消散作用素
X の双対空間 X' の部分集合としての、x ∈ X の双対集合(duality set)を
J ( x ) := { x ′ ∈ X ′ : ‖ x ′ ‖ X ′ 2 = ‖ x ‖ X 2 = ⟨ x ′ , x ⟩ } {\displaystyle J(x):=\left\{x'\in X':\|x'\|_{X'}^{2}=\|x\|_{X}^{2}=\langle x',x\rangle \right\}}
と定義する。ハーン-バナッハの定理により、この集合は空でないことが分かる。もし X が回帰的であるなら、J(x) は唯一つの要素から成る集合である。ヒルベルト空間の場合、ヒルベルト空間とその双対空間の間の自然な双対性(canonical duality)を利用することによって、J(x) は唯一つの要素 x から成る集合であることを示すことが出来る。作用素 A が消散的であるための必要十分条件は、すべての x ∈ D(A) に対してある x' ∈ J(x) が存在し、
R e ⟨ A x , x ′ ⟩ ≤ 0 {\displaystyle {\rm {Re}}\langle Ax,x'\rangle \leq 0}
が成立することである。