開立法
また、
( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}}
を用いて、 a ≫ b {\displaystyle a\gg b} として、
( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b}
b = a 3 − ( a − b ) 3 3 a 2 {\displaystyle b={\frac {a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}}}
である。したがって、
a − b = a − a 3 − ( a − b ) 3 3 a 2 {\displaystyle a-b=a-{\frac {a^{3}-(a-b)^{3}}{3a^{2}}}}
この式の左辺を近似立方根、右辺の ( a − b ) 3 {\displaystyle (a-b)^{3}} を与えられた数として扱う。ただし、 a 3 {\displaystyle a^{3}} は与えられた数に最も近い完全立方数である。