ローレンツ群
σ 1 = [ 0 1 1 0 ] , σ 2 = [ 0 − i i 0 ] , σ 3 = [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle \sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right],\;\;\sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&-i\\i&0\end{matrix}}\right],\;\;\sigma _{3}=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right]}
ここでの目的のためには、別の生成子がより便利である。下表その六つの生成子の一覧を挙げる。表の見方は、
最初の行は(リーマン球面から立体射影した後の)ユークリッド平面上の実ベクトル場としてのメビウス群の作用の下のフローの生成子を示す。
二行目は対応するメビウス変換の1パラメータ部分群を示す。
三行目は対応する(上の1パラメータ部分群を準同型写像でうつした)ローレンツ変換の1パラメータ部分群を示す。
四行目は対応するミンコフスキー時空上の実ベクトル場としてのローレンツ群の作用の下のフローの生成子を示す。
これらの生成子は次からなることに注意されたい。
二つの放物型(ヌル回転)
一つの双曲型(∂z 方向のブースト)
三つの楕円型(x,y,z 軸まわりの回転)
この表の一列を検証してみよう。始めに、
σ 2 = [ 0 i − i 0 ] {\displaystyle \sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&i\\-i&0\end{matrix}}\right]}
X 3 , X 4 {\displaystyle X_{3},X_{4}} により、不動点対を共有するブースト、回転、斜航型変換からなるアーベル部分代数が生成される。
三次元部分代数については、
X 1 , X 2 , X 3 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}} により、「ユークリッド相似群」Hom(2) のリー代数と同型な、ビアンキ V 型部分代数が生成される。
X 1 , X 2 , X 4 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{4}} により、ユークリッド群 E(2) と同型な、ビアンキ VII_0 型部分代数が生成される。
X 2 , X 2 , X 3 + a X 4 {\displaystyle X_{2},X_{2},X_{3}+aX_{4}} (ただし a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} )により、ビアンキ VII_a 型部分代数が生成される。
X 1 , X 3 , X 5 {\displaystyle X_{1},X_{3},X_{5}} により、双曲平面上の等長変換群であるリー代数 SL(2, R) と同型な、ビアンキ VIII 型部分代数が生成される。
X 4 , X 5 , X 6 {\displaystyle X_{4},X_{5},X_{6}} により、 回転群のリー代数 SO(3) と同型な、ビアンキ IX 型部分代数が生成される。
(ここで、ビアンキ分類とはイタリア人数学者ルイージ・ビアンキ(英語版)による三次元リー代数の分類である。
これらの(超)曲面は三次元であり、画像は正確なものではなく、O(1, 2) についての対応する事実に対して忠実なものである。ローレンツ群全体に対しては、推移曲面は四種類のみとなる。双曲面および双円錐の上側から下側およびその逆に移す変換 T が存在するからである。
これらの知見は、ローレンツ群の全ての無限次元ユニタリ表現(英語版)を、そして実はポアンカレ群のそれを、誘導表現(英語版)の方法を用いて見付けるためのよい出発点となる。まず、各推移曲面に一つずつ「標準ベクトル」を選び、どの部分群がそれを保存するかを調べる。これらの部分群を物理学者は小群と呼ぶ。 問題は、より簡単な、小群の表現を見つけるという問題に帰着される。例えば、二葉双曲面の標準ベクトルは (m, 0, 0, 0) の形で選ぶことができる。各 m ≠ 0 に対して、このベクトルはちょうど1つの葉に属する。この場合、小群は回転群 SO(3) であり、その全ての表現は既知である。正に粒子が変換される無現次元ユニタリ表現がその分類の一部である。必ずしも全ての表現が(既知の)物理的粒子に対応づけられるわけではない。一葉双曲面の標準ベクトルはタキオンに対応する。光円錐上の粒子は光子や、仮説の段階ではあるが重力子である。原点に対応する「粒子」は真空である。
ここで、次のような一階線形偏微分作用素の形で書かれたベクトル場から1パラメータ群を得る方法について軽くおさらいしておこう。
− y ∂ x + x ∂ y {\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}}
対応する初期値問題は以下のようになる。
∂ x ∂ λ = − y , ∂ y ∂ λ = x , x ( 0 ) = x 0 , y ( 0 ) = y 0 {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=-y,\;{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=x,\;x(0)=x_{0},\;y(0)=y_{0}}
この解は次のように書ける。
x ( λ ) = x 0 cos  ( λ ) − y 0 sin  ( λ ) , y ( λ ) = x 0 sin  ( λ ) + y 0 cos  ( λ ) {\displaystyle x(\lambda )=x_{0}\cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )}
または
制限ローレンツ群 SO(1, 3) は射影線型群 PSL(2, C) と同型であり、これはさらにメビウス群、リーマン球面上の共形幾何(英語版)の対称操作群(英語版)と同型である(この知識は、ロジャー・ペンローズによってツイスター理論の出発点として用いられている)。
このことは、リー群 SL(2, C) から SO(1, 3) へのスピノル写像と呼ばれる全射準同型写像を構築することで示すことができる。これは、次のように進められる。
ミンコフスキー時空上の SL(2, C) の作用を、時空上の点を次の形の 2×2 エルミート行列で表すことによって定義することができる。
X = [ t + z x − i y x + i y t − z ] . {\displaystyle X={\begin{bmatrix}t+z&x-iy\\x+iy&t-z\end{bmatrix}}.}
この表現は次の好ましい性質を持っている。
det X = t 2 − x 2 − y 2 − z 2 . {\displaystyle \det \,X=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.
Q 2 = [ cosh  ( β ) 0 0 sinh  ( β ) 0 1 0 0 0 0 1 0 sinh  ( β ) 0 0 cosh  ( β ) ] = exp  ( β [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] ) {\displaystyle Q_{2}=\left[{\begin{matrix}\cosh(\beta )&0&0&\sinh(\beta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\beta )&0&0&\cosh(\beta )\end{matrix}}\right]=\exp \left(\beta \left[{\begin{matrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{matrix}}\right]\right)}
この変換は z 軸に沿ったラピディティ β のブーストを表わす。これにより生成される1パラメータ部分群は β を実変数とすることにより得られる。対応する天球上の連続変換は(恒等変換以外は)南極と北極という同じ不動点を持つ。他の全ての点は経線に沿って南極から北極方向へと移動する。