ハウスドルフ＝ヤングの不等式
ハウスドルフ=ヤング不等式は、調和解析の理論による注意深い評価を用いることで最適なものとすることが出来る。 1 < p ≤ 2 {\displaystyle 1<p\leq 2} に対して f ∈ L p {\displaystyle f\in L^{p}} であるなら、最適な評価は
‖ f ^ ‖ L q ≤ p 1 / 2 p q − 1 / 2 q ‖ f ‖ L p {\displaystyle \|{\hat {f}}\|_{L^{q}}\leq p^{1/2p}q^{-1/2q}\|f\|_{L^{p}}}
となる。ここで q = p / ( p − 1 ) {\displaystyle q=p/(p-1)} は p {\displaystyle p} のヘルダー共役である(Cifuentes 2010)。
を返す作用素 T を考える。パーセバルの定理によれば、T は L 2 {\displaystyle L^{2}} から l 2 {\displaystyle \ell ^{2}} への有界作用素で、そのノルムは 1 である。一方、明らかに
| ( T f ) ( n ) | = | f ^ ( n ) | = | 1 2 π ∫ 0 2 π e − i n t f ( t ) d t | ≤ 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( t ) | d t {\displaystyle |(Tf)(n)|=|{\widehat {f}}(n)|=\left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-int}f(t)\,dt\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(t)|\,dt}
であるため、T は L 1 {\displaystyle L^{1}} から l ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} へのノルム 1 の有界作用素でもある。したがってリース=ソリンの定理により、任意の 1 < p < 2 に対して、 L p {\displaystyle L^{p}} から l q {\displaystyle \ell ^{q}} への作用素として T はノルム 1 で有界である。