因数分解
代数的整数論において、ディオファントス方程式の研究の過程で19世紀の数学者は整数を一般化するものとしての代数的整数を導入した。初期に知られた代数的整数環はガウス整数環やアイゼンシュタイン整数環で、これらは通常の整数の場合と同じくPID(したがってUFD)であった。しかし事はそう都合よくはいかず、すぐにほとんどの代数的整数環がPIDでもUFDでもないことが判明する。もっとも簡単な例として、Z[√−5] において
は二通りの既約元分解である。
このように分解の一意性が成り立たないことはディオファントス方程式の解法にとって大きな困難をもたらすものであった。例えば、フェルマーの最終定理に対するかなり多く誤った証明が分解の一意性を暗に仮定したことによる誤りを犯していたのである(「真に驚くべき証明を発見したが、この余白はそれを記すには狭すぎる」と書き残したことで知られるピエール・ド・フェルマーもおそらく例外ではあるまい)。この困難を解決したのはリヒャルト・デーデキントで、それは任意の代数的整数環がイデアルの一意な準素分解を持つという形に述べられる。すなわち、これらの環において、任意のイデアルは準素イデアルの積として表され、その分解は因子の順番を除いて一意である。イデアルに関するこの一意分解性質を持つ整域は、こんにちデデキント整域と呼ばれている。デデキント整域は、それを代数的整数論の基礎たらしめる良い性質を多く持つものである。