確率分布
ある地点での通行人の体重など、確率変数が連続的な場合の確率分布のうち、累積分布関数が連続な確率分布が連続型確率分布である。パラメトリックな絶対連続分布は母数(パラメータ)と台と確率密度関数 f で特徴付けられる。
連続一様分布
正規分布
対数正規分布
指数分布
t分布
カイ2乗分布
ガンマ分布
ベータ分布
F分布
コーシー分布
アーラン分布
三角分布
ラプラス分布
レイリー分布
ロジスティック分布
パレート分布
ワイブル分布
一般化双曲型分布
ウィッシャート分布
逆ガウス分布
双曲線正割分布
F X ( t ) = P ( X ≤ t ) = { 1 − ( 1 2 ) t , t ≥ 0 0 , t < 0 {\displaystyle F_{X}(t)=P(X\leq t)={\begin{cases}1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{t},&t\geq 0\\0,&t<0\end{cases}}}
で定めれば、
P ( a < X ≤ b ) = F X ( b ) − F X ( a ) {\displaystyle P(a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
のように、一変数関数で分布を表現できるので便利である。さらに、FX の導関数 fX は確率密度関数と呼ばれ、確率は積分を用いて
P ( a < X ≤ b ) = ∫ a b f X ( t ) d t {\displaystyle P(a<X\leq b)=\int _{a}^{b}f_{X}(t)\,dt}
と書ける。
通常、連続値をとる確率変数の分布は確率密度関数を用いて記述される。なぜなら、確率密度関数は初等関数で書けるが、累積分布関数は書けない場合が多いからである。
公理主義的な確率論においては、d次元ベクトル値確率変数の確率分布とは、その確率変数の引き起こす像測度のことである。この測度は d次元ユークリッド空間上の確率測度であり、ユークリッド空間の部分集合に対して、確率変数の値がその集合に入る確率を与える関数となる。
実数値確率変数 X の累積分布関数 (cumulative distribution function, CDF) あるいは一次元確率分布 PX の累積分布関数とは
F X ( x ) = P ( X ≤ x ) = P X ( ( − ∞ , x ] ) {\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=P_{X}((-\infty ,x])}
で与えられる関数 FX のことである。累積を省略して分布関数 (distribution function) とも言う。
累積分布関数は定義より右連続であるが、左連続とは限らない。累積分布関数が連続である(左連続でもある)確率分布を連続確率分布という。累積分布関数がとる値が高々可算個である確率分布を離散確率分布という。
1次元確率分布とは可測空間 ( R , B ( R ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))} 上で定義された確率測度のことである。
同様に d 次元確率分布とは ( R d , B ( R d ) ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d}))} 上で定義された確率測度のことである。
なお、 B ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d})} は R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 上のボレル集合族(集合演算で閉じた部分集合族の一種)である。
関数 g が与えられたときに g(X) と g(Y) の期待値は
E [ g ( X ) ] = ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) f X ( x ) d x {\displaystyle E[g(X)]=\int _{-\infty }^{+\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx}
E [ g ( Y ) ] = ∑ y k ∈ S g ( y k ) f Y ( y k ) {\displaystyle E[g(Y)]=\sum _{y_{k}\in S}g(y_{k})f_{Y}(y_{k})}
特に
E [ X ] = ∫ − ∞ + ∞ x f X ( x ) d x {\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)\,dx}
E [ Y ] = ∑ y k ∈ S y k f Y ( y k ) {\displaystyle E[Y]=\sum _{y_{k}\in S}y_{k}f_{Y}(y_{k})}