ハミルトニアン
ハミルトニアンは、ラグランジュ形式の解析力学におけるラグランジアンをルジャンドル変換することで構成される。その具体的な方法は次のとおりである。 まず、対象とする系に対してラグランジアン L = L ({qi}, {·qi}; t) を構成する。次に正準運動量を
p i = ∂ L ∂ q ̇ i {\displaystyle p_{i}={\partial L \over {\partial {\dot {q}}_{i}}}}
で定義する。この正準運動量を用いて、ラグランジアンに対して、変数の組 (qi, ·qi) から (qi, pi) へのルジャンドル変換を行う。その結果、ハミルトニアン
H ( { q i } , { p i } ; t ) = ∑ i p i q ̇ i − L ( { q i } , { q ̇ i } ; t ) {\displaystyle H(\{q_{i}\},\{p_{i}\};t)=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(\left\{q_{i}\right\},\left\{{\dot {q}}_{i}\right\};t)}
が得られる。ここで、右辺に現れる {·qi} は正準運動量の定義式を通じて、{pi} で書き直し、ハミルトニアンを ({qi}, {pi}) の関数として表す必要がある。
ハミルトニアン(英語: Hamiltonian)あるいはハミルトン関数、特性関数(とくせいかんすう)は、物理学におけるエネルギーに対応する物理量である。各物理系の持つ多くの性質は、ハミルトニアンによって特徴づけられる。名称はイギリスの物理学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンに因む。
ここでは、古典力学(解析力学)と量子力学の2つの体系に分けて説明するが、量子力学が古典力学から発展した経緯から、両者は密接に関連する。ハミルトニアンはそれぞれの体系に応じて関数または演算子もしくは行列の形式をとる。例えば、古典力学においてはハミルトニアンは正準変数の関数であり、量子力学では正準変数を量子化した演算子(もしくは行列)の形をとる。