半単純環
この定理を教える可能性がある講義は 2 つある。有限群の講義と加群の講義である。後者は本質的な構造の性質に対応する。それは数学の一分野可換環論になった興味の起源の 1 つである。ガロワ群の解析は線型代数学においても観点を提供する。それはジョルダンにこの代数を通して有限次元において自己準同型を研究することをもたらし、その構造の深く最終的な理解ができた。この結果は総合の本において1870年に出版された。それはジョルダン標準形の名前で知られており、有限素体、すなわち素数を法とした整数の体上適用する。
ジョルダンの仕事は大きな影響を与え、その総合本は群、ガロワ、そしれ線型代数の理論の参考書になった。それは1 つには線型群を通した群の解析は豊かにする段階であるということを、また 1 つには代数の構造は同時に加群と線型代数の言葉において教育において豊かであることを、証明する。
ウェダーバーンの定理は状況を修正し、体がアプリオリに非可換であったとしてもすべての単純多元環に対し自然な体が存在する。したがって定理は環の用語で表現できなければならない。ウェダーバーンはできなかったがしかし1908年に 1 つには根基への環を、1 つには半単純を含む分類を提案した。この分解はその後半世紀の間環の理論の基本になった。
この分野の研究の巨匠はエミー・ネーター (Emmy Noether) である。彼女は現代の環論の母のようにしばしば考えられる。彼女は非可換環の理論を発達させイデアルの一般論を基礎づけた。単純多元環と対応する既約イデアルの概念、またイデアルのすべての真の昇鎖が有限であるような環の理論が発展した。この環は今では彼女を称えて名前がついている。
エミール・アルティン (Emil Artin) は研究がネーターによって導入された場合、イデアルのすべての真の降鎖が有限であるような環の場合を特に研究した。