グリーン関数
よってポアソン方程式の解は次のように求まる。
φ ( r ) = ∫ ρ ( r ′ ) 4 π | r − r ′ | d r ′ {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r'}})}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}}|}}d{\boldsymbol {r'}}}
以上のことから、位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} の点電荷が別の位置 r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r'}}} に作る静電ポテンシャルを表したものがグリーン関数であり、これを重ね合わせたものが電荷分布 ρ ( r ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})} の作る静電ポテンシャル φ ( r ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})} であることがわかる。
電磁気学におけるポアソン方程式 Δ φ ( r ) = − ρ ( r ) {\displaystyle \Delta \varphi ({\boldsymbol {r}})=-\rho ({\boldsymbol {r}})} の解 φ ( r ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})} を求めたい。この方程式の解として積分方程式 φ ( r ) = ∫ G ( r , r ′ ) ρ ( r ′ ) d r ′ {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})=\int G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})\rho ({\boldsymbol {r'}})d{\boldsymbol {r'}}} を仮定し、ポアソン方程式に代入するとグリーン関数 G ( r , r ′ ) {\displaystyle G({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r'}})} の満たすべき式が得られる。
グリーン関数(グリーンかんすう、英: Green's function)とは、微分方程式や偏微分方程式の解法の一つであるグリーン関数法に現れる関数である。グリーン関数法は、英国の数学者ジョージ・グリーンによって考案された。
物理学、数学、工学各分野において非常に重要な関数であり、広い用途で使用される。物理学におけるグリーン関数はプロパゲーター(伝播関数)とも呼ばれる。
J. A. Green により導入された組合せ論的関数のことをグリーン関数と呼ぶこともある。これはグリーン多項式とも呼ばれる。有限シュバレー群(オリジナルは有限体上の一般線型群)の既約表現を記述する数学的対象である。