エタール・コホモロジー
H 0 ( X , G m ) = k ∗ {\displaystyle H^{0}(X,G_{m})=k^{*}}
H 1 ( X , G m ) = P i c ( X ) {\displaystyle H^{1}(X,G_{m})=Pic(X)}
ここでPic(X)はピカール群。
H i > 1 ( X , G m ) = 0 {\displaystyle H^{i>1}(X,G_{m})=0}
任意のスキームXに対してエタール射u:A→X全体からなる圏をEt(X)であらわす。この圏は位相空間Sの開部分集合の圏Top(S)の類似であって普通の開埋め込み射をエタール射に置き換えたものとみられる。しかしながらザリスキ位相の開埋め込み射よりもエタール射のほうが数が多くなっており、その分位相は細かくなっている。この位相を用いることによって通常の層の理論とまったく同様に、Et(X)上に前層および層を定義することができる。それらをエタール前層およびエタール層とよぶ。
Et(X)上の層の成す圏は通常と同様にやはりアーベル圏であり、アーベル圏の理論もしくは導来関手の理論を用いることにより、エタール層Fに対してコホモロジー
H i ( X , F ) {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})}
の存在および一意性が証明される。これがエタール・コホモロジーである。
もっと一般的には、同様の手順によって、任意の景の上でそのグロタンディーク位相を用いて層を定義し、コホモロジー理論を構成することができる。景の言葉を用いるならエタール・コホモロジーはエタール景上のコホモロジーと言い換えることができる。
一般的に多様体のl進コホモロジー群は複素多様体の特異コホモロジー群と似たような性質を持つ。ただ特異コホモロジーは整数もしくは有理数上の加群であるのに対して、l進コホモロジーはl進整数もしくはl進数上の加群になる。非特異な射影多様体上のl進コホモロジーはポアンカレ双対性を満たすほかケネスの公式も満たす。
一方l進コホモロジーは特異コホモロジーと異なり、ガロア群の作用を持つという性質がある。たとえば有理数体上定義された複素多様体のl進コホモロジー群は有理数体の絶対ガロア群の作用を持ち、ガロア表現と関係が深い。