ポアンカレ・ベンディクソンの定理
ポアンカレ・ベンディクソンの定理の主張を直感的に言い換えると、次のようにも説明できる。平面上の限られた領域内に軌道があって、軌道はそこから出て行かないとする。もし軌道が1点(平衡点)に落ち着かないとすると、軌道はその領域内を永久に動き続けなければならない。軌道の曲線が自己交差をせず、なおかつ滑らかであるような条件下において、平面上でそのようなことが可能なのは軌道が閉曲線(周期軌道)に落ち着く場合だけというのがポアンカレ・ベンディクソンの定理である。
もう一つポアンカレ・ベンディクソンの定理と呼ばれる別の形として、あるいは上の定理から導くことができる別の定理として、次の主張がある。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理(別形) ― 有限個の平衡点しか持たない(平衡点が孤立している)平面 R 上の C 級ベクトル場 f について、ある点 x ∈ R の正の半軌道 O+(x) が有界のとき、x のω極限集合 ω(x) は以下のいずれかである。
ω(x) は単一の平衡点
ω(x) は周期軌道