ハミルトン–ヤコビ方程式
.. , β N − 1 , β N {\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{N-1},\beta _{N}} と書かれる。 S ( q , α , t ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)} について解けた場合、以下の便利な方程式が得られる。
Q = β = ∂ S ∂ α {\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}}}
あるいは明示的に成分で書くと
Q m = β m = ∂ S ( q , α , t ) ∂ α m {\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}}
理想的に、これら N {\displaystyle N} 個の方程式は逆に解いて、元の一般化座標を定数 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} と β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} の関数として表せ、元の問題を解くことができる。
次の常微分方程式は一般化座標 θ {\displaystyle \theta } を含む。
( d S θ d θ ) 2 + 2 m U θ ( θ ) + Γ φ sin 2  θ = Γ θ {\displaystyle \left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }}
再び Γ θ {\displaystyle \Gamma _{\theta }} は運動の定数で、 θ {\displaystyle \theta } は消去され、最後にハミルトン–ヤコビ方程式は常微分方程式
1 2 m ( d S r d r ) 2 + U r ( r ) + Γ θ 2 m r 2 = E {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E}
となり、これを積分すると S {\displaystyle S} が求まる。