巡回群
環 Z/nZ の単元群は n と互いに素な数の全体からなり、n を法とする乗法のもとで上述の如く位数 φ(n) の乗法群 (Z/nZ) を成す。例えば、n = 6 として (Z/6Z) = {1, 5} を、n = 8 として (Z/8Z) = {1, 3, 5, 7} を得る。
巡回群 Z/nZ の乗法群 (Z/nZ) がふたたび巡回群となるための必要十分条件は、n が 1, 2, 4 または奇素数 p に対する p, 2p (k ≥ 1) の何れかである。いずれの場合も (Z/nZ) の生成元を総称して法 n に関する原始根 (primitive root modulo n) という。したがって (Z/nZ) は n = 6 のときには巡回群となるが n = 8 のときには巡回群とはならない(n = 8 のときの (Z/8Z) はクラインの四元群に同型となる)。特に、n = p が素数ならば (Z/pZ) は巡回群で p − 1 個の元からなる。これは Z/pZ の 0 でない元の全体とも一致するので、その意味で (Z/pZ) とも書かれる。もっと一般に、任意の斜体の乗法群の有限部分群は必ず巡回群となる(ウェダーバーンの小定理)。特に、任意の有限体の乗法群(および乗法群の部分群)は必ず巡回群となる。巡回群はアーベル群なので任意の有限斜体は(積に関して)可換となる。