有限変形理論
連続体力学において、有限変形理論(ゆうげんへんけいりろん;finite strain theory')は、物体(連続体)のひずみや回転が無限小ひずみ理論における前提では通用しないような deformationsである場合を扱う。本理論の対象となるような状態においては、連続体の状態は、変形の前後で大きく異なるので、変形前後を明確に区別する必要がある。対象としては、エラストマー、塑性変形材料などの流体、生物学で見られるような軟組織ケースである。有限変形理論は、物体の変形の理論の一つで、微小変形理論と並立する。微小変形理論と比較して、現実の現象をより忠実に再現しようとする理論である。この理論を用いて行われるモデル化が大変形解析であり、地盤沈下の解析にこの理論を用いる場合、沈下量が大きくなるほど微小変形理論を用いた場合との差異が大きくなる。
変形していない構成(図2)において、位置ベクトル X = X I I I {\displaystyle \mathbf {X} =X_{I}\mathbf {I} _{I}} を持つ粒子または物質点 P {\displaystyle P} を考える。本体の変位後、新しい構成における p {\displaystyle p} で示される粒子の新しい位置は、位置ベクトル x = x i e i {\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}\,\!} で与えられる。このように、変形していない構成と変形した構成の座標系は、便宜上重ね合わせることができる。
ここで、 P {\displaystyle P\,\!} に隣接する Q {\displaystyle Q} という物質点を考える。Qのいちベクトルは、以下の通り。 X + Δ X = ( X I + Δ X I ) I I {\displaystyle \mathbf {X} +\Delta \mathbf {X} =(X_{I}+\Delta X_{I})\mathbf {I} _{I}\,\!} .
左コーシー・グリーンテンソル(フィンガー変形テンソル:The left Cauchy–Green or Finger deformation tensor)について説明する。右のグリーン・コーシー変形テンソルの式の乗算の順序を逆にすると、左のコーシー・グリーン変形テンソルとなり、次のように定義される:
左Cauchy-Green変形テンソルはしばしばFinger deformation tensorと呼ばれ、Josef Finger (1894)にちなんで命名された。
また、 B {\displaystyle \mathbf {B} } の不変量はひずみエネルギー密度関数の式でも使われる。 従来の不変量は次のように定義される
ここで、 J := det F {\displaystyle J:=\det \mathbf {F} } は変形勾配の行列式である。
圧縮可能な材料については、少し異なる不変量のセットが使用される:
ここで、右と左という用語は、それぞれ、回転テンソル R {\displaystyle \mathbf {R} \,\!} の右と左にあるという意味である。
U {\displaystyle \mathbf {U} } と V {\displaystyle \mathbf {V} } は、ともに positive definiteである。 即ち、
x ⋅ U ⋅ x > 0 {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {U} \cdot \mathbf {x} >0} ,
x ⋅ V ⋅ x > 0 {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {V} \cdot \mathbf {x} >0} (for all non-zero x ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}} ) , で
symmetric tensors, 即ち U = U T {\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {U} ^{T}} and V = V T {\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} ^{T}\,\!} , が二次である。