局所環
可換局所環 R が極大イデアル m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} をもつことを ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} と表すことにする。可換局所環 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の冪全体を 0 近傍系の基とする位相(これを m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -進位相と呼ぶ)により自然な方法で位相環となる。
二つの局所環 ( R , m ) , ( S , n ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}),(S,{\mathfrak {n}})} に対して、R から S への局所環準同型とは、環準同型 f : R → S であって、 f ( m ) ⊂ n {\displaystyle f({\mathfrak {m}})\subset {\mathfrak {n}}} を満たすもののことを言う。