ガウス整数
ガウス整数環を含む一般の環において、単数以外の元の積で表せない元のことを既約元といい、素元とは別であるが、後述するようにガウス整数環においては既約元と素元は同じ概念になるので問題はない。
約数が、同伴による違いを除いて 1 と自分自身のみである単数ではないガウス整数をガウス素数と呼ぶ。同伴による違いを区別しても、ガウス素数 z とは、約数が(8個の)自明な約数 (±1, ±i, ±z, ±iz) のみであるガウス整数のことである。通常の有理整数環 Z での素数と区別するために、通常の素数は有理素数と呼ばれることもある。
ガウス素数には以下の3つのタイプがある。
ノルムが 2 であるもの。すなわち、±(1 + i), ±(1 − i) の4つ。
ノルムが 4n + 1 の形の有理素数であるもの
これは 4n + 1 型の有理素数の分解を与える。 100 以下の 4n + 1 型の有理素数の分解(同伴な表示は略): 5 = (1 + 2i)(1 − 2i) 13 = (2 + 3i)(2 − 3i) 17 = (1 + 4i)(1 − 4i) 29 = (2 + 5i)(2 − 5i) 37 = (1 + 6i)(1 − 6i) 41 = (4 + 5i)(4 − 5i) 53 = (2 + 7i)(2 − 7i) 61 = (5 + 6i)(5 − 6i) 73 = (3 + 8i)(3 − 8i) 89 = (5 + 8i)(5 − 8i) 97 = (4 + 9i)(4 − 9i)