行列指数関数
行列の指数関数が重要であることの一つの理由として、常微分方程式系の解を求める際に使うことができることが挙げられる。以下の方程式
d d t y ( t ) = A y ( t ) , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}}
の解は、A を定行列として、次のように与えられる。
y ( t ) = e A t y 0 {\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}}
行列の指数関数はまた以下の様な非等質微分方程式に対しても有効である。
d d t y ( t ) = A y ( t ) + z ( t ) , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}}
A' が定行列でないとき、
d d t y ( t ) = A ( t ) y ( t ) , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}}
の形の微分方程式は解を閉じた形の式として陽に表すことはできないが、マグヌス級数(英語版)が無限和の形で解を与える。
対角行列
A = [ a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}}
に対して、行列 A乗は単に主対角成分のそれぞれを肩に載せた
e A = [ e a 1 0 ⋯ 0 0 e a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ e a n ] {\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}}
で与えられる。これは対角行列同士の行列の積は単に成分ごとの積に等しいということからの帰結である。特に通常の指数函数は「一次元」の場合の対角行列の指数函数とみなせる。
これを利用すれば対角化可能行列乗も計算できる。つまり A = UDU かつ D が対角行列ならば
e = UeU
である。シルベスターの公式(英語版)を応用しても同じ結果が得られる。
となる。右辺の e を積分記号の外へ出して、残った被積分関数をアダマールの補題を使って展開すれば、以下の有用な行列乗の微分係数の表示
( d d t e X ( t ) ) e − X ( t ) = d d t X ( t ) + 1 2 ! [ X ( t ) , d d t X ( t ) ] + 1 3 ! [ X ( t ) , [ X ( t ) , d d t X ( t ) ] ] + ⋯ {\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)]+{\frac {1}{3!}}[X(t),[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)]]+\dotsb }
が得られる。この式における係数はもとの指数函数の成分に現れているものとは異なることに注意せよ。また閉じた形の式は指数写像の微分(英語版)を参照。