オイラーの和公式
ベルヌーイ多項式の性質(若しくは定義)により
∫ 0 1 B k − 1 ( x ) ( k − 1 ) ! f ( k − 1 ) ( x ) d x = ∫ 0 1 ( B k ( x ) k ! ) ′ f ( k − 1 ) ( x ) = [ B k ( x ) k ! f ( k − 1 ) ( x ) ] 0 1 − ∫ 0 1 B k ( x ) k ! f ( k ) ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {B_{k-1}(x)}{(k-1)!}}f^{(k-1)}(x)dx=\int _{0}^{1}\left({\frac {B_{k}(x)}{k!}}\right)'f^{(k-1)}(x)=\left[{\frac {B_{k}(x)}{k!}}f^{(k-1)}(x)\right]_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{\frac {B_{k}(x)}{k!}}f^{(k)}(x)dx}
である。有限回の部分積分を繰り返して
∫ 0 1 f ( x ) d x = ∫ 0 1 B 0 ( x ) f ( x ) d x = ∑ k = 1 m [ ( − 1 ) k − 1 B k ( x ) k ! f ( k − 1 ) ( x ) ] 0 1 + ( − 1 ) m ∫ 0 1 B m ( x ) m !
( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( 0 ) ) + R 2 m + 1 {\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}f(j)+{\frac {1}{2}}\left(f(0)+f(n)\right)=\int _{0}^{n}f(x)dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}}
R m = ( − 1 ) m + 1 ∫ 0 n B m ( x − ⌊ x ⌋ ) m ! f ( m ) ( x ) d x {\displaystyle R_{m}=(-1)^{m+1}\int _{0}^{n}{\frac {B_{m}(x-\lfloor {x}\rfloor )}{m!}}f^{(m)}(x)dx}
但し、 B n {\displaystyle B_{n}} はベルヌーイ数、 B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} はベルヌーイ多項式である。