離散時間フーリエ変換
rect  ( t ) {\displaystyle \operatorname {rect} (t)} は、任意の実数値 t に関する次のような矩形関数である。 r e c t ( t ) = ⊓ ( t ) = { 0 if | t | > 1 2 1 2 if | t | = 1 2 1 if | t | < 1 2 {\displaystyle \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}}
tri  ( t ) {\displaystyle \operatorname {tri} (t)} は任意の実数値 t に関する次のような三角形関数である。 tri  ( t ) = ∧ ( t ) = { 1 + t ; − 1 ≤ t ≤ 0 1 − t ; 0 < t ≤ 1 0 otherwise {\displaystyle \operatorname {tri} (t)=\land (t)={\begin{cases}1+t;&-1\leq t\leq 0\\1-t;&0<t\leq 1\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
N ≥ L {\displaystyle N\geq L\,} であるとき、次のようにも表せる。
X [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − i 2 π k N n {\displaystyle X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\,e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} , 何故なら n ≥ L {\displaystyle n\geq L\,} について x [ n ] = 0 {\displaystyle x[n]=0\,} と定義するため。
このように変形すると、 X [ k ] {\displaystyle X[k]\,} のシーケンスは離散フーリエ変換(DFT)となる。 N {\displaystyle N} はDTFTを標本化する際の解像度と定義され、 L {\displaystyle L} はDTFT自体の固有解像度である。したがって、通常これらはほぼ同じ値である。 N > L {\displaystyle N>L} を選択するのが一般的だが、値がゼロの項を総和に含める理由は、DFTを計算する高速フーリエ変換アルゴリズムを利用できるためである。そのことを強調する場合、「ゼロパディングDFT」あるいは「内挿DFT」と呼ぶ。しかし、値がゼロの項を使わずに単純に計算しても全く同じDFTが得られる。 N < L {\displaystyle N<L} の場合のDTFTも計算でき、その場合はDFTとは等価ではない。
x ( t ) {\displaystyle x(t)\,} の標本化により、そのスペクトル(DTFT)は周期的になる。通常の周波数 f {\displaystyle f\,} (単位時間当たりの周期数)では、その周期はサンプリング周波数 f s {\displaystyle f_{s}\,} である。正規化周波数 f / f s {\displaystyle f/f_{s}\,} (標本当たりの周期数)では、その周期は 1 {\displaystyle 1} である。 ω {\displaystyle \omega \,} (標本当たりのラジアン)では、その周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } であり、 e − i ω n {\displaystyle e^{-i\omega n}\,} の周期性に直接従う。すなわち、
e − i ( ω + 2 π k ) n = e − i ω n {\displaystyle e^{-i(\omega +2\pi k)n}=e^{-i\omega n}\,}
であり、ここで n と k は任意の整数である。
以下の表は、一般的な離散時間フーリエ変換を示したものである。以下のような記法を用いている。
∗ {\displaystyle *\!} は、2つの信号の畳み込みを意味する。
x [ n ] ∗ {\displaystyle x[n]^{*}\!} は、関数 x[n] の複素共役である。
ρ x y [ n ] {\displaystyle \rho _{xy}[n]\!} は、 x[n] と y[n] の相関を表す。
最初の列は属性の説明、第二列は時間領域での関数表現、第三列は周波数領域でのスペクトル表現である。