対称式
基本対称式の他に対称式の重要な例として、各自然数 k に対し pk = x1 + ... + xn によって定義されるk次ニュートン多項式があげられる。基本対称式の場合と同じように、n変数に関するニュートン多項式 pk(x1, .., xn) について、xnに 0 を代入すると n - 1 変数に関するニュートン多項式 pk(x1, .., xn - 1) がえられる。
上記の根と係数の関係から、1 ≤ i ≤ nなる iについて
x i n − σ 1 x i n − 1 + σ 2 x i n − 2 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 σ ( n − 1 ) x i + ( − 1 ) n σ n = ∏ k = 1 n ( x i − x k ) = 0 {\displaystyle x_{i}^{n}-\sigma _{1}\ x_{i}^{n-1}+\sigma _{2}\ x_{i}^{n-2}-\cdots +(-1)^{n-1}\ \sigma _{(n-1)}\ x_{i}+(-1)^{n}\ \sigma _{n}=\prod _{k=1}^{n}(x_{i}-x_{k})=0}
が成り立っているが、これらの式の左辺を xi たちについてすべて足し合わせることで