代数体
すると、 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} と q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} が相異なる素イデアルとすれば、 | ⋅ | p {\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}} と | ⋅ | q {\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {q}}} は同値ではない。 この乗法付値を p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に対する正規付値という。
| ⋅ | p {\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}} と同値な K の乗法付値全体の集合を v p {\displaystyle v_{\mathfrak {p}}} としたとき、これを有限素点 (finite prime/finite place)または有限素因子という。
a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} を、n次代数体 K の分数イデアルとし、 α 1 , ... , α n {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}} を、 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の基底とする。また、 ω 1 , ... , ω n {\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}} を、代数体 K の整基底としたとき、 | Δ ( α 1 , ... , α n ) / Δ ( ω 1 , ... , ω n ) | {\displaystyle |\Delta (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})/\Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})|} は、基底の取り方に依存しない。そこで、 | Δ ( α 1 , ... , α n ) / Δ ( ω 1 , ...