リーマン幾何学
n-次元トーラスは正のスカラー曲率を持たない。
n-次元リーマン多様体の単射半径(injectivity radius)が ≥ π であれば、平均スカラー曲率は多くとも n(n-1) である。
ガウス・ボネの定理 コンパクト 2-次元リーマン多様体 M のガウス曲率の積分は、2πχ(M) に等しい。ここに χ(M) は M のオイラー標数である。この定理は、任意のコンパクトな偶数次元のリーマン多様体へ一般化できる。一般ガウス・ボネの定理を参照。
ナッシュの埋め込み定理も、リーマン幾何学の基本定理と呼ばれる。この定理は、すべてのリーマン多様体はユークリッド空間 R の中へ等長的に埋め込む(embedded)ことができる。