結合多元環
( M ∘ ( Id × M ) ) ( x , y , z ) = M ( x , M ( y , z ) ) {\displaystyle (M\circ ({\mbox{Id}}\times M))(x,y,z)=M(x,M(y,z))}
として作用する。同様に単位的結合多元環は、単位写像
η : K → A {\displaystyle \eta \colon K\to A}
を定義することによって与えられる。これは
M ∘ ( Id × η ) = s = M ∘ ( η × Id ) {\displaystyle M\circ ({\text{Id}}\times \eta )=s=M\circ (\eta \times {\text{Id}})}
なる性質を満たすものである。ここで、単位写像 η は K の元 k を A の元 k1, 即ち A の単位元 1 のスカラー k-倍へ写す。また写像 s はもともとの素のスカラー乗法 K × A → A である。従ってスカラー乗法が陰伏的なものと理解するならば、上記の等式は s のところを Id に代えて記すこともある。
可換環 R を固定して考える。結合 R-代数とは、加法的に書かれたアーベル群 A であって、環および R-加群の構造をともに備え、かつ環としての乗法が任意の r ∈ R, x, y ∈ A について
r ⋅ ( x y ) = ( r ⋅ x ) y = x ( r ⋅ y ) {\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)}
を満たすという意味で R-双線型となるものをいう。
結合代数 A が単型あるいは単位的であるとは、
1 x = x = x 1 {\displaystyle 1x=x=x1}
を如何なる x ∈ A についても満たすような元 1 ∈ A を持つことをいう。
結合代数 A が、それ自身環として可換ならば、A は可換 R-代数と言う。
となることから、このような ρ は線型ではない。この問題を回避して線型性を取り戻す方法の一つとして、付加構造として写像 Δ: A → A × A を考え、テンソル積表現を
ρ = ( σ ⊗ τ ) ∘ Δ {\displaystyle \rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta }
と定めることが考えられる。ただし Δ は余乗法である。こうして、双代数 (bialgebra) の概念が得られる。結合代数の定義との一貫性を持つためには、余代数は余結合的でなければならないし、代数が単位的ならば余代数も同様に単位的である必要がある。注意すべきは、双代数においては乗法と余乗法の間には関連が無くても構わないことである。そしてそれらの間の関係としてよく課される条件(対蹠を定めること)によってホップ代数の概念が構築される。
R-結合多元環の間の準同型とは、R-線型な環準同型を言う。陽に書けば、二つの R-結合多元環 A1, A2 に対し、写像 φ: A1 → A2 が R-線型環準同型であるとは、任意の r ∈ R および x, y ∈ A1 に対して
φ ( r x ) = r φ ( x ) {\displaystyle \phi (rx)=r\phi (x)}
φ ( x + y ) = φ ( x ) + φ ( y ) {\displaystyle \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)}
φ ( x y ) = φ ( x ) φ ( y ) {\displaystyle \phi (xy)=\phi (x)\phi (y)}
を満たすことを言う。単位的 R-結合代数に対する準同型は、上記に加えてさらに
φ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \phi (1)=1}
なることを要す。
単位的結合 R-代数の全てと、それらの間の全ての単位的結合代数準同型を合わせたものは圏を成し、R-Alg などで表される。可換 R-線型環の成す部分圏は、可換環の圏 CRing の余スライス圏 R/CRing として特徴づけられる。