対応 (数学)
対応 f = (A, B, Gf) は、「各元 a ∈ A に対して (a, b) ∈ Gf となるような b ∈ B が一つしかない(すなわち、A のどの元 a についても f(a) がただ一つの元からなる)」という条件をみたすとき、部分写像(一意対応)という。特に D(f) = A(全域的)なとき写像と呼ばれる。
対応 f が(部分)写像であるとき、f(a) = {b} となることを f(a) = b と略記して、この元 b を a の像と呼ぶ。
写像の言葉で言えば、集合 A から集合 B への対応 φとは、A から B の冪集合 P(B) への写像、すなわち集合値写像
として理解できる。
対応 f: A → B が与えられているとき、A の元 a と B の元 b に対して a Rf b ⇔ (a, b) ∈ G(f) と置いて得られる Rf は二項関係である。逆に二項関係 R ⊂ A × B が与えられたとき、a ∈ A に対して、f(a) = {b | a R b} を割り当てる対応 fR: A → B が定まる。
直積の部分集合をグラフとして定まるという意味では、対応は二項関係と同じ概念を表すものと考えることができるが、対応というときはある集合から別な集合へ元を写すというニュアンスが強い。例えば、対応 f: A → A に対して、a ∈ f(a) となるような A の元 a を対応 f の不動点という。
対応によって、一つの元に(部分集合に属する)複数の元が割り当てられているとみなすと、多価函数に近いものと考えることもできるが、対応による像の濃度は元ごとに異なっていてもよいという点で多価函数とは異なる。