ポアソン核
単位円板は、メビウス変換の意味で上半平面への等角写像によって写される。調和函数の等角写像はまた調和的であるため、ポアソン核は上半平面全体へ拡張される。この場合、 y > 0 {\displaystyle y>0} に対するポアソン積分方程式は次の形を取る:
u ( x + i y ) = 1 π ∫ − ∞ ∞ P y ( x − t ) f ( t ) d t . {\displaystyle u(x+iy)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)dt.}
この核それ自身は次で与えられる。
P y ( x ) = y x 2 + y 2 . {\displaystyle P_{y}(x)={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.}
数学のポテンシャル論におけるポアソン核(ポアソンかく、英: Poisson kernel)とは、単位円板上のディリクレ境界条件を伴う二次元ラプラス方程式を解く際に用いられるある積分核のことを言う。ラプラス方程式に対するグリーン函数の微分として解釈することが出来る。シメオン・ドニ・ポアソンの名にちなむ。
ポアソン核は制御理論や、静電気学の二次元問題への応用において広く用いられている。実際、ポアソン核の定義は n-次元問題まで拡張されることもしばしばある。