ルンゲの定理
Sarason (1998)で与えられた基本的な証明は、次のような証明である。閉で区分線型な K を含む開集合の周囲 Γ が存在する。コーシーの積分定理により、K の元 w について、
f ( w ) = 1 2 π i ∫ Γ f ( z ) d z z − w {\displaystyle f(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\Gamma }{f(z)\,dz \over z-w}}
である。リーマン近似和は、K 上の周回積分を一様に近似することに使える。和の各々の項は、積分経路上の任意の点 z に対して (z − w) のスカラー倍である。これによって Γ 上に極を持つ有理函数で一様に近似できる。
これを K の補集合の各成分に対する特定の点で極を持つような近似へ変形するには、 (z − w) の形式の項に対して、以下を確認すれば充分である。