ガウス整数
ガウス整数 α, β に対し、aα + bβ が α と β の公約数となるように、ガウス整数 a, b を取ることができる。
(証明)ガウス整数の集合
J := {Aα + Bβ | A と B はガウス整数}
の中から、0 以外でノルムが最小であるものを一つ選び g = aα + bβ とおく。ステップ1 より、
α = gγ + δ (N(δ) < N(g))
を満たす γ, δ が取れる。
δ = α − gγ = α − (aα + bβ)γ = (1 − a)α − (bγ)β
であるから、δ は J の元である。g は J の 0 でない元のうちノルムが最小のものであったから、δ = 0 でなければならない。ゆえに、g は α を割る。同様にして、g は β も割る。
ステップ3(既約元が素元であること)
π を先の定義によるガウス素数とする。このとき、
π が2つのガウス整数の積 αβ を割るならば、π は α と β の少なくとも一方を割る。
(証明)ステップ2 より、α と π の公約数 g = aα + bπ が取れる。π はガウス素数であるから、g は単数であるか、π と同伴であるかのどちらかである。まず、g が単数とすると、
gβ = aαβ + bπβ
であって、仮定より π は αβ を割るので π は左辺の gβ も割る。g は単数であるから、π は β を割る。次に、g が π と同伴とすると、g は α を割るから、π も α を割る。
以上でステップ3 の証明は終わりであるが、この性質を繰り返し用いる(正確には数学的帰納法を用いる)ことにより、次の性質が分かる。