放物型偏微分方程式
仮定の下で、上述の放物型偏微分方程式には、すべての x,y および t>0 に対して解が存在する。 u t = − L ( u ) {\displaystyle u_{t}=-L(u)} の形で記述される方程式が放物型であるとは、L が u およびその一階・二階の微分の(非線型でもあり得る)関数であり、さらにいくつかの追加条件が課されている時を言う。そのような非線型の放物型方程式には、短い時間に対しては解が存在するが、ある有限時間後に生じる特異点において解の爆発が起こる可能性がある。したがって、解がすべての時間に対して存在するか、または、特異点がどのように現れるかなどのより一般的な研究を行う際に、困難が生じる。これは一般的に確かに困難な問題で、たとえばリッチ・フロー(英語版)によるポアンカレ予想の解を参照されたい。