グリーンの恒等式
この恒等式は、ベクトル場 F = ψ∇φ に対して発散定理を適用することで次のように得られる:φ と ψ をある領域 U ⊂ R 上で定義されるスカラー函数とし、φ は二階連続的微分可能、ψ は一階連続的微分可能とする。このとき次が成り立つ。
∫ U ( ψ Δ φ + ∇ φ ⋅ ∇ ψ ) d V = ∮ ∂ U ψ ( ∇ φ ⋅ n ) d S = ∮ ∂ U ψ ∇ φ ⋅ d S {\displaystyle \int _{U}\left(\psi \Delta \varphi +\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \nabla \varphi \cdot d\mathbf {S} }
ここで Δ {\displaystyle \Delta } はラプラス作用素、∂U は領域 U の境界、n は面素 dS に対する外向き法線ベクトル、dS は向き付けられた面素である。
∇ × ( P × Q ) = ( Q ⋅ ∇ ) P − ( P ⋅ ∇ ) Q + P ( ∇ ⋅ Q ) − Q ( ∇ ⋅ P ) ; {\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right);}
グリーンのベクトル恒等式は、次のように書くことが出来る:
P ⋅ Δ Q − Q ⋅ Δ P = ∇ ⋅ [ P ( ∇ ⋅ Q ) − Q ( ∇ ⋅ P ) − ∇ × ( P × Q ) + P × ∇ × Q − Q × ∇ × P ] . {\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)-\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}