曲線あてはめ
制約は点だけでなく、角度や曲率(接する円の半径の逆数)などもある。角度や曲率の制約は曲線の端に設定することが多く、それを端末条件 (end condition) と呼ぶ。多項式曲線を連結したスプライン曲線が滑らかな曲線となるには、連結する両方の多項式曲線で端末条件を同一にする必要がある。より高次の制約として、例えば「曲率の変化率」といった制約を与えることもある。これは例えば、クローバー型インターチェンジで通行する自動車にかかる力を決め、制限速度を決定するのに役立つ。
また、1次多項式は1つの点と角度の制約に当てはめることができ、3次多項式は2つの点と1つの角度、1つの曲率の制約に当てはめることができる。他にも様々な制約の組み合わせで各種次数の多項式を当てはめることができる。
n + 1 個より多い制約があるときでも(n は多項式の次数)、それらを満足する多項式曲線を描くことができる場合がある。例えば3つの点が同一直線上に並ぶような配置であれば、1次多項式を正確にあてはめることができる。しかし、このような配置は例外的であって稀である。通常は全制約を正確に満足することは期待できない。よって、一般には近似度を評価する方法を必要とすることになる。
このSの平方根 S {\displaystyle {\sqrt {S}}} のことを、「関数当てはめ時の誤差」という。ここで
a = ( a 1 ⋮ a α ) {\displaystyle {\textbf {a}}=\left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{\alpha }\\\end{matrix}}\right)}
のことを、フィッティングパラメータと言う。また、関数Sを考えるときには ( y 1 , x 1 ) , ⋯ , ( y n , x n ) {\displaystyle (y_{1},{\textbf {x}}_{1}),\cdots ,(y_{n},{\textbf {x}}_{n})} は、もはや定数ベクトルでしかないことに注意されたい。飽くまで関数Sの変数は a 1 , ⋯ a α {\displaystyle a_{1},\cdots a_{\alpha }} である。
なお、Sを定義するにあたり、各データに対して、適当な定数(正または0) w 1 , ⋯ , w n {\displaystyle w_{1},\cdots ,w_{n}} によって重みを付け、
S ( a ) = ∑ j = 1 n w j | y i − f ( x j , a ) | 2 {\displaystyle S({\textbf {a}})=\sum _{j=1}^{n}w_{j}|y_{i}-f({\textbf {x}}_{j},{\textbf {a}})|^{2}} ・・・・ (1-1')