一般相対性理論の数学
一般相対性理論で非常に重要なことは、曲がった多様体の概念である。多様体の曲率を測る有用な方法は、リーマン曲率テンソルと呼ばれる対象を扱うことである。
このテンソルは、2本の曲線に沿って 2つの点の間のベクトルを平行移動したときの効果を考えるアフィン接続を使うことにより曲率を測る。これらの 2つの平行移動の経路の間の差異は、本質的にリーマンテンソルにより計測される。
リーマンテンソルのこの性質は、どれくらい初期の平行な測地線が広がるかを記述することに使うことができる。このことは測地線偏差(英語版)(geodesic deviation) の方程式により表現され、重力場の中で潮汐力が時空の曲率の結果にどれくらい影響されるかを意味している。
上記の過程を使い、リーマンテンソルはタイプ (1, 3) のテンソルとして定義され、クリストッフェル記号とその第一階偏微分を使い明らかな形に書き下すことができる。リーマンテンソルは 20 個の独立な成分からなる。領域上でこれらの成分がすべて 0 となることは、この領域では時空が平坦であることを表している。測地線偏差の観点からは、このことは、この時空の領域内では初期に平行な測地線が平行のままであることを意味する。
リーマンテンソルは、テンソルの対称性として理解される多くの性質を持っている。特に一般相対性理論で参照される性質は、代数的または微分幾何学的なビアンキ恒等式である。
任意のリーマン多様体の接続と曲率は、ホロノミー群(英語版)(holonomy groups) の理論と密接に関係する。ホロノミー群は多様体上の曲線の周りの平行移動により定義される線型写像をとり、この関係性を記述することで定式化される。
一般相対性理論の記述には、テンソルの成分の記法を使うと便利である。
(r , s) 型テンソルは、
T = T a 1 ... a r b 1 ... b s ∂ ∂ x a 1 ⊗ ... ⊗ ∂ ∂ x a r ⊗ d x b 1 ⊗ ... ⊗ d x b s {\displaystyle T\;\!=\;\!{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{{b_{1}}\ldots {b_{s}}}{\frac {\partial }{\partial x^{a_{1}}}}\otimes \ldots \otimes {\frac {\partial }{\partial x^{a_{r}}}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \ldots \otimes dx^{b_{s}}}
と書き表すことができる。ここに ∂ / ∂ x a i {\displaystyle \scriptstyle {\partial }/{\partial x^{a_{i}}}} は 第i-番目の接空間の基底であり、 d x b j {\displaystyle \scriptstyle dx^{b_{j}}} は 第j-番目の余接空間の基底である。
時空を 4次元とすると、各々のテンソルの添字は 4つの値のうちの一つをとる。従って、テンソルの元の全体の個数は、4 である。ここにR はテンソルの共変と反変の添字の数の和であり、テンソルのランクと呼ばれる。
アインシュタイン場の方程式 (Einsterin Field Equation、EFE) は一般相対性理論の中心部分である。EFE はどのように(エネルギー・運動量テンソルの中に表現される)質量とエネルギーが、(アインシュタインテンソルの中に表現される)時空の曲率と関係するかを記述する。抽象添字記法において、EFE は次のように表される。
G μ ν + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}
ここで、左辺の Gμν はアインシュタインテンソル、Λ は宇宙定数で、右辺の c は真空中の光速、 π は円周率、G は重力定数である。この式はニュートンの万有引力の法則から出てくる。
EFE の解は計量テンソルである。EFEは、計量に関する非線型微分方程式であり、解くことが容易でないことが多い。