コンパクト作用素のスペクトル理論
しかし
( C − λ n ) y n + λ n y n − ( C − λ m ) y m ∈ Y m − 1 {\displaystyle (C-\lambda _{n})y_{n}+\lambda _{n}y_{n}-(C-\lambda _{m})y_{m}\in Y_{m-1}}
であるため ||Cyn − Cym|| > ε/2 となるが、これは矛盾である。
したがって、ゼロを中心とする任意の球の外側では有限個の固有値しか存在しないことが分かる。このことにより、固有値の極限点としてあり得るものはゼロのみであり、高々可算個の固有値のみが存在することが従う(iv を参照)。
iv) これは iii) より直ちに従う。固有値 {λ} の集合は次の合併である。
⋃ n { | λ | > 1 n } = ⋃ n S n . {\displaystyle \bigcup _{n}\left\{|\lambda |>{\tfrac {1}{n}}\right\}=\bigcup _{n}S_{n}.}
σ(C) は有界集合であり、固有値は 0 でのみ集積しうるので、各 Sn は有限である。これより求める結果が従う。
v) 行列の場合と同様に、これは正則汎函数計算(英語版)の直接的な応用である。