ベンフォードの法則
ベンフォードの法則は様々な観点から説明されてきた。
この法則を最初の桁以降についても拡張することができる。特に、一連の数値nで始まる数に遭遇する確率は、
log 10  ( n + 1 ) − log 10  ( n ) = log 10  ( 1 + 1 n ) . {\displaystyle \log _{10}\left(n+1\right)-\log _{10}\left(n\right)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{n}}\right).}
で与えられる。例えば、数字の最初の3桁が"314"で始まる確率は log10(1 + 1⁄314) である。この結果を用いて、数値中のある特定の桁にある数値が現れる確率を求めることができる。例えば、最初から2桁目に"2"が出てくる確率は
log 10  ( 1 + 1 12 ) + log 10  ( 1 + 1 22 ) + ⋯ + log 10  ( 1 + 1 92 ) ≈ 0.109. {\displaystyle \log _{10}\left(1+{\frac {1}{12}}\right)+\log _{10}\left(1+{\frac {1}{22}}\right)+\cdots +\log _{10}\left(1+{\frac {1}{92}}\right)\approx 0.109.}
となる。n 番目の桁の数値分布は、n が増加するにつれて急速にどの数値に対しても一様分布である10%へと近づいていく。
実際に、ベンフォードの法則の不正発見目的における利用では、普通は2桁目以降も用いる。