極小モデル
次元が 2 以上の場合は、理論はさらに多くの意味合いが入ってくる。特に、ネフ(nef)ではない標準クラスを持つ任意の滑らかな多様体 X ′ {\displaystyle X'} に双有理同値にならないような滑らかな多様体 X {\displaystyle X} が存在する。1970年代と1980主要な概念的な前進は、極小モデルの構成は、いまだに妥当性を持ち、発生する特異性のタイプについて注意深く構成であるということである。(例えば、 K X ′ {\displaystyle K_{X'}} がネフ(nef)であるならば、交点数 K X ′ ⋅ C {\displaystyle K_{X'}\cdot C} は定義されねばならないことを示す必要がある。よって、最低でも、多様体はある正の整数 n {\displaystyle n} に対して n K X ′ {\displaystyle nK_{X'}} カルティエ因子を持つ必要がある。)
最初の重要な結果は、森重文の円錐定理(Cone theorem)で、 X {\displaystyle X} の曲線の円錐の構造を記述している。