テイラーの定理
テイラーの定理の多変数版 ― f: R → R を点 a∈R において k 回微分可能な関数とする。このとき次を満たす hα: R→R が存在する:
f ( x ) = ∑ | α | ≤ k D α f ( a ) α ! ( x − a ) α + ∑ | α | = k h α ( x ) ( x − a ) α , {\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha },}
lim x → a h α ( x ) = 0. {\displaystyle \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})=0.
ハイラー, E.、ヴァンナー, G. 著、蟹江幸博 訳『解析教程』 下、丸善出版、2012年。ISBN 978-4-621-06190-9。https://books.google.com/books?id=zML3A8iCmeUC&pg=PA98。
杉浦, 光夫『解析入門I』東京大学出版会〈基礎数学2〉、1980年。ISBN 978-4-13-062005-5。
Apostol, Tom (1967), Calculus, Wiley, ISBN 0-471-00005-1 .
Apostol, Tom (1974), Mathematical analysis, Addison–Wesley .
Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011), Introduction to Real Analysis (4th ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6 .
Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6 .
Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 2, Oxford University Press .
Kline, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach, Dover, ISBN 0-486-40453-6 .
Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis, Springer, ISBN 0-387-94108-8 .
Stromberg, Karl (1981), Introduction to classical real analysis, Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2 .
Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1 .
となるので、要求された正確さは
4 ( k + 1 ) ! < 10 − 5 ⇔ 4 ⋅ 10 5 < ( k + 1 ) ! ⇔ k ≥ 9 {\displaystyle {\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Leftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Leftrightarrow \quad k\geq 9}
のときに確かに達成されている。(値 9! = 362 880 および 10! = 3 628 800 は階乗を参照するか手計算せよ。)結論として、テイラーの定理から次の近似が導かれる:
e x = 1 + x + x 2 2 ! + ... + x 9 9 ! + R 9 ( x ) , | R 9 ( x ) | < 10 − 5 , − 1 ≤ x ≤ 1. {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.}
例えば、この近似から小数点以下五桁まで正しい小数表示 e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828} が得られる。
微分積分学において、テイラーの定理(テイラーのていり、英: Taylor's theorem)は、k 回微分可能な関数の与えられた点のまわりでの近似を k 次のテイラー多項式によって与える。解析関数に対しては、与えられた点におけるテイラー多項式は、そのテイラー級数を有限項で切ったものである。テイラー級数は関数を点のある近傍において完全に決定する。「テイラーの定理」の正確な内容は1つに定まっているわけではなくいくつかのバージョンがあり、状況に応じて使い分けられる。バージョンのいくつかは関数のテイラー多項式による近似誤差の明示的な評価を含んでいる。
テイラーの定理は1712年に1つのバージョンを述べた数学者ブルック・テイラー (Brook Taylor) にちなんで名づけられている。しかし誤差の明示的な表現はかなり後になってジョゼフ=ルイ・ラグランジュ (Joseph-Louis Lagrange) によってはじめて与えられた。結果の初期のバージョンはすでに1671年にジェームス・グレゴリー (James Gregory) によって言及されている。
テイラーの定理は微分積分学の入門レベルで教えられ、解析学の中心的な初等的道具の1つである。純粋数学ではより進んだ漸近解析(英語版)の入り口であり、より応用的な分野の数値解析や数理物理学においてよく使われている。テイラーの定理は任意次元 n, m の多変数ベクトル値関数 f: R → R にも一般化する。テイラーの定理のこの一般化は微分幾何学や偏微分方程式において現れるいわゆるジェット(英語版)の定義の基礎である。