擬微分作用素
が得られる。
ここでの仮定を確認しておくと:
P(D) は「定数」係数の線型微分作用素
表象 P(ξ) は 0 にならない
u, ƒ はともにフーリエ変換を持つ
最後の仮定はシュヴァルツ超函数の文脈で考えるならば弱められる。先の二つの仮定も後述するように緩めることができる。
最後の式において f のフーリエ変換を陽に書き下せば
u ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫∫ e i ( x − y ) ξ 1 P ( ξ ) f ( y ) d y d ξ {\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)\,dy\,d\xi }
となり、これは 1/P(ξ) がもはや多項式函数ではなくもっと一般の種類の函数であることを除けば式 (1) と同じ形をしている。
写像として見れば、擬微分作用素は積分核によって表すことができる。対角線上の積分核の特異性は、対応する作用素の次数に依存している。実は表象が上記の微分不等式を m ≤ 0 に対して満たすならば、積分核が特異積分核(英語版)となることが示せる。この積分核は逆境界問題に対する境界条件の特徴付けに利用できる。
熱作用素
p ( x , D x ) = ∂ ∂ x 1 − ∑ 2 ≤ j ≤ n ∂ 2 ∂ x j 2 {\displaystyle p(x,D_{x})={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-\sum _{2\leq j\leq n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}^{2}}}}
は
p ( x , ξ ) = i ξ 1 − ∑ 2 ≤ j ≤ n ξ j 2 {\displaystyle p(x,\xi )=i\xi _{1}-\sum _{2\leq j\leq n}\xi _{j}^{2}}
を表象に持つ。
| ∂ ξ α D x β p ( x , ξ ) | ≤ C α , β ⟨ ξ ⟩ m + δ | β | − ρ | α | {\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }D_{x}^{\beta }p(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\langle \xi \rangle ^{m+\delta |\beta |-\rho |\alpha |}}
各 u ∈ S {\displaystyle u\in {\mathcal {S}}} に対し、次の線形作用素 P : S → S {\displaystyle P:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}} を(表象 p {\displaystyle p} に対する)擬微分作用素と言う。
P u ( x ) = ( 2 π ) − n ∫ e i x ξ p ( x , ξ ) u ^ ( ξ ) d ξ {\displaystyle Pu(x)=(2\pi )^{-n}\int e^{ix\xi }p(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )d\xi }