テンソル代数
K 上の任意の多元環 A と任意の線型写像 f: V → A が与えられたとき、多元環の準同型(英語版) ~f: T(V) → A で f = ~f ∘ i を満たすものが一意的に存在する。
ここに、i: V → T(V) は自然な埋め込み(随伴の単位射)である。したがって、以下の図式
が可換となる。実は、この性質を満たす一意的な多元環としてテンソル代数 T(V) を定義することができる(厳密に言えば一意的な同型を除いて一意)が、それでもこの性質を満たす対象が存在することは示さなければならない。
上記の普遍性は、テンソル代数の構成が自然に「函手的」となることを示している。すなわち、T は K 上のベクトル空間の圏 K-Vect から K-多元環の圏 K-Alg への函手である。T の函手性は任意の線型写像 V → W は多元環の準同型 T(V) → T(W) へ一意的に延長されることを意味する。
これはちょうど自由多元環上の標準ホップ代数構造に一致する。ただし、T(V) = V 上の余乗法を
Δ ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x {\displaystyle \Delta (x)=x\otimes 1+1\otimes x}
で定義し、これを
Δ ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m ) = Δ ( x 1 ) Δ ( x 2 ) ⋯ Δ ( x m ) . {\displaystyle \Delta (x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=\Delta (x_{1})\Delta (x_{2})\cdots \Delta (x_{m}).}
を通じて T(V) へ延長する。同様に対蹠射も T(V) = V で
S ( x ) = − x {\displaystyle S(x)=-x}
となるものとし、T(V) の一意的な反自己同型(英語版)として延長する。すなわち
S ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m ) = S ( x m ) S ( x m − 1 ) ⋯ S ( x 2 ) S ( x 1 ) {\displaystyle S(x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=S(x_{m})S(x_{m-1})\cdots S(x_{2})S(x_{1})}
により T(V) 上の対蹠射を定義する。