古在メカニズム
この摂動項は、内側の連星と外側の連星の軌道長半径の比 α {\textstyle \alpha } で展開される。したがってこの α {\textstyle \alpha } は階層的な三重星系においては小さな量となる。摂動項の級数は急速に収束するため、階層的な三重星系の定性的な振る舞いは、展開の低次の項で決まる。それぞれ、四重極 ( ∝ α 2 {\textstyle \propto \alpha ^{2}} )、八重極 ( ∝ α 3 {\textstyle \propto \alpha ^{3}} )、十六重極 ( ∝ α 4 {\textstyle \propto \alpha ^{4}} ) の項であり、以下のように記述される。
H p e r t = H q u a d + H o c t + H h e x + O ( α 5 ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {pert}}={\mathcal {H}}_{\rm {quad}}+{\mathcal {H}}_{\rm {oct}}+{\mathcal {H}}_{\rm {hex}}+O(\alpha ^{5}).}
多くの系では、天体の運動は摂動展開の最も低次な四重極項で十分に記述されることが分かっている。八重極の項は特定の条件において支配的な項となり、これが古在振動の振幅の長期進化の原因となっている。