ロジスティック写像
というように世代ごとに表した個体数を意味しており、ロジスティック写像とは現在の個体数 xn から次の世代の個体数 xn+1 を計算する式である。生物個体数モデルとしてのロジスティック写像は、ある生物の個体数がある環境中に生息し、さらにその環境と外部との間で個体の移出入がないような状況を想定しており、xn は正確には個体数そのものではなく、その環境中に存在できる最大個体数に対する割合を意味する。微分方程式で個体数をモデリングするロジスティック方程式の離散化からもロジスティック写像は導出でき、「ロジスティック写像」という名もそのことに由来する。
2次関数の力学系としての研究は20世紀初頭からあったが、1970年代、特に数理生物学者ロバート・メイの研究によってロジスティック写像は広く知られるようになった。メイ以外にも、スタニスワフ・ウラムとジョン・フォン・ノイマン、ペッカ・ミュルバーク(フィンランド語版)、オレクサンドル・シャルコフスキー(ウクライナ語版)、ニコラス・メトロポリス(英語版)ら、ミッチェル・ファイゲンバウムなどがロジスティック写像の振る舞い解明に関わる仕事を成している。
パラメータ a が a∞ = 3.56994... を超えると、ロジスティック写像はカオスと呼ばれる振る舞いを示す。カオスとは、大雑把に言えば、ロジスティック写像を表す差分方程式のように確率的な曖昧さがなく次の状態が完全に一意に決まるにもかかわらず起こる複雑で不規則な振る舞いのことである。ロジスティック写像の a > a∞ の範囲はカオス領域と呼ばれる。
カオスが持つ本質の一つが、バタフライ効果という言葉で象徴される予測不可能性である。これは、カオスによって初期の状態のわずかな違いが後の状態に巨大な差をもたらすという性質に起因する。離散力学系で言えば、2つの初期値 x0 と ˆx0 がどれだけ近い値だとしても、時間 n がある程度進めば、それぞれの行先 xn と ˆxn は著しく離れてしまう。例えば a = 3.95 を使い、x0 = 0.1 と ˆx0 = 0.