レヴィ・チヴィタ接続
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John M. Lee (1997/9/23). Riemannean Manifolds An introduction to curvature.
, Y s ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla _{X}T)(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}):=&XT((\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}))\\&-\sum _{i=1}^{r}T((\alpha _{1},\ldots ,\nabla _{X}\alpha _{i},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}))\\&-\sum _{j=1}^{s}T((\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r},Y_{1},\ldots ,\nabla _{X}Y_{j},\ldots ,Y_{s}))\end{aligned}}}
を満たす(r,s)-テンソル場 ∇ X T {\displaystyle \nabla _{X}T} が存在する。 ∇ X T {\displaystyle \nabla _{X}T} をベクトル場XによるTの共変微分という。
また微分形式に関しては
⋀ i T ∗ M ⊂ ⨂ i T ∗ M {\displaystyle \bigwedge _{i}T^{*}M\subset \bigotimes _{i}T^{*}M}
と見なすことによりテンソル積の共変微分を用いて微分形式の共変微分を定義できる。
M上のベクトル場Xの発散を以下のように定義する:
定理・定義 ―
δ X ♭ = − 1 | d e t g | ∂ ∂ x i ( | d e t g | X i ) {\displaystyle \delta X^{\flat }=-{1 \over {\sqrt {|\mathrm {det} g|}}}{\partial \over \partial x^{i}}({\sqrt {|\mathrm {det} g|}}X^{i})}
は
( Y ↦ − ∇ Y X {\displaystyle Y\mapsto -\nabla _{Y}X} )のトレース = − ∂ X i ∂ x i − ∑ j Γ i i j X j {\displaystyle =-{\partial X^{i} \over \partial x^{i}}-\sum _{j}\Gamma ^{i}{}_{ij}X_{j}}
と等しい。この値を d i v X {\displaystyle \mathrm {div} X} と書き、Xの発散(英: divergence)という。
ここでδは余微分であり、「 ♭ {\displaystyle \flat } 」は計量gによるTMとTMの同型写像である。
発散のマイナスの符号は規約の問題で、ここに述べたものからマイナスの符号を取ったものを発散と呼ぶこともある。