オイラー＝ハイゼンベルク・ラグランジアン
ハイゼンベルクとオイラーによって1936年に発表された論文においては以下のラグランジアンが導入された。
L = − F − 1 8 π 2 ∫ 0 ∞ d s s 3 exp  ( − m e 2 s ) [ ( e s ) 2 Re  cosh  ( e s 2 ( F + i G ) ) Im  cosh  ( e s 2 ( F + i G ) ) G − 2 3 ( e s ) 2 F − 1 ] {\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathcal {F}}-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{s^{3}}}\exp \left(-m_{e}^{2}s\right)\left[(es)^{2}{\frac {\operatorname {Re} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}{\operatorname {Im} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}}{\mathcal {G}}-{\frac {2}{3}}(es)^{2}{\mathcal {F}}-1\right]}