ボーア＝ファン・リューエンの定理
へと変化する。しかし分配関数は
Z B = ∫ − ∞ + ∞ exp  ( − 1 k B T ( p − e A / c ) 2 2 m ) d p {\displaystyle Z_{B}=\int _{-\infty }^{+\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}{\frac {\left({\boldsymbol {p}}-e{\boldsymbol {A}}/c\right)^{2}}{2m}}\right)}d{\boldsymbol {p}}}
= Z 0 {\displaystyle =Z_{0}}
となり、磁場のない場合に等しい。これは積分範囲が − ∞ → + ∞ {\displaystyle -\infty \rightarrow +\infty } であるためである。
よって分配関数から
F = − k B T ln  Z {\displaystyle F=-k_{\mathrm {B} }T\ln {Z}}
によって計算されるヘルムホルツの自由エネルギーも磁場に依存しない。よって磁化は
M = − ∂ F ∂ B = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {M}}=-{\frac {\partial F}{\partial {\boldsymbol {B}}}}=0}
となり、磁場によって磁化が生じない。
ボーア=ファン・リューエンの定理(―のていり、Bohr-van Leeuwen theorem)は固体物理学の定理であり、古典物理学を適用する限り、熱平衡にある物質の磁化は0であるという定理である。
これは古典物理学を適用する限り、電子の集団の自由エネルギーは磁場に依存しないことから導かれ、したがって反磁性、常磁性、強磁性などを説明できないということを意味する。これにより磁性とは量子力学的効果によって始めて説明されることとなる。
ヴァン・ヴレックはボーア=ファン・リューエンの定理を簡潔に「いかなる有限の温度、有限の電場・磁場の下でも、熱平衡にある電子集団の磁化は結局はないに等しい。」と述べた。