合理化可能性
合理化可能性は,決して最適反応にならない戦略を逐次消去していく再帰法によって定義される.プレーが合理的であるとすると,この再帰段階は,非空な戦略の集合であってそのなかの少なくとも 1 つの他の戦略に対して最適反応になっているようなもので終わるだろう.
正規形ゲームを所与とする.数学的には,合理化可能性は次のように再帰的に定義される.
Σ ~ i 0 ≡ Σ i {\displaystyle {\widetilde {\Sigma }}_{i}^{0}\equiv \Sigma _{i}} とする.各 i と各 n ≥ 1 に対して,
Σ ~ i n = { σ i ∈ Σ ~ i n − 1 ∣ ∃ σ − i ∈ ∏ j ≠ i conv  ( Σ ~ j n − 1 ) s.t. u i ( σ i , σ − i ) ≥ u i ( σ i ′ , σ − i ) for all σ i ′ ∈ Σ ~ i n − 1 } {\displaystyle {\widetilde {\Sigma }}_{i}^{n}=\left\{\sigma _{i}\in {\widetilde {\Sigma }}_{i}^{n-1}\mid \exists \sigma _{-i}\in \prod _{j\neq i}\operatorname {conv} ({\widetilde {\Sigma }}_{j}^{n-1})\;{\mbox{s.
すでに見たように,2 人ゲームにおいては繰りかえし強支配と合理化可能性とには同値性がある.ところが多人数ゲームでは,「強く支配されている」ということと「決して最適反応にならない」ということとの同値性はかならずしもあてはまらない.すなわち,多人数ゲームでは,繰りかえし強支配と合理化可能性とはかならずしも同値ではない.
相手プレーヤーの行動に関する予想 (信念) の基礎にあるのは次のことである:もしプレーヤーが,他のプレーヤーは独立に行動してくる (独立な混合) ものと予想するならば,同値性は成りたたない.ここで,「独立な混合」ということは予想の定義 σ − i ∈ ∏ j ≠ i Σ j {\displaystyle \textstyle \sigma _{-i}\in \prod _{j\neq i}\Sigma _{j}} ですでに仮定されていることに注意せよ.
戦略の相関についての予想が可能であるようなゲームにおいてのみ,この同値性が成りたつ.この場合,予想の定義は次のように修正されねばならない:S-i 上の可能な確率分布の全体を Δ S − i {\displaystyle \Delta S_{-i}} とし, σ − i ∈ Δ S − i {\displaystyle \sigma _{-i}\in \Delta S_{-i}} .
合理化可能性の定義では, Σ ~ j n − 1 {\displaystyle {\widetilde {\Sigma }}_{j}^{n-1}} の凸包が用いられていることに注意せよ.この理由は,プレーヤー j がどんな戦略 σ j ∈ Σ ~ j n − 1 {\displaystyle \sigma _{j}\in {\widetilde {\Sigma }}_{j}^{n-1}} をプレーするか,プレーヤー i には不確かであるということである. σ j ′ , σ j ′′ ∈ Σ ~ j n − 1 {\displaystyle \sigma _{j}',\sigma _{j}''\in {\widetilde {\Sigma }}_{j}^{n-1}} であるにもかかわらずその混合 ( 1 2 σ j ′ , 1 2 σ j ′′ ) {\displaystyle \left({1 \over 2}\sigma _{j}',{1 \over 2}\sigma _{j}''\right)} が Σ ~ j n − 1 {\displaystyle {\widetilde {\Sigma }}_{j}^{n-1}} に含まれず排除されるということがあってはならない.
Bernheim (1984) と Pearce (1984) は,各プレーヤー i について合理化可能戦略の集合 Ri は非空であり,少なくとも 1 つの純粋戦略を含むことを示した.
右の男女の争いゲームを考えよう.
このゲームには 2 つの純粋戦略ナッシュ均衡がある.F は F に対し,B は B に対し最適反応なので,戦略 F と B は合理化可能である.合理化可能性による予測では,ゲームは (F, B) で終了し,両プレーヤーの利得は 0 になるというものを許してしまう.(F, B) は,プレーヤー 1 がプレーヤー 2 は F をプレーすると考え,プレーヤー 2 がプレーヤー 1 は F をプレーすると考えるために起こりうる.どちらの予想も,相手プレーヤーについての合理的な予想を通して正当化されうるので,意味をなす.そして両プレーヤーは互いに行き違いになってしまう.このことは,プレーヤーの確率的予想が共有知識でないためである.
プレーヤー 1 について Σ ~ 1 0 = Σ 1 = { O , M , U } {\displaystyle {\widetilde {\Sigma }}_{1}^{0}=\Sigma _{1}=\{O,M,U\}} , プレーヤー 2 について Σ ~ 2 0 = Σ 2 = { L , R } {\displaystyle {\widetilde {\Sigma }}_{2}^{0}=\Sigma _{2}=\{L,R\}} とする.
そのときプレーヤー 1 は,プレーヤー 2 は b4 をプレーするかもしれないということを考えに入れねばならず,この場合 a4 は最適反応になりしたがって合理的になる.