ベズーの等式
ベズーの補題は性質を定義する除法の原理、すなわち 0 でない整数 b による割り算は |b| よりも真に小さい余りをもつことの結果である。以下の証明は任意のユークリッド整域に対して適用することができる。
与えられた 0 でない整数 a と b に対して、x と y を整数として ax + by がとりうる整数の集合 S について、S の任意の要素 u, v および整数 k に対して u + v, ku は S に含まれる。実際、u, v が u = ax1 + by1, v = ax2 + by2 と書ければ、u + v = a(x1 + x2) + b(x2 + y2) ∈ S, ku = a(kx1) + b(ky1) ∈ S である。符号をかえれば u - v ∈ S も同様にいえることがわかる。
今 S に含まれる正の整数のうち最小の数を h とする。すると、S の要素はすべて h の倍数になっている。
というのは、もし h の倍数で表せない数 m が存在すると仮定すると m を h で割った商を q、0 でない余りを r と置いて m = qh + r すなわち r = m - qh と書ける。