円周率
π は無理数である。つまり、2つの整数の商で表すことはできず、小数展開は循環しない。このことは1761年にヨハン・ハインリヒ・ランベルトが証明したが、厳密性に欠けた部分があった。その部分は1806年にルジャンドルによって補われた。
したがって、円周率のコンピュータによる計算や暗唱、十進法表示での小数部分の各数字 (0, 1, ..., 9) の出現頻度は、人々の興味の対象となる。
∏ n = 1 ∞ n 2 + n n 2 + n + 1 4 = 8 9 ⋅ 24 25 ⋅ 48 49 ⋅ 80 81 ⋅ 120 121 ⋅ 168 169 ⋅ 224 225 ⋅ 288 289 ⋯ = π 4 {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}+n}{n^{2}+n+{\frac {1}{4}}}}={\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdot {\frac {80}{81}}\cdot {\frac {120}{121}}\cdot {\frac {168}{169}}\cdot {\frac {224}{225}}\cdot {\frac {288}{289}}\cdots ={\frac {\pi }{4}}}
ビエトの公式
1 2 1 2 + 1 2 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 ⋯ = 2 π {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots ={\frac {2}{\pi }}}
日本の数学史では級数による値の算出は広く一般的であった。円周率の級数による公式は多くの学者に研究されており、蜂谷定章、松永良弼、坂部広畔、川井久徳、長谷川寛らによるものがある。また、建部賢弘は円周率の二乗を求める日本初の公式を考案した。