電磁ポテンシャル
はダランベール演算子である。
スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルを分けて書けば、ローレンツ条件は
1 c 2 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ A = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}=0}
となり、マクスウェルの方程式は
◻ φ = − ρ ε 0 {\displaystyle \square \phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}
◻ A = − μ 0 j {\displaystyle \square {\boldsymbol {A}}=-\mu _{0}{\boldsymbol {j}}}
となる。
が得られる。
スカラー値関数 φ には定数分の自由度があり、一意に定まらない。そこで(M0-b)を満たすものの中から任意に選んだ1つをスカラー・ポテンシャルとして定める。なお、条件式(M0-b)はスカラーポテンシャルだけでなくベクトルポテンシャルにも依存しているので、スカラーポテンシャルは(複数ある)ベクトルポテンシャルのうち1つを定めてはじめて定義できる。従って、スカラーポテンシャルはベクトルポテンシャルと組にして初めて意味をなす概念である。
静磁場における電位の場合と同様の議論により、
φ ( x , y , z ) = − ∫ C ( E + ∂ A ∂ t ) ⋅ d s + c o n s t a n t {\displaystyle \phi (x,y,z)=-\int _{C}\left({\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} s+\mathrm {constant} }
が成り立つ事が言える。ここでC は基点と(x,y,z)とを結ぶ任意の経路である。右辺の値は経路C に依存しない事が言える(電位の項目も参照)。