部分和分
が得られるが、このような変形を施すことをアーベルの級数変形法と呼ぶのである。これは SN のいくつかある収束判定法の証明に用いられる。
ここで、特に、 an が微分可能な関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} によって a n = f ( n ) {\displaystyle a_{n}=f(n)} と定義されているとき、Bn を実数全体に拡張して B ( x ) = ∑ k ≤ x b k , N = ⌊ x ⌋ {\displaystyle B(x)=\sum _{k\leq x}b_{k},N=\lfloor x\rfloor } とおくことで
S x = S N = a N B N − ∫ 0 N B ( t ) f ′ ( t ) d t = f ( x ) B ( x ) − ∫ 0 x B ( t ) f ′ ( t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}=S_{N}&=a_{N}B_{N}-\int _{0}^{N}B(t)f^{\prime }(t)dt\\&=f(x)B(x)-\int _{0}^{x}B(t)f^{\prime }(t)dt\end{aligned}}}
が導かれる。これをアーベルの総和公式という(この方法自体を単に部分和分と呼ぶこともある)。
定積分に対する部分積分の公式