フロー (数学)
再び、Ω を(自然数 n に対する)空間 R の部分領域とし(有界であるかは問わない)、その滑らかな境界を Γ とする。T > 0 に対して、 Ω × ( 0 , T ) {\displaystyle \Omega \times (0,T)} 上の次の波動方程式を考える:
u t t − Δ u = 0 in Ω × ( 0 , T ) , u = 0 on Γ × ( 0 , T ) . {\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{tt}-\Delta u&=&0&{\mbox{ in }}\Omega \times (0,T),\\u&=&0&{\mbox{ on }}\Gamma \times (0,T).\end{array}}}
ここで Ω {\displaystyle \Omega } 内の初期条件として、 u(0) = u と、 u t ( 0 ) = u 2 , 0 {\displaystyle u_{t}(0)=u^{2,0}} を考える。
上述の熱方程式の場合と同様の半群の手法を利用する。