カニンガム鎖
同様に、長さ n の第2種カニンガム鎖(Cunningham chain of the second kind of length n)とは、素数列 (p1, ..., pn) であって、任意の 1 ≤ i < n に対して pi+1 = 2pi − 1 を満たすもののことである。
一般項は
p i = 2 i − 1 p 1 − ( 2 i − 1 − 1 ) {\displaystyle p_{i}=2^{i-1}p_{1}-(2^{i-1}-1)}
であり、 a = p 1 − 1 2 {\displaystyle a={\frac {p_{1}-1}{2}}} とおけば p i = 2 i a + 1 {\displaystyle p_{i}=2^{i}a+1} と書ける。
カニンガム鎖の定義は、互いに素な整数 a, b を固定したとき、素数列 (p1, ..., pn) であって任意の 1 ≤ i < n に対して pi+1 = api + b を満たすもの、と一般化されることもある。このような素数列は一般化カニンガム鎖(generalized Cunningham chain)と呼ばれる。
カニンガム鎖がそれ以上延長できない(鎖の先にも後にも、漸化式を満たすような素数が並ばない)とき完全(complete)であると言う。