双球座標系
( x , y , z ) = ( 0 , 0 , ± a ) {\displaystyle (x,y,z)=(0,0,\pm a)} ( a > 0 {\displaystyle a>0} )を焦点とする双球座標 ( σ , τ , φ ) {\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )} は以下のように定義される:
x = a sin  σ cosh  τ − cos  σ cos  φ , y = a sin  σ cosh  τ − cos  σ sin  φ , z = a sinh  τ cosh  τ − cos  σ , {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi ,\\y&=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi ,\\z&=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\end{aligned}}}
逆変換は