エルミート多様体
すべてのエルミート多様体 M {\displaystyle M} は、 g {\displaystyle g} により決定されるリーマン体積形式である標準体積形式を持つ。この形式は、随伴 (1,1)-形式 ω {\displaystyle \omega } によって
v o l M = ω n n ! ∈ Ω n , n ( M ) {\displaystyle \mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)}
として与えられる。ここに ω n {\displaystyle \omega ^{n}} は ω {\displaystyle \omega } と自身との n {\displaystyle n} 重のウェッジ積である。従って、体積形式は M {\displaystyle M} 上の実 ( n , n ) {\displaystyle (n,n)} -形式である。局所正則座標では、体積形式は
v o l M = ( i 2 ) n det ( h α β ̄ ) d z 1 ∧ d z ̄ 1 ∧ ⋯ ∧ d z n ∧ d z ̄ n {\displaystyle \mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det(h_{\alpha {\bar {\beta }}})\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}}
により与えられる。
エルミート計量は、正則ベクトルバンドル上でも考えることができる。
(概)複素多様体 M {\displaystyle M} 上のエルミート計量 h {\displaystyle h} は、基礎多様体上にリーマン計量 g {\displaystyle g} を定義する。計量 g {\displaystyle g} は h {\displaystyle h} の実部
g = 1 2 ( h + h ̄ ) {\displaystyle g={1 \over 2}(h+{\bar {h}})}
で定義される。
形式 g {\displaystyle g} は複素化された(英語版)(complexified)接バンドル T M C {\displaystyle TM^{\mathbf {C} }} 上の対称双線型形式である。 g {\displaystyle g} は自身の共役と等しいので、 T M {\displaystyle TM} 上の実形式の複素化となる。 T M {\displaystyle TM} 上での g {\displaystyle g} の対称性と正定値性は、対応する h {\displaystyle h} の性質から従う。局所正則座標では、計量 g {\displaystyle g} は
g = 1 2 h α β ̄ ( d z α ⊗ d z ̄ β + d z ̄ β ⊗ d z α ) {\displaystyle g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha })}