隣接代数 (順序理論)
正整数全体の成す集合 N に整除関係 ⊰ で順序を入れた半順序集合の接合代数におけるメビウス関数は a が b を割り切る (a ⊰ b) ような任意の (a, b) に対して μ(a,b) = μ(b⁄a) で与えられる。ただし右辺の μ は、19世紀に数論に導入された古典的なメビウス関数である。メビウス反転はメビウスの反転公式として与えられる。
適当な集合 E の有限部分集合全体の成す集合 Pfin(E)(これは幾何学的には超立方体 2)に包含関係 ⊆ で順序を入れた半順序集合の接合代数におけるメビウス関数は S ⊆ T なる E の有限部分集合の任意の対に対して μ(S,T) = (−1) で与えられる。このときのメビウス反転は包含と切除の原理と呼ばれるものである。
自然数全体の成す集合 N に通常の大小関係 ≤ で順序を入れた半順序集合(これは幾何学的には離散数直線)の接合代数において、メビウス関数は μ ( x , y ) = { 1 if y − x = 0 , − 1 if y − x = 1 , 0 if y − x > 1 {\displaystyle \mu (x,y)={\begin{cases}1&{\text{if }}y-x=0,\\-1&{\text{if }}y-x=1,\\0&{\text{if }}y-x>1\end{cases}}} で与えられる。