強制法
強制法の鍵となるステップはZFCの宇宙 V に対して、V の要素でない適切な G を見つけることである。 結果としては G によるP-名前の解釈全てによるクラスが元々の V の拡大になるZFCのモデルになるようにする。
V で作業する代わりに、可算推移モデル M と (P,≤,1) ∈ Mを考える。 ここで言うモデルというのはZFCの十分多くの有限個の公理を満たすものを言う。 推移性というのは x ∈ y ∈ M ならば x ∈ Mとなることである。
モストフスキ崩壊補題によると所属関係は整礎的であると仮定してよい。 推移性は所属関係や初等的な概念を直観的に扱いやすくする。 可算性はレーヴェンハイム-スコーレムの定理から得ているものである。
M は集合なので M に属さない集合が存在する。それはラッセルのパラドックスから分かる。 強制に際して取り M に付け加える適切な G はPのジェネリックフィルターである。
P の部分集合 A が P の反鎖であるとは、p, q という A の任意の2要素が、 両立しない (p ⊥ q と表す。)ことを言う。 両立しないとは、P の要素 r で r ≤ p かつ r ≤ q を満たすようなものが存在しないこと。
ボレル集合の集まりの例では、両立しないことは p∩q の測度が0であることであった。 有限部分関数の集まりの例では、両立しないことは p∪q が関数を成さないこと (すなわち、p と q が共通の定義域で一致しない振る舞いをしていること)であった。
P が 可算鎖条件(c.c.c.) を満たすとは、P のいかなる反鎖も可算であること。 (この一見明らかに不適切と思われるネーミングは、ブール代数に関する結果の歴史的な経緯による。 一部の数学者には"可算反鎖条件 (c.a.c.)" と表している者もいる。)
Bor(I) が c.c.c. を満たすことは簡単に分かる。ここでの測度はいくら足しても最大で1である。 Fin(E,2) もまた c.c.c. を満たす。しかしその証明はもう少し難しい。(Δ-システム補題等を使う証明が知られている)。
強制法における反鎖の重要性は稠密集合と極大反鎖が同値に捉えられることにある。 極大 反鎖 A は反鎖であることを保ったまま拡大することができない。 それはすなわち、いかなるp ∈ P も Aの要素のどれかとは両立しないことを意味する。 極大反鎖の存在はツォルンの補題による。