アーベルの連続性定理
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ = π 4 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\dotsb ={\frac {\pi }{4}}}
を証明する。 arctan {\displaystyle \arctan } を tan {\displaystyle \tan } の逆関数で主値をとるものとする。(逆三角関数を参照) arctan  x {\displaystyle \arctan x} を x {\displaystyle x} で微分する。
( arctan  x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}
よく知られているように右辺は級数に展開できて、収束半径は1である。 0 < x < 1 {\displaystyle 0<x<1} として、0を基点とする両辺の不定積分を考える。収束半径の内部で級数は広義一様に絶対収束するので、積分と無限和を交換できることに注意すると、
定理の仮定にある「 ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} は収束する」という条件は必要である。この条件がないと、次のような反例がある:
1 1 + x = 1 − x + x 2 − ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-\cdots } (収束半径1)
左辺は lim x → 1 − 0 1 1 + x = 1 2 {\displaystyle \lim _{x\to 1-0}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}} に収束するが、右辺は 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ {\displaystyle 1-1+1-1+\cdots } に近づき収束しない。