加群のテンソル積
すべての F 加群は平坦だから、双関手(英語版) − ⊗ R − {\displaystyle -\otimes _{R}-} は両方の位置で完全であり、2 つの与えられた生成集合は基底であり、 { m i ⊗ n j ∣ i ∈ I , j ∈ J } {\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}} は確かに M ⊗F N の基底をなす。
S と T が可換 R-代数であれば、S ⊗R T も可換 R-代数になる。積写像は (m1 ⊗ m2) (n1 ⊗ n2) = (m1n1 ⊗ m2n2) によって定義され線型性によって拡張される。この設定において、テンソル積は R-代数の圏においてファイバー余積(英語版)になる。任意の環は Z-代数なので、つねに M ⊗Z N をとれることに注意しよう。
S1MR が S1-R-両側加群であれば、テンソル写像 ⊗:M×N→M⊗RN と協調的な M⊗N 上一意的な左 S1-加群構造が存在する。同様に、RNS2 が R-S2-両側加群であれば、テンソル写像と協調的な M⊗RN 上の唯一の右 S2-加群構造が存在する。
M と N がともに可換環上の R-加群であれば、それらのテンソル積は再び R-加群である。R が環であれば、RM は左 R-加群であり、R の任意の 2 つの元 r と s の交換子
rs − sr
は M の零化イデアルに入り、M を右 R 加群に
mr = rm.
とおくことでできる。R の M への作用は商可換環の作用を通して分解する。この場合 M の自分自身との R 上のテンソル積は再び R-加群である。これは可換代数において非常に一般的なテクニックである。