エネルギー保存の法則
d d t ⟨ ψ | H ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ∂ H ^ ∂ t | ψ ⟩ . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right\vert {\hat {H}}\left\vert \psi \right\rangle =\left\langle \psi \right\vert {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial t}}\left\vert \psi \right\rangle .}
外部系との相互作用がない孤立系を考えると、ハミルトニアン H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} にはあらわな時間依存性がないので、エネルギー保存の法則が成り立っている。
∂ H ^ ∂ t = 0 ⇒ d d t ⟨ ψ | H ^ | ψ ⟩ = 0. {\displaystyle {\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial t}}=0~\Rightarrow ~{\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right\vert {\hat {H}}\left\vert \psi \right\rangle =0.}
時間とエネルギーの不確定性関係のために短時間ではエネルギー保存則が破れるという記述もあるが、それは摂動論における自由ハミルトニアン部分の保存則の破れにすぎず、相互作用項まで加えた全エネルギーは常に厳密に保存する(詳しくは不確定性原理のページを参照)。
を用いて、
W ( t 1 , t 2 ) = − ∫ t 1 t 2 d V ( r ( t ) ) d t d t + ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ d r ( t ) = − { V ( r ( t 2 ) ) − V ( r ( t 1 ) ) } + ∫ t 1 t 2 f ( t ) ⋅ d r ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}W(t_{1},t_{2})&=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dV({\boldsymbol {r}}(t))}{dt}}dt+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {f}}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\\&=-\left\{V({\boldsymbol {r}}(t_{2}))-V({\boldsymbol {r}}(t_{1}))\right\}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {f}}(t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\end{aligned}}}
と書ける。
古典力学におけるエネルギー保存の法則は、力学的エネルギー保存の法則と呼ばれる。力学的エネルギーは位置エネルギーと運動エネルギーに分類され、それらの和が一定であることをいう。
任意の異なる二つの状態について、それらのエネルギー総量の差がゼロであることをいう。
例えば、取り得る状態が全て分かっているとして、全部で 3 つの状態があったとき、それらの状態のエネルギーを A, B, C と表す。
エネルギー保存の法則が成り立つことは、それらの差について、
A − B = 0, B − C = 0, C − A = 0
が成り立っていることをいう。
時間が導入されている場合には、任意の時刻でエネルギー総量の時間変化量がゼロであることをいい、時間微分を用いて表現される。
エネルギー保存の法則は、物理学の様々な分野で扱われる。特に、熱力学におけるエネルギー保存の法則は熱力学第一法則 (英: first law of thermodynamics) と呼ばれ、熱力学の基本的な法則となっている。
熱力学第一法則は、熱力学において基本的な要請として認められるものであり、あるいは熱力学理論を構築する上で成立すべき定理の一つである。第一法則の成立を前提とする根拠は、一連の実験や観測事実のみに基づいており、この意味で第一法則はいわゆる経験則であるといえる。
一方でニュートン力学や量子力学など一般の力学において、エネルギー保存の法則は必ずしも前提とされない。