ニュートンの恒等式
ニュートンの恒等式に関連する恒等式がいくつかある。
完全斉次対称式についても同様の関係式を得ることができる。
h 1 = p 1 , h 2 = 1 2 p 1 2 + 1 2 p 2 = 1 2 ( p 1 2 + p 2 ) , h 3 = 1 6 p 1 3 + 1 2 p 1 p 2 + 1 3 p 3 = 1 6 ( p 1 3 + 3 p 1 p 2 + 2 p 3 ) , h 4 = 1 24 p 1 4 + 1 4 p 1 2 p 2 + 1 8 p 2 2 + 1 3 p 1 p 3 + 1 4 p 4 = 1 24 ( p 1 4 + 6 p 1 2 p 2 + 3 p 2 2 + 8 p 1 p 3 + 6 p 4 ) , ⋮ h n = ∑ m 1 + 2 m 2 + ⋯ + n m n = n m 1 ≥ 0 , ... , m n ≥ 0 ∏ i = 1 n p i m i m i !
i m i {\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\e_{2}&={\frac {1}{2}}p_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}p_{2}&&={\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}-p_{2}),\\e_{3}&={\frac {1}{6}}p_{1}^{3}-{\frac {1}{2}}p_{1}p_{2}+{\frac {1}{3}}p_{3}&&={\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}-3p_{1}p_{2}+2p_{3}),\\e_{4}&={\frac {1}{24}}p_{1}^{4}-{\frac {1}{4}}p_{1}^{2}p_{2}+{\frac {1}{8}}p_{2}^{2}+{\frac {1}{3}}p_{1}p_{3}-{\frac {1}{4}}p_{4}&&={\frac {1}{24}}(p_{1}^{4}-6p_{1}^{2}p_{2}+3p_{2}^{2}+8p_{1}p_{3}-6p_{4}),\\&~~\vdots \\e_{n}&=(-1)^{n}\sum _{m_{1}+2m_{2}+\dots +nm_{n}=n \atop m_{1}\geq 0,\dots ,m_{n}\geq 0}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(-p_{i})^{m_{i}}}{m_{i}!