余接空間
多様体間のすべての微分可能な写像 f: M → N が(微分写像あるいは微分と呼ばれる)線型写像
f ∗ : T x M → T f ( x ) N {\displaystyle f_{*}\colon T_{x}M\to T_{f(x)}N}
を誘導するのとちょうど同じように、すべてのそのような写像は余接空間の間の(引き戻し(英語版)と呼ばれる)線型写像を誘導する。このとき向きは逆である:
f ∗ : T f ( x ) ∗ N → T x ∗ M {\displaystyle f^{*}\colon T_{f(x)}^{*}N\to T_{x}^{*}M}
引き戻しは微分写像の双対(あるいは転置)として自然に定義される。定義を紐解くと、これは次を意味する:
( f ∗ θ ) ( X x ) = θ ( f ∗ X x ) {\displaystyle (f^{*}\theta )(X_{x})=\theta (f_{*}^{}X_{x})}
ただし θ ∈ Tf(x)N および Xx ∈ TxMである。それぞれがどこの元であるかを注意深く注意せよ。
点で消える滑らかな関数の同値類の言葉で余接ベクトルを定義すれば、引き戻しの定義はさらにもっと直接的である。g を f(x) で消える N 上の滑らかな関数とする。すると g によって決定される余ベクトルの引き戻し(dg と表記される)は
f ∗ d g = d ( g ∘ f ) {\displaystyle f^{*}\,\mathrm {d} g=\mathrm {d} (g\circ f)}
で与えられる。つまり、それは g ∘ f で決定される x で消える M 上の関数の同値類である。