位相的弦理論
N 個のD2-ブレーンの上の世界体積理論は、A-モデルの開弦の位相的弦理論であり、U(N) チャーン・サイモンズ理論である。
位相弦の基本弦はD2-ブレーンに終端を持つ。弦の埋め込みがケーラー形式に依存することに対し、ブレーンの埋め込みは完全に複素構造に依存する。特に、弦がブレーンの上に終端を持つと、交叉はいつでも直交し、ケーラー形式のウェッジ積と正則 3-形式はゼロとなる。物理的な弦では、このことは構成の安定に必要であるが、位相弦の場合はケーラー多様体上のラグラジアンサイクルと正則サイクルの性質である。
ラグラジアン部分多様体である(元の多様体の次元の)半分の次元を持つ部分多様体以外に、コイソトロピック(英語版) と呼ばれるブレーンが様々な次元に存在しているかもしれない。アントン・カプスチンとドミトリィ・オルロフは Remarks on A-Branes, Mirror Symmetry, and the Fukaya Category の中で、このことを最初に指摘した。
論文 Quantum Calabi-Yau and Classical Crystals で、アンドレイ・オクンコフ、ニコライ・レシェーツキン(英語版)、カムラン・ヴァッファは、量子A-モデルが弦の結合定数の逆数に相当する温度で古典的な融解する結晶の双対であるとの予想を提出した。この予想は、Quantum Foam and Topological Strings の中でアメール・イクバル(英語版)、ニキータ・ネクラソフ、アンドレイ・オクンコフ、カムラン・バッファによりさらに理解された。彼らは融解する結晶構成の状態和は弦の結合定数と α'の積のオーダーの面積を持つ小さな領域でサポートされる時空のトポロジーの中の変形を渡る経路積分に等価であろうと予想した。
多くの小さな泡で満たされた時空を持つという構成は1964年のジョン・ホイーラーまで遡るが、詳細が恐ろしく困難なので弦理論にはめったに現れなかった。しかしこの双対性の中で、筆者たちは位相的にツイストされた U(1) ゲージ理論の慣れたことばで量子の泡の力学を語ることが可能となり、そこでの場の強さはA-モデルのケーラー形式に線型な関係を持っている。特に、これが示唆していることは、A-モデルのケーラー形式は量子化されるべきということである。