微分
函数の全微分をとる操作では、一変数の場合と同じやり方で考えたのでは、別の函数(導函数)を与えることは無い。これは多変数函数の全微分係数が一変数函数の微分係数よりも多くの情報をもつものであることからくるもので、実際に全微分は函数の始域となる空間の接束から終域となる空間の接束への写像を与えるものになっている。
自然な意味で高階導函数に対応する概念は、線型写像でも接束上の写像でもなく、また全微分を繰り返すことで構成されるものでもない。
いくつかの初等函数に関して、特徴的な微分公式が挙げられる。e、a、loge x、logax はそれぞれ指数函数と対数函数であり、sin、cos、tan は三角函数、arcsin、arccos、arctan は三角函数の逆函数(逆三角函数)、sinh、cosh、tanh は双曲線函数、arsinh、arcosh、artanh は双曲線函数の逆函数(逆双曲線函数)である。また、三角函数および双曲線函数のべき乗は cosx ≔ (cos x) のように函数名の肩に指数を書いて表していることに注意。
実数値の変数 x をもち、 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に値をもつベクトル値関数 f(x) = (f1(x), ..., fm(x)) を考える。これが一点 x = a において微分可能であるというのは、
lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
という極限が存在することである。上記の極限として現れるベクトルを f′(a) で表す(これも R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} の元である)。一般には f′(a) に特に名前はないが、f(x) が R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} における点の位置の変化(曲線といってもよい)を表しているとみなす場合は、f′(a) を速度ベクトルとよぶことがある。