因子 (代数幾何学)
X を既約かつ被約で分離的な正規ネータースキームとする(分離的な代数多様体は既約かつ被約なネーター的スキームであるから、正規で分離的代数多様体を考えていると思って差し支えない)。Z を dim Z = dim X - 1 、つまり余次元が 1 の既約で被約な閉部分スキーム(既約な閉部分代数多様体)とする。このような閉部分スキームを素因子 (prime divisor) とよぶ。X 上のヴェイユ因子 (Weil divisor) とは、 有限個の素因子 Zi の有限型式和
D = ∑ i = 1 m a i Z i {\displaystyle D=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Z_{i}}
の事を言う。単にヴェイユ因子といった場合は通常、係数 ai は整数である。このとき D の次数 (degree) を deg  ( D ) = ∑ i a i {\displaystyle \deg(D)=\sum _{i}a_{i}} により定める。係数 ai が有理数のときは、Q-ヴェイユ因子、 実数の時には R-ヴェイユ因子と呼ぶ。ヴェイユ因子、Q-ヴェイユ因子、R-ヴェイユ因子を単に因子、Q-因子、R-因子と呼ぶ事も多い。ヴェイユ因子、Q-ヴェイユ因子、あるいはR-ヴェイユ因子 D のすべての係数 ai が非負のとき、D は有効 (effective) であるといい、D ≥ 0 と書く。ヴェイユ因子(または、Q-ヴェイユ因子、R-ヴェイユ因子)の全体は 自由Z-加群(Q-ベクトル空間、R-ベクトル空間)の構造を持つ。
F の像が P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}} の部分射影空間に含まれないとすると、dim Λ = n となり、Λ は固定部分を持たない、すなわち、可動な線形系であり、 φ Λ = F {\displaystyle \varphi _{\Lambda }=F} となる。このようにして、可動な線形系は、射影空間への有理写像であって、像が非退化(どんな超平面にも含まれない)なものと1対1に対応している。線形系 Λ の基点集合 Bs Λ が空集合であるとき、自由(free あるいは、基点をもたない base point free)であるという。自由な線形系は、射影空間への非退化な像を持つ射と1対1に対応する。自由な線形系に属する因子は、射影空間の超平面因子の引き戻しで書けるので、カルティエ因子である。
部分空間 V ⊂ L(D) に対応する線形系 Λ が自由である事は、自然な層の準同型
V ⊗ O X → O X ( D ) {\displaystyle V\otimes {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(D)}
が全射になることと言い換えられる。これを O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} は V で生成される (generated by V) と言う。
この対応で、カルティエ因子の和・差は対応するヴェイユ因子の和・差に対応する。
さらに、Xが局所分解的 (locally factorial)、すなわち、各点での局所環(座標環の任意の点に対応する素イデアルでの局所化)が素元分解整域になるようなスキームであるとする。素元分解整域上、高さが 1 の素イデアルは単項イデアルであるので、任意の素因子 Zi は各点の周りで、既約元 pi を使って (pi) の形に表される。従って、一般のヴェイユ因子 D = ∑ ai . Zi に対しては、アフィン開集合 U 上
g U = ∏ p i a i {\displaystyle g_{U}=\prod p_{i}^{a_{i}}}
と定めれば U 上で D = (gU) となる。よって、X が局所分解的な場合はヴェイユ因子はカルティエ因子になる、すなわち、ヴェイユ因子とカルティエ因子の概念は同じものである。たとえば、X が非特異であるとき、定義により、各点の局所環は正則局所環であるが、正則局所環は素元分解整域であるから、非特異な被約で既約な分離的ネータースキーム上ではヴェイユ因子とカルティエ因子は等価である。
しかし、一般にはヴェイユ因子はカルティエ因子になるとは限らない。ヴェイユ因子(または Q-ヴェイユ因子) D に対して、十分大きな自然数 n を取ると nD がカルティエ因子になるとき、D は Q-カルティエ因子 (Q-Cartier divisor) であるという。任意のヴェイユ因子が Q-カルティエ因子になる代数多様体 X は Q-分解的 (Q-factorial) と呼ばれる。