ベクトル解析
Fをスカラー場とするとき、Fの勾配 gradFをベクトル場
grad  F = ∂ F ∂ x = ( ∂ F ∂ x 1 , ∂ F ∂ x 2 , ∂ F ∂ x 3 ) {\displaystyle \operatorname {grad} F={\partial F \over \partial \mathbf {x} }=\left({\partial F \over \partial x_{1}},{\partial F \over \partial x_{2}},{\partial F \over \partial x_{3}}\right)}
により定義する。
さらにベクトル場Xの回転 rot X、発散 div Xをそれぞれベクトル場
日本でも明治初期の物理教育では、四元数に基づく電磁気学が教えられていたことは有名である。
ベクトルを初めて教育に導入したのはウィラード・ギブスとされ、1880年代のイェール大学の講義で記号こそ現代とは違うものの、外積・内積やベクトル解析の概念などが当時使われていたが、イギリスの四元数の著書もある物理学者ピーター・ガスリー・テイトの評判も大変不評であったという。今日用いられている記号や専門用語の大半は1901年に出版されたギブスとエドウィン・ウィルソン(英語版)の共著『ベクトル解析』によって確立された。
しかし、ギブス以降の物理学の教育ではベクトルは四元数を推進していたハミルトンやテイトのいたイギリスにおいて寧ろ盛んに用いられるようになり、物理学における常識的な概念となった。(イギリスのオリヴァー・ヘヴィサイドの存在が影響していると考えられる。)しかしながら20世紀に入ってからはむしろスピン角運動量などの概念も四元数に非常に類似しており、ハミルトンには先見性があったのではないかとされる。
と表記し、ベクトル場Xの曲線Cに沿った線積分という。ここで
d  x = ( d  x 1 , d  x 2 , d  x 3 ) {\displaystyle \operatorname {d} \mathbf {x} =(\operatorname {d} x_{1},\operatorname {d} x_{2},\operatorname {d} x_{3})}
である。成分で書けば、線積分は
∫ C X 1 d  x 1 + X 2 d  x 2 + X 3 d  x 3 {\displaystyle \int _{C}X_{1}\operatorname {d} x_{1}+X_{2}\operatorname {d} x_{2}+X_{3}\operatorname {d} x_{3}}
とも表示できる。
Cの始点と終点が一致するとき(すなわちCが閉曲線のとき)はそのことを強調して
∮ C X ⋅ d  x {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {X} \cdot \operatorname {d} \mathbf {x} }
とも表記する。
Cを弧長パラメーターで x ( s ) = ( x 1 ( s ) , x 2 ( s ) , x 3 ( s ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (s)=(x_{1}(s),x_{2}(s),x_{3}(s))} と表すと、 Cに沿った線積分は、
∫ X ( x ( s ) ) ⋅ d  x d  s ( s ) d  s {\displaystyle \int \mathbf {X} (\mathbf {x} (s))\cdot {\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}(s)\operatorname {d} s}
と表記できる。 すでに示したように
| d  x d  s | = 1 {\displaystyle \left|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}\right|=1}
が恒等的に成り立つので、内積
X ( x ( s ) ) ⋅ d  x d  s ( s ) {\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} (s))\cdot {\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}(s)}
は X ( x ( s ) ) {\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} (s))} をCのx(s)での接線方向の射映である。
すなわち線積分は、ベクトル場Xの、 Cの接線方向成分を積分したものである。
3次元ユークリッド空間内の曲面Sが
x = x ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (u_{1},u_{2})}
とパラメトライズされていたとする。このとき、スカラー場FのS上での面積分を
∫ F ( x ( u 1 , u 2 ) ) ‖ ∂ x ∂ u 1 × ∂ x ∂ u 2 ‖ d  u 1 d  u 2 {\displaystyle \int F(\mathbf {x} (u_{1},u_{2}))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial u_{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial u_{2}}\right\|\operatorname {d} u_{1}\operatorname {d} u_{2}}
により定義する。
Sのパラメーターを
( u 1 , u 2 ) = ( u 1 ( w 1 , w 2 ) , u 2 ( w 1 , w 2 ) ) {\displaystyle (u_{1},u_{2})=(u_{1}(w_{1},w_{2}),u_{2}(w_{1},w_{2}))}
J = ∫ c d F ( x ( w ( u ) ) ) ‖ d  x ( u ( w ) ) d  w ‖ d  w {\displaystyle J=\int _{c}^{d}F(\mathbf {x} (w(u)))\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} (u(w)) \over \operatorname {d} w}\right\|\operatorname {d} w}
を考えると、この変数変換が曲線の向きを変えないとき、すなわち
d  u d  w > 0 {\displaystyle {\operatorname {d} u \over \operatorname {d} w}>0}
が恒等的に言えるときには
J = ∫ c d F ( x ( u ( w ) ) ) ‖ d  x d  w | d  w = ∫ a b F ( x ( u ( w ) ) ) | d  x d  u ‖ d  u d  w d  w = ∫ a b F ( x ( u ) ) ‖ d  x d  u ‖ d  u = I {\displaystyle {\begin{array}{ll}J&=\displaystyle \int _{c}^{d}F(\mathbf {x} (u(w)))\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} w}\right|\operatorname {d} w\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}F(\mathbf {x} (u(w)))\left|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} u}\right\|{\operatorname {d} u \over \operatorname {d} w}\operatorname {d} w\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}F(\mathbf {x} (u))\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} u}\right\|\operatorname {d} u\\&=I\end{array}}}