ラマヌジャンの合同式
を用いれば、
∑ n = 0 ∞ p ( 5 n + 4 ) q n = 5 ( q 5 ; q 5 ) ∞ 5 ( q ; q ) ∞ 6 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(5n+4)q^{n}}=5{\frac {(q^{5};q^{5})_{\infty }^{5}}{(q;q)_{\infty }^{6}}}}
∑ n = 0 ∞ p ( 7 n + 5 ) q n = 7 ( q 7 ; q 7 ) ∞ 3 ( q ; q ) ∞ 4 + 49 q ( q 7 ; q 7 ) ∞ 7 ( q ; q ) ∞ 8 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(7n+5)q^{n}}=7{\frac {(q^{7};q^{7})_{\infty }^{3}}{(q;q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7};q^{7})_{\infty }^{7}}{(q;q)_{\infty }^{8}}}}
と表すことができる。