運動の積分
古典力学で扱われるクラスの問題はハミルトン形式の定式化が可能である。これは、系の自由度を n {\displaystyle n} とすると、系の状態を一般化座標 q i {\displaystyle q_{i}} ( i = 1 , 2 , ⋯ , n {\displaystyle i=1,2,\cdots ,n} ) および一般化運動量 p i {\displaystyle p_{i}} ( i = 1 , 2 , ⋯ , n {\displaystyle i=1,2,\cdots ,n} ) の組 ( p 1 , p 2 , ⋯ , p n , q 1 , q 2 , ⋯ , q n ) {\displaystyle (p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n},q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n})} によって(つまり位相空間の点として)記述するものであり、運動方程式は、ハミルトニアン H ( p , q ) {\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )} を用いたハミルトンの正準方程式
d p i d t = − ∂ H ∂ q i , d q i d t = ∂ H ∂ p i {\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},\ \ {\frac {dq_{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}