標準偏差
前述のように不偏分散は、母分散の不偏推定量である(標本から測定した推定量の期待値が母分散に等しい)。しかし、不偏分散の平方根 v は、母集団の標準偏差の不偏推定量ではない。
母集団が正規分布に従う場合、母集団の標準偏差の不偏推定量 D は次式で与えられる:
D = n − 1 2 Γ ( n − 1 2 ) Γ ( n 2 ) v {\displaystyle D={\sqrt {\frac {n-1}{2}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}v}
ここで、Γ はガンマ関数、v は不偏分散である。
標本の大きさが大きくなれば、母集団の標準偏差の不偏推定量 D は、近似的に、平均からの偏差平方和を n − 1.5 で割った値の平方根として求められる:
D ≈ 1 n − 1.5 ∑ i = 1 n ( x i − x ̄ ) 2 = 1 n − 1.5 ∑ i = 1 n x i 2 − n n − 1.5 x ̄ 2 {\displaystyle D\approx {\sqrt {{\frac {1}{n-1.5}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}={\sqrt {{\dfrac {1}{n-1.5}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}-{\dfrac {n}{n-1.5}}{\bar {x}}^{2}}}}
σ を母分散、s を標本分散とすると、標本分散の期待値 E[s] は、
E [ s 2 ] = n − 1 n σ 2 {\displaystyle E[s^{2}]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}}
となることが示される。つまり、標本分散は母分散よりも少し小さくなる。そのため、標本分散は母分散の不偏推定量ではない。そこで、
v 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ̄ ) 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n x i 2 − n n − 1 x ̄ 2 {\displaystyle v^{2}={\frac {1}{n-1}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}={\dfrac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}-{\dfrac {n}{n-1}}{\bar {x}}^{2}}
を考えると、この量の期待値は母分散に等しく、母分散の不偏推定量になっている。
こうして定義される v を不偏分散という。v を不偏標準偏差という。
紛らわしいが、 v を標本分散と呼ぶこともある。さらに v の平方根 v を標本標準偏差ということもある。名称の混乱については後述する。