デデキントゼータ関数
ζ K ( s ) = ∑ n = 1 ∞ F n n s ( F n ∈ Z ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{n}}{n^{s}}}\ \ \ \ (F_{n}\in \mathbb {Z} )}
と、ディリクレ級数の形で表すことが出来る。
デデキントゼータ関数は、 Re  s > 1 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>1} に対して、絶対かつ一様収束する。従って、 Re  s > 1 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>1} で、 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} は正則関数である。
↑ K の整数環のイデアルのこと。
↑ K を有理数体にすれば、完備化されたゼータ関数になる。
↑ K を有理数体にすれば、 κ = 1 {\displaystyle \kappa =1} であるので、リーマンゼータ関数に対する s = 1 {\displaystyle s=1} の留数に等しい。
↑ 有理整数である素数のこと。
↑ 4 で割るのは、 a + b i , − a − b i , b − a i , − b + a i {\displaystyle \scriptstyle a+bi,\ -a-bi,\ b-ai,\ -b+ai} が全て同じイデアルに属するからである。