単体的ホモロジー
Sを単体的複体とする。Sの単体的k-チェーンは有限な形式和
∑ i = 1 N c i σ i , {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,}
のことである。ただし、各ciは整数であり、σi指は向きつけられたk-単体である。この定義により、向きつけられた単体は、反対向きの単体の反対方向の単体の反数(負数)に等しいと言える。例えば、
( v 0 , v 1 ) = − ( v 1 , v 0 ) . {\displaystyle (v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).}
Sのk-チェーンの群をCkと書く。Ckは自由アーベル群であり、この自由アーベル群は基底は、Sに含まれるk-単体の集合と1対1対応する。この基底を明示的に定義するには、Sの各単体の向きを選べばよい。この向き選びの標準的な方法の1つは、まず、すべての頂点の順序を1つ選ぶ。その後、各単体の向きは、その単体の頂点の順序を全頂点の順序に揃えることとし、それにより、各単体の向きを決める。