ベルヌーイ多項式
ベルヌーイ多項式列は
∫ x x + 1 B n ( u ) d u = x n {\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}}
で決定される唯一の多項式列である。
多項式 f の上に定義される積分変換
( T f ) ( x ) = ∫ x x + 1 f ( u ) d u {\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}
は、以下の単純な和
( T f ) ( x ) = e D − 1 D f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ D n ( n + 1 ) ! f ( x ) = f ( x ) + f ′ ( x ) 2 + f ′′ ( x ) 6 + f ′′′ ( x ) 24 + ⋯ . {\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots ~.\end{aligned}}}
である。これは、反転公式の導出に利用できる。