第二基本形式
ユークリッド空間において、第二基本形式は次のように与えられる。
I I ( v , w ) = − ⟨ d ν ( v ) , w ⟩ ν {\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=-\langle d\nu (v),w\rangle \nu }
ここで、 ν はガウス写像であり、 dν はベクトル値の微分形式と見なされる ν の微分であり、括弧はユークリッド空間の計量テンソルを表示している。
より一般的には、リーマン多様体では、第二基本形式は、超曲面の Sで示される形作用素(shape operator)を記述するための同等の方法である。
I I ( v , w ) = ⟨ S ( v ) , w ⟩ n = − ⟨ ∇ v n , w ⟩ n = ⟨ n , ∇ v w ⟩ n , {\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle n=-\langle \nabla _{v}n,w\rangle n=\langle n,\nabla _{v}w\rangle n\,,}
ここで、∇vw は全体多様体(ambient manifold)の共変微分、n は超曲面上の法線ベクトル場を表示している。(アフィン接続に捩じれがない場合、第二基本形式は対称となる。 )
第二基本形式の符号は、 n の方向の選択に依存する(これは超曲面の共方向(co-orientation)と呼ばれる。ユークリッド空間の曲面の場合、これは同様に曲面の向きの選択によって与えられる。)