回転 (ベクトル解析)
回転円板の各部の直線速度を記述するベクトル場において、回転は各点において同じ値を取る。
四つのマクスウェルの方程式のうちの二つ、ファラデーの法則とアンペールの法則は、回転を使って簡潔に書くことができる。ファラデーの法則は電場の回転が磁場の時間変化率のマイナス倍に等しいことを主唱するものであり、またアンペールの法則は磁場の回転が電流および電場の時間変化率に関係することを述べるものである。
と書くことができる。ただし、i, j, k はそれぞれ x-軸、y-軸、z-軸方向の単位ベクトルである。
これは
( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) i + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) j + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k {\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {i}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\boldsymbol {j}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\boldsymbol {k}}}
と書くことと同じである。これは座標を用いた表示だけれども、この式が座標軸に関する真の回転に対しては不変であり、座標軸に関する鏡映では符号が反転することが確認できる。
一般の座標系における回転は
( ∇ × F ) k = ε k l m ∂ l F m {\displaystyle (\nabla \times {\boldsymbol {F}})^{k}=\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}}