ミラー対称性 (弦理論)
数学者たちは1990年頃からミラー対称性に興味を持ち始めた。1990年頃は、物理学者のフィリップ・キャンデラス、ゼニア・デ・ラ・オッサ、パウル・グリーン、リンダ・パークスらは、ミラー対称性を使うことで数え上げ幾何学において10年以上未解決問題であったものが解けることを示した。これらの結果は、1991年のバークレーでの数理科学研究所(英語版)(Mathematical Sciences Research Institute)(MSRI)での研究集会で提案された。この研究集会の中で、有理曲線の数え上げ問題をキャンデラスの計算した数の一つが、ノルウェーの数学者ゲイル・エリングスラッド(英語版)(Geir Ellingsrud)とシュタイン・アリルド・シュトローム(Stein Arild Strømme)が見かけ以上に厳密なテクニックを使い得ていた数に不一致であることが認知された。 この研究集会で多くの数学者が、キャンデラスの仕事は、厳密な数学的な議論を基礎としていないので、誤っているのではないかとの前提に立っていた。しかしながら、それらの解を試してみると、エリングスラッドとシュトロームは、彼らの行った計算機のコードが誤っていることを発見し、このコードを正しくすると、解がキャンデラスと協力者たちの得ていた解に一致するという答えを得た。
ミラー対称性の重要な数学への応用の多くは、数え上げ幾何学と呼ばれる数学の分野に属している。数え上げ幾何学では、典型的には代数幾何学を使い、幾何学的な問題の解の数を数え上げることに興味がある。数え上げ幾何学のもっとも早い時期の問題の一つに、ギリシャの数学者アポロニウスによる紀元前200年頃に提案された問題である。彼は、どのようにすれば与えられた3つの円に接する平面上の円はいくつあるかが分かるかと問うた。 一般に、アポロニウスの問題の解は、8つの円が存在する。右の図は黒で示した3つの与えられた円の例を示している。
数学の数え上げ問題はしばしば、多項式の値がゼロとなる点として定義されるいわゆる代数多様体という幾何学的対象のクラスに関係している。例えば、クレブシュ3次曲面(英語版)は左に図示してある4変数の3次多項式により定義される。19世紀の数学者アーサー・ケイリー(Arthur Cayley)とジョージ・サルモン(英語版)(George Salmon)の結果は、この曲面上にはちょうど 27 本の直線があるとのことであった。
この問題を一般化すると、上に述べたカラビ・ヤウ多様体であるクインティックスリーフォールド(5次多項式で記述される複素3次元多様体)の上に何本の直線を描くことができるかという問題となる。この問題は19世紀のドイツの数学者ヘルマン・シューベルト(英語版)(Hermann Schubert)により解かれ、彼はそのような直線はちょうど 2,875 本存在することを発見した。さらに、1986年に幾何学者、セルダン・カッツ(Sheldon Katz)が、クインティックスリーフォールドに完全に入っている(円のような)2次曲線の数は 609,250 個あることを証明した。