分配函数 (数学)
分配函数は、共通にランダム変数の様々な函数の期待値の母函数として使われる。従って、例えば、 β {\displaystyle \beta } を調整パラメータとしてとることは、 β {\displaystyle \beta } に関しての log  ( Z ( β ) ) {\displaystyle \log(Z(\beta ))} の微分をとることになり、
E [ H ] = ⟨ H ⟩ = − ∂ log  ( Z ( β ) ) ∂ β {\displaystyle {\mathbf {E}}[H]=\langle H\rangle =-{\frac {\partial \log(Z(\beta ))}{\partial \beta }}}
は H の平均値(期待値)を与える。物理では、これは系の平均エネルギーと呼ばれる。
上記の確率測度の定義が与えられると、ランダム変数 X の任意の函数 f の期待値は、予想通りに書き表される。また、離散的な値 X に対しては、
⟨ f ⟩ = ∑ x i f ( x 1 , x 2 , ... ) P ( x 1 , x 2 , ... ) = 1 Z ( β ) ∑ x i f ( x 1 , x 2 , ... ) exp  ( − β H ( x 1 , x 2 , ...