導来圏
数学においてアーベル圏 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の導来圏(どうらいけん、英: Derived category、仏: Catégorie dérivée) D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} はホモロジー代数から構成されるもので、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上に定義された導来函手の理論を精密化するとともに、ある意味で単純化するべく導入された。その構成は基本的には次の様に進む:まず圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} の対象は A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の双対鎖複体であり、次に2つのその様な双対鎖複体の間にチェイン写像が存在してコホモロジーを取った段階で同型を誘導する場合に同型であると考えるのである。このとき、導来函手は双対鎖複体に対して定義され、超コホモロジー(英語版)の考えを精密化したものとなる。
これらの定義により、煩雑なスペクトル系列を用いて(完全に忠実ではなく)記述されるよりほか無かった式は劇的に簡素化される。
導来圏の発展は、アレクサンドル・グロタンディークと彼の学生のジャン・ルイ・ヴェルディエ(英語版)により1960年代初頭になされ、ホモロジー代数が長足の進歩を遂げた1950年代における爆発的な展開の一つの到達点であると現在ではみなされている。ヴェルディエによる理論の基本部分は博士論文に纏められたが、1996年になってようやくAstérisque(要約はずっと早くにSGA 41⁄2(英語版)に収録されていた)に出版された。その定式化には革新的な発想である三角圏(英語版)の概念が必要であり、その構成は環の局所化を一般化した圏の局所化(英語版)に基づく。"導来"形式の展開への原動力となった欲求は、グロタンディークによる連接双対(英語版)の理論のなんらかの意味での定式化を行うことであった。導来圏は以後、代数幾何学以外の領域に於いてさえ、たとえば、D-加群や超局所解析でも不可欠な概念となっている。さらに、近年は、ミラー対称性やD-ブレーンの定式化という物理学に近い領域でも、導来圏が重要な役割を果たすようになっている。