微分形式
従って多様体 M 全体で定義された関数の外微分も、局所的には上の式によって定義することで、座標系の選択によらない自然な量として定義できる。
微分 k 形式
ξ = ∑ f i 1 , ... , i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \xi =\sum f_{i_{1},\dotsc ,i_{k}}\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}}
に対しては、微分 k+1 形式
d ξ = ∑ d f i 1 , ... , i k ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \mathrm {d} \xi =\sum \mathrm {d} f_{i_{1},\dotsc ,i_{k}}\wedge \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}}
を対応させる。これもふたたび局所的な座標系の取り方にはよらず、M 上の微分形式に対する外微分が考えられることになる。
このような写像 d を外微分(がいびぶん)とよぶ。任意の微分形式 ξ に対して 2 回外微分を施すと必ず
d ( d ξ ) = 0 {\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} \xi )=0}
となる。これは2つの変数に関する偏微分同士の交換性によっている。
である。ここで、 σ は置換であり、 sgn(σ) は置換 σ の符号である。
i1, ..., ik を並べ替えたときに、それが奇置換なら符号は負になるということである。
したがって、次数の高い微分形式でも同じ微分 1 形式を含んでいたら 0 になる。
d x 1 ∧ d x 3 ∧ d x 4 ∧ d x 1 = 0 {\displaystyle \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{3}\wedge \mathrm {d} x_{4}\wedge \mathrm {d} x_{1}=0}
関数 f については、どの微分 1 形式の係数と考えても良く
f d x a ∧ d x b = ( f d x a ) ∧ d x b = d x a ∧ ( f d x b ) {\displaystyle f\,\mathrm {d} x_{a}\wedge \mathrm {d} x_{b}=(f\,\mathrm {d} x_{a})\wedge \mathrm {d} x_{b}=\mathrm {d} x_{a}\wedge (f\,\mathrm {d} x_{b})}