作用素位相
{Tn} をヒルベルト空間 H 上の線型作用素の列とする。Tn が H 内である作用素 T に収束するということについて考える。これには次のようないくつかの異なる意味がある:
‖ T n − T ‖ → 0 {\displaystyle \|T_{n}-T\|\to 0} 、すなわち、Tn - T の作用素ノルム(H 内の単位球内の x に関する ‖ T n x − T x ‖ H {\displaystyle \Vert T_{n}x-Tx\Vert _{H}} の上限)が 0 に収束するとき、一様作用素位相(uniform operator topology)で T n → T {\displaystyle T_{n}\to T} が成り立つという。
H 内のすべての x に対して T n x → T x {\displaystyle T_{n}x\to Tx} となるとき、強作用素位相(strong operator topology)で T n → T {\displaystyle T_{n}\to T} が成り立つという。
H 上のすべての線型汎函数 F に対して F ( T n x ) → F ( T x ) {\displaystyle F(T_{n}x)\to F(Tx)} となるとき、弱作用素位相(weak operator topology)で T n → T {\displaystyle T_{n}\to T} が成り立つという。
これらのすべての概念は、ヒルベルト空間 H の代わりにバナッハ空間を考えても意味を持ち、有用である。