ハイネの和公式
ガウスの超幾何級数
2 F 1 [ a , b c ; z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n ( c ) n n ! z n {\displaystyle _{2}F_{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}\;n!}}z^{n}}
に対し、その q-類似は
2 φ 1 [ a , b c ; q , z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n ( q ; q ) n ( c ; q ) n z n {\displaystyle _{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}(b;q)_{n}}{(q;q)_{n}(c;q)_{n}}}z^{n}}
で定義される。但し、ポッホハマー記号
( a ) n = a ( a + 1 ) ⋯ ( a + n − 1 ) {\displaystyle (a)_{n}=a(a+1)\cdots (a+n-1)}
と q-ポッホハマー記号
ハイネの和公式はハイネの変換式に z = c a b {\displaystyle z={\tfrac {c}{ab}}} を代入することにより得られる。