チェビシェフの不等式
(X, Σ, μ) を測度空間、f を X 上で定義された拡張実数(無限大を含む)値可測関数とすると、任意の実数 t > 0 に対して
μ ( { x ∈ X : | f ( x ) | ≥ t } ) ≤ 1 t 2 ∫ X f 2 d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu }
となる。より一般的には、g が非負実数値可測関数で、f の範囲で減少しないとすれば、
μ ( { x ∈ X : f ( x ) ≥ t } ) ≤ 1 g ( t ) ∫ X g ∘ f d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu }
となる。最初の式は、ここで g(t) を
g ( t ) = { t 2 if t ≥ 0 0 otherwise {\displaystyle g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if}}~~~t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
で定義し、f の代わりに |f| を用いれば導かれる。
↑ Donald Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms, Volume 1 (3rd ed.). Reading, Massachusetts: Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-89683-1. http://www-cs-faculty.stanford.edu/~uno/taocp.html 2012年10月1日閲覧。
↑ I.-J. Bienaymé (1853). “Considérations àl'appui de la découverte de Laplace”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 37: 309–324.
↑ P. Tchebichef (1867). “Des valeurs moyennes”. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 2 12: 177–184.
↑ Markov A. (1884) On certain applications of algebraic continued fractions, Ph.D. thesis, St. Petersburg.