自由積
即ち、左辺の形の元全てを含む G ∗ H の最小の正規部分群(英語版) を N として、G と H との(φ, ψ に関する)融合積とは、剰余群
( G ∗ H ) / N {\displaystyle (G*H)/N}
のことを言う。ここでいう「融合」(amalgamation) というのは、G の部分集合である φ(F) と H の部分集合である ψ(F) とを、元ごとに(つまり F の元 f ごとに)強制的に同一視する操作ということを意味している。この構成法は、二つの連結空間を弧状連結な部分空間(先の F はこの部分空間の基本群の役割を果たすものとしてとれる)に沿って貼り合せた空間の基本群の計算に利用できる(ザイフェルト–ファンカンペンの定理(英語版)を参照)。融合積の部分群に関する詳細は (Karrass & Solitar 1970) を参照のこと。
融合積およびそれと近しい概念であるHNN-拡大(英語版)は、木に作用する群に関するバス–セール理論の基本的な構成要素である。