楕円有理関数
R n 2 ( ξ , x ) ≤ 1 {\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)\leq 1} for | x | ≤ 1 {\displaystyle |x|\leq 1\,}
R n 2 ( ξ , x ) = 1 {\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)=1} at | x | = 1 {\displaystyle |x|=1\,}
R n 2 ( ξ , − x ) = R n 2 ( ξ , x ) {\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,-x)=R_{n}^{2}(\xi ,x)}
R n 2 ( ξ , x ) > 1 {\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)>1} for x > 1 {\displaystyle x>1\,}
x=1 における傾きが最も急峻
x=1 における傾きは同次数のチェビシェフ多項式よりも急である
上記の条件を満たす有理関数は、楕円有理関数しかない (Lutovac 2001, § 13.2).
以下の特徴を導くことができる:
次の逆数関係が成り立つ:
R n ( ξ , ξ / x ) = R n ( ξ , ξ ) R n ( ξ , x ) {\displaystyle R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}(\xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}\,}
このことから、対応するi番目の零点 x i {\displaystyle x_{i}} と極 x i ( p ) {\displaystyle x_{i}^{(p)}} の間には次の関係がある
x i x i ( p ) = ξ {\displaystyle x_{i}x_{i}^{(p)}=\xi \,}
全ての零点と極は実数であって重複がない。奇数次の場合には原点に零点があり、それに対応する極は無限遠にある。