正準変換
正準変換を構成する標準的な手法は、母関数を用いる手法である。ハミルトンの運動方程式は、作用
S [ q , p ] = ∫ t 1 t 2 { ∑ i = 1 n p i q ̇ i − H ( q , p , t ) } d t {\displaystyle S[q,p]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t)\right\}dt}
の変分δSを最小にするというハミルトンの原理から導かれる。 したがって、新旧の正準変数とハミルトニアンの間には
∑ i = 1 n p i q ̇ i − H ( q , p , t ) = ∑ i = 1 n P i Q ̇ i − K ( Q , P , t ) + d d t W {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q,p,t)=\sum _{i=1}^{n}P_{i}{\dot {Q}}_{i}-K(Q,P,t)+{\frac {d}{dt}}W}
という関係式が成り立つ。 但し、W=W(q, p, Q, P, t)は新旧の正準変数と時間の任意の関数である。
特に、(q, p, Q, P)の中から独立な変数として二つを選び、Wを定めた場合、両辺の独立な変数に対する微分を考えることで、Qi=Qi(q, p, t)、Pi=Pi(q, p, t)を定めることができる 。この場合、関数Wを与えることで、正準変換が定まることから、Wを正準変数の母関数と呼ぶ。二つの独立な変数の選び方に応じて、四つのタイプの母関数が存在する。
タイプ2の母関数W2=W2(q, P, t)に対し、ルジャンドル変換
W 4 ( p , P , t ) = W 2 ( q , P , t ) − ∑ i = 1 n q i p i {\displaystyle W_{4}(p,P,t)=W_{2}(q,P,t)-\sum _{i=1}^{n}q_{i}p_{i}}
を施せば、独立な変数として(p, P)を選んだ場合であるタイプ3の母関数W4=W4(p, P, t)が得られる。このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。
q i = − ∂ W 4 ∂ p i , Q i = ∂ W 4 ∂ P i , H = K − ∂ W 4 ∂ t {\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial W_{4}}{\partial p_{i}}},\,\,Q_{i}={\frac {\partial W_{4}}{\partial P_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{4}}{\partial t}}}