ジャイロベクトル空間
ジャイロ群 ( G , ⊕ ) {\displaystyle (G,\oplus )} がジャイロ可換(gyrocommutative)であるとは、二項演算 ⊕ {\displaystyle \oplus } がジャイロ可換律 a ⊕ b = g y r [ a , b ] ( b ⊕ a ) {\displaystyle a\oplus b=\mathrm {gyr} [a,b](b\oplus a)} を満たすことを言う。特殊相対性理論における速度の加算の観点からは、この性質は1914年にLudwik Silbersteinにより示された a + b {\displaystyle a+b} と b + a {\displaystyle b+a} を関係づける回転を表すものになっている。
3次元ベクトルに対する3×3行列で表された回転がgyr[u,v]で与えられる場合、4次元に対する回転を表す4×4行列は以下で与えられる。
G y r [ u , v ] = ( 1 0 0 g y r [ u , v ] ) {\displaystyle \mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}}
速度 u 、 v に対応する2つの ローレンツブースト B(u), B(v)の合成は以下で与えられる。
B ( u ) B ( v ) = B ( u ⊕ v ) G y r [ u , v ] = G y r [ u , v ] B ( v ⊕ u ) {\displaystyle B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}