射影平面
数学における射影平面(しゃえいへいめん、英: projective plane)とは、初等的な平面の概念を拡張する幾何学的な構成のことである。通常の平面においては、二直線は典型的には一つの交点を持つが、特定の直線の組(平行線)は交点を持たない。一方、射影平面においては、通常の平面に「無限遠点」が追加され、平行線は無限遠点で交点を持つ。従って、射影平面では任意の相異なる二直線がただ一点において交わる。
射影平面の定義としてよく用いられるものが二種類ある。ひとつは線型代数学から来るもので、この場合の射影平面は、適当な古典群(英語版)に対する等質空間として与えられる。この場合の重要な例として、実射影平面(英語版) RP および複素射影平面(英語版) CP が挙げられる。もうひとつは、もっと一般の公理的幾何学(英語版)および有限幾何学の立場により与えられる定義である。これは平面幾何学の接続的性質の研究に適している。
射影平面の概念は、もっと高次元の射影空間の概念に一般化される。射影平面は二次元の射影空間である。
射影平面 KP における(射影)変換とは、KP からそれ自身への可逆な写像であって、直線を直線に写すものをいう。斉次座標系を用いれば、これは 3-次正則行列 M を用いて
y = M x {\displaystyle y=Mx}
と書くことができる。二つの行列が同じ射影変換を定めるのは、一方が他方の定数倍であるときに限る。従って、射影変換全体の成す群は一般線型群の剰余群である。