ラグランジュ力学
{\displaystyle {\begin{aligned}L(q,{\dot {q}},t)&=K(q,{\dot {q}},t)+D_{i}(q,t){\dot {q}}^{i}+C(q,t),\\K(q,{\dot {q}},t)&=\int _{0}^{1}{\dot {q}}^{i}H_{i}(q,{\dot {q}}\tau ,t)\mathrm {d} \tau ,\\D_{i}(q,t)&=q^{j}\int _{0}^{1}\mathrm {d} \tau \ \tau Z_{[i,j]}(\tau q,t)+{\frac {\partial G}{\partial q^{i}}},\\C(q,t)&=q^{i}\int _{0}^{1}\mathrm {d} \tau \ Y_{i}(q\tau ,t),\\H_{i}(q,{\dot {q}},t)&:=\int _{0}^{1}\mathrm {d} \tau \ A_{ij}(q,\tau {\dot {q}},t){\dot {q}}^{j},\\Z_{[i,j]}(q,t)&\equiv -Z_{[j,i]}(q,t):={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial B_{i}}{\partial {\dot {q}}^{j}}}-{\frac {\partial B_{j}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}K}{\partial q^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}-{\frac {\partial ^{2}K}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial q^{j}}},\\Y_{i}(q,t)&:=\left\{{\frac {\partial ^{2}K}{\partial q^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial B_{i}}{\partial {\dot {q}}^{j}}}-{\frac {\partial B_{j}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right)\right\}{\dot {q}}^{j}-{\frac {\partial K}{\partial q^{i}}}-B_{i}+{\frac {\partial ^{2}K}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}}+{\frac {\partial D_{i}}{\partial t}}.\end{aligned}}}
ここで G は q, t の任意関数である。
拘束条件が取り入れられた作用に対して最小作用の原理を適用して
δ S b [ q , β ] δ q i ( t ) = ∂ L ∂ q i + β ( t ) ∂ Φ ∂ q i − d d t ∂ L ∂ q ̇ i = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S_{\text{b}}[q,\beta ]}{\delta q_{i}(t)}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}+\beta (t){\frac {\partial \varPhi }{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=0}
δ S b [ q , β ] δ β ( t ) = Φ ( q , t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S_{\text{b}}[q,\beta ]}{\delta \beta (t)}}=\varPhi (q,t)=0}
が得られる。力学変数 q に対応する運動方程式には「拘束力」β(∂Φ/∂q) が加えられ、未定乗数に対応する運動方程式として拘束条件が導かれる。