純虚指数函数
積分: ∫ cis  ( z ) d z = − i cis  ( z ) = − i e i z {\displaystyle \int \operatorname {cis} (z)\,dz=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}}
以下はオイラーの公式から直ちに従う:
cis  ( x + y ) = cis  ( x ) cis  ( y ) {\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x)\,\operatorname {cis} (y)}
cis  ( x − y ) = cis  ( x ) cis  ( y ) {\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}}
これらの等式は x, y が任意の複素数として成り立つ。x, y がともに実ならば
| cis  ( x ) − cis  ( y ) | ≤ | x − y | {\displaystyle |\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|}
と評価することができる。