位相的エントロピー
α {\displaystyle \alpha } の有限部分被覆の濃度の最小値を、 N ( α ) {\displaystyle N(\alpha )} とする。 このとき、開被覆 α {\displaystyle \alpha } のエントロピーを
H ( α ) := log 2  N ( α ) {\displaystyle H(\alpha ):=\log _{2}N(\alpha )}
により定義する。
また、極限
lim n → ∞ 1 n H ( α ∨ f − 1 ( α ) ∨ ⋯ ∨ f − ( n − 1 ) ( α ) ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H(\alpha \vee f^{-1}(\alpha )\vee \cdots \vee f^{-(n-1)}(\alpha ))}
は常に存在する。 この極限値を開被覆 α {\displaystyle \alpha } に関する連続写像 f {\displaystyle f} のエントロピーと呼び、 h ( f , α ) {\displaystyle h(f,\alpha )} と表す。
このとき、コンパクト離散力学系 ( X , f ) {\displaystyle (X,f)} の位相的エントロピー h ( f ) {\displaystyle h(f)} を
h ( f ) := sup α h ( f , α ) {\displaystyle h(f):=\sup _{\alpha }h(f,\alpha )}
により定義する。 ただし、上限は開被覆の全体で考える。
位相的エントロピー(いそうてきエントロピー、英: topological entropy)とは、力学系の不変量であり、アドラー=クロンハイム=マカンドルーが1965年に導入した。