多重線型写像
k > 0 を整数とし、E1, ..., Ek, F を同じ体 K 上のベクトル空間とする。写像
が多重線型(より明示的に k-重線型)であるとは、各変数について線型であること、つまり、任意のベクトル x 1 , ... , x k , x i ′ {\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{k},x'_{i}} とスカラー a, b に対し、
が成り立つことをいう。やや感覚的な言い方をすれば、k-重線型写像は、各因子に関して分配的な k 項の積と思える。
E1 × ⋯ × Ek から F への k-重線型写像全体の集合は、E1 × ⋯ × Ek から F へのすべての写像からなる空間 F(フランス語版)の部分ベクトル空間である。このベクトル空間を、L(E1, ..., Ek; F), あるいは E1 = ⋯ = Ek = E であるときはより簡単に Lk(E; F) と記す。また特に、E 上の k-重線型形式の空間 Lk(E; K) を Lk(E) と書く。
このとき、任意のベクトルの対における f の値は f ( v 1 , v 2 ) = ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 A i j v 1 i v 2 j ( v i := v i 1 e 1 + v i 2 e 2 ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}A_{ij}v_{1i}v_{2j}\qquad (\mathbf {v} _{i}:=v_{i1}\mathbf {e} _{1}+v_{i2}\mathbf {e} _{2})} と書ける。