イデアル類群
イデアル類群が自明である(すなわちただ1つしか元を持たない)ことと,R のすべてのイデアルが単項イデアルであることは同値である.この意味においてイデアル類群は,R が単項イデアル整域であることから,したがって一意的な素元分解を満たすことから,どれだけ離れているかを測っている(デデキント環が一意分解整域であることと単項イデアル整域であることは同値である).
イデアル類の個数(R の類数)は一般には無限大かもしれない.実は,任意のアーベル群はあるデデキント環のイデアル類群に同型である.しかし,実際には R が代数的整数の環であるときには,その類数はつねに有限である.これは古典的な代数的整数論の主要な結果の1つである.
類群の計算は一般には難しい;判別式(英語版)が小さい代数体の整数環に対しては,Minkowski's bound(英語版)を用いることで,手で計算できる.この結果は,環に依存する上界であって,すべてのイデアル類が上界よりも小さいイデアルノルム(英語版)を含むものを与える.一般にはこの上界は判別式の大きい体に対して手で計算をするのに十分小さいものではないが,コンピュータはその仕事に適している.
整数環 R から対応するイデアル類群への写像は関手的であり,イデアル類群は代数的K理論の先頭に K0(R) を R にそのイデアル類群を割り当てる関手として包摂できる;より正確には,C(R) を類群として,K0(R) = Z×C(R) である.高次の K 群も整数環と関連して数論的に解釈できる.