完全数
偶数の完全数は 2Mp の形に限ることの証明:
N を偶数の完全数とする。N を 2 で割り切る最大回数を n とすると、N = 2K(n は自然数、K は奇数)とおける。2 と K は互いに素であるので、σ(n) を約数関数とすると、約数関数は乗法的なので、N の正の約数の総和 σ(N) は以下のようになる。
σ ( N ) = σ ( 2 n ) σ ( K ) = ( ∑ k = 0 n 2 k ) σ ( K ) = ( 2 n + 1 − 1 ) σ ( K ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \left(N\right)&=\sigma \left(2^{n}\right)\ \sigma \left(K\right)=\left(\sum _{k=0}^{n}2^{k}\right)\sigma (K)\\&=\left(2^{n+1}-1\right)\ \sigma \left(K\right)\end{aligned}}}
N は完全数であるため、 σ(N) = 2N = 2K なので
( 2 n + 1 − 1 ) σ ( K ) = 2 n + 1 K {\displaystyle \left(2^{n+1}-1\right)\sigma \left(K\right)=2^{n+1}K}
が導かれる。2 − 1 は奇数なので 2 で割り切れず、式が成立するためには、σ(K) は 2 で割り切れなければならない。
正の約数の積が自分自身の自乗(2乗)に等しい数を乗法的完全数という。乗法的完全数の列は、
1, 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A007422)
完全数は、正の約数の個数が偶数、正の約数の逆数和が 2 なので、調和数である。この数の列は
1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A001599)