三角不等式
三角不等式が上からの評価であるのに対し、下からの評価を与える逆向きの三角不等式 (reverse triangle inequality) は三角不等式からの初等的な帰結として得られる。それは平面幾何の言葉で言えば「三角形の任意の辺は、その他の二辺の差よりも大きい」ということができる。ノルム空間の場合には
| ‖ x ‖ − ‖ y ‖ | ≤ ‖ x − y ‖ , {\displaystyle {\Bigl |}\|x\|-\|y\|{\Bigr |}\leq \|x-y\|,}
あるいは距離空間の場合には |d(y, x) − d(x, z)| ≤ d(y, z) ということになる。これはノルム ‖ • ‖ や距離函数 d(x, •) がリプシッツ定数 1 のリプシッツ連続函数となることを示すもので、したがって特に一様連続である。
逆三角不等式は通常の三角不等式を用いて証明できる:
ユークリッドは平面幾何における三角不等式を図のような構成を用いて証明した: 三角形 ABC に対して、一辺 BC を共有する二等辺三角形をもう一つの等辺 BD の足が辺 AB の延長上にあるように作る。すると角について β > α が言えるから、さらに辺について AD > AC も言える。しかし AD = AB + BD = AB + BC なのだから、辺の和について AB + BC > AC となる、ということがユークリッドの『原論』 I 巻の命題 20 に書かれている。