線型近似
数学における線型近似(せんけいきんじ、英: linear approximation)とは、一般の関数を一次関数を用いて(より正確に言えばアフィン写像を用いて)近似することである。
例えば、2回微分可能な一変数関数 f は、テイラーの定理の n = 1 の場合により、
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + R 2 {\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}}
と表せる。R2は剰余項である。線型近似は剰余項を落とした
f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)}
となる。この近似は x が a に十分近い場合に成り立つ。この式の右辺はちょうど元の f のグラフの (a, f(a)) における接線の表式となっており、そのことから、接線近似とも呼ばれる。
f ( x ) ≈ f ( a ) {\displaystyle f(x)\approx f(a)}
をaにおけるfの標準線型近似といい、x=a をセンターという。
線型近似は多変数関数に用いることもでき、この場合は導関数の代わりに関数行列が用いられる。