自己相関
時系列データによる回帰分析では、残差(residual)の自己相関が問題であり、t分布などで係数を推定する際の有意性の推定に偏りを生じさせる。一次自己相関の有無に関する古典的な検定としてダービン・ワトソン統計量がある。高次の自己相関もカバーするより柔軟な検定として Breusch-Godfrey 検定がある。これは補助回帰として、予測モデルとの残差を元の独立変数に回帰させるか、残差の k ラグに回帰させる(ここで k は検定の order)。この補助回帰の最も単純な検定統計量は TR となる。ここで、T は標本数、R は決定係数である。自己相関がないという仮定の下で、この統計量は自由度 k のカイ二乗分布に漸近的に近づく。
R x x ( j ) = ∑ n x n x ̄ n − j . {\displaystyle R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}{\overline {x}}_{n-j}\ .}
これらの定義は二乗可積分あるいは二乗可加算な信号、つまりエネルギーが有限な場合に有効である。永遠に続く信号は確率過程として扱われ、期待値に基づいた別の定義が必要となる。広義定常確率過程での自己相関は次のように定義される:
R f f ( τ ) = E [ f ( t ) f ̄ ( t − τ ) ] {\displaystyle R_{ff}(\tau )=E\left[f(t){\overline {f}}(t-\tau )\right]}
R x x ( j ) = E [ x n x ̄ n − j ] {\displaystyle R_{xx}(j)=E\left[x_{n}{\overline {x}}_{n-j}\right]}
定常的でない過程では、これらは t または n の関数となる。
エルゴード的でもある過程では、期待値の代わりに時間平均の極限値を使うことができる。エルゴード過程の自己相関は以下のようにも表される:
R f f ( τ ) = lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T f ( t + τ ) f ̄ ( t ) d t {\displaystyle R_{ff}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f}}(t)\,dt}
自己相関(じこそうかん、英: autocorrelation)とは、信号処理において時間領域信号等の関数または数列を解析するためにしばしば用いられる数学的道具である。大雑把に言うと、自己相関とは、信号がそれ自身を時間シフトした信号とどれくらい一致するかを測る尺度であり、時間シフトの大きさの関数として表される。より正確に述べると、自己相関とは、ある信号のそれ自身との相互相関である。自己相関は、信号に含まれる繰り返しパターンを探すのに有用であり、例えば、ノイズに埋もれた周期的信号の存在を判定したり、 信号中の失われた基本周波数を倍音周波数による示唆に基づき同定するために用いられる。
以下では、1次元自己相関の特性のみを扱う。2次元以上の特性は1次元の特性から容易に導くことができる。
自己相関の基本特性は R(i) = R(−i) という対称性である。これは定義から容易に証明できる。連続の場合、f が実関数であれば自己相関は偶関数である。
R f ( − τ ) = R f ( τ ) {\displaystyle R_{f}(-\tau )=R_{f}(\tau )\,}
f が複素関数であるとき、その自己相関はエルミート関数である。 R f ( − τ ) = R f ∗ ( τ ) {\displaystyle R_{f}(-\tau )=R_{f}^{*}(\tau )\,}
連続自己相関関数は原点でピーク値となり、実数値となる。つまり、任意のラグ τ について | R f ( τ ) | ≤ R f ( 0 ) {\displaystyle |R_{f}(\tau )|\leq R_{f}(0)} である。これはコーシー・シュワルツの不等式から導かれる。離散の場合も同様である。
周期関数の自己相関も周期的であり、元の関数と同じ周期である。
全く相関のない2つの関数(相互相関が任意の τ について常にゼロ)の総和の自己相関は、各関数の自己相関の総和である。
自己相関は相互相関の特殊例であり、相互相関の全特性を備えている。
ホワイトノイズの自己相関は τ = 0 のときにピークが存在し、他の τ では常に 0 となる。これはホワイトノイズの標本群が同じ標本群の時間をずらしたものと全く相関しないことを意味する。