ディクソン多項式
を満たす。ディクソン多項式 Dn = y は次の常微分方程式の解である。
( x 2 − 4 α ) y ′′ + x y ′ − n 2 y = 0. {\displaystyle (x^{2}-4\alpha )y''+xy'-n^{2}y=0.\,}
また、第二種ディクソン多項式 En = y は次の微分方程式の解である。
( x 2 − 4 α ) y ′′ + 3 x y ′ − n ( n + 2 ) y = 0. {\displaystyle (x^{2}-4\alpha )y''+3xy'-n(n+2)y=0.\,}
それらの通常型母関数は、次で与えられる。
∑ n D n ( x , α ) z n = 2 − x z 1 − x z + α z 2 {\displaystyle \sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,}
∑ n E n ( x , α ) z n = 1 1 − x z + α z 2 . {\displaystyle \sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}.\,}
(与えられた有限体に対する)置換多項式(permutation polynomial)とは、その体の元の置換として働くもののことを言う。
ディクソン多項式 Dn(x,α)(固定された α に対する x の関数と見なされる)が q 個の元を持つ体に対する置換行列であるための必要十分条件は、n と q−1 が互いに素であることである。
M. Fried (1970) は、無限に多くの素体に対する置換行列であるような任意の整数多項式は、ディクソン多項式と(有理係数の)線形多項式の合成であることを示した。この主張はシューアの予想として知られていたが、実際にはシューアはその予想を行っていなかった。Fried の論文は多くのミスを含んでいたため、その訂正は G. Turnwald (1995) によってなされ、P. Müller (1997) はシューアのある議論に沿った簡明な証明を与えた。
さらに P. Müller (1997) は、次数が q−1 と互いに素で、かつ q より小さいような有限体 Fq 上の任意の置換多項式は、必ずディクソン多項式と線形多項式の合成であることを示した。
第二種ディクソン多項式 En は、次で定義される。
E n ( x , α ) = ∑ p = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( n − p p ) ( − α ) p x n − 2 p . {\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=\sum _{p=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-p}{p}}(-\alpha )^{p}x^{n-2p}.}
この研究は多くはなされておらず、その性質は第一種ディクソン多項式と同様である。第二種ディクソン多項式のはじめのいくつかを挙げると、次のようになる。
E 0 ( x , α ) = 1 {\displaystyle E_{0}(x,\alpha )=1\,}
E 1 ( x , α ) = x {\displaystyle E_{1}(x,\alpha )=x\,}
E 2 ( x , α ) = x 2 − α {\displaystyle E_{2}(x,\alpha )=x^{2}-\alpha \,}
E 3 ( x , α ) = x 3 − 2 x α {\displaystyle E_{3}(x,\alpha )=x^{3}-2x\alpha \,}
E 4 ( x , α ) = x 4 − 3 x 2 α + α 2 . {\displaystyle E_{4}(x,\alpha )=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}.\,}