解析的整数論
ディオファントス問題(Diophantine problem)は、多項式の方程式の整数解に関係する。ディオファントス問題のテーマは、解の分布の探索、すなわち、高さや「サイズ」といった測度に従って解を数えることである。
重要な例は、ガウスの円の問題(英語版)(Gauss circle problem)である。この問題は、
x 2 + y 2 ≤ r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}}
を満たす整数点を求める問題である。幾何学的なことばで表現すると、平面の原点を中心とする半径 r の円が与えられると、円の内部か円周上には整数格子点がいくつあるかという問題である。答えが π r 2 + E ( r ) {\displaystyle \,\pi r^{2}+E(r)\,} (ただし r → ∞ {\displaystyle \,r\to \infty \,} のとき E ( r ) / r 2 → 0 {\displaystyle \,E(r)/r^{2}\,\to 0\,} )であることの証明はさほど難しくはない。繰り返すが、難しい部分であり解析的整数論が達成した部分は、誤差項 E(r) の特定の上限を求める部分である。
ガウスにより、 E ( r ) = O ( r ) {\displaystyle E(r)=O(r)} が示された。一般に、誤差項 O(r) は、区分的に滑らかな境界を持つ任意の有界平面領域の拡張した領域を、単位円(もしくは閉じた単位円板)へと置き換えることが可能である。さらに、単位円を単位正方形へ置き換えると、一般的な問題の誤差項は線型函数 r と同じ大きさとなる。
1848年と1850年の2つの論文において、ロシア人数学者パフヌティ・リヴォーヴィッチ・チェビシェフは素数分布の漸近法則の証明を試みた。彼の仕事は、1859年のリーマンの名高い研究論文に先だって、(早くも1737年のレオンハルト・オイラーの研究と同様に実変数 s に対して)ゼータ関数 ζ(s) を用いたことは注目に値する。そして漸近法則より僅かに弱い形、すなわち、x → ∞ のときの π(x)/(x/log x) の極限が存在しさえすれば、その極限は1に等しくなければならないことの証明に成功した。また、無条件ですべての x に対してこの比が上下から2つの明示的に与えられる1に近い定数によっておさえられることを証明した。チェビシェフの論文は素数定理を証明してはいないが、この π(x) の評価は、任意の整数 n ≥ 2 に対して n と 2n の間に素数が存在するというベルトランの仮説を証明するには十分であった。