反応拡散系
最も簡単な反応拡散方程式は、空間一次元における単一物質の濃度 u に関するもので、
∂ t u = D ∂ x 2 u + R ( u ) {\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u)}
と記述され、これはKPP方程式(Kolmogorov-Petrovsky-Piskounov の略)とも呼ばれる。反応項が無い場合、方程式は純粋な拡散過程のみを表す。そのような方程式はフィックの第二法則に関係するものである。反応項が R(u) = u(1-u) である場合、生物学的な人口の広がりを表現するために元々用いられた、フィッシャーの方程式が得られる。R(u) = u(1 − u) である場合、レイリー=ベナール対流を表すためのニューウェル=ホワイトヘッド=シーゲル方程式が得られる。R(u) = u(1 − u)(u − α) および 0 < α < 1 である場合には、燃焼理論に現れるより一般的なゼルドビッチ方程式が得られる。そしてその特別な退化的な例は R(u) = u − u の場合に得られ、その方程式もまたゼルドビッチ方程式と呼ばれる。
一成分の系のダイナミクスは、ある特定の制限に関するものである。なぜならば、その発展方程式は変分系
c = 0 の場合には、この記述内容には次のような簡単な証明が存在する:u0(x) が定常解、u=u0(x) + ũ(x, t) が無限小摂動解であるなら、線型安定性解析によって次の方程式が導かれる。
∂ t u ~ = D ∂ x 2 u ~ − U ( x ) u ~ , U ( x ) = − R ′ ( u ) | u = u 0 ( x ) . {\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\quad U(x)=-R^{\prime }(u)|_{u=u_{0}(x)}.}
この解 ũ = ψ(x)exp(−λt) に対し、シュレディンガー型の固有値問題
H ^ ψ = λ ψ , H ^ = − D ∂ x 2 + U ( x ) , {\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),}
が得られる。ただし、その負の固有値が解の不安定性に帰結するものである。
反応拡散系(はんのうかくさんけい、英: reaction-diffusion system)とは、空間に分布された一種あるいは複数種の物質の濃度が、物質がお互いに変化し合うような局所的な化学反応と、空間全体に物質が広がる拡散の、二つのプロセスの影響によって変化する様子を数理モデル化したものである。