冪集合
冪集合(べきしゅうごう、英: power set)とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪(べき)と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字として巾集合とも書かれる。
集合と呼ぶべき対象を公理的にかつ構成的に与える公理的集合論では、新たに作られた原体の冪集合もしくはそれに準ずる複数の冪集合が、それぞれの連続性に関わらず集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ(冪集合公理)としてしばしば提示する。
詳細は「ブール代数」、「集合の代数学」、「有限加法族」、および「集合環」を参照
冪集合に定義される様々な集合演算は、冪集合を代数系として取り扱う手段を与えてくれる。たとえば、集合の結び ∪ {\displaystyle \cup } や交わり ∩ {\displaystyle \cap } は交換可能で結合的な演算であるから、半群として冪集合を見ることができる。さらに、結びに関する中立元は空集合 ∅ {\displaystyle \emptyset } であり、全体集合 S {\displaystyle S} が交わりに関する中立元となるので、 ( P ( S ) , ∪ , ∅ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\cup ,\emptyset )} や ( P ( S ) , ∩ , S ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\cap ,S)} はモノイドである。また、対称差 Δ {\displaystyle \Delta } を与えられた演算とする代数系 ( P ( S ) , Δ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\Delta )} は、空集合を単位元とし、補集合を逆元にもつ群になる。