ペアノの存在定理
D を空間 R × R の開部分集合とし、
f : D → R {\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }
を D 上の連続関数とし、
y ′ ( x ) = f ( x , y ( x ) ) {\displaystyle y'(x)=f\left(x,y(x)\right)}
を D 上定義される連続で陽的な1階常微分方程式とする。このとき、f に対して ( x 0 , y 0 ) ∈ D {\displaystyle (x_{0},y_{0})\in D} を伴うすべての初期値問題
y ( x 0 ) = y 0 {\displaystyle y\left(x_{0}\right)=y_{0}}
は、局所解
z : I → R {\displaystyle z\colon I\to \mathbb {R} }
を持つ。ここで I {\displaystyle I} は x0 のある近傍であり、すべての x ∈ I {\displaystyle x\in I} に対して z ′ ( x ) = f ( x , z ( x ) ) {\displaystyle z'(x)=f\left(x,z(x)\right)} が成立する。
ここで、そのような解 z の一意性は保証されていないことに注意されたい。すなわち、初期値 (x0,y0) が等しいものであっても、異なる解 z が存在する場合がある。
数学の、特に常微分方程式の研究分野におけるペアノの存在定理(ぺあののそんざいていり、英語: Peano existence theorem)あるいはコーシー・ペアノの定理とは、ジュゼッペ・ペアノとオーギュスタン=ルイ・コーシーの名にちなむ、特定の初期値問題の解の存在を保証するある基本定理のことを言う。