アフィン接続
A の起点を選択した後、これらは R に値を持つ函数すべてであるので、R に値を持つ微分1形式を得る外微分を取ることが可能である。函数 εi は FA の各々の点で R の基底であるので、これらの 1-形式は、Aff(n) 上の実数値 1-形式の集合 (θ,ωj) 1 ≤ i, j, k ≤ n が存在して、
d π = θ 1 ε 1 + ⋯ + θ n ε n d ε i = ω i 1 ε 1 + ⋯ + ω i n ε n {\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {d} \pi &=\theta ^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\theta ^{n}\varepsilon _{n}\\\mathrm {d} \varepsilon _{i}&=\omega _{i}^{1}\varepsilon _{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}\varepsilon _{n}\end{matrix}}}
の形の和として表すことができるはずである。この主バンドル FA → A 上の 1-形式の系は、A 上のアフィン接続を定義する。
外微分を二回とり、εi が線型独立であるということともに、d = 0 であるという事実を使うと、次の関係式が得られる。
d θ j − ∑ i ω i j ∧ θ i = 0 d ω i j − ∑ k ω k j ∧ ω i k = 0.
逆に説明する最も易しい点は、曲面論によりの動機から始めることである。この状況下では、曲面の上を回転する平面がナイーブな意味での接平面であり、接空間の考えは、実際、無限小の概念であり、一方、平面は、R のアフィン部分空間(affine subspace)として、拡張は無限である。しかし、これらのアフィン平面は曲線の接触する点のマークがついていて、平面はこの点で曲面と接する。従って、混乱はマークされた点を持つアフィン空間と点での接空間とを同一視できるということにある。しかしながら、(接平面を)回転させることにより定義される平行移動は、この「原点」を固定するものではない。平行移動は線型というよりもアフィンな移動である。線型な平行移動は(アフィンな)移動に適用することにより再現することができる。
従って、この考え方を抽象化すると、アフィン多様体は n-次アフィン空間 Ax を持つ n-次元多様体 M であり、マークされた点 ax ∈ Ax が各々の x ∈ M に接していて、M の中の曲線 C も沿ったこれらのアフィン空間の移動する元を伴っている。この方法はいくつかの安定な性質をもつことを要求される。
C 上の任意の点 x, y に対し、平行移動は C 上の Ax から Ay へのアフィン移動である。
平行移動は、C 上の任意の点で微分可能であり、その点での C への接ベクトルへ依存しているという点から、無限小として定義される。