階乗
以下、↑をクヌースの矢印表記とする。
階乗が連続する整数を順に「乗」じるのに対し、連続する整数を順に冪にする演算として階「冪」 (exponential factorial) n(感嘆符は右肩に添字として書く)は
n ! = { 1 ( n = 0 ) n ( n − 1 ) ! = n ↑ ( n − 1 ) ! ( n > 0 ) {\displaystyle n^{!}={\begin{cases}1&(n=0)\\n^{{(n-1)}^{!}}=n\uparrow {(n-1)}^{!}&(n>0)\end{cases}}}
で与えられる。つまり、自然数 n に対して
n ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ 3 2 1 = n ↑ ( n − 1 ) ↑ ( n − 2 ) ↑ ⋯ ⋯ ↑ 3 ↑ 2 ↑ 1 {\displaystyle n^{!}=n^{(n-1)^{(n-2)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3^{2^{1}}}}}}}}=n\uparrow \left(n-1\right)\uparrow \left(n-2\right)\uparrow \cdots \cdots \uparrow 3\uparrow 2\uparrow 1}
であり、最初の5つの値は次のようになる。