二面体群
二面体群 Dn は、2次元ユークリッド空間における、原点を動かさない 2n 個の合同変換からなるのであった。そのうちの n 個は回転、残りの n 個は鏡映である。ただし、全く動かさない変換も回転に含める。全ての変換は、ふたつの変換
R = ( cos  2 π n − sin  2 π n sin  2 π n cos  2 π n ) , S = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle R={\begin{pmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{pmatrix}},\qquad S={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
の組み合わせで得られる。実際、上記の記号を用いれば
R k = R k , S k = R k S {\displaystyle R_{k}=R^{k},\quad S_{k}=R^{k}S}
であり、2n 個の変換は id(恒等変換), R, R, ..., R, S, RS, RS, ..., RS で与えられる。ふたつの変換 R, S の間には
S R S = R − 1 {\displaystyle SRS=R^{-1}}
という関係がある。いわば、「鏡の中の回転は鏡の外の逆回転に相当する」ということである。
正 n 角形は 2n 通りの合同変換で不変である。内訳は、n 通りの回転と n 通りの鏡映である。これらが二面体群を構成する元である。n 通りの回転とは、θ = 360°/n に対して θ の回転、2 × θ の回転、...、n × θ の回転の n 個である。最後のものは 360°の回転であるから、何もしないのと同等であり、これが二面体群の単位元である。鏡映の方は、n が偶数か奇数かによって多少状況が異なるが、いずれにせよ、正 n 角形は n 個の対称軸に関して線対称である。実際、n が奇数のときには、対称軸として、ひとつの頂点と向かい合う辺の中点を結んだ直線が n 本取れる。n が偶数のときには、正 n 角形の対称軸として、向かい合う頂点を結んだ直線が n/2 本、向かい合う辺の中点を結んだ直線が n/2 本の合計 n 本が取れる。これら n 本の軸に関する対称移動と、n 個の回転を合わせた 2n 個の合同変換の集合を Dn あるいは Dihn と書く。元が 2n 個であることを強調するために、添え字を 2n とする流儀もある。