単位根
一次の自己回帰モデル y t = a 1 y t − 1 + ε t {\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}} は、 a 1 = 1 {\displaystyle a_{1}=1} ならば、単位根を持つ。この例では、特性方程式は m − a 1 = 0 {\displaystyle m-a_{1}=0} となる。この方程式の根は m = 1 {\displaystyle m=1} である。
もしこの一次の自己回帰確率過程が単位根を持つならば非定常時系列である。つまりその確率過程のモーメントは時間 t {\displaystyle t} に依存する。単位根の効果を明らかにするために、 y0 = 0 からスタートした1次自己回帰の例を考えよう。
y t = y t − 1 + ε t . {\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}
再帰的代入により、 y t = y 0 + ∑ j = 1 t ε j {\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}} と書ける。
よって y t {\displaystyle y_{t}} の分散は以下のように与えられる。
Var  ( y t ) = ∑ j = 1 t σ 2 = t σ 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}
Var  ( y 1 ) = σ 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}} である一方で Var  ( y 2 ) = 2 σ 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}} なので、分散は t に依存する。
単位根の存在を確かめる検定は多数存在する。その内のいくつかを挙げると以下となる。
¶ 統計量、もしくはディッキー–フラー検定(DF検定)
根が1以上であるかの有意性検定(F検定)
フィリップス–ペロン検定(PP検定)
Dickey–Pantula 検定