再帰
日本国内の数学では、"Recursion"や"Recursive"に対して再帰の代わりに「帰納」の訳語をあてた数学用語も幾つか存在する(帰納的可算集合、帰納言語、帰納的関数など)。これは下にある「自然数の再帰的定義の例」でも分かるように、数学における再帰には数学的帰納法と原理的な共通性があるためである。
再帰的に定義できうる文章の他にも多くの構造があり、別の品詞に文章を組み込む方法も沢山ある(例えば修飾語を文章形式にする)。長い歳月を経て、言語には一般的にこの種の分析で順応性があることが証明されている。
しかし近年、再帰が人類の言語の本来的な性質であるという一般的に受け入れられている思想は、ダニエル・L・エヴェレットによって彼のピダハン語研究に基づく反論が行われている。アンドリュー・ネヴィンズ、デイヴィッド・ペセツキー、シリーン・ロドリゲスがこれに反対する識者達である。いずれの場合でも、文学的な自己言及は数学的・論理的な再帰とは種類が異なると論じられている。
再帰は、構文だけでなく自然言語の意味論においても重要な役割を果たしている。例えば接続詞"and"は、文意に沿った新しい文章を付加できる機能だと解釈することが可能で、名詞句や動詞句などに適用できる。これは、文を繋げる単純な場合について定義したもので、他の接続詞は同様の観点から再帰的に定義することができる。
再帰的に定義された集合の標準例が、自然数である。
0 は N {\displaystyle \mathbb {N} } に含まれる。
仮にnが N {\displaystyle \mathbb {N} } に含まれるなら、n+1は N {\displaystyle \mathbb {N} } に含まれる。
自然数の集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } とは、上記2つの性質を満たす最小の集合である。
数理論理学において、ペアノの公理とはドイツの数学者リヒャルト・デーデキントとイタリアの数学者ジュゼッペ・ペアノによって19世紀に提示された自然数の公理である。ペアノ公理は、再帰的な後者関数と再帰関数としての加算・乗算を参照して自然数を定義している。