平均値の定理
コーシーの平均値の定理から極限をとると、系としてロピタルの定理(またはベルヌーイの定理)が導かれる。f(x), g(x) を f(a) = g(a) = 0 でありかつ a の十分近くで 0 にならない微分可能な関数とするとき、以下の定理を得る。
lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) = lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
左の等号は f(a) = g(a) = 0 による。右の等号はコーシーの平均値の定理による。