約数関数
↑ Euler, Leonhard; Bell, Jordan (2004). "An observation on the sums of divisors". arXiv:math/0411587。
↑ J. L. Nicolas et G. Robin, Majorations explicites pour le nombre de diviseurs de $N$, Canad. Math. Bull. 26 (1983), 485--492.
↑ σ(5040) = 19344, e ・ 5040 log log 5040 = 19237.84...
σ 0 ( n ) ≡ d ( n ) = ∏ i = 1 r ( a i + 1 ) {\displaystyle \sigma _{0}(n)\equiv d(n)=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}(a_{i}+1)}
となる。例えば n = pq (p, q は素数)とすると、σ(n) = (1 + p)(1 + q) = n + p + q + 1, d(n)=(1 + 1)(1 + 1) = 4 となる。
約数関数から導き出される数列 a n = σ ( a n − 1 ) {\displaystyle a_{n}=\sigma (a_{n-1})} はその初期値によって異なる発散の仕方をする。( a1 = 1 を除く)
例. a1 = 2 のとき 2, 3, 4, 7, 8, 15, 24, 60, 168, 480, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A007497) a1 = 5 のとき 5, 6, 12, 28, 56, 120, 360, 1170, 3276, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A051572) a1 = 16 のとき 16, 31, 32, 63, 104, 210, 576, 1651, 1792, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A257349) この初期値は 2, 5, 16, 19, 27, 29, 33, 49, 50, 52, 66, 81, 85, 105,... (オンライン整数列大辞典の数列 A257348)