不動点
数学の異なる分野で、特定の条件を満たす写像が少なくとも一つの不動点を持つというような、不動点の存在を保証する定理がいくつか存在する。そのような不動点定理は、一般論において有益な視座を与えてくれる最も基本的な定性的な結果のひとつとして利用される。
多くの分野で、平衡や安定性は不動点の言葉で記述することができる基本概念である。たとえば、経済学でゲームのナッシュ均衡はそのゲームの最適応答対応の不動点である。
コンパイラにおいて不動点計算は、しばしばコードの最適化を行うことが求められるプログラム解析全般にわたって用いられる。すべてのウェブページのページランクの値からなるベクトルはWWW のリンク構造から導かれる線型変換の不動点である。
論理学者ソール・クリプキは自身の有力な真理の理論において不動点を活用した。彼が示したのは、「真理」を語が新たに発生しない言語の断片から再帰的に定義して、新たに矛盾のない文章が獲得される過程が停止するまで続ける(これは可算無限回の段階を踏むことになるかもしれない)ことによって、人は如何にして部分的に定められた真理を叙述するかということであった(「この文は間違っている」というような問題のある文に対しては曖昧にしたままである)。つまり、言語 L に対して L′ を、L 内の各文 S に対して「S は正しい」という文を L に付け加えることによって生成される言語とする。L′ が L と一致するときが不動点に到達したときである。この点にあっても、「この文は間違っている」といったような文の真偽は定められていないまま残っている。そしてクリプキに従えば、この理論はそれ自身の真理の叙述を含む自然言語にとって適したものであるというのである。
収束の形式的な定義は以下のように述べることができる。(pn)0≤n<∞ を p に収束し、任意の n について pn ≠ 0 なる数列とする。正の定数 λ と α で
lim n → ∞ | p n + 1 − p | | p n − p | α = λ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {|{p}_{n+1}-p|}{|{p}_{n}-p|^{\alpha }}}=\lambda }
を満たすものが存在するならば、(pn)0≤n<∞ は p に α のオーダーで、漸近誤差定数 λ で収束する。
函数 f(x) = x の不動点 p の収束性の判定に有用なリストが存在する 。
最初に f(p) = p であることを調べる。
一次収束について確認する。まず |f′(p)| を求めて、 0 < |f′(p)| ≤ 1 ならば 一次収束する。 1 < |f′(p)| ならば発散する。 0 = |f′(p)| ならば少なくとも一次収束するがもっとよいオーダーかもしれないので二次収束について確認する。
二次収束について確認する。まず |f′′(p)| を求めて、 |f′′(p)| ≠ 0 ならば、二次収束し f′′(p) は連続である。 |f′′(p)| = 0 ならば、二次収束よりもさらに何かよい収束性を示す。 |f′′(p)| が存在しないならば、一次収束よりはよいが二次までは行かない収束をする。