二項級数
具体的に、α を任意の複素数として、函数 f が f(x) = (1 + x) で与えられるとき、マクローリン展開
の右辺に現れる冪級数を二項級数と言う。ここで、上の式は一般二項係数
( α k ) := α ( α − 1 ) ( α − 2 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ! {\displaystyle {\alpha \choose k}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}}
が用いられている。
冪指数 α が自然数 n のときは、上記の級数の n + 2 番目以降の項はすべて零になる(明らかに、各項の因子に n − n が現れる)から、このとき級数は有限和であって、代数的な二項定理が導出される。
任意の複素数 β に対して、二項級数を
1 ( 1 − z ) β + 1 = ∑ k = 0 ∞ ( k + β k ) z k {\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\beta +1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k}}
なる形に書くことができるが、これは特に 1 において負の整数冪を扱う際に有用である。この式自体は 1 において x = −z を代入して、二項係数の等式 ( − β − 1 k ) = ( − 1 ) k ( k + β k ) {\displaystyle {\tbinom {-\beta -1}{k}}=(-1)^{k}{\tbinom {k+\beta }{k}}} を適用すれば導出される。
級数 1 の収束は冪指数 α と変数 x の値に依存する。より具体的に、
|x| < 1 ならば、任意の α に対して絶対収束する。
x = −1 ならば、絶対収束する必要十分条件は Re(α) > 0 または α = 0 の何れかが成り立つことである。
|x| = 1 かつ x ≠ −1 ならば、収束の必要十分条件は Re(α) > −1 なることである。
|x| > 1 のときには、α が非負整数(級数が有限和となる)場合を除けば、発散する。
いま α は非負整数ではないとし、|x| = 1 の場合を考えると、上で述べたことから次のことが追加で言える:
Re(α) > 0 ならば絶対収束する。
−1 < Re(α) ≦ 0 ならば、x ≠ −1 では条件収束し、x = −1 では発散する。
Re(α) ≦ −1 ならば発散する。
二項級数の和の計算について通常の論法は以下のようにする: 二項級数を収束円板 |x| < 1 内で項別微分して式 1 を用いれば、この級数の和が常微分方程式 (1 + x)u′(x) = αu(x) を初期値 u(0) = 1 のもとで解いた解析函数解であることが知れる。この初期値問題の唯一の解は u(x) = (1 + x) であり、それはつまり(少なくとも |x| < 1 において)二項級数の和である。級数が収束する限りにおいて、この等式を |x| = 1 にまで延長できることは、アーベルの連続性定理を (1 + x) の連続性に基づいて適用した帰結である。