局所連結空間
トポロジーの歴史の全体を通して、連結性とコンパクト性は最も広く研究された位相的性質の 2 つであった。実際、ユークリッド空間の部分集合の中でさえこれらの性質の研究、そしてユークリッド計量の特定の形式からのそれらの独立性の認識は、位相的性質したがって位相空間の概念を明確化するのに大きな役割を果たした。しかしながら、ユークリッド空間のコンパクト部分集合の構造はハイネ・ボレルの定理を通してかなり早期に理解されたが、(n > 1 に対して) R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の連結部分集合ははるかに複雑であると証明された。実際、任意のコンパクトハウスドルフ空間は局所コンパクトであるが、連結空間 - ユークリッド平面の連結部分集合でさえ - 局所連結とは限らない(下記参照)。
これは20世紀前半に研究の豊かな脈に導き、トポロジストは局所連結空間の概念の微妙で複雑なバリエーションを研究した(例として、点における弱局所連結性の概念と局所連結性とのその関係は後述)。