微分方程式系の可積分条件
によって、代わり合う。接続 1-形式を ω とすると、
d Φ = ω ∧ Φ {\displaystyle d\Phi =\omega \wedge \Phi }
を得る。
他方、
d Φ = ( d M ) ∧ Θ + M ∧ d Θ = ( d M ) ∧ Θ = ( d M ) M − 1 ∧ Φ . {\displaystyle {\begin{aligned}d\Phi &=(dM)\wedge \Theta +M\wedge d\Theta \\&=(dM)\wedge \Theta \\&=(dM)M^{-1}\wedge \Phi .\end{aligned}}}
である。しかし、 ω = ( d M ) M − 1 {\displaystyle \omega =(dM)M^{-1}} は直交群(orthogonal group)のモーレー・カルタンの微分形式である。従って、構造方程式 d ω + ω ∧ ω = 0 {\displaystyle d\omega +\omega \wedge \omega =0} に従い、これはまさに M の曲率 Ω = d ω + ω ∧ ω = 0 {\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =0} である。フロベニウスの定理の応用により、多様体 M が局所平坦ということと、曲率がゼロであるということとは同値であると結論できる。