陰関数
d y d x = − ∂ R / ∂ x ∂ R / ∂ y = − R x R y {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial R/\partial x}{\partial R/\partial y}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}}
で与えられる。ここに、Rx および Ry はそれぞれ R の x および y に関する微分を表す。
上記の公式は、R(x, y) = 0 の両辺の(x に関する)全微分を得るために多変数の連鎖律を適用すれば、
∂ R ∂ x d x d x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0}
となることから導かれる。
単位円の方程式の場合を一つの特徴的な例として、必ずしも任意の方程式 R(x, y) = 0 が一価函数のグラフを導くわけではないことに注意すべきである。あるいは C が三次多項式でそのグラフに「起伏」がある(つまり極大値と極小値を持つ)ようなものとしたとき、方程式 x − C(y) = 0 の陰伏的に定義する函数もそのような例を与える。したがって、陰函数が「真の」(つまり一価の)函数となるためには、陰伏方程式のグラフの一部分に話を限る必要があることがわかる。陰函数は、x-軸のある部分に「ズームイン」して、函数の不都合な枝を「取り払って」しまった後でのみ、真の函数を得ることに成功するということがしばしばある。そうすれば、y を表す方程式を他の変数の陰函数として書くことができる。
定義方程式 R(x, y) = 0 が他の病的な性質を持つこともある。例えば、垂直線の方程式 x = 0 は y について解くことで与えられる函数 f(x) というものを導くことは全くない。このような問題を避ける目的で、許される方程式の種類や定義域に様々な制約条件を課すことが頻繁に行われる。陰函数定理はこのような病的な性質の種類を扱う一様な方法を提供する。