陰函数定理
函数 f が微分可能でない場合の陰函数定理には様々な形のものが存在する。標準的な定理は一次元において成立するものである。以下に示すより一般の形の定理は、Jittorntrum の観察に基づいて、Kumagaiが証明した。
数学、特に多変数微分積分学において陰函数定理(いんかんすうていり、英: implicit function theorem)は、解析的な多項関係を多変数函数に読み替え、関係を函数のグラフとして表すことを可能にする基本的な道具である。関係の全体は一つの函数のグラフとして大域的に表せないものの、関係の一部は一つの函数のグラフとして局所的に表せることがある。陰函数定理はそのような函数(陰函数)が存在する十分条件を与える。
定理の主張する所は、函数 f(x, y) = f(x1, ..., xn, y1, ..., ym) がある零点の偏微分係数に関して一種の非特異性を満足するならば、その開近傍において方程式
f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0}
を m 個の変数 y について解いて n 個の変数 x による函数
y = g ( x ) {\displaystyle y=g(x)}
として表すことができる、というものである。(ただし、必ずしも既知函数の閉じた形(英語版)に書くことができるとは限らない。)方程式 f(x, y) = 0 から陰函数 g(x)が定まるというのは、幾何学的には軌跡 f(x, y) = 0 から局所的に(英語版)超曲面 y = g(x) が定まることを意味する。