ラゲールの陪多項式
k = 0 {\displaystyle k=0} のとき L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)} について
x d d x L n ( x ) = n L n ( x ) − n 2 L n − 1 ( x ) {\displaystyle x{\dfrac {d}{dx}}L_{n}(x)=nL_{n}(x)-n^{2}L_{n-1}(x)}
L n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 − x ) L n ( x ) − n 2 L n − 1 ( x ) {\displaystyle L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-n^{2}L_{n-1}(x)}
という漸化式が成り立ち、後者から
L 0 ( x ) = 1 {\displaystyle L_{0}(x)=1}
L 1 ( x ) = − x + 1 {\displaystyle L_{1}(x)=-x+1}
L 2 ( x ) = x 2 − 4 x + 2 {\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}-4x+2}
L 3 ( x ) = − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 {\displaystyle L_{3}(x)=-x^{3}+9x^{2}-18x+6}
である。
量子力学において、球対称ポテンシャルのシュレディンガー方程式(代表的なものは水素原子におけるシュレーディンガー方程式)の動径方向の解は、ラゲールの陪多項式を用いて表される。