グロス＝ピタエフスキー方程式
上記の解の波動関数は凝縮体の暗いソリトンに対応する。暗いソリトンが実現する系では凝縮体の密度分布は一様ではなく、原点で密度がゼロとなる。 暗いソリトンは位相欠陥の一種であり、ψ の符号が原点で反転することによって位相に π だけずれが生じる。 結合定数が負 (g < 0) である、ボソン間に引力相互作用が働く状況では、ボース=アインシュタイン凝縮体の波動関数は以下のようになる。
ψ ( x , t ) = ψ ( 0 ) e − i μ t / ħ 1 cosh  [ 2 m | μ | / ħ 2 x ] {\displaystyle \psi (x,t)=\psi (0)e^{-i\mu t/\hbar }{\frac {1}{\cosh \left[{\sqrt {2m\vert \mu \vert /\hbar ^{2}}}x\right]}}}
ここで μ = 1/2g|ψ0| は化学ポテンシャルである。上記の波動関数は明るいソリトンに対応する。明るいソリトンが実現する系では凝縮体の分布は原点に集中する。
グロス=ピタエフスキー方程式から得られる解析解で最も単純なものは自由粒子解である。外場のない場合、
V ( r ) = 0 {\displaystyle V({\boldsymbol {r}})=0}
グロス=ピタエフスキー方程式の解として以下のものが得られる。
Ψ ( r ) = N V e i k ⋅ r {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={\sqrt {\frac {N}{V}}}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}}
この解はしばしばハートリー解(英: Hartree solution)と呼ばれる。ハートリー解はグロス=ピタエフスキー方程式を満足するが、相互作用項によりエネルギースペクトルにはギャップが残る。
E ( k ) = N [ ħ 2 k 2 2 m + g N 2 V ] {\displaystyle E({\boldsymbol {k}})=N\left[{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+g{\frac {N}{2V}}\right]}
フーゲンホルツ=パインズ定理(英語版)より、斥力相互作用のあるボソン気体はエネルギーギャップを持たないため、ボソン気体に対しハートリー解をそのまま適用することはできない。