バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
楕円曲線上の有理点(x 座標も y 座標も有理数になる点)は、加法 '+' を定義することができる。楕円曲線 E 上の2点 P = (x1, y1), Q = (x2, y2) に対し、直線 PQ と E との交点と x 軸に関して対称な位置にある点 (x3, y3)を P + Q で表される点と定義する。(詳細は楕円曲線の記事を参照)
このような演算により、有理点全体は無限遠点を付加することで、アーベル群をなすが、さらに有限生成アーベル群になることが証明されている。
アーベル群の基本定理から、この有限生成アーベル群は、無限巡回群 Z と素数べきの位数を持つ巡回群 Z / m1Z, ..., Z / mtZ の直積
Z r × Z / m 1 Z × Z / m 2 Z × ⋯ × Z / m t Z {\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /m_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /m_{2}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /m_{t}\mathbb {Z} }
に同型であることが知られている。この r のことを楕円曲線 E の階数とよぶ。
楕円曲線 E の L 関数 L(E, s)を、s = 1 の周りでテイラー展開すると次のように書けたとする。
L(E, s) = (係数) × (s − 1) の r 乗 + ∑{(s−1) の (r+1) 乗以上の項}
このとき、r はこの楕円曲線の階数になるというのがBSD予想である。
これは、L(E, s) の解析接続は虚数乗法を持つ曲線に対してしか確立されておらずこれはまた数値計算の例の主なソースであったことも考えると、当時先見の明のある予想であった。(L-関数の逆数はある視点から研究のより自然な対象であることに注意しよう。これは零点よりもむしろ極を考えるべきであることを意味する。)
その後予想は s = 1 における L-関数の正確な主要テイラー係数の予想を含むように拡張された。それは予想では
L ( r ) ( E , 1 ) r ! = # S h a ( E ) Ω E R E ∏ p | N c p ( # E T o r ) 2 {\displaystyle {\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (E)\Omega _{E}R_{E}\prod _{p|N}c_{p}}{(\#E_{\mathrm {Tor} })^{2}}}}
によって与えられる。ここで右辺の量は、キャッセルズ (Cassels)、テイト (Tate)、シャファレヴィッチ (Shafarevich) 他によって研究された、曲線の不変量である: これらは捩れ群の位数、テイト・シャファレヴィッチ群、そして有理点たちの基底の標準的高さを含む (Wiles 2006)。