リー環の拡大
ループ群(英語版)は単位円周 S からリー群 G への滑らかな写像の群に群構造を G 上の群構造によって定義したものとして取られる.するとループ群のリー環は S から G のリー環 g への写像のベクトル空間である.そのようなリー環の任意の部分環はループ代数と呼ばれる.ここでは注意は次の形の多項式ループ代数に当てられる:
{ h : S 1 → g ∣ h ( λ ) = ∑ λ n G n , n ∈ Z , λ = e i θ ∈ S 1 , G n ∈ g } . {\displaystyle {\bigl \{}h\colon S^{1}\to {\mathfrak {g}}\mid h(\lambda )=\sum \lambda ^{n}G_{n},n\in \mathbb {Z} ,\lambda =e^{i\theta }\in S^{1},G_{n}\in {\mathfrak {g}}{\bigr \}}.}
これを見るために,ループ群の元 H に対して G の単位元の近くの元 H(λ) で g の基底 {Gk} で表されたもの
H ( λ ) = e h k ( λ ) G k = e G + h k ( λ ) G k + ⋯ {\displaystyle H(\lambda )=e^{h^{k}(\lambda )G_{k}}=e_{G}+h^{k}(\lambda )G_{k}+\dotsb }
を考える,ただし h(λ) は実数で小さく,和は g の次元 K を渡る.さて
リー群 G の射影表現 Π(G)(背景)は,いわゆる群拡大 Gex を定義するのに使うことができる.
量子力学において,ウィグナーの定理は,G が対称変換群であるとき,それはユニタリあるいは反ユニタリ作用素によってヒルベルト空間上射影的に表現されるということを述べている.これはしばしば,G の普遍被覆群(英語版)にうつりそれを対称変換群ととることで扱われる.これは回転群 SO(3) やローレンツ群 O(3, 1) に対してはうまくいくが,対称変換群がガリレイ群(英語版)のときはうまくいかない.この場合その中心拡大であるバーグマン群にうつらなければならない.これはシュレディンガー方程式の対称変換群である.同様に,G = R, 位置と運動量の空間の平行移動の群のとき,その中心拡大であるハイゼンベルク群にうつらなければならない.
ω を Π から誘導される G 上の 2-コサイクルとする.集合として
G e x = C ∗ × G = { ( λ , g ) ∣ λ ∈ C , g ∈ G } {\displaystyle G_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} ^{*}\times G=\{(\lambda ,g)\mid \lambda \in \mathbb {C} ,\,g\in G\}}
と定義し,乗法を
( λ 1 , g 1 ) ( λ 2 , g 2 ) = ( λ 1 λ 2 ω ( g 1 , g 2 ) , g 1 g 2 ) {\displaystyle (\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})=(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2})}
以下では次のような記号の濫用が用いられる:指数写像 exp で引数が与えられたとき e, 直積 G × H の元 (g, eH) を g(eH は H の単位元),リー環の直和でも同様(さらに g + h = (g, h) と書かれる).半直積と半直和についても同様.標準的単射(群とリー環両方)は暗黙の同一視のために用いられる.さらに.G, H, ..., が群であれば,G, H, ..., の元のデフォルトの名前は g, h, ..., であり,それらのリー環は g, h, ... である.g, h, ..., の元のデフォルトの名前は G, H, ... であり(群と同じ!),乏しいアルファベット資源を節約する意味もあるが,主に統一的な表記のためである.
拡大の材料となるリー環は,何も言わずに,同じ体上のものが取られる.
総和規約が使われ,上下両方の添え字に関わる場合もある.
警告:以下の証明や証明の概略のすべてが普遍的な有効性を持っているわけではない.主な理由はリー環がしばしば無限次元であるために,リー環に対応するリー群がないかもしれないからである.さらに,そのような群が存在したとしても,「通常の」性質を持っているとは限らず,例えば指数写像があるとは限らず,もしあっても「通常の」性質をすべては持たないかもしれない.そのような場合には,群を「リー群」と呼ぶべきかどうか疑わしい.文献は画一的でない.明示的な例にはたぶん,妥当な構造が適切な位置に書かれる.
δ [ G 1 , G 1 ] = [ δ G 1 , G 2 ] + [ G 1 , δ G 2 ] ⟺ e t δ [ G 1 , G 2 ] = [ e t δ G 1 , e t δ G 2 ] , ∀ t ∈ R {\displaystyle \delta [G_{1},G_{1}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]\iff e^{t\delta }[G_{1},G_{2}]=[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],\quad \forall t\in \mathbb {R} }
を示さなければならない.右側が成り立てば,微分して t = 0 とおけば左側が成り立つ.左側 (A) が成り立てば,右側を
[ G 1 , G 2 ] = ? e − t δ [ e t δ G 1 , e t δ G 2 ] {\displaystyle [G_{1},G_{2}]\;{\overset {?}{=}}\;e^{-t\delta }[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}]}
と書き,この式の右辺を微分する.それは,(A) を用いて,恒等的に 0 である.したがってこの式の右辺は t に依らず,t = 0 に対するその値に等しく,これはこの式の左辺である.
G ∈ g ならば,adG1(G2) = [G1, G2] によって作用する adG は導分である.集合 {adG : G ∈ g} は g 上の内部微分全体の集合である.有限次元単純リー環に対して,すべての微分は内部微分である.
