弱形式
上述のように、 V = H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )} とし、ノルムは次で定める。
‖ v ‖ V := ‖ ∇ v ‖ {\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|}
ここで右辺のノルムは Ω {\displaystyle \Omega } 上での L 2 {\displaystyle L^{2}} -ノルムである(ポアンカレ不等式により、これは正しく V {\displaystyle V} 上のノルムを与える)。しかし、 | a ( u , u ) | = ‖ ∇ u ‖ 2 {\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}} であり、コーシー=シュワルツの不等式より次が成り立つ: | a ( u , v ) | ≤ ‖ ∇ u ‖ ‖ ∇ v ‖ {\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|} 。
したがって、任意の f ∈ [ H 0 1 ( Ω ) ] ′ {\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'} に対して、ポアソン方程式の唯一つの解 u ∈ V {\displaystyle u\in V} が存在し、次の評価が得られる。
‖ ∇ u ‖ ≤ ‖ f ‖ [ H 0 1 ( Ω ) ] ′ . {\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}
この場合、ラックス=ミルグラムの定理を適用することは明らかに十分すぎるものであるが、他の場合と同様の形にするためにこの定理を使用する。
有界性: R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上のすべての双線型形式は有界である。特に、次が成り立つ。 | a ( u , v ) | ≤ ‖ A ‖ ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|\,}
強圧性: これは実際、 A {\displaystyle A} の固有値の実部が c {\displaystyle c} よりも小さくないことを意味する。これは特に、ゼロ固有値が存在しないことを意味するので、系は可解である。
さらに次の評価が得られる。
‖ u ‖ ≤ 1 c ‖ f ‖ , {\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,\,}
ここで c {\displaystyle c} は A {\displaystyle A} の固有値の最小実部である。
数学において弱形式(じゃくけいしき、英: weak formulation)は、線型代数学の概念を、例えば偏微分方程式などの他の分野において問題を解くために用いることを可能にする、重要な解析上の道具である。弱形式において、方程式の絶対性はもはや要求されず(適切である必要すらない)、代わりにあるテストベクトルあるいはテスト函数に関する弱解が存在する。これは超函数の意味で解を要求する問題を構成することと同値である。
ここでは弱形式に関するいくつかの例を紹介し、その解に対する主要な定理であるラックス=ミルグラムの定理(Lax-Milgram theorem)を述べる。