代数曲線
曲線に対して、与えられた直線との交点を知ることはしばしば有効である。座標軸との交点や漸近線との交点は曲線を描くために利用できる。軸に平行な直線との交点を考えれば、曲線の各枝に少なくとも一点を求めることができる。効果的な求根アルゴリズムが利用できるならば、x-軸上の各画素を通り y-軸に平行な任意の直線との交点をプロットすることで曲線を描きだすことが可能になる。
曲線の定義多項式が次数 d ならば、任意の直線は高々 d 個の点において曲線を横切る。 ベズーの定理は、代数閉体(例えば複素数体)上の射影平面の点について調べる限りにおいて、重複度を込めて数えれば、この数がちょうど d 個であることを主張する。以下に述べる計算法はこの単純な場合においてこの定理を再び証明するものである。
多項式 p の定義する曲線と、直線 ax+by+c = 0 との交点を計算するために、直線の方程式を x に関して(a = 0 のときは y について)解く。それを p に代入すれば、一元方程式 q(y) = 0(直線を y について解いたときは q(x) = 0)を得て、その根は交点の座標の一つを与える。他の座標の値は直線の方程式から求められる。交点の重複度は、対応する根の重複度である。q の次数が p の次数より低いならば、無限遠点において交点が存在し、そのような無限遠点の重複度は次数の差 p − q で与えられる。
代数曲線の研究は既約代数曲線(より小さな曲線の合併として表すことができない曲線)の研究に還元される。双有理同値の違いを除いて、体 F 上の既約曲線全体の成す圏は F 上の一変数代数函数体全体の成す圏に圏同値である。そのような代数函数体は、F 上超越的な元 x を含む F の拡大体 K であって、x を不定元とする F 上の有理函数体 F(x) の有限次代数拡大となっているようなものである。
例えば、複素数体 C を考えると、その上に C-係数有理函数体 C(x) が定義できる。y = x − x − 1 とすれば、体 C(x, y) は楕円函数体である。元 x は一意に決まるものではなく、例えばいま挙げた例を C(y) の拡大体と看做すことも可能である。この函数体に対応する代数曲線は、単純に y = x − x − 1 を満たす点 (x, y) ∈ C 全体の成す集合である。
F が代数閉体でない場合には、函数体を考える視点のほうが点の軌跡を考える視点よりも少しだけ一般である(これは例えば、点が一つも載っていない「曲線」なども考えるからである)。
特異点には、曲線がそこで自己交叉を持つ多重点や、例えば方程式 x = y の表す曲線の (0, 0) に見るような様々な種類の尖点がある。
曲線 C は高々有限個の特異点を持つ。特異点の数が零ならば、曲線は滑らかあるいは非特異であると言う。一般的には、この定義は代数閉体上で C が射影空間にあるとき(つまり、代数幾何学的な意味で「完備」のとき)にいうものと理解される。例えば、方程式 y − x = 0 の定める曲線は特異曲線で、無限遠点に特異点(尖点)を持つものと考える。
特異点は幾つかの不変性の意味で分類される。多重点 P の重複度 m は、P において f の m − 1 階までの微分係数がすべて消えているような最大の整数として定義される(曲線の、P における直線との間の交点数の最小値としても定義できる)。直観的に、特異点がデルタ不変量 δ を持つのは、それが P において δ 個の常二重点が寄り集まったときに起きる。これをより精確にするには、ブローアップの過程を施していわゆる無限に近い点(英語版)を作り出し、各無限に近い点の重複度を m とするときの m(m − 1)/2 を全ての無限に近い点に関して足し上げたものが δ である。既約かつ被約曲線および点 P に対して、δ を O ~ P / O P {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}/{\mathcal {O}}_{P}} の長さとして代数的に定義することができる。ただし、 O P {\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}} は P における局所環であり、 O ~ P {\displaystyle {\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}} はその整閉包である。