運動量保存則
2質点系において各質点の運動量の和は、添字をそれぞれの質点に対応させれば、
と書き表すことができる。あるいは、各質点の質量と速度をあらわに書いて、
と表すこともできる。 全質点の運動量の和 P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} は、2質点系に限らず、その系の全運動量あるいは重心(質量中心)の運動量、並進運動の運動量などと呼ばれる。
全運動量の時間微分は、各質点の運動量の時間微分の和に等しい。
前節にしたがってニュートンの運動方程式から、それぞれの運動量の時間微分を質点に働く力に置き換えることができる。
したがって、全運動量の時間変化は各質点に働く力の和に等しいことが分かる。
各質点に外力が働かない場合、作用・反作用の法則より F 2 = − F 1 {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{2}=-{\boldsymbol {F}}_{1}} が成り立ち、全運動量 P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} が保存することが示される。
2つの質点が衝突した際、衝突前後で系の全運動量は保存する。したがって、
より
が成立する。 また適当な慣性系において全運動量はゼロであるため、例えば衝突前および衝突後の速度に対して以下が成り立つ:
この場合、衝突前後での速度の大きさの比は以下のようになる。
またこの速度比 η を用いて衝突後の運動エネルギーを表すと、
となる。特に η = 1 とすればこれは衝突過程でのエネルギー保存の法則を表している。