ヒルベルト–ポワンカレ級数
A をアルティン環(例えば体)として、M を A[x0, ..., xn] 上の有限生成次数付き加群で、 deg xi = di とする。このとき M のポワンカレ級数は、Πi (1 − t) で割られる整係数の多項式である。今日の標準的な証明は、n に関する帰納法である。ヒルベルトのもともとの証明はヒルベルトの syzygy 定理(英語版)(M の射影分解)を利用しており、これはよりホモロジー的な情報を与える。
n についての帰納法による証明を与える。n = 0 のとき、M は長さ有限だから、k が十分大きければ Mk = 0 である。次に、定理は n − 1 に対して正しいとし、N(l)k = Nk + l と書いて、次数付き加群の完全列(次数ごとに完全)
0 → K ( − d n ) → M ( − d n ) → x n M → C → 0 {\displaystyle 0\to K(-d_{n})\to M(-d_{n}){\overset {x_{n}}{\to }}M\to C\to 0}