フーリエ級数
ヒルベルト空間 X と、その正規直交系 {ek} を考える。 x ∈ X に対して、その内積 ⟨ x , e k ⟩ {\displaystyle \langle x,e_{k}\rangle } のことをフーリエ係数という。この時、ベッセルの不等式
‖ x ‖ 2 2 ≥ ∑ k | ⟨ x , e k ⟩ | 2 {\displaystyle \|x\|_{2}^{2}\geq \sum _{k}\left|\langle x,e_{k}\rangle \right|^{2}}
が成り立つ。
さらに {ek} が X の基底となっていれば、三角級数のときと同様に級数
∑ k ⟨ x , e k ⟩ e k = ⟨ x , e 1 ⟩ e 1 + ⟨ x , e 2 ⟩ e 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{k}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}=\left\langle x,e_{1}\right\rangle e_{1}+\left\langle x,e_{2}\right\rangle e_{2}+\cdots }
f は、実数 x を変数とする実数値関数で、周期 2π の周期関数であるとする。
a n = 1 π ∫ − π π f ( t ) cos  n t d t , ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ... ) b n = 1 π ∫ − π π f ( t ) sin  n t d t , ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f\left(t\right)\cos nt\,dt,\left(n=0,1,2,3,\dots \right)\\b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f\left(t\right)\sin nt\,dt,\left(n=1,2,3,\dots \right)\end{aligned}}}
と置き、an を f のフーリエ余弦係数 (Fourier cosine coefficient)、bn を f のフーリエ正弦係数(Fourier sine coefficient) という。 これらを用いて書かれた三角級数