アポロニウスのギャスケット
( k 1 z 1 + k 2 z 2 + k 3 z 3 + k 4 z 4 ) 2 = 2 ( k 1 2 z 1 2 + k 2 2 z 2 2 + k 3 2 z 3 2 + k 4 2 z 4 2 ) {\displaystyle (k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4}^{2}z_{4}^{2})\,}
z4 について整理して
を得る。
ここで複号が存在するが、これは複素数の平方根をとる(一般に2つの値を与える)操作に対応するものと考えて差し支えなく、式(1)における複号とは無関係である(同順でも逆順でもない)。したがって1つの k4 の値に対して2つの z4 が与えられるが、そのうち正しい値となるのは一方のみである。