コンプトゥス
ジャン・メーウスは、著書『アストロノミカル・アルゴリズムス』において復活祭の日曜日の計算アルゴリズムを紹介した。これはハロルド・スペンサー=ジョーンズの『ジェネラル・アストロノミー』と、1977年の英国天文協会の定期刊行誌を引用している。定期刊行誌の方は1876年発行の『ブッチャー教会暦』からの引用である。
この手法では、グレゴリオ暦すべての年に有効で、なおかつ例外はなく、表作成も不要である。
表記法は前述のガウス・アルゴリズムと同じ。すべての数値は、 ⌊ 7 3 ⌋ = 2 {\displaystyle \left\lfloor {\frac {7}{3}}\right\rfloor =2} (小数を切り捨て)、 7 mod 3 = 1 {\displaystyle 7{\bmod {3}}=1} (割り算の余り)というように整数である。
しかし日曜記号は7年ごとに繰り返さない。4年に1度の閏年があるため、曜日がまったく同じ順番で繰り返すのは、閏年を含む4年×7曜日=28年、いわゆる太陽暦周期である。 復活祭日も、4年×7曜日×メトン周期19年=532年ごとに繰り返すものだった。これは復活祭周期、あるいはこの表を西暦457年にローマに持ち込んだアキテーヌのビクトリウス にちなんでビクトリウス周期と呼ばれた。5世紀初頭にアレクサンドリアのアニアヌス(英語版)が利用したのが最初だと言われている。誤って西暦532年に復活祭日表を発表したディオニュシウス・エクシグウスにちなんでディオニュシウス周期と呼ばれることがある。しかしディオニュシウスは95年周期表の不正確さを知っていたが、自分の編み出したアレクサンドリア計算法式が532年周期だとは気づいていなかった。 初めて太陽暦周期に気づき、メトン周期と太陽暦周期の観点から復活祭周期を導きだしたのは、7世紀の尊者ベーダだといわれている。
地球が太陽の周りをまわる周期を基本にする太陽暦も、朔望月という月の満ち欠けを1か月とする太陰暦・太陰太陽暦も、天文現象をもとに暦計算を行う時には無理数や気の遠くなるような桁の有理数の壁にぶつかる。大昔の天文学者や数学者たちは天文周期表を考え出し、測量技術や数学理論の発展に伴い、また文明の発達でより正確な暦が求められる動きに沿い、補正や改暦を行ってきた。
21世紀現在、世界中の多くの国で導入されているグレゴリオ暦は、そもそも16世紀にカトリック教会が作り上げたものである。当時使われていたユリウス暦は紀元前に導入され、年間誤差が-11分程度であった。しかし月日が経つうちに誤差は累積し、16世紀には教会のいう「春分の日」である3月21日が実際の春分より10日も遅れていた。これは復活祭の日付の計算の障害となり、またカトリック教会の沽券に関わる問題でもあった。そこで教会は当時の科学の粋を集めて、グレゴリオ暦と新しいコンプトゥスを作り上げた。グレゴリオ暦には宗教的要素、特に正確な復活祭日計算という目的があったのである。誤差はユリウス暦の128年に1日から、3000年に1日に縮まり、精度が格段に上がった。
復活祭の日曜日の日付を計算するアルゴリズムを最初に発表したのは数学者ガウスである。日付は次の公式で求められる。
該当する年をyとする。 mod {\displaystyle {\bmod {}}} は整数で割ったときの余りを示す。まず以下の a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} を計算する。
a = Y mod 1 9 {\displaystyle a=Y{\bmod {1}}9} b = Y mod 4 {\displaystyle b=Y{\bmod {4}}} c = Y mod 7 {\displaystyle c=Y{\bmod {7}}}
次にdとeを下の公式で導き出す。
d = ( 19 a + M ) mod 3 0 {\displaystyle d=(19a+M){\bmod {3}}0} e = ( 2 b + 4 c + 6 d + N ) mod 7 {\displaystyle e=(2b+4c+6d+N){\bmod {7}}}
太陽年は太陽の動きを追った1年である。太陽が春分点から黄道上を移動して再び春分点に戻ってくるまでを 1年とし、小さい剰余はあるが365日周期である。太陰年は、月の満ち欠けで暦を数える。新月から満月を経て次の新月までの朔望周期を 月(朔望月)と考え、その12か月分を1年とする。平均朔望月はこれも小さい余剰があるが29と半日なので、太陰年は354日になる。太陽年は太陰年より11日長いわけである。例えば1月1日が朔望月の始まりである新月ならば太陽年と太陰年は同時に始まるわけだが、太陽年が終わる時に太陰年はすでに次の年の11日目になっている。毎年太陰年が11日早く始まるのだから、2年経てばその差は22にまで累積する。このように太陰年が太陽年より進みすぎて過剰になった分をエパクト(ギリシア語でエパクタイ・ヘーメライ余所から付け足された日々)という。太陰年における正確な日を知るには、太陽年の日付にエパクトの数値を加えなければならない。エパクトの数値が30を越えれば、太陰年にもう1か月(いわゆる閏月)を挿入してエパクト数から30を引く。
太陽年と太陰年が19年ごとに一致するというメトン周期は、太陽年19年分が朔望周期235回分に等しいと仮定している。19年経って太陽年の始まりと朔望月の開始が一致するなら、エパクトは単純に19年ごとに繰り返されるはずである。しかし一回のメトン周期で累積するエパクト総数は 11 × 19 = 209 {\displaystyle 11\times 19=209} (1年あたり11日のずれが19年分)。