コーシーの函数方程式
Q 上の線型性証明の議論は、任意の実数 α を用いてスケール変換した Q のコピー αQ ≔ {αq | q ∈ Q} に対する函数 f: αQ → R でも有効である。つまり、そのような集合に f の定義域を制限すれば線型解に限られ、したがって一般に任意の q ∈ Q と任意の α ∈ R に対して f(qα) = qf(α) が成り立つ。しかし以下に示すように、実数体 R を有理数体 Q 上のベクトル空間と見ることにより、これら Q-線型解に基づいて極めて病的な解 f: R → R を見つけることができる。ただし注意すべきは、これが非構成的方法であることである。それはツォルンの補題によって示される、任意のベクトル空間に基底が存在することを用いた議論だからである。
さて、任意のベクトル空間は基底を持つのだから、実数体 R にも Q 上のベクトル空間としての基底が存在する。それは部分集合 B ⊂ R であって、各 x ∈ R に対して B の適当な有限部分集合 {xi}i∈I (つまり |I| ≤ א0) が存在して、何れも非零な定数 λi ∈ Q を用いて x = ∑i∈I λi⋅xi の形に一意的に表すことができるという性質を持つものである。