トムソン問題
トムソン問題は、数学者スティーヴン・スメイルによる18個の未解決問題の1つ — "2次元球面上の点の分布" — の特別な場合である。冒頭述べたように単位球面( r = 1 {\displaystyle r=1} )の場合だけ考えればよい。
電気量 e i = e j = e {\displaystyle e_{i}=e_{j}=e} ( e {\displaystyle e} は電気素量)の電子ペアがもつ静電エネルギーは、クーロンの法則より
U i j ( N ) = k e e i e j r i j {\displaystyle U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij}}}
ここで k e {\displaystyle k_{e}} はクーロン定数、 r i j = | r i − r j | {\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|} は位置ベクトル r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 、 r j {\displaystyle \mathbf {r} _{j}} で表した電子間距離。