ルジャンドル記号
p {\displaystyle p} を奇数の素数とする。整数 a {\displaystyle a} が p {\displaystyle p} を法とする完全平方と合同である場合は、 a {\displaystyle a} は p {\displaystyle p} を法とする平方剰余であり、そうでない場合は p {\displaystyle p} を法とする平方非剰余である。ルジャンドル記号は次のように定義される a {\displaystyle a} と p {\displaystyle p} の関数である。
( a p ) = { 1 if a is a quadratic residue modulo p and a ≢ 0 ( mod p ) , − 1 if a is a non-quadratic residue modulo p , 0 if a ≡ 0 ( mod p ) . {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}a{\text{ is a quadratic residue modulo }}p{\text{ and }}a\not \equiv 0{\pmod {p}},\\-1&{\text{if }}a{\text{ is a non-quadratic residue modulo }}p,\\0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}}.\end{cases}}}
}
特に、pを法とし共に平方剰余である、またはともに平方非剰余である2つの数の積は剰余であるが、剰余と非剰余の積は非剰余である。特別なケースは平方数のルジャンドル記号である。 ( x 2 p ) = { 1 if p ∤ x 0 if p ∣ x . {\displaystyle \left({\frac {x^{2}}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}p\nmid x\\0&{\mbox{if }}p\mid x.\end{cases}}}
a の関数としてみた時、ルジャンドル記号 ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} はpを法とする一意の2次ディリクレ指標となる。
平方剰余の法則の第1補足 ( − 1 p ) = ( − 1 ) p − 1 2 = { 1 if p ≡ 1 ( mod 4 ) − 1 if p ≡ 3 ( mod 4 ) . {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\mbox{ if }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}}