位相空間
まず始位相の概念を以下のように定義する:
定義 (始位相) ― Xを集合とし、 { ( Y λ , O λ ) } λ ∈ Λ {\displaystyle \{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }} を位相空間の族とし、写像
f λ : X → Y λ {\displaystyle f_{\lambda }~:~X\to Y_{\lambda }}
の族 ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} を考える。
このとき、全ての f λ {\displaystyle f_{\lambda }} を連続にする最弱の位相をXの ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} 始位相(英語版)という。
始位相の特殊な場合として、以下のものが重要である。以下でXは集合である。
これらはより具体的に書き表す事が可能である:
定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、
逆像位相の開集合系は f ∗ ( O ) := { f − 1 ( O ) ∣ O ∈ O } {\displaystyle f^{*}({\mathcal {O}}):=\{f^{-1}(O)\mid O\in {\mathcal {O}}\}} に一致する。
学部レベルの位相空間論で登場する概念の多くは、曲面のような「常識的な」空間における性質を抽象したものである。
しかし完全不連結性はこうした範疇から外れた性質で、位相空間 X 上の連結部分集合は空集合、全体集合、および一点集合に限られる事を意味する。
完全不連結な空間の例としては有理数の集合 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } がある。
しかし完全不連結な空間は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } のように距離空間として完備ではないものに限らない。
カントール集合(に実数体から誘導される距離をいれたもの)は、完備距離空間でありながら完全不連結な空間の例となっている。
実はカントール集合はこのような空間の典型例の一つであり、以下の性質を満たす空間(カントール空間)は必ずカントール集合と位相同型になることが知られている(ブラウワーの定理):
孤立点を持たない非空の完全不連結コンパクト距離化可能空間
定義より明らかに次が成立する。
命題 ―
x ∈ XがAの外点 ⇔ x ∈ Oを満たすある開集合O ⊂ Xが存在し、O ⊂ A
x ∈ XがAの境界点 ⇔ x ∈ Oを満たす任意の開集合O ⊂ Xに対し、 A ∪ O ≠ ∅ {\displaystyle A\cup O\neq \emptyset } かつ A c ∪ O ≠ ∅ {\displaystyle A^{c}\cup O\neq \emptyset }
x ∈ XがAの触点 ⇔ x ∈ Oを満たす任意の開集合O ⊂ Xに対し、 A ∩ O ≠ ∅ {\displaystyle A\cap O\neq \emptyset }
Xが距離空間であれば、上では「x ∈ Oを満たすある開集合O ⊂ X」、「x ∈ Oを満たす任意の開集合O ⊂ X」となっているところを、「xのあるε-近傍 B ε ( x ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)} 」「xの任意のε-近傍 B ε ( x ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)} 」に変えてもよい。
( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とするとき、
写像 A ⊂ X ↦ A ∘ {\displaystyle A\subset X\mapsto A^{\circ }} を内核作用素という。
写像 A ⊂ X ↦ A ̄ {\displaystyle A\subset X\mapsto {\bar {A}}} を閉包作用素という。
本項ではこれまで、開集合系を使って位相空間を定義し、これをベースに内核作用素を定義したが、逆に上述の性質を満たす内核作用素の概念を使って位相空間を定義し、これを使って開集合と定義する事も可能である。すなわち以下が成立する:
定理 (内核作用素による位相の特徴づけ) ― Xを集合とし、Xの冪集合からそれ自身への写像
I n t : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle \mathrm {Int} ~:~{\mathfrak {P}}(X)\to {\mathfrak {P}}(X)}
で、 A ∘ := I n t ( A ) {\displaystyle A^{\circ }:=\mathrm {Int} (A)} が「定理(内核作用素の性質)」で述べた4性質を満たすものとする。
Armstrong, M. A.; Basic Topology, Springer; 1st edition (May 1, 1997). ISBN 0-387-90839-0.
Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). ISBN 0-387-97926-3.
