ヤコビの公式
A のすべての要素は互いに独立であるから、δ をクロネッカーのデルタとして
∂ A i k ∂ A i j = δ j k {\displaystyle {\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}=\delta _{jk}}
それゆえ
∂ det ( A ) ∂ A i j = ∑ k adj T  ( A ) i k δ j k = adj T  ( A ) i j {\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}\delta _{jk}=\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}}
すなわち
d ( det ( A ) ) = ∑ i ∑ j adj T  ( A ) i j d A i j {\displaystyle d(\det(A))=\sum _{i}\sum _{j}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}\,dA_{ij}}
となり、補題を用いることで次の結果が得られる。
d ( det ( A ) ) = tr  ( adj  ( A ) d A ) ◻ {\displaystyle d(\det(A))=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA)\ \square }
このとき
t r ( A − 1 A ′ ) = t r ( L ( L − 1 ) ′ ) + t r ( D − 1 D ′ ) + t r ( L − 1 L ′ ) = t r ( D − 1 D ′ ) {\displaystyle \mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (D^{-1}D')+\mathrm {tr} (L^{-1}L')=\mathrm {tr} (D^{-1}D')}
である。
λi(i = 1, ... , n)を A の固有値とする。このとき
det ( A ) ′ det ( A ) = ∑ i = 1 n λ i ′ / λ i = t r ( D − 1 D ′ ) = t r ( A − 1 A ′ ) {\displaystyle {\frac {\det(A)'}{\det(A)}}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}'/\lambda _{i}=\mathrm {tr} (D^{-1}D')=\mathrm {tr} (A^{-1}A')}
すなわち相異なるゼロでない固有値を持つ行列 A に対するヤコビ公式となる。