経済成長の黄金律
これらから K t {\displaystyle K_{t}} を消去して ( g I − g K ) I I = 0 {\displaystyle (g_{I}-g_{K})I_{I}=0} を得る。 I t > 0 {\displaystyle I_{t}>0} であるから g I = g K {\displaystyle g_{I}=g_{K}} である。
以上により、 g Y = g I = g K {\displaystyle g_{Y}=g_{I}=g_{K}} であり、生産の成長率と資本の成長率が一致することが示された。一致する成長率を g {\displaystyle g} と表す。
生産の成長率と資本の成長率が一致することをふまえ、技術進歩が労働拡張型になることを以下のとおり示す。
0時点では次の式1であり、また Y t = Y 0 e g t {\displaystyle Y_{t}=Y_{0}e^{gt}} 、 K t = K 0 e g t {\displaystyle K_{t}=K_{0}e^{gt}} 、 L t = L 0 e g L t {\displaystyle L_{t}=L_{0}e^{g_{L}t}} であるから、式1は式2のように書ける。関数の1次同次性から式2は式3になる。 A t ≡ e ( g − g L ) t {\displaystyle A_{t}\equiv e^{(g-g_{L})t}} と定義すると、式4を得る。
変数がそれぞれ一定の伸び率で成長する均斉成長において、技術進歩は労働拡張型である。この定理は初めジョーン・ロビンソンが図示し、1961年に宇沢弘文が証明した。これを宇沢の定理という。
宇沢の定理について、証明方法を簡素化した Schlicht (2006)にもとづいて数式をつかって示すと以下のとおりである。
宇沢の定理では、次のような経済構造を考える。
Y t = F ( K t , L t ; t ) {\displaystyle Y_{t}=F(K_{t},L_{t};t)} ...時点 t {\displaystyle t} の生産物 Y t {\displaystyle Y_{t}} は生産関数 F {\displaystyle F} をつうじて資本 K t {\displaystyle K_{t}} と労働投入 L t {\displaystyle L_{t}} によってつくられる。関数 F {\displaystyle F} は資本 K t {\displaystyle K_{t}} と有効労働 L t {\displaystyle L_{t}} に関して1次同次関数とする(規模に関して収穫一定)。関数中の最後の項「 ; t {\displaystyle ;t} 」は時点 t {\displaystyle t} が進むにしたがって生産関数が変化することを示す。
Y t = C t + I t {\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}} ...
世界銀行が2012年に発行したレポート『黄金成長:ヨーロッパ経済モデルの輝きを取りもどす』は、黄金律にインスピレーションを得てタイトルをつけ、黄金律にもとづいて政策提言をおこなっている。
このレポートによると、黄金律は最適成長理論で最も基本的な命題であると今も多くの経済学者が考えている。黄金律をたもつことは経済の成熟をしめす。黄金律は単純なので分かりやすく、政策当局は黄金律に魅せられてこれをめざしたいと思うことがあるという。
経済成長の黄金律は聖書の黄金律に由来するという説がある。この説によると、経済成長の黄金律の語源は、新約聖書マタイ伝にある黄金律「人にしてもらいたいと思うことは、あなたがたも人にしなさい」に由来し、これを経済用語におきかえると「現代の世代にも未来の世代にも同じだけ消費させる場合、あるいは、未来の世代の消費を自分たちの消費より少なくしない場合、一人当たり消費の最大量は黄金律である」と解釈できるから、黄金律と名づけられたのだという。また一説には、新約聖書ルカ伝第6章31節にある黄金律を世代間の関係に拡張したものなのだともいう。
もっとも、フェルプスが黄金律を命名したとき、黄金時代(ゴールデン・エイジ)のルールを黄金律(ゴールデン・ルール)と名づけたのであって、語源を聖書の黄金律に求めていない。後にフェルプスは次のように語っている。
黄金律という言葉はダジャレ(a play on words)であった。ロビンソン夫人が定常成長の状態を黄金時代と命名したので、黄金時代の選択に関する命題を黄金律と呼ぶのは当然であった。これにくわえて、この言葉の裏に聖書の黄金律「あなたが他人にしてほしいことを他人にしなさい」をほのめかした。
そしてフェルプスは、聖書の黄金律について、他人に権利を要求する者は同じ権利を他人に与えなければならないという意味と解釈する。この意味での黄金律にしたがうと、各世代は前の世代に要求する貯蓄政策を次世代のために自ら実践しなければならない。世代をまたいだ貯蓄政策を選ぶにあたっては、生産や資本収益などに対して一定の線形関係のかたちであらわされる貯蓄政策の中から選ぶ必要がある。さもなければ、各世代は前の世代に貯蓄を要求する一方で、自分は貯蓄を減らしてしまう、という。