水道方式
遠山は「連続量を考えるとどうしても小数を教えなくてはならないが、それには充分な時間をかけて指導するべき」と述べている。 分数と小数もタイルを用いる。小数では「1のタイル」を10等分したものを「0.1」とし、「0.1のタイル」をさらに10等分すると「0.01」とする。「1のタイル」を「1枚」、「0.1のタイルを1本」、「0.1のタイル」を「1個」と表せば、2.34は「2枚、3本、4個」と整数と同じようにタイルで理解させることができる。
分数の場合は「1のタイルを縦ないし横に3等分したものを 1 3 {\displaystyle 1 \over 3} 」とし、「そのタイルを2つ集めたものを 2 3 {\displaystyle 2 \over 3} 」というように表す。同じ分母の分数の足し算では「 2 7 {\displaystyle 2 \over 7} + 3 7 {\displaystyle 3 \over 7} 」では、「 1 7 {\displaystyle 1 \over 7} のタイル2つ」と「 1 7 {\displaystyle 1 \over 7} のタイル3つ」を足してみせると、「 1 7 {\displaystyle 1 \over 7} のタイル5つ」になるので、 5 7 {\displaystyle 5 \over 7} となるという答が出せる。
遠山啓は「位取りを教えるのに重要なのは(空位を表す)0の理解である」と考えた。位取りの原理を教えないと「なぜ13を103と書いてはいけないのか」が子どもに理解できないとした。
同時に「0」は「その位にあった数がなくなった状態」と教える。子どもに0を理解させるには「容器を添えて数を理解させて、0を空っぽの容器で表す」としたが、0には「割切れた場合の余りとしての 0」としての解釈もあるので、慎重な扱いが必要である。。
和算では、算木および算木を並べる「算盤」(マス目を書いた紙・布・板)を使う。算木には正数をあらわす赤い算木と、負数をあらわす黒い算木の2種類がある。いわゆる列(行列式では「行」にあたる)、伍(おなじく列。「カラム」にあたる)があるので、遠山は「タイルによる指導」から「位取り」を経て算盤の指導を行い、そこから珠算に至るルートを考えていたらしいことが著作から窺われる。 なお、教師による指導用の十露盤においては「五珠が二個・一珠が五個というものもあっていいのではないか、という意見もあり、遠山も否定はしていない。」
水道方式の特徴は筆算中心の計算指導方法にある。遠山は暗算ではせいぜい3桁が限界であるが、筆算なら記憶の必要もなく可能性は無限大で、確実に答えが出て、検算もできるとして、水道方式では筆算をできるだけ早く教えると主張した。筆算でやさしいことからはじめて、計算に慣れたらだんだん書かなくてもできるという方向へ持って行けば良い、暗算は省略された筆算だと教えれば良いとした。筆算中心のやり方は子どものエネルギーを計算練習の中で消費せずにすみ、余力を他のことに使えると主張した。
遠山が水道方式の計算指導の原則としてあげたのは、「一般から特殊へ」の原則に基づく次の3つである。
複雑な思考過程や演算の過程を、まずもっとも単純な過程-素過程-に分解する。
素過程を複合して最も一般的で典型的な複合過程-水源地-を設定する。
典型的な複合過程をしだいに特殊化し。退化させていって、あらゆる場合におよぼす。