ウィーナー＝池原の定理
ラプラス=スティルチェス変換において、α(t) の代わりに α(e) をとり、u=e と変数変換すれば、メリン=スティルチェス変換に対する定理の系が得られる。
α(u)を[1, ∞)で非負、非減少関数であるとし、メリン=スティルチェス変換
f ( s ) = ∫ 1 ∞ u − s d α ( u ) {\displaystyle f(s)=\int _{1}^{\infty }u^{-s}d\alpha (u)}
はRe(s) > 1で収束するとする。このとき、ある定数Aが存在し、
g ( s ) = f ( s ) − A s − 1 {\displaystyle g(s)=f(s)-{\frac {A}{s-1}}}
が閉半平面Re(s) ≥ 1に連続拡張可能であれば、u → +∞での漸近的挙動として、
α ( u ) ∼ A u {\displaystyle \alpha (u)\sim Au}
が成り立つ。
数列 {an} から定義される
α ( t ) = ∑ n ≤ e t a n {\displaystyle \alpha (t)=\sum _{n\leq e^{t}}a_{n}}
にラプラス=スティルチェス変換を行えば、次のディリクレ級数に対する定理の系が得られる。
f(s)をan > 0を満たす数列 {an} によって、Re(s) > 1で定義される次の形のディリクレ級数とする。
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
このとき、正の定数Aが存在し、
g ( s ) = f ( s ) − A s − 1 {\displaystyle g(s)=f(s)-{\frac {A}{s-1}}}
が閉半平面Re(s) ≥ 1に連続拡張可能であれば、
s n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
のn → +∞での漸近的挙動として、
s n ∼ A n {\displaystyle s_{n}\sim An}
が成り立つ。
同様の結果はエドムント・ランダウによって得られていたが、f(s) の増大条件として、ある定数 c が存在し、
f ( s ) = O ( | s | c ) ( Re  s ≥ 1 ) {\displaystyle f(s)=O(|s|^{c})\quad (\operatorname {Re} s\geq 1)}
とする仮定を必要としていた。池原はこの条件を緩和し、より一般的にこの結果が成立することを示した。