拡大実数
測度論において、測度無限大の集合や値が無限大になる積分の存在を許すことが有効であることがよくある。
このような測度は微分積分学でも自然に表れてくる。例えば、R における測度として、各区間の測度が区間の通常の長さと一致するようなものを考えると、全空間 R の測度というのはどんな有限実数よりも大きいものでなければならない。あるいはまた、
∫ 1 ∞ d x x {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}}
のような無限積分を考えるとき、値は「無限大」になる。他にも、
f n ( x ) = { 2 n ( 1 − n x ) , if 0 ≤ x ≤ 1 n 0 , if 1 n < x ≤ 1 {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}}
のような函数列の極限を考えることも有用であることは多く、函数値が無限大となることを許容しない場合には単調収束定理や優収束定理のような本質的な結果が意味を成さない。