パーセヴァルの等式
c n = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x . {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm {e} ^{-inx}\,dx.}
正確には、この結果は ƒ が自乗可積分あるいはより一般に L[−π,π] に属する場合に成立する。類似の結果として、函数のフーリエ変換の二乗の積分が、その函数の二乗の積分と等しいというプランシュレルの定理がある。すなわち、1 次元の場合は、ƒ ∈ L(R) に対して次の等式が成立する:
∫ − ∞ ∞ | f ^ ( ξ ) | 2 d ξ = ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 d x . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi =\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.}