全微分
あるいは(h = x − p つまり x = p + h と置いて)
f ( p + h ) = f ( p ) + f ′ ( p ) h + r ( h ) {\displaystyle f(p+h)=f(p)+f'(p)h+r(h)}
と書くとき、誤差項 r(h) が h → 0 の極限において h よりも早く 0 に収束する、すなわち
lim h → 0 | r ( h ) | | h | = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|r(h)|}{|h|}}=0}
が成り立つという意味において函数 f を近似するものである。
この形であれば多変数の F: R → R の場合にも意味を持たせることができる。即ち、h は R のベクトル、F(p + h) − F(p) は R のベクトルであり、またF'(p) は R から R への線型写像である。一変数の実函数 f: R → R の点 p ∈ R における微分係数 f(p) はふつうは数と解釈されるが、それに対して多変数の場合にはこれら線型変換は微分行列 (Ableitungsmatrix), ヤコビ行列あるいは基本行列 (fundamental matrix) などと呼ばれる行列で表される(ここで一次元の場合を振り返れば、1×1-行列はその唯一の成分である数と同一視できるから、一変数の場合とも整合する)。
と簡約することができる。両辺に無限小変分 dt を掛ければ
d f = ∂ f ∂ t d t + ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y {\displaystyle {\mathit {df}}={\frac {\partial f}{\partial t}}{\mathit {dt}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\mathit {dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\mathit {dy}}}
と書くこともできる。最後の式は、df を多変数函数 f の無限小変分と見ることも、線型主要部と見ることもできる。f は t に依存しているのだから、その変分には t に関する f の偏微分からの寄与がいくらかはあるはずであるが、ほかの変数 x, y に関する f の偏微分からの寄与も同様に来るはずである。無限小変分 dt に対する x および y の全微分を考えることにより、無限小変分 dx および dy が求まるから、これらを用いて df への寄与を知ることができる。
フレシェ微分は無限次元空間上で定義される全微分の一般化で、局所線型近似としての全微分の性質を受け継ぐ。
d M d t = ∂ M ∂ t + ∑ i = 1 n ∂ M ∂ p i d p i d t = ( ∂ ∂ t + ∑ i = 1 n d p i d t ∂ ∂ p i ) M {\displaystyle {{\mathit {dM}} \over {\mathit {dt}}}={\frac {\partial M}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial M}{\partial p_{i}}}{\frac {{\mathit {dp}}_{i}}{\mathit {dt}}}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\mathit {dp}}_{i}}{\mathit {dt}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right)M}
と書ける。例えば f(x(t), y(t)) の全微分商は
d f d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t {\displaystyle {\frac {\mathit {df}}{\mathit {dt}}}={\partial f \over \partial x}{{\mathit {dx}} \over {\mathit {dt}}}+{\partial f \over \partial y}{{\mathit {dy}} \over {\mathit {dt}}}}
となる。ここに ∂f⁄∂t の項が現れないのは f が独立変数 t に直接依存していないことによる。