共役勾配法
この関係は対称で、uがvに対して共役なら、vもuに対して共役である(この場合の「共役」は複素共役と無関係であることに注意)。
{pk}をn個の互いに共役なベクトル列とする。pkは基底Rを構成するので、Ax = bの解x*をこの基底で展開すると、
x ∗ = ∑ i = 1 n α i p i {\displaystyle \mathbf {x} _{*}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mathbf {p} _{i}}
と書ける。ただし係数は
A x ∗ = ∑ i = 1 n α i A p i = b . {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} _{*}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mathbf {A} \mathbf {p} _{i}=\mathbf {b} .} p k T A x ∗ = ∑ i = 1 n α i p k T A p i = p k T b . {\displaystyle \mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {x} _{*}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \mathbf {p} _{i}=\mathbf {p} _{k}^{\mathrm {T} }\mathbf {b} .