テイト・シャファレヴィッチ群
一般のアーベル多様体について、Ш の位数が有限であればそれは平方数だろうと何年ものあいだ誤って信じられてきた。これは Tate (1963) の結果の1つの引用の仕方を誤った Swinnerton-Dyer (1967) に端を発する。プーネン(Poonen)とシュトール(Stoll)は位数が平方数の2倍である例をいくつか与えた。有理数体上の種数が2のある曲線のヤコビ多様体でそのテイト・シャファレヴィッチ群の位数が2であるようなものなどである。スタインは位数を割り切る奇素数の冪指数が奇数となる例を与えた。アーベル多様体が主偏極を持てば Ш 上のこの形式は歪対称である。これは Ш の位数は(有限ならば)平方数または平方数の2倍であることを意味する。さらに、主偏極が(楕円曲線の場合のように)有理因子からきている場合には、この形式は交代的であり、Ш の位数は(有限ならば)平方数である。