ソボレフ不等式
John Nash (1958) によって導入されたナッシュ不等式によると、すべての u ∈ L(R) ∩ W(R) に対してある定数 C > 0 が存在し、次が成立する:
‖ u ‖ L 2 ( R n ) 1 + 2 / n ≤ C ‖ u ‖ L 1 ( R n ) 2 / n ‖ D u ‖ L 2 ( R n ) . {\displaystyle \|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.}
この不等式は、フーリエ変換の基本的な性質より従う。実際、半径 ρ の球の補集合についての積分に対して、
がパーセバルの定理より従う。一方、
| u ^ | ≤ ‖ u ‖ L 1 {\displaystyle |{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}}
が得られるため、これを半径 ρ の球について積分すると
が得られる。ここで ωn は n 球の体積である。(1) と (2) の和を最小化するように ρ を選び、再びパーセバルの定理を適用することで、