ラングランズ・プログラム
ラングランズは函手性の概念を、一般線型群 GL(n) の代わりに他の連結簡約代数群を用いることができるように一般化した。さらにラングランズは、そのような群 G に対してラングランズ双対群 G を構成して、G の任意の保型尖点表現と G の任意の有限次元表現に対し、ある種の L-函数を定義した。ラングランズの予想の一つは、この L-函数が既知の L-函数の函数等式を一般化したある種の函数等式を満足することを主張する。
こうしてラングランズは、非常に一般な「函手性原理」を定式化するに至る。これは、二つの簡約代数群とそれらに対応する L-群の間の(素性の良い)準同型が与えられたとき、これらの群の保型表現はその L-函数に対して整合的な仕方で関連することを予想するものである。この函手性予想からは、これまでにあった全ての予想が系として導かれる。これは誘導表現(英語版)の構成の特質である(もっと従来からの保型形式論において「持ち上げ(英語版)」と呼ばれていたもので、特別な、従って(表現の制限(英語版)が反変的であるのに対して)共変的であるような場合が知られていた)。直接的な構成を明示的に述べることが試みられたが、いくらか限定的な結果が得られただけであった。
これらすべての予想を、有理数体 Q に替えてより一般の体、例えば(もともとの予想であり、最も重要な場合である)代数体や局所体、あるいは(素数 p に対するp-元体 Fp 上の有理函数体 Fp(t) の有限次拡大体であるような)函数体に対して定式化することができる。