完備測度
完備性の問題について考える必要性は、直積空間に関する問題を考える上で生じる。
すでに実数直線上のルベーグ測度は構成出来ているものとする。この測度空間を (R, B, λ) で表す。今、平面 R 上のある二次元ルベーグ測度 λ を積測度として構成することを考える。単純に考えて、R 上のσ-集合代数を、Ai ∈ B に対してすべての可測な「長方形領域」A1 × A2 を含む最小の σ-集合代数 B ⊗ B として取る。
この方法は測度空間を定義するが、欠点がある。すべての単元集合に対して一次元ルベーグ測度はゼロであるため、
λ 2 ( { 0 } × A ) = λ ( { 0 } ) ⋅ λ ( A ) = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}(\{0\}\times A)=\lambda (\{0\})\cdot \lambda (A)=0}
が R の任意の部分集合 A に対して成立する。しかし、A をヴィタリ集合のような実数直線の非可測部分集合(英語版)とすると、{0} × A の λ-測度は定義されないが、
{ 0 } × A ⊆ { 0 } × R {\displaystyle \{0\}\times A\subseteq \{0\}\times \mathbb {R} }
およびこのより大きな集合は λ-測度ゼロを持つ。したがって、今定義された「二次元ルベーグ測度」は完備ではなく、ある種の完備化の手順が要求されることになる。