最大値最小値定理
函数の連続性を半連続性に弱めると、それに対応して有界性定理および最大値最小値定理は(函数は補完数直線に値をとるものとして、つまり函数値として –∞ あるいは +∞ となることを許して)半分だけ成立する。明確に書けば、
函数 f: [a,b] → [–∞, ∞) が上半連続、即ち任意の x ∈ [a, b] について lim supy→x f(y) ≤ f(x) を満たすならば、f は上に有界で、かつその上限に到達する。
st を標準部函数(英語版)として(標準)実数点 c = st ( x i 0 ) {\displaystyle c={\text{st}}(x_{i_{0}})} をとる。任意の実数点 x は先の分割の適当な小区間に属すから、それを x ∈ [xi, xi+1] とすると、st(xi) = x であり、先の不等式に st を適用して st(f(xi0)) ≥ st(f(xi)) が成り立つ。また ƒ の連続性により st ( f ∗ ( x i 0 ) ) = f ( st ( x i 0 ) ) = f ( c ) {\displaystyle {\text{st}}(f^{*}(x_{i_{0}}))=f({\text{st}}(x_{i_{0}}))=f(c)} が成り立つ。以上から、任意の実数 x に対して ƒ(c) ≥ ƒ(x) となり、c が ƒ の上限を与える。Keisler (1986, p. 164) も参照。
空でないコンパクト空間上で定義された実数値連続函数は上に有界であり、その上限を達成する。
が導かれる。もう少し一般に、このことは上半連続函数に対して成立する