ジェフリーズ事前分布
ジェフリーズ事前分布(ジェフリーズじぜんぶんぷ、英: Jeffereys prior)は、ベイズ統計学において、ハロルド・ジェフリーズに因んで名付けられた無情報事前分布の一つであり、その確率密度関数はフィッシャー情報行列の行列式の平方根で与えられる:
p ( θ → ) ∝ det I ( θ → ) . {\displaystyle p\left({\vec {\theta }}\right)\propto {\sqrt {\det {\mathcal {I}}\left({\vec {\theta }}\right)}}.\,}
重要な性質として、パラメータベクトル θ → {\displaystyle {\vec {\theta }}} の座標変換に対して不変であることが挙げられる。すなわち、ジェフリーズ事前分布を使用した場合、確率空間上の単位体積に割り当てられる相対確率は、ジェフリーズ事前分布を定義するために使用されるパラメータ化に関係なく同じになる。このため、スケールパラメータ(英語版)を使用する場合に特に役立つ。
{\displaystyle {\begin{aligned}p(\gamma )&\propto {\sqrt {I(\gamma )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\gamma }}\log f(x\mid \gamma )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {H}{\gamma }}-{\frac {T}{1-\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\gamma \left({\frac {1}{\gamma }}-{\frac {0}{1-\gamma }}\right)^{2}+(1-\gamma )\left({\frac {0}{\gamma }}-{\frac {1}{1-\gamma }}\right)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {\gamma (1-\gamma )}}}\,.\end{aligned}}}
これはアークサイン分布であり、また α = β = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =\beta =1/2} の時のベータ分布でもある。