リーマン多様体
は M の各点において接ベクトルの基底を与える。この座標系に関して、計量テンソルの成分は、各点 p において、
g i j ( p ) := g p ( ( ∂ ∂ x i ) p , ( ∂ ∂ x j ) p ) . {\displaystyle g_{ij}(p):=g_{p}{\Biggl (}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)_{p},\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)_{p}{\Biggr )}.}
同じことだが、計量テンソルは余接束の双対基底 {dx, ..., dx} のことばで次のように書くことができる。
g = ∑ i , j g i j d x i ⊗ d x j . {\displaystyle g=\sum _{i,j}g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\otimes \mathrm {d} x^{j}.}
この計量が与えられた多様体 (M, g) がリーマン多様体 (Riemannian manifold) である。