弾性衝突
( m 1 u 1 ) 2 2 m 1 + ( m 1 u 1 ) 2 2 m 2 = ( m 1 v 1 ) 2 2 m 1 + ( m 1 v 1 ) 2 2 m 2 {\displaystyle {\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\,\!}
( m 1 + m 2 ) ( m 1 u 1 ) 2 = ( m 1 + m 2 ) ( m 1 v 1 ) 2 {\displaystyle (m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\,\!}
u 1 = − v 1 {\displaystyle u_{1}=-v_{1}\,\!}
これは違いはあるものの、相対論的計算 u 1 = − v 1 {\displaystyle u_{1}=-v_{1}} と一致する。
特殊相対性理論の仮定の1つは、運動量保存などの物理法則は全ての慣性座標系で不変であると述べる。総運動量が任意である一般的な慣性系では以下の式となる。
m 1 u 1 1 − u 1 2 / c 2 + m 2 u 2 1 − u 2 2 / c 2 = m 1 v 1 1 − v 1 2 / c 2 + m 2 v 2 1 − v 2 2 / c 2 = p T {\displaystyle {\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}}