ルベーグ＝スティルチェス積分
同様の結果で、確率解析(確率微積分)の理論で極めて重要なものは、有界変動な二つの函数 U, V がともに右連続で左側極限を持つとき(このような函数を右連続左極限函数 (càdlàg, RCLL) と呼ぶ)、
U ( t ) V ( t ) = U ( 0 ) V ( 0 ) + ∫ ( 0 , t ] U ( S − ) d V ( S ) + ∫ ( 0 , t ] V ( S − ) d U ( S ) + ∑ u ∈ ( 0 , t ] Δ U u Δ V u , ( Δ U u = U ( t ) − U ( t − ) ) {\displaystyle U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(S-)\,dV(S)+\int _{(0,t]}V(S-)\,dU(S)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},\quad (\Delta U_{u}=U(t)-U(t-))}
が成立するというものである。この結果は伊藤の補題の先駆けとみることもでき、また確率積分の一般論において用いられる。最後の項 ΔU(t) ΔV(t) = d[U, V] は U と V の二次共変分から生じる。先の結果はストラトノヴィッチ積分に関連する結果と看做すこともできる。
ルベーグ=スティルチェス積分を構成する別な方法として (Hewitt & Stromberg 1965) は通常のリーマン=スティルチェス積分を基に拡張したダニエル積分としての構成を与えている。函数 g が有界閉区間 [a, b] 上で右連続非増大であるとき、連続函数 f に対する基本積分 I(f) をリーマン=スティルチェス積分
I ( f ) = ∫ a b f d g {\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f\,dg}
によって与えると、汎函数 I は有界閉区間 [a, b] 上のラドン測度を定める。汎函数 I は
I _ ( h ) = sup { I ( f ) ∣ f ∈ C [ a , b ] , 0 ≤ f ≤ h } {\displaystyle {\underline {I\!}}\,(h)=\sup\{I(f)\mid f\in C[a,b],0\leq f\leq h\}}
および