バーゼル問題
と表せる。これは、ゼータ関数
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ n − s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}}
の s = 2 における値 ζ(2) でもある。その値は π/6 (= 1.644934...) である(π は円周率)。オイラー積によれば
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = ∏ p : prime 1 1 − p − 2 = 1 1 − ( 1 2 ) 2 ⋅ 1 1 − ( 1 3 ) 2 ⋅ 1 1 − ( 1 5 ) 2 ⋅ ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\prod _{p{\text{: prime}}}{\frac {1}{1-p^{-2}}}={\frac {1}{{1-({\frac {1}{2}}})^{2}}}\cdot {\frac {1}{{1-({\frac {1}{3}}})^{2}}}\cdot {\frac {1}{{1-({\frac {1}{5}}})^{2}}}\cdot \cdots }
となる。