ヒッグス機構
簡単な例としてtreeレベルのU(1)ゲージ理論を考える。ラグランジアンは
L = − 1 4 F μ ν F μ ν + ( D μ φ ) † ( D μ φ ) − λ ( φ † φ − v 2 2 ) 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+({\mathcal {D}}^{\mu }\phi )^{\dagger }({\mathcal {D}}_{\mu }\phi )-\lambda \left(\phi ^{\dagger }\phi -{\frac {v^{2}}{2}}\right)^{2}}
である。 共変微分とゲージ場の強度は
D μ φ ( x ) = ∂ μ φ ( x ) − i g A μ ( x ) φ ( x ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\phi (x)=\partial _{\mu }\phi (x)-igA_{\mu }(x)\phi (x)}
F μ ν ( x ) = ∂ μ A ν ( x ) − ∂ ν A μ ( x ) {\displaystyle F_{\mu \nu }(x)=\partial _{\mu }A_{\nu }(x)-\partial _{\nu }A_{\mu }(x)}
である。
ポテンシャル項からヒッグス場の真空期待値は