ベート数
より一般的な記号 ב α ( κ ) {\displaystyle \beth _{\alpha }(\kappa )} 、ここで α は順序数で κ は基数、が時折用いられる。それは次のように定義される。
ב 0 ( κ ) = κ , {\displaystyle \beth _{0}(\kappa )=\kappa ,}
ב α + 1 ( κ ) = 2 ב α ( κ ) , {\displaystyle \beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},}
ב λ ( κ ) = sup { ב α ( κ ) : α < λ } {\displaystyle \beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}} if λ is a limit ordinal.
なので
ב α = ב α ( א 0 ) . {\displaystyle \beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).}
ZF において、任意の濃度 κ と μ に対して、ある順序数 α が存在して、
κ ≤ ב α ( μ ) . {\displaystyle \kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).