ヘルダー平均
一般に -∞ ≤ p < q ≤ +∞ ならば
M p ( x 1 , ... , x n ) ≤ M q ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}
である。また2つの平均が等しいのは x1 = x2 = ⋯ = xn のとき、かつそのときに限る。これはイェンセンの不等式より、任意の実数 p に対して
∂ ∂ p M p ( x 1 , ... , x n ) ≥ 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}
が成り立つためである。
特に p = -1, 0, 1 の場合を考えると、この不等式は調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 相加平均
n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ 1 x n ≤ x 1 x 2 ⋯ x n n ≤ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots {}x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}
を意味する。
いくつかの特定の p の値に対しては、特別の名前が付けられている。