内積
一つのベクトル空間に定義される内積は 一つとは限らない。また、ある内積 ⟨⋅, ⋅⟩ に対して
と定めると、1 つのノルム ‖ ⋅ ‖ が定義できる。これを内積が誘導するノルムまたは内積が定めるノルムと呼ぶ。ノルムは与えられた内積ではかった "ベクトルの大きさ" であり、
とおくことで、二つのベクトルのなす角が定められる。この意味で内積はベクトル空間に計量 (metric) を定めるという。 このように定義されたノルムは必ず中線定理
を満たすという意味で、この等式は幾何学的な性質を示すものと捉えられる。逆に与えられたノルムが内積から誘導されるものであるならば、(実数体 R 上の内積空間のとき)
または(複素数体 C 上の内積空間のとき)
で定められる函数 ⟨⋅, ⋅⟩ は内積の性質を満たし、所期の通り与えられたノルムはこの内積から誘導される。この関係式を分極恒等式または偏極恒等式という。
このように、内積はベクトル空間の代数的な性質と幾何的な性質の橋渡しをするものである。詳細については計量ベクトル空間の項を参照されたい。
Ω をユークリッド空間の開集合とする。Ω 上の二乗可積分な関数全体の成す集合を関数がほとんど至る所等しい(測度零の集合上でとる値を除いて等しい)という同値関係で割って得られるルベーグ空間 L(Ω) には、二乗可積分関数 f, g について ⟨ f , g ⟩ := ∫ Ω f ( x ) g ( x ) ̄ d x {\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx} と置いて、エルミート内積が定まる。より一般に、(Ω, F, μ) を測度空間とすると、L(Ω, μ) の二元 f, g について ⟨ f , g ⟩ := ∫ Ω f g ̄ d μ {\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f{\bar {g}}\,d\mu } と置いたものはエルミート内積の性質を満たす。
エルミート対称性に注意すれば、任意の x に対して
ゆえ、これは実数値である。さらに半双線型性により
が成り立つ。
線型性により、「x = 0 ならば ⟨x, x⟩ = 0」が成り立ち、また非退化性はその逆「⟨x, x⟩ = 0 ならば x = 0」を言うものであるから、これらを合わせて、⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = 0 を得る。
内積の半双線型性を用いれば、平方展開
が成り立ち、特に係数体が R の場合には内積は対称だから、
を得る。また線型性においてスカラーについて特に考えないとき
が成り立つが、これは分配性あるいは加法性(双加法性)とも呼ばれる。