単連結空間
線分・円板・球体やn次元ユークリッド空間、2次元以上の球面などは単連結である。他方、トーラスやアニュラス、メビウスの帯、円周、結び目の補空間などは単連結ではない。
例えばトーラスの場合、1点に収縮できるようなループも存在するが、右図のようにメリディアンやロンジチュードといった閉曲線上を1周するループをとるとこれは1点に収縮できなくなる。実際、トーラスの基本群は
π 1 ( T ) = ⟨ a , b ∣ a b a − 1 b − 1 = 1 ⟩ ≅ π 1 ( S 1 ) × π 1 ( S 1 ) {\displaystyle \pi _{1}(T)=\langle \,a,b\mid aba^{-1}b^{-1}=1\,\rangle \cong \pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})}
であり、自明な群ではない。