推移閉包
任意の関係 R について、R の推移閉包は常に存在する。これを示すため、任意の推移関係の族の共通部分が推移的であることに注意する。さらに少なくとも1つの自明な R を含む推移関係 X × X が存在する。R の推移閉包は、R を含む全ての推移関係の共通部分である。
推移閉包はより構成的に次のようにも記述できる。X 上の関係 R を xRy となるのが X の要素の有限列 (x0, ..., xn) (ただし n ≥ 1)が存在し、2条件
x = x0, y = xn かつ
x0Rx1, x1Rx2, ..., xn−1Rxn
を満たすことと定義する。これは関係の合成を R のように表すことにすれば、端的に
R + = ⋃ n ≥ 1 R n {\displaystyle R^{+}=\bigcup _{n\geq 1}R^{n}}
と書き下すこともできる。関係 R が R を含み、かつ推移的であるかどうかを調べるのは容易である。さらに、R を含む任意の推移関係は R も含むので、R は R の推移閉包である。