谷山–志村予想
その上、モジュラー関数以外のヘッケのいう保型形式は役に立たないと始から考えていたから無視していた。実はそれ以外に重要な保型形式があるが、そのことはここで考えない。また私は谷山と共著の本があるが、それは全く無関係である。もうひとつ書くと、一九五五年以後一九六〇年代にかけて、そういう代数曲線のゼータ関数を研究し、それを決定するなどという研究をしたのはおそらく私ひとりであったと思われる。谷山はそういうことはやらなかった。彼はヘッケの論文は読んでいたが、一変数の保型形式・関数の理論を自分のものにしていなかったように思われる。...
と述べている。
また志村は谷山の問題12の問題点を次のように指摘している。まず、問題12では任意の代数体上の楕円曲線の L 関数について言及しているが、有理数体上の楕円曲線に限定しなければ意味がない。なぜ谷山が有理数体に限定しなかったかというと、問題13に見られるように谷山はモジュラー形式と虚数乗法論の関係に興味を持っていたので、問題12においても虚数乗法を持つ楕円曲線が考察の対象として含まれるようにしたかったのではないか、と志村は想像している。また、問題12で谷山が述べている automorphic form はモジュラー形式よりもはるかに一般的な関数を念頭においたものだという。志村は、谷山は問題12を述べるにあたって細心の注意を払っていなかったのではないか、と言っている。
1976年頃、セールは谷山全集のコピーを買った。そして問題12の日本語版が全集に収録されているものの英語版は収録されていないことに気付いた。そこで1977年に公表した l 進表現についての論文の中で谷山の問題12の1955年英語版を再掲した。英語版の谷山の問題が広く公開されたのはこのときがはじめてであっただろうと言われている。このときからセールはこの予想をヴェイユ予想と呼ぶのをやめ谷山・ヴェイユ予想と呼ぶようになった。セールは「このせいで呼称に関する苦い論争に巻き込まれることになってしまった」と言っている。
70年代においても、この予想の成立に志村が果たした役割はまだ十分に認識されていなかった。理由の一つに、志村が出版物の中でこの予想に言及したことがないことがあげられる。
f ( q , E ) = ∑ n = 1 ∞ a n q n {\displaystyle f(q,E)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}}
で定義する。q に
q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }\ }
を代入すると、上半平面上の複素変数 τ の函数 f ( τ , E ) {\displaystyle f(\tau ,E)} が得られる。これは一種のフーリエ級数である。このようにして得られた函数が、重さ 2 でレベル N の新形式、特に正規化されたカスプ形式でありヘッケ作用素の同時固有形式である、というのがモジュラリティ定理の別の述べ方である。これから E に対するハッセ・ヴェイユ予想(Hasse–Weil conjecture)が従う。
逆に、重さ 2 の有理数係数の新形式は、有理数体上定義された楕円曲線の正則微分(英語版)(holomorphic differential)に対応する。モジュラ曲線のヤコビ多様体は、同種による違いを除くと、重さ 2 のヘッケ固有形式に対応する既約アーベル多様体の積として書くことができる。1-次元要素は楕円曲線である。(高次元要素も存在するので、この積表示に出てくるアーベル多様体がすべて楕円曲線であるわけではない。有理数係数のヘッケ固有形式に対応するアーベル多様体が楕円曲線になっている。)有理数体上の楕円曲線の L 函数に対応するカスプ形式からこの方法で構成される楕円曲線は、元々の曲線と同種である(一般には同型にはならない)。
楕円曲線 E {\displaystyle E} がモジュラーな楕円曲線であるとはモジュラー曲線 X 0 ( N ) {\displaystyle X_{0}\left(N\right)} から射影代数曲線としての全射 X 0 ( N ) → E {\displaystyle X_{0}\left(N\right)\to E} があること、と説明するのが最も簡潔である。これは上のL函数の一致という定義と同値である。またヤコビ多様体を使った言い換えも出来る。以下ではそれを説明する。