外微分
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \sigma &=\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x+\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} y\\&={\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial u}{\partial y}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} x+{\frac {\partial v}{\partial x}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial v}{\partial y}}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} y\\&=0-{\frac {\partial u}{\partial y}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+{\frac {\partial v}{\partial x}}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+0\\&=\left({\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.\end{aligned}}}
外微分 d は d = 0 という性質をもつので、それを多様体上のド・ラームコホモロジーを定義する微分(双対境界写像)として使うことができる。k-次ド・ラームコホモロジー(群)は完全 k 形式を法とした閉 k-形式のなすベクトル空間である。直前の節で述べたように、ポワンカレの補題はこれらのベクトル空間が k > 0 に対して可縮領域に対して自明であることを述べている。滑らかな多様体に対して、形式の共通部分はド・ラームコホモロジーから R 上の特異コホモロジーへの自然な準同型を与える。ド・ラームの定理はこの写像が実は同型であることを示しており、ポワンカレの補題の遠大な一般化である。一般化されたストークスの定理によって示唆されているように、外微分は特異単体上の境界写像の「双対」である。