群同型
したがってこの自己同型写像は Z6 を生成する。この性質を持つ自己同型写像がもう 1 つある: modulo 7 で 5 を Z7 のすべての元に掛けること。したがって、これら 2 つは Z6 の元 1 と 5 に、この順であるいは逆に、対応する。
Z6 の自己同型群は Z2 に同型である、なぜならば2つの元 1 と 5 のそれぞれしか Z6 を生成しないので、単位元を除いてこれらの交換しかできない。
Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2 の自己同型群は位数 168 を持ち、これは以下のようにしてわかる。すべての 7 個の単位元でない元は同じ役割を果たすので、どれが (1, 0, 0) の役割を果たすのか選ぶことができる。残りの 6 個の任意を (0, 1, 0) の役割を果たすように選べる。これはどれが (1, 1, 0) に対応するかを決定する。(0,0,1) に対して 4 つから選ぶことができ、これで残りが決まる。したがって 7 × 6 × 4 = 168 個の自己同型写像がある。それらはファノ平面(英語版)の自己同型写像に対応し、その 7 個の点は 7 個の単位元でない元に対応する。3 つの点を結ぶ線は群演算に対応する: 1 つの線上の a, b, c は a + b = c, a + c = b, b + c = a を意味する。general linear group over finite fields も参照。
アーベル群に対して自明なものを除くすべての自己同型写像は外部自己同型(英語版)と呼ばれる。
非アーベル群は非自明な内部自己同型群を持ち、ひょっとすると外部自己同型も持つかもしれない。