算術の超準モデル
P A ∗ {\displaystyle \mathrm {PA} ^{\ast }} にコンパクト性定理を適用するには、その任意の有限部分 T {\displaystyle T} がモデルを持つことを示せばよい。 T {\displaystyle T} は P A {\displaystyle \mathrm {PA} } の部分集合に n 1 < c , n 2 < c , ... , n m < c {\displaystyle n_{1}<c,n_{2}<c,\ldots ,n_{m}<c} ( n 1 < n 2 < ⋯ < n m {\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots <n_{m}} )という有限個の公理を付け加えた形をしているため、 c {\displaystyle c} の解釈を n m + 1 {\displaystyle n_{m}+1} と定めれば、自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } が T {\displaystyle T} のモデルになっていることが言える。
M {\displaystyle M} は N {\displaystyle \mathbb {N} } を含んでいるものと見做せる。ペアノ算術では、各自然数 n {\displaystyle n} に対して、
∀ x ( ⋀ k = 0 n ( x ≠ n ) → n < x ) {\displaystyle \forall x\left(\bigwedge _{k=0}^{n}(x\neq n)\to n<x\right)}
が証明可能である。したがって M {\displaystyle M} に於いて真である。このことから M {\displaystyle M} は N {\displaystyle \mathbb {N} } の後ろに無限大元からなる部分を繋げたような順序構造をしていることが分かる。すなわち、順序集合として M = N ⊕ ( M ∖ N ) {\displaystyle M=\mathbb {N} \oplus (M\setminus \mathbb {N} )} が成り立つ。
次に M ′ = M ∖ N {\displaystyle M'=M\setminus \mathbb {N} } の順序構造を調べる。いま M ′ {\displaystyle M'} 上の二項関係
x E y ⟺ x − y ∈ Z {\displaystyle xEy\iff x-y\in \mathbb {Z} } (つまりある自然数 n {\displaystyle n} に対して x = y + n {\displaystyle x=y+n} または y = x + n {\displaystyle y=x+n} )