量子論
以下のリストは完全なものではない。
その結果、ある粒子の状態はもはや、一定の位置および運動量のような、ある一定値を取る物理量によって記述することはできず、可観測量とその値とを切り離す必要がある。固有状態と呼ばれる状態にあるときには、測定の過程において可観測量は不変となり、実際の測定値(ドイツ語版)を一意に決定することができる。この、量子力学的状態の概念は、前期量子論における(数学的に厳密な)軌道の概念とは相容れない。数学的には、量子力学的状態は波動関数もしくは(若干わかりにくいが)状態ベクトルにより表現される。
この、可観測量という新しい概念の一つの帰結として、二つの任意の可観測量を状態に作用させる際、順番が無視できないということが挙げられる。二つの測定操作の順番を入れ替えてもよい場合(例えば x 座標と y 座標の測定)、これらは交換可能であるという。そうでない場合(例えば x 座標の測定と x 運動量の測定)、最初の測定により状態が変ってしまい、次の測定の結果に影響するため、二つの測定の順番を決める必要がある。それによって、最初の測定と同じ測定を繰り返しても、異る結果が得られることになる。したがって、二つの可観測量を別の順序で状態に作用させれば、異る終状態を得ることができる。二つの可観測量の観測順序を決めなければ終状態が変わってしまうので、不確定性関係と呼ばれる観察可能な要因の測定が重要なので、最終的な状態の異なるなかで、これまでのいわゆる 不確定性関係と呼ばれる関係が生じる。
また、ボーアは彼の仮定(ドイツ語版)を正当化する理由として、水素原子スペクトル(ドイツ語版)が説明できること以外を挙げられなかった。より深い理解のためには、彼のモデルでは不十分だった。
1924年、 ルイ・ド・ブロイは、全ての物質が波動的性質を示すことがあり、その逆で波も粒子の性質を示すことがあるとする、物質波の理論を発表した。この理論により、光電効果とボーアの原子模型を共通の原因から説明することができた。原子核の周りの電子軌道は定在波と考えられる。この考え方による計算上の電子の波長と、ボーアの原子模型における軌道の周長はよく一致することが確かめられた。しかし、水素以外の原子スペクトルの説明は依然としてできなかった。
ド・ブロイ理論は三年後に二つの独立に行なわれた、電子の回折を検証する実験により確認された。 イギリスの物理学者、ジョージ・パジェット・トムソンは、電子線 に金属薄膜を透過させ、ド・ブロイが予測した干渉縞を観測した。同様の実験は、ベル研究所のクリントン・デイヴィソンとチャールズ・クンスマンにより既に1921年にニッケルによる電子線反射回折を用いて行われていたが、そのころはまだ干渉と解釈されていなかった。デイヴィソンと助手のレスター・ガーマーは、1927年に再実験を行い、観測された明瞭な回折パターンをド・ブロイの物質波理論を用い説明した。