円分体
p の倍数ではない整数 r に対して、 1 ≦ R ( r ) ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq R(r)\leqq p-1} を、 r ≡ R ( r ) ( mod  p ) {\displaystyle \textstyle r\equiv R(r)\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たすようにとる。 また、 1 ≦ r ′ ≦ p − 1 {\displaystyle \textstyle 1\leqq r'\leqq p-1} を、 r r ′ ≡ 1 ( mod  p ) {\displaystyle \textstyle rr'\equiv 1\ (\operatorname {mod} \ p)} を満たすようにとる。 M p = ( R ( r s ′ ) ) r , s = 1 , 2 , ... , ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle M_{p}=(R(rs'))_{r,s=1,2,\ldots ,(p-1)/2}} とおくと、 h 1 ( p ) = 1 p ( p − 3 ) / 2 | det M p | {\displaystyle h_{1}(p)={\frac {1}{p^{(p-3)/2}}}|\det M_{p}|} である。
第2因子 h 2 ( m ) = 2 1 2 φ ( m ) − 1 R ∏ χ ∈ T ∑ n = 1 [ m − 1 2 ] χ ( n ) log  | 1 − ζ m n | {\displaystyle h_{2}(m)={\frac {2^{{\frac {1}{2}}\varphi (m)-1}}{R}}\prod _{\chi \in T}\sum _{n=1}^{[{\frac {m-1}{2}}]}\chi (n)\log |1-\zeta _{m}^{n}|} 。
, Q ( ζ p r e r ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p_{1}^{e_{1}}}),\ldots ,\ \mathbb {Q} (\zeta _{p_{r}^{e_{r}}})} の合成体であり、 Gal  ( Q ( ζ m ) / Q ) ≅ ( Z / m Z ) × ≅ ( Z / p 1 e 1 Z ) × × ⋯ × ( Z / p r e r Z ) × {\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{m})/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /p_{1}^{e_{1}}\mathbb {Z} )^{\times }\times \cdots \times (\mathbb {Z} /p_{r}^{e_{r}}\mathbb {Z} )^{\times }}
が成立する。また、円分体 Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})} で分岐する有理素数は、 p 1 , ... , p r {\displaystyle \textstyle p_{1},\ldots ,\ p_{r}} に限る。
Q ( ζ m ) ∩ R = Q ( ζ m + 1 / ζ m ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{m})\cap \mathbb {R} =\mathbb {Q} (\zeta _{m}+1/\zeta _{m})} である。
ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した。さらに、 Q ( ζ 3 ) , Q ( ζ 4 ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{3}),\ \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{4})} 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。 高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。