運動エネルギー
W t 0 → t 1 = ∫ t 0 t 1 ( F ( t ) ⋅ d x d t ) d t = ∫ t 0 t 1 ( m d v d t ⋅ v ( t ) ) d t = ∫ t 0 t 1 d d t ( 1 2 m v ⋅ v ) d t = ∫ t 0 t 1 d K d t d t = K ( t 1 ) − K ( t 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}W_{t_{0}\to t_{1}}&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\boldsymbol {F}}(t)\cdot {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(m{\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}\cdot {\boldsymbol {v}}(t)\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {v}}\right)dt\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {dK}{dt}}\,dt\\&=K(t_{1})-K(t_{0})\end{aligned}}}
となる。 従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい。
ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。
L ( q , q ̇ ; t ) = K ( q ̇ ) − V ( q ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}};t)=K({\dot {q}})-V(q)}
この際、ラグランジアンの変数は一般化座標 q ( t ) {\displaystyle q(t)} とその時間微分 q ̇ ( t ) {\displaystyle {\dot {q}}(t)} 、及び時刻 t {\displaystyle t} である。 多くの場合、一般化座標として位置 x {\displaystyle x} や 回転角 θ {\displaystyle \theta } とするので、運動エネルギーは
K = ∑ i 1 2 m i v i 2 + ∑ j 1 2 I i ω j 2 {\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2}}I_{i}{\omega _{j}}^{2}}
となる。
ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、
H ( q , p ; t ) = ∑ p q ̇ − L {\displaystyle H(q,p;t)=\sum p{\dot {q}}-L}
特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} から x + Δ x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}+\Delta {\boldsymbol {x}}} まで、 Δ x {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {x}}} だけ変化したとき、
1 2 m v 2 ( t 1 ) − 1 2 m v 2 ( t 0 ) = F ⋅ Δ x {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{1})-{\frac {1}{2}}mv^{2}(t_{0})={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}}
という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。 また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。
v 2 ( t 1 ) − v 2 ( t 0 ) = 2 α ⋅ Δ x . {\displaystyle v^{2}(t_{1})-v^{2}(t_{0})=2{\boldsymbol {\alpha }}\cdot \Delta {\boldsymbol {x}}.}