シャウダーの不動点定理
その結果として得られるシェファーの不動点定理(Schaefer's fixed point theorem)と呼ばれるものは、非線形(英語版)偏微分方程式の解の存在を示す上で特に有用となる。シェファーの定理は実際、ユリウス・シャウダー(英語版)とジャン・ルレイによって発見されていたルレイ=シャウダーの定理の特別な場合である。その内容は次のようなものである:
T {\displaystyle T} をバナッハ空間 X {\displaystyle X} からそれ自身への連続かつコンパクトな写像で、集合
{ x ∈ X : x = λ T x ( 0 ≤ ∃ λ ≤ 1 ) } {\displaystyle \{x\in X:x=\lambda Tx\quad (0\leq {}^{\exists }\lambda \leq 1)\}}
が有界となるようなものとする。このとき T {\displaystyle T} は不動点を持つ。