初期値問題
y ∈ C(R) とし, 初期値問題
{ y ′ ( x ) − 2 x y ( x ) = 0 , x ∈ R , ( # ) y ( 0 ) = 4 {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lll}y'(x)-2xy(x)=0,&x\in \mathbb {R} ,&(\#)\\y(0)=4&\end{array}}\right.}
の解を逐次近似法によって求めよう。(#) の変数を t に替え、両辺を t = 0 から t = x まで積分すると次の積分方程式を得る。
y ( x ) = 4 + ∫ 0 x 2 t y ( t ) d t . {\displaystyle y(x)=4+\int _{0}^{x}2ty(t)dt.}
ここで、逐次近似列と呼ばれる関数列 ( y n ) n ∈ N ∪ { 0 } {\displaystyle (y_{n})_{n\in \mathbb {N} \cup \{0\}}} を
y 0 ( x ) ≡ 4 , y n ( x ) := 4 + ∫ 0 x 2 t y n − 1 ( t ) d t {\displaystyle y_{0}(x)\equiv 4,\quad y_{n}(x):=4+\displaystyle \int _{0}^{x}2ty_{n-1}(t)\ dt}