一致の定理
次の2つの形式があり、どちらも一致の定理と呼ばれている (内容的にはほとんど言い換えに過ぎない)。
(1) 連結開領域 D ⊂ C {\displaystyle D\subset \mathbb {C} } で正則な複素関数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} の零点集合が D {\displaystyle D} で集積点を持てば、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は D {\displaystyle D} で恒等的に 0 である。
(2) 連結開領域 D ⊂ C {\displaystyle D\subset \mathbb {C} } で正則な複素関数 f ( z ) , g ( z ) {\displaystyle f(z),g(z)} が、 D {\displaystyle D} で集積点を持つ D {\displaystyle D} の部分集合U上で一致すれば領域 D {\displaystyle D} 全体で一致する。ここでUとして例えば開集合を取ることができる。
(1) の形式について証明する。(2) の形式については、(1) の形式を f ( z ) − g ( z ) {\displaystyle f(z)-g(z)} に対して適用すれば即時に出る。
証明を次の2段階に分ける。
第1段階 z 0 {\displaystyle z_{0}} を f ( z ) {\displaystyle f(z)} の零点の集積点の1つとすれば、 z 0 {\displaystyle z_{0}} を中心としたある正の半径 r {\displaystyle r} の開円板上で f ( z ) {\displaystyle f(z)} は恒等的に 0 である。
第2段階 第1段階で証明した z 0 {\displaystyle z_{0}} の近傍における f ( z ) = 0 {\displaystyle f(z)=0} という結論を D {\displaystyle D} 全体に拡張する。なお、通常は解析接続の一意性の証明には一致の定理を用いるので、本定理の証明の中で解析接続の一意性を援用することは好ましくない(循環論法になる恐れがある)。