代数幾何学用語一覧
http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf の chapter II 参照。
体上有限型で分離的なスキームのこと。代数多様体は被約かつ既約な代数的スキーム。
1. n 次元正規多様体 X 上の標準層とは、 ω X = i ∗ Ω U n {\displaystyle \omega _{X}=i_{*}\Omega _{U}^{n}} のこと。ここで、i は滑らかな部分(英語版) U の包含写像で、 Ω U n {\displaystyle \Omega _{U}^{n}} は U 上の n 次の微分形式の層。基礎体の標数が 0 なら、正規性を仮定する代わりに i を特異点解消で置き換えてもよい。
2. 正規多様体 X 上の標準因子類(英語版) K X {\displaystyle K_{X}} は、 O X ( K X ) = ω X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}} となるような因子類のこと。
3. 標準因子は、標準因子類 K X {\displaystyle K_{X}} の代表元。これも同じ記号で表される。well-defined ではない。
4. 正規多様体 X の標準環は、標準層の切断から得られる環。
スキーム X の閉部分スキームとは次のように作られるもの。J を O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} イデアル(英語版)である準連接層とする。商層(英語版) O X / J {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/J} の台(英語版)は X の閉部分集合 Z であり、 ( Z , ( O X / J ) | Z ) {\displaystyle (Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})} はスキームになる。これを準連接イデアル層(英語版) J により定義される閉部分スキームという。開部分集合と違って閉部分スキームの定義がこのような構成による理由は、スキームの閉部分集合の部分スキームとしての構造は複数あるからである。
無限小変形(英語版)が自明なものしか存在しないこと。例えば、射影空間は H 1  ( P n , T P n ) = 0 {\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\mathbf {P} ^{n},T_{\mathbf {P} ^{n}})=0} なので堅い(小平スペンサー写像(英語版)を使う)。
スキーム X の特異点解消とは、固有な双有理射 π : Z → X {\displaystyle \pi :Z\to X} であって Z が滑らかな(英語版)であるもの。
(種数を固定した)曲線のモジュライ空間(英語版)上のホッジ束(英語版)とは、簡単にいうと、ベクトル束であって曲線 C 上のファイバーがベクトル空間 Γ ( C , ω C ) {\displaystyle \Gamma (C,\omega _{C})} であるもの。
ジャーブ(英語版)とは、おおまかに言うとスタックであって局所的に空ではなく中の2つの対象が局所同型であるようなもの。
特に条件をつけず X の部分スキームと言ったときは、X の開部分スキームの閉部分スキームのこと。
E をスキーム X 上の局所自由層とする。E の射影束(英語版) P(E) とは、E の双対の対称代数の大域的 Proj P ( E ) = P r o j ( Sym O X  ( E ∨ ) ) {\displaystyle \mathbf {P} (E)=\mathbf {Proj} (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}(E^{\vee }))}
のこと。この定義が今では標準的なもの(例えば、フルトンの『Intersection theory』)であるが、EGA やハーツホーンにおけるものとは異なる。これらでは双対を取っていない。
ブロー・アップは、閉部分スキームを有効なカルティエ因子に置き換える双有理変換。正確には、ネータースキーム X の閉部分スキーム Z ⊂ X {\displaystyle Z\subset X} に対し、Z に沿っての X のブロー・アップとは、固有射 π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X} で (1) π − 1 ( Z ) ↪ X ~ {\displaystyle \pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}} が有効なカルティエ因子(例外因子と呼ばれる)で、(2) π {\displaystyle \pi } は(1)に関して普遍となるもの。具体的には、Z に対応するイデアル層についての O X {\displaystyle O_{X}} のリース代数の相対的な Proj をとることにより作られる。
1. 正規多様体上の因子的層(英語版)とは、あるヴェイユ因子 D で OX(D) とかける反射的層のこと。
2. 因子的スキーム(英語版)とは、可逆層の豊富族があるスキームのこと。豊富な可逆層があるスキームが基本的な例。
標準モデルは標準環(有限生成と仮定)の Proj(英語版)。
双有理射とは、スキームの射で、ある稠密な開部分集合に制限すると同型写像となるもの。ブローアップが典型例。
曲線 C とその上の因子 D と部分ベクトル空間 V ⊂ H 0 ( C , O ( D ) ) {\displaystyle V\subset H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))} が与えられたとき、線形系 P ( V ) {\displaystyle \mathbb {P} (V)} が gd であるとは、V の次元が r+1 かつ D の次数が d であること。そのような線形系が存在するとき、C が gd を持つという。
セールの正規性条件(英語版)参照。https://mathoverflow.net/q/22228 も参照。