付値
このとき、R|•|, m | ∙ | , R | ∙ | / m | ∙ | {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |},\,R_{|\bullet |}/{\mathfrak {m}}_{|\bullet |}} を非アルキメデス付値 |•| に対する付値環、付値イデアル、剰余体という。
この様に得られた付値環、付値イデアルに対しても、先に挙げた加法付値に対する付値環、付値イデアルと同じ性質が成り立つ。
また、v が離散付値であるとき、|•| を離散付値という。このとき、うまく q を選べば v は正規離散付値となるので、v(π) = 1 となる K の元 π が存在する。この π のことを |•| に関する素元という。
なお、アルキメデス付値に対しては、非アルキメデス付値と同様にして R|•|, m | ∙ | {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}} を定義することができるが、R|•| は K の部分環にはならず、 m | ∙ | {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{|\bullet |}} もイデアルにはならない。
しかし、{x ∈ K | |x| = 1} はアルキメデス付値、非アルキメデス付値に関わらず乗法群となる。これを乗法付値 |•| に対する単数群という。
付値環は局所環である。
付値環は整閉である。
体 K の付値環の商体は K である。
付値環上の有限生成のイデアルは単項イデアルである。
体 K の 0 でない元 a に対し、a または a は付値環の元となる。
付値環のイデアル全体からなる集合は、包含関係で全順序集合となる。つまり、 a , b {\displaystyle {\mathfrak {a}},\,{\mathfrak {b}}} を付値環のイデアルとしたとき、 a ⊂ b {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}} または b ⊂ a {\displaystyle {\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {a}}} が成立する。
R を体 K の部分環とし、R の素イデアルを p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} とすれば、K の加法付値 v が存在して、R ⊂ Rv および m v ∩ R = p {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}\cap R={\mathfrak {p}}} が成立する。
体 K に対して、以下の3条件を満たす |•|: K → R を、乗法付値という。
K の任意の元 x に対して |x| ≥ 0 であり、|x| = 0 であるための必要十分条件は x = 0 である。
K の任意の元 x, y に対して、|xy| = |x||y| が成り立つ。
ある正数 c が存在して、K の任意の元 x, y に対して、|x + y| ≤ c max(|x|, |y|) が成り立つ。
上記条件3 の代わりに、下記の条件
K の任意の元 x, y に対して、|x + y| ≤ |x| + |y| が成立する。
を満たすものも(このとき c = 2 とおけば条件3 を満たすので)乗法付値となるが、これを三角不等式を満たす乗法付値という。
付値環はネーター環である。
任意の付値環のイデアル a ≠ 0 {\displaystyle {\mathfrak {a}}\neq 0} に対して、ある非負整数 n が存在して、 a = m n {\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {m}}^{n}} と表される。つまり、付値環は単項イデアル環である。
特に、v が正規離散付値であるならば、0 ではないイデアルは、n ≥ 0 に対して {x ∈ K | v(x) ≥ n} のかたちに表される。
⋂ n = 1 ∞ m n = ( 0 ) {\displaystyle \textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathfrak {m}}^{n}=(0)} が成立する。
任意の付値環の元 a と 0 でない K の元 b に対して、ある正整数 n が存在して、nv(a) ≥ v(b) が成立する。
R を体 K の部分環とし、S を R の K における整閉包とすれば、 R = ⋂ v R v {\displaystyle \textstyle R=\bigcap _{v}R_{v}} と表せる。但し、v は付値環が S を含む様な加法付値全てを動くものとする。
上の性質の 4, 5, 6 は、環が付値環となる条件を与えている。つまり、商体が K となる、K の部分環 R が下記のいずれかが(したがってすべてが)満たされるとき、K の加法付値が存在して、R はその加法付値で付値環となる。
R は局所環であり、R 上の有限生成のイデアルは単項イデアルである。
0 でない K の任意の元 a に対して、a または a − 1 {\displaystyle a^{-1}} が R の元となる。
R のイデアル全体からなる集合は、包含関係で全順序集合となる。
このことより、付値環を付値を用いずに定義することができる。
環 R 上の加法付値 v に対して、以下が成立する。
R が体であるならば、v(x) = ∞ である必要十分条件は x = 0 である。
任意の R の元 x, y に対して、v(xy) = v(yx) である。
任意の R の元 a に対し、v(−a) = v(a) である。
逆元をもつ R の元 a に対し、v(a) = −v(a) である。
v(x) ≠ v(y) である R の元 x, y に対して、v(x + y) = min(v(x), v(y)) が成り立つ。
x1 + ... + xn = 0 である R の元 x1, ..., xn に対して、v(xi) = v(xj) を満たす i, j (i ≠ j) が存在する。
これを p-進加法付値という。
より一般に、 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} を代数体 K の素イデアルとする。K の 0 でない元 α は ( α ) = p μ b {\displaystyle (\alpha )={\mathfrak {p}}^{\mu }{\mathfrak {b}}} ( b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} は p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} と互いに素な分数イデアル、μ は有理整数)の形に一意的に表せるが、このとき v ( a ) = { μ ( a ∈ K × ) ∞ ( a = 0 ) {\displaystyle v(a)={\begin{cases}\mu &(a\in K^{\times })\\\infty &(a=0)\end{cases}}} と定めると、v は代数体 K の加法付値となる。これを p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -進加法付値 という。
複素平面から複素平面への有理型関数の全体を K とする。複素平面上の点 P を一つ取り固定する。0 でない 有理型関数 f に対して、点 P で n-位の零点であるとき v(f) = n, 零点でも極でもないとき v(f) = 0, n-位の極であるとき v(f) = −n と定めると、v は K の加法付値となる。