多重積分
のように書かれることが最もよくある形である(積分領域は、それが積分記号の全てに関係することを象徴的に表すのと記号の簡素化を図るために、総じて全ての積分記号の右または真下に一つだけ附す。)。特に、S ⊆ R の場合、f の T 上の二重積分は
∫∫ S f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \iint _{S}f(x,y)\,dx\,dy}
のように書かれ、T ⊆ R のとき f の T 上の三重積分は
∫∫∫ T f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle \iiint \limits _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}
のように書かれる。規約により、二重積分で積分記号を二つ、三重積分では積分記号が三つ書かれることになるが、これは重積分を逐次積分として計算する場合(後述)の便宜を考えてのことである。
原始函数の概念は一変数のときのみ定義されたものであるから、不定積分の概念をそのまま重積分の場合にも拡張することはできない。
一変数の場合と同様に、多重リーマン積分を定義できるのは有界領域上で有界な函数だけであり、非有界領域上の積分あるいは領域の境界の近くで非有界な函数の積分に定義を拡張しようとした場合は、広義積分を考えることが必要になる。広義多重積分は領域の極限のとり方の自由度が高い(極限によって必ずしも面積が確定しない領域が存在する)ため、一変数の場合の広義積分と少々事情が異なるが、一定の仮定を満たす場合については一変数と同様の議論を行うことができる。
最も単純な場合として、非有界領域 D 上で定義された正値函数 f で、その領域に含まれる任意の有界閉部分領域(コンパクト領域)K 上で函数が有界かつ可積分であるものを考える。この場合、もともとの非有界領域 D が有界閉部分領域の列または有向族 Kλ の極限として到達可能ならば、f の D 上の積分を極限
∫ D f ( x ) d x := lim K λ → D f ( x ) d x {\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d\mathbf {x} :=\lim _{K_{\lambda }\to D}f(\mathbf {x} )d\mathbf {x} }
によって定義し、これが有限な値をとるとき f は D 上で広義リーマン可積分あるいは単に広義積分可能であるという。