多様体
それぞれの括弧は、座標系から座標系への写像になっている。左端の括弧は (M2,T) での座標変換なので C 級、右端の括弧は (M1,S) での座標変換なので C 級である。このことからs と t の小さい方( s = t ならばその値)を u として、この合成写像の微分可能性は高々 C 級であり、 u + 1 回以上の連続微分可能性を仮定することは意味を持たない。
したがって
f: M1 → M2
が C 級写像であるとは、任意の座標近傍に対し、そこでの局所座標表示が C 級写像であることと定義される。ただし 0 ≤ r ≤ u = min{s,t} とする。
1 ≤ r ≤ u の時
f: M1 → M2
が全単射で f とその逆写像 f がともに C 級写像であるとき、 f を C 級微分同相写像 (C diffeomorphism) という。f が C 級微分同相写像であれば、f も明らかに C 級微分同相写像である。
M1 と M2 の間に C 級微分同相写像が存在するとき M1 と M2 は互いに C 級微分同相 (C diffeomorphic) であるという。
こうすることによって異なる地図同士では重複する部分が出てきてしまうものの、一枚の地図の中に同じ地域が 2 箇所以上描かれることをなくすことはできる。
地球と同じように多様体は好きなところに小さな地図(局所座標系)が描ける図形である。逆に、このような小さな地図を繋げていったら全体としてどのような図形ができあがるのか?という問題は位相幾何学の重要な問題の一つでもある。地図だけみれば地球をまねて作っているようなゲーム(例えば、ファミコン版のドラゴンクエストシリーズ)の世界が、実は球面ではなく平坦トーラスだったということもある。
多様体は性質のよい図形であり、多様体でない図形も多く存在する。円や球や多角形、多面体などは全て多様体として扱えるが、ペアノ曲線やフラクタルなどは適当な地図を描くことはできず、多様体にはならない。