確率変数の収束
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r次平均収束に関して重要なケースを下に挙げる:
r = 1 について Xn が X へと r次平均収束するとき、Xn は X へ平均収束すると言われる。
r = 2 について Xn が X へと r次平均収束するとき、Xn は X へ二乗平均収束すると言う。この収束はまた次のように記述されることもある: l . i . m . n → ∞ X n = X . {\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\operatorname {l.i.m.} }}X_{n}=X.}
r > 1 に関する r次平均収束は、(マルコフの不等式により)確率収束を意味する。また、r > s ≥ 1 である時、r次平均収束は s次平均収束を意味する。このことから、二乗平均収束は平均収束を意味することが分かる。
ある r ≥ 1 に対し、列 (Xn) が X へと r次平均収束(あるいは、L-ノルムについて収束)するとは、(Xn) および X の r次絶対積率が存在し、かつ
lim n → ∞ E  ( | X n − X | r ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} \left(|X_{n}-X|^{r}\right)=0}
が成り立つことである。ここで作用素 E は期待値を表す。r次平均収束は、(Xn) と X の差の r次のべきの期待値が 0 へと収束することを意味する。
この種の収束はしばしば、収束を表す矢の上に記号 L を付け加えることで表現される:
X n → L r X . {\displaystyle X_{n}\,{\xrightarrow {L^{r}}}\,X.
確率変数の列 X1, X2, ... が、ある確率変数 X へと分布収束する、あるいは弱収束あるいは法則収束 (converge in law) するとは、
lim n → ∞ F n ( x ) = F ( x ) , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x),}
が、F が連続であるような全ての数 x ∈ R に対して成り立つことである。ここで、Fn および F はそれぞれ確率変数 Xn および X の累積分布関数である。
F が連続であるような点のみを考えるということは本質的である。例えば、もし Xn が区間 [0, 1/n] 上一様に分布しているなら、その列は退化確率変数 X = 0 へと収束する。実際、x ≤ 0 である時はすべての n に対して Fn(x) = 0 が成り立ち、 n > 0 である時はすべての x ≥ 1/n に対して Fn(x) = 1 が成り立つ。しかしながら、すべての n に対して Fn(0) = 0 であるにもかかわらず、この極限確率変数に対しては F(0) = 1 である。したがって、F の不連続点 x = 0 では累積分布関数の収束は成立しない。
分布収束は次のように表記することができる。