半周長
任意の三角形において、頂点とその反対側にある傍接円の接点は三角形の周を2等分する。即ち頂点からこの接点への2つの経路の長さは半周長に一致する。A, B, C, A', B', C' を右の図のように置けば、以下の式が成り立つ。
s = | A B | + | A ′ B | = | A B | + | A B ′ | = | A C | + | A ′ C | {\displaystyle s=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|}
= | A C | + | A C ′ | = | B C | + | B ′ C | = | B C | + | B C ′ | . {\displaystyle =|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.}
3本の直線 AA',BB', CC' はナーゲル点で交わる。
三角形の cleaver(英語版)と呼ばれる線は、辺の中点を通り周を2等分する線である。即ち、cleaver で分割された周の2つの部分は共に半周長の長さを持つ。3つの cleaver は角の二等分線に平行であり、中点三角形の内心で交わる。この交点は、もとの三角形を「中空」――即ち、辺は重さをもつが内部の点は重さをもたない針金細工のようなもの――だと考えた場合の物理的な重心であり、シュピーカー心とも呼ばれる。
直線が周長を2等分するのは、その線が三角形の内心を通るときのみである。
三角形の半周長は、その中点三角形の周長に等しい。
三角不等式より、半周長は最も長い辺より長いことがわかる。