レイリーの定理
背理法を用いる。ある正の整数 j が B r {\displaystyle B_{r}} と B s {\displaystyle B_{s}} の両方に含まれるとする。つまり、2つの整数 k と m が存在し、
j = ⌊ k r ⌋ = ⌊ m s ⌋ {\displaystyle j=\left\lfloor kr\right\rfloor =\left\lfloor ms\right\rfloor }
を満たすとする。ここで、床関数の定義により、
j ≤ k r < j + 1 {\displaystyle j\leq kr<j+1}
j ≤ m s < j + 1 {\displaystyle j\leq ms<j+1}
である。非ゼロの j に対して、r と s は無理数であるため、等号は成り立たず、
j < k r < j + 1 {\displaystyle j<kr<j+1}
j < m s < j + 1 {\displaystyle j<ms<j+1}
である。各式をrとsで割ることにより、
j r < k < j + 1 r {\displaystyle {j \over r}<k<{j+1 \over r}}
j s < m < j + 1 s {\displaystyle {j \over s}<m<{j+1 \over s}}
を得る。この2式を加えると、
j < k + m < j + 1 {\displaystyle j<k+m<j+1}
となるが、k と m は整数であるため、k + m も整数となり、矛盾が生じる。したがって、 B r {\displaystyle B_{r}} と B s {\displaystyle B_{s}} の両方の集合に含まれる正の整数は存在しない。