円柱座標変換
x -y -z 空間で定義されたベクトル場X に対して、
∫ ∂ M X = ∫ M div  X d x d y d z {\displaystyle \int _{\partial M}{\mathbf {X} }=\int _{M}{\operatorname {div} {\textbf {X}}\ dxdydz}} (5-3-1)
が成立する。この事実を、円柱面におけるガウスの発散定理という。ここで、
div  X = ( ∂ X x ∂ x ) + ( ∂ X y ∂ y ) + ( ∂ X z ∂ z ) {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {X} =\left({\frac {\partial {{X}_{x}}}{\partial x}}\right)+\left({\frac {\partial {{X}_{y}}}{\partial y}}\right)+\left({\frac {\partial {{X}_{z}}}{\partial z}}\right)} (5-3-2)
はベクトル場X の発散である。以下、証明を行う。
V = { ( r θ ζ ) | 0 ≤ r 0 ≤ θ ≤ 2 π − ∞ < ζ < ∞ } {\displaystyle V=\left\{\left.{\begin{pmatrix}r\\\theta \\\zeta \end{pmatrix}}\left|\ {\begin{array}{l}0\leq r\\0\leq \theta \leq 2\pi \\-\infty <\zeta <\infty \end{array}}\right.\right\}\right.} (1-3-2)
つまり、Φ に代入されるものは、
{ 0 ≤ r 0 ≤ θ ≤ 2 π − ∞ < ζ < ∞ {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}0\leq r\\0\leq \theta \leq 2\pi \\-\infty <\zeta <\infty \end{array}}\right.} (1-3-3)
のすべての条件を満たす点全てに限って考えることにする。
Φ の定義域を式(1-3-2) の V に制限してもよい理由は、全射性が保たれていることによる。
∫ M f d x d y d z = ∫ z = − z 0 z = z 0 ∫ x = − r 0 x = r ∫ y = − r 0 2 − x 2 y = r 0 2 − x 2 f ( x , y , z ) d x d y d z = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = − z 0 ζ = z 0 r ⋅ ( f ∘ Φ ) ( r , θ , ζ ) d r d θ d ζ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}{f\ dxdydz}&=\int _{z=-z_{0}}^{z=z_{0}}{\int _{x=-r_{0}}^{x=r}{\int _{y=-{\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}}^{y=\ {\sqrt {r_{0}^{2}-x^{2}}}}{\ f(x,y,z)\ dxdydz}}}\\&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int _{\zeta =-z_{0}}^{\zeta =z_{0}}{\ r\cdot \left(f\circ \Phi \right)(r,\theta ,\zeta )\ drd\theta d\zeta }}}\end{aligned}}} (5-1-5)
がわかる。
標準的な円柱座標変換Φに対し、Nr , Nθ , Nζ を以下のように定義し、それぞれr 法線、θ法線、ζ法線と呼ぶ。これらの定義域は、r -θ-ζ空間全域である。
N r ( r , θ , ζ ) = ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) ) ‖ ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ ζ ( r , θ , ζ ) ) ‖ = ( cos  θ sin  θ 0 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{r}}(r,\theta ,\zeta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \zeta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\right\|}}=\left({\begin{matrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\\\end{matrix}}\right)} (2-2-1)
x -y -z 空間に、標準座標系(O-xyz 系;「r -θ-ζ空間、x -y -z 空間の正体」の項参照)が定められているとする。このとき、円柱座標系P とは、
( r θ ζ ) = P ( x , y , z ) = {\displaystyle \left({\begin{matrix}r\\\theta \\\zeta \\\end{matrix}}\right)=P(x,y,z)=} ( x 2 + y 2 θ ( x , y , z ) z ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}{\sqrt {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\\\theta (x,y,z)\\z\\\end{matrix}}\right)} (1-4-1)
で表される、x -y -z からr -θ-ζ空間への多変数ベクトル値関数のことである。但し、θ(x , y , z) は、以下の定義式(1-4-2)で与えられるスカラー値関数である。θ(x , y , z) の定義域はx -y -z 空間の原点以外である。その他の成分は、x -y -z 空間全域で定義されている。従って、円柱座標系P の定義域は、x -y -z 空間の原点以外である。
∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π r ( X ς ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ ( r , θ , 0 ) ) d θ d r = ∫ r = 0 r = r 0 r ( ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X ς ( r , θ , ζ 0 ) − X ζ ( r , θ , 0 ) ) d θ ) d r = ∫ r = 0 r = r 0 r ( ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ∂ X ζ ( r , θ , ζ ) ∂ ζ d ζ d θ ) d r = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ( ∂ X ζ ( r , θ , ζ ) ∂ ζ ) r d ζ d θ d r = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ( ( ∂ X z ∂ z ) ∘ Φ ( r , θ , ζ ) ) r d ζ d θ d r = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ( ( ∂ X z ∂ z ) ∘ Φ ( r , θ , ζ ) ) ( det ( J Φ ( r , θ , ζ ) ) ) d ζ d θ d r = ∫ z = 0 z = ζ 0 ∫ x = − r x = r ∫ y = − r 2 − x 2 y = r 2 − x 2 ( ∂ X z ( x , y , z ) ∂ z ) d y d x d z {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{r=0}^{r=r_{0}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r\left(X_{\varsigma }(r,\theta ,\zeta _{0})-X_{\zeta }(r,\theta ,0)\right)\ \ d\theta }dr}&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{r\left(\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(X_{\varsigma }(r,\theta ,\zeta _{0})-X_{\zeta }(r,\theta ,0)\right)d\theta }\right)\ \ dr}\\&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{r\left(\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int _{\zeta =0}^{\zeta =\zeta _{0}}{{\frac {\partial X_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )}{\partial \zeta }}d\zeta }d\theta }\right)\ dr}\\&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int _{\zeta =0}^{\zeta =\zeta _{0}}{\left({\frac {\partial X_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )}{\partial \zeta }}\right)rd\zeta }d\theta }dr}\\&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int _{\zeta =0}^{\zeta =\zeta _{0}}{\left(\left({\frac {\partial X_{z}}{\partial z}}\right){}^{\circ }\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)rd\zeta }d\theta }dr}\\&=\int _{r=0}^{r=r_{0}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int _{\zeta =0}^{\zeta =\zeta _{0}}{\left(\left({\frac {\partial X_{z}}{\partial z}}\right){}^{\circ }\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)\left(\det(J\Phi (r,\theta ,\zeta ))\right)d\zeta }d\theta }dr}\\&=\int _{z=0}^{z=\zeta _{0}}{\int _{x=-r}^{x=r}{\int _{y=-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}^{y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}{\left({\frac {\partial X_{z}(x,y,z)}{\partial z}}\right)dy}dx}dz}\end{aligned}}} (5-3-12)
N Δ 1 ( r , θ ) = ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , 0 ) ) × ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , 0 ) ) ‖ ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , 0 ) ) × ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , 0 ) ) ‖ = N ζ ( r , θ , ζ 0 ) = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{{\Delta }_{1}}}(r,\theta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,0)\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,0)\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,0)\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,0)\right)\right\|}}={{\mathbf {N} }_{\zeta }}(r,\theta ,{{\zeta }_{0}})=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)} (3-2-12)