逆写像
f: X → Y を(必ずしも可逆でない)任意の写像とするとき、Y の元 y の原像または逆像が、f によって y に写される X の元全体の成す集合
f − 1 ( { y } ) = { x ∈ X : f ( x ) = y } {\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\{x\in X:f(x)=y\}}
として定まる。y の原像は、全逆写像による y の像(完全逆像)として考えることができる。
同様に、S を終域 Y の任意の部分集合とすると、S の f による原像が、f によって S へ写される X の元全体からなる集合
f − 1 ( S ) = { x ∈ X : f ( x ) ∈ S } {\displaystyle f^{-1}(S)=\{x\in X:f(x)\in S\}}
として定まる。たとえば、函数 f: R → R; x ↦ x を考えると、この函数は既に述べたように可逆ではないが、しかし終域の部分集合に対する原像は定義できて、たとえば
f − 1 ( { 1 , 4 , 9 , 16 } ) = { − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}
となる。一つの元 y ∈ Y の原像(同じことだが、一元集合 {y} の原像)は、y のファイバー (fiber) と呼ばれることもある。Y が実数全体からなる集合のとき、f −1 は等位集合として言及されることも多い。