随伴関手
Ψ Φ f = ε X ∘ F G ( f ) ∘ F ( η Y ) = f ∘ ε F Y ∘ F ( η Y ) = f ∘ 1 F Y = f {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi \Phi f&=\varepsilon _{X}\circ FG(f)\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ \varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})\\&=f\circ 1_{FY}=f\end{aligned}}}
を得る。よって、ΨΦは恒等変換である
双対的に、Gが関手であること、ηが自然であることcounit-unit恒等式 1 G X = G ( ε X ) ∘ η G X {\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}} を順番に使って、
Φ Ψ g = G ( ε X ) ∘ G F ( g ) ∘ η Y = G ( ε X ) ∘ η G X ∘ g = 1 G X ∘ g = g {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \Psi g&=G(\varepsilon _{X})\circ GF(g)\circ \eta _{Y}\\&=G(\varepsilon _{X})\circ \eta _{GX}\circ g\\&=1_{GX}\circ g=g\end{aligned}}}
を得る。よって、ΦΨは恒等変換であり、Φ = Ψを逆写像としてΦは自然同型となる。
関手 F : C ← D {\displaystyle F\colon C\leftarrow D} と G : C → D {\displaystyle G\colon C\to D} および、hom集合の随伴 Φ : h o m C ( F − , − ) → h o m D ( − , G − ) {\displaystyle \Phi \colon \mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)} が与えられたとして、普遍射の族を導くcounit-unit随伴
( ε , η ) : F ⊣ G {\displaystyle (\varepsilon ,\eta )\colon F\dashv G} ,
を以下の手順で構成する。
Cの各対象Xに対して、 ε X = Φ G X , X − 1 ( 1 G X ) ∈ h o m C ( F G X , X ) {\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)} とする。ここで、 1 G X ∈ h o m D ( G X , G X ) {\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)} は恒等射である。
随伴関手の考えはダニエル・カンによって1958年に定式化された。多くの圏論の概念と同様に、ホモロジー代数において計算を行おうとした際に必要になったために導入された。この問題のきれいで系統的な表現を与えようと向き合った人々はアーベル群の圏において
hom(F(X), Y) = hom(X, G(Y))
のような関係があることに気づいていた。ここで、Fは関手 − ⊗ A {\displaystyle -\otimes A} (つまり、Aとテンソル積を取る)であり、Gは関手hom(A,–)である。ここで等号を使うのは記号の乱用である。これらの群は実際には等しくないが、等しく見せるような自然な方法がある。自然に感じられる理由として、一番に、元々はこれらがX × AからYへの双線形写像の2つの異なった表現であるからである。しかし、これはテンソル積に関するいくぶん固有な話である。
閉包作用素は対応するモナドによる随伴の存在を示すことがある(Kuratowski closure axiomsを参照)
William Lawvereによる非常に一般的な解説 によると「構文と意味」は随伴である。つまり、Cを全ての論理(公理化)からなる集合とし、Dを全ての数学的構造からなる集合の冪集合とする。Cの各理論Tに対して、F(T)を公理Tを満たす構造全てからなる集合とし、各数学的構造の族Sに対して、G(S)はSの最小の公理化とする。このとき、F(T)がSの部分集合であることと、G(S)がTの論理的帰結であることは同値であり、「意味関手」Fは「構文関手」Gの左随伴である。
乗算の逆としての(一般の)演算としての除算は、多くの例があるが例えば、述語論理における含意の導入規則や、環のイデアルによるイデアル商は、随伴を与えるものと見ることができる。
このような観察は全ての数学で価値のあるものである。
非単位的環への単位元添加。これは動機の節で議論した例である。非単位的環 R が与えられたとして、R×Zを選び、Z双線形な積を(r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0)、 (r,0)(s,0) = (rs,0)、 (0,1)(0,1) = (0,1)で定めることにより、乗法単位元を追加することが出来る。この構成は環の台となる非単位的環を取る関手の左随伴である。
環の拡大。RとSを環とし、ρ : R → Sを環の準同型とする。このときSは「左」R-加群とみなすことができ、Sとのテンソル積は関手F : R-Mod → S-Modを引き起こす。そして、Fは忘却関手G : S-Mod → R-Modの左随伴である。
テンソル積構成。Rを環、Mを右R-加群とし、Mとのテンソル積は関手F : R-Mod → Abを引き起こす。関手G : Ab → R-Modを、各アーベル群Aに対して、G(A) = homZ(M,A)で定めると、Fの右随伴となる。
群環構成。整係数モノイド環構成はモノイドから環への関手を与える。この関手は各環をその台となる乗法モノイドに写す関手の左随伴である。同様に整係数群環構成は群から環への関手を与え、各環をその単元群に写す関手の左随伴である。(整係数ではなく)係数体 K を与える場合、環の圏のかわりに K-代数の圏を使えば K 上のモノイド環や群環が得られる。
商体構成。整域の圏で射を単射に限ったものをDommと書くことにする。