ガウス整数
ガウス整数 α = a + bi は二次方程式 x − 2ax + (a + b) = 0 の解である(ゆえにガウス整数は代数的整数である)。この方程式のもう一つの解は a − bi である。これを α の共役といい、α で表す(この場合、α は α の複素共役でもある)。方程式の係数に現れる、共役との和 2a を α のトレース(もしくはシュプール)、共役との積 a + b を α のノルムという。すなわち、ガウス整数のノルムとは
N(a + bi) := a + b
で与えられる非負の有理整数である。この値は絶対値の平方に等しい。また、ノルムは乗法的性質を持つ。すなわち、2つのガウス整数 α, β に対して
N(αβ) = N(α)N(β)
が成り立つ。
ガウス整数環における素因数分解の一意性は、ガウスが初めて証明した。現代的には、環論の用語を用いて次のように証明するのが一般的である。
ガウス整数環はノルムに関してユークリッド整域である。一般にユークリッド整域は単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は素元分解整域である。したがって、ガウス整数環は素元分解整域である。
以下では、なるべく環論の用語を用いずに、証明のあらすじを与える。
ステップ1(ガウス整数環がユークリッド整域であること)
ユークリッド整域とは、素朴に言えば、その中で適切な余りの出る割り算ができる整域のことである。ユークリッドの互除法が通用する整域という意味合いである。ガウス整数環はノルムに関してユークリッド整域である。すなわち、次が成り立つ。
任意のガウス整数 α, β (≠ 0) に対して
α = βγ + δ (N(δ) < N(β))
を満たすガウス整数 γ, δ が存在する。
(証明)ガウス平面において α β {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}} に最も近いガウス整数 γ を取ると
| α β − γ | ≤ 1 2 < 1 {\displaystyle \left|{\frac {\alpha }{\beta }}-\gamma \right|\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}<1}
(中辺は一辺の長さが 1 の正方形の対角線の長さの半分)であることから、N(α − βγ) < N(β) となるので、δ = α − βγ とおけばよい。
ステップ2(ガウス整数環が単項イデアル整域であること)
単項イデアル整域とは、任意のイデアルが単項イデアルである整域のことであるが、ここではイデアルという用語を用いずに、対応する以下の命題を示す。