代数的数
また、上記の定数 1 / 5 {\displaystyle 1/{\sqrt {5}}} は最良であり、より小さな正数に置き換えることはできない。つまり、全ての無理数に対して、無理数度は、2 以上である。
リウヴィルは、1844 年、α が n 次の実代数的数(実数である代数的数)のとき、μ(α) ≤ n であることを証明し、このことから、リウヴィルは超越数が存在することを初めて証明した。
実代数的数に対する μ(α) の評価は、その後、トゥエ (A. Thue)、ジーゲル、ゲルフォント (A. O. Gel'fond)、ダイソンらにより改良され、最終的に ロスにより、μ(α) = 2 であることが証明された(ディオファントス近似を参照)。この功績によりロスは 1958 年フィールズ賞を受賞した。
上記のことから、無理数度が 2 よりも大きい実数は超越数となるが、超越数ならば無理数度が 2 よりも大きくなるわけではない。たとえば、自然対数の底 e の無理数度は、2 である。
ほとんど全ての実数に対して、無理数度は 2 であることが知られているが、無理数度が分かっていない数がほとんどである。たとえば、円周率 π の無理数度が 2 であるかは不明である。現状、8.0161 以下であることが証明されているにすぎない(畑 1992年)。