体球調和関数
この m に依存した位相はコンドン・ショートレー位相(Condon–Shortley phase)として知られている。
実の正則体球調和関数は次のように定義される。
( C l m S l m ) ≡ 2 r l Θ l m ( cos  m φ sin  m φ ) = 1 2 ( ( − 1 ) m 1 − ( − 1 ) m i i ) ( R l m R l − m ) , m > 0. {\displaystyle {\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}
また m = 0 に対しては
C l 0 ≡ R l 0 . {\displaystyle C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.}
線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。
±m についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、x, y, z についての l 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば(球面座標で書かれた)原子軌道や実数値の多重極モーメント(英語版)に現れ、重要である。以下でその導出を行う。
先述と同じ定義で、
R l m ( r , θ , φ ) = ( − 1 ) ( m + | m | ) / 2 r l Θ l | m | ( cos  θ ) e i m φ , − l ≤ m ≤ l , {\displaystyle R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,}
ただし
Θ l m ( cos  θ ) ≡ [ ( l − m ) ! ( l + m ) ! ] 1 / 2 sin m  θ d m P l ( cos  θ ) d cos m  θ , m ≥ 0 , {\displaystyle \Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,}
ここで P l ( cos  θ ) {\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )} は l 次のルジャンドル多項式である。