部分群の指数
H が G の部分群で K が H の部分群であれば、
| G : K | = | G : H | | H : K | . {\displaystyle |G:K|=|G:H|\,|H:K|.}
H と K が G の部分群であれば、
| G : H ∩ K | ≤ | G : H | | G : K | , {\displaystyle |G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,}
HK = G ならば等号成立。( |G : H ∩ K| が有限であれば、等号成立 ⇔ HK = G。)
同じことだが、H と K が G の部分群であれば、
| H : H ∩ K | ≤ | G : K | , {\displaystyle |H:H\cap K|\leq |G:K|,}
HK = G ならば等号成立。( |H : H ∩ K| が有限であれば、等号成立 ⇔ HK = G。)
G と H が群で φ: G → H が準同型であれば、φ の核の G における指数は像の位数に等しい:
| G : ker φ | = | im φ | . {\displaystyle |G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.}
G を集合 X に作用している群とし、x ∈ X とする。