分岐群 (数学)
ガロア群 G {\displaystyle G} とその部分群 G i {\displaystyle G_{i}} はこのフィルトレーションと商を使って調べることができる。次が成り立つ。
G / G 0 = Gal  ( l / k ) {\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k)} が成り立つ。 l , k {\displaystyle l,k} は L , K {\displaystyle L,K} の剰余体(有限体である)。
G 0 = 1 ⇔ L / K {\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K} は不分岐拡大
G 1 = 1 ⇔ L / K {\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K} は従順分岐(英語版)(tamely ramified,馴分岐とも。分岐指数は剰余体の標数と互いに素であること)
i ≥ 0 {\displaystyle i\geq 0} に対して G i = ( G 0 ) i {\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}} が成り立つので、分岐群の研究は完全分岐の場合に帰着される。
G {\displaystyle G} 上の関数 i G {\displaystyle i_{G}} を、 s ∈ G {\displaystyle s\in G} に対して i G ( s ) = w ( s ( α ) − α ) {\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha )} として定義する。先ほどの (ii) から i G {\displaystyle i_{G}} は α {\displaystyle \alpha } の取り方によらない。