ファノ多様体
X 上に豊富なラインバンドルが存在することと、X が射影多様体であることとは同値であるから、ファノ多様体はいつでも射影的である。複素数体上のファノ多様体は、小平消滅定理により、 i > 0 {\displaystyle i>0} に対して、構造層の高次コホモロジー群 H i ( X , O X ) {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})} が 0 である。このことから、第一チャーン類から、同型 c 1 : P i c ( X ) → H 2 ( X , Z ) {\displaystyle c_{1}:\mathrm {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )} が導かれる。
滑らかな複素ファノ多様体は、単連結である。カンパナ(Campana)とケラー・宮岡・森(Kollár-Miyaoka-Mori)は、代数的閉体上の滑らかなファノ多様体は有理チェーン連結であることを示した。すなわち、任意の 2つの閉点は有理曲線のチェーンにより連結することができる。 最も簡単な事実は、ファノ多様体の小平次元は、−∞ という事実である。
ケラー・宮岡・森は、標数 0 の代数的閉体上の任意の次元の滑らかなファノ多様体が有界な族を作ることを示した。このことはそのようなファノ多様体が有限個の代数多様体の点により分類されることを意味している。 特に、各々の次元のファノ多様体の変形クラスは、有限個しかないことを意味する。この意味で、ファノ多様体は一般型の多様体のような他のクラスよりも非常に特殊である。
ファノ多様体の基本的な例は、射影空間(英語版)である。 P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbf {k} }^{n}} の反標準ラインバンドルは O ( n + 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(n+1)} であり、反標準バンドルは非常に豊富である(その曲率はフビニ・スタディ計量の n+1 倍のシンプレクティック形式である)。
D を P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbf {k} }^{n}} の中の滑らかな余次元 1 の部分多様体とすると、随伴公式より、 K D = ( K X + D ) | D = ( − ( n + 1 ) H + d e g ( D ) H ) | D {\displaystyle {\mathcal {K}}_{D}=({\mathcal {K}}_{X}+D)|_{D}=(-(n+1)H+\mathrm {deg} (D)H)|_{D}} を得る。