加群の層
(X, O) を環付き空間とし,F, H を X 上の O 加群の層とする.H の F による拡大 (extension) とは,O 加群の短完全列
0 → F → G → H → 0 {\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0}
である.
群の拡大と同様,F と H を固定すれば,H の F による拡大の同値類全体はアーベル群をなし(cf. Baer和(英語版)),この群は Ext 群 E x t O 1 ( H , F ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{O}^{1}(H,F)} と同型で,単位元は自明な拡大と対応する.
H が O のとき次が成り立つ.すべての i ≥ 0 に対して
H i  ( X , F ) = E x t O i ( O , F ) , {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\mathrm {Ext} _{O}^{i}(O,F),}
任意の O 加群 F に対し,F のテンソル代数,外積代数,対称代数が同じように定義される.例えば,k 次外冪
∧ k F {\displaystyle \wedge ^{k}F}
は前層 U ↦ ∧ O ( U ) k F ( U ) {\displaystyle U\mapsto \wedge _{O(U)}^{k}F(U)} に伴う層である.F が階数 n で局所自由ならば, ∧ n F {\displaystyle \wedge ^{n}F} は F の行列式直線束(英語版)と呼ばれ(技術的には可逆層であるが),det(F) と書かれる.自然な完全対
∧ r F ⊗ ∧ n − r F → det  ( F ) {\displaystyle \wedge ^{r}F\otimes \wedge ^{n-r}F\to \operatorname {det} (F)}
がある.
f: (X, O) →(X', O') を環付き空間の射とする.F が O 加群のとき,順像層(英語版) f ∗ F {\displaystyle f_{*}F} は自然な写像 O' →f*O により O' 加群である(そのような自然な写像は環付き空間の射のデータの一部である).
G が O' 加群であるとき,G の逆像 f ∗ G {\displaystyle f^{*}G} である加群は加群のテンソル積として与えられる O 加群である: