体積
かいつまんでいえば体積とは、各片の長さがa, b, cの直方体に対して、積a×b×cを計算したものである。これはもちろん上記の定義に則った結果である。基本的な三次元図形に対しては、上記の定義は簡単な計算式で表現することができる。以下にそれらの体積の計算法(公式)をいくつか示す。なお、式中のπ は円周率 (3.14...)である。
上記の通り、三次元の構造(モノなど)の空間的な大きさの程度を示す量が体積であるが、厳密さが求められる数学においては、体積の定義の説明は複雑である。以下にその概略を示す(難解であれば、#体積の算出法へ読み進んでさしつかえない)。
体積は、3次元空間内の部分集合(すなわち三次元の図形)に対して規定することができる。この三次元図形は、定義関数によって指定(空間上の位置や形を決定)することができる。体積とは、この定義関数を3次元座標系の全体にわたって積分して得られる値である。たとえば、ユークリッド空間で直交座標系における定義関数f(x,y,z)を使うと、この関数で表現される三次元図形の体積は三重積分を用いて次のように表される。
∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y,z)dxdydz}
この定義から、0次元の概念である点や、1次元の概念の線、2次元の面といった次元が3未満の図形の「体積」については、それぞれこの積分の値は0となる。
参考までに、体積のより広い概念として測度がある。