関数方程式
リーマンゼータ関数 ζ は関数方程式
ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin  ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}
を満たす。ただし大文字の Γ はガンマ関数である。
ガンマ関数は以下の関数方程式を満たす。ガンマ関数は、以下の3本の方程式からなる系を満たす唯一の関数である。
{ f ( x ) = f ( x + 1 ) x f ( y ) f ( y + 1 2 ) = π 2 2 y − 1 f ( 2 y ) f ( z ) f ( 1 − z ) = π sin  ( π z ) {\displaystyle {\begin{cases}f(x)={\dfrac {f(x+1)}{x}}\\f(y)f\left(y+{\dfrac {1}{2}}\right)={\dfrac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)\\f(z)f(1-z)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi z)}}\end{cases}}}
関数方程式
f ( a z + b c z + d ) = ( c z + d ) k f ( z ) {\displaystyle f\!\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}