リンドラー座標
リンドラーチャート上における測地方程式は測地ラグランジアンからすぐに得ることができ、以下のようになる。
t ̈ + 2 x x ̇ t ̇ = 0 , x ̈ + x t ̇ 2 = 0 , y ̈ = 0 , z ̈ = 0 {\displaystyle {\ddot {t}}+{\frac {2}{x}}\,{\dot {x}}\,{\dot {t}}=0,\;{\ddot {x}}+x\,{\dot {t}}^{2}=0,\;{\ddot {y}}=0,\;{\ddot {z}}=0}
もちろん、元のデカルトチャート上では測地線は直線として現われるから、これを座標変換してやることによってリンドラーチャート上での測地線を得ることはできる。しかし、元のチャートとは独立に測地線を得ることは有意義なので、この節ではそれを行う。
第一、第三、第四の式から、直ちに「一次積分」を得ることができる。
t ̇ = E x 2 , y ̇ = P , z ̇ = Q {\displaystyle {\dot {t}}={\frac {E}{x^{2}}},\;\;{\dot {y}}=P,\;\;{\dot {z}}=Q}
しかし、線素からは ε = − x 2 t ̇ 2 + x ̇ 2 + y ̇ 2 + z ̇ 2 {\displaystyle \scriptstyle \epsilon \;=\;-x^{2}\,{\dot {t}}^{2}\,+\,{\dot {x}}^{2}\,+\,{\dot {y}}^{2}\,+\,{\dot {z}}^{2}} が得られる。
リンドラーチャートはミンコフスキー時空の座標チャートであるから、十個の互いに線形独立なキリングベクトル場があることが予期される。実際に、デカルトチャートでは一つの時間並進、三つの空間並進、三つの空間回転、三つのローレンツブーストに対応する部分群をもつ、十個の互いに線形独立なキリングベクトル場を容易に見付けることができる。付随して、これらはミンコフスキー時空の対称性群たる(固有等時)ポアンカレ群を生成する。
しかし、キリングベクトル方程式を直接書き下して解くのが教育的によい。四つの見慣れたキリングベクトル場
∂ t , ∂ y , ∂ z , − z ∂ y + y ∂ z {\displaystyle \partial _{t},\;\;\partial _{y},\;\;\partial _{z},\;\;-z\,\partial _{y}+y\,\partial _{z}}
(時間並進、加速方向と直交する空間並進、および加速方向と直交する空間回転)に加えて六つ、
リンドラー座標系チャートは x = 0 に計量の行列式が 0 になってしまう「座標特異点」を持つ。これは x → 0 の極限においてリンドラー観測者の加速度が発散してしまうために生じるものである。リンドラーのくさびを描いた図から読み取れる通り、リンドラーチャート上の位置 x = 0 はデカルトチャート上の位置 T = X, X > 0 に対応し、これは二つのヌル測地合同下の半平面から成る。