ローレンツ曲線
L ( F ) = ∫ − ∞ x ( F ) x f ( x ) d x ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x = ∫ 0 F x ( F ′ ) d F ′ ∫ 0 1 x ( F ′ ) d F ′ {\displaystyle L(F)={\frac {\int _{-\infty }^{x(F)}xf(x)\,dx}{\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}}={\frac {\int _{0}^{F}x(F')\,dF'}{\int _{0}^{1}x(F')\,dF'}}}
ここで x(F) は累積分布関数 F(x) の逆関数である。逆関数の性質より、
d x ( F ) d F = 1 d F ( x ) d x | x = x ( F ) = 1 { d F ( x ( F ) ) d x } {\displaystyle {\frac {dx(F)}{dF}}={\frac {1}{\left.{\frac {dF(x)}{dx}}\right|_{x=x(F)}}}={\frac {1}{\left\{{\frac {dF(x(F))}{dx}}\right\}}}}
を満たすので、積分
∫ − ∞ x ( F ) x f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{x(F)}xf(x)\,dx}
の積分変数を x から F' に変えたものは、累積分布関数の定義より F(−∞) = 0 となるから、次のように書き換えられる。
∫ 0 F x ( F ′ ) f ( x ( F ′ ) ) d x ( F ′ ) d F ′ d F ′ = ∫ 0 F x ( F ′ ) f ( x ( F ′ ) ) 1 { d F ( x ( F ′ ) ) d x } d F ′ {\displaystyle \int _{0}^{F}x(F')f(x(F'))\,{\frac {dx(F')}{dF'}}dF'=\int _{0}^{F}x(F')f(x(F'))\,{\frac {1}{\left\{{\frac {dF(x(F'))}{dx}}\right\}}}dF'}
また累積分布関数 F(x) は、対応する確率密度関数の積分 f(x) で置き換えられる。従って、その導関数 dF(x)/dx は確率密度関数 f(x) を与えるから、変数変換後の積分からは確率密度関数を消去することができ、上記の積分は以下のように書くことができる。
∫ − ∞ x ( F ) x f ( x ) d x = ∫ 0 F x ( F ′ ) d F ′ {\displaystyle \int _{-\infty }^{x(F)}xf(x)\,dx=\int _{0}^{F}x(F')dF'}
国家の所得格差の統計に当てはめて、ローレンツ曲線について説明する。国民一人一人を所得が小さい順に並べ、下から 10F 割に属する人の所得の合計値が、国民全員の所得の合計値の 10y 割であるとき、
y = L ( F ) {\displaystyle y=L(F)}
と表される関数 L(F) をローレンツ曲線という。
社会に所得格差が全く存在しなかった場合、ローレンツ曲線は45度線(均等分配線、英: line of perfect equality)と一致する。45度線とローレンツ曲線とで囲まれる部分の面積を 2 倍したものはジニ係数を与える。所得格差が全く存在しない場合、ローレンツ曲線は45度線と一致するので、ジニ係数は 0 になる。一方で、たった一人に全ての富が集中している場合(=最も所得格差が激しい場合)、ローレンツ曲線は"┘"の形になるので、ジニ係数は 1 になる。以上からジニ係数は所得格差を計る尺度と見なせる。
どんな分布でも、ローレンツ曲線 L(F) は確率密度関数 f(x) または累積分布関数 F(x) を用いて以下のように書くことができる。