サイクロイド
サイクロイド歯車(英語版)
サイクロイド振り子 - 任意振幅に対して等時性を担保する振り子
d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d θ d x d d θ d y d x = − 1 r m ( 1 − cos  θ ) 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {1}{r_{\mathrm {m} }(1-\cos \theta )^{2}}}}
"円が1回転したときの定点の軌跡" の長さを l とすると、l = 8rm(= "直径" の 4倍)
"円が1回転したときの定点の軌跡" と "x-軸" で囲まれた部分の面積を S とすると、S = 3πrm(= "円の面積" の 3倍)
x軸まわりの回転体の体積を Vx とすると、Vx = 5 π rm
x軸まわりの回転体の表面積を Sx とすると、Sx = 64/3πrm
サイクロイドの微分方程式は
( d y d x ) 2 = 2 r m y − 1. {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}={\frac {2r_{\mathrm {m} }}{y}}-1.}