交換法則
「交換」あるいは「可換」("commutative") という語は(関連はあるが厳密には異なる)いくつかの意味で用いられる。「交換法則」や「可換律」のように言うとき、一般的にはそれは二項演算(あるいはより一般に二項関係や二変数写像(英語版))に結び付けられた性質のことを言うものと理解される。特定の演算を固定して考えるとき、その演算の引数となる二つの元で、交換法則の言う条件式を満足するものに対しては、それらの二元が(与えられた演算のもとで)「交換する」「可換である」(commute) と言い表す。
以下、集合 E 上に二項演算 ∗ が定められているものとして:
E の二つの元 x, y が演算 ∗ のもと(互いに)交換するまたは可換であるとは x ∗ y = y ∗ x {\displaystyle x*y=y*x} を満たすときに言う。
E の任意の二元 x, y が演算 ∗ のもと交換するとき、すなわち x ∗ y = y ∗ x ( ∀ x , y ∈ E ) {\displaystyle x*y=y*x\qquad (\forall x,y\in E)} が成り立つとき、演算 ∗ は交換法則を満足する、または可換であると言う。可換でない演算は非可換 (non-commutative) であると言う。
より一般に、
E の二つの部分集合 S, T が x ∗ y = y ∗ x ( ∀ x ∈ S , y ∈ T ) {\displaystyle x*y=y*x\qquad (\forall x\in S,y\in T)} を満足するとき、S, T は元ごとに可換 (element-wise commute) であるという。
群論や集合論において、(複数の演算を持つ)様々な代数系が、それが持つ特定の演算が交換法則を満足するとき「可換」と呼ばれる。
可換半群(英語版)は可換で結合的な全域的演算を持つ。
可換半群がさらに単位元を持つという性質を持てば可換モノイド(英語版)と言う。
アーベル群または可換群はその群演算が可換であるような群を言う。
可換環はその乗法が可換となる環を言う(環の加法は常に可換である)。
可換体は加法と乗法がともに可換。
それらの分野の結果を利用する他の分野、例えば解析学や線型代数学では良く分かっている演算(例えば、実数や複素数に対する加法や乗法)は、いちいち断らなくても暗黙の仮定として証明等の中で縦横に用いられる