符号数
↑ Rowland, Todd. "Matrix Signature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/MatrixSignature.html
↑ Dray, Tevian; Ellis, George; Hellaby, Charles; Manogue, Corinne A. (1997). “Gravity and signature change”. General Relativity and Gravity 29: 591–597. arXiv:gr-qc/9610063. Bibcode: 1997GReGr..29..591D. doi:10.1023/A:1018895302693.
実有限次元線型空間上の、計量を与える実二次形式および付随する内積(実対称双線型形式)の符号数 (p, q, r) は、これを適当な基底に関して表示した時に得られる同伴実対称行列あるいはそれと同値な計量テンソルの、固有値の符号が正・負・零であるものがそれぞれ重複度込みで p, q, r 個であることを表す。これはそれぞれ正・負・零な部分空間のうち極大なものの次元と言ってもよい。シルヴェスターの慣性法則によれば、これらの数は基底のとり方に依らない。従って符号数は基底の取り方の違いに依らない計量を分類する。
複素係数の場合は、エルミート二次形式およびエルミート半双線型形式を考えれば、同様の結果を得る。
数ベクトル空間 R の標準内積の符号数は (n, 0, 0) である。実対称双線型形式の意味での内積がこの符号数を持つための必要十分条件は、それが正定符号となることである。
負の定符号内積は符号数 (0, n, 0) を持つ。半負定符号内積は (p, 0, r) (p + r = n) を符号数に持つ。
ミンコフスキー空間は集合としては R であり、行列
( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
の定める符号数 (3, 1, 0) の内積を持つ。符号を反転して符号数 (1, 3, 0) とすることもある。
行列の符号数の計算法はいくつかある。
n × n非退化対称行列は、対角化して(あるいは固有値を全て求めて)、正符号と負符号の数を数えればよい。
対称行列に対して、固有多項式の根が全て実根ならば、デカルトの符号法則から符号数を決定できる。
ラグランジュアルゴリズムは直交基底を計算することができるから、合同な対角行列を計算してその符号数を決めればよい。
ヤコビの判定法によれば、対称行列が正定値となる必要十分条件はその主小行列式が全て正であることである。