合同関係
特に群の場合には、合同関係は以下のように初等的な言葉で記述することができる: G が(単位元 e と演算 * をもった)群で ~ が G 上の二項関係であれば、~ は次が成り立つときにはいつでも合同である:
G の任意の元 a が与えられると(英語版)、a ~ a (反射性 (reflexivity));
G の任意の元 a と b が与えられると、a ~ b であれば b ~ a である(対称性 (symmetry));
G の任意の元 a, b, c が与えられると、a ~ b かつ b ~ c であれば a ~ c である(推移性 (transitivity));
G の任意の元 a, a' , b, b' が与えられると、a ~ a' かつ b ~ b' であれば、a * b ~ a' * b' である;
G の任意の元 a と a' が与えられると、a ~ a' であれば、a ~ a' である(これは実は他の 4 つから証明できるので、真に冗長である)。
条件 1, 2, 3 は ~ が同値関係であると言っている。
合同 ~ は単位元に合同な G の元の集合 {a ∈ G : a ~ e} によって完全に決定される。そしてこの集合は正規部分群である。 具体的には、a ~ b であるのは b * a ~ e であるとき、かつそのときに限る。 なので群の合同について話す代わりに、群の正規部分群の言葉で普通話す。実は、すべての合同は G のある正規部分群に一意的に対応する。
アイデアは普遍代数において一般化される: 代数 A 上の合同関係は A 上の同値関係でもあり直積 A × A の部分代数でもあるような A × A の部分集合である。
準同型の核(英語版)はいつも合同である。実際、すべての合同は核として生じる。 A 上の与えられた合同 ~ に対して、同値類全体の集合 A/~ は自然な方法、商代数(英語版)で代数の構造が与えられる。 A のすべての元をその同値類に写す関数は準同型であり、この準同型の核は ~ である。
代数 A 上のすべての合同関係の束 Con(A) は代数的(英語版)である。