アインシュタインテンソル
ビアンキ恒等式も、アインシュタインテンソルを用いて次のように平易に表現できる。
∇ μ G μ ν = 0. {\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0.}
ビアンキ恒等式により、曲がった時空の中のストレス・エネルギーテンソルの共変性が保存されることが自動的に保証される。つまり、
∇ μ T μ ν = 0. {\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0.}
アインシュタイテンソルの物理学的な意味は、この等式により非常に重要であることがわかる。キリングベクトル ξ μ {\displaystyle \xi ^{\mu }} 上で縮約された密度化ストレステンソルの項では、通常の保存則は、
∂ μ ( − g T μ ν ξ ν ) = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }({\sqrt {-g}}T^{\mu }{}_{\nu }\xi ^{\nu })=0}
である。