跡 (線型代数学)
複素 m × n 行列 A に対し、∗ は共軛転置とすれば、
tr  ( A ∗ A ) ≥ 0 {\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)\geq 0}
が成り立つ。なお、等号成立⇔ A = 0 である。これにより、対応
⟨ A , B ⟩ = tr  ( B ∗ A ) {\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (B^{*}A)}
は m × n 行列全体の成す空間における内積の性質を満たす。特に実行列の場合には、
tr  ( X ⊤ Y ) = tr  ( X Y ⊤ ) = tr  ( Y ⊤ X ) = tr  ( Y X ⊤ ) = ∑ i , j X i j Y i j {\displaystyle \operatorname {tr} (X^{\top }Y)=\operatorname {tr} (XY^{\top })=\operatorname {tr} (Y^{\top }X)=\operatorname {tr} (YX^{\top })=\sum _{i,j}X_{ij}Y_{ij}}
はベクトルの点乗積に類似の形であることが確認できる(行列の一列化を通じて実際にベクトルの点乗積として