宇宙速度
地球の重心を中心として速さ v {\displaystyle v} の等速円運動をした時に物体の質点を原点とする慣性系で観測した場合質量 m {\displaystyle m} の物体に働く遠心力は m v 2 / R {\displaystyle mv^{2}/R} である。このとき物体に働く重力は G m M / R 2 {\displaystyle GmM/R^{2}} である。第一宇宙速度 v 1 {\displaystyle v_{1}} は遠心力と重力が釣り合うとして求める。すなわち、
m v 1 2 R = G m M R 2 {\displaystyle {\frac {mv_{1}^{2}}{R}}={\frac {GmM}{R^{2}}}}
より、
v 1 = G M R = 7.91 × 10 3 m / s = 7.91 k m / s {\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {GM}{R}}}=7.91\times 10^{3}\,\mathrm {m/s} =7.91\,\mathrm {km/s} }
である。
Google 検索で天体の半径などの天文学の定数が計算可能で、sqrt(天体名の質量*万有引力定数/天体名の半径)という検索式で v {\displaystyle v} を求めることができる。
地球から無限遠を基準とすると、質量 m の物体の地球表面における地球重力によって生じる位置エネルギーは、
U = − ∫ ∞ R ( − G M m r 2 ) d r = − G M m R {\displaystyle U=-\int _{\infty }^{R}\left(-{\frac {GMm}{r^{2}}}\right)dr=-{\frac {GMm}{R}}}
と表される。この物体に、負の位置エネルギーを打ち消す速さ v2 の運動エネルギー (1/2)mv 22 を与えれば無限遠に達する、即ち地球の重力圏から脱出することができるとして求める。すなわち、
1 2 m v 2 2 − G M m R = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {GMm}{R}}=0}
より、
v 2 = 2 G M R = 2 v 1 = 11.2 k m / s {\displaystyle v_{2}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}={\sqrt {2}}v_{1}=11.2\,\mathrm {km/s} }
となる。なお、地球の自転速度は小さいのでここでは無視している。