ディラックのデルタ関数
これを最初に定義して量子力学の定式化に用いた物理学者ポール・ディラックに因み、この名称が付いている。デルタ関数は古典的な意味での関数ではないシュワルツ超関数(英: distribution)の最初の例になっている。
ディラックのデルタの「関数」としての性質は、形式的に次のように述べることができる。まず、f(x) として実直線上常に一定の値 1 をとる関数をとり、デルタ関数をデルタ関数自身と f(x) = 1 との積であると見ることにより
∫ − ∞ ∞ δ ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1}
である。一方、積分値が f の x = 0 での値にしかよらないことから
δ ( x ) = 0 ( x ≠ 0 ) {\displaystyle \delta (x)=0\quad (x\neq 0)}
でなければならないが、その上で積分値が 0 でない有限の値をとるためには
δ ( 0 ) = ∞ {\displaystyle \delta (0)=\infty }
が満たされなければならない。