テンソル積
テンソル積は普遍性を用いて定義することもできる。この文脈では、テンソル積は同型を除いて一意的に定義される。ベクトル空間のテンソル積は以下の普遍性を満たす:
一般に、体 K 上のベクトル空間 V, W が与えられたとき、それらのテンソル積 U = V ⊗ W は、デカルト積 V × W の生成する K-上の自由線型空間 F(V × W) の、
( v 1 , w ) + ( v 2 , w ) ∼ ( v 1 + v 2 , w ) ( v , w 1 ) + ( v , w 2 ) ∼ ( v , w 1 + w 2 ) c ( v , w ) ∼ ( c v , w ) ∼ ( v , c w ) ( v , v 1 , v 2 ∈ V ; w , w 1 , w 2 ∈ W ; c ∈ K ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(v_{1},w)+(v_{2},w)\sim (v_{1}+v_{2},w)\\&(v,w_{1})+(v,w_{2})\sim (v,w_{1}+w_{2})\\&c(v,w)\sim (cv,w)\sim (v,cw)\end{aligned}}\quad (v,v_{1},v_{2}\in V;\;w,w_{1},w_{2}\in W;\;c\in K)}
で与えられる同値関係 ∼ による商として定義することができる。これは F(V × W) における演算から誘導される演算によりベクトル空間を成す。言葉を変えれば、テンソル積空間 V ⊗ W は上記の同値関係に関する零ベクトルの属する同値類を N とするときの商線型空間 F(V × W)/N である。