GMRES法
が成り立つ。
Aが対称正定値なら、 κ 2 ( A ) {\displaystyle \kappa _{2}(A)} をAのユークリッドノルムでの条件数として、
‖ r n ‖ ≤ ( κ 2 2 ( A ) − 1 κ 2 2 ( A ) ) n / 2 ‖ r 0 ‖ {\displaystyle \|r_{n}\|\leq \left({\frac {\kappa _{2}^{2}(A)-1}{\kappa _{2}^{2}(A)}}\right)^{n/2}\|r_{0}\|}
が成り立つ。
Aが正定値でない場合には、Pnをp(0) = 1を満たす高々n次の多項式集合、VをAのスペクトル分解に現れる行列、σ(A)をAのスペクトルとして、
‖ r n ‖ ≤ inf p ∈ P n ‖ p n ( A ) ‖ ≤ κ 2 ( V ) inf p ∈ P n max λ ∈ σ ( A ) | p ( λ ) | {\displaystyle \|r_{n}\|\leq \inf _{p\in P_{n}}\|p_{n}(A)\|\leq \kappa _{2}(V)\inf _{p\in P_{n}}\max _{\lambda \in \sigma (A)}|p(\lambda )|}
を得る。おおざっぱに言えば、これはAの固有値が0から遠くかつ密集しており、Aが正規行列からそれほど離れていない場合に、速く収束することを意味している。
これらの不等式は誤差、つまり現在の反復ベクトルxnと真の解との距離ではなく、残差に関するものである。
他の反復法と同様に、GMRES法も通常は収束を速める目的で前処理と組み合わせて使用される。