カルマンフィルター
カルマンフィルターは時間領域において、連続時間線形動的システム、もしくは離散化された離散時間線型動的システムに基づいて駆動する。以降に導入される解説は、後者の立場のものである。それらはガウス白色雑音によって励振をうける線形演算子からなるマルコフ連鎖モデルで表現される。より端的にいえば、システムは状態空間モデル (state space model) で表現されるということである。
対象のシステムに定義された「状態 (state)」は、そのシステムの過去の動特性の遷移を保持する役割を果たし、動特性の遷移を保持する線形空間が状態空間として定義される。この空間は実数空間であるため、システムの状態は一般に、任意の次元の状態空間に含まれる実数ベクトルとして与えられる。状態の変化は、現在の状態と、それに付加する雑音の影響と、場合によってはシステムの状態の制御に関与する既知の制御入力の線形結合によって記述される。したがって、状態はシステムの因果性に寄与する存在である。上記の理念は、以下に記述する状態方程式 (state equation) によって表現される。 状態が直接観測できない場合には、システムの出力は一般に状態と観測雑音の線形結合にて観測可能なものとして与えられる。この理念は観測方程式 (observation equation) として、以下に示すような線形モデルで表現される。
Y k | k − 1 = C k T Y k − 1 | k − 1 F k − 1 = C k T Y k − 1 | k − 1 C k + A k T Q k − 1 A k {\displaystyle Y_{k|k-1}=C_{k}^{\textrm {T}}Y_{k-1|k-1}F_{k}^{-1}=C_{k}^{\textrm {T}}Y_{k-1|k-1}C_{k}+A_{k}^{\textrm {T}}Q_{k}^{-1}A_{k}}
y ^ k | k − 1 = C k T y ^ k − 1 | k − 1 + Y k | k − 1 u k {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {y}}}_{k|k-1}=C_{k}^{\textrm {T}}{\hat {\boldsymbol {y}}}_{k-1|k-1}+Y_{k|k-1}{\boldsymbol {u}}_{k}}
なお Q k = 0 {\displaystyle Q_{k}=0} であれば、 A k = 0 {\displaystyle A_{k}=0} である。F は可逆(正則)の必要がある。 注意すべきは、もし F, G, Q が時不変(time invariant)ならば、それらの値は保存しておける点である。
x ^ k | k = x ^ k | k − 1 + K k e k {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k}={\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}+K_{k}{\boldsymbol {e}}_{k}}
P k | k = ( I − K k H k ) P k | k − 1 {\displaystyle P_{k|k}=(\mathrm {I} -K_{k}H_{k})P_{k|k-1}}
出てくる行列は次のヤコビアンで定義される。
F k = ∂ f ∂ x | x ^ k − 1 | k − 1 , u k {\displaystyle F_{k}=\left.{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1},{\boldsymbol {u}}_{k}}}
H k = ∂ h ∂ x | x ^ k | k − 1 {\displaystyle H_{k}=\left.{\frac {\partial h}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\right\vert _{{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}}}