相関
さらに、他の値の線形関数として全ての値を生み出せる変数がない場合、相関行列は厳密に正定値である。
X i {\displaystyle X_{i}} と X j {\displaystyle X_{j}} とが相関関係であり、 X j {\displaystyle X_{j}} と X i {\displaystyle X_{i}} との相関も同じであるため、相関行列は対称である。
相関行列は、例えば重相関係数の場合1つの式の中に現れ、重回帰における適合度の尺度として表示される。
統計モデル構築において、変数間の関係を表す相関行列は異なる相関構造に分類され、推定に必要なパラメータの数などの要因によって区別される。例えば、確率変数が交換可能 (Exchangeable random variables) な相関行列では、変数同士のあらゆるペアが同じ相関を持つものとしてモデル構築されるため、行列の対角以外の成分は全て互いに等しくなる。一方、尺度は時間的に密接している場合に相関が大きくなりがちなので、変数が時系列を表す場合はしばしば自己回帰行列が使用される。
探索的データ解析の相関図 (Iconography of correlations) は相関行列を置き換えたダイアグラムで出来ており、そこでは「顕著な」相関が実線(正の相関)または点線(負の相関)で表されている。
変数 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} 間の従属度合いは、その変数が表されるスケールに左右されない。つまり、 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} 間の関係性を分析している場合、大半の相関尺度は X {\displaystyle X} をa + bXへと Y {\displaystyle Y} をc + dYへと変換したところで影響を受けない(ここでのa, b, c, dは定数で、bとdは正値)。 これは、一部の相関統計ならびにその類似群にも当てはまる。順位相関係数など一部の相関統計は、 X {\displaystyle X} や Y {\displaystyle Y} の周辺分布の単調変換に対しても不変である。
大半の相関尺度は、 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} が標本採集された手法に大きく反応する。(右図で例示されているように)より広い範囲で値を見たほうが従属関係は強くなる傾向がある。したがって、成人男性全員から父親と息子間における身長の相関係数を考えた場合と、父親の身長を165-170cmに絞った場合に算出される同様の相関係数と比較すると、後者の場合は相関が弱くなる筈である。