平方根
x ≥ 0 に対して、その冪乗と冪根について
x = ( x ) 2 = ( x 2 4 ) 2 = ( x 3 6 ) 2 = ⋯ {\displaystyle x=\left({\sqrt {x}}\right)^{2}=\left({\sqrt[{4}]{x^{2}}}\right)^{2}=\left({\sqrt[{6}]{x^{3}}}\right)^{2}=\cdots }
が成り立ち、特に
x 1 / 2 := x {\displaystyle x^{1/2}:={\sqrt {x}}}
と定めることは(指数の表示 1/2 = 2/4 = 3/6 = ... に依らずに一定という意味で)well-defined で、指数法則とも整合する。
有理数体 Q(有理数全体(負の数も含む))上で定義される函数
Q ∋ x ↦ x ∈ A {\displaystyle \mathbb {Q} \ni x\mapsto {\sqrt {x}}\in \mathbb {A} }
において、その値域は(虚数も含めた)代数的数(の一部)からなる。有理数の平方根が再び有理数となるならば、その有理数は(有理数の範囲での)平方数であるという。有理数内で平方数とならない有理数 d に対して √d は二次の無理数であって、Q に √d を付け加えて得られる体(たい)は二次体と総称される。