ガリレイ変換
座標系 x,y,z,t で表される慣性系 S に対して、座標系 x′,y′,z′,t′ で表される慣性系 S′ が速度 Vx で相対運動しているとする。ただし運動方向を x 軸と x′ 軸の正方向とし、y 軸と y′ 軸およびz 軸と z′ 軸の方向も一致させる。このとき慣性系 S から慣性系 S′ へのガリレイ変換は次のように定義される。
x ′ = x − t V x , y ′ = y , z ′ = z , t ′ = t {\displaystyle x'=x-tV_{x},y'=y,z'=z,t'=t}
ここで x-t 座標と x′-t′ 座標のみを図示すれば次のようになる。
図1.座標格子のガリレイ変換
図2.ガリレイ変換。左図は慣性系 S {\displaystyle S} を直交座標で示し、右図は慣性系 S ′ {\displaystyle S'} を直交座標で示す。
上記の式を時間微分すると、y, z は時間に対して一定なので
v x ′ = v x − V x v x = v x ′ + V x {\displaystyle {\begin{aligned}v'_{x}=v_{x}-V_{x}\\v_{x}=v'_{x}+V_{x}\end{aligned}}}
となる。
このように、慣性系間をガリレイ変換で変換できるという主張は速度合成則が単純な足し算で記述されるという主張を含むのである。