4元運動量
E 2 c 2 − p 2 = m 2 c 2 {\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}-{\boldsymbol {p}}^{2}=m^{2}c^{2}}
E = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle E={\sqrt {m^{2}c^{4}+{\boldsymbol {p}}^{2}c^{2}}}}
と変形することができる。ニュートン極限で平方根をテイラー展開して近似すれば
E = m c 2 + p 2 2 m + O ( p 4 m 4 c 4 ) {\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}+O\left({\frac {{\boldsymbol {p}}^{4}}{m^{4}c^{4}}}\right)}
が得られて、時間成分がニュートン的な運動エネルギーであることが示される。なお、エネルギーの原点をずらす定数項 mc は運動量がゼロの場合に粒子が持つ運動エネルギーであり、特に静止エネルギーと呼ばれる。
4元運動量(よんげんうんどうりょう、英: four‐momentum)とは、運動量とエネルギーを相対論的な時空における4元ベクトルとして記述した物理量である。
ニュートン力学における運動量は、空間の回転変換の下でベクトルとして振る舞う3元ベクトルである。特殊相対性理論においては、空間と時間を併せて時空として取り扱うため、空間の回転変換は時空の回転変換であるローレンツ変換へと拡張される。4元運動量はローレンツ変換の下でベクトルとして振る舞う4元ベクトルである。4元運動量の空間成分がニュートン的な運動量であり、時間成分がエネルギーである。すなわち、4元運動量は
p μ = ( E / c , p ) {\displaystyle p^{\mu }=(E/c,{\boldsymbol {p}})}
として表される。光速度 c により運動量の次元がエネルギーの次元に換算される。
4元運動量を用いることにより、種々の関係式をテンソル方程式として記述することができ、これらの関係式のローレンツ変換の下での共変性が明白となる。
4元運動量が保存することは古典的な場合についての2つの量が保存することと対応している。
合計のエネルギー E = −p0 が保存する。
古典的三次元運動量 p→ が保存する。
補足として、系の反変質量の和は静止質量よりも大きい。それは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーが反変質量に寄与するためである。具体例として、次のような (−5 GeV, 4 GeV/c, 0, 0) と (−5 GeV, −4 GeV/c, 0, 0) の4元運動量をもつ二つの粒子について、それぞれの静止質量は3 GeV/cである。しかし、二つの合計の質量は10 GeV/cである。もし、二つの粒子が衝突をしたりまたはくっつき複合物が出来たときには、その系の合計は10 GeV/cである。
反変質量の保存の素粒子物理学での応用例としては、二つの粒子の4元運動量 p と p からなる崩壊したときの孫粒子での振舞いから、元となる粒子を発見するために使うことが出来る。 4元運動量の保存は qμ = pμ + pμ を与える。ここで、元となる重い粒子の質量 M は −|q| = Mc と与えられる。