一般相対性理論における測地線
よって、ハミルトンの原理(英語版)により次のオイラー=ラグランジュ方程式を得る。
g μ ν d 2 x ν d τ 2 + 1 2 d x α d τ d x ν d τ ( ∂ α g μ ν + ∂ ν g μ α − ∂ μ g α ν ) = 0 {\displaystyle g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} x^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)=0}
逆計量テンソル g μ β {\displaystyle g^{\mu \beta }} をかけて、次を得る。
d 2 x β d τ 2 + 1 2 g μ β ( ∂ α g μ ν + ∂ ν g μ α − ∂ μ g α ν ) d x α d τ d x ν d τ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{\beta }}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right){\frac {\mathrm {d} x^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}=0}
d 2 X μ d T 2 = d 2 x ν d T 2 ∂ X μ ∂ x ν + d x ν d T d x α d T ∂ 2 X μ ∂ x ν ∂ x α {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}X^{\mu } \over \mathrm {d} T^{2}}={\mathrm {d} ^{2}x^{\nu } \over \mathrm {d} T^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{\mathrm {d} x^{\nu } \over \mathrm {d} T}{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} T}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}
前掲の方程式とあわせて、次の方程式が得られる。
d 2 x ν d T 2 ∂ X μ ∂ x ν = − d x ν d T d x α d T ∂ 2 X μ ∂ x ν ∂ x α {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{\nu } \over \mathrm {d} T^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{\mathrm {d} x^{\nu } \over \mathrm {d} T}{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} T}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}
ここで、両辺に次の量をかける。