商線型空間
c o d i m ( U ) = dim  ( V / U ) = dim  ( V ) − dim  ( U ) {\displaystyle \mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U)}
として得られることが従う (Halmos 1974, Theorem 22.2)。T: V → W を線型作用素とし、T の核 ker(T) は Tx = 0 となる x ∈ V 全体の成す集合とする。核 ker(T) は V の部分空間であり、第一同型定理は商空間 V/ker(T) が W における V の像 im(T) に同型であることをいうものである。ここから直ちに得られる系として、有限次元ベクトル空間に対する次元定理の一つである階数・退化次数定理がある。これは V の次元が T の退化次数(nullity; 核 ker(T) の次元)と T の階数(rank; 像 im(T) の次元)の和に等しいことを言うものである。
線型作用素 T: V → W の余核は商空間 W/im(T) として定義される。
X = R を標準座標平面とし、Y を原点を通る X 上の直線とする。このとき、商空間 X/Y は Y に平行な X 上の直線全体のなす空間と同一視することができる。つまり、集合 X/Y の元は X 上の Y に平行な直線である。これは商空間を幾何学的に視覚化するひとつの方法を与える。
別な例は、R の最初の m 個の標準基底ベクトルで張る部分空間による商である。空間 R は実数の n-組 (x1, ..., xn) 全体のなす集合であり、考えたい部分空間は最初の m 個以外の座標成分が全て 0 であるような n-組 (x1, ..., xm, 0, 0, ..., 0) の全体で、これは R と同一視される。R の二つのベクトルがこの部分空間による同じ同値類に入るのは、後ろの n − m 個の座標成分が一致するときであり、かつそのときに限る。商空間 R/ R は明らかに R に線型同型である。
もっと一般に、V が部分空間 U と W の(内部)直和
V = U ⊕ W {\displaystyle V=U\oplus W}
であるならば、商空間 V/U は W に自然同型である (Halmos 1974, Theorem 22.1)。