二項分布
これは全ての順序付けられた試行パターンについての平均値でもある。
続いて、分散 V[X] は
V [ X ] = E [ X 2 ] − ( E [ X ] ) 2 {\displaystyle V[X]=E{\bigl [}X^{2}{\bigr ]}-{\bigl (}E[X]{\bigr )}^{2}}
上と同様に
E [ X 2 ] = ∑ k = 0 n k 2 P ( X = k ) = ∑ k = 1 n k ( k − 1 ) ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k + ∑ k = 1 n k ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k = ∑ k = 1 n n ! ( n − k ) ! ( k − 2 ) ! p k ( 1 − p ) n − k + E [ X ] = ∑ k = 2 n n ! ( n − k ) ! ( k − 2 ) ! p k ( 1 − p ) n − k + n p = n ( n − 1 ) p 2 ∑ k = 2 n ( n − 2 ) ! ( n − k ) ! ( k − 2 ) ! p k − 2 ( 1 − p ) n − k + n p = n ( n − 1 ) p 2 ∑ k ′ = 0 n − 2 ( n − 2 ) ! ( n − 2 − k ′ ) ! k ′ !