要素内補間
線分要素内の点p は、節点p0, p1 により
p = p 0 + ( p 1 − p 0 ) u {\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {p}}_{0}+({\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{0})u}
と表せる。ここで局所座標u は 0 < u < 1 を満たす実数で、
u = | p − p 0 | | p 1 − p 0 | {\displaystyle u={\frac {|p-p_{0}|}{|p_{1}-p_{0}|}}}
である。直感的には、基点を p0 として、そこから p1 までの距離の比率 u で線分内の座標値 p を求めたことになる。
u = 0 の場合には点 p は p0 を示し、u = 1 の場合には p1 を示す。
前述の表現は、直線のパラメトリックまたは、媒介変数u による定義と呼ばれることもある。
全体座標系から局所座標系への変換は、局所座標系から全体座標系への変換行列の逆行列を求めることで得られる。
( u p v p w p ) = ( x e u x e v x e w y e u y e v y e w z e u z e v z e w ) − 1 ( ( x p y p z p ) − ( x p 0 y p 0 z p 0 ) ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}u_{p}\\v_{p}\\w_{p}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}x_{eu}&x_{ev}&x_{ew}\\y_{eu}&y_{ev}&y_{ew}\\z_{eu}&z_{ev}&z_{ew}\end{array}}\right)^{-1}\left(\left({\begin{array}{c}x_{p}\\y_{p}\\z_{p}\\\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}x_{p0}\\y_{p0}\\z_{p0}\end{array}}\right)\right)}
全体座標系と局所座標系の関係と同様に、節点 p0, p1 での各値を C0, C1 とし線形補間すると、点 p での値 C は
C = C 0 + ( C 1 − C 0 ) u {\displaystyle C=C_{0}+(C_{1}-C_{0})u}
と表せる。