時間依存密度汎関数法
所与の相互作用ポテンシャルについて、RG定理は外部ポテンシャルが電子密度を一意的に決定することを示す。コーン–シャム・アプローチは、相互作用のある系と等しい電子密度を形成する相互作用のない系(相互作用ポテンシャルがゼロ)を選ぶ。こうすることの利点は、相互作用のない系を容易に解くことができること —相互作用のない系の波動関数は単一粒子軌道のスレイター行列式として表わすことができ、個々の軌道は3つの変数をもつ単一の偏微分方程式によって決定される— そして、相互作用ない系の運動エネルギーはこれらの軌道の観点から厳密に表すことができることである。したがって、問題は相互作用のないハミルトニアンHsを決定するポテンシャル(vs(r, t) または vKS(r, t) と表わされる)を決定することである。
H ^ s ( t ) = T ^ + V ^ s ( t ) {\displaystyle {\hat {H}}_{s}(t)={\hat {T}}+{\hat {V}}_{s}(t)}
次に、このハミルトニアンが行列式波動関数を決定する。
H ^ s ( t ) | Φ ( t ) ⟩ = i ∂ ∂ t | Φ ( t ) ⟩ , | Φ ( 0 ) ⟩ = | Φ ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}_{s}(t)|\Phi (t)\rangle =i{\frac {\partial }{\partial t}}|\Phi (t)\rangle ,\ \ \ |\Phi (0)\rangle =|\Phi \rangle }
行列式波動関数は方程式
χ ( r 1 t 1 , r 2 t 2 ) = χ KS ( r 1 t 1 , r 2 t 2 ) + χ KS ( r 1 t 1 , r 2 ′ t 2 ′ ) ( 1 | r 2 ′ − r 1 ′ | + f xc ( r 2 ′ t 2 ′ , r 1 ′ t 1 ′ ) ) χ ( r 1 ′ t 1 ′ , r 2 t 2 ) {\displaystyle \chi ({\boldsymbol {r}}_{1}t_{1},{\boldsymbol {r}}_{2}t_{2})=\chi _{\text{KS}}({\boldsymbol {r_{1}}}t_{1},{\boldsymbol {r}}_{2}t_{2})+\chi _{\text{KS}}({\boldsymbol {r_{1}}}t_{1},{\boldsymbol {r}}_{2}'t_{2}')\left({\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}_{2}'-{\boldsymbol {r}}_{1}'|}}+f_{\text{xc}}({\boldsymbol {r}}_{2}'t_{2}',{\boldsymbol {r}}_{1}'t_{1}')\right)\chi ({\boldsymbol {r}}_{1}'t_{1}',{\boldsymbol {r}}_{2}t_{2})}
この最後の方程式から、系の励起エネルギーを導くことが可能である(これらは単に応答関数の極であるため)。
その他の線形応答アプローチには、Casida形式(電子孔対における展開)やSternheimer方程式(密度汎関数摂動理論)がある。