固有振動
(3-1)
このような各 y n ( x , t ) {\displaystyle y_{n}(x,t)} を基準モードという。また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は
y ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n sin  n π x l sin  ( ω n t + φ n ) {\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} ... (3-2)
(3-1)においてn=1,2,3の基準モードは右図のような振動を示す。
またこの系における固有角振動数は
ω n = n π v l = n π l T ρ {\displaystyle \omega _{n}={n\pi v \over l}={n\pi \over l}{\sqrt {T \over \rho }}}
である。
線密度ρ(kg/m)で張力T(N)で引っ張られている弦がXY平面上にあるとする。その弦のxとx+δxの微小部分について考える。位置xにおける弦の接線とx軸のなす角を θ x {\displaystyle \theta _{x}} 、位置x+δxにおける弦の接線とx軸のなす角を θ x + δ x {\displaystyle \theta _{x+\delta x}} とすると張力 T A {\displaystyle T_{A}} と T B {\displaystyle T_{B}} のx方向成分、y方向成分は次のように表すことができる。
T A x = − T cos  θ x {\displaystyle T_{A}^{x}=-T\cos \theta _{x}}
T A y = − T sin  θ x {\displaystyle T_{A}^{y}=-T\sin \theta _{x}}
T B x = T cos  θ ( x + δ x ) {\displaystyle T_{B}^{x}=T\cos \theta _{(x+\delta x)}}
T B y = T sin  θ ( x + δ x ) {\displaystyle T_{B}^{y}=T\sin \theta _{(x+\delta x)}}
したがってy方向の力 F y {\displaystyle F_{y}} は
空気の密度をρ(g/m3)、体積弾性率をK(N/m2)、 v = K / ρ {\displaystyle v={\sqrt {K/\rho }}} とする。ここでは開口で実際に生じる開口端補正を無視して考える。
.. (4-3)
空気の断面にはそれぞれ圧力がはたらいている。xにおける断面にはたらく力は
F x = S ( P 0 + δ P ( x , t ) ) {\displaystyle F_{x}=S(P_{0}+\delta P(x,t))}
x+δxにおける断面にはたらく力は
F x + δ x = − S ( P 0 + δ P ( x + δ x , t ) ) {\displaystyle F_{x+\delta x}=-S(P_{0}+\delta P(x+\delta x,t))}
したがって微小部分にはたらく力は
F = S ( − P 0 − δ P ( x + δ x , t ) + P 0 + δ P ( x , t ) ) = − S ( δ P ( x + δ x , t ) − δ P ( x , t ) ) {\displaystyle F=S(-P_{0}-\delta P(x+\delta x,t)+P_{0}+\delta P(x,t))=-S(\delta P(x+\delta x,t)-\delta P(x,t))} ... (4-4)
また微小部分の質量は m = ρ S δ x {\displaystyle m=\rho S\delta x} であり、ニュートンの運動方程式を整理すると