電磁場テンソル
時空の曲率、すなわち重力場がある場合に、偏微分はテンソルとはならず、レヴィ・チヴィタ接続を導入して共変微分への置き換えが必要となる。しかし、電磁場強度 F は偏微分による定義を変更することなくテンソルである。反対称性により共変微分の接続が相殺されるため
F μ ν = D μ A ν − D ν A μ = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }={\mathcal {D}}_{\mu }A_{\nu }-{\mathcal {D}}_{\nu }A_{\mu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}
となる。ビアンキ恒等式は定義から成り立つので変更を要しないが、運動方程式は
D μ F μ ν = − Z 0 c j ν {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }F^{\mu \nu }=-{\frac {Z_{0}}{c}}\,j^{\nu }}
であり、共変微分への置き換えが必要となる。