クザンの定理
いま有界閉区間 I {\displaystyle I} とその上のゲージ δ {\displaystyle \delta } が与えられたものとする。このとき I {\displaystyle I} の δ {\displaystyle \delta } -細な点付き分割が存在することを示そう。
各 ξ ∈ I {\displaystyle \xi \in I} を中心とし長さ δ ( ξ ) {\displaystyle \delta (\xi )} の開区間を I ξ {\displaystyle I_{\xi }} と書く。すると { I ξ | ξ ∈ I } {\displaystyle \{I_{\xi }|\xi \in I\}} は I {\displaystyle I} の開被覆を成す。ハイネ・ボレルの被覆定理より I {\displaystyle I} はコンパクトであるから、先の被覆から有限部分被覆 { I ξ ∣ ξ ∈ J } {\displaystyle \{I_{\xi }\mid \xi \in J\}} を取ることができる。ここで J ⊆ I {\displaystyle J\subseteq I} は有限である。そこで点列 { ξ i | i < n } {\displaystyle \{\xi _{i}|i<n\}} を次のように再帰的に定義する: