公理的集合論
これにより順序対の存在が言え、それにより直積集合の存在も言える。
和集合の公理 任意の集合 X に対して、X の要素の要素全体からなる集合が存在する:
∀ X ∃ A ∀ t ( t ∈ A ↔ ∃ x ∈ X ( t ∈ x ) ) {\displaystyle \forall X\exists A\forall t(t\in A\leftrightarrow \exists x\in X(t\in x))} 。
外延性の公理から、X に対して和集合の公理が存在を主張する集合はただ一つであることが言えるので、これを X の和集合と呼び、 ⋃ X {\displaystyle \bigcup X} で表す。 ⋃ { x , y } {\displaystyle \bigcup \{x,y\}} を x ∪ y {\displaystyle x\cup y} で表す。
無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する:
∃ A ( ∅ ∈ A ∧ ∀ x ∈ A ( x ∪ { x } ∈ A ) ) {\displaystyle \exists A(\varnothing \in A\wedge \forall x\in A(x\cup \{x\}\in A))} 。
冪集合公理 任意の集合 X に対して X の部分集合全体の集合が存在する:
∀ X ∃ A ∀ t ( t ∈ A ↔ t ⊆ X ) {\displaystyle \forall X\exists A\forall t(t\in A\leftrightarrow t\subseteq X)} 。
公理的集合論(こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory)とは、公理化された集合論のことである。