一般相対性理論の数学
最も現代的な一般相対性理論の数学的なアプローチは、多様体の考え方から始まる。より正確には、重力を表現する基本的な物理的構造である曲がった時空は、4次元の滑らかで連結なローレンツ多様体によりモデル化される。他の物理の記述は、以下に議論する様々なテンソルにより表される。
基本的な構造として多様体を選択する理論的根拠は、それが望ましい物理的性質を反映できるからである。たとえば、多様体の理論では、各点はそれぞれある(一意とは限らない)座標近傍の中に含まれるが、これは(多様体上の点として表される)観測者の周りの「局所的時空」を表現していると考えることができる。
特殊相対性理論の法則が時空の各点で局所的に成り立つことを主張する局所ローレンツ共変性(Lorentz covariance)の原理は、一般多様体上の点の局所的な周辺でありミンコフスキー空間(平坦な時空)の「ように見える」または空間的にそれに非常に近い時空を表現するための多様体構造を選択することをさらに後押しする。
「近傍を観測することのできる局所的な観測者」としての座標近傍の考え方は、局所的に物理的データを実際に集める方法であるため、物理学的に理に適ってもいる。宇宙論的な問題には、座標近傍は非常に大きなものとなる。
リーマンテンソルは、数学的に空間が平坦であるか否か、また曲がっているとしたらどのくらいの曲率が与えられた領域に発生しているのか記述することを可能とする。リーマン曲率テンソルを導出するためには、まず、1つまたは 2つの添字を持つテンソルの共変微分の定義を思い起こさねばならない。
∇ μ V ν = ∂ μ V ν − Γ ρ μ ν V ρ {\displaystyle \nabla _{\mu }V_{\nu }=\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }}
∇ m [ V μ ν ] = ∂ m V μ ν − Γ ρ m ν V ρ − Γ ρ m μ V ρ {\displaystyle \nabla _{m}[V_{\mu \nu }]=\partial _{m}V_{\mu \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{m\nu }V_{\rho }-\Gamma ^{\rho }{}_{m\mu }V_{\rho }}
リーマンテンソルの定式化のため、共変微分はランク 1 のテンソルに関しては二度とることとすると、方程式は次のようになる。
∇ σ , μ V ν = ∇ σ [ ∇ μ V ν ] = ∇ σ [ ∂ μ V ν − Γ ρ μ ν V ρ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\sigma ,\mu }V_{\nu }&=\nabla _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]\\&=\nabla _{\sigma }[\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }]\end{aligned}}}
物理学で重要な区別立ての1つは、局所構造と大域構造の間の差異である。物理的な計測が時空間の比較的小さな領域で行われるため、これは時空の局所構造(英語版)(local structure of spacetime) を研究するひとつの理由となっている一方で、特に宇宙論の種々の問題に対して、大域的時空構造(英語版)(global spacetime structure) を決定することは重要となる。
一般相対性理論の重要な問題の1つに、2つの時空が少なくとも局所的に「同じ」であるのはどのような場合かという問題がある。この問題は、同じ次元をもつ2つのリーマン多様体が局所等長(「局所的に同じ」)かどうかの決定という多様体論の問題に起源を持つ。後者の問題は解かれており、一般相対性理論への適用をカルタン・カールヘーデのアルゴリズム(英語版)(Cartan–Karlhede algorithm) と呼ぶ。