ハーン–バナッハの定理
上述のように、選択公理からハーン–バナッハの定理は従うが、その逆は真ではない。このことを示す一つの方法としては、選択公理よりも真に弱いウルトラフィルターの補題(英語版)からハーン・バナッハの定理を証明することができるが、この場合その逆は成り立たないということに着目すればよい。ハーン–バナッハの定理は、実は、ウルトラフィルターの補題よりもさらに弱い仮定を用いて証明することも出来る。 更に、ブラウンとシンプソンは、弱ケーニヒの補題を公理の一つとする二階算術(英語版)の部分体系WKL0 から可分なバナッハ空間上の有界線型汎関数に対するハーン-バナッハの定理がしたがう、ということを証明した。
ハーン–バナッハの定理の別形態は次のようなものである: V を係数体 K (実数 R あるいは複素数 C)上のベクトル空間とし、 N : V → R {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}:\;V\to \mathbb {R} } を半ノルムとし、φ: U → K を V の K-線形部分空間 U 上の K-線形汎関数とし、U 上ではその絶対値が N {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}} によって支配されるもの、すなわち
| φ ( x ) | ≤ N ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle |\varphi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U}
が成立するものとする。このとき、φ には全空間 V への線形拡張 ψ: V → K が存在する。すなわち、次を満たすような K-線形汎関数 ψ が存在する:
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U}
および
| ψ ( x ) | ≤ N ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle |\psi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.}
この定理の複素数の場合において C-線形性を仮定として要求するということは、実数の場合での仮定に、すべてのベクトル x ∈ U に対して、ベクトル i x も U に属し、φ(i x) = i φ(x) が成立するという仮定を加えて要求するということである。