線型微分方程式
線型微分方程式
L y = b {\displaystyle Ly=b}
は、b ≠ 0 の場合、2 つの解 s1, s2 を任意に取り、その差 d = s1 − s2 を考えると、L が線型作用素であることから
L d = L ( s 1 − s 2 ) = L s 1 − L s 2 = b − b = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}Ld&=L\left(s_{1}-s_{2}\right)\\&=Ls_{1}-Ls_{2}\\&=b-b\\&=0\end{aligned}}}
となり、b = 0 の場合に帰着する。この b = 0 の場合の線型微分方程式は(もとの方程式に属する)斉次あるいは同次な (homogeneous)方程式と呼ばれる。s1 = d + s2 であることを考えれば線型微分方程式 Ly = b のすべての解は Ly = b の特殊解と、元の方程式に対応する斉次方程式
L y = 0 {\displaystyle Ly=0}
の解の和となる。したがって、線型微分方程式を解くことは特殊解を見つける問題と、斉次方程式を解く問題に分けることができる。また、L が線型作用素であることから、斉次方程式の解は線型性を持ち、解同士の和や、解の定数倍も解になる。
関数の代わりに数列を(同時に、微分の代わりに差分を)考えると、類似の概念として漸化式(差分方程式)を捉えることができる(離散化)。線型差分方程式と線型微分方程式の間で、特性方程式を用いる解法など、いくつかの手法を共通に用いることができる。
L ( d d x ) = d n d x n + a n − 1 ( x ) d n − 1 d x n − 1 + ⋯ + a 1 ( x ) {\displaystyle L\left({\frac {d}{dx}}\right)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}+a_{n-1}(x){\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}+\cdots +a_{1}(x)}
で定めると、未知関数 y への作用 L(d/dx)y は y に関して線型性を持つ。
L ( d d x ) ( y 1 ( x ) + y 2 ( x ) ) = L ( d d x ) y 1 ( x ) + L ( d d x ) y 2 ( x ) , L ( d d x ) λ y ( x ) = λ L ( d d x ) y ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&L\left({\frac {d}{dx}}\right)\left(y_{1}(x)+y_{2}(x)\right)=L\left({\frac {d}{dx}}\right)y_{1}(x)+L\left({\frac {d}{dx}}\right)y_{2}(x),\\&L\left({\frac {d}{dx}}\right)\lambda y(x)=\lambda L\left({\frac {d}{dx}}\right)y(x).\end{aligned}}}
1960年以降の研究で,定数係数ではない関数係数の斉次常微分方程式の解法が報告されている。
主に,求積法による解法が多く、2 階線型常微分方程式をはじめ、多くの非線型常微分方程式がある。 これらの中に、一般の陰関数型の常微分方程式があるので、この陰関数型の関数に線型の関数型を与えれば、線型の常微分方程式が得られる。
線型微分方程式(せんけいびぶんほうていしき、英: linear differential equation)は、微分を用いた線型作用素(線型微分作用素)L と未知関数 y と既知関数 b を用いて
Ly = b
の形に書かれる微分方程式のこと。