合同ゼータ関数
F 上の非特異な射影曲線 C に対し、g を曲線 C の種数とし、P(t) を曲線を定義する次数 2g の多項式とすると、
Z ( t ) = P ( t ) ( 1 − t ) ( 1 − q t ) {\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}}
となる。
P ( t ) = ∏ i = 1 2 g ( 1 − ω i u ) {\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}u)}
と書くと、有限体上の曲線のリーマン予想は、
| ω i | = q 1 / 2 {\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}}
となるということを言う。
例えば、楕円曲線の場合は、2つの根を持っていて、根の絶対値が q であることを容易にしめすことができる。楕円曲線のハッセの定理は、2つの根が同じ絶対値を持ち、このことは(楕円曲線の)点の数の直接的な結果であることを言っている。
アンドレ・ヴェイユ(André Weil)は1940年頃、このことを一般的な場合に証明した (Comptes Rendus note, April 1940) が、代数幾何学を建設するために多くの時間を注ぎ込んだ。このことから、彼はヴェイユ予想へ至り、グロタンディエク(Grothendieck)はこの予想の解決のため、スキーム論を開発し、最終的に予想は後に、ドリーニュ(Deligne)により証明されることとなった。一般論の基本公式については、エタールコホモロジーを参照。