シュテファン＝ボルツマンの法則
低周波数領域における近似式であるレイリーの公式においては
f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
の形をしている。積分は
∫ 0 ∞ x 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}dx}
であり、発散してしまう。
プランクの法則によれば、振動数 ν で表した放射発散度のスペクトルは
I ( ν , T ) = 2 h c 2 ν 3 e h ν / k T − 1 {\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h}{c^{2}}}{\frac {\nu ^{3}}{\mathrm {e} ^{h\nu /kT}-1}}}
で与えられる。 これは
f ( x ) = 1 e x − 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\mathrm {e} ^{x}-1}}}
の形をしている。放射定数は
c 1 = 2 π h c 2 , c 2 = h c k {\displaystyle c_{1}=2\pi hc^{2},~c_{2}={\frac {hc}{k}}}
であり、シュテファン=ボルツマン定数は
σ = 2 π k 4 c 2 h 3 ∫ 0 ∞ x 3 e x − 1 d x {\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi k^{4}}{c^{2}h^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}\ }{\mathrm {e} ^{x}-1}}dx}
となる。