ビネ・コーシーの恒等式
( a i , b i , c i , d i ∈ K ( i = 1 , ⋯ , n ) ) {\displaystyle (a_{i},b_{i},c_{i},d_{i}\in \mathbb {K} \ (i=1,\cdots ,n))}
のことである。ここで、 K {\displaystyle \mathbb {K} } は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。
ci = ai かつ di = bi とすれば、実数に対するラグランジュの恒等式(英語版)が得られる。これはユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} におけるコーシー=シュワルツの不等式を強化したものである。
n = 3, K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } のとき
( ∑ i = 1 n a i c i ) ( ∑ j = 1 n b j d j ) − ( ∑ i = 1 n a i d i ) ( ∑ j = 1 n b j c j ) = ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) ( c 1 d 2 − c 2 d 1 ) + ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) ( c 2 d 3 − c 3 d 2 ) + ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) ( c 1 d 3 − c 3 d 1 ) ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) = ( a × b ) 3 ( c × d ) 3 + ( a × b ) 1 ( c × d ) 1 + ( a × b ) 2 ( c × d ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)&=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})(c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1})\\&+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})(c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2})\\&+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})(c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1})\\({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})&=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{3}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{3}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{1}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{1}\\&+({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{2}({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})_{2}\end{aligned}}}