運動量演算子
運動量演算子とは、量子力学においてヒルベルト空間上の状態ベクトルに作用する演算子で、古典的な運動量に対応する。 特に量子力学の形式の一つである波動力学において、座標表示された波動関数に作用する微分演算子と関係付けられる。
運動量演算子は量子力学が発展した1920年代に、ニールス・ボーア、アルノルト・ゾンマーフェルト、エルヴィン・シュレーディンガー、ユージン・ウィグナーなど多くの理論物理学者によって見いだされた。
であるとみなすことができる。 ここから便利な関係として
⟨ x | p ^ | x ′ ⟩ = − i ħ ∂ ∂ x ⟨ x | x ′ ⟩ = − i ħ ∂ ∂ x δ ( x − x ′ ) {\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|x'\rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\delta (x-x')}
が導かれる。ここで δ はディラックのデルタ関数である。
同じ状態を運動量表示したは波動関数は ψ ~ p ( t ) = ⟨ p | ψ ⟩ {\displaystyle {\tilde {\psi }}_{p}(t)=\langle p|\psi \rangle } と表わされる。 これに対する運動量演算子の作用は
⟨ p | p ^ | ψ ⟩ = p ⟨ p | ψ ⟩ {\displaystyle \langle p|{\hat {p}}|\psi \rangle =p\langle p|\psi \rangle }
であり、運動量基底 ⟨ p | {\displaystyle \langle p|} に対する作用としては
ψ ( x − ε ) = ψ ( x ) − ε d ψ d x {\displaystyle \psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}}
よって無限小量 ε について、
T ( ε ) = 1 − ε d d x = 1 − i ħ ε ( − i ħ d d x ) {\displaystyle T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}
古典力学から分かるように、運動量は並進の生成子である。 よって並進と運動量演算子との間の関係は、
T ( ε ) = 1 − i ħ ε p ^ {\displaystyle T(\varepsilon )=1-{i \over \hbar }\varepsilon {\hat {p}}}
ここで、
p ^ = − i ħ d d x . {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}.}
1次元から出発し、シュレーディンガー方程式に平面波解を用いる。
ψ = e i ( k x − ω t ) {\displaystyle \psi =e^{i(kx-\omega t)}}
空間についての1階偏微分は、
∂ ψ ∂ x = i k e i ( k x − ω t ) = i k ψ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}=ike^{i(kx-\omega t)}=ik\psi }
ド・ブロイの関係式 p = ħk より k を表すと、ψ の微分公式は次のようになる。
∂ ψ ∂ x = i p ħ ψ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}=i{\frac {p}{\hbar }}\psi }
このことは演算子の等価性を示している。
p ^ = − i ħ ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}
よって運動量 p はスカラー値で、測定される粒子の運動量は演算子の固有値である。
偏微分は線形演算子であり、運動量演算子も線形である。いかなる波動関数も他の状態の重ね合わせとして表すことができるため この運動量演算子は重ね合わせられた波全体に作用するとき、それぞれの平面波成分に対して運動量の固有値を与え、運動量が重ね合わせられた波の全運動量に加えられる。
3次元での導出は、1階偏微分の代わりにナブラが用いられることを除いて、1次元と同じようにできる。 3次元のシュレーディンガー方程式の平面波解は次のように書ける。
ψ = e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle \psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}
また勾配は
∇ ψ = e x ∂ ψ ∂ x + e y ∂ ψ ∂ y + e z ∂ ψ ∂ z = i k x ψ e x + i k y ψ e y + i k z ψ e z = i ħ ( p x e x + p y e y + p z e z ) ψ = i ħ p ^ ψ {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&=ik_{x}\psi \mathbf {e} _{x}+ik_{y}\psi \mathbf {e} _{y}+ik_{z}\psi \mathbf {e} _{z}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {\hat {p}} \psi \end{aligned}}}
ここで ex, ey と ez は3次元空間での単位ベクトルであり、
p ^ = − i ħ ∇ {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }
この運動量演算子は位置空間に存在する。なぜなら偏微分は空間変数に対して行われるからである。