0.999...
0.999... が 1 に等しいことを証明するには、それらの差が 0 であることを証明すればよい。その分、無数に並ぶ 9 についての定義はぼやけるが、初等的かつ解析的に導くことができる。
1 − 0.999 ⋯ = lim n → ∞ 1 − 0. 99 ⋯ 9 ⏟ n = lim n → ∞ 1 − ( 1 − 0. 00 ⋯ 1 ⏟ n ) = lim n → ∞ 0. 00 ⋯ 1 ⏟ n = lim n → ∞ { ( 1 10 ) n } = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}1-0.999\cdots &=\lim _{n\to \infty }1-0.\underbrace {99\cdots 9} _{n}\\&=\lim _{n\to \infty }1-(1-0.\underbrace {00\cdots 1} _{n})\\&=\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {00\cdots 1} _{n}\\&=\lim _{n\to \infty }\left\{\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}\right\}\\&=0\qquad \qquad \end{aligned}}}
なお、この証明では、最後に
lim n → ∞ ( 1 10 ) n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}=0}
であることを証明抜きで用いている。
これを証明するためには、実解析における実数の連続性(アルキメデスの性質)が必要となる。
{ y n } := { 0 , 0.9 , 0.99 , 0.999 , ⋯ } {\displaystyle \{y_{n}\}:=\{0,0.9,0.99,0.999,\cdots \}}
が同値である、すなわち
lim n → ∞ ( x n − y n ) = lim n → ∞ ( 1 10 ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}-y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}}
が 0 に収束することを証明することである。
この極限は単純で、数列の極限の定義により示される。こうして、やはり 0.999... = 1 が示されたことになる。
コーシー列による実数の定義は、最初に(いずれも)1872年にエドゥアルト・ハイネとゲオルク・カントールにより独立に発表された。0.999... = 1 の証明を含む、小数展開による上記のアプローチは1970年にグリフィス (Griffiths) とヒルトン (Hilton) の書いた教科書 A comprehensive textbook of classical mathematics: A contemporary interpretation (「古典数学に関する総合教科書:現代的解釈」)に従っている。この教科書は、よく知られた概念について、現代の観点から再検討することを主眼に書かれている。
別の方法は、引き算はいつでもできるわけではなくて「1 − 0.999... は存在しない」としてしまうことである。加法をもつが減法をもたない数学的構造には、可換半群、可換モノイド、半環 などが含まれる。リッチマンは 0.999... < 1 となるようにデザインされた、そのような2つの構造を考えた。
まず、リッチマンは負でない"十進数"を文字通り小数展開となるように定義する。彼は辞書式順序と加法を定義した。ここでは 0.999... < 1 であることに注意する。なぜなら単に、一の位において 0 < 1 となるからである。しかし、どんな「無限小数」x に対しても 0.999... + x = 1 + x である。だから、"十進数"に特徴的なこととして、一つは加法が必ずしも打ち消し合わないということであり、もう一つは 1/3 に対応する"十進数"は存在しないということである。
デデキント切断のアプローチでは、任意の実数 x は、「x より小さい有理数全体からなる無限集合」と定義される。この考え方では、実数 1 は「1 より小さいすべての有理数の集合」となる。
正の数でのデデキント切断は、その小数展開により得られる。小数表示を適当な位までで切って得られる有理数を使い、それより小さい有理数全体の和集合を作ればいいのである。この方法で実数 0.999... というものが何であるかを考えるなら、r < 0, r < 0.9, r < 0.99, ...(つまり、ある自然数 n に対して、r < 1 − (1/10) を満たす有理数 r すべてが作る集合)として定義されるということになる。0.999... より小さい有理数すべては 1 より小さいので、これは実数 1 の元に含まれる。一方、実数 1 の元となる任意の有理数
a b < 1 {\displaystyle {\frac {a}{b}}<1}
(b ≥ 1) を考えると、
a b = 1 − b − a b ≤ 1 − 1 b < 1 − ( 1 10 ) b {\displaystyle {\frac {a}{b}}=1-{\frac {b-a}{b}}\leq 1-{\frac {1}{b}}<1-\left({\frac {1}{10}}\right)^{b}}
となるため、a/b は 0.999.
1998年に Vilmos Komornik とパオラ・ロレティ (Paola Loreti) はこのような最小の基数として q = 1.787231650... を決定した。この基数においては、1 = 0.11010011001011010010110011010011... であり、この数はトゥエ・モース列 (Thue-Morse sequence) を与える。これは循環しない。
さらに変則的な規則に基づく記数法 (the most general positional numeral systems) においても 0.999 = 1 に相当する結果が得られる。これらもまた多様な表現をもつので、ある意味で扱いはさらに困難である。例えば、
平衡三進法 (balanced ternary system) においては、1/2 = 0.111... = 1.111...
階乗進法 (factorial number system) においては、1 = 1.000... = 0.1234...
マルコ・ペトカイゼク (Marko Petkovšek) は、そのように一つの数が複数の方法で表せるということは位取り記数法を用いることの必然的な結果であると述べ、すべての実数を扱う任意の位取り記数法において複数の表現をもつ実数の集合は常に稠密であることを証明した。彼はこの証明を「一般位相空間に関する初級の教育的な練習問題」と呼んだ。それは、位取り記数法の値の集合を Stone空間と見ること、その実数表現が連続関数によって与えられることに気づくことを、その証明が含んでいるからである。
単位区間 [0, 1] の点は、三進法で 0 と 2 のみを用いて表現される場合に限りカントール集合に属するという。
小数第 n 位の数字は、この構成における第 n 段階の点の位置に反映する。例えば、点 2/3 は通常の 0.2 または 0.2000... として表現される。なぜなら、それは最初の欠損部分の右側に位置し、それ以後のすべての欠損部分の左に位置するからである。また、点 1/3 は 0.1 ではなく 0.0222... として表現される。なぜなら、それは最初の欠損部分の左側に位置し、それ以後のすべての欠損部分の右側に位置するからである。
9 の繰り返しはカントールのもう一つの仕事にさえも現れる。彼が1891年に対角線論法を適用して単位区間 [0, 1] の非可算性の適切な証明を与えたことを考慮しなければならない。このような証明ではある2つの実数が小数表現において異なることを言明することが必要とされる。したがって、0.2 と 0.1999... のような組を避けなければならない。簡単な方法においては、すべての数を無限小数で表すが、それに対する方法では 9 が最後に連続することを排斥する。カントール独自の議論に近いといえる証明の変形では実際に2進表現を用いており、3進表現を2進表現に変えることによりカントール集合の非可算性を同様に証明することができる。