ジョルダンの補題
fが大きなRの半円CR上で連続であり、なおかつ
が成り立つとき、ジョルダンの補題より次が導かれる。
lim R → ∞ ∫ C R f ( z ) d z = 0. {\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}f(z)\,dz=0.}
a = 0の場合については、推定補題を参照せよ。
推定補題と比較すると、ジョルダンの補題の上限は経路CRの長さに明示的に依存しない。
ジョルダンの補題により、関数f(z) = e g(z)の実軸に沿った積分を計算する簡単な方法が与えられる。f(z)が上半平面で正則であり、閉じた上半平面で連続であるとき(ただし有限個の極z1, z2, ..., znを除く)、画像に示されている経路C1 C2を連結した閉じた経路Cを考える。定義より、
∮ C f ( z ) d z = ∫ C 1 f ( z ) d z + ∫ C 2 f ( z ) d z . {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\,.}
C2では変数zが実数であるため、2番目の積分は実数である。
∫ C 2 f ( z ) d z = ∫ − R R f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,.}
左辺は、留数定理を使用して計算する。