ポアソン分布
パラメータが n と p = λ / n である二項分布において、λ を一定に保ったまま n を無限大に近づけると、その分布は平均 λ のポアソン分布に近づく。すなわち、
lim λ = n p , n → ∞ ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k = λ k e − λ k ! {\displaystyle \lim _{\lambda =np,~n\to \infty }{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}
が成り立つ。これをポアソンの極限定理という。この定理の名は、数学者シメオン・ドニ・ポアソンが1837年に著書 « Recherches sur la probabilite des jugements » (Researches on the Probabilities)の中で結果を与えたことに由来する。なお、この中で、二項分布の極限としてポアソン分布が初めて導出されている。
導出の詳細を次に示す。計算には、以下の関係式を用いる。
lim n → ∞ ( 1 − λ n ) n = e − λ .
λ が十分に大きい(たとえば λ > 1000)ならば、平均 λ、標準偏差 √λ の正規分布はこのポアソン分布の非常によい近似となる。おおよそ λ > 10 であれば、適切な連続な分布への修正がなされている場合に限り、正規分布はこのポアソン分布のよい近似となる。例えば P(X ≤ x) に関して、x が非負の整数ならば、P(X ≤ x + 0.5) と置換することができる。