シューア多項式
数学において、シューア多項式( - たこうしき、英語: Schur Polynomial)とは、自然数の分割でパラメトライズされたあるn変数対称多項式のことをいう。イサイ・シューアにちなんで名付けられたこの対称多項式は、基本対称多項式や完全対称多項式の一般化である。 表現論において、シューア多項式は、一般線型群の既約表現の指標である。シューア多項式は、すべての対称多項式からなる空間の基底となっている。2つのシューア多項式の積は、シューア多項式の非負整数係数一次結合に展開できる。この係数は、リトルウッド・リチャードソン則によって組合せ論的に記述される。さらに一般に2つの分割に対して定義される歪シューア多項式もシューア多項式と似た性質を持つことが知られている。
s λ = ∑ ρ = ( 1 r 1 , 2 r 2 , 3 r 3 , ... ) χ ρ λ ∏ k p k r k r k ! , {\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi _{\rho }^{\lambda }\prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!}},}
が成り立つ。ここで、 ρ = ( 1 r 1 , 2 r 2 , 3 r 3 , ... ) {\displaystyle \rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )} とは、分割 ρ {\displaystyle \rho } に r k {\displaystyle r_{k}} 個の k {\displaystyle k} が含まれていることを意味している。