メビウス変換
メビウス変換が楕円型 (elliptic) であるとは、その表現行列 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} のトレースが
0 ≤ ( tr H ) 2 < 4 {\displaystyle 0\leq ({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}})^{2}<4}
なる実数となるときにいう。メビウス変換が楕円型となることと、上述の λ について |λ| = 1 となることとは同値である。いま、λ = e と書けば、α は実数であって、楕円型メビウス変換は
( cos  α − sin  α sin  α cos  α ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}
に共軛である。
特性定数 k を持つ如何なる H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} についても、 H n {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}} の特性定数は k となることに注意すべきである。このことから、有限位数のメビウス変換は必ず楕円型であり、λ は1の冪根とならねばならない。これはつまり、上述の α が π の有理数倍であるときに限るといっても同じことである。
行列式 1 の行列 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} で定義される、恒等変換ではないメビウス変換が抛物型 (parabolic) であるとは、
( tr H ) 2 = 4 {\displaystyle ({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}})^{2}=4}
であるときにいう(したがってトレースは ±2 のいずれかということになるが、与えられた変換に対して H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} は符号の違いを除いて一意だから、何れか一方のみに決まる)。事実として、一方の選択肢では H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} は恒等行列と同じ特性多項式 X − 2X + 1 を持ち、したがって冪単となる。メビウス変換が抛物型となるのは、それが拡張複素平面 C = C ∪ {∞} に唯一つの不動点を持つときであり、かつそのときに限る。