配列表記
3つ組の配列表記は、3つ組チェーンと一致し、したがってクヌースの矢印表記とも一致するという性質がある。すなわち式で書くと { a , b , c } = a → b → c = a ↑ c b {\displaystyle \{a,b,c\}=a\rightarrow b\rightarrow c=a\uparrow ^{c}b} となる。
4つ組以上の配列表記によって巨大数を記述する場合は、先頭の要素は3以上とする必要がある。なぜなら、先頭が1であれば、その値は1となり、4つ組以上の配列表記で先頭の要素が2であれば、その値は2番目の要素が1でない限り必ず4になってしまうからである。後者の詳細は次の通りである:
{2,b,c,d,...,z}
={2,{2,b-1,c,d,..., z},c-1,d,...,z}
=...
={2,X,1,d,...,z} (Xはある数)
={2,2,{2,X-1,1,d,...,z},d-1,...,z}
={2,2,Y,d-1,...,z} (内側の配列をYと置く)
={2,{2,1,Y,d-1,...,z},Y-1,d-1,...,z}
={2,2,Y-1,d-1,...,z}
={2,2,Y-2,d-1,...,z}
={2,2,1,d-1,...,z}
={2,2,1,1,...,z}
, y , z } , c − 1 , . . . , y , z } {\displaystyle \{a,b,1,...(n{\text{個 の 1}})...,1,c,...,y,z\}=\{a,a,...(n+1{\text{個 の }}a)...,a,\{a,b-1,1,...(n{\text{個 の 1}})...,1,c,...,y,z\},c-1,...,y,z\}} つまり、2番目の要素は先頭の要素に置き換わり、3番目以降に連続する1のうち最も右側のもの以外は全て先頭の要素に置き換わり、その最も右側のものは元の配列表記の2番目の要素を1引いた配列に置き換わり、その次の要素の値が1減るという、複雑な規則で変形する。 これは4番目以降の数字を減らす唯一のルールである。
上のいずれでもない時、次のように変形する。 { a , b , c , . . . , y , z } = { a , { a , b − 1 , c , . . . , y , z } , c − 1 , . . . , y , z } {\displaystyle \{a,b,c,...,y,z\}=\{a,\{a,b-1,c,...,y,z\},c-1,...,y,z\}} つまり、2番目の要素に元の配列の2番目の要素を1引いた配列を入れ、3番目の要素から1を引く。 チェーン表記が右側から変形していくのに対し、こちらは左側から変形していく。 なお、4番目以降の数字が1の時も、こちらの変形を適用する。