多様体
m 次元位相多様体 M に対し C 級座標近傍系として S と T の 2つを取るとする。和集合 S ∪ T が再び M のC 級座標近傍系になるとき、 S と T は同値であるという。これは同値関係を定める。これは S に属する座標近傍と T に属する座標近傍の間にも座標変換が存在し S での計算と T での計算に違いが無いという性質を保証するための同値関係である。
さらに、 M 上の S と同値な C 級座標近傍系全ての和集合を取ることによって得られる F = F(S) を S によって生成された M の C 級極大座標近傍系あるいは M の C 級微分構造という。定義により、同じ微分構造を定める座標近傍系同士は同値である。
こうして座標近傍系の取り方に依存しない C 級多様体が定義される。m 次元位相多様体 M 上に互いに微分同相でない複数の微分構造が存在することもある。
S1 = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} を座標近傍系にもつ a 次元 C 級多様体 (M1,S1) と S2 = {(Vτ, ψτ) | τ ∈ Τ} を座標近傍系に持つ b 次元 C 級多様体 (M2,S2) を考える。
直積集合 M1 × M2 は直積位相によってハウスドルフ空間となる。それぞれの座標近傍 (Uλ, φλ) と (Vτ, ψτ) に対し、開集合 Uλ と Vτ の直積 Uλ × Vτ とその上で定義された写像 φλ × ψτ によって座標近傍同士の直積 (Uλ × Vτ, φλ × ψτ) が定義される。
ここで Uλ × Vτ は、 p ∈ Uλ と q ∈ Vτ を取ったときの (p,q) という組の全体である。写像の直積 φλ × ψτ は Uλ × Vτ の上で定義された
(φλ × ψτ)(p,q) = (φλ(p), ψτ(q))
という写像である。