メリン変換
ディリクレ級数へのメリン逆変換の応用について述べたものに、ペロンの公式がある。
メリン変換は素数計数関数の解析に用いられる。またリーマンゼータ関数の議論にも現れる。
メリン逆変換は主にリース平均に現れる。
メリン変換はオーディオ・タイムスケール-ピッチ調整に使うことが出来る。
両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて
{ B f } ( s ) = { M f ( − ln  x ) } ( s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}
と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により
{ M f } ( s ) = { B f ( e − x ) } ( s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)}
と表される。
メリン変換は、積分核 x を用いた、乗法的ハール測度 d x x {\displaystyle {\frac {dx}{x}}} についての積分と考えることが出来る。ここで d x x {\displaystyle {\frac {dx}{x}}} は拡張 x ↦ a x {\displaystyle x\mapsto ax} について不変であり、したがって d ( a x ) a x = d x x {\displaystyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}}} が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 d x {\displaystyle dx} についての積分と考えられる。