三体問題
三体問題の解のうち周期解(ある時間 T {\displaystyle T} が経過するともとの配位に戻る解)には特に興味が持たれてきた。ジョージ・ヒルは円制限三体問題において(ある近似のもとで)周期解を発見した。アンリ・ポアンカレはヒルの研究に触発されて(回転を除いて)周期的な解が平面制限三体問題に無限に存在することを証明し、これらの解について次のように記述している。
計算機時代に入ると様々な周期解を数値的に求めることが可能になった。1963年に Richard Arenstorf は現在Arenstorf orbitとして知られる制限三体問題の周期解を数値的に計算した。1967年に Szebehely らはピタゴラス三体問題の研究を通じてひとつの周期解を数値的に構成した。1970年代にはMichel Hénonらによってひとつのパラメータで特徴づけられる周期解の族が発見された(このクラスの解は Broucke-Hadjidemetriou-Hénon family として知られる)。1990年代には三体が単一の閉曲線上を運動する解(例えば8の字を描く「8の字解」)の存在が証明され、注目を集めた。この解のクラスは Carles Simó によって舞踏解(英語版) (choreography) と命名され、同様の手法によってn体問題の周期解が多数得られた。
エネルギー E = ∑ i 1 2 m i v i 2 − 1 2 ∑ i ≠ j G m i m j | r i − r j | {\displaystyle E=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}\mathbf {v} _{i}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}G{\frac {m_{i}m_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}
運動量 P = ∑ i m i v i {\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}}
角運動量 L = ∑ i m i r i × v i {\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}}
重心位置 ∑ i m i r i − P t {\displaystyle \sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}-\mathbf {P} t}
この系の自由度は18であるため三体問題が求積可能であるためにはさらに7個の積分が必要であるが、これ以外の運動の積分は存在せず、従って三体問題は求積可能ではない(#求積不可能性節を参照)。そのため、三体問題の解は(ラグランジュ点のような例外を除いて)摂動論や数値シミュレーション(N体シミュレーション)を用いて求められる。