パンシェルル微分
D n {\displaystyle S_{h}=\sum _{n=0}{{h^{n}} \over {n!}}D^{n}}
を考えることにより、そのパンシェルル微分
S h ′ = ∑ n = 1 h n ( n − 1 ) ! D n − 1 = h ⋅ S h {\displaystyle S_{h}'=\sum _{n=1}{{h^{n}} \over {(n-1)!}}D^{n-1}=h\cdot S_{h}}
を得る。すなわち、シフト作用素はパンシェルル微分の固有ベクトルであり、対応するスペクトルはスカラーの空間全体 K である。
T がシフト同変、すなわち T が Sh と可換([T, Sh] = 0)ならば [T′, Sh] = 0 となり、T' もまた同じシフト h に対してシフト同変であることが分かる。
離散時間デルタ作用素 δf(x) = f(x+h)−f(x)⁄h は、作用素として
δ = 1 h ( S h − 1 ) {\displaystyle \delta ={1 \over h}(S_{h}-1)}
と書ける(積の順番に注意)から、そのパンシェルル微分 δ′ = Sh はシフト作用素である。