アフィン空間
アフィン空間は座標やそれに等価なベクトル空間を用いて解析幾何学に属するものとして扱うのが通例であり、以下のような公理によって与えられる総合幾何学として扱うこともできるがあまり一般的ではない。アフィン空間の公理にはいくつか異なるものが存在する。
コクセターによる実数体上のアフィン幾何学の公理化 (Coxeter 1969, p.192) はデザルグの定理のアフィン版を備えた順序幾何学としてアフィン幾何学を捉える。公理は「平面において与えられた点を通り、与えられた直線と交わらないような直線が少なくとも一つ存在する」ことからはじまる。
アフィン平面はキャメロンの公理 (Cameron 1991, chapter 2)
任意の二点は唯一つの直線上にある。
与えられた一つの点と直線に対し、その点を通りその直線に平行な直線は唯一つ存在する(ここで「平行」というのは一致するか交わらないかのいずれかであることを意味する)。
同一直線上にない三点は存在する。
に従う。体あるいは斜体上のアフィン平面と同じくおおくの非デザルグ平面もこの公理を満足する。アフィン平面は任意の射影平面から一つの直線とその直線上にある点すべてを取り除くことによって得ることができ、逆に任意のアフィン平面に「無限遠直線」を加えることで射影平面を構成することができる(無限遠直線上の「無限遠点」は平行線の同値類に対応する)。
キャメロンは高次元のアフィン空間の公理も与えている (Cameron 1991, chapter 3)。
また、余次元 1 すなわち (n − 1)-次元の部分空間を超平面とよび、これらを総称して線型多様体という。
V = (A, O) のベクトルの集合 X = {v1, v2, ..., vr} が与えられたとき、これらのアフィン結合全体からなる集合
span K aff ( X ) := { c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c r v ∣ c 1 + c 2 + ⋯ + c r = 1 , c i ∈ K } {\displaystyle {\text{span}}_{K}^{\text{aff}}(X):=\left\{c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {v} \mid c_{1}+c_{2}+\cdots +c_{r}=1,\,c_{i}\in K\right\}}
は V のアフィン部分空間であり、ベクトルの集合 X のアフィン包 (affine hull) という。X が生成するあるいは張るアフィン部分空間ということもある。