E.ホップの拡張定理
μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} を、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} に定義される集合計数関数 ( # {\displaystyle \#} ) とする。 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} が Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} 内において有限加法的かつ σ {\displaystyle \sigma } -加法的であることは明らかである。 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} に含まれるすべての空でない集合は無限大であるため、すべての空でない集合 A ∈ Σ 0 {\displaystyle A\in \Sigma _{0}} に対して μ 0 ( A ) = + ∞ {\displaystyle \mu _{0}(A)=+\infty } が成り立つ。
今 Σ {\displaystyle \Sigma } を、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} によって生成される σ {\displaystyle \sigma } -代数とする。 Σ {\displaystyle \Sigma } が X {\displaystyle X} の部分集合のボレル σ {\displaystyle \sigma } -代数であり、 # {\displaystyle \#} と 2 # {\displaystyle 2\#} は Σ {\displaystyle \Sigma } 上定義される測度で、それらはいずれも μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} の拡張であることが分かる。