0の0乗
( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}
は、(第 0 項について和の記法に例外を設けない限り)0 = 1 としたときのみ x = 0 に対して適用可能になる。同様の例として、指数関数の定義式
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
が x = 0 でも妥当であるためには 0 = 1 である必要がある。0 を定義しない文脈においては
e x = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
と定義しなければならない。一般に多項式 Σnk = 0 ak x や冪級数 Σ∞k = 0 ak x に x = 0 を代入する場合にも、0の0乗は 1 とされる。
また他にも、微分の公式 (d/dx)x = nx を n = 1 に対しても適用するには、0 = 1 としなければならない。