伊原のゼータ函数
伊原(とグラフ理論の設定においては砂田)は、正則グラフのゼータ函数は有理函数であることを示した。G が隣接行列 A を持つ k-正則グラフであれば、
ζ G ( u ) = 1 ( 1 − u 2 ) χ ( G ) − 1 det ( I − A u + ( k − 1 ) u 2 I ) {\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{(1-u^{2})^{\chi (G)-1}\det(I-Au+(k-1)u^{2}I)}}\ }
が成り立つ。ここに χ は、回路のランク(英語版)(circuit rank)である。
実は、伊原のゼータ函数は常に多項式の逆数である:
ζ G ( u ) = 1 det ( I − T u ) . {\displaystyle \zeta _{G}(u)={\frac {1}{\det(I-Tu)}}~.}
ここに、T は橋本の隣接作用素である。ハイマン・バス(英語版)(Hyman Bass)は、隣接作用素に関わる行列式の公式を与えた。