回転 (ベクトル解析)
少し状況を複雑にして、ベクトル場
F ( x , y , z ) = − x 2 y ^ {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(x,y,z)=-x^{2}{\hat {\boldsymbol {y}}}}
を考える。これは以下の図
のような場である。これは一見して回転を見つけることができないかもしれないが、例えば右側をよく見ると、この場は x = 3における値よりも x = 4 における値の方が大きい。直観的にはこの部分に小さな外輪を置けば、右側の流量が大きいので時計回りに回転し始めることがわかる。これは回転ベクトルが z が負の向きを持つことを意味する。対照的に左の方を見れば、ここに外輪を置いたとき左側の流量が多いので、外輪は反時計回りに回転し、回転ベクトルは z が正の向きを持つ。これらの直観を裏打ちするように、
上記の公式は、ベクトル場の回転というものが、その場の「循環」の無限小面積密度として定義されることを意味するものである。この定義は自然に、
対応する大域公式としてのケルビン・ストークスの定理、
以下に挙げる曲線直交座標系における「覚えやすい」定義
とも適合する。後者の座標系の話は、例えばデカルト座標系、球面座標系、円筒座標系、あるいは楕円座標系(英語版)や抛物座標系(英語版)の場合にも
( curl  F ) 3 = 1 a 1 a 2 ( ∂ ( a 2 F 2 ) ∂ u 1 − ∂ ( a 1 F 1 ) ∂ u 2 ) {\displaystyle (\operatorname {curl} {\boldsymbol {F}})_{3}={\frac {1}{a_{1}a_{2}}}\left({\frac {\partial (a_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (a_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right)}
が成り立つ。ここで、(x1, x2, x3) がデカルト座標系で (u1, u2, u3) が直交座標系ならば、
a i = ∑ j = 1 3 ( ∂ x j ∂ u i ) 2 {\displaystyle a_{i}={\sqrt {\sum _{j=1}^{3}\left({\frac {\partial x_{j}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}}
は ui に対応する座標ベクトルの長さである。他の成分に関しても、添字の輪環の順で 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1 と置き換えれば同様である。
三次元において、各係数は実函数であるものとして、
微分零次形式 (0-form) は、単なる函数 f(x, y, z)
微分一次形式 (1-form) は、一次結合 a 1 d x + a 2 d y + a 3 d z {\displaystyle a_{1}\,dx+a_{2}\,dy+a_{3}\,dz}
微分二次形式 (2-form) は、形式和 a 12 d x ∧ d y + a 13 d x ∧ d z + a 23 d y ∧ d z {\displaystyle a_{12}\,dx\wedge dy+a_{13}\,dx\wedge dz+a_{23}\,dy\wedge dz}
微分三次形式 (3-form) は、単項式 a 123 d x ∧ d y ∧ d z {\displaystyle a_{123}\,dx\wedge dy\wedge dz}
で与えられる。ここで、dx ∧ dy などの「楔積」は
d x ∧ d y = − d y ∧ d x {\displaystyle dx\wedge dy=-dy\wedge dx}
などを満たし、ある種の有向(あるいは符号付き)面積として理解できる。R における k-形式の外微分は天下り式に (k+1)-形式として与えられ(これは R でも、例えば
ω ( k ) = ∑ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ; ∀ i ν ∈ 1 , ...
二重ベクトル(2-ベクトル)の集合は二次の外冪 ⋀ 2 V {\textstyle \bigwedge ^{2}V} に対応し、これは内積と座標系をとれば歪対称行列の全体であって、幾何学的には無限小回転全体の成す特殊直交リー環 so(V) と見做される。これは ( n 2 ) = 1 2 n ( n − 1 ) {\textstyle {\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)} 次元であり、また無限小回転として 2-ベクトルを 1-ベクトル場の微分と解釈できるようになる。(自明な零次元の場合を除けば)三次元だけが n = ( n 2 ) {\textstyle n={\binom {n}{2}}} を満たすから、この場合が最もすっきりと述べられ、よく用いられる。零次元と一次元では非自明な 2-ベクトルがないから、ベクトル場の回転は常に 0 である。
dx, dy, dz は向きに注意してそれぞれ「双対」形式 d y ∧ d z , d z ∧ d x ( = − d x ∧ d z ) , d x ∧ d y {\displaystyle dy\wedge dz,\quad dz\wedge dx\;(=-dx\wedge dz),\quad dx\wedge dy}
に対応する。従って一般に a x d x + a y d y + a z d z ↔ a z d x ∧ d y + a y d z ∧ d x + a x d y ∧ d z . {\displaystyle a_{x}\,dx+a_{y}\,dy+a_{z}\,dz\quad \leftrightarrow \quad a_{z}\,dx\wedge dy+a_{y}\,dz\wedge dx+a_{x}\,dy\wedge dz.}
以上から、0-形式と 3-形式は函数に、1-形式と 2-形式はベクトル場に対応し、
grad は函数 (0-form) をベクトル場 (1-form) に、
curl はベクトル場 (1-form) をベクトル場 (2-form) に、
div はベクトル場 (2-form) を函数 (3-form) に
それぞれ写す演算として理解できる。一方、d = 0 なる事実に対応するのは、函数 f およびベクトル場 v に対する二つの恒等式 curl grad f = 0 および div curl v = 0 である。