同値関係
集合 X 上の同値関係 ~ は X を類別する。 X の任意の類別に対して X 上の同値関係 ~ が一意的に対応する。
これが同値関係と類別の間の基本的な結果である。 いずれの主張も、X の分割のセル全体のなす集合が X の ~ に関する同値類全体のなす集合に一致する。X の各元 x は X の分割のセルのうちただ1つのみに属するのであるから(かつ、各セルは同値類と同一視できるのだから)、各元 x は X の同値類のうちただ1つのみに属する。従って、X 上で可能な同値関係全体のなす集合と X の分割全体のなす集合との間には自然な全単射が存在することがわかる。
集合 S 上の2つの同値関係 ~, ≈ が a ~ b ならば a ≈ b を任意の a, b ∈ S に対して満たすとき、同値関係 ≈ は ~ より粗い (coarser) または弱いといい、~ は ≈ より細かい (finer) または強いという。
同値類の言葉で言えば
~ が ≈ より細かい(強い)とは、~ に関する任意の同値類が ≈ に関する適当な同値類の部分集合となるときにいう。
それゆえ、≈ に関する任意の同値類は ~ に関する同値類の合併になる。すなわち
~ が ≈ より細かい(強い)とは、~ の定める分割が ≈ の定める分割の細分となるときに言う。
とも言い換えられる。
相等関係は任意の集合上で最も強い同値関係であり、自明な関係は最も弱い同値関係であり、任意の2つの元は互いに同値になる。
集合 S を固定して考えるとき、その上の同値関係全体の成す集合上で、"~ は ≈ より細かい" という関係はそれ自身半順序を成し、それにより S 上の同値関係の全体は幾何束(英語版)をなす。