アーベル・ヤコビ写像
複素代数幾何学では、曲線 C のヤコビ多様体は、経路積分を使い構成される。つまり、C が種数 g の曲線を持っていて、位相的には、
H 1 ( C , Z ) ≅ Z 2 g {\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}}
とすると、幾何学的には、このホモロジー群は C のサイクル(のホモロジークラス)、言い換えると閉じたループから構成されるとすると、ホモロジー群を生成する 2g 個のループ γ 1 , ... , γ 2 g {\displaystyle \gamma _{1},\dots ,\gamma _{2g}} を選ぶことができる。他方、C の種数が g であるという別の代数幾何学的な方法は、
H 0 ( C , K ) ≅ C g , {\displaystyle H^{0}(C,K)\cong \mathbb {C} ^{g},}
であり、ここに K は C の標準バンドルである。定義により、これは大域的に定義された C 上の正則微分形式の空間であるので、線型独立な g は ω 1 , ... , ω g {\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{g}} を形成する。形式と閉形式が与えられると、積分することができ、2g 個のベクトルを