鎖複体
鎖複体 ( A ∙ , d ∙ ) {\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })} は、アーベル群、あるいは加群の列 ..., A2, A1, A0, A−1, A−2, ... であり、準同型(境界作用素 (boundary operator) あるいは微分 (differential) と呼ばれる) dn: An → An−1 で結ばれ、任意の2つの引き続いた境界作用素の合成は、すべての n について 0 となる (dn ∘ dn+1 = 0) ような作用素である。鎖複体は、普通は次のように書かれる。
⋯ → A n + 1 → d n + 1 A n → d n A n − 1 → d n − 1 A n − 2 → ⋯ → d 2 A 1 → d 1 A 0 → d 0 A − 1 → d − 1 A − 2 → d − 2 ⋯ {\displaystyle \cdots \to A_{n+1}{\xrightarrow {d_{n+1}}}A_{n}{\xrightarrow {d_{n}}}A_{n-1}{\xrightarrow {d_{n-1}}}A_{n-2}\to \cdots {\xrightarrow {d_{2}}}A_{1}{\xrightarrow {d_{1}}}A_{0}{\xrightarrow {d_{0}}}A_{-1}{\xrightarrow {d_{-1}}}A_{-2}{\xrightarrow {d_{-2}}}\cdots }
鎖複体の概念を少し変えたものが、双対鎖複体 (cochain complex) の概念である。
2つの鎖複体 ( A ∙ , d A , ∙ ) {\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })} と ( B ∙ , d B , ∙ ) {\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })} の間のチェイン写像は、各 n に対する加群準同型 f n : A n → B n {\displaystyle f_{n}\colon A_{n}\rightarrow B_{n}} の列 f ∙ {\displaystyle f_{\bullet }} であって、2つのチェイン複体上のバウンダリ作用素と可換なもの d B , n ∘ f n = f n − 1 ∘ d A , n {\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}} である。
チェインホモトピーはチェイン写像の間の重要な同値関係をもたらす。チェインホモトピックなチェイン写像は、ホモロジー群上の同じ写像を引き起こす。特別な場合として、2つの空間 X と Y の間のホモトピックな写像は X のホモロジーから Y のホモロジーへの同一の写像をもたらす。チェインホモトピーは幾何学的な解釈があり、たとえば、ボット (Bott) とトゥ (Tu) の本に記載がある。さらなる情報は、チェイン複体のホモトピー圏(英語版)を参照。