アティヤ＝シンガーの指数定理
解析的指数と位相的指数はともに多様体の K群の間の準同型として定式化することができる。したがって指数定理とは(K向き付けの与えられた)滑らかな写像 f: M → N が引き起こす二つの指数写像 Inda(f), Indt(f): K*(M) → K*(N) の一致として定式化される。解析的指数 Inda は作用素環論的に双変 K 理論を用いて定式化することができ、一方で位相的指数 Indt は M のユークリッド空間 Rへの埋め込みと、ボット周期性K*(R × N) = K*(N)を通じて定式化される。こうして多様体の族に関する指数定理を述べることができ、Nが一点の場合が上記のAtiyah-Singerの指数定理に相当する。群作用がある場合や、族が葉層構造によって与えられている場合の指数定理はこれらの構成を適切なカテゴリーに拡張することによって述べられる。