射影多様体
複素射影空間はケーラー多様体である.したがって,任意の射影代数多様体 X に対し,X(C) はコンパクトケーラー多様体である.逆は一般には正しくないが,小平の埋め込み定理はケーラー多様体が射影的であるための判定法を与える.
低次元では以下の結果がある.
(Riemann) コンパクトリーマン面(英語版)(すなわち1次元のコンパクト複素多様体)は射影多様体である.トレリの定理(英語版)により,それはそのヤコビ多様体によって一意的に決定される.
(Chow-Kodaira) 2つの代数独立な有理型関数を持つ2次元のコンパクト複素多様体は射影多様体である.
定義により,多項式環の任意の斉次イデアルは射影スキームを生じる(多様体を与えるには素イデアルでなければならない).この意味で,射影多様体の例はたくさんある.以下のリストは,特に熱烈に研究されてきたために特筆すべき射影多様体の様々なクラスに言及している.複素射影多様体すなわち k = C のときの重要なクラスはさらに下で議論される.
2つの射影空間の積は射影的である.実は,(セグレ埋め込み(英語版)と呼ばれる)明示的な埋め込みがある:
P n × P m → P ( n + 1 ) ( m + 1 ) − 1 , ( x i , y j ) ↦ x i y j . {\displaystyle \mathbf {P} ^{n}\times \mathbf {P} ^{m}\to \mathbf {P} ^{(n+1)(m+1)-1},(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j}.}
その結果,射影多様体のファイバー積は再び射影的である.プリュッカー埋め込み(英語版)はグラスマン多様体を射影多様体として表す.旗多様体(英語版),例えば一般線型群 G L n ( k ) {\displaystyle GL_{n}(k)} を上三角行列のなす部分群で割った商,もまた射影的であり,これは代数群の理論において重要な事実である.
すなわち,k 上の有限次元ベクトル空間 V が与えられたとき,
P ( V ) = Proj  k [ V ] {\displaystyle \mathbf {P} (V)=\operatorname {Proj} k[V]}
とおく,ただし k [ V ] = Sym  ( V ∗ ) {\displaystyle k[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})} は V ∗ {\displaystyle V^{*}} の対称代数である.それは V の射影化(英語版)である,すなわち,それは V 内の直線をパラメトライズする.自然な全射 π : V − 0 → P ( V ) {\displaystyle \pi \colon V-0\to \mathbf {P} (V)} があり,上述のチャートを用いて定義される.この構成の1つの重要な利用は以下のようである(詳細は下を参照).射影多様体 X 上の因子 D は直線束 L と対応する.
| D | = P ( Γ ( X , L ) ) {\displaystyle |D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,L))}
とおき,これを D の complete linear system(英語版) と呼ぶ.
ネータースキーム S 上の射影空間はファイバー積
P S n = P Z n × Spec  Z S {\displaystyle \mathbf {P} _{S}^{n}=\mathbf {P} _{\mathbf {Z} }^{n}\times _{\operatorname {Spec} \mathbf {Z} }S}
X を射影多様体とし,L をその上の直線束とする.このとき次数環
R ( X , L ) = ⨁ n = 0 ∞ H 0 ( X , L ⊗ n ) {\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes n})}
は L の切断の環(英語版)と呼ばれる.L が豊富であれば,この環の Proj は X である.さらに,X が正規で L が非常に豊富ならば,R(X, L) は L によって決定される X の斉次座標環の整閉包である,すなわち, X ↪ P N {\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}} なので O P N ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)} は L にプルバックする.
応用のためには,直線束だけでなく因子(あるいは Q 因子)を許すことが有用である.X が正規と仮定して,得られる環は generalized ring of sections と呼ばれる.KX を X 上の標準因子とすると,generalized ring of sections
R ( X , K X ) {\displaystyle R(X,K_{X})}
は X の標準環と呼ばれる.標準環が有限生成のとき,環の Proj は X の標準模型と呼ばれる.標準環あるいは模型は X の小平次元を定義するのに使われる.