冠頭標準形
冠頭形への変換規則は古典論理であることに依存している。直観論理では、全ての論理式に等価な冠頭標準形があるわけではない。例えば否定が問題になるが、それだけではない。含意も直観論理と古典論理では扱いが異なる。直観論理では、含意を論理和と否定を使った形式に置き換えられない。
BHK解釈は、なぜ一部の論理式が直観論理で等価な冠頭標準形を持たないのかを示している。この解釈では、次の論理式
( ∃ x φ ) → ∃ y ψ ( 1 ) {\displaystyle (\exists x\phi )\rightarrow \exists y\psi \qquad (1)}
を証明は、特定の x と φ(x) の証明を与えられたとき、特定の y と ψ(y) の証明を生成する関数と考える。この場合、与えられた x の値から y の値を計算することは可能である。しかし、次の論理式
∃ y ( ∃ x φ → ψ ) , ( 2 ) {\displaystyle \exists y(\exists x\phi \rightarrow \psi ),\qquad (2)}
の証明は、y の特定の値を生成し、 ∃ x φ {\displaystyle \exists x\phi } の証明を ψ(y) の証明に変換する関数である。φ を満足する任意の x を使って ψ を満足する y を構築できるが、そのような x の知識なしに y を構築できないなら、論理式 (1) は論理式 (2) と等価ではないことになる。
冠頭標準形への変換規則のうち、直観論理では成り立たないものは以下の通りである。