項目応答理論
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異なった難易度のテスト間に異なった尺度を設定すること
古典的なテスト理論においては、テスト依存性や受験者依存性がつきまとうので等化を実現することは困難であった。しかしIRTによる項目パラメータは不変的であり、理論的には等化の必要はない。しかし、実際には一定の定数によって、2つのテストの得点を同一尺度上に変換することがよく行われる。この手続きは以下の式で行われる。
θ ′ = α θ + β {\displaystyle {\theta }'={\alpha }{\theta }+{\beta }}
θ ′ {\displaystyle {\theta }'} は等化された能力値で、 α {\displaystyle {\alpha }} 、 β {\displaystyle {\beta }} は等化定数と呼ばれている。またこのとき、項目パラメータは以下のように調節される。
a i ′ = a i α {\displaystyle a_{i}'={\frac {a_{i}}{\alpha }}}
b i ′ = α b i + β {\displaystyle b_{i}'={\alpha }b_{i}+{\beta }}
等化定数 α {\displaystyle {\alpha }} 、 β {\displaystyle {\beta }} の推定には、共通の受験者または共通の項目が必要となる。そして、等化のための基準には回帰係数、平均値と標準偏差、項目特性曲線の特徴等が用いられる。
例えば、4択問題100問、配点が1問につき10点で構成されるテストを考える。この場合、完全にランダムに回答した場合でも、平均して25問が正答することが期待される。つまり、配点(または正答率)での評価には、運による要素を多分に含んでいることが容易に推測できる。また、得られた点数からその受験者の能力がどうであったという評価は、相対的な尺度でしか評価できない。例えば、ある受験者の得点が平均点より低ければ、能力が不足しているという評価はできるが、この評価は集団に依存しており、相対的な評価だといえる(逆も同様)。さらに、例えば1000点満点獲得した受験者は500点の受験者に比べて単純に実力が2倍あると評価できない問題が存在する。このような、正答率や総得点による受験者の評価を、古典的テスト理論(Classical Test Theory)という。
項目応答理論は、運による要素や評価の相対性といった性質をもつ古典的テスト理論の限界を解消し、受験者の実力をより正確に測ろうとする理論である。項目応答理論では、個々の項目(問題)に対して、正答率や配点では無く、下記のパラメータを用い、受験者の能力を推定する。例えば、識別度が著しく低い問題の正誤は、受験者の能力を決めるのにほとんど影響が無いといったことが起こる。また、同じ正答率・得点を得た受験者同士でも、項目反応理論による能力値は違う結果になることが起こる。
よって、すべての項目特性曲線を足したものが求められる。これはテスト特性曲線と呼ばれる。
T ( θ ) = ∑ i = 1 N p i ( θ ) {\displaystyle T({\theta })=\sum _{i=1}^{N}p_{i}({\theta })}
試験のスコアはこのテスト特性曲線によって求められる。テスト特性曲線は θ {\displaystyle {\theta }} の関数であり、 T ( θ ) {\displaystyle T({\theta })} の値を受験者のスコアとする。よって、IRTによるスコアは従来の方法によるスコアと比べ、計算・解釈において非常に異なっている。しかし、ほとんどのテストにおいて、値 θ {\displaystyle {\theta }} と従来のスコアとの(線形)相関関係は非常に高い(.95以上になることが多い)。したがって、従来のスコアに比べ、IRTのスコアのグラフは累積度数分布曲線の形に近くなる。
ここまでで示したモデルでは、1次元的な特性と、項目に対する正解・不正解のような2値のいずれかの応答を前提としていた。しかし、多値ラッシュモデルのように多値(例えば0:全く誤り 1:ほとんど誤り 2:概ね正しい 3:完全に正しい、の4値)をとるように拡張されたモデルや、多次元的な特性を仮定したモデルも存在する。