ハールウェーブレット
∫ R φ n , k 1 ( t ) φ n , k 2 ( t ) d t = δ k 1 , k 2 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\phi _{n,k_{1}}(t)\phi _{n,k_{2}}(t)\,dt=\delta _{k_{1},k_{2}}}
異なる解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。
∫ R φ n 1 , k 1 ( t ) φ n 2 , k 2 ( t ) d t {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\phi _{n_{1},k_{1}}(t)\phi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt}
= 2 n 1 + n 2 2 ∫ k 1 2 n 1 k 1 + 1 2 n 1 φ ( 2 n 2 t − k 2 ) d t {\displaystyle =2^{\frac {n_{1}+n_{2}}{2}}\int _{\frac {k_{1}}{2^{n_{1}}}}^{\frac {k_{1}+1}{2^{n_{1}}}}\phi (2^{n_{2}}t-k_{2})\,dt}