半連続
Xを位相空間、x0 を X 上の点とし、f: X → R ∪ {−∞, +∞} は拡大実数値関数とする。任意の ε >0 に対してx0 の近傍 U が存在し、U に属するどの x に対しても f(x) ≤ f(x0) + ε となるとき、あるいは同じことだが、
lim sup x → x 0 f ( x ) ≤ f ( x 0 ) {\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}
となるとき、f は x0 で上半連続であると言う。ここで lim sup は(x0 における関数 f の)上極限である。
函数 f が上半連続函数であるとは、それが定義域の全ての点において上半連続であることをいう。函数 f が上半連続函数となるための必要十分条件は、集合 {x ∈ X : f(x) < α} がいずれの α ∈ R についても開集合となることである。
同様に、函数 f が点 x0 において下半連続であるとは、任意の ε > 0 に対し、x0 の近傍 U で U の各点 x において f(x) ≥ f(x0) − ε となるようなものが存在すること、あるいは同じことだが、
lim inf x → x 0 f ( x ) ≥ f ( x 0 ) {\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}
が成立することをいう。ここで lim inf は(点 x0 における函数 f の)下極限である。
函数 f が下半連続函数であるとは、それがその定義域の全ての点で下半連続となるときにいう。函数 f が下半連続函数となるのは、任意の α ∈ R に対して {x ∈ X : f(x) > α} が開集合となるときであり、かつそのときに限る。