ストリッカーツ評価
次の自由シュレーディンガー方程式を考える:
i ∂ t u + Δ u = 0 , u ( t , x ) : R t , x 1 + d → C . {\displaystyle i\partial _{t}u+\Delta u=0,\quad u(t,x):\mathbb {R} _{t,x}^{1+d}\to \mathbb {C} .}
ここで Δ {\displaystyle \Delta } はラプラシアンである。初期値が u ( 0 ) = u 0 {\displaystyle u(0)=u_{0}} であれば、解は
u ( t , x ) = e i t Δ u 0 = F − 1 ( e − i t | ξ | 2 u 0 ^ ( ξ ) ) {\displaystyle u(t,x)=e^{it\Delta }u_{0}={\mathcal {F}}^{-1}(e^{-it|\xi |^{2}}{\widehat {u_{0}}}(\xi ))}
と書ける。
‖ ∑ n = 1 ∞ a n | e i t Δ u n | 2 ‖ L p / 2 ( R t ; L q / 2 ( R x d ) ) ≤ C d , p ‖ a ‖ l α {\displaystyle {\Big \|}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}|e^{it\Delta }u_{n}|^{2}{\Big \|}_{L^{p/2}(\mathbb {R} _{t};L^{q/2}(\mathbb {R} _{x}^{d}))}\leq C_{d,p}\|a\|_{\ell ^{\alpha }}}
が成り立つ。右辺のノルムが l 1 {\displaystyle \ell ^{1}} から l α , α > 1 {\displaystyle \ell ^{\alpha },\alpha >1} になっているところがポイントである。a<bのとき l a ⊂ l b {\displaystyle \ell ^{a}\subset \ell ^{b}} であることに注意せよ。