有界入力有界出力安定性
因果性の有理連続時間系での安定性の条件は、ラプラス変換の収束半径(ROC)が虚軸を含むことである。系が因果性であれば、ROCはX軸が最大の極の実部であるような垂直線の右への開領域である。ここでいう「最大」とは、その極の実部がその系の他の全ての極よりも大きな実部を持つことを意味する。ROCを定義する最大の極の実部を収束座標(abscissa of convergence)と呼ぶ。したがって、BIBO安定性を持つには、そのシステムの全極が必ずs平面の左半分になければならない。
この安定性条件は上述の時間領域の条件から以下のように導出できる。
∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|dt}}
= ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | | e − j ω t | d t {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}}
連続時間では、BIBO安定性の条件はインパルス応答が可積分であること、すなわちそのLノルムが存在することである。
∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | d t = ‖ h ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \ \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|dt}=\|h\|_{1}<\infty }