境界 (位相空間論)
集合の境界は閉である。
集合の境界は補集合の境界に等しい: ∂S = ∂(S)。
これらのことから以下のようなことが従う。
p が集合の境界点となる必要十分条件は、p の任意の近傍が少なくとも一つその集合の点を含みかつ少なくとも一つその集合の補集合の点を含むことである。
集合が閉であることの必要十分条件は、その集合が自身の境界を包含することであり、開であることの必要十分条件はその集合が自身の境界と交わりを持たないことである。
集合の閉包はその集合自身とその境界との和に等しい:Cl(S) = S ∪ ∂S。
集合の境界が空であることの必要十分条件は、その集合が開かつ閉 (clopen) であることである。
R における任意の閉集合は、適当な集合の境界になっている。
S の各点は内点であるか境界点であるかのいずれかである。また、S の各点は集積点であるか孤立点であるかのいずれかである。同様に、S の各境界点は集積点であるか孤立点であるかのいずれかである。Rの部分集合の孤立点は常に境界点である。