ガロア拡大
エミール・アルティンの重要な定理により、有限拡大 E/F に対し、以下の各ステートメントは E/F がガロア拡大であるというステートメントと同値である:
E/F は正規拡大かつ分離拡大である。
E は F に係数を持つ分離多項式の分解体である。
|Aut(E/F)| = [E:F], つまり、自己同型の個数は拡大次数と等しい。
他の同値なステートメントとして以下がある:
F[x] の既約多項式で E に少なくとも 1 つの根をもつものはすべて E 上分解しかつ分離的である。
|Aut(E/F)| ≥ [E:F], つまり、自己同型の個数は拡大次数以上である。
F は Aut(E) の部分群の固定体である。
F は Aut(E/F) の固定体である。
E/F の部分体と Aut(E/F) の部分群の間には1対1の対応がある。