カニンガム鎖
奇素数 p 1 {\displaystyle p_{1}} を、ある第1種カニンガム鎖の初項とする。奇数なので p 1 ≡ 1 ( mod 2 ) {\displaystyle p_{1}\equiv 1{\pmod {2}}} である。後続の各素数は p i + 1 = 2 p i + 1 {\displaystyle p_{i+1}=2p_{i}+1} より p i ≡ 2 i − 1 ( mod 2 i ) {\displaystyle p_{i}\equiv 2^{i}-1{\pmod {2^{i}}}} となる。よって p 2 ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle p_{2}\equiv 3{\pmod {4}}} , p 3 ≡ 7 ( mod 8 ) {\displaystyle p_{3}\equiv 7{\pmod {8}}} , と続く。
この性質は二進法で表記すると簡単に見てとれる(位取り記数法の底が何であっても、底をかけると数字列が左に1桁シフトする)。
広く真であると信じられている、ディクソン予想(英語版)・およびより包括的なシンゼルの仮説H(英語版)(Schinzel's hypothesis H)によれば、任意の k に対し無限に多くの長さ k のカニンガム鎖が存在することになる。しかしながら、そのような列を生成する直接的な方法はわかっていない。
最長の、もしくは最大の素数から始まるようなカニンガム鎖を求める計算機コンテストが存在するが、ベン・グリーンとテレンス・タオによるブレイクスルー - グリーン・タオの定理:素数全体の集合は任意の長さの等差数列を含んでいる - とは異なり、巨大なカニンガム鎖についての一般的な結果は現在に至るまで何も得られていない。
q# は素数階乗 2×3×5×7×...×q を表す。
2018年現在、(両種について)最長のカニンガム鎖は長さ19で、Jaroslaw Wroblewski によって2014年に発見された。