チャーン類
は、ファイバのコホモロジーに基底へ制限する周囲のコホモロジー類の族を形成する。ルレイ・ハーシュの定理は、H*(P(E)) の任意の元は基底上のクラスを係数に持つ 1, a, a, ..., a の線型結合として一意に表されることを言っている。
特に、グロタンディークの意味で、E のチャーン類を定義することができ、 c 1 ( E ) , ... c n ( E ) {\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)} と書く。ここで使われるの方法は、次の関係式を満たす類 − a n {\displaystyle -a^{n}} へ拡張する方法である。
− a n = c 1 ( E ) . a n − 1 + ... c n − 1 ( E ) . a + c n ( E ) . {\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E).a^{n-1}+\ldots c_{n-1}(E).a+c_{n}(E).}
従って、この代わりの定義が、他の気に入った定義、あるいは前に公理的特徴付けに使った定義に一致しているか否を検証することができるであろう。
である。
結局、ニュートンの恒等式(Newton's identities)が、V のチャーン類の項のみで、ch(V) の中のベキ和を再表現できて、次の関係式を与える。
ch  ( V ) = dim  ( V ) + c 1 ( V ) + 1 2 ( c 1 ( V ) 2 − 2 c 2 ( V ) ) + 1 6 ( c 1 ( V ) 3 − 3 c 1 ( V ) c 2 ( V ) + 3 c 3 ( V ) ) + . . . , {\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {dim} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+...,}
この表現は、分裂原理(英語版)(splitting principle)を必須とすることにより得られるが、任意のベクトル束 V に対して ch(V) の定義として採用される。
底空間が多様体のときに接続をチャーン類の定義に使う(チャーン・ヴェイユ理論)ならば、チャーン指標の明確な形式は、