多角数定理
十分大きな N に対してのみ証明する。m ≥ 5, N ≥ 108(m - 2) とすれば
8 N m − 2 − 8 − 6 N m − 2 − 3 > 3.86 > 23 6 {\displaystyle {\sqrt {{\frac {8N}{m-2}}-8}}-{\sqrt {{\frac {6N}{m-2}}-3}}>3.86>{\frac {23}{6}}}
であるから
0 < 1 2 + 6 N m − 2 − 3 < 2 d ± 1 < 2 3 + 8 N m − 2 − 8 {\displaystyle 0<{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {6N}{m-2}}-3}}<2d\pm 1<{\frac {2}{3}}+{\sqrt {{\frac {8N}{m-2}}-8}}}
となる二個の奇数 2d ± 1 が存在する。 N ≡ b + r (mod m - 2) となるように
b ∈ { 2 d ± 1 } , r ∈ { e ∈ Z | 0 ≤ e ≤ m − 4 } {\displaystyle b\in \{2d\pm 1\},\ r\in \{e\in \mathbb {Z} |0\leq {e}\leq {m-4}\}}
を選び、
a = 2 ( N − b − r m − 2 ) + b {\displaystyle a=2\left({\frac {N-b-r}{m-2}}\right)+b}
とする。a, b は共に奇数であるから、4a - b ≡ 4 - 1 ≡ 3 (mod 8) であり、三平方和定理により、
4 a − b 2 = x 2 + y 2 + z ′ 2 {\displaystyle 4a-b^{2}=x^{2}+y^{2}+z'^{2}\,}
となる三個の奇数 x ≥ y ≥ z′≥ 0 が存在する。b + x + y - z ≡ 0 (mod 4) となるように z = ± z′の符号を決め、
w 1 = b + x + y − z 4 {\displaystyle w_{1}={\frac {b+x+y-z}{4}}}
w 2 = w 1 − y − z 2 = b + x − y + z 4 {\displaystyle w_{2}=w_{1}-{\frac {y-z}{2}}={\frac {b+x-y+z}{4}}}
w 3 = w 1 − x − z 2 = b − x + y + z 4 {\displaystyle w_{3}=w_{1}-{\frac {x-z}{2}}={\frac {b-x+y+z}{4}}}
w 4 = w 1 − x + y 2 = b − x − y − z 4 {\displaystyle w_{4}=w_{1}-{\frac {x+y}{2}}={\frac {b-x-y-z}{4}}}
とすれば
w 1 + w 2 + w 3 + w 4 = b {\displaystyle w_{1}+w_{2}+w_{3}+w_{4}=b\,}
w 1 2 + w 2 2 + w 3 2 + w 4 2 = b 2 + x 2 + y 2 + z 2 4 = a {\displaystyle w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}+w_{4}^{2}={\frac {b^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4}}=a}