多重線型代数
n 次の自由 K –加群(K が体のときには n 次元のベクトル空間)K の対称代数は K を係数とする n 変数の多項式環 K [X 1,..., Xn ] と見なせる。
テンソル代数 TE において x ⊗ y − y ⊗ x (x, y ∈ E ) という形の TE の元が生成する両側イデアルを IE とする。商環 SE = TE/IE と K –準同型 E → TE → SE は上に挙げた対称代数の普遍性を満たしている。
SE における TE の 像 SE を E の n 次対称冪 (n th symmetric product) と呼ぶ。直接的には、SE は TE をその部分加群
⟨ a ( x ⊗ y − y ⊗ x ) b | {\displaystyle \left\langle a(x\otimes y-y\otimes x)b\right|} a , b {\displaystyle a,b} は斉次元で deg  ( a ) + deg  ( b ) = n − 2 ⟩ {\displaystyle \left.\deg(a)+\deg(b)=n-2\right\rangle }
で割った商加群となっており、SE は SE の直和になっている。