空間充填曲線
曲線が単射でなければ、曲線の2つの交わる「部分曲線」であって、それぞれが曲線の定義域(単位区間)の互いに素な線分の像を考えることで得られるものがある。2つの部分曲線は2つの像の共通部分が空でないとき交わる。「交わる曲線」の意味は2つの平行でない直線の交点のように一方から他方へ互いに横断するものと考えたくなるかもしれない。しかしながら、2つの曲線(あるいは1つの曲線の2つの部分曲線)は円に接する直線のように横断することなく接触するかもしれない。
自己交叉しない連続曲線は単位正方形を埋められない、なぜならばそれは曲線を単位区間から単位正方形の上への同相にするからである(コンパクト空間からハウスドルフ空間の上への任意の連続全単射は同相である)。しかし単位正方形は cut-point(英語版) を持たないため、端点以外のすべての点が cut-point である単位区間とは同相になれない。
古典的なペアノとヒルベルトの空間充填曲線に対しては、2つの部分曲線が交わるが、横断しない自己接触がある。空間充填曲線はその近似曲線が自己横断するとき(いたるところ)自己横断しうる。空間充填曲線の近似は上の図が示すように自己交叉しないこともある。3次元では、自己交叉しない近似曲線は結び目さえ含むかもしれない。近似曲線は n 次元空間の限られた部分に残り続けるが、その長さは限りなく増える。
空間充填曲線はフラクタル構成の特別な場合である。微分可能な空間充填曲線は存在しえない。雑に言えば、微分可能性は曲線がどれだけはやく向きを変えられるかに制限を与える。