零環
零環は加法の単位元 0 と乗法の単位元 1 が一致する唯一の環である。(証明:環 R において 1 = 0 であれば、R のすべての元 r に対して r = 1r = 0r = 0 である。)
零環は可換環である。
零環の元 0 は単元であり、その乗法に関する逆元は自分自身である。
零環の単数群は自明群 {0} である。
零環の元 0 は零因子ではない。
零環の唯一のイデアルは零イデアル {0} であり、これは単位イデアルでもあり、環全体に等しい。このイデアルは極大イデアルでも素イデアルでもない。
零環は自明な体と呼ばれることもあるが、通常は体や整域に含めない。(数学者が「一元体」と言うときには、存在しない対象に言及しているのであり、彼らの意図は、もしこの対象が存在すればその上のスキームの圏となるであろう圏を定義する事である。)
任意の環 A に対して、A から零環への環準同型がただ1つ存在する。したがって零環は環の圏における終対象である。
A が零環でなければ、零環から A への環準同型は存在しない。とくに、零環は零環でないどんな環の部分環でもない。
零環の標数は 1 である。
零環上の唯一の加群は零加群である。これは任意の基数 א に対しランク א の自由加群である。
零環は局所環ではない。しかしながら、半局所環ではある。
零環のスペクトルは空概型である。
零環は半単純だが単純ではない。
零環はどんな体上の中心的単純環でもない。
零環の全商環はそれ自身である。