ベクトルの共変性と反変性
座標系のスケール変換は単位系の変更に関連する。
たとえば長さのスケールを考える。単位をメートル m からセンチメートル cm に変更する、すなわち長さの基準を 1/100倍に変える。このとき、長さの値は100倍になる。同様に位置ベクトルや速度ベクトルの各成分も 100 倍となる。このように、座標系の基準スケールを変えたときに、基準の変化とは逆の変化を要請することを反変性という。
この種のベクトルは長さや長さと他の次元の積の次元を持つ。対照的にその双対ベクトル(余ベクトルと呼ばれる)の次元は長さの逆か、それに別の次元を掛けたものになる。
双対ベクトルの例としては勾配が挙げられる。勾配は空間微分によって定義され、長さの逆の次元を持つ。双対ベクトルの成分は座標系のスケールが変わるときに同じ変化を要請する。これを共変性という。ベクトルおよび余ベクトルの成分は、一般の基底の変換に対しても同じような規則で変換される。
ベクトルが基底に依存しない不変量であるためには、ベクトルの成分は基底の変化を補うように反対に変換されなければならない。言い換えれば、ベクトルの成分を変換する行列は基底を変換する行列の逆行列になっていなければならない。このようなとき、ベクトルの成分は反変であるという。反変な成分を持つベクトルにはたとえば、観測者に対する物体の相対的な位置や、速度、加速度、躍度など位置の時間微分がある。アインシュタインの縮約を用いると、反変成分は上付き添字を用いて以下のように表される。
ベクトル空間 V 上の線型汎関数 α は基底 f の成分(係数体 S のスカラー)を用いて一意に表すことができる。
α ( X i ) = α i [ f ] , i = 1 , 2 , ... , n {\displaystyle \alpha (X_{i})=\alpha _{i}[{\boldsymbol {f}}],\quad i=1,2,\dotsc ,n}
これらの成分は 基底 f の元 Xi 上の α の作用である。
f から f′ への基底変換 (1) の下で、α の成分は次のように変換される。
α の成分は行ベクトル α[f] を用いて次のように書き表せる:
α [ f ] = [ α 1 [ f ] , α 2 [ f ] , ... , α n [ f ] ] {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}[{\boldsymbol {f}}]={\bigl [}\alpha _{1}[{\boldsymbol {f}}],\alpha _{2}[{\boldsymbol {f}}],\dotsc ,\alpha _{n}[{\boldsymbol {f}}]{\bigr ]}}
これより (3) の関係は行列の積として書き直すことができる。