多重集合
同様に、単項式 xy で表される集合に値を持つ有限多重集合全体の成す無限集合は
( 1 − x ) − 1 ( 1 − y ) − 1 = 1 + ( x + y ) + ( x 2 + x y + y 2 ) + ⋯ {\displaystyle (1-x)^{-1}(1-y)^{-1}=1+(x+y)+(x^{2}+xy+y^{2})+\dotsb }
で表され、単項式 x で表される多重集合から元をとって作られる有限多重集合全体の成す無限多重集合は x = y なる特別の場合として (1 − x) = 1 + 2x + 3x + ⋯ で表される。さらに進めて単項式 x に対応する多重集合に値をとる有限多重集合全体の成す無限多重集合は
( 1 − x ) − n = ∑ k = 0 ∞ ( − n k ) ( − x ) k {\displaystyle (1-x)^{-n}=\sum _{k=0}^{\infty }{-n \choose k}(-x)^{k}}
である。これを「多重集合は濃度が負の集合」と形式的に説明することができる。負の二項係数 (−nk) は n-元集合から元をとって得られる k-元多重集合の総数を数えるものである。
lim k → ∞ k − 1 ( k 2 × { 1 , − 1 } ) {\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }k^{-1}(k^{2}\times \{1,-1\})}
と看做せる。この極限は実数の多重集合として意味を成すものではないが、極限をとる多重集合の累積母函数の導函数には意味を持たせることができて、その極限は
lim k → ∞ g k − 1 ( k 2 × { 1 , − 1 } ) ′ ( t ) = lim k → ∞ d d t ( k 2 log  ( e + t k − 1 + e − t k − 1 ) ) = lim k → ∞ d d t ( k 2 log  2 + 2 − 1 t 2 + ⋯ ) = t . {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{k\rightarrow \infty }g'_{k^{-1}(k^{2}\times \{1,-1\})}(t)&=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {d}{dt}}(k^{2}\log(e^{+tk^{-1}}+e^{-tk^{-1}}))\\&=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {d}{dt}}(k^{2}\log 2+2^{-1}t^{2}+\dotsb )=t.\end{aligned}}}
と矛盾なく定義される。定数項 klog(2) は微分で消え、省略した後続の項は極限をとれば消える。ゆえに平均 0, 標準偏差 1 を持つ標準正規分布に対して、その累積母函数の導函数は g'(t) = t となる。平均 μ, 標準偏差 σ の正規分布の累積母函数の導函数は g'(t) = μ + σt で与えられる。
濃度 n の有限集合から元をとって作られる濃度 k の多重集合の総数は多重集合(係)数 (multiset coefficient, multiset number) と呼ばれる。この数はしばしば二項係数と似せて ((nk)) と書かれる
多重集合係数の値は
( ( n k ) ) = ( n + k − 1 k ) = ( n + k − 1 ) ! k ! ( n − 1 ) ! = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⋯ ( n + k − 1 ) k ! {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)&={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}\\&={n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1) \over k!}\end{aligned}}}
で明示的に与えることができる。ただし、二番目の式は二項係数としての表示である(多重集合を別に定義することを嫌って二項係数としてのみ書く文献も多い)であり、このような多重集合の総数は濃度 n + k − 1 の集合内の k-元部分集合の総数に等しい。