方向微分
M を微分可能多様体とし、p を M 内のある点とする。f を、点 pのある近傍において定義され、p において微分可能なある関数とする。 v を点 p における M への接ベクトルとするとき、f の v に沿った方向微分は、∇v f(p)(共変微分を参照)や Lv f(p)(リー微分を参照)、あるいは vp(f)(接ベクトル空間を参照)など様々な方法で表記され、その定義は次のようになる。γ: [-1,1] → M を、γ(0) = p および γ′(0) = v を満たすような微分可能な曲線とする。このとき、方向微分は
∇ v f ( p ) = d d τ ( f ∘ γ ) ( τ ) | τ = 0 {\displaystyle \nabla _{v}f(p)=\left.{\frac {d}{d\tau }}(f\circ \gamma )(\tau )\right|_{\tau =0}}
と定義される。この定義は、γ′(0) = v を満たすようなものとして γ が選ばれている限り、γ の選び方によらない。
f ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})} を、二階テンソル S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} に関する実数値関数とする。このとき、すべての二階テンソル T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} に対して、方向 T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} への f ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})} の S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} に関する(あるいは、 S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} における)微分は、次の二階テンソルで定義される:
∂ f ∂ S : T = D f ( S ) [ T ] = [ d d α f ( S + α T ) ] α = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}.
F ( S ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})} を、二階テンソル S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} に関する、二階テンソル値関数とする。このとき、すべての二階テンソル T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} に対して、方向 T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} への F ( S ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})} の S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} に関する(あるいは、 S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} での)微分は、次の四階テンソルで定義される:
∂ F ∂ S : T = D F ( S ) [ T ] = [ d d α F ( S + α T ) ] α = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}.
f ( v ) = f 1 ( v ) × f 2 ( v ) {\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {f}}_{1}({\boldsymbol {v}})\times {\boldsymbol {f}}_{2}({\boldsymbol {v}})} なら、 ∂ f ∂ v ⋅ u = ( ∂ f 1 ∂ v ⋅ u ) × f 2 ( v ) + f 1 ( v ) × ( ∂ f 2 ∂ v ⋅ u ) {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {f}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)\times {\boldsymbol {f}}_{2}({\boldsymbol {v}})+{\boldsymbol {f}}_{1}({\boldsymbol {v}})\times \left({\frac {\partial {\boldsymbol {f}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)} 。