円周率
ライプニッツの公式、#2千年紀、逆正接関数も参照
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ = π 4 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}
マーダヴァの公式、逆正接関数も参照
12 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 3 n ( 2 n + 1 ) = 12 ( 1 − 1 3 ⋅ 3 + 1 5 ⋅ 3 2 − 1 7 ⋅ 3 3 + ⋯ ) = π {\displaystyle {\sqrt {12}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)=\pi }
ウォリスの公式
∏ n = 1 ∞ ( 2 n ) 2 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) = 2 2 1 ⋅ 3 ⋅ 4 2 3 ⋅ 5 ⋅ 6 2 5 ⋅ 7 ⋅ 8 2 7 ⋅ 9 ⋯ = π 2 {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\cdot {\frac {4^{2}}{3\cdot 5}}\cdot {\frac {6^{2}}{5\cdot 7}}\cdot {\frac {8^{2}}{7\cdot 9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}
上記の正則連分数展開(すべての分子が 1 である連分数)を途中で打ち切ると、π の良い有理数近似が得られる。その最初の4つは 3, 22/7, 333/106, 355/113 である。これらは古くからよく知られ使用されてきた近似値である。これらはそれぞれ分母が大きくないどの分数よりも π に近く、π の最良有理数近似である。
さらに、π は超越数である(つまり代数的数でない)ことが知られている。一般に、正則連分数の分母に現れる整数部が循環するのは二次無理数(英語版)(有理係数の二次方程式の解となるような代数的数)に限られ、π は二次無理数でないため循環連分数(英語版)として表せない。加えて π の正則連分数は規則性を示さないが、π の一般化連分数(英語版)では以下の規則をもつものが知られている:
ロジスティック写像 xi+1 = 4xi(1 − xi) により帰納的に定まる数列 {xi} を考える。初期値 x0 を 0 以上 1 以下に取るとき、そのほとんど全てで、次が成り立つ。
lim n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n x i = 2 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}}
『円周率πの不思議―アルキメデスからコンピュータまで』堀場芳数、講談社〈ブルーバックス〉、1989年10月17日。ISBN 978-4061327979。
『π(パイ)のはなし』金田康正、東京図書、1991年4月1日。ISBN 978-4489003387。
『πの公式をデザインする』猪口和則、新風舎、1998年1月9日。ISBN 4-7974-0493-0。
『円周率πをめぐって』上野健爾、日本評論社、1999年3月。ISBN 978-4535608405。
『π-魅惑の数』ジャン=ポール・ドゥラエ(英語版)、畑政義訳、朝倉書店、2001年10月1日。ISBN 978-4254110869。
『πの歴史』ペートル・ベックマン(英語版)、田尾陽一訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2006年4月。ISBN 978-4480089854。
『π ― πの計算アルキメデスから現代まで』竹之内脩、伊藤隆、共立出版、2007年3月22日。