レイリー・ジーンズの法則
P ( n ) = exp  ( − n h ν / k T ) ∑ n = 1 ∞ exp  ( − n h ν / k T ) = exp  ( − n h ν / k T ) Z {\displaystyle P(n)={\frac {\exp(-nh\nu /kT)}{\sum _{n=1}^{\infty }\exp {(-nh\nu /kT)}}}={\frac {\exp {(-nh\nu /kT)}}{Z}}}
で与えられることから、その期待値は
⟨ ε ν ⟩ = ∑ n = 1 ∞ ε ν ( n ) P ( n ) = h ν e h ν / k T − 1 {\displaystyle \langle \epsilon _{\nu }\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }\epsilon _{\nu }(n)P(n)={\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}}
となり、プランクの公式を与える結果が得られる。離散的なエネルギーの間隔をゼロとし、エネルギーが連続的であるとする極限 hν → 0 では
⟨ ε ν ⟩ → k T {\displaystyle \langle \epsilon _{\nu }\rangle \rightarrow kT}
となり、レイリー・ジーンズの公式を与える結果になる。
レイリー・ジーンズの公式とプランクの公式のエネルギー密度は両者ともに
u ( ν , T ) = m ( ν ) ⟨ ε ν ⟩ {\displaystyle u(\nu ,T)=m(\nu )\langle \epsilon _{\nu }\rangle }
と、電磁波の体積当たりのモード数であるモード密度 m(ν) と振動数 ν の調和振動子の温度 T での平均エネルギー〈εν〉 の積となっている。モード密度は
m ( ν ) = 8 π ν 2 c 3 {\displaystyle m(\nu )={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}}}}
と共通であるが、レイリー・ジーンズの公式が古典統計力学に基づく
⟨ ε ν ⟩ = k T {\displaystyle \langle \epsilon _{\nu }\rangle =kT}
を適用しているのに対し、プランクの公式は光子の量子統計性に基づく
⟨ ε ν ⟩ = h ν e h ν / k T − 1 {\displaystyle \langle \epsilon _{\nu }\rangle ={\frac {h\nu }{e^{h\nu /kT}-1}}}
を適用している。
一方、空洞炉内の電磁波のエネルギーは電場 E(r,t)、磁場 B(r,t) によって
U = 1 2 ∫ { ε 0 E 2 ( r , t ) + 1 μ 0 B 2 ( r , t ) } d 3 r = 2 ε 0 V ∑ k ω k 2 ( A k ⋅ A k ∗ ) {\displaystyle {\begin{aligned}U&={\frac {1}{2}}\int \left\{\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}(\mathbf {r} ,t)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}(\mathbf {r} ,t)\right\}d^{3}\mathbf {r} \\&=2\epsilon _{0}V\sum _{\mathbf {k} }\omega _{k}^{\,2}(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }\cdot \mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast })\end{aligned}}}
で与えられる。ここで実の正準変数 Qk(t), Pk(t) の組を