双対グラフ
平面グラフの弱い双対は、双対グラフのサブグラフで、その頂点は主グラフの面に対応する。平面グラフは、その弱い双対が森である場合に限り、外平面グラフになる。任意の平面グラフGについて、Gの外面に一つの新しい頂点vを追加し、vとGの外面に属する全ての点を辺で結んだグラフをGとするとき、GはG の双対の弱い双対である。
すべての平面グラフに有効な頂点や面の数え上げ公式は、双対性によって、頂点と面の役割が入れ替わった同等の式に変換することができる。自己双対的であるオイラーの公式はその一例である。また別の例ではHararyによるハンドシェイク補題がある。これによると、平面グラフの各頂点の次数の合計は、グラフの辺の数の2倍に等しい。この補題の双対形式は、平面グラフの各面を囲む辺の数を全ての面について合計した数は、グラフの辺の数の2倍に等しいことを示す。
平面グラフの中間グラフは元のグラフの双対の中間グラフと同型となる。また、2つの平面グラフは、それらが互いに双対である場合にのみ同形の中間グラフを持つことができる。
4つ以上の頂点を持つ平面グラフは、その双対グラフが3頂点接続と3正規の両方である場合に限り、最大(平面性を保ちながらそれ以上の辺を追加することができない)となる。
連結平面グラフは、その双対グラフが2部グラフである場合に限り、オイラー路(すべての頂点の次数が偶数)となる。平面グラフGにおけるハミルトン路は、双対グラフの頂点を2つの部分集合(サイクルの内側と外側)に分割することに対応し、その誘導部分グラフは両方とも木となる。特に、3次2部多面体グラフのハミルトン性に関するBarnette予想は、すべてのオイラー路最大平面グラフを2つの誘導木に分割できるという推測と同等である。