複素数
代数学の基本定理より、複素数を係数とする代数方程式の解は存在しまた複素数になる。つまり、
a n z n + ⋯ + a 1 z + a 0 ( a r ∈ C , a n ≠ 0 ) {\displaystyle a_{n}z^{n}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\quad (\,a_{r}\in \mathbb {C} ,\ a_{n}\neq 0\,)}
は、少なくとも一つの複素根 z を持つ。
上記の多項式の複素根の一つを α1 とし、因数定理を帰納的に用いると、上記の多項式は
∑ r = 0 n a r z r = a n ∏ k = 1 n ( z − α k ) ( α k ∈ C ) {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{r=0}^{n}a_{r}z^{r}=a_{n}\prod \limits _{k=1}^{n}(z-\alpha _{k})\quad (\,\alpha _{k}\in \mathbb {C} \,)}
と複素数の範囲で因数分解される。これは、複素数が代数方程式による数の拡張の最大であることを意味している。つまり、C は代数的閉体である。
代数学の基本定理の証明にはさまざまな方法がある。例えばリウヴィルの定理などを用いる解析的な方法や、巻き数などを使う位相的な証明、あるいは奇数次の実係数多項式が少なくとも一つの実根を持つ事実にガロア理論を組み合わせた証明などがある。
この事実により、「任意の代数的閉体に対して成り立つ定理」を C にも適用できる。例えば、任意の空でない複素正方行列は少なくとも一つの複素固有値を持つ。