トーラス結び目
f ( t ) = ( 1 − t ) ( 1 − t p q ) ( 1 − t p ) ( 1 − t q ) {\displaystyle f(t)={\frac {(1-t)(1-t^{pq})}{(1-t^{p})(1-t^{q})}}\,}
最初に述べた定義のときのように標準的なトーラスに向き付けたメリディアンとロンジチュードを用意しておく。
ここで、トーラス上にメリディアンと平行な |p| 本の閉曲線を引き、 p が正ならメリディアンと同じ向きを、負なら逆の向きを与える。同様にして、ロンジチュードと平行な |q| 本の閉曲線を引き、 q が正ならロンジチュードと同じ向きを、負なら逆の向きを与える。こうするとトーラス上に |p| + |q| 本の有向閉曲線があり、|pq| 個の交点があることになる。それらの交点は下図の図1のようになっているので、それを図2のような形に置き換えることによって交点をすべて解消する。この操作を平滑化(smoothing)という。平滑化を行ったあとの曲線は絡み目となるので、これを(p , q)型トーラス絡み目と定義する。
図1(平滑化前)
図2(平滑化後)