エンゲルの定理
[ 0 a 12 a 13 ⋯ a 1 n 0 0 a 23 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 ⋱ a n − 1 n 0 0 ⋯ ⋯ 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&0&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&&\ddots &a_{n-1n}\\0&0&\cdots &\cdots &0\end{bmatrix}}}
によって与えられる任意の写像は冪零である。リー環 L の元 x が ad-nilpotent とは、
ad x  ( y ) = [ x , y ] {\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]\ }
によって定義される L 上の線型写像が冪零であることをいう。V 上の線型変換全体からなるリー環 L(V) において、恒等写像 IV は ad-nilpotent である( ad I V = 0 : L ( V ) → L ( V ) {\displaystyle \operatorname {ad} _{I_{V}}=0\colon L(V)\rightarrow L(V)} だから)が、写像そのものは冪零ではないことに注意しよう。
リー環 L が冪零であるとは、
L 0 = L , L i + 1 = [ L , L i ] {\displaystyle \mathbf {L} ^{0}=\mathbf {L} ,\quad \mathbf {L} ^{i+1}=[\mathbf {L} ,\mathbf {L} ^{i}]\ }