ブラック–ショールズ方程式
ブラック–ショールズモデルの下で、満期 T において行使価格が K であるヨーロピアン・コールのオプションプレミアム C = C(St, t) が無裁定となるように適正な価格となる条件を求める。区間 [0, T] で自己資本充足的な取引戦略 (a, b) を、各 t 時点で次のように定める。これを複製ポートフォリオ (replicating portfolio) という。
C ( S t , t ) = a t S t + b t B t {\displaystyle C(S_{t},t)=a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}}
上式右辺の複製ポートフォリオの自己資金充足性により、次の式が導かれる。
d C = d ( a t S t + b t B t ) = a t d S t + b t d B t = ( μ a t S t + r b t B t ) d t + σ a t S t d W t {\displaystyle dC=d{\Big (}a_{t}S_{t}+b_{t}B_{t}{\Big )}=a_{t}dS_{t}+b_{t}dB_{t}=(\mu a_{t}S_{t}+rb_{t}B_{t})dt+\sigma a_{t}S_{t}dW_{t}}
他方、伊藤の公式により次の式が立つ。
ブラック–ショールズ方程式は、価格の変化率の分布が正規分布に従うという仮定を置いている。しかし現実の金融商品では必ずしも正規分布が成立しない。そのような批判にこたえる形でブラック–ショールズモデルが持つ仮定を緩めたものとして、ボラティリティが時間経過にしたがって確率的に変動する確率的ボラティリティモデルや原資産(株式など)の価格の不連続な変動を許容するマートンモデルなどが考案されている。
d 2 = log  ( S t K ) + ( r − q − σ 2 2 ) ( T − t ) σ T − t {\displaystyle d_{2}={\frac {\log({\frac {S_{t}}{K}})+(r-q-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}}
である。この配当込みのブラック–ショールズ方程式は通貨オプションについても重要な意味を持つ。自国とある外国の間の(自国通貨建て)為替レートを Qt として、Qt が以下の確率微分方程式に従うとする。
d Q t = σ Q t d W t + γ Q t d t {\displaystyle dQ_{t}=\sigma Q_{t}dW_{t}+\gamma Q_{t}dt}
γ は定数であるとする。また自国債券価格を Bt 、外国債券価格を Bt として、それぞれ
B t = B 0 e x p ( r t ) , B t f = B 0 f e x p ( r f t ) {\displaystyle B_{t}=B_{0}\mathrm {exp} (rt),\quad B_{t}^{f}=B_{0}^{f}\mathrm {exp} (r_{f}t)}
と表されるとする。ただし、r と rf はそれぞれ自国の金利と外国の金利を表し、共に定数であるとする。