生成消滅演算子
[ a ( f ) , a † ( g ) ] = ⟨ f | g ⟩ {\displaystyle [a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f|g\rangle } ,
フェルミ粒子での生成消滅演算子は、反交換関係を用いて以下のように定義される。フェルミ粒子で交換関係を用いると、エネルギー固有値に下限が無くなる、負のノルム状態が現れるなど、物理的に意味のある理論が得られないためである。
{ a ( f ) , a ( g ) } = { a † ( f ) , a † ( g ) } = 0 {\displaystyle \{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0}
{ a ( f ) , a † ( g ) } = ⟨ f | g ⟩ {\displaystyle \{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f|g\rangle }
消滅演算子 a ^ ( f ) {\displaystyle {\hat {a}}(f)\ } は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上で反線形である。生成演算子 a ^ † ( f ) {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }(f)\ } は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上で線形である。