捩率テンソル
アフィン接続∇ の捩率テンソルは、ベクトル場 X と Y により、
T ( X , Y ) = ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] {\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}
と定義される。ここに [X, Y] はベクトル場のリーブラケット(英語版)(Lie bracket of vector fields)である。

捩率テンソルは、測地線の幾何学の研究にとって特に有用である。パラメータ化された測地線の系が与えられると、捩率テンソルの違いによる差異はあるが、それらの測地線を持つアフィン接続のクラスを特定することができる。(フィンスラー幾何学(英語版)(Finsler geometry)のように、)計量を持たない状況下でも可能な、レヴィ・チヴィタ接続を一般化となる捩れを併せ持つような接続が一意に存在する。また、捩率テンソルを併せ持つことは、G-構造(英語版)(G-structure)やカルタン同値の方法(英語版)(Cartan's equivalence method)の研究で、重要な役割を果たす。 捩率テンソルは、また、捩率形式に伴う射影接続(英語版)(projective connection)を通してパラメータ付けを持たない測地線の族の研究にも有用である。相対論では、捩率形式の考えはアインシュタイン・カルタン理論(英語版)(Einstein–Cartan theory)の形で、理論の中に実現されている。
とすると、
A ( X , Y ) = 1 2 ( T ( X , Y ) − T ′ ( X , Y ) ) {\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)} は捩率テンソルの差異である。
∇ と ∇′ が同一のアフィンパラメータを持つ測地線であることと、S(X, Y) = 0 であることは同値である。
言い換えると、2つの接続の差異の対称的部分は、接続が同一のパラメータを持つかどうかを決定し、一方、差異の交代的部分は、2つの接続の相対的な捩率テンソルの違いが決定する。もうひとつの別な結論は、
任意のアフィン接続 ∇ が与えられると、同一のアフィンパラメータを持つ測地線の族の中に、一意に捩れのない接続 ∇′ が存在する。これはリーマン幾何学の基本定理のアフィン接続(計量がなくともよい)への一般化である。パラメータ化された族の下にある一意な捩れのない接続をとることは、捩れの吸収として知られていて、カルタンの同値の方法(英語版)(Cartan's equivalence method)の一段階である。