平行軸の定理
平行軸の定理(ホイヘンス–スタイナーの定理もしくは単にスタイナーの定理とも言われる。クリスティアーン・ホイヘンスとヤコブ・スタイナーに由来)とは、剛体の重心を通る回転軸周りの慣性モーメントが与えられたとき、その軸と平行な任意の軸周りの慣性モーメントや断面二次モーメントを求める定理である。
剛体粒子系の慣性行列は、基準点の選び方に依存する。質量中心 R に対する慣性行列と他の点 S に対する慣性行列との間には有用な関係があり、この関係は平行軸の定理と呼ばれる。
次の式
[ I S ] = − ∑ i = 1 n m i [ r i − S ] [ r i − S ] , {\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],}
で与えられる、基準点 S に対して測定された剛体粒子系の慣性行列 [IS] を考える。ここで ri は粒子 Pi の位置を表す(i = 1, ..., n)。[ri − S] はクロス積を表現するための歪対称行列であり、任意のベクトル y に対して
[ r i − S ] y = ( r i − S ) × y {\displaystyle [r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S} )\times \mathbf {y} }
となる。
R を剛体系の質量中心とすると
R = ( R − S ) + S = d + S {\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {S} )+\mathbf {S} =\mathbf {d} +\mathbf {S} }
である。ここで d は基準点 S から質量中心 R へのベクトルである。慣性行列を計算するには、次の式を使用する。
[ I S ] = − ∑ i = 1 n m i [ r i − R + d ] [ r i − R + d ] .