モチヴィック・コホモロジー
X を体 k 上の滑らかなスキーム、m を k で可逆な正の整数とする。このとき、モチヴィック・コホモロジーからエタール・コホモロジーへのサイクル写像と呼ばれる自然な準同型
H i ( X , Z / m ( j ) ) → H e t i ( X , Z / m ( j ) ) {\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))}
が存在する。
ここで、右の Z/m(j) は、1の m 乗根 μm からなるエタール層 (μm) である。これは、滑らかな多様体のチャウ環からエタール・コホモロジーへのサイクル写像(英語版)の一般化になっている。
モチヴィック・コホモロジーを計算することが代数幾何学や数論の目標になることが多いが、一方、エタール・コホモロジーのほうが理解が容易なことが多い。