Ext関手
Ext群もまた、完全系列のことばで解釈することができる。このことは、射影加群や入射加群の存在に依存しないという優位性を持っている。従って、上記の観点では、ExtnR(A, B) は、ある同値関係の下で、B で始まり、A で終わる長さ n + 2 の完全系列のクラスとなる。従って、これは ... → X1 → A → 0 と 0 → A → Yn → ... を
⋯ → X 1 → Y n → ⋯ {\displaystyle \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow Y_{n}\rightarrow \cdots }
で置き換えることにより、ExtmR(C, A) の元とつなぎ合わされる。ここの中の矢印は、函数 X1 → A と A → Yn の合成である。積は米田接合積と呼ばれる。
これらの観点は、双方で意味を持つ場合は常に同値となる。
同様の解釈の下で、充分に良い条件下では、再び、Ext*R(k, M) は Ext*R(k, k) 上の加群である。
Tor関手
グロタンディーク群
コホモロジーの普遍係数定理
は、次の可換図式が存在するときに、(A の B による拡大として)同値であるという。
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5項補題により、真ん中の縦の矢印は同型である。A の B による拡大が、自明な拡大
0 → B → A ⊕ B → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow A\oplus B\rightarrow A\rightarrow 0}
と同値であれば、分裂(split)といわれる。
A の B による拡大
0 → B → E → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0}
の同値類と、
Ext R 1  ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(A,B)}
の元との間には、全単射な対応がある。