転送作用素
数学における転送作用素(てんそうさようそ、英: transfer operator)とは、反復写像の情報にある変換を加えるもので、力学系や統計力学、量子カオスやフラクタルの振る舞いを研究する上で頻繁に用いられる。
転送作用素はしばしば、ダヴィッド・ルエールの名にちなんでルエール作用素と呼ばれたり、作用素の固有値を決定するためのペロン=フロベニウスの定理への応用可能性からルエール=ペロン=フロベニウス作用素と呼ばれたりする。
今、考えられる反復函数は、任意の集合 X {\displaystyle X} に対する写像 f : X → X {\displaystyle f:X\rightarrow X} とする。転送作用素は、函数 Φ : X → C {\displaystyle \Phi :X\rightarrow \mathbb {C} } の空間上のある作用素 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} として次のように定義される。
この事実から、時間の不可逆性やエントロピーの増大を含む多くの古典統計力学の結果を説明することが可能となる。
ベルヌーイ写像(英語版) b ( x ) = 2 x − ⌊ 2 x ⌋ {\displaystyle b(x)=2x-\lfloor 2x\rfloor } の転送作用素は厳密に解くことが出来、決定論的カオスの古典的な一例である。すなわちこの作用素の離散固有値はベルヌーイ多項式に対応する。この作用素はまた、フルヴィッツのゼータ函数で構成される連続スペクトルも持つ。
ガウス写像 h ( x ) = 1 / x − ⌊ 1 / x ⌋ {\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor } の転送作用素はガウス=クズミン=ヴィルズィング作用素(GKW 作用素)と呼ばれ、その非常識なまでの難解さゆえにその性質は未だに完全に解明されてはいない。GKW 作用素の理論の起源は、連分数に関するガウスのある仮説が提唱された日にまで遡り、その理論はリーマンゼータ函数と密接に関連する。