オメガ定数
Ω が無理数であることは、「e がすでに超越数であることが証明されている」事実を前提に、背理法で証明できる。
Ω を有理数と仮定すれば、次式を満たす整数 p, q が存在する。
p q = Ω {\displaystyle {\frac {p}{q}}=\Omega }
これをオメガ定数の定義式に代入すれば、
1 = p q e p q {\displaystyle 1={\frac {p}{q}}e^{\frac {p}{q}}} e p = ( q p ) q {\displaystyle e^{p}=\left({\frac {q}{p}}\right)^{q}}
これは、e が p 次の代数的数であることを示しているが、e は超越数であると証明されているため、背理法により Ω は無理数でなければならない。