先進波
マクスウェルの電磁方程式を解くと、以下のような形の解がでてくる。
Ψ = A 0 e i ( k ⋅ x − ω t ) + A 1 e i ( k ⋅ x + ω t ) {\displaystyle \Psi =A_{0}e^{i(k\cdot x-\omega t)}+A_{1}e^{i(k\cdot x+\omega t)}}
Ψ {\displaystyle \Psi } は波動関数
式の前項が通常の波である遅延波である。 ここで後ろの項も数学的な解としてはありえるものであり、この波は数式上時間軸的に遅延波とは逆向きの成分をもっているように見える。
球面波の場合を考える。球面波では原点に波動の原因があり、遅延波は中心から外側へと広がる波である。これに対して外側から中心へと向かう波が後項の波であるが、この波は時間軸的に周囲から押し寄せて来て波の元となった時と場所で一点に集約する波となる。波動を起こす原因の中心の原点から広がっているとすると、この波は時間を遡って過去へ向かっていると解釈しなければならない。そのためこの波を先進波と呼ぶ。
通常、先進波は因果律やその他の物理的経験常識から意味のない解として捨てられ遅延波のみを物理的に意味のある解として採用する。この解を示したホイーラーとファインマンは、先進波は相互作用によりキャンセルされるものと説明した。