有限変形理論
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この式がどのように導き出されるかを見るために、まず、基準コンフィギュレーションと現在のコンフィギュレーションにおける向き付けられた面積要素から始める:
要素の基準体積と現在の体積は次のとおりである。
ここで、 d l = F ⋅ d L {\displaystyle d\mathbf {l} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {L} \,\!} .
従って、
or,
従って,
以上より、以下を得る
or,
オイラー表記の連続体力学において、変形前の配置にある粒子 P {\displaystyle P} から変形後の配置の位置まで伸びるベクトルを変位ベクトル(displacement vector)と呼ぶ;
ここで、 < E i > {\displaystyle <\mathbf {E} _{i}>} は物質座標系(ボディフレーム)の基底を定める単位ベクトルの組である。
空間座標で表現すると(つまり、 U {\displaystyle \mathbf {U} } を x {\displaystyle \mathbf {x} } の関数として)変位場は次のようになる;
変位ベクトルを空間座標に関して偏微分すると、空間変位勾配テンソル ∇ x U {\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!} が得られる。
このようにして我々は、以下を得る。
無限小要素 d X {\displaystyle d\mathbf {X} \,\!} に対して、変位場に連続性を仮定すると、高次の項を無視して点 P {\displaystyle P\,\!} の周りのテイラー展開を用いて、隣接粒子 Q {\displaystyle Q} の相対変位ベクトルの成分を次のように近似することができる。
従って、前述の方程式 d x = d X + d u {\displaystyle d\mathbf {x} =d\mathbf {X} +d\mathbf {u} } は次のように書ける。
物質変形勾配テンソル(Material deformation gradient tensor) F ( X , t ) = F j K e j ⊗ I K {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)=F_{jK}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {I} _{K}} は、2階テンソルであり、マッピング関数(mapping function) χ ( X , t ) {\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!} の勾配を表す。これは、連続体の運動を記述するものである。 物質変形勾配テンソルは、ある位置ベクトル X {\displaystyle \mathbf {X} \,\!} で指示された物質上の点の近傍の局所的な変形を特徴付ける。 即ち、マッピング関数 χ ( X , t ) {\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!} に連続性を仮定して、その点から発せられる物質線要素を基準配置から現在の配置または変形後の配置に変換(線形変換)することによって、隣接する点での変形を行う。 X {\displaystyle \mathbf {X} } and time t {\displaystyle t\,\!} と時間 t {\displaystyle t\,\!} について微分可能性を仮定するが、これは、変形中に亀裂や空隙が開閉しないことを意味する。
このようにして、我々は以下を得る。