コーシー＝シュワルツの不等式
別の観点の証明として、直交射影を考える以下のものがある:‖ y ‖ = 0 のときは、x と y の内積が 0 になり、問題の不等式は自明である。‖ y ‖ > 0 のときは、
t = ⟨ x , y ⟩ ‖ y ‖ 2 {\displaystyle t={\frac {\langle x,y\rangle }{\|y\|^{2}}}}
とすると、t y は x の y方向への直交射影である。実際、この t について z := x − t y は y に直交している。
0 ≤ ‖ z ‖ 2 = ‖ x ‖ 2 − ‖ t y ‖ 2 = ‖ x ‖ 2 ‖ y ‖ 2 − ⟨ x , y ⟩ 2 ‖ y ‖ 2 {\displaystyle 0\leq \|z\|^{2}=\|x\|^{2}-\|ty\|^{2}={\frac {\|x\|^{2}\|y\|^{2}-\langle x,y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}}
よりコーシー=シュワルツの不等式が従う。不等式の等号成立は z = 0、即ち x, y が線型従属のときであることが分かる。