固有値と固有ベクトル
線型変換 A の固有値 λ に対するその固有ベクトルおよび零ベクトルは部分線形空間をなし、これを固有空間という。固有値 λ の固有空間 W(λ) は次の式で表せる(Ker は核、I は恒等変換を表す):
W ( λ ) = Ker  ( λ I − A ) {\displaystyle W(\lambda )=\operatorname {Ker} (\lambda I-A)}
固有空間の次元をその固有値の幾何的重複度という。n次正方行列 A の固有値 λ の幾何的重複度は次の式で求められる:
dim  W ( λ ) = n − rank  ( λ I − A ) {\displaystyle \dim W(\lambda )=n-\operatorname {rank} (\lambda I-A)}
有限次元ベクトル空間上の線型変換のスペクトルとは、その変換の固有値全体の成す集合のことである。無限次元の場合はもう少し複雑になって、スペクトルの概念はそのベクトル空間の位相に依存する。
線形空間 V(有限次元とは限らない)上の線形変換 A に対して、次の方程式
A x = λ x {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}=\lambda {\boldsymbol {x}}}
を満たす零ベクトルでないベクトル x とスカラー λ が存在するとき、x を A の固有ベクトル(右固有ベクトル)、λ を A の固有値と呼ぶ。
線型変換 A の固有ベクトル x は、A により写しても、その方向は変わらず、定数倍されるだけの影響しか受けない(拡大率が 1 なら全く影響を受けない)ベクトルで、零ベクトルでないもののことである。 V が関数空間である場合には、固有ベクトルのことを固有関数ともいう。
線型変換 A の固有値は、固有ベクトルのA による拡大率(上の λ)のことである。
空間の線型変換(回転、鏡映、拡大・縮小、剪断、およびそれらの任意の合成)は、それがベクトルに対して引き起こす影響によって視覚化することができる。ベクトルは一点から他の点へ向かう矢印によって視覚化される。
エルミート行列 A の固有値が全て正の場合に、その行列 A は正定値であるという(正定値行列)。
エルミート行列 A の固有値が全て非負の場合に、その行列 A は半正定値であるという(半正定値行列)。
この定義は対角化を用いることにより、二次形式の正定値、半正定値の定義と同値の関係であることが確認できる。