岩澤理論
岩澤理論では、有限次代数体の Zp 拡大(Zp-extension)というものを考える。素数 p と有限次代数体 F に対して、体の拡大 F∞/F が Zp 拡大であるとは、これがガロア拡大であって、そのガロア群 Gal(F∞/F) が p 進整数環 Zp の加法群と位相群として同型であることをいう。Zp 拡大のガロア群は Γ ≔ Gal(F∞/F) と書かれ、アーベル群ではあるが乗法的に記される。n を非負整数としたとき、Zp には p の倍数たちからなる有限指数の開部分群があるので、Γ にもそのような部分群がある。これは Γ と Zp の同型の取り方によらない。この部分群を Γn と書く。Γn にガロア対応する F∞ の部分体を Fn と書き、Zp 拡大 F∞/F の第 n 層(n-th layer)という。これは F∞/F の中間体で、F 上 p 次である唯一のものであり、F 上の巡回拡大である。Fn たちは体の塔(拡大列)
F = F 0 ⊂ F 1 ⊂ ⋯ ⊂ F n ⊂ ⋯ ⊂ F ∞ = ∪ n F n {\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset \cdots \subset F_{n}\subset \cdots \subset F_{\infty }=\cup _{n}F_{n}}
を構成する。代数体 F に Zp 拡大を与えることと、このような Fn の拡大列を与えることは同値である。