部分リーマン多様体の接続と曲率
M ⊂ R m + 1 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{m+1}} を余次元1で向き付け可能なリーマン多様体とする。すでに述べたように、M、Sの体積要素をそれぞれ d V {\displaystyle dV} 、 d V ′ {\displaystyle dV'} とすると、両者の間には
G ∗ ( d V ′ ) = K d V {\displaystyle G^{*}(dV')=KdV}
という関係がある。ここでKはMのガウス曲率である。
Mがコンパクトで縁がなければ、ド・ラームコホモロジーの一般論から、ガウス写像 G : M → S m {\displaystyle G~:~M\to S^{m}} の写像度 d e g ( G ) {\displaystyle \mathrm {deg} (G)} は
d e g ( G ) = ∫ M G ∗ ( d V ′ ) ∫ S m d V ′ = ∫ M K d V V o l ( S m ) {\displaystyle \mathrm {deg} (G)={\int _{M}G^{*}(dV') \over \int _{S^{m}}dV'}={\int _{M}KdV \over \mathrm {Vol} (S^{m})}}
に等しい。ここで V o l ( S m ) {\displaystyle \mathrm {Vol} (S^{m})} は球面Sのm次元体積である。
この事実を利用すると、偶数次元のMに対し以下の定理が結論付けられる:
詳細はを参照。
定義 ― M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} をリーマン多様体とし、 M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} を(余次元1とは限らない)部分リーマン多様体とし、PをMの点とする。このとき、
H P := 1 n t r I I | P = 1 n ∑ i I I | P ( e i , e i ) ∈ N P M {\displaystyle H_{P}:={1 \over n}\mathrm {tr} \mathrm {I\!I} |_{P}={1 \over n}\sum _{i}\mathrm {I\!I} |_{P}(e_{i},e_{i})\in N_{P}M}
をPにおけるMの平均曲率ベクトル(英: mean curvature vector)といい、HPにより定まる法ベクトルバンドルの切断Hを平均曲率ベクトル場(英: mean curvature vector field)という。ここで e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} は T P M {\displaystyle T_{P}M} の正規直交基底である。
平均曲率ベクトル場は極小曲面の特徴付けとして有用であり、閉多様体 M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} が極小曲面になる必要十分条件はM上の平均曲率ベクトル場が恒等的に0である事である事が知られている。
, e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} の取り方によらない。
P f ( α ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (\alpha )} をαのパッフィアン(英: Pfaffian)と呼ぶ。
上記の定理において、 P f ( α ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (\alpha )} の存在一意性は ⋀ n V {\displaystyle \bigwedge ^{n}V} が1次元ベクトル空間な事から明らかに従う。Vと同じ向きの正規直交基底の取り方によらないことも、 P f ( α ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (\alpha )} の定義がαの成分表示によらず、しかも e 1 ∧ ⋯ ∧ e m {\displaystyle e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{m}} がそのような基底の取り方によらない事から明らかに従う。
歪対称行列 A = ( a i j ) i j {\displaystyle A=(a^{ij})_{ij}} に対し、紛れがなければ α = ∑ i > j a i j e i ∧ e j {\displaystyle \alpha =\sum _{i>j}a^{ij}e_{i}\wedge e_{j}} のパッフィアン P f ( α ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (\alpha )} の事を P f ( A ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (A)} とも表記する。