フォン・ノイマン正則環
環 R について次は同値である。
R はフォン・ノイマン正則
すべての単項左イデアルはある1つのベキ等元によって生成される
すべての有限生成左イデアルはある1つのベキ等元によって生成される
すべての単項左イデアルは左 R-加群 R の直和因子である
すべての有限生成左イデアルは左 R-加群 R の直和因子である
射影左 R-加群 P のすべての有限生成部分加群は P の直和因子である
すべての左 R-加群は平坦である。これは R が 絶対平坦 であることや R の弱次元が0であることとしても知られている
左 R-加群のすべての短完全列は純完全(英語版) (pure exact) である
左を右に変えたものも R がフォン・ノイマン正則であることと同値である。
可換フォン・ノイマン正則環において、各元 x に対して唯一の元 y が存在して xyx=x かつ yxy=y となるので、x の「弱逆元」を選ぶカノニカルな方法がある。以下の主張は可換環 R に対して同値である。
R はフォン・ノイマン正則である。
R はクルル次元 0 で被約である。
極大イデアルにおける R のすべての局所化は体である。
フォン・ノイマン正則環の特別なタイプに、単元正則環 (unit regular ring) と強フォンノイマン正則環 (strongly von Neumann regular ring) と階数付き環(英語版) (rank ring) がある。
環 R が単元正則であるとは、すべての a ∈ R に対して、単元 u ∈ R が存在して、a = aua が成り立つことである。すべての半単純環は単元正則であり、単元正則環はデデキント有限環 (directly finite ring) である。普通のフォン・ノイマン正則環はデデキント有限であるとは限らない。
環 R が 強フォン・ノイマン正則であるとは、すべての a ∈ R に対して、ある x ∈ R が存在して、a = aax が成り立つことである。この条件は左右対称である。強フォン・ノイマン正則環は単元正則である。すべての強フォン・ノイマン正則環は可除環の部分直積(英語版)に表されるから、ある意味で強フォンノイマン正則環は(可換体の部分直積として表せるという)可換フォン・ノイマン環の性質をより密接に模倣するものになっている。もちろん可換環に対して、フォン・ノイマン正則と強フォン・ノイマン正則は同値である。一般に、以下は環 R に対して同値である。
R は強フォン・ノイマン正則である。
R はフォン・ノイマン正則かつ被約である。
R はフォン・ノイマン正則かつ R のすべての冪等元は中心的である。
R のすべての主左イデアルはある1つの中心冪等元によって生成される。
フォン・ノイマン正則環の一般化には以下のものがある。π-正則環、左/右半遺伝環、左/右非特異環、半原始環。