生成消滅演算子
0 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle a={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
それぞれの行列要素は a i j † = ⟨ ψ i | a ^ † | ψ j ⟩ {\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\langle \psi _{i}|{\hat {a}}^{\dagger }|\psi _{j}\rangle } 、 a i j = ⟨ ψ i | a ^ | ψ j ⟩ {\displaystyle a_{ij}=\langle \psi _{i}|{\hat {a}}|\psi _{j}\rangle } である。
量子的な調和振動子の基底状態 ψ 0 ( q ) {\displaystyle \ \psi _{0}(q)} 以下の条件を満たす。
a ψ 0 ( q ) = 0 {\displaystyle a\ \psi _{0}(q)=0}
波動関数は以下の微分方程式を満たす。
q ψ 0 + d ψ 0 d q = 0 {\displaystyle q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0}
この解は
ψ 0 ( q ) = C exp  ( − q 2 2 ) . {\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp(-{q^{2} \over 2}).}
規格化定数Cは ∫ − ∞ ∞ ψ 0 ∗ ψ 0 d q = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1} とガウス積分より、 1 π 4 {\displaystyle 1 \over {\sqrt[{4}]{\pi }}} であることが分かる。