ガロア理論の基本定理
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができるという、エミール・アルティンによる幾分繊細な結果である。ガロア拡大 K/F の自己同型写像は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
原始元定理を使うかなり簡単な証明もあるが、有限体の場合に異なる(しかしより簡単な)証明をする必要があるため、現代的な取扱いではほとんど用いられない。
抽象的な言葉では「ガロア対応(英語版)が存在する」と述べられる。その多くの性質は単に形の上でのことであるが、実際の順序集合の同型写像を記述するにはいくらか作業を要する。
対応は次のような有益な性質を持っている。
包含関係を逆にする(inclusion-reversing)。部分群の包含関係 H1 ⊆ H2 が成り立つことと体の包含関係 E ⊇ E が成り立つこととは同値。
拡大次数は包含関係を逆にするという性質と矛盾しない形で群の位数と関係する。具体的には H が Gal(E/F) の部分群であれば |H| = [E : E] であり |Gal(E/F)/H| = [E : F] である。
体 E は F の正規拡大(分離拡大の部分拡大は分離的だから、これはガロア拡大というのと同じ)であることと、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。このとき Gal(E/F) の元の E への制限は、Gal(E/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。