量子群
.. , n {\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}} (よって v は M(n, A) に属する)であってすべての i, j に対して
Δ ( v i j ) = ∑ k = 1 n v i k ⊗ v k j {\displaystyle \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}}
ですべての i, j に対して ε(vij) = δij となるものである)。さらに、表現 v は v の行列がユニタリであるとき(あるいは同じことだがすべての i, j に対して κ(vij) = vij であるとき)ユニタリと呼ばれる。
コンパクト行列量子群の例は SUμ(2) である、ただしパラメーター μ は正の実数である。なので SUμ(2) = (C(SUμ(2)), u) である、ただし C(SUμ(2)) は以下を満たす α と γ によって生成された C 代数である:
γ γ ∗ = γ ∗ γ , {\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,}
α γ = μ γ α , {\displaystyle \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,}
α γ ∗ = μ γ ∗ α , {\displaystyle \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,}
{\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1.}
特に興味があるのは最高ウェイト表現と対応する最高ウェイト加群である。最高ウェイト加群は以下を満たすウェイトベクトル v によって生成される加群である:すべてのウェイト μ に対して kλ ・ v = dλv, すべての i に対して ei ・ v = 0. 同様に、量子群は最低ウェイト表現と最低ウェイト加群をもつことができる。最低ウェイト加群とは以下を満たすウェイトベクトル v によって生成される加群である:すべてのウェイト λ に対して kλ ・ v = dλv, すべての i に対して fi ・ v = 0.
ベクトル v がウェイト ν を持つことを、ウェイト格子のすべての λ に対して k λ . v = q ( λ , ν ) v {\displaystyle k_{\lambda }.v=q^{(\lambda ,\nu )}v} が成り立つことと定義する。
G がカッツ・ムーディ代数であれば、Uq(G) の最高ウェイト ν の任意の既約最高ウェイト表現において、ウェイトの重複度は同じ最高ウェイトを持つ U(G) の既約表現におけるそれらの重複度に等しい。最高ウェイトが優整であれば、既約表現の weight spectrum は G のワイル群の下で不変であり、表現は可積分である。(ウェイト μ が優整とは、μ が次の条件を満たすことをいう: 2 ( μ , α i ) / ( α i , α i ) {\displaystyle 2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})} はすべての i に対して非負の整数である。