層 (数学)
層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の茎 (stalk) F x {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}} は、点 x ∈ X の「まわり」の層の性質を捕らえる。ここに、「まわり」の意味は、概念的に言うと、その点のいくらでも小さい近傍を見るということであるが、もちろん、単独の近傍では十分小さくないので、ある種の極限をとらなければならない。
茎は、与えられた点 x を含む X のすべての開集合上での帰納極限
F x = lim → U ∋ x  F ( U ) , {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}
によって定義される。言い換えると、茎の元は、x のある開近傍上の切断により与えられ、2つのそのような切断は、より小さな近傍でそれらの制限が一致するとき、同じであると考える。
自然な射 F(U) → Fx は F(U) の切断 s をその芽 (germ) へ写す。これは芽の通常の定義を一般化する。
茎の別の定義方法は、
F x := i − 1 F ( { x } ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}:=i^{-1}{\mathcal {F}}(\{x\})}
であり、ここに i は一点空間 {x} から X への包含である。同値性は逆像(英語版)の定義から導かれる。
多くの状況下で、層の茎を知ることは、層自身を知るに充分である。例えば、層の射が単射、全射、あるいは同型射であるか否かは、茎の上で調べることができる。ゴドマン分解(英語版)のような構成においても、茎が使われる。