ジャコブソン根基
以下は単位元をもつ環 R におけるジャコブソン根基の同値な特徴づけである。
J(R) は環のすべての極大右イデアルの共通部分に等しい。J(R) は環のすべての極大左イデアルの共通部分に等しいということもまた正しい。これらの特徴づけは環に内在的である、なぜなら環の極大右イデアルを見つける必要しかないからである。例えば、環が局所環で唯一の極大 右イデアルをもっていれば、この唯一の極大右イデアルはちょうど J(R) であるので(両側)イデアルである。 極大イデアルはある意味加群の零化イデアルよりも探しやすい。しかしながらこの特徴づけは不十分である、なぜなら J(R) で機械的にやるときには役に立つことを証明しないからである。これらの2つの定義の左右の対称性は注目すべきで、様々な面白い結果がある。この対称性は R の socle の対称性の欠如とは対照的である。というのも soc(RR) が soc(RR) に等しくないということは起こり得る。環 R が非可換であれば、J(R) は R のすべての極大両側イデアルの共通部分には必ずしも等しくない。例えば、V が体 k のコピーの可算個の直和で R = End(V) (V の k-加群としての自己準同型環)であれば、J(R) = 0 である、なぜなら R はフォン・ノイマン正則であることが知られているからだ、しかし R には有限次元の像をもつ自己準同型からなるちょうど1つの極大両側イデアルが存在する。