順像関手
順像関手は、逆像関手(英語版)の右随伴であり、このことは任意の連続な f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} およびそれぞれ X、Y 上の層である F , G {\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}} に対して、自然同型
H o m S h ( X ) ( f − 1 G , F ) = H o m S h ( Y ) ( G , f ∗ F ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}
が存在することを意味する。
f がある閉部分空間 X ⊂ Y の包含であるなら、f∗ は完全である。実際、この場合 f∗ は X 上の層と Y 上の層の間の同値性となり、それは X 上でサポートされる。この事実より、 ( f ∗ F ) y {\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})_{y}} の茎(stalk)は、 y ∈ X {\displaystyle y\in X} なら F y {\displaystyle {\mathcal {F}}_{y}} で、そうでないならゼロとなる(この証明には Y 内での X の近さ(英語版)が用いられる)。