半直積
群 N の 群 H による半直積とは、分裂する短完全列
1 → N → G → H → 1 {\displaystyle 1\to N\to G\to H\to 1}
を持つような群 G のことである。ここで、短完全列が分裂するとは切断 s : H → G が存在することである。(つまり半直積 G とは群 N の群 H による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。)
位数 8 の四元数群 Q8 = ⟨ i, j, k | i = j = k = ijk ⟩ は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできない。