逆写像
記法 f(x) は値 f(x) の乗法逆元を意味する記法 f(x) としばしば誤解されるが、後者は f の逆写像とは無関係である。
数式 sin x は乗法逆元を表すものではなく、正弦函数の逆函数(実際には逆部分函数)を x に適用したものを意味する。混乱を避けるため、逆三角函数には接頭辞 "arc-"(羅: arcus)を付けることがしばしば行われる。例えば正弦函数 sin の逆函数は典型的には逆正弦函数 arcsine と呼ばれ、arcsin と書かれる。同様に双曲線函数の逆函数は接頭辞 "ar-"(英: area)を付ける。
数学における逆写像(ぎゃくしゃぞう、英: inverse mapping)は一口に言えば写像の与える元の対応関係を「反対」にして得られる写像である。すなわち、写像 f が x を y に写すならば、f の逆写像は y を x に写し戻す。
函数と呼ばれる種類の写像の逆写像は、逆函数 (inverse function) と呼ばれる。
f −1 が存在するとき、その式を求める方法のひとつが、方程式 y = f(x) を x について解くことで与えられる。例えば、f が
f ( x ) = ( 2 x + 8 ) 3 {\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}
なる式で与えられているとき、方程式 y = (2x + 8) を x について解けば、
y = ( 2 x + 8 ) 3 y 3 = 2 x + 8 y 3 − 8 = 2 x y 3 − 8 2 = x {\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x\end{aligned}}}
となるから、求める逆函数 f −1 が
f − 1 ( y ) = y 3 − 8 2 {\displaystyle f^{-1}(y)={\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}}
写像 f: X → Y に対し、f の左逆写像 (left inverse) あるいは引込み (retract) とは、
g ∘ f = id X {\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}
を満たす写像 g: Y → X のことをいう。つまり、X の各元 x に対して g は
f ( x ) = y ⟹ g ( y ) = x {\displaystyle f(x)=y\implies g(y)=x}
を満たす。したがって g は f の値域上では f の逆写像と一致しなければならないが、値域に入らない Y の元に対してはどのような値をとろうとも支障ない。写像 f が左逆写像をもつならば f は単射であることが次のように証明できる。写像 f: X → Y に対し、 g: Y → X を f の左逆写像とする。 x, y ∈ X が f(x) = f(y) を満たすとすると、 g(f(x)) = g(f(y)) から idX(x) = idX(y) なので、 x = y.
写像とその逆写像との間には対称性が存在する。f が X から Y への可逆写像ならば、その逆写像 f は Y から X への写像であり、かつ f の逆写像はもとの写像 f に一致する。記号で書けば、f: X → Y および g: Y → X に対して
g ∘ f = id X ⟹ f ∘ g = id Y {\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}\implies f\circ g=\operatorname {id} _{Y}}
が成り立つ。これは関係の逆転が対合であることにより、逆写像と逆関係との間の関係から従う。
この主張は可逆写像が(第一の定義では)単射または(第二の定義では)全単射とならなければならないことから明らかに演繹される帰結である。この対合対称性は
( f − 1 ) − 1 = f {\displaystyle (f^{-1})^{-1}=f}
という式として簡潔に表現できる。
合成写像の逆写像は
一変数の初等解析学では実数を実数に写す写像である実函数を主に考える。そのような函数は、しばしば
f ( x ) = ( 2 x + 8 ) 3 {\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}
のような明示的な数式を通して定義される。実一変数実数値函数 f はそれが一対一である限り逆函数を持つ。