フォノン
フォノンの持つエネルギーは格子の熱振動のエネルギーである。調和振動だと見なせる場合は、次のように調和振動子のエネルギーの式と同じ形になる。
E = ∑ k ħ ω k ( n + 1 2 ) {\displaystyle E=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}
ħ {\displaystyle \hbar } はプランク定数、 ω k {\displaystyle \omega _{k}} は振動数、 n {\displaystyle n} はフォノンの数である。和を波数 k {\displaystyle k} について取る。
フォノン間に相互作用がある場合は、エネルギー準位が等間隔である調和振動子とは見なせないので、このような単純な形にならない。
.. ± N 2 . {\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }
nの上限は波長の最小値から求められ、格子面間隔aの2倍となる。
調和振動子の固有値、またはモードωkのエネルギー準位は次のように書ける。
E n = ( 1 2 + n ) ħ ω k n = 0 , 1 , 2 , 3 ... {\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }
このエネルギー準位は等間隔であり、それぞれ次のようになる。
1 2 ħ ω , 3 2 ħ ω , 5 2 ħ ω ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }
ここで1/2ħωは量子的な調和振動子の零点エネルギーである。
次のエネルギー準位に押し上げるためには、正確にエネルギーħωだけが調和振動子の格子に供給されなければならない。 電磁場が量子化されたときのフォトン(光子)との比較から、振動エネルギーの量子はフォノンと呼ばれる。
全ての量子系は波動性と粒子性を同時に示す。 フォノンの粒子性は第二量子化と生成消滅演算子によって理解される。