位相空間
代数的な演算が定義された位相空間X は、その演算の作用がX 上連続になるとき、演算と位相は両立するという。
そのような例として代表的なものには位相群、位相環および位相体、位相線型空間などがある。
定義・定理 ― Xを集合とする。このとき以下は位相の公理を満たす。
空集合 ∅ {\displaystyle \emptyset } と全体集合Xのみを開集合とする位相を密着位相という。
Xの任意の部分集合を開集合とする位相をXの離散位相という。
Xの任意の有限部分集合と全体集合を閉集合とする位相をXの補有限位相という。
Xの任意の可算部分集合と全体集合を閉集合とする位相をXの補可算位相(英語版)という。
密着位相と離散位相はいわば「両極端」の人工的な位相構造に過ぎないが、これらの位相構造は、位相に関する命題の反例として用いられる事がある。またこれらの位相構造は、任意の集合上に位相構造を定義できる事を意味している。
離散位相はX上に離散距離
d ( x , y ) = { 0 x = y 1 otherwise {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
をいれたときに距離から定まる位相と一致する。
Xが1元集合、有限集合、可算集合の場合は明らかに密着位相、補有限位相、補可算位相はいずれも離散位相に一致する。 それ以外の場合、すなわちXが2元以上ある集合、無限集合、非可算集合の場合は、密着位相、補有限位相、補可算位相はX上のいかなる距離から定まる位相とも一致しない。
以下が成立する:
第二可算公理を満たす⇒ 第一可算公理を満たし、かつ可分
距離空間⇒ 第一可算公理を満たす
しかし距離空間は第二可算公理を満たすとは限らない。 距離空間においては第二可算公理を満たす事と可分な事は同値である。
有限次元のユークリッド空間(あるいはより一般に多様体)は第二可算公理を満たす。(距離化可能なので可分でもある)。
一方、ユークリッド空間の「無限次元版」であるヒルベルト空間は距離空間であるが第二可算公理を満たすとは限らない。
しかし通常は第二可算公理を満たすヒルベルト空間のみを考えることが多く、そのようなヒルベルト空間は全て同型で、しかもそのようなヒルベルト空間にはベクトル空間としての可算基底が存在する事が知られている。
位相ゲーム(英語版)とは、2人のプレイヤーにより位相空間上で行われるゲームで、プレイヤー達が自分の手番のとき、何らかの位相的な対象(開集合や閉集合など)を指定する事でゲームが進んでいく。
位相空間上の様々な性質、例えばベールの性質が位相ゲームのゲーム理論的な性質と関連する(バナッハ・マズール・ゲーム)。他にも完備性、収束性、分離公理といったものもゲーム理論的な性質と関連する。
上述の命題より、 O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} が位相の定義を満たす事が従う:
∅ , X ∈ O d {\displaystyle \emptyset ,X\in {\mathcal {O}}_{d}} は自明に従う。
上述の命題より開集合である必要十分条件は(有限または無限個の)ε-球の和集合として書けることだったので、開集合の(有限または無限個の)和集合も当然(有限または無限個の)ε-球の和集合でかけるため、開集合である。
O 1 = ⋃ x ∈ O 1 B ε x ( x ) {\displaystyle O_{1}=\bigcup _{x\in O_{1}}B_{\varepsilon _{x}}(x)} 、 O 2 = ⋃ x ∈ O 2 B δ x ( x ) {\displaystyle O_{2}=\bigcup _{x\in O_{2}}B_{\delta _{x}}(x)} を開集合とするとき、 O 1 ∩ O 2 = ⋃ x ∈ O 1 ∩ O 2 B min { ε x , δ x } ( x ) {\displaystyle O_{1}\cap O_{2}=\bigcup _{x\in O_{1}\cap O_{2}}B_{\min\{\varepsilon _{x},\delta _{x}\}}(x)} も開球の和集合でかけるので開集合である。
なお、位相空間の定義より開集合の(有限または無限個の)和集合は開集合であり、開集合の有限個の共通部分も開集合であるが、開集合の無限個の共通部分は開集合になるとは限らない。
二重極限の定理で「収束」を「 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束」に置き換えたものを満たす。
このときX上の位相構造 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} で ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} における有向点族の収束が C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束に一致するものが唯一存在する。 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} における閉包作用素は具体的には以下のように書ける:
