密度行列
密度行列演算子は相空間の中でも実現される。ウィグナー函数の下では、等価なウィグナー函数への密度行列変換は、
W ( x , p ) = d e f 1 π ħ ∫ − ∞ ∞ ψ ∗ ( x + y ) ψ ( x − y ) e 2 i p y / ħ d y {\displaystyle W(x,p){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\ dy~}
である。このウィグナー函数の時間発展の方程式は、上記のフォン・ノイマン函数のウィグナー変換である。
∂ W ( q , p , t ) ∂ t = − { { W ( q , p , t ) , H ( q , p ) } } {\displaystyle {\frac {\partial W(q,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(q,p,t),H(q,p)\}\}~}
H a ( X ) := − ∑ j Pr [ X = j ] log a  Pr [ X = j ] {\displaystyle H_{a}(X):=-\sum _{j}\Pr[X=j]\log _{a}\Pr[X=j]}
を定義でき、この値をXの底aに対する情報量、もしくは底aに対するシャノンエントロピーという。
ただし Pr [ X = j ] = 0 {\displaystyle \Pr[X=j]=0} である項に関しては、
lim x → 0 x log a  x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}x\log _{a}x=0}
であるので、
Pr [ X = j ] log a  Pr [ X = j ] = 0 {\displaystyle \Pr[X=j]\log _{a}\Pr[X=j]=0}
とみなす。
本項で重要なのは底aが自然対数eの場合なので、底eに対するシャノンエントロピーを単にシャノンエントロピーと呼び、
H ( X ) := H e ( X ) {\displaystyle H(X):=H_{\mathrm {e} }(X)}
と略記する。
密度行列 ρ {\displaystyle \rho } に対し、作用素解析の手法により
ρ log e  ρ {\displaystyle \rho \log _{\mathrm {e} }\rho }
を定義する事ができ、
S ( ρ ) := − k B t r ( ρ log e  ρ ) {\displaystyle S(\rho ):=-k_{B}\mathrm {tr} (\rho \log _{\mathrm {e} }\rho )}
によりフォン・ノイマンエントロピーを定義する事ができる。この定義は前述した定義と一致する。