プランクの法則
プランクの法則において、黒体から輻射される電磁波の分光放射輝度は、周波数 ν と温度 T の関数として
I ( ν , T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / k T − 1 {\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{\mathrm {e} ^{h\nu /kT}-1}}}
と表すことができる。ただし、ここで分光放射輝度 I (ν, T) は、放射面の単位面積、立体角、周波数あたりの放射束を表しており、h はプランク定数、k はボルツマン定数、c は光速度を表す。分光放射輝度 I(ν, T) は hν = 2.82 kT の位置にピークをもち、高周波数においては指数関数的に、低周波数においては多項式的に減少する。
また、分光放射輝度を全立体角について積分することで、分光エネルギー密度に関して
u ( ν , T ) = 4 π c I ( ν , T ) = 8 π h ν 3 c 3 1 e h ν / k T − 1 {\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {4\pi }{c}}I(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{\mathrm {e} ^{h\nu /kT}-1}}}
と表すこともできる。
この流れの中で次に重要な段階を踏んだのはアルベルト・アインシュタインであった。アインシュタインは光電効果を研究し、光は塊や光子として放出されるだけでなく、吸収もされるという模型と方程式を提出した。そして1924年、サティエンドラ・ボースがプランクの法則を理論的に導出することができる光子の統計力学を考え出した。
また別の通説に反し、プランクは紫外発散の問題を解決しようとしてこの法則を導いたわけではなかった。紫外発散とはポール・エーレンフェストによって与えられた用語であり、黒体放射に古典統計力学のエネルギー等配分の法則を適用すると、空洞の全エネルギーが無限大になってしまうという矛盾である。プランクは等配分則が普遍的に成り立っているとは考えておらず、よって「発散」の問題にも気づいていなかった。紫外発散は5年ほど後の1905年にアインシュタイン、レイリー卿、ジェームズ・ジーンズによって独立に発見された。
あるモードにおける平均エネルギーは分配関数によって
⟨ E ⟩ = − d ( log  Z ) d β = ε exp  ( β ε ) − 1 {\displaystyle \left\langle E\right\rangle =-{\frac {\mathrm {d} (\log Z)}{\mathrm {d} \beta }}={\frac {\varepsilon }{\exp \left(\beta \varepsilon \right)-1}}}
のように表される。
これはボース=アインシュタイン統計に従う粒子の場合の公式である。全光子数に制限がないため、化学ポテンシャル μ は零である。
箱の中の全エネルギーはあり得る全単一光子状態についての総和 ⟨ E ⟩ {\displaystyle \left\langle E\right\rangle } に従う。これは L が無限大となる熱力学的極限において厳密に成り立つ。この極限では ε は連続となり、よって ⟨ E ⟩ {\displaystyle \left\langle E\right\rangle } をεについて積分することができる。この方法により箱の中の全エネルギーを計算するには、与えられたエネルギー範囲にどの程度の光子状態があるのかを評価する必要がある。今エネルギー ε と ε+dε の間にある単一光子状態の総数を g(ε) dε と表すとする。ここで g(ε) は評価しようとする状態密度である。この場合には
以下にあげるように、プランクの法則から他の黒体輻射の近似的公式を導くことができる。
h ν ≫ k T {\displaystyle h\nu \gg kT} を満たす高周波数(短波長)においては
I ( ν , T ) ∼ 2 h ν 3 c 2 e − h ν / k T , I ′ ( λ , T ) ∼ 2 h c 2 λ 5 e − h c / λ k T {\displaystyle {\begin{aligned}I(\nu ,T)\sim {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-h\nu /kT},\\I'(\lambda ,T)\sim {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-hc/\lambda kT}\end{aligned}}}
となり、ヴィーンの放射法則に漸近する。
また、 h ν ≪ k T {\displaystyle h\nu \ll kT} を満たす低周波数(長波長)においては
I ( ν , T ) ∼ 2 ν 2 c 2 k T , I ′ ( λ , T ) ∼ 2 c λ 4 k T {\displaystyle {\begin{aligned}I(\nu ,T)\sim {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}kT,\\I'(\lambda ,T)\sim {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}kT\end{aligned}}}