線型代数学
行列は多変数の一次の関係式で表される関係を簡潔に記述するために用いられ、連立一次方程式の解法の研究の過程で見出された。行列の記法は、ケイリー、シルヴェスター、フロベニウス、アイゼンシュタイン、エルミートがそれぞれ同時期に提唱した。最も早くこの理論を提唱したのはアイゼンシュタインであるが、学会からはなかなか注目されず、ケイリーが取り組んでいたものが30年後にシルヴェスターによって再発見されたことで評価され始めるようになった(シルヴェスターが個別に発見したのか、ケイリーの理論を知っていたのかは詳しくは分かっていない)。
連立方程式を一次変換と捉える立場からは、線型代数学は、高次元の真っ直ぐな空間(現代的にいえばベクトル空間)の幾何について研究する学問であると言うことができる。このようにベクトル空間とその変換の理論として見るとき、線型代数学は高々有限次元のベクトル空間の理論である。これを無限次元のベクトル空間で対象とするためには、多分に空間の位相とそれに基づく解析学が必要となる。