数学的帰納法
仮定として P(k) だけでなく P(1) から P(k − 1) までのすべて(もしくは一部)を用いる。これを完全帰納法(英: complete induction、これは同じく完全帰納法と訳される perfect induction とは別物)もしくは累積帰納法(英: course of values induction)という。
任意の自然数 k をとったとき、k より真に小さなすべての自然数 m に対して P(m) が真であれば、P(k) も真である。
よって任意の自然数 n について P(n) は真である。
初期の例としては、プラトンによるパルメニデス(紀元前 370年)において暗黙に帰納法を使用した証明がみられる。また数学的帰納法としての痕跡は、素数が無限個あることを示したユークリッドの証明や、バースカラ2世による "cyclic method(英語版)" に見ることができる。通常とは逆に、パラメータとなる自然数が減少していく逐次的な論法は、砂山のパラドックスにみられる。つまり、10,000粒の砂粒が砂山を形成し、そこから一粒の砂を取り除いても砂山が残るならば、一粒だけ残った砂(或いは全ての粒を取り去った後)でもなお砂山を形成するといえる。
等差数列について暗黙に数学的帰納法を用いた証明は、紀元 1000年ごろにアル=カラジ(英語版)による "al-Fakhri" に扱われている。アル=カラジは二項定理やパスカルの三角形を示すのに数学的帰納法を用いた。
しかし、これらの古代の数学者たちは帰納法の仮定を明示することはしていない。
数学的帰納法の原理を説明する前に、まず前述した直観的説明のどこにギャップがあったのかを説明する。前述の説明では、まず我々は P(1) を結論づけ、次に (a), (b) から P(2) を結論づけ、さらにそれと (c) を組み合わせることで P(3) を結論づけ、さらにそれと(d)を組み合わせることで P(4) を結論づけた。以上の議論から分かるように、P(2) を結論づける為には2ステップの推論、P(3) を結論づけるには3ステップの推論、...、P(100) を結論づけるには100ステップの推論が必要となる。
従って有限回のステップでは有限個の n に対してしか P(n) を結論づけることができず、「無限個ある自然数全てに対して P(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論について有限の長さの証明が与えられたとはいえない。これが前述した直観的説明におけるギャップである。
そこで、ペアノ算術などの形式的な体系では、数学的帰納法を証明に用いてよいことが公理として仮定されるのが普通である。つまり、形式的には、自然数の性質から数学的帰納法の正しさが証明できるのではなく、逆に自然数の本質的な性質を与える推論規則として数学的帰納法が仮定される、ということになる。