誤差関数
書籍によっては、より一般化した関数を論じている場合もある。
E n ( x ) = n ! π ∫ 0 x e − t n d t = n ! π ∑ p = 0 ∞ ( − 1 ) p x n p + 1 ( n p + 1 ) p ! {\displaystyle E_{n}\left(x\right)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,}
例えば、
E 0 ( x ) {\displaystyle E_{0}\left(x\right)} は原点を通る直線 E 0 ( x ) = x e π {\displaystyle E_{0}\left(x\right)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}} となる。
E 2 ( x ) {\displaystyle E_{2}\left(x\right)} は誤差関数 erf  ( x ) {\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)} である。
n ! {\displaystyle n!} で割ると、奇数の n {\displaystyle n} についての E n {\displaystyle E_{n}} は互いに似たようなものになる(完全に一致する事は無い)。
1 2 W. J. Cody, "Algorithm 715: SPECFUN—A portable FORTRAN package of special function routines and test drivers," ACM Trans. Math. Soft. 19, pp. 22–32 (1993).
↑ M. R. Zaghloul, "On the calculation of the Voigt line profile: a single proper integral with a damped sine integrand," Monthly Notices of the Royal Astronomical Society '375, pp. 1043–1048 (2007).
↑ 項の分母はOEISにある A007680の数列である。
↑ InverseErf functions.wolfram.com
↑ 約分後の分子/分母の係数はOEISの A092676/A132467 と同じで、約分していない分子は A002067 となる。
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