谷山–志村予想
谷山–志村予想(たにやましむらよそう、英: Taniyama–Shimura conjecture)とは、「有理数体上に定義された楕円曲線はすべてモジュラーであろう」という予想である。1955年に日本の数学者の谷山豊によって提起され、1960年代以降に数学者の志村五郎によって定式化された。
この予想はアンドリュー・ワイルズとクリストフ・ブルイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーらによって証明された。今日ではモジュラー性定理またはモジュラリティ定理(modularity theorem)と呼ばれ、20世紀数学の快挙の一つとされている。ワイルズは半安定楕円曲線に対する谷山・志村予想を証明することでフェルマーの最終定理を証明した。
モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズによるより一般的な予想の特別な場合でもある。ラングランズ・プログラムは、保型形式、あるいは保型表現(適切なモジュラ形式の一般化)を、例えば数体上の任意の楕円曲線のような、より一般的な数論的代数幾何学の対象へ関連付けようとする。拡張された予想のうち、ほとんどのケースは未だ証明されていないが、Freitas, Le Hung & Siksek (2015) が実二次体上定義された楕円曲線がモジュラーであることを証明した。
セールとのやり取りの中でラングはセールに「これ以上間違ったストーリーを拡散するのはやめてくれ」と頼んだ。セールは最後に一言「手紙と志村の手紙のコピーを送ってくれてありがとう。とてもためになった」と返信し、これでやりとりは打ち切られた。
1986年の12月はじめのある晩、志村は妻と食事をしていた。なぜそうなったのかは思い出せないが谷山の話をしていた、と志村はいう。食事が終わりそこで会話は終わったが、志村は谷山のことが頭から離れなかった。突然、志村の目から涙が溢れてきた。谷山が可哀想でたまらなかったからだという。そして翌日から谷山との思い出話を書き始め、10日ほどでひとまず書き終わった。この文章は1989年に「谷山豊と彼の時代、非常に個人的な回想」というタイトルでロンドン数学会の会報で発表された。この記事の最後に谷山の問題についての言及があるが、これは編集者から要請があったからだという。
ラング (1995) にはセール、ヴェイユ、志村の手紙からの引用が複数あるが、これらの手紙の日付はすべて1986年8月から12月までの間になっている。
即ち T Z {\displaystyle \mathbb {T} _{Z}} は整数係数のヘッケ環である。 (アーベル多様体 A f {\displaystyle A_{f}} の次元は [ K f : Q ] = 1 {\displaystyle \mathbb {[K} _{f}:\mathbb {Q} ]=1} である。ただし、 K f := Q ( { a n } ) {\displaystyle K_{f}:=\mathbb {Q} \left(\{a_{n}\}\right)} は f ( τ ) = ∑ n = 1 ∞ a n q n {\displaystyle f(\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}} の数体である)。
ここで T {\displaystyle T} を T p {\displaystyle T_{p}} または ⟨ d ⟩ {\displaystyle \langle d\rangle } とするとき、これはヤコビアン J 0 ( N ) := J a c ( X 0 ( N ) ) {\displaystyle J_{0}\left(N\right):=\mathrm {Jac} \left(X_{0}\left(N\right)\right)} に以下のように作用する。