オイラー積
ゼータ関数については上記のように
∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 ( 1 − 1 2 s ) ( 1 − 1 3 s ) ( 1 − 1 5 s ) ( 1 − 1 7 s ) ⋯ = ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{{(1-{\frac {1}{2^{s}}})}{(1-{\frac {1}{3^{s}}})}{(1-{\frac {1}{5^{s}}})}{(1-{\frac {1}{7^{s}}})}\cdots }}=\zeta (s)}
である。いっぽうリウヴィル関数 λ(n) については
∑ n = 1 ∞ λ ( n ) n s = 1 ( 1 + 1 2 s ) ( 1 + 1 3 s ) ( 1 + 1 5 s ) ( 1 + 1 7 s ) ⋯ = ζ ( 2 s ) ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{{(1+{\frac {1}{2^{s}}})}{(1+{\frac {1}{3^{s}}})}{(1+{\frac {1}{5^{s}}})}{(1+{\frac {1}{7^{s}}})}\cdots }}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}}
メビウス関数 μ(n) では
リーマンゼータ関数のオイラー積は1737年にオイラーによって発見された。まずゼータ関数 ζ(s) は s の実部が1より大きいとき、次のように定義される。
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }
ここで両辺に最小の素数2の-s乗 1/2 をかけると
1 2 s ζ ( s ) = 1 2 s + 1 4 s + 1 6 s + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots }
となり、辺々引くと
( 1 − 1 2 s ) ζ ( s ) = 1 1 s + 1 3 s + 1 5 s + ⋯ {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\cdots }
この両辺に今度は2の次の素数3の-s乗 1/3 をかけると