級数
このことから、無条件総和可能族 (ai)i∈I の有限部分和の全体がコーシーネットを成すことが従う。すなわち、0 の任意の近傍 W に対し、I の有限部分集合 A0 が存在して、
∑ i ∈ A 1 a i − ∑ i ∈ A 2 a i ∈ W , ( ∀ A 1 , ∀ A 2 ⊃ A 0 ) {\displaystyle \sum _{i\in A_{1}}a_{i}-\sum _{i\in A_{2}}a_{i}\in W,\quad (\forall A_{1},\forall A_{2}\supset A_{0})}
を満たす。位相アーベル群 X が完備である場合には、族 a が X において無条件総和可能であることと、後述する「コーシーネット条件」を満たすことが同値になる。また、X が完備で (ai)i∈I が X において無条件総和可能ならば、I の任意の部分集合 J に対して対応する部分族 (aj)j∈J もまた無条件総和可能である。
非負実数の族の(先の定義の意味での、値として無限大を許す)和の場合、それが有限ならば、それは位相アーベル群 X として実数全体の成す加法群 R をとったときの、ここでいう意味での和と一致する。
X の元の族 a が無条件総和可能ならば、X の単位元 0 の任意の近傍 W に対して I の有限部分集合 A0 が存在して、ai ∈ W が A0 に属さないすべての i について成り立つようにすることができる。ゆえに、X が第一可算公理を満たすならば、ai ≠ 0 となるような添字 i ∈ I 全体の成す集合は可算であることが従う。これは一般の位相アーベル群においては必ずしも成り立たない(後述)。
↑ 数列の添字をしばしば 0 から始めるので、都合で第0項を含めてあるが、初項が第0項か第1項かというのは本質的な問題ではない。
1 2 便宜上の理由で、しばしば同じ記号で「形式和」と「和の値」の両方を表すが、いずれの意味で用いているかは文脈から容易に区別できるはずである。
無限の項を表すための記法として知られる最も古いものは17世紀ヨーロッパの数学界で用いられた &c(x+y+z,&cが現在の記法で書くところの x+y+z+...を表した)である。このほか用いられた記法に x+y+z+&c, x+y+z+etc, x + y + z + . . . . ∼ などがあった。級数を表す記号として大文字のシグマを初めて使ったのはオイラー (1775) だったが、この記号はすぐには広まらなかった。
交項級数 ∑ an は |an| が単調減少で 0 に収束するならば収束する。