積分方程式
ある種の斉次線型積分方程式は、固有値問題の連続極限とみなすことができる。固有値問題は、 M {\displaystyle \mathbf {M} } を行列、 v {\displaystyle \mathbf {v} } を固有ベクトル、 λ {\displaystyle \lambda } を対応する固有値として、
∑ j M i , j v j = λ v i {\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}^{}}
と書くことができる。
添字 i {\displaystyle i} 、 j {\displaystyle j} を連続変数 x {\displaystyle x} 、 y {\displaystyle y} で置き換えて連続極限を取ると、 j {\displaystyle j} に関する総和は y {\displaystyle y} に関する積分、行列 M i , j {\displaystyle M_{i,j}} とベクトル v j {\displaystyle v_{j}} はそれぞれ積分核 K ( x , y ) {\displaystyle K(x,y)} と固有関数 φ ( y ) {\displaystyle \varphi (y)} に置き換えられて、線型斉次第二種フレドホルム積分方程式
φ ( x ) = f ( x ) + λ ∫ a x K ( x , t ) φ ( t ) d t {\displaystyle \phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt}
積分方程式は多くの応用において重要である。積分方程式に出会う問題としては、弦や膜、棒における放射エネルギー変換や振動などが挙げられる。振動問題は微分方程式によって解かれることもある。