論理的帰結
論理的帰結の形式的記述は以下のような考え方に基づいている。
Γ ⊨ {\displaystyle \vDash } A とは、Γ/A と同じ論理形式を持つ主張の前提が真で結論が偽となることがないことを意味する。
ここから以下の2つが派生する。
Γ ⊨ {\displaystyle \vDash } A とは、Γ/A の中の論理的でない語句を一様に置換しても、前提が真で結論が偽となることがないことを意味する。
Γ ⊨ {\displaystyle \vDash } A とは、Γ/A の中の論理的でない語句を翻訳しても、前提が真で結論が偽となることがないことを意味する。
ここで、再度以下の主張を考える。
形式的記述 (1) によれば、この主張の中の論理的でない語句(カエル、緑色、カーミット)を一様に置換しても結論は前提の論理的帰結のままであり、前提が真で結論が偽とならない。例として以下のようなものがある。
この形式の主張はいくらでも作れるが、前提が真で結論が偽となるような例は出てこない。つまり、この主張はその論理的形式が本質的に演繹的妥当性を持つのであり、その特徴を以下のようなテンプレートとして抽出できる(ここで、F、G、a は意味のないプレースホルダーである)。
形式的記述 (2) も同じことを別の言い方(翻訳)をしているだけである。例えば、「カエル」を「配管工」、「緑色」を「内気」、「カーミット」を「マドンナ (歌手)」に翻訳してみよう。すると、前提が偽となり(全ての配管工が内気ではないし、マドンナは配管工ではない)、結論も偽となる(マドンナは内気ではない)。ほかにも様々な翻訳が考えられるが、前提が真で結論が偽となるような翻訳は見つからない。