ベクトル測度
が成り立つことを言う。但し、右辺の級数はバナッハ空間 X {\displaystyle X} のノルムについて収束するものとする。
加法的ベクトル測度 μ {\displaystyle \mu } が可算加法的であるための必要十分条件は、上述のような任意の列 ( A i ) i = 1 ∞ {\displaystyle (A_{i})_{i=1}^{\infty }} に対して
lim n → ∞ ‖ μ ( ⋃ i = n ∞ A i ) ‖ = 0 , ( ∗ ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|\mu \left(\displaystyle \bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}\right)\right\|=0,\quad \quad \quad (*)}
が成り立つことである。ここで ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} は X {\displaystyle X} のノルムである。
σ-代数上で定義される可算加法的ベクトル測度は、測度や符号付測度、複素測度よりも一般的である。ただしそれらは、それぞれ拡大区間 [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} 、実数の集合、および複素数の集合上に値を取る可算加法的関数である。