ベータ関数 (物理学)
β 2 = 2857 54 C A 3 − 1415 27 C A 2 T F n f + 158 27 C A T F 2 n f 2 + 44 9 C F T F 2 n f 2 − 205 9 C F C A T F n f + 2 C F 2 T F n f {\displaystyle \beta _{2}={\frac {2857}{54}}C_{A}^{3}-{\frac {1415}{27}}C_{A}^{2}T_{F}n_{f}+{\frac {158}{27}}C_{A}T_{F}^{2}n_{f}^{2}+{\frac {44}{9}}C_{F}T_{F}^{2}n_{f}^{2}-{\frac {205}{9}}C_{F}C_{A}T_{F}n_{f}+2C_{F}^{2}T_{F}n_{f}}
ここで、 T F {\displaystyle T_{F}} はフェルミオンの表現における生成子の規格化定数、 C F , C A {\displaystyle C_{F},C_{A}} はそれぞれフェルミオンとゲージ場の表現におけるカシミア演算子であり、nfはフェルミオンのフレーバー数である。
基本表現として変換するフェルミオンを考えると T F = 1 2 , C F = N 2 − 1 2 N {\displaystyle T_{F}={\frac {1}{2}},C_{F}={\frac {N^{2}-1}{2N}}} である。 ゲージ場は随伴表現として変換するので C A = N {\displaystyle C_{A}=N} である。
ベータ関数は結合定数を十分に小さいと仮定することで摂動論によって計算される。このとき、ベータ関数は結合定数で級数展開され、高次の項は無視される。この展開はファインマン・ダイアグラムにおけるループ計算と対応している。
以下では、摂動論を用いたベータ関数の計算例を挙げる。
量子電磁力学(QED)における1ループベータ関数は
β ( e ) = e 3 12 π 2 {\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}}
あるいは
β ( α ) = 2 α 2 3 π {\displaystyle \beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}}
となる。ここで、微細構造定数は α = e 2 4 π {\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi }}} である。
このベータ関数は常に正の値をとるので、エネルギースケールの増加に対して結合定数は増加する。つまり、QEDにおける電磁相互作用は高エネルギー側で強くなり、低エネルギー側でゼロに近付く。実際QEDでは、ある有限のエネルギーにおいて結合の強さは無限大に発散し、このエネルギースケールをランダウ・ポールと呼ぶ。ランダウ・ポールは摂動論を用いた為に生じた人為的な結果であり、この領域においては摂動論は適用できない。