擬微分作用素
滑らかな有界函数係数の m-階線型微分作用素は m-階の擬微分作用素である。
二つの擬微分作用素 P, Q の合成 PQ はふたたび擬微分作用素であり、PQ の表象は P および Q の表象を用いて計算することができる。擬微分作用素の随伴および転置はまた擬微分作用素である。
m-階微分作用素が楕円型かつ可逆ならば、逆作用素もまた −m-階の擬微分作用素で、表象はもとの微分作用素の表象から計算できる。これはつまり、楕円型線形微分方程式は擬微分作用素論を用いて陰に陽に解くことができるということである。
微分作用素が(その振舞いを知るのにある点の近傍での函数の値しか必要としないという意味で)「局所的」であるのに対し、擬微分作用素は「擬局所的」である。これは厳密さをさておけば、シュヴァルツ超函数が滑らかな点においてそれに擬微分作用素を作用させたものは特異点を生まないという意味である。
微分作用素が D = −i(d/dx) を用いて
p ( x , D ) {\displaystyle p(x,D)}
なる形の D を変数とする多項式 p(つまり表象)で表されるのと同様に、擬微分作用素はより一般の函数のクラスに表象を持つ。しばしば擬微分作用素に関する解析学を、その表象を含む代数的な問題の列に帰着することができる。このことは超局所解析の本質である。