偏微分
簡単のため、2 変数の場合のみを詳しく述べる。z = f(x, y) を R のある領域上で定義された実数値関数で、x と y とは関数関係を持たずに独立に変化することができるとする。そして y を任意の値 b で固定すると、これを z = f(x, b) = f1(x) という変数 x の関数だと思うことができる。このとき、この z = f1(x) の x = a における微分係数
d f 1 d x ( a ) = lim Δ x → 0 f 1 ( a + Δ x ) − f 1 ( a ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( a + Δ x , b ) − f ( a , b ) Δ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {df_{1}}{dx}}(a)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f_{1}(a+\Delta x)-f_{1}(a)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x,b)-f(a,b)}{\Delta x}}\end{aligned}}}
を定義することができる。
たとえば 2 変数の関数 f(x, y) が偏微分可能で、さらに二つの偏導関数 fx , fy が偏微分可能なとき、f の二階の偏導関数は
fxx , fxy , fyx , fyy
の 4 つが定義できる。ここで、二つの偏導関数 fxy , fyx は一般には異なる関数であるが、これらの偏導関数が連続、つまり元の関数が C 級であるならば、両者は一致する(ヤングの定理)。 また、一致しないものとしては、たとえば全平面で定義される関数
f ( x , y ) = { x y ( x 2 − y 2 ) x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) , 0 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) . {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\cfrac {xy(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\neq (0,0),\\[10pt]0&(x,y)=(0,0).\end{cases}}}
が挙げられる。実際このときは fxy(0, 0) ≠ fyx(0, 0) となる。