極 (複素解析)
従って、a の開近傍上で正則で a において位数 n の零点を持つ h が存在し、
f ( z ) = 1 h ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {1}{h(z)}}}
が成り立つ。インフォーマルには、極は正則函数の零点の逆数として発生するとも言うことができる。
また、g の正則性により、f は
f ( z ) = a − n ( z − a ) n + ⋯ + a − 1 ( z − a ) + ∑ k ≥ 0 a k ( z − a ) k {\displaystyle f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\,\geq \,0}a_{k}(z-a)^{k}}
と表すことができる。
これは有限の主要部をもつローラン級数である。U 上の正則函数 ∑ k ≥ 0 a k ( z − a ) k {\displaystyle \sum _{k\geq 0}a_{k}(z-a)^{k}} は f の正則部分と呼ばれる。従って、点 a が f の位数 n の極であることと、f の a の回りでのローラン展開の次数 −n より下の全ての項が 0 であり、かつ、次数 −n の項が 0 でないこととは同値である。
U を複素平面 C の開部分集合、a を U の元とし、 f : U ∖ { a } → C {\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C} } をその定義域で正則である函数とする。正則函数 g : U → C {\displaystyle g\colon U\rightarrow \mathbb {C} } と正の整数 n が存在して、 U ∖ { a } {\displaystyle U\setminus \{a\}} の全ての点 z に対し、
f ( z ) = g ( z ) ( z − a ) n {\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}}
が成立するとき、a を f の極という。そのような最小の n を極の位数という。位数が 1 の極を単純極 (たんじゅんきょく、simple pole)ともいう。
極の位数が 0 でもよいとする著者も少数おり、このとき位数 0 の極は正則点かもしくは除去可能特異点である。しかし、極の位数は正の整数とするほうが一般的であり、「0 位の極」を含めて高々極と呼ぶ。
上記からいくつかの等価な特徴付けが導かれる。
n を極 a の位数とすれば、必然的に上の表現での函数 g に対し、g(a) ≠ 0 となる。