フォン・マンゴルト関数
これらは、ディリクレ級数に関するより一般的な関係の特別な場合である。完全乗法的関数 f(n) に対して
F ( s ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n s {\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
であり、級数が Re(s) > σ0 で収束するならば、
F ′ ( s ) F ( s ) = − ∑ n = 1 ∞ f ( n ) Λ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}
は Re(s) > σ0 で収束する。
Λ(n)で表されるフォン・マンゴルト関数は、次のように定義される。
Λ ( n ) = { log  p if n = p k for some prime p and integer k ≥ 1 , 0 otherwise. {\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
最初の9個の正の整数(つまり自然数)のΛ(n)の値は次のとおりであり、オンライン整数列大辞典の数列 A014963に関連する。
0 , log  2 , log  3 , log  2 , log  5 , 0 , log  7 , log  2 , log  3 , {\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,}
チェビシェフ関数としても知られている総和フォン・マンゴルト関数 ψ(x) は、次のように定義される。
ψ ( x ) = ∑ n ≤ x Λ ( n ) {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}
フォン・マンゴルト関数により、リーマンゼータ関数の非自明な零点上の合計を含む ψ(x) の明示的な式について、厳密な証明を与えることができた。これは素数定理の最初の証明の重要な部分であった。