スピン構造
上記の直観的な幾何学的説明は以下のように具体的にすることができる。短完全列 0 → Z → Z → Z2 → 0 を考える。ここに、二つ目の矢印は各整数を 2-倍する写像であり、三つ目の矢印は法 2 に関する還元である。これによって誘導されるコホモロジーの長完全列は
⋯ → H 2 ( M ; Z ) → 2 H 2 ( M ; Z ) → H 2 ( M ; Z 2 ) → β H 3 ( M ; Z ) → ⋯ {\displaystyle \dotsb \to H^{2}(M;\mathbf {Z} ){\stackrel {2}{{}\to {}}}H^{2}(M;\mathbf {Z} )\to H^{2}(M;\mathbf {Z} _{2}){\stackrel {\beta }{{}\to {}}}H^{3}(M;\mathbf {Z} )\to \dotsb }
なる部分を含む。二つ目の矢印は 2-倍写像の誘導する準同型であり、三つ目は法 2 に関する制限から誘導される準同型で、四つ目は付随するボックシュタイン準同型(英語版) β である。
スピン束の存在に対する障害は H(M, Z2) のひとつの元 w2 である。これは、SO(N)-束のスピン束への局所持ち上げは常に可能だが、各遷移函数の Z2-持ち上げの選択(それは符号を選ぶことである)が必要があるという事実を反映するものである。三重交叉上でこれら三つの符号の積が −1 であるとき持ち上げは存在しない。これは w2 のチェックコホモロジー(英語版)の様子を教えるものである。
向き付け可能なリーマン多様体 (M, g) 上のスピン構造とは、向き付けられた直交標構束 FSO(M) → M の、二重被覆 ρ: Spin(n) → SO(n) に関する同変(英語版)持ち上げを言う。すなわち、対 (P, FP) が主束 π: FSO(M) → M 上のスピン構造であるとは、
πP: P → M は M 上の主 Spin(n)-束である。
FP: P → FSO(M) は同変二重被覆写像であって π ∘ FP = πP かつ任意の p ∈ P, q ∈ Spin(n) に対して FP(pq) = FP(p)ρ(q) を満たす。
が満たされるときに言う。この主束 πP: P → M を、M 上のスピン標構束とも呼ぶ。
同じ一つの向き付けられたリーマン多様体 (M, g) 上の、二つのスピン構造 (P1, FP1), (P2, FP2) が同値であるとは、Spin(n)-同変写像 f: P1 → P2 が存在して、FP2 ∘ f = FP1 かつ任意の p ∈ P1, q ∈ Spin(n) に対して f(pq) = f(p)q とできるときに言う。
もちろん、この場合の FP1, FP2 は、与えられたリーマン多様体 (M, g) 上の向き付けられた正規直交標構 SO(n)-束 FSO(M) → M の二つの同値な二重被覆である。
この「主束 FSO(M) → M 上のスピン構造」としての (M, g) 上のスピン構造の定義は、Haefliger (1956) による。
微分幾何学において、向き付け可能リーマン多様体 (M, g) 上のスピン構造(スピンこうぞう、英: spin structure)は、付随するスピノル束(英語版)の定義を可能にし、微分幾何学におけるスピノルの概念を生じる。
数理物理学、特に場の量子論へ広く応用され、電荷を持たないフェルミオンに関する任意の理論の定義にスピン構造は必須である。純粋数学的にも、微分幾何学や代数的位相幾何学、K-理論などに於いてスピン構造は興味の対象である。スピン構造はスピン幾何学(英語版)に対する基礎付けを成す。