モノイド圏
可換環 R 上の多元環の圏 R-Alg は R を単位対象としてモノイド圏の構造を持つ。
点付き位相空間の圏(の例えばコンパクト生成空間(英語版)に対象を制限したもの)はスマッシュ積をモノイド積、点付き 0-次元球面(つまり相異なる二点)を単位対象としてモノイド圏の構造を持つ。
圏 C 上の自己函手(英語版)全体からなる圏は函手の合成をモノイド積、恒等函手を単位対象として強モノイド圏の構造を持つ。
任意の圏 E に対してその任意の一対象が張る充満部分圏がモノイドとなるのとまったく同様にして、任意の2-圏(英語版) E に対して任意の対象 C ∈ Ob(E) に対し C の張る E の充満部分 2-圏はモノイド圏を成す。E = Cat の場合には上で述べた自己函手の圏の例を得る。
上に有界な下半束は交わりをモノイド積、最大元を単位対象として強対称モノイド圏の構造を持つ。
数学におけるモノイド圏(モノイドけん、英: monoidal category; モノイド的圏、モノイダル圏)あるいはテンソル圏(テンソルけん、英: tensor category)は、(自然同型の違いを除いて結合的な双函手(英語版) ⊗: C × C → C と、⊗ について(再び自然同型の違いを除いて)左および右単位元となる対象 I を備えた圏 C である。この圏における自然同型は、関連する全ての図式を可換にすることを保証したコヒーレンス条件(英語版)(一貫性条件、整合条件)に従わなければならない。したがって、モノイド圏は抽象代数におけるモノイドの圏論的な緩い類似物である。
ベクトル空間、アーベル群、R-加群、R-多元環などの間に定義される通常のテンソル積は、それぞれの概念に付随する圏にモノイド構造を与える。ゆえにモノイド圏をこれら、あるいは他の例の一般化として見ることもできる。
圏論において、モノイド圏はモノイド対象の概念とそれに付随する作用を定義する。また、豊穣圏を定義する際にも使われる。
モノイド圏は圏論以外の分野において多数の応用を持つ。直観的線型論理の multiplicative fragment のモデルを定義し、物性物理学においてトポロジカル秩序相の数学的な基盤を与え、組み紐モノイド圏(英語版)は場の量子論やひも理論に応用をもつ。
1 2 清水 2014, p. 5.