レフシェッツ不動点定理
レフシェッツは不動点定理を[Lefschetz 1926]で提起した。レフシェッツの注目点は、不動点の写像ではなく、むしろ現在では写像の一致点(英語版)(coincidence point)と呼ばれるものであった。
同じ次元の向き付け可能多様体 X から向き付け可能多様体 Y への 2つの写像 f と g が与えられると、f と g のレフシェッツ数の一致(Lefschetz coincidence number)は次の要に定義される。
Λ f , g = ∑ ( − 1 ) k T r ( D X ∘ g ∗ ∘ D Y − 1 ∘ f ∗ ) . {\displaystyle \Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}\mathrm {Tr} (D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}).}
ここに、f∗ は上で定義した通りで、g は有理係数をもつコホモロジー群上に誘導された写像であり、DX と DY は各々 X と Y のポアンカレ双対同型である。
レフシェッツは、一致する数が 0 でなければ、f と g は一致する点を持つことを証明した。彼は論文で X = Y とし、g をd恒等写像とすると、より簡単な結果が得られることを示し、これが現在不動点定理として知られている。