漸化式
実数列 (an)n=1 が与えられたとき、この数列の第一階差 (first difference) Δ(an) は
Δ ( a n ) := a n + 1 − a n {\displaystyle \Delta (a_{n}):=a_{n+1}-a_{n}}
で与えられ、第二階差 (second difference) Δ(an) が
Δ 2 ( a n ) := Δ ( a n + 1 ) − Δ ( a n ) {\displaystyle \Delta ^{2}(a_{n}):=\Delta (a_{n+1})-\Delta (a_{n})}
あるいは簡約化して
Δ 2 ( a n ) := a n + 2 − 2 a n + 1 + a n {\displaystyle \Delta ^{2}(a_{n}):=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}}
で与えられる。もっと一般に、数列 (an) の第 k-階差 (k difference) Δ(an) が
Δ k ( a n ) := Δ k − 1 ( a n + 1 ) − Δ k − 1 ( a n ) {\displaystyle \Delta ^{k}(a_{n}):=\Delta ^{k-1}(a_{n+1})-\Delta ^{k-1}(a_{n})}
で帰納的に定義される。
ある種の差分方程式、とくに定数係数線型差分方程式は、z-変換を用いて解くことができる。z-変換は積分変換の一種で代数的操作がしやすく、解がより容易に求まる。解が直接には、まったくというわけではないが不可能な場合でも、積分変換をうまく選べば容易に解けることもある。