中心二項係数
n番目のカタラン数を Cn とすると
C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) = ( 2 n n ) − ( 2 n n + 1 ) = ( 2 n ) ! n ! ( n + 1 ) ! , ( n ≥ 0 ) . {\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}={\frac {(2n)!}{n!\;(n+1)!}},\qquad (n\geq 0)\!\,.}
中心二項係数の簡単な一般化は次のように与えられる。
Γ ( 2 n + 1 ) Γ ( n + 1 ) 2 = 1 n B  ( n + 1 , n ) , {\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\operatorname {\mathrm {B} } (n+1,n)}}\!\,,}
n は実数で、ここで Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)\,} はガンマ関数、 B  ( x , y ) {\displaystyle \operatorname {\mathrm {B} } (x,y)\,} はベータ関数である。