電磁ポテンシャル
マクスウェルの方程式
ゲージ変換
ゲージ不変性
電磁場
アハラノフ=ボーム効果・・・・・・電磁ポテンシャルが物理量であることが示される。
リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル ・・・・・・高速運動する点電荷を扱うためのポテンシャル
スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルはローレンツ変換の下で
A μ ( x ) = ( φ ( t , x ) / c , A ( t , x ) ) {\displaystyle A^{\mu }(x)=(\phi (t,{\boldsymbol {x}})/c,{\boldsymbol {A}}(t,{\boldsymbol {x}}))}
として4元ベクトル的に変換する。ここで c は光速で次元を揃える為の換算係数である。 特に4元ベクトルとしての電磁ポテンシャルは4元ポテンシャルと呼ばれ、相対性理論においては、この4元ポテンシャルで記述される。
ゲージ変換から場の量子論へと発展され、ゲージ理論となった。ゲージ理論としてみると、電磁ポテンシャルは U(1) ゲージ対称性に対するゲージ場である。
静電ポテンシャルは条件式(M0)を満たす関数として導入される。 そこで本章では、電磁場の拘束条件(M1)から、実際に条件(M0)を満たす関数が存在する事を示す。
以下では特に断りがない限り、関数は全て無限回微分可能であるとする。
ポアンカレの補題から、 3次元ベクトル空間上のベクトル場 X ( x ) {\displaystyle {\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}})} に対して
(P1) : ∇ ⋅ X = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {X}}=0} を満たすとき、3次元ベクトル空間上のベクトル値関数 A ( x ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})} が存在して、 X = ∇ × A {\displaystyle {\boldsymbol {X}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}} が成り立つ。
(P2) : ∇ × X = 0 {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {X}}=\mathbf {0} } を満たすとき、3次元ベクトル空間上のスカラー値関数 φ ( x ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}})} が存在して、 X = − ∇ φ {\displaystyle {\boldsymbol {X}}=-\nabla \phi } が成り立つ。
従ってベクトルポテンシャルは波の進行方向(k の方向)と直交している。 さらにこのとき、電磁場は、
E ( x , t ) = − ∂ A ∂ t = i ω A ( x , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {x}},t)=-{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}=i\omega {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}},t)}
B ( x , t ) = ∇ × A = i k × A ( x , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {x}},t)=\nabla \times {\boldsymbol {A}}=i{\boldsymbol {k}}\times {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}},t)}
である。電場の方向はベクトルポテンシャルと平行なので、やはり波の進行方向と直交している。磁場の方向は電場の方向と波の進行方向の両方に直交している。
電磁波は電場と磁場が互いに直交して進む横波である。