フレネル積分
オイラーの螺旋は、コルニュ螺旋またはクロソイドとも呼ばれ、S(t) と C(t) をパラメトリックにプロットした曲線である。コルニュ螺旋はマリー・アルフレッド・コルニュが回折の計算用にノモグラムとして考案したものである。
ここで、
C ′ ( t ) 2 + S ′ ( t ) 2 = sin 2  ( t 2 ) + cos 2  ( t 2 ) = 1 {\displaystyle C'(t)^{2}+S'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^{2})=1\,}
であるから、この曲線の接ベクトルは単位長で、t は原点 (0,0) からの曲線に沿った弧長である。したがって、どちらの方向の曲線も無限の長さがある。
この曲線は、任意の点の曲率が原点からの曲線に沿った長さに比例するという特徴がある。このため、高速道路や鉄道で緩和曲線として用いられる。この曲線上で乗り物が一定速度で走行すると、角加速度が一定のレートとなる。クロソイド曲線(の一部)は例えばローラーコースターのループの形状にも使われている。