カラテオドリ計量
が成立する。また、この等号が成り立つための必要十分条件は、a = b であるか、あるいは ǁlǁ = 1 と l(a + b) = 0 および ρ ( l ( a ) , l ( b ) ) = d ( a , b ) {\displaystyle \rho (\ell (a),\ell (b))=d(a,b)}
を満たすような有界線形汎関数 l ∈ X が存在することである。さらに、このような三条件を満たす l はどのようなものであっても |l(a − b)| = ǁa − bǁ を満たす。
また、ǁaǁ = ǁbǁ および ǁa − bǁ = ǁaǁ + ǁbǁ が成立している場合にも、(1) における等号は成立する。これを成立させるための一つの方法として、b = −a とすることが考えられる。
X 内の閉単位球の端点では無いような、X 内の単位ベクトル u が存在するならば、(1) において等号が成立するが b ≠ ±a であるような B 内の点 a と b が存在する。