次数付き環
環 R 上の代数 A は環として次数付きのときに次数付き多元環(次数付き代数、graded algebra)である。
R が次数付きでないような一般の場合には(特に R が体であるとき)、自明な次数付けが与えられている(R のすべての元は次数 0 である)と考える。したがって R ⊆ A0 であり各 Ai は R 加群である。
環 R が次数付き環でもあるような場合には、次のことを要求する。
A i R j ⊆ A i + j {\displaystyle A_{i}R_{j}\subseteq A_{i+j}}
および
R i A j ⊆ A i + j {\displaystyle R_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}} .
言い換えると、A が R 上左かつ右次数付き加群であることを要求する。
次数付き多元環の例は数学においてよく現れる。
多項式環。次数 n の斉次元はちょうど次数 n の斉次多項式である。
ベクトル空間 V のテンソル代数 TV。次数 n の斉次元はランク n のテンソル TV である。
外積代数 ΛV および対称代数 SV もまた次数付き代数である。
任意のコホモロジー論におけるコホモロジー環 H もまた次数付きであり、H たちの直和である。
次数付き代数は可換環論と代数幾何学、ホモロジー代数、そして代数トポロジーにおいてしばしば使われる。1つの例は斉次多項式と射影多様体の緊密な関係である。(cf. 斉次座標環。)