ヤングの畳み込み不等式
最適化定数 1 のヤングの不等式には、初等的な証明がある。
位相群の不変積分版の証明を以下に示す:
G はハール測度 μ を持つ単模群とし、函数 f, g, h: G → R は非負かつ可積分とする。また、任意の可測集合 S ⊂ G に対して反転不変性: μ ( S ) = μ ( S − 1 ) {\textstyle \mu (S)=\mu (S^{-1})} が成立する(したがって、積分も反転不変)という事実を用いる。
数学におけるヤングの畳み込み不等式(ヤングのたたみこみふとうしき、英: Young's convolution inequality)は、ウィリアム・ヘンリー・ヤング(英語版)に名を因む、ふたつの函数の畳み込みに関する不等式である。
p, q, r ≥ 1 が 1 p + 1 q + 1 r = 2 {\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=2} を満たすならば ∫ R d × R d f ( x ) g ( x − y ) h ( y ) d x d y ≤ ( ∫ R d | f | p ) 1 / p ( ∫ R d | g | q ) 1 / q ( ∫ R d | h | r ) 1 / r {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}}f(x)g(x-y)h(y){\mathit {dx}}\,{\mathit {dy}}\leq {\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert f\vert ^{p}{\Bigr )}^{1/p}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert g\vert ^{q}{\Bigr )}^{1/q}{\Bigl (}\int _{\mathbb {R} ^{d}}\vert h\vert ^{r}{\Bigr )}^{1/r}} が成り立つ。