余積
この同型は、右辺に属する任意の射、それは射の族 (fj)j∈J ∈ ∏j∈J Hom(Xj, Y) の形に書ける、を ∐j∈J fj ∈ Hom(∐j∈J Xj, Y) に写す全単射によって与えられる。全射性は図式の可換性から従う: すなわち、任意の射は f = ∐j∈J f ∘ ij の形で掛けるから、これは族 (f ∘ ij)j∈J の余積である。単射性は普遍構成から従う余積の一意性である。同型の自然性もまた図式の結果である。従って反変 Hom-関手は余積を積に変える。別の言い方をすると、逆圏 C から Set への関手として、Hom-関手は連続である。ここに、函手が連続であるとは、それが極限を保存するという意味において言う。C における余積(これは余極限の一種であった)は C における積(これは極限の一種である)となることに注意せよ。
J によって添字付けられた対象の任意の族が C において余積を持つならば、余積をとる操作は一貫したやり方で取り纏めて函手 C → C にすることができる。積の場合と同じく、この関手は共変であることに注意する。
添字集合 J が有限集合のとき、具体的にそれを J = {1, ..., n} と書けば、対象の有限列 X1, ..., Xn の余積はしばしば X1⊕ ⋯ ⊕ Xn などと書かれる。ここで、C において任意の有限余積が存在すると仮定し、また先に述べたように余積を函手とみなし、C の始対象(空余積に対応する)を 0 と書くものとすれば、自然同型