グロンウォールの不等式
証明は三つの段階に分けられる。アイデアとしては、仮定に現れた積分不等式をそれ自身に n 回代入するという方法が考えられ、これは数学的帰納法を用いることにより、以下の「主張1」において行われる。「主張2」では、積測度の順列の不変性を用いることにより、単体の測度をある便利な形状へと書き換える。最後に、求めるグロンウォールの不等式の変形版を得るために、n を無限大とすることを考える。
実数 a < b に対し、[a, ∞) か [a, b] あるいは [a, b) の形を持つ実軸上の区間を I で表す。α および u を区間 I 上で定義される可測関数とする。μ を、区間 I のボレルσ-代数上の局所有限測度とする(区間 I のすべての t に対して μ([a, t]) < ∞ である必要がある)。関数 u には次の成立を仮定し、その意味において測度 μ に関して積分可能であるとする:
∫ a t | u ( s ) | μ ( d s ) < ∞ , t ∈ I . {\displaystyle \int _{a}^{t}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s)<\infty ,\qquad t\in I.}
また関数 u は積分不等式
u ( t ) ≤ α ( t ) + ∫ [ a , t ) u ( s ) μ ( d s ) , t ∈ I {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}u(s)\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I}
任意の自然数 n に対し、主張 2 により、主張 1 に現れる残部に対して
| R n ( t ) | ≤ ( μ ( I a , t ) ) n n ! ∫ [ a , t ) | u ( s ) | μ ( d s ) , t ∈ I {\displaystyle |R_{n}(t)|\leq {\frac {{\bigl (}\mu (I_{a,t}){\bigr )}^{n}}{n!}}\int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I}
が成立することが分かる。今、測度 μ は区間 I 上で局所有限であるため、μ(Ia, t) < ∞ である。したがって、関数 u の積分可能性に関する仮定により
lim n → ∞ R n ( t ) = 0 , t ∈ I {\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(t)=0,\qquad t\in I}
が得られる。主張 2 および指数関数の級数展開により、評価
∑ k = 0 n − 1 μ ⊗ k ( A k ( s , t ) ) ≤ ∑ k = 0 n − 1 ( μ ( I s , t ) ) k k !