ハムサンドイッチの定理
ハムサンドイッチの定理は、n = 3 である場合、3つの「物体」としてハムとそれを挟む2枚のパン(すなわち、サンドイッチ)を考えることで、1回のナイフカット(数学的に言うと平面)でそれらすべての量をそれぞれ半分に出来るような切り方が必ず存在する、と言い換えることが出来る。2次元 (n = 2) の場合、この定理はパンケーキの定理として知られ、皿の上に載せられた2枚の限りなく薄いパンケーキを、一回のナイフカット(数学的に言うと直線)でそれらすべての量をそれぞれ半分に出来るような切り方が必ず存在する、と言い換えられる。
ハムサンドイッチの定理はしばしばハムチーズサンドイッチの定理とも呼ばれ、この場合 n = 3 での3つの物体としては
ハム
スライスチーズ
2枚のパン(1つの非連結な物体と見なす)
が選ばれる。この場合の定理は「与えられたハムチーズサンドイッチに対し、そのハム、チーズ、パンの量がそれぞれ半分となるようなサンドイッチの切り方が必ず存在する」と言い換えられる。
なお、はさみうちの原理を指してサンドイッチ定理 (sandwich theorem) と呼ぶことがあるが、本項におけるハムサンドイッチの定理とは無関係である。
ハムサンドイッチの定理についてまとめた Beyer & Zardecki (2004) によれば、平面上の3つの物体を等分する n = 3 のケースを考えた初めての研究は Steinhaus (1938) であるとされている。問題の提示はスタインハウス(英語版)によりなされ、その解決はステファン・バナフによりなされた(証明にはボルサック・ウラムの定理(英語版)が用いられた)。提示された問題には、2種類の文章が存在した。1つ目は公式的なものとして、「任意に配置された3つの物体を、ひとつの適切な平面によって等分することは常に可能であるか?」であり、2つ目は非公式的なものとして、「肉と骨と油が等分されるように、ミートカッターの下にハムを配置することは可能か?」であった。
より近代的なアプローチを示した文献として、ストーン・テューキーの定理とも呼ばれるきっかけとなった、Stone & Tukey (1942) が挙げられる。この論文では、測度を含むより一般的な設定の下での、定理の n 次元版の証明が行われた。ある査読者からの情報によると、n = 3 の場合の証明はスタニスワフ・ウラムによるものとされているが、Beyer & Zardecki (2004) はこれを間違いだと指摘している(ボルサック・ウラムの定理によって「ウラムは確かに問題解決への根本的な貢献を与えた」とは注意されている)。