特性類
B μ Λ ∗ : H k ( B S O ( n ) , Λ ) ≈ Λ t k ⊕ S ( k ) → H k ( B S O ( 2 ) m , Z ) W ⊗ Λ ≈ Λ r k {\displaystyle B\mu {}_{\Lambda }^{*}~:~H^{k}(BSO(n),\Lambda )\approx \Lambda ^{t_{k}}\oplus S^{(k)}\to H^{k}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )^{W}\otimes \Lambda \approx \Lambda ^{r_{k}}} ...(3)
と書ける。
H ∗ ( S O ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(SO(n);\mathbb {Z} )} は素数 p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} に対し、p-捩れ部分群を持たないので、 G = S O ( n ) {\displaystyle G=SO(n)} 、 T = S O ( 2 ) m {\displaystyle T=SO(2)^{m}} に対してBorelの定理を使う事ができ、
Z = { A ∈ U ( n ) ∣ ∀ B ∈ U ( 1 ) n : φ A ( B ) = B } {\displaystyle Z=\{A\in U(n)\mid \forall B\in U(1)^{n}~:~\varphi _{A}(B)=B\}}
で割った W = N / Z {\displaystyle W=N/Z} を考え、
H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) W := { u ∈ H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) ∣ ∀ [ A ] ∈ W : B φ A | U ( 1 ) n ∗ ( u ) = u } {\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}:=\{u\in H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\mid \forall [A]\in W~:~B\varphi _{A}|_{U(1)^{n}}{}^{*}(u)=u\}}
と定義するとこの定義はWell-definedである。ここで [ A ] ∈ W = N / Z {\displaystyle [A]\in W=N/Z} は同値類を表す。
Zの元Aによる内部自己同型写像 φ A {\displaystyle \varphi _{A}} は U ( 1 ) n {\displaystyle U(1)^{n}} 上の恒等写像なので条件式 φ A ∗ ( u ) = u {\displaystyle \varphi _{A}{}^{*}(u)=u} は [ A ] ∈ N / Z {\displaystyle [A]\in N/Z} の代表元の取り方によらない。
また図式
分類空間への誘導写像の定義より、 B φ C 1 : B S O ( 2 ) → B S O ( 2 ) {\displaystyle B\varphi _{C_{1}}~:~BSO(2)\to BSO(2)} は、 P S O ( 2 ) × φ C 1 S O ( 2 ) {\displaystyle PSO(2)\times _{\varphi _{C_{1}}}SO(2)} = V 2 O R ∞ × φ C 1 S O ( 2 ) {\displaystyle =V_{2}^{O}\mathbb {R} ^{\infty }\times _{\varphi _{C_{1}}}SO(2)} → B S O ( 2 ) {\displaystyle \to BSO(2)} = G ~ 2 R ∞ {\displaystyle ={\tilde {G}}_{2}\mathbb {R} ^{\infty }} の分類写像であった。 C 1 {\displaystyle C_{1}} による共役 φ C 1 : S O ( 2 ) → S O ( 2 ) {\displaystyle \varphi _{C_{1}}~:~SO(2)\to SO(2)} は R ( θ ) {\displaystyle R(\theta )} を R ( − θ ) {\displaystyle R(-\theta )} に写す写像なので、バランス積 P S O ( 2 ) × φ C 1 S O ( 2 ) {\displaystyle PSO(2)\times _{\varphi _{C_{1}}}SO(2)} は
( ( e 1 , e 2 ) , R ( θ ) ) ∼ ( R ( − θ ) ( e 1 , e 2 ) , 1 ) {\displaystyle ((e_{1},e_{2}),R(\theta ))\sim (R(-\theta )(e_{1},e_{2}),1)}
本節では位相群の分類空間のいう概念を導入し、分類空間の概念を用いて主バンドルの特性類の概念を全く別の角度から特徴づける。この分類空間を用いた特性類の定義は、後の節で特性類の具体例を構築する上で非常に有益である。
(なお、実ベクトルバンドルの複素化の場合、奇数次のチャーン類 c 2 i + 1 {\displaystyle c_{2i+1}} は 2 c 2 i + 1 = 0 {\displaystyle 2c_{2i+1}=0} を満たし、よって係数環がΛの場合は必ず c 2 i + 1 = 0 {\displaystyle c_{2i+1}=0} になる)。
一方、 H ∗ ( B S O ( n ) , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )} はnが偶数か奇数で形が異なり、
H ∗ ( B S O ( n ) , Λ ) = { Λ [ p 1 , ... , p ⌊ n / 2 ⌋ ] if n is odd Λ [ p 1 , ... , p ⌊ n / 2 ⌋ , χ ] / ( χ 2 = p ⌊ n / 2 ⌋ ) if n is even {\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )={\begin{cases}\Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor }]&{\text{ if }}n{\text{ is odd}}\\\Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor },\chi ]/(\chi ^{2}=p_{\lfloor n/2\rfloor })&{\text{ if }}n{\text{ is even}}\\\end{cases}}}
と書ける。
はそれぞれ主GLn(K)-バンドル、主U(n)-バンドル、主O(n)-バンドル、主SO(n)-バンドルである。 さらに包含写像
K 1 ⊂ K 2 ⊂ K 3 ⊂ ⋯ {\displaystyle K^{1}\subset K^{2}\subset K^{3}\subset \cdots }
の帰納的極限を
K ∞ := lim m → ∞ K m {\displaystyle K^{\infty }:=\lim _{m\to \infty }K^{m}}
