ブールの不等式
を得る。
そして、確率の第一公理によって、
P ( ⋃ i = 1 n A i ∩ A n + 1 ) ≥ 0 {\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0}
であるため、
P ( ⋃ i = 1 n + 1 A i ) ≤ P ( ⋃ i = 1 n A i ) + P ( A n + 1 ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})}
を得て、したがって
P ( ⋃ i = 1 n + 1 A i ) ≤ ∑ i = 1 n P ( A i ) + P ( A n + 1 ) = ∑ i = 1 n + 1 P ( A i ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i})}
を得る。