連続写像
前節の通り、距離空間の間の写像の連続性は、近傍を用いて距離に明示的に依存せずに表すことができた。これを位相が定める近傍系に適用することで、一般の位相空間 (X, OX) と (Y, OY) の間の写像 f: X → Y について a ∈ X における連続性は、
∀ V ∈ N ( f ( a ) ) [ f − 1 ( V ) ∈ N ( a ) ] {\displaystyle \forall V\in {\mathcal {N}}(f(a))\;{\bigl [}f^{-1}(V)\in {\mathcal {N}}(a){\bigr ]}}
で定義される。これは距離空間のときと同じように
∀ V ∈ N ( f ( a ) ) ∃ W ∈ N ( a ) [ f ( W ) ⊂ V ] {\displaystyle \forall V\in {\mathcal {N}}(f(a))\;\exists W\in {\mathcal {N}}(a)\;{\bigl [}f(W)\subset V{\bigr ]}}
あるいは
∀ V ∈ N ( f ( a ) ) ∃ W ∈ N ( a ) [ W ⊂ f − 1 ( V ) ] {\displaystyle \forall V\in {\mathcal {N}}(f(a))\;\exists W\in {\mathcal {N}}(a)\;{\bigl [}W\subset f^{-1}(V){\bigr ]}}
二つの写像 f: X → Y, g: Y → Z が連続ならば、それらの合成 g ∘ f: X → Z もそうである。また f: X → Y が連続のとき、
X がコンパクトならば f(X) もコンパクト;
X が連結ならば f(X) も連結;
X が弧状連結ならば f(X) も弧状連結;
X がリンデレフならば f(X) もリンデレフ;
X が可分ならば f(X) も可分
X がハウスドルフであってもf(X) がハウスドルフであるとは限らない;
である。
一つ固定した空間 X 上に入れることのできる位相の全体には半順序を入れることができて、位相 τ1 が別の位相 τ2 よりも粗い(英語版) (τ1 ⊆ τ2) とは、τ1 に関する任意の開集合が、必ず τ2 に関する開集合ともなるときに言うのであった。さてこのとき、恒等写像
idX: (X, τ2) → (X, τ1)
が連続となる必要十分条件は τ1 ⊆ τ2 が成り立つことである。より一般に、連続写像
( X , τ X ) → ( Y , τ Y ) {\displaystyle (X,\tau _{X})\to (Y,\tau _{Y})}
に対し、位相 τY をより粗い位相に取り換えても、また τX をより細かい位相に取り換えても、連続性は保たれる。
定義域 X に離散位相を入れるとき、任意の写像 f: X → Y は任意の位相空間 Y を終域として連続である。
終域 Y に密着位相を入れるとき、任意の写像 f: X → Y は任意の位相空間 X を定義域として連続である。
定義域が密着空間で終域が T0-空間ならば、定値写像のみが連続になる。
連続性は局所的な性質(英語版)である。
(f(a) の任意の ε-近傍は a のある δ-近傍の像を包む)
あるいは
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 [ B δ ( a ) ⊂ f − 1 ( B ε ( f ( a ) ) ) ] {\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;{\bigl [}B_{\delta }(a)\subset f^{-1}(B_{\varepsilon }(f(a))){\bigr ]}}
(f(a) の任意の ε-近傍の逆像は a のある δ-近傍を包む)
と表すこともできる。
さらに、点 p の近傍の全体 N(p) = {V | ∃ε > 0 [Bε(p) ⊂ V]} を用いて、ε や δ が現れず距離に明示的に依存しない形に書き直すことができる。f(a) の任意の近傍 V はある ε-近傍を包んでいるので、それに対応した a のある δ-近傍を近傍 W として持ってくるのである。その結果、