代数関数
上述の解析性の証明は x が p(x, y) の臨界点 (critical point) でない場合に n 個の相異なる関数要素 (function element) fi(x) の系の表現を導出したことに注意しよう。臨界点とは相異なる零点の個数が p の次数よりも小さいような点のことであり、これは p の最高次の項が消えるところ、そしてその判別式が消えるところにおいてのみ現れる。したがってそのような点は高々有限個 c1, ..., cm しか存在しない。
臨界点の近くでの関数要素 fi の性質を同じように解析することによって、モノドロミー被覆(英語版)は臨界点(と無限遠点でもよい)上分岐することを示すことができる。したがって fi に伴う整関数は悪くとも臨界点上代数的な極と通常の代数的分岐を持つだけである。
臨界点から離れれば fi たちは定義によって p の相異なる零点であるから
p ( x , y ) = a n ( x ) ( y − f 1 ( x ) ) ( y − f 2 ( x ) ) ⋯ ( y − f n ( x ) ) {\displaystyle p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))}
であることに注意しよう。モノドロミー群は因子を入れ替えることによって作用し、したがって p のガロワ群のモノドロミー表現 (monodromy representation) をなす。(普遍被覆空間上のモノドロミー作用は関連しているがリーマン面の理論における異なる概念である。)