操作変数法
つまり、 P Z ′ P Z = P Z P Z = P Z {\displaystyle P_{Z}'P_{Z}=P_{Z}P_{Z}=P_{Z}} である。すると
β 2 S L S = ( X ^ ′ X ^ ) − 1 X ^ ′ Y = ( X ′ P Z ′ P Z X ) − 1 X ′ P Z ′ Y = ( X ′ P Z X ) − 1 X ′ P Z Y {\displaystyle \beta _{2SLS}=({\widehat {X}}'{\widehat {X}})^{-1}{\widehat {X}}'Y=\left(X'P_{Z}'P_{Z}X\right)^{-1}X'P_{Z}'Y=\left(X'P_{Z}X\right)^{-1}X'P_{Z}Y}
となる。
β {\displaystyle \beta } の結果的な推定量は上で示した表現と数値的に一致する。 β {\displaystyle \beta } の共分散行列を正しく計算するためには、第二段階のモデルにおける残差二乗和について微修正が必要である。