積位相
B = { U 1 × U 2 × ⋯ × U n | U 1 ∈ O 1 , U 2 ∈ O 2 , ⋯ , U n ∈ O n } {\displaystyle {\mathfrak {B}}=\left\{\ U_{1}\times U_{2}\times \cdots \times U_{n}\ |\ U_{1}\in O_{1},\ U_{2}\in O_{2},\ \cdots ,\ U_{n}\in O_{n}\ \right\}}
をとることができる。
X 上の直積位相は、i を I の元、U を Xi の開集合として、 pi(U) の形の集合によって生成された位相である。言い換えると、集合 {pi(U)} は X 上の位相の準開基をなす。X の部分集合が開であることと pi(U) の形の有限個の集合の交叉の(無限個でもよい)合併であることは同値である。pi(U) を open cylinder, それらの共通部分を cylinder set と呼ぶことがある。
一般に、各 Xi の開集合の「単なる直積」全体は X 上の箱位相(英語版)と呼ばれるものの開基を成す。一般に、箱位相は積位相よりも細かいが、有限積に対しては一致する。
( ( Xi , Oi ) ) i∈I を位相空間の族とし、
X = ∏ i ∈ I X i {\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}
とする。各 i ∈ I に対して、pi を X から Xi への射影とする。そのとき、射影の族 ( pi ) i∈I によって ( ( Xi , Oi ) ) i∈I から誘導される位相(英語版) O を X の直積位相(またはチコノフ位相)といい、位相空間 ( X , O ) を ( ( Xi , Oi ) ) i∈I の直積空間という。定義より、直積位相 O は、任意の i ∈ I に対して pi が X から Xi への連続写像となるような X 上の位相の一つであり、そのような位相の中で最も弱い(英語版)。
直積位相での開集合は ∏ i ∈ I U i {\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}U_{i}} の形の集合の(有限個または無限個の)合併である。ここで各 Ui は Xi の開集合で、有限個の i に対してのみ Ui ≠ Xi である。
特に、I が有限集合 I = { 1, 2, 3, ..., n } のときは、直積位相 O の基底として