分岐点 (数学)
厳密な言い方ではないが、分岐点とは多価関数の複数の「截れ端」が重なり合う点であり、函数の枝 (branch) はいくつか截れ端を集めたものである。たとえば関数 w = z には二つの枝がある。一つは符号が正の平方根、もう一つは負である。ガウス平面上の曲線が、多価函数の分岐截線 (branch cut) であるとは、それによって多価函数の一つの枝を截り出す事ができる場合に言う。截線は二つの分岐点の間を結ぶように入れるのが普通だが、そうでない場合もある。
分岐截線を使えば、多価函数を一価函数の集まり(を截線のところで貼り合わせたもの)として扱うことができるようになる。たとえば
F ( z ) = z 1 − z {\displaystyle F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}}
という関数を一価にするためには、この関数の二つの分岐点を結ぶ実軸上の区間 [0, 1] に沿って截ればよい。同じ考え方が √z にも適用できるが、この場合、分岐点 0 と結ぶべき適当な別の分岐点は無限遠点なので、たとえば実軸の負の領域すべてを分岐截線とする。
分岐線で截るという手段は(必然性のない)便宜上のものでしかないようにも思われるが、たとえば特殊函数論などでは非常に有用である。分岐による現象を真正面から説明するためにリーマン面の理論が発展し、またさらに一般に、代数関数や微分方程式における分岐やモノドロミーの理論が形成された。
分岐切断の典型例は、複素対数函数である。複素数を極形式で z = r⋅e と表すと、z の対数は log(z) = ln(r) + iθ となるが、θ の取り方には明らかに不定性がある(θ に 2π の整数倍を加えた別の角を取ることができる)。複素対数函数の分枝とは、ガウス平面内の適当な連結開集合に属する任意の z の対数を与える連続函数 L(z) を言う。特に、対数函数の分枝は原点から無限遠点へ結ぶ任意の半直線(分岐切断)の補集合において存在する。分岐切断は目的に応じて都合の良いものを取るが、よく選ばれるのは負の実軸である。
複素対数函数は分岐切断との交点に 2πi の跳躍不連続点を持つ。ガウス平面の無限個のコピー(葉 (sheet) と呼ぶ)を分岐切断に沿って貼り合せることにより、複素対数函数をその上で連続にすることができる。すなわち、各葉の上での対数の値が主値と 2πi の各々の倍数分だけズレているようにしておくと、これら曲面は複素対数函数を連続にする一意的な方法のもとで、分岐切断に沿って互いに張り合わされる。変数が原点を周って動くごとに、対数函数は異なる分枝の上へ亘っていく。