線型独立
任意のベクトル v1, v2, ..., vn に対して
0 v 1 + 0 v 2 + ⋯ + 0 v n = 0 {\displaystyle 0{\boldsymbol {v}}_{1}+0{\boldsymbol {v}}_{2}+\dotsb +0{\boldsymbol {v}}_{n}={\boldsymbol {0}}}
である。これを v1, v2, ..., vn の自明な線型関係と呼ぶ。これ以外の線型関係があるかないかで線型従属、線型独立になる。
R の次のベクトルは線型従属である。
[ 1 4 2 − 3 ] , [ 7 10 − 4 − 1 ] , [ − 2 1 5 − 4 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}
実際、線型関係式
λ 1 [ 1 4 2 − 3 ] + λ 2 [ 7 10 − 4 − 1 ] + λ 3 [ − 2 1 5 − 4 ] = [ 0 0 0 0 ] {\displaystyle \lambda _{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}
において、λ3 を任意として
λ 1 = − 3 λ 3 / 2 λ 2 = λ 3 / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=-3\lambda _{3}/2\\\lambda _{2}&=\lambda _{3}/2\end{aligned}}}
とすれば非自明な関係を得る。