円錐曲線
別な定義のしかたとして、直線と、その直線上に含まれないような点 F を取り、点 F から直線への垂線に対して点 F のある方向が正と定めそれを x 軸とする。直線上で点 M' を動かすとき、その直角位置上で FM : MM' = e : 1 (e > 0) を満たすような点 M の集合は円錐曲線を描く。この時、FM と MM' の比の値 e を離心率といい、直線を準線、 点 F を焦点という。
ここで、焦点 F を極とする平面極座標 (r, θ) を新たにとれば、動点 P の軌道は
r ( θ ) = l 1 − e cos  θ {\displaystyle r(\theta )={\frac {l}{1-e\cos \theta }}}
という極方程式によって表すことができる。r は線分 FM の長さ、θ は線分 FM が x 軸となす角度である。この式は、e と l という2つのパラメーターを通じて、楕円・放物線・双曲線の3種の円錐曲線を統一的に表しているといえる。
離心率 e は、描かれる円錐曲線の概形を次のように決定するパラメーターである。
0 < e < 1: 楕円
e = 1: 放物線
e > 1: 双曲線
他方、l は半通径または半直弦と呼ばれるパラメーターで、焦点 F から準線 l までの距離に離心率 e を掛けたものである。
なお、この方法で円錐曲線を描画した際、正円は現れない。これが円錐曲線に正円を含まないことがある由来になっているのだが、数学で円錐曲線を考える際は、便宜上 e = 0 であるとき円を描くとされる(実際は点となる)。あるいは、準線と焦点を無限に離した極限で円になると考える。