ソボレフ共役
u λ {\displaystyle u_{\lambda }} に対する不等式 (*) の結果、 u {\displaystyle u} に対する次の不等式が得られる。
‖ u ‖ L q ( R n ) ≤ λ 1 − n / p + n / q C ( p , q ) ‖ D u ‖ L p ( R n ) {\displaystyle \|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq \lambda ^{1-n/p+n/q}C(p,q)\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}}
1 − n / p + n / q ≠ 0 {\displaystyle 1-n/p+n/q\not =0} なら、 λ {\displaystyle \lambda } をゼロあるいは無限大とすることで矛盾が導かれる。したがって不等式 (*) は
q = p n n − p {\displaystyle q={\frac {pn}{n-p}}}
に対してのみ成立する。これがソボレフ共役である。