多角数定理
三平方和定理により、8N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから
8 N + 1 = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y ) 2 + ( 2 z ) 2 {\displaystyle 8N+1=(2x+1)^{2}+(2y)^{2}+(2z)^{2}\,}
N = x ( x + 1 ) 2 + ( y + z 2 ) 2 + ( y − z 2 ) 2 {\displaystyle N={\frac {x(x+1)}{2}}+\left({\frac {y+z}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {y-z}{2}}\right)^{2}}
となる x, y, z が存在する。法 8 で考え、y, z は共に偶数か共に奇数である。したがって、全ての自然数は高々一個の三角数と二個の平方数の和で表される。同じく三平方和定理により、4N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから
N = ( m − 2 ) a − ( m − 4 ) b 2 + r = ( m − 2 ) ( w 1 2 + w 2 2 + w 3 2 + w 4 2 ) − ( m − 4 ) ( w 1 + w 2 + w 3 + w 4 ) 2 + r = P m ( w 1 ) + P m ( w 2 ) + P m ( w 3 ) + P m ( w 4 ) + r P m ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}N&={\frac {(m-2)a-(m-4)b}{2}}+r\\&={\frac {(m-2)(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}+w_{4}^{2})-(m-4)(w_{1}+w_{2}+w_{3}+w_{4})}{2}}+r\\&=P_{m}(w_{1})+P_{m}(w_{2})+P_{m}(w_{3})+P_{m}(w_{4})+rP_{m}(1)\end{aligned}}}
となる。ただし
P m ( k ) = ( m − 2 ) k 2 − ( m − 4 ) k 2 {\displaystyle P_{m}(k)={\frac {(m-2)k^{2}-(m-4)k}{2}}}
とする。0 ≤ r ≤ m - 4 であるから、wn ≥ 0 であれば N ≥ 108(m - 2) が高々 m 個の m 角数で表されることになる。以下において wn ≥ 0 であることを証明する。
b < 2 3 + 8 N m − 2 − 8 < 2 ( m − 4 m − 2 ) + 8 N − 8 r m − 2 = b ′ ( ⇐ m ≥ 5 , r ≤ m − 4 ) {\displaystyle b<{\frac {2}{3}}+{\sqrt {{\frac {8N}{m-2}}-8}}<2\left({\frac {m-4}{m-2}}\right)+{\sqrt {\frac {8N-8r}{m-2}}}=b'\qquad (\Leftarrow {m\geq 5,r\leq {m-4}})}