レンズの公式
(証明)
△ a ′ b o {\displaystyle \triangle a'bo} と △ a b ′ o {\displaystyle \triangle ab'o} が相似であることより、
a ′ b : a b ′ = b o : b ′ o = B : A {\displaystyle {\begin{aligned}a'b:ab'&=bo:b'o\\&=B:A\\\end{aligned}}}
と言え、また △ a ′ b f {\displaystyle \triangle a'bf} と △ p o f {\displaystyle \triangle pof} (注を参照のこと) が相似であることより、
a ′ b : p o = b f : o f = ( B + F ) : F {\displaystyle {\begin{aligned}a'b:po&=bf:of\\&=(B+F):F\\\end{aligned}}}
と言える。 a b ′ = p o {\displaystyle ab'=po} であるから、
B : A = ( B + F ) : F A ( B + F ) = B F A B + A F = B F B F − A F = A B {\displaystyle {\begin{array}{lcl}B:A&=&(B+F):F\\A(B+F)&=&BF\\AB+AF&=&BF\\BF-AF&=&AB\end{array}}}
となり、これを ( A B F ) {\displaystyle (ABF)} で割ると、
B F A B F − A F A B F = A B A B F ∴ 1 A − 1 B = 1 F {\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\frac {BF}{ABF}}-{\frac {AF}{ABF}}&=&{\frac {AB}{ABF}}\\\therefore {\frac {1}{A}}-{\frac {1}{B}}&=&{\frac {1}{F}}\end{array}}}
像が虚像であるため B を負の数で表し B' = -B とおくと、上式は
1 A + 1 B ′ = 1 F {\displaystyle {\frac {1}{A}}+{\frac {1}{B'}}={\frac {1}{F}}}
となる。
(証明終わり) (注)図中には、fが2点あるが、右側のfをさす。