幾何平均
幾何平均(きかへいきん、英: geometric mean)または相乗平均とは数学における広義の平均の一つである。多くの人が平均と聞いて思い浮かべる算術平均と似ているが、値の総和を n個で割るのでなく、値の総乗の n乗根を取る点が異なる。
相乗平均の対数は、値の対数の算術平均に等しくなる。
p一般化平均(p は実数)(一般化平均については平均#一般化平均 2を参照)で p → 0 のときの極限は相乗平均に等しくなる。
数の集合またはデータ a 1 , a 2 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} の幾何平均は次の式で定義される:
( ∏ i = 1 n a i ) 1 n = a 1 a 2 ⋯ a n A n {\displaystyle \left(\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\dotsb a_{n}{\vphantom {A}}}}}
例えば、2, 8 の幾何平均は 2 × 8 = 4 {\displaystyle {\sqrt {2\times 8}}=4} となる。3数 4, 1, 1/32 の幾何平均は 4 × 1 × 1 32 3 = 1 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\times 1\times {\frac {1}{32}}}}={\frac {1}{2}}} となる。
幾何平均は幾何学的に説明することもできる。2数 a, b の幾何平均は、縦横の長さが a, b の長方形と同じ面積の正方形の1辺の長さに等しい。同様に 3数 a, b, c の幾何平均は、それらで張られる直方体と同じ体積の立方体の1辺の長さに等しい。
幾何平均は正の数のみしか扱えない。互いにかけ合わせることが多い値や指数関数的性質のある値に使うことが多く、例えば人口の成長に関するデータや財政投資の利率などに使われる。