ヘリウム原子
ψ ± ( 0 ) ( r → 1 , r → 2 ) = 1 2 [ ψ n 1 , l 1 , m 1 ( r → 1 ) ψ n 2 , l 2 , m 2 ( r → 2 ) ± ψ n 2 , l 2 , m 2 ( r → 1 ) ψ n 1 , l 1 , m 1 ( r → 2 ) ] {\displaystyle \psi _{\pm }^{(0)}({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})={\frac {1}{\sqrt {2}}}[\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{1})\psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({\vec {r}}_{2})\pm \psi _{n_{2},l_{2},m_{2}}({\vec {r}}_{1})\psi _{n_{1},l_{1},m_{1}}({\vec {r}}_{2})]}
これはスレイター行列式によってもたらされる。
係数 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} は ψ ± ( 0 ) {\displaystyle \psi _{\pm }^{(0)}} を規格化する。この波動関数を1粒子波動関数の積に変えるために、これが基底状態にあるという事実を用いる。したがって、 n 1 = n 2 = 1 , l 1 = l 2 = 0 , m 1 = m 2 = 0 {\displaystyle n_{1}=n_{2}=1,\,l_{1}=l_{2}=0,\,m_{1}=m_{2}=0} である。そのため、 ψ − ( 0 ) {\displaystyle \psi _{-}^{(0)}} は消え、2つの電子が同じ状態にあることはできないというパウリの排他原理の最初の定式化に一致する。それ故に、ヘリウムに対する波動関数は以下のように書くことができる。
ヘリウムの第1イオン化エネルギーの実験値は−24.587387936(25) eVである。ヘリウムの第2イオン化エネルギーの理論値は−54.41776311(2) eVである。ヘリウム原子の全基底状態エネルギーは−79.005151042(40) eV、ハートリー原子単位系で−2.90338583(13) Hartree、リュードベリ原子単位系で−5.80677166 (26) Ryである。
として、あるいは φ a = φ b {\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b}} (両方の電子が同じ量子数を持つ。パラヘリウムのみ)の特別な場合は
φ 0 = φ a ( r → 1 ) φ a ( r → 2 ) {\displaystyle \phi _{0}=\varphi _{a}({\vec {r}}_{1})\varphi _{a}({\vec {r}}_{2})}
として書くことができる。( H {\displaystyle H} の固有値としての)全エネルギーは全ての場合で E = E a + E b {\displaystyle E=E_{a}+E_{b}} である(対称性とは独立)。
これは、オルソヘリウムでの 1 3 S 1 {\displaystyle 1^{3}S_{1}} 状態( φ a = φ b = φ 1 s {\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{b}=\varphi _{1s}} )の欠如を説明し、その結果としてオルソヘリウムでは 2 3 S 1 {\displaystyle 2^{3}S_{1}} ( φ a = φ 1 s , φ b = φ 2 s {\displaystyle \varphi _{a}=\varphi _{1s},\varphi _{b}=\varphi _{2s}} )が準安定基底状態である(主量子数 n {\displaystyle n} 、全スピン S {\displaystyle S} 、角運動量量子数 L {\displaystyle L} 、全角運動量 J = | L − S | ...