遅延ポテンシャル
は、式 (2-1-3)のヘルムホルツ方程式の解である。
実際、(2-2-2)の両辺に D {\displaystyle D} を作用させると、「積分と微分の交換可能性」と、「ライプニッツルール」より、
( D [ A ^ ] ) ( r , ω ) = − μ 0 ∫ s ∈ R 3 ( D [ G ( r − s , ω ) ] i ^ ( s , ω ) + G ( r − s , ω ) D [ i ^ ( s , ω ) ] ) ⋅ d s {\displaystyle (D[{\hat {\boldsymbol {A}}}])({\boldsymbol {r}},\omega )=-{\mu }_{0}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}\left(D[G({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}},\omega )]{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\ +G({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}},\omega )D[{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )]\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-2-3)
が導出される。式(0-1-4a), (0-1-4b)は、共に、通常の意味のマックスウェル方程式(式(1-2-1),(1-2-2))の解になっている(詳細は、Wikipediaの項目ジェフィメンコ方程式を参照のこと)。ここで、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (あるいは、HTML表記のRは、n次元実数ベクトル空間を意味する。
STEP6で得られた一般解から、ふるまいの悪い解を棄却する。 式(2-6-1) の先進ポテンシャル A ^ a d v {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {adv} }} の物理学的意味を解釈すると、 位置 s {\displaystyle {\boldsymbol {s}}} の電流素片
i ( s , t a d v ) d s {\displaystyle {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {adv} })}\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-7-1)
が、位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} に作り出す ベクトルポテンシャルが、
i ( s , t a d v ) | r − s | ⋅ d s {\displaystyle {\dfrac {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {adv} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-7-2)
従って、式(S5-2-2)、(S5-2-3)より、
div r  [ r | r | 3 ] = 4 π δ ( r ) {\displaystyle \operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {\boldsymbol {r}}{{|{\boldsymbol {r}}|}^{3}}}\right]=4\pi \delta ({\boldsymbol {r}})} (S5-2-4)
であることが判る。以上の議論を平行移動させると、
div r  [ r − s | r − s | 3 ] = 4 π δ ( r − s ) {\displaystyle \operatorname {div} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}\right]=4\pi \delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})} (S5-2-5)
であることが判る。
grad  [ 1 | R | ] = − 2 R | R | 4 {\displaystyle \operatorname {grad} \left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-2{\mathfrak {R}}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{4}}}} (S4-2-1d)
である。従って、式(S4-1-1)それぞれに、 R = r − s {\displaystyle {\mathfrak {R}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}} を代入すると | r − s | ≠ 0 {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|\neq 0} において、
grad r  [ 1 | r − s | ] = − 2 ( r − s ) | r − s | 4 {\displaystyle \operatorname {grad} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {-2({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{4}}}} (S4-2-2)
但し、kは、以下の式(2-3-2)で定まる定数とする。
k = ( ω c ) {\displaystyle k=\left({\frac {\omega }{c}}\right)} (2-3-2)
ラプラシアン( Δ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} )に対し、球面座標変換を 施したものを、 ( Φ ∗ Δ ) {\displaystyle ({\Phi }^{*}\Delta )} と書くと、
( Φ ∗ Δ ) = ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 + 1 r 2 cot  θ ∂ ∂ θ + 1 r 2 sin 2  θ ∂ 2 ∂ ρ 2 {\displaystyle ({\Phi }^{*}\Delta )={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}\operatorname {cot} \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}{\theta }}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}} (2-3-3)
但し、
t a d v = t + | r − s | c {\displaystyle {t}_{\mathrm {adv} }=t+{\frac {|r-s|}{c}}} (2-6-3)
t r e t = t − | r − s | c {\displaystyle {t}_{\mathrm {ret} }=t-{\frac {|r-s|}{c}}} (2-6-4)
を意味する。
式(2-6-2)を示す。式(2-5-2)の G r e t {\displaystyle G_{\mathrm {ret} }} に、式(2-4-5)を代入すると、
A ^ r e t ( s , ω ) = − μ 0 ∫ s ∈ R 3 − exp  ( − i k | r − s | ) i ^ ( s , ω ) 4 π | r − s | ⋅ d s {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {s}},\omega )=-{\mu }_{0}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {-\exp(-ik|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )}{4\pi |{\boldsymbol {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-5)