輪 (数学)
より明確に、輪 W とは二つの可換かつ結合的な二項演算(加法 "+" と乗法 "⋅")とそれぞれの単位元となる定数 0, 1 および単項演算 "/" の組 (W, +, 0, ⋅, 1, /) であって以下の法則を満足するものを言う。x, y, z は W の任意の元として
/(xy) = /x ⋅ /y かつ //x = x,
xz + yz = (x + y)z + 0z,
(x + yz)/y = x/y + z + 0y,
0 ⋅ 0 = 0,
(x + 0y)z = xz + 0y,
/(x + 0y) = /x + 0y,
0/0 + x = 0/0.
さらに 1 + a = 0 を満たす元 a が存在する場合には、この a を用いて符号反転 −• = a ⋅ • および減算 x − y := x + (−y) を定義する。
さてこれらから、以下のような等式
0x + 0y = 0xy,
x − x = 0x,
x/x = 1 + 0x/x
の成立が導かれる。故に x が 0x = 0 かつ 0/x = 0 を満たす場合に限り、通常の算術法則
x − x = 0 および x/x = 1
が得られることになる。