確率変数
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最後の表現は X の分布関数で計算できる。すなわち
F Y ( y ) = 1 − F X ( − log  ( e y − 1 ) ) {\displaystyle F_{Y}(y)=1-F_{X}(-\log(e^{y}-1))} = 1 − 1 ( 1 + e log  ( e y − 1 ) ) θ {\displaystyle =1-{\frac {1}{(1+e^{\log(e^{y}-1)})^{\theta }}}} = 1 − 1 ( 1 + e y − 1 ) θ {\displaystyle =1-{\frac {1}{(1+e^{y}-1)^{\theta }}}} = 1 − e − y θ . {\displaystyle =1-e^{-y\theta }.}
コイントスをするという試行において、標本空間は Ω = { heads , tails } {\displaystyle \Omega =\{{\text{heads}},{\text{tails}}\}} である。表が出る回数を調べたい場合は、ここから確率変数 X を次の式で定義する:
X ( ω ) = { 1 , if ω = heads , 0 , if ω = tails . {\displaystyle X(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ \ \omega ={\text{heads}},\\\\0,&{\text{if}}\ \ \omega ={\text{tails}}.\end{cases}}}
コインの表 (head) と裏 (tail) が出る確率が等しい時、確率質量関数 f X {\displaystyle f_{X}} は次式の通りである。
f X ( x ) = { 1 2 , if x = 1 , 1 2 , if x = 0. {\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}x=1,\\\\{\tfrac {1}{2}},&{\text{if }}x=0.\end{cases}}}
確率変数の確率分布は、多くの場合少数の特性値で規定される。例えば、確率変数の期待値 (E[X]) は確率分布の"1次モーメント"であり、平均とも呼ばれる。一般に、E[f(X)] は f(E[X]) と等しくない。次に、確率変数値が全体として「平均」からどれだけ散らばっているかを表す特性値として分散 (V[X]) および標準偏差 (σ[X]) がある。分散 V[X] とは、X と平均の差の2乗の期待値 E[(X − E[X])] のことである。
数学的には、与えられた確率変数 X が所属する母集団に関する(一般化された)モーメント問題(英語版)として知られ、確率変数 X の分布の性質を示す期待値 E[fi(X)] の関数のコレクション {fi} である。
モーメントは確率変数が実数関数である場合(複素数等についても)に定義できる。確率変数自身が連続であるならば、変数のモーメント自身は確率変数の恒等関数 f(X) = X と等価である。しかし、非実数の確率変数の場合にも、モーメントをその変数の実数関数として得ることができる。例えば、名義尺度変数 X として「赤」、「青」、「緑」がある場合、実数関数 [ X = green ] {\displaystyle [X={\text{green}}]} を考えることができる。こうしてアイバーソンの記法を用いることで、X が「緑」の時は1、それ以外は0と記述できるので、期待値および他のモーメントを定義できる。
確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} が与えられたとき、確率変数とは、標本 ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } に割り当てた値をとる変数のことである。値にはその名の通り R {\displaystyle \mathbb {R} } や Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の他、ベクトル値 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} を割り当てることもある。「値」として、一般的には可測空間 ( E , E ) {\displaystyle (E,{\mathcal {E}})} とする。