長さの収縮
L = L 0 / γ ( v ) {\displaystyle L=L_{0}/\gamma (v)}
ここで
Lは物体に対して相対的な運動をする観測者により観測される長さ
L0は固有長(静止系での物体の長さ)
γ(v)は γ ( v ) ≡ 1 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma (v)\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\ } と定義されるローレンツ因子
vは観測者と運動する物体の間の相対速度
cは光速
元の式のローレンツ因子を置き換えると、次の式になる。
L = L 0 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle L=L_{0}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}
この式ではLとL0の両方は物体の運動の線に平行に測定される。相対運動中の観測者の場合、物体の長さは、物体の両端の同時に測定された距離を引き算することにより測定される。より一般的な変換はローレンツ変換参照。光速に非常に近い速度で運動する物体を静止状態で観測する観測者は、進行方向の物体の長さを非常にゼロに近い長さとして観測する。
速度1340万 m/s (3000万mph, 0.0447c)では収縮した長さは静止時の99.9%であり、速度4230万 m/s (9500万mph, 0.141c)では長さは99%である。速度の大きさが光速に近づくにつれてこの効果は顕著になる。
長さの収縮はローレンツ変換からいくつかの方法により導出できる。
x ′ = γ ( x − v t ) t ′ = γ ( t − v x / c 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\t'&=\gamma \left(t-vx/c^{2}\right)\end{aligned}}}