スピン角運動量
軌道角運動量演算子が L 2 ( R 3 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上の「無限小回転に対する演算子」として定義可能であったのと同様、スピン角運動量演算子は Vs に対する無限小回転に対する演算子として定義する事ができる。しかしながら、軌道角運動量演算子の定義における L 2 ( R 3 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} を単純に Vs に置き換えただけではスピン角運動量演算子は定義できない。これは次の理由による。
軌道角運動量演算子の場合、3次元回転行列群 SO(3) の L 2 ( R 3 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上のユニタリ表現
λ ( R ( t ) ) : L 2 ( R 3 ) → L 2 ( R 3 ) , φ ( x ) ↦ φ ( R ( t ) − 1 x ) {\displaystyle \lambda (R(t))~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3}),~~\phi ({\boldsymbol {x}})\mapsto \phi (R(t)^{-1}{\boldsymbol {x}})}
を t に関して微分する事で軌道角運動量演算子を定義していた。
U ∼ U ′ {\displaystyle U\sim U'} ⟺ d e f ∃ α ∈ [ 0 , 2 π ] : U = e i α U ′ {\displaystyle {\overset {def}{\iff }}\exists \alpha \in [0,2\pi ]~:~U=\mathrm {e} ^{i\alpha }U'}
により同一視した同値類 [U] を考えるというものである。このユニタリ演算子の同値類全体の集合を
P U ( V s ) = U ( V s ) / ∼ {\displaystyle \mathrm {PU} (V_{s})=\mathrm {U} (V_{s})/\sim }
と表記する。PU(Vs) を Vs 上の射影ユニタリ群、PU(Vs) に属する同値類を Vs 上の射影ユニタリ演算子と呼ぶ。
射影ユニタリ演算子 [U] は Vs / ∼ 上の写像となる事が知られている:
[ U ] : V s / ∼ → V s / ∼ {\displaystyle [U]~:~V_{s}/\sim ~\to ~V_{s}/\sim }
そこでスピン演算子の振る舞いを記述するため、SO(3) のユニタリ表現の代わりに SO(3) の射影ユニタリ表現
R ∈ S O 3 ↦ λ ′ ( R ) ∈ P U ( V s ) {\displaystyle R\in \mathrm {SO} _{3}\mapsto \lambda '(R)\in \mathrm {PU} (V_{s})}
を用いる。
T ^ n ( E n , k ) = i ħ ( D u ) ∗ ( X n ) ( E n , k ) = c ( k ) ⋅ S ( ∑ j = 1 2 u ( I ⊗ ⋯ ⊗ ( D 1 / 2 ) ∗ ( X n ) ∨ j ⊗ ⋯ ⊗ I ) ( e n + ⊗ ⋯ ⊗ e n + ⊗ e n − ⊗ ⋯ ⊗ e n − ) ) {\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {n} }(E_{\mathbf {n} ,k})=i\hbar (D^{u})_{*}(X_{\mathbf {n} })(E_{\mathbf {n} ,k})=c(k)\cdot {\mathcal {S}}(\sum _{j=1}^{2u}(I\otimes \cdots \otimes {\overset {\overset {j}{\vee }}{(D^{1/2})_{*}(X_{\mathbf {n} })}}\otimes \cdots \otimes I)(e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes e_{\mathbf {n} }^{-}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{-}))} = ħ c ( k ) ⋅ S ( k ⋅ e n + ⊗ ⋯ ⊗ e n + ⊗ e n − ⊗ ⋯ ⊗ e n − ) = k ħ ⋅ E n , k {\displaystyle =\hbar c(k)\cdot {\mathcal {S}}(k\cdot e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes e_{\mathbf {n} }^{-}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{-})=k\hbar \cdot E_{\mathbf {n} ,k}}
なので、En,kは固有値 k ħ {\displaystyle k\hbar } に対応する固有状態である。
昇降演算子