LTIシステム理論
固有関数とは、上述の作用素の出力が入力された関数に何らかのスケーリングを施した同じ関数になるときの入力された関数をいう。数式で表すと次の通り。
H f = λ f {\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f}
ここで、f が固有関数であり、 λ {\displaystyle \lambda } は固有値と呼ばれる定数である。
指数関数 e s t {\displaystyle e^{st}} ( s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } )は、線型時不変作用素の固有関数である。これについての簡単な証明を示す。
入力を x ( t ) = e s t {\displaystyle x(t)=e^{st}} とする。インパルス応答 h ( t ) {\displaystyle h(t)} でのシステムの出力は次のようになる。
∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) e s τ d τ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )e^{s\tau }d\tau }
畳み込みの交換律から、これを次のように変形できる。
システムについて最も重要な属性として、因果性と安定性がある。CTシステムとは異なり、因果性のないDTシステムも実現可能である。非因果性FIRシステムに遅延を加えることで、簡単に因果性を持たせることができる。また、非因果性IIRシステムを作ることもできる(Vaidyanathan and Chen, 1995 を参照)。非安定的なシステムも構築でき、様々な状況で有効である。
A { c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right\}} = ∫ t − a t + a ( c 1 x 1 ( λ ) + c 2 x 2 ( λ ) ) d λ {\displaystyle =\int _{t-a}^{t+a}\left(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda )\right)d\lambda } = c 1 ∫ t − a t + a x 1 ( λ ) d λ + c 2 ∫ t − a t + a x 2 ( λ ) d λ {\displaystyle =c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )d\lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )d\lambda } = c 1 A { x 1 ( t ) } + c 2 A { x 2 ( t ) } {\displaystyle =c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}(t)\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}(t)\right\}}
また、時不変でもある。