マリアヴァン解析
実数全体の上での通常のルベーグ積分の不変性原理は、すなわち任意の実数εと可積分関数fに関して、次が成り立つことを意味する。
∫ − ∞ ∞ f ( x ) d λ ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x + ε ) d λ ( x ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\lambda (x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x+\varepsilon )\,d\lambda (x)} したがって、 ∫ − ∞ ∞ f ′ ( x ) d λ ( x ) = 0. {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f'(x)\,d\lambda (x)=0.}
ここから、f=ghとすると、次が成り立つため、部分積分の公式が示される。
0 = ∫ − ∞ ∞ f ′ d λ = ∫ − ∞ ∞ ( g h ) ′ d λ = ∫ − ∞ ∞ g h ′ d λ + ∫ − ∞ ∞ g ′ h d λ . {\displaystyle 0=\int _{-\infty }^{\infty }f'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }(gh)'\,d\lambda =\int _{-\infty }^{\infty }gh'\,d\lambda +\int _{-\infty }^{\infty }g'h\,d\lambda .}
同様の考えは、Cameron-Martin-Girsanovの方向に沿った確率解析において応用することができる。実際に、 h s {\displaystyle h_{s}} を二乗可積分である予測可能な過程であるとし、以下を仮定する。