鏡映
xy 平面のベクトル (x, y) に対し (x, −y) を対応させる変換は x 軸に関する鏡映である。ガウス平面において複素数 z = x + yi に対する複素共役 z ̄ = x − y i {\displaystyle {\bar {z}}=x-yi} は実軸に関する鏡映とも見なせる。
Rの原点を固定する鏡映は線形変換であり、対応する行列は行列式が −1 の直交行列で (1, 1, ..., 1, −1) を固有値に持つ。
上の定義における式に対する行列は
R i j = δ i j − 2 a i a j ‖ a ‖ 2 {\displaystyle R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\|a\|^{2}}}}
を成分とする直交行列となる。ただし、ここで δijはクロネッカーのデルタである。
このような2つの行列の積は特殊直交行列となり、回転を表す。実は逆に、原点を固定するどんな回転も、原点を通る超平面による偶数回の鏡映として表される。また直交群 O(n) のどんな元も高々 n 回の鏡映の積として表され、鏡映の全体は直交群 O(n)を生成する。この事実は一般に符号数 (p, q) の二次形式が与えられた線形空間 R でも成り立ち、カルタン–デュドネの定理として知られている。
同様に、ユークリッド空間の等長変換群はアフィン超平面による鏡映で生成される。一般に、アフィン超平面で生成される群は鏡映群(英語版)と呼ばれる。コクセター群も参照のこと。