疫学における区画モデル
R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → + ∞ ( S ( t ) , E ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = D F E = ( N , 0 , 0 , 0 ) , {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=DFE=(N,0,0,0),}
R 0 > 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → + ∞ ( S ( t ) , E ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = E E {\displaystyle R_{0}>1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }\left(S(t),E(t),I(t),R(t)\right)=EE}
を満たす。
接触率 β ( t ) {\displaystyle \beta (t)} が周期的に変化する場合、DFEの大域的誘引性の条件は、周期的な係数を持つ以下の線形系
d E 1 d t = β ( t ) I 1 − ( γ + a ) E 1 d I 1 d t = a E 1 − ( γ + μ ) I 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dE_{1}}{dt}}&=\beta (t)I_{1}-(\gamma +a)E_{1}\\[8pt]{\frac {dI_{1}}{dt}}&=aE_{1}-(\gamma +\mu )I_{1}\end{aligned}}}
が安定なことである(すなわち、複素平面における単位円内にフロケの固有値を持つ)。
伝染病が発生している状況において、主要な課題の1つは、予防策を講じ、可能であれば、集団予防接種体制の確立によって、伝染病を根絶することである。新生児に接種率 P ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle P\in (0,1)} で(生涯免疫を与えるワクチンを)予防接種した場合を考えてみる。
d S d t = ν N ( 1 − P ) − μ S − β I N S d I d t = β I N S − ( μ + γ ) I d V d t = ν N P − μ V {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\nu N(1-P)-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta {\frac {I}{N}}S-(\mu +\gamma )I\\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=\nu NP-\mu V\end{aligned}}}
上式において、 V {\displaystyle V} は予防接種を受けた個人のクラスである。
lim t → + ∞ V ( t ) = N P {\displaystyle \lim _{t\to +\infty }V(t)=NP}
であることはすぐに分かる、したがって S {\displaystyle S} と I {\displaystyle I} ,の長期的な振る舞いを扱うことにする。これらは
年齢は集団における疾病伝播率、特に接触率に深く影響する。この接触率は、感受性保持者と感染者の接触の有効性を要約する。
S ( t ) = ∫ 0 a M s ( t , a ) d a {\displaystyle S(t)=\int _{0}^{a_{M}}s(t,a)\,da}
I ( t ) = ∫ 0 a M i ( t , a ) d a {\displaystyle I(t)=\int _{0}^{a_{M}}i(t,a)\,da}
R ( t ) = ∫ 0 a M r ( t , a ) d a {\displaystyle R(t)=\int _{0}^{a_{M}}r(t,a)\,da}
( a M ≤ + ∞ {\displaystyle a_{M}\leq +\infty } は最大許容年齢)のように伝染病クラス s ( t , a ) , i ( t , a ) , r ( t , a ) {\displaystyle s(t,a),i(t,a),r(t,a)} の年齢を考慮に入れる(感受性-感染性-隔離スキームに限定するため)。それらの動態は「単純な」偏微分方程式によって記述されず、以下の積分微分方程式で記述される。
∂ t s ( t , a ) + ∂ a s ( t , a ) = − μ ( a ) s ( a , t ) − s ( a , t ) ∫ 0 a M k ( a , a 1 ; t ) i ( a 1 , t ) d a 1 {\displaystyle \partial _{t}s(t,a)+\partial _{a}s(t,a)=-\mu (a)s(a,t)-s(a,t)\int _{0}^{a_{M}}k(a,a_{1};t)i(a_{1},t)\,da_{1}}
すなわち、周期的に変化するパラメータを持つ微分方程式の非線形集合である。このクラスの力学系は非線形パラメトリック共鳴という非常に興味深く複雑な現象を経ることが知られている。
もし
1 T ∫ 0 T β ( t ) μ + γ d t < 1 ⇒ lim t → + ∞ ( S ( t ) , I ( t ) ) = D F E = ( N , 0 ) , {\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {\beta (t)}{\mu +\gamma }}\,dt<1\Rightarrow \lim _{t\to +\infty }(S(t),I(t))=DFE=(N,0),}
ならば容易に理解できるが、この積分が1よりも大きい場合、病気は消えず、こういった共鳴が存在するかもしれない。例えば、周期的に変化する接触率をシステムの「入力」として考えると、出力は周期が入力の周期の倍数である周期関数であることがわかる。これにより、いくつかの感染症の多年に1回の(通常は2年に1回の)流行の発生を、接触率の振動の周期と、エンデミックな平衡解近傍の減衰振動の疑似周期との間の相互作用として説明することができるようになった。驚くべきことに、いくつかの場合では、その挙動は準周期的なものであったり、カオス的なものであったりすることもある。