ヘッケ環
H ( G / / K ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {G/\!/K} )}
が G のワイル群 W の一般ヘッケ環 Hq の不定元 q を有限体の濃度 p に特殊化したものから得られることを示した。ジョージ・ルスティックは1984年の『有限体上の簡約群の指標』(Characters of reductive groups over a finite field) の xi ページ脚注で
と記している。
Iwahori & Matsumoto (1965) は G がp-進数体 Qp のような非アルキメデス局所体 F 上で定義される、簡約代数群の有理点の群で、K が G の今日では岩堀部分群と呼ばれる部分群の場合を考察した。結果として得られるヘッケ環は G のアフィンワイル群のヘッケ環か、不定元 q が F の剰余体の位数であるようなアフィンヘッケ環に同型である。
1970年代にロジャー・ハウは、自身のあるいは p-進的な GLn の表現論に関するアレン・モイとの共著において、ヘッケ環を適切に構成することによる局所体上の簡約群の既約許容表現 (admissible representation) の分類の可能性を開いた(重要な貢献はヨゼフ・ベルンシュタインとアンドレイ・ゼルビンスキーによっても成されている)。この考え方はさらに、コリン・ブッシュネルとフィリップ・クツコーの「タイプの理論」に推し進められ、一般線型群 GL の場合については完全な分類が行われた。ここでの手法の多くは、いまだ活発に研究される部分が残っているほかの簡約群に対しても拡張して用いることができる。絶対に必要とされる任意のヘッケ環は、アフィンヘッケ環の mild な一般化になっていると予想されている。