カタラン数
カタラン数は
C n = ( 2 n n ) − ( 2 n n − 1 ) for n ≥ 1 {\displaystyle C_{n}={2n \choose n}-{2n \choose n-1}\quad {\mbox{ for }}n\geq 1}
と表せる。
漸化式では
C 0 = 1 , C 1 = 1 , C n + 1 = 2 ( 2 n + 1 ) n + 2 C n = ∑ i = 0 n C i C n − i = C 0 C n + C 1 C n − 1 + C 2 C n − 2 + ⋯ + C n C 0 {\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}&=1,\quad C_{1}=1,\\C_{n+1}&={\frac {2(2n+1)}{n+2}}\,C_{n}=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n}C_{i}\,C_{n-i}=C_{0}\,C_{n}+C_{1}\,C_{n-1}+C_{2}\,C_{n-2}+\cdots +C_{n}\,C_{0}\end{aligned}}}