凸共役性
A を X から Y への有界線型作用素とする。X 上の任意の凸函数 f に対して、次が成り立つ。
( A f ) ⋆ = f ⋆ A ⋆ {\displaystyle \left(Af\right)^{\star }=f^{\star }A^{\star }}
ここで
( A f ) ( y ) = inf { f ( x ) : x ∈ X , A x = y } {\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}}
は f の A に関する原像であり、A は A の共役作用素である。
閉凸函数 f は、ある与えられた直交線型変換の集合 G に関して対称である、すなわち
f ( A x ) = f ( x ) , ∀ x , ∀ A ∈ G {\displaystyle f\left(Ax\right)=f(x),\;\forall x,\;\forall A\in G}
であるための必要十分条件は、凸共役 f が G に関して対称であることである。