ハーン–バナッハの定理
定理の最も一般な定式化においては、いくつかの準備が必要とされる。実数体 R 上のベクトル空間 V に対し、関数 ƒ : V → R が劣線形(英語版)であるとは、
任意の γ ∈ R + {\displaystyle \gamma \in \mathbb {R} _{+}} および x ∈ V に対して f ( γ x ) = γ f ( x ) {\displaystyle f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)} が成立する(正同次性)
任意の x, y ∈ V に対して f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)} が成立する(劣加法性)
が成立することを言う。
V 上のすべての半ノルム(特に、V 上のすべてのノルム)は劣線形である。他の劣線形関数、特に凸集合のミンコフスキー汎関数なども同様に有用なものとなりうる。
ハーン-バナッハの定理は次のようなものである: N : V → R {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}:\;V\to \mathbb {R} } が劣線形関数で、φ: U → R が線形部分空間 U ⊆ V 上の線形汎関数であり、U 上では φ は N {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}} によって支配されるようなもの、すなわち
数学におけるハーン–バナッハの定理(ハーン–バナッハのていり、英: Hahn–Banach theorem)は、関数解析学の分野における中心的な道具で、ベクトル空間の部分空間上で定義される有界線形汎関数が全空間へ拡張できることについて述べたものである。これにより、どのようなノルム線形空間においても、その上で定義される連続線形汎関数が、双対空間の研究を「面白い」ものにするに「十分」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン–バナッハの分離定理あるいは分離超平面定理と呼ばれるものがあり、凸幾何学(英語版)の分野で多く用いられている。
定理の名前の由来は、1920年代後半にそれぞれ独立にこの定理を証明したハンス・ハーンとステファン・バナッハである。定理の特別な場合については、より早い段階(1912年)でエードゥアルト・ヘリーによって証明されており、またこの定理が導出されるようなある一般の拡張定理が、1923年にマルツェル・リースによって証明されていた。