リーマン・フルヴィッツの公式
向き付け可能な曲面 S に対し、オイラー標数 χ(S) は、
2 − 2 g {\displaystyle 2-2g\,}
である。ここに、ベッチ数は 1, 2g, 1, 0, 0, ... であるので、g は種数(把手の数(number of handles)である。全射で次数が N の曲面の(不分岐な)被覆写像
π : S ′ → S {\displaystyle \pi :S'\to S}
の場合は、公式
χ ( S ′ ) = N ⋅ χ ( S ) {\displaystyle \chi (S')=N\cdot \chi (S)}
を得る。
オイラー標数が位相不変量(topological invariant)であるのでそのようにタイトルをつけたように、少なくとも、S の充分な三角化(英語版)(triangulation)を使うと、S の各々の単体は、S' の中でちょうど N 個で被覆されねばならないからである。リーマン・フルヴィッツの公式の役目は、(シートが互いに出くわすような)分岐をもつことを可能とする修正を(オイラー標数の定義へ)加えたことにある。
ここで、S と S' をリーマン面とし、写像 π を複素解析的と仮定する。写像 π は S' の上の点 P で分岐(ramified)しているとは、P の近傍で解析的な座標が存在し π(P) は π が π(z) = z とn > 1 の形をとるような場合を言う。