ダゴスティーノのK二乗検定
ここで、μ2 = μ2(g1)はg1の分散、γ2 = γ2(g1)は尖度である。(式は前項と同様。)
同様にAnscombe & Glynn (1983)はg2の変換式を提案した。この式は標本数が20以上で合理的に機能する。
Z 2 ( g 2 ) = 9 A 2 { 1 − 2 9 A − ( 1 − 2 / A 1 + g 2 − μ 1 μ 2 2 / ( A − 4 ) ) 1 / 3 } , {\displaystyle Z_{2}(g_{2})={\sqrt {\frac {9A}{2}}}\left\{1-{\frac {2}{9A}}-\left({\frac {1-2/A}{1+{\frac {g_{2}-\mu _{1}}{\sqrt {\mu _{2}}}}{\sqrt {2/(A-4)}}}}\right)^{\!1/3}\right\},}
ここで、
A = 6 + 8 γ 1 ( 2 γ 1 + 1 + 4 / γ 1 2 ) , {\displaystyle A=6+{\frac {8}{\gamma _{1}}}\left({\frac {2}{\gamma _{1}}}+{\sqrt {1+4/\gamma _{1}^{2}}}\right),}
また、μ1 = μ1(g2), μ2 = μ2(g2), γ1 = γ1(g2)はPearsonが計算した値である。
これらの統計量はともに分布の理論的な歪度と尖度の推定量となりうる。(Wikipedia英語版Consistent estimatorも参照。)そのうえ、標本が確かに正規分布由来であるならば、歪度と尖度の正確な有限標本分布自体の平均μ1、分散μ2、歪度γ1、尖度γ2を分析することができる。Pearson (1931)がこの分析を実施し、以下の数式を導いた。
標本歪度g1の分布の平均μ1(g1)、分散μ2(g1)、歪度γ1(g1)及び尖度γ2(g1):
μ 1 ( g 1 ) = 0 , μ 2 ( g 1 ) = 6 ( n − 2 ) ( n + 1 ) ( n + 3 ) , γ 1 ( g 1 ) ≡ μ 3 ( g 1 ) μ 2 ( g 1 ) 3 / 2 = 0 , γ 2 ( g 1 ) ≡ μ 4 ( g 1 ) μ 2 ( g 1 ) 2 − 3 = 36 ( n − 7 ) ( n 2 + 2 n − 5 ) ( n − 2 ) ( n + 5 ) ( n + 7 ) ( n + 9 ) .