5項補題
すると t(n(c)) = p(h(c)) = t(c′) である。t は準同型なので、t(c′ − n(c)) = 0 である。
完全性より、c′ − n(c) は s の像に入っているので、ある b′ ∈ B′ が存在して、s(b′) = c′ − n(c).
m は全射なので、ある b ∈ B が存在して、b′ = m(b).
可換性により、n(g(b)) = s(m(b)) = c' − n(c).
n は準同型なので、n(g(b) + c) = n(g(b)) + n(c) = c′ − n(c) + n(c) = c′.
したがって、n は全射である。
次に、(2) を証明するために、m と p が単射で l が全射と仮定する。
c ∈ C を n(c) = 0 であるような元とする。
すると t(n(c)) は 0 である。
可換性より、p(h(c)) = 0.
p は単射なので、h(c) = 0.
完全性により、ある b ∈ B が存在して、g(b) = c.
可換性により、s(m(b)) = n(g(b)) = n(c) = 0.
すると完全性により、ある元 a′ ∈ A′ が存在して、r(a′) = m(b).
l は全射なので、a ∈ A が存在して、l(a) = a′.
可換性より、m(f(a)) = r(l(a)) = m(b).
m は単射なので、f(a) = b.
よって c = g(f(a)).
g と f の合成は自明なので、c = 0.
したがって n は単射である。
今2つの4項補題を合わせることで5項補題全体が証明される。