アーベル総和法
アーベル総和法において、ベキ級数 f(x) は部分和の列 {sn} によって、
f ( x ) = ( 1 − x ) ∑ n = 0 ∞ s n x n = ∑ n = 0 ∞ s n x n ∑ n = 0 ∞ x n = ∑ n = 0 ∞ p n s n x n ∑ n = 0 ∞ p n x n ( p n = 1 ) {\displaystyle f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s_{n}x^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}}}\quad (p_{n}=1)}
と表すことができる。より一般に、数列 {pn} が
A r ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ r | n | f n ^ e 2 n π i x / L {\displaystyle A_{r}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}{\hat {f_{n}}}e^{2n\pi ix/L}}
を導入すると、この級数は 0 ≤ r <1 で収束し、かつ f(x) が連続となる点で左極限 r → 1 − は f(x) に一致する。この結果の議論はポアソン核
P r ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ r | n | e 2 n π i x / L {\displaystyle P_{r}(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{2n\pi ix/L}}
の性質に基づく。 (a, b) 上で可積分な関数g(x)、h(x) に対して、畳み込み積分を
g ∗ h ( x ) = 1 L ∫ a b g ( y ) h ( x − y ) d y {\displaystyle g*h(x)={\frac {1}{L}}\int _{a}^{b}g(y)h(x-y)dy}
で定義すると、
f ∗ P r ( x ) = A r ( x ) {\displaystyle f*P_{r}(x)=A_{r}(x)}
であり、総和核としてのポアソン核の性質から上述のアーベル総和に関する収束性が示される。