KdV方程式
N 個の孤立波を表す N ソリトン解は次の形で与えられる。
u ( x , t ) = 2 ∂ 2 ∂ x 2 log  det A ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {\det {A(x,t)}}}
ここで、A = A(x, t) は n 次の正方行列で、その i 行 j 列成分 Aij(x, t) が
A i j ( x , t ) = δ i j + 1 k i + k j e − { κ i ( x − c i t + δ i ) + κ j ( x − c j t + δ j ) } {\displaystyle A_{ij}(x,t)=\delta _{ij}+{\frac {1}{k_{i}+k_{j}}}e^{-\{\kappa _{i}(x-c_{i}t+\delta _{i})+\kappa _{j}(x-c_{j}t+\delta _{j})\}}}
c i = 4 κ i 2 ( i , j = 1 , 2 , ⋯ , N ) {\displaystyle c_{i}=4\kappa _{i}^{\,2}\quad (i,j=1,2,\cdots ,N)}
で与えられる。但し、δij はクロネッカーのデルタを表す。