一次関数
多変数の一次多項式が定める関数
f : R n → R ; ( x 1 , ⋯ , x n ) ↦ a 1 x 1 + ⋯ + a n x n + b {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ;\ (x_{1},\cdots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}
も一次関数という。b = 0 のときは斉一次函数あるいは一次形式 (linear form) という。この関数のグラフ
{ ( x 1 , ⋯ , x n , y ) ∈ R n + 1 ∣ y = f ( x 1 , ⋯ , x n ) } {\displaystyle \{(x_{1},\cdots ,x_{n},y)\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid y=f(x_{1},\cdots ,x_{n})\}}
は、(n + 1)-次元ユークリッド空間 R において超平面(余次元(英語版) 1 のアフィン部分空間)を描く。このような関数に対しても、上に述べたことは(平面における各概念の高次元における適当な対応物を考えることにより)ほとんどそのままの形で通用する。
より一般に、n 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 V への一次関数を考えることもできる。x を n-次元ベクトル値の変数、b を m-次元の定ベクトル、A を m-行 n-列の行列とするとき、
初等解析学において、不定元 x に関する高々一次の多項式 ax + b(a, b は実定数)に対し、x を実変数とみて得られる写像
f a , b : R → R ; x ↦ f a , b ( x ) = a x + b {\displaystyle f_{a,b}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\ x\mapsto f_{a,b}(x)=ax+b}
を一次関数と呼ぶ(見かけ上一次なだけでなく実際に「一次」であることを要請する場合は「a ≠ 0」とする)。定数関数となる a = 0 を含める場合は、これを「退化」しているといい、そうでない場合を非退化という。
解析幾何学において、デカルト座標が与えられたxy-平面 R 上に、一次関数 f(x) = ax + b のグラフ
{ ( x , y ) ∈ R 2 ∣ y = f ( x ) } {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=f(x)\}}
は直線を描くため、一次関数は「直線の式」(あるいは単に「直線」)としても知られ、言葉の濫用で(一次函数それ自身とそのグラフとをとくに区別することなく扱って)直線 y = ax + b などともいう。
で与えれば、一次関数の全体が 1 と x の張る二次元のベクトル空間となることがわかる。一方、点ごとの積
( f ⋅ g ) ( x ) := f ( x ) g ( x ) ( = a c x 2 + ( a d + b c ) x + b d ) {\displaystyle (f\cdot g)(x):=f(x)g(x)\ (=acx^{2}+(ad+bc)x+bd)}
は(f か g の何れかが定数関数でないかぎり)もはや一次関数ではないが、合成
( f ∘ g ) ( x ) := f ( g ( x ) ) ( = a c x + ( a d + b ) ) {\displaystyle (f\circ g)(x):=f(g(x))\ (=acx+(ad+b))}
は再び一次関数である。とくに a ≠ 0 ならば一次関数 f(x) = x/a − b/a は f の逆函数になる。