ウェアリングの問題
ウェアリングの問題 (英: Waring's problem) は、全ての自然数 k ≥ 2 に対して、「全ての自然数は s 個の非負の k 乗数の和で表される」という性質を満たす整数 s が存在するかという問題である。
この問題は1770年にエドワード・ウェアリングによって提示され、1909年にダフィット・ヒルベルトによって肯定的に解決された。その後、各 k に対して整数 s の最小値 g(k) を与える公式が発見されている。現在、単にウェアリングの問題と言えば、「全ての自然数は s 個の非負の k 乗数の和で表される」を満足する s の最小値を評価・決定する問題を指すことが多い(例えば、全ての自然数は、4個の平方数で表されるか、あるいは、9個の立方数で表されるか、19個の4乗数で表されるか、など)。ウェアリングの問題は、数学科目分類(英語版)において、11P05「ウェアリング問題とその変形」として項目立てられている。
J. Kempner)により示された。1986年には、g(4) = 19 がラマチャンドラン・ブラスブラマニアン(英語版)(R. Balasubramanian)、ドレス(F. Dress)とジャン・マーク・デショワラー(英語版)(J.-M. Deshouillers)により示された。1964年には、g(5) = 37 が陳景潤により、g(6) = 73 は1940年にスバッヤ・ピライ(英語版)(Pillai)により示された。
[x] と {x} でそれぞれ x の整数部分と分数部分を表すとする。2[(3/2)]-1<3 であるので、2 と 1 だけが、 2[(3/2)]-1 を表すことに使うことができ、もっとも簡潔な表現(和を取る、べき乗整数の個数が最小となる表現)は [(3/2)]-1 個の 2 と 2-1 個の1 の和であるから、これにより g(k) は 2 + [(3/2)] − 2 以上である。有名なレオンハルト・オイラーの息子であるJ. A. オイラーは、1772年頃に、実際、g(k) = 2 + [(3/2)] − 2 であることを予想した。後日、レオナルド・ディクソン(英語版)(Dickson)、ピライ、R. ルブグンダイ(英語版)(R. K. Rubugunday)、イワン・ニベン(英語版)(Ivan M. Niven) や他の数学者らにより、以下のことが示された。