QR分解
ハウスホルダー変換の使用は、R行列のゼロを生成するメカニズムに鏡映を利用しているため、最もシンプルな数値的に安定したQR分解アルゴリズムである。しかしながら、新しいゼロ要素を生成するすべての鏡映においてQ、R行列両方の全体が変化するため、ハウスホルダー変換は帯域幅が重く、並列化できない。
グラム・シュミットの正規直交化法は本来、数値的に不安定である。射影の応用として直交化との幾何学的な類似性があるが、直交化自体は数値的な差異が生じやすい。しかしながら、実装が簡単という大きな利点があり、外部線形代数ライブラリが利用できない場合のプロトタイピングに便利なアルゴリズムである。
ここで a i {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{i}} を新しく計算された正規直交基底上に表すことができ、 ⟨ e i , a i ⟩ = ‖ u i ‖ {\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {e}}_{i},{\boldsymbol {a}}_{i}\right\rangle =\left\|{\boldsymbol {u}}_{i}\right\|} であるから、