リース＝フィッシャーの定理
数学の実解析の分野におけるリース=フィッシャーの定理(リース=フィッシャーのていり、英: Riesz–Fischer theorem)は、自乗可積分函数からなる L 空間の性質に関する、いくつかの密接に関連する結果である。1907年にリース・フリジェシュとエルンスト・シグムンド・フィッシャー(英語版)によってそれぞれ独自に証明された。
多くの研究者にとって、リース=フィッシャーの定理とは、ルベーグ積分の理論による L 空間が完備であるという事実を指す。
逆に、 { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\,} が複素数の両側列(すなわち、添え字が負の無限大から正の無限大までとなっている列)で
∑ n = − ∞ ∞ | a n | 2 < ∞ , {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|a_{n}\right\vert ^{2}<\infty ,}
を満たすなら、フーリエ係数が a n {\displaystyle a_{n}} であるようなある自乗可積分函数 f が存在する。
リース=フィッシャーの定理はベッセルの不等式のより強い形で、フーリエ級数に関するパーセヴァルの等式を証明するために用いられる。
その他にもしばしばリース=フィッシャーの定理と呼ばれる結果が存在する(Dunford & Schwartz 1958, §IV.16)。その内の一つとして、A がヒルベルト空間 H の正規直交集合で x ∈ H なら、
⟨ x , y ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x,y\rangle =0}
がすべての可算個の y ∈ A に対して成立し、
∑ y ∈ A | ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 {\displaystyle \sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}}