チコノフの定理
(6.5) ⋃ y ∈ F {\displaystyle \bigcup _{y\in F}} ( ∏ ρ < λ U ρ ) × U λ , y × ( ∏ λ < σ X σ ) {\displaystyle (\prod _{\rho <\lambda }U_{\rho })\times U_{\lambda ,y}\times (\prod _{\lambda <\sigma }X_{\sigma })} = ( ∏ ρ < λ U ρ ) × X λ × ( ∏ λ < σ X σ ) {\displaystyle (\prod _{\rho <\lambda }U_{\rho })\times X_{\lambda }\times (\prod _{\lambda <\sigma }X_{\sigma })} であるから、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で ( ∏ ρ < λ U ρ ) × ( ∏ λ ≤ σ X σ ) {\displaystyle (\prod _{\rho <\lambda }U_{\rho })\times (\prod _{\lambda \leq \sigma }X_{\sigma })} を被覆するものが存在することになるが、これは P ′(λ) が偽であることを意味し、矛盾が発生する。
X の任意の開集合 O は 基底 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の適当な部分集合族の合併として定義される。つまり、O = ⋃ λ ∈ Λ {\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }} Bλ ( Bλ ∈ B {\displaystyle {\mathcal {B}}} ) である。これから、 O とそれに含まれる任意の点 x について、ある B ∈ B {\displaystyle {\mathcal {B}}} が存在して、 x ∈ B ⊂ O となることが言える。
(10) 主張 : (8) で存在が証明された x は、直積位相の定義により X の点であるが、この点は W {\displaystyle {\mathcal {W}}} で被覆されない。
証明 : 主張 が正しくないと仮定すれば、x を含む W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の要素が少なくとも1つ存在するので、そのうちの一つを W とすれば、補足 から x ∈ B ⊂ W を満たす B ∈ B {\displaystyle {\mathcal {B}}} が存在する。一方、(8)から、B が x を含めば、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で B を被覆するものは存在しないので矛盾である。従って、主張 が正しいことになる。
(11) 結論 : 以上により 仮定 が成り立てば W {\displaystyle {\mathcal {W}}} は X を被覆しない。従って、命題 2 が成立するので、X はコンパクトである。
チコノフの定理 (ちこのふのていり、露: Теорема Тихонова、英: Tychonoff's theorem)または、チホノフの定理 は、数学の位相幾何学 (トポロジー) における定理であり、任意個 (非可算個の場合を含む)のコンパクト空間の直積空間がやはりコンパクト空間となることを主張する。
この定理は、ソビエト連邦、後にロシア連邦の数学者である Andrey Nikolayevich Tikhonov (露: Андре́й Никола́евич Ти́хонов) (1906年 - 1993年)が、1930年に、最初は実数の閉区間の場合について証明し、1935年に完全な証明を与えている。
非可算個の直積について定理を証明するためには、選択公理またはこれと同値な整列可能定理の援用が不可避であるが、逆も成立し、チコノフの定理と選択公理は同値であることが証明されている 。さらに、各コンパクト空間がT1分離公理を満たす場合に限定した、より弱いチコノフの定理も選択公理と同値である(英語版 Tychonoff's theoremに証明がある)。
U ×Y = ⋃ y ∈ F {\displaystyle \bigcup _{y\in F}} U × Vy であるから、結局 U ×Y は W {\displaystyle {\mathcal {W}}} のある有限部分集合で被覆されることになるが、これは(2)の 主張 に反する。
(3) 補足 : 直積位相の定義により X の全ての開集合と Y の全ての開集合の直積が成す集合族は X ×Y の開集合族の基底 を成す(これを B {\displaystyle {\mathcal {B}}} とする)。上記の U ×V は B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の要素である。 X ×Y の任意の開集合 O は 基底 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の適当な部分集合族の合併として定義される。つまり、O = ⋃ λ ∈ Λ B λ {\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }B_{\lambda }} ( B λ ∈ B {\displaystyle B_{\lambda }\in {\mathcal {B}}} ) である。