物質微分
実際、 L = m 2 ∑ k ( h k q ̇ k ) 2 {\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum _{k}(h_{k}{\dot {q}}^{k})^{2}} に対して ( d / d t ) ( ∂ L / ∂ q ̇ j ) − ( ∂ L / ∂ q j ) = 0 {\displaystyle ({\mathrm {d} /\mathrm {d} t})({\partial L/\partial {\dot {q}}^{j}})-({\partial L/\partial q^{j}})=0} を計算すると、
d v j d t − ∑ k { v k h k h j ( v j ∂ h j ∂ q k − v k ∂ h k ∂ q j ) } = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} v_{j} \over \mathrm {d} t}-\sum _{k}\left\{{\frac {v_{k}}{h_{k}h_{j}}}\left(v_{j}{\partial h_{j} \over \partial q^{k}}-v_{k}{\partial h_{k} \over \partial q^{j}}\right)\right\}=0}
が得られる。ただし、 v k = h k q ̇ k {\displaystyle v_{k}=h_{k}{\dot {q}}^{k}} であり、 h ̇ k = ∑ i ∂ h k ∂ q i q ̇ i {\displaystyle {\dot {h}}_{k}=\sum _{i}{\partial h_{k} \over \partial q^{i}}{\dot {q}}^{i}} を使う。
外力のない非粘性のバロトロピック流体の定常な流れを考える。非粘性流体の流れを記述するオイラー方程式
D v D t = − 1 ρ ∇ p + f {\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}=-{1 \over \rho }\nabla p+{\boldsymbol {f}}}
は定常、外力がない、バロトロピックという条件では
∂ ∂ s ( v 2 2 ) e s − v 2 R e r = − ∇ ∫ d p ρ {\displaystyle {\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}\right){\boldsymbol {e}}_{s}-{v^{2} \over R}{\boldsymbol {e}}_{r}=-\nabla \int {\mathrm {d} p \over \rho }}
と変形できる。
方程式の両辺にそれぞれ e s , e r {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{s},\,{\boldsymbol {e}}_{r}} を内積でかけることで、流線方向(接線)成分、半径方向(主法線)成分は、
時間 t {\displaystyle t} の代わりに固有時間 τ {\displaystyle \tau } による物質微分を構成することもできる.具体的に,次式で与えられる.
D A μ ( x ) D τ = v ν ∇ ν A μ . {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} A^{\mu }(x)}{\mathrm {D} \tau }}=v^{\nu }\nabla _{\nu }A^{\mu }.}
v ν {\displaystyle v^{\nu }} は流体の四元速度, A μ ( x ) {\displaystyle A^{\mu }(x)} は四元時空を変数とするベクトルである.とくに, A μ ( x ) {\displaystyle A^{\mu }(x)} を速度とすると,測地線方程式となり,零になる.
D v μ ( x ) D τ = v ν ∇ ν v μ = v ν ( ∂ ν v μ + Γ ν λ μ v λ ) = ∂ x ν ∂ τ ∂ v μ ∂ x ν + Γ ν λ μ v λ v ν = ∂ 2 x μ ∂ τ 2 + Γ ν λ μ ∂ x λ ∂ τ ∂ x λ ∂ τ = 0.