接続 (ファイバー束)
本節では主バンドルの接続を定義する。
T e E = V e ⊕ H e {\displaystyle T_{e}E={\mathcal {V}}_{e}\oplus {\mathcal {H}}_{e}}
H e {\displaystyle {\mathcal {H}}_{e}} をeにおける水平部分空間(英: horizontal subspace)という。
分解
T e E = V e ⊕ H e {\displaystyle T_{e}E={\mathcal {V}}_{e}\oplus {\mathcal {H}}_{e}}
があれば、TeEの元の V e {\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}} への射影
V e : T e E → V e {\displaystyle V_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {V}}_{e}}
このときM上のベクトル場 Xに行列 ω ^ e ( X ) {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}(X)} を対応させる行列値の1-形式 ω ^ e = ( ω ^ i j ) i j {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}=({\hat {\omega }}^{i}{}_{j})_{ij}} を
( ∇ X e 1 , ... , ∇ X e m ) = ( e 1 , ... , e m ) ω ^ e ( X ) {\displaystyle (\nabla _{X}e_{1},\ldots ,\nabla _{X}e_{m})=(e_{1},\ldots ,e_{m}){\hat {\omega }}_{e}(X)}
により定義する。 ω ^ e {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}} を局所的な基底 e = ( e 1 , ... , e m ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{m})} に関するレヴィ-チヴィタ接続の接続形式(英: connection form)という。
上で定義したKoszul接続の接続形式 ω ^ e {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}} を使って F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} の接続形式ωを定義するのだが、 ω ^ e {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}} は一般には行列値の1-形式、すなわち g l n ( R ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )} に値を取る1-形式であるが、 F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} の接続形式は必ずGのリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に値を取る必要がある。
x 0 ∈ M {\displaystyle x_{0}\in M} をMの点とし、 c ( t ) ∈ M {\displaystyle c(t)\in M} をx0からx0自身への区分的になめらかな閉曲線とすると、接続が完備なのでx0のファイバー E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} の任意の元eに対し、eを c ( t ) ∈ M {\displaystyle c(t)\in M} に沿って一周平行移動してできた元を φ c ( e ) ∈ E x 0 {\displaystyle \varphi _{c}(e)\in E_{x_{0}}} とする事で、 E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} 上の可微分同相写像
φ c : E x 0 → E x 0 {\displaystyle \varphi _{c}~:~E_{x_{0}}\to E_{x_{0}}}
を定義できる。
定理・定義 (ホロノミー群) ―
H o l ( E , H , x 0 ) := { φ c ∣ c {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0}):=\{\varphi _{c}\mid c} はx0から出てP自身への区分的になめらかな閉曲線 } {\displaystyle \}}
接続形式の意味を見るため、リー群のモーレー・カルタン形式を定義する。
定義 (モーレー・カルタン形式) ― Gをリー群とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をそのリー代数とするとき、Gの各点gに対しG上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 値1-形式 μ g {\displaystyle \mu _{g}} を
μ g : v ∈ T g G ↦ L g − 1 ∗ ( v ) ∈ g {\displaystyle \mu _{g}~:v\in ~T_{g}G\mapsto L_{g^{-1}}{}_{*}(v)\in {\mathfrak {g}}}
により定義し、μgをGのgにおけるモーレー・カルタン形式という。
ここで L g − 1 ∗ {\displaystyle L_{g^{-1}}{}_{*}} は群の左作用 L g − 1 : h ∈ G ↦ g − 1 h {\displaystyle L_{g^{-1}}~:~h\in G~~\mapsto g^{-1}h} が誘導する写像である。
モーレー・カルタン形式は以下を満たす:
定理 ―
( R g ) ∗ μ = A d ( g − 1 ) μ {\displaystyle (R_{g})^{*}\mu =\mathrm {Ad} (g^{-1})\mu }
d μ + 1 2 [ μ , μ ] g = 0 {\displaystyle d\mu +{1 \over 2}[\mu ,\mu ]_{\mathfrak {g}}=0}
ここで A k ( M ; E ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(M;E)} はEに値を取るk次微分形式全体の集合である:
定理 (テンソル形式と底空間上の切断の関係) ― η ∈ A ρ k ( P ; V ) {\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P;V)} 、 u ∈ M {\displaystyle u\in M} と X 1 , ... , X k ∈ T u M {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}\in T_{u}M} に対し、 π ( p ) = x {\displaystyle \pi (p)=x} を満たす p ∈ P {\displaystyle p\in P} を選んで
φ ♭ x := φ p ( η p ( L i f t p ∗ ( X 1 ) , ... , L i f t p ∗ ( X k ) ) ) {\displaystyle \varphi ^{\flat }{}_{x}:=\varphi _{p}(\eta _{p}(\mathrm {Lift} _{p}{}_{*}(X_{1}),\ldots ,\mathrm {Lift} _{p}{}_{*}(X_{k})))}
とすると、 φ ♭ x {\displaystyle \varphi ^{\flat }{}_{x}} はpの取り方によらずwell-definedであり、
以上の考察を元に、ファイバーバンドルの接続を定義する。そのためにまず「垂直部分空間」という概念を定義する。 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をファイバーFを持つファイバーバンドルとし、e∈EをEの元とするとしπが誘導する写像を π ∗ : T E → T M {\displaystyle \pi _{*}~:~TE\to TM} とするとき、
V e := { ξ ∈ T e E ∣ π ∗ ( ξ ) = 0 } = T e ( E π ( e ) ) {\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}:=\{\xi \in T_{e}E\mid \pi _{*}(\xi )=0\}=T_{e}(E_{\pi (e)})}
を、eにおけるTeEの垂直部分空間(英: vertical subspace)という。そしてファイバーバンドルの接続を以下のように定義する:
定義 (接続) ― ファイバーバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の(C級の)接続(英: connection) { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} とは、Eの各点eにおけるTeMの部分空間 H e {\displaystyle {\mathcal {H}}_{e}} の族でeに関してC級であり、以下の性質を満たすものである:
まず同伴バンドルの定義を復習する。 π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} をG-主バンドルとし、Fを左からのGの作用 G ↷ F {\displaystyle G{\overset {\curvearrowright }{}}F} を持つ多様体とするとき、P×Fを
( p , g a ) ∼ ( p g , a ) {\displaystyle (p,ga)\sim (pg,a)} for g ∈ G {\displaystyle g\in G}
という同値関係で割った空間を P × G F {\displaystyle P\times _{G}F} とすると、
[ ( p , a ) ] ∈ P × G F → π ( p ) ∈ M {\displaystyle [(p,a)]\in P\times _{G}F\to \pi (p)\in M}
は構造群Gを持つファイバーFのファイバーバンドルになる。 P × G F {\displaystyle P\times _{G}F} をPの G ↷ F {\displaystyle G{\overset {\curvearrowright }{}}F} に関する同伴バンドル(英語版)という。