反転幾何学
ある円の中心、その円を円反転して得られる円の中心、基準円の中心は共線関係を持つ(同一直線上にある)ことに注意する。この事実は、三角形の内接三角形のオイラー線が、その内心 I と外心 O を通る直線 OI に一致することを示すのに有用である。
三角形 ABC の内接円に関する反転変換で、内接三角形の中点三角形は三角形 ABC に写る。これはつまり、中点三角形の外心は内接三角形の九点心であって、三角形 ABC の内心および外心と共線であることを意味する。
交わりを持たない任意の二円は同心円に反転され得る、その場合それらの円の間の反転距離(英語版) δ は、同心な二円の半径の比の自然対数として定義される。
加えて、交わりを持たない任意の二円は、反相似円(英語版)上の点を中心とする円に関する反転で、合同な二円に写すことができる。
ポースリエリンク機構(英語版)は円反転の機械的実装である。これを使えば、直線運動と円運動との変換という重要な問題の厳密な解が得られる。
高次元へ一般化された意味において、反転幾何学とはユークリッド空間上の運動(等距変換)全体と n-次元球面に関する反転変換
x i ↦ r 2 x i ∑ j x j 2 {\displaystyle x_{i}\mapsto {\frac {r^{2}x_{i}}{\sum _{j}x_{j}^{2}}}}
(r は反転の基準球面の半径)とで生成される変換群の研究のことである。
上記の反転を二次元で r = 1 として考えたものは、単位円に関する円反転に他ならない。
既に述べたことと同様、反転幾何学では直線と円(あるいは超平面と超球面)とに区別がなく、ユークリッド幾何に無限遠点を添加したものへ特定の埋め込みを考えれば、直線は単純に一つの円であって、その幾何の中で円を別の円に写したりすることを考えることができる。
高次元の共形写像が n-次元球面または超平面に関する反転とユークリッドの運動から厳密に生じるということは、著しい事実である(等角写像に関するリウヴィルの定理(英語版)を参照)。
初等幾何学における反転幾何学(はんてんきかがく、英: inversive geometry)は、平面幾何学において反転 (inversion) と呼ばれる種類の変換を一般化したものに関して保たれる図形の性質について研究する。
平面上の反転変換は、角を保ち(等角性)、一般化された円を一般化された円に写す(「円円対応」)ような写像になっている。ここで「一般化された円」というのは、円または(無限遠点を中心とする半径無限大の円と見做される)直線のいずれかであることを意味する。初等幾何学における難しい問題が、反転を施すと扱いやすくなるというようなことも少なくない。
このような平面上の反転の概念を、より高次元の場合に一般化することができる。