量子力学の数学的定式化
はE(λ)の双対空間E(λ)'の元である:
ψ ^ λ ∈ E ( λ ) ′ {\textstyle {\hat {\psi }}_{\lambda }\in E(\lambda )'}
有限次元空間の場合であれば ψ ^ λ {\textstyle {\hat {\psi }}_{\lambda }} は「ψのE(λ)方向成分」に相当するものであるので、完全系の概念を以下のように定義する:
定義 ― ψ ∈ G {\displaystyle \psi \in {\mathcal {G}}} に ψ ^ λ {\textstyle {\hat {\psi }}_{\lambda }} の族
ψ ^ = { ψ ^ λ } λ ∈ R {\textstyle {\hat {\psi }}=\{{\hat {\psi }}_{\lambda }\}_{\lambda \in \mathbf {R} }}
を対応させる写像
^ : G → ∏ λ ∈ R E ( λ ) ′ , {\textstyle {\hat {~}}~:~{\mathcal {G}}\to \prod _{\lambda \in \mathbf {R} }E(\lambda )',~~~} ψ ↦ ψ ^ {\textstyle \psi \mapsto {\hat {\psi }}}
ここで注意すべきことは、局所可積分関数ψそれ自身が偏微分不能な関数であっても、 ∂ x i T ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}T_{\psi }} は定義可能な事である。これはψの偏微分は通常の関数としては存在しなくとも、超関数の中にはψ(と同一視されるTψ)の偏微分が存在する事が原因である。紛れがなければ以下 ∂ x i T ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}T_{\psi }} の事を単に ∂ x i ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}\psi } と書き、 ∂ x i ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}\psi } をψの超関数としての偏微分と呼ぶ。
また通常の関数の場合、仮に二階偏微分可能であっても ∂ x i ∂ x j ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}\partial _{x_{j}}\psi } と ∂ x j ∂ x i ψ {\displaystyle \partial _{x_{j}}\partial _{x_{i}}\psi } が異なる関数になる場合があるが、超関数としての微分を考えた場合、 ∂ x i ∂ x j T ψ {\displaystyle \partial _{x_{i}}\partial _{x_{j}}T_{\psi }} と ∂ x j ∂ x i T ψ {\displaystyle \partial _{x_{j}}\partial _{x_{i}}T_{\psi }} は必ず同一の超関数になる事を簡単に確認できる。
明らかに
C 0 ∞ ( R d ) ⊂ S ( R d ) {\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})\subset {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}
である。また前述したようにC∞0(R)はL(R)の稠密部分空間なので、次の事実が成り立つ:
S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} はL(R)の稠密部分空間である。
定義から明らかなように S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} は次を満たす
ψ(x1,...,xn)∈ S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} なら、任意のα=(α1,...,αd)、β=(β1,...,βd)に対し、 x α ∂ β ψ ( x ) ∈ S ( R d ) {\displaystyle x{}^{\alpha }\partial ^{\beta }\psi (x)\in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}
よって特に、位置作用素や運動量作用素は S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の元を S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の元に写す。
ゲルファントの三つ組の定義の基本的な雛形は、(緩増加)超関数の概念である。そこで、まず、緩増加超関数の定義を振り返る。今シュワルツ空間 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} からヒルベルト空間 H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} へは自然な単射
ι : S ( R d ) ↪ H {\displaystyle \iota ~:~{\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})\hookrightarrow {\mathcal {H}}}
が存在する。 ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} に対し、写像ι(ψ)を
量子力学では以下の仮定を課す:
仮定 (状態空間に関する仮定) ― 量子力学において状態空間は複素ヒルベルト空間である。状態空間の単位ベクトルを状態ベクトルと呼び、各状態ベクトルは何らかの量子状態に対応している。また2つの状態ベクトルψ、φがa=1を満たす何らかの複素数aでφ=aψという関係を満たすとき、ψとφは同一の量子状態を表す。
本節では以降、こうした量子力学の仮定を幾つか述べるが、新井の本やHallの本など多くの本ではこうした仮定の事を公理(axiom)と呼んでいる。しかしこうした仮定は数学的な意味での公理ではないので、本項ではその事を明確化するため、F15に従い、「公理」と呼ばず「仮定 (postulate)」と呼ぶものとする。
H = − ħ 2 m ( ∂ 2 ∂ x 1 2 + ⋯ + ∂ 2 ∂ x l 2 ) + V ( x ) {\displaystyle H=-{\hbar \over 2m}\left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}{}^{2}}+\cdots +{\partial ^{2} \over \partial x_{\ell }{}^{2}}\right)+V(x)}
に関しては、以下の条件をみたすときには本質的に自己共役である:
V ( x ) > − Q ( | x | ) {\displaystyle V(x)>-Q(|x|)} を満たす非負かつ非減少な連続関数Q(r)で ∫ 0 ∞ d r Q ( 2 r ) = ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\mathrm {d} r \over {\sqrt {Q(2r)}}}=\infty } となるものが存在する。
また時間非依存かつ一粒子のハミルトニアンが以下の条件を場合もハミルトニアンは本質的に自己共役である:
である。ここで、
D o m ( A U ) = { s ∈ ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A : ∫ ‖ λ s ( λ ) ‖ 2 d μ A < ∞ } {\displaystyle \mathrm {Dom} (A_{U})=\left\{s\in \int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}~:~\int \|\lambda s(\lambda )\|^{2}\mathrm {d} \mu _{A}<\infty \right\}} 。
上述の定理は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が無限次元の場合も、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} をAの「固有空間」 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} の直積分に分解でき、しかも直積分の元sのAUによる像AU(s)の「 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} 成分」である(AU(s))(λ)はsの「 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} 成分」s(λ)を「固有値」λ倍したものになっている事を意味するように見えるので、 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} をλに対応するAの一般化した固有空間、 H λ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }} の元をλに対応するAの一般化した固有ベクトルであるとみなし得る。
∀ j , k = 1 , ... , d ∀ s , t ∈ R : e x p ( i s A j ) ( K ) ⊂ K , {\displaystyle \forall j,k=1,\ldots ,d~\forall s,t\in \mathbf {R} ~:~\mathrm {exp} (isA_{j})({\mathcal {K}})\subset {\mathcal {K}},\quad } e x p ( i t B k ) ( K ) ⊂ K {\displaystyle \mathrm {exp} (itB_{k})({\mathcal {K}})\subset {\mathcal {K}}}
をみたすなら
K = { 0 } {\displaystyle {\mathcal {K}}=\{0\}}
である事をいう。
G = S ( R ) {\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} の場合に対し、運動量作用素と位置作用素の一般化固有ベクトルを調べる。
lim n → ∞ T ( ψ n ) = T ( ψ ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }T(\psi _{n})=T(\psi )}
を満たすものを連続であるといい、 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} からCへの連続な線型汎関数を緩増加超関数といい、緩増加超関数全体の集合を S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} と書き表す。
以下、超関数Tと局所可積分関数ψに対し、
⟨ T , ψ ⟩ := T ( ψ ) {\displaystyle \langle T,\psi \rangle :=T(\psi )}
と表記する。緩増加超関数に対しても同様の表記を用いる。なお上述の表記は内積に似ているが、内積の定義では複素共役を取っている事が原因で、
⟨ T φ , ψ ⟩ = ⟨ φ ∗ , ψ ⟩ {\displaystyle \langle T_{\phi },\psi \rangle =\langle \phi ^{*},\psi \rangle }
となることに注意されたい。