レトラクト (位相幾何学)
正規空間のような様々なクラス C {\displaystyle {\mathcal {C}}} がこの定義において考えられてきたが,距離化可能空間のクラス M {\displaystyle {\mathcal {M}}} が最も満足のいく理論を与えることが分かっている.そのため,ノーテーション AR と ANR それら自身は本項で A R ( M ) {\displaystyle AR({\mathcal {M}})} と A N R ( M ) {\displaystyle ANR({\mathcal {M}})} を意味するために用いられる.
距離化可能空間が AR であることと可縮かつ ANR であることは同値である.Dugundji(英語版) によって,すべての局所凸距離化可能線型位相空間 V は AR である;より一般に,そのようなベクトル空間 V のすべての空でない凸部分集合は AR である.例えば,任意のノルム空間(完備であってもなくても)は AR である.より具体的に,ユークリッド空間 R, 単位立方体(英語版) I, ヒルベルト立方体 I は AR である.
ANR たちは「行儀のよい」位相空間の注目すべきクラスをなす.それらの性質のいくつかは:
ANR のすべての開部分集合は ANR である.
Hanner(英語版) により,ANR による開被覆を持つ距離化可能空間は ANR である.(つまり,距離化可能空間に対して,ANR であることは局所的な性質(英語版)である.)任意の位相多様体は ANR であることが従う.例えば,球面 S は ANR であるが AR ではない(可縮でないので).