循環小数
9999...
10x − x = 9.9999... − 0.9999...
9x = 9
x = 1
同じく、十二進法の 1/3 は小数表示が 0.4 であるが、これは 0.4000... ということであり、循環節が 0 の循環小数である。一方、0.3BBB... とも考えられ、これは循環節が B(十一)の循環小数となる。
同様に、二十進法の 1/5 も通常 0.4 と表すが、これは 0.4000... ということであり、循環節が 0 の循環小数である。一方、0.3JJJ... とも考えられ、これは循環節が J(十九)の循環小数となる。
有理数が有限小数表示を持つのは、十進法表示なら、分母の素因数が 2, 5 のみであるときに限る。一般の N進法表示では、分母の素因数が N の素因数になっていることである。例えば、十八進法なら分母の素因数が 2, 3 のみであるときである。
となる。ところで、級数部分の総和は
1 1 − 1 10 n = 10 n 10 n − 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{10^{n}}}}}={\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}}
であるから
a + b ( 10 n 10 n − 1 ) {\displaystyle a+b\left({\frac {10^{n}}{10^{n}-1}}\right)}
となることが分かる。この方法をロバートソン (J.Robertson, 1712-1776) の方法という。
やや厳密さに欠ける説明として、以下のようなものがある。
x = 2.423423423...
とおく。両辺を1000倍すると、「1000倍すると小数点は3桁右に移動するから」
1000x = 2423.423423...
辺々引くと「循環部分が打ち消しあって」
999x = 2421
となる。よって、x = 269/111 が分かる。「 」の主張が正しいことが曖昧であるが、無限等比級数の値の計算と同等であることからこの計算は正当化される。
循環小数(じゅんかんしょうすう、英: recurring decimal、repeating decimal)とは、小数点以下のある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数のことである。繰り返される数字の列を循環節という。
循環小数の循環節は上線(0.123)や下線(0.123) などを用いて示される(#表記法を参照)。
循環小数は、基数と共通でない因数を含む分母を持つ整数の分数に対応する。例えば基数を 10 (= 2 × 5) とした場合、1/5 (= 0.2), 7/125 (= 0.056) などは循環小数にならないが、1/7 (= 0.142857...), 1/35 (= 0.0285714...) は循環小数となる。
また循環小数は、対応する分数の分母と基数が互いに素かどうかで分類でき、分母と基数が互いに素なものを純循環小数、それ以外のものを混合循環小数と呼ぶ。また整数分数の分母が基数の素因数の積となる場合、それは循環小数とならず有限小数で表される。
ある循環小数の循環節が小数第一位から始まる場合、それは純循環小数となり、循環節が小数第二位以降で始まる場合、それは混合循環小数となる。混合循環小数は冒頭の循環していない有限小数部分とそれ以降の循環小数の二つに分離して考えることができる。