演繹定理
自然演繹を公理的証明形式に変換する過程を示すため、恒真式 Q→((Q→R)→R) を使用する。変換が可能であることを見るには、これで十分である。これをまず自然演繹で証明し、それをもっと長い公理的証明に変換する。
第一に、自然演繹的手法で証明を書く。
Q 1. 仮説 Q→R 2. 仮説 R 3. 1,2によるモーダスポネンス (Q→R)→R 4. 2から3への演繹
Q→((Q→R)→R) 5. 1から4への演繹 QED
第二に、内側の演繹を公理的証明に変換する。
(Q→R)→(Q→R) 1. 公理図式 (A→A)
((Q→R)→(Q→R))→(((Q→R)→Q)→((Q→R)→R)) 2. 公理 2
((Q→R)→Q)→((Q→R)→R) 3. 1,2によるモーダスポネンス
Q→((Q→R)→Q) 4. 公理 1 Q 5. 仮説 (Q→R)→Q 6. 5,4によるモーダスポネンス (Q→R)→R 7. 6,3によるモーダスポネンス
Q→((Q→R)→R) 8. 5から7への演繹 QED
第三に、外側の演繹を公理的証明に変換する。
(Q→R)→(Q→R) 1. 公理図式 (A→A)