四重積 (ベクトル解析)
ベクトル四重積は2つのクロス積のクロス積である。
( a × b ) × ( c × d ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})}
ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には a, b で張られた面と c, d で張られた面の交線に平行なベクトルを表す。
ベクトル三重積の公式を使えば
( a × b ) × ( c × d ) = [ a , b , d ] c − [ a , b , c ] d = [ a , c , d ] b − [ b , c , d ] a {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {c}}-[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {d}}\\&=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {b}}-[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}]{\boldsymbol {a}}\\\end{aligned}}}