多重根号
解と係数の関係から、 d , e {\displaystyle d,e} は t {\displaystyle t} についての二次方程式
t 2 − a t + b 2 c 4 = 0 {\displaystyle t^{2}-at+{\frac {b^{2}c}{4}}=0} の解である。
これを解いて、
t = a ± a 2 − b 2 c 2 {\displaystyle t={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}} を得る。
あるいは以下のようにしても同様の結果が得られる。
有理成分の比較 a = d + e {\displaystyle a=d+e} から、 d = a − e {\displaystyle d=a-e} または
e = a − d {\displaystyle e=a-d}
を得る。また、無理成分の比較 b c = 2 d e {\displaystyle b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}}} から、両辺自乗して先の式を代入すれば
b 2 c = 4 d ( a − d ) = 4 a d − 4 d 2 {\displaystyle b^{2}c=4d(a-d)=4ad-4d^{2}}
となり、整理すれば二次方程式
4 d 2 − 4 a d + b 2 c = 0 , {\displaystyle 4d^{2}-4ad+b^{2}c=0,}
を得る。これを解いて
d = a ± a 2 − b 2 c 2 {\displaystyle d={\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}}
a = d + e ゆえ、二つの解 d, e は互いに代数共役(英語版)であるから、
d = a + a 2 − b 2 c 2 {\displaystyle d={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}}
e = a − a 2 − b 2 c 2 {\displaystyle e={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}}}
と決まる。
このやり方で a + b c {\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}} の形の多重根式を一重化できるための必要十分条件は a 2 − b 2 c {\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}} が有理数となること、すなわち a 2 − b 2 c {\displaystyle a^{2}-b^{2}c} が平方数となることである(そのとき、多重根式の一重化は上で見た通りの二つの平方根の和になる)。