ブレイド群
非可換暗号理論(英語版)(Non-commutative cryptography)
B n = ⟨ σ 1 , ... , σ n − 1 | σ i σ i + 1 σ i = σ i + 1 σ i σ i + 1 , σ i σ j = σ j σ i ⟩ . {\displaystyle B_{n}=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle \ .}
ここに、最初の等式では 1 ≤ i ≤ n−2 であり、第二の等式では |i − j| ≥ 2 である。この表示は、アルティン群(英語版)(Artin group)と呼ばれるブレイド群の一般化を導く。ブレイド関係式として知られている三つ組の恒等式は、ヤン・バクスター方程式(英語版)(Yang–Baxter equation)の理論の中で重要な役目を担う。
ブレイド群 Bn は、n 個の穴のあいた穴あき円板の写像類群(英語版)(mapping class group)と同型であることを示すことができる。これは境界円板の各穴を糸で繋げるというイメージで最も容易に可視化される。即ち、写像類群の元は穴空き円板の穴を入れ替えるので、これを糸のホモトピー、つまり糸のブレイディングと見做すことができる。
この写像類群というブレイドの解釈を通し、各々のブレイドは、周期的で規約な、あるいは、擬アノソフ的なニールセン・サーストン分類(英語版)(Nielsen-Thurston classification)として分類することができる。