多価関数
ここで tan(x) の定義域をたとえば −π/2 < x < π/2 とする、つまり arctan(x) で −π/2 < arctan(x) < π/2 とすることによって、arctan を一価の関数とすることができる。この範囲を限定された定義域での関数値を主値とよぶ。
ガウス関数, 床関数, 天井関数の逆関数は、整数を定義域とする無限多価関数である。
上記はすべて、単射でない関数の逆関数としての例である。つまり入力値が元の関数の写像によって移されて出力となるときに、入力に関する情報の一部が欠落してしまうために、出力から入力を再現できないのである。この場合、多価関数は元の関数の部分関数の逆関数(英語版)であると言える。
複素数関数の多価関数は、分岐とよばれる点を持つ。たとえば n 次の平方根あるいは対数関数では、0 が分岐である。逆正接関数 (arctan) では実部が 0 で虚部が i または −i の点が分岐である。つまり分岐とは、その点を挟んで一方の領域では一価、他方の領域では多価になるという点である。したがって分岐における範囲制約をすることで、これらの多価関数を一価の関数として定義し直すことができる。二つの分岐を結ぶ曲線のうち適切なものを一つ、分枝切断(英語版)として選ぶことで、その制約を行う区間も決まる。これは複数のリーマン面から一つの面だけを選ぶことである。実数関数の場合に、範囲を制約して定められた関数値を主値とよぶ。