グリーン関数 (多体理論)
線形応答理論の久保理論の応答関数 Φ A , B {\displaystyle \Phi _{A,B}} は、遅延グリーン関数 G A . B r {\displaystyle G_{A.B}^{\mathrm {r} }} と同じ形をしている。遅延グリーン関数は温度グリーン関数 G A . B τ {\displaystyle G_{A.B}^{\tau }} を解析接続すると得られる。物理量 A , B {\displaystyle A,B} は一組の生成演算子と消滅演算子を用いて表されることが多く、その場合の温度グリーン関数は2粒子温度グリーン関数となる。2粒子温度グリーン関数は、ファインマンダイアグラムで展開することができる。
.. ψ ( r n , τ n ) ψ † ( r n + 1 , τ n + 1 ) ... ψ † ( r 2 n , τ 2 n ) ] ⟩ {\displaystyle G^{\tau }({\boldsymbol {r}}_{1}\tau _{1},{\boldsymbol {r}}_{2}\tau _{2},\dotsc ,{\boldsymbol {r}}_{2n}\tau _{2n})=-\langle T_{r}[\psi ({\boldsymbol {r}}_{1},\tau _{1})\dotsc \psi ({\boldsymbol {r}}_{n},\tau _{n})\psi ^{\dagger }({\boldsymbol {r}}_{n+1},\tau _{n+1})\dotsc \psi ^{\dagger }({\boldsymbol {r}}_{2n},\tau _{2n})]\rangle }
温度グリーン関数は他の実時間グリーン関数と比べて、摂動展開がブロッホ=ドミニシスの定理(ウィックの定理)によって簡単にでき、場の量子論で開発されたファインマン・ダイアグラムを使うことで視覚的にまとまった形で規則づけることができるという利点がある。
場の量子論では、遅延グリーン関数 (retarded Green function) G A . B r {\displaystyle G_{A.B}^{\mathrm {r} }} 、先進グリーン関数 (advanced Green function) G A . B a {\displaystyle G_{A.B}^{\mathrm {a} }} 、因果グリーン関数 (causal Green function) G A . B c {\displaystyle G_{A.B}^{\mathrm {c} }} を総称している。これらはまとめて二時間グリーン関数 (two-point Green function) とも呼ばれ、次のように定義される。
G A . B r = θ ( t − t ′ ) i ħ ⟨ [ A ^ ( t ) , B ^ ( t ′ ) ] ± ⟩ G A . B a = − θ ( t − t ′ ) i ħ ⟨ [ A ^ ( t ) , B ^ ( t ′ ) ] ± ⟩ G A . B c = 1 i ħ ⟨ T [ A ^ ( t ) B ^ ( t ′ ) ] ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}G_{A.B}^{\mathrm {r} }&={\frac {\theta (t-t')}{i\hbar }}\langle [{\hat {A}}(t),{\hat {B}}(t')]_{\pm }\rangle \\G_{A.