ポアンカレ・ホップの定理
1. ある高次元ユークリッド空間の中へ M を埋め込む。(ホイットニーの埋め込み定理(英語版)(Whitney embedding theorem)を使う。)
2. ユークリッド空間中で M の小さな近傍 Nε を取る。この近傍にベクトル場を拡張し、同じ零点と同じ指数を持つようにする。加えて、拡張されたベクトル場がNε の境界上で外向きであることを確認する。
3. もとのベクトル場(および新しいベクトル場)の零点の指数の和は、Nε の境界から (n–1)-次元球面へのガウス写像(Gauss map)の次数に等しい。よって指数の和はベクトル場とは独立で、多様体 M のみに依存している。技術的には、ベクトル場のすべての零点をその小さな近傍とともに取り去った後、「n-次元多様体の境界から (n–1)-次元球面への写像の次数は、その写像がn-次元多様体全体に拡張できるとき、0 である」という事実を使う。
4. 最後に、この指数の和を M のオイラー標数と同定する。そのために、M の三角形分割(英語版)(triangulation)を使って、指数の和がオイラー標数に等しいことが明らかなベクトル場をひとつ構成する。