マーラー体積
n 次元の単位球の偏極体は、それ自体もう一つの単位球となっているので、そのマーラー測度はちょうど単位球の体積の二乗である.
Γ ( 3 / 2 ) 2 n 4 n Γ ( n 2 + 1 ) 2 . {\displaystyle {\frac {\Gamma (3/2)^{2n}4^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)^{2}}}.}
ここに Γ はガンマ函数を表す。アフィン変換不変性により、任意の楕円体は同じマーラー測度を持っている。
多面体やポリトープの偏極体は、その双対多面体や双対ポリトープである。特に、立方体や超立方体の偏極体は、正八面体やクロスポリトープ(英語版)(cross polytope)である。それらのマーラー測度は次のように計算することができる。
4 n Γ ( n + 1 ) . {\displaystyle {\frac {4^{n}}{\Gamma (n+1)}}.}
球のマーラー測度は、およそ ( π 2 ) n {\displaystyle \left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{n}} 倍、超立方体のマーラー測度よりも大きい。
ブラシュケ・サンタローの不等式は、最大のマーラー体積を持った形は球と楕円体であるということを言っている.この結果は 3次元の場合には、ウィルヘルム・ブラシュケ(英語版)(Wilhelm Blaschke)により証明され、一般の結果は、かなり後に、ルイス・サンタロー(英語版)(Luis Santaló)により証明された。証明の方法は、シュタイナー対称化(英語版)(Steiner symmetrization)として知られているテクニックを使うもので、任意の中心対称性をもつ凸体はマーラー体積を減少させることなく、より球体に近い凸体に置き換えることができるという方法である。
知られている中で最小のマーラー体積を持つ形は、超立方体やクロスポリトープ(英語版)(cross polytope)、より一般的には、これらの 2つのタイプの形を含むハナーポリトープ(英語版)(Hanner polytope)、そしてそれらのアフィン変換である。マーラー予想(Mahler conjecture)は、これらの形のマーラー体積が n 次元の対称凸体の中では最小のマーラー体積になるのではないかという予想で、未解決な予想となっている。テレンス・タオは次のように書いている。
Bourgain & Milman (1987)は、マーラー体積は超立方体の体積のスケーリングの振る舞いと合致するがより小さなある絶対的な定数 c > 0 に対して c 掛ける球面の体積によって下からおさえられることを証明した。このタイプの結果は逆サンタロー不等式(reverse Santaló inequality)として知られている。