作用素
ベクトル解析においてしばしば用いられる三つの作用素を挙げておこう:
勾配 grad(あるいは記号的に ∇)はスカラー場の各点に対して、その点における変化率が最大の方向を向きとしその最大変化率の絶対値を大きさとするベクトルを割り当てる。
発散 div(あるいは記号的に ∇·)はベクトル場の各点における場の発散または収斂の度合いを測るベクトル作用素である。
回転 curl, rot(あるいは記号的に ∇×)はベクトル場の各点においてその点の周りでの場の回転の度合いを測るベクトル作用素である。
物理学や工学への応用においては、ベクトル解析のテンソル空間への拡張として作用素 grad, div, curl はテンソル解析においてもベクトル解析同様に用いられる。
数学における作用素(さようそ、英: operator)は、しばしば写像、函数、変換などの一般化として用いられる。函数解析学においては主にヒルベルト空間やバナッハ空間上の(必ずしも写像でない部分写像の意味での)線型変換を単に作用素と呼ぶ。そのような空間として特に函数空間と呼ばれる函数の成す無限次元線型空間は典型的であり(同じものを物理学の分野、特に量子力学などでは演算子(えんざんし)と呼ぶ)、このとき、作用素を関数を別の関数にうつす写像として理解することができる。定義されているベクトル空間の係数体に値をとる作用素は汎函数(はんかんすう、functional)と呼ばれる。
また、群や環が空間に作用しているとき、群や環の各元が定める空間上の変換、あるいはその変換が引き起こす関数空間上の変換のことを作用素ということがある。