類体論
著しく重要な高木の存在定理が1920年に知られ、全ての主要な結果は1930年ごろまでには出そろっていた。証明されるべき古典的な予想の最後の一つは単項化定理(英語版)であった。類体論の最初の証明には、頑強な解析学的手法が用いられた。1930年代以降は、無限次元拡大とそのガロワ群に関するヴォルフガンク・クルルの理論が有効であることが次第に認められていく。この理論はポントリャーギン双対性と結びついて、中心的な結果であるアルティンの相互律のより抽象的な定式化が分かり易くなった。重要な段階は、1930年代にクロード・シュヴァレーによってイデールが導入されたことである。イデールをイデアル類の代わりに用いることで、大域体のアーベル拡大を記述する構造は本質的に明確化および単純化され、中心的な結果のほとんどが1940年までに証明された。
この結果の後には、群コホモロジーの言葉を使った定式化がなされ、それが何世代かの数論学者が類体論を学ぶ際の標準となったが、コホモロジーを用いる方法の難点の一つは、それがあまり具体的でないことである。ベルナルド・ドワーク、ジョン・テイト、ミッシェル・ハゼウィンケルによる局所理論への貢献、およびユルゲン・ノイキルヒによる局所および大域理論の再解釈の結果として、あるいは多くの数学者による明示的な相互公式に関する業績と関連して、1990年代にはコホモロジーを用いない非常に明確な類体論の表現が確立された。このあたりの詳細は、例えばノイキルヒの本を参照せよ。
任意の整数 q に対して、基本類のカップ積が定める写像
u L / K ∪ : H q ( G a l ( L / K ) , Z ) → ≃ H q + 2 ( G a l ( L / K ) , C L ) {\displaystyle u_{L/K}\cup :H^{q}(\mathrm {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ){\stackrel {\simeq }{\to }}H^{q+2}(\mathrm {Gal} (L/K),C_{L})}
は同型写像になる。この同型の q = −2 の場合を考えることにより、アルティン相互法則と呼ばれる同型
G a l ( L / K ) a b → u L / K ∪ C K / N L / K C L {\displaystyle \mathrm {Gal} (L/K)^{\mathrm {ab} }\xrightarrow {u_{L/K}\cup } C_{K}/N_{L/K}C_{L}}
が得られる。ここで Gal(L/K) は Gal(L/K) の最大アーベル商(アーベル化)である。この写像は相互律写像(reciprocity map)、または中山正にちなんで中山写像(Nakayama map)と呼ばれている。
m を代数体 K の任意のモジュラスとし、H を m を法とする任意の合同群とする。このとき、あるアーベル拡大 L/K が存在して H = Hm(L/K) が成り立つ。これを(高木の)存在定理(Existence Theorem)という。