ヘッケ環
岩堀の仕事に従えば、有限型のヘッケ環の表現は有限シュバレー群のある種の主系列表現と密接に関係している。
ルスティックはこの関係をさらに推し進め、ヘッケ環の表現論を用いてリー型の有限群の指標のほとんどを記述することに成功した。この仕事では、幾何的な手法とさまざまな還元を取り混ぜて用い、ヘッケ環を一般化するさまざまな対象の導入と、それらの(1 の冪根でない q に対する)表現の詳細な理解を導いた。ヘッケ環のモジュラー表現と 1 の冪根における表現は、アフィン量子群の標準基底の理論と非常に興味深い組合せ論に関係していることが発見された。
アフィンヘッケ環の表現論は、ルスティックによって、それを p-進群の表現の記述に応用するという観点から発展した。それは有限の場合とは毛色のまったく異なる多くの方法による。二重アフィンヘッケ環 (double affine Hecke algebra) と呼ばれるアフィンヘッケ環の一般化は、イヴァン・チェレドニク(英語版)がマクドナルド予想の証明に用いた。
各 w ∈ W に対し、対合 i の作用で不変な元 C′w で、自然基底の元に関して C w ′ = ( q − 1 / 2 ) l ( w ) ∑ y ≤ w P y , w T y {\displaystyle C'_{w}=(q^{-1/2})^{l(w)}\sum _{y\leq w}P_{y,w}T_{y}} と展開されるようなものが唯一つ存在する。ここで、Pw,w = 1, ブリュア順序に関して y < w ならば Py,w(q) ∈ Z[q] は (l(w) − l(y) − 1)/2 以下の次数を持ち、それ以外のとき Py,w = 0 を満たすものとする。
元 C′w は w が W の上を亘るとき、ヘッケ環 H の基底を成す。これをヘッケ環 H の双対標準基底 (dual canonical basis) という。標準基底 (canonical basis) {Cw | w ∈ W} は同様の方法で得られる。この定理に現れる多項式 Py,w(q) をカジュダン-ルスティック多項式という。
カジュダン-ルスティックによるコクセター群における左・右・両側セルの概念は H の作用の元での標準基底の挙動を通して定義される。