状態密度
状態密度は対象の次元に依存する。次元の果たす役割は、DOS の単位 (EnergyVolume) からも明らかである。系が二次元的になる極限において体積は面積となり、一次元的となる極限においては長さとなる。ここでいう体積とは波数空間上の、分散関係から導かれる等エネルギー面(英語版)で囲われる領域の体積であることに注意が必要である。固体中の電子の分散関係はバンド構造を成している。三次元的波数空間の例を図1に示す。系の次元そのものが系内の粒子の運動量を規定することが見てとれる。
電子のエネルギーが増えるにつれて状態密度も増加し、占有できる状態が増える。しかし、バンドギャップ中には電子の占有できる状態は存在しないため、伝導帯端の電子は別のモードへと遷移するために少くとも Eg だけのエネルギーを失う必要がある。
一般的に、系の位相幾何学的性質が状態密度の主な性質を決定する。中性子星中のニュートロニウムや金属中の自由電子ガス(縮退物質とフェルミ気体の例)のような最も良く知られた系では、3次元ユークリッド空間の位相構造を持つ。より知られていない系としては、グラファイト層中の二次元電子ガスや MOSFET 型素子中の量子ホール効果系は二次元ユークリッド空間の位相構造を持つ。さらに知られていないものとしては、カーボンナノチューブや量子ワイヤ(英語版)、朝永・ラッティンジャー液体などは1次元位相幾何を持つ。1D および 2D 位相幾何を持つ系は、ナノテクノロジーと物質科学の進展につれてよりよく知られるようになると考えられる。
状態密度をエネルギー E まで積分すれば
N ( E ) = ∫ − ∞ E D ( E ′ ) d E ′ = ∑ i ∫ − ∞ E δ ( E ′ − E i ) d E ′ {\displaystyle N(E)=\int _{-\infty }^{E}D(E')\,\mathrm {d} E'=\sum _{i}\int _{-\infty }^{E}\delta (E'-{\mathcal {E}}_{i})\,\mathrm {d} E'}
として、系のエネルギーが E i < E {\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}<E} である状態の数を与える。状態数が微分可能である場合には、状態密度は
D ( E ) = d N d E {\displaystyle D(E)={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} E}}}
で与えられる。エネルギーが E である状態の縮退度は
g ( E ) = lim Δ E → 0 ∫ E − Δ E E D ( E ′ ) d E ′ = lim Δ E → 0 D ( E ) Δ E {\displaystyle g(E)=\lim _{\Delta E\to 0}\int _{E-\Delta E}^{E}D(E')\,\mathrm {d} E'=\lim _{\Delta E\to 0}D(E)\,\Delta E}
で与えられる。ここで最後の等式は、積分の平均値の定理が妥当なときのみ成り立つ。
ここで E > E 0 {\displaystyle E>E_{0}} とし、 D ( E ) = 0 {\displaystyle D(E)=0} と E < E 0 {\displaystyle E<E_{0}} の場合はする。
1 次元系では DOS は E が E0 に落ちる際に発散する。2 次元系では E に依存しなくなる。3 次元系では状態密度はエネルギーの平方根に比例して増加する。
係数部分を全て書き下すと、3 次元系における DOS は以下のように書ける。
N ( E ) = V 2 π 2 ( 2 m ħ 2 ) 3 / 2 E − E 0 {\displaystyle N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}}
ここで V は総体積であり、N(E−E0) には2重のスピン縮退を含む。