双一次変換
連続時間フィルタはその伝達関数の極がs平面上の左半平面にあるとき、安定である。離散時間フィルタはその伝達関数の極がz平面上の単位円内にあるとき安定である。双一次変換はs平面の左半平面をz平面上の単位円内に写像する。このため連続時間領域で設計されたフィルタが安定ならそれを変換した離散時間領域のフィルタも安定である。
同様に、連続時間フィルタが最小位相ならその伝達関数の零点はs平面上の左半平面にあるため、離散時間フィルタの伝達関数の零点はz平面上の単位円内に位置し、最小位相となる。
となる。双一次変換とは、この一次近似を用い連続時間の伝達関数 H a ( s ) {\displaystyle H_{a}(s)\ } において
s ← 2 T z − 1 z + 1 {\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}} とし H d ( z ) = H a ( s ) | s = 2 T z − 1 z + 1 = H a ( 2 T z − 1 z + 1 ) {\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ } とするものである。
双一次変換はメビウス変換と呼ばれる等角写像の特殊な場合であり、以下のように定義される。
z ′ = a z + b c z + d {\displaystyle z^{\prime }={\frac {az+b}{cz+d}}}