概型
この中でグロタンディークは、永田とシュヴァレーの研究に言及したのち、「正しい定義の指針」(the principle of the right definition)はセールのFACにあると言い、任意の可換環に対するスキームの定義を現在と同じ形で述べた。
現在と同じスキームの定義に誰がどのようにして至ったかについては、様々な逸話がある。グロタンディークとデュドネは、セールが代数多様体のコホモロジー論を任意の可換環に対して書き起こすことは容易であると指摘した、と言っている。カルティエは、マルティノーがセールに彼の理論は極大イデアルを素イデアルに置き換えても成り立つことを指摘し、そしてカルティエが現在のスキームの定義と全く同じものを提案した、と言っている。セールは、スキームを発明したものはいない、完全に一般的な設定で考えてもうまくいくと考えたところにグロタンディークの独創性がある、と言っている。これらを踏まえた上で、スキームの定義は空気の中にあった、と McLarty (2003, p. 14) は総括している。
スキーム理論に対する当時の数学者の反応は様々であった。
セールは、スキーム理論を不要な仮定を代数幾何学から取り除くものでありディオファントス問題や変形理論(英語版)の研究に必要な一般化である、と評価した。
ザリスキーはスキーム理論を歓迎し、スキームを用いて代数幾何学を構築するグロタンディークの新しいやり方に深く感動した。
現在では、スキーム理論は代数幾何学の基礎理論として最適なものであることが明らかになっている。
古典的代数幾何学における主要な研究対象であった、多項式の零点集合として定義されるような図形(アフィン多様体)は次のようにして(アフィン)スキームの文脈に再現される。 例として複素二次元空間 C 上で定義される
f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 1 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1}
という多項式関数の零点集合 S を考える。複素係数の2変数多項式環 C[x, y] は C 上の多項式関数の代数系を表しており、この多項式環を f(x, y) で割ってできる剰余環 A = C[x, y]/(f) の元は C 上の関数について S 上で区別できない差を無視したものと見なすことができる。したがって、この商環は S 上の関数全体の代数系をあらわすと考えられる。
一方で A の極大イデアルは f (x, y) = 0 の点と一対一に対応している。