因果集合
因果集合 (causal sets) プログラムは量子重力へのアプローチの一つである。これは、時空は本質的に離散的であり時空の事象はすべて半順序によって関連しているという仮定に基づいている。この半順序は時空の事象間の因果関係という物理的意味を持っている。
多様体におけるいくつかの幾何的な構成を因果集合に適用することができる。これらを定義したとき、因果集合が埋め込まれる可能性のある背景のどの時空にも基礎をおくのではなく、因果集合自身のみに基礎をおくことに注意が必要である。これらの構成の概要は脚注を参照のこと。
局所有限:すべての x , z ∈ C {\displaystyle x,z\in C} について、card ( { y ∈ C | x ⪯ y ⪯ z } ) < ∞ {\displaystyle (\{y\in C|x\preceq y\preceq z\})<\infty } が成立する。
ここで、card( A {\displaystyle A} ) は集合 A {\displaystyle A} の濃度 (cardinality) を表す。以後、 x ⪯ y {\displaystyle x\preceq y} かつ x ≠ y {\displaystyle x\neq y} ならば、 x ≺ y {\displaystyle x\prec y} と書く。
集合 C {\displaystyle C} は時空の事象の集合を表し、順序関係 ⪯ {\displaystyle \preceq } は事象間の因果関係を表す。(ローレンツ多様体における類似の概念については因果構造も参照のこと。)
この定義は反射的な順序関係の慣習に基づくが、非反射的な順序関係の慣習を選ぶこともできる。(閉じた因果曲線のない)ローレンツ多様体の因果関係は最初の三つの条件を満たす。局所有限条件は時空の離散性を導く。