超現実数
この定義を用いて以下の性質が満足されることが示せる:
exp は狭義単調増大な正値函数である: すなわち x < y ⇒ 0 < exp(x) < exp(y) が成り立つ。
exp は指数法則 exp(x + y) = exp(x)⋅exp(y) を満足する。
exp は全射(No+ の上への写像)であり、矛盾なく定義された逆写像 log ≔ exp を持つ。
exp は実数全体の成す集合上では通常の指数函数に一致する(したがって exp(0) = 1, exp(1) = e が成り立つ)。
x が無限小のとき、形式冪級数 ∑n≥0x⁄n! の値は矛盾なく定義され、上記の帰納的定義によるものと一致する。 x がコンウェイ標準形で与えられるとき、計算結果における冪指数全体の成す集合は整列順序付けられ、係数列はどれも有限和となるから、この exp(x) の標準形(先頭係数は 1)は直截に与えられる。 同様に、x が 1 に無限に近いとき、log(x) は x − 1 に関する冪級数展開によって与えられる。
x が正の無限大ならば exp(x) は同じく無限大である。 x が ω (α > 0) の形であるとき、exp(x) は β が α の狭義単調増大函数であるもとして ω の形をしている。実は、全単射 g: No+ → No; α ↦ β が帰納的に定義され、その逆函数もまた帰納的に定義できる。
logω が正の超現実数の全体を超現実数全体の上へ写すこと、および対数法則 logω(xy) = logω(x) + logω(y) の成立などを確かめることができる。
これを超限帰納法によって拡張することにより、任意の超現実数に対し(順序数に対するカントール標準形(英語版)の類似対応物となる)「標準形」を持つことがわかる。すなわち、任意の超現実数は
なる形に一意的に書くことができる。ここに、各 rα は非零実数で yα は超現実数の狭義単調減少列である。しかし、この右辺の「和」は無限個の項(その長さは一般には任意の順序数となる)を持ち得る(もちろん 0 はこの係数列が空集合となる場合に相当し、最高次の冪を持たない唯一の超現実数である)。
さてこのような標準形に書いてしまえば、超現実数の全体はある種の冪級数体と見ることができる(通常の形式冪級数では冪の無限減少列は適当な順序数で長さが抑えられなければならず、順序数全体の成すクラスと同じ長さになることが許されない、という点には目をつぶることになるが)。これは超現実数をハーン級数として定式化するための基礎となる。
Philip Ehrlich (2012) はコンウェイの極大超現実数体とNBGにおける極大超実体との間に同型を構成した。
超現実数の定義には一つの制約条件「L の各元は R の各元よりも真に小さい」があった。この制限を落とせばより一般のクラスとしてゲーム (game) を生成することができる。任意のゲームは以下の規則に従って構成される:
これをまた 2ω と書くことも、それが超現実数 ω = {1, 2, 3, 4, ... | } と 2 = {1 | } との超現実数の積に一致することで正当化できる。これは二番目の極限順序数になる(ω から構成ステップを通じてこれに到達するには ⋃ k < ω S ω + k {\textstyle \bigcup _{k<\omega }S_{\omega +k}} 上の超限帰納法が必要になる)。これには無限集合の無限合併が、ここまでに用いてきた超限帰納法で必要とされた集合演算「よりも強い」演算として、含まれることになる。
順序数の演算はそれらを超現実数として表したときの超現実数としての演算とは必ずしも一致しないことに注意すべきである。順序数の和としての 1 + ω は ω に等しいが、超現実数の和は可換であり 1 + ω = ω + 1 > ω が成り立つ。順序数の付随する超現実数の加法および乗法は、順序数の演算としては自然和および自然積(英語版)に一致する。
2ω が任意の自然数 n に対する ω + n よりも大きいことと同じく、超現実数 ω/2 は無限大超現実数だが、任意の自然数 n に対する ω − n より小さい。つまり、ω/2 は ω/2 ≔ {S∗ | ω − S∗} によっても定義できる。ただし、右辺の記法 x − Y(x は数で、Y は集合)は {x − y : y ∈ Y} の意味で用いた。これは ω と 1⁄2 を表す形式 {0 | 1} との積と同一視できる。ω/2 の誕生日は極限順序数 ω2 である。
形式 {L | R} が数値的(数的)であるとは、L と R に交わりが無く、かつ R の各元が L の任意の元よりも真に大きいときに言う。ただし、大小関係は後で述べる順序 ≤ の意味で言う。
x が「純無限大」("pure infinite") で標準形 x ≔ ∑α<β rα⋅ω (∀aα > 0) を持つならば、 exp  ( x ) = ω ∑ α < β r α ω g ( a α ) {\textstyle \exp(x)=\omega ^{\sum _{\alpha <\beta }r_{\alpha }\omega ^{g(a_{\alpha })}}} が成り立つ。 同様に x := ω ∑ α < β r α ω b α {\textstyle x:=\omega ^{\sum _{\alpha <\beta }r_{\alpha }\omega ^{b_{\alpha }}}} に対して逆写像は log(x) = ∑α<β rα⋅ω で定められる。
任意の超現実数は純無限大成分、実数成分、無限小成分の和として表されるから、指数函数は上で見た(純無限大、実数、無限小それぞれに対する)指数函数の積として与えられることがわかる。 特に標準形は、無限大成分(これはひとつの ω の冪として与えられる)と実指数函数を無限小に関する冪級数として書いたものとの積に書ける。
コンウェイの構成法では、超現実数は、大小関係を表す順序 ≤(二つの超現実数 a, b に対し a ≤ b または b ≤ a が成立する。a ≤ b かつ b ≤ a がともに成立するとき a と b は同値であると言い、同じ数を表すものと理解する)を伴って、段階を踏んで構成される。各段階における数は、既に構成された既知の超現実数からなる部分集合の対の形をしており、そのような数からなる部分集合 L, R が与えられ、L のすべての元が R のすべての元よりも真に小さいときに、対 {L | R} は L のすべての元と R のすべての元との間に値を持つ中間数を表すものとなる。
このとき、全く異なる部分集合の対が結局は同じ数を定義するということが起こり得る —たとえ L ≠ L′ かつ R ≠ R′ となる場合であってさえも、二つの対 {L | R}, {L′ | R′} が同じ数を定義しうる—(同様の現象は、有理数を整数の商として定義するときにもあったことである。例えば 1/2 と 2/4 は同じ有理数の異なる表現である)。ゆえに厳密を期すならば、超現実数とはそのような同じ数を指す {L | R} なる形式の表現からなる同値類のことと言うべきである。
構成の緒段(第零世代)では、既存の数は何もないのだから、表現には空集合しか用いようがない。表現 { | } は L および R が空集合という意味であり、これを 0 と呼ぼう。段階を踏んでいけば
や