アトキンソン・スティグリッツの定理
ここに二つの集団があるとする。グループ1とグループ2とする。後者が能力的弱者とする。その場合政府が税制度のパレート最適性を達成するために、 まずグループ2の効用が所与の水準もしくはそれより大であるという条件を課す。
U ̄ 1 ≤ V 1 ( C 1 , Y 1 ) {\displaystyle {\overline {U}}_{1}\leq V_{1}(C_{1},Y_{1})\quad }
さらに政府は税収の最大値を設定し、税収がその最大税収と等しいかそれよりも多くなるような条件を課す。
R = − ( C 1 − Y 1 ) N 1 − ( C 2 − Y 2 ) N 2 {\displaystyle R=-(C_{1}-Y_{1})N_{1}-(C_{2}-Y_{2})N_{2}\;}
R ̄ ≤ R {\displaystyle {\overline {R}}\leq R\;}
これらの条件の下で政府はグループ1の効用を最小化する必要がある。
最適値を調べるための基本関数の形式は以下のように与えられ、
L = V 2 ( C 2 , Y 2 ) + μ V 1 ( C 1 , Y 1 ) + λ 2 ( V 2 ( C 2 , Y 2 ) − V 2 ( C 1 , Y 1 ) ) + λ 1 ( V 1 ( C 1 , Y 1 ) − V 1 ( C 2 , Y 2 ) ) + γ ( − ( C 1 − Y 1 ) N 1 − ( C 2 − Y 2 ) N 2 − R ̄ ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}=V_{2}(C_{2},Y_{2})+\mu V_{1}(C_{1},Y_{1})+\lambda _{2}(V_{2}(C_{2},Y_{2})-V_{2}(C_{1},Y_{1}))+\lambda _{1}(V_{1}(C_{1},Y_{1})-V_{1}(C_{2},Y_{2}))+\gamma \left(-(C_{1}-Y_{1})N_{1}-(C_{2}-Y_{2})N_{2}-{\overline {R}}\right)\;,}
( i = 1 , 2 ) {\displaystyle (i=1,2)} となり政府は一括徴税できる。
λ 1 = 0 {\displaystyle \lambda _{1}=0} かつ λ 2 > 0 {\displaystyle \lambda _{2}>0} となるケースでは、
∂ V 2 / ∂ Y 2 ∂ V 2 / ∂ C 2 + 1 = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial V_{2}/\partial Y_{2}}{\partial V_{2}/\partial C_{2}}}+1=0\;,}
グループ2への限界税率はゼロとなる。グループ1に関しては、
∂ V 1 / ∂ Y 2 ∂ V 1 / ∂ C 1 = − 1 − λ 2 ( ∂ V 2 / ∂ Y 1 ) / N 1 γ 1 + λ 2 ( ∂ V 2 / ∂ C 1 ) / N 1 γ {\displaystyle {\frac {\partial V_{1}/\partial Y_{2}}{\partial V_{1}/\partial C_{1}}}=-{\frac {1-\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial Y_{1})/N_{1}\gamma }{1+\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial C_{1})/N_{1}\gamma }}\;}