接続形式
例として、M にはリーマン計量が入っているとして、M の接バンドル上のレヴィ・チヴィタ接続を考える。 接バンドル上の局所標構は、M の開集合上に定義されたどの点でも線型独立なベクトル場 e = (ei | i = 1,2,...,n=dim M) の順序づけられた基底である。クリストッフェル記号は、
∇ e i e j = ∑ k = 1 n Γ i j k ( e ) e k . {\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.}
により、レヴィ・チヴィタ接続を定義する。θ = (θi | i=1,2,...,n) を θi(ej) = δij (クロネッカーのデルタ)) である余接バンドルの双対基底を表すとすると、接続形式は、
ω i j ( e ) = ∑ k Γ k i j ( e ) θ k {\displaystyle \omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma _{ki}^{j}(\mathbf {e} )\theta ^{k}}
E が構造群(英語版)(structure group)を持っている場合は、接続形式のタイプをさらに特定することができる。これは E の標構 e の特定したクラスを考えると、リー群 G と関連付けられる。例えば、E に計量(英語版)(metric)があると、各々の点で標構を正規直交基底として機能させることができる。すると構造群は、標構の正規直交性を満たすので、直交群(orthogonal group)となる。別な例を以下に示す。
前のセクションで考えた通常の標構は、k を E のファイバーの次元とすると、構造群 GL(k) を持っている。
複素多様体(概複素多様体でもよい)の正則接バンドル。 ここの構造群は GLn(C) ⊂ GL2n(R) である。 エルミート計量が与えられている場合には、構造群はユニタリ標構の上の作用するユニタリ群へ簡約する。
スピン構造を持つ多様体上のスピノル。標構は、スピン空間上の不変内積に関してユニタリであり、群はスピン群へ簡約される。