サードの定理
この定理にはいろいろな形が知られており、それぞれの分野において特異点の理論の基礎となった。
まず、m = 1 の場合を証明したのは1939年のモースである(Morse 1939)。また、一般の場合を証明したのは1942年のサードである(Sard 1942)。 さらに、無限次元のバナッハ空間については、スメールが証明した。
本定理は、高度な解析学を用いて証明される強力な定理である。位相幾何学においては、(たとえば、ブラウワーの不動点定理や諸々のモース理論の応用において)本定理の系である「定数写像でない滑らかな写像は少なくとも 1 つの正則な値をとる」、あるいは「――したがって、少なくとも 1 つの正則点がある」という定理を導くためにたびたび使われている。
1965年に、本定理はサードによってさらに一般化された。それによると、f : M → N が C 級で、k ≧ max { n - m + 1, 1 } であるとし、M 上の点 x であって dfx の階数が r 以下であるような点 x 全体の集合をArとするとき、f ( Ar ) のハウスドルフ次元は r 以下であるというのである。