概周期函数
Bohr (1925a) は、(R 上の有界函数 f に対する)一様ノルム
| | f | | ∞ = sup x | f ( x ) | {\displaystyle ||f||_{\infty }=\sup _{x}|f(x)|}
に関する三角多項式の閉包として、一様概周期函数(uniformly almost-periodic function)を定義した。言い換えると、ある函数 f が一様概周期的であるとは、すべての ε > 0 に対し、一様ノルムに関して f からの距離が ε よりも小さいような正弦波と余弦波の有限な線形結合が存在することを言う。ボーアは、任意の ε > 0 に対し、この定義は ε 概周期の相対稠密集合(英語版)の存在と同値であることを証明した。すなわち、与えられたεに対して、変数 t についての平行移動 T(ε) = T によって
| f ( t + T ) − f ( t ) | < ε {\displaystyle \left|f(t+T)-f(t)\right|<\varepsilon }
が得られる。Bochner (1927) による代わりの定義は、ボーアのものと同値で、次のように比較的簡単に述べることが出来る:
函数 f が概周期的であるとは、f の平行移動のすべての列 {ƒ(t + Tn)} が、(−∞, +∞) 内の t に関する一様収束部分列を持つことを言う。
ボーアの概周期函数は、本質的には実数のボーアコンパクト化(英語版)に関する連続函数と同じである。