トレースクラス
l(N) の双対は l(N) であることを思い出されたい。したがって、トレースクラス C1 の双対は、有界作用素 B(H) である。より正確には、集合 C1 は B(H) における両側イデアルである。したがって、B(H) 内の与えられた任意の作用素 T に対して、 C 1 {\displaystyle C_{1}} 上の連続線型汎函数 φT を φT(A)=Tr(AT) によって定義することが出来る。 C 1 {\displaystyle C_{1}} の双対空間の元 φT と、有界作用素の間の対応は、等長同型である。B(H) は C 1 {\displaystyle C_{1}} の双対空間であることが従う。このことは、B(H) 上の弱スター位相(英語版)を定義する際に利用できる。
c0 の双対空間は l(N) である。同様に、コンパクト作用素の双対 K(H)* は、トレースクラス作用素 C1 であることが分かる。以下で記載する内容は、対応する数列空間に対する覚書である。f ∈ K(H)* とし、
⟨ T f x , y ⟩ = f ( S x , y ) {\displaystyle \langle T_{f}x,y\rangle =f(S_{x,y})}
として定義される作用素 Tf によって f を識別する。ここで、Sx,y は
S x , y ( h ) = ⟨ h , y ⟩ x {\displaystyle S_{x,y}(h)=\langle h,y\rangle x}
で与えられるランク 1 の作用素である。
この識別が意味をなすことは、有限ランク作用素が K(H) においてノルム稠密であることに起因する。