ミルナー数
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}:={\mathcal {O}}/J_{f}.}
この商空間は有限次元ではないかもしれないが、ベクトル空間であることに注意する。するとミルナー数は次の式の局所代数の複素次元に等しくなる。
μ ( f ) = dim C  A f . {\displaystyle \mu (f)=\dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {A}}_{f}\ .}
このことは、ヒルベルトの零点定理(Nullstellensatz)から従う。ヒルベルトの零点定理とは、 μ ( f ) {\displaystyle \mu (f)} が有限であることと、原点が f の孤立した特異点である、つまり、0 のある近傍が C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} の中に存在し、f の唯一の特異点が 0 の近傍の中にあることとは同値であるという定理である。
名称が示唆しているように、 z 0 {\displaystyle z_{0}} の充分に小さな近傍 U ⊂ C n {\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n}} が存在して、 z 0 {\displaystyle z_{0}} が U の中で唯一の特異点となるときに、特異点 z 0 ∈ C n {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}} は孤立していると言う。 z 0 {\displaystyle z_{0}} が特異点であり、かつ、次の式の第二階数(order)のすべての偏微分のヘッシアン(ヘッセ行列ともいう)が z 0 {\displaystyle z_{0}} でゼロ行列式であるときに、その点を退化している、あるいは f は退化特異点を持つと言う。
det ( ∂ 2 f ∂ z i ∂ z j ) 1 ≤ i ≤ j ≤ n z = z 0 = 0.