キャロル数
n > 2 において、n 番目のキャロル数の二進表現は、n − 2 個の連続する 1 と 0 と、n + 1 個の 1 で表される。より数学的には、
∑ i ≠ n + 2 2 n 2 i − 1 {\displaystyle \sum _{i\neq n+2}^{2n}2^{i-1}}
と書ける。
したがって、例えば3番目のキャロル数である47は101111、4番目のキャロル数である223は11011111などとなる。2n 番目のメルセンヌ数と n 番目のキャロル数の差は 2 n + 1 {\displaystyle 2^{n+1}} である。この性質は、キャロル数を ( 2 2 n − 1 ) − 2 n + 1 {\displaystyle (2^{2n}-1)-2^{n+1}} と表現するとわかりやすい。また、n 番目のKynea数と n 番目のキャロル数の差は 2 である。