フォン・ノイマンの安定性解析
数値計算手法の安定性は数値誤差に密接にかかわっている。計算中のある時間ステップで生じた誤差が計算を続けるにあたって増大しないならば、有限差分法は安定である。計算を続けていくと誤差が一定のまま残るときは中立安定と言われる。誤差が減衰し、最終的に消失するなら、その計算手法は安定と呼ばれる。逆に、誤差が時間ステップとともに増大した場合、数値スキームは不安定であると言われる。数値スキームの安定性は、フォン・ノイマンの安定性解析によって調べることができる。時間依存の問題に対してスキームが安定であることは、厳密な微分方程式の解が有界であるならば、数値計算法も有界な解を生成することを保証する。一般に、非線形偏微分方程式である場合は特に、安定性を調べることが困難になる。
以下に挙げる特定のケースでは、フォン・ノイマンの安定性はラックス・リヒトマイヤーの意味での安定性(ラックスの等価定理で用いられる)の必要十分条件である:
偏微分方程式および有限差分スキームモデルが線形である
偏微分方程式は定数係数で周期的境界条件および 2 つの独立変数(時間と空間)を持っている
スキームは 2 つより多くの時間ステップを用いない。
フォン・ノイマンの安定性は例より多くの種類のケースで必要である。比較的単純であるために、それはしばしば、スキームで使用されるステップサイズの制限(もしあれば)についての良い推測をするために、より詳細な安定性解析の代わりに使用される。