68–95–99.7則
“68%, 95%, 99.7%” は標準正規分布の累積分布関数に由来している。
任意の偏差値 z の期待幅は、(1−(1−Φμ,σ(z))·2)に対応する。
例えば、2σの範囲、つまりΦ(2) ≈ 0.9772もしくはPr(X ≤ μ + 2σ) ≈ 0.9772は、(1 − (1 − 0.97725)·2) = 0.9545 = 95.45%に対応する。しかしこの間隔は対称的ではない。観測値が μ + 2σ である確率に過ぎない。観測値が平均値から±2σの範囲に含まれる確率は(丸め誤差を含むが)
Pr ( μ − 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ ) = Φ ( 2 ) − Φ ( − 2 ) ≈ 0.9772 − ( 1 − 0.9772 ) ≈ 0.9545 {\displaystyle \Pr(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )=\Phi (2)-\Phi (-2)\approx 0.9772-(1-0.9772)\approx 0.9545}
と計算できる。
これは95%信頼区間 X ̄ ± 2 σ n {\displaystyle {\bar {X}}\pm 2{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}} に関係している(ただし n サンプルの平均値を X ̄ {\displaystyle {\bar {X}}} とする)。