テイラー展開
正弦関数 f ( x ) = sin  x {\displaystyle f(x)=\sin x} の x = a {\displaystyle x=a} におけるテイラー級数のうち次数の少ない項のみを抽出したもの
∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
(マウスホイールで n {\displaystyle n} を変更)
点 a を含む実数の開区間 I ⊆ R 上で無限階微分可能な関数 f ∈ C(I) が与えられたとき、べき級数
∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
を関数 f の点 a まわりのテイラー級数という。ここで n! は n の階乗、f (a) は x = a における f の n 次微分係数である。また、便宜的に (x − a) は 1 であると定義する。テイラー級数が収束し、元の関数 f に一致するとき、f はテイラー展開可能であるという。テイラー展開がある大域的な領域の各点で可能な関数は、その領域において解析的 (analytic) である、またはその領域上の解析関数 (analytic function) であるという。
点 a を含む開集合 D ⊆ C 上で微分可能、すなわち正則な複素関数 f が与えられたとき、べき級数
∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( z − a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}}
を関数 f の点 a まわりのテイラー級数という。正則関数の解析性から、点 a を中心として D に包含されるような任意の開円板 B(a,r) = { z ∈ C | |z − a| < r } ⊆ D 上でこの級数は f (a) に収束する。
剰余項 Rn は複素線積分を用いて、次のように表せる:
R n ( z ) = ( z − a ) n [ 1 2 π i ∫ C f ( w ) ( w − a ) n ( w − z ) d w ] {\displaystyle R_{n}(z)=(z-a)^{n}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(w)}{(w-a)^{n}(w-z)}}\mathrm {d} w\right]}
ここで C は、点 a とz を囲み、周および内部が D に含まれるような反時計回りの円周である。
1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n for | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{for }}|x|<1}
1 ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 1 ∞ n x n − 1 for | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
x ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 0 ∞ n x n for | x | < 1 {\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
2 ( 1 − x ) 3 = ∑ n = 2 ∞ ( n − 1 ) n x n − 2 for | x | < 1 {\displaystyle {\frac {2}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=2}^{\infty }(n-1)nx^{n-2}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
2 x 2 ( 1 − x ) 3 = ∑ n = 0 ∞ ( n − 1 ) n x n for | x | < 1 {\displaystyle {\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n-1)nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}
( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n for | x | < 1 and any complex α {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}\quad {\mbox{for }}|x|<1{\mbox{ and any complex }}\alpha }
多項式をマクローリン展開したものは元の多項式自身である。
数学においてテイラー級数(テイラーきゅうすう、英: Taylor series)は、関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開(テイラーてんかい)という。
テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (英: Maclaurin series) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。
関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はテイラー多項式と呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間(あるいは複素平面の開円板)でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。
前述の通り、一定の条件の下でテイラー展開の高次の項を無視することができる。例えば単振り子の問題では、振り子の振れ角 x が充分小さいことを利用して、正弦関数 sin x を x で近似できる。このように、関数をテイラー展開することで計算が容易になり、また原点近傍の振る舞いを詳細に調べることができるようになる。