ネイピア数
ネイピア数の近似値と言えるものが記された最も古い文献は、1618年、ジョン・ネイピアによって発表された対数の研究の付録に収録されていた表である。その表自体はウィリアム・アウトレッドによって書かれたとされている。
厳密にネイピア数そのものを見い出したのはヤコブ・ベルヌーイと言われており、複利の計算で
lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
を求めようとした。これは e に等しくなる。
この数に初めて定数記号を割り当てたのはゴットフリート・ライプニッツだとされている。1690年と1691年のクリスティアーン・ホイヘンス宛ての手紙の中で、記号 b を用いた。レオンハルト・オイラーは、1727年からこの数を表すのに記号 e を使い始め、オイラーによる1736年の『力学』がネイピア数を e で表した最初の出版物となった。その後しばらくは c によってこの数を表す流儀もあったが、やがて e が標準的な記号として受け入れられるようになった。
オイラーは、指数関数 a が
d d x a x = a x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}}
を満たすとき a = e であることを示した。
さらに積分
∫ 1 x d t t {\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}
が対数の性質を持ち、対数として見た時の底が e でもあることを示した。この対数を自然対数という。
以下の式の右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、利子の連続複利の計算との関連で言及されたものである。
e = lim n → + ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
元金1を年利1、付利期間を 1/n 年で1年預金すれば、1/n 年ごとに利子 1/n で元利合計が増えていき、1年経つと右辺の式になる。n → +∞ とした極限は連続複利の元利合計となる。
オイラーは、導関数が元の関数と等しい指数関数の底が、この式の右辺によって求まることを示した。ここで n は自然数だが、n を実数として変動させた場合も上の式は同じ値に収束する。