量子複製不可能定理
量子複製不可能定理には、以下のようにして古典論における類似ケースを作る事ができる。あるコイン(コインは歪んでいてもよい)を一度投げ、その結果だけが 与えられたとき、同じコインを用いた2度目の独立なコイン投げをシミュレートする事は不可能である。この証明には確率の線形性を用い、ここまでと全く同じ構造の証明を用いる。従って、量子複製不可能定理が量子論に特有のものであると示すためには、いくつかの注意が必要である。結果を量子論に限定するための一つの方法は、状態を純粋状態に制限する事である。純粋状態とは、他の確率と凸結合になっていない状態の事である。古典論において純粋状態は他の状態と直交するが、量子力学における純粋状態はそうならない。
量子的な系Aのある状態をコピーする事を考え、この状態を | ψ ⟩ A {\displaystyle |\psi \rangle _{A}} (ブラ・ケット記法参照)とおく。コピー先として、同じ状態空間を持った系Bとその初期状態 | e ⟩ B {\displaystyle |e\rangle _{B}} を考える。この初期状態、すなわち空白の状態は、我々が先行する知識を持っていないはずの | ψ ⟩ A {\displaystyle |\psi \rangle _{A}} という状態には、依存してはならない。組み合わされた系の状態はそのようにして、以下のテンソル積で表される。
| ψ ⟩ A ⊗ | e ⟩ B {\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}\,} .
(以下 ⊗ {\displaystyle \otimes } の記号は省略し、暗黙にそれがあるものとする)
組み合わされた系を操作する手段は2つだけである。我々は観測を行う事ができ、系は不可逆に収縮して、あるオブザーバブルの固有状態となり、量子ビットに含まれた情報は汚染される。自明だが、これは望む操作ではない。もう一つのものとして、我々は系のハミルトニアンを操作して、時間発展演算子U (時間に依存しないハミルトニアンにおいては U ( t ) = e − i H t / ħ {\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }} であり、 − H / ħ {\displaystyle -H/\hbar } は時間並進の生成子と呼ばれる)を、ある時間間隔においてだけ操作することができる。これはユニタリ演算子である。