行列の対数
正方行列 A に対して、 B = log  ( c ) I − ∑ k = 1 ∞ 1 k ( I − 1 c A ) k {\displaystyle B=\log(c)I-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}A\right)^{k}} が適当な正の実数 c {\displaystyle c} について収束すれば、 B = log  ( A ) {\displaystyle B=\log(A)} である。
複素関数 log  ( z ) {\displaystyle \log(z)} について、 z = c {\displaystyle z=c} を中心としたテイラー展開は、 log  ( z ) = log  ( c ) + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k c k ( z − c ) k = log  ( c ) − ∑ k = 1 ∞ 1 k ( 1 − z c ) k {\displaystyle \log(z)=\log(c)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kc^{k}}}(z-c)^{k}=\log(c)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(1-{\frac {z}{c}}\right)^{k}} であり、その収束半径は c {\displaystyle c} であるので、 R e ( z ) > 0 {\displaystyle Re(z)>0} ならば c {\displaystyle c} を十分大きくとればテイラー展開は収束する。
これを行列に当てはめれば、 正方行列Aのすべての固有値(特性根)の実数部分が正であれば、適当な正の実数 c {\displaystyle c} について、 B = log  ( c ) I − ∑ k = 1 ∞ 1 k ( I − 1 c A ) k {\displaystyle B=\log(c)I-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}A\right)^{k}} は収束し、 B = log  ( A ) {\displaystyle B=\log(A)} である。