剰余類環
[ a ] + [ b ] := [ a + b ] , [ a ] × [ b ] := [ a × b ] {\displaystyle [a]+[b]:=[a+b],\quad [a]\times [b]:=[a\times b]}
と表せる。ここで、この演算が「剰余類に対する演算」としてきちんと定義されていることは、結果(和や積)として求まる剰余類が代表元の取り方に依らないこと、すなわち、a1, b1, a2, b2 を [a1] = [b1] かつ [a2] = [b2] を満たす任意の整数とすれば、
[ a 1 + a 2 ] = [ b 1 + b 2 ] , [ a 1 × a 2 ] = [ b 1 × b 2 ] {\displaystyle [a_{1}+a_{2}]=[b_{1}+b_{2}],\quad [a_{1}\times a_{2}]=[b_{1}\times b_{2}]}
が成り立つことから確認できる。
また、次の式
( a + b ) mod n , ( a × b ) mod n {\displaystyle (a+b){\bmod {n}},\quad (a\times b){\bmod {n}}}
は整数環 Z における演算から得られる合同類を表すものであるけれども、規約に従えば、それと同時に Z/nZ における演算そのものを表しているものと、直ちに解釈することができる。また、剰余類環における(和や積といった)算術演算を繰り返す計算(すなわち、Z/nZ 係数の多項式 p(X) の、Z/nZ の任意の元 k における値 p(k) の評価)は、それを整数と見て計算した結果について、法 n に関する剰余を取ればよい。この最後の操作をモジュラー簡約 (modular reduction) などともいう。ただし、モジュラー簡約の操作は整数と見ての計算の途中のどんな場所でも行ってよい。
2-冪 n = 2 に対しては、0 に関して対称な代表系
{ − n 2 , ... , − 1 , 0 , 1 , ... , n 2 − 1 } {\displaystyle \left\{-{n \over 2},\ldots ,-1,0,1,\ldots ,{n \over 2}-1\right\}}
をとることもできる。これはつまりビット列としての整数の表示、いわゆる二進表示に対応するものである。