ラプラス作用素
物理学においてラプラス作用素が現れる別な理由は、領域 U における方程式 ∆f = 0 の解はディリクレエネルギー・汎函数を停留させる函数
E ( f ) := 1 2 ∫ U ‖ ∇ f ‖ 2 d x {\displaystyle E(f):={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx}
となることである。これを見るために f: U → R は函数で、函数 u: U → R は U の境界上で消えていると仮定する。このとき
d d ε E ( f + ε u ) | ε = 0 = ∫ U ∇ f ⋅ ∇ u d x = − ∫ U u Δ f d x {\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}E(f+\varepsilon u){\Bigg |}_{\varepsilon =0}=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\Delta f\,dx}
が成り立つ(ただし、最後の等号はグリーンの恒等式を用いた)。この計算により、∆f = 0 ならば E は f の周りで停留する。逆に E が f の周りで停留するならば変分法の基本補題(英語版) により ∆f = 0 である。