畳み込み
積分演算に由来する性質として以下の性質がある。
交換律: f ∗ g = g ∗ f {\displaystyle f*g=g*f}
結合律: ( f ∗ g ) ∗ h = f ∗ ( g ∗ h ) {\displaystyle (f*g)*h=f*(g*h)}
分配律: f ∗ ( g + h ) = ( f ∗ g ) + ( f ∗ h ) {\displaystyle f*(g+h)=(f*g)+(f*h)}
スカラー倍: a ( f ∗ g ) = ( a f ) ∗ g = f ∗ ( a g ) {\displaystyle a(f*g)=(af)*g=f*(ag)} , a は任意の複素数。
微分: D ( f ∗ g ) = D f ∗ g = f ∗ D g {\displaystyle {\rm {D}}(f*g)={\rm {D}}f*g=f*{\rm {D}}g} , D は微分演算子(離散系の場合は Df(n) = f(n + 1) − f(n))
畳み込み定理(英語版): F ( f ∗ g ) = F ( f ) ⋅ F ( g ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)={\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)} , F ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)} はフーリエ変換