位相のずれ
確率の保存により、外向き球面波と内向き球面波の振幅の絶対値は等しくならなければならない。つまり、
| 1 + a l | = 1 {\displaystyle \left|1+a_{l}\right|=1}
ここで位相のずれ δ l {\displaystyle \delta _{l}\ } (実数値)を以下のように定義する。
1 + a l = e i 2 δ l {\displaystyle 1+a_{l}=e^{i2\delta _{l}}}
(1)式、(4)式を a l {\displaystyle a_{l}\ } ではなく、この δ l {\displaystyle \delta _{l}\ } を用いて書き直すと、
e i k ⋅ r → ∑ l = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) k r i l sin  ( k r − l π 2 + δ l ) P l ( cos  θ ) ( r → ∞ ) ⋯ ( 1 ) ′ {\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\to \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(2l+1)}{kr}}i^{l}\sin(kr-{\frac {l\pi }{2}}+\delta _{l})P_{l}(\cos {\theta })\quad (r\to \infty )\quad \cdots (1)'}