ユークリッド環
「整数 a と 0 でない整数 b が与えられたとき、a = q × b + r を満たす整数の対 q, r が存在して、さらにそのようなものの中に r = 0 または |r| < |b| を満たすものが取れる」
a および b が正である場合のみを考えることにすれば、r と b に関する制約条件は、単に「r = 0 または r < b」と表すことができる。
任意の環にも加法と乗法の概念があるから、長除法の概念が任意の環で展開できないかを考えるのはある意味で自然なことだが、しかし剰余や商に関する条件(つまり「r = 0 または r < b」)を単なる環の文脈で定義することは(もちろん、環上に何らの順序関係も定義されていないので)容易にはできない。こうして、各元に加法単位元 0 からの「距離」を導く(「次数」や「賦値」などとも呼ばれる)ある種のノルムd を備えた環としてのユークリッド環の概念が導かれる。そうして、制約条件「r = 0 または r < b」は「r = 0 または d(r) < d(b)」で置き換わる。
↑ 例えば、山崎 1976, p. 176, 注意「さらに δ(ab) ≥ δ(a) を要請するのが普通であるが」
↑ 山下倫範. “ユークリッド環についての注意” (PDF). 2012年5月9日閲覧。
↑ 例えば(加古 2009), (坂井 2012, 定義4.9)
↑ 例えば (草刈 2005), また Euclidean domain - PlanetMath.(英語) では "Euclidean valuation" (ユークリッド賦値) と言っている
↑ 例えば (都築 2008, 第8節冒頭. ただし定義は第7節 定義7.3), (草刈 2005, 定義10.3), また MathWorld では "integer norm" (整数値ノルム) と言っている
↑ 例えば 森田 1987, p. 87
↑ 山崎 1976, p. 176, 注意「なお,δ の値として −∞ を許すのは,整式の次数に利用する際の便宜のためである.また,δ の定義域から 0 を除かない方が記述が簡明であろう」
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 1.
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 2.
↑ Samuel 1971.
↑ Euclidean domain in nLab, 4. properties.
↑ Fraleigh & Katz 1967, p.
代数体 K には体のノルム N(各代数的な元 α をその共軛元(英語版)全ての積へ写す写像)の絶対値による標準ノルム写像が存在する。このノルムは数体 K の整数環 OK を非負有理整数全体の成す集合のなかへ写すから、この環上のユークリッド函数の候補となり得る。このノルムがユークリッド函数の公理を満足するならば、数体 K はノルムに関してユークリッド的あるいはノルムユークリッド的 (norm-Euclidean) であるという。厳密に言えば、(体は自明なユークリッド環であるし)整数環のほうがユークリッド的だということを言っているのだが、このような語法が標準的である。
「体がノルムユークリッドでない」というのは、整数環がユークリッド環にならないことを必ずしも意味しない。単に体のノルムがユークリッド函数の公理を満足しないというだけである。実際、その整数環がユークリッド環になるが自身はノルムユークリッドでないような数体は存在する。簡単な例として二次体 Q(√69) があるが、このような体を(特に二次体の場合に)全て決定する問題は重要な未解決問題である。
ノルムユークリッド二次体の分類は済んでおり、そのような二次体 Q(√d) を成す整数 d の値は
−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (OEIS: A048981).
であたえられる。