数列の極限
x が数列 (xn) の極限であるとは、以下の条件が成り立つことをいう:
任意の実数 ε > 0 に対して、ある自然数 N が存在して、任意の自然数 n > N に対して、|xn − x| < ε が成り立つ。
数学記号を用いて表すと、
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N ; ∀ n ∈ { n ∈ N ∣ n > N } , | x n − x | < ε {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }N\in \mathbb {N} \;;\;{}^{\forall }n\in \{n\in \mathbb {N} \mid n>N\},|x_{n}-x|<\varepsilon }
言い換えると、任意の近さの度合い ε に対して、数列の項はやがて極限にそれだけ近くなる。数列 (xn) は極限 x に収束するといわれ、xn → x あるいは lim n → ∞ x n = x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x} と書かれる。
数列がある極限に存在すれば、それは収束列であり、そうでなければ発散列である。