素数の間隔
π ( x + x θ ) − π ( x ) ∼ x θ log  ( x ) as x → ∞ , {\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ as }}x\to \infty ,}
であるような定数θ < 1が存在することを初めて示し、それゆえ十分大きいnに対して
g n < p n θ , {\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },\,}
であることを示した。
ホハイゼルはθで可能な値32999/33000を得た。これはハンス・ハイルブロン(英語版)により249/250と改善され、ニコライ・チュダコフ(英語版)により任意のε > 0に対してθ = 3/4 + εとした。
主な進歩はアルバート・イングハムによる。彼はいくつかの正の定数cに対して
ζ ( 1 / 2 + i t ) = O ( t c ) {\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})\,} であるとき、任意の θ > ( 1 + 4 c ) / ( 2 + 4 c ) {\displaystyle \theta >(1+4c)/(2+4c)} に対して π ( x + x θ ) − π ( x ) ∼ x θ log  ( x ) {\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}}