一般線型群
GL n  ( F ) = { A ∈ M n  ( F ) ∣ ∃ B ∈ M n  ( F ) A B = I n = B A } = { A ∈ M n  ( F ) ∣ det A ≠ 0 } {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {GL} _{n}(F)&=\{\,A\in \operatorname {M} _{n}(F)\mid \exists B\in \operatorname {M} _{n}(F)\ AB=I_{n}=BA\,\}\\&=\{\,A\in \operatorname {M} _{n}(F)\mid \det A\neq 0\,\}\end{aligned}}}
どちらの定義も同じ対象を定めていると思ってよい。実際、n 次元 F 線型空間 V 上の一般線型群 GL(V) と n 次正則行列全体 GLn(F) との間には次で定まる同型写像がある。
GL  ( V ) → GL n  ( F ) , f ↦ A = ( a i j ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)\to \operatorname {GL} _{n}(F),\ f\mapsto A=(a_{ij})}
f ( v i ) = ∑ j = 1 n a j i v j {\displaystyle f(v_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}v_{j}}