斜交群
体 F の上の 2n 次の斜交群 Sp(2n, F) とは、成分を F に持つ 2n × 2n 斜交行列全体の、行列の掛け算を群の演算とする群である。 全ての斜交行列の行列式は 1 だから、斜交群は、特殊線形群 SL(2n, F) の部分群である。
より形式的には、斜交群は、F 上の 2n 次元ベクトル空間の線形変換であって、非退化反対称双線形形式を保存するもの全体の集合として定義できる。 この様なベクトル空間は、斜交ベクトル空間と呼ばれる。 抽象斜交ベクトル空間 V の斜交群はまた、Sp(V) と書く。
n = 1 のとき、行列の斜交条件は、行列式が 1 であることと同値であり、従って Sp(2, F) = SL(2, F) である。 n > 1 のときには、追加的条件が必要となる。
典型的には、F は実数体 R または複素数体 C である。 この場合、Sp(2n, F) は、実または複素次元 n(2n + 1) の実または複素リー群である。 これら群は連結だがコンパクトではない。 Sp(2n, C) は単連結であるが、Sp(2n, R) は Z に同型な基本群を有する。
Sp(2n, F) のリー環は、以下の式を満たす 2n×2n 行列全体の集合である。
ΩA + AΩ = 0
ここで、A は A の転置、Ω は以下の反対称行列である。
Ω = ( 0 I n − I n 0 ) {\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}
群 Sp(2n, R)、Sp(2n, C)、Sp(n) の間の関係は、そのリー環で最も顕著に表れる。 これらの群を実リー群とみなしたとき、同一の複素化(英:complexification)を有する。 カルタンによる単純リー環の分類では、このリー環は Cn と記す。
多少言い換えると、複素リー環 Cn は、複素リー群 Sp(2n, C) のリー環 sp(2n, C) そのものである。 このリー環は、以下の 2 つの異なる実形式を有する。
コンパクト形式 sp(n)、Sp(n) のリー環である。
正規形式 sp(2n, R)、Sp(2n, R) のリー環である。