ガンマ関数
( 1 − x 2 ) z − 1 {\displaystyle (1-x^{2})^{z-1}} は偶関数なので
2 2 z − 1 Γ 2 ( z ) = 2 Γ ( 2 z ) ∫ 0 1 ( 1 − x 2 ) z − 1 d x {\displaystyle 2^{2z-1}\Gamma ^{2}(z)=2\Gamma (2z)\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{z-1}\,dx}
ここで
B ( 1 2 , z ) = ∫ 0 1 t 1 2 − 1 ( 1 − t ) z − 1 d t , t = s 2 {\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=\int _{0}^{1}t^{{\frac {1}{2}}-1}(1-t)^{z-1}\,dt,\quad t=s^{2}}
とすると
B ( 1 2 , z ) = 2 ∫ 0 1 ( 1 − s 2 ) z − 1 d s = 2 ∫ 0 1 ( 1 − x 2 ) z − 1 d x {\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},z\right)=2\int _{0}^{1}(1-s^{2})^{z-1}\,ds=2\int _{0}^{1}(1-x^{2})^{z-1}\,dx}
∫ C ( − t ) z − 1 e − t d t = − 2 i sin  π z ∫ 0 ∞ r z − 1 e − r d r = − 2 i sin  π z Γ ( z ) ( R z > 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t&=-2i\sin {\pi }z\int _{0}^{\infty }r^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r\\&=-2i\sin {\pi }z\Gamma (z)\qquad (\Re {z}>0)\\\end{aligned}}}
である。しかし、左辺の被積分関数は z {\displaystyle z} が有界であるかぎり正則であるから、左辺は複素平面全体に解析接続する。従って、
Γ ( z ) = i 2 sin  π z ∫ C ( − t ) z − 1 e − t d t ( z ∈ C ∖ Z ) {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {i}{2\sin {\pi }z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )}