ハミルトン場の理論
上記のハミルトン密度の定義の時間偏微分を取り、陰関数の微分に連鎖律を使用し、共役運動量場の定義を用いると、連続の方程式
∂ H ∂ t + ∇ ⋅ S = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0}
が得られる。ハミルトン密度はエネルギー密度として、また
S = ∂ L ∂ ( ∇ φ ) ∂ φ ∂ t {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\nabla \phi )}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}
はエネルギー流束または単位表面積あたりの単位時間あたりのエネルギーの流れとして解釈できる。