クラウジウス–デュエムの不等式
クラウジウス–デュエムの不等式は以下のように積分形式で記述することが可能である。
d d t ( ∫ Ω ρ η dV ) ≥ ∫ ∂ Ω ρ η ( u n − v ⋅ n ) dA − ∫ ∂ Ω q ⋅ n T dA + ∫ Ω ρ s T dV . {\displaystyle {\cfrac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho ~\eta ~{\text{dV}}\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~{\text{dA}}-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~{\text{dA}}+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~{\text{dV}}.}
上式で t {\displaystyle t\,} は時間、 Ω {\displaystyle \Omega \,} は体を表し、体の体積を区間として積分している。
量
D := ρ ( T η ̇ − e ̇ ) + σ : ∇ v − q ⋅ ∇ T T ≥ 0 {\displaystyle {\mathcal {D}}:=\rho ~(T~{\dot {\eta }}-{\dot {e}})+{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}\geq 0}
は、単位体積当たりの内部エントロピーの生成速度と絶対温度の積として定義される発散量(散逸)である。ゆえにクラウジウス–デュエムの不等式は散逸不等式とも言われる。 実際の材料では、散逸は常にゼロよりも大きい。