分割数
p ( 11 3 ⋅ 13 ⋅ k + 237 ) ≡ 0 ( mod 13 ) {\displaystyle p(11^{3}\cdot 13\cdot k+237)\equiv 0{\pmod {13}}}
のようなものが含まれる。2000年には、ウィスコンシン大学マディソン校の小野(Ken Ono)は任意の素数を法とする同様の合同式の存在を示した。さらに数年後、小野はイリノイ大学のスコット・アールグレンとともに、6 と互いに素なすべての整数を法とする分割数の合同式が存在することを証明している。
A.ブライチャー:「ラマヌジャンの予言」、日経サイエンス、2014年9月号、頁67-72.
Amanda Folsom, Zachary A. Kent and Ken Ono:"l-Adic Properties of the Partition Function", Advances in Mathematics, v.229, No.3, pp.1586-1609 (Feb. 15, 2012).
Ken Ono and Larry Rolen:"Ramanujan's Mock Theta Functions", Proc. National Academy of Sci. USA, v.110, No.15, pp.5765-5768(Apr. 9, 2013). url="www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3625272".
として表すことができる。第一列の成分のなす数列は A000729 であり、最終列の(最初の 1 から)五つ毎に現れる非零成分のなす数列 (1, −5, 5, 10, −15, −6, ...) は、数列 A000728 になっている(最終列はそれ以外の成分は全て零である)。例えば
p ( 29 ) = 5 ⋅ | 1 1 − 6 1 0 9 − 6 1 0 10 9 − 6 1 0 − 30 10 9 − 6 1 0 0 − 30 10 9 − 6 − 5 | = 4565. {\displaystyle p(29)=5\cdot {\begin{vmatrix}~1&~&~&~&~&~1~\\-6&~1&~&~&~&~0~\\~9&-6&~1&~&~&~0~\\~10&~9&-6&~1&~&~0~\\-30&~10&~9&-6&~1&~0~\\0&-30&~10&~9&-6&-5~\end{vmatrix}}=4565.}
同様のやり方で、残り二つのラマヌジャンの公式を使えば、分割数 p(7k − 2) および p(25k − 1) も k-次の行列式