ラドン＝ニコディムの定理
実際、もし μ(P) = 0 であるなら、(ν は μ に関して絶対連続であるため)ν0(P) ≤ ν(P) = 0 であり、したがって ν0(P) = 0 および
ν 0 ( X ) − ε μ ( X ) = ( ν 0 − ε μ ) ( N ) ≤ 0 , {\displaystyle \nu _{0}(X)-\varepsilon \mu (X)=(\nu _{0}-\varepsilon \mu )(N)\leq 0,}
が成り立つが、これは ν0(X) > εμ(X) に矛盾する。
したがって
∫ X ( g + ε 1 P ) d μ ≤ ν ( X ) < + ∞ {\displaystyle \int _{X}(g+\varepsilon 1_{P})\,d\mu \leq \nu (X)<+\infty }
が成り立つことから、g + ε 1P ∈ F となり、
∫ X ( g + ε 1 P ) d μ > ∫ X g d μ = sup f ∈ F ∫ X f d μ {\displaystyle \int _{X}(g+\varepsilon 1_{P})\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu }
が満たされる。しかしこれは矛盾であるため、元の仮定 ν0 ≠ 0 が偽ということになる。したがって、目標としていた ν0 = 0 が得られる。
今 g は μ-可積分であるため、集合 {x ∈ X : g(x) = ∞} は μ-零である。したがって、 f を
となる。g ∈ F であるため、
ν 0 ( A ) := ν ( A ) − ∫ A g d μ {\displaystyle \nu _{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu }
は Σ 上の非負測度を定義する。ν0 ≠ 0 を仮定する。このとき、μ は有限であるため、ν0(X) > ε μ(X) を満たすようなある ε > 0 が存在する。(P, N) を符号付測度 ν0 − ε μ に対するハーン分解とする。すべての A ∈ Σ に対して ν0(A ∩ P) ≥ ε μ(A ∩ P) であり、したがって
ν ( A ) = ∫ A g d μ + ν 0 ( A ) ≥ ∫ A g d μ + ν 0 ( A ∩ P ) ≥ ∫ A g d μ + ε μ ( A ∩ P ) = ∫ A ( g + ε 1 P ) d μ {\displaystyle {\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)\\&=\int _{A}(g+\varepsilon 1_{P})\,d\mu \end{aligned}}}
が成立することに注意されたい。また μ(P) > 0 であることに注意されたい。
}
特に、μ ≪ ν かつ ν ≪ μ であるなら、次が成り立つ。
d μ d ν = ( d ν d μ ) − 1 ν -almost everywhere . {\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}\quad \nu {\text{-almost everywhere}}.}
μ ≪ λ であり、g が μ-可積分函数であるなら、次が成り立つ。
∫ X g d μ = ∫ X g d μ d λ d λ . {\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .}
ν が有限の符号付測度あるいは複素測度であるなら、次が成り立つ。
d | ν | d μ = | d ν d μ | . {\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.}