固有状態熱化仮説
ここで p {\displaystyle \mathbf {p} } は粒子の運動量、 m {\displaystyle m} は粒子の質量、 k {\displaystyle k} はボルツマン定数。また、 T α {\displaystyle T_{\alpha }} は固有状態 α {\displaystyle \alpha } に対応する「温度」であり、エネルギー固有値に対して以下の理想気体の状態方程式を満たすように定義される:
E α = 3 2 N k T α . {\displaystyle E_{\alpha }={\frac {3}{2}}NkT_{\alpha }.}
ここで N {\displaystyle N} は気体の粒子数である。ミクロカノニカルアンサンブル(またはカノニカルアンサンブル)から導かれる予測に一致するようなオブザーバブルの値が、一つのエネルギー固有状態から得られるという点で、この結果は ETH が成立する具体例の一つと言える。 初期状態の平均操作はなんら行われておらず、H定理のようなものも現れていないことに注意しよう。また、気体の構成粒子について適当な交換関係を課すことで、それに対応するボース分布関数やフェルミ分布関数を導くこともできる。
しかし剛体球気体のエネルギーがどれほど高ければ ETH が成り立つか、ETH に従うような固有状態の条件はよく分かっていない。 ラフな基準としては、粒子の平均のド・ブロイ波長が粒子の半径より充分小さく、系が古典カオスの特徴を示すことが挙げられる(実際、剛体球は有限の大きさを持つ)。