接続 (微分幾何学)
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ユークリッド空間の平行移動と異なる点として、どの経路 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って平行移動したかによって結果が異なる事があげられる。この現象をホロノミー(英語版)(英: holonomy)という。
右図はホロノミーの具体例であり、接ベクトルを大円で囲まれた三角形に沿って一周したものを図示しているが、一周すると元のベクトルと90度ずれてしまっている事が分かる。
c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って w 0 ∈ T c ( 0 ) M {\displaystyle w_{0}\in T_{c(0)}M} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} まで平行移動したベクトルを φ c , t ( v ) ∈ T c ( t ) M {\displaystyle \varphi _{c,t}(v)\in T_{c(t)}M} とすると φ c , t : T c ( 0 ) M → T c ( t ) M {\displaystyle \varphi _{c,t}~:~T_{c(0)}M\to T_{c(t)}M} は線形変換である。また共変微分は平行移動で特徴づけられる:
∇ X s = ( X j ∂ s i ∂ x j + X j s k Γ j k i ) e i {\displaystyle \nabla _{X}s=\left(X^{j}{\partial s^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}s^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right)e_{i}}
という形で書ける。ここで ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} はMの局所座標であり、 ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} はEの局所的な基底である。ただしもちろんレヴィ-チヴィタ接続と違い Γ i j k {\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{jk}} は計量で書けるとは限らない。
さらに以下の定義をする:
定義 ―
E上に計量gが定義されているとき、レヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけの4番目の性質を満たす ∇ {\displaystyle \nabla } をgと両立する接続(英語版)という
E = T M {\displaystyle E=TM} である場合、すなわち ∇ {\displaystyle \nabla } がアフィン接続の場合、レヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけの5番目の性質を満たす ∇ {\displaystyle \nabla } を捩れなしであるという。
リーマン幾何学の基本定理から、レヴィ-チヴィタ接続とは、唯一の計量と両立する捻れなしのアフィン接続として特徴づけられる。
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定義より明らかに以下が従う:
定義 ― π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を構造群Gを持つベクトルバンドルとする。このとき、G-フレームバンドル F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} 上の接続形式から誘導されたEの接続はGと両立する。
接続がGと両立する事は、接続形式がGのリー代数に入っている事と同値である:
定義 (Gと両立するKoszul接続) ― ∇をE上定義されたKoszul接続とし、 ω e {\displaystyle \omega _{e}} をその接続形式とする。∇がGと両立する必要十分条件は、任意の局所的な基底 e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} に対し、
ω e ∈ g {\displaystyle \omega _{e}\in {\mathfrak {g}}}
が成立する事を言う。
接続形式の章では平行移動が常に S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} の元で表せるときに接続形式が S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} のリー代数に入っている事を示したが、上記の定理はこの事実を G L n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} の任意の部分リー群に対して示したものである。
定理 (共変微分の平行移動による特徴づけ) ― 多様体M上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} とMのベクトルバンドルEの c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った切断 s ( t ) ∈ E c ( t ) {\displaystyle s(t)\in E_{c(t)}} を考えるとき、 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った平行移動を φ a , t {\displaystyle \varphi _{a,t}} とすると、以下が成立する:
∇ s d t ( a ) {\displaystyle {\nabla s \over dt}(a)} = d d t φ a , t − 1 ( s ( t ) ) | t = a {\displaystyle =\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}}
上述のように平行移動があれば共変微分が定義できるので、一般のファイバーバンドルではむしろ平行移動に基づいて接続概念を定義する。
E上に計量gが定義されていてしかも∇が計量と両立しているとすると、以下が成立する:
定理 ― 平行移動は計量を保つ。すなわちM上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った平行移動を φ c , t {\displaystyle \varphi _{c,t}} とすると、任意の v , w ∈ E c ( 0 ) {\displaystyle v,w\in E_{c(0)}} に対し、以下が成立する:
g ( φ c , t ( v ) , φ c , t ( w ) ) = g ( v , w ) {\displaystyle g(\varphi _{c,t}(v),\varphi _{c,t}(w))=g(v,w)}
実際#Kolar p.100の一番下にある [ ⋅ , ⋅ ] ∧ {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\wedge }} の定義式に p = q = 1 {\displaystyle p=q=1} を代入すると [ ω , ω ] ∧ = [ ω , ω ] {\displaystyle [\omega ,\omega ]_{\wedge }=[\omega ,\omega ]} となり、 1 2 [ ω , ω ] ∧ = [ ω , ω ] {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]_{\wedge }=[\omega ,\omega ]} とはならない。またこの#Kolar p.100の一番下の係数 1 p ! q ! {\displaystyle {\tfrac {1}{p!q!}}} は#森田の1巻のp.95.では 1 ( p + q ) ! {\displaystyle {\tfrac {1}{(p+q)!}}} になっているため、#Kolarが [ ⋅ , ⋅ ] ∧ {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\wedge }} の定義式を間違えた可能性が高い。#Tu p.285も参照。
↑ これはFreemanの立場。ほかには、たとえば岩波数学辞典は後出のレヴィ=チヴィタによる平行移動の発見を接続の概念のはじまりとしている。
↑ 正確には、現在の言葉でいう捩れのないアフィン接続。
このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群(上の例では S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} )が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。
上では回転群 S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} の場合を説明したが、 G L n ( C ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )} (を自然に G L 2 n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{2n}(\mathbb {R} )} の部分群とみなしたもの)や U n ( C ) {\displaystyle \mathrm {U} _{n}(\mathbb {C} )} 、物理学で重要なシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。
こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。後で説明する、リー群の主バンドルに対する接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。
そこで本項では、まずベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の両方を包括する概念であるファイバーバンドルの接続概念を導入する。この概念は「そもそも平行移動とは何か」を直接的に定式化したもので、この概念それ自身が接続形式の言葉で記述されるわけではない。
そして次にファイバーバンドルの接続概念を用いて主バンドルの接続概念を定義すると同時に、主バンドルの接続を接続形式の言葉で再定式化し、ベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の接続形式の言葉で記述する。
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.. , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} に対し、
ω ^ e = e ∗ ( ω ) {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}=e^{*}(\omega )}
が成立する。ここで ω ^ e {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}} は e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} を局所的な基底とみなしたときのeに関する∇の接続形式であり、 e ∗ ( ω ) {\displaystyle e^{*}(\omega )} はeをUからFG(E)への写像と見たときの接続形式ωのUへの引き戻しである。
主バンドルの接続を定義する前準備として、一般のファイバーバンドルに対する接続を定義する。後述するように、主バンドルの接続はファイバーバンドルに対する接続で群作用に対して普遍になるものである。
すでに述べたように研究が進んでいるのばベクトルバンドルの接続なので、そのような目的のためにはこの一般の接続概念は必要ない。しかしファイバーバンドルの接続により、ベクトルバンドルの接続と次章に述べる主バンドルの接続とを統一的な視点から語る事ができるようになり、主バンドルの接続に基づいてベクトルバンドルの接続の性質をそれに対応する主バンドルの接続と対応付けて調べる事ができる。