除法
整数の除法では、考えている数(自然数または整数)の範囲内で商を取り直して剰余を定義することで、除法をその数の範囲全体で定義できることを述べた。さらに、よく知られているように、数の範囲を有理数まで拡張し、商に有理数を許すことによって、剰余の概念は不要となり、有理数の全体で四則演算が自由に行えるようになる。
任意の被除数 a の 0 でない除数 b による除算は、有理数 c をただ一つ与える。
a ÷ b = c {\displaystyle a\div b=c}
この有理数 c は
c × b = b × c = a {\displaystyle c\times b=b\times c=a}
を満たす。また、除算は、除数の逆数の乗算に置き換えることができる。
a ÷ b = a × 1 b {\displaystyle a\div b=a\times {\frac {1}{b}}}
したがって、除算および乗算の順序は入れ替えることができる。