モジュラー曲線
の下で、 { ∞ } ∪ { τ ∈ H ∣ Im ( τ ) > r } {\displaystyle \{\infty \}\cup \{\tau \in \mathbf {H} \mid {\text{Im}}(\tau )>r\}} の像
これは、 H* をリーマン球面 P(C) の部分集合へ変える。群 Γ は部分集合 Q ∪ {∞} 上へ作用し、Γ のカスプと呼ばれる有限個の軌道へ分解する。特に Γ が Q ∪ {∞} 上に推移的に作用すると、空間 Γ\H* は Γ\H の一点コンパクト化となる。この カスプ(cusp、尖点)を加えてコンパクト化したリーマン面を X ( Γ ) := Γ ∖ H ∗ {\displaystyle X\left(\Gamma \right):=\Gamma \backslash {\mathcal {H}}^{*}} と書く。X(Γ) は Y(Γ) の空間のコンパクト化である。
被覆 X(N) → X(1) はガロア群 SL(2, N)/{1, −1} を持つガロア被覆であり、N が素数であればこのガロア群は PSL(2, N) と同じになる。リーマン・フルヴィッツの公式とガウス・ボネの定理を適用すると、X(N) の種数を計算することができる。レベルが素数 p ≥ 5 であれば、
− π χ ( X ( p ) ) = | G | ⋅ D {\displaystyle -\pi \chi (X(p))=|G|\cdot D}
である。ここに χ = 2 − 2g はオイラー標数、|G| = (p + 1)p(p − 1)/2 は群 PSL(2, p) の位数、D = π − π/2 − π/3 − π/p は球状の (2,3,p) の三角形の角度欠陥(英語版)(angular defect)である。このことから、公式
g = 1 24 ( p + 2 ) ( p − 3 ) ( p − 5 ) {\displaystyle g={\tfrac {1}{24}}(p+2)(p-3)(p-5)}
が導かれる。
このようにして、X(5) は種数 0 であり、X(7) は種数 3 であり、X(11) は種数26 であることがわかる。p = 2 あるいは 3 に対しは分岐を考えに入れる、つまり、PSL(2, Z) には位数 p の元が存在し、PSL(2, 2) は位数 3 というよりも位数 6 であることを考慮する必要がある。N を因子として含むレベル N のモジュラー曲線の種数についてのより複雑な公式がある。