ルジャンドル変換
d H = p d q ̇ + q ̇ d p − ∂ L ∂ q d q − ∂ L ∂ q ̇ d q ̇ − ∂ L ∂ t d t = p d q ̇ + q ̇ d p − p ̇ d q − p d q ̇ − ∂ L ∂ t d t = q ̇ d p − p ̇ d q − ∂ L ∂ t d t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} H&=p\mathrm {d} {\dot {q}}+{\dot {q}}\mathrm {d} p-{\frac {\partial L}{\partial q}}\mathrm {d} q-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\mathrm {d} {\dot {q}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t\\&=p\mathrm {d} {\dot {q}}+{\dot {q}}\mathrm {d} p-{\dot {p}}\mathrm {d} q-p\mathrm {d} {\dot {q}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t\\&={\dot {q}}\mathrm {d} p-{\dot {p}}\mathrm {d} q-{\frac {\partial L}{\partial t}}\mathrm {d} t\end{aligned}}}
となるので、ハミルトニアンの偏微分は以下の関係を満たす。この内、正準変数 p, q の偏微分に関する式をまとめて正準方程式 (canonical equations) と呼ぶ。