リミットサイクル
リミットサイクルが2重巻きになるには、閉軌道が交差せずに2周できる空間の余地が必要となる。よって、このようなリミットサイクルの周期倍分岐は3次元以上の系でのみ起こる現象である。
周期倍分岐を経て、例えば a = 0.1, b = 0.1, c = 6 のとき、レスラー方程式のリミットサイクルは2重巻き(2周期)の状態にある。さらに c の値を増やしていくと2重巻きのリミットサイクルは4重巻きのリミットサイクルになり、周期はさらに倍になる。以下同様に、c の値の増加に伴って周期倍分岐が起き続け、ある c の値で周期は無限となり、リミットサイクルからカオスへ変わる。これは系のアトラクタがカオス(ストレンジアトラクタ)へと分岐するルートの一つで、周期倍分岐ルートと呼ばれる。この例では、 a = 0.1, b = 0.1, c = 9 のアトラクタはカオスである。
レスラー方程式は、エドワード・ローレンツが提案したローレンツ方程式に触発され、導入されたものであった。ローレンツ方程式でもまた同様に、リミットサイクルの存在と周期倍分岐ルートが確認される。また、チュア回路では、2つのリミットサイクルが同時に存在する様とそれぞれの周期倍分岐が見られる。
上田 睆亮、2008、『カオス現象論』初版、コロナ社〈現代非線形科学シリーズ12〉 ISBN 978-4-339-02611-5
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香田 徹・小室 元政・松本 隆・CHUA, Leon O.・徳永 隆治・相沢 洋二・大石 真一・八幡 英雄、合原 一幸(編)、1990、『カオス ―カオス理論の基礎と応用―』初版、サイエンス社 ISBN 4-7819-0592-7
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しかし、その初期値 X0 の ω 極限集合 ω(X0) または α 極限集合 α(X0) が閉軌道だとする。このとき、ω(X0) または α(X0) はリミットサイクルと呼ばれる。
2次元連続力学系では、相平面上でリミットサイクルは必ず孤立した閉軌道となる。すなわち、リミットサイクルとなる閉軌道 C の近傍には他の閉軌道は存在し得ない。近傍内の全ての軌道は、C に吸引されるように近づくか、C から反発するように遠ざかるかの2通りしかない。相空間上の「孤立した閉軌道」をリミットサイクルの定義とする流儀もある。
周りの軌道を吸引するリミットサイクルは漸近安定あるいは単に安定であるという。安定なリミットサイクルはアトラクタの1種である。リアプノフ指数で特徴付けすると、閉軌道接線方向のリアプノフ指数は 0 で、その他の方向のリアプノフ指数は負であるのが安定なリミットサイクルである。安定なリミットサイクルのことを周期アトラクタともいう。
周りの軌道を反発するリミットサイクルは軌道不安定あるいは単に不安定であるという。相平面のリミットサイクルで、内側の軌道が吸引されて外側の軌道が反発するような場合、あるいは内側の軌道が反発して外側の軌道が吸引されるような場合、これらの場合のリミットサイクルは半安定であるという。
すなわち、このような軌道は閉軌道そのものか、存在するリミットサイクルに吸引される軌道であるかのどちらかである。さらに、ベンディクソンの条件によれば、単連結な領域 Ω 上で
div  ( f ( x , y ) , g ( x , y ) ) = ∂ f ( x , y ) ∂ x + ∂ g ( x , y ) ∂ y {\displaystyle \operatorname {div} (f(x,\ y),\ g(x,\ y))={\frac {\partial f(x,\ y)}{\partial x}}+{\frac {\partial g(x,\ y)}{\partial y}}}
の値が零ではなく、かつ符号が一定であれば、Ω に完全に含まれる閉軌道は存在しない。また、系がリエナール方程式に相当するのであれば、リエナールの定理により原点を囲む漸近安定なリミットサイクルが存在する。
力学系のパラメータ(定数係数)が変化することによって、解に定性的な変化が起こることを分岐という。リミットサイクルも分岐を経て発生する。2次元系でリミットサイクルが発生する典型的な分岐は、ホップ分岐と呼ばれる分岐である。ホップ分岐では、パラメータ変化によって安定な平衡点が不安定に遷移し、その周囲に安定なリミットサイクルが起こる。