ミンコフスキーの不等式
( S 1 , μ 1 ) {\displaystyle (S_{1},\mu _{1})} , ( S 2 , μ 2 ) {\displaystyle (S_{2},\mu _{2})} はσ-有限な測度空間で、関数 F : S 1 × S 2 → R {\displaystyle F:S_{1}\times S_{2}\rightarrow \mathbb {R} } は可測とする。 F ≥ 0 {\displaystyle F\geq 0} かつ 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } ならば次が成り立つ:
[ ∫ S 1 ( ∫ S 2 F ( x , y ) μ 2 ( y ) ) p μ 1 ( x ) ] 1 p ≤ ∫ S 2 [ ∫ S 1 F ( x , y ) p μ 1 ( x ) ] 1 p μ 2 ( y ) {\displaystyle \left[\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}F(x,y)\,\mu _{2}(y)\right)^{p}\mu _{1}(x)\right]^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{2}}\left[\int _{S_{1}}F(x,y)^{p}\,\mu _{1}(x)\right]^{\frac {1}{p}}\mu _{2}(y)}