リース変換
今 τa をベクトル a に沿った R 上の平行移動とする。すなわち、τa(x) = x + a が満たされるものとする。このとき
τ a ∗ ( R j f ) = R j ( τ a ∗ f ) {\displaystyle \tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f)}
となる。
最後の性質を述べる上で、リース変換を単独のベクトル成分 Rƒ = (R1ƒ,...,Rdƒ) として見なすことが有用となる。R 内の回転 ρ を考える。この回転は空間変数の上で作用するため、引き戻しを介した函数の上で作用する。しかしそれはまた、空間ベクトル Rƒ の上でも作用する。最後の性質は、リース変換はそれら二つの作用に関して同変(英語版)であるということである。すなわち
ρ ∗ R j [ ( ρ − 1 ) ∗ f ] = ∑ k = 1 d ρ j k R k f {\displaystyle \rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*}f]=\sum _{k=1}^{d}\rho _{jk}R_{k}f}
が成立する。
以上の三つの性質は、実際次の意味でリース変換を特徴付けるものである。T=(T1,...,Td) を L(R) から L(R) への有界線型作用素の d-タプルで、次を満たすものとする。
T はすべての伸張および平行移動と可換である。
T は回転に関して同変である。
このとき、ある定数 c に対して T = cR が成り立つ。