距離化定理
非正規空間は距離化可能とはならない。重要な例として、次が挙げられる。
代数幾何学で用いられる、ある代数多様体あるいは環のスペクトル上のザリスキ位相。
実数直線 R からそれ自身へのすべての函数からなるような、各点収束位相を備える位相ベクトル空間。
下極限位相(英語版)を伴う実数直線は、距離化可能ではない。通常の距離函数は、この空間の上の計量とはならない。なぜならば、それが定める位相は通常の位相で、下極限位相ではないからである。この空間はハウスドルフ、パラコンパクトかつ第一可算的である。
長い直線は局所距離化可能であるが、距離化可能ではない。これはすなわち、そのような直線がある意味で「長すぎる」ということに起因する。
強作用素位相を備える可分ヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のユニタリ作用素の群 U ( H ) {\displaystyle \mathbb {U} ({\mathcal {H}})} は、距離化可能である(参考文献 の Proposition II.1 を参照されたい)。