非整数ブラウン運動
X i = B H ( i ) − B H ( i − 1 ) γ H ( k ) = E [ X i X i + k ] = σ 2 2 ( | k + 1 | 2 H + | k | 2 H − | k − 1 | 2 H ) ∼ σ 2 H ( 2 H − 1 ) | k | 2 H − 2 ( k → ∞ , H ≠ 1 / 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}X_{i}&=B_{H}(i)-B_{H}(i-1)\\[0.5em]\gamma _{H}(k)&=E[X_{i}X_{i+k}]\\&={\frac {\sigma ^{2}}{2}}(|k+1|^{2H}+|k|^{2H}-|k-1|^{2H})\\&\sim \sigma ^{2}H(2H-1)|k|^{2H-2}\quad (k\to \infty ,\;H\neq 1/2)\end{aligned}}}
また、増分 X i {\displaystyle X_{i}} で構成される離散増分過程を非整数ガウスノイズ(英: fractional Gaussian noise, fGn)という。