対角化
n 次正方行列 A に対して、n 次対角行列 D と n 次正則行列 P が存在して、
P − 1 A P = D {\displaystyle P^{-1}AP=D}
とできるとき、行列 A は対角化可能(英: diagonalizable)であるという。
, n ) {\displaystyle A{\vec {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\vec {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\dots ,n)}
つまり、P の構成する各列ベクトルは Aの固有ベクトルであり、対応する対角成分はその固有ベクトルに対応する固有値になっている。行列 P が正則であることは、これらの固有ベクトルが線形独立である(= n次元ベクトル空間の基底になっている)ことを意味する。
ここまでの議論は完全に逆向きにたどることができる。つまり、行列Aの固有ベクトルだけで n 次元ベクトル空間の基底が構成できるならば、それら縦ベクトルを横に並べた行列 P は正則行列となり、
P − 1 A P = D {\displaystyle P^{-1}AP=D}
が成り立ち、D の対角成分には A の固有値が並ぶ。
以上が行列が対角化できるための必要十分条件である。またこれは、実際に対角化を行うための手順にもなっている。
他にも同値な条件がいくつか知られている。
(ここでは固有方程式が(重解を持つ場合も許容して)1次式の積に分解できることを前提とする。固有値・固有ベクトルが複素数でもよいのならこれはいつでも正しい(代数学の基本定理)が、実数だけで考えている場合は固有方程式の左辺が因数分解できないこともあり得る。)
A の固有値を λ i , i = 1 , ⋯ , r , {\displaystyle \lambda _{i},i=1,\cdots ,r,} とするとき、A が対角化可能であるための必要十分条件は、次の等式が成り立つことである: