十分統計量
確率変数X に対する統計量T(X) の値が与えられた条件下で、データx の従う条件付き確率分布が母数 θ と独立である場合、かつその場合に限り、「T(X)はθ に対して十分である」という。すなわち:
Pr ( X = x ∣ T ( X ) = t , θ ) = Pr ( X = x ∣ T ( X ) = t ) {\displaystyle \Pr(X=x\mid T(X)=t,\,\theta )=\Pr(X=x\mid T(X)=t)}
簡単に書けば Pr ( x ∣ t , θ ) = Pr ( x ∣ t ) {\displaystyle \Pr(x\mid t,\,\theta )=\Pr(x\mid t)} である。従って
Pr ( x ∣ θ ) = Pr ( x , t ∣ θ ) = Pr ( x ∣ t , θ ) ⋅ Pr ( t ∣ θ ) = Pr ( x ∣ t ) ⋅ Pr ( t ∣ θ ) {\displaystyle \Pr(x\mid \theta )=\Pr(x,t\mid \theta )=\Pr(x\mid t,\,\theta )\cdot \Pr(t\mid \theta )=\Pr(x\mid t)\cdot \Pr(t\mid \theta )}
である。
十分統計量 T(X) が与えられればX の条件付き分布はθ によらないので、T(X) が与えられた条件での任意の関数(ただし条件付き期待値が定義できるとする)g(X) の条件付き期待値も母数θ にはよらない。従ってこのような条件付き期待値も統計量であり、推定に用いることができる。
十分性に関して重要な定理に、ラオ・ブラックウェルの定理がある。この定理は、「g(X) をθ の推定量(どんな種類の推定量でもよい)とすれば、十分統計量T(X) のもとでのg(X) の条件付き期待値はθ のよい推定量(他の推定量より悪くなることはない)である」というものである。
これを利用して、大雑把な推定量 g(X) が得られたら、これから条件付き期待値を求めることで、最適な推定量が得られる。