ブロッホ群
K を体とし、 Z ( K ) = Z [ K ∖ { 0 , 1 } ] {\displaystyle \mathbb {Z} (K)=\mathbb {Z} [K\setminus \{0,1\}]} を K ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle K\setminus \{0,1\}} の元 x に対する [x] により Z 上生成された自由加群とする。また D ( K ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(K)} を
[ x ] + [ y ] + [ 1 − x 1 − x y ] + [ 1 − x y ] + [ 1 − y 1 − x y ] {\displaystyle [x]+[y]+\left[{\frac {1-x}{1-xy}}\right]+[1-xy]+\left[{\frac {1-y}{1-xy}}\right]}
の形の元の生成する Z(K) の部分加群とし、 A ( K ) = Z ( K ) / D ( K ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(K)=\mathbb {Z} (K)/{\mathcal {D}}(K)} と定めよう。
さらに、ミルナーのK群を K 3 M {\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}^{M}} として、 K 3 ( K ) i n d = coker  ( K 3 M ( K ) → K 3 ( K ) ) , {\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(K)_{\mathrm {ind} }=\operatorname {coker} ({\mathcal {K}}_{3}^{M}(K)\rightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)),\;} Tor  ( K × , K × ) ∼ {\displaystyle \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })^{\sim }} を Tor  ( K × , K × ) {\displaystyle \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })} のただ一つの非自明な Z/2Z 拡大とする。このとき以下の完全列が知られている。
0 ⟶ Tor  ( K × , K × ) ∼ ⟶ K 3 ( K ) i n d ⟶ B 2 ( K ) ⟶ 0. {\displaystyle 0\longrightarrow \operatorname {Tor} (K^{\times },K^{\times })^{\sim }\longrightarrow {\mathcal {K}}_{3}(K)_{\mathrm {ind} }\longrightarrow {\mathcal {B}}_{2}(K)\longrightarrow 0.}
二重対数の代わりに、三重対数やさらに高次の多重対数を用いることで、ブロッホ群の概念は (Goncharov 1991) と (Zagier 1990) により拡張された。これらの一般化ブロッホ群 B n {\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}} が、代数的K理論やモチヴィックコホモロジー(英語版)と関係するということが、広く予想されている。また、(Neumann 2004)により定義された拡大されたブロッホ群のように、別の方向への一般化もある。