絶対値
実数の絶対値が定める非負実数値函数 R ∋ x ↦ |x| ∈ R+ は至る所連続で、x = 0 を除き至る所微分可能である。また、区間 (−∞,0] 上で単調減少であり、区間 [0,+∞) で単調増加である。各実数とその反数の絶対値は同じ値であるから、絶対値函数は偶函数であり、それゆえ逆函数を持たない。この実絶対値函数は区分線型凸函数である。また、冪等である。
符号函数 sign(x) を用いれば、|x| = x sign(x) と書ける。また x = |x| sign(x) であり、x ≠ 0 のとき sign(x) = x/|x| = |x|/x が成り立つ。
x ≠ 0 における導函数
d | x | / d x = { 1 ( x > 0 ) − 1 ( x < 0 ) {\displaystyle d|x|/dx={\begin{cases}1&(x>0)\\-1&(x<0)\end{cases}}}