商群
群 G と部分群 H と、G の元 a が与えられると、対応する左剰余類 aH := {ah : h ∈ H} を考えることができる。剰余類は群の部分集合の自然な類である;例えば、整数全体のなすアーベル群 G と偶数全体からなる部分群 H を考えよう。するとちょうど2つの剰余類があり、1つは 0 + H で、偶数全体からなり、もう1つは 1 + H で、奇数全体からなる(ここで二項演算には乗法的ではなく加法的な表記を用いている)。
一般の部分群 H に対して、すべての剰余類 {aH : a ∈ G}からなる集合に協調的な群演算を定義することが望ましい。これは以下に見るように H が正規部分群であるときにちょうど可能である。群 G の部分群 N が正規であるとは、G のすべての元 a に対して剰余類の等式 aN = Na が成り立つことをいう。G の正規部分群は N ◁ G と書かれる。