冪乗
高木貞治、1904、「第十一章 冪及對數」、『新式算術講義』
(1827)の発見した任意の整数 n に対して、 e 1 + 2 π i n = e 1 e 2 π i n = e ⋅ 1 = e {\displaystyle e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e} ( e 1 + 2 π i n ) 1 + 2 π i n = e {\displaystyle (e^{1+2\pi in})^{1+2\pi in}=e} e 1 + 4 π i n − 4 π 2 n 2 = e {\displaystyle e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e} e 1 e 4 π i n e − 4 π 2 n 2 = e {\displaystyle e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e} e − 4 π 2 n 2 = 1 {\displaystyle e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1} を得るが、これは n が 0 でないとき誤りである。 という不合理が生じる。この推論にはいくつも問題がある: 主な誤りは、二行目から三行目に行くときに冪の順番を変えることで選ばれる主値が変わることである。 多価函数の視点から見ると、最初の誤りは更に早く起きている。一行目で暗に e は実数としているにも拘らず、e の結果は複素数であり、e + 0i と書いたほうがよい。二行目を実数ではなくこの複素数で置き換えることで、そこでの冪が取れる値を複数持つようになる。二行目から三行目で指数の順番を変えたことも、取りうる値の数に影響を及ぼす。(e) ≠ e だが、整数 n にわたって多価な意味で (e) = e としたほうがよい。
アルキメデスは 10 の冪を扱うために必要となる指数法則 10 • 10 = 10 を発見し、証明した。9世紀に、ペルシアの数学者アル゠フワーリズミは平方を mal, 立方を kab で表した。これを後に中世イスラムの数学者がそれぞれ m, k で表す記法として用いていることが、15世紀ごろのアル゠カラサディ(英語版)の仕事に見ることができる。
16世紀後半、ヨスト・ビュルギは冪指数をローマ数字を用いて表した。
17世紀初頭、今日用いられる現代的な冪記法の最初の形は、ルネ・デカルトが著書 La Géométrie の一巻において導入した。
アイザック・ニュートンなど一部の数学者は冪指数は 2 乗よりも大きな冪に対してだけ用い、平方は反復積として書き表した。例えば、多項式を ax + bxx + cx + d のように書いた。