ベルンシュタインの定理
集合 A と B との間に単射写像
f : A → B , g : B → A {\displaystyle f\colon A\to B,\ g\colon B\to A}
が与えられたとする。 集合族 { C n } n ∈ N {\displaystyle \{C_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} を、次のように帰納的に定義する。
C 0 := A ∖ g ( B ) , {\displaystyle C_{0}:=A\setminus g(B),}
C n + 1 := g ( f ( C n ) ) {\displaystyle C_{n+1}:=g(f(C_{n}))}
これらの和集合を
C = ⋃ n ∈ N C n {\displaystyle C=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}}
とすると、C の補集合は g の像に含まれる。ここで、g の単射性によって式
h ( x ) = { f ( x ) if x ∈ C g − 1 ( x ) if x ∉ C {\displaystyle h(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{if }}x\in C\\g^{-1}(x)&{\text{if }}x\notin C\end{cases}}}
は写像を定めているが、このh は全単射になっている。