正則ベクトル束
実際,u = (e1, ..., en) が正則枠であるとき, h i j = ⟨ e i , e j ⟩ {\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle } とし, ωu を等式 ∑ h i k ( ω u ) j k = ∂ h i j {\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}} によって定義する.この等式をより単純に次のように書く:
ω u = h − 1 ∂ h . {\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\partial h.}
u′ = ug を基底の正則な変換 g による別の枠とすると,
ω u ′ = g − 1 d g + g ω u g − 1 {\displaystyle \omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1}}
であり,したがって ω は確かに接続形式であって,∇s = ds + ω · s によって ∇ を生じる.今, ω ̄ T = ∂ ̄ h ⋅ h − 1 {\displaystyle {\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}} であるから,
d ⟨ e i , e j ⟩ = ∂ h i j + ∂ ̄ h i j = ⟨ ω i k e k , e j ⟩ + ⟨ e i , ω j k e k ⟩ = ⟨ ∇ e i , e j ⟩ + ⟨ e i , ∇ e j ⟩ .