二十一角形
以下のように定義すると
α = 2 cos  2 π 21 + 2 cos  8 π 21 + 2 cos  10 π 21 β = 2 cos  4 π 21 + 2 cos  16 π 21 + 2 cos  20 π 21 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{21}}+2\cos {\frac {8\pi }{21}}+2\cos {\frac {10\pi }{21}}\\&\beta =2\cos {\frac {4\pi }{21}}+2\cos {\frac {16\pi }{21}}+2\cos {\frac {20\pi }{21}}\end{aligned}}}
以下の値が求められる。
α + β = 1 ( α − β ) 2 = 21 α − β = 21 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta =1\,\\&(\alpha -\beta )^{2}=21\\&\alpha -\beta ={\sqrt {21}}\\\end{aligned}}}
解と係数の関係を求め、三次方程式を解くことにより cos  ( 2 π / 21 ) {\displaystyle \cos(2\pi /21)} が求められる。