協力ゲーム
解の概念にはいくつかの性質が含まれることがある。 ここに解の概念に現れることのある性質について述べておく。
また、利得ベクトルのうち、全体合理性を満たす準配分 (pre-imputation) 、 全体合理性と個人合理性を満たすものを配分 (imputation) と呼ぶ。 ほとんどの解の概念は、ゲームの解として配分を与える。
効率性 (Efficiency)・全体合理性
解の利得ベクトルが全体提携の提携値を分配する性質。すなわち、
∑ i ∈ N x i = v ( N ) {\displaystyle \sum _{i\in N}x_{i}=v(N)}
が成り立つことを言う。
個人合理性 (Individual rationality)
全てのプレイヤーは自身のみで獲得できる以上に利得を得られる性質。
x i ≥ v ( { i } ) , ∀ i ∈ N {\displaystyle x_{i}\geq v(\{i\}),\forall ~i\in N}
であることを言う。
対称性 (Symmetry)
利得ベクトル x {\displaystyle x} が対称なプレイヤー i {\displaystyle i} , j {\displaystyle j} に対して等しい利得を与える( x i = x j {\displaystyle x_{i}=x_{j}} ) 性質。
ある提携ゲーム ( N , v ) {\displaystyle (N,v)} において S ⊊ N {\displaystyle S\subsetneq N} を空でないプレイヤーの集合とする。 S {\displaystyle S} での部分ゲーム v S : 2 S → R {\displaystyle v_{S}:2^{S}\to \mathbb {R} } は自ずと
v S ( T ) = v ( T ) , ∀ T ⊆ S . {\displaystyle v_{S}(T)=v(T),\forall ~T\subseteq S.\,}
と定められる。
言い換えれば、単にSに含まれる提携に制限して注目するということである。 部分ゲームは、全体提携 N に対して定められた 解の概念 を N より小さな提携に適用することを可能とするため有用である。
「コア」とは、ゲームにおいてプレイヤーに報酬を配分するベクトルの集合であり、以下の条件を満たすものである。
「効率性」:プレイヤーが「大提携」(全プレイヤーからなる提携)を行い、各人への報酬の総額は大提携の値と等しくなるべきである。
「戦略安定性」または「均衡」:どの連携も大連携を裏切って得をすることはできない。
(たとえば、どの提携も各成員の報酬の総額よりも大きくはならない。(疑問あり))
ここで、 v {\displaystyle v} をゲームとすれば、 v {\displaystyle v} のコア C ( v ) {\displaystyle C(v)} は、以下のような利得ベクトルの集合である。
C ( v ) = { x ∈ R | N | : ∑ i ∈ N x i = v ( N ) ; ∑ i ∈ S x i ≥ v ( S ) , ∀ S ⊆ N } . {\displaystyle C(v)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{|N|}:\sum _{i\in N}x_{i}=v(N);\quad \sum _{i\in S}x_{i}\geq v(S),\forall ~S\subseteq N\right\}.\,}
言い換えれば、提携Sのメンバーの得られる利得の合計が提携値v(S)以上になるよう定めた配分の集合がコアである。 すなわち、コアの利得ベクトルによって利得を獲得するなら、 どの提携 S においても全体提携 N から抜けて多くの利得を獲得しようという動機が無くなる。
コアは空集合になる場合もあることに注意されたい。