(x)}{g'(x)}}-L\right|<\varepsilon /3}
が成り立つ。この a に対してある b が存在し、
x ≥ b ⇒ g ( x ) > 3 ( | L | + 1 ) ε max { | f ( a ) | , | g ( a ) | } {\displaystyle x\geq b\Rightarrow g(x)>{\frac {3(|L|+1)}{\varepsilon }}\max\{|f(a)|,|g(a)|\}}
が成り立つ。