アーベル・ヤコビ写像
M {\displaystyle M} を滑らかなコンパクト多様体とし、 M {\displaystyle M} の基本群を π = π 1 ( M ) {\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)} とする。基本群のアーベル化写像を f : π → π a b {\displaystyle f:\pi \to \pi ^{ab}} とする。アーベル化写像 π a b {\displaystyle \pi ^{ab}} の捩れ部分群を t o r = t o r ( π a b ) {\displaystyle tor=tor(\pi ^{ab})} とし、 g : π a b → π a b / t o r {\displaystyle g:\pi ^{ab}\to \pi ^{ab}/tor} を捩れによる商とする。
M {\displaystyle M} が曲面で g を曲面の種数とすると、 π a b / t o r {\displaystyle \pi ^{ab}/tor} は、 Z 2 g {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2g}} と同型となる。さらに一般的には、 b {\displaystyle b} を第一ベッチ数とすると、 π a b / t o r {\displaystyle \pi ^{ab}/tor} は Z b {\displaystyle \mathbb {Z} ^{b}} と同型となる。