静磁場
一方、 φ M ( r ) {\displaystyle {\phi }_{M}(\mathbf {r} )} の定義により、
H M ( r ) = − grad r  [ φ M ( r ) ] {\displaystyle {\mathbf {H} }_{M}(\mathbf {r} )=-\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }[{\phi }_{M}(\mathbf {r} )]} (2-3-13)
であるため、
H M ( r ) = ∫ s ∈ Ω grad r  [ − ρ M ( s ) | r − s | ] d 3 Ω + ∫ s ∈ ∂ Ω grad r  [ − σ M ( s ) | r − s | ] | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle {\mathbf {H} }_{M}(\mathbf {r} )={\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {{-\rho }_{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\Omega \ +{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {{-\sigma }_{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|} (2-3-14)
である。
H tot ( r ) = ν ( r ) B tot ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )={\nu }(\mathbf {r} )\mathbf {B} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )} (3-3-3)
である。ここで、
ν:=μ (3-3-4)
は、各点でμの逆行列を与えるような行列値関数である。即ち、
μ(s) ν(s)=μ(s) μ(s)=E3 (3-3-5)
を充たすような行列値関数である。(ここでE3は3次の単位行列)である。
これまでの議論では、電流素片や磁気双極子モーメントが作り出した磁束密度/磁場について論じてきたが、 式(3-1-2),式(3-2-4)より、このようにして作られた全系の磁場が、磁束保存の式と、アンペールの法則を 充たすことが判った。 ここからは、逆に、磁束保存の式(3-3-6)と、アンペールの法則(3-3-7)、即ち、
div  [ B f c ] = 0 {\displaystyle \operatorname {div} [\mathbf {B} _{fc}]=0} (3-3-6a)
div  [ B M ] = 0 {\displaystyle \operatorname {div} [\mathbf {B} _{M}]=0} (3-3-6b)
div  [ B tot ] = 0 {\displaystyle \operatorname {div} [\mathbf {B} _{\text{tot}}]=0} (3-3-6c)
時間的に定常な磁化が作り出す磁気ベクトルポテンシャルを、別の側面から考察してみることにしよう。ここでは、「磁束密度の原因は、電流に帰される」という思想に従い、 だとすれば、「磁化と等価な効果を発揮する電流」がどのようなものかを検討することにする。
前記 A M ( r ) {\displaystyle \mathbf {A} _{M}(\mathbf {r} )} に、 ベクトル解析の公式を適用すると、
A M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω ( ( M ( s ) ) × ( r − s ) | r − s | ) d 3 s = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω ( rot s  [ M ( s ) ] | r − s | ) d 3 s + μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( M ( s ) × n ∂ Ω | r − s | ) | d 2 ( ∂ Ω ) | (2-4-1) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{M}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\left({\frac {(\mathbf {M} (\mathbf {s} ))\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ {d}^{3}\mathbf {s} \\&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\left({\frac {\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} (\mathbf {s} )]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ {d}^{3}\mathbf {s} +{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )\times \mathbf {n} _{\partial \Omega }}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|\qquad {\text{(2-4-1)}}\end{aligned}}}
F,Gを、ベクトル場、fを、スカラー値関数とする。このとき、以下が成り立つ。
rot  [ f F ] = grad  [ f ] × F + f ⋅ rot  [ F ] {\displaystyle \operatorname {rot} [f\mathbf {F} ]=\operatorname {grad} [f]\times \mathbf {F} +f\cdot \operatorname {rot} [\mathbf {F} ]}
rot  [ F × G ] = ⟨ G | ∇ ⟩ F − ⟨ F | ∇ ⟩ G + F div  [ G ] − G div  [ F ] {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {F} \times \mathbf {G} ]=\left\langle \ \mathbf {G} \ |\ \nabla \ \right\rangle \mathbf {F} -\left\langle \ \mathbf {F} \ |\ \nabla \ \right\rangle \mathbf {G} +\mathbf {F} \operatorname {div} [\mathbf {G} ]-\mathbf {G} \operatorname {div} [\mathbf {F} ]}