メルテンスの定理
メルテンスの定理(メルテンスのていり、Mertens' theorems)は、1874年にフランツ・メルテンス(英語版)により証明された、素数を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。 素数定理より弱い評価を与えているが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。
+ ∑ p ≤ n log  p ) {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\leq {\frac {1}{n}}\left(\log n!+\sum _{p\leq n}\log p\right)}
となるが、チェビシェフ関数の初等的な評価より
∑ p ≤ n log  p = θ ( n ) < 2 n log  2 {\displaystyle \sum _{p\leq n}\log p=\theta (n)<2n\log 2}
が成り立ち、階乗の増大度について、
log  n ! = ∑ k = 1 n log  k = n log  n − n + O ( log  n ) {\displaystyle \log n!=\sum _{k=1}^{n}\log k=n\log n-n+O(\log n)}
がすぐわかる(スターリングの公式はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる)から
∑ p ≤ n log  p p ≤ 1 n log  n ! + 2 log  2 ≤ log  n + C 1 {\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\leq {\frac {1}{n}}\log n!