減法
二つの数 a, b の加法と呼ばれる演算 + に対して、数 c が
a + b = c
という関係を満足するとき、演算子 − を導入して
b = c − a
と記し、c から a を引いた数は b であるという。この数 b は c と a の差と呼ばれる。
例えば、2 + 3 = 5 であるので
5 − 3 = 2, 5 − 2 = 3
のような計算が成立する。
数 a に対して以下の関係を満たす数 b を、加法に関する a の逆元 (additive inverse)、あるいは反数 (opposite) という。
a + b = 0.
この逆元を特別に −a と表すと、これは以下の関係を常に満たす。
a + (−a) = 0.
一方、
a − a = 0
という関係が成り立つから、ある数 c から a を引く演算は、
c − a = c + (−a) + a − a = c + (−a)
と置き換えることができる。つまり、減法は減数の逆元の加法として扱うことができる。 ただしこのような計算が可能なのは a の加法の逆元 −a が定まる限りにおいてであり、実際に自然数の範囲では(0 を除いて)そのような数は存在しない。