ハウスホルダー変換
既に述べた通り、ハウスホルダー変換は、単位法ベクトル v を持つ超平面に関する鏡映である。N × N ユニタリ変換 U は UU* = I を満たす。左辺の行列式(これは固有値の幾何平均の N 乗である)とトレース(これは固有値の算術平均に比例する)をとることにより、U の固有値 λi が絶対値 1 であることが確認できる。すなわち、
となるが、算術平均と幾何平均が等しいのは平均をとったすべての値が相等しいときに限るから、すべての絶対値が 1 とわかる。
成分が実数であるときのユニタリ行列は直交行列 (UU = I) となる。容易に分かることとして、任意の直交行列はギヴンス回転と呼ばれる 2 × 2 回転行列とハウスホルダー鏡映たちの積に分解することができる。ベクトルに直交行列を掛けることはベクトルの長さを保つこと、およびベクトルの長さを保つ幾何学的操作全体の成す集合は回転と鏡映によって尽くされることから、このような分解があることは直観的にも不思議はない。