ボーア・モレルップの定理
初めにガンマ関数が正の実軸上で対数凸であることを確かめる。ワイエルシュトラスの乗積表示から
Γ ( x ) = e − γ x x ∏ n = 1 ∞ n n + x e x / n log  Γ ( x ) = − γ x − log  x + ∑ n = 1 ∞ ( log  n − log  ( n + x ) + x n ) d d x log  Γ ( x ) = − γ − 1 x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 n + x + 1 n ) d 2 d x 2 log  Γ ( x ) = 1 x 2 + ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + x ) 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + x ) 2 > 0 ( x > 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (x)={\frac {e^{-{\gamma }x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n+x}}e^{x/n}\\&\log \Gamma (x)=-{\gamma }x-\log {x}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\log {n}-\log {(n+x)}+{\frac {x}{n}}\right)\\&{\frac {d}{dx}}\log \Gamma (x)=-{\gamma }-{\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{n+x}}+{\frac {1}{n}}\right)\\&{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\log \Gamma (x)={\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}>0\qquad (x>0)\\\end{aligned}}}
であり、対数をとると
log  Γ ( c x + ( 1 − c ) y ) ≤ c log  Γ ( x ) + ( 1 − c ) log  Γ ( y ) {\displaystyle {\log \Gamma (cx+(1-c)y)}\leq {c\log \Gamma (x)+(1-c)\log \Gamma (y)}}
であるから、故にガンマ関数は対数凸である。また、 Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} と Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} もガンマ関数の特徴として周知のものであるから、ガンマ関数はボーア・モレルップの定理の要求を充足する。次に未知の関数 G ( x ) {\displaystyle G(x)} がボーア・モレルップの定理の要求を充足するものと仮定して G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} であることを証明する。 G ( x ) {\displaystyle G(x)} は実軸上で対数凸であるから