素朴集合論
無制限の内包公理と呼ばれる集合の無制限の構成原理がある。
P を性質とすると、集合 Y = {x : P(x)} が存在する。(偽)
これは、初期に現れるパラドックスの原因になっていた。
Y = {x : x は順序数} から1897年にブラリ=フォルティのパラドックスが導出された。二律背反の最初の例である。
Y = {x : x は濃度} から1987年にカントールのパラドックスが導出された。
Y = {x : {} = {}} から1899年にカントールの第二の二律背反(Cantor's second antinomy) が導出された。ここで性質 P はどんな x であってもすべての x に対して真であり、それ故に Y はすべてを含む普遍集合となる。
Y = {x : x ∉ x} つまり自身を要素に含まないすべての集合の集合から、1902年にラッセルのパラドックスが導出された。
無制限の内包公理が分出公理または分離公理に弱められた場合、上記のパラドックスはすべて解消する。
P を性質とすると、任意の集合 X に対して集合 Y = {x ∈ X : P(x)} が存在する。
この命題には系が存在する。理論の公理として分離公理を用いると、理論の定理は次のようになる。
全集合の集合は存在しない。
または、もっと壮観に(ハルモスのことばで言えば )宇宙は存在しない。証明:宇宙が存在すると仮定し、それを U とする。ここで、 X = U で分離公理を適用し、 P(x) に x ∉ x を用いる。これはラッセルのパラドックスに再びつながる。したがって、 U はこの理論に存在することはできない。(証明終)
上記の構造に関連するのは、集合の構成である。
Y = {x : (x ∈ x) → {} ≠ {}}
ここで、含意に続く言明は確かに偽である。Y の定義から、通常の推論規則(および以下のリンクされた記事の証明を読むときの補足)を用いて、Y ∈ Y → {} ≠ {} と Y ∈ Y の両方が成り立つため、ゆえに {} ≠ {} が成り立つ。これはカリーのパラドックスである。
問題となるのは(おそらく驚くべきことに) x ∈ x の如何ではない。これもまた、 P(x) を (x ∈ x) → {} ≠ {} と置くことを認める無制限の内包公理である。無制限の内包公理の代わりに分出公理を用いると、結論 Y ∈ Y が成り立たず、したがって {} ≠ {} は論理的帰結ではなくなる。
それにもかかわらず、正則性公理の成立を要求することによって、x ∈ x の可能性は明示的に除去されるか、またはたとえばZFCでは暗黙的に除去されることがよくある。その結果の1つは以下の命題である。
X ∈ X となる集合 X は存在しない
つまり、集合はそれ自体の要素ではない。
上記の通常の操作と構造で集合論を展開するには、分離公理は単純に弱すぎる(一方、無制限の内包は非常に強力な公理であり、集合論には強すぎる)。正則性公理も制限的な性質のものである。したがって、集合論を構成するのに十分な集合の存在を保証するために、他の公理を定式化することになる。これらのいくつかは上記で非形式的に説明されており、他の多くも可能である。ただし、考えられるすべての公理を自由に組み合わせて無矛盾な理論にできるわけではない。たとえばZFCの選択公理は、「実数のすべての集合はルベーグ可測である」という命題とは相反する。選択公理はこの命題が偽であることを含意する。