ウェブスターのホルン方程式
管の半径 a = S / π {\displaystyle a={\sqrt {S/\pi }}} から horn function F = 1 a d 2 a d x 2 {\displaystyle F={\frac {1}{a}}{\frac {d^{2}a}{dx^{2}}}} を導入するとき、これが波数 k = ω / c {\displaystyle k=\omega /c} と
k 2 < F {\displaystyle k^{2}<F}
という関係にあるならばその領域で音波は伝播することができない。その境界となる振動数をその点での cutoff frequency と呼ぶ。特に horn function F {\displaystyle F} が管全体で一定値を取る場合を Salmon horn と呼び、詳しく調べられている。
なお、Rossing & Fletcher は管の開き方がゆっくりとはみなせない場合を想定し、音圧の代わりに関数 ψ = S 1 / 2 p {\displaystyle \psi =S^{1/2}p} を導入している。この場合、ウェブスターのホルン方程式は
∂ 2 ψ ∂ x 2 + ( k 2 − 1 a d 2 a d x 2 ) ψ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+\left(k^{2}-{\frac {1}{a}}{\frac {d^{2}a}{dx^{2}}}\right)\psi =0}
と書き換えられる。