リーマン多様体
∂ ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}} を ei = (0, ..., 1, ..., 0) と同一視すると、開集合 U ⊂ R 上の標準計量が、
g p c a n : T p U × T p U ⟶ R , ( ∑ i a i ∂ ∂ x i , ∑ j b j ∂ ∂ x j ) ⟼ ∑ i a i b i {\displaystyle g_{p}^{\mathrm {can} }\colon T_{p}U\times T_{p}U\longrightarrow \mathbf {R} ,\qquad \left(\sum _{i}a_{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\sum _{j}b_{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\longmapsto \sum _{i}a_{i}b_{i}}
で定義される。すると、g はリーマン計量で、 g i j c a n = ⟨ e i , e j ⟩ = δ i j {\displaystyle g_{ij}^{\mathrm {can} }=\langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}}
である。この計量を持った R は次元 n のユークリッド空間と呼ばれ、gij は(標準)ユークリッド計量と呼ばれる。
リーマン多様体は距離空間と見ることができる。連続かつ微分可能な曲線γ: [a, b] → M がリーマン多様体 M 上で与えられるとき、この曲線の長さ L(γ) は次のように表される。
L ( γ ) = ∫ a b ‖ γ ′ ( t ) ‖ d t . {\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|\,\mathrm {d} t.}
この定義において、全ての連結リーマン多様体 M は距離空間となり、点xおよび点yとの距離 d (x, y) は
d (x,y) = inf { L(γ) : γ は x と y を結ぶ連続的に微分可能な曲線 }
と与えられる。リーマン多様体上では、異なる2点 x と y を結ぶ線は多くの場合「曲線」であるわけだが、局所的に見て、最短距離で点と点を結んでいるという点においては「直線」であると考えることもできる。多様体がコンパクトであるという前提をおくと、任意の2点 x および y について長さ d (x, y) の接続を考えることができる。もしコンパクト性がない場合には、最短距離が決まらない可能性があり、これは真ではない。
なお、リーマン計量 g が正定値の場合には、これにより定まる内積が距離を与えることは明らかである。g が正定値ではないが非退化 (行列でいうところの正則行列) であるならば、この計量を擬リーマン計量とよぶ。この擬リーマン計量は相対性理論において用いられるミンコフスキー空間をなすための重要な考え方である。
微分幾何学におけるリーマン多様体(リーマンたようたい、英: Riemannian manifold)とは、可微分多様体のうちその各点に基本計量テンソル g が与えられるものを言う。ベルンハルト・リーマンによって導入された。