窓関数
hann window(hannは人名由来だが、慣習的に小文字で書く)。フォンハン窓 (von Hann window)、2乗余弦窓、raised cosine windowとも。ユリウス・フォン・ハン(英語版)が考案した。ハン窓及び後述のハミング窓は、後の研究で後述する一つの関数族「一般化ハミング窓("raised cosine" または "generalized Hamming" 窓)」に分類されたため、ハン(Han)とハミング(Hamming)両名の名前から合成された「ハニング窓(hanning window)」という呼び方でハン窓を指す場合もある。
最もよく使われる窓関数の一つ。
w ( x ) = 0.5 − 0.5 cos  2 π x , if 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle w(x)=0.5-0.5\cos 2\pi x,\ {\mbox{if }}0\leq x\leq 1}
特に断らない限り、区間を [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]\,} にとり、 max x w ( x ) = 1 {\displaystyle \max _{x}w(x)=1\,} と正規化した式を書く。 区間を [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]\,} にとる資料もある。 w ( x ) = 0 {\displaystyle w(x)=0\,} となる場合分けは省略した。 w ( x ) = 0 , otherwise {\displaystyle w(x)=0,{\mbox{ otherwise}}\,} を適宜おぎなって読んでほしい。
離散化するには、 k = 0 , ... , N − 1 {\displaystyle k=0,\ldots ,N-1} に対して、 x = k / ( N − 1 ) {\displaystyle x=k/(N-1)\,} と、 x = ( k + 0.5 ) / N {\displaystyle x=(k+0.5)/N\,} の2種類の方法があるが、特殊な用途を除き、どちらでも大差はない。また、初めから k {\displaystyle k\,} に対する関数 w ( k ) {\displaystyle w(k)\,} や系列 w k {\displaystyle w_{k}\,} を表す資料もあるので、注意してほしい。
グラフは、 x = k / ( N − 1 ) {\displaystyle x=k/(N-1)\,} と離散化したときの、窓関数自身と、DFTで求めたパワースペクトルである。