算術級数定理
素数が無数に存在するということは古代から知られてきた事実であるが、ゼータ関数のオイラー乗積表示にも端的に顕われている。
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∏ p 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
この左辺のゼータ関数は s = 1 {\displaystyle s=1} に極を持つから、右辺も発散しなければならず、そのためには無限個の素数が存在しなければならない。これに倣い、任意の算術級数に含まれる素数で構成された総和が発散することをもってディリクレの算術級数定理が証明される。
∑ k ≥ 2 c k k s = ∑ k ≥ 2 c k k 2 k s − 2 = ∑ k ≥ 2 c k k 2 e − ( log  k ) ( 2 − s ) = ∑ k ≥ 2 c k k ∑ m = 0 ∞ ( log  k ) m m ! ( 2 − s ) m {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{s}}}&=\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{2}k^{s-2}}}\\&=\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{2}}}e^{-(\log {k})(2-s)}\\&=\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(\log {k})^{m}}{m!}}(2-s)^{m}\\\end{aligned}}}
は少なくとも 1 < s < 2 {\displaystyle 1<s<2} で絶対収束するから、和の順序を交換してテイラー級数
∑ k ≥ 2 c k k s = ∑ m = 0 ∞ ( ∑ k ≥ 2 c k ( log  k ) m k ) ( 2 − s ) m m ! {\displaystyle \sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{s}}}=\sum _{m=0}^{\infty }\left(\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}(\log {k})^{m}}{k}}\right){\frac {(2-s)^{m}}{m!
ディリクレ指標 χ {\displaystyle \chi } によるディリクレ級数で定義される関数をディリクレのエル関数という。
L ( s , χ ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}
右辺のディリクレ級数は R s > 1 {\displaystyle \Re {s}>1} で絶対収束する。また、 χ ≠ χ 0 {\displaystyle \chi \neq \chi _{0}} であれば、指標の直交性により | ∑ χ ( n ) | ≤ φ ( d ) {\displaystyle \left|\sum \chi (n)\right|{\leq }\varphi (d)} であるから、 L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} は R s > 0 {\displaystyle \Re {s}>0} で一様収束して正則である。 L ( s , χ 0 ) {\displaystyle L(s,\chi _{0})} については、法 d {\displaystyle d} と素な素数 q {\displaystyle q} を任意に選び、
| 1 n s − 1 ( n + 1 ) s | = | s ∫ u = n n + 1 d u u s + 1 | ≤ | s | ∫ u = n n + 1 d u u R s + 1 ≤ | s | R s ( 1 n R s − 1 ( n + 1 ) R s ) = | s | R s O ( n R s + 1 ) {\displaystyle \left|{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\right|=\left|s\int _{u=n}^{n+1}{\frac {du}{u^{s+1}}}\right|\leq |s|\int _{u=n}^{n+1}{\frac {du}{u^{\Re {s}+1}}}\leq {\frac {|s|}{\Re {s}}}\left({\frac {1}{n^{\Re {s}}}}-{\frac {1}{(n+1)^{\Re {s}}}}\right)={\frac {|s|}{\Re {s}}}O\left(n^{\Re {s}+1}\right)}
であるから、 ∑ a n {\displaystyle \sum {a_{n}}} が有界であれば R s > 0 {\displaystyle \Re {s}>0} で収束し、 R s > 0 {\displaystyle \Re {s}>0} のコンパクトな部分領域で一様収束する。