PAW法
よって、線形変換 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} は次の三つの量で記述される。
全電子部分波の集合 | φ i ⟩ {\displaystyle |\phi _{i}\rangle }
擬部分波の集合 | φ ~ i ⟩ {\displaystyle |{\tilde {\phi }}_{i}\rangle }
プロジェクタ関数の集合 | p i ⟩ {\displaystyle |p_{i}\rangle }
そして、次のように陽に書き下せる。
T = 1 + ∑ i ( | φ i ⟩ − | φ ~ i ⟩ ) ⟨ p i | {\displaystyle {\mathcal {T}}=1+\sum _{i}\left(|\phi _{i}\rangle -|{\tilde {\phi }}_{i}\rangle \right)\langle p_{i}|}
補正領域の外側では擬部分波は全電子部分波と一致する。領域の内側では、適当な滑らかな接続関数、たとえば多項式やベッセル関数の線形結合により表わされる。
PAW法は通常、コア状態はイオンのおかれた環境により影響されないとするフローズンコア近似と共に用いられることが多い。事前に計算されたPAWデータのオンラインリポジトリがいくつか存在する。
ある線形変換 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} により、仮定上の擬波動関数 | Ψ ~ ⟩ {\displaystyle |{\tilde {\Psi }}\rangle } が全電子波動関数 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } に変換されるものとする。
| Ψ ⟩ = T | Ψ ~ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle ={\mathcal {T}}|{\tilde {\Psi }}\rangle }
「全電子」波動関数はコーン・シャム一粒子波動関数であり、多体波動関数ではないことに注意。イオンコア近傍以外では | Ψ ~ ⟩ {\displaystyle |{\tilde {\Psi }}\rangle } と | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } が一致するようにするため、線形変換を以下のように書くものとする。
T = 1 + ∑ R T ^ R {\displaystyle {\mathcal {T}}=1+\sum _{R}{\hat {\mathcal {T}}}_{R}}
ここでは T ^ R {\displaystyle {\hat {\mathcal {T}}}_{R}} はある球形の原子 R を含む補正領域 Ω R {\displaystyle \Omega _{R}} でのみ非零であるとする。