バナッハ＝アラオグルの定理
ノルムについて閉じている凸集合は弱閉である(ハーン=バナッハの定理)ため、ヒルベルト空間あるいは回帰的バナッハ空間における有界凸集合のノルム閉包は、弱コンパクトである。
B(H) における閉かつ有界集合は、弱作用素位相に関してプレコンパクトである(弱作用素位相は、トレースクラス作用素の集合 B(H) の前双対に関する弱 * 位相である超弱位相(英語版)よりも弱い)。したがって、作用素の有界列は弱集積点を持つ。したがって B(H) は、弱作用素あるいは超弱位相が備えられたとき、ハイネ=ボレルの性質を持つ。
たない。
微分方程式の振る舞いの記述を主たる適用先とする関数解析学において、これは致命的である。
しかしバナッハ=アラオグルの定理は閉単位球が*弱位相に関してコンパクトである事を保証しているので、弱位相の意味での近似解fεを求めれば、 ( f ε ) ε > 0 {\displaystyle (f_{\varepsilon })_{\varepsilon >0}} が収束部分列を持つ事が保証され、その収束部分列の極限が微分方程式の解になっている事を証明する道が開かれる。
この定理は、オブザーバブルの代数の状態の集合を表現するときに物理学的に応用される。すなわち、任意の状態はいわゆる純粋状態の凸線型結合として表現される。
この定理は可分な場合に対して1932年にステファン・バナフによって示され、一般の場合は1940年にレオニダス・アラオグル(英語版)により示された。