関数の微分
d 2 f = ( ∂ 2 f ∂ x 2 ( d x ) 2 + 2 ∂ 2 f ∂ x ∂ y d x d y + ∂ 2 f ∂ y 2 ( d y ) 2 ) + ∂ f ∂ x d 2 x + ∂ f ∂ y d 2 y . {\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}
より一般的には、x の関数f の増分Δx に対するn 階の微分は、以下の様に定義される。
d n f ( x , Δ x ) = d n d t n f ( x + t Δ x ) | t = 0 {\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}