クライン-ゴルドン方程式
クライン–ゴルドン方程式 (クライン–ゴルドンほうていしき、英: Klein–Gordon equation) は、スピン0の相対論的な自由粒子を表す場(クライン–ゴルドン場)が満たす方程式である。スウェーデン人物理学者オスカル・クラインとドイツ人物理学者ヴァルター・ゴルドンにちなんで名づけられた。
量子論の形成において、相対論的波動方程式は波動力学の基礎を築いたエルヴィン・シュレーディンガーによって、最初に考察された。シュレーディンガーは、波動力学の基礎方程式を導出する過程の中で、相対論的な方程式を考えたが、これは水素原子のスペクトル構造を正しく与えることができず、1926年に非相対論的なシュレーディンガー方程式を導くに至った。また、ルイ・ド・ブロイはド・ブロイ波の理論の中で、粒子性と波動性を持つ物質場を相対論的に論じた。
シュレーディンガー方程式による量子力学の定式化が成功を収めて間もなく、非相対論的なシュレーディンガー方程式の相対論的な方程式への拡張として、クライン–ゴルドン方程式がオスカル・クライン、ヴァルター・ゴルドンによって提案された。また、同時期にウラジミール・フォック、J. Kudar、テオフィル・ド・ドンデらも同様な提案を行った。
しかしながら、当初、クライン–ゴルドン方程式が記述する φ ( x , t ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)} は波動関数として解釈されたため、いくつかの問題を抱えていた。 φ ( x , t ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)} を波動関数と見なした場合、クライン–ゴルドン方程式は時間について二階の微分方程式であり、確率密度が負の値を取りうるため、量子力学における確率解釈が困難であった。
で与えられる。但し、添え字μについてはアインシュタインの記法に従った和を取るものとする。このとき、場の量に対するオイラー=ラグランジュ方程式
∂ L ∂ φ − ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }{\biggl (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\biggr )}=0}
より、上述のクライン–ゴルドン方程式が導かれる。