ストークスの定理
ストークスの定理の応用の一つして、電磁気学におけるマクスウェル方程式からのアンペールの法則の導出がある。時間に依存しない静電場E、静磁場Bを考える。このとき、電荷密度は定数であり、電流は定常状態にある。この場合、静磁場Bは時間に依存しないマクスウェル方程式
∇ ⋅ B = 0 ∇ × B = μ 0 j {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}&=0\\\nabla \times {\boldsymbol {B}}&=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}\end{aligned}}}
を満たす。但し、μ0 は真空の透磁率、j は電流密度である。ここで、任意の閉曲線 ∂S に沿って、静磁場 B の線積分を行えば、ストークスの定理より、∂S を境界とする曲面 S に対し、
∮ ∂ S B ⋅ d l = ∫∫ S ( ∇ × B ) ⋅ d S {\displaystyle \oint _{\partial S}{\boldsymbol {B}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}=\iint _{S}(\nabla \times {\boldsymbol {B}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}}