エーレンフェストの定理
まず、期待値の定義より
d 2 d t 2 ⟨ r ⟩ = d 2 d t 2 ∫ ψ ∗ ( r , t ) r ψ ( r , t ) d r = d d t ∫ [ ∂ ψ ∗ ∂ t r ψ + ψ ∗ r ∂ ψ ∂ t ] d r {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle &={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {r} \psi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}
を得る。ここでシュレーディンガー方程式より