合同算術
整係数多項式の場合は少し事情が異なり、除法がうまく行くには最高次係数が ±1 でなければならない。多項式 X + 1 を法とする算術を考えれば、その商構造はやはり環を成し、整数 α, β と虚数単位 i に対して α + iβ の形に書ける数全体の成す集合と同一視することができる(i と単項式 X が対応する)。このような数の集合はガウスの整数環である。
ガウス整数環はノルムを考えることができる。ガウス整数 a = α + iβ には(複素数の絶対値から導かれる)ノルム α + β が割り当てられる。このノルムを用いて(右図のように)ユークリッド除法が定義できる。ガウス整数はガウス平面上の(成分が整数の)格子点として表すことができることに注意する。ガウス整数 a, b の複素数としての商 a⁄b は b が非零ならば存在するが、それは必ずしもガウス整数ではない。
おそらくバシェ・ド・メジリアクの手によってベズーの等式のいくつかはうまく解かれたけれども、問題の本質的な部分に答えるようなものではなかったし、フェルマーの二平方和定理にしても答えをほとんど誰も理解できないもので、フェルマーの最終定理にしてもフェルマー自身が « ... mais la place me manque ici pour la développer »(“......しかしこの余白はそれを記すには狭すぎる”)という書き込みを残したのみであった(はじめてきちんとした証明が現れるのは1994年と1995年である))。フェルマーはしばしば自身の失敗を自白するコメント « Je vous avoue tout net (car par avance je vous avertis que je ne suis pas capable de m'attribuer plus que je ne sais, je dis avec la même franchise ce que je ne sais pas) que je n'ai pu encore démontrer... cette belle proposition que je vous ai envoyée... »(“わたしは包み隠さず告白する(時代が進んで私の知らないよりたくさんのことが私に帰せられるに値する能力を私が有していないことを、同じく私が知らないということを脇において言う)私は再び証明することができなかったということを......この美しき命題をあなたに送る......”)で彼の定理を締めくくっている。
ユークリッド除法が可能であるというのは、a⁄b との差のノルムが最小となるガウス整数がただ一つ存在するということである(右図ではその候補が少なくとも三点、一般には一点から四点の候補が考えられる)。
ユークリッド除法が可能であることからこの整数環の性質がいくつか導かれる(ベズーの等式、ガウス素数の存在、および素因数分解の一意性などを挙げることができる)。ガウス素数を用いてデテキントはフェルマーの二平方和定理の平易な証明を与えている(左図はそれを視覚的に示したもの)。素数 p が二つの平方の和に表すことができるのは、p の平方根を半径とする単位円が少なくとも一つのガウス整数と交わるときである。
ゴットホルト・アイゼンシュタインは1844年にガウスと邂逅し、新たな整数環を発見している。アイゼンシュタインの整数環の算術はフェルマーの最終定理の n = 3 の場合の厳密な証明に利用できる。そういった意味合いからも、このような一般化された合同算術の理論の必要性が正当化される。