リー代数の表現
リー代数の表現は自然に発生する。φ: G → H を(実、もしくは、複素)リー群の準同型とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} と h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} をそれぞれ G と H のリー代数とすると、恒等元上での接空間上の微分(英語版)(differential) d φ : g → h {\displaystyle d\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} はリー代数の準同型である。特に、有限次元ベクトル空間 V に対して、リー群の表現
φ : G → G L ( V ) {\displaystyle \phi :G\to \mathrm {GL} (V)}
は、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} から一般線型群 GL(V) つまり、V の自己準同型の代数へのリー代数の準同型
d e φ : g → g l ( V ) {\displaystyle d_{e}\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}
を決定する。
Ben-Zvi, David; Nadler, David (2012). "Beilinson-Bernstein localization over the Harish-Chandra center". arXiv:1209.0188v1。
Garrett Birkhoff; Philip M. Whitman (1949). “Representation of Jordan and Lie Algebras”. Trans. Amer. Math. Soc. 65: 116-136. http://www.ams.org/tran/1949-065-01/S0002-9947-1949-0029366-6/S0002-9947-1949-0029366-6.pdf.