球面三角法
ジャン=バティスト・ジョゼフ・ドランブルによる。ガウスの公式と呼ばれることもある。
cos  A + B 2 cos  c 2 = cos  a + b 2 sin  C 2 sin  A + B 2 cos  c 2 = cos  a − b 2 cos  C 2 cos  A − B 2 sin  c 2 = sin  a + b 2 sin  C 2 sin  A − B 2 sin  c 2 = sin  a − b 2 cos  C 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {c}{2}}&=\cos {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {C}{2}}\\\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {c}{2}}&=\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {C}{2}}\\\cos {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {c}{2}}&=\sin {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {C}{2}}\\\sin {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {c}{2}}&=\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {C}{2}}\end{aligned}}}
上記をまとめると、球面三角形の法則は、それぞれの要素の向かい合った要素の補角に置き換えても成り立つ。これを双対原理という。具体例をあげると
cos  a = cos  b cos  c + sin  b sin  c cos  A {\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A}
から
cos  ( π − A ) = cos  ( π − B ) cos  ( π − C ) + sin  ( π − B ) sin  ( π − C ) cos  ( π − a ) {\displaystyle \cos(\pi -A)=\cos(\pi -B)\cos(\pi -C)+\sin(\pi -B)\sin(\pi -C)\cos(\pi -a)}
すなわち
cos  A = − cos  B cos  C + sin  B sin  C cos  a {\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a}
が成り立つ。