アフィン包
A を K-ベクトル空間の付随するアフィン空間で、M を A の部分空間とするとき、M のアフィン包とは、M を含む A の最小のアフィン部分空間、即ち M を含む A のアフィン部分空間すべての交わりを言う。
M は上記の如くとして、任意の点 P0 を取る(これがアフィン包の始点になる)。M に属する点に付随する平行移動ベクトル全体の成す集合
V ( M ) = { P Q → : P , Q ∈ M } {\displaystyle V(M)=\lbrace {\overrightarrow {PQ}}:P,Q\in M\rbrace }
の線型包を H とする。つまり、H は V(M) に属するベクトルの任意の有限線型結合の集まりであって、それ自身はアフィン空間 A に付随するベクトル空間の線型部分空間を成す(詳細は線型包の項を参照)。このとき、M のアフィン包は P0 + H で与えられる。
空集合のアフィン包は空集合と定める。
アフィン結合の代わりに凸結合、即ち冒頭の式において各 αi を非負としてものを考えれば、S の凸包が得られる。アフィン包よりも制約条件がきついので、凸包はアフィン包よりも大きくはならない。
a f f ( S ) {\displaystyle \mathrm {aff} (S)} は閉集合である。
アフィン空間 A の任意の部分集合 M のアフィン包は
一意的に決まる(同型を除いて決まるばかりではなくて、具体的な集合として一つに決まる)。
その次元が −1(空集合の次元)から全体空間の次元の間になる。
A が実アフィン空間ならば、M の凸包を含みかつそのアフィン包にもなる。
アフィン空間 A の部分集合全体の成す族において、アフィン包をとる操作は閉包作用素になる。
a f f ( a f f ( S ) ) = a f f ( S ) {\displaystyle \mathrm {aff} (\mathrm {aff} (S))=\mathrm {aff} (S)}
アフィン空間の(空集合および全体空間を含む)アフィン部分空間全体の成す集合族 T において、「合併のアフィン包をとる」操作は二項演算を定める。ここで、U ∈ V に対してそれらの合併のアフィン包
U ∨ V := aff ( U ∪ V ) {\displaystyle U\vee V:={\text{aff}}(U\cup V)}
を部分空間 U と V とのアフィン和空間あるいは結びと呼ぶ。合併を交叉に取り換えて双対的に U と V との交わりも定義され、この二つの二項演算に関して T は分配束、特にブール代数となる。
二つのアフィン部分空間の結びと交わりに関する次元公式はアフィン部分空間の項参照。