階乗
複素変数の階乗の値をガンマ函数による表現を通して評価することができる。絶対値 ρ と偏角 φ を用いて
f = ρ exp  ( i φ ) = ( x + i y ) ! = Γ ( x + i y + 1 ) {\displaystyle f=\rho \exp(i\varphi )=(x+iy)!=\Gamma (x+iy+1)}
と書けば、絶対値一定曲線 ρ = (定数) と偏角一定曲線 φ = (定数) を等値線として格子を描くことができる。一定間隔で引いた等値線の間にさらに細かく等値線を引けば、それが補間で得られる値である。極である負の整数においては絶対値と偏角が定義できず、またその周辺で等値線は密になる。
|z| < 1 に対してはテイラー展開
z ! = ∑ n = 0 ∞ g n z n {\displaystyle z!=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}z^{n}}
が利用できる。この展開のより多くの項は、Sageのような計算機代数システムで計算できる。
↑ 空集合から空集合への全単射は空写像ただ1つ存在する。
↑ このような (n, m) を、ブラウン数 (英: Brown numbers) と呼ぶ。
1 2 両者は全く同値でない
↑ 指数階乗、中国語: 阶幂
↑ The publisher is given as "W.S." who may have been William Smith, possibly acting as agent for the Society of College Youths, to which society the "Dedicatory" is addressed.
n $ = n ! n ! = n ! n ! n ! ⋅ ⋅ ⋅ n ! ⏟ n ! {\displaystyle n\$={}^{n!}n!=\underbrace {n!^{n!^{\scriptstyle n!^{{\textstyle \,\cdot }^{{\textstyle \,\cdot }^{{\textstyle \,\cdot \,}^{\scriptstyle n!}}}}}}} _{n!}}
nが3以上になると、非常に大きい値になる。
これとは異なる種類の超階乗の定義がある。Neil J. A. Sloane and Simon Plouffe (1995) The Encyclopedia of Integer Sequences は、超階乗(superfactorial)を定義した。例として、4の超階乗は次のようになる。
s f ( 4 ) = 1 ! × 2 ! × 3 ! × 4 ! = 288. {\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288.\,}
一般的にこの定義における超階乗は下の式で定義される。