外微分
外微分 d は以下の性質を満たす k-形式から (k + 1)-形式への一意的な R-線型写像として定義される:
滑らかな関数 f に対して d(f) ≔ df はf の微分である。
任意の滑らかな関数 f に対して d(df) = 0 である。
d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)(α ∧ dβ) である、ただし α は p-形式とする。つまり、d は微分形式のなす外積代数上次数 1 の反微分である。
二番目の定義性質はより一般性を持って成り立つ: 実は、任意の k-形式 α に対して d(dα) = 0(より簡潔には、d = 0)である。三番目の定義性質は特別な場合として f が関数で α が k-形式であれば d(fα) = d(f ∧ α) = df ∧ α + f ∧ dα であるということを含んでいる。なぜならば、関数は 0 形式であり、スカラー乗法と外積は引数の一方がスカラーであるとき同値であるからである。
k-形式 ω は dω = 0 であるときに閉 (closed) であるという(すなわち閉形式は d の核の元のことである)。ω はある (k − 1)-形式 α に対して ω = dα であるときに完全 (exact) であるという(すなわち完全形式は d の像に属する)。d = 0 ゆえ、任意の完全形式は閉である。ポワンカレの補題は、可縮領域において逆が正しいと述べている。