全順序群
↑ 例えば ordered+group#properties in nLab
↑ Fuchs & Salce 2001, p. 61.
任意の全順序群はねじれがない。逆に Levi (1942) はアーベル群が両立する全順序を持つための必要十分条件が、ねじれのないアーベル群となることであると示した。
オットー・ヘルダーは任意のアルキメデス群(英語版)(アルキメデスの性質を満たす両側順序群)が実数の加法群 R の適当な部分群に同型となることを示した。これは、乗法的に書かれたアルキメデス順序群に対して、デデキント完備化 ˆG(すなわち全順序群 G の n-乗根に関する閉包)を考えることで示される。実際、この完備化に通常の線型順序位相を入れれば、任意の g ∈ ˆG に対する指数函数
は位相群の順序(を保つ/を逆にする)同型として矛盾なく定まることが示せる。非アルキメデスの場合には、全順序群の完備化は困難であるから、そのような場合は群の階数(これは凸部分群からなる最大列の順序型と関係する)で分類するのがよい。
左順序群の例は、実数直線上の順序を保つ同相として作用する群からたくさん作れる。実際、可算群に対してはこれが左順序性の特徴付けであることが知られている。例えば Ghys (2001) を参照。