公理的集合論
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである(1922年)。分出公理はZFの公理から示すことができる。
分出公理 任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する:
∀ X ∃ A ∀ x ( x ∈ A ↔ ( x ∈ X ∧ ψ ( x ) ) ) {\displaystyle \forall X\exists A\forall x(x\in A\leftrightarrow (x\in X\wedge \psi (x)))} 。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、これを { x ∈ X ∣ ψ ( x ) } {\displaystyle \{x\in X\mid \psi (x)\}} で表す。 { x ∈ X ∣ x ∈ Y } {\displaystyle \{x\in X\mid x\in Y\}} を X ∩ Y {\displaystyle X\cap Y} で表す。
分出公理を公理として採用する場合にはXを任意に選んだ集合、 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} を恒偽式 ( x ≠ x ) {\displaystyle (x\neq x)} としてとして分出公理を適用することにより空集合の存在が導かれる。