対称群
二次のホモロジー(具体的にはシューア因子(英語版))は
H 2 ( S n , Z ) = { 0 n < 4 Z / 2 n ≥ 4 {\displaystyle H_{2}(S_{n},\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\mathbb {Z} /2&n\geq 4\end{cases}}}
である。これは (Schur 1911) で計算されており、対称群の二重被覆(英語版) 2⋅Sn に対応する。
交代群の低次ホモロジーに関する例外的(英語版)な同型(非自明なアーベル化の存在に対応して
H 1 ( A 3 ) ≅ H 1 ( A 4 ) ≅ C 3 {\displaystyle H_{1}(A_{3})\cong H_{1}(A_{4})\cong C_{3}}
が成り立ったり、例外的三重被覆の存在によって
H 2 ( A 6 ) ≅ H 2 ( A 7 ) ≅ C 6 {\displaystyle H_{2}(A_{6})\cong H_{2}(A_{7})\cong C_{6}}
が成立するなど)に対して、交代群を対称群に取り替えることはできないことに注意すべきである。
↑ これはグラフであって、表示が似ているからと言ってベクトルや行列ではない。また、実際には前者(点の入れ替え)と後者(番号の入れ替え)は双対の関係にあり、ちょうど σ(xk) と xσ(k) が、あるいは σ の右作用と左作用との入れ替えが対応する。
n ≥ 5 のとき交代群 An は単純で、それによって誘導される商は符号函数である。すなわち、短完全列
1 → A n → S n → C 2 → 1 {\displaystyle 1\to A_{n}\to S_{n}\to C_{2}\to 1} (ただし C 2 {\displaystyle C_{2}} は位数2の巡回群)
は二つの元の互換を取ることによって分裂する。ゆえに、Sn は半直積
A n ⋊ C 2 {\displaystyle A_{n}\rtimes C_{2}}
に分解され、かつそれ以外の真の正規部分群を持たないことがわかる。実際、部分群があれば An との交わりは単位群(したがってそれ自身単位群か二元群だが後者は正規ではない)または An(したがってそれ自身 An または Sn)だからである。
このとき、集合 n への作用を考えているので数列 (mk)k は ∑k∈N kmk = n を満たさなければならない(n の分割)。このとき、
1 m 1 2 m 2 ... n m n ( 1 m 1 + 2 m 2 + ⋯ + n m n = n ) {\displaystyle 1^{m_{1}}2^{m_{2}}\ldots n^{m_{n}}\quad (1m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n)}
を置換 σ の巡回置換型 (cycle type)、あるいはたんに型と呼ぶ。Sn の共軛類は巡回置換型によって決まる。さらに共軛類の大きさは巡回置換型を用いると
n ! 1 m 1 2 m 2 ⋯ n m n m 1 ! m 2 ! ⋯ m n ! {\displaystyle {\frac {n!}{1^{m_{1}}2^{m_{2}}\dotsm n^{m_{n}}m_{1}!m_{2}!\dotsm m_{n}!}}}
と表せる。また、 n の分割は、位数 n のヤング図形と一対一に対応しており、したがって Sn の共役類は位数 n のヤング図形たちによって記述されることになる。