積分判定法
{\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}
と定義される。また Nk は、lnk(Nk) ≥ 1 の左辺が well-defined で、かつこの不等式を満たす、つまり
N k ≥ e e ⋅ ⋅ e ⏟ k e ′ s = e ↑↑ k {\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}
となる最小の自然数を表す。ここで矢印記法はテトレーションである(クヌースの矢印表記の一種)。
級数 (4) が発散することを証明する。連鎖律を繰り返し適用して、
有限和の場合にも同様の議論で和を積分で近似することができる。つまり、自然数 M<N と区間 [M,N ]で定義された単調(単調増加でもよい)なRiemann可積分関数 f に対して
min { f ( M ) , f ( N ) } ≤ ∑ n = M N f ( n ) − ∫ M N f ( x ) d x ≤ max { f ( M ) , f ( N ) } {\displaystyle \min\{f(M),f(N)\}\leq \sum _{n=M}^{N}f(n)-\int _{M}^{N}f(x)dx\leq \max\{f(M),f(N)\}}
が成立する。