行列指数関数
行列の指数函数と行列の対数函数が既知であるならば、正規かつ正則な n次正方行列 X と n次複素正方行列 Y に対して、行列の行列乗 (matrix-matrix exponential)を
X Y = e log  ( X ) ⋅ Y , Y X = e Y ⋅ log  ( X ) {\displaystyle {\begin{aligned}X^{Y}&=e^{\log(X)\cdot Y},\\\!{}^{Y}\!\!X\,&=e^{Y\cdot \log(X)}\end{aligned}}}
と定義することができる。ここに、行列の乗法は非可換であるから、行列の行列乗も左冪 X と右冪 X の別が生じることに注意せよ。さらに言えば、
X が正規かつ正則ならば、X と X は固有値集合が一致する。
X が正規かつ正則で、Y が正規であり、かつ XY = YX が成り立つならば、X = X が成り立つ。
X が正規かつ正則で、X, Y, Z がどの2つも可換ならば、X = X⋅X, X = X⋅X が成り立つ。