Berry位相
↑ Solem, J. C.; Biedenharn, L. C. (1993). “Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example”. Foundations of Physics 23 (2): 185–195. Bibcode: 1993FoPh...23..185S. doi:10.1007/BF01883623.
↑ Pancharatnam, S. (1956-11-01). “Generalized theory of interference, and its applications” (英語). Proceedings of the Indian Academy of Sciences - Section A 44 (5): 247–262. doi:10.1007/BF03046050. ISSN 0370-0089. https://doi.org/10.1007/BF03046050.
1 2 Longuet-Higgins, Hugh Christopher; Öpik, U.; Pryce, Maurice Henry Lecorney; Sack, R. A. (1958-02-25). “Studies of the Jahn-Teller effect .II.
フーコーの振り子
光ファイバーの偏光
確率的ポンプ効果
スピン1⁄2
Berry位相はポテンシャルエネルギー曲面の円錐交差 (conical intersection)やAharonov–Bohm効果において認められる。円錐交差が関与する例では、分子座標が断熱パラメータとなる。C6H3F3分子の電子基底状態に関連する円錐交差周りのBerry位相が、Bunker and Jensenの教科書 (385-386ページ) で議論されている。Aharonov–Bohm効果の場合については、2つの干渉パスで囲まれた磁場が断熱パラメータとなり、この2つのパスがループをなすため周期的である。量子力学以外でも、古典光学のような様々な波動系でBerry位相は認められる。系のトポロジーのある種の特異点や穴の近傍において、波動を特徴づける2つ以上のパラメータが存在するとき、Berry位相が見いだされうることが経験的に知られている。2つのパラメータが必要な理由は、非特異状態の集合が単連結空間にならずホロノミーが非零となるからである。
n {\displaystyle n} 次固有状態にある量子系では、ハミルトニアンの断熱的な時間発展で系はハミルトニアンの n {\displaystyle n} 次固有状態にとどまるものの、位相因子が付け足されることを見た。この位相因子は状態の時間発展からの寄与のほかに、変化するハミルトニアンとともに移り変わる固有状態からの寄与がある。後者がBerry位相に対応している。
この寄与は、非サイクリックなハミルトニアン変化に対しては、時間発展の各点のハミルトニアンの固有状態に対応する、異なる位相を選択することによって打ち消すことができる。
しかしながら、サイクリックな変化ではBerry位相は打ち消されることはなく、系の観測可能な不変量としてふるまう。マックス・ボルン、ウラジミール・フォック, Zeitschrift für Physik 51, 165 (1928) での断熱定理の証明によって、位相因子の全変化量への断熱過程の寄与を特徴づけることができる。断熱近似の下で、断熱過程における n {\displaystyle n} 次固有状態の係数は次式で与えられる。
C n ( t ) = C n ( 0 ) exp  [ − ∫ 0 t ⟨ ψ n ( t ′ ) | ψ ̇ n ( t ′ ) ⟩ d t ′ ] = C n ( 0 ) e i γ n ( t ) .