空集合
全ての集合は空集合を部分集合として含む:任意の集合 A に対し、∅ ⊆ A である。何故なら、任意の集合 A に対し、命題「 ∀ x : x ∈ ∅ ⟹ x ∈ A {\displaystyle \forall x:x\in \varnothing \implies x\in A} 」は常に真だからである(en:Vacuous truth 参照)。特に A = ∅ {\displaystyle A=\varnothing } とすれば、 ∅ ⊆ ∅ {\displaystyle \varnothing \subseteq \varnothing } が成り立つことも分かる。
どんなものであれ、空集合に元として含まれることはない。
∀ x , x ∉ ∅ . {\displaystyle \forall x,x\notin \varnothing .}
空集合の部分集合は空集合自身のみである。
( ∀ A ) [ A ⊆ ∅ ⟹ A = ∅ ] . {\displaystyle ({\forall }A)[A\subseteq \varnothing \implies A=\varnothing ].}
空集合の元の数は0である。