0.999...
999... と 1 とが同一の対象を表すものでない可能性が見出されることもある。そうは言っても、多くの数体系は(実数の体系を代替するような独立した対象としてではなく)実数の体系の拡張となるものであって、故にそこでは 0.999... = 1 も引き続き成立することとなる。しかしそういった体系においてさえも、("0.999..." と表示される数が意味を持つ場合には)0.999... がどのように振る舞うかということだけではなく関連する現象の振る舞いに対して考えるために、代替の数体系を考察するということは意味のあることであるといえる。つまり、ある現象が実数体系における場合とは異なる振る舞いをするのであれば、その体系に組み込まれた前提条件は、実数体系のそれの少なくとも一つを壊したものになっていなければならない(以下に挙げるような体系が、実数におけるどのような現象や条件を否定するのかという観点に立って説明することができる)。
⋯ 999 = 9 + 9 ⋅ 10 + 9 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 3 + ⋯ = 9 1 − 10 = − 1 {\displaystyle \cdots 999=9+9\cdot 10+9\cdot 10^{2}+9\cdot 10^{3}+\dotsb ={\frac {9}{1-10}}=-1}
となる(前述の等比級数と比較せよ)。3番目の導出方法はある中学1年生によって発明された。その生徒は教師が 0.999... = 1 を極限を用いて行った議論に疑いをもったが、上記の 10 を掛ける証明を反対の方向へ用いてみようとした。すると、x = ...999 ならば 10x = ...990 であるから、10x = x − 9 であり、再び x = −1 となる。
最後の拡張として、0.999... = 1(実数における等式)と ...999 = −1(10進数における等式)であるから、「盲目的に記号を偽弄することを恥じなければ (by blind faith and unabashed juggling of symbols)」2つの等式の両辺を加えて ...999.999... = 0 を得る。この等式はもはや 10-進数としても通常の小数展開としても意味をもたないが、よく知られた体系、すなわち実数を表現するために、左方への循環も許す「二重十進」(double-decimals) の理論を誰かが開発すれば、一転してこの等式も意味をもち正しくなる。
数学において"0.999..."は、小数点の後に無限に"9"が続く循環十進小数である。