四平方定理
この他に1,3,5,9,11,17,29,41も四個の正の平方数の和で表されない。しかしながら、34以上の全ての自然数は五個の正の平方数の和で表される。34以上169未満の整数が五個の正の平方数の和で表されることは個別に確かめられる。169以上の整数Nについては、
169 = 13 2 = 5 2 + 12 2 = 3 2 + 4 2 + 12 2 = 1 2 + 2 2 + 8 2 + 10 2 = 1 2 + 2 2 + 2 2 + 4 2 + 12 2 {\displaystyle {\begin{aligned}169&=13^{2}\\&=5^{2}+12^{2}\\&=3^{2}+4^{2}+12^{2}\\&=1^{2}+2^{2}+8^{2}+10^{2}\\&=1^{2}+2^{2}+2^{2}+4^{2}+12^{2}\\\end{aligned}}}
であるから、N-169がk個の平方数の和で表されるときに169を5-k個の平方数の和の和で表すとすれば、Nが五個の正の平方数の和で表されることになる。