可測関数
( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} および ( Y , T ) {\displaystyle (Y,\mathrm {T} )} がボレル空間であるなら、可測関数 f : ( X , Σ ) → ( Y , T ) {\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\to (Y,\mathrm {T} )} はボレル可測関数または単にボレル関数とも呼ばれる。連続関数はボレル関数だが、必ずしもすべてのボレル函数が連続函数となるわけではない。しかしながら、可測関数はほとんど連続関数である; ルージンの定理(英語版)を参照されたい。ボレル関数がある写像 Y → π X {\displaystyle Y{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}X} の切断となるとき、それはボレル切断と呼ばれる。
ルベーグ可測関数とは、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} をルベーグ可測集合族、 B C {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }} を複素数全体の成す集合 C 上のボレル集合族とするときの、可測関数 f : ( R , L ) → ( C , B C ) {\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} })} を言う。ルベーグ可測関数は、被積分函数とすることができるという意味で、解析学において研究の興味の対象となる。
定義より、確率変数は標本空間上で定義される可測関数である。
ただし任意のルベーグ可測関数 f : ( R , L ) → ( R , B ) {\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})} に対し f とほとんど至るところ一致するボレル可測関数 g : ( R , B ) → ( R , B ) {\displaystyle g\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})} が存在するので、ルベーグ測度0の集合上での違いを無視する文脈では可測関数同士の合成は再び可測関数となる。
慣例では、特に断りの無い限り、位相空間にはその開部分集合全体により生成されるボレル代数が与えられるものと仮定される。最もよくある場合だと、この空間として実数全体あるいは複素数全体からなる空間をとる。例えば、実数値可測関数とは、各ボレル集合の原像が可測となるような関数を言う。複素数値可測関数も同様に定義される。実用においては、ボレル集合族に関する実数値可測関数のみを指して可測関数という語を使用するものもある。関数の値が R や C の代わりに無限次元ベクトル空間に取られるのであれば、弱可測性やボホナー可測性などの、可測性に関する他の定義が用いられることが普通である。
確率論の分野において、σ-代数はしばしば、利用可能な情報すべてからなる集合を表し、ある関数(この文脈では確率変数)が可測であるとは、それが利用可能な情報に基づいて知ることの出来る結果(outcome)を表すことを意味する。対照的に、少なくとも解析学の分野においては、ルベーグ可測でない関数は一般に病的であると見なされる。