リー環の指数写像
によって与えられるからだ。
四元数 H において 0 を中心とする単位 3 次元球面 S は 1 での接空間が純虚四元数の空間 { i t + j u + k v : t , u , v ∈ R } {\displaystyle \{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}} と同一視できるリー群(特殊ユニタリ群 SU(2) と同型)である。この基本的な表現におけるこのリー群の指数写像は w = ( i t + j u + k v ) ↦ exp  ( i t + j u + k v ) = cos  ( | w | ) + sin  ( | w | ) w | w | {\displaystyle \mathbf {w} =(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|\mathbf {w} |)+\sin(|\mathbf {w} |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}\,}