テンソルの縮約
先の例に見るように、添字の対がともに反変あるいはともに共変であるときには、一般に縮約はできない。しかし、内積(あるいは計量)g が介在する場合にはそのような場合でも縮約ができる。つまり、必要に応じて計量を用いて添字の上げ下げをしてから通常の縮約を行うのである。この複合的な演算は計量縮約 (metric contraction) と呼ばれる。
↑ 自然な写像 V ⊗ V → L(V, V) は f ⊗ v ↦ g, (g(w) := f(w)v (w ∈ V)) によって定義される。V が有限次元と仮定するとき、{vi} を V の基底、その双対基底を {f} とすれば、f ⊗ vj は、この基底に関して (i, j)-成分のみが 1 で他はすべて 0 となるような行列の定める線型写像に写されるから、これにより上記の自然な写像が同型であることが分かる。
↑ 物理学では添字は 1 からではなく 0 から始める。四次元の場合は添字は 0 から 3 までを走る。
↑ 矢野健太郎. “幾何学部門報告”. p. 103, 左上. 2023年11月6日閲覧。に「リッチ計算」と書かれているためこの訳を採用
抽象添字記法において、ベクトルと双対ベクトルとの基本縮約は
f ~ ( v → ) = f γ v γ {\displaystyle {\tilde {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma }}
と書かれる。これは陽に書けば
f γ v γ = f 1 v 1 + f 2 v 2 + ⋯ + f n v n {\displaystyle f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}}
と書かれる座標和 を略記したものである。ただし、各 v は特定の基底に関する v の成分であり、各 fi は対応する双対基底に関する f の成分である。
一般の混合二項テンソルは f ⊗ v の形の分解可能テンソルの線型結合であるから、二項テンソルの場合の明示式は以下のように計算できる。混合二項テンソルを
T = T i j e i e j {\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}{}_{j}\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} ^{j}}
と書けば、その縮約は
T i j e i ⋅ e j = T i j δ i j = T j j ( = T 1 1 + ⋯ + T n n ) {\displaystyle T^{i}{}_{j}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T^{i}{}_{j}\delta _{i}{}^{j}=T^{j}{}_{j}(=T^{1}{}_{1}+\cdots +T^{n}{}_{n})}