ユニモジュラ行列
1. 以下の行列は全ユニモジュラ行列である:
A = [ − 1 − 1 0 0 0 + 1 + 1 0 − 1 − 1 0 0 0 + 1 + 1 0 − 1 0 0 0 0 + 1 + 1 − 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}-1&-1&0&0&0&+1\\+1&0&-1&-1&0&0\\0&+1&+1&0&-1&0\\0&0&0&+1&+1&-1\\\end{bmatrix}}}
この行列は、以下のネットワークに関する最大フロー問題の線型計画法における制約条件に対する係数行列として得られるものである:
2. 次の形状を持つ任意の行列は、全ユニモジュラ行列ではない:
A = [ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ + 1 ⋯ + 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ + 1 ⋯ − 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\dotsb &+1&\dotsb &+1&\dotsb \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\dotsb &+1&\dotsb &-1&\dotsb \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{bmatrix}}}
なぜならば、このような行列には行列式が -2 であるような正方部分行列が存在するからである。
後に、これらの条件は、ある均衡符号付グラフ(英語版)の接続行列を定義することが知られた。したがってこの例は、符号付グラフの接続行列が全ユニモジュラ行列であるための十分条件は、その符号付グラフが均衡グラフであること、ということについて述べたものである。その逆は、半辺(half edge)を含まない符号付グラフに対しては成立する(これはグラフの無向接続行列の性質を一般化したものである)。
2. 最大フローと最小費用フロー問題(英語版)の制約条件は、これらの性質を備える係数行列(および空集合である C)を導く。したがってそのような、有界の整数容量を備えるネットワークフロー問題には、整数の最適値が存在する。ここで、この事実は、有界の整数容量に対しても分数の最適値を持つことがあり得る多品種フロー問題(英語版)には適用されないことに注意されたい。
3. 連続的な 1 の性質:もし A が、各行において 1 が連続的に現れるような 0-1 行列である(あるいは、そのような行列に置換される)なら、A は全ユニモジュラ行列である(全ユニモジュラ行列の転置はふたたび全ユニモジュラ行列であるため、列に対しても同様のことが成立する)。
4. すべてのネットワーク行列は全ユニモジュラ行列である。ネットワーク行列の行は、各弧が任意の方向に向かっているようなある木 T=(V,R) に対応する(この木が r に根を持つあるいは r から伸びるような、根頂点 r は必ずしも存在しない)。列は、同じ頂点集合 V 上の別の弧の集合 C に対応する。
ユニモジュラ行列は行列の積の下で一般線型群の部分群を成す。すなわち、次に挙げる行列はすべてユニモジュラ行列である:
単位行列
ユニモジュラ行列の逆
二つのユニモジュラ行列の積
さらに、次も成立する:
二つのユニモジュラ行列のクロネッカー積もまたユニモジュラ行列である。このことは、次の等式により従う:
det ( A ⊗ B ) = ( det A ) q ( det B ) p , {\displaystyle \det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},}
ここで p と q はそれぞれ行列 A と B の次元を表す。
ユニモジュラ行列の具体例としては、次が挙げられる:
シンプレクティック行列
パスカル行列(英語版)
置換行列
原始ピタゴラス三つ組の木(英語版)における三つの変換行列