半局所環
数学において、半局所環 (semi-local ring) は R/J(R) が半単純環であるような環 R である。ここで J(R) は環 R のジャコブソン根基である。
この条件は R の極大右(左)イデアルが有限個であれば満たされる。さらに環 R が可換のときには逆も成り立つため、可換環に対して半局所環はしばしば「極大イデアルが有限個である環」と定義される。
いくつかの文献では一般の可換半局所環を擬半局所環 (quasi-semi-local ring) と呼び、極大イデアルが有限個のネーター環を半局所環と呼んでいる。
したがって半局所環は、極大(右/左/両側)イデアルをただひとつだけもつ局所環よりも一般的である。
任意の右あるいは左アルティン環、任意の serial ring(英語版), 任意の半完全環は半局所環である。
剰余環 Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } は半局所環である。とくに、 m {\displaystyle m} が素冪であれば、 Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } は局所環である。
有限個の体の直和 ⨁ i = 1 n F i {\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}{F_{i}}} は半局所環である。
単位元を持つ可換環の場合には、この例は次のような意味でプロトタイプである。すなわち、中国の剰余定理によって、極大イデアルが m1, ..., mn である単位的可換半局所環 R に対し、