既約表現
の形に書ける。群の表現の定義により、群の元の積の表現行列は
D ( a b ) = D ( a ) D ( b ) {\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}
として各元の表現行列の積に翻訳される。群の単位元 e(即ち ae = ea = a を満たす元)に対し、D(e) は単位行列あるいは同じことだが単位行列からなるブロック行列にならなければいけないことが、
D ( e a ) = D ( a e ) = D ( a ) D ( e ) = D ( e ) D ( a ) = D ( a ) {\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}
から分かる(群の他の元についても同様である)。
ρ を体 F 上のベクトル空間 V における群 G の表現 ρ: G → GL(V) とする。V の基底をとれば、ρ を群から正則行列からなる適当な集合の上への写像(準同型)と見做すことができて、この文脈では行列表現と呼ばれるが、基底をとらずに空間 V を考えるほうが物事は非常に単純になる。
V の線型部分空間 W が G-不変であるとは、任意の g ∈ G および w ∈ W に対して gw ∈ W が成り立つことを言う。表現 ρ を G-不変部分空間 W へ制限したものは部分表現と呼ばれる。表現 ρ: G → GL(V) が既約であるとは、それが自明でない部分表現を持たないことをいう(任意の表現は自明な G-不変部分空間、つまり全体空間 V と{0} を部分表現として必ず含むことに注意)。 真の非自明な不変部分空間を持つ表現 ρ は、可約 (reducible) であると言う。