P進量子力学
アデールの上には多くの慣れ親しんだ関数を定義できる。例えば、三角函数や e や log x を定義することができ、メリン変換やフーリエ変換のような積分変換を通して、リーマンゼータ函数のような特殊函数も定義出来る。 アデール環は多くの興味深い性質を持っている。例えば、あるタイプの二次多項式は、ハッセ(Hasse)の局所大域原理に従う。つまり有理数があるタイプの二次多項式の解であることと、R と全ての素数 p に対して Qp で解を持つこととが同値になる。さらに、実絶対値と p-進絶対値は、次の互いに注目すべきアデールの積公式により関係付けられている
| r | ∞ ∏ p | r | p = 1 . {\displaystyle |r|_{\infty }\prod _{p}|r|_{p}=1\ .}
ここに r は 0 でない有理数である。
今はQ上の積公式であるから証明は簡単である。
実際、素数 p に対して0でない有理数 r の p 進ノルムは
r = p e b c ( e , b , c ∈ Z , ( b c , p ) = 1 ) {\displaystyle r=p^{e}{\frac {b}{c}}\quad (e,b,c\in \mathbb {Z} ,\;(bc,p)=1)}
と表したとき
| r | p = p − e {\displaystyle |r|_{p}=p^{-e}}
アデール的積公式の他の応用としては、弦理論で対称性を交叉させるヴェネチアーノ振幅(英語版)(Veneziano amplitude)がある。26次元の開ボゾン弦の理論では、振幅 A (a, b) が 4つのタキオンの散乱を記述する。これらの振幅の計算は容易ではない。しかし、1987年に、この振幅のアデール的積公式
A ∞ ( a , b ) ∏ p A p ( a , b ) = 1 {\displaystyle A_{\infty }(a,b)\prod _{p}A_{p}(a,b)=1}
が発見された。この式は 4・振幅を持ち、全ての高次振幅がツリーレベルで非常に単純な p-進振幅の逆数として、正確に計算される。この発見は p-進的な弦理論を少し活性化させた。 閉じたボゾン弦についての状況はそれほど容易ではないが、研究がつづけられている。