ロジスティック方程式
個体数当たりの出生率を b、個体数当たりの死亡率を d とすれば、個体数の増加率は差し引きした b − d に個体数 N を掛け合わせた値となる。よって個体数増加率 dN/dt は
d N d t = m N {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}\ =mN}
という微分方程式で表される。ここで m は比例定数であり、m = b − d である。
このような式で表される個体数増加は t の指数関数となり、人間でいえば、あっという間に人口爆発を引き起こすことになる。このような個体群成長のモデルは、生物個体(人口)の増加が幾何級数的であることを最初に指摘したトマス・ロバート・マルサスに因んでマルサスモデルと呼ばれる。比例定数 m もマルサスの名からマルサス係数と呼ばれ、単位は一個体当たりの増加率となる。
しかし、このモデルは現実と違いすぎる。現実の生物は、限られた環境下で生息しており、個体数が多くなると、各個体にとって必要な資源が得にくくなる。そこに生息できる個体数には上限があると見るのが自然である。つまり、個体数が多くなると、その増加にブレーキがかかるものと想像される。このような一種内での資源の取り合いは種内競争と呼ばれ、生物における競争関係の一種である。
ベルギー・ブリュッセルの陸軍大学の数学者であったピエール=フランソワ・フェルフルストによって、ロジスティック方程式は発表された。18世紀になると、トマス・ロバート・マルサスが出版した『人口論』に関心が高まっていた。マルサスモデルの説明で述べたように、マルサスは人口が指数関数的に成長していくモデルを発表し、その帰結として社会が飢饉の発生など破滅的状況を迎えることを予測した。このセンセーショナルな予測は衝撃を与え、当時およびマルサス死後も長く続く論争を引き起こした。「近代統計学の父」と呼ばれるアドルフ・ケトレーも、マルサスのモデルに関心を持ち、人口増減モデルについて論じた。ケトレーは流体の抵抗をヒントにして、人口増加率への抵抗は人口増加率自体の二乗に比例すると考えた。
ケトレーから教えを受けたこともあり、友人でもあったフェルフルストは、ケトレー自身からケトレーのモデルに関する研究を勧められた。
d N d t = r N ( 1 − N ) {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}\ =rN(1-N)}
という形式もある。
非線形のロジスティック関数を扱いやすくするために線形の対数関数に変換する、フィッシャ・プライ変換(英語:Fisher-Pry transform)と呼ばれる次のような変換もある。
F P = 1 1 + e − b t − a {\displaystyle FP={\frac {1}{1+e^{-bt-a}}}}
b t + a = ln  F P 1 − F P {\displaystyle bt+a=\ln {\frac {FP}{1-FP}}}
ここで FP = N とすると、ロジスティック関数のパラメータとの関係は K = 1, r = b, N0 = e/(1 + e) である。
N = K の点の右側に点があるとき、dN/dt の値は負なので、N は減少していき、K に近づくことになる。N = K の点の左側に点があるときは、dN/dt は正なので、N は増加していき、同じく K に近づくことになる。N = 0 の点についても、左右にずれたときの dN/dt の値の正負から、0 の点から離れていくことが理解できる。
あるいは、安定性理論における線形安定性解析の考えにもとづいて、より一般的に安定性を判別することもできる。dN/dt = f(N) 、その N による微分を d(f(N))/dN = f ′(N)、平衡状態の点を Ne と置くとする。このとき、f ′(Ne) < 0 ならば Ne は安定な平衡点で、f ′(Ne) > 0 ならば Ne は不安定な平衡点であると判別できる。ロジスティック方程式の場合は、
f ( N ) = d N d t = r N ( 1 − N K ) {\displaystyle f(N)={\frac {dN}{dt}}\ =rN\left(1-{\frac {N}{K}}\right)}
なので、
f ′ ( N ) = r ( 1 − 2 N K ) {\displaystyle f'(N)=r\left(1-{\frac {2N}{K}}\right)}
となり、f ′(K) = −r < 0, f ′(0) = r > 0 となることが確認できる。