二項積
二項積同士の積がまた二項積となるように五種類の演算を以下のように定義する。a, b, c, d はベクトルとする。

一般二項積テンソル
A = ∑ i a i b i , B = ∑ i c i d i {\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i},\quad \mathbf {B} =\sum _{i}\mathbf {c} _{i}\mathbf {d} _{i}}
に対しては:
A = 2 i j + 3 2 j i − 8 π j k + 2 2 3 k k = 2 ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) + 3 2 ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) − 8 π ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) + 2 2 3 ( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) = ( 0 2 0 3 / 2 0 − 8 π 0 0 2 2 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=2\mathbf {ij} +{\frac {\sqrt {3}}{2}}\mathbf {ji} -8\pi \mathbf {jk} +{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\mathbf {kk} \\&=2{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}-8\pi {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&2&0\\{\sqrt {3}}/2&0&-8\pi \\0&0&{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
3-個より少ない数の単純二項積の和に簡約することのできない二項積は完全 (complete) であると言う。このとき、成分ベクトルは平面的でない (non-coplanar) see Chen (1983)。
二次元の任意のベクトル a に対して単位二項積への左交叉積:
a × I {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {I} }
は a の周りの 90° 反時計回りの回転を与える二項積である。あるいは、一般二項積テンソル
J = j i − i j = ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {ji-ij} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}
も二次元の 90° 反時計回りの回転になる。これはベクトルに左点乗積で回転を表す:
( j i − i j ) ⋅ ( x i + y j ) = x j i ⋅ i − x i j ⋅ i + y j i ⋅ j − y i j ⋅ j = − y i + x j , {\displaystyle (\mathbf {ji} -\mathbf {ij} )\cdot (x\mathbf {i} +y\mathbf {j} )=x\mathbf {ji} \cdot \mathbf {i} -x\mathbf {ij} \cdot \mathbf {i} +y\mathbf {ji} \cdot \mathbf {j} -y\mathbf {ij} \cdot \mathbf {j} =-y\mathbf {i} +x\mathbf {j} ,}