ミルナー数
と書くことができるという補題で、定数 k と函数 h 1 {\displaystyle h_{1}} と h 2 {\displaystyle h_{2}} が O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の中に存在するという補題である(ここに h 1 {\displaystyle h_{1}} あるいは h 2 {\displaystyle h_{2}} あるいはその両方は定数のゼロかもしれない)。それで x と y の剰余での函数的な多重度を h として定数と書くことができる。定数函数の空間は、1 で張られるので、 A f = ⟨ 1 ⟩ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}=\langle 1\rangle } となる。
このことからは μ(f) = 1 であることが従う。0 で非退化な特異点を持つ任意の函数の芽 g に対し、μ(g) = 1 であることを評価することは容易である。
非特異な函数の芽 g に対しこの方法を適用し、μ(g) = 0 を得ることができることに注意すること。
0 で非退化な特異点を持つ函数の芽を考える、云わば、 f ( x , y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}} とする。ヤコビイデアルは、ちょうど ⟨ 2 x , 2 y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle 2x,2y\rangle =\langle x,y\rangle } となる。局所代数を次のように計算する。
A f = O / ⟨ x , y ⟩ = ⟨ 1 ⟩ . {\displaystyle {\mathcal {A}}_{f}={\mathcal {O}}/\langle x,y\rangle =\langle 1\rangle .}
これが正しい理由を知るために、アダマールの補題(英語版)(Hadamard's lemma)を使うことができる。この補題は任意の函数 h ∈ O {\displaystyle h\in {\mathcal {O}}} を
h ( x , y ) = k + x h 1 ( x , y ) + y h 2 ( x , y ) {\displaystyle h(x,y)=k+xh_{1}(x,y)+yh_{2}(x,y)}