接続 (ベクトル束)
.. , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} を対応する主曲率であり、 S e c u ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{u}(X,Y)} はMのuにおける断面曲率であり、 S e c ̄ u ( X , Y ) {\displaystyle {\overline {\mathrm {Sec} }}_{u}(X,Y)} は M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} のuにおける断面曲率である。
よって特にMが2次元リーマン多様体で M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} が R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の場合はMの断面曲率 S e c u ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{u}(X,Y)} はガウス曲率κ1κ2に一致する(Theorema Egregium)。
d ∇ d ∇ ( s ⊗ ω ) = d ∇ ( ( d ∇ s ) ∧ ω + s ⊗ d ω ) {\displaystyle d_{\nabla }d_{\nabla }(s\otimes \omega )=d_{\nabla }((d_{\nabla }s)\wedge \omega +s\otimes d\omega )} = ( d ∇ d ∇ s ) ∧ ω − d ∇ s ) ∧ d ∇ ω + d ∇ s ∧ d ω = ( d ∇ d ∇ s ) ∧ ω {\displaystyle =(d_{\nabla }d_{\nabla }s)\wedge \omega -d_{\nabla }s)\wedge d_{\nabla }\omega +d_{\nabla }s\wedge d\omega =(d_{\nabla }d_{\nabla }s)\wedge \omega }
となるので、 s ∈ Γ ( E ) = A 0 ( E ) {\displaystyle s\in \Gamma (E)={\mathcal {A}}^{0}(E)} に対して d ∇ d ∇ s {\displaystyle d_{\nabla }d_{\nabla }s} が分かれば一般の s ⊗ ω {\displaystyle s\otimes \omega } に対して d ∇ d ∇ ( s ⊗ ω ) {\displaystyle d_{\nabla }d_{\nabla }(s\otimes \omega )} が計算できる事になる。
恒等的に同じ点を取る「曲線」は自明に測地線方程式を満たすが、これは通常の意味での曲線ではないので、以下このような「曲線」を測地線とは呼ばない事にする。
測地線の定義は曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} のパラメーターtに依存して定義されている事に注意されたい。 P ( t ) {\displaystyle P(t)} が測地線であっても、パラメーターを別の変数uに変数変換して得られる P ( u ) {\displaystyle P(u)} は測地線になるとは限らない。実際、 P ( t ) {\displaystyle P(t)} が測地線となるパラメーターは線形変換を除いて一意である:
定理 ― 曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} が測地線で、 P ( t ) {\displaystyle P(t)} を( d u d t {\displaystyle {\tfrac {du}{dt}}} が決して0にならないような)変数変換を行って得られる P ( u ) {\displaystyle P(u)} も測地線である時、ある定数 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } が存在し、
( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} をMの局所座標とし、 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} をEの局所的な基底とすると、接続係数 Γ i k j {\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{kj}} を用いて以下のように表すことができる:
定理 ― R ( ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x l ) e j = R i j k l e i {\displaystyle R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}})e_{j}=R^{i}{}_{jk\ell }e_{i}} とすると、以下が成立する:
R i j k l = ∂ Γ i l j ∂ x k − ∂ Γ i k j ∂ x l + Γ i k s Γ s l j − Γ i l s Γ s k j {\displaystyle R^{i}{}_{jk\ell }={\partial \Gamma ^{i}{}_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial \Gamma ^{i}{}_{kj} \over \partial x^{\ell }}+\Gamma ^{i}{}_{ks}\Gamma ^{s}{}_{\ell j}-\Gamma ^{i}{}_{\ell s}\Gamma ^{s}{}_{kj}}
本節ではホロノミーを使うことで曲率概念を特徴づけ、これにより曲率概念を多様体に内在的な幾何学的な意味付けを与える。
まず記号を定義する。これまで通り ∇ {\displaystyle \nabla } をベクトルバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続とし、 U ∈ R 2 {\displaystyle U\in \mathbb {R} ^{2}} を R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の原点Oの開近とし、Uの元を成分で ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} と表し、 ξ : U → M {\displaystyle \xi ~:~U\to M} を埋め込みとし、M上のベクトル場X、Yを
X = ξ ∗ ( ∂ ∂ x ) {\displaystyle X=\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}\right)} 、 Y = ξ ∗ ( ∂ ∂ x ) {\displaystyle Y=\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}\right)}
とする。
一般のベクトルバンドルに対する接続を定義するため、レヴィ-チヴィタ接続について簡単に振り返る。
Mを R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分多様体とし、X、YをM上のベクトル場とするとき、
∇ X Y := Pr ( d d t Y exp  ( t X ) | t = 0 ) {\displaystyle \nabla _{X}Y:=\Pr \left({d \over dt}Y_{\exp(tX)}{\Bigg |}_{t=0}\right)}
