二項係数
ある種の三角積分は二項係数で表される値を持つ。m, n を非負整数として:
∫ − π π cos  ( ( 2 m − n ) x ) cos n  x d x = π 2 n − 1 ( n m ) {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\cos ^{n}x\ dx={\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}}}
∫ − π π sin  ( ( 2 m − n ) x ) sin n  x d x = { ( − 1 ) m + n + 1 2 π 2 n − 1 ( n m ) ( n : odd ) 0 ( otherwise ) {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin((2m-n)x)\sin ^{n}x\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+{\frac {n+1}{2}}}{\dfrac {\pi }{2^{n-1}}}{\dbinom {n}{m}}&(n{\text{: odd}})\\0&({\text{otherwise}})\end{cases}}}
二項係数を一般化するものとして
( n k 1 , k 2 , ... , k r ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k r ! ( ∑ i = 1 r k i = n ) {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}}\qquad (\textstyle \sum \limits _{i=1}^{r}k_{i}=n)}
で定義される数を多項係数と呼ぶ。二項係数が (x + y) の係数であったのに対し、多項係数は (x1 + x2 + ... + xr) の多項式展開の係数であり、r = 2 のとき二項係数を与える:
( n k 1 , k 2 ) = ( n k 1 , n − k 1 ) = ( n k 1 ) = ( n k 2 ) . {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2}}}={\binom {n}{k_{1},n-k_{1}}}={\binom {n}{k_{1}}}={\binom {n}{k_{2}}}.}
多項係数は、区別可能な n 個の元を r 個の箱に分けて入れるとき、箱の番号 i (1 ≤ i ≤ r) に対して各箱がちょうど ki 個の元を含むような分け方の総数として組合せ論的に解釈できる。
乗法表示を用いれば、n を任意の数 α(負の整数、実数、複素数、......)あるいは任意の整数が可逆となるような可換環の元に取り換えて、
( α k ) = α k _ k ! = α ( α − 1 ) ( α − 2 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 1 {\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}}
により二項係数の定義を拡張することができる。この定義により、二項定理(の一方の変数を 1 としたもの)も一般化して
と書くことができる。故にこの場合も (αk) を二項係数と呼ぶことは正当化される。この等式は任意の複素数 α と |X| < 1 なる X に対して有効である。
各二項係数多項式 (tk) は整数値(整数を代入したとき必ず整数を返す)である(これは例えばパスカルの等式(英語版)を用いて k に関する帰納法で示せる)。従って、二項係数多項式の任意の整係数線型結合もまた整数値多項式になる。逆に等式 (4) により任意の整数値多項式がこれら二項係数多項式の正係数線型結合となることが示せる。より一般に標数 0 の体の任意の部分環 R に対し、K[t] に属する多項式が任意の整数において R に値をとるための必要十分条件はそれが二項係数多項式の R-係数線型結合となっていることである。
これは (1 + x) (1 + x) = (1 + x) の展開における x の係数として、等式 (2) を用いて求めることができる。m = 1 のとき等式 (7) は等式 (3) に簡約される。
任意の整数 j, k, n (0 ≤ j ≤ k ≤ n) に対して適用できる同様の等式
は、 x l ( 1 − x ) l + 1 = ∑ p = 0 ∞ ( p l ) x p {\displaystyle {\frac {x^{l}}{(1-x)^{l+1}}}=\textstyle \sum \limits _{p=0}^{\infty }{\dbinom {p}{l}}x^{p}} を用いれば
x ( x j ( 1 − x ) j + 1 ) ( x k − j ( 1 − x ) k − j + 1 ) = x k + 1 ( 1 − x ) k + 2 {\displaystyle x\left({\tfrac {x^{j}}{(1-x)^{j+1}}}\right)\left({\tfrac {x^{k-j}}{(1-x)^{k-j+1}}}\right)={\tfrac {x^{k+1}}{(1-x)^{k+2}}}}
の展開における x の係数として求められる。j = k のとき等式 (8) は
∑ m = 0 n ( m k ) = ( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{m=0}^{n}{\dbinom {m}{k}}={\dbinom {n+1}{k+1}}}