微分包含式
解の存在を考えるときは通常、F(t, x) が x と 可測なt の半連続 (hemicontinuous または upper semi-continuous, en) な関数で、F(t, x) はすべての t and x について閉じている凸集合であることが前提である。初期値問題
d x d t ( t ) ∈ F ( t , x ( t ) ) , x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}}
の解は、十分に短い時間 [t0, t0 + ε) (ここで ε > 0) では存在する。また F が発散しない ( ‖ x ( t ) ‖ → ∞ {\displaystyle \scriptstyle \Vert x(t)\Vert \,\to \,\infty } as t → t ∗ {\displaystyle \scriptstyle t\,\to \,t^{*}} for a finite t ∗ {\displaystyle \scriptstyle t^{*}} ) 場合は、大域的な解が存在することが示される。
微分包含式とは、常微分方程式の考え方を一般化したものである。
d x d t ( t ) ∈ F ( t , x ( t ) ) , {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),}
ここで F(t, x) は微分方程式では多次元空間内の点 R d {\displaystyle \scriptstyle {\mathbb {R} }^{d}} だが、微分包含式においては集合である。微分包含式は、微分変分不等式 (differential variational inequality, en)、projected dynamical system、クーロンの動摩擦力、ファジィ集合論などの分野で使われている。
たとえば、クーロンによる動摩擦力の法則では、物体の重さを N、摩擦係数を μ とするとき、摩擦力は物体の動いている方向と逆向きに μN という大きさで生じる。しかし、すべりが生じていないときには、摩擦力は平面内で大きさが μN 以下のどんなベクトルになってもよい。したがって摩擦力を位置と速度の関数として表そうとすると、その関数の取るのは値ではなく集合となる。