特性関数 (確率論)
同様に φX(t) への逆フーリエ変換で p(x) を得られる。
p ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i t x P ( t ) d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i t x φ X ( t ) ̄ d t {\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}P(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}{\overline {\varphi _{X}(t)}}\,dt}
確率変数が密度関数を持たない場合でも、特性関数はその確率変数に対応した測度のフーリエ変換と見なすことができる。
{\displaystyle \operatorname {E} \,X^{k}=(-i)^{k}\varphi _{X}^{(k)}(0).}
特性関数 φX がゼロにおいて k 階の導関数を持つなら、確率変数 X は k が偶数なら最大で k-次のモーメントを持つが、k が奇数なら最大で k − 1-次までである。
X1, ..., Xn が独立確率変数で、a1, ..., an が何らかの定数としたとき、Xi の線型結合の特性関数は次のようになる。 φ a 1 X 1 + ... + a n X n ( t ) = φ X 1 ( a 1 t ) ⋅ ... ⋅ φ X n ( a n t ) . {\displaystyle \varphi _{a_{1}X_{1}+\ldots +a_{n}X_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\cdot \ldots \cdot \varphi _{X_{n}}(a_{n}t).}
特性関数の裾野の振る舞いは、対応する確率密度関数の平滑性を決定する。