対称差
対称差は、和集合と差集合の記号を用いて次のように表すことができる:
A△B = (A−B)∪(B−A)。
X を 1 つの集合とし、A, B を X の 2 つの部分集合とする。集合 {0, 1} における二項演算として排他的論理和 ⊕ : {0, 1} × {0, 1} → {0, 1} を定義すれば、X における指示関数に関して次が成り立つ: X の任意の元 x に対して
χ A△B (x) = χ A (x) ⊕ χ B (x)。
アイバーソンの記法を用いれば次のようにも書ける:
[ x ∈ A△B ] = [ x ∈ A ] ⊕ [ x ∈ B ]。
対称差はまた、和集合、差集合、共通部分の記号を用いて次のように表すことができる:
A△B = (A∪B)−(A∩B)。
特に、A△B は A∪B の部分集合である: A△B ⊂ A∪B。また、A と B とが互いに素であるときかつそのときに限り A△B = A∪B である。さらには、A△B と A∩B とは互いに素であって、集合 {A△B, A∩B} は A∪B の 1 つの分割である。従って、対称差と共通部分とを最初に定義しておき、それらの記号を用いて、式
A∪B = (A△B)△(A∩B)
によって和集合を定義することもできる。