球充填
球充填(きゅうじゅうてん、英語: sphere packing)とは、互いに重なり合わない球を並べて空間を充填することである。通常は同一の大きさの球と3次元ユークリッド空間を扱う。しかし、球の大きさが一様ではない場合や、2次元空間(その場合の球は円)や高次元空間(その場合の球は超球)、さらには双曲空間(英語版)のような非ユークリッド空間にも適用できる (位相幾何的に定式化される)。
典型的な球充填問題とは、ある空間について最も稠密に球を詰め込む配置を見出す問題である。空間全体に対する球によって占められた空間の比率を充填密度(英: density of arrangement)と呼ぶ。無限に広い空間への充填では、測定する体積によって局所的な充填密度が変わるため、通常は密度の平均を最大化するか、十分大きな体積を測定するときの漸近的な密度を最大化することを問題とする。
3次元空間の充填では、等しい大きさの球による最密充填は空間の74%を占める。等しい大きさの球によるランダム充填は一般に64%前後の密度を持ち、最も緩い充填は5.5%ぐらいになることが実験によって確かめられている。
3次元ユークリッド空間において、等しい球のもっとも稠密な配置は最密構造と呼ばれる構造の族を成す。そのうちの一つを構築する方法の例を以下に示す。まず平面上で球を稠密に配置する。3つの球が互いに接するよう配置すると、その真ん中にできた凹みに第4の球を置くことができる。これを一段目の上のあらゆる箇所で行えば、新たな稠密な配置が生成される。第3層は、上から見て第1層と同じ配置になる場合と、第1層の凹みのうち第2層が使っていない位置に球を配置する場合がある。つまり一つの層が取り得る配置は3種類存在する。これらをA、B、Cと名付ける。
このような最密構造の族の中には、正規格子となる単純な配置が二つ存在する。その一方は層がABCABC...という順で並ぶもので、立方最密充填(または面心立方充填)と呼ばれる。もう一方はABAB...と交互に並ぶもので、六方最密充填と呼ぶ。しかし、これら以外にも任意の層の組合せが可能である(ABAC、ABCBA、ABCBAC、など)。
球面の中心が格子と呼ばれる極めて対称的なパターンとなる配置を、正規 (regular) 配置(または周期 (periodic) 配置、あるいは格子 (lattice) 配置と呼ぶ。格子状に配置されていない場合は、非正規 (irregular) 配置または非周期 (aperiodic) 配置と呼ぶ。正規配置は非正規配置よりも扱いやすく、対称性の高さのおかげで分類や密度測定が容易に行える。
球充填において、隣接する球同士が押さえつけあって互いを拘束している状態をジャミング(英語版)という。ジャミングしている球充填で最も疎なものは、密度が0.49365しかない希薄な面心立方格子である。