ユークリッドの運動群
ユークリッドの運動群はアフィン変換群の部分群である。
ユークリッドの運動群 E(n) の部分群として、平行移動群 T(n) と直交群 O(n) があり、また E(n) の任意の元は平行移動に続いて直交変換(変換の線型部)したものとして
x ↦ A ( x + b ) {\displaystyle x\mapsto A(x+b)}
(ここで A は直交行列である)あるいは直交変換後に平行移動した
x ↦ A x + b {\displaystyle x\mapsto Ax+b}
としてそれぞれ一意的に表すことができる。部分群 T(n) は E(n) の正規部分群、即ち任意の平行移動 t と任意の等長変換 u に対して
utu
もまた平行移動となる(変位の言葉で言えば、u は t の変位の上に作用する。平行移動は変位に影響を与えないから、この変異は t に変換の線型部を適用した結果と一致する)。