ヴィラソロ代数
ヴィラソロ代数の超対称的拡大にヌヴ・シュワルツ代数(英語版)、ラモン代数(英語版)と呼ばれる2つがある。これらの代数の理論はヴィラソロ代数のそれとよく似ている。
ヴィラソロ代数は、種数 0 のリーマン面上で固定された2点を除いて正則であるような有理型ベクトル場全体の成すリー環の中心拡大である。Krichever & Novikov (1987) はより高い種数のコンパクトリーマン面上で固定された2点の例外を除いて正則であるような有理型ベクトル場全体の成すリー環の中心拡大を発見、また Schlichenmaier (1993) はこれを例外が2点より多い場合に拡張した。
と置くと、 カッツ行列式 d e t n {\displaystyle \mathrm {det} _{n}} には以下の公式が知られている。
d e t N = A N ∏ 1 ≤ r , s ≤ N ( h − h r , s ( c ) ) p ( N − r s ) . {\displaystyle \mathrm {det} _{N}=A_{N}\prod _{1\leq r,s\leq N}(h-h_{r,s}(c))^{p(N-rs)}.}
(関数 p(N) は分割数であり、AN は定数である) この公式は Kac (1978) によって主張され(Kac & Raina (1987) も参照)、Feigin & Fuks (1984)において初めて証明された。 h = h r , s {\displaystyle h=h_{r,s}} に対応するヴァーマ加群では、以下に説明する特異ベクトルが存在するため、可約となる。 特に、q/pが正の有理数の場合、無限個の特異ベクトルが存在しそれらの生成する極大部分加群による商をミニマル表現という。 この表現はBelavin (1984) らが研究を始めたミニマル模型(英語版)に対応する。 この結果は Feigin & Fuks (1984) によってすべての既約最高ウェイト表現の指標を求めるために使われた。