交換子
群 G の二つの元 g, h の交換子は
[g, h] = ghgh
あるいは
[g, h] = ghgh
で定義される(文献によって異なる。群論の専門家は上の方をよく使う)。交換子がその群の単位元 1 に等しいことと、g と h が互いに可換(つまり gh = hg)となることとは同値である。G のすべての交換子から生成される G の部分群を、G の導来群 (derived group) または交換子群と呼び、[G, G] あるいは G′ と表記する。注意すべきは、一般には交換子は群演算について閉じていないので、交換子全体の成す集合 { [x, y]|x, y ∈ G } そのものではなく、それで生成される部分群 〈 [x, y]|x, y ∈ G 〉 を考えなければならないことである。交換子の概念は、冪零群や可解群の定義に用いられる。
[G, G] = 〈 [x, y]|x, y ∈ G 〉.
多重交換子などを扱う場合などは特に、随伴表現を使った別の記法
ad  ( x ) ( y ) = [ x , y ] {\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}
を用いたほうが有効なこともある。このとき、ad(x) は環の導分(微分作用素)で、"ad" は線型である。つまり、
ad  ( x + y ) = ad  ( x ) + ad  ( y ) , {\displaystyle \operatorname {ad} (x+y)=\operatorname {ad} (x)+\operatorname {ad} (y),}
ad  ( λ x ) = λ ad  ( x ) {\displaystyle \operatorname {ad} (\lambda x)=\lambda \operatorname {ad} (x)}
がともに成り立つ。また "ad" はリー環準同型、つまり
ad  ( [ x , y ] ) = [ ad  ( x ) , ad  ( y ) ] {\displaystyle \operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]}
を満たすものである。しかし、一般には
ad  ( x y ) = ad  ( x ) ad  ( y ) {\displaystyle \operatorname {ad} (xy)=\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y)}
が必ずしも成り立たず、多元環の準同型とは必ずしもならない。