分数次フーリエ変換
任意の実数 α に対して、関数 ƒ の α-角分数次フーリエ変換を F α ( u ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(u)} と表記することにし、次のように定義する。
(平方根は結果の引数が区間 [ − π / 2 , π / 2 ] {\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]} となるように定義する。)
α が π の整数倍のとき、上式の余接関数と余割関数は発散するが、極限を取ることによりこれを扱うことができ、結果として非積分関数にディラックのデルタ関数が表われる。より直接的には、 F 2 ( f ) = f ( − t ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(f)=f(-t)} であるから、 F α ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)} は α が π の偶数倍または奇数倍のとき、それぞれ f(t) または f(−t) を与える。
α = π/2 のとき、これは連続フーリエ変換の定義と一致し、α = −π/2 の場合は連続フーリエ逆変換の定義と一致する。