ナビエ–ストークス方程式
流体の質量と運動量の保存則を表す連続の方程式
∂ ρ ∂ t + div  ( ρ v ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\boldsymbol {v}})=0}
∂ ( ρ v ) ∂ t + div  ( ρ v v ) = div  σ + ρ g {\displaystyle {\frac {\partial (\rho {\boldsymbol {v}})}{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho {\boldsymbol {v}}{\boldsymbol {v}})=\operatorname {div} {\boldsymbol {\sigma }}+\rho {\boldsymbol {g}}}
から、流れの速度場 v のラグランジュ微分は
D v D t = ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v = 1 ρ div  σ + g {\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {v}}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {v}}={\frac {1}{\rho }}\operatorname {div} {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {g}}}
ナビエ–ストークス方程式は複雑過ぎるが故に解を求めることは困難である。このため、いくつかの仮定をして問題を単純化することが多い。しかし単純化された方程式でも解析的な解法は知られておらず、数値的解法が必要であることが多い。
ナビエ–ストークス方程式(ナビエ–ストークスほうていしき、英: Navier–Stokes equations)は、流体の運動を記述する2階非線型偏微分方程式であり、流体力学で用いられる。アンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって導かれた。日本語の文献だとNS方程式とも略される。ニュートン力学における運動の第2法則に相当し、運動量の流れの保存則を表す。
で与えられる。この方程式がナビエ–ストークス方程式である。
速度場のラグランジュ微分の第二項は対流項(移流項)と呼ばれる。対流項はベクトル解析の公式により
( v ⋅ ∇ ) v = grad  ( 1 2 v 2 ) − v × ω {\displaystyle ({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {v}}=\operatorname {grad} \left({\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}\right)-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}}
と変形することができる。ここで ω は速度場の回転
ω = rot  v {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}}
であり、渦度と呼ばれる。