双曲型平衡点
T : R → R は C 写像で、p はその不動点とする。ヤコビ行列 DT(p) が単位円上に固有値を持たないとき、p は双曲型不動点と呼ばれる。
唯一つの不動点が双曲型であるような写像の一例として、次のアーノルドの猫写像が挙げられる:
[ x n + 1 y n + 1 ] = [ 1 1 1 2 ] [ x n y n ] modulo 1. {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{modulo }}1.}
実際、固有値は次のようになる。
λ 1 = 3 + 5 2 > 1 {\displaystyle \lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}>1}
λ 2 = 3 − 5 2 < 1 {\displaystyle \lambda _{2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}<1}