ルベーグの微分定理
}
第1項は、次で定義される x における f − g の極大関数 ( f − g ) ∗ ( x ) {\displaystyle (f-g)^{*}(x)} で絶対値が上から抑えられる。
1 | B | ∫ B | f ( y ) − g ( y ) | d y ≤ sup r > 0 1 | B r ( x ) | ∫ B r ( x ) | f ( y ) − g ( y ) | d y = ( f − g ) ∗ ( x ) . {\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y\leq \sup _{r>0}{\frac {1}{|B_{r}(x)|}}\int _{B_{r}(x)}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y=(f-g)^{*}(x).}
第2項は g の連続性より極限をとると消える。
第3項は |f(x) − g(x)| で上から抑えられる。
最初の条件式で絶対値の極限が 2α を上回るためには、第1項か第3項の少なくとも一方の絶対値は α を上回らなければならない。ところが、ハーディ=リトルウッドの極大函数は、次元 n のみに依存するある定数 An により
数学において、ルベーグの微分定理(ルベーグのびぶんていり、英: Lebesgue differentiation theorem)は、実解析の定理の一つで、ほとんど全ての点に対して可積分函数の値がその点の周りの無限小平均(無限小近傍でとった平均値)の極限に等しいことを述べる。名称はアンリ・ルベーグにちなむ。
ハーディ=リトルウッドの極大函数に対する弱 L 空間でのノルム評価から(より強めた形で)
命題:f が局所可積分函数ならば、ほとんど全ての点 x で lim B → x 1 | B | ∫ B f ( y ) d y = f ( x ) {\displaystyle \lim _{B\rightarrow x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} y=f(x)}
が成り立つ。
を示すことができる。以下の証明は Benedetto & Czaja (2009), Stein & Shakarchi (2005), Wheeden & Zygmund (1977), Rudin (1987) に見られる標準的な方法に従ったものである。
定理は局所的な性質に関するものだから、f はある有限の半径を持った球の外部では値 0 をとると仮定して良い。任意の α > 0 に対し、集合
E α = { x ∈ R n : lim sup | B | → 0 , x ∈ B 1 | B | | ∫ B f ( y ) − f ( x ) d y | > 2 α } {\displaystyle E_{\alpha }={\Bigl \{}x\in \mathbf {R} ^{n}:\limsup _{|B|\rightarrow 0,\,x\in B}{\frac {1}{|B|}}{\bigg |}\int _{B}f(y)-f(x)\,\mathrm {d} y{\bigg |}>2\alpha {\Bigr \}}}