ポアンカレ双対
ポアンカレ双対の形式は、1893年にアンリ・ポアンカレによって提唱された。(ただし、証明は無かった。)そのポアンカレ双対はベッチ数の観点で与えられた。つまり、閉(コンパクトかつ境界を持たない)向き付け可能なn次元多様体のk次と(n-k)次のベッチ数は等しいということである。その当時、コホモロジーの概念が明快化されるまで約40年あった。1895年に出版した論文、Analysis Situsで、ポアンカレは、自身が生み出した位相的交叉理論 (topological intersection theory)によって、定理を証明しようと試みた。ポウル・ヘーガードの批判によって、ポアンカレは自身の証明に致命的な誤りがあることに気がついた。Analysis Situs の最初の2編に、双対三角形分割による新たな証明を与えた。
ポアンカレ双対は1930年代のコホモロジーの誕生まで、現代の形をとらなかった。1930年代に、エドアード・チェックとハスラー・ホイットニーが導入したキャップ積とカップ積により、ポアンカレ双対は現代の形に定式化された。