A ̄ = { y ∈ X | ∃ ( x λ ) λ ∈ Λ ⊂ A : ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle {\bar {A}}={\Bigg \{}y\in X~{\Bigg |}~\exists (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\subset A~:~(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} はyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束する } {\displaystyle {\Bigg \}}}
スペクトル空間: 位相空間がスペクトル的となるための必要十分条件は、それが何らかの環の素スペクトルとなっていることである。
標準順序: 位相空間の特殊化前順序または標準前順序は、 x ≤ y ⇔ Cl  ( { x } ) ⊆ Cl  ( { y } ) {\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow \operatorname {Cl} (\{x\})\subseteq \operatorname {Cl} (\{y\})} で定義される。
最後に有向点族による極限概念によって位相が特徴づけられる事を見る:
定理 (極限による位相の特徴づけ) ― Xを集合とし、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} をX上の有向点族とXの点の組からなるクラスとする。
( ( x λ ) λ ∈ Λ , y ) ∈ C {\displaystyle ((x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda },y)\in {\mathcal {C}}} であるとき ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束するという事にするとき、以下が成立するとする:
xλが恒等的にyに等しければ、 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} はyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束する
関数 f : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) {\displaystyle f~:~(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} が定義域上の任意の点x∈Xで連続であるとき、fは定義域の全点で連続、あるいは単に連続であるという。fの連続性は以下のようにも特徴づける事ができる。
定理 (連続性の特徴づけ) ― f : ( X , O X ) → ( Y , O Y ) {\displaystyle f~:~(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} を位相空間から位相空間への関数とするとき、以下は同値である。
fは連続である。
開集合の逆像は開集合である。すなわち ∀ O ∈ O Y : f − 1 ( O ) ∈ O X {\displaystyle \forall O\in {\mathcal {O}}_{Y}~:~f^{-1}(O)\in {\mathcal {O}}_{X}} である。
閉集合の逆像は閉集合である。すなわち ∀ F ∈ F Y : f − 1 ( F ) ∈ F X {\displaystyle \forall F\in {\mathcal {F}}_{Y}~:~f^{-1}(F)\in {\mathcal {F}}_{X}} である。
任意のA⊂Xに対し f ( A ̄ ) ⊂ f ( A ) ̄ {\displaystyle f({\bar {A}})\subset {\overline {f(A)}}} 。
P = { 2 , 3 , 5 , 7 , ... } {\displaystyle P=\{2,3,5,7,\ldots \}} を素数の集合とする。各整数 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } に対し、
V ( n ) = { p ∈ P ∣ n {\displaystyle V(n)=\{p\in P\mid n} はpの倍数 } {\displaystyle \}}
と定義し、V(n)全体の集合を閉集合系とするP上の位相をP上のザリスキー位相という。 ザリスキー位相はP上のいかなる距離から定まる位相とも一致しないことが知られており、距離から定まらない位相でなおかつ数学の重要な研究対象となっているものの代表例である。 ザリスキー位相の概念は一般の可換環Rの素イデアル全体の集合に対しても定義する事ができる事が知られている。
一方、これとは全く異なる角度からザリスキー位相を定義する事ができる。Kを複素数体(もしくはより一般に代数的閉体)とし、Kを考える。そしてK上の多項式の任意の集合Sに対し、
V ( S ) = { x ∈ K n ∣ ∀ f ∈ S : f ( x ) = 0 } {\displaystyle V(S)=\{x\in K^{n}\mid \forall f\in S~:~f(x)=0\}}
と定義し、V(S)全体の集合を閉集合系とする位相をK上のザリスキー位相という。
以上で述べた2種類のザリスキー位相は一見全く異なるように見えるが、実は同種の概念を別の角度から見たものである事が知られている。これら2つが同種である事は代数幾何学の最も基本的な定理の一つとなっている。