微分同相写像
1926 年、Tibor Radó は単位円の単位円板への任意の同相写像(あるいは微分同相写像)の調和拡大 (harmonic extension) は開円板上の微分同相写像を生むかどうか問うた。エレガントな証明がすぐ後に ヘルムート・クネーザー (Hellmuth Kneser) によって提出され、全く異なる証明がギュスタヴ・ショケ (Gustave Choquet) によって 1945 年に、明らかに定理が既に知られていたことに気付かずに、発見された。
円の(向きを保つ)微分同相写像群は弧状連結である。これは任意のそのような微分同相写像は f(x+1) = f(x) + 1 を満たす実数全体の微分同相写像 f に持ち上げられることに注意することによってわかる; この空間は凸でありしたがって弧状連結である。
局所はめ込み (local immersion)) と言う。
Remark 6. 可微分全単射は微分同相とは限らない、例えば f(x) = x は R から自身への微分同相ではない、なぜならば微分が 0 において消える(したがって逆関数が 0 において微分可能でない)からである。これは微分同相でない同相写像の例である。
Remark 7. (f が可微分多様体の間の写像であるとき)f が微分同相写像であることは f が同相写像であることよりも強い条件である。微分同相写像に対して f とその逆関数が可微分である必要がある。同相写像に対しては f とその逆関数が連続であることを要求するだけである。したがってすべての微分同相写像は同相写像であるが、逆は間違いである: すべての同相写像が微分同相写像であるわけではない。
さて f : M → N は座標チャートにおいて上の定義を満たすとき微分同相写像 (diffeomorphism) と呼ばれる。より正確には、協調的な座標チャートによって M の任意の被覆を選び、N についても同じことをする。φ と ψ をそれぞれ M と N 上のチャートとし、U を φ の像とし V を ψ の像とする。このとき条件は写像 ψfφ : U → V が(意味を持つときにはいつでも)上の定義の意味で微分同相写像であるというものである。2つの与えられたアトラスのチャート φ, ψ のすべての対に対してそれを確認しなければならないが、一度確認されてしまえば、任意の他の協調的なチャートに対しても正しくなる。再び次元は一致しなければならないことがわかる。
実際、M は σコンパクトであるから、和集合が M であるような Kn のコンパクト部分集合の列が存在する。そして
d ( f , g ) = ∑ n 2 − n d K n ( f , g ) 1 + d K n ( f , g ) {\displaystyle d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}}
と定義する。
弱位相を備えた微分同相写像群は C ベクトル場の空間に局所同相である (Leslie 1967)。M のコンパクト部分集合上、これは M 上のリーマン計量を固定してその計量に対する指数写像(英語版)を用いることによって従う。r が有限で多様体がコンパクトであれば、ベクトル場の空間はバナッハ空間である。さらに、このアトラスの1つのチャートから別のチャートへの変換関数は滑らかであり、微分同相写像群はバナッハ多様体(英語版)になる。r = ∞ あるいは多様体がσコンパクトであれば、ベクトル場の空間はフレシェ空間である。さらに、変換関数は滑らかであり、微分同相写像群はフレシェ多様体(英語版)になる。