形式的冪級数
N を非負整数全体の集合とし、配置集合 A すなわち N から A への関数(A に値を持つ数列)全体を考える。この集合に対し
( a n ) n ∈ N + ( b n ) n ∈ N := ( a n + b n ) n ∈ N ( a n ) n ∈ N ⋅ ( b n ) n ∈ N := ( ∑ k = 0 n a k b n − k ) n ∈ N {\displaystyle {\begin{aligned}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }&:=(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\cdot (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }&:=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }\end{aligned}}}
によって演算を定めると、A は環になることが確かめられる。これが形式的冪級数環 A[[X]] である。
ここでの (an) は上の ∑anX と対応する。