二重数
とする。これは c が 0 でない限り定義できる。
一方、c が 0 で d が 0 でないとき、方程式
a + b ε = ( x + y ε ) d ε = x d ε + 0 {\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}}
は、
a が非零ならば解を持たない
さもなくば b/d + yε の形の任意の二重数が解になる
のいずれかである。これは、“商”の純虚部分が任意に取れることを意味するから、純虚二重数に対する除法は定義できない。実際、純虚二重数は(自明な)零因子であり、その全体は明らかに二重数の成す結合多元環(従って環)のイデアルを成す。
二重数の除法は、除数の実部が零でないときに定義され、除法の過程は複素数の場合と同様に、分母にその共軛元を掛けて純虚部分を消すことによって行われる。
そういうわけで、
a + b ε c + d ε {\displaystyle {a+b\varepsilon \over c+d\varepsilon }}
の形の除法を計算するには、分母分子に分母の共軛元を掛けて
= ( a + b ε ) ( c − d ε ) ( c + d ε ) ( c − d ε ) = a c − a d ε + b c ε − b d ε 2 ( c 2 + c d ε − c d ε − d 2 ε 2 ) = a c − a d ε + b c ε − 0 c 2 − 0 = a c + ε ( b c − a d ) c 2 = a c + b c − a d c 2 ε {\displaystyle {\begin{aligned}&={(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon ) \over (c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}={ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2} \over (c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2})}={ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0 \over c^{2}-0}\\[5pt]&={ac+\varepsilon (bc-ad) \over c^{2}}\\[5pt]&={a \over c}+{bc-ad \over c^{2}}\varepsilon \end{aligned}}}