超越数
複素数 α {\displaystyle \alpha } に対して、
w n , H ( α ) = min { | f ( α ) | | f ( z ) = ∑ i = 0 n a i z i , f ( α ) ≠ 0 , | a 0 | , ⋯ , | a n | ≤ H } , {\displaystyle w_{n,H}(\alpha )=\min {\Bigl \{}|f(\alpha )|\;{\Bigl |}\;f(z)={\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n}a_{i}z^{i}},f(\alpha )\neq 0,|a_{0}|,\cdots ,|a_{n}|\leq H{\Bigr \}},}
w n ( α ) = lim sup H → ∞ − log  w n , H ( α ) log  H , {\displaystyle w_{n}(\alpha )=\limsup _{H\to \infty }{\frac {-\log w_{n,H}(\alpha )}{\log H}},} w ( α ) = lim sup n → ∞ w n ( α ) n {\displaystyle w(\alpha )=\limsup _{n\to \infty }{\frac {w_{n}(\alpha )}{n}}} として、 w ( α ) {\displaystyle w(\alpha )} を定める。
(ゲルフォント、シュナイダー)
代数的数 α , β ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\ \beta \neq 0} に対する、 sinh  ( α π + β ) {\displaystyle \sinh {(\alpha \pi +\beta )}} , cosh  ( α π + β ) {\displaystyle \cosh {(\alpha \pi +\beta )}} , tanh  ( α π + β ) {\displaystyle \tanh {(\alpha \pi +\beta )}} 。(ベイカー)
α ≠ 0 , 1 , β ∉ Q {\displaystyle \scriptstyle \alpha \neq 0,\ 1,\ \beta \notin \mathbb {Q} } を満たす代数的数 α , β {\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\ \beta } に対する、 α β {\displaystyle \alpha ^{\beta }} 。(ゲルフォント、シュナイダー)
代数的数 α ≠ 0 , 1 {\displaystyle \scriptstyle \alpha \neq 0,\ 1} に対する、 log  α {\displaystyle \log {\alpha }} 。(リンデマン)