順序集合
位相空間 P がアレクサンドロフ空間(英語版)であるとは、P 上の(有限または無限個の)任意の開集合の共通部分が必ず開集合になることである。
アレクサンドロフ空間は前順序集合と自然に1対1対応していることが知られている。 実際任意の前順序集合 P に対し、
U が P の開集合 ⇔ U が P の上方集合
により P に位相を入れたものはアレクサンドロフ空間になる。(この位相を P のアレクサンドロフ位相という。)
逆に任意のアレクサンドロフ空間 P に対し P 上の「specialization preorder(英語版)」を前順序とすることで P を前順序集合と見なすことができる。
ここで位相空間 P のspecialization preorderとは
x ≤ y ⟺ { x } ̄ ⊂ { y } ̄ {\displaystyle x\leq y\iff {\overline {\{x\}}}\subset {\overline {\{y\}}}}
で定義される前順序のことである。上式で { x } ̄ {\displaystyle {\overline {\{x\}}}} は一元集合{x} の閉包である。
位相空間の開集合全体の集合は包含関係により順序集合と見なせる。位相空間が「sober性」という弱い性質を満たす時はこの順序構造のみで位相空間の構造が特徴づけられることが知られている(ストーンの双対性定理)。したがってsober性を満たす空間に話を限定すれば、点集合論に頼らなくても順序構造のみで位相空間論を展開できる(ポイントレス位相空間論)。
全順序集合 A に対し、無限半開区間
( − ∞ , b ) = { x ∈ A ∣ x < b } {\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in A\mid x<b\}}
( a , ∞ ) = { x ∈ A ∣ a < x } {\displaystyle (a,\infty )=\{x\in A\mid a<x\}}
全体の集合を準開基とする位相を順序位相 (order topology) という。例えば、実数全体の集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } を通常の大小関係 ≤ による全順序集合と見ると、その順序位相は通常の距離により定められる位相と同等になる。
全順序集合 A の部分集合 B には、B を全順序集合と見なした時の順序位相と A の順序位相から誘導される位相との2つの位相が入る。しかしこの2つの位相は一致するとは限らない。(B の順序位相における開集合は誘導位相でも開集合であるが逆は一般には成り立たない)。
例えば A を実数全体の集合とし、A の部分集合
B = { x ∣ 0 < x < 1 } ∪ { 2 } {\displaystyle B=\{x\mid 0<x<1\}\cup \{2\}}
を考えると、A からB に誘導される位相では一元集合 {2} は明らかに開集合であるが、B は順序集合としてみたときはそうではない。実際 B は(2を1に移す写像により) C = { x ∣ 0 < x ≤ 1 } {\displaystyle C=\{x\mid 0<x\leq 1\}} と順序同型だが、C の順序位相で {1} は開集合ではないので B の順序位相で{2} は開集合ではない。
数学において順序集合(じゅんじょしゅうごう、英: ordered set)とは、大小関係や血縁関係のような順序が定義された集合のことである。順序は一般に二項関係として定義されるが、その順序集合の任意の2つの元に対して必ず定まるとは限らない。
比較不能の場合を許容する順序集合として典型的なのは後述する半順序集合(partially ordered set; poset)である。特に、半順序集合で全ての2元が比較可能であるものを全順序集合(totally ordered set; toset)という。
全順序の最も簡単な例は、実数における大小関係である。
一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、(2つ以上元を含む)集合の冪集合において、包含関係を順序と見なしたものがある。例えば2元集合 S = {a, b} において {a} と {b} はいずれも他方を包含していないので S の冪集合は全順序ではない。