中村ナンバー
シンプルゲームに関わる代表的な性質(単調かどうか、プロパーかどうか、強いかどうか、拒否権プレーヤーなしかどうか、有限かどうか)がその中村ナンバーにあたえる制限については、Kumabe and Mihara (2008) が調べ上げている(その結果は以下の表「可能な中村ナンバー」に要約されている)。特に、アルゴリズムによって「計算可能」でかつ拒否権プレーヤーをもたないシンプルゲームが3より大きい中村ナンバーをもつとき、そのシンプルゲームはプロパーかつ強くないことが分かっている。
シンプルゲーム W {\displaystyle W} の中村ナンバー ν ( W ) {\displaystyle \nu (W)} とは、共通部分が空集合となるような勝利提携の集合のうち、最も小さな濃度(提携数)をもつ集合のその濃度のことである。なお、
∩ W = ∩ S ∈ W S = ∅ {\displaystyle \cap W=\cap _{S\in W}S=\emptyset } (拒否権プレーヤーが存在しない) となるとき、 ν ( W ) = min { # W ′ : W ′ ⊆ W ; ∩ W ′ = ∅ } {\displaystyle \nu (W)=\min\{\#W':W'\subseteq W;\cap W'=\emptyset \}}
それ以外のとき ν ( W ) = + ∞ {\displaystyle \nu (W)=+\infty } (任意の濃度より大きい)
であるとする。 W {\displaystyle W} が拒否権プレーヤーなしのシンプルゲームであれば、 2 ≤ ν ( W ) ≤ # N {\displaystyle 2\leq \nu (W)\leq \#N} が成り立つ。