ラックス・ペア
この規則の下に ∂ x u {\displaystyle \partial _{x}u} を ψ {\displaystyle \psi } に実際に作用させてみると、結果は次のようになる。
∂ x u ψ = ∂ x ( u ψ ) = ( ∂ x u ) ψ + u ( ∂ x ψ ) {\displaystyle \partial _{x}u\psi =\partial _{x}(u\psi )=(\partial _{x}u)\psi +u(\partial _{x}\psi )}
ψ {\displaystyle \psi } を用いずに作用素間のみの関係として見れば、
∂ x u = u ∂ x + u x {\displaystyle \partial _{x}u=u\partial _{x}+u_{x}}
である。以降、上式で用いたように、u の x または t についての偏微分(偏導関数)を表すには、u に u t , u x , u x x {\displaystyle u_{t},u_{x},u_{xx}\ } などのように偏微分した変数を添えることにする。
上式の表現によれば ∂ x 2 u {\displaystyle \partial _{x}^{2}u} 、 ∂ x 3 u {\displaystyle \partial _{x}^{3}u} については次のようになる。