漸近展開
漸近関数列が { ( x − x 0 ) n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{(x-x_{0})^{n}\}_{n\geq 0}} ( | x 0 | < ∞ ) {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|<\infty )} または { x − n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{x^{-n}\}_{n\geq 0}} ( | x 0 | = ∞ ) {\displaystyle \scriptstyle (|x_{0}|=\infty )} の形の漸近級数を、漸近冪級数という。
与えられた漸近関数列を用いて、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数を得ることを漸近展開といい、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数 ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)} が存在する場合、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は漸近展開
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}
を持つという。