球体
例えば離散距離空間 X において
B 1 ( p ) ̄ = { p } ≠ B 1 [ p ] = X ( ∀ p ∈ X ) {\displaystyle {\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}\neq B_{1}[p]=X\quad (\forall p\in X)}
となることが確かめられる。
半径 1 の球体、開球体、閉球体をそれぞれ単位球体、単位開球体(開単位球体)、単位閉球体(閉単位球体)と呼ぶ。
距離空間の部分集合が有界であるとは、それが適当な球体にまったく含まれることを言う。また全有界であるとは任意に与えた半径を共通して持つ球体の有限個を用いて必ず被覆できるときに言う。
距離空間においてその開球体全体は、位相の開基として、その任意の開集合を開球体の合併に表すことができる。このように得られる位相空間は、距離函数 d の誘導する位相を備えていると言う。