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位相空間の概念の利点の一つは、解析学や代数学などの研究対象に幾何学的な直観を与えることにある。
このような観点からみたとき、位相空間論の目標の一つは、ユークリッド空間など幾何学の対象に対して成り立つ諸性質を解析学などにも一般化することにある。従って学部レベルで学ぶ位相空間論の性質の多くは、ユークリッド空間などの幾何学的な対象では自明に成り立つ(例えば各種分離公理や可算公理)。
位相空間論ではこうした幾何学的な性質をいかに一般の空間へと拡張するかが問われるので、位相空間の概念自身は非常に弱く、かつ抽象的に定義される。しかしその分個別の用途では必要な性質が満たされないこともあり、例えば位相空間上では収束の一意性は保証されない。そこで必要に応じて、位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものが研究対象になることも多い。前述した収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。学部レベルの位相空間論の目標の一つは、こうしたプラスアルファの性質の代表的なものを学ぶ事にある。
位相不変な性質の中には位相不変量と呼ばれる、位相空間の性質によって決まる「量」がある。 χが「位相不変量」であるとは、以下の性質を満たすことを言う
X と Y が位相同型⇒χ(X )=χ(Y )
これの対偶をとると、
χ(X )≠χ(Y )⇒ X と Y が位相同型でない
したがって位相不変量に着目することで、二つの空間を位相的に分類することができる。
簡単な位相不変量として、位相空間の「連結成分数」がある。本項では、連結成分数の厳密な定義は割愛するが、直観的にはその名の通り、「繋がっている部分の数」である。以下のX では連結成分数が1なのに対し、Y では連結成分数が2である。従ってX と Y は位相同型ではない。
X = [0,1]
Y = [0,1]∪[2,3]
(ただし、ここで[ a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ]とは実数のユークリッド距離による位相の、部分位相をもつ閉区間である)
位相不変量は、位相空間論の応用分野である位相幾何学で主要な役割を果たし、特にホモロジー群やホモトピー群のような代数的な不変量は代数的位相幾何学の研究対象である。
定義 (集積点、導集合、孤立点) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、AをXの部分集合とする。このとき、
x∈Xが A ∖ { x } {\displaystyle A\setminus \{x\}} の触点であるとき、xをAの集積点という。
Aの集積点全体の集合を導集合といい、Aと表す。
A ∖ A d {\displaystyle A\setminus A^{d}} の元をAの孤立点という。
定義より明らかに次が成立する。
命題 ―
x ∈ XがAの集積点 ⇔ x ∈ Oを満たす任意の開集合O ⊂ Xに対し、Oはx以外にAの元を含む。
x ∈ XがAの孤立点 ⇔ x ∈ Aであり、しかもx ∈ Oを満たすある開集合O ⊂ Xがあって、Oはx以外にAの元を含まない。
一般の位相空間において有向点族の収束の一意性は必ずしも成立しないものの、収束の一意性が保証される必要十分条件は下記のように記述できる事が知られている:
定理・定義 (ハウスドルフ性) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} において、下記の2つの性質は同値である。これらの性質の1つ(したがって両方を満たす事)をハウスドルフ性もしくはハウスドルフの分離公理といい、ハウスドルフ性が成り立つ位相空間をハウスドルフ空間もしくはT2-空間という。
X上の任意の有向点族 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} が収束すればその収束先は一意である。
X上の任意の2点x、yに対し、xの開近傍Uと、yの開近傍Vが存在しU∩V'=∅
なお、ハウスドルフ性は数ある「分離公理」の一つであり、「T2-空間」という名称も「T1-空間」や「T3-空間」といった他の分離公理と区別するための名称である。詳細は本項の分離公理の説明や分離公理の項目を参照されたい。
すなわち族 { B ε λ ( x λ ) } λ ∈ Λ ⊂ X {\displaystyle \{B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }\subset X} が存在し、 O = ⋃ x λ ∈ Λ B ε λ ( x λ ) {\displaystyle O=\bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })} が成立する。
(1⇒2):任意の開集合Oに対し、開集合の定義より開集合Oの各点xに対し、 B ε x ( x ) ⊂ O {\displaystyle B_{\varepsilon _{x}}(x)\subset O} を満たす ε x > 0 {\displaystyle \varepsilon _{x}>0} が存在するので、
O = ⋃ x ∈ O B ε x ( x ) {\displaystyle O=\bigcup _{x\in O}B_{\varepsilon _{x}}(x)}
と書ける。
(2⇒3):自明
Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
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松坂, 和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。ISBN 4-00-005424-4。
我々はXにハウスドルフ性を仮定していないので、以上の定理で有向点族の収束の一意性が保証されていない事に注意されたい。
(⇒)背理法で示す。 N ∈ N f ( x ) {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}} で f − 1 ( N ) ∉ N x {\displaystyle f^{-1}(N)\notin {\mathcal {N}}_{x}} となるものがあったとすると、近傍の定義よりxを含む任意の開集合Uに対し、 U ∖ f − 1 ( N ) {\displaystyle U\setminus f^{-1}(N)} の点xUが存在する。xの開近傍系を V x {\displaystyle {\mathcal {V}}_{x}} とすると、収束の定義より有向点族 ( x U ) U ∈ V x {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}} はxに収束する。よって仮定より ( f ( x U ) ) U ∈ V x {\displaystyle (f(x_{U}))_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}} はf(x)に収束する。
Nはf(x)の近傍であったので、あるf(x)の開近傍Vが存在し、V⊂Nである。 ( f ( x U ) ) U ∈ V x {\displaystyle (f(x_{U}))_{U\in {\mathcal {V}}_{x}}} はf(x)に収束するので、xU⊂Vを満たすxUが存在する。
上述の定義に登場する3つの条件の意味するところは下記のとおりである:
空集合と全体集合は開集合である。
2つの開集合の共通部分は開集合である。(よって有限個の開集合の共通部分は開集合となるが、無限個の共通部分は開集合とは限らない)
任意の個数(有限でも無限でもよい)の開集合の和集合は開集合である。
本節では、これらの性質を天下り的に与えるにとどめ、後の章で距離空間で具体的な位相に関し、この定義について論ずる。
開集合系 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を一つ定める事で、集合 X が位相空間になるので、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} をX 上の位相(構造)と呼ぶ。
紛れがなければ開集合系 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を省略し、X の事を位相空間 と呼ぶ。
また位相空間X の元を点と呼ぶ。
なお、集合算に関する空積および空和はそれぞれ全体集合と空集合になるので、 O ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {O}}\neq \emptyset } を仮定しておけば、上述の定義における条件1を課さなくてもよい。