四元数環
フロベニウスの定理から、実数体 R 上の四元数環は、R 上の二次全行列環とハミルトンの四元数体の二種類しかないことがわかる。
同様に、任意の局所体 F 上の四元数環は全行列環と多元体の二種類だけだが、局所体上の四元数体は「ハミルトン型」の四元数ではないのがふつうである。例えば、p-進数体 Qp 上でハミルトン型の四元数環を考えると、それが多元体を成すのは p = 2 の場合のみであり、奇素数 p に対しては Qp 上の二次全行列環と同型になる。奇素数 p に対してハミルトン型の四元数環が多元体とならないことは、合同式 x + y = −1 mod p が解を持つこと、従ってヘンゼルの補題(これは p が奇素数でなくともよい)によって、方程式
x + y = −1
が p-進数解を持つことをみればよい。そうすれば、四元数
xi + yj + k
はノルムが 0 となり、従って乗法逆元を持たない。
与えられた体 F 上の四元数環の同型類を分類するために、一つの方法として四元数環の同型類とその「ノルム形式」の同型類との間の一対一対応を利用することができる。
任意の四元数環 A に、A 上のノルム形式と呼ばれる二次形式 N が付随しており、N は A の各元 x, y に対して
N ( x y ) = N ( x ) N ( y ) {\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}
を満たす。F-四元数環のノルム形式となりうる二次形式は、フィスター 2-形式に他ならない。
四元数環は数論、特に二次形式論に応用を持つ。F-四元数環はブラウアー群 Br(F) の位数 2 の元によって生成されるという具体的な構造を持つ(適当な体、例えば代数的数体に対して、そのブラウアー群において指数 2 の任意の元は四元数環によって表される。メルクリエフの定理によれば、任意の体のブラウアー群の指数 2 の元の全体は四元数環のテンソル積として表される。)。特に、 p-進数体 Qp 上の四元数環の構成は、局所類体論における二次のヒルベルト記号として見ることができる。