茎 (数学)
ある集合あるいは群など S に付随した定数層 S _ {\displaystyle {\underline {S}}} は各点において茎として同じ集合あるいは群を持つ:任意の点 x に対して,開連結近傍を選ぶ.連結開上の S _ {\displaystyle {\underline {S}}} の切断は S に等しく,制限写像は恒等写像である.したがって直極限はつぶれて茎として S を生み出す.
導入部で概説されたように,茎は層の局所的な振る舞いを捉える.層はその局所的な情報から決定されるものなので(貼り合わせの公理(英語版)を参照),茎は層が持っているかなりの情報を捉えることが期待できる.これは実際正しい:
層の射がそれぞれ全単射,全射,単射であることと,すべての茎に誘導される射が同じ性質を持つことは同値である.(しかしながら,茎がすべて同型な2つの層が同型であるということは正しくない,なぜならば問題の層の間に写像が無いかもしれないからである.)
特に:
(群の層を考えているとき)層が 0 であることと層の全ての茎が消えることは同値である.したがって,与えられた関手の完全性は茎上で考えればよく,どんどん小さい近傍に進むことができるためこれの方がしばしば容易である.
いずれの主張も前層に対しては間違いである.しかしながら,層と前層の茎はきつく結ばれている:
前層 P とその層化(英語版) F が与えられると,P と F の茎は一致する.