始代数
例えば、集合の圏 Set において、終対象である一元集合を 1 として、自己関手 1 + (–):: X → 1 + X を考える。この自己関手 F に対する F-代数とは、集合 X(これをこの代数の台集合と呼ぶ)とその点 x ∈ X (あるいは同じことだが写像 x: 1 → X) および自己写像 f: X→X の組 (X, [x, f]) のことを言う(紛れの虞の無い場合にしばしば、この組のことを記号の濫用により台集合と同じ記号のみを以って代用し「始代数 X」などと言い表す)。この場合の始代数は、自然数全体の成す集合 N を台集合とし、その最小元 0 と後者関数 succ からなる組 (N, [0, succ]) で与えられる。
この始代数 (N, [0, succ]) が実際に始対象性(この場合は普遍性)を持つことを確かめるのは難しくない。