アイゼンシュタイン級数
q d M d q = L M − N 3 {\displaystyle q{\frac {dM}{dq}}={\frac {LM-N}{3}}}
q d N d q = L N − M 2 2 {\displaystyle q{\frac {dN}{dq}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}}
が成り立つ。
これらの恒等式は、級数の間の恒等式のように、約数函数の畳み込みの等式をもたらす。ラマヌジャンに従い、これらの等式を最も単純な形とするためには、0 を含む σp(n) の領域を拡張する必要がある。そのため、
σ p ( 0 ) = 1 2 ζ ( − p ) . {\displaystyle \sigma _{p}(0)={\frac {1}{2}}\zeta (-p).\;} つまり
σ ( 0 ) = − 1 24 σ 3 ( 0 ) = 1 240 σ 5 ( 0 ) = − 1 504 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (0)&=-{\frac {1}{24}}\\\sigma _{3}(0)&={\frac {1}{240}}\\\sigma _{5}(0)&=-{\frac {1}{504}}.\end{aligned}}}
と置く。すると、例えば、
∑ n = 1 ∞ q n σ a ( n ) = ∑ n = 1 ∞ n a q n 1 − q n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}
を得る。アイゼンシュタイン級数のq-展開(q-expansion)を考えると、別な表し方である。
E 2 k ( τ ) = G 2 k ( τ ) 2 ζ ( 2 k ) = 1 + 2 ζ ( 1 − 2 k ) ∑ n = 1 ∞ n 2 k − 1 q n 1 − q n = 1 − 4 k B 2 k ∑ d , n ≥ 1 n 2 k − 1 q n d {\displaystyle E_{2k}(\tau )={\frac {G_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}}
が良くつかわれる。