ギブズ現象
f ( x ) = sin  x + 1 3 sin  3 x + 1 5 sin  5 x + ⋯ {\displaystyle f(x)=\sin x+{\frac {1}{3}}\sin 3x+{\frac {1}{5}}\sin 5x+\cdots }
図から分かるように、部分和の項数が増えるに連れて、近似誤差は幅、エネルギーとも減少するが、その高さは固定値に収束する。矩形波について計算すると(後述の計算を参照)、この誤差の高さの極限値を与える明示的な式が得られる。これから、フーリエ級数は、矩形波の高さπ/4 を、次の式で与えられる量だけ超過することが分かる。
1 2 ∫ 0 π sin  t t d t − π 4 = π 2 ⋅ 0.089490 ... {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\,dt-{\frac {\pi }{4}}={\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots }
ギブズ現象(ギブズげんしょう,英: Gibbs phenomenon)は、区分的連続微分可能な周期関数のフーリエ級数において、その関数が第1種不連続 (discontinuity of the first kind 又は jump discontinuity) となる点付近では、フーリエ級数のn 次部分和が大きく振動して、部分和の最大値が関数自体の最大値より大きくなってしまうことがあるという振る舞いのことを指す(不連続点付近での収束の乱れ)。この超過量は、高調波の周波数(つまり、部分和の項数)が増えても無くならず、ある有限極限値に近付く。日本語表記として「ギブズの現象」、「ギブス現象」、「ギブスの現象」とされることもある。名称はジョシュア・ウィラード・ギブズにちなむ。
一般的には、大きさa の跳びを有する、区分的連続微分可能な関数の任意の第1種不連続点において、その関数のフーリエ級数の n 次部分和(n は非常に大きいとする)は、跳びが起こる一方の端では、約 0.089490... ×a だけ大きくなりすぎ、他方の端では、同じ分量だけ小さくなりすぎる。従って、フーリエ級数の部分和の「跳び」は、元の関数の跳びより約 18% 大きくなる。不連続点自体では、フーリエ級数の部分和は、跳びの中点に収束していく(これは、元の関数がこの点で如何なる値を実際に取るかとは無関係である)。