行列ノルム
シャッテンノルム (Schatten norm) は行列の特異値を並べたベクトルに対するノルムとして得られる。ベクトルノルムに p ノルムを用いるものをシャッテン p ノルムと呼ぶ。行列 A のシャッテン p-ノルムは、A の特異値を σi で表せば、以下のように定義される。
‖ A ‖ p = ( ∑ i = 1 min { m , n } σ i p ) 1 / p {\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\!\!\!\!\sigma _{i}^{p}\right)^{\!\!1/p}}
シャッテンノルムはいずれの p に対しても劣乗法的である。また、任意の行列 A のユニタリ変換に対してシャッテンノルムは不変であり、任意のユニタリ行列 U, V 対して ‖ UAV ‖ = ‖ A ‖ が成り立つ。
p = 1, 2, ∞ の場合がよく知られており、p = 2 の場合はフロベニウスノルムが得られる。p = ∞ はスペクトルノルム、すなわちベクトルの 2 ノルムから誘導される行列ノルムである。
p = 2 の場合はフロベニウスノルム (Frobenius norm) またはヒルベルト=シュミットノルム (Hilbert–Schmidt norm) と呼ばれる(後者は普通、ヒルベルト空間の作用素に限定して使われる)。 このノルムはいくつか異なる定義があるが、
‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | a i j | 2 = tr  ( A ∗ A ) = ∑ i = 1 min { m , n } σ i 2 {\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\textstyle \sum \limits _{i=1}^{m}\sum \limits _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {tr} (A^{*}A)}}={\sqrt {\textstyle \sum \limits _{i=1}^{\min\{m,n\}}\!\!\!\!{\sigma _{i}}^{2}}}}
のように書くことができる。ここで A は行列 A の随伴、σi は行列 A の特異値、tr は行列のトレースを表わす。フロベニウスノルムは K 上のユークリッドノルムと似て、行列の空間上の(行列を単にベクトルと見なした)標準内積から得られるノルムになっている。
フロベニウスノルムは劣乗法的である。数値線型代数学において有益であり、またフロベニウスノルムは誘導ノルムより計算が容易なことが多い。