行列差分方程式
n-次元ベクトルの成す系 y t = A y t − 1 {\textstyle y_{t}=Ay_{t-1}} から一つの状態変数、具体的に y1 に関する力学系に展開することができる。上で見た方程式のベクトル解 yt を A の n 個の固有値に関して展開して、それを y1,t と書けば、それは y1 の発展を記述するものであって、それ自身もまた同じ固有値を含む解を持つ。この記述は、直観的には y1 の発展の方程式
を動機づける。ここに各パラメータ ai は A の固有方程式
の係数である。
すなわち、n-次元一階線型系の変数ベクトルの各成分スカラーは、各々個別の一スカラー変数 n-階差分方程式に従って発展する。そのような一変数方程式の安定性はもとの行列差分方程式の安定性と同じである。
力学系の理論における行列差分方程式(ぎょうれつさぶんほうていしき、英: matrix difference equation)は、各時点においてベクトルとして与えられている変数に関する系で、各時点の値がそれ以前の時点における変数の値と行列を用いた関係性で結ばれているような差分方程式を言う。
そのような方程式の階数 (order) とは、変数ベクトルの値を指定するために必要となる任意の二時点の間隔の最大値を言う。例えば、x を n 成分列ベクトル、A, B を n-次正方行列として、 x t = A x t − 1 + B x t − 2 {\textstyle x_{t}=Ax_{t-1}+Bx_{t-2}} は二階方程式の例ということになる。特にこれは右辺に定ベクトル項を持たないから斉次方程式の例でもある。添字をずらしたり、別の文字を用いたりして x t + 2 = A x t + 1 + B x t {\displaystyle x_{t+2}=Ax_{t+1}+Bx_{t}} や x n = A x n − 1 + B x n − 2 {\textstyle x_{n}=Ax_{n-1}+Bx_{n-2}} のように書いても方程式としては同じものである。
最もよく遭遇する行列差分方程式は、一階のものであろう。