コルモゴロフの拡張定理
数学の測度論におけるコルモゴロフの拡張定理(コルモゴロフのかくちょうていり、英: Kolmogorov extension theorem)とは、全ての自然数n に対して、n次元ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} のボレル集合体 B ( R n ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})} 上の測度 m n {\displaystyle m_{n}} が定義され、その測度列 ( m n ) n ∈ N {\displaystyle (m_{n})_{n\in \mathbb {N} }} が両立条件を満たしている(順に拡張されている)ならば、測度 m n {\displaystyle m_{n}} は可算無限直積 R ∞ {\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }} 上に一意に拡張できることを述べた定理である。
つまり、自然数n に対して
測度空間 ( R n , B ( R n ) , m n ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),m_{n})}
m ( A × R ∞ ) = m n ( A ) ( A ∈ B ( R n ) ) {\displaystyle m(A\times \mathbb {R} ^{\infty })=m_{n}(A)\quad (A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}
を満たすものが一意に存在する。ここで、 A ⊂ R n {\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}} を R ∞ {\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }} に埋め込んだ集合 A × R ∞ ⊂ R ∞ {\displaystyle A\times \mathbb {R} ^{\infty }\subset \mathbb {R} ^{\infty }} を A の筒集合(柱状集合、英: cylinder set)という。
ロシア(ソビエト)の数学者アンドレイ・コルモゴロフの名に因む。
本定理により、コイントスやさいころを何回も投げるといった反復試行の確率を、無限回の操作に対しても考えることができる。