ゼロの偶奇性
数学的に、ゼロが偶数であることの証明は、定義の簡単な応用である。しかし、教育現場ではさらなる説明が必要とされる。数学的証明の本質に関連する問題の一つは、「2の倍数である整数」としての「偶数」の定義は常に適当なわけではない、という点である。初等教育第一学年の生徒は、まだ「整数」や「倍数」の意味を学習していないであろうし、0をかける方法はなおさらであろう。 さらに加えて、もし今のところ偶数が正の数だけと教えられているならば、すべての整数に対する偶奇性の定義を主張することは、概念を恣意的に短絡しているように見えるかもしれない。それは数の概念が正整数から0を含む負の整数に拡張されるような知識の助けになるかもしれない、偶奇性のような数の性質もまた非自明な方法で拡張される 。
ゼロは偶数であると信じる大人であっても、それを偶数と考えることに必ずしも馴染んでいるわけではない。その馴染の無さは、 反応時間テストで、それらの低減を計測できる程十分である。数量認識の分野における開拓者の一人であるStanislas Dehaeneは、1990年代初期にそのような一連の実験を行った。 ある命数あるいは数詞がモニター上で被験者に表示される。被験者はその数字が偶数か奇数かを決定し、それに応じて右または左のボタンを押す。左右のボタンと偶数・奇数の対応は、実験ごとに変わる。コンピューターは被験者が二つのボタンの一つを押すまでにその対象を表示している時間を記録する。この結果、0は他の偶数よりも処理時間が遅いことが示された。この実験のあるバリエーションでは60ミリ秒ほどの遅れが見られた。この差は平均反応時間の約10%の小さなものだが重要である。。
Dehaene の実験は、特に0について研究するためにデザインされていたわけではなく、むしろ、いかにして偶奇性の情報が処理され抽出されるのかを説明するための、複数の競合するモデルを比較するためのものであった。もっとも明確なモデルである精神計算仮説は、0に対する反応は早くなるであろうことを示唆していた。0は小さな数であり、0 × 2 = 0を計算することは容易だからである。しかし、この実験結果は何かまったく違うことが発生していたことを示唆している。
数nは、n = 2k + 1となるようなある整数kが存在すれば奇数である 。ゼロが奇数では無いことを証明する一つの方法は、背理法である。すなわち、0 = 2k + 1となるようなあるkが存在すれば、この式よりk = −1/2、となるが、これは整数ではない。ゼロが奇数でないから、ある未知の数が奇数であることが示されれば、それはゼロではありえない。この一見したところ自明な事実は、ある数がなぜゼロではありえないのか、ということを説明する便利で明瞭な証明を与える。
グラフ理論の古典的な結果は、奇数位数のグラフは常に少なくとも一つの偶数次数の頂点を持つことを主張する。空グラフの位数(0)、および孤立点の次数(0)は偶数であるため、この主張は、ゼロが偶数であることを要求する。