半群
数学における半群(はんぐん、英: semigroup)は、集合 S とその上の結合的二項演算とをあわせて考えた代数的構造である。言い換えれば、半群とは演算が結合的なマグマである。「半群」という名は群に由来する。群と異なり半群では、単位元が存在するとは限らず、また各元は必ずしも逆元を持たない。
半群の演算は多くの場合乗法的に書く(順序対 (x, y) に演算を施した結果を x • y あるいは単に xy と表す)。
半群について本格的な研究が行われるようになるのは20世紀に入ってからである。半群は、「無記憶」系 ("memoryless" system) すなわち各反復時点でゼロから開始される時間依存系 (time-dependent system) の抽象代数的な定式化の基盤であり、数学の様々な分野において重要な概念となっている。応用数学においては、半群は線型時間不変系(英語版)の基本モデルである。また偏微分方程式論では、半群は空間発展的かつ時間非依存な任意の方程式に対応している。有限半群論は1950年代以降、有限半群と有限オートマトンとの間の自然な関連性から、理論計算機科学の分野で特に重要となっている。確率論では半群はマルコフ過程に関連付けられる (Feller 1971)。
を定めるが、さらに合同類の間の二項演算 ∘ を
[ u ] ∘ [ v ] = [ u v ] {\displaystyle [u]\circ [v]=[uv]}
で定めるとこれは矛盾無く定義できて半群演算となる。これにより、半群合同 ∼ による合同類の全体 S/∼ は ∘ を演算として半群を成す。この半群を剰余半群 (residue class semigroup)、商半群 (quotient semigroup, factor semigroup) などと呼ぶ。自然な写像
S → S / ∼ ; x ↦ [ x ] {\displaystyle S\to S/{\sim }\,;\;x\mapsto [x]}
は全射半群準同型であり、商写像などと呼ばれる。S がモノイドならばその剰余半群は S の単位元の属する合同類を単位元とするモノイドを成す。逆に、任意の半群準同型の核は半群合同を与える。これらの結果は、普遍代数学における第一同型定理の特別な場合にほかならない。
半群の任意のイデアル I は、
x ρ y ⟺ x = y or x , y ∈ I {\displaystyle x\,\rho \,y\iff x=y{\text{ or }}x,y\in I}
で定まる半群合同 ρ に関するリース剰余半群(英語版)として部分半群を誘導する。