カルマンフィルター
カルマンゲインが上述の値を取るとき、更新後の誤差共分散行列は以下のように簡単になる。カルマンゲインの式の両辺の右から SkKk をかけて、
K k S k K k T = P k | k − 1 H k T K k T {\displaystyle K_{k}S_{k}K_{k}^{\textrm {T}}=P_{k|k-1}H_{k}^{\textrm {T}}K_{k}^{\textrm {T}}}
更新後の誤差共分散行列を展開して、
P k | k = P k | k − 1 − K k H k P k | k − 1 − P k | k − 1 H k T K k T + K k S k K k T {\displaystyle P_{k|k}=P_{k|k-1}-K_{k}H_{k}P_{k|k-1}-P_{k|k-1}H_{k}^{\textrm {T}}K_{k}^{\textrm {T}}+K_{k}S_{k}K_{k}^{\textrm {T}}}
右の二項は相殺するから、
P k | k = P k | k − 1 − K k H k P k | k − 1 = ( I − K k H k ) P k | k − 1 {\displaystyle P_{k|k}=P_{k|k-1}-K_{k}H_{k}P_{k|k-1}=(\mathrm {I} -K_{k}H_{k})P_{k|k-1}} .
計算量が少ないため、ほとんどの場合この式が用いられるが、カルマンゲインが上記の最適解の時にしか適用できないことに注意。計算上の桁落ちなどで解の安定性が悪いときやなんらかの理由で敢えて最適でない解を用いるときは使えない。
x ^ k | k − 1 = F k x ^ k − 1 | k − 1 + u k {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}=F_{k}{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1}+{\boldsymbol {u}}_{k}} (今の時刻の予測推定値) P k | k − 1 = F k P k − 1 | k − 1 F k T + G k Q k G k T {\displaystyle P_{k|k-1}=F_{k}P_{k-1|k-1}F_{k}^{\textrm {T}}+G_{k}Q_{k}G_{k}^{\textrm {T}}} (今の時刻の予測誤差行列)