選択公理
全てのベクトル空間は基底を持つ(1984年にen:Andreas Blassによって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性公理が必要になる)。
集合 M {\displaystyle {\rm {M}}} を { a ∈ A : q ( a ) = m } {\displaystyle \{a\in {\rm {A}}:q(a)=m\}} とおくと、 A {\displaystyle {\rm {A}}} は4元集合なので M {\displaystyle {\rm {M}}} の濃度は 1 , 2 , 3 , 4 {\displaystyle 1,2,3,4} のいずれかであるが、 | M | = 4 {\displaystyle |{\rm {M|=4}}} と仮定すると、 4 q ( a ) = ∑ a ∈ A q ( a ) = | B | = 6 {\displaystyle 4q(a)=\sum _{a\in {\rm {A}}}q(a)=|{\rm {B|=6}}} となり矛盾する。 | M | = 1 {\displaystyle |{\rm {M|=1}}} である場合は、 M {\displaystyle {\rm {M}}} の元を選択関数 f ( A ) {\displaystyle f({\rm {A}})} の値とすればよい。 | M | = 2 {\displaystyle |M|=2} の場合は、 f ( A ) = g ( M ) {\displaystyle f({\rm {A}})=g({\rm {M}})} とする。最後に | M | = 3 {\displaystyle |M|=3} である場合は、 A ∖ M {\displaystyle {\rm {A}}\setminus {\rm {M}}} の元を f ( A ) {\displaystyle f({\rm {A}})} の値とすればよい。
有限性(英語版)を満たす空でない任意の集合族は包含関係に関する極大元を持つ。