普遍係数定理
1., 2.の証明は出典を参照。3.に関してはMが自由R-加群であれば、
0 → 0 → ι M → p M → 0 {\displaystyle 0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0}
という分解が可能なので、 T o r R ( M , N ) = K e r ( ι ⊗ R 1 N ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})=0} である。
4.に関してはx倍する演算を「 x ⋅ {\displaystyle x\cdot } 」と書くと、
0 → R → x ⋅ R → p R / ( x ) → 0 {\displaystyle 0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0}
という分解が可能であり、 R ⊕ R N ≈ N {\displaystyle R\oplus _{R}N\approx N} なので、
N → x ⋅ ⊗ R 1 N N → p ⊗ 1 N R / ( x ) ⊗ R N → 0 {\displaystyle N{\overset {x\cdot \otimes _{R}1_{N}}{\to }}N{\overset {p\otimes 1_{N}}{\to }}R/(x)\otimes _{R}N\to 0}