エニオン
三次元以上の空間では、スピン統計定理によると、あらゆる多粒子状態はボース・アインシュタイン統計もしくはフェルミ・ディラック統計のどちらかに従わなくてはならない。d>2ならば、群SO(d,1)(ローレンツ群を一般化する)およびPoincaré(d,1)は、それらの第一ホモトピー群として Z 2 {\displaystyle \mathrm {Z} _{2}} を持つ。 Z 2 {\displaystyle \mathrm {Z} _{2}} は、二つの要素からなる巡回群であり、それゆえ、二つの状態のみが可能である。(詳しくは、それより多くの要素を含むが、ここでは二つという点が重要である。)
二次元空間では、状況は変わる。ここで、SO(2,1)およびPoincaré(2,1)の第一ホモトピー群は、Z(無限巡回)である。これはSpin(2,1) は普遍被覆ではないことを意味する。つまり、それは単連結ではない。詳細には、SO(2,1)または二重被覆であるスピン群Spin(2,1)の線形表現から生じる特殊直交群SO(2,1)の射影表現が存在する。