行列指数関数
連立常微分方程式の数値解法であるexponential integratorの研究においては、行列指数関数は重要視されている。
e J = exp  ( J a 1 ( λ 1 ) ⊕ J a 2 ( λ 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ J a n ( λ n ) ) = exp  ( J a 1 ( λ 1 ) ) ⊕ exp  ( J a 2 ( λ 2 ) ) ⊕ ⋯ ⊕ exp  ( J a k ( λ k ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{k}}(\lambda _{k}){\big )}.\end{aligned}}}
となるから、後はジョルダン細胞乗が計算できればよい。各ジョルダン細胞は特別な形をした冪零行列 N を用いて
J a ( λ ) = λ I + N {\displaystyle J_{a}(\lambda )=\lambda I+N}
なる形に書けるのだから、
e λ I + N = e λ e N {\displaystyle e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}}
が得られる。