ポワンカレ計量
この曲率はリッチのスカラー曲率テンソルの半分である。
等距写像 (isometry) は角度と弧長を保ち、リーマン面上では等距写像は座標変換と同一視される。つまり、ラプラス-ベルトラミ作用素も主曲率も等距写像に関する不変量なのである。従って例えば、S が計量 λ(z, z) dz dz を、T が計量 μ(w, w) dw dw をそれぞれ持つリーマン面とすれば、写像
f : S → T ; z ↦ w ( z ) {\displaystyle f\colon S\to T;\;z\mapsto w(z)}
が等距変換となるための必要十分条件は f が共形写像となることであり、それには
μ 2 ( w , w ̄ ) ∂ w ∂ z ∂ w ̄ ∂ z ̄ = λ 2 ( z , z ̄ ) {\displaystyle \mu ^{2}(w,{\bar {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}\,{\frac {\partial {\bar {w}}}{\partial {\bar {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\bar {z}})}
が成り立てば十分である。ここに、写像が共形であることを要求することは
w ( z , z ̄ ) = w ( z ) {\displaystyle w(z,{\bar {z}})=w(z)}
が成り立つこと、即ち、
∂ ∂ z ̄ w ( z ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}w(z)=0}
が満たされることを言うに他ならない。
ポアンカレ上半平面模型におけるポアンカレ計量テンソルは上半平面 H 上で
d s 2 = d x 2 + d y 2 y 2 = d z d z ̄ y 2 {\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dz\,d{\bar {z}}}{y^{2}}}}
なるものとして与えられる。ここで dz = dx + i dy と書いた。この計量テンソルは SL(2, R) の作用の下で不変である。実際、ad − bc = 1 なる実数 a, b, c, d を用いて
z ′ = x ′ + i y ′ = a z + b c z + d {\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}}}
と書くとき、
x ′ = a c ( x 2 + y 2 ) + x ( a d + b c ) + b d | c z + d | 2 , y ′ = y | c z + d | 2 {\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}},\quad y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}}}
が成り立ち、無限小変換は