シャピロの不等式
このとき不等式の左辺は 10 − ε 2 + O ( ε 3 ) {\displaystyle 10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})} となり、 ε {\displaystyle \epsilon } が十分小さければ 10 より小さくなる。
次の反例は n = 14 {\displaystyle n=14} に対するもので、1985年 Troesch により与えられた:
x 14 = ( 0 , 42 , 2 , 42 , 4 , 41 , 5 , 39 , 4 , 38 , 2 , 38 , 0 , 40 ) {\displaystyle x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)}
また、 n = 25 {\displaystyle n=25} に対して次の反例がある:
x 25 = ( 32 , 0 , 37 , 0 , 43 , 0 , 50 , 0 , 59 , 8 , 62 , 21 , 55 , 29 , 44 , 32 , 33 , 31 , 24 , 30 , 16 , 29 , 10 , 29 , 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{25}=(&32,0,37,0,43,0,50,0,59,8,62,21,55,\\&29,44,32,33,31,24,30,16,29,10,29,4)\end{aligned}}}