航跡波
衝撃波の場合、問題となる位相速度の範囲は c(k) < v である(ソニックブームやチェレンコフ放射なども参照)。河に杭を立てたときのように、固定された物体に対して水が流れてくると見ても問題は変わらない。
はじめにただ一つの k 成分について考えると、右図のように、発された波面すべてと接する包絡線は直線となり、標準的な楔形の衝撃波面を形作る。すでに述べたように、これらのV字の開き角は波数 k によって変わる。ただし、実際に観察されるのはこのような一つのV字ではなく、様々な k を持つ衝撃波が波群を形成したものである。
一つの波数 k を持つ成分波の成分について、右のような図を作る。点 Q にいた船体が円形波を発したとする。時間 t の間に船は速度 v で点 Q から点 P まで移動し、波面は位相速度 c で広がって半径 QS の円となった。ただし、点 P から円に引いた接線を PS とする。船が航路に沿ってこのような円を多数発したとすれば、その包絡線 PS に沿って波の稜線が生まれ、V字パターンの一辺を成す。
ここで明らかに PQ = vt かつ SQ = ct = vt cosΨ である。ただし、稜線の進行方向と船の進行方向が成す角を Ψ と置く。角PSQが直角であるため、点 S は PQ を直径とする円上にある。異なる k を持つ成分波を考えても、位相速度 c が異なるので稜線が進む方向(Ψ)は変わるものの、点 S がこの円上にあることは変わらない。
さて、k に近い波数を持つ成分波が重ね合わされて波群を形成したとしよう。点 Q を発した波群は群速度にしたがって進む。前述のとおり深水波の群速度は c/2 であるから、波群の稜線の現在位置は SQ の中点 T である。ここであらゆる k について考えると、すべての波群の稜線はやはりある点 R を中心とする小円の上にある。明らかに RQ = PQ/4 であり、小円の半径は vt/4 となる。つまり、見かけ上は点 R から円状の波群が発したと考えることができる。船の航行に伴って断続的にこのような小円が生まれ、その重ね合わせが航跡波となる。
ここで P からこの小円に接線を引くと、接線が船の経路 PQ とが成す角について、その正弦が一定値 TR/PR = 1/3 となることが容易に示せる。この角を θ とすると、
θ ≡ π 2 − Ψ = arcsin  ( 1 3 ) = 19.47 ∘ {\displaystyle \theta \equiv {\frac {\pi }{2}}-\Psi =\arcsin \left({\frac {1}{3}}\right)=19.47^{\circ }}
の関係がある。航跡波はすべて接線の内側でのみ起こり、その外には達しない。これはいかなる k 、c 、Ψ 、g についても成り立つ。ここまでの議論で用いたパラメータは群速度と位相速度の比1/2だけで、ほかは全く必要としない。