行列式
n次行列に関する行列式は列に関して n重交代線型性をもつ。つまり、行列を (a1, a2, ..., an) のように列ベクトルの組の形に書くことにすれば
| ... , ( a i + a i ′ ) , ... | = | ... , a i , ... | + | ... , a i ′ , ... | , | ... , λ a i , ... | = λ ⋅ | ... , a i , ... | , | ... , a i , ... , a j , ... | = − | ... , a j , ... , a i , ... | {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\dotsc ,({\boldsymbol {a}}_{i}+{\boldsymbol {a}}'_{i}),\dotsc \right|&=\left|\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{i},\dotsc \right|+\left|\dotsc ,{\boldsymbol {a}}'_{i},\dotsc \right|,\\\left|\dotsc ,\lambda {\boldsymbol {a}}_{i},\dotsc \right|&=\lambda \cdot \left|\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{i},\dotsc \right|,\\\left|\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{i},\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{j},\dotsc \right|&=-\left|\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{j},\dotsc ,{\boldsymbol {a}}_{i},\dotsc \right|\end{aligned}}}
高階の行列に関する行列式の定義はそれから百年ほどたって日本で和算の関孝和、田中由真、そしてドイツのライプニッツによりほとんど同時にかつ独立に与えられた。