普遍係数定理
Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とする。さらに短完全系列
0 ⟶ A ⟶ ι B ⟶ p M → 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0}
でA、Bが自由R-加群であるものを選び、
0 ⟶ A ⊗ R N ⟶ ι ⊗ R 1 N B ⊗ R N ⟶ p ⊗ R 1 N M ⊗ R N ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A\otimes _{R}N{\overset {\iota \otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}B\otimes _{R}N{\overset {p\otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}M\otimes _{R}N\longrightarrow 0}
を考えると必ずしも完全系列にならない。そこで
T o r R ( M , N ) := K e r ( ι ⊗ R 1 N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N):=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})}
と定義する。
(有限個の素数pを除いて T n , p = 0 {\displaystyle T_{n,p}=0} である)。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる:
命題 ― 上記の設定のもと:
H n ( C ∗ ⊗ M ) ≈ H n ( C ∗ ) ⊗ M ⊕ Tor R  ( H n − 1 ( C ∗ ) , M ) ≈ { Z p r a n k ( F n ) + r a n k ( T n − 1 , p ⊗ Z p ) if M = Z p M r a n k ( F n ) if M = Q , R , C {\displaystyle H_{n}(C_{*}\otimes M)\approx H_{n}(C_{*})\otimes M\oplus \operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\approx {\begin{cases}\mathbb {Z} _{p}{}^{\mathrm {rank} (F_{n})+\mathrm {rank} (T_{n-1,p}\otimes \mathbb {Z} _{p})}&{\text{if }}M=\mathbb {Z} _{p}\\M^{\mathrm {rank} (F_{n})}&{\text{if }}M=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} \end{cases}}}
詳細はExt関手の項目を参照されたい。
Ext関手は以下を満たす:
命題 ― Rを単項イデアル整域、M、NをR-加群とするとき、次が成立する:
E x t ( ⊕ λ ∈ Λ M λ , N ) = ⊕ λ ∈ Λ E x t ( M λ , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)=\oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M_{\lambda },N)} 。ここで「 ⊕ {\displaystyle \oplus } 」はR-加群としての直和である。
E x t ( M , ∏ λ ∈ Λ N λ ) = ∏ λ ∈ Λ E x t ( M , N λ ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (M,\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }N_{\lambda })=\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M,N_{\lambda })} 。ここで「 ∏ {\displaystyle \textstyle \prod } 」はR-加群としての直積である。
Mが自由R-加群なら E x t ( M , N ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} (M,N)=0}