作用素論
A, B はヒルベルト空間 H 上の有界作用素で AA ≤ BB を満たすとする。このとき、A = CB を満たす縮小写像 C が存在する。さらに Ker(B) ⊂ Ker(C) ならば C は一意である。
の帰結である。作用素 C は C(Bh) = Ah とおき、連続性により Ran(B) まで延長して、Ran(B) の直交補空間では 0 とすれば定義できる。この作用素 C は AA ≤ BB から Ker(B) ⊂ Ker(A) が従うから矛盾なく定義される。よって補題は示された。
特にAA ≤ BB ならば C は部分等距であり、これは Ker(B) ⊂ Ker(C) のとき一意である。一般に任意の有界作用素 A に対し、通常の汎函数計算で与えられる AA の平方根を (AA) として
A ∗ A = ( A ∗ A ) 1 2 ( A ∗ A ) 1 2 {\displaystyle A^{*}A=(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}}
が成り立つから、補題により適当な部分等距変換 U に対して
Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
Yoshino, Takashi (1993). Introduction to Operator Theory. Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-0582237438
Simon, B. (2015). Operator theory. American Mathematical Society.
Alpay, D., Cipriani, F., Colombo, F., Guido, D., Sabadini, I., & Sauvageot, J. L. (2016). Noncommutative analysis, operator theory and applications. Springer International Publishing.