アペリーの定理
となることをボイカーズは示した。部分積分と、ζ(3) が有理数 a/b に等しいという仮定を用いて、ボイカーズは最終的に次の不等式を導出した:
0 < 1 b ≤ | A n + B n ζ ( 3 ) | ≤ 4 ( 4 5 ) n . {\displaystyle 0<{\frac {1}{b}}\leq \left|A_{n}+B_{n}\zeta (3)\right|\leq 4\left({\frac {4}{5}}\right)^{n}.}
最右辺は 0 に収束するからいずれ 1/b を下回り、これは矛盾である。
ヴァディム・ズディリン(英語版)によるより最近の証明はアペリーのオリジナルの証明をより思い起こさせるものであり、ユーリイ・ネステレンコ(英語版)による第四の証明とも類似している。後のこれらの証明は再びある正の定数以上であるのに 0 に収束する数列を構成することによって ζ(3) が有理数であるという仮定から矛盾を導く。超幾何級数を使っていて、それらは早期の証明よりもいくぶん分かりづらい。
c n , k = ∑ m = 1 n 1 m 3 + ∑ m = 1 k ( − 1 ) m − 1 2 m 3 ( n m ) ( n + m m ) {\displaystyle c_{n,k}=\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{3}}}+\sum _{m=1}^{k}{\frac {(-1)^{m-1}}{2m^{3}{\binom {n}{m}}{\binom {n+m}{m}}}}}
である。それから彼はさらに、商がほぼ cn,k である2つの数列 an と bn を定義した。これらの数列は
a n = ∑ k = 0 n c n , k ( n k ) 2 ( n + k k ) 2 {\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{n,k}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}}
および
b n = ∑ k = 0 n ( n k ) 2 ( n + k k ) 2 {\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}^{2}}
であった。数列 an/bn は判定法を適用するのに十分早く ζ(3) に収束するのであるが、残念なことに an は n = 2 以降整数ではない。それでもアペリーは、適当な整数を an と bn に掛けてこの問題に対処してもなお収束は無理性を保証するのに十分早いことを示したのである。