群ホップ代数
数学における群ホップ代数(ぐんホップだいすう、英: group Hopf algebra)は、与えられた群とその群作用の対称性に関連する、ある種の構成を言う。群ホップ代数の変形理論は量子群論において基礎を成す。
λ ( ( c 1 g 1 + c 2 g 2 + ⋯ ) ⊗ f ) ( x ) = c 1 f ( g 1 ⋅ x ) + c 2 f ( g 2 ⋅ x ) + ⋯ ( c i ∈ k , g i ∈ G ) {\displaystyle \lambda ((c_{1}g_{1}+c_{2}g_{2}+\cdots )\otimes f)(x)=c_{1}f(g_{1}\cdot x)+c_{2}f(g_{2}\cdot x)+\cdots \quad (c_{i}\in k,\,g_{i}\in G)}
が定まり、これは kG の群的元が F(X) の自己同型を生じるという性質を持つ。
λ を備えた F(X) は以下に述べるような重要な追加の構造を持つ。まず、いくつか言葉を用意する:
ホップ加群代数H をホップ代数とする。(左)ホップ H-加群代数 A とは、それ自身線型環であって、かつ線型環 H 上の(左)加群の構造を持ち、さらに h⋅1A = ε(h)1A および h ⋅ ( a b ) = ( h ( 1 ) ⋅ a ) ( h ( 2 ) ⋅ b ) ( ∀ a , b ∈ A , h ∈ H ) {\displaystyle h\cdot (ab)=(h_{(1)}\cdot a)(h_{(2)}\cdot b)\quad (\forall a,b\in A,h\in H)} を満たすものを言う。ただし、Δ(h) = h(1) ⊗ h(2) は和の記号 ∑ を省略したスウィードラー記法(英語版)である。