レヴィ–プロホロフ計量
P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(M)} に含まれる全ての測度が可分な台を持つなら、その逆も成立する。すなわち、 ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} が完備であるなら ( P ( M ) , π ) {\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)} も完備となる。
( M , d ) {\displaystyle (M,d)} が可分かつ完備であるなら、部分集合 K ⊆ P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)} が相対コンパクトであることと、その π {\displaystyle \pi } -閉包が π {\displaystyle \pi } -コンパクトであることは同値である。