約数関数
例えば 120 は3倍完全数である。現在知られている倍積完全数は n = 1(このとき、k = 1)を除いて全て偶数である。1 以外に奇数の倍積完全数が存在するか否かは知られていない。
σ(σ(n)) = 2n を満たす n を超完全数という。偶数の超完全数はメルセンヌ素数 2 − 1 に対して、2 と表されるもの全体と一致することが知られている。奇数の超完全数が存在するか否かは知られていない。奇数の超完全数が存在するならば、それは平方数で少なくとも2つの相異なる素因数を持たなければならないことが知られている。 超完全数は 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144,...である。 (オンライン整数列大辞典の数列 A019279)
σ(n) = σ(m) = n + m を満たす相異なる数 n, m の組を友愛数という。(n, m) = (220, 284)などがそれである。友愛数が無限に存在するか否かは知られていない。 それと対照的に、 σ(n) = σ(m) = n + m + 1 を満たす相異なる数 n, m の組を婚約数という。(n, m) = (140, 195)などがそれである。婚約数は無限に存在するか否かは証明されていない。
d(n) = d(n + 1) を満たす n は無数に存在することが証明されている。
約数関数の母関数はランベルト級数(英語版)である。
∑ n = 1 ∞ n a x n 1 − x n = ∑ n = 1 ∞ ∑ m = 1 ∞ n a x m n = ∑ n = 1 ∞ x n σ a ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }n^{a}x^{m\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }x^{n}\sigma _{a}(n)}
約数関数は以下の三角関数を用いた式で表すこともできる。
σ x ( n ) = ∑ μ = 1 n μ x − 1 ∑ ν = 1 μ cos  2 π ν n μ {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{x-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {\frac {2\pi \nu n}{\mu }}}
またゼータ関数 ζ(s) とは
∑ n = 1 ∞ σ a ( n ) n s = ζ ( s ) ζ ( s − a ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)}
という関係式をもつ。
σ(n)の増加の割合は以下の式で表される。