GMRES法
↑ Black, Noel and Moore, Shirley. "Biconjugate Gradient Method." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. mathworld.wolfram.com/BiconjugateGradientMethod.html
↑ Black, Noel and Moore, Shirley. "Conjugate Gradient Squared Method." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. mathworld.wolfram.com/ConjugateGradientSquaredMethod.html
↑ Van der Vorst, H. A. (1992). Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems. SIAM Journal on scientific and Statistical Computing, 13(2), 631-644.
↑ Stoer and Bulirsch, §8.7.2
数学において、GMRES法(GMRESほう、generalized minimal residual method)は、連立一次方程式の数値解を求めるための反復法の一種である。残差をクリロフ部分空間において最小化することにより、近似解を計算する。ベクトルの計算にはアーノルディ法が用いられる。ヨセフ・サードとマルティン・H・シュルツにより、1986年に開発された。
を行えばよい。これにより、
Ω n + 1 = G n [ Ω n 0 0 1 ] {\displaystyle \Omega _{n+1}=G_{n}{\begin{bmatrix}\Omega _{n}&0\\0&1\end{bmatrix}}}
を得る。
Ω n + 1 H ~ n + 1 = [ R n r n 0 r n n 0 0 ] with r n n = ρ 2 + σ 2 {\displaystyle \Omega _{n+1}{\tilde {H}}_{n+1}={\begin{bmatrix}R_{n}&r_{n}\\0&r_{nn}\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{with}}\quad r_{nn}={\sqrt {\rho ^{2}+\sigma ^{2}}}}
は三角行列である。
QR分解が与えられると、最小化問題は
‖ H ~ n y n − e 1 ‖ = ‖ Ω n ( H ~ n y n − e 1 ) ‖ = ‖ R ~ n y n − Ω n e 1 ‖ {\displaystyle \|{\tilde {H}}_{n}y_{n}-e_{1}\|=\|\Omega _{n}({\tilde {H}}_{n}y_{n}-e_{1})\|=\|{\tilde {R}}_{n}y_{n}-\Omega _{n}e_{1}\|}