ルート系
Φ が V のルート系であるとき,ルート α のコルート α は
α ∨ = 2 ( α , α ) α {\displaystyle \alpha ^{\vee }={2 \over (\alpha ,\alpha )}\,\alpha }
によって定義される.コルートの集合も V のルート系 Φ をなし,双対ルート系(あるいはときどき逆ルート系)と呼ばれる.定義により (α) = α であるから,Φ は Φ の双対ルート系である.Φ で張られる V の格子はコルート格子と呼ばれる.Φ と Φ は同じワイル群 W を持ち,s ∈ W に対して,
( s α ) ∨ = s ( α ∨ ) {\displaystyle (s\alpha )^{\vee }=s(\alpha ^{\vee })}
である.Δ が Φ の単純ルートの集合であれば,Δ は Φ の単純ルートの集合である.
F4 に対して,V = R とし,Φ を長さが 1 か √2 のベクトル α であって 2α の座標がすべて整数ですべて偶数かすべて奇数なもの全体の集合とする.この系には48個のルートがある.単純ルートの1つの選び方は:B3 に対して上で与えられた単純ルートの選び方と,α4 = −(1/2)∑4i=1 ei.
F4 ルート格子,つまり F4 ルート系によって生成される格子は,R4 の点であってすべての座標が整数であるかまたはすべての座標が整数でない半整数であるようなもの全体の集合である.この格子はフルヴィッツ四元数(英語版)の格子に同型である.
V を有限次元ユークリッドベクトル空間とし,(・, ・) を標準ユークリッド内積とする.V のルート系 (root system) とは,非零ベクトルの有限集合 Φ であって,以下の条件を満たすもののことである:
集合 Φ はベクトル空間 V を張る.
任意の x ∈ Φ に対して,その実数倍で Φ に属するものは ±x のみ.
任意の x ∈ Φ に対して,集合 Φ は x に垂直な超平面を通る鏡映で閉じている.
(整数性)任意の x, y ∈ Φ に対して,x を通る直線への y の射影は x の半整数倍である.
条件3と4を書く同値な方法は以下である:
任意の x, y ∈ Φ に対して,集合 Φ は元 σ x ( y ) = y − 2 ( x , y ) ( x , x ) x {\displaystyle \sigma _{x}(y)=y-2{\tfrac {(x,y)}{(x,x)}}x} を含む.
任意の x, y ∈ Φ に対して,数 ⟨ y , x ⟩ := 2 ( x , y ) ( x , x ) {\displaystyle \langle y,x\rangle :=2{\tfrac {(x,y)}{(x,x)}}} は整数である.
ルート系 Φ に含まれるベクトルはルート(root)と呼ばれる.著者によってはルート系の定義に条件2と3のみを課す.この文脈では,整数性(条件4)も満たすルート系は結晶的(crystallographic)と呼ばれる.別の著者は条件 2 を省く;このとき条件 2 を満たすルート系は被約(reduced)と呼ばれる.この記事では,すべてのルート系は被約かつ結晶的と仮定する.
V = R とし,Φ を V の長さ 1 か √2 のすべての整数ベクトルからなるとする.ルートの総数は 2n である.単純ルートたちの1つの選び方は:1 ≤ i ≤ n − 1 に対して αi = ei − ei+1 と(An − 1 に対する上の単純ルートの取り方),短ルート αn = en である.
短ルート αn に垂直な超平面に関する鏡映 σn はもちろん単に n 番目の座標の −1 倍である.長単純ルート αn − 1 に対し,σn−1(αn) = αn + αn−1 であるが,短ルートに垂直な鏡映に対しては,σn(αn−1) = αn−1 + 2αn であり,1倍ではなく2倍である.
Bn ルート格子,つまり,Bn ルートによって生成される格子は,すべての整数ベクトルからなる.
B1 は √2 によるスケーリングによって,A1 に同型であり,したがって異なるルート系ではない.
最初の例として,図に示されているような,2次元ユークリッド空間 R における6つのベクトルを考える.これらのベクトルは空間全体を張る.任意のルート β に垂直な直線を考えると,その直線による R の鏡映は任意の他のルート α を別のルートに写す.さらに,写り先は α + nβ に等しい,ただし n は整数である(この場合 n は 1 である).これら6つのベクトルは以下の定義を満たし,したがってルート系をなす;このルート系は A2 と呼ばれる.