ケーラー多様体
⋆ {\displaystyle \star } をホッジ作用素とすると、微分可能多様体 X 上でラプラス作用素を次のように定義することができる。 Δ d = d d ∗ + d ∗ d {\displaystyle \Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d} ここに d {\displaystyle d} は外微分形式、 d ∗ = − ( − 1 ) n k ⋆ d ⋆ {\displaystyle d^{*}=-(-1)^{nk}\star d\star } とする。さらに X がケーラーであれば、 d {\displaystyle d} と d ∗ {\displaystyle d^{*}} は次のように分解される。
d = ∂ + ∂ ̄ , d ∗ = ∂ ∗ + ∂ ̄ ∗ {\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*}}
そして、別のラプラス作用素が定義できる。
Δ ∂ ̄ = ∂ ̄ ∂ ̄ ∗ + ∂ ̄ ∗ ∂ ̄ , Δ ∂ = ∂ ∂ ∗ + ∂ ∗ ∂ {\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial }