レリッヒ＝ディキシミエの定理
量子力学における運動量と位置の関係のように、作用素 P, Q に対し、その交換子 [P, Q] = PQ − QP が満たす関係
[ P , Q ] = − i I ( i = − 1 ) {\displaystyle [P,Q]=-iI\quad (i={\sqrt {-1}})}
を正準交換関係 (CCR) と呼ぶ。ただし、I は恒等作用素である。ヒルベルト空間 H として二乗可積分関数全体のなす L(R) をとり、Q, P をそれぞれ自己共役な掛算作用素と微分作用素
Q ψ ( x ) = x ψ ( x ) ψ ( x ) ∈ D ( Q ) = { φ ( x ) ∈ L 2 ( R ) | x φ ( x ) ∈ L 2 ( R ) } {\displaystyle Q\psi (x)=x\psi (x)\qquad \psi (x)\in D(Q)=\{\varphi (x)\in L^{2}(\mathbb {R} )|x\varphi (x)\in L^{2}(\mathbb {R} )\}}