ジョルダン標準形
{ e i , j } {\displaystyle \{e_{i,j}\}} が f のジョルダン基底なら、 f − λ 1 V {\displaystyle f-\lambda 1_{V}} のジョルダン基底でもある。ここで λ はスカラー。
この補題により rank  f = r < n {\displaystyle \operatorname {rank} f=r<n} の場合に示せばよい。このとき V ′ = im  f , f ′ = f | V ′ {\displaystyle V'=\operatorname {im} f,\ f'=f|_{V'}} とすると、帰納法の仮定で、f' のジョルダン基底 { e i j } {\displaystyle \{e_{ij}\}} が取れる。番号を λ 1 = λ 2 = ⋯ = λ s = 0 {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\dotsb =\lambda _{s}=0} 、i > s なら λi ≠ 0 となるようにとる。 e 1 , 1 , e 2 , 1 , ...
f A ( x ) = f J ( x ) {\displaystyle f_{A}(x)=f_{J}(x)}
(2) 多項式 f ( x ) = ∑ k = 0 n c k x k {\displaystyle f(x)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}} について、 f ( P − 1 X P ) = ∑ k = 0 n c k ( P − 1 X P ) k = P − 1 ∑ k = 0 n c k X k P = P − 1 f ( X ) P {\displaystyle f(P^{-1}XP)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}c_{k}(P^{-1}XP)^{k}=P^{-1}\sum \limits _{k=0}^{n}c_{k}X^{k}P=P^{-1}f(X)P} が言えるため、次が言える。
φ A ( J ) = φ A ( P − 1 A P ) = P − 1 φ A ( A ) P = O {\displaystyle \varphi _{A}(J)=\varphi _{A}(P^{-1}AP)=P^{-1}\varphi _{A}(A)P=O} よって φ A ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)} は、多項式として φ J ( x ) {\displaystyle \varphi _{J}(x)} で割り切れる
(4) 最小多項式が φ A ( x ) = ∏ k = 1 m ( x − λ k ) r k {\displaystyle \varphi _{A}(x)=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{m}(x-\lambda _{k})^{r_{k}}} と因数分解(λk は相異なる)される場合、J の固有値 λk のジョルダン細胞の中で、次数が最大のものの次数は rk である。
例1 特性多項式が ( x − λ 1 ) ( x − λ 2 ) {\displaystyle (x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})} 、最小多項式が ( x − λ 1 ) ( x − λ 2 ) {\displaystyle (x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})} の場合、 J = [ λ 1 0 0 λ 2 ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}}
例2 特性多項式が ( x − λ ) 2 {\displaystyle (x-\lambda )^{2}} 、最小多項式が ( x − λ ) 2 {\displaystyle (x-\lambda )^{2}} の場合、 J = [ λ 1 0 λ ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{bmatrix}}}