有界変動函数
有界変動の函数があれば、その函数に関するリーマン–スティルチェス積分が任意の連続函数に対して定められる。
別な特徴付けとして、有界閉区間(コンパクト区間)上の有界変動函数は二つの有界単調増大函数の差として表される。
多変数の場合、開集合上定義された函数が有界変動となるのは、その函数の弱微分(超函数の意味での微分)がベクトル値の有限ラドン測度となるときである。
有界変動函数の最も重要な側面の一つは、その全体が殆ど至る所一階微分の存在する不連続函数の成す函数環に一致することである。この事実により、数学・物理学・工学などにおける汎函数・常および偏微分方程式を含む非線型問題の弱解を定めるのに有界変動函数を用いることが可能で、しばしば用いられる。超函数の乗法(英語版)問題やより一般の超函数に対する一般非線型演算の定義問題を考えるとき、有界変動函数の環は、乗法の結果を保つ任意の超函数空間に埋め込まれるべき最小の函数環である。
特殊有界変動函数(SBV函数)は自由不連続性変分問題を扱った論文 Ambrosio & De Giorgi (1988) で導入された。与えられた開集合 Ω ⊂ R に対して特殊有界変動函数の空間 SBV(Ω) は BV(Ω) の真の部分空間になる。というのも、その空間に属する各函数の弱勾配は、以下の定義に見るように、 n-次元の台と (n − 1)-次元の台を持つ測度の(中間次元の項を持たない)和に表されるからである。
レナート・カッチョポリ(英語版)とエンニオ・デ・ジョルジは、集合の滑らかでない境界の測度を定義するために有界変動函数を用いた(詳細は カチョッポリ集合(英語版)の項を参照)。Oleinik (1957) は非線型偏微分方程式に対する弱解として有界変動函数の空間 BV から取った函数を見る観点を導入し、論文 (Oleinik 1959) で一階偏微分方程式の有界変動な弱解の構成に成功した。Conway & Smoller (1966) は一変数の一階非線型双曲型偏微分方程式の研究に有界変動函数を応用し、そのような方程式の(初期値が有界変動のクラスに属するという仮定のもとでの)コーシー問題の解が有界変動函数であることを示した。アイザック・イサコヴィッチ・フォルペルト(英語版)は有界変動函数に対するより広汎な解析学を展開した。論文 (Vol'pert 1967) において有界変動函数に対する連鎖律が証明され、弟子との共著 (Hudjaev & Vol'pert 1985) において有界変動函数の性質とその応用について広く調べられている。この連鎖律の公式は後に Ambrosio & Dal Maso (1990) によって拡張されている。