ローラン級数
z = 0 におけるテイラー級数は半径 1 の円板上で収束するので、収束円の境界は特異点である z = 1 に「ぶつかる」。一方、z = 0 のまわりでのローラン展開というのは z の属する領域に応じて三種類可能である。
一つは |z| < 1; なる円板上で定義されるもので、これは上記テイラー級数と同じものである: f ( z ) = 1 + 2 i 5 ∑ k = 0 ∞ ( 1 ( 2 i ) k + 1 − 1 ) z k {\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{(2i)^{k+1}}}-1\right)z^{k}} .
別な一つは 1 < |z| < 2 なる二つの特異点の間にあるアニュラス上で定義されるもので、以下のようになる: f ( z ) = 1 + 2 i 5 ( ∑ k = 1 ∞ 1 z k + ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 i ) k + 1 z k ) {\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{k}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i)^{k+1}}}z^{k}\right)} .
最後の一つは 2 < |z| < ∞, なる無限アニュラス上で定義されるものである: f ( z ) = 1 + 2 i 5 ∑ k = 1 ∞ 1 − ( 2 i ) k − 1 z k {\displaystyle f(z)={\frac {1+2i}{5}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1-(2i)^{k-1}}{z^{k}}}} .