コンウェイのチェーン表記
長さ n のチェーン X → p → q は適当な r によって X → r と変形できる。即ち先頭から n − 2 項を保ったまま長さを 1 短くできる。
a から始まるチェーン a → X は a の冪 a となる。
1 から始まるチェーン 1 → X は 1 に等しい。
1 より後の項はすべて無視することができる。 X → 1 → Y = X {\displaystyle X\rightarrow 1\rightarrow Y=X}
先頭に 2 が連なったチェーン 2 → 2 → X は 4 に等しい。
末尾に 2 が連なったチェーン X → 2 → 2 は X → (X) に等しい。
p-q は p → (q → (-1) → 0) → (-1) に等しい。
p/q は p → (q → (-1) → 1) → 0 に等しい。
p → (q → (-1) → 2) → 1 = p は p = p = p = p = 1 に等しい。
a → b → c → ⋯ → y → z → 1 → ⋯ = a → b → c → ⋯ → y → z {\displaystyle \displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow \dots \rightarrow y\rightarrow z\rightarrow 1\rightarrow \dots ={\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow \dots \rightarrow y\rightarrow z}}
a → b → c → ⋯ → y → z = a → b → c → ⋯ → ( a → b → c → ⋯ → ( y − 1 ) → z ) → ( z − 1 ) {\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow \dots \rightarrow y\rightarrow z=a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow \dots \rightarrow (a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow \dots \rightarrow (y-1)\rightarrow z)\rightarrow (z-1)}
アッカーマン関数はコンウェイのチェーン表記へ置き換えられる:
m > 2の際 A(m, n) = (2 → (n + 3) → (m − 2)) − 3 (ハイパー演算の角括弧表記を用いると A(m, n) = 2 [m] (n + 3) - 3)
よって
n > 2の際 2 → n → m = A(m + 2,n − 3) + 3
(n = 1 と n = 2 は A(m, −2) = −1 と A(m, −1) = 1に対応し、論理的に加算できる。)
以下は長さが 3 のチェーンの計算例である。
2 → 3 → 3
= 2 → (2 → 2 → 3) → 2
= 2 → (2 → (2 → 1 → 3) → 2) → 2
= 2 → (2 → 2 → 2) → 2
= 2 → (2 → (2 → 1 → 2) → 1) → 2
= 2 → (2 → 2) → 2
= 2 → 4 → 2
= 2 → (2 → (2 → (2 → 1 → 2) → 1) → 1) → 1
= 2 → (2 → (2 → 2))
= 2
= 2
= 65536
3 → 2 → 3
= 3 → (3 → 1 → 3) → 2
= 3 → 3 → 2
= 3 → (3 → 2 → 2) → 1
= 3 → (3 → (3 → 1 → 2) → 1) → 1
= 3 → (3 → 3)
= 3
= 3
= 7625597484987
4 → 3 → 2
= 4 → (4 → (4 → 1 → 2) → 1) → 1
= 4 → (4 → 4)
= 4
= 4
= 13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084096
以下は長さが 4 のチェーンのクヌースの矢印表記による展開例(縦横展開)である。