ペンテーション
ペンテーションがベースとしているテトレーションが高さ非整数の場合へ拡張されていないので、今のところペンテーション a ↑ 3 b {\displaystyle a\uparrow ^{3}b} が定義されているのは整数 a > 0 , b > 0 {\displaystyle a>0,~b>0} の場合に限られているが、その他にも一意に値が定義できるような整数が存在するかもしれない。
第三のハイパー演算(冪乗)およびそれ以上のハイパー演算と同様、ペンテーションは以下の自明な恒等式を満たす。
1 ↑ 3 b = 1 {\displaystyle 1\uparrow ^{3}b=1}
a ↑ 3 1 = a {\displaystyle a\uparrow ^{3}1=a}
また、次のように定めることができる。
a ↑ 3 0 = 1 {\displaystyle a\uparrow ^{3}0=1}
a ↑ 3 − 1 = 0 {\displaystyle a\uparrow ^{3}-1=0}
ペンテーションは極めて急速に値が増大するため、値を従来の表記法で書き下せるのは一部の場合に限られている。