多項式環
多項式 p の次数は p の式に現れる係数が零でない単項式の最大次数で与えられる。
これらのことは、係数体 K を任意の可換環 R に取り換えても構わない。可換環 R に係数を持つ n-変数多項式の全体 R[X1, ..., Xn] は可換環を成し、n-変数多項式環と呼ぶ(X ≔ (X1, ..., Xn) として、R[X] と書くこともある)。変数の個数 n を特に固定しない場合は多変数多項式環と総称され、対照的に n-変数多項式環のことを階数(自由階数) n の(多変数)多項式環とも呼ぶ。多変数多項式環は一変数多項式環を作る構成を R[X1, ..., Xn−1][Xn] と帰納的に繰り返すことによって得ることもできる。例えば K[X, Y] ≅ K[X][Y] (≅ K[Y][X]) は自然同型である。
体上の多項式環 K[X] は多くの面で整数全体のなす環 Z と非常によく似ている。この類似性と多項式環の算術はガウスによって徹底的に調べられ、ガウスの理論は19世紀後半のクンマー、クロネッカー、デデキントらの手による抽象代数学の発展のモデルとしての役割を果たした。