ベクトル束
ベクトル束 (E, p, M) が滑らか (smooth) であるとは、E と M が滑らかな多様体で p: E → M が滑らかな写像であり、かつ局所自明化が微分同相となるようなときに言う。要求する滑らかさの度合いにより、各種の C-級ベクトル束や C-級ベクトル束、C(英語版)-級ベクトル束(実解析的ベクトル束)などの異なる概念が得られる。本節では、C-級ベクトル束について主に述べる。最も重要な C-級ベクトル束の例は、C-級多様体 M の接束 (TM, πTM, M) である。
C-級ベクトル束 (E, p, M) のもつ非常に重要な性質で、一般の C-級ファイバー束が持たないものがある。具体的には、各 v ∈ Ex における接空間 Tv(Ex) は、ファイバー Ex 自身と自然に同一視することができることである。この同一視は
vl v  w [ f ] := d d t | t = 0 f ( v + t w ) , ( f ∈ C ∞ ( E x ) ) {\displaystyle \operatorname {vl} _{v}w[f]:={\frac {d}{dt}}{\Big |}_{t=0}f(v+tw),\quad (f\in C^{\infty }(E_{x}))}
で定義される垂直射あるいは垂直持ち上げ (vertical lift) vlv: Ex → Tv(Ex) によって与えられる。垂直持ち上げは自然に C-級ベクトル束の同型 pE → VE と見ることができる。ここで (pE, pp, E) は E 上のベクトル束 (E, p, M) の p: E → M に沿った引き戻し束であり、VE ≔ Ker(p∗) ⊂ TE は垂直接束と呼ばれる、全空間 E の接束 (TE, πTE, E) の自然な部分ベクトル束である。
階数 k のベクトル束 E → X と、近傍の対 U, V にそれぞれの局所自明化
φ U : U × R k → ≅ π − 1 ( U ) , φ V : V × R k → ≅ π − 1 ( V ) {\displaystyle \varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}{\stackrel {\cong }{{}\to {}}}\pi ^{-1}(U),\quad \varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}{\stackrel {\cong }{{}\to {}}}\pi ^{-1}(V)}
が与えられているとき、U ∩ V 上で合成写像
φ V − 1 ∘ φ U : ( U ∩ V ) × R k → ( U ∩ V ) × R k {\displaystyle \varphi _{V}^{-1}\circ \varphi _{U}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}}
は矛盾無く定まり、
φ V − 1 ∘ φ U ( x , v ) = ( x , g U V ( x ) v ) {\displaystyle \varphi _{V}^{-1}\circ \varphi _{U}(x,v)=(x,g_{UV}(x)v)}
を満たす GL(k)-値写像
ベクトル束 π: E → X と X の開集合 U が与えられたとき、π の U 上の切断、断面 (section) を考えることができる。切断とは、π ∘ s = idU を満たす連続写像 s: U → E のことであり、これは本質的には U の各点で、それに付随するベクトル空間のベクトルを連続的に対応させることを意味する。例えば、可微分多様体の接束の切断とは、その多様体上のベクトル場に他ならない。
F(U) を、U 上の切断全体の集合とする。F(U) は常に、少なくとも零切断 (zero section)と呼ばれる一つの要素を含む。これは、任意の要素 x ∈ U をベクトル空間 π({x}) の零ベクトルに写像する切断 s である。 各点における切断の加法とスカラー倍により、F(U) はそれ自体が実ベクトル空間になる。 これらベクトル空間の(開集合 U に関する)系は、X 上のベクトル空間の層をなす。
s が F(U) に属する切断で α: U → R が連続写像のとき、点ごとのスカラー乗法で定義される αs は再び F(U) に属する。