ホッジ双対
V を内積をもつ n次元ベクトル空間とすると、上で述べたように各 k に対し ⋀ k V {\textstyle \bigwedge ^{k}V} にも内積を定めることができる。これらをすべて ⟨•, •⟩ で表すとする。 ⋀ n V {\textstyle \bigwedge ^{n}V} は 1 次元で、その長さ 1 のベクトルのうち一つ ω を固定して、これを向きとする。 k-ベクトル λ と(n − k)-ベクトル θ に対し λ ∧ θ ∈ ⋀ n V {\textstyle \lambda \wedge \theta \in \bigwedge ^{n}V} が得られる。 これは上で選んだ ω のスカラー倍になる。
λ ∈ ⋀ k V {\textstyle \lambda \in \bigwedge ^{k}V} を固定し、上で定まるスカラーを fλ(θ) と書くと、一意に線形形式
f λ ∈ ( ⋀ n − k V ) ∗ {\displaystyle f_{\lambda }\in {\biggl (}\bigwedge ^{n-k}V{\biggr )}^{\!*}}
が存在して、任意の θ ∈ ⋀ n − k V {\textstyle \theta \in \bigwedge ^{n-k}V} に対して λ ∧ θ = fλ(θ) ω となる。
ω = e1 ∧ ... ∧ en となるように順序付けされた直交基底 (e1, ..., en) が与えられると、
⋆ ( e 1 ∧ e 2 ∧ ⋯ ∧ e k ) = e k + 1 ∧ e k + 2 ∧ ⋯ ∧ e n {\displaystyle \star (e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dotsb \wedge e_{k})=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge \dotsb \wedge e_{n}}
と計算できる。
より一般に偶置換 (i1, i2, ..., in) に対しても
⋆ ( e i 1 ∧ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i k ) = e i k + 1 ∧ e i k + 2 ∧ ⋯ ∧ e i n {\displaystyle \star (e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \dotsb \wedge e_{i_{k}})=e_{i_{k+1}}\wedge e_{i_{k+2}}\wedge \dotsb \wedge e_{i_{n}}}
となることが分かる。