直線束
一次のスティーフェル・ホイットニー類は滑らかな実直線束を分類する。特に、実直線束(の同値類)全体の成す集まりは Z/2Z-係数の一次コホモロジーの元に対応する。この対応は実はアーベル群の同型である(直線束の間の群演算はテンソル積であり、コホモロジーの群演算は通常の加法とする)。同じように、一次のチャーン類が滑らかな複素直線束を分類し、直線束全体の成す群は整数係数の二次のコホモロジー群に同型となる。ただし、同値な可微分構造(英語版)を持つ(従って同じ一次チャーン類に属する)が異なる正則構造 (holomorphic structure) を持つ束が存在し得る。チャーン類に関する言明は、多様体上の層の指数写像列を用いて容易に示せる。
より一般に、分類問題をホモトピー論的観点から見ることができる。実直線束に対する普遍束、および複素直線束に対する普遍束が存在することを見るのである。分類空間の一般論に従って、経験論的にそれぞれ群 C2 および Sが自由に作用するような群作用を持つ可縮空間を探すと、それらの空間は普遍主束として与えられ、その群作用による商として分類空間 BG が与えられる。今の場合にはこれらは明示的に求まったが、無限次元の実または複素射影空間に関する類似対応が存在する。