レフシェッツ不動点定理
数学で、レフシェッツ不動点定理(Lefschetz fixed-point theorem)は、コンパクトな位相空間 X からそれ自身への連続写像の不動点の数を、X のホモロジー群の上の誘導された写像のトレースによって数える公式である。この名称はソロモン・レフシェッツ(Solomon Lefschetz)にちなみ、1926年に彼が最初に提唱した。
数え上げの問題は、不動点と呼ばれる点での多重度も考慮して不動点を数える問題である。この定理の弱いバージョンは、全く不動点を持たない写像は、むしろ特別のトポロジー的(円の回転に似た)性質を持つことを示すことができる。
{\displaystyle \#X(k)=\sum _{i}(-1)^{i}\mathop {\rm {tr}} F_{q}|H_{c}^{i}({\bar {X}},{\mathbb {Q}}_{\ell }).}
この公式は、 l {\displaystyle \ell } -進数に値を持つ X ̄ {\displaystyle {\bar {X}}} のエタールコホモロジーの上のフロベニウスのトレースであり、コンパクトな台を持つ。ここに l {\displaystyle \ell } は q {\displaystyle q} と互いに素な素数である。
X {\displaystyle X} が滑らかで次元が同じであれば、この公式は数論的フロベニウス(arithmetic Frobenius) Φ q {\displaystyle \Phi _{q}} と書かれ、コホモロジー上 F q {\displaystyle F_{q}} の逆に作用する。
# X ( k ) = q dim  X ∑ i ( − 1 ) i t r  Φ q − 1 | H i ( X ̄ , Q l ) . {\displaystyle \#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}(-1)^{i}\mathop {\rm {tr}} \Phi _{q}^{-1}|H^{i}({\bar {X}},{\mathbb {Q}}_{\ell }).}
この公式は、コンパクトな台をもつコホモロジーというよりも、通常のコホモロジーを意味する。
レフシェッツの跡公式は有限体上の代数的スタック(algebraic stack)へ一般化することができる。