コーシー積
実または複素数列 (an)n≥0 および (bn)n≥0 を考える。級数 ∑an, ∑bn がともに絶対収束してその値がそれぞれ A, B であるならばそれらのコーシー積 ∑cn も収束して、その値 C は積 AB に等しい。また、三者がすべて収束する場合にも C = AB である。しかし ∑an, ∑bn がともに収束するというだけでは、それらのコーシー積 ∑cn が収束するためには十分でない。また、二つの級数 ∑an, ∑bn が発散する場合でも、それらのコーシー積 ∑cn が絶対収束することもある
収束級数同士のコーシー積が収束することを保証する一つの十分条件を、ドイツ人数学者フランツ・メルテンス(英語版)が与えた:
二つの複素係数冪級数 ∑∞i=0 ai x および ∑∞j=0 bj x に対し、それらのコーシー積とは ( ∑ i = 0 ∞ a i x i ) ⋅ ( ∑ j = 0 ∞ b j x j ) = ∑ k = 0 ∞ ( ∑ l = 0 k a l b k − l ) x k {\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}{\biggr )}x^{k}} で与えられる冪級数を言う。