バナッハ＝アラオグルの定理
| α n m ( x ) − α n l ( x ) | ≤ | α n m ( x ) − α n m ( x i ) | + | α n m ( x i ) − α n l ( x i ) | + | α n l ( x i ) − α n l ( x ) | ≤ ‖ α n m ‖ V ∗ ‖ x i − x ‖ V + | α n m ( x i ) − α n l ( x i ) | + ‖ α n l ‖ V ∗ ‖ x i − x ‖ V ≤ | α n m ( x i ) − α n l ( x i ) | + 2 ε {\displaystyle {\begin{aligned}&|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\\&\leq |\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{m}}(x_{i})|+|\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+|\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\\&\leq \|\alpha _{n_{m}}\|_{V^{*}}\|x_{i}-x\|_{V}+|\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+\|\alpha _{n_{\ell }}\|_{V^{*}}\|x_{i}-x\|_{V}\\&\leq |\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+2\varepsilon \end{aligned}}}
が成立する。最後の不等式は α n m , α n l ∈ B ∗ {\displaystyle \alpha _{n_{m}},\alpha _{n_{\ell }}\in B^{*}} と ‖ x − x i ‖ V ≤ ε {\displaystyle \|x-x_{i}\|_{V}\leq \varepsilon } を用いた。
各固定されたiに対し ( α n m ( x i ) ) m ∈ N {\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x_{i}))_{m\in \mathbb {N} }} は収束列であり、したがってコーシー列であるので、上記の事から、
今、
α n ∈ B ∗ ⇒ ‖ α n ‖ V ∗ ≤ 1 ⇒ | α n ( x i ) | ≤ | x i | {\displaystyle \alpha _{n}\in B^{*}\Rightarrow \|\alpha _{n}\|_{V^{*}}\leq 1\Rightarrow |\alpha _{n}(x_{i})|\leq |x_{i}|}
が成立するので、各iに対し、数列 ( α n ( x i ) ) n ∈ N ⊂ K {\displaystyle (\alpha _{n}(x_{i}))_{n\in \mathbb {N} }\subset K} はK上有界であり、したがって収束部分列を持つ。
よって各iに対して順に ( α n ) n ∈ N {\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }} の部分列を取っていくことで任意のiに対して ( α n m ( x i ) ) m ∈ N {\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x_{i}))_{m\in \mathbb {N} }} がm→∞に関して収束するような ( α n m ) m ∈ N {\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }} を選ぶ事ができる。
次に我々は、 ( x i ) i ∈ N ⊂ V {\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset V} がVで稠密な事を利用して、任意のx ∈ Vに対し ( α n m ( x ) ) m ∈ N {\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }} がコーシー列である事を示す。
と定義すると、直積位相の定義より、*弱位相は写像
μ : V ∗ → K V , α ↦ ( α ( x ) ) x ∈ V {\displaystyle \mu ~\colon ~V^{*}\to K^{V},~~\alpha \mapsto (\alpha (x))_{x\in V}}
を連続にする最弱の位相と一致する。すなわちμは中への同相写像である。したがってVの閉単位球Bのコンパクト性を示すには、μ(B)のコンパクト性を示せば良い。
これを示すため、 K V {\displaystyle K^{V}} はVからKへの(線形とは限らない)写像全体の集合F(V, K)と自然に同一視できるという事実を使う:
K V ≈ F ( V , K ) {\displaystyle K^{V}\approx F(V,K)}
両者が同一視できるのは以下の理由による。 K V {\displaystyle K^{V}} の任意の元 ν = ( ν x ) x ∈ V {\displaystyle \nu =(\nu _{x})_{x\in V}} から(線形とは限らない)写像 x ∈ V ↦ ν x ∈ K {\displaystyle x\in V\mapsto \nu _{x}\in K} を定める事ができ、逆にVからKへの(線形とは限らない)に ζ : V → K {\displaystyle \zeta ~:~V\to K} 対して ( ζ ( x ) ) x ∈ V ∈ K V {\displaystyle (\zeta (x))_{x\in V}\in K^{V}} が対応する。