作用 (数学)
二つの作用 (π, Ω, A), (τ, Λ, B) は成分ごとの作用により直積作用 (π × τ, Ω × Λ, A × B) を定める。またこれらが線型表現であるとき、A と B にテンソル積が定義されるならば、(外部)テンソル積表現
( π ⊠ τ , Ω × Λ , A ⊗ B ) {\displaystyle (\pi \boxtimes \tau ,\Omega \times \Lambda ,A\otimes B)}
へ延長できて、再び線型表現を与える。 作用 (π, Ω, A) に対して、写像 φ: Λ → Ω や ψ1: A → B, ψ2: B → A は合成により作用域や表現空間を取り替えた新しい作用
( π ∘ φ , Λ , A ) , {\displaystyle (\pi \circ \varphi ,\Lambda ,A),} ( ψ 1 ∘ π ∘ ψ 2 , Ω , B ) {\displaystyle (\psi _{1}\circ \pi \circ \psi _{2},\Omega ,B)}
を導く。特に φ が包含写像ならば表現の制限が、ψ2 が包含写像かつψ2 と ψ1 との合成 B → A → B が分裂するならば部分表現がそれぞれ定義される。