テンソル
幾何学的な量や物理学的な量はその記述について内在的な自由度を考えることによって分類できる。圧力、質量、温度などのスカラー量はただ一つの数によって指定できる。力のようなベクトル量を表示するためには数のリストを用いる必要があるし、二次形式のような量は複数の添字系によって並べられる数の配列を用いて表示される。これらの量はテンソルとして考えなければとらえることができない。
実際のところテンソルの概念はとても一般的なものであり、上の例全てに当てはまっている。つまり、スカラーやベクトルはテンソルの特別なものと見なすことができる。スカラーをベクトルと区別し、これら二つをより一般のテンソルから区別しているのは、その要素の表現にもちいられる配列の添字の組の数である。この数はテンソルの階数(または位数)とよばれる。したがってスカラーは階数 0(添字は必要ない)のテンソルであり、ベクトルは階数 1 のテンソルだということになる。
テンソルの別の例は一般相対性理論におけるリーマン曲率テンソルであり、次元<4, 4, 4, 4>(空間3次元と時間1次元で合わせて4次元)の4階テンソルとして表現される。これは256( = 4 × 4 × 4 × 4)の成分を持っているが、実際に独立な要素の数は20であり、表記を大きく単純化することができる。
テンソル場が密度を持っている状況を考えることもできる。密度 r を持つテンソルは、座標変換に関して通常のテンソルのような振る舞いにさらに変換関数のヤコビアンの判別式の r 乗がかけられる。この状況はベクトル束を考えることによって説明できる。接束の判別式束は直線束だが、これの r 乗を他のベクトル束にテンソル積することでねじりを表現できる。