1+1+1+1+…
ζ ( 0 ) = 1 π lim s → 0 sin  π s 2 ζ ( 1 − s ) = 1 π lim s → 0 ( π s 2 − π 3 s 3 48 + ⋯ ) ( − 1 s + ⋯ ) = − 1 2 {\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin {\frac {\pi s}{2}}\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+\cdots \right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{2}}}
これから s = 1 における ζ(s) のベキ級数展開がしたがう。なぜならば、ζ(s) はそこで留数が1の1位の極をもつからだ。この意味で 1 + 1 + 1 + 1 + ... = ζ(0) = −1/2 である。 Emilio Elizalde はこの級数に対する姿勢についての逸話を紹介している。