平面波
物理的には、空間変数 x と時間変数 t は異なるものであるが、数学ではどちらも単なる変数である。この意味において、d 次元の時間変数を持つ平面波は、d + 1 変数の時間変数を持たない平面波と見做すことができる。
時間変数を持つ平面波
Φ ( x , t ) = f ( 2 π ( k ⋅ x − ω t ) ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}},t)=f(2\pi ({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}-\omega t))}
に対して、新たに K を、空間成分 k と、時間成分 −ω を並べた d + 1 次元の実数ベクトルとする。即ち、
K = ( k 1 ⋮ k d − ω ) {\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\left({\begin{array}{c}k_{1}\\\vdots \\k_{d}\\-\omega \end{array}}\right)}