ヒルベルト行列
ヒルベルト行列の初出はダフィット・ヒルベルトの論文集に収められた論文 "Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms"である。 この論文は近似理論(英語版)における以下の問題を扱っていた:
区間 I = [ a , b ] {\displaystyle I=[a,b]} が与えられたとき、任意の小さな正数εに対し、"整数"係数の非零な多項式 P {\displaystyle P} を適当に選んで、積分
∫ a b P ( x ) 2 d x {\displaystyle \int _{a}^{b}P(x)^{2}\,dx}
をεより小さくできるだろうか?
ヒルベルトは、ヒルベルト行列の行列式の漸近形を使って区間の長さ b − a {\displaystyle b-a} が4未満ならばこれが可能であることを示した。
ヒルベルトは n {\displaystyle n} 次のヒルベルト行列 H {\displaystyle H} の行列式を閉じた式で求めた:
det ( H ) = c n 4 c 2 n {\displaystyle \det(H)={{c_{n}^{\;4}} \over {c_{2n}}}}
ここで c n {\displaystyle c_{n}} は次のように書ける:
c n = ∏ i = 1 n − 1 i n − i = ∏ i = 1 n − 1 i ! {\displaystyle c_{n}=\prod _{i=1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!}
ヒルベルトは次のような興味深い事実を指摘している。