レイリー・リッツ法
行列
の固有値は 1 , 2 , 3 {\displaystyle 1,2,3} であり、それぞれに対応する固有ベクトルは以下のとおりである。
ここで、
とすると、
の固有値は 1 , 3 {\displaystyle 1,3} でありそれぞれに対応する固有ベクトルは以下のとおりとなる。
したがってリッツ値は 1 , 3 {\displaystyle 1,3} 、リッツベクトルは以下のように求まる。
この例で与えられた V {\displaystyle V} を用いると、リッツベクトルは A {\displaystyle A} の固有ベクトルのうち2つと完全に一致しており、リッツ値も3つの固有値のうち2つと完全に一致している。この例において近似解が厳密解と一致したのは、行列 V {\displaystyle V} の列空間が2つの固有ベクトル x λ = 1 {\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =1}} および x λ = 3 {\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =3}} によって張られる線形部分空間と一致していたからと説明される。
本手法は1908年から1909年にかけてヴァルター・リッツが発表したもので、リッツ法と呼ぶべきであるという主張もある。A. W. Leissaによれば、レイリー卿は1911年にリッツの業績を顕彰する論文を書いたが、彼自身が書籍他の刊行物において本手法をすでに何度も用いていたと述べている。後に異論も出たもののこの主張にくわえ、射影に単一ベクトルを用いる自明な場合、本手法はレイリー商の計算に帰着するという事実もあり、異論もあるもののレイリー・リッツ法という名称が現在まで用いられている。S.Ilankoはリヒャルト・クーラントを引いて、レイリー卿とヴァルター・リッツがそれぞれ独立に、偏微分方程式の境界値問題と変分問題の等価性を活用し、有限のパラメータを決定すればよい極値問題で変分法を置き換えるというアイデアを独自に考案したとする。詳細については、リッツ法(英語版)の項を参照されたい。皮肉なことに、後にこの手法はより単純でより一般的な正射影を用いるよう改良され、ボリス・ガラーキン(英語版)に名を因んでガラーキン法(英語版)もしくはリッツ・ガラーキン法と呼ばれる。