宇宙 (数学)
しかし、与えられた X (カントールの場合には、 X = R) の部分集合を考えれば、宇宙は X の部分集合の集合の存在を要請する。 (例えば、X の位相は X の部分集合の集合である。) X の様々な部分集合の集合は、それ自体は X の部分集合にならないが、代わりに X の冪集合 PX の要素はX の部分集合になる。 これに続き、研究対象は宇宙が P(PX) になるような場合における X の部分集合の集合などを構成する。 言い換えれば、X 上の二項関係 (デカルト積の部分集合 X × X) 、もしくは X からそれ自身への写像を考えれば、P(X × X) もしくは X のような宇宙が要請される。
したがって、主要な関心が X であっても、 X よりもかなり大きな宇宙が必要とされることになる。 上記のアイデアに続いて、X の宇宙としての 上部構造 が要請される。 これは次のような再帰的構造によって定義される。
S0X を X 自身とする。
S1X を X と PX の和集合とする。
S2X を S1X と P(S1X) の和集合とする。
一般に、Sn+1X を SnX と P(SnX) の和集合とする。
次に X の上部構造 SX が S0X 、S1X 、S2X などの和集合とする。つまり、
S X := ⋃ i = 0 ∞ S i X . {\displaystyle \mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!}
集合 X の開始地点がどこであろうと、空集合 {} は S1X に属することに注意すること。