ラプラスの方法
{\displaystyle {\begin{aligned}n!&=\int _{0}^{\infty }e^{-nx}(nx)^{n}n\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}x^{n}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}e^{n\ln x}\,dx\\&=n^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{n(\ln x-x)}\,dx.\end{aligned}}}
この積分はラプラスの方法が適用できる形である。いま f(x) = ln x − x とおけば、これは二階微分可能で、
f ′ ( x ) = 1 x − 1 , f ′′ ( x ) = − 1 x 2 . {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}-1,\quad f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}}.}
よって関数 f(x) は点 x0 = 1 でのみ最大値 f(x0) = −1 をとり、f′′(x0) = −1 である。したがって
n ! ∼ n n + 1 e − n 2 π n = n n e − n 2 π n ( n → ∞ ) {\displaystyle n!\sim n^{n+1}e^{-n}{\sqrt {\frac {2\pi }{n}}}=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\quad (n\to \infty )}
となる。