とし、WがKの場合を考えると、これらはそれぞれ普遍GLn(K)-バンドル、普遍U(n)-バンドル、普遍O(n)-バンドル、普遍SO(n)-バンドル(のモデルの1つ)である。
上記の定理に関する留意点を述べる。 K = C , R {\displaystyle K=\mathbb {C} ,\mathbb {R} } に対するGLn(K)の分類空間はU(n)、O(n)の分類空間と同一な空間 G n K ∞ {\displaystyle G_{n}K^{\infty }} である。
これはCW複体上の任意のベクトルバンドルには必ず内積が定義でき、グラム・シュミットの正規直交化法によりGLn(K)がU(n)、O(n)に可縮である事が理由である。
∗ ( u ) {\displaystyle p_{!}{}^{*}(u)} を持つ。 以上から B ι ∗ : H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) → H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) Z 2 {\displaystyle B\iota ^{*}~:~H^{*}(BO(n);\Lambda )\to H^{*}(BSO(n);\Lambda )^{\mathbb {Z} _{2}}} が環同型な事が証明された。
上述の定理から特に、
H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) → H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) → Λ [ γ 1 , ... , γ m ] {\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda )\to H^{*}(BSO(n);\Lambda )\to \Lambda [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]}
は単射である事が従う。この単射における H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda )} の像は、前述のCiの(偶数個または奇数個の)積が作用が誘導する写像、Pσが誘導する写像で不変でなければならないので、H(BSO(n),Λ)のときと同様の議論により、
H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) ≈ Λ [ p 1 , ... , p m ] {\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda )\approx \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{m}]}
が従う。
1つ目の問題を回避するために、以下では H ∗ ( B O ( n ) , Z ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )} を直接考察するのを諦め、 H ∗ ( B O ( n ) , Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} _{2})} と H ∗ ( B O ( n ) , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )} の2つを別々に考察することにする。ここでΛは2の逆元を持つ任意の可換環である。ボックシュタインスペクトル系列(英語版)を使う事で H ∗ ( B O ( n ) , Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} _{2})} と H ∗ ( B O ( n ) , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )} から H ∗ ( B O ( n ) , Z ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} )} を計算できるので、実用上はこの2つに対する特性類が把握できていれば十分である。
2つ目の問題に関しては、 H ∗ ( B O ( n ) ) {\displaystyle H^{*}(BO(n))} と H ∗ ( B S O ( n ) ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n))} とは環構造が異なるので、この2つを両方とも考察する必要がある。
本節では 2 − 1 ∈ Λ {\displaystyle 2^{-1}\in \Lambda } を満たす可換環Λに対し、 H ∗ ( B S O ( n ) , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )} 、 H ∗ ( B O ( n ) , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )} の構造を決定し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する。
を満たす。
上の定理では整数係数のコホモロジーを考えているので、両辺についている「2」を消すことはできない。 2 − 1 ∈ Λ {\displaystyle 2^{-1}\in \Lambda } を満たす可換環Λを係数とするコホモロジーにおいては両辺に2の逆元をかける事で、
p ( ξ ⊕ η ) = p ( ξ ) ⌣ p ( η ) {\displaystyle p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )\smile p(\eta )} in H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda )}
が成立する事がわかる。
また複素ベクトルバンドル ω {\displaystyle \omega } から複素構造を忘れて(英語版)実ベクトルバンドルとみなしたものを ξ {\displaystyle \xi } の脱複素化(英: decomplexification、英: realification)と呼び、 ω R {\displaystyle \omega _{\mathbb {R} }} と書く。 ω R {\displaystyle \omega _{\mathbb {R} }} を再び複素化したベクトルバンドル ( ω R ) C {\displaystyle (\omega _{\mathbb {R} })_{\mathbb {C} }} は ω ⊕ ω ̄ {\displaystyle \omega \oplus {\bar {\omega }}} と同型になる事が知られている。
チャーン類を取り扱う上で、下記のチャーン多項式を考えると便利である:
定義 (チャーン多項式、全チャーン類) ― 上と同様に記号を定義するとき、変数tに対し、
c ( ξ , t ) = c 0 ( ξ ) + c 1 ( ξ ) t + ⋯ + c n ( ξ ) t n {\displaystyle c(\xi ,t)=c_{0}(\xi )+c_{1}(\xi )t+\cdots +c_{n}(\xi )t^{n}}
をξのチャーン多項式(英: Chern polynomial)といい、特に
