三角関数
この他にも定積分による(逆三角関数を用いた)定義や複素平面の角の回転による定義などが知られている。
単位円の周上に 2 点 P = (cosp, sinp), Q = (cosq, sinq) を取る。P と Q を結ぶ線分の長さを PQ として、その 2 乗 PQ を 2 通りの方法で求めることを考える(右図も参照)。
P と Q の x 座標の差と y 座標の差から、三平方の定理を用いて PQ を求める。
次に Q = (cos0, sin0) = (1, 0) となるような座標系を取り、同様に三平方の定理から PQ を求める。この座標系に対する操作は、x 軸および y 軸を角度 q だけ回転させる操作に相当するので、P = (cos(p − q), sin(p − q)) となる。従って、
となる。
(1) と (2) の右辺が互いに等しいことから、次の cos に関する加法定理が得られる。
三角関数の他の性質を利用することで、(3) から sin の加法定理なども導くことができる。
exp z, cos z, sin z の級数による定義から、オイラーの公式 exp (iz) = cos z + i sin z を導くことができる。この公式から下記の 2 つの等式
exp  ( i z ) = e i z = cos  z + i sin  z , exp  ( − i z ) = e − i z = cos  z − i sin  z {\displaystyle {\begin{aligned}\exp(iz)&=e^{iz}=\cos z+i\sin z,\\\exp(-iz)&=e^{-iz}=\cos z-i\sin z\end{aligned}}}
が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の指数関数を用いた表現が可能となる。すなわち、
cos  z = e i z + e − i z 2 , sin  z = e i z − e − i z 2 i {\displaystyle {\begin{aligned}\cos z&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\\\sin z&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\end{aligned}}}
が成り立つ。この事実により、級数によらずこの等式をもって複素変数の正弦・余弦関数の定義とすることもある。また、