第二基本形式
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これは、ガウスのTheorema Egregiumの一般化と見なすことができるため、ガウス方程式と呼ばれる。
一般的なリーマン多様体の場合、全体空間(ambient space)の曲率を追加する必要がある。N がリーマン多様体 (M,g) に埋め込まれた多様体である場合、 (M,g) から誘導された計量を持つ N の曲率テンソル RN は、第二基本形式と M の曲率テンソル RM を用いて次のように表現することができる。
⟨ R N ( u , v ) w , z ⟩ = ⟨ R M ( u , v ) w , z ⟩ + ⟨ I I ( u , z ) , I I ( v , w ) ⟩ − ⟨ I I ( u , w ) , I I ( v , z ) ⟩ . {\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle \,.}
一般的な媒介変数表示された曲面の第二基本形式は、次のように定義される。 r = r(u,v) を R の曲面の正則(regular)な媒介変数表示とする。ここで、 r は2変数の滑らかなベクトル値関数である。u と v に関する r の偏導関数は ru と rv で表示するのが普通である。媒介変数表示の正則性(regularity)は、r の定義域において 任意の(u,v) に対して ru と rv が線型独立であることを意味する。すなわち、ru と rv は、各点で S の接平面を張る(span)ことになる。同様に、外積 ru × rv は曲面に垂直な非ゼロのベクトルとなる。媒介変数表示は、したがって、単位法線ベクトル n の場を次のように定義する。
n = r u × r v | r u × r v | . {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}\,.}
第二基本形式はたいてい次のように書かれる。
I I = L d u 2 + 2 M d u d v + N d v 2 , {\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}\,,}
接平面の基底 {ru, rv} の行列は次のようになる。
[ L M M N ] .