ヴィノグラードフの定理
α {\displaystyle \alpha } が有理数 p q {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} であれば、 S ( α ) {\displaystyle S(\alpha )} は q {\displaystyle q} を法とした剰余類の中の素数の分布によって与えられる。従って、ジーゲル・ウォルフィッツの定理を使うと、小さな分母の有理数の近傍で、上記の整数の分布を計算することができる。そのような有理数に近い実数の集合は、通常、優弧(major arcs)と呼ばれる複数の区間を形成し、その補集合は劣弧(minor arcs)と呼ばれる。優弧区間は整数を支配することがわかるので、定理を証明するためには、劣弧に含まれる α {\displaystyle \alpha } に対する S ( α ) {\displaystyle S(\alpha )} の上限を求める必要がある。この見積もりが証明の最も難しいところである。
一般化されたリーマン予想を前提とすると、優弧で使った議論を劣弧へ拡張することができる。これは1923年にハーディとリトルウッドによってなされた。1937年、ヴィノグラードフは、 | S ( α ) | {\displaystyle |S(\alpha )|} の無条件での上限を与えた。彼の主張は、結果の項が複雑な方法で簡約整理されて得られる、単純なふるい法から始まる。1977年、ボブ・ヴォーン(英語版)(R. C. Vaughan)は、後日、ヴォーンの恒等式(英語版)(Vaughan's identity)として知られる恒等式に基づく、非常に簡素化された結果を発見した。
定理の証明は、ハーディ-リトルウッドの円周法(英語版)(Hardy–Littlewood circle method)を使う。指数和(英語版)を
S ( α ) = ∑ n = 1 N Λ ( n ) e ( α n ) {\displaystyle S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)}
とすると、
S ( α ) 3 = ∑ n 1 , n 2 , n 3 ≤ N Λ ( n 1 ) Λ ( n 2 ) Λ ( n 3 ) e ( α ( n 1 + n 2 + n 3 ) ) = ∑ n ≤ 3 N r ~ ( n ) e ( α n ) {\displaystyle S(\alpha )^{3}=\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2})\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\sum _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n)e(\alpha n)}
を得る。ここで r ~ {\displaystyle {\tilde {r}}} は N {\displaystyle N} 以下である素数のべきに限定した表現の数を表す。すると、
r ( N ) = ∫ 0 1 S ( α ) 3 e ( − α N ) d α {\displaystyle r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha }
となる。