根体
L を K の拡大体とする。上で見たように、P の任意の根 α が、L に含まれる P の根体 K(α) に対応する。相異なる二つの根に同じ根体が対応し得るが、各根に対して一意に K[X]/(P) から L への(したがって、L に含まれる根体への)体の準同型が定まる。故に、L に含まれる P の根の全体と K[X]/(P) から L への準同型の全体は一対一に対応する。
特に、P の次数が n ならば、K[X]/(P) から L への準同型は高々 n 個存在する。P が L において一次式の積に分解し、全ての単根が L に属するならば、K[X]/(P) から L への準同型はちょうど n 個存在する。
K 上の多項式が分離的であるとは、それが K の代数閉包において重根を持たないこと(あるいは同じことだが、その一階導多項式と共通根を持たないこと)を言う。次数 n の既約多項式 P が分離的ならば、K から K の代数閉包への(あるいは L または P が一次式の積に分解する任意の体への)準同型はちょうど n 個存在する。完全体上任意の既約多項式は分離的である。例えば、有理数体、実数体、一般に標数 0 の任意の体はそうであるが、任意の有限体はそうでない(分離拡大の項を参照)。