フォン・ノイマンエントロピー
この振幅の二乗を p(n1, n2, ..., nN) と表すとする。目標はこの量 p が相空間の古典的な密度函数となることである。p が古典極限において密度函数となり、エルゴード的(Ergodicity)な性質を持つことを示す必要がある。p(n1, n2, ..., nN) が運動の定数であることを確認した後に、確率 p(n1, n2, ..., nN) のエルゴード仮設が p をエネルギーのみの函数とする.
この過程の後、結局、使った表現に関して p(n1, n2, ..., nN) が不変であるとき、密度行列の定式化という結論へ達する。このように記述された形式において、正しい量の期待値は、量子数 n1, n2, ..., nN に対して対角的である。
対角的ではない作用素の期待値は、量子振幅の相を意味する。量子数 n1, n2, ..., nN が単独の添字 i または、j にエンコードされているとすると、波動函数は、
| Ψ ⟩ = ∑ i a i | ψ i ⟩ . {\displaystyle \left|\Psi \right\rangle =\sum _{i}a_{i}\left|\psi _{i}\right\rangle .}
という形をしている。従って、これらの波動函数の対角的ではない作用素 B の期待値は、
⟨ B ⟩ = ∑ i , j a i ∗ a j ⟨ i | B | j ⟩ {\displaystyle \left\langle B\right\rangle =\sum _{i,j}a_{i}^{*}a_{j}\left\langle i\right|B\left|j\right\rangle }
フォン・ノイマンエントロピー(英: von Neumann entropy)は、統計力学におけるギブスエントロピー(英語版)の量子力学的な拡張である。名称は数学者のジョン・フォン・ノイマンに因む。密度行列 ρ で記述される一般の量子系に対し、フォン・ノイマンエントロピー は、以下のように定義される。
S = − t r ( ρ ln  ρ ) . {\displaystyle S=-\mathrm {tr} (\rho \ln \rho ).}
ここで tr はトレースを表し、ln は行列自然対数を表す。ρ が固有ベクトル |1⟩, |2⟩, ... によって展開できる場合、密度行列は以下のように表示できる。
ρ = ∑ j η j | j ⟩ ⟨ j | . {\displaystyle \rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|.}
また、フォン・ノイマンエントロピーは、単に
S = − ∑ j η j ln  η j {\displaystyle S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}}
となり、フォン・ノイマンエントロピーは情報理論におけるシャノンエントロピーと形式的に一致する。シャノンエントロピーとの関係から、フォン・ノイマンエントロピーやそれに付随する物理量に対して情報理論的な解釈を与えることができる。