ベッセル関数
N ν ( z ) = 1 π ∫ 0 π sin  ( z sin  θ − ν θ ) d θ − 1 π ∫ 0 ∞ e − z sinh  t ( e ν t + e − ν t cos  ν π ) d t ( R e ( z ) > 0 ) {\displaystyle N_{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(z\sin \theta -\nu \theta )d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-z\sinh t}(e^{\nu t}+e^{-\nu t\cos \nu \pi })dt\ \ (\mathrm {Re} (z)>0)}
Schafheitlin の積分表示 ただし複号は上が ι = 1 {\displaystyle \iota =1} , 下が ι = 2 {\displaystyle \iota =2}
π Γ ( ν + 1 / 2 ) z ν H ν ( ι ) ( z ) = ∓ 2 ν + 1 i ∫ 0 π / 2 exp  { ± i [ z − ( ν − 1 2 ) θ ] − 2 z cot  θ } cos ν − 1 / 2  θ c o s e c 2 ν + 1 θ d θ [ R e ( ν ) > − 1 2 , R e ( z ) > 0 ] {\displaystyle {\frac {{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +1/2)}{z^{\nu }}}H_{\nu }^{(\iota )}(z)=\mp 2^{\nu +1}i\int _{0}^{\pi /2}\exp \left\{\pm i\left[z-\left(\nu -{\frac {1}{2}}\right)\theta \right]-2z\cot \theta \right\}\,\cos ^{\nu -1/2}\theta \,\mathrm {cosec} ^{2\nu +1}\theta \,d\theta \ \ [\mathrm {Re} (\nu )>-{\frac {1}{2}},\ \mathrm {Re} (z)>0]}
これらの関数は、 x {\displaystyle \displaystyle x} が実数のときに関数値が実数となるように定義されている。またこれらの関数は、変形されたベッセルの微分方程式
x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x − ( x 2 + α 2 ) y = 0. {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0.}
に対する2つの線形独立な解を与えている。
第1種変形ベッセル関数
第2種変形ベッセル関数
変形ベッセル関数には以下の性質がある。 ここで、n は正の整数またはゼロ。
I − n ( x ) = I n ( x ) K − α ( x ) = K α ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}&I_{-n}(x)=I_{n}(x)\\&K_{-\alpha }(x)=K_{\alpha }(x)\\\end{aligned}}}
K n + 1 / 2 ( x ) = ( π 2 x ) 1 / 2 exp  ( − x ) ∑ r = 0 n ( n + r ) ! r ! ( n − r ) ! ( 2 x ) − r {\displaystyle {\begin{aligned}&K_{n+1/2}(x)=\left({\frac {\pi }{2x}}\right)^{1/2}\exp(-x)\sum _{r=0}^{n}{{\frac {(n+r)!}{r!(n-r)!}}(2x)^{-r}}\end{aligned}}}