射影平面
体 K 上の通常の平面 K は射影平面 KP へ写像
( x 1 , x 2 ) ↦ ( 1 , x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto (1,x_{1},x_{2})}
によって埋め込まれる。この写像の像の補集合は (0, x 1, x 2) なる形の点全体の成す集合であり、このような埋め込みが与えられているという観点によって、補集合の点は無限遠点を表している。無限遠点の全体は KP における直線を成す(つまり、この直線は K における平面
{ k ( 0 , 0 , 1 ) + l ( 0 , 1 , 0 ) : k , l ∈ K } {\displaystyle \{k(0,0,1)+l(0,1,0):k,l\in K\}}
から生じる)。直観的には、無限遠点というのは平行線の交わる所としての「余分な」点であり、点 (0, x 1, x 2) というのは傾きが x 2/x 1 であるような直線すべての交点に対応する。例えば、通常の平面 K における二直線
{ k ( 1 , 0 , 0 ) + l ( 0 , 1 , 0 ) : k , l ∈ K } {\displaystyle \{k(1,0,0)+l(0,1,0):k,l\in K\}}
から生じ、b は平面
{ k ( 1 , 0 , 1 ) + l ( 0 , 1 , 0 ) : k , l ∈ K } {\displaystyle \{k(1,0,1)+l(0,1,0):k,l\in K\}}
から生じる。これらの射影直線 a, b は点 (0, 1, 0) において交わる。実は、K における傾き 0 の直線はすべて、この方法で射影化したとき、KP の点 (0, 1, 0) において交わる。
先ほど与えた平面 K の射影平面 KP への埋め込みは一意ではなく、それぞれの埋め込みごとにその無限遠点となる点は変わってくる。例えば、埋め込み
( x 1 , x 2 ) ↦ ( x 2 , 1 , x 1 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto (x_{2},1,x_{1})}
を考えれば、像の補集合に属する (x 0, 0, x 2) なる形の点が無限遠点と見なされる。