フルーリーの多重複素数
各代数 MCn は R および C からなる代数の直和 になる: n が偶数のとき: M C n ≅ C ⊕ C ⊕ ⋯ ⊕ C ⏟ n 2 summands = ⨁ n 2 C = C n 2 ; {\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n}{2}}{\text{ summands}}}=\bigoplus ^{\frac {n}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {C} ^{\frac {n}{2}};} n が奇数のとき: M C n ≅ R ⊕ C ⊕ C ⊕ ⋯ ⊕ C ⏟ n − 1 2 summands = R ⊕ ⨁ n − 1 2 C = R × C n − 1 2 = R ⊕ M C n − 1 ; {\displaystyle {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n}\cong \mathbb {R} \oplus \underbrace {\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \cdots \oplus \mathbb {C} } _{{\frac {n-1}{2}}{\text{ summands}}}=\mathbb {R} \oplus \bigoplus ^{\frac {n-1}{2}}\mathbb {C} =\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{\frac {n-1}{2}}=\mathbb {R} \oplus {\mathcal {M}}\mathbb {C} _{n-1};} あるいはまとめて: MCn ≅ R × C.
19世紀に複素数を二次元の平面という幾何学的な形に表す考えが優位となったのち、数学者はこれを三次元の空間に対応する超複素数系に拡張しようと試みたがことごとく失敗に終わった。最終的には、超複素数の代数の成す次元とそれが表す幾何学的空間の次元が等しいという仮定を捨て去って、四次元の数である四元数が、そしてその三次元空間における回転(フランス語版)との関係(英語版)が発見されることとなる。そのような四元数の成功にもかかわらず、空間における幾何学的操作に相同する性質を示す次元数 3 の超複素数系を探索する者たちが引き続き存在しており、そのうちの幾人かはそれぞれ独立に MC3 またはそれに自明な同型を持つ代数にたどり着いている。