加群の直和
前節と同様の仕方で、有限個のヒルベルト空間 H1, ..., Hn が与えられたとき、
⟨ ( x 1 , . . . , x n ) , ( y 1 , . . . , y n ) ⟩ = ⟨ x 1 , y 1 ⟩ + . . . + ⟨ x n , y n ⟩ {\displaystyle \langle (x_{1},...,x_{n}),(y_{1},...,y_{n})\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +...+\langle x_{n},y_{n}\rangle }
を内積として直交直和が定義できる。 得られる直和は与えられたヒルベルト空間を互いに直交する部分空間として含むヒルベルト空間である。
無限個のヒルベルト空間 Hi (i ∈ I) が与えられたときにも、同じ構成を行うことができる(内積の定義に際して、非零な成分は有限個ゆえ実質有限和となることに注意する)。ただし得られるのは内積空間にはなるけれども、必ずしも完備にならない。そこで、この内積空間の完備化をヒルベルト空間 Hi のヒルベルト空間としての直和と定義する。
あるいは同じことだが、I 上定義された函数 α で
α i := α ( i ) ∈ H i ( ∀ i ∈ I ) and ∑ i ‖ α i ‖ 2 < ∞ {\displaystyle \alpha _{i}:=\alpha (i)\in H_{i}\quad (\forall i\in I)\quad {\text{ and }}\quad \sum _{i}\left\|\alpha _{i}\right\|^{2}<\infty }