フレドホルム行列式
(a, b) から G への関数 F(t) は、F(t) -I がトレースクラス作用素への写像として微分可能であるとき、すなわち、極限
F ̇ ( t ) = lim h → 0 F ( t + h ) − F ( t ) h {\displaystyle {\dot {F}}(t)=\lim _{h\rightarrow 0}{F(t+h)-F(t) \over h}}
がトレースクラスノルムについて存在するとき、微分可能であると言われる。
g(t) を、トレースクラス作用素に値を取る微分可能関数とするとき、exp g(t) もそのような関数となり、
F − 1 F ̇ = i d − exp − a d g ( t ) a d g ( t ) ⋅ g ̇ ( t ) {\displaystyle F^{-1}{\dot {F}}={{\rm {id}}-\exp -{\rm {ad}}g(t) \over {\rm {ad}}g(t)}\cdot {\dot {g}}(t)}
が成立する。ここで