代数のテンソル積
R を可換環とし A と B を R-代数とする。A と B はどちらも R-加群と見なせるから、それらのテンソル積
A ⊗ R B {\displaystyle A\otimes _{R}B}
を作れて、これは再び R-加群である。このテンソル積に次のように積を定義して代数の構造を与えることができる。すなわち、生成系となる a ⊗ b (a ∈ A, b ∈ B) の形の単純テンソルの間の積を
( a 1 ⊗ b 1 ) ( a 2 ⊗ b 2 ) = a 1 a 2 ⊗ b 1 b 2 {\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}}
と定義し、これを線型性により A ⊗R B の全体に拡張する。この積は R-双線型かつ結合的で、1A ⊗ 1B によって与えられる単位元を持つことが容易にわかる。ここで 1A と 1B はそれぞれ A と B の単位元である。A と B がともに可換であればそのテンソル積も可換である。
このテンソル積によりすべての R-代数の圏 R-Alg は対称モノイド圏(英語版)になる。
任意の R-代数 X に対し、R-代数の準同型 f: A → X および g: B → X が元ごとに可換である限りにおいて、R-代数の準同型 φ: A ⊗ B → X で f(a) = φ(a ⊗ 1) および g(b) = φ(1 ⊗ b) を任意の a ∈ A, b ∈ B に対して満たすものがただ一つ存在する。
すなわち、式で書けば、自然な同型
Hom R -Alg  ( A ⊗ B , X ) ≅ { ( f , g ) ∈ Hom R -Alg  ( A , X ) × Hom R -Alg  ( B , X ) ∣ [ f ( a ) , g ( b ) ] = 0 ( ∀ a ∈ A , ∀ b ∈ B ) } {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Hom} _{R{\textbf {-Alg}}}(A\otimes B,X)\\&\qquad \cong \lbrace (f,g)\in \operatorname {Hom} _{R{\textbf {-Alg}}}(A,X)\times \operatorname {Hom} _{R{\textbf {-Alg}}}(B,X)\mid [f(a),g(b)]=0\ (\forall a\in A,\,\forall b\in B)\rbrace \end{aligned}}}
が成立する(右辺の [,] は交換子)。