トルマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式
d M ( r ) d r = 4 π ρ ( r ) r 2 . {\displaystyle {\frac {dM(r)}{dr}}=4\pi \rho (r)r^{2}\ .}
この方程式は一般的に時間不変で球対称な計量のもとでアインシュタイン方程式を解くことで導かれる。トルマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式の解について、この計量は次の形をとる。
d s 2 = e ν ( r ) c 2 d t 2 − ( 1 − 2 G M ( r ) / r c 2 ) − 1 d r 2 − r 2 ( d θ 2 + s i n 2 θ d φ 2 ) , {\displaystyle ds^{2}=e^{\nu (r)}c^{2}dt^{2}-(1-2GM(r)/rc^{2})^{-1}dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\mathrm {sin} ^{2}\theta d\phi ^{2})\ ,}
ここでν(r)は条件により決定される定数である。
d ν ( r ) d r = − 2 P ( r ) + ρ ( r ) c 2 d P ( r ) d r . {\displaystyle {\frac {d\nu (r)}{dr}}=-{\frac {2}{P(r)+\rho (r)c^{2}}}{\frac {dP(r)}{dr}}.}