ワッサースタイン計量
(M, d) を、M上のすべての確率測度がラドン測度であるような距離空間(いわゆるラドン空間)とする。p ≥ 1 に対し、有限p次モーメントを備えるM上のすべての確率測度μの系を Pp(M) で表す。すなわち、そのようなμはM内のあるx0 に対して
∫ M d ( x , x 0 ) p d μ ( x ) < + ∞ {\displaystyle \int _{M}d(x,x_{0})^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty }
を満たすようなものである。このとき、Pp(M) に含まれる二つの確率測度μとνの間のワッサースタイン計量(ワッサースタイン距離)は、
W p ( μ , ν ) := ( inf γ ∈ Γ ( μ , ν ) ∫ M × M d ( x , y ) p d γ ( x , y ) ) 1 / p {\displaystyle W_{p}(\mu ,\nu ):=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int _{M\times M}d(x,y)^{p}\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p}}
ワッサースタイン計量は、一つの変数がもう一方の(確率論的あるいは決定論的に)非一様な小さい摂動によって得られるような、二つの変数 X と Y の確率分布を比較する際に自然に用いられる。
例えば計算機科学の分野においては、二つのデジタル画像の色ヒストグラム(英語版)といった離散分布を比較する際に、ワッサースタイン計量 W1 が広く用いられている。詳細についてはEMD(英語版)を参照されたい。