大直交性定理
以上のことを点群C2vで確認してみる。以下に点群C2vの指標表を示す。
点群C2vの対称操作の数はE、C2、σv、σv' の4つである。またこの群を構成する4つの既約表現A1、A2、B1、B2の次数はすべて1であるので、その2乗を足しあわせたものは4である。よって確かにこれらの数は等しい。
例えば点群C2vの1つの既約表現B1を考えると、指標の2乗を足し合わせると ( 1 ) 2 + ( − 1 ) 2 + ( 1 ) 2 + ( − 1 ) 2 = 4 {\displaystyle (1)^{2}+(-1)^{2}+(1)^{2}+(-1)^{2}=4} となる。これは確かに点群C2vの対称操作の数4に等しい。
例えば点群C2vの既約表現A2とB1を考えると、 ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( − 1 ) + ( − 1 ) ( 1 ) + ( − 1 ) ( − 1 ) = 0 {\displaystyle (1)(1)+(1)(-1)+(-1)(1)+(-1)(-1)=0}
点群C2vには{E、C2、σv、σv' }という要素が存在するが、それぞれの要素自身が類を形成する。よって4個の類が存在する。したがって既約表現も4種類ある。