円周率が22/7より小さいことの証明
1 16 ∫ 0 1 x 12 ( 1 − x ) 12 1 + x 2 d x = 431 302 721 137 287 920 − π {\displaystyle {\frac {1}{16}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{12}(1-x)^{12}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-\pi }
および
1 32 ∫ 0 1 x 12 ( 1 − x ) 12 d x = 1 2 163 324 800 {\displaystyle {\frac {1}{32}}\int _{0}^{1}x^{12}(1-x)^{12}\,dx={\frac {1}{2\,163\,324\,800}}}
より
431 302 721 137 287 920 − 2 2 163 324 800 < π < 431 302 721 137 287 920 − 1 2 163 324 800 {\displaystyle {\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-{\frac {2}{2\,163\,324\,800}}<\pi <{\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-{\frac {1}{2\,163\,324\,800}}}
すなわち 3.141 592 653 40... < π < 3.141 592 653 86... となり、π の近似値を小数点以下第9位まで得る。
次に n = 4 の場合は、
Backhouse (1995) や Lucas (2005) で示唆されているように、ここまでの議論は一般化される(ただし、どちらの文献も詳しい計算は含んでいない)。任意の正整数 n に対して
1 2 2 n − 1 ∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n d x < 1 2 2 n − 2 ∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n 1 + x 2 d x < 1 2 2 n − 2 ∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n d x , {\displaystyle {\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx,}
が成り立ち、第二の積分は
1 2 2 n − 2 ∫ 0 1 x 4 n ( 1 − x ) 4 n 1 + x 2 d x = ∑ j = 0 2 n − 1 ( − 1 ) j 2 2 n − j − 2 ( 8 n − j − 1 ) ( 8 n − j − 2 4 n + j ) + ( − 1 ) n ( π − 4 ∑ j = 0 3 n − 1 ( − 1 ) j 2 j + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx\\&\qquad =\sum _{j=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}(8n-j-1){\binom {8n-j-2}{4n+j}}}}+(-1)^{n}{\biggl (}\pi -4\sum _{j=0}^{3n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2j+1}}{\biggr )}\end{aligned}}}