群の表示
G = ⟨X | R⟩, H = ⟨Y | S⟩ を群の表示とする。
群の自由積: G ∗ H ≅ ⟨X ∪ Y | R ∪ S⟩
アーベル化: G/[G, G] ≅ ⟨X | R ∪ [X, X]⟩ ただし左辺の [G, G] は交換子部分群で、右辺の [X, Y] は {xyxy | x ∈ X, y ∈ Y} である
群の直積: G × H ≅ ⟨X ∪ Y | R ∪ S ∪ [X, Y]⟩
集合 X から生成された自由群を F とし、R を X 上の語からなる集合とする。このとき R の正規閉包 N による商群を G = F/N とおく。これを
G = ⟨ X ∣ R ⟩ {\displaystyle G=\langle X\mid R\rangle }
と表し、(生成元と基本関係による)群の表示という。またこのとき、X の元を生成元、R の元を関係(または定義関係、基本関係)といい、群 G は生成元と基本関係によって与えられると言う。基本関係 w ∈ R に対し、式 w = 1 (1 は G の単位元) は基本関係式とも呼ばれる。略式の言い方をすれば、N で割ることは G が自由群 F の元のうち、R に属する元を単位元 1 に等しいものとみなして得られるものであることを意味している。
X が有限集合であるとき G は有限生成であるといい、R が有限集合であるとき G は有限関係であるという。また X と R が共に有限集合のとき、群 G は有限型であるまたは有限表示されるという。
具体的に与えられた群 G が、有限生成、有限関係、有限表示であるとは、それぞれ有限生成、有限関係、有限表示であるような適当な表示を持つときに言う。
群に対する語の問題(英語版)に対する否定的な解答として、任意の有限表示 ⟨S | R⟩ に対して、与えられた二つの語 u, v がその群の同じ元を定めるか否かを決定するアルゴリズムは存在しないことが知られている。これは Pyotr Novikov(英語版)が1955年に、また別証明をWilliam Boone(英語版)が1958年にそれぞれ得ている。