ブリルアン関数とランジュバン関数
P ( m ) = e x m / J / ( ∑ m ′ = − J J e x m ′ / J ) {\displaystyle P(m)=e^{xm/J}/\left(\sum _{m'=-J}^{J}e^{xm'/J}\right)}
を得る。以上より軌道量子数 m {\displaystyle m} の期待値は
⟨ m ⟩ = ( − J ) × P ( − J ) + ⋯ + J × P ( J ) = ( ∑ m = − J J m e x m / J ) / ( ∑ m = − J J e x m / J ) {\displaystyle \langle m\rangle =(-J)\times P(-J)+\cdots +J\times P(J)=\left(\sum _{m=-J}^{J}me^{xm/J}\right)/\left(\sum _{m=-J}^{J}e^{xm/J}\right)}
である。分母は等比級数であり、また分子は等比等差級数の一種であるため、正確に総和を求めることができる。代数計算を行うと、上記の式は
⟨ m ⟩ = J B J ( x ) {\displaystyle \langle m\rangle =JB_{J}(x)}
と表されることがわかる。単位体積あたり N {\displaystyle N} 個の磁気モーメントがあるとすると、磁化密度は
M = N g μ B ⟨ m ⟩ = N g J μ B B J ( x ) {\displaystyle M=Ng\mu _{\rm {B}}\langle m\rangle =NgJ\mu _{\rm {B}}B_{J}(x)}
である。
x ≪ 1 {\displaystyle x\ll 1} の場合、即ち μ B H / k B T {\displaystyle \mu _{\rm {B}}H/k_{\rm {B}}T} が小さい場合、ブリルアン関数の振る舞いは、
B J ( x ) ≃ J + 1 J x 3 {\displaystyle B_{J}(x)\simeq {\frac {J+1}{J}}{\frac {x}{3}}}
と近似される。よって、磁化の式は
M = C ⋅ H T {\displaystyle M=C\cdot {\frac {H}{T}}}
となり、キュリーの法則を導くことができる。ここで C = N g 2 μ B 2 J ( J + 1 ) 3 k B {\displaystyle C={\frac {Ng^{2}\mu _{\rm {B}}^{2}J(J+1)}{3k_{\rm {B}}}}} はキュリー定数である。また、 g J ( J + 1 ) {\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}} は有効ボーア磁子数とよばれる。