カタラン予想
ピライの予想(英: Pillai's conjecture)は、累乗数(オンライン整数列大辞典の数列 A001597)の一般的な違いに関するものである。これは、スバッヤ・ピライ(英語版)が最初に提示した未解決問題であり、累乗数の列の差は無限大になる傾向があるという予想である。この予想は、各正の整数が累乗数の差として有限回しか現れないと言い換えられる。より一般に、1931年に、ピライは、固定された正の整数 A, B, C に対して、方程式 A x n − B y m = C {\displaystyle Ax^{n}-By^{m}=C} は有限の数の解 (x, y, m, n) しか持たないことを予想した。ただし、解は (m, n) ≠ (2, 2) とする。ピライは、1未満の λ について、差 | A x n − B y m | ≫ x λ n {\displaystyle |Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}} は m と n で均一になることを証明した。
この一般化された予想はABC予想から導かれると考えられている。
ポール・エルデシュは、いくつかの正の定数 c とすべての十分に大きな n に対して、累乗数の昇順列 ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} が a n + 1 − a n > n c {\displaystyle a_{n+1}-a_{n}>n^{c}} を満たすと予想した。