ベクトルの共変性と反変性
α [ f A ] = α [ f ] A {\displaystyle \alpha [{\boldsymbol {f}}A]=\alpha [{\boldsymbol {f}}]A}
線型汎関数 α の成分は基底の変換 A に従って変換されるため、α の成分は基底の変換に対して共変である (transform covariantly) という。
変換 A によって結ばれる基底と共変ベクトルの組は矢印を使った図で次のようにラフに表される。共変性は基底の変換と同じ向きの矢印で表現される:
f ⟶ f ′ α [ f ] ⟶ α [ f ′ ] {\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\boldsymbol {f}}&\longrightarrow &{\boldsymbol {f}}'\\\alpha [{\boldsymbol {f}}]&\longrightarrow &\alpha [{\boldsymbol {f}}']\end{array}}}
行ベクトルの代わりに列ベクトルを用いて表現する場合、変換規則は転置を用いて次のように表される。
α ⊤ [ f A ] = A ⊤ α ⊤ [ f ] {\displaystyle \alpha ^{\top }[{\boldsymbol {f}}A]=A^{\top }\alpha ^{\top }[{\boldsymbol {f}}]}