方正函数
以下 X はノルム ‖ – ‖X を備えるバナッハ空間とする。函数 f: [0, T] → X が方正函数であるとは、以下の同値な条件のうちの何れか一方(したがって両方)を満足することを言う (Dieudonné 1969, §7.6):
任意の t ∈ [0, T] に対して左側極限 f(t−) および右側極限 f(t+) がともに X において存在する(自明な注意ではあるが f(0−) および f(T+) は除いて言う);
適当な階段函数列 φn: [0, T] → X で一様に(つまり一様ノルム ‖ – ‖∞ に関して)f に収斂するものが存在する。
これら2つの条件が同値であることを知るには少しく手を動かす必要があるが、後の条件を次に示す形に言い換えるのは比較的容易である:
各 δ > 0 に対し、以下を満たす階段函数 φδ: [0, T] → X が取れる: ‖ f − φ δ ‖ ∞ = sup t ∈ [ 0 , T ] ‖ f ( t ) − φ δ ( t ) ‖ X < δ . {\displaystyle \|f-\varphi _{\delta }\|_{\infty }=\sup _{t\in [0,T]}\|f(t)-\varphi _{\delta }(t)\|_{X}<\delta .}
f は閉区間 [0, ] から X への階段函数全体の成す空間 Step([0, T]; X) の閉包に属する(閉包は一様ノルムに関する意味で [0, T] から X への有界函数全体の成す空間 B([0, T]; X) において取る)。