不変測度
力学系 (X, T, φ) に対しても変換の一径数族 φ = {φt} に関して不変な測度というものを考えることができる。すなわち、T をモノイド(直観的には時刻 t の成す径数モノイド)、φ: T × X → X をフロー写像とするとき、(X, Σ) 上の測度 μ が φ-不変測度であるとは、任意の t ∈ T に対する X 上の可測変換写像 φt: X → X に対して不変であることを言う。より明示的に、μ が不変測度であるための必要十分条件は、
μ ( φ t − 1 ( A ) ) = μ ( A ) ( ∀ t ∈ T , A ∈ Σ ) {\displaystyle \mu (\varphi _{t}^{-1}(A))=\mu (A)\qquad (\forall t\in T,A\in \Sigma )}
である。また、μ が確率変数列 (Zt)t≥0(それはマルコフ連鎖や、確率微分方程式の解であるかも知れない)に対する不変測度であるとは、初期条件 Z0 が μ に従って分布する限りにおいて、その後の任意の時刻 t に対する Zt もそうであることを言う。