異時点間CAPM
ただし、 ν s , s ′ {\displaystyle \nu _{s,s^{\prime }}} は Q s {\displaystyle Q_{s}} と Q s ′ {\displaystyle Q_{s^{\prime }}} の瞬間的な相関係数である。さらにここで重要な仮定として、 P i , i = 0 , 1 , ... , n {\displaystyle P_{i},i=0,1,\dots ,n} と X s , s = 1 , ... , S {\displaystyle X_{s},s=1,\dots ,S} は斉時的(英: time-homogeneous)なマルコフ過程であるとする。
投資家 k {\displaystyle k} の資産への投資比率を表すポートフォリオを w i k , i = 1 , ... , n {\displaystyle w_{i}^{k},i=1,\dots ,n} とし、投資家の総資産 W k {\displaystyle W^{k}} は以下の確率微分方程式に従うものとする。
つまり、 H A = ( σ Φ M σ M Φ − σ M M σ Φ Φ ) − 1 ( σ M M ( α Φ − r ) − σ Φ M ( α M − r ) ) {\displaystyle {\frac {H}{A}}={\Big (}\sigma _{\Phi M}\sigma _{M\Phi }-\sigma _{MM}\sigma _{\Phi \Phi }{\Big )}^{-1}{\Big (}\sigma _{MM}(\alpha _{\Phi }-r)-\sigma _{\Phi M}(\alpha _{M}-r){\Big )}} である。以上から
S {\displaystyle V_{W}^{k}={\frac {\partial V^{k}}{\partial W^{k}}},V_{WW}^{k}={\frac {\partial ^{2}V^{k}}{\partial (W^{k})^{2}}},V_{Wx_{s}}^{k}={\frac {\partial V^{k}}{\partial W^{k}\partial x_{s}}},s=1,\dots S} である。ここで行列表記を導入して
α − r = ( α 1 − r ⋮ α n − r ) , σ P P = ( σ 1 , 1 ⋯ σ 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ σ n , 1 ⋯ σ n , n ) , σ P X = ( σ 1 g 1 η 1 , 1 ⋯ σ 1 g S η S , 1 ⋮ ⋱ ⋮ σ n g 1 η 1 , n ⋯ σ n g S η S , n ) , {\displaystyle \alpha -r=\left({\begin{array}{c}\alpha _{1}-r\\\vdots \\\alpha _{n}-r\end{array}}\right),\quad \sigma _{PP}=\left({\begin{array}{ccc}\sigma _{1,1}&\cdots &\sigma _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n,1}&\cdots &\sigma _{n,n}\end{array}}\right),\quad \sigma _{PX}=\left({\begin{array}{ccc}\sigma _{1}g_{1}\eta _{1,1}&\cdots &\sigma _{1}g_{S}\eta _{S,1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n}g_{1}\eta _{1,n}&\cdots &\sigma _{n}g_{S}\eta _{S,n}\end{array}}\right),}