多重根号
( a + b ) − 2 a b = ( a − b ) 2 = a − b {\displaystyle {\sqrt {(a+b)-2{\sqrt {ab}}}}={\sqrt {({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})^{2}}}={\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}
場合によっては、多重根式の一重化に高次の冪根が必要となる。例えば、
4 + 3 2 = ( 2 + 2 2 ) + 2 2 ⋅ 2 2 = ( 2 4 + 8 4 ) 2 = 2 4 + 8 4 {\displaystyle {\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}={\sqrt {({\sqrt {2}}+2{\sqrt {2}})+2{\sqrt {{\sqrt {2}}\cdot 2{\sqrt {2}}}}}}={\sqrt {({\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{8}})^{2}}}={\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{8}}}
F ( x ) 2 = a x + ( n + a ) 2 + x F ( x + n ) {\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+xF(x+n)}
よって、左辺と右辺の x の次数を比べることで F(x) は x の1次式であることが分かり F(0) の値より以下の式で表せる。
F ( x ) = x + n + a {\displaystyle F(x)=x+n+a\ }
よって、 を上の式に代入すると、
3 = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ . {\displaystyle 3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}
ラマヌジャンは彼のノート(現存せず)において
5 + 5 + 5 − 5 + 5 + 5 + 5 − ⋯ = 2 + 5 + 15 − 6 5 2 {\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}}
という無限多重平方根の根号を外した式を述べている。(上式の符号のパターンは +, +, −, + の繰り返しである)