ルジャンドル多項式
ただし、この内積についての各 Pn(x) の大きさは 1 ではないため (これは Pn(1) = 1 という初期条件を課したためである)、正規直交系にはなっていない点は注意を要する。各ルジャンドル多項式 Pn(x) は n次多項式で、ロドリゲスの公式
P n ( x ) = 1 2 n n ! d n d x n [ ( x 2 − 1 ) n ] {\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}
で表すことができる。
ルジャンドル多項式がルジャンドルの微分方程式を満たすことは、恒等式
( x 2 − 1 ) d d x ( x 2 − 1 ) n = 2 n x ( x 2 − 1 ) n {\displaystyle (x^{2}-1){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{2}-1)^{n}=2nx(x^{2}-1)^{n}}
の両辺を n + 1 回微分して、高階微分に関する一般ライプニッツ則を適用すればわかる。各ルジャンドル多項式 Pn は以下のテイラー級数
の係数として定義することもできる。この母函数は物理学において多重極展開(英語版)に利用される。