開口端補正
以下では単色波の波長が気柱の半径よりも十分に長い場合に開口端補正の大きさを求めるレイリーの方法に沿って開口端補正の原理について説明する。ここでは音圧ではなく速度ポテンシャル φ {\displaystyle \varphi } を用いて議論する。
気柱内の音波は波数 k {\displaystyle k} の平面波の重ね合わせにより与えられる。
φ ( x ) = e i k x + R e − i k x {\displaystyle \varphi (x)=e^{ikx}+Re^{-ikx}}
係数 R {\displaystyle R} が開口端での反射係数である。一方, 開口端を出た波は、遠方では球面波
φ ( x ) = δ A 4 π e i k r r {\displaystyle \varphi (x)=\delta {\frac {A}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}}
へと漸近する。ここに A {\displaystyle A} は開口端の断面積である。
開口端付近では解はこれらのいずれと異なる形を取る。特に、この領域を音波の波長 λ {\displaystyle \lambda } より十分小さく取るとき, 流れは非圧縮性であるものとみなすことができ、その解をラプラス方程式を解くことにより陽に求めることができる。
フルートやクラリネット、ホルンなどの管楽器が発する音は、楽器内部の空気の振動(音波)が共鳴条件(音響共鳴)を満たすように発生する。例えば両端が閉じた円筒形の気柱では、共鳴振動数は
f = n 2 c L ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) {\displaystyle f={\frac {n}{2}}{\frac {c}{L}}\ \ (n=1,2,3,\cdots )}
となる( L {\displaystyle L} は気柱の長さ)。一方、気柱の一方の端が開いているときにはこれは、端点からのエネルギー散逸を無視すると、端点で圧力がゼロであるという境界条件を課すことにより、振動数
f = 2 n − 1 4 c L ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) {\displaystyle f={\frac {2n-1}{4}}{\frac {c}{L}}\ \ (n=1,2,3,\cdots )}
で生じることが導かれる。しかし実際にはこの結果は正確ではなく
f = 2 n − 1 4 c L + l E ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) {\displaystyle f={\frac {2n-1}{4}}{\frac {c}{L+l_{\mathrm {E} }}}\ \ (n=1,2,3,\cdots )}
という条件で音響共鳴が起こる。これは気柱の長さが幾何学的な長さ L {\displaystyle L} ではなくそれより l E {\displaystyle l_{\mathrm {E} }} だけ大きいかのように振る舞っていることを意味する。この長さ l E {\displaystyle l_{\mathrm {E} }} を開口端補正と呼ぶ。これは気柱内部の波がその慣性によって気柱外部の空気をも振動させることによって生じる(#原理節を参照)。