ツァイゼル数
ツァイゼル数(ツァイゼルすう、英: Zeisel number)とは、3個以上の相異なる(正の)素数 p1, ..., pk の積であって、ある整数 A, B に対して
p i = A p i − 1 + B ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle p_{i}=Ap_{i-1}+B\quad (i=1,\cdots ,n)}
を満たすようなものである。ただし、便宜上 p0 = 1 とする。最小のツァイゼル数は 105 = 3 × 5 × 7 である。この数は、A = 1, B = 2 とおけば条件を満たす。(例.p1 = 1 × 1 + 2 = 3 、p2 = 1 × 3 + 2 = 5 、p3 = 1 × 5 + 2 = 7)
小さい方からツァイゼル数を並べると
105, 1419, 1729, 1885, 4505, 5719, 15387, 24211, 25085, 27559, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A51015)
である。定義より、A は正でなければならないが、B は負でも構わない。例えば、1419 = 3 × 11 × 43 は A = 4, B = −1 に対して条件を満たす。
ツァイゼル数の中に、有名なハーディ・ラマヌジャン数 1729 があることが一際目に付く。1729 はカーマイケル数でもある。実際、6m + 1, 12m + 1, 18m + 1 が全て素数であるならば、その積 (6m + 1)(12m + 1)(18m + 1) はカーマイケル数であることが知られている。