ハーディ空間
任意の H-原子の H-準ノルムは、p およびシュワルツ函数 Φ にのみ依存する定数によって有界となる。
0 < p ≤ 1 のとき、H の任意の元 f には、H-原子の収束無限結合である次の原子分解が存在する。
f = ∑ c j a j , ∑ | c j | p < ∞ . {\displaystyle f=\sum c_{j}a_{j},\ \ \ \sum |c_{j}|^{p}<\infty .}
ここで aj は H-原子であり、cj はスカラーである。
例えば、ディラック超函数の差 f = δ1−δ0 は、1/2 < p < 1 のとき H-準ノルムにおいて収束であるようなハール函数の級数として表現できる(単位円上で、対応する表現は 0 < p < 1 に対して有効となるが、実数直線上ではハール函数は p ≤ 1/2 のときには H に属さない。これはなぜならば、それらの極大函数は無限大において、ある a ≠ 0 に対する a x と同値となるからである)。