平方完成
不定積分
∫ d x a x 2 + b x + c {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
の被積分関数に平方完成を適用すれば、より基本的な積分
∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a ln  | x − a x + a | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C}
または
∫ d x x 2 + a 2 = 1 a arctan  x a + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}
に帰着できる( C {\displaystyle C} は積分定数)。
二次式 a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c\ (a\neq 0)} において、一次の項「 + b x {\displaystyle +\;\!\;\!bx} 」があるのとないのでは、応用上の取り扱いが大きく異なる。
変数 x {\displaystyle x} が x − h {\displaystyle x-h} の形になる代わりに一次の項がなくなれば、 h {\displaystyle h} の違いだけで済むことができる。
ここでは、二次の係数(最高次係数)が 1 の場合とそうでない場合に分けてみる。