パーセバルの定理
パーセバルの定理(パーセバルのていり、英: Parseval's theorem)とは、フーリエ変換がユニタリであるという結果を一般に指す。大まかに言えば、関数の平方の総和(あるいは積分)が、そのフーリエ変換の平方の総和(あるいは積分)と等しいということである。フランスの数学者マルク=アントワーヌ・パーシバル(英語版)の1799年の級数に関する定理が起源であり、この定理は後にフーリエ級数に応用されるようになった。レイリー卿ジョン・ウィリアム・ストラットに因んで、レイリーのエネルギー定理(Rayleigh's energy theorem, Rayleigh's Identity)とも呼ばれる。
また、特に物理学や工学分野では、任意のフーリエ変換のユニタリ性を指してパーセバルの定理と呼ぶことが多いが、この性質の最も一般的な形は正確にはプランシュレルの定理と呼ばれる。
離散時間(英語版)信号の場合、この定理は次のようになる。
∑ n = − ∞ ∞ | x [ n ] | 2 = 1 2 π ∫ − π π | X ( e j φ ) | 2 d φ . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X(e^{j\phi })|^{2}\,d\phi .}
ここで、X は x の離散時間フーリエ変換 (DTFT) であり、φ は x の角周波数(標本当たりのラジアン)を意味する。
また、離散フーリエ変換 (DFT) では次のようになる。
∑ n = 0 N − 1 | x [ n ] | 2 = 1 N ∑ k = 0 N − 1 | X [ k ] | 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}.}
ここで、X[k] は x[n] の DFT であり、どちらも長さ N である。