ライプニッツの記法
lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x , {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}
で表されるとき, それはライプニッツによると, x {\displaystyle x} の微小変化量と y {\displaystyle y} の微小変化量の比, すなわち:
d y d x = f ′ ( x ) , {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}=f'(x),}
で表される. ここに, 右辺は x {\displaystyle x} における微分 f {\displaystyle f} のラグランジュの記法である. 同様に, 現代の数学者はしばしば不定積分:
∫ f ( x ) d x , {\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}x,}
を次の極限で表す.
lim Δ x → 0 ∑ i f ( x i ) Δ x . {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x.}
ここに, Δ x {\displaystyle \Delta x} は x i {\displaystyle x_{i}} の間隔であり, ライプニッツは無限小 f ( x ) d x {\displaystyle f(x)\,{\rm {d}}x} の総和(積分記号は総和を意味する)として表現した.
このライプニッツによる考え方の長所は, その次元解析との整合性である. 例えば, ライプニッツの記法では二階導関数は,
d 2 y d x 2 = f ′′ ( x ) , {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{2}y}{{\rm {d}}x^{2}}}=f''(x),}
であり, y x 2 {\displaystyle {\tfrac {y}{x^{2}}}} と同じ次元を持つ. また, 多くの微積分に関する公式の表現との整合性があることも特筆できる(#微分に関するライプニッツの記法).