ルンゲ＝クッタ法
ルンゲ=クッタ法は、数値積分における求積法 (quadrature) と深く繋がる。時刻 tn での値から tn+1 = tn + h での値を求めるときの方程式は以下のように定める。
y ′ = f ( t , y ) , y ( t n ) = y n . {\displaystyle y'=f(t,y),\;y(t_{n})=y_{n}.}
求積法は、与えられた区間での定積分の値を被積分関数の値の線型結合として近似する方法である。簡単のために、区間を [0, 1] とする。よって求積法の公式は
∫ 0 1 f ( t ) d t ≈ ∑ i = 1 s b i f ( c i ) {\displaystyle \int _{0}^{1}f(t)dt\approx \sum _{i=1}^{s}b_{i}f(c_{i})}
となる。ここで、bi と ci は先に選ばれた定数であり、前述の重みと節点に対応する。上記式に対し、等式がすべての p − 1 次以下の多項式に成立するとき(すなわち、誤差が0のとき)、その求積法は p 次精度であり、p を次数と呼ぶ。節点が s 個の時、最大次数は 2s であり、その方法は s 次ガウス・ルジャンドル公式と呼ばれる。
そして上記の方程式を積分形式に変形し、求積法を用いると次の公式となる。