束 (束論)
実際に現れる束のかなり広範な部分が、このクラスに属する束となっている。
完備算術束のコンパクト元全体の成す集合は、最小元を持つ束となる。束演算はもとの算術束の各演算を制限することにより得られる。これは算術束を代数束と区別する特別な性質である(代数束ならばコンパクト元の全体は結び半束にしかならない)。これらの束は領域理論において研究される。
ほとんどの半順序集合は束を成さない。例えば以下のようなものは束にならない。
離散的半順序集合、すなわち x ≤ y ならば x = y となるような半順序集合が束となるのは、それが高々ひとつしか元を持たないときであり、かつそのときに限る。特に二元からなる離散的半順序集合は束ではない。
集合 {1, 2, 3, 6} に整除関係で順序を入れたものは束となるが、集合 {1, 2, 3} に同じ順序をいれたものは束にならない。実際、2 と 3 の対に対して結びが無く、{2, 3, 6} には交わりが無い。
集合 {1, 2, 3, 12, 18, 36} に整除関係で順序を入れたものも束にはならない。実際、どの二つの元に対しても上界と下界があるが、2 と 3 の対の 12, 18, 36 という三つの上界の中に整除関係に関して最小となるものが存在しない(12 と 18 は互いに他方を割り切らない)。同様に、12 と 18 の対には 1, 2, 3 という三つの下界があるが、それらの中に整除関係に関して最大となるものは存在しない(2 と 3 は互いに他を割り切らない)。
更なる例については、追加の条件ごとに分けて後述する。
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).
が成り立つかということを考える。これらは等式
(a ∧ b) ∨ (b ∧ c) ∨ (c ∧ a) = (a ∨ b) ∧ (b ∨ c) ∧ (c ∨ a)
が成り立つこととも同値である。束が最初の等式を(従って、束にとって同値な後の等式も)満足するならば、分配束 (distributive lattice) と呼ばれる。束が分配的である必要十分条件は M3 もしくは N5 (右図)と同型な部分束を含まないことである。集合束(ring of sets)は分配的であり、逆に任意の分配束は集合束と同型である(Birkhoffの表現定理)。
完備束に対して相性のよい分配性の狭義の概念というものを考えれば、完備ハイティング代数や完備分配束といったもっと特別のクラスを定義することができる。
a ∧ b <: a ならば b <: a ∨ b。
が成立するときにいう。ただしここで a <: b とは b が a を被覆する、すなわち a < b であり a < c < b となるような c が存在しないこと。
上半モジュラーの双対概念を下半モジュラーという。 モジュラー束は上及び下半モジュラーだが逆は一般には成立しない。しかし有限束などでは両者は一致する。
半モジュラーの更なる一般化として 弱半モジュラー (weakly semimodular) 又はバーコフ条件と言われる以下の条件がある