シンプレクティック多様体
↑ Ben Webster: What is a symplectic manifold, really? http://sbseminar.wordpress.com/2012/01/09/what-is-a-symplectic-manifold-really/
↑ Henry Cohn: Why symplectic geometry is the natural setting for classical mechanics http://research.microsoft.com/en-us/um/people/cohn/thoughts/symplectic.html
1 2 Maurice de Gosson: Symplectic Geometry and Quantum Mechanics (2006) Birkhäuser Verlag, Basel ISBN 3-7643-7574-4 (page 10)
1 2 3 Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. (1985). The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1.
シンプレクティック多様体 (K, ω) のラグランジュ部分多様体 L がはめ込み(immersion) i : L ↪ K(この i を ラグランジュはめ込み という)によって与えられるものとし、 π: K ↠ B が K のラグランジュファイバー構造とすると、合成写像 (π ∘ i): L ↪ K ↠ B は ラグランジュ写像 と呼ばれる。このとき、 π ∘ i の境界値集合が焦線である。
二つのラグランジュ写像 (π1 ∘ i1): L1 ↪ K1 ↠ B1 および (π2 ∘ i2): L2 ↪ K2 ↠ B2 が互いに ラグランジュ同値 であるとは、微分同相写像 σ: L1 → L2, τ: K1 → K2, ν: B1 → B2 が存在して、二つのラグランジュ写像と可換、かつ τ がシンプレクティック形式を保つことを言う。式で書けば
τ ∘ i 1 = i 2 ∘ σ , ν ∘ π 1 = π 2 ∘ τ , τ ∗ ω 2 = ω 1 {\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\quad \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\quad \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}}
が満たされるということである。ただし、τ*ω2 は ω2 の τ による引き戻し(英語版)(pullback)とする。