ディリクレ級数
注意1: 収束軸は、負の実数にもなり得る。 例えば
∑ n = 1 ∞ n − 2 n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-2}}{n^{s}}}}
の収束軸は -1 である。
注意2: 収束軸上の点の収束・発散は、ディリクレ級数によって異なる。
リーマンゼータ関数 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} の収束軸は 1 であるが、 s = 1 {\displaystyle s=1} では発散する。
ディリクレ級数
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) [ log 2  n ] / log  n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{[\log ^{2}n]}/\log n}{n^{s}}}}
の収束軸は 1 であり、Re(s) = 1 {\displaystyle =1} を満たす複素数 s に対して収束する。
収束軸の値の求め方
ディリクレ級数
∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
↑ このとき、絶対収束軸は有限の値である。ディリクレ級数の絶対収束性を参照のこと。
↑ 積の定義が不自然と思うかもしれないが、無限級数 f ( s ) , g ( s ) {\displaystyle \scriptstyle f(s),\ g(s)} の各項どうしを掛け、 n − s {\displaystyle n^{-s}} の項でまとめたのが、 c n {\displaystyle c_{n}} であるので、積の定義は自然なものである。
∑ n = 1 ∞ φ ( n ) n s = ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}
(4) 約数関数 d ( n ) {\displaystyle d(n)}
∑ n = 1 ∞ d ( n ) n s = ζ ( s ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)^{2}}
(5) k乗約数和関数 σ k ( n ) {\displaystyle \sigma _{k}(n)} ( k ≥ 1 ) {\displaystyle \scriptstyle (k\geq 1)}
∑ n = 1 ∞ σ k ( n ) n s = ζ ( s ) ζ ( s − k ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{k}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-k)}