ローレンツ変換
ここで、 β = v c , γ = 1 1 − β 2 {\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}},\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}} とおくと、x′ = γ(x − βw) であるため、 0 ≤ x ′ ≤ l ⟺ β w ≤ x ≤ β w + l γ {\displaystyle 0\leq x'\leq l\iff \beta w\leq x\leq \beta w+{\frac {l}{\gamma }}} となる。すなわち、t = 0 のとき、片端は x = 0 に、もう片端は x = l γ {\displaystyle x={\frac {l}{\gamma }}} にあるので、観測者 A にとってこの物体の長さは l γ {\displaystyle {\frac {l}{\gamma }}} となることが分かる(なお、観測者 A にとって (x, w) = (0, l) となる点は、右図点線である双曲線 x − w = l と x-軸の交点であることからもローレンツ収縮の影響がわかる)。