3囚人問題
結論を述べるためにまず記号を定義し、簡単な考察をする。「Aが恩赦になる」、「Bが恩赦になる」、「Cが恩赦になる」という事象を略記してそれぞれA、B、Cと書き、「看守が「Bは死刑になる」と答える」という事象をbとする。
看守はA自身が死刑になるか否かを答えないのであるから、恩赦になるのがBの場合、看守は必ず「Cは死刑になる」と答える。同様の理由により、恩赦になるのがCの場合、看守は必ず「Bは死刑になる」と答える。すなわち、
Pr [ b ∣ B ] = 0 , Pr [ b ∣ C ] = 1 {\displaystyle \Pr[b\mid B]=0,~~~\Pr[b\mid C]=1} ...1
である。
しかし恩赦を受けるのがA自身であるケースでは、看守は「Bは死刑になる」という回答と「Cは死刑になる」という回答のいずれを答えるか任意に選ぶ事ができる。すなわち、
Pr [ b ∣ A ] {\displaystyle \Pr[b\mid A]}
がいくつになるのかは3囚人問題のセッティングのみからは決まらず、看守の性格や思考等に依存して決まる。実は看守の答えを聞いて囚人Aが喜んだのが正しいか否かは、この Pr [ b ∣ A ] {\displaystyle \Pr[b\mid A]} がどのような値になるのかに依存して異なる。
これをみるために「Bは死刑になる」と看守から聞いた後Aが恩赦になる事後確率 Pr [ A ∣ b ] {\displaystyle \Pr[A\mid b]} を求める。
上ではA、B、Cが恩赦を受ける確率はいずれも1/3である事を仮定し、 Pr [ b ∣ A ] = 1 2 {\displaystyle \Pr[b\mid A]={1 \over 2}} なら囚人が喜んだのは間違っている事を見た。
しかし例えば、恩赦になる確率だけをそれぞれA=1/4、B=1/4、C=1/2に変えると、( Pr [ b ∣ A ] = 1 2 {\displaystyle \Pr[b\mid A]={1 \over 2}} であっても)看守が「Bは死刑になる」と答えることでAの恩赦確率は1/5とかえって低下してしまう。