ソボレフ空間
‖ f ‖ k , p := ( ∑ i = 0 k ‖ f ( i ) ‖ p p ) 1 / p = ( ∑ i = 0 k ∫ T | f ( i ) ( t ) | p d t ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{k,p}:=\left(\sum _{i=0}^{k}\|f^{(i)}\|_{p}^{p}\right)^{\!\!1/p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int _{\mathbb {T} }|f^{(i)}(t)|^{p}\,dt\right)^{\!\!1/p}}
を入れることができて、空間 W はこのノルム ‖•‖k,p に関してバナッハ空間となる。このノルムは、函数列の最初と最後だけ見れば十分である。つまり、ノルムを
‖ f ( k ) ‖ p + ‖ f ‖ p {\displaystyle \|f^{(k)}\|_{p}+\|f\|_{p}}
で定義しても上と同値なノルムとなる(どちらのノルムが定める距離位相も同じ)。
p が 2 でない場合は同様に扱うことができる。この場合はパーセバルの定理は最早成り立たないが、微分はまだフーリエ領域での乗法に対応していて、微分は分数階微分に一般化することができる。ゆえに作用素の階数 s の分数階微分を、フーリエ変換をとり (in) を掛けてフーリエ逆変換をおこなった
F s ( f ) := ∑ n = − ∞ ∞ ( i n ) s f ^ ( n ) e i n t {\displaystyle F^{s}(f):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(in)^{s}{\hat {f}}(n)e^{int}}
によって定義することができる(フーリエ変換・掛け算作用・フーリエ逆変換と行うことによって得られる作用素はフーリエ乗数(Fourier multiplier)と呼ばれ、それ自身が研究の種である)。これにより、(s,p)-ソボレフノルムが
‖ f ‖ s , p := ‖ f ‖ p + ‖ F s ( f ) ‖ p {\displaystyle \|f\|_{s,p}:=\|f\|_{p}+\|F^{s}(f)\|_{p}}
によって定義され、通常の場合と同様にソボレフ空間がソボレフノルム有限な函数全体の成す空間として定義される。