自動微分
引き算と割り算についても同様である。
いまやこの拡張算術のもとで多項式を計算できる。もし P ( x ) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + ⋯ + p n x n {\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}} ならば、
P ( x + x ′ ε ) = p 0 + p 1 ( x + x ′ ε ) + ⋯ + p n ( x + x ′ ε ) n = p 0 + p 1 x + ⋯ + p n x n + p 1 x ′ ε + 2 p 2 x x ′ ε + ⋯ + n p n x n − 1 x ′ ε = P ( x ) + P ( 1 ) ( x ) x ′ ε {\displaystyle {\begin{aligned}P(x+x'\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(x+x'\varepsilon )+\cdots +p_{n}(x+x'\varepsilon )^{n}\\&=p_{0}+p_{1}x+\cdots +p_{n}x^{n}+p_{1}x'\varepsilon +2p_{2}xx'\varepsilon +\cdots +np_{n}x^{n-1}x'\varepsilon \\&=P(x)+P^{(1)}(x)x'\varepsilon \end{aligned}}}
関数値を求める関数を記述した元のソースコードから、偏導関数値を計算する処理を含んだプログラムを自動的に生成する手法である。ソースコード変換はあらゆるプログラミング言語で実装でき、コンパイル時の最適化を行いやすいが、自動微分ツールの作成は難しい。