連続的双対空間
位相線型空間の間の連続線型写像 T: V → W の(連続的)転置 T' : W' → V' は、代数的な場合と同様に
T ′ ( φ ) = φ ∘ T , ( φ ∈ W ′ ) {\displaystyle T'(\varphi )=\varphi \circ T,\quad (\varphi \in W')}
と定義され、汎関数 T'(φ) は V' に属する。対応 T ↦ T' は V から W への線型汎関数の空間から W' から V' への線型汎関数の空間への線型写像を定める。また、連続線型汎関数 T, U が合成できるとき
( U ∘ T ) ′ = T ′ ∘ U ′ {\displaystyle (U\circ T)'=T'\circ U'}
が成り立つ。V と W がともにノルム空間ならば、転置写像 T' ∈ L(W', V') のノルムは T ∈ L(V, W) のそれと一致する。またハーン・バナッハの定理からいくつかの転置写像の性質が導かれる。例えば、有界線型写像 T の値域が稠密となる必要十分条件は、その転置 T' が単射となることである。