順序対
( a , b ) reverse := { { b } , { a , b } } , {\displaystyle (a,b)_{\text{reverse}}:=\{\{b\},\,\{a,b\}\},} ( a , b ) short := { a , { a , b } } , {\displaystyle (a,b)_{\text{short}}:=\{a,\,\{a,b\}\},} ( a , b ) 01 := { { 0 , a } , { 1 , b } } {\displaystyle (a,b)_{\text{01}}:=\{\{0,a\},\,\{1,b\}\}}
などが存在する。reverse(逆順)版はあまり使われないが、クラトフスキーの定義の自明な変形版であり、もとの定義で見たこと以外の特徴としてとくに見るべきものは無い。short(省略)版はその名の通り、もとの定義にブレースの組が三つあったことに比べて、ふたつの組に減っている。short 版が順序対の特徴付けを満足することの証明には、ZFCの正則性公理が必要である。さらに、自然数の集合論的構成を認めるならば、自然数の "2" は集合 {0, 1} = {0, {0}} として定義されるが、これは順序対 (0, 0)short と区別が付かない。
(a, b) = (c, d) となるための必要十分条件が a = c かつ b = d であることを示す。
集合論による数学の基礎付けというパラダイムに則れば、全ての数学的対象はある種の集合として定義される。したがって、順序対を原始概念と考えないならば、順序対もまた集合として定義されなければならない。順序対の集合論的定義を以下にいくつか挙げる。
↑ これに対して非順序対 {a, b} は非順序対 {b, a} と常に等しい。集合および多重集合の項も参照のこと
↑ クワインは、順序対の概念の集合論的な実現は哲学的概念を明確化するパラダイムであると主張した("Word and Object" の &sec;53 を参照)。そのような概念や実現の一般概念が、トーマス・フォースター (Thomas Forster) の "Reasoning about theoretical entities" に論じられている。
↑ ウィーナーの論文 "A Simplification of the logic of relations"(「論理と関係の単純化」)が、貴重な解説付きで (van Heijenoort 1967, pp. 224ff) に再録されている。