格子 (数学)
これは菱形の小さいほうの角が 60° より小さいのか、60° と 90° の間になるのかに依存する。
一般の場合は周期格子として知られる。ベクトル p および q が格子を生成するとき、p と q の代わりに p および p − q などを取っても同じ格子が生成される。平面では一般に、ad − bc = ±1 を満たす整数 a, b, c, d を考えるとき、ap + bq および cp + dq はもとと同じ格子を生成する。これは、p, q 自身が他の二つのベクトルの整数係数線型結合となることをも保証する。どの対 p, q も平行四辺形を定めるが、その面積は全て同じ値で、それらの対のベクトル積の大きさになる。平行四辺形をひとつ決めれば、それによって平面全体を埋め尽くせる。追加の対称性を考えないならば、この平行四辺形は基本平行四辺形である。
ベクトル p および q は複素数として表現することができる。大きさと向きの違いを除けば、このような対をそれらの商として表せる。幾何学的に表示すれば、格子上の二点を 0 および 1 とし、格子上の第三点の位置を考えるのである。同じ格子を生成するという意味での同値性はモジュラー群によって表される。
T : z ↦ z + 1 {\displaystyle T\colon z\mapsto z+1}
が表すのは、同じグリッドの第三点を取り替えることであり、
S : z ↦ − 1 / z {\displaystyle S\colon z\mapsto -1/z}
は三角形の基準とする辺 01 を別の辺に取り替えることを表す。これは一般に、格子のスケールを変えたり回転したりすることを含意する。