余弦定理
ユークリッド原論第2巻命題12では、鈍角三角形の鈍角に対応する第二余弦定理がピタゴラスの定理を用いて示されている。現代的に書けば
γ > π/2 のとき B から AC に下ろした垂線の足を H とする。H は線分 AC 上ではなく AC を C の方へ延長した半直線上にある。d = CH, h = BH として △ABH と △CBH にピタゴラスの定理を適用すると
c 2 = ( b + d ) 2 + h 2 d 2 + h 2 = a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}=\left(b+d\right)^{2}+h^{2}\\d^{2}+h^{2}=a^{2}\end{aligned}}}
となり
c 2 = b 2 + 2 b d + d 2 + h 2 = a 2 + b 2 + 2 b d {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}\\&=a^{2}+b^{2}+2bd\end{aligned}}}
となる。
余弦関数を用いた表現では、鈍角に対する余弦が負になることに注意すれば d = −a cos γ である。
ユークリッド原論の第2巻命題12では、△ABC を γ が鈍角の鈍角三角形としたとき
c = a + b − 2ab cos γ
が成り立つことと、命題13で鋭角三角形の場合が示されている。ユークリッド原論では余弦関数は使われていないが、辺の長さを用いて余弦定理と本質的に同じ命題が示されている。
イスラム世界では、10世紀に活躍した天文学者であり数学者のバッターニーはこれらの結果を球面幾何学にまで広げ、星の間の距離を測定した。15世紀には、アル=カーシーが精密な三角関数表を作成し、余弦定理を三角測量に使いやすい形にした。このためフランスでは、余弦定理はアル=カーシーの定理 (Théorème d'Al-Kashi) と呼ばれている。
西洋での余弦定理は16世紀にフランソワ・ビエトによって独自に発見されたことで有名になり、19世紀初頭から現代のような数式で書かれるようになった。
余弦定理(よげんていり、英: law of cosines, cosine formula)とは、平面上の三角法において三角形の内角の余弦と辺の長さとの間に成り立つ関係を与える定理である。余弦定理は広義には、本題(第二定理)とそれを証明するための補題(第一定理)からなり、第一定理に言及するときそれらは区別される。ただし第一定理と第二定理は実は同値であり、変数の少ない第二定理が計量の上で実用的とされる。そのため、単に余弦定理と言った場合、第二定理を指す。