フレアーホモロジー
この自然な函数は、シンプレクティックな場合は、シンプレクティック作用を持つシンプレクティック多様体の自由ループ空間であり、3次元多様体の場合は、チャーン-サイモンズ汎函数を持つ 3次元多様体上の SU(2)-接続の空間である。大まかには、フレアーホモロジーは、無限次元多様体上の函数のモースホモロジーである。フレアーチェーン複体は、函数の臨界点(critical point)(もしくは、臨界点のある集まりでもよい)で張られるアーベル群から構成される。チェーン複体の微分は、臨界点と臨界点と(従って、臨界点の集まり)を結ぶ函数の勾配の力線の数を数えることにより定義される。このベクトル空間の線型な自己準同型は、2つの臨界点を結ぶ函数の勾配の力線を数えることで定義される。フレアーホモロジーは、このチェーン複体のホモロジーである。
フレアーのアイデアをうまく適用できる状況では、勾配の力線の方程式が、幾何学的解析的に扱いやすい典型的な方程式である。シンプレクティックフレアーホモロジーに対し、ループ空間の中の経路の勾配の力線の方程式は、注目しているシンプレクティック多様体への円筒形(cylinder)(ループの経路の全空間)からの写像のコーシー・リーマンの方程式(の摂動バージョン)であり、解は擬正則曲線(英語版)(pseudoholomorphic curves)として知られている。従って、グロモフのコンパクト性定理(英語版)(Gromov compactness theorem)は、微分が well-defined で、二乗が 0 となるので、フレアーホモロジーを定義することができることを示した。インスタントンフレアーホモロジーに対し、勾配の力線の方程式はまさに、実直線と交差する 3次元多様体上のヤン・ミルズ方程式である。
シンプレクティック多様体の 2つの横断的に交差するラグラジェ部分多様体のラグラジアンフレアーホモロジーは、2つの部分多様体の交叉する点により生成される鎖複体のホモロジーで、その微分は擬正則的(英語版)なホイットニーディスク(英語版)の数を数える.
シンプレクティック多様体の3つのラグランジュ部分多様体 L0, L1, と L2 が与えられると、ラグラジアンフレアーホモロジー上の積構造があり:
H F ( L 0 , L 1 ) ⊗ H F ( L 1 , L 2 ) → H F ( L 0 , L 2 ) , {\displaystyle HF(L_{0},L_{1})\otimes HF(L_{1},L_{2})\rightarrow HF(L_{0},L_{2}),}
これが正則三角形を数えることで定義される(すなわち、頂点と辺をもつ三角形の正則写像は、適当な交叉点とラグランジュ部分多様体へ写像される)。