エンリケス・小平の分類
一般型曲面はみな、代数的であり、ある意味ではほとんどの曲面はこのクラスに属するとも言える。ギーセカ(Gieseker)は一般型曲面の粗いモジュライスキーム(英語版)(coarse moduli scheme)が存在することを示した。このことは、チャーン数 c1 と c2 を固定すると、これらのチャーン数を持つ一般型曲面を分類する準射影スキームが存在することを意味する。しかし、これらのスキームを明確に記述することは非常に難しい問題で、これがなされている場合は極めて少ない。
不変量: 一般型曲線の極小複素曲面のチャーン数が満たさねばならない条件がいくつかある。
c1 > 0, c2 > 0
c1 ≤ 3c2 (ボゴモロフ・宮岡・ヤウの不等式)
5c1 − c2 + 36 ≥ 0 (ネター不等式)
c1 + c2 は 12 で割ることができる。
これらの条件を満たす整数のペアは、これをチャーン数とする一般型の複素曲面が存在する。
例: 最も単純な例は、種数が少なくとも 2 であるような 2本の曲線の積や P の中の次数が少なくとも 5 か 5 以上の超曲面である。他にも多くの構成が知られている。しかし、大きなチャーン数を持つ一般型曲面の「典型」例を実現するような構成は知られていない。事実、一般型曲面の「典型」の妥当な考え方が存在するかさえ知られていない。他にも多くの例の族が見つかっている。例えばヒルベルトモジュラ曲面(英語版)(Hilbert modular surface)やフェイク射影平面(英語版)(fake projective plane)やバーロー曲面(英語版)(Barlow surface)などなど。