ヘリーの選択定理
ヘリーの選択定理には多くの一般化と拡張が存在する。バナッハ空間に値を取る BV 函数に対する次の定理は、Barbu and Precupanu によるものである。
X を回帰的かつ可分なヒルベルト空間とし、E を X の閉凸集合とする。Δ : X → [0, +∞) を正定かつ次数1の斉次函数とする。すべての n ∈ N と t ∈ [0, T] に対して zn は BV([0, T]; X) 内の一様有界列で、zn(t) ∈ E とする。このとき、ある部分列 znk と函数 δ, z ∈ BV([0, T]; X) が存在して、次が成り立つ。
すべての t ∈ [0, T] に対して
∫ [ 0 , t ) Δ ( d z n k ) → δ ( t ) ; {\displaystyle \int _{[0,t)}\Delta (\mathrm {d} z_{n_{k}})\to \delta (t);}
すべての t ∈ [0, T] に対して
z n k ( t ) ⇀ z ( t ) ∈ E ; {\displaystyle z_{n_{k}}(t)\rightharpoonup z(t)\in E;}
すべての 0 ≤ s < t ≤ T に対して
∫ [ s , t ) Δ ( d z ) ≤ δ ( t ) − δ ( s ) . {\displaystyle \int _{[s,t)}\Delta (\mathrm {d} z)\leq \delta (t)-\delta (s).}