直交補空間
体 F 上のベクトル空間 V が双線型形式 B を持つとする。B(u,v) = 0 が成り立つとき、B に関して u は v に左直交(left-orthogonal)および v は u に右直交(right-orthogonal)であると定義する。V の部分集合 W に対して、その左直交補空間(left orthogonal complement)W を、
W ⊥ = { x ∈ V : B ( x , y ) = 0 ( ∀ y ∈ W ) } {\displaystyle W^{\bot }=\{x\in V:B(x,y)=0\ ({}^{\forall }y\in W)\}}
で定義する。同様に、右直交補空間(right orthogonal complement)も定義される。
反射的双線型形式(すなわち V において任意の u, v に対して B(u,v) = 0 ⇒ B(v,u) = 0 が成り立つような双線型形式 B)に対しては左右の直交補空間は一致する。B が対称双線型形式や歪対称双線型形式の場合はこれにあたる。
この定義は可換環上の自由加群において定義される双線型形式に対するものへ拡張することができる。また(共役(英語版)を持つ可換環上の任意の自由加群上で定義される意味での)半双線型形式に対しても拡張される。
数学の線型代数学および関数解析学の分野において、部分線型空間の直交補空間(ちょっこうほくうかん、英: orthogonal complement, perpendicular complement; perp)とは、その部分空間内のすべてのベクトルと直交するようなベクトル全体の成す集合を言い、直交補空間はそれ自身部分線型空間を成す。