直角三角形
直角三角形の3辺の長さになる3整数の組をピタゴラス数という。ピタゴラス数は (ka, kb, kc) (a + b = c, (a, b, c) はどの2つも互いに素、k は自然数) の形になり、下の式で表される:
a = k ⋅ ( m 2 − n 2 ) , b = k ⋅ ( 2 m n ) , c = k ⋅ ( m 2 + n 2 ) {\displaystyle a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})}
(a, b は順不同)
ここで m, n は自然数で
m, n は互いに素
m > n
m と n の奇偶は異なる(一方が奇数で他方が偶数)
を満たす。
自然数 m, n が上記の3条件を満たせば、重複なく全てのピタゴラス数を導出できる。上記の3条件を満たす自然数 m, n は無数にあるため、(a, b, c) は(つまりピタゴラス数は本質的に)無数にある。
色付きの正方形群で三辺の長さが整数の直角三角形を表した例。正方形の合計数は図中右上のように1つの長方形内に余白なく収まるものとなっている。
三辺の長さが整数となる直角三角形を2つの整数(紫色の長方形の幅と高さ)を基に作成できることを示した図。桃色の三角形の三辺の長さがいずれも整数となっている。
互いに相似となる三辺の長さが整数の直角三角形の生成例。青の長方形の各辺の長さを整数とすれば、その長辺と短辺の和と差で辺が構成される緑の長方形の各辺の長さも整数となり、青と緑の長方形から同様の手順で生成される直角三角形(黄と赤)は互いに相似となる。
明治初期の日本では、直角三角形は「勾股弦の形」と呼ばれていた。この名の起源は漢の『九章算術』「勾股」章にまで遡ることができる。なお、『九章算術』は現代の中国はもちろんのこと、日本の和算にも引き継がれている。また「勾股弦」の語は現在の日本の伝統建築の規矩術でも用いられている。(斜辺を「玄」、隣辺を「勾」、「殳」と表す。)