代数的整数論
(有理)整数環の重要な性質は、それが算術の基本定理を満たすこと、つまり任意の(正の)整数は素数の積への分解を持ち、この分解は因子の並べ替えの違いを除いて一意的であるということである。これは代数体 K の整数環 O においては一般にはもはや正しくない。
素元とは O の元 p であって、p が積 ab を割り切るならば因子 a か b の一方を割り切るもののことである。この性質は整数の素数性と密接に関係する。なぜならばこの性質を満たす任意の正の整数は 1 か素数だからである。しかし、素元の方が真に弱い。例えば、−2 は負だから素数ではないが、素元である。素元への分解を許せば、整数においてさえ、
6 = 2 ⋅ 3 = ( − 2 ) ⋅ ( − 3 ) {\displaystyle 6=2\cdot 3=(-2)\cdot (-3)}
のような異なる分解が存在する。一般に、u が単元、すなわち O において乗法逆元を持つ数で、p が素元ならば、up もまた素元である。p と up のような数は同伴であるという。整数において、素数 p と −p は同伴であるが、これらのうち一方のみが正である。素数は正であると要求すれば同伴な素元の集合から一意的に元が選ばれる。しかしながら、K が有理数でないときには、正の概念の類似はない。
『代数的整数論』高木貞治著、岩波書店、1959年刊
Kenneth Ireland and Michael Rosen, "A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition", Springer-Verlag, 1990
Ian Stewart and David O. Tall, "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem," A. K. Peters, 2002
ルジャンドル記号を用いて、正の奇素数 p に対する平方剰余の相互法則は
( p q ) ( q p ) = ( − 1 ) p − 1 2 q − 1 2 {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}}
というものである。
相互律は平方剰余の相互法則の一般化である。
相互律を表すいくつかの異なる方法がある。19世紀に見つかった早期の相互律は通常、平方剰余記号を一般化する、素数がいつ別の素数を法として n 乗の剰余になるかを記述する冪剰余記号 (p/q) を用いて表され、(p/q) と (q/p) の間の関係を与える。ヒルベルトは相互律を再定式化し、1の冪根の値を取るヒルベルト記号 (a, b/p) の p を渡る積が 1 に等しいと言った。アルティンが再定式化した相互律は、イデアル(あるいはイデール)からガロワ群の元へのアルティン記号はある部分群上自明であるというものである。いくつかのより最近の一般化は相互律を群のコホモロジーやアデール群や代数的 K 群の表現を用いて表し、もともとの平方剰余の相互律との関係を見るのは難しい。
1955年頃、日本人数学者志村五郎と谷山豊は2つの一見全く異なる数学の分野、楕円曲線とモジュラー形式の間につながりがあるかもしれないことを観察した。結果のモジュラー性定理(志村・谷山予想)は、すべての楕円曲線はモジュラー(英語版)である、つまり一意的なモジュラー形式に付随できる、という主張である。
それは当初ありそうもないあるいは非常に不確かとして受け入れられず、数論学者アンドレ・ヴェイユがそれを支持する証拠を見つけた時より真剣に受け止められたが、証明はなかった。結果として「驚異的」("astounding") な予想は谷山・志村・ヴェイユ予想としばしば呼ばれた。それは証明や反証を要する重要な予想の一覧であるラングランズ・プログラムの一部となった。
1993年から1994年、アンドリュー・ワイルズは半安定な楕円曲線(英語版)に対してモジュラー性定理の証明を与え、リベットの定理(英語版)とあわせてフェルマーの最終定理の証明が与えられた。