随伴公式 (代数幾何学)
平面曲線の種数次数公式(genus-degree formula)は、随伴公式より導くことができる。 C ⊂ P の次数が d で種数が g の滑らかな平面曲線とし、H を P の超曲面のクラス(つまり、直線のクラス)とすると、P の標準クラスは −3H である。結局、随伴公式は、C への (d − 3)H の制限と C の標準クラスが等しいことを言っている。この制限は、C へ制限された交叉積 (d − 3)H · dH が同じであり、従って、C の標準クラスの次数は、d(d − 3) である。リーマン・ロッホの定理により、
g − 1 = (d − 3)d − g + 1 であり、この式は次の種数次数公式を意味する。
g = ( d − 1 ) ( d − 2 ) / 2 . {\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2\ .}
同様に、 C が二次曲面 P×P 上の滑らかな曲線で双次数(bidegree) (d1,d2) (この意味は d1, d2 は各々の P への射影の交叉次数を意味する)を持つ滑らかな曲線とすると、P×P は双次数 (−2,−2) であるので、随伴公式より、C の標準クラスは双次数 (d1,d2) の因子の交叉積であり、(d1−2, d2−2) である。