ホモトピー群
基本群における合成のアイデアは、1つめの道を辿り引き続いて2つめの道を辿るというもの、あるいは同じことだが、それら2つの定義域を一緒にするというものである。n 次ホモトピー群に対して欲しい合成の概念は次の点を除いて同じである:今定義域は立方体であり、面に沿って貼りあわせなければならない。したがって写像 f, g: [0,1] → X の和を次の式で定義する。
(f + g)(t1, t2, ..., tn) = f(2t1, t2, ..., tn) for t1 in [0,1/2]
(f + g)(t1, t2, ..., tn) = g(2t1 − 1, t2, ..., tn) for t1 in [1/2,1].
球面の場合の対応する定義は、次のようになる。写像 f, g: S → X の和 f + g を、Ψ を h と合成したものと定義する。ここで Ψ は赤道を潰す S から2つの n 次元球面のウェッジ和への写像で、h は1つ目の球面上では f, 2つ目の球面上では g と定義された、2つの n 次元球面のウェッジ和から X への写像である。
n ≥ 2 であれば、πn はアーベル群である。(このことの証明には、2次元以上では、2つのホモトピーを互いの周りに「回転」させることができることに注意しよう。