広義固有ベクトル
( 2 I − A ) x 22 = [ 1 0 0 0 0 − 3 1 0 0 0 − 6 − 3 0 0 0 − 10 − 6 − 3 0 0 − 15 − 10 − 6 − 3 0 ] [ 0 0 0 3 0 ] = − [ 0 0 0 0 9 ] = − x 21 , {\displaystyle (2I-A){\boldsymbol {x}}_{22}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\-3&1&0&0&0\\-6&-3&0&0&0\\-10&-6&-3&0&0\\-15&-10&-6&-3&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{bmatrix}}=-{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{bmatrix}}=-{\boldsymbol {x}}_{21},}
( 2 I − A ) x 23 = [ 1 0 0 0 0 − 3 1 0 0 0 − 6 − 3 0 0 0 − 10 − 6 − 3 0 0 − 15 − 10 − 6 − 3 0 ] [ 0 0 1 − 2 0 ] = − [ 0 0 0 3 0 ] = − x 22 {\displaystyle (2I-A){\boldsymbol {x}}_{23}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\-3&1&0&0&0\\-6&-3&0&0&0\\-10&-6&-3&0&0\\-15&-10&-6&-3&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{bmatrix}}=-{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{bmatrix}}=-{\boldsymbol {x}}_{22}} 。
整数 mi は ( A − λ i I ) m i {\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}} の階数が n − μi となる「最初の整数」として決定される(n は A の行や列の個数である,つまり A は n × n である).
さて
ρ k = rank  ( A − λ i I ) k − 1 − rank  ( A − λ i I ) k ( k = 1 , 2 , ... , m i ) {\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i})}
と定義する.変数 ρk は A の標準基底に現れる固有値 λi に対応する階数 k の線型独立な広義固有ベクトルの個数を表す.
rank  ( A − λ i I ) 0 = rank  ( I ) = n {\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n}
に注意.
線型代数学において,n × n 行列 A の広義(あるいは一般)固有ベクトル(こうぎこゆうベクトル,いっぱんこゆうベクトル,英: generalized eigenvector)は,(通常の)固有ベクトルの定義を緩めたある条件を満たすベクトルである.
V を n 次元ベクトル空間とする.φ を V から V への線型写像とする.A をある基底についての φ の行列表示とする.
V の完全な基底をなす A の n 個の線型独立な固有ベクトルがいつも存在するとは限らない.つまり,行列 A は対角化可能とは限らない.これは少なくとも1つの固有値 λi の代数的重複度がその幾何学的重複度(行列 A − λiI の退化次数(英語版),あるいはその零空間の次元)よりも大きいときに起こる.この場合,λi は不足固有値(英語版)と呼ばれ,A は不足行列(英語版)と呼ばれる.
λi に対応する広義固有ベクトル xi は,行列 A − λiI とあわせて,V の不変部分空間の基底をなす線型独立な広義固有ベクトルのジョルダン鎖を生成する.
広義固有ベクトルを用いて,A の線型独立な固有ベクトルの集合を必要ならば V の完全な基底に拡張できる.この基底は A に相似なジョルダン標準形にある「ほとんど対角な行列」J を決定するのに用いることができ,これは A のある行列関数(英語版)を計算するのに有用である.行列 J は A が対角化可能とは限らないときに線形微分方程式系 x′ = Ax を解く際にも有用である.
D k = [ λ 1 k 0 ⋯ 0 0 λ 2 k ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n k ] {\displaystyle D^{k}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{bmatrix}}}
であり,A の関数のマクローリン級数の計算は大きく単純化される.例えば,A の任意の冪 k を得るには,D を計算し,M を左から掛け,さらに M を右から掛けるだけでよい.
広義固有ベクトルを用いて,A のジョルダン標準形を得ることができ,これらの結果は対角化可能でない行列の関数を計算する直截的手法に一般化できる.(行列関数#ジョルダン分解(英語版)を参照.)