オイラーの四辺形定理
オイラーはもともと他の定理からこの関係を導いたが、それは簡単な考察ではない。
与えられた四角形 A B C D {\displaystyle ABCD} に対して A B E D {\displaystyle ABED} が平行四辺形になるような点 E {\displaystyle E} を取ると以下の式が成り立つ。
| A B | 2 + | B C | 2 + | C D | 2 + | A D | 2 = | A C | 2 + | B D | 2 + | C E | 2 {\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}}
| C E | {\displaystyle |CE|} は平行四辺形を構成する点 E {\displaystyle E} と構成しない点 C {\displaystyle C} との距離である。 | C E | 2 {\displaystyle |CE|^{2}} は元の四角形が平行四辺形とどれだけ乖離しているかを示す値であり、平行四辺形定理(平行四辺形の辺と対角線の長さの関係を示す定理)に対する補正項である。