コンウェイの兵隊
上記の3つの操作の全てにおいて、得点の変化が正とならない x {\displaystyle x} を選択する。 前飛びの条件より、 x 2 + x − 1 = 0 {\displaystyle {x^{2}+x-1=0}} を解くことによって x = 5 − 1 2 , − 5 − 1 2 {\displaystyle {x={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},{\frac {-{\sqrt {5}}-1}{2}}}} を得る。横飛びの条件より正の値は取れないため、 5 − 1 2 = φ ≈ 0.61803 39887 ... {\displaystyle {{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=\varphi \approx 0.61803\,39887\dots \,}} が適している。この値の絶対値は1よりも小さく、この性質は証明に重要である。ここで、 φ 2 + φ − 1 = 0 {\displaystyle {\varphi ^{2}+\varphi -1=0}} を並び替えると
となる。
ここで、 ∑ n = 2 ∞ φ n = 1 {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\varphi ^{n}=1} であるため、上記の式は
S 1 = ( φ + 2 ) ( 1 + φ + 1 ) = ( φ + 2 ) 2 = 4 + 4 φ + φ 2 = 5 + 3 φ {\displaystyle {{S}_{1}=(\varphi +2)(1+\varphi +1)=(\varphi +2)^{2}=4+4\varphi +\varphi ^{2}=5+3\varphi }} となる。(最後の変形は φ 2 = 1 − φ {\displaystyle {\varphi ^{2}=1-\varphi }} を用いている)
したがって、全てのマスに駒がある場合、その得点は 5 + 3 φ {\displaystyle {5+3\varphi }} である。 次に、目的地が2マス上にある場合を考える。この場合、目的地までのマンハッタン距離は、先ほど考えた目的地が1マス上にある場合より1マスずつ増加する。したがって、 φ {\displaystyle {\varphi }} を全体に乗じ、