テータ関数
Θ ( u ) = θ 0 ( u / ( 2 ω 1 ) ) , Θ 1 ( u ) = θ 3 ( u / ( 2 ω 1 ) ) , H ( u ) = θ 1 ( u / ( 2 ω 1 ) , H 1 ( u ) = θ 2 ( u / ( 2 ω 1 ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (u)&=\vartheta _{0}(u/(2\omega _{1})),\quad \Theta _{1}(u)=\vartheta _{3}(u/(2\omega _{1})),\\H(u)&=\vartheta _{1}(u/(2\omega _{1}),\quad H_{1}(u)=\vartheta _{2}(u/(2\omega _{1})),\end{aligned}}}
ただし、 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} は、楕円関数の基本周期の半分で、 τ = ω 3 / ω 1 {\displaystyle \tau =\omega _{3}/\omega _{1}} である( 2 ω 1 {\displaystyle 2\omega _{1}} , 2 ω 3 {\displaystyle 2\omega _{3}} が楕円関数の基本周期に相当する)。
物理の教科書では後述の θ i ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta _{i}(z,\tau )} をヤコビのテータ関数と呼んでいるが、やや不正確な言い方である。
θ 2 ( x + y , τ ) θ 2 ( x − y , τ ) = θ 2 ( 2 x , 2 τ ) θ 3 ( 2 y , 2 τ ) + θ 3 ( 2 x , 2 τ ) θ 2 ( 2 y , 2 τ ) {\displaystyle \vartheta _{2}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{2}\left(x-y,\tau \right)=\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)+\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)}
となり、 x ↦ x + 1 2 {\displaystyle x\mapsto {x+{\tfrac {1}{2}}}} とすれば
θ 4 ( x + y , τ ) θ 4 ( x − y , τ ) = θ 3 ( 2 x , 2 τ ) θ 3 ( 2 y , 2 τ ) − θ 2 ( 2 x , 2 τ ) θ 2 ( 2 y , 2 τ ) {\displaystyle \vartheta _{4}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{4}\left(x-y,\tau \right)=\vartheta _{3}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{3}\left(2y,2\tau \right)-\vartheta _{2}\left(2x,2\tau \right)\vartheta _{2}\left(2y,2\tau \right)}
となる。これらにより
c = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + e 2 m π i τ ) 2 ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 ( 1 − e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + e 2 m π i τ ) 2 ( 1 − e 2 ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}c&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}\left(1-e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}
となるが、オイラーの分割恒等式により、
∏ m − 1 ∞ ( 1 + e 2 m π i τ ) = ∏ m − 1 ∞ ( 1 − e 2 ( 2 m − 1 ) π i τ ) − 1 {\displaystyle \prod _{m-1}^{\infty }\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)=\prod _{m-1}^{\infty }\left(1-e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{-1}}
であるから c = 1 であり、故に θ 1 ′ = π θ 2 θ 3 θ 4 {\displaystyle \vartheta _{1}'=\pi \vartheta _{2}\vartheta _{3}\vartheta _{4}} である。
テータ関数は擬二重周期を持つ。
θ 1 ( v + 1 ; τ ) = − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( v + 1 2 ) + 2 π i ( n + 1 2 ) = − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( v + 1 2 ) + π i = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( v + 1 2 ) = − θ 1 ( v ; τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}(v+1;\tau )&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})}}\\&=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})+{\pi }i}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{\pi }i{\tau }\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2{\pi }i(n+{\frac {1}{2}})(v+{\frac {1}{2}})}}\\&=-\vartheta _{1}(v;\tau )\\\end{aligned}}}