P進周期環
p を素数、K を標数0の完備な離散付値体でその剰余体 k は完全体かつ標数が p であるものとする。例えば p 進数体 Qp の有限次拡大などがこのような体の例である。剰余体が有限体であることは必ずしも仮定しない。これは剰余体が代数閉体である場合を扱えるようにしておくためである。
K から p 進周期環と呼ばれる環 BdR, Bcrys , Bst が構成される(#構成参照)。BdR は p 進周期の体、Bcrys は crystalline period ring(直訳: クリスタリン周期環) と呼ばれることもある。これらの環は次に述べる性質を持っている。
記号 整数環が定義できる体 F に対してその整数環を OF で表す。また体 F に対してその代数的閉包を F、絶対ガロア群を GF で表す。CK を K の完備化とする。W を k に係数を持つヴィット・ベクトル(英語版)の環 W(k) とし、その商体を K0 とする。K は K0 上の有限次完全分岐拡大になる。P0 を k に係数を持つヴィット・ベクトルの環 W(k) の商体とする。N を0以上の整数の集合とする。整数 n に対して Qp(n) で GK が円分指標の n 乗で作用する Qp 上の1次元ベクトル空間を表す。CK(n) も同様。
p 進周期環は次のように構成される。