断面曲率
正の曲がった多様体の構造については少ししか知られていない。ソウル定理(英語版)(soul theorem)(Cheeger & Gromoll 1972; Gromoll & Meyer 1969) は、完備な非コンパクトな非負の曲がった多様体は、コンパクトな非負な曲がった多様体上の法バンドルに微分同相であるという定理である。コンパクトな正の曲がった多様体に対し、2つの古典的な結果が知られている。
メイヤーの定理(英語版)(Myers theorem)から、そのような多様体の基本群は有限群であることが導かれる。
シンゲの定理(英語版)(Synge theorem)から、そのような偶数次元の多様体の基本群は、向きつけ可能であれば、0 であり、そうでない場合は Z 2 {\displaystyle {\mathbb {Z}}_{2}} となることが導かれる。奇数次元の正の曲がった多様体は常に向き付け可能である。
さらに、コンパクトな正の曲がった多様体には、予想は多くあるものの(たとえば、ホップ予想(英語版)(Hopf conjecture)は、 S 2 × S 2 {\displaystyle {\mathbb {S}}^{2}\times {\mathbb {S}}^{2}} の上には正の断面曲率である計量は存在するかについての予想がある)、比較的少ししか例が存在しない。新しい例を構成するもっと典型的な方法は、次のオーニール曲率から出てくる系に従う。