リーマン曲率テンソル
となる。
∂ 3 u a ∂ x l ∂ x j ∂ x k = ∂ 3 u a ∂ x j ∂ x l ∂ x k {\displaystyle {\frac {\partial ^{3}u^{a}}{\partial x^{l}\partial x^{j}\partial x^{k}}}={\frac {\partial ^{3}u^{a}}{\partial x^{j}\partial x^{l}\partial x^{k}}}}
から
3階共変1階反変のリーマン曲率テンソル R k j i h {\displaystyle R_{kji}{}^{h}} に基本計量テンソルを掛け合わせて得られる4階共変テンソル R k j i h {\displaystyle R_{kjih}}
R k j i h = ∑ a R k j i a g a h {\displaystyle R_{kjih}=\sum _{a}R_{kji}{}^{a}g_{ah}}
を特にリーマン-クリストッフェルのテンソルと呼ぶことがある。
ここで、
二階共変テンソル Sih に対するリッチの公式は
∇ k ∇ j S i h − ∇ j ∇ k S i h = − ∑ a R k j i a S a h − ∑ a R k j h a S i a {\displaystyle \nabla _{k}\nabla _{j}S_{ih}-\nabla _{j}\nabla _{k}S_{ih}=-\sum _{a}R_{kji}{}^{a}S_{ah}-\sum _{a}R_{kjh}{}^{a}S_{ia}} (二階共変テンソルに対するリッチの公式)
であるが、Sih = gih のとき、リッチの補定理 ∇ k g i h = 0 {\displaystyle \nabla _{k}g_{ih}=0} より
∇ k ∇ j g i h − ∇ j ∇ k g i h = − ∑ a R k j i a g a h − ∑ a R k j h a g i a = 0 {\displaystyle \nabla _{k}\nabla _{j}g_{ih}-\nabla _{j}\nabla _{k}g_{ih}=-\sum _{a}R_{kji}{}^{a}g_{ah}-\sum _{a}R_{kjh}{}^{a}g_{ia}=0}