非心t分布
Z は分散 1、平均 0 の正規分布 に従う確率変数 、V は自由度 νのカイ二乗分布に従いかつ、Z と独立な確率変数、μは実定数としたときに、
T = Z + μ V / ν {\displaystyle T={\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}}
が従う分布のことを「自由度ν、非心パラメーターμの非心t分布」と呼ぶ。μ=0の場合はt分布そのものである。この非心t分布においては(非心F分布(英語版)等の他の多くの非心分布とは異なり)非心パラメータμは負の値であってもよい。
E  [ T ] = { μ ν 2 Γ ( ( ν − 1 ) / 2 ) Γ ( ν / 2 ) ν > 1 Does not exist ν ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {E} \left[T\right]={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}&\nu >1\\{\mbox{Does not exist}}&\nu \leq 1\end{cases}}}
Var  [ T ] = { ν ( 1 + μ 2 ) ν − 2 − μ 2 ν 2 ( Γ ( ( ν − 1 ) / 2 ) Γ ( ν / 2 ) ) 2 ν > 2 Does not exist ν ≤ 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} \left[T\right]={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}&\nu >2\\{\mbox{Does not exist}}&\nu \leq 2\end{cases}}.}
( − μ 2 ) j e − μ 2 2 Γ ( j + 1 2 ) π I ( v v + x 2 ; v 2 , j + 1 2 ) , x < 0 {\displaystyle F_{v,\mu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x\geq 0\\1-{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x<0\end{cases}}}
ここで、Γ は ガンマ関数 、I は、正則化された不完全ベータ関数である。