グリーン関数
下の偏微分方程式の(初期値)境界値問題を例に考える。
L y ( x ) = − f ( x ) x ∈ Ω y ( x ) = y 1 ̄ x ∈ Γ 1 ∂ y ( x ) ∂ n = y 2 ̄ x ∈ Γ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} y({\boldsymbol {x}})&=-f({\boldsymbol {x}})&{\boldsymbol {x}}&\in \Omega \\y({\boldsymbol {x}})&={\bar {y_{1}}}&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{1}\\{\frac {\partial y({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}&={\bar {y_{2}}}&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{2}\end{aligned}}}
シュレーディンガー方程式を厳密に解く事は一般的に非常に困難な場合が多いが、近似に解く手法の一つとして摂動論がある。以下では摂動論におけるグリーン関数の形式理論について解説する。
系のハミルトニアン ˆH が無摂動項 ˆH0 と摂動項 ˆV の和で与えられた (ˆH = ˆH0 + ˆV) とする。無摂動ハミルトニアン ˆH0 に対して固有値方程式
H ^ 0 φ i ( 0 ) = E i ( 0 ) φ i ( 0 ) {\displaystyle {\hat {H}}_{0}\phi _{i}^{(0)}=E_{i}^{(0)}\phi _{i}^{(0)}}
が成り立つ(例:ハートリー-フォック近似など)。
ω − ˆH0 を微分作用素として考えると非摂動グリーン関数 G (ω)は 以下のように定義される(ここでデルタ関数 δ(x − x') は形式的に 1 とした)。
( ω − H ^ 0 ) G ( 0 ) ( ω ) = − 1 {\displaystyle (\omega -{\hat {H}}_{0})G^{(0)}(\omega )=-1}
次に摂動ハミルトニアン ˆV で展開すると、