ポントリャーギン双対
バナッハ空間 L(G) は畳み込みのもとで結合可換多元環を成す。
この多元環は G の群環として見ることができる。L(G) の完備性により。これはバナッハ環を成す。バナッハ環 L(G) は G が離散群でない限り乗法に関する単位元を持たないが、一般に近似的単位元と呼ばれる、有向集合 I で添字付けられるL(G) 内の有向点族 {ei}i で
f ∗ e i → f {\displaystyle f*e_{i}\to f}
を満たすものが存在する。フーリエ変換は畳み込みを通常の積に移す。つまり
F ( f ∗ g ) ( χ ) = F ( f ) ( χ ) ⋅ F ( g ) ( χ ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi )}
が成立する。特に、G 上の任意の群指標に対してその群環上の乗法的線型汎函数
f ↦ f ^ ( χ ) {\displaystyle f\mapsto {\hat {f}}(\chi )}
が一意的に対応付けられる。群環の重要な性質として、この形で与えられる汎函数はこの群環上の非自明な(すなわち恒等的に零とはならない)乗法的線型汎函数を尽くすということが挙げられる (Loomis, p34)。