ディンキン図形
ディンキン図形の拡張、すなわちアファインディンキン図形が存在する;これらはアファインリー環のカルタン行列を分類する。これらは (Kac 1994, Chapter 4, pp. 47–) において分類され、特に (Kac 1994, pp. 53–55) にリストされている。アファイン図形は X(1)l , X(2)l , X(3)l と書かれる、ただし X は対応する有限図形の文字で、指数はアファイン図形のどの列にそれらが入っているかに依存する。これらの第一、X(1)l は、もっとも一般的で、拡大ディンキン図形 (extended Dynkin diagram) と呼ばれ、チルダで表され、時には右上に + の記号をつけることもある、例えば A ~ 5 = A 5 ( 1 ) = A 5 + {\displaystyle {\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}} のように。(2) と (3) の列は twisted アファイン図形と呼ばれる。
図形については Dynkin diagram generator を参照。
以下が頂点の個数が10個までのアファイン群に対するディンキングラフのすべてである。拡大ディンキングラフは、上の有限グラフに1つの頂点を加えた ~ 族として与えられる。他の有向グラフの変種は、位数の高い群の folding を表す値が (2) か (3) の上付き添え字とともに与えられる。これらは 「twistedアファイン」図形とカテゴライズされる。
ディンキン図形は多くの異なる関係する対象を分類すると解釈でき、表記 "An, Bn, ..." は文脈に応じて「すべての」そのような解釈を指すのに使われる;この曖昧さは混乱のもととなりうる。
中心的な分類は、単純リー環はルート系を持ち、それに付随して(有向)ディンキン図形があることである;これら3つは全て例えば Bn と呼ばれる。
「無」向ディンキン図形はコクセター図形の形であり、ワイル群と対応し、これはルート系に付随する有限鏡映群(英語版)である。したがって Bn は無向図式(特別な種類のコクセター図式)、ワイル群(具体的な鏡映群)、あるいは抽象的なコクセター群も意味する。
ワイル群は抽象的にコクセター群と同型であるが、同型写像は単純ルートの順序付きの選び方に依存することに注意。ディンキン図形の表記は標準的なものがあるが、コクセター図形・群の表記は様々で、ディンキン図形の表記と一致することもしないこともあることにも注意。
最後に、付随する対象が同じ表記で呼ばれることも「時には」あるが、これはつねに規則正しくされるわけではない。例えば:
ルート系によって生成されるルート格子、例えば E8 格子(英語版)。これは自然に定義されるが、1対1ではない――例えば、A2 と G2 はともに六角格子(英語版)を生成する。
異なる図形の間の同型に加えて、いくつかの図形は自分自身への同型すなわち「自己同型」も持つ。図形自己同型はリー環の外部自己同型(英語版)に対応する、つまり、外部自己同型群 Out = Aut/Inn は図形の自己同型の群に等しい。
非自明な自己同型を持つ図形は、An (n > 1), Dn (n > 1), E6 である。D4 を除くすべてのこれらの場合において、ただ1つの非自明な自己同型が存在し(Out = C2, 位数 2 の巡回群)、D4 に対しては、自己同型群は3文字の対称群(S3, 位数 6)である――この現象は“triality”(英語版)と呼ばれる。すべてのこれらの図形自己同型が、図形がどのように平面に慣習的に描かれるかのユークリッド対称性として実現できるということは起こるが、これはそれらがどのように描かれるかの人工物に過ぎず、内在的な構造ではない。
An に対して、図形の自己同型は直線状の図形の反転である。図形の頂点は基本ウェイトを添え字付け、これらは(An−1 に対して)i = 1, ..., n に対して ⋀ i C n {\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}} であり、図形の自己同型は duality ⋀ i C n ↦ ⋀ n − i C n {\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{n-i}C^{n}} に対応する。
Very-extended 群はローレンツ群であり、有限群に3つの頂点を加えることで定義される。E8, E7, E6, F4, G2 は very-extended 群で終わる6つの列を提供する。示されていない他の extended series は各 n に対して異なる列として An, Bn, Cn, Dn から定義できる。付随するカルタン行列の行列式は列がどこで有限(正)からアファイン(零)から非コンパクト双曲群(負)に変わるかを決定し、1つの時間的(英語版)次元を用いて定義できるローレンツ群として終わり、M理論において用いられる。
D4 に対して、基本表現(英語版)は2つのスピン表現に同型であり、結果の3文字の対称群(S3, あるいは位数 6 の二面体群 Dih3)はリー環の自己同型と図形の自己同型の両方に対応する。
E6 の自己同型群は図形を反転させることに対応し、ヨルダン代数(英語版)を用いて表せる。
不連結な図形は、「半」単純リー環に対応し、図形の成分の交換から来る自己同型を持つかもしれない。
正標数では、追加の「図形自己同型」が存在する――粗く言えば、標数 p では図形の自己同型を取るときにディンキン図形の重複度 p の結合の矢印を無視できることがある。したがって標数 2 では B 2 ≅ C 2 {\displaystyle \mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}} と F4 の位数 2 の自己同型があり、標数 3 では G2 の位数 2 の自己同型がある。しかしすべての状況で適用するわけではない:例えば、そのような自己同型は対応する代数群の自己同型として生じるとは限らず、有限体に値を持つ点のレベルでである。
リー理論(英語版)という数学の分野において、ディンキン図形(ディンキンずけい、英: Dynkin diagram)とは、二重あるいは三重の辺(二重あるいは三重の線で描かれる)を持ち得るグラフの一種であり、イェヴゲニ・ディンキン(英語版) (Евгений Дынкин, Eugene Dynkin) にちなんで名づけられた。多重辺は制約条件により有向である。
ディンキン図形は代数閉体上の半単純リー環を分類する手段として主に興味を持たれている。これはワイル群を生じる、すなわち(すべてではないが)多くの有限鏡映群(英語版)を生じる。ディンキン図形は他の文脈においても現れる。
「ディンキン図形」という用語には曖昧さがある。ある場合にはディンキン図形は有向であると仮定され、この場合それらはルート系や半単純リー環に対応するが、他の場合には有向でないと仮定され、この場合ワイル群に対応する;有向図形 Bn, Cn は同じ無向図形を生じ、これは BCn と呼ばれる。この記事では、「ディンキン図形」は「向き付けられた」ディンキン図形を意味し、「向き付けられていない」ディンキン図形は明示的にそう呼ぶ。
有限ディンキン図形
アファイン(拡大)ディンキン図形