ユニタリ表現
群のユニタリ表現の理論は調和解析と密接な関係にある。群がアーベル群 G の場合には、G の表現論の完全な描像はポントリャーギン双対性によって与えられる。一般に、G の既約ユニタリ表現のユニタリ同値類(下記参照)はそのユニタリ双対 (unitary dual) をなす。この集合は群 C 環の構成によって G と結びつけられた C 環のスペクトル(英語版)と同一視できる。これは位相空間である。
プランシュレルの定理の一般形はユニタリ双対上の測度によって L(G) 上の G の正則表現を記述するものである。G が可換群の場合には、これはポントリャーギンの双対性の理論によって与えられる。G がコンパクト群の場合には、これはピーター・ワイルの定理(英語版)によってなされる。このときユニタリ双対は離散空間であり、測度は各点においてその次数である。