直交関数列
正弦関数による列 {sinx, sin2x, sin3x,...} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。
∫ 0 π sin  m x ⋅ sin  n x d x = π 2 δ m n ( m , n = 1 , 2 , ... ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin {mx}\cdot \sin {nx}\,dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{mn}\quad (m,n=1,2,\dots )}
関係式
C n ( α ) ( x ) = ( − 2 ) n n ! Γ ( n + α ) Γ ( n + 2 α ) Γ ( α ) Γ ( 2 n + 2 α ) ( 1 − x 2 ) − α + 1 / 2 d n d x n [ ( 1 − x 2 ) n + α − 1 / 2 ] {\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right]}
で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x) の直交関数系を成し、