ラプラス作用素
Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
φ が電荷分布 q に付随した電位を記述するものとすると、電荷分布自身は φ のラプラシアンとして
で与えられる。これはガウスの法則の帰結である。実際、V が任意の滑らかな領域ならば、電場 E の電束に関するガウスの法則により、(単位当たりの)電荷は
∫ ∂ V E ⋅ n d S = ∫ ∂ V ∇ φ ⋅ n d S = ∫ V q d V {\displaystyle \int _{\partial V}{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {n}}\,dS=\int _{\partial V}\nabla \varphi \cdot {\boldsymbol {n}}\,dS=\int _{V}q\,dV}
になる。ただし、最初の等号は静電場は静電位の勾配に等しいという事実を用いた。発散定理により、
∫ V Δ φ d V = ∫ V q d V {\displaystyle \int _{V}\Delta \varphi \,dV=\int _{V}q\,dV}
が成り立ち、これは任意の領域 V に対して成り立つことから (1) を得る。
同じ説明によって、重力ポテンシャルのラプラシアンが質量分布(英語版)となることが導かれる。電荷や質量の分布が与えられていてそれらに付随するポテンシャルは未知ということはよくあることである。適当な境界条件の下でポテンシャル函数を求めるということは、ポワソン方程式を解くことに同じである。
Δ f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 = 1 r ∂ f ∂ r + ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}.\end{aligned}}}