平均寿命
1 e = e − λ × τ {\displaystyle {\frac {1}{e}}=e^{-\lambda \times \tau }}
とおいてもこれをτについてとくことによって、まず両辺の自然対数をとり
− 1 = − λ × τ {\displaystyle -1=-\lambda \times \tau }
∴ − 1 − λ = 1 λ = τ {\displaystyle \therefore {\frac {-1}{-\lambda }}={\frac {1}{\lambda }}=\tau }
のようにして得られる。また半減期 t1/2 は
t 1 / 2 = ln  ( 2 ) λ ≃ 0.693 λ {\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}\simeq {\frac {0.693}{\lambda }}}
であるが、これを平均寿命と崩壊定数との関係式と見比べれば、確かに ln(2) 倍していることがわかる。
詳しい式導出は放射壊変の微分方程式も参照せよ。この微分方程式の解の時間に半減期を代入して半減期について解けば、半減期と崩壊定数の関係式が、上でもやったように平均寿命を代入すれば、平均寿命との関係式が得られるわけである。
また、次のような理解の仕方もできる。
少数の長生きする粒子が平均を引き上げるため、平均寿命は半減期より長い。素粒子に限らず、一般に、無記憶な個体の群ではこの関係が成り立つ。