正規直交基底
一つの空間に対して、その正規直交基底全体の成す集合は直交群 O(n) に対する主等質空間となり、正規直交n-標構 (n-frame) 全体の成すスティーフェル多様体 Vn(R) と呼ばれる。
別な言い方をすれば、正規直交基底全体の成す空間は、直交群と似ているが、しかし基点が決まっていないという点で異なる。つまり、直交空間が与えられたとき、その正規直交基底の標準的な選び方というものは存在しないが、正規直交基底を一つ決めれば基底と直交群との間に一対一対応が存在する。具体的に、線型写像は基底の行き先を決めれば一つに決まるから、可逆な線型変換で任意の基底を別の任意の基底に写すことができるのと全く同様に、直交変換によって任意の直交基底を別の任意の直交基底に写せることが確かめられる。
他にも、k < n のときの「不完全」正規直交基底(正規直交 k-標構)全体の成すスティーフェル多様体 Vk(R) は、やはり直交群の等質空間となるが、しかし主等質空間ではない。実際、任意の k-標構は直交変換で他の任意の k-標構に写すことができるが、そのような直交変換は一意には決まらない。