スピン角運動量
( Φ 3 ) ∗ ( X x ) Y = d d  t Φ 3 ( exp  ( X x ( t ) ) ) Y | t = 0 {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}(X_{\mathbf {x} })Y=\left.{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\Phi _{3}(\exp(X_{\mathbf {x} (t)}))Y\right|_{t=0}} = d d  t exp  ( X x ( t ) ) Y exp  ( − X x ( t ) ) | t = 0 = X x E − E X x {\displaystyle =\left.{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\exp(X_{\mathbf {x} (t)})Y\exp(-X_{\mathbf {x} (t)})\right|_{t=0}=X_{\mathbf {x} }E-EX_{\mathbf {x} }} = [ X x , Y ] = ∑ j , k x j v k [ X j , X k ] {\displaystyle =[X_{\mathbf {x} },Y]=\sum _{j,k}x_{j}v_{k}[X_{j},X_{k}]} = ( X 1 , X 2 , X 3 ) ( 0 − x 3 x 2 x 3 0 − x 1 − x 2 x 1 0 ) ( v 1 v 2 v 3 ) {\displaystyle =(X_{1},X_{2},X_{3}){\begin{pmatrix}0&-x_{3}&x_{2}\\x_{3}&0&-x_{1}\\-x_{2}&x_{1}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}}
である。ここで[A,B]=AB-BAは交換子積である。
よってYの任意性と(G11)から以下の結論が得られる:
( Φ 3 ) ∗ ( X x ) = F x {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}(X_{\mathbf {x} })=F_{\mathbf {x} }}
によって定まるエルミート演算子
S ^ n = i ħ ⋅ ( π s ) ∗ ( X n ) {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })} ...(F2)
を考えると、(D2)より、
S ^ n = i ħ ⋅ ( π s ) ∗ ( X n ) = i ħ ⋅ ( π s ) ∗ ( ( Φ 3 ) ∗ − 1 ( F n ) ) {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}((\Phi _{3})_{*}{}^{-1}(F_{\mathbf {n} }))}
と書けるので、 S ^ n {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }} は3次元空間上の無限小回転Fnに対応する演算子とみなせる。
この S ^ n {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }} を、nを回転軸にもつスピン角運動量演算子と呼ぶ。
S ^ n = i ħ ( π s ) ∗ ( X n ) = i ħ d d  t π s ( exp  ( t X n ) ) | t = 0 {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })=i\hbar \left.{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\pi _{s}(\exp(tX_{\mathbf {n} }))\right|_{t=0}} = i ħ π s ( U ) d d  t π s ( exp  ( t X m ) ) | t = 0 π s ( U ) − 1 = i ħ π s ( U ) ( π s ) ∗ ( X m ) π s ( U ) − 1 {\displaystyle =i\hbar \pi _{s}(U)\left.{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\pi _{s}(\exp(tX_{\mathbf {m} }))\right|_{t=0}\pi _{s}(U)^{-1}=i\hbar \pi _{s}(U)(\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {m} })\pi _{s}(U)^{-1}} = i ħ π s ( U ) S ^ m π s ( U ) − 1 {\displaystyle =i\hbar \pi _{s}(U){\hat {S}}_{\mathbf {m} }\pi _{s}(U)^{-1}}
t d  R ( t ) d  t | t = 0 + d  R ( t ) d  t | t = 0 = 0 {\displaystyle \left.{{}^{t}\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}+\left.{\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}=0}
を満たす為である。u(V)、su(V)が上述の形になる事も同様の方法で証明できる。なお、ここではVが有限次元の場合を想定したが、無限次元のヒルベルト空間の場合も同様の事が成立する。
g {\displaystyle {\mathsf {g}}} をso(3)、u(V)、su(V)のいずれかとし、行列 A ∈ g {\displaystyle A\in {\mathsf {g}}} に対しexp(A) を
e x p ( A ) = ∑ n = 0 ∞ A n n ! {\displaystyle \mathrm {exp} (A)=\sum _{n=0}^{\infty }{A^{n} \over n!}} ...(G8)
と定義すると次が成立する:
A∈so(3)、u(V)、su(V)であれば、exp(A) はそれぞれSO(3)、U(V)、SU(V)の元である。 ...(G9)
d d  t | t = 0 exp  ( t A ) = A {\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\exp(tA)=A} .
