三項系
[ L u , v , L w , x ] = L u , v ∘ L w , x − L w , x ∘ L u , v = L w , { u , v , x } − L { v , u , w } , x {\displaystyle [L_{u,v},L_{w,x}]=L_{u,v}\circ L_{w,x}-L_{w,x}\circ L_{u,v}=L_{w,\{u,v,x\}}-L_{\{v,u,w\},x}}
が成り立つことを示す。このとき線型写像の空間 span{Lu,v : u,v ∈ V} は交換子括弧積に関して閉じていて、従って
g 0 := span { L u , v : u , v ∈ V } {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}:={\text{span}}\{L_{u,v}:u,v\in V\}}
はリー環となることがわかる。
任意のジョルダン三重系に対して、新たな括弧積を
[ u , v , w ] = { u , v , w } − { v , u , w } {\displaystyle [u,v,w]=\{u,v,w\}-\{v,u,w\}}
で定めると、リー三重系が得られる。
ジョルダン三重系が正定値 (positive definite) あるいは非退化 (nondegenerate) であるとは、Lu,v のトレースとして定義される双線型写像が正定値あるいは非退化であることにそれぞれ従って言う。