関数の極限
また、ある無限区間 (−∞, a) で定義される関数 f(x) において、x が限りなく小さくなると関数 f(x) の値が限りなく大きくなるとき、「x が限りなく小さくなるとき f(x) は正の無限大に発散する」といい、
lim x → − ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty }
または
f ( x ) → ∞ ( x → − ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow -\infty )}
と表す。
これは次のように定義される。
∀ K > 0 , ∃ X < 0 ; ∀ x [ x < X ⟹ f ( x ) > K ] {\displaystyle {}^{\forall }K>0,\;{}^{\exists }X<0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}
同様に、x → ∞ や x → −∞ における負の無限大への発散を定義することができる。
x → ∞ や x → −∞ において、関数 f(x) が収束もせず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その関数は数列と同様に振動するという。
逆に、x→ c のとき、f(x) の値が限りなく小さくなることを、「x が c に限りなく近づくとき関数 f(x) は負の無限大に発散する」といい、
lim x → c f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=-\infty }
または
f ( x ) → − ∞ ( x → c ) {\displaystyle f(x)\to -\infty \quad (x\to c)}
と表す。これは次のように厳密に定義される。
∀ K < 0 , ∃ δ > 0 ; ∀ x [ 0 < | x − c | < δ ⟹ f ( x ) < K ] {\displaystyle {}^{\forall }K<0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)<K{\bigg ]}}
連続な実関数 f(x) が x → c とする極限において発散するならば、f(x) は x = c において定義できない。なぜなら、定義されていたとすると x = c は不連続点となるからである。