モナド (圏論)
関手 F : C → D {\textstyle F:\mathbb {C} \to \mathbb {D} } と G : D → C {\textstyle G:\mathbb {D} \to \mathbb {C} } は随伴、すなわち自然な同型 φ : D ( F x , y ) ≃ C ( x , G y ) {\displaystyle \varphi :\mathbb {D} (Fx,y)\simeq \mathbb {C} (x,Gy)} が存在するとき、関手 G ∘ F : C → C {\textstyle G\circ F:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } はモナドとなる。ここでモナドを構成する ηx: x → GFx は随伴の単位射、μx: GFGFx → GFx は随伴の余単位 εy: FGy → y を用いて GεFx で定まる。
随伴関手はモナドを伴う一方、全てのモナドは随伴関手の合成として表すことができる。圏 C 上のモナド ( T , η , μ ) {\displaystyle (T,\eta ,\mu )} に伴う特別な随伴として、アイレンベルグ-ムーア圏(英語版) C T {\displaystyle \mathbb {C} ^{T}} とクライスリ圏 C T {\displaystyle \mathbb {C} _{T}} への随伴が知られている。