境界値問題
境界値問題は初期値問題と類似なものである。境界値問題は、方程式の独立変数の全端点(境界)における条件の与えられたものであるのに対し、初期値問題は、独立変数のある一点(そしてそれは領域内での最も小さな境界点、すなわち初期点)における条件の与えられたものである。
例えば、独立変数として領域 [0,1] に含まれる「時間」を考えた場合、境界値問題は y ( t ) {\displaystyle y(t)} に対して t = 0 {\displaystyle t=0} および t = 1 {\displaystyle t=1} の両端点での条件を課す。一方で、初期値問題は y ( t ) {\displaystyle y(t)} (あるいは y ′ ( t ) {\displaystyle y'(t)} )の t = 0 {\displaystyle t=0} での条件を課す。
一端が絶対零度、もう一端が水の凝固点で保たれているような鉄の棒に対し、その棒のすべての箇所の温度を求めるような問題は境界値問題として記述されることが期待される。
境界値問題の具体例(空間に関する一次元の問題)として、
y ′′ ( x ) + y ( x ) = 0 {\displaystyle y''(x)+y(x)=0\,}
に境界条件