陰伏曲線
函数 F に適当な数学的仮定を与えた陰伏曲線 F(x, y) = 0 に対して、以下のような公式を与えることができる。以下、Fx, Fy, Fxx, Fxy, Fyy は F の偏微分である。
曲線上の点 ( x 0 , y 0 ) {\textstyle (x_{0},y_{0})} が正則とは、その点において ( F x , F y ) ≠ ( 0 , 0 ) {\textstyle (F_{x},F_{y})\neq (0,0)} となるときに言い、さもなくば特異という。曲線の正則点において
接線: F x ( x − x 0 ) + F y ( y − y 0 ) = 0 {\textstyle F_{x}(x-x_{0})+F_{y}(y-y_{0})=0} ;
法ベクトル: n ( x 0 , y 0 ) := ( F x , F y ) T {\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0}):=(F_{x},F_{y})^{T}} ;
曲率: κ := − F y 2 F x x + 2 F x F y F x y − F x 2 F y y ( F x 2 + F y 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa :={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}}
を得る。上記の公式において、各偏微分は厳密には点 (x0, y0) において評価した値を意味するが、引数は省略したので注意。