ベクトル解析
1 = ‖ d  x d  s ‖ {\displaystyle 1=\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}\right\|}
が恒等的に成り立つ。
従って線積分とは、
∫ C F ( x ( s ) ) d  s = ∫ 0 1 F ( x ( s ) ) ‖ d  x d  s ‖ d  s = ∫ 0 1 F ( x ( s ) ) d  s {\displaystyle \int _{C}F(x(s))\operatorname {d} s=\int _{0}^{1}F(x(s))\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}\right\|\operatorname {d} s=\int _{0}^{1}F(x(s))\operatorname {d} s}
より、弧長でパラメトライズされた場合のF(x(s))の積分である。
3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上のベクトル場Xとは、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の各点Pに対し、Pを始点とする3次元ベクトルX(P)を対応させる写像のことである。
本項では特に断りのない限り、この写像がPに関して滑らかな場合を考える。すなわち、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の座標を使って
X ( P ) = ( X 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) , X 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) , X 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ) {\displaystyle \mathbf {X} (P)=(X_{1}(x_{1},x_{2},x_{3}),X_{2}(x_{1},x_{2},x_{3}),X_{3}(x_{1},x_{2},x_{3}))}
と表したとき、各Xi(x1,x2,x3)が任意回微分可能である場合を考える。
なお、ベクトル場の記法としてX(P)の代わりに
X P {\displaystyle \mathbf {X} _{P}}
のように Pを下付きに書くことも多い。しかしこの下付きの記法だと、成分表記したときに煩雑になるので、本項ではX(P)とXPの両方の記法を混用する。
同様に3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上のスカラー場Fとは、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の各点Pに対し、実数F(P)を対応させる写像のことである。
曲線Cを、
x(s)=(Cの始点からs離れた位置)
とパラメトライズできる。このようなsをCの弧長パラメーターという。 Cを弧長パラメーターで x ( s ) = ( x 1 ( s ) , x 2 ( s ) , x 3 ( s ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (s)=(x_{1}(s),x_{2}(s),x_{3}(s))} と表したとき、定義より
s = ∫ 0 s ‖ d  x d  s ‖ d  s {\displaystyle s=\int _{0}^{s}\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} s}\right\|\operatorname {d} s}
なので、両辺を微分すると、