ピタゴラス素数
が成り立つからである。
上記の式を理解するひとつの方法は、ガウス整数、すなわち実部と虚部が共に整数である複素数を利用することである。ガウス整数 x + yi のノルムは x + y であるから、ピタゴラス素数(および 2)はガウス整数のノルムとして表せ、その他の素数はそのようには表せない。ピタゴラス素数は、ガウス整数の世界ではもはや素数ではなく、
p = ( x + y i ) ( x − y i ) {\displaystyle p=(x+yi)(x-yi)}
と分解される。このとき、
p 2 = ( x + y i ) 2 ( x − y i ) 2 = ( x 2 − y 2 + 2 x y i ) ( x 2 − y 2 − 2 x y i ) = ( x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 x y ) 2 {\displaystyle p^{2}=(x+yi)^{2}(x-yi)^{2}=(x^{2}-y^{2}+2xyi)(x^{2}-y^{2}-2xyi)=(x^{2}-y^{2})^{2}+(2xy)^{2}}
であるから、(|x - y|, 2xy, p) が直角三角形の3辺の長さとなる。