平衡点
問題が次のような定数係数の線形微分方程式であれば、全ての解を厳密に解くことができる。
d x d t = A x {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}={\boldsymbol {Ax}}}
ここで、A は次のような定数を各要素とする n 次正方行列である。
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}
言い換えれば、線形近似の方程式の解は xe の近傍で元の方程式の解と質的に同じである。
一方で、平衡点 xe のヤコビ行列 Df(xe) の全ての固有値の実部が零(純虚数)の場合、そのような平衡点 xe を楕円型平衡点という。楕円型平衡点は一般的な微分方程式ではまれだが、ハミルトン力学系では珍しくない。2次元線形系であれば、楕円型平衡点とは渦心点を指す。しかし一般的には、楕円型平衡点の近傍の解が閉曲線となることは成り立たず、楕円型平衡点の近傍の解の挙動は複雑である。
非線形微分方程式のある平衡点が双曲型であれば、ハートマン・グロブマンの定理により、その平衡点周りで線形近似した微分方程式によって安定性を正確に判別することができる。また、平衡点 xe が双曲型であるか否かにかかわらず、Df(xe) の固有値が少なくとも1つ以上の固有値が正であれば、xe が不安定であることも分かる。以上をまとめると、非線形系の平衡点についてもヤコビ行列の固有値にもとづいて次のように判別できる。
平衡点 xe のヤコビ行列 Df(xe) の全ての固有値の実部が負の値であるとき、xe は漸近安定。
平衡点 xe のヤコビ行列 Df(xe) の少なくとも1つ以上の固有値が正のとき、xe は不安定。
しかし、平衡点のヤコビ行列の固有値の実部が負の値と零の値から成るとき、ヤコビ行列だけから安定性を判別することはできない。非双曲型平衡点に対して安定性を議論する一般的方法を与えるのは中心多様体による方法である。