小数
1/3 = 0.3333... や 1/7 = 0.142857142857...、あるいは 1/2 = 0.5000... など、小数部に有限の長さの数列が繰り返し連続して現れるものを循環小数と呼ぶ。また繰り返し現れる数列のうち最も短いものを循環節と呼ぶ。
循環小数として表せる数は有理数に限られる。
循環小数は循環節と有限小数の組として表せる。様々な記法があるが、一般的に用いられる記法の一つとして、下記のように循環節の始点と終点をドットで示す方法がある:
1/7 = 0.·14285·7
124/990 = 0.1252525... = 0.1·2·5
循環節の長さが1桁の場合、ドットを1つだけ打つ:
0.333... = 0.·3
0.1444... = 0.1·4
必要ならば、有限小数として表せる数は循環小数としても表せる。例えば、1/8 = 0.125 = 0.125000... = 0.124999... のように、0 や 9 を無限に繰り返しているといえるからである。
無限小数のうち循環小数として表せないものを非循環小数と呼ぶ。小数展開が循環小数となる数は有理数であるから、非循環小数となる数は無理数である。非循環小数は簡単に作ることができ、例えば
∑ n = 1 ∞ 10 − 1 2 n ( n + 1 ) = 0.101001000100001 ... {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }10^{-{\frac {1}{2}}n(n+1)}=0.101001000100001\dots }
は非循環小数である。
五円硬貨の厚さは 1.5 ミリメートル、質量は 3.75 グラム。