回転面
母曲線が媒介変数 t (a ≤ t ≤ b) を用いて (x(t), y(t)) と媒介変数表示(英語版)されているとし、x(t) が両端点 a, b の間で負になることは無いとすると、回転の軸を y-軸としたときの回転面の(表)面積 Ay は積分
A y = 2 π ∫ a b x ( t ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t {\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t){\sqrt {{\Bigl (}{dx \over dt}{\Bigr )}^{\!2}+{\Bigl (}{dy \over dt}{\Bigr )}^{\!2}}}\,dt}
で与えられる。この公式はパップスの中心軌跡定理と同等の計算である。ここで、ピタゴラスの定理からくる量
( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 {\displaystyle {\sqrt {{\Bigl (}{dx \over dt}{\Bigr )}^{\!2}+{\Bigl (}{dy \over dt}{\Bigr )}^{\!2}}}}
は(弧長の公式と同じく)母曲線の弧の小さな小片(線素)を表している。また量 2πx(t) は(パップスの定理で要求されるのと同様の)この線素の掃く経路(中心軌跡)の長さである。
同様に、y(t) が負になることは無いものとして x-軸を回転軸とした回転面の面積は
A x = 2 π ∫ a b y ( t ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t {\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t){\sqrt {{\Bigl (}{dx \over dt}{\Bigr )}^{\!2}+{\Bigl (}{dy \over dt}{\Bigr )}^{\!2}}}\,dt}