算術の基礎
分析的判断 - 述語の内容が主語の中に含まれている。例:「独身者は結婚していない」
総合的判断 - 述語の内容が主語の外にある。論理だけでは証明不可能。例:「A君は結婚していない」。総合的判断が真と知られると我々の認識は拡張する。
アプリオリ - 経験に依存しない。例:「三角形の内角の和は二直角である」
アポステリオリ - 経験に依存する。例:「すべてのカラスが黒い」
判断は「分析的アプリオリ」な判断か、「総合的アポステリオリ」な判断のどちらかと考えられる。 しかし、カントは、数学は「総合的アプリオリ」であるという。例として、「7+5=12」という命題では7+5という概念を分析しても12という概念は出てこない。したがって、この命題は総合的である(カントは、このことはもっと大きな数を使ってみればいっそうはっきりすると言う)。ところが、我々は経験によらず、感性による直観(5本の指のような)を援用して12という概念を手に入れることができる。つまり、これはアプリオリな判断である(§5)。
フレーゲはカントの仕事を大いに評価する。しかし、フレーゲは、幾何は「総合的アプリオリ」であると同意する(§13)一方で、算術は「分析的アプリオリ」であるとする。つまり、7+5の概念を分析するだけで12の概念が得られる。
フレーゲは、135,664+37,863=173,527 という式の中のどの数に対しても何の直観も持てないが、それにもかかわらず我々はそれが真であると断言できると言う。彼はこのことをこの命題が分析的である証拠として提出する(§5)。
そして、カントと異なり、分析的に得た帰結は我々の知識を拡張するとする。帰結は定義の中に種子の中の植物のように含まれている(§88)。