フレシェ微分
この極限が存在するとき、これを Df(x) = Ax と書いて、f の x における(フレシェ)微分係数と呼ぶ。U の各点においてフレシェ微分可能な函数 f は、写像
D f : U → B ( V , W ) ; x ↦ D f ( x ) {\displaystyle Df\colon U\to B(V,W);\;x\mapsto Df(x)}
が連続であるとき、C-級であるという。これは導函数 Df(x) の連続性とは同じでないことに注意すべきである。任意の有界線型作用素は連続であるから、Df(x) = Ax は定義により常に連続である。
この微分の概念は、R から R への線型写像は実数を掛け算する操作に他ならないから、実数直線上の函数 f: R → R の通常の微分を一般化するものである。この場合、Df(x) は函数 t ↦ tf′(x) である。