対称式
三次方程式
x − σ1 x + σ2 x − σ3 = 0
の根を x1, x2, x3 とすると、根と係数の関係により
σ1 = x1 + x2 + x3
σ2 = x3 x1 + x1 x2 + x2 x3
σ3 = x1 x2 x3
である。この三次方程式の判別式
D = { (x3 − x1)(x1 − x2)(x2 − x3)}
は対称式であり、次数は、deg(D) = (4,2,0) で x1 x2 の係数は 1である。したがって
h1 = D − σ1 σ2 σ3 = D − σ1 σ2
を考えると、deg(h1) = (4,1,1) で、 x1 x2 x3 の係数は、−4 となる。以下同様に計算すると
h2 = h1 − (−4 σ1 σ2 σ3) = h1 + 4σ1 σ3
deg(h2) = (3,3,0)、 x1 x2 の係数は −4
h3 = h2 − (−4 σ1 σ2 σ3) = h2 + 4σ2
deg(h3) = (3,2,1)、x1 x2 x3 の係数は 18
h4 = h3 − (18 σ1 σ2 σ3) = h3 − 18σ1σ2σ3 = − 27 x1 x2 x3 = −27 σ3
となるので
D = σ1 σ2 + h1 = ... = σ1 σ2 −4σ1 σ3 −4σ2 + 18σ1σ2σ3 + 27 σ3
が得られる。次数が
(4,2,0) > (4,1,1) > (3,3,0) > (3,2,1) > (2,2,2)
と、単調に減っていくことを利用した方法である。
基本対称式の単項式
T = ∏ k = 1 n σ k a k = σ 1 a 1 σ 2 a 2 ⋯ σ n a n {\displaystyle T=\prod _{k=1}^{n}\sigma _{k}^{a_{k}}=\sigma _{1}^{a_{1}}\ \sigma _{2}^{a_{2}}\ \cdots \ \sigma _{n}^{a_{n}}}
に対して、重さ
w ( T ) = ∑ k = 1 n k a k = a 1 + 2 a 2 + ⋯ + n a n {\displaystyle w(T)=\sum _{k=1}^{n}k\ a_{k}=a_{1}+2\ a_{2}+\cdots +n\ a_{n}}
を定義する。 0 でない定数 c をかけた c T の重さも、T と同じとする。σ1,σ2,...,σn の多項式で、重さが同じ単項式の和になっているものを、斉重多項式(せいじゅうたこうしき、isobaric polynomial)という。
基本対称式 σk は、x1,x2,...,xn に関して、k 次の斉次多項式であるので、単項式 T は、x1,x2,...,xn に関して、 w(T) 次の斉次多項式となり、x1,x2,...,xn に関する斉次多項式の次数と、σ1,σ2,...,σn に関する斉重多項式の次数が対応している。
したがって、対称式を基本対称式で表すためには、対称式を、次数の異なる斉次多項式にわけ、それぞれの斉次多項式を、その次数と同じ重さをもつ、斉重多項式で表していけばよい。
任意の対称式 f(x1,x2,...,xn) に対し、基本対称式を変数にとる多項式 g(σ1,σ2,...,σn) が一意に存在して
f(x1,x2,...,xn) = g(σ1,σ2,...,σn)
となる。これを対称式の(第一)基本定理という。この g(σ1,σ2,...,σn) という多項式は一意に決まる。この基本対称式に関する多項式 g を具体的に見いだすアルゴリズムは複数知られており、それらは、基本定理の証明を与えてもいる。ここでは、そのような方法のいくつかを述べる。
x2 + x3 = τ1 = σ1 − x1
x2 x3 = τ2 = σ2 − σ1 x1 + x1
x1 = σ1 x1 − σ2 x1 + σ3
の 3 式を用いて、対称式である三次方程式の判別式を計算すると
D = { (x3 − x1)(x1 − x2)(x2 − x3)}
= { x1 − (x2 + x3) x1 + x2 x3} {(x2 + x3) − 4x2 x3}
= (3 x1 − 2σ1 x1 + σ2) (−3x1 + 2σ1 x1 +σ1 − 4σ2)
= {9 x1 − 12σ1 x1 + (4σ1 + 6σ2) x1 − 4 σ1 σ2 x1 + σ2} (−3x1 + 2σ1 x1 +σ1 − 4σ2)
= {(σ1 − 3 σ2)x1 − (σ1σ2 − 9 σ3) x1 + σ2 − 3 σ1σ3}(−3x1 + 2σ1 x1 +σ1 − 4σ2)
= (9σ2 − 3σ1)x1 + (2σ1 − 3σ1σ2 − 27 σ3)x1 + (σ1 − 9 σ1σ2 + 27 σ1σ3 + 9σ2) x1 + (−σ1σ2 + 3σ1σ3 + 6σ1σ2 − 36 σ2σ3) x1 + (σ2 − 3 σ1σ3)(σ1 − 4σ2)
= σ1 σ2 −4σ1 σ3 −4σ2 + 18σ1σ2σ3 + 27 σ3
となり、最終的に x1 が全て消え、基本対称式を変数とする多項式になる。