軌道角運動量
3次元空間Rの球面座標 (r,θ,φ) に対し、
d x d y d z = r 2 sin  θ d r d θ d φ {\displaystyle \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
が成立する。そこで、R 上の関数 χ, ξ と3次元空間 R の単位球面
S 2 = { ( x , y , z ) ∈ R 3 ∣ x 2 + y 2 + z 2 = 1 } {\displaystyle S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}}
上の2つの可積分関数 f, g に対し、内積を以下のように定義する:
⟨ χ | ξ ⟩ R := ∫ − ∞ ∞ χ ( r ) ξ ( r ) r 2 d r {\displaystyle \langle \chi |\xi \rangle _{R}:=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (r)\xi (r)r^{2}\mathrm {d} r}
⟨ f | g ⟩ S 2 := ∫ S 2 f ( x ) g ( x ) sin  θ φ d θ {\displaystyle \langle f|g\rangle _{S^{2}}:=\int _{S^{2}}f({\boldsymbol {x}})g({\boldsymbol {x}})\sin \theta \,\varphi \,\mathrm {d} \theta }
関数 f を
f ( r , θ , φ ) = r l Y l , m ( θ , φ ) {\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=r^{\ell }Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )}
と定義すると、f(を直交座標で書いたもの)は数学における l {\displaystyle \ell } 次の球面調和関数になる。
また、pを数学における l {\displaystyle \ell } 次の球面調和関数とすると、pの極座標は必ず
p ( r , θ , φ ) = ∑ m = − l l a m r l Y l , m ( θ , φ ) {\displaystyle p(r,\theta ,\varphi )=\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{m}r^{\ell }Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )}
という形の線形和で書ける。
これらの事実の証明は球面調和関数の項目を参照されたい。
3次元空間 R の場合、R を球面座標 (r,θ,φ) で表す。下記の関数 Y l , m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\varphi )} を(物理学における)球面調和関数という:
Y l , m ( θ , φ ) = ( − 1 ) ( m + | m | ) / 2 2 l + 1 4 π ( l − | m | ) ! ( l + | m | ) ! P l | m | ( cos  θ ) e i m φ {\displaystyle Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2\ell +1}{4\pi }}{\frac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}\,}}P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\,e^{im\phi }} ...(B1)
ここで
mは整数で、 l {\displaystyle \ell } は l ≥ | m | {\displaystyle \ell \geq |m|} ...(B2)
であり、 P l m ( t ) {\displaystyle P_{\ell }{}^{m}(t)} はルジャンドルの陪多項式
P l m ( t ) = 1 2 l ( 1 − t 2 ) m 2 ∑ j = 1 ⌊ ( l − m ) / 2 ⌋ ( − 1 ) j ( 2 l − 2 j ) !
ˆLzを物理学における球面調和関数Ylm(θ,φ)に作用させると
L ^ z Y l m ( θ , φ ) = m ħ Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle {\hat {L}}_{z}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=m\hbar Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}
定理1より
Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )} は S 上の面積要素 sin θ dθ dφ に関して規格化されている
Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )} は互いに直交している
定理2より
ˆLz と ˆL の任意の自乗可積分関数は球面調和関数を用いて固有値展開可能である