同型定理
同型定理は加群の準同型に対してEmmy Noetherによって雑誌 Mathematische Annalen に 1927 年に掲載された彼女の論文 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern においていくらか一般的に定式化された。これらの定理のより一般的でないバージョンは Richard Dedekind の仕事や Noether による前の論文において見つけられる。
3年後、B.L. van der Waerden は彼の大きな影響を及ぼした Algebra、主題への 群-環-体 アプローチをとった最初の抽象代数学の教科書を出版した。Van der Waerden は群論に関する Noether の講義と代数学に関する Emil Artin の講義を、また Wilhelm Blaschke(英語版), オットー・シュライアー(英語版), そして van der Waerden 自身によって行われたイデアルに関するセミナーを、主なリファレンスとして信用した。準同型定理と呼ばれる3つの同型定理と同型の2つの法則は群に適用されたとき明示的に現れる。
R と S を環とし、φ: R → S を環準同型とする。このとき
φ の核は R のイデアルであり、
φ の像は S の部分環であり、
φ の像は商環 R/ker(φ) に同型である。
とくに、φ が全射であれば、S は R/ker(φ) に同型である。
それが左分裂(すなわちある ρ: G → ker f が存在して ρ ∘ κ = idkerf)であれば、右分裂でもなければならず、im κ × im σ は G の直積分解である。一般に、右分裂の存在は左分裂の存在を意味しないが、アーベル圏(例えばアーベル群全体)においては、左分裂と右分裂は分裂補題によって同値であり、右分裂は直和分解 im κ ⊕ im σ を生み出すのに十分である。アーベル圏において、すべてのモノ射は正規でもあり、図式は2番目の短完全列 0 → G/ker f → H → coker f → 0 によって拡張できる。
定理2において、積 SN は G の部分群の束(英語版)における S と N の結びであり、共通部分 S ∩ N は交わりである。
定理3は9項補題によってアーベル圏やより一般の対象の間の写像に一般化される。それはときどき略式的に "freshman theorem" と呼ばれる、なぜならば "freshman でさえわかるからだ: K たちをキャンセルアウトするだけでよい!"