群作用
群 G が集合 X に作用しているとき、X の点 x の軌道 (orbit) とは、G の各元を x に作用させた要素の集合である。x の軌道を Gx で表せば、
G x = { g x ∣ g ∈ G } {\displaystyle Gx=\left\{gx\mid g\in G\right\}}
と書くことができる。群の性質から、X における(各点の)G の作用に関する軌道全体の成す集合が X の類別を与えることが保証される。この類別に対応する同値関係 ∼ は「x ∼ y となる必要十分条件は gx = y となる g ∈ G が存在すること」として得られる。軌道はこの同値関係に関する同値類であり、二つの元 x, y が同値であることは、それらが属する軌道が一致 (Gx = Gy) することとして述べることもできる。
G の作用に関する X の軌道全体の成す集合は X/G(あるいは多少稀だが G ⧵X)で表され、G の作用による X の商 (quotient) とも呼ばれる。幾何学的な設定では軌道空間 (orbit space) とも、代数的な設定では余不変式 (coinvariant) の空間とも呼ばれ、XG で表される(これに対して不変式(不動点)の全体は X で表される。余不変式の全体が「商」なのに対し、不変式の全体は「部分集合」となる)。余不変式の概念と記法は特に群コホモロジーと群ホモロジー(これも同様の添字の上付き・下付きで区別する慣習がある)で用いられる。