隣接代数 (順序理論)
例えば 3 = 1+1+1 は多重集合 {1,1,1} である。 二つ目の例は(真の多重集合の場合は現れないから)明らか。
有限 p-群 G の部分群全体の成す集合に包含関係で順序を入れた半順序集合のメビウス函数は K が H の正規部分群で H/K ≅ (Z/pZ) なるとき μ G ( K , H ) = ( − 1 ) k p ( k 2 ) , {\displaystyle \mu _{G}(K,H)=(-1)^{k}p^{\binom {k}{2}},} それ以外のとき 0 となる。これはWeisnerによる定理である。
適当な有限集合の分割全体の成す集合に、σ ≤ τ は σ が τ の細分となるときと定めた半順序集合の接合代数のメビウス函数は、σ の成分数 n, τ の成分数 r, σ ≤ τ として、また σ の成分をちょうど i 個含むような τ の成分の総数を ri として μ ( σ , τ ) = ( − 1 ) n − r ( 2 ! ) r 3 ( 3 ! ) r 4 ⋯ ( ( n − 1 ) ! ) r n {\displaystyle \mu (\sigma ,\tau )=(-1)^{n-r}(2!)^{r_{3}}(3!)^{r_{4}}\cdots ((n-1)!)^{r_{n}}} で与えられる。
ζ は隣接代数において(上で定義した畳み込みに対して)可逆であることを示すことができる。(一般に、隣接代数の元 h が可逆であるための必要十分条件は任意の x に対して h(x,x) が可逆であることである。)ゼータ関数の乗法逆元は、メビウス関数 μ(a, b) である。メビウス関数の値は常に、係数環の単位元 1 の整数倍である。
メビウス関数は次のように帰納的に定義することもできる: μ ( x , y ) = { 1 if x = y − ∑ z : x ≤ z < y μ ( x , z ) for x < y 0 otherwise . {\displaystyle \mu (x,y)={\begin{cases}{}\qquad 1&{\textrm {if}}\quad x=y\\[6pt]\displaystyle -\sum _{z\,:\,x\leq z<y}\mu (x,z)&{\textrm {for}}\quad x<y\\[6pt]{}\qquad 0&{\textrm {otherwise}}.\end{cases}}}
μ を掛けることは微分に相当し、それはメビウス反転とも呼ばれる。