ボゴリューボフ変換
ボーズ粒子のボゴリューボフ変換は、超流動で用いられる。他には、反強磁性の理論でのハミルトニアンと励起に応用される。 また、曲がった時空の中の場の量子論の計算をするとき真空の定義が変化するが、これらの異なる真空の間のボゴリューボフ変換が可能であり、このことからホーキング輻射が導出される。
スクイーズ変換は、1つの調和振動子の生成消滅演算子を混ぜる変換で、1つのモードの粒子対を生成する。このような変換が可能なのは、この粒子が電荷や運動量などの保存量を持たない場合に限られる。
一方でボゴリューボフ変換ではこの制約を回避するため、2つの調和振動子を導入し、それらの生成消滅演算子を混ぜている。各調和振動子に対応する粒子の量子数(電荷や運動量)が逆であれば、これらの量子数の保存則を満たす。
例えば a ^ 1 {\displaystyle {\hat {a}}_{1}} 、 a ^ 2 {\displaystyle {\hat {a}}_{2}} としてそれぞれ運動量 k {\displaystyle \mathbf {k} } 、 − k {\displaystyle -\mathbf {k} } を持つモードとすると、ボゴリューボフ変換は同じ運動量 k {\displaystyle \mathbf {k} } を持つ演算子の混合になっており、運動量保存則に矛盾せず粒子生成が記述できる。
ここで新しいハミルトニアンの基底状態を考える。これは元の基底状態(真空状態)に U θ {\displaystyle U_{\theta }} を作用させたものになっている。
| θ ⟩ = U θ | 0 ⟩ a ^ i , new | θ ⟩ = U θ a ^ i U θ † | θ ⟩ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}|\theta \rangle &=U_{\theta }|0\rangle \\{\hat {a}}_{i,{\text{new}}}|\theta \rangle &=U_{\theta }{\hat {a}}_{i}U_{\theta }^{\dagger }|\theta \rangle =0\end{aligned}}}
この基底状態をフォック状態を使って具体的に表すと、
| θ ⟩ = 1 cosh  θ exp  [ − e − i φ a ^ 1 † a ^ 2 † tanh  θ ] | 0 ⟩ = 1 cosh  θ ∑ n = 0 ∞ ( − e − i φ tanh  θ ) n | n ⟩ 1 ⊗ | n ⟩ 2 {\displaystyle |\theta \rangle ={\frac {1}{\cosh \theta }}\exp[-e^{-i\phi }{\hat {a}}_{1}^{\dagger }{\hat {a}}_{2}^{\dagger }\tanh \theta ]|0\rangle ={\frac {1}{\cosh \theta }}\sum _{n=0}^{\infty }(-e^{-i\phi }\tanh \theta )^{n}|n\rangle _{1}\otimes |n\rangle _{2}}
この基底状態は、それぞれの調和振動子が同じエネルギーレベルに励起している状態の重ね合わせ状態になっている。 このような状態を絡み合った状態(entangled state)という。 量子的な場は、無数の調和振動子が集まったものであり、調和振動子の励起数 n {\displaystyle n} を粒子数と解釈する。 ボゴリューボフ変換された基底状態 | θ ⟩ {\displaystyle |\theta \rangle } は、粒子1と粒子2がそれぞれ n {\displaystyle n} 個ずつ対生成された状態の重ね合わせになっている。
この新しい基底状態 | θ ⟩ {\displaystyle |\theta \rangle } は、 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } からユニタリー変換で構成されたことから分かるように、純粋状態である。
フェルミ粒子のボゴリューボフ変換は、超伝導のBCS理論に応用される。ここでボゴリューボフ変換の実行が必要となる理由は、平均場近似では系のハミルトニアンは生成・消滅演算子による双線型項の和(有限個の ⟨ a i + a j + ⟩ {\displaystyle \,\langle a_{i}^{+}a_{j}^{+}\rangle } など)として表されるためである。つまり通常のハートリー・フォックの方法を越えなければならない。ボゴリューボフ変換によって拡張された方法は、ハートリー・フォック・ボゴリューボフの方法と呼ばれる。
また核物理学においてもボゴリューボフ変換は応用でき、重元素の核子の「対エネルギー」が記述できる。
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ここに係数 uij, vij は、エルミート共役(随伴作用素)により定義された消滅生成作用素 a i ′ † {\displaystyle a_{i}^{\prime \dagger }} がボゾンに対しては同じ交換関係、フェルミオンに対しては反交換関係を満たすことを保証するある関係を満たさなければならない。
上記の方程式は、演算子に対するスクイーズ変換を定義する。
全ての a i ′ {\displaystyle a'_{i}} によって消滅させられる基底状態は、元々の基底状態 |0⟩ とは異なっていて、作用素の状態の対応を使い両者は互いにスクイーズ変換により結び付けられているとみなすことができる。それらはスクイーズドコヒーレント状態として定義することもできる。BCS波動関数は、フェルミオンのスクイーズドコヒーレント状態の例である。