分配函数 (数学)
β {\displaystyle \beta } の取る値は、ランダムに場が変動する数学的な空間に依存している。従って、実数に値を取るランダムな場は、単体に値を持つ。このことは、確率の和が 1 とすることが可能なであることを幾何学的に言っている。量子力学では、複素射影空間(あるいは複素数値射影ヒルベルト空間(英語版))の上の確率変数の振幅は、確率振幅と解釈される。ここで強調したいことは、「射影的」という単語で、振幅として 1 へ正規化されている。ポテンシャル函数の正規化は、適当な数学的空間のヤコビ行列 (Jacobian) である。通常の確率では 1 であり、ヒルベルト空間では i である。場の量子論では、 − β H {\displaystyle -\beta H} というよりもむしろ指数として − i t H {\displaystyle -itH} とする。分配函数は場の量子論の経路積分による定式化で非常に多く研究開発され、大きな成果を収めている。場の理論は、一般的な方法というよりも 4次元時空の上で定式化するという違いこそあるものの、上記で提示したものと非常に似通っている。
いくつかの具体例を順番に述べる。基本的な熱力学の問題では、カノニカル分布を使うとき、まさにパラメータ β {\displaystyle \beta } を使う。この使い方は、自由エネルギー (free energy)(エネルギー保存則のおかげで)を定数として保持されべきものこそが期待値であるという事実の反映である。化学反応を扱う化学の問題では、グランドカノニカル分布が適切な基礎をもたらす。そこには 2つのラグランジュ未定乗数が存在する。一つはエネルギーを定数とする(保存量とする)方法で、もうひとつはフガシティーの方法で、この方法は粒子数を保存量とする方法である(化学反応が原子の数を固定することを考えると)。
一般的な場合は、下記のようになる。
Z ( β ) = ∑ x i exp  ( − ∑ k β k H k ( x i ) ) . {\displaystyle Z(\beta )=\sum _{x_{i}}\exp \left(-\sum _{k}\beta _{k}H_{k}(x_{i})\right).}
ここの β = ( β 1 , β 2 , ⋯ ) {\displaystyle \beta =(\beta _{1},\beta _{2},\cdots )} は空間の点である。
観測可能量 H k {\displaystyle H_{k}} の集合に対し、
Z ( β ) = tr [ exp  ( − ∑ k β k H k ) ] {\displaystyle Z(\beta )={\mbox{tr}}\left[\,\exp \left(-\sum _{k}\beta _{k}H_{k}\right)\right]}
値 x i {\displaystyle x_{i}} をとる 確率変数 X i {\displaystyle X_{i}} の組みと、あるポテンシャル函数、あるいはあるハミルトニアン H ( x 1 , x 2 , ... ) {\displaystyle H(x_{1},x_{2},\dots )} が与えられると、分配函数は次のように定義される。
Z ( β ) = ∑ x i exp  ( − β H ( x 1 , x 2 , ... ) ) {\displaystyle Z(\beta )=\sum _{x_{i}}\exp \left(-\beta H(x_{1},x_{2},\dots )\right)}
函数 H は状態の空間 { X 1 , X 2 , ⋯ } {\displaystyle \{X_{1},X_{2},\cdots \}} の上の実数に値を持つ函数であり、 β {\displaystyle \beta } は実数に値を取る自由なパラメータ(伝統的には逆温度)である。 x i {\displaystyle x_{i}} の和は、各々の確率変数 X i {\displaystyle X_{i}} が取りうる全ての可能な値を渡る和である。このように、和は X i {\displaystyle X_{i}} が離散的ではなく連続函数のときには、積分によって与えられることとなる。従って、連続的に変化する X i {\displaystyle X_{i}} の場合は、
Z ( β ) = ∫ exp  ( − β H ( x 1 , x 2 , .