群のコホモロジー
1次コホモロジー群はいわゆる交差準同型(英: crossed homomorphism)——つまり写像(の集合)f : G → M ですべての a, b ∈ G に対して f(ab) = f(a) + af(b) を満たすもの——のいわゆる内部交差準同型(英: principal crossed homomorphism)——つまり写像 f : G → M である固定された m ∈ M に対して f(a) = am − m で与えられるもの——による商である。これは双対鎖などの定義から従う。
もし G の M への作用が自明ならば、これは群準同型 G → M からなる群 H(G, M) = Hom(G, M) となる。
H(Z/2, Z−) の場合を考えよう。ここで Z− は整数群に非自明な Z/2 作用を入れたものを表す。交差準同型は写像 f : Z/2 → Z で f(1) = 0 とある整数 a に対して f(−1) = a を満たすものからなる。内部交差準同型はさらに f(−1) = 2a をみたすものであり、したがって
H 1 ( Z / 2 , Z − ) ≅ Z / 2 = ⟨ f ∣ f ( 1 ) = 0 , f ( − 1 ) = 1 ⟩ {\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})\cong \mathbb {Z} /2=\langle \,f\mid f(1)=0,\ f(-1)=1\,\rangle }
, g n ) {\displaystyle d^{n+1}\varphi (g_{1},\dotsc ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dotsc ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi (g_{1},\dotsc ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},g_{i+2},\dotsc ,g_{n+1})+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\dotsc ,g_{n})}
で定めると d ∘ d = 0 が成り立つので、これはコホモロジーが計算可能な双対鎖複体を定める。上述の導来関手を使った群のコホモロジーの定義はこの複体のコホモロジー
H n ( G , M ) = Z n ( G , M ) / B n ( G , M ) {\displaystyle H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M)}
と同型であることを示すことができる。ここで n 次の双対輪体群、n 次の双対境界群はそれぞれ次のように定義される。
Z n ( G , M ) = ker  ( d n + 1 ) {\displaystyle Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})}
B n ( G , M ) = { 0 ( n = 0 ) im  ( d n ) ( n ≥ 1 ) {\displaystyle B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&(n=0)\\\operatorname {im} (d^{n})&(n\geq 1)\end{cases}}}
実際には次の事実を使ってコホモロジー群を計算することがしばしばある。つまり G 加群の短完全列
0 → L → M → N → 0 {\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}
は長完全列
0 → L G → M G → N G → δ 0 H 1 ( G , L ) → H 1 ( G , M ) → H 1 ( G , N ) → δ 1 H 2 ( G , L ) → ⋯ {\displaystyle 0\to L^{G}\to M^{G}\to N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\to }}H^{1}(G,L)\to H^{1}(G,M)\to H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\to }}H^{2}(G,L)\to \dotsb }
を誘導する。いわゆる連結準同型
δ n : H n ( G , N ) → H n + 1 ( G , L ) {\displaystyle \delta ^{n}\colon H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)}
は非斉次双対鎖のことばで次のように記述できる。もし c が H(G, N) の n 次の双対鎖 φ : G → N に代表される元ならば、δ(c) は d(ψ) に代表される。ここで ψ は φ を「持ち上げて」(つまり φ が ψ と全射 M → N の合成となるようにして)得られる n 次の双対鎖 G → M である。