オンシェルとオフシェル
D-次元ミンコフスキー空間の中のスカラー場が一つの例である。ラグランジアン密度が L ( φ , ∂ μ φ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )} により与えられたとすると、作用は、
S = ∫ d D x L ( φ , ∂ μ φ ) {\displaystyle S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )}
である。この作用のオイラー=ラングランジュ方程式は、場を変動させ変分を 0 とすることにより見つけることができ、
∂ μ ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) = ∂ L ∂ φ {\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}}
である。ここで、無限小の時空平行移動 x μ → x μ + α μ {\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }} を考える。ラグランジアン密度 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} はスカラーであり、従って、 δ L = α μ ∂ μ L {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}} として変換する。
ラグランジアン密度をテイラー展開すると、 δ L {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}} に対し同値な表現を得る。
δ L = ∂ L ∂ φ δ φ + ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) δ ( ∂ μ φ ) . {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )\ .}
(変分は時空の各々の・で独立であるので)、 δ L {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}} へ代入し、 δ ( ∂ μ φ ) = ∂ μ ( δ φ ) {\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )} に注意すると、