モノイド環
任意の環 S について、環準同型 α′: R → S およびモノイド準同型 β′: G → S (S は乗法についてモノイドと見る)の組で α′(r) と β′(g) (r ∈ R, g ∈ G) が常に可換となるものが与えられるならば、環準同型 γ: R[G] → S で γ ∘ α = α′ かつ γ ∘ β = β′ を満たすものが一意的に存在する。
圏論的に述べれば、モノイドの圏 Mon と結合的 R-多元環の圏 R-Alg に対して、函手 U: R-Alg → Mon を環にその乗法モノイドを対応させるものとすれば、標準的な埋め込み G → U(R[G]); g ↦ 1⋅g が普遍である。即ち R-多元環 A と任意のモノイド準同型 f: G → U(A) に対し F(∑ rg⋅g) = ∑ rg⋅f(g) となる F が一意に定まる。別な言い方をすれば、モノイドにモノイド環を対応させる函手は U の左随伴である。