弱位相
この為、ノルム位相の事をXの強位相(英: strong topology)ともいう。
Xの係数体K( = R , C {\displaystyle =\mathbb {R} ,~\mathbb {C} } )の位相はK上の絶対値をノルムと見なしたときのノルム位相と一致する事から、弱位相を以下のようにも特徴づけられる:
定理 ― α ∈ Xに対しX上のセミノルム ‖ ⋅ ‖ α {\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }} を
‖ x ‖ α = def | α ( x ) | {\displaystyle \|x\|_{\alpha }{\overset {\text{def}}{{}={}}}|\alpha (x)|}
により定義すると、X上の弱位相はセミノルムの族 ( ‖ ⋅ ‖ α ) α ∈ X ∗ {\displaystyle (\|\cdot \|_{\alpha })_{\alpha \in X^{*}}} により誘導される位相と一致する。
よって特に、Xに弱位相を入れた空間は局所凸である。したがって弱位相は最も粗い極位相(弱位相 (極位相)を参照)でもある。
命題 ― K、X、Y、L(X,Y)を上の定義と同様に取る。
このとき、x ∈ X、α ∈ Yに対しL(X,Y)上のセミノルムを
‖ T ‖ x , α = | α ( T ( x ) ) | {\displaystyle \|T\|_{x,\alpha }=|\alpha (T(x))|}
により定義すると、L(X,Y)上の弱作用素位相はセミノルムの族 ( ‖ ⋅ ‖ x , α ) x ∈ X , α ∈ Y ∗ {\displaystyle (\|\cdot \|_{x,\alpha })_{x\in X,\alpha \in Y^{*}}} が定める位相と一致する。
連続線形写像の空間L(X,Y)上には弱作用素位相以外にも強作用素位相、*弱作用素位相(英語版)など複数の位相が入る。詳細は作用素位相を参照されたい。