可換環
環 R は加法 "+" と乗法 "⋅" という二種類の二項演算(つまり任意の二元を結合して第三の元 a + b や a ⋅ b を与える操作)を備えた集合である。環を成すためにはこれら二つの演算がいくつかの適当な性質を満たさねばならない。即ち、環 R は加法についてアーベル群を成し、乗法に関して単位的半群を成し、かつ乗法は加法に対して分配的(つまり a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c))である。加法および乗法の単位元はそれぞれ 0 および 1 で表される。
この時さらに乗法が可換律
a ⋅ b = b ⋅ a
をも満たすならば、環 R は可換であると言う。以後、本項で扱う環は特に断りのない限りすべて可換であるものとする。