軟化子
これは「滑らかにする」という特徴を比喩的に意味するものでもあった。
セルゲイ・ソボレフは、それ以前の1938年のエポックメイキングな彼の論文(ソボレフの埋め込み定理の証明が含まれている)において、軟化子を使用していた。Friedrichs (1953, p. 196) では、そのようなソボレフの業績について次のように謝辞が述べられていた:-"These mollifiers were introduced by Sobolev and the author...".
ここで軟化子の概念には、わずかな誤解が含まれていることに注意する必要がある。 フリードリヒは、今日「軟化子」と呼ばれている函数の一つを積分核に持つ積分作用素のことを「軟化子」と定義していた。しかし、線型積分作用素の性質はその核によって完全に決定されるため、広く使用されるにつれて軟化子という名前はその核の呼び名として受け継がれることとなった。
∫ B 1 / 2 χ B 1 ( x − y ) φ 1 / 2 ( y ) d y = ∫ B 1 / 2 φ 1 / 2 ( y ) d y = 1 {\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}
が成り立つ。この構成法が、ある与えられたコンパクト集合の近傍において 1 に等しく、その集合からの距離が与えられた ε {\displaystyle \scriptstyle \epsilon } よりも大きいすべての点において 0 に等しいような滑らかな函数を得るために一般化する方法は、容易に分かる。そのような函数は(滑らかな)カットオフ函数と呼ばれる。それらの函数は、乗算によって、与えられた超函数の特異性を消すために用いられる。それらは与えられた集合の上でのみ超函数の値を不変に保つものであるため、その函数の台を修正するものである。カットオフ函数はまた、単位元の滑らかな分割を与える基本的なものである。
非公式的であるが、軟化子は微分作用素の二つの異なる種類の拡張に対する等号を証明するために用いられる。すなわち、強拡張と弱拡張である。論文 (Friedrichs 1944) ではこの概念が上手く説明されている。しかし、その真の意味を表すためには膨大な量の技術的な詳細が必要となるため、この短い節では公式的な説明は省く。