ヤングの定理
解析学において、シュワルツの定理(英: Schwarz' theorem)またはクレローの定理(英: Clairaut's theorem)とは、ヘルマン・シュワルツ (Hermann Schwarz) とアレクシス・クレロー (Alexis Clairaut) に因む定理で、次のことを述べる:
f : R n → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
が R 上の与えられた任意の点 (a1, ..., an) で連続な二階偏導関数を持つなら、それらの偏導関数は以下の関係を満たす。
∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ( a 1 , ... , a n ) = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i ( a 1 , ... , a n ) ∀ i , j ∈ { 1 , 2 , ... , n } . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n})\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}.\,\!}
すなわち、この関数の偏微分は点 (a1, ..., an) で可換(英語版)である。(n = 2, i = 1, j = 2 の場合に、これから直ちに一般の結果が従うが)この定理を証明する簡単な方法として、1 つにはグリーンの定理を f の勾配に適用する方法がある。