ボレル総和
次のような幾何級数
A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z k {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}}
は通常の意味で |z| < 1 に対して 1/(1 − z) に収束する。このボレル変換は
B ( A ) ( t z ) = ∑ k = 0 ∞ z k k ! t k = e t z {\displaystyle {\mathcal {B}}(A)(tz)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}t^{k}=e^{tz}}
であり、ここからより広い領域 Re(z) < 1 で収束するボレル和
∫ 0 ∞ e − t B ( A ) ( t z ) d t = ∫ 0 ∞ e − t e t z d t = 1 1 − z {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}(A)(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}}
が得られ、これは元の級数の解析接続を与える。
この代わりに弱-ボレル変換を考えると、A(z) の部分和 An は An = (1 − z)/(1 − z) と与えられるから、弱-ボレル和は