c ( ξ ) := c ( ξ , 1 ) = c 0 ( ξ ) + c 1 ( ξ ) + ⋯ c n ( ξ ) {\displaystyle c(\xi ):=c(\xi ,1)=c_{0}(\xi )+c_{1}(\xi )+\cdots c_{n}(\xi )}
を全チャーン類(英: total Chern class)という。
なお、チャーン類の定義より、チャーン多項式はチャーン根を使って形式的に
c ( ξ , t ) = ∏ i ( t + α i ) {\displaystyle c(\xi ,t)=\prod _{i}(t+\alpha _{i})}
と因数分解できる。
チャーン多項式を用いると、ホイットニー和の公式は以下のように言い換えられる:
定義 ― 上と同様に記号を定義するとき、以下が成立する:
c ( ξ ⊕ η , t ) = c ( ξ , t ) ⌣ c ( η , t ) {\displaystyle c(\xi \oplus \eta ,t)=c(\xi ,t)\smile c(\eta ,t)}
H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )} の像を決定するため、主バンドル一般に対して成立する以下の事実を利用する:
命題 ― 任意の位相群G、および任意の g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対し、G上の内部自己同型 φ g : h ↦ g h g − 1 {\displaystyle \varphi _{g}~:~h\mapsto ghg^{-1}} がBGに誘導する写像
B φ g : B G → B G {\displaystyle B\varphi _{g}~:~BG\to BG}
は恒等写像とホモトープである。
命題を示すため、まず任意のu ∈ Gに対し、バランス積 P × φ u G {\displaystyle P\times _{\varphi _{u}}G} はG-主バンドルとしてPと同型である事を示す。実際、 P × φ u G {\displaystyle P\times _{\varphi _{u}}G} はP × Gを同値関係 ( a , h ) ≃ ( a g − 1 , φ u ( g ) h ) {\displaystyle (a,h)\simeq (ag^{-1},\varphi _{u}(g)h)} で割ったものとして定義されるので、写像 μ : P → P × φ u G {\displaystyle \mu ~:~P\to P\times _{\varphi _{u}}G} を a ↦ [ ( a u , 1 ) ] {\displaystyle a\mapsto [(au,1)]} により定義すると、任意の [ ( a , h ) ] ∈ P × φ u G {\displaystyle [(a,h)]\in P\times _{\varphi _{u}}G} は ( a , h ) = ( a , φ u ( φ u − 1 ( h ) ) ) ≃ ( a φ u − 1 ( h ) , 1 ) {\displaystyle (a,h)=(a,\varphi _{u}(\varphi _{u^{-1}}(h)))\simeq (a\varphi _{u^{-1}}(h),1)} を満たすのでμは全射である。
係数環が Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} の場合の特性類の記述は比較的簡単であり、 H ∗ ( B O ( n ) ) {\displaystyle H^{*}(BO(n))} と H ∗ ( B S O ( n ) ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n))} の差はさほど大きくなく、
H ∗ ( B O ( n ) , Z 2 ) = Z 2 [ w 1 , ... , w n ] H ∗ ( B S O ( n ) , Z 2 ) = Z 2 [ w 2 , ... , w n ] , w 1 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}H^{*}(BO(n),\mathbb {Z} _{2})&=\mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}]\\H^{*}(BSO(n),\mathbb {Z} _{2})&=\mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}],~~w_{1}=0\\\end{aligned}}}
という形で両者を記述できる。ここで w 1 , ... , w n {\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}} はスティーフェル・ホイットニー類と呼ばれる特性類で、このような w 1 , ... , w n {\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}} の存在はチャーン類の場合と類似した方法で証明できる。ただし第iチャーン類が2i次のコホモロジー群に属するのに対し、第iスティーフェル・ホイットニー類はi次のコホモロジー群に属するので注意が必要である。
スティーフェル多様体 V n W {\displaystyle V_{n}W} の元であるn-フレームにそのフレームの貼る部分空間を対応させる事で商写像
π n : V n W → G n W {\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}W\to G_{n}W}
を定義できる。 π n : V n U W → G n W {\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{U}W\to G_{n}W} 、 π n : V n O W → G n W {\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{O}W\to G_{n}W} 、 π n : V n O W → G ~ n W {\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{O}W\to {\tilde {G}}_{n}W} も同様に定義できる。
定理 (GLn(K)、U(n)、O(n)、SO(n)の分類空間) ― K = C , R {\displaystyle K=\mathbb {C} ,\mathbb {R} } とし、 W {\displaystyle W} をK上の任意の計量ベクトル空間とする。このとき、
π n : V n W → G n W {\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}W\to G_{n}W} 、 π n : V n U W → G n W {\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{U}W\to G_{n}W} 、 π n : V n O W → G n W {\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{O}W\to G_{n}W} 、 π n : V n O W → G ~ n W {\displaystyle \pi _{n}~:~V_{n}^{O}W\to {\tilde {G}}_{n}W}