ユークリッド空間
(S, V) を n-次元ユークリッド空間とする。S の部分集合 T が、S のある点 P と V のある r-次元部分空間 W を用いて(r ≤ n)、
T = { Q ∈ S ∣ P Q → ∈ W } {\displaystyle T=\{Q\in S\mid {\overrightarrow {PQ}}\in W\}}
と表されるとき、T は (S, V) の r-次元部分空間であるという。特に、1次元部分空間を直線(アフィン部分直線)、2次元部分空間を平面(アフィン部分平面)と呼ぶ。(S, V) の部分空間 T に対して、上のような P ∈ S は一つには決まらないが、W は一意的に定まる。そこで、この W を T に付随する内積空間と呼ぶ。