モンテルの定理
数学の一分野である複素解析学において、モンテルの定理 (Montel's theorem) と呼ばれる、正則関数の族についての2つの定理がある。これらはPaul Montel(英語版)にちなんで名づけられていて、正則関数の族が正規族となる十分条件を与える。
モンテルの定理の第一のバージョンはマーティの定理(英語版)(族が正規であることとspherical derivativeが局所有界であることは同値)とコーシーの積分公式の直接の結果である。
この定理は、トーマス・ヨアネス・スティルチェス (Thomas Joannes Stieltjes) とウィリアム・フォッグ・オズグッド(英語版) (William Fogg Osgood) にちなんで、スティルチェス・オズグッドの定理とも呼ばれている。
上に述べた系は以下のように導かれる。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} のすべての関数はある一点 z1 の近傍を値域に持たないとする。写像 z ↦ 1 z − z 1 {\displaystyle z\mapsto {\frac {1}{z-z_{1}}}} を前から合成して、一様有界な族を得、これは定理の第一のバージョンによって正規である。
モンテルの定理の第二のバージョンは、単位円板から C ∖ { a , b } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{a,b\}} への正則普遍被覆が存在するという事実を用いて、第一のバージョンから導ける。(そのような被覆は楕円モジュラー関数によって与えられる。)
モンテルの定理のこのバージョンは、Zalcman の補題(英語版)を用いて、ピカールの定理から導くこともできる。