モーレー・カルタンの微分形式
h U V ( x ) = s V ∘ s U − 1 ( x ) , x ∈ U ∩ V {\displaystyle h_{UV}(x)=s_{V}\circ s_{U}^{-1}(x),\quad x\in U\cap V}
が成り立っていたとする。このとき、G の Maurer–Cartan 形式の引き戻し θU, θV は Maurer–Cartan 方程式
d θ U + θ U ∧ θ U = 0 {\displaystyle d\theta _{U}+\theta _{U}\wedge \theta _{U}=0}
および貼り合わせ条件
θ V = Ad  ( h U V − 1 ) θ U + ( h U V ) ∗ ω H {\displaystyle \theta _{V}=\operatorname {Ad} (h_{UV}^{-1})\theta _{U}+(h_{UV})^{*}\omega _{H}}
を満たしている。ただし、ωH は H の Maurer–Cartan 形式である。
多様体 M の開被覆 (U)U に対して上記の2条件を満たすような1次微分形式の族 θU が与えられたとすると、M は局所的には等質空間 G/H の構造を持つ。つまり、M の各点の近傍 U から G/H の中への微分同相であって、θU がこの写像を経由する Maurer–Cartan 形式の引き戻しであるようなものが取れる (これはダルブー微分の原始関数の存在から従う)。