準同型
同類である二つの代数系 ( A , R ) {\displaystyle (A,R)} 、 ( B , S ) {\displaystyle (B,S)} ( S = { β λ } λ ∈ Λ {\displaystyle S=\{\beta _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }} ) に対し、準同型写像 ( f , F ) : ( A , R ) → ( B , S ) , ( F = { f λ } λ ∈ Λ ) {\displaystyle (f,F):(A,R)\to (B,S),(F=\{f_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda })} とは、R, S 間で対応する演算 αλ, βλ を可換にする写像 fλ を引き起こすものをいう。つまり
f ∘ α λ = β λ ∘ f λ , ( f λ ( ( x i ) i ∈ I λ ) := ( f ( x i ) ) i ∈ I λ ) {\displaystyle f\circ \alpha _{\lambda }=\beta _{\lambda }\circ f_{\lambda },\quad {\Bigg (}f_{\lambda }((x_{i})_{i\in I_{\lambda }}):=(f(x_{i}))_{i\in I_{\lambda }}{\Bigg )}}
となる写像の組 (f, F) を準同型写像と呼ぶのである。ここで、αλ, βλ は |Iλ| 項演算であるものとする。