ABC予想
ABC予想(エービーシーよそう、英語: abc conjecture)は、1985年にジョゼフ・オステルレとデイヴィッド・マッサーにより提起された数論の予想である。オステルレ=マッサー予想(英語: Oesterlé–Masser conjecture)とも呼ばれる。
これは多項式に関するメーソン・ストーサーズの定理の整数における類似であり、互いに素でありかつ a + b = c を満たすような3つの自然数(この予想に呼び方を合わせると)a, b, c の和と積の関係について述べている。
ABC予想は、この予想から数々の興味深い結果が得られることから有名になった。数論における数多の有名な予想や定理がABC予想から直ちに導かれる。
ドリアン・モリス・ゴールドフェルド(英語版)は、ABC予想を「ディオファントス解析で最も重要な未解決問題」であるとしている。
平方数と立方数の間隔に関する予想 (Nitaj 1996)。
c < K ( ε ) ⋅ rad  ( a b c ) 1 + ε {\displaystyle c<K(\varepsilon )\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}
(K(ε) を ε に依らずに取ることはできない。)
三つ目の定式化は「質」(quality) と呼ばれる概念を導入して表現する。abc-triple (a, b, c) に対して、質 q(a, b, c) を次のように定義する:
q ( a , b , c ) := log  c log  ( rad  ( a b c ) ) . {\displaystyle q(a,b,c):={\frac {\log c}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}.}
このときABC予想は、任意の ε > 0 に対して、abc-triple (a, b, c) であって q(a, b, c) > 1 + ε を満たすものは高々有限個しか存在しないということを主張している。
現在、q(a, b, c) > 1.6 を満たす abc-triple は後述の通り3組しか知られていない。q(a, b, c) を 2 まで大きくすれば、そうした abc-triple は存在しないという予想もある。すなわち「全ての abc-triple (a, b, c) に対して、c < rad(abc) を満たすであろう」という主張だが、こちらも肯定も否定もされていない。