円周の測定
この命題には3の平方根およびその他の大きい非完全な平方根の正確な近似も含まれるが、アルキメデスはこれらの数字をどのようにして見つけたのかについては説明していない。√3 を 1351/780 > √3 > 265/153 と評価した。しかし、この境界はペル方程式と関連する連分数と収束の研究からよく知られたものであり、この数論のどのくらいをアルキメデスがたどり着くことができたかについては多くの推論が導かれる。このアプローチの議論は少なくとも1723年のトマ・ファント・ド・ラニー(フランス語版), FRSに遡る(円周率の年表と比較せよ)が、ヒエロニムス・ゲオルク・ツォイテン(ドイツ語版)によりもっと明確に扱われている。1880年代初頭、フリードリヒ・フルチュ(ドイツ語版)(1833年 – 1906年)とKarl Heinrich Hunrath (b. 1847) はElements II.4, 7でモデル化された完全な正方形に近い平方根の単純な二項境界により範囲を早く見つけ出す方法に気づいた。この手法はトマス・ヒース(英語版)により支持された。この境界にたどり着くためのルートは1つしか書かれていないが、実際には他に2つあり、手法は機能するが境界はほとんど不可避である。しかし、この境界は正十二角形でアルキメデスの『ストマッキオン(英語版)』で提案された反復的な幾何学構造によっても作ることができる。この場合、することは π/12 のタンジェントに有利近似を与えることである。