リー環の拡大
{\displaystyle {\begin{aligned}[][U_{1},U_{2}]&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t))U(g_{2}(t))U(g_{1}(t))^{-1}U(g_{2}(t))^{-1}\right|_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right|_{t=0},\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0).\end{aligned}}}
すると g と u(g) の間の基底を基底に送りしたがって u が g の忠実表現であるようなリー環の同型が存在する.
しかしながら U(G) が射影表現(英語版),すなわち位相因子を除いた表現ならば,群の表現から計算されるリー環は,g に同型ではない.射影表現において乗法の規則は
U ( g 1 ) U ( g 2 ) = ω ( g 1 , g 2 ) U ( g 1 g 2 ) = e i ξ ( g 1 , g 2 ) U ( g 1 g 2 ) {\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}g_{2})=e^{i\xi (g_{1},g_{2})}U(g_{1}g_{2})}
To enhance the flavor of physics, factors of i will appear here and there as opposed to in the mathematical conventions.
Consider a column vector Φ of scalar fields (Φ1, Φ2, ..., ΦN). Let the Lagrangian density be
L = ∂ μ φ † ∂ μ φ − m 2 φ † φ . {\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{\dagger }\phi .}
This Lagrangian is invariant under the transformation
φ ↦ e − i ∑ a = 1 r α a F a φ , {\displaystyle \phi \mapsto e^{-i\sum _{a=1}^{r}\alpha ^{a}F_{a}}\phi ,}
where {F1, F1, ..., Fr} are generators of either U(N) or a closed subgroup thereof, satisfying
[ F a , F b ] = i C a b c F c . {\displaystyle [F_{a},F_{b}]=i{C_{ab}}^{c}F_{c}.}
Noether's theorem asserts the existence of r conserved currents,
[ d l ′ , d m ′ ] = ( l − m ) d l + m {\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d_{l+m}}
とでき,中心電荷が全く現れず,したがって拡大は自明である.(これは d0 のみがもともとの関係を得た前の修正の場合では(一般には)ない.)β ≠ 0 のとき基底の変換
d l ′ = d l + δ 0 l α + γ 2 C {\displaystyle d'_{l}=d_{l}+\delta _{0l}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}C}
により交換関係は
[ d l ′ , d m ′ ] = ( l − m ) d l + m ′ + ( γ m + β m 3 ) δ l , − m C {\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d'_{l+m}+(\gamma m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C}
の形で,m について線型な部分は自明である.それはまた H(W, C) が 1 次元である(β の選択に対応)ことも示している.慣習的な選択は α = −β = 1/12 と取り任意の対象 C に任意の因子を吸収することによって自由性をなお保持する.するとヴィラソロ代数 V は
V = W + C C {\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {W}}+\mathbb {C} C}
であり,交換関係は
である.
g, h を同じ体 K 上のリー環とする.
e = h × g {\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}}}
と定義し,e 上に加法を点ごとに定義する.スカラー乗法は
α ( H , G ) = ( α H , α G ) , α ∈ F , H ∈ h , G ∈ g {\displaystyle \alpha (H,G)=(\alpha H,\alpha G),\alpha \in F,H\in {\mathfrak {h}},G\in {\mathfrak {g}}}
によって定義される.これらの定義により,h × g ≡ h ⊕ g は F 上のベクトル空間である.リーブラケット
により,e はリー環である.さらに
The strings considered here are open strings, i.e. they don't close up on themselves. This means that the Neumann boundary conditions have to be imposed on the endpoints. With this, the general solution of the wave equation (excluding constraints) is given by
X μ ( σ , τ ) = x 0 μ + 2 α ′ p 0 μ τ − i 2 α ′ ∑ n = 1 ( a n μ ∗ e i n τ − a n μ e − i n τ ) cos  n σ n , {\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+2\alpha 'p_{0}^{\mu }\tau -i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n=1}\left(a_{n}^{\mu *}e^{in\tau }-a_{n}^{\mu }e^{-in\tau }\right){\frac {\cos n\sigma }{\sqrt {n}}},}
where α' is the slope parameter of the string (related to the string tension).
[ J a ( x ) , J b ( y ) ] = i ħ C a b c J c ( x ) δ ( x − y ) + i ħ 2 2 π δ a b C δ ′ ( x − y ) , {\displaystyle [J_{a}(x),J_{b}(y)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}
since the delta functions arguments only ensure that the arguments of the left and right arguments of the commutator are equal (formally δ(z) = δ(z − 0) ↦ δ((x −y) − 0) = δ(x −y)).
By comparison with CA10, this is a current algebra in two spacetime dimensions, including a Schwinger term, with the space dimension curled up into a circle. In the classical setting of quantum field theory, this is perhaps of little use, but with the advent of string theory where fields live on world sheets of strings, and spatial dimensions are curled up, there may be relevant applications.
である.基底元に対して,適切に正規化し反対称構造定数により次が成り立つ:
[ λ l ⊗ G i + μ C , λ m ⊗ G j + ν C ] = λ l + m ⊗ [ G i , G j ] + φ ( λ l ⊗ G i , λ m ⊗ G j ) C = λ l + m ⊗ C i j k G k + L ( λ d λ l d λ ⊗ G i , λ m ⊗ G j ) C = λ l + m ⊗ C i j k G k + l L ( λ l ⊗ G i , λ m ⊗ G j ) C = λ l + m ⊗ C i j k G k + l δ l + m , 0 K ( G i , G j ) C = λ l + m ⊗ C i j k G k + l δ l + m , 0 C i k m C j m k C = λ l + m ⊗ C i j k G k + l δ l + m , 0 δ i j C .
ε がリー環 g 上の 2-コサイクル(背景)で,h が任意の1次元ベクトル空間であるとき,e = h ⊕ g(線型直和)とし,e 上のリーブラケットを
[ μ H + G 1 , ν H + G 2 ] = [ G 1 , G 2 ] + ε ( G 1 , G 2 ) H , μ , ν ∈ F {\displaystyle [\mu H+G_{1},\nu H+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\epsilon (G1,G2)H,\quad \mu ,\nu \in F}
で定義する.ここで H は h の任意に1つ固定された元である.反対称性は g 上のリーブラケットの反対称性と 2-コサイクルの反対称性から従う.ヤコビ律は g と ε の対応する性質から従う.したがって e はリー環である.G1 = 0 とおき,μH ∈ Z(e) が従う.また,i: μH ↦ (μH, 0) と s: (μH, G) ↦ G により Im i = ker s = {(μH, 0):μ ∈ F} ⊂ Z(e) が従う.したがって e は g の h による中心拡大である.それは 2-コサイクルによる拡大と呼ばれる.