L-函数の特殊値
ベイリンソンは代数的 K 理論を用いて数体のレギュレータを一般化し「高次のレギュレータ」(ベイリンソン・レギュレータ(英語版))というものを定義した。そしてモチーフの L 函数の特殊値は有理数倍による違いを除いてこの高次レギュレーターになるだろうと予想した。この予想はベイリンソン予想と呼ばれている。
スペンサー・ブロック(英語版)と加藤和也はモチーフの L 函数の特殊値の有理部分を決定する予想を提出した。彼らはモチーフの玉河数というものを定義しモチーフの L 函数の特殊値の有理部分はこの数によって決定できると予想した。玉河数という言葉は線型代数群の玉河数を研究していた玉河恒夫にちなむ。この予想は玉河数予想(Tamagawa number conjecture)またはブロック・加藤予想(Bloch–Kato conjecture)と呼ばれている。代数的 K 理論にもミルナー予想の拡張であるブロック・加藤予想と呼ばれる予想(ウラジーミル・ヴォエヴォドスキーらによって証明されている)があるが、これはここで述べた L 函数の特殊値に関するブロック・加藤予想とは別物である。
玉河数予想はその後加藤らによって同変係数に一般化された。さらに加藤はこれが岩澤理論における岩澤主予想の一般化でもあることを見出した。
デイヴィッド・バーンズ(フランス語版)とマティアス・フラック(英語版) は玉河数予想を拡張し、モチーフの L 函数の特殊値に関する予想とスターク予想をはじめとするアルティン L 函数の特殊値に関する予想を合体させ同変玉河数予想を定式化した。
これらの予想はすべて、特別なケースについてのみ成立することしか知られていない。