優収束定理
{fn} を測度空間 (S, Σ, μ) 上の実数値可測関数の列とする。この列はある関数 f に各点収束し、次に述べる意味である可積分関数 g によって支配されるものとする:|fn(x)| ≤ g(x) が、すべての添え字 n および S 内のすべての点 x に対して成り立つ。このとき f は可積分であり、
lim n → ∞ ∫ S | f n − f | d μ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f_{n}-f|\,d\mu =0}
が成り立つ。これはまた
lim n → ∞ ∫ S f n d μ = ∫ S f d μ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu }
であることも意味する。
注意: