特異点解消
標数が6より大きい場合の3次元代数多様体の特異点解消が Abhyankar (1966) で証明された。アビヤンカーは3次元代数多様体における重複度が標数未満の特異点は解消可能であることを示した。そしてアルバネーゼの方法を使って特異点の重複度を (次元)! = 3! = 6 以下にできることを示した。標数に関する制約はここからきている。アビヤンカーの証明を簡易化したものが Cutkosky (2009) にある。
全ての標数での3次元代数多様体の特異点解消が Cossart and Piltant (2008, 2009) で証明された。ここでの方法は、3次元以下で局所一意化を証明し、次にザリスキーの証明が正標数の場合でも使えることをチェックするという方法であった。
標数0における特異点解消方法の中には滑らかな射について関手的なものがある。しかし、強型の解消で滑らかとは限らない全ての射について関手的なものを見つけることは不可能である。例としてアフィン平面 A から円錐型の特異点 x + y = z への写像で (X, Y) を (2XY, X − Y , X + Y ) に送るものを考える。XY 平面ははじめから非特異なので解消により変化すべきではない。そして、円錐型の特異点の任意の解消は特異点でのブローアップで与えられる最小解消を介して分解する。しかし XY 平面からこのブローアップへの有理写像は正則写像に拡張しない。
標数0における全ての次元での特異点解消は Hironaka (1964) ではじめて証明された。彼は、標数0の体上の代数多様体の特異点は非特異な部分代数多様体に沿ってのブローアップを繰り返すことで解消できることを証明した。代数多様体の次元と全域空間(ambient space)の次元を基にした4重の数学的帰納法を用いるという、複雑極まりない方法であった。この恐るべき証明は Bierstone, Milman & 1991-97, Villamayor (1992), Encinas & Villamayor (1998), Encinas & Hauser (2002), Wlodarczyk (2005), Kollár (2007) などで簡易化された。最近の証明の中には広中の元々の証明の10分の1の長さのものもあり、大学院初年級で学べるほど簡易化されている。この定理の解説が Hauser (2003) にある。また、Hauser (2000) に歴史についての論説がある。