床関数と天井関数
任意の整数 k に対し、 ⌊ k + x ⌋ = k + ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor {k+x}\rfloor =k+\lfloor x\rfloor } ⌈ k + x ⌉ = k + ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil {k+x}\rceil =k+\lceil x\rceil }
床関数も天井関数も連続ではないが、半連続(床関数は上半連続、天井関数は下半連続)である。床関数と天井関数は区分的に定数関数であり、微分係数が存在する x(すなわち、整数でない x)では微分係数は 0 である。
x の小数点以下を四捨五入した値は、次の式で表される。 ⌊ x + 0.5 ⌋ ( x ≥ 0 ) {\displaystyle \lfloor x+0.5\rfloor \quad (x\geq 0)} ⌈ x − 0.5 ⌉ ( x ≤ 0 ) {\displaystyle \lceil x-0.5\rceil \quad (x\leq 0)}
x が整数でないとき、床関数と天井関数は次のようにフーリエ級数展開できる。
2801 ... {\displaystyle \lfloor {\sqrt {53}}\rfloor =\lfloor 7.2801\ldots \rfloor =7,\;\{{\sqrt {53}}\}=0.2801\ldots }
⌊ − 4 ⌋ = − 4 , { − 4 } = 0 {\displaystyle \lfloor -4\rfloor =-4,\;\{-4\}=0}
⌊ − 4.68 ⌋ = − 5 , { − 4.68 } = 0.32 {\displaystyle \lfloor -4.68\rfloor =-5,\;\{-4.68\}=0.32}
⌊ − π ⌋ = ⌊ − 3.14159 ... ⌋ = − 4 , { − π } = 0.8584 ... {\displaystyle \lfloor -\pi \rfloor =\lfloor -3.14159\ldots \rfloor =-4,\;\{-\pi \}=0.8584\ldots }
任意の有理数は帯分数で表せる、すなわち整数と真分数とに分解して表示できるが、この整数と真分数との関係は実数の整数部分と小数部分の関係に拡張され、任意の実数は整数部分と小数部分とに分解して表示できる。