連続体力学
静止状態で任意の点の全ての断面において接線応力が0になる連続体を流体という 。
静止状態にある流体の任意の点xに対し、 xにおける法線n方向の法線応力は-pnの形に書け、しかもpは xのみに依存し、法線nに依存しない事が簡単に証明できる。 応力-pnを静水圧という。
pが正のとき静水圧は圧力であり、負のとき静水圧は張力である。流体が気体もしくは熱平衡状態にある液体であれば pは常に正である事が知られているが、準熱平衡状態にある液体ではpが負になる事もありうる。これを負圧といい、樹木による樹液の吸い上げや地面の凍上で観測される現象である。
運動状態においても接線応力が生じない流体を完全流体という。オイラーの時代には流体はどれも完全流体としてモデル化されていたが、接線応力が無いという事は、運動している流体の中に棒をさしても一切抵抗を受けないという事なので直観に反する(ダランベールのパラドックス)。
弾性体(elastic body)とは、各時刻において応力と変形に一意的な関係がある連続体の事を指す。それに対し塑性体(plastic body)とは、応力がある一定の限界を越えると変形が不可逆となり、応力を取り去った後も変形が残る(永久変形)連続体の事を指す。
弾性体の中で特に、応力テンソルと歪みテンソルが線形な関係式

を満たすものを線形弾性体といい、上述の関係式を線形弾性体上のフックの法則という。
このようなCijklが存在するとき、Cijklを弾性係数(elastic constant)といい、弾性係数を並べたテンソルを弾性係数テンソルという。
また弾性体の中で、その物理的特性が方向性に依存しないものを等方弾性体(isotropic elastic body)という。
等方かつ線形な弾性体の弾性係数テンソルは

という形で書き表せる事が知られている。定数λとμをラメの弾性定数(Lame's elastic constant)という。
このとき、(E1)、 (E2)より

一方、塑性体は弾性体と違い、応力を加えるときと取り除くときで変形の関係式が異なる弾性履歴という現象が観測される。
また複雑な分子構造の高分子で物質では応力と変形に時間的なズレが生じ、遅延弾性や応力緩和といった現象が起こる事がある。
連続体を数学的に記述する方法として二つの表示が知られている。
第一の表示は、視点を空間上の各点に固定して連続体を記述する方法で、時刻 t に空間上の点 x における物理量 Q を
Q = F ( x , t ) {\displaystyle Q=F({\boldsymbol {x}},t)}
として記述する方法である。この表示は連続体の空間表示(spatial description)、あるいはオイラー表示(オイラー記述、Eulerian description)と呼ばれる。空間表示では連続体の各部分に付随する物理量は場として記述される。
第二の表示は、連続体上の各部分を時間的に追跡する方法で、時刻 t = 0 に初期位置 x = X0 にあった連続体の部分が時刻 t において移動している位置を x = X(t) として、この部分に付随する物理量 Q を
Q = F m ( t ; X 0 ) = F ( X ( t ) , t ) {\displaystyle Q=F_{\text{m}}(t;{\boldsymbol {X}}_{0})=F({\boldsymbol {X}}(t),t)}
により記述する方法である。この表示は連続体の物質表示(material description)、あるいはラグランジュ表示(ラグランジュ表記、Lagrangian description)と呼ばれる。物質表示では連続体の各部分に付随する物理量は時刻 t の関数として記述される。各部分の初期位置 X0 は補助変数である。特に物質表示において速度は