群環
この集合 R[G] 上に項ごとの和 ( ∑ g ∈ G a g g ) + ( ∑ g ∈ G b g g ) := ∑ g ∈ G ( a g + b g ) ⋅ g {\displaystyle (\sum _{g\in G}a_{g}\,g)+(\sum _{g\in G}b_{g}\,g):=\sum _{g\in G}(a_{g}+b_{g})\cdot g} を加法とし、G の積を線型に拡張した ( ∑ g ∈ G a g g ) ( ∑ g ∈ G b g g ) := ∑ g , h ∈ G ( a g b h ) ⋅ g h = ∑ g ∈ G ( ∑ h ∈ G a h b h − 1 g ) ⋅ g {\displaystyle (\sum _{g\in G}a_{g}\,g)(\sum _{g\in G}b_{g}\,g):=\sum _{g,h\in G}(a_{g}b_{h})\cdot gh=\sum _{g\in G}(\sum _{h\in G}a_{h}b_{h^{-1}g})\cdot g} を乗法とする環を成し、さらにスカラー倍 r ⋅ ( ∑ g ∈ G a g g ) := ∑ g ∈ G ( r a g ) ⋅ g {\displaystyle r\cdot (\sum _{g\in G}a_{g}\,g):=\sum _{g\in G}(ra_{g})\cdot g} により R 上の多元環(線型環)を成す。この多元環 R[G] を G 上の R-係数の群環、G で生成される R 上の群環などと呼ぶ。
(離散位相に関して)群 G 上の R-値コンパクト台付き連続函数全体の成す空間 Cc(G; R) の元 f は、群 G から可換環 R への写像 f: G → R であって、有限な台を持つ(つまり有限個の例外を除き f(g) = 0 (g ∈ G) となる)ようなものである。
↑ これは少々紛らわしいが、任意の群環は係数環の中心上の群多元環となるから、その文脈で何を係数環としているかが明らかならば混乱の虞は無いであろう。
↑ 特に群 G が加法的に書かれている場合、群環における乗積表は eg⋅eh = eg+h から得られるが、群の元 g を生成元 eg と同一視する記法では、群の演算と群環の形式和の区別が紛らわしい。