関手圏
C を小さい圏とし(すなわち対象たちや射たちは真クラスではなく集合をなす)、D を任意の圏とする。C から D への関手全体のなす圏は、Fun(C, D), Funct(C, D), [C, D], D などと書かれ、対象として C から D への共変関手を持ち、射としてそのような関手の間の自然変換を持つ。自然変換は合成できることに注意:μ(X): F(X) → G(X) が関手 F: C → D から関手 G: C → D への自然変換で、η(X): G(X) → H(X) が関手 G から関手 H への自然変換であるとき、集まり η(X)μ(X): F(X) → H(X) は F から H への自然変換を定義する。自然変換のこの合成(垂直合成と呼ばれる;自然変換を参照)によって、D は圏の公理を満たす。
全く同様に、C から D への反変関手全体の圏を考えることもできる;これはFunct(C, D) と書かれる。
C と D がともに前加法圏(すなわち射の集合がアーベル群であり、射の合成が双線型)であれば、C から D への加法的関手全体のなす圏を考えることができ、Add(C, D) と書かれる。