ブラウワーの不動点定理
ブラウワーの不動点定理は、多くのより一般的な不動点定理への出発点となるものである。
無限次元への直接的な一般化、すなわち、ユークリッド空間の代わりに任意のヒルベルト空間の単位球を用いるような一般化は上手くいかない。この場合の大きな問題は、無限次元ヒルベルト空間の単位球はコンパクトでないということである。例えば、実あるいは複素の二乗加可算列のヒルベルト空間 l において、列 (xn) を l の閉単位球から、次で定義される列 (yn) に写す写像 f : l → l を考える:
y 0 = 1 − ‖ x ‖ 2 2 and y n = x n − 1 for n ≥ 1. {\displaystyle y_{0}={\sqrt {1-\|x\|_{2}^{2}}}\qquad {\text{ and }}\qquad y_{n}=x_{n-1}\quad {\text{ for }}\quad n\geq 1.}
この写像が連続であり、値域は l の単位球に含まれることが、不動点を持たないことは容易に確かめられる。
したがって、ブラウワーの不動点定理の無限次元空間への一般化は、すべてある種のコンパクト性の仮定を含むものであり、さらにしばしば凸性の仮定も含まれる。それらの定理に関する議論は無限次元空間における不動点定理を参照されたい。
この定理はまた、微分方程式の重要な結果を証明するために用いられ、微分幾何学の入門的なほとんどの課程において扱われている。この定理はまた、ゲーム理論のような分野でも用いられている。経済学において、ブラウワーの不動点定理とその拡張である角谷の不動点定理は、1950年代にノーベル経済学賞受賞者のケネス・アローとジェラール・ドブルーによって示されたように、マーケット経済の一般均衡の存在の証明で中心的な役割を果たしている。 さらに数値解析の分野においては、非線型方程式の数値解に対する精度保証付き数値計算の基礎として利用される。
この定理ははじめ、アンリ・ポアンカレとエミール・ピカールを中心とするフランスの数学者によって微分方程式の観点から研究されていた。ポアンカレ=ベンディクソンの定理のような結果を証明する上で、位相幾何学的な手法を利用することが求められていた。19世紀末においてこの研究は、いくつかの定理を証明するに至った。一般的な場合は1910年にジャック・アダマールとライツェン・ブラウワーによって証明された。
この定理における連続函数は、全単射でなくてもよく、全射である必要すらない。