次元論 (代数学)
p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に縮小する R [ x ] {\displaystyle R[x]} の任意の素イデアル q ⊋ p R [ x ] {\displaystyle {\mathfrak {q}}\supsetneq {\mathfrak {p}}R[x]} に対して、 ht  ( q ) = ht  ( p ) + 1 {\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+1}
これは基本的な環論の範囲で証明できる(cf. Kaplansky, commutative rings)。ところで、これは特に次のことを言っている。 Spec  R [ x ] → Spec  R {\displaystyle \operatorname {Spec} R[x]\to \operatorname {Spec} R} の各ファイバーにおいて、長さ ≥ 2 {\displaystyle \geq 2} の素イデアルの列は存在しえない。
アルティン環(例えば体)の次元は 0 なので、帰納的に次の公式を得る。アルティン環 R に対して
dim  R [ x 1 , ... , x n ] = n . {\displaystyle \operatorname {dim} R[x_{1},\dots ,x_{n}]=n.}