解析的階層
算術的階層での場合と同様に、解析的階層でも相対化バージョンを定義することができる。言語が集合の定数記号 A を追加して拡張されているとする。この拡張された言語で Σ n 1 , A {\displaystyle \Sigma _{n}^{1,A}} や Π n 1 , A {\displaystyle \Pi _{n}^{1,A}} であることが上記の定義と同様に帰納的に定義できる。与えられた集合 Y {\displaystyle Y} について、ある集合が Σ n 1 , Y {\displaystyle \Sigma _{n}^{1,Y}} であるとは、それがある Σ n 1 , A {\displaystyle \Sigma _{n}^{1,A}} 式内の A {\displaystyle A} を Y {\displaystyle Y} で解釈したもので定義できることをいう; Π n 1 , Y {\displaystyle \Pi _{n}^{1,Y}} と Δ n 1 , Y {\displaystyle \Delta _{n}^{1,Y}} についても同様である。あるパラメータ Y {\displaystyle Y} によって Σ n 1 , Y {\displaystyle \Sigma _{n}^{1,Y}} や Π n 1 , Y {\displaystyle \Pi _{n}^{1,Y}} となるような集合は射影階層に分類される。射影階層はパラメータを用いていることを表すために太字のギリシャ文字でしばしば書かれる。
連続関数 f : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {[} 0,1]} で平均値の定理の性質を持つようなもの全体の集合は Δ 2 1 {\displaystyle \Delta _{2}^{1}} 未満の階層には入らない。
ω {\displaystyle \omega } の整列関係の特徴関数をカントール空間の元で表したもの全体による集合は Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}} 集合であって Σ 1 1 {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}} でない。事実、この集合はベール空間のどんな元 Y {\displaystyle Y} を持ってきてもそれを用いた Σ 1 1 , Y {\displaystyle \Sigma _{1}^{1,Y}} 集合としては表現できない。
構成可能性公理が成立するとき、ベール空間とそれ自身の直積の部分集合であって Δ 2 1 {\displaystyle \Delta _{2}^{1}} 集合であって、それがベール空間の整列順序のグラフになっているものが存在する。また、同様にカントール空間でも Δ 2 1 {\displaystyle \Delta _{2}^{1}} な整列順序が存在する。