交代行列
任意の n次正方行列 M に対し、その歪対称成分 (skew-symmetric component) は
A = 1 2 ( M − M ⊤ ) ∈ Skew n {\displaystyle A={\frac {1}{2}}(M-M^{\top })\quad \in \operatorname {Skew} _{n}}
で与えられる。行列の和への分解
M = A + S , ( A = 1 2 ( M − M ⊤ ) , S = 1 2 ( M + M ⊤ ) ) {\displaystyle M=A+S,\quad (A={\tfrac {1}{2}}(M-M^{\top }),\,S={\tfrac {1}{2}}(M+M^{\top }))}
は一意的に定まり、ベクトル空間の直和分解
Mat n = Skew n ⊕ Sym n {\displaystyle \operatorname {Mat} _{n}=\operatorname {Skew} _{n}\oplus \operatorname {Sym} _{n}}
を与える(ここに Matn は n-次正方行列の全体、Symn は n-次対称行列の全体)。