コーシー・ビネの公式
m > 3 の場合、右辺は常に0である。
記法
A ( i 1 ⋯ i l j 1 ⋯ j l ) ≡ | a i 1 , j 1 ⋯ a i 1 , j l ⋮ ⋱ ⋮ a i l , j 1 ⋯ a i l , j l | {\displaystyle A{\begin{pmatrix}i_{1}&\cdots &i_{l}\\j_{1}&\cdots &j_{l}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{vmatrix}a_{i_{1},j_{1}}&\cdots &a_{i_{1},j_{l}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{l},j_{1}}&\cdots &a_{i_{l},j_{l}}\end{vmatrix}}}
を使えば
となる。ただし、右辺の総和は、1 ≤ k1 < ... < km ≤ n を満たす整数の組 (k1, k2, ..., km) の全てに対して和を取るとする。なお、m > n の場合は右辺は 0 である。
δ j 1 ⋯ j m i 1 ⋯ i m ≡ | δ j 1 i 1 ⋯ δ j m i 1 ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 i m ⋯ δ j m i m | {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{m}}&\equiv {\begin{vmatrix}\delta _{j_{1}}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{i_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{i_{m}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}
を使えば、
が得られる。逆にこの式からコーシー・ビネの公式を導くこともできる。
これは単位行列の基本的性質
δ j i = ∑ k = 1 n δ k i δ j k ( i ∈ [ n ] , j ∈ [ n ] ) {\displaystyle \delta _{j}^{i}=\sum _{k=1}^{n}\delta _{k}^{i}\delta _{j}^{k}\quad (i\in [n],j\in [n])}
の一般化である。