一意分解環
ネーター整域が UFD となる必要十分条件は、その高さ 1 の素イデアルがすべて単項イデアルとなることである。同様に、デデキント環が UFD となる必要十分条件は、そのイデアル類群が自明であることである。この場合は実際には主イデアル環となる。
ネーター的ではない整域についても、それが UFD となることに同値な条件の言いかえができる。A を整域として、以下の条件は互いに同値である。
A が UFD である。
A の任意の 0 でない素イデアルが素元を含む (Kaplansky)。
A が主イデアルに関する昇鎖条件 (ACCP) を満たし、S が素元の生成する A の積閉集合ならば局所化 SA が UFD となる(永田の判定条件)。
A が (ACCP) を満足し、かつ、任意の既約元が素元である。
A が分解整域(英語版)(零元でも単元でも無い任意の元が既約元の有限積に表すことができる)かつ任意の既約元が素元である。