モジュラー曲線
種数 0 のモジュラー曲線はモンストラス・ムーンシャイン予想との関係で非常に重要であることが判明した。モジュラー曲線の Hauptmoduln を q-展開した係数の最初のいくつかが、19世紀に既に計算されていたが、最も大きな単純散在モンスター群の表現空間の次元と同じになっていることが、非常に衝撃的である。
もうひとつの関係は、SL(2, R) の Γ0(p) の正規化群 Γ0(p) から定まるモジュラー曲線が種数 0 であることと、p が 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 あるいは、71 であることと同値である。さらにこれらの素数はモンスター群の位数の素因子と一致する。この Γ0(p) についての結果は、ジャン=ピエール・セール(Jean-Pierre Serre), アンドレ・オッグ(英語版)(Andrew Ogg)とジョン・トンプソン(John G. Thompson)が1970年代に発見し、モジュラー群とモンスター群の関係を発見したオッグは、この事実を説明したものには、ジャックダニエル(テネシー・ウイスキー)のボトルを進呈すると論文に記載した。
この関係は非常に深く、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により示されたように、一般カッツ・ムーディリー代数とも深く関係する。この分野の仕事は、至るところで正則でカスプを持つモジュラー形式に対し、有理型でありカスプで極を持つことのできるモジュラー函数の重要性を示している。これらの仕事は、20世紀の重要な研究の対象となった。
モジュラー方程式と呼ばれる、次の性質を持つ整数係数2変数多項式 ΦN(X, Y) が存在する。
ΦN(j, Y) を C(j)[Y] の元と見たとき、これは jN の最小多項式である。
ΦN(X, Y) は既約多項式である。
例えば N = 2 に対しては
Φ 2 ( X , Y ) = X 3 + Y 3 − X 2 Y 2 + 1488 X Y ( X + Y ) − 162000 ( X 2 + Y 2 ) + 40773375 X Y + 8748000000 ( X + Y ) − 157464000000000 {\displaystyle \Phi _{2}(X,Y)=X^{3}+Y^{3}-X^{2}Y^{2}+1488XY(X+Y)-162000(X^{2}+Y^{2})+40773375XY+8748000000(X+Y)-157464000000000}
である。この例からもわかるように ΦN(X, Y) は対称多項式である。この方程式で定義される有理数体上の代数曲線の特異点を解消し完備化したものが X0(N) と同型である。