コンパクト一様収束
( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} を位相空間とし、 ( Y , d Y ) {\displaystyle (Y,d_{Y})} を距離空間とする。関数列
f n : X → Y {\displaystyle f_{n}\colon X\to Y} , n ∈ N , {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}
が n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } のとき関数 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} にコンパクト収束するとは、すべてのコンパクト集合 K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} に対して f n | K {\displaystyle f_{n}|_{K}} が n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } のとき K {\displaystyle K} 上 f | K {\displaystyle f|_{K}} に一様収束することをいう。これはすべてのコンパクトな K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} に対して
lim n → ∞ sup x ∈ K d Y ( f n ( x ) , f ( x ) ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0}
が成り立つことを意味する。