ガウス関数の原始関数の一覧
∫ − ∞ ∞ Φ ( b x ) 2 φ ( x ) d x = 1 π arctan  1 + 2 b 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (bx)^{2}\phi (x)\,dx={\frac {1}{\pi }}\arctan {\sqrt {1+2b^{2}}}}
∫ − ∞ ∞ x φ ( x ) Φ ( b x ) d x = ∫ − ∞ ∞ x φ ( x ) Φ ( b x ) 2 d x = b 2 π ( 1 + b 2 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x\phi (x)\Phi (bx)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\phi (x)\Phi (bx)^{2}\,dx={\frac {b}{\sqrt {2\pi (1+b^{2})}}}}
∫ − ∞ ∞ Φ ( a + b x ) φ ( x ) d x = Φ ( a 1 + b 2 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (a+bx)\phi (x)\,dx=\Phi \left({\frac {a}{\sqrt {1+b^{2}}}}\right)}
∫ − ∞ ∞ x Φ ( a + b x ) φ ( x ) d x = b t φ ( a t ) , t = 1 + b 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x\Phi (a+bx)\phi (x)\,dx={\frac {b}{t}}\phi \left({\frac {a}{t}}\right),\qquad t={\sqrt {1+b^{2}}}}