絶対収束
よって関数 f {\displaystyle f} は可積分ではないが絶対可積分である。
標準的な結果としては、f がリーマン可積分(またはルベーグ可積分)なら |f| も同様である、といえる。
一方で、関数fがヘンストック・カーツヴァイル積分 (Henstock–Kurzweil integra)またはゲージ積分可能であったとしても、|f|がそうであるとは限らない。これは広義リーマン可積分関数の例を含んでいる。 同じ様に A が長さ無限の区間であるとき、絶対可積分でないような広義リーマン可積分関数が存在することはよく知られている。
実際のところ、任意の級数 ∑ n = 0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} が与えられたとき、 f a ( [ n , n + 1 ) ) = a n {\textstyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}} で定義される階段関数 f a : [ 0 , ∞ ) → R {\textstyle f_{a}\colon [0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} } を考えることが出来る。このとき、 ∫ 0 ∞ f a d x {\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}dx} は、対応する ∑ n = 0 ∞ a n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} の収束性に応じて絶対収束、条件収束、あるいは発散する。
実または複素数を項とする二つの収束級数 ∑ n = 1 ∞ a n , ∑ n = 1 ∞ b n {\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},\quad \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} のコーシー積とは、各級数の係数列の畳み込み c n = ∑ k = 1 n a k b n − k {\textstyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k}} を項として定まる級数 ∑cn である。これは少なくともどちらか一方が絶対収束するならば、各級数の収束値の積に収束する。
実数値または複素数値関数の、A ⊂ R (or C) における定積分 ∫ A f ( x ) d x {\textstyle \int _{A}f(x)\,dx} は、 ∫ A | f ( x ) | d x < ∞ {\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty } となるとき「絶対収束する」と言う。またこのとき f は絶対可積分と言う。
A = [ a , b ] {\textstyle A=[a,b]} を有界閉区間とすると、A 上のすべての連続関数は可積分であり、f が連続ならば|f|も連続だから、有界閉区間上のすべての連続関数は絶対可積分である。
しかし、 [ a , b ] {\textstyle [a,b]} 上の絶対可積分関数は可積分である、ということは一般にはいえない。それは次のような例を考えればわかる: S ⊂ [ a , b ] {\textstyle S\subset [a,b]} はルベーグの意味で非可測な部分集合とし、 χ S {\textstyle \chi _{S}} を S の定義関数とする。すると f := χ S − 1 2 {\textstyle f:=\chi _{S}-{\frac {1}{2}}} はルベーグ可測ではないが、 | f | {\displaystyle |f|} は定数関数 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} に一致して可積分関数である。