基本群
例は円であり、各々のホモトピー類はある与えられた回数(周る方向によって正にも負にもなりうる)円の周りを周ったすべてのループからなる。m 回巻き付いているループと n 回巻き付いているループの積は、m + n 回巻き付いているループとなる。従って、円の基本群は整数の加法群 (Z, +) に同型である。この事実は、 2次元のブラウアーの不動点定理やボルスーク・ウラムの定理(英語版)の証明に使うことができる。
基本群はホモトピー不変量であるので、複素平面から一点を除いた空間の回転数の理論は、円(の基本群)と同じとなる。
n ≥ 1 に対し、n-次元実射影空間 P(R) は、n-次元球面 S を中心対称性で割って P(R) = S/Z2 求められる。n-球面 S は n ≥ 2 では単連結なので、実射影空間の普遍被覆であることが結論づけられる。このようにして、P(R) の基本群は、 n ≥ 2 に対して Z2 である。
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したがってループ f ∗ g はまずループ f を「2倍の速度」で回り、次にループ g を 2倍の速度で回る。2つのループのホモトピー類 [f] と [g] の積は、[f ∗ g] と定義され、この積は代表元の取り方に依らないことを示すことができる。
x0 を基点とするループのすべてのホモトピー類の集合に上記の積を考えたものが、点 x0 における X の基本群をなし、この基本群を
π 1 ( X , x 0 ) , {\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0}),}
あるいは、単に π(X, x0) と書く。単位元は基点に留まる定数写像で、ループ f の逆元は g(t) = f(1 − t) で定義されるループ g である。すなわち、g は f の逆向きのループである。
基本群は一般的には基点の選択に依存しているが、空間 X が弧状連結である限り、同型を除いて(実は内部自己同型の違いを除いて)、この選択は何の差異ももたらさない。したがって弧状連結空間に対し、群の同型類(英語版)だけに興味がある場合にはいつでも、曖昧さなしで π1(X, x0) の代わりに π1(X) と書くことができる。