ウィグナーのD行列
これは量子力学的には物体に固定した剛体回転子の角運動量演算子を意味する。
これらの演算子は次の交換関係および巡回的に添字を入れ換えた相当する交換関係を満たす。
[ J 1 , J 2 ] = i J 3 , [ P 1 , P 2 ] = − i P 3 {\displaystyle \left[{\mathcal {J}}_{1},{\mathcal {J}}_{2}\right]=i{\mathcal {J}}_{3},\quad \left[{\mathcal {P}}_{1},{\mathcal {P}}_{2}\right]=-i{\mathcal {P}}_{3}}
P i {\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}} は anomalous commutation relations(右辺にマイナス符号がつく)を満たしている。
これら二つの組は相互に交換する。
[ P i , J j ] = 0 , i , j = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle \left[{\mathcal {P}}_{i},{\mathcal {J}}_{j}\right]=0,\quad i,j=1,2,3,}
ウィグナーは次の式を与えた。
d m ′ m j ( β ) = [ ( j + m ′ ) ! ( j − m ′ ) ! ( j + m ) ! ( j − m ) ! ] 1 2 ∑ s = s m i n s m a x [ ( − 1 ) m ′ − m + s ( cos  β 2 ) 2 j + m − m ′ − 2 s ( sin  β 2 ) m ′ − m + 2 s ( j + m − s ) ! s ! ( m ′ − m + s ) ! ( j − m ′ − s ) ! ] {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{\frac {1}{2}}\sum _{s=s_{\mathrm {min} }}^{s_{\mathrm {max} }}\left[{\frac {(-1)^{m'-m+s}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!}}\right]}
sは、分母の階乗が非負になるような範囲、すなわち s m i n = m a x ( 0 , m − m ′ ) {\displaystyle s_{\mathrm {min} }=\mathrm {max} (0,m-m')} から s m a x = m i n ( j + m , j − m ′ ) {\displaystyle s_{\mathrm {max} }=\mathrm {min} (j+m,j-m')} までの総和をとる。