ディリクレ積分
∃ M > 0 , ∀ z ∈ K ; | g ( z ) | ≤ M . {\displaystyle {}^{\exists }M>0,\ {}^{\forall }z\in K\ ;\ |g(z)|\leq M.}
r {\displaystyle r} を十分小さくとれば、経路 C r {\displaystyle C_{r}} (の像)は K に含まれるから、
| ∫ C r g ( z ) d z | ≤ ∫ C r | g ( z ) | | d z | ≤ M ∫ C r | d z | = M π r → 0 ( r → 0 ) . ⋯ ( 4 ) {\displaystyle \left|\int _{C_{r}}g(z)dz\right|\leq \int _{C_{r}}|g(z)||dz|\leq M\int _{C_{r}}|dz|=M\pi r\to 0\ \ (r\to 0).\ \ \cdots (4)}
以上より、(1) において r → 0 , R → ∞ {\displaystyle r\to 0,\ R\to \infty } とすれば、(2)~(4)より
0 + 2 i ∫ 0 ∞ sin  x x d x − i π = 0 {\displaystyle 0+2i\int _{0}^{\infty }{\dfrac {\sin x}{x}}dx-i\pi =0}
すなわち
∫ 0 ∞ sin  x x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {\sin x}{x}}dx={\dfrac {\pi }{2}}}
が従う。
ディリクレ積分(ディリクレせきぶん、英: Dirichlet integral)とは、広義積分
∫ 0 ∞ sin  x x d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx}
のことである。これは π/2 に収束することが知られている。これは絶対収束ではなく、ルベーグ積分の意味では可積分でない。
この項では、この事実を複素積分に立脚して証明する。