レイリー・プレセット方程式
を得る。 代入の過程で粘性項が消えたことに注意する。 変数分離して、気泡の境界 r = R {\displaystyle r=R} から r → ∞ {\displaystyle r\rightarrow \infty } まで積分
− 1 ρ L ∫ P ( R ) P ∞ d P = ∫ R ∞ [ 1 r 2 ( 2 R ( d R d t ) 2 + R 2 d 2 R d t 2 ) − 2 R 4 r 5 ( d R d t ) 2 ] d r {\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P_{\infty }}\mathrm {d} P=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]\mathrm {d} r}
流体力学においてレイリー・プレセット方程式(レイリー・プレセットほうていしき、英語: Rayleigh–Plesset equation)とは、無限遠点まで満たされた液体内における球形の気泡の動力学を記述する常微分方程式である 。 この方程式は一般的には次のように書かれる:
P B ( t ) − P ∞ ( t ) ρ L = R d 2 R d t 2 + 3 2 ( d R d t ) 2 + 4 ν L R d R d t + 2 S ρ L R {\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}
ここで、
P B ( t ) {\displaystyle P_{B}(t)} は気泡内部の圧力(均一とする)
P ∞ ( t ) {\displaystyle P_{\infty }(t)} は気泡外部の無限遠点における圧力
となるので、 F ( t ) {\displaystyle F(t)} は
F ( t ) = ( 1 − ρ V ρ L ) R 2 d R d t {\displaystyle F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}}
と求められる。
多くの場合、液体の密度はその蒸気の密度に比べて大変大きい( ρ L ≫ ρ V {\displaystyle \rho _{L}\gg \rho _{V}} )ので、 F ( t ) {\displaystyle F(t)} は前者の質量輸送の無い場合 F ( t ) = R 2 d R / d t {\displaystyle F(t)=R^{2}\mathrm {d} R/\mathrm {d} t} に近似され、
u ( r , t ) = F ( t ) r 2 = R 2 r 2 d R d t {\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}}
となる。