劣調和函数
右辺の積分は、φ の単位円周 T への制限に対するハーディ=リトルウッド最大値函数(英語版) φ の e における値
φ ∗ ( e i θ ) = sup 0 < α ≤ π 1 2 α ∫ θ − α θ + α φ ( e i t ) d t {\displaystyle \varphi ^{*}(e^{i\theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi (e^{it})dt}
より小さいこと、故に 0 ≤ Mφ ≤ φ が証明できる。既知の事実として、ハーディ=リトルウッド作用素は 1 < p < ∞ のとき、L(T) において有界であるから、適当な普遍定数 C を用いて
‖ M φ ‖ L 2 ( T ) 2 ≤ C 2 ∫ 0 2 π φ ( e i θ ) 2 d θ {\displaystyle \|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbb {T} )}^{2}\leq C^{2}\int _{0}^{2\pi }\varphi (e^{i\theta })^{2}d\theta }
任意のリーマン多様体上で、劣調和函数は定義することが出来る。
数学において劣調和函数(れつちょうわかんすう、英: subharmonic function)および優調和函数(ゆうちょうわかんすう、英: superharmonic function)は、偏微分方程式、複素解析およびポテンシャル論において幅広く用いられている重要な函数のクラスである。
直観的に言えば、劣調和函数は以下のような意味で一変数の凸函数と関係がある:
「凸函数のグラフと直線が二点で交わるとき、その二点間では凸函数のグラフは直線の下にある」ことと同様に「球体の境界上での劣調和函数の値が常に適当な調和函数の値よりも大きくないならば、球体の内側においても劣調和函数の値はその調和函数の値よりも大きくならない。」
優調和函数は、同じ記述において「大きくない」という箇所を「小さくない」に替えたものによって定義することができる。あるいは同じことになるが、優調和函数とは劣調和函数の負函数にちょうどなっているものである。また、このことから劣調和函数のどのような性質も、優調和函数の対応する性質に読み替えるのは容易である。