複素ベクトル束
E がエルミート計量を持っていれば、共役束 E は計量を通して双対束 E ∗ = Hom  ( E , O ) {\displaystyle E^{*}=\operatorname {Hom} (E,{\mathcal {O}})} に同型である、ただし O {\displaystyle {\mathcal {O}}} は自明複素直線束である。
E が実ベクトル束であれば、E の複素化の下にある実ベクトル束は E の 2 つのコピーの直和である:
( E ⊗ C ) R = E ⊕ E {\displaystyle (E\otimes \mathbb {C} )_{\mathbb {R} }=E\oplus E}
(なぜならば任意の実ベクトル空間 V に対して V⊗RC = V⊕iV だから)。複素ベクトル束 E が実ベクトル束 E' の複素化であれば、E' は E の実形式(英語版)と呼ばれ(1つよりも多くの実形式があるかもしれない)E は実数上定義されていると言われる。E が実形式を持てば、E はその共役に同型であり(なぜならばそれらは両方実形式の 2 つのコピーの和であるから)、したがって E の奇チャーン類は位数 2 を持つ。