自由アーベル群
エルンスト・スペッカー(英語版)は1950年に Z N {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }} のすべての可算部分群は自由アーベル群であることを証明した。有限個の群の直和は直積と同じものだが、直和因子が無限個の場合には直積と異なり、その元は有限個を除いてすべてが単位元に等しいような各群からの元の組からなる。直和因子が有限個の場合と同様、無限個の自由アーベル群の直和は自由アーベル性を保ち、その基底は直和因子の基底の非交和(の像)によって与えられる。
二つの自由アーベル群のテンソル積はつねに、積をとる二つの群の基底のカルテシアン積を基底にもつ自由アーベル群になる。
任意の自由アーベル群は、基底の各元に対して一つずつ Z のコピーを与えて、Z のコピーの直和として記述できる。この構成は、任意の集合 B を自由アーベル群の基底にすることを可能にする。