ムーア・ペンローズ逆行列
擬似逆行列が存在するならば、それは一意に定まる。
例:(記事の他の場所で検討されている対合とは対照的に)恒等対合を備えた複素数体を考える。この意味で擬似逆行列を持たない行列は存在するだろうか?行列 A = ( 1 i ) ⊺ {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&i\end{pmatrix}}^{\intercal }} を考えると、 rank  A A ⊺ = 1 {\displaystyle \operatorname {rank} AA^{\intercal }=1} である一方 rank  A ⊺ A = 0 {\displaystyle \operatorname {rank} A^{\intercal }A=0} であることがわかる。したがって、行列 A {\displaystyle A} には、この意味での擬似逆行列は存在しない。
抽象代数では、ムーア・ペンローズ逆行列は*-正則半群で定義できる。この抽象的な定義は、線型代数の定義と一致する。
A ∈ k m × n {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n}} に対して、 A の擬似逆行列は、ムーア・ペンローズ条件として知られる次の4つの条件をすべて満たす行列 A + ∈ k n × m {\displaystyle A^{+}\in \mathbb {k} ^{n\times m}} として定義される:
A A + A = A {\displaystyle AA^{+}A=A} A A + {\displaystyle AA^{+}} は一般恒等行列である必要はないが、 A のどの列ベクトルも A 自身に写す。
A + A A + = A + {\displaystyle A^{+}AA^{+}=A^{+}} A + {\displaystyle A^{+}} は弱逆行列(英語版)のように振る舞う。
( A A + ) ∗ = A A + {\displaystyle \left(AA^{+}\right)^{*}=AA^{+}} A A + {\displaystyle AA^{+}} はエルミート行列。
( A + A ) ∗ = A + A {\displaystyle \left(A^{+}A\right)^{*}=A^{+}A} A + A {\displaystyle A^{+}A} もエルミート行列。
以下の特徴の証明は、証明サブページに記した。
A が実行列であれば、 A + {\displaystyle A^{+}} も実行列である。
A が可逆ならば、A の擬似逆行列は A の逆行列である。 A + = A − 1 {\displaystyle A^{+}=A^{-1}} 。
零行列の擬似逆行列は零行列の転置となる。
擬似逆行列の擬似逆行列は、元の行列になる。 ( A + ) + = A {\displaystyle \left(A^{+}\right)^{+}=A} 。
擬似逆行列の操作は、転置、複素共役、および共役転置の各操作と交換できる。 ( A ⊺ ) + = ( A + ) ⊺ ( A ̄ ) + = A + ̄ ( A ∗ ) + = ( A + ) ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}\left(A^{\intercal }\right)^{+}&=\left(A^{+}\right)^{\intercal }\\\left({\overline {A}}\right)^{+}&={\overline {A^{+}}}\\\left(A^{*}\right)^{+}&=\left(A^{+}\right)^{*}\end{aligned}}}
A の定数倍行列の擬似逆行列は、定数の逆数をかけたものになる: ( α A ) + = α − 1 A + {\displaystyle \left(\alpha A\right)^{+}=\alpha ^{-1}A^{+}} ただし α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} 。