コーシー・ビネの公式
A := ( a 1 , 1 ⋯ a 1 , m ⋯ a 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a m , 1 ⋯ a m , m ⋯ a m , n ) , B := ( b 1 , 1 ⋯ b 1 , m ⋮ ⋱ ⋮ b m , 1 ⋯ b m , m ⋮ ⋱ ⋮ b n , 1 ⋯ b n , m ) {\displaystyle A:={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,m}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,m}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}},\quad B:={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m,1}&\cdots &b_{m,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\end{pmatrix}}}
と成分表示すると、公式は
(例2)m = 2, n = 3 の場合として、行列 A = ( 1 1 2 3 1 − 1 ) , B = ( 1 1 3 1 0 2 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}}} を考える。 A B = ( 4 6 6 2 ) , det ( A B ) = | 4 6 6 2 | = − 28 {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6\\6&2\end{pmatrix}},\det(AB)={\begin{vmatrix}4&6\\6&2\end{vmatrix}}=-28} である。
S = { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 1 , 3 } {\displaystyle S=\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}} であるから、
∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = | 1 1 3 1 | ⋅ | 1 1 3 1 | + | 1 2 1 − 1 | ⋅ | 3 1 0 2 | + | 1 2 3 − 1 | ⋅ | 1 1 0 2 | = ( − 2 ) × ( − 2 ) + ( − 3 ) × 6 + ( − 7 ) × 2 = − 28.