組み紐 (数学)
区間 [0,1] の n 個のコピーを 立方体 D × [0, 1] へ滑らかに埋め込んだものが以下の条件をみたすとき、n-ブレイド と呼ぶ。
各区間の座標 t に対応する点は立方体の平面 {(x,y,z) | z = t} の一点に写る。
各区間の t = 0 に対応する端点は y 軸に平行に等間隔に並ぶ。t = 1 に対応する端点も同様。
境界を動かさない立方体の連続変形で写りあうブレイドを同一視することにする。
定義の一つ目の条件から、ブレイドの各連結成分の各点での方向ベクトルは正の z 成分を持つ。特にブレイドの各成分は極大点極小点を持たない。
この様子を、平面内をぶつからずに運動する n 個の点の軌跡とみることもできる。 X = D 2 {\displaystyle X=D^{2}} として、 { ( x 1 , x 2 , ... , x n ) ∈ X n | i ≠ j ⇒ x i ≠ x j } {\displaystyle \{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in X^{n}|i\neq j\Rightarrow x_{i}\neq x_{j}\}} を対称群の作用で割ってできる空間 C X {\displaystyle C_{X}} を考えると、 C X {\displaystyle C_{X}} の閉道はブレイドであり、適当な基点 p のもと基本群 π 1 ( C X , p ) {\displaystyle \pi _{1}(C_{X},p)} がブレイド群(次節参照)となる。