ローレンツ方程式
ほぼ全ての初期点は、3つの平衡に関して、不変集合 – ローレンツアトラクター – 、ストレンジアトラクター、フラクタル、隠れアトラクタ#自己励起アトラクタ#自己励起アトラクタに傾くことになる。そのハウスドルフ次元は、上からリアプノフ指数 によって2.06±0.01と見積もられる 。また相関次元は2.05±0.01と推定されている。 グローバルアトラクターの正確なリアプノフ指数の公式は、パラメータの古典的な制限の下で解析的に求めることができ、次に示す。
3 − 2 ( σ + β + 1 ) σ + 1 + ( σ − 1 ) 2 + 4 σ ρ {\displaystyle 3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {\left(\sigma -1\right)^{2}+4\sigma \rho }}}}}
ローレンツアトラクターは解析が難しいが、微分方程式のアトラクターへの作用はかなり単純な幾何学モデルで記述され、この証明はスメイルの問題の14番目の問題であったが、2002年にウォリック・タッカーによって初めて解決された。
ρの他の値では、系は結び目のある周期的な軌道を示す。例えば、ρ=99.96ではT(3,2)(トーラス結び目)となる。