ピカールの逐次近似法
を満たす正の定数 r0′ で定まる閉区間
I 0 ′ = { t ∈ R : | t − τ | ≤ r 0 ′ } {\displaystyle I_{0}'=\{t\in \mathbb {R} :|t-\tau |\leq r_{0}'\}}
をとる。I0′ 上で定義される R(または C)に値をとる連続関数のなすベクトル空間を C {\displaystyle {\mathcal {C}}} とし、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} にノルムを
‖ φ ‖ I 0 ′ = max t ∈ I 0 ′ ‖ φ ( t ) ‖ {\displaystyle \|{\boldsymbol {\phi }}\|_{I_{0}'}=\max _{t\in I_{0}'}\|{\boldsymbol {\phi }}(t)\|}
で定めると、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} は完備なノルム空間となる。 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の部分集合で条件
‖ φ ( t ) − ξ ‖ ≤ ρ {\displaystyle \|{\boldsymbol {\phi }}(t)-{\boldsymbol {\xi }}\|\leq \rho }