捩れ部分群
アーベル群の理論において、アーベル群の捩れ部分群(ねじれぶぶんぐん、英: torsion subgroup)とは有限の位数をもつすべての元からなる部分群である。アーベル群が捩れ (torsion) 群あるいは周期 (periodic) 群であるとは、そのすべての元の位数が有限であることで、torsion-free であるとは、単位元を除くすべての元の位数が無限であることである。
実際に有限位数の元が加法で閉じていることの証明は加法の可換性によっている(例の節を見よ)。
アーベル群 A の捩れ部分群 T(A) は A の fully characteristic subgroup であり、剰余群 F(A) = A/T(A) は torsion-free である。これらの対応は関手的である:アーベル群をその捩れ部分群に送り準同型をその捩れ部分群への制限に送る、アーベル群の圏から捩れ群の圏への共変関手 T が存在する。アーベル群をその捩れ部分群による商に送り準同型を標準的な誘導写像(well-defined であることは容易に確かめられる)に送る、アーベル群の圏から torsion-free 群の圏への共変関手 F も存在する。
アーベル群 A が有限生成であれば、その捩れ部分群 T と torsion-free 部分群の直和として書くことができる(しかしこれはすべての非有限生成アーベル群に対して正しくない)。A の捩れ部分群 S と torsion-free 部分群の直和としての任意の分解において、S は T と等しくなければならない(しかし torsion-free 部分群は一意的には定まらない)。これは有限生成アーベル群の分類において重要なステップである。