4次元多様体
フランク・クイン(英語版) (Frank Quinn) に従うと、「次元 2n の多様体の 2つの n-次元部分多様体は、通常、互いに孤立点で交叉する。ホイットニーのトリック(英語版) ("Whitney trick") は、埋め込まれた 2-円板を横切るイソトピーを使いこれらの交叉を単純化した。大まかにいうと、これは 2-円板の埋め込みへ n-次元の埋め込みの研究を帰着させる。しかし、これは埋め込みが次元 4 のときには帰着することができない。2-円板自身は中間次元であり、従って、それらを埋め込もうとすると解くことを助けていたことと同じ問題にちょうど出くわしてしまう。これが、他とは区別されて次元 4 で発生する現象である。」
このことは 10/8 と 11/8 間にギャップがあり、そこでの答えは未解決である。(上の状態をカバーしていない最小の場合は、n = 2 と m = 5 の場合であるが、しかし、これも棄却されるので、現在知られていない最小の格子は、格子 II7,55 でランクは 62 であり、n = 3 であり m = 7 である。「11/8 予想」は、滑らかな構造は、次元が |符号| の 11/8 倍以下であれば、滑らかな構造は存在しないのではないかという予想である。
対照的に、向き付けされた 4次元多様体上の滑らかな構造を分類する第二の問題はほとんど分かっていない。実際、単独の滑らかな 4次元多様体で、答えが知られているものはない。ドナルドソンは、ドルガチェフ曲面(英語版)のような、単連結でコンパクトな 4次元多様体が存在し、可算無限個の異なる滑らかな構造が存在することを示した。R 上には非可算無限個の異なる滑らかな構造が存在する。エキゾチック Rを参照。
フィンツシェル (Fintushel) とスターン (Stern) は、手術を使い、多くの滑らかな多様体の上で、互いに異なる大きな数の滑らかな構造をどのように構成するかを示し(任意の整数係数多項式をインデックスとする)、サイバーグ・ウィッテン不変量を使い、滑らかな構造は異なっていることを示した。これらの結果は、単連結でコンパクトな滑らかな 4次元多様体の分類は非常に複雑であることを意味している。現在、この分類が妥当であるというもっともらしい予想はない(いくつかの早い段階の予想は、すべての単連結な滑らかな 4次元多様体は、代数曲面、あるいは、シンプレクティック多様体の向きを保つ連結和かもしれないという予想があったが、否定された)。
大きくとも次元 6 の多様体に対し、区分線形な (PL) 構造は、本質的には一つの方法で滑らかにすることができ、従って、特に、4次元のPL多様体(英語版)(PL manifold)の理論は、4次元の滑らかな多様体の理論に大半が同じである。
滑らかな 4次元多様体の理論の主要な問題は、単純でコンパクトな多様体を分類することである。位相多様体として知られていることは、以下の二つの部分に分かれる。
どのような位相多様体が滑らかか?
滑らかな多様体上の異なる滑らかな構造を分類せよ。
第一の問題のほぼ完全な答えがあり、単連結でコンパクトな 4次元多様体は滑らかな構造を持つ。第一に、カービィ不変量は 0 であるはずである。
交叉形式は有限で、ドナルドソンの定理(Donaldson 1983) は完全な答えを与える。滑らかな構造が存在することと、交叉形式が対角化できることとは同値である。
交叉形式が不定値で、奇であると、滑らかな構造が存在する。
交叉形式が不定値で、偶であると、必要ならば向き変えることにより非正の符号とすることを前提とすると、その場合には、ある m と n があり、'm 個の II1,1 のコピーと 2n 個の E8(−1) のコピーの和と同型となる。m ≥ 3n であれば(従って次元は少なくとも |符号| の 11/8 倍)、滑らかな構造が存在し、n 個のK3曲面と m − 3n 個の S×S のコピーの連結和を取ることで与えられる。m ≤ 2n(従って次元は多くとも |符号| の 10/8 倍である)とすると、古田幹雄は滑らかな構造が存在しないことを証明した(Furuta 2001)。