多項式の根
多項式の根の計算にミューラー法(フランス語版)が利用できる。多項式 P をラグランジュ補間により二次多項式 a 2 x 2 + b 2 x + c 2 {\textstyle a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}} で補間する。P の補間式の係数を、三点 x1, x2, x3 で評価して求めれば:
a 2 = P [ x 0 , x 1 ] − P [ x 1 , x 2 ] x 0 − x 2 = P [ x 0 , x 1 , x 2 ] {\displaystyle a_{2}={\frac {P[x_{0},x_{1}]-P[x_{1},x_{2}]}{x_{0}-x_{2}}}=P[x_{0},x_{1},x_{2}]}
b 2 = P [ x 1 , x 2 ] − a 2 × ( x 1 + x 2 ) {\displaystyle b_{2}=P[x_{1},x_{2}]-a_{2}\times (x_{1}+x_{2})}
c 2 = P ( x 2 ) − a 2 × x 2 2 − b 2 × x 2 {\displaystyle c_{2}=P(x_{2})-a_{2}\times x_{2}^{2}-b_{2}\times x_{2}}
となる。
非零多項式 P と任意の α ∈ A に対し P(X) を (X – α) が割り切るような最大の整数 m を P に関する α の位数または重複度と呼ぶ。 この整数 m は P(X) = (X – α)Q(X) かつ Q(α) ≠ 0 なる多項式 Q の存在によって特徴付けられる。 m = 1 となるとき α を P の単根と言い、m > 1 のとき重根という。
多項式 X – 2 は分離多項式(つまり重根を持たない)であり、以下に述べる意味で R において分解する: