冪剰余記号
n {\displaystyle {\mathit {n}}} 次の冪乗剰余記号は、ヒルベルト記号とも関連している。 ( ⋅ , ⋅ ) p {\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{\mathfrak {p}}} を素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に対して
( α p ) n = ( π , α ) p {\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=(\pi ,\alpha )_{\mathfrak {p}}}
p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} は n {\displaystyle {\mathit {n}}} と互いに素、ここで π {\displaystyle \pi } は局所体 K p {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}} の素元とする。
上の右辺に出現した1の冪根は、 O k {\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}} における n {\displaystyle {\mathit {n}}} 乗剰余記号と呼ばれ、以下の記号で示される。
( α p ) n = ζ n s ≡ α N p − 1 n mod p . {\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\zeta _{n}^{s}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\bmod {\mathfrak {p}}}.}
n {\displaystyle n} 次のヤコビ記号はヤコビ記号がルジャンドル記号を拡張するのと同じ方法で、素イデアルまたはゼロ以外の元を「分母」として使用するように、冪乗剰余記号を拡張できる。
任意のイデアル a ⊂ O k {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}} は素イデアルの積に表され、その方法は一意的である。
a = p 1 ⋯ p g . {\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{g}.}
n {\displaystyle n} 次のヤコビ記号はこれを利用して乗法的に定義される:
( α a ) n = ( α p 1 ) n ⋯ ( α p g ) n . {\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)_{n}\cdots \left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{g}}}\right)_{n}.}
0 ≠ β ∈ O k {\displaystyle 0\neq \beta \in {\mathcal {O}}_{k}} に対しては、
( α β ) n := ( α ( β ) ) n , {\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}:=\left({\frac {\alpha }{(\beta )}}\right)_{n},}