メビウス変換
Lawson, M. V. (1998). “The Möbius Inverse Monoid”. Journal of Algebra 200 (2): 428. doi:10.1006/jabr.1997.7242.
非抛物型のメビウス変換は、複素数 k によって
z ↦ k z {\displaystyle z\mapsto kz}
の形に表される変換(0 と ∞ が不動点)である回転・拡縮と共軛である。いま、γ1, γ2 を有限と仮定すれば、写像
g ( z ) = z − γ 1 z − γ 2 {\displaystyle g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}}
は (γ1, γ2) を (0, ∞) に移す。一方が既に無限遠にある場合には、その無限遠点は固定して他方を 0 に送るように g を修正する。
f が相異なる不動点 γ1, γ2 を持つならば、変換 gfg は 0 および ∞ を不動点に持ち、したがってそれは回転・拡縮変換
g f g − 1 ( z ) = k z {\displaystyle gfg^{-1}(z)=kz}
となることがわかる。したがって変換 f の不動点方程式は
f ( z ) − γ 1 f ( z ) − γ 2 = k z − γ 1 z − γ 2 {\displaystyle {\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}}
既に見たように、メビウス群 PSL(2,C) はミンコフスキー空間に原点、空間の向き、時間方向を全て保存する等距変換全体の成す群として作用する。また、この作用を正光錐における Q = 1 なる点の全体(これは三次元双曲空間 H のモデルを為す)に制限することにより、メビウス群を各元が H に向きを保つ等距変換として作用する群として捉えることができる(実際には、メビウス群と三次元双曲空間上の向きを保つ等距変換全体の成す群とは一致する)。
ポアンカレ球体模型を用いて、R における単位球体と H とを同一視するならば、リーマン球面を H の「共形的境界」として考えることができる。これにより、どのような H の向きを保つ等距変換からでもリーマン球面上のメビウス変換がえられ、逆にメビウス変換から向きを保つ等距変換もまた同様に得られる。このことは、物理学におけるAdS/CFT対応予想へ至るまさにその最初の所見である。
メビウス変換
f ( z ) = a z + b c z + d {\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
の不動点は不動点方程式 f(γ) = γ を解くことで得られる。c ≠ 0 のとき展開して整理して得られる二次方程式
c γ 2 − ( a − d ) γ − b = 0 {\displaystyle c\gamma ^{2}-(a-d)\gamma -b=0}
からふたつの根、つまり変換の不動点
γ = ( a − d ) ± ( a − d ) 2 + 4 b c 2 c = ( a − d ) ± ( a + d ) 2 − 4 ( a d − b c ) 2 c {\displaystyle \gamma ={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a+d)^{2}-4(ad-bc)}}}{2c}}}
は直ちに得られる。変換が抛物型なら (a + d) = 4(ad − bc) で不動点が一致することに注意する。また判別式は
恒等変換でないメビウス変換は一般に、抛物型、楕円型、双曲型と斜航型の4つのタイプに分類される(ただし、双曲型は斜航型の部分クラスである)。この分類は代数的な意味と幾何学的な意味の両方を備えている。幾何学的には、異なるタイプの変換はガウス平面上の変換として後で図示するような図形的な意味で異なる性質を示す。
これらのタイプは、トレース tr H {\displaystyle {\text{tr}}\,{\mathfrak {H}}} を見ることで判別することができる。トレースが共軛変換で不変、つまり
tr G H G − 1 = tr H {\displaystyle {\text{tr}}\,{\mathfrak {GHG}}^{-1}={\text{tr}}\,{\mathfrak {H}}}
が成立すること、それゆえに同じ共軛類に属するどの元も同じトレースの値を持つことに注意する。如何なるメビウス変換も、その表現行列 H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} が(適当に成分を定数倍することにより)行列式の値として 1 を持つようにすることができる。
上述の分解から、円に関する反転 (circle inversion) についての非自明な性質がすべてメビウス変換にも遺伝していることが確認できる。たとえば、メビウス変換が等角写像となることは、反転以外の変換は拡大縮小と等距変換(平行移動、鏡映、回転)で明らかに角を保つので、円に関する反転が角を保つことの証明に帰着される。あるいはさらに、円に関する反転が広義の円を広義の円に写すことから、メビウス変換も同じ性質を持つ。ここで「広義の円」とは、直線については無限遠点を通る半径無限大の円と考えて円と直線をひとまとめに扱った概念である。メビウス変換によって狭義の円が直線に、直線が狭義の円に移ることもあり、必ずしも狭義の円が狭義の円に、直線が直線に写されるものとは限らないことに留意すべきである。また、円が円に移る場合においても、一方の円の中心が他方の円の中心に移るとは限らないことにも注意。
H = ( Z ∞ − γ 1 γ 2 1 − z ∞ ) , Z ∞ = γ 1 + γ 2 − z ∞ {\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}Z_{\infty }&-\gamma _{1}\gamma _{2}\\1&-z_{\infty }\end{pmatrix}},\quad Z_{\infty }=\gamma _{1}+\gamma _{2}-z_{\infty }}
で与えられる変換は、γ1, γ2 を不動点に持ち、z∞ を極とする変換になる。このようにすれば、不動点 γ1, γ2 が与えられたとき、乗数 k と極 z∞ の間の変換則として
z ∞ = k γ 1 − γ 2 1 − k , {\displaystyle z_{\infty }={\frac {k\gamma _{1}-\gamma _{2}}{1-k}},}
k = γ 2 − z ∞ γ 1 − z ∞ = Z ∞ − γ 1 Z ∞ − γ 2 = a − c γ 1 a − c γ 2 {\displaystyle k={\frac {\gamma _{2}-z_{\infty }}{\gamma _{1}-z_{\infty }}}={\frac {Z_{\infty }-\gamma _{1}}{Z_{\infty }-\gamma _{2}}}={\frac {a-c\gamma _{1}}{a-c\gamma _{2}}}}
が得られる。これを成分を用いて書き下せば、
k = ( a + d ) + ( a − d ) 2 + 4 b c ( a + d ) − ( a − d ) 2 + 4 b c {\displaystyle k={\frac {(a+d)+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{(a+d)-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}}}