ポアソン方程式
ρ(x)を与えられた質量分布としたときに、重力ポテンシャルφ(x)は次のポアソン方程式を満たす。
Δ φ = 4 π G ρ {\displaystyle \Delta \phi =4\pi G\rho }
ここでGは万有引力定数である。
内部に放射線源やジュール熱を発する抵抗を熱源に持つ物質の温度分布T(x)を考える。熱流束をJ(x)とし、熱源の分布をs(x)とする。このとき、J(x)の発散は単位体積当たりの熱の放出に相当するが、時間について不変となる定常状態ではs(x)に一致する。
∇ ⋅ J = s {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {J}}=s}
一方、フーリエの法則に基づき、熱流束は温度勾配に比例する。
J = − λ ∇ T {\displaystyle {\boldsymbol {J}}=-\lambda \nabla T}
ここではλは熱伝導率を表す。これを上式に代入すれば、ポアソン方程式
Δ T = − s λ {\displaystyle \Delta T=-{\frac {s}{\lambda }}}
を得る。