部分群
群 G に関し、部分群 H と元 a が与えられたとする。このとき左剰余類をこのように定義する: aH = { ah : h ∈ H } 。 a は可逆元であるため、 φ(h) = ah で与えられる写像 φ : H → aH は全単射である。さらに、 G の任意の元は、 H の左剰余類のどれか1個のみに含まれる。H に関する左剰余類は、「 a1 ∼ a2 となるのは a1a2 が H に属するとき、かつそのときに限る」という同値関係から定まる同値類である。H の左剰余類の個数を、 G における H の指数と言い、 [G : H] で表す。
ラグランジュの定理により、有限群 G とその部分群 H について以下のことが言える。
[ G : H ] = | G | | H | {\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}
|G| と |H| はそれぞれ G と H の位数を表す。特に、 G の任意の部分群の位数(および G の任意の元の位数)は、 |G| の約数である。
右剰余類も同様にして定義できる。: Ha = { ha : h ∈ H } 。これもまた、適切な同値関係を適用する事によって同値類になる。その個数は [G : H] である。
G に含まれるすべての a について aH = Ha であるとき、 H を正規部分群と言う。指数 2 の部分群は必ず正規部分群である(実際、部分群 H の指数が 2 であるということは、H に関する左剰余類の全体も右剰余類の全体もともに、部分群 H とその補集合で尽くされる)。より一般に、有限群 G の位数の約数の最小の素数 p に対して、指数 p の部分群は(存在すれば)正規である。