完全系列
R 加群 Xi と写像 fi: Xi → Xi+1 (i ∈ Z) からなる(有限または無限)系列
⋯ → X n − 1 ⟶ f n − 1 X n ⟶ f n X n + 1 → ⋯ {\displaystyle \cdots \to X_{n-1}{\stackrel {f_{n-1}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n}{\stackrel {f_{n}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n+1}\to \cdots }
において、 I m f n − 1 = K e r f n {\displaystyle {\rm {Im\,}}f_{n-1}={\rm {Ker}}\,f_{n}} となるとき、系列は Xn において完全(exact)であるという。特に、次の事実が成り立つ:
系列 0 → M ′ → f M {\displaystyle 0\xrightarrow {} M'\xrightarrow {f} M} が完全であることは、f が単射であることと同値。
系列 M → g M ′′ → 0 {\displaystyle M\xrightarrow {g} M''\xrightarrow {} 0} が完全であることは、g が全射であることと同値。