ベレの方法
これら2つの級数を足し合わせると、以下の式を得る。
x → ( t + Δ t ) = 2 x → ( t ) − x → ( t − Δ t ) + a → ( t ) Δ t 2 + O ( Δ t 4 ) . {\displaystyle {\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a}}(t)\Delta t^{2}+{\mathcal {O}}(\Delta t^{4}).}
この式から、テイラー展開の1次および3次の項がうち消しあい、ベレ積分の精度が単なるテイラー展開よりも1次高くなっていることがわかる。
ここで、加速度 a → ( t ) = A ( x → ( t ) ) {\displaystyle {\vec {a}}(t)=A{\big (}{\vec {x}}(t){\big )}} は厳密解を用いて計算されているが、逐次計算時には中心座標を用いて a → n = A ( x → n ) {\displaystyle {\vec {a}}_{n}=A({\vec {x}}_{n})} のように計算されることに注意が必要である。大域誤差を計算する際には、この厳密解と近似解列との差は消えず、大域誤差に寄与する。
局所誤差と大域誤差との関係について洞察を得るため、厳密解と近似解が陽に書き下せるシンプルな例を考えてみる。このような例として標準的なものとして指数関数があげられる。
wを定数として、線形微分方程式 x ̈ ( t ) = w 2 x ( t ) {\displaystyle {\ddot {x}}(t)=w^{2}x(t)} を考える。この方程式の厳密解は e w t {\displaystyle e^{wt}} および e − w t {\displaystyle e^{-wt}} である。
この微分方程式にStörmerの方法を適用すると、以下の線形漸化式を得る。
x n + 1 − 2 x n + x n − 1 = h 2 w 2 x n , {\displaystyle x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1}=h^{2}w^{2}x_{n},}
もしくは
x n + 1 − 2 ( 1 + 1 2 ( w h ) 2 ) x n + x n − 1 = 0 {\displaystyle x_{n+1}-2\left(1+{\tfrac {1}{2}}(wh)^{2}\right)x_{n}+x_{n-1}=0}
{\displaystyle {\begin{aligned}q_{+}&=1+{\tfrac {1}{2}}(wh)^{2}+wh\left(1+{\tfrac {1}{8}}(wh)^{2}-{\tfrac {3}{128}}(wh)^{4}+{\mathcal {O}}(h^{6})\right)\\&=1+(wh)+{\tfrac {1}{2}}(wh)^{2}+{\tfrac {1}{8}}(wh)^{3}-{\tfrac {3}{128}}(wh)^{5}+{\mathcal {O}}(h^{7}).\end{aligned}}}
この級数の指数関数 e w h {\displaystyle e^{wh}} との商は 1 − 1 24 ( w h ) 3 + O ( h 5 ) {\displaystyle 1-{\tfrac {1}{24}}(wh)^{3}+{\mathcal {O}}(h^{5})} となるため、以下のように書ける。
q + = ( 1 − 1 24 ( w h ) 3 + O ( h 5 ) ) e w h = e − 1 24 ( w h ) 3 + O ( h 5 ) e w h {\displaystyle {\begin{aligned}q_{+}&=\left(1-{\tfrac {1}{24}}(wh)^{3}+{\mathcal {O}}(h^{5})\right)e^{wh}\\&=e^{-{\frac {1}{24}}(wh)^{3}+{\mathcal {O}}(h^{5})}\,e^{wh}\end{aligned}}}