スピン構造
これはつまり、束写像 φ: PSpin(E) → PSO(E) が存在して、任意の p ∈ PSpin(E), g ∈ Spin(n) に対して φ(pg) = φ(p)ρ(g) が成り立つということを意味する。ここに、 ρ: Spin(n) → SO(n) はスピン群を SO(n) の二重被覆として表わす群準同型である。
E が底多様体 M 上の接束 TM である特別の場合には、スピン構造が存在するとき M をスピン多様体と呼ぶ。同じことだが、多様体 M がスピンであるとは、M の接ファイバーの正規直交基底のなす SO(n)-主束が、主スピン束の Z2-商であるときに言う。
多様体が胞体分割や三角分割を持つとき、スピン構造は等価的に、1-骨格上の接束を 2-骨格上に拡張したものの自明化 (trivialization) のホモトピー類として考えることができる。次元が 3 より低い場合には、まず自明直線束とのホイットニー和をとる。
ベクトル束 E 上のスピン構造が存在するための必要十分条件は、E の二次スティーフェル–ホイットニー類 w2 が消えていることである。これは Borel & Hirzebruch (1958)の結果である。ここで、πE: E → M が向き付け可能ベクトル束と仮定したことに注意せよ。