スティーフェル・ホイットニー類
スティンロッド代数(英語版)(Steenrod algebra)上において、(接バンドルのスティーフェル・ホイットニー類として定義された)滑らかな多様体のスティーフェル・ホイットニー類は、 w 2 i {\displaystyle w_{2^{i}}} の形をした類により生成される。特に、吳文俊(Wu Wenjun)の名前に因んだウーの公式
S q i ( w j ) = ∑ t = 0 i ( j + t − i − 1 t ) w i − t w j + t . {\displaystyle Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.}
を満たす。
Vect1(X) をテンソル積作用素の下の群と考えると、スティーフェル・ホイットニー類は同型である。w1: Vect1(X) → H(X; Z/2Z) は同型、つまり、すべての直線束 λ, μ → X に対し、w1(λ ⊗ μ) = w1(λ) + w1(μ) である。
たとえば、H(S; Z/2Z) = Z/2Z であるので、束同型を除き、円上には 2つの直線束しか存在しない、つまり自明直線束と開いたメビウスの帯(すなわち境界を消したメビウスの帯)である。
同じ構成を複素ベクトル束に対して行うと、チャーン類が X 上の複素直線束と H(X; Z) の間の全単射を定義することが示される。何故ならば、対応する分類空間は、P(C), a K(Z/2Z, 2) であるからである。この同型は、位相的なラインバンドルに対し成立し、代数的ベクトルバンドルのチャーン類の単射性への障害は、ヤコビ多様体である。
つまり w ( E ) ∈ H ≤ r a n k E ( X ) {\displaystyle w(E)\in H^{\leq \mathrm {rank} E}(X)} である。
ホイットニー積公式 (Whitney product formula): w ( E ⊕ F ) = w ( E ) ⌣ w ( F ) {\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)} である。つまり、直和のホイットニー類は、和の類のカップ積 (cup product) である。
自然性 (Naturality): 任意の実ベクトルバンドル E → X と写像 f : X ′ → X {\displaystyle f:X'\to X} に対し、w(f*E) = f*w(E) である。ここに f*E は引き戻しバンドル(英語版)(pullback vector bundle)を表す。
これらのクラスの一意性は、たとえば、Husemollerのセクション 17.2 - 17.6 1 や Milnor と Stasheff のセクション 8 に証明されている。存在性にはいくつかの証明があり、様々な種類の構成から導かれ、それらは異なった性格を持っている。