中山の補題
R を単位元 1 をもった可換環とする。Matsumura (1989) で述べられているように、以下が中山の補題である。
主張 1: I を R のイデアルとし、M を R 上有限生成加群とする。IM = M であれば、r ≡ 1 (mod I) であるような r ∈ R が存在して、rM = 0 となる。
これは以下で証明される。
この系である次もまた中山の補題と呼ばれ、最もよく現れるのはこの形においてである。
主張 2: M が R 上有限生成加群で、J(R) が R のジャコブソン根基で、J(R)M = M とすると、M = 0 である。
証明:(上記の様な r に対し)r − 1 はジャコブソン根基に入るので r は可逆である。
より一般的に、次が成り立つ。
主張 3: M が R 上加群で、N が M の部分加群であり、M = N + J(R)M 、M/NがR 上有限生成加群であれば、M = N である。
中山の補題はまたホモロジー代数学においてもいくつかのバージョンがある。上記の全射についてのステートメントは次のことを示すのに使える。
M を局所環上有限生成加群とする。すると M が射影加群であることと自由加群であることは同値である。
これの幾何学的、大域的な対応物は Serre–Swan の定理であり、射影加群と連接層を関係づける。
より一般に、
R を局所環とし M を R 上の有限生成加群とする。このとき M の R 上の射影次元は M のすべての極小自由分解の長さに等しい。さらに、射影次元は M の大域次元に等しく、これは定義によって次を満たす最小の整数 i ≥ 0 である:
Tor i + 1 R  ( k , M ) = 0. {\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(k,M)=0.}
ここで k は R の剰余体であり Tor はTor関手である。
中山の補題は可換環上の有限生成加群は体上のベクトル空間のようであるという解釈を与える。中山の補題の次の結果はこれが正しいような別の解釈を与える。
M が有限生成 R-加群で ƒ: M → M が全射自己準同型であれば、ƒ は同型写像である。
局所環上では、加群の全射についてさらに言えることがある。
R が局所環でその極大イデアルが m であり、M, N は有限生成 R-加群であるとする。φ : M → N が R-線型写像で商 φm : M/mM → N/mN が全射であれば、φ は全射である。
∑ j = 1 n ( φ δ i j − a i j ) x j = 0 {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(\varphi \delta _{ij}-a_{ij}\right)x_{j}=0}
である。求める結果は行列 (φδij − aij) の余因子行列を掛け、クラメルの公式を使うことによって従う。すると det(φδij − aij) = 0 であることがわかるので、求める多項式は
p ( t ) = det ( t δ i j − a i j ) {\displaystyle p(t)=\det(t\delta _{ij}-a_{ij})}
である。
中山の補題をケイリー・ハミルトンの定理から証明するため、IM = M と仮定し、φ を M 上恒等写像であるようにとる。そして上記のように多項式 p(x) を定義する。すると
r = p ( 1 ) = 1 + p 1 + p 2 + ⋯ + p n {\displaystyle r=p(1)=1+p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}}
が所望の性質をもっている。