計量経済学
先にランダム・ウォークどうしの変数を回帰した場合の話をしたが、単位根検定とは基本的に変数がランダム・ウォークであるか否かを検定する方法である。
ランダム・ウォークとは次のように定式化される確率変数列のことをいう:
y t = y t − 1 + ε t {\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\epsilon _{t}}
この式は次式において、パラメーターを1にしたものと同様である:
y t = β y t − 1 + ε t {\displaystyle y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}}
したがって、この式において β = 1 {\displaystyle \beta =1} の仮説検定を行えばよいことになる。しかしながらこの式で検定統計量を導出すると、それは通常のt分布に従わないことが分かっている。
Y t = α + β X t + ε t {\displaystyle Y_{t}=\alpha +\beta X_{t}+\epsilon _{t}}
ここで古典的計量分析では Y t {\displaystyle Y_{t}} と X t {\displaystyle X_{t}} は本来、確率変数であるが、最尤法ではこれらを定数と見なす。したがって、この式では ε t {\displaystyle \epsilon _{t}} のみが確率変数である。そこで、この式を ε t {\displaystyle \epsilon _{t}} の式と読み替えるために、以下のように書き換える:
ε t = Y t − α − β X t {\displaystyle \epsilon _{t}=Y_{t}-\alpha -\beta X_{t}}
ここで ε t {\displaystyle \epsilon _{t}} が正規分布に従っていると仮定すれば、変数変換を用いることにより右辺も正規分布の確率密度関数の中に組み込むことができる。密度関数は確率を与える関数であるので、それを最大にするようなパラメーター α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } とが最尤推定量となる。
すなわち、第二種の過誤をコントロールして仮説検定を行っている。
これに対しベイジアンでは、ベイズの定理から事後分布を得ているので、分布の密度が高い部分の95%の範囲を選ぶことができる。古典的計量分析では信頼区間 (confidence interval) と言われているものが、ベイジアンでは信用区間 (credible interval) と呼ばれている。中でも密度の高い部分の信用区間を選ぶことが多く、これを最高事後密度区間 (HPDI: Highest Posterior Density Interval) という。
古典的計量分析における信頼区間では、パラメーターの従う分布を例えばt分布と仮定した上で仮説検定を行っている。しかし、いつでもそのような分布に従うとは限らない。これに対してベイジアンでは事後の分布を特定化できるために、常に密度の高い信用区間を得ることが可能となる。言い換えれば、ベイジアンの仮説検定は極めて直接的であるといえよう。