水素原子
この定数はエネルギーのリュードベリ単位という形で原子物理学においてよく用いられる。
1 Ry ≡ h c R ∞ = 13.605 692 53 ( 30 ) eV . {\displaystyle 1\,{\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }=13.605\;692\;53(30)\,{\text{eV}}.}
上記のリュードベリ定数の正確な値は、核子は電子と比べて無限に重いことを仮定する。軽水素、重水素、三重水素では、この定数は系の換算質量を用いることで単純な電子の質量を用いるのと比べて若干改善される。しかし核子が電子よりも遥かに重いため値はほぼ同じになる。電子1つの水素のリュードベリ定数を RM とすると、R は
R M = R ∞ 1 + m e / M {\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{\text{e}}/M}}}
で与えられる。ここで M は原子核の質量である。軽水素では、me/M の値は約1/1836である。重水素、三重水素ではこの値はそれぞれ約1/3670、1/5497である。これらの値を分母の1に加えるとR の値の補正値となる。
右図は水素原子の最初のいくつかの軌道(エネルギー固有関数)を示している。これらは確率振幅の断面図を表している(黒色は密度0、白色は最大密度である)。角運動量量子数 l はそれぞれの列に示されている(s は l = 0 、p は l = 1、d は l = 2 を意味する)。主量子数 n はそれぞれの行の右に示されている。全ての図において磁気量子数 m は 0 としており、断面図はxz平面である。基底状態、即ち最もエネルギーの低い状態では、電子は常に 1s の状態にある(n = 1, l =0)。
図中で最初の軌道以外に現れる黒い線は、波動関数の節、即ち確率密度が 0 になる地点である(より正確には、節は極座標でシュレーディンガー方程式を解いた時に得られる球面調和関数で表される)。
量子数がこれらの節の形を決める。
.. , n − 1 , m = − l , ... , l . {\displaystyle {\begin{aligned}&n=1,2,3,\ldots ,\\&l=0,1,2,\ldots ,n-1,\\&m=-l,\ldots ,l.\end{aligned}}}
さらに、これらの波動関数は規格化され、直交関数列化される。
∫ 0 ∞ r 2 d r ∫ 0 π sin  θ d θ ∫ 0 2 π d φ ψ n l m ∗ ( r , θ , φ ) ψ n ′ l ′ m ′ ( r , θ , φ ) = ⟨ n , l , m | n ′ , l ′ , m ′ ⟩ = δ n n ′ δ l l ′ δ m m ′ . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}\mathrm {d} r\int _{0}^{\pi }\sin \theta \mathrm {d} \theta \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \;\psi _{nlm}^{*}(r,\theta ,\varphi )\psi _{n'l'm'}(r,\theta ,\varphi )=\langle n,l,m|n',l',m'\rangle =\delta _{nn'}\delta _{ll'}\delta _{mm'}.}
ここで |n, l, m⟩ はブラ-ケット記法で表した波動関数 ψnlm、δ はクロネッカーのデルタである。
水素原子は単純な二体問題の系として多くの分析的な単純解を生成してきたことから、量子力学や量子場理論において特別に重要な意味を持つ。
1913年、ニールス・ボーアは多くの仮定を置いて単純化することで、水素原子のエネルギー準位及びスペクトル周波数を得た。ボーアの原子模型の基礎であるこれらの仮定は完全に正しくはないが、かなり正しいエネルギー値が得られた。ボーアの原子模型では、それぞれのエネルギー準位は整数値の量子数 n で識別され、
E n = − m e c 2 α 2 2 n 2 . {\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{e}c^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}.}
で与えられるエネルギーを持つ。ここで、me は電子の静止質量、c は光速、α は微細構造定数である。
最も豊富な同位体である水素1、プロティウム、軽水素は中性子を含まない。一方、重水素や三重水素等の他の水素の同位体は1つかそれ以上の中性子を含む。下記の式は3つ全ての同位体に対して適用できるが、同位体ごとに若干異なるリュードベリ定数を用いる必要がある。