付値環
任意の体は付値環である。
有理整数環 Z の素イデアル (p) における局所化 Z(p)。これは分子が任意の整数で分母が p で割り切れないような整数であるような有理数からなる。分数体は有理数体 Q である。
マクローリン級数(0 におけるテイラー級数展開)をもつ、全複素平面上の有理型関数の環は、付値環である。分数体は平面全体で有理型な関数である。f がマクローリン級数をもたなければ 1/f がもつ。
任意に与えられた素数 p に対して、p-進整数環 Zp は、p-進数 Qp を分数体としてもつ局所環である。p-進整数環の整閉包 Zp はまた局所環であり、その分数体は Qp(p-進数体の代数的閉包)である。 Zp と Zp はともに付値環である。
k を順序体とする。k の元は、2つの整数の間にある n<x<m とき、有限である(finite)という。そうでないときは無限大である(infinite)という。k の有限な元全体の集合 D は付値環である。x ∈ D かつ x∉D であるような元 x 全体の集合は無限小である元全体の集合である。x∉D かつ x∈D であるような元 x は無限大である(infinite)という。
超実数体 *R(これは実数を含む順序体である)の有限超実数からなる部分環 F は *R の付値環である。F は普通の実数から無限小異なるすべての超実数(これはある普通の整数 n に対して −n < x < n であるような超実数 x と言っても同じである)からなる。有限超実数を無限小超実数のイデアルで割った剰余体は実数体と同型である。