リースの補題
補題の内容について述べる前に、いくつかの記号を定める。X を、ノルム |·| を備えるノルム線型空間とし、x を X の元とする。Y を、X 内の閉部分空間とする。元 x と空間 Y との距離は、次で定義される。
d ( x , Y ) = inf y ∈ Y | x − y | . {\displaystyle d(x,Y)=\inf _{y\in Y}|x-y|.}
補題の内容は次のようなものである:
リースの補題 X をノルム線型空間、Y を X の閉真部分空間とし、α を 0 < α < 1 を満たす実数とする。このとき、|x| = 1 を満たす X 内のある元 x で、Y 内のすべての元 y に対して |x − y| > α を満たすものが存在する。
注意 1 有限次元の場合に対しては、等号が成り立つ場合もある。言い換えると、ノルムが 1 の元 x で d(x, Y) = 1 を満たすものが存在する。X の次元が有限であるとき、単位球 B ⊂ X はコンパクトである。また距離函数 d(· , Y) は連続である。したがって、単位球 B 上の像は実数直線のコンパクト部分集合でなければならず、主張は示される。
注意 2 すべての有界列の空間 l∞ は、 α = 1 に対して補題が成立しない例を与える。
証明は、クライツィグなどの函数解析学のテキストで見られる。ポール・ギャレット教授による証明の概要もオンラインで利用可能である。