順序統計量
証明は以下の通り。U(k) が u と u + du の間にあるためには、標本中の k − 1 個の要素が u より小さく、かつ少なくとも 1 個の要素が u と u + du の間にあることが必要である。複数の要素が後者の範囲にある確率は O (du) となるため、求める確率は、k − 1 個の観測値が (0, u) に、1 個が (u , u +du) に、n − k 個が (u +du, 1) に落ちる場合に相当する。つまり、その確率は
n ! ( k − 1 ) ! 1 ! ( n − k ) ! u k ⋅ d u ⋅ ( 1 − u − d u ) n − k {\displaystyle {n! \over (k-1)!1!(n-k)!}u^{k}\cdot du\cdot (1-u-du)^{n-k}}
に等しい(詳しくは多項分布参照)。
例として、サイズ 6 の無作為標本を考える。この場合の標本中央値は、通常、3 番目と 4 番目の順序統計量で区切られた区間の中点として定義される。しかしこれまでの議論から、この区間が実際に母集団中央値を含む確率は次のようになる:
( 6 3 ) 2 − 6 = 5 16 ≈ 31 % {\displaystyle {6 \choose 3}2^{-6}={5 \over 16}\approx 31\%}
標本中央値は母集団中央値のおそらく分布に依存しない最良の点推定であるが、この例は、標本中央値が絶対的な意味で優れているわけではないことを表している。母集団中央値のより良い信頼区間は、この例の場合、2 番目と 5 番目の順序統計量で囲まれた区間であり、母集団中央値を含む確率は次のようになる: