弱位相
ノルム位相に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う:
命題 ― R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上のノルム空間Xの閉単位球がノルム位相に関してコンパクトである必要十分条件はXが有限次元である事である。
したがって無限次元の場合、Xの閉単位球はノルム位相に関してコンパクトではない。しかし、Xの閉単位球は*弱位相に関してはコンパクトになる:
定理 (バナッハ=アラオグルの定理) ― Kを R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } とする。このときK上のノルム空間 ( X , ‖ ⋅ ‖ X ) {\displaystyle (X,\|\cdot \|_{X})} の共役空間 ( X ∗ , ‖ ⋅ ‖ X ∗ ) {\displaystyle (X^{*},\|\cdot \|_{X^{*}})} に*弱位相を入れると、Xの閉単位球は
B ∗ = { α ∈ X ∗ ∣ ‖ α ‖ X ∗ ≤ 1 } {\displaystyle B^{*}=\{\alpha \in X^{*}\mid \|\alpha \|_{X^{*}}\leq 1\}}