数学の哲学
実在論の一形態としてのプラトニズムは、数学的実体が抽象的であり、空間的時間的ないし因果的な性質をもたず、永遠不変のものであると考えている。数というものについて、多くの人々がこのような見解を抱いているとしばしば主張される。プラトニズムという用語が使われる理由は、このような観点が、不変かつ究極的な実在に対して日常的世界がその不完全な近似であるに過ぎないとする、プラトンの(「プラトンの洞窟」のたとえで表される)「イデア界」の教説とパラレルであるように見えることに由来する。「プラトンの洞窟」とか「プラトニズム」という言い方には表面的というにとどまらない深い意味がある。なぜなら、古代ギリシアではピタゴラス教団が広範な人気を誇っていたが、この学派によれば世界は文字通り数から生まれたのであり、そしてこの学派は時間的にプラトンの思想に先行しており、おそらくプラトンの考えはこれに影響を受けているからである。
数学的プラトニズムの主要な問題は、次のようなものである。数学的実体は、正確にどこに、またどのように存在するのか? また、我々はそれをどのように知りうるのか?
その視点とは、幾何学的問題において描かれたいくつかの線が最初に描いた任意の長さの線との比で測定されるのと同様に、数からなる線上に置かれたそれぞれの数は、任意の初めの「数」つまり1との比で測定される、というものである。これらの初期のギリシアの数の概念は、後になって、2の平方根が無理数であるという発見によって、打ち倒された。ピタゴラスの門人であるヒッパソスは、単位正方形の対角線は、その辺と通約不能であることを示した。換言すると、彼は、単位正方形の対角線とその辺の比を正確にあらわす(有理)数が存在しないことを証明した。これが原因となり、ギリシアの数学の哲学は再検討されることとなった。伝承によれば、この発見によって傷つけられたピタゴラス教団の教徒達は、ヒッパソスが彼の異端な考えを広めるのを防ぐために、彼を殺害した。
ライプニッツとともに、焦点は数学と論理学の関係へと、強力に移動した。この見方はフレーゲとラッセルの時代を通して数学の哲学を支配したが、19世紀終期と20世紀初頭における発展によって疑問を付されるようになった。