ポアンカレの定理
m ⋅ ω ( J ) = 0 {\displaystyle \mathbf {m} \cdot {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {J} )=0}
が成立する。このときこのフーリエ級数は収束せず、従って摂動展開が意味をなさなくなる。これが小分母の問題 (small divisors problem) である。ポアンカレの定理は小分母の問題と密接に関係しており、作用変数 J {\displaystyle \mathbf {J} } のうち、 n − 1 {\displaystyle n-1} 個の一次独立なベクトル k s ∈ Z n {\displaystyle \mathbf {k} _{s}\in \mathbb {Z} ^{n}} ( s = 1 , 2 , ⋯ , n − 1 {\displaystyle s=1,2,\cdots ,n-1} ) が存在し、 h k s ( J ) ≠ 0 {\displaystyle h_{\mathbf {k} _{s}}(\mathbf {J} )\neq 0} かつ
k s ⋅ ω ( J ) = 0 {\displaystyle \mathbf {k} _{s}\cdot {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {J} )=0}
を満足するものの全体をポアンカレ集合と呼ぶ。
以上の準備のもとで、ポアンカレの定理は次のことを主張する。
このような正準座標 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} を作用・角変数と呼び、このとき運動方程式は振動数ベクトル ω = ∂ H 0 / ∂ J {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\partial H_{0}/\partial \mathbf {J} } を用いて
d J d t = 0 , d θ d t = ω {\displaystyle {\frac {d\mathbf {J} }{dt}}=0,\ \ {\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}={\boldsymbol {\omega }}}
と書ける。この方程式はただちに解け、従って可積分系は一般に求積可能である。
ポアンカレの定理は、可積分系に摂動が加わったとき、その系(近可積分系と呼ばれる)が依然として可積分系になるかどうかを扱ったものである。近可積分系はしばしば摂動論を用いて取り扱われるが、古典力学における正準摂動論は多自由度系 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} の場合には小分母の問題と呼ばれる問題が存在する。摂動論によって得られた摂動級数の各項はフーリエ級数
∑ m ∈ Z n − { 0 } S m m ⋅ ω ( J ) e i m ⋅ θ {\displaystyle \sum _{\mathbf {m} \in \mathbb {Z} ^{n}-\{0\}}{\frac {S_{\mathbf {m} }}{\mathbf {m} \cdot {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {J} )}}e^{i\mathbf {m} \cdot {\boldsymbol {\theta }}}}
ただし具体的に与えられた系にポアンカレの定理が適用可能かどうかを判定することは、その仮定が成立するか検討する必要があり、困難であることが多い。例えば円制限平面三体問題は、ケプラーの法則に従い円運動する二天体がつくる重力場中を運動する同一の軌道面内の粒子の運動を問うものであり、そのハミルトニアンは二体の質量比 ε = m 2 / ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \epsilon =m_{2}/(m_{1}+m_{2})} を用いて
H = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) − p x y + p y x − 1 − ε ( x + ε ) 2 + y 2 − ε ( x − 1 + ε ) 2 + y 2 {\displaystyle H={\frac {1}{2}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})-p_{x}y+p_{y}x-{\frac {1-\epsilon }{\sqrt {(x+\epsilon )^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\epsilon }{\sqrt {(x-1+\epsilon )^{2}+y^{2}}}}}
と書ける。これは質量比 ε {\displaystyle \epsilon } を摂動パラメータとみなすとき第一体がつくる重力場中のケプラー運動という可積分系に摂動が加わったものと解釈できる。ポアンカレの定理は(技術的な工夫を要するものの)円制限平面三体問題に対して適用可能であり、ブルンスの定理と併せて三体問題の非可積分性(従って求積不可能性)を示すものとみなされている。