ウェアリングの問題
2{(3/2)} + [(3/2)] > 2 となるような k の値は知られていない。クルト・マーラー(英語版)(Kurt Mahler)はそのような k が存在しても有限個しかないことを証明し、クビナ(Kubina)とウンダーリッビ(Wunderlich)は、そのような k は k > 471,600,000 である必要があることを示した。この結果を受けて、第一の場合しか起こり得ないのではないか、すなわち、正の整数の k に対し、 g ( k ) = 2 k + [ ( 3 / 2 ) k ] − 2 {\displaystyle g(k)=2^{k}+[(3/2)^{k}]-2} となるのではないかと予想されている。
g(k) の最初のいくつかを以下に列挙する。
1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055 ... オンライン整数列大辞典の数列 A002804.
ウェアリングが問題を提示するはるか前に、ディオファントスは全ての自然数は非負の平方数の四つの和として表すことができるかと問うた。1621年にクロード・バシェ(英語版)(Claude Gaspard Bachet de Méziriac)によるディオファントスの翻訳が出版されると、この問題はバシェの予想として知られるようになり、ウェアリングの予想の提示と同じ1770年にルイ・ラグランジュによって四平方定理として解かれた。ウェアリングは、全ての自然数が立方数の和として、また4乗数の和として表現できるか等々と、この問題を一般化して考えた。そして、全ての自然数は特定のべき指数での整数のべき乗の和として表すことができるのではないか、さらにこのような方法で、全ての自然数を特定のべき指数での整数のべき乗の和として表すことがいつでもできる(和の対象となる整数べき乗の)個数が存在するのではないかと予想した。