リウヴィル場理論
物理学におけるリウヴィル場理論(あるいは単にリウヴィル理論、英: Liouville field theory, Liouville theory)とは、2-次元の場の量子論で、古典的な運動方程式がジョゼフ・リウヴィルのリーマン面を統一する古典的な幾何学的問題で現れる非線型第二階微分方程式となっている場の量子論を言う。
この場の理論は次の局所的な作用で定義される。
S = 1 4 π ∫ d 2 x g ( g μ ν ∂ μ φ ∂ ν φ + ( b + b − 1 ) R φ + 4 π e 2 b φ ) , {\displaystyle S={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\,{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi +(b+b^{-1})R\phi +4\pi e^{2b\phi }),}
ここに ∂ μ = ∂ / ∂ x μ , g μ ν {\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu },\,g_{\mu \nu }} は 2次元の空間の計量であり、この面の上に場の理論が定式化される。R はこの面のリッチスカラーであり、b は実数の結合定数である。場 φ は、結局、リウヴィル場を考えている。
この作用に付随する運動方程式は、
Δ φ ( x ) = 1 2 ( b + b − 1 ) R ( x ) + 4 π b e 2 b φ ( x ) {\displaystyle \Delta \phi (x)={\frac {1}{2}}(b+b^{-1})R(x)+4\pi be^{2b\phi (x)}}