発散 (ベクトル解析)
で与えられ、無発散成分 B もスカラーポテンシャル Φ(r) をベクトルポテンシャル A(r) で、−∇Φ を ∇ × A で、湧出密度 div v を循環密度 ∇ × v でそれぞれ置き換えた、
B = ∇ × A ( r ) , A ( r ) = ∫ R 3 d 3 r ′ ∇ × v ( r ′ ) 4 π | r − r ′ | {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}}),\quad {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}})=\int _{\mathbb {R} ^{3}}d^{3}{\boldsymbol {r}}'\,{\frac {\nabla \times {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}}')}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}}
で与えられる。
この「分解定理」は電気力学でも定常流に関する研究の副産物として得られた事実であり、三次元以外でも通用するもっと一般のヘルムホルツ分解の特別の場合である。