P-群
類等式からすぐに分かる事実のひとつが、非自明な有限 p -群の中心は自明でないことである。
この事実を起点として p -群についての多くの性質が帰納的に導き出される。
たとえば、有限 p -群 G の真部分群 H の正規化群 N は真に H を含む。実際、H =N なる部分群 N が存在すれば中心 Z は正規化群 N に含まれ、したがって H にも含まれるが、このとき H/Z は G/Z における正規化群が N/Z = H/Z に一致する。中心が自明でないことから H/Z は H より位数の小さな反例であり、無限降下法により矛盾が導かれる。この事実の系として、任意の有限 p -群は冪零群であることが分かる。
別の例として、有限 p -群の任意の正規部分群 N と中心 Z との交わりは自明でない。これは G が N に共役として作用するときに固定される元を考えればよい。