劣微分
凸関数 f: I→R の点 x0 における劣微分は次の条件を満たす数 c の集合である。
f ( x ) − f ( x 0 ) ≥ c ( x − x 0 ) {\displaystyle f(x)-f(x_{0})\geq c(x-x_{0})}
この時、劣微分を表す集合の要素は次の条件を満たす数 a, b を用いた閉区間 [a, b] の間に存在する。
a = lim x ↗ x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 {\displaystyle a=\lim _{x\nearrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}
b = lim x ↘ x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 {\displaystyle b=\lim _{x\searrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}
当然ながら、f が点 x0 で微分可能であれば、x0 における劣微分はただ1つの要素のみを持つことになる。逆に劣微分がただ1つの要素しか持たないとき f は点 x0 において微分可能である。