代数学の基本定理
ここで ε = t ( − A 0 A k ) 1 k {\displaystyle \epsilon =t(-{\frac {A_{0}}{A_{k}}})^{\frac {1}{k}}} と置くと f ( x c + t ( − A 0 A k ) 1 k ) = | A 0 ( 1 − t k ) + F ( t ) | {\displaystyle f(x_{c}+t(-{\frac {A_{0}}{A_{k}}})^{\frac {1}{k}})=|A_{0}(1-t^{k})+F(t)|}
( t {\displaystyle t} は正の実数、 F ( t ) {\displaystyle F(t)} は A n ε n + A 1 ε n − 1 + A 2 ε n − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + A k + 1 ε k + 1 {\displaystyle A_{n}\epsilon ^{n}+A_{1}\epsilon ^{n-1}+A_{2}\epsilon ^{n-2}+\cdot \cdot \cdot +A_{k+1}\epsilon ^{k+1}} に ε = t ( − A 0 A k ) 1 k {\displaystyle \epsilon =t(-{\frac {A_{0}}{A_{k}}})^{\frac {1}{k}}} を代入した式)
実係数の代数方程式は一般に実数の範囲内に解を有するとは限らないが、係数体に多項式 x + 1 の根 i = √−1(虚数単位)というただ 1 つの数を添加すると、どの代数方程式でもその拡大体上で解ける。
そうして得られた複素数を係数とする代数方程式の解も、複素数の範囲に解を持つ。これが代数学の基本定理の主張である。
この定理の主張は、因数定理を帰納的に用いることより
複素係数の任意の n 次多項式 a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 ( a n , ⋯ , a 0 ∈ C , a n ≠ 0 ) {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\quad (a_{n},\cdots ,a_{0}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0)}
は複素根を重複を込めてちょうど n 個持つ
という事実を導くので、このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともある。つまり、任意の複素係数多項式は、複素係数の一次式の冪積に分解できる。
代数学の基本定理は、複素数体が、代数方程式による数の拡大体で最大のものであることを示している。これは、体論の言葉で言えば「複素数体は代数的閉体である」 ということになる。
17世紀前半にアルベール・ジラール(フランス語版、英語版)らによって主張され、18世紀の半ばからジャン・ル・ロン・ダランベール、レオンハルト・オイラー、フランソワ・ダヴィエ・ド・フォンスネ(英語版)、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ、ピエール=シモン・ラプラスらが証明を試み、その手法は洗練されていった。1799年にカール・フリードリヒ・ガウスが学位論文でそれまでの証明の不備を指摘し最初の証明を与えた(ただし、現在ではガウスの最初の証明も完全ではなかったことが分かっている)。後年ガウスはこの定理に3つの異なる証明を与えた。現在ではさらに多くの証明が知られている。