有理数
有理数全体 Q は内在的には、通常の大小関係の定める順序に関して順序位相と呼ばれる位相を持ち、外因的には実数直線 R の(つまり、一次元ユークリッド空間 R としての)距離位相から定まる部分空間としての位相を持つが、実はこれらの位相は一致する。
有理数全体 Q は実数全体の成す集合 R の中で稠密である。これは、どの実数にも、いくらでも近い場所に有理数が存在することを意味する。これは距離空間として以下のように述べることもできる。
有理数全体 Q は、差の絶対値
d ( x , y ) := | x − y | {\displaystyle d(x,y):=|x-y|}
を距離函数として距離空間となる。この距離により Q に位相が誘導されるが、それは R からの相対位相に他ならない。こうして得られる距離空間 (Q, d) は完全不連結である。また、完備距離空間とはならない。実は距離 d(x, y) := |x − y| による Q の完備化として、実数全体の集合 R が得られる。
この位相に関して有理数体 Q は位相体を成す。有理数全体の成す位相空間 Q は局所コンパクトではない空間の重要な例となっている。また唯一、孤立点を持たない可算な距離化可能空間となるものとして Q を特徴付けることができる。
である(ただし、Z は整数全体からなる集合を表す)。ここで、各有理数に対して、その分数表示 a/b は一意でない(しかも無数にある)ことは留意すべき事実である。通常は個々の文脈に適した形を選んで利用する。公理的集合論の立場では、分数 a/b は整数の組 (a, b) の属する同値類(の代表元)を表しており(#形式的な構成を参照)、有理数全体からなる集合 Q は商体の最も初等的な例となっている。
距離空間としての有理数の完備化(適当な距離に関する「無限小数」展開を考えることに相当)することにより、実数や p進数が得られる(後述。あるいはコーシー列・デデキント切断等を参照)。有理数ではない実数は無理数と呼ばれる。また、すべての有理数係数多項式の根の全体は体を成し(Q の代数的閉包)、その元を代数的数と呼ぶ。