ケーラー微分
代数的整数論において、ケーラー微分を代数体の拡大の分岐を研究するために使うことができる。L/K が有限拡大でそれぞれの整数環が O と o であれば、different ideal δL/K は、分岐のデータをエンコードするが、O-加群 ΩO/o の零化イデアルである:
δ L / K = { x ∈ O : x d y = 0 for all y ∈ O } . {\displaystyle \delta _{L/K}=\{x\in O:x\mathrm {d} y=0{\text{ for all }}y\in O\}.}
アイデアは今 R 上の導分(英語版)
d:S → ΩS/R
の普遍的構成(英語版)を与えることである、ただし ΩS/R は S-加群であって、外微分の純代数的類似である。これが意味するのは d は R-加群の準同型であって S のすべての s と t に対して
d(st) = s dt + t ds
ということであり、d は任意の他の導分が S-加群準同型との合成によってそれから得られるという意味でそのような最良の導分である。
ΩS/R と d の実際の構成は以下のように進行する。S の元 s に対して形式的な生成元 ds を導入し、次の関係を課す: S のすべての元 s と t に対して、
dr = 0 for r in R,
d(s + t) = ds + dt,
d(st) = s dt + t ds
別の構成もある。I をテンソル積 S ⊗ R S {\displaystyle S\otimes _{R}S} の次のようなイデアルとする。すなわち、 Σ s i ⊗ t i ↦ Σ s i . t i {\displaystyle \Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}.t_{i}} によって与えられる積写像 S ⊗ R S → S {\displaystyle S\otimes _{R}S\to S} の核として I を定義する。このとき S のケーラー微分の加群は次のように定義しても同値である。ΩS/R = I/I とし、射 d は
d s = 1 ⊗ s − s ⊗ 1. {\displaystyle \mathrm {d} s=1\otimes s-s\otimes 1.\,}