量子論理
L(H) に集合の包含関係で順序を入れると、L(H) は完備な直交モジュラー束を成す。具体的には共通部分の成す部分線型空間が∧、和集合の張る部分空間の閉包が∨、直交補空間が¬に対応する。古典論理と大きく異なるのは分配律、すなわち
p ∧ (q ∨ r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
(p、q、r は命題を表す) が必ずしも成り立たない点である。例えば一直線上を動く粒子を考え、次のようにおく。
p = "粒子は右へ動いている"
q = "粒子は原点の左にある"
r = "粒子は原点の右にある"
すると命題"q ∨ r"は恒に真だから、p が真ならば
p ∧ (q ∨ r) = 真
一方、p が真ならば不確定性原理により位置と運動量は同時には確定できないから、2つの命題"p ∧ q"と"p ∧ r"はいずれも偽である。ゆえに
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r) = 偽
となって、分配律は成り立たないことになる。