埋め込み境界法
非圧縮性のニュートン流体の場合、ナビエ-ストークス方程式と連続の式は、構造体が流体に及ぼす力の密度f (x , t ) を用いると以下のようになる。
ρ ( ∂ u ( x , t ) ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = μ Δ u ( x , t ) − ∇ p + f ( x , t ) ∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \left({\frac {\partial {u}({x},t)}{\partial {t}}}+{u}\cdot \nabla {u}\right)=\mu \Delta u(x,t)-\nabla p+f(x,t)\\&\nabla \cdot u=0\end{aligned}}}
通常、流体中の構造体は相互作用しあう粒子の集まりで表現する。j 番目の粒子の座標をZj 、粒子j ではたらかせる力をFj とすると、力の密度f (x , t ) は以下の式のようになる。
f ( x , t ) = ∑ j = 1 N δ a ( x − Z j ) F j {\displaystyle f(x,t)=\sum _{j=1}^{N}\delta _{a}(x-Z_{j})F_{j}}
ここで、δa はディラックのデルタ関数を長さa のスケールで平滑化した関数である。一方、構造体の変形は、次式に基づいて行われる。
d Z j d t = ∫ δ a ( x − Z j ) u ( x , t ) d x {\displaystyle {\frac {dZ_{j}}{dt}}=\int \delta _{a}(x-Z_{j})u(x,t)dx}