類関数
G をコンパクト群として、その上のハール測度 λ を平行移動不変な唯一の確率測度として定義する。L(G) は G 上の自乗 λ-可積分函数全体の成すヒルベルト空間とすれば、この空間上に以下の二つの演算を入れることができる:
結合的、分配的で定数函数 1 を単位元とする畳み込み積 f ∗ g ( s ) = ∫ G f ( t ) g ( s t − 1 ) d λ ( t ) ( f , g ∈ L 2 ( G ) ) , {\displaystyle f*g(s)=\int _{G}f(t)g(st^{-1})d\lambda (t)\quad (f,g\in L^{2}(G)),}
対合 f ∗ ( s ) = f ( s − 1 ) ̄ ( f ∈ L 2 ( G ) ) . {\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\quad (f\in L^{2}(G)).}
これらにより L(G) は対合バナハ環となり、さらにヒルベルト環(ドイツ語版、英語版)を成す。