球函数に対するプランシュレルの定理
∫ H 3 F d V = 4 π ∫ − ∞ ∞ F ( t ) sinh 2  t d t , ∫ H 2 f d V = 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) sinh  t d t {\displaystyle \int _{H^{3}}F\,dV=4\pi \int _{-\infty }^{\infty }F(t)\sinh ^{2}t\,dt,\quad \int _{H^{2}}f\,dV=2\pi \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sinh t\,dt}
と見做すことができる。f(b,x) が H 上の函数で、Ef が
E f ( b , x , y ) = f ( b , x ) {\displaystyle Ef(b,x,y)=f(b,x)}
で定義されるものとすると、
Δ 3 E f = E ( Δ 2 − R 2 ) f {\displaystyle \Delta _{3}Ef=E(\Delta _{2}-R_{2})f}
が成り立つ。f が SO(2)-不変ならば、f を r または t の函数と見做して
( − Δ 2 + R 2 ) f = ∂ t 2 f + coth  t ∂ t f + r ∂ r f = ∂ t 2 f + ( coth  t + tanh  t ) ∂ t f {\displaystyle (-\Delta _{2}+R_{2})f=\partial _{t}^{2}f+\coth t\partial _{t}f+r\partial _{r}f=\partial _{t}^{2}f+(\coth t+\tanh t)\partial _{t}f}
が成り立つ。他方、
∂ t 2 + ( coth  t + tanh  t ) ∂ t = ∂ t 2 + 2 coth  ( 2 t ) ∂ t .
φ λ ( g ) = ∫ K / M λ ′ ( g k ) − 1 d k {\displaystyle \varphi _{\lambda }(g)=\int _{K/M}\lambda '(gk)^{-1}\,dk}
を σ(N) 上の積分公式
φ λ ( e X ) = e i λ − ρ ∫ σ ( N ) λ ′ ( n ) ̄ λ ′ ( e X n e − X ) d n , ( X ∈ a ) {\displaystyle \varphi _{\lambda }(e^{X})=e^{i\lambda -\rho }\int _{\sigma (N)}{{\overline {\lambda '(n)}} \over \lambda '(e^{X}ne^{-X})}\,dn,\quad (X\in {\mathfrak {a}})}
に引き移すことができる。
a + {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} の元 X に対して
lim t → ∞ e t X n e − t X = 1 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{tX}ne^{-tX}=1}
が成り立つから、φλ の漸近挙動はこの積分から読み取ることができて、公式
c ( λ ) = ∫ σ ( N ) λ ′ ( n ) ̄ d n {\displaystyle c(\lambda )=\int _{\sigma (N)}{\overline {\lambda ^{\prime }(n)}}\,dn}
が導かれる。
球函数 φλ は
φ λ ( g ) = ∫ K α ′ ( k g ) d k {\displaystyle \varphi _{\lambda }(g)=\int _{K}\alpha '(kg)\,dk}
で与えられるから、球変換
f ~ ( λ ) = ∫ S f ( s ) α ′ ( s ) d s {\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\int _{S}f(s)\alpha '(s)\,ds}
を
f ~ ( λ ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ 0 ∞ f ( ( a 2 + a − 2 + b 2 ) / 2 ) a − i λ / 2 d a d b {\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{\infty }f((a^{2}+a^{-2}+b^{2})/2)a^{-i\lambda /2}\,da\,db}
と書くことができて、ここで F を
F ( u ) = ∫ − ∞ ∞ f ( u + t 2 2 ) d t {\displaystyle F(u)=\int _{-\infty }^{\infty }f(u+{t^{2} \over 2})\,dt}
と定めれば、球変換は
f ~ ( λ ) = ∫ 0 ∞ F ( a 2 + a − 2 2 ) a − i λ d a = ∫ 0 ∞ F ( cosh  t ) e − i t λ d t {\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\int _{0}^{\infty }F({a^{2}+a^{-2} \over 2})a^{-i\lambda }\,da=\int _{0}^{\infty }F(\cosh t)e^{-it\lambda }\,dt}
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↑ Helgason 1984, p. 46
↑ Takakhashi 1963
↑ Loeb 1979
↑ 正ルートの総和の半分でシフトされた最高ウェイトによる添字付けもある
↑ Helgason 1984, pp. 423–433
↑ Flensted-Jensen 1978, p. 115
↑ Helgason 1978
↑ U に対する球反転公式は、函数 χ λ d ( λ ) − 1 / 2 {\displaystyle \chi _{\lambda }d(\lambda )^{-1/2}} の全体が、類函数全体の成す空間の正規直交基底を成すという主張と同値である。
↑ Flensted-Jensen, p. 133
↑ Flensted-Jensen 1978, p. 133
↑ Helgason 1984, pp. 490–491
↑ b(λ) は A0 上の積分として書くことができる。ただし K = K0A0K0 を K のカルタン分解とする。従ってこの積分は、多次元ゴドマン型積分の交代和となり、その組合せ論は U/K0 に対するカルタン-ヘルガソンの定理によって制御される。同等の計算は Beerends (1987), Stade (1999) および Gindikin (2008) で既に議論されていたラドン変換の理論においても生じる。
が成り立つ。従って
b ( λ ) = M ∗ Φ 2 λ ( 0 ) = π tanh  π λ , Φ 2 λ = M φ λ {\displaystyle b(\lambda )=M^{*}\Phi _{2\lambda }(0)=\pi \tanh \pi \lambda ,\quad \Phi _{2\lambda }=M\varphi _{\lambda }}
とすれば、アダマールの降下法と同様に
M ∗ Φ 2 λ = b ( λ ) φ λ {\displaystyle M^{*}\Phi _{2\lambda }=b(\lambda )\varphi _{\lambda }}
が成り立ち、
( M ∗ F ) ∼ ( λ ) = F ~ ( 2 λ ) {\displaystyle (M^{*}F)^{\sim }(\lambda )={\tilde {F}}(2\lambda )}
が従う。f = MF と取って、F に対する SL(2,C)-反転公式から直ちに
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ φ λ ( x ) f ~ ( λ ) λ π 2 tanh  ( π λ 2 ) d λ {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{\lambda }(x){\tilde {f}}(\lambda )\,{\lambda \pi \over 2}\tanh({\pi \lambda \over 2})\,d\lambda }
を得る。
ここでいうペイリー-ウィーナーの定理は、群 G 上でコンパクト台付きの滑らかな K-双変函数の球変換を特徴づけることによって通常のペイリー-ウィーナーの定理を一般化するものである。その必要十分な条件は、球変換が W-不変であること、あるいはまた、適当な R > 0 が存在して、各 N に対して
| f ~ ( λ ) | ≤ C N ( 1 + | λ | ) − N e R | I m λ | {\displaystyle |{\tilde {f}}(\lambda )|\leq C_{N}(1+|\lambda |)^{-N}e^{R|{\rm {Im}}\,\lambda |}}
なる評価を持つようにできることである。この場合 f は G/K の原点を中心とする半径 R の閉球体の内部に台を持つ。
このことはヘルガソンとガンゴリが示した (Helgason (1970) pg. 37)。
この定理は後に Flensted-Jensen (1986) が、球反転定理とは独立に、彼の複素係数の場合への還元法の修正版を用いて証明している。