コーシーの函数方程式
コーシーの著書に従えば、2–4 の非自明な連続解は、変域等に注意しつつ 1 に帰着することで得られる(2 は 1 の証明を乗法的になぞる方法でも示されている):
例えば 2 は、Φ(x) = Φ(x/2 + x/2) = Φ(x/2) > 0 に注意して、両辺の対数(底は何でもよい)を取れば LogΦ(x + y) = LogΦ(x) + LogΦ(y) ゆえ 1 を LogΦ に適用して LogΦ(x) = ax から Φ(x) = A を得る(ここでの A を上では改めて A と書いている)。
3 は u ≔ Log(x), v ≔ Log(y) によって x = A, y = A(つまりこの A は Log の底)と書けば、Φ(A) = Φ(A) + Φ(A) となり Φ∘A に関して 1 の形であるから、Φ(A) = au, したがって Φ(x) = aLog(x)
4 は 3 と同様の置き換えで 2 に帰着すれば Φ(A) = A, 変数を戻して Φ(x) = A = x となる。
↑ 明らかに card(B) = א は連続の濃度 c であるから、したがって c = 2 個の函数 f: B → R が存在して、それらのひとつひとつに方程式の(必ずしも線型に限らない)解が一意的に対応する。他方、線型解は比例定数 c の選び方の分の c 個だけしかない。
例えば、加法的函数 f: R → R が R-線型となる条件として以下のようなものが挙げられる:
連続性: f が R の至る所で連続 (Cauchy 1821). より弱く、f が少なくとも一点で連続 (Darboux in 1875).
単調性: f が任意の区間上で単調.
有界性: f が任意の区間上で有界.
可測性: f がルベーグ可測.
逆に f に何の制約条件も課さなければ、(選択公理を仮定して)無限個の非線型函数がこの方程式を満足することが示せる。1905年にゲオルク・ハメル(英語版)は、今日ではハメル基底と呼ばれる R の Q 上の基底を用いて、それを証明した。そのような解函数はハメル函数と呼ばれることもある。
ヒルベルトの第五問題(英語版)はこの方程式の一般化である。実数 c が存在して f(cx) ≠ cf(x) となるような解函数は、コーシー-ハメル函数と呼ばれ、ヒルベルトの第三問題(英語版)を三次元からより高次元へ拡張するのに用いるデーン-ハドヴィガー不変量に用いられる。