円周率の無理性の証明
証明: π = a b {\displaystyle \pi ={\frac {a}{b}}} より fn(π − x) = fn(x) 、この両辺を k 階微分すると、連鎖律(合成関数の微分法則)より、
( − 1 ) k f n ( k ) ( π − x ) = f n ( k ) ( x ) {\displaystyle (-1)^{k}f_{n}^{(k)}(\pi -x)=f_{n}^{(k)}(x)}
が(正確には数学的帰納法により)分かる。k = 0, 2, 4, ..., 2n を代入して得られる式の総和を取ると、
F n ( π − x ) = F n ( x ) {\displaystyle F_{n}(\pi -x)=F_{n}(x)}
を得る。x = 0 を代入すると、補題の式が得られる。
補題 3: ∫ 0 π f n ( x ) sin  x d x = 2 F n ( 0 ) {\displaystyle \int _{0}^{\pi }f_{n}(x)\sin x\,dx=2F_{n}(0)}
証明:deg fn = 2n より fn(x) = 0、ゆえに、
F n ′′ ( x ) + F n ( x ) = f n ( x ) {\displaystyle F''_{n}(x)+F_{n}(x)=f_{n}(x)}
これと、積の微分法、三角関数の微分の公式(微分法#概要参照)を用いると、
( F n ′ ( x ) sin  x − F n ( x ) cos  x ) ′ = f n ( x ) sin  x {\displaystyle (F'_{n}(x)\sin x-F_{n}(x)\cos x)'=f_{n}(x)\sin x}
本節では、ニーベンの証明を紹介する。原論文は必要最低限の記述しかないが、ここではいくらか解説を加えている。円周率 π は、正弦関数 sin x の正の零点の中で最小のものとする。証明は背理法による。すなわち π が有理数であり π = a b {\displaystyle \pi ={\frac {a}{b}}} (a, b は正の整数)と表せるものと仮定して、それから矛盾を導く。
自然数 n に対して、実関数 fn(x) を
f n ( x ) = 1 n ! x n ( a − b x ) n {\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{n!}}x^{n}(a-bx)^{n}}
で定義する。さらに、
F n ( x ) = f n ( x ) − f n ( 2 ) ( x ) + f n ( 4 ) ( x ) − ⋯ + ( − 1 ) n f n ( 2 n ) ( x ) {\displaystyle F_{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n}^{(2)}(x)+f_{n}^{(4)}(x)-\cdots +(-1)^{n}f_{n}^{(2n)}(x)}
とおく。ここで、f は f の k 階微分を表す。
補題 1:Fn(0) は整数である。
証明:fn(x) の定義式を二項展開すると、
f n ( x ) = 1 n !