Montgomery curve
つまり、与えられた点 P = ( X : Z ) {\displaystyle P=(X:Z)} から、 [ n ] P = ( X n : Z n ) {\displaystyle [n]P=(X_{n}:Z_{n})} を計算できる。
今、2つの点 P n = [ n ] P = ( X n : Z n ) {\displaystyle P_{n}=[n]P=(X_{n}:Z_{n})} と P m = [ m ] P = ( X m : Z m ) {\displaystyle P_{m}=[m]P=(X_{m}:Z_{m})} を考える。それらの和は点 P m + n = P m + P n = ( X m + n : Z m + n ) {\displaystyle P_{m+n}=P_{m}+P_{n}=(X_{m+n}:Z_{m+n})} で表され、その座標は次のように与えられる。
X m + n = Z m − n ( ( X m − Z m ) ( X n + Z n ) + ( X m + Z m ) ( X n − Z n ) ) 2 {\displaystyle X_{m+n}=Z_{m-n}((X_{m}-Z_{m})(X_{n}+Z_{n})+(X_{m}+Z_{m})(X_{n}-Z_{n}))^{2}}
Z m + n = X m − n ( ( X m − Z m ) ( X n + Z n ) − ( X m + Z m ) ( X n − Z n ) ) 2 {\displaystyle Z_{m+n}=X_{m-n}((X_{m}-Z_{m})(X_{n}+Z_{n})-(X_{m}+Z_{m})(X_{n}-Z_{n}))^{2}}