アペリーの定理
レオンハルト・オイラーは n が正の整数であるときにある有理数 p/q に対して
1 1 2 n + 1 2 2 n + 1 3 2 n + 1 4 2 n + ⋯ = p q π 2 n {\displaystyle {\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\dotsb ={\frac {p}{q}}\pi ^{2n}}
であることを証明した。具体的には、左辺の無限級数を ζ(2n) と書いて、彼は
ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! {\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}
を示した。ここで Bn はベルヌーイ数であり、有理数である。π が常に無理数であると証明されてからは、これは ζ(2n) がすべての正の整数 n に対して無理数であることを示している。
奇数に対するいわゆるゼータ定数(英語版)、正の整数 n に対する値 ζ(2n+1) に対しては、π によるそのような表示は知られていない。これらの量の比