スペクトル半径
ジョルダン標準形の理論から、任意の複素行列 A ∈ MnC について、互いに可換な半単純行列 S とベキ零行列 N があって、A = S + N、ρ(A) = ρ(S) が成立している。 K をN = 0 であるような自然数とすれば、任意の自然数 k について
A k = S k + k S k − 1 N + ( k 2 ) S k − 2 N 2 + ⋯ + ( k K − 1 ) S k − K + 1 N K − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{k}={\boldsymbol {S}}^{k}+k{\boldsymbol {S}}^{k-1}{\boldsymbol {N}}+{\binom {k}{2}}{\boldsymbol {S}}^{k-2}{\boldsymbol {N}}^{2}+\dotsb +{\binom {k}{K-1}}{\boldsymbol {S}}^{k-K+1}{\boldsymbol {N}}^{K-1}}
が成り立っている。ρ(S)が1より小さいため任意の j について
( k j ) S k − j → 0 ( k → ∞ ) {\displaystyle {\binom {k}{j}}{\boldsymbol {S}}^{k-j}\rightarrow 0\quad (k\rightarrow \infty )}
であり、したがって上式右辺の有限和の各項は 0 に収束している。
例: 次の行列を考える。
A = [ 9 − 1 2 − 2 8 4 1 1 8 ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}
この固有値は 5, 10, 10 であるから、定義より、スペクトル半径は ρ(A)=10 である。以下の表には、ベクトルの p-ノルムから誘導された行列の作用素ノルムおよびヒルベルト-シュミットノルム(フロベニウスノルム)に関する ‖ A k ‖ 1 / k {\displaystyle \|{\boldsymbol {A}}^{k}\|^{1/k}} の、k の増加に対する値が列挙されている(この行列の場合には ‖ A k ‖ 1 = ‖ A k ‖ ∞ {\displaystyle \|{\boldsymbol {A}}^{k}\|_{1}=\|{\boldsymbol {A}}^{k}\|_{\infty }} となっている)。