素数が無数に存在することの証明
素数の逆数和は(無限大に)発散することが示されば、素数は無数に存在することが直ちに従う。素数の逆数和が発散することは、オイラーが初めて証明したが、以下はエルデシュが1938年に発表した、より簡潔な証明である。
素数の逆数和は収束すると仮定する。n 番目の素数を pn で表すことにすると、ある番号 k が存在して
∑ i = k + 1 ∞ 1 p i < 1 2 {\displaystyle \sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}}
である。素数全体を2つのグループに分け、p1, ..., pk を「小さい」素数、pk+1 以降を「大きい」素数と呼ぶことにする。N 以下の自然数で、「大きい」素数で割れる数と、「小さい」素数でしか割れない数に分け、前者の個数を N1、後者の個数を N2 とおく。当然 N = N1 + N2 である。
以下、N1 と N2 の大きさを見積もる。N 以下の p の倍数の個数は、床関数を用いて
⌊ N p ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor }