チェビシェフ関数
を割り切るので、 θ ( 2 l + 1 ) − θ ( l + 1 ) = ∑ l + 1 < p ≤ 2 l + 1 ln  p ≤ ln  ( 2 l + 1 l ) < 2 l ln  2. {\displaystyle \vartheta (2l+1)-\vartheta (l+1)=\sum _{l+1<p\leq 2l+1}\ln p\leq \ln {\binom {2l+1}{l}}<2l\ln 2.}
よって θ ( 2 l + 1 ) < 2 l ln  2 + θ ( l + 1 ) < 2 l ln  2 + 2 ( l + 1 ) ln  2 = 2 ( 2 l + 1 ) ln  2. {\displaystyle \vartheta (2l+1)<2l\ln 2+\vartheta (l+1)<2l\ln 2+2(l+1)\ln 2=2(2l+1)\ln 2.}
以上より、数学的帰納法により上記の不等式が正しいことが証明された。
この議論はベルトラン=チェビシェフの定理やメルテンスの定理といった、素数に関する評価を初等的に証明する上でも重要な役割を果たす。
現在、下記の評価が知られている: (以下、 p1 = 2, p2 = 3, ... といった具合に pk は k 番目の素数を表す)
θ ( p k ) ≥ k ( ln  k + ln  ln  k − 1 + ln  ln  k − 2.050735 ln  k ) {\displaystyle \vartheta (p_{k})\geq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2.050735}{\ln k}}\right)} for k ≥ 10 11 , {\displaystyle k\geq 10^{11},}
θ ( p k ) ≤ k ( ln  k + ln  ln  k − 1 + ln  ln  k − 2 ln  k ) {\displaystyle \vartheta (p_{k})\leq k\left(\ln k+\ln \ln k-1+{\frac {\ln \ln k-2}{\ln k}}\right)} for k ≥ 198 , {\displaystyle k\geq 198,}
| θ ( x ) − x | ≤ 0.