モノイド
モノイドは、群が生成系と基本関係による表示によって特定できるというのと同じ意味で、表示 (presentation) を持つ。すなわち、モノイドは生成系 Σ と Σ が生成する自由モノイド Σ 上の基本関係の集合を特定することによって決まる。任意のモノイドは、適当な自由モノイド Σ をその上のモノイド合同で割って得られる商モノイドになっていると言っても同じである。
実際、二項関係 R ⊂ Σ × Σ が与えられたとき、R の対称閉包 R ∪ R を
( x , y ) ∈ E ⟺ ∃ u , ∃ v , ∃ s , ∃ t ∈ Σ ∗ s.t. x = s u t ∧ y = s v t ∧ ( u , v ) ∈ R ∪ R − 1 {\displaystyle (x,y)\in E\iff \exists u,\exists v,\exists s,\exists t\in \Sigma ^{*}{\text{ s.t. }}x=sut\land y=svt\land (u,v)\in R\cup R^{-1}}
で定義される対称的関係 E ⊂ Σ × Σ に拡張できる。
演算が可換であるようなモノイドは、可換モノイド (commutative monoid) という(稀にアーベルモノイド (abelian monoid) ともいう)。可換モノイドはしばしば二項演算の記号を "+" として加法的に書かれる。任意の可換モノイド M は
x ≤ y ⟺ x + z = y ∃ z ∈ M {\displaystyle x\leq y\iff x+z=y\quad \exists z\in M}
として定まる代数的前順序 "≤" を持つ。可換モノイド M の順序単位 (order-unit) u ∈ M とは、M の各元 x に対して適当な正の整数 n をとれば x ≤ nu (右辺は n 個の u の和を表す)とできるようなものをいう。これは M が半順序可換群 G の正錐である場合にもよく用いられ、この場合には u を G の順序単位と呼ぶ。