超幾何関数
z n = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∑ n = 0 ∞ ( ∫ 0 1 t a + n − 1 ( 1 − t ) c − a − 1 d t ) ( b ) n n ! z n = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∫ 0 1 t a − 1 ( 1 − t ) c − a − 1 ( ∑ n = 0 ∞ ( b ) n n ! ( t z ) n ) d t = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∫ 0 1 t a − 1 ( 1 − t ) c − a − 1 ( 1 − t z ) − b d t {\displaystyle {\begin{aligned}F(a,b;c;z)&={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\cdot {\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a)}{\Gamma (c)}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}\;n!}}z^{n}\\&={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+n)\Gamma (c-a)(b)_{n}}{\Gamma (c+n)\;n!