レムニスケート周率
通常は、ギリシャ文字のパイの小文字 π の異字体 π(オメガの小文字 (ω) の上に横棒を1本つけたような形)で表され、実際の数値は、
π = 2.622057554292119810464839589891...(オンライン整数列大辞典の数列 A062539)
(小数点以下30桁まで)である。なお、長さのパラメータ単位を1としたとき、レムニスケートの周長は、(円の周長が、円周率の倍の値であるのと同様に)レムニスケート周率の倍の値となる。
レムニスケート周率は、第一種完全楕円積分で表され、無理数でもあり、超越数でもある。
すなわち、次の式により求めることができる。
π = 2 ∫ 0 1 d r 1 − r 4 = 2 K ( 1 2 ) = Γ ( 1 4 ) 2 2 3 / 2 π 1 / 2 {\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {dr}{\sqrt {1-r^{4}}}}={\sqrt {2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{2^{3/2}\pi ^{1/2}}}}
ただし、ここで r は、レムニスケートの極座標表示
r 2 = cos  2 θ {\displaystyle r^{2}=\cos 2\theta \,}
の r である。
なお、これと対比して、円周率 π は、次の式で求めることができる。
π = 2 ∫ 0 1 d x 1 − x 2 {\displaystyle \pi =2\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}}