群速度
ここで m は粒子の質量、v はその速度である。
また、相対論的な自由粒子については
v g = ∂ E ∂ p = ∂ ∂ p ( p 2 c 2 + m 2 c 4 ) = p c 2 p 2 c 2 + m 2 c 4 = p m ( p / ( m c ) ) 2 + 1 = p m γ = m v γ m γ = v . {\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathrm {g} }&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {p}{m{\sqrt {(p/(mc))^{2}+1}}}}\\&={\frac {p}{m\gamma }}\\&={\frac {mv\gamma }{m\gamma }}\\&=v.\end{aligned}}}
m は粒子の静止質量、c は真空中の光速度、γ はローレンツ因子、v は波の振る舞いに因らない速度である。
例えば電子について、群速度(電子の速度)と位相速度(電子の物質波の速度)は区別できる。