自然数
(i), (ii) をあわせることで、あらゆる自然数に対する演算結果が一意に得られることになる(数学的帰納法)。自然数は加法について、0 を単位元とする可換モノイドになっている。また、乗法についても、1 を単位元とする可換モノイドになっている。
加法と乗法は以下の法則を満たす。
結合法則 (a + b) + c = a + (b + c) (a × b) × c = a × (b × c)
交換法則 a + b = b + a a × b = b × a
分配法則 a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
以上の法則は加法、乗法の定義から数学的帰納法を用いて証明できる。
慣例として、a × b は ab と略記され、乗法は加法より先に計算される。例えば、 a + bc という式は a + (b × c) を意味する。