オイラーの分割恒等式
オイラーは2種類の分割の方法の個数が等しいことを、母関数を用いて示した。自然数 n を互いに異なる自然数に分割する方法の数を Pd(n) とすると
1 + ∑ n = 1 ∞ P d ( n ) x n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + x m ) {\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{d}(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)}
である。また、自然数 n を奇数の自然数に分割する方法の数を Po(n) とすると
1 + ∑ n = 1 ∞ P o ( n ) x n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + ∑ k = 1 ∞ x k ( 2 m − 1 ) ) = ∏ m = 1 ∞ 1 1 − x 2 m − 1 {\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{o}(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+\sum _{k=1}^{\infty }x^{k(2m-1)}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}}
である。従って、オイラーの分割恒等式は
∏ m = 1 ∞ ( 1 + x m ) = ∏ m = 1 ∞ 1 1 − x 2 m − 1 {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}}
と書き表される。