環 (数学)
一意性について、単元を掛けてもよいという弱い形を採用するのは、そうしないと有理整数環 Z が UFD とならないからというのが理由のひとつとしてある(単元を掛けてはいけないとすると (−2) = 2 = 4 は 4 の「相異なる」二つの分解を与えるが、−1 と 1 は Z の単元だから、二つの分解は同値になる)。ゆえに、整数環 Z が UFD となるというのは、自然数についての(本来の)算術の基本定理からの簡単な帰結である。
任意の環に対して素元および既約元を定義することはできるが、この二つの概念は一般には一致しない。しかし、整域において素元は必ず既約である。逆は、UFD については正しい。
一意分解整域と他の環のクラスとの関係としては、たとえば任意のネーター環は先ほどの条件の1番目と2番目を満足するが、一般には3番目の条件を満足しない。しかし、ネーター環において素元の全体と既約元の全体が集合として一致するならば、3番目の条件も成り立つ。特に主イデアル整域は UFD である。
いくつかの環(整域、体)のクラスについて、以下の包含関係がある。
可換環 ⊃ 整域 ⊃ 半分解整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体
体や整域は現代代数学において非常に重要である。
環は加法に関しては交換法則が成り立つが、乗法に関しては可換性は要求されない。乗法に関しても交換法則が成り立つならば可換環という。すなわち、環 (R, +, · ) に対して、(R, +, · ) が可換環であるための必要十分条件は R の任意の元 a, b に対して a · b = b · a が成り立つことである。言い換えれば、可換環 (R, +, · ) は乗法に関して可換モノイドでなければならない。
整数全体の成す集合は通常の加法と乗法に関して可換環を成す。
可換でない環の例は、n > 1 として、非自明な体 K 上の n次正方行列の成す環で与えられる。特に n = 2 で K = R のときを考えれば、 [ 1 1 0 1 ] ⋅ [ 1 1 1 0 ] = [ 2 1 1 0 ] ≠ [ 1 2 1 1 ] = [ 1 1 1 0 ] ⋅ [ 1 1 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&0\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}} ゆえに可換でないことが分かる。
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