チェボタレフの密度定理
実際、ディリクレの算術級数定理によってこのことを証明できる。素数の出現の仕方が不規則であったとしても、拡大
Z ⊂ Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [i]}
における素数の分解は簡単な統計法則にしたがうのである。
同様の素数の分解についての統計法則が、1の原始冪根を有理数体に付け加えて得られる円分拡大でも成り立つ。例えば、1の原始8乗根を付け加えた整数環での分解の仕方によって通常の素数を4つの種類に分類すると、それぞれの確率は 1/4 となる。この体拡大は、拡大次数は4で、ガロア群はクラインの四元群と同型なアーベル拡大である。素数の分解には、体拡大のガロア群が重要な役割を果たしていることが判明した。ゲオルク・フロベニウスがこの分解の仕方を研究する方法を確立し、そして特別な場合に密度定理を証明した。一般的な形での証明はニコライ・チェボタレフにより1922年になされた。