スペクトル分解 (関数解析学)
したがって、単位ノルム長の複素数 λ に対し、λ ∈ σp(T) あるいは λ ∈ σc(T) が成立する。今、もし |λ| = 1 で
T x = λ x , i . e . ( x 2 , x 3 , x 4 , ... ) = λ ( x 1 , x 2 , x 3 , ... ) {\displaystyle Tx=\lambda x,\;i.e.\;(x_{2},x_{3},x_{4},\dots )=\lambda (x_{1},x_{2},x_{3},\dots )}
が成立するなら、
x = x 1 ( 1 , λ , λ 2 , ... ) {\displaystyle x=x_{1}(1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots )}
となるが、これは l には含まれず、矛盾である。したがってこのことは、単位円は T の連続スペクトルでなければならないことを意味する。
右シフト作用素 T* に対し、σr(T*) は開単位円板となり、σc(T*) は単位円となる。
p = 1 に対しても、同様の解析を行うことが出来る。得られる結果はしかし、回帰性が成立しないために、全く同一ということにはならない。
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}n&{\text{if }}x\in \left[n,n+{\frac {1}{n^{4}}}\right],\\0&{\text{else.}}\end{cases}}}
しかし、アンダーソン局在や動的局在(英語版)の現象は、物理学的な意味でいつ固有関数が局在化するかを示すものである。アンダーソン局在は、固有関数が x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } に対して指数関数的に減衰することを意味する。動的局在を定義するためにはより繊細な議論が必要となる。
物理学の量子力学的計算を行う際、L(R) に属さない「固有ベクトル」に遭遇することがしばしばある。すなわち、局在化されない波動函数である。それらは系の自由状態である。上述のように、数学的定式化においては、自由状態は絶対連続スペクトルに対応する。もし固有ベクトルと固有関数の概念が厳密に保たれるものであると主張するのであれば、帆装ヒルベルト空間(英語版)上の作用素を考えることが出来る。
しばらくの間、特異スペクトルは技巧的なものであると信じられてきた。しかし、概マシュー作用素やランダムシュレディンガー作用素によって示されるように、それらは他のスペクトルと同様、物理学において自然に生じるものなのである。