ベルヌーイの定理
ベルヌーイの定理は適用する非粘性流体の分類に応じて様々なタイプに分かれるが、大きく二つのタイプに分類できる。
外力が保存力であること、バロトロピック性(密度が圧力のみの関数となる)という条件に加えて、
定常流という条件で成り立つ法則(I)
渦なしの流れという条件で成り立つ法則(II)
である。
(I)の法則は流線上(正確にはベルヌーイ面上)でのみベルヌーイの式が成り立つという制限があるが、(II)の法則は全空間で式が成立する。
最も典型的な例である
外力のない非粘性・非圧縮性流体の定常な流れに対して
1 2 v 2 + p ρ = c o n s t a n t {\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}=\mathrm {constant} }
が流線上で成り立つ。
非圧縮性バロトロピック流体では密度一定だから ∫ d p / ρ = p / ρ + c o n s t a n t {\textstyle \int dp/\rho =p/\rho +\mathrm {constant} } とでき、一様重力のポテンシャルは Ω = g z {\displaystyle \Omega =gz} となるので、(I)の基本形から以下の定理が導かれる。
一様重力のもとでの非粘性・非圧縮流体の定常な流れでは、流線上で
v 2 2 + p ρ + g z = c o n s t a n t {\displaystyle {v^{2} \over 2}+{p \over \rho }+gz=\mathrm {constant} }
が、成り立つ( v {\displaystyle v} は速さ、 p {\displaystyle p} は圧力、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 g {\displaystyle g} は重力加速度の大きさ、 z {\displaystyle z} は鉛直方向の座標である)。