運動量演算子
量子力学における物理量はヒルベルト空間上の状態ベクトルに作用する演算子として表されており、これに倣って運動量も演算子へと置き換えられる。 量子力学の導入においては、通常の数(c数)と演算子(q数)とを区別するためにしばしばハット記号を付して表され、運動量演算子は p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} で表される。 ハミルトン形式(正準形式)の古典力学において、運動量は正準変数として特別な役割を担っており、これを反映して量子論においても特別な役割を担っている。 運動量演算子を特徴付ける基本的な性質は正準交換関係と呼ばれる関係で、位置の演算子との間に
[ x ^ , p ^ ] ≡ x ^ p ^ − p ^ x ^ = i ħ {\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]\equiv {\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar }
を満たす。ここで ħ は換算プランク定数であり、i は虚数単位である。運動の自由度が2つ以上の場合はクロネッカーのデルタを用いて
[ x ^ a , p ^ b ] = i ħ δ b a {\displaystyle [{\hat {x}}^{a},{\hat {p}}_{b}]=i\hbar \delta _{b}^{a}}