極化恒等式
実ベクトル空間を考える。すると、極化恒等式から「内積」(と思われるもの)が得られる。
⟨ x , y ⟩ = 1 4 ( ‖ x + y ‖ 2 − ‖ x − y ‖ 2 ) ∀ x , y ∈ V {\displaystyle \langle x,\ y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\ \forall \ x,y\in V}
そこで、この「内積」が実際に内積の性質を満たし、この内積から導かれるノルムが (V , ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} ) を定義するノルム ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} であることを示す。
⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } が内積であるためには、次の性質を満たす必要がある。
⟨ x , x ⟩ > 0 , x ∈ V ∖ { 0 } {\displaystyle \langle x,x\rangle >0,\quad x\in V\setminus \{\mathbf {0} \}}
定義式に y = x ≠ 0 {\displaystyle y=x\neq 0} を代入することで ⟨ x , x ⟩ = 1 4 ( ‖ x + x ‖ 2 − ‖ x − x ‖ 2 ) = ‖ x ‖ 2 > 0 {\displaystyle \langle x,x\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+x\|^{2}-\|x-x\|^{2}\right)=\|x\|^{2}>0} が成り立つことがわかる。
数学において、 極化恒等式(きょくかこうとうしき)あるいは偏極恒等式(へんきょくこうとうしき)(英語: polarization identity)とは、2つのベクトルの内積をノルム線型空間のノルムで表現する恒等式である。 ‖ x ‖ {\displaystyle \|x\|} をベクトル x のノルム、 ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,\ y\rangle } をベクトル x と y の内積とすると、フレシェ、ノイマン、ヨルダンによる基本的定理は次のように記述される 。
ノルム空間 (V, ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} ) において、中線定理が成り立つならば、V にはすべての x ∈ V {\displaystyle x\in V} で ‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle } を満たす内積が存在する。
ノルムと内積の基本的な関係は、次の式で与えられる。
‖ v ‖ 2 = v ⋅ v {\displaystyle \|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}}
すると
‖ u + v ‖ 2 = ( u + v ) ⋅ ( u + v ) = ( u ⋅ u ) + ( u ⋅ v ) + ( v ⋅ u ) + ( v ⋅ v ) = ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 + 2 ( u ⋅ v ) {\displaystyle {\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})\end{aligned}}}