ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
また T のコンパクト性は、弱位相を備える X からノルム位相を備える X への写像 T が連続であることを意味する(上述の議論を参照)。これらの二つの事実より、f は弱位相を備える B 上で連続であり、したがってある y ∈ B において B 上の最大値 m を達成することが分かる。すると極大性により ||y|| = 1 であり、これは y がレイリー商 g(x)(上記参照)も最大化することを意味する。このことから、y は T の固有ベクトルであり、主張の証明は完成される。
注釈 T のコンパクト性は本質的に重要である。一般に、f は単位球 B 上の弱位相に対して必ずしも連続でなくても良い。例えば、T を恒等作用素とすれば、これは H が無限次元の場合にはコンパクトとならない。任意の正規直交列 {yn} を考える。このとき yn は 0 に弱収束するが、lim f(yn) = 1 ≠ 0 = f(0) となる。
T をあるヒルベルト空間 H 上のコンパクト作用素とする。ある有限(空であることもあり得る)あるいは可算無限の、T の固有ベクトルからなる正規直交列 {en} でその対応する固有値が非ゼロであるようなものは、次のような手順で帰納的に構成される。H0 = H とし、T0 = T とする。m(T0) = 0 であるなら、T = 0 であり、この場合は固有ベクトル en を構成することなく手順は終了する。
ケース II: 少なくとも二つの固有値を持つ作用素 T 0 ∈ F {\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}\,} を固定し、 P − 1 T 0 P {\displaystyle P^{-1}~T_{0}~P\,} が対称作用素となるように P ∈ Hom  ( H , H ) × {\displaystyle P\in \operatorname {Hom} (H,H)^{\times }\,} を定める。今 P − 1 T 0 P {\displaystyle P^{-1}~T_{0}~P\,} のある固有値を α とする。このとき、 ker  ( P − 1 T 0 P − α ) {\displaystyle \operatorname {ker} (P^{-1}~T_{0}~P-\alpha )\,} および ker  ( P − 1 T 0 P − α ) ⊥ {\displaystyle \operatorname {ker} (P^{-1}~T_{0}~P-\alpha )^{\bot }\,} が非自明な P − 1 F P {\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P\,} -不変部分空間であることが容易に分かる。次元についての帰納法により、その部分空間には線型独立な基底 Q 1 , Q 2 {\displaystyle Q_{1},Q_{2}} が存在し、それらは P − 1 F P {\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P\,} 内の作用素がその部分空間上で同時対角化可能であることを示すものとなる。すると明らかに P ( Q 1 ∪ Q 2 ) {\displaystyle P(Q_{1}\cup Q_{2})\,} は F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} 内の作用素が同時対角化可能であることを示すものとなる。