ツェルメロ＝フレンケル集合論
ロビンソン算術を解釈できる再帰的に公理化可能なシステムは、矛盾がある場合にのみ、システム自体の無矛盾性を証明できるとゲーデルの第二不完全性定理は主張する。また、ロビンソン算術はZFCの一部である一般集合論で解釈できる。したがって、ZFCの無矛盾性をZFCの中で証明することはできず(実際に矛盾がある場合を除く)、それゆえに、通常の数学の意味でZFCを捉える限り、ZFCの無矛盾性を通常の数学では実証できない。 ZFCの無矛盾性は弱到達不能基数の存在に由来するが、この基数の存在は、ZFCが無矛盾であるならばZFCでは証明できない。それにもかかわらず、ZFCが予想外の矛盾を含む可能性は低いと考えられている。 ZFCに矛盾を含むとしたら、すでに明らかになっているはずだからである。確かに、ZFCは、素朴集合論の古典的なパラドックス、ラッセルのパラドックス、ブラリ=フォルティのパラドックス、カントールのパラドックスの影響を受けない。
x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が集合である場合、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} を元として含む集合が存在する。
∀ x ∀ y ∃ z ( ( x ∈ z ) ∧ ( y ∈ z ) ) . {\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}
正確に x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} のみを元を持つ集合の存在を示すには、分出公理を使用する必要がある。対の公理はZの一部であるが、少なくとも2つの元を持つ集合が与えられた場合は置換公理に従うため、ZFでは冗長である。少なくとも2つの元を持つ集合の存在は、無限公理、または分出公理とべき集合公理の組み合わせのいずれかによって示せる。
集合論の現代的な研究は、1870年代にカントールとデーデキントによって始められた。しかし、ラッセルのパラドックスなどの素朴集合論におけるパラドックスが発見され、これらのパラドックスのない、より厳密な形式の集合論の探求につながった。
1908年、ツェルメロは最初の公理的集合論であるツェルメロ集合論を提案した。しかし、1921年にフレンケルがツェルメロに宛てた手紙で最初に指摘したように、当時ほとんどの集合論の数学者が当然と考えていた基数 א ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} と集合 { Z 0 , P ( Z 0 ) , P ( P ( Z 0 ) ) , P ( P ( P ( Z 0 ) ) ) , . . . } {\displaystyle \{Z_{0},{\mathcal {P}}(Z_{0}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0}))),...\}} の存在を、この理論では証明できなかった。
任意の集合 X {\displaystyle X} に対して、 X {\displaystyle X} を整列する二項関係 R {\displaystyle R} が存在する。これは R {\displaystyle R} が、空でない X {\displaystyle X} のどの部分集合も R {\displaystyle R} のもとで最小元を持つような、 X {\displaystyle X} の全順序であることを意味する。
∀ X ∃ R ( R well-orders X ) . {\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).}
ZFの公理 (すなわち、前述の8つの公理および公理図式) の下で、選択公理は同値な主張をいくつか持つ。Kunenは選択公理に相当するものとして上記の主張を公理に設定したが、これは通常整列可能定理と呼ばれるものである。
選択公理の主張は通常次のようなものである:空でない集合による集合族 { X λ } λ ∈ Λ ( ∀ λ .