擬環
擬環 R が「冪等環」(irng) であるとは、R = R を満たすことを言う。つまり、R の各元 r に対して r = ∑ i r i s i {\displaystyle r=\sum _{i}r_{i}s_{i}} を満たす R の元 ri, si が取れることをいう。
などを挙げることができる。これらが単位元を持つことよりも弱い性質であることや、後へ行くほどより緩い制約条件となっていることを確かめることは難しくない。
単位的環が十分豊富に冪等元を持つことは E = {1} とすればよい。
冪等元を十分豊富に持つ非単位的環には例えば、有限個の例外を除く全ての成分が 0 であるような体上の無限次行列全体の成す環が挙げられる。主対角成分のただ一つの成分だけが 1 で他は全部 0 であるような行列がこの環の直交冪等系になる。
冪等元を十分豊富に持つ環が局所単位元を持つことは、直交冪等系の有限和が局所単位元の定義を満たすことを見ればよい。
局所単位元を持つ環が s-単位的であること、s-単位的環が堅固であること、堅固な環が冪等環であることはいずれも明らかであろう。