原始ピタゴラス数
原始ピタゴラス数 (a, b, c) の生成式は、ユークリッドの式とブラフマグプタの式が知られている。ただし a, b の順番は流儀によりまちまちである。
ユークリッドの式またはピタゴラスの公式とは、
(a, b, c) = (m − n, 2mn, m + n) または (2mn, m − n, m + n)
の形のことである。ここで、m, n は自然数で
m, n は互いに素
m > n
m と n の偶奇は異なる(一方が奇数で他方が偶数)
を満たす。
これに対してブラフマグプタの式とは、
(a, b, c) = (p − q/2, pq, p + q/2) または (pq, p − q/2, p + q/2)
の形のことである。ここで、p, q は自然数で
p, q は互いに素
p > q
p, q は奇数
を満たす。
ユークリッド式とブラフマグプタ式には (p, q) = (m + n, m − n) の関係があり、本質的には同じである。ただし、周長は、ユークリッド式では 2m(m + n)、ブラフマグプタ式では p(p + q) となり、ブラフマグプタ式の方が式が簡単になることがある。
『数学ガール』(結城浩著)では、ユークリッドの式は「ピタゴラ・ジュース・メーカー」とネーミングされて取り上げられている。
故に、a と b は偶奇が異なる。
2. a が偶数、b が奇数の場合について証明する(他の場合は a, b を入れ替えればよい)。
a =: 2a′(a' は整数)とおく。
4 a ′ 2 = ( 2 a ′ ) 2 = a 2 = c 2 − b 2 = ( c + b ) ( c − b ) {\displaystyle {\begin{aligned}4a'^{2}&=(2a')^{2}\\&=a^{2}\\&=c^{2}-b^{2}\\&=(c+b)(c-b)\end{aligned}}}
ここで c + b と c − b は偶奇が一致するから、(ともに奇数だとすると上の等式を満たさないため)
c + b = 2u, c − b = 2v(u, v は自然数)
とおくことができる。
ここで c = u + v, b = u − v は互いに素であるから、u, v は互いに素であることが導ける。さらに u + v, u − v は偶奇が一致するから u − v は奇数である。
逆に、u, v は互いに素で u − v が奇数ならば、c = u + v, b = u − v は互いに素であることも導ける。