多項式環
可換環 R 上の可換 R 多元環 φ : R → A とその元 x1, ..., xn ∈ A に対して、多項式環 R[X1, ..., Xn] から A への環準同型 ~φ で ~φ|R = φ と ~φ(Xi) = xi (i = 1, ..., n) を満たすものがただ一つ存在する。
したがって特に、環 R 上の多元環 A が R 上有限生成ならば、A は R 上適当な階数の多項式環の準同型像である。この意味において、多項式環は(与えられた集合を不定元の集合とする)自由可換多元環(可換多元環の圏における自由対象(英語版))を与える。特に(R = Z を有理整数環とするとき、任意の環は Z-多元環と見なせるから)、整係数多項式環 Z[X1, ..., Xn] は自由可換環である。
体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。記号 X は普通「変数」と呼び、もうすこし一般の多変数の多項式環と区別するためにここでの多項式環を K 上一変数の多項式環と呼ぶ。この語法は、重要な場合である実係数あるいは複素係数の多項式を実または複素「多項式函数」と見なすことからの示唆である。しかしながら、一般には不定元 X およびその冪 X は形式的な記号として扱われ、体 K の元としては扱われない. 多項式環 K[X] を K に K の外側にあって K の任意の元と可換な新しい元 X を付け加えて得られるものと考えることができる。K[X] が環を成すためには、X の任意の冪を含まなければならず、このことが多項式を X の冪の K に係数を持つ線型結合としての定義に繋がる。
環は加法と乗法のふたつの二項演算を持つ。多項式環 K[X] の場合、それらの演算は
および
によって明示的に与えられる。上の式は一方の多項式に零を係数とするダミーの項を加えて延長し、両方の多項式に形式的に現れる冪の集合を同じものにする。下の式では右辺の内側の和は 0 ≤ i ≤ m および 0 ≤ j ≤ n の範囲でのみ添字を動かす。和の範囲を明示しない形で加法と乗法の式を書けば、
のようになる。係数 ai および bj で非零なものは有限個しかないことから、全ての和は実質的に有限個の項しかもたず、それゆえ K[X] の多項式を表現している。
もっと一般に、体 K を任意の可換環 R に取り替えて、可換環 R 上の多項式環 K[X] を考えることができるが後述。