ハウスドルフ次元
したがって、H (X) を s の関数として見たとき、H (X) は高々 1 つの第一種不連続点 s を持つ。この不連続点を D と表すと、
D = inf { s ∈ [ 0 , ∞ ) | H s ( X ) = 0 } = sup { s ∈ [ 0 , ∞ ) | H s ( X ) = ∞ } {\displaystyle {\begin{aligned}D&=\inf\{s\in [0,\ \infty )|H^{s}(X)=0\}\\&=\sup\{s\in [0,\ \infty )|H^{s}(X)=\infty \}\end{aligned}}}
を満たす D ≥ 0 が唯一定まる。ハウスドルフ次元またはハウスドルフ・ベシコビッチ次元とは不連続点 D の値のことで、これを dimH(X) や dimH X などと表して
dim H  ( X ) = inf { s ∈ [ 0 , ∞ ) | H s ( X ) = 0 } {\displaystyle \dim _{H}(X)=\inf\{s\in [0,\ \infty )|H^{s}(X)=0\}}
あるいは、
dim H  ( X ) = sup { s ∈ [ 0 , ∞ ) | H s ( X ) = ∞ } {\displaystyle \dim _{H}(X)=\sup\{s\in [0,\ \infty )|H^{s}(X)=\infty \}}
で定義される。
縦・横・高さという直感的な次元は位相次元と呼ばれる。上で述べたように、A が R 上の滑らかな m 次元多様体であれば、dimH(A) = m であるので、ハウスドルフ次元は位相次元と矛盾しない拡張となっている。位相次元と呼ばれるものは正確には被覆次元、大きな帰納的次元、小さな帰納的次元の3つがあるが、ユークリッド空間上では3者は常に一致する。以下、 R 上の集合 X の位相次元を dimT(X) と表す。
位相次元 dimT(X) とハウスドルフ次元 dimH(X) は一致することもあれば、異なることもある。例えば、線分の dimT(X) と dimH(X) は共に 1 で、正方形の dimT(X) と dimH(X) は共に 2 である。このような単純な図形では dimT(X) と dimH(X) は一致するが、図形が複雑になると相異なってくる。しかし一般的な関係として、任意の集合 X の位相次元とハウスドルフ次元は