集合の代数学
集合の代数学(しゅうごうのだいすうがく、英: algebra of sets)は、集合の集まりを結び・交わり・補演算といった集合演算、集合の相等関係・包含関係のような二項関係などを持つ体系として捉えたものである。集合の代数学を考えることで、集合に関する基本的な性質・法則を明らかにし、これらの演算や関係に伴って必要となる式の評価や計算の実行に関して系統的な扱いができるようになる。
和集合と共通部分に関する二項関係は、さまざまな恒等式を満足する。その一部には法則としての名称がある。以下で命題として証明なしで3つの規則を示す。
命題 1: 任意の集合 A、B、C について、以下が成り立つ。
交換法則: A ∪ B = B ∪ A {\displaystyle A\cup B=B\cup A} A ∩ B = B ∩ A {\displaystyle A\cap B=B\cap A}
結合法則: ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) {\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)} ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) {\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}
分配法則: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)} A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}
和集合と共通部分が数の加法と乗法に性質が非常によく似ている点に注意が必要である。加法や乗法と同じく、和集合や共通部分の操作は可換で結合的であり、共通部分は和集合に対して分配的である。