バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
数学において、バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想(バーチ・スウィンナートン=ダイアーよそう、英語: Birch and Swinnerton-Dyer conjecture)は、数論の分野における未解決問題である。略してBSD予想 (BSD conjecture) と呼ばれ、最も難しい数学の問題の 1 つであると広く認められている。予想はクレイ数学研究所によってリストされた 7 つのミレニアム懸賞問題の 1 つとして選ばれ、最初の正しい証明に対して100万ドルの懸賞金が約束されている。予想は機械計算の助けを借りて1960年代の前半に予想を立てた数学者ブライアン・バーチとピーター・スウィンナートン=ダイアーにちなんで名づけられている。2014年現在、予想の特別な場合のみ正しいと証明されている。
予想は代数体 K 上の楕円曲線 E に伴う数論的データを E の ハッセ・ヴェイユの L-関数 L(E, s) の s = 1 における振る舞いに関係づける。より具体的には、E の点のなすアーベル群 E(K) のランクは L(E, s) の s = 1 における零点の位数であり、s = 1 における L(E, s) のテイラー展開における最初の 0 でない係数は K 上の E に付属しているより精密な数論的データによって与えられる、ということが予想されている (Wiles 2006)。
リーマン予想と同じく、この予想から多くの結果が導かれる。以下はそのうちの 2 つである:
n を平方因子を持たない奇数とする。バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想を仮定すると、n が辺の長さが有理数である直角三角形の面積である(合同数である)ことと、 2 x 2 + y 2 + 8 z 2 = n {\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n} を満たす整数の三つ組 (x, y, z) の個数が 2 x 2 + y 2 + 32 z 2 = n {\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n} を満たす三つ組の個数の 2 倍であることは同値である。この主張は、タネルの定理(英語版) (Tunnell 1983) によって、n が合同数であることと楕円曲線 y 2 = x 3 − n 2 x {\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x} が無限位数の有理点を持つ(従って、バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想の下で、その L-関数が 1 を零点に持つ)ことは同値であるという事実と関係する。この主張の面白いことは、条件が容易に確かめられることである。
異なった方向では、ある解析的な手法によって L-関数の族のクリティカル・ストリップの中心にある零点の位数の評価ができる。BSD 予想を認めれば、これらの評価は問題の楕円曲線の族のランクについての情報に対応する。例えば: 一般化されたリーマン予想と BSD 予想を仮定すると、 y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b} によって与えられる曲線の平均ランクは 2 よりも小さい。