安定写像
この写像のモジュライ空間は、曲線の列が特異な曲線へ退化することができるので、コンパクトではない。この特異な曲線は、ここで定義したモジュライ空間の中にはない。例えば、このことは、 f {\displaystyle f} のエネルギー(微分のL-ノルムのこと)が、領域のある点に集中することを意味する。集中した点の周りで写像をりスケールすることでエネルギーを捉えることができる。この効果は、もとの領域の集中した点にバブルと呼ばれる球(sphere)を付けて、写像を球を横切るように拡張することになる。リスケールされた写像は、ひとつ以上の点にエネルギーを集中しているかもしれず、その場合は逐次的にリスケールせねばならない。結局、完全なバブルツリーを元の領域に貼り付け、新しい領域の各々の滑らかな成分の上で写像がうまく振る舞うようにすることができる。
詳細には、安定写像を最も悪いノード(二重結節点)として特異点を持つリーマン面の上の擬正則写像であるように定義すると、高々有限個の写像の自己同型となる。具体的には、次のことを意味する。ノードを持つリーマン面の滑らかな成分は、高々有限個のマークされた点とノードを保存する自己同型が存在するときに、安定という。すると安定写像は少なくとも一つは、安定な領域成分を持つ擬正則写像である。そして、各々の他の成分に対して、
写像がその成分の上で非コンパクトか、または