Kan拡張
これは、任意の関手 M : B → C {\displaystyle M\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C} } と自然変換 μ : M F → X {\displaystyle \mu \colon MF\to X} に対して、自然変換 δ : M → R {\displaystyle \delta \colon M\to R} が一意的に定まって次の図式を可換にすることを意味する。
(ここで、 δ F {\displaystyle \delta _{F}} は各 a ∈ A {\displaystyle a\in \mathbf {A} } に対して、コンポーネント δ F ( a ) = δ ( F a ) : M F ( a ) → R F ( a ) {\displaystyle \delta _{F}(a)=\delta (Fa)\colon MF(a)\to RF(a)} を持つ自然変換である)
関手Rはしばしば Ran F  X {\displaystyle \operatorname {Ran} _{F}X} と書かれる。
圏論におけるほかの普遍的構成と同じようにして、「左」カン拡張は右カン拡張の双対概念として得られる。すなわち上記の自然変換たちの向きを単に逆にするだけである。
(関手 F , G : C → D {\displaystyle F,G\colon \mathbf {C} \to \mathbf {D} } の間の自然変換 T {\displaystyle T} は、 C {\displaystyle \mathbf {C} } の任意の対象 a {\displaystyle a} に対して、「自然な」性質を満たす射 T ( a ) : F ( a ) → G ( a ) {\displaystyle T(a)\colon F(a)\to G(a)} で定まっていることに注意する。双対圏に変えるとき、 T ( a ) {\displaystyle T(a)} のドメインと余ドメインが取り替えられて、 T {\displaystyle T} は逆の方向に働くのである)。
つまり右カン拡張と同様にして次のように述べられる: X {\displaystyle X} の F {\displaystyle F} に沿った左カン拡張とは関手 L : B → C {\displaystyle L\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C} } と自然変換 ε : X → L F {\displaystyle \epsilon \colon X\to LF} で普遍性をもつもののことをいう。これは、任意の関手 M : B → C {\displaystyle M\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C} } と自然変換 α : X → M F {\displaystyle \alpha \colon X\to MF} に対して、自然変換 σ : L → M {\displaystyle \sigma \colon L\to M} が一意的に定まって次の図式を可換にすることを意味する。