伴う素イデアル
任意の環上のネーター加群 M に対して,M の素因子は有限個しか存在しない.
以下の性質は全て可換ネーター環 R に対するものである:
すべてのイデアル J は(準素分解を通して)準素イデアルの有限交叉として表せる.これらのイデアルのそれぞれの根基は素イデアルであり,これらの素イデアルはちょうど AssR(R/J) の元たちである.とくに,イデアル J が準素イデアルであることと AssR(R/J) がちょうど1つの元を持つことは同値である.
イデアル J を含む任意の極小素イデアル(英語版)は AssR(R/J) に入る.これらの素イデアルはちょうど孤立素因子である.
M の素因子の集合論的和はちょうど M の零因子,つまり,mr = 0 となるある 0 ≠ m ∈ M が存在するような元 r, の全体の集合である.
M が R 上の有限生成加群ならば,部分加群の有限昇鎖列
0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ⋯ ⊂ M n − 1 ⊂ M n = M {\displaystyle 0=M_{0}\subset M_{1}\subset \cdots \subset M_{n-1}\subset M_{n}=M\,}
であって各商 Mi/Mi−1 がある素イデアル Pi に対して R/Pi に同型であるようなものが存在する.