ポアンカレ写像
ポアンカレ写像は離散力学系と解釈することが出来る。元のシステムの周期軌道の安定性は、対応するポアンカレ写像の不動点の安定性と密接に関連している。
(R, M, φ) を、点 p を通る周期軌道 γ を備える微分可能力学系とする。今、p を通る対応するポアンカレ写像を
P : U → S {\displaystyle P:U\to S}
とする。次を定義する。
P 0 := i d U {\displaystyle P^{0}:=id_{U}}
P n + 1 := P ∘ P n {\displaystyle P^{n+1}:=P\circ P^{n}}
P − n − 1 := P − 1 ∘ P − n {\displaystyle P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}}
および
P ( n , x ) := P n ( x ) . {\displaystyle P(n,x):=P^{n}(x).}
このとき (Z, U, P) は状態空間 U と発展函数
P : Z × U → U {\displaystyle P:\mathbb {Z} \times U\to U}
を備える離散力学系である。このシステムは定義ごとに p において不動点を持つ。
元の連続力学系の周期軌道 γ が安定であるための必要十分条件は、上の離散力学系の不動点 p が安定であることである。
元の連続力学系の周期軌道 γ が漸近安定であるための必要十分条件は、上の離散力学系の不動点 p が漸近安定であることである。