相対論的力学
ベクトル場 A と最小結合の形で相互作用する粒子は、相互作用項が
S int [ X ] = ∫ L int ( X , X ̇ ) d λ {\displaystyle S_{\text{int}}[X]=\int L_{\text{int}}(X,{\dot {X}})\,d\lambda }
L int ( X , X ̇ ) = q A μ ( X ) X ̇ μ ( λ ) {\displaystyle L_{\text{int}}(X,{\dot {X}})=qA_{\mu }(X)\,{\dot {X}}^{\mu }(\lambda )}
で書かれる。相互作用項は補助変数 e を含まないため拘束条件に影響せず、自由粒子の場合と変わらず質量殻条件が導かれる。
共役運動量は質量殻条件を用いれば
P μ ( λ ) = ∂ ∂ X ̇ μ ( L X + L int ) = p μ ( λ ) + q A μ ( X ) {\displaystyle P_{\mu }(\lambda )={\frac {\partial }{\partial {\dot {X}}^{\mu }}}(L_{X}+L_{\text{int}})=p_{\mu }(\lambda )+qA_{\mu }(X)}
となり、自由粒子の4元運動量にベクトル場が加えられた形となる。 平坦な時空では運動方程式として