経験過程
ある一定の条件のもとで、経験測度Pnが、確率測度へ収束するという結果はよく知られている(Glivenko-Cantelliの定理)。経験過程の理論によって、この収束の速さを説明することができる。 中心化・基準化された経験測度は、
G n ( A ) = n ( P n ( A ) − P ( A ) ) {\displaystyle G_{n}(A)={\sqrt {n}}(P_{n}(A)-P(A))}
となる。これによる、適当な可測関数fの像は、
f ↦ G n f = n ( P n − P ) f = n ( 1 n ∑ i = 1 n f ( X i ) − E f ) {\displaystyle f\mapsto G_{n}f={\sqrt {n}}(P_{n}-P)f={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})-\mathbb {E} f\right)}
と書くことができる。中心極限定理により、適当な可測集合Aに対して、 G n ( A ) {\displaystyle G_{n}(A)} は、正規確率変数N(0, P(A)(1 − P(A)))へ分布収束する。同様に、適当な関数fに対して、 G n f {\displaystyle G_{n}f} は、正規確率変数 N ( 0 , E ( f − E f ) 2 ) {\displaystyle N(0,\mathbb {E} (f-\mathbb {E} f)^{2})} へ分布収束する。