バターワースフィルタ
この式の極は半径 ωc の円上に等間隔で現れる。伝達関数自体は複素平面 s 上の実数が負の側の極で決定される。k番目の極は次の式で決定される。
− s k 2 ω c 2 = ( − 1 ) 1 n = e j ( 2 k − 1 ) π n k = 1 , 2 , 3 , ... , n {\displaystyle -{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad \mathrm {k=1,2,3,\ldots ,n} }
従って、次が得られる。
s k = ω c e j ( 2 k + n − 1 ) π 2 n k = 1 , 2 , 3 , ... , n {\displaystyle s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad \mathrm {k=1,2,3,\ldots ,n} }
伝達関数はこれらの極を使って次のようにも表せる。
H ( s ) = G 0 ∏ k = 1 n ( s − s k ) / ω c {\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{\prod _{k=1}^{n}(s-s_{k})/\omega _{c}}}}
分母は、s におけるバターワース多項式である。