天体力学
土星や天王星に存在する環は衛星と相互に重力を及ぼし合う。環の構造や安定性、羊飼い衛星といった問題が取り扱われる。
アルベルト・アインシュタイン (1879-1955) は1915年に一般相対性理論を完成させた。この理論は強重力場中でニュートン理論への補正項を生じ、アインシュタインはこれによって水星の近日点移動の予測値と観測値の不一致(これはルヴェリエによって発見された)が説明できることを示した。後に5巻からなる Celestial mechanics を出版したことで知られる萩原雄祐 (1897-1979) は1930年代に一般相対論的天体力学の研究を行った。アインシュタインは1938年にレオポルト・インフェルト、バーネッシュ・ホフマン とともにポスト・ニュートン展開による補正項を含むN体系の運動方程式であるアインシュタイン・インフェルト・ホフマンの方程式(英語版)を導出した。
彗星は大きな離心率を持ち、特に極端なものはサングレーザーと呼ばれる。しばしば彗星は木星との近接散乱により大きな摂動を受けるが、これは円制限三体問題とみなすことができ、ティスランの判定式によって彗星の同一性を判定できる。また彗星が大きな離心率を獲得する機構として古在メカニズムが提案されている。
小惑星などの太陽系小天体の軌道はカオスを示すことでも注目される。小惑星帯の小惑星の多くは小惑星-木星系の、または小惑星-木星-土星系の平均運動共鳴に由来するカオス軌道を持つ。これは軌道要素のカオス拡散といった効果を生じる。
また宇宙塵などの小天体の場合、輻射圧などの重力以外の摂動が軌道進化において重要である場合がある。
天体力学のいくつかの問題(ラグランジュの惑星方程式の導出、軌道共鳴の議論など)にはケプラーの軌道要素ではなく正準共役量を基本変数として用いるハミルトン力学が適している。例えばドロネー変数 ( l , g , h , L , G , H ) {\displaystyle (l,g,h,L,G,H)} は
l = M , L = μ a {\displaystyle l=M,\ \ L={\sqrt {\mu a}}}
g = ω , G = μ a ( 1 − e 2 ) {\displaystyle g=\omega ,\ \ G={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}}
h = Ω , H = μ a ( 1 − e 2 ) cos  I {\displaystyle h=\Omega ,\ \ H={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}\cos I}
摂動として働く力が重力などの保存力である場合、天体の運動方程式は摂動関数または擾乱関数 (英: disturbing function または 英: perturbation function) として知られる関数 R {\displaystyle R} を用いて
d 2 r d t 2 + μ r | r | 3 = ∂ R ∂ r {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+\mu {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}={\frac {\partial R}{\partial \mathbf {r} }}}
と書くことができる。例えば太陽系惑星の場合、 i {\displaystyle i} 番目の惑星の太陽を中心とする座標 (英: heliocentric coordinate system) での位置 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} は、運動方程式
d 2 r i d t 2 + k 2 ( 1 + m i ) r i | r i | 3 = ∂ R i ∂ r i {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}+k^{2}(1+m_{i}){\frac {\mathbf {r} _{i}}{|\mathbf {r} _{i}|^{3}}}={\frac {\partial R_{i}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}}
惑星の公転軌道は第一に太陽の重力によって支配されており、0次近似としては太陽-惑星の二体問題とみなすことができる。この近似では惑星の軌道要素は一定であり、時間変化しない。しかし実際には惑星の軌道は他の惑星の摂動 (英: perturbation) によって変化する。そこである瞬間の惑星の軌道について、その瞬間に運動状態が一致するような仮想的なケプラー軌道を考え、その軌道要素を惑星のその時刻の接触軌道要素 (英: osculating orbital elements) と呼ぶ。接触軌道要素は他の惑星の摂動によって時間変化するため、それを計算することができれば惑星の軌道が求まることになる。このような摂動手法が定数変化法 (英: variation of arbitrary constants) である。