(ただし T と SO(3, 1) は P におけるそれらの像と同一視される).ポワンカレ群において (0, Λ)(a, I)(0, Λ) = (Λ a, I) ∈ T ⊂ P であることが直ちに従う.したがってすべてのローレンツ変換 Λ は逆写像が ΦΛ の T の自己同型 ΦΛ に対応し,Φ は明らかに準同型である.さて
P ̄ = T ⊗ S O ( 3 , 1 ) {\displaystyle {\overline {\mathrm {P} }}=\mathrm {T} \otimes _{S}\mathrm {O} (3,1)}
と定義し,乗法を (4) で与える.定義を解きほぐすことで乗法が最初の乗法と同じであることが分かり,P = P であることが従う.(5') より ΨΛ = AdΛ なので (6') より ψλ = adλ. λ ∈ o(3, 1) である.
J a μ = − π μ i F a φ , π k μ = ∂ L ∂ ( ∂ μ φ k ) , {\displaystyle J_{a}^{\mu }=-\pi ^{\mu }iF_{a}\phi ,\quad \pi ^{k\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{k})}},}
where π ≡ π is the momentum canonically conjugate to Φk. The reason these currents are said to be conserved is because
∂ μ J a μ = 0 , {\displaystyle \partial _{\mu }J_{a}^{\mu }=0,}
and consequently
Q a ( t ) = ∫ J a 0 d 3 x = c o n s t ≡ Q a , {\displaystyle Q_{a}(t)=\int J_{a}^{0}d^{3}x=\mathrm {const} \equiv Q_{a},}
the charge associated to the charge density Ja is constant in time. This (so far classical) theory is quantized promoting the fields and their conjugates to operators on Hilbert space and by postulating (bosonic quantization) the commutation relations
リー環 g 上の導分(微分)δ とは,写像
δ : g → g {\displaystyle \delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}
であって,ライプニッツ則
δ [ G 1 , G 2 ] = [ δ G 1 , G 2 ] + [ G 1 , δ G 2 ] {\displaystyle \delta [G_{1},G_{2}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]}
が成り立つもののことである.リー環 g 上の導分全体の集合は der g と書かれる.それはそれ自身リーブラケット
[ δ 1 , δ 2 ] = δ 1 ∘ δ 2 − δ 2 ∘ δ 1 {\displaystyle [\delta _{1},\delta _{2}]=\delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}}
のもとでリー環である.それは g の自己同型の群 Aut g のリー環である.
φ1 と φ2 をリー環 g 上のコホモロガスな 2-コサイクルとし,e1 と e2 をそれぞれこれらの 2-コサイクルで構成される中心拡大とする.このとき中心拡大 e1 と e2 は同値な拡大である.
であり 5 により
d d s ( φ e t G ( e s H ) , 1 ) | s = 0 = ( Ψ e t G ( H ) , 0 ) {\displaystyle {\frac {d}{ds}}\left.(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\right|_{s=0}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0)}
であるから
A d e t G ̄ H ̄ = ( Ψ e t G ( H ) , 0 ) {\displaystyle Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0)}
である.さてこの関係式を t について微分し t = 0 で評価する:
d d t e t G ̄ H ̄ e − t G ̄ | t = 0 = [ G ̄ , H ̄ ] {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left.e^{t{\overline {G}}}{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}\right|_{t=0}=[{\overline {G}},{\overline {H}}]}
であり 6 により
{\displaystyle {\begin{aligned}&\quad [\lambda ^{m}\otimes G_{1}+\mu C+\nu D,\lambda ^{n}\otimes G_{2}+\mu 'C+\nu 'D]\\&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu D(\lambda ^{n}\otimes G_{1})-\nu 'D(\lambda ^{m}\otimes G_{2})\\&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu n\lambda ^{n}\otimes G_{1}-\nu 'm\lambda ^{m}\otimes G_{2}.\end{aligned}}}
便宜上,
G i m ↔ λ m ⊗ G i {\displaystyle G_{i}^{m}\leftrightarrow \lambda ^{m}\otimes G_{i}}
と定義する.さらに,台有限次元単純リー環の基底は構造係数がすべての添え字で反対称となるようとられ基底は適切に正規化されていると仮定する.このとき定義より直ちに次の交換関係が分かる:
ヴィット代数は,エルンスト・ヴィットに因んで名づけられており,円周 S 上の滑らかなベクトル場のリー環 VectS の複素化である.座標では,そのようなベクトル場は
X = f ( φ ) d d φ {\displaystyle X=f(\varphi ){\frac {d}{d\varphi }}}
と書け,リーブラケットはベクトル場のリーブラケットで,S 上単に次で与えられる:
[ X , Y ] = [ f d d φ , g d d φ ] = ( f d g d φ − g d f d φ ) d d φ . {\displaystyle [X,Y]=\left[f{\frac {d}{d\varphi }},g{\frac {d}{d\varphi }}\right]=\left(f{\frac {dg}{d\varphi }}-g{\frac {df}{d\varphi }}\right){\frac {d}{d\varphi }}.}
代数は W = VectS + iVectS と書かれる.W の基底は次の集合で与えられる:
{ d n , n ∈ Z } = { i e i n φ d d φ = − z n + 1 d d z | n ∈ Z } . {\displaystyle \{d_{n},n\in \mathbb {Z} \}=\left\{\left.ie^{in\varphi }{\frac {d}{d\varphi }}=-z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\;\right|\;n\in \mathbb {Z} \right\}.}
The following terms are the Schwinger terms. They integrate to zero, but it can be shown quite generally that they must be nonzero.
Consider a conserved current
with a generic Schwinger term
[ J 0 ( t , x ) , J i ( t , y ) ] = i δ ( x − y ) J i ( t , x ) + C i ( x , y ) . {\displaystyle [J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )J^{i}(t,\mathbf {x} )+C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}
By taking the vacuum expectation value (VEV),
⟨ 0 | C i ( x , y ) | 0 ⟩ = ⟨ 0 | [ J 0 ( t , x ) , J i ( t , y ) ] | 0 ⟩ , {\displaystyle \langle 0|C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|0\rangle =\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]|0\rangle ,}
one finds