等時曲線
これにより、曲線が与えられれば(かつ ds/dy が計算できるならば)総降下時間を計算することができる。しかし、アーベルの力学問題では逆に、T(y0) が与えられたときに ds/dy を得たい。これもこの式から得ることができる。そのために、右辺を ds/dy と 1/√y の畳み込みとみなし、両辺をラプラス変換する。
L [ T ( y 0 ) ] = 1 2 g L [ 1 y ] L [ d s d y ] {\displaystyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={\frac {1}{\sqrt {2g}}}{\mathcal {L}}\left[{\frac {1}{\sqrt {y}}}\right]{\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} y}}\right]}
L [ 1 y ] = π z − 1 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {1}{\sqrt {y}}}\right]={\sqrt {\pi }}z^{-{\frac {1}{2}}}} であるから、ds/dy のラプラス変換は T(y0) のラプラス変換を用いて次のように書ける。
L [ d s d y ] = 2 g π z 1 2 L [ T ( y 0 ) ] {\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} y}}\right]={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}z^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T(y_{0})]}