ヒルベルト立方体
コンパクトハウスドルフ空間の直積として、ヒルベルト立方体はそれ自身コンパクトハウスドルフである。このことはチコノフの定理によって分かる。 ヒルベルト立方体のコンパクト性は選択公理なしで、カントール空間からヒルベルト空間の上への連続写像を構成することによっても証明できる。
l 2 {\displaystyle \ell _{2}} において、いかなる点もコンパクト近傍を持たない(つまり l 2 {\displaystyle \ell _{2}} は局所コンパクトでない)。いかなる l 2 {\displaystyle \ell _{2}} のコンパクト部分集合も有限次元であることが期待されるかもしれないが、ヒルベルト立方体はその反例を与える。しかしながら、ヒルベルト立方体は、そのいかなる点の近傍でもない。その辺は各次元においてどんどん小さくなるからである。