フロベニウス自己準同型
R と S を標数 p の環、φ : R → S を環準同型とすると、
φ ( x p ) = φ ( x ) p {\displaystyle \phi (x^{p})=\phi (x)^{p}}
が成り立つ。ここで FR と FS をそれぞれ R と S 上のフロベニウス写像とすれば、この式は
φ ∘ F R = F S ∘ φ {\displaystyle \phi \circ F_{R}=F_{S}\circ \phi }
と書き換えられる。つまりフロベニウス写像たちは標数 p の可換環がなす圏の恒等関手上の自然変換である。
R が被約環(たとえば体などの整域)のとき、フロベニウス写像は単射となる。なぜならば、F(r) = 0 は r = 0 を意味するので r は冪零であり、自明となるから。さらに逆も正しい。
またフロベニウス写像は、R が体であるときでさえ、全射であるとは限らない。たとえば、K = Fp(t) を p 元体 Fp に超越元 t を添加した体とする。同じことだが、K = Fp(t) を Fp 係数の一変数有理函数の体とする。このとき、F の像は t を含まない。もし t を像に含むとすると、有理函数 q(t)/r(t) で、その p 乗 q(t)/r(t) が t となるものが存在する。しかし、この p 乗の次数は p deg(q) − p deg(r) ゆえ、p の倍数である。特に、t の次数 1 とは一致しない。これは矛盾。以上から、t は F の像ではない。
体 K が完全であるとは、標数が 0 であるか、正の標数かつフロベニウス写像が全射であることを言う。たとえば、すべての有限体は完全である。
F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} のすべての元は、多項式 X p e − X {\displaystyle X^{p^{e}}-X} の根であるので、K が F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} の代数拡大であれば、F を K のフロベニウス写像としたとき、 K の F に関する不変体は F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} である。R が F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} -代数であるような整域であれば、フロベニウス写像の e 乗の固定点は F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} の像の元である。
フロベニウス写像の繰り返しは、R の元の列
x , x p , x p 2 , x p 3 , ... {\displaystyle x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\dotsc }
をもたらす。この繰り返しの列は、フロベニウス閉包(英語版)(Frobenius closure)やイデアルの密着閉包(tight closure)の定義に使われる。
p を素数、 R を標数 p の可換環(たとえば、有限体や正標数の整域)とする。フロベニウス自己準同型写像(フロベニウス写像) F : R → R は、R の任意の元 r に対し
F ( r ) = r p {\displaystyle F(r)=r^{p}}
により定義される。明らかに、これは R の乗法と整合的、つまり
F ( r s ) = ( r s ) p = r p s p = F ( r ) F ( s ) {\displaystyle F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s)}
が成り立ち、さらに
F ( 1 ) = 1 {\displaystyle F(1)=1}
となる。一方で、 R の加法に関しても興味深いことが言える。式 (r + s) を二項展開する。p は素数であるので、p! を割り切るが、q < p に対しいかなる q! も割り切らない。よって 1 ≤ k ≤ p − 1 であれば、p は二項係数
p ! k ! ( p − k ) ! {\displaystyle {\frac {p!}{k!(p-k)!}}}
の分子を割り切るが、分母を割り切らない。
したがって、 r と s を除くすべての項の係数は標数 p で割り切れるので、それらは消える。したがって、
F ( r + s ) = ( r + s ) p = r p + s p = F ( r ) + F ( s ) {\displaystyle F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s)}
となる。以上からフロベニウス写像 F : R → R は環準同型である。