重ね合わせの原理
現実に近い物理モデルの多くは、波の支配方程式は近似的にしか線型ではない。そのようなシチュエーションでは重ね合わせの原理も近似的にしか成り立たないが、波の振幅が小さいほど近似の精度が高くなるという規則が存在する。重ね合わせの原理が成り立たないときに起きる現象の例については、非線形光学および非線形音響学の項目を参照のこと。
つまり、量子状態はベクトルではなく、ヒルベルト射影空間(英語版)の元、すなわち射線で表される。射線とはあるベクトルを複素定数倍したものをすべて同値と見なす同値類である。ただし、量子状態を重ね合わせる場合には相対位相が異なる重ね合わせは異なる量子状態となるため、位相情報を失った射線の間に「重ね合わせ」は定義できず、適当な位相を持ったベクトルを用いる必要がある。実際ディラックは、射線ではなく位相を持ったブラベクトルやケットベクトルを重ね合わせることによって量子状態を表現している。それにもかかわらずディラックは射線の考えに基づき「量子力学において見られる重ね合わせは、古典理論における重ね合わせとは本質的に異なった性質を持つ」と述べているが、例えば、偏光状態を表すブロッホ球(ポワンカレ球)は古典偏光状態も量子偏光状態(量子ビット状態)も表すことができ、古典偏光状態と量子ビット状態は一対一に対応する。