リーマン・ロッホの定理
曲線に対するリーマン・ロッホの定理は、1850年にリーマンとロッホにより証明され、代数曲線に対しては、フリードリッヒ・シュミット(英語版)により1931年に有限標数の完全体の場合に証明された。カール・ロケット(英語版)(Peter Roquette)の書いた に、下記のような記載がある。
F. K. シュミットの第一の重要な結果は、閉リーマン面に対するリーマン・ロッホの定理が、有限な基礎体をもつ関数体についても成り立つことを発見したことである。実際、任意の完全体(有限体であってもよい)を基礎体とするリーマン・ロッホの定理の証明がなされている。
後続の曲線論はこの結果から得られる情報を洗練しようと試みるものである。(例えばブリル・ネター理論(英語版)など。)その意味でこの結果は基本的なものであるといえる。
(適切な因子や直線束の概念を用いた)高次元のバージョンも存在する。これらの定式化は2つの部分へと分解することが可能となる。ひとつは、現在はセール双対性と呼ばれる部分であり、 l ( K − D ) {\displaystyle l(K-D)} を一次の層コホモロジー群の次元と解釈することである。そして l ( D ) {\displaystyle l(D)} を層コホモロジーの零次の次元、切断の空間の次元と考えると、左辺はオイラー標数となり、右辺はそのオイラー標数を次数(degree)として(リーマン面のトポロジーから来る修正を加味して)計算するものとなる。