ライスの定理
ライスの定理は、帰納的可算集合 (recursively enumerable sets) を決定可能なやりかたで二分することの不可能性について述べたものと考えられる。 この定理のバリエーションとして、帰納的可算集合のかわりに帰納的集合 (recursive sets; 計算可能集合) を考えたものもある。 これらの結果の類似性はそれぞれの定理が以下の主張をしていることから言える。
もともとのライスの定理は、「ある帰納的可算集合のクラスが"決定可能"ならば、与えられた帰納的可算集合がそのクラスに属するかどうかを判定するためには、ゼロ個の i {\displaystyle i} について、 i {\displaystyle i} がその集合に属するかどうかを調べればよい」ことを主張する。
帰納的集合にかんする定理は、「ある帰納的集合のクラスが"決定可能"ならば、与えられた帰納的集合がそのクラスに属するかどうかを判定するためには、有限個の i {\displaystyle i} について、 i {\displaystyle i} がその集合に属するかどうかを調べればよい」ことを主張する。
類似定理のフォーマルな記述は省略する。 (詳細は 英文記事参照。)
この結果は、 協力ゲーム理論あるいは社会選択理論といった分野において、シンプルゲームの中村ナンバーの考察などに応用されている (Kumabe and Mihara, 2008, 2008)。
ライスの定理を精緻化したものとしてライス=シャピロの定理がある。この定理はインデックス集合が帰納的可算である為にはある種の有限性を持つことが必要(かつ十分)であることを示す。
ライスの定理は「停止性問題の決定不能性定理」の一般化である。 ここで停止性問題とは、「プログラムAとデータxが与えられたとき、A(x)が有限時間で停止するかどうかを決定せよ」という問題である。 また「停止性問題の決定不能性定理」とは、停止性問題を常に正しく解くプログラムは存在しない、という定理である。 すなわち次のようなプログラムHは存在しない、という定理である。
A(x)が停止する ⇒ H(A,x)はYESを出力して停止する。
A(x)は停止しない ⇒ H(A,x)はNOを出力して停止する。
ライスの定理のFを「fAは⊥を出力しない」にした場合が「停止性問題の決定不能性定理」に一致する事を簡単に確かめられる。