ベズーの等式
ベズーの等式(ベズーのとうしき、英: Bézout's identity)は初等整数論における定理である。ベズーの補題(ベズーのほだい、英: Bézout's lemma)とも呼ばれる。
ベズーの等式 ― a と b を 0 でない整数とし、d をそれらの最大公約数とする。このとき整数 x と y が存在して
ax + by = d
となる。さらに、
d は ax + by と書ける最小の正の整数であり、
ax + by の形のすべての整数は d の倍数である。
x と y は (a, b) のベズー係数 (Bézout coefficients) と呼ばれる。それらは一意的ではない。ベズー係数の組は拡張ユークリッドの互除法によって計算できる。a と b がどちらも 0 でなければ、拡張ユークリッドの互除法から | x | ≤ | b d | {\displaystyle |x|\leq \left|{\tfrac {b}{d}}\right|} かつ | y | ≤ | a d | {\displaystyle |y|\leq \left|{\tfrac {a}{d}}\right|} であるような 2 つの組の一方が出る。
ベズーの補題は任意の主イデアル整域において正しいが、正しくないような整域が存在する。
a = 12、b = 42 とすると、gcd (12, 42) = 6 である。このとき次のベズーの等式が成り立つ。赤で書かれたベズー係数は最小の組であり青は他のものである。
⋮ 12 × ( − 10 ) + 42 × 3 = 6 12 × ( − 3 ) + 42 × 1 = 6 12 × 4 + 42 × ( − 1 ) = 6 12 × 11 + 42 × ( − 3 ) = 6 12 × 18 + 42 × ( − 5 ) = 6 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}\vdots \\12&\times ({\color {blue}{-10}})&+\;\;42&\times \color {blue}{3}&=6\\12&\times ({\color {red}{-3}})&+\;\;42&\times \color {red}{1}&=6\\12&\times \color {red}{4}&+\;\;42&\times ({\color {red}{-1}})&=6\\12&\times \color {blue}{11}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-3}})&=6\\12&\times \color {blue}{18}&+\;\;42&\times ({\color {blue}{-5}})&=6\\\vdots \end{aligned}}}