ホップ代数
ここで右随伴写像 adr はすべての a ∈ A と h ∈ H に対して adr(h)(a) = S(h(1))ah(2) によって定義される.同様に,部分ホップ代数 A が H において左正規であるとは,adl(h)(a) = h(1)aS(h(2)) によって定義される左随伴写像で安定なことをいう.正規性の2つの条件は対合射 S が全単射なときには同値であり,この場合 A は正規ホップ部分代数といわれる.
H の正規部分ホップ代数 A は(H の部分集合の等式の)条件 HA = AH を満たす,ただし A は K 上の余単位射の核を表す.この正規性条件は HA が H のホップイデアルである(すなわち余単位射の核の代数イデアルで,余代数余イデアルで,対合射で安定である)ことを意味する.したがって,商ホップ代数 H/HA と全射準同型 H → H/AH があり,群論における正規部分群と商群に類似の理論がある.