31
(オンライン整数列大辞典の数列 A071568) n + n + 1 の形の3番目の素数である。1つ前は11、次は131。(オンライン整数列大辞典の数列 A095692)
p = 31 のときの 2 − 1 で表される 2 − 1 = 2147483647 は8番目のメルセンヌ素数である。1つ前は19、次は61。 この数はオイラーが1772年に発見した。
31 = 5# + 1 = 2 × 3 × 5 + 1 (ただし p# は p 以下の素数の総乗) 3番目のユークリッド数である。1つ前は7、次は211。(オンライン整数列大辞典の数列 A006862) 3番目の素数階乗素数である。1つ前は7、次は211。(オンライン整数列大辞典の数列 A018239)
31# + 1 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 + 1 = 200,560,490,131 は素数(素数階乗素数)。 p = 31 のときの p# + 1 が素数になる数とみたとき1つ前は11、次は379。(オンライン整数列大辞典の数列 A005234)
31 = 5 + 5 + 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 このように連続した3つ以上の累乗数の和で2通りで表せる自然数は他に8191のみが知られている。この2つに限るかという問題は未解決である(ゴールマハティヒ予想)。