行列の乗法
二つ以上の個数の行列に対しても、それらの連続する各対に関してサイズの条件が満たされるならば、行列の積を定義することができる。
n-個の行列 A1, A2, ..., An がそれぞれサイズ s0 × s1, s1 × s2, ..., sn − 1 × sn であるとき(ここで s0, s1, s2, ..., sn は何れも単に正整数であって、これらの下付き添数はそれぞれどの行列に対応するのかを示す以上の意味は無い)、これら行列の積
∏ i = 1 n A i = A 1 A 2 ⋯ A n = ( a i j ( 1 ) ) ( a i j ( 2 ) ) ⋯ ( a i j ( n ) ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}A_{2}\cdots A_{n}=(a_{ij}^{(1)})(a_{ij}^{(2)})\cdots (a_{ij}^{(n)})}
は s0 × sn 行列であり、その任意の (i0, in)-成分は
∑ i 1 = 1 s 1 ∑ i 2 = 1 s 2 ⋯ ∑ i n − 1 = 1 s n − 1 a i 0 , i 1 ( 1 ) a i 1 , i 2 ( 2 ) ⋯ a i n − 1 , i n ( n ) {\displaystyle \sum _{i_{1}=1}^{s_{1}}\sum _{i_{2}=1}^{s_{2}}\cdots \sum _{i_{n-1}=1}^{s_{n-1}}a_{i_{0},i_{1}}^{(1)}a_{i_{1},i_{2}}^{(2)}\cdots a_{i_{n-1},i_{n}}^{(n)}}
で与えられる。
二つの行列 A, B のサイズがそれぞれ m × n, p × q であるとき、これらがどのようなサイズであったとしても(サイズに関する制約条件なしに)、この二つの行列のクロネッカー積(英: Kronecker product)は
A ⊗ B = [ a 11 B a 12 B ⋯ a 1 n B a 21 B a 22 B ⋯ a 2 n B ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 B a m 2 B ⋯ a m n B ] {\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots &a_{1n}B\\a_{21}B&a_{22}B&\cdots &a_{2n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}}
で与えられるサイズ mp × nq の行列である。これはより一般のテンソル積を行列に対して適用したものになっている。