C0半群
バナッハ空間 X {\displaystyle X} 上の強連続半群とは、次の性質を満たすような写像 T : R + → L ( X ) {\displaystyle T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)} のことである:
T ( 0 ) = I {\displaystyle T(0)=I} , ( X {\displaystyle X} 上の恒等作用素)
∀ t , s ≥ 0 : T ( t + s ) = T ( t ) T ( s ) {\displaystyle \forall t,s\geq 0:\ T(t+s)=T(t)T(s)}
∀ x 0 ∈ X : ‖ T ( t ) x 0 − x 0 ‖ → 0 {\displaystyle \forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0} , as t ↓ 0 {\displaystyle t\downarrow 0} .
初めの二つの公理は代数的なもので、 T {\displaystyle T} が半群 ( R + , + {\displaystyle \mathbb {R} _{+},+} ) の表現であることを意味している。最後の公理は位相的なものであり、写像 T {\displaystyle T} が強作用素位相において連続であることを意味している。
強連続半群は、もし t → T(t) が (t0, ∞) から L(X) への連続写像となるようなある t0 ≥ 0 が存在するなら、終局的にノルム連続であると呼ばれる。もし t0 をゼロとして選ぶことが出来るなら、そのような半群は直ちにノルム連続であると呼ばれる。
直ちにノルム連続であるような半群に対して、t → T(t) は t = 0 においては連続とならない可能性があることに注意されたい(もし連続であるなら、その半群は一様連続となる)。
解析半群、(終局的に)微分可能な半群、(終局的に)コンパクトな半群は、すべて終局的にノルム連続な半群である。
半群 T の成長上限は、定数
ω 0 = lim t ↓ 0 1 t log  ‖ T ( t ) ‖ {\displaystyle \omega _{0}=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|}
によって定義される。この数は
‖ T ( t ) ‖ ≤ M e ω t {\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega t}}
がすべての t ≥ 0 に対して成立する定数 M (≥ 1) が存在するような実数 ω の下限として与えられることから、そのような呼ばれ方をしている。
次に述べる条件はすべて同値である:
すべての t ≥ 0 に対して ‖ T ( t ) ‖ ≤ M e − ω t {\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t}} が成立するような M,ω>0 が存在する。
成長上限 ω0 < 0 は負である。
その半群は一様作用素位相においてゼロに収束する。すなわち、 lim t → ∞ ‖ T ( t ) ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0} となる。
‖ T ( t 0 ) ‖ < 1 {\displaystyle \|T(t_{0})\|<1} であるようなある t0 > 0 が存在する。
強連続半群 T は、すべての x ∈ X に対して lim t → ∞ ‖ T ( t ) x ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0} が成立するなら、強安定あるいは漸近安定と呼ばれる。
指数安定性は強安定性を意味するが、その逆は、X が無限次元である場合には一般的には成り立たない(もし X が有限次元であるなら、その逆も成立する)。
次に述べる、強安定性のための十分条件はアレンド-バッティ-リュビッヒ-フォンの定理と呼ばれる:
T は有界である。ある M ≥ 1 が存在して ‖ T ( t ) ‖ ≤ M {\displaystyle \|T(t)\|\leq M} が成り立つ。
A は虚軸上に剰余スペクトル(英語版)を持たない。
虚軸上に位置する A のスペクトルは可算個である。
であるなら、T は強安定である。
もし X が回帰的であるなら、これらの条件は次のように簡略化される: もし T が有界で、A は虚軸上に固有値を持たず、虚軸上の A のスペクトルは可算個であるなら、T は強安定である。