コンプトン効果
h ν c k = h ν ′ c k ′ + p {\displaystyle {\frac {h\nu }{c}}{\boldsymbol {k}}={\frac {h\nu '}{c}}{\boldsymbol {k}}'+{\boldsymbol {p}}}
となる。衝突後の電子のエネルギーの二乗は
E 2 = h 2 ( ν − ν ′ ) 2 + 2 h m e c 2 ( ν − ν ′ ) + m e 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=h^{2}(\nu -\nu ')^{2}+2hm_{\text{e}}c^{2}(\nu -\nu ')+{m_{\text{e}}}^{2}c^{4}}
となり、衝突後の電子の運動量の二乗は
p 2 = h 2 ν 2 c 2 + h 2 ν ′ 2 c 2 − 2 h 2 ν ν ′ c cos  φ = h 2 c 2 ( ν − ν ′ ) 2 + 2 h 2 ν ν ′ c 2 ( 1 − cos  φ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {p}}^{2}&={\frac {h^{2}\nu ^{2}}{c^{2}}}+{\frac {h^{2}\nu '^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2h^{2}\nu \nu '}{c}}\cos \phi \\&={\frac {h^{2}}{c^{2}}}(\nu -\nu ')^{2}+{\frac {2h^{2}\nu \nu '}{c^{2}}}(1-\cos \phi )\end{aligned}}}
電子運動量密度は波動関数から直接計算できる量である。波動関数の対称性は運動量空間と実空間で同一なので、コンプトンプロファイルの形を解析すれば実空間の波動関数、化学状態、電子状態に関する情報を得ることができる。
となる。ここで φ は散乱角で、cos φ = k′·k である。これらをエネルギーと運動量、質量の関係式に代入すれば
m e 2 c 2 = E 2 c 2 − p 2 = 2 h m e ( ν − ν ′ ) − 2 h 2 ν ν ′ c 2 ( 1 − cos  φ ) + m e 2 c 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{m_{\text{e}}}^{2}c^{2}&={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-{\boldsymbol {p}}^{2}\\&=2hm_{\text{e}}(\nu -\nu ')-{\frac {2h^{2}\nu \nu '}{c^{2}}}(1-\cos \phi )+{m_{\text{e}}}^{2}c^{2}\end{aligned}}}
1 ν ′ − 1 ν = h m e c 2 ( 1 − cos  φ ) {\displaystyle {\frac {1}{\nu '}}-{\frac {1}{\nu }}={\frac {h}{m_{\text{e}}c^{2}}}(1-\cos \phi )}
となる。波長と振動数の関係 λ = c/ν から
λ ′ − λ = h m e c ( 1 − cos  φ ) {\displaystyle \lambda '-\lambda ={\frac {h}{m_{\text{e}}c}}(1-\cos \phi )}
が導かれる。