ポアンカレ・ベンディクソンの定理
また、x0 に対して、φ(T, x0) = x0 かつ φ(t < T, x0) ≠ x0 を満たすような T > 0 が存在するとき、これを満たすときの x0 の軌道を周期軌道という。相空間上の周期軌道は、円のように自分自身と交わらない閉曲線となる。
時間が無限大に発散するときの軌道 O(x0) の漸近的な振る舞いを調べるために、x0 の極限集合が重要となる。ある点 x0 ∈ M に対して時刻 t の列 t1, t2, ... → ∞ を一つ適当に選ぶと
lim k → ∞ φ ( t k , x ) = y ∈ M {\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\phi (t_{k},\ {\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {y}}\in M}
となるとき、y を x0 のω極限点という。そして、x0 のω極限点全てから成る集合を x0 のω極限集合といい、ω(x0) で表すとする。時間を逆向き t1, t2, ... → −∞ にした方はα極限集合といい、α(x0) で表すとする。ω極限集合またはα極限集合を総称して極限集合という。
O(x0) が平衡点または周期軌道ならば、ω(x0) と α(x0) はその O(x0) 自体と同じとなる。極限集合 ω(x0) または α(x0) が周期軌道で、それでいて x0 自体はそれら ω(x0) または α(x0) に含まれないとき、そのような極限集合をリミットサイクルという。リミットサイクルに対して、軌道は巻きつくようにして収束する。