正規分布
ここに "erf" は誤差関数(シグモイド関数)である。このとき、標準正規分布に対応する歪正規分布 SN(0, 1, α) の確率密度関数は次で与えられる。
f ( x ) = 2 φ ( x ) Φ ( α x ) {\displaystyle f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x)}
これに平均のようなもの相当する変数と分散のようなものに相当する変数を加えるためにZ変換(標準化)の逆 y = ξ + ωx を施す。すると歪正規分布は一般の形になり、以下の関係が成り立つ。
Y ∼ SN  ( ξ , ω 2 , α ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {SN} (\xi ,\omega ^{2},\alpha )}
点推定が1つの値を用いて母数の推定を行うのに対し、一定の区間を設けて推定することを区間推定という。
例えば、
「2022年6月の岸田内閣の支持率は59%である」
という推定が点推定であるのに対し、
「2022年1月から12月まで支持率は33%から59%である」
という推定は区間推定に分類される。
また、推定する区間を信頼区間と呼び、水準に応じて「90%信頼区間」「95%信頼区間」「99%信頼区間」などとも呼ばれる。
正規分布(せいきぶんぷ、英: normal distribution)またはガウス分布(英: Gaussian distribution)は、確率論や統計学で用いられる連続的な変数に関する確率分布の一つである。データが平均値の付近に集積するような分布を表す。主な特徴としては平均値と最頻値、中央値が一致する事や平均値を中心にして左右対称である事などが挙げられる。
中心極限定理により、独立な多数の因子の和として表される確率変数は正規分布に従う。このことによって正規分布は統計学や自然科学、社会科学の様々な場面で複雑な現象を簡単に表すモデルとして用いられている。
たとえば、実験における測定の誤差は正規分布に従って分布すると仮定され、不確かさの評価が計算されている。
正規分布の確率密度関数のフーリエ変換は再び正規分布の密度関数になることから、フーリエ解析および派生した様々な数学・物理の理論の体系において、正規分布は基本的な役割を果たしている。
確率変数 X が1次元正規分布に従う場合は X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} と表記し、確率変数 X が n 次元正規分布に従う場合は X ∼ N n ( μ , Σ ) {\displaystyle X\sim N_{n}(\mu ,{\mathit {\Sigma }})} などと表記する。