二項係数
第一種スターリング数を用いれば、二項係数の任意に選んだ点 z0 の周りでのテイラー展開は
( z k ) = 1 k ! ∑ i = 0 k z i s k , i = ∑ i = 0 k ( z − z 0 ) i ∑ j = i k ( z 0 j − i ) s k + i − j , i ( k + i − j ) ! = ∑ i = 0 k ( z − z 0 ) i ∑ j = i k z 0 j − i ( j i ) s k , j k ! {\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {z}{k}}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}z^{i}s_{k,i}&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}{\binom {z_{0}}{j-i}}{\frac {s_{k+i-j,i}}{(k+i-j)!}}\\&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}z_{0}^{j-i}{\binom {j}{i}}{\frac {s_{k,j}}{k!}}\end{aligned}}}
と与えられる。
ディクソンの等式(英語版)は
∑ k = − a a ( − 1 ) k ( 2 a k + a ) 3 = ( 3 a ) ! ( a ! ) 3 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{\dbinom {2a}{k+a}}^{3}={\dfrac {(3a)!}{(a!)^{3}}}}
あるいはより一般に
∑ k = − a a ( − 1 ) k ( a + b a + k ) ( b + c b + k ) ( c + a c + k ) = ( a + b + c ) ! a ! b ! c ! {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{\dbinom {a+b}{a+k}}{\dbinom {b+c}{b+k}}{\dbinom {c+a}{c+k}}={\dfrac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}}
で与えられる。ここに a, b, c は非負整数である。
階乗表示を用いれば近くにある二項係数の関係を容易に知ることができる。例えば k を正整数、n は任意として
が成り立ち、また少しの計算で
( n − 1 k ) − ( n − 1 k − 1 ) = n − 2 k n ( n k ) {\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}}
が得られる。さらに言えば以下の結果
( n h ) ( n − h k ) = ( n k ) ( n − k h ) {\displaystyle {\binom {n}{h}}{\binom {n-h}{k}}={\binom {n}{k}}{\binom {n-k}{h}}}
は有用である。例えば定数 n に対して以下の漸化式
( n k ) = n + 1 − k k ( n k − 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n+1-k}{k}}{\binom {n}{k-1}}}
を得ることができる。