アトラクター
p(z) の次数が3以上のとき、ニュートン法による写像のベイスン境界は非常に複雑な形となる。特に、p(z) = z − 1 の3次多項式では3つの点アトラクターのベイスン境界は鎖あるいは数珠つなぎのようなフラクタルを成すことが知られている。
他の特殊で複雑なベイスンとしてはリドルベイスン、リドルドベイスン(英語: riddled basin)と呼ばれるものがある。あるアトラクター A1 のベイスンを B(A1) で、併存するアトラクター A2 のベイスンを B(A2) で表すとする。B(A1) が B(A2) に対してリドルであるとは、B(A1) の全ての点の開近傍に B(A2) が有限の割合で含まれることを意味する。つまり、B(A1) の全ての点のいくらでも近い範囲に B(A2) の点が存在している。名前の「リドルド(英語: riddled)」とは「穴だらけの」の意味で、リドルベイスンとは B(A1) が B(A2) によって穴だらけにされているという意味である。リドルベイスンが生じるにはストレンジアトラクターを部分相空間として含むような相空間の力学系が必要であり、離散力学系であれば2次元以上から、連続力学系では4次元以上から生じる。
フラクタル境界やリドルベイスンのような複雑なベイスンが存在する帰結として出てくるのが、カオスとは異なる形の予測困難性である。すなわち、ほとんどの初期値において、軌道はどのアトラクターに引き込まれるのか予測できなくなる。予測のためには初期値の指定に限りない精度が求められ、初期値に微小な差があると結果は大きく異なる。
準周期アトラクターを k 次元のトーラス(k-トーラス、k < n)だとする。周期アトラクターと同じように軌道方向は近づいたり離れたりせず、中立的である。よって、k-トーラス上の軌道接線方向はリアプノフス指数 0 で、軌道に垂直でかつトーラス面内方向もリアプノフス指数 0 である。結局、準周期アトラクターでは k 個のリアプノフ指数が 0 である。それ以外のトーラス面に対して垂直な全ての方向では、リアプノフ指数は負である。