弾性率
弾性率は、弾性変形における応力とひずみの間の比例定数(応力/ひずみ)であり、加えられた外力(応力)を分子、応力によって引き起こされたひずみを分母とした商である。
弾性率 = 応力/ひずみ
ひずみは無次元であるので、弾性率は応力と同じ次元を持ち、SIにおける単位はパスカル(記号: Pa)、ニュートン毎平方メートル(記号: N/m)が用いられる。また、弾性率の逆数を弾性コンプライアンス定数や単に弾性コンプライアンスという。単位は1/Pa、m/N。
弾性変形は伸長(または圧縮)変形、剪断変形、体積変形の3つの種類に分けられ、従って弾性率も3種類ある。それぞれひずみの定義は異なる。
引張弾性率 E {\displaystyle E} :引張力や圧縮力などの単軸応力についての弾性率。ヤング率(縦弾性係数)。
E = σ ε {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}}
伸長ひずみ ε = L − L 0 L 0 {\displaystyle \varepsilon ={\frac {L-L_{0}}{L_{0}}}} ( L 0 {\displaystyle L_{0}} は元々の長さ、 L {\displaystyle L} は引張後長さ)
伸長粘度 η E = σ d ε / d t {\displaystyle \eta _{E}={\frac {\sigma }{d\varepsilon /dt}}} (tは時間)
剪断弾性率 G {\displaystyle G} :せん断力についての弾性率。
2階のテンソル量である応力σとひずみεに対して、弾性率Dは4階のテンソル量で表すことができる。
σ = D ε , {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {\epsilon }},}
σ i j = D i j k l ε k l ( i , j , k , l = 1 ∼ 3 ) {\displaystyle \sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon _{kl}\quad (i,j,k,l=1\sim 3)}
弾性率はテンソルであるため、物質客観性の原理により座標変換においてσ=Dεの関係を保たねばならない。座標系O-x1x2x3からO-x '1x '2x '3へ変換するとき、弾性率テンソルの成分は
D i j m n ′ = D p q r s l i p l j q l m r l n s {\displaystyle D'_{ijmn}=D_{pqrs}l_{ip}l_{jq}l_{mr}l_{ns}}
と変換される。ここでlipは、xi軸とx'p軸の方向余弦である。
弾性率テンソルは81(= 3)個の成分を持つが、応力テンソルσとひずみテンソルεは対称性、すなわち