円分多項式
円分多項式の次数はその性質上オイラーの φ 関数を用いれば φ(n) に等しい。また、上記の例では係数が 1, −1, 0 しか現れないが、必ずそうなるわけではない。実際 Φ105(x) がそうでない最小の例で係数に −2 が現れる。
Φ 105 ( x ) = x 48 + x 47 + x 46 − x 43 − x 42 − 2 x 41 − x 40 − x 39 + x 36 + x 35 + x 34 + x 33 + x 32 + x 31 − x 28 − x 26 − x 24 − x 22 − x 20 + x 17 + x 16 + x 15 + x 14 + x 13 + x 12 − x 9 − x 8 − 2 x 7 − x 6 − x 5 + x 2 + x + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{105}(x)&=x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}\\&\qquad \quad -x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1\end{aligned}}}