連結空間
既述のものも含めいくつかの性質と、諸概念間の関係性を挙げる。
連結性は位相的性質であり、同相写像によって保たれる。
X と Y が位相空間で、f: X → Y が連続写像であるとするとき、X が連結ならば像 f(X) も再び連結である。特に f が全射ならば Y も連結である。同様に X が弧状連結ならば像 f(X) も弧状連結となる。この特別の場合として中間値の定理を捉えることができる。
連結部分集合の族 {A1, A2, ...} が与えられていて、この族に属するどの二つの部分集合も交わりを持つならば、族の和 ⋃ λ A λ {\textstyle \bigcup _{\lambda }A_{\lambda }} もまた連結である。特に族の共通分 ⋂ λ A λ {\textstyle \bigcap _{\lambda }A_{\lambda }} が空でないならば、 ⋃ λ A λ {\textstyle \bigcup _{\lambda }A_{\lambda }} もまた連結である。
弧状連結空間は常に連結である。
局所弧状連結空間は常に局所連結である。
局所弧状連結空間が弧状連結となるのは、それが連結であるときであり、またそのときに限る。
連結成分は弧連結な成分の非交和として表される。
局所連結空間の連結成分は開かつ閉である。
連結集合の閉包もまた連結である。
連結空間の商空間は連結であり、弧状連結空間の商空間は弧状連結である。
連結集合の直積は連結であり、弧状連結空間の直積はまた弧状連結である。
局所連結空間の開集合は局所連結であり、局所弧状連結空間の開集合もまた局所弧状連結である。
多様体は全て局所弧状連結である。
空でない位相空間の(包含による順序によって)極大な連結部分集合をその空間の連結成分 (connected component) という。紛れのおそれの無いときはこれを単に成分 (component) とも呼ぶ。明らかなことであるが、ある連結成分が X 全体に一致するとき、X は連結である。
任意の位相空間 X の連結成分たちは X を分割する、すなわち、互いに素で、空でなく、合併が全空間となる。同じことだが、X の点が同じ連結成分に属するという関係は、X 上の同値関係を定めるということもできる。任意の成分はもとの空間の閉部分集合である。したがって、成分の個数が有限であれば、各成分は開でもある。しかしながら、その個数が無限であれば、成分が開とは限らない。例えば、有理数全体の集合の連結成分は一点集合であるが、これは開でない。
Γ x {\displaystyle \Gamma _{x}} を位相空間 X の点 x の連結成分とし、 Γ x ′ {\displaystyle \Gamma _{x}'} を x を含むすべての開かつ閉集合の交わりとする(x のquasi-componentと呼ばれる)。すると Γ x ⊂ Γ x ′ {\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}} であり、等号は X がコンパクトハウスドルフあるいは局所連結であれば成り立つ。