回転矢印表記
回転矢印表記を考案したクリス・バードは、これにちなんだ巨大数として、バード数(旧バード数)を定義した。ここで見出しを「旧バード数」としているのは、後述するように現在では新しい定義によるバード数(新バード数)を定義しているからである。
旧バード数の計算ではまず、N=3(↑G)(↑G)(↑G)(↑G)3(Gはグラハム数)という定数を考え、それを下敷きにして強化に次ぐ強化を繰り返し行うといった数であるが、その強化する計算過程(定義)には大きく分けて3段階ある。
第1段階:関数X(n) まず、X(1)=N(↑N)N を考える。 X(n)=X(n-1)(↑X(n-1))(n-1)というプロセスで強化していく。 そこでX(N)に達すると、X(N)をX1(N)と呼び直して第2段階に移る。
第2段階:添字付きの関数X(n) X2(1)=X1(N) X2(2)=(X1)(N)=X1(X1(N)) X3(1)=X2(N)=(X1)(N) ...というプロセスでまた強化していく。 H=XN(N)に達すると第3段階に移る。
第3段階:添字部分への入れ子操作 XH(N),XXH(N)(N),...のように、今度はXの添字部分に入れ子を作っていく形で強化していく。 入れ子操作をXH(N)回行った結果生まれる巨大数が旧バード数となる。
通常のチェーン表記における、a→a→...(b個のa)...→a→aが出発点となり、これは回転矢印表記でa→→bと→を2本重ねて表記される。
ただし、この→→の機能の仕方はチェーンの→とは異なり、クヌースの矢印表記のような働きをし、演算子として解釈される。
a→→b→→c→→d=a→→(b→→(c→→d))
更に、クヌースの矢印表記と同様に、次のように積み重なっていく。
a→→a→→...(b個のa)...→→a→→a=a→→→b
a→→→a→→→...(b個のa)...→→→a→→→a=a→→→→b
a→...(n本の→)...→b=a→b
a→a→...(b個のa)...→a→a=a→b
このようにして複数本重ねた→は、同様に演算子としてクヌースの矢印表記のような働きをし、次のように処理される。
a→b→c→d=a→(b→(c→d))