二重振り子
これらの系の運動状態は、 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} 、 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} 、 θ ̇ 1 {\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}} 、 θ ̇ 2 {\displaystyle {\dot {\theta }}_{2}} の4つの変数で一意に決定される。しかし、これらの運動方程式の理論解析は困難なため、運動状態を得るにはコンピュータによる数値解析が行われる。変数の時間発展を得るためにルンゲ=クッタ法などが使用される。
簡単のために状態を限定すれば厳密解を得ることもでき、振り子の振り幅が小さい範囲として、なおかつm1 = m2 = m、l1 = l2 = lとすれば、運動は2つの固有振動の足し合わせで表され、それぞれの固有振動数ω1、ω2は以下のように得られる。
ω 1 = 2 − 2 g l = 0.765 g l {\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\frac {g}{l}}}=0.765{\sqrt {\frac {g}{l}}}}
ω 2 = 2 + 2 g l = 1.848 g l {\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\frac {g}{l}}}=1.848{\sqrt {\frac {g}{l}}}}