並進演算子 (量子力学)
初等的な物理学では通常、運動量は質量×速度と定義される。しかし並進演算子の観点から運動量を定義する、より基本的な方法がある。 これはより正確には正準運動量と呼ばれ、電磁場中の荷電粒子の場合などでは運動量は質量×速度と等しくなるとは限らない。この運動量の定義が特に重要である理由は、運動量保存則は正準運動量でのみ成り立ち、以下で示すように運動量が質量×速度(「運動学的運動量」と呼ばれる)として定義されたときは、普遍的に成り立つわけではないためである。
(正準)運動量演算子は、原点近くでの並進演算子の勾配として定義される。
ここで ħ は換算プランク定数である。より具体的に書くと、ˆp はベクトル演算子(つまり3つの演算子 ( p ^ x , p ^ y , p ^ z ) {\displaystyle ({\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z})} からなるベクトル)で、例えば p ^ x {\displaystyle {\hat {p}}_{x}} は次のように定義される。
完全結晶中のイオンは、規則正しく周期的に配列している。よってすべてのブラベー格子ベクトル R において
V ( r + R ) = V ( r ) {\displaystyle V({\boldsymbol {r+R}})=V({\boldsymbol {r}})}
の周期性をもつポテンシャル V ( r ) {\displaystyle V({\boldsymbol {r}})} 中の電子の問題に行き着く。
しかし完全な周期性は、理想化している。実際の固体は完全に純粋ではなく、不純物原子の周辺の状態はその他の結晶部分の状態と同じではない。さらに実際にはイオンは静止しておらず、平衡位置付近で絶えず熱振動している。これらのことが、結晶の完全な並進対称性を崩している。この問題を扱うため、問題を(a)ポテンシャルが完全に周期的である仮想的な完全結晶と、 (b)小さな摂動として扱われる完全な周期性からのずれの効果という2つの部分に分ける。固体中の電子の問題は、原理的には多電子問題である。しかし独立電子近似では、それぞれの電子は周期ポテンシャル中の1電子シュレーディンガー方程式で記述され、ブロッホ電子と呼ばれる (ブロッホ電子は周期ポテンシャルがあらゆる点で0のときは自由電子となる)。
それぞれのブラベー格子ベクトル R について、関数 f(r) に作用したとき R だけ変数をシフトさせる並進演算子 T ^ R {\displaystyle {\hat {T}}_{\boldsymbol {R}}} を定義する。
ハミルトニアンが並進不変である特別な場合がある。この並進対称性は、ポテンシャルが周期的であるときに見られる。
V ( r j ± a ) = V ( r j ) {\displaystyle V(r_{j}\pm a)=V(r_{j})}
一般的に任意の x j {\displaystyle x_{j}} での並進 T ^ j ( x j ) {\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})} によってハミルトニアンは不変ではない。ここで T ^ j ( x j ) {\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})} は次の性質を持つ。
T ^ j ( x j ) | r j ⟩ = | r j + x j ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})|r_{j}\rangle =|r_{j}+x_{j}\rangle }
また、
T ^ j † ( x j ) r ^ j T ^ j ( x j ) = r ^ j + x j I ^ {\displaystyle {\hat {T}}_{j}^{\dagger }(x_{j}){\hat {r}}_{j}{\hat {T}}_{j}(x_{j})={\hat {r}}_{j}+x_{j}{\hat {\mathbb {I} }}}
(ここで I ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}} は恒等演算子である。
p ^ x = i ħ lim a → 0 T ^ ( a e x ) − I ^ a {\displaystyle {\hat {p}}_{x}=i\hbar \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {{\hat {T}}(a{\boldsymbol {e}}_{x})-{\hat {\mathbb {I} }}}{a}}}
ここで I ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}} は恒等演算子、ex は x 方向の単位ベクトルである。 p ^ y , p ^ z {\displaystyle {\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}} も同じように定義される。これは、ˆp の最も一般的な定義である。