ガウスの連分数
1 F 1 ( a ; b + 1 ; z ) b 1 F 1 ( a ; b ; z ) = 1 b + a z ( b + 1 ) + ( a − b − 1 ) z ( b + 2 ) + ( a + 1 ) z ( b + 3 ) + ( a − b − 2 ) z ( b + 4 ) + ⋱ {\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a-b-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}
1 F 1 ( 0 ; b ; z ) = 1 {\displaystyle {}_{1}F_{1}(0;b;z)=1} であるから、最初の連分数で a を0と置き、b + 1 を b で置き換えると次の単純化された特別な連分数が得られる。
1 F 1 ( 1 ; b ; z ) = 1 1 + − z b + z ( b + 1 ) + − b z ( b + 2 ) + 2 z ( b + 3 ) + − ( b + 1 ) z ( b + 4 ) + ⋱ {\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}
( 1 − z ) − b = 1 F 0 ( b ; ; z ) = 2 F 1 ( 1 , b ; 1 ; z ) , {\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),}
( 1 − z ) − b = 1 1 + − b z 1 + ( b − 1 ) z 2 + − ( b + 1 ) z 3 + 2 ( b − 2 ) z 4 + ⋱ {\displaystyle (1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}
から、arctan z の0を中心としたテイラー展開が容易に求まる。
arctan  z = z F ( 1 2 , 1 ; 3 2 ; − z 2 ) {\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2})}
これにガウスの連分数表示を用いると、展開