重根 (多項式)
たとえば、二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} ( a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} ) の根を α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } とすると、根と係数の関係により
α + β = − b a , {\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},}
α β = c a {\displaystyle \alpha \beta ={\frac {c}{a}}}
が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は
( α − β ) 2 = ( α + β ) 2 − 4 α β = ( − b a ) 2 − 4 × c a = b 2 − 4 a c a 2 {\displaystyle (\alpha -\beta )^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta =\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4\times {\frac {c}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}
となる。 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} より a 2 > 0 {\displaystyle a^{2}>0} であるので、実用上は分母を掃った b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} を判別式として用いることが多い。
多項式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の根を α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} , α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} , ..., α n {\displaystyle \alpha _{n}} とし、その全体から作られる最簡交代式(差積)の平方
D f := ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α i − α j ) 2 {\displaystyle D_{f}:=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}
を多項式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} あるいは方程式 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} の判別式(はんべつしき、discriminant)という。
これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が 0 {\displaystyle 0} であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。
これは、
差積の平方が根に関する対称式となること
対称式が基本対称式で表すことができること
根の基本対称式が方程式の係数によって記述されること(根と係数の関係)
によって保証される。