波動関数
ここでは量子状態を表す状態ベクトルから波動関数を定義する。ただし状態ベクトルと波動関数は等価であるため(後述)、扱う問題に応じて状態ベクトルと波動関数による表現を行き来することができる。
あるオブザーバブルを表すエルミート演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} を考え、その固有値 a n {\displaystyle a_{n}} が離散的であるとする。エルミート演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の性質として、全ての固有ベクトルの集合 { | a n ⟩ } {\displaystyle \{|a_{n}\rangle \}} は完全系をなすため、任意の状態ベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } は { | a n ⟩ } {\displaystyle \{|a_{n}\rangle \}} の線形結合(重ね合わせ)として表すことができる。
| ψ ⟩ = ∑ n ψ ( a n ) | a n ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n}\psi (a_{n})|a_{n}\rangle }