ムーファン・ループ
この時、 ( y b ) e = ( e ( y b ) ) e = ( e y ) ( b e ) = y e {\displaystyle (yb)e=(e(yb))e=(ey)(be)=ye} が成り立つ。再び準群の簡約律より、 y b = y {\displaystyle yb=y} が成り立つ。従って、 b {\displaystyle b} は右単位元である。 さらに、 b = e b = e {\displaystyle b=eb=e} であるから、 e {\displaystyle e} は(両側)単位元である。
(M2) ( x y ) ( z x ) = x ( ( y z ) x ) {\displaystyle (xy)(zx)=x((yz)x)} だけを仮定する場合も、(式を鏡のように反転させて) 同様に証明できる。 この場合は a ∈ Q {\displaystyle a\in Q} に対して、 e a = a {\displaystyle ea=a} を満たす e {\displaystyle e} を取ると、 x = x e ∀ x ∈ Q {\displaystyle x=xe\quad \forall x\in Q} 、つまり e {\displaystyle e} は右単位元であることが言える。 先ほどと逆に e b = e {\displaystyle eb=e} を満たす b {\displaystyle b} を取って、同じことをすれば、 e = b {\displaystyle e=b} が左単位元になることも言えるので、両側単位元である。