マクスウェルの方程式
∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}} (微分形のファラデー-マクスウェルの式)
この式を積分形で表すと次の式になる。
∮ C E ⋅ d l = − d φ d t {\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=-{\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}}
ただし、
φ = ∫ S B ⋅ d S {\displaystyle \phi =\int _{S}{\boldsymbol {B}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}
ここで、(向きのついた)閉曲線を C 、C を縁とする曲面を S とし、 φ {\displaystyle \phi } は曲面 S を通過する磁束、V は経路 C に沿った(誘導)起電力である。ファラデー-マクスウェルの式の積分形で時間微分を積分の外に置く場合には、経路 C と曲面 S は時間変化しないものとする。よって、導体が動く場合についてはこの式の対象ではない。式中の負号については、しばしば磁場の増減に対する起電力は磁場源となる電流が減増する向きといった説明がなされる。
19世紀後半を通じて物理学者の大半は、マクスウェルの方程式において光速度が全ての観測者に対して不変になるという予測と、ニュートン力学の運動法則がガリレイ変換に対して不変を保つことが矛盾することから、これらの方程式は電磁場の近似的なものに過ぎないと考えた。しかし、1905年にアインシュタインが特殊相対性理論を提出したことによって、マクスウェルの方程式が正確で、ニュートン力学の方を修正すべきだったことが明確になった。これらの電磁場の方程式は、特殊相対性理論と密接な関係にあり、ローレンツ変換に対する不変性(共変性)を満たす。磁場の方程式は、光速度に比べて小さい速度では、相対論的変換による電場の方程式の変形に結び付けられる。
電場と磁場による表現では、共変性が見にくいため、4元ポテンシャル A を考える。
A μ = ( φ / c , A ) , A μ = η μ ν A ν = ( φ / c , − A ) {\displaystyle A^{\mu }=(\phi /c,{\boldsymbol {A}}),~A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=(\phi /c,-{\boldsymbol {A}})}
但し、重複するギリシャ文字に対してはアインシュタインの縮約記法に従って和をとるものとし、計量テンソルは ημν = diag(1, −1, −1, −1) で与えるものとする。
第2の組は、
である。電荷、電流の分布が電磁場の源となっていることを表す式である(電磁場の運動方程式)。 電磁場の微分(左辺)が電荷、電流の分布(右辺)によって書かれており、電荷、電流の分布を与えると電磁場の形が分かる方程式になっている。
この式から、電荷、電流の分布には電気量保存則(連続の方程式)
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}
が成り立つことが導かれる。
それぞれの組は時間微分を片側に移し、
∂ B ∂ t = − ∇ × E , ∇ ⋅ B = 0 ∂ D ∂ t = ∇ × H − j , ∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}&=-\nabla \times {\boldsymbol {E}}\ ,&\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}&=0\\{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}&=\nabla \times {\boldsymbol {H}}-{\boldsymbol {j}}\ ,&\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}&=\rho \end{aligned}}}
と変形すれば、時間発展の方程式とその初期条件と見ることができる。