条件数
特異値分解の条件数、多項式の解を求める際の条件数、固有値の条件数など、様々な問題について条件数を定義できる。
一般に数値問題が良設定なら、それを関数 f {\displaystyle f} で表すことができ、 m {\displaystyle m} -タプルの実数 x {\displaystyle x} から n {\displaystyle n} -タプルの実数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} への写像となる。
するとその条件数は、問題の定義域における解の相対誤差とデータの相対誤差の比の最大値と定義される。
max { | f ( x ) − f ( x ∗ ) f ( x ) | / | x − x ∗ x | : | x − x ∗ | < ε } {\displaystyle \max \left\{\left|{\frac {f(x)-f(x^{*})}{f(x)}}\right|\left/\left|{\frac {x-x^{*}}{x}}\right|\right.:|x-x^{*}|<\epsilon \right\}}
ここで ε {\displaystyle \epsilon } は問題のデータの変化における何らかの適度に小さい値である。
f {\displaystyle f} が可微分であれば、次のように近似できる。
| f ′ ( x ) f ( x ) | ⋅ | x | {\displaystyle \left|{\frac {f'(x)}{f(x)}}\right|\cdot \left|x\right|}