円周群
円周群の表現は容易に記述できる。それはアーベル群の既約複素表現が必ず一次元であるというシューアの補題から得られるものである。円周群はコンパクトであるから、任意の表現 ρ: T → GL(1, C) = C は U(1) = T に値を取らなければならない。したがって円周群の既約表現とは単に、円周群上の位相群の自己準同型のことに他ならない。実はそのような準同型は
φ n ( e i θ ) = e i n θ ( n ∈ Z ) {\displaystyle \varphi _{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }\quad (n\in \mathbb {Z} )}
の形であり、これらの表現は全て同値でない。また表現 φ−n は φn の共軛表現(英語版)である ( φ − n = φ ̄ n {\displaystyle \varphi _{-n}={\overline {\varphi }}_{n}} )。これらの表現はちょうど円周群上の指標であり、したがって明らかに T の指標群は φ1 の生成する無限巡回群である: