1−2+3−4+…
とすれば、両辺に-xを乗じて辺々引いて(|x|<1とすればg(x)は絶対収束するから、同じ仮定の下この操作が許されることに注意)
( 1 + x ) g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − x ) n − 1 {\displaystyle (1+x)g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-x)^{n-1}}}
を得、よって
g ( x ) = 1 ( 1 + x ) 2 {\displaystyle g(x)={1 \over (1+x)^{2}}}
となるのだが
lim x → 1 − 0 g ( x ) = 1 4 {\displaystyle \lim _{x\to 1-0}g(x)={1 \over 4}}
であるから、アーベルの意味でこの和が1/4と結論することができる。これは上のヒューリスティックとよく似た議論であるが一度議論対象を関数に落とし込んでから、その極限をとって再び特殊化することにより厳密な議論となっている。 逆にこの方法で得た値をイータ関数の値とみることによってゼータ関数の値をも求めることが出来る。この方法で得た値はゼータ関数の解析接続によって得られる値と等しい。