エルンスト方程式
カー解は定常軸対称ブラックホール時空を表すアインシュタイン方程式の厳密解であり、質量 m {\displaystyle m} および角運動量 J {\displaystyle J} というふたつのパラメータによって特徴づけられる。 J = m 2 sin  φ {\displaystyle J=m^{2}\sin \varphi } によりパラメータ φ {\displaystyle \varphi } を導入するとき、カー解に対応するエルンストポテンシャルは
E = e − i φ r + + e i φ r − − 2 m cos  φ e − i φ r + + e i φ r − + 2 m cos  φ , r ± = ( z ± m cos  φ ) 2 + ρ 2 {\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {e^{-i\varphi }r_{+}+e^{i\varphi }r_{-}-2m\cos \varphi }{e^{-i\varphi }r_{+}+e^{i\varphi }r_{-}+2m\cos \varphi }},\ \ r_{\pm }={\sqrt {(z\pm m\cos \varphi )^{2}+\rho ^{2}}}}
と表現される。 φ = 0 {\displaystyle \varphi =0} のときこれはシュワルツシルト解に帰着する。エルンストは逆にエルンスト方程式を用いることでシュワルツシルト解からカー解を容易に構成できることを示した。