一般化されたストークスの定理
Ωを向き付けられた滑らかな境界を持つ n 次元多様体、α を Ω 上のコンパクトな台を持つ滑らかな n 形式とする。 まず、α が単一の向き付けられた座標チャート {U, φ} の領域でコンパクトな台を持つと仮定する。 この場合、Ω 上の α の積分を、αから Rへの引き戻し(英語版)を介して
∫ Ω α := ∫ φ ( U ) ( φ − 1 ) ∗ α {\displaystyle \int _{\Omega }\alpha :=\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\alpha }
と定義する。
より一般的に Ω 上の α の積分を定義する。{ψi} を(一貫して方向付けられた)座標チャートの局所有限族(英語版)被覆 {Ui, φi} に関連付けられた1の分割とし、積分を
∫ Ω α := ∑ i ∫ U i ψ i α {\displaystyle \int _{\Omega }\alpha :=\sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha }
で定義する。ここで総和の各項は上述のように R に引き戻すことによって評価される。この量は明確に定義されている。つまり座標チャートの選択や1の分割には依存しない。
微分形式を使用したストークスの定理の一般的な形式は、特殊な場合よりも強力で使いやすい。従来のバージョンは、微分幾何学の機構なしでデカルト座標を使用して定式化できるため、よりアクセスしやすい。さらに、それらはより古く、その結果、それらの名前はより親しみやすい。従来の形式は、実践的な科学者やエンジニアにはより便利であると見なされることがよくあるが、他の座標系(たとえば球座標や円筒座標などの使い慣れた座標系でさえ)を使用すると、従来の定式化の不自然さが明らかになる。名称の適用方法や二重の定式化の使用にも混乱が生じる可能性がある。
( F x F y F z ) ⋅ d Γ → F x d x + F y d y + F z d z , {\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot \mathrm {d} \Gamma \to F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z,}
∇ × ( F x F y F z ) ⋅ d S = ( ∂ y F z − ∂ z F y ∂ z F x − ∂ x F z ∂ x F y − ∂ y F x ) ⋅ d S → d ( F x d x + F y d y + F z d z ) = ( ∂ y F z − ∂ z F y ) d y ∧ d z + ( ∂ z F x − ∂ x F z ) d z ∧ d x + ( ∂ x F y − ∂ y F x ) d x ∧ d y .
c ⋅ ∫ V o l ∇ f d V o l = c ⋅ ∮ ∂ V o l f d Σ {\displaystyle \mathbf {c} \cdot \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\mathbf {c} \cdot \oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}}
が得られる。これは任意の c について成り立つため、
∫ V o l ∇ f d V o l = ∮ ∂ V o l f d Σ {\displaystyle \int _{\mathrm {Vol} }\nabla f\mathrm {d} _{\mathrm {Vol} }=\oint _{\partial \mathrm {Vol} }f\mathrm {d} {\boldsymbol {\Sigma }}}
が成り立つ。