多重劣調和函数
f ( 0 ) = − − 1 2 π ∫ C ∂ f ∂ z ̄ d z d z ̄ z {\displaystyle f(0)=-{\frac {\sqrt {-1}}{2\pi }}\int _{C}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}}}
であることが分かり、これを次の形に変形することができる。
− 1 π ∂ ∂ ̄ log  | z | = d d c log  | z | {\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\log |z|=dd^{c}\log |z|} .
これは、ほかならぬ、原点 0 でのディラック測度である。
その他の例
f {\displaystyle f} をある開集合上の解析函数とするとき、 log  | f | {\displaystyle \log |f|} はその開集合上の多重劣調和函数である。
凸函数は多重劣調和である。
Ω {\displaystyle \Omega } を正則領域とするとき、 − log  ( d i s t ( z , Ω c ) ) {\displaystyle -\log(dist(z,\Omega ^{c}))} は多重劣調和である。
調和函数は必ずしも多重劣調和ではない。
f 1 , f 2 , ... {\displaystyle f_{1},f_{2},\dots } を多重劣調和函数の単調減少列とするなら、 f ( x ) := lim n → ∞ f n ( x ) {\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)} も単調減少な多重劣調和函数である。
すべての連続な多重劣調和函数は、滑らかな多重劣調和函数の単調減少列の極限として得ることが出来る。さらに、この列は一様収束列として選ぶことが出来る 。
通常の半連続性における不等式条件は、等式として成立する。すなわち、 f {\displaystyle f} が多重列調和的であれば、次が成立する。
lim sup x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) {\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}
多重劣調和函数は、任意のケーラー計量に対して劣調和的である。
したがって、多重劣調和函数は最大値原理を満たす。すなわち、 f {\displaystyle f} が連結開領域 D {\displaystyle D} 上で多重劣調和的であり、ある点 x 0 ∈ D {\displaystyle x_{0}\in D} に対して
sup x ∈ D f ( x ) = f ( x 0 ) {\displaystyle \sup _{x\in D}f(x)=f(x_{0})}
が成立するなら、 f {\displaystyle f} は定数である。