LTIシステム理論
任意の線型時不変系の属性を定義するのは、当然ながら線型性(linearity)と時不変性(time invariance)である。
線型性とは、システムの入力と出力の関係が、重ね合わせ特性を持つことを意味する。システムへの入力が次のように2つの信号を足し合わせたものであるとする。
x ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) {\displaystyle x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)\,}
すると、システムの出力は次のようになる。
y ( t ) = y 1 ( t ) + y 2 ( t ) {\displaystyle y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)\,}
ここで、 y n ( t ) {\displaystyle y_{n}(t)} は入力が x n ( t ) {\displaystyle x_{n}(t)} だけだったときの出力を意味する。
このような重ね合わせ特性がある場合、任意の有理数スカラーについてスケーリング特性が得られる。入力 x ( t ) {\displaystyle x(t)} による出力が y ( t ) {\displaystyle y(t)} であるとき、入力 c x ( t ) {\displaystyle cx(t)} による出力は c y ( t ) {\displaystyle cy(t)} となる。
このシステムに離散デルタ関数 δ [ n ] {\displaystyle \delta [n]} を入力したとき、デルタ関数は理想的なインパルスであるため、LTI変換の結果がインパルス応答となる。これを式に表すと次のようになる。
( h ∗ δ ) [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ h [ n − m ] δ [ m ] = h [ n ] {\displaystyle (h*\delta )[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,\delta [m]=h[n]}
これにはデルタ関数のシフト属性を利用している。なお、ここで次が成り立つ。
h [ n ] = h [ n 1 − n 2 , 0 ] where n = n 1 − n 2 {\displaystyle h[n]=h[n_{1}-n_{2},0]\,\!{\mbox{ where }}n=n_{1}-n_{2}}
従って h [ n ] {\displaystyle h[n]} はそのシステムのインパルス応答である。すなわち h [ n ] = H δ [ n ] {\displaystyle h[n]={\mathcal {H}}\delta [n]} が成立している。
‖ h ( t ) ‖ 1 = ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | d t < ∞ {\displaystyle \ \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|dt<\infty }
周波数領域では、収束領域に虚数軸 s = j ω {\displaystyle s=j\omega } が含まれていなければならない。システムを伝達関数としてモデル化するとき、系の極(伝達関数の分母多項式または特性多項式の根)を複素平面の左半平面に置かなければならない。ラウス・フルビッツの安定判別法によって特性多項式の係数から安定性が見える。
例としては、インパルス応答がSinc関数と等しい理想的なローパスフィルタは、BIBO安定ではない。これはSinc関数が有限のLノルムを持たないためである。従って何らかの有界な入力では、理想的なローパスフィルタの出力は無限となる。特に t < 0 {\displaystyle t<0\,} のとき入力がゼロで t > 0 {\displaystyle t>0\,} のときカットオフ周波数の正弦波となる場合、出力は原点以外では常に無限となる。