シュワルツ超函数
f ∈ D(R) はコンパクトな台を持つ滑らかなテスト函数とすると、f との畳み込みは作用素
C f : D ( R n ) → D ( R n ) ; g ↦ C f g := f ∗ g {\displaystyle C_{f}\colon D(\mathbb {R} ^{n})\to D(\mathbb {R} ^{n});\ g\mapsto C_{f}g:=f*g}
を定める。これは線型(かつ D(R) のLF空間としての位相に関して連続)である。
このとき、ƒ と超函数 S ∈ D′(R) との畳み込みは、D(R) と D′(R) との双対性によって、Cf の随伴をとることによって定義することができる (Trèves 1967, Chapter 27)。f, g, φ ∈ D(R) に対し、フビニの定理から
⟨ C f g , φ ⟩ = ∫ R n φ ( x ) ∫ R n f ( x − y ) g ( y ) d y d x = ⟨ g , C f ~ φ ⟩ {\displaystyle \langle C_{f}g,\varphi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dydx=\langle g,C_{\tilde {f}}\varphi \rangle }
が得られる。ここで f(x) = f(−x) である。連続性によりこれを延長して、f と超函数 S との畳み込みは、任意のテスト函数 φ ∈ D(R) に対し
M. J. Lighthill (1959). Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (requires very little knowledge of analysis; defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)
H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006)(also available online here). See Chapter 11 for defining products of distributions from the physical requirement of coordinate invariance.
Vladimirov, V.S.
超函数 f がただ一点 {P} を台に持つならば、実は f は点 P におけるディラックデルタ δ の超函数の意味の導函数の有限線型結合になっている。つまり、正の整数 m と |α| ≤ m なる多重指数 α に対する複素定数 a の集まりが存在して、
f = ∑ | α | ≤ m a α D α ( τ P δ ) {\displaystyle f=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}
と書ける。ここで τP は平行移動作用素である。