セール・スワンの定理
M をコンパクトで滑らかな多様体とし、V を M 上の滑らかなベクトル束とする。V の滑らかな断面の空間はすると C(M) (M 上の滑らかな実数値関数の可換代数)上の加群である。スワンの定理はこの加群が C(M) 上有限生成かつ射影であると述べている。言い換えると、すべてのベクトル束はある n に対して自明束 M × C の直和である。定理は自明束 M × C から V の上への束全射を構成することによって証明できる。このことは例えば、各点 p に対して {si(p)} が p 上のファイバーを張るという性質をもった断面を示すことによってできる。
逆もまた正しい: C(M) 上のすべての有限生成射影加群は M 上のある滑らかなベクトル束からこのように生じる。そのような加群は M 上のある n に対して n × n 冪等行列に値を取る滑らかな関数 f と見ることができる。すると x 上の対応するベクトル束のファイバーは f(x) の値域である。ゆえに、M 上の滑らかなベクトル束の圏は C(M) 上の有限生成射影加群の圏に同値である。詳細は (Nestruev 2003) において見つかるだろう。この同値は非コンパクト多様体 M の場合に拡張される (Giachetta et al. 2005)。