中線定理
中線定理の逆は成り立たない。反例として、∠ACB ≠ 90°を満たす △ABC と直線BC上の点 P が
AB 2 + AC 2 = 2 ( AL 2 + BL 2 ) {\displaystyle {\text{AB}}^{2}+{\text{AC}}^{2}=2({\text{AL}}^{2}+{\text{BL}}^{2})}
を満たすとする。ただし L は辺BC の中点である。
AB の中点を N とすると、
AB 2 + AC 2 = 2 { AL 2 + BL 2 } = 2 { 2 ( PN 2 + BN 2 ) } = ( 2 PN ) 2 + ( 2 BN ) 2 = ( 2 PN ) 2 + AB 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{AB}}^{2}+{\text{AC}}^{2}&=2\{{\text{AL}}^{2}+{\text{BL}}^{2}\}\\&=2\{2({\text{PN}}^{2}+{\text{BN}}^{2})\}\\&=(2{\text{PN}})^{2}+(2{\text{BN}})^{2}\\&=(2{\text{PN}})^{2}+{\text{AB}}^{2}\\\end{aligned}}}
∴ NP = 1 2 AC = NL {\displaystyle \therefore \ {\text{NP}}={\frac {1}{2}}{\text{AC}}={\text{NL}}}
∠ACB ≠ 90°のとき、これを満たす点P で L と異なるものがある。故に、中線定理の式が成り立っても、P は辺BC の中点とは限らない。■