場の古典論
ここに r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} は M から m への線に沿って m から M を指す方向の単位ベクトルとする。従って、M の重力場は、
g ( r ) = F ( r ) m = − G M r 2 r ^ {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}}
となる。
慣性質量と重力質量は前例のないレベルの正確さで等価であるという実験的観察は、重力場の強さと粒子に及ごす加速度による影響を同一視することへと導く。このことが等価原理の出発点であり、一般相対論が導かれる。
重力の力 F は保存量(英語版)(conservative) であるので、重力場 g は、
g ( r ) = − ∇ Φ ( r ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )}
として、重力ポテンシャル Φ(r) の勾配の項により書き表わすことができる。
場のテンソル φ {\displaystyle \phi } が与えられると、ラグラジアン密度と呼ばれるスカラー L ( φ , ∂ φ , ∂ ∂ φ , . . . , x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,...,x)} を、場のテンソル φ {\displaystyle \phi } とこのテンソルの微分から構成することができる。
汎函数の作用は、このラグランジアン密度を時空上の積分することにより、
S = ∫ L d 4 x {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}\mathrm {d} ^{4}x}}
として構成することができる。従って、ラグラジアン自体は、全空間でのラグラジアン密度の積分に等しい。
従って、作用原理を適用することにより、オイラー=ラグランジュ方程式は、
δ S δ φ = ∂ L ∂ φ − ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) ) + . . . + ( − 1 ) m ∂ μ 1 ∂ μ 2 . . .