ブロッホの定理
とすると、並進演算子 T R ^ {\displaystyle {\hat {T_{\boldsymbol {R}}}}} を用いて3次元でのブロッホの定理が証明される。
ψ ( r + R ) = e i k ⋅ R ψ ( r ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {R}})=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}}\psi ({\boldsymbol {r}})} ― (5)
また、
u k ( r ) ≡ e − i k ⋅ r ψ k ( r ) {\displaystyle u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})\equiv e^{-i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}\psi _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})}
によって定義した関数 u k ( r ) {\displaystyle u_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {r}})} は、(5)式より、