並進演算子 (量子力学)
並進演算子はユニタリーで、特に、
( T ^ ( x ) ) † = ( T ^ ( x ) ) − 1 {\displaystyle ({\hat {T}}({\boldsymbol {x}}))^{\dagger }=({\hat {T}}({\boldsymbol {x}}))^{-1}}

並進演算子がユニタリーであることは、運動量演算子がエルミートであることを示している。
粒子や場を x1 だけ動かした後 x2 だけ動かしたとき、x1 + x2 だけ動かしたことになる。
T ^ ( x 1 ) T ^ ( x 2 ) = T ^ ( x 1 + x 2 ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}}_{1}){\hat {T}}({\boldsymbol {x}}_{2})={\hat {T}}({\boldsymbol {x}}_{1}+{\boldsymbol {x}}_{2})}
並進演算子は互いに交換し、また運動量演算子はスケール化された無限小並進演算子の和であるため、並進演算子は運動量演算子と交換する。すなわち、
T ^ ( x ) p ^ = p ^ T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}}){\hat {\boldsymbol {p}}}={\hat {\boldsymbol {p}}}{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})}
上述の「逐次的な並進」の性質から、ベクトル x = ( x , y , z ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x,y,z)} による並進は、成分方向への並進の積として書くことができる。
T ^ ( x ) = T ^ ( x e x ) T ^ ( y e y ) T ^ ( z e z ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})={\hat {T}}(x{\boldsymbol {e}}_{x}){\hat {T}}(y{\boldsymbol {e}}_{y}){\hat {T}}(z{\boldsymbol {e}}_{z})}
ここで ex, ey, ez は単位ベクトル。
T ^ R f ( r ) = f ( r + R ) {\displaystyle {\hat {T}}_{\boldsymbol {R}}f({\boldsymbol {r}})=f({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})}
並進演算子全体はアーベル群を成すため、逐次的な2回並進はそれらが作用する順番に依存しない。つまり、
T ^ R 1 T ^ R 2 = T ^ R 2 T ^ R 1 = T ^ R 1 + R 2 {\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{1}}{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{2}}={\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{2}}{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{1}}={\hat {T}}_{\boldsymbol {R_{1}+R_{2}}}}
さらにハミルトニアンが周期的であるとして、
T ^ R H ^ = H ^ T ^ R {\displaystyle {\hat {T}}_{\boldsymbol {R}}{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {T}}_{\boldsymbol {R}}}
よって全てのブラベー格子ベクトル R における T ^ R {\displaystyle {\hat {T}}_{\boldsymbol {R}}} とハミルトニアン ˆH は交換する演算子の集合を作る。