ハートレー変換
余弦正弦(cas)関数の性質は、三角法およびその位相変換三角関数 cas ( t ) = 2 sin  ( t + π / 4 ) {\displaystyle {\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4)} としての定義により従う。例えば、
2 cas ( a + b ) = cas ( a ) cas ( b ) + cas ( − a ) cas ( b ) + cas ( a ) cas ( − b ) − cas ( − a ) cas ( − b ) {\displaystyle 2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}}(-b)\,}
および
によって、ハートレー変換から得ることが出来る。つまり、フーリエ変換の実部と虚部は、それぞれハートレー変換の偶部分(even part)と奇部分(odd part)によって与えられることになる。
逆に、実数値関数 f(t) に対して、ハートレー変換はフーリエ変換の実部と虚部を用いることで
{ H f } = R { F f } − I { F f } = R { F f ⋅ ( 1 + i ) } {\displaystyle \{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\cdot (1+i)\}}
として得られる。ここで R {\displaystyle \Re } および I {\displaystyle \Im } は複素フーリエ変換の実部と虚部をそれぞれ表す。