クンマー理論
n = 3 とすると、3つの 1 の立方根に対して複素数が必要となるので、有理数体 Q の次数 3のクンマー拡大は存在しない。a を有理数体において立方数でない数とし、L を Q 上の X − a の分解体とすると、L は 1 の 3つの立方根をもつ部分体 K を含んでいる。なぜなら α と β をその3次多項式の根としたとき、(α/β) =1 であり、この3次多項式は分離多項式であるためである。従って、L/K はクンマー拡大である。
より一般的に、K が n 個の異なる 1 の n 乗根を含む(このことは K の標数が n を割らないことを意味する)とき、K に添加すると、K の任意の元 a の n 乗根は(n を割るようなある m が存在し、次数 m の)クンマー拡大をなす。ここでできる体は多項式 X − a の分解体であるため、クンマー拡大は必然的にガロア拡大となり、ガロア群は位数 m の巡回群となる。 a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} の係数となる 1 の冪根を通してガロア作用を追いかけることは容易である。