モジュラー群
群 GL(2, Z) は、標準格子 Z を保存する線形写像であり、SL(2, Z) はこの格子の向きを保存する写像である。これらは、(SL 写像は向きを保存する)トーラスの半同相(英語版)(self-homeomorphism)となり、実際、トーラスの(拡張された)写像類群(英語版)(mapping class group)に同型な写像は、トーラスのすべての半同相写像は、この形の写像と等方的(isotopic)となる。GL(2, Z) の元としての代数的性質はトーラスの誘導写像の力学と対応する。
この領域をモジュラー群の各々の元で変換すると、合同双曲三角形により双曲平面のタイリングが作られる。そのような三角形は無限点か、または実軸 Im(x) = 0 上のどちらかに一つの頂点を持つことに注意する。このタイリングはポアンカレ円板の拡張であり、そこではすべての双曲三角形が円板の境界に一つの頂点を持つ。ポアンカレ円板のタイリングは、モジュラー群の下に不変であるJ-不変量により自然な方法で与えられ、すべての複素数にこれらの領域の各々の三角形の中のひとつの点が与えられる。
このタイリングは、各々の領域を半分づつに分割(黒色と白色と塗り分けて)し、反対の向きを加えることで、少し改善することができる。(x, y) ↦ (−x, y) と変換し、領域 R (Re(z) ≥ 0) の右半分をとることは、通常のタイリングをとることである。まず、このタイリングは(Klein & 1878/79a),で提示され、このことはリヒャルト・デデキント(Richard Dedekind)による(Dedekind 1877) を参照した。
(モジュラー群から三角形群への)写像 (2, 3, ∞) → (2, 3, n) の群は、このタイリングのことばで(モジュラー曲線のタイリングである)右図のように可視化することができる。