外積代数
u ∧ v = ( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) ( e 1 ∧ e 2 ) + ( u 1 v 3 − u 3 v 1 ) ( e 1 ∧ e 3 ) + ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) ( e 2 ∧ e 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}\\&\quad =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge {\boldsymbol {e}}_{2})+(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})({\boldsymbol {e}}_{1}\wedge {\boldsymbol {e}}_{3})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})({\boldsymbol {e}}_{2}\wedge {\boldsymbol {e}}_{3})\end{aligned}}}
と書くことができる。これは 3-次元における空間ベクトルの通常のクロス積の定義とよく似ている(通常のクロス積に落とすには後述のホッジの ∗ を用いればよい)。さらに 3 つ目のベクトルを
w = w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 {\displaystyle {\boldsymbol {w}}=w_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+w_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+w_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}
とすれば、1-次元ベクトル空間 ⋀(R) の基底 e1 ∧ e2 ∧ e3 に関して、これら 3 つのベクトルの楔積は