2の自然対数
の第 N 項までの部分和と log 2 との差は
∑ n = 1 N ( − 1 ) n + 1 n − log  2 = ( − 1 ) N ( 1 2 N + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n T n 4 N N 2 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}-\log 2=(-1)^{N}\left({\frac {1}{2N}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}T_{n}}{4^{N}N^{2n}}}\right)}
と表される。ここで、Tn は n 番目のタンジェント数である。
積分では
∫ 1 2 d x x = log  2 {\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\log 2}
であるから、双曲線 y = 1/x と直線 x = 1, x = 2 および y = 0 (x 軸)とに囲まれた図形の面積は log 2 である。
リンデマンの定理より log 2 は超越数であり、したがって無理数である。
log 2 が正規数かどうかは分かっていない。