ケイリー・ハミルトンの定理
例として、 f ( A ) = e A t ( A = ( 1 2 0 3 ) ) {\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad (A={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}})}
の多項式表現を求めよう。A の固有多項式は p(x) = x − 4x + 3, 固有値は λ = 1, 3 である。剰余を r(x) = c0 + c1x と置き、固有値における値 f(λ) = r(λ) を評価して、線型方程式系 e = c0 + c1, e = c0 + 3c1
を得る。これを解けば c0 = (3e − e)/2, c1 = (e − e)/2
を得るから、 e A t = c 0 I 2 + c 1 A = ( e t e 3 t − e t 0 e 3 t ) {\displaystyle e^{At}=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}e^{t}&e^{3t}-e^{t}\\0&e^{3t}\end{pmatrix}}}
となる。函数を g(A) = sin(At) に変えれば、係数は c0 = (3sin(t) − sin(3t))/2 および c1 = (sin(3t) − sin(t))/2 となるから sin  ( A t ) = ( sin  t sin  3 t − sin  t 0 sin  3 t ) {\displaystyle \sin(At)={\begin{pmatrix}\sin t&\sin 3t-\sin t\\0&\sin 3t\end{pmatrix}}}
と求まる。
同様にして、 f ( A ) = e A t ( A = ( 0 1 − 1 0 ) ) {\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad (A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}})}
を考える。A の固有多項式は p(x) = x + 1, 固有値は λ = ±i である。先と同様に、固有値における値に関する連立方程式 e = c0 + ic1, e = c0 − ic1
を解いて、 c0 = (e + e)/2 = cos(t), c1 = (e − e)/2i = sin(t)
を得る。この場合の
e A t = ( cos  t ) I 2 + ( sin  t ) A = ( cos  t sin  t − sin  t cos  t ) {\displaystyle e^{At}=(\cos t)I_{2}+(\sin t)A={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}}}
は回転行列である。
このような利用法の標準的な例は、行列リー群(英語版)への付随するリー環からの指数写像である。これは行列指数関数 exp : g → G ; {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G;}
解析函数が収束冪級数として
f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ a k x k {\displaystyle f(x)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}
と与えられ、n次正方行列 A の固有多項式を p(x) と書くとき、上記の冪級数を十分大きな k で打ち切った多項式に対する剰余付きの除法を考えれば、
f ( x ) = q ( x ) p ( x ) + r ( x ) {\displaystyle f(x)=q(x)p(x)+r(x)}
で「剰余」多項式 r(x) が 0 ≤ deg r(x) < n となる「商」解析函数 q(x) とともに一意的に決まる。x を行列 A に置き換えれば、ケイリー・ハミルトンの定理により p(A) = O だから、ある種の剰余の定理:
f ( A ) = r ( A ) {\displaystyle f(A)=r(A)}
が成り立つ。ゆえに、行列変数の解析函数は各行列 A ごとに n 次以下の行列多項式として書き表される。
t X ↦ e t X = ∑ n = 0 ∞ t n X n n ! = I + t X + t 2 X 2 2 + ⋯ ( t ∈ R , X ∈ g ) {\displaystyle tX\mapsto e^{tX}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {t^{n}X^{n}}{n!}}=I+tX+{\dfrac {t^{2}X^{2}}{2}}+\cdots \qquad (t\in \mathbb {R} ,X\in {\mathfrak {g}})}
として与えられる。その多項式表示は SU(2) に対しては古くから知られており、パウリ行列 σ を用いて
e i ( θ / 2 ) ( n ^ ⋅ σ ) = I 2 cos  θ / 2 + i ( n ^ ⋅ σ ) sin  θ / 2 {\displaystyle e^{i(\theta /2)({\hat {n}}\cdot \sigma )}=I_{2}\cos \theta /2+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sin \theta /2}
と書ける。SO(3) も同様で
2次正方行列 A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} に対しては、固有多項式は
p(λ) ≔ λ − (a + d)λ + (ad − bc)
となり、ケイリー・ハミルトンの定理の述べるところによれば
p ( A ) = A 2 − ( a + d ) A + ( a d − b c ) I 2 = ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}
が成り立つはずであるが、これは実際に A の成分を具体的に書き出せば、確かに成り立っていることが確認できる。