ゲージ理論
ここで、ヤン・ミルズ作用(Yang–Mills action)は
1 4 g 2 ∫ Tr  [ ∗ F ∧ F ] {\displaystyle {\frac {1}{4g^{2}}}\int \operatorname {Tr} [*F\wedge F]}
により与えられる。ここに * はホッジ双対を表し、積分は微分形式を使い微分幾何学的に定義される。
ゲージ不変量(すなわち、ゲージ変換の下に不変である量)は、次の式のように、任意の閉じた経路 γ で定義されるウィルソンループである。
χ ( ρ ) ( P { e ∫ γ A } ) {\displaystyle \chi ^{(\rho )}\left({\mathcal {P}}\left\{e^{\int _{\gamma }A}\right\}\right)}
ここに χ は複素表現 ρ の指標であり、 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} は経路の向きづけられた作用素を表す。
歴史的には、最初に発見されたゲージ対称性は、古典電磁気学である。静電気学では、電気的な場 E、もしくは対応する電位 V のどちらもを議論することが可能である。一方が分かれば、定数だけ異なるポテンシャル V → V + C {\displaystyle V\rightarrow V+C} が同じ電場に対応することを除いて、他方も分かる。これは、電場は空間の一点から他の点までのポテンシャルの変化を関連付け、定数 C はポテンシャルの変化を見つけるために引くとキャンセルされるからである。ベクトル解析のことばでは、電場はポテンシャルの勾配 E = − ∇ V {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V} である。静電気学から電磁気学へ一般化すると、第二のポテンシャルであるベクトルポテンシャル(英語版)(vector potential) A を得て、次の式を満たす。
E = − ∇ V − ∂ A ∂ t , B = ∇ × A .
任意の物理的状況の数学的記述は、通常、過度の自由度を持っている。同一の物理状況は、多くの同値な数学的な構成によりうまく記述される。例えば、ニュートン力学では、2つの構成が互いにガリレイ変換(座標系の慣性変換)により、同一の物理的状況を表している。これらの変換は理論の対称性の群を形成し、物理的状況は個別の数学的構成に対応しているのではなく、この対称群により互いに関連付けられた構成のクラスに対応する。
この考え方を大域的な対称性と同様に局所対称性へ一般化することができる。このことは、全物理系をカバーする「慣性」座標系を選ぶことのないような状況でのより抽象的な「座標変換」であることと似ている。ゲージ理論はこの種類の対称性を持つ数学的モデルであり、モデルの対称性と整合性を持つ物理的な予言をなすことを可能とする一連のテクニックを伴っている。