KdV方程式
二つの孤立波を表す2ソリトン解は次の形で与えられる。
u ( x , t ) = 2 ∂ 2 ∂ x 2 log  ( 1 + A 1 e 2 κ 1 ( x − c 1 t + δ 1 ) + A 1 e 2 κ 2 ( x − c 2 t + δ 2 ) + ( κ 1 − κ 2 κ 1 + κ 2 ) 2 A 1 A 2 e 2 κ 1 ( x − c 1 t + δ 1 ) + 2 κ 2 ( x − c 2 t + δ 2 ) ) {\displaystyle u(x,t)=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {\left(1+A_{1}e^{2\kappa _{1}(x-c_{1}t+\delta _{1})}+A_{1}e^{2\kappa _{2}(x-c_{2}t+\delta _{2})}+\left({\frac {\kappa _{1}-\kappa _{2}}{\kappa _{1}+\kappa _{2}}}\right)^{2}A_{1}A_{2}e^{2\kappa _{1}(x-c_{1}t+\delta _{1})+2\kappa _{2}(x-c_{2}t+\delta _{2})}\right)}}
但し、
c 1 = 4 κ 1 2 , c 2 = 4 κ 2 2 {\displaystyle c_{1}=4\kappa _{1}^{\,2},\,\,c_{2}=4\kappa _{2}^{\,2}}
である。
この解は次のような行列式による表示を行うことも可能である。