テンソル積
置換作用素から導かれるテンソル代数 T(V) 上の対称化作用素 Sym および交代化作用素 Alt は、斉次成分 V 上で
Sym n := 1 n ! ∑ σ ∈ S n τ σ , Alt n := 1 n ! ∑ σ ∈ S n sgn  ( σ ) ⋅ τ σ {\displaystyle \operatorname {Sym} _{n}:={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\tau _{\sigma },\quad \operatorname {Alt} _{n}:={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\cdot \tau _{\sigma }}
を満たすものとすれば、k-階テンソル t および k′-階テンソル t′ に対して
t t ′ = Sym k + k ′  ( t ⊗ t ′ ) , t ∧ t ′ = Alt k + k ′  ( t ⊗ t ′ ) {\displaystyle tt'=\operatorname {Sym} _{k+k'}(t\otimes t'),\quad t\wedge t'=\operatorname {Alt} _{k+k'}(t\otimes t')}
と置いたものは、それぞれ対称テンソル空間 S(V) および反対称テンソル空間 A(V) 上の双線型な乗法を与え、それぞれ対称(テンソル)積、交代(テンソル)積と呼ばれる(交代積は外積あるいはグラスマン積とも呼ばれる)。
加群のテンソル積: 可換環 R 上の加群に関してはベクトル空間のテンソル積と同じ形の関係式による商加群として(あるいは同じ形の普遍性により)加群のテンソル積が定義され、ふたたび R-加群となる。R が非可換環の場合には、スカラー倍に関する条件を少し変えて加群の間のテンソル積が定義されるが、それは単なるアーベル群(Z-加群)として得られる。
多元環のテンソル積: 単位的可換環 K 上の多元環 A, B に対し、K 上の加群としてのテンソル積には、(α ⊗ β)(α′ ⊗ β′) = (αα′)⊗(ββ′) (∀α, α′ ∈ A, β, β′ ∈ B) となるような乗法が一意的に定義できて K 上の多元環となる。
加群の層のテンソル積
ヒルベルト空間のテンソル積(英語版)
位相線型空間のテンソル積(英語版)
次数付き線型空間のテンソル積(英語版)
二次形式のテンソル積(英語版)
グラフのテンソル積(英語版)
テンソル積の最も一般の形はモノイド圏におけるモノイド積 (monoidal product) として定式化することができる。