ヒルベルト空間
L(R) および L([0, 1]) をそれぞれ実数直線および単位閉区間上で定義される(ルベーグ測度に関する)自乗可積分関数全体の成す空間とすると、それぞれの自然な定義域上でフーリエ変換とフーリエ級数が定義できる。別な状況では、実数直線上の通常のルベーグ測度ではない何か別の測度を用いることもある。例えば、任意の正値可測関数 w をとり、区間 [0, 1] 上の可測関数 f で
∫ 0 1 | f ( t ) | 2 w ( t ) d t < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{1}|f(t)|^{2}w(t)\,dt<\infty }
を満たすもの全体の成す空間は重み付き L-空間と呼ばれ、w を重み関数と呼ぶ。内積は
⟨ f , g ⟩ = ∫ 0 1 f ( t ) g ( t ) ̄ w ( t ) d t {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(t){\overline {g(t)}}w(t)\,dt}
で与えられる。重み付き空間 L2w([0, 1]) はヒルベルト空間 L([0, 1], μ) に等しい。ただし測度 μ は可測集合 A に対して
μ ( A ) = ∫ A w ( t ) d t {\displaystyle \mu (A)=\int _{A}w(t)\,dt}
を満たすものと定める。このような重み付き L 空間は直交多項式を調べるのによく用いられる(これは種々の直交多項式系は、それぞれ別な重み関数に関する意味で直交することによる)。
直交補空間については、いくつかのより初等的な事実が成立する。「U ⊂ V ならば V ⊆ U で、等号成立は V が U の閉包に含まれるとき、かつそのときに限る」という意味で、直交補空間をとる操作は単調写像である。これはハーン・バナッハの定理の特別の場合である。部分空間の閉包は直交補空間の言葉で完全に特徴付けることができる。即ち、V が H の部分空間ならば、V の閉包はV に一致する。従って、直交補空間をとる操作は、ヒルベルト空間の部分空間全体の成す半順序集合上のガロワ対応になっている。一般に、部分空間の合併の直交補空間は直交補空間の交わりに一致する。即ち
( ∑ i V i ) ⊥ = ⋂ i V i ⊥ {\displaystyle {\Big (}\sum _{i}V_{i}{\Big )}^{\perp }=\bigcap _{i}V_{i}^{\perp }}
が成り立つ。さらに Vi が閉ならば
∑ i V i ⊥ ̄ = ( ⋂ i V i ) ⊥ {\displaystyle {\overline {\sum _{i}V_{i}^{\perp }}}={\Big (}\bigcap _{i}V_{i}{\Big )}^{\perp }}
を得る。
中村英樹:「ヒルベルト空間論&作用素論」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-0529-2 (2020)。
バナッハ空間が一般に持つ性質はヒルベルト空間においても成立する。開写像定理の主張は「バナッハ空間からバナッハ空間への連続かつ全射な線型写像は、開集合を開集合に写すという意味で開写像である」ことをいい、その系としての有界逆写像定理は「バナッハ空間からバナッハ空間への連続全単射な線型写像は(逆写像も連続であるような連続線型写像の意味で)同型である」ことを主張する。ヒルベルト空間版のこの定理の証明は、一般のバナッハ空間でやるよりも随分と簡単になる。開写像定理は閉グラフ定理と同値である。後者は「バナッハ空間からバナッハ空間への線型写像が連続となるための必要十分条件がそのグラフが閉集合となることである」ことを主張するものである。ヒルベルト空間の場合には、これが非有界作用素の研究において基本になる(閉作用素参照)。
(幾何学的な)ハーン・バナッハの定理は、閉凸集合をその外にある任意の点からヒルベルト空間の超平面によって分割できることを示すものである。これは最適近似性から直ちに得られる。即ち、y が閉凸集合 F の元で x に最近接するものとすると、線分 xy に垂直で、その中点を通る平面が求める分割超平面である。