ハーンの分解定理
A = D ∖ ⋃ n = 0 ∞ B n {\displaystyle A=D\setminus \bigcup _{n=0}^{\infty }B_{n}}
を定める。集合 (Bn)n≥0 は互いに素な D の部分集合であるため、符号付測度 μ のσ-加法性より
μ ( A ) = μ ( D ) − ∑ n = 0 ∞ μ ( B n ) ≤ μ ( D ) − ∑ n = 0 ∞ min { 1 , t n / 2 } {\displaystyle \mu (A)=\mu (D)-\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B_{n})\leq \mu (D)-\sum _{n=0}^{\infty }\min\{1,t_{n}/2\}}
が従う。この不等式より μ(A) ≤ μ(D) が従う。今 A は負集合ではないと仮定する。すると Σ に属する A の部分集合 B で μ(B) > 0 を満たすようなものが存在する。このとき、すべての n に対して tn ≥ μ(B) が成立するため、右辺の級数は +∞ へと発散するが、これは μ(A) = –∞ を意味し、はじめの μ の定め方に矛盾する。したがって、A は負集合でなくてはならない。
分解の構成: N0 = ∅ とする。帰納的に Nn が与えられたとし、次を定義する。
s n := inf { μ ( D ) : D ∈ Σ , D ⊂ X ∖ N n } . {\displaystyle s_{n}:=\inf\{\mu (D):D\in \Sigma ,\,D\subset X\setminus N_{n}\}.}
ジョルダン分解には次のような系が存在する:ある有限符号付測度 μ のジョルダン分解 (μ, μ) が与えられた時、Σ 内の任意の E に対して
μ + ( E ) = sup B ∈ Σ , B ⊂ E μ ( B ) {\displaystyle \mu ^{+}(E)=\sup _{B\in \Sigma ,B\subset E}\mu (B)}
および
μ − ( E ) = − inf B ∈ Σ , B ⊂ E μ ( B ) {\displaystyle \mu ^{-}(E)=-\inf _{B\in \Sigma ,B\subset E}\mu (B)}
が成立する。また、有限な非負測度のペア (ν, ν) に対して μ = ν − ν であるなら、
ν + ≥ μ + and ν − ≥ μ − {\displaystyle \nu ^{+}\geq \mu ^{+}{\text{ and }}\nu ^{-}\geq \mu ^{-}}
が成立する。この最後の式は、ジョルダン分解が μ のある非負の測度の差への「極小」分解であることを意味する。これはジョルダン分解の「極小性」(minimality property)と呼ばれる。
ジョルダン分解の証明: ジョルダン測度分解の存在、一意性および極小性に関する初等的な証明については、Fischer (2012) を参照されたい。