パウリ方程式
これをシュレーディンガー方程式に代入して得られるのがパウリ方程式である。このハミルトニアンは電磁場と相互作用する電荷の古典的ハミルトニアンの類似物である。古典の場合の詳細についてはローレンツ力を参照。電磁場がないときの自由粒子の運動エネルギー項は、運動量を用いて単純に p 2 2 m {\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}} となるが、電磁場が存在するときは最小結合(英語版)により P = p − q A {\displaystyle {\boldsymbol {P}}=p-q{\boldsymbol {A}}} (正準運動量)のように取り込まれる。
パウリベクトルの恒等式:
( σ ⋅ a ) ( σ ⋅ b ) = a ⋅ b + i σ ⋅ ( a × b ) {\displaystyle ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {b}})={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}+i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\right)}
を使うとパウリ行列を運動エネルギー項から除くことができて、
が得られる。ここで B = ∇ × A {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}} は磁場。