楕円積分
L = ∫ 1 − k 2 x 2 1 − x 2 d x {\displaystyle L=\int {\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}dx}
となり、第二種楕円積分が現れる。 したがって、楕円の円周上で x {\displaystyle x} 座標が 0 {\displaystyle 0} の点から x {\displaystyle x} 座標が x {\displaystyle x} の点までの弧長は L ( x ) = E ( x , k ) {\displaystyle L(x)=E(x,k)} となる。 ここで k = 0 {\displaystyle k=0} とすれば楕円は真円になり、弧長は L ( x ) = E ( x , 0 ) = sin − 1  x {\displaystyle L(x)=E(x,0)=\sin ^{-1}{x}} となる(ここでは sin {\displaystyle \sin } が x {\displaystyle x} 軸の方向になっていることに注意すること。)。
F ( φ , 0 ) = E ( φ , 0 ) = φ F ( φ , 1 ) = sin  φ E ( φ , 1 ) = gd − 1  φ {\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi ,0)&=E(\varphi ,0)=\varphi \\F(\varphi ,1)&=\sin \varphi \\E(\varphi ,1)&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi \end{aligned}}}
ただし、 gd − 1  φ {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\varphi } は逆グーデルマン関数である。また特に a = k 2 {\displaystyle a=k^{2}} のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、