関数 (数学)
関数の概念を広くとらず、一価で連続である場合や一価正則な場合などに考察を限ることはしばしば行われることであるが、そのような仮定のもとでは陰関数から陰伏的に得られる陽関数は一つとは限らず、一般に一つの陰関数は(定義域や値域でより分けることにより)複数の陽関数に分解される。このとき、陰伏的に得られた個々の陽関数をもとの陰関数の枝という。また、陰関数の複数の枝を総じて扱うならば、陰関数の概念から多価関数の概念を得ることになる。例えば、方程式
y 2 − x 2 = 1 {\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}
が定める陰関数 y は全域で 2 つの一価連続な枝
f 1 ( x ) := 1 + x 2 , {\displaystyle f_{1}(x):={\sqrt {1+x^{2}}},}
f 2 ( x ) := − 1 + x 2 {\displaystyle f_{2}(x):=-{\sqrt {1+x^{2}}}}
をもつ二価関数である。
また、媒介変数を導入して関係式を分解し、各変数を媒介変数の陽関数として表すことによって、陰関数を表すこともある。例えば、方程式 2x − 3y = 0 は、媒介変数 t を導入して
{ x = 3 t , y = 2 t {\displaystyle {\begin{cases}x=3t,\\y=2t\end{cases}}}
と表すことができるが、これによって y と x の陰伏的な関数関係が表されていると考えるのである。
より一般に、多項式函数は加法・減法・乗法と非負整数冪のみを含む式で定義することができる函数である。例えば f ( x ) = x 3 − 3 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1} や f ( x ) = ( x − 1 ) ( x 3 + 1 ) + 2 x 2 − 1 {\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1} など。
有理函数は多項式函数と同じ条件からさらに除法を許すようなものである。例えば f ( x ) = x − 1 x + 1 {\textstyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}}} や f ( x ) = 1 x + 1 + 3 x − 2 x − 1 {\textstyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}} など。
代数函数はさらに冪根や多項式の根をとる操作が許される。
上記をすべて含む初等函数には、さらに対数函数や指数函数などが含まれる。
有限集合、あるいは自然数または整数全体で定義された函数を表示するのに、棒グラフもまたよく用いられる。この場合、各元 x は x-軸上の区間を表しており、函数の値は x の表す区間を底辺とする高さ f(x) の長方形として表現できる。