加群の層
がある;実際,これは M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} を貼り合わせによって定義している.
例:R(1) を R(1)n = Rn+1 によって与えられる次数 R 加群とする.このとき O ( 1 ) = R ( 1 ) ~ {\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}} はセールの捩り層(英語版)と呼ばれる(自然直線束(英語版)の双対である).
F が X 上の O 加群のとき, F ( n ) = F ⊗ O ( n ) {\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)} と書けば,標準的な準同型
( ⊕ n ≥ 0 Γ ( X , F ( n ) ) ) ∼ → F {\displaystyle (\oplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n)))^{\sim }\to F}
が存在し,これが同型であることと F が準連接であることは同値である.
(X, O) を環付き空間とする.O 加群 F が大域切断によって生成される (generated by global sections) とは,O 加群の全射
⊕ i ∈ I O → F → 0 {\displaystyle \oplus _{i\in I}O\to F\to 0}
が存在することをいう.明示的にはこれは,F の大域切断 si であって,各茎 Fx における si の像たちが Fx を Ox 加群として生成するものが存在することを意味する.
そのような層の例は代数幾何学において任意の可換環のスペクトル Spec(R) 上に R 加群 M を付随させるものである.別の例:カルタンの定理Aにより,シュタイン多様体上の任意の連接層は大域切断によって張られる(cf. 下記のセールの定理A).スキームの理論において,関連する概念は豊富な直線束である.(例えば,L が豊富な直線束であれば,それのある冪が大域切断によって生成される.)
移入 O 加群は脆弱である(すなわちすべての制限写像 F(U) → F(V) が全射である).脆弱層はアーベル層の圏において非輪状であるから,これは次のことを意味する:O 加群の圏における大域切断関手 Γ ( X , − ) {\displaystyle \Gamma (X,-)} の i 次右導来関手がアーベル層の圏における通常の i 次層コホモロジーと一致する.