ヤコビ行列
球座標は、直交座標への座標変換 (x, y, z) = f (r, θ, φ) = (r sinθcosφ, r sinθsinφ, r cosθ) を与えるから、ヤコビアンは
| J f | = | sin  θ cos  φ r cos  θ cos  φ − r sin  θ sin  φ sin  θ sin  φ r cos  θ sin  φ r sin  θ cos  φ cos  θ − r sin  θ 0 | = r 2 sin  θ {\displaystyle |J_{f}|={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \phi &r\cos \theta \cos \phi &-r\sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &r\cos \theta \sin \phi &r\sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=r^{2}\sin \theta }
となる。従って、特異点は r = 0 または sin θ = 0 となる点、即ち (0, θ, φ) と (r, 0, φ), (r, π, φ) である。これは直交座標での (0, 0, 0), (0, 0, r), (0, 0, −r) すなわち z–軸を表す。