アトラクター
ローレンツが使用したパラメータは (σ, r, b) = (10, 28, 8/3) で、このときに存在するアトラクターはローレンツアトラクターとして有名である。
多くのストレンジアトラクターの形は、自己相似形いわゆるフラクタルの構造となっている。実際、フラクタル構造を持つアトラクターを指してストレンジアトラクターの定義とする考え方もある。ただし、現在ではストレンジアトラクターを考える上ではフラクタル構造よりも初期値鋭敏性の方がより重要といわれる。初期値鋭敏性がストレンジアトラクターの力学的・動的な特徴を表しているのに対し、フラクタル構造がストレンジアトラクターの幾何学的・静的な特徴を表しているといえる。
ストレンジアトラクターのフラクタル構造は、離散力学系であるエノン写像が観察しやすい。エノン写像のパラメータが (a, b) = (1.4, 0.3) のときに、バナナのような形に折れ曲がったアトラクターが存在する。このアトラクターはエノンアトラクターと呼ばれ、全体図からは単純な数本の線から成るように見えるが、アトラクターの一部を拡大していくと自己相似形の無限の線からできていることが分かる。エノンアトラクターの次元は、数値計算でボックスカウント次元(フラクタル次元の一種) 1.26 という値が求められている。
特定のものを除き、ストレンジアトラクターであることの厳密な証明は困難で、ストレンジアトラクターの一般的性質の解明は未だ十分に達成できていない。
いずれにしても、吸引集合にさらに位相的推移性や極小の条件を課す理由は、認定したアトラクターが実は独立したアトラクターの集まりであり、実際にはさらに細かく分けられるような事態を避けたいという動機による。吸引集合の条件だけでは、軌道が最終的にどこに落ち着くのか曖昧だという欠点がある。この点を説明する例として良く出されるのが次の x = (x, y) の2次元ベクトル場である。
x ̇ = x − x 3 {\displaystyle {\dot {x}}=x-x^{3}}
y ̇ = − y {\displaystyle {\dot {y}}=-y}
ここで、上付きの · は時間微分 (d/dt) を意味する。このベクトル場の xy-相平面の (x = [−1, 1], y = 0) という線分状の集合を A とする。A を囲む長方形や楕円のような適当な近傍を取れば、近傍内の点は全て A に収束する。また、A 上の点が A から出ることはない。よって、A は吸引集合である。しかし、y 軸を除く相平面上のほとんど全ての点は、(x, y) = (−1, 0) または (1, 0) のどちらかのみに収束する。この例であれば (x = [−1, 1], y = 0) をアトラクターとは考えたくない、(−1, 0) と (1, 0) にアトラクターが2つあると考えたい、それが位相的推移性をアトラクターの定義に課す動機である。
アトラクターが簡単な形であっても、そのベイスンの形が簡単とは限らない。特に、複数のアトラクターが存在するときには、それらのベイスン同士の境界がフラクタルになることもある。例えば、エノン写像はパラメータ (a, b) = (1.54, 0.15) で3周期アトラクターと5周期アトラクターが共存しているが、それらの2つのベイスンは複雑に入り乱れ、境界はフラクタルになっている。1つのアトラクターに対するベイスンが連結ではなく、バラバラの連結成分に分かれていることがあり、とくに複素力学系ではベイスンが無限個の連結成分から成ることもよくある。このようなとき、通常のベイスン(吸引域、鉢)に対し、アトラクターを含んでいる連結成分を直接吸引域や吸引の直接鉢と呼ぶ。
複素力学系においてフラクタルなベイスン境界が出てくる例として、複素数へ拡張したニュートン法を扱う問題がある。ニュートン法とは関数 f(x) の零点の値を出す数値計算法の一種で、x を複素数 z ∈ C に拡張し、関数を多項式 p(z) としたとき、
z n + 1 = z n − p ( z n ) p ′ ( z n ) {\displaystyle z_{n+1}=z_{n}-{\frac {p(z_{n})}{p^{\prime }(z_{n})}}}
という離散力学系が定義できる。この写像が n → ∞ で収束する値は p(z) の零点であり、力学系的には複素平面上の吸引不動点(点アトラクター)である。