多変数の微分
一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能」ならば「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」であるものの、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」であっても、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能」とは限らない。
但し、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で微分可能であり、導関数が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続」ならば、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、連続微分可能」である。
は、 E {\displaystyle {\textbf {E}}} で定義され、 R m {\displaystyle {{\mathbb {R} }^{m}}} に値をとるとする。さらに、 g {\displaystyle {\textbf {g}}} が f {\displaystyle {\textbf {f}}} の逆写像、つまり
g = {\displaystyle \mathbf {g} =} f − 1 {\displaystyle {{\mathbf {f} }^{-1}}} (3-27)
とする。このとき、
( J f − 1 ) [ f ( p ) ] = ( ( J f ) [ p ] ) − 1 {\displaystyle {{(J{{\mathbf {f} }^{-1}})}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}={{\left({{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\right)}^{-1}}} (3-28)
が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。 これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。
f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} において、 e 1 ⋯ , e n {\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}} 全てに対して偏微分可能であるとき、
と表記する。
また、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の第 i 成分、つまり f i {\displaystyle {{f}_{i}}} の点 p {\displaystyle \mathbf {p} } における「( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の)ベクトル e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} 」に対する偏微分商 ∂ [ e j ] f i [ p ] {\displaystyle \partial _{[\mathbf {e} _{j}]}f_{i}[\mathbf {p} ]} を、 ∂ f i ∂ x j | [ p ] {\displaystyle {\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}} と表記する。
ここで、 e 1 ⋯ , e n {\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}} は、それぞれ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 標準基底であり、 e j {\displaystyle {\textbf {e}}_{j}} は、第 j 標準ベクトルを意味する。