モチーフ (数学)
固定された基礎体 k に対し、混合モチーフ(mixed motives)の圏は、アーベル圏でテンソル圏 MM(k) が次の函手伴っていることが予想されている。
Var(k) → MM(X)
全ての(コンパクトとも滑らかとも限らない)代数多様体に対してモチーフを与える。これは、射影的な滑らか多様体にピュアモチーフを与えることの拡張になっている。さらに、
Ext*MM(1, ?)
として定義されたモチヴィックコホモロジーが、代数的K-理論から予想されたモチーフと有理係数では一致し、適当な意味で周モチーフの圏を持っているモチーフであるはずである。そのような圏の存在が、アレクサンドル・ベイリンソン(英語版)(Alexander Beilinson)により予想されている。しかしこのようなアーベル圏は、未だに構成されていない。
そのような圏を構成することに代わり、ドリーニュ(Deligne)は導来圏
D(MM(k))
に期待される性質を持つ圏 DM(k) をまず構成することを提案した。
従って予想されているモチヴィックな t-構造(英語版)(t-structure)によって、DM (k)からheartをとることでMM (k)が得られる。
ここに Γf ⊆ X × Y は f : X → Y のグラフである。
まさに SmProj(k) のように、圏 Corr(k) は直和 ( X ⊕ Y := X ∐ Y {\displaystyle \scriptstyle X\oplus Y:=X\coprod Y} ) と テンソル積 ( X ⊗ Y := X × Y {\displaystyle \scriptstyle X\otimes Y:=X\times Y} ) を持っている。この圏は、準加法圏(準加法圏と加法圏の記法については準加法圏の記事を参照)。射の和は、
α + β := ( α , β ) ∈ A ∗ ( X × X ) ⊕ A ∗ ( Y × Y ) ↪ A ∗ ( ( X ∐ Y ) × ( X ∐ Y ) ) {\displaystyle \alpha +\beta :=(\alpha ,\beta )\in A^{*}(X\times X)\oplus A^{*}(Y\times Y)\hookrightarrow A^{*}((X\coprod Y)\times (X\coprod Y))}
により定義される。
元来、モチーフの理論は、ベッチコホモロジー、ド・ラームコホモロジー、l-進エタールコホモロジー、クリスタリンコホモロジー(英語版)(crystalline cohomology)を含む、急速に増えてきたコホモロジー論を統一しようとの試みである。一般的な期待は、
[点]
[射影直線] = [直線] + [点]
[射影平面] = [平面] + [直線] + [点]
のような方程式が、深い意味をもった確固とした数学的基礎として採用できるという期待である。もちろん、上の方程式は、多くの意味で正しいことがすでに知られている。例えば、CW複体(CW-complex)では、"+" は胞体(cell)の連結に対応していて、様々なコホモロジー論で "+" は直和に対応している。
他の観点からは、モチーフは、多様体の因子上の有理函数から多様体の周群(Chow group)の上の有理函数への一般化へと繋がっている。モチーフは有理同値以外にも多くのタイプの同値の観点から考えることが可能であるので、一般化は様々な方向で発生する。適切な同値関係(英語版)(adequate equivalence relation)の定義により、構成する同値関係が与えられる。
上で使った(全く一般的な)サイクルと比較すると、これらの滑らかな対応の定義は、限定的である。特に、それらはいつでも固有に交叉しているので、サイクルを動かすこと、従って同値関係は対応としてはwell-definedであるとは限らない。この圏は SmCor と書き、加法的である。
テクニカルな中間段階として、滑らかなスキームや対応の有界な鎖複体のホモトピー圏(英語版)(homotopy category) K(SmCor) を取る。
強制的に任意の多様体 X へ圏の局所化を適用し、同型 X × A となるようにする。そのとき、マイヤー・ヴィエトリス系列が保たれる。すなわち、X = U ∪ V (2つの開いた部分多様体の合併)は U ∩ V → U ⊔ V と同型となる。
結局、上記のように擬アーベル的包絡を得る。
結果として得られる圏は、有効幾何学的モチーフの圏(category of effective geometric motives)と呼ばれる。繰り返すと、テイト対象(Tate object)を形式的に逆にしたものとして、幾何学的モチーフの圏 DM がえら得れる。