フレドホルム行列式
フレドホルム行列式は、物理学者 John A. Wheeler (1937, Phys. Rev. 52:1107) によって、共鳴群法により部分波動関数の反対称な組み合わせとして構成される、複合原子核に対する波動関数の数学的表記を与えるために、用いられた。この方法は、アルファ粒子やヘリウム-3、重水素、トリトン、重中性子など、基本的なボース粒子やフェルミ粒子のクラスター群あるいは構成要素へと、中性子や陽子のエネルギーを分配するためのさまざまな方法に対応するものである。ベータやアルファ安定アイソトープのために共鳴群法が応用されるとき、フレドホルム行列式は、(1) 複合システムのエネルギー値を決定するため、および (2) 分布と崩壊の断面図を決定するために用いられる。Wheeler の共鳴群法は、以後のすべての核子クラスターモデルに対する理論的な基盤と、すべての軽および重質量アイソトープのための対応するクラスターエネルギーダイナミクスをもたらすものであった(N.D. Cook, 2006 に含まれる、物理学でのクラスターモデルについてのレビューを参照されたい)。
H = L (S) とし、P をハーディ空間 H (S) の上への直交射影とする。
f がその円板上の滑らかな関数であるとき、対応する H 上の乗算作用素を m(f) と表すことにする。
交換子
Pm(f) - m(f)P
はトレースクラスである。
T(f) を、
T ( f ) = P m ( f ) P {\displaystyle T(f)=Pm(f)P}
のように定義される H (S) 上のテープリッツ作用素(英語版)とする。このとき、加法的な交換子
T ( f ) T ( g ) − T ( g ) T ( f ) {\displaystyle T(f)T(g)-T(g)T(f)}
がトレースクラスであるための十分条件は、f と g が滑らかであることである。
ベルガーとショウは、次の等式を示した:
t r ( T ( f ) T ( g ) − T ( g ) T ( f ) ) = 1 2 π i ∫ 0 2 π f d g . {\displaystyle {\rm {tr}}(T(f)T(g)-T(g)T(f))={1 \over 2\pi i}\int _{0}^{2\pi }fdg.}
f と g が滑らかであるなら、
T ( e f + g ) T ( e − f ) T ( e − g ) {\displaystyle T(e^{f+g})T(e^{-f})T(e^{-g})}
は G に含まれる。
ハロルド・ウィドム(英語版)は、ピンカス=ヘルトン=ハウの結果を使って、次の等式を示した:
H をヒルベルト空間とし、G を H 上の有界可逆作用素で I + T と書き表されるようなもの(ここで T はトレースクラス作用素(英語版)とする)とする。G は、
( I + T ) − 1 − I = − T ( I + T ) − 1 {\displaystyle (I+T)^{-1}-I=-T(I+T)^{-1}}
が成立するために、群である。
トレースクラスノルムを || · ||1 と表すとき、G には d(X, Y) = ||X - Y||1 で定義される自然な計量が存在する。
H を、内積 ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} を備えるヒルベルト空間としたとき、k次の外積冪 Λ k H {\displaystyle \Lambda ^{k}H} も、内積
( v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v k , w 1 ∧ w 2 ∧ ⋯ ∧ w k ) = d e t ( v i , w j ) {\displaystyle (v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots \wedge w_{k})={\rm {det}}\,(v_{i},w_{j})}
によりヒルベルト空間となる。
特に、H の正規直交基底を (ei) としたとき、
e i 1 ∧ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i k , ( i 1 < i 2 < ⋯ < i k ) {\displaystyle e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}