量子力学の数学的定式化
なお、写像 λ ∈ X ↦ d i m H λ ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \lambda \in X\mapsto \mathrm {dim} {\mathcal {H}}_{\lambda }\in [0,\infty ]} が可測であるときは、 ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} は必ず同時正規直交基底を持つことが知られている。
定義 (切断の可測性) ― ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} 上の可測構造を一つ固定したとき、以下の性質を満たす切断 s = ( s ( λ ) ) λ ∈ X {\displaystyle s=(s(\lambda ))_{\lambda \in X}} は可測であるという:
任意のj∈Nに対し、 λ ∈ X ↦ ⟨ s ( λ ) , e j ( λ ) ⟩ λ {\displaystyle \lambda \in X\mapsto \langle s(\lambda ),e_{j}(\lambda )\rangle _{\lambda }} は可測。
, 0 ) {\displaystyle (0,\ldots ,0,{\overset {j}{\check {1}}},0,\ldots ,0)} の事を P → j {\displaystyle {\vec {P}}_{j}} 、 Q → j {\displaystyle {\vec {Q}}_{j}} 、 I → {\displaystyle {\vec {I}}} と書くと、これらのリー・ブラケットは
∀ j , k = 1 , ... , d : [ Q → j , P → k ] = δ j , k I → , {\displaystyle \forall j,k=1,\ldots ,d~:~[{\vec {Q}}_{j},{\vec {P}}_{k}]=\delta _{j,k}{\vec {I}},\quad } [ Q → j , Q → k ] = 0 , [ P → j , P → k ] = 0 {\displaystyle [{\vec {Q}}_{j},{\vec {Q}}_{k}]=0,\quad [{\vec {P}}_{j},{\vec {P}}_{k}]=0}
を満たす。
超関数に対する偏微分の概念を定義する為、まずはC∞0(Ω)の元の偏微分に関して簡単な考察をする。φ、ψをC∞0(Ω)の2つの元とするとき、C∞0(Ω)の定義よりφ(x)、ψ(x)が0でないxの集合は有界閉集合であるのに対し、ΩをRの開集合であるので、Ωの境界上ではφ(x)、ψ(x)は0になる。よって微分積分学の基本定理から、
∫ Ω ∂ x i ( ψ ( x ) φ ( x ) ) d x = 0 {\displaystyle \int _{\Omega }\partial _{x_{i}}(\psi (x)\phi (x))\mathrm {d} x=0}
が成立する。よってライプニッツルールにより
⟨ ∂ x i ψ , φ ⟩ = ∫ Ω ∂ x i ( ψ ( x ) ) φ ( x ) d x {\displaystyle \langle \partial _{x_{i}}\psi ,\phi \rangle =\int _{\Omega }\partial _{x_{i}}(\psi (x))\phi (x)\mathrm {d} x} = − ∫ Ω ψ ( x ) ∂ x i ( φ ( x ) ) d x = − ⟨ ψ , ∂ x i φ ⟩ {\displaystyle =-\int _{\Omega }\psi (x)\partial _{x_{i}}(\phi (x))\mathrm {d} x=-\langle \psi ,\partial _{x_{i}}\phi \rangle }
が成立する。そこで上式を参考にして、超関数の偏微分を以下のように定義する:
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を状態空間とし、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の(有界とは限らない)自己共役作用素Hをハミルトニアンとして固定し、
U t = e x p ( − i t ħ H ) {\displaystyle U_{t}=\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)}
とする。
{ V s } s ∈ R {\displaystyle \{V_{s}\}_{s\in \mathbf {R} }} を強連続1パラメータユニタリ変換群とし、Aをその無限小生成元とする。
このとき以下が成立する:
定理 (ネーターの定理) ― 次の3つは同値である:
任意の s ∈ R {\displaystyle s\in \mathbf {R} } に対し V − s H V s = H {\displaystyle V_{-s}HV_{s}=H}
任意の t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbf {R} } に対し U − t A U t = A {\displaystyle U_{-t}AU_{t}=A}
任意の s , t ∈ R {\displaystyle s,t\in \mathbf {R} } に対し U t V s = V s U t {\displaystyle U_{t}V_{s}=V_{s}U_{t}}
これは以下に述べる理由により量子力学におけるネーターの定理であるとみなせる。
物理学的に見た場合、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 、 H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} はそれぞれブラベクトル、ケットベクトルの空間であったので、それを含んでいる G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} 、 G ′ ∗ {\displaystyle {\mathcal {G}}'^{*}} もやはり(一般化された意味での)ブラベクトル、ケットベクトルの空間とみなすことにする。
既に述べたように、連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} や H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} の中には存在しなかった。
(正定値性) ⟨ ψ , ψ ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle \geq 0} であり、しかも ⟨ ψ , ψ ⟩ = 0 ⟹ ψ = 0 {\displaystyle \quad \langle \psi ,\psi \rangle =0\implies \psi =0} である。
複素ベクトル空間上に内積を一つ指定してできる組 ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )} を複素計量ベクトル空間という。
複素計量ベクトルの元 ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} に対し、内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } に対応する ψ {\displaystyle \psi } のノルム ‖ ψ ‖ {\displaystyle \|\psi \|} を
量子力学において系 の(純粋)量子状態は、状態ベクトルと呼ばれる単位ベクトルによって表現され、状態ベクトルとその定数倍のなすベクトル空間を状態空間という。状態空間はヒルベルト空間という数学的概念によって定式化される。そこで本節ではヒルベルト空間の定義を述べる。
ハイゼンベルク群が量子力学で重要なのは、対応するリー環(ハイゼンベルクリー環)が正準交換関係(で ħ = 1 {\displaystyle \hbar =1} にしたもの)を満たすからである。すなわち、d次のハイゼンベルクリー環は、
h d = R d × R d × R {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{d}=\mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} }
と表記でき、j=1,...,dのとき、j=d+1,...,2dのとき、j=2d+1のときそれぞれ、座標軸 ( 0 , ... , 0 , 1 ˇ j , 0 , ...
