一般化モーメント法
ここまで行列 W の選択については、それが半正値定符号で無くてはならないということを除き何も述べてこなかった。実際、どのような半正値定符号行列であっても一般化モーメント法による推定量は一致性と漸近正規性を持つ。唯一の違いはその推定量の漸近分散にある。加重行列を以下のように取る。
W ∝ Ω − 1 {\displaystyle W\propto \ \Omega ^{-1}}
すると、一般化モーメント法による推定量はすべての漸近正規的な推定量の中で最も効率的となる。この場合の効率性は、推定量が可能な限り最小の分散行列(ある行列 A が行列 B より小さいとは B-A が半正値低符号であるということである。)を持つという意味である。
この場合、一般化モーメント法による推定量の漸近分散についての公式は以下のように単純化される。
T ( θ ^ − θ 0 ) → d N [ 0 , ( G ′ Ω − 1 G ) − 1 ] {\displaystyle {\sqrt {T}}{\big (}{\hat {\theta }}-\theta _{0}{\big )}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}{\big [}0,(G'\,\Omega ^{-1}G)^{-1}{\big ]}}
このような加重行列を選ぶことが最適になるという証明は、しばしば他の推定量の効率性を証明する時の証明を少しばかり模倣したものを取り入れる。大雑把に言えば、加重行列を分散についての"サンドイッチ公式"が単純な表現になるように選べば、その加重行列は最適となる。
モーメント条件の数がパラメーターベクトルの次元より大きい時、そのモデルは過剰識別されている(英: over-identified)と言う。過剰識別ならば、そのモデルのモーメント条件がデータと適合するかどうかを調べることが出来る。
概念的に、モデルがデータによくフィットしているかは、 m ^ ( θ ^ ) {\displaystyle {\hat {m}}({\hat {\theta }})} が十分0に近いかどうかで調べることが出来る。一般化モーメント法は方程式 m ^ ( θ ) = 0 {\displaystyle {\hat {m}}(\theta )=0} を解く問題、つまり θ {\displaystyle \theta } が制約を確かに満たすように選ぶという問題を最小化計算に置き換えている。この最小化は m ( θ 0 ) = 0 {\displaystyle m(\theta _{0})=0} を満たすような θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} が存在しないとしても、常に実行可能である。J検定はこの制約が成立しているかを確かめることができる。J検定は過剰識別制約についての検定とも呼ばれる。
以下の統計的仮説を考えよう。
H 0 : m ( θ 0 ) = 0 {\displaystyle H_{0}:\ m(\theta _{0})=0} (モデルが妥当であるという帰無仮説)
H 1 : m ( θ ) ≠ 0 , ∀ θ ∈ Θ {\displaystyle H_{1}:\ m(\theta )\neq 0,\ \forall \theta \in \Theta } (モデルが妥当でないという対立仮説。