逆三角関数
逆数:
arccos  1 x = arcsec  x arcsin  1 x = arccsc  x arctan  1 x = π 2 − arctan  x = arccot  x , if x > 0 arctan  1 x = − π 2 − arctan  x = − π + arccot  x , if x < 0 arccot  1 x = π 2 − arccot  x = arctan  x , if x > 0 arccot  1 x = 3 2 π − arccot  x = π + arctan  x , if x < 0 arcsec  1 x = arccos  x arccsc  1 x = arcsin  x {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos {\frac {1}{x}}&=\operatorname {arcsec} x\\\arcsin {\frac {1}{x}}&=\operatorname {arccsc} x\\\arctan {\frac {1}{x}}&={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x>0\\\arctan {\frac {1}{x}}&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x<0\\\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\\\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}&={\frac {3}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\\\operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}&=\arccos x\\\operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}&=\arcsin x\end{aligned}}}
逆三角関数は解析関数であるから、実数直線から複素平面に拡張することができる。その結果は複数のシートと分岐点を持つ関数になる。拡張を定義する1つの可能な方法は:
arctan  z = ∫ 0 z d x 1 + x 2 z ≠ ± i {\displaystyle \arctan z=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq \pm i}
ただし −i と +i の真の間にない虚軸の部分は主シートと他のシートの間の cut である;
arcsin  z = arctan  z 1 − z 2 z ≠ ± 1 {\displaystyle \arcsin z=\arctan {\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\quad z\neq \pm 1}
ただし(平方根関数は負の実軸に沿って cut を持ち)−1 と +1 の真の間にない実軸の部分は arcsin の主シートと他のシートの間の cut である;
arccos  z = π 2 − arcsin  z z ≠ ± 1 {\displaystyle \arccos z={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\quad z\neq \pm 1}
6つの三角関数はいずれも単射でないから、多価関数である。逆関数を考えるには、変域を制限する。それゆえ逆関数の値域はもとの関数の定義域の真の部分集合である。
例えば、平方根関数 y = √x は y = x から定義できるのと同様に、関数 y = arcsin(x) は sin(y) = x であるように定義される。sin y = x となる数 y は無数にある;例えば 0 = sin 0 = sin π = sin 2π = ... となっている。返す値を1つだけにするために、関数はその主枝(英語版)に制限する。この制限の上で、定義域内の各 x に対して表現 arcsin(x) はその主値と呼ばれるただ1つの値だけを返す。これらの性質はすべての逆三角関数について同様に当てはまる。
主逆関数は以下の表にリストされる。
(注意:逆正割関数の終域を (0 ≤ y < π/2 or π ≤ y < 3/2π) と定義する著者もいる、なぜならば正接関数がこの定義域上非負だからである。これによっていくつかの計算がより首尾一貫したものになる。例えば、この終域を用いて、tan(arcsec(x)) = √x − 1 と表せる。一方で終域 (0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π) を用いる場合、tan(arcsec(x)) = ± √x − 1 と書かねばならない、なぜならば正接関数は 0 ≤ y < π/2 上は負でないが π/2 < y ≤ π 上は正でないからである。類似の理由のため、同じ著者は逆余割関数の終域を (−π < y ≤ −π/2 or 0 < y ≤ π/2) と定義する。)
x が複素数であることを許す場合、y の終域はその実部にのみ適用する。
数学において、逆三角関数(ぎゃくさんかくかんすう、英: inverse trigonometric function、時折 cyclometric function)は(定義域を適切に制限した)三角関数の逆関数である。具体的には、それらは正弦 (sine)、余弦 (cosine)、正接 (tangent)、余接 (cotangent)、正割 (secant)、余割 (cosecant) 関数の逆関数である。これらは三角関数値から角度を得るために使われる。逆三角関数は工学、航法、物理学、幾何学において広く使われる。
cot  y = x ⇔ y = arccot  x + k π {\displaystyle \cot y=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccot} x+k\pi }
sec  y = x ⇔ y = arcsec  x + 2 k π or y = 2 π − arcsec  x + 2 k π {\displaystyle \sec y=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arcsec} x+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\operatorname {arcsec} x+2k\pi }
csc  y = x ⇔ y = arccsc  x + 2 k π or y = π − arccsc  x + 2 k π {\displaystyle \csc y=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccsc} x+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\operatorname {arccsc} x+2k\pi }