尖度
確率変数 X {\displaystyle X} の r {\displaystyle r} 次のキュムラントを κ r {\displaystyle \kappa _{r}} とすると、尖度 β 2 {\displaystyle \beta _{2}} は次式で定義される。
正規分布の尖度を 0 とする定義では、 β 2 = κ 4 κ 2 2 {\displaystyle \beta _{2}={\frac {\kappa _{4}}{{\kappa _{2}}^{2}}}}
正規分布の尖度を 3 とする定義では、 β 2 = κ 4 κ 2 2 + 3 {\displaystyle \beta _{2}={\frac {\kappa _{4}}{{\kappa _{2}}^{2}}}+3}
最終的には β 2 {\displaystyle \beta _{2}} の推定量 b 2 {\displaystyle b_{2}} について次を得る。
b 2 = n ( n + 1 ) ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ∑ i ( x i − x ̄ s ) 4 − 3 ( 3 n − 5 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) {\displaystyle b_{2}={\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\sum _{i}\left({\frac {x_{i}-{\overline {x}}}{s}}\right)^{4}-{\frac {3(3n-5)}{(n-2)(n-3)}}}
ここで、 s = n n − 1 m 2 {\displaystyle s={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}\,m_{2}}}} (標本標準偏差)
3 を引いた定義では、次式になる。
n ( n + 1 ) ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) ∑ i ( x i − x ̄ s ) 4 − 3 ( n − 1 ) 2 ( n − 2 ) ( n − 3 ) {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)}}\sum _{i}\left({\frac {x_{i}-{\overline {x}}}{s}}\right)^{4}-3{\frac {(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}