フーリエ級数の収束
関数 f が絶対収束するフーリエ級数を持つ場合、
‖ f ‖ A := ∑ n = − ∞ ∞ | f ^ ( n ) | < ∞ . {\displaystyle \|f\|_{A}:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(n)|<\infty .}
この条件が成り立つ限り、(SN f)(t) がすべての t について絶対収束すること、また (SN f)(t) がひとつの t について絶対収束するだけであってもこの条件が成り立つことは明らかである。 すなわち、ある 1 点でそれが絶対収束するならば、すべての点で絶対収束する。言い換えれば、絶対収束性はどこ で部分和が絶対収束するかを問題としない。
フーリエ級数が絶対収束するすべての関数の族はバナッハ代数である(この代数における乗法は、単純な関数の積である)。また、これはノーバート・ウィーナーに因んでウィーナー代数(英語版)と呼ばれる。ウィーナーは f が絶対収束するフーリエ級数を持ち、かつそれがゼロにならない場合に 1/f が絶対収束するフーリエ級数を持つことを証明した。オリジナルのウィーナーの定理の証明は異なっており、バナッハ代数の性質を利用してそれを単純化したのはイズライル・ゲルファントである。最終的に短い初等的な証明を与えたのはドナルド・ニューマン(英語版)であり1975年の事である。
次はダナム・ジャクソン(英語版)によって最初に示された。
f ∈ C かつ f は連続率(英語版) ω を持つとすると(また ω は非減少的であるとする)、フーリエ級数の部分和は元の関数に次のような早さで収束する。
| f ( x ) − ( S N f ) ( x ) | ≤ K ln  N N p ω ( 2 π / N ) . {\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{p}}\omega (2\pi /N).}
ここで K は f にも p にも N にも依存しない定数である。
この定理は、例えば f が α-ヘルダー条件を満たす場合、
| f ( x ) − ( S N f ) ( x ) | ≤ K ln  N N α {\displaystyle |f(x)-(S_{N}f)(x)|\leq K{\ln N \over N^{\alpha }}}
で押さえられることを示す。f が 2π 周期的であり [0, 2π] で絶対連続ならば、関数 f のフーリエ級数は f に一様収束する。ただし絶対収束するとは限らない。