曲線
またより強く、X が解析多様体(各チャートが無限回微分可能かつ冪級数展開可能)で、γ が解析写像(C-級)ならば、解析曲線(C-級曲線)と呼ぶ。
可微分曲線が非特異 (regular) とは、その微分が至る所消えないときに言う(つまり、非特異曲線は動点がその曲線上で速度が弱まり停止したり後戻りしたりしない)。二つの C-級可微分曲線 γ1; I → X, γ2: J → X が同値であるとは、C-級全単射 p: J → I が存在して、逆写像 p も C-級、かつ任意の t において γ2(t) = γ1(p(t)) を満たすときに言う。写像 γ2 は γ1 のパラメータの取り換え (reparametrisation) であると言う。パラメータの取り換えであるという関係は X 上の C-級可微分曲線全体の成す集合上の同値関係を与え、その各同値類は C-級の弧 (C arc) と呼ばれる。
これは新しい曲線を定義して研究できるようになるというばかりでなく、代数方程式を用いて定義できる代数曲線と、そうでない超越曲線(英語版)という、曲線の形式的な区別も可能となることも意味する。それ以前には、曲線が「どのように生成されたか」または「どのようにして生成できるか」の別に従って「幾何学的」または「機械的」と記述されていた。
円錐曲線はケプラーが天文学に応用した。 ニュートンも変分法の初期の例に取り組んだ。例えば最速降下問題や等時問題のような変分問題の解曲線として、新たな方法に関する曲線の性質が導入された(この例の場合は擺線)。懸垂線は吊るされた鎖の問題の解曲線としてその名がある。この種の問題は微分法の登場とともに機械的に扱えるものとなっていった。
一般に平面代数曲線論が始まるのは18世紀からである。ニュートンは、実点集合が「卵形」になることに関する一般記述において、三次曲線(英語版)を研究した。ベズーの定理の主張は、当時の幾何学が直接的に扱えない数々の側面を示しており、特異点や複素数解も併せて扱う必要がある。
19世紀以降は独立した曲線論ではなく、射影幾何学や微分幾何学の一次元的側面として曲線が現れるようになる。後には位相幾何学でも扱われ、そのころには例えばジョルダン曲線定理は、複素解析において必要とされるだけでなく、極めて深い内容を持つものと理解されるようになる。空間充填曲線の現れる時代には、ついに現代的な曲線の定義が生み出されることとなる。
代数曲線は代数幾何学で扱われる曲線である。平面代数曲線は、各座標 x, y が適当な体 F 上の二変数多項式 f を用いて f(x, y) = 0 を満たすような点全体の成す軌跡を言う。通例、代数幾何学においては F に座標をとる点だけを見るのではなく、適当な代数閉体 K に座標をとる点すべてを考える。曲線 C が F-係数多項式 f によって定義されているとき、曲線 C は F 上定義されていると言う。曲線 C の点は、その各座標がすべて一つの体 G に属しているとき、G 上の有理点あるいは短く G-有理点と呼ぶ。C の G-有理点全体の成す集合は C(G) と書かれる。G が有理数全体の成す体であるときは、単に「有理点」と呼ぶ。例えば、フェルマーの最終定理を「n > 2 に対して、次数 2 のフェルマー曲線(英語版)の任意の有理点は必ず何れかの座標が零に等しい」と言い換えることができる。
代数曲線に対しても空間曲線や高次元空間内の曲線を考えることができる。それは一次元(英語版)の代数多様体として定義されるものである。n-次元空間内の代数曲線は、少なくとも n − 1 本の n-変数多項式の共通零点として得られる。n − 1 本の多項式が n-次元空間内の曲線を定義するに十分であるとき、その曲線は完全交叉(英語版)であると言う。