シローの定理
シロー部分群とシローの定理の簡単な実例はn角形の二面体群Dnである。nが奇数の場合、2=2が位数2nを割る最大の2のベキであるため、位数2の部分群がシロー部分群である。鏡映によって生成される群がn種類存在し、幾何学的にはそれらは回転について共役である(どの対称軸も頂点と辺を通るため)。それに対して、nが偶数の場合、群の位数は4で割り切れるため、鏡映によって生成される群はシロー部分群にはならず、2種類の共役類に分解される。幾何学的にはその対称軸が2辺を通るか2頂点を通るかによってどちらの共役類に属するかが決まる。これは外部自己同型と関係しており、π/n ラジアンの回転(二面体群の最小の回転の半分)によって表現される。
q = p 元からなる有限体 F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} 上の一般線型群を G = GL(n, q) とおく。シローの定理から位数 |G|p = q のシロー p-部分群 U が存在する。たとえば n = 3 のとき
U = { ( 1 x z 0 1 y 0 0 1 ) | x , y , z ∈ F q } {\displaystyle U=\left\{{\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\end{pmatrix}}{\mathrel {}}{\Bigg |}{\mathrel {}}x,y,z\in \mathbb {F} _{q}\right\}}
は GL(3, q) のシロー p-部分群で、位数が qである。一般の n についても同様で、主対角成分が1の上三角行列からなる群は GL(n, q) のシロー p-部分群である。