ペアノの公理
自然数の順序は次のように定義される。 ある k について
n + k = m {\displaystyle n+k=m}
が成り立つとき
n ≤ m {\displaystyle n\leq m}
と定義する。
また n ≤ m かつ n ≠ m のとき n < m と定義する。
現代数学において標準的な数学の対象はすべて集合として実現されている。集合論における自然数の標準的な構成法としては
N := ⋂ { x ∣ ∅ ∈ x ∧ ∀ y [ y ∈ x → y ∪ { y } ∈ x ] } {\displaystyle \mathbb {N} :=\bigcap \{\,x\mid \emptyset \in x\land \forall y[y\in x\to y\cup \{y\}\in x]\,\}}
0 := ∅ {\displaystyle 0:=\emptyset }
S ( x ) := x ∪ { x } {\displaystyle S(x):=x\cup \{x\}}
がある。これらの集合は存在して、ペアノの公理を満たすことが確かめられる。
このとき具体的な自然数は
0 = ∅ = { } {\displaystyle 0=\emptyset =\{\}}
非論理記号として定数記号 0 と関数記号 S, +, ⋅ と述語記号 < をもつ等号つき一階述語論理の形式言語上で、以下の公理によって定まる理論をペアノ算術(Peano arithmetic)あるいは PA という(形式言語や公理の選び方には本質的に同じものが色々とある。)。
∀ n ¬ [ S ( n ) = 0 ] {\displaystyle \forall n\lnot [S(n)=0]}
∀ n ∀ m [ S ( n ) = S ( m ) → n = m ] {\displaystyle \forall n\forall m[S(n)=S(m)\to n=m]}
∀ n [ n + 0 = n ] {\displaystyle \forall n[n+0=n]}
∀ n ∀ m [ n + S ( m ) = S ( n + m ) ] {\displaystyle \forall n\forall m[n+S(m)=S(n+m)]}
∀ n [ n ⋅ 0 = 0 ] {\displaystyle \forall n[n\cdot 0=0]}
∀ n ∀ m [ n ⋅ S ( m ) = n ⋅ m + n ] {\displaystyle \forall n\forall m[n\cdot S(m)=n\cdot m+n]}