疎集合
(ここに、最後の式に用いられた記法はミンコフスキー和であり、記述を簡明にするためのものである。)開集合 U r {\displaystyle U_{r}} は、 R {\displaystyle \mathbb {R} } で稠密であり、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } を含み、そのルベーグ測度は ∑ n ∈ N 2 r / 2 n = 2 r {\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} }2r/2^{n}=2r} を超えない。次の開集合ではなく、閉集合の和をとるとこれはFσ集合である。
さらに、包含関係 S r / 2 ⊆ U r ⊆ S r ⊆ U 2 r . {\displaystyle S_{r/2}\subseteq U_{r}\subseteq S_{r}\subseteq U_{2r}.} をみたす。 R ∖ U r {\displaystyle \mathbb {R} \setminus U_{r}} が疎集合であることから、 R ∖ S r {\displaystyle \mathbb {R} \setminus S_{r}} も疎集合である。また、 R {\displaystyle \mathbb {R} } がベール空間なことから、