カルタン行列
n × n {\displaystyle n\times n} 行列 A は、ある空でない固有部分集合 I ⊂ { 1 , ... , n } {\displaystyle I\subset \{1,\dots ,n\}} が存在し、 i ∈ I {\displaystyle i\in I} であり、また、 j ∉ I {\displaystyle j\notin I} であるときはいつも a i j = 0 {\displaystyle a_{ij}=0} であるとき、可約(decomposable)であるという。A が既約(indecomposable)とは、そうでない場合を言う。
A を既約な一般カルタン行列とすると、A が有限型とは、すべての主小行列式(principal minor)が正の場合をいい、A がアフィン型とは固有な主小行列式が正である場合をいい、不定値型とは、それ以外の場合をいう。
有限タイプの既約行列は、有限次元の単純リー群(simple Lie algebra)(タイプは、 A n , B n , C n , D n , E 6 , E 7 , E 8 , F 4 , G 2 {\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}} )を分類し、一方、アフィンタイプの既約行列はアフィンリー代数を分類する(ある標数 0 の代数的閉体上とする)。
各々の D-ブレーンに対し U(1) 局所対称群が存在し、向き付けを変えない弦の運動の自由度に似ている。2-サイクルの面積が 0 のときの極限は、開弦の端点となっているこれらの D-ブレーンの極限であるので、拡張された局所対称群を得る。
現在、2つの D-ブレーンの間の開弦はリー代数の生成子を表現し、そのような 2つの生成子の交換子は、2つの開弦の縁を互いに張り合わせることによい得られる開弦によって表される第三の D-ブレーンである。異なる開弦の間の後者の関係は、元の M-理論での 2-ブレーンの交叉する方法、つまり 2-サイクルの交叉とは独立である。このようにリー代数は、これらの交点数に完全に依存する。カルタン行列の詳しい関係式は、交点数が単純ルート(英語版)(simple root)の交換子を記述することが理由である。これは選択された 2-サイクルに関連している。
カルタン部分代数(Cartan subalgebra)はD-ブレーンとそれ自身の間に伸びた開弦により表現される。