エネルギー演算子
粒子のエネルギー保存に関する古典的な方程式を用いる:
E = H = T + V {\displaystyle E=H=T+V}
ここで E は粒子の全エネルギー、H はハミルトニアン、T は運動エネルギー、V はポテンシャルエネルギーである。エネルギー演算子とハミルトニアン演算子に置換し、
E ^ = H ^ {\displaystyle {\hat {E}}={\hat {H}}}
波動関数を掛けることで、シュレーディンガー方程式を得る:
E ^ Ψ = H ^ Ψ {\displaystyle {\hat {E}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }
これは次のように書き直せる:
i ħ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) = H ^ Ψ ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}
ここで i は虚数単位、ħ は換算プランク定数、ˆH はハミルトニアン演算子である。