グリーンの恒等式
回転の発散はゼロであるため、この第三項は消去され、次が得られる:
グリーンのベクトル恒等式 P ⋅ Δ Q − Q ⋅ Δ P = ∇ ⋅ [ P ( ∇ ⋅ Q ) − Q ( ∇ ⋅ P ) + P × ∇ × Q − Q × ∇ × P ] . {\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}
同様の手順で、ドット積のラプラシアンはラプラシアンに関して次のように表すことが出来る:
Δ ( P ⋅ Q ) = P ⋅ Δ Q − Q ⋅ Δ P + 2 ∇ ⋅ [ ( Q ⋅ ∇ ) P + Q × ∇ × P ] .