半直積
によって与えられる準同型とする。すると G は半直積 N ⋊ φ H {\displaystyle N\rtimes _{\varphi }H} に同型である。同型写像は積 nh を対 (n,h) に送る。G において次が成り立ち
( n 1 h 1 ) ( n 2 h 2 ) = n 1 h 1 n 2 h 1 − 1 h 1 h 2 = ( n 1 φ h 1 ( n 2 ) ) ( h 1 h 2 ) {\displaystyle (n_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}h_{1}^{-1}h_{1}h_{2}=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}))(h_{1}h_{2})}
これは上の写像が確かに同型であることを示しておりまた N ⋊ φ H {\displaystyle N\rtimes _{\varphi }H} の乗法の規則の定義の説明もしている。
直積は半直積の特別な場合である。これを見るためには、φ を自明な準同型、すなわち H のすべての元を N の恒等自己同型に送るものとしよう。すると N ⋊ φ H {\displaystyle N\rtimes _{\varphi }H} は直積 N × H {\displaystyle N\times H} である。
直積群は半直積群でもある。