傾き (数学)
曲線上の1点に対しても、そこで微分可能ならば、傾斜の具合を表す数値としての傾きが定義できる。
Δx と Δy を曲線上の2点間のそれぞれ x座標、y座標の増加量とすると、その2点を通る直線(弦という)の傾き m は
m = Δ y Δ x {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}
である。この2点間を狭めたときの m の極限が、そこを直線として近似した傾きと考えられる。これは接線の傾きであり、微分係数と呼ばれる。場所 x を変数とした
d y d x = lim Δ x → 0 Δ y Δ x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}
を、曲線の導関数と呼ぶ。
微分係数が定義できない例としては、次のような例がある。
三角屋根型 y = |x| における x = 0
振動型 y = { x sin  1 x ( x ≠ 0 ) 0 ( x = 0 ) {\displaystyle y=\left\{{\begin{array}{ll}x\sin {\frac {1}{x}}&(x\neq 0)\\0&(x=0)\end{array}}\right.} (これは x = 0 で連続である)における x = 0 ワイエルシュトラス関数