シュニレルマン密度
次の性質は定義から明らかである。
0 ≤ σ A ≤ 1. {\displaystyle 0\leq \sigma A\leq 1.}
すべての n に対して A ( n ) ≥ n σ A . {\displaystyle A(n)\geq n\sigma A.}
σ A = 1 {\displaystyle \sigma {A}=1\quad } ならば A = N . {\displaystyle A=\mathbb {N} .\quad }
k ∉ A {\displaystyle k\notin A} ならば σ A ≤ 1 − 1 / k {\displaystyle \sigma A\leq 1-1/k} .
特に、 A が 1 を含まなければ、 σ A = 0 {\displaystyle \sigma A=0} である。また、 A が 2 を含まなければ、 σ A ≤ 1 / 2 {\displaystyle \sigma A\leq 1/2} である。
σ A = 0 {\displaystyle \sigma A=0} ならば、任意の正の ε に対して、 A ( n ) < ε n {\displaystyle A(n)<\epsilon n} となる n が存在する。
A が 1 を含んでおり、正の下極限密度を持つとき、 σ A > 0 {\displaystyle \sigma A>0} である。
C ( x ) ≥ r + σ B ( x − a r + ∑ i = 1 r − 1 ( a i + 1 − a i − 1 ) ) ≥ x σ B + r ( 1 − σ B ) {\displaystyle C(x)\geq r+\sigma B(x-a_{r}+\sum _{i=1}^{r-1}(a_{i+1}-a_{i}-1))\geq x\sigma B+r(1-\sigma B)}
となる。 r = A ( x ) ≥ x σ A {\displaystyle r=A(x)\geq x\sigma A} が常に成り立つから、
C ( x ) ≥ x σ B + x σ A ( 1 − σ B ) = x ( σ A + σ B − σ A ⋅ σ B ) {\displaystyle C(x)\geq x\sigma B+x\sigma A(1-\sigma B)=x(\sigma A+\sigma B-\sigma A\cdot \sigma B)}
である。これより定理が示された。
この定理を変形すると
( 1 − σ ( A + B ) ) ≤ ( 1 − σ A ) ( 1 − σ B ) {\displaystyle (1-\sigma (A+B))\leq (1-\sigma A)(1-\sigma B)}
となる。これを帰納的に適用して、
1 − σ ( A 1 + A 2 + ... A n ) ≤ ∏ i ( 1 − σ A i ) {\displaystyle 1-\sigma (A_{1}+A_{2}+\ldots A_{n})\leq \prod _{i}(1-\sigma A_{i})}
を得る。
歴史的には、シュニレルマンの定理より強い予想は、それ以前の一時期よりエドムンド・ランダウ(Edmund Landau)によって「アルファ+ベータ予想」として使われていた。1942年、ヘンリー・マン(英語版)によりこの予想は証明され、マンの定理として定式化された。
定理. (Mann 1942) A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} を N {\displaystyle \mathbb {N} } の部分集合とする。 A ⊕ B ≠ N {\displaystyle A\oplus B\neq \mathbb {N} } の場合、
σ ( A ⊕ B ) ≥ σ A + σ B {\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \sigma A+\sigma B}
が成り立つ。
つまり、A が 0 を含んでおり、また σA ≥ 1/n ならば、A は次数が高々 n の基となっていることが分かる。
マンの証明の直後、エミル・アルティン(Emil Artin)と P. Scherk はマンの定理の証明を簡素化した。この定理の低い漸近密度での類似は、クネーザー(Kneser)により得られた。