リーマン曲率テンソル
リーマン曲率テンソルの性質
R k j i h + R i k j h + R j i k h = 0 {\displaystyle R_{kji}{}^{h}+R_{ikj}{}^{h}+R_{jik}{}^{h}=0}
に対して h = k = a とおいて縮約を行うと
∑ a ( R a j i a + R i a j a + R j i a a ) = 0 − ( ∗ ) {\displaystyle \sum _{a}(R_{aji}{}^{a}+R_{iaj}{}^{a}+R_{jia}{}^{a})=0\;\;-(*)}
となる。ここで、最初の二項についてそれぞれ
∑ a R a j i a = R j i , ∑ a R i a j a = ∑ a ( − R a i j a ) = − R i j {\displaystyle \sum _{a}R_{aji}{}^{a}=R_{ji}\;,\;\;\sum _{a}R_{iaj}{}^{a}=\sum _{a}(-R_{aij}{}^{a})=-R_{ij}}
が得られる。
リーマン多様体においては、ごく近い2点間の距離(線素) ds は、
d s = ∑ i , j g i j ( x ) d x i d x j {\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {\sum _{i,j}g_{ij}(x)\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}}}
で定義されるが、ここで、係数 gij(x) は、一般に座標 x = (x) の関数である。一方、ユークリッド空間においては、直交座標系をとればごく近い2点間の距離 ds は
d s = ∑ i , j δ i j d x i d x j {\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {\sum _{i,j}\delta _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}}}
で与えられるが、直交座標系(x)から曲線座標系(u)へ座標変換を行えば、あらわれる係数 gij(u) は座標 u の関数となり、ds はリーマン多様体と同様の形式となる。ただし、これは見かけ上だけのことであり、もともとユークリッド空間であるので当然適当な座標系(この場合は元の直交座標系)をとれば gij(u) を全て定数(1または0など)にすることができる。一般にリーマン多様体の各点に与えられる基本計量テンソル gij(x) を定数にする座標変換は存在しないが、もしリーマン多様体の一部の領域について適当な座標変換により gij(x) を定数にすることができるのであれば、その領域はユークリッド空間に一致する。
また、最後の三項目について
∑ a R j i a a = ∑ a , b R j i a b g b a = ∑ a , b ( − R j i b a ) g b a = − ∑ b , a R j i b a g a b {\displaystyle \sum _{a}R_{jia}{}^{a}=\sum _{a,b}R_{jiab}g^{ba}=\sum _{a,b}(-R_{jiba})g^{ba}=-\sum _{b,a}R_{jiba}g^{ab}} から ∑ a R j i a a = 0 {\displaystyle \sum _{a}R_{jia}{}^{a}=0}
を得る。したがって、(※)から
R j i − R i j + 0 = 0 {\displaystyle R_{ji}-R_{ij}+0=0} すなわち、 R j i = R i j {\displaystyle R_{ji}=R_{ij}}
が導かれる。よってリッチテンソル R i j {\displaystyle R_{ij}} は対称テンソル。