マクスウェル・ベティの相反作用の定理
簡単な証明としてi = k = 1とし、弾性体に力PAとPBの2つの荷重を作用させる。ただし作用させる手順は次の2通りを考える。
PAを作用させた後、PBを作用させる。このとき、 PAを作用させた際の点Aの変位をuAAとすると、外力仕事は(1/2)PA uAA その後PBを作用させた際の点A, Bの変位をそれぞれuAB, uBBとすると、外力仕事は(1/2)PB uBB + PA uAB
PBを作用させた後、PAを作用させる。このとき、 PBを作用させた際の点Bの変位をuBBとすると、外力仕事は(1/2)PB uBB その後PAを作用させた際の点A, Bの変位をそれぞれuAA, uBAとすると、外力仕事は(1/2)PA uAA + PB uBA
弾性体に蓄えられるひずみエネルギーは経路によらないため、それぞれの手順による外力仕事の和は同じでなければならない。したがって