シュワルツ超函数
を考える。既に見たようにこれは x を変数とする滑らかな函数で、さらにコンパクト台を持つ。このとき S と T との畳み込みは
⟨ S ∗ T , φ ⟩ = ⟨ S , ψ ⟩ {\displaystyle \langle S*T,\varphi \rangle =\langle S,\psi \rangle }
で定義される。これは函数同士の古典的な畳み込みの概念を一般化するもので、微分とは
∂ α ( S ∗ T ) = ( ∂ α S ) ∗ T = S ∗ ( ∂ α T ) {\displaystyle \partial ^{\alpha }(S*T)=(\partial ^{\alpha }S)*T=S*(\partial ^{\alpha }T)}
なる意味で両立する。この畳み込みの定義は S, T に対する制約条件をもう少し緩めてもなお有効である。たとえば Gel'fand & Shilov (1966–1968, v. 1, pp. 103–104) and Benedetto (1997, Definition 2.5.8) を参照。
となるので、(いつでもきちんと定義できる)滑らかな函数による超函数への積を拡張する方法では、超函数の空間における結合的な積を得ることはできない。
したがって、超函数論の中からは(積を含むような)非線型な問題は出てこないし、もちろん非線型な問題を超函数論の中だけで解決することもできない。しかし場の量子論の文脈では解を得ることができる。二以上の次元の時空では、この問題は発散の正則化に関係する。ここにヘンリ・エプスタインとウラジミール・グラセルが因果的摂動論を数学的に厳密に(しかし相当技巧的に)発展させた。他の状況における問題は解決されていない。他にも例えば流体力学におけるナヴィエ・ストークス方程式のような興味深い理論の多くが非線型である。
このような観点から、満足なものとはいえないながらも広義函数からなる多元環の理論がいくつか作られていて、中でも現在よく用いられているものとしてコロンボの(単純化)代数を挙げる事ができるだろう。
乗法の問題の単純解は量子力学の経路積分による定式化によって記述される。なぜならそれは、(経路積分と共有されるべきはずの性質であるところの)座標変換不変な量子力学のシュレーディンガー理論と同値であることが要請されるからである。これが超函数の全ての積を回復することが Kleinert & Chervyakov (2001) に示されており、この結果は次元正則化から導かれるところのものと同値である (Kleinert & Chervyakov 2000)。
例えば ⟨δ, φ⟩ = φ(0) で定まる R 上のディラックデルタ超函数 δ の導函数は ⟨δ′, φ = −⟨δ, φ′⟩ = −φ′(0) で与えられるが、これと滑らかな函数 m との積 mδ′ は
m δ ′ = m ( 0 ) δ ′ − m ′ δ {\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta }
なる超函数である。この乗法の定義を用いて、滑らかな函数を係数に持つ線型微分作用素の超函数への作用を定義することもできる。線型微分作用素 P は超函数 S ∈ D′(U) を
P S = ∑ | α | ≤ k p α ∂ α S {\displaystyle PS=\sum _{|\alpha |\leq k}p_{\alpha }\partial ^{\alpha }S}
の形の和で与えられる新たな超函数に移す。ここで係数 pα は U 上の滑らかな函数である。微分作用素 P が与えられたとき、任意の超函数 S に対してこのような展開をすることができる最小の整数 k を P の階数 (order) という。P の随伴作用素は
⟨ φ , ∑ α p α S ⟩ = ⟨ ∑ α ( − 1 ) | α | ∂ α ( p α φ ) , S ⟩ {\displaystyle \left\langle \varphi ,\,\sum _{\alpha }p_{\alpha }S\right\rangle =\left\langle \sum _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }(p_{\alpha }\varphi ),\,S\right\rangle }
で与えられる。空間 D′(U) は線型微分作用素環の作用に関して D-加群となる。
⟨ ∂ S ∂ x k , φ ⟩ = − ⟨ S , ∂ φ ∂ x k ⟩ {\displaystyle \left\langle {\frac {\partial S}{\partial x_{k}}},\,\varphi \right\rangle =-\left\langle S,\,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}\right\rangle }
なる式で与えられる。これにより、任意のシュワルツ超函数は無限回微分可能となり、また xk 方向への微分は D′(U) 上の線型作用素となる。一般に、 α = (α1, ..., αn) を任意の多重指数とし、対応する混合偏微分作用素を ∂ で表せば、超函数 S ∈ D′(U) の混合偏導函数 ∂S は
⟨ ∂ α S , φ ⟩ = ( − 1 ) | α | ⟨ S , ∂ α φ ⟩ for all φ ∈ D ( U ) {\displaystyle \langle \partial ^{\alpha }S,\varphi \rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle S,\,\partial ^{\alpha }\varphi \rangle {\mbox{ for all }}\varphi \in D(U)}
で定義される。超函数の微分が D′(U) の連続線型作用素となることは、他の多くの微分概念にはない重要かつ著しい性質である。
が満たされるときである。半ノルムの族 pα,β はシュワルツ空間に局所凸位相を定める。シュワルツ函数が滑らかであるから、実際にはこれらの半ノルムはシュワルツ空間上のノルムになっている。シュワルツ空間は距離化可能であり、完備である。
緩増加超函数の空間はシュワルツ空間の連続的双対空間として定められる。言い換えれば、超函数 F が緩増加超函数であるとは、任意の多重指数 α, β に対して
lim m → ∞ sup x ∈ R n | x α D β φ m ( x ) | = 0 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi _{m}(x)|=0}
が成り立つならば
lim m → ∞ F ( φ m ) = 0 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }F(\varphi _{m})=0}
であることをいう。緩増加超函数の導函数は再び緩増加超函数となる。緩増加超函数は、有界あるいは緩増加 (slow-growing) な局所可積分函数を一般化するもので、コンパクト台付き超函数や自乗可積分函数はすべて緩増加超函数のクラスに含まれる。増大度が高々多項式程度な(すなわち適当な r をとれば f(x) = O(|x|) となるような)任意の局所可積分函数 f も全て緩増加超函数であり、これには p ≥ 1 に対する L(R) に属する函数の全てが含まれる。