シュタイン多様体
標準的な複素空間 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} はシュタイン多様体である。
C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 内のすべての正則領域はシュタイン多様体である。
シュタイン多様体のすべての閉複素部分多様体もまたシュタイン多様体であることは、容易に示すことが出来る。
シュタイン多様体に対する埋め込み定理は次のものである:複素 n {\displaystyle n} 次元のすべてのシュタイン多様体 X {\displaystyle X} は、双正則固有写像によって C 2 n + 1 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}} に埋め込むことが出来る。
これらの事実よりシュタイン多様体は、(埋め込みが双正則であるために)複素構造が全体空間(英語版)のものと等しい、複素空間の閉複素部分多様体であることが分かる。
複素 1 次元において、シュタインの条件は次のように簡易化できる:ある連結リーマン面がシュタイン多様体であるための必要十分条件は、それがコンパクトでないことである。これはベーンケとシュタインによって、リーマン面に対するルンゲの定理の変形版を利用することで証明された。
すべてのシュタイン多様体 X {\displaystyle X} は正則分離である。すなわち、すべての点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} に対して、 x {\displaystyle x} のある開近傍に制限されたときに局所座標系を形成するような、 X {\displaystyle X} 全体で定義される n {\displaystyle n} 個の正則函数が存在する。
複素次元 n {\displaystyle n} の複素多様体 X {\displaystyle X} は、次の条件を満たすときシュタイン多様体と呼ばれる:
X {\displaystyle X} は正則凸である。すなわち、すべてのコンパクト部分集合 K ⊂ X {\displaystyle K\subset X} に対して、いわゆる正則凸包
K ̄ = { z ∈ X : | f ( z ) | ≤ sup K | f | ∀ f ∈ O ( X ) } , {\displaystyle {\bar {K}}=\{z\in X:|f(z)|\leq \sup _{K}|f|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\},}
もまた X {\displaystyle X} のコンパクト部分集合となる。ここで O ( X ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(X)} は X {\displaystyle X} 上の正則函数の環を表す。
X {\displaystyle X} は正則分離である。すなわち、 x ≠ y {\displaystyle x\neq y} を X {\displaystyle X} 内の二点としたとき、ある正則函数
f ∈ O ( X ) {\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}
で f ( x ) ≠ f ( y ) {\displaystyle f(x)\neq f(y)} を満たすものが存在する。
数学の多変数複素函数論および複素多様体論におけるシュタイン多様体(シュタインたようたい、英: Stein manifold)とは、複素 n 次元ベクトル空間のある複素部分多様体のことを言う。考案者の Karl Stein (1951) の名にちなむ。同様の概念にシュタイン空間(Stein space)があるが、こちらは特異性を持つことも許されている。シュタイン空間は、代数幾何学におけるアフィン多様体、あるいはアフィンスキームと類似の概念である。