独立 (確率論)
独立性を満たす場合に成立する定理や、独立性の十分条件の代表例を挙げる。
2つの確率変数 X と Y が互いに独立である場合
関数 f と g に対して、f(X) と g(Y) も独立になる。
積と期待値は可換である。つまり
E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] {\displaystyle E[XY]=E[X]E[Y]}
同時累積分布関数と同時確率密度関数が積に分かれる
F X , Y ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) , f X , Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) {\displaystyle F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y),\quad f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)}
和と分散は可換である。つまり
V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) {\displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)}
次を満たすとき確率変数 X と Y は独立になる。
任意の有界関数 f と g に対して
E [ f ( X ) g ( Y ) ] = E [ f ( X ) ] E [ g ( Y ) ] {\displaystyle E[f(X)g(Y)]=E[f(X)]E[g(Y)]}
特性関数が積に分かれる
E [ exp  ( i ( ξ X + η Y ) ) ] = E [ exp  ( i ξ X ) ] E [ exp  ( i η Y ) ] {\displaystyle E[\exp(i(\xi X+\eta Y))]=E[\exp(i\xi X)]E[\exp(i\eta Y)]}
独立性を判断するには、独立性を仮定した上で対象の振る舞いを調べ、独立性を仮定したことによる矛盾が引き出せるかどうかを確認する必要がある。独立性(あるいは従属性)を判別する手段として分割表を用いた独立性の検定がある。独立性の検定に用いられる手法には例えばカイ二乗検定などがある。独立性の検定によって2つの事象の間の従属性を判断することができるが、独立であるかどうか積極的に決定することは難しい。