ホンフリー多項式
ホンフリー多項式は、有向絡み目に対する多変量となる。つまり、同じ有向絡み目に対するどんな射影図についてホンフリー多項式を計算しても同じ結果になる。また、ホンフリー多項式は成分の全ての向きを逆にしても不変のため、向きのついていない結び目の不変量ともいえる(これはホンフリー多項式が結び目の可逆性を調べる役には立たないということでもある)。
ある絡み目に対するホンフリー多項式中の l {\displaystyle l} を l − 1 {\displaystyle l^{-1}} に置き換えると、元の絡み目の鏡像になる。よって両手型絡み目のホンフリー多項式は l について回文的になっている(ただし逆は成り立たない)。
ホンフリー多項式は、スケイン関係式を使って定義されるスケイン多項式の中では最も一般化されたものであり、ジョーンズ多項式とアレクサンダー多項式の両方の情報を含んでいる。実際、ホンフリー多項式において l = i t − 1 , m = i ( t − 1 2 − t 1 2 ) {\displaystyle l=it^{-1},m=i(t^{-{\frac {1}{2}}}-t^{\frac {1}{2}})} を代入するとジョーンズ多項式になり、 l = i , m = i ( t 1 2 − t − 1 2 ) {\displaystyle l=i,m=i(t^{\frac {1}{2}}-t^{-{\frac {1}{2}}})} を代入するとアレクサンダー多項式になる(i は虚数単位)。
有向絡み目の射影図 L に対するホンフリー多項式 PL (m , l) を、次の2つのルールによって帰納的に定義する。
ルール1
P ◯ ( m , l ) = 1 {\displaystyle P_{\bigcirc }(m,l)=1\,}
ここで○は自明な結び目の任意の射影図である。交点が1つも無い射影図に限らず、自明な結び目の全ての射影図に対して1と定めている点がブラケット多項式のルール1とは異なる。
ルール2
3つの射影図 L−, L0, L+ について、射影図の絡み目の成分上の1点の近傍が下図のように異なっており、それ以外の部分は一致しているとする。

このとき、
l P L + ( m , l ) + l − 1 P L − ( m , l ) + m P L 0 ( m , l ) = 0 {\displaystyle lP_{L_{+}}(m,l)+l^{-1}P_{L_{-}}(m,l)+mP_{L_{0}}(m,l)=0\,}
このような2つのルールを定めておけば、どんな有向絡み目についてもホンフリー多項式を計算することができる。また、そのためのコンピュータ・プログラムも開発されている。