リー群
リー群は標準的に、離散リー群、単純リー群、可換リー群に以下のように分解される: ここでリー群 G に対して
G0 を G の単位元を含む連結成分、
Gsol を G の最大の連結可解正規部分群、
Gnil を G の最大の連結正規冪零部分群、
とすると、次の正規列がえられる:
1 ⊂ Gnil ⊂ Gsol ⊂ G0 ⊂ G
そしてこのとき、
G/G0 は離散的、
G0/Gsol は連結単純リー群の積の中心拡大、
Gsol/Gnil 可換リー群(これはユークリッド空間とトーラスの積として書ける)、
Gnil/1 は冪零、したがって特にその昇中心列の組成因子は可換群。
これにより、リー群に対する問題の一部(たとえばリー群のユニタリ表現を求める問題など)は連結単純リー群の同種の問題に帰着して考えることができる。
また、直交群や斜交群は、成分の属する体の直積位相からの相対位相に関して多様体とみるとリー群である。このような行列からなるリー群は総じて(代数的)行列群あるいは線型代数群と呼ばれる一類に属する。
一般化として、台となる多様体が無限次元であることを許すことにより無限次元リー群が同様の方法で定義される。また、類似物として係数の属する体を p-進数体にとりかえて p-進リー群が定義される。あるいは係数体を有限体に取り替えれば、リー群の有限な類似物としてリー型の群が豊富に得られるが、これらは有限単純群の多くの部分を占めるものである。また、可微分多様体を用いる代わりに解析多様体や位相多様体を台にすることもできるが、それによって新たなものが得られるというわけではない。事実、アンドリュー・グリーソン、ディーン・モントゴメリ、レオ・ジッピンらは1950年代に次のことを証明している。すなわち、G が位相多様体であって、連続な群演算をもつ群でもあるならば、G 上の解析的構造が唯一つ存在して、G をリー群にすることができる(ヒルベルトの第5問題あるいはヒルベルト-スミス予想)。