ゼノンのパラドックス
時間項を入れ、運動速度を勘案すると、二種類の事例がみられる。
目的点に着かない例、減速運動で、半分の点に着くと速度も半分になるとする。次の半分の半分の点に着くと更に速度も半分と、次々と減速していく運動であるとする。各々の過程は直前の半分の距離を半分の速度で運動するのだから、各過程の経過時間は同一になる。したがってその積算は、無限大に発散する。よって、決して静止しないにも拘わらず、到着には無限の時間が必要となる。
アリストテレスは、「有限な線距離を無限な時間において運動することは不可能である、」と断定しており、この事例には考えが及ばず、それはアキレスの件の考察にも関わる。
目的点に着く例、運動が等速度とするならば、半分、更に残りの半分の半分と進行していく各過程の経過時間の積算は、コーシー列となる。よって積算は上限を持ち、到着すると言いうる。
もし多くの事物があるならば、それらはちょうどあるだけあるものでなければならない、多くでもなく少なくでもなく。すなわち限界がある。ところが、事物の間には別の事物がなければならない。すべての事物についてそうなのだから、限界はない。
存在が多であれば、果然それは似ていて似ていないということにならなければならない。しかしそれは不可能である。 なぜなら、と続けるプラトンは、この説が受け入れられると「存在の多」が否定されると確認する。次いで、この説の前提を自説のイデアの分有論によって否定、と議論を続ける。そこには、ゼノンの立論そのものの解説はない。
量子力学において、ある確率で放射性崩壊を起こすはずの不安定な原子核が、完全に連続した観測の下では崩壊を起こさないことを(ゼノンの議論と直接の関係はないものの)量子ゼノンパラドックスと呼んでいる。また、実際に、非常に短いスパンで観測を行うと、原子核が本来予測されるよりも低い確率で崩壊することが実験で確かめられている。これは量子ゼノン効果と呼ばれる。
ラッセルの言う(2)の見地から論じた者としては、ベルクソンが第一に挙げられる。
『物質と記憶』第四章にて、ゼノンの間違いは、動体が描いた軌跡によって表される線分及びそこから切り出されうる無限の点の性質でしかない不動性を、動体自体の性質に割り当ててしまうことにあるという。その線分はたしかに流れ「終わった」持続を表しはするものの、流れ「つつある」持続や流れ「ている」持続の性質はもはや表さないものである。
アリストテレスは、図式的に示すことで、相対的には倍速になることは自明であるとしている。では、ゼノンは相対速度を知らなかったのか。どう見るかで、解釈は分かれる。
(1)アリストテレスの言そのままに、相対的な速度を知らず、一事象に二つの時間がある矛盾、との説をゼノンのものであると解する。あるいは、その説は、時間を等しいとするならば、BがAの傍らを通過する距離が、BがΓの傍らを通過する距離に等しい、すなわち距離1=距離2という矛盾になる、とも受け止めうる。
(2)アリストテレスは伝えていないが、2分割と同様の議論を含めていたとの見方もある。
以上とは異なり、原子論的見解に対する論難であるとする解釈も多くなされる。ゼノンが上記の説明図を基に論じたとして、時間・空間が不可分割な単位を持つとする見解は、次の様なパラドックスをもたらす、と解する。
(3)1ブロック分の移動に1最小単位時間を要するとするなら、Bは、Aに対し1単位時間、Γに対し2単位時間を要することになり、1単位時間=2単位時間という矛盾である。あるいは、時間を等しいとすると、Aに対する距離(ブロック数1)とΓに対する距離(ブロック数2)とが等しいことになる。