対称代数
対称代数 S(V) は V の基底ベクトルを不定元とする K 上の多項式環と実質的には同じものであることがあとでわかる。したがって、ここでの構成は対称代数を「自然に」多項式と看做す立場であれば余計な情報でしかないということになるが、これはこれでよい面もある。
対称代数 S(V) を記述するのにテンソル代数 T(V) を利用することができる。実際にはテンソル代数を強制的に可換化することで対称代数を作ることができる。V のいくつかの元が(T(V) の中で積に関して)可換ならば、それらの間でできるテンソルに関してもそうであり、それゆえテンソル代数 T(V) を
v ⊗ w − w ⊗ v ( v , w ∈ V ) {\displaystyle v\otimes w-w\otimes v\quad (v,w\in V)}
の形の元全体で生成されるイデアルで割った商(英語版)多元環として対称代数を構成することができる。