代替の弾力性
生産者理論的には、代替の弾力性が大きいことは、生産要素の相対価格の変化に対して生産要素への相対需要が大きく変化するということである。つまり、生産要素の同質性が高いということである。
消費者理論的には、代替の弾力性が大きいということは、財の相対価格の変化に対して財への相対需要が大きく変化するということである。つまり、財の同質性が高いということである。
代替の弾力性を表す文字をギリシャ文字シグマ( σ {\displaystyle \sigma } )で統一する。 x {\displaystyle x} の y {\displaystyle y} に対する弾力性の一般的な定義は σ x y = {\displaystyle \sigma _{xy}=} ( x {\displaystyle x} の変化率)/( y {\displaystyle y} の変化率)であり、これは、微分可能な変数であれば σ x y = ( d x / x ) / ( d y / y ) = ( d x / d y ) × ( y / x ) {\displaystyle \sigma _{xy}=(dx/x)/(dy/y)=(dx/dy)\times (y/x)} と書ける。
CES型効用関数 u ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 σ − 1 σ + x 2 σ − 1 σ ) σ σ − 1 {\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\left(x_{1}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}+x_{2}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}} を考える。予算制約 p 1 x 1 + p 2 x 2 = I {\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=I} の下で効用最大化問題と解くと、以下のような需要関数が得られる。
x 1 = p 1 − σ p 1 1 − σ + p 2 1 − σ I , x 2 = p 2 − σ p 1 1 − σ + p 2 1 − σ I {\displaystyle x_{1}={\frac {p_{1}^{-\sigma }}{p_{1}^{1-\sigma }+p_{2}^{1-\sigma }}}I,x_{2}={\frac {p_{2}^{-\sigma }}{p_{1}^{1-\sigma }+p_{2}^{1-\sigma }}}I}