ケーニヒの定理 (集合論)
定理の正確な内容は以下のようになる: I を集合 ,その任意の要素 i に対して Ai と Bi を 集合で、 A i < B i {\displaystyle A_{i}<B_{i}\!} であるものとすると、
∑ i ∈ I A i < ∏ i ∈ I B i , {\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}<\prod _{i\in I}B_{i},}
となる。ここで < は 基数の意味で真に小さい ことを意味する。 言い換えると、Ai から Biへの単射があるが、逆方向には単射がない。 この和は直和でなくてもよい(選択公理の有無に関わらず、単なる集合和は直和より決して大きくはならない)。 ここでのケーニヒの定理は選択公理と同値である。
(もちろん、ケーニヒの定理は添え字集合 I が無限でmi と niが有限基数なら自明である。 I が空集合なら、左辺の和は0になり、右辺の積は1となる。