デルタ作用素
言い換えると、 f {\displaystyle f} が g {\displaystyle g} のシフトであるなら、 Q f {\displaystyle Qf} も Q g {\displaystyle Qg} のシフトであり、シフトベクトル a {\displaystyle a} を共通のものとして持つことを言う。
また、作用素 Q {\displaystyle Q} が次数を 1 下げるとは、次数 n {\displaystyle n} の多項式 f {\displaystyle f} に対し、 Q f {\displaystyle Qf} の次数が n − 1 {\displaystyle n-1} であるか、または 0( n = 0 {\displaystyle n=0} の場合)であることを言う。
デルタ作用素はしばしば、 x {\displaystyle x} についての多項式上のシフト同変な線形変換で、 x {\displaystyle x} を非ゼロの定数に写すものとして定義される。これは上述の定義よりも弱いように思われるが、シフト同変は十分強い条件なので、上述の定義と同値であることが示される。