バナッハ空間
⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{4}}\,(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2})}
で与えられる。一方 V が複素バナッハ空間のとき、偏極恒等式は(エルミート内積は第一変数に関して線型とする場合)
⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 + i ( ‖ u + i v ‖ 2 − ‖ u − i v ‖ 2 ) ) {\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{4}}\,(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i(\|u+iv\|^{2}-\|u-iv\|^{2}))}
となる。この条件の必要性は内積の性質から容易に従う。これが十分であること(即ち、平行四辺形法則から偏極恒等式の定める形式が実際に完備内積となることが出ること)を見るには、この形式が加法的であることを代数的に確認して、それから帰納的に整係数、有理係数上線型であることを示し、さらに任意の実数がある有理コーシー列の極限であることとノルムの完備性を使って実線型性を示せばよい。複素係数の場合には、実双線型性に加えてさらに一方の引数については虚数単位 i に対する線型性と他方の引数に関する共軛線型性とを持つことを確かめればよい。