ディリクレ積分
f(z) = e/z の積分を考える。0 < r < R をとり、図のように経路 Cr, CR を定める(赤領域を左に見るように進む向きを正とする)。f は赤領域で正則であるから、コーシーの積分定理により
∫ C R e i z z d z + ∫ − R − r e i x x d x + ∫ C r e i z z d z + ∫ r R e i x x d x = 0 ⋯ ( 1 ) {\displaystyle \int _{C_{R}}{\frac {e^{iz}}{z}}\,dz+\int _{-R}^{-r}{\frac {e^{ix}}{x}}\,dx+\int _{C_{r}}{\frac {e^{iz}}{z}}\,dz+\int _{r}^{R}{\frac {e^{ix}}{x}}\,dx=0\qquad \cdots (1)}
となる。
まず、左辺第2項と第4項はオイラーの公式により
∫ − R − r e i x x d x + ∫ r R e i x x d x = − ∫ r R e − i x x d x + ∫ r R e i x x d x = 2 i ∫ r R sin  x x d x . ⋯ ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-R}^{-r}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx+\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx&=-\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{-ix}}{x}}dx+\int _{r}^{R}{\dfrac {e^{ix}}{x}}dx\\&=2i\int _{r}^{R}{\dfrac {\sin x}{x}}dx.\ \ \cdots (2)\end{aligned}}}
次に C R {\displaystyle C_{R}} についての周回積分は R → ∞ {\displaystyle R\rightarrow \infty } でゼロとなることを示す。(ジョルダンの補題)
置換 z = R e i t {\displaystyle z=Re^{it}} により、
| ∫ C R f ( z ) d z | = | ∫ 0 π f ( R e i t ) i R e i t d t | ≤ ∫ 0 π | f ( R e i t ) | R d t = ∫ 0 π e − R sin  t d t = 2 ∫ 0 π 2 e − R sin  t d t ≤ 2 ∫ 0 π 2 e − 2 R t / π d t ( ∵ t ∈ [ 0 , π 2 ] ⟹ 2 π t ≤ sin  t ) = π R ( 1 − e − R ) → 0 ( R → ∞ ) .