アーベル-ルフィニの定理
方程式を「代数的に解く」とは、与えられた方程式の係数から出発して四則演算と冪根をとる操作を有限回繰り返し、方程式の根を表示することをいう。単に「冪根によって解く」ともいう。このようにして得られる表示可能な数の全体は、係数体に適当な冪根を添加して拡大したものとなるが、もし方程式に代数的な解の公式が存在するなら、根がそのような拡大体のどこかに含まれているはずである。従って、「代数方程式が代数的に解ける」、すなわち「代数方程式の根が冪根による表示をもつ」とは、次のように定義される。
方程式の係数を含む体に適当な冪根を添加して体を拡大していき、その中に根を含むようにできる。
アーベル–ルフィニの定理からは、五次以上の一般代数方程式ではこのような拡大が十分に行えないことが結論される。