シュレーディンガー場
シュレーディンガー場は、シュレディンガー方程式に従う量子場である。 古典極限では、 ボーズアインシュタイン凝縮や超流動の量子的な波動方程式として理解されます。
オペレーター ψ † ∇ ψ {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }\nabla \psi } は多体波動関数の勾配を状態に掛ける働きをする。 オペレーター
H = − ∫ x ψ † ( x ) ∇ 2 2 m ψ ( x ) {\displaystyle H=-\int _{x}\psi ^{\dagger }(x){\nabla ^{2} \over 2m}\psi (x)\,}
はいかなる基底に作用する場合でも、シュレディンガー方程式の右辺を構築するように作用するため
ψ † i d d t ψ = ψ † − ∇ 2 2 m ψ {\displaystyle \psi ^{\dagger }i{d \over dt}\psi =\psi ^{\dagger }{-\nabla ^{2} \over 2m}\psi \,}
が演算子方程式として成立します。 これは任意の状態に当てはまるため、 ψ † {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }} を除去しても成立する。
i ∂ ∂ t ψ = − ∇ 2 2 m ψ {\displaystyle i{\partial \over \partial t}\psi ={-\nabla ^{2} \over 2m}\psi \,}
相互作用を追加するには、場の方程式に非線形項を追加する。 場の形は、ポテンシャルが対称性の制限に従うことを自動的に保証します。