レフシェッツ超平面定理
X を C P N {\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{N}} の中にある n-次元非特異複素射影多様体とすると、X のコホモロジー環の中で、超平面のコホモロジー類の k 重積は、
H n − k {\displaystyle H^{n-k}}
と
H n + k {\displaystyle H^{n+k}}
の同型を与える。
このことを強レフシェッツ定理(hard Lefschetz theorem)と言い、グロタンディークによりフランス語でより口語的に Théorème de Lefschetz vache と命名された。 このことは直ちに、レフシェッツの超平面定理の単射性の部分を意味する。
強レフシェッツ定理は、実際、任意のコンパクトケーラー多様体に対して成り立ち、ケーラー形式のクラスのべきをかけたド・ラームコホモロジーで同型を与える。非ケーラー多様体に対しては、この定理は成立しない。例えば、ホップ曲面(英語版)(Hopf surface)は、第二コホモロジー群が消滅するので、超平面切断の第二コホモロジー類の類似は存在しない。
強レフシェッツ定理は、有限体上の滑らかな射影多様体のl-進コホモロジーに対し、ヴェイユ予想の仕事の結果として証明された。Deligne (1980)