フィボナッチ数
α = 1 3 ( 1 + 19 − 3 33 3 + 19 + 3 33 3 ) β = 1 3 ( 1 + ω 19 − 3 33 3 + ω ̄ 19 + 3 33 3 ) γ = 1 3 ( 1 + ω ̄ 19 − 3 33 3 + ω 19 + 3 33 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\\\beta &={\frac {1}{3}}\left(1+\omega {\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\bar {\omega }}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\\\gamma &={\frac {1}{3}}\left(1+{\bar {\omega }}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+\omega {\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\end{aligned}}}
であり、ここで
ω = − 1 + 3 i 2 {\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}} (1 の虚立方根)
である。
また、上記の α をトリボナッチ定数という。これはフィボナッチ数列における黄金数に当たる定数で、トリボナッチ数列の隣接2項間の商はトリボナッチ定数に収束する:
lim n → ∞ T n T n − 1 = α = 1.839286755214161 ⋯ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}=\alpha =1.839286755214161\cdots }
F n = α n − β n α − β = α n α − β + β n β − α {\displaystyle F_{n}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}}{\alpha -\beta }}+{\frac {\beta ^{n}}{\beta -\alpha }}}
と表せる。
また、一般項の第2項 − 1 5 ( 1 − 5 2 ) n {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}} の絶対値は減少列で、n = 0 のとき 1 5 = 0.447 ⋯ < 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {5}}}=0.447\cdots <{\frac {1}{2}}} より、第2項を切り捨てた式は Fn の値を 0.447 以下(n > 4 のとき1%以下)の誤差で与える近似式である。
F n ≒ φ n 5 {\displaystyle F_{n}\fallingdotseq {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}}
この誤差の絶対値は0.5未満なので、Fn の正確な整数値は以下の式で得られる。
F n = ⌊ φ n 5 + 1 2 ⌋ = ⌊ 1 5 ( 1 + 5 2 ) n + 1 2 ⌋ {\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\phi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }
フィボナッチ数(フィボナッチすう、英: Fibonacci number)は、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ(ピサのレオナルド)に因んで名付けられた数である。