マクローリンの不等式
a1, a2, ..., an を正の実数とし、k = 1, 2, ..., n に対して平均 Sk を次で定義する:
S k = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n a i 1 a i 2 ⋯ a i k ( n k ) . {\displaystyle S_{k}={\frac {\textstyle \sum \limits _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}.}
分子は、n個の変数 a1, a2, ..., an を用いて作られる k次の基本対称式である。つまり変数 a1, a2, ..., an の指数の合計が k であり、変数が添字の昇順に並ぶようなものである。一方、分母は二項係数 ( n k ) {\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}} で、各 k に対する分子の基本対称式の項数を表す。
マクローリンの不等式はこの Sk に関するもので、以下の不等式で与えられる:
S 1 ≥ S 2 ≥ S 3 3 ≥ ⋯ ≥ S n n {\displaystyle S_{1}\geq {\sqrt {S_{2}}}\geq {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geq \cdots \geq {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}
等号が成立するのは、全ての ai が等しいときで、しかもその時に限る。