一般化双曲型分布
平均 μ + βσ、分散 σ の正規分布となる。
双曲型分布(英語版) (HYP) となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。
確率密度関数
g h ( x ; 1 , α , β , δ , μ ) = h y p ( x ; α , β , δ , μ ) = α 2 − β 2 2 δ α K 1 ( δ α 2 − β 2 ) exp  ( − α δ 2 + ( x − μ ) 2 + β ( x − μ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )&=\mathrm {hyp} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}{2\delta \alpha K_{1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\exp(-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu ))\end{aligned}}}
λ=1, α=1, β=0, δ=0 の場合はラプラス分布 Laplace(μ, 1) となる。
モーメント母関数は以下の式で与えられる。
M G H ( u ) = exp  ( u μ ) ( α 2 − β 2 ( α 2 − ( β + u ) 2 ) ) λ / 2 K λ ( δ α 2 − ( β + u ) 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) = exp  ( u μ ) ( ζ ζ u ) λ K λ ( ζ u ) K λ ( ζ ) {\displaystyle {\begin{aligned}M_{GH}(u)&=\exp(u\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\\[0.5em]&=\exp(u\mu )\left({\frac {\zeta }{\zeta _{u}}}\right)^{\lambda }{\frac {K_{\lambda }(\zeta _{u})}{K_{\lambda }(\zeta )}}\end{aligned}}}