自由群
群の表示
表示
編集
自由群(じゆうぐん、free group)とは、公理から来る自明なもの以外に元の間の等式がない群のことである。ただし、二つの元を取り出したとき、同じ元であるかどうか、および一方が他方の逆元であるかどうかは判定できる。
文字集合 X 上の自由群は自由群の普遍性 (universal property) と呼ばれる、以下の性質によって特徴付けられる。G を任意の群とし、f: X → G を任意の写像とすると、群の準同型
f ~ : F ( X ) → G {\displaystyle {\tilde {f}}:F(X)\to G}
で、その X への制限写像について
f ~ ( a ) = f ( a ) {\displaystyle {\tilde {f}}(\mathbf {a} )=f(\mathbf {a} )}
が任意の a ∈ X に対して成立するようなものがただ一つ存在する。
自由群は、より一般の概念として圏論における自由対象 (free object) の一例である。多くの普遍的構造と同じく、それは一組の随伴関手を定める。