一般ガウス・ボネの定理
一般ガウス・ボネの定理(Chern–Gauss–Bonnet theorem,チャーン・ガウス・ボネの定理とも呼ばれる)は、偶数次元の閉リーマン多様体のオイラー特性数を曲率から導かれるある多項式の積分として表す定理である。
M を境界のないコンパクトな向き付け可能な 2n 次元リーマン多様体とし、Ω をレヴィ・チヴィタ接続の曲率形式とする。これは、Ω が M 上の s o ( 2 n ) {\displaystyle {\mathfrak {s}}{\mathfrak {o}}(2n)} に値を持つ 2-形式であることを意味する。そのために、Ω は成分が 2-形式である反対称 2n × 2n 行列であるので、可換環 ∧ even T ∗ M {\displaystyle \wedge ^{\hbox{even}}\,T^{*}M} 上の行列である。従って、2n-形式を成分にもつパフィアン Pf(Ω) をとることができる。この状況で一般ガウス・ボネの定理は
∫ M Pf ( Ω ) = ( 2 π ) n χ ( M ) {\displaystyle \int _{M}{\mbox{Pf}}(\Omega )=(2\pi )^{n}\chi (M)\ }
となる。ここで χ(M) は、M のオイラー数を表す。この定理は、ガウス・ボネの定理の高次元化である。