体積形式
連結多様体 M 上の体積形式は、唯一の大域不変量を持っている。すなわち、体積 μ ( M ) {\displaystyle \mu (M)} であり、写像で保存される体積形式の不変量である。 R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} のルベーグ体積な無限大も可能である。不連続な多様体上では、各々の連結成分の体積が不変量である。
記号として、 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} は、 ω N {\displaystyle \omega _{N}} を ω M {\displaystyle \omega _{M}} へ引き戻す多様体の同相写像であるので、
μ ( N ) = ∫ N ω N = ∫ f ( M ) ω N = ∫ M f ∗ ω N = ∫ M ω M = μ ( M ) {\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)}
であり、多様体は同じ体積を持つ。
体積形式は、被覆写像の下での引き戻しでもあり、ファイバー上の数値(公式にはファイバーに沿った積分により)を掛けることにより体積を得る。無限個のシートの被覆( R → S 1 {\displaystyle \mathbf {R} \to S^{1}} のような)の場合は、有限体積を持つ多様体上の体積形式は、無限の体積を持つ多様体の上の体積形式の引き戻しである。
すべてのリー群に対し、自然な体積形式を変換により定義することができる。すなわち、ωe を ⋀ n T e ∗ G {\displaystyle \bigwedge ^{n}T_{e}^{*}G} の元とすると、左不変形式が ω g = L g − 1 ∗ ω e {\displaystyle \omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\omega _{e}} により定義される。ここに Lg は左変換である。この系として、すべてのリー群は向き付け可能であることが分かる。リー群の体積形式はスカラー倍を除き一意的であり、対応する測度はハール測度として知られている。
向きつけられた多様体上の体積形式 ω が与えられると、密度(英語版)(density) |ω| は、向きつけを忘れることにより得られる向き付け不可能な多様体上の体積擬形式(英語版)(pseudo-form)である。密度は、より一般的な向き付け不可能な多様体上でも定義することができる。
任意の体積擬形式 ω (と、従って任意の体積形式)は、
μ ω ( U ) = ∫ U ω . {\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .\,\!}
によりボレル集合上の測度を定義する。
体積形式との差異は、測度は(ボレル)部分集合上で積分できることに対し、体積形式は向き付けられた胞体上でしか積分することができないことである。