多重線型代数
TE = K とし、1 < n について n 回テンソル積をとったものをTE = E = E ⊗ ... ⊗ E とし、これらの直和 ⊕TE を TE とする。この K –加群は
T m E × T n E → T m + n E , ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m , y 1 ⊗ ⋯ ⊗ y n ) → x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m ⊗ y 1 ⊗ ⋯ ⊗ y n {\displaystyle {\mathrm {T} ^{m}E}\times {\mathrm {T} ^{n}E}\to \mathrm {T} ^{m+n}E,\,\left(x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m},\,y_{1}\otimes \dots \otimes y_{n}\right)\to x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m}\otimes y_{1}\otimes \dots \otimes y_{n}}
によって定まる積を持ち(一般には非可換な)K –代数になる。TE を E の n 次テンソル冪 (n th tensor power) と呼ぶ。
E から TE への線型写像は E = TE → TE によって与えられている。E から K –代数 A への K –線型写像 φ: E → A が与えられたとき、E → TE と両立する準同型 TE → A は x 1 ⊗ ... ⊗ xm → φx 1 ⊗ ... ⊗ φxm によって与えられる。