放物線
v = d x d t = v ( 0 ) + ∫ 0 t a d t = [ v 0 cos  θ v 0 sin  θ − g t ] {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}={\boldsymbol {v}}(0)+\int _{0}^{t}{\boldsymbol {a}}\,dt={\begin{bmatrix}v_{0}\cos \theta \\v_{0}\sin \theta -gt\end{bmatrix}}}
となり、初期位置を r0 = (0, y0) にとると、さらに積分して
r = [ x y ] = r 0 + ∫ 0 t v d t = [ v 0 t cos  θ y 0 + v 0 t sin  θ − g t 2 / 2 ] {\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\int _{0}^{t}{\boldsymbol {v}}\,dt={\begin{bmatrix}v_{0}t\cos \theta \\y_{0}+v_{0}t\sin \theta -gt^{2}/2\end{bmatrix}}}
が時刻 t における物体の位置である。t を消去すれば、適当な定数 a, b, c によって
y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
の形に書くことができる。
焦点から準線に引いた垂線は、この放物線の唯一の対称軸になる。放物線とその対称軸との交点を、この放物線の頂点と呼ぶ。放物線をその対称軸の周りに回転させてできる曲面を回転放物面、または単に放物面 (paraboloid) と呼ぶ。
パラボラアンテナの形も放物線の回転により得られる放物面である(パラボラ Parabola[英]=放物線)。放物面の形をした反射板は平行な光線(あるいは電波、その他の放射線)を焦点に集めるので、アンテナや太陽炉に使う凹面鏡の形として利用される。発信の際にも、焦点に置いた点源の球面波から平行な放射を得るために利用される。
多くの建造物におけるアーチ形状には、カテナリー曲線と並んで放物線が使われることが多い。とりわけエッフェル塔や東京タワーなどの鉄塔では、下部アーチはもちろん、塔体側面の曲線も放物線で近似される。
数学的な定義としてよく知られたものはいくつかの方法があるが、いずれも適当な枠組みで互いに他を導出することができる等価なものである。