コーシー境界条件
空間が二次元であるような熱方程式を次のように定義する。
u t = k ∇ 2 u {\displaystyle u_{t}=k\nabla ^{2}u\ }
ここで k {\displaystyle k\ } は、熱伝導率と呼ばれる物質に固有の定数である。この方程式は、原点を中心とする半径 a {\displaystyle a\ } の上半円領域 G {\displaystyle G\ } 上に適用されるものとする。その境界の、曲線部分では温度はゼロに保たれていると仮定し、直線部分では断熱されていると仮定する。すなわち、コーシー境界条件は
u = 0 ∀ ( x , y ) ∈ { ( x , y ) ∈ G : x = a cos  θ , y = a sin  θ , 0 ≤ θ ≤ π } {\displaystyle u=0\quad \forall (x,y)\in \{(x,y)\in G:\ x=a\cos \theta ,\ y=a\sin \theta ,\quad 0\leq \theta \leq \pi \ \}}
および
u y = 0 ∀ ( x , y ) ∈ { ( x , y ) ∈ G : y = 0 } {\displaystyle u_{y}=0\quad \forall (x,y)\in \{(x,y)\in G:\ y=0\}}
のように定められる。
解を、空間の関数と時間の関数の積であると考えることで、変数分離法を用いることが出来る。すなわち
u ( x , y , t ) = φ ( x , y ) ψ ( t ) {\displaystyle u(x,y,t)=\phi (x,y)\psi (t)\ }