双有理幾何学
まず、どのようにして有理的でない代数多様体が存在するかを示す方法が明らかではない。これを証明するためには、代数多様体の何らかの双有理不変量を作ることが必要である。
双有理不変量の有益な双有理不変量の一つは多重種数である。次元 n の滑らかな代数多様体 X の標準バンドルは、n-形式のラインバンドルを意味する。
K X = Ω X n , {\displaystyle \,\!K_{X}=\Omega _{X}^{n},}
これは、X の余接バンドルの n 番目の外積である。整数 d に対し、KX の d 番目のテンソル積は、再びラインバンドルとなる。d ≥ 0 に対し、大域的切断のベクトル空間 H(X,KX) は、滑らかな射影多様体の間の双有理写像 f: X – → Y は同型 H(X,KX) ≅ H(Y,KY) を導くという注目すべき性質を持っている。
d ≥ 0 に対し、d 番目の多重種数 Pd をベクトル空間 H(X,KX) の次元として定義すると、多重種数は滑らかな射影多様体に対する双有理不変量である。特に、d > 0 について多重種数 Pd がゼロでないならば、X は有理的ではない。
基本的な双有理不変量が小平次元で、d が無限大となるときの多重種数 Pd の増加する大きさを測る量である。