シンプレクティック幾何学
幾何学的量子化の問題は多様体上の量子力学の構成という問題から始まったのであるが、空間の量子化を考える非可換幾何学とも深い関わりを持つ。非可換幾何の原点は次の事実であった:
定理: M , N {\displaystyle M,N} を滑らかな多様体であるとする。 M {\displaystyle M} と N {\displaystyle N} が微分同相であるための必要十分条件は、それらの上の可換な関数環 C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} と C ∞ ( N ) {\displaystyle C^{\infty }(N)} が同型であることである。
この定理は、「多様体とはその上の可換な関数環のみで決まる。」と言い換えることができるであろう。だとするならば、多様体 M {\displaystyle M} の上に非可換な関数環 ( C ∞ ( M ) , ∗ ) {\displaystyle (C^{\infty }(M),*)} を構成でれば、それは非可換な多様体を構成したことと同じになるのではないか。これが非可換幾何学の精神である。非可換な関数環の構成の1つが、変形量子化である。 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} をシンプレクティック多様体とし、 { ∙ , ∙ } {\displaystyle \{\bullet ,\bullet \}} でそのポアソン構造を表す。