ファノの不等式
H ( X | Y ) ≤ H ( e ) + P ( e ) log  ( | X | − 1 ) , {\displaystyle H(X|Y)\leq H(e)+P(e)\log(|{\mathcal {X}}|-1),}
ここで、 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} は X のsupportを表し、
H ( X | Y ) = − ∑ i , j P ( x i , y j ) log  P ( x i | y j ) {\displaystyle H\left(X|Y\right)=-\sum _{i,j}P(x_{i},y_{j})\log P\left(x_{i}|y_{j}\right)}
は条件付きエントロピー(英語版)、
P ( e ) = P ( X ≠ X ~ ) {\displaystyle P(e)=P(X\neq {\tilde {X}})}
は通信誤りの確率、
H ( e ) = − P ( e ) log  P ( e ) − ( 1 − P ( e ) ) log  ( 1 − P ( e ) ) {\displaystyle H(e)=-P(e)\log P(e)-(1-P(e))\log(1-P(e))}
対応する二値エントロピーである。