レヴィ・チヴィタ接続
また断面曲率は K P ( v , w ) {\displaystyle K_{P}(v,w)} という記号で表記する文献も多いが、後述するガウス曲率と区別するため、本稿では S e c P ( v , w ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w)} という表記を採用した。
定義から明らかなように、以下が成立する:
定理 ― 断面曲率は v , w {\displaystyle v,w} が貼る平面のみに依存する。すなわち v , w {\displaystyle v,w} と v ′ , w ′ {\displaystyle v',w'} がTPM内の同一平面を貼れば以下が整理する:
S e c P ( v , w ) = S e c P ( v ′ . w ′ ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w)=\mathrm {Sec} _{P}(v'.w')}
定理 ― リッチ曲率は線形写像
w → R ( w , u ) v {\displaystyle w\to R(w,u)v}
のトレースに一致し、スカラー曲率は、
R i c P ( u , v ) = g P ( ρ ( u ) , v ) {\displaystyle \mathrm {Ric} _{P}(u,v)=g_{P}(\rho (u),v)}
[ X , Y ] := X Y − Y X = X i ∂ Y j ∂ x i ∂ ∂ x j − Y i ∂ X j ∂ x i ∂ ∂ x j {\displaystyle [X,Y]:=XY-YX=X^{i}{\partial Y^{j} \over \partial x^{i}}{\partial \over \partial x^{j}}-Y^{i}{\partial X^{j} \over \partial x^{i}}{\partial \over \partial x^{j}}}
条件1のように、任意のC級関数に対して線形性が成り立つことを C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形であるという。一般に C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形な汎関数は、一点の値のみでその値が決まる事が知られている。例えばレヴィ-チヴィタ接続の場合、点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} における ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} の値はXPのみに依存しP以外の点QにおけるXの値XQには依存しない。
なお、5番目の条件は後述するテンソル積の共変微分を用いると、
∇ Z g = 0 {\displaystyle \nabla _{Z}g=0}
とも書ける。
p. 81. 2023年6月23日閲覧。なお添字の順番が引用元と異なっているが、これは R i k j l {\displaystyle R_{ikj\ell }} の添字の順番が引用元と異なっているからである。
1 2 #Prasolov p.203.
1 2 #Rani p.22.
↑ #Tu p.92.
1 2 3 4 5 #Tu p.208-209.
↑ #Carmo p.97.
↑ #Carmo p.94.
↑ #Carmo p.131.
↑ #Carmo p.96.
↑ #Tu p.206.
1 2 #Berger p.705.
1 2 3 #Viaclovsky pp.23, 25, 26.
1 2 #Viaclovsky p. 23.
1 2 #Parker p.7.
1 2 #Taylor p.92.
↑ #Berger p.706.この文献では本項のものと符号が逆だが、これは ∇ X , Y {\displaystyle \nabla _{X,Y}} のXとYをどちらの引数に入力するかの規約が本項のものと反対なため。
↑ #Viaclovsky pp.18-19, 24-25.
↑ #Gallier p.395.この文献では本項のものと符号が反転しているが、p.394にあるように曲率の符号として通常と反対の規約を採用しているためである。
↑ #Parker p.13.
関数fに対するラプラシアンが Δ f = δ d f {\displaystyle \Delta f=\delta df} と書けていた事に着目し、微分形式αに対し、以下のようにラプラシアンを定義する:
定義 ―
Δ H α := ( d + δ ) 2 α = ( d δ + δ d ) α {\displaystyle \Delta ^{H}\alpha :=(d+\delta )^{2}\alpha =(d\delta +\delta d)\alpha }
αのホッジ・ラプラシアン(英: Hodge Laplacian)という。
なお、2つ目の等号は d d = δ δ = 0 {\displaystyle dd=\delta \delta =0} を使った。αが0次の微分形式、すなわちM上の関数の場合は d δ α = 0 {\displaystyle d\delta \alpha =0} なので、関数の場合に対するホッジ・ラプラシアンはラプラス・ベルトラミ作用素に一致する。
本節ではテンソルに対する共変微分を定義する。