作用素ノルム
与えられた二つのノルム線形空間 V および W (実数体 R あるいは複素数体 C のいずれかを共通のものとする)に対して、線形作用素 A: V → W が連続であるための必要十分条件は
‖ A v ‖ ≤ c ‖ v ‖ ( ∀ v ∈ V ) {\displaystyle \|Av\|\leq c\|v\|\quad (\forall v\in V)}
を満たすような実数 c が存在することである(左辺のノルムは空間 W におけるもので、右辺のノルムは空間 V におけるもの)。直観的に言えば、連続作用素 A はどのようなベクトル v ∈ V に対してもそれを c 倍よりも「引き延ばす」ようなことはしない。このことから、連続作用素による有界集合の像はふたたび有界集合となることが分かる。この性質より、連続線形作用素は有界作用素としても知られている。
上の不等式を満たすような実数 c のうち最小のものを、作用素 A の「大きさ」として定義することは自然であるように思われる。したがって作用素 A の作用素ノルムは
‖ A ‖ op := min { c ≥ 0 : ‖ A v ‖ ≤ c ‖ v ‖ for all v ∈ V } {\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\min\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\,\|v\|{\text{ for all }}v\in V\}}
により定義される(そのような c からなる集合は閉かつ下に有界であり、空でないため、上式の右辺は必ず存在する)。