イプシロン-デルタ論法
なぜなら、どんな δ を選んでも、 a = min ( δ , 1 ) {\displaystyle a=\min(\delta ,1)} , x = a/1 + a のとき
| x − a | = | a 1 + a − a | = a 2 1 + a < a = min ( δ , 1 ) ≤ δ {\displaystyle \left|x-a\right|=\left|{\frac {a}{1+a}}-a\right|={\frac {a^{2}}{1+a}}<a=\min(\delta ,1)\leq \delta }
かつ
| 1 x − 1 a | = | 1 + a a − 1 a | = 1 {\displaystyle \left|{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{a}}\right|=\left|{\frac {1+a}{a}}-{\frac {1}{a}}\right|=1}
であるから、ε ≤ 1 となる ε に対して条件を満たすような δ は存在しない。
この 1 というのは本質的ではなく、この場合は、どんな ε に対しても条件を満たすような δ が存在しないことが分かる。
このように有界な区間上で定義された連続な関数で無限大に発散しているようなものなどが、連続だが一様連続ではない例としてよく用いられる。