松原振動数
ここでは小さな虚時間が決定的な役割を果たす。 小さな虚時間の負号が変わると、演算子の順番が変わる
⟨ ψ ψ ∗ ⟩ = ⟨ T τ ψ ( τ = 0 + ) ψ ∗ ( 0 ) ⟩ = − G η ( τ = 0 + ) = − 1 β ∑ i ω G ( i ω ) e − i ω 0 + {\displaystyle \langle \psi \psi ^{*}\rangle =\langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau =0^{+})\psi ^{*}(0)\rangle =-G_{\eta }(\tau =0^{+})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{-i\omega 0^{+}}} .\
⟨ ψ ∗ ψ ⟩ = η ⟨ T τ ψ ( τ = 0 − ) ψ ∗ ( 0 ) ⟩ = − η G η ( τ = 0 − ) = − η β ∑ i ω G ( i ω ) e i ω 0 + {\displaystyle \langle \psi ^{*}\psi \rangle =\eta \langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau =0^{-})\psi ^{*}(0)\rangle =-\eta G_{\eta }(\tau =0^{-})=-{\frac {\eta }{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{i\omega 0^{+}}}
g ( z = i ω ) {\displaystyle g(z=i\omega )} が z → ∞ {\displaystyle z\to \infty } の極限で z − 1 {\displaystyle z^{-1}} よりも速く0に収束するとき、この和は収束する。 ボソン振動数についての和は S B {\displaystyle S_{B}} (with η = + 1 {\displaystyle \eta =+1} )と表され、フェルミオン振動数についての和は S F {\displaystyle S_{F}} (with η = − 1 {\displaystyle \eta =-1} )と表される。ここで η {\displaystyle \eta } は統計的な記号である。
熱場の量子論に加えて、松原振動数の和は固体物理学における有限温度でのファインマン・ダイアグラムを考える上で重要な役割を果たす。 一般的にファインマン・ダイアグラムは、 T = 0 K {\displaystyle T=0\,{\text{K}}} では積分 ∫ T = 0 d ω g ( ω ) {\displaystyle \int _{T=0}\mathrm {d} \omega \ g(\omega )} で表されるが、有限温度では和 S η {\displaystyle S_{\eta }} で与えられる。