調和微分形式
( d f ) ∗ = ( ∂ f ∂ x ) d y − ( ∂ f ∂ y ) d x {\displaystyle (df)^{*}={\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial x}}{\biggr )}dy-{\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial y}}{\biggr )}dx}
となる。ここで注意することは d ( d f ) ∗ {\displaystyle d(df)^{*}} はいつもゼロとは限らないことで、実際、
d ( d f ) ∗ = Δ f d x d y {\displaystyle d(df)^{*}=\Delta f\ dx\ dy}
であり、ここに
Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}
が示される。