三角関数の部分分数展開
となるから、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は | R z | ≤ 1 2 {\displaystyle |\Re {z}|\leq \textstyle {\frac {1}{2}}} において有界であるが、 f ( z + 1 ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+1)=f(z)} であるから複素平面全体においても有界である。従って、リウヴィルの定理により f ( z ) = f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(z)=f(0)=0} である。
他の関数については
π tan  π z = − π cot  π ( z + 1 2 ) = lim N → ∞ ∑ n = − N N − 1 z + 1 2 + n = − ∑ n = 0 ∞ 2 z z 2 − ( n + 1 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\pi \tan {{\pi }z}&=-\pi \cot {{\pi }\left(z+\textstyle {\frac {1}{2}}\right)}\\&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {-1}{z+\textstyle {\frac {1}{2}}+n}}=-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-\left(n+\textstyle {\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}