平方因子をもたない整数
Q(x) を x を超えない無平方数の個数とする。大きい n に対して、n より小さい正の整数の 3/4 は 4 で割り切れない、8/9 は 9 で割り切れない、など。これらの事象は独立であるから、次の近似を得る。
Q ( x ) ≈ x ∏ p prime ( 1 − 1 p 2 ) = x ∏ p prime 1 ( 1 − 1 p 2 ) − 1 {\displaystyle Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)=x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{p^{2}}})^{-1}}}}
Q ( x ) ≈ x ∏ p prime 1 1 + 1 p 2 + 1 p 4 + ⋯ = x ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = x ζ ( 2 ) {\displaystyle Q(x)\approx x\prod _{p\ {\text{prime}}}{\frac {1}{1+{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots }}={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}}}={\frac {x}{\zeta (2)}}}
この議論は厳密に行うことができる。非常に初等的な評価によって
Q ( x , n ) = x ∑ k = 1 ∞ 1 k n + O ( x n ) = x ζ ( n ) + O ( x n ) . {\displaystyle Q(x,n)={\frac {x}{\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)={\frac {x}{\zeta (n)}}+O\left({\sqrt[{n}]{x}}\right).}
4 の倍数は平方因子 4 = 2 をもつから、4 つ連続する整数がすべて無平方であることはありえない。一方、 4n +1, 4n +2, 4n +3 が 3 つとも無平方となる n は無数に存在する。というのは十分大きな n に対して4n +1, 4n +2, 4n +3 の少なくとも 1 つが平方因子をもつなら、4 の倍数と合わせて、平方因子をもつ整数は整数全体の少なくともほぼ半数を占めることになり、
Q ( x ) ≤ x 2 + C {\displaystyle Q(x)\leq {\frac {x}{2}}+C} ( C は定数)
となるが、これは上記の漸近密度と矛盾するからである。
また、平方因子をもつ、任意の長さの連続した整数が存在する。というのは p 1 , p 2 , ... , p l {\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{l}} を相異なる素数とし n を連立合同式