ケイリー＝アロンホルトの微分作用素
が満たす関係
[ X , Y ] = H , [ H , X ] = 2 X , [ H , Y ] = − 2 Y {\displaystyle [X,Y]=H,\,\,[H,X]=2X,\,\,[H,Y]=-2Y}
に対応している。
そこで、 ρ : s l ( 2 ) → g l ( K [ ξ ] ) {\displaystyle \rho :{\mathfrak {sl}}(2)\rightarrow {\mathfrak {gl}}(K[\xi ])} を対応関係
λ H + μ X + ν Y → λ H + μ D + ν Δ ( λ , μ , ν ∈ K ) {\displaystyle \lambda H+\mu X+\nu Y\rightarrow \lambda {\mathcal {H}}+\mu {\mathcal {D}}+\nu \Delta \quad (\lambda ,\mu ,\nu \in K)}
で与えれば、 ρ {\displaystyle \rho } は K [ ξ ] {\displaystyle K[\xi ]} を表現空間とする s l ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)} のリー代数の表現となる。