伴う素イデアル
零でない R 加群 N が prime module であるとは,N の任意の非零部分加群 N′ に対して零化イデアル A n n R ( N ) = A n n R ( N ′ ) {\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')\,} となることである.prime module N に対し, A n n R ( N ) {\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)\,} は R の素イデアルである.
R 加群 M に伴う素イデアル (associated prime) とは,N を M の prime submodule として AnnR(N) の形のイデアルのことである.可換環論における通常の定義は異なるが同値である:R が可換であるとき,M に伴う素イデアル P とは,M の非零元 m に対して A n n R ( m ) {\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(m)\,} の形の素イデアル,あるいは同じことであるが,R/P が M のある部分加群に同型な素イデアルのことである.
R が有理整数環ならば,非自明な自由アーベル群と素冪位数の非自明なアーベル群は coprimary である.
R が有理整数環で M が有限アーベル群ならば,M の素因子はちょうど M の位数を割り切る素数である.
位数 2 の群は有理整数 Z(自身の上の自由加群と考えて)の商であるが,その素因子 (2) は Z の素因子ではない.