マルチカノニカル法
たとえばスピン系などの自由度の大きい系をシミュレートする場合、モンテカルロ積分(英語版)が必要とされる。この積分法では、重点サンプリング法(英語版)、とくにメトロポリス法が非常に重要である。しかし、メトロポリス法では β を逆温度として exp  ( − β E ) {\displaystyle \exp(-\beta E)} に従ってサンプリングを行なうため、エネルギー障壁 Δ E {\displaystyle \Delta E} を乗り越えることはその大きさに対して指数関数的に困難となる。ポッツモデル(英語版)のような複数の局所安定点を持つ系では、このメトロポリス法はある特定の局所安定点に囚われてしまい、取り扱いが困難となる。このため、他のサンプリング法によるアプローチが必要となる。
モンテカルロ法は一般的に重点サンプリングを用いて推定量の収束を加速する。つまり、 Q ̄ N {\displaystyle {\overline {Q}}_{N}} を適当な分布 P ( r ) {\displaystyle P({\boldsymbol {r}})} (上述の p とは異なることに注意)を用いて以下のように定義しなおす。
Q ̄ N = 1 X ∑ i = 0 N Q ( r i ) P − 1 ( r i ) p ( r i ) {\displaystyle {\overline {Q}}_{N}={\frac {1}{X}}\sum _{i=0}^{N}Q({\boldsymbol {r}}_{i})P^{-1}({\boldsymbol {r}}_{i})p({\boldsymbol {r}}_{i})}
ここで、 X = ∑ i = 0 N P − 1 ( r i ) {\displaystyle X=\sum _{i=0}^{N}P^{-1}({\boldsymbol {r}}_{i})} である。
当然、 P が一様分布のとき、推定量は一様サンプリングを用いた推定量と一致する。
重要な例として、コスト関数をエネルギーとみて P をある温度に対するボルツマン因子と一致させる選び方がある。
P ( r ) = p Boltzmann ( r ) = e − β F ( r ) ∫ Ω d r e − β F ( r ) {\displaystyle P({\boldsymbol {r}})=p_{\text{Boltzmann}}({\boldsymbol {r}})={\frac {e^{-\beta F({\boldsymbol {r}})}}{\int _{\Omega }\,\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}e^{-\beta F({\boldsymbol {r}})}}}}