リーマンゼータ関数
ここで n について 1 から N までの和を取れば、右の不等式は、
∫ 1 N + 1 t − a d t ≥ − 1 − a + ∑ n = 1 N + 1 n − a {\displaystyle \int _{1}^{N+1}t^{-a}\,{\rm {d}}t\geq -1^{-a}+\sum _{n=1}^{N+1}n^{-a}}
さらに、
∑ n = 1 N + 1 n − a ≤ 1 + 1 a − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}n^{-a}\leq 1+{\frac {1}{a-1}}}
であるから、左辺の級数は各項が正で上界を持つため N → ∞ の極限で収束する。このためにゼータ関数は Re s > 1 で絶対収束する。
前項でゼータ関数の積分表示を示した。すなわち、
ζ ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\varGamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}
である。
ζ ( 5 ) = 12 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 sinh  π n − 39 20 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 π n − 1 ) − 1 20 ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 ( e 2 π n + 1 ) {\displaystyle \zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,\sinh \pi n}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}+1)}}}
ζ ( 7 ) = 19 56700 π 7 − 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 7 ( e 2 π n − 1 ) {\displaystyle \zeta (7)={\frac {19}{56700}}\,\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}\,(e^{2\pi n}-1)}}}
という級数が知られている。アペリーの定理によると ζ(3) は無理数である(1978年、ロジェ・アペリ)。
また負の奇数に対しては代数的K理論のK群を用いた表示がRognes-Weibelにより得られている:kを1以上の整数とすると
ζ ( 1 − 2 k ) = 2 ⋅ ( − 1 ) k ⋅ | K 4 k − 2 ( Z ) | | K 4 k − 1 ( Z ) | {\displaystyle \zeta (1-2k)=2\cdot (-1)^{k}\cdot {\dfrac {|K_{4k-2}(\mathbb {Z} )|}{|K_{4k-1}(\mathbb {Z} )|}}}