超ケーラー多様体
超ケーラー多様体 M は、計量がケーラーであるということより、複素構造を持つ 2次元球面である(つまり、可積分な概複素構造を持つ)。
特に、そのような多様体は概四元数多様体であり、3つの異なる複素構造 I, J, K が存在し、四元数の関係式
I 2 = J 2 = K 2 = I J K = − 1 {\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1\,}
を満たす。実数 a , b , c {\displaystyle a,b,c} が
a 2 + b 2 + c 2 = 1 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,}
を満たすとしたときの任意の線型結合
a I + b J + c K {\displaystyle aI+bJ+cK\,}
もまた、M 上の複素構造である。特に、接空間 TxM は、各々の点 x で四元数ベクトル空間である。Sp(k) は I, J, K に関して線型である R 4 k = H k {\displaystyle \mathbb {R} ^{4k}=\mathbb {H} ^{k}} の直交変換群と考えることができる。このことから、多様体のホロノミーは Sp(k) に含まれることがわかる。逆に、リーマン多様体 M のホロノミー群が Sp(k) に含まれるならば、複素構造 Ix, Jx, Kx を TxM で選び、TxM を四元数ベクトル空間の中へ写像することができる。これらの複素構造の平行移動は求めている M 上の四元数多様体構造をもたらす。