ベルヌーイ数
ベルヌーイ数とリーマンゼータ関数の関係から、
B 2 n = ( − 1 ) n + 1 2 ( 2 n ) ! ( 2 π ) 2 n ( 1 + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ ) {\displaystyle B_{2n}=(-1)^{n+1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\left(1+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\dotsb \right)}
が成り立つ。従ってスターリングの公式から、n → ∞ のとき、
| B 2 n | ∼ 4 π n ( n π e ) 2 n {\displaystyle |B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}}
が成り立つ。
ベルヌーイ数 Bn を定義する展開式
f ( x ) = x e x − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n n ! x n {\displaystyle f(x)={\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}
から、関数 x/e − 1 を繰り返し微分していけばベルヌーイ数を得ることができるが、そのような手段でベルヌーイ数を得るのは容易ではない。 ベルヌーイ数を計算するには、マクローリン展開ではなく、次の漸化式を用いる。この漸化式から、ベルヌーイ数がすべて有理数であることがわかる。
B 0 = 1 , B n = − 1 n + 1 ∑ k = 0 n − 1 ( n + 1 k ) B k . {\displaystyle B_{0}=1,\quad {}B_{n}=-{1 \over n+1}\sum _{k=0}^{n-1}{n+1 \choose k}B_{k}.}
ここで、 ( n + 1 k ) {\displaystyle \left({n+1 \atop k}\right)} は二項係数である。