楕円曲線
h ^ ( m 1 P 1 + m 2 P 2 + ⋯ + m r P r + T ) = ∑ i = 1 r m i 2 h ^ ( P i ) + ∑ 1 ≤ i < j ≤ r m i m j ⟨ P i , P j ⟩ {\displaystyle {\hat {h}}(m_{1}P_{1}+m_{2}P_{2}+\cdots +m_{r}P_{r}+T)=\sum _{i=1}^{r}m_{i}^{2}{\hat {h}}(P_{i})+\sum _{1\leq i<j\leq r}m_{i}m_{j}\langle P_{i},P_{j}\rangle }
と二次形式であらわされ、かつこれは正定値である。
具体的には小さなランクの楕円曲線しか知られていないにもかかわらず、任意に大きなランクの楕円曲線が存在するとも予想されている。有理数体 Q 上で考えた場合、正確なランクが判明している楕円曲線のうち、最大のランクを持つ楕円曲線は、2009年にノーム・エルキース(英語版)により発見された
y + xy + y = x − x + 31368015812338065133318565292206590792820353345x + 302038802698566087335643188429543498624522041683874493555186062568159847
であり、そのランクは 19 である。正確なランクが判明していなくてもよければ、最低でも 28 のランクを持つ楕円曲線が、同じくエルキースによって発見されている。 ランクの決定に関しては、楕円曲線上のゼータ関数によって記述できるというバーチ・スウィンナートン=ダイアー予想が存在する。
E(Q) のねじれ部分群を構成する群について次のことが知られている。
楕円曲線の形式的な定義には、かなり技術的で代数幾何学の背景を必要としているが、高校レベルの代数と幾何を使って、楕円曲線の様子をいくらか記述することが可能である。
すなわち、実平面上、楕円曲線は次の方程式により定義される平面曲線としてあらわされる。
y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}
ここに a と b は実数である。
楕円曲線の定義は、曲線が非特異であることも要求される。幾何学的には、このことは曲線のグラフが尖点を持たず、自己交叉せず、孤立点ももたないことを意味する。代数的には、非特異とは判別式
Δ = − 16 ( 4 a 3 + 27 b 2 ) {\displaystyle \Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})}
と関係している。曲線が非特異であることと、判別式が 0 でないこととは同値である。(係数 −16 は、非特異であることと無関係に見えるが、楕円曲線の高度な研究ではこのようにしたほうが便利である。)
非特異楕円曲線の(実数の)グラフは、判別式が正であれば、二つの曲線の成分を持ち、負であれば、一つの曲線の成分しか持たない。例えば、右の図で示されているグラフでは、図中の左は判別式が 64 であり、図中の右は 判別式が −368 である。