フォン・ノイマン正則環
数学において、フォン・ノイマン正則環(英: von Neumann regular ring)とは、環 R であって、任意の a ∈ R に対してある x ∈ R が存在し、a = axa となるようなものである。可換環論における正則環や正則局所環との混乱を避けるため、フォン・ノイマン正則環は絶対平坦環 (absolutely flat ring) とも呼ばれる。なぜならば、フォン・ノイマン正則環は任意の左加群が平坦であるような環として特徴づけられるからである。
x を a の"弱逆元(英語版)" (weak inverse) と考えることができる。一般に x は a によって一意には決まらない。
フォン・ノイマン正則環は von Neumann (1936) によって"正則環"という名前でフォン・ノイマン多元環や連続幾何の研究中に導入された。
環の元 a は a = axa となるような x が存在するときにフォン・ノイマン正則元と呼ばれる。イデアル i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} はフォン・ノイマン正則な非単位的環であるとき、すなわち i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} の任意の元 a に対し i {\displaystyle {\mathfrak {i}}} の元 x が存在し a = axa となるとき(フォン・ノイマン)正則イデアルと呼ばれる。