接続 (ベクトル束)
0 = d d t g ( d P d s , d P d s ) = 2 g ( ∇ d s d P d s , d P d s ) {\displaystyle 0={d \over dt}g({\tfrac {dP}{ds}},{\tfrac {dP}{ds}})=2g({\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {dP}{ds}},{\tfrac {dP}{ds}})}
である。よって次が従う:
定理 ― ∇ d s d P d s {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {dP}{ds}}} は曲線の接線 d P d s {\displaystyle {\tfrac {dP}{ds}}} と直交する。
なおここで定義した「曲線の曲率」は次章で定義する「(接続が定義された)多様体の曲率」とは別概念であるので注意されたい。実際、
「曲線の曲率」は曲線 P ( s ) {\displaystyle P(s)} のみならず「外側の空間」Mがあって初めて定義されるものであるのに対し、次章で述べる「多様体の曲率」の定義にはこのような「外側の空間」は必要ない。
「曲線の曲率」はあくまで曲線の接線方向の微分を考えているのに対し、「多様体の曲率」は2つの接ベクトルがあって初めて定義されるものであり、これら2つの接ベクトルが同一の場合は0になってしまう。
MのベクトルバンドルEに接続 ∇ {\displaystyle \nabla } が定義されているとき、Eの双対バンドルEに以下の性質を満たす接続 ∇ ∗ {\displaystyle \nabla ^{*}} を定義できる:
ここでXはM上の任意のベクトル場であり、sはEの任意の切断であり、ωはEの任意の切断であり、 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } はEの双対ベクトル空間Eの元とEの元との内積である。紛れがなければ∇を単に∇と書く事も多い。
Eにリーマン計量がg定義されている場合、EとEは自然に同一視でき、
X g ( s 1 , s 2 ) = g ( ∇ X ∗ s 1 , s 2 ) + g ( s 1 , ∇ X s 2 ) {\displaystyle Xg(s_{1},s_{2})=g(\nabla _{X}^{*}s_{1},s_{2})+g(s_{1},\nabla _{X}s_{2})}
が成立する事になるが、一般には ∇ ∗ {\displaystyle \nabla ^{*}} と ∇ {\displaystyle \nabla } は異なる。情報幾何学の分野では ∇ ∗ {\displaystyle \nabla ^{*}} の事を ∇ {\displaystyle \nabla } の双対接続(英: dual connection)という。
次が成立する:
ビアンキの第二恒等式は以下のようにも書ける
( ∇ X R m ) ( Y , Z , V , W ) + ( ∇ Y R m ) ( Z , X , V , W ) + ( ∇ Z R m ) ( X , Y , V , W ) = 0 {\displaystyle (\nabla _{X}\mathrm {Rm} )(Y,Z,V,W)+(\nabla _{Y}\mathrm {Rm} )(Z,X,V,W)+(\nabla _{Z}\mathrm {Rm} )(X,Y,V,W)=0}
ここで
R m ( X , Y , Z , W ) := g ( R ( X , Y ) Z , W ) {\displaystyle \mathrm {Rm} (X,Y,Z,W):=g(R(X,Y)Z,W)}
であり、 ( ∇ X R m ) {\displaystyle (\nabla _{X}\mathrm {Rm} )} は R m {\displaystyle \mathrm {Rm} } を T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T ∗ M {\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes T^{*}M} に値を取るテンソル場とみなしたときの共変微分である。 R m {\displaystyle \mathrm {Rm} } を(リーマンの)曲率テンソル(英: (Riemann) curvature tensor)という。
E = T M {\displaystyle E=TM} で ∇ {\displaystyle \nabla } がレヴィ-チヴィタ接続の場合、 M = R m {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{m}} であれば、すなわちMが「平たい」空間であれば、クリストッフェル記号 Γ j k i {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}} は全て0になる。
よって一般のベクトルバンドルの場合も、クリストッフェル記号 Γ j k i {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}} が全て0になる局所座標と局所基底がとれればバンドルは「平たい」とみなす事にする。
この「平たい」バンドルとのズレを測るのが曲率である。ただしクリストッフェル記号は局所座標の取り方に依存しているため、クリストッフェル記号自身を用いるのではなく、別の方法で「平たい」バンドルとのズレを測る。
ズレを測るため、クリストッフェル記号 Γ j k i {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}} が全て0であれば、
∇ X s = ( X s i ) e i {\displaystyle \nabla _{X}s=(Xs^{i})e_{i}}
となる事に着目する。この事実から「平たい」バンドルに対しては、
レヴィ-チヴィタ接続の場合は以下のようにも成分表示できる:
定理 ― R i j k l := g ( R ( ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x l ) ∂ ∂ x j , ∂ ∂ x i ) {\displaystyle R_{ijk\ell }:=g(R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}})} とすると、以下が成立する:
R i j k l = 1 2 ( ∂ ∂ x i ∂ ∂ x k g j l + ∂ ∂ x j ∂ ∂ x l g i k − ∂ ∂ x j ∂ ∂ x k g i l − ∂ ∂ x i ∂ ∂ x l g j k ) {\displaystyle R_{ijk\ell }={1 \over 2}{\Big (}{\partial \over \partial x^{i}}{\partial \over \partial x^{k}}g_{j\ell }+{\partial \over \partial x^{j}}{\partial \over \partial x^{\ell }}g_{ik}-{\partial \over \partial x^{j}}{\partial \over \partial x^{k}}g_{i\ell }-{\partial \over \partial x^{i}}{\partial \over \partial x^{\ell }}g_{jk}{\Big )}} = 1 2 ∂ 2 ∧ ◯ g ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j , ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x l ) {\displaystyle ={1 \over 2}\partial ^{2}{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g({\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}})}