P進周期環
BdR は完備離散付値体である。その剰余体は自然に CK と同型である。BdR の離散付値を v、離散付値環 を B+dR で表す。
整数 i に対して付値が i 以上の元からなる BdR の部分集合を Fil BdR で表す。これは BdR の減少フィルトレーションを定める。
BdR には絶対ガロア群 GK が作用する。剰余体への射影 Fil BdR → CK はこのガロア群の作用と可換である。
GK の作用と可換な Qp 線型な自然な単射 Qp(1) ↪ Fil BdR が存在する。この写像による0ではない元の像は BdR の素元になる。この自然な単射から任意の整数 i に対し自然な単射 Qp(i) ↪ Fil BdR が定まる。griFil BdR と CK(i) は GK の作用も込みで同型である。
BGKdR = K
BdR は K をその有限次拡大に置き換えても変わらない。
B+dR は K を含む。これは自明なことではない。
B+dR は離散付値から定義される位相を持つ。これとは別に、定義 B+dR ≔ lim← K⊗WW(R)/Ker(θK) に現れる W(R) の位相の逆極限から得られる位相もある。Fontaine & Ouyang (2008, p. 93) はこの位相を natural topology(直訳: 自然位相)と呼んでいる。
環準同型 s: CK → B+dR であって θ∘s が恒等写像となるものが存在する。ここで θ は B+dR からその剰余体 CK への自然な準同型である。しかし一意には定まらず GK の作用と可換にもならない。