面積
平面図形については、2次元空間内の部分集合(つまり図形)の定義関数を積分して面積を定義する。直感的にはまず長方形の面積を定義し、一般の図形に対しては小さな長方形の集まりでその図形を近似した極限を以って面積を定義する。
曲面については、定義関数の面積分のほか、曲面を(3次元空間内で)小さな平面図形の集まりでその図形を近似した極限によって面積を定義することができる。
選択公理を受け入れると、「意味のある面積が定義できない図形」が存在することを証明できる (ルベーグ測度を参照)。 このような「図形」(簡単に図示することは出来ない)はタルスキーの円積問題(英語版)に関係している(三次元における類似の例として、「体積の定義できない図形」とバナッハ=タルスキーのパラドックスがある)。 このような集合は実用上現実の世界では生じない。