正規直交系
R 上で一次独立な
e − t 2 / 2 , t e − t 2 / 2 , t 2 e − t 2 / 2 , ... {\displaystyle e^{-t^{2}/2},te^{-t^{2}/2},t^{2}e^{-t^{2}/2},\dots }
を L(R) で正規直交化することで、
h n ( t ) = 1 n ! 2 π ( − 1 ) n d n d t n e − t 2 / 2 ( n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle h_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}e^{-t^{2}/2}\quad (n=0,1,2,\dots )}
からなる正規直交系 {hn(t)} を得る。これはエルミート多項式 Hn(t) に (2π)(n!)e を乗じた関数系である;
h n ( t ) = 1 n ! 2 π e − t 2 / 2 H n ( t ) {\displaystyle h_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}e^{-t^{2}/2}H_{n}(t)}