ストーン双対性
このようなptを実現する為、いくつかの概念を定義し、ptの「逆写像」にあたる関手Ω(X )の性質を調べる。 一点集合を任意に固定し、これを1と表記する。さらに1の唯一の元をe とし、1 に離散位相を入れる。すると1 上の開集合全体の集合 Ω ( 1 ) = { ∅ , 1 } {\displaystyle \Omega (\mathbf {1} )=\{\emptyset ,\mathbf {1} \}} は2元のみからなるハイティング代数になる。以下このハイティング代数Ω(1 )の事を「2」と表記する。 ∅ {\displaystyle \emptyset } はハイティング代数2の最小元なので、以下 ∅ {\displaystyle \emptyset } の事を0とも表記する。
さてX をsober空間とし、F = Ω(X )とする。X の点x ∈ X に対し、一点写像 px : 1 → X をpx(1) = x となる写像とする。するとsober空間X 上の点とe からX への写像pxは明らかに1対1で対応する。また1 からX への写像px : 1 → X には空間的完備ハイティング代数間の写像Ω(px) : F → Ω(E ) = 2 が対応する。以上の考察からX の各点に射F → 2が対応する。
しかもX の開集合O とx ∈X に対しf = Ω(px)とすると、