打ち切り (統計学)
尤度(ゆうど)とは、観測された値の確率または確率密度のことであり、想定されるモデルのパラメータの関数として示される。生存時間 T 1 , T 2 , . . . , T n {\displaystyle T_{1},T_{2},...,T_{n}} に興味があるが、すべての i {\displaystyle i} について T i {\displaystyle T_{i}} を観測していないとしよう。その代わりに、
T i {\displaystyle T_{i}} が実際に観測されていれば、 U i = T i {\displaystyle U_{i}=T_{i}} 、 δ i = 1 {\displaystyle \delta _{i}=1} となる ( U i , δ i ) {\displaystyle (U_{i},\delta _{i})} を観測し、
T i {\displaystyle T_{i}} が U i {\displaystyle U_{i}} よりも長いということだけがわかっていれば、 U i < T i {\displaystyle U_{i}<T_{i}} 、 δ i = 0 {\displaystyle \delta _{i}=0} となる ( U i , δ i ) {\displaystyle (U_{i},\delta _{i})} を観測する。
T i > U i {\displaystyle T_{i}>U_{i}} の場合、 U i {\displaystyle U_{i}} は打ち切り時間(censoring time)と呼ばれる。
打ち切り時間がすべて既知の定数である場合、尤度は、
L ( λ ) = λ k exp  ( − λ ∑ u i ) {\displaystyle L(\lambda )=\lambda ^{k}\exp(-\lambda \sum {u_{i}})}
となり、ここに k = ∑ δ i {\displaystyle k=\sum {\delta _{i}}} である。
これから、 λ ^ {\displaystyle {\hat {\lambda }}} を簡単に計算し、 λ {\displaystyle \lambda } の最尤推定値(MLE)を次のように計算することができる。
l ( λ ) = log  ( L ( λ ) ) = k log  ( λ ) − λ ∑ u i {\displaystyle l(\lambda )=\log(L(\lambda ))=k\log(\lambda )-\lambda \sum {u_{i}}}
このとき、
d l / d λ = k / λ − ∑ u i {\displaystyle dl/d\lambda =k/\lambda -\sum {u_{i}}}
となる。
これを 0 として λ {\displaystyle \lambda } を解くと、
λ ^ = k / ∑ u i {\displaystyle {\hat {\lambda }}=k/\sum u_{i}}
となる。
同様に、平均初回故障間隔(英語版)は、
1 / λ ^ = ∑ u i / k {\displaystyle 1/{\hat {\lambda }}=\sum u_{i}/k}
となる。
これは、指数分布の標準MLEとは異なり、打ち切り観測値は分子でのみ考慮される。