ボゴモロフ・宮岡・ヤウの不等式
c21 + c2 は 12 で割り切れるのでこの値は可能な限り最小値である。さらに、Donald I. Cartwright and Tim Steger (2010) はちょうど 50個のマンフォード曲面が存在することを示した。
Barthel, Hirzebruch & Höfer (1987) は、例を発見する方法を与え、特に、c21 = 3c2 = 35 である曲面 X を与えた。Ishida (1988) は c21 = 3c2 = 45 である曲面の商空間を発見し、この商空間の不分岐被覆をとると、全ての正の整数 k に対して c21 = 3c2 = 45k である曲面の例を与えた。 Donald I. Cartwright and Tim Steger (2010) は、全ての正の整数 n に対し、c21 = 3c2 = 9n である曲面の例を与えた。