随伴関手
関手F: C→Dが圏同値の片方であるとすると、同値のもう片方の左随伴である。つまり、unitとcounitがともに同型である随伴である。
全ての随伴〈F, G, ε, η〉はある部分圏の同値性を拡張する。Cの対象XでεXが同型射であるものからなるCの充満部分圏をC1とする。Dの対象YでηYが同型射であるものかならるDの充満部分圏をD1とする。このとき、FとGをそれぞれD1 と C1に制限した関手はこれらの部分圏の同値の反転となっている。
この意味で、随伴は一般化された逆元である。しかし、Fの右逆(つまり、関手GであってFGが1Dに自然同型なもの)は必ずしもFの右または左随伴になるとは限らない。随伴は2方向に一般化された逆である。
全ての関手 G: C → D が左随伴を持つわけではない。C が完備圏であるときは、左随伴を持つ関手はPeter J. Freydの随伴関手定理「G が左随伴を持つための必要十分条件は、それが連続(極限を保つ)かつ、ある種の「集合性(小ささ)」条件をみたすことである」で特徴付けられる。具体的には、D の各対象 Y に対して、集合(つまり真クラスでない集合という意味で「小さい」) I の元で添字付けられた射の族 fi: Y → G(Xi) が存在して、任意の射 h : Y → G(X) が適当な元 i ∈ I と射 t: Xi → X ∈ C を用いて h = G(t) ∘ fi と書けることが条件である。
同様のことが右随伴に関しても成り立つ。
余積、押し出し、余等化子、余核はいずれも圏論における余極限の例えである。 全ての余極限関手は対応する対角関手(考えている余極限の種類から決まる)の左随伴である。随伴のunitは余極限対象への定義射を与える。以下に個々の例を示す。
余積 関手F : Ab ← Abを各アーベル群の対(X1, X2)に直和を対応させるものとし、関手G : Ab → Abを各アーベル群Yに対(Y, Y)を対応させるものとする。このときFはGの左随伴である。こちらも直和の普遍性から導かれる。この随伴のunitはX1 と X2から直和への包含写像の対からなる射であり、counitは(X,X)の直和からXへの加算による射である(直和の元 (a, b)にXの元 a+b を対応させる)
同様の例として加群や線形空間の直和や、群の自由積や集合の非交和がある。
1 F = ε F ∘ F η 1 G = G ε ∘ η G {\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}
となり、これはCの各対象XとDの各対象Yについて
1 F Y = ε F Y ∘ F ( η Y ) 1 G X = G ( ε X ) ∘ η G X {\displaystyle {\begin{aligned}1_{FY}&=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\1_{GX}&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\end{aligned}}} .
が成り立つことを意味する。
これらの等式は随伴関手を代数的に操作する証明を短くするのに有用である。対応するstring diaglamでの見た目から、これはときにジグザグ恒等式と呼ばれる。この等式を覚えるには、まず、無意味な等式 1 = ε ∘ η {\displaystyle 1=\varepsilon \circ \eta } を書き下し、簡単なやり方で合成が正しく定義されるようにFとGを追加すればよい。
注: ここでのcounitの"co"という接頭辞は極限(limit)や余極限(colimit)での用法とは一貫していない。なぜなら、余極限は「始」普遍性を満たすのに対し、counitの定める射は「終」普遍性を満たすからである。これらの双対についても同様である。ここでのunitという用語はモナドからの借用であり、恒等射1をモノイドに埋め込むところから来ている。