一般ガウス・ボネの定理
次元 n = 4 {\displaystyle n=4} では、コンパクトな向き付けられた多様体に対し、
χ ( M ) = 1 32 π 2 ∫ M ( | R m | 2 − 4 | R c | 2 + R 2 ) d μ {\displaystyle \chi (M)={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\int _{M}\left(|Rm|^{2}-4|Rc|^{2}+R^{2}\right)d\mu }
を得る。ここに Rm は全リーマン曲率テンソルで、Rc はリッチ曲率テンソル、R はスカラー曲率である。