冠頭標準形
論理積と論理和の規則は、
( ∀ x φ ) ∧ ψ {\displaystyle (\forall x\phi )\land \psi } は ∀ x ( φ ∧ ψ ) {\displaystyle \forall x(\phi \land \psi )} と等価
( ∀ x φ ) ∨ ψ {\displaystyle (\forall x\phi )\lor \psi } は ∀ x ( φ ∨ ψ ) {\displaystyle \forall x(\phi \lor \psi )} と等価
および
( ∃ x φ ) ∧ ψ {\displaystyle (\exists x\phi )\land \psi } は ∃ x ( φ ∧ ψ ) {\displaystyle \exists x(\phi \land \psi )} と等価
( ∃ x φ ) ∨ ψ {\displaystyle (\exists x\phi )\lor \psi } は ∃ x ( φ ∨ ψ ) {\displaystyle \exists x(\phi \lor \psi )} と等価
である。これらの規則は、x が ψ の中で自由変項として現れない場合に妥当である。もし x が ψ の中に自由変項として現れた場合、他の自由変項と置き換える必要がある。
例えば、環の言語で、
( ∃ x ( x 2 = 1 ) ) ∧ ( 0 = y ) {\displaystyle (\exists x(x^{2}=1))\land (0=y)} は ∃ x ( x 2 = 1 ∧ 0 = y ) {\displaystyle \exists x(x^{2}=1\land 0=y)} と等価である。
しかし
( ∃ x ( x 2 = 1 ) ) ∧ ( 0 = x ) {\displaystyle (\exists x(x^{2}=1))\land (0=x)} は ∃ x ( x 2 = 1 ∧ 0 = x ) {\displaystyle \exists x(x^{2}=1\land 0=x)} と等価ではない。
左の式は、自由変項 x が 0 のとき任意の環で真だが、右の式には自由変項がなく、どんな環でも偽である。