ソボレフ空間
s > 1/2 とし、X をその境界 ∂X が十分滑らかであるような開集合とすると、トレース写像 P が ∂X への制限写像
P u = u | ∂ X {\displaystyle Pu=u|_{\partial X}}
すなわち、各 u に対してその定義域を ∂X に制限するような写像として定義される。単純な平滑条件としては、m ≥ s に対する一様 C-性がある。
ここでいうトレースは「縁取り」の意味であって、行列のトレースとは関係が無い。
このトレース写像 P は H(X) を定義域に持つものとして定義され、その像は丁度 H(∂X) となる。厳密に言えば、P ははじめに無限回微分可能な函数に対して定義され、それを連続性によって H(X) まで拡張するのである。このトレースを取ることによって「微分が 1/2 だけ減っている」ということに注意。
W のトレース写像による像を同定することは相当に困難で、実補間の道具を必要とする。結果として得られる空間はベソフ空間である。W-空間の場合には、微分の 1/2 が減少するのではなく、1/p が減少するということがわかる。
の形の連続函数全体から成る。ここで、一般化された微分 f′ は L(a, b) に属し、f(b) = f(a) = 0 となるように積分値が 0 となるものである。Ω が有界であるとき、ポワンカレ不等式によれば定数 C = C(Ω) が存在して、常に
∫ Ω | f | 2 ≤ C 2 ∫ Ω | ∇ f | 2 , f ∈ H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle \int _{\Omega }|f|^{2}\leq C^{2}\,\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\quad f\in H_{0}^{1}(\Omega )}
とすることができる。Ω 有界であるとき H0(Ω) から L(Ω) への単射はコンパクトである。この事実はディリクレ問題の研究や、ディリクレ境界条件におけるラプラス作用素の固有ベクトルからなる L(Ω) の正規直交基底が存在するという事実において重要な役割を果たす。