クリフォード代数
このセクションにおいて、双対四元数(英語版)が退化二次形式を持った実四次元空間の偶クリフォード代数として構成される。
ベクトル空間 V を実四次元空間 R とし、二次形式 Q を R 上のユークリッド距離から入る退化形式とする。v, w ∈ R に対して、退化双線型形式
d ( v , w ) = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 . {\displaystyle d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}
を導入する。この退化スカラー積は R における距離測定を R の超平面に全射で射影する。
ベクトル v と w のクリフォード積は
v w + w v = − 2 d ( v , w ) {\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {v} =-2\,d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\!}
によって与えられる。負号は四元数との対応を簡単にするために導入していることに注意しよう。
R の直交単位ベクトルの集合を e1, e2, e3, e4 として表記すると、クリフォード積は関係
e m e n = − e n e m , m ≠ n , {\displaystyle \mathbf {e} _{m}\mathbf {e} _{n}=-\mathbf {e} _{n}\mathbf {e} _{m},\,\,\,m\neq n,\!}
本節において V は有限次元でありその双線型形式は非特異であると仮定する。(K が標数 2 であればこれは V の次元が偶数であることを含む。)
ピン群 PinV(K) はスピノルノルム ±1 の元のクリフォード群 Γ の部分群であり、同様にスピン群 SpinV(K) は PinV(K) においてディクソン不変量 0 の元の部分群である。標数が 2 でないとき、これらは行列式 1 の元である。スピン群は通常ピン群において指数 2 を持つ。
クリフォード群から直交群への全射準同型が存在することを直前のセクションから思い出そう。特殊直交群を Γ の像として定義する。K の標数が 2 でなければこれは単に直交群の行列式 1 の元の群である。K の標数が 2 であれば、直交群のすべての元は行列式 1 をもち、特殊直交群はディクソン不変量 0 の元の集合である。
ピン群から直交群への準同型が存在する。
実スピン表現を記述するために、スピン群がクリフォード代数の中にどのようにあるかを知らなければならない。ピン群 Pinp,q は単位ベクトルの積として書ける Clp,q の可逆元の集合である:
Pin p , q := { v 1 v 2 ... v r ∣ ∀ i ‖ v i ‖ = ± 1 } . {\displaystyle \operatorname {Pin} \nolimits _{p,q}:=\{v_{1}v_{2}\dots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\}.}
クリフォード代数の上の具体的な実現と比べて、ピン群は任意にたくさんの鏡映の積に対応する: それは全直交群 O(p, q) の被覆である。スピン群は単位ベクトルの偶数個の積であるような Pinp,q の元からなる。したがってカルタン・デュドネの定理によって Spin は固有回転の群 SO(p, q) の被覆である。
α: Cl → Cl を pure ベクトルに作用する写像 v ↦ −v によって与えられる自己同型とする。すると特に Spinp,q は元が α によって固定される Pinp,q の部分群である。