ハミルトン–ヤコビ方程式
( d S σ d σ ) 2 + ( d S τ d τ ) 2 + 2 m U σ ( σ ) + 2 m U τ ( τ ) = 2 m ( σ 2 + τ 2 ) ( E − Γ z ) {\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}
さらにこれは独立な 2 つの常微分方程式
( d S σ d σ ) 2 + 2 m U σ ( σ ) + 2 m σ 2 ( Γ z − E ) = Γ σ {\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\sigma }}
( d S τ d τ ) 2 + 2 m a 2 U τ ( τ ) + 2 m τ 2 ( Γ z − E ) = Γ τ {\displaystyle \left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\tau }(\tau )+2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)=\Gamma _{\tau }}
に分離でき、これらを解けば S {\displaystyle S} の完全な解が得られる。