中可換マグマ
実際、任意の非自明なアーベル群と自然数 m ≠ n を用意して、アーベル群の群演算 x + y を少し改変した二項演算 x ⋅ y ≔ mx + ny を考えれば、一般には結合的でも可換でもない中可換マグマが得られる。
圏論的な仕方で直積を定めるとき、直平方マグマ M × M 上の演算を成分ごとの演算により (x, y) ∙ (u, v) = (x ∙ u, y ∙ v) と定義することができる。M 上の二項演算 ⋅ を写像 M × M → M と見れば、(x, y) ↦ x ∙ y, (u, v) ↦ u ∙ v および (x ∙ u, y ∙ v) ↦ (x ∙ u) ∙ (y ∙ v) が成り立つから、したがってマグマ M が中可換となるための必要十分条件を、その二項演算がマグマ準同型M × M → M となっていることと述べることができる。このことは可換図式を用いて容易に表示することができ、それによって圏論的直積を持つ圏の中可換マグマ対象の概念が導かれる。(自己マグマ対象(英語版)の項も参照)
中可換マグマの自己準同型 f, g に対して、写像 f ⋅ g を点ごとの積
と定めると、それ自身が一つの自己準同型を与える。