Theorema Egregium
Mを3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 内の曲面とし、PをM上の点とする。点PにおいてMの「最も曲がっている方向」の曲がり具合と「最も曲がっていない方向」の曲がり具合の積を点PにおけるMのガウス曲率という。(ただし図のようにPが鞍点になっている場合は、逆方向の曲がりをマイナスの曲がり具合と解釈する。よってこの場合の「最も曲がっていない方向」とは「逆向きに最も曲がっている方向」である)。
ガウス曲率はその定義より、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} におけるMの曲がり具合を利用して定義されている為、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} においてMがどのような形になっているかが一見重要に見える。
しかし実はガウス曲率はMの「外の空間」である R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} とは無関係に計算できる、というのがTheorema Egregiumの趣旨である。具体的にはガウス曲率はMの距離空間としての構造(厳密にはリーマン計量)のみから計算できる。
したがって、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 内でMを変形しても、その変形がMの距離構造を変えない限り、ガウス曲率は変わらない。
ラテン語: Carl Friedrich Gauss (1827 Oct. 8). “Disquisitiones generales circa superficies curvas”. 2023年5月20日閲覧。
英訳 ウェブ Carl Friedrich Gauss. “General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825,”. プロジェクト・グーテンベルク. 2023年5月20日閲覧。 Karl Friedrich Gauss, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, (1902) The Princeton University Library. 書籍 Carl Friedrich Gauss (Author), Adam Hiltebeitel (Translator), James Morehead (Translator), General Investigations Of Curved Surfaces Unabridged (Paperback), Wexford College Press, 2007, ISBN 978-1-929148-77-6. Carl Friedrich Gauss (Author), Peter Pesic (Editor), General Investigations of Curved Surfaces (Paperback), Dover Publications, 2005, ISBN 978-0-486-44645-5.