バナッハ＝タルスキーのパラドックス
最後に、S上のすべての点と原点とを結ぶ線分を考えると、ステップ3で考えたSの分割は自然に球から中心点を除いた集合の分割へと拡張される。(この中心点はもう少し注意して扱う必要がある。同様に、この概要では省略したが、S の点の内 H に含まれる何らかの回転の軸上にあるものも特殊な扱いをする必要がある。)
2つの生成元aとbから生成される自由群は4つの文字a、a、b、bからなる有限の長さを持つ文字列から構成される。ここでaがaの直前直後に現れるような文字列は許されない。bについても同様である。2つのこのような文字列があったとき、それらの積をそれらの文字列をつなげたものと定義する。ただしそれにより「許されない文字列」が生じたときは、その部分を「空の文字列」で置き換えることで対処する。例えばababaとababaの積はababaababaとなるが、これはaaという「許されない文字列」を含むため、この部分を「空の文字列」で置き換えてabaabaとなる。このような文字列の集合はここで定義した演算によって、「空の文字列」を単位元eに持つ群になることが確かめられる。この群をF2と書く(この構造を持った群は自由群と呼ばれる)。F2の要素は有限の長さを持つ文字列であるので、F2は可算集合である(これはゲーデル数を用いて容易に証明できる)。
群 F 2 {\displaystyle F_{2}} は以下のようにして「パラドキシカルな分割」が可能である: S(a)をaで始まる F 2 {\displaystyle F_{2}} の文字列全体の集合とする。S(a)、S(b)、S(b)についても同様である。明らかに、
F 2 = { e } ∪ S ( a ) ∪ S ( a − 1 ) ∪ S ( b ) ∪ S ( b − 1 ) {\displaystyle F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})}
一方