漸近展開
が成立する。
x 0 = ∞ {\displaystyle \scriptstyle x_{0}=\infty } のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。 例えば、漸近級数が漸近冪級数
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k x k ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{x^{k}}}\ \ \ (x\to \infty )}
を持つ場合、
∫ x ∞ ( f ( t ) − a 0 − a 1 t ) d t ∼ ∑ k = 2 ∞ a k ( k − 1 ) x k − 1 ( x → ∞ ) {\displaystyle \int _{x}^{\infty }\left(f(t)-a_{0}-{\frac {a_{1}}{t}}\right)dt\sim \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {a_{k}}{(k-1)x^{k-1}}}\ \ \ (x\to \infty )}
とする必要がある。
任意の関数 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} に対して、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば
1 / ( x − 1 ) ∼ ∑ k = 1 ∞ x − k ( x → ∞ ) {\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }x^{-k}\ \ \ \ (x\to \infty )}
1 / ( x − 1 ) ∼ ∑ k = 1 ∞ ( x 2 + x + 1 ) x − 3 k ( x → ∞ ) {\displaystyle 1/(x-1)\sim \sum _{k=1}^{\infty }(x^{2}+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to \infty )}
ガンマ関数は
Γ ( x + 1 ) ∼ 2 π x ( x e ) x ( 1 + 1 12 x + 1 288 x 2 − 139 51840 x 3 − ⋯ ) ( x → ∞ ) {\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\left(1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \right)\ \ \ (x\to \infty )}
という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている。