完全不連結空間
X を任意の位相空間とする。関係 ~ を x ~ y ⇔ y ∈ conn (x) によって定める。(conn (x) は x を含む最大の連結部分集合を表す。)これは明らかに同値関係である。X / ~ に商位相、すなわち、写像 m : x ↦ c o n n ( x ) {\displaystyle m\colon x\mapsto \mathrm {conn} (x)} が連続になる最も細かい位相を与える。少し考えれば X / ~ が完全不連結であることが分かる。さらに次の普遍性が成り立つ。 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が完全不連結空間への連続写像であれば、一意的な連続写像 f ̆ : ( X / ∼ ) → Y {\displaystyle {\breve {f}}\colon (X/\sim )\rightarrow Y} によって f = f ̆ ∘ m {\displaystyle f={\breve {f}}\circ m} と分解する。