数列空間
収束列の空間 c も数列空間で、これは収束列(limn→∞xn が存在する数列 x ∈ K)全体の成す空間である。任意の収束列は有界であるから、c は有界列の空間 l の線型部分空間である。さらに言えば、無限大ノルム ‖ • ‖∞ に関して閉部分空間となるから、それ自身バナッハ空間である。
その部分空間で、零列の空間 c0 は極限が零である数列(零列)全てからなる。これは数列空間 c の閉部分空間であるから、ふたたびバナッハ空間となる。
K を体(特に実または複素数全体の成す体)とし、各項が K に値をとる数列(スカラー列)全体の成す集合 K = {(xn)n∈N : xn ∈ K} は、数列の和およびスカラー倍を
( x n ) n ∈ N + ( y n ) n ∈ N := ( x n + y n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }:=(x_{n}+y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
α ( x n ) n ∈ N := ( α x n ) n ∈ N {\displaystyle \alpha (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }:=(\alpha x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
と定めることによりベクトル空間を成す。このベクトル空間 K の線型部分空間を一般に数列空間と呼ぶ。