ミラー対称性 (弦理論)
1980年代後半、弦理論のそのようなコンパクト化をすると、対応するカラビ・ヤウ多様体が一意に再構成されることが可能ではないことが分かった。代わりに、2つのカラビ・ヤウ多様体が同じ物理を持つことが発見された。 これらの多様体はたがいに「ミラー」といわれる。全部の双対性はいまだ予想でしかないが、位相的弦理論の脈絡でのミラー対称性のバージョンがある。位相的弦理論はエドワード・ウィッテン により導入された簡素化された弦理論のバージョンであり、このバージョンは数学者により厳密性(en:mathematical rigor)を持っている 。位相的弦理論の脈絡では、ミラー対称性は、2つの理論、A-モデルとB-モデルがある正確な意味で等価であることを主張する。
弦理論のこれらのカラビ・ヤウコンパクト化が自然の正しい記述をもたらすかどうかは別として、異なるカラビ・ヤウ多様体の間のミラー対称性関係の存在は、重要な数学的結果である。 弦理論に使われるカラビ・ヤウ多様体は純粋数学的には興味深く、ミラー対称性は、ミラーカラビ・ヤウと同等な問題を解くことで数え上げ代数幾何学の多くの問題を数学者が解決できるようにした。 今日、ミラー対称性は数学の研究の活発な領域であり、数学者たちは今も物理学者の直感に基づくミラー対称性の数学的理解を深めようと努力している。
トーラスの幾何学のもう一つの側面は、トーラスのサイズである。さらに詳しくは、トーラスを単位四方形(英語版)の対辺を同一視することにより得られる曲面としてみることができ、トーラスの面積はこの四辺形上の面積要素 ρ d x d y {\displaystyle \rho dxdy} で特定できる。単位四方形上の面積要素を積分することにより、対応するトーラスの面積 ρ {\displaystyle \rho } を得る。これらの概念を高次元にも一般化することができ、面積要素はシンプレクティック形式の考え方により一般化される。シンプレクティック形式を持つ空間の研究は、シンプレクティック幾何学と呼ばれる。
ミラー対称性では、位相的弦理論のA-モデルが、時空のシンプレクティック幾何学に依存した理論である。その中では「時空」がトーラスである理論を考えると、A-モデルは連続的にパラメータ ρ {\displaystyle \rho } に依存する。