極化恒等式
V が実ベクトル空間の場合、内積は以下の極化恒等式で定義される。
⟨ x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 ) ∀ x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\ \forall \ x,y\in V}
中線定理を使用して、他の表現を導出できる。
u ⋅ v = 1 2 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u ‖ 2 − ‖ v ‖ 2 ) ( 1 ) u ⋅ v = 1 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) ( 2 ) u ⋅ v = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) ( 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}&={\frac {1}{2}}\left(\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}-\|{\textbf {u}}\|^{2}-\|{\textbf {v}}\|^{2}\right)&(1)\\[0.5em]{\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}&={\frac {1}{2}}\left(\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}\right)&(2)\\[0.5em]{\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}&={\frac {1}{4}}\left(\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}-\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}\right)&(3)\end{aligned}}}