銀河の回転曲線問題
Φ ( R , 0 ) = − π G Σ 0 R [ I 0 ( y ) K 1 ( y ) − I 1 ( y ) K 0 ( y ) ] , {\displaystyle \Phi (R,0)=-\pi G\Sigma _{0}R\left[I_{0}(y)K_{1}(y)-I_{1}(y)K_{0}(y)\right],}
により与えられる. 対応する回転曲線は
v c 2 ( R ) = 4 π G Σ 0 a y 2 [ I 0 ( y ) K 0 ( y ) − I 1 ( y ) K 1 ( y ) ] {\displaystyle v_{c}^{2}(R)=4\pi G\Sigma _{0}ay^{2}\left[I_{0}(y)K_{0}(y)-I_{1}(y)K_{1}(y)\right]}
である. なお, 指数円盤では動径 R {\displaystyle R} 以内の質量 M d ( R ) {\displaystyle M_{d}(R)} は
M d ( R ) = 2 π Σ 0 a 2 [ 1 − ( 1 + R a ) exp  ( − R a ) ] {\displaystyle M_{d}(R)=2\pi \Sigma _{0}a^{2}\left[1-\left(1+{\frac {R}{a}}\right)\exp \left(-{\frac {R}{a}}\right)\right]}
となる. 上図に示すように, 指数円盤の回転曲線は遠方で Kepler 回転のそれに上からゆっくりと漸近する.