ド・ブランジュの定理
複素解析では、ド・ブランジュの定理(de Branges's theorem)、あるいはビーベルバッハの予想(Bieberbach conjecture)と呼ばれる定理は、単位開円板から複素平面への単射的な写像を与えるための、正則函数の必要条件を与える定理である。これはルートヴィヒ・ビーベルバッハ( Ludwig Bieberbach (1916)) により予想され、最終的にはルイ・ド・ブランジュ(Louis de Branges (1985))により証明された。
この定理は、「函数のテイラー係数 an に関しては、いつでも a0 = 0 で a1 = 1 として正規化する」ことができることをいっている。開円板上に定義された次の形のテイラー級数を持つ正則函数で単射的(単葉的)である函数を考えよう。
f ( z ) = z + ∑ n ≥ 2 a n z n . {\displaystyle f(z)=z+\sum _{n\geq 2}a_{n}z^{n}.}
このような函数を単葉函数(schlicht function)という。この定理は、全ての n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} に対して、
| a n | ≤ n {\displaystyle \left|a_{n}\right|\leq n}
となることを言っている。等号が成り立つ場合は、ケーベ極値函数(Koebe's extremal function)の場合に限る。