ロンバーグ積分
ロンバーグ積分は区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} で定義された関数 f {\displaystyle f} の定積分
∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}
を数値的に求めるアルゴリズムである。積分区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} を幅 h = ( b − a ) / N {\displaystyle h=(b-a)/N} の N {\displaystyle N} 個の小区間 [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} ( x i = a + i h {\displaystyle x_{i}=a+ih} , i = 0 , 1 , ⋯ , N − 1 {\displaystyle i=0,1,\cdots ,N-1} ) に分割するとき, 数値積分アルゴリズムのひとつである台形公式は求める定積分を
T ( h ) = h [ 1 2 f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + ⋯ + f ( x N − 1 ) + 1 2 f ( x N ) ] {\displaystyle T(h)=h\left[{\frac {1}{2}}f(x_{0})+f(x_{1})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {1}{2}}f(x_{N})\right]}
により近似する。
次の定積分をロンバーグ積分により求めることを考える。
∫ 0 1 x 5 d x = 1 6 {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{5}dx={\frac {1}{6}}}
積分ステップとして h 0 = 1 {\displaystyle h_{0}=1} , h 1 = 1 / 2 {\displaystyle h_{1}=1/2} , h 2 = 1 / 4 {\displaystyle h_{2}=1/4} を取り補外を行う。その結果、次の表に示すようにロンバーグ積分によって正確な積分値を得ることができる。