基底 (線型代数学)
V のどんな元 x も、適当な a1, ..., an ∈ F を選んで x = a1v1 + ... + anvn が成り立つようにできる。
を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 ai は基底 B に関する 座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。
上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。すなわち、(有限または無限の)部分集合 B ⊂ V が基底であるとは、
任意の有限部分集合 B0 ⊆ B が既に述べた意味で線型独立性を持つ。
各 x ∈ V に対して、適当な有限個のスカラー a1, ..., an ∈ F とベクトル v1, ..., vn ∈ B を選んで x = a1v1 + .
フーリエ級数論において、函数系 {1} ∪ {sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ...} が、区間 [0, 2π] 上の実(または複素)数値自乗可積分函数、即ち ∫ 0 2 π | f ( x ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|f(x)|^{2}\,dx<\infty } を満たす函数全体の成す実(または複素)線型空間の「正規直交基底」となることを知るはずである。即ち、函数系 {1} ∪ {sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ...
有限次元ベクトル空間 V {\displaystyle V} の生成系 T ⊂ V {\displaystyle T\subset V} とその一次独立な部分集合 S ⊂ T ⊂ V {\displaystyle S\subset T\subset V} に対し、 S ⊂ B ⊂ T {\displaystyle S\subset B\subset T} を満たす基底 B {\displaystyle B} が存在する。これは、生成系の一次独立な部分集合を生成系の他の元で延長すると基底が得られることを示している。
この定理は次のように証明できる。 T {\displaystyle T} と span  ( S ) {\displaystyle \operatorname {span} (S)} の差集合 T ∖ span  ( S ) {\displaystyle T\setminus \operatorname {span} (S)} を考えると、任意の元 v 1 ∈ ( T ∖ span  ( S ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {v_{1}}}\in (T\setminus \operatorname {span} (S))} は S {\displaystyle S} の線形結合で表現できないため S + 1 = S ∪ { v 1 } ⊂ T {\displaystyle S_{+1}=S\cup \{{\boldsymbol {v_{1}}}\}\subset T} は一次独立になる。