ゼータ函数正規化
熱核正規化の方法とゼータ函数正規化の方法の収束性と同値性を確立する初期の仕事の多くは、1916年にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとジョン・エデンサー・リトルウッド により成し遂げられ、彼らの仕事はカヘン-メリン積分への応用に基礎を持っていた。この効果は様々なうまく定義できない値、数論に現れる条件収束和を求める目的でなされた。
物理的な問題への正規化の応用としては、Hawking (1977)よりも前に、J. Stuart Dowker と Raymond Critchley は1976年に量子物理の問題に対するゼータ函数正規化の方法を提案していた。 エミリオ・エリザルデ(Emilio Elizalde)たちは、積分 ∫ a ∞ x m − s d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{m-s}dx} のゼータ正規化を基礎とする方法を提案した。ここに x − s {\displaystyle x^{-s}} はレギュレータで、発散する積分は、極限 s → 0 {\displaystyle s\to 0} での数値 ζ ( s − m ) {\displaystyle \zeta (s-m)} に依存する。繰り込みの記事を参照のこと。次元正規化(英語版)(dimensional regularization)や解析的正規化のようなほかの正規化とは異なり、ゼータ函数正規化は (キャンセルするための)反対項を持たなく、有限の結果のみを与える。
とすると、ゼータ級数は次の構造を持つことが分かる。
f ~ ( s ) = a N s − N + ⋯ . {\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{s-N}}+\cdots .\,}
指数正規化とゼータ正規化は、メリン変換で関連付けられている。ガンマ函数の積分表示
Γ ( s + 1 ) = ∫ 0 ∞ x s e − x d x {\displaystyle \Gamma (s+1)=\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}\,dx}
を使い、それらを相互に変換することができる.この式は等式
Γ ( s + 1 ) f ~ ( s + 1 ) = ∫ 0 ∞ t s F ( t ) d t {\displaystyle \Gamma (s+1){\tilde {f}}(s+1)=\int _{0}^{\infty }t^{s}F(t)\,dt}
を導き、指数正規化とゼータ正規化を関連付け、s-平面の極をローラン級数の発散する項へ変換する。