極位相
が Y {\displaystyle Y} 内の併呑集合であることと同値である。すなわち、次と同値である。
⋃ λ ∈ F λ ⋅ A ∘ = Y . {\displaystyle \bigcup _{\lambda \in {\mathbb {F} }}\lambda \cdot A^{\circ }=Y.}
今 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} は X {\displaystyle X} 内の Y {\displaystyle Y} に関する有界集合の族とし、次の性質が成り立つものとする:
X {\displaystyle X} の各点 x {\displaystyle x} はある集合 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} に属する。すなわち、次が成り立つ。
∀ x ∈ X ∃ A ∈ A x ∈ A , {\displaystyle \forall x\in X\qquad \exists A\in {\mathcal {A}}\qquad x\in A,}
二つの集合 A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} は B ∈ A {\displaystyle B\in {\mathcal {A}}} ある集合 C ∈ A {\displaystyle C\in {\mathcal {A}}} に含まれる。
U A = { x ∈ V : ‖ φ ‖ A < 1 } , A ∈ A , {\displaystyle U_{A}=\{x\in V:\quad \|\varphi \|_{A}<1\},\qquad A\in {\mathcal {A}},}
はこの位相の局所基を形成する。元のネット y i ∈ Y {\displaystyle y_{i}\in Y} がこの位相において元 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} に収束するための必要十分条件は、次が成り立つことである。
∀ A ∈ A ‖ y i − y ‖ A = sup x ∈ A | ⟨ x , y i ⟩ − ⟨ x , y ⟩ | ⟶ i → ∞ 0. {\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}}\qquad \|y_{i}-y\|_{A}=\sup _{x\in A}|\langle x,y_{i}\rangle -\langle x,y\rangle |{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0.}
このことにより、極位相はしばしば A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の集合上の一様収束位相と呼ばれる。セミノルム ‖ y ‖ A {\displaystyle \|y\|_{A}} は極集合 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} のゲージである。