レイノルズ平均ナビエ-ストークス方程式
ある瞬間のナビエ-ストークス方程式からRANS方程式を導出するのに必要な基本的ツールは、レイノルズ分解である。レイノルズ分解とは流れの成分(例えば流速 u {\displaystyle u} など)を平均値( u ̄ {\displaystyle {\bar {u}}} )と変動量( u ′ {\displaystyle u^{\prime }} )に分ける操作である。 この平均操作には特性があり、その一つに変動量の平均値は0 ( u ′ ̄ = 0 ) {\displaystyle ({\bar {u^{\prime }}}=0)} というものがある。 この操作により u ( x , t ) = u ̄ ( x ) + u ′ ( x , t ) {\displaystyle u({\boldsymbol {x}},t)={\bar {u}}({\boldsymbol {x}})+u^{\prime }({\boldsymbol {x}},t)} となる。 ここで x = ( x , y , z ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x,y,z)} は位置ベクトル。
いくつかの文献 では( ̄ {\displaystyle {\bar {\!}}} はベクトルを表す際に用いられることがあるため) u ̄ {\displaystyle {\bar {u}}} の代わりに U {\displaystyle U} と表記することがある。この場合変動量 u ′ {\displaystyle u^{\prime }} は u {\displaystyle u} と表わす。