メルセンヌ予想
Hendrik Lenstra(英語版), Carl Pomerance, Samuel S. Wagstaff Jr.(英語版) はメルセンヌ素数が無限にあることを予想した。予想は正確には、x より小さいメルセンヌ素数の個数は漸近的に
e γ ⋅ log  log  ( x ) / log  ( 2 ) {\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log \log(x)/\log(2)}
(γ はオイラーの定数)によって近似されるというものである。言い換えると、指数 p が y 以下のメルセンヌ素数の個数は漸近的に
e γ ⋅ log  ( y ) / log  ( 2 ) {\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log(y)/\log(2)}
と表される。これはすなわち、与えられた(十進)桁数の自然数のうち 2 − 1 が素数となるような p は、平均して約 e γ ⋅ log  ( 10 ) / log  ( 2 ) {\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log(10)/\log(2)} ≈ 5.92 個存在するはずだということを意味する。