常微分方程式
{\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(1+f(y)){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.} f(y) は既知関数。
x d 2 y d x 2 + ( α + γ y n ) d y d x = 0. {\displaystyle x{\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}+(\alpha +\gamma {}y^{n}){\frac {{d}y}{{d}x}}=0.} α, γ, n は実数.ただし,n ≠ −1。
d 2 y d x 2 = f ( α + β x + γ y k + l x + m y ) . {\displaystyle {\frac {{d}^{\,2}y}{{d}x^{2}}}=f\!\left({\frac {\alpha +\beta {x}+\gamma {y}}{k+\ell {x}+m{y}}}\right).} f (·) は既知関数。 α , β , γ , k , l , m {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,k,\ell ,m} は実数.ただし, γ l − β m = 0 {\displaystyle \gamma \ell -\beta {m}=0} 。
常微分方程式(じょうびぶんほうていしき、英: ordinary differential equation, O.D.E.)とは、数学において、未知関数とその導関数からなる等式で定義される方程式である微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 t の未知関数 x(t) に対して、(既知の)関数 F を用いて
F ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , ... , x ( n ) ( t ) ) = 0 ( x ( k ) ( t ) := d k d t k x ( t ) , f o r k = 0 , 1 , ... , n . ) {\displaystyle F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0\quad \left(x^{(k)}(t):={\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}x(t),\,\mathrm {for} ~\,k=0,1,\dots ,n.\right)}
という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。x(t) は未知関数 x(t) の k 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。
F ( t , x ( t ) , x ( 1 ) ( t ) , ... , x ( n ) ( t ) ) = 0 ( x ( k ) ( t ) := d k d t k x ( t ) , f o r k = 0 , 1 , ..
} m, n は実数,ただし,m ≠ 0,f は既知関数。
d y d x = d A ( x ) d x F ( y A ( x ) ) . {\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}={\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}F\!\left({\frac {y}{A(x)}}\right).} A(x),F は既知関数。
d y d x = B ( x ) F ( y + A ( x ) ) − d A ( x ) d x . {\displaystyle {\frac {{d}y}{{d}x}}=B(x)F(y+A(x))-{\frac {\,{d}A(x)\,}{{d}x}}.} A(x ),B(x ),F は,いずれも既知関数。