プロパゲーター
粒子がスピンを持っていると、そのプロパゲーターは一般的には、スピンや偏極のインデックスを持つように少し複雑となる。量子力学の中で電子を表すファインマン図形を使ったディラック場の運動量空間のプロパゲーターは、次の形となる。
S ~ F ( p ) = ( γ μ p μ + m ) p 2 − m 2 + i ε {\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m) \over p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}
ここに γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} はディラック方程式の共変正を表すガンマ行列である。しばしば、ガンマ行列はファインマンのスラッシュ記法を使い、次のように短く書かれる。
S ~ F ( p ) = 1 γ μ p μ − m + i ε = 1 p / − m + i ε . {\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\epsilon }={1 \over p\!\!\!/-m+i\epsilon }.}
位置空間では、
カットプロパゲーターとしばしば呼ばれる、 Δ ( x − y ) {\displaystyle \Delta (x-y)} の正と負の周波数部分を相対論的不変な方法で定義することができる。
正の周波数部分は次のように定義することができる。
Δ + ( x − y ) = ⟨ 0 | Φ ( x ) Φ ( y ) | 0 ⟩ {\displaystyle \Delta _{+}(x-y)=\langle 0|\Phi (x)\Phi (y)|0\rangle } ,
負の周波数部分は次のように定義することができる。
Δ − ( x − y ) = ⟨ 0 | Φ ( y ) Φ ( x ) | 0 ⟩ {\displaystyle \Delta _{-}(x-y)=\langle 0|\Phi (y)\Phi (x)|0\rangle } .
これらは次の2つの式を満たす。
i Δ = Δ + − Δ − {\displaystyle \,i\Delta =\Delta _{+}-\Delta _{-}}
( ◻ x + m 2 ) Δ ± ( x − y ) = 0. {\displaystyle (\Box _{x}+m^{2})\Delta _{\pm }(x-y)=0.}