等比数列
等比数列を漸化式で表すと、
{ a 0 = a a n + 1 = r a n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle {\begin{cases}a_{0}&=a\\a_{n+1}&=ra_{n}&(n\geq 0)\end{cases}}}
となる。
公比 r が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる。r = −|r| と置き換えると、
a n = a ( − | r | ) n = ( − 1 ) n a | r | n {\displaystyle a_{n}=a(-|r|)^{n}=(-1)^{n}a|r|^{n}}
となり、各項は n が奇数なら初項と異符号になり、偶数なら初項と同符号となる。 公比が負の数列として、例えば 3, −6, 12, −24, ... なる公比 −2 の等比数列を考えると、その一般項は
a n = 3 ⋅ ( − 2 ) n = ( − 1 ) n 3 ⋅ 2 n {\displaystyle a_{n}=3\cdot (-2)^{n}=(-1)^{n}\,3\cdot 2^{n}}
となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。
形式的に等比数列の一般項の対数をとると
log  a n = log  a + n log  r {\displaystyle \log a_{n}=\log a+n\log r}
となり、数列 log an は初項 log a 、公差 log r の等差数列になる。
等比数列の連続する3項を小さい順から a, b, c とすると、常に b = ac が成り立つ。