シュール分解
シュール分解とは、次のようなものである: A を成分が複素数であるような n × n 正方行列とする。このとき、A は次のように表現することが出来る。
A = Q U Q − 1 {\displaystyle A=QUQ^{-1}}
ここで Q はあるユニタリ行列(したがって、その逆 Q は Q の共役転置 Q* でもある)であり、U は A のシューア標準形 (Schur form) と呼ばれる上三角行列である。U は A と相似であるため、それらは等しい固有値の多重集合を持つ。また U は三角行列であるため、そのような固有値は U の対角成分で与えられる。
シュール分解は、A-不変部分空間からなる包含列 {0} = V0 ⊂ V1 ⊂ ... ⊂ Vn = C が存在することを意味する。また各 i に対し、初めの i 個の基底ベクトルがその入れ子型の列の Vi を張るようなある順序付けられた(C の標準的なエルミート形式に対する)正規直交基底が存在する。また違った言い方をすれば、初めの部分はある複素有限次元ベクトル空間上の線型作用素が、完全旗(英語版) (V1,...,Vn) を安定化することを意味する。
数学の線型代数学の分野におけるシューア分解(シューアぶんかい、英: Schur decomposition)あるいはシューア三角化 (Schur triangulation) とは、イサイ・シュールの名にちなむ行列の分解の一種である。