整数の合同
乗法: 二つの剰余類 a, b に対し、剰余類 a × b modulo n を割り当てる。これも同様に整数の乗算記号"×"をそのまま流用する。 法 6 に関する合同類環では、整数の乗法同様に 2 × 2 = 4 が成り立つが、2 × 5 = 4(2 × 5 を 6 で割った剰余は 4 に等しい)や 2 × 3 = 0 などが成り立つ。
法 6 に関する加法と乗法を以下のような表にまとめることができる:
これら加法と乗法は、整数の集合 Z における加法と乗法に良く似た性質を持つ:
加法は可換(足す順番を入れ替えられる)、結合的(三項の和は前二項を先に足してもあと二項を先に対しても結果は変わらない)で、単位元を持つ(0 を加えても変わらない)、各元が反数を持つ。 Z の加法と比べて異なる点もある。Z の加法では a の逆元 –a は a + (–a) = 0 を満たす元だが、法 n の合同類環では a + (n – a) = 0(a と n − a の和を n で割った剰余は 0)だから a の逆元は n – a である。ただし、法 n に関する合同において –a と n – a は同じ類に入る。–a でなく n – a を選ぶのは、合同類の代表元を 0 から n − 1 の間の整数から常に選ぶことができるという利点があるからである。
乗法も可換、結合的で、単位元を持つ(1 を掛けても変わらない)。また剰余類の加法に関して分配的である。
これらの性質を満足する集合は(単位的)環と呼ばれる。
法 n に関する合同という関係は以下の性質を満たす:
反射律: 任意の整数 a に関して a ≡ a (mod n);
対称律: 任意の整数の対 a, b に関して a ≡ b (mod n) ⇔ b ≡ a (mod n);
推移律: 任意の整数の組 a, b, c に関して a ≡ b (mod n) かつ b ≡ c (mod n) ならば a ≡ c (mod n).
即ち法 n に関する合同という関係は同値関係である。