ヒース–ジャロー–モートン・フレームワーク
よって μ ( t , s ) ∗ = 1 2 Σ ( t , s ) ∗ Σ ( t , s ) ∗ T {\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{*T}} が成り立たなければならない。これを s {\displaystyle \textstyle s} について微分することで次が得られる。
μ ( t , u ) = Σ ( t , u ) ∫ t u Σ ( t , s ) T d s {\displaystyle \mu (t,u)={\boldsymbol {\Sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{T}ds}
この式から最終的に f {\displaystyle \textstyle f} の変動は以下のようにならなくてはならないことが分かる。
d f ( t , u ) = ( Σ ( t , u ) ∫ t u Σ ( t , s ) T d s ) d t + Σ ( t , u ) d W t {\displaystyle df(t,u)=\left({\boldsymbol {\Sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\Sigma }}(t,s)^{T}ds\right)dt+{\boldsymbol {\Sigma }}(t,u)dW_{t}}
これにより、 Σ {\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\Sigma }}} の選択に基いた債券や利子率のデリバティブの価格付けが可能になる。