部分的最小二乗回帰
PLS1は、Yがベクトルの場合について適切で広く用いられているアルゴリズムである。PLS1はTを正規直交行列として推定する。以下に疑似コードを示す(大文字は行列、小文字は上に添字がある場合ベクトル、下に添字がある場合スカラーである)。
function PLS1( X , y , l {\displaystyle X,y,l} )
X ( 0 ) ← X {\displaystyle X^{(0)}\gets X}
w ( 0 ) ← X T y / | | X T y | | {\displaystyle w^{(0)}\gets X^{T}y/||X^{T}y||} , wの初期推定
t ( 0 ) ← X w ( 0 ) {\displaystyle t^{(0)}\gets Xw^{(0)}}
for k = 0 {\displaystyle k=0} to l
t k ← t ( k ) T t ( k ) {\displaystyle t_{k}\gets {t^{(k)}}^{T}t^{(k)}} (これはスカラー)
t ( k ) ← t ( k ) / t k {\displaystyle t^{(k)}\gets t^{(k)}/t_{k}}
pp. 391–420
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多変量PLSの一般的基礎的モデルは以下の式で表わされる。
X = T P ⊤ + E {\displaystyle X=TP^{\top }+E}
Y = U Q ⊤ + F {\displaystyle Y=UQ^{\top }+F}
上式において、 X {\displaystyle X} は予測変数の n × m {\displaystyle n\times m} 、 Y {\displaystyle Y} は応答変数の n × p {\displaystyle n\times p} 行列; T {\displaystyle T} ならびに U {\displaystyle U} はそれぞれ X {\displaystyle X} の射影(Xスコアまたは成分または因子行列)ならびに Y {\displaystyle Y} の射影(Yスコア); P {\displaystyle P} ならびに Q {\displaystyle Q} はそれぞれ m × l {\displaystyle m\times l} ならびに p × l {\displaystyle p\times l} 直交「負荷量(ローディング)」行列; 行列 E {\displaystyle E} および F {\displaystyle F} は誤差項であり、互いに独立で同一の分布に従う確率正規変数であると仮定される。 X {\displaystyle X} および Y {\displaystyle Y} の分解は、 T {\displaystyle T} と U {\displaystyle U} との間の共分散を最大化するように行われる。