反対称関係
反対称関係(はんたいしょうかんけい、英: antisymmetric relation)とは、集合 X に関する二項関係 R であって、次の条件を満たすものをいう。
∀ x , y ∈ X ( x R y ∧ y R x ⇒ x = y ) {\displaystyle \forall x,y\in X\ (xRy\land yRx\;\Rightarrow \;x=y)}
すなわち、X の任意の元 x と y に対して「x から y への関係、および y から x への関係がともに成り立つならば、x = y である」ような関係のことである。この条件を反対称律(英: antisymmetric law)という。
また、反対称律は次の条件と同値である。
∀ x , y ∈ X ( x R y ∧ x ≠ y ⇒ ¬ y R x ) {\displaystyle \forall x,y\in X\ (xRy\land x\neq y\Rightarrow \lnot yRx)}