減衰振動
減衰力が減衰要素に対する相対速度に比例して発生する減衰モデル。運動方程式が線形となり数学的な取り扱いが簡単となる。レイノルズ数が小さく層流状態が仮定できるような流体による抵抗力によってこのような減衰力が発生する。
減衰振動の運動方程式を与えるラグランジアンは次式で与えられる:
L ( x , x ̇ , t ) = m 2 e 2 γ t ( x ̇ 2 − ω 0 2 x 2 ) . {\displaystyle L(x,{\dot {x}},t)={\frac {m}{2}}e^{2\gamma t}({\dot {x}}^{2}-\omega _{0}^{2}x^{2}).}
ただし γ := ζ ω0。このとき一般化運動量 p およびハミルトニアン H は
p := ∂ L ∂ x ̇ = m x ̇ e 2 γ t , {\displaystyle p:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}e^{2\gamma t},}
H ( x , p , t ) = 1 2 m e − 2 γ t p 2 + m 2 e 2 γ t ω 0 2 x 2 {\displaystyle H(x,p,t)={\frac {1}{2m}}e^{-2\gamma t}p^{2}+{\frac {m}{2}}e^{2\gamma t}\omega _{0}^{2}x^{2}}
となる。
さらにこの系に W(x, P, t) = xP exp(γt) を母関数とする正準変換を施す。ここで変換後の位置を X、運動量を P と表す。すると変換前後の変数の関係及び変換後のハミルトニアン K は
p = ∂ W ∂ x = P e γ t , {\displaystyle p={\frac {\partial W}{\partial x}}=Pe^{\gamma t},}
粘弾性を示す要素によって発生する減衰力。荷重と変形の関係がヒステリシスを示し、エネルギ損失が発生し、運動に減衰を与える。ゴムなどの粘弾性材料で顕著である。
ζ > 1のとき
x ( t ) = x 0 e − ζ ω 0 t { cosh  ( ω 0 t ζ 2 − 1 ) + σ + ζ ζ 2 − 1 sinh  ( ω 0 t ζ 2 − 1 ) } {\displaystyle x(t)=x_{0}e^{-\zeta \omega _{0}t}\left\{\cosh \left(\omega _{0}t{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)+{\frac {\sigma +\zeta }{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\sinh \left(\omega _{0}t{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)\right\}}
このような条件を過減衰(over damping)と呼ぶ。臨界減衰および過減衰のときは、減衰係数が大きすぎるために振動するような解ではなくなっている。