循環小数
循環節を示す方法として以下の方法がしばしば用いられる:
循環節の先頭と末尾の数に点をつける(例:0.12·34·5)
循環節全体に上線をつける(例:0.12345)
循環節全体に下線をつける(例:0.12345)
循環節全体を括弧でくくる(例:0.12(345))
規約として、循環節は小数部から始まるようにする。例えば 123.123 を 123 とは書かない。
2 と 5(一般には、基数の約数たる素数)以外の素数 p の逆数の循環節の長さは、p − 1 の約数である。有限小数の循環節の長さを1とするなら、2 と 5(基数の約数たる素数)もこの条件を満たす。
このことは、1/p の循環節の長さが k であることと、10 ≡ 1 (mod p) が同値であることから、初等的な群論より導かれる。
これがちょうど p − 1 となるような素数 p は、小さな順より(2 と 5 を除いて)
7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, ...
である(オンライン整数列大辞典の数列 A1913)。このような p に対する 1/p の循環節は、巡回数となる。 例えば、1/7 の循環節 142857 や、1/17 の循環節 0588235294117647 は巡回数である。素数を、分母とする数の循環節が奇数のものと偶数のものに分けると、2/3 が偶数、1/3 が奇数である。