余因子展開
余因子展開は高次行列に対しては計算的に非効率的である。なぜならば N次正方行列に対して計算のオーダーは N! だからである。したがって、余因子展開は大きい N に対して適切ではない。LU分解にあるように三角行列への分解を用いて、行列式を N/3 のオーダーで決定できる。
B = (bij) を n次正方行列とし、S を {1, 2, ..., n} の k 元部分集合全体の集合とし、H をその元とする。すると B の行列式は H によって指定される k 個の行に沿って次のように展開できる:
| B | = ∑ L ∈ S ε H , L b H , L c H , L {\displaystyle |B|=\textstyle \sum \limits _{L\in S}\varepsilon ^{H,L}b_{H,L}c_{H,L}}
ただし ε は H と L によって決定される置換の符号で
( − 1 ) ∑ h ∈ H h + ∑ l ∈ L l {\displaystyle (-1)^{\sum \limits _{h\in H}h+\sum \limits _{\ell \in L}\ell }}
に等しく、bH,L は B から添え字がそれぞれ H と L に属している行と列を除いて得られる B の正方部分行列で、cH,L(bH,L の補行列と呼ばれる)は bH′,L′ と定義される。ここで H' と L' はそれぞれ H と L の補集合である。
これは k = 1 のとき冒頭の定理と一致する。同じことは任意の固定された k 個の列に対しても成り立つ。
数学の線型代数学における余因子展開(よいんしてんかい、英: cofactor expansion)、あるいはピエール・シモン・ラプラスの名に因んでラプラス展開とは、n次正方行列 A の行列式 |A| の、n 個の A の (n − 1)次小行列式の重み付き和としての表示である。余因子展開は行列式を見るいくつかの方法の一つとして理論的に興味深く、行列式の実際の計算においても有用である。
A の (i, j)余因子(英語版)とは、次で定義されるスカラーである:
a ~ i , j = ( − 1 ) i + j M i , j {\displaystyle {\widetilde {a}}_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}}
ここで Mi,j は A の (i, j)小行列式、つまり、A から第i行と第j列を除いて得られる (n − 1)次小正方行列の行列式である。
すると余因子展開は次で与えられる:
定理 ― A = (ai,j) を n次正方行列とし、任意の i, j ∈ {1, 2, ..., n} を固定する。
するとその行列式 |A| は次で与えられる: