根と係数の関係
x についての二次式
f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}
の根を x = α, β とする。因数定理より
f ( x ) = a ( x − α ) ( x − β ) {\displaystyle f(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )}
であるから、展開して係数を比較すると
{ α + β = − b a α β = c a {\displaystyle {\begin{cases}\alpha +\beta =-{\cfrac {b}{a}}\\[7pt]\alpha \beta ={\cfrac {c}{a}}\end{cases}}}
を得る。
初等数学において、因数定理や代数学の基本定理を習っていない場合、二次方程式の解の公式から解と係数の関係を導くという方法がとられることがある。