線型方程式系
したがって斉次方程式系の解全体の集合 fA(0) は V の線型部分空間をなし、方程式系の解ベクトル空間あるいは省略して解空間と呼ばれる。斉次方程式の解空間 fA(0) は fA の(あるいは A の)核と呼ばれるもので、斉次方程式系の解空間が部分空間をなすという事実は核
ker  A = ker  f A := { x ∈ V ∣ A x = 0 } {\displaystyle \ker A=\ker f_{A}:=\{\mathbf {x} \in V\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \}}
が V の部分空間を成すということに同じである。特に、解空間の次元は fA の退化次数 nul fA に等しい。このことはさらに、n = nul fA とおくと、方程式の一般解が n 個の一次独立な解(基本解) x1, x2, ..., xn と n 個の任意定数(パラメータ)c1, c2, ..., cn によって
c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n {\displaystyle c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {x} _{n}}
の形に表されると言い換えることができる。
[ x 1 x 2 ] = b 2 | a 21 | 2 + | a 22 | 2 [ a 21 ̄ a 22 ̄ ] + t [ − a 22 a 21 ] , ( t ∈ C ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\frac {b_{2}}{|a_{21}|^{2}+|a_{22}|^{2}}}{\begin{bmatrix}{\overline {a_{21}}}\\{\overline {a_{22}}}\end{bmatrix}}+t{\begin{bmatrix}-a_{22}\\a_{21}\end{bmatrix}},\quad (t\in \mathbb {C} )}
となる。 | a 21 | 2 + | a 22 | 2 = 0 {\displaystyle |a_{21}|^{2}+|a_{22}|^{2}=0} のとき、 | b 1 | 2 + | b 2 | 2 ≠ 0 {\displaystyle |b_{1}|^{2}+|b_{2}|^{2}\neq 0} のとき解なし。 b 1 = b 2 = 0 {\displaystyle b_{1}=b_{2}=0} のとき
[ x 1 x 2 ] = s [ 1 0 ] + t [ 0 1 ] , ( s , t ∈ C ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=s{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}+t{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}},\quad (s,\,t\in \mathbb {C} )}
となる。
V と W を有限次元ベクトル空間とし、変数ベクトル x は V の中を動くものとし、W の元 b と係数行列 A によって定まる線型方程式系
A x = b {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }
を考える。また、行列 A の定める線型写像を fA: V → W と記すことにすると、この線型方程式系を解くという問題は、一点集合 {b} の fA による逆像 fA(b) の状態(ここで fA は一般には写像にはならず、逆対応の意味である)を記述する問題であると捉えることができる。
本項目は線型方程式の有限系を考察対象とするため、V と W は有限次元であると仮定するが、基本的に以下の議論はベクトル空間 V と W が無限次元であってもほとんどの場合は、適当な読み替えのもとに成立する。一般の場合は線型方程式の項を参照されたい。
方程式系が斉次形 (b = 0) ならば、この方程式は常に零ベクトル x = 0 を解に持つ。これを斉次方程式の自明な解とよぶ。また斉次形ならば方程式の解の重ね合わせが可能である。つまり、 x と y が斉次線型方程式系の解であるとき、任意のスカラー α と β に対して、 αx + βy も同じ方程式系の解となる。