ゲルマン行列
ゲルマン行列の交換関係 [λa, λb]=λa λb-λb λa は次のようなゲルマン行列の線形結合で表される。
[ λ a , λ b ] = 2 i ∑ c = 1 8 f a b c λ c {\displaystyle [\lambda _{a},\lambda _{b}]=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c}}
ここで、fabc は添え字 a, b, c について、完全反対称な実係数である。fabc のうち、ゼロでないものは、a < b < c を満たすもので代表させて表すと、次のようになる。
f 123 = 1 {\displaystyle f_{123}=1}
f 147 = f 246 = f 257 = f 345 = 1 2 {\displaystyle f_{147}=f_{246}=f_{257}=f_{345}={\frac {1}{2}}}
f 156 = f 367 = − 1 2 {\displaystyle f_{156}=f_{367}=-{\frac {1}{2}}}
f 458 = f 678 = 3 2 {\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}
一方、反交換関係 {λa, λb}=λa λb+λb λa は次の形をとる。