パーセバルの定理
物理学や工学では、パーセバルの定理は以下のように記述されることが多い。
∫ − ∞ ∞ | x ( t ) | 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ | X ( ω ) | 2 d ω = ∫ − ∞ ∞ | X ( 2 π f ) | 2 d f . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,df.}
ここで、 X ( ω ) = F ω { x ( t ) } {\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}} は x(t) の(正規化されたユニタリ形式での)連続フーリエ変換を表し、ω = 2πf はラジアンパー秒の周波数である。
この形の定理は、波形 x(t) が持つ全エネルギー(英語版)の全時間 t についての総和と、その波形のエネルギーのフーリエ変換 X(f) の全周波数成分 f についての総和とが等しいことを意味する。