位相的場の理論
全ての時空を同時に考える、 h B o r d M {\displaystyle hBord_{M}} をより大きなカテゴリで置き換える必要がある。 B o r d n {\displaystyle Bord_{n}} をボルディズムのカテゴリとする。すなわち、射が境界を持った n-次元多様体であり、対象(object)が n 次元多様体の境界の連結成分であるようなカテゴリとする。(任意の ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -次元多様体が B o r d n {\displaystyle Bord_{n}} 対象(object)として現れるかもしれない) 上のように、2つの射が B o r d n {\displaystyle Bord_{n}} の中で同値とは、それらがホモトピックであり、商カテゴリ h B o r d n {\displaystyle hBord_{n}} を形成する場合をいう。
(Witten 1988b)はこの理論の適当なラグランジアンを書き下した。フレアーは(Witten 1982)のモース理論のアイデアに基づき、厳密に扱うフレアーホモロジーを考案した。境界条件が周期的であることに代り、区間である場合には、経路の最初の端点と最後の端点は2つのラグランジュ部分多様体の上にある。この理論は、グロモフ・ウィッテン不変量の理論として発展した。
他の例は、正則な共形場理論であり、1988年当時はヒルベルト空間が無限次元であるため厳密な量子場理論ではなかったかもしれない。共形場理論もコンパクトリー群 G {\displaystyle G} に関連していて、そこでは古典的な相空間はループ群 L G {\displaystyle LG} の中心拡大からなる。これらを量子化すると、 L G {\displaystyle LG} の既約な(射影的)表現論のヒルベルト空間が生成される。ここで群 D i f f + ( S 1 ) {\displaystyle Diff_{+}(S^{1})} は対称群にとってかわり、重要な役目を果たす。そのような理論の分配関数は、複素構造に依存していて、純粋にトポロジカルではない。
d = 2 の場合の最も重要な理論はジョーンズ-ウィッテン理論である。