交代式
対称多項式全体の成す環を Λn とすれば、対称多項式および交代多項式全体の成す環は Λn に差積 vn を添加した環 Λ n [ v n ] {\textstyle \Lambda _{n}[v_{n}]} となる。より具体的に、Λn に係数を持つ vn を変数とする多項式環の剰余環 Λ n [ v n ] / ⟨ v n 2 − Δ ⟩ {\textstyle \Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle } と書いてもよい(ただし、 Δ := v n 2 {\textstyle \Delta :=v_{n}^{2}} は判別式と呼ばれる対称式である)。
つまり、対称および交代多項式環は、対称多項式環に判別式の平方根を添加する二次拡大(英語版)環である。
あるいはまた R [ e 1 , ... , e n , v n ] / ⟨ v n 2 − Δ ⟩ {\textstyle R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle } とも書ける。
2 が可逆元でない(標数 2 の)場合、状況がやや異なり、差積とは異なる多項式 Wn を用いた異なる関係式として書ける (Romagny 2005)。