スターリングの近似
{\displaystyle \log \Gamma (z)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}.}
ここで Bn は n 番目のベルヌーイ数である。(無限和は収束しないので、この公式は漸近展開にすぎないことに注意する。)公式はεを正数として |arg z| < π − ε であるときに絶対値の十分大きい z に対して成り立つ。公式の右辺に現れる級数はスターリング級数と呼ばれる。最初の m 項が使われるとき誤差項は O ( z − 2 m − 1 ) {\displaystyle O(z^{-2m-1})} である。対応する近似は
Γ ( z ) = 2 π z ( z e ) z ( 1 + O ( 1 z ) ) {\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}~{\left({\frac {z}{e}}\right)}^{z}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right)}
のように書ける。この漸近展開のより進んだ応用は Re z が定数の複素変数 z に対してである。例えば直線 1/4 + it 上でリーマン・ジーゲルテータ関数(英語版)の Im z において適用されたスターリングの公式を見よ。
Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = − z Γ ( z ) Γ ( − z ) = π sin  π z {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}}
π i + log  z + log  Γ ( z ) + log  Γ ( − z ) − log  sin  π z − log  π = 0 {\displaystyle \pi i+\log z+\log \Gamma (z)+\log \Gamma (-z)-\log \sin \pi z-\log \pi =0}
π i + log  z + C − z + ( z − 1 2 ) log  z + C + z + ( − z − 1 2 ) ( π i + log  z ) − log  sin  π z − log  π = 0 {\displaystyle \pi i+\log z+C-z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+C+z+\left(-z-{\frac {1}{2}}\right)\left(\pi i+\log z\right)-\log \sin \pi z-\log \pi =0}
2 C + π i 2 − π i z − log  sin  π z − log  π = 0 {\displaystyle 2C+{\frac {\pi i}{2}}-\pi iz-\log \sin \pi z-\log \pi =0}
となるが