バナッハの不動点定理
バナッハの不動点定理の標準的な応用例として、常微分方程式の解の存在と一意性に関するピカール=リンデレフの定理の証明が挙げられる。その微分方程式の求める解は、連続函数を連続函数に写す適切な積分作用素の不動点として表現される。その積分作用素が唯一つの不動点を持つことを示すためにバナッハの不動点定理が用いられる。
バナッハの不動点定理の一つの帰結として、恒等写像の小さなリプシッツ摂動は二重リプシッツ位相同型写像である、というものが挙げられる。Ω をあるバナッハ空間 E の開集合とし、I : Ω → E を恒等(包含)写像とし、g : Ω → E をリプシッツ定数 k < 1 についてのリプシッツ写像とする。このとき、次が成り立つ。
Ω′ := (I+g)(Ω) は E の開部分集合である。正確には、B(x, r) ⊂ Ω を満たす Ω 内の任意の x に対して、B((I+g)(x), r(1−k)) ⊂ Ω′ が成り立つ;
I+g : Ω → Ω′ は二重リプシッツ位相同型写像である;
正確には、(I+g) はリプシッツ定数 k/(1−k) についてのリプシッツ写像 h に対して I + h : Ω → Ω′ と表すことが出来る。
この結果の直接的な帰結によって、逆函数定理の証明が与えられる。