射影幾何学
以下の公理系は、ホワイトヘッドの「射影幾何の公理系」("The Axioms of Projective Geometry") に基づく。まず、空間には二種類の要素、「点」と「直線」が存在して、それらの「接続」関係が定められているものとしたうえで、射影幾何の公理系は以下の三つの公理からなる。
G1: 任意の直線は少なくとも三点を含む。
G2: 任意の二点 A, B はただ一つの直線 AB の上にある。
G3: 二直線 AB および CD が交わるならば、二直線 AC および BD も交わる(ただし、A および D は B および D とは異なるものと仮定する)。
各直線が少なくとも三点を持つと仮定するのは、退化してしまう場合を除くためである。これら三公理を満足する空間は、高々一つの直線を持つか、ある斜体上の適当な次元の射影空間が、非デザルグ平面かのいずれかである。
次元や座標環を制限するために他にも公理を追加することができる。例えばコクセターの「射影幾何学」 では、ヴェブレンを引用して、上記三公理に五公理を追加して、次元が 3 で座標環が標数 2 でない可換体となるようにしている。
Greenberg (1999) 等によれば、最も簡単な二次元射影幾何はファノ平面と呼ばれ、各直線はちょうど三点からなり、全部で七つの点と七つの直線が、以下のような共線条件に従って配置される。
[ABC]
[ADE]
[AFG]
[BDG]
[BEF]
[CDF]
[CEG]
各点の座標は A = {0,0}, B = {0,1}, C = {0,W} = {1,W}, D = {1,0}, E = {W,0} = {W,1}, F = {1,1}, G = {W, W} のように書ける。デザルグ平面におけるこれらの点の座標系の設定は、一般には無限遠点(この例では C, E, G)が、紛れなく明確に定義されるものでない。
しかし、この幾何は Coxeter (2003) のやり方と一貫性を持たせるには複雑さが十分でない。この場合のもっとも単純な例は点が31個、直線が31本、各直線上の点の数は 6 となるもので、PG[2,5] と書かれる。コクセターの記号法で有限射影幾何 PG[a, b] は
a が次元の値で
直線上の点が与えられるとき、b はその点を通るほかの直線の数
を表す。従って、先ほどの点の数が 7 の例は PG[2,2] ということになる。
「射影幾何」の語は、背景となる一般化された抽象幾何を指すこともあるし、広く興味の対象となる特定の幾何(例えば、平坦な平面上に斉次座標系を入れて解析できるようにしたもの)を指す場合もある。
数学における射影幾何学(しゃえいきかがく、英: projective geometry)は、射影変換の下で不変な幾何学的性質を研究する学問である(エルランゲン・プログラムも参照)。射影幾何は、初等的なユークリッド幾何とは設定を異にしており、射影空間といくつか基本的な幾何学的概念をもとに記述される。
初等的な直観としては、射影空間はそれと同じ次元のユークリッド空間と比べて「余分な」点(「無限遠点」と呼ばれる)を持ち、射影幾何学的な変換においてその余分な点と通常の点を行き来することが許されると考えることができる。射影幾何学における種々の有用な性質は、このような変換(射影変換)に関連して与えられる。最初に問題となるのは、この射影幾何学的な状況を適切に記述することのできる幾何学的な言語はどのようなものであるかということである。例えば、射影幾何において(ユークリッド幾何で扱うようには)角の概念を考えることはできない。実際、角が射影変換の下で不変でないような幾何学的概念の一つであることは透視図などを見れば明らかであり、このような透視図法に関する理論が、事実射影幾何学の源流の一つともなっている。初等的な幾何学とのもう一つの違いとして「平行線は無限遠点において交わる」と考えることが挙げられる。
射影的な現象の幾何学的性質が初めて発見されるのは、3世紀ごろアレクサンドリアのパップスによる。フィリッポ・ブルネレスキ (1404–1472) は1425年に透視図法の幾何学を開始している。ヨハネス・ケプラー (1571–1630) とジラール・デザルグ (1591–1661) はそれぞれ独立に、極めて重要な「無限遠点」の概念を作り上げた。デザルグはまた、消失点の使用をそれらが無限に遠い場合を含めて一般化した投影図法の別な構成も与えている。デザルグは、平行線が真に平行となるユークリッド幾何学を特別な場合として完全に内包するような幾何学的体系を作り上げた。円錐曲線に関するデザルグの研究は、16歳のブレーズ・パスカルの関心を惹き、彼がパスカルの定理を定式化する助けとなった。それに続く射影幾何学の発展に重要な仕事は、18世紀暮れから19世紀初頭にかけてガスパール・モンジュによってなされる。デザルグの業績は1845年のミシェル・シャルルによる手書きの写しに突如として現れるまでは見捨てられており、その間の1822年にジャン=ヴィクトール・ポンスレーが射影幾何学の基礎的な論文を出版している。ポンスレーは幾何学的対象の射影的性質を個々のクラスに分類し、射影的性質と計量の間の関係性を確かなものとした。