第二基本形式
第二基本形式は、任意の余次元(codimension)に一般化できる。その場合、それは法ベクトル束(normal bundle)における値を持つ接空間上の二次形式である。次のように定義できる。
I I ( v , w ) = ( ∇ v w ) ⊥ , {\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot }\,,}
ここで、 ( ∇ v w ) ⊥ {\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }} は共変微分 ∇ v w {\displaystyle \nabla _{v}w} の法ベクトル束への直交射影(orthogonal projection)を表す。
ユークリッド空間では、部分多様体の曲率テンソルは次の式で表すことができる。
⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = ⟨ I I ( u , z ) , I I ( v , w ) ⟩ − ⟨ I I ( u , w ) , I I ( v , z ) ⟩ . {\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .
微分幾何学における第二基本形式(英: second fundamental form)または形テンソル(shape tensor)とは、3次元ユークリッド空間の滑らかな曲面(smooth surface)の接平面上の2次形式を言う。普通、 I I {\displaystyle \mathrm {I\!I} } と表記される(「2」と読む)。第一基本形式とともに、曲面の外在的不変量、例えば曲面の主曲率、を定義するのに役立つ。より一般的には、このような2次形式は、リーマン多様体に滑らかに埋め込まれた部分多様体に対して定義される。