ハートレー変換
ハートレー変換は実線形作用素であり、対称である(そしてエルミートである)。その対称性および自己反転性により、ハートレー変換はユニタリ作用素であることが分かる(実際、直交である)。
ハートレー変換について、重畳積分定理と類似な次のような議論がある。もし二つの関数 x ( t ) {\displaystyle x(t)} および y ( t ) {\displaystyle y(t)} にそれぞれハートレー変換 X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )} および Y ( ω ) {\displaystyle Y(\omega )} が存在するなら、それらの関数の畳み込み z ( t ) = x ∗ y {\displaystyle z(t)=x*y} にも同様にハートレー変換が存在し、次のように与えられる:
Z ( ω ) = { H ( x ∗ y ) } = 2 π ( X ( ω ) [ Y ( ω ) + Y ( − ω ) ] + X ( − ω ) [ Y ( ω ) − Y ( − ω ) ] ) / 2 {\displaystyle Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega )\left[Y(\omega )+Y(-\omega )\right]+X(-\omega )\left[Y(\omega )-Y(-\omega )\right]\right)/2}
フーリエ変換と同様に、偶関数あるいは奇関数のハートレー変換はそれぞれ偶関数あるいは奇関数となる。