アーベル総和法
解析学において、アーベル総和法(アーベルそうわほう、英: Abel's summability method)とは、級数に対し、有限値を対応させる総和法の一つ。ベキ級数におけるアーベルの定理に因む。
アーベル総和法はフーリエ級数の収束の議論に応用される。f(x) を長さ L=b −a の有界区間 (a, b) で定義されたリーマン積分可能な複素数値関数で、かつ f(a)=f(b) を満たす周期関数とする。このとき、f(x) は次の形のフーリエ級数展開を持つ。
f ( x ) ∼ ∑ n = − ∞ ∞ f n ^ e 2 n π i x / L {\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f_{n}}}e^{2n\pi ix/L}}
f n ^ = 1 L ∫ a b f ( x ) e − 2 n π i x / L d x {\displaystyle {\hat {f_{n}}}={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}f(x)e^{-2n\pi ix/L}dx}
第一式の右辺におけるフーリエ級数が意味を持つために収束性を考える必要がある。この級数はアーベル総和可能であり、f(x) が連続となる点においてf(x) に収束する。特に f(x) が連続関数であれば、フーリエ級数はアーベル総和の意味で一様収束する。すなわち、