環上の射影直線
ここでは複比の存在性、一意性、整合三つ組および不変性について考察する。p, q, r ∈ A に対し
t = (r − p), v = (t + (q − r))
と置き、これら逆元 t, v が存在するとき、「p, q, r は十分に分離される」と言う。いま
( 1 0 − r 1 ) ( 0 1 1 0 ) ( 1 0 t 1 ) ( v 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-r&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v&0\\0&1\end{pmatrix}}}
に着目すると、最初の二つの因子は r を一つ決めるごとにそれを U(1, 0) = ∞ へ写す(これは残りの因子では動かない)。また第三因子は t の取り方から、p の最初の二つの因子による像を U(0, 1)(つまり自然な埋め込みのもとでの原点 0)へ写す(これは第四因子で動かない)。そして第四因子は q の最初の三つの因子による像の v による回転の形で U(q, 1) を U(1, 1) へ写す。
射影直線 P(A) の二点が平行 (parallel) であるとは、それらを結ぶ鎖が存在しないときに言う。点が多数の場合にも同様の言い方を適用する。互いに平行であるという関係は、この射影直線上の射影変換で不変である。どの二つも平行でない三点が与えられたとき、その三点を通る鎖が一意に存在する
環 A 上の射影直線 P(A) は加群 A ⊗ A 内の射影加群全体の成す空間とも同一視することができる。つまり P(A) の各元は A ⊗ A の直和因子になる。このより抽象的なやり方により、射影幾何学を線型空間の線型部分空間の幾何学とみる視点が与えられ、またバーコフの束論 やラインホルト・ベーア(英語版)の著書 Linear Algebra and Projective Geometry と関連付けられることもある。有理整数環 Z の場合、P(Z) を定義する因子加群は m, n が互いに素であるような U(m, n) に絞って考えればよいし、A が位相環のとき P(A) の主要な特徴である埋め込みも落ちている。Benz, Samaga & Scheaffer (1981) はこの直和因子による定義に触れている。
有限環(英語版)は有限射影直線を持つ。二元体(英語版) GF(2) 上の射影直線は三点 U(0,1), U(1,0), U(1,1) からなる。その上の射影変換群は、この三点の置換群である。
整数の合同類環 Z/3Z (GF(3)) の三元を 1, 0, −1 と書けば、その単元 は 1, −1 であるから、その上の射影直線は四点 U(1,0), U(1,1), U(0,1), U(1,−1) からなる。この射影直線上の射影変換群は12個の元を持ち、やはり行列や置換として記述できる。
有理整数環 Z 上の射影直線は m と n が互いに素であるような類 U(m,n) からなる。その上の射影変換群はモヂュラー群である。モヂュラー群の合同部分群(英語版) は合同類環 Z/nZ 上の射影変換群をあたえる
可除環上の射影直線は、もとの環にただ一つの無限遠点 ∞ = U(1,0) を付け加えたものになる。例えば、実射影直線、複素射影直線あるいは四元数上の射影直線などがこれに当たる。これら位相環上の例では、射影直線はもとの環の一点コンパクト化を与えている。