発散級数
しかしこの事実は実用上はあまり有用ではない。そういった拡張の大部分は互いに無矛盾とはならず、またそのような拡張された作用素の存在をしめすのに選択公理あるいはそれと同値なツォルンの補題などの適用を必要とするため、構成的に拡張を得られないためである。
解析学の領域での発散級数に関する主題としては、もともとはアーベル総和法やチェザロ総和法、ボレル総和といった明示的で自然な手法およびそれらの関係性に関心がもたれていた。ウィーナーのタウバー型定理(英語版、フランス語版)の出現が時代の契機となって、フーリエ解析におけるバナッハ環の手法との予期せぬ関連がこの主題に導入されることとなる。
発散級数の総和法は数値解法としての外挿法や級数変形法にも関係する。そのような手法として、パデ近似、レヴィン型級数変形および量子力学の高次摂動論に対する繰り込み手法に関係した次数依存写像 (order-dependent mapping) などが挙げられる。
数学において発散級数(はっさんきゅうすう、英: divergent series)とは、収束しない級数である、つまり、部分和の成す無限列が有限な極限を持たない級数である。
級数が収束するならば、級数の各項の成す数列は必ず 0 に収束する。したがって、0 に収束しないような数列を項に持つ級数はいずれも発散する。しかし逆に、級数の項が 0 に収束しても級数は収束するとは限らない。最も簡単な反例として、調和級数
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}
が挙げられる。
pn は初項 p0 の正項数列とし、さらに
p n p 0 + p 1 + ⋯ + p n → 0 {\displaystyle {\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\to 0}
なるものと仮定する。いま、級数 s を p を使って変形して、
t m = p m s 0 + p m − 1 s 1 + ⋯ + p 0 s m p 0 + p 1 + ⋯ + p m {\displaystyle t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}}
なる加重平均を考えるとき、tn の n を無限大に飛ばした極限はネールルンド平均 Np(s) と呼ばれる(ニールス・エリック・ネールルンドに由来)。