代数関数
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x ≤ 3 4 3 {\displaystyle x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}}} に対して、平方根は実でありしたがって立方根は唯一の実根として問題なく定義される。一方、 x > 3 4 3 {\displaystyle x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}}} に対しては、平方根は実でなく、実でない平方根のいずれかを選ばなければならない。そして立方根は 3 つの非実数の中から選ばなければならない。公式の 2 つの項において同じ選択がされれば、3 乗根の 3 つの選択は添付の画像のように 3 つの分枝を与える。
結果の関数は書かれているグラフの領域上実数値であるにもかかわらず実数のみを用いて n 乗根のことばで表すことは決してできないことを示すことができる。
より重要な理論的なレベルでは、複素数を用いることで複素解析の強力なテクニックを用いて代数関数を議論することができる。とくに、偏角の原理を用いて、任意の代数関数は実は少なくとも多価関数の意味で解析関数であることを示すことができる。
フォーマルに、p(x, y) を複素変数 x と y の複素多項式とする。