テンソルの縮約
縮約はしばしば(ユークリッド空間、多様体や概型などのような)空間上で定義されたテンソル場に対しても適用される。縮約は純代数的な演算であるから、テンソル場には点ごとに行うことができる。例えばユークリッド空間上の (1, 1)-型テンソル場 T に対して、その縮約 U(これはスカラー場になる)は各点 x において
U ( x ) = ∑ i T i i ( x ) {\displaystyle U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)}
で与えられる。ここでの x の役割は単純であるからしばしば省略され、その場合テンソル場は純代数的なテンソルと同じ形に書かれることになる。
リーマン多様体上で定義される場合、内積の定める場としての計量テンソル場が使えるから、計量縮約と非計量縮約の両方が理論にとって肝要である。例えばリッチテンソルはリーマン曲率テンソルの非計量縮約であり、スカラー曲率はリッチテンソルに関する唯一の計量縮約である。
テンソル場の縮約を、多様体上の函数の成す適当な環上の加群の文脈から捉えることもできる し、構造層上の加群の層の文脈で捉えることもできる(後述)。