ヘーグナー数
22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}
ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。 d < 19 {\displaystyle d<19} のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、 d = 19 {\displaystyle d=19} さえ注目に値しない。整数の j-不変量は細かく因数分解可能であるが、これは 12 3 ( n 2 − 1 ) 3 = ( 2 2 ⋅ 3 ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ( n + 1 ) ) 3 {\displaystyle 12^{3}(n^{2}-1)^{3}=(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1))^{3}} ということに従う。素因数は以下のとおりである。
1987年、チュドノフスキー兄弟(英語版)は以下の式を発見した。
1 π = 12 640 320 3 / 2 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 163 ⋅ 3 344 418 k + 13 591 409 ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( − 640 320 ) 3 k {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}}}
これは、 j ( 1 + − 163 2 ) = − 640 320 3 {\displaystyle j\left({\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}} という事実を用いている。同様の式については、ラマヌジャン・佐藤級数(英語版)を参照せよ。
整数 n = 3 , 9 , 21 , 231 {\displaystyle n=3,9,21,231} の再出現と、以下の事実に注意せよ。
2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 96 / 24 ) 2 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 19 ) = 96 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 960 / 24 ) 2 + 7 2 ⋅ 3 ⋅ 43 ) = 960 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 5 280 / 24 ) 2 + 31 2 ⋅ 3 ⋅ 67 ) = 5 280 2 2 6 ⋅ 3 ( − ( 1 − 640 320 / 24 ) 2 + 2413 2 ⋅ 3 ⋅ 163 ) = 640 320 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-(1-96/24)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19)=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-960/24)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43)=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-5\,280/24)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67)=5\,280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-640\,320/24)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163)=640\,320^{2}\end{aligned}}}
000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}
ここで、x はそれぞれ六次式の適切な根によって与えられる。
5 x 6 − 96 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 960 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 5 280 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 5 x 6 − 640 320 x 5 − 10 x 3 + 1 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5\,280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}}
ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体 Q ( 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})} の上で2つの三次式に因数分解される(最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる)ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、 τ = ( 1 + − 163 ) / 2 {\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {-163}})/2} とすると、