カラテオドリの定理 (凸包)
x を P の凸包に属する点とする。このとき x は P 内の有限個の点の凸結合である。すなわち
x = ∑ j = 1 k λ j x j {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}\mathbf {x} _{j}}
と書ける。但し xj はすべて P に属し、λj はすべて非負であり、 ∑ j = 1 k λ j = 1 {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}=1} である。
k > d + 1 を仮定する(そうでない場合は証明する必要がない)。このとき、点 x2 − x1, ..., xk − x1 は線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー μ2, ..., μk に対して
∑ j = 2 k μ j ( x j − x 1 ) = 0 {\displaystyle \sum _{j=2}^{k}\mu _{j}(\mathbf {x} _{j}-\mathbf {x} _{1})=\mathbf {0} }
が成り立つ。μ1 が
μ 1 := − ∑ j = 2 k μ j {\displaystyle \mu _{1}:=-\sum _{j=2}^{k}\mu _{j}}
のように定義されるなら、