フェルマー＝カタラン予想
2014年現在、以下の10個の解が知られている。
1 m + 2 3 = 3 2 ( m > 6 ) {\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}(m>6)}
2 5 + 7 2 = 3 4 {\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}}
13 2 + 7 3 = 2 9 {\displaystyle 13^{2}+7^{3}=2^{9}}
2 7 + 17 3 = 71 2 {\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}}
3 5 + 11 4 = 122 2 {\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}}
33 8 + 1549034 2 = 15613 3 {\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}}
1414 3 + 2213459 2 = 65 7 {\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}}
9262 3 + 15312283 2 = 113 7 {\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}}
フェルマー=カタラン予想(フェルマー=カタランよそう、英: Fermat–Catalan conjecture)とはフェルマーの最終定理とカタラン予想を結びつけて提起された数論の予想である。フェルマー=カタラン予想は「方程式
a m + b n = c k {\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}}
と不等式
1 m + 1 n + 1 k < 1 {\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1}
を同時に満たす自然数の組 (a, b, c, m, n, k) であって、(a, b, c)が互いに素で、(a, b, c)の値が異なるものは、有限個しか存在しない」という命題である。不等式から m, n, k は全て 2 以上で、うち少なくとも2つは 2 より大きいものに限られることが分かる。
m, n, k のうち2つが 2 である場合は上の不等式を満たさないためフェルマー=カタラン予想の対象外であるが、実際に解の無限系列が知られている。特にm = n = k = 2 の場合は a, b, c はピタゴラス数であって、方程式を満たす組 (a, b, c) は無数に存在することはよく知られる。
また m > 3 で m = n = k の場合は (a, b, c) はフェルマーの最終定理の方程式(のうち指数が 4 以上のもの)を満たす自然数解であるが、そのような (a, b, c) は存在しないことがワイルズによって証明されている。