環準同型
Rp が R に含まれる最小の部分環で、Sp が S に含まれる最小の部分環であれば、すべての環準同型 f : R → S は環準同型 fp : Rp → Sp を誘導する。
R が体で S が零環でなければ、f は単射である。
R と S が両方体であれば、im(f) は S の部分体である。なので S は R の体拡大の見ることができる。
R と S が可換環で S が整域であれば、ker(f) は R の素イデアルである。
R と S が可換環で、S が体で、f が全射であれば、ker(f) は R の極大イデアルである。
f が全射で、P が R の素(極大)イデアルで、ker(f) ⊆ P であれば、f(P) は S の素(極大)イデアルである。
さらに、
環準同型の合成は環準同型である。
恒等写像は環準同型である(が零写像はそうでない)。
それゆえ、すべての環と環準同型からなるクラスは圏、環の圏をなす。
すべての環 R に対して、唯一の環準同型 Z → R が存在する。このことが言っているのは、整数環は環の圏において始対象であるということである。
すべての環 R に対して、唯一の環準同型 R → 0 が存在する、ただし 0 は零環(その唯一の元が 0 であるような環)を表す。このことが言っているのは、零環は環の圏において終対象であるということである。