逆数
逆数(ぎゃくすう、英: reciprocal)とは、ある数に掛け算した結果が 1 となる数である。すなわち、数 x の逆数 y とは次のような関係を満たす。
x × y = y × x = 1. {\displaystyle x\times y=y\times x=1.}
通常、x の逆数は分数の記法を用いて 1/x のように表されるか、冪の記法を用いて x のように表される。
1 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元(じょうほうぎゃくげん、英: multiplicative inverse)の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。
上述の式から明らかなように、x と y の役割を入れ替えれば、x は y の逆数であると言える。従って、x の逆数が y であるとき y の逆数は x である。
x が 0 である場合、任意の数との積は 0 になるため、(0 ≠ 1 であれば)0 に対する逆数は存在しない。
また、任意の x について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は x = y = 1 以外には存在しない。0 を除く任意の数 x について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。
逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。
1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの(代数的構造)はループと呼ばれる。
a × b ≡ 1 ≡ a φ ( m ) = a × a φ ( m ) − 1 ( mod m ) {\displaystyle a\times b\equiv 1\equiv a^{\varphi (m)}=a\times a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}}
なので、
b ≡ a φ ( m ) − 1 ( mod m ) {\displaystyle b\equiv a^{\varphi (m)-1}{\pmod {m}}}
(ここで φ はオイラーのφ関数)であり、逆に a と m が互いに素であれば、この式によって逆数が与えられる。特に、m が素数の場合以下のようになる(フェルマーの小定理から直接導かれる)。
b ≡ a m − 2 ( mod m ) . {\displaystyle b\equiv a^{m-2}{\pmod {m}}.}
また、ユークリッドの互除法によっても効率的に求めることができる。定義式は、以下のベズーの等式(ディオファントス方程式の一種)が b と n について整数解を持つことと同値である。
a × b + m × n = 1. {\displaystyle a\times b+m\times n=1.}
この式の解は、a と m が互いに素である場合、かつその場合に限り存在する。