有限生成アーベル群
有限ランクのすべてのアーベル群が有限生成というわけではないことに注意せよ。ランク 1 の群 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } は1つの反例であり、 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} の可算無限個のコピーの直和によって与えられるランク 0 の群は別の例である。
有限生成アーベル群は有限の階数として、上の n を持つ。一方でこの逆は正しくなく、有限の階数を持つが有限生成でないアーベル群はたくさんある。
この定理によって有限生成なアーベル群、特に位数が有限なアーベル群は完全に分類できる。そのため、これは群論において大変有用な定理である。これに対して、有限生成でないアーベル群に関しては、今でも研究が進められている。特に、階数が無限のアーベル群は非常に複雑になる。
もう少し一般化して、単項イデアル整域上の有限生成加群に対しても全く同様の定理が証明できる。