台 (測度論)
μ がゼロとなるような点を除き、残りの部分 X / { x ∈ X | μ({x}) = 0 } を台として定義する場合。これはディラック測度 δp には適しているが、ルベーグ測度 λ には適さない。実際、任意の点のルベーグ測度はゼロであるため、この定義では λ の台は空集合となってしまう。
狭義正測度の概念と比較することで、近傍の測度が正となるようなすべての点からなる集合
{ x ∈ X ∣ for some open N x ∋ x , μ ( N x ) > 0 } {\displaystyle \{x\in X\mid {\text{for some open }}N_{x}\ni x,\mu (N_{x})>0\}}
を台と定義する(あるいはこの閉包で定義する)場合。これもまた適切ではないことが簡単に分かる。実際、すべての点 x ∈ X に対して Nx = X とすれば、ゼロ測度を除くすべての測度の台が X 全体となってしまう。
しかし、「局所狭義正」(local strict positivity)の概念は、測度の台の定義として丁度良いものであることが、次節で分かる。