接ベクトル空間
( d y 1 d t ⋮ d y b d t ) = ( ∂ y 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ y 1 ∂ x a ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y b ∂ x 1 ⋯ ∂ y b ∂ x a ) ( d x 1 d t ⋮ d x a d t ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dfrac {dy_{1}}{dt}}\\\vdots \\{\dfrac {dy_{b}}{dt}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{a}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial y_{b}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y_{b}}{\partial x_{a}}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dfrac {dx_{1}}{dt}}\\\vdots \\{\dfrac {dx_{a}}{dt}}\\\end{pmatrix}}}
となる。右辺の b × a 行列
J f := ( ∂ y 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ y 1 ∂ x a ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y b ∂ x 1 ⋯ ∂ y b ∂ x a ) {\displaystyle J_{f}:={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{a}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial y_{b}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y_{b}}{\partial x_{a}}}\\\end{pmatrix}}}
1 ≤ r ≤ ∞ とする。 m 次元 C 級多様体 M とその上の点 p を考える。 p を含む座標近傍 (U; x1, ..., xm) 上で定義された微分作用素
( ∂ ∂ x i ) p , 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)_{p},\quad 1\leq i\leq m}
は方向微分になる。この m 個の方向微分は線型独立であり、これらの線型結合
∑ i = 1 m a i ( ∂ ∂ x i ) p {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a_{i}\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)_{p}}
(ただし ai ∈ R (1 ≤ i ≤ m) )
を、 p における M の接ベクトル (tangent vector) といい、接ベクトルの全体を Tp(M) と書き、 p における M の接ベクトル空間 (tangent vector space) あるいは 接空間 (tangent space) という。接ベクトル空間 Tp(M) は Dp(M) の線型部分空間である。
Tp(M) ⊆ Dp(M)
この等号が成り立つのは、 M が C 級多様体(滑らかな多様体)であるときに限る。