双曲線関数
= 1 − x 2 2 + 5 x 4 24 − 61 x 6 720 + ⋯ , | x | < π 2 coth  x = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! = 1 x + x 3 − x 3 45 + 2 x 5 945 + ⋯ , 0 < | x | < π {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\dotsb \\[1ex]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{2n} \over (2n)!}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\dotsb \\[1ex]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!
d d x sinh − 1  x = 1 x 2 + 1 d d x cosh − 1  x = 1 x 2 − 1 d d x tanh − 1  x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh ^{-1}x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cosh ^{-1}x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh ^{-1}x&={\frac {1}{1-x^{2}}}\end{aligned}}}
このことから、(1 − x) を含む有理関数の原始関数を求めるために x = sin t などと三角関数を用いた置換積分を考えると有用である場合が多いのと同様に、(x + 1) を含む有理関数の積分に双曲線関数を用いた置換積分を考えることは有用であることが多い。
arcsinh のグラフ
arccosh のグラフ
arctanh のグラフ