Tonnetz
これは、Fから完全5度を12回繰り返したときに到達するE♯が、最初のFからちょうど7オクターブ上にはない( ( 3 2 ) 12 = 129.746337 ... ≠ 2 7 = 128 {\displaystyle ({\tfrac {3}{2}})^{12}=129.746337\ldots \neq 2^{7}=128} )ことを意味する。エッティンゲンとリーマンのTonnetzは、このようにピッチを不正確に繰り返したまま、あらゆる方向に無限に広がる。
19世紀のドイツの理論家に対するTonnetzの訴えは、音の距離と音の関係を空間的に表現できることであった。たとえば、記事の冒頭にある画像の暗い青色のA minor(A - C - E)を見ると、A major(A - C♯ - E。イ長調はイ短調の同主調)は、頂点AとEを共有する右下の三角形である。C major(C - E - G。ハ長調はイ短調の平行調)は右上に隣接する三角形で、CとEの頂点を共有する。E major(E - G♯ - B。イ短調における属三和音)は、頂点Eを斜めに横切り、他の頂点を共有しない。1つの重要なポイントは、1組の三角形の間のすべての共有頂点がコード間の共有ピッチであることである。頂点が共有されるほど、コードが共有するピッチが多くなる。これにより、音程の変化が少ない場合に和音間の動きが流暢に見られ、「ケチ」な声部連結の原理が視覚化される。この原則は、伝統的な音色の関係を頻繁に避けていたワーグナーのような19世紀後半の作曲家の音楽を分析する上で特に重要である。