直交ミラーフィルタ
直交ミラーフィルタ以外でも、折り返し雑音の除去と完全再構成についての下記関係式を満たせば信号の完全再構成が可能である。
H 0 ( − z ) G 0 ( z ) + H 1 ( − z ) G 1 ( z ) = 0 {\displaystyle H_{0}(-z)G_{0}(z)+H_{1}(-z)G_{1}(z)=0\,}
H 0 ( z ) G 0 ( z ) + H 1 ( z ) G 1 ( z ) = 2 z − l {\displaystyle H_{0}(z)G_{0}(z)+H_{1}(z)G_{1}(z)=2z^{-l}\,}
直交ミラーフィルタと同様に対称的な特性のフィルタを組み合わせる例として、共役直交フィルタ(英: Conjugate Quadrature Filter、CQF)がある。 H0 がフィルタ長 L のFIRフィルタの場合、共役直交フィルタの制約条件は以下のようになる。L は偶数とする。
単純化した直交ミラーフィルタの構成は以下の図で表現できる。
ここで H0、G0、H1、G1 はフィルタを表し、↓2、↑2 はそれぞれダウンサンプリングとアップサンプリングを示す。図の左半分は信号を分析するステージで、右半分は信号を合成するステージである。この構成では信号をローパスフィルタとハイパスフィルタにより、2つの帯域に分割する。
Z変換を使うと、出力 X ^ ( z ) {\displaystyle {\hat {X}}(z)} は以下の式で表現できることが分かっている 。
X ^ ( z ) = 1 2 X ( z ) ( H 0 ( z ) G 0 ( z ) + H 1 ( z ) G 1 ( z ) ) + 1 2 X ( − z ) ( H 0 ( − z ) G 0 ( z ) + H 1 ( − z ) G 1 ( z ) ) {\displaystyle {\hat {X}}(z)={\frac {1}{2}}X(z)\left(H_{0}(z)G_{0}(z)+H_{1}(z)G_{1}(z)\right)+{\frac {1}{2}}X(-z)\left(H_{0}(-z)G_{0}(z)+H_{1}(-z)G_{1}(z)\right)}
入力 X(z) を含む最初の項が信号成分、 X(-z) を含む2番目の項が折り返し成分を表す。