ゼッケンドルフの定理
最初の部分(存在)は数学的帰納法によって示すことができる。n = 1, 2, 3 については(これらはフィボナッチ数だから)明らかに真であり、n = 4 に対しては 4 = 3 + 1 が当てはまる。さて、すべての n ≤ k に対してゼッケンドルフの表現が存在すると仮定する。k + 1 がフィボナッチ数ならばそれがゼッケンドルフの表現となり、そうでない場合には Fj < k + 1 < Fj + 1 となるような j が存在することになる。後者の場合に、 a = k + 1 − Fj を考えると、a ≤ k であるから、 a は帰納法の仮定により、ゼッケンドルフの表現を持つ。さらに、Fj + a < Fj + 1 でありまた Fj + 1 = Fj + Fj − 1 (フィボナッチ数の定義から)だから、a < Fj − 1 となって a のゼッケンドルフ表現は Fj − 1 を含まないことがいえる。よって、k + 1 は Fj と a のゼッケンドルフの表現の和として表すことができる。