3乗剰余の相互法則
αとβを Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の元とする。このとき
( α β ) 3 = ( β α ) 3 . {\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.}
単数と素元1− ωには補充法則 がある:
α =a+bωである素元、a=3m+1及びb=3n とおく。 (a≡2(mod 3)の場合 αをその同伴元-αと置き換える。これは、3乗剰余記号値を変更しない。 )このとき
( ω α ) 3 = ω 1 − a − b 3 = ω − m − n , ( 1 − ω α ) 3 = ω a − 1 3 = ω m , ( 3 α ) 3 = ω b 3 = ω n . {\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {1-a-b}{3}}=\omega ^{-m-n},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {1-\omega }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {a-1}{3}}=\omega ^{m},\;\;\;{\Bigg (}{\frac {3}{\alpha }}{\Bigg )}_{3}=\omega ^{\frac {b}{3}}=\omega ^{n}.}
p を法とする3乗剰余とは、その3乗が p を法として合同な任意の数のことである。もし x についての合同式 x ≡ a (mod p) が整数解を持たないなら、a は p を法とする3乗非剰余であるという。
数論でよくあることだが、素数を法とするほうがより上手くいくことが多いため、この節では全ての p、q などの法は正の奇素数であると仮定する。まず初めに、素数 q が q ≡ 2 (mod 3) を満たすとき、すべての整数が3乗剰余であることに注意しよう。0 = 0 ≡ 0 (mod q) から、0は明らかに3乗剰余であるため、整数 x は q で割り切れないと仮定する。整数 n を q = 3n + 2 を満たすように取っておく。ここで、フェルマーの小定理より、任意の整数 x に対して、次の2つの合同式が成り立つ:
x q ≡ x mod q , x q − 1 ≡ 1 mod q . {\displaystyle {\begin{aligned}x^{q}&\equiv x{\bmod {q}},\\x^{q-1}&\equiv 1{\bmod {q}}.\end{aligned}}}
2つの合同式を辺々掛けることで、x ≡ x (mod q) が得られる。さて、q = 3n + 2 であったから、次が成り立つ: