付値
V を体 K の自明な付値以外の互いに同値ではない乗法付値からなる集合とする。上述の独立性定理により、V が有限集合であれば、
∏ | ∙ | ∈ V | a | ≠ 1 {\displaystyle \prod _{|\bullet |\in V}|a|\neq 1}
となる K の元 a が必ず存在する。そこで、V を無限集合とし、K の元 a ごとに、積をとる乗法付値を V からうまく選ぶことにすれば
∏ | ∙ | i ∈ V i = 1 , ... , n | a | i = 1 {\displaystyle \prod _{|\bullet |_{i}\in V \atop i=1,\ldots ,n}|a|_{i}=1}
が 0 でない全ての元 a に対して成り立つ様にできる可能性がある。もし、この様なことができる場合、K と V に対して、積公式が成り立つという。
例えば K を有理数体とし、V を全ての素数に対する p-進付値と、絶対値からなる集合とすれば、積公式が成り立つ。
体 K 上の乗法付値 |•| に対して、以下が成立する。
|1| = 1 である。
任意の K の元 a に対し、|−a| = |a| である。
0 でない任意の K の元 a に対し、|a| = |a| である。
K の元 a を |a| ≤ 1 となる様にとれば、|1 + a| ≤ c である。
離散付値ではない乗法付値
体 L の部分体と同型となる体を K とする。K の付値 vK に対して、L の付値 vL が存在して
v K ( a ) = v L ( a ) ( ∀ a ∈ K ) {\displaystyle v_{K}(a)=v_{L}(a)\quad (\forall a\in K)}
を満たすとき、賦値 vL は賦値 vK の L への延長または拡張であるといい、vK は vL の K への縮小または制限であるという。
付値の延長の存在性について、加法付値に対しては、体 K の任意の拡大体 L と K の加法付値 v に対して、v の L への延長となる、階数が v の階数と等しい付値 vL が存在する。 また、乗法付値に関しては、非アルキメデス付値は(階数が 1 以下の加法付値である)指数付値と一対一の対応が付けられるので、上記のことから、任意の拡大体に対して与えられた非アルキメデス付値の(非アルキメデス付値である)延長が存在する。 アルキメデス付値に関しては、任意の代数拡大体に対して、与えられたアルキメデス付値の(アルキメデス付値である)延長が存在するが、非アルキメデス付値の場合と異なり、代数拡大ではない拡大体に対して与えられたアルキメデス付値の延長が存在するとは限らない。
例えば、複素数体上の絶対値を、複素数体上の 1-変数有理関数体 C(t) に延長することはできない。しかし、有理数体上の絶対値は実数体上に延長できるので、代数拡大以外の拡大体への延長が全く存在しないというわけではない。
体 L の付値 v の部分体 K への縮小で得られる付値 vK は、v に対して一意的に決まるが、付値 vK の L への延長で得られる付値は v だけとは限らない。
, x n ) ∈ K [ x 1 , ... , x n ] ) {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {g(x_{1},\ldots ,x_{n})}{h(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\quad (g(x_{1},\ldots ,x_{n}),\,h(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}])} に対し、v(f) = v(g) − v(h) と定義すると、v は K(x1, ..., xn) の加法付値となる。
体K に対して、体 L を L = ⋃ n ≥ 1 K ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle L=\bigcup _{n\geq 1}K(x_{1},\ldots ,x_{n})} とし、一つ上で挙げた加法付値を vn としたとき、0 でない L の元 f に対して v ( f ) = ( j 1 , ... , j n , 0 , 0 , ... ) ∈ Z N ( f ∈ K ( x 1 , ... , x n ) , v n ( f ) = ( j 1 , ... , j n ) ) {\displaystyle v(f)=(j_{1},\ldots ,j_{n},0,0,\ldots )\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }\quad (f\in K(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ v_{n}(f)=(j_{1},\ldots ,j_{n}))} と定めれば、v は L の加法付値となる。
体 K の加法付値 v に対して、v の剰余体 R v / m v {\displaystyle R_{v}/{\mathfrak {m}}_{v}} の加法付値を v′ とする。このとき
R ′′ = { a ∈ R v ∣ a mod m v ∈ R v ′ } {\displaystyle R''=\{a\in R_{v}\mid a\ {\bmod {\ }}{\mathfrak {m}}_{v}\in R_{v'}\}}
は、K の付値環となる。そこで、K の加法付値 v′′ を Rv′′ = R′′ を満たす様に取ったとき、v′′ を v と v′ との合成という。(v′′ の階数) = (v の階数) + (v′ の階数) が成り立つ。
加法付値の合成を用いて、体 K の加法付値を w、K の拡大体を L とし、 L の加法付値 v を、剰余体が K と同型になるようにとれば、L の加法付値 v′ として
v ′ ( a ) = { w ( a ) ( a ∈ K ) v ( a ) ( a ∈ L ∖ K ) {\displaystyle v'(a)={\begin{cases}w(a)&(a\in K)\\v(a)&(a\in L\setminus K)\end{cases}}}
が成り立つものを得ることができる。