点群
正四面体を、ある面の重心を通る垂線の回りに120度回転させてももとの正四面体と区別はつかない。このようにある図形に対して、もとの図形と区別がつかないように移動を行う操作を対称操作という。
このような、3次元ユークリッド空間における対称操作には以下の7つの種類がある。
恒等操作 - 何の移動もしない。
回転操作 - 図形上のすべての点をある軸(対称軸)に対して回転させる。
鏡映操作 - 図形上のすべての点をある面(対称面)について面対称に移動させる。
反転操作 - 図形上のすべての点をある点(対称中心)について点対称に移動させる。
回映操作 - 図形上のすべての点をある軸(回映軸)に対して回転させた後、その軸に垂直な面について面対称に移動させる。
回反操作 - 図形上のすべての点をある軸(回反軸)に対して回転させた後、その軸上の一点について点対称に移動させる。
並進操作 - 図形上のすべての点を平行移動させる
この中で並進操作以外では少なくとも1つの点が不動点となる。恒等操作では図形上のすべての点が、回転操作では回転軸上の点が、鏡映操作では鏡映面上の点が、反転操作では対称中心が、回映操作では回映軸上の1点が、回反操作では回反軸上の1点が不動点となっている。
それぞれの操作を特徴付けている対称軸、対称面、対称中心、回映軸、回反軸は対称要素とよばれる。
点群の既約表現を表す記号には3通りある。
ベーテ記号
いつでも Γ と書き、その下に添字として一連の番号をつける方法。
マリケン記号
表現の次元数によって記号を変える。1次元の既約表現ならば A もしくは B, 2次元ならば E, 3次元ならば T とする。必要に応じてこれらに適当な添字をつける。
BSW記号(Bouckaert–Smoluchowski–Wigner 記号)
固体物理学においてよく用いられる。
窒素原子を通る平面での鏡映操作では、1つの水素原子だけが変換されないので指標は +1。
( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) ( H 1 H 2 H 3 ) = ( H 1 H 3 H 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\ H1\\\ H2\\\ H3\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ H1\\\ H3\\\ H2\\\end{pmatrix}}}
よってこの基底での可約表現Γの指標は次のように表される
今回のような場合は「対称操作によって動いたs軌道の数だけ+1とする」というルールを設定すれば、表現行列を作らずともこの可約表現の指標表は作れる。
次に可約表現を既約表現に簡約する。C3vの既約表現の指標表は次のように与えられる。
ここで可約表現にそれぞれの既約表現が含まれる数は、簡約公式より
A1:{(3 × 1) + 2(0 × 1) + 3(1 × 1)} ÷ 6 = 1
A2:{(3 × 1) + 2(0 × 1) + 3(1 × (−1))} ÷ 6 = 0
E: {3×2)+ 2(0 × (−1)) + 3(1 × 0)} ÷ 6 = 1
よって可約表現 Γ は2つの既約表現 A1 と E に簡約される。
Γ = A 1 + E . {\displaystyle \Gamma =A_{1}+E.}