弱微分
u {\displaystyle u} をルベーグ空間 L 1 ( [ a , b ] ) {\displaystyle L^{1}([a,b])} に属する関数とする。 L 1 ( [ a , b ] ) {\displaystyle L^{1}([a,b])} に属する関数 v {\displaystyle v} は、 φ ( a ) = φ ( b ) = 0 {\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0} を満たす任意の無限回微分可能関数 φ {\displaystyle \varphi } に対して
∫ a b u ( t ) φ ′ ( t ) d t = − ∫ a b v ( t ) φ ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt}
が成立するとき、 u {\displaystyle u} の弱微分と呼ばれる。この定義は部分積分の手法に基づくものである。
n {\displaystyle n} 次元への一般化を考える。