点と直線の距離
| P R ̄ | = | y 0 − m | | B | A 2 + B 2 . {\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}
ところで点Sは直線上の点だから、mの値はA, B, Cを用いて
m = − A x 0 − C B , {\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},}
と表せるので、これを代入すれば結局:
| P R ̄ | = | A x 0 + B y 0 + C | A 2 + B 2 . {\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}
なお、類似の証明として、点Vを点Pと同一の点とし、∆UVTの面積を2通りの方法で求めることにより点Pと直線の距離の公式を導く方法がある。点Vと点Pを同一の点とした時、∆UVTの面積はまず で求められる。一方で、TUを底辺と考えることで、点Pから直線におろした垂線の長さを高さとして面積を求められる。TU, VU, VTの長さは点Pの座標と直線の方程式の係数を用いて表せるので、そこから点と直線の距離の公式が導ける。
{\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ and }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.}
軸に平行な直線
一般の直線の方程式 ax + by + c = 0 について、c が 0 でない限り a と b がともに 0 になることはない。またそのような場合、方程式はもはやどんな直線も定めない。もし a = 0, b ≠ 0 のときには直線は x 軸に平行で、方程式は y = −c/b となる。この直線と点 (x0, y0) の距離は、上の等式にあてはめることにより長さ |y0 − (−c/b)| = |by0 + c|/|b| の x 軸に垂直な線分から得られる。同様に x 軸に垂直な直線 (b = 0) と点 (x0, y0) との距離も、長さ|ax0 + c|/|a| の x 軸に平行な線分から得られる。