により定義する。ここで exp  ( t X ) ( u ) {\displaystyle \exp(tX)(u)} は時刻0に点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} を通るXの積分曲線である。実はこれらの量はMの内在的な量である事、すなわち R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} からMに誘導されるリーマン計量(とその偏微分)のみから計算できる事が知られている。
そこで ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} をリーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} に内在的な値とみなしたものを考える事ができる。
すなわち P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿って s P ( 0 ) {\displaystyle s_{P(0)}} を「平行移動」して動かしている事になるので、一般のベクトルバンドルの場合にも ∇ s d t = 0 {\displaystyle {\nabla s \over dt}=0} である事を平行と呼ぶのである。
P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿った切断 s {\displaystyle s} 、 s ′ {\displaystyle s'} がいずれも P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿って平行であり、しかも時刻 t = a {\displaystyle t=a} のとき s P ( a ) = s P ( a ) ′ {\displaystyle s_{P(a)}=s'_{P(a)}} であれば、別の時刻 t = b {\displaystyle t=b} でも s P ( b ) = s P ( b ) ′ {\displaystyle s_{P(b)}=s'_{P(b)}} である事を容易に示すことができる。よって写像
R i c P ( v , w ) := ∑ i g P ( R P ( e i , v ) w , e i ) {\displaystyle \mathrm {Ric} _{P}(v,w):=\sum _{i}g_{P}(R_{P}(e_{i},v)w,e_{i})} を点Pにおける v , w {\displaystyle v,w} に関するリッチ曲率(英: Ricci curvature)という。
S P := ∑ i , j g P ( R P ( e i , e j ) e j , e i ) {\displaystyle S_{P}:=\sum _{i,j}g_{P}(R_{P}(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i})} = ∑ j R i c P ( e j , e j ) {\displaystyle =\sum _{j}\mathrm {Ric} _{P}(e_{j},e_{j})} を点Pにおけるスカラー曲率(英: scalar curvature)という。
なお、書籍によっては本項のリッチ曲率、スカラー曲率をそれぞれ 1 n − 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{n-1}}} 倍、 1 n ( n − 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{n(n-1)}}} 倍したものをリッチ曲率、スカラー曲率と呼んでいるものもあるので注意されたい。
野水克己『現代微分幾何入門』裳華房〈基礎数学選書〉、1981年。
茂木勇、伊藤光弘『微分幾何学とゲージ理論』共立出版、1986年。
リーマン、リッチ、レビ=チビタ、アインシュタイン、マイヤー 著、矢野健太郎 (数学者) 編『リーマン幾何とその応用』共立出版、1971年。
矢野健太郎『微分幾何学』朝倉書店、1949年。
佐武一郎『線型代数学』裳華房、1974年。
T ∇ ( ∂ ∂ x α , ∂ ∂ y α ) = ∇ ∂ x ∂ ∂ y α − ∇ ∂ y ∂ ∂ x α {\displaystyle T_{\nabla }({\tfrac {\partial }{\partial x}}\alpha ,{\tfrac {\partial }{\partial y}}\alpha )={\tfrac {\nabla }{\partial x}}{\tfrac {\partial }{\partial y}}\alpha -{\tfrac {\nabla }{\partial y}}{\tfrac {\partial }{\partial x}}\alpha }
が成立する事を示せる。すなわち捩率テンソルは2つの微分の非可換度合いを表す量である。
以上のモチベーションの元、曲率を以下のように定義する:
定義・定理 (曲率) ― ベクトルバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続 ∇ {\displaystyle \nabla } に対し、
R ( X , Y ) s := ∇ X ∇ Y s − ∇ Y ∇ X s − ∇ [ X , Y ] s {\displaystyle R(X,Y)s:=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s} for X , Y ∈ X ( M ) , s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {X}}(M),s\in \Gamma (E)}
とすると、RはX、Y、sに関して C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形である。
∇ {\displaystyle \nabla } をM上の可微分なベクトルバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続とし、 P ( t ) {\displaystyle P(t)} をM上の区分的に滑らかな曲線とし、sを P ( t ) {\displaystyle P(t)} 上のEの切断とする。すなわち各 P ( t ) {\displaystyle P(t)} に対し、 s P ( t ) ∈ E {\displaystyle s_{P(t)}\in E} が定義でき、 t ↦ s P ( t ) {\displaystyle t\mapsto s_{P(t)}} が可微分であり、しかも π ( s P ( t ) ) = P ( t ) {\displaystyle \pi (s_{P(t)})=P(t)} が任意のtに耐いて成立するものとする。
定義 ―
∇ s d t = 0 {\displaystyle {\nabla s \over dt}=0}
が恒等的に成立するとき、切断sは P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿って平行(英: parallel along P ( t ) {\displaystyle P(t)} )であるという。
Mがユークリッド空間でEがその接バンドルである場合、 ∇ s d t = d s d t = 0 {\displaystyle {\nabla s \over dt}={ds \over dt}=0} であれば、ベクトル s P ( t ) {\displaystyle s_{P(t)}} は s P ( t ) {\displaystyle s_{P(t)}} の基点がtによって動くだけでその大きさも向きも一定である。