レイチャウデューリ方程式
Dasgupta, Anirvan; Nandan, Hemwati; Kar, Sayan (2009). “Kinematics of geodesic flows in stringy black hole backgrounds”. Phys. Rev. D 79 (12): 124004. arXiv:0809.3074. Bibcode: 2009PhRvD..79l4004D. doi:10.1103/PhysRevD.79.124004. See section IV for derivation of the general form of Raychaudhuri equations for three kinematical quantities (namely expansion scalar, shear and rotation).
Kar, Sayan; SenGupta, Soumitra (2007). “The Raychaudhuri equations: A Brief review”. Pramana 69: 49. arXiv:gr-qc/0611123. Bibcode: 2007Prama..69...49K. doi:10.1007/s12043-007-0110-9. See for a review on Raychaudhuri equations.
膨張スカラーは物質の小さなボールの体積が、中心と共動する観測者から測った時間についてどのような分率速度で変化するかを意味する(そして、負値も取り得る)。換言すれば、上記の方程式は時間的合同の膨張の時間発展を記述している。もしこの量の(固有時による)微分がどれかの世界線に沿って負であるならば、(重心が問題の世界線に沿って運動する)物質の小さなボールは再収縮しなければならない。そうでないならば、継続的に膨張することが可能である。
剪断応力テンソルは最小は球形だった物質のボールが楕円状に歪む傾向にどれくらいあるかを測る量である。渦度テンソルは近傍の世界線が互いに巻き付く傾向にどれくらいあるかを測る量である(もしその傾向にあるならば物体の小塊は回転し、通常液体フロー内の液体要素は非零を示す)。
レイチャウデューリ方程式の右辺は二つのタイプの項からなる。
(再)収縮を促進する項 初期値が非零の膨張スカラー 非零の剪断応力 トレースが正の潮汐テンソル; これは「強エネルギー条件」を仮定することにより保証される正にその条件で、物理的に筋の通った流体解(英語版)などのほとんどの重要なタイプの解で成り立っている。
ある時間的単位ベクトル場 X → {\displaystyle {\vec {X}}} が(積分曲線を通じて交わらない世界線の合同(英語版)として解釈できるが、測地線とは限らないものとして)与えられたとき、レイチャウデューリ方程式は以下のように書ける。
θ ̇ = − θ 2 3 − 2 σ 2 + 2 ω 2 − E [ X → ] a a + X ̇ a ; a {\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}+2\omega ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}+{{\dot {X}}^{a}}_{;a}}
ここで、
σ 2 = 1 2 σ m n σ m n , ω 2 = 1 2 ω m n ω m n {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {1}{2}}\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}
は、それぞれ剪断応力テンソル
σ a b = θ a b − 1 3 θ h a b {\displaystyle \sigma _{ab}=\theta _{ab}-{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}
および渦度テンソル