二次体
EK を、二次体 K = Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の単数群としたとき、
d = − 1 のとき:EK = { ± 1, ± i } 。
d = −3 のとき:EK = { ± 1, ± ω, ± ω } (ω = (− 1 + √− 3)/2) 。
d < 0 かつ、d ≠ − 1, − 3 のとき:EK = { ± 1 } 。
d > 0 のとき: E K = { ± ε 0 n | n = 0 , ± 1 , ± 2 , ... } {\displaystyle \scriptstyle E_{K}=\{\pm \varepsilon _{0}^{n}|n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \ldots \}} (ε0 は基本単数)。
D を、二次体 K = Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の判別式とし、自然数 x, y を、
x − Dy = ± 4の最小の有理整数解としたとき、(x + y√D)/2 は、K の基本単数である。
d ≤ 14 {\displaystyle \scriptstyle d\leq 14} に対する基本単数
↑ 有理整数である素数のこと。
↑ x − Dy = − 4 に有理整数解を持たない場合に限り、x, y を x − Dy = 4 の解として選ぶ。
↑ 平方因子を持たない0, 1 以外の整数 a および、c = ± 1, ± 4 に対して、x − ay = c の形の不定方程式をペル方程式という。
↑ n として、K の判別式の絶対値とすると、このことが成立する。
↑ ( ⋅ D ) {\displaystyle \scriptstyle \left({\frac {\cdot }{D}}\right)} をクロネッカーの記号としたとき、 χ ( n ) = ( n D ) {\displaystyle \scriptstyle \chi (n)=\left({\frac {n}{D}}\right)} で与えられるディリクレ指標のことを、クロネッカーの指標という。
↑ L関数を用いない式に対して、ディリクレの類数公式ということもある。