リーマン幾何学の基本定理
である。捩れのない性質は、
∇ ∂ i ∂ j = ∇ ∂ j ∂ i {\displaystyle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}}
を意味する。他方、リーマン計量との整合性は、
∂ k g i j = ⟨ ∇ ∂ k ∂ i , ∂ j ⟩ + ⟨ ∂ i , ∇ ∂ k ∂ j ⟩ {\displaystyle \partial _{k}g_{ij}=\left\langle \nabla _{\partial _{k}}\partial _{i},\partial _{j}\rangle +\langle \partial _{i},\nabla _{\partial _{k}}\partial _{j}\right\rangle }
を意味する。固定された i, j と k に対し、置換すると 6 変数の 3つの方程式が与えられる。捩れのない前提は、変数の数が 3 となる。結果として現れる 3つの方程式の線型系は、一意な解
⟨ ∇ ∂ i ∂ j , ∂ k ⟩ = 1 2 ( ∂ i g j k − ∂ k g i j + ∂ j g i k ) . {\displaystyle \left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle ={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right).
リーマン幾何学の基本定理の別の証明は、リーマン多様体上の捩れのない接続は必然的にKoszul公式(Koszul formula)により与えられることを示すことである。
2 g ( ∇ X Y , Z ) = ∂ X ( g ( Y , Z ) ) + ∂ Y ( g ( X , Z ) ) − ∂ Z ( g ( X , Y ) ) + g ( [ X , Y ] , Z ) − g ( [ X , Z ] , Y ) − g ( [ Y , Z ] , X ) . {\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=\partial _{X}(g(Y,Z))+\partial _{Y}(g(X,Z))-\partial _{Z}(g(X,Y))+g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).}
このことは、レヴィ・チヴィタ接続の一意性を証明する。存在証明は、この表現では X と Z がテンソル的で、Y がライプニッツ則を満たし、よって接続を定義すること示すことで証明される。Y と Z の公式の対称的部分は、第一行の第一項であり、これは計量接続である。X と Y の公式の反対称部分は第二行の第一項である。