主値
複素対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す関数である。
e w = z {\displaystyle e^{w}=z\,\!}
例えば、 log  i {\displaystyle \log i} の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を求めることになる。
e w = i {\displaystyle e^{w}=i\,\!}
オイラーの公式から、 i π / 2 {\displaystyle i\pi /2} が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。
関数の引数とした点 ( 0 , i ) {\displaystyle (0,i)} の複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。 ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} から反時計回りに π / 2 {\displaystyle \pi /2} ラジアンだけ回転した点が ( 0 , i ) {\displaystyle (0,i)} になるが、ここからさらに 2 π {\displaystyle 2\pi } 回転すると、また ( 0 , i ) {\displaystyle (0,i)} になる。
一般に f(z) が多価関数のとき、f の主値を
p v f ( z ) {\displaystyle \mathrm {pv} \ f(z)}
と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。
対数関数の例は上述したが、その形は
log  z = ln  | z | + i ( a r g z ) {\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)}
である。ここで a r g z {\displaystyle \mathrm {arg} \ z} が多価である。この偏角の取りうる範囲を − π < a r g z ≤ π {\displaystyle -\pi <\mathrm {arg} \ z\leq \pi } に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの(範囲の限定された)偏角を、大文字を使って A r g z {\displaystyle \mathrm {Arg} \ z} と書く。関数の定義に a r g z {\displaystyle \mathrm {arg} \ z} の代わりに A r g z {\displaystyle \mathrm {Arg} \ z} を使うことで、対数関数が一価になり、
p v log  z = L o g z = ln  | z | + i ( A r g z ) . {\displaystyle \mathrm {pv} \ \log {z}=\mathrm {Log} \ z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z\right).}
と書くことができるようになる。