分解 (ホモロジー代数)
具体的には、環 R 上の加群 M が与えられると、右分解とは R 加群の無限でもよい完全列
0 ⟶ M ⟶ ε C 0 ⟶ d 0 C 1 ⟶ d 1 C 2 ⟶ d 2 ⋯ ⟶ d n − 1 C n ⟶ d n ⋯ {\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\epsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots }
である。ただし各 C は R 加群である(そのような分解の双対性を示すため分解における対象や対象の間の射には上付きの添え字を使うのが一般的である)。簡単のため、上の分解は以下のように書ける。
0 ⟶ M ⟶ ε C ∙ . {\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\epsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}
(余)分解が有限 (finite) であるとは、現れる加群のうち有限個だけが零でないことをいう。有限分解の長さ (length) は加群が非零な添え字 n の最大値である。
分解はホモロジー次元を定義するために使われる。加群 M の有限射影分解の最小の長さはその射影次元と呼ばれ、pd(M) と表記される。例えば、加群の射影次元が 0 であることとそれが射影加群であることは同値である。M が有限射影分解を持たないときは射影次元は無限大である。例えば、可換局所環 R に対して、射影次元が有限であることと R が正則であることは同値であり、そのとき射影次元と R のクルル次元と一致する。同様に加群に対して 移入次元 id(M) や平坦次元 fd(M) も定義される。
移入次元や射影次元は右 R 加群の圏上 R の右大域次元と呼ばれる R のホモロジー次元を定義するために用いられる。同様に、平坦次元は弱大域次元を定義するために用いられる。これらの次元の振る舞いは環の特徴を反映する。例えば、環の右大域次元が 0 であることと半単純環であることは同値であり、環の弱大域次元が 0 であることとフォン・ノイマン正則環であることは同値である。