行列要素
リー群の表現の行列要素を初めて考えたのはエリ・カルタンである。ゲルファントは、多くの古典的特殊函数と直交多項式をリー群 G の表現の行列要素として表すことを実現した。この記述はそれまでに知られていた特殊函数の全く異なる性質、例えば加法公式、ある種の漸化式、直交関係式、積分表現、微分作用素に関する固有値などについて、統一的な枠組みを与えるものであった。数理物理に現れる特殊函数、例えば三角函数、超幾何級数とその一般化、ルジャンドルおよびヤコビ(英語版)の直交多項式、ベッセル函数などは何れもリー群の表現の行列要素として生じる。代数幾何学および数論において重要な、テータ函数および実解析的アイゼンシュタイン級数は、この方法で実現することができる。