Hom関手
圏論において、対象の間の射の集合(hom-setともいう)は、集合の圏への関手を構成する。この関手をHom関手(ほむかんしゅ、英語: Hom functor)と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。
Hom ( X , Y ⇒ Z ) ≃ Hom ( X ⊗ Y , Z ) {\displaystyle {\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)}
である。ここで ⊗ {\displaystyle \otimes } はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は X と Z の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 Y ⇒ Z {\displaystyle Y\Rightarrow Z} を内部Homと呼ぶ。 ⊗ {\displaystyle \otimes } がデカルト積 × {\displaystyle \times } であるとき、対象 Y ⇒ Z {\displaystyle Y\Rightarrow Z} を指数対象と呼び、 Z Y {\displaystyle Z^{Y}} と書くこともある。
内部Homは、圏の内部言語(英語版)と呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語である線形型システム(英語版)がある。