シュワルツの補題
まず定理の前半を証明する。
g ( z ) = f ( z ) z {\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{z}}}
とおくと、g (z) は D - {0} で正則である。また
lim z → 0 g ( z ) = lim z → 0 f ( z ) − f ( 0 ) z = f ′ ( 0 ) {\displaystyle \lim _{z\to 0}g(z)=\lim _{z\to 0}{\frac {f(z)-f(0)}{z}}=f'(0)\ }
であり、 g (z) は 0 でも正則であるから、結局 g (z) は D 全体で正則である。
0 < r < 1 である実数 r を任意に選び、半径 r の円周 {z : |z | = r } を Cr 、その内側の領域 {z : |z | < r } を Dr とする。 最大絶対値の原理から Dr ∪ Cr 上では |g (z) | は最大値を Cr 上で取る。このとき D 上で |f (z) | < 1 という条件から、 Dr ∪ Cr 上で |g (z) | < 1 / r が成り立つ。
r を任意に 1 に近づけることを考えれば、 D 内の任意の点で |g (z) | は 1 を超えることができないことがわかる。