線型汎函数
線型汎函数は量子力学において特に重要である。量子力学における系は、自身の双対空間と反線型同型であるようなヒルベルト空間によって表される。量子力学系の状態はヒルベルト空間上の線型汎函数と同一視することができる。詳細はブラ・ケット記法を参照。
区間 [a, b] 上で定義される次数 n 以下の実係数多項式全体の成すベクトル空間を Pn とし、c ∈ [a, b] とするとき、評価汎函数 evc: Pn → R;
ev c  f = f ( c ) {\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c)}
は線型汎函数になる。実際、
ev c  ( f + g ) = ( f + g ) ( c ) = f ( c ) + g ( c ) = ev c  ( f ) + ev c  ( g ) , ev c  ( α f ) = ( α f ) ( c ) = α f ( c ) = α ev c  ( f ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ev} _{c}(f+g)&=(f+g)(c)=f(c)+g(c)=\operatorname {ev} _{c}(f)+\operatorname {ev} _{c}(g),\\\operatorname {ev} _{c}(\alpha f)&=(\alpha f)(c)=\alpha f(c)=\alpha \operatorname {ev} _{c}(f)\end{aligned}}}
である。
x0, ..., xn を区間 [a, b] 内の相異なる n + 1 個の点とすると、n + 1 個の評価汎函数 evxi (i = 0, 1, ..., n) は Pn の双対空間の基底を成す(Lax (1996) にラグランジュ補間を用いた証明がある)。
ベクトル空間 V が内積を備えているとき、与えられた基底に対する双対基底を明示的な式に表すことができる。V が(必ずしも直交しない)基底 {e1, ..., en} を持つとすると、双対基底余ベクトルは
ω ~ i ( v ) = ⟨ ∑ 1 ≤ i 2 < i 3 < ⋯ < i n ≤ n ε i i 2 ... i n ( ⋆ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i n ) ⋆ ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ) , v ⟩ {\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}(v)=\left\langle {\frac {\sum \limits _{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}\epsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star e_{i_{2}}\wedge \dots \wedge e_{i_{n}})}{\star (e_{1}\wedge \dots \wedge e_{n})}},\;v\right\rangle }