倍積完全数
倍積完全数(ばいせきかんぜんすう、英: multiply perfect number, multiperfect number, pluperfect number)とは、その約数の総和が元の数の整数倍になるような自然数のことである。約数関数 σ を用いて定義すると σ(n) = kn (k は自然数)を満たす自然数 n が倍積完全数であり、これを k倍完全数ともいう。
k = 2 の場合である2倍完全数は単に完全数と呼ぶ。なお、k = 1 の場合は σ(n) = n を満たす n が 1 のみであるため、1倍完全数は 1 のみである。
例えば、120 の約数の総和は
σ(120) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120
であり、120 の 3 倍となるので、120 は3倍完全数である。
具体的には 1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A007691)
p が n を割り切らない素数とすると、n が p倍完全数であることと、pn が (p + 1)倍完全数であることは同値である。例えば、3倍完全数 m が 2 で割り切れるが 4 で割り切れない場合(すなわち m が単偶数である場合)、m/2 は奇数の完全数となるが、そのような数はいまだに見つかっていない。