フリードマン方程式
u μ {\displaystyle u_{\mu }} は観測者の4元速度ベクトル(共動座標系ならば u μ = ( c , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle u_{\mu }=(c,0,0,0)} )である。
以上の仮定のもとに、宇宙項(宇宙定数 Λ {\displaystyle \Lambda } )を持つアインシュタイン方程式を書き下すと、次のフリードマン方程式が得られる。
( a ̇ a ) 2 + k c 2 a 2 − Λ c 2 3 = 8 π G 3 ρ {\displaystyle \left({\frac {\,{\dot {a}}\,}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho }
2 a ̈ a + ( a ̇ a ) 2 + k c 2 a 2 − Λ c 2 = − 8 π G c 2 P {\displaystyle 2{\frac {\,{\ddot {a}}\,}{a}}+\left({\frac {\,{\dot {a}}\,}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}P}
第2式はエネルギー・運動量保存則を仮定すれば、第1式より導出されるので、実質的に宇宙のダイナミクス(力学的ふるまい)は第1式で与えられる。