数え上げ測度
可測空間 S 上の数え上げ測度とは、任意の可測集合 A に対してその元の個数 |A| ∈ N ∪ {∞} を対応させる写像によって定義される測度のことである。ここで、N は自然数全体の成す集合 {0, 1, 2, ...} であり、A が有限でないならばその濃度に関わらず |A| = ∞ とする。
ここで、それが完全加法族である限りにおいて S 上の可測集合族 M の取り方によらず、
|Ø| = 0 かつ任意の A ∈ M に対し |A| ≥ 0 が成立する、
{An}n∈N ⊂ M が、An ∩ Am = Ø (n ≠ m) を満たすならば | ⋃ n ∈ N A n | = ∑ n ∈ N | A n | {\displaystyle \left|\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right|=\sum _{n\in \mathbb {N} }|A_{n}|} が成立する
などの事実は定義から直ちにわかる(2. は一つでも有限でないものがあれば両辺が ∞ として一致するという意味で成り立つから、全て有限のときを確かめればよいがこちらも明らかであろう)。
特に、任意の集合 A に対して μ(A) が定義できるので、可測集合族 M としては 2 全体をとることができて、(S, 2, μ) は測度空間になる。数え上げ測度が σ-有限であることと集合 S が可算であることは同値になる。