セルバーグ跡公式
Γ ⧵G がコンパクトな場合、L(Γ ⧵G) は既約部分空間の直和に分解し、各既約表現の重複度は有限であることが知られている。記号で書くと L(Γ ⧵G) = ⨁π ∈ ˆG m(π)π となる。ここで ˆG は既約ユニタリ表現のユニタリ同値類である。
この分解を使ってスペクトル・サイドを計算すると、セルバーグの跡公式は
∑ γ ∈ { Γ } vol  ( Γ γ ∖ G γ ) ∫ G γ ∖ G f ( x − 1 γ x ) d x = ∑ π ∈ G ^ m ( π ) tr  ( π ( f ) ) {\displaystyle \sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}\operatorname {vol} (\Gamma _{\gamma }\backslash G_{\gamma })\int _{G_{\gamma }\backslash G}f(x^{-1}\gamma x)\mathrm {d} x=\sum _{\pi \in {\hat {G}}}m(\pi )\operatorname {tr} (\pi (f))}
となる。右辺の π( f ) は ∫G f (g) π(g) dg である。