グラフ (関数)
関数 f が x=a で微分可能であるとは、おおまかには、 f のグラフが (a,f(a)) の周辺で「滑らか」であって、その点における接線が描けるということである。例えば、絶対値関数は、x=0 でのみ微分不可能であって、他の点では微分可能である。なお、微分可能ならば連続でもあるが、逆は成り立たない。
微分可能性は、やはり極限を用いて定義されるのであって、必ずしも直感的に分かりやすい例ばかりではない。例として、次の関数 f1 を考える。この関数のグラフは、原点の近くで無限回振動しており、正確に描くことはできない。
f 1 ( x ) = { 0 , ( x ≤ 0 ) x sin  ( 1 x ) , ( x > 0 ) {\displaystyle f_{1}(x)={\begin{cases}0,&(x\leq 0)\\x\sin \left({\dfrac {1}{x}}\right),&(x>0)\end{cases}}}
f1 は x=0 で連続ではあるが、微分可能ではない。このことは、グラフの外見だけからは判別しにくい。
似た定義式であっても、次の関数は x=0 で微分可能である。
f 2 ( x ) = { 0 , ( x ≤ 0 ) x 2 sin  ( 1 x ) , ( x > 0 ) {\displaystyle f_{2}(x)={\begin{cases}0,&(x\leq 0)\\x^{2}\sin \left({\dfrac {1}{x}}\right),&(x>0)\end{cases}}}
なお、導関数 f2′は x = 0 で不連続である。
絶対値関数は原点で微分不可能
f1 は原点で微分不可能
f2 は原点で微分可能
関数 f が x = a で連続であるとは、おおまかには、f のグラフが (a, f(a)) の周辺で「つながっている」ということである。例えば、ヘヴィサイドの階段関数は、x = 0 でのみ不連続であって、他の点では連続である。
しかし、数学における連続性は、厳密には極限、ひいてはε-δ論法を用いて定義されるのであって、必ずしも直感的に分かりやすい例ばかりではない。分かりにくい例として、次の関数 f を考える。
f ( x ) = { x ( x ∈ Q ) 1 − x ( x ∈ R ∖ Q ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}x&(x\in \mathbb {Q} )\\1-x&(x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\end{cases}}}
この関数のグラフは、2本の直線が (1/2, 1/2) で直交しているように「見える」が、ディリクレの関数と同様に無数に穴が空いている。連続性の定義から、x = 1/2 でのみ連続であって、他の点では不連続である。