オイラー法
‖ f ( t n , y ( t n ) ) − f ( t n , y n ) ‖ ≤ λ ‖ e n , h ‖ {\displaystyle \|f(t_{n},y(t_{n}))-f(t_{n},y_{n})\|\leq \lambda \|e_{n,h}\|}
を得る。ここでの λ {\displaystyle \lambda } は f {\displaystyle f} のリプシッツ定数である。三角不等式より上記の両式を合わせて、
‖ e n + 1 , h ‖ ≤ ( 1 + h λ ) ‖ e n , h ‖ + C h 2 {\displaystyle \|e_{n+1,h}\|\leq (1+h\lambda )\|e_{n,h}\|+Ch^{2}}
という漸化式になる。C は定数であり、h の係数の絶対値と考えても大差はない。 e 0 , h = y 0 − y ( t 0 ) = 0 {\displaystyle e_{0,h}=y_{0}-y(t_{0})=0} を使ってこの漸化式を解くと上界
‖ e n , h ‖ ≤ C m a x h λ ( ( 1 + h λ ) n − 1 ) {\displaystyle \|e_{n,h}\|\leq {\frac {C_{\mathrm {max} }h}{\lambda }}\left((1+h\lambda )^{n}-1\right)}
y n + 1 = y n + 1 2 h ( f ( t n , y n ) + f ( t n + 1 , y n + h f ( t n , y n ) ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\frac {1}{2}}h(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n}+hf(t_{n},y_{n}))}
これはホイン法(英語版)(または改良オイラー法、英: improved Euler method)とよばれる陽公式である。台形公式と同じ2次方法であるけど、A-安定な方法ではない。修正オイラー法は、もっともシンプルな2段ルンゲ=クッタ法である。
しかし、2次方法はオイラー法より精度が遥かに高いが、実践で使うにはまだ精度が足りない。現在よく使われているのが高次のルンゲ=クッタ法である(MATLABのコマンドode23は3段3次ルンゲ=クッタ法で、ode45は6段5次のルンゲ=クッタ法である)。
数値解析における収束性は、おおよそ刻み幅 h を十分に小さくすると、方法の局所誤差(の絶対値)も小さくなることを意味する。時間 tn での局所誤差を e n , h = y ( t n ) − y n {\displaystyle e_{n,h}=y(t_{n})-y_{n}} とする。数学的に、収束性は
lim h → 0 ‖ e n , h ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}\|e_{n,h}\|=0}
を意味する。原則として、収束しない、また収束性を証明できない方法は絶対に使ってはいけない。そのため、オイラー法の収束性を示す必要がある。
y(tn + h) のテイラー展開からオイラー法の公式を引いて両辺の絶対値を取ると
‖ e n + 1 , h ‖ = ‖ e n + h + h ( f ( t n , y ( t n ) ) − f ( t n , y n ) ) + O ( h 2 ) ‖ {\displaystyle \|e_{n+1,h}\|=\left\|e_{n+h}+h{\Bigl (}f{\bigl (}t_{n},y(t_{n}){\bigr )}-f(t_{n},y_{n}){\Bigr )}+O(h^{2})\right\|}
となる。解の滑らかさの仮設よりリプシッツ連続を用いて、不等式