子午線弧
ベッセルはまた1837年に上記の S ( φ ) {\displaystyle S(\varphi )} に対しても同じく二項定理の手法で級数展開一般式を得た。括り出された共通係数は a ( 1 − n ) 2 ( 1 + n ) {\displaystyle a(1-n)^{2}(1+n)} だった。
さらに、1880年にフリードリヒ・ロベルト・ヘルメルトが、括り出す共通係数を前節と同じ a 1 + n {\displaystyle {\frac {a}{1+n}}} へ変更し、 n 4 {\displaystyle n^{4}} で打切った近似式を提示した。
S ( φ ) ≈ a 1 + n { ( 1 + n 2 4 + n 4 64 ) φ − 3 2 n ( 1 − n 2 8 ) sin  2 φ + 15 16 n 2 ( 1 − n 2 4 ) sin  4 φ − 35 48 n 3 sin  6 φ + 315 512 n 4 sin  8 φ } {\displaystyle {\begin{aligned}S(\varphi )\approx &\;{\frac {a}{1+n}}\left\{\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}\right)\varphi -{\frac {3}{2}}n\left(1-{\frac {n^{2}}{8}}\right)\sin 2\varphi \right.\\&\ \left.+{\frac {15}{16}}n^{2}\left(1-{\frac {n^{2}}{4}}\right)\sin 4\varphi -{\frac {35}{48}}n^{3}\sin 6\varphi +{\frac {315}{512}}n^{4}\sin 8\varphi \right\}\\\end{aligned}}}
フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルは1825年に更成緯度 β = tan − 1  ( 1 − e 2 tan  φ ) {\displaystyle \beta =\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi \right)} で表した子午線弧長 S ( β ) {\displaystyle S(\beta )} に対して、第三扁平率 n = 1 − 1 − e 2 1 + 1 − e 2 {\displaystyle n={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}} を用い、共通係数として a 1 + n {\displaystyle {\frac {a}{1+n}}} を括り出し微小量として n {\displaystyle n} を用いて二項定理を利用しフーリエ級数展開を行った一般式を得た。その級数係数は n {\displaystyle n} の偶数もしくは奇数冪乗の冪級数となる。
S ( β ) = a 1 + n ∫ 0 β 1 − 2 n cos  2 β + n 2 d β = a 1 + n ( c 0 β + ∑ l = 1 ∞ ( − 1 ) l c l l sin  2 l β ) . c l = ∑ k = 0 ∞ a k a k + l . a k = ( 1 / 2 k ) n k = ( − 1 ) k + 1 ( 2 k − 3 ) ! !