加群の直和
直和は加群 Mi の直積(英語版)の部分加群である(Bourbaki 1989, §II.1.7)。直積は I から加群 Mi の非交和へのすべての関数 α で α(i)∈Mi となるものの集合であるが、有限個を除くすべての i で消える必要はない。添え字集合 I が有限であれば、直和と直積は等しい。
加群の各 Mi は i とは異なるすべての添え字上で消える関数からなる直和の部分加群と同一視できる。これらの同一視をして、直和のすべての元 x は1つ、そしてただ1つの方法で加群 Mi たちの有限個の元の和として書ける。
Mi が実はベクトル空間であれば、直和の次元は Mi の次元の和に等しい。同じことはアーベル群のランクと加群の長さに対しても正しい。
体 K 上のすべてのベクトル空間は十分たくさんの K のコピーの直和に同型であり、したがってある意味考えられなければならないのはこれらの直和だけである。これは任意の環上の加群に対しては正しくない。
テンソル積は次の意味で直和上分配する: N が右 R-加群であれば、N の Mi とのテンソル積(これはアーベル群)の直和は自然に N の Mi の直和とのテンソル積と同型である。