方向微分
あるベクトル
v = ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(v_{1},\dotsc ,v_{n})}
に沿った、スカラー関数
f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , ... , x n ) {\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}
の方向微分は、極限
∇ v f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h v ) − f ( x ) h {\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}f({\boldsymbol {x}})=\lim _{h\to 0}{\frac {f({\boldsymbol {x}}+h{\boldsymbol {v}})-f({\boldsymbol {x}})}{h}}}
として定義される関数である。
関数 f が x において微分可能であるなら、任意のベクトル v に沿った方向微分が存在し、
∇ v f ( x ) = ∇ f ( x ) ⋅ v {\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}f({\boldsymbol {x}})=\nabla f({\boldsymbol {x}})\cdot {\boldsymbol {v}}}
が成立する。ここで、右辺の ∇ は勾配を表し、⋅ はドット積を表す。任意の点 x において、f の方向微分は、直感的には、ある速度と、v によって与えられるある方向によって動く時の、f の時間に関する変化率を表す。
}
性質:
F ( S ) = F 1 ( S ) + F 2 ( S ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})} なら、 ∂ F ∂ S : T = ( ∂ F 1 ∂ S + ∂ F 2 ∂ S ) : T {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}} 。
通常の微分に対して成立する有名な性質の多くは、方向微分に対しても成立する。以下に述べる性質は、ある点 p において微分可能であり、その点の近傍において定義されるような任意の関数 f および g に対して、成立する:
和の法則(英語版): ∇ v ( f ( p ) + g ( p ) ) = ∇ v f ( p ) + ∇ v g ( p ) {\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}{\bigl (}f(p)+g(p){\bigr )}=\nabla _{\boldsymbol {v}}f(p)+\nabla _{\boldsymbol {v}}g(p)}
定数倍の法則(英語版):任意の定数 c に対し、 ∇ v ( c f ( p ) ) = c ∇ v f ( p ) {\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}{\bigl (}cf(p){\bigr )}=c\nabla _{\boldsymbol {v}}f(p)} が成立する。