部分リーマン多様体の接続と曲率
I I η ( X , Y ) | P = g ( I I ( X , Y ) , η ) | P {\displaystyle \mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y)|_{P}=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )|_{P}}
を回転行列で対角化した際の固有値を κ 1 , ... , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} とし、 e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} を対応する長さ1の固有ベクトルとする。このとき、 各eiの事を点PにおけるMの主方向(英: principal direction)といい、 κ i {\displaystyle \kappa _{i}} を主方向eiに関する主曲率(英: principal curvature)という。
定義 (ガウス曲率、平均曲率(英語版)) ― 記号を上の定義と同様に取る。このとき、主曲率の第i基本対称式 σ i ( κ 1 , ... , κ m ) {\displaystyle \sigma _{i}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m})} を二項係数 ( n k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}} で割った
H i := 1 ( n k ) σ i ( κ 1 , ... , κ m ) {\displaystyle H_{i}:={1 \over \textstyle {\binom {n}{k}}}\sigma _{i}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m})}
ここで R i c ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Ric} (X,Y)} はMのリッチテンソルであり、HはMの平均曲率ベクトルである。
特にMの余次元が1であれば、前述したワインガルテン写像による第三基本形式の表記を適用することで、以下が成立する事がわかる:
定理 ― M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} が曲率cの定曲率空間で、 M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} が余次元1であれば、以下が成立する。
R i c = ( m − 1 ) c + m H S η − S η 2 {\displaystyle \mathrm {Ric} =(m-1)c+mHS_{\eta }-S_{\eta }{}^{2}}
ここで R i c {\displaystyle \mathrm {Ric} } はリッチテンソル R i c ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Ric} (X,Y)} に対して R i c ( X , Y ) = g ( R i c ( X ) , Y ) {\displaystyle \mathrm {Ric} (X,Y)=g(\mathrm {Ric} (X),Y)} を満たす線形写像であり、ηはMの単位法ベクトルである。
第二に、 I I η ( X , Y ) | P {\displaystyle \mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y)|_{P}} は対称二次形式であるので、次が成立する:
定理 ― (固有値 κ 1 , ... , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} が相異なれば)主方向 e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} は互いに直交する。
第三にワインガルテンの公式から
g ( S η ( X ) , Y ) = g ( I I ( X , Y ) , η ) {\displaystyle g(S_{\eta }(X),Y)=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )}
であるので、明らかに次が成立する:
定理 ― 主曲率および主方向はそれぞれワインガルテン写像の固有値・固有ベクトルに一致する。
よって固有多項式の一般論から、特に次が成立する:
定理 ― 以下の3つの値は等しい:
第i平均曲率は H i {\displaystyle H_{i}}
Sηの固有多項式
d e t ( λ I − S η ) = ∑ i = 0 m ( − 1 ) m − i σ i ( κ 1 , ... , κ m ) λ m − i {\displaystyle \mathrm {det} (\lambda I-S_{\eta })=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\sigma _{i}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m})\lambda ^{m-i}}