中点法
y ( t + h ) ≈ y ( t ) + h f ( t + h 2 , y ( t + h 2 ) ) ( 4 ) {\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\right)\qquad \qquad (4)}
この式を使って y ( t + h ) {\displaystyle y(t+h)} を求めることはできない。なぜなら y {\displaystyle y} の t + h / 2 {\displaystyle t+h/2} での値が分からないからである。そのため、ちょうどオイラー法で y ( t + h / 2 ) {\displaystyle y(t+h/2)} を求めるのと同じように、テイラー展開を使って
y ( t + h 2 ) ≈ y ( t ) + h 2 y ′ ( t ) = y ( t ) + h 2 f ( t , y ( t ) ) {\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))}
と近似する。これを (4) に代入すると
応用数学、特に数値計算における中点法(ちゅうてんほう、英: midpoint method)は、一段階法(one-step method)による常微分方程式
y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}}
の数値解析的な解法の一つである。
陽的中点法(explicit midpoint method)は以下の公式に基づく。
y n + 1 = y n + h f ( t n + h 2 , y n + h 2 f ( t n , y n ) ) ( 1 e ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})\right)\qquad \qquad (1e)}
陰的中点法(implicit midpoint method)は以下の公式に基づく。
y n + 1 = y n + h f ( t n + h 2 , 1 2 ( y n + y n + 1 ) ) ( 1 i ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}(y_{n}+y_{n+1})\right)\qquad \qquad (1i)}
ここで n = 0 , 1 , 2 , ...