変分法
解析学の一分野、変分法(へんぶんほう、英: calculus of variations, variational calculus; 変分解析学)は、汎函数(函数の集合から実数への写像)の最大化や最小化を扱う。汎函数はしばしば函数とその導函数を含む定積分として表される。この分野の主な興味の対象は、与えられた汎函数を最大・最小とするような「極値」函数、あるいは汎函数の変化率を零とする「停留」函数である。
そのような問題のもっとも単純な例は、二点を結ぶ最短の曲線を求める問題である。何の制約も無ければ二点を結ぶ直線が明らかにその解を与えるが、例えば空間上の特定の曲面上にある曲線という制約が与えられていれば、解はそれほど明らかではないし、複数の解が存在し得る。この問題の解は測地線と総称される。関連する話題としてフェルマーの原理は「光は二点を結ぶ最短の光学的長さを持つ経路を通る。ただし光学的長さは間にある物質によって決まる」ことを述べる。これは力学における最小作用の原理に対応する。
重要な問題の多くが多変数函数を含む。ラプラス方程式の境界値問題の解はディリクレの原理を満足する。 プラトーの問題(英語版)は空間内の与えられた周回路の張る面積が最小の曲面(極小曲面)を求める問題であり、しばしばその解を石鹸水に浸した枠が張る石鹸膜として見つけるデモンストレーションを目にする。こうした経験は比較的容易に実験できるけれども、その数学的解釈は簡単とはほど遠い(局所的に最小化する曲面は複数存在し得るし、非自明な位相を持ち得る)。
↑ f の近傍とは、与えられた函数空間の元 y で定義域の全体において |y - f| < h を満たすもの全体の成す部分集合を言う。ここで正の数 h は近傍の大きさを決める定数である。
↑ 十分条件は後述
↑ 一次変分 (first variation) は、変分、微分、一次の微分などとも呼ばれる。
↑ 二次変分もまた二次の微分などとも呼ばれる。
↑ 増分 ΔJ[h] および以下に現れる変分はy および h の双方に依存することに注意せよ。記述の簡素化のために、引数 y は省略されているが、例えば ΔJ[h] は ΔJ[y; h] のように書くのが意味の上では自然である。
↑ 汎函数 φ[h] が線型とは、函数 h, h1, h2 と実数 αに関して、φ[αh] = αφ[h] および φ[h1 +h2] = φ[h1] + φ[h2] を満たすことを言う。