ディリクレの単数定理
単数の「サイズ」は一般に単数基準と呼ばれる行列式により測られる。原理上は、単数の基底は実効的に計算することができるが、実際の計算は n が大きいときには非常に煩雑になる。
単数群の捩れは、K の 1 のすべての冪根の集合で、有限巡回群となる。少なくとも 1つの実埋め込みを持つ数体では、捩れは {1, −1} のみとなるはずである。虚二次体のように、単数群の捩れが {1, −1} であるような実埋め込みを持たない数体もある。
総実体は単数の観点からは特別に重要である。L/K を次数が 1 より大きな有限次拡大として、L と K の整数体の単数群が同じランクとすると、K は総実で、L は総虚な二次拡大となり、逆もまた正しい。(例として、K が有理数体、L が虚二次体の場合、双方ともランク 0 である。)
ヘルムート・ハッセにより(後日、クロード・シュヴァレーにより)単数定理は一般化され、整数環の局所化での単数群の階数を決定するS-単数(英語版)(S-unit)の群の構造が記述された。また、ガロア加群構造 Q ⊕ O K , S ⊗ Z Q {\displaystyle \mathbf {Q} \oplus {\mathcal {O}}_{K,S}\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} } が決定された。