八元数
八元数は実数の八つ組と見做すことができる。任意の八元数 x は、e0 をスカラー元あるいは実元(実数 1 と同一視される)とする単位八元数
{ e 0 , e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 } {\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\}}
の実係数線型結合として、適当な実係数 {xi} を以って
x = x 0 e 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + x 4 e 4 + x 5 e 5 + x 6 e 6 + x 7 e 7 {\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}}
の形に書くことができる。
八元数の加法及び減法は(四元数の場合と同様に)、それぞれの対応する項においてそれらの係数に対する加法及び減法によって定める。乗法についてはより複雑である。積は和の上に分配的であり、従って二つの八元数の乗法は(やはり四元数の場合と同様に)、それぞれの項の積の総和として計算することができる。各項の積は係数の積と単位八元数に対する乗積表から決まる。乗積表としては例えば
を考えるとよい。
で、同様に虚部が
x − x ∗ 2 = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + x 4 e 4 + x 5 e 5 + x 6 e 6 + x 7 e 7 {\displaystyle {\frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1}\,e_{1}+x_{2}\,e_{2}+x_{3}\,e_{3}+x_{4}\,e_{4}+x_{5}\,e_{5}+x_{6}\,e_{6}+x_{7}\,e_{7}}
でそれぞれ表せる。実部を持たない純虚八元数の全体 Im(O) は O の 7-次元部分空間を張る。また八元数の共軛は、方程式
x ∗ = − 1 6 ( x + ( e 1 x ) e 1 + ( e 2 x ) e 2 + ( e 3 x ) e 3 + ( e 4 x ) e 4 + ( e 5 x ) e 5 + ( e 6 x ) e 6 + ( e 7 x ) e 7 ) {\displaystyle x^{*}=-{\frac {1}{6}}(x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7})}