解析的整数論
解析的数論は、用いる手法ではなく解く問題の種類によって、2つの主要な分野に分類することができる。
乗法的数論(英語版)は、ある区間内の素数の個数を評価するというような、素数の分布を扱う。素数定理や算術級数の素数に関するディリクレの定理を含む。
加法的数論(英語版)は、2よりも大きいすべての偶数は2つの素数の和であるというゴールドバッハの予想のような、整数の加法的構造に着目する。加法的数論の主要な結果の1つは、ウェアリングの問題の解である。
1950年以降の最も大きな技術的変化は、特に乗法的な問題における、篩法の発展である。篩法は本質的に組み合わせ論的であり、極めて変化に富む。組み合わせ論における極値に関する分野では、今度は上界と下界の定量的な値に関する解析的整数論における価値に大きく影響を受けている。別の最近の発展として確率論的数論(英語版) (probabilistic number theory) があり、確率論の手法を用いて素因数の個数のような数論的関数の分布を評価する。
解析数論の発展はしばしば過去の技術を洗練することであり、誤差項を減らしたり適用範囲を広げたりすることである。例えば、ハーディとリトルウッドの円周法(英語版) は複素平面の単位円の近くの冪級数に適用することを考えていた。今では有限個の指数関数の和のことばで考えられている(つまり単位円上ではあるが冪級数の縛りはなくなった)。ディオファントス近似は、母関数ではない補助的な関数(その係数は鳩ノ巣原理を用いて構成される)のために必要であり、多変数複素関数をも対象とする。ディオファントス近似や超越数論の分野は、手法がモーデル予想に適用されるところにまで拡大している。
ディリクレは解析的数論の創始者であると考えられている。この分野で彼はいくつかの深い結果を発見した。その証明において基本的なツールを導入し、その多くは後にディリクレの名前が付けられた。彼は1837年にディリクレの算術級数定理を発表した。この研究の中で、代数的な問題に取り組むために解析学の考えを用い、したがって解析数論の分野を創設した。定理の証明において彼はディリクレ指標や L-関数を導入した。1841年、彼は算術級数定理を整数からガウスの整数環 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} へと一般化した。