セルバーグ積分
Aomoto (1987) は少しだけ一般的な次の積分公式を証明した。
∫ 0 1 ⋯ ∫ 0 1 ( ∏ i = 1 k t i ) ∏ i = 1 n t i α − 1 ( 1 − t i ) β − 1 ∏ 1 ≤ i < j ≤ n | t i − t j | 2 γ d t 1 ⋯ d t n {\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\prod _{i=1}^{k}t_{i}\right)\prod _{i=1}^{n}t_{i}^{\alpha -1}(1-t_{i})^{\beta -1}\prod _{1\leq i<j\leq n}|t_{i}-t_{j}|^{2\gamma }\,dt_{1}\cdots dt_{n}}
= S n ( α , β , γ ) ∏ j = 1 k α + ( n − j ) γ α + β + ( 2 n − j − 1 ) γ . {\displaystyle =S_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )\prod _{j=1}^{k}{\frac {\alpha +(n-j)\gamma }{\alpha +\beta +(2n-j-1)\gamma }}.}
数学において、セルバーグ積分(英: Selberg integral)は、オイラーのベータ関数の n 次元への一般化であり、Atle Selberg (1944) により導入された。
Macdonald (1982) はメータの積分のすべての有限ルート系への次のような拡張を予想した。(メータのもともとの場合は An−1 というルート系に対応する。)
1 ( 2 π ) n / 2 ∫ ⋯ ∫ | ∏ r 2 ( x , r ) ( r , r ) | γ e − ( x 1 2 + ⋯ + x n 2 ) / 2 d x 1 ⋯ d x n = ∏ j = 1 n Γ ( 1 + d j γ ) Γ ( 1 + γ ) . {\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int \cdots \int \left|\prod _{r}{\frac {2(x,r)}{(r,r)}}\right|^{\gamma }e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})/2}dx_{1}\cdots dx_{n}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {\Gamma (1+d_{j}\gamma )}{\Gamma (1+\gamma )}}.}
積はルート系のルート r 全体を渡り、数 dj は鏡映群の不変式環の生成元の次数である。Opdam (1989) はすべての結晶鏡映群に対する統一的な証明を与えた。数年後彼は、Garvan によるコンピュータによる計算支援を利用して、完全な一般性を以ってそれを証明した (Opdam (1993))。