ガトー微分
E ( u + τ ψ ) − E ( u ) τ = 1 τ ( ∫ Ω F ( u + τ ψ ) d x − ∫ Ω F ( u ) d x ) = 1 τ ( ∫ Ω ∫ 0 1 d d s F ( u + s τ ψ ) d s d x ) = ∫ Ω ∫ 0 1 f ( u + s τ ψ ) ψ d s d x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \psi )dx-\int _{\Omega }F(u)dx\right)\\&={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\tau \psi )\,ds\,dx\right)\\&=\int _{\Omega }\int _{0}^{1}f(u+s\tau \psi )\psi \,ds\,dx\end{aligned}}}
となるから、τ → 0 としてガトー導函数は
d E ( u , ψ ) = ∫ Ω f ( u ( x ) ) ψ ( x ) d x , {\displaystyle dE(u,\psi )=\int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx,}
即ち、内積 ⟨f, ψ⟩ となる。