ベクトル場
ベクトルについての加法や減法、定数倍などの操作を各点ごとに考えることでこれらの操作がベクトル場についても定義される。特に、連続関数fとベクトル場Xについて各点ごとの積fXを考えることができる。
多様体 M にリーマン計量 g が与えられているとする。f が M 上の微分可能関数のとき、 g ( Y , grad  f ) = Y ( f ) {\displaystyle g(Y,\operatorname {grad} f)=Y(f)} で特徴づけられるようなベクトル場 grad f を考えることができるが、これは(g に関する)勾配 grad f とよばれる。
R上のベクトル場X = (x1, x2, x3): R → Rに対してその発散
div X = ∇ ⋅ X := ∂ X 1 ∂ x + ∂ X 2 ∂ y + ∂ X 3 ∂ z {\displaystyle \operatorname {div} \,{\boldsymbol {X}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {X}}:={\frac {\partial X_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial X_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial X_{3}}{\partial z}}}
ベクトル場(ベクトルば、英: vector field)とは、数学において、幾何学的な空間の広がりの中でベクトル的な量の分布を表すものである。単純化された設定のもとではベクトル場はユークリッド空間 R (またはその開集合)からベクトル空間 R への関数として与えられる。(局所的な)座標系のもとでベクトル場を表示するときは座標に対してベクトルを与えるような関数を考えることになるが、座標系を変更したときにこの関数は一定の規則に従って変換を受けることが要請される。
ベクトル場の概念は物理学や工学においても積極的にもちいられ、例えば動いている流体の速さと向きや、磁力や重力などの力の強さと向きなどが空間的に分布している状況を表すために用いられている。
現代数学では多様体論にもとづき、多様体上の接ベクトル束の断面として(接)ベクトル場が定義される。
電磁気力や重力といった力を及ぼす空間を場(工学では「界」)といい、以下の例がある。
電磁場 電場 磁場
重力場