アイゼンシュタイン級数
q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }} と定義する。(古い書籍では、q をノーム(nome) q = e i π τ {\displaystyle q=e^{i\pi \tau }} として定義してあるものもあるが、現在では q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }} が数論では標準的である。)するとアイゼンシュタイン級数のフーリエ級数は、
G 2 k ( τ ) = 2 ζ ( 2 k ) ( 1 + c 2 k ∑ n = 1 ∞ σ 2 k − 1 ( n ) q n ) {\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)}
であり、ここにフーリエ係数 c2k は、
c 2 k = ( 2 π i ) 2 k ( 2 k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) = − 4 k B 2 k = 2 ζ ( 1 − 2 k ) . {\displaystyle c_{2k}={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.
}
アイゼンシュタイン級数の積の間の多くの関係は、ハンケルの判別式(Hankel determinants)、つまり、ガーヴァンの等式(Garvan's identity)を使い、エレガントな方法で、
Δ 2 = − 691 1728 2 ⋅ 250 det | E 4 E 6 E 8 E 6 E 8 E 10 E 8 E 10 E 12 | {\displaystyle \Delta ^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E_{4}&E_{6}&E_{8}\\E_{6}&E_{8}&E_{10}\\E_{8}&E_{10}&E_{12}\end{vmatrix}}}
と表すことができる。ここに
Δ = E 4 3 − E 6 2 1728 {\displaystyle \Delta ={\frac {E_{4}^{3}-E_{6}^{2}}{1728}}}
はモジュラ判別式である。