適応フィルタ
e ( n ) = d ( n ) − d ^ ( n ) {\displaystyle e(n)=d(n)-{\hat {d}}(n)}
可変フィルタは、インパルス応答で入力信号を畳み込むことで、必要とされる信号を推定する。ベクトルで表すと、次のようになる。
d ^ ( n ) = w n T x ( n ) {\displaystyle {\hat {d}}(n)=\mathbf {w} _{n}^{T}\mathbf {x} (n)}
ここで
x ( n ) = [ x ( n ) , x ( n − 1 ) , . . . , x ( n − p ) ] T {\displaystyle \mathbf {x} (n)=\left[x(n),\,x(n-1),\,...,\,x(n-p)\right]^{T}}
は入力信号ベクトルである。さらに、可変フィルタは常にフィルタ係数を次のように更新している。
w n + 1 = w n + Δ w n {\displaystyle \mathbf {w} _{n+1}=\mathbf {w} _{n}+\Delta \mathbf {w} _{n}}
ここで Δ w n {\displaystyle \Delta \mathbf {w} _{n}} はフィルタ係数の補正係数である。適応アルゴリズムは、この補正係数を入力信号と誤差信号に基づいて生成する。LMSとRLSでは、この係数更新アルゴリズムが異なる。
下に示したブロック図は、LMSフィルタ(least mean squares filter)やRLSフィルタ(recursive least squares filter)などの適応フィルタの基本構成を表している。背景にある考え方として、可変フィルタは必要とされる信号を推定したものを抽出すると考える。
このブロック図を解説するにあたって、以下を仮定する。
入力信号は、必要とされる信号 d ( n ) {\displaystyle d(n)} とノイズ v ( n ) {\displaystyle v(n)} を加算したものとなっている。 x ( n ) = d ( n ) + v ( n ) {\displaystyle x(n)=d(n)+v(n)}
可変フィルタは有限インパルス応答(FIR)構造である。その場合、インパルス応答はフィルタ係数に等しい。オーダー p のフィルタ係数は、以下のように定義される。 w n = [ w n ( 0 ) , w n ( 1 ) , . . . , w n ( p ) ] T {\displaystyle \mathbf {w} _{n}=\left[w_{n}(0),\,w_{n}(1),\,...,\,w_{n}(p)\right]^{T}}
誤差信号または目的関数は、必要とされる信号とそれを推定した信号の差分である。