プロトキン限界
また、 C {\displaystyle C} の符号語を並べた M × n {\displaystyle M\times n} の行列を A {\displaystyle A} とする(行が符号語に対応)。 A {\displaystyle A} の i {\displaystyle i} 番目の列にあるゼロの個数を s i {\displaystyle s_{i}} とする。つまり、 i {\displaystyle i} 番目の行には M − s i {\displaystyle M-s_{i}} 個の1がある。 d ( x , y ) = d ( y , x ) {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)} であるため、 ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)} という総和におけるある行の1や0の寄与は常に 2 {\displaystyle 2} である。従って、次が成り立つ。
∑ x , y ∈ C d ( x , y ) = ∑ i = 1 n 2 s i ( M − s i ) {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)=\sum _{i=1}^{n}2s_{i}(M-s_{i})}
M {\displaystyle M} が偶数なら、右辺は s i = M / 2 {\displaystyle s_{i}=M/2} のときに最大となり
A 2 ( n , d ) ≤ 2 ⌊ d 2 d − n ⌋ {\displaystyle A_{2}(n,d)\leq 2\left\lfloor {\frac {d}{2d-n}}\right\rfloor }
d {\displaystyle d} が奇数で 2 d + 1 > n {\displaystyle 2d+1>n} の場合、
A 2 ( n , d ) ≤ 2 ⌊ d + 1 2 d + 1 − n ⌋ {\displaystyle A_{2}(n,d)\leq 2\left\lfloor {\frac {d+1}{2d+1-n}}\right\rfloor }
d {\displaystyle d} が偶数の場合、
A 2 ( 2 d , d ) ≤ 4 d {\displaystyle A_{2}(2d,d)\leq 4d}
d {\displaystyle d} が奇数の場合、
A 2 ( 2 d + 1 , d ) ≤ 4 d + 4 {\displaystyle A_{2}(2d+1,d)\leq 4d+4}
となる。ここで ⌊ ⌋ {\displaystyle \left\lfloor \ \right\rfloor } は床関数を意味する。