乗法的積分
∏ a b f ∗ ( x ) d x = ∏ a b exp  ( f ′ ( x ) f ( x ) d x ) = f ( b ) f ( a ) . {\displaystyle \prod _{a}^{b}{f^{*}(x)^{dx}}=\prod _{a}^{b}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx\right)={\frac {f(b)}{f(a)}}.}
ただし、f(x) は幾何微分(英語版)である。幾何微分は例えば以下の法則を満たす: 積の法則 ( f g ) ∗ = f ∗ g ∗ , {\displaystyle (fg)^{*}=f^{*}g^{*},} 商の法則 ( f / g ) ∗ = f ∗ / g ∗ . {\displaystyle (f/g)^{*}=f^{*}/g^{*}.}
X = R で μ がルベーグ測度であり、ルベーグ可測集合列 Ak が全て区間であるという特別の場合において、いま定義した積分が上で定義したものに一致することを証明できる。古典的なルベーグ積分論での議論と同じく、任意のヴォルテラ可積分函数に対するルベーグ乗法的積分は、適当なヴォルテラ可積分単函数のルベーグ乗法的積分からなる増大列の極限として与えられる。 さて、上記定義式の両辺の対数をとれば、任意のヴォルテラ可積分単函数 f に対し
を得るが、この一番右の辺は単函数の(通常の)ルベーグ積分 ∫ X f ( x ) d μ ( x ) {\textstyle \int _{X}f(x)\,d\mu (x)} の定義式にほかならないから、上式は
であることを意味している。さらに言えば、exp のような連続函数は極限と交換可能であり、かつ任意のヴォルテラ可積分函数 f は単函数の乗法的積分の極限であったから、上記の関係式 Def: 1 は「任意の」ヴォルテラ可積分函数 f に対して一般に満足される。
この性質を用いれば、ヴォルテラの乗法的積分 Vf (Vf(B) ≔ ∏B(1 + f⋅dμ)) が(積分領域を引数とする)集合函数として乗法的(Vf(B1 ⊔ B2) = Vf(B1)⋅Vf(B2))であることが示せる(この性質は加法的集合函数としての測度の性質と対比するものと見ることができる)。一方、ヴォルテラの乗法的積分 V は(可積分函数 f を引数とする)汎函数としては乗法的でないことをふたたび注意しておく。