群の拡大
群 H に対してどのような群 G が H の(K による)拡大として得られるかという問いは拡大の問題と呼ばれ、19世紀の後半から深く研究がなされてきた。研究の動機としては、有限群の組成列が部分群の列 {Ai} で各 Ai+1 が Ai のある単純群による拡大であることが考えられる。有限単純群の分類により、有限単純群については完全に判っているので、拡大問題が解決されれば一般に任意の有限群の構成と分類についての十分な情報が得られるということになる。
群の拡大および H に関する論文 (Morandi) は G の A による任意の拡大の同様の分類として準同型 G → Out(A) の言葉を用いたものを与えた。これにはコホモロジー群 H(G, Z(A)) および H(G, Z(A)) を含む、面倒だが明示的に確認可能な存在条件が与えられている。