プロホロフの定理
ユークリッド空間に対しては、次が成立する。
( μ n ) {\displaystyle (\mu _{n})} が k {\displaystyle k} -次元ユークリッド空間上の確率測度の全体 P ( R k ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})} 内の緊密な列であるなら、ある確率測度 μ ∈ P ( R k ) {\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})} に弱収束するようなある部分列 ( μ n k ) {\displaystyle (\mu _{n_{k}})} が存在する。
( μ n ) {\displaystyle (\mu _{n})} が P ( R k ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})} 内の緊密な列で、そのすべての弱収束する部分列 ( μ n k ) {\displaystyle (\mu _{n_{k}})} が同一の極限 μ ∈ P ( R k ) {\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{k})} を持つものであるなら、列 ( μ n ) {\displaystyle (\mu _{n})} も μ {\displaystyle \mu } に弱収束する。