密度行列
本章では密度行列を全く別の角度から公理的に特徴づける。そしてこの特徴づけができる事の結果として、前述した単純な表記方法の持つ欠点が密度行列では解消されている事を見る。
実際、任意の観測値aに対し、
Pr [ A {\displaystyle \Pr[A} の観測値が a ∣ s ] = 1 2 Pr [ A {\displaystyle a\mid s]={1 \over 2}\Pr[A} の観測値が a ∣ | L ⟩ ] + 1 2 Pr [ A {\displaystyle a\mid |L\rangle ]+{1 \over 2}\Pr[A} の観測値が a ∣ | R ⟩ ] = ⟨ L | P a | L ⟩ + ⟨ R | P a | R ⟩ 2 {\displaystyle a\mid |R\rangle ]={\langle L|P_{a}|L\rangle +\langle R|P_{a}|R\rangle \over 2}}
であり、
∑ j p j ⟨ φ j | A ^ | φ j ⟩ = ∑ j p j t r ( A ^ | φ j ⟩ ⟨ φ j | ) {\displaystyle \sum _{j}p_{j}\langle \phi _{j}|{\hat {A}}|\phi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\mathrm {tr} ({\hat {A}}|\phi _{j}\rangle \langle \phi _{j}|)}
である。
そこでこの混合状態の密度演算子を対角行列
ρ := ∑ j p j | φ j ⟩ ⟨ φ j | {\displaystyle \rho :=\sum _{j}p_{j}|\phi _{j}\rangle \langle \phi _{j}|\,}
によって定義し、その行列表示を密度行列と呼ぶことにすると、混合状態にある際の A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の観測値の期待値は
t r ( ρ A ^ ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho {\hat {A}})}
という簡単な形で書き表す事ができる。以上のことから、密度行列は混合状態にある系の観測値の期待値を計算するのに便利である。
を満たす。また、A がハミルトニアン A = H の場合、ハミルトニアンの固有値を {Ei} とすれば、
⟨ H ⟩ = Tr  { e − β H H } Tr  { e − β H } = ∑ i E i e − β E i ∑ i e − β E i {\displaystyle \langle H\rangle ={\frac {\operatorname {Tr} \{\mathrm {e} ^{-\beta H}H\}}{\operatorname {Tr} \{\mathrm {e} ^{-\beta H}\}}}={\frac {\sum _{i}E_{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}}}{\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}}}}}
と書き換えられる。