ノルム
‖ x ‖ ∞ := max { | x 1 | , ... , | x n | } {\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{\infty }:=\max \left\{|x_{1}|,\dots ,|x_{n}|\right\}}
などはノルムの条件を満たす。 一般に 1 ≤ p < ∞ に対して
‖ x ‖ p := ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 / p = | x 1 | p + ⋯ + | x n | p p {\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{p}:=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}}}}
を p次平均ノルムまたは p-ノルムと呼ぶ。この呼称を用いるならば、ユークリッドノルムは 2-ノルムである。また最大値ノルムはこの p-ノルムの p → ∞ としたときの自然な極限であると見なされるので、∞ノルム(無限大ノルム)とも呼ばれる。
また特に次元が n = 1 のときを考えれば、任意の 1 ≤ p < ∞ について
‖ x ‖ p = | x | {\displaystyle \|x\|_{p}=|x|}
であり、絶対値 |•| 自身が実数あるいは複素数の1次元ベクトルにおけるノルムの例になっている。
なお、p が 1 未満に対しては、p-ノルムを定義しない。