二乗平均平方根
大きさ n のデータ x1, x2, ..., xn に対して二乗平均平方根は
RMS  [ x ] = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 n {\displaystyle \operatorname {RMS} [x]={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}}}={\sqrt {\frac {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}}{n}}}}
と定義される。
充分小さな Δx′ に対して x ∈ [x', x + Δx′] となる確率を f(x)Δx′ としたとき、x の二乗平均平方根 RMS[x] は
RMS  [ x − ⟨ x ⟩ ] = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − ⟨ x ⟩ ) 2 = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 − 2 ⟨ x ⟩ 1 n ∑ i = 1 n x i + ⟨ x ⟩ 2 = ( RMS  [ x ] ) 2 − ⟨ x ⟩ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RMS} [x-\langle x\rangle ]&={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\langle x\rangle \right)^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}-2\langle x\rangle {\dfrac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}+\langle x\rangle ^{2}}}\\&={\sqrt {\left(\operatorname {RMS} [x]\right)^{2}-\langle x\rangle ^{2}}}\end{aligned}}}
ただし最後に期待値 ⟨x⟩ が xi の平均値 x に等しいことを使った。
⟨ x ⟩ = x ̄ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle \langle x\rangle ={\bar {x}}={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}
このとき次の関係が成り立つ。
( RMS  [ x ] ) 2 = σ x 2 + ⟨ x ⟩ 2 {\displaystyle \left(\operatorname {RMS} [x]\right)^{2}={\sigma _{x}}^{2}+\langle x\rangle ^{2}}