正則基数
連続体濃度がその例で、ZFCの下では非可算な共終数をもついかなる非可算基数と等しいと考えても矛盾に至らない (イーストンの定理を参照)。連続体仮説は連続体濃度が正則な א 1 {\displaystyle \aleph _{1}} であるという仮説である。
選択公理を仮定しないとき、整列可能でない集合の濃度が存在しうる。さらに、濃度の和も全ての集合に定義できるわけではない。だから、正則性、特異性が意味をもつのはアレフ数のみである。
さらには、可算濃度の次の濃度が正則とも限らない。例えば、可算集合の可算和が可算とは限らず、実数全体の集合が可算集合の可算和であるという主張と同様に ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} が可算順序数の可算列の極限であるというのはZFと矛盾しない。
さらには、 א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} より大きい全てのアレフ数が特異基数であるというのもZFと矛盾しない (ギティック (en:Moti Gitik) により証明された)。