変分法における直接解法
オイラー=ラグランジェ方程式を導出する際の一般的なアプローチは、 Ω {\displaystyle \Omega } の境界が C 2 {\displaystyle C^{2}} であり、 J {\displaystyle J} の定義域が C 2 ( Ω , R m ) {\displaystyle C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})} であるとするものである。この空間は上限ノルムが備えられるときにバナッハ空間となるが、回帰的ではない。直接解法が適用される場合、汎函数は通常 p > 1 {\displaystyle p>1} であるようなソボレフ空間 W 1 , p ( Ω , R m ) {\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})} に対して定義される。そのような空間は回帰的なバナッハ空間である。このとき、 J {\displaystyle J} の式における u {\displaystyle u} の微分は、弱微分として取られる。次節では、上述のタイプの汎函数の弱列的下半連続性に関する二つの定理を紹介する。
直接解法はしばしば、可分かつ回帰的なバナッハ空間 W {\displaystyle W} の部分集合として空間 V {\displaystyle V} が与えられる場合に適用される。この場合、列的バナッハ=アラオグルの定理は、 V {\displaystyle V} 内の任意の有界列 ( u n ) {\displaystyle (u_{n})} は、弱位相に関して W {\displaystyle W} 内のある u 0 {\displaystyle u_{0}} に収束する部分列を持つ。 V {\displaystyle V} が W {\displaystyle W} 内において列的に閉で、したがって u 0 {\displaystyle u_{0}} が V {\displaystyle V} に属する場合は、直接解法は次を示すことによってある汎函数 J : V → R ̄ {\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}} に対して適用される。
J {\displaystyle J} は下に有界
J {\displaystyle J} に対する任意の最小化列は有界