見せかけの回帰
見せかけの回帰(みせかけのかいき、英: spurious regression)とは、統計学や計量経済学において、統計的に独立である無関係の二つの時系列変数が最小二乗法による回帰分析において統計的に有意な係数の推定値を取ってしまうという問題である。クライヴ・グレンジャーとポール・ニューボールド(英語版)によって1974年にモンテカルロ法を用いたシミュレーションで発見され、ピーター・フィリップス (統計学者)(英語版)によって1986年に理論的に示された。単位根過程と呼ばれる時系列変数同士の回帰分析によって起こる問題であり、単位根過程は経済データなどで頻繁にみられるため、1980年代以降の計量経済学における時系列分析では常に注意が払われる問題となっている。
ここで W ( t ) , V ( t ) {\displaystyle W(t),\ V(t)} は互いに独立なブラウン運動である。そして帰無仮説 β = 0 {\displaystyle \beta =0} についてのt検定統計量 t β {\displaystyle t_{\beta }} はある確率変数 Z {\displaystyle Z} に対して
t β T → d Z {\displaystyle {\frac {t_{\beta }}{\sqrt {T}}}\ {\xrightarrow {d}}\ Z}
となる。検定統計量 t β {\displaystyle t_{\beta }} を T {\displaystyle {\sqrt {T}}} で割ったものがある確率変数 Z {\displaystyle Z} に分布収束するので、検定統計量そのものはマイナス無限大か無限大に発散する。よって観測個数 T {\displaystyle T} が十分大きければ検定統計量 t β {\displaystyle t_{\beta }} は棄却値を上回ることが予想される。
ここで問題となっているのは真の値 β = 0 {\displaystyle \beta =0} の下で誤差項 ε t {\displaystyle \epsilon _{t}} が非定常過程(単位根過程)となっていることである。
説明変数と被説明変数の差分に対する関係を見る方法もある。つまり、単位根過程 x t , y t {\displaystyle x_{t},\ y_{t}} に対し
y t − y t − 1 = α + β ( x t − x t − 1 ) + ε t {\displaystyle y_{t}-y_{t-1}=\alpha +\beta (x_{t}-x_{t-1})+\epsilon _{t}}
という回帰式で最小二乗法を適用する。ここで x t , y t {\displaystyle x_{t},\ y_{t}} が1次の単位根過程ならば説明変数と被説明変数が共に定常過程となるので通常と全く同じ方法で一致推定や仮説検定なども行える。この簡便さや扱いやすさから差分を取った回帰は多くの研究者によって用いられているが欠点もある。一つが x t , y t {\displaystyle x_{t},\ y_{t}} が単位根過程でない、つまり定常過程の場合である。もしそうならば最小二乗法による推定は誤った結果を導きかねない。もう一つが x t , y t {\displaystyle x_{t},\ y_{t}} に共和分の関係が存在する場合である。この場合も差分を取った回帰では共和分関係を特定する事はできず、間違った結果を導きかねない。