基本解
パラメータ k が実数で、基本解が修正されたベッセル函数であるような、静電遮蔽された電荷を記述するポアソン方程式(screened Poisson equation)
[ − ∇ 2 + k 2 ] Φ ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) {\displaystyle [-\nabla ^{2}+k^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}
に対し、次の二次元および三次元のヘルムホルツ方程式が基本解を持つ。
Φ 2 D ( x , x ′ ) = 1 2 π K 0 ( k | x − x ′ | ) , Φ 3 D ( x , x ′ ) = 1 4 π | x − x ′ | exp  ( − k | x − x ′ | ) {\displaystyle \Phi _{2D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|),\quad \Phi _{3D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}\exp(-k|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|)}