フルヴィッツのゼータ函数
ζ ( s , q ) = 1 q s + ∑ n = 0 ∞ ( − q ) n ( s + n − 1 n ) ζ ( s + n ) {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n)}
が成立する。
スターク・ケイパーの公式 (Stark–Keiper formula)
ζ ( s , N ) = ∑ k = 0 ∞ [ N + s − 1 k + 1 ] ( s + k − 1 s − 1 ) ( − 1 ) k ζ ( s + k , N ) {\displaystyle \zeta (s,N)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[N+{\frac {s-1}{k+1}}\right]{s+k-1 \choose s-1}(-1)^{k}\zeta (s+k,N)}
は、これと密接に関連していて、整数 N と任意の s に対して成り立つ。整数のべきの有限和についての同様な関係式については、ファウルハーバーの公式を参照。
ローラン級数展開は、次の級数の中のスティルチェス定数 (Stieltjes constants) を定義することに使うことができる。
ζ ( s , q ) = 1 s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! γ n ( q ) ( s − 1 ) n . {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}.}
特に、 γ 0 ( q ) = − ψ ( q ) {\displaystyle \gamma _{0}(q)=-\psi (q)} and γ 0 ( 1 ) = − ψ ( 1 ) = γ 0 = γ {\displaystyle \gamma _{0}(1)=-\psi (1)=\gamma _{0}=\gamma } である。