複素ベクトル束
E が複素ベクトル束であれば、E の共役束 (conjugate bundle) E ̄ {\displaystyle {\overline {E}}} は数の複素共役を通して作用する複素数を持つことによって得られる。したがって、下にある実ベクトル束の恒等写像: E R → E ̄ R = E R {\displaystyle E_{\mathbb {R} }\to {\overline {E}}_{\mathbb {R} }=E_{\mathbb {R} }} は共役線型であり、E とその共役 E は実ベクトル束として同型である。
E ̄ {\displaystyle {\overline {E}}} の k-次チャーン類は
c k ( E ̄ ) = ( − 1 ) k c k ( E ) {\displaystyle c_{k}({\overline {E}})=(-1)^{k}c_{k}(E)}
によって与えられる。特に、E と E は一般には同型でない。