原始帰納的算術
PRAの言語は次のものからなる:
可算無限個の変数 x, y, z,....
命題結合子
等号記号 =, 定数記号 0, 後者記号 S
任意の原始帰納的関数に対する記号
PRAの論理公理は次のものからなる:
命題論理のトートロジーすべて
等号公理
PRAの論理規則はモーダス・ポネンスと変数への代入からなる。非論理公理は次のものからなる:
S ( x ) ≠ 0 {\displaystyle S(x)\neq 0} ;
S ( x ) = S ( y ) → x = y , {\displaystyle S(x)=S(y)~\to ~x=y,}
それと原始帰納的関数の定義式すべてである。例えば原始帰納的関数の最も一般的な特徴付けは、ゼロと後者を含み、射影、関数合成、原始再帰で閉じている、というものである。そこで、(n+1)-変数関数(を表す記号, 以下省略) f が原始再帰によって n-変数の基底関数 g と (n+2)-変数の反復関数 h から得られるときには、次のものを公理とする:
f ( 0 , y 1 , ... , y n ) = g ( y 1 , ... , y n ) {\displaystyle f(0,y_{1},\ldots ,y_{n})=g(y_{1},\ldots ,y_{n})}
f ( S ( x ) , y 1 , ... , y n ) = h ( x , f ( x , y 1 , ... , y n ) , y 1 , ...