オイラーの四辺形定理
四角形の4辺の長さを a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} 、対角線の長さを e , f {\displaystyle e,f} 、2つの対角線の中点間の距離を g {\displaystyle g} と置くと以下の式が成り立つ。
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = e 2 + f 2 + 4 g 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}
四角形が平行四辺形のとき、対角線は中点で交わるため g {\displaystyle g} は0になる。また、対辺の長さは等しいためまとめると以下の式になる。
2 a 2 + 2 b 2 = e 2 + f 2 {\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}
これを変形すると中線定理が得られる。
四角形が長方形の場合対角線の長さも同じになるため以下のようになる。
2 a 2 + 2 b 2 = 2 e 2 {\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}
両辺を2で割ればピタゴラスの定理が得られる。
言い換えると、長方形の辺の長さと対角線の長さの関係はピタゴラスの定理であらわすことができる。