コーシー分布
この分布は、ヘンドリック・ローレンツの名を取ってローレンツ分布と呼ばれることもあり、またこれら2人の名前を合わせてコーシー-ローレンツ分布とも呼ばれる。また物理学の分野では、ブライト・ウィグナー分布という名前で知られている。この分布は強制共鳴を記述する微分方程式の解となることから、物理学では重要な存在となっている。また分光学では共鳴広がりを含む多くのメカニズムによって広げられたスペクトル線の形状を記述するために用いられる。以下では、統計学における名称であるコーシー分布を用いて説明する。
x0 = 0, γ = 1 である場合、この分布は標準コーシー分布と呼ばれ、以下の確率密度関数で与えられる。
f ( x ; 0 , 1 ) = 1 π ( 1 + x 2 ) {\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}}
累積分布関数は以下のようになる。
F ( x ; x 0 , γ ) = 1 π arctan  ( x − x 0 γ ) + 1 2 {\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}
また、逆累積分布関数は次の通りである。
F − 1 ( p ; x 0 , γ ) = x 0 + γ tan  ( π ( p − 1 / 2 ) ) . {\displaystyle F^{-1}(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \tan(\pi (p-1/2)).}
コーシー分布は、期待値や分散(およびより高次のモーメント)が定義されない分布の例として知られる。最頻値と中央値は常に定義され、それらはいずれも x0 で与えられる。
X をコーシー分布に従う確率変数とする。コーシー分布の特性関数は以下のように与えられる。
φ x ( t ; x 0 , γ ) = E ( e i X t ) = exp  ( i x 0 t − γ | t | ) .
E  [ x ] = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ x 0 f ( x ) d x + ∫ − ∞ ∞ ( x − x 0 ) f ( x ) d x = x 0 + γ π ∫ − ∞ ∞ x − x 0 ( x − x 0 ) 2 + γ 2 d x = x 0 + γ π lim R 1 , R 2 → ∞ ∫ − R 1 R 2 z 1 + z 2 d z = x 0 + γ 2 π lim R 1 , R 2 → ∞ [ log  ( 1 + z 2 ) ] − R 1 R 2 = x 0 + γ 2 π lim R 1 , R 2 → ∞ log  ( 1 + R 2 2 1 + R 1 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [x]&=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x_{0}f(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})f(x)\,dx\\&=x_{0}+{\frac {\gamma }{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x-x_{0}}{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}}\,dx\\&=x_{0}+{\frac {\gamma }{\pi }}\lim _{R_{1},R_{2}\to \infty }\int _{-R_{1}}^{R_{2}}{\frac {z}{1+z^{2}}}\,dz=x_{0}+{\frac {\gamma }{2\pi }}\lim _{R_{1},R_{2}\to \infty }\left[\log(1+z^{2})\right]_{-R_{1}}^{R_{2}}\\&=x_{0}+{\frac {\gamma }{2\pi }}\lim _{R_{1},R_{2}\to \infty }\log \left({\frac {1+{R_{2}}^{2}}{1+{R_{1}}^{2}}}\right)\end{aligned}}}