半角正接置換
半角正接置換(はんかくせいせつちかん、英: Tangent half-angle substitution)とは数学において、主に積分計算で利用される正接 tan による変数変換である。ワイエルシュトラス置換とも呼ばれる。三角関数のみで構成された積分に対してこの置換を施すことにより、有理関数へと変形することができる。すなわち、
t = tan  θ 2 {\displaystyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}}
なる置換をすることにより、
∫ f ( sin  θ , cos  θ ) d θ = ∫ f ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) 2 1 + t 2 d t {\displaystyle \int f(\sin \theta ,\,\cos \theta )\,{\rm {d}}\theta =\int f{\biggl (}{\frac {2t}{1+t^{2}}},\,{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}{\biggr )}\,{\frac {2}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t}
と変形されるのである。また、正弦 sin や余弦 cos が自乗されている場合や、一次の正弦、余弦どうしの積などが含まれる場合は t = tan θ のように置換することもある。なお本稿では、ことわりのない限り t は半角正接置換を指すものとする。