特性類
全チャーン類と同様、全スティーフェル・ホイットニー類を定義でき、全チャーン類と同様の性質を示す事ができる:
定義・定理 (全スティーフェル・ホイットニー類) ― : w ( ξ ) = w 0 ( ξ ) + w 1 ( ξ ) + ⋯ + w n ( ξ ) {\displaystyle w(\xi )=w_{0}(\xi )+w_{1}(\xi )+\cdots +w_{n}(\xi )} をξの全スティーフェル・ホイットニー類(英: total Stiefel Whitney polynomial)といい、以下が成立する:
w ( ξ ⊕ η ) = w ( ξ ) ⌣ w ( η ) {\displaystyle w(\xi \oplus \eta )=w(\xi )\smile w(\eta )}
(安定性、英: stability) w ( η ⊕ ε ) = w ( η ) {\displaystyle w(\eta \oplus \epsilon )=w(\eta )}
自然な写像 ν : S O ( 1 ) → U ( 1 ) {\displaystyle \nu ~:~SO(1)\to U(1)} が誘導する写像 H ∗ ( U ( 1 ) ; Z 2 ) → H ∗ ( S O ( 1 ) ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(U(1);\mathbb {Z} _{2})\to H^{*}(SO(1);\mathbb {Z} _{2})} は単射であり、 H ∗ ( U ( 1 ) ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(U(1);\mathbb {Z} _{2})} の生成元αの自乗αがβに移る事が知られている。
ε 1 + ⋯ + ε m = 0 mod 2 {\displaystyle \varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{m}=0{\bmod {2}}}
も成立する。
よって P σ {\displaystyle P_{\sigma }} 、 C i {\displaystyle C_{i}} が H ∗ ( B S O ( 2 ) m ; Z ) ≈ Z [ γ 1 , ... , γ m ] {\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]} 上に誘導する写像を特定すれば、 H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )} の構造が決定できるが、これらの写像は以下の通りである:
補題 ― P σ {\displaystyle P_{\sigma }} 、 C i {\displaystyle C_{i}} が H ∗ ( B S O ( 2 ) m ; Z ) ≈ Z [ γ 1 , ... , γ m ] {\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]} 上に誘導する写像は、それぞれ γ i {\displaystyle \gamma _{i}} を γ σ ( i ) {\displaystyle \gamma _{\sigma (i)}} に写す写像、 γ i {\displaystyle \gamma _{i}} を − γ i {\displaystyle -\gamma _{i}} に代える写像である。
定理を示すにはチャーン類の場合と同様、ワイル群を用いる事でH(BSO(n);Λ)の構造を決定する。そのためにBorelによる以下の一般的な定義を用いる:
定理 (Borelの定理) ― pを素数とし、Gを連結なコンパクトリー群で整数係数コホモロジー H ∗ ( G , Z ) {\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} )} がp-捻れ部分群を持たないものとする。
さらにTをGの極大トーラスとし、WをGのワイル群とし、 H ∗ ( B T , Z ) W {\displaystyle H^{*}(BT,\mathbb {Z} )^{W}} を H ∗ ( B T , Z ) {\displaystyle H^{*}(BT,\mathbb {Z} )} の元でWに関して不変なもの全体の集合とする。 H ∗ ( B T , Z ) W ⊗ Z p ⊂ H ∗ ( B T , Z p ) {\displaystyle H^{*}(BT,\mathbb {Z} )^{W}\otimes \mathbb {Z} _{p}\subset H^{*}(BT,\mathbb {Z} _{p})} とみなすと、包含写像 ι : T ↪ G {\displaystyle \iota ~:~T\hookrightarrow G} がコホモロジーに誘導する写像
B ι ∗ : H ∗ ( B G , Z p ) → H ∗ ( B T , Z ) W ⊗ Z p {\displaystyle B\iota ^{*}~:~H^{*}(BG,\mathbb {Z} _{p})\to H^{*}(BT,\mathbb {Z} )^{W}\otimes \mathbb {Z} _{p}}
φ A ( G ) = R ( κ 1 ′ ) ⊕ ⋯ ⊕ R ( κ m ′ ) {\displaystyle \varphi _{A}(G)=R(\kappa '_{1})\oplus \cdots \oplus R(\kappa '_{m})}
が成立する。
e i ′ := e i A {\displaystyle e'_{i}:=e_{i}A} 、 f i ′ := f i A {\displaystyle f'_{i}:=f_{i}A} とし、e'i、f'iが張る R 2 m {\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}} の部分ベクトル空間をE'iとすると、直交行列Kの標準形の一意性より、ある置換 σ : { 1 , ... , m } → { 1 , ... , m } {\displaystyle \sigma ~:~\{1,\ldots ,m\}\to \{1,\ldots ,m\}} が存在し、
E i ′ = E σ ( i ) {\displaystyle E'_{i}=E_{\sigma (i)}}
が成立する。これは E i ′ = E σ ( i ) {\displaystyle E'_{i}=E_{\sigma (i)}} の二組の基底 ( e i , f i ) {\displaystyle (e_{i},f_{i})} 、 ( e i ′ , f i ′ ) {\displaystyle (e'_{i},f'_{i})} が2次元の可逆行列で移り合う事を意味する。
よってある2次元の可逆行列 A 1 , ..