ナトリウムのスペクトルを観測する実験で、磁場においたD線が 2 本に分裂することが発見され(ゼーマン効果)、これは電子がいまだ知られていない 2 値の量子自由度があるためと考え、1925年にウーレンベックとゴーズミットは、電子は原子核の周りを公転する軌道角運動量の他に、電子が質点ではなく大きさを持ち、かつ電子自身が自転しているのではないか、という仮説をたてた。この仮定では、その自転の角運動量の大きさが ħ / 2 {\displaystyle \hbar /2} であるとし、自転の回転方向が異なるため、公転に伴う角運動量との相互作用でエネルギー準位が2つに分裂したと考えると実験の結果をうまく説明できた。そしてこの自由度を電子のスピン角運動量と呼んだ。
ただし、実際にこの仮定通りスピン角運動量が電子の自転に由来していると考えると、電子が大きさを持ち、かつ光速を超える速度で自転していなければならないことになり、これは特殊相対論と矛盾してしまう。そのため、1925年にラルフ・クローニッヒによって提案されたものの、パウリによって否定されていた。パウリは、自転そのものを考えなければならない古典的な描像を捨て、一般の角運動量 ħ J ^ {\displaystyle \hbar {\hat {\mathbf {J} }}} の固有値として半整数の価が許されることに注目し、この半整数の固有値をスピン角運動量とした。
その後発展した標準模型においても、電子は大きさ 0 の質点として扱っても実験的に高い精度で矛盾がなく、電子に内部構造があるか(スピン角運動量などの内部自由度に起源があるか)はわかっていない。
n = R m {\displaystyle \mathbf {n} =R\mathbf {m} }
で移り合っていたとする。写像Φ3 : Spin(3)=SU(2) → SO(3)は2:1の全射であるので、
R = Φ 3 ( U ) = Φ 3 ( − U ) {\displaystyle R=\Phi _{3}(U)=\Phi _{3}(-U)}
を満たすUが存在する。
スピン角運動量演算子 S ^ n {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }} 、 S ^ l {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {l} }} はその定義より、Vs上のユニタリ演算子であり、両者は
S ^ n = π s ( U ) S ^ m π s ( U ) − 1 {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=\pi _{s}(U){\hat {S}}_{\mathbf {m} }\pi _{s}(U)^{-1}}
という関係で結ばれる。ここで右辺は S ^ l {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {l} }} とπs(U)の行列としての積である。
( Φ 3 ) ∗ ( X n ) = F n = R F m R − 1 = ( Φ 3 ) ∗ ( U X m U − 1 ) {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}(X_{\mathsf {n}})=F_{\mathsf {n}}=RF_{\mathsf {m}}R^{-1}=(\Phi _{3})_{*}(UX_{\mathsf {m}}U^{-1})}
(M1)
により定義する。ここで S 2 u {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2u}} は置換群である。すなわち S ( ψ ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\psi )} は各jに対し、 φ 1 ⊗ ⋯ ⊗ φ 2 ′′ u ′′ {\displaystyle \phi _{1}\otimes \cdots \otimes \phi _{2''u''}} の添字を入れ替えたもの全ての和を(2u)!で割ったものである。(このように定義してもwell-definedである)。対称化したテンソルを対称テンソルと呼び、対称テンソル全体なす部分ベクトル空間を
W 1 / 2 ⊙ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\odot 2u}}
と表記する。e0、e1をW1/2=Cの基底とし、
E j = e 0 ⊙ ⋯ ⊙ e 0 ⏟ j ⊙ e 1 ⊙ ⋯ ⊙ e 1 ⏟ 2 u − j {\displaystyle E_{j}=\underbrace {\mathbf {e} _{0}\odot ~\cdots ~\odot \mathbf {e} _{0}} _{j}\odot \underbrace {\mathbf {e} _{1}\odot ~\cdots ~\odot \mathbf {e} _{1}} _{2u-j}}
と定義すると、E0、...
W 1 / 2 ⊗ 2 u = W 1 / 2 ⊗ ⋯ ⊗ W 1 / 2 ⏟ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\otimes 2u}=\underbrace {W_{1/2}\otimes ~\cdots ~\otimes W_{1/2}} _{2u}}
を考え、 W 1 / 2 ⊗ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\otimes 2u}} の元 ψ = ∑ j φ j , 1 ⊗ ⋯ ⊗ φ j , 2 u {\displaystyle \psi =\sum _{j}\phi _{j,1}\otimes \cdots \otimes \phi _{j,2u}} に対し、ψの対称化を
S ( ψ ) := ∑ j φ j , 1 ⊙ ⋯ ⊙ φ j , 2 u {\displaystyle {\mathcal {S}}(\psi ):=\sum _{j}\phi _{j,1}\odot ~\cdots ~\odot \phi _{j,2u}} := 1 ( 2 u ) ! ∑ j ∑ σ ∈ S 2 u φ j , σ 1 ⊗ ⋯ ⊗ φ j , σ 2 u {\displaystyle :={1 \over (2u)!}\sum _{j}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2u}}\phi _{j,\sigma _{1}}\otimes \cdots \otimes \phi _{j,\sigma _{2u}}} ...
と定義するとΦ3(U)が(L2)で定義された内積と空間の向きを保つ事を簡単な計算で確かめられる。すなわちΦ3(U)は回転変換であるので、Φ3(U)∈SO(3)である。
以上により、Spin(3) から SO(3) への準同型写像
Φ 3 : U ∈ S p i n ( 3 ) = S U ( 2 ) ↦ Φ 3 ( U ) ∈ S O ( 3 ) {\displaystyle \Phi _{3}~:~U\in \mathrm {Spin} (3)=\mathrm {SU} (2)\mapsto \Phi _{3}(U)\in \mathrm {SO} (3)}
が定義できた。この Φ3の具体的表記は後の節で述べる。