クラウジウス・モソッティの関係式
巨視的な誘電分極モーメントP→は、すべての誘起双極子モーメント p → ind {\displaystyle {\vec {p}}_{\text{ind}}} の和を体積で割った値(すなわち双極子密度)である。
P → = N p → ind = N α E → loc {\displaystyle {\vec {P}}=N{\vec {p}}_{\text{ind}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{loc}}}
ここでNは粒子の数密度、αは分極率、E→locは粒子の位置における局所電場強度である。
巨視的な物理量である電気感受率 χ {\displaystyle \chi } および誘電率 ε r {\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {r} }} と誘電分極モーメントとの間には以下のような関係式が成り立つ。
P → = χ ε 0 E → = ( ε r − 1 ) ε 0 E → {\displaystyle {\vec {P}}=\chi \varepsilon _{0}{\vec {E}}=\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}}
これらの式をつなげて、次の式が得られる。
( ε r − 1 ) ε 0 E → = N α E → loc {\displaystyle \left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\vec {E}}_{\text{loc}}}
E → loc = E → + 1 3 ε 0 P → = E → + ( ε r − 1 ) ε 0 3 ε 0 E → = ε r + 2 3 E → {\displaystyle {\vec {E}}_{\text{loc}}={\vec {E}}+{\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {P}}={\vec {E}}+{\frac {\left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {E}}={\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}}
これを前述の式に代入して、以下を得る。
( ε r − 1 ) ε 0 E → = N α ε r + 2 3 E → {\displaystyle \left(\varepsilon _{\mathrm {r} }-1\right)\varepsilon _{0}{\vec {E}}=N\alpha {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}{3}}{\vec {E}}}
移項して整理すると、下式を得る。
ε r − 1 ε r + 2 = N α 3 ε 0 {\displaystyle {\frac {\varepsilon _{\mathrm {r} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {r} }+2}}={\frac {N\alpha }{3\varepsilon _{0}}}}
εrについて解けば以下の式を得る。