超準解析
順序体 F {\displaystyle \mathbb {F} } の非零元が無限小であるとは、その絶対値が 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ( n {\displaystyle n} は標準的自然数)の形をした如何なる F {\displaystyle \mathbb {F} } の元よりも小さいことをいう。無限小を持つ順序体は非アルキメデス的であるという。もっと一般に、超準解析は超準モデルと移行原理に基づくあらゆる形態の数学をいう。実数に対して移行原理を満たすような体を超実数体といい、超準実解析学はそういった体を実数の超準モデルとして用いる。
ロビンソン自身のアプローチはそれら実数体の超準モデルに基づく。彼のこの分野に関する古典的・基礎的な本 Non-standard Analysis は1966年に出版され、現在も販売されている。 88ページにおいて、ロビンソンは次のように書いている:
算術の超準モデルの存在はトアルフ・スコーレム(1934)によって発見された。スコーレムの手法は超冪構成を予示するものである [...]
無限小計算を展開するには幾つかの技術的問題を解決しなければならない。例えば順序体に無限小を付け加えたものを構成するだけでは不十分である。これに関連するアイデアにまつわる議論は超実数の記事を参照。
ハワード・ジェローム・キースラー、デイビット・トールやその他の教育者らは、無限小の使用は学生達にとって"イプシロン-デルタ"アプローチよりもより直感的かつ容易に解析学的概念を把握することができるものである、と主張する。このアプローチはしばしば、対応するイプシロン-デルタで定式化された証明よりも、より易しい証明を提供する。大抵の単純化は、次のような超準算術の大変簡単な法則を適用することから得られる:
無限小 × 有限 = 無限小
無限小 + 無限小 = 無限小
および後で述べる移行原理である。
超準解析の別の教育的な応用はエドワード・ネルソンによる確率過程の取り扱いである。彼のアプローチは測度論的確率論のオルタナティヴを与えるものでもある。従来の測度論的確率論に於いて無限確率空間を用いて定式化されていた現象が、超準的な意味での有限確率空間によって再定式化される。それゆえ、測度論や積分論の知識を用いることなく、初等的な有限確率論と超準解析を用いて高度な確率論を展開することが可能となる。
Mauro Di Nassoらはα-理論と呼ばれる超準化の反復を可能とする公理的超準解析の枠組みを開発し、これを加法的組合せ論をはじめとした研究に応用している。
テレンス・タオは「正の上密度を持つ自然数列は任意長の等差数列を部分列に持つ」というセメレディの定理の証明にローブ測度空間を応用した。