デデキントゼータ関数
K = Q ( ζ m ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{m})} ( m > 2 ) {\displaystyle (m>2)} とする。
ζ K ( s ) = ∏ χ L ( χ , s ) = ζ ( s ) ∏ χ ≠ χ 0 L ( χ , s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{\chi }L(\chi ,s)=\zeta (s)\!\!\prod _{\chi \neq \chi _{0}}\!\!L(\chi ,s)}
が成立する。ここで、最初の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標全てにわたる積とし、二番目の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標のうち、単位指標以外のもの全てにわたる積である。
さらに、任意の有理数体のアーベル拡大体 K は、ある円分体の部分体であるので(クロネッカー=ウェーバーの定理)、上のことから、 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} は、いくつかのディリクレL関数の積で表すことができる。