順序型
↑ 実はこの定義において <A が全順序である必要は無い。一般に、集合 A と A 上の二項関係 R に対して type(A, R) を同様に定義することができる。
↑ 階数と Vα については「整礎的集合」を参照。
全順序集合 (A, <A) と同型な順序集合で階数が最小であるものの階数を α とすれば、type(A, <A) の要素はすべて Vα + 1 に属するので、type(A, <A) はきちんと集合として定義されている。このようにして定義された順序型が (※) の性質をみたしていることは次のようにして示すことができる:
(⇒) type(A, <A) = type(B, <B) と仮定する。定義から type(A, <A) は空でないので、その要素の一つ (C, <C) を取ると、仮定より (C, <C) は type(B, <B) にも属する。(C, <C) ∈ type(A, <A) より (A, <A) と (C, <C) は同型で、(C, <C) ∈ type(B, <B) より (B, <B) と (C, <C) は同型なので、(A, <A) と (B, <B) は同型である。
(⇐) (A, <A) と (B, <B) が同型であると仮定する。すると任意の順序集合 (C, <C) に対して、(A, <A) と (C, <C) が同型であることと、(B, <B) と (C, <C) が同型であることは同値であるから、「(A, <A) と同型な順序集合のうちで階数が最小のもの全体」と「(B, <B) と同型な順序集合のうちで階数が最小のもの全体」は一致する。よって type(A, <A) = type(B, <B) 。