ハミルトン場の理論
ラグランジアン密度は場と、その空間および時間の導関数、および場合によっては空間と時間の座標自体の関数である。これは一般化座標で記述された離散粒子の系のラグランジュ関数に類似した場である。
ハミルトン力学では一般化座標には対応する一般化運動量があるように、場 φ(x, t) に対して共役運動量の場 π(x, t) が存在し、ラグランジアン密度の場の時間微分に関する偏導関数、つまり
π := ∂ L ∂ φ ̇ , φ ̇ := ∂ φ ∂ t {\displaystyle \pi :={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}},\quad {\dot {\phi }}:={\frac {\partial \phi }{\partial t}}}
で定義される。ここで上付きドットは時間による偏微分 ∂/∂t を表す(常微分 d/dt でないことに注意)。