中心化群と正規化群
下記の性質は Isaacs 2009, Chapters 1−3 による。
S の中心化群と正規化群はともに G の部分群である。
明らかに、CG(S) ⊆ NG(S) である。実は、CG(S) は必ず NG(S) の正規部分群である。
CG(CG(S)) は S を含むが、CG(S) は S を含むとは限らない。S のすべての元 s, t に対して st = ts であれば含む。なのでもちろん H が G の可換な部分群であれば CG(H) は H を含む。
S が G の部分半群であれば、NG(S) は S を含む。
H が G の部分群であれば、H を正規部分群として含むような最大の G の部分群が NG(H) である。
元 a ∈ G の属する共役類の大きさと中心化群の指数 [G : CG(a)] は等しい。
群 G の部分群 H と共役な部分群の数と正規化群の指数 [G : NG(H)] は等しい。
G の部分群 H は、NG(H) = H であるときに、G の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。