結び目理論
H|S×{0} = idS, H|S×{1} = h
を満たすもの(全同位写像(英語版))が存在するとき、K と K′ は同値な結び目であるという。
自明な結び目と同値な結び目は解けている(ほどけている)という。
結び目の局所変形(きょくしょへんけい、local move)すなわち、一部分を連続的に変形することで、幾つかの結び目が "同じ" かどうか調べることができるが、その代表的なものとして、次の変形を考えることができる。
さらには、結び目の局所変形の手順というのは、このライデマイスター移動と呼ばれる変形の組合せで行うことができる。二つの同値な結び目は有限回のライデマイスター移動で互いに移りあう。また特に、ライデマイスター移動 II, III のみによって移りあう結び目どうしは正則同位(英語版) (regular isotopic) であるといい、すべてのライデマイスター移動で移りあう結び目どうしは全同位(英語版) (ambient istopic)である。
結び目には円周を一周する向きにしたがって向きが入る。一つの結び目には正逆二つの向きを入れることができる。また、それぞれに成分について向きをつけることによって絡み目の向き付けもできる。向きをつけた結び目(絡み目)を、有向結び目(有向絡み目)という。
向き付けられた結び目(絡み目)の向きを逆にしても元の結び目(絡み目)と同じになるとき、その結び目(絡み目)は可逆または可反であるという。例えば三葉結び目、8の字結び目は可逆となっている。交点数が少ない結び目は可逆のものが多く、交点数が最も小さい非可逆で素な結び目は8交点のものである。
一次元球面(単位円周) S から三次元ユークリッド空間 R または三次元球面 Sへの単射連続写像 K あるいは K の像のことを結び目という。ここで、三次元球面 S とは R に、一点 {∞} を付け加えたコンパクト等質空間である。
要するに、三次元空間の中に浮かぶ絡まった 1 つの輪っかのことを数学では結び目というのである。日常語の意味での結び目とはかけ離れているように思われるが、紐の両端をくっつけて結び目を緩めた状態を想像してみると、なぜ上で言うようなものが数学で結び目と呼ばれるのか、実感できることと思われる。
結び目は絡まった輪っか一つだけである。二つ以上の結び目が互いに絡まりあったものを考えたほうがいろいろと便利であることが多いので、それを絡み目(英語版)と呼ぶ。正確には結び目と同様に次のように定義される。
いくつかの一次元球面の集合としての直和 S ∪ S ∪ ... ∪ S から 三次元球面 S への単射連続写像 L あるいはその像のことを絡み目と呼ぶ。絡み目の連結成分の数を単に絡み目の成分数と呼ぶ。すなわち n 個の S の直和を埋め込んだ絡み目の成分数は n である。
有名な絡み目としてはホップ絡み目、ホワイトヘッド絡み目、ボロミアン環などが挙げられる。
絡み目を離れた2つの部分に分けることができるとき、その絡み目は分離可能(splittable)であるといい、成分数と同じ数だけの部分に離して分けることができる場合は完全分離可能であるという。つまり、絡み目が2つ以上の連結成分のある射影図(#結び目の表示で後述)を持つときに分離可能であるといい、成分数と等しい個数の連結成分のある射影図を持つときは完全分離可能であるということになる。