競争 (生物)
d N 1 d t = r 1 N 1 {\displaystyle {\frac {dN_{1}}{dt}}=r_{1}N_{1}}
および
d N 2 d t = r 2 N 2 {\displaystyle {\frac {dN_{2}}{dt}}=r_{2}N_{2}}
となる。つまり、次の瞬間にかけての個体数の増加率は、内的増加率が高ければそれに比例して高くなるし、現在の個体数が多ければやはりそれに比例して高くなる。
これに種内競争によるブレーキを組み込んだのがロジスティック方程式の微分方程式で、
d N 1 d t = r 1 N 1 ( K 1 − N 1 K 1 ) {\displaystyle {\frac {dN_{1}}{dt}}=r_{1}N_{1}\left({\frac {K_{1}-N_{1}}{K_{1}}}\right)}
および
d N 2 d t = r 2 N 2 ( K 2 − N 2 K 2 ) {\displaystyle {\frac {dN_{2}}{dt}}=r_{2}N_{2}\left({\frac {K_{2}-N_{2}}{K_{2}}}\right)}
となる。
ロトカ-ヴォルテラ式は、これにさらに種間競争によるブレーキ、α1N2 および α2N1 を組み込んだものである。
競争(きょうそう、英語:competition)とは、生物の個体同士が生息域や食糧、配偶相手などを争うこと。同種個体間に見られる種内競争(英語:Intraspecific competition)、違う種間に見られる種間競争(英語:Interspecific competition)の二つがある。生存競争と表現されることもあるが、生物が行う競争は生存のためだけではないため、文脈によっては生存競争の語がふさわしくないこともある。
それぞれの種の増加にブレーキをかけるのは、1 を上限とする 1 − N 1 + α 1 N 2 K 1 {\displaystyle 1-{\frac {N_{1}+\alpha _{1}N_{2}}{K_{1}}}} と 1 − N 2 + α 2 N 1 K 2 {\displaystyle 1-{\frac {N_{2}+\alpha _{2}N_{1}}{K_{2}}}} である。これらの値が小さければ小さいほど、つまり N 1 + α 1 N 2 K 1 {\displaystyle {\frac {N_{1}+\alpha _{1}N_{2}}{K_{1}}}} と N 2 + α 2 N 1 K 2 {\displaystyle {\frac {N_{2}+\alpha _{2}N_{1}}{K_{2}}}} の値が大きくなって 1 に近づけば近づくほど、それぞれの種の増加率は鈍り、0 に近づくし、1 を超えて大きくなると増加率は負となり、個体数は減少に転じる。
N 1 + α 1 N 2 K 1 {\displaystyle {\frac {N_{1}+\alpha _{1}N_{2}}{K_{1}}}} や N 2 + α 2 N 1 K 2 {\displaystyle {\frac {N_{2}+\alpha _{2}N_{1}}{K_{2}}}} の値を左右するのは、まずそれぞれの種の現在の個体数、相手の個体数、相手の自分に対する競争係数、そして環境収容力である。
現在の自分のほうの個体数が大きくなれば、この式の分子 N1 + α1N2 および N2 + α2N1 の左の項が大きくなるので、この式の値は大きくなる。