群 (数学)
有限群 G の位数 |G| の素因数を p とするとき、位数 p をもつ G の元が存在する。
}
これを(群の)準同型定理(特に第一同型定理)という。
群 G の自己同型(G から G への同型写像)全体の成す集合を Aut(G) と表すと、 Aut(G) は写像の合成を積として群となる。Aut(G) を G の自己同型群と呼ぶ。
群 G の任意の元 g に対し、写像 Ag: G → G を
Ag(x) = gxg (for all x ∈ G)
で定めると、この写像は G の自己同型を定める。この形で得られる自己同型を G の内部自己同型と呼び、G の内部自己同型全体の成す集合を Inn(G) と表す。Inn(G) は Aut(G) の正規部分群であり、Inn(G) を G の内部自己同型群と呼ぶ。さらに剰余群 Out(G) = Aut(G)/Inn(G) を外部自己同型群(英語版)とよび、その元を外部自己同型という。群 G の部分群 N が正規部分群であることと、N が G の任意の内部自己同型で不変であることは同値である。さらに N が Aut(G) の作用で不変なら N は G の特性部分群であるという。
G を有限可換群とすると、2以上の整数
e 1 | e 2 | ⋯ | e n {\displaystyle e_{1}|e_{2}|\cdots |e_{n}}
が存在して、G は
G ≅ Z / e 1 Z × ⋯ × Z / e n Z {\displaystyle G\cong \mathbb {Z} /e_{1}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /e_{n}\mathbb {Z} }
と巡回群の直積に分解する。このような ei たちは一意的に定まる。
また、素数 p1, ..., pr(重複してもよい)と、正の整数 a1, ..., ar が存在して、
G ≅ Z / p 1 a 1 Z × ⋯ × Z / p r a r Z {\displaystyle G\cong \mathbb {Z} /p_{1}^{a_{1}}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /p_{r}^{a_{r}}\mathbb {Z} }
と素数べき位数の巡回群の直積に分解する。このとき、 p 1 a 1 , p 2 a 2 , ⋯ , p r a r {\displaystyle {p_{1}^{a_{1}},p_{2}^{a_{2}},\cdots ,p_{r}^{a_{r}}}} は順序の差を除き一意的に定まる。