ゴレンシュタイン環
Gorenstein 環 は可換環であって素イデアルにおける各局所化が Gorenstein 局所環であるようなものである。Gorenstein 環の概念はより一般的なコーエン・マコーレー環の特別な場合である。
古典的な定義は:
局所コーエン・マコーレー環 R は既約イデアルを生成する極大イデアルにおいて極大R-正則列が存在するときに Gorenstein と呼ばれる。
クルル次元 n のネーター可換局所環 ( R , m , k ) {\displaystyle (R,m,k)} に対して、以下は同値である。
R {\displaystyle R} は R {\displaystyle R} -加群として移入次元が有限である。
R {\displaystyle R} は R {\displaystyle R} -加群として移入次元が n {\displaystyle n} である。
i ≠ n {\displaystyle i\neq n} に対して Ext R i  ( k , R ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0} であり Ext R n  ( k , R ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)} は k {\displaystyle k} と同型。
ある i > n {\displaystyle i>n} に対して Ext R i  ( k , R ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0}
すべての i < n {\displaystyle i<n} に対して Ext R i  ( k , R ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0} であり Ext R n  ( k , R ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)} は k {\displaystyle k} と同型。
R {\displaystyle R} は n {\displaystyle n} -次元 Gorenstein 環。
(可換とは限らない)環 R は左 R-加群としても右 R-加群としても R の入射次元が有限なときに Gorenstein と呼ばれる。R が局所環であれば、R を局所 Gorenstein 環という。