重力ポテンシャル
質量分布が有界な領域に限られるとき、その外部の真空領域での重力ポテンシャルは、球座標 ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} を用いると多重極展開
Φ ( r , θ , φ ) = − G ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l 4 π 2 l + 1 Q l m r l + 1 Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle \Phi (r,\theta ,\varphi )=-G\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}{\frac {4\pi }{2l+1}}{\frac {Q_{lm}}{r^{l+1}}}Y_{lm}(\theta ,\varphi )}
という形に表すことができる。ここに Y l m {\displaystyle Y_{lm}} は球面調和関数であり、 Q l m {\displaystyle Q_{lm}} は質量分布の多重極モーメント (ストークス係数)
Q l m = ∫ r l ρ ( r , θ , φ ) Y l m ∗ ( θ , φ ) r 2 d r sin  θ d θ d φ {\displaystyle Q_{lm}=\int r^{l}\rho (r,\theta ,\varphi )Y_{lm}^{*}(\theta ,\varphi )\,r^{2}dr\,\sin \theta d\theta \,d\varphi }
である。0 次の多重極モーメント Q 00 {\displaystyle Q_{00}} は系の全質量 M {\displaystyle M} に等しく、質量分布の重心を座標原点に選ぶとき Q 1 m = 0 {\displaystyle Q_{1m}=0} であるから, 多重極展開はニュートンポテンシャル − G M / r {\displaystyle -GM/r} に四重極モーメント Q 2 m {\displaystyle Q_{2m}} などの高次モーメントによる補正を加えたものと解釈できる。実際、 2 l {\displaystyle 2^{l}} -重極モーメント Q l m {\displaystyle Q_{lm}} は O ( M R l ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(MR^{l})} ( R {\displaystyle R} は質量分布の典型的な半径) 程度の量であり, 従って 2 l {\displaystyle 2^{l}} -重極モーメント Q l m {\displaystyle Q_{lm}} によるニュートンポテンシャルに対する補正は O { ( R / r ) l } {\displaystyle {\mathcal {O}}\left\{\left(R/r\right)^{l}\right\}} 程度の量となる。