ダフィング方程式
H の値は初期条件 x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} および x ̇ ( 0 ) {\displaystyle {\dot {x}}(0)} によって決まる。
H に y = x ̇ {\displaystyle y={\dot {x}}} を代入することで、システムはハミルトニアン(英語版)であることが分かる:
x ̇ = + ∂ H ∂ y , {\displaystyle {\dot {x}}=+{\frac {\partial H}{\partial y}},} y ̇ = − ∂ H ∂ x {\displaystyle {\dot {y}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}} with H = 1 2 y 2 + 1 2 α x 2 + 1 4 β x 4 . {\displaystyle \quad H={\frac {1}{2}}y^{2}+{\frac {1}{2}}\alpha x^{2}+{\frac {1}{4}}\beta x^{4}.}
α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } のいずれも正であるなら、解は有界である:
| x | ≤ 2 H α {\displaystyle |x|\leq {\sqrt {\frac {2H}{\alpha }}}} and | x ̇ | ≤ 2 H , {\displaystyle |{\dot {x}}|\leq {\sqrt {2H}},}
ここでハミルトニアン H は正である。