数列
与えられた数列 (an) に対して、それを係数に持つような冪級数を
∑ n = 0 ∞ a n x n , ∑ n = 0 ∞ a n x n n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},\quad \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}
などで与えることにより、数列の性質を関数の性質として調べることができるようになる。これを数列の母関数という。母関数の満たす微分方程式から係数列の漸化式を構成したり、係数列の漸化式から母関数の満たす微分方程式を作ったりすることができる。もし、微分方程式を解いて母関数の閉じた式を手に入れることができるならば、級数の収束する限り、テイラーの定理によって数列の各項の値を、母関数の特殊値として計算することができる。
また、冪級数のコーシー積は数列の畳み込みに対応する。
( c n ) := ( a n ) ∗ ( b n ) {\displaystyle (c_{n}):=(a_{n})*(b_{n})}
( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) ( ∑ n = 0 ∞ b n x n ) = ∑ n = 0 ∞ c n x n {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}
等差数列の初項から n 項までの和 S n = n { 2 f + ( n − 1 ) d } 2 = n ( f + l ) 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {n\left\{2f+(n-1)d\right\}}{2}}={\frac {n(f+l)}{2}}}
(ただし、f = a1 は初項、l = an は末項である)
等比数列の初項から n 項までの和 S n = { a 1 ( 1 − r n ) 1 − r = a 1 ( r n − 1 ) r − 1 ( r ≠ 1 ) n a 1 ( r = 1 ) {\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {a_{1}(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}}&(r\neq 1)\\na_{1}&(r=1)\end{cases}}}
冪和 ∑ i = 1 n i k = 1 k + 2 k + ⋯ + n k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{k}=1^{k}+2^{k}+\cdots +n^{k}} の明示式にはベルヌーイ数が現れる。ベルヌーイ数に限らず、このような関係式によっていくつかの数の系列が定義されることがある。
が成り立ち(微分積分学の基本定理の離散版)、これを和分差分学の基本定理などと呼ぶことがある。このような函数 Δf(x) は周期 1 の周期函数を加える違いを除いて一意である。
数列の和分法について、階乗冪 k は基本的である。
n ≥ 0: ∑ k = 1 m k ( k + 1 ) ⋯ ( k + n − 1 ) = 1 n + 1 m ( m + 1 ) ⋯ ( k + n ) , {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}k(k+1)\cdots (k+n-1)={\frac {1}{n+1}}m(m+1)\cdots (k+n),}
n = −1: ∑ k = 1 m 1 / k = H m , {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}1/k=H_{m},} ここで Hm は第 m 調和数。
n ≤ −2: ∑ k = 1 m 1 k ( k + 1 ) ⋯ ( k + | n | − 1 ) = 1 1 + n ( 1 ( m + 1 ) ⋯ ( m + | n | − 1 ) − 1 ( | n | − 1 ) ! ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k(k+1)\cdots (k+|n|-1)}}={\frac {1}{1+n}}\left({\frac {1}{(m+1)\cdots (m+|n|-1)}}-{\frac {1}{(|n|-1)!}}\right).}
数列 (an) が漸化式によって定められ、漸化式が 1 変数関数 f (x) によって
an+1 = f (an)
と表されているとき、この漸化式は隣接二項間の漸化式であるという。特に、p(n), q(n) を n の関数として、f が p, q を用いた一次式
an+1 = p(n) ⋅ an + q(n)
となっているとき、線型であるという。特に関数 p(n), q(n) が定数である場合、定数係数線型隣接二項間漸化式と呼ばれる。定数係数線型隣接二項間漸化式
an+1 = pan + q
は等差数列あるいは等比数列に帰着され、一般項が n の式として明示的に記述できる:
p = 1 のとき、漸化式は an+1 = an + q であるから、これは等差数列である。
p ≠ 1 のとき、漸化式 an+1 = pan + q の特性方程式と呼ばれる方程式 x = px + q の根を α とすると、漸化式は
an+1 − α = p(an − α)
と変形できる。これは、一般項が bn = an − α で定義される数列 {bn} が公比 p である等比数列となることを表しているから、bn が n の式として得られる。an = bn + α だから、これも n の式として書くことができる。