ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
を全ての n に対して定めることで定義される。このような写像は正規直交基底 {en} に関して対角である。そのため、その写像のノルムは対角係数の絶対値の上限
‖ Φ ( f ) ‖ = sup λ n ∈ σ ( T ) | f ( λ n ) | = ‖ f ‖ C ( σ ( T ) ) {\displaystyle \|\Phi (f)\|=\sup _{\lambda _{n}\in \sigma (T)}|f(\lambda _{n})|=\|f\|_{C(\sigma (T))}}
に等しい。Φ の他の性質については簡単に確かめられる。逆に、この定理の条件を満たすような任意の準同型写像 Ψ は、f が多項式である場合には Φ と一致する。ワイエルシュトラスの近似定理より、多項式函数は C(σ(T)) において稠密であり、Ψ = Φ が成立する。このことから Φ は一意的であることが分かる。
より一般的な連続汎函数計算(英語版)は、ヒルベルト空間上の任意の自己共役(複素数の場合には、正規)な有界線型作用素に対して定義される。ここで述べたコンパクトな場合は、汎函数計算の特に簡単な例であった。
ケース II:少なくとも二つの固有値を持つある作用素 T ∈ F {\displaystyle T\in {\mathcal {F}}\,} が存在する場合。このときは α ∈ σ ( T ↾ S ) , ≠ 0 {\displaystyle \alpha \in \sigma (T\upharpoonright S),\neq 0\,} とすれば、T のコンパクト性と α ≠ 0 であることから、 S ′ := ker  ( T ↾ S − α ) {\displaystyle S':=\operatorname {ker} (T\upharpoonright S-\alpha )\,} は有限次元(したがって閉)非ゼロ F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} -不変部分空間となる(なぜならば、作用素はすべて T と交換され、 T ′ ∈ F {\displaystyle T'\in {\mathcal {F}}\,} および x ∈ ker  ( T ↾ S − α ) {\displaystyle x\in \operatorname {ker} (T\upharpoonright S-\alpha )\,} に対して ( T − α ) ( T ′ x ) = ( T ′ ( T x ) − α T ′ x ) = 0 {\displaystyle (T-\alpha )(T'x)=(T'(T~x)-\alpha T'x)=0\,} が成立するからである)。