ホッジ構造
ウェイト n の純粋ホッジ構造 (n ∈ Z)(pure Hodge structure with weight n) とは、有限生成アーベル群Hzとその複素化 H の複素線型空間としての直和分解を与えるような複素部分空間の族H (p+q=n) であって、H の複素共役は H であるという性質を満たすもののことである。
H := H Z ⊗ Z C = ⨁ p + q = n H p , q , {\displaystyle H:=H_{\mathbf {Z} }\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathbf {C} }=\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},}
H p , q ̄ = H q , p . {\displaystyle {\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.}
これと同値な定義は、H の直和分解をホッジフィルトレーション(Hodge filtration)に置き換えることにより得られる。ホッジフィルトレーションとは、複素線形空間H の有限な減少フィルトレーション(英語版) FH (p ∈ Z) で、条件
∀ p , q : p + q = n + 1 , F p H ∩ F q H ̄ = 0 and F p H ⊕ F q H ̄ = H .
混合ホッジ構造の圏を、混合ホッジ構造( HZ ,W, F)から( H'Z ,W', F')へのモルフィズムを、 HZ から H'Z への準同型で各フィルトレーションと整合的になるものとして定義することで定める。このとき次の定理が成り立つ。
混合ホッジ構造の圏はアーベル圏である。この圏における核と余核は、アーベル群の普通の核と余核(の上に定まる自然な混合ホッジ構造)に一致する。
また混合ホッジ構造には多様体の積と対応するテンソル積が自然に定まる。また、混合ホッジ構造の圏には、内部 Hom や 双対対象 も存在し、これにより混合ホッジ構造の圏は淡中圏となる。 淡中・クラインの双対(英語版)により、この圏はある群の有限次元表現の圏に同値である。ドリーニュとミルン(James S. Milne)は以上のことを明らかにした。 Deligne (1982)
第三に、 Q1 から Q2 へのX1上のパスとQ2 からQ1 へのX2 上のパスからなる1-サイクルγ が存在し、これらはαi と βj を法として決定される。これは H(X) が、次の増加するフィルトレーションを持つことを示唆している。
0 ⊂ W 0 ⊂ W 1 ⊂ W 2 = H 1 ( X ) {\displaystyle 0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X)}
ただし、 W0 はαi と βj を全て消すような1-コサイクルの全体とし、 W1 はαi を全て消すような1-コサイクルの全体とした。この連続する商 Wn / Wn-1 は、滑らかな完備多様体のn次コホモロジーに起源を持ち、それゆえにウェイト n の純粋ホッジ構造を持っている。