超立方体
特にことわらない限り、辺の長さが a の n 次元超立方体について述べる。
超体積は
a n {\displaystyle a^{n}\,}
超表面積は
2 n a n − 1 {\displaystyle 2na^{n-1}\,}
である。
ファセット (n - 1 次元面) は n - 1 次元超立方体である。したがって一般に、m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元超立方体である。たとえば、正八胞体(4次元超立方体)の面(2次元面)は正方形(2次元超立方体)、胞(3次元面)は立方体(3次元超立方体)である。
対角線の長さは、
n a {\displaystyle {\sqrt {n}}a\,}
である。
m 次元面の個数は
2 n − m n C m {\displaystyle 2^{n-m}{}_{n}\operatorname {C} _{m}}
である。これはパスカルのピラミッド(英語版)の第 n + 1 段の三角形の第 m + 1 段(頂点を下にした場合)の数字の総和に等しい。対角線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、 3 n = ( 1 + 2 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+2)^{n}} を二項展開し、 3 n = ( 1 + 1 + 1 ) n {\displaystyle 3^{n}=(1+1+1)^{n}} を三項展開することで示すことができる。