クラマース＝ワニア双対性
これらの変数を定義する。
( K ∗ , L ∗ ) {\displaystyle (K^{*},L^{*})} での低温展開は、
Z N ( K ∗ , L ∗ ) = 2 e N ( K ∗ + L ∗ ) ∑ P ⊂ Λ D ( e − 2 L ∗ ) r ( e − 2 K ∗ ) s {\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2e^{N(K^{*}+L^{*})}\sum _{P\subset \Lambda _{D}}(e^{-2L^{*}})^{r}(e^{-2K^{*}})^{s}}
である。
tanh  K = e − 2 L ∗ , tanh  L = e − 2 K ∗ {\displaystyle \tanh K=e^{-2L*},\ \tanh L=e^{-2K*}}
により、
Z N ( K ∗ , L ∗ ) = 2 ( tanh  K tanh  L ) − N / 2 ∑ P v r w s {\displaystyle Z_{N}(K^{*},L^{*})=2(\tanh K\;\tanh L)^{-N/2}\sum _{P}v^{r}w^{s}} = 2 ( sinh  2 K sinh  2 L ) − N / 2 Z N ( K , L ) {\displaystyle =2(\sinh 2K\;\sinh 2L)^{-N/2}Z_{N}(K,L)}