クリフォード代数
特に実数体上これは次を意味する
C l p , q 0 ( R ) ≅ C l p , q − 1 ( R ) ( q > 0 ) , {\displaystyle C\ell _{p,q}^{0}(\mathbf {R} )\cong C\ell _{p,q-1}(\mathbf {R} )\quad (q>0),}
C l p , q 0 ( R ) ≅ C l q , p − 1 ( R ) ( p > 0 ) {\displaystyle C\ell _{p,q}^{0}(\mathbf {R} )\cong C\ell _{q,p-1}(\mathbf {R} )\quad (p>0)}
負定値の場合にはこれは包含 Cl0,n−1(R) ⊂ Cl0,n(R) を与え、列を拡張する
R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ⊂ ⋯;
同様に、複素の場合には、Cln(C) の偶部分代数は Cln−1(C) に同型であることを示せる。
によって決定される。これは基底 {ei} が直交しているときにのみうまくいくことに注意しよう。この写像は直交基底の選択とは独立であり従って自然同型を与えることを示すことができる。
K の標数が 0 であれば、反対称化によっても同型を確立できる。関数 fk: V × ⋯ × V → Cl(V, Q) を
f k ( v 1 , ⋯ , v k ) = 1 k ! ∑ σ ∈ S k s g n ( σ ) v σ ( 1 ) ⋯ v σ ( k ) {\displaystyle f_{k}(v_{1},\cdots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}
によって定義する、ただし和は k 個の元の上の置換群を渡って取られる。fk は交代形式(英語版)なのでそれは一意的な線型写像 ⋀(V) → Cl(V, Q) を誘導する。これらの写像の直和は ⋀(V) と Cl(V, Q) の間の線型写像を与える。