写像
一般には、定義域と始域が異なる(値の定められていない始域の元が存在する)という場合も考え得る。集合 A, B の元の順序対からなる集合(すなわち二項関係)Gf が
右一意性: (x, y1) ∈ Gf かつ (x, y2) ∈ Gf ならば y1 = y2
をみたすとき Gf は A から B への関数関係であると言われる。このとき、三つ組 f := (A, B, Gf) をこの関数関係 Gf から定まる A から B への部分写像と呼び、f: A → B で表す。部分写像 f: A → B すなわち Gf ⊆ A × B の定義域 dom(f) と値域 ran(f) は次のように定義される:
dom  ( f ) = { x ∣ ∃ y ( ( x , y ) ∈ G f ) } ⊆ A , ran  ( f ) = { y ∣ ∃ x ( ( x , y ) ∈ G f ) } ⊆ B . {\displaystyle \operatorname {dom} (f)=\{x\mid \exists y((x,y)\in G_{f})\}\subseteq A,\quad \operatorname {ran} (f)=\{y\mid \exists x((x,y)\in G_{f})\}\subseteq B.}
写像の定義の際には課した関係の全域性は、部分写像 f の定義域 dom(f) が始域 A に一致することをいうものであり、全域的な部分写像を特に全域写像 (total mapping) と呼ぶ。すなわち、全域写像は写像の同義語である。
X, Y を集合とする。写像 f: X → Y が X の任意の元 x, y に対して f(x) = f(y) をみたすとき、f は定値写像といわれる。X が空でないとき、定値写像とはその像が一元集合となるものである。X が空であるときは、文献によって扱いが異なる。
既知の写像から別の新たな写像を構成する方法をいくつか示す。