部分積分
このようにして、以下のよく知られた等式が得られる。
Γ ( z ) = ( z − 1 ) Γ ( z − 1 ) . {\displaystyle \Gamma (z)=(z-1)\Gamma (z-1).}
n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } に対してこの公式を繰り返し適用することで階乗が得られる。
Γ ( n + 1 ) = n ! , n ∈ N . {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!,\quad n\in \mathbb {N} .}
v n {\displaystyle v_{n}} は以下のように定義される。
v n + 1 ( x ) = ∫ ∫ ⋯ ∫ v ( d x ) n + 1 . {\displaystyle v_{n+1}(x)=\int \!\int \ \cdots \int v\ (dx)^{n+1}.\!}
上記の式は、 u v 1 {\textstyle uv_{1}} から開始して1つ目の項は順に微分して行き、2つ目の項は積分して行けば計算出来る(同時に符号を反転しながらであるが)。特に、 u ( k + 1 ) {\textstyle u^{(k+1)}} がある k + 1 {\textstyle k+1} で 0 になる時には u ( k ) {\textstyle u^{(k)}} の項までで終了するため、便利な公式である。