一般化された複素構造
最大イソトロピック部分バンドル L(E,ε) の type とは、E をゼロにする部分バンドルの実次元のことを言う。同じことではあるが、タイプは 2N 接バンドルから T の上への L(E,ε) の射影の実次元である。言い換えると、最大イソトロピック部分バンドルのタイプは、接バンドル上への部分バンドルの余次元である。複素多様体の場合は、複素次元を使い 複素タイプ という時もある。原理的に、部分バンドルのタイプは 0 and 2N の間の任意の整数となることが可能ではあるが、一般化された概複素構造では N よりも大きなタイプを持つことができない。理由は、部分バンドルと部分バンドルの複素共役の和が (T ⊕ {\displaystyle \oplus } T) ⊗ {\displaystyle \otimes } C の全体の次元である必要があるからである。
局所的にすべてのピュアスピノルは、整数 k、B-場 2-形式 B、非退化シンプレクティック形式 ω と k-形式 Ω に依存するが、同じ形で書くことができる。任意の点の局所近傍で、標準バンドルを生成するピュアスピノル Φ は、いつでも次の形でとることができる。
Φ = e B + i ω Ω {\displaystyle \Phi =e^{B+i\omega }\Omega }
ここに Ω は1-形式のウェッジ積として、分解可能である。
非退化 2-形式 ω に対し、
φ = e i ω {\displaystyle \phi =e^{i\omega }}
で生成されるスピノルバンドルは、接空間上のシンプレクティック構造を定義する。これより、シンプレクティック多様体も一般化された複素構造である。
上記のピュアスピノル φ {\displaystyle \phi } は大域的に定義されているので、標準バンドルは自明である。このことはシンプレクティック多様体は一般化された複素多様体であるのみならず、さらに一般化されたカラビ-ヤウ多様体であることを意味する。
ピュアスピノル φ {\displaystyle \phi } は、B-場のシフトの虚部の数に一致するピュアスピノルに関係している。B-場はケーラー形式のシフトでもある。従って、これらの一般化された複素構造のタイプは、対応するスカラーピュアスピノルのタイプと一致する。スカラーは全接空間によってゼロとなるので、これらの構造はタイプ 0 である。
B-場のシフトは、閉じた実2-形式の指数にピュアスピノルをかけたものであるが、このB-場のシフトによる差異を無視した場合、シンプレクティック多様体は、タイプ 0 の一般化された複素多様体となる。B-場のシフトによる差異を無視したシンプレクティックである多様体は B-シンプレクティック と呼ばれることもある。