置換 (数学)
のような対応関係と見て σ は σ(1) = 2, σ(2) = 5, σ(3) = 4, σ(4) = 3, σ(5) = 1 を満たす写像とした。
コーシーの流儀では有理式 F(x1, x2, x3, x4, x5) の置換を
F ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) σ = F ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) [ 1 2 3 4 5 2 5 4 3 1 ] = F ( x 2 , x 5 , x 4 , x 3 , x 1 ) {\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\sigma =F(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}){\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix}}=F(x_{2},x_{5},x_{4},x_{3},x_{1})}
のように記述し、さらに別の置換τを行った時も右から作用させて
{ F ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) σ } τ = F ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) ( σ τ ) {\displaystyle \{F(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})\sigma \}\tau =F(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})(\sigma \tau )}
としたため σ の後に τ を行う置換を στ で表すようになった。
組合せ論において置換とは、有限集合の各元を一つずつ、かつ唯一つずつ用いて得られる列と理解するのが普通である。ここで、「列」の概念は「集合」の概念と異なり、列に現れる項は何らかの順序に従っていなければならない。つまり列は(それが空でなければ)「初項」を持ち、(長さが 2 より小さくなければ)第二項を持ち、といった具合に各項が順番に現れる。対照的に、集合の元は決まった順番を持たず、例えば {1, 2, 3} と {3, 2, 1} は見た目が異なるだけで全く同じ集合である。この意味で、n 個の元からなる有限集合 S 上の置換は、各 i を列の第 i 項へ写すものとみて {1, 2, ..., n} から S への全単射である。あるいは、x < y は、列の中で x の後に y が現れるという意味でさだめて、S 上の一つの全順序を与えるものと見ることもできる。この意味での S の置換も、やはり n! 通り存在する。
置換の概念を少し弱めて「同じ元が二度は現れることがないが、与えられた集合の全ての元を使い切る必要はない」ものとした列を考えることが、初等組合せ論においてたびたびある。