イデアル商
抽象代数学において、I と J が可換環 R のイデアルのとき、それらの イデアル商(英: ideal quotient) I : J とは集合
I : J = { r ∈ R ∣ r J ⊂ I } {\displaystyle I:J=\{r\in R\mid rJ\subset I\}}
である。これを (I : J) と書くこともある。すると I : J も R のイデアルである。イデアル商は商と見ることができる、なぜならば I J ⊂ K {\displaystyle IJ\subset K} であることと I ⊂ K : J {\displaystyle I\subset K:J} であることが同値だからだ。例えば、整数環 Z において (6) : (3) = (2) が成り立つ。イデアル商は準素分解の計算に役立つ。また代数幾何において差集合の記述で現れる(下記参照)。
I : J はその表記により コロンイデアル(colon ideal)と呼ばれることがある。分数イデアルの文脈では、分数イデアルのインバースに関連した概念がある。
上記の性質は多項式環において生成元の与えられたイデアルの商を計算するのに使える。例えば、I = (f1, f2, f3) and J = (g1, g2) が k[x1, ..., xn] のイデアルであれば、
I : J = ( I : ( g 1 ) ) ∩ ( I : ( g 2 ) ) = ( 1 g 1 ( I ∩ ( g 1 ) ) ) ∩ ( 1 g 2 ( I ∩ ( g 2 ) ) ) {\displaystyle I:J=(I:(g_{1}))\cap (I:(g_{2}))=\left({\frac {1}{g_{1}}}(I\cap (g_{1}))\right)\cap \left({\frac {1}{g_{2}}}(I\cap (g_{2}))\right)}
すると elimination theory を I と (g1) や (g2) の共通部分を計算するのに使える。