中心極限定理
最後の等式は全ての Yj は同一分布に従うため同じ特性関数を持つことから導いた。ここで、 φ Y 1 ( t ) {\displaystyle \varphi _{Y_{1}}(t)} をマクローリン展開する。
φ Y 1 ( 0 ) = E  [ e i t Y 1 ] | t = 0 = 1 φ Y 1 ′ ( 0 ) = E  [ i Y 1 e i t Y 1 ] | t = 0 = E  [ i Y 1 ] = i E  [ Y 1 ] = 0 φ Y 1 ′′ ( 0 ) = E  [ − Y 1 2 e i t Y 1 ] | t = 0 = E  [ − Y 1 2 ] = − V  [ Y 1 ] = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{Y_{1}}(0)&=\left.\operatorname {E} \left[e^{itY_{1}}\right]\right|_{t=0}=1\\\varphi _{Y_{1}}'(0)&=\left.\operatorname {E} \left[iY_{1}e^{itY_{1}}\right]\right|_{t=0}=\operatorname {E} \left[iY_{1}\right]=i\operatorname {E} \left[Y_{1}\right]=0\\\varphi _{Y_{1}}''(0)&=\left.\operatorname {E} \left[-Y_{1}^{2}e^{itY_{1}}\right]\right|_{t=0}=\operatorname {E} \left[-Y_{1}^{2}\right]=-\operatorname {V} \left[Y_{1}\right]=-1\end{aligned}}}