群同型
群 (G, ∗) から自身への同型写像はこの群の自己同型写像 (automorphism) と呼ばれる。したがってそれは全単射 f : G → G {\displaystyle f:G\rightarrow G} であって
f ( u ) ∗ f ( v ) = f ( u ∗ v ) {\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v)}
なるものである。
同型写像は常に単位元を単位元に写す。共役類の自己同型写像による像は常に共役類(同じあるいは別の)である。元の像はもとの元と同じ位数を持つ。
2 つの同型写像の合成は再び同型写像であり、この演算によって群 G のすべての同型写像からなる集合、Aut(G) と表記される、はそれ自身群をなし、G の自己同型群 (automorphism group) である。
すべてのアーベル群に対して群の元をその逆元で置き換える同型写像が少なくとも存在する。しかしながら、すべての元が逆元に等しい群、例えばクラインの四元群において、これは自明な自己同型写像である。クラインの四元群に対して 3 つの単位元でない元の置換はすべて自己同型写像であるので、自己同型群は S3 と Dih3 に同型である。
素数 p に対して Zp において、1 つの単位元でない元は別の元によって置き換えて他のすべての元を対応するように変えることができる。自己同型群は Zp − 1 に同型である。例えば、n = 7 に対して、modulo 7 で 3 を Z7 のすべての元に掛けることは自己同型群において位数 6 の自己同型である。なぜなら 3 ≡ 1 (modulo 7) でありこれより低い冪は 1 にならないからである。