チャーン類
一方、アレクサンドル・グロタンディーク Alexander Grothendieck (1958)はこれらを公理を少し小さいものに置き換えた。
函手性(Functoriality): (上記に同じ)
加法性(Additivity): 0 → E ′ → E → E ′′ → 0 {\displaystyle \ 0\to E'\to E\to E''\to 0} がベクトル束の完全系列であれば、 c ( E ) = c ( E ′ ) ⌣ c ( E ′′ ) {\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')} である。
正規化(Normalization): E を線束とすると、 c ( E ) = 1 + e ( E R ) {\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbf {R} })} となる。ここに e ( E R ) {\displaystyle e(E_{\mathbf {R} })} は基礎となる実ベクトル束のオイラー類である。