Smoothed Particle Hydrodynamics
と近似できることから、
⟨ Δ φ ( x ) ⟩ = 2 ∑ i = 1 N m i ρ i φ ( x ) − φ ( x i ) | x − x i | 2 ( x − x i ) ⋅ ∇ w h ( | x − x i | ) ( 10 ) {\displaystyle \langle \Delta \phi (x)\rangle =2\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}{\frac {\phi (x)-\phi (x_{i})}{|x-x_{i}|^{2}}}(x-x_{i})\cdot \nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(10)}}}
と定義する。他にカーネル重み付け平均に基づいて定義する方法もある。
弱圧縮性SPH(Weakly compressible SPH)の場合、エネルギー保存の考察により、次のような近似作用素が用いられる。連続の式に現れる ρ ∇ ⋅ u {\displaystyle \rho \nabla \cdot u} ( u {\displaystyle u} は流速)は
⟨ ρ ∇ ⋅ u ( x i ) ⟩ = ∑ j = 1 N m j ( u ( x j ) − u ( x i ) ) ⋅ ∇ w h ( | x i − x j | ) ( 11 ) {\displaystyle \langle \rho \nabla \cdot u(x_{i})\rangle =\sum _{j=1}^{N}m_{j}(u(x_{j})-u(x_{i}))\cdot \nabla w_{h}(|x_{i}-x_{j}|)\qquad \qquad {\rm {(11)}}}
φ ( x ) ≈ ∫ Ω φ ( y ) w h ( | x − y | ) d y ( 3 ) {\displaystyle \phi (x)\approx \int _{\Omega }\phi (y)w_{h}(|x-y|)dy\qquad \qquad {\rm {(3)}}}
と無限個のカーネル足し合わせに置き換えられる。(ここで、 Ω {\displaystyle \Omega } は対象領域であるがあまり意味はない)。
(3)に則り、スカラ関数 φ {\displaystyle \phi } に対するhを現実的な値としたときの有限個のSPHカーネル重ね合わせによる近似を
⟨ φ ( x ) ⟩ = ∑ i = 1 N m i ρ i φ ( x i ) w h ( | x − x i | ) ( 5 ) {\displaystyle \langle \phi (x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\phi (x_{i})w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(5)}}}
と定義する。
また、 Ω {\displaystyle \Omega } 内に有限の N {\displaystyle N} 個の粒子 x i {\displaystyle x_{i}} を配置したとき、関数 φ {\displaystyle \phi } の Ω {\displaystyle \Omega } 内での積算は領域内粒子の個々の値の総和で表される。すなわち、
↑ Gingold 1977
↑ Lucy 1977
↑ Morris 1997
↑ Koshizuka 1996
↑ Cummins 1999