スツルムの定理
実区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} が与えられたとき、次の4つの条件を満足する実係数をもつ多項式列
f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯ , f L ( x ) {\displaystyle f_{0}(x),~f_{1}(x),~f_{2}(x),~\cdots ,~f_{L}(x)}
は区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} においてスツルム列(スツルム関数列)をなすという。
列中にある任意の隣り合う2つの多項式 f k ( x ) {\displaystyle f_{k}(x)} と f k + 1 ( x ) {\displaystyle f_{k+1}(x)} は、区間 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} に於いて共通の零点を持たない。
列中にある任意の隣り合う3つの多項式 f k − 1 ( x ) {\displaystyle f_{k-1}(x)} 、 f k ( x ) {\displaystyle f_{k}(x)} 、 f k + 1 ( x ) {\displaystyle f_{k+1}(x)} について、区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} に於ける多項式 f k ( x ) {\displaystyle f_{k}(x)} の零点 z {\displaystyle z} に対して、その両側の多項式の z {\displaystyle z} に於ける値の符号は逆になる(つまり z ∈ [ a , b ] {\displaystyle z\in [a,b]} かつ f k ( z ) = 0 {\displaystyle f_{k}(z)=0} ならば f k − 1 ( z ) f k + 1 ( z ) < 0 {\displaystyle f_{k-1}(z)f_{k+1}(z)<0} である)。