リッチテンソル
ガウス・コダッチ方程式(英語版)を通じて完全な曲率を決定する第二基本形式は、それ自体がリッチテンソルにより決定され、超曲面の主方向もリッチテンソルの固有方向により決定される。リッチテンソルは、この理由によりリッチが導入したものである。
もしリッチ曲率関数 Ric(ξ, ξ) が単位接線ベクトル ξ の集合について定数関数であるならば、そのリーマン多様体はリッチ曲率が定数である、もしくはアインシュタイン多様体であるという。これは、リッチテンソル Ric が計量テンソル g の定数倍である場合にのみ成り立つ。
リッチ曲率は計量テンソルのラプラシアン倍として考えると便利である (Chow & Knopf 2004, Lemma 3.32)。特に、局所調和座標(英語版)においては次の式が成り立つ。
R i j = − 1 2 Δ ( g i j ) + lower order terms , {\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\Delta (g_{ij})+{\text{lower order terms}},}
ここで、 Δ ラプラス・ベルトラミ作用素(英語版)であり、この場合は関数 gij に作用するものと考える。この事実により、例えばリッチフロー方程式を計量の拡散方程式の自然な拡張と見做す動機があたえられる。また、p を底とする法線座標系(英語版)においては、点 p において次が成り立つ。
R i j = − 3 2 Δ ( g i j ) {\displaystyle R_{ij}=-{\frac {3}{2}}\Delta (g_{ij})}