キリング形式
リー環 g の基底 e が与えられると、キリング形式の行列要素は
B i j = t r ( a d ( e i ) ∘ a d ( e j ) ) / I a d {\displaystyle B^{ij}=\mathrm {tr} (\mathrm {ad} (e^{i})\circ \mathrm {ad} (e^{j}))/I_{ad}}
によって与えられる。ただし Iad は g の随伴表現のディンキン指数(英語版)である。ここで
( ad ( e i ) ∘ ad ( e j ) ) ( e k ) = [ e i , [ e j , e k ] ] = [ e i , c j k m e m ] = c i m n c j k m e n {\displaystyle \left({\textrm {ad}}(e^{i})\circ {\textrm {ad}}(e^{j})\right)(e^{k})=[e^{i},[e^{j},e^{k}]]=[e^{i},{c^{jk}}_{m}e^{m}]={c^{im}}_{n}{c^{jk}}_{m}e^{n}}
がアインシュタインの縮約記法を用いて成り立つ。