モース-ケリー集合論
IVから対の公理が成り立つことの証明の概略は以下の通り: 集合 x の単集合 { x } {\displaystyle \{x\}} は集合である。なぜならば x の冪集合の部分クラスであるからである(III を2箇所で用いた)。すると IV は「x と y が集合であるならば、 { x , y } {\displaystyle \{x,y\}} が集合である」を含意する。
構築: 順序なし対および順序対、関係、関数、定義域、値域、関数の合成。
V. 置換: f が [クラス] 関数であり domain f が集合であるならば、 range f は集合である。
V は、NBG や ZFC における置換公理に対応する。
VI. 合併: x が集合であるならば、 ⋃ x {\displaystyle \bigcup x} は集合である。
VI は前述の 和集合 に対応する。 IV と VI は一つの公理にまとめられることがある。
構築: デカルト積、単射、全射、全単射、順序論(英語版)。
VII. 正則性: x ≠ ∅ {\displaystyle x\neq \varnothing } であるならば、 x ∩ y = ∅ {\displaystyle x\cap y=\varnothing } である x の要素 y が存在する。
VII は前述の基礎に対応する。
構築: 順序数、超限帰納法。
VIII. 無限: x ∈ y {\displaystyle x\in y} のときは ∅ ∈ y {\displaystyle \varnothing \in y} かつ x ∪ { x } ∈ y {\displaystyle x\cup \{x\}\in y} となる集合 y が存在する。