ヒルベルト空間
で定義される。ただし B 上の総和というのを、ここでは
∑ b ∈ B | x ( b ) | 2 = sup ∑ n = 1 N | x ( b n ) | 2 {\displaystyle \sum _{b\in B}|x(b)|^{2}=\sup \sum _{n=1}^{N}|x(b_{n})|^{2}}
で定める(上限は B の有限部分空間すべてに亘って取る)。このようにすると、この和が有限であるところの l(B) の各元は、可算個の例外を除いた全ての項が 0 になることがわかる。l(B) の任意の元 x, y に対して、
⟨ x , y ⟩ = ∑ b ∈ B x ( b ) y ( b ) ̄ {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}}
と内積を定めれば、この空間は実際にヒルベルト空間となる。右辺の和は、0 でない項が高々可算個しかないから意味を持ち、またコーシー・シュヴァルツの不等式によって無条件収束であることがわかる。
l(B) の正規直交基底の一つは、
e b ( b ′ ) = { 1 if b = b ′ 0 otherwise. {\displaystyle e_{b}(b')={\begin{cases}1&{\text{if }}b=b'\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
で与えられる B で添字付けられた族によって与えられる。
ヒルベルト空間が可分であるための必要十分条件は、それが可算な正規直交基底を持つことである。従って、任意の無限次元可分ヒルベルト空間は l に等距同型になる。
かつてはヒルベルト空間の定義の中に可分であることを含めることが多かった。物理学に現れる殆どの空間は可分であったことや、どの無限次元可分ヒルベルト空間も全て互いに同型であったことから、任意の無限次元可分ヒルベルト空間に言及するときは「唯一の (the) ヒルベルト空間」とかあるいは単に「ヒルベルト空間」と呼ぶこともしばしばであった。場の量子論においてさえ、殆どのヒルベルト空間は事実可分であり、ワイトマンの公理系として明記された。しかし、場の量子論において非可分なヒルベルト空間も重要であるというような反論が時には為された。これは大まかには理論における系が無限個の自由度を持ちうることと(1 より大きい次元を持つ空間の)無限個のテンソル積はどれも非可分であることが理由である。例えばボソン場は自然に、その因子が空間の各点において調和振動子で表現されるようなテンソル積の元と考えることができる。この観点からは、ボソンの空間は非可分であると見るのが自然であるが、しかし全テンソル積の小さな可分部分空間にしか(その上で可観測量が定義できる)物理的に意味のある場が含まれていない。もう一つの非可分ヒルベルト空間モデルは、空間の非有界領域に存在する無限個の素粒子の状態である。この空間の正規直交基底は素粒子の密度を表すある連続なパラメータによって添字付けられる。これは非可算となりうるから、基底は可算ではない。
二つの状態ベクトルの間の内積は確率振幅として知られる複素数になる。量子力学系の理想的な測定の間で、系が与えられた初期状態から特定の固有状態に崩壊する確率は、初期状態から終期状態の間の確率振幅の絶対値の平方によって与えられる。測定の結果として可能なのは、作用素の固有値であり(これは自己随伴作用素のとり方を説明する)、全ての固有値は実数でなければならない。与えられた状態の可観測量の確率分布は対応する作用素のスペクトル分解を計算すれば求められる。
一般の系では、状態は典型的には純粋ではないが、密度行列(ヒルベルト空間上のトレース 1 の自己随伴作用素)で与えられる純粋状態の統計的混合(あるいは混合状態)として表される。さらに、一般の量子力学系では、単独の測定の効果は系のほかの部分に影響を及ぼしうるが、それは測度が正の作用素値測度(英語版)で取り替えたものとして記述される。従って、一般論として状態と可観測量の両方の構造は、純粋状態の理想化したものより相当に複雑である。
ハイゼンベルクの不確定性原理は、ある種の可観測量に対応する作用素が互いに可換でなく、特定の形の交換子を与えるという主張として表される。
ヒルベルト空間が開発される以前にも、数学や物理学においてユークリッド空間を一般化する別な概念が知られていた。特に、19世紀の終わりに掛けていくつかの流れの中から抽象線型空間の概念が獲得される。これは、その元同士の加法と(実数や複素数のような)スカラーによる乗法とを備えた空間のことを指すのであって、必ずしも物理的な系における運動量や位置といった「幾何学的な」ベクトルをその元が同一視される必要はないという性質のものである。20世紀に入ると、数学者たちは新たな対象を扱うようになり、特に数列の空間(級数論も含む)や関数の空間 は自然に線型空間と看做すことができる。実際に、関数の場合なら、関数同士の和や定数をスカラーとする乗法が定義できて、それらの演算は空間ベクトルの加法とスカラー倍が従うのと同じ代数法則に従う。
20世紀の最初の10年間で、ヒルベルト空間の導入に繋がる展開が同時並行的に現れた。その一つは、ヒルベルトとシュミットの積分方程式論の研究過程で見出された。区間 [a, b] 上の2つの自乗可積分な実数値関数 f, g は「内積」
⟨ f , g ⟩ = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}
を持ち、これがよく知られたユークリッド空間のドット積の性質の多くを有していた。
この結果を H の閉部分空間 F に適用するとき、y ∈ F が x に最近接することは
y ∈ F , x − y ⊥ F {\displaystyle y\in F,\quad x-y\perp F}
によって特徴付けることができる。この点 y というのは x の F の上への直交射影に他ならない。このとき、写像 PF: x ↦ y は線型である(後述)。この結果は、最小自乗法の基礎を成すもので、応用数学、特に数値解析において有意である。
特に F が全体空間 H 自身とは一致しないとき、F に直交する非零ベクトル v が取れる(F に属さない x をとって、v := x − y と置けばよい)。これを応用して、閉部分集合 F が H の部分集合 S によって生成されるかを見るのに有効な判定法が得られる。即ち、
H の部分集合 S が生成する部分空間が H で稠密となるのは、S に直交するベクトル v ∈ H が零ベクトル 0 のみであるとき(かつそのときに限る)である。