球面波
1 r ∂ 2 ∂ r 2 ( r ψ ) = 2 r ∂ ψ ∂ r + ∂ 2 ψ ∂ r 2 {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )={\frac {2}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}}
となるので、以上を波動方程式(3)の左辺に代入して
1 r ∂ 2 ∂ r 2 ( r ψ ) = 1 v 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}}
を得る。両辺にr をかけると
∂ 2 ∂ r 2 ( r ψ ) = 1 v 2 ∂ 2 ∂ t 2 ( r ψ ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(r\psi )}
となるが、これはr ψについての1次元波動方程式であり、簡単に解くことができる:
r ψ = f ( r ± v t ) {\displaystyle r\psi =f(r\pm vt)}
または
r ψ = F ( t ± r v ) {\displaystyle r\psi =F\left(t\pm {\frac {r}{v}}\right)}
したがって式(1)、(2)を得る。