ジグザグ補題
α n − 2 ∂ n − 1 ( a ) = ∂ n − 1 ′ α n − 1 ( a ) = ∂ n − 1 ′ ∂ n ′ ( b ) = 0 {\displaystyle \alpha _{n-2}\partial _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\alpha _{n-1}(a)=\partial _{n-1}'\partial _{n}'(b)=0}
が従うからである(つまり ∂ n − 1 ( a ) ∈ ker  α n − 2 = { 0 } {\displaystyle \partial _{n-1}(a)\in \ker \alpha _{n-2}=\{0\}} )。 a {\displaystyle a} は輪体なので、 H n − 1 ( A ) {\displaystyle H_{n-1}({\mathcal {A}})} に属すある同値類の代表元になる。ここで、
δ [ c ] = [ a ] {\displaystyle \delta _{}^{}[c]=[a]}
と定義する。このように定義された境界写像は well-defined であることが示せる(つまり写像が c と b の選択に依らずに定まる。証明は上記の図式追跡の議論と同様である)。また同様の議論で、長系列が各ホモロジー群のところで完全であることも示せる。