フィルター (数学)
F を一様空間 X の上のフィルターとするとき、X のどんな近縁 U についても A ∈ F が存在して x, y ∈ A ならば (x, y) ∈ U となっているとき、F はコーシーフィルターだと言われる。X が距離空間の場合には、この条件は
∀ ε > 0 ∃ A ∈ F diam  ( A ) < ε {\displaystyle \forall \epsilon >0\quad \exists A\in F\quad \operatorname {diam} (A)<\epsilon }
と定式化できる。任意のコーシーフィルターが収束しているとき X は完備(英語版)だと言われる。
コーシーフィルター F について、より細かいフィルター G で G → x となっている物があれば、 F → x も成立している。従って、コンパクト空間は一様空間として完備になる。逆に、一様空間は完備で全有界なとき、およびそのときに限りコンパクトになる。
P 上のフィルター F と G について、F ⊆ G ならば G は F より細かい、または F は G より粗いといい、これら二つのフィルターは比較可能だという。二つのフィルターがいつでも比較できるとは限らない。比較可能なほかのどんな真のフィルターよりも細かい真のフィルターは超フィルター (ultrafilter) と呼ばれる。
P の元 p を含むような P 上のフィルターのうちで最も小さいものは単項フィルターと呼ばれ、また p はそのフィルターの生成元と呼ばれる。p によって生成される単項フィルターは具体的には ↑p = { x ∈ P | p ≤ x } として与えられる。
フィルターの双対概念をイデアルという。つまりフィルターの条件における ≤ を ≥ に、∧ を ∨ にそれぞれ取り替えた条件を満たす半順序集合の部分集合をイデアルという。 このイデアルの定義は束上で代数構造におけるイデアルの概念と一致する(束は順序構造とともに代数構造を持つ)(この時、超フィルターの概念は極大イデアルに対応する)。