逆ガンマ分布
α > n {\displaystyle \alpha >n} の場合、 n {\displaystyle n} 次のモーメントは
E [ X n ] = β n Γ ( α − n ) Γ ( α ) = β n ( α − n ) ⋯ ( α − 1 ) {\displaystyle E[X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -n)\dotsb (\alpha -1)}}}
である。 期待値と分散はそれぞれ
E [ X ] = β α − 1 ( α > 1 ) , V [ X ] = β 2 ( α − 2 ) ( α − 1 ) 2 ( α > 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}E[X]&={\frac {\beta }{\alpha -1}}&(\alpha >1),\\V[X]&={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&(\alpha >2)\end{aligned}}}
である。