ネイマン・ピアソンの補題
P r ( X ∈ R N P | θ ) = P r ( X ∈ R N P ∩ R A | θ ) + P r ( X ∈ R N P ∩ R A c | θ ) P r ( X ∈ R A | θ ) = P r ( X ∈ R N P ∩ R A | θ ) + P r ( X ∈ R N P c ∩ R A | θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}Pr(X\in R_{NP}|\theta )&=Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}|\theta )+Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}^{c}|\theta )\\Pr(X\in R_{A}|\theta )&=Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}|\theta )+Pr(X\in R_{NP}^{c}\cap R_{A}|\theta )\end{aligned}}}
θ = θ 0 {\displaystyle \theta =\theta _{0}} とすれば、
P r ( X ∈ R N P ∩ R A c | H 0 ) ≥ P r ( X ∈ R N P c ∩ R A | H 0 ) {\displaystyle Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}^{c}|H_{0})\geq Pr(X\in R_{NP}^{c}\cap R_{A}|H_{0})}
である。
それぞれの検定法の検出力は P r ( X ∈ R N P | H 1 ) {\displaystyle Pr(X\in R_{NP}|H_{1})} , P r ( X ∈ R A | H 1 ) {\displaystyle Pr(X\in R_{A}|H_{1})} であるので
P r ( X ∈ R N P | H 1 ) ≥ P r ( X ∈ R A | H 1 ) {\displaystyle Pr(X\in R_{NP}|H_{1})\geq Pr(X\in R_{A}|H_{1})}
を証明すれば良い。上記の等式よりこれは
P r ( X ∈ R N P ∩ R A c | H 1 ) ≥ P r ( X ∈ R N P c ∩ R A | H 1 ) {\displaystyle Pr(X\in R_{NP}\cap R_{A}^{c}|H_{1})\geq Pr(X\in R_{NP}^{c}\cap R_{A}|H_{1})}
と同値である。そこで以下、この不等式を示す。