広義積分
最も基本的な広義積分は、積分区間が有界でない積分、例えば
∫ 0 ∞ d x x 2 + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{dx \over x^{2}+1}}
である。 前述のように、これは広義積分として定義しなくとも、代わりにルベーグ積分としても定義できる。 しかし実際に計算する上では広義積分として扱うのが便利である。 すなわち積分区間の上限が有限だとして計算し、 次に上限が無限大に近づくときの極限を取るのがよい。 被積分関数の原始関数は逆正接関数 arctan(x) なので、
lim b → ∞ ∫ 0 b d x 1 + x 2 = lim b → ∞ arctan  b − arctan  0 = π / 2 − 0 = π / 2 {\displaystyle \lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\rightarrow \infty }\arctan b-\arctan 0=\pi /2-0=\pi /2}
となる。 広義積分の収束は、対応する極限が(有限値に)収束することと同値である。 以下に収束しない広義積分の例を示す: