リース函数
数学においてリース函数(リースかんすう、英: Riesz function)とは、リーマン予想との関係でリース・マルツェルによって定義された、次の冪級数で与えられる整函数のことを言う:
R i e s z ( x ) = − ∑ k = 1 ∞ ( − x ) k ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) . {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}.}
F ( x ) = 1 2 R i e s z ( 4 π 2 x ) {\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}{\rm {Riesz}}(4\pi ^{2}x)} とすれば、双曲余接のゼロを中心としたローラン級数展開の係数としてそれは定義される。もし
x 2 coth  x 2 = ∑ n = 0 ∞ c n x n = 1 + 1 12 x 2 − 1 720 x 4 + ⋯ {\displaystyle {\frac {x}{2}}\coth {\frac {x}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=1+{\frac {1}{12}}x^{2}-{\frac {1}{720}}x^{4}+\cdots }
であるなら、F は次で定義される。
と表すことが出来る。この項は終局的には、n の 1/4 乗によって減少となる。
上述の級数は至る所で絶対収束し、したがって項毎に微分可能であるため、導関数に関する次の式が得られる:
R i e s z ′ ( x ) = R i e s z ( x ) x − x ( ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 4 exp  ( − x n 2 ) ) . {\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right).}
この式は次のように整理できる:
R i e s z ′ ( x ) = R i e s z ( x ) x + x ( − 90 π 4 + ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n 4 ( 1 − exp  ( − x n 2 ) ) ) .