局所可積分函数
{\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty .}
したがって
f ∈ L 1 , l o c ( Ω ) {\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )}
である。ここで、不等式
∫ K | f | d x = ∫ Ω | f χ K | d x ≤ | ∫ K | f | p d x | 1 / p | ∫ K d x | 1 / q = ‖ f ‖ p | μ ( K ) | 1 / q < + ∞ {\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty }
が成立するため、定理は局所 p-可積分函数の空間にのみ属する函数 f に対しても成立することに注意されたい。したがって、定理は次の結果を意味する。
系 1 Lp,loc(Ω), 1 < p ≤ +∞ 内のすべての函数 f は局所可積分である。すなわち、L1,loc(Ω) に属する。