微分作用素の表象
P をユークリッド空間 R 上の次数 k の線型微分作用素とすると、P は微分作用素 D を変数とする多項式であり、多重指数の記法を用いれば
P = p ( x , D ) = ∑ | α | ≤ k a α ( x ) D α {\displaystyle P=p(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}
と書くことができる。P の全表象(total symbol)とは、不定元 ξ に関する多項式
p ( x , ξ ) = ∑ | α | ≤ k a α ( x ) ξ α {\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq k}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}
を言う。また最高次表象 (leading symbol) あるいは主表象 (principal symbol) は、全表象 p(x, ξ) の最高次成分
E と F を閉多様体 X 上のベクトル束とし、
P : C ∞ ( E ) → C ∞ ( F ) {\displaystyle P\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}
を k-階の微分作用素とすると、X の局所座標(英語版)において、
P u ( x ) = ∑ | α | = k P α ( x ) ∂ α u ∂ x α + (lower order terms) {\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{(lower order terms)}}}
と書くことができる。ここで、各多重指数 α に対し P(x): E → F は束準同型(英語版)で、指数 α たちに関して対称である。
P の k 次の係数(最高次係数)は、X の余接束の k-次対称冪と E とのテンソル積から F への対称テンソル
σ P : S k ( T ∗ X ) ⊗ E → F {\displaystyle \sigma _{P}\colon S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}