コーシーの冪根判定法
証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての n ≥ N {\displaystyle n\geq N} に対し a n n < k < 1 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}<k<1} ならば、 a n < k n < 1 {\displaystyle a_{n}<k^{n}<1} が成立する。比較判定法より、幾何級数 ∑ i = N ∞ k i {\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }k^{i}} が収束すれば、 ∑ i = N ∞ a n {\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }a_{n}} もまた収束する。
もし、 a n n > 1 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1} ならば、 ∑ i = N ∞ 1 {\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }1} と比較して級数は発散する。an が非正である場合の絶対収束性は、 | a n | n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}} を用いれば同様にして証明できる。