九点円
他に以下のような性質がある。
三角形の3個の頂点と垂心の4点からどの3個を選んでも、その三角形に対する九点円は同じになる。
外接円の対蹠点上にある2点から導かれる2本のシムソン線は、九点円上で直交する。
垂心と外接円上の任意の点の中点は九点円上にある。
また、九点円の定理から以下のことも導かれる。
三角形の内心Iと傍心 IA, IB, IC の中点、傍心 IA, IB, IC 同士の中点はどれも外接円上にある。これはトリリウムの定理を含んでいる。
図のように三角形(黄)の九点円(緑)の中心から当該三角形の各辺への垂線として交わる点で辺を分割して分割後の長さの辺を持つ正方形6個を描き、それらの正方形の面積の巡回奇偶別合計を求めると、両合計面積(赤・青)は等しくなっている。
図のように三角形(黄)の底辺が当該三角形の九点円(緑)の中心からの垂線で分割されている場合、分割後の長さの辺(紫・桃)を持つ正方形同士の面積の差は、頂点へ向けての二辺それぞれを辺として持つ正方形(赤・青)同士の面積の差の半分となっている。
フォイエルバッハは、1822年に以下の定理を証明している。
フォイエルバッハの定理 ― 九点円は内接円に内接し、傍接円に外接する。
この定理は「フォイエルバッハの定理」と呼ばれる、九点円に関する最も有名な定理のひとつである。
九点円と内接円の接点をフォイエルバッハ点(英語版)と呼ぶ。