アーベル群
自然数 n と加法的に書かれたアーベル群 G の元 x に対して、x の n-重累加(n 個の和)を nx = x + x + ⋯ + x とし、(−n)x = −(nx) と定めれば、これにより、 G を "整数全体の成す可換環 Z 上の加群" とみなすことができる。実は Z-加群の概念をアーベル群の概念と同じものと考えることができる。
(主イデアル整域たる Z 上の加群としての)アーベル群に関する諸定理は、しばしば任意の主イデアル整域上の加群に関する定理にまで一般化することができる。その典型が有限生成アーベル群の分類定理であり、これをPID上有限生成加群の構造定理の特別の場合とみることができる。有限生成アーベル群の場合、この定理によりそのような任意のアーベル群がねじれ群と自由アーベル群の直和に分解できることが保証される。そのときのねじれ群は、適当な素数 p に対する素冪位数巡回群 Z/pZ の形の群の有限個の直和であり、自由アーベル群は無限巡回群 Z の有限個のコピーの直和になっている。
整数の全体 Z、有理数の全体 Q、実数の全体 R、複素数の全体 C は全て通常の加法に関してアーベル群である。一方 自然数の全体 N は加法(の逆演算としての減法)に関して閉じていないのでアーベル群ではない。
乗法に関し、有理数全体の集合 Q は 0 の逆元が無いので群にならないが、Q から 0 を除いた集合(これを慣習的に Q と書く)で乗法を考えたものは群になり(乗法群と言われる)、これもアーベル群の例である。同様に、0 以外の実数全体 R や 0 以外の複素数全体 C も乗法に関してアーベル群となる。また例えば 0 以外の整数の全体 Z は乗法に関して群にはならないが、その部分集合 {±1} は乗法に関するアーベル群である。
楕円曲線 y = x + ax + b の解集合には、加法を定義することができ、アーベル群になる。