デバイ模型
周波数は波長に反比例する(すなわち音速が一定である)という近似は低エネルギーのフォノンには良い近似であるが、高エネルギーではあまりうまくいかない(フォノンの項目を参照)。これはデバイ模型の限界のひとつであり、(高温や低温では正確な結果を出すのに対し)中間的な温度では結果が不正確になってしまっている。
箱の中の全エネルギーを計算しよう。
U = ∑ n E n N ̄ ( E n ) {\displaystyle U=\sum _{n}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})}
ここで N(En) は箱の中で En のエネルギーをもったフォノンの数である。言い換えると、全エネルギーはあるエネルギーにそのエネルギーをもつフォノンの数をかけ、総和をとったものに等しい(ここでは1次元を考えている)。3次元では、以下を得る。
U = ∑ n x ∑ n y ∑ n z E n N ̄ ( E n ) {\displaystyle U=\sum _{n_{x}}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})}
ここでデバイ模型とプランクの法則に違いが生じる。箱の中の電磁波とは違い、フォノンの周波数は無限大になることができないためにフォノンのエネルギー状態が有限となる。フォノンの周波数は伝播の媒体(=固体の原子格子)に拘束される。