積分法
微分積分学の基本定理は微分法と積分法が互いに逆の演算であることを述べるもので、連続関数を積分したものを微分すると、もとの関数に戻ることを示している。これにより、第二基本定理とも呼ばれる重要な帰結として、原始関数が既に知られている関数の定積分の計算はその原始関数を用いて計算できるようになる。
特に、これらの定理は f が [a, b] 上で連続である限り成立する。不連続関数や多変数関数への一般化は必ずしも正しくないが、一定の条件下では様々存在し、例えばストークスの定理などはそのようなものとして理解することができる。
ダニエル積分は積分を線型汎関数として定義する。これは測度の概念を必ずしも必要としないにもかかわらず、ルベーグ積分やルベーグ=スティルチェス積分を含む広範な積分概念を与える。
実数 a 、b が a < b であるとき、区間 E = [a, b] の分割とは、
a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b}
となる点の組 (x0, ..., xn) のこと、あるいは
E = E 1 ∪ ⋯ ∪ E n ( E i := [ x i − 1 , x i ] ) {\displaystyle E=E_{1}\cup \cdots \cup E_{n}\quad (E_{i}:=[x_{i-1},x_{i}])}
となる小区間からなる集合 Δ = {Ei} のことである。各 xi を区間 E の分点、各 Ei を区間 E の小区間または切片 (segment) という。また、分割 Δ の各切片について ξi ∈ Ei をあわせて考えるとき、Δ* = {(Ei, ξi)} を点付き分割 (tagged partition) という。
区間 E の点付き分割 Δ* = {(Ei, ξi) : Ei = [xi−1, xi], ξi ∈ Ei} があたえられたとき、
∑ i = 1 n f ( ξ i ) δ x i ( δ x i := x i − x i − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\delta x_{i}\quad (\delta x_{i}:=x_{i}-x_{i-1})}
の形の和を、f の点付き分割 Δ* に関するリーマン和という。
分点の個数 n + 1 を十分大きく、切片の長さ |Δ| ≔ max{δxi} を十分小さくするような任意の分割に関して、リーマン和の極限が有限に確定するならば、その極限を関数 f のリーマン積分と称する。