積分法
微分形式は多変数解析や微分幾何学およびテンソル論などの分野で用いられる数学的概念である。現代的な意味での微分形式は、その全体が外微分と楔積に関して(エリ・カルタンの導入した意味での)外積代数を成すものとして理解される。
R の開集合 Ω 上で定義される 0-形式(0-次微分形式)とは単に(ここでは)Ω 上の滑らかな関数 f のことである。R の m-次元の部分空間 S 上での f の積分を
∫ S f d x 1 ⋯ d x m {\displaystyle \int _{S}f\,dx^{1}\cdots dx^{m}}
のように書く(上付きの数字は単に添字であって、冪指数の意味ではない)。微分形式の文脈では、dx から dx までを、リーマン和のように積分についている符牒ではなく、それ自体を形式的な対象として扱う。すなわち、これらはそれぞれ余ベクトル(1-形式、双対ベクトル)として捉えられ、「密度」を測るものと考えることができる(したがって一般の意味で積分することができる)。dx, ...,dx は基本 1-形式と呼ばれる。
微分形式に対する楔積 "∧" は双線型な「乗法」で、基本 1-形式に対する交代性
d x a ∧ d x a = 0 {\displaystyle dx^{a}\wedge dx^{a}=0}
図形の面積や体積の求積法は、特殊なものに限れば古代からいくつも知られており、その起源は定かではないが、積分法の起源としては古代ギリシアの数学書ユークリッド原論にもある取り尽くし法(積尽法、窄出法、英: method of exhaustion、仏: méthode d’exhaustion、独: Exhaustionsmethode、拉: methodus exhaustionibus)などのいくつかの技法に求めることができるだろう。取り尽くし法はある領域の面積を無数の三角形で覆い尽くすことによって求めようとするものである。古代ギリシャでは、三角形を最も基本的な図形と捉えていたため、このような三角形による求積法が盛んであった。しかしたとえば、放物線(古くは抛物線とも)がある弦によって切り取られる面積を計算するような場合でさえ、いくらやっても三角形で覆い尽くすことはできないため、実際にはほとんどの領域で無限和の計算をすることになる。この困難に対してアルキメデスは、今で言うε-δ論法によりこの問題を回避したようである。
1635年にカヴァリエリの原理が発表され、後にエヴァンジェリスタ・トリチェリ、ピエール・ド・フェルマーが同原理の考えを用い、回転体や多項式で表される図形の求積を行った。
伊藤積分やストラトノヴィッチ積分などのブラウン運動を伴う確率過程に対する積分