不完全ベータ関数
不完全ベータ関数は 0 ≤ R e z ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \mathrm {Re} \ z\leq 1} に対して、以下の積分で定義される。
B z ( a , b ) = ∫ 0 z t a − 1 ( 1 − t ) b − 1 d t {\displaystyle \mathrm {B} _{z}(a,b)=\int _{0}^{z}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,\mathrm {d} t\!}
この式において z = 1 {\displaystyle z=1} のときが、ベータ関数である。不完全ベータ関数に対する用語として、普通のベータ関数を完全ベータ関数 (complete beta function) ということもある。
正則化された不完全ベータ関数 (regularized incomplete beta function)(あるいは単に正則ベータ関数 (regularized beta function))とは、不完全ベータ関数とベータ関数を用いて以下のように定義される。
I z ( a , b ) = B z ( a , b ) B ( a , b ) {\displaystyle I_{z}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{z}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}\!}
正則化不完全ベータ関数はベータ分布の累積分布関数であり、離散的な二項分布の累積分布関数も正則化不完全ベータ関数を用いて表すことができる。