球函数に対するプランシュレルの定理
として表すことができることが従う。ここで c(λ) はハリッシュ=チャンドラの c-函数である。これは、 a + {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} の元 X と十分大きな t < 0 に対して
φ λ ( e t X ) ∼ c ( λ ) e ( i λ − ρ ) X t {\displaystyle \varphi _{\lambda }(e^{t}X)\sim c(\lambda )e^{(i\lambda -\rho )Xt}}
なる形で φλ の a + {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} における漸近挙動を記述する。ハリッシュ=チャンドラは G のブリュア分解
G = ⋃ s ∈ W B s B {\displaystyle G=\bigcup _{s\in W}BsB}
を用いて φλ に、従って c(λ) に、対する二次の積分公式を得た。ただし、B = MAN で合併は非交和である。W のコクセター元、即ち a + {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} を − a + {\displaystyle -{\mathfrak {a}}_{+}} の上へ写す唯一の元 s0 を取ると、σ(N) が稠密開軌道 G/B = K/M でその成分が次元が真に小さく従って測度零であるような胞体の和となるようなものを持つことがわかる。これにより、もともと K/M 上で定義される φλ の積分公式
函数
ξ 0 ( x ) = π − 1 ( 1 + | x | 2 ) − 1 {\displaystyle \xi _{0}(x)=\pi ^{-1}(1+|x|^{2})^{-1}}
は SO(2) で固定され、
Φ λ ( g ) = ( π λ ( g ) ξ 0 , ξ 0 ) {\displaystyle \Phi _{\lambda }(g)=(\pi _{\lambda }(g)\xi _{0},\xi _{0})}
を満たす。表現 πλ は既約であり、また λ の符号を変えて得られる表現のみがこれとユニタリ同値になる。 L 2 ( H 2 ) {\displaystyle L^{2}({\mathfrak {H}}^{2})} を 第一因子上の測度を
π λ / 2 ⋅ tanh  ( π λ / 2 ) d λ {\displaystyle {\pi \lambda /2}\cdot \tanh(\pi \lambda /2)d\lambda }
で定めた L([0,∞) × R) の上へ写す写像
W f ( λ , x ) = ∫ G / K f ( g ) π λ ( g ) ξ 0 ( x ) d g {\displaystyle Wf(\lambda ,x)=\int _{G/K}f(g)\pi _{\lambda }(g)\xi _{0}(x)\,dg}
はユニタリであり、 L 2 ( H 2 ) {\displaystyle L^{2}({\mathfrak {H}}^{2})} の球主系列への直積分分解を与える。
∫ H 3 ( M 1 f ) ⋅ F d V = ∫ H 2 f ⋅ ( M 1 ∗ F ) d A {\displaystyle \int _{{\mathfrak {H}}^{3}}(M_{1}f)\cdot F\,dV=\int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f\cdot (M_{1}^{*}F)\,dA}
を満足する。同じく随伴作用素 M0 が Mf の SO(2) 上の平均化として定義されて、
∫ H 3 ( M 0 f ) ⋅ F d V = ∫ H 2 f ⋅ ( M 0 ∗ F ) d A {\displaystyle \int _{{\mathfrak {H}}^{3}}(M_{0}f)\cdot F\,dV=\int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f\cdot (M_{0}^{*}F)\,dA}
が SU(2)-不変函数 F と SO(2)-不変函数 f に対して成立する。ここから
M i ∗ Δ 3 = ( Δ 2 + 3 4 ) M i ∗ {\displaystyle M_{i}^{*}\Delta _{3}=(\Delta _{2}+{3 \over 4})M_{i}^{*}}
となることがわかる。函数
f λ = M 1 ∗ Φ λ {\displaystyle f_{\lambda }=M_{1}^{*}\Phi _{\lambda }}
は SO(2)-不変で
Δ 2 f λ = ( λ 2 + 1 4 ) f λ {\displaystyle \Delta _{2}f_{\lambda }=(\lambda ^{2}+{1 \over 4})f_{\lambda }}
φ λ ( g ) = ∫ K λ ′ ( g k ) − 1 d k {\displaystyle \varphi _{\lambda }(g)=\int _{K}\lambda '(gk)^{-1}\,dk}
で与えられる。この式に関して:
積分は K 上のハール測度に関するものである。
λ は A* = Hom(A,T) の元である。ただし A は G の 岩澤分解 G = KAN における可換ベクトル部分群 A とする。
λ′ は以下のようにして G 上で定義される。まず λ を、A の上への群準同型を用いて可解部分群 AN の指標へ延長し、 λ ′ ( k x ) = Δ A N ( x ) 1 / 2 λ ( x ) ( k ∈ K , x ∈ A N ) {\displaystyle \lambda '(kx)=\Delta _{AN}(x)^{1/2}\lambda (x)\quad (k\in K,\,x\in AN)} と定める。ただし、ΔAN は AN のモジュラスとする。
相異なる二つの指標 λ1, λ2 が同じ球函数を定める必要十分条件は、λ1 = λ2·s となることである。ただし s は A のワイル群 W = NK(A)/CK(A) の元とする。この剰余群は A の K における正規化群を同じく A の K における中心化群で割ったもので、有限鏡映群を成す。
ここから、
「X は商空間 A/W' と同一視することができる」
ことがわかる。