素朴集合論
特定の状況では、考えているすべての集合を、特定の普遍集合の部分集合と見なすことができる。たとえば、実数 R (および R の部分集合)の性質を調べる場合、 R は普遍集合と見なせる。真の普遍集合は標準集合論には含まれていないが(以下のパラドックスを参照)、一部の非標準集合論には含まれている。
普遍集合 U と U の部分集合 A が与えられると、A の補集合(U の部分集合)は次のように定義される。
A := { x ∈ U : x ∉ A }
言い換えると、 A ( "A-complement"。場合によっては単にA' ("A-prime"))は、 A の要素ではない U のすべての要素の集合である。したがって、前節で定義されているように R, Z, O を用いると、 Z が普遍集合である場合、O は偶数の整数の集合であり、 R が普遍集合である場合、O は偶数の整数であるか整数ではないすべての実数の集合となる。
素朴集合論では、集合は明確に定義された対象の集まりとして記述される。これらの対象は、集合の要素または元と呼ばれる。対象は、数字、人、その他の集合など、何でもかまわない。たとえば、4はすべての偶数の整数の集合の元である。明らかに、偶数の集合は無限に大きいが、集合が有限である必要はない。
集合の定義はカントールに戻る。彼は1915年の記事Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre に次のように述べている。
“Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.” – Georg Cantor
「集合とは、集合の要素と呼ばれる、我々の知覚または思考の明確で明確な対象の全体に集まったものである。」 – ゲオルク・カントール