完全不連結群
数学において、完全非連結群(totally disconnected group)とは完全非連結な位相群のことである。 完全非連結群はハウスドルフである。
局所コンパクトな完全非連結群(td-型の群、 局所副有限群、t.d.群, TDLC群などと呼ばれる)は興味深い対象である。完全非連結群がコンパクトである場合、すなわち副有限群である場合については十分に研究されてきたが、長い間その一般的な場合である局所コンパクトな完全非連結群についてはあまり知られていなかった。1930年代では「局所コンパクトな完全非連結群はコンパクト開部分群をもつ」というvan Dantzigの定理が知られているのみであった。 局所コンパクトな完全非連結群に関する画期的な業績は1994年になされた;George Willsは、任意の局所コンパクト完全非連結群は"整然部分群"と、"スケール関数"と呼ばれる整然部分群の自己同型写像上の特殊な関数(定義は後述)を持つことを示し、これによって局所的な完全非連結群の構造に関する知識が向上した。完全非連結群の大域的な構造に関する進歩は2011年にCapraceとMonodによって得られ、その中でも特性単純群とそのネーター群の分類は際立ったものである。
U + {\displaystyle U_{+}} における α ( U + ) {\displaystyle \alpha (U_{+})} の指数は有限であり、その値は α {\displaystyle \alpha } に関して整然なUの取り方によらない。したがってスケール関数 s ( α ) {\displaystyle s(\alpha )} をその指数と定める。内部自己同型写像への制限は興味深い性質をもつG上の関数を与える。 特に、G上の x {\displaystyle x} の内部自己同型を α x {\displaystyle \alpha _{x}} として s ( x ) := s ( α x ) {\displaystyle s(x):=s(\alpha _{x})} によってG上の関数 s {\displaystyle s} を与えると次の性質をもつ。