一元体
1957年にジャック・ティッツは、代数群と抽象単体的複体との関連を記述するブリュア-ティッツのビルの理論を導入した。仮定の一つに「ビルが n-次元抽象単体的複体で k < n ならば、ビルの任意の k-単体は少なくとも三つの n-単体を含まなければならない」という非自明性条件が課せられていた。これは古典的射影幾何学における「直線上には少なくとも三つの点が存在する」という条件の類似対応であるが、射影幾何の公理のうち先ほどの条件を「直線上の点は二つに限る」というもので置き換えた退化版の幾何学が存在する。この退化版の幾何学のビルの理論における対応物はアパートと呼ばれる。アパートはビルの理論において、ティッツが存在を予想した「退化版の幾何学から通常の射影幾何学に等しいものが構成できる」という理論と同様の役割を果たすものである。ティッツは、この幾何学は「標数 1 の体」上の幾何学であると述べている。この類似対応によれば F1 の基本性質のいくつかを記述することができるが、実際に構成することは可能ではなかった。
F1 に対する別のアイデアは代数的数論から見出される。ヴェイユによる有限体上の代数曲線に対するリーマン予想の証明は、有限体 k 上の代数曲線 C からはじめて、積 C ×k C をつくり、その対角成分をみるものである。もし整数全体の成す集合 Z を何らかの体の上の代数曲線とみなすことができるならば、ヴェイユの方法でリーマン予想も証明できることになる。整数環 Z は一次元であり、曲線と呼べそうな気がしてくるが、実際には Z はどのような体上の多元環にもならない。F1 が満たすであろうと考えられている性質の一つは Z がF1 上の多元環となるというものである。