低次元トポロジー
双曲3次元多様体は、完備な定断面曲率 -1 のリーマン計量を持つ3次元多様体(英語版)である。言い換えると、双曲3次元多様体は、3次元双曲空間(英語版)を、それに自由かつ固有不連続に(英語版)作用する双曲的等距離写像の成す適当な部分群で割った商である。クライン模型(英語版)の項を参照。
その thick-thin 分解は、thin 成分として、閉測地線からなる管状近傍およびまたはユークリッド曲面と閉半直線の積となる端点をもつ。多様体が有限体積となるための必要十分条件は、thick 成分がコンパクトになることである。この場合、終点はトーラスと閉じた半直線との交差の形をしていて、尖点と呼ばれる。結び目補空間は最もよく研究されている尖点を持つ多様体である。
結び目理論は、結び目を数学的に研究する。日常生活の中に現れる靴ひもや縄の結び目というのが発端ではあるが、数学者のいう結び目はそれらと違って両端が一つに繋がった輪の形をしていて、それらを切り離すことは許されない。数学的な言い方をすれば、結び目とは円周の三次元ユークリッド空間 R への埋め込みである(我々はいま位相を考えているのだから、この「円周」というのも古典的な幾何学的概念としてのそれに制限されるものでなく、それと同相なものは全て「円周」と呼ぶのである)。数学的な意味での二つの結び目が同値であるとは、R からそれ自身の上への変形(全同位(英語版)と呼ぶ)を通じて一方が他方へ写ることができるときに言う。これらの変形は、結ばれた紐を切ったり自身をすり抜けたりすることなく操作することに対応している。
結び目補空間は、良く研究されている 3次元多様体である。順な結び目(英語版) K の結び目補空間は、結び目を取り巻く 3次元空間である。