ネイピア数の表現
ここに n 番目の因子は次の積 の n 乗根である。
∏ k = 0 n ( k + 1 ) ( − 1 ) k + 1 ( n k ) {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}}
III. 無限乗積:
e = 2 ⋅ 2 ( ln  ( 2 ) − 1 ) 2 ⋯ 2 ln  ( 2 ) − 1 ⋅ 2 ( ln  ( 2 ) − 1 ) 3 ⋯ . {\displaystyle e={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}
ネイピア数 e は次のような級数で表される。
e = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! {\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}
e = [ ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! ] − 1 {\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{-1}}
e = [ ∑ k = 0 ∞ 1 − 2 k ( 2 k ) ! ] − 1 {\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}
e = 1 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 k ! {\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}
e = 2 ∑ k = 0 ∞ k + 1 ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}
e = ∑ k = 0 ∞ 3 − 4 k 2 ( 2 k + 1 ) ! {\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}
e = ∑ k = 0 ∞ ( 3 k ) 2 + 1 ( 3 k ) !