体の拡大
拡大 K/k が与えられたとき、K の元 α1, α2, ..., αn に対して、恒等的に 0 でない n 変数の多項式 F(X1, X2, ..., Xn) で F(α1, α2, ..., αn) = 0 を満たすものが存在するとき、α1, α2, ..., αn は代数的従属 (algebraically dependent) であるといい、そうでないとき代数的独立 (algebraically independent) であるという。
超越拡大 T/k に対し、T の k 上代数的独立な元からなる部分集合 B で拡大 T/k(B) が代数的となるとき、B は T / k のあるいは T の k 上の超越基または超越基底(ちょうえつきてい、transcendencial basis)という。ツォルンの補題(T が k 上有限生成の場合は帰納法)により、超越基底は常に存在する。とくに、超越拡大 T/k がその超越基底 B によって T = k(B) と表されるならば、拡大は純超越的であるという。また、超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できるので、これを T の k 上の超越次数(ちょうえつじすう、transcendencial degree)あるいは次元(じげん、dimension)といい、degkT あるいは trans.degkT などと表す。例えば、代数函数体 k(x1, ..., xn) は k 上 n-次元の純超越拡大体である。
有限次拡大はすべて代数拡大であり、また超越拡大はかならず無限次元拡大である。しかしそれぞれ逆はいえない、つまり無限次元の代数拡大が存在する。