特異ホモロジー
H n : h T o p → A b . {\displaystyle H_{n}:\mathbf {hTop} \to \mathbf {Ab} .}
これは特異ホモロジーを他のホモロジー論から区別する。 H n {\displaystyle H_{n}} はなお関手であるが、Top のすべてで定義されている必要はない。ある意味、特異ホモロジーは「最大の」ホモロジー論である。Top の部分圏上のすべてのホモロジー論はその部分圏上の特異ホモロジーと一致するということである。一方で、特異ホモロジーは最もcleanな圏論的性質を持っていない。そのようなcleanupは胞体ホモロジー(英語版)のような他のホモロジー論の発達をモチベートする。
より一般的に、ホモロジー関手はアーベル圏の関手として、あるいは、チェイン複体の関手として、公理的に定義される。短完全列を長完全列に変えるバウンダリ射を要求する公理を満たす。特異ホモロジーの場合には、ホモロジー関手を2つのピースに分解できる。位相的なピースと代数的なピースである。位相的なピースは
C ∙ : T o p → C o m p {\displaystyle C_{\bullet }:\mathbf {Top} \to \mathbf {Comp} }
で与えられる。