複素線積分
次の積分を考える:
∫ − ∞ ∞ 1 ( x 2 + 1 ) 2 d x . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{1 \over (x^{2}+1)^{2}}dx.}
この積分を計算するために、次の複素数値関数を見る:
f ( z ) = 1 ( z 2 + 1 ) 2 . {\displaystyle f(z)={1 \over (z^{2}+1)^{2}}.}
この関数は i と −i に特異点を持つ。積分路として実数値積分を含む積分路を選ぶ。ここでは実数直線上に境界の直径(−a から a まで)を持つ半円が便利である。この積分路を C と呼ぶ。
2つのやり方がある。コーシーの積分公式を使う方法と留数の手法によるものである:
複素関数 fː C → C の路に沿う積分(contour integral, 曲線に沿う積分、線積分)は、実数値関数の積分の一般化である。複素平面内の連続関数に対し、路に沿う積分は線積分の類似で定義することができる。最初に向き付けられた滑らかな曲線に沿った積分を実数値のパラメータの上の積分のことばで定義するのである。より一般的な定義は、区間の分割との類似による積分路の分割とリーマン積分のことばにより与えることができる。どちらの場合も路に沿う積分は積分路を構成する向き付けられた滑らかな曲線上の積分の和として定義される。
積分路の終点が始点と一致するとき、路に沿う積分を周回積分ということがある。
{\displaystyle \mathrm {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}\exp \left({\tfrac {\log(-2)}{4}}\right).}
この極は図では青い点で示されている。値は単純化されて
− 5 3 4 exp  ( log  ( 2 ) + π i 4 ) = − exp  ( π i 4 ) 5 3 4 2 1 4 {\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}\exp \left({\tfrac {\log(2)+\pi i}{4}}\right)=-\exp({\tfrac {\pi i}{4}})5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}}
となる。
無限遠点での留数を求めるのに、次の公式を使う。
R e s z = ∞ h ( z ) = R e s z = 0 [ − 1 z 2 h ( 1 z ) ] . {\displaystyle \mathrm {Res} _{z=\infty }h(z)=\mathrm {Res} _{z=0}\left[-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right].}
z を 1/z に置き換えて、
1 5 − 1 z = − z ( 1 + 5 z + 5 2 z 2 + 5 3 z 3 + ⋯ ) {\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)}
− i π 2 = ( ∫ R + ∫ M + ∫ N + ∫ r ) f ( z ) d z = ( ∫ M + ∫ N ) f ( z ) d z ∫ R , ∫ r vanish = − ∫ ∞ 0 ( log  ( − x + i ε ) 1 + ( − x + i ε ) 2 ) 2 d x − ∫ 0 ∞ ( log  ( − x − i ε ) 1 + ( − x − i ε ) 2 ) 2 d x = ∫ 0 ∞ ( log  ( − x + i ε ) 1 + ( − x + i ε ) 2 ) 2 d x − ∫ 0 ∞ ( log  ( − x − i ε ) 1 + ( − x − i ε ) 2 ) 2 d x = ∫ 0 ∞ ( log  ( x ) + i π 1 + x 2 ) 2 d x − ∫ 0 ∞ ( log  ( x ) − i π 1 + x 2 ) 2 d x ε → 0 = ∫ 0 ∞ ( log  ( x ) + i π ) 2 − ( log  ( x ) − i π ) 2 ( 1 + x 2 ) 2 d x = ∫ 0 ∞ 4 π i log  ( x ) ( 1 + x 2 ) 2 d x = 4 π i ∫ 0 ∞ log  ( x ) ( 1 + x 2 ) 2 d x {\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz\qquad \int _{R},\int _{r}{\text{ vanish}}\\&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\epsilon )}{1+(-x+i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\epsilon )}{1+(-x-i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\epsilon )}{1+(-x+i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x-i\epsilon )}{1+(-x-i\epsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(x)+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(x)-i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx\qquad \epsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log(x)+i\pi )^{2}-(\log(x)-i\pi )^{2}}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\\&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log(x)}{(1+x^{2})^{2}}}\,dx\end{aligned}}}
↑ (訳注)実軸に平行な路に沿った複素線積分の収束性については、厳密にはもう少し議論が要るように思われる(これに続く例でも同様)。 この箇所の実軸下側の複素線積分について述べれば、例えば、n を自然数、x ∈ [0, +∞)、1A(・) を指示関数として e 1 2 log  | x − i n | e ( i / 2 ) arg  ( x − i n ) ( x − i n ) 2 + 6 ( x − i n ) + 8 ⋅ 1 [ 1 n , n ] ( x ) {\displaystyle {e^{{1 \over 2}\log {|x-{\frac {i}{n}}|}}e^{(i/2)\arg {(x-{\frac {i}{n}})}} \over (x-{\frac {i}{n}})^{2}+6(x-{\frac {i}{n}})+8}\cdot 1_{[{\frac {1}{n}},n]}(x)} は n によらずに [0, +∞) 上可積分かつ、可積分関数 e 1 2 log  | x + 1 | x 2 + 6 x + 8 {\displaystyle {e^{{1 \over 2}\log {|x+1|}} \over x^{2}+6x+8}} で絶対値が上から抑えられ、更に n → ∞ のとき − x x 2 + 6 x + 8 {\displaystyle {-{\sqrt {x}} \over x^{2}+6x+8}} に各点収束する。よって優収束定理により、本文で述べているような変形が正当化される。
さらに、
sin  ( k t ) = exp  ( i k t ) − exp  ( − i k t ) 2 i = z k − z − k 2 i {\displaystyle \sin(kt)={\frac {\exp(ikt)-\exp(-ikt)}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}}
および
cos  ( k t ) = exp  ( i k t ) + exp  ( − i k t ) 2 = z k + z − k 2 {\displaystyle \cos(kt)={\frac {\exp(ikt)+\exp(-ikt)}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}}}
であるから、変換によって z の有理関数 f(z) が得られ、積分は
∮ | z | = 1 f ( z ) 1 i z d z {\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz}
となる。この積分は f ( z ) 1 i z {\displaystyle f(z){\frac {1}{iz}}} の、単位円板内にある留数の和をとることで計算できる。
右の図は
I = ∫ 0 π 2 1 1 + sin  ( t ) 2 d t , {\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+\sin(t)^{2}}}\,dt,}