確率変数
g の逆関数が存在しない場合でも、それぞれの y が高々可算個の根を持つ場合(すなわち、y = g(xi) である xi の数が有限または可算無限の場合)には、上記の確率密度関数の関係は次のように一般化できる。
f Y ( y ) = ∑ i f X ( g i − 1 ( y ) ) | d g i − 1 ( y ) d y | {\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|}
ただし xi = gi(y)
この式は g が増加関数でなくとも成立する。
確率に対する公理的アプローチとしての測度論において、空間 Ω 上の確率変数 X およびボレル可測関数 g : R → R {\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } を取る。可測関数を合成したものもまた可測である(しかし、g がルベーグ可測の場合はその限りではない)ため、Y = g(X) もまた空間 Ω 上の確率変数である。Y の分布を知るために、確率空間 (Ω, P) から ( R , d F X ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,dF_{X})} への移行と同じ手順を利用できる。
f Y ( y ) = 2 f X ( g − 1 ( y ) ) | d g − 1 ( y ) d y | {\displaystyle f_{Y}(y)=2f_{X}(g^{-1}(y))\left|{\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}\right|}
である。この逆変換は、
x = g − 1 ( y ) = y {\displaystyle x=g^{-1}(y)={\sqrt {y}}}
であり、両辺を微分すると
d g − 1 ( y ) d y = 1 2 y {\displaystyle {\frac {dg^{-1}(y)}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}}
である。従って、
f Y ( y ) = 2 1 2 π e − y / 2 1 2 y = 1 2 π y e − y / 2 {\displaystyle f_{Y}(y)=2{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-y/2}{\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi y}}}e^{-y/2}}
これは自由度 1 のχ分布である。