付値環
実際、付値環は整閉なので整閉包はその共通部分に含まれる。逆に、x を K の元だが A 上整でないとしよう。イデアル x − 1 A [ x − 1 ] {\displaystyle x^{-1}A[x^{-1}]} は A [ x − 1 ] {\displaystyle A[x^{-1}]} でないので、それはある極大イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に含まれる。すると A [ x − 1 ] {\displaystyle A[x^{-1}]} の p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} における局所化を支配する付値環 R が存在する。 x − 1 ∈ m R {\displaystyle x^{-1}\in {\mathfrak {m}}_{R}} であるので、 x ∉ R {\displaystyle x\not \in R} 。
支配は代数幾何学において使われる。X を体 k 上の代数多様体とする。このとき k ( X ) {\displaystyle k(X)} の付値環 R は、 R {\displaystyle R} が構造層の x における局所環 O x , X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{x,X}} を支配するときに、"X 上に中心 x"をもつと言う。