ポアンカレの補題
多様体上の k 次の微分形式 ω について、その外微分 dω が、
d ω = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \omega =0\,}
となる ω を閉形式 (closed form) という。あるいは同じことだが、d の核の元を閉形式という。 また、k 次微分形式 ω に対し、
ω = d η {\displaystyle \omega =\mathrm {d} \eta \,}
を満たす k − 1 次微分形式 η が存在する場合、ω は完全形式 (exact form) であるという。あるいは同じことだが、d の像の元を完全形式という。また、η はしばしばポテンシャルと呼ばれる。
外微分の性質
d ∘ d = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \circ \mathrm {d} =0\,}
より、完全形式が閉形式であることは常に成り立つが、閉形式が完全形式になるかは、多様体の幾何学的性質によって異なる。
ポアンカレの補題は次のことを主張する:
『ユークリッド空間 R(より一般的には可縮な多様体 M)において、任意の閉形式は完全形式である』