ガロアの逆問題
t = 1 − ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n u 2 {\displaystyle t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}}
とおく。
この置換で g(y, t) の判別式は
古典的な結果を用いることにより、任意の正の整数 n に対して Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上のガロア群が巡回群 Z/nZ となるような多項式を明示的に構成することができる。これを見るために、まず素数 p で p ≡ 1 (mod n) となるようなものを取る。このような素数はディリクレの定理により存在する。μ を1の原始 p 乗根とし、 Q(μ) を Q {\displaystyle \mathbb {Q} } に μ を付け加えて得られる 円分拡大 とする。体拡大 Q(μ)/Q のガロア群は位数 p − 1 の巡回群である。
n は p − 1 を割り切るので、このガロア群は位数 (p − 1)/n の巡回部分群 H を持つ。この部分群の固定体 F = Q(μ) は、ガロア理論の基本定理より Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上のガロア群として Z/nZ を持つ。ガウス周期(英語版)の構成方法に従って μ の共役の適当な和を取ることにより、F の元 α で Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上 F を生成するものを作れ、その最小多項式を計算できる。
任意の有限アーベル群は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の円分拡大のガロア群の商として現れる(クロネッカー・ウェーバーの定理はこれよりも深い結果)ので、この方法はそのような群にも適用できる。