対称群
n-次の置換 σ について、σ の符号と呼ばれる ±1 の数 sgn(σ) を定めることができる。sgn(σ) の定義にはいくつかの方法がある。
sgn(σ) = (−1). ただし d(σ) は 1 ≤ i < j ≤ n かつ σ(i) > σ(j) となっている (i, j) の組の数で、σ の転倒数と呼ばれる。
σ が偶置換のとき sgn(σ) = 1, σ が奇置換のとき sgn(σ) = −1。つまり σ が k 個の互換の積で表せるとき sgn(σ) = (−1) と定める。
σ が表す置換行列を Xσ とするとき、Xσ の行列式によって sgn(σ) = det(Xσ) と定める。
n 変数の差積 Δ = ∏1≤i<j≤n Xi − Xj に対して、∏1≤i<j≤n Xσ(i) − Xσ(j) = sgn(σ)Δ で定める。
sgn は Sn から位数 2 の群 {±1} への準同型を定めており、二つ目の定式化からも明らかなように交代群はこの符号写像の核として特徴づけられる。
Sn は部分群である An に共軛によって作用し、n ≠ 6 のとき Sn は An の全自己同型群となる。
Aut  ( A n ) ≅ S n . {\displaystyle \operatorname {Aut} (A_{n})\cong S_{n}.}
偶置換による共軛は An の内部自己同型であり、対して An の位数 2 の外部自己同型(英語版)は奇置換による共軛に対応する。n = 6 のときは、A6 に例外型の外部自己同型(英語版)が存在するので、S6 は A6 の全自己同型群とはなっていない。
したがって、n ≠ 6 のとき Sn は外部自己同型を持たず、さらに n ≠ 2 のとき中心を持たない。ゆえに n ≠ 2, 6 のとき Sn は完全(英語版)である(後述)。
n ≥ 5 のとき Sn は概単純群(英語版)であり、それは単純群 An とその自己同型群の間に位置するものとみなされる。