フレドホルム作用素
がそれぞれ空間 X および Y 上のコンパクト作用素となるような有界線形作用素 S : Y → X が存在するならば、T はフレドホルム作用素である。
フレドホルム作用素の指数は
i n d T := dim  ker  T − c o d i m r a n T {\displaystyle \mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {codim} \,\mathrm {ran} \,T}
あるいは、それと同値だが
i n d T := dim  ker  T − d i m c o k e r T {\displaystyle \mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {dim} \,\mathrm {coker} \,T}
で定義される(記号の意味については次元、零空間、余次元(英語版) を参照されたい)。