コーシーの主値
ここで C ( ε ) {\displaystyle C(\varepsilon )} を、極を中心とする半径 ε {\displaystyle \varepsilon } の円盤内の経路をその円盤の縁に沿うように C {\displaystyle C} を変形したものとする。また f ( z ) {\displaystyle f(z)} は、どんな小さな ε {\displaystyle \varepsilon } に対しても経路 C ( ε ) {\displaystyle C(\varepsilon )} 上で可積分であるとする。このとき
で定められる値をコーシーの主値という。
ルベーグ積分論において、これは普通の積分の定義と同じものである。
f ( z ) {\displaystyle f(z)} が有理型関数のとき、Sokhotski–Plemelj理論(英語版)によってコーシーの主値と積分路を上下に少しずらした積分の平均値が対応する。従って留数定理を適用することが出来る。
コーシーの主値は、ヒルベルト変換において中心的な役割を持つ。