ルジャンドルの関係式
となり、 Y ′ ( k ) = k ( 1 − k 2 ) K ′ ( k ) {\displaystyle Y'(k)={\sqrt {k(1-k^{2})}}K'(k)} も同様である。故に
d 2 d k 2 Y ( k ) Y ( k ) = − ( 1 + k 2 ) 2 4 k 2 ( 1 − k 2 ) 2 = d 2 d k 2 Y ′ ( k ) Y ′ ( k ) {\displaystyle {\frac {{\frac {d^{2}}{dk^{2}}}Y(k)}{Y(k)}}=-{\frac {(1+k^{2})^{2}}{4k^{2}(1-k^{2})^{2}}}={\frac {{\frac {d^{2}}{dk^{2}}}Y'(k)}{Y'(k)}}}
であるから
Y ( k ) d 2 d k 2 Y ′ ( k ) − Y ′ ( k ) d 2 d k 2 Y ( k ) = 0 {\displaystyle Y(k){\frac {d^{2}}{dk^{2}}}Y'(k)-Y'(k){\frac {d^{2}}{dk^{2}}}Y(k)=0}