積の微分法則
d ( u v ) d x = st  ( ( u + d u ) ( v + d v ) − u v d x ) = st  ( u v + u ⋅ d v + v ⋅ d u + d v ⋅ d u − u v d x ) = st  ( u ⋅ d v + ( v + d v ) ⋅ d u d x ) = u d v d x + v d u d x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{\mathit {dx}}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+{\mathit {du}})(v+{\mathit {dv}})-uv}{\mathit {dx}}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot {\mathit {dv}}+v\cdot {\mathit {du}}+{\mathit {dv}}\cdot {\mathit {du}}-uv}{\mathit {dx}}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot {\mathit {dv}}+(v+{\mathit {dv}})\cdot {\mathit {du}}}{\mathit {dx}}}\right)\\&={u}{\frac {\mathit {dv}}{\mathit {dx}}}+{v}{\frac {\mathit {du}}{\mathit {dx}}}\end{aligned}}}
と計算できる。(このとき標準部分を取る代わりに)同質性の超限法則(英語版)を適用することを考えれば、これは本質的にライプニッツの証明である。
因子が二つの積の n-階導函数に対しても積の法則(ライプニッツ則)は一般化することができて、
( u v ) ( n ) ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) ⋅ u ( n − k ) ( x ) ⋅ v ( k ) ( x ) {\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x)}
が成り立ち、一般ライプニッツ則と呼ばれる。これは二項定理と非常に似た形をしている(二項係数の項も参照)。
積の法則の厳密な証明には、微分の定義と極限の基本性質を用いる。
積 h(x) = f(x)g(x) について、各因子 f, g は一点 x0 においてそれぞれ微分可能であるものとする(以降、本節を通して x0 は固定するものとする)。主張は、積 h が点 x0 において微分可能であること、およびその微分係数 h'(x0) が f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) で与えられることの二点である。
差分 Δh := h(x0+Δx) - h(x0) を考える。x0 は固定しているといっても、Δh は Δx の値(これは十分に「小さい」ものと考える)に依存して変化することに注意せよ。
積 h が x0 において微分可能であるということは、極限
lim Δ x → 0 Δ h Δ x {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\Delta h \over \Delta x}}
が存在するという意味であり、また微分可能であるとき h'(x0) はこの極限の値として定義されるのであった。
Δh と同様に、Δf := f(x0+Δx) - f(x0) および Δg := g(x0+Δx) - g(x0) と定める。これらはやはり Δh と同じく Δx の函数になる。このとき f(x0+Δx) = f(x0) + Δf および g(x0+Δx) = g(x0) + Δg である。
∂ 3 ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ( u v ) = u ⋅ ∂ 3 v ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 1 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 2 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 2 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 1 ∂ x 3 + ∂ u ∂ x 3 ⋅ ∂ 2 v ∂ x 1 ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 2 ⋅ ∂ v ∂ x 3 + ∂ 2 u ∂ x 1 ∂ x 3 ⋅ ∂ v ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 ∂ x 3 ⋅ ∂ v ∂ x 1 + ∂ 3 u ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ⋅ v {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\\\&{}=u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\\\&{}\qquad +{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v\end{aligned}}}