直交曲線座標
スケールファクターはLamé coefficientsと呼ばれることもあるが、弾性論におけるラメ定数と混同しないように注意のこと。
単位ベクトル(正規化基底ベクトル)をハット付きで表記し、これは、上記の e i {\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}} を、その長さで割ることで得られる。
e ^ i = e i h i = e i | e i | {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i}\right|}}}
ベクトル場は「基底ベクトル」( e i {\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}} ) に対する成分で指定される場合と、「正規化された基底ベクトル」( e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}} ) に対する成分で指定される場合があり、どちらの場合を指しているのかを確認する必要がある。正規化基底の成分は、数量を明確にする目的では最も一般的に使われる。(例えば、接線速度にスケールファクターをかけたものではなく、接線速度を扱いたい場合がある)。しかし、微分する場合にはより複雑になるため正規化基底はあまり一般的に使わない。
upon a change of basis:
∇ φ = S R T J T {\displaystyle \nabla \phi =\mathbf {S} \mathbf {R} ^{T}\mathbf {J} ^{T}}
where the rotation and scaling matrices are:
R = [ e 1 , e 2 , e 3 ] {\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]}
S = d i a g ( [ h 1 − 1 , h 2 − 1 , h 3 − 1 ] ) . {\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).}