正準変換
正準変数(q, p)を微小変化させる微小正準変換
Q i = q i + δ q i ( q , p , t ) {\displaystyle Q_{i}=q_{i}+\delta q_{i}(q,p,t)}
P i = p i + δ p i ( q , p , t ) ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle P_{i}=p_{i}+\delta p_{i}(q,p,t)\quad (i=1,\cdots ,n)}
の母関数は、恒等変換を与える母関数にεG(q, P, t)を加えた
W 2 ( q , P ) = ∑ i = 1 n q i P i + ε G ( q , P , t ) {\displaystyle W_{2}(q,P)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}P_{i}+\epsilon G(q,P,t)}
の形で与えられる。但し、εは微小定数、 G(q, P, t)は任意の関数である。
このとき、微小変化(δq, δp)は
新ハミルトニアンが恒等的にゼロ K(Q, P, t)≡0となる正準変換(q, p) →(Q, P) を考えると 、ハミルトンの運動方程式は
Q i ̇ = ∂ K ∂ P i = 0 {\displaystyle {\dot {Q_{i}}}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}=0}
P i ̇ = − ∂ K ∂ Q i = 0 ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle {\dot {P_{i}}}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}=0\quad (i=1,\cdots ,n)}
と簡単な形になる。このとき、新たな正準変数(Q, P) は定数(β, α)となる。
Q i = β i {\displaystyle Q_{i}=\beta _{i}}