ヘロンの三角形
3辺の長さがすべて整数である直角三角形は、面積も整数となる。よってこれらはすべてヘロンの三角形である。
直角三角形でないヘロンの三角形の例として、3辺の長さが 5, 5, 6 の三角形がある(面積は 12)。この三角形は合同な2つの直角三角形をつなぎ合わせたものと見ることができる。この考え方は右の図のように一般化できる。
a, b, c が直角三角形の3辺であり a, d, e もそうであるとすると、長さ a の辺で両者をつなぎ合わせた三角形(3辺の長さは c , e , b + d )の面積は A = 1 2 ( b + d ) a {\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a} となる。a が偶数であれば A は整数である。a が奇数の場合、b と d が共に偶数となる。b+d が偶数なので、A は整数となる。
すべてのヘロンの三角形が2つの「3辺の長さが整数である直角三角形」に分割されるとは限らない。一例として、3辺の長さが 5, 29, 30 である三角形がある。この三角形の面積は 72 でありヘロンの三角形の条件を満たすが、どの方向に配置しても高さが整数とならない。最初の条件を「3辺の長さが有理数である直角三角形」に緩和すると、常に分割は可能となる。例にあげた 5, 29, 30 の三角形は、7/5, 24/5, 5 と 143/5, 24/5, 29 の2つの三角形に分割することができる。全て有理数なので、適当な整数(この場合は5)をかけることにより全ての辺を整数にすることができる。