冪乗
冪指数 r, s の少なくとも一方が無理数であるとき、あるいはこれらの双方が有理数だが r または r • s の少なくとも一方の分母が偶数となるときには、a < 0 に対する (a) または a は定義されない。それ以外のとき、この両者は定義されて符号の違いを除いて一致する。特に両者は a > 0 ならば任意の実数 r, s に対して一致し、また a ≠ 0 ならば任意の整数 r, s に対して一致する。 a < 0 かつ r, s が整数でない有理数であるときには可能性は二通り考えられ、どちらになるかは r の分子と s の分母の素因数分解が関係する。式 (a) = ±a の右辺の符号は何れが正しいのかを知るには a = −1 のときを見れば十分である(与えられた r, s に対して a = −1 のとき正しくなる方の符号をとれば、任意の a < 0 についても成り立つ)。 a < 0 に対して (a) = −a が適用されるならば、a ≠ 0 に対して (a) = |a| が成り立つ(冪指数が正ならば a = 0 のときも成り立つ)。
例えば、((−1)) = 1 および (−1) = −1 であるから、a < 0 に対して √a = (a) = −a = −a, したがって任意の実数 a に対して √a = |a| が成り立つ。
x が正の実数ならば、上で制限されていた指数への条件は外れる。 正数ならば任意の自然数 m に対する正の m 乗根 x m {\displaystyle {\sqrt[{m}]{x}}} がただ一つ存在するので、正の有理数 n m {\displaystyle {\frac {n}{m}}} に対し
x n m = ( x m ) n = x n m {\displaystyle x^{\frac {n}{m}}={\bigl (}{\sqrt[{m}]{x}}{\bigr )}^{n}={\sqrt[{m}]{x^{n}}}}
と定めることができる。さらに、x が 0 でなければ逆元が存在するので、指数は有理数全体まで拡張される。
x (>0) の冪は、その指数に関して極限を取ることによって実数上の関数に拡張され、連続関数になる。連続な拡張は一意であり、これを x を底とする指数関数と呼ぶ。