複素数
非零複素数の全体 C* = C ∖ {0} は、複素数体 C の乗法群 C であり、C における距離空間としての部分位相空間と見て、位相群を成す。また、絶対値 1 の複素数全体の成す群(円周群)U はその部分位相群であり、写像
R / Z → U ; x + Z ↦ e 2 π i x {\displaystyle \mathbb {R/Z} \to \mathbb {U} ;\;x+\mathbb {Z} \mapsto e^{2\pi ix}}
および写像
C ∗ → R + ∗ × U ; r e i θ ↦ ( r , e i θ ) {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {R} _{+}^{*}\times \mathbb {U} ;\;re^{i\theta }\mapsto (r,e^{i\theta })}
は位相群としての同型である。ここに、R/Z は商位相群、R∗+ は正の実数の全体が乗法についてなす群であり、× は位相群の直積を表す。
D を複素数平面 C の領域とする。
複素函数 f : D → C が正則であるとは、定義域 D の各点で複素微分可能であることである。実部と虚部に分けて考えると、f が正則である必要十分条件は、Re f, Im f が微分可能で、コーシー・リーマンの方程式を満たすことである。例えば、複素函数
f ( z ) = z ̄ {\displaystyle f(z)={\overline {z}}}
や
f ( z ) = | z | {\displaystyle f(z)=|z|}
は正則でない。これらはコーシー・リーマンの方程式を満たさず複素微分可能でない。
複素解析には実解析に無いいくつかの特徴がある。
正則函数は解析関数である(正則関数の解析性)。したがって、正則函数は何回でも微分可能である。
2つの正則函数 f, g が D のある小さな、正則曲線上で一致するならば、それらは全体でも一致する(一致の定理、解析接続)。
有理型函数は、局所的には正則函数 f を用いて f(z)/(z − z0) で近似でき、正則函数といくつかの特徴が共通する。有理型でない函数は真性特異点をもつ(例えばsin 1/z は z = 0 で真性特異点を持つ)。
i = −1 を満たす数 i を虚数単位という。実数 1 と i は実数体上で線型独立である。実数 a, b を係数として 1, i の線型結合で表される数 a + bi を複素数と呼ぶ。
任意の実数 a は a + 0i と表せるので複素数である(実数全体の複素数全体への埋め込みは、四則演算および絶対値を保つという意味で、位相体の埋め込みである)。bi = 0 + bi (b ≠ 0) の形の複素数を純虚数と呼ぶ。
複素数 z = a + bi (a, b ∈ R) に対して、
a を z の実部 (real part) といい、Re(z), R(z), Re z, R z などで表す。
b を z の虚部 (imaginary part) といい、Im(z), I(z), Im z, I z などで表す。虚部とは実数「b」を指し複素数「bi」ではないことに注意。
虚部が 0 でない、すなわち実数でない複素数のことを虚数という。
実部、虚部がともに整数のときガウス整数といい、その全体を Z[i] と書く。
実部、虚部がともに有理数のときガウス有理数といい、その全体を Q(i) と表す。
二つの複素数が等しいとは、それらの実部および虚部がそれぞれ等しいことである:
z 1 = z 2 ⟺ ( Re  z 1 = Re  z 2 ) ∧ ( Im  z 1 = Im  z 2 ) {\displaystyle z_{1}=z_{2}\iff (\operatorname {Re} z_{1}=\operatorname {Re} z_{2})\land (\operatorname {Im} z_{1}=\operatorname {Im} z_{2})}
このことは、1, i が線型独立であることから示される。
体 C は以下の三つの性質:
標数は 0 である。これは 1 を何回足しても 1 + 1 + ... + 1 ≠ 0 となるという意味である。
C の素体 Q 上の超越次数は連続体濃度に等しい。
代数的閉体である。(#代数的閉体を参照)
を満足する。この三つの性質を持つ任意の体は、体として C に同型であることが示せる。例えば Qp の代数的閉包はこれら三つを満たすので、C に同型となる。この代数的な C の特徴付けの帰結として、C は自身に同型な真の部分体を無数に含むことが分かる。
また C は複素ピュイズー級数(英語版)体に同型である(が、その同型を決めるには選択公理が必要となる)。