極限 (圏論)
双対的に、Gが余連続であることは、(小さい)余積と余等化子を保存することと同値である。
随伴関手について、全ての右随伴関手は連続であり全ての左随伴関手は余連続であるという重要な性質がある。随伴関手は豊富に存在しているので、連続関手や余連続関手のたくさんの例を得られる。
与えられた図式F : J → Cと関手G : C → Dにたいして、FとGFが特定の極限をもつならば、標準射
τF : G lim F → lim GF
が存在して、対応する極限錐の選択ごとに一意である。関手GがFの極限を保存することは、この写像が全単射であることと同値である。もし圏CとDがJの形の全ての極限を持っているならば、limは関手であり、τFは自然変換
τ : G lim → lim G.
のコンポーネントである。関手GがJの形の全ての極限を保存することは、τが自然同型であることと同値である。この意味で、関手Gは(標準自然同型の違いを除いて)極限と交換するということができる。
極限や余極限の保存という概念は共変関手にだけ適用できる。反変関手についての対応する概念は余極限を極限に写す、もしくは極限を余極限に写すというものになる。