ビオ・サバールの法則
もちろん、電磁気学の法則なのでマクスウェル方程式から導出することができる。前節において電場と磁場のそれぞれがスカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルによって記述され、しかもかたや電荷密度、かたや電流密度を距離の逆比で重み付けして積分するという形式になっていることをみたが、その対称性の説明もできる。
まずクーロンの法則をマクスウェル方程式から導出するプロセスを考える。これは静電場仮定でのポテンシャルと電場の関係
E = − grad  φ {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\operatorname {grad} \phi \,\!}
を用いて、ガウスの法則
∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho }
を変形すると
∇ 2 φ = − ρ ε 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}
が得られる。これを φ {\displaystyle \phi } に対する微分方程式だと考えると、グリーン関数法によって解くことができる。すなわち、方程式の両辺をフーリエ変換して、各モードに対するウェイトの方程式として読み替え、ウェイトがわかったところでフーリエ逆変換によって解を構成する。
アンペールの法則を使った場合では求めることが難しい場合も、ビオ・サバールの法則を用いることで簡易に計算できる場合がある。例えば円形電流の中心付近に発生する磁場を求める場合がそうである。まず、右図のような半径 a の円周上P点に存在する電流 I によって、中心Oに生じる磁場について考える。
ds と r の為す角度を φ とおくと、図より
d s ⊥ r {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\perp {\boldsymbol {r}}}
となり、また
| r | = a {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}|=a}
であるので、
d H = 1 4 π I sin  φ a 2 d s = 1 4 π I d s a 2 {\displaystyle \mathrm {d} H={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\sin \phi \,\!}{a^{2}}}\,\mathrm {d} s={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I\,\mathrm {d} s}{a^{2}}}\,}
である。これを円周上で積分して、
H = 1 4 π I a 2 ∫ 0 2 π a d s = 1 4 π 2 π a I a 2 = I 2 a {\displaystyle H={\frac {1}{4\pi }}{\frac {I}{a^{2}}}\,\int _{0}^{2\pi a}\mathrm {d} s={\frac {1}{4\pi }}{\frac {2\pi aI}{a^{2}}}={\frac {I}{2a}}}