フォック状態
フォック状態はエルミート演算子である粒子数演算子の固有ベクトルであるため、正規直交基底をなす。 このフォック状態(とそれらの線形結合)から成る空間をフォック空間という。 フォック空間での基底であるフォック状態は、「占有数基底」とも呼ばれる。 フォック空間は、それぞれの粒子数におけるテンソル積ヒルベルト空間の直和となる。
フォック空間のベクトルの中で、粒子数が異なる状態の重ね合わせであるもの(たとえばコヒーレント状態など)は、数演算子の固有状態ではないためフォック状態ではない。よってフォック空間の全てのベクトルが「フォック状態」と呼ばれる訳ではない。
相互作用しない粒子においてのみ、 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} と a ^ n {\displaystyle {\hat {a}}_{n}} が交換する。しかし一般の場合にはこれらは交換しない。 相互作用しない粒子では、
H = ∑ n , n ′ ∫ d 3 x a ^ n ′ † ψ n ′ ( + ) ∗ ( x ) E n 0 ψ n ( + ) ( x ) a ^ n = ∑ n , n ′ E n 0 a ^ n ′ † a ^ n δ n n ′ = ∑ n E n 0 a ^ n † a ^ n = ∑ n E n 0 N ^ {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,{\hat {a}}_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x){\hat {a}}_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}{\hat {a}}_{n'}^{\dagger }{\hat {a}}_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\hat {a}}_{n}^{\dagger }{\hat {a}}_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\hat {N}}}
これらが交換しない場合、ハミルトニアンは上述の表現を持たない。 よって一般的にフォック状態は系のエネルギー固有状態ではない。