軌道 (力学系)
連続力学系を定義する一番普通の方法は、微分方程式による定義である。相空間 X がユークリッド空間か多様体だとする。未知関数 x(t) ∈ X の常微分方程式系
d x ( t ) d t = V ( x ( t ) ) {\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=V(x(t))}
を考える。この微分方程式が初期条件 x(0) = x0 を満たす解を x(t, x0) と表す。微分方程式を決めている関数 V(x) は X 上にベクトル場を与える。この解 x(t, x0) は上の節で一般的に定義した写像 φt (x0) と等しい。
微分方程式の解が存在する t の領域を I ⊂ R とする。連続力学系の軌道とは、
O ( x 0 ) = { x ( t , x 0 ) ∣ t ∈ I } {\displaystyle O(x_{0})=\{x(t,\ x_{0})\mid \ t\in I\}}
で定義される集合である。ただし、O(x0) には t が小さい方から大きい方に向かって向きが付いている。
簡単のために I = (−∞, ∞) だと仮定すれば、連続力学系の正の半軌道は、
力学系を定める相空間を X、時間を G、時間発展のルールを φ: G × X → X とする。ある t ∈ G に固定したときの φ を写像 φ と表し、X ∋ x ↦ φ(x) ∈ X である。G は結合法則 t1 + t2 (t1, t2 ∈ T) で表される群構造を持ち、φ は、
φ e = i d {\displaystyle \phi ^{e}=\mathrm {id} }
φ t 1 ∘ φ t 2 = φ t 1 + t 2 {\displaystyle \phi ^{t_{1}}\circ \phi ^{t_{2}}=\phi ^{t_{1}+t_{2}}}
という性質を満たす。ここで e は G の単位元、id は恒等写像、∘ は写像の合成を意味する。
このような力学系 X, T, φ において
O ( x 0 ) = { x ∈ X ∣ φ t ( x 0 ) , t ∈ T } {\displaystyle O(x_{0})=\{x\in X\mid \phi _{t}(x_{0}),t\in T\}}
で定義される X の順序部分集合 O(x0) を軌道(英: orbit、英: trajectory)と呼ぶ。
高橋 陽一郎、2004、『力学と微分方程式』初版、岩波書店〈現代数学への入門〉 ISBN 4-00-006875-X
千葉 逸人、2021、『解くための微分方程式と力学系理論』初版、現代数学社 ISBN 978-4-7687-0570-4
森 真・水谷 正大、2009、『入門力学系 ―自然の振舞いを数学で読みとく―』、東京図書 ISBN 978-4-489-02050-6
伊藤 秀一、1998、『常微分方程式と解析力学』初版、共立出版〈共立講座 21世紀の数学 11〉 ISBN 4-320-01563-0
井上 政義・秦 浩起、1999、『カオス科学の基礎と展開 ―複雑系の理解に向けて』初版、共立出版 ISBN 4-320-03323-X
Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人(訳)、2007、『力学系入門 原著第2版 ―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-01847-1
K.T.アリグッド;T.D.サウアー;J.A.ヨーク、津田 一郎(監訳)、星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏(訳)、2012、『カオス 第1巻 力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06223-4