グロタンディーク群
準同型 i:M → K は元 m を (m, 0) の類に送る。
グロタンディーク群 K は生成元と関係式を用いて構成することもできる。(Z(M),+') により集合 M により生成される自由アーベル群を書くことにすると、グロタンディーク群 K は { ( x + ′ y ) − ′ ( x + y ) ∣ x , y ∈ M } {\displaystyle \{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}} によって生成される部分群による Z(M) の商群である。(ここで +' は自由アーベル群 Z(M) における加法を表し、 + はモノイド M における加法を表す。)この構成には次のような利点がある。任意の半群 M に対して実行することができ、半群に対する対応する普遍性を満たす群、つまり、「M の準同型像を含む最も一般的で最も小さい群」、が生じる。これは「半群の group completion」あるいは「半群の分数群 (group of fractions of a semigroup)」として知られている。
圏論のことばでは、任意の普遍的構成から関手が生じる。したがって可換モノイドの圏からアーベル群の圏への、可換モノイド M をそのグロタンディーク群 K に送る函手を得る。この函手は、アーベル群の圏から可換モノイドの圏への忘却函手(英語版)の左随伴である。
可換モノイド M に対し、写像 i : M → K が単射であることと M が消約律を満たすことは同値であり、全単射であることと M が既に群であることは同値である。