ルンゲ＝レンツベクトル
物理学において、ルンゲ=レンツベクトル(英: Runge–Lenz vector)とは、ケプラー問題、すなわち逆二乗則に従う中心力の下の運動における保存量の一つ。古典力学の天体運行のケプラー問題や量子力学の水素原子モデルの問題などに現れる。空間的な回転対称性の下で保存量となる角運動量のように、他の多くの保存量が幾何学的な対称性から導かれるのとは異なり、ルンゲ=レンツベクトルを導く対称性は力学的性質に由来し、力学的対称性と呼ばれる。水素原子の束縛状態においては、量子力学的な角運動量演算子とルンゲ=レンツベクトル演算子の交換関係は4次特殊直交群SO(4)に対応するリー代数をなし、固有値問題の代数的な解法を与える。
ルンゲ=レンツベクトルという名はドイツの物理学者カール・ルンゲとヴィルヘルム・レンツ(英語版)に因む。1924年の前期量子論の論文において、レンツはケプラー問題の摂動にルンゲ=レンツベクトルを適用し、その引用文献として、ルンゲのベクトル解析の著作 "Vectoranalysis" を挙げた。なお、フランスの物理学者ピエール=シモン・ラプラスはルンゲやレンツに先駆けて、1799年の天体力学の著作 "Traité de mécanique céleste" の中でルンゲ=レンツベクトルの性質を論じており、ラプラス=ルンゲ=レンツベクトル(英: Laplace–Runge–Lenz vector)とも呼ばれる。但し、その発見はさらに古く、少なくとも18世紀初頭のベルヌーイ家の門弟ヤコブ・ヘルマン(英語版)とヨハン・ベルヌーイの結果に遡るとされる。
なお、ルンゲとレンツの名を冠するルンゲ=レンツベクトルだが、その発見の歴史はさらに時代を遡り、また、何度か独立に再発見されてきた。多くの現代的な天体力学の文献は、ルンゲ=レンツベクトルの発見をフランスの物理学者ピエール=シモン・ラプラス、または四元数を発見したことで知られるアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによるものとしている。ラプラスは、1799年の天体力学の著作 "Traité de mécanique céleste" の第1巻において、ルンゲ=レンツベクトルに相当する保存量を導いている。ラプラスは楕円軌道となる天体の運動を論じた章の中で、エネルギー、角運動量ベクトル、ルンゲ=レンツベクトルに相当する7個の第一積分を導き、さらにこれらのうち、5個だけが独立であることを指摘している。一方、ハミルトンは、1843年の四元数の発見後、精力的に理論の普及活動と諸分野への応用を行ったが、アイルランド王立アカデミー(英語版)に送った1847年の四元数を力学に応用した論文の中で、ルンゲ=レンツベクトルに相当する離心率ベクトルを独立に導いている。