バナッハ・マズール・ゲーム
このとき、 U 1 ∖ { x 1 } {\displaystyle U_{1}\setminus \{x_{1}\}} は Y {\displaystyle Y} の空でない開集合である。なので、 P 2 {\displaystyle P_{2}} は W {\displaystyle W} の元 W 2 {\displaystyle W_{2}} を、これに部分集合として含まれるように取ることができる。 P 1 {\displaystyle P_{1}} は W 3 {\displaystyle W_{3}} を W 2 {\displaystyle W_{2}} の内側に取ることができる。 P 2 {\displaystyle P_{2}} は先ほどと同様の理由で、 W 4 ⊂ W 3 {\displaystyle W_{4}\subset W_{3}} で x 2 {\displaystyle x_{2}} を持たないようにとれる。この方法により、各点 x n {\displaystyle x_{n}} はそれぞれ W 2 n {\displaystyle W_{2n}} には属さない、よって全ての W n {\displaystyle W_{n}} の共通部分は X {\displaystyle X} のどの点も避けてしまう。Q.E.D