再生核ヒルベルト空間
∑ i , j = 1 n c i c j K ( x i , x j ) = ∑ i = 1 n c i ⟨ K x i , ∑ j = 1 n c j K x j ⟩ H = ⟨ ∑ i = 1 n c i K x i , ∑ j = 1 n c j K x j ⟩ H = ‖ ∑ i = 1 n c i K x i ‖ H 2 ≥ 0 {\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}c_{i}c_{j}K(x_{i},x_{j})=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left\langle K_{x_{i}},\sum _{j=1}^{n}c_{j}K_{x_{j}}\right\rangle _{H}=\left\langle \sum _{i=1}^{n}c_{i}K_{x_{i}},\sum _{j=1}^{n}c_{j}K_{x_{j}}\right\rangle _{H}=\left\|\sum _{i=1}^{n}c_{i}K_{x_{i}}\right\|_{H}^{2}\geq 0}
が任意の n ∈ N , x 1 , ... , x n ∈ X , and c 1 , ... , c n ∈ R . {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,x_{1},\dots ,x_{n}\in X,{\text{ and }}c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {R} .} で成り立つ。Moore–Aronszajnの定理 (下に説明あり) は、ある種これの逆であり、関数 K {\displaystyle K} がこれらの条件を満たすならば、 K {\displaystyle K} が再生核であるような X {\displaystyle X} 上の関数のヒルベルト空間が存在する、という主張である。
他の一般的な核として、 K ( x , y ) = K ( ‖ x − y ‖ ) {\displaystyle K(x,y)=K(\|x-y\|)} を満たすものがある。例えば以下がある。
ガウシアン(自乗指数)核: K ( x , y ) = e − ‖ x − y ‖ 2 2 σ 2 , σ > 0 {\displaystyle K(x,y)=e^{-{\frac {\|x-y\|^{2}}{2\sigma ^{2}}}},\qquad \sigma >0}
ラプラシアン核: K ( x , y ) = e − ‖ x − y ‖ σ , σ > 0 {\displaystyle K(x,y)=e^{-{\frac {\|x-y\|}{\sigma }}},\qquad \sigma >0} この核で定義されたRKHS H {\displaystyle H} にある関数 f {\displaystyle f} の自乗ノルムは以下の通りである。 ‖ f ‖ H 2 = ∫ R ( 1 σ f ( x ) 2 + σ f ′ ( x ) 2 ) d x . {\displaystyle \|f\|_{H}^{2}=\int _{\mathbb {R} }{\Big (}{\frac {1}{\sigma }}f(x)^{2}+\sigma f'(x)^{2}{\Big )}\mathrm {d} x.}