オイラーの公式
この公式の名前は、18世紀の数学者レオンハルト・オイラーに因むが、最初の発見者はロジャー・コーツとされる。コーツは1714年に
log  ( cos  x + i sin  x ) = i x {\displaystyle \log \left(\cos x+i\sin x\right)=ix\ }
を発見したが、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。1740年頃、オイラーは、コーツの公式を基に、指数関数と三角関数の級数展開を比較することによって、オイラーの公式を証明し、1748年に発表した。
オイラーの公式を導入することにより、極形式の複素数は、より簡素な表記に変換することができる。すなわち、複素数の極形式 z = r(cos θ + i sin θ) は z = re に等しい。また、特に、θ = π のとき、
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
が導かれる。この関係式はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる。
オイラーの公式により、余弦関数および正弦関数は、双曲線関数に変換することができる:
cos  θ = cosh  i θ {\displaystyle \cos \theta =\cosh i\theta }
sin  θ = 1 i sinh  i θ {\displaystyle \sin \theta ={\tfrac {1}{i}}\sinh i\theta }
応用上では、三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などが利用しやすくなる。
cos  n θ = ∑ k = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) ( cos  θ ) n − 2 k ( sin  θ ) 2 k = ∑ k = 0 [ n 2 ] ( − 1 ) k ( n 2 k ) ( cos  θ ) n ( tan  θ ) 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}\cos n\theta &=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n-2k}(\sin \theta )^{2k}\\&=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n}(\tan \theta )^{2k}\end{aligned}}}
を得る。これが cos θ の n 倍角の公式の閉じた表示式である([s] は s の整数部分)。 この式において nθ = x と置き換えると
cos  x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( n 2 k ) ( cos  x n ) n ( tan  x n ) 2 k . {\displaystyle \cos x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k}.}
和の上端を ∞ に書き直したが、k > n/2 のとき二項係数の部分が 0 になるので、これは n/2 までの和に等しい。 n → ∞ の極限においては