ヘンゼルの補題
f の r まわりでのテイラー展開
f ( s ) = ∑ n = 0 N c n ( s − r ) n , c n = f ( n ) ( r ) / n ! {\displaystyle f(s)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}(s-r)^{n},\qquad c_{n}=f^{(n)}(r)/n!}
を使う。 r ≡ s mod p k {\displaystyle r\equiv s{\bmod {p}}^{k}} なのである整数 t が存在して s − r = tp とかける。これを使うと
p 進数では、p の冪乗を法とする有理数の合同類というものを、分母が p の倍数でなければ考えることができる。このことを使うと、 法 p での根 rk から法 p での根 rk+1 を求める反復計算をずっと直感的に行うことができる。次の合同式
t f ′ ( r k ) ≡ − ( f ( r k ) / p k ) mod p m {\displaystyle tf'(r_{k})\equiv -(f(r_{k})/p^{k}){\bmod {p}}^{m}}
を解いて整数 t を見つける代わりに、有理数 t を次の式
− ( f ( r k ) / p k ) / f ′ ( r k ) {\displaystyle -(f(r_{k})/p^{k})/f'(r_{k})}
で定める。分母に p が出てくるように見えるが、 f(rk) が p で割れるため実際には出てこない。そして
r k + 1 = r k + t p k = r k − f ( r k ) f ′ ( r k ) {\displaystyle r_{k+1}=r_{k}+tp^{k}=r_{k}-{\frac {f(r_{k})}{f'(r_{k})}}}
1の p {\displaystyle p} 乗根は F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} に存在しないが、方程式 x p − x = x ( x p − 1 − 1 ) {\displaystyle x^{p}-x=x(x^{p-1}-1)} の解は存在する。次の式
d d x x p − x = p x p − 1 − 1 ≡ − 1 mod p {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{p}-x&=px^{p-1}-1\\&\equiv -1{\bmod {p}}\end{aligned}}}
は決してゼロにならないので、解が存在すればそれは Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} に持ち上げることができる。フロベニウスにより a p = a {\displaystyle a^{p}=a} なので、ゼロではない元全体 F p × {\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }} が解全体である。実は、 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} に含まれる1の冪根はこれらだけである。
h ≡ α ( f + δ f ) ( g + δ g ) ≡ α ( f + δ f ′ ) ( g + δ g ′ ) ( mod I n ) {\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g})\equiv \alpha (f+\delta '_{f})(g+\delta '_{g}){\pmod {I^{n}}}}
が成り立ち、これから
α ( f + δ f ) ( g + δ g ) − α ( f + δ f ′ ) ( g + δ g ′ ) = α ( f ( δ g − δ g ′ ) + g ( δ f − δ f ′ ) ) + α ( δ f δ g − δ f ′ δ g ′ ) ∈ I n R [ X ] {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g})&-\alpha (f+\delta '_{f})(g+\delta '_{g})\\&=\alpha (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))+\alpha (\delta _{f}\delta _{g}-\delta '_{f}\delta '_{g})\in I^{n}R[X]\end{aligned}}}
が成り立つ。帰納法の仮定から右辺の2番目の項は I n {\displaystyle I^{n}} に含まれ、(左辺もそうなので)同じことが初項についても成り立つ。
h ≡ α ( f + δ f ) ( g + δ g ) ( mod I k + 1 ) {\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{k+1}}}}
が成り立つものが存在する。しかもこれらの条件が成り立つ δ f {\displaystyle \delta _{f}} と δ g {\displaystyle \delta _{g}} は法 I k + 1 R [ X ] {\displaystyle I^{k+1}R[X]} で一意的に定まる。
そして f + δ f {\displaystyle f+\delta _{f}} と g + δ g {\displaystyle g+\delta _{g}} は f と g が満たすベズーの等式を同様に満たす。つまり
が成り立つ。なぜ直前の主張からすぐにわかるこのことをあえて述べたかというと、k の値を1つ大きくして反復計算を進めるときに、これが次のステップでの前提条件が満たされていることを意味するからである。