微分形式
R の領域 D で、座標系が {x1, x2} と 、{y1, y2} の 2 通りあり、座標変換が
y 1 = y 1 ( x 1 , x 2 ) y 2 = y 2 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=y_{1}(x_{1},x_{2})\\y_{2}&=y_{2}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}
と表されているならば、外微分と外積の計算により
n 次元微分可能多様体 M を考える。分かりにくい時は特別な場合として M を n 次元ユークリッド空間 R で考えるとよい。領域 D 上で定義された C 級関数(r 回連続微分可能関数)の事を、 C 級 0 次微分形式、あるいは、C 級微分 0 形式などという。:特に混乱の問題がない場合には C 級などは省略される。どこにも言及されていない場合、微分形式に対しては C 級など、様々な操作が自由に行えるだけの連続微分可能性を持つとみなすことが多い。いずれにせよ最も扱いやすい C 級の関数はより荒い関数たちを近似するのに十分なだけ豊富に存在する。
M のそれぞれの点 p に対して p における余接ベクトル ξp ∈ Tp(M) を、 p に関して連続的に与える対応のことを1 次微分形式、あるいは、微分 1 形式などという。したがって微分形式は余接束の切断、つまり余接ベクトル場だということになる。M の点 p0 のまわりの座標系が具体的に {x1, x2, ..., xn} で与えられているとき、 p0 のまわりでの1 次微分形式は
f 1 ( p ) d x 1 p + f 2 ( p ) d x 2 p + ⋯ + f n ( p ) d x n p {\displaystyle f_{1}(p)\,{\mathrm {d} x_{1}}^{p}+f_{2}(p)\,{\mathrm {d} x_{2}}^{p}+\dotsb +f_{n}(p)\,{\mathrm {d} x_{n}}^{p}}
外積代数の詳細は当該項目に譲るとして、ここでは計算規則だけ述べる。微分 1 形式の順序を入れ替えると符号が反転する。
d x a ∧ d x b = − d x b ∧ d x a {\displaystyle \mathrm {d} x_{a}\wedge \mathrm {d} x_{b}=-\mathrm {d} x_{b}\wedge \mathrm {d} x_{a}} (交代性)
この性質から特に同じ 1 次微分形式の積は 0 である。
d x a ∧ d x a = 0 {\displaystyle \mathrm {d} x_{a}\wedge \mathrm {d} x_{a}=0}
もっと一般に、
d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k = sgn  ( σ ) d x σ ( i 1 ) ∧ ⋯ ∧ d x σ ( i k ) {\displaystyle \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}=\operatorname {sgn} (\sigma )\,\mathrm {d} x_{\sigma (i_{1})}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x_{\sigma (i_{k})}}