特性曲線法
但し ( x s , t s ) {\displaystyle (x_{s},t_{s})\,} と ( x 0 , 0 ) {\displaystyle (x_{0},0)\,} は同一の特性曲線上に存在する。したがって、一般解を決定する上で、次のような常微分方程式の特性システムを解けば十分である。
d t d s = 1 {\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1} 。 t ( 0 ) = 0 {\displaystyle t(0)=0\,} とすることで t = s {\displaystyle t=s\,} が得られる。
d x d s = a {\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a} 。 x ( 0 ) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}\,} とすることで x = a s + x 0 = a t + x 0 {\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0}\,} が得られる。
d u d s = 0 {\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0} 。 u ( 0 ) = f ( x 0 ) {\displaystyle u(0)=f(x_{0})\,} とすることで u ( x ( t ) , t ) = f ( x 0 ) = f ( x − a t ) {\displaystyle u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)\,} が得られる。
この場合、特性曲線は傾きが a {\displaystyle a\,} であるような直線で、任意の特性曲線に沿って u {\displaystyle u\,} の値は定数となる。