ラグランジアン (場の理論)
この節で試験粒子を取り扱う際、これらの粒子が動く場の方程式を与える。 この方程式は、記述する試験粒子が動く場に関するものであり、これによって場での計算ができるようになる。 以下に示す方程式は場の中の試験粒子の運動方程式を与えるものではないが、 その代わりに、任意の点 ( x , t ) {\displaystyle (\mathbf {x} ,t)} での質量密度、電荷密度その他の物理量が導くポテンシャル(の場)を得ることができる。 例えば、ニュートン重力の場合は、時空上でラグランジアン密度を積分すると、もしこれが解けるようであれば、 Φ ( x , t ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,t)} を得ることができる。 この Φ ( x , t ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,t)} をニュートン重力場の中の試験粒子のラグランジェ方程式(1) へ代入し直すと、 粒子の加速度を計算するのに必要な情報を得ることができる。
これにより、
0 = δ S δ φ = ∫ M ( − ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) ) + ∂ L ∂ φ ) d n x {\displaystyle 0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}\left(-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\right)\mathrm {d} ^{n}x}
である。左辺は φ {\displaystyle \varphi } についての作用の汎関数微分である。
従って、(境界条件により、)オイラー=ラグランジュ方程式
∂ L ∂ φ = ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) ) {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)}
を得る。