隆起函数
隆起函数は「特殊化」するように構成することが出来る。より具体的に言うと、K を任意の n 次元コンパクト集合とし、U をある開集合で K を含むものとすると、K 上で 1 となり U の外側で 0 となるような隆起函数 φ が存在する。U は K の非常に小さい近傍として取ることが出来るため、K 上では 1 であり K の外側では急速に 0 となるが依然として滑らかな函数を構成することが出来る。
そのような構成法は以下のような手順で表される。U に含まれる K のあるコンパクトな近傍 V を考える。すなわち K ⊂ V ⊂ V ⊂ U が成立する。このとき V の特性函数 χ V {\displaystyle \chi _{V}} は、V 上で 1 となり V の外側で 0 となるものである。特に K 上で 1 となり U の外側で 0 となることに注意されたい。しかしこの函数は滑らかではない。鍵となるアイデアは、 χ V {\displaystyle \chi _{V}} とある軟化子との畳み込みを取ることによって、わずかに χ V {\displaystyle \chi _{V}} を滑らかなものに変える、というものである。そのようにして得られた函数は、非常に小さな台を持ち、積分が 1 であるような隆起函数となる。その軟化子は、例えば前節の隆起函数 Φ {\displaystyle \Phi } に対して適切なスケーリングを行うことによって得られる。
この函数は、単位円板にスケールされたガウス函数 exp  ( − y 2 ) {\displaystyle \exp(-y^{2})} と解釈することが出来る。すなわち、 y 2 = 1 / ( 1 − x 2 ) {\displaystyle y^{2}=1/(1-x^{2})} を代入することで、x = ±1 を y = ∞ と解釈することが出来る。
n 変数の隆起函数の簡単な例は、上述の一変数の隆起函数の n 個の積として得られる:
Φ ( x 1 , x 2 , ... , x n ) = Ψ ( x 1 ) Ψ ( x 2 ) ⋯ Ψ ( x n ) . {\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).}