パウリの排他原理
また、軌道角運動量の場合には、磁気量子数 m {\displaystyle {\mathit {m}}} の取り得る範囲は − l ≤ m ≤ l {\displaystyle -{\mathit {l}}\leq {\mathit {m}}\leq {\mathit {l}}} である。今、 l {\displaystyle {\mathit {l}}} に対応した数値 s {\displaystyle {\mathit {s}}} が 1 / 2 {\displaystyle 1/2} であることから、スピン磁気量子数 m s {\displaystyle {\mathit {m}}_{s}} のとる値としては、
と考えるのが妥当となる。
以上のことから、スピン座標を σ {\displaystyle \sigma } で表すと、波動関数は、
で書けることとなる。ただし、 σ {\displaystyle \sigma } は − 1 / 2 {\displaystyle -1/2} または 1 / 2 {\displaystyle 1/2} をとる。
粒子の具体例として、
C = − 1 {\displaystyle {\mathit {C}}=-1} の場合・・・電子、陽子、中性子
C = + 1 {\displaystyle {\mathit {C}}=+1} の場合・・・光子
が挙げられる。
スピンが 1 / 2 , 3 / 2 , 5 / 2 , ... {\displaystyle 1/2,3/2,5/2,\dots } のような半整数の同種粒子の波動関数は、変数の入れ替えで反対称 ( C = − 1 ) {\displaystyle ({\mathit {C}}=-1)} であり、このような粒子をフェルミ粒子(フェルミオン)と呼ぶ。
対して、スピンが 0 , 1 , 2 , . . . {\displaystyle 0,1,2,...} のような整数の同種粒子の波動関数は、変数の入れ替えで対称 ( C = + 1 ) {\displaystyle ({\mathit {C}}=+1)} であり、このような粒子をボース粒子(ボソン)と呼ぶ。
簡単のために、まず2電子原子系を考える。ハートリー近似をもとに波動関数を考えると、以下のように書ける。
今考えているのは電子であるから、座標の入れ替えによる反対称性(符号の反転)を満足しなければならない。しかし、この波動関数は反対称性を満足していないため、式を書き換える必要がある。
上記の波動関数の座標を入れ替えると、
となる。
この式を考慮に入れ、反対称化して規格化すると、以下の波動関数が得られる。
ここで、この波動関数を行列式で表現することを考えると、
となる。
行列式の性質から、
座標 ξ 1 , ξ 2 {\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}} を交換すると、行が交換されて行列式の符号が変わる ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 反対称性を満足している
量子数 a , b {\displaystyle {\mathit {a}},{\mathit {b}}} が一致すると、2つの列が一致するため、行列式が0となる ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 波動関数が存在しない
ということが言える。