調和級数
L T = ( T + 1 ) ∑ n = 1 T 1 n {\displaystyle L_{T}=(T+1)\sum _{n=1}^{T}{\frac {1}{n}}}
となる。一方、T 分後のゴムひもの長さは 100(T +1) センチメートルだから、芋虫が端点に到着できるのは、
( T + 1 ) ∑ n = 1 T 1 n ≥ 100 ( T + 1 ) {\displaystyle (T+1)\sum _{n=1}^{T}{\frac {1}{n}}\geq 100(T+1)}
となるとき、すなわち
1 100 ∑ n = 1 T 1 n ≥ 1 {\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{T}{\frac {1}{n}}\geq 1}
となるときである。この級数は T を大きくすればいくらでも大きくすることができるから、十分大きな T に対して上の式は成り立つ。すなわち芋虫は端まで到達できることになる。ただし、そのようなことになるためには n の値を極めて大きくする必要がある。具体的には、後述の積分判定法のところで見るように、左辺の Σ の和は ln (T +1) よりわずかに大きな値をとるので、およそ e ≒ 10 分でやっと端に到達できることになる。
別な例として「まったく同じドミノの集まりが与えられたとき、それをテーブルの縁に積み上げることができるのは明らかだが、それではテーブルのへりを(どの程度)張り出すように積めるか」というものが挙げられる。この直観的でない結果というのは、「ドミノが十分あれば、いくらでも好きなだけ張り出させることができる」である。
史実として、調和級数が発散することの最初の証明は14世紀のニコル・オレームによるものだが、これには誤りがあった。後に正しい証明がなされるのは17世紀、ピエトロ・メンゴリ(英語版)、ヨハン・ベルヌーイ、ヤコブ・ベルヌーイらによってである。
歴史的には、調和数列は建築学の観点からの需要があった。特にバロック時代には、平面図や立面図での均衡をとるために、あるいは教会や宮殿の内装と外装の構造的詳細の調和関係を確立するために用いられた。