アインシュタインテンソル
アインシュタインテンソル G {\displaystyle \mathbf {G} } は、擬リーマン多様体上に定義されたランク 2 のテンソルであり、添字のない記法では、
G = R − 1 2 g R , {\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}
として定義される。ここに R {\displaystyle \mathbf {R} } はリッチテンソルであり、 g {\displaystyle \mathbf {g} } は計量テンソルであり、 R {\displaystyle R} はスカラー曲率である。成分を持つ形で表すと、上記方程式は、
G μ ν = R μ ν − 1 2 g μ ν R . {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.}
のようになる。
アインシュタインテンソルは、ストレス・エネルギーテンソルと同じ性質を持っている。つまり、
G μ ν = G ν μ {\displaystyle G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,}
と対称テンソルであって、さらに
G μ ν ; ν = 0 {\displaystyle G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0}
と共変な意味での発散がない。
となる。ここで、 δ β α {\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }} はクロネッカーのデルタでクリストッフェル記号 Γ β γ α {\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }} は計量を用いて、
アインシュタインテンソルによって、(宇宙項のない)アインシュタイン方程式を次の正確な形に書き表すことができる。
G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν . {\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.}
ここで幾何単位系(つまり、c = G = 1)とすると、
G μ ν = 8 π T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi \,T_{\mu \nu }}
である。
アインシュタインテンソルの明示的な形から、アインシュタインテンソルは計量テンソルの非線型函数であるが、計量の 2階の偏微分では線型であることがわかる。対称なランク 2 のテンソルとして、アインシュタインテンソルは 4次元空間内の10 個の独立成分を持つ。このことから、アインシュタイン場の方程式は、計量テンソルの 10 個変数の準線型(英語版)(quasilinear)の 2階の偏微分方程式である。
アインシュタインテンソルのトレースは、計量テンソル g μ ν {\displaystyle g^{\mu \nu }} をその定義の中に持つ方程式を縮約することにより計算される。(任意符号の) n {\displaystyle n} 次元では、
g μ ν G μ ν = g μ ν R μ ν − 1 2 g μ ν g μ ν R G = R − 1 2 ( n R ) G = 2 − n 2 R {\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(nR)\\G&={{2-n} \over 2}R\end{aligned}}}
である。
物理学における 4次元(3空間次元、1時間次元)という特別な場合では、アインシュタインテンソルのトレース G {\displaystyle G\,} は、 R {\displaystyle R\,} の負の部分、リッチテンソルのトレースとして与えられる。このようにアインシュタインテンソルは、逆トレースリッチテンソル(trace-reversed Ricci tensor)とも呼ばれる。