普遍代数学
演算を特定したあとは、その代数の内在的な性質というのは公理系によってさらに限局されることになるが、普遍代数学ではこういった公理系として等式(等式律、等式法則)によって与えるのが普通である。例えば、二項演算に対する結合性公理は等式 x * (y * z) = (x * y) * z によって定められる。この公理は集合 A の任意の元 x, y, z に対して満たされることが意図されている。
通常の定義において単位元 e が一意であると断っている(一意でなく他の単位元 e′ が存在するなら零項演算 e の値であるところの元と紛らわしい)ことについて、普遍代数学的な定義では何も言っていないが、特段断らずとも一意性が出ることは古典的な群論の教科書における初歩的な練習問題になるようなことなので、問題でない。逆元についても同様である。故に、群の普遍代数学的な定義は通常の定義と同じものになる。
一見すると、量化された法則を等式律に書き換えることは単に形だけの違いにも思えるが、しかしこれは極めて実利的な結果である(圏論において群対象を定義しようとするとき、考えている圏の対象が集合でない場合には、それが元を持つわけではないために、量化された法則が意味を成さないということも起こり得る。そこで一般の圏で意味を持つ性質としての等式法則を使わなければならない)。さらに言えば、普遍代数学の観点は逆元や単位元が存在することのみならず、それが圏の射であることまで主張するのである。基本的な例である位相群では、逆元は各元に対して存在することのみならず、逆元を対応させる反転写像が連続写像となることを要求する(文献によっては単位元についても、零項演算としてそれが閉包含写像(英語版)したがって余ファイブレーション(英語版)となることを要求する。これもまた位相空間の圏での射の性質として言及できるものである)。
この主題に関する成果はバーコフ(英語版)とオレ(英語版)が普遍代数学の本を著す1930年代初めまでほとんどなかった。1940年代や1950年代のメタ数学や圏論の発展はこの分野を推し進め、特にロビンソン、タルスキ、モストフスキらやその学生らの結果がある (Brainerd 1967)。
1935年から1950年の間の期間に、バーコフの論文に示唆された路線に沿った多くの論文が書かれ、自由代数や合同、部分代数束、準同型定理などが扱われた。1940年代に数理論理学の発展から代数学への応用が可能になったけれども、それは非常にゆっくりとしたものであった。それらの結果が1940年代にマルチェフ(英語版)によって出版されたけれども、戦争の影響で注目されなかった。1950年のケンブリッジにおける国際数学者会議でのタルスキーの講義が、主にタルスキー自身、あるいは C.C. Chang、ヘンキン、Jónsson(英語版)、リンドン(英語版)らによって展開されたモデル理論的側面での新たな研究の時代の先駆けとなった。
1950年代の終わりに、マルチェフスキ(英語版)は、自由代数の重要性を強調して、マルチェフスキ自身と、Jan Mycielski, Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S. Świerczkowski, K. Urbanik らによる自由代数に関する代数的理論について50を超える論文の出版を導いた。