局所同相写像
すべての局所同相写像は連続かつ開写像である。全単射な局所同相写像はしたがって同相写像である。
局所同相写像 f : X → Y は「局所的な」位相的性質を保つ:
X が局所連結であることと f(X) がそうであることは同値である
X が局所弧状連結であることと f(X) がそうであることは同値である
X が局所コンパクトであることと f(X) がそうであることは同値である
X が第一可算であることと f(X) がそうであることは同値である
f : X → Y が局所同相写像で U が X の開部分集合であれば、制限 f|U もまた局所同相写像である。
f : X → Y と g : Y → Z が局所同相写像であれば、合成 gf : X → Z もまた局所同相写像である。
終域 Y の局所同相写像全体は Y 上の集合の層全体と自然な 1 対 1 対応がある。さらに、終域 Y のすべての連続写像は自然な方法で終域 Y の一意的に定義される局所同相写像を生じる。このすべては層 (sheaf) の記事において詳細に説明される。