強圧的函数
ベクトル場 f : R → R が強圧的(coercive)であるとは、
f ( x ) ⋅ x ‖ x ‖ → + ∞ as ‖ x ‖ → + ∞ , {\displaystyle {\frac {f(x)\cdot x}{\|x\|}}\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty ,}
が成り立つことをいう。ここで " ⋅ {\displaystyle \cdot } " は通常のドット積で、 ‖ x ‖ {\displaystyle \|x\|} はベクトル x の通常のユークリッドノルムである。
コーシー=シュワルツの不等式より、 x ∈ R n ∖ { 0 } {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}} に対して ‖ f ( x ) ‖ ≥ ( f ( x ) ⋅ x ) / ‖ x ‖ {\displaystyle \|f(x)\|\geq (f(x)\cdot x)/\|x\|} が成り立つことから、強圧的ベクトル場は特にノルム強圧的でもある。しかし、ノルム強圧的な写像 f : R → R は必ずしも強圧的ベクトル場ではない。例えば、90° の回転 f : R → R, f(x) = (-x2, x1) はノルム強圧的であるが、すべての x ∈ R 2 {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}} に対して f ( x ) ⋅ x = 0 {\displaystyle f(x)\cdot x=0} であるため、強圧的ベクトル場ではない。