アベル・プラナの和公式
π cot  π z {\displaystyle \pi \cot {\pi }z} は ∀ z ∈ Z {\displaystyle \forall {z\in \mathbb {Z} }} に位数1留数1の極を持つ。従って、積分経路 C {\displaystyle C} が実軸を a , b {\displaystyle a,b} で切るようにすれば、留数の定理により、
2 π i ∑ n = ⌈ a ⌉ ⌊ b ⌋ f ( n ) = ∮ C π cot  π z f ( z ) d z {\displaystyle 2{\pi }i\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\oint _{C}\pi \cot {{\pi }z}f(z)dz}
である。積分経路の表記を
C 1 : a , a + i ∞ , b + i ∞ , b C 2 : a , a − i ∞ , b − i ∞ , b {\displaystyle {\begin{aligned}&C_{1}:a,a+i\infty ,b+i\infty ,b\\&C_{2}:a,a-i\infty ,b-i\infty ,b\\\end{aligned}}}
とすると、