概周期函数
数学における概周期函数(がいしゅうきかんすう、英: almost periodic function)とは、大雑把に言うと、適切に長く well-distributed な「概周期」が与えられた際、任意の正確さのもとで周期的であるような実数函数のことを言う。この概念はハラルト・ボーアによって初めて研究され、ヴィアチェスラフ・ステパノフ(英語版)、ヘルマン・ワイル、エイブラム・サモイロヴィッチ・ベシコヴィッチ(英語版)やその他の研究者によって一般化された。局所コンパクトアーベル群上の概周期函数の概念は、ジョン・フォン・ノイマンによって初めて研究された。
概周期性(almost periodicity)は、位相空間に沿った力学系の経路を(正確ではないが)逆に辿る際に現れる性質である。一例として、尽数関係にない周期で動く軌道上の惑星(すなわち、整数ベクトルに比例しない周期ベクトル)を伴う惑星系が挙げられる。ディオファントス近似に現れるクロネッカーの定理によると、一度現れた任意の配置の形状は、任意に指定した精度で再現する。すなわち、十分長く待てば、すべての惑星はかつて居た位置からたとえば角度 1 秒以内の位置にまた戻ってくることが分かる。
この準周期的な場合において、基本周波数 f 0 ( t ) {\displaystyle f_{0}(t)\ } 、調和周波数 f n ( t ) {\displaystyle f_{n}(t)\ } およびフーリエ係数 a n ( t ) {\displaystyle a_{n}(t)\ } 、 b n ( t ) {\displaystyle b_{n}(t)\ } 、 r n ( t ) {\displaystyle r_{n}(t)\ } あるいは φ n ( t ) {\displaystyle \varphi _{n}(t)\ } は必ずしも定数ではなく、ゆっくりと変動する時間についての関数である。換言すると、これらの時間関数は、準周期的であるように考えられるため、 x ( t ) {\displaystyle x(t)\ } に対する基本周波数よりもはるかに小さく帯域制限される。
部分周波数 f n ( t ) {\displaystyle f_{n}(t)\ } はほとんど調和的であるが、必ずしも完全にそうであるとは限らない。 φ n ( t ) {\displaystyle \varphi _{n}(t)\ } の時間微分 φ n ′ ( t ) {\displaystyle \varphi _{n}^{\prime }(t)\ } はそのような部分波をそれらの正確な整数調和値 n f 0 ( t ) {\displaystyle nf_{0}(t)\ } から離調する効果を持つ。急速に変化する φ n ( t ) {\displaystyle \varphi _{n}(t)\ } は、その部分波に対する瞬時周波数が整数調和値から著しく離調されることを意味し、この場合 x ( t ) {\displaystyle x(t)\ } は準周期的ではないと考えられる。