自由アーベル群
この基底において、(4,3) を書く他の方法は存在しないが、{(1, 0), (1, 1)} のような別の基底をとれば、 f 1 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle f_{1}=(1,0)} , f 2 = ( 1 , 1 ) {\displaystyle f_{2}=(1,1)} とおくと、次のように書ける。
( 4 , 3 ) = f 1 + 3 f 2 {\displaystyle (4,3)=f_{1}+3f_{2}} .
より一般に、すべての格子は有限生成自由アーベル群をなす。d 次元の整数格子は d 個の単位ベクトルからなる自然な基底をもつが、他の基底もたくさんもつ。M が d × d 整数行列で行列式が ±1 であれば、M の列は基底をなし、逆に整数格子のすべての基底はこの形である。二次元の場合についてより詳しくは、周期の基本対(英語版)を見よ。
群の表示は群の生成元(任意の元は生成元の有限個の積として書ける)の集合と基本関係子(単位元に等しくなるべき生成元の積)の集合の組を言う。