平面曲線
初等幾何学における平面曲線(へいめんきょくせん、英: plane curve, planar curve)は、その像がひとつの平面(特にユークリッド平面、アフィン平面(英語版)、射影平面など)に全く含まれるような曲線を言う。例えばユークリッド平面曲線は連続写像
によって同定することができる。ここに I は実数直線 R 内の区間である。
特に、2 より大きい次元のユークリッド空間に含まれる曲線が平面的 (planar) であるとは、曲線の定義空間に全く含まれる適当な平面が存在して、その曲線の像がその平面に全く含まれるときに言う。平面的でない空間曲線は非平面曲線(英語版)という。
平面曲線が単純とは、それが自己交叉を持たないこと、すなわち
となるときに言う。
もっともよく調べられる平面曲線は、微分幾何学において調べられる可微分な場合(滑らかな曲線、区分的に滑らかな曲線)や代数幾何学において調べられる曲線の陰伏方程式が多項式で与えられる場合(代数曲線)である。代数曲線は18世紀以降広汎に研究されてきた。
弧長変数で媒介表示された曲線 β(s) に対し、β′(s) はその単位接ベクトルである。さらに函数 k: I → R; s ↦ k(s) ≔ ‖ β′′(s) ‖ ≥ 0 はこの曲線の曲率と呼ばれる。曲線が陽表示 y = f(x) を持てば曲率も
と陽に計算できる。陰伏表示 F(x, y) = 0 の場合は
となる。
空間内の(十分正則な)曲線はその任意の点において、フレネ標構と呼ばれる「接ベクトル」「法ベクトル」「陪法ベクトル」の三つ組からなる参照系を持つが、このような曲線が平面的となるための必要十分条件はその陪法ベクトルが常に零となることである。
弧長表示 β(s) = (φ(s), ψ(s) に対して単位接ベクトル T ( s ) = β ′ ( s ) = ( φ ′ ( s ) , ψ ′ ( s ) ) {\textstyle T(s)=\beta '(s)=(\phi '(s),\psi '(s))} および単位法ベクトル N ( s ) = i ⋅ T ( s ) = ( − ψ ′ ( s ) , φ ′ ( s ) ) {\textstyle N(s)=i\cdot T(s)=(-\psi '(s),\phi '(s))} は直ちに求められる(ただし i は虚数単位)。曲率を用いれば単位法ベクトルを
と与えることもできる。T′ は T に直交し、N に平行である。
これらをまとめると「平面曲線に関するフレネの公式」および曲率は、任意の媒介表示曲線 α(t) に対して
と与えられる。