レイリー商
エルミート(または実対称)行列の性質より、その固有値は実数であるから、レイリー商 R(M, x) の最小値は行列 M の最小の固有値 λmin に等しく、このときベクトル x は最小固有値に対応する固有ベクトル vmin に等しい。同様にレイリー商の最大値は行列 M の最大固有値 λmax に等しく、このときベクトル x は最大固有値に対応する固有ベクトル vmax に等しい。
レイリー商はミニマックス定理(英語版)において行列のすべての固有値の厳密な値を求めることに利用される。また固有値計算アルゴリズムにおいて近似的な固有ベクトルから固有値の近似値を求めることにも利用される。具体的には、レイリー商反復法(英語版)に基づく。
エルミート行列に限らない一般のレイリー商の値域は数域(英語版)と呼ばれる(あるいは関数解析学においてはスペクトルという)。エルミート行列のレイリー商について、その数域はスペクトルノルムに等しい。関数解析学においては、λmax はスペクトル半径として知られる。C代数や代数的量子力学の文脈では、固定された x と代数上で動く M に対するレイリー商 R(M, x) を、M の代数上のベクトル状態 (vector state) と見なすことがある。
レイリー商に関する関係はラグランジュの未定乗数法を用いても導くことができる。問題は
R ( M , x ) = x ∗ M x , subject to ‖ x ‖ 2 = x ∗ x = 1 {\displaystyle R({\boldsymbol {M}},{\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {x}},\quad {\text{subject to }}\|{\boldsymbol {x}}\|^{2}={\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}=1}
の停留点を求めることである。拘束条件として x のノルムを1にしているのは、0以外でスカラー倍してもレイリー商は変わらないためである。
ラグランジュ関数 L {\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}} と未定乗数 λ で書き直すと、
L ( x ) = x ∗ M x − λ ( x ∗ x − 1 ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {x}}-\lambda ({\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}-1).}
の停留点 δ L ( x ) = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}})=0} を求めることになる。