ジーゲル・ウォルフィッツの定理
定数 C N {\displaystyle C_{N}} は計算可能ではないため、ジーゲルの定理は有効でない。
定理より、次の形の算術級数の素数定理を導くことができる。(a, q) = 1 に対し、 π ( x ; q , a ) {\displaystyle \pi (x;q,a)} により、mod q で a に合同な、x 以下の素数の個数を表すとすると、
π ( x ; q , a ) = L i ( x ) φ ( q ) + O ( x exp  ( − C N 2 ( log  x ) 1 2 ) ) , {\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {{\rm {Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-{\frac {C_{N}}{2}}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right),}
となる。ここに N, a, q, CN, φ は定理のもの、Li は補正対数積分である。
ψ ( x ; q , a ) = ∑ n ≤ x n ≡ a ( mod q ) Λ ( n ) {\displaystyle \psi (x;q,a)=\sum _{n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}\Lambda (n)}
と定義する。ここに Λ {\displaystyle \Lambda } はフォン・マンゴルト函数 で φ {\displaystyle \phi } オイラーのトーシェント函数とする。定理は、任意の実数 N に対し、N のみに依存する以下を満たす正の定数 C N {\displaystyle C_{N}} が存在することを主張する。(a, q) = 1 かつ
q ≤ ( log  x ) N {\displaystyle q\leq (\log x)^{N}}
であるときは、必ず
ψ ( x ; q , a ) = x φ ( q ) + O ( x exp  ( − C N ( log  x ) 1 2 ) ) {\displaystyle \psi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)}}+O\left(x\exp \left(-C_{N}(\log x)^{\frac {1}{2}}\right)\right)}
となる。