スターリングの近似
スターリングの近似(英: Stirling's approximation)またはスターリングの公式(英: Stirling's formula)は、階乗、あるいはその拡張の一つであるガンマ関数の漸近近似である。名称は数学者ジェイムズ・スターリング(英語版)にちなむ。
d d z log  Γ ( z ) = lim N → ∞ log  N − ∑ n = 0 N 1 n + z {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)=\lim _{N\to \infty }\log N-\sum _{n=0}^{N}{\frac {1}{n+z}}}
d 2 d z 2 log  Γ ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + z ) 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}}
R z > 0 {\displaystyle \Re z>0} なら f = ( n + z ) − 2 {\displaystyle f=(n+z)^{-2}} は右半平面において正則であるからプラナの和公式により
}{m!}}&=\sum _{k=m+1}^{n}\log k\\&<\int _{m}^{n}\log x\,dx+{\frac {1}{2}}\{\log n-\log m\}\\&=(n+1/2)\log n-n-(m+1/2)\log m+m\end{aligned}}}
n n + 1 / 2 e − n + 1 / ( 2 n ) m m + 1 / 2 e − m + 1 / ( 2 m ) < n ! m ! < n n + 1 / 2 e − n m m + 1 / 2 e − m {\displaystyle {\frac {n^{n+1/2}e^{-n+1/(2n)}}{m^{m+1/2}e^{-m+1/(2m)}}}<{\frac {n!}{m!}}<{\frac {n^{n+1/2}e^{-n}}{m^{m+1/2}e^{-m}}}}
ここで a n = n ! n n + 1 / 2 e − n {\displaystyle \;a_{n}={\frac {n!}{n^{n+1/2}e^{-n}}}\;} と定めると
e 1 / ( 2 n ) e 1 / ( 2 m ) < a n a m < 1 {\displaystyle {\frac {e^{1/(2n)}}{e^{1/(2m)}}}<{\frac {a_{n}}{a_{m}}}<1}
m,n→∞のとき最左辺は1に収束するから、特に n=2m のとき
lim m → ∞ a 2 m a m = 1 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\frac {a_{2m}}{a_{m}}}=1}
lim z → ∞ | ∫ 0 ∞ arctan  ( t / z ) e 2 π t − 1 d t | ≤ lim z → ∞ 1 2 π [ log  ( | z | − t ) ] 0 | z | 1 / 2 + lim z → ∞ M e 2 π 2 π ( e 2 π − 1 ) [ − e − 2 π t ] | z | 1 / 2 ∞ = 0 {\displaystyle \lim _{z\to \infty }\left|\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt\right|\leq \lim _{z\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}{\Big [}\log \left(|z|-t\right){\Big ]}_{0}^{|z|^{1/2}}+\lim _{z\to \infty }{\frac {Me^{2\pi }}{2\pi \left(e^{2\pi }-1\right)}}{\Big [}-e^{-2\pi t}{\Big ]}_{|z|^{1/2}}^{\infty }=0}