表現論
ひとつの面は、表現論の応用が多岐にわたっていることであり、表現論は代数への影響のみならず、以下のような応用も持っている。
調和解析を通してフーリエ解析を広く一般化する
不変式論(英語版)とエルランゲン・プログラムを通して深く幾何学とつながっている。
さらに、数論へは保型形式やラングランズ・プログラムを通して深く影響を持っている。
もうひとつの面は、表現論へのアプローチの広がりである。同じ対象が代数幾何学、加群の理論、解析的整数論、微分幾何学、作用素理論、代数的組み合わせ論(英語版)(algebraic combinatorics)、トポロジーの方法で研究できる。
表現論の成功は、多くの一般化を生み出した。その一般的な理論は圏論の中にある。適用する代数的対象を特別な圏として、対象のなす圏からベクトル空間の圏(英語版)(category of vector spaces)への函手を表現とみなすことができる。この記述には 2つの明白な一般化がある。ひとつは代数的対象をより一般的な圏により置き換えることが可能であり、第二には、ベクトル空間のなす圏を別の良く知られた圏に置き換えることが可能である。
テレンス・タオ
イズライル・ゲルファント