粗空間
典型的な状況では、近縁は X × X {\displaystyle X\times X} 上で対角線 y = x {\displaystyle y=x} から一定の近さに存在し、近縁を x = a {\displaystyle x=a} で垂直に切った断面として得られる近傍は、その集合が中心 a {\displaystyle a} から有界な範囲に収まっていることを示している。
近縁 E {\displaystyle E} が対称であるとは、 ( x , y ) ∈ E {\displaystyle (x,y)\in E} ならば必ず ( y , x ) ∈ E {\displaystyle (y,x)\in E} であることをいう。
条件 1 は一点集合は有界であることを、条件 2 は中心を共有する有界集合の合併は再び有界であることを、条件 3 は有界集合から一定の範囲内は再び有界になることを、条件 4 は有界集合の部分集合は再び有界であることを、条件 5 は近縁は本質的に対称であることを、それぞれ表している。
粗構造のイデアル基を基本近縁系 (fundamental system of entourages) という。すなわちcoarse構造 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} の部分集合 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} が基本近縁系とは、 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} の各元に対してそれを含むような B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の元がとれるようなものをいう。
これは、近縁 E に対し ‖ E ‖ := sup { d ( x , y ) | ( x , y ) ∈ E } {\displaystyle \|E\|:=\sup\{d(x,y)|(x,y)\in E\}} と言う記号を定義すると E := { E ⊆ X × X : ‖ E ‖ < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {E}}:=\{E\subseteq X\times X:\|E\|<\infty \}} と書ける。
距離空間 (X, d) に対し、X を台集合とするcoarse構造 E := { E ⊆ X × X : i n f { ‖ E ∖ ( K × K ) ‖ : K ⊆ X , K ; {\displaystyle {\mathcal {E}}:=\{E\subseteq X\times X:{\rm {inf}}\{\|E\setminus (K\times K)\|:K\subseteq X,K;} コンパクト } = 0 } {\displaystyle \}=0\}} を距離 d に関する C0-coarse構造という。
properな距離空間 (X, d) 上の有界coarse構造及び C0-coarse構造から定義される部分集合の有界性はどちらも距離から定義される有界性と一致する。二つのcoarse構造は漸近的な振る舞いが異なる。