ワーシャル–フロイド法
K ′ ∪ { i , j } {\displaystyle K'\cup \{i,j\}} 内での i {\displaystyle i} から j {\displaystyle j} への最短経路は、 k + 1 {\displaystyle k+1} を経由するか、あるいは K ∪ { i , j } {\displaystyle K\cup \{i,j\}} 内にあるかのいずれかであるので、 次が成立することが分かる。ただしここで記号「 p | | q {\displaystyle p||q} 」は「経路 p {\displaystyle p} を進んだ後に経路 q {\displaystyle q} を進む」という経路を表す。
p i , j ′ = p i , k + 1 | | p k + 1 , j {\displaystyle p'_{i,j}=p_{i,k+1}||p_{k+1,j}} : p i , k + 1 | | p k + 1 , j {\displaystyle p_{i,k+1}||p_{k+1,j}} が p i , j {\displaystyle p_{i,j}} より短い場合