パイこね変換
パイこね変換は、単位正方形からそれ自身への写像(変換)として定義される。さらに、力学系には大きく分けて保存系と散逸系が存在する。パイこね変換についても以下のように保存系と散逸系が与えられる。
パイこね変換が保存系の場合、単位正方形 E = [0, 1] × [0, 1] に対する変換 f: E → E は次のように与えられる。
f ( x , y ) = { ( 2 x , y / 2 ) 0 ≤ x ≤ 1 / 2 ( 2 x − 1 , y / 2 + 1 / 2 ) 1 / 2 < x ≤ 1 {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}(2x,\ y/2)&0\leq x\leq 1/2\\(2x-1,\ y/2+1/2)&1/2<x\leq 1\end{cases}}}
ここで、x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1] である。上式の x と y を逆にする場合、すなわち1/2倍に押し潰される方向を x とする場合も多いが、本記事では押し潰される方向を y で統一する。漸化式では次のように表される。
( x n + 1 , y n + 1 ) = { ( 2 x n , y n / 2 ) 0 ≤ x n ≤ 1 / 2 ( 2 x n − 1 , y n / 2 + 1 / 2 ) 1 / 2 < x n ≤ 1 {\displaystyle (x_{n+1},\ y_{n+1})={\begin{cases}(2x_{n},\ y_{n}/2)&0\leq x_{n}\leq 1/2\\(2x_{n}-1,\ y_{n}/2+1/2)&1/2<x_{n}\leq 1\end{cases}}}
この変換のヤコビアン J を計算すると 1 となり、何回変換を繰り返しても面積一定で保たれる保存系であることが確認できる。
J = | ∂ x n + 1 ∂ x n ∂ y n + 1 ∂ x n ∂ x n + 1 ∂ y n ∂ x y + 1 ∂ y n | = | 2 0 0 1 / 2 | = 1 {\displaystyle J={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{n+1}}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial y_{n+1}}{\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial x_{n+1}}{\partial y_{n}}}&{\frac {\partial x_{y+1}}{\partial y_{n}}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&0\\0&1/2\end{vmatrix}}=1}
この変換を文章で説明すると、変換を1回適用する過程で、次のような操作を行っていることになる。