断熱定理
..(ii)
を課すことが可能である。
さて、ここでシュレーディンガー方程式
i ħ d d t | ψ ( t ) ⟩ = H ^ | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle } ... (iii)
について考察し、断熱定理を満たすような形で状態が時間発展することを確かめたい。
まず、エルミート演算子の固有状態はヒルベルト空間の完全系を張っていることを利用して、解となる状態は、それぞれの時刻にそれぞれの時刻での固有状態で展開できることを用いて、
| Ψ ( t ) ⟩ = ∑ n c n ( t ) exp  ( i θ n ( t ) ) | ψ n ( t ) ⟩ {\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)\exp(i\theta _{n}(t))|\psi _{n}(t)\rangle } ... (iv)
と記述しておくことにする。ただし、以後の計算の都合、位相について
θ n ( t ) = − 1 / ħ ∫ 0 t E n ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle \theta _{n}(t)=-1/\hbar \int _{0}^{t}E_{n}(t')dt'} ...(v)
の関数を導入して調整することにしておく。
次に、この解をシュレディンガー方程式に代入し、 ⟨ ψ m | {\displaystyle \langle \psi _{m}|} を左から掛ける。