摂動
ε n ( 2 ) = − ∑ { m | m ≠ n } ⟨ n | H ′ | m ⟩ ⟨ m | H ′ | n ⟩ ε m ( 0 ) − ε n ( 0 ) {\displaystyle \epsilon _{n}^{(2)}=-\sum _{\{m|m\neq n\}}{\langle n|{\mathcal {H}}'|m\rangle \langle m|{\mathcal {H}}'|n\rangle \over {\epsilon _{m}^{(0)}-\epsilon _{n}^{(0)}}}}
ここで、 λ ⟨ n | V | n ⟩ = ⟨ n | λ V | n ⟩ = ⟨ n | H ′ | n ⟩ {\displaystyle \lambda \langle n|V|n\rangle =\langle n|\lambda V|n\rangle =\langle n|{\mathcal {H}}'|n\rangle } である(他の項も同様)。
天体の運行において、月と地球、太陽と地球などを扱う二体問題は厳密に解くことができるが、三体以上の多体問題を厳密に解くことは不可能である。ただし、月と地球、太陽と地球の問題では、他の天体からの引力による相互作用の効果は近似的に非常に小さいとして、これら二体問題に他の天体からの効果を補正項として考慮することによって十分精度の高い近似解を得ることができる。
} {\displaystyle \{|\Psi _{n}^{(1)}\rangle ,|\Psi _{n}^{(2)}\rangle ,\dotsc \}} 、 { ε n ( 1 ) , ε n ( 2 ) , ... } {\displaystyle \{\epsilon _{n}^{(1)},\epsilon _{n}^{(2)},\dotsc \}} が求まる。
これらの式は、未知の { | Ψ n ( 1 ) ⟩ , | Ψ n ( 2 ) ⟩ , ... } {\displaystyle \{|\Psi _{n}^{(1)}\rangle ,|\Psi _{n}^{(2)}\rangle ,\dotsc \}} を、既知の完全系 { | Ψ n ( 0 ) ⟩ } {\displaystyle \{|\Psi _{n}^{(0)}\rangle \}} の線形結合(重ね合わせ)で展開して、その展開係数 c i {\displaystyle c_{i}\ } を求める問題に変換することで解ける。
| Ψ n 1 ⟩ = c 1 | Ψ 1 ( 0 ) ⟩ + c 2 | Ψ 2 ( 0 ) ⟩ + c 3 | Ψ 3 ( 0 ) ⟩ + ⋯ = ∑ i c i | Ψ i ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\Psi _{n}^{1}\rangle =c_{1}|\Psi _{1}^{(0)}\rangle +c_{2}|\Psi _{2}^{(0)}\rangle +c_{3}|\Psi _{3}^{(0)}\rangle +\dotsb =\sum _{i}c_{i}|\Psi _{i}^{(0)}\rangle }