バーンスタイン多項式
n 次のバーンスタイン基底関数は
b ν , n ( x ) = ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν , ν = 0 , ... , n . {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu },\qquad \nu =0,\ldots ,n.}
(ここで ( n ν ) {\displaystyle {n \choose \nu }} は二項係数)として与えられる。
n 次のバーンスタイン基底関数は、n 次以下の多項式からなるベクトル空間の基底をなす。
バーンスタイン基底関数の線形結合によって与えられる
B ( x ) = ∑ ν = 0 n β ν b ν , n ( x ) {\displaystyle B(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}
は、n 次のバーンスタイン多項式と呼ばれる。また係数 βν はバーンスタイン係数、またはベジェ係数と呼ばれる。