巡回符号
C ′ ( x ) = x × C ( x ) + c n − 1 − c n − 1 x n = x × C ( x ) − c n − 1 ( x n − 1 ) {\displaystyle C'(x)=x\times C(x)+c_{n-1}-c_{n-1}x^{n}=x\times C(x)-c_{n-1}(x^{n}-1)}
となる。 ここで C(x) = I(x) × G(x) である事と x - 1 と G(x)との関係式より上記の式は
C ′ ( x ) = x × C ( x ) − c n − 1 ( x n − 1 ) = ( x ⋅ I ( x ) − c n − 1 P ( x ) ) × G ( x ) {\displaystyle C'(x)=x\times C(x)-c_{n-1}(x^{n}-1)=(x\cdot I(x)-c_{n-1}P(x))\times G(x)}
となり、この式も最初に定義した C(x) と同様の式で表すことが出来る。すなわちこの符号化は巡回符号であることが分かる。このときこの G(x) は生成多項式と呼ばれる。巡回符号の定義から、もとの符号語多項式を n 回巡回シフトした場合、もとの符号語多項式に戻ることは自明である。このとき元に戻るまでに n-1 個の符号語が現れることになるが、この符号語が全て相違になるような符号を生成する生成多項式を特に原始多項式と呼ぶ。