アレフ数
任意の順序数 α に対して
α ≤ א α {\displaystyle \alpha \leq \aleph _{\alpha }}
が成り立つ。多くの場合 ωα は α よりも真に大きい。例えば、任意の後続順序数 α に対してこれが成り立つ。しかしながら、正規関数の不動点補題(英語版)によって、アレフ関数 f ( α ) = א α {\textstyle f(\alpha )=\aleph _{\alpha }} の不動点である極限順序数が存在する。最初のそのようなものは次の列の極限である。
א 0 , א א 0 , א א א 0 , ... {\displaystyle \aleph _{0},\ \aleph _{\aleph _{0}},\ \aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},\ldots }
任意の弱到達不能基数はまたアレフ関数の不動点である。これは ZFC において次のように示せる。 κ = אλ が弱到達不能基数とする。λ がもし後続順序数であれば、אλ は後続基数になりしたがって弱到達不能でない。もし λ {\displaystyle \lambda } が κ よりも小さい極限順序数であれば、その 共終数(そしてしたがって אλ の共終数)は κ よりも小さく、したがって κ は正則でなくゆえに弱到達不能でない。したがって λ ≥ κ であるので λ = κ であり不動点である。