ホモロジー (数学)
上の 2 つの群 Zn(X) と Bn(X) は巨大な群であることが多く計算は難しい一方で、その商であるホモロジー群 Hn(X) を計算するには、さまざまな道具がある。
単体複体 X の 単体的ホモロジー群 Hn(X) は、各 n に対して C(X)n を X の n 単体全体で生成される自由アーベル群として得られる単体的チェイン複体 C(X) によって定義される。特異ホモロジー群は任意の位相空間 X に対して定義され、単体複体については単体的ホモロジー群と一致する。
チェイン複体が完全系列であるとは、(n + 1) 番目の写像の像が、常に n 番目の写像の核に一致することである。X のホモロジー群はしたがって、それから決まるチェイン複体が「どれだけ完全でないか」を測る量である。
コホモロジー群の定義も形式的には同様である。まず、コチェイン複体から始める。これはチェイン複体とほとんど同じものであるが、群のあいだをつなぐ矢印は n の減少方向ではなく n の増加方向を向いている。矢印を d で表すことにすると、群 ker(d) = Z(X) および群 im(d) = B(X) は同じように定義され、さらに同様にコホモロジー群
H(X) = Z(X) / B(X)
を得る。