弱解
微分方程式 P(x, ∂)u(x) = 0 は、W 内に台を持つあるテスト函数 φ {\displaystyle \varphi } を掛けたのち、部分積分を行うことにより、次のように書き換えることが出来る:
∫ W u ( x ) Q ( x , ∂ ) φ ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}
ここで微分作用素 Q(x, ∂) は、式
Q ( x , ∂ ) φ ( x ) = ∑ ( − 1 ) | α | ∂ α 1 ∂ α 2 ⋯ ∂ α n [ a α 1 , α 2 , ... , α n ( x ) φ ( x ) ] {\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right]}
で与えられるものとする。数