微分可能関数
f が点 x0 において微分可能であるなら、f はその点 x0 において連続である。特に、微分可能関数はどのようなものでも、その定義域内のすべての点において連続である。しかしその逆は成立しない:すなわち、連続関数は必ずしも微分可能ではない。例えば、折れ(bend)や尖点、あるいは垂直接線を伴う関数は連続であることもあり得るが、それら例外的な箇所においては微分可能性は失われている。
現実に現れる多くの関数は、すべての点あるいはほとんどすべての点において導関数を持つものである。しかし、バナッハによる一つの結果として、ある点において導関数を持つ関数の集合は、すべての連続関数からなる空間におけるやせた集合(英語版)であることが示されている。くだけた言い方をすると、このことはつまり、微分可能関数は連続関数の中でも珍しいものであることを意味している。至る所で連続であるが、どこにおいても微分可能ではない関数の最もよく知られた例は、ワイエルシュトラス関数である。