ヘッセ行列
数学におけるヘッセ行列(ヘッセ-ぎょうれつ、英: Hessian matrix)は、多変数スカラー値関数の二階偏導関数全体が作る正方行列である。実数値関数の極値判定に用いられる。ヘッセ行列は、ジェームス・ジョセフ・シルベスターが、ドイツの数学者ルートヴィヒ・オットー・ヘッセに由来して名づけた。
( M , g ) {\displaystyle (M,g)} をリーマン多様体とし、 ∇ {\displaystyle \nabla } をそのレビ・チビタ接続とする。 f : M → R {\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} } を滑らかな関数とする。すると、ヘッセテンソル
Hess ( f ) ∈ Γ ( T ∗ M ⊗ T ∗ M ) {\displaystyle \displaystyle {\mbox{Hess}}(f)\in \Gamma (T^{*}M\otimes T^{*}M)}
を
Hess ( f ) := ∇ ∇ f = ∇ d f {\displaystyle {\mbox{Hess}}(f):=\nabla \nabla f=\nabla df}
により定義することができる。ここに、関数の一階共変微分は通常の微分と同じであることを活用する。局所座標 { x i } {\displaystyle \{x^{i}\}} をとると、ヘシアンは次の式で局所的に表すことができる。
Hess ( f ) = ∇ i ∂ j f d x i ⊗ d x j = ( ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j − Γ i j k ∂ f ∂ x k ) d x i ⊗ d x j .
f が(スカラー値でなく)ベクトル値関数であるとき、つまりスカラー値関数のベクトルとして
f = ( f 1 , f 2 , ... , f n ) {\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{n})}
のように表されるとき、二階導関数の配列を行列の形に書くことはできず、階数 3 のテンソルとして捉えることができる。