建物 (数学)
建物の概念は、ジャック・ティッツによって、任意の体上の単純代数群を記述するための手段として考案された。ティッツはそのような種類の任意の群 G が、G の球建物あるいは球面型建物 (spherical building) と呼ばれる、G の作用を持つ単体的複体 Δ = Δ(G) にどのように対応させられるかを具体的に示して見せた。群 G はこの方法によって得られる複体 Δ に、非常に強い組合せ論的正則性条件を強いることになる。それらの条件を単体的複体のクラスに対する公理として扱うことにより、ティッツは建物の最初の定義に到達した。建物 Δ を定義するデータの一部は、ワイル群と呼ばれるある種のコクセター群 W であり、これはコクセター複体と呼ばれる高度に対称的な単体的複体 Σ = Σ(W,S) を決定する。建物 Δ は、そのアパートと呼ばれる Σ の複数のコピーをある正則なやり方で貼合せることによって得られる。W が有限型コクセター群ならば、コクセター複体は位相的球面であり、対応する建物は球面型 (spherical type) と呼ばれる。W がアフィンワイル群(つまり、コクセター群としてアフィン)ならば、コクセター複体はアフィン平面の細分であり、建物はアフィン型あるいはユークリッド型であるという。~A1-型のアフィン型建物は、終端頂点を持たない無限木と同じものである。