アポロニウスの問題
残りの問題を解決するために、ビエトは与円と解円は接点を維持したまま大きさを変更することが可能であるという事実を活用した(図 4)。もし解円の半径が Δr だけ変化したならば、内接する与円の半径は同様に Δr だけ変化し、一方で外接する与円の半径は −Δr だけ変化する。このため、解円が膨らめば、内接する与円も同様に膨らみ、一方で外接する与円は接点を保ちながら縮む。
ビエトはこのアプローチを与円の1つを点になるまで縮めるために用いた。このように、ビエトは問題そのものをより単純な、すでに解決済みのものへと変えてしまったのである。ビエトは最初にCLL(1つの円と2本の直線)のケースを、円を点に縮めて、LLPのケースにすることで解決した。ビエトはそれから、CLP(1つの円と1本の直線、1つの点)のケースを3つの補題を用いることで解決した。ビエトは再度、円の1つを点にまで縮め、CCLのケースをCLPのケースに変え、解決した。それから、CPP(1つの円と2つの点)のケースを解決し、さらに2つの補題を用いてCCPのケースを解決した。最後に、ビエトは一般のCCC(3つの円)のケースを、円の1つを点にまで縮め、問題をCCPのケースに変えることで解決した。
アポロニウスのギャスケットはゴットフリート・ライプニッツによって初めて17世紀に詳述され、これはシェルピンスキーのギャスケットの先駆となるものであった。アポロニウスのギャスケットは数学の他領域と深いつながりを持っており、例えば、アポロニウスのギャスケットはクライン群(英語版)の極限集合である。
平面上の4つの円に接する1つの円を描く問題は特殊な性質を持っている。これはLarmor (1891)とLachlan (1893)によって解明された。このような問題設定は、プトレマイオスの定理の一般化された形であるケーシーの定理の基礎となるものである。
アポロニウスの問題の3次元への拡張、つまり4つの与えられた球に接する5つめの球を求める問題は類似の手法で解くことができる。例えば、与えられた球と解となる球は大きさの変更(リサイズ)が可能であり、それによって与えられた球のうち1つは接点を保ったまま点にまで縮めることができる。この点において反転することでアポロニウスの問題を3つの与えられた球に接する平面を求める問題にすることが可能である。そのような平面は通常8通りあり、これは反転を戻し、大きさをもとに戻すことで元々の問題の解となる。この問題はピエール・ド・フェルマーによって最初に検討された。さらに、その後の数世紀に渡る発展で多くの異なる手法が開発されている。
さらにアポロニウスの問題は d 次元に拡張することが可能であり、このとき与えられた d + 1 超球面に接する超球面を描く問題となる 。1936年のフレデリック・ソディのデカルトの定理の(再)導出に従えば、数人がそれぞれ独立に d 次元のソディの円に対応する互いに接する場合に解を与えている。
しかしながら、等式の対称性により、符号 si を伴った (rs, xs, ys) が解であるならば、逆の符号 −si を伴った(−rs, xs, ys) もまた解であり、そしてこれらは、同じ解円を表している。したがって、アポロニウスの問題は最大で 8 つの独立な解しかもたない(図 2)。このような二重カウントを避けるための一つの方法は、非負の半径を持つ解円のみを考えることである。
あらゆる二次等式の 2 つの根は 3 通りのタイプに分けられる。すなわち、2 つの異なる実数、2 つの同一の実数(i.e., 二重根)、複素共役な 2 つの根である。2 つの異なる実数根をもつケースは、通常の解に対応している。つまり、それぞれの根の対が円に関する反転によって関連づけられる解の対に対応している(図 6を参照)。2つの同一の実数を持つケースでは、2 つの根は同一であり、反転の下で自分自身に変換される解円に対応している。このケースでは、与円の一つがそれ自体、アポロニウスの問題に対する解円であり、相異なる解の数は 1 つ減る。複素共役な 2 つの半径のケースはアポロニウスの問題に対して幾何学的に可能な解には対応しない。なぜなら解円は虚数半径を持つことができないためである。よって、解の数は 2 つ減る。興味深いことに、アポロニウスの問題はちょうど 7 つの解をもつことはなく、7以外の 0 から 8 までのいずれかの数の解を持ちうる。
ジェルゴンヌ(Gergonne)の解法は解円を対として考えるものである。ここで、ひとつの解円の対を CA および CB とする(図6の2つのピンクの円)。そして、この解円の対と3つの与円との接点をそれぞれ A1、A2、A3、および B1、B2、B3とする。ジェルゴンヌの解法はこれら6個の点の位置を特定することを狙いとしており、これら6個の点の位置を求めることによって2つの解円を導きだすことができる。
ジェルゴンヌはもし A1 および B1 が必ずその線上に存在するような直線 L1 を引くことのできるならば、この2点は L1 と与円 C1 の交点となるはずだと考えた(図6)。残った4つの接点の位置は同様に求めることができる。すなわち、A2 および B2 がその線上に存在する直線 L2、さらに A3 および B3 がその線上に存在する直線 L3 を求めるのである。このような直線 L1 を作図するためには、その線上に2点が存在しなくてはいけないが、この2点は接点であってはいけない。ジェルゴンヌはこのような3つのそれぞれの直線の2点を特定することに成功した。ただし、この2点のうち1点はすでに特定されていた。根心(英語版) G は3つすべての直線上に存在するためである(図6)。
この求めるべき2点のうちの残りの1つ、L1、L2、L3 上の2つめの点の位置を求めるにあたって、ジェルゴンヌはこれら直線と解円 CA および CB の根軸 R との間の 相反関係(英語版)を指摘した。