コーシーの主値
∫ − 1 1 d x x {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}}
は、±∞ の両方の値を取り得る。
同じように
lim a → ∞ ∫ − a a 2 x x 2 + 1 d x = 0 , {\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x}{x^{2}+1}}dx=0,}
lim a → ∞ ∫ − 2 a a 2 x x 2 + 1 d x = − log e  4 {\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x}{x^{2}+1}}dx=-\log _{e}4}
の場合も
∫ − ∞ ∞ 2 x x 2 + 1 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}+1}}dx}
は、±∞ の両方の値を取り得る。
ii) 無限のとき
関数 f に対して
∫ − ∞ 0 f ( x ) d x = ± ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(x)\,dx=\pm \infty }
∫ 0 ∞ f ( x ) d x = ∓ ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=\mp \infty }
が成り立つ場合に(複号同順)
lim a → ∞ ∫ − a a f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx}
で定められる値をコーシーの主値という。
もし b ( − ∞ < b < ∞ ) {\displaystyle b(-\infty <b<\infty )} においてi)と同じ条件が成り立っている、つまり b {\displaystyle b} と無限の両方が特異点であるとき、コーシーの主値は次のように定義される:
iii) 複素線積分における定義 複素関数 f ( z ) ( z = x + i y ∈ C , x , y ∈ R ) {\displaystyle f(z)(z=x+iy\in \mathbb {C} ,x,y\in \mathbb {R} )} が経路 C {\displaystyle C} 上に極を持つとする。
コーシーの主値の表し方は特に決まっておらず、著者によって様々である。概ね、以下の
P V ∫ f ( x ) d x , {\displaystyle PV\int f(x)dx,}
P ∫ f ( x ) d x {\displaystyle {\mathcal {P}}\int f(x)dx}
のように、P.V., PV, P, Pv, (CPV), V.P. のような記号を符牒として積分の通常の記法に付して用いるが、特にこれらに限られるというわけでもなく、⨍ f(x) dx なども用いられ、その時の前後の文脈から判断する必要があるといえる。