小平次元
小平次元は、全ての代数多様体のいくつかのクラスへの大まかな分類に有効である。
小平次元が低い多様体は、特別であると考えられることに対し、最大な小平次元を持つ多様体は、一般型であると言われている。
幾何学的には、小平次元と曲率の間に非常に大まかな対応関係があり、小平次元が負である場合は正の曲率が対応し、小平次元がゼロの場合は平坦であることが対応し、最大の小平次元(一般型)の場合は負の曲率が対応する。
低い小平次元の多様体の特別な性質は、正の曲率を持つリーマン多様体の特別な性質に類似している(一般型は非正な曲率の全体に対応している)。局所と大域をつなぐ古典的な定理、特に、挟まれた断面曲率と正曲率(Positive curvature)を参照のこと。
これらの結果をさらに以下に詳しく述べる。
有理多様体(射影空間に有理同値な多様体)は小平次元 −∞ である。アーベル多様体(射影的なコンパクト複素トーラス)は小平次元が 0 である。より一般的に、カラビ-ヤウ多様体(次元 1 では楕円曲線、次元 2 ではアーベル曲面やK3曲面であり、有限群でそれらの多様体を割った商)は小平次元が 0 である。次元 1 では楕円曲線が小平次元ゼロであり、次元 2 では複素トーラスとK3曲面が小平次元がゼロである(各々平坦な計量であること、リッチ計量が平坦であることに対応)。
有理曲線により被覆される任意の標数 0 の多様体(P からの非定数写像で得られる)を単線織多様体と言い、小平次元 −∞ を持つ。逆に、極小モデル理論の主予想(アバンダンス予想として有名)は、全ての小平次元が −∞ の多様体は単線織的ではないだろうかと予想している。この逆問題は、多様体の次元が 3 の場合のみ知られている。
Siu (2002) は全ての滑らかな複素多様体に対し、変形の下での多重種数の不変性を証明した。特に小平次元は、複素構造の連続的な変形に対して不変である。

正規射影多様体のファイバー構造 X → Y は、連結なファイバーを持つ全射の射(morphism)を意味する。一般型の3次元多様体 X に対して、d-標準写像は d ≥ 61 のときに双有理となる。
中村(郁)と上野は次の複素多様体の加法公式を証明した (Ueno (1975))。基礎となる空間が代数多様体であるということを要求しないにもかかわらず、全てのファイバーが同型であるという前提は、非常に特別な場合である。この仮定の下でも、ファイバーがモアシェゾン多様体でないときには、公式が成立しないことがある。
π:V → W をコンパクト複素多様体の解析的ファイバーバンドル、つまり、ファイバーバンドルでは、π が局所的には積となっているとする(そして、全てのファイバーが複素多様体として同型とする)と F がモアシェゾン多様体であることを仮定すると、
κ ( V ) = κ ( F ) + κ ( W ) {\displaystyle \kappa (V)=\kappa (F)+\kappa (W)}
が成立する。