基数
無限基数 κ と基数 λ > 0 にたいし、κ > λ のとき λ·μ = κ ⇔ μ = κ。
| X | := | X| (ただし X は Y から X への写像全体。)
を | X | を底、| Y | を指数とする冪という。
κ = 1、κ = κ
κ > 0 ⇒ 0 = 0
指数法則 :
κ = κ·κ
(κ·λ) = κ·λ
(κ) = κ
順序の保存 :
κ ≤ λ ⇒ κ ≤ λ
κ > 0 , λ ≤ μ ⇒ κ ≤ κ
2 ≤ κ < א 0 ⇒ κ λ = 2 λ {\displaystyle 2\leq \kappa <\aleph _{0}\Rightarrow \kappa ^{\lambda }=2^{\lambda }} 、 1 ≤ λ < א 0 ⇒ κ λ = κ {\displaystyle 1\leq \lambda <\aleph _{0}\Rightarrow \kappa ^{\lambda }=\kappa }
無限基数 λ にたいし以下が成立。
2 ≤ κ ≤ 2 ⇒ κ = 2
λ ≤ κ ⇒ κ ≤ 2
|cf(κ)| ≤ λ ⇒ κ < κ (ただし cf(κ) は κ の始順序数の共終数を表すとする。)
さらに一般連続体仮説を仮定すると無限基数 λ にたいし以下が成立。
2 ≤ κ ≤ 2 ⇒ κ = λ
|cf(κ)| ≤ λ ≤ κ ⇒ κ = κ
λ < |cf(κ)| ⇒ κ = κ