一意分解環
初等的な数学で目にする環の多くが UFD である:
単項イデアル整域 (PID), したがって任意のユークリッド環は UFD である。特に、有理整数環 Z(算術の基本定理を参照)、ガウス整数環 Z[i] やアイゼンシュタイン整数環 Z[ω] もこの仲間である。
体は零元でない任意の元が単元となる環であるので、自明な意味で UFD である。有理数体、実数体、複素数体などがこの範疇に含まれる。
R が一意分解環なら、R に係数を持つ多項式環 R[x] もまた UFD である。この特別の場合として、係数環が体 K である場合の多項式環 K[x] も(K[x] は単項イデアル整域 (PID) となるので最初の例の特別の場合でもあるが)もちろん UFD になる。
もう少し一般に、以下のような例を与えることができる:
形式的冪級数環 K[[X1, ..., Xn]] は、K が体(あるいはもっと一般に主イデアル整域)ならば UFD である(K が UFD であっても、冪級数環が必ずしも UFD とならないことに注意)。
決まった数の複素変数を持つ、原点で正則な函数全体の成す環は UFD である。
一変数多項式環の場合から帰納的に、有理整数環 Z 【あるいは、体 K】 上の多変数多項式環 Z[X1, ..., Xn]【あるいは、K[X1, ..., Xn] 】は UFD となることがわかる。多変数の多項式環は PID ではないような UFD の簡単な例である。