スペクトル系列
E p , q r {\displaystyle E_{p,q}^{r}} をホモロジー的なスペクトル系列で、0, 1以外の p に対しては E p , q 2 = 0 {\displaystyle E_{p,q}^{2}=0} であるものとする。視覚的には、このスペクトル系列の E 2 {\displaystyle E^{2}} ページは
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 E 0 , 2 2 E 1 , 2 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 , 1 2 E 1 , 1 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 , 0 2 E 1 , 0 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 , − 1 2 E 1 , − 1 2 0 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&E_{1,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&E_{1,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&E_{1,0}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,-1}^{2}&E_{1,-1}^{2}&0&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{matrix}}}
最も簡単な例は鎖複体 C• である。鎖複体のなすアーベル圏の対象である C• は微分 d を備えている。r0 = 0 と置き、E0 を C• とする。スペクトル系列を構成するためには E1 は複体 H(C•) としなけらればならず、i 番目の位置にあるものは C• の i 番目のホモロジー群となる。この新しい複体における唯一の自然な微分は零写像のみなので、d1 = 0 と置く。 E 2 {\displaystyle E_{2}} は E 1 {\displaystyle E_{1}} と等しいものとして取らねばならず、ここでもやはり唯一の自然な微分は零写像のみである。後続のシートでも微分を零写像として取る。以上から、項が
E0 = C•
Er = H(C•) (全ての r ≥ 1)
であるスペクトル系列を得られた。非自明な微分は0番目のシートにしか無いので、このスペクトル系列の項は1番目のシートで安定する。そのため、あとのステップには何の有益な情報も含まれていない。通常は、後のシートから有益な情報を得るためには、 E r {\displaystyle E_{r}} における追加的な構造が必要になる。
ジャン・ルレイは代数的位相幾何学の研究の過程で層の概念を導入し、そして層係数コホモロジーを計算する問題に向き合うことになった。層係数コホモロジーを計算するために、ルレイは現在ルレイ・スペクトル系列(英語版)と呼ばれている計算手法を編み出した。これは、層のコホモロジー群と、その層の順像(押し出しとも呼ばれる)のコホモロジー群とを、無限回の計算過程を通じて関係付けるものである。ルレイは、順像のコホモロジー群は自然に鎖複体となることに気づき、したがってコホモロジーのコホモロジーを取れることに気付いた。これは元の層のコホモロジーにはなっていないが、ある意味ではそれに一歩近づいたものになっている。そして、コホモロジーのコホモロジーがまた鎖複体になるので、これのコホモロジーをまた取ることができ、この計算をずっと繰り返すことができる。この計算ステップを無限回繰り返した後の極限が、元の層のコホモロジー群と本質的に同じものとなっている。
ルレイの計算手法が幅広い状況に適用できることはすぐに明らかとなった。
d p , q I + d p , q I I : H q I I ( C p , ∙ ) → H q I I ( C p + 1 , ∙ ) {\displaystyle d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{II}(C_{p+1,\bullet })}
を決定する必要がある。E はちょうど d についてのホモロジーだったので、d は E 上でゼロになっている。したがって、
I E p , q 2 = H p I ( H q I I ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))}
である。もう一方のフィルトレーションを使うと、同様の E 項を持つ異なるスペクトル系列
I I E p , q 2 = H q I I ( H p I ( C ∙ , ∙ ) ) . {\displaystyle {}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).}
が得られる。あとはこの2つのスペクトル系列の関係がわかればよい。r が大きくなると、この2つのスペクトル系列は有用な比較ができるほど十分に似てくることがわかる。
C は単一の次数づけとフィルトレーションしか持たないので、まず2重次数つき対象を C から作る。第2の次数を得るために、フィルトレーションに随伴する次数つき対象を次のようにとる。
Z − 1 p , q = Z 0 p , q = F p C p + q {\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}}
B 0 p , q = 0 {\displaystyle B_{0}^{p,q}=0}
E 0 p , q = Z 0 p , q B 0 p , q + Z − 1 p + 1 , q − 1 = F p C p + q F p + 1 C p + q {\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+1,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}}
E 0 = ⨁ p , q ∈ Z E 0 p , q {\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q}}
やや奇妙な書き方をしたが、こう書いた理由はあとで E1 を作るときに分かる。境界写像はフィルトレーションと両立すると仮定しているので、E0 は2重次数つき対象になっており、E0 上に自然な2重次数つき境界写像 d0 が存在する。E1 を得るために E0 のホモロジーをとる。