ルンゲ＝クッタ法
{\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+hc_{i},y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.}
であり、対応するルンゲ=クッタ行列は厳密な下三角行列ではない。結果として、一時刻ごとに代数方程式系を解かなければならなくなる。応じて、計算コストもかなり上がる。s 段法を使って m 個の成分からなる微分方程式系(すなわち y → = ( y 1 , ... , y m ) {\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},\ldots ,y_{m})} のとき)に適用する場合に対応する代数方程式の数は ms となる。これは陰的線型多段法とも比較できる:s 段陰的線型多段法を使って同じ方程式系に適用する場合に対応する代数方程式の数は m であり、段数 s に依存しない。
数値解析においてルンゲ=クッタ法(英: Runge–Kutta method)とは、初期値問題に対して近似解を与える常微分方程式の数値解法に対する総称である。この技法は1900年頃に数学者カール・ルンゲとマルティン・クッタによって発展を見た。
特に、絶対安定性領域が左複素数平面を含むとき、その方法は A-安定 (A-stable) という。陽的ルンゲ=クッタ法は、安定性関数が多項式であるため、A-安定な方法になれない。
もっと一般的に、方法の次数が p のときに、安定性関数に対し r ( z ) = e z + O ( z p + 1 ) {\displaystyle r(z)=e^{z}+O(z^{p+1})} が成立する。ゆえに、指数関数 e の、与えられた次数の多項式の商からなる有理関数の中での最善近似が重要だと考えられる。そのような有理関数はパデ近似と呼ばれる。分子の次数が m で分母の次数が n のパデ近似式がA-安定性の条件 | r ( z ) | < 1 {\displaystyle |r(z)|<1} , R e ( z ) ≤ 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq 0} を満足するための必要十分条件は、 m ≤ n ≤ m + 2 {\displaystyle m\leq n\leq m+2} である。
s 段ガウス・ルジャンドル法の次数は前述通り 2s である。よって安定性関数の分子と分母は同じく s 次多項式となる。すなわち、 m = n = s {\displaystyle m=n=s} である。上記の条件が満たされるので、ガウス・ルジャンドル法はA-安定であることがわかる。故に任意に高い次数を持つ、A-安定なルンゲ=クッタ法が存在する。比べて、A-安定性を持つ線型多段法の次数は2以下である。
以上のことから、陰的ルンゲ=クッタ法は陽的な方法よりも優れた安定性を持つこともわかる。
前述の RK4 の一般化として、以下の形式を持つ s 段のルンゲ゠クッタ法を構成することができる。整数 s をそのルンゲ゠クッタ法の段数 (stage) という。
y n + 1 = y n + h ∑ i = 1 s b i k i , {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}
但し、
k i = f ( t n + h c i , y n + h ∑ j = 1 s a i j k j ) , i = 1 , ... , s . {\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+hc_{i},y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.}
(文献によって、等価であるが上と異なる定義の仕方をしているものがあることに注意する)。
具体的なルンゲ゠クッタ公式は、解ができるだけ高い精度を持つように適切に選ばれた係数 aij (ルンゲ゠クッタ行列)、bi (重み)、cj (節点) で指定される ( i , j ≤ s {\displaystyle i,j\leq s} )。特に i ≤ j {\displaystyle i\leq j} に対して a i j = 0 {\displaystyle a_{ij}=0} を満たす方法が広く用いられ、総称して 陽的ルンゲ゠クッタ法 (ERK、英: explicit Runge–Kutta methods) と呼ぶ。
k1 は区間の最初 tn における勾配である (オイラー法で用いる勾配に一致する)。
k2 は区間の中央 tn + h/2 における勾配の近似値である (中点法で用いる勾配)。計算に用いる中央の y の値は、初期位置の勾配 k1 を用いてオイラー法で推定する。
k3 は区間の中央における勾配のもう一つの近似値である。中央の y を k2 の値から推定して用いる。
k4 は区間の最後 tn + h における勾配の近似値であり、k3 の値から推定された最後の点の y の値を用いる。
重み付き平均では、中央の勾配に対して大きな重みを用いる。シンプソン則を用いた平均と同等の形になる。
slope = k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 6 . {\displaystyle {\mbox{slope}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.}
RK4は4次の方法である。厳密解とRK4のテイラー展開が4次の項まで一致し、1ステップの推定誤差は O ( h 5 ) {\displaystyle O(h^{5})} のオーダーになる。目的の時刻の y を求めるのに必要なステップ数は O ( h − 1 ) {\displaystyle O(h^{-1})} になるので、全体の推定誤差は O ( h 4 ) {\displaystyle O(h^{4})} になる。
いままでに述べた方法はすべて陽公式である。陽的ルンゲ=クッタ方法の絶対安定性領域(region of absolute stability)が小さくて有界であるため、硬い方程式の解を計算する場合、方法は不適切である。この問題は特に偏微分方程式の解を計算するときに重要である。
陽的方法の不安定さは陰的ルンゲ=クッタ法の開発の動機となる。陰的ルンゲ=クッタ法は上述の一般的な公式と同じく、以下の形で与えられる
y n + 1 = y n + h ∑ i = 1 s b i k i , {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}
但し、
k i = f ( t n + h c i , y n + h ∑ j = 1 s a i j k j ) , i = 1 , ... , s .