モーメント (確率論)
{\displaystyle m_{n}=\langle X^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }
期待値 μ は 1次のモーメント m1 に等しい。分散 σ は これと2次のモーメント、つまり m1, m2 を用いて表すことができる。すなわち、
μ = m 1 , σ 2 = m 2 − m 1 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=m_{1},\\\sigma ^{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}.\end{aligned}}}
m1 に関する n 次モーメントを μn で表し、n 次の中心モーメント (n-th order center moment)、またはn 次の中心化モーメントという。
μ n = ⟨ ( X − m 1 ) n ⟩ n = 1 , 2 , ... {\displaystyle \mu _{n}=\langle (X-m_{1})^{n}\rangle \quad n=1,2,\dots }
ここで、2次の中心モーメント μ2 は分散と一致する。
一般の確率分布において、モーメントは必ずしも有限値として存在するとは限らない。実際、コーシー分布
p ( x ) = 1 π 1 x 2 + 1 {\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{x^{2}+1}}}
において、モーメントは全て無限大に発散する。