クラスター代数
シード(種)には変異と呼ばれる変化があり異なるシード(種)に変わる。この変異は、団(クラスター)の要素(箙で言えば頂点)の1つ選択するとそれに応じて決まる。この新たに生じるシード(種)は、傾斜の一般化によって得られるが、それは次のような規則での交換行列Bの要素の変化と団(クラスター){x, y, ...}との変化からなる。変異を定める団(クラスター)の要素(箙の頂点)をyとする。交換行列Bの変化は次の通り。団(クラスター)内のすべてのxについて、bx,yおよびby,xの値を交換する。y以外の団(クラスター)の要素x,zについて、 bx,y > 0 かつ by,z > 0である場合には、bx,z を bx,yby,z + bx,zに置き換える。bx,y < 0かつby,z < 0である場合には、bx,z を -bx,yby,z + bx,zに置き換える。それ以外の場合(bx,y by,z ≤ 0の場合)には、bx,z は変えない。最後に、団(クラスター){x, y, ...}の変化を説明する。 yを新しい生成要素wに、次のように置き換える。y以外の要素は変えない。
w y = ∏ t : b t , y > 0 t b t , y + ∏ t : b t , y < 0 t − b t , y {\displaystyle wy=\prod _{t:\,b_{t,y}>0}t^{b_{t,y}}+\prod _{t:\,b_{t,y}<0}t^{-b_{t,y}}}