条件収束
正確には、級数
∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
が条件収束する (converge conditionally) とは、
lim m → ∞ ∑ n = 0 m a n {\displaystyle \lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}a_{n}}
が存在して有限の数である(∞ や −∞ ではない)が、
∑ n = 0 ∞ | a n | = ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty }
であることをいう。
古典的な例は次の交代級数
1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n {\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}}
であり、これは log 2 に収束するが、絶対収束しない(調和級数を参照)。
ベルンハルト・リーマン (Bernhard Riemann) はリーマンの級数定理(英語版)と呼ばれる次の定理を証明した。条件収束する級数は、項の順序を入れ替えることによって、∞ や −∞ を含むどんな和にも収束させることができる。
典型的な条件収束積分は sin(x) の非負の実軸上の積分である(フレネル積分を参照)。