極化恒等式
線形代数では、以下の方程式による内積で定義されたベクトル空間のすべてのノルムに対して、極化恒等式が適用される。
‖ v ‖ = ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}}
上記の内積の場合で述べたように、実ベクトル u と v の場合、角度 θ は次のようにして導入できる。
⟨ u , v ⟩ = ‖ u ‖ ‖ v ‖ cos  θ ; ( − π < θ ≤ π ) {\displaystyle \langle u,\ v\rangle =\|u\|\|v\|\cos \theta \ ;\ (-\pi <\theta \leq \pi )}
以下のコーシー・シュワルツの不等式から、この定義が妥当であることがわかる。
| ⟨ u , v ⟩ | ≤ ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle |\langle u,\ v\rangle |\leq \|u\|\|v\|}
この不等式により、上で定義した余弦の大きさは 1 以下になる。(角度 θ の適当な関数として)余弦関数を選ぶことで、 ⟨ u , v ⟩ = 0 {\displaystyle \langle u,\ v\rangle =0} (直交ベクトル)のとき、角度 θ は π/ 2 か-π/ 2 になることが保証される。
以下に示す様々な形の極化恒等式はすべて、この中線定理に関連するものである。
2 ‖ u ‖ 2 + 2 ‖ v ‖ 2 = ‖ u + v ‖ 2 + ‖ u − v ‖ 2 . {\displaystyle 2\|{\textbf {u}}\|^{2}+2\|{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}+\|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}.}
極化恒等式は、抽象代数学や線形代数学、関数解析学といった様々な分野の表現に一般化できる。
V が複素ベクトル空間の場合、内積は以下の極化恒等式で与えられる。
⟨ x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 + i ‖ x − i y ‖ 2 − i ‖ x + i y ‖ 2 ) ∀ x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}\right)\ \forall \ x,y\in V}
ここで i {\displaystyle i} は虚数単位である。 この式は、第一変数が反線形で、第二変数が線形である内積を定義することに注意せよ。 逆の定義を使用する規則では、以下のように複素共役を取る必要がある。
⟨ x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 − i ‖ x − i y ‖ 2 + i ‖ x + i y ‖ 2 ) ∀ x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}\right)\ \forall \ x,y\in V}