ケイリー・ハミルトンの定理
B 1 ( s 1 ) = − s 1 = − tr  ( A ) c 0 = 1 2 ! B 2 ( s 1 , − 1 ! s 2 ) = 1 2 ( s 1 2 − s 2 ) = 1 2 ( ( tr  ( A ) ) 2 − tr  ( A 2 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&c_{2}=B_{0}=1,\quad c_{1}={\frac {-1}{1!}}B_{1}(s_{1})=-s_{1}=-\operatorname {tr} (A)\\&c_{0}={\frac {1}{2!}}B_{2}(s_{1},-1!s_{2})={\frac {1}{2}}(s_{1}^{2}-s_{2})={\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))\end{aligned}}}
などとなる。ここで、c0 は行列式であるから、この場合の逆行列を
A − 1 = − 1 det A ( A + c 1 I 2 ) = − 2 ( A − tr  ( A ) I 2 ) ( tr  ( A ) ) 2 − tr  ( A 2 ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {-1}{\det A}}(A+c_{1}I_{2})={\frac {-2(A-\operatorname {tr} (A)I_{2})}{(\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})}}}
と計算することができる。
線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理(ケイリー・ハミルトンのていり、英: Cayley–Hamilton theorem)、またはハミルトン・ケイリーの定理とは、(実数体や複素数体などの)可換環上の正方行列は固有方程式を満たすという定理である。アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンに因む。
n次正方行列 A に対して、In を n次単位行列とすると、A の固有多項式は
p ( λ ) := det ( λ I n − A ) {\displaystyle p(\lambda ):=\det(\lambda I_{n}-A)}
で定義される。ここで det は行列式を表し、λ は係数環の元(スカラー)である。引数の行列は各成分が λ の 1次式以下の多項式(1次式または定数)だから、その行列式も λ の n次モニック多項式になる。ケイリー・ハミルトンの定理の主張は、固有多項式を行列多項式と見れば A が零点であること、すなわち上記の λ を行列 A で置き換えた計算結果が零行列であること、すなわち p ( A ) = O {\displaystyle p(A)=O} の成立を述べるものである。
}}B_{3}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3})={\frac {1}{6}}(s_{1}^{3}+3s_{1}(-s_{2})+2s_{3})\\&={\tfrac {1}{6}}((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}))\end{aligned}}}
と書けるが、これはそのまま一般の場合の λ の係数 cn−3 を表す式として理解できる。ゆえにさらにこれを用いて 4次正方行列 A に対する定理の主張は
A 4 − ( tr  A ) A 3 + 1 2 ( ( tr  A ) 2 − tr  ( A 2 ) ) A 2 − 1 6 ( ( tr  A ) 3 − 3 tr  ( A 2 ) ( tr  A ) + 2 tr  ( A 3 ) ) A + det ( A ) I 4 = O {\displaystyle A^{4}-(\operatorname {tr} A)A^{3}+{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}(\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}){\bigr )}A^{2}-{\tfrac {1}{6}}{\bigl (}(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}){\bigr )}A+\det(A)I_{4}=O}
ただし、End(V) は可換環ではないから、M(n, End(V)) の全体で定義される行列式は存在せず、End(V) の可換部分環上の行列に限った場合にだけ行列式が定義できることには注意しなければならない。今、問題の行列 φIn − A の成分はすべて、φ と恒等変換で R 上生成される可換部分環 R[φ] に属しているから、行列式をとる写像 det: M(n, R[φ]) → R[φ] は定義されて、det(φIn − A) を A の固有多項式を φ において評価した値とすることができる(このことは A と φ との間に成り立つ関係とは無関係に成り立つ)。
この設定で、ケイリー・ハミルトンの定理の主張は p(φ) が零写像となることである。この設定での定理の証明を以下に示す(これは(中山の補題と関連した)より一般の形で (Atiyah & MacDonald 1969, Prop. 2.4) にあるものである):
行列 A = (aij) が基底 e1, ..., en に関する φ の表現行列であるとは
φ ( e i ) = ∑ j = 1 n a j , i e j ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle \varphi (e_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{j,i}e_{j}\quad (i=1,\cdots ,n)}
と書けることであった。
上で述べた通り、定理の主張における行列 p(A) は、先に行列式を評価してからその後で行列 A を変数 t に代入して得るものであり、行列式を計算する前に行列 tIn − A に代入を行うことは意味をなさない。にも拘らず、p(A) をある特定の行列式の値として直截に得ることのできる解釈を与えることは可能である。
ただしこれには、環上の行列 A とはその成分 aij のことともそれらの全体としての A そのものとも解釈できるというような、やや面倒な状況を設定する必要がある。すなわち、環 R 上の n次正方行列全体の成す環 M(n, R) の中で、成分 aij はスカラー行列 aijIn として実現されるし、A それ自体も入っている。しかし行列を成分とする行列は、ここでの意図でない区分行列との混同を引き起こしかねない(区分行列と考えると行列式の概念が正しく与えられない)。状況をよりはっきりさせるため、基底 e1, ..., en を持つ n次元ベクトル空間(係数環 R が体でないときは n階 R-自由加群)V 上の自己準同型 φ を行列 A と区別をつけて、全自己準同型環 V 上の行列を考えることにする。そうすると、各 φ ∈ End(V) は行列の成分になれるし、その一方で行列 A とは各 (i, j)成分がスカラー aij倍するという自己準同型になっているような M(n, End(V)) の元を指すものとできる(同様に単位行列 In も M(n, End(V)) の元と解釈される)。