特異ホモロジー
特異 n-単体 (singular n-simplex) は標準 n-単体 Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} から位相空間 X への連続写像 σ n {\displaystyle \sigma _{n}} である。記号では σ n : Δ n → X {\displaystyle \sigma _{n}:\Delta ^{n}\to X} と書く。この写像は単射である必要はなく、X における像が同じであっても同じ特異単体とは限らない。
σ n ( Δ n ) {\displaystyle \sigma _{n}(\Delta ^{n})} の境界は、 ∂ n σ n ( Δ n ) {\displaystyle \partial _{n}\sigma _{n}(\Delta ^{n})} と表記され、標準 n-単体の面への σ {\displaystyle \sigma } の制限によって表現される特異 (n − 1)-単体の形式和 に向き付けを考慮した符号をつけたものと定義される。(形式和は単体上の自由アーベル群の元である。この群の基底は標準単体のあらゆる像の無限集合である。