不確定性原理
不確定性原理を定式化する為の予備知識を説明する。量子力学において(純粋)量子状態は状態空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} という複素内積ベクトル空間(ヒルベルト空間)における長さ1のベクトル(状態ベクトル)として記述され、物理量(オブザーバブルと呼ぶ)は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素として定式化される。
粒子がn個ある系の場合 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は、3n次元空間 R 3 n = { ( x 1 , ... , x 3 n ) } {\displaystyle \mathbf {R} ^{3n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{3n})\}} 上の複素数値の自乗可積分函数全体の空間と同一視でき、このようにみなした場合、状態ベクトルのことを波動関数と呼ぶ。
一方、ψ、χが周期性 ψ ( − 1 ) = ψ ( 1 ) {\displaystyle \psi (-1)=\psi (1)} 、 χ ( − 1 ) = χ ( 1 ) {\displaystyle \chi (-1)=\chi (1)} を満たす可微分関数であれば、 P ^ ′ {\displaystyle {\hat {P}}'} が対称性を満たす事を簡単な計算で示すことができる:
⟨ ψ , P ^ ′ χ ⟩ − ⟨ P ^ ′ ψ , χ ⟩ = ∫ [ − 1 , 1 ] − i ħ d ψ d x ( x ) ̄ χ ( x ) d x − ∫ [ − 1 , 1 ] ψ ( x ) ̄ ⋅ − i ħ d χ d x ( x ) χ ( x ) d x = ∫ [ − 1 , 1 ] i ħ d d x ( ψ ( x ) χ ( x ) ) d x = 0 {\displaystyle \langle \psi ,{\hat {P}}'\chi \rangle -\langle {\hat {P}}'\psi ,\chi \rangle =\int _{[-1,1]}{\overline {-i\hbar {\mathrm {d} \psi \over \mathrm {d} x}(x)}}\chi (x)\mathrm {d} x-\int _{[-1,1]}{\overline {\psi (x)}}\cdot -i\hbar {\frac {\mathrm {d} \chi }{\mathrm {d} x}}(x)\chi (x)\mathrm {d} x=\int _{[-1,1]}i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\psi (x)\chi (x))\mathrm {d} x=0}
ロバートソンの不等式が成り立つためには、
Q ^ ψ ∈ D o m ( P ^ ′ ) {\displaystyle {\hat {Q}}\psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {P}}')} 、
でなければならなかった。しかし上述したψ0は
Q ^ ψ 0 ( x ) = x 2 e x p ( i π x ) {\displaystyle {\hat {Q}}\psi _{0}(x)={x \over {\sqrt {2}}}\mathrm {exp} (i\pi x)}
は
Q ^ ψ 0 ( − 1 ) = 1 ≠ − 1 = Q ^ ψ 0 ( 1 ) {\displaystyle {\hat {Q}}\psi _{0}(-1)=1\neq -1={\hat {Q}}\psi _{0}(1)}
であるので、 D o m ( P ^ ′ ) {\displaystyle \mathrm {Dom} ({\hat {P}}')} の周期性の条件を満たさない。よって
Q ^ ψ 0 ∉ D o m ( P ^ ′ ) {\displaystyle {\hat {Q}}\psi _{0}\notin \mathrm {Dom} ({\hat {P}}')}
であり、ロバートソンの不等式の条件が満たされない。
こうした事情から量子力学では、オブザーバブル A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の部分空間でのみでしか定義されていないケースをも許容し、代わりに定義域 D o m ( A ^ ) ⊂ H {\displaystyle \mathrm {Dom} ({\hat {A}})\subset {\mathcal {H}}} が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で稠密になる事を要請する。
オブザーバブル A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の部分空間でのみでしか定義されない事を許容した事が原因で、2つのオブザーバブル A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 、 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} の交換子
[ A ^ , B ^ ] ψ := A ^ B ^ ψ − B ^ A ^ ψ {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi :={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi }
も常に定義できるとは限らない。実際、積 A ^ B ^ ψ {\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi } は