クラメルの公式
証明のために、単位行列の第 i-列を方程式 Ax = b の変数ベクトル x に置き換えて得られる行列 Xi を考える。例えば n = 4 のときの X2 は
で与えられる。このとき、AXi = Ai および det(Xi) = xi となることが示せる。実際、いま挙げた例では
が成り立っている。また行列式の乗法性により
となる。仮定により det(A) ≠ 0 ゆえ det(A) が存在することに注意。
証明の内容を省みれば、クラメルの法則の成立は以下の定理
正方線型方程式系 Ax = b が与えられたとき、x = (x1, x2, ..., xn) がこの方程式系の解であるならば、各 i について det(A)xi = det(Ai) が成り立つ。
に集約されることがわかる。もちろん行列 Ai は行列 A の第 i-列を系の右辺である b で置き換えて得られる行列である。方程式の解が一意であるという仮定を外せば、割り算を実行することができないことも起こり得るが、いま述べた形の定理であれば、方程式系の係数が可換環に値をとる場合も含めて常に成立するが、これはもはやクラメルの法則と呼ばれることはない。
与えられた線型方程式が n 個の変数を持ち、同数 n 本の一次方程式からなる形:
で与えられているとする。あるいはこれを
と置いて Ax = b と行列の記法で書いていてもよい。この時さらに、係数行列 A が正則(可逆)であるものと仮定する。これは det(A) ≠ 0 であることと同値。 これらの仮定の下、この方程式系は一意的に解くことができて、一意的な解 x の各成分 xi は
で与えられる。ただし、ここで用いた行列 Ai は行列 A の第 i-列 (i = 1, 2, ..., n) を系の右辺である b で置き換えて得られる行列
とする。