を O ( 1 ) n {\displaystyle O(1)^{n}} の中心化群
Z = { A ∈ O ( n ) ∣ ∀ B ∈ O ( 1 ) n : φ A ( B ) = B } {\displaystyle Z=\{A\in O(n)\mid \forall B\in O(1)^{n}~:~\varphi _{A}(B)=B\}}
で割った Σ = N / Z {\displaystyle \Sigma =N/Z} を考え、
H ∗ ( B O ( 1 ) n ; Z ) Σ := { u ∈ H ∗ ( B O ( 1 ) n ; Z ) ∣ ∀ [ A ] ∈ Σ : B φ A ∗ ( u ) = u } {\displaystyle H^{*}(BO(1)^{n};\mathbb {Z} )^{\Sigma }:=\{u\in H^{*}(BO(1)^{n};\mathbb {Z} )\mid \forall [A]\in \Sigma ~:~B\varphi _{A}{}^{*}(u)=u\}}
と定義するとこの定義はWell-definedである。ここで [ A ] ∈ Σ = N / Z {\displaystyle [A]\in \Sigma =N/Z} は同値類を表す。このとき次の事実が従う:
定理 ― 写像
であり、 φ U ^ {\displaystyle \varphi _{\hat {U}}} は回転行列を
U R ( θ ) U − 1 = ( e i θ 0 0 e − i θ ) . {\displaystyle UR(\theta )U^{-1}={\begin{pmatrix}\mathrm {e} ^{i\theta }&0\\0&\mathrm {e} ^{-i\theta }\end{pmatrix}}.}
と対角化する行列
U = i 2 ( i 1 1 i ) {\displaystyle U={i \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}i&1\\1&i\end{pmatrix}}}
を並べてできる行列
U ^ := { U ⊕ ⋯ ⊕ U ⏞ m if n = 2 m U ⊕ ⋯ ⊕ U ⏞ m ⊕ 1 if n = 2 m + 1 {\displaystyle {\hat {U}}:={\begin{cases}\overbrace {U\oplus \cdots \oplus U} ^{m}&{\text{if }}n=2m\\\overbrace {U\oplus \cdots \oplus U} ^{m}\oplus 1&{\text{if }}n=2m+1\end{cases}}}
による内部自己同型
φ U ^ : U ( n ) → U ( n ) , R → U ^ R U ^ − 1 {\displaystyle \varphi _{\hat {U}}~:~U(n)\to U(n),~R\to {\hat {U}}R{\hat {U}}^{-1}}
[ C 1 ε 1 ⋯ C m ε m M δ P σ ] = ( 1 ) [ C 1 ε 1 ⋯ C m ε m M ε 1 + ⋯ + ε m P σ ] = ( 2 ) [ ( C 1 M ) ε 1 ⋯ ( C m M ) ε m P σ ] = ( 3 ) [ C ̄ 1 ε 1 ⋯ C ̄ m ε m P σ ] {\displaystyle [C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}}M^{\delta }P_{\sigma }]{\underset {(1)}{=}}[C_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots C_{m}{}^{\varepsilon _{m}}M^{\varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{m}}P_{\sigma }]{\underset {(2)}{=}}[(C_{1}M){}^{\varepsilon _{1}}\cdots (C_{m}M){}^{\varepsilon _{m}}P_{\sigma }]{\underset {(3)}{=}}[{\bar {C}}_{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots {\bar {C}}_{m}{}^{\varepsilon _{m}}P_{\sigma }]}
が成立する。ここで
(1)は ε 1 + ⋯ + ε m + δ = 0 mod 2 {\displaystyle \varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{m}+\delta =0{\bmod {2}}} とMの位数が2な事から従う。
(2)はMがCiと可換な事から従う。
スティーフェル・ホイットニー類を以下のように定義する:
定義 (スティーフェル・ホイットニー類) ― H ∗ ( B D ; Z 2 ) ≈ Z [ β 1 , ... , β n ] {\displaystyle H^{*}(BD;\mathbb {Z} _{2})\approx \mathbb {Z} [\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}]} 上の第i基本多項式
