リュイリエの定理
面積S の三角形の3辺を a, b, c とする。
内接円の半径r の逆数は
1 r = a + b + c 2 S {\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {a+b+c}{2S}}}
3傍接円の半径 rA, rB, rC の逆数は
1 r A = − a + b + c 2 S {\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{A}}}}={\frac {-a+b+c}{2S}}}
1 r B = a − b + c 2 S {\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{B}}}}={\frac {a-b+c}{2S}}}
1 r C = a + b − c 2 S {\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{C}}}}={\frac {a+b-c}{2S}}}
故に逆数和は
1 r A + 1 r B + 1 r C = − a + b + c 2 S + a − b + c 2 S + a + b − c 2 S = a + b + c 2 S = 1 r {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}&={\frac {-a+b+c}{2S}}+{\frac {a-b+c}{2S}}+{\frac {a+b-c}{2S}}\\&={\frac {a+b+c}{2S}}={\frac {1}{r}}\end{aligned}}}
となる。
リュイリエは、彼の著書 (Lhuilier, 1809) において
S = r ⋅ r A ⋅ r B ⋅ r C A {\displaystyle S={\sqrt {r\cdot r_{\text{A}}\cdot r_{\text{B}}\cdot r_{\text{C}}{\vphantom {A}}}}}
であることも示唆している。
これより
r A r B r C = S 2 r {\displaystyle r_{\text{A}}\,r_{\text{B}}\,r_{\text{C}}={\frac {S^{2}}{r}}}
であるから、リュイリエの定理:
1 r A + 1 r B + 1 r C = 1 r {\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}={\frac {1}{r}}}
と辺々掛け合わせると
r B r C + r C r A + r A r B = s 2 {\displaystyle r_{\text{B}}\,r_{\text{C}}+r_{\text{C}}\,r_{\text{A}}+r_{\text{A}}\,r_{\text{B}}=s^{2}}
が得られる。ここで s は △ABC の半周長 (a + b + c)/2 である。この等式は、カール・フォイエルバッハが1822年に得たものである。