ランダム行列
英語: Wigner's Semicircle Law
ウィグナー行列 Hnの固有値分布ρ(λ)は、行列サイズ n を非常に大きく (n→∞) していった場合にウィグナー半円分布へと近づいていくとするもの。
ρ s c ( λ ) = 1 2 π σ 2 4 σ 2 − λ 2 {\displaystyle \rho _{sc}(\lambda )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}{\sqrt {4\sigma ^{2}-\lambda ^{2}}}\quad }
ここで、λは固有値。σ はウィグナー行列の非対角要素の分散 σ 2 = E ( | h j , k | 2 ) {\displaystyle \sigma ^{2}=E(|h_{j,k}|^{2})} (j≠k)。多くの場合では σ=1 となるように規格化されている。また、行列要素 (確率変数) あるいは固有値を 1 n {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}} で規格化することで行列サイズに依存しない分布則となっている。
英語: Tracy–Widom distribution, Tracy-Widom law
ランダム・エルミート行列の最大固有値分布はTracy–Widom 分布に従う。