歪エルミート行列
多くの点で歪エルミート行列はエルミート行列とちょうど反対の性質を持つ。
歪エルミート行列の成分を虚数単位 i で除することによりエルミート行列にできる。すなわち歪エルミート行列 A に対して
A = i H {\displaystyle A=iH}
を満たす H はエルミート行列となる。実際、(iH) = −iH なので iH は歪エルミートである。同様に −iH も歪エルミートである。従って、A/i = −iA および A/(−i) = iA はエルミートである。
歪エルミート行列 A の対角成分はすべて純虚数である。
( A ∗ ) i i = A i i ̄ = − A i i ( 1 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle {\left(A^{*}\right)}_{ii}={\overline {A_{ii}}}=-A_{ii}\quad \left(1\leq i\leq n\right)\ }
従って、そのトレースも純虚数である。
歪エルミート行列 A の固有値 λ は 0 または純虚数である。固有値方程式 Aξ = λξ を満たす行列 A の固有ベクトル ξ について、ξAξ = λξξ は以下の関係を満たす。
ξ ∗ A ξ = ( A ∗ ξ ) ∗ ξ = − ( A ξ ) ∗ ξ ⟹ λ = − λ ̄ {\displaystyle \xi ^{*}A\xi ={(A^{*}\xi )}^{*}\xi =-{(A\xi )}^{*}\xi ~~\Longrightarrow ~~\lambda =-{\bar {\lambda }}}