ビリアル定理
一般化されたビリアル定理を、超ビリアル定理 (hypervirial theorem) と言う。座標 r と共役運動量 P を考え、この 2 つの量を変数とした関数 W(r, P) を考える。この関数は、冒頭での粒子系と同様な境界条件の基で任意に選べるとする。ハミルトニアンを H として、ポアソン括弧(詳細はハミルトン力学を参照)の時間平均、
⟨ [ W , H ] ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle [W,H]\right\rangle =0}
となるのが古典的な超ビリアル定理である。量子力学では、上記交換子の基底状態における期待値がゼロとなる。
⟨ 0 | [ W , H ] | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle \left\langle 0|[W,H]|0\right\rangle =0}
これが量子力学的な超ビリアル定理である。ここで、W として上記のビリアルをとる。すなわち、
W = r ⋅ P {\displaystyle W=\mathbf {r} \cdot \mathbf {P} }
とすれば、通常のビリアル定理が導かれる。
第 2 項で添え字の入れ替えに対する反対称性 Fji = −Fij に注意すると、以下の様な形になる。
= ∑ i > j r i ⋅ F j i + ∑ j < i r j ⋅ F i j = ∑ i > j r i ⋅ F j i − ∑ j < i r j ⋅ F j i = ∑ i > j ( r i − r j ) ⋅ F j i = − ( n + 1 ) V ( r 1 , ⋯ , r N ) . {\displaystyle =\sum _{i>j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}+\sum _{j<i}\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {F} _{ij}=\sum _{i>j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}-\sum _{j<i}\mathbf {r} _{j}\cdot \mathbf {F} _{ji}=\sum _{i>j}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\cdot \mathbf {F} _{ji}=-(n+1)V(\mathbf {r} _{1},\cdots ,\mathbf {r} _{N}).}
したがって、中心力ポテンシャルに関するビリアル定理は以下のようになる。