σ i ( β 1 , ... , β n ) = ∑ A ⊂ { 1 , ... , n } , | A | = i ( ∏ k ∈ A β k ) {\displaystyle \sigma _{i}(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})=\sum _{A\subset \{1,\ldots ,n\},|A|=i}\left(\ \prod _{k\in A}\beta _{k}\right)}
の
ι ∗ : H ∗ ( B O ( n ) ; Z 2 ) → H ∗ ( B O ( 1 ) n ; Z 2 ) {\displaystyle \iota ^{*}~:~H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} _{2})\to H^{*}(BO(1)^{n};\mathbb {Z} _{2})}
ここで p 1 , ... , p ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor }} は前述のポントリャーギン類であり、χはオイラー類と呼ばれる特性類である。また Λ [ p 1 , ... , p ⌊ n / 2 ⌋ , χ ] / ( χ 2 = p ⌊ n / 2 ⌋ ) {\displaystyle \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor },\chi ]/(\chi ^{2}=p_{\lfloor n/2\rfloor })} は多項式環 Λ [ p 1 , ... , p ⌊ n / 2 ⌋ , χ ] {\displaystyle \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{\lfloor n/2\rfloor },\chi ]} においてχをpnと同一視して得られる環を表す。すなわち Λ [ p 1 , ... , p n , χ ] {\displaystyle \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{n},\chi ]} を単項イデアル ( χ 2 − p ⌊ n / 2 ⌋ ) {\displaystyle (\chi ^{2}-p_{\lfloor n/2\rfloor })} で割った環である。
以上をまとめると、実ベクトルバンドルの分類空間のコホモロジーは以下のように記述できる:
空間 X とその上のベクトル束が与えられると、適切な線型群 G に対して、ホモトピーカテゴリ(homotopy category)の中で、X から分類空間 BG への写像が存在する。コホモロジー H*(BG) が計算することで、反変性により同じ次数の H*(X) の中にバンドルの特定類が定義される。ホモトピー論に対し、適切な情報は G の直交群(orthogonal group)やユニタリ群のようなコンパクトな部分群によりもたらされる。例えば、チャーン類は偶数次元の次数付きの成分を持った一つの類である。
幾何学においてさらなる構造を理論に組み込むこと有益である。1955年以降、K-理論やコボルディズム論(英語版)といった新たなコホモロジー理論に対しても、特性類の定義において文字 H を適切に変更するだけでそれらの理論における特性類を定義できる。
特性類は、後日、多様体の葉層構造(英語版)(foliation)の中でも発見された。(葉層に対してはある特異点を許容するように意味を変更すると)特性類はホモトピー論の中に分類空間の理論を持っている。
さらに20世紀後半における数学と物理学の再接近の結果として、ドナルドソンとコチックにより新しい特性類がインスタントン(英語版)(instanton)の理論の中で発見された。またチャーン(S. S. Chern)の観点と業績も重要であると認識された。チャーン・サイモンズ形式やチャーン・サイモンズ理論を参照のこと。
, α n ] W {\displaystyle \iota ^{*}~:~H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )\to H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}\approx \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]^{W}}
は環同型である。
一般に連結なコンパクトリー群Gに対し、Gの極大トーラスをTとするとき、Tの正規化群 N := { g ∈ G ∣ φ g ( T ) = T } {\displaystyle N:=\{g\in G\mid \varphi _{g}(T)=T\}} を中心化群 Z := { g ∈ G ∣ ∀ t ∈ T : φ g ( t ) = t } {\displaystyle Z:=\{g\in G\mid \forall t\in T~:~\varphi _{g}(t)=t\}} で割った群
W ( G ) := N / Z {\displaystyle W(G):=N/Z}
の事をGのワイル群という。なお極大トーラスは共役を除いて一意に定まる事が知られているので、ワイル群は極大トーラスの取り方によらず同型になる。またTの極大性から中心化群Z(G)は実はT自身に等しい。
