スカラーポテンシャル
{\displaystyle F_{P}=-mg\ \sin \theta \ \cos \theta =-{1 \over 2}mg\sin 2\theta .}
となる。地表に平行なこの力FPはθが45度のとき最大となる。
等値線図上の等値線間の高度の等間隔をΔhとし、2つの等値線間の距離をΔxとすると以下のようになる。
θ = tan − 1  Δ h Δ x {\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\frac {\Delta h}{\Delta x}}}
よって
F P = − m g Δ x Δ h Δ x 2 + Δ h 2 . {\displaystyle F_{P}=-mg{\Delta x\,\Delta h \over \Delta x^{2}+\Delta h^{2}}.}
しかし、等値線図上では勾配はΔxに反比例し、FPと同じようではない。等値線図上の高度は正確には2次元ポテンシャル場ではない。力の大きさは異なるが、力の方向は等値線図でも等値線図で表される地表の丘陵地帯でも同じである。
勾配に関するこのPの定義のために、任意の点におけるFの方向はその点でのPの最も急な減少方向であり、その大きさは単位長さ当たりの減少の割合である。
Fがスカラーポテンシャルのみで記述されるためには、F は以下の式のいずれかを満たす必要がある。
− ∫ a b F ⋅ d l = P ( b ) − P ( a ) {\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =P(\mathbf {b} )-P(\mathbf {a} )} , ここで積分は位置aから位置bまで通過するジョルダン弧上にあり、P(b)は位置bで決まるPである。
∮ F ⋅ d l = 0 {\displaystyle \oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0} ,積分は単純な閉路を通るものである。
∇ × F = 0. {\displaystyle {\nabla }\times {\mathbf {F} }=0.}
これらの条件のうち1番目の条件は勾配の基本定理を表し、微分可能な一価スカラー場Pの勾配である任意のベクトル場に当てはまる。2番目の条件はスカラー関数の勾配として表すことができるようなFの要件である。3番目の条件は回転の基本定理を用いてFの回転に関して2番目の条件を再表現したものである。これらの条件を満たすベクトル場Fは非回転(保存場)と呼ばれる。