パラメトリック方程式
例として、最も単純な方程式として次の放物線の式を考える。
y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}\,}
これを自由な媒介変数 t を使って次のようにも表せる。
x = t {\displaystyle x=t\,}
y = t 2 {\displaystyle y=t^{2}\,}
これはやや自明な例だが、半径 a の円をパラメトリックに表すと次のようになる。
x = a cos  ( t ) {\displaystyle x=a\cos(t)\,}
y = a sin  ( t ) {\displaystyle y=a\sin(t)\,}
パラメトリック方程式は、高次元空間での曲線を表すのに便利である。例えば、
x = a cos  ( t ) {\displaystyle x=a\cos(t)\,}
y = a sin  ( t ) {\displaystyle y=a\sin(t)\,}
z = b t {\displaystyle z=bt\,}
これは3次元の螺旋状の曲線を表しており、半径が a で、1周するごとに 2πb だけ上昇する。なお、z値を除くと円の方程式と全く同じである点に注意。
この方程式を次のように表記することも多い。
r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) = ( a cos  ( t ) , a sin  ( t ) , b t ) {\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,}