マルコフの不等式
マルコフの不等式は、チェビシェフの不等式の証明に用いられる。
X を非負整数値確率変数とする(組合せ論でよくあるように)と、マルコフの不等式で a = 1 とすることにより Pr ( X ≠ 0 ) ≤ E ( X ) {\displaystyle {\textrm {Pr}}(X\neq 0)\leq {\textrm {E}}(X)} が得られる。X をある集合の濃度とすると、これからこの集合は空集合ではないことが証明される。このように存在証明への応用も可能である。
任意の可測集合 A に対して、1A をその特性関数、つまり x ∈ A ならば 1A(x) = 1 、そうでなければ 0 としよう。At を At = {x ∈ X| |f(x)| ≥ t} として定義すれば、
0 ≤ t 1 A t ≤ | f | 1 A t ≤ | f | {\displaystyle 0\leq t\,1_{A_{t}}\leq |f|1_{A_{t}}\leq |f|}
となり、ゆえに
∫ X t 1 A t d μ ≤ ∫ A t | f | d μ ≤ ∫ X | f | d μ {\displaystyle \int _{X}t\,1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}|f|\,d\mu \leq \int _{X}|f|\,d\mu }
ここで、この不等式の左辺は
t ∫ X 1 A t d μ = t μ ( A t ) {\displaystyle t\int _{X}1_{A_{t}}\,d\mu =t\mu (A_{t})}
と同じであることに注意しよう。すると
t μ ( { x ∈ X | | f ( x ) | ≥ t } ) ≤ ∫ X | f | d μ {\displaystyle t\mu (\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\})\leq \int _{X}|f|\,d\mu }
であり、また t > 0 であるから、両辺を t で割れば
μ ( { x ∈ X | | f ( x ) | ≥ t } ) ≤ 1 t ∫ X | f | d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu }
となる。