ケルビン・ストークスの定理
が成り立つ。ここで、 J ψ {\displaystyle J\psi } は ψ {\displaystyle \psi } のヤコビ行列を意味する。
従って、以下が成り立つ。
⟨ ( F ∘ Γ ( t ) ) | d Γ d t ( t ) ⟩ = ⟨ ( F ∘ Γ ( t ) ) | ( J ψ ) γ ( t ) d γ d t ( t ) ⟩ = ⟨ ( F ∘ Γ ( t ) ) | ( J ψ ) γ ( t ) | d γ d t ( t ) ⟩ = ⟨ ( ⟨ ( F ( ψ ( γ ( t ) ) ) ) | ∂ ψ ∂ u ( γ ( t ) ) ⟩ , ⟨ ( F ( ψ ( γ ( t ) ) ) ) | ∂ ψ ∂ v ( γ ( t ) ) ⟩ ) | d γ d t ( t ) ⟩ = ⟨ ( P 1 ( u , v ) , P 2 ( u , v ) ) | d γ d t ( t ) ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle (\mathbf {F} \circ \Gamma (t))\ |\ {\frac {d\Gamma }{dt}}(t)\right\rangle &=\left\langle (\mathbf {F} \circ \Gamma (t))\ |\ {(J\psi )}_{\gamma (t)}{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle (\mathbf {F} \circ \Gamma (t))\ |{(J\psi )}_{\gamma (t)}|\ {\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle \left(\left\langle (\mathbf {F} (\psi (\gamma (t))))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}(\gamma (t))\right\rangle ,\left\langle (\mathbf {F} (\psi (\gamma (t))))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial v}}(\gamma (t))\right\rangle \right)|{\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \\&=\left\langle ({P}_{1}(u,v),{P}_{2}(u,v))\ |\ {\frac {d\gamma }{dt}}(t)\right\rangle \end{aligned}}}
上記の意味のヘルムホルツの定理は、以下の問題に指針を与える。
何故、(単連結空間では)保存力場に逆らった物体の移動に伴う仕事は、経路に依存しないのか?
手始めに、以下の Lemma 2-2を考える。
Lemma 2-2. U ⊆ Rを開集合とし, Fを、U上で定義された層状ベクトル場、 c0 : [0, 1] → Uを区分的に滑らかなループ曲線 p ∈ Uを固定点とする。 このとき、以下を充たすようなホモトピー(tube-like-homotopy) H : [0, 1] × [0, 1] → U が存在したとすると、
[SC0] H は区分的滑らか,
[SC1] H(t, 0) = c0(t) for all t ∈ [0, 1],
[SC2] H(t, 1) = p for all t ∈ [0, 1],
[SC3] H(0, s) = H(1, s) = p for all s ∈ [0, 1].
以下が成り立つ。
∫ c 0 F d c 0 = 0 {\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} dc_{0}=0}
Lemma 2-2は、Theorem 2-1の特殊な場合にすぎない。 Lemma 2-2の[SC0] to [SC3] は、非常に重要である。
γ : [ a , b ] → R 2 {\displaystyle \gamma :[a,b]\to {\mathbb {R} }^{2}} が 区分的になめらかな平面曲線であり、かつ単純閉曲線(ジョルダン曲線)とする。即ち、 γ {\displaystyle \gamma } は以下の2つの性質をみたすものとする。
t {\displaystyle t} と s {\displaystyle s} が ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 開区間の点であるとき、もし γ ( s ) = γ ( t ) {\displaystyle \,\ \gamma (s)=\gamma (t)} が成り立てば、必ず t = s {\displaystyle t=s} である。
γ ( a ) = γ ( b ) {\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)} である。
D {\displaystyle \mathbb {D} } を R 2 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}} の領域とし、 D {\displaystyle \mathbb {D} } は前記の γ {\displaystyle \gamma } で縁どられているものとする。