ラグランジュ点
ラグランジュ点(ラグランジてん、英語: Lagrange point あるいは Lagrangian point(s))は、天体力学における円制限三体問題の5つの平衡解であり、二つの天体系から見て第三の天体が安定して滞在し得る位置座標点である。ラグランジュ点において第三の天体は、二つの天体から受ける重力と慣性力(遠心力)の釣り合いが取れており、外力による加速を受けない。5つすべての平衡解(座標点)を解析的に発見したジョゼフ=ルイ・ラグランジュにちなんで命名されている。
ラグランジュ点は、巨大な質量をもつ二つの天体の系において、この二つの天体と比べてはるかに小さな質量の第三の天体についてもっぱら議論される。巨大な質量の二天体の例として、恒星-惑星の系(太陽-木星の系 (木星トロヤ群)、太陽-地球の系など)や惑星-衛星の系(土星-土星の衛星の系、地球-月の系など)があげられる。
天体Eと天体Mがそれぞれ大きな質量 M E {\displaystyle M_{E}} と M M {\displaystyle M_{M}} をもっており、この二つの天体が円軌道で周回しているとき、この公転周期で回転する回転座標系を考える(回転座標系で天体Eと天体Mは静止している)。 M E {\displaystyle M_{E}} と M M {\displaystyle M_{M}} に比べて無視できるほど小さな質量 m A {\displaystyle m_{A}} をもつ第三の天体Aについて、いかなる力も受けず、天体Eと天体Mとの相対位置を変えずに留まれる可能性があるラグランジュ点は、次のように捉えられる。天体Aの運動について、初等の古典力学における運動方程式は次のように書ける。
m A d 2 r A d t 2 = ∑ i F i {\displaystyle m_{A}{d^{2}{\boldsymbol {r}}_{A} \over dt^{2}}=\sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{i}}
r A {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{A}} は天体Aの位置座標であり、tは時間である。ここでの F i {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{i}} は天体Aが受けるそれぞれの力であり、運動方程式ではそれらの総和(合力)を取っている形となる。この形式にて、天体Aが天体Eと天体Mの重力を受ける場合には、運動方程式は次のようになる。