運動の積分
である。このとき、任意の(時刻 t {\displaystyle t} に陽に依存しない)物理量 Φ ( p , q ) {\displaystyle \Phi (p,q)} の解軌道に沿う時間変化は、ポアソン括弧 { ⋅ , ⋅ } {\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}} を用いて
d d t Φ ( p ( t ) , q ( t ) ) = { Φ , H } {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Phi (p(t),q(t))=\{\Phi ,H\}}
と書けるため、それが運動の積分であることはハミルトニアンとポアソン可換であること { Φ , H } = 0 {\displaystyle \{\Phi ,H\}=0} という条件と等価である。
ハミルトン力学系では、運動方程式の解を求積するために 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} 個の第一積分を求める必要はなく、 n {\displaystyle n} 個の互いにポアソン可換な第一積分が与えられれば求積可能である。この事実はジョゼフ・リウヴィルによって証明されたためリウヴィルの定理と呼ばれていたが、後にウラジーミル・アーノルドによって幾何学的な観点から再定式化されリウヴィル=アーノルドの定理として知られるようになった。
N {\displaystyle N} 次元空間 R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} における常微分方程式
d x i d t = F i ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , N ) {\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=F_{i}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\ \ (i=1,2,\cdots ,N)}
について考える。この方程式の第一積分とは、 R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} 上の関数 Φ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N ) {\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})} であり、方程式の解軌道 x i ( t ) {\displaystyle x_{i}(t)} に沿って一定値を取るようなもののことを言う。
Φ ( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , ⋯ , x N ( t ) ) = C o n s t . {\displaystyle \Phi (x_{1}(t),x_{2}(t),\cdots ,x_{N}(t))=\mathrm {Const.} }
常微分方程式系のひとつの第一積分 Φ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N ) {\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})} が見出されたならば、それを初期値 ( a {\displaystyle a} とおく) と等値した方程式