基本行列 (コンピュータビジョン)
正規化されたカメラのもう1つの結果は、各座標系を平行移動と回転によって関連付けられることである。これは、3次元座標の組が次のように式で関係付けられることを意味する。
x ~ ′ = R ( x ~ − t ) {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}'=\mathbf {R} \,({\tilde {\mathbf {x} }}-\mathbf {t} )}
ここで R {\displaystyle \mathbf {R} } は 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 回転行列、 t {\displaystyle \mathbf {t} } は3次元平行移動ベクトルである。
基本行列は次のように定義される。
ここで [ t ] × {\displaystyle [\mathbf {t} ]_{\times }} は t {\displaystyle \mathbf {t} } の外積の行列表現である。注: ここで、変換 [ R T | t ] {\displaystyle [\mathbf {R} ^{T}|\mathbf {t} ]} は2番目のビューの点を1番目のビューに変換する。
E {\displaystyle \mathbf {E} } の定義では、正規化された画像座標の方向のみに関心がある(参照 : 三重積)。そのため画像座標を基本方程式(英 : essential equation)に代入する際、平行移動成分は必要がない。
R {\displaystyle \mathbf {R} } は回転行列であるから、 R T R = I {\displaystyle \mathbf {R} ^{T}\,\mathbf {R} =\mathbf {I} } 。
外積の行列表現の性質。
最後に、いずれのカメラからも見えていることから x 3 {\displaystyle x_{3}} , x 3 ′ {\displaystyle x'_{3}} > 0 であると想定できる。これは次の式を与える。
0 = ( x ~ ′ ) T E x ~ = 1 x 3 ′ ( x ~ ′ ) T E 1 x 3 x ~ = ( y ′ ) T E y {\displaystyle 0=({\tilde {\mathbf {x} }}')^{T}\,\mathbf {E} \,{\tilde {\mathbf {x} }}={\frac {1}{x'_{3}}}({\tilde {\mathbf {x} }}')^{T}\,\mathbf {E} \,{\frac {1}{x_{3}}}{\tilde {\mathbf {x} }}=(\mathbf {y} ')^{T}\,\mathbf {E} \,\mathbf {y} }
これは、基本行列が対応する画像上の点間で定義する制約である。
このとき t ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {t} }}} と − t ^ {\displaystyle -{\hat {\mathbf {t} }}} の両方が E {\displaystyle \mathbf {E} } に対して有効な平行移動ベクトルになる。上で述べた R {\displaystyle \mathbf {R} } と t {\displaystyle \mathbf {t} } の導出では、 W {\displaystyle \mathbf {W} } を W − 1 {\displaystyle \mathbf {W} ^{-1}} に変更することもできる。この変更は、平行移動ベクトルに対しては符号の変更のみを起こす。これについては可能性として既に説明した。一方で回転に対しては、少なくとも一般的なケースでは、これは異なる変換を生成する。
要約すると、与えられた E {\displaystyle \mathbf {E} } には、 t {\displaystyle \mathbf {t} } に対して可能な2つの正反対な方向があり、この基本行列に準じた2つの異なる回転がある。これにより、2つのカメラ座標系間の回転と平行移動に対して計4つの解のクラスが得られる。