アペリーの定理
アペリーの結果から一年も経たないうちに別の証明がフリッツ・ボイカーズ(英語版)によって見つかった。彼はアペリーの級数をずらしルジャンドル多項式 P n ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)} を含む積分に置き換えた。後にHadjicostas's formula(英語版)へと一般化されることになる表現を用いて、ある整数 An と Bn (数列 A171484 および A171485)に対して
∫ 0 1 ∫ 0 1 − log  ( x y ) 1 − x y P n ~ ( x ) P n ~ ( y ) d x d y = A n + B n ζ ( 3 ) lcm  [ 1 , ... , n ] 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {-\log(xy)}{1-xy}}{\tilde {P_{n}}}(x){\tilde {P_{n}}}(y)\,dxdy={\frac {A_{n}+B_{n}\zeta (3)}{\operatorname {lcm} \left[1,\ldots ,n\right]^{3}}}}