超冪根
と表せることに注意すると、エルミート–クロネッカー–ブリオッシの方法は、本質的にはこの式に現れる指数函数 exp を楕円モジュラー函数で、同じく積分 ∫ 1 x d t t {\textstyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}} を楕円積分で、それぞれ置き換えるものである。クロネッカーはこの一般化すら任意の高次方程式に適用できる一般定理の特別の場合に過ぎないものと考えていた。そのような一般定理はトマエの公式(英語版)と呼ばれ、完全な記述は1984年に梅村浩によって与えられた。それは、上記の式の exp(あるいは楕円モジュラー函数)のところをジーゲル・モジュラー形式(英語版) で、積分のところを超楕円積分(英語版)で、それぞれ置き換えるものになっている。
五次方程式の一径数標準形には、ほかにもブリオッシ標準形 (Brioschi normal form) と呼ばれる形
があり、これは有理チルンハウス変換
によって一般形の根とブリオッシ標準形の根が関係付けられるものになっている。二つのパラメータ λ, μ の値はリーマン球面上で定義された多面体函数を用いて導出でき、またそれら値は正二十面体対称性(英語版)を持つ対象の正四面体対称性(英語版)を持つ五つの対象への分割に関係がある。
注目すべき点として、このチルンハウス変換は主標準形をブリング–ジェラード標準形にするために用いた複雑な変換と比べればより単純なものとなっていることが挙げられる。