シグモイド関数
( − ∞ , ∞ ) → ( 0 , 1 ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )\rightarrow (0,1)} の単調増加連続関数で、後述するただ1つの変曲点を持つ。
y = 0 {\displaystyle y=0} と y = 1 {\displaystyle y=1} を漸近線に持ち、
lim x → ∞ ς a ( x ) = 1 lim x → − ∞ ς a ( x ) = 0 lim x → ± ∞ ς a ′ ( x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }\varsigma _{a}(x)&=1\\\lim _{x\rightarrow -\infty }\varsigma _{a}(x)&=0\\\lim _{x\rightarrow \pm \infty }\varsigma _{a}'(x)&=0\end{aligned}}}
である。
また、 x = 0 {\displaystyle x=0} では、
ς a ( 0 ) = 1 2 ς a ′ ( 0 ) = a 4 ς a ′′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varsigma _{a}(0)&={\frac {1}{2}}\\\varsigma _{a}'(0)&={\frac {a}{4}}\\\varsigma _{a}''(0)&=0\end{aligned}}}