自己回帰移動平均モデル
ARMAモデルをラグ作用素(遅れ作用素) L を使って表す場合もある。この場合、AR(p)モデルは次のように表される。
ε t = ( 1 − ∑ i = 1 p φ i L i ) X t = φ X t {\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi X_{t}\,}
ここで、φ は次の多項式で表される。
φ = 1 − ∑ i = 1 p φ i L i . {\displaystyle \varphi =1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}.\,}
また、MA(q)モデルは次のように表される。
X t = ( 1 + ∑ i = 1 q θ i L i ) ε t = θ ε t {\displaystyle X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta \varepsilon _{t}\,}
ここで θ は次の多項式で表される。
AR過程を定義する方程式は次の通りである。
X t = ∑ i = 1 p φ i X t − i + ε t . {\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}\,X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,}
両辺に Xt-m をかけて、期待値を求めるとしたとき、次のようになる。
E [ X t X t − m ] = E [ ∑ i = 1 p φ i X t − i X t − m ] + E [ ε t X t − m ] . {\displaystyle E[X_{t}X_{t-m}]=E\left[\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}\,X_{t-i}X_{t-m}\right]+E[\varepsilon _{t}X_{t-m}].}
自己共分散関数の定義から、 E [ X t X t − m ] = γ m {\displaystyle E[X_{t}X_{t-m}]=\gamma _{m}} である。ノイズ関数の値は互いに独立であり、ゼロより大きい m について Xt − m は εt に独立である。