L-函数
既知の L-函数の例で一般化可能と期待される特徴付けを挙げる。
零点と極の位置
L-函数の函数等式(Re(s) = 定数 という垂直な直線に関して)
代数的K-理論の値に関連する、整数での特殊値
例えば、応用すべき函数等式の正確なタイプについて、詳細な研究により多くの妥当な予想が立てられている。リーマンゼータ函数は、正の偶数での特殊値(と負の奇数での特殊値)を通してベルヌーイ数と結びついているので、この現象の一般化が探究されている。この場合の結果は、p-進L-函数として得られており、これはあるガロア加群を表現する。
零点の分布(英語版)(zero distribution)は、一般化されたリーマン予想や素数の分布などの問題と関連しているので、非常に興味が持たれる。ランダム行列論や量子カオスとの関係も興味深い。分布のフラクタル構造は、範囲リスケール解析(英語版)(rescaled range analysis)を用いて研究されている。 零点の分布の自己相似性は非常に注目すべきことであり、大きなフラクタル次元 1.9 により特徴付けられる。この大きなフラクタル次元は、リーマンゼータ函数の少なくとも15位の大きさをカバーする零点から発見され、また、位数や導手の異なる他のL-函数の零点からも発見された。
ラングランズ・プログラムに数年先立つこの発見は、ラングランズプログラムを補うものと見なすことができる。ラングランズの仕事は、ヘッケのL-函数のように数十年も前に定義されたアルティンのL-函数や、一般的保型表現に大きく関連している。
ハッセ・ヴェイユのL-函数は、解析的観点から有効なL-函数をもたらす役目を果たしたということが段々と明らかになってきている。(これは)解析からの入力を必要とし、このことは保型的な解析を意味する。現在は、一般的な場合は、概念的なレベルで多くの異なる研究プログラムが統一されている。