双対基底
双対集合は常に存在し、V から V* への単射、すなわち、vi を v へ送る線形写像を与える。これは特に、双対空間 V* の次元は V の次元以上であることを意味する。
しかしながら、無限次元の V に対して双対集合 B* は V* を張らない。例えば、すべての i ∈ I に対して f(vi) = 1 で定義される線型汎関数 f: V → F を考える。これは明らかに、すべての vi 上でゼロでない。もし f が v の(有限)線型結合ならば——すなわち、I のある有限部分集合 K とスカラー αi によって ∑ i ∈ K α i v i {\textstyle \sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}} と表せるならば—— K に含まれない任意の j に対して f ( v j ) = ( ∑ i ∈ K α i v i ) ( v j ) = 0 {\textstyle f(v_{j})=(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i})(v_{j})=0} が成立するが、これは f の定義に矛盾する。したがって f は双対集合 B* の線型包に属さない。
無限次元空間の双対は、もとの空間よりもより高い次元(高次無限濃度)を持ち、したがって同一の添字集合を備えるような双対空間の基底は存在しない。しかしながら、ベクトルの双対集合は存在し、それはもとの空間と同型であるようなその双対空間の部分空間を定義する。さらに、線型位相空間に対し、連続的双対空間を定義することが出来、そのような場合には双対基底は存在し得る。