結合法則
集合 S 上の二項演算 ∗ が結合法則を満足しない—記号で書けば
—となるとき、非結合的 (non-associative) である、必ずしも結合的でないなどという。
そのような演算では、計算順序は結果に影響する。非結合演算の例として
減法: ( 5 − 3 ) − 2 ≠ 5 − ( 3 − 2 ) {\textstyle (5-3)-2\neq 5-(3-2)}
除法: ( 4 / 2 ) / 2 ≠ 4 / ( 2 / 2 ) {\textstyle (4/2)/2\neq 4/(2/2)}
冪演算: 2 ( 1 2 ) ≠ ( 2 1 ) 2 {\textstyle 2^{(1^{2})}\neq (2^{1})^{2}}
などがある。あるいは無限和もまた一般には非結合的である。例えば:
非結合的構造の研究は、古典代数学の主流からはいくらか異なった理由から生じてくるものである。非結合多元環の領域にあってすでに一大分野へと発展したリー代数の理論では、結合法則の代わりにヤコビ恒等式が採用される。リー代数は無限小変換(英語版)の本質的な特質を抽象化するものであり、数学に遍在するものとなった。
既に深く調べられているほかの特定種類の非結合的構造もあり、それらは何らかの特定の応用から、あるいは組合せ論のような分野から生じたものである。その他の例は、Quasigroup(英語版)、準体(英語版)、非結合的環、非結合的多元環、可換(非結合的)マグマ(英語版)など。
非結合的演算が一つの式の中で複数回現れるときには、評価の順を指し示すために括弧を挿入することは(例えば 2/3/4 のように、ほかの方法で順番を指定する記法を用いているのでない限り)一般には不可避である。とはいえ、いくつかのよく用いられる非結合的演算については、特定の順番に評価することにして括弧の使用を回避する簡便記法が、受け入れられている。
左結合 (left-associative) 演算とは、規約として左から右に評価する—式で書けば
を意味する—演算を言う。同様に右結合 (right-associative) 演算は、右から左に評価するものと約束する:
左結合演算も右結合演算もどちらも生じ得る。左結合演算の例:
実数の減法および除法: x − y − z := ( x − y ) − z {\displaystyle x-y-z:=(x-y)-z} x / y / z := ( x / y ) / z . {\displaystyle x/y/z:=(x/y)/z.}
函数の適用: ( f x y ) = ( ( f x ) y ) . {\displaystyle (f\,x\,y)=((f\,x)\,y).} この記法はカリー化の同型によって動機づけられる。
右結合演算の例:
実数の冪(上付き添字記法の場合): x y z = x ( y z ) . {\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}.
↑ Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra (1st ed.). Springer. p. 24. ISBN 978-0387905181. "Definition 1.1 (i) a(bc) = (ab)c for all a, b, c in G."
↑ Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: an Introduction (3rd ed.). New York: Wiley. p. 78. ISBN 978-0-471-51001-7. http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html. "If a 1 , a 2 , ... , a n ( n ≥ 2 ) {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\,\,(n\geq 2)} are elements of a set with an associative operation, then the product a 1 a 2 ... a n {\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n}} is unambiguous; this is, the same element will be obtained regardless of how parentheses are inserted in the product"