疫学における区画モデル
MSEIRSモデルはMSEIRに似ているが、Rクラスの免疫は一時的なものであり、一時的な免疫が終了すると個人は再び感受性を取り戻すことになる。
M → S → E → I → R → S {\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}\to {\mathcal {S}}}}}
この考えは、接触の間の典型的な時間は T c = β − 1 {\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}} であり、隔離までの典型的な時間は T r = γ − 1 {\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}} であると言えば、おそらくもっとわかりやすいだろう。ここから、平均して、感染者が隔離される「前」に他の人と接触した回数は T r / T c {\displaystyle T_{r}/T_{c}} となる。
1つ目の微分方程式を3つ目の微分方程式で割って、変数を分離して積分すると以下のようになる。
S ( t ) = S ( 0 ) e − R 0 ( R ( t ) − R ( 0 ) ) / N {\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N}}
上式において、 S ( 0 ) {\displaystyle S(0)} および R ( 0 ) {\displaystyle R(0)} はそれぞれ感受性保持者および隔離者の初期数である。
受動免疫の要因と潜伏期間を持つ疾患の場合には、MSEIRモデルが存在する。
M → S → E → I → R {\displaystyle \color {blue}{{\mathcal {M}}\to {\mathcal {S}}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}\to {\mathcal {R}}}}
d M d T = Λ − δ M − μ M d S d T = δ M − β S I N − μ S d E d T = β S I N − ( ε + μ ) E d I d T = ε E − ( γ + μ ) I d R d T = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dM}{dT}}&=\Lambda -\delta M-\mu M\\[6pt]{\frac {dS}{dT}}&=\delta M-{\frac {\beta SI}{N}}-\mu S\\[6pt]{\frac {dE}{dT}}&={\frac {\beta SI}{N}}-(\varepsilon +\mu )E\\[6pt]{\frac {dI}{dT}}&=\varepsilon E-(\gamma +\mu )I\\[6pt]{\frac {dR}{dT}}&=\gamma I-\mu R\end{aligned}}}
が得られる。
ここで、 ξ ( t ) {\displaystyle \xi (t)} は、個人が時刻 t {\displaystyle t} までに受け取った伝染の期待値と解釈することができる。これらの2つの解は e − ξ ( t ) = u {\displaystyle e^{-\xi (t)}=u} でつながっている。
事実上、同じ結果はカーマックとマッケンドリックの最初の論文にも見出すことができる。
これらの解は、元の微分方程式の右辺のすべての項が I {\displaystyle I} に比例していることに注意すれば、簡単に理解できるかもしれない。したがって、方程式を I {\displaystyle I} で割って、左辺の微分演算子が単純に d / d τ {\displaystyle d/d\tau } ( d τ = I d t {\displaystyle d\tau =Idt} 、すなわち τ = ∫ I d t {\displaystyle \tau =\int Idt} )になるように、時間を再スケーリングすることができる。これで微分方程式はすべて線形となり、 d R / d τ = {\displaystyle dR/d\tau =} 定数の形式の第3の方程式は、 τ {\displaystyle \tau } と R {\displaystyle R} (および上記の ξ {\displaystyle \xi } )が単純に線形に関係していることを示している。
∂ t n ( t , a ) + ∂ a n ( t , a ) = − μ ( a ) n ( a , t ) {\displaystyle \partial _{t}n(t,a)+\partial _{a}n(t,a)=-\mu (a)n(a,t)}
が得られる。
3つの伝染病クラスにおいて出生率が等しい最も単純な場合において、人口均衡を保つためには、出生率 φ ( . ) {\displaystyle \varphi (.)} と死亡率 μ ( a ) {\displaystyle \mu (a)} を結び付ける以下の必要十分条件
1 = ∫ 0 a M φ ( a ) exp  ( − ∫ 0 a μ ( q ) d q ) d a {\displaystyle 1=\int _{0}^{a_{M}}\varphi (a)\exp \left(-\int _{0}^{a}{\mu (q)dq}\right)\,da}
と人口均衡
n ∗ ( a ) = C exp  ( − ∫ 0 a μ ( q ) d q ) , {\displaystyle n^{*}(a)=C\exp \left(-\int _{0}^{a}\mu (q)\,dq\right),}
が満たされなけばならず、これによって自動的に感染症の無い解
D F S ( a ) = ( n ∗ ( a ) , 0 , 0 ) . {\displaystyle DFS(a)=(n^{*}(a),0,0).}
の存在が保証される。
基本再生産数は、適切な関数演算子のスペクトル半径として計算することができる。