病的な (数学)
「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、再び至る所で連続であるが至る所で微分不可能な関数となるため、そのような病的な関数は少なくとも微分可能な関数と同じだけ存在することが分かる。実は、ベールのカテゴリー定理により、「ほとんどすべての」連続関数は至る所で微分不可能であるということが示される。
平たく言えば、これは考え得る関数が非常にたくさん存在することが原因である。大部分は至る所微分不可能であり、描いたり研究したりできる関数は比較的稀で、そのうち興味があったり有用であるものは「行儀が良い」関数でもあることが分かる。