有限生成加群
加群 M が体 R 上のベクトル空間であり生成集合が一次独立な場合には、n は well-defined で M の次元と呼ばれる(ここに言うwell-defined とは、ベクトル空間の全体を定義域とし非負整数を値域にとる次元についての写像dimを構成する際に0でないベクトル空間Vに対応する非負整数をdim(M)=n:=#{“ある”一次独立なMの生成集合}として定めている(M={0}の場合はdim(M)=0とする)訳であるが、この一次独立なMの生成集合自体が一通りとは限らず、dim(M)に与えた定義からは対応する非負整数が一意的に定まるか否かは自明な主張ではない(当然次元というものを多価関数としては想定しておらず定義の段階では矛盾孕んでいる可能性を排除し切れていない)ものの、実際に任意にとれる{“ある”一次独立なMの生成集合}の濃度はそれぞれ等しく、引数Mに対しての戻り値nが一意的に定まることから、dimが写像として矛盾なく定義されることがちゃんと確認されるという意味である。なお、このことはベクトル空間の次元定理によって明確に保証される)。
数学において、有限生成加群(ゆうげんせいせいかぐん、英: finitely generated module)とは、有限な生成集合をもつ加群のことである。有限生成 R-加群はまた有限 R-加群 (finite R-module, module of finite type) や R 上有限 (finite over R) とも呼ばれる。
関連した概念に、有限余生成加群 (finitely cogenerated module)、有限表示加群 (finitely presented module)、有限関係加群 (finitely related module)、連接加群 (coherent module) があり、これらはすべてあとで定義される。ネーター環上では、有限生成、有限表示、連接加群の概念は一致する。
たとえば体上の有限生成加群とは単に有限次元ベクトル空間であり、有理整数環上の有限生成加群とは単に有限生成アーベル群である。