射影多様体
を掛けたものは多様体 X の次数(英語版)である.X の数論的種数(英語版)は X が滑らかなとき (−1) (P(0) − 1) である.
例えば,P の斉次座標環は k [ x 0 , ... , x n ] {\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]} であり,そのヒルベルト多項式は P ( z ) = ( z + n n ) {\displaystyle P(z)={\binom {z+n}{n}}} である.その数論的種数は 0 である.
斉次座標環 R が整閉整域ならば,射影多様体 X は射影的に正規と言われる.正規性とは異なり,射影正規性は R, X の射影空間への埋め込みに依る.射影多様体の正規化は射影的である.実際,それは X のある斉次座標環の整閉包の Proj である.
Closed subvarieties of weighted projective spaces(英語版) are known as weighted projective varieties.
恒等写像 H X P → H X P {\displaystyle H_{X}^{P}\to H_{X}^{P}} に対応する X × H X P {\displaystyle X\times H_{X}^{P}} の閉部分スキームは universal family と呼ばれる.
P ( z ) = ( z + r r ) {\displaystyle P(z)={\binom {z+r}{r}}} に対して,ヒルベルトスキーム H P n P {\displaystyle H_{\mathbf {P} ^{n}}^{P}} は is called the Grassmannian of r-planes in P n {\displaystyle \mathbf {P} ^{n}} and, if X is a projective scheme, H X P {\displaystyle H_{X}^{P}} is called the Fano scheme of r-planes on X.