不定積分
連続関数 f(x) に対して、微分積分学の基本定理(第一基本定理)から
d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)}
が成り立つから、a を基点とする不定積分で与えられる関数 ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)dt} は f(x) の原始関数のひとつである。
さらに不定積分 F(x) の定義から、 G ( x ) := F ( x ) − F ( a ) {\displaystyle G(x):=F(x)-F(a)} は a を基点とする不定積分 ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,dt} に一致するから、f(x) の原始関数のひとつであり、従って F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t + F ( a ) {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+F(a)} もそうである。
∫ a 2 − x 2 d x = 1 2 ( x a 2 − x 2 + a 2 arcsin  x a ) + C . ( a > 0 ) {\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right)+C.\quad (a>0)}
∫ 1 x 2 + A d x = ln  | x + x 2 + A | + C . ( A ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+A}}}\,dx=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+A}}\right|+C.\quad (A\neq 0)}
∫ x 2 + A d x = 1 2 ( x x 2 + A + A ln  | x + x 2 + A | ) + C . ( A ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}+A}}\,dx={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}+A}}+A\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+A}}\right|\right)+C.\quad (A\neq 0)}
∫ e x d x = e x + C . {\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C.
}
∫ a x d x = a x ln  a + C . {\displaystyle \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C.}
∫ ln  x d x = x ln  | x | − x + C . {\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln |x|-x+C.}
∫ log a  x d x = x log a  | x | − x ln  a + C . {\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}|x|-{\frac {x}{\ln a}}\ +C.}
∫ sin  x d x = − cos  x + C . {\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C.}
∫ cos  x d x = sin  x + C . {\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C.}
∫ tan  x d x = − ln  | cos  x | + C . {\displaystyle \int \tan x\,dx=-\ln |\cos x|+C.}
∫ arcsin  x d x = x arcsin  x + 1 − x 2 + C . {\displaystyle \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C.}
∫ 1 sin  x d x = ln  | tan  x 2 | + C .