圏論
ある関手が他の関手に対し左随伴、もしくは右随伴であるということを定義できるが、多くの場合にこのような随伴関手の対は普遍性によって定義される構成から生まれる。これは、普遍性を調べるためのより抽象的で強力な手法を与えているとも考えられる。
Chris Heunen, Jamie Vicary: "Categories for Quantum Theory: An Introduction", Oxford Univ Press, ISBN 978-0198739616 (2020).
Chris Heunen, 川辺 治之 (訳):「圏論による量子計算のモデルと論理」、共立出版、ISBN 978-4320124363(2018)。※原著は上記Chris Heunen(2009年)。
西郷甲矢人, 能美十三:「圏論の道案内:矢印でえがく数学の世界」、技術評論社、ISBN 978-4297107239(2019)。
ボブ・クック, アレクス・キッシンジャー, 川辺治之 (訳):「圏論的量子力学入門」、森北出版、ISBN 978-4627170117 (2021)。※原著は上記、Bob Coecke, Aleks Kissinger(2017年)。
D は圏 C から圏 D への関手を対象とし、関手の間の自然変換を射とする圏である。米田の補題は圏論における最も有名な基礎的結果の1つである。この補題は、関手圏において表現可能な関手を記述する。
圏の研究は、関連する様々なクラスの数学的構造に共通する性質を見出そうとする試みだといえる。
集合論的な数学理論の構成では集合やその元に対して写像や関係を導入し、それらが満たすべき公理を列挙する。その公理を満たすような「構造」を持った個々の集合が理論の具体的な実現を示していて、それら一つ一つの実現に共通の性質が公理から演繹的に証明される。たとえば、群に関する定理は公理系から演繹的に証明される。例えば群の単位元が一意に定まることは公理系から直ちに証明される。こうして各種の数学理論が建設されるが、これら異なった理論に共通する様々な構成ができることも認識された。
圏論の言葉を使えば、数学の多くの分野の研究からしかるべき圏を作り出し、異なった理論の間に平行して存在する手続きを統一的に理解することができる。例えば集合、群、位相空間の圏などである。これらの圏は、例えば空集合や2つの位相空間の直積など、何かしら特別な性質を持った「空間」が存在する。