光線行列解析
M [ x 1 θ 1 ] = [ x 2 θ 2 ] = λ [ x 1 θ 1 ] {\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}
これは固有値方程式を与える。
[ M − λ I ] [ x 1 θ 1 ] = 0 {\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0}
I は2×2の単位行列である。
光線行列の固有値を求める。式
det  [ M − λ I ] = 0 {\displaystyle \operatorname {det} \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0}
は、固有方程式
λ 2 − tr  ( M ) λ + det  ( M ) = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\operatorname {det} (\mathbf {M} )=0}
に書き換えられる。ここで、
tr  ( M ) = A + D = 2 − d f {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{d \over f}}
光線行列による定式化は、ガウシアンビームを表現するのにも便利である。波長 λ0 、曲率半径 R (発散方向を正、収束方向を負とする)、ビーム径を w、屈折率を n とすると、複素ビームパラメータ qを
1 q = 1 R − i λ 0 π n w 2 {\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}}
により定義することができる。ただし R, w, q は位置の関数である。ビームの軸を z 方向とし、ビームウエストの位置を z0 、レイリー長を zR とすると、この式は以下と等価である。
q = ( z − z 0 ) + i z R {\displaystyle q=(z-z_{0})+iz_{R}}
q で表されるビームの伝搬は、光線行列を用いて以下のように表される。