多項式の次数
二つの多項式の積の次数は、それら多項式の次数の和に等しい。すなわち、
deg  ( P Q ) = deg  ( P ) + deg  ( Q ) {\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}
が成り立つ。例えば
(x + x)(x + 1) = x + 2x + x の次数は 3 + 2 = 5.
↑ 簡単のためここではどの項もあるいはどの変数に関しても次数が同じ斉次多項式を例に出してある。
1 2 3 ここでは体または整域上の多項式を考えている。多項式の係数環が零因子を持つ場合には、これは必ずしも正しくない。
↑ 例えば整数の合同類環 Z/4Z では deg(1 + 2x) = 1 だが deg(2(1 + 2x)) = deg(2 + 4x) = deg(2) = 0.
↑ 例えば Z/4Z では deg(2x) + deg(1 + 2x) = 1 + 1 = 2 だが deg(2x(1 + 2x)) = deg(2x) = 1.
↑ 例えば Z/4Z では deg(2x)deg(1 + 2x) = 1 ⋅ 1 = 1 だが deg(2x ∘ (1 + 2x)) = deg(2 + 4x) = deg(2) = 0.
(p. 64) Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as −1 ∈ Z or as − ∞ {\displaystyle -\infty } , as long as deg 0 < deg A for all A ≠ 0." (A is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121)
↑ Barile, Margherita. "Zero Polynomial". mathworld.wolfram.com (英語).
↑ Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree − ∞ {\displaystyle -\infty } so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)