ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理
コンパクトな複素多様体 X 上の任意の正則ベクトルバンドル E に対し、その層係数コホモロジーの次元の交代和
χ ( X , E ) = ∑ i = 0 dim C  X ( − 1 ) i dim C  H i ( X , E ) {\displaystyle \chi (X,E)=\sum _{i=0}^{\dim _{\mathbb {C} }X}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)}
を E のオイラー数とよぶ。ヒルツェブルフの定理は、オイラー数 χ(X, E) を E のチャーン類と X のトッド類(正確には X の接ベクトル束のトッド類)から計算できるという定理である。E のチャーン指標を ch(E) とし、X のトッド類を td(X) とすると、定理は
χ ( X , E ) = ∫ X ch  ( E ) td  ( X ) {\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)}
と書ける。ここで、ch(E)td(X) は X のコホモロジー環における積で、このコホモロジー類と X の基本類とのペアリングを X 上での積分として書き表した。
しかし、h(O(D)) は l(D) に一致し、セール双対性により h(O(D)) = h(O(K − D)) = l(K − D) である。さらに、K の次数は g を曲線 X 種数として 2g - 2であるため、古典的なリーマン・ロッホの定理
l ( D ) − l ( K − D ) = deg ( D ) + 1 − g {\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)={\text{deg}}(D)+1-g}
を得る。
ベクトルバンドル V に対し、チャーン指標は rank(V) + c1(V) であるので、曲線のベクトルバンドルのヴェイユのリーマン・ロッホの定理
h 0 ( V ) − h 1 ( V ) = c 1 ( V ) + rank ( V ) ( 1 − g ) {\displaystyle h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+{\text{rank}}(V)(1-g)}
を得る。