反ド・ジッター空間
AdSの 共形的無限遠は時間的であるため、共形的無限遠に関する境界条件がない限り、空間的な超表面における最初の情報を特定しても未来の時間発展は一意に定まらない(すなわち、決定論的に定まらない)
ほかの一般的に用いられる全空間を被覆する座標系は、座標 t, r ⩾ 0 {\displaystyle r\geqslant 0} と超極座標 α, θ, φ で与えられる。
d s 2 = − ( k 2 r 2 + 1 ) d t 2 + 1 k 2 r 2 + 1 d r 2 + r 2 d Ω 2 {\displaystyle ds^{2}=-\left(k^{2}r^{2}+1\right)dt^{2}+{\frac {1}{k^{2}r^{2}+1}}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}
隣の画像は反ド・ジッター空間の「半空間」領域とその境界を表している。円筒内部は反ド・ジッター時空に対応し、円筒の境界面はその空間の共形的境界に対応する。円筒内部の緑色の領域は半空間座標とよって被覆される AdS の領域に対応し、この半空間座標は2つのヌル的(光的)測地線超平面によって範囲が限定されている。円筒表面の緑色の領域はミンコフスキー空間によって被覆される共形空間の領域に対応する。
緑色の領域はAdS空間の半分と、共形時空の半分を被覆している。緑色の円板の左端は右端と同様に接する。
ポアンカレ座標における A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} 計量は以下のようになる:
d s 2 = − r 2 α 2 d t 2 + α 2 r 2 d r 2 + r 2 α 2 d x → 2 {\displaystyle ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,d{\vec {x}}^{2}}
ここで 0 ≤ r {\displaystyle 0\leq r} である。余次元 2 の表面 r = 0 {\displaystyle r=0} はポアンカレ・キリング地平面であり、 r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } で A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} 時空の境界に近づくため、グローバル座標とは異なり、ポアンカレ座標は A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} 多様体すべてを被覆しない。