連続写像
実関数、すなわち定義域と値域がともに実数直線上にある関数 f(x) が x = a を含む区間で定義されているとき、座標平面上にそのグラフを描くことができるが、a における連続性とは、『数直線上の左から x = a に近づいたときの極限値と、数直線上の右から x = a に近づいたときの極限値が一致して、しかも f(a) に等しいこと』であり、関数の極限を用いて以下の等式で定義される。
lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
これはε-δ論法によって次のように言い換えることができる。
任意の正の実数 ε について、適切に正の実数 δ をとることで、f の定義域に含まれて |x − a| < δ を満たす全ての x ≠ a について |f(x) − f(a)| < ε が成り立つ。
これはつまり、どれだけ小さな正の実数 ε に対しても「a との誤差が δ 未満である x ≠ a を持ってくれば、f(a) との誤差が ε 未満であることが保証された f(x) を得られる」ような正の実数 δ が存在するということを意味する。
と書いても同じである。写像 f が X のすべての点において連続であるならば、f を連続写像という。
連続写像は近傍系以外の位相的構造を用いて定義することもできる。位相空間 (X, OX) と (Y, OY) の間の写像 f: X → Y について、以下の3条件は互いに同値である。
Y の任意の開集合 O に対して、その逆像 f(O) が X の開集合である。
Y の任意の閉集合 F に対して、その逆像 f(F) が X の閉集合である。
X の任意の点 x について、f(x) の任意の近傍 V の逆像 f(V) が x の近傍である。
このことから、開集合や閉集合を用いて連続写像を定義することもできる。特に、位相を開集合によって定義する流儀が多いことに伴い、開集合を用いた定義が採用されることが多い。
他に、各部分集合 A ⊆ X にその閉包を割り当てる閉包作用素(英語版) cl や、開核を割り当てる開核作用素 int も位相を定めるが、これらを用いると、位相空間の間の写像
f : ( X , c l ) → ( X ′ , c l ′ ) {\displaystyle f\colon (X,\mathrm {cl} )\to (X',\mathrm {cl} ')}
が上記の意味で連続となるための必要十分条件は、任意の部分集合 A ⊆ X に対して
f ( c l ( A ) ) ⊆ c l ′ ( f ( A ) ) {\displaystyle f(\mathrm {cl} (A))\subseteq \mathrm {cl} '(f(A))}
が成り立つことである。これはつまり、X の与えられた元 x が任意の部分集合 A の閉包に属す限りにおいて、f(x) は必ず f(A) の閉包に属すことを言っている。これはまた X′ の任意の部分集合 A′ に対して
f − 1 ( c l ′ ( A ′ ) ) ⊇ c l ( f − 1 ( A ′ ) ) {\displaystyle f^{-1}(\mathrm {cl} '(A'))\supseteq \mathrm {cl} (f^{-1}(A'))}
を満足することを課すのと同値である。あるいは開核作用素を用いて、写像
f : ( X , i n t ) → ( X ′ , i n t ′ ) {\displaystyle f\colon (X,\mathrm {int} )\to (X',\mathrm {int} ')}
が連続となる必要十分条件を、任意の部分集合 A ⊆ X に対し
f − 1 ( i n t ′ ( A ) ) ⊆ i n t ( f − 1 ( A ) ) {\displaystyle f^{-1}(\mathrm {int} '(A))\subseteq \mathrm {int} (f^{-1}(A))}
が満足されることと述べることもできる。
なお、x ≠ a の条件は無くてもよい。
関数 f(x) が定義域上のすべての点において連続であるとき、これを連続関数と呼ぶ。
以下に挙げるように、連続関数を組み合わせてできる様々な関数が再び連続関数になることが知られている。
関数 f(x) と g(x) がいずれも a において連続であるとき、以下の関数もまた a において連続である。これは一般の位相空間上で定義される実数値関数においても成立する。 k f(x) + l g(x)(k と l は実数) f(x) · g(x) f(x) / g(x)(ただし g(a) ≠ 0)
関数 f(x) が a において連続で、 g(x) が b = f(a) において連続であるとき、合成関数 (g ∘ f)(x) = g(f(x)) もまた a において連続である。これは位相空間の間の写像について一般に成立する。つまり、連続写像の全体は合成について閉じている。