ノルム
二つのノルム空間 (X, ‖•‖X), (Y, ‖•‖Y) が与えられたとき、直積空間 X × Y には
‖ ( x , y ) ‖ := ‖ x ‖ X 2 + ‖ y ‖ Y 2 ( x ∈ X , y ∈ Y ) {\displaystyle \|(x,y)\|:={\sqrt {\|x\|_{X}^{2}+\|y\|_{Y}^{2}}}\quad (x\in X,\,y\in Y)}
でノルムが定まる。
ノルム空間 (Z, ‖•‖Z) が与えられたとき、ベクトル空間 W と単射な線型作用素 f: W → Z に対して
‖ w ‖ := ‖ f ( w ) ‖ Z ( w ∈ W ) {\displaystyle \|w\|:=\|f(w)\|_{Z}\quad (w\in W)}
は W のノルムとなる。
ベクトル空間 V が半ノルム p を持つとき、部分空間 V := {v ∈ V | p(v) = 0} による商空間 V := V/V は、π: V → V を自然な射影として
‖ π ( v ) ‖ := p ( v ) ( v ∈ V ) {\displaystyle \|\pi (v)\|:=p(v)(v\in V)}
となるようなノルムを備える。