隠れマルコフモデル
モデルのパラメータが既知のとき、特定の出力系列が得られる確率を求める。これは、可能な状態系列についての確率の総和によって得られる。
長さ L {\displaystyle L} の観測値系列
Y = y ( 0 ) , y ( 1 ) , ... , y ( L − 1 ) {\displaystyle Y=y(0),y(1),\dots ,y(L-1)}
の確率は、潜在状態系列
X = x ( 0 ) , x ( 1 ) , ... , x ( L − 1 ) {\displaystyle X=x(0),x(1),\dots ,x(L-1)}
の確率の総和を用いて次のように与えられる。
P ( Y ) = ∑ X P ( Y ∣ X ) P ( X ) {\displaystyle P(Y)=\sum _{X}P(Y\mid X)P(X)}
動的計画法の原理を適用すると、この問題は前向きアルゴリズムで効率的に扱うことができる。
この問題は、モデルパラメータと観測系列が与えられたとき、系列の最後における潜在変数の状態の確率分布、つまり P ( x ( t ) | y ( 1 ) , ... , y ( t ) ) {\displaystyle P(x(t)\ |\ y(1),\dots ,y(t))} を求めるものである。この問題は、一般に、潜在変数の系列があるプロセスの背後の状態で、そのプロセスは各時刻の観測値に関してある過程が時刻の系列に従って遷移するものと考えられる場合に用いられる。従って、最後の時点でのプロセスの状態を知ることが自然である。この問題は、フォワードアルゴリズムで効率的に解くことができる。