ヤン＝ミルズ理論
ヤン=ミルズ理論(ヤン=ミルズりろん、英: Yang-Mills theory)は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことである。
なお、その少し前にヴォルフガング・パウリと内山龍雄も同理論を完成していたと言われているが、様々な事情により発表が遅れ、先取権はヤン=ミルズにあるとされる。
繰り込み群の考え方から、着目するエネルギースケールによって結合定数が変化するという描像を得る事が出来る。 n f {\displaystyle n_{f}} 個のフレーバーを持つゲージ群の表現 r {\displaystyle r} に属するフェルミオンを含むヤン=ミルズ理論の1ループベータ関数は、
β ( g ) = − g 3 ( 4 π ) 2 ( 11 3 C 2 ( G ) − 4 3 n f C ( r ) ) {\displaystyle \beta (g)=-{\frac {g^{3}}{(4\pi )^{2}}}\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {4}{3}}n_{f}C(r)\right)}
となる。
ただし、 C 2 ( G ) {\displaystyle C_{2}(G)} は f a c d f b c d = C 2 ( G ) δ a b {\displaystyle f^{acd}f^{bcd}=C_{2}(G)\delta ^{ab}} によって定義される随伴表現における2次のカシミア演算子、 C ( r ) {\displaystyle C(r)} は表現 r {\displaystyle r} における生成子の行列表現の規格化定数 T r ( T a ( r ) T b ( r ) ) = C ( r ) δ a b {\displaystyle \mathrm {Tr} (T^{a}(r)T^{b}(r))=C(r)\delta ^{ab}} である。
量子色力学においては、 C 2 ( G ) = 3 {\displaystyle C_{2}(G)=3} で、 C ( r ) = 1 / 2 {\displaystyle C(r)=1/2} である。 これは、フェルミオンのフレーバーが少ない場合のヤン=ミルズ理論が、高エネルギーでは相互作用が弱くなる(漸近的自由性)、と読むことが出来る。