スカラー場の理論
スカラー場が実数の値をとる実スカラー場に対して、複素数の値をとるスカラー場を複素スカラー場と呼ぶ。ポテンシャルを含む複素スカラー場の作用は以下のように定義される。
S = ∫ d D − 1 x d t L = ∫ d D − 1 x d t [ ∂ μ φ ∗ ∂ μ φ − V ( φ φ ∗ ) ] {\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -V(\phi \phi ^{*})\right]}
この作用はU(1)対称性、すなわち位相をαだけ回転させる変換
φ → e i α φ {\displaystyle \phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi }
φ ∗ → e − i α φ ∗ {\displaystyle \phi ^{*}\rightarrow e^{-i\alpha }\phi ^{*}}
のもとでの対称性を持つ。
複素スカラー場のφ理論においても、実スカラー場の場合と同様に、mが負のときU(1)対称性が自発的に破れる。Z2対称性は離散的な対称性であったが、U(1)対称性は連続的な対称性であり、このときのポテンシャルはメキシカン・ハット型、あるいはワイン・ボトル型のポテンシャルと呼ばれる。複素スカラー場はヒッグス機構において用いられ、南部=ゴールドストンボソン(英語版)を導く。