ストーン双対性
次にsober空間の圏Sobと空間的完備ハイティング代数の圏SFrmとの対応関係の詳細を述べる。 これらの圏の間の対応関係は、圏論でいう「関手」の概念を用いて定義される。 ここでSobからSFrmへの関手(functor)とはSobの対象と射にそれぞれSFrmの対象と射を対応させる「写像」の事である。(厳密な定義は圏論の項目を参照。)
SobからSFrmへの関手Ωは以下のように定義される。
定義(SobからSFrmへの関手Ω) ― SobからSFrmへの関手Ω以下のように定義される:
対象:sober空間XにX 上の開集合全体の集合(以下Ω(X )と表記)を対応させる。
射:連続写像f : X → Y にf : Ω(Y ) → Ω(X ) を対応させる。(以下f を以下Ω(f )と表記)
ここで注意すべきはf がX からY への写像であるときはΩ(f ) = f はΩ(Y ) からΩ(X )への写像になっており、写像の向きが逆転している事である。(すなわち圏論の言葉でいえば反変関手になっている)。後でポイントレス位相空間論を考える際には、写像の向きの反転をなくす為、若干の調整が必要となる。
次に、関手Ωのいわば「逆写像」にあたる、SFrmからSob への関手pt を導入する。ptは空間的完備ハイティング代数F に対しF の元を開集合として持つ位相空間を対応させる関手であり、したがってpt を実現するにはF から点集合(point set)を再現する必要がある。