68–95–99.7則
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経験論的には、いわゆる「3シグマのルール」や「千三ツの法則」と呼ばれるものであり、ほぼすべての値が平均の3標準偏差以内にあるという従来のヒューリスティックを表している。このヒューリスティックの便利さは置いている仮定に非常に大きく左右される。社会科学においては、2σ以上外れた値(95%信頼区間の外)が「有意」とされ、素粒子物理学の分野では、5σ (99.99994%信頼区間の外)が「発見」に必要だとされている。
「3シグマのルール」では正規分布に従わない場合でも、少なくとも、88.8%のデータは μ±3σ の範囲内に入る。これは、チェビシェフの不等式(kσの外にはたかだか1/k のデータしか存在し得ない)から導かれる。単峰分布においては、少なくとも95%であり、少なくとも98%まで上げるには一定の前提が必要かもしれない。
Pr ( | X − μ | ≤ k σ ) ≥ 1 − 1 k 2 {\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\leq k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}}
“68–95–99.7 則” は、標本からその母集団が正規分布であるかの簡易的な評価をするためによく用いられる。また、母集団を正規分布と仮定した場合の外れ値の単純な検定や、母集団が正規分布かもしれないに正規性検定としても使用される。
標本の変換するには、平均(母集団の平均がわからない場合には推定する)・分散を計算し、標本の値から平均の値を引くことで残差を計算する。そして、残差を標準偏差で割ることで偏差値を得る(ただし偏差値はここに書いたとおり残差を標準偏差で割った値であり、平均値が50、標準偏差が10となるように標本変数を規格化したものではなく、どちらかというとスチューデント化残差に近い)。
外れ値の検定や正規性の検定に用いる場合、標準偏差とその範囲に存在するデータの割合を比較する。標本のスチューデント化残差を計算し、正規分布でのデータの割合の期待値と比較する。(標本のサイズが十分大きい場合を除き、極端なデータとされるため)3σ以上の残差を持つデータは外れ値とされることが多い。平均から3σ以上に多くのデータがある場合正規分布ではないと疑われやすい。また、この考え方は4σ以上離れている場合より顕著である。
より正確には、ポアソン分布を用いて与えられた大きさ以上の残差のデータ数を近似して計算できるが、1000点の標本に4σ以上の残差を持つデータがある場合、正規性に疑問を呈する。