リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル
遅延時間 t r ′ {\displaystyle t_{\mathrm {r} }'} およびソースの位置 r s ( t ′ ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t')} は ( r , t ) {\displaystyle ({\boldsymbol {r}},t)} の関数であり、従って t ′ {\displaystyle t'} に依存する。 この積分を計算するために、以下の恒等式を利用する。
δ ( f ( t ′ ) ) = ∑ i δ ( t ′ − t i ) | f ′ ( t i ) | {\displaystyle \delta (f(t'))=\sum _{i}{\frac {\delta (t'-t_{i})}{|f'(t_{i})|}}}
ここで t i {\displaystyle t_{i}} はそれぞれ関数 f ( t ′ ) {\displaystyle f(t')} がゼロとなるような点である。 任意の与えられた時間と空間の座標 ( r , t ) {\displaystyle ({\boldsymbol {r}},t)} とソースの軌跡 r s ( t ′ ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t')} に対して、 遅延時間 t r {\displaystyle t_{\mathrm {r} }} は唯一つに定まるので、デルタ関数は次のように簡単にできる。
δ ( t ′ − t r ′ ) = δ ( t ′ − t r ) ∂ ∂ t ′ ( t ′ − t r ′ ) | t ′ = t r = δ ( t ′ − t r ) ∂ ∂ t ′ ( t ′ − ( t − 1 c | r − r s ( t ′ ) | ) ) | t ′ = t r = δ ( t ′ − t r ) 1 + 1 c ( r − r s ( t ′ ) ) / | r − r s ( t ′ ) | ⋅ ( − v s ( t ′ ) ) | t ′ = t r = δ ( t ′ − t r ) 1 − β s ⋅ ( r − r s ) / | r − r s | {\displaystyle {\begin{aligned}\delta (t'-t_{\mathrm {r} }')&={\frac {\delta (t'-t_{\mathrm {r} })}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-t_{\mathrm {r} }')|_{t'=t_{\mathrm {r} }}}}\\&={\frac {\delta (t'-t_{\mathrm {r} })}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-(t-{\frac {1}{c}}|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t')|))|_{t'=t_{\mathrm {r} }}}}\\&={\frac {\delta (t'-t_{\mathrm {r} })}{1+{\frac {1}{c}}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t'))/|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t')|\cdot (-{\boldsymbol {v}}_{\mathrm {s} }(t'))|_{t'=t_{r}}}}\\&={\frac {\delta (t'-t_{\mathrm {r} })}{1-{\boldsymbol {\beta }}_{\mathrm {s} }\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} })/|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }|}}\end{aligned}}}