アフィン写像
f ( P ) = f ( O + O P → ) = f ( O ) + V ( f ) ( O P → ) = O ′ + ( V ( f ) ( O P → ) + O ′ f ( O ) → ) {\displaystyle f(\mathrm {P} )=f(\mathrm {O} +{\overrightarrow {\mathrm {OP} }})=f(\mathrm {O} )+V(f)({\overrightarrow {\mathrm {OP} }})=\mathrm {O} '+(V(f)({\overrightarrow {\mathrm {OP} }})+{\overrightarrow {\mathrm {O} 'f(\mathrm {O} )}})}
と書くことができて、特に位置ベクトルの間の関係
y = V ( f ) ( x ) + b ( x := O P → , y := O ′ f ( P ) → , b := O ′ f ( O ) → ) {\displaystyle y=V(f)(x)+b\quad (x:={\overrightarrow {\mathrm {OP} }},\,y:={\overrightarrow {\mathrm {O} 'f(\mathrm {P} )}},\,b:={\overrightarrow {\mathrm {O} 'f(\mathrm {O} )}})}
が得られる。つまり、アフィン写像は位置ベクトルの空間としての V(A) と V(B) の間で、線型写像 T = V(f) と定ベクトル b による平行移動の合成 y = Tx + b として作用することがわかる(位置ベクトルについてみれば V(f) と b の分だけずれている)。
通常のベクトルに関する代数学では、行列の積によって線型変換をあらわし、ベクトルの加法で平行移動を表す。あるいは拡大係数行列 (augmented matrix) を用いれば、双方を行列の積を用いて表すことができる。この場合は、どのベクトルも最後に余分な成分として 1 を付け加え、どの行列も 0 のみからなる余分な行を下に追加して、平行移動を表す列を右に加えることになる(ただし、右下の角には 1 を追加する)。つまり、A を行列とし、各ベクトルは縦ベクトルとして
( y 1 ) = ( A b 0 , ... , 0 1 ) ( x 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&b\ \\0,\ldots ,0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}}
と書けば、これは y = Ax + b と書くのと等価である。