フレネル積分
C(x) と S(x) は x の奇関数である。
C と S は整関数である。
上述の冪級数展開式を使うと、フレネル積分は定義域を複素数に拡張でき、複素数値の解析関数となる。フレネル積分は誤差関数を使って以下のように表現できる。 S ( x ) = π 4 ( i erf  ( i x ) + − i erf  ( − i x ) ) {\displaystyle S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)} C ( x ) = π 4 ( − i erf  ( i x ) + i erf  ( − i x ) ) {\displaystyle C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}
C(x) と S(x) を定義している積分式は、特別な場合を除いては、初等関数を使って閉形式で評価することができない。x が無限大に漸近したときのこれらの関数の極限は次のようになることが知られている。 ∫ 0 ∞ cos  t 2 d t = ∫ 0 ∞ sin  t 2 d t = 2 π 4 = π 8 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}}
上式と等価なガウス型の積分をフレネル積分と呼ぶ場合もある。 ∫ − ∞ ∞ e i 2 t 2 d t = 2 π i {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {i}{2}}t^{2}}\,dt={\sqrt {2\pi i\,}}}