四元数
(ハミルトンはこれを四元数のテンソルと呼んだが、この用語は現代的な意味でのテンソルと衝突する)
これは、H を数ベクトル空間 R と見なした時のユークリッドノルムに等しく、ノルムの公理を満たす。すなわち、常に非負の実数で、任意の2つの四元数 p, q に対して
‖ p q ‖ = ‖ p ‖ ‖ q ‖ {\displaystyle \lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \lVert q\rVert }
が成り立つ。特に、実数 α に対して
‖ α q ‖ = | α | ‖ q ‖ {\displaystyle \lVert \alpha q\rVert =|\alpha |\lVert q\rVert }
が成り立つ。
この乗法性は、積の共軛に関する式からの帰結である。あるいは、正方行列の行列式の乗法性と公式
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = det ( a + i b i d + c i d − c a − i b ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=\det {\begin{pmatrix}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{pmatrix}}}
(i は通常の虚数単位)から乗法性を示すこともできる。
このノルムを使って、四元数 p と q の間の距離 d(p, q) を、それらの差のノルム (d(p, q) = ‖ p − q ‖) として定義することができる。これにより H は距離空間となり、加法と乗法はこの距離位相に関して連続になる。