共形変換
[ D , K μ ] = − i K μ [ D , P μ ] = i P μ [ K μ , P ν ] = 2 i η μ ν D − 2 i M μ ν [ K μ , M ν ρ ] = i ( η μ ν K ρ − η μ ρ K ν ) [ P ρ , M μ ν ] = i ( η ρ μ P ν − η ρ ν P μ ) [ M μ ν , M ρ σ ] = i ( η ν ρ M μ σ + η μ σ M ν ρ − η μ ρ M ν σ − η ν σ M μ ρ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i\eta _{\mu \nu }D-2iM_{\mu \nu }\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\end{aligned}}}
この他の交換関係は全て0となる。この表記を見れば分かるように、Mμνのみで閉じている交換関係がローレンツ群のリー代数、MμνとPμのみで閉じている交換関係がポアンカレ群のリー代数である。
共形群の生成子は以下のように定義される。
M μ ν ≡ i ( x μ ∂ ν − x ν ∂ μ ) P μ ≡ − i ∂ μ D ≡ − i x μ ∂ μ K μ ≡ i ( x 2 ∂ μ − 2 x μ x ν ∂ ν ) {\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\end{aligned}}}
ここで、Mμνはローレンツ不変性、Pμは時間と空間の並進対称性、Dはスケール不変性、Kμは特殊共形変換の生成子である。ただし、Dはスカラーであり、Kμはローレンツ変換の添え字を持つ共変ベクトルである。
これらの生成子は以下の交換関係に従う。