高速フーリエ変換
スペクトラムアナライザ
OFDM変復調器 OFDM(日本および欧州で地上デジタルテレビジョン放送やADSL等に用いられる変調方式)の実装は、LSI化されたFFTおよびIFFT(逆変換)をそれぞれ復調器および変調器を用いて行われている。
フーリエ変換NMR 核磁気共鳴 (NMR) スペクトルを得るために使用される。
コンピュータ断層撮影 (CT)、核磁気共鳴画像法 (MRI) 等 受像素子を360度回転させながら連続撮影した映像をフーリエ変換する事により、回転面の透過画像を合成する。
多倍精度の乗除算
自動列車停止装置 (例: JR西日本の最新型車両。地上子が発振する周波数の検出に、高速フーリエ変換が用いられている)
FFTアナライザ 周波数の分布を調べるために使用される。以前はハードウェアで信号を処理していたが、近年はCPUの性能が向上した為ソフトウェアで処理される。ノートパソコンとUSBで接続して使用するもの や、近年はデジタルオシロスコープにFFTの機能を内蔵している物もある。
電波天文学 FX型デジタル分光相関器等を使用して星間分子のスペクトルを解析する。
離散フーリエ係数は、1の原始 N 乗根の1つ WN = e を使うと、次のように表せる。
F ( t ) = ∑ x = 0 N − 1 f ( x ) W N t x . {\displaystyle F(t)=\sum _{x=0}^{N-1}f(x)W_{N}^{tx}.}
例えば、N = 4 のとき、 F ( t ) = X t {\displaystyle F(t)=X_{t}} 、 f ( k ) = x k {\displaystyle f(k)=x_{k}} とすれば、離散フーリエ係数は行列を用いて表現すると(W = W4 と略記)
[ X 0 X 1 X 2 X 3 ] = [ W 0 W 0 W 0 W 0 W 0 W 1 W 2 W 3 W 0 W 2 W 4 W 6 W 0 W 3 W 6 W 9 ] [ x 0 x 1 x 2 x 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{0}\\X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}W^{0}&W^{0}&W^{0}&W^{0}\\W^{0}&W^{1}&W^{2}&W^{3}\\W^{0}&W^{2}&W^{4}&W^{6}\\W^{0}&W^{3}&W^{6}&W^{9}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}}
となる。入力列 xk を添字の偶奇で分けて、以下のように変形する。