平行移動 (リーマン幾何学)
Mは滑らかな多様体、E→Mは ベクトル束であり、 このベクトル束Eは、共変微分 ∇を備える。 また、γ: I→M は、開区間 Iによって径数づけられた滑らかな曲線である。
X {\displaystyle X} がベクトル束Eの、曲線γに沿った切断であるとする。 このとき、 X {\displaystyle X} が、以下を満たせば「 X {\displaystyle X} は曲線γに沿って平行」と言われる。
∇ γ ̇ ( t ) X = 0 for t ∈ I . {\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0{\text{ for }}t\in I.\,}
点P = γ(0) ∈ Mにおいて、ベクトル e0 ∈ EP が与えられたとする。
大まかに言えば、「e0 の γに沿った平行移動」とは、 e0を、曲線γに沿って平行な切断X によって 延長したものである。
正確には、点P = γ(0) ∈ Mにおいて、 ベクトルe0 ∈ EP が与えられたとき、以下を充たすような「曲線γに沿った切断」、 Xは、ただ一つだけ存在する。
(1). ∇ γ ̇ X = 0 {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}X=0}