体積要素
正則曲面においては、この行列式はいたるところ非零、すなわちヤコブ行列のランクはいたるところで 2 である。
ここで、U 上の座標を微分同相写像
により変換し、座標 (u1, u2) が (v1, v2) に移るものとする。すなわち、 (u1, u2) = f(v1, v2) となる。この変換のヤコブ行列は次のように与えられる。
F i j = ∂ f i ∂ v j {\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}}
この新しい座標では、
∂ φ i ∂ v j = ∑ k = 1 2 ∂ φ i ∂ u k ∂ f k ∂ v j {\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}
となり、計量は以下のように変換される。
g ~ = F T g F {\displaystyle {\tilde {g}}=F^{\mathrm {T} }gF}
ここで、 ~g は v 座標系に引き戻した計量である。この行列式は次のようになる。
n-次元ユークリッド空間に埋め込まれた二次元曲面を考えることで、体積要素の単純な例を考察することができる。この場合、体積要素は面積要素と呼ばれることもある。部分集合 U ⊂ R と写像
φ : U → R n {\displaystyle \varphi :U\to \mathbf {R} ^{n}}
を考えることにより、R に埋め込まれた曲面を定義する。二次元では体積は面積であり、体積要素は曲面の任意の部分の面積を決定する方法を与える。したがって、体積要素は次の形式をとる。
f ( u 1 , u 2 ) d u 1 d u 2 {\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}
これにより曲面上の集合 B の面積を積分を用いて以下のように計算できる。
Area  ( B ) = ∫ B f ( u 1 , u 2 ) d u 1 d u 2 {\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}
ここで、通常の意味での面積を与えるような体積要素を決定したい。写像のヤコブ行列は以下のように書ける。