オイラー積
a(n) = 1 とおいたとき
∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∏ p 1 1 − 1 p s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}}
となる。これがリーマンゼータ関数のオイラー積表示である。すなわち
1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + ⋯ = ( 1 1 − 1 2 s ) ( 1 1 − 1 3 s ) ( 1 1 − 1 5 s ) ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots =\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{2^{s}}}}}\right)\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{3^{s}}}}}\right)\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{5^{s}}}}}\right)\cdots }
これはRe(s) > 1 のとき収束する。