結合多元環
R-線型環 A の部分線型環とは、A の部分集合であって、A の部分環にも部分加群にもなっているようなものを言う。つまり部分線型環は、加法、環の乗法、スカラー乗法の何れについても閉じていて、かつ A の単位元を含まねばならない。
二つの表現、例えば σ: A → gl(V), τ: A → gl(W) を考える。テンソル積表現 ρ: x ↦ σ(x) ⊗ τ(x) を、テンソル積空間への作用が
ρ ( x ) ( v ⊗ w ) = ( σ ( x ) ( v ) ) ⊗ ( τ ( x ) ( w ) ) {\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w))}
から定められるものとして定めようとしても、k ∈ K に対して
ρ ( k x ) = σ ( k x ) ⊗ τ ( k x ) = k σ ( x ) ⊗ k τ ( x ) = k 2 ( σ ( x ) ⊗ τ ( x ) ) = k 2 ρ ( x ) {\displaystyle \rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)}
R-線型環の族に対する直積とは、環としての直積を言う。得られる直積環に明らかな仕方でスカラー乗法を定めると、これはまた R-線型環を成す。
多元環 A の表現とは、A から適当なベクトル空間(または加群)V 上の一般線型環への線型写像 ρ: A → gl(V) で乗法演算を保つもの、即ち ρ(xy) = ρ(x)ρ(y) を満たすものを言う。
しかしこの時、線型環の表現のテンソル積を定義する自然な方法は存在せず、何らかの追加条件を課さねばならぬことに注意すべきである。ここで「表現のテンソル積」は通常の意味に解する(つまり、得られたテンソル積は、表現空間のテンソル積を表現空間に持つ線型表現を定めるべき)ものとする。そのような追加で課される構造から典型的にはホップ代数やリー環の概念が導かれることを以下に述べる。