モジュラー群
モジュラー群 Γ の重要な部分群には、合同部分群(英語版)(congruence subgroup)と呼ばれる群があり、付帯する行列の上に合同関係式を導入することにより与えられる。
自然な準同型 SL(2, Z) → SL(2, Z/NZ) が各要素に対して modulo N をとることにより得られる。このことはモジュラー群の準同型 PSL(2, Z) → PSL(2, Z/NZ) を導く。この準同型の核は、レベル N の主合同部分群(英語版)(principal congruence subgroup)と呼ばれ、Γ(N) と書く。次の短完全系列を得る。
1 → Γ ( N ) → Γ → PSL ( 2 , Z / N Z ) → 1 {\displaystyle 1\to \Gamma (N)\to \Gamma \to {\mbox{PSL}}(2,\mathbf {Z} /N\mathbf {Z} )\to 1} .
準同型の核 Γ(N) はモジュラー群 Γ の正規部分群である。群 Γ(N) は、a ≡ d ≡ ±1 (mod N) であり b ≡ c ≡ 0 (mod N) であるすべてのモジュラー変換
モジュラー群は、次の 2つの変換
S : z ↦ − 1 / z {\displaystyle S:z\mapsto -1/z}
T : z ↦ z + 1 {\displaystyle T:z\mapsto z+1}
により生成されると見ることができ、すべてのモジュラー群の元は、S と T の(一意ではない)合成により表すことができる。幾何学的には、S は単位円に関する反転をしてから虚軸に対して線対称の位置への移動を表し、T は右方向への1単位の移動を表す。
生成元 S と T は関係式 S = 1 と (ST) = 1 を満たす。 これらは関係式の完全な集合であることが示されており、よって、モジュラー群は次の表示(presentation)を取る。
Γ ≅ ⟨ S , T ∣ S 2 = I , ( S T ) 3 = I ⟩ {\displaystyle \Gamma \cong \langle S,T\mid S^{2}=I,(ST)^{3}=I\rangle }
この表示は、回転する三角形群(英語版)(triangle group) (2,3,∞) (∞ は T 上の関係式が存在しない)としてモジュラー群を記述する。また、関係式 T = 1 を加えることにより、三角形群 (2,3,n) 全体の上へ写像する。たとえば、これは合同部分群 Γ(n) を発生させる。
生成元 S と ST を S と T の代わりに使うと、このことからモジュラー群は巡回群 C2 と C3 の自由積(free product)に同型である。すなわち、
Γ ≅ C 2 ∗ C 3 . {\displaystyle \Gamma \cong C_{2}*C_{3}\ .}
ブレイド群 B3 は、(位相的)普遍被覆群 S L 2 ( R ) ̄ → P S L 2 ( R ) {\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )}}\to \mathrm {PSL} _{2}(\mathbf {R} )} の中の格子としてこれらを置いたモジュラー群の普遍中心拡大である。さらに、モジュラー群は自明な中心を持っているので、B3 の中心を modulo とする商群と同型である。同じことであるが、B3 の内部自己同型(inner automorphism)の群に同型である。
ブレイド群 B3 は三葉結び目の結び目群 である。