環の根基
(非可換でもよい)環の元はある本質左イデアルを零化するときに左特異 (singular) であると言う。つまり、r が左特異とは、ある本質左イデアル I に対して Ir = 0 ということである。環 R の左特異元全体の集合は両側イデアルであり、左特異イデアルと呼ばれ、 Z ( R R ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}(_{R}R)\,} と表記される。 N / Z ( R R ) = Z ( R / Z ( R R ) R / Z ( R R ) ) {\displaystyle N/{\mathcal {Z}}(_{R}R)={\mathcal {Z}}(_{R/{\mathcal {Z}}(_{R}R)}R/{\mathcal {Z}}(_{R}R))\,} であるような R のイデアル N は Z 2 ( R R ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{2}(_{R}R)} と表記され、R の特異根基 (singular radical) あるいはゴルディートーション (Goldie torsion) と呼ばれる。特異根基は素根基(可換環の場合にはこれは冪零根基である)を含むが、可換環の場合ですら、それを真に含むかもしれない。しかしながら、ネーター環の特異根基は常に冪零である。