テイラーの定理
簡単のために a<x とする。まず任意の実関数 G で閉区間 [a, x] で連続、開区間 (a, x) で微分可能、さらに導関数 G' の値が開区間上で非0となるものを考える。
次に関数 F を
F ( t ) = f ( t ) + f ′ ( t ) ( x − t ) + f ′′ ( t ) 2 ! ( x − t ) 2 + ⋯ + f ( k ) ( t ) k ! ( x − t ) k {\displaystyle F(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+{\frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}}
と定めると、 F は閉区間 [a, x] で連続、開区間 (a, x) で微分可能である。するとコーシーの平均値の定理により
( ∗ ) F ′ ( ξ ) G ′ ( ξ ) = F ( x ) − F ( a ) G ( x ) − G ( a ) = R k + 1 ( x ) G ( x ) − G ( a ) {\displaystyle (*)\quad {\frac {F'(\xi )}{G'(\xi )}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {R_{k+1}(x)}{G(x)-G(a)}}}
簡単のために a<x とする。まず f が閉区間 [a, x] で絶対連続 であることから、その導関数 f が L-関数 の意味で存在する。ここで部分積分を繰り返し用いると
f ( x ) = f ( a ) + ∫ a x f ′ ( t ) d t = f ( a ) − [ ( x − t ) f ′ ( t ) ] a x + ∫ a x ( x − t ) f ′′ ( t ) d t = f ( a ) + ( x − a ) f ′ ( a ) + ∫ a x ( x − t ) f ′′ ( t ) d t = f ( a ) + ( x − a ) f ′ ( a ) + 1 2 ( x − a ) 2 f ′′ ( a ) + ∫ a x 1 2 ( x − t ) 2 f ′′′ ( t ) d t = ... = f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + ⋯ + f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + ∫ a x f ( k + 1 ) ( t ) k !