環の圏
可換環の圏 CRing はすべての可換環を対象とする Ring の充満部分圏である。可換環の圏は可換環論における主題の研究の中心的な対象の一つである。
任意の環は、xy − yx の形の元全体で生成されるイデアルで割ることで可換にすることができる。これにより定義される可換化函手 Ring → CRing は包含函手の左随伴であり、したがって CRing は Ring の反映的部分圏(英語版)となる。集合 E を生成系とする自由可換環は、E の各元を不定元とする多項式環 Z[E] によって与えられ、E にそれが生成する自由可換環を対応させる函手は忘却函手 CRing → Set の左随伴を与える。
可換環の圏 CRing は環の圏 Ring において極限閉、すなわち CRing における極限は、それを Ring の図式と見てとった極限と一致する。しかし余極限は一般には一致しない。そのような方法で CRing における余極限を得るには、Ring においてとった余極限の(上に書いたような剰余環をとって)可換化しなければならない。二つの可換環の余積は、環のテンソル積によって与えられる。やはり二つの非零可換環の余積は零環となり得る。
可換環の圏 CRing の反対圏 CRing はアフィンスキームの圏に圏同値である。この同値対応は、各可換環にそのスペクトルとなるアフィンスキームを対応させる反変函手によって与えられる。
文献によっては、環の定義に単位元の存在を仮定せず、環準同型の定義にも単位元を保つことは(仮に単位元が存在する場合でも)課さないというものがある。そのような定義に基づけば Ring とは異なる環の圏が得られる。ここでは区別のため、そのような代数構造を擬環(あるいは必ずしも単位的でない環、非単位的環)(Rng) と呼び、それらの間の準同型を擬環準同型 (rng-準同型) と呼ぶことにすれば、すべての擬環の成す圏 Rng を考えることができる。
環の圏 Ring が Rng の充満でない部分圏となることに注意せよ。充満でないことは、擬環準同型が必ずしも単位元を保たないことにより、Ring の射とはならないことによる。包含函手 Ring → Rng は左随伴を持ち、それは任意の擬環に対して形式的に単位元を添加する函手として与えられる。これにより Ring は Rng の充満でない反映的部分圏(英語版)となる。包含函手 Ring → Rng は極限を反映するが余極限は反映しない。