ディリクレ積分
⋯ ( 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|&=\left|\int _{0}^{\pi }f(Re^{it})iRe^{it}dt\right|\\&\leq \int _{0}^{\pi }|f(Re^{it})|R\,dt=\int _{0}^{\pi }e^{-R\sin t}dt=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-R\sin t}dt\\&\leq 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-2Rt/\pi }dt\quad \left(\because \ \ t\in \left[0,{\dfrac {\pi }{2}}\right]\ \Longrightarrow \ {\dfrac {2}{\pi }}t\leq \sin t\right)\\&={\frac {\pi }{R}}(1-e^{-R})\to 0\quad (R\to \infty ).\ \ \cdots (3)\end{aligned}}}
また、 C r {\displaystyle C_{r}} についての周回積分は r → 0 {\displaystyle r\to 0} で − i π {\displaystyle -i\pi } となることを示す。(留数定理)
z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} のとき、指数関数 e z {\displaystyle e^{z}} の定義により、
e i z z = 1 z ∑ n = 0 ∞ ( i z ) n n ! = 1 z + ∑ n = 1 ∞ i n n ! z n − 1 . {\displaystyle {\frac {e^{iz}}{z}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(iz)^{n}}{n!}}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {i^{n}}{n!}}z^{n-1}.}
g ( z ) := ∑ n = 1 ∞ i n n !