虚数単位
log  i = ( 1 2 + 2 n ) π i {\displaystyle \log i=\left({\frac {1}{\,2\,}}+2n\right)\pi i}
虚数単位 i とは、二次方程式 x + 1 = 0 の解の一つのことである:
i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1}
二次方程式 x + 1 = 0 の解は、(x + i)(x − i) = 0 より、x = ±i。ゆえに、虚数単位の値の指定は、互いに反数である2つの値の違いでしかない。
虚数単位 i は −1 の平方根の一つであり、1の原始4乗根でもある。
虚数単位 i は実数でない。実数単位 1, 虚数単位 i は実数 R 上線型独立である。
−1 以外の負の数の平方根の値は、虚数単位 i を用いて、次により指定する:
a > 0 に対して、√ai
実数体に虚数単位 i を添加して得られる拡大体の元(要素)を複素数という。特に実数でない複素数を虚数という。
虚数単位 i の導入は、実係数の三次方程式が相異なる 3 個の実数解を持つ場合、係数の加減乗除と実冪根では解が表せず(還元不能)、負の数の平方根を取ることが必要になることが分かる過程で行われていった。
複素数全体 C に、さらに複素数でない新たな虚数単位 j を添加した体の元を四元数という。
複素数を C 上の作用と見ると、複素数は R 上での一次変換に対応し、その一次変換の表現行列に対応する。この対応より、虚数単位は実二次正方行列
J = ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}
に対応する。このとき J = −E(E は 2 次単位行列)である。
四元数についても同様に、四元数体 H における積を C に対して引き起こされる一次変換と見なすことにより
J 1 = i σ 3 = ( i 0 0 − i ) , J 2 = i σ 2 = ( 0 1 − 1 0 ) , J 3 = i σ 1 = ( 0 i i 0 ) {\displaystyle J_{1}=i\sigma _{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad J_{2}=i\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\quad J_{3}=i\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}
という三つの虚数単位の行列表現を考えることができる。ここで σ k ( k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \sigma _{k}\ (k=1,2,3)} はパウリ行列である。また、C と見なすのでなく R と見なせば、実4次正方行列として表現することもできる。詳しくは四元数の項を参照されたい。
行列の積は結合的であるので、八元数や十六元数は(結合法則を満たさないため)行列表現できない。