随伴作用素
数学の特に函数解析学において、ヒルベルト空間上の各有界線型作用素は、対応する随伴作用素(ずいはんさようそ、英: adjoint operator)を持つ。作用素の随伴は正方行列の随伴行列の概念の無限次元の場合をも許すような一般化である。ヒルベルト空間上の作用素を「一般化された複素数」と考えれば、作用素の随伴は複素数に対する複素共軛の役割を果たすものである。
作用素 A の随伴は、シャルル・エルミートに因んでエルミート共軛 (Hermitian conjugate) とも呼ばれ、A あるいは A、また稀に A などで表される(“†” は特にブラケット記法とともに用いられる)。
反線型作用素(英語版)に対する随伴の定義は、複素共軛を相殺するために調整が必要である。ヒルベルト空間 H 上の反線型作用素 A の随伴は、反線型作用素 A: H → H で
⟨ A x , y ⟩ = ⟨ x , A ∗ y ⟩ ̄ ( ∀ x , y ∈ H ) {\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\langle x,A^{*}y\rangle }}\quad (\forall x,y\in H)}
を満たすものを言う(上付き横棒は複素共軛を意味する)。