ランダウ分布
ランダウにより最初に書かれた確率密度関数は、複素積分により定義される。
p ( x ) = 1 2 π i ∫ a − i ∞ a + i ∞ e s log  ( s ) + x s d s , {\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,}
ここでaは任意の正の実数で、積分経路が虚軸と並行で正の実軸と交差することを意味する。 log {\displaystyle \log } は自然対数である。
次の実数積分は上と等価である。
p ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ e − t log  ( t ) − x t sin  ( π t ) d t . {\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}
ランダウ分布の全てのものは、元の分布を特性関数を持つパラメータ α = 1 {\displaystyle \alpha =1} , β = 1 {\displaystyle \beta =1} の安定分布の位置スケールのものに拡張することによって得られる。
φ ( t ; μ , c ) = exp  ( i t μ − 2 i c t π log  | t | − c | t | ) {\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)}
X ∼ Landau ( μ , c ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,} のとき X + m ∼ Landau ( μ + m , c ) {\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,} .
ランダウ分布は安定度パラメータ α {\displaystyle \alpha } と歪度パラメータ β {\displaystyle \beta } がともに1の安定分布である。