微分方程式系の可積分条件
リーマン幾何学において、正規直交するコフレーム(英語版)(coframe) θ を求める問題を考える。つまり、各点で余接空間の基底を与える 1-形式の組 θ で、 ⟨ θ i , θ j ⟩ = δ i j {\displaystyle \langle \theta ^{i},\theta ^{j}\rangle =\delta ^{ij}} を満たし、かつ閉である (dθ = 0, i=1,2, ..., n) ものを求めたい。ポアンカレの補題により、θ は局所的に多様体上のある関数 x を以て完全形式 dx となり、M の開部分集合と R の開部分集合の間の等長写像(isometry)を与える。このような多様体を局所平坦(locally flat)という。
この問題は、M のコフレームバンドル()(coframe bundle)に関する問題に帰着する。そのような閉コフレームがあったとする。
Θ = ( θ 1 , ... , θ n ) . {\displaystyle \Theta =(\theta ^{1},\dots ,\theta ^{n}).}
別のコフレーム Φ = ( φ 1 , ... , φ n ) {\displaystyle \Phi =(\phi ^{1},\dots ,\phi ^{n})} があったとすると、2つのコフレームは直交変換
Φ = M Θ {\displaystyle \Phi =M\Theta }