ルベーグの分解定理
ルベーグの分解定理を改良する方法は多く存在する。
はじめに、実数直線上のある正則なボレル測度の特異部の分解は、次のように改良できる。
ν = ν c o n t + ν s i n g + ν p p {\displaystyle \,\nu =\nu _{\mathrm {cont} }+\nu _{\mathrm {sing} }+\nu _{\mathrm {pp} }}
但し
νcont は絶対連続(absolutely continuous)な部分
νsing は特異連続(singular continuous)な部分
νpp は純点(pure point)の部分(離散測度)
つづいて、絶対連続測度はラドン=ニコディムの定理によって分類され、離散測度は簡単に理解することが出来る。したがって(特異連続測度はさておき)ルベーグの分解は測度の非常に明解な記述を提供するものとなる。カントール測度(実数直線上の確率測度で累積分布関数がカントール関数であるようなもの)は特異連続測度の一例である。