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を状態空間とし、Hを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の(有界とは限らない)自己共役作用素とする。このとき e x p ( t H ) {\displaystyle \mathrm {exp} (tH)} を作用素解析の手法により定義し、
ψ ( t ) := e x p ( − i t ħ H ) ( ψ ) {\displaystyle \psi (t):=\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)(\psi )}
とすると次が成立する:
定理 ― ψ ( t ) := e x p ( − i t ħ H ) ( ψ ) {\displaystyle \psi (t):=\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)(\psi )} はシュレディンガー方程式の解である。
実際、前節で述べた事と強微分の定義から、
定義 (掛け算作用素・位置作用素) ― 実数値可測関数
f : R d → R {\displaystyle f~:~\mathbf {R} ^{d}\to \mathbf {R} }
に対して線形作用素Mfを
M f : D o m ( M f ) → L 2 ( R 3 ) , {\displaystyle M_{f}~:~\mathrm {Dom} (M_{f})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3}),\quad } ψ ( x ) ↦ f ( x ) ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\mapsto f(x)\psi (x)}
と定義し、Mfの閉包を掛け算作用素という。ここで
D o m ( M f ) := { ψ ( x ) ∈ L 2 ( R d ) : {\displaystyle \mathrm {Dom} (M_{f}):={\bigg \{}\psi (x)\in L^{2}(\mathbf {R} ^{d})~:~} ∫ R d | f ( x ) ψ ( x ) | 2 d  x < ∞ } {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}|f(x)\psi (x)|^{2}\operatorname {d} x<\infty {\bigg \}}}
となるので、上述した内積は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の内積と両立する。
定義 ― G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の点列{φn}nと G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の元φが全ての g ∈ G {\displaystyle g\in {\mathcal {G}}} に対し
φ n ( g ) → φ ( g ) {\displaystyle \phi _{n}(g)\to \phi (g)}
を満たすとき、{φn}nはφに収束するという。
言い換えるとこれは G ′′ {\displaystyle {\mathcal {G}}''} にはweak-*位相を入れたものを考えるという事である。
実は強連続1パラメータ変換は、上述した指数関数のものに限られる事が知られている:
定理 (ストーンの定理(英語版)) ― { U t } t ∈ R {\displaystyle \{U_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の強連続1パラメータユニタリ群とする。このとき、 { U t } t ∈ R {\displaystyle \{U_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} の無限小生成元(infinitesimal generator)を
A ( ψ ) := lim t → 0 1 i U t ( ψ ) − ψ t {\displaystyle A(\psi ):=\lim _{t\to 0}{1 \over i}{U_{t}(\psi )-\psi \over t}}
により定義すると、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の稠密部分集合上で上式右辺はノルム位相に関して収束する。しかも無限小生成元Aは自己共役作用素であり、任意の t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbf {R} } に対し、
ヒルベルト空間上で定義可能な関数のクラスとして最も自然なものの一つに有界作用素があり、量子力学における主要概念の一つであるユニタリ作用素は有界作用素の一つである。そこで本節では有界作用素の概念とユニタリ作用素の概念を定式化する。
定義 (有界作用素) ― H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} 、 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} をヒルベルト空間とする。線形作用素 T : H 1 → H 2 {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} が有界線形作用素、もしくは単に有界作用素であるとは、実定数C≧0が存在し、任意の ψ ∈ H 1 {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}_{1}} に対し、
‖ T ( ψ ) ‖ H 2 ≤ C ‖ ψ ‖ H 1 {\displaystyle \|T(\psi )\|_{{\mathcal {H}}_{2}}\leq C\|\psi \|_{{\mathcal {H}}_{1}}}
が成立する事を言う。ここで ‖ ⋅ ‖ H k {\displaystyle \|\cdot \|_{{\mathcal {H}}_{k}}} は H k {\displaystyle {\mathcal {H}}_{k}} の内積に対応するノルムである。Tが有界とは限らないとき、Tを非有界作用素という。
次の事実が知られている:
定理 ― 線形作用素Tが有界である必要十分条件は、Tが連続であることである
したがって有界線形作用素とは、連続線形作用素と言い換えても良い。
以上で述べたように、量子力学の数学的定式化にはヒルベルト空間、特にL空間の概念が有効である。ただし、物理学者が量子力学で用いている議論の全てをヒルベルト空間上で数学的に正当化できる事を意味しているわけではない。
例えば物理学者が量子力学の記述に通常用いるデルタ関数は、そもそも通常の意味での関数ではないので、L空間には属さない。後の章でL空間にさらに元を添加する事でデルタ関数をも取り扱う数学的手法についても述べるが、この手法は万能ではなく、例えばデルタ関数同士の積が定義できないという欠点を抱える。よって特にデルタ関数同士の内積を定義できず、デルタ関数を添加した空間はヒルベルト空間にはならない。
こうした数学的な困難を避けるため、以降の議論は、基本的にデルタ関数のような「関数もどき」は慎重に排除した上で展開するものとする。
量子力学を定式化するため、ディラックはデルタ関数
δ ( x ) = { ∞ if x = 0 0 otherwise {\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
を導入した。数学的に見た場合、このような「関数」は存在しないものの関数概念を一般化した「超関数」の概念を使う事でデルタ関数を数学的に定式化でき、これによりディラックの議論をある程度の部分まで数学的に正当化ができる(全ての議論を正当化できるわけではない。詳細後述)。そこで本稿では超関数の概念を導入し、デルタ関数を超関数の概念を使って定式化し、超関数の性質を調べる。