ロピタルの定理
ロピタルの定理を証明する標準的な方法はコーシーの平均値の定理を用いることである。ロピタルの定理は c {\displaystyle c} と L {\displaystyle L} が有限か無限か、 f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} の収束値が 0 か無限大か、そして極限が片側か両側か、によって多くのバリエーションがある。それら全てのバリエーションは他の本質的な要因を考える必要なく次に示す主要な二つの形態に従う。
c {\displaystyle c} と L {\displaystyle L} は有限であり、 f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} は 0 に収束するとする。
まず第一に、 f ( c ) = 0 {\displaystyle f(c)=0} と g ( c ) = 0 {\displaystyle g(c)=0} を定義 (または再定義) する。 f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} は c {\displaystyle c} で連続であるが、定義より極限は c {\displaystyle c} に依存しないので極限は変化しない。極限値 lim x → c f ′ ( x ) / g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f'(x)/g'(x)\,} が存在するので、 x = c {\displaystyle x=c} を除いて g ′ ( x ) {\displaystyle g'(x)} が非 0 であれば、区間 ( c − δ , c + δ ) {\displaystyle (c-\delta ,c+\delta )} 内の全ての x {\displaystyle x} に対して f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} と g ′ ( x ) {\displaystyle g'(x)} の双方が存在するようなその区間が存在する。
ロピタルの定理の一般形は多くの場合に適用される。c と L が拡大実数(すなわち実数、正の無限大、負の無限大) であり、次の条件、
lim x → c f ( x ) = lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=\lim _{x\to c}g(x)=0}
lim x → c f ( x ) = ± lim x → c g ( x ) = ± ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=\pm \lim _{x\to c}{g(x)}=\pm \infty }
のいずれかが満たされるとする。また、 c を含むある開区間から c を除いた点において( c = + ∞ {\displaystyle c=+\infty } であれば十分大きい実数に対して) g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} が成り立つとする。ここで、極限
lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}
が存在すれば、
lim x → c f ( x ) g ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}
である。このときの極限は片側極限であっても良い。
安田亨は『大学への数学』誌において次のように述べている。ロピタルの定理を入試で使っていいのかどうかはよく話題になる。 大学入試懇談会の2011年以外のある回で「ロピタルの定理を使うと5点減点している」という大学があった。 とある会合(大学入試懇談会かは不明)では、慶應大学と見られる「KO大学」において「うちは5点の減点をする」、との発言があった。 大学入試でのロピタルの定理の扱いは大学ごとに異なる。
また、安田は受験生の解答方針として次のように述べている。使用は自己責任に基づいて決めるべきであるが、0点になるよりは減点の危険を負ってでも使用すべきであり、空欄補充問題ならばそもそも問題はない。