非可換整域
与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである(2007年現在)。
様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている。Farkas & Snider (1976)は「G が捩れの無い多重巡回×有限(英語版)群 (polycyclic-by-finite group) で K が標数 char K = 0 の体ならば群環 K[G] は域を成す」ことを証明した。後に Cliff (1980) が体の標数に関する制限を取り除いている。Kropholler, Linnell & Moody (1988) はこれらの結果を捩れの無い可解群および可解×有限群の場合にまで一般化している。それより早く Lazard (1965) の成した研究は(その重要性は20年もの間この分野の専門家に省みられることは無かったが)、K が p-進整数環で G が GL(n, Z) の p-次合同部分群(英語版)である場合を扱っていた。
1 2 ここでいう「非可換」は一般に「必ずしも可換とは限らない」の意味だが、可換でないことを強調する意味で非可換とつけることもあるので注意。本項では必ずしも可換でないという意味では単に「域」を用い、非可換であることを強調する意味で「非可換域」を用いた。広義には、integral domain の意味で domain を用いたり、可換・非可換あるいは非零単位元の有無を問わず「整域 (integral domain)」という語を用いることも少なくないので、文脈に注意すべきである。