ビール予想
[ a ( a n + b n ) k ] n + [ b ( a n + b n ) k ] n = ( a n + b n ) k n + 1 , a ≥ 1 , b ≥ 1 , k ≥ 1 , n ≥ 3 {\displaystyle [a(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}+[b(a^{n}+b^{n})^{k}]^{n}=(a^{n}+b^{n})^{kn+1},\quad \quad a\geq 1,\quad b\geq 1,\quad k\geq 1,\quad n\geq 3}
と表せる。
さらに、各解(互いに素となる底の有無にかかわらず)に対して、指数の組が同じで、互いに素でない底の組が増えていく解が無限にある。即ち、解に対して
A 1 x + B 1 y = C 1 z {\displaystyle A_{1}^{x}+B_{1}^{y}=C_{1}^{z}}
であり、加えて
A n x + B n y = C n z ; {\displaystyle A_{n}^{x}+B_{n}^{y}=C_{n}^{z};} n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2}
である。ここで、
A n = ( A n − 1 y z + 1 ) ( B n − 1 y z ) ( C n − 1 y z ) {\displaystyle A_{n}=(A_{n-1}^{yz+1})(B_{n-1}^{yz})(C_{n-1}^{yz})}
B n = ( A n − 1 x z ) ( B n − 1 x z + 1 ) ( C n − 1 x z ) {\displaystyle B_{n}=(A_{n-1}^{xz})(B_{n-1}^{xz+1})(C_{n-1}^{xz})}