次元論 (代数学)
, x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} が I を生成するとすれば、それらの I / I 2 {\displaystyle I/I^{2}} における像は次数 1 をもち gr I  R {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R} を R / I {\displaystyle R/I} -多元環として生成する。ヒルベルト・セールの定理によって、F は位数 d ≤ s {\displaystyle d\leq s} の極を t = 1 {\displaystyle t=1} にちょうど1つもつ有理関数である。
( 1 − t ) − d = ∑ 0 ∞ ( d − 1 + j d − 1 ) t j {\displaystyle (1-t)^{-d}=\sum _{0}^{\infty }{\binom {d-1+j}{d-1}}t^{j}} ,
であるので、 F ( t ) = ( 1 − t ) d F ( t ) ( 1 − t ) − d {\displaystyle F(t)=(1-t)^{d}F(t)(1-t)^{-d}} における t n {\displaystyle t^{n}} の係数は
∑ 0 N a k ( d − 1 + n − k d − 1 ) = ( 1 − t ) d F ( t ) | t = 1 n d − 1 d − 1 ! + O ( n d − 2 ) {\displaystyle \sum _{0}^{N}a_{k}{\binom {d-1+n-k}{d-1}}=(1-t)^{d}F(t)|_{t=1}{n^{d-1} \over {d-1}!