確率密度関数
f Y ( y ) = | d x d y | f X ( x ) = | d d y ( x ) | f X ( x ) = | d d y ( g − 1 ( y ) ) | f X ( g − 1 ( y ) ) = f X ( g − 1 ( y ) ) | g ′ ( g − 1 ( y ) ) | {\displaystyle f_{Y}(y)=\left|{\frac {dx}{dy}}\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}(x)\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}(g^{-1}(y))\right|f_{X}(g^{-1}(y))={\frac {f_{X}(g^{-1}(y))}{|g'(g^{-1}(y))|}}}
である。一方、単調写像でない確率密度関数 y は
∑ k = 1 n ( y ) | d d y g k − 1 ( y ) | ⋅ f X ( g k − 1 ( y ) ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n(y)}\left|{\frac {d}{dy}}g_{k}^{-1}(y)\right|\cdot f_{X}(g_{k}^{-1}(y))}
2つの独立な確率変数 U と V の商 Y = U/V は、次のように変換される。
Y = U V {\displaystyle Y={\frac {U}{V}}}
Z = V {\displaystyle Z=V}
この時、同時確率密度関数 p(Y, Z) は U, V を Y, Z に変数変換することで計算でき、Y は同時確率密度関数から Z を周辺化することで導出できる。
その逆変換は、
U = Y Z {\displaystyle U=YZ}
V = Z {\displaystyle V=Z}
である。
この変換のヤコビ行列 J ( U , V | Y , Z ) {\displaystyle J(U,V|Y,Z)} は、
| ∂ U ∂ Y ∂ U ∂ Z ∂ V ∂ Y ∂ V ∂ Z | = | Z Y 0 1 | = | Z | {\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial U}{\partial Y}}&{\frac {\partial U}{\partial Z}}\\{\frac {\partial V}{\partial Y}}&{\frac {\partial V}{\partial Z}}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}Z&Y\\0&1\\\end{vmatrix}}=|Z|}
確率分布はその累積分布関数 F(x) が絶対連続である場合にのみ確率密度関数 f を持つ。この場合 F はほとんど至るところで微分可能で、f は F のラドン=ニコディム微分である:
d d x F ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=f(x)}
累積分布関数が連続の場合、確率変数がある値 a をとる確率 P(X = a) は常に0である。
2つの確率密度関数 f, g がほとんど至るところで等しい時、2つは正確に同じ確率分布から採られたと言える。
統計物理学の分野では、累積分布関数のラドン=ニコディム微分と確率密度関数との関係を非形式的に書いた以下の式が確率密度関数の定義として用いられる。
dt が無限小の時、X が区間(t, t + dt)に含まれる確率は f(t)dt に等しい。
P  ( t < X < t + d t ) = f ( t ) d t . {\displaystyle \operatorname {P} (t<X<t+dt)=f(t)\,dt.}
Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability
The first major treatise blending calculus with probability theory, originally in French: Théorie Analytique des Probabilités.
Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability
The modern measure-theoretic foundation of probability theory; the original German version (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung) appeared in 1933.
Patrick Billingsley(英語版) (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-00710-2
David Stirzaker (2003). Elementary Probability. ISBN 0-521-42028-8
Chapters 7 to 9 are about continuous variables.