円分多項式
とおくと、次のことが知られている。
a, b を p と互いに素な整数とし、g を p が a − b を割り切る最小の g とするとき、p が Φn(a, b) の素因数であることは n = gp (e ≥ 0) と書けることと同値である。
a > b を p と互いに素な正の整数とする。Φn(a, b) は Φ6(2, 1) = 3, Φ1(a, a − 1) = 1, Φ2(a, b) = a + b(最後の場合において、a, b は奇数で a + b は2の冪)となる場合を除いて、必ず n を法として 1 と合同である素因数を持つ。 なお、この場合には、そのような素因数を p とし、n = gp (e ≥ 0) とおくと、p > n より e = 0, すなわち g = n でなければならない。すなわち、n は p が a − b を割り切る最小の n である。この結果はさらに一般化される(リュカ数列を参照)。