非線形制御
ポポフ(Popov)(英語版)によって研究されたルーリエシステムのサブクラスは次式によって表される:
x ̇ = A x + b u ξ ̇ = u y = c x + d ξ ( 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\dot {x}}&=&Ax+bu\\{\dot {\xi }}&=&u\\y&=&cx+d\xi \quad (1)\end{matrix}}}
u = − φ ( y ) ( 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}u=-\phi (y)\quad (2)\end{matrix}}}
ここで x ∈ R であり、 ξ,u,y はスカラー量、 A,b,c,d は同一の次元である。 Φ: R → R は、開セクタ(open sector) (0, ∞) に属する時不変な非線形要素である。 これは、次式であることを意味する。
Φ(0) = 0, y Φ(y) > 0, ∀ y ≠ 0;
uからyまでの伝達関数は次式で与えられる。
H ( s ) = d s + c ( s I − A ) − 1 b {\displaystyle H(s)={\frac {d}{s}}+c(sI-A)^{-1}b\quad \quad }
定理: 上記 (1)-(2) のシステムにおいて、次の条件を仮定する。
A はフルビッツ行列
(A,b) は制御可能
(A,c) は観測可能
d > 0
Φ ∈ (0,∞)
次式に示すような値 r>0 が存在する場合、システムは全体的に漸近安定であると言える。
infω ∈ R Re[(1+jωr)h(jω)] > 0