リース＝ソリンの定理
本記事の第一節で、フーリエ変換 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は L(R) から L(R) への有界作用素かつ L(R) からそれ自身への有界作用素であることが確かめられた。同様の議論により、周期函数 f : T → C を、値がフーリエ係数
f ^ ( n ) = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x {\displaystyle {\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx}
であるような函数 f ^ : Z → C {\displaystyle {\hat {f}}:\mathbf {Z} \to \mathbf {C} } に写すフーリエ級数作用素は、L(T) から l(Z) への有界作用素かつ L(T) から l(Z) への有界作用素であることが分かる。このとき、リース=ソリンの定理は次を意味する: