投資信託定理
もちろん、 μ = W r f {\displaystyle \mu =Wr_{f}} ならば、この解はゼロベクトルであり、このとき、全ての富を無リスク資産に投資する。無リスク資産へまったく投資しないポートフォリオは μ = W r T V − 1 ( r − 1 r f ) 1 T V − 1 ( r − 1 r f ) {\displaystyle \mu ={\tfrac {Wr^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}} の時に得られ、解は
X ∗ = W 1 T V − 1 ( r − 1 r f ) V − 1 ( r − 1 r f ) {\displaystyle X^{*}={\frac {W}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f})}
である。また、(上の2投資信託の場合で行った類推で)全てのリスク資産のポートフォリオベクトル(つまり、あらゆる μ {\displaystyle \mu } についての X o p t {\displaystyle X^{\mathrm {opt} }} )は後のベクトルとゼロベクトルの加重平均和として作られる。幾何学的な解釈については、現代ポートフォリオ理論を参照。
X o p t = W Δ [ ( r T V − 1 r ) V − 1 1 − ( 1 T V − 1 r ) V − 1 r ] + μ Δ [ ( 1 T V − 1 1 ) V − 1 r − ( r T V − 1 1 ) V − 1 1 ] {\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]}
であり、ここで
Δ = ( r T V − 1 r ) ( 1 T V − 1 1 ) − ( r T V − 1 1 ) 2 > 0. {\displaystyle \Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.}
である。単純化のために、よりコンパクトに書けば
X o p t = α W + β μ {\displaystyle X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu }
となり、ここで α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } はモデルパラメーターに依存したパラメーターのベクトルである。今、ベンチマークとなる期待収益率 μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} と μ 2 {\displaystyle \mu _{2}} によって作られる二つの効率的なベンチマークポートフォリオを考える。するとそれらは以下のように与えられる。