倒立振子
τ n e t = I θ ̈ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=I{\ddot {\theta }}}
重力による総トルクは以下のように書ける。
τ n e t = m g l sin  θ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=mg\ell \sin \theta \,\!}
ここで、θ は倒立平衡点から測った変位角である。
したがって、次の運動方程式を得る。
I θ ̈ = m g l sin  θ {\displaystyle I{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}
質点の慣性モーメントは次のように得られる。
I = m R 2 {\displaystyle I=mR^{2}}
倒立振子の場合、動径は棒の長さ l に等しい。
I = ml を代入すると以下が得られる。
m l 2 θ ̈ = m g l sin  θ {\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}
ml で辺々割って次を得る。
θ ̈ = g l sin  θ {\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }
質点と台車を繋ぐ棒が質量を持たないという仮定から、この棒は自身に垂直な負荷をまったく伝えないと考えられる。したがって、反力の物体系成分は単に Rp ˆyB のように書け、棒に沿った成分しか存在しないことがいえる。このことから、棒の張力に関して次の方程式が得られる。
R p = R x 2 + R y 2 {\displaystyle R_{p}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}}}
同様に、先に示した加速度 a→P/I の式と ˆxB とのドット積を取ることで、求める運動方程式の右辺も計算することができる。その結果は(少々整理すると)以下のようになる。
m ( x ^ B ) T ( a → P / I ) = m ( x ̈ cos  θ − l θ ̈ ) {\displaystyle m({\hat {x}}_{B})^{T}({\vec {a}}_{P/I})=m({\ddot {x}}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }})}
左辺と右辺を繋いで m で割ると以下を得る。
l θ ̈ − g sin  θ = x ̈ cos  θ {\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }
これもまた、ラグランジュ法による方程式と同一である。ニュートン法を用いる利点は、全ての反力が明らかであり、損壊がないことを保証できる点にある。
倒立振子を安定させることは広く取り組まれている工学的課題である。台車駆動型倒立振子にも、棒を載せただけのものから振り子が複数の節に分かれているものまで様々な変種がある。その他にも、倒立振子の棒もしくは節分けされた棒を回転部品の端にとりつける種類のものがある。台車型と回転型のいずれの場合でも、倒立振子は平面内でしか運動しない。平衡位置にある倒立振子を維持するのが課題である場合もあれば、自律的に平衡位置を達成することが求められる場合もある。また、二輪倒立振子という別のプラットフォームもある。二輪倒立振子では一点での回転が可能であり、格段に高い操作性を実現できる。その他にも、一点上での平衡をとるものもある。コマや 一輪車、ボール上の倒立振子はすべて一点上で平衡をとる。上で説明したように、鉛直に振動する台によっても倒立振子を安定化することができる。
質量の無い、振動する台に繋がれた振り子の運動方程式は台車に繋がれた振り子と同じように導出することができる。質点の位置はこの場合は次のように表わされる。
( − l sin  θ , y + l cos  θ ) {\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}
そして、位置の一階微分をとることにより速度が得られる。
v 2 = y ̇ 2 − 2 l y ̇ θ ̇ sin  θ + l 2 θ ̇ 2 {\displaystyle v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}}
この系のラグランジアンは次のように書ける。
L = 1 2 m ( y ̇ 2 − 2 l y ̇ θ ̇ sin  θ + l 2 θ ̇ 2 ) − m g ( y + l cos  θ ) {\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}
そして、オイラー・ラグランジュ方程式