電磁場の量子化
よって電場と磁場は次のようになる。
E ( r ) = i ∑ k , μ ħ ω k 2 V ε 0 e ( μ ) ( k ) ( a ^ k μ e i k ⋅ r − a ^ k μ † e − i k ⋅ r ) {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=i\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega _{\mathbf {k} }}{2V\epsilon _{0}}}}\mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-{\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }^{\dagger }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)}
体積V = Lの立方体に閉じ込められた電磁場を考える。この電磁場は、電場E(r,t)と磁場B(r,t)という2つのベクトル場からなり、マクスウェル方程式を満たす。 真空中では電磁ポテンシャルであるベクトルポテンシャルA(r,t)とスカラーポテンシャルΦ(r,t)を導入することで以下のように表せる。
B ( r , t ) = ∇ × A ( r , t ) E ( r , t ) = − ∇ φ ( r , t ) − ∂ A ( r , t ) ∂ t , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)&={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\\\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)&=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}},\\\end{aligned}}}
ここで ∇×A はAの回転である。A(r,t)とΦ(r,t)の取り方には任意性があるが、今回はクーロンゲージ ∇ ⋅ A ( r , t ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=0} を採用する。
a ^ k μ = ω ε 0 2 ħ ( Q ^ k μ + i ω ε 0 P ^ k μ ) {\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }={\sqrt {\frac {\omega \epsilon _{0}}{2\hbar }}}({\hat {Q}}_{\mathbf {k} \mu }+{\frac {i}{\omega \epsilon _{0}}}{\hat {P}}_{\mathbf {k} \mu })}
すると量子化されたベクトルポテンシャルは以下のように生成消滅演算子を用いて表される。
A ( r ) = ∑ k , μ ħ 2 ω k V ε 0 e ( μ ) ( k ) ( a ^ k μ e i k ⋅ r + a ^ k μ † e − i k ⋅ r ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega _{\mathbf {k} }V\epsilon _{0}}}}\mathbf {e} ^{(\mu )}(\mathbf {k} )\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+{\hat {a}}_{\mathbf {k} \mu }^{\dagger }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)}