反射関係
集合 X における反射的な関係 R は、X の全ての元 a について、a が自分自身と R の関係を持つ。数学的記法では次のように表される。
∀ a ∈ X , a R a {\displaystyle \forall a\in X,\ aRa} .
無反射的な関係 R は、X の全ての元 a について、a が決して自分自身と R の関係を持たない。数学的記法では次のように表される。
∀ a ∈ X , ¬ ( a R a ) {\displaystyle \forall a\in X,\ \lnot (aRa)} .
反射閉包(reflexive closure)R は、R = {(x, x) | x ∈ X} ∪ R と定義される。これはすなわち、R を含む X 上の最小の反射関係である。これは R を含む全ての反射関係の交叉と同じと見ることができる。
無反射核(irreflexive kernel)R は、 R = R \ {(x, x) | x ∈ X}あるいは、関係Rにおいて無反射的な最大の部分集合として定義される。これはすなわち関係Rの無反射な部分関係すべての合併に等しい。
なお、関係が全て反射的なものと無反射的なものに分類されるわけではない。