ヴァン・オーベルの定理
四角形 ABCD に対して,頂点 A を原点 O とする。ベクトル AB を複素数 2a に、ベクトル BC を複素数 2b に、ベクトル CD を複素数 2c に、ベクトル DA を複素数 2d に対応させる。ここで複素数の係数2は計算上の便宜的なものである。また、正方形の中心については、ベクトル AP を複素数 p に、ベクトル AQ を複素数 q に、ベクトル AR を複素数 r に、ベクトル AS を複素数 s に対応させる。四角形 ABCD は閉じているから、ベクトルを計算すると
2 a + 2 b + 2 c + 2 d = 0 {\displaystyle 2a+2b+2c+2d=0}
つまり、
a + b + c + d = 0 {\displaystyle a+b+c+d=0}
となる。この条件で証明することになる。 点 P は点 A から点 B に向かって半分進み、90度方向を変えて半分だけ進むから、複素数 p は、
p = a + i a = ( 1 + i ) a {\displaystyle p=a+ia=(1+i)a}
となる。ここに、i は虚数単位で、i2=-1 である。複素数は極形式 (r,θ) でも表現され、
i=cosπ/2+i sinπ/2=e
であるから、a に i をかけるということは半径r=1、偏角π/2の複素数をかけるということであり、拡大縮小をともなわない回転移動ということになる。
同様にして、複素数 q,r,s は次のようになる。
q = 2 a + ( 1 + i ) b {\displaystyle q=2a+(1+i)b}
r = 2 a + 2 b + ( 1 + i ) c {\displaystyle r=2a+2b+(1+i)c}