ヘッセ行列
のことである。もし、制約関数が m 本あるのならば、左上のかどに m × m のゼロ行列ブロックをおいて、上から m 本の境界行、左から m 本の境界列を並べる。
z が第一成分がゼロでなく、それ以外の成分がゼロとなるベクトルならば z'Hz = 0 となるから、境界つきヘッシアンは(正または負の)定値対称行列になれず、上記判定法の正定値や負定値という規約はここでは通用しない。
ここでの極値判定法は、境界つきヘッセ行列の n − m 小行列のある集合の行列式の符号制限からなる。直観的には、m 本の制約条件によって、最適化問題を自由変数が n − m 個の場合に簡約化したと考えるのである。例えば、x1 + x2 + x3 = 1 なる制限条件下における f(x1, x2, x3) の最大化問題は、制約条件無しの f(x1, x2, 1 − x1 − x2) の最大化問題に帰着させることができる。