ポアンカレ不等式
例えば(Garroni & Müller (2005)に現れる)次のポアンカレ不等式は、ソボレフ空間 H(T) 、すなわちフーリエ変換 û を持つ単位トーラス T のL 空間における函数 u で
[ u ] H 1 / 2 ( T 2 ) 2 = ∑ k ∈ Z 2 | k | | u ^ ( k ) | 2 < + ∞ {\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}<+\infty }
を満たすものの空間に対するものである:ある開集合 E ⊆ T 上で恒等的にゼロであるようなすべての u ∈ H(T) に対して、ある定数 C が存在し、
∫ T 2 | u ( x ) | 2 d x ≤ C ( 1 + 1 c a p ( E × { 0 } ) ) [ u ] H 1 / 2 ( T 2 ) 2 {\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\mathrm {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}}
が成立する。ここに cap(E × {0}) は、R の部分集合と考えられたときの E × {0} の調和容量(英語版)である。
p は 1 ≤ p < ∞ を満たすものとし、Ω は少なくとも一つの境界を持つ部分集合とする。このとき、Ω と p にのみ依存する定数 C で、ソボレフ空間 W0(Ω) 内のすべての函数 u に対して次を満たすものが存在する。
‖ u ‖ L p ( Ω ) ≤ C ‖ ∇ u ‖ L p ( Ω ) , {\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )},}
1 ≤ p ≤ ∞ とし、Ω はリプシッツ境界を持つ n-次元ユークリッド空間 R の有界連結開部分集合とする(すなわち、Ω はリプシッツ領域である)。このとき、Ω と p にのみ依存する定数 C で、ソボレフ空間 W(Ω) 内のすべての函数 u に対して次を満たすものが存在する。
‖ u − u Ω ‖ L p ( Ω ) ≤ C ‖ ∇ u ‖ L p ( Ω ) . {\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}.}
ここに
u Ω := 1 | Ω | ∫ Ω u ( y ) d y {\displaystyle u_{\Omega }:={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y}
は Ω についての u の平均値で、|Ω| は領域 Ω のルベーグ測度を表す。Ω が球のとき、この不等式は (p,p)-ポアンカレ不等式と呼ばれる。より一般の領域 Ω に対しては、この不等式はソボレフ不等式として有名である。