スターリング数
第1種スターリング数 [ n k ] {\displaystyle [{\textstyle {n \atop k}}]} は、組合せ数学において、 n {\displaystyle n} 個の要素を k {\displaystyle k} 個の巡回列に分割する組み合わせの数を与える。巡回列は山手線の駅のように繰り返される要素を示したデータ列である。ここでは、巡回列を ( 0 , 2 , 1 , 3 ) {\displaystyle (0,2,1,3)} のように書こう。この場合、0, 2, 1, 3の順に数値が繰り返される場合を意味する。巡回列の場合、順列ではあるが ( 0 , 2 , 1 , 3 ) {\displaystyle (0,2,1,3)} と ( 2 , 1 , 3 , 0 ) {\displaystyle (2,1,3,0)} のように要素を巡回置換した巡回列どうしは同一とみなす。したがって、 n {\displaystyle n} 個の要素で構成される巡回列の組み合わせは ( n − 1 ) ! {\displaystyle (n-1)!} 通りである。また、 ( 1 ) {\displaystyle (1)} は1個の要素で構成される巡回列であると考える。
例として4個の要素を巡回列2個に分割する組み合わせを考えよう そのような分割においては、構成要素が1個と3個の巡回列に分割する組み合わせと、構成要素が2個と2個の巡回列に分割する組み合わせがある。