リーマン球面
ξ = x − i y 1 + z = ( tan  φ 2 ) e − i θ {\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}}=\left(\tan {\frac {\phi }{2}}\right)e^{-i\theta }}
と書ける。 (二つの複素平面は、平面 z = 0 と異なる方法で同一視される。 球面上の向きを整合的に保つため、双方の向きを反対にすることが必要であり、特に、複素共軛は推移写像を正則にする。) ζ-座標と ξ-座標の推移写像は、一方の射影と他方の逆数を組み合わせて得られる。 これは、上記のとおり ζ = 1/ξ および ξ = 1/ζ である。 この様にして、単位球面はリーマン球面に可微分同相である。
この可微分同相により、ζ-局所座標系の単位円、ξ-局所座標系の単位円、単位球面の赤道は、すべて同一視される。 単位円盤 | ζ | < 1 は南半球 z < 0 と同一視され、単位円盤 | ξ | < 1 は北半球 z > 0 と同一視される。
リーマン球面は、3 次元実空間 R 内の単位球面 S = { (x, y, z) ∈ R | x + y + z = 1} として視覚化できる。 そのため、点 (0, 0, 1) を除いた単位球面から平面 z = 0 への立体射影を考え、ζ = x + iy により複素平面と同一視する。 直交座標 (x, y, z) と球座標 (φ, θ) (φ は天頂角、θ は方位角) により、立体射影は、以下のとおり書ける。
ζ = x + i y 1 − z = ( cot  φ 2 ) e i θ {\displaystyle \zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}=\left(\cot {\frac {\phi }{2}}\right)e^{i\theta }}
同様に、点 (0, 0, −1) から平面 z = 0 への立体射影は、ξ = x − iy によりもう 1 つの複素平面の複写と同一視し、