アスコリ＝アルツェラの定理
ほとんどの種類のアスコリ=アルツェラの定理では、函数族がある位相において(相対的に)コンパクトであるための十分条件が主張されているが、それらは通常、必要条件でもある。例えば、ある集合 F が、コンパクトなハウスドルフ空間上の実数値連続函数の集合で一様ノルムを備えるバナッハ空間 C(X) においてコンパクトであるなら、それは C(X) 上の一様ノルムにおいて有界であり、特に各点ごとに有界である。F 内のすべての函数で、開部分集合 U ⊂ X に関する振動(英語版)が ε より小さいものの集合を N(ε, U) とする。すなわち、
とする。固定された x∈X と ε に対して、U が x の開近傍を変動するとき、集合 N(ε, U) は F の開被覆を形成する。その有限部分被覆を選ぶと、同程度連続性が得られる。