斉次座標環
Castelnuovo–Mumford regularity は射影多様体を定義するイデアル I の極小分解を読み取ることができる。i 番目の加群 Fi の帰属した「シフト」 ai, j の言葉でいえば、それは ai, j − i の i 上の最大値である。それゆえそれは分解で左に動く(線型 Syzygy のみ)のでシフトが 1 だけ増大するとき小さい。
代数幾何学において、与えられた次元 N の射影空間の部分多様体として与えられる代数多様体 V の斉次座標環(せいじざひょうかん、homogeneous coordinate ring)R は定義によって商環
R = K[X0, X1, X2, ..., XN]/I
ただし I は V を定義する斉次イデアル、K は V がそれ上定義されているような代数的閉体、そして
K[X0, X1, X2, ..., XN]
は N + 1 変数 Xi の多項式環である。したがって多項式環は射影空間自身の斉次座標環であり、変数は(射影空間の下にあるベクトル空間の)与えられた基底の選択の斉次座標(英語版)である。基底の選択はこの定義が intrinsic でないことを意味するが、対称代数を使ってそのようにすることができる。