有限アーベル群
20世紀には、情報理論の起こりとともに有限アーベル群は特に重要となった。暗号理論と誤り訂正符号の両方に用いられる。
暗号理論において、多くのアルゴリズムの基礎として巡回群が用いられる。合同算術により、例えばフェルマーの判定法(フランス語版)やミラー–ラビンの判定法のような素数判定が可能となる。有限アーベル群の利用はそれだけにとどまらない。一つの本質的な構造として有限ベクトル空間すなわち有限体上の有限次元ベクトル空間(フランス語版)は、有限アーベル群に対応するものであり、これによりある種の調和解析(フランス語版)が定義できるようになる。係数体が二元からなるとき、その上のベクトル空間で定義される複素数値函数はブール函数であり、フーリエ変換はウォルシュ変換(フランス語版)になる。暗号理論は、例えば置換テーブルの研究などに対して、ブール函数およびウォルシュ変換を広汎に用いさせる。
誤り訂正符号の理論、特に線型符号もまた例外ではない。これには例えばマクウィリアムの恒等式(フランス語版)を通じた双対符号の解析に関し、任意の有限ベクトル空間上の調和解析が用いられる。コンパクトディスクに用いられるリード・ソロモン型の符号は、(有限アーベル群の乗法に基づく構造である)256元体上のベクトル空間を利用する。
数学の殊に代数学において有限アーベル群(ゆうげんアーベルぐん、英: finite abelian group)は、可換かつ有限なる群。ゆえにこれは有限型のアーベル群の特別の場合である。にも拘らず、有限アーベル群の概念には独自の長い歴史と特有の様々な応用(合同算術のような純粋数学的なものも、誤り訂正符号のような工学的なものも含めて)を有する。
クロネッカーの定理は有限アーベル群の構造を陽に記述する。すなわち、有限アーベル群は巡回群の直積である。
群の圏において、有限アーベル群の全体は自己双対部分圏を成す。