代数多様体
(Z3) ⋂ λ ∈ Λ V ( I λ ) = V ( ∑ λ ∈ Λ I λ ) {\displaystyle \bigcap _{\lambda \in \Lambda }V(I_{\lambda })=V\!\left(\sum _{\lambda \in \Lambda }I_{\lambda }\right)}
となることは容易に確認できる。これは、アフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} には、代数的集合を閉集合とする位相空間の構造が入る事を意味している。このようにして定まるアフィン空間の位相をザリスキー位相という。
アフィン代数的集合 V は、真の部分閉集合 V1, V2 を用いて V = V 1 ∪ V 2 {\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}} と書けるとき可約 (reducible) といい、可約でない代数的集合を 既約 (irreducible) であるという。空間としてのアフィン代数多様体は既約な代数的集合として定義されることは前節でも述べた。アフィン代数的集合(特に、アフィン代数多様体)にはアフィン空間の部分空間としての位相を入れる。
対応 I → V(I) は、多項式環のイデアルに対して代数的集合を対応させる対応であったが、逆にアフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} の部分集合 S が与えられたときに、
有理写像 f: X -→ Y が定義されるアフィン代数多様体 U を十分小さく取り、f(U) が Y のアフィン開部分多様体 V に含まれるようにすれば、f は座標環の間の準同型 f: A(V) → A(U) を誘導する。商体に移れば、関数体の間の k-準同型 f: k(Y) → k(X) が定まる。この準同型 f: k(Y) → k(X) は、U, V の取り方によらず、有理写像 f(の同値類)のみによって定まる。
逆に、k-準同型 φ: k(Y) → k(X) は、X, Y の十分小さなアフィン開部分多様体の間の射を誘導するので、有理写像 f: X -→ Y を定める。このようにして、代数多様体の間の有理写像の同値類は、関数体の間の k-準同型と1対1に対応している。
有理写像 f: X -→ Y が関数体の同型 k ( X ) ≅ k ( Y ) {\displaystyle k(X)\cong k(Y)} を誘導するとき、f は双有理写像 (birational map) であるという。二つの代数多様体 X, Y の間に双有理写像が存在するとき、X と Y は双有理同値 (birationally equivalent) であるという。同型な2つの代数多様体は双有理同値であるが、双有理同値な2つの代数多様体は同型とは限らない(概説参照)。
2つの代数多様体 X, Y に対して、代数多様体 Z と射 p: Z → X, q: Z → Y の組が X, Y の積多様体 (product variety) であるとは、任意の代数多様体からの射 f: W → X および g: W → Y に対して、射 h: W → Z がただひとつ存在して f = p ◦ h, g = q ◦ h と書けることを言う。積多様体は存在すれば同型の差を除いて一意的であるので、これを X × Y と表す。
積多様体 X × Y は、存在すれば点集合としては X と Y の積集合に一致する。以下では、この積集合に自然な代数多様体の構造が入ることを説明する。
2つのアフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} , A k m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{m}} の積多様体は、 A k n + m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+m}} とそこからの自然な射影によって与えられる。 A k n + m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+m}} の位相は A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} , A k m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{m}} の積位相ではないことには注意が必要である。