自然変換
体 K 上のベクトル空間 V に対して、双対空間 Vとは V から K への線形写像全体からなるベクトル空間である。このとき、V から二重双対空間 V (すなわち、Vから K への線形写像からなる空間) への単射線形写像 ΨV: V → Vが
によって定まる。さらに V が有限次元であるとき、ΨV は同型となる。明らかに ΨV は V の基底に依らずに定まるため、逆写像である Ψ-1V も Vの基底に依らない。この意味で ΨV は特別な線形写像であり、また有限次元の場合について全ての有限次元ベクトル空間に対して同時に与えられるという意味で『自然』である。
線形写像 f : V → W に対して、f: W → Vが f ∗ φ ( x ) = φ ( f ( x ) ) {\textstyle f^{*}\varphi (x)=\varphi (f(x))} によって定まる。もう一度同じ操作を取ることで、f: V → Wが f ∗ ∗ X ( φ ) = X ( f ∗ φ ) {\textstyle f^{**}X(\varphi )=X(f^{*}\varphi )} と定まる。
アーベル群の拡大 0 → G → E β→ H → 0 を考える。各 h ∊ H に対して、β(u(h)) = h を満たすような代表元を u(h) ∊ E で選ぶ。このとき、E の各要素は g + u(h) (g ∊ G) の形で表すことができ、特に u(h) + u(k) について
という形で表せる。このとき、h, k ∊ H からの対応 f は、アーベル群における群演算の可換性および結合性から、次の2条件を満たす。
f ( h , k ) = f ( k , h ) {\textstyle f(h,k)=f(k,h)}
f ( h , k ) + f ( h + k , l ) = f ( h , k + l ) + f ( k , l ) {\textstyle f(h,k)+f(h+k,l)=f(h,k+l)+f(k,l)}
逆に、写像 f: H × H → G が上記2条件を満たすとき、これを H の G における factor set (因子団) という。因子団について、次の2つの事実が成り立つ。
ある H の G における因子団 f は、群の拡大 (E, β) を1つ定める。
点ごとの加算 ( f 1 + f 2 ) ( h , k ) = f 1 ( h , k ) + f 2 ( h , k ) {\textstyle (f_{1}+f_{2})(h,k)=f_{1}(h,k)+f_{2}(h,k)} によって、因子団の集合 Fact(G, H) はアーベル群をなす。