非心t分布
この非心t分布の累積分布関数は、以下の式で与えられる。
F ν , μ ( x ) = { F ~ ν , μ ( x ) , if x ≥ 0 ; 1 − F ~ ν , − μ ( x ) , if x < 0 , {\displaystyle F_{\nu ,\mu }(x)={\begin{cases}{\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x),&{\mbox{if }}x\geq 0;\\1-{\tilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x),&{\mbox{if }}x<0,\end{cases}}}
ここで、
F ~ ν , μ ( x ) = Φ ( − μ ) + 1 2 ∑ j = 0 ∞ [ p j I y ( j + 1 2 , ν 2 ) + q j I y ( j + 1 , ν 2 ) ] , {\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }\left[p_{j}I_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q_{j}I_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],}
I y ( a , b ) {\displaystyle I_{y}\,\!(a,b)} は、正則化された不完全ベータ関数,
もしも T が非心t分布にしたがう場合、Z = T とおくと Z は非心F分布(英語版)にしたがう。
T が非心t分布にしたがう場合、 Z = lim ν → ∞ T {\displaystyle Z=\lim _{\nu \to \infty }T} とおくと、Z は正規分布にしたがう。