測度論
形式的に、集合 X の部分集合からなる完全加法族 A 上で定義される可算加法的測度 μ とは拡張された区間 [0, ∞] に値を持つ(つまり、無限大も許す非負値の)関数であって、次の性質を満たすもののことである:
空集合の測度は 0 である。 μ ( ∅ ) = 0. {\displaystyle \mu (\emptyset )=0.}
完全加法性(可算加法性):E1, E2, E3, ... がどの二つも互いに共通部分を持たない A に属する集合の列ならば μ ( ⋃ i E i ) = ∑ i μ ( E i ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i}E_{i}\right)=\sum _{i}\mu (E_{i})}
A の元は可測集合 (measurable sets) と呼ばれる。 また、数学的構造 (X, A, μ ) は 測度空間 (measure space) と呼ばれる。次の性質は、上の定義から導かれるものである:
歴史的に微分積分学で扱うことのできた素朴な意味での体積(一般には多次元の体積)は、リーマン積分を用いて表され、有限加法的であった。1902年、アンリ・ルベーグは彼の学位論文『積分、長さ、体積』("Intégrale, longueur, aire") において測度の概念を確立する。これにより新たに定義された"体積"は、完全加法的であることを積極的に要求したため、極限概念との親和性が高く、そのためリーマン積分(とジョルダン測度)による場合よりも多くの集合に体積の定義が可能となった。これが測度論の始まりである。