曲面 (数学)
しばしば曲面は、その上の任意の点の座標の満足する方程式によって定義される。二変数の連続函数のグラフはそのような例になっている。あるいは、三変数の函数の零点全体の成す集合もまた曲面を成し、陰伏曲面(英語版)と呼ばれる。このとき、三変数の定義函数が多項式ならば、得られる曲面は代数曲面と呼ばれる。例えば、単位球面は陰伏方程式
によって定義することができる代数曲面である。 曲面はまた、3 以上の次元を持つ適当な空間に値をとる二変数の連続函数(曲線に退化しないことを保証する適当な条件がさらに課される)の像としても定義されうる。この場合、それら二つの変数を媒介変数として媒介付けられた曲面(英語版)であるという。例えば、単位球面は「経度」u と「緯度」v によって
と媒介変数表示できる。
曲面の媒介方程式は、しばしばいくつかの点で「正常でない」(irregular) ことが起きる。例えば、先ほどの単位球面の媒介表示では、二点を除く全ての点において(2π の整数倍の違いを除いて)ただ一つの対 (u, v) の像である。しかし残りの二点(「北極」と「南極」)については、cos v = 0 であって、経度 u は任意の値をとることができる。
もともとは、代数曲面とは三変数の実係数多項式 f に対する陰伏方程式
によって定義された曲面という意味であった。
この概念を拡張するのにはいくつかの方向性が有る。例えば、任意の体上で定義された曲面を考えたり、任意次元の空間あるいは射影空間内の曲面を考えたりすることができるし、ほかの空間に陽に埋め込まれていない抽象代数曲面も考えることができる。
三次元のユークリッド空間(より一般にはアフィン空間)内の陰伏曲面は、三変数可微分函数の零点集合
を言う。 陰伏的 (implicit) というのは、この方程式から一つの変数が「暗に」ほかの二つの変数の函数を定めているという意味で用いられている。より完全な意味は陰函数定理「f(x0, y0, z0) = 0 かつ f の z に関する偏微分が (x0, y0, z0) において零でないならば、可微分函数 φ(x, y) が存在して、(x0, y0, z0) の近傍で
となるようにできる」として述べることができる。言葉を換えれば、この陰伏曲面は z の偏微分が非零となるような点の近傍における函数のグラフとして与えられる。したがって、陰伏曲面は(三つの偏微分が全て零となる点を除けば)局所的には媒介変数表示として捉えられる。