フーリエ変換
f ( x ) = 1 T ∑ n = − ∞ ∞ f ^ ( n T ) e 2 π i n x / T {\displaystyle f(x)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}{\Big (}{\dfrac {n}{T}}{\Big )}e^{2\pi inx/T}}
で与えられなければならない。ξn = n/T とおき、Δξ = (n + 1)/T − n/T = 1/T とおくと、最後の和をリーマン和
f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ f ^ ( n T ) e 2 π i x ξ n Δ ξ {\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}{\Big (}{\dfrac {n}{T}}{\Big )}e^{2\pi ix\xi _{n}}\Delta \xi }
として考えることができる。T → ∞ とすることにより、このリーマン和は定義節で与えられるフーリエ逆変換に収束する。適当な条件の下では、この議論をもっと明確化することができる。したがって、この場合はフーリエ級数だが、フーリエ変換は関数に含まれる個々の特定の周波数がどの程度あるかを測るものと考えることができ、それらの波動を積分(あるいは「連続和」)によって再結合して元の関数を復元することができる。
以下の画像はフーリエ変換が特定の関数に含まれる周波数を測る方法を視覚的に現したものである。
A k {\displaystyle {\mathcal {A}}_{k}} で次数 k の斉次調和多項式全体の成す集合を表す。集合 A k {\displaystyle {\mathcal {A}}_{k}} は体球面調和関数系(英語版)として知られる。高次元において体球面調和関数系はエルミート多項式と同様の役割を演じる。具体的には、 A k {\displaystyle {\mathcal {A}}_{k}} の適当な P(x) に対し、f(x) = eP(x) のフーリエ変換は
f ^ ( ξ ) = i − k f ( ξ ) {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=i^{-k}f(\xi )}
で与えられる。集合 H k {\displaystyle {\mathcal {H}}_{k}} を f(|x|)P(x) (P(x) ∈ A k {\displaystyle {\mathcal {A}}_{k}} ) の形の関数から作られる線型結合全体の成す集合の L(R) における閉包とする。このとき、空間 L(R) は空間 H k {\displaystyle {\mathcal {H}}_{k}} の直和に分解され、フーリエ変換は各空間 H k {\displaystyle {\mathcal {H}}_{k}} をそれ自身に移す。
絶対可積分関数 f: R → C のフーリエ変換の定義として、よく用いられるものにもいくつか異なる流儀がある。本項では
f ^ ( ξ ) := ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}
を定義として用いる。ここでギリシャ文字小文字の ξ は任意の実数である。(他の流儀による定義については後述 → #その他の定義)
対象の関数における独立変数が物理量の場合、フーリエ変換は独立変数の次元をもとの逆数に移す。例えば、変換前の関数における独立変数 x が時間の次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ は周波数の次元を持つ。あるいは、変換前の独立変数 x が長さの次元をもつとき、変換後の独立変数 ξ は波数の次元を持つ。この性質は定義より x ξ が無次元量であることから従う。
適当な条件のもと、f はその変換 ˆf からフーリエ逆変換 (inverse transform)
f ( x ) := ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e 2 π i x ξ d ξ {\displaystyle f(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }\,d\xi }
によって復元することができる(x は任意の実数)。