ガウス・ボンネの定理
与えられた向き付け可能な曲面Mを三角形分割して上記の定理を適用する事により、任意の向き付け可能な2次元リーマン多様体に対し以下が成立する事がわかる:
定理 (向き付け可能曲面に対するガウス・ボンネの定理) ― Mをコンパクトで向き付け可能なC級2次元部分リーマン多様体で縁∂Mが区分的になめらかなものとする。 さらに v 1 , ... , v n {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}} を∂Mがなめらかではない点とし、εiをviにおける∂Mの外角とする。このとき、
∫ M K d V + ∫ ∂ M κ d s + ∑ i = 1 n ε i = 2 π χ ( M ) {\displaystyle \int _{M}KdV+\int _{\partial M}\kappa ds+\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}=2\pi \chi (M)}
が成立する。ここでχ(M)はMのオイラー標数である。 上式の記号の意味に関しては多角形に関するガウス・ボンネの定理と同様である。
Mが多角形であれば、χ(M)=1であるので、上記の定理は前述した多角形に対するガウス・ボンネの定理の一般化になっている。