指数閉体
任意の指数閉体 F は冪根(拡大)で閉じている (root-closed)。つまり、F の任意の正元は任意の自然数 n に対する n-乗根を F 内に持つ、別な言い方をすれば F の正元全体の成す乗法群は可除である。これは E ( 1 n E − 1 ( a ) ) n = E ( E − 1 ( a ) ) = a ( ∀ a > 0 ) {\textstyle E({\frac {1}{n}}E^{-1}(a))^{n}=E(E^{-1}(a))=a\quad (\forall a>0)} が成り立つことによる。 その帰結として、任意の指数閉体はユークリッド体(英語版)となる。 その帰結として、任意の指数体は順序ピタゴラス体(英語版)となる。
必ずしもすべての実閉体が指数閉体となるわけではない。例えば、実代数的数体は指数閉でない。実際、実数体の任意の指数閉部分体 F において「指数函数」E は適当な (1 <)a ∈ F に対して E(x) = a の形にとれ、しかし a が代数的数ならばゲルフォント–シュナイダーの定理により E(√2) = a は代数的でない。 その帰結として、指数閉体の成す類は初等的(英語版)(一階の理論で公理化可能)でないことが従う(これは、実数体と実代数的数体が、互いに初等同値(英語版)な構造であることによる)。
指数閉体の類は擬初等類(英語版)である。これは体 F が指数閉となるための必要十分条件として「上への函数 E2: F → F ×+ で E2(1) = 2 となるものが存在すること」を挙げることができて、この E2 は一階公理化可能であることによる。