楕円積分
楕円 x 2 + ( y / c ) 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+(y/c)^{2}=1} の弧長は、
L = ∫ d s = ∫ d x 2 + d y 2 = ∫ 1 + ( d y d x ) 2 d x = ∫ 1 + ( ∓ c x 1 − x 2 ) 2 d x = ∫ 1 − x 2 + c 2 x 2 1 − x 2 d x {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int {ds}=\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int {\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx\\&=\int {\sqrt {1+\left(\mp {\frac {cx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)^{2}}}dx\\&=\int {\sqrt {\frac {1-x^{2}+c^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}dx\end{aligned}}}
となる。離心率 k = 1 − c 2 {\displaystyle k={\sqrt {1-c^{2}}}} を用いれば、上式は、
!}{(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\pi /2}{\sin ^{2n}\theta }d\theta }\\&={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {\pi }{2}}}\\&={\frac {\pi }{2}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}}\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}}\\\end{aligned}}}
となる。ただし、 ( − 1 ) ! ! = 1 {\displaystyle (-1)!!=1} と定義する。
次の恒等式をランデン変換という。
F ( sin  α , k ) = 2 1 + k F ( 1 2 ( 1 + k ) 2 sin 2  α + ( 1 − k 2 sin 2  α − 1 − sin 2  α ) 2 , 2 k 1 + k ) {\displaystyle F\left(\sin \alpha ,k\right)={\frac {2}{1+k}}F\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(1+k\right)^{2}\sin ^{2}\alpha +\left({\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\alpha }}-{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}\right)^{2}}},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}
次の恒等式をガウス変換という。
F ( sin  α , k ) = 1 1 + k F ( ( 1 + k ) sin  α 1 + k sin 2  α , 2 k 1 + k ) {\displaystyle F\left(\sin \alpha ,k\right)={\frac {1}{1+k}}F\left({\frac {(1+k)\sin \alpha }{1+k\sin ^{2}\alpha }},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}
以下の定積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の楕円積分(だえんせきぶん、英: elliptic integral)という。ただし、 − 1 ≤ k ≤ 1 {\displaystyle -1\leq k\leq 1} である。
F ( x , k ) = ∫ 0 x d t ( 1 − t 2 ) ( 1 − k 2 t 2 ) E ( x , k ) = ∫ 0 x 1 − k 2 t 2 1 − t 2 d t Π ( a ; x , k ) = ∫ 0 x d t ( 1 − a t 2 ) ( 1 − t 2 ) ( 1 − k 2 t 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(x,k)&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\\E(x,k)&=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}~dt\\\Pi (a;x,k)&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{(1-at^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}\end{aligned}}}