物質微分
∂ ∂ s ( v 2 2 ) = − ∂ ∂ s ∫ d p ρ ∴ ∂ ∂ s ( v 2 2 + ∫ d p ρ ) = 0 − v 2 R = − ∂ ∂ r ∫ d p ρ | r = R ∴ ∂ p ∂ r = ρ v 2 r ( o r ∂ ∂ r ∫ d p ρ = v 2 r ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}\right)&=-{\partial \over \partial s}\int {\mathrm {d} p \over \rho }\qquad \quad \therefore ~{\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }\right)=0\\-{v^{2} \over R}&=-\left.{\partial \over \partial r}\int {\mathrm {d} p \over \rho }\right|_{r=R}\quad \therefore ~{\partial p \over \partial r}=\rho {v^{2} \over r}\quad \left(\mathrm {or~} {\partial \over \partial r}\int {\mathrm {d} p \over \rho }={v^{2} \over r}\right)\end{aligned}}}
と表せる。ただし、方向微分の性質:
e s ⋅ ∇ = ∂ ∂ s , e r ⋅ ∇ = ∂ ∂ r {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{s}\cdot \nabla ={\partial \over \partial s},\,{\boldsymbol {e}}_{r}\cdot \nabla ={\partial \over \partial r}}
を使った。
第1式がベルヌーイの定理、第2式が流線曲率の定理に対応する。