三次方程式
y = ω k − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + ω 3 − k − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 ( k = 0 , 1 , 2 ) {\displaystyle y=\omega ^{k}{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+\omega ^{3-k}{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}\ (k=0,1,2)}
が解として知られるようになった。
カルダノの方法より、次の因数分解の公式が導かれる:
x + y + z − 3 x y z
= (x + y + z)(x + ω y + ω z)(x + ω y + ω z)
= (x + y + z) (x + y + z − z x − x y − y z)
逆に、この因数分解の公式から、三次方程式を同様に解くことができる。三次方程式
x + p x + q = 0
において、y + z = q, −3 y z = p とおくと、上記の因数分解の公式より
x + p x + q
= (x + y + z)(x + ω y + ω z)(x + ω y + ω z)
この計算はカルダノの方法と同じである。
という二次方程式になり、この解は解の様子を調べた時に定義した記号 ⊿ と ⊿2 によって
Δ 2 ± 3 − 3 Δ 2 {\displaystyle {\frac {\Delta _{2}\pm 3{\sqrt {-3\Delta }}}{2}}}
と書くことができる。
この根号は二次方程式の解の差積 ± ( s 1 3 − s 2 3 ) {\displaystyle \pm \left({s_{1}}^{3}-{s_{2}}^{3}\right)} として得られ、ここに現れる s 1 3 , s 2 3 {\displaystyle {s_{1}}^{3},{s_{2}}^{3}} も、3乗根は元の方程式の根 r 1 , r 2 , r 3 {\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}} と 1の3乗根 ω {\displaystyle \omega } の四則演算で表されている。すなわち三次方程式を解く際に冪乗根を取って出てくる式は、元の方程式の解 r 1 , r 2 , r 3 {\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}} と1の冪乗根の有理式で表現できる。ジョゼフ=ルイ・ラグランジュやヴァンデルモンド(英語: Alexandre-Théophile Vandermonde)は、これこそ三次方程式が代数的に解ける理由であると考えた。
x 2 + y 2 = q x ( q > 0 ) {\displaystyle x^{2}\,+y^{2}\,=qx(q>0)}
において同様に y を消去すれば
p 2 x 2 + x 4 = p 2 q x {\displaystyle p^{2}\,x^{2}\,+x^{4}\,=p^{2}\,qx}
であり、x = 0 以外の交点を求めることは
x 3 + p 2 x = p 2 q {\displaystyle x^{3}\,+p^{2}\,x=p^{2}\,q}
という三次方程式の実数解を与えるのと同じである。
一般に、
a3 x + a2 x + a1 x + a0 = 0 (a3 ≠ 0)
という三次方程式は
x 2 = p y ( p > 0 ) {\displaystyle x^{2}\,=py(p>0)}
a3 p y + a2 p x y + a1 x + a0 x = 0 (a3 ≠ 0)
というように、放物線と、もう 1 つの円錐曲線の組み合わせでも書けるし
x 2 = p y {\displaystyle x^{2}\,=py}
( a 3 x + a 2 ) p y + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle (a_{3}x+a_{2})py+a_{1}x+a_{0}=0}
のように、放物線と双曲線の交点としても表すことができる。
三次方程式(さんじほうていしき、英: cubic equation)とは、次数が 3 である代数方程式のことである。本項目では主に、実数を係数とする一変数の三次方程式を扱う。