向き付け可能性
密接に関連する考え方は被覆空間の考え方である。連結な多様体 M に対し、x を M 上の点で o を x での向き付けとしたペア (x, o) の集合である M* を取る。ここに、M は全ての点の上の接空間の向き付けを選択できるように滑らかなことを前提とするか、または、特異ホモロジーを使い、向きを定義しているとする。すると、M の全ての開いた向き付け可能な部分集合に対し、ペアの対応する集合を考え、M* の開集合であると定義することができる。これが M* にトポロジーを与え、従って、(x, o) から x への射影は、2-1 の被覆写像である。この空間は向き付け可能であるので、被覆空間を向き付け可能二重被覆と呼ぶ。M* が連結的であることと M が向き付け不可能であることとは同値である。
この被覆を構成する別な方法は、基底点を持つループを向き付け保存なループ、もしくは、向き付け反転ループへと分割することである。向き付け保存ループは基本群の部分群を生成し、基本群は群全体かまたは指数 2 の群である。後者の場合(これは向き付け反転経路があることを意味する)、部分群は連結二重被覆に対応し、この被覆は構成より向き付け可能である。前者の場合は、単純に M の 2つのコピーをとることができて、それぞれは異なる向き付けに対応する。