有界型空間
バナハ空間の任意の有界閉円板はバナハ円板である。
U が X の零ベクトル 0 の凸均衡閉近傍ならば X の位相線型空間としての位相は r > 0 が任意の正数を亙るときの rU を近傍系として誘導される。この位相を持つ X を XU で表すが、この位相は必ずしもハウスドルフにも完備にもならない。そこでハウスドルフ空間 XU/Ker(μU) の完備化を X ^ U {\displaystyle {\hat {X}}_{U}} で表せば、この X ^ U {\displaystyle {\hat {X}}_{U}} は完備ハウスドルフ空間で μU はこの空間上のノルムになる。即ち X ^ U {\displaystyle {\hat {X}}_{U}} バナハ空間である。U の極集合を D′ とすれば、X において弱コンパクト有界等連続ゆえ、劣完備である。
函数解析学において、界相空間とは、局所凸位相線型空間であって、その位相がその自然な有界集合系から回復できるものを言う。明示的に述べれば、連続的双対空間 X′ を持つ局所凸ハウスドルフ空間 X が界相空間であるとは、以下の同値な条件の何れか(従って全部)を満足するときに言う。
X のフォンノイマン界相から誘導される局所凸位相が X′ の始位相(英語版)に一致する。
X 上定義される任意の有界半ノルムが連続である。
任意の局所凸空間 Y に対し X から Y への任意の有界線型作用素が連続である。
X はノルム空間の帰納極限である。
X は D が全ての有界閉円板(あるいは X のすべての有界円板)を亙るときのノルム空間 XD の帰納極限に一致する(XD の定義は後述)。
X の任意の凸、均衡かつ界呑部分集合が零ベクトル 0 の近傍を成す。