交代行列
任意の体 K 上の n次元ベクトル空間 V において、V の基底を固定すれば、V 上の双線型形式 φ は適当な n次正方行列 A によって φ(v,w) := vAw と表されることを思い出そう。
V 上の双線型形式 φ: V × V → K が
交代形式であるとは、非零ベクトル v を任意として交代性:φ(v,v) = 0 を満たすことを言う。
歪対称形式であるとは、ベクトル v, w を任意として歪対称性:φ(v, w) = −φ(w, v) を満たすことを言う。
V 上の交代形式(resp.歪対称形式)は、基底を一つ固定すれば、交代行列(resp.歪対称行列) A を用いて上記の形に表され、逆に K 上の交代行列(resp.歪対称行列)A は交代形式(resp.歪対称形式)(v,w) ↦ vAw を定める。
A が交代的ならば、任意の実ベクトル x に対して xAx = 0 が成り立つ。実際、xAx はスカラー値ゆえ転置と自身とが一致するが、同時に積の転置法則と A の交代性から
x ⊤ A x = ( x ⊤ A x ) ⊤ = x ⊤ A ⊤ x = − x ⊤ A x {\displaystyle x^{\top }Ax=(x^{\top }Ax)^{\top }=x^{\top }A^{\top }x=-x^{\top }Ax}
が成り立つ。またこの逆も成り立つ。実際、A が交代的でないならばその対称成分が 0 でない固有値 λ を持ち、λ に属する正規化された固有ベクトルを v とすれば vAv = λ が成立する。