ファトゥの補題
が得られる。すると
( X n + c ) + = ( X n + c ) + ( X n + c ) − ≤ X n + c + X n − 1 { X n − > c } {\displaystyle (X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}}
であることから、
E [ ( X n + c ) + | G ] ≤ E [ X n | G ] + c + ε {\displaystyle \mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon } almost surely
を得る。したがって
E [ X | G ] ≤ lim inf n → ∞ E [ X n | G ] + ε {\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon } almost surely
を得る。これは定理の主張を意味する。
関数列 f1, f2, . . . が関数 f へと測度収束する場合にも、上の主張は成り立つ。
X1, X2, . . . を、確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} 上の確率変数の列とし、 G ⊂ F {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}} を部分σ-代数とする。もし、負の部分
X n − := max { − X n , 0 } , n ∈ N , {\displaystyle X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },}
が条件付き期待値について一様可積分であるなら、すなわち、ε > 0 に対して
E [ X n − 1 { X n − > c } | G ] < ε , ∀ n ∈ N {\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon ,\qquad \forall n\in \mathbb {N} } almost surely