ペンローズ・タイル
例えば、カイトとダートによるタイリングは、分割によって A {\displaystyle \mathrm {A} } タイルによるタイリングへ変換することができ、それは適切な方法で B {\displaystyle \mathrm {B} } タイルで形成することができるから、細菱形と太菱形で形成することができる。P2およびP3タイリングは、P1タイリングとも相互局所導出可能である(図2参照)。
B S {\displaystyle \mathrm {B_{S}} } が A L {\displaystyle \mathrm {A_{L}} } と同じサイズであるとする慣習を採用すると、 B {\displaystyle \mathrm {B} } タイルの A {\displaystyle \mathrm {A} } タイルへの分解は
と書ける。この2式を代入行列方程式にまとめると
となる。拡大した φ A {\displaystyle \varphi \mathrm {A} } タイルから B {\displaystyle \mathrm {B} } タイルへの分解に上式を組み合わせると、代入則
になる。したがって拡大タイル φ A L {\displaystyle \varphi \mathrm {A_{L}} } は2つの A L {\displaystyle \mathrm {A_{L}} } および1つの A S {\displaystyle \mathrm {A_{S}} } に分解される。
1960年代に論理学者ハオ・ワンが決定問題とタイリングとの関連に言及したことをきっかけに、非周期タイリングの問題が新たに注目された。ワンは、現在ではワンのタイルまたはドミノとして知られている色つきの辺を持つ正方形によるタイリングを導入し、ドミノ問題を提示した。ドミノ問題は、与えられたワンのドミノの集合により、隣り合うドミノの辺の色を一致させつつ平面をタイリングできるかどうかを決定する問題である。ワンは、この問題が決定不可能ならば、非周期的なワンのタイルが存在しなければならないことを発見した。この時点では、これはありそうもないことであったため、ワンは非周期的なワン・タイル集合は存在しないと推測した。
ワンの学生のロバート・バーガーは1964年の論文で、ドミノ問題は決定不可能であることを証明し(つまりワンの推測は誤りであった)、20426個のワン・ドミノからなる非周期集合を得た。バーガーはプロトタイル104個までの削減についても触れているが、バーガーの出版論文には書かれていない。1968年にドナルド・クヌースは、92個のドミノだけからなる修正版バーガーの集合を詳述した。
ワンのタイルによるタイリングでは同じ色を持つ辺を合わせる必要があるが、辺に色をつける代わりにジグソー・パズル・ピースのようにタイルの辺を変形して特定の辺だけが合致するようにしてもよい。ラファエル・ロビンソンは1971年の論文でバーガーの手法と決定不可能性の証明を簡単化したが、その論文ではこの手法を用いてたった6つのプロトタイプからなる非周期集合を得た。