GNS表現
GNS構成 ( H φ , π φ , Ω φ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\varphi },\pi _{\varphi },\Omega _{\varphi })} において、巡回ベクトル Ω φ {\displaystyle \Omega _{\varphi }} から表現空間の元 π φ ( A ) Ω φ {\displaystyle \pi _{\varphi }(A)\Omega _{\varphi }} が生成されることは、ちょうど場の量子論でフォック空間の元が真空から生成されることに対応している。但し、フォック空間の場合には二つの状態ベクトルは生成消滅演算子の作用により互いに移りわたれるため、任意の元が巡回ベクトルとなる。こうした性質は、表現の既約性と関連する。表現が既約表現であるとは、不変部分空間が { 0 } {\displaystyle \{0\}} と表現空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} のみであるときのことをいう。C*-代数の表現が既約表現であるとき、表現空間のゼロベクトルを除く任意の元が巡回ベクトルとなる。
一方、状態の観点からは、既約表現となるGNS表現を導く状態は、純粋状態(pure state)と呼ばれる特別な状態となる。