中点連結定理
以下において、∥ は 2 つの線分が平行であることを表す。
三角形 ABC について、辺 AB の中点を M, 辺 AC の中点を N とする。このとき、三角形 ABC の中点連結MN は、底辺BC と平行であり、かつ 中点連結MN の長さを 2 倍すると、底辺BC の長さに等しくなることを示し、中点連結定理が成り立つことを証明する。
証明 — 線分 MN の延長上に、補助点 D をとって、 MN = ND とする。 ここで、MN = ND, AN = NC であり、四角形 AMCD の対角線は各々の中点 N で交わることから、平行四辺形AMCDが成立する。平行四辺形の定義より AM ∥ CD、平行四辺形の対辺の性質より AM = CD が明らかになる。ところが、M は 辺AB の中点であることから AM = MB であることを用いると、MB= CD となり、MB ∥ CD とから、一組の対辺が平行かつ等長であることから 平行四辺形 MBCD が成立する。平行四辺形の定義より、他方の辺の組についても互いに平行であること MD ∥ BC から MN ∥ BC が成り立つ。
中点連結定理(ちゅうてんれんけつていり、英: midpoint theorem, midpoint connector theorem)とは、平面幾何の定理の一つ。