確率の公理
1つ前の証明で、 P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle P(\varnothing )=0} は示されている。ただし、この結論は背理法で示される。
P ( B ) = P ( A ) + P ( B ∖ A ) + ∑ i = 3 ∞ P ( E i ) {\displaystyle P(B)=P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})}
は収束するから、 P ( ∅ ) =: a {\displaystyle P(\varnothing )=:a} とおくと、
∑ i = 3 ∞ P ( E i ) = ∑ i = 3 ∞ P ( ∅ ) = ∑ i = 3 ∞ a = { 0 ( a = 0 ) ∞ ( a > 0 ) {\displaystyle \sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=\sum _{i=3}^{\infty }P(\varnothing )=\sum _{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&(a=0)\\\infty &(a>0)\end{cases}}}
も収束する。 a > 0 {\displaystyle a>0} と仮定すると、右辺は発散し、矛盾するから、 a = P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle a=P(\varnothing )=0} となる。
P ( A c ) = P ( Ω ∖ A ) = 1 − P ( A ) {\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}
以上の議論をまとめて、現代では以下のように要約する。
Ω {\displaystyle \Omega } は任意の集合、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は 構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikipedia.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \Omega 上の完全加法族(σ-集合体)(あるいは有限加法族)、 P {\displaystyle P} は F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} 上の集合関数とする。 P {\displaystyle P} が次の3条件を満たすとき、 P {\displaystyle P} は ( Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})} 上の確率測度となり、 Ω {\displaystyle \Omega } は標本空間、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は事象空間と呼ばれる。
一回のコイントスを考え、コインが表 (H) または裏 (T) のいずれかで着地するものとする(両方は起きえない)。コインが公正であるかどうかに関して仮定はしない。
この場合、下記のように定義できよう。
Ω = { H , T } {\displaystyle \Omega =\{H,T\}}
F = { ∅ , { H } , { T } , { H , T } } {\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}
コルモゴロフの公理から次が分かる。
P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle P(\varnothing )=0}
表でも裏でもない確率は0となる。
P ( { H , T } c ) = 0 {\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}
表か裏かいずれかの確率は、1となる。
P ( { H } ) + P ( { T } ) = 1 {\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}
また、上記の通り、表の確率と裏の確率の合計は1である。