角運動量
∑ i , j r i × f i j = 1 2 ∑ i , j ( r i × f i j − r i × f j i ) = 1 2 ∑ i , j ( r i − r j ) × f i j {\displaystyle \sum _{i,j}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}({\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ij}-{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{ji})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j})\times {\boldsymbol {f}}_{ij}}
と変形できる。
ここで、内力が中心力であるならば、内力 fij は質点 i の質点 j から見た相対位置 ri − rj と平行で、内力のモーメントの和は 0 となる。 このとき
d L d t = ∑ i r i × f i {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {f}}_{i}}
となり、質点系の全角運動量の時間変化は作用する外力のモーメントの総和と等しくなる。