明示公式
を得る。ここに非整数 x に対し、ψ(x) は x よりも小さい全ての素数べき p を渡る log(p) の和である。これはリーマン明示公式のフォン・マンゴルトによる証明で重要な役割を果たす。
ここで零点を渡る和は、再び、虚数部の増加するオーダーの中でとる必要がある。
∑ ρ x ρ ρ = lim T → ∞ S ( x , T ) {\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\rightarrow \infty }S(x,T)\ }
ここに、
S ( x , T ) = ∑ ρ : | I ρ | ≤ T x ρ ρ {\displaystyle S(x,T)=\sum _{\rho :|\Im \rho |\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}}
である。
和を消去することを意味する S(x,T) のエラー項は、オーダーが
x 2 log 2  T T + log  x {\displaystyle x^{2}{\frac {\log ^{2}T}{T}}+\log x}
である。
リーマンゼータ函数はディリクレ指標 χ のディリクレのL-函数により置き換えることができる。従って、素数べきを渡る和は余剰要素 χ(p) と項 Φ(1) を持っていて、L-級数は極を持たないので Φ(0) は 0 となり消える。
さらに一般的には、リーマンゼータ函数や一般のL-函数は、デデキントゼータ函数を代数体のヘッケのL-級数を置き換えることにより得られる。従って、素数を渡る和は、素イデアルを渡る和に置き換えることができる。