双対ベクトル空間
数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間(そうついベクトルくうかん、英: dual vector space)あるいは単に双対空間(そうついくうかん、英: dual space)は、そのベクトル空間上の線型汎函数(一次形式)全体の成す空間として定義される。有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。函数の成す(典型的には無限次元の)ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。
一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。
(F)0 は F をそれ自身 F 上一次元のベクトル空間と見做したものの A で添字付けられた無限個のコピーの直和と(本質的には定義によって)同一視できる。即ち線型同型
V ≅ ( F A ) 0 ≅ ⨁ α ∈ A F {\displaystyle V\cong {\bigl (}F^{A}{\bigr )}_{0}\cong \bigoplus _{\alpha \in A}F}
が存在する。他方 F は(やはり定義によって)A で添字付けられる F の無限個のコピーの直積(英語版)に同型である。同一視
V ∗ ≅ ( ⨁ α ∈ A F ) ∗ ≅ ∏ α ∈ A F ∗ ≅ ∏ α ∈ A F ≅ F A {\displaystyle V^{*}\cong {\biggl (}\bigoplus _{\alpha \in A}F{\biggr )}^{\!*}\cong \prod _{\alpha \in A}F^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F\cong F^{A}}
は加群の直積と直和に関する一般の場合の結果の特別の場合である。
従って無限次元のとき、代数的双対は必ずもとの空間よりも大きな次元を持つ。これは連続的双対の場合には無限次元の場合でももとの空間と同型となる場合があることと対照的である。
⟨ v , w ⟩ Φ = ( Φ ( v ) ) ( w ) = [ Φ ( v ) , w ] {\displaystyle \langle v,w\rangle _{\Phi }={\bigl (}\Phi (v){\bigr )}(w)={\bigl [}\Phi (v),w{\bigr ]}}
と置くことにより、V 上の非退化双線型形式 ⟨•,•⟩Φ を一意的に定める。従って、V から V* の部分集合(あるいは V* 全体)への同型写像と V 上の非退化双線型形式との間には一対一対応が存在する。
ベクトル空間 V が複素線型ならば、双線型形式よりも半双線型形式を考えたほうが自然なこともある。この場合、半双線型形式 ⟨•,•⟩ は V からその双対空間の複素共軛(英語版)への線型写像
Φ ⟨ ∙ , ∙ ⟩ : V → V ∗ ̄ {\displaystyle \Phi _{\langle {\bullet },{\bullet }\rangle }\colon V\to {\overline {V^{*}}}}
を定める。共軛空間 V* は加法的複素数値函数 f: V → C で
f ( α v ) = α ̄ f ( v ) {\displaystyle f(\alpha v)={\overline {\alpha }}f(v)}
を満たすもの全体の成すベクトル空間と同一視される。