完全数
2Mp が完全数であることの証明:
Mp = 2 − 1 は奇数になるから、2 と Mp は互いに素になる。
よって、σ(n) を約数関数とすると、約数関数は乗法的なので、N = 2Mp の約数の総和 σ(N) は、
σ ( N ) = σ ( 2 p − 1 ) σ ( M p ) . {\displaystyle \sigma (N)=\sigma (2^{p-1})\sigma (M_{p}).}
このとき、
σ ( 2 p − 1 ) = ∑ k = 0 p − 1 2 k = 2 p − 1 = M p . {\displaystyle \sigma (2^{p-1})=\sum _{k=0}^{p-1}2^{k}=2^{p}-1=M_{p}.}
Mp は素数なので、
σ ( M p ) = M p + 1 = 2 p . {\displaystyle \sigma (M_{p})=M_{p}+1=2^{p}.}
したがって、
σ ( N ) = M p 2 p = 2 N . {\displaystyle \sigma (N)=M_{p}2^{p}=2N.}
すなわち、N の約数の総和が 2N に等しくなるので、N は完全数である。Q.E.D.
この数列で完全数にならない数の数列は オンライン整数列大辞典の数列 A144858 を参照
n × σ(n) は n = 2 のとき偶数の完全数になる。ただし σ は約数関数である。この数列は
1, 6, 12, 28, 30, 72, 56, 120, 117, 180, 132, 336, 182, 336, 360, 496, 306, 702, 380, 840, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A064987)
偶数の完全数は、1 から連続する正の整数の和で表せる。式で表すと
N = ∑ k = 1 2 p − 1 k ( p ≧ 2 ) {\displaystyle N=\sum _{k=1}^{2^{p}-1}k\quad (p\geqq 2)}
例:6 = 1 + 2 + 3 , 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 , 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ... + 28 + 29 + 30 + 31
言い換えると、N は 2 − 1 番目の三角数である。偶数の三角数の列は