累乗数
4 を法として 2 と合同でない数は 2 つの累乗数の差として表される。実際、(n + 1) − n = 2n + 1, (n + 2) − n = 4n + 4 が成立する。
また、2 = 3 − 5, 10 = 13 − 3 など、4 を法として 2 と合同な数(単偶数)に関しても累乗数の差として表せる場合があることが知られている。6, 14, 34 などがそのように表せるかどうかは知られていない。
差が 1 となる累乗数の組は (8, 9) のみであると、1844年にカタラン(英語版) (Eugène Charles Catalan) によって予想され(カタラン予想)、2002年にプレダ・ミハイレスクによって証明された。
一般に、累乗数を小さいほうから a1 = 1, a2 = 4, ... と並べるとき、ai + 1 − ai は i と共に無限大に発散すると予想されている(Pillai)。この予想は、任意の自然数 a に対して方程式 x − y = a は有限個の自然数解(x > 0, y > 0, m ≥ 2, n ≥ 2)しかないことと同値である。Chudnovsky はこれを証明したと主張したが、本当に証明されたのかは不明である。エルデシュは ai + 1 − ai > i となる正の定数 c が存在すると予想している。