グロンウォールの不等式
関数
v ( t ) = exp  ( ∫ a t β ( s ) d s ) , t ∈ I {\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I}
を定義する。ここで v(a) = 1 であり、v(t) > 0 が区間 I の任意の t に対して成立するとともに
v ′ ( t ) = β ( t ) v ( t ) , t ∈ I ∘ , {\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),\qquad t\in I^{\circ },}
が成立することに注意されたい。今、関数の商の微分法則により
d d t u v = u ′ v − v ′ u v 2 ≤ β u v − β v u v 2 = 0 , t ∈ I ∘ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {u}{v}}={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\leq {\frac {\beta uv-\beta vu}{v^{2}}}=0,\qquad t\in I^{\circ }}
が成立するため、平均値の定理を応用することにより
u ( t ) v ( t ) ≤ u ( a ) v ( a ) = u ( a ) , t ∈ I {\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a),\qquad t\in I}
が得られるが、これは求める不等式に他ならない。