バックフィッティングアルゴリズム
2 次元の場合において、明示的にバックフィッティングアルゴリズムを定式化することができる。
f 1 = S 1 ( Y − f 2 ) , f 2 = S 2 ( Y − f 1 ) {\displaystyle f_{1}=S_{1}(Y-f_{2}),f_{2}=S_{2}(Y-f_{1})}
f ^ 1 ( i ) {\displaystyle {\hat {f}}_{1}^{(i)}} を、i 番目の更新ステップにおける f 1 {\displaystyle f_{1}} の推定値とすると、バックフィッティングステップは、以下となる。
f ^ 1 ( i ) = S 1 [ Y − f ^ 2 ( i − 1 ) ] , f ^ 2 ( i ) = S 2 [ Y − f ^ 1 ( i − 1 ) ] {\displaystyle {\hat {f}}_{1}^{(i)}=S_{1}[Y-{\hat {f}}_{2}^{(i-1)}],{\hat {f}}_{2}^{(i)}=S_{2}[Y-{\hat {f}}_{1}^{(i-1)}]}
誘導により、以下の 2 つを得る。
f ^ 1 ( i ) = Y − ∑ α = 0 i − 1 ( S 1 S 2 ) α ( I − S 1 ) Y − ( S 1 S 2 ) i − 1 S 1 f ^ 2 ( 0 ) {\displaystyle {\hat {f}}_{1}^{(i)}=Y-\sum _{\alpha =0}^{i-1}(S_{1}S_{2})^{\alpha }(I-S_{1})Y-(S_{1}S_{2})^{i-1}S_{1}{\hat {f}}_{2}^{(0)}}