交叉理論
平面上では、このことは曲線 C をある方向へ動かすことを意味し、一般的に言うと、曲線 C ′ {\displaystyle C'} を曲線 C と因子の線型同値(英語版)(Linear system of divisors)とし、交叉 C . C ′ {\displaystyle C.C'} を数えることで交叉数を得て、これを C . C {\displaystyle C.C} と書く。異なる曲線 C と D の場合とは異なり、交叉する点は定義されない。この理由は、(自己交叉数は、) C ′ {\displaystyle C'} の選択に依存するが、しかし C" の交叉数を C の k 生成点(英語版)(generic point) k = C . C {\displaystyle k=C.C} と解釈できる。さらに適切な言い方をすると、C の自己交叉は、多重度として C . C {\displaystyle C.C} を取った C の生成点である。
代わりに、双対で考え、類 [ C ] ∪ [ C ] {\displaystyle [C]\cup [C]} を見て、この問題を「解く」(もしくは動機とする)こともできる。これらは双方とも数値を与え、幾何学的な解釈の疑問を生む。コホモロジー類をとおるということは、曲線を一次系へと置き換えることになることに注意する。
以下に説明する例のように、自己交叉数は負であることも可能であることにも注意する。
自己交叉数の重要な例は、双有理幾何学の中心的な操作であるブローアップによってできる例外曲線である。
代数曲面 S の上の一点でのブローアップは、曲線 C を作る。この代数曲線 C は種数によって区別することが可能であり、この場合の種数は 0 であり、自己交叉数は −1 である(このことは、明らかにはわかるわけではない)。
系として、 P 2 {\displaystyle \mathbf {P} ^{2}} and P 1 × P 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}} は、負の自己交叉数を持つ曲線を持たないので、極小モデル(ブローアップはできない)である。
事実、グイド・カステルヌオボ(英語版)(Guido Castelnuovo)の構成定理は、以上の逆を言っている。任意の自己交叉数 ( − 1 ) {\displaystyle (-1)} である曲線は、あるブローアップによってできる例外曲線である(つまり、ブローダウンできる)と言っている。