ハーンの分解定理
もし P が正集合でないのなら、Σ に属するある D ⊆ P に対して μ(D) < 0 が成立する。このとき、すべての n に対して sn ≤ μ(D) が成立することから、
μ ( N ) = ∑ n = 0 ∞ μ ( A n ) ≤ ∑ n = 0 ∞ max { s n / 2 , − 1 } = − ∞ {\displaystyle \mu (N)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (A_{n})\leq \sum _{n=0}^{\infty }\max\{s_{n}/2,-1\}=-\infty }
となるが、これは μ の定め方に矛盾する。したがって、P は正集合である。
一意性の証明:
( N ′ , P ′ ) {\displaystyle (N',P')} を X {\displaystyle X} の他のハーン分解とする。このとき P ∩ N ′ {\displaystyle P\cap N'} は正集合でもあり、負集合でもある。したがって、この集合に含まれるすべての可測な部分集合の測度は 0 である。同様のことが N ∩ P ′ {\displaystyle N\cap P'} に対しても成り立つ。今
P △ P ′ = N △ N ′ = ( P ∩ N ′ ) ∪ ( N ∩ P ′ ) {\displaystyle P\,\triangle \,P'=N\,\triangle \,N'=(P\cap N')\cup (N\cap P')}
であることから、証明は完成される。Q.E.D.
準備: μ は −∞ の値を取らないものと仮定する(そのような値を取る場合は、−μ について考えることとする)。上述のように、Σ 内のある集合 A が負集合であるとは、そのすべての Σ 内の部分集合 B に対して μ(B) ≤ 0 が成立することを言う。
主張: Σ 内のある集合 D に対して μ(D) ≤ 0 が成立すると仮定する。このとき、μ(A) ≤ μ(D) を満たすようなある負集合 A ⊆ D が存在する。
主張の証明: A0 = D とする。帰納的に、自然数 n に対してある集合 An ⊆ D が構成されているものとする。今、
t n = sup { μ ( B ) : B ∈ Σ , B ⊂ A n } {\displaystyle t_{n}=\sup\{\mu (B):B\in \Sigma ,\,B\subset A_{n}\}}
は、An 内のすべての可測部分集合 B についての μ(B) の上限を表す。この上限は先験的に無限大であることもあり得る。tn の定義において、空集合 ∅ も B であり得るため、μ(∅) = 0 であることから、tn ≥ 0 が従う。tn の定義より、次を満たすような Bn ⊆ An が Σ 内に存在する:
μ ( B n ) ≥ min { 1 , t n / 2 } . {\displaystyle \mu (B_{n})\geq \min\{1,t_{n}/2\}.}
今 An+1 = An \ Bn とする。また