南極定理
垂直二等分線を m c {\displaystyle m_{c}} 、角の二等分線を w γ {\displaystyle w_{\gamma }} として説明する。垂直二等分線 m c {\displaystyle m_{c}} と外接円との交点のうち、AB について C と異なる側の方を S と定義する。U を外接円の中心とすると、弧 AS に対する円周角と中心角の関係より、角 ACS は 角 AUS の半分の大きさである。同様にして、角 SCB は角 SUB の半分の大きさである。角 AUS と角 SUB は対称性により同じ大きさであるから、角 ACS と角 SCB は同じ大きさになる。すなわち、S は角 γ = ∠ A C B {\displaystyle \gamma =\angle ACB} の二等分線上にある。よって垂直二等分線と角の二等分線との交点は S と一致し、それは外接円上にある。
S は AB の垂直二等分線上にあるので、対称性より辺 AS と 辺 BS は同じ長さになる。円周角の定理より、同じ長さの弦に対する円周角は同じ大きさなので、頂点 C と 弦 AS および 弦 BS によって作られる角は同じ大きさである。したがって CS は C の角の二等分線であり、外接円上で垂直二等分線と交わる。