時間依存ハートリー＝フォック方程式
ボーア=モッテルソンの集団模型では、「原子核の集団運動とは、平均一体場の形状の振動・回転である」と考えられた。しかしそこでは、集団運動をあらわすハミルトニアンを人為的に導入していた。なぜそのように集団運動が発現するのか、という疑問には答えられなかった。そこで、平均場を自己無撞着に求めるハートレー・フォック法を拡張し、時間依存性を与えることで、微視的な法則のみから集団運動を記述できるのではないか、という期待がもたれた。
TDHF の基本概念はディラックによって 1930 年に考えられていたが、この理論が本格的に現実の原子核に適用されるのは、有効相互作用の研究と計算機が発達した 1970 年代後半である。
変分方程式は
δ ⟨ Ψ ( t ) | i ħ ∂ ∂ t − H ^ | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle \delta \left\langle \Psi (t)\left|i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}\right|\Psi (t)\right\rangle }
試行関数に条件が与えられなければ、これは時間依存シュレーディンガー方程式と同等である。この試行関数を時間依存した単一スレイター行列式とする手法が TDHF である。
S = ∫ t 1 t 2 d t ⟨ Ψ ( t ) | i ħ ∂ ∂ t − H ^ | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt\left\langle \Psi (t)\left|i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}\right|\Psi (t)\right\rangle }
を最小化することで、次の方程式が得られる。これを TDHF 方程式と呼ぶ。
i ħ ∂ ∂ t ψ n ( r , t ) = − ħ 2 2 m ∇ 2 ψ n ( r , t ) + ∑ j = 1 A ∫ d 3 r ′ v ( r − r ′ ) | ψ j ( r ′ , t ) | 2 ψ n ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{n}(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{n}(\mathbf {r} ,t)+\sum _{j=1}^{A}\int d^{3}r'\ v(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')|\psi _{j}(\mathbf {r} ',t)|^{2}\psi _{n}(\mathbf {r} ,t)} − ∑ j = 1 A ∫ d 3 r ′ v ( r − r ′ ) ψ j ∗ ( r ′ , t ) ψ n ( r ′ , t ) ψ j ( r , t ) {\displaystyle \qquad \qquad -\sum _{j=1}^{A}\int d^{3}r'\ v(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\psi _{j}^{*}(\mathbf {r} ',t)\psi _{n}(\mathbf {r} ',t)\psi _{j}(\mathbf {r} ,t)}