QR分解
A = [ 12 − 51 4 6 167 − 68 − 4 24 − 41 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}12&-51&4\\6&167&-68\\-4&24&-41\end{bmatrix}}}
の分解を考える。
まず、行列Aの最初の列、ベクトル a 1 = [ 12 6 − 4 ] T {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{1}={\begin{bmatrix}12&6&-4\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} を、 ‖ a 1 ‖ e 1 = [ 1 0 0 ] T {\displaystyle \left\|{\boldsymbol {a}}_{1}\right\|\;{\boldsymbol {e}}_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} に変換する鏡映を見つける必要がある。
今、
u = x − α e 1 , v = u ‖ u ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}&={\boldsymbol {x}}-\alpha {\boldsymbol {e}}_{1},\\{\boldsymbol {v}}&={\frac {\boldsymbol {u}}{\|{\boldsymbol {u}}\|}}\end{aligned}}}
とする。
ここで、
グラム・シュミットの正規直交化法を最大階数行列の列 A = [ a 1 , ... , a n ] {\displaystyle A=\left[{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n}\right]} に適用することを考える。内積 ⟨ v , w ⟩ = v T w {\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\rangle ={\boldsymbol {v}}^{\textsf {T}}{\boldsymbol {w}}} (複素ベクトルの場合 ⟨ v , w ⟩ = v ∗ w {\displaystyle \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {w}}\rangle ={\boldsymbol {v}}^{*}{\boldsymbol {w}}} )とする。
射影の定義より、
proj u  a = ⟨ u , a ⟩ ⟨ u , u ⟩ u {\displaystyle \operatorname {proj} _{\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {a}}={\frac {\left\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {a}}\right\rangle }{\left\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {u}}\right\rangle }}{\boldsymbol {u}}}
したがって、
A = [ 12 − 51 4 6 167 − 68 − 4 24 − 41 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}12&-51&4\\6&167&-68\\-4&24&-41\end{bmatrix}}}
の分解を考える。
まず、左下隅の要素、 a 31 = − 4 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{31}=-4} をゼロにする回転行列を構成する必要がある。この行列 G 1 {\displaystyle G_{1}} はギブンス回転で求めることができる。まずベクトル [ 12 − 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}12&-4\end{bmatrix}}} を、X軸に沿って回転させる。このベクトルは角度 θ = arctan  [ − ( − 4 ) 12 ] {\displaystyle \theta =\arctan \left[{-(-4) \over 12}\right]} を持つ。直交ギブンス回転行列 G 1 {\displaystyle G_{1}} を次のように作る。