冪零元
この局所化環の素イデアルはちょうど p ∩ S = ∅ {\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset } であるような素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} と対応する 。すべての零でない可換環は極大イデアルをもちそれは素イデアルでもあるので、どの冪零でない x {\displaystyle x} もある素イデアルに含まれない。したがって N {\displaystyle {\mathfrak {N}}} はちょうどすべての素イデアルの共通部分である。
ジャコブソン根基と単純加群の零化 (annihilation) の特徴づけに似た特徴づけが冪零根基に対してもできる。環 R の冪零元はちょうど環 R に internal なすべての整域(すなわち素イデアル I に対して R/I の形のもの)を零化する元である。このことは冪零根基はすべての素イデアルの共通部分であるという事実から従う。