群環
位数 3 の巡回群 G = ⟨ g | g = 1 ⟩ を取り、ω = exp(2πi/3) とおく。 このとき
e 1 = 1 3 ( 1 + g + g 2 ) e 2 = 1 3 ( 1 + ω g + ω 2 g 2 ) e 3 = 1 3 ( 1 + ω 2 g + ω g ) {\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&={\tfrac {1}{3}}(1+g+g^{2})\\e_{2}&={\tfrac {1}{3}}(1+\omega g+\omega ^{2}g^{2})\\e_{3}&={\tfrac {1}{3}}(1+\omega ^{2}g+\omega g)\end{aligned}}}
と群環 CG の元を定めると、これらは中心的直交原始冪等元分解 1 = e1 + e2 + e3 を与え、次の直既約分解と同型が得られる。
C G = e 1 C G ⊕ e 2 C G ⊕ e 3 C G ≅ ( C 0 0 0 C 0 0 0 C ) {\displaystyle \mathbb {C} G=e_{1}\mathbb {C} G\oplus e_{2}\mathbb {C} G\oplus e_{3}\mathbb {C} G\cong {\begin{pmatrix}\mathbb {C} &0&0\\0&\mathbb {C} &0\\0&0&\mathbb {C} \end{pmatrix}}}
環 K 上の群環 K[G] を環と見るとき、環 K[G] 上の加群は、群 G 上の加群と呼ばれる。群 G の表現は G-加群の言葉で読みかえることができる。特に
単純 G-加群は G-既約表現のことである。
G の表現空間が K-加群 V1, V2 であるとき、表現の間の準同型は、G-加群 V1, V2 の間の K-線型準同型のことであり、その全体は HomGK(V1, V2) などで表される。
古典的な結果として、もともとは係数環 K が複素数体 C で、群 G が有限群の場合に得られたものだが、そのような条件のもとで群環 K[G] が半単純環となることを示すことができて、それは有限群の表現において深い意味を持つ事実である。より一般に、マシュケの定理と呼ばれる以下の定理が成り立つ:
群環の構造を用いるよい例としてフロベニウス相互律を挙げられる。これは G-加群の誘導表現(英語版)を構成する方法とも理解される。有限群 G の部分群 H と K[H]-加群 W に対して、W から誘導される G-加群とは
V ≃ K [ G ] ⊗ K [ H ] W {\displaystyle V\simeq K[G]\otimes _{K[H]}W}
のことを言う(⊗K[H] は K[H]-加群としてのテンソル積である)。この誘導表現は、H-加群 W の(環 K[H] から K[G] への)係数拡大に対応する。H が G の正規部分群のときは、この誘導表現は H による半直積に同値である。
フロベニウス相互律は、誘導表現の指標に関する内積を計算するための便法を与える。ψ を H の表現 θ としての H-加群 W の指標とし、χ を G の表現 ρ の指標とする。ψ の G への誘導表現の指標を Ind ψ、ρ の H への制限の指標を Res χ とすれば、フロベニウス相互律とは
⟨ Ind H G  ψ ∣ χ ⟩ G = ⟨ ψ ∣ Res H G  χ ⟩ H {\displaystyle \langle \operatorname {Ind} _{H}^{G}\psi \mid \chi \rangle _{G}=\langle \psi \mid \operatorname {Res} _{H}^{G}\chi \rangle _{H}}
なる関係が成り立つことを主張するものである。これはそれぞれの付随する K-多元環準同型の空間の同型 HomG(Ind θ, ρ) ≅ HomH(θ, Res ρ) を構成することで(次元を見れば)示される。