コンパクト空間
X が距離空間であれば、コンパクト性をまた別の方法で特徴づける事ができる。まずは結論となる定理を提示し、それから定理の記述に必要な概念を順に導入する。
定理 (距離空間におけるコンパクト性の特徴づけ) ― X を距離空間とするとき以下の3つは同値である。
X はコンパクトである。
X は全有界かつ完備である。
X は点列コンパクトである。
コンパクト空間から位相空間への連続写像の像はコンパクト集合である。
(有限個または無限個の)コンパクト空間の直積はコンパクトである。(チコノフの定理。この定理はZF のもとで選択公理と同値である)
( X λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (X_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} を位相空間の族するとき、 ∏ λ ∈ Λ X λ {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }} には以下の2種類の位相が入る。
定義 (直積位相、箱型積位相) ― ( X λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (X_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} を位相空間の族とする。このとき、
全ての射影 p λ : ∏ λ ∈ Λ X λ → X λ {\displaystyle p_{\lambda }\colon \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\to X_{\lambda }} を連続にする最弱の位相を直積位相もしくはチコノフ位相という。
{ ∏ λ ∈ Λ O λ ∣ ∀ λ ∈ Λ : O λ ∈ O λ } {\displaystyle \{\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\mid \forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }\}} を開基とする位相を箱型積位相(英語版)という。
これら2つの位相は有限個の直積 X 1 × ⋯ × X n {\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}} を考えている場合は同一であるが、無限積を考えた場合には箱型積位相のほうが直積位相よりも強い(弱くない)位相になる。これを見るために直積位相を具体的に書き表すと、以下のようになる事が知られている:
定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、 直積位相は
{ ∏ λ ∈ Λ O λ | O λ ∈ O λ {\displaystyle {\Bigg \{}\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\ {\Bigg |}\ O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }} , 有限個のλを除いて O λ = X λ } {\displaystyle O_{\lambda }=X_{\lambda }{\Bigg \}}}
本節では位相空間の(有限個または無限個の)直積には2種類の位相が入り、コンパクト空間の無限個の直積に前者の位相を入れた場合はコンパクトになるが、後者の位相を入れた場合はそうなるとは限らない事を見る。