順序体
順序群の定義の仕方には同値な二種類が存在する。歴史的に最初に考えられたのは、体構造と両立する全順序を与える定義で、これは二項術語としての順序 ≤ に関する一階の公理化である。アルティンとシュライヤーは1926年に(非負の元全体の成す部分集合としての)正錐を用いた定義を与えた。これは高階の公理化ではあるけれども、正錐を「極大」の前正錐と見る観点からは、体構造と両立する順序を「極値的」な半順序と見る、より広い文脈が生み出される。
体 (F, +, ×) と F 上の全順序 ≤ とが両立するとは、この順序が条件
a ≤ b ならば a + c ≤ b + c
0 ≤ a かつ 0 ≤ b ならば 0 ≤ a × b
を満たすことである。乗法の記号はこれ以降は省略する。
体 F の部分集合 P ⊂ F が F 上の前正錐 (prepositive cone) あるいは前順序付け (preordering) であるとは、条件
x, y ∈ P ならば x + y, xy ∈ P
x ∈ F ならば x ∈ P
−1 ∉ P
を満たすことである。前順序付け P を持つ体を前順序体 (preordered field) と呼ぶ。P の非零元全体の成す集合 P は F の乗法群の部分群を成す。