スミス–ヴォルテラ–カントール集合
一般に、アルゴリズムの n {\displaystyle n} ステップで各部分区間から r n {\displaystyle r_{n}} を除去していくと、最終的にはカントール集合のような形になる。結果として得られる集合が正の測度を持つのは除かれる区間の測度の和が最初の区間の測度に満たないときであるとき、かつそのときに限る。例えば、 0 ≤ a ≤ 1 3 {\displaystyle 0\leq a\leq {\dfrac {1}{3}}} として、 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} から各 n {\displaystyle n} のステップで各区間から r n = a n {\displaystyle r_{n}=a^{n}} の長さの中間区間を除いていくものとする。 このとき、最終的にできる集合のルベーグ測度は
となる。これは a {\displaystyle a} を 1 / 3 {\displaystyle 1/3} から 0 {\displaystyle 0} に動かすに従って、 0 {\displaystyle 0} から 1 {\displaystyle 1} へと変化する。( a > 1 / 3 {\displaystyle a>1/3} はこの構成では不可能である。)
スミス–ヴォルテラ–カントール集合のデカルト積は高次元における完全不連結な集合で測度が 0 でないものを見つけるのに使える。ダンジョア–リースの定理を二次元のこのタイプの集合に適用すると、オズグッド曲線という、曲線上の点集合が正測度の面積をもつジョルダン曲線が得られる。