ヴィタリの収束定理
定理の1を証明するために、ファトゥの補題を用いる: ∫ X | f | d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ X | f n | d μ {\displaystyle \int _{X}|f|d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}|d\mu }
一様可積分性により、 μ ( E ) < δ {\displaystyle \mu (E)<\delta } であるような集合 E {\displaystyle E} に対して、 ∫ E | f n | d μ < 1 {\displaystyle \int _{E}|f_{n}|d\mu <1} where E {\displaystyle E} が得られる。
エゴロフの定理(英語版)より、 f n {\displaystyle {f_{n}}} は集合 E C {\displaystyle E^{C}} 上で一様収束する。 p {\displaystyle p} を十分大きいとしたとき、すべての n > p {\displaystyle n>p} に対して ∫ E C | f n − f p | d μ < 1 {\displaystyle \int _{E^{C}}|f_{n}-f_{p}|d\mu <1} が成立する。