ヴァイエルシュトラスの楕円函数
数値解析的な場面において、ヴァイエルシュトラスの楕円函数の計算にはヤコビの楕円函数を用いると便利なことも多い。基本関係式は
℘ ( z ) = e 3 + e 1 − e 3 s n 2 w = e 2 + ( e 1 − e 3 ) d n 2 w s n 2 w = e 1 + ( e 1 − e 3 ) c n 2 w s n 2 w {\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\mathrm {sn} ^{2}\,w}}=e_{2}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {dn} ^{2}\,w}{\mathrm {sn} ^{2}\,w}}=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {cn} ^{2}\,w}{\mathrm {sn} ^{2}\,w}}}
で与えられる。ただし、ei (i = 1, 2, 3) は上で述べた三つの根、ヤコビの楕円函数の母数 k は
k ≡ e 2 − e 3 e 1 − e 3 {\displaystyle k\equiv {\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}
を満たし、各ヤコビの楕円函数の引数 w は
w ≡ z e 1 − e 3 {\displaystyle w\equiv z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}}
である。
1 2 Apostol, Theorem 1.15, p.15
↑ Apostol, Theorem 1.18, p.20
↑ Apostol, Theorem 3.3, p.51
↑ Apostol, Theorem 3.2, p.50
↑ Apostol, Theorem 1.19, p.20
↑ Apostol, Chapter 1.12, p. 15 では係数1728を乗ぜずに定義している。
↑ Apostol, Theorem 1.16, p.17
↑ Apostol, Theorem 1.20, p.21
↑ Abramowitz and Stegun, p. 629
↑ Eichler, M.; Zagier, D. (1982). “On the zeros of the Weierstrass ℘-Function”. Mathematische Annalen 258 (4): 399–407. doi:10.1007/BF01453974.
↑ Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. pp. p. 721. LCCN 59-14456
つまり
g 2 ( λ ω 1 , λ ω 2 ) = λ − 4 g 2 ( ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}
および
g 3 ( λ ω 1 , λ ω 2 ) = λ − 6 g 3 ( ω 1 , ω 2 ) . {\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}
を満たす。従って、慣習的に、g2 および g3 を、上半平面に属する周期比 τ = ω2/ω1 を用いて、
g 2 ( τ ) = g 2 ( 1 , ω 2 / ω 1 ) = ω 1 4 g 2 ( ω 1 , ω 2 ) , g 3 ( τ ) = g 3 ( 1 , ω 2 / ω 1 ) = ω 1 6 g 3 ( ω 1 , ω 2 ) {\displaystyle g_{2}(\tau )=g_{2}(1,\omega _{2}/\omega _{1})=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),\quad g_{3}(\tau )=g_{3}(1,\omega _{2}/\omega _{1})=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}
であり、右辺第一項の z = 0 における極は
[ ℘ ( z ) ] 3 | z = 0 ∼ 1 z 6 + 9 z 2 ∑ 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 4 + 15 ∑ 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 6 {\displaystyle [\wp (z)]^{3}|_{z=0}\sim {\frac {1}{z^{6}}}+{\frac {9}{z^{2}}}\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{4}}}+15\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{6}}}}
で、これらを比較して上記の関係式を得る。