アペリーの定数
アペリーの定数(―のていすう、英: Apéry's constant)は、数学定数の一種である。これは、ゼータ関数を ζ とすると、ζ(3) で定義される。
ζ ( 3 ) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + ⋯ ≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 ... {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dotsb \\&\approx 1.20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\,\ldots \end{aligned}}}
(オンライン整数列大辞典の数列 A002117) この値は無理数である(⇒アペリーの定理)。
「アペリーの定数」という名前は、1977年、ロジェ・アペリーがアペリーの定理を発表した際、彼自身によって命名された。
また、アペリーの定数は様々な形の積分表示が発見されている。簡単なものでは
ζ ( 3 ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 1 − x y z d x d y d z {\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\!{\frac {1}{1-xyz}}\,dxdydz}
や、リーマン関数の公式を用いた
ζ ( 3 ) = 1 2 ∫ 0 ∞ x 2 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx}
または
ζ ( 3 ) = 2 3 ∫ 0 ∞ x 2 e x + 1 d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,dx}
等がある。
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