半単純加群
環は極大左イデアルの共通部分が 0 であるときに、すなわちジャコブソン根基が 0 であるときに、ジャコブソン半単純(あるいは J-半単純あるいは半原始)と呼ばれる。自身の上の加群として半単純であるすべての環のジャコブソン根基は 0 であるが、ジャコブソン根基が 0 であるすべての環が自身の上の加群として半単純であるわけではない。J-半単純環が半単純であることとアルティン環であることは同値であり、したがって半単純環は混乱を避けるためにしばしばアルティン的半単純環 (artinian semisimple ring) と呼ばれる。
例えば整数環 Z は J-半単純だがアルティン半単純ではない。