ルンゲ＝レンツベクトル
ハミルトン形式の解析力学で記述すれば、ケプラー問題の対称性とルンゲ=レンツベクトルの性質がより明らかになる。角運動量ベクトル L = (L1, L2, L3) の各成分同士のポアソン括弧は
{ L 1 , L 2 } = L 3 , { L 2 , L 3 } = L 1 , { L 3 , L 1 } = L 2 {\displaystyle \{L_{1},L_{2}\}=L_{3},\,\{L_{2},L_{3}\}=L_{1},\,\{L_{3},L_{1}\}=L_{2}}
という3次特殊直交群SO(3)に対応する関係式を満たす。ここでエディントンのイプシロン εijk を用いれば、
{ L i , L j } = ∑ k = 1 3 ε i j k L k {\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}L_{k}}
と表すことができる。また、角運動量ベクトルとルンゲ=レンツベクトルのポアソン括弧は
{ A i , L j } = ∑ k = 1 3 ε i j k A k {\displaystyle \{A_{i},L_{j}\}=\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}A_{k}}
となる。一方、ルンゲ=レンツベクトル同士のポアソン括弧は、例えば
ルンゲ=レンツベクトルという名はドイツの物理学者カール・ルンゲとヴィルヘルム・レンツ(英語版)に因む。レンツは前期量子論でケプラー問題を扱った1924年の論文の中で、エネルギー準位の摂動にルンゲ=レンツベクトルを適用した。そして、引用文献として、ルンゲの著作 "Vectoranalysis" を挙げた。ルンゲはその著作において、ベクトルが関わる微積分を扱った章で、中心力の下での運動では角運動量が保存量となることを示した後、距離の2乗に反比例する中心力では別の定ベクトルが存在し、逆にその定ベクトルから軌道の方程式が導かれることを記している。但し、参照文献を記しておらず、それが誰の発見によるものかも述べていない。その後、物理学者ヴォルフガング・パウリは、1926年の論文で当時、原子構造を説明する新しい理論として発展しつつあった行列力学を水素原子に適用し、その中でレンツの結果を引用した。パウリはこの論文の中で、ルンゲ=レンツベクトルを足掛かりに、行列力学によって、水素原子のスペクトル構造や外部電場を印加した時のシュタルク効果による補正を導いた。ルンゲ=レンツベクトルについては、パウリは「レンツによって用いられた」とのみ述べているが、その後、物理学ではルンゲ=レンツベクトルの名で定着するに至った。