分数次フーリエ変換
離散フーリエ変換のような類似の変換にも、分数次フーリエ変換と関連する分数次への一般化が存在する。離散分数次フーリエ変換は、Zeev Zalevsky(英語版) による定義が、(Candan, Kutay & Ozaktas 2000) および (Ozaktas, Zalevsky & Kutay 2001, Chapter 6) に見える。
分数次ウェーブレット変換 (FRWT): 古典的ウェーブレット変換 (WT) の分数次フーリエ変換 (FRFT) 領域への一般化。FRWT は WT および FRFT の制限を改善するために提案された。この変換は WT からマルチ解像度解析の利点を受け継ぐだけでなく、FRFT と類似の分数次領域での信号の表現力をあわせもつ。既存の FRWT に比べて、Shi, Zhang, Liu により2012年に定義された FRWT は時間・周波数混合平面における信号表現力がある。
関連するフーリエ変換の一般化について、チャープレット変換(英語版)も参照されたい。
FRFT後の関数の引数 u は空間的な引数 x でも周波数的な引数 ξ でもない。これをこれら二つの座標 (x,ξ) の線形結合と考えることができる理由を見ていこう。α-角分数領域を区別するために、xa を F α {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }} の引数とすることにする。
備考: 周波数ではなく角周波数 ω を使うコンベンションでは、FrFT 公式はメーラー核(英語版)となる。
F α ( f ) ( ω ) = 1 − i cot  ( α ) 2 π e i cot  ( α ) ω 2 / 2 ∫ − ∞ ∞ e − i csc  ( α ) ω t + i cot  ( α ) t 2 / 2 f ( t ) d t . {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)\,dt~.}