双線型形式
例えば、リース・ハーヴィは「八種類の内積」について議論するのに、非零成分は +1 または −1 しか持たないような対角行列 Aij を用いてそれらの「内積」を定義した。ここでいう「内積」の中には、斜交形式や半双線型形式、エルミート形式であるようなものが含まれる。その議論は、一般の体 F ではなくて、具体的に実数体 R, 複素数体 C, 四元数体 H を詳述するものである。例えば
∑ k = 1 p x k y k − ∑ k = p + 1 n x k y k {\displaystyle \sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}}
なる形の双線型形式は、実対称型(real symmetric case) と呼ばれ、R(p, q) (ただし p + q = n) というラベルで分類される。旧来の用語との関係については
実対称型双線型形式には非常に重要なものが含まれる。正定値の場合の R(n, 0) はユークリッド空間に対応し、また一つが負符号の R(n−1, 1) はローレンツ空間に対応する。n = 4 の場合のローレンツ空間はミンコフスキー空間またはミンコフスキー時空とも呼ばれている。R(p, p) なる特別な場合は分解型と呼ばれるものである。
と述べている。
数学の特に抽象代数学および線型代数学における双線型形式(そうせんけいけいしき、英: bilinear form)とは、スカラー値の双線型写像、すなわち各引数に対してそれぞれ線型写像となっている二変数函数を言う。より具体的に、係数体 F 上のベクトル空間 V で定義される双線型形式 B: V × V → F は
B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)
B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w)
B(λu, v) = B(u, λv) = λB(u, v)
を満たす。
双線型形式の定義は、線型写像を加群の準同型に置き換えることで、可換環上の加群へも拡張できる。
係数体 F が複素数体 C の場合には、双線型形式ではなく半双線型形式(双線型形式と似るが、一方の引数に関して線型かつ他方の引数に関して共役線型(英語版)(conjugate linear) となるような写像)を考えるほうが自然である。