ルベーグ積分
山の等高線を地図にする。等高線にそって地図を裁断して、地図をいくつかのパーツに分解する。各パーツは面積を計算できる平面図形なので(測度が分かっているので)、パーツの面積とそのパーツの最も低い点の標高を掛け合わせる。各パーツのこの値を足したものを「ルベーグ和」と呼ぶことにする。この「ルベーグ和」はルベーグ積分の構成にあった、単関数の積分に相当する。等高線の間隔を半分にしていったときの「ルベーグ和」の極限値が山の体積になる。
実数の定数列 ak と μ-可測集合列 Sk から作られる、有限線型結合
を可測単函数と呼ぶ。可測単函数の積分は、指示函数の積分を線型に拡張したもので与えられる。より詳しく書けば、非負値可測単函数(すなわち ak > 0 (∀k) の場合)に対する積分は
で定める。ここで、 0 × ∞ {\displaystyle 0\times \infty } の不定形が生じる場合が想定できるが、規約として 0 × ∞ = 0 {\displaystyle 0\times \infty =0} を用いるものとする。また前目と同じく積分は ∞ {\displaystyle \infty } となり得る。
与えられた単函数を指示函数の線型結合として表す方法が複数あったとしても、上記のように定義した積分が常に同じ値となることに留意する。これは測度の加法性からくるものである。
非負とは限らない一般の実数値単函数の場合も同様なのであるが、不定形 ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty } の値は「定義しない」(あるいは「無意味」)として扱うので、それが現れることは避けなければならない。よって、非負とは限らない f であってもそれを
と表したとき「ak ≠ 0 となる場合には必ず μ ( S k ) ≤ ∞ {\displaystyle \mu (S_{k})\leq \infty } 」とできるという仮定を満たすものであれば、上で述べた積分の定義式は意味を為し、非負値の場合と同様に表し方に依らず定まる。 X の可測部分集合 B と可測単函数 s に対して、積分領域 B 上の s の積分は
で与えられる。
ルベーグ積分はこの重要な仕事をするために必要な正しい抽象化を与える。例えば、フーリエ級数などの関数列の極限として表される関数に対して、積分と極限操作が可換となるかどうかをリーマン積分で考えると非常に繊細な議論が必要だが、ルベーグ積分では、積分と極限操作の交換が可能であるための簡単な十分条件が分かっている。
ルベーグ積分は実解析と呼ばれる数学の分野に属する確率論や、他の多くの数理科学分野において、重要な役割を果たす。ルベーグ積分という名前は、その積分を導入した数学者アンリ・ルベーグ (Henri Lebesgue, 1875–1941) に由来している。それはまた公理的確率論(英語版)の中枢部でもある。
「ルベーグ積分」(Lebesgue integration) という用語は、カラテオドリに始まる一般の測度に関する関数の積分の一般論を意味することもあるし、ルベーグ測度に関して実数直線(あるいは n-次元ユークリッド空間)の特定の部分集合(特にルベーグ可測集合)上定義されたルベーグ可測関数を積分するという特定の場合を意味することもある。
W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw Hill, 1966.
↑ Very thorough treatment, particularly for probabilists with good notes and historical references.
↑ A classic, though somewhat dated presentation.
↑ Includes a presentation of the Daniell integral.
↑ Good treatment of the theory of outer measures.
↑ Known as Little Rudin, contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as Fubini's theorem.
↑ Known as Big Rudin. A complete and careful presentation of the theory. Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.