擬似逆行列
A {\displaystyle A} の各行が線形独立(このとき m ≤ n {\displaystyle m\leq n} である)ならば、 A A ∗ {\displaystyle AA^{*}} は可逆である。この場合、擬似逆行列は次のようになる:
A + = A ∗ ( A A ∗ ) − 1 {\displaystyle A^{+}=A^{*}(AA^{*})^{-1}}
これから A + {\displaystyle A^{+}} が A {\displaystyle A} の右逆元であることがわかる: つまり A A + = I m {\displaystyle AA^{+}=I_{m}}
2次正方行列
A = [ a b c d ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
の擬似逆行列は a d − b c ≠ 0 {\displaystyle ad-bc\neq 0} のとき、
A + = A − 1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] {\displaystyle A^{+}=A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}
である。 a d − b c = 0 {\displaystyle ad-bc=0} のとき、 A ≠ O {\displaystyle A\neq O} のときは
A + = 1 | a | 2 + | b | 2 + | c | 2 + | d | 2 [ a ̄ c ̄ b ̄ d ̄ ] {\displaystyle A^{+}={\frac {1}{|a|^{2}+|b|^{2}+|c|^{2}+|d|^{2}}}{\begin{bmatrix}{\bar {a}}&{\bar {c}}\\{\bar {b}}&{\bar {d}}\end{bmatrix}}}
となる。 A = O {\displaystyle A=O} のときは
A + = O = [ 0 0 0 0 ] {\displaystyle A^{+}=O={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}
である。