ダルブー導関数
本節の目標はωをダルブー導関数に持つ関数が存在する条件を記述する事である。
そのための準備として、まず「発展」という概念と「モノドロミー」という概念を定義する。
ω f | P := L f ( P ) − 1 ∗ ( f ∗ ( v P ) ) {\displaystyle \omega _{f}|_{P}:=L_{f(P)^{-1}}{}_{*}(f_{*}(v_{P}))}
がfのダルブー導関数である。この事実とモーレー・カルタン形式の定義を照らし合わせる事で、ダルブー導関数を以下のように定式化できる事がわかる:
定義 (ダルブー導関数) ― f : M → G {\displaystyle f~:~M\to G} の(左)ダルブー導関数(英: (left) Darboux derivative)とはM上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -値1-形式
ω f := f ∗ ( ω G ) {\displaystyle \omega _{f}:=f^{*}(\omega ^{G})}
の事である。
モーレー・カルタン形式が構造方程式を満たすことから、以下が成立する事がわかる:
定理 ― ダルブー導関数は以下を満たす:
d ω f + 1 2 [ ω f , ω f ] = 0 {\displaystyle d\omega _{f}+{1 \over 2}[\omega _{f},\omega _{f}]=0}