馬蹄形写像
平面 R 上で、辺の長さが 1 である正方形を考える。この正方形 S を、横方向に縮め、縦方向に引き伸ばす。出来上がった縦長い長方形を、さらに真ん中で曲げて折り返し、馬蹄(逆U字)のような形にする。そして、S があった元の正方形に覆い被さるように置く。この一連の操作後に S が移った領域を h(S) とする。横方向の縮小と縦方向の拡大は、元の正方形領域に重ねたときに、横方向ははみ出ない程度に、縦方向は曲線部分が正方形領域に被らない程度に、適当な縮小率 λ と拡大率 μ が与えられれば事足りる。
馬蹄形写像 h とは、以上のように連続的な変形の操作で定義される、S を像 h(S) へ写す写像である。馬蹄形写像は、代数的というより、幾何学的に定義される写像である。後述のように構造安定な写像なので、変形自体も多少適当であっても同じ力学系になる。h(S) の縦線が S の縦線とは交わらないことや h(S) が S をきちんと突き抜けていることなどが守られていれば本質的に同じ力学系といえる。h(S) に再度 h を適用すれば、逆U字をさらに伸ばして折り曲げた領域の像 h(S) ができあがる。ここで、h は写像 h の2回反復繰り返しを意味する。逆写像 h も定義でき、h は時間(反復繰り返し)の反転に対称な写像である。h で正方形 S を写すと向きが 90° 変わった馬蹄が出来上がる。
他の馬蹄形写像の定義としては、S の両側に半円をくっ付けた領域で定義して、正方形外の h(S) の点の挙動を明確にする流儀もある。はみ出た部分を切り取ってしまう(消してしまう)という考え方もある。2次元球面上の微分同相写像への拡張も容易にできる。