分配函数 (場の量子論)
母函数は、統計力学の分配函数の場の量子論の類似である。このことは、系について知りたいと思うもののすべてを教えてくれる。母函数は、任意の個別の場の理論の高級な枠組みである。ある特別な理論の for Z [ J ] {\displaystyle Z[J]} が完全閉形式であれば、完全にこれを解くことができる。
統計力学の分配函数とは異なり、場の量子論の分散函数は、作用の先頭に余剰な因子 i を付加し、実数ではなく複素数で積分する。このことは、しばしばウィック回転をするかのように誤って理解されているが、そうではない。むしろ i の意味は、場 φ {\displaystyle \phi } を量子力学的な確率振幅として理解すべきであり、値を複素射影空間に取るという事実と理解すべきである。(複素射影空間は、複素ヒルベルト空間であるが、確率振幅は 1 に依然として正規化されているので、「射影的」という用語をつけた。)これとは対照的に、より伝統的な分配函数は、確率変数が実数に値をとり、単体 (simplex) 上を渡ることを意味する。-- 単体とは累計として合計すると 1 となるようなコンパクトな幾何学的な領域を言う。因子 i は複素射影空間の中の体積という自然な測度のヤコビ行列式として理解することができる。(非常にまれではあるが)複素数に値をとる確率振幅がある他の数学的空間に値をとるような場に置き換わる場合は、i はこの空間により適切な因子(つまり、ヤコビ行列式)に代わるべきである。