辺心距離
辺心距離 a から、一辺の長さ s の任意の正 n-角形の面積 A が、公式
に従って計算できる。周長 p が p = ns で求められることに注意すれば、この面積は辺心距離と半周長との積 a⋅p/2 に等しいとも述べられる。この公式は、正 n 角形を n 個の互いに合同な二等辺三角形に分割すれば求められる(このとき、各二等辺三角形の高さは辺心距離にほかならないことに注意する)。 正多角形の辺心距離は、その正多角形に内接する円の半径(内半径)に常に等しい。これはまた、正多角形の中心から任意の辺までの間の最短距離である。この性質を使って円の面積公式を容易に導出することもできる—辺の数を無限大に飛ばすとき、正多角形の面積は半径 r = a の内接円の面積に近づくから、円の面積 A は
となる。
正多角形の辺心距離の計算方法はいくつも知られている。
一辺の長さ s の正 n-角形の辺心距離 a および外半径 R は公式
で求められる。あるいは
でも辺心距離は求まる。
正多角形の一辺の長さ s は辺の数 n と周長 p によって s = p⁄n と表されるから、上記の公式を p と n を使った式に直すこともできる。