算術幾何平均
a , b {\displaystyle a,\ b} が正の実数である場合、
a n + 1 = a n + b n 2 ≥ a n ⋅ b n = b n + 1 {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\geq {\sqrt {a_{n}\cdot b_{n}}}=b_{n+1}}
が成り立ち(相加・相乗平均の関係式)、
a n ≥ a n + 1 , {\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1},} b n + 1 ≥ b n {\displaystyle b_{n+1}\geq b_{n}}
となることから
a 0 ≥ a 1 ≥ a 2 ≥ ⋯ ≥ b 2 ≥ b 1 ≥ b 0 {\displaystyle a_{0}\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq b_{2}\geq b_{1}\geq b_{0}}
という関係が成り立っている。{an} は下に有界な単調減少数列であり、{bn} は上に有界な単調増加数列であるので、それぞれが収束する。{an} の極限を α とし、{bn} の極限を β とすると定義の漸化式から
α = α + β 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {\alpha +\beta }{2}}} β = α β {\displaystyle \beta ={\sqrt {\alpha \beta }}}
が両立しなければならない。2 式とも整理すれば α = β となるので、2 つの数列 {an}, {bn} は n → ∞ とした極限で同じ値に収束することが確かめられる。
である。つまり、算術調和平均は a , b {\displaystyle a,\ b} の幾何平均に等しい。このことは
a n + 1 b n + 1 = a n + b n 2 ⋅ 2 a n b n a n + b n = a n b n {\displaystyle a_{n+1}b_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\cdot {\frac {2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}}=a_{n}b_{n}} AHM  ( a , b ) = lim n → ∞ a n b n = a b {\displaystyle \operatorname {AHM} (a,b)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt {a_{n}b_{n}}}={\sqrt {ab}}}
から明らかである。