ワイトマンの公理系
2つの場の台(support)が空間的(space-like)に分かれていると、2つの場は可換かまたは反可換となる。
真空の循環性(cyclicity)と一意性はしばしば分け考えられる。また漸近完備性の性質も存在し、- ヒルベルト状態空間は漸近空間 H i n {\displaystyle H^{in}} と H o u t {\displaystyle H^{out}} によりはられる。漸近空間は、(粒子の)衝突のS-行列に現れる。場の理論のもう一つの重要な性質に質量ギャップ(英語版)があり、このことは公理系に要請されない - 質量ギャップとは、エネルギー運動量スペクトルがゼロとある正の数値の間のギャップを持っているという性質である。
量子力学は、フォン・ノイマンに従い記述される。特に、純粋状態は、光線により与えられる、つまり、ある可分な複素ヒルベルト空間の1-次元の部分空間である。次には、ヒルベルト空間のベクトル Ψ と Φ のスカラー積は、 ⟨ Ψ , Φ ⟩ {\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle } と書き、Ψ のノルムは ‖ Ψ ‖ {\displaystyle \lVert \Psi \rVert } で表す。純粋状態 [Ψ] と [Φ] の間の遷移確率は、非ゼロなベクトル表現 Ψ と Φ により定義できるので、次の式が成り立つ。
P ( [ Ψ ] , [ Φ ] ) = | ⟨ Ψ , Φ ⟩ | 2 ‖ Ψ ‖ 2 ‖ Φ ‖ 2 {\displaystyle P([\Psi ],[\Phi ])={\frac {|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}}{\lVert \Psi \rVert ^{2}\lVert \Phi \rVert ^{2}}}}
遷移確率は、どのような表現ベクトル Ψ と Φ を選ぶかとは独立である。
対称性の理論は、ウィグナーに従い記述される。このことは、1939年の有名なユージン・ウィグナー(Eugene Paul Wigner)による論文によって、相対論的な粒子の記述に成功したということが素晴らしい点である。ウィグナーの分類(Wigner's classification)を参照のこと。