等濃
カントールの定理からは、任意の集合がその冪集合(部分集合全体の成す集合)と等濃でないことがわかる。このことは、無限集合に対しても成り立っている。特に、可算無限集合の冪集合は非可算無限集合になる。
自然数全体の成す無限集合 N の存在と、任意の集合の冪集合の存在を認めれば、次々に冪集合をとることで得られる無限集合の無限の系列 N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), ... を作ることができる。カントールの定理により、この系列の各集合の濃度は直前の項の濃度よりも真に大きいから、どんどん濃度は大きくなっていく。
カントールの仕事は同時代の一部の数学者からは痛烈な批判を受けることになった(例えば、数学の哲学として有限の立場(英語版)に強く立脚したレオポルト・クロネッカーは、そのような無限の数の概念(実無限(英語版))を真っ向から否定した)が、ほかの数学者(例えばリヒャルト・デーデキント)によって擁護され、最終的には大いに受け入れられ、ダフィット・ヒルベルトによる強固な支持を受けた(カントール理論をめぐる論争(英語版)の項を参照)。
|A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| が成り立つ。
この定理は選択公理に依らない。