様相論理
アリストテレスの論理学は大部分がいわゆる三段論法に関わるものであり、古典論理の枠内で扱えるものであるが、有名な De Interpretatione (『命題論』)の海戦問題のように、時間と可能性に関わる発展的な議論も行っている。スコラ哲学では主に本質(essence)と付随的な性質(accident)の区別について、厳密な論理が展開された。中世の思想家の中で、様相論理に関わる重要な仕事をした人物としてはオッカムのウィリアム、ヨハネス・ドゥンス・スコトゥスが挙げられる。
今日の様相論理は、1918年の著書 A Survey of Symbolic Logic のなかで S1–S5 の公理系を導入した C・I・ルイスに始まる。1933年にはクルト・ゲーデルにより、必然性演算子 ◻ {\displaystyle \Box } を基準とした方法で S4 が定義された。
この時、順序四組〈W, N, R, V〉が非正規様相論理における解釈である。vは、命題論理の結合子については、全ての w ∈ W {\displaystyle w\in W} で上記と同様に拡張される。様相演算子については、正規世界Nにおいては上記と全く同じだが、非正規世界W - N(WのうちでNに含まれない世界全ての集合)においては異なる。
全ての w ∈ W − N {\displaystyle w\in W-N} で w ∈ V ( ◊ A ) {\displaystyle w\in V(\Diamond A)} 且つ w ∉ V ( ◻ A ) {\displaystyle w\notin V(\Box A)} である。
いわば、非正規世界では定義的に(到達関係と関係なく)全ての可能命題が真であり、全ての必然命題が偽である。Aが恒真であるとは全ての解釈〈W, N, R, V〉の下で全ての w ∈ N {\displaystyle w\in N} に対し w ∈ V ( A ) {\displaystyle w\in V(A)} であることを言う。非正規様相論理の解釈の到達関係Rに反射的であるという制限を加えるとS2、反射的かつ推移的という制限を加えるとS3の意味論となる。
公理系S4の位相的意味論では、原子命題達を位相空間の中の図形と解釈する。ここでは様相演算子 ◻ {\displaystyle \Box } と ◊ {\displaystyle \Diamond } は、それぞれ開核作用素と閉包作用素に解釈される。代数的意味論では、原子命題達を位相ブール代数の元と解釈する。