最大と最小
正式には次のように定義される。(P, ≦) を 1 つの半順序集合とし、S を P の 1 つの部分集合とする。そのとき、次の条件
S の任意の元 s に対して、s ≦ g
を満たす S の元 g を S の最大元という。また、次の条件
S の任意の元 s に対して、g ≦ s
を満たす S の元 g を S の最小元という。定義より、S の最大元(resp. 最小元)は S の 1 つの上界(英語版)(resp. 下界)である。また、S の最大元(resp. 最小元)が存在するならば、それはただ 1 つだけ存在する。
統計学においては数値データは昇順にソートされており、最初の値を最小値、最後の値を最大値と呼ぶ。
日常会話では、「非常に巨大な最小値」や「非常に小さい最大値」は最大や最小と言わずに別の表現に置き換える場合がある(数学としての定義ではその空間上に「コンビニ」という物が存在すれば、全ての場所に「最寄りのコンビニ」が存在するが、日常会話としてはあまりにも距離が長い場合は「最寄りのコンビニ」は無いという回答をするのが普通である。)。「最短ルート」という言葉も長すぎる距離の場合は最短ルートとは通常は言わない。
日常会話での最小の定義も文脈により異なり、「0に近い物」又は数学の定義と同じ「-∞に近い物」のどちらかとなる。
日常会話では「巨大な数値の集合」での最大値は「全て大きい」、最小値は「無い」となる。
モハメド・アリは「私は最強ではない、二倍最強である」 (“I’m not the greatest, I’m the double greatest.”)と新聞のUSAトゥデイが取り上げている。報道された著名人の発言であるが、数学的には反する点がある。
秤における「最小測定量」とはそのはかりで精度の保証ができる最小の測定値の事を示し、目盛の最小値の事ではない(目盛の最大値は「ひょう量」と呼ばれる。)。