米田の補題
C を局所的に小さい(locally small)圏とする。すなわち C の各対象 A, B に対して hom(A, B) は集合であるとする。対象 A を固定するとき、共変hom関手 H = hom(A, _) : C → Set は対象 X に対して、集合 hom(A, X) を割り当て、射 f : X → Y に対して写像 hom(A, f) = f ◦ (_) : hom(A, X) → hom(A, Y) を割り当てる関手であった。さらに、 F : C → Set を集合値関手とし、H から F へのすべての自然変換のクラス Nat(H, F) について考える。
このとき、米田写像(Yoneda map)と呼ばれる全単射
が存在し、この同型は A ∈ C と F ∈ Set について自然である、という主張が米田の補題である。また、F が反変関手 C → Set である場合も、反変hom関手 HA = hom(_, A) との間に
という全単射が存在して、これは A と F について自然となる。このことはどちらも米田の補題と呼ばれる。
豊穣圏とは、通常の圏におけるhom集合 (すなわち対象の間の射の集合) の代わりに、順序集合、加法群、その他の対象 (一般には、あるモノイダル圏 V の対象として記述される) を割り当てるような一般化した構造であり、例えばこの意味で通常の圏は Set-豊穣圏、2-圏は Cat-豊穣圏と言える。豊穣圏の理論では、V の条件によって (具体的には完備かどうかによって) 米田の補題は強いものと弱いものに分けられる。
(弱い) 米田の補題 (Kelly 2005, p. 21, §1.9) ― 圏 V は対称モノイダル閉、A は V-豊穣圏で K はその対象、F : A → V は V-関手とする。このとき、A(K, _) から F への V-自然変換の集合と、圏 V における I (モノイダル積の単位対象) から FK への射の集合の間には全単射が存在する。
(強い) 米田の補題 (Kelly 2005, pp. 33–34, §2.4) ― 圏 V は対称モノイダル閉かつ完備とする。このとき、V-関手 F : A → V と K ∈ A について、次の同型が V に存在する。
ただし豊穣圏の理論において「関手圏」[A, V] のhom対象 [A, V](A(K, _), F) にあたるものは、関手 V(A(K, _), F_) のエンド(英語: end)である。