ルベーグ被覆次元
n-次元 ユークリッド空間 E の被覆次元は n である。
位相空間が被覆次元に関して 0-次元となるのは、その空間の任意の開被覆が互いに素な開集合から成る細分を持つ場合に限る。故に、そのような空間の各点は、そのような細分の開集合のうち、ちょうど一つのみに属する。
単位円の開被覆が任意に与えられたとき、開弧の族からなる細分が取れる。そのような任意の被覆は、さらに細分していけば円の各点 x が「高々」二つの開弧に属すようにすることができるから、定義により、円は次元 1 を持つ。つまり、どんな弧の族から始めたとしても、そのうちのいくつかは捨てたり縮めたりして、残りがまだ円を、ただし一重に、被覆するようにすることができる。
同様に、二次元平面における単位円板の任意の開被覆を細分して、円板の各点が三つ以上の開集合に属さないようにすることができる(二つでは一般には十分ではない)。故に円板の被覆次元は 2 となる。