デバイ模型
U N k = 9 T ( T T D ) 3 ∫ 0 T D / T x 3 e x − 1 d x = 3 T D 3 ( T D T ) {\displaystyle {\frac {U}{Nk}}=9T\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx=3TD_{3}\left({T_{D} \over T}\right)}
ここで D3(x) は3次のデバイ関数である。
T に関して微分をすると、無次元量の熱容量を得る。これがデバイの比熱式である。
C V N k = 9 ( T T D ) 3 ∫ 0 T D / T x 4 e x ( e x − 1 ) 2 d x {\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}=9\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx}
これらの公式はデバイ模型を任意の温度で扱っている。以下で導くより単純な公式は、高温や低温の極限における漸近的な振る舞いを記述する。既に言及したように、この低温や高温における振る舞いは(中間的な温度における振る舞いが不正確なのに対して)正確である。低温でデバイ模型が正確なのは、デバイ模型は低周波数の正しい分散関係 E(ν) を与えるためである。また、高温で正確なのは周波数の間隔あたりの振動の数が正確な総和則 ( ∫ g ( ν ) d ν ≡ 3 N ) {\displaystyle (\int g(\nu )\,{\rm {d\nu }}\equiv 3N)} に一致するためである。