冪等元
環の冪等元がなす集合に対し半順序を
e ≤ f ⇔ ef = e = fe
で定めることができる。このとき 0 は最小の冪等元であり、1 は最大の冪等元である。直交冪等元 e と f に対し、e + f もまた冪等元であり、e ≤ e + f および f ≤ e + f が成り立つ。原始冪等元はちょうどこの半順序のatom(英語版)である。
上述の半順序を環 R の中心的冪等元がなす集合 B(R) に制限すると、ブール代数の構造を与えることができる。2 つの中心的冪等元 e, f に対し、結びと交わり、補元はそれぞれ
e ∨ f = e + f − ef
e ∧ f = ef
¬e = 1 − e
によって与えられる。すると順序は単に e ≤ f ⇔ eR ⊆ fR となり、結びと交わりは (e∨f)R = eR + fR および (e∧f)R = eR ∩ fR = (eR)(fR) を満たす。環 R がフォン・ノイマン正則かつ右自己移入的(英語版)であれば、 B(R) は完備束である。
R の冪等元は R 加群の分解と重要なつながりがある。M を右 R 加群とし、E ≔ EndR (M) をその自己準同型環とすると、A ⊕ B = M であることと、A = eM かつ B = (1 − e)M となるような冪等元 e ∈ E が唯一つ存在することは同値である。すると明らかに、M が直既約であることと、E の冪等元が 0 と 1 のみであることが同値である。
M = R のとき、自己準同型環は EndR (R) = R であり、各自己準同型はある 1 つの固定された環の元の左からの積として生じる。上で述べたことをこの場合に言い換えると、右加群として A ⊕ B = R であることと、eR = A かつ (1 − e)R = B となるような冪等元 e が唯一つ存在することは同値である。したがって加群としての R のすべての直和成分はひとつの冪等元によって生成される。
e が中心的冪等元であれば、corner ring eRe = Re は e を乗法単位元にもつ環である。冪等元が R の加群としての直和分解を決定するのとちょうど同じように、R の中心的冪等元は R の環の直和としての分解を決定する。R が環 R1, ..., Rn の直和であれば、環 Ri たちの単位元は、R の中心的冪等元であり、どの 2 つも直交していて、それらすべての和は 1 である。