バーンズのG関数
2 π log  ( G ( 1 − z ) G ( 1 + z ) ) = 2 π z log  ( sin  π z π ) + Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+{\text{Cl}}_{2}(2\pi z)}
とすれば証明は完了する。□
G ( 1 + z ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)\,} なる関係を使い、反射公式を 2 π {\displaystyle \,2\pi \,} で割れば、
log  ( G ( 1 − z ) G ( z ) ) = z log  ( sin  π z π ) + log  Γ ( z ) + 1 2 π Cl 2 ( 2 π z ) {\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}{\text{Cl}}_{2}(2\pi z)}
もわかる。
反射式 (1) と同等の式に、ベルヌーイ多項式を用いた式
がある。zを(1/2) − z''に置き換えるとこの式は上に等しい。
数学において、バーンズの G-関数(バーンズのGかんすう、英: Barnes G-function)G(z) は、スーパー階乗を複素数にまで拡張した特殊関数 である。これはガンマ関数、K関数、グレイシャーの定数に関連するものであり、数学者であるエルンスト・ウィリアム・バーンズ(英語版)にちなみ名付けられた。 これは(初等函数を掛ける違いを除いて)二重ガンマ関数の特殊な場合である。
正式には、バーンズの G-関数は以下のワイエルシュトラスの乗積表示
G ( 1 + z ) = ( 2 π ) z / 2 exp ( − z + z 2 ( 1 + γ ) 2 ) ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k exp ( z 2 2 k − z ) } {\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}{\text{exp}}\left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}{\text{exp}}\left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}
の形で定義される。ここで γ はオイラーの定数であり、exp(x) = e は指数関数である。また、∏ は総乗の Π-記法である。
L c ( z ) = ∫ 0 z π x cot  π x d x = z log  ( sin  π z ) − ∫ 0 z log  ( sin  π x ) d x = z log  ( sin  π z ) − ∫ 0 z [ log  ( 2 sin  π x ) − log  2 ] d x = z log  ( 2 sin  π z ) − ∫ 0 z log  ( 2 sin  π x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}Lc(z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\left[\log(2\sin \pi x)-\log 2\right]\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx\end{aligned}}}
から、積分変数の置換 y = 2 π x ⟹ d x = d y / ( 2 π ) {\displaystyle \,y=2\pi x\implies dx=dy/(2\pi )\,} により
z log  ( 2 sin  π z ) − 1 2 π ∫ 0 2 π z log  ( 2 sin  π y 2 ) d y {\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin \pi {\frac {y}{2}}\right)\,dy}