アーベル群
アーベル群の間の二つの群準同型 f, g: G → H に対し、それらの和 f + g は (f + g) (x) = f(x) + g(x) (∀x ∈ G) で定義され、これもまた一つの群準同型を与える(これが準同型となるために H の可換性は必要である)。これにより、G から H への群準同型全体の成す集合 Hom(G, H) はそれ自身ひとつのアーベル群となる。
ベクトル空間の次元のようなものとして、任意のアーベル群は階数と呼ばれるものを持つ。整数の加法群 Z および有理数の加法群 Q は階数 1 であり、Q の任意の部分群についても同様である。
一般の群 G の中心 Z(G) は G の任意の元と交換する G の元全体の成す部分群であった。明らかに群 G が可換であるための必要十分条件は G が中心 Z(G) に一致することである。中心 Z(G) は必ず G の特性部分アーベル群となる。中心で割った剰余群 G/Z(G) が巡回群ならば G はアーベルである。