カービー計算
手術のための図式の種類と移動を拡張すると4次元多様体を記述できるようになる。3次元球面の中の枠つき絡み目は 4次元球体に 2-ハンドルを接着する際の情報を符号化しているとみなせる。(こうしてできる多様体の境界(3次元)はここまでに説明したような、絡み目で表示される 3次元多様体になる。) また、1-ハンドルは次のどちらかで表示される。
3次元球体の二つの組(1-ハンドルがそれらの領域を接着する)
点つきの自明な結び目(円周)
ここで「点」は、点付き円周を境界とする標準的な 2-円盤の近傍が 4次元球体の内部から切り開かれることを意味している。このことは 1-ハンドルを追加することに同値である。3-ハンドルと 4-ハンドルは通常図式の中には表示されない。
滑らかで閉じた 4次元多様体は通常ハンドル分解により記述される。
0-ハンドルは単なる球体であり、接着写像は非交和である。
1-ハンドルは(交わらない)二つの 3次元球体に接着される。
2-ハンドルはトーラス体に沿って接着される。このトーラス体は 3次元多様体に埋め込まれているので、 4次元多様体のハンドル分解と三次元多様体の中の結び目理論とを関係付ける。
指数が 1だけ異なるハンドルの組で、その中心線の絡みが互いに十分単純な場合、つくられる多様体を変えることなく、両方のハンドルを打ち消すことができる。逆に、打ち消しあうようなハンドルの組を新たに生成することもできる。
滑らかな 4次元多様体の滑らかなハンドル分解が二種類あるとき、それらは接着写像のイソトピーの有限列と、ハンドルの組の生成/消滅で移りあう。