クザン問題
の像の特徴付けと言い換えられる。
この商に付随する層コホモロジーの長完全系列は
H 0 ( M , K ∗ ) → φ H 0 ( M , K ∗ / O ∗ ) → H 1 ( M , O ∗ ) {\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}
であるので、第二クザン問題は H(M,O) = 0 である全ての場合に解くことができる。商層 K/O は M 上のカルティエ因子の芽の層に等しい。従って、すべての大域切断が有理型函数により生成されるかという問題は、M 上のすべての直線束が自明束であるか否かを決定することと同値である。
乗法群の層としての O のコホモロジー群 H(M,O) は、対数をとることにより、加法群の層としてのコホモロジー群 H(M,O) と比較することができる。すなわち、層の完全系列: 0 → 2 π i Z → O → exp O ∗ → 0 {\displaystyle 0\to 2\pi i\mathbb {Z} \to \mathbf {O} {\xrightarrow {\exp }}\mathbf {O} ^{*}\to 0} が存在する。
ここで最も左の層は、ファイバー 2 π i Z {\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} } をもつ局所定数層である。H の中で対数を定義するための障害は、コホモロジーの長完全系列
H 1 ( M , O ) → H 1 ( M , O ∗ ) → 2 π i H 2 ( M , Z ) → H 2 ( M , O ) {\displaystyle H^{1}(M,\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})\to 2\pi iH^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\mathbf {O} )}
により、 H 2 ( M , Z ) {\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )} の中にあると言える。M がシュタイン多様体のとき q > 0 {\displaystyle q>0} に対してH(M,O) = 0 であるので、中央の射は同型射となる。従ってこの場合、第二クザン問題が常に解けるための必要充分条件は H 2 ( M , Z ) = 0 {\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )=0} である。