エルミート多様体
と表わすことができる。
h {\displaystyle h} には次数 (1,1) の複素微分形式 ω {\displaystyle \omega } を付随させることもできる。形式 ω {\displaystyle \omega } は h {\displaystyle h} の虚部のマイナス1倍
ω = i 2 ( h − h ̄ ) {\displaystyle \omega ={i \over 2}(h-{\bar {h}})}
として定義される。再び、 ω {\displaystyle \omega } はその共役と等しいので、これは T M {\displaystyle TM} 上の実形式の複素化である。形式 ω {\displaystyle \omega } は、随伴 (1,1)-形式(associated (1,1) form)、基本形式(fundamental form)、あるいはエルミート形式(Hermitian form)と様々な呼ばれ方をする。局所正則座標では、 ω {\displaystyle \omega } は
ω = i 2 h α β ̄ d z α ∧ d z ̄ β {\displaystyle \omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }}
ケーラー多様体は可積分条件を満たす概エルミート多様体である。この条件はいくつかの同値な方法で述べることができる。
( M , g , ω , J ) {\displaystyle (M,g,\omega ,J)} を実 2 n {\displaystyle 2n} 次元の概エルミート多様体とし、 ∇ {\displaystyle \nabla } を g {\displaystyle g} のレヴィ・チヴィタ接続とすると、以下は M {\displaystyle M} がケーラーとなる同値な条件である。
ω {\displaystyle \omega } が閉で、 J {\displaystyle J} が可積分である
∇ J = 0 {\displaystyle \nabla J=0}
∇ ω = 0 {\displaystyle \nabla \omega =0}
∇ {\displaystyle \nabla } のホロノミー群(英語版)(holonomy group)が J {\displaystyle J} に関するユニタリ群 U ( n ) {\displaystyle U(n)} に含まれる
これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「3 から 2(2 out of 3)」の性質に対応する。
特に、 M {\displaystyle M} がエルミート多様体であれば、条件 d ω = 0 {\displaystyle d\omega =0} が一見、非常に強く見える条件 ∇ ω = ∇ J = 0 {\displaystyle \nabla \omega =\nabla J=0} と同値である。ケーラー多様体の理論の豊かさは、これらの性質によるところもある。