等角写像
複素平面 z から複素平面 w への写像である関数 w = f(z) について、正則関数は等角写像である。逆命題も成り立つ。
関数 f によって点 z0 とその近傍にある2点 z1, z2 が点 w0 とその近傍にある2点 w1, w2 に写像されるとき、f が正則ならば
lim z 1 → z 0 w 1 − w 0 z 1 − z 0 = lim z 2 → z 0 w 2 − w 0 z 2 − z 0 = f ′ ( z 0 ) . . . ( 1 ) {\displaystyle \lim _{z_{1}\to z_{0}}{\frac {w_{1}-w_{0}}{z_{1}-z_{0}}}=\lim _{z_{2}\to z_{0}}{\frac {w_{2}-w_{0}}{z_{2}-z_{0}}}=f'(z_{0})...(1)}
ここで z 0 = | z 0 | exp  ( i arg  ( z 0 ) ) {\displaystyle z_{0}=|z_{0}|\exp(i\arg(z_{0}))\,\!} のように展開して整理すれば
↑ 今井功 (1989): 複素解析と流体力学, 日本評論社, 東京. ISBN 4535606013
↑ Меньшов, Д. Е. (1936): Les conditions de monogénéité, Hermann & cie, Paris. OCLC 6698975
1 2 小牧和雄 (1988): 回転楕円体に準拠した空間座標の決定, 現代測量学, 第4巻, 測地測量1, 日本測量協会, 東京, 第4章.
↑ Krüger, L. (1912): Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene, Veröffentlichung Königlich Preuszischen geodätischen Institutes, Neue Folge, 52, Druck und Verlag von B. G. Teubner, Potsdam.
↑ 河瀬和重 (2011): Gauss-Krüger投影における経緯度座標及び平面直角座標相互間の座標換算についてのより簡明な計算方法, 国土地理院時報, 121, 109–124.
↑ Ludwig, K. (1943): Die der transversalen Mercatorkarte der Kugel entsprechende Abbildung des Rotationsellipsoids, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 185(4), 193–230.