ベータ関数
R ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} , R ( y ) > 0 {\displaystyle \Re (y)>0} を満たす複素数 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} に対して, ベータ関数は次式で定義される:
B ( x , y ) := ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t . {\displaystyle \mathrm {B} (x,\,y):=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,{\rm {d}}t.}
}{(l+m+1)!}}={\frac {1}{(l+m+1){\dbinom {l+m}{m}}}}.}
B ( l + 1 2 , m + 1 ) = 2 2 m + 1 ( 2 l ) ! m ! ( l + m ) ! l ! ( 2 l + 2 m + 1 ) ! = 2 ( 2 l − 1 ) ! ! ( 2 m ) ! ! ( 2 l + 2 m + 1 ) ! ! . {\displaystyle \mathrm {B} \left(l+{\frac {1}{2}},\,m+1\right)={\frac {2^{2m+1}\,(2l)!\,m!\,(l+m)!}{l!\,(2l+2m+1)!}}={\frac {2\,(2l-1)!!\,(2m)!!}{(2l+2m+1)!!}}.}
B ( l + 1 2 , m + 1 2 ) = π ( 2 l ) ! ( 2 m ) ! 2 2 l + 2 m l ! m ! ( l + m ) ! = π ( 2 l − 1 ) ! ! ( 2 m − 1 ) ! ! ( 2 l + 2 m ) ! ! . {\displaystyle \mathrm {B} \left(l+{\frac {1}{2}},\,m+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi \,(2l)!\,(2m)!}{2^{2l+2m}\,l!\,m!\,(l+m)!}}={\frac {\pi \,(2l-1)!!\,(2m-1)!!}{(2l+2m)!!}}.}