距離空間
また、非退化性、対称性、三角不等式より導かれる性質として、
非負性
∀ x , y ∈ X : d ( x , y ) ≥ 0 {\displaystyle \forall x,y\in X~:~d(x,y)\geq 0}
がある。 なお、距離の関連概念として以下のものがある。以下の表で「○」はその条件を課すことを指し、非退化性の欄に
∀ x ∈ X : d ( x , x ) = 0 {\displaystyle \forall x\in X~:~d(x,x)=0}
と書いてあるのは非退化性を課す代わりにそれよりも弱い条件である
d ( x , x ) = 0 {\displaystyle d(x,x)=0}
を課している事を指す。
集合 A と距離空間 (X, d) と単射 f: A → X があるとき、 a1,a2∈A に対して
df(a1,a2) ≔ d(f(a1),f(a2))
と定義すれば (A,df) も距離空間になり、fによって誘導された距離空間という。
AがXの部分集合であれば包含写像 id: A ↪ X; a ↦ a によって距離空間(A,did)が誘導される。このようにX の部分集合と包含写像によって定義された距離空間のことを (X, d) の部分距離空間または部分空間という。
距離空間は距離関数の定義を一般化することでその定義を拡張することが出来る。集合 X 上の 2 変数実数値関数 d が、半正定値性、非退化性、対称性を満たし、三角不等式の代わりにさらに強い条件(超距離不等式)
を満たすなら、距離関数 d は非アルキメデス的 (non-Archimedean) あるいは超距離 (ultrametric) であるという。超距離不等式からは三角不等式が導かれるので、超距離は距離でもある。
集合 X 上に定義された2つの距離 d1, d2 は、次の条件を満たす場合、互いに同値と言われる。
任意の a ∈ X と正数 ε > 0 に対し正数 δ > 0 が存在し、任意の x ∈ X について、 { d 1 ( x , a ) < δ ⟹ d 2 ( x , a ) < ε } {\displaystyle \{d_{1}(x,a)<\delta \implies d_{2}(x,a)<\epsilon \}} かつ { d 2 ( x , a ) < δ ⟹ d 1 ( x , a ) < ε } {\displaystyle \{d_{2}(x,a)<\delta \implies d_{1}(x,a)<\epsilon \}}
つまり、同値な距離とは、同じ位相を誘導する距離である(次項「距離の誘導する位相」参照)。
(X, d) を距離空間、A を X の部分集合とするとき、supx, y ∈ A d(x, y) は A の直径とよばれる。任意の正の実数 ε に対して有限個の直径 ε 以下の部分集合たちで X を覆うことができる場合、X は全有界であると言う。
任意のコーシー列が収束するとき、完備であると言う。