多重線型写像
多重線型写像は本質的にテンソル積空間上の線型写像であると考えることができる。すなわち多重線型写像の空間 L(E1, ..., Ek; F) と線型写像の空間 L(E1 ⊗ ⋯ ⊗ Ek; F) との間に自然な一対一対応が存在する(テンソル積の普遍性)。ここに E1 ⊗ ⋯ ⊗ Ek は E1, ..., Ek のテンソル積である。この対応関係において対応する多重線型写像 f : E 1 × ⋯ × E k → F {\displaystyle f\colon E_{1}\times \cdots \times E_{k}\to F} と線型写像 f ~ : E 1 ⊗ ⋯ ⊗ E k → F {\displaystyle {\tilde {f}}\colon E_{1}\otimes \cdots \otimes E_{k}\to F} の間の関係は、等式
によって端的に表される。すなわち、この等式を満たすという意味で f は ~f の制限であり、~f は f の唯一の線型な拡張である。