シャピロの不等式
重要なケース n = 12 {\displaystyle n=12} の最初の証明は Godunova と Levin によって1976年に、もう一方の n = 23 {\displaystyle n=23} の最初の証明は Troesch によって1989年に、それぞれ数値計算に依った方法で与えられた。2002年、P.J. Bushell と J.B. McLeod は n = 12 {\displaystyle n=12} のときの解析的な証明を発表した。
γ {\displaystyle \gamma } の値は1971年にウラジーミル・ドリンフェルト(1990年のフィールズ賞受賞者)によって求められた。特に、ドリンフェルトは下限となる γ {\displaystyle \gamma } が ψ ( 0 ) {\displaystyle \psi (0)} で与えられることを示した。ここで ψ {\displaystyle \psi } は関数 f ( x ) = e − x {\displaystyle f(x)=e^{-x}} と g ( x ) = 2 e x + e x 2 {\displaystyle g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}} の関数的凸包である。(つまり、 ψ {\displaystyle \psi } のグラフの上側の部分は、 f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} のグラフの上側部分の合併の凸包になっている)。
左辺の、内部での極小値は常に ≥ n 2 {\displaystyle \geq {\frac {n}{2}}} となることが1968年 Pedro Nowosad により証明された。