ルベーグ積分
ルベーグ積分論は、可測集合とその上の測度に関する理論(測度論)と可測函数とその積分に関する理論(積分論)の二段構えになっている。
拡張実数値(実数以外に ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } も値として許す)可測函数 f の積分は f を正成分 f と負成分 f の差
に分解する(ここに f(x) = max{f(x), 0}, f(x) = −min{0, f(x)} であり、これらおよび | f | = f + + f − {\textstyle |f|=f^{+}+f^{-}} が非負可測函数となることに注意する)ことで
と定義される。左辺の積分が(±∞ の場合も許して)存在するためには、右辺の二つの積分のうちいずれか一つでも有限値でありさえすればよいことに留意すべきである。しかし、f がルベーグ可積分であるというときには、左辺が(存在するだけでなく)有限確定値であることを要求する。非負とは限らない(拡張)実数値可測函数 f がルベーグ可積分となるための必要十分条件は
となることである。絶対値の積分が有限確定であるという意味で絶対可積分ともいう。
与えられた測度 μ に関する可測集合 S に対して、S の定義関数 1 S {\displaystyle 1_{S}} の積分を
とする。測度 μ が有限測度でない限り、この積分値が + ∞ {\displaystyle +\infty } となる場合があることに注意する。以下積分が + ∞ {\displaystyle +\infty } となる場合も許して、「積分が存在する」と言うことにする。
このように関数の可測性を定めれば、可測関数の全体からなる集合は代数的な操作(和、差、積、商、実数倍または複素数倍)に関して閉じていることが分かる。可測関数の全体の集合は、実数体または複素数体の上の線型空間を成すことも分かる。また、完全加法族 M の性質から、 R ∪ { + ∞ , − ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}} の任意の部分集合 I の可測関数 f による逆像 f(I) も M に属することも分かる。重要なことは、多くの関数列の極限に関して閉じていることである。例えば、可測関数の列 fk に対して
lim _ k ∈ N  f k , lim ̄ k ∈ N  f k {\displaystyle \varliminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \varlimsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}}
で与えられる関数もまた可測関数になる。従って、可測関数列が各点収束していれば極限関数もまた可測関数である。
X の部分集合 E 上定義された実数値可測函数 f に対する積分
を定義するにはいくつか方法がある。
と定義される(ただし、右辺の積分は広義リーマン積分の意味でとる。f* が非負の単調増大函数であり、したがって区間 [ 0 , ∞ {\displaystyle 0,\infty } ] に値をとる広義リーマン積分が定まることに注意する)。適当なクラスに属する函数(可測函数)に対して、これはルベーグ積分を定義する。 一般の(非負とは限らない)可測函数 f がルベーグ可積分となるのは、f のグラフと x-軸に囲まれた領域の面積が有限、つまり
となるときである。この場合の積分の値は(リーマン積分のときと同様に)x-軸より上にある面積から x-軸より下にある面積を引いた
で与えられる。ここで、 f = f + − f − {\textstyle f=f^{+}-f^{-}} は f の二つの非負値函数への分解であり、各々は
と与えられる(正成分と負成分の項を参照)。
測度空間として (X, M, μ) が与えられたとする。例えば、X としてユークリッド空間、M をルベーグ可測集合全体、μ としてルベーグ測度などが考えられる。確率論においては測度空間として μ(X) = 1 であるような測度空間(確率空間)を使う。
ルベーグ積分において、被積分関数になる関数は可測関数と呼ばれる関数である。X 上で定義された実数または ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } に値をとる関数 f が可測関数あるいは M-可測関数であるとは、任意の実数 a {\displaystyle a} について ( a , + ∞ ] = ( a , + ∞ ) ∪ { + ∞ } {\displaystyle (a,+\infty ]=(a,+\infty )\cup \{+\infty \}} の f による逆像が M に属すること:
f − 1 ( ( a , ∞ ] ) ∈ M {\displaystyle f^{-1}((a,\infty ])\in M}
が成り立つことである。複素数値関数は、その実部と虚部が共に可測関数のとき、可測関数あるいは M-可測関数であるという。