ボルツマン因子
ここでボルツマン定数と温度の積の逆数である β を導入した。
変数の分離を行い、状態に依らない定数を 1/Z とすれば、次の関係式を得る。
P ( ω 2 ) exp  ( − β E ( ω 2 ) ) = P ( ω 1 ) exp  ( − β E ( ω 1 ) ) = c o n s t = 1 Z {\displaystyle {\frac {P(\omega _{2})}{\exp {(-\beta E(\omega _{2}))}}}={\frac {P(\omega _{1})}{\exp {(-\beta E(\omega _{1}))}}}=\mathrm {const} ={\frac {1}{Z}}}
ゆえに
P ( ω i ) = 1 Z exp  ( − β E ( ω i ) ) {\displaystyle P(\omega _{i})={\frac {1}{Z}}\exp {(-\beta E(\omega _{i}))}}
である。
ここで、全微視的状態について和を取ると、左辺の確率の和は1に等しくなるので、
1 = Σ exp  ( − β E ( ω i ) ) Z {\displaystyle 1={\frac {\Sigma \exp {(-\beta E(\omega _{i}))}}{Z}}}
よって
Z = Σ exp  ( − β E ( ω i ) ) {\displaystyle Z=\Sigma \exp {(-\beta E(\omega _{i}))}}
となり、分配係数 Z が求められる。