記述集合論
位相空間 X {\displaystyle X} のボレル集合のクラスは X {\displaystyle X} の開集合を含む最小のσ加法族である。その意味するところは X {\displaystyle X} のボレル集合は次を満たす最小の集まりということである:
X {\displaystyle X} の任意の開集合はボレル集合である;
もし A {\displaystyle A} がボレル集合ならば補集合 X ∖ A {\displaystyle X\setminus A} もそうである。すなわちボレル集合のクラスは補集合で閉じている。
もし A n {\displaystyle A_{n}} がボレル集合の可算列ならば、和集合 ⋃ n ∈ N A n {\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}} はボレル集合である。すなわちボレル集合のクラスは可算和で閉じている。
これに関する基本的な結果は任意の非可算な2つのポーランド空間 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} はボレル同型であることを示す。すなわち X {\displaystyle X} から Y {\displaystyle Y} への全単射で、ボレル集合の逆像はボレルであり、ボレル集合の順像はボレルであるようなものが存在する。これはポーランド空間の形をベール空間とカントール空間に制限して考えることの追加の正当性を与える。というのも他のどのポーランド空間も ボレル集合のレベルでこれらの空間に同型だからである。