エタール基本群
射影系を構成する射 X j → X i {\displaystyle X_{j}\to X_{i}} は群準同型 Aut X  ( X j ) → Aut X  ( X i ) {\displaystyle \operatorname {Aut} _{X}(X_{j})\to \operatorname {Aut} _{X}(X_{i})} を誘導するので、射影系 { X i } {\displaystyle \{X_{i}\}} から有限群の射影系 { Aut X  ( X i ) } {\displaystyle \{\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})\}} が生じる。有限群を離散位相で位相群とみてこの射影系の射影極限をとったものを
π 1 ( X , x ) = lim ← i ∈ I  Aut X ( X i ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} }_{X}(X_{i})}
と書く。これを X {\displaystyle X} の x {\displaystyle x} を基点とするエタール基本群と呼ぶ。
F ( Y ) {\displaystyle F(Y)} は π 1 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)} が連続に作用する有限集合と自然に思えるので、 F {\displaystyle F} は C {\displaystyle C} から連続な π 1 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)} 作用を持つ有限集合の圏への関手と思える。この関手はこの2つの圏の圏同値を与える。