シルベスター方程式
クロネッカー積および vec作用素 vec {\displaystyle \operatorname {vec} } の記法を用いると、シルベスター方程式は次のように書き直せる。
( I m ⊗ A + B T ⊗ I n ) vec  X = vec  C {\displaystyle (I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C}
ここで A {\displaystyle A} は n × n {\displaystyle n\!\times \!n} 行列、 B {\displaystyle B} は m × m {\displaystyle m\!\times \!m} 行列、 X {\displaystyle X} は n × m {\displaystyle n\!\times \!m} 行列、 I k {\displaystyle I_{k}} は k × k {\displaystyle k\times k} の単位行列である。この形に書くと、方程式は m n × m n {\displaystyle mn\times mn} 係数行列による線型方程式系と見ることができる。
命題 複素数成分の n × n {\displaystyle n\times n} 行列 A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} が与えられたとき、シルベスター方程式が任意の C {\displaystyle C} に対して一意的な解 X {\displaystyle X} を持つための必要十分条件は A {\displaystyle A} と − B {\displaystyle -B} が共通の固有値を持たないことである。