確率密度関数
絶対連続確率分布では確率密度関数が存在する。確率変数 X の確率密度関数 fX を考え、fX が非負のルベーグ可積分な関数であるとする。ここで、
P  ( a ≤ X ≤ b ) = ∫ a b f X ( x ) d x {\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx}
である。従って、もし FX を X の累積分布関数とすると、
F X ( x ) = ∫ − ∞ x f X ( u ) d u {\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(u)\,du}
となり、
f X ( x ) = d d x F X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {d}{dx}}F_{X}(x)}
となる。直観的に、微小区間 [x, x + dx] に含まれる値を X がとる確率は fX(x)dx であると分かる。
ディラックのデルタ関数を用いると、ある種の離散型確率変数によって連続型確率変数および離散型確率変数の確率密度関数を統一的に表現することができる。試しに、2つの値しか採らない離散型確率変数を考える。例えばラーデマッヘル分布(英語版)―すなわちそれぞれ 1/2 の確率で −1 または 1 の値を採る分布―である。この変数の確率の密度は
f ( t ) = 1 2 ( δ ( t + 1 ) + δ ( t − 1 ) ) {\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1))}
である。より一般化すると、離散変数が n 通りの実数値を取り得る時、その離散値を x1, ..., xn, その確率を p1, ..., pn とすると確率密度関数は
f ( t ) = ∑ i = 1 n p i δ ( t − x i ) {\displaystyle f(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\delta (t-x_{i})}
と表記される。
これは実質的に、離散型確率変数と連続型確率変数を統合している。例として、上記の表現からは連続変数と同様に離散変数について統計学的パラメータ(平均、分散、尖度など)を計算可能である。