ホップ代数
基礎ベクトル空間の基底 { e k } {\displaystyle \{e_{k}\}} を固定して,代数を構造定数を用いて定義できる.積に対して
e i ∇ e j = ∑ k μ i j k e k , {\displaystyle e_{i}\nabla e_{j}=\sum _{k}\mu _{\;ij}^{k}e_{k},}
余積に対して
Δ e i = ∑ j , k ν i j k e j ⊗ e k , {\displaystyle \Delta e_{i}=\sum _{j,k}\nu _{i}^{\;jk}e_{j}\otimes e_{k},}
対合射に対して
S e i = ∑ j τ i j e j . {\displaystyle Se_{i}=\sum _{j}\tau _{i}^{\;j}e_{j}.}
すると結合律は
群はホップ代数と同じ図式(同じことだが演算)によって公理化できる,ただし G は加群の代わりに集合と取られる.この場合:
体 K は 1 点集合で置き換えられる
自然な余単位射がある(1 点に写す)
自然な余積がある(対角写像)
単位射は群の単位元である
積は群の積である
対合射は逆元である
この哲学において,群は「一元体」上のホップ代数と考えることができる.