分解型複素数
分解型複素数には非自明な冪等元が2つ存在して、それは e ≔ (1 − j)/2, e* = (1 + j)/2 で与えられる。これらはともに
‖ e ‖ = ‖ e ∗ ‖ = e ∗ e = 0 {\displaystyle \lVert e\rVert =\lVert e^{*}\rVert =e^{*}e=0}
ゆえ、ヌル元である。分解型複素平面におけるもう一つの基底として {e, e*} をとるとしばしば便利である。この基底は対角基底あるいはヌル基底と呼ばれる。分解型複素数 z は対角基底を用いて
z = x + jy = (x − y)e + (x + y)e*
と表せる。実数 a, b の順序対 (a, b) で分解型複素数 ae + be* を表すとき、分解型複素数の乗法は
(a1, b1)(a2, b2) ≔ (a1a2, b1b2)
で与えられる。この基底を用いれば、分解型複素数の全体が環の直和 R ⊕ Rに同型であることがはっきり判る。
対角基底に関して分解型複素共軛は (a, b)* = (b, a) であり、絶対値は ‖ (a, b) ‖ = ab を満たす。
抽象代数学の言葉では、分解型複素数の全体は多項式環 R[x] の x − 1 が生成するイデアルによる商環
R [ x ] / ( x 2 − 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}
として記述できる。この商における x の像 x mod (x − 1) が「虚数単位」j である。この方法だと、分解型複素数の全体が標数 0 の可換環を成すことは明らかである。さらに自明な仕方でスカラー倍を定義して、分解型複素数の全体は実 2-次元の可換な多元環となる。この多元環は可逆元ではないヌル元をもつから斜体でも可換体でもない。事実として、非零ヌル元はすべて零因子である。加法と乗法は平面の通常の位相に関して連続であるから、分解型複素数の全体は位相環を成す。
分解型複素数の全体は「ノルム」が正定値ではないから、術語を通常の意味に解する限りはノルム代数を成さない。しかし、定義を拡張して一般の符号数を持つノルムというものを考えれば、その意味での「ノルム代数」と考えることができる。