剰余演算
他の数学的演算と同様に、剰余演算についてもいくつかの演算を導出、または拡張することができる。そうすることで、ディフィー・ヘルマン鍵交換のような暗号学分野の証明が容易となるだろう。
同一性: ( a mod n ) mod n = a mod n {\displaystyle (a\,{\bmod {\,}}n)\,{\bmod {\,}}n=a\,{\bmod {\,}}n} n x mod n = 0 {\displaystyle n^{x}\,{\bmod {\,}}n=0} 正の整数 x の場合。 n {\displaystyle n} が素数であって b の約数でない場合、フェルマーの小定理によって a b n − 1 mod n = a mod n {\displaystyle ab^{n-1}\,{\bmod {\,}}n=a\,{\bmod {\,}}n} となる。
逆数: ( ( − a mod n ) + ( a mod n ) ) mod n = 0 {\displaystyle ((-a\,{\bmod {\,}}n)+(a\,{\bmod {\,}}n))\,{\bmod {\,}}n=0} b − 1 mod n {\displaystyle b^{-1}\,{\bmod {\,}}n} はモジュラ逆数を表す。これは b と n とが互いに素である場合にだけ、次式で定義される。 ( ( b − 1 mod n ) ( b mod n ) ) mod n = 1 {\displaystyle ((b^{-1}\,{\bmod {\,}}n)\,(b\,{\bmod {\,}}n))\,{\bmod {\,}}n=1}
また、mod( ) 機能がないか、正しく機能しない環境であっても、下記のように算出できる(「int( )」は小数点以下を切り捨てた値を生成する)。
a - (n * int(a/n))
このほか除数 n が2のべき乗である場合に限り、後述のように、除数より1少ない値と論理積を取って算出する方法が有効である。