球体
より一般に、R の点対称な有界凸開集合 X が与えられたとき、任意の開球体が X を適当な大きさの拡縮を一様に行って平行移動したものとなっているような R 上のノルムを定義することができる。この定理は「開集合」を「閉集合」に置き換えると成立しない(実際、原点のみからなる集合は閉集合だが、これは R のノルムを定めない)。
より一般に、距離から導かれる位相とは限らない位相を備えた任意の位相空間 X においても球体について述べることができる。X の部分集合は、それが n-次元ユークリッド(開、閉)球体に同相となるとき、X の n-次元位相(開、閉)球体と呼ばれる。n-次元位相球体は組合せ論的位相幾何学(英語版)において、胞複体(英語版) の構成ブロックとして重要である。
任意の n-次元位相開球体は数空間 R に同相であり、また n-次元単位開超立方体 (0,1) にも同相である。同様に、任意の n-次元位相閉球体は n-次元単位閉超立方体 [0,1] に同相である。
n-次元球体が m-次元球体と同相となる必要十分条件は n = m となることである。n-次元開球体 B と R との間の同相写像は、B の取り得る二つの位相的向きとして理解することができる二つの類に類別することができる。
n-次元位相球体は滑らかでなくともよいが、滑らかとなる場合は n-次元ユークリッド球体と微分同相でなければならない。