楕円型偏微分方程式
前述の形式は、平面上の楕円の方程式
A x 2 + 2 B x y + C y 2 + ⋯ = 0 {\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0}
と同様のものである。この方程式は( u x y = u y x = 0 {\displaystyle u_{xy}=u_{yx}=0} である場合には)
A u x x + C u y y + D u x + E u y + F = 0 {\displaystyle Au_{xx}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0}
および A x 2 + C y 2 + ⋯ = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Cy^{2}+\cdots =0} へと変わる。これは、標準的な楕円の方程式 x 2 a 2 + y 2 b 2 − 1 = 0 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-1=0} に類似している。
一般的に、n 個の独立変数 x1, x2 , ..., xn が与えられた際に、二階の線型偏微分方程式は次の形で記述される: