級数
|an| < bn (n = 1, 2, ...) が成り立つとき、 ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} を優級数、 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} を劣級数という。優級数が収束するならば劣級数は絶対収束する。(対偶により)劣級数が発散すれば優級数も発散する。
X が完備ならば、無条件収束は任意の部分級数が収束することと同値であり、X がバナッハ空間ならば任意の符号付け εn (= ±1) から得られる級数
∑ n = 0 ∞ ε n a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}}
が X において収束することとも同値である。X がバナッハ空間ならば絶対収束の概念を定義することができる。すなわち、X に属するベクトルの級数 ∑ an が絶対収束するとは
∑ n ∈ N ‖ a n ‖ < ∞ {\displaystyle \sum _{n\in \mathbf {N} }\|a_{n}\|<\infty }
となることをいう。バナッハ空間におけるベクトルの級数が絶対収束するならばその収束は無条件収束であるが、この逆が成り立つのはバナッハ空間が有限次元である場合に限る(Dvoretzky-Rogersの定理) 。
1 2 3 高木貞治. 定本解析概論. 岩波書店.
1 2 大石進一(編著)『精度保証付き数値計算の基礎』コロナ社、2018年7月。ISBN 978-4-339-02887-4。
1 2 杉浦光夫. 解析入門 I, 東京大学出版会.
↑ 山本野人, & 松田望. (2005). 多倍長演算を利用した Bessel 関数の精度保証付き数値計算 (科学技術計算と数値解析 (多倍長科学技術計算の基礎と応用),< 特集> 平成 17 年研究部会連合発表会). 日本応用数理学会論文誌, 15(3), 347-359.
↑ 山本哲朗『数値解析入門』(増訂版)サイエンス社〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月。ISBN 4-7819-1038-6。
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↑ Higham, N. J. (2009). The scaling and squaring method for the matrix exponential revisited. SIAM review, 51(4), 747-764.
↑ How and How Not to Compute the Exponential of a Matrix
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