スペクトル定理
これが作用素論と呼ばれる函数解析学における広大な研究分野の始まりである。記事常微分方程式におけるスペクトル理論(英語版)も参照されたい。
ヒルベルト空間上の有界な正規作用素に対する同様のスペクトル定理も存在する。結論として異なる部分は、今回の場合 f {\displaystyle f} は複素数値でもよいということである。
スペクトル定理の代替的な設定として、作用素 A {\displaystyle A} がその作用素のスペクトルについての射影値測度(英語版)に関する座標関数の積分として与えられる、次の様な場合が考えられる。
A = ∫ σ ( A ) λ d E λ {\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,dE_{\lambda }}
考えられている正規作用素がコンパクトであるなら、このようなスペクトル定理は上述の有限次元のスペクトル定理に帰着される。そうでない場合、その作用素は無限に多くの射影の線型結合として表現され得る。
一般にヒルベルト空間において、コンパクトな自己共役作用素に対するスペクトル定理の内容は、有限次元の場合と実質的に同じである。
定理 A をあるヒルベルト空間 V 上のコンパクトな自己共役作用素とする。このとき A の固有ベクトルで構成されるような V の正規直交基底が存在する。対応する各固有値は実数である。
エルミート行列の場合のように、証明のカギとなるのは、(少なくとも一つの)非ゼロの固有ベクトルの存在である。これを示す際、固有値の存在を示すための行列式の手法に頼ることは出来ないが、代わりに、固有値の変分的特徴付けと同様なある最大化に関する議論を利用することが出来る。そうして上述のスペクトル定理は、実あるいは複素ヒルベルト空間に対しても成立する。
コンパクト性の仮定が除かれた場合、すべての自己共役作用素が固有ベクトルを持つとは限らなくなってしまうので、定理は成立しない。