共円
四角形 ABCD のすべての頂点が共円であるとき、共円四辺形という。共円となるための必要十分条件は ∠ C A D = ∠ C B D {\textstyle \angle CAD=\angle CBD} (円周角の定理の逆)であり、このような条件が満たされるにはその四角形の向かい合う内角が互いに補角となっていることが必要十分である。共円四辺形の辺の長さが隣り合う順に a, b, c, d であり、半周長を s (≔ (a+b+c+d)/2) と書くならば、外接円の半径を
で与えることができる。この式は15世紀のインドの数学者パラメーシュヴァラ(英語版)まで遡れる。 トレミーの定理により、四つの頂点 A, B, C, D がこの順で並ぶ四辺形の、各二頂点間の距離が与えられているとき、その四辺形が共円となる必要十分条件は、対角線の長さの積が二組の対辺の積の和に等しいこと:
である。 ふたつの直線が、一方は線分 AC を含み他方は線分 BD を含んで、点 X で交わるならば、四点 A, B, C, D が共円となるための必要十分条件は
が満たされることである。このとき、交点 X は共有円の内部にあるかもしれないし外部にあるかもしれない。これは方冪の定理である。
↑ Libeskind 2008, p. 21.
↑ Elliott 1902, p. 126.
↑ Isaacs 2009, p. 63.
↑ Yiu 2010.
↑ Pedoe 1997, p. xxii.
↑ Alsina & Nelsen2007.
↑ Hoehn 2000.
↑ Bradley 2007, p. 179.
↑ Byer, Lazebnik & Smeltzer 2010, p. 77.
↑ Zwikker 2005, p. 24.
↑ Hahn 1996, p. 65.
↑ Pedoe 1988, p. 431.
↑ Scott 1999.
初等幾何学における与えられた点の集合が共円(きょうえん、英: concyclic, cocyclic)であるとは、それらの点が全て同一円周上にあることを言う。
明らかに、共円である点とそれらが共有する円の中心との距離はどの点でも同じになる(円の半径に等しい)。平面上の同一直線上にない三点は必ず共円となるが、四点より多くの点では必ずしも共円とならない。