一様空間
定義・定理 (擬距離の集合から定まる一様構造) ― Xを集合とし D {\displaystyle D} をX上定義された擬距離の集合とする。このとき、任意のd ∈ Dに対して
d : X × X → R {\displaystyle d~:~X\times X\to \mathbb {R} }
が(X×Xに直積一様構造を入れた際に)一様連続となる最も小さいX上の一様構造が存在する。 この一様構造を擬距離の集合Dによって定まるX上の一様構造(英: uniformity determined by D)という。
以上で定義された一様構造はより具体的に書き表す事ができる。d ∈ D、 r ∈ R > 0 {\displaystyle r\in \mathbb {R} _{>0}} に対し、
U d , r := { ( x , y ) ∈ X × Y ∣ d ( x , y ) < r } {\displaystyle U_{d,r}:=\{(x,y)\in X\times Y\mid d(x,y)<r\}}
とすると、 S d = { U d , r ∣ r ∈ R > 0 } {\displaystyle {\mathcal {S}}_{d}=\{U_{d,r}\mid r\in \mathbb {R} _{>0}\}} はX上の前一様構造となっている。
一様空間(いちようくうかん、英: uniform space)とは、一様構造という構造を備えた集合である。一様構造は擬距離構造と位相構造の中間の強さを持ち、位相構造だけでは定義できないコーシー列、完備性、一様連続性、一様有界性、全有界性などが定義できる。
また擬距離空間のみならず位相群(とくに位相ベクトル空間)に関しても自然な一様構造が定まる事が知られている為、一様空間の概念は関数解析学において有益である。
位相空間との違いは、位相空間が収束性、すなわち点に「近づく」事を定義可能な概念であるのに対し、一様空間ではある点が別の点に「近い」事が定義できる。しかしこの「近さ」は擬距離構造のように実数値で全順序づけされておらず、近縁と呼ばれる部分集合に属するかどうかで判断する半順序的なものである。
定理 ― S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が前一様構造であれば、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を含む最小の U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が必ず存在する。具体的には以下の通りである:
U = { U ⊂ X × X ∣ {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U\subset X\times X\mid } 有限個の S 1 , ... , S n ⊂ S {\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\subset {\mathcal {S}}} が存在し、 ∩ i S i ⊂ U } {\displaystyle \cap _{i}S_{i}\subset U\}}
前一様構造は以下の定理を満たす:
定理 ―
集合Xから一様空間 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} への写像 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} に対し、 f ∗ : ( x 1 , x 2 ) ∈ X 2 ↦ ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ∈ Y 2 {\displaystyle f_{*}~:~(x_{1},x_{2})\in X^{2}\mapsto (f(x_{1}),f(x_{2}))\in Y^{2}} と定義するとき、 f ∗ − 1 ( V ) {\displaystyle f_{*}{}^{-1}({\mathcal {V}})} は前一様構造である。
なお(位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} がコンパクトであっても) O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を定める一様構造は常に存在するとは限らない。前述のようにそのような一様構造が存在する必要十分条件は ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} が完全正則である事である。しかし ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} がコンパクトな場合は正則ハウスドルフ性を満たせば完全正則である(ウリゾーンの補題(英語版))ので、 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} が正則ハウスドルフかつコンパクトであれば O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を定める一様構造が存在する。
定義 (被覆による一様構造の定義) ― 集合X上の一様構造とは、X上の被覆の集合 U ≠ ∅ {\displaystyle {\mathfrak {U}}\neq \emptyset } で以下の性質を満たすものの事をいい、 U {\displaystyle {\mathfrak {U}}} の元をXの一様被覆(英: uniform cover)という:
任意の A , B ∈ U {\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}\in {\mathfrak {U}}} に対し、ある C ∈ U {\displaystyle {\mathcal {C}}\in {\mathfrak {U}}} で A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 、 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 双方の星型細分になっているものが存在する。
Xの任意の被覆 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} に対し A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の細分で U {\displaystyle {\mathfrak {U}}} の元になっているものがあれば A ∈ U {\displaystyle {\mathcal {A}}\in {\mathfrak {U}}} である。