素数
上記のユークリッドによる証明以外にも、素数が無数に存在することの証明方法が存在する。
素数の逆数の和が発散することを利用した証明(#素数の逆数和を参照)
2つの異なるフェルマー数が互いに素であることを利用した証明
整数の集合に、等差数列の族を開基とする位相を入れる証明
n ≥ 2 に対して、n(n + 1) は少なくとも相異なる2個の素因数を持つことを利用した証明。おそらく最も短い証明。
パナソニック株式会社が2011年にリリースしたiPad用アプリケーション「Panasonic Prime Smash!」は空中に打ち上げられたボールに書かれた数字が素数であればタップして得点、合成数であればスワイプすることで割り算し、素数になったらタップして得点にするゲームである。第15回文化庁メディア芸術祭エンターテインメント部門の審査委員会推薦作品に選ばれ、第6回企業ウェブグランプリ スチューデント部門特別賞を受賞した。
2016年にイギリスの数学者クリスチャン・ローソン=パーフェクトが公開した「これは素数ですか? (Is this prime?)」は、画面に表示される数字を素数と合成数に仕分けるゲームで、2021年7月にプレイ回数が300万回を突破した。このゲームのプログラムにはミラー–ラビン素数判定法が組み込まれている。
自然数の有限集合 A の全ての要素を掛け合わせた自然数を f(A) とする。
定められた個数の素数から成る集合を A3 = {2, 3, 5} とするとき、f(A3) = 2 × 3 × 5 + 1 = 31 は素数なので、新しい素数 31 が得られる。したがって、定められた個数より多くの素数が存在する。
定められた個数の素数から成る集合を A4 = {2, 3, 5, 31} とするとき、f(A4) = 2 × 3 × 5 × 31 + 1 = 931 = 7 × 7 × 19 なので、新しい素数 7 と 19 が得られる。したがって、定められた個数より多くの素数が存在する。
101以上で1000以下の素数は小さい順に次の通りである。
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997