実数空間
逆に、ユークリッド距離に対する上記の式は R 上に「標準」ユークリッド構造を定めるが、それが唯一可能なユークリッド構造というわけではない。実際、任意の正定値二次形式 q は固有の「距離」√q(x − y) を定義するが、これは
∃ C 1 > 0 , ∃ C 2 > 0 , ∀ x , y ∈ R n : C 1 d ( x , y ) ≤ q ( x − y ) ≤ C 2 d ( x , y ) {\displaystyle \exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}
を満たすという意味においてユークリッド距離とそう変りない。このように距離を取り替えても、例えば完備性など、幾らかの性質は保たれる。
上記の距離函数の同値性は √q(x − y) を任意の凸正斉一次函数(つまりベクトルのノルム)M に対する M(x − y) で取り替えても正しい(例えばミンコフスキー距離を参照)。このように R 上の任意の「自然な」距離がユークリッド距離とそう大差ないという事実があるため、職業数学者の手になるものでさえ R が n-次元ユークリッド空間と常に区別されるわけではない。
任意の自然数 n に対し、実数の n-組の全体からなる集合 R を「n-次元実数空間」("n-dimensional real space") と呼ぶ。R の元は、各 xi を実数として
x = ( x 1 , x 2 , ... , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
と書かれる。
各 n に対して数空間 R はただ一つ存在する (the real n-space)