位相群
この剰余群がハウスドルフとなるための必要十分条件は、H が G において閉となることである。例えば、剰余群 R/Z は円周群 S に同型である。
G の部分群 H に対し、H の閉包もまた部分群となる。同様に、H が G の正規部分群ならば、H の閉包も G において正規になる。
任意の位相群において、単位成分(英語版)(すなわち、単位元を含む連結成分)は閉部分群を成す。単位成分 C と任意の点 a ∈ G に対し、左剰余類 aC は G の a を含む連結成分となる。したがって、G における C の左剰余類全体の成す集合、あるいは右剰余類全体の成す集合は、G の連結成分全体の成す集合に等しい。これにより、剰余群 G/C は完全不連結であることが従う
通常の群論における代数的な群の同型定理は、位相群に対しては必ずしも正しくない(これは全単射な準同型が必ずしも位相群の同型でないことによる)。それでも、定理に現れる写像を適切に制限すれば、定理は成り立つ。例えば、第一同型定理の主張「f: G → H が準同型ならば、それが誘導する写像 G/ker(f) → im(f) は同型」が成り立つための必要十分条件は、f がその像の上への開写像となることである。