フーリエ変換
数学においてフーリエ変換(フーリエへんかん、英: Fourier transform、FT)は、実変数の複素または実数値関数 f {\displaystyle f} を、別の同種の関数ˆfに写す変換である。
工学においては、変換後の関数ˆfはもとの関数 f {\displaystyle f} に含まれる周波数を記述していると考え、しばしばもとの関数 f {\displaystyle f} の周波数領域表現 (frequency domain representation) と呼ばれる。言い換えれば、フーリエ変換は関数 f {\displaystyle f} を正弦波・余弦波に分解するとも言える。
フーリエ変換 (FT) は他の多くの数学的な演算と同様にフーリエ解析の主題を成す。特別の場合として、もとの関数とその周波領域表現が連続かつ非有界である場合を考えることができる。「フーリエ変換」という言葉は関数の周波数領域表現のことを指すこともあるし、関数を周波数領域表現へ写す変換の過程・公式を言うこともある。なおこの呼称は、19世紀フランスの数学者・物理学者で次元解析の創始者とされるジョゼフ・フーリエに由来する。
に従うこと。ふたつめは、任意の絶対可積分函数 ƒ は、任意のシュワルツ函数 φ に対して
T f ( φ ) = ∫ R n f ( x ) φ ( x ) d x {\displaystyle T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}
を満たすという条件によって超函数 Tƒ を定めることである。これらの事実により、与えられた超函数 T に対してそのフーリエ変換を、任意のシュワルツ函数 φ に対して
T ^ ( φ ) = T ( φ ^ ) {\displaystyle {\hat {T}}(\varphi )=T({\hat {\varphi }})}
なる関係式によって定義する。これは ˆTf = Tf^ から従う。
超函数は微分可能であり、緩増加超函数のフーリエ変換と微分および畳み込みとはやはり上述の意味で両立する。
関数として、(t が秒で測られる場合には)3 ヘルツで振動し、急速に 0 になる
f ( t ) := cos  ( 6 π t ) e − π t 2 {\displaystyle f(t):=\cos(6\pi t)e^{-\pi t^{2}}}
を描く。この関数は特に描画しやすい実フーリエ変換をもつものとして選ばれたものであり、最初の画像はそのグラフである。ˆf(3) を計算するために、eƒ(t) を積分する。二枚目の画像はこの被積分関数の実部および虚部である。被積分関数の実部は殆ど常に正となる。これは ƒ(t) が負であるときには e の実部が同様に負となることによる。それらは同じ比率で振動するから、ƒ(t) が正であるときも同様に e の実部も正になる。
この結果、被積分関数の実部のを積分すれば、比較的大きな数値(ここでの場合 0.5)を得ることになる。
一方、(ˆf(5) を見る場合のように)含まれない周波数を測れば、被積分関数は十分に振動し、それゆえにその積分はとても小さい値となる。一般の設定ではこれよりは少し複雑になるが、それでもフーリエ変換は関数 ƒ(t) に含まれる個々の周波数がどれくらいあるかを測るものという考え方に変わりはない。
3ヘルツの振動を示すもとの関数
3ヘルツにおけるフーリエ変換の被積分関数の実部および虚部
5ヘルツにおけるフーリエ変換の被積分関数の実部および虚部
3ヘルツおよび5ヘルツでラベル付けされたフーリエ変換
フーリエ変換は、関数の畳み込みと関数の(点毎の)積とを相互に変換する。ƒ(x) および g(x) が絶対可積分関数であるとし、そのフーリエ変換をそれぞれ ˆf(ξ) および ˆg(ξ) で表す。さらに ƒ と g との畳み込みが存在して絶対絶対可積分であるならば、この畳み込みのフーリエ変換はフーリエ変換 ˆf(ξ) と ˆg(ξ) との積で与えられる(ただし、フーリエ変換の定義の仕方によっては定数因子が現れる場合もある)。
これを式で表せば、∗ を畳み込みとして
h ( x ) := ( f ∗ g ) ( x ) := ∫ − ∞ ∞ f ( y ) g ( x − y ) d y {\displaystyle h(x):=(f*g)(x):=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy}
と表されるとき、
h ^ ( ξ ) = f ^ ( ξ ) ⋅ g ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi )}
が成立することを意味する。線型時不変 (LTI) 系理論において、f(x) を単位インパルスで置き換えたものが h(x) = g(x) を与えることから、通例 g(x) は、入力 ƒ(x) と出力 h(x) に関する LTI 系のインパルス応答として解釈される。この場合、ˆg(ξ) はこの系の周波数応答を表す。
逆に、ƒ(x) がふたつの自乗絶対可積分函数 p(x) および q(x) の積に分解されるならば、 ƒ(x) のフーリエ変換は、各因子のフーリエ変換 ˆp(ξ) および ˆq(ξ) の畳み込みで与えられる。