リーマンゼータ関数
となる。留数定理に基づいてこの複素積分を実行すれば、
ζ ( − n ) = − i n ! 2 π 2 π i Res ( 1 ( − z ) n + 2 − z e z − 1 , 0 ) {\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {in!}{2\pi }}\,2\pi i\operatorname {Res} \!{\biggl (}{\frac {1}{(-z)^{n+2}}}{\frac {-z}{e^{z}-1}},\,0{\biggr )}}
となるのでベルヌーイ数の定義から,
ζ ( − n ) = n ! ( − 1 ) n Res ( ∑ k = 1 ∞ B k k ! z k − n − 2 , 0 ) {\displaystyle \zeta (-n)=n!\,(-1)^{n}\operatorname {Res} \!{\Biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}\,z^{k-n-2},\,0{\Biggr )}}
ここで、右辺の留数は、
Res ( ∑ k = 1 ∞ B k k ! z k − n − 2 , 0 ) = B n + 1 ( n + 1 ) ! {\displaystyle \operatorname {Res} \!{\Biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}\,z^{k-n-2},\,0{\Biggr )}={\frac {B_{n+1}}{(n+1)!}}}
であるから、
この等式の発見者について、オイラーは包括的なオイラー積の生みの親であるが、ラマヌジャンはs = 2の場合を発見していたとされる。
s = 2の場合、等式は次の通りである。
∏ p : prime p 2 + 1 p 2 − 1 = ζ ( 2 ) 2 ζ ( 4 ) = ( π 2 6 ) 2 / ( π 4 90 ) = 5 2 {\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}=\left({\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)^{2}/\left({\frac {\pi ^{4}}{90}}\right)={\frac {5}{2}}} .
s が正の偶数の場合、ゼータ関数の特殊値より、この等式の値は、ベルヌーイ数と整数階乗のみの計算となるため、結果的に有理数となる。
ζ ( n ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ⋯ ∫ 0 1 1 1 − x 1 x 2 x 3 ⋯ x n d x 1 d x 2 d x 3 ⋯ d x n {\displaystyle \zeta (n)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}{\frac {1}{1-x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}}}dx_{1}dx_{2}dx_{3}\cdots dx_{n}}
ζ ( n ) = 1 1 − 2 1 − n ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ⋯ ∫ 0 1 1 1 + x 1 x 2 x 3 ⋯ x n d x 1 d x 2 d x 3 ⋯ d x n {\displaystyle \zeta (n)={\frac {1}{1-2^{1-n}}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}}}dx_{1}dx_{2}dx_{3}\cdots dx_{n}}
https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12796956450.html 参照
以下に素数分布、すなわち素数計数関数 π(x) とゼータ関数との関係を述べる。
まずゼータ関数のオイラー積表示の両辺において対数をとり、テイラー展開で和の中の対数を展開する:
log  ζ ( s ) = log  ∏ p 1 1 − p − s = ∑ p log  1 1 − p − s = ∑ p ∑ n = 1 ∞ 1 n p n s = ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ p 1 p n s {\displaystyle \log \zeta (s)=\log \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{\!-s}}}=\sum _{p}\log {\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{p}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{np^{\,ns}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}}
ここで各 n ≥ 1 について
1 p n s = s ∫ p n ∞ x − s − 1 d x {\displaystyle {\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx}