フェリックス・クライン
この特徴付けの最も大きな意味はいままで雑多に創り出されてきた数々の幾何学が分類しなおされたことである。
彼のプログラムに従わなかったものとしてリーマン幾何学がある。この幾何学では空間の普遍性を仮定していないため一般に可能な変換は恒等変換だけになってしまう。この不備はクラインの後に修正された。この幾何学の分類という問題は彼の教え子であったヒルベルトの公理系による幾何学を含めた数学の諸分野の体系付けという新たな道にも影響を与えることになる。
クラインはカール・フリードリヒ・ガウスやベルンハルト・リーマンの創始した多様体論にも大きな功績を残している。彼は微分幾何学の分野では多様体に持たせる幾何構造は剛体変換を可能にすることができる自然なものにすべきだとし(これは前述のエアランゲン・プログラムで扱うことができる「幾何学」である)、2次元多様体は全て3種類の自然な幾何構造を持つと信じた。クラインは正しさを確信していたが、結局証明はできなかった。これの完全な証明は1907年にポアンカレとパウル・ケーベによってそれぞれ独立になされ、一意化定理と呼ばれている。これは幾何化予想などその後の幾何構造の研究に大きな影響を与えた。また1882年の著書「代数関数とその積分に関するリーマンの理論」にて複素関数を幾何学へと応用し、複素多様体論を開拓した。
さらに位相幾何学の分野では向き付け不可能な閉曲面を初めて発見した。この多様体はクラインの壺といわれている。なお「クライン」にはドイツ語で「小さい」という意味があることからクラインの壺のことを「小さい壺」と書いた本がしばしば見受けられる。これはトポロジーでは大きさを考えないことに掛けたジョークである。
『独逸ニ於ケル数学教育 ふぇりっくす・くらいん講演』林鶴一・武辺松衛訳、大日本図書、1921年。
『高い立場からみた初等数学』 第1、遠山啓監訳、商工出版社〈数学選書〉、1959年。
『高い立場からみた初等数学』 第2、遠山啓監訳、商工出版社〈数学選書〉、1960年。
『高い立場からみた初等数学』 第3、遠山啓監訳、商工出版社〈数学選書〉、1961年。
『高い立場からみた初等数学』 第4、遠山啓監訳、東京図書〈数学選書〉、1961年。
『幾何学の基礎/エルランゲン・プログラム』ヒルベルト との共著、寺阪英孝・大西正男訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜 7〉、1970年。ISBN 4-320-01160-0。
『数学教育改革論』ペリー との共著、丸山哲郎訳、明治図書出版〈世界教育学選集 70〉、1972年。
『クライン:19世紀の数学』石井省吾・渡辺弘訳、共立出版、1995年9月。ISBN 4-320-01493-6。
『正20面体と5次方程式』関口次郎訳、シュプリンガー・フェアラーク東京〈シュプリンガー数学クラシックス〉、1997年4月。ISBN 4-431-70692-5。 『正20面体と5次方程式』関口次郎・前田博信訳(改訂新版)、シュプリンガー・フェアラーク東京〈シュプリンガー数学クラシックス 第5巻〉、2005年10月。ISBN 4-431-71118-X。