線型代数群
体 k 上の線型代数群 G は半単純かつ非自明で k 上 G のどんな滑らかな連結正規部分群も自明であるとき、単純 simple (あるいは k-simple)と呼ばれる。(この性質を almost simple と呼ぶ著者もいる。)この用語は抽象群のものとは僅かに異なっており、単純代数群は非自明な中心を持つことがある(ただし中心は必ず有限になる)。例えば、2 以上の整数 n と体 k に関して、k 上の群 SLn は単純で、その中心は 1 の n 乗根の群スキーム μn である。
完全体 k 上の連結線型代数群 G は簡約群 R の滑らかな連結べき単群 U による(一意的な)拡大である:
1 → U → G → R → 1. {\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1.}
U は G のべき単根基 unipotent radical と呼ばれる。もし k の標数がゼロならば、より精密にレビ分解(英語版) Levi decomposition を持つ:k 上の線形代数群 G は簡約群のべき単群による半直積 R ⋉ U である。
標数がゼロである k に関して、これらの理論は本質的には等価である。特に、標数ゼロの体上の簡約群 G が持つ任意の表現は既約表現の直和であり、G が分裂しているならば、既約表現の指標はワイルの指標公式により与えられる。ボレル=ヴェイユの定理は標数ゼロのとき簡約群 G が持つ既約表現の幾何学的構成を旗多様体 G/B 上の直線束の切断の空間として与える。
正標数 p の体上における(トーラスでない)簡約群の表現論はよく理解されているわけではない。この状況では、表現が既約表現の直和であるとは限らない。さらに、既約表現は支配的ウェイトで径数付けられるものの、その次元や指標は限られた場合にしか知られていない。Andersen, Jantzen & Soergel (1994) は群のコクセター数(英語版)に対して標数 p が十分大きいときに(ルスティック予想を証明することで)これらの指標を決定した。小さな素数 p に対しては、未だ明瞭な予想すら存在しない。