レヴィ＝チヴィタ変換
( q 1 q 2 ) = ( Q 1 − Q 2 Q 2 Q 1 ) ( Q 1 Q 2 ) , ( p 1 p 2 ) = 1 4 ( Q 1 2 + Q 2 2 ) ( 2 Q 1 − 2 Q 2 2 Q 2 2 Q 1 ) ( P 1 P 2 ) , {\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Q_{1}&-Q_{2}\\Q_{2}&Q_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{pmatrix}},\ \ {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{4(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})}}{\begin{pmatrix}2Q_{1}&-2Q_{2}\\2Q_{2}&2Q_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P_{1}\\P_{2}\end{pmatrix}},\ \ }
次節でこの変換の詳細な性質について見るが、ここでは q 1 2 + q 2 2 = Q 1 2 + Q 2 2 {\displaystyle {\sqrt {q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}=Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}} が成立することを指摘しておく。さて、 D := 4 ( Q 1 2 + Q 2 2 ) {\displaystyle D:=4(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})} とおくとき、変換後のハミルトニアン H ~ ( P , Q ) = H ( p ( P , Q ) , q ( P , Q ) ) {\displaystyle {\tilde {H}}(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )=H(\mathbf {p} (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ),\mathbf {q} (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ))} は