トモグラフィー
ラドン逆変換とは、実測された p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} から、 μ ( x , y ) {\displaystyle \mu (x,y)} を復元する作業のことを指すが、これを説明するためには2変数関数のフーリエ変換について知っておく必要があるので、簡単に復習する。
まず、 μ ( x , y ) {\displaystyle \mu (x,y)} のフーリエ変換とは、
μ ^ ( u , v ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ μ ( x , y ) ⋅ e x p ( i ( u x + v y ) ) d x d y {\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x,y)\cdot exp(i(ux+vy))dxdy}
である。 μ ^ ( u , v ) {\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v)} のことを、 F μ ( u , v ) {\displaystyle {\mathcal {F\mu }}(u,v)} と書く場合もある。
= ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ μ ( x , y ) ) exp  ( i < r ( cos  θ , − sin  θ ) | ( x , y ) > ) d x d y {\displaystyle ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x,y))\exp(i<r(\cos \theta ,-\sin \theta )|(x,y)>)\,dxdy}
一方で、
μ ^ ( u , v ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ μ ( x , y ) exp  ( i ( u x + v y ) ) d x d y {\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (x,y)\exp(i(ux+vy))dxdy}
の、(u,v) に ( r cos  θ , − r sin  θ ) {\displaystyle (r\cos \theta ,-r\sin \theta )} を代入すると、