中線定理
三角形OABにおいて、辺ABの中点Mを原点に取り、辺ABをx軸上に取ると、
M ( 0 , 0 ) , A ( − a , 0 ) , B ( a , 0 ) {\displaystyle M(0,0),\ A(-a,0),\ B(a,0)}
と置くことができる。
ここで、頂点Oの座標を (b, c) とすると、
O A 2 = ( b + a ) 2 + c 2 , O B 2 = ( b − a ) 2 + c 2 . {\displaystyle OA^{2}=(b+a)^{2}+c^{2},\ OB^{2}=(b-a)^{2}+c^{2}.}
したがって、辺々を加えると、
O A 2 + O B 2 = 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) . {\displaystyle OA^{2}+OB^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}
一方、
O M 2 = b 2 + c 2 , A M 2 = a 2 . {\displaystyle OM^{2}=b^{2}+c^{2},\ AM^{2}=a^{2}.}
したがって、
O A 2 + O B 2 = 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 2 ( O M 2 + A M 2 ) . {\displaystyle OA^{2}+OB^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})=2(OM^{2}+AM^{2}).} Q.E.D.
中線定理(ちゅうせんていり、英: parallelogram law)とは、幾何学において、三角形の中線の長さと辺の長さの関係を表す定理である。パップスの定理と知られているが、実はアポロニウスが発見した定理である。