スペクトル半径
スペクトル半径は行列の等比列の収束性と次のようにして密接に関係している。 A ∈ C n × n {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in {\mathbb {C} }^{n\times n}} を複素行列、 ρ ( A ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {A}})} をそのスペクトル半径とすると、
lim k → ∞ A k = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\boldsymbol {A}}^{k}=0} のとき、およびそのときに限り ρ ( A ) < 1 {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {A}})<1} である。
これは特に、任意の行列ノルム ||・|| について
ρ(A) < 1 ならば ||A|| → 0(ノルムの連続性により)
ρ(A) > 1 ならば ||A|| → ∞(ノルムの同値性により)
ということを導く。
lim k → ∞ A k = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\boldsymbol {A}}^{k}=0} が ρ(A) < 1 を導くことは以下のようにしてわかる。 (v, λ) を行列 A の固有ベクトル-固有値の組とすると、
| λ | k ≤ ‖ A k ‖ {\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|{\boldsymbol {A}}^{k}\|}
したがって、
ρ ( A ) ≤ ‖ A k ‖ 1 / k {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {A}})\leq \|{\boldsymbol {A}}^{k}\|^{1/k}}
が成立する。また、ヒルベルト空間上の作用素ノルムについては
ρ ( A ∗ A ) = ‖ A ∗ A ‖ = ‖ A ‖ 2 {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {A}}^{*}{\boldsymbol {A}})=\|{\boldsymbol {A}}^{*}{\boldsymbol {A}}\|=\|{\boldsymbol {A}}\|^{2}}
が成り立つ。
Gelfand の公式は、有限個の行列の積のスペクトル半径に対しても考えることができる。すべての行列が可換であると仮定すると、次式を得る。
ρ ( A 1 A 2 ⋯ A n ) ≤ ρ ( A 1 ) ρ ( A 2 ) ⋯ ρ ( A n ) . {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {A}}_{1}{\boldsymbol {A}}_{2}\dotsb {\boldsymbol {A}}_{n})\leq \rho ({\boldsymbol {A}}_{1})\rho ({\boldsymbol {A}}_{2})\dotsb \rho ({\boldsymbol {A}}_{n}).}