ラムシフト
これらの導出はウェルトンの量子光学による。
真空の電磁場のゆらぎは原子核の電位ポテンシャルに揺らぎを与え、電子の位置に揺らぎを与える。この揺らぎが準位のずれを引き起こす。電子の位置エネルギーの差は以下の式で表される。
Δ V = V ( r → + δ r → ) − V ( r → ) = δ r → ⋅ ∇ V ( r → ) + 1 2 ( δ r → ⋅ ∇ ) 2 V ( r → ) + ⋯ {\displaystyle \Delta V=V({\vec {r}}+\delta {\vec {r}})-V({\vec {r}})=\delta {\vec {r}}\cdot \nabla V({\vec {r}})+{\frac {1}{2}}(\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}V({\vec {r}})+\cdots }
揺らぎは等方的なので以下が成り立つ。
⟨ δ r → ⟩ v a c = 0 , ⟨ ( δ r → ⋅ ∇ ) 2 ⟩ v a c = 1 3 ⟨ ( δ r → ) 2 ⟩ v a c ∇ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \delta {\vec {r}}\rangle _{\mathrm {vac} }&=0,\\\langle (\delta {\vec {r}}\cdot \nabla )^{2}\rangle _{\mathrm {vac} }&={\frac {1}{3}}\langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\mathrm {vac} }\nabla ^{2}.\end{aligned}}}