アフィン接続
M を多様体とし、'P を M 上の主 GL(n)-バンドルとすると、アフィン接続(affine connection)は、次の条件を満す aff(n) に値を持つ 1-形式である。
P 上の GL(n) と aff(n) の作用に関して、η は同変である。
すべての n×n 行列のリー代数 の中の ξ について、η(Xξ) = ξ である。
η は、aff(n) を持つ P の各々の接空間の線型同型である。
最後の条件は、η が P での絶対平行性(英語版)、すなわち、自明バンドル(この場合は、P × aff(n))の構造を持つ P での接バンドルと同一視できることを意味する。ペア (P,η) は、M 上のアフィン幾何学構造を定義する。
アフィンリー代数 aff(n) は、R と gl(n) の半直積へ分解し、従って、η はペア (θ,ω) として書くことができる。ここに θ は R に値を持ち、ω は gl(n) に値を持つ。条件 (1) と (2) は ω が主 GL(n)-接続であり、θ が水平な同変 1-形式であることと同値であり、これが TM から随伴バンドル(英語版) P ×GL(n) R へのバンドル準同型(英語版)を引き起す。条件 (3) は、このバンドル準同型が同型であるということと同値である(しかし、この分解はアフィン群の特別な構造の結果である)。P は P ×GL(n) R の標構バンドル(英語版)であるので、θ が P と M の標構バンドル FM の同型を導き、これが FM 上の主 GL(n)-接続としてアフィン接続の定義を再現している。
平坦モデルからの 1-形式は、まさに、 θ と ω という成分である。
A のアフィン標構(affine frame)は、点 p ∈ A とベクトル空間 TpA = R の基底 (e1,...,en) からなる。一般線型群 GL(n) は、p を固定し、通常に方法での基底 (e1,...,en) を変換することですべてのアフィン標構の上へ自由に作用し、π はアフィン標構 (p;e1,...,en) を点 p へ写す写像は、商写像である。このように FA は A 上の主 GL(n)-バンドルである。GL(n) の作用は、自然に FA 上のアフィン群 Aff(n) の自由な推移作用へ拡張されるので、FA は Aff(n)-主等質空間(英語版)であり、座標系は主バンドル Aff(n) → Aff(n)/GL(n) とである FA → A と選択される。
FA 上には
π ( p ; e 1 , ... , e n ) = p {\displaystyle \pi (p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=p} (前に見たように)
ε i ( p ; e 1 , ... , e n ) = e i {\displaystyle \epsilon _{i}(p;\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n})=\mathbf {e} _{i}}
で定義される n+1 個の函数の集合が存在する。
M を滑らかな多様体、C(M,TM) を M 上のベクトル場の空間、つまり、接バンドル TM の滑らかな切断の空間とすると、M 上のアフィン接続 (affine connection) は、すべての C(M,R) の滑らかな函数 f とすべての M 上のベクトル場 X, Y に対し次の 2項目が成り立つような双線型写像
C ∞ ( M , T M ) × C ∞ ( M , T M ) → C ∞ ( M , T M ) ( X , Y ) ↦ ∇ X Y , {\displaystyle {\begin{matrix}C^{\infty }(M,TM)\times C^{\infty }(M,TM)&\rightarrow &C^{\infty }(M,TM)\\(X,Y)&\mapsto &\nabla _{X}Y,\end{matrix}}}
である。
∇ f X Y = f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y} つまり、∇ は第一変数について C(M,R)-線型である。
∇ X ( f Y ) = d f ( X ) Y + f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}(fY)=\mathrm {d} f(X)Y+f\nabla _{X}Y} つまり、∇ は第二変数についてライプニッツ則を満たす。
⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } を R 上の通常のスカラー積とし、S を単位球面とする。x での S への接空間は、自然に x で直交するベクトルすべてからなる R の部分ベクトル空間と同一視される。このことから、S 上のベクトル場 Y は写像 Y : S → R と見なすことができ、この写像は、
⟨ Y x , x ⟩ = 0 , ∀ x ∈ S 2 . {\displaystyle \langle Y_{x},x\rangle =0,\quad \forall x\in \mathbf {S} ^{2}.}
を満たす。dY によりそのような写像の微分を表すと、
補題:
( ∇ X Y ) x = d Y x ( X ) + ⟨ X x , Y x ⟩ x {\displaystyle (\nabla _{X}Y)_{x}=\mathrm {d} Y_{x}(X)+\langle X_{x},Y_{x}\rangle x\,}
は捩率が 0 である S 上のアフィン接続を定義する。
証明: ∇ がライプニッツの恒等式を満たし、第一の変数について C(S) 線型であることを証明するは容易である。