モーレー・カルタンの微分形式
↑ Cartan, Élie (1904). “Sur la structure des groupes infinis de transformations”. Annales scientifiques de l'É.N.S. 21: 153–206. http://archive.numdam.org/article/ASENS_1904_3_21__153_0.pdf.
リー群 G に付随するリー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を、単位元における接空間 TeG によって表されていると見なす。群 G の自分自身への作用は各元 g に対して定まる微分同相写像
Lg: h → g h
によって表されており、この写像の微分によって接空間のあいだの写像 d Lg: ThG → Tg hG が得られる。これは接束からその引き戻しへのベクトル束の射 d Lg: T G → Lg*T G と見なすことができる。
Maurer–Cartan 形式 ω とは、点 g における接ベクトル X に対して
ω ( X ) = ( d L g − 1 ) X {\displaystyle \omega (X)=(dL_{g^{-1}})X}
によって定められる、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に値を取る1次微分形式のことである。