弧長
曲線の弧長を近似するために曲線をたくさんの線分に分解するが、弧長の長さを近似値でなく真の値として得るには無限に多くの線分が必要になる。これはつまり、各線分を無限に小さくすることを意味しているが、このことは後に積分を用いる際に効いてくる。
線分の代表元を見れば、その長さ(線素)が微分 ds であることが確認できる。この変位の水平成分を dx、垂直成分を dy で表すと、ピタゴラスの定理から
d s = d 2 x + d 2 y {\displaystyle ds={\sqrt {d^{2}x+d^{2}y}}}
が従う。曲線が媒介変数 t によって表されているなら弧長は線素 ds を無限小区間 dt に亘って次々に足し合わせればよいから、積分
∫ a b ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t {\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {{\Bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\Bigr )}^{\!\!2}+{\Bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,dt}
によって弧長 s が求められる。y が x の函数ならば、t = x として
s = ∫ a b 1 + ( d y d x ) 2 d x {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,dx}
で与えられる。ここで a を a + ε に変更して、線分 AC が A から D までの曲線の弧長の比較的よい近似になるようにする。線分 AC の長さを求めるためにピタゴラスの定理を用い、
A C 2 = A B 2 + B C 2 = ε 2 + 9 4 a ε 2 = ε 2 ( 1 + 9 4 a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AC} ^{2}&=\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {BC} ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}+{\frac {9}{4}}\,a\varepsilon ^{2}\\&=\varepsilon ^{2}\left(1+{\frac {9}{4}}\,a\right)\end{aligned}}}
から、両辺の平方根をとって
A C = ε 1 + 9 4 a {\displaystyle \mathrm {AC} =\varepsilon {\sqrt {1+{\frac {9}{4}}\,a\ }}}
を得る。弧長を近似するために、フェルマーはこのような小線分の列を足し上げたのである。