3j記号
3j記号の対称性は、クレブシュ-ゴルダン係数よりも便利である。3j記号は、列の偶置換に対して不変である。
( j 1 j 2 j 3 m 1 m 2 m 3 ) = ( j 2 j 3 j 1 m 2 m 3 m 1 ) = ( j 3 j 1 j 2 m 3 m 1 m 2 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}
奇置換では、位相因子が現れる。
( j 1 j 2 j 3 m 1 m 2 m 3 ) = ( − 1 ) j 1 + j 2 + j 3 ( j 2 j 1 j 3 m 2 m 1 m 3 ) = ( − 1 ) j 1 + j 2 + j 3 ( j 1 j 3 j 2 m 1 m 3 m 2 ) .
ウィグナーの3j記号あるいは3jm記号は、クレブシュ-ゴルダン係数を用いて次のように表される係数である。
( j 1 j 2 j 3 m 1 m 2 m 3 ) ≡ ( − 1 ) j 1 − j 2 − m 3 2 j 3 + 1 ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | j 3 ( − m 3 ) ⟩ . {\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .}