環 (数学)
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自然数 m が与えられたとき、m 元からなる集合には、一体いくつの異なる(必ずしも単位的でない)環構造が入るのかと考えるのは自然である。まず、位数 m が素数のときはたった二種類の環構造しかない(加法群は位数 m の巡回群に同型)。すなわち、一つは積がすべて潰れる零環であり、もう一つは有限体である。
有限群として見れば、分類の難しさは m の素因数分解の難しさに依存する(有限アーベル群の構造定理)。例えば、m が素数の平方ならば、位数 m の環はちょうど11種類存在する。一方、位数 m の「群」は二種類しかない(いずれも可換群)。
有限環論が有限アーベル群の理論よりも複雑なのは、任意の有限アーベル群に対してそれを加法群とする少なくとも二種類の互いに同型でない有限環が存在することによる(Z/mZ のいくつかの直和と零環)。一方、有限アーベル群を必要としない方法では有限環の方が簡単なこともある。