分配関数
Z ( β ) = ∏ l ∫ d c l d c ̄ l ∑ m , n c n c ̄ m ⟨ m | exp  { − β H ^ } | n ⟩ = ∑ m , n ∏ l ∫ d c l d c ̄ l c n c ̄ m ⟨ m | exp  { − β H ^ } | n ⟩ = C ∑ m , n δ m , n ⟨ m | exp  { − β H ^ } | n ⟩ = C ∑ n ⟨ n | exp  { − β H ^ } | n ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}Z(\beta )&=\prod _{l}\int dc_{l}d{\bar {c}}_{l}\sum _{m,n}c_{n}{\bar {c}}_{m}\langle m\vert \exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}\vert n\rangle \\&=\sum _{m,n}\prod _{l}\int dc_{l}d{\bar {c}}_{l}c_{n}{\bar {c}}_{m}\langle m\vert \exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}\vert n\rangle \\&=C\sum _{m,n}\delta _{m,n}\langle m\vert \exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}\vert n\rangle \\&=C\sum _{n}\langle n\vert \exp\{-\beta {\hat {\mathcal {H}}}\}\vert n\rangle \\\end{aligned}}}
分配関数は統計力学を熱力学に関係付ける上で重要な関数である。 系のヘルムホルツエネルギー F(β) は
F ( β ) = − 1 β ln  Z ( β ) {\displaystyle F(\beta )=-{\frac {1}{\beta }}\ln Z(\beta )}
で定義される。 温度の関数として表されたヘルムホルツエネルギーは完全な熱力学関数であり、系の熱力学的な性質の全てを導くことが可能である。 この式はカノニカルアンサンブルにおいて、マクロな熱力学関数をミクロな統計力学に基づいて導く式である。
大分配関数を用いて定義される
J ( β , μ ) = − 1 β ln  Ξ ( β , μ ) {\displaystyle J(\beta ,\mu )=-{\frac {1}{\beta }}\ln \Xi (\beta ,\mu )}
はグランドポテンシャルと呼ばれる。