ナプキンリング問題
直円柱の軸が半径Rの球の中心を通り、hが球の内側にある円柱部分の高さ(軸に平行な方向な距離として定義される)を表すと仮定する。「バンド」は円柱の外側にある球の部分である。バンドの体積はhに依存するが、Rに依存しない。
V = π h 3 6 . {\displaystyle V={\frac {\pi h^{3}}{6}}.}
球の半径Rを小さくすると、hを一定に保つためには円柱の直径も小さくなる必要がある。すると、バンドが太くなり体積が増える。しかし、円周も短くなり体積が減る。この2つの効果が互いに相殺しあう。極端な例で可能な限り小さい球の場合、円柱は消え(半径は0になる)、高さhは球の直径に等しくなる。この場合、バンドの体積は球の体積であり、上記の式と一致する。
この問題に関する初期の研究は和算家の関孝和により行われた。Smith & Mikami (1914)によると、関はこの立体を「弧環」と呼んだ 。