フーリエ変換の応用
y ( x , t ) = ∫ 0 ∞ a + ( ξ ) cos  ( 2 π ξ ( x + t ) ) + a − ( ξ ) cos  ( 2 π ξ ( x − t ) ) + b + ( ξ ) sin  ( 2 π ξ ( x + t ) ) + b − ( ξ ) sin  ( 2 π ξ ( x − t ) ) d ξ {\displaystyle y(x,t)=\int _{0}^{\infty }a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right)\,d\xi }
は(任意の a+, a−, b+, b−において)波動方程式を満たす(この積分は連続的な線形結合のようなもので、方程式は線形である)。
ここで、これは関数のフーリエ合成における公式に似ている。実際これは、a± と b± の変数 x における実フーリエ逆変換である。
3段階目は、境界条件を満たす y に対応する未知の係数関数 a± と b± を得る方法を調べることである。興味があるのは t = 0 でのこれらの解の値である。よって t = 0 と置く。フーリエ反転に必要となる条件を仮定すると、両辺の(変数 x における)フーリエ正弦変換とフーリエ余弦変換が分かり、次が得られる。
2 ∫ − ∞ ∞ y ( x , 0 ) cos  ( 2 π ξ x ) d x = a + + a − , {\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-},}