コンパクト要素
コンパクト要素は、領域理論と呼ばれる意味論的アプローチによる計算機科学において重要である。領域理論において、コンパクト要素はある種の原始的な要素だと考えられる:コンパクト要素によって表現された情報は、その知識を持っていなければどのような近似をしても得られない。コンパクト要素は、それよりも厳密に小さな元によって近似することができない。一方で、コンパクトではないすべての要素がコンパクト要素の有向上限として得ることができる場合がある。これは望ましい状況である。なぜなら、コンパクト要素全体の集合は、しばしばもとの半順序集合よりも小さい(上に挙げた例がこのことを示している)。
任意の要素がコンパクト要素の上限として表せるような半順序集合は、代数的半順序集合と呼ばれる。有向完備半順序集合であるこのような半順序集合は、領域理論において頻繁に用いられる。
重要な具体例として、代数束がある。L の任意の要素 x が x 以下のコンパクト要素の上限であるような完備束 L のことを代数束という。
以下が典型的な例である(「代数的」という名前の動機になる):
任意の代数系 A(例えば、群、環、体、束など;あるいは何の演算もないただの集合でもよい)に対して、Sub(A) を A の部分構造全体の集合、すなわち、すべての演算(群の加法、環の加法と乗法など)について閉じている A の部分集合全体とする。ここで、部分構造の概念は代数系 A が零項演算を持たない場合における空の部分構造も含む。
このとき:
集合 Sub(A)は、集合の包含関係による順序の下で束を成す。
Sub(A) の最大元は集合 A 自身である。
Sub(A) の任意の元 S, T に対して、S と T の最大下界は、S と T の集合の意味での共通部分である;最小上界は、S と T の合併により生成される部分代数である。
集合 Sub(A) は完備束でもある。