局所体
1次元トーラス { x ∈ C | | x | ∞ = 1 } {\displaystyle \scriptstyle \{x\in \mathbb {C} |\ |x|_{\infty }=1\}} を T とし、加法群 R / Z {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } から乗法群 T への連続な同型写像を
e : R → T z ↦ exp  ( 2 π − 1 z ) {\displaystyle {\begin{array}{rccc}e:&\mathbb {R} &\to &T\\&z&\mapsto &\exp(2\pi {\sqrt {-1}}z)\end{array}}}
で定める。
K を局所体とすると、K は加法に対する局所コンパクトな位相群と見なせるので、K から T への連続な準同型写像、つまり K の連続な指標が存在する。連続な指標全体からなる群つまり指標群を K ^ {\displaystyle {\hat {K}}} とおく。
局所体 K に対して、K の正規指標 χ K {\displaystyle \chi _{K}} を以下の様に定める。
(1) K が p進体のとき
p進体 の 0 ではない元 x に対して、
x = ∑ i = r ∞ c i p i ( c i = 0 , 1 , ...
T を L / K {\displaystyle L/K} の最大不分岐部分拡大体とすれば、拡大次数 [ T : K ] {\displaystyle [T:K]} は、L の K に対する剰余次数に等しく、 L / T {\displaystyle L/T} は完全分岐であり、拡大次数 [ L : T ] {\displaystyle [L:T]} は、L の K に対する分岐指数に等しい。
以上のことの例として、 Q 3 {\displaystyle \mathbb {Q} _{3}} の2次の代数拡大体は、同型を除くと Q 3 ( − 1 ) , Q 3 ( 3 ) , Q 3 ( − 3 ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{3}({\sqrt {-1}}),\ \mathbb {Q} _{3}({\sqrt {3}}),\ \mathbb {Q} _{3}({\sqrt {-3}})} だけであるが、 このうち最初に挙げた Q 3 ( − 1 ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{3}({\sqrt {-1}})} が不分岐拡大である。
特に、 L / K {\displaystyle L/K} が有限次ガロア拡大であるとすれば、 L / T {\displaystyle L/T} のガロア群が可解群となるので(付値体を参照)、 L / K {\displaystyle L/K} のガロア群もそうである。 つまり、局所体 K 上の任意の代数方程式に対して、有限回の四則計算と根号を用いて代数的に根を得ることができる。
上記において、 Gal  ( L / K ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Gal} (L/K)} は以下の性質を満たす L の自己同型写像 φ {\displaystyle \varphi } で生成される。
φ ( x ) ≡ x q ( mod p L ) ( x ∈ O L ) {\displaystyle \varphi (x)\equiv x^{q}\ \ {\pmod {{\mathfrak {p}}_{L}}}\ \ \ \ (x\in {\mathcal {O}}_{L})}
但し、 O L {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}_{L}} は | ⋅ | L {\displaystyle |\cdot |_{L}} の付値環、 p L {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{L}} はその付値イデアル、q を K の剰余体 F K {\displaystyle F_{K}} の元の個数とする。
この φ {\displaystyle \varphi } を L / K {\displaystyle L/K} のフロベニウス自己同型写像もしくはフロベニウス置換という。
さて、局所体 K の n 次代数拡大体に対して、不分岐拡大となるものは上のことから同型を除いて1つしか存在しないが、それ以外(つまり不分岐ではない拡大体)については、以下のことが成立する。