平衡点
ここで、σ, r, b は t に依存しない定数(パラメータ)である。ローレンツ方程式の1つの平衡点は
( x y z ) = ( 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}
で、この原点の平衡点はパラメータの値に依存せずに常に存在する。さらに r > 1, b > 0 の条件下で、原点の平衡点 に加え、次の2つの平衡点が存在する。
( x y z ) = ( b ( r − 1 ) b ( r − 1 ) r − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {b(r-1)}}\\{\sqrt {b(r-1)}}\\r-1\end{pmatrix}}}
( x y z ) = ( − b ( r − 1 ) − b ( r − 1 ) r − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\sqrt {b(r-1)}}\\-{\sqrt {b(r-1)}}\\r-1\end{pmatrix}}}
アンリ・ポアンカレは、次のような2次元自励線形微分方程式の平衡点を、平衡点近傍の解軌道の振る舞いにもとづき分類した。
{ d x d t = a x + b y d y d t = c x + d y {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=ax+by\\{\dfrac {dy}{dt}}=cx+dy\end{cases}}}
この場合、原点 xe = o が常に平衡点である。この系の係数行列を
A = ( a b c d ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
とし、A の固有値を λ1 および λ2 とする。 λ1 と λ2 の値によって、平衡点 xe は次のように分類される。
平衡点の分類
結節点(安定結節点)
結節点(安定結節点、スターノード)
結節点(不安定結節点)
結節点(不安定結節点、スターノード)
鞍状点
渦状点(渦状沈点)
渦状点(渦状源点)
渦心点