正多面体
ユークリッド『原論』第13巻で、球に内接する5つの正多面体の構成が論じられ、最後に、「いま述べた五つの図形以外に,等辺等角で互いに等しい図形にかこまれる他の図形はつくられない」と記述されている。このことから、正多面体とは、
面は互いに合同である
面は正多角形である
すべての頂点は同一球面上にある
という条件をすべて満たす多面体である、と理解できる。
条件3については、1、2を満たす凸多面体であることを前提とすれば、
すべての二面角は等しい
すべての頂点形は正多角形である
すべての立体角は合同
すべての頂点に同数の面が集まる
と言い換えることもできる。
また、コクセターは、同心の外接球・中接球・内接球をもつことを正多面体の定義とした。
外接する正多面体の各面の面心に対して、内接する正多面体の一部の頂点が接する関係には次の3通りがある。
正四面体(正六面体)
正四面体(正十二面体)
正八面体(正十二面体)
外接する正多面体の一部の面心に対して、内接する正多面体のすべての頂点が接する関係には次の3通りがある。
正八面体(正四面体)
正二十面体(正四面体)
正二十面体(正六面体)
外接する正多面体の一部の辺の中点に対して、内接する正多面体のすべての頂点が接する関係には次の2通りがある。
正十二面体(正八面体)
正二十面体(正八面体)
外接する正多面体の一部の頂点に対して、内接する正多面体のすべての頂点が接する関係は次のとおり。
正十二面体(正四面体)