随伴関手
以上のことから、随伴にはたくさんの関手や自然変換を持っているが、その一部を決めるだけで他のものは決定される。
圏CとDの間の随伴は以下のものから構成される。
左随伴と呼ばれる関手F : C ← D
右随伴と呼ばれる関手G : C → D
自然同型Φ : homC(F–,–) → homD(–,G–)
余単位と呼ばれる自然変換 ε : FG → 1C
単位と呼ばれる自然変換 η : 1D → GF
等価な定式化として、XをCの任意の対象としYをDの任意の対象としたとき、
全てのCの射 f : F Y → X {\displaystyle f:FY\to X} に対して、Dの射 Φ Y , X ( f ) = g : Y → G X {\displaystyle \Phi _{Y,X}(f)=g:Y\to GX} で、以下の図式を可換にするものが唯一つ存在し、全てのDの射 g : Y → G X {\displaystyle g:Y\to GX} に対して、Cの射 Φ Y , X − 1 ( g ) = f : F Y → X {\displaystyle \Phi _{Y,X}^{-1}(g)=f:FY\to X} で、以下の図式を可換にするものが唯一つ存在する
さらに2つ以上の場合も素直な方法で拡張できる。もっと一般には、どの種類の極限も対角関手の右随伴である。
核 アーベル群の準同型の圏Dを考える。Dの2つの対象f1 : A1 → B1 とf2 : A2 → B2に対して、f1 から f2 への射は、対(gA, gB)であって、gBf1 = f2gAを満たすもののことをいう。関手G : D → Abを各準同型をその核に対応させるものとし、関手F : D ← Abを各群Aを群準同型A → 0に対応させるものとする。GはFの右随伴であり、これは核の普遍性を示している。この随伴の余単位射は準同型の核をその始域に埋め込む射であり、単位射は群Aを準同型A → 0の核と同一視する射である。
この例の適切な変種として、線形空間や加群の核関手も右随伴である。同様に、アーベル群や線形空間や加群の余核関手が左随伴であることも分かる。
射 F ( η Y ) {\displaystyle F(\eta _{Y})} はFYからFGFYへの群の単射準同型であり、FYの生成元yを対応するFGFYの生成元である長さ1の語 (y) に写す。射 ε F Y {\displaystyle \varepsilon _{FY}} はFGFYからFYへの群の準同型であり、生成元を対応するFYの語に写す(つまり「括弧を外す」)。これらの合成はもちろんFYの恒等射である。
2つ目の余単位-単位恒等式 1 G = G ε ∘ η G {\displaystyle 1_{G}=G\varepsilon \circ \eta G} というのは各群Xに対して、合成
G X → η G X G F G X → G ( ε X ) G X {\displaystyle GX{\xrightarrow {\;\eta _{GX}\;}}GFGX{\xrightarrow {\;G(\varepsilon _{X})\,}}GX}
が恒等射であるということである。途中の集合GFGXは単にFGXの台集合である。射 η G X {\displaystyle \eta _{GX}} は集合GXから集合GFGXへの「生成元たちの包含」写像である。射 G ( ε X ) {\displaystyle G(\varepsilon _{X})} は集合GFGXから集合GXへの写像で、FGXの生成元をXの元に写す(「括弧を外す」)という群の準同型の台である。これらの合成はもちろんGXの恒等射である。
数学者は一般的には完全な随伴関手の概念を必要としているわけではない。彼らの解こうとしている問題にあっているかや証明に必要かどうかで必要な概念かどうかを判定している。圏論の初期段階である1950年代にはこれらの動機に大きく引っ張られていた。アレクサンドル・グロタンディークの時代になって、圏論は他の仕事における指針として使われるようになった。はじめは関数解析とホモロジー代数であり最終的には代数幾何で使用された。
彼が随伴関手の概念を分離したというのはおそらく誤っているといえるが、随伴の特別な役割についてグロタンディーク固有の認識はあった。例えば、彼の著名な業績のひとつに、相対型のセール双対性、くだいていうと、代数多様体の連続な族に関するセール双対性がある。この証明の全体は結局のところある関手の右随伴が存在するかということになる。これは完全に抽象的で非構成的であるが、それなりに強力でもある。
初めに書いたように、圏CとDの随伴は2つの普遍射の族に持ち上げることができる。片方はCの対象について、もう片方はDの対象についての普遍射である。逆に、Dの各対象から関手G : C → Dへの普遍射が存在するとき、Gは左随伴である。
しかし、普遍的構成は随伴関手よりもっと一般的である。普遍的構成は最適化問題に似ていて、随伴の対に持ち上げられるのは、この問題が全てのDの対象について解を持つときであり、またそのときに限る(Cの対象についても同様)。
すべての半順序集合は圏とみなすことができる(x ≤ y であるときに、またそのときのみ、 xとyの間には1つだけ射があるとする)。2つの半順序集合の間の随伴関手対はガロア接続と呼ばれる(そして、反変の場合は、antitoneガロア接続である)。ガロア接続の記事に多くの例がある。とくにガロア理論が一番の例である。任意のガロア接続は閉包作用素や対応する閉じた要素間の逆順序を保存する全単射に持ち上げることが出来る。
ガロア群の場合と同様に、実際の興味はしばしば双対との対応(例えば、antitone順序の同型)を詳細化していくことにある。Kaplanskyよるこのガロア理論の捕らえ方は、ここに一般的な構造があることへの認識に影響を与えた。
半順序の場合の随伴の定義は著しくつぶれているが、いくつかのテーマを与えてくれる。
随伴は双対や同型でなくてもよいが、これらに昇格する際の候補とすることが出来る