部分積分
上記の結果により、 f {\displaystyle f} と f ( k ) {\displaystyle f^{(k)}} が積分可能ならば、
| F f ( ξ ) | ≤ I ( f ) 1 + | 2 π ξ | k {\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}}} , ただし I ( f ) := ∫ − ∞ ∞ ( | f ( y ) | + | f ( k ) ( y ) | ) d y {\displaystyle I(f):=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}dy} .
言い換えると、 f {\displaystyle f} がこれらの条件を満足するならば、そのフーリエ変換は無限大で高々 1 / | ξ | k {\textstyle 1/|\xi |^{k}} のオーダーで収束するということである。
上記の定理は以下のように導出される。
u ( x ) {\textstyle u(x)} と v ( x ) {\textstyle v(x)} がともに微分可能な関数であるとき、積の微分法則(ライプニッツ則)より
d d x ( u ( x ) v ( x ) ) = v ( x ) d d x ( u ( x ) ) + u ( x ) d d x ( v ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u(x)v(x)\right)=v(x){\frac {d}{dx}}\left(u(x)\right)+u(x){\frac {d}{dx}}\left(v(x)\right)\!}
両辺を区間 a ≤ x ≤ b {\textstyle a\leq x\leq b} で x {\textstyle x} に関して積分して
∫ a b d d x ( u ( x ) v ( x ) ) d x = ∫ a b u ′ ( x ) v ( x ) d x + ∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}\left(u(x)v(x)\right)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx+\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx}
ここで微分積分学の基本定理より、
∫ a b d d x ( u ( x ) v ( x ) ) d x = [ u ( x ) v ( x ) ] a b {\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}\left(u(x)v(x)\right)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}}
部分積分の仕組みを考えるためによく使われる例として、
I = ∫ e x cos  x d x {\displaystyle I=\int e^{x}\cos x\,dx}
を計算する。ここでは、部分積分を2回行う。最初に
u = cos  x ⇒ d u = − sin  x d x {\displaystyle u=\cos x\Rightarrow du=-\sin x\,dx}
d v = e x d x ⇒ v = e x {\displaystyle dv=e^{x}\,dx\Rightarrow v=e^{x}}
とすると、
∫ e x cos  x d x = e x cos  x + ∫ e x sin  x d x . {\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx.\!}
となる。残った積分項に対して再度部分積分を行う。
u = sin  x ⇒ d u = cos  x d x {\displaystyle u=\sin x\Rightarrow du=\cos x\,dx}
d v = e x d x ⇒ v = e x {\displaystyle dv=e^{x}\,dx\Rightarrow v=e^{x}}
として、
∫ e x sin  x d x = e x sin  x − ∫ e x cos  x d x {\displaystyle \int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx}