ローレンツ因子
ローレンツ因子は下記のように二項級数の形にマクローリン展開できる。
γ = 1 1 − β 2 = ∑ n = 0 ∞ β 2 n ∏ k = 1 n ( 2 k − 1 2 k ) = 1 + 1 2 β 2 + 3 8 β 4 + 5 16 β 6 + 35 128 β 8 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots \\\end{aligned}}}
上式を二次までで打ち切った近似式 γ ≈ 1 + 1/2 β は低速における相対論効果を計算するために用いられる。 この近似式は v < 0.4 c (v < 120000 km/s) の範囲において誤差 1% 以下に納まり、 v < 0.22 c (v < 66000 km/s) の範囲においては誤差 0.1% に納まる。
この級数を打ち切った近似式から、特殊相対性理論が低速域ではニュートン力学に帰着することを示すことができる。例えば、次の二つの方程式は