アフィン多様体
定理により代数多様体がアフィンであることと
H i ( X , F ) = 0 {\displaystyle H^{i}(X,F)=0}
がすべての i > 0 と X 上のすべての準連接層 F に対して成り立つことは同値である(cf. カルタンの定理 B).したがってアフィン多様体のコモロジーの研究は存在せず,直線束のコホモロジー群が中心的関心事である射影多様体とは非常に対照的である.
アフィン多様体は代数多様体の局所チャートの役割を果たす,つまり,射影多様体のような一般の代数多様体はアフィン多様体を貼り合わせることで得られる.多様体に付随する線型構造も(自明に)アフィン多様体である.例えば,接空間や,代数的ベクトル束(英語版)のファイバーなど.
アフィン多様体は,圏同値の違いを除いて,アフィンスキームすなわち環のスペクトルの特別な場合である.複素幾何学において,アフィン多様体はシュタイン多様体の類似である.
アフィン多様体は以下に記述する構造層を備えて局所環付き空間である.
アフィン多様体 X とその座標環 A が与えられると,k 代数の層 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} を O X ( U ) = Γ ( U , O X ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})} を U 上の正則関数の環とすることで定義する.
A の各元 f に対して D(f) = { x | f(x) ≠ 0 } とおく.それらは X の位相の基底をなすので, O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} は開集合 D(f) での値によって決まる(加群の層#加群に付随する層も参照).
重要な事実は,本質的にヒルベルトの零点定理による次の主張である:
主張 ― Γ ( D ( f ) , O X ) = A [ f − 1 ] {\displaystyle \Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=A[f^{-1}]} が任意の f ∈ A に対して成り立つ.