一様可積分性
二箇条を必要とするような、別の定義は次のようなものである: 確率変数のクラス C {\displaystyle {\mathcal {C}}} が一様可積分であるとは、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} に含まれるすべての X {\displaystyle X} に対して、 E ( | X | ) ⩽ K {\displaystyle \mathrm {E} (|X|)\leqslant K} となるような有限の K {\displaystyle K} が存在する。 すべての ε > 0 {\displaystyle \epsilon >0} に対してある δ > 0 {\displaystyle \delta >0} が存在し、 P ( A ) ⩽ δ {\displaystyle \mathrm {P} (A)\leqslant \delta } となるようなすべての可測な A {\displaystyle A} および、すべての X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} に対して、 E ( | X | : A ) ⩽ ε {\displaystyle \mathrm {E} (|X|:A)\leqslant \epsilon } が成立する。
の二つが成立することを言う。
ダンフォード(英語版)–ペティス(英語版)の定理
確率変数 X n ⊂ L 1 ( μ ) {\displaystyle X_{n}\subset L^{1}(\mu )} のクラスが一様可積分であるための必要十分条件は、それが弱位相において相対コンパクト(英語版)であることである。
ド・ラ・バレ・プーサン(英語版)の定理
族 { X α } α ∈ A {\displaystyle \{X_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }} が一様可積分であるための必要十分条件は、ある非負の増加凸関数 G ( t ) {\displaystyle G(t)} で lim t → ∞ G ( t ) t = ∞ {\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty } および sup α E ( G ( | X α | ) ) < ∞ {\displaystyle \sup _{\alpha }E(G(|X_{\alpha }|))<\infty } を満たすようなものが存在することである。