エネルギー保存の法則
以上のことは多粒子系の場合にも成り立つ。一粒子系の場合との変更点は、各粒子に対して力と運動方程式が与えられることと、ポテンシャルがすべての粒子の位置の関数になることである。以下にN 個の粒子がある場合について示す。
力:
F i ( { r ( t ) } , t ) = − ∇ i V ( { r i ( t ) } ) + f i ( t ) ( i = 1 , ... , N ) . {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i}(\{{\boldsymbol {r}}(t)\},t)=-\nabla _{i}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\})+{\boldsymbol {f}}_{i}(t)\quad (i=1,\dots ,N).}
運動方程式:
m i d 2 r i d t 2 ( t ) = F i ( { r ( t ) } , t ) ( i = 1 , ... , N ) . {\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}_{i}}{dt^{2}}}(t)={\boldsymbol {F}}_{i}(\{{\boldsymbol {r}}(t)\},t)\quad (i=1,\dots ,N).}
ここで、ベクトルの内積の微分について、
d d t ( u ( t ) ⋅ v ( t ) ) = ∑ α = x , y , z d d t ( u α ( t ) v α ( t ) ) = ∑ α = x , y , z ( d u α ( t ) d t v α ( t ) + u α ( t ) d v α ( t ) d t ) = d u ( t ) d t ⋅ v ( t ) + u ( t ) ⋅ d v ( t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\boldsymbol {u}}(t)\cdot {\boldsymbol {v}}(t)\right)&=\sum _{\alpha =x,y,z}{\frac {d}{dt}}\left(u_{\alpha }(t)v_{\alpha }(t)\right)\\&=\sum _{\alpha =x,y,z}\left({\frac {du_{\alpha }(t)}{dt}}v_{\alpha }(t)+u_{\alpha }(t){\frac {dv_{\alpha }(t)}{dt}}\right)\\&={\frac {d{\boldsymbol {u}}(t)}{dt}}\cdot {\boldsymbol {v}}(t)+{\boldsymbol {u}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {v}}(t)}{dt}}\end{aligned}}}
d V d t ( { r i ( t ) } ) = ∑ i = 1 N d r i ( t ) d t ⋅ ∇ i V ( { r i ( t ) } ) . {\displaystyle {\frac {dV}{dt}}(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\})=\sum _{i=1}^{N}{\frac {d{\boldsymbol {r}}_{i}(t)}{dt}}\cdot \nabla _{i}V(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\}).}
系になされる仕事は、各粒子に対する仕事の和になる。
W ( t 1 , t 2 ) = ∑ i = 1 N ∫ t 1 t 2 F i ( { r i ( t ) } , t ) ⋅ d r i ( t ) . {\displaystyle W(t_{1},t_{2})=\sum _{i=1}^{N}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {F}}_{i}(\{{\boldsymbol {r}}_{i}(t)\},t)\cdot d{\boldsymbol {r}}_{i}(t).}
以上のことから、力学的エネルギー保存の法則は次のように表される。