線積分
定性的には、ベクトル解析における線積分は、与えられた場の与えられた曲線に沿っての全体的な効果を計るものと考えることができる。より厳密に言えば、スカラー場上の線積分は、特定の曲線によって曲げられた場の下にある領域の面積と解釈できる。これは z = f(x, y) で定義する曲面と xy-平面上の曲線 C を使って視覚的に見ることができて、f の線積分は曲線 C の真上にある曲面上の点で切り取るときにできる「カーテン」の面積になる。
Δ s i = | r ( t i + Δ t ) − r ( t i ) | = | r ′ ( t i ) | Δ t {\displaystyle \Delta s_{i}={\bigl |}{\boldsymbol {r}}(t_{i}+\Delta t)-{\boldsymbol {r}}(t_{i}){\bigr |}={\bigl |}{\boldsymbol {r}}'(t_{i}){\bigr |}\Delta t}
と書けるから、これを代入して得る
I = lim Δ t → 0 ∑ i = 1 n f ( r ( t i ) ) | r ′ ( t i ) | Δ t {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}\sum _{i=1}^{n}f{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t_{i}){\bigr )}{\bigl |}{\boldsymbol {r}}'(t_{i}){\bigr |}\Delta t}
は、積分
I = ∫ a b f ( r ( t ) ) | r ′ ( t ) | d t {\displaystyle I=\int _{a}^{b}f{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t){\bigr )}{\bigl |}{\boldsymbol {r}}'(t){\bigr |}\,\mathrm {d} t}
に対応するリーマン和である。基本的にこの積分は、x = u(t) および y = v(t) となる制約条件下でスカラー函数 z = f(x, y) の下にある領域の面積になっている。
複素函数 f(z) = 1/z と閉路 C として 0 を中心とする単位円を 1 から反時計回りに一周するもの考える。C は e (t ∈ [0, 2π]) と媒介変数表示できるから、代入して
∮ C f ( z ) d z = ∫ 0 2 π 1 e i t i e i t d t = i ∫ 0 2 π d t = 2 π i {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}ie^{it}\,\mathrm {d} t=i\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} t=2\pi i}
を得る。上記の積分はコーシーの積分公式を用いても同じ計算結果が得られる。