フーリエ級数の収束
この記事ではこれらの問に関する議論を主として扱う。
先を続ける前にディリクレ核 (Dirichlet kernel) について説明しておく。フーリエ係数 f ^ ( n ) {\displaystyle {\widehat {f}}(n)} の公式を部分和 SN に対して適用すると、最終的に
S N ( f ) = f ∗ D N {\displaystyle S_{N}(f)=f*D_{N}\,}
という関係が得られる。ここで ∗ は巡回畳み込みを意味し、DN は以下に示すディリクレ核である:
D n ( t ) = sin  ( ( n + 1 2 ) t ) sin  ( t / 2 ) . {\displaystyle D_{n}(t)={\frac {\sin((n+{\frac {1}{2}})t)}{\sin(t/2)}}.}
ディリクレ核は正値ではなく 、実際そのノルムは発散する。
∫ | D n ( t ) | d t → ∞ {\displaystyle \int |D_{n}(t)|\,dt\to \infty }
この性質はフーリエ級数の収束に関する議論で極めて重要な役割を果たす。L (T) 上の Dn のノルムは、C(T) 空間の周期的連続関数に作用する Dn 畳み込み作用素のノルムと一致し、また C(T) 上の線型汎関数 ƒ → (Snƒ)(0) のノルムに一致する。従って、この C(T) 上の線型汎関数の族は n → ∞ としたときに収束しない。
点 x_0 を与えたとき、その点で関数のフーリエ級数が収束する十分条件については次がよく知られている;
f が周期 2π の区分的に C 級の可積分関数であり、点x_0での左微分と右微分を持つとする。このときfのフーリエ級数は
1 2 ( f ( x 0 − 0 ) + f ( x 0 + 0 ) ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}-0)+f(x_{0}+0)\right)}
に収束する(ここでf (x ± 0) = limh ↓ 0 f (x ± h) )。
つまりたとえ跳躍不連続点であっても、関数がそこで左微分と右微分を持つ場合、そのフーリエ級数はそこでの左極限値と右極限値のちょうど中間に収束する(ギブズ現象も参照)。
区間 [0, 2π] で可積分な f を考える。f のフーリエ係数 (Fourier coefficient) f ^ ( n ) {\displaystyle {\widehat {f}}(n)} は以下のように定められる。
f ^ ( n ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( t ) e − i n t d t , n ∈ Z . {\displaystyle {\widehat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,dt,\quad n\in \mathbf {Z} .}
関数 f とそのフーリエ級数の関係は通常次のように記述される。
f ∼ ∑ n f ^ ( n ) e i n t . {\displaystyle f\sim \sum _{n}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}
ここで ∼ は和がある意味で関数を表現することを意味する。より慎重な議論を要する場合には、部分和を以下のように定義する:
S N ( f ; t ) = ∑ n = − N N f ^ ( n ) e i n t . {\displaystyle S_{N}(f;t)=\sum _{n=-N}^{N}{\widehat {f}}(n)e^{int}.}
このとき気になるであろう問題は次の事である:
関数 SN(f;t) は f へ、またどの意味で収束するだろうか?
収束を保証する f の条件は何だろうか?