関数 (数学)
シュワルツの超関数(分布、英: distribution)の理論は、汎関数の一種(コンパクトな台を持つ無限階微分可能関数の作る空間上の連続線型汎関数)として超関数を定義する。通常の局所可積分関数に測度を掛けて積分作用素として見ると、この意味で超関数と見なされる。
この様な連続線型汎関数を用いた定式化の方向で distribution よりも大きいクラスとしては、超分布 (ultradistribution) が知られている。
一方、佐藤の超関数(英: hyperfunction)は層係数コホモロジー等の代数的手法を用いて定義される。この代数的手法の解析学への導入により、線型微分方程式系の代数化である D 加群の理論等、代数解析学と呼ばれる分野が開かれた。以上の超関数のクラスは局所化可能、言い換えれば層を成すという事が重要である。
ディリクレは、x と f (x) の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要はないとした。つまり、個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり、その対応は数式などで表す必要はないという、オイラーとは異なる立場をとっている。
集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則 f のことであると解釈する。それは二項関係の特別の場合として関数を定義するということであり、その意味で関数は写像の同義語である。より細かく、「数」の集合への写像に限る場合もある。写像に用いる言葉、例えば
合成(合成関数)
全射、単射(一対一ともいう)、全単射(双射、一対一対応ともいう)
逆(逆関数)
などはそのまま用いることができる。「数」に値を取る関数に特有の(つまり、一般の写像では成り立つとは限らない)性質もある。たとえば、像を用いて値毎の演算と呼ばれる函数同士の演算が定義できる: x を任意として、
( f + g ) ( x ) := f ( x ) + g ( x ) , {\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x),}
y が x の関数であることの別の表現として、変数 y は変数 x に従属するとも言い、y を従属変数 (dependent variable) と言い表す。独立変数がとりうる値の全体(変域)を、この関数の定義域 (domain) といい、独立変数が定義域のあらゆる値をとるときに、従属変数がとりうる値(変域)を、この関数の値域 (range) という。
関数の終域は実数体 R {\displaystyle \mathbb {R} } や複素数体 C {\displaystyle \mathbb {C} } の部分集合であることが多い。終域が実数の集合となる関数を実数値関数 (real valued function) といい、終域が複素数の集合となる関数を複素数値関数 (complex valued function) という。それぞれ定義域がどのような集合であるかは問わないが、定義域も終域も実数の集合であるような関数を実関数 (real function) といい、定義域も終域も複素数の集合であるような関数を複素関数 (complex function) という。
適当な函数の原始函数として沢山の函数が定義できる。例えば自然対数函数は逆数函数 1/x の原始函数で x = 1 における値が 0 となるものとして定義される。誤差函数 erf もこのような方法で定義される函数の例である。
より一般に、ほとんどの特殊函数を含めた多くの函数は微分方程式の解として定義される。最も単純な例として、指数函数はその微分が自分自身に等しいような函数の中で x = 0 における値が 1 となる唯一の函数として定義することができる。
冪級数はその収束域を定義域として函数を定義することに利用できる。例えば指数函数は e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}} と定義できる。しかし、冪級数の係数列は極めて任意に決めることができるから、「収束冪級数の和として書ける函数」は大抵既にどこか別の場所で定義されていたり、係数列もその別な定義に基づく何らかの計算できまるなどしているものである。冪級数はそのような函数の定義域を拡大することに利用できる。典型的には、実変数の函数が適当な区間上でテイラー級数の和と等しいとき、その級数を用いて直ちに適当な複素領域(つまり、級数の収束円板)上の複素変数函数に定義域を拡大することができる。これはさらに解析接続を用いて複素数平面上のさらに大きな領域へ拡大できる。この方法は、複素変数の指数函数・対数函数及び三角函数の定義に一般的に用いられる方法である。