リースの拡張定理
φ 1 ( a , x ) = a − φ ( x ) . {\displaystyle \phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).}
φ1 は K-正であり、K + (R × U) = R × V となることが分かる。したがって φ1 は R×V 上の K-正汎函数 ψ1 に拡張することが出来る。このとき
ψ ( x ) = − ψ 1 ( 0 , x ) {\displaystyle \psi (x)=-\psi _{1}(0,x)}
が求める φ の拡張である。実際、ψ(x) > N(x) であるなら (N(x), x) ∈ K が得られるが、これは
ψ 1 ( N ( x ) , x ) = N ( x ) − ψ ( x ) < 0 {\displaystyle \psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0}
となり、矛盾が生じる。
↑ Riesz (1923)
↑ Akhiezer (1965)