フルヴィッツのゼータ函数
正の整数 m に対するフルヴィッツのゼータ函数は、ポリガンマ函数
ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)}
に関係している。負の整数 −n に対して、値はベルヌーイ多項式 (Bernoulli polynomials)
ζ ( − n , x ) = − B n + 1 ( x ) n + 1 {\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}}
に関係している。
バーンズのゼータ函数 (Barnes zeta function) は、フルヴィッツのゼータ函数を一般化したものである。
レルヒのゼータ函数(英語版)(Lerch transcendent) も、フルヴィッツのゼータ函数を次のように一般化したものである。
Φ ( z , s , q ) = ∑ k = 0 ∞ z k ( k + q ) s {\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}
であるので、
ζ ( s , q ) = Φ ( 1 , s , q ) {\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q)}
となる。
超幾何級数
a 1 = a 2 = ...
フルヴィッツのゼータ函数は、メリン変換により積分表現され、 R s > 1 {\displaystyle \Re \,s>1} と R q > 0 {\displaystyle \Re \,q>0} に対し、
ζ ( s , q ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 e − q t 1 − e − t d t {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt}
と表すことができる。