余代数
K {\displaystyle K} を体、 C {\displaystyle C} を K {\displaystyle K} 上のベクトル空間とする。2つの線型写像 Δ : C → C ⊗ C {\displaystyle \Delta :C\to C\otimes C} 、 ε : C → K {\displaystyle \varepsilon :C\to K} が存在して、これらが
( i d ⊗ Δ ) ∘ Δ = ( Δ ⊗ i d ) ∘ Δ {\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad } (余結合律)、
( i d ⊗ ε ) ∘ Δ = i d = ( ε ⊗ i d ) ∘ Δ {\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} =(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )\circ \Delta \quad } (余単位律)
を満たすとき、即ち図式

が可換であるとき、組 ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} を余代数という。また、 Δ {\displaystyle \Delta } を余積、 ε {\displaystyle \varepsilon } を余単位という。
この積によって H o m K ( A , C ) =: C ∗ {\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)=:C^{\ast }} は K {\displaystyle K} -代数となり、 C {\displaystyle C} の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は
ε ∘ u : C → K → A , c ↦ ε ( c ) 1 A {\displaystyle \varepsilon \circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto \varepsilon (c)1_{A}}
で与えられる。また C {\displaystyle C} が余可換であることと、全ての可換な A {\displaystyle A} に対して H o m K ( A , C ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{K}(A,C)} が可換であることは同値である。
逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。 A {\displaystyle A} を有限 K {\displaystyle K} -次元代数とすると、準同型写像
∑ c ( 1 ) ( 1 ) ⊗ c ( 1 ) ( 2 ) ⊗ c ( 3 ) = ∑ c ( 1 ) ⊗ c ( 2 ) ( 1 ) ⊗ c ( 2 ) ( 2 ) = ∑ c ( 1 ) ⊗ c ( 2 ) ⊗ c ( 3 ) {\displaystyle \sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad } (余結合律)
∑ ε ( c ( 1 ) ) c ( 2 ) = ∑ c ( 1 ) ε ( c ( 2 ) ) = c {\displaystyle \sum \varepsilon \left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon \left(c_{(2)}\right)=c\quad } (余単位律)