交代代数
交代多元環の名称における「交代的」というのは、実際にはその任意の結合子(英語版)が多重線型形式として交代的 (alternating form) であることを示唆してのものである。ここで、結合子とは
[ x , y , z ] = ( x y ) z − x ( y z ) {\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}
として与えられる三重線型形式をいう。また、重線型形式が交代的とは、その引数の任意の二つが一致するときは必ず 0 になることをいう。実際、冒頭に挙げた乗法の左および右交代性を示す等式は、結合子を用いて
結合子の左交代性: [ x , x , y ] = 0 , {\displaystyle [x,x,y]=0,}
結合子の右交代性: [ y , x , x ] = 0 {\displaystyle [y,x,x]=0}
と書きなおすことができる。またこの二つの式から結合子が完全歪対称(英語版) (totally skew-symmetric)、即ち任意の置換 σ に対して
[ x σ ( 1 ) , x σ ( 2 ) , x σ ( 3 ) ] = sgn  ( σ ) [ x 1 , x 2 , x 3 ] {\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}