平面三項環
方程式 T ( a , b , x ) = c ( ∀ a , b , c ∈ R ) {\displaystyle T(a,b,x)=c\quad (\forall a,b,c\in R)} はただ一つの解 x ∈ R を持つ;
方程式 T ( a , x , y ) = b , T ( c , x , y ) = d ( ∀ a , b , c , d ∈ R , a ≠ c ) {\displaystyle T(a,x,y)=b,T(c,x,y)=d\quad (\forall a,b,c,d\in R,\,a\neq c)} はただ一つの解 ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle (x,y)\in R^{2}} を持つ
を満足するときに言う。同様に、左平面三項環は T′(a, b, c) ≔ T(b, a, c) (T は右平面三項環の条件を満たす) によって定まる。
R が有限集合のとき、公理 3. と公理 5. は公理 4. の存在のもとで同値である
注意: T に関する公理 1., 2. が対 (0, 1) に対して満たされているとき、対 (0, 1) を別の対 (0′, 1′) に取り換えた公理 1., 2. をも同時に満たすような T は存在しない。その意味で T と対 (0, 1) は一意に対応する。
R は少なくとも相異なる二点(それを 0, 1 と書くことにする)を含む集合とするとき、写像 T: R → R との組 (R, T) が(右)平面三項環とは、写像 T が以下の条件
T ( a , 0 , b ) = T ( 0 , a , b ) = b , ( ∀ a , b ∈ R ) {\displaystyle T(a,0,b)=T(0,a,b)=b,\quad (\forall a,b\in R)} ;
T ( 1 , a , 0 ) = T ( a , 1 , 0 ) = a , ( ∀ a ∈ R ) {\displaystyle T(1,a,0)=T(a,1,0)=a,\quad (\forall a\in R)} ;
方程式 T ( x , a , b ) = T ( x , c , d ) ( ∀ a , b , c , d ∈ R , a ≠ c ) {\displaystyle T(x,a,b)=T(x,c,d)\quad (\forall a,b,c,d\in R,\,a\neq c)} はただ一つの解 x ∈ R を持つ;
以下に定められる「二項演算」は必ずしも結合的でない。そのことを強調する意味で演算子は丸囲みのものを用いてあることに注意(つまり、以下は直和やテンソル積などではない)。