体積形式
M 上の体積形式 ω が与えられると、ベクトル場 X の発散を、一意なスカラーに値を持つ函数として表すことができ、div X と記し、
( div  X ) ω = L X ω = d ( X ⌟ ω ) {\displaystyle (\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )}
を満たす。ここに、LX は X に沿ったリー微分を表す。X がコンパクトな台を持つベクトル場で、M が境界をもつ多様体(manifold with boundary)であれば、ストークスの定理は、発散定理を一般化して、
∫ M ( div  X ) ω = ∫ ∂ M X ⌟ ω {\displaystyle \int _{M}(\operatorname {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\;\lrcorner \;\omega }
となる。
ソレノイドベクトル場(英語版)(solenoidal vector field)は、div X = 0 であるベクトル場である。体積形式がソレノイドベクトル場のベクトルフロー(英語版)(vector flow)の下に保存されるということは、リー微分の定義から従う。まさに、ソレノイドベクトル場は、体積保存フローである。この事実は、たとえば、流体力学ではよく知られていて、速度場の発散は流体の圧縮度を測る。このことは、流体のフローに沿って体積が保存されることを拡張した表現である。