Q-類似
q-微分は微分の q-類似で、任意の関数 ƒ(x) について q-微分を
d q ( f ( x ) ) = f ( q x ) − f ( x ) {\displaystyle d_{q}(f(x))=f(qx)-f(x)}
によって定義する。さらに導関数の q-類似である q-導関数は
D q ( f ( x ) ) = d q ( f ( x ) ) d q ( x ) = f ( q x ) − f ( x ) ( q − 1 ) x {\displaystyle D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}}
によって定義される。
最も基本的な q-数 [n]q とは、自然数 n の q-類似であって、q → 1 の極限で [n]q → n となるように
[ n ] q := 1 − q n 1 − q = ∑ k = 0 n − 1 q k {\displaystyle [n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}}
と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、 q ↦ q − 1 {\displaystyle q\mapsto q^{-1}} で不変な
[ n ] q := q n − q − n q − q − 1 {\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}}}}
あるいは
[ n ] q := q n / 2 − q − n / 2 q 1 / 2 − q − 1 / 2 {\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n/2}-q^{-n/2}}{q^{1/2}-q^{-1/2}}}}
と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の q-階乗やq-二項係数は q-数を用いて同様に定義される。