遅延ポテンシャル
議論の出発点は、以下のマックスウェルの方程式
[M1] div  B = 0 {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {B}}=0} (1-2-1a)
[M2] rot  E + ∂ B ∂ t = 0 {\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}=0} (1-2-1b)
[M3] rot  H − ∂ D ∂ t = i {\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}={\boldsymbol {i}}} (1-2-1c)
[M4] div  D = ρ {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {D}}=\rho } (1-2-1d)
であり、真空中について検討しているため、以下の構造方程式が考え併せられる。
[SE1] B = μ 0 H {\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\mu _{0}}{\boldsymbol {H}}} (1-2-2a)
首記の件について解説する。必要に応じ、例えば北川p27,P39付近を参照のこと。
∂ ∂ z s [ 1 | r − s | ] = ( z r − z s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {z}_{\boldsymbol {s}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {({z}_{\boldsymbol {r}}-{z}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-3c)
grad s  [ 1 | r − s | ] = ( r − s ) | r − s | 3 {\displaystyle \operatorname {grad} _{\boldsymbol {s}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-3d)
も判る((S4-1-2) と符号が逆転していることに注意)。
が得られる。同様に、式(S4-1-1)それぞれに、 R = s − r {\displaystyle {\mathfrak {R}}={\boldsymbol {s}}-{\boldsymbol {r}}} を代入すると | r − s | ≠ 0 {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|\neq 0} において、
grad s  [ 1 | r − s | ] = 2 ( r − s ) | r − s | 4 {\displaystyle \operatorname {grad} _{\boldsymbol {s}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {2({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{4}}}} (S4-2-3)
も判る((S4-2-2) と符号が逆転していることに注意)。
である。従って、式(S4-1-1)それぞれに、 R = r − s {\displaystyle {\mathfrak {R}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}} を代入すると | r − s | ≠ 0 {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|\neq 0} において、
∂ ∂ x r [ 1 | r − s | ] = − ( x r − x s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x}_{\boldsymbol {r}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {-({x}_{\boldsymbol {r}}-{x}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-2a)
∂ ∂ y r [ 1 | r − s | ] = − ( y r − y s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {y}_{\boldsymbol {r}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {-({y}_{\boldsymbol {r}}-{y}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-2b)
となる。従って、式(2-1-4)のDに対して球面座標変換を施したものを、Lと書くと、
L = ( Φ ∗ Δ ) + ( ω 2 c 2 ) = ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 + 1 r 2 cot  θ ∂ ∂ θ + 1 r 2 sin 2  θ ∂ 2 ∂ ρ 2 + ( ω 2 c 2 ) {\displaystyle L=({\Phi }^{*}\Delta )+\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\operatorname {cot} \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}{\theta }}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}+\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)} (2-3-4)
r ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle r(x,y,z)={\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}} (2-4-6)
(1)常微分方程式の部 まず、r≠0で式(2-3-1)を解く
u ( r ) := r G ( Φ ( r , 0 , 0 ) , ω ) {\displaystyle u(r):=rG(\Phi (r,0,0),\omega )} (2-4-7)
と置き、(2-3-1)式に代入すると、r≠0において、
d 2 u d r 2 ( r ) = − k 2 u ( r ) {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dr^{2}}}(r)=-{k}^{2}u(r)} (2-4-8)
が得られる。この常微分方程式は、変数分離型なので、定数(スカラー)a,bを用いて、
u ( r ) = a exp  ( i k r ) − 4 π + b exp  ( − i k r ) − 4 π {\displaystyle u(r)=a{\frac {\exp(ikr)}{-4\pi }}+b{\frac {\exp(-ikr)}{-4\pi }}} (2-4-9)
と表される。 u ( r ) {\displaystyle u(r)} の定義より、