イデアル (環論)
真のイデアル I が根基 (radical) または半素 (semiprime) であるとは、R の任意の元 a に対してその適当な冪 a が I に属すならば a ∈ I となることを言う。根基イデアルによる商は、一般には半素環であり、可換の場合は被約環になる。
通説にしたがってイデアルの成立史を述べる。19世紀のドイツの数学者であるクンマーはフェルマーの最終定理を証明しようと研究していた。その中で彼は、代数的整数に関しては有理整数の場合のような素因数分解の一意性が必ずしも成り立たないという問題に直面した。
有理整数環 Z においては 6 = 2 × 3 であって、順序の入れ替え (3 × 2) を除いては他の素因数分解は存在しない。しかし、代数的整数の場合はそうではない。
クンマーが扱ったのは奇素数 p に対する p-分体の整数環の場合であったが、以下ではより単純な例として次のような環を考える。ただし、i は虚数単位である。
R = Z [ 5 i ] = { a + b 5 i ∣ a , b ∈ Z } {\displaystyle R=\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}\,i]=\left\{a+b{\sqrt {5}}\,i\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}}
この環には 6 の分解は 2 通り存在する。
6 = 2 × 3
6 = (1 + √5i ) × (1 − √5i )
1 ± √5i がこれ以上分解できないことは、乗算における絶対値に注目すれば容易に証明できる。
任意の環において、そのイデアル全体の成す集合は包含関係に関して半順序集合を成す。実はこれはさらに、完備モジュラー束でイデアルの和を結び演算(英語版)に、集合の交わりを交わり演算(英語版)に持つ。このとき自明なイデアルは最小元(零イデアル)と最大元(単位イデアル)を与える。この束は一般には分配束(英語版)にならない。
R の真のイデアル全体の成す集合を考えるのにはツォルンの補題を必要としないが、R が単位元 1 を持つとき「1 を含まないイデアル全体の成す集合」を考えるならば、ツォルンの補題を適用して、帰結として真の極大イデアルの存在を確かめることができる。より明確に言えば、任意の真のイデアルに対して、それを含む極大イデアルが存在することが示せる(極大イデアルの項のクルルの定理を参照)。
環 R をそれ自身左 R-加群と見做すことができるが、このとき R の左イデアルはその R に含まれる左 R-部分加群と見做される。同様に右イデアルも、自身の上の右加群と見た R の右 R-部分加群であり、両側イデアルは R-両側加群としての R の R-部分加群である。R が可換の時はイデアルがそうであるように、これら三種の加群はすべて一致する。
任意のイデアルは擬環である。
環 R のイデアル全体はイデアルの和と積に関して(R を単位元とする)半環になる。
2つのイデアル I, J が互いに素 (coprime, comaximal) であるとは I + J = R となることを言う。