Theorema Egregium
ここで S e c P ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(\cdot ,\cdot )} 、 S e c ̄ P ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle {\overline {\mathrm {Sec} }}_{P}(\cdot ,\cdot )} はそれぞれM、Mの断面曲率である。
Mが曲率cの定曲率空間であれば、
S e c ( e i , e j ) = c + κ i κ j {\displaystyle \mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})=c+\kappa _{i}\kappa _{j}}
であり、 S e c P ( e i , e j ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(e_{i},e_{j})} がMに内在的な量であることも言える:
定理 (Theorema Egregiumの一般化) ― M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} を曲率cの定曲率空間とし、 M ⊂ M ̄ c {\displaystyle M\subset {\bar {M}}_{c}} をその余次元1の部分多様体とし、さらにPをMの点とする。さらに線形写像 ρ : ∧ 2 T M P → ∧ 2 T M P {\displaystyle \rho ~:~\wedge ^{2}TM_{P}\to \wedge ^{2}TM_{P}} を