ボレル・ヴェイユの定理
G を複素特殊線型群 SL(2, C) とする。行列式 1 の上三角行列全体はボレル部分群である。G の整ウェイトは整数と同一視でき、優ウェイトは非負の整数と対応する。B の対応する指標 χn は
χ n ( a b 0 a − 1 ) = a n {\displaystyle \chi _{n}{\begin{pmatrix}a&b\\0&a^{-1}\end{pmatrix}}=a^{n}}
の形を持つ。
旗多様体 G/B は、斉次座標(英語版) を X, Y とする複素射影直線 CP と同一視でき、直線束 Ln の大域切断の空間は C 上の n 次斉次多項式の空間と同一視される。n ≥ 0 に対して、この空間の次元は n + 1 であり、G の多項式代数 C[X, Y] への標準的な作用の下で既約表現をなす。ウェイトベクトルは単項式
X i Y n − i , 0 ≤ i ≤ n {\displaystyle X^{i}Y^{n-i},\quad 0\leq i\leq n}
によって与えられ、そのウェイトは 2i − n であり、最高ウェイトベクトル X のウェイトは n である。