ハンセン–ジャガナサン境界
ハンセン–ジャガナサン距離(英: Hansen–Jagannathan distance)とは、確率的割引ファクターの特定化の誤りの程度を表す一つの指標である。次の確率変数を定義する。
m t + 1 ∗ = 1 ′ ( E t [ R t + 1 R t + 1 ′ ] ) − 1 R t + 1 {\displaystyle m_{t+1}^{*}={\mathbf {1} }^{\prime }{\Big (}E_{t}[R_{t+1}R_{t+1}^{\prime }]{\Big )}^{-1}R_{t+1}}
また、想定しているモデルの確率的割引ファクターをパラメーター θ {\displaystyle \theta } に依存するものとして m t + 1 θ {\displaystyle m_{t+1}^{\theta }} と表す。さらに次を定義する。
m ^ t + 1 θ = ( E t [ m t + 1 θ R t + 1 ] ) ′ ( E t [ R t + 1 R t + 1 ′ ] ) − 1 R t + 1 {\displaystyle {\widehat {m}}_{t+1}^{\theta }={\Big (}E_{t}[m_{t+1}^{\theta }R_{t+1}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}E_{t}[R_{t+1}R_{t+1}^{\prime }]{\Big )}^{-1}R_{t+1}}
金融資産の超過リターンベクトルを r t + 1 e {\displaystyle r_{t+1}^{e}} とすれば、 r t + 1 e = R t + 1 − R f , t + 1 1 {\displaystyle r_{t+1}^{e}=R_{t+1}-R_{\mathrm {f} ,t+1}\mathbf {1} } かつ V a r t ( r t + 1 e ) = V a r t ( R t + 1 ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(r_{t+1}^{e})=\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})} なので結局、
V a r t ( m t + 1 ) ( E t [ m t + 1 ] ) 2 ≥ ( E t [ r t + 1 e ] ) ′ ( V a r t ( r t + 1 e ) ) − 1 ( E t [ r t + 1 e ] ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}{{\Big (}E_{t}[m_{t+1}]{\Big )}^{2}}}\geq {\Big (}E_{t}[r_{t+1}^{e}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} _{t}(r_{t+1}^{e}){\Big )}^{-1}{\Big (}E_{t}[r_{t+1}^{e}]{\Big )}}