領域理論
前節の考察は別の疑問を提起する。 領域のすべての要素がはるかに単純な要素の極限として得られることを保証することは可能だろうか? これは現実の問題に大いに関係がある。 我々は無限の対象を計算できないが、それでもこれによってそれをいくらでも近似する望みがあることになる。
より一般的には、上限として他のすべての要素を得るのに十分であるような部分集合に制限したい。 よって、半順序集合 P の基底 (base) B を、任意の P 中の x に対して、x よりも way below であるような B 中の要素の集合の上限が x となるような P の部分集合として定義する。 半順序集合 P は、基底をもつとき連続半順序集合である。 特にこのとき P 自体は基底である。 多くの応用分野では、主要な研究の対象を連続 (d)cpo に制限している。
最後に、半順序集合に対するいくらか強い制限は「コンパクト」な要素の基底の存在を要求することにより与えられる。 このような半順序集合は代数的であるといわれる。 代数的半順序集合は、それが有限のものに制限されていても、すべての要素の近似を可能にするため、表示的意味論の観点からはとりわけ行儀よくふるまう。 前に注意したように、すべての有限の要素は古典的な意味で「有限」であるとは限らず、有限の要素が非可算な集合を構成することもありうる。
しかしある場合には、半順序集合に対する基底は可算である。 この場合、ω 連続半順序集合と言う。 従って、もし可算の基底がすべて有限の要素からなるなら、ω 代数的な順序が得られる。
1960年代末にデイナ・スコットが領域についての研究を開始したそもそもの動機は、ラムダ計算の表示的意味論について研究するためであった。 ラムダ計算においては、この言語が定めている記法で記される「関数」について考察する。 このラムダ計算では純粋に文法的に、単なる関数から入力引数として別の関数をとるような関数を作ることが可能である。 このラムダ計算には、不動点コンビネータ(英: fixed point combinator、Y コンビネータとも)Y といわれるものが存在することが知られている。 これは定義により、ラムダ計算で定められた文法的な変換を施すことで、任意の関数 f に対して f(Y(f)) = Y(f) となる性質をもつものである。
はじめに、このラムダ計算の表示的意味論を作り上げるために、各ラムダ式が通常の(全)関数を表すものとして、両者を対応づけるようなラムダ計算に対する「モデル」を作ることができたのだとしよう。 このようなモデルは純粋に文法的なシステムとしてのラムダ計算と、具体的な数学的関数を扱うための表記上のシステムとしてのラムダ計算との間を結びつけてくれるだろう。 しかし、こうしたモデルは存在しない。 もし存在したとするなら、コンビネータ Y に対応する真の全関数、すなわち任意の入力関数 f の不動点を計算するような関数を含まなければならなくなるからである。 いくつかの関数(例えば「次者関数」)にはこのような不動点は存在しないので、Y に対応するような関数は存在しえない。 よってよくても、Y に対応する通常の関数は、いくつかの入力に対して必ずしも値が定義されていないような部分関数でなければならない。