アローの不可能性定理
任意の3つの選択肢 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , z {\displaystyle z} に対して、 x ⪰ y {\displaystyle x\succeq y} かつ y ⪰ z {\displaystyle y\succeq z} ならば x ⪰ z {\displaystyle x\succeq z} となる。すなわち x {\displaystyle x} が y {\displaystyle y} 以上に望ましく、 y {\displaystyle y} が z {\displaystyle z} 以上に望ましければ、 x {\displaystyle x} は z {\displaystyle z} 以上に望ましい。
選好関係がこれら2つの公理を満たすならば、選択肢が何個あろうともそれが有限個である限り、最も良い選択肢(1個とは限らない)を選ぶことができる。その意味でこのような選好関係は「合理性」を持つと言える。
そしてアローは、社会的厚生関数が下記の4条件 (これらもしばしば「公理」とよばれる) を満たすことが公正な選挙制度にとって不可欠であるとした。
非独裁性. 社会的選好関数は複数の投票者の意志を反映しなければならない。単に誰か1人の意志を模倣するだけに留まることはできない。
定義域の非限定性 (普遍性). 個人の選好を組み合わせた如何なる集合に対しても、社会的選好関数は社会的選択の一意で完備な順序付けを出力せねばならない。
如何なる個人も選択肢の評価を「上げる」ことで却って損ねることはできないこと。
非賦課性(主権在民):可能な全ての社会的選好順位は、何らかの個人的な選考順位に対応すること。これは社会的厚生関数が全射であることを意味する。値空間の大きさは無制限である。
1963年版の方が条件が弱いのでより一般的である。単調性、非賦課性、IIA、の3つを合わせればパレート効率性が導かれるが、パレート効率性(それ自体が非賦課性を持つ)とIIAを合わせても単調性は導かれない。
アローの定理とは、2人以上の投票者と3つ以上の選択肢があるとき、上述した社会的選好に関する2つの公理と公正な選挙のための4つの条件をすべて満たす社会厚生関数は存在しないことを示した定理である。すなわち社会が選択肢を合理的に選べるための 2つの公理 (社会的選好が完備で推移的であること) と公正な選挙が満たすべきと考えられる4条件とが互いに矛盾することを示した。
この否定的結論は「社会的決定の合理性と民主制の両立は困難である」とか「民主主義は不可能である」といった (それ自体は誤りとは言えない) 主張に単純化されて理解されることもあった。定理の内容が正しく理解されたにせよそうでなかったにせよ、この定理が「一般意思」「社会的善」「公共善」「人民の意思」といった主張に疑いを投げかけたことは間違いない。この定理をアロー自身は「一般可能性定理」と呼んだ。しかしこの定理が持つ否定的含意から、「アローの不可能性定理」と呼ばれるのが一般的となった。
アローのフレームワークでは、個人および社会の選好が選択肢集合上の「順序」であることが仮定されている。すなわちそれらの選好を効用関数で表した場合、その値は大小関係のみが意味を持つという意味で「序数的効用」となる (たとえば選択 a, b, c, d に対する効用がそれぞれ 4, 3, 2, 1 であることと 1000, 100.01, 100, 0 であることと 99, 98, 1, 0.997 であることはすべて同じで、選択肢を a, b, c, d の順序で好むことを表したに過ぎない)。序数的効用の仮定により個人間の効用の比較が排除されていることが、アローの示した不可能性の大きな理由になっていると言えるだろう。
効用の値が単なる大小関係を越えた意味を持つ「基数的効用」を想定するアプローチは、いくつかの理由により現代経済学では主流ではない (たとえば Arrow, 1963, Chapter 2, Section 1)。
すなわち x {\displaystyle x} が y {\displaystyle y} 以上に望ましいか、 y {\displaystyle y} が x {\displaystyle x} 以上に望ましいかのいずれかである。(このうち前者だけが成立するとき x ≻ y {\displaystyle x\succ y} と書き、 x {\displaystyle x} が y {\displaystyle y} よりも好ましいことを表す。後者だけが成立するとき ( y ≻ x {\displaystyle y\succ x} ) は、 y {\displaystyle y} が x {\displaystyle x} よりも好ましい。いずれも成立するときは x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} は無差別という。記号 ≻ {\displaystyle \succ } の代わりに「より好む」(prefer) を表す P の文字が使われることも多い。なお「反射性」すなわち任意の選択肢 x {\displaystyle x} に関して x ⪰ x {\displaystyle x\succeq x} が成立することは完備性から導かれる)
推移性.