方正積分
函数 f: [a, b] → R が方正函数であるとは、それが [a, b] 上の階段函数列の一様極限となることである。これは以下のような(同値な)言い換えができる:
階段函数列 (φn)n∈N が存在して ‖ φn − f ‖∞ → 0 (n → ∞) とできる。
各 ε > 0 に対して階段函数 φε が存在して ‖ φε − f ‖∞ < ε とできる。
f は階段函数全体の成す空間の閉包に属する。ただし、閉包は [a, b] → R なる有界函数全体の成す空間の中で、一様ノルム ‖ - ‖∞ に関して取る。
任意の t ∈ [a, b) に対して右側極限 f ( t + ) = lim s ↓ t f ( s ) {\displaystyle f(t+)=\lim _{s\downarrow t}f(s)} が存在し、かつ任意の t ∈ (a, b] に対して左側極限 f ( t − ) = lim s ↑ t f ( s ) {\displaystyle f(t-)=\lim _{s\uparrow t}f(s)} が存在する。
この積分は線型作用素である。即ち、任意の方正函数 f, g および定数 α, β に対して ∫ a b α f ( t ) + β g ( t ) d t = α ∫ a b f ( t ) d t + β ∫ a b g ( t ) d t . {\displaystyle \int _{a}^{b}\alpha f(t)+\beta g(t)\,{\mathit {dt}}=\alpha \int _{a}^{b}f(t)\,{\mathit {dt}}+\beta \int _{a}^{b}g(t)\,{\mathit {dt}}.}
この積分は有界作用素である。即ち、任意の有界な方正函数 f について、m ≤ f(t) ≤ M (∀t ∈ [a, b]) とすれば m | b − a | ≤ ∫ a b f ( t ) d t ≤ M | b − a | . {\displaystyle m|b-a|\leq \int _{a}^{b}f(t)\,{\mathit {dt}}\leq M|b-a|.} 特に | ∫ a b f ( t ) d t | ≤ ∫ a b | f ( t ) | d t . {\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(t)\,{\mathit {dt}}\right|\leq \int _{a}^{b}|f(t)|\,{\mathit {dt}}.}
階段函数は可積分であり、かつその可積分性とリーマン積分値が一様極限と両立することから、方正積分はリーマン積分の特別の場合である。