イプシロン-デルタ論法
∀ x ∈ I , ∀ n ∈ N ; [ n > N ⇒ | f n ( x ) − f ( x ) | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }N\in \mathbb {N} \;\mathrm {s.t.} \;{}^{\forall }x\in I,\;{}^{\forall }n\in \mathbb {N} ;\ [n>N\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon ]}
が成立するとき、 関数列 {fn(x)} は f(x) に一様収束(いちようしゅうそく)するという。
この条件は各点収束と違い、N は x と無関係に ε のみに依る、言い換えると区間 I 内の全ての x に共通の N が取れる、という意味である。
例えば I = (0,1) 上で定義される fn(x) = x は f(x) = 0 という定数関数に各点収束するが、一様収束はしない。ε を 1 より小に取れば、どのように N を大きく取っても、例えば n = N + 1 と ε < x < 1 に対して |fn(x) − f(x)| = x = x > ε となってしまうためである。
I の両端点まで含めた区間 [0,1](I の閉包)上で考えると、fn(x) = x は 0 ≤ x < 1 では f(x) = 0 に各点収束し、x = 1 では常に fn(1) = 1 で、f(x) = 0 (0 ≤ x < 1) とは連続ではない。こういった事情が、各点収束なのに一様収束ではないという性質と繋がっている。
区間 I 上で定義された実関数の列 f0(x), f1(x), f2(x), ..., fn(x), ... に対してI 上で定義される実関数 f(x) が存在し、各 x ∈ I に対して極限の式
lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}
が成り立つとき、関数列 {fn(x)} は f(x) に各点収束(かくてんしゅうそく)するという。
上記を ε-N 論法で定義すれば
∀ ε > 0 , ∀ x ∈ I , ∃ N ∈ N s . t . ∀ n ∈ N [ n > N ⇒ | f n ( x ) − f ( x ) | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\forall }x\in I,\;{}^{\exists }N\in \mathrm {N} \;\mathrm {s.t.} \;{}^{\forall }n\in \mathbb {N} \;[n>N\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon ]}
となる。N は ε, x に依存する。x = c などの特定の値で関数列を見たときに f0(c), f1(c), f2(c), ..., fn(c), ... が数列として f(c) に収束するという意味である。
条件の順序を変えた
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N s . t .