特異値分解
M を K 上の行列とする。ある非負の実数 σ に対し、
M v = σ u M ∗ u = σ v {\displaystyle {\begin{aligned}Mv&=\sigma u\\M^{*}u&=\sigma v\end{aligned}}}
という条件を満たす K 上の単位ベクトル u と K 上の単位ベクトル v の組が存在するとき、実数 σ を(ベクトル u, v に対応する)行列 M の特異値 (singular value) と呼ぶ。またベクトル u, v を、それぞれ σ の左特異ベクトル (left-singular vector) と右特異ベクトル (right-singular vector) と呼ぶ。
任意の特異値分解
M = U Σ V ∗ {\displaystyle M=U\Sigma V^{*}}
において、Σ の対角成分は M の特異値に等しく、ユニタリ行列 U, V の列ベクトルは、それぞれ左特異ベクトル、右特異ベクトルを並べたものである。すなわち、
m × n 行列 M は、少なくとも1つ、多くとも q = min(m, n) 個の異なる特異値を持つ。
常に K 上のユニタリ基底が存在して、それは M の左特異ベクトルから成る。
常に K 上のユニタリ基底が存在して、それは M の右特異ベクトルから成る。