静磁場
次に、時間的に定常な磁化が作り出す磁束密度について考えよう。磁気ベクトルポテンシャルの回転微分をとれば、磁束密度が得られる。
(1)原点に置かれた磁気モーメントmは、空間上の位置rに作り出す磁気ベクトルポテンシャルは、前述の通り、
a 0 ( r ) = μ 0 4 π ( m × r | r | ) {\displaystyle \mathbf {a} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right)} (2-2-1)
である。これの回転微分をとることで、原点に置かれた磁気モーメントmが、空間上の位置rに作り出す磁束密度は、 b 0 ( r ) = rot r  [ μ 0 4 π ( m × r | r | ) ] = μ 0 4 π grad r  [ ⟨ m | r ⟩ | r | 3 ] + μ 0 4 π div r  [ r | r | ] m {\displaystyle \mathbf {b} _{0}(\mathbf {r} )=\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right)\right]={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\langle \mathbf {m} |\mathbf {r} \rangle }{{|\mathbf {r} |}^{3}}}\right]+{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right]\mathbf {m} } (2-2-2)
において
X := ν ( s ) rot  [ A ( s ) ] (3-5-8) Y := δ A (3-5-9) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} &:={\nu }(\mathbf {s} )\operatorname {rot} [\mathbf {A} (\mathbf {s} )]&{\text{(3-5-8)}}\\\mathbf {Y} &:=\delta \mathbf {A} &{\text{(3-5-9)}}\end{aligned}}}
を代入すると、
δ F [ A ] = ∫ s ∈ R 3 − div s  [ ( ν ( s ) rot s  [ A ] ) × δ A ] d 3 s + ∫ s ∈ R 3 < ( rot s  [ ( ν ( s ) ) rot s  [ A ( s ) ] ] − i f c ( s ) | δ A ( s ) > d 3 s (3-5-10) {\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\mathbf {A} ]&={\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}-\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[({\nu }(\mathbf {s} )\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} ])\times \delta \mathbf {A} ]\ {d}^{3}\mathbf {s} \\&+{\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}<(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[({\nu }(\mathbf {s} ))\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )]\ ]-{\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )\ |\ \delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )>\ {d}^{3}\mathbf {s} \qquad {\text{(3-5-10)}}\end{aligned}}}
∫ s ∈ Ω div s  [ M ( s ) | r − s | ] d 3 Ω = ∫ s ∈ ∂ Ω M ( s ) | r − s | d 2 ( ∂ Ω ) {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {div} _{s}\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\Omega ={\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ {d}^{2}(\partial \Omega )} (2-3-6)
さらに、ベクトル解析の公式を適用すると、
∫ s ∈ ∂ Ω M ( s ) | r − s | d 2 ( ∂ Ω ) = ∫ s ∈ ∂ Ω ⟨ M ( s ) | n ∂ Ω ⟩ | r − s | | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ {d}^{2}(\partial \Omega )={\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }{\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} )|\mathbf {n} _{\partial \Omega }\rangle }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|} (2-3-7)
を作り出す。
上記の磁気ベクトルポテンシャルそれぞれを、全ての s ∈ Ω {\displaystyle \mathbf {s} \in \Omega } に渡って足し合わせると、
A M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ Ω ( ( M ( s ) ) × ( r − s ) | r − s | ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {A} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\left({\frac {(\mathbf {M} (\mathbf {s} ))\times (\mathbf {r} -{\mathbf {s} })}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ {d}^{3}\mathbf {s} } (2-1-5)
を得る。即ち、物質の磁化 M ( r ) {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )} は、上記の磁気ベクトルポテンシャル A M {\displaystyle \mathbf {A} _{M}} を空間内に作り出す
div s  [ M ( s ) | r − s | ] = ⟨ grad s  [ 1 | r − s | ] | M ( s ) ⟩ + div s  [ M ] | r − s | = ⟨ r − s | r − s | 3 | M ( s ) ⟩ + div s  [ M ] | r − s | = ⟨ M ( s ) | ( r − s ) ⟩ | r − s | 3 + div s  [ M ] | r − s | (2-3-2) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} _{s}\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]&=\left\langle \operatorname {grad} _{\mathbf {s} }\left[{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\left|\right.\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right\rangle +{\frac {\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\\&=\left\langle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {s} }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\left|\right.\mathbf {M} (\mathbf {s} )\right\rangle +{\frac {\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\\&={\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\rangle }{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}+{\frac {\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\qquad {\text{(2-3-2)}}\end{aligned}}}