クロス積
a × b = ⋆ ( a ∘ b − b ∘ a ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}=\star ({\boldsymbol {a}}\circ {\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {b}}\circ {\boldsymbol {a}})}
と書ける。
(*)式はそのまま、一般次元での定義に使える。ただし、これで定義できる積は、クロス積ではなく外積と呼び、
a ∧ b = a ∘ b − b ∘ a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\wedge {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}\circ {\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {b}}\circ {\boldsymbol {a}}}
で表す。外積は3次元ではクロス積に一致するが、同義語ではないので注意が必要である。
外積は2階の反対称テンソルであり、これはホッジ作用素により、n 次元では n - 2 階の擬テンソルに写像できる。つまり、2次元では擬スカラー(0階の擬テンソル)、3次元では擬ベクトル(1階の擬テンソル)に写像できるが、4次元以上ではテンソルとして扱うしかない。
外積(ドイツ語: äußeres Produkt)は、グラスマンによって導入されたが、当時はそれほど注目されず、彼の死後に高く評価された。
「クロス積」という呼称は、積の記号に十字(×)を用いることに由来する(同様にベクトルの内積は点(⋅)を用いることからドット積と呼ばれる)。またクロス積の別称として、ベクトル積(、英: vector product)がある。「ベクトル積」は積 a × b がベクトルとなることに由来する(同様に積 a ⋅ b はスカラーとなるため、ドット積はスカラー積とも呼ばれる)。
日本語や中国語では、クロス積(叉積、叉积)をしばしば外積(外積、外积)と呼び、しばしば同義語として扱う。しかし「外積」という語は、より一般には外積代数における楔積も指し、必ずしも「クロス積」とは一致しない。 楔積とクロス積を区別のため、前者を外積と呼び後者をクロス積と呼ぶ。
outer product もまた「外積」と訳されるが、こちらは直積(direct product)を意味する。
a = ( a 0 0 ) , b = ( b cos  θ b sin  θ 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\begin{pmatrix}a\\0\\0\\\end{pmatrix}},~{\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}b\cos \theta \\b\sin \theta \\0\\\end{pmatrix}}}
と成分表示することができる。これらのクロス積は
a × b = ( 0 0 a b sin  θ ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}={\begin{pmatrix}0\\0\\ab\sin \theta \\\end{pmatrix}}}
となる。従ってクロス積の大きさは
| a × b | = | a | | b | sin  θ {\displaystyle \vert {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\vert =\vert {\boldsymbol {a}}\vert \,\vert {\boldsymbol {b}}\vert \sin \theta }
であり、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積に等しい。