算術級数の素数定理
ここで c は計算可能な正の定数である。
カール・ジーゲルは二次体の類数についての研究結果から任意の正の ε に対して ( L ( 1 , χ ) ) − 1 = O ( d ε ) {\displaystyle (L(1,\chi ))^{-1}=O(d^{\epsilon })} を示し、これから s < 1 − c / t ε {\displaystyle s<1-c/t^{\epsilon }} を 示した。ただしこのときは c は計算可能ではない。これは後にセオドア・エスターマン(英語版)によって複素函数論の基礎的な定理のみを用いて証明された。この結果から、任意の正の ε に対して、 x > exp  k ε {\displaystyle x>\exp k^{\epsilon }} ならば
π d , a ( x ) = 1 φ ( d ) L i ( x ) + O ( x exp  ( − c 1 log  x ) ) {\displaystyle \pi _{d,a}(x)={\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)+O(x\exp(-c_{1}{\sqrt {\log x}}))}
(ここで c1 は ε にのみ依存する正の定数) が成り立つ事が示される。