アーベル多様体の数論
アーベル多様体上には、二次形式である標準的なネロン・テイトの高さ函数が存在して、注目すべき性質を持っている。特に、高さ函数 h は、大まかに言うと、座標の対数的サイズである高さの点を A(K) から取り出すようになっている。
Ap のようなアーベル多様体に対し、局所ゼータ函数の定義が有効である。A 自身のL-函数を得るために、そのような局所ゼータ函数の適切なオイラー積を取る。悪い素数に対しての因子が有限個しかないことを理解することは、A のテイト加群(英語版)(Tate module)を理解する必要があり、テイト加群はエタール・コホモロジー群 H(A) (の双対)であり、それ自身の上への群作用である。この方法により、A のハッセ・ヴェイユのL-函数の自然な定義を得る。一般に、この性質、つまり函数等式は未だに予想の段階であり、まさに特別な場合である谷山志村予想で2001年に証明されたが、驚くほど難しい。
このL-函数のことばで、バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想が提唱されている。特に、この議論は、整数値 s でのL-函数 L(s) についての一般論の興味深い側面となっていて、これを支持する多くの経験的な証拠がある。