臨界点 (数学)
曲線 C が代数的であるとき、すなわち二変数多項式 f によって定義されているとき、判別式は臨界点の計算に有用な道具である。
ここで射影 πy のみを考える。x と y を交換することで πx に同様の結果が成り立つ。
Discy(f) を f を係数が x の多項式である y の多項式と見たときの判別式とする。したがってこの判別式は x の多項式でその根に沿って πy の臨界値を持つ。
より正確には、Discy(f) の単根は、対応する臨界点が特異でも変曲点でもない点であるような πy の臨界値であるか、あるいは y 軸に平行で「無限遠で」変曲点に接する漸近線 (inflexion asymptote) の x 座標である。
判別式の重根は、いくつかの臨界点か、同じ臨界値を共有する inflection asymptotes か、変曲点でもある臨界点か、特異点に対応する。