ワイルの補題 (ラプラス方程式)
Ω {\displaystyle \Omega } を n {\displaystyle n} -次元ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} のある開部分集合とし、 Δ {\displaystyle \Delta } は通常のラプラス作用素を表すものとする。ワイルの補題では、コンパクトな台を持つすべての滑らかなテスト函数 φ ∈ C c ∞ ( Ω ) {\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )} に対して、次の式
∫ Ω u ( x ) Δ φ ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\Delta \phi (x)\,dx=0}
を満たす意味でラプラス方程式の弱解となるある局所可積分函数 u ∈ L l o c 1 ( Ω ) {\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )} が存在するなら、(測度 0 の集合上での定義の違いを除いて) u ∈ C ∞ ( Ω ) {\displaystyle u\in C^{\infty }(\Omega )} は滑らかであり、 Ω {\displaystyle \Omega } 内の各点で Δ u = 0 {\displaystyle \Delta u=0} を満たすことが示されている。
この結果は、 Ω {\displaystyle \Omega } における調和函数の内部正則性(interior regularity)を意味するが、境界 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } 上での正則性については何も示されていない。