端点
さて上記の端点の定義が通用するのは空間 X がコンパクト集合で尽くされる(英語版)場合に限られる(つまり、X は半コンパクト(英語版)でなければならない)。しかしこれは以下のように一般化することができる。X は任意の位相空間として、X のすべてのコンパクト部分集合とそれらの間の包含写像からなる帰納系 {Kα} を考えれば、これに対応する射影系 {π0(X ∖ Kα)} を π0(Y) が空間 Y の連結成分全体の成す集合とし、各包含写像 Y → Z の誘導する写像 π0(Y) → π0(Z) を考えることで与えられる。このとき X の端点集合はこの射影系の射影極限として定義される。この定義のもとで、端点集合を取る操作は位相空間の圏から集合の圏への函手となる。上で述べたもともとの定義は、この定義においてコンパクト部分集合全体の成す帰納系が共終列(英語版)を持つような特別の場合に当たる。