トゥシャール多項式
}t^{n}=e^{x\left(e^{t}-1\right)}}
である。これは第二種スターリング数の母関数に対応し、 においては指数多項式と呼ばれている。周回積分の表現を使えば
T n ( x ) = n ! 2 π i ∮ e x ( e t − 1 ) t n + 1 d t {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{x({e^{t}}-1)}}{t^{n+1}}}\,dt}
となる。トゥシャール多項式(そして関連するベル数)は、上の積分の実部を用いて、非整数次の次の形に一般化することが出来る。
T n ( x ) = n ! π ∫ 0 π e x ( e cos  ( θ ) cos  ( sin  ( θ ) ) − 1 ) cos  ( x e cos  ( θ ) sin  ( sin  ( θ ) ) − n θ ) d θ {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n!}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x{\bigl (}e^{\cos(\theta )}\cos(\sin(\theta ))-1{\bigr )}}\cos {\bigl (}xe^{\cos(\theta )}\sin(\sin(\theta ))-n\theta )\,\mathrm {d} \theta }