ワイル計量
a-7.e)および式(8.a-8.d)は次の形式で書き下されることもしばしばである。
および
時空の幾何とエネルギー・物質分布との相互作用を考慮すると、式(7.a-7.e)において計量関数 ψ(ρ, z) は静電ポテンシャル Φ(ρ, z) と関数関係 ψ = ψ(Φ) (つまり幾何がエネルギーに依存する)を仮定するのが自然であり、ここから次が帰結する。
式(B.1) により式(7.b)および式(7.e)はただちにそれぞれ次のように変換される。
したがって、次を得る。
ここで、変数 ψ を ζ := e で置き換えれば、式(B.4)は次のように簡約化される。
式(B.5)を直接積分すると ζ = e = Φ + ~CΦ + B が得られる。ここで {B, ~C} は積分定数である。無限遠点における漸近的平坦性を満たすためには、 lim ρ , z → ∞ Φ = 0 {\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }\Phi =0} および lim ρ , z → ∞ e 2 ψ = 1 {\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }e^{2\psi }=1} が要請され、したがって B = 1 でなければならない。また、数学的簡便化のために以下 ~C を −2C のように書き直すこととすると、式(7.a-7.e)から最終的に次の状態方程式が導かれる。
この関係式は式(7.a-7.f)を線形化し、電磁真空ワイル解の重ね合わせる上で重要である。