多変量正規分布
2次元で非退化の場合(k = rank(Σ) = 2)、ベクトル [X Y]′(右肩のダッシュは転置を表す)の確率密度関数は、
f ( x , y ) = 1 2 π σ X σ Y 1 − ρ 2 exp  ( − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) [ ( x − μ X ) 2 σ X 2 + ( y − μ Y ) 2 σ Y 2 − 2 ρ ( x − μ X ) ( y − μ Y ) σ X σ Y ] ) {\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[{\frac {(x-\mu _{X})^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-\mu _{Y})^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}-{\frac {2\rho (x-\mu _{X})(y-\mu _{Y})}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}\right]\right)}
となる。ここで ρ は X と Y の相関係数であり、 σ X > 0 {\displaystyle \sigma _{X}>0} かつ σ Y > 0 {\displaystyle \sigma _{Y}>0} である。このとき、