ノルム代数
1 2 狭義にノルム環 (英: normed ring) と呼ぶときは係数環を持たず、スカラー乗法も考えない。またその場合、台となる環構造が体ならばノルム体、さらにノルムが乗法的(すなわち、絶対値/絶対付値; このとき ‖ • ‖ の代わりにしばしば |•| と書く)ならば付値体という。
↑ 文献によっては、適当な定数 C (≥ 0) によって劣乗法性を弱めた ‖ x y ‖ ≤ C ‖ x ‖ ‖ y ‖ ( ∀ x , y ) {\displaystyle \|x\,y\|\leq C\|x\|\,\|y\|\quad (\forall x,y)} を条件とするものもある。しかしそれによって新たな内容が得られるわけではない: 実際 C = 0 ならば自明環であり、C > 0 に対してはもとのノルムを C で割って新たに同値なノルムを得れば、それは定数因子のない劣乗法性を満たす。
↑ 実はノルム x ↦ ‖ x ‖ を同値なノルム x ↦ sup‖ y ‖ = 1 ‖ xy ‖ に取り換えて単位元のノルムを 1 にすることができる。