プラズマ物理
これを成分に分けて書き下すと、電場 E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}} の3つの成分 E x , E y , E z {\displaystyle E_{x},E_{y},E_{z}} に関する3元1次斉次連立方程式になる。従って波が存在する、すなわち斉次連立方程式が 0 でない解をもつためには、その係数から作られる3次の行列式 G ( k , ω ) {\displaystyle G({\boldsymbol {k}},\omega )} が 0 にならなければならない。すなわち
G ( k , ω ) = 0 {\displaystyle G({\boldsymbol {k}},\omega )=0}
これが分散関係( dispersion relation )で、これを解くことにより、分散式が定まる。
と求まる(ここで 1 ^ {\displaystyle {\hat {1}}} は単位テンソルを表す)。その際、電流を求めるために使用した方程式系の近似の程度により、その近似に従った誘電率が得られる。
分散
誘電率が ω {\displaystyle \omega } に依存するのは、電流を形成する荷電粒子が過去に経験した電場の履歴を憶えていて、それが現在の電流にも影響するために起きる現象である。これは通常の誘電体にもあり、光の色の分散を引き起こすもととなる性質なので、単に「分散(dispersion)」、あるいは「時間分散(temporal dispersion)」 と呼ばれる。 それに対して誘電率が k {\displaystyle {\boldsymbol {k}}} に依存する現象は、荷電粒子が他の場所での電場を経験してやってくるために起こる現象なので固体誘電体には存在せず、プラズマに特徴的な性質である。これを「空間分散(spatial dispersion)」という。
誘電率の縦成分
ε l ( k , ω ) = k ⋅ ε ^ ( k , ω ) ⋅ k / k 2 {\displaystyle \varepsilon _{\ell }({\boldsymbol {k}},\omega )={\boldsymbol {k}}\cdot {\hat {\varepsilon }}({\boldsymbol {k}},\omega )\cdot {\boldsymbol {k}}/k^{2}}
一様定常な磁場中では荷電粒子は磁場と速度の双方に垂直な力、ローレンツ力を受けるので、磁場に垂直な方向に円運動する。その際イオンと電子では荷電の符号が逆なので、旋回の向きも逆になる。この運動をサイクロトロン運動ともいう。このように円運動する粒子の行動を調べるには、その円運動の中心を追うのが便利である。円運動の中心を旋回中心(gyration center)、もしくは案内中心(guiding center)と呼ぶ。 一方、粒子は磁場方向には力を受けないので旋回中心は1本の磁力線に沿って一定の速さで進む。従って粒子は磁力線に沿ってらせん形を描いて運動することになる。 一様定常な磁場 B の中の円運動の振動数 Ω は粒子の荷電を q (正負あり)、質量を m とすると
Ω = | q | B m {\displaystyle \Omega ={\frac {\left|q\right|B}{m}}}
で与えられ、サイクロトロン振動数(cyclotron frequency)、もしくはラーマー振動数(Larmor frequency)と呼ばれる。