アルティン・ハッセの指数関数
この級数を指数関数によって表す一つの動機は、無限積に由来する。 形式的冪級数環Q{{Nowiki|[[}}x{{Nowiki]]}}において、この恒等式が成り立つ。
e x = ∏ n ≥ 1 ( 1 − x n ) − μ ( n ) / n , {\displaystyle e^{x}=\prod _{n\geq 1}(1-x^{n})^{-\mu (n)/n},}
ここでμ(n)はメビウス関数である。これは両辺の対数微分を行うことで示すことができる。同様にして、アルティン・ハッセの指数関数の無限積は:
E p ( x ) = ∏ ( p , n ) = 1 ( 1 − x n ) − μ ( n ) / n . {\displaystyle E_{p}(x)=\prod _{(p,n)=1}(1-x^{n})^{-\mu (n)/n}.}
So passing from 積 over 全てのn to a product over only n 素数p, これは典型的なp進解析での操作であり、e から Ep(x) を導く。
The coefficients of Ep(x) are rational.