有限集合
ゲオルク・カントールは、無限集合を数学的に扱える集合論を構築しようとした。従って、有限集合と無限集合の区別が理論の中核に存在することとなった。基礎付け主義者(foundationalist)の中でも特に有限主義者は無限集合の存在を認めず、有限集合にのみ基づいた数学を提唱した。多くの数学者は厳密な有限主義は制限しすぎていると見なしたが、その相対的な一貫性は認めていた。すなわち、遺伝的(hereditarily)有限集合の領域は、無限公理をその否定と置換したツェルメロ=フレンケルの公理的集合論のモデルを構成する。
無限集合を擁護する数学者にとっても、ある重要な文脈では、有限集合と無限集合の形式的区別は微妙な問題として残った。これはゲーデルの不完全性定理に端を発している。遺伝的有限集合はペアノ算術で解釈でき(逆もまた同様)、従ってペアノの理論体系の不完全性は遺伝的有限集合の理論にも存在することが暗に示されている。特に、どちらの理論にもいわゆる非標準モデルの過剰が存在する。見かけ上のパラドックスとして、遺伝的有限集合の非標準モデルは無限集合を含んでいるが、それら無限集合はそのモデル内では有限に見える(これは、それら集合の無限性を証明するのに必要な集合や関数をモデルが持たない場合に生じる)。不完全性定理があるため、一階述語論理やその再帰的適用では、そのようなモデルすべての標準部分を特徴付けることができない。