ベルヌーイ多項式
陰計算により、ベルヌーイ多項式およびオイラー多項式に関する多くの関係式が得られる。
Δ B n ( x ) = B n ( x + 1 ) − B n ( x ) = n x n − 1 , {\displaystyle \Delta B_{n}(x)=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},}
Δ E n ( x ) = E n ( x + 1 ) − E n ( x ) = 2 ( x n − E n ( x ) ) . {\displaystyle \Delta E_{n}(x)=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).}
(Δは前進差分作用素)。
これらの多項式列はアペル列である。即ち
B n ′ ( x ) = n B n − 1 ( x ) , {\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),}
E n ′ ( x ) = n E n − 1 ( x ) . {\displaystyle E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).}
を満たす。
p-乗和は、
∑ k = 0 x k p = B p + 1 ( x + 1 ) − B p + 1 ( 0 ) p + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}}
の様にかける(ただし0=1)。ファウルハーバーの公式も参照。