準素分解
ただしハットは取り除くことを表す。
素因子 Q i {\displaystyle {\sqrt {Q_{i}}}} たちは相異なる。
さらに、この分解は次の意味で一意である:素因子の集合は一意であり、この集合の任意の極小素イデアルの上の準素イデアルもまた一意である。しかしながら、極小でない素因子に伴う準素イデアルは一般には一意ではない。
有理整数環 Z の場合には、ラスカー・ネーターの定理は算術の基本定理に同値である。整数 n が素因数分解 n = ± p 1 d 1 ⋯ p r d r {\displaystyle n=\pm p_{1}^{d_{1}}\cdots p_{r}^{d_{r}}} を持てば、n ∈ Z で生成されるイデアルの準素分解は
( n ) = ( p 1 d 1 ) ∩ ⋯ ∩ ( p r d r ) {\displaystyle (n)=(p_{1}^{d_{1}})\cap \cdots \cap (p_{r}^{d_{r}})}
である。