冪零群
H ≔ P1⋅P2 ⋯ Pt−1 および K ≔ Pt とすれば、帰納法の仮定により H は直積群 P1 × P2 × ⋯ × Pt−1 に同型で、特に |H| = |P1|⋅|P2| ⋯ |Pt−1| が成り立つ。|K| = |Pt| であったから、H, K の位数は互いに素であり、ラグランジュの定理によって H, K の交わりは自明群 {1}、したがって HK ≅ H × K だが、これは作り方から P1⋅P2 ⋯ Pt = HK ≅ H × K = P1 × P2 × ⋯ × Pt であり、帰納法は完成する。t = s と取って (d) を得る。
Z(P1 × P2 × ⋯ × Ps) が Z(P1) × ⋯ × Z(Ps) に同型、したがって G/Z(G) = (P1/Z(P1)) × ⋯ × (Ps/Z(Ps)) となることを見るのは易しい。ゆえに (d) の仮定は G/Z(G) についても成り立つ。Pi ≠ 1 ならば Z(Pi) ≠ 1 であるから、G ≠ 1 ならば |G/Z(G)| は |G| より小さく、帰納法の仮定により G/Z(G) は冪零、したがって G は冪零となる。
最後の性質 (d) は無限群の場合にも拡張することができる: