階乗進法
階乗進法は複数の底が混在した位取り記数法であり、下からi桁目の仮数が0からi-1、底がiとなる。
ただし、最下位は常に0となるため、省略されることもある。また、下から11桁目以降の桁には10以上の数が入るため、アルファベットが用いられる場合が多い。
以下、この記事中では階乗進法で表記されていることを表すための添字として、"!"を用いることにする。
例えば、323100!は、
323100!
= 3×5! + 2×4! + 3×3! + 1×2! + 0×1! + 0×0!
= ((((3×5 + 2)×4 + 3)×3 + 1)×2 + 0)×1 + 0
= 42810
と変換することができる。
異なる記数法への変換方法は階乗進法においても同様に適用できる。例えば、42810を階乗進法に変換するためには、以下のような操作を行えば良い。
この計算によって出たあまりを下からたどって、42810=323100!
また、階乗進法によって任意の整数を一意の小数として表せることは、以下の式から導かれる。
∑ i = 0 n i ⋅ i ! = ( n + 1 ) ! − 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{i\cdot i!}={(n+1)!}-1}
この恒等式は、数学的帰納法によって容易に証明することができる。