リー微分
c {\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}=&X^{c}(\nabla _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&-(\nabla _{c}X^{a_{1}})T^{c\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\nabla _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\nabla _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{c\ldots b_{s}}+\ldots +(\nabla _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots c}\end{aligned}}}
ここで、∇ は x 座標での勾配であり、 ∇ a = ∂ / ∂ x a {\displaystyle \nabla _{a}=\partial /\partial x^{a}} である。代わりに捩率ゼロの接続を用いれば、∇ は共変微分でもある。捩率ゼロの接続に対しては、両定義は同値である。
( L X Y ) x := lim t → 0 ( T ( F l − t X ) Y F l t X ( x ) − Y x ) / t = d d t | t = 0 T ( F l − t X ) Y F l t X ( x ) {\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}:=\lim _{t\to 0}(\mathrm {T} (\mathrm {Fl} _{-t}^{X})Y_{\mathrm {Fl} _{t}^{X}(x)}-Y_{x})/t=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\mathrm {T} (\mathrm {Fl} _{-t}^{X})Y_{\mathrm {Fl} _{t}^{X}(x)}} L X Y := d 2 2 d t 2 | t = 0 F l − t Y ∘ F l − t X ∘ F l t Y ∘ F l t X = d d t | t = 0 F l − t Y ∘ F l − t X ∘ F l t Y ∘ F l t X {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y:=\left.{\frac {d^{2}}{2dt^{2}}}\right|_{t=0}\mathrm {Fl} _{-t}^{Y}\circ \mathrm {Fl} _{-t}^{X}\circ \mathrm {Fl} _{t}^{Y}\circ \mathrm {Fl} _{t}^{X}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\mathrm {Fl} _{-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \mathrm {Fl} _{-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \mathrm {Fl} _{\sqrt {t}}^{Y}\circ \mathrm {Fl} _{\sqrt {t}}^{X}}
L X ( α ∧ β ) = ( L X α ) ∧ β + α ∧ ( L X β ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}
[ L X , L Y ] α := L X L Y α − L Y L X α = L [ X , Y ] α {\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }
[ L X , i Y ] α = [ i X , L Y ] α = i [ X , Y ] α {\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha }
が成り立つ。ここで、i はベクトル場と微分形式との内部積である。