離散化誤差
1階微分Df の離散化Δf として次式(前進差分という)を採用する:
Δ f ( x ) = f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle \Delta f(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
このとき、厳密な微分との差は、
Δ f ( x ) − D f ( x ) = h 2 D 2 f ( x ) + ⋯ = O ( h ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f(x)-Df(x)&={\frac {h}{2}}D^{2}f(x)+\cdots \\&=O(h)\end{aligned}}}
すなわち、h の1次のオーダーとなる。ここでO はランダウの記号である。このように、誤差がh の1次のオーダーとなることを、1次精度という。
定義域 (domain) の有限性から発生する離散化誤差は、値域 (range) の有限性から発生する量子化誤差や、浮動小数点演算によって発生する丸め誤差と混同してはいけない。値域に対して正確な値を表し、正確な演算を使用することが可能であったとしても、離散化誤差は発生する。離散化誤差は、定義域を離散的な点の集合上で表すから生じる誤差であって、値域の値の誤差ではない(数値解析#誤差の発生と伝播も参照)。