ルンゲ・グロスの定理
ルンゲ・グロスの定理は、当初は外部スカラー場の下で運動する電子について導出された。
外部スカラー場 v および電子数 N が与えられれば、分子ハミルトニアン(英語版) Hv が決定され、さらに波動関数の初期条件として Ψ(t = t0) = ￼Ψ0 が与えられれば、波動関数の時間発展はシュレーディンガー方程式
H ^ v ( t ) | Ψ ( t ) ⟩ = i ∂ ∂ t | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}_{v}(t)|\Psi (t)\rangle =i{\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi (t)\rangle }
を解くことにより決定される。任意の時刻における電子密度分布関数は、3N 個の空間座標および N 個のスピン座標の関数に依存する N 電子波動関数から次の積分により得ることができる。
ρ ( r , t ) = N ∑ s 1 ⋯ ∑ s N ∫ d r 2 ⋯ ∫ d r N | Ψ ( r 1 , s 1 , r 2 , s 2 , . . . , r N , s N , t ) | 2 {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}},t)=N\sum _{s_{1}}\cdots \sum _{s_{N}}\int \ \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}_{2}\ \cdots \int \ \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}_{N}\ |\Psi ({\boldsymbol {r}}_{1},s_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},s_{2},...,{\boldsymbol {r}}_{N},s_{N},t)|^{2}}