多重線型代数
K の n 次外冪 ∧K は一次元空間であるが、これは向きも込めた K における体積要素の空間と見なせる。K 上の線型写像 φ について、φ が体積要素を何倍に変換するかという情報は ∧K 上に引き起こされる線型写像 ∧ (φ) がどんな定数倍写像になっているかということで表されている。
K –加群 E のテンソル代数 TE とは、可換とは限らない K –代数であって E からの線型写像 E → TE を持ち、次の条件を満たすもののことである:(可換とは限らない)K –代数 A への K –線型写像 E → A が与えられたとき、図式
E → A ↓ ↓ T E → A {\displaystyle {\begin{array}{ccc}E&\to &A\\\downarrow &&\downarrow \\\mathrm {T} E&\to &A\end{array}}}
が可換になるような K –代数の準同型 TE → A が存在して一意に定まる。この条件によって対 (TE , E → TE ) は同型を除き一意に定まる。