アスプルンド空間
アスプルンド空間の類は、位相同型写像の下で閉じている。すなわち、X と Y がバナッハ空間で、X がアスプルンド空間であり、X が Y と位相同型なら、Y もまたアスプルンド空間である。
アスプルンド空間のすべての閉線型部分空間はアスプルンド空間である。
アスプルンド空間のすべての商空間はアスプルンド空間である。
アスプルンド空間の類は拡大の下で閉じている。すなわち、X がバナッハ空間で、Y が X のアスプルンド部分空間であり、商空間 X ⁄ Y がアスプルンド空間であるなら、X もアスプルンド空間である。
アスプルンド空間のある開部分集合上のすべての局所リプシッツ函数は、その定義域のある稠密部分集合の点においてフレシェ微分可能である。この結果は1990年にデビッド・プレイス(英語版)によって証明され、最適化理論において頻繁に応用されている。
アスプルンドの1968年の原著論文で示された次の定理は、なぜアスプルンドでない空間が badly behaved であるかを示す良い例である:X がアスプルンド空間でないなら、X のすべての点においてフレシェ微分可能とならない X 上の同値ノルムが存在する。
1976年に Ekeland & Lebourg は、X が原点を避けてフレシェ微分可能である同値ノルムを持つバナッハ空間であるなら、X はアスプルンド空間であることを示した。しかし1990年に Haydon は、原点を避けてガトー微分可能である同値ノルムを持たないアスプルンド空間の例を示した。