局所凸位相ベクトル空間
近傍基に関する定義はより良い幾何的な表現を与えるものであるが、半ノルムに関する定義は実際に扱う上でより簡単なものとなる。それら二つの定義の同値性は、ミンコフスキー汎函数あるいはミンコフスキーゲージとして知られる構成法によって従う。ε-球の凸性を保証する半ノルムのキーとなる性質は、三角不等式である。
C 内の x に対し、0 ≤ t ≤ 1 ならば tx も C 内にあるような併呑集合 C を考える。C のミンコフスキー汎函数を次で定義する。
μ C ( x ) = inf { λ > 0 : x ∈ λ C } . {\displaystyle \mu _{C}(x)=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda C\}.}
この定義より、C が均衡かつ凸(また仮定より併呑)であるなら、μC は半ノルムとなる。逆に、半ノルムの族が与えられたとき、集合
{ x : p α 1 ( x ) < ε , ... , p α n ( x ) < ε } {\displaystyle \{x:p_{\alpha _{1}}(x)<\varepsilon ,\dotsc ,p_{\alpha _{n}}(x)<\varepsilon \}}
は凸併呑均衡集合の基を形成する。