ガウス＝クズミン分布
今
x = 1 k 1 + 1 k 2 + ⋯ {\displaystyle x={\frac {1}{k_{1}+{\frac {1}{k_{2}+\cdots }}}}}
を (0, 1) 内に一様に分布する確率変数 x の連分数展開とする。このとき
lim n → ∞ P { k n = k } = − log 2  ( 1 − 1 ( k + 1 ) 2 ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left\{k_{n}=k\right\}=-\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)}
が成立する。また同値であるが、
x n = 1 k n + 1 + 1 k n + 2 + ⋯ ; {\displaystyle x_{n}={\frac {1}{k_{n+1}+{\frac {1}{k_{n+2}+\cdots }}}}~;}
とすれば、
Δ n ( s ) = P { x n ≤ s } − log 2  ( 1 + s ) {\displaystyle \Delta _{n}(s)=\mathbb {P} \left\{x_{n}\leq s\right\}-\log _{2}(1+s)}
は n が無限大に向かうに従ってゼロに近付く。