変位演算子
D ^ ( α ) D ^ ( β ) = e ( α β ∗ − α ∗ β ) / 2 D ^ ( α + β ) {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}(\beta )=e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}{\hat {D}}(\alpha +\beta )}
これはベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(英語版)を使うと証明できる( e α a ^ † − α ∗ a ^ e β a ^ † − β ∗ a ^ = e ( α + β ) a ^ † − ( β ∗ + α ∗ ) a ^ e ( α β ∗ − α ∗ β ) / 2 {\displaystyle e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}e^{\beta {\hat {a}}^{\dagger }-\beta ^{*}{\hat {a}}}=e^{(\alpha +\beta ){\hat {a}}^{\dagger }-(\beta ^{*}+\alpha ^{*}){\hat {a}}}e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}} )。これが固有ケットに作用すると位相因子 e ( α β ∗ − α ∗ β ) / 2 {\displaystyle e^{(\alpha \beta ^{*}-\alpha ^{*}\beta )/2}} が現れるが、これは物理的には意味がない。
変位演算子はユニタリー演算子であり、次に従う。
D ^ ( α ) D ^ † ( α ) = D ^ † ( α ) D ^ ( α ) = 1 ^ {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {D}}(\alpha )={\hat {1}}}
変位演算子のエルミート共役は逆の大きさ( − α {\displaystyle -\alpha } )の変位である。
D ^ † ( α ) = D ^ ( − α ) {\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {D}}(-\alpha )}
生成消滅演算子に変位演算子による相似変換をすると、生成消滅演算子が変位される。
D ^ † ( α ) a ^ D ^ ( α ) = a ^ + α {\displaystyle {\hat {D}}^{\dagger }(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}(\alpha )={\hat {a}}+\alpha }
D ^ ( α ) a ^ D ^ † ( α ) = a ^ − α {\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {a}}{\hat {D}}^{\dagger }(\alpha )={\hat {a}}-\alpha }
2つの変位演算子の積も変位演算子である。位相因子は別として、2つの個々の変位を足し合わせたトータルの変位を行う。