ピックの定理
= iPT − (c − 2) + 1⁄2{bPT + 2(c − 2) + 2} − 2
= iPT + 1⁄2bPT − 1
従って、同定理が n 個の三角形でできている多角形について成り立つのであれば、n + 1 個の三角形でできている多角形についても成り立つことがわかる。
そこで、同定理が任意の三角形について成り立つことを示せば、数学的帰納法により証明が完結する。 この場合の論証は、以下の簡単な 3 段階でできる。
辺が軸に平行な任意の長方形に対し、同公式が成り立つことを直接確かめる。
上記の長方形を対角線に沿って切り離して得られる直角三角形に対して、同公式が成り立つことを示す。
任意の三角形は、3 つ以下の上記直角三角形および 1 つ以下の上記長方形を付加することにより、1 つの長方形にすることができる。同公式は直角三角形と長方形について成り立つので、この様な三角形についても成り立つ。
最後の段階では、多角形 PT と三角形 T について同定理が成り立てば、P についても成り立つことを使う。これは、上記の論証とほとんど同様に計算により示される。