ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明(ワイルズによるフェルマーのさいしゅうていりのしょうめい)は、イギリスの数学者であるアンドリュー・ワイルズによる楕円曲線に関するモジュラリティ定理の特殊な場合の数学的証明である。リベットの定理と組み合わせることでフェルマーの最終定理の証明を与える。フェルマーの最終定理とモジュラリティ定理は双方ともに当時の知識だけで証明することは現実的にほぼ不可能だと考えられており、同時代の数学者の多くは証明することは難しいと考えていた。
ワイルズは1993年6月23日、「モジュラー形式、楕円曲線およびガロワ表現(Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations.)」と題されたケンブリッジ大学の彼の講演にて最初に証明を発表した。しかし、1993年9月、この証明は誤りが含まれていることが判明した。1年後、1994年9月19日、ワイルズが 「(自身の)今までの職務においてもっとも重要な瞬間」と呼ぶアイデアを得た。彼はこれに関して「信じられないほど美しく...とてもシンプルでかつエレガント」なアイデアと語っており、これによって証明を数学者のコミュニティが受容する水準にまで正すことができた。
1980年頃までには楕円曲線の予想を構成するための多くのエビデンスが積み上げられていた。これらの予想は広く真であると考えられていたが何らかの確たる証拠があったわけではなく、(これらの予想が真ならば)理論的に素晴らしく首尾一貫したものであり、なおかつ魅力的な数学的概念を提示するがために広く真であると信じられていた。予想の一部は間違っている可能性もあった。
当時、谷山・志村予想には証明が存在せず、証明に至るアプローチを見つけることすら絶望視されていた。このような背景もあり、証明あるいはそれに至るアプローチの発見すら絶望視されたまま谷山・志村予想は数学上の重要な未解決問題として数十年残り続けた。
谷山・志村によってはじめて予想が発表されてからおよそ50年後、ワイルズの研究の成果により状況が大きく進展してようやく証明され、この予想は現在モジュラリティ定理として知られている。
有理数の体Q 上の楕円曲線 Eが与えられたとき、すべての素数乗 l n {\displaystyle \ell ^{n}} に対して、絶対ガロア群
Gal  ( Q ̄ / Q ) {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )}
から
GL 2  ( Z / l n Z ) , {\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbf {Z} /l^{n}\mathbf {Z} ),}
の 準同型が存在する。 は、 l n {\displaystyle \ell ^{n}} の法を整数とする2×2行列のinvertible群である。
これは E ( Q ̄ ) {\displaystyle E({\bar {\mathbf {Q} }})} , 即ち Q ̄ {\displaystyle {\bar {\mathbf {Q} }}} 上のEの点は アーベル群をなし、その上には Gal  ( Q ̄ / Q ) {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )} が作用しているからである: l n x = 0 {\displaystyle \ell ^{n}x=0} なるxのなす部分群は ( Z / l n Z ) 2 {\displaystyle (\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} )^{2}} , であり、この群の automorphism は既に説明したタイプの行列である。
この場合、最後のトリックがある。これはその後のSerre予想 (整数論)の研究でより一般的に研究されるようになった。これは ( m o d , 3 ) {\displaystyle (\mathrm {mod} ,3)} と ( m o d , 5 ) {\displaystyle (\mathrm {mod} ,5)} 表現の間の相互作用に関わるアイデアである。特に、Q 上の半安定楕円曲線 E に関連する mod-5 Galois 表現 ρ ̄ E , 5 {\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,5}} が既約であるならば、その関連 mod-5 Galois 表現 ρ ̄ E ′ , 5 {\displaystyle {\overline {\rho }}_{E',5}} が ρ ̄ E , 5 {\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,5}} に同型であり、その関連する mod-3 Galois 表現 ρ ̄ E , 3 {\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,3}} が既約(したがって Langlands-Tunnell によるモジュール)であるようなものを超える E' である。