環上の射影直線
と書けるから、
U ( a , 1 ) ( v 0 0 u ) = U ( a v , u ) ∼ U ( u − 1 a v , 1 ) {\displaystyle U(a,1){\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}=U(av,u)\thicksim U(u^{-1}av,1)}
であり、特に A 上の内部自己同型は P(A) まで拡張できる。u は任意だから、u で置き換えれば、写像 a ↦ uav も射影変換に拡張できる。一般に、
U ( z , 1 ) ( a c b d ) = U ( z a + b , z c + d ) ∼ U ( ( z c + d ) − 1 ( z a + b ) , 1 ) . {\displaystyle U(z,1){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U(za+b,zc+d)\thicksim U((zc+d)^{-1}(za+b),1).}
が成り立つので、P(A) 上の射影変換は一次分数変換 (linear-fractional transformation) と呼ばれる。