かけ算の順序問題
日本の学校教育では、小学校2年生の算数でかけ算の導入が行なわれる。小学校2年生の算数教科書では、
1つぶんの数 × いくつ分 = ぜんぶの数
として、かけ算の導入がなされる。 (この節の説明では、フォントの都合上、xと×の見分けがつきにくい部分があるのでxをm、yをnに置き換える。)
例えば、
☆1(ア) 1 冊 m 円のノートを8 冊買います。代金をn 円としてmとnの関係を式に表しましょう。 — 啓林館 小6算数教科書『わくわく算数6上』 p.58
という問題の正解は「m × 8 = n」と教科書に示されている。
この教科書の指導書では、
と説明されている。ただし、これは日本語の構文に従って式を作った場合であって、例えば、関係代名詞を使った英語の構文に従って式を立てると、順序は逆になる。さらに、
1個 m 円の弁当を3 個まとめて買うと、80 円安くなります。 このときの代金を表している式は、次のどれですか。
(あ) m×3+80
(い) 3×m+80
(う) m×3-80
そういうことを改善するためにぜひ、何らかの対策を打ってほしいと思います。
と述べた。
2007年、数学者の岩永恭雄は伊藤武広ら(1993)と守一雄(1994)の論文を再検討する論文を発表した。岩永は教師の誤りと断じるとともに、その原因を考察し、教科書および指導書の記述が不適切であることを指摘した。
2008年の小学校学習指導要領解説算数編p147では
(長方形の面積)=(縦)×(横)(もしくは(横)×(縦))
と但し書きが書かれている。
2008年、京都大学の田中耕治は、作問法によるパフォーマンス評価の出題例として「4×8=32となるようなお話をつくってください」を挙げ、採点基準の一つに、「乗数と被乗数の意味が区別されているか(とくに正比例型では「4」は「一あたり量」,「8」は「いくつ分」と区別されているか)」を示した。ここで正比例型は「一あたり量×いくつ分=全体量」で表される。
2011年1月15日 朝日新聞 夕刊 「花まる先生公開授業」では、「3 × 2だと3本耳のウサギが2羽いることになる。」「2 × 8だと2本足のタコが8ひきいることになる。」という授業を肯定的にとりあげた。
2011年5月26日、算数教育史家の高橋誠は『かけ算には順序があるのか』を著し、「指導書は「式」と「計算」を区別して扱っており、「計算」では交換法則が成り立つが「式」には順序に意味があるので勝手に順序を変えることはできないとしている」と指摘した。また、このような指導に対しては以下のような批判がなされていると指摘した。
かけ算には交換法則が成り立つから、「いくら分 × 1あたり量」という順序で書いてもよい。
第2学年では、「12個のおはじきを工夫して並べる」という活動において、次のようにおはじきを並べ、複数の式を記載している。これは「一つの数をほかの数の積としてみる」ことを意図したものである。
●●●●●● ●●●●●● 2×6 または6×2 ●●●● ●●●● ●●●● 3×4 または4×3
第4学年の長方形の面積の公式では、「(長方形の面積)=(縦)×(横)(もしくは(横)×(縦))」とある。
学習指導要領は「教育課程の標準」「各教科で教える内容」を定めたものであり、例示として片方の順序を示しているところはあっても、その片方の順序でのみ式を書くことを要請する文は存在せず、他方の順序を不正解とすることもない。学習指導要領・学習指導要領解説に基づき教材や授業、テストとして具体化されていく中で、特定の順序が選択される。そのとき、逆の順序に書かれた式を正解とするか不正解とするかは様々である。
文部科学省初等中等教育局教育課程課は中日新聞の取材に答えて「かけ算の意味を理解させるよう定めているが、順序については国が定めるものではない」と述べるとともに、指導要領解説の「10 × 4は、10が四つあることから、40になる」を根拠に「順序に意味がある」とする解釈については「深く考えすぎだと思う」と否定している。