順序数
集合 x について以下はZFで同値である。
x は順序数である。
x は推移的集合であり帰属関係 ∈ に関する整列集合である。 (ジョン・フォン・ノイマンの定義)
x は推移的集合であり y, z ∈ x ならば y ∈ z, y = z, y ∋ z のいずれか1つだけが成り立つ。
x は推移的集合であり包含関係 ⊂ に関する全順序集合である。
x は推移的集合であり x の要素もまた推移的集合である。
ただし正則性公理を仮定しない場合は必ずしも同値にならないので注意が必要である。