ラグランジュ部分多様体
M {\displaystyle M} をn次元シンプレクティック多様体であるとする。 また、 f 1 , ⋯ , f n {\displaystyle \,f_{1},\cdots ,f_{n}\,} を次を満たす M {\displaystyle M} 上の 滑らかな関数たちとしよう。
(i) 互いにポアソン可換である。すなわち、シンプレクティック形式から定まる ポアソン構造に関して、 { f i , f j } = 0 {\displaystyle \,\{f_{i},f_{j}\}=0\,} が成立する。 ポアソン構造に関しては、ポアソン多様体を見よ。
(ii) d f 1 , ⋯ , d f n {\displaystyle \,df_{1},\cdots ,df_{n}\,} は M {\displaystyle \,M\,} 上で一次独立である。 d f i {\displaystyle \,df_{i}\,} は f i {\displaystyle \,f_{i}\,} の外微分を表す。