ムーア・ペンローズ逆行列
擬似逆行列の計算は、エルミートの場合の構成法に還元できる。これは、以下の等価性によるものである。
ここで、 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} と A A ∗ {\displaystyle AA^{*}} はエルミートである。
A : ( ker  A ) ⊥ → ran  A {\displaystyle A\colon \left(\ker A\right)^{\perp }\to \operatorname {ran} A} と制限すると、同型写像となる。これは、 ran  A {\displaystyle \operatorname {ran} A} 上で A + {\displaystyle A^{+}} がこの同型写像の逆写像となり、 ( ran  A ) ⊥ {\displaystyle \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }} 上で核が逆写像となることを含意する。
言い換えれば: k m {\displaystyle \mathbb {k} ^{m}} の元 b {\displaystyle b} が与えられたとき、 A + b {\displaystyle A^{+}b} を探すために、まず A {\displaystyle A} の値域に直交するように b {\displaystyle b} を射影し、値域内の点 p ( b ) {\displaystyle p(b)} を探す。
2次正方行列
A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
の擬似逆行列は a d − b c ≠ 0 {\displaystyle ad-bc\neq 0} のとき、
A + = A − 1 = 1 a d − b c ( d − b − c a ) {\displaystyle A^{+}=A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}
である。 a d − b c = 0 {\displaystyle ad-bc=0} のとき、 A ≠ O {\displaystyle A\neq O} のときは
A + = 1 | a | 2 + | b | 2 + | c | 2 + | d | 2 ( a ̄ c ̄ b ̄ d ̄ ) {\displaystyle A^{+}={\frac {1}{|a|^{2}+|b|^{2}+|c|^{2}+|d|^{2}}}{\begin{pmatrix}{\bar {a}}&{\bar {c}}\\{\bar {b}}&{\bar {d}}\end{pmatrix}}}
となる。 A = O {\displaystyle A=O} のときは
A + = O = ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle A^{+}=O={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}
である。
A ∈ k m × n {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n}} の行が線型独立の場合( m ≤ n {\displaystyle m\leq n} )、 A A ∗ {\displaystyle AA^{*}} は可逆である。この場合の明示的な式は以下の通り。
これは、列フルランクまたは行フルランクの特殊なケースである(上記で扱った)。 A {\displaystyle A} が正規直交列( A ∗ A = I n {\displaystyle A^{*}A=I_{n}} )または正規直交行( A A ∗ = I m {\displaystyle AA^{*}=I_{m}} )を持つならば、以下の式が成り立つ:
つまり、 A + {\displaystyle A^{+}} は A {\displaystyle A} の右逆行列となる: A A + = I m {\displaystyle AA^{+}=I_{m}}