二項型多項式列
二項型多項式列はちょうど
∑ n = 0 ∞ p n ( x ) n ! t n = e x f ( t ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{xf(t)}}
の形の形式冪級数を母函数に持つ(収束性は問わない)。ただし、f(t) は定数項(英語版)が零で、かつ一次の項が非零であるような形式冪級数である。このことは、ファア・ディ・ブルーノの公式(英語版)の冪級数版
f ( t ) = ∑ n = 1 ∞ p n ′ ( 0 ) n ! t n {\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{p_{n}'(0) \over n!}\,t^{n}}
によって示すことができる。この列のデルタ作用素は f(D) だから、
f − 1 ( D ) p n ( x ) = n p n − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}
となる。