クローニッヒ・ペニーのモデル
ポテンシャルの無い自由電子モデルにおいては波動関数は ψk(x) = u(x)exp(ikx) の形を持つ。一方、周期 a のポテンシャルを持つモデルにおいては、これに対応する波動関数はブロッホの定理より
ψ k ( x ) = ∑ m c m e i ( k − 2 π m a ) x {\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{m}c_{m}e^{i(k-{\frac {2\pi m}{a}})x}}
の形を持つ。各項の係数 cm の絶対値(その2乗が波動関数への寄与と考えられる)は m = 0 が最大である。
クローニッヒ・ペニーのデルタ関数型のポテンシャルでは係数 cm は大雑把には (k−2πm/a)−k の絶対値が小さいほど大きくなる。もっとも大きい係数 c0 の項と二番目に大きい絶対値を持つ項 cm の2項を用いて波動関数を
ψ k ( x ) = c 0 e i k x + c m e i ( k − 2 π m a ) x {\displaystyle \psi _{k}(x)=c_{0}e^{ikx}+c_{m}e^{i(k-{\frac {2\pi m}{a}})x}}
と近似できる。
k>0, U0 > 0 の条件を前提とすると、0 < k < π/a においては、c0 と cm (m=1) は反符号であり、cm の絶対値は 0 から k が増加するにつれて増加し、π/a で c0 と等しくなる。