球面調和関数
Y 0 0 = 1 4 π Y 1 0 = 3 4 π cos  θ Y 1 ± 1 = ∓ 3 8 π sin  θ e ± i φ Y 2 0 = 5 16 π ( 3 cos 2  θ − 1 ) Y 2 ± 1 = ∓ 15 8 π sin  θ cos  θ e ± i φ Y 2 ± 2 = 15 32 π sin 2  θ e ± 2 i φ Y 3 0 = 7 16 π ( 5 cos 3  θ − 3 cos  θ ) Y 3 ± 1 = ∓ 21 64 π sin  θ ( 5 cos 2  θ − 1 ) e ± i φ Y 3 ± 2 = 105 32 π sin 2  θ cos  θ e ± 2 i φ Y 3 ± 3 = ∓ 35 64 π sin 3  θ e ± 3 i φ {\displaystyle {\begin{aligned}Y_{0}^{0}&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\\Y_{1}^{0}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{\pm 1}&=\mp {\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{\pm i\varphi }\\Y_{2}^{0}&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{\pm 1}&=\mp {\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \cos \theta \,e^{\pm i\varphi }\\Y_{2}^{\pm 2}&={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{\pm 2i\varphi }\\Y_{3}^{0}&={\sqrt {\frac {7}{16\pi }}}\,(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{3}^{\pm 1}&=\mp {\sqrt {\frac {21}{64\pi }}}\,\sin \theta \,(5\cos ^{2}\theta -1)\,e^{\pm i\varphi }\\Y_{3}^{\pm 2}&={\sqrt {\frac {105}{32\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \cos \theta \,e^{\pm 2i\varphi }\\Y_{3}^{\pm 3}&=\mp {\sqrt {\frac {35}{64\pi }}}\,\sin ^{3}\theta \,e^{\pm 3i\varphi }\end{aligned}}}
球面調和関数(きゅうめんちょうわかんすう、英: spherical harmonics)あるいは球関数(きゅうかんすう、英: spherical functions)は以下のいずれかを意味する関数である:
n 次元ラプラス方程式の解となる斉次多項式を単位球面に制限する事で得られる関数。
次元 n が 3 の場合の 1 の意味での球面調和関数で、球面座標 (r, θ, φ) で書いたラプラス方程式の変数分離解を記述するのに用いる事ができる関数 Y nk (θ, φ).
本項では 1 及び 2 双方の意味の球面調和関数について述べるが、特に断りがない限り、「球面調和関数」という言葉を 1 の意味で用いる。
Jean Gallier (Department of Computer and Information Science University of Pennsylvania) (2013年). “Notes on Spherical Harmonics and Linear Representations of Lie Groups” (PDF). ペンシルバニア大学. 2017年8月29日閲覧。
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高知大学自然科学系 田部井隆雄、神奈川県温泉地学研究所 里村幹夫、京都大学大学院理学研究科 福田洋一 (2004年). “4-4. ルジャンドルの多項式, 陪多項式”. 日本測地学会. 2017年1月4日閲覧。
Watson, G. N.; Whittaker, E. T.