ラグランジュ点
その後の1772年に、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュは論文『三体問題に関するエッセイ』において、オイラーの直線解は一般の三体問題の場合にも成り立つことを説明し、加えて、トロヤ点を含む5つすべてのラグランジュ点を求めることに成功した。ラグランジュ点を求めるにあたっては、一般に次の仮定をおく。
2つの天体EとMは、これらの重心を共通の中心とする円を軌道として回転運動している。
第三の天体Aの質量は、天体Eと天体Mの各質量に比べて、無視できるほど小さい。
天体Aは、天体Eと天体Mの公転軌道を含む平面上でのみ運動する。
天体Aの運動を考えるに際して、天体Eと天体Mが常に静止しているようにみえる回転座標系を採用する。すなわち、「天体Eと天体Mの重心を中心として、これらの公転周期に相当する角速度で回転する座標系」を採用する。 ここでもし、天体Eが天体Mより十分に大きな質量を有していれば、冒頭の図のように、回転座標系において天体Eが中心にあり、天体Mは公転軌道を示す円上の一点で静止している、とほぼ見做すことができる。
以上の仮定のもとで求めた、第三の天体Aが力を受けない座標位置がラグランジュ点である。天体Aはこの回転座標上のラグランジュ点において、安定に留まれる(すなわち、天体Eや天体Mに対する静止位置を保てる)可能性がある。天体Aはラグランジュ点において、天体Eによる重力、天体Mによる重力、および、天体Eと天体Mの公転速度で回る回転座標系に生じる遠心力、これらの3つの力が釣り合っている。
96} を満たす場合において、各ラグランジュ点の付近で安定に閉じた軌道運動ができる。太陽-地球系や地球-月系などにおいて、上記の質量比の条件が満たされている。L4やL5において、ある物体が適切な速度を有していると、回転座標上のポテンシャルのなかでコリオリの力を受けながら軌道運動を行い、L4やL5の周囲を周回する。この軌道は、回転座標系における等ポテンシャル線に沿ったインゲン豆型の安定な軌道である。
また、太陽系のような制限なしの多体力学系にはL1, L2, L3にあるようなハロー軌道は存在しないが、準周期的なリサジュー軌道が存在する。リサジュー軌道は完全に安定ではないが、比較的小さな労力で長期にわたって、目的の位置(リサジュー軌道上)に宇宙機を留めておくことができる。リサジュー軌道は、これまで行われた(ラグランジュ点を利用するものを含めた)全ての宇宙ミッションで実際に使われてきた。少なくとも太陽‐地球系のL1を使うミッションでは、L1付近に宇宙機を置くよりも、大きな振幅 (100,000 – 200,000 km) を持つリサジュー軌道に置いた方が運用上好都合なことがある。たとえば、リサジュー軌道で宇宙機を太陽と地球を結ぶ直線から外れた位置に滞在させることで、地球と宇宙機間の通信への太陽の干渉が低減するメリットがある。