転置写像
転置を特徴付ける恒等式 [f*(φ), v] = [φ, f(v)] は、形の上では作用素の随伴の定義と同じであるが、転置と随伴は同じではない。その大きな違いは、転置が双線型形式であるのに対し、随伴は半双線型形式を定めることである。さらに言えば、転置が任意のベクトル空間に対して定まるのに対し、随伴はヒルベルト空間に対して定まる点も異なる。
ヒルベルト空間 X, Y と線型写像 u: X → Y に対し、u の転置 f と随伴 u* は関係がある。I: X → X* および J: Y → Y* をそれぞれ、ヒルベルト空間 X および Y のそれぞれの双対空間への自然な反線型等距同型とすれば、u* は写像の合成
Y → J Y ∗ → t u X ∗ → I − 1 X {\displaystyle Y{\overset {J}{{}\to {}}}Y^{*}{\overset {{}^{t\!}u}{{}\to {}}}X^{*}{\overset {I^{-1}}{{}\to {}}}X}
に等しい。