反傾表現
表現論において、 V {\displaystyle V} のベクトルと V ∗ {\displaystyle V^{*}} の線型汎関数はいずれも列ベクトルと考え、したがって表現は左から(行列の乗法によって)作用できる。線型汎関数 φ {\displaystyle \varphi } の v ∈ V {\displaystyle v\in V} への作用 φ ( v ) {\displaystyle \varphi (v)} は行列の乗法
⟨ φ , v ⟩ ≡ φ ( v ) = φ T v {\displaystyle \left\langle \varphi ,v\right\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v}
によって表現できる。ただし上付きの T {\displaystyle T} は行列の転置を表す。群 G {\displaystyle G} の作用と整合的であるためには
⟨ ρ ∗ ( g ) φ , ρ ( g ) v ⟩ = ⟨ φ , v ⟩ {\displaystyle \left\langle \rho ^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \varphi ,v\right\rangle }