テトレーション
任意の正の実数 a > 0 および非負整数 n ≥ 0 に対し、次のようにテトレーション a を再帰的に定める。
n a := { 1 if n = 0 a [ ( n − 1 ) a ] if n > 0 {\displaystyle {}^{n}a:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left[{}^{(n-1)}a\right]}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}
冪乗の演算が右結合、すなわち 10 のように積みあがった指数の上側から計算していくように、テトレーションの計算も a に対する n の部分から計算していく。
定義から直ちに、次の等式が成り立つ。
log a  ( n + 1 a ) = n a {\displaystyle \log _{a}\left({}^{n+1}a\right)={}^{n}a}
a と 10 が互いに素であるとき、a の最後の d 桁がオイラーの定理から求められる。
テトレーションは a ↑ 2 b ↑ 2 ⋅ ⋅ ⋅ ↑ 2 z {\displaystyle a\uparrow ^{2}b\uparrow ^{2}\cdot \cdot \cdot \uparrow ^{2}z} という風に拡張できる。そしてテトレーションの回数を数え上げるペンテーションを定義することができ、 a ↑ 3 b {\displaystyle a\uparrow ^{3}b} と表せる。
同じようにヘキセーションも定義できる( a ↑ 4 b {\displaystyle a\uparrow ^{4}b} )。この拡張を一般化してクヌースの矢印表記ができる。
またテトレーションはハイパーE表記で a ↑↑ x = E ( a ) a # x {\displaystyle a\uparrow \uparrow x=E(a)a\#x} と書ける。
∫ n x d x = ∑ j = 0 n ( − 1 ) j ( j + 1 ) j − 1 j ! b j ( x ) + ∑ j = n + 1 ∞ ( − 1 ) j a n , j b j ( x ) + C {\displaystyle \int {}^{n}x{\mathrm {d} }x=\sum _{j=0}^{n}{\frac {(-1)^{j}(j+1)^{j-1}}{j!}}b_{j}(x)+\sum _{j=n+1}^{\infty }(-1)^{j}a_{n,j}b_{j}(x)+C}
ここで aj,k は
a j , k = { 1 if k = 0 1 k ! if j = 0 1 k ∑ l = 1 k l a j , k − l a j − 1 , l − 1 otherwise {\displaystyle a_{j,k}={\begin{cases}1&{\text{if }}k=0\\{\frac {1}{k!}}&{\text{if }}j=0\\{\frac {1}{k}}\sum _{l=1}^{k}la_{j,k-l}a_{j-1,l-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
で与えられる有理数であり、 bj (x) は第2種不完全ガンマ関数を用いて
b j ( x ) = Γ ( j + 1 , ln  x ) {\displaystyle b_{j}(x)=\Gamma \left(j+1,\ln x\right)}
で与えられる。
以下の表では、大部分の値が指数表記による表記すら困難なほど巨大であるため、それらの表記には底を 10 とした反復指数関数を用いた。なお小数部を持つ値はすべて近似値である。
ある範囲の底 a に対して limn→∞ a は有限の値に収束するので、この範囲においてテトレーションは高さ無限大の場合へ拡張できる。例えば limn→∞ (√2) は収束して、その値は 2 であるから、 (√2) = 2 であると言える。
一般に無限反復指数関数 x x ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}} は、 n が無限大に向かうときの x の極限として定義される。これが e ≤ x ≤ e (およそ 0.066 から 1.44)の範囲で収束することはオイラーによって示された。
極限値 x が存在するとき、これは方程式
を満たす正の実数に等しい。
式(1)より x = (x) であり、このとき右辺の最大値が e であることから、 x > e については極限値が存在しないことがわかる。また x ↦ ∞ x {\displaystyle x\mapsto {}^{\infty }x} は y ↦ y 1 / y {\displaystyle y\mapsto y^{1/y}} の逆関数(の分岐の下部)であることがわかる。
式(1)から、極限値 z をランベルトのW関数 W を用いて次のように定義することで複素数の底 z に対しても拡張される。