加算性白色ガウス雑音
n R ≤ ∑ ( h ( Y i ) − h ( Z i ) ) + n ε n ≤ ∑ ( 1 2 log  ( 2 π e ( P i + N ) ) − 1 2 log  ( 2 π e N ) ) + n ε n = ∑ 1 2 log  ( 1 + P i N ) + n ε n {\displaystyle {\begin{aligned}nR&\leq \sum (h(Y_{i})-h(Z_{i}))+n\epsilon _{n}\\&\leq \sum \left({\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P_{i}+N))-{\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\right)+n\epsilon _{n}\\&=\sum {\frac {1}{2}}\log(1+{\frac {P_{i}}{N}})+n\epsilon _{n}\end{aligned}}}
xの凹(下向き)関数である log  ( 1 + x ) {\displaystyle \log(1+x)} にジェンセンの等式を適用すると、以下の式が得られる。
1 n ∑ i = 1 n 1 2 log  ( 1 + P i N ) ≤ 1 2 log  ( 1 + 1 n ∑ i = 1 n P i N ) {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P_{i}}{N}}\right)\leq {\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{N}}\right)\,\!}
この節では最後の節からのレート上限の達成可能性について述べる。
エンコーダーにもデコーダーにも知られた暗号表は長さn、独立同一分布で正規分布、分散 P − ε {\displaystyle P-\epsilon } 平均0の符号を選ぶことにより生成される。nが大きくなると、コードブックの実験的な分散はその分布の分散に非常に近くなり、それにより確率的にパワー制約を破るのを回避する。
受け取られたメッセージは、コードブックに書かれている一意に結びついた典型的なメッセージへと復号される。 もし、そのようなメッセージが存在しない、もしくは、パワー制約に違反する場合、複合エラーが宣言される。
X n ( i ) {\displaystyle X^{n}(i)} はメッセージ i {\displaystyle i} のコード名、 Y n {\displaystyle Y^{n}} は is, as before the received vector.3つの出来事を定義する。
出来事 U {\displaystyle U} :受け取ったメッセージのパワーが P {\displaystyle P} よりも大きい。
出来事 V {\displaystyle V} :送受信されたコード名は結びついて典型的なものではない。
出来事 E j {\displaystyle E_{j}} : ( X n ( j ) , Y n ) {\displaystyle (X^{n}(j),Y^{n})} は A ε ( n ) {\displaystyle A_{\epsilon }^{(n)}} の中にあり, i ≠ j {\displaystyle i\neq j} となる典型的なセット、つまり、間違ったコード名が受信したベクトルと結びついて典型的である。