進化ゲーム
x i ( t + 1 ) = p i ( t + 1 ) p ( t + 1 ) = α + u ( e i , x ( t ) ) α + u ( x ( t ) , x ( t ) ) x i ( t ) . {\displaystyle x_{i}(t+1)={\frac {p_{i}(t+1)}{p(t+1)}}={\frac {\alpha +u(e^{i},\,x(t))}{\alpha +u(x(t),\,x(t))}}x_{i}(t).}
で表現される。この差分方程式の下では毎回全ての個体が死滅して新しい世代が一斉に生まれることになる。代わりに、単位時間あたり r 回に分けて集団の 1 / r ずつを更新するモデルを考えよう。更新は等しい時間間隔 τ = 1 / r で、背景利得は β であるとすると、
x i ( t + τ ) = 1 − τ + τ [ β + u ( e i , x ( t ) ) ] 1 − τ + τ [ β + u ( x ( t ) , x ( t ) ) ] x i ( t ) . {\displaystyle x_{i}(t+\tau )={\frac {1-\tau +\tau [\beta +u(e^{i},\,x(t))]}{1-\tau +\tau [\beta +u(x(t),\,x(t))]}}x_{i}(t).}
で表現される階数 r 世代重複ダイナミクスが得られる。 r = α − β + 1 の場合は離散時間ダイナミクスである。また、階数を限りなく大きくする (つまり時間間隔 τ が限りなく0に近づく) と、連続時間ダイナミクスに収束する。
進化ゲーム理論(しんかゲームりろん、英: evolutionary game theory)とは、ゲーム理論の枠組みを集団遺伝学や個体群動態論に応用して成立した理論である。ジョン・メイナード=スミスとジョージ・プライスが進化的に安定な戦略を提唱した1973年の論文をもってその誕生とされ、1980年代になるとゲーム理論を生み出した経済学を含む社会科学に逆輸入された。
一般的な非協力ゲーム理論は、強支配される戦略の繰り返し消去による反復支配戦略均衡や後ろ向き帰納法による部分ゲーム完全均衡のように、「事前に」利得関数を把握し適切な戦略を計算してからゲームに臨む合理的なプレイヤーを想定してその意思決定を分析するが、進化ゲーム理論は、繰り返されるゲームの中でゲーム結果である利得に基づいて「事後的に」戦略を変更していくプレイヤー (の集団) を想定してその状態 (戦略分布) の変化を力学系として分析する理論で、一切の合理的思考を行わないプレイヤーをも扱える。どの戦略が安定して繁栄するのかを分析する安定性概念として進化的に安定な戦略などを、ある状態からどの安定状態に向かうのかを分析する動学的モデルとして、プレイヤーの出生死滅 (自然選択) で集団状態が変化するレプリケーターダイナミクスや、プレイヤーの学習によって戦略分布が変化する学習ダイナミクスなどを用いる。