自由加群
R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。
E は M を生成する。すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
E は一次独立である。すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元 e 1 , e 2 , ... , e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}} に対して r 1 e 1 + r 2 e 2 + ⋯ + r n e n = 0 M {\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\dotsb +r_{n}e_{n}=0_{M}} であれば、 r 1 = r 2 = ⋯ = r n = 0 R {\displaystyle r_{1}=r_{2}=\dotsb =r_{n}=0_{R}} となる。(ただし 0M は M の零元で、0R は R の零元である。)
R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという。
R が 基底数一定性質 (IBN) をもてば、定義によって任意の2つの基底は同じ濃度をもつ。勝手な(したがってすべての)基底の濃度を自由加群 M のランク(階数)と言い、濃度が有限ならば、M をランク n の自由加群、あるいは単に有限ランクの自由加群と言う。
(2) から直ちにわかることだが、(1) の係数はすべての x について一意的である。
無限自由基底の定義は、E が無限に多くの元をもつことを除いて、同様である。しかしながら、和は有限であり、どの x についても E の有限個の元しか含まれない。
基底が無限のとき、M のランクは E の濃度である。