線積分
スカラー場 f : U ⊆ R → R の滑らかな曲線 C ⊂ U に沿った線素に関する線積分は
∫ C f d s = ∫ a b f ( r ( t ) ) | r ′ ( t ) | d t {\displaystyle \int _{C}f\,\mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t){\bigr )}{\bigr |}{\boldsymbol {r}}'(t){\bigr |}\,\mathrm {d} t}
と定義する(区分的に滑らかの場合は、滑らかな区間ごとの積分の和と定める)。ただし、r: [a, b] → C は、r(a) と r(b) が与えた曲線 C の両端点となるような、C の勝手な全単射媒介表示とする。
記号 ds は直観的には弧長の無限小成分としての線素と解釈できる。スカラー場の曲線 C に沿った線積分は、C の媒介表示 r の取り方に依らない。
をあわせて考えれば、ベクトル場としての線積分と面積分を考えることができる。
複素正則函数がコーシー=リーマンの方程式を満たすことから、正則函数の共軛に対応するベクトル場の回転は 0 になる。これはどちらの種類の線積分でもそれが 0 になるときのストークスの定理と関連がある。すなわち、ガウス=グリーンの定理を適用すれば複素関数の面積分は、その領域の境界上の線積分に帰着されるため、複素関数の積分では線積分が本質的である。特に正則関数 f の単純閉曲線 γ 上の閉路積分に関するコーシーの定理
∮ γ f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0}
は、γ を境界 ∂D とする領域 D でのグリーンの定理にコーシー・リーマンの関係式を代入することに対応する。