ハウスドルフ距離
↑ 空集合にも定義できるが空集合は孤立点となり、集合族が良い性質を満たさなくなる。
↑ このとき K × ( M ) = T B × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {K}}^{\times }(M)={\mathcal {TB}}^{\times }(M)}
上の場合は固定した空間内で位置や向きを調整したが背景となる空間そのものを取り替えることで、2つの図形の形状の差のみを取り出したものがグロモフ・ハウスドルフ距離である。
上からも明らかなように空でない全有界集合のハウスドルフ距離の意味での極限は全有界(つまり T B × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {TB}}^{\times }(M)} は閉)。
M が完備なら B × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\times }(M)} も完備(M は B × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\times }(M)} の閉部分集合と見なせるので逆も真)。
K × ( M ) {\displaystyle {\mathcal {K}}^{\times }(M)} 上のハウスドルフ距離から入る距離位相はヴィートリス位相と一致する。
以下 M は完備距離空間とする。