群作用
既約 (irreducible) であるとは、X がある環 R 上の自明でない加群で、G の作用が R-線型であって、X は自明でない真の G-不変部分加群をもたないときにいう。
空でない集合上の任意の自由作用は忠実である。群 G の X への作用が忠実であるための必要十分条件は、群準同型 G → Sym(X) の核が自明であることである。従って、G の X への忠実な作用があれば、G は X 上の置換群のある部分群(G の Sym(X) における像)に同型である。
任意の群 G の左からの乗法による自身への作用は正則であり、したがって忠実でもある。従って、任意の群 G はそれ自身の元上の対称群 Sym(G) に埋め込める(これはケイリーの定理(英語版)として知られる)。
群 G が X に忠実に作用しない場合も、群を少し変更して忠実作用を得ることができる。N = {g ∈ G | gx = x (∀x ∈ X)} と置けば、N は G の正規部分群である(実際、これは群準同型 G → Sym(X) の核になっている)。剰余群 G/N は (gN) • x := gx と置くことにより X に忠実に作用する。X への G のもともとの作用が忠実であることと N = {e} であることとは同値である。
G を群、X を集合とするとき、G の X への左群作用 (left group action) とは、外部二項演算
L : G × X → X ; ( g , x ) ↦ L ( g , x ) =: g ∙ x = L g ( x ) {\displaystyle L\colon G\times X\to X;\quad (g,x)\mapsto L(g,x)=:g\bullet x=L_{g}(x)}
で、以下の二つの公理
G の任意の元 g, h および X の任意の元 x に対して (gh)• x = g •(h • x) が成り立つ
G の単位元 e と X の任意の元 x に対して、e • x = x が成り立つ
を満たすものを言う。このとき、集合 X は左 G-集合 (left G-set) と呼ばれ、また群 G は X に(左から)作用 (act) するという。紛れの虞が無いならば g • x などの演算を省略して gx のようにしばしば略記する。
二つの公理から、G の各元 g に対して x ∈ X を g • x へ写す写像は X から X への全単射となることが従う(逆写像が x を g• x に写す写像によって与えられる)。したがって、群 G の X への作用を、群 G から X 上の全単射全体の成す対称群 Sym(X) への群準同型として定義することもできる。
まったく同様に、群 G の集合 X への右群作用 (right group action) を写像 R: X × G → X; (x, g) ↦ R(x, g) =: x • g と二つの公理
x •(gh) = (x • g)• h
x • e = x
によって定義することができる。
右作用と左作用の違いは、gh のような積の x への作用の順番であり、左作用ならば h を先に作用させてから g が作用するが、右作用では g が先に作用してから h が作用する。右作用に群の反転演算を合わせれば左作用が得られる。実際、R が右作用ならば
G × X → X ; ( g , x ) ↦ R ( x , g − 1 ) = R g ( x ) {\displaystyle G\times X\to X;\quad (g,x)\mapsto R(x,g^{-1})=R_{g}(x)}
は左作用である。これは
R g h ( x ) := R ( x , ( g h ) − 1 ) = x ∙ ( h − 1 g − 1 ) = ( x ∙ h − 1 ) ∙ g − 1 = R h ( x ) ∙ g − 1 = ( R g ∘ R h ) ( x ) , R e ( x ) := R ( x , e − 1 ) = x ∙ e = x {\displaystyle {\begin{aligned}R_{gh}(x)&:=R(x,(gh)^{-1})=x\bullet (h^{-1}g^{-1})\\&\,=(x\bullet h^{-1})\bullet g^{-1}=R_{h}(x)\bullet g^{-1}=(R_{g}\circ R_{h})(x),\\R_{e}(x)&:=R(x,e^{-1})=x\bullet e=x\end{aligned}}}
から確認できる。同様に任意の左作用を右作用にすることもできる。したがって、右作用を考えることで新しく得られるものは特に無いため、理論上は左群作用のみを主に考え、これを単に群作用と称する。