フランク＝タムの公式
λ 2 = ω 2 v 2 − ω 2 c 2 ε ( ω ) = ω 2 v 2 { 1 − β 2 ε ( ω ) } {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\left\{1-\beta ^{2}\varepsilon (\omega )\right\}}
を定義する。積分を k1, k2, k3 に分ける。k1 積分はデルタ関数の定義によってただちに
E 1 ( ω ) = 2 i z e ω v 2 ( 2 π ) 3 / 2 { 1 ε ( ω ) − β 2 } ∫ − ∞ ∞ d k 2 e i b k 2 ∫ − ∞ ∞ d k 3 k 2 2 + k 3 2 + λ 2 {\displaystyle E_{1}(\omega )={\frac {2ize\omega }{v^{2}(2\pi )^{3/2}}}\left\{{\frac {1}{\varepsilon (\omega )-\beta ^{2}}}\right\}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} k_{2}e^{ibk_{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} k_{3}}{k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+\lambda ^{2}}}}
となる。k3 積分は π/(λ + k 22 ) となるため、
J → ( x → , t ) = v → ρ ( x → , t ) {\displaystyle {\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)}
をフーリエ変換することで
ρ ( k → , ω ) = z e 2 π δ ( ω − k → ⋅ v → ) {\displaystyle \rho ({\vec {k}},\omega )={\frac {ze}{2\pi }}\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})}
J → ( k → , ω ) = v → ρ ( k → , ω ) {\displaystyle {\vec {J}}({\vec {k}},\omega )={\vec {v}}\rho ({\vec {k}},\omega )}
のように表現できる。この電荷密度および電流密度を代入し、方程式を解くことで
Φ ( k → , ω ) = 2 z e ε ( ω ) δ ( ω − k → ⋅ v → ) k 2 − ω 2 c 2 ε ( ω ) {\displaystyle \Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {2ze}{\varepsilon (\omega )}}{\frac {\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )}}}