射影多様体
様々な応用のため,射影多様体よりも一般的な代数幾何学的対象,すなわち射影スキームを考える必要がある.射影スキームへの最初のステップは,射影空間に次のようにスキーム構造を与えることである:代数多様体としての射影空間の上記の記述を洗練する,すなわち,P(k) はアフィン n 空間 k の (n + 1) 個のコピーの合併であるスキームである.より一般に,環 A 上の射影空間はアフィンスキーム
U i = Spec  A [ x 1 / x i , ... , x n / x i ] , 0 ≤ i ≤ n , {\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A[x_{1}/x_{i},\dots ,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,}
が変数が期待通り協調的になるように貼り合わさったものである.すると,代数閉体 k に対し, P k n {\displaystyle \mathbf {P} _{k}^{n}} の閉点の集合は,普通の意味での射影空間 P(k) である.
同値だが簡素な構成は Proj 構成(英語版)によって与えられ,これはアフィンスキームを定義する環のスペクトル “Spec” の類似である.例えば,A が環のとき,
P A n = Proj  A [ x 0 , ... , x n ] {\displaystyle \mathbf {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}
U i = { [ x 0 : ⋯ : x n ] , x i ≠ 0 } {\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}],x_{i}\neq 0\}}
によって被覆され,これ自身は座標環 k [ y 1 ( i ) , ... , y n ( i ) ] , y j ( i ) = x j / x i {\displaystyle k[y_{1}^{(i)},\dots ,y_{n}^{(i)}],y_{j}^{(i)}=x_{j}/x_{i}} を持つアフィン n 空間である.表記の簡単のため i = 0 とし,上付き添え字 (0) を落とす.すると X ∩ U 0 {\displaystyle X\cap U_{0}} は,すべての f ∈ I に対して
f ( 1 , y 1 , ... , y n ) {\displaystyle f(1,y_{1},\dots ,y_{n})}
によって生成される k [ y 1 , ... , y n ] {\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{n}]} のイデアルによって定義される, U 0 ≃ A n {\displaystyle U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}} の閉部分多様体である.したがって,X は n + 1 個の開アフィンチャート X ∩ U i {\displaystyle X\cap U_{i}} によって被覆される代数多様体である.
ωX に対応する因子は標準因子と呼ばれ,K と書かれる.l(D) を H 0 ( X , O ( D ) ) {\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))} の次元とする.するとリーマン・ロッホの定理の主張は以下のようである.g が X の種数のとき,
l ( D ) − l ( K − D ) = deg  D + 1 − g {\displaystyle l(D)-l(K-D)=\operatorname {deg} D+1-g}
が X 上の任意の因子 D に対して成り立つ.セール双対性により,これは
χ ( O ( D ) ) = deg  D + 1 − g {\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\operatorname {deg} D+1-g}
と言っても同じであり,直ちに証明できる.リーマン・ロッホの定理の高次元への一般化はヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理や遠大なグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理(英語版)である.