Lp空間
‖ x ‖ p := ( | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ + | x n | p + | x n + 1 | p + ⋯ ) 1 / p {\displaystyle \|x\|_{p}:=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\dotsb \right)^{1/p}}
で定義する。
ここで、右辺の級数は必ずしも収束するわけではないという問題が生じる。例えば、1 のみからなる列 (1, 1, 1, ...) の p-ノルム(長さ)はすべての有限な p ≥ 1 に対して無限大となる。このことを踏まえて、空間 l は p-ノルムが有限であるような、実数あるいは複素数の無限数列すべてからなる集合として定義される。
p が増加するにつれて、集合 l は大きくなることが確かめられる。例えば、数列
( 1 , 1 2 , ... , 1 n , 1 n + 1 , ... ) {\displaystyle {\Big (}1,{\frac {1}{2}},\dotsc ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\dotsc {\Big )}}
は l には含まれないが、p > 1 であるような l には含まれる。なぜならば、級数
1 p + 1 2 p + ⋯ + 1 n p + 1 ( n + 1 ) p + ⋯ {\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\dotsb +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\dotsb }