特性類
構造群を持つファイバーバンドルの性質として以下が知られている:
定理 ― X、Yを位相空間とし、 ξ = ( E , Y , π ) {\displaystyle \xi =(E,Y,\pi )} を位相群Gを構造群として持つF-バンドルとし、さらに2つの連続写像
f , g : X → Y {\displaystyle f,g~:~X\to Y}
がホモトープであるとする。このときf、gによる引き戻し f ∗ ( ξ ) {\displaystyle f^{*}(\xi )} 、 g ∗ ( ξ ) {\displaystyle g^{*}(\xi )} は自然に同型である。 よって特に任意の特性類cに対し、
c ( f ∗ ( ξ ) ) = c ( g ∗ ( ξ ) ) {\displaystyle c(f^{*}(\xi ))=c(g^{*}(\xi ))}
すなわち特性類を考える上では、底空間の間の写像はホモトピークラスのみを考慮すればよい。
V n W {\displaystyle V_{n}W} 、 V n U W {\displaystyle V_{n}^{U}W} 、 V n O W {\displaystyle V_{n}^{O}W} の事をW上のn次元スティーフェル多様体(英語版)(英: Stiefel manifold)という。
Wが次元mの有限次元ベクトル空間の場合は、 V n W {\displaystyle V_{n}W} 、 V n U W {\displaystyle V_{n}^{U}W} 、 V n O W {\displaystyle V_{n}^{O}W} は集合として自然に
V n W ≃ G L m ( K ) / G L m − n ( K ) V n U W ≃ U ( m ) / U ( m − n ) when K = C V n O W ≃ O ( m ) / O ( m − n ) when K = R {\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}W&\simeq \mathrm {GL} _{m}(K)/\mathrm {GL} _{m-n}(K)\\V_{n}^{U}W&\simeq U(m)/U(m-n)~~{\text{when }}K=\mathbb {C} \\V_{n}^{O}W&\simeq O(m)/O(m-n)~~{\text{when }}K=\mathbb {R} \end{aligned}}}
という同一視ができ、上式右辺には多様体としての構造が入る事がリー群の一般論から従うので、スティーフェル「多様体」と呼ぶ。
Graduate Texts in Mathematics. 82. Springer. ISBN 978-0387906133 Date Husemoller (2014/5/14). Fibre Bundles Third Edition. Graduate Texts in Mathematics 20. Springer. ISBN 978-1475722635 Milnor, John W.; Stasheff, Jim (1974). Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies. 76. Princeton University Press, Princeton, NJ; University of Tokyo Press, Tokyo. ISBN 0-691-08122-0 Armand Borel (1967). Topics in the Homology Theory of Fibre Bundles. Lecture Notes in Mathematics(英語版). Springer. ISBN 978-3540039075 Chern, Shiing-Shen (1995). Complex manifolds without potential theory. Springer-Verlag Press. ISBN 0-387-90422-0 ISBN 3-540-90422-0.
この書籍のappendix "Geometry of Characteristic Classes" には、特性類の考え方の発展について非常に整理された深い入門が記載されている。
, γ m 2 ) γ 1 ε 1 ⋯ γ m ε m {\displaystyle f_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{m}}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})\gamma _{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots \gamma _{m}{}^{\varepsilon _{m}}} は各i=1,2に対し、λiの次数を mod 2 {\displaystyle {\bmod {2}}} したものが ε i {\displaystyle \varepsilon _{i}} になる項の和である。
k , l ∈ { 1 , ... , m } {\displaystyle k,\ell \in \{1,\ldots ,m\}} に対し γ k , γ l {\displaystyle \gamma _{k},\gamma _{\ell }} の符号を反転すると、
f ( γ 1 , ... , − γ k ... , − γ l , ... , γ m ) = ( ∑ ε k = 0 , ε l = 0 − ∑ ε k = 1 , ε l = 0 − ∑ ε k = 0 , ε l = 1 + ∑ ε k = 1 , ε l = 1 ) f ε 1 , ... , ε m ( γ 1 2 , ...
H k ( X ; M ) ≈ H k ( X ; Z ) ⊗ M ⊕ T o r ( H k + 1 ( X ; Z ) , M ) {\displaystyle H^{k}(X;M)\approx H^{k}(X;\mathbb {Z} )\otimes M\oplus \mathrm {Tor} (H^{k+1}(X;\mathbb {Z} ),M)} .
すでに述べたようにBSO(n)やBSO(2)はグラスマン多様体として表す事ができる。そしてグラスマン多様体をCW複体であって各kに対してk包体が有限個のもので表せる事が知られている。よって H k ( B S O ( n ) ; Z ) {\displaystyle H_{k}(BSO(n);\mathbb {Z} )} 、 H k ( B S O ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{k}(BSO(n);\mathbb {Z} )} 、 H k ( B S O ( 2 ) m ; Z ) {\displaystyle H_{k}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )} 、 H k ( B S O ( 2 ) m ; Z ) {\displaystyle H^{k}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )} は全て有限生成であり、上述の普遍係数定理の前提条件が満たされる。
以下、 Λ = Z [ 1 / 2 ] = { a / 2 n ∣ a ∈ Z , n ∈ Z ≥ 0 } {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} [1/2]=\{a/2^{n}\mid a\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\}} の場合に対してのみ定理を証明する。