離散フーリエ変換
応用上は、実数値関数を対象とすることが多いが、 f {\displaystyle f} が実数値関数であるときには、
( F N f ) ( − t ) = ( F N f ) ( t ) ̄ {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{N}f)(-t)={\overline {({\mathcal {F}}_{N}f)(t)}}}
( z ̄ {\displaystyle {\bar {z}}} は z {\displaystyle z} の複素共役)。そのため出力 ( F N f ) ( t ) {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{N}f)(t)} の半分( t > 0 {\displaystyle t>0} )で全ての情報を持っていることになる。
2次元DFT を行列計算によって以下のように変形できる。
F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − 2 π i ( u x M + v y N ) {\displaystyle F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-2\pi i({\frac {ux}{M}}+{\frac {vy}{N}})}}
F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 [ ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − 2 π i v y N ] e − 2 π i u x M {\displaystyle F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\left[\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-2\pi i{\frac {vy}{N}}}\right]e^{-2\pi i{\frac {ux}{M}}}}
F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 [ ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − 2 π i v y N ] ⏟ F y f ( x , y ) e − 2 π i u x M {\displaystyle F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\underbrace {\left[\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-2\pi i{\frac {vy}{N}}}\right]} _{{\mathcal {F}}_{y}f(x,y)}e^{-2\pi i{\frac {ux}{M}}}}