測度保存力学系
これらを元に、反復引き戻しの細分(refinement of an iterated pullback)を次で定義することが出来る:
⋁ n = 0 N T − n Q = { Q i 0 ∩ T − 1 Q i 1 ∩ ⋯ ∩ T − N Q i N where i l = 1 , ... , k , l = 0 , ... , N , μ ( Q i 0 ∩ T − 1 Q i 1 ∩ ⋯ ∩ T − N Q i N ) > 0 } . {\displaystyle \bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q=\left\{Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}{\text{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\right\}.}
これは力学系の測度論的エントロピーを構成する上で重要な役割を担う。
測度保存力学系は、確率空間とその上の測度保存変換として定義される。より正確に言うと、それは系
( X , B , μ , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}
で、次の構造を備えるものである:
X {\displaystyle X} は集合;
B {\displaystyle {\mathcal {B}}} は X {\displaystyle X} 上の σ-集合代数;
μ : B → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]} は確率測度。したがって μ(X) = 1 および μ(∅) = 0 が成立する;
T : X → X {\displaystyle T:X\rightarrow X} は測度 μ {\displaystyle \mu } を保存する可測な変換。すなわち、 ∀ A ∈ B μ ( T − 1 ( A ) ) = μ ( A ) {\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)} が成立する。