位数 (群論)
群の位数と元の位数はよく群の構造の情報をもたらす。大ざっぱに言えば、位数の分解が複雑であればあるほど群も複雑である。
群 G の位数が 1 であれば、群は自明群と呼ばれる。元 a が与えられると、ord(a) = 1 と a が単位元であることは同値である。また、群G の単位元でない任意の元 a の位数が2であれば、a = e の両辺に右または左から a をかけることで a 自身が逆元であることが分かり、G の任意の元 a, b について a b = ( a b ) − 1 = b − 1 a − 1 = b a {\displaystyle ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba} が得られるので G はアーベル群である。ただし、この命題の逆は正しくない。例えば、6を法とした整数のなす(加法的)巡回群 Z6 はアーベル群であるが、数 2 は位数 3 をもつ:
2 + 2 + 2 = 6 ≡ 0 ( mod 6 ) {\displaystyle 2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}} .
位数の2つの概念の関係は次のようである。a によって生成される部分群を
⟨ a ⟩ = { a k : k ∈ Z } {\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{k}:k\in \mathbb {Z} \}}
と書けば、
ord  ( a ) = ord  ( ⟨ a ⟩ ) .
位数についての重要な結果は類等式である。それは有限群 G の位数をその中心 Z(G) の位数とその非自明な共役類のサイズに関連付ける:
| G | = | Z ( G ) | + ∑ i d i {\displaystyle |G|=|Z(G)|+\textstyle \sum \limits _{i}d_{i}}
ただし di は非自明な共役類のサイズである。これらは 1 よりも大きい |G| の真の約数であり、それらはまた非自明な共役類の代表系の G における中心化群の指数にも等しい。例えば、S3 の中心はただ 1 つの元 e からなる自明群で、方程式は |S3| = 1+2+3 となる。