トモグラフィー
被写体を光線が透過した際に、透過光がどれだけ減衰するかを考えることで、上記のラドン変換が導出される。以下、その導出を行う。
ラドン変換を考える際、光線は幾何光学的な光を考える。即ち、光線は、極めて直進性がよく、吸収はされるが、回折や散乱をしないと考え、さらに反射もしないと考えてよいとする。例えばX線を、人体に透過させる場合には、このように考えて差しさわりない。幾何光学において、光線は直線で表される。光線の軌跡が、x-y断面上の直線 l {\displaystyle l} で表される場合について考える。
吸光が、ランベルト・ベールの法則に従うとすると、 前記光線の入射強度を I 0 {\displaystyle {I}_{0}} 、透過後の強度を I {\displaystyle I} 表記したとき、
I = I 0 exp  ( − ∫ μ ( x , y ) d l ) = I 0 exp  ( − ∫ − ∞ ∞ μ ( l ( t ) ) | l ̇ ( t ) | d t ) {\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,dl}\right)=I_{0}\exp \left({-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (l(t))\,|{\dot {l}}(t)|dt}\right)}
が成り立つ。従って、光線lに沿った吸光度を p l {\displaystyle p_{l}} と表すと、
ここで、" ⋅ {\displaystyle \cdot } "は、関数と関数の積(単なる掛け算)を意味する。
先の μ ^ ( u , v ) {\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v)} と、 μ ( x , y ) {\displaystyle \mu (x,y)} に対し、以下の等式が成立する。これを、フーリエ逆変換と呼ぶ。
μ ( x , y ) = 1 4 π 2 ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ μ ^ ( u , v ) ⋅ e x p ( i ( x u + y v ) ) d u d v {\displaystyle {\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat {\mu }}(u,v)\cdot exp(i(xu+yv))dudv}
即ち、関数をフーリエ変換した後、フーリエ逆変換すれば、元の関数に戻る。 ここで、" ⋅ {\displaystyle \cdot } "は、関数と関数の積(単なる掛け算)を意味する。
以下、上記ステップにて、μ(x,y)が復元されることを示す。
証明第一段階
(1) p ~ ( r , θ ) = μ ^ ( r cos  θ , − r sin  θ ) {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )={\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )} の証明
p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} を、変数sについてフーリエ変換(一変数関数としてフーリエ変換)したものを、 p ~ ( r , θ ) {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )} とする。即ち、
p ~ ( r , θ ) = ∫ s = − ∞ s = ∞ p ( s , θ ) exp  ( i s r ) d s {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )={\int }_{s=-\infty }^{s=\infty }p(s,\theta )\exp(isr)ds}
とする。これは、上記ステップ(1)の変換に他ならない。 当たり前のことだが、この p ~ ( r , θ ) {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )} は、 p ^ ( u , v ) {\displaystyle {\hat {p}}(u,v)} とは別物である。そもそも定義が異なる。
今、 p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} の定義式、即ち、
CT画像再構成法は解析的再構成法、代数的再構成法、統計的再構成法に大別され、逆投影法は解析的再構成法に分類され、逐次近似画像再構成法は代数的再構成法と統計的再構成法に分類される。 これまでCT画像再構成法の主流はフィルタ補正逆投影法(filtered back projection:FBP法)であったが、近年では画像ノイズ低減効果やアーチファクト低減効果が期待される逐次近似画像再構成法(iterative reconstruction:IR法)が増えつつある。
↑ 図面の豊富なその他の特許として、例えば、次のようなものがある。 アメリカ合衆国特許第 6,879,657号、 アメリカ合衆国特許第 6,574,296号、 アメリカ合衆国特許第 6,775,346号、 アメリカ合衆国特許第 7,215,734号
↑ A. M. Cormackの2論文は、AIPの重要論文とされている。
↑ 図のような医療用CT撮影機器は、医療機器に該当するため薬事法の規制をうける。従って、それぞれの製品毎に必ず添付文書が必ず存在する(薬事法上の一般名称は、全身用X線CT診断装置)。添付文書は医薬品医療機器総合機構のデータベース から検索できる。本記事では、東芝メディカルシステムズ Asteion TSX-021Bの添付文書 と、日立メディコ製の全身用X線CT診断装置 SCENARIA の添付文書 を参考にした。