原始ピタゴラス数
原始ピタゴラス数(げんしピタゴラスすう、英: primitive Pythagorean triples)とは、ピタゴラス数のうち3つの数が互いに素であるものをいう。つまり、自然数の3つ組 (a, b, c) であって、
a + b = c(ピタゴラス数の条件)
gcd(a, b, c) = 1(原始性の条件)
をともに満たすもののことである。
ユークリッドの式は、以下のようにして導出できる。
3段構成で証明される。
a と b は偶奇が異なる
a が偶数とすると、c + b/2, c − b/2 は平方数
(a, b, c) = (m − n, 2mn, m + n) または (2mn, m − n, m + n)
1. (a, b, c) は原始的であるから、a と b の少なくとも1つは奇数である。
a も b も奇数であると仮定すると、
a 2 = ( 2 k + 1 ) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1 ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle a^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1\equiv 1{\pmod {4}}}
b 2 ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle b^{2}\equiv 1{\pmod {4}}}
∴ a 2 + b 2 ≡ 1 + 1 = 2 ( mod 4 ) {\displaystyle \therefore \ a^{2}+b^{2}\equiv 1+1=2{\pmod {4}}}
これは c ≡ 0, 1 (mod 4) に矛盾。