部分写像
などとも表す(単に f: X → Y と書くと(全域)写像と紛らわしい)。
「f(x) が未定義である」とか「f(x) = undefined」などと書くのは、f(x) はあるのに値が与えられていないだけという印象を与えるため、しばしば適当でない。正確には「写像 f は点 x において定義されない」とか「x ∉ Def(f)」のように書くべきである。表示的意味論では、部分写像が未定義であるときには、⊥を返すものと理解される。
部分写像が単射あるいは全射であるとは、その始域を定義域に制限して得られる写像がそうであるときに言う。部分写像が単射かつ全射となり得る。任意の写像はその像に終域を制限するとき自明に全射となるから、部分写像が部分全単射(英語版)とは、単射な部分写像の意である。即ち、単射部分写像の逆関係は単射部分写像であり、全単射な部分写像はその逆部分写像として単射な写像を持つ。さらにいえば、単射全域写像の逆は単射部分写像になる。
変換の概念も部分写像によって一般化することができる。即ち、集合 X 上の部分変換とは、写像 f: A → B で、A, B の双方が X の部分集合となるものを言う。