ラゲールの陪多項式
ラゲールの陪多項式(ラゲールのばいたこうしき、associated Laguerre polynomials)とは、常微分方程式
( x d 2 d x 2 + ( k + 1 − x ) d d x + ( n − k ) ) L n k ( x ) = 0 {\displaystyle \left(x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(k+1-x){\frac {d}{dx}}+(n-k)\right)L_{n}^{k}(x)=0}
を満たす多項式 L n k ( x ) {\displaystyle L_{n}^{k}(x)} のことを言う。ただし k {\displaystyle k} は 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} を満たす整数である。
k = 0 {\displaystyle k=0} のときの微分方程式はラゲールの微分方程式と呼ばれ、その解 L n ( x ) {\displaystyle L_{n}(x)} をラゲールの多項式という。 ラゲールの陪多項式とラゲールの多項式は次の関係で結ばれている。
L n k ( x ) = d k d x k L n ( x ) {\displaystyle L_{n}^{k}(x)={\dfrac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}(x)}
またロドリゲスの公式 (Rodrigues's Formula) として以下の形にも表せる。