波束
波束は、波数の異なる多数の正弦波の重ね合わせで構成できる。⇒合成波
多くの波が規則的に重ね合わさる結果、空間のある1点の近傍にのみ波が残り、それ以外の部分では成分どうしが打ち消しあう状態である。
よりサイズの小さい波束を得るには、より多くの波を重ねる必要がある。
簡単のために一次元で考えると、一般に波束は次のように正弦波の重ね合わせとして表される。
ψ ( x , t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ A ( k ) e i [ k x − ω ( k ) t ] d k {\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }A(k)~e^{i[kx-\omega (k)t]}\mathrm {d} k}
係数 1/√ 2 π はフーリエ変換に由来する。
振幅 A(k) は平面波解の重ね合わせ係数である。
この重ね合わせ係数を t = 0 における ψ(x, t) の関数としてあらわす(逆フーリエ変換)ことも可能で、つぎのように書かれる。
A ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ψ ( x , 0 ) e − i k x d x {\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\psi (x,0)~e^{-ikx}\mathrm {d} x}
波束に限定しないが、平面波 e において、角周波数 ω(k) と波数 k の関係を分散関係と呼ぶ。
一般に波束は形を変えながら移動し、これを「分散」という。ただし角周波数が波数に比例するときにのみ、波束は形を変えずに移動し、「分散なし」となる。
波束を構成する成分は各個の波数と角周波数をもって伝播するため、これらの合成波は一般に形を変えながら伝播する。伝播する波束の形状がどのように変形するかは分散関係から決まる。