粘性解
が解を持つとは、 x {\displaystyle x} 、 u {\displaystyle u} 、 D u {\displaystyle Du} および D 2 u {\displaystyle D^{2}u} が全ての点においてその方程式を満たすような、全領域で連続かつ微分可能な函数 u(x) が存在することを言う。
あるスカラー方程式が退化楕円型(次節で定義する)であるとき、粘性解と呼ばれるある種の弱解を定義することが出来る。粘性解の概念の下では、u は必ずしも至る所で微分可能でなくても良い。 D u {\displaystyle Du} あるいは D 2 u {\displaystyle D^{2}u} のいずれかは存在しないが u がある適切な意味において上の方程式を満たすような点が存在し得るのである。その定義はある種の特異性のみを許すものであるため、広い方程式のクラスに対して、一様極限の下での解の存在、一意性および安定性が保証されている。