リーマン予想
リーマンのゼータ関数を、形式的には似ているがはるかに一般的な大域的 L-関数に置き換えることによって、リーマン予想を一般化することができる。このより広い設定において、大域的 L-関数の非自明な零点の実部が 1/2 であると期待される。リーマンのゼータ関数のみに対する古典的なリーマン予想よりもむしろ、これらの一般化されたリーマン予想が、数学におけるリーマン予想の真の重要性の理由である。
一般化されたリーマン予想 (generalized Riemann hypothesis) は、リーマン予想を全てのディリクレの L-関数へ拡張したものである。とくにこの予想は、ジーゲルの零点(英語版)(1/2 と 1 の間にある L 関数の零点)が存在しないという予想を含んでいる。
拡張されたリーマン予想 (extended Riemann hypothesis) は、リーマン予想を代数体の全てのデデキントゼータ関数へと拡張したものである。有理数体のアーベル拡大に対する拡張されたリーマン予想は、一般化されたリーマン予想と同値である。リーマン予想は代数体のヘッケ指標の L-関数へ拡張することもできる。
大リーマン予想(英語版) (grand Riemann hypothesis) は、全ての保型形式のゼータ関数(例えばヘッケ固有形式(英語版)のメリン変換)へ拡張したものである。
リトルウッドの定理は素数定理における誤差項の符号に関するものである。すべての x ≤ 10 に対して π(x) < Li(x) であることが計算されており、π(x) > Li(x) であるような x の値は知られていない。この表を参照。
1914年、リトルウッドは次のことを証明した:
π ( x ) > Li  ( x ) + 1 3 x log  x log  ( log  ( log  x ) ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {Li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log(\log(\log x))}
となるような任意に大きい x の値が存在し、
π ( x ) < Li  ( x ) − 1 3 x log  x log  ( log  ( log  x ) ) {\displaystyle \pi (x)<\operatorname {Li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log(\log(\log x))}
となるような任意に大きい x の値も存在する。したがって、差 π(x) − Li(x) は無限回符号を変える。Skewes 数は最初の符号変化に対応する x の値の評価である.
リトルウッドの証明は2つの部分からなっている。リーマン予想を偽と仮定する部分(Ingham 1932, Chapt. V の約半ページ)と、リーマン予想を真と仮定する部分(約12ページ)である。