リッチフロー
リッチフローは、1981年以来、集中的に研究されてきた。最近のリッチフロー発展は、どのように高次元リーマン多様体がリッチフローに従って発展するか、特に、どのタイプのパラメータ化された特異点が形成されるかという詳細な疑問へ集中している。たとえば、リッチフローの解のあるクラスは、ダンベル型特異点 (neckpinch singularities) は、ある特別な時間 t0 にフローが近づくに従い、ある位相的な性質(正のオイラー標数)を持つ発展している n次元のリーマン多様体を構成する。ある条件が揃う場合には、そのようなダンベル型はリッチソリトンと呼ばれる多様体を生み出す。
多くの関連する幾何学的フロー (geometric flow) があり、その中に山辺フロー(英語版) (Yamabe flow) やカラビフロー(英語版) (Calabi flow) も含まれていて、リッチフローと似たような性質を持っている。
s.vacaruは非ホロノミックリッチフローでフィンスラーラグランジュ幾何学に取り組み、アインシュタイン計量を進化させ加速宇宙や暗黒物質などを説明しようとしている。
リッチフロー (Ricci flow) とは、微分幾何学における本来の幾何学的フロー(geometric flow)の一つである。リッチフローは、熱伝導方程式に形式的に似た方法でリーマン多様体の計量の特異点を滑らかに変形する過程である。
グレゴリオ・リッチ=クルバストロ(Gregorio Ricci-Curbastro)の名前に因むリッチフローは、最初にリチャード・ハミルトン (Richard Hamilton) により1981年に導入され、リッチ・ハミルトンフロー (Ricci–Hamilton flow) とも呼ばれる。リッチフローは、最初にグリゴリー・ペレルマン (Grigori Perelman) によりポアンカレ予想の証明のために使われ、同様に、サイモン・ブレンデルとリチャード・シェーンによる微分可能球面定理(英語版)(differentiable sphere theorem) の証明に使われた。