シュトルツ＝チェザロの定理
二つの数列 a n = ∑ k = 1 n r k {\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}r_{k}} と b n = ∑ k = 1 n d k {\displaystyle b_{n}=\sum _{k=1}^{n}d_{k}} が { r n } {\displaystyle \{r_{n}\}\!} と { d n } {\displaystyle \{d_{n}\}\!} で規定されるとする。ここで、
d n = 1 n {\displaystyle d_{n}={\frac {1}{n}}} は調和数列
各数列の要素が正の有限値、あるいは、各数列は増加的
{ b n } {\displaystyle \{b_{n}\}\!} が単調増加
であるとき、極限、
lim n → ∞ r n d n = a n − a n − 1 b n − b n − 1 = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {r_{n}}{d_{n}}}={\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=\ell }
が存在すれば、
lim n → ∞ ∑ k = 1 n r k ∑ k = 1 n d k = lim n → ∞ a n b n = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}r_{k}}{\sum _{k=1}^{n}d_{k}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\ell }
である。