可除群
数学、とくに群論の分野において、可除群 (divisible group) はアーベル群であって全ての元がある意味で正の整数によって割ることのできるもの、より正確には、すべての元が各正整数 n に対して n 倍元であるものである。可除群はとくに移入アーベル群であることを理由にアーベル群の構造の理解において重要である。
可除群を可除加群に一般化するいくつかの異なる定義。以下の定義は環 R 上の可除加群 M を定義するために文献で使われている:
すべての 0 ≠ r ∈ R に対して rM = M 。(r が零因子でないことを要求することもあるし、R が整域であることを要求することもある。)
すべての主左イデアル Ra に対し、Ra から M への任意の準同型は R から M への準同型に拡張する。(このタイプの可除加群は principally injective module とも呼ばれる。)
R のすべての有限生成左イデアル L に対して、L から M への任意の準同型は R から M への準同型に拡張する。
後ろ2つの条件は移入加群に対する Baer の判定法の「制限バージョン」である。移入左加群はすべての左イデアルからの準同型が R からの準同型へと拡張するから、移入加群は明らかに 2 と 3 の意味で可除である。
R がさらに整域であれば、3つの条件はすべて一致する。R が主左イデアル整域であれば、可除加群は移入加群と一致する。したがって、主イデアル整域である整数環 Z の場合には、Z 加群(これはちょうどアーベル群)が可除であることと移入的であることは同値である。
R が可換整域であれば、移入 R 加群が可除 R 加群と一致することと R がデデキント整域であることは同値である。
( Tor  ( G ) ) p = ⨁ i ∈ I p Z [ p ∞ ] = Z [ p ∞ ] ( I p ) {\displaystyle (\operatorname {Tor} (G))_{p}=\textstyle \bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}}
となることを示すことができる。ここで ( Tor  ( G ) ) p {\displaystyle (\operatorname {Tor} (G))_{p}} は Tor(G) の p-準素成分である。
したがって、P を素数全体の集合とすれば、
G = ( ⨁ p ∈ P Z [ p ∞ ] ( I p ) ) ⊕ Q ( I ) . {\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}
集合 I および p∈P に対して Ip の濃度は群 G によって一意的に決まる。