最大値原理
調和関数に対する「弱最大値原理」は、単純な計算による事実の帰結である。証明において重要となるのは、調和関数の定義から、f のラプラシアンがゼロであるという事実である。 x 0 {\displaystyle x_{0}\,} が f(x) の非退化な臨界点であるなら、鞍点が存在する。実際、もしそうでないなら、f の二階微分の和がゼロとなることがなくなるからである。これはもちろん、証明としては完全ではなく、 x 0 {\displaystyle x_{0}\,} が退化点である場合も残されているが、本質的な証明のアイデアである。
「強最大値原理」はホップの補題(英語版)に依るものであり、これはまたさらに複雑である。