超関数
シュワルツ理論の成功に刺激され、佐藤幹夫は佐藤の超関数 (hyperfunction) のアイデアを導き出した。佐藤の超関数は正則関数の抽象的境界値として定義される。直感的には、複素平面の上半平面で正則な関数 F+(z) と下半平面で正則な関数 F−(z) との実軸上での差、(F+(z) − F−(z))|Imz = 0 として定義される。
厳密な理論は、多変数複素関数の成す層係数のコホモロジー理論を用いて、代数的手法によって展開される。こうした代数的手法の解析学への導入は、今日、D加群等に代表される代数解析学や、余接バンドル上で microfunction や microdifferential operator 等を用いる超局所解析学をもたらした。また、物理学におけるファインマン積分のような形式的方法を厳密な数学の理論へと変えることができたのである。
超関数の概念を実現する方法の中で、多くの目的に使われる決定版となったのは、ローラン・シュヴァルツによって発展させられた分布の理論である。位相線型空間に対する双対空間がこの理論の基本原理である。主なライバルとして、応用数学では(ジェイムズ・ライトヒルが述べたような)滑らかな関数の列による近似が用いられたが、これはより「アド・ホック」な理論であり、現在では軟化子の理論に含まれる。
この理論は大いに成功し、今も広く用いられているが、線型な操作しか扱えないという弱点が悩みどころである。つまり、超関数は(非常に特別な場合を除けば)乗法を定義することができない。これは古典的な関数空間が環を成すのとは対照的である。例えば、ディラック・デルタの自乗は意味を成さない。1954年前後からのシュワルツの仕事はこの困難が本質的なものであることを示している。
この乗法問題を解決する方法はいくつも提案された。そのひとつにエゴロフによる非常に単純で直観的な超関数の定義に基づくものがあり、超関数の上のあるいは超関数同士の任意の演算ができるようになる(デミドフのエゴロフの項も参照せよ)。
乗法問題のほかの解法が量子力学の経路積分の定式化から要求された。量子力学においてシュレーディンガーの理論は経路積分の定式化と同値であることが必須であり、前者は座標変換で不変であるから、経路積分でもこの不変性を満たされなければならない。このことが超関数の全ての積を決定することをクライネルトとチェルビェコフが示した。この結果は次元正則化から導かれるところのものと同値である。