カルタン形式 (物理学)
= M p l 2 ∫ | e | d 4 x 1 2 e a μ e b ν R μ ν a b {\displaystyle =M_{pl}^{2}\int |e|\mathrm {d} ^{4}x{\frac {1}{2}}e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu }R_{\mu \nu }^{ab}}
= c 4 16 π G ∫ d 4 x − g R [ g ] {\displaystyle ={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}R[g]}
ここで、 Ω μ ν a b = R μ ν a b {\displaystyle \Omega _{\mu \nu }^{ab}=R_{\mu \nu }^{ab}} はゲージ曲率 2-形式、 ε a b c d {\displaystyle \epsilon _{abcd}} は反対称レビ・チビタ記号、 | e | = ε μ ν ρ σ ε a b c d e μ a e ν b e ρ c e σ d {\displaystyle |e|=\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\epsilon _{abcd}e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}e_{\rho }^{c}e_{\sigma }^{d}} は e μ a {\displaystyle e_{\mu }^{a}} の行列式である。
M 上の(擬)リーマン計量は η の e による引き戻し(英語版)により定義される。換言すれば、TM の二つの断面 X および Y に対し、以下のように計算される。
g(X,Y) = η(e(X), e(Y)).
V 上の接続形式 A は、次の二つの条件を満たす接続形式として一意に定義される。
dη(a, b) = η(dAa, b) + η(a, dAb) (つまり dAη = 0) がM 上の全ての可微分断面 a および b に対して成り立つ。ここで、dA は共変外微分(英語版)である。このことは、A が SO(p, q) 主束上に拡張可能であることを意味している。
dAe = 0 が成り立つ。左辺は捩率テンソルと呼ばれる量である。この条件は基本的には、下に定義する ∇ が捩れなしになることを意味している。この条件はアインシュタイン・カルタン理論(英語版)では課されないが、その代わりに A が一意ではなくなる。