ネーターの定理
力学変数 q i ( t ) {\displaystyle q^{i}(t)} がラグランジュ方程式
d d t ∂ L ∂ q ̇ i − ∂ L ∂ q i = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}=0}
を満たしているとする。
微小変換
t → t ′ = t + ε T ( t ) {\displaystyle t\to t'=t+\epsilon T(t)}
q i ( t ) → q ε i ( t ′ ) = q i ( t ) + ε Q i ( q ( t ) , t ) = q i ( t ′ − ε T ) + ε Q i ( q ( t ′ − ε T ) , t ′ − ε T ) {\displaystyle {\begin{aligned}q^{i}(t)\to q_{\epsilon }^{i}(t')&=q^{i}(t)+\epsilon Q^{i}(q(t),t)\\&=q^{i}(t'-\epsilon T)+\epsilon Q^{i}(q(t'-\epsilon T),t'-\epsilon T)\\\end{aligned}}}
を考える。
このとき、系が対称性を持つとは、作用積分
d S [ q ε ] d ε | ε = 0 = [ L ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) T ( t ) ] t I t F + ∫ t I t F d t [ ∂ L ∂ q i d q ε i d ε | ε = 0 + ∂ L ∂ q ̇ i d q ̇ ε i d ε | ε = 0 ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S[q_{\epsilon }]}{\mathrm {d} \epsilon }}{\bigg |}_{\epsilon =0}={\Big [}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,T(t){\Big ]}_{t_{I}}^{t_{F}}+\int _{t_{I}}^{t_{F}}\mathrm {d} t\,{\biggl [}{\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{\epsilon }^{i}}{\mathrm {d} \epsilon }}{\bigg |}_{\epsilon =0}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {q}}_{\epsilon }^{i}}{\mathrm {d} \epsilon }}{\bigg |}_{\epsilon =0}{\biggr ]}}
である。運動方程式を用いれば、
∂ L ∂ q i d q ε i d ε | ε = 0 + ∂ L ∂ q ̇ i d q ̇ ε i d ε | ε = 0 = d d t ( ∂ L ∂ q ̇ i d q ε i d ε | ε = 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{\epsilon }^{i}}{\mathrm {d} \epsilon }}{\bigg |}_{\epsilon =0}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}{\frac {\mathrm {d} {\dot {q}}_{\epsilon }^{i}}{\mathrm {d} \epsilon }}{\bigg |}_{\epsilon =0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\biggl (}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}{\frac {\mathrm {d} q_{\epsilon }^{i}}{\mathrm {d} \epsilon }}{\bigg |}_{\epsilon =0}{\biggr )}}
j μ ≡ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ φ i ) ∂ ν φ i − δ ν μ L ) δ x ν − ∂ L ∂ ( ∂ μ φ i ) δ φ i {\displaystyle j^{\mu }\equiv {\biggl (}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\partial _{\nu }\phi _{i}-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}{\biggr )}\delta x^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\delta \phi _{i}}
が保存し、連続の方程式
∂ μ j μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}
を満たす。
δ φ {\displaystyle \delta \phi } は場自身の変換だけでなく、座標の変換も含んでいる。 現代的な見方では、場の変分として、同一座標値での差を取ったリー微分 δ ε φ ( x ) {\displaystyle \delta _{\epsilon }\phi (x)} で記述すると都合がよい。