有限加法的測度
有限加法族 A を含む最小の可算加法族を σ[A] と書けば、A 上定義された有限加法的測度 φ を σ[A] 上で定義された有限加法的測度 ~φ に延長できるがその方法は必ずしも一意的でない。φ が可算加法的ならば一意。σ集合環の項も参照。
集合 X 上の有限加法族 A 上で定義される有限加法的符号付き測度全体の成す集合を Φ(X,A) とする。Φ(X,A) は点ごとの和と実数倍でベクトル空間を成す。
Φ(X,A) に属する有限加法的測度 μ, ν に対し、[任意の集合 S ∈ A に対し μ(S) ≤ ν(S)] ⇔ μ ≤ ν と定めて Φ(X,A) に半順序 ≤ が定まる。このとき μ は ν に支配される (dominated) という。μ ≤ ν は ν − μ ≥ 0 に同値。この順序に関して Φ(X,A) は束を成す。さらに言えばリース空間になる。特に φ+ := 0 ∨ φ, φ− := 0 ∧ φ は正値測度であり、φ = φ+ − φ− (φ+ ∧ φ− = 0) と一意的に書ける。
φ ∈ Φ(X,A) が純有限加法的 (purely finitely additive) とは、0 ≤ ν ≤ φ なる可算加法的測度 ν は ν = 0 に限るときに言う。任意の有限加法的測度 φ は可算加法的測度 φc と純有限加法的測度 φp の和に一意的に分解される: φ = φc + φp.