反転幾何学
(n − 1)-次元球面
x 1 2 + ⋯ + x n 2 + 2 a 1 x 1 + ⋯ + 2 a n x n + c = 0 {\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+c=0}
は、a 21 + ⋯ + a 2n > c なる限り正の半径を持ち、反転によって球面
x 1 2 + ⋯ + x n 2 + 2 a 1 c x 1 + ⋯ + 2 a n c x n + 1 c = 0 {\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2{\frac {a_{1}}{c}}x_{1}+\cdots +2{\frac {a_{n}}{c}}x_{n}+{\frac {1}{c}}=0}
に写る。従って、先の球面が反転に関して不変となることと、c = 1 は同値となる。しかしこれは単位球面に対する直交条件であって、従って反転不変 (n − 1)-次元球面