特殊相対性理論
地上で(地面に対して)静止している観測者からみて、高速で飛んでいるロケットは(地上に)停まっているときよりも短く見える(進行方向に収縮している)。
地上から上空へ向かうロケットを地上から観測したとき、ロケットの後端に設置した時計は、ロケットの先端に設置した時計よりずれが大きい。このとき、ロケットに乗る観測者からすれば、ロケットの速度での運動座標系において、ロケットの後端と先端の時計が刻む時刻は同時に見える。
なお、実際にはロケットが観測者にどのように見えるかという点については、特殊相対性理論による時刻・座標のずれに加えて、ロケット各部からの光の到達時刻を加味する必要がある(これを考慮に入れた場合、さらに歪んだ見え方となりうる)
特殊相対性理論では、
∑ μ a μ b μ {\displaystyle \sum _{\mu }a^{\mu }b_{\mu }}
のように上つきと下つきで同じ添え字(この場合は μ)が使われているときは、Σ 記号を省略し、
a μ b μ {\displaystyle a^{\mu }b_{\mu }}
と書き表す慣用的な記法が用いられることが多い。この記法をアインシュタインの縮約記法という。
この縮約記法は行列の積や3項以上の場合にも同様に用いられ、例えば
∑ κ , τ a μ κ b κ τ c τ ν {\displaystyle \sum _{\kappa ,\tau }a^{\mu }{}_{\kappa }b^{\kappa }{}_{\tau }c^{\tau }{}_{\nu }}
は
a μ κ b κ τ c τ ν {\displaystyle a^{\mu }{}_{\kappa }b^{\kappa }{}_{\tau }c^{\tau }{}_{\nu }}
と略す。
一方、たとえ2箇所の添え字が共通していても、
∑ μ a μ b μ {\displaystyle \sum _{\mu }a_{\mu }b_{\mu }} 、 ∑ ν c ν d ν {\displaystyle \sum _{\nu }c^{\nu }d^{\nu }}
のように添え字が両方下つき、もしくは両方上つきの場合は Σ を省略しない。
左辺の時間成分 = γ c d E d t {\displaystyle ={\frac {\gamma }{c}}{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}}
右辺の時間成分 = γ c ( q E ⋅ v ) {\displaystyle ={\frac {\gamma }{c}}(q{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {v}})}
なので、下記の式が従う:
d E d t = q E ⋅ v = q ( E + v × B ) ⋅ v . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=q{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {v}}=q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {v}}.}
右辺は単位時間当たりに電磁場のローレンツ力が質点に対してした仕事なので、この式はローレンツ力による仕事がエネルギーに変わる事を意味している。すなわちこれは、エネルギー保存則にあたる式である。
物理法則に関してすべての慣性系は対等である。すなわち、あらゆる慣性系において物理法則を記述する運動方程式は、その形式が不変である。