ゲルフォント＝シュナイダーの定理
ダフィット・ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、a は超越数であるか」を提出した。
その後、1929年に、アレクサンドル・ゲルフォントによって、β が虚二次体の場合に、 α β {\displaystyle \alpha ^{\beta }} が超越数であることを証明し、例えば、 e π {\displaystyle e^{\pi }} が超越数であることを示した。
その直後、ゲルフォントの方法を元にして、カール・ジーゲルは、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年(1930年)、ロディオン・クズミン(英語版)は、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。
1934年に、ゲルフォントとテオドール・シュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。 この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。 ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。
ゲルフォント=シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが(系2)、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された(ベイカーの定理を参照)。