可解リー環
{\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}
である。導来列が最終的に零部分環に到達するとき、リー環は可解である。リー環の導来列は群論における交換子部分群に対する導来列とアナロガスである。
任意の冪零リー環は当然可解であるが、逆は正しくない。可解リー環と半単純リー環は、レヴィ分解(英語版)によって示されるように、2つの大きく一般に相補的なクラスをなす。
極大可解部分環はボレル部分環(英語版)と呼ばれる。リー環の最大可解イデアルは根基(英語版)と呼ばれる。
g を標数 0 の体上の有限次元リー環とする。以下は同値である。
(i) g は可解である。
(ii) ad(g), g の随伴表現、は可解である。
(iii) g のイデアル ai の有限列が存在して g = a 0 ⊃ a 1 ⊃ . . . a r = 0 , ∀ i [ a i , a i ] ⊂ a i + 1 . {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad \forall i[{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}.}
(iv) [g, g] は冪零である。
(v) n 次元の g に対して、g の部分環 ai の有限列が存在して、 g = a 0 ⊃ a 1 ⊃ . . .