円柱座標変換
∫ θ = 0 θ = 2 π r 0 X r ( r 0 , θ , ζ ) d θ = ∫ θ = 0 θ = 2 π ( ( X x ∘ Φ ) r 0 cos  θ + ( X y ∘ Φ ) r 0 sin  θ ) d θ = ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X x ( r 0 cos  θ , r 0 sin  θ , ζ ) r 0 cos  θ + X y ( r 0 cos  θ , r 0 sin  θ , ζ ) r 0 sin  θ ) d θ = ∫ t = 0 t = 2 π ( − X y ( r 0 cos  t , r 0 sin  t , ζ ) X x ( r 0 cos  t , r 0 sin  t , ζ ) ) ⋅ ( − r 0 sin  t r 0 cos  t ) d t = ∫ t = 0 t = 2 π ( a ∘ c ( t ) b ∘ c ( t ) ) ⋅ ( d c d t ) d t = ∫ x = − r 0 x = r 0 ∫ y = − r 0 2 − x 2 y = r 0 2 − x 2 ( ∂ b ∂ x − ∂ a ∂ y ) d y d x = ∫ x = − r 0 x = r 0 ∫ y = − r 0 2 − x 2 y = r 0 2 − x 2 ( ∂ X x ( x , y , z ) ∂ x + ∂ X y ( x , y , z ) ∂ y ) d y d x {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r_{0}X_{r}(r_{0},\theta ,\zeta )}\ d\theta &=\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left((X_{x}\circ \Phi )r_{0}\cos \theta +(X_{y}\circ \Phi )r_{0}\sin \theta \right)}\ d\theta \\&=\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(X_{x}(r_{0}\cos \theta ,r_{0}\sin \theta ,\zeta )r_{0}\cos \theta +X_{y}(r_{0}\cos \theta ,r_{0}\sin \theta ,\zeta )r_{0}\sin \theta \right)}\ d\theta \\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }{\left({\begin{matrix}-X_{y}(r_{0}\cos t,r_{0}\sin t,\zeta )\\X_{x}(r_{0}\cos t,r_{0}\sin t,\zeta )\\\end{matrix}}\right)}\ \cdot \left({\begin{matrix}-r_{0}\sin t\\r_{0}\cos t\\\end{matrix}}\right)dt\\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }{\left({\begin{matrix}a\circ c(t)\\b\circ c(t)\\\end{matrix}}\right)}\ \cdot \left({\frac {dc}{dt}}\right)dt\\&=\int _{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int _{y=-{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}^{y={\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}{\left({\frac {\partial b}{\partial x}}-{\frac {\partial a}{\partial y}}\right)dydx}}\\&=\int _{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int _{y=-{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}^{y={\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}{\left({\frac {\partial {{X}_{x}}(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial {{X}_{y}}(x,y,z)}{\partial y}}\right)dydx}}\end{aligned}}} (5-3-8)
D 2 = { ( θ ζ ) | 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ ζ ≤ z 0 } {\displaystyle {{D}_{2}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}\theta \\\zeta \\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}0\leq \theta \leq 2\pi \\0\leq \zeta \leq {{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} (3-2-6)
D 3 = { ( r θ ) | 0 ≤ r ≤ r 0 0 ≤ θ ≤ 2 π } {\displaystyle {{D}_{3}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}r\\\theta \\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}0\leq r\leq {{r}_{0}}\\0\leq \theta \leq 2\pi \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} (3-2-7)
D1 , D2 , D3 は、それぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面の部分集合となっている。また、D1 とD3 は集合として全く等しいものである。
また、x -y -z 空間に値を取るベクトル値関数I1 , I2 , I3 を以下のように定義する。I1 , I2 , I3 の定義域は、本来的にはそれぞれr -θ平面、θ-ζ平面、r -θ平面であるが、ここでは、それぞれの定義域をD1 , D2 , D3 に制限して考えることにする。