収束級数
(an) が単調減少列ならば ∑ n = 1 ∞ a n < ∞ ⟺ ∑ k = 1 ∞ 2 k a 2 k < ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}<\infty \iff \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}<\infty } が成立する。
与えられた級数が収束または発散することの判定法はさまざまなものが知られる。
実数列に関するコーシーの判定法によれば、実数を項とする級数
∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
が収束する必要十分条件はその部分和の列がコーシー列を成すことである。すなわち、任意の正数 ε > 0 に対し正整数 N が存在して、n ≥ m ≥ N なる全ての m, n について
| ∑ k = m n a k | < ε {\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon }
が成り立つということであり、またこれを
lim n → ∞ m → ∞ ∑ k = n n + m a k = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty \atop m\to \infty }\sum _{k=n}^{n+m}a_{k}=0}
という形に述べることもできる。