ラプラス変換
表中の凡例
u ( t ) {\displaystyle u(t)} : ヘビサイド関数
( f ∗ g ) ( t ) {\displaystyle (f*g)(t)} : f と g の畳み込み
f ′ ( t ) {\displaystyle f'(t)} : f (t) の 1 階微分
f ( n ) ( t ) {\displaystyle f^{(n)}(t)} : f (t) の n 階微分
ラプラス変換は線型性を持ち、したがって特に重ね合わせの原理 を用いて計算することが可能である。ラプラス変換が線型性を持つとは、任意の関数 f(t), g(t) に対して
L [ a f ( t ) + b g ( t ) ] = a F ( s ) + b G ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}[af(t)+bg(t)]=aF(s)+bG(s)}
が成り立つということである。ただし、a, b は t に関係しない定数。逆ラプラス変換も同様に線形性を持ち、
L − 1 [ a F ( s ) + b G ( s ) ] = a f ( t ) + b g ( t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}[aF(s)+bG(s)]=af(t)+bg(t)}
が成り立つ。したがって、与えられた関数を部分分数分解できるとき、各因子がラプラス変換の表にあるものに合致すれば、その変換が求められる。