明らかに前述のWは U ( n ) {\displaystyle U(n)} のワイル群に相当する。後は U ( n ) {\displaystyle U(n)} のワイル群を決定しさえすれば、 H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) ≈ H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) W {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )\approx H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}} の構造が決定できる。
∗ ( u ) = u + g ∗ ( u ) for ∀ u ∈ H ∗ ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle {\begin{array}{rcll}p_{!}{}^{*}\circ B\iota {}^{*}(v)&=&2v&{\text{ for }}\forall v\in H^{*}(BO(n);\Lambda )\\B\iota {}^{*}\circ p_{!}{}^{*}(u)&=&u+g^{*}(u)&{\text{ for }}\forall u\in H^{*}*(BSO(n);\Lambda )\end{array}}}
を満たす。
2∈Λであった事から p ! ∗ ∘ B ι ∗ ( v ) = 2 v {\displaystyle p_{!}{}^{*}\circ B\iota {}^{*}(v)=2v} は逆写像を持つので、 B ι ∗ {\displaystyle B\iota {}^{*}} は単射である。 また u ∈ H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) Z 2 {\displaystyle u\in H^{*}(BSO(n);\Lambda )^{\mathbb {Z} _{2}}} であれば、 g ∗ ( u ) = u {\displaystyle g^{*}(u)=u} であるので、 u = 2 − 1 u + g ∗ ( 2 − 1 u ) = B ι ∗ ( p ! ∗ ( u ) ) {\displaystyle u=2^{-1}u+g^{*}(2^{-1}u)=B\iota {}^{*}(p_{!}{}^{*}(u))} となり、uは B ι ∗ {\displaystyle B\iota {}^{*}} に関する逆像 p !
補題 ― ある β ∈ H 1 ( B O ( 1 ) ; Z 2 ) {\displaystyle \beta \in H^{1}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})} が存在し、以下が成立する:
H ∗ ( B O ( 1 ) ; Z 2 ) = Z 2 [ β ] {\displaystyle H^{*}(BO(1);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[\beta ]}
この違いが原因でチャーン類は偶数次のコホモロジー群にしか登場しなかったが、スティーフェル・ホイットニー類は奇数次のコホモロジーにも登場する。
なお、コホモロジーの係数が Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} なので、カップ積は奇数次のコホモロジーにおいても可換である。
それ以外の場合に関しては普遍係数定理から従う。なお Λ = Z [ 1 / 2 ] {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} [1/2]} は単項イデアル整域であり、 Λ {\displaystyle \Lambda } 上のイデアルは素数 p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} により生成される単項イデアルのみである事を容易に示せる。
μ : S O ( 2 ) m → S O ( n ) {\displaystyle \mu ~:~SO(2)^{m}\to SO(n)} が誘導する写像
B μ Λ ∗ : H k ( B S O ( n ) , Λ ) ≈ H k ( B S O ( n ) , Z ) ⊗ Λ → H k ( B S O ( 2 ) m , Z ) W ⊗ Λ {\displaystyle B\mu {}_{\Lambda }^{*}~:~H^{k}(BSO(n),\Lambda )\approx H^{k}(BSO(n),\mathbb {Z} )\otimes \Lambda \to H^{k}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )^{W}\otimes \Lambda } ...(1)
を考えるとき、まず(1)式の右辺について、
H k ( B S O ( 2 ) m , Z ) W ⊗ Λ ≈ Λ r k {\displaystyle H^{k}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )^{W}\otimes \Lambda \approx \Lambda ^{r_{k}}} .