非調和性
例として次のようなハミルトニアンで表される非調和振動子を考える。
H = p 2 2 m + m ω 2 2 x 2 + λ x 4 {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}+\lambda x^{4}}
非調和項 λ x 4 {\displaystyle \lambda x^{4}} が十分に小さい( λ ≪ ħ ω {\displaystyle \lambda \ll \hbar \omega } )として1次の摂動まで考えると、非調和振動子のエネルギー準位は次のように調和振動子のエネルギー準位からずれる。
E n ≈ ħ ω ( n + 1 2 ) + ⟨ n | λ x 4 | n ⟩ {\displaystyle E_{n}\approx \hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)+\langle n|\lambda x^{4}|n\rangle }
ここで | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } は、調和振動子の数演算子の固有状態である。
全ハミルトニアンが2種類のボース粒子の生成消滅演算子 a k , b k {\displaystyle a_{k},b_{k}} で表される場合を考える。
H = H 0 + H ′ {\displaystyle H=H_{0}+H'}
H 0 = ∑ k ε k ( a k † a k + b k † b k ) {\displaystyle H_{0}=\sum _{k}\epsilon _{k}(a_{k}^{\dagger }a_{k}+b_{k}^{\dagger }b_{k})}
H ′ = ∑ k f k ( a k b − k + b − k † b − k † ) {\displaystyle H'=\sum _{k}f_{k}(a_{k}b_{-k}+b_{-k}^{\dagger }b_{-k}^{\dagger })}
このとき全ハミルトニアンの非対角項が消えるような変換ができるのは、
ε k 2 > f k 2 {\displaystyle \epsilon _{k}^{2}>f_{k}^{2}}
のときだけである。つまりボース粒子でボゴリューボフ変換が使えるのは相互作用が小さいときのみである。相互作用が大きいときには量子像が壊れるのみならず、エネルギーに下限が無くなり、物理的解釈が困難になる。