リーマンゼータ関数の特殊値
ζ ( 3 ) = − 1 2 ∫ 0 1 ∫ 0 1 log  x y 1 − x y d x d y {\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {\log xy}{1-xy}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y}
ζ ( 3 ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 d x d y d z 1 − x y z {\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}z}{1-xyz}}}
ζ ( 3 ) = Re  ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 d x d y d z f ( f ( f ( x ) y ) z ) w h e r e f ( x ) = 1 + 3 i 2 x {\displaystyle \zeta (3)=\operatorname {Re} \int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}\!{\frac {{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\,{\rm {d}}z}{f(f(f(x)\,y)\,z)}}\quad {\rm {where}}\,f(x)={\frac {1+{\sqrt {3}}i}{2}}\,x}
正の奇数 n に対して、
S ± ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s ( e 2 n π ± 1 ) {\displaystyle S_{\pm }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}\,(e^{2n\pi }\pm 1)}}}
なる級数を定めるとき、ζ (3) や ζ (5) で見られたような一連の級数は次の形で定式化される。
A n ζ ( n ) − B n π n + C n S − ( n ) + D n S + ( n ) = 0 {\displaystyle A_{n}\,\zeta (n)-B_{n}\,\pi ^{n}+C_{n}\,S_{-}(n)+D_{n}\,S_{+}(n)=0}
ただし、ここで An 、Bn 、Cn および Dn は、任意の正の奇数 n に対して常に自然数をとるものとする。ここでの Bn はベルヌーイ数とは異なる。すると、このとき An 、Bn 、Cn および Dn の n = 3 から n = 19 までの挙動は以下の表に示す通りである。
これらの整数はベルヌーイ数の和として表現することができる。任意の整数引数に対するゼータ関数の高速計算アルゴリズムは、アナトリー・カラツバ(英語版)によって与えられている。