商線型空間
(Halmos 1974, §21-22) に従って厳密な定義を述べる。V を体 K 上のベクトル空間とし、N を V の部分線型空間とする。V 上の同値関係 ∼ を
x ∼ y となるのは x − y ∈ N であるとき
と定める。つまり、x が y と関係を持つのは x に N の適当な元を加えて y にすることができるときである。この定義から、N の任意の元は零ベクトルと同値となり省くことができる。言い換えれば、N に属するすべてのベクトルが零ベクトルの属する同値類に写されるということである。
x の属する同値類 [x] は
[x] = {x + n | n ∈ N}
で与えられ、それゆえにしばしば
x + N
とも書かれる。
商空間 V/N はこの同値関係 ∼ による V 上の同値類全体のなす集合 V/∼ として定義される。同値類同士のスカラー乗法と加法はそれぞれ
α[x] := [αx] (α ∈ K)
[x] + [y] := [x + y]
で与えられる。これらの演算が矛盾無く定まる(すなわち代表元のとり方に依らない)ことを確かめるのは難しくない。これらの演算により商空間 V/N は N を零ベクトルとする K 上のベクトル空間となる。
V の各元 v をそれが属する同値類 [v] へ写す写像は商写像あるいは標準射影と呼ばれる。