ニュートンの定理
内接円をもつ四角形ABCDで、AB=a、BC=b、CD=c、AD=d、内接円の中心をP、半径をrとする。
ピトーの定理より、a+c=b+dなので、
A ( △ P A B ) + A ( △ P C D ) = 1 2 r a + 1 2 r c = 1 2 r ( a + c ) = 1 2 r ( b + d ) = 1 2 r b + 1 2 r d = A ( △ P B C ) + A ( △ P A D ) {\displaystyle {\begin{aligned}&A(\triangle PAB)+A(\triangle PCD)\\=&{\tfrac {1}{2}}ra+{\tfrac {1}{2}}rc={\tfrac {1}{2}}r(a+c)\\=&{\tfrac {1}{2}}r(b+d)={\tfrac {1}{2}}rb+{\tfrac {1}{2}}rd\\=&A(\triangle PBC)+A(\triangle PAD)\end{aligned}}}
よって、アンの定理よりニュートン線上にある。