絶対収束
これは ∑ i = 1 ∞ a σ ( i ) = A {\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A} を意味する。(証明終り)
実または複素数列に対しては、リーマンの級数定理の対偶として、無条件収束から絶対収束が導かれることも言える。すなわち、実または複素数列に対しては無条件収束と絶対収束は同値である。さらに、有限次元ノルム空間に値を持つような級数は、各次元に射影した成分が絶対収束するなら絶対収束するから、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 値の列に対して絶対収束性と無条件収束性が同値であることを導くのは容易である。
一般のノルムつきアーベル群G上の列においては、絶対収束と無条件収束は区別される。完備なノルム空間であっても無条件収束から絶対収束は導かれない。例えばヒルベルト空間 l 2 {\displaystyle \ell ^{2}} において、 { e n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }} を直交基底としたときの列 a n = 1 n e n {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}e_{n}} による級数は無条件収束するが絶対収束はしない。もっと一般に、Dvoretzky–Rogersの定理によれば、すべての無限次元バナッハ空間には無条件収束するが絶対収束しないような級数が存在する。
任意のバナッハ空間 (X, ‖ • ‖) において、絶対収束する級数は収束する
ノルム ‖ • ‖ に対する三角不等式から ‖ ∑ k = 1 m x k − ∑ k = 1 n x k ‖ = ‖ ∑ k = n + 1 m x k ‖ ≤ ∑ k = n + 1 m ‖ x k ‖ < ε {\textstyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon } が直ちに得られるから、 ∑ k = 1 n x k {\textstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}} は X 内のコーシー列であり、したがって X において収束する。
逆に、絶対収束⇒収束が成り立つノルム空間はノルムの導く距離に関して完備、したがってバナッハ空間となることが示せる。
an は G 上のコーシー列とする。そこで an のある部分列 ank で ‖ ank − ank − 1 ‖ < 2 となるようなものが取れる。