結晶場理論
( e 2 i ω 0 0 0 0 0 e i ω 0 0 0 0 0 e 0 0 0 0 0 0 e − i ω 0 0 0 0 0 e − 2 i ω ) ( e 2 i φ e i φ e 0 e − i φ e − 2 i φ ) = ( e 2 i ( φ + ω ) e i ( φ + ω ) e 0 e − i ( φ + ω ) e − 2 i ( φ + ω ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{2i\omega }&0&0&0&0\\0&e^{i\omega }&0&0&0\\0&0&e^{0}&0&0\\0&0&0&e^{-i\omega }&0\\0&0&0&0&e^{-2i\omega }\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{2i\phi }\\e^{i\phi }\\e^{0}\\e^{-i\phi }\\e^{-2i\phi }\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{2i(\phi +\omega )}\\e^{i(\phi +\omega )}\\e^{0}\\e^{-i(\phi +\omega )}\\e^{-2i(\phi +\omega )}\\\end{pmatrix}}}
このように5つの3d軌道を基底とする回転操作の表現行列を作ることが出来た。よってこの表現行列の指標(トレース)は
A t p = 4 π 2 t + 1 ∑ j − e Q j R j t + 1 Y t p ∗ ( θ i , φ i ) {\displaystyle A_{tp}={\sqrt {\frac {4\pi }{2t+1}}}\sum _{j}{\frac {-eQ_{j}}{R_{j}^{t+1}}}Y_{tp}^{*}(\theta _{i},\phi _{i})}
D p ( t ) = ∑ i r i t C p ( t ) ( θ i , φ i ) = ∑ i r i t 4 π 2 t + 1 Y t p ( θ i , φ i ) {\displaystyle D_{p}^{(t)}=\sum _{i}r_{i}^{t}C_{p}^{(t)}(\theta _{i},\phi _{i})=\sum _{i}r_{i}^{t}{\sqrt {\frac {4\pi }{2t+1}}}Y_{tp}(\theta _{i},\phi _{i})}
このAtp を結晶場パラメータという。一般に結晶場の対称性のために、独立な結晶場パラメータの数は限られる。例えば、点群C1 、Ci 、Cs の場合を除いてp = 1 とp = 5 の成分はゼロになる。