モース-ケリー集合論
W_{n}\exists Y\forall x[x\in Y\leftrightarrow (\phi (x,W_{1},...W_{n})\land Mx)]}
対: 任意の集合 x と y に対して、要素が x と y のみからなる集合 z = { x , y } {\displaystyle z=\{x,y\}} が存在する。
∀ x ∀ y [ ( M x ∧ M y ) → ∃ z ( M z ∧ ∀ s [ s ∈ z ↔ ( s = x ∨ s = y ) ] ) ] . {\displaystyle \forall x\,\forall y\,[(Mx\land My)\rightarrow \exists z\,(Mz\land \forall s\,[s\in z\leftrightarrow (s=x\,\lor \,s=y)])].}
対の公理によって、順序のない対から順序対 ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle } を、通常のように { { x } , { x , y } } {\displaystyle \ \{\{x\},\{x,y\}\}} として定義できる。順序対があるため、クラス内包から集合上の関係や関数を順序対上の集合として定義でき、次の公理が可能になる。
サイズ制限: V と C との間に全単射が存在するとき、かつそのときに限り、C は真のクラスである。
∀ C [ ¬ M C ↔ ∃ F ( ∀ x [ M x → ∃ s ( s ∈ C ∧ ⟨ x , s ⟩ ∈ F ) ] ∧ ∀ x ∀ y ∀ s [ ( ⟨ x , s ⟩ ∈ F ∧ ⟨ y , s ⟩ ∈ F ) → x = y ] ) ] .