ピタゴラス素数
平方剰余の相互法則の主張は次のようなものである。異なる奇素数 p, q に対し、少なくとも一方がピタゴラス素数であれば、p が q を法とする平方剰余であることと、q が p を法とする平方剰余であることは同値である。また、両方とも非ピタゴラス素数であれば、p が q を法とする平方剰余であることと、q が p を法とする平方非剰余であることは同値である。
ピタゴラス素数 p に対する有限体 Z/p において、方程式 x = -1 は2つの根を持つ。すなわち、p がピタゴラス素数のとき、p を法として -1 は平方剰余である。逆に、p がピタゴラス素数でないとき、p を法として -1 は平方非剰余である(第一補充法則)。
個々のピタゴラス素数 p に対し、p 個の頂点を持つペーリーグラフ(英語版) が考えられる。各頂点は Z/p の元を表し、2つの頂点が辺で結ばれているのは、それらの差が Z/p において平方であることを意味する。p がピタゴラス素数であることから Z/p において -1 が平方なので、差を取る順序を入れ替えても平方剰余であるかどうかは変わらず、ペーリーグラフがうまく定義される。
ピタゴラス素数と非ピタゴラス素数がともに無数に存在することは、算術級数定理に頼らずとも、通常の素数が無数に存在することのユークリッドの証明を少し工夫することによって、初等的に証明することができる。ただし、ピタゴラス素数の方は、第一補充法則を必要とする。