四平方定理
全ての自然数は高々四個の正の平方数の和で表される。しかし、「高々」を外すと、四個の正の平方数で和で表されない自然数が無数に存在する。例えば、2であるが、仮りに2が四個の正の平方数の和で表されると仮定すると、法8で考えて四個の偶数の平方数の和でなければならないから、
2 2 n + 1 = ( 2 x ) 2 + ( 2 y ) 2 + ( 2 z ) 2 + ( 2 w ) 2 2 2 n − 1 = x 2 + y 2 + z 2 + w 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&2^{2n+1}=(2x)^{2}+(2y)^{2}+(2z)^{2}+(2w)^{2}\\&2^{2n-1}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\\\end{aligned}}}
であり、最終的に2=x+y+z+wとなる正の整数x,y,z,wが存在することになる。しかし、それは明らかに不可能である。従って、2は四個の正の平方数の和で表されない。同様に23と27も四個の正の平方数の和で表されない。