階層ベイズモデル
ベイズの定理から、 θ j , φ {\displaystyle \theta _{j},\phi } の事後分布 P ( φ , θ j ∣ y ) {\displaystyle P(\phi ,\,\theta _{j}\mid y)} は次のように比例する。
P ( φ , θ j ∣ y ) ∝ P ( y j ∣ θ j , φ ) P ( θ j , φ ) {\displaystyle P(\phi ,\,\theta _{j}\mid y)\propto P(y_{j}\mid \theta _{j},\,\phi )\,P(\theta _{j},\,\phi )}
以上から、
P ( φ , θ j ∣ y ) ∝ P ( y j ∣ θ j ) P ( θ j ∣ φ ) P ( φ ) {\displaystyle P(\phi ,\,\theta _{j}\mid y)\propto P(y_{j}\mid \theta _{j})\,P(\theta _{j}\mid \phi )\,P(\phi )}
n 個の中から玉を 1 個取り出して、引いた玉は戻さずに、n - 1 個の中から次の玉を取り出す。
Y i = { 1 , if the i th ball is red , 0 , otherwise . {\displaystyle Y_{i}={\begin{cases}1,&{\text{if the }}i{\text{th ball is red}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
最初に赤い玉、2 番目に青い玉を取り出す確率も、最初に青い玉、2 番目に赤い玉を取り出す確率も、同じく二分の一であり、 y 1 {\displaystyle y_{1}} と y 2 {\displaystyle y_{2}} とは交換可能である。
P ( y 1 = 1 , y 2 = 0 ) = P ( y 1 = 0 , y 2 = 1 ) = 1 2 {\displaystyle P(y_{1}=1,\,y_{2}=0)=P(y_{1}=0,\,y_{2}=1)={\frac {1}{2}}}
しかし、最初に赤い玉を取り出した後で 2 番目に赤い玉を取り出す確率は 0 であり、2 回目に赤い玉を取り出す確率とは等しくない。 P ( y 2 = 1 ∣ y 1 = 1 ) = 0 ≠ P ( y 2 = 1 ) = 1 2 {\displaystyle P(y_{2}=1\mid y_{1}=1)=0\neq P(y_{2}=1)={\frac {1}{2}}}