可微分多様体
位相空間 X 上のアトラスはチャートと呼ばれる対の集まり {(Uα,φα)} である、ここで Uα は X を覆う開集合であり、各添え字 α に対して
φ α : U α → R n {\displaystyle \varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to {\mathbf {R} }^{n}}
は Uα から n 次元実空間の開部分集合への同相写像である。アトラスの変換関数 (transition map) は関数
φ α β = φ β ∘ φ α − 1 | φ α ( U α ∩ U β ) : φ α ( U α ∩ U β ) → φ β ( U α ∩ U β ) {\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}|_{\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\colon \varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}
数学において、可微分多様体(かびぶんたようたい、英: differentiable manifold)、あるいは微分可能多様体(びぶんかのうたようたい)は、局所的に十分線型空間に似ており微積分ができるような多様体である。任意の多様体は、チャート(座標近傍、局所座標)の集まり、アトラス(座標近傍系、局所座標系)、によって記述することができる。各座標近傍は微積分の通常のルールが適用する線型空間の中にあるから、各々のチャートの中で考えるときには微積分学のアイデアを適用できる。チャートが適切に両立可能であれば(すなわち1つのチャートから別のチャートへの変換が微分可能であれば)、1つのチャートでなされた計算は任意の他の微分可能なチャートにおいても有効である。
フォーマルに言えば、可微分多様体は大域的に定義された可微分構造(英語版)を持つ位相多様体である。任意の位相多様体にはアトラスの同相写像と線型空間上の標準的な微分構造を用いて局所的に微分構造を与えることができる。同相写像によって誘導された局所座標系上の大域的な微分構造を誘導するためには、アトラスのチャートの共通部分上での合成が対応する線型空間上の微分可能な関数でなければならない。
m 次元可微分多様体 M 上の実数値関数 f が与えられると、M の点 p における f の方向微分は以下のように定義される。γ(t) を M 内の曲線で γ(0) = p で、任意の1つのチャートのとの合成が R 内の微分可能な曲線であるという意味で微分可能なものとする。すると γ に沿った p での f の方向微分 (directional derivative) は
d d t f ( γ ( t ) ) | t = 0 {\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}}
である。γ1 と γ2 が2つの曲線で γ1(0) = γ2(0) = p であり任意の座標チャート φ において
d d t φ ∘ γ 1 ( t ) | t = 0 = d d t φ ∘ γ 2 ( t ) | t = 0 {\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}}
であるとすると、チェーンルールによって、f の p での γ1 に沿った方向微分と γ2 に沿った方向微分は同じである。これは方向微分は p での曲線の接ベクトルのみに依存することを意味する。したがって可微分多様体の場合に適合した方向微分のより抽象的な定義はアフィン空間における方向微分の直感的な性質を究極的に捉えている。