レヴィ＝チヴィタ変換
三体問題の特別な初期条件のもとでの系の進化を問うピタゴラス三体問題は、系が最終状態に落ち着くまでに二体の近接散乱が繰り返される。SzebehelyとPetersが1967年にこの問題の数値シミュレーションを行った際には、計算精度が落ちるのを防ぐため、また計算時間を削減するために、近接散乱が発生する度にLevi-Civita変換を適用し、信頼できる解を得た。
H ~ ( P , Q ) = 1 2 D ( P 1 2 + P 2 2 ) − μ Q 1 2 + Q 2 2 {\displaystyle {\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2D}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2})-{\frac {\mu }{Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}}}}
であり、運動方程式は
d Q j d t = P j D , d P j d t = 4 D 2 ( P 1 2 + P 2 2 − 8 μ ) Q j {\displaystyle {\frac {dQ_{j}}{dt}}={\frac {P_{j}}{D}},\ \ {\frac {dP_{j}}{dt}}={\frac {4}{D^{2}}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2}-8\mu )Q_{j}}
となる。この段階ではまだ r → 0 {\displaystyle r\to 0} での特異性が残っている。