合同数
定義を数式化すると、 合同数とは
a 2 + b 2 = c 2 a b 2 = n {\displaystyle {\begin{matrix}a^{2}+b^{2}&=&c^{2}\\{\frac {ab}{2}}&=&n\end{matrix}}}
を満たす有理数 a , b , c が存在するような n のことである。
n が合同数であるための必要十分条件は楕円曲線
y 2 = x 3 − n 2 x {\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x\,\!}
が正の階数を持つことである。実際、 a,b,c が上述した方程式を満たすとき、 x , y を x = n(a+c)/b , y = 2n(a+c)/b とおくと、
y 2 = x 3 − n 2 x {\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x\,\!}
で、 y は 0 ではない( y が 0 ならば、 a = -c より b = 0 だが (1/2)ab = n ≠ 0 に矛盾する)。
逆に、 x , y ( y ≠ 0)を上の楕円曲線上の点とするとき、 a = (x - n)/y, b = 2nx/y, c = (x + n)/y は上記の方程式の解となる。
上の楕円曲線の有限位数の点は y = 0 を満たすことが知られている。それで、 n が合同数であるかどうかは、上記の楕円曲線が無限位数の点をもつかどうかという問題に帰着する。