リース函数
1/2 より大きい任意の冪乗 e に対して、次が成立する。
Riesz  ( x ) = O ( x e ) ( as x → ∞ ) {\displaystyle \operatorname {Riesz} (x)=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty )}
ただしこの右辺はランダウの記号であり、値は正および負のいずれの方向についても考えられている。リースは、上の式が 1/4 より大きい任意の e について成り立つことはリーマン予想と同値であることを示した。ただしその同じ論文においては、やや悲観的な次の注釈も見られる «Je ne sais pas encore decider si cette condition facilitera la vérification de l'hypothèse»。
↑ M. Riesz, «Sur l'hypothèse de Riemann», Acta Mathematica, 40 (1916), pp.185-90.». For English translation look here
↑ M. Wolf, "Evidence in favor of the Baez-Duarte criterion for the Riemann Hypothesis", Computational Methods in Science and Technology, v.14 (2008) pp.47-54
↑ H.Wilf, " On the zeros of Riesz' function in the analytic theory of numbers", Illinois J. Math., 8 (1964), pp. 639-641
( ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n − 2 k ) {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-2k}\right)}
∑ k = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ( x / n 2 ) k ( k − 1 ) ! = x ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 2 exp  ( − x n 2 ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}\left(x/n^{2}\right)^{k}}{(k-1)!}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right).}
ここで μ はメビウス函数であり、項の再構成は絶対収束によって正当化される。再びクンマーの方法を適用することで、
R i e s z ( x ) = x ( 6 π 2 + ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 2 ( exp  ( − x n 2 ) − 1 ) ) {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\left(\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)-1\right)\right)}