単項式順序
k を体とし、多項式環 k[x1, ..., xn] の部分集合
A := { x 1 a 1 ⋯ x n a n ∣ a i ∈ N } {\displaystyle A:=\{x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}\mid a_{i}\in \mathbb {N} \}}
(N は 0 も含むとする)を考える。A における全順序 ≤ が単項式順序であるとは、次の2条件を満たすことをいう。
u ≤ v ならば、A の任意の元 w に対して uw ≤ vw が成り立つ。
整列順序である。すなわち、任意の空でない単項式の集合は ≤ に関して最小元を持つ。
以上の定義では A においてのみ順序が定められているが、係数のみ異なる単項式は同一視して、係数が 1 とは限らない単項式に拡張して考えるのが通常である。
A の元は N の元 (a1, ..., an) と1対1に対応する。記述の簡略化のため、α = (a1, ..., an) ∈ N に対して x で
x 1 a 1 ⋯ x n a n {\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}}
を表すものとする。このとき、≤ が単項式順序であるための条件1は次のように記述される。
α, β ∈ N が x ≤ x を満たすならば、任意の γ ∈ N に対して x ≤ x が成り立つ。
また、条件1が成立するとき、条件2は次の条件で置き換えることもでき、こちらを用いる方が単項式順序であることの判定が容易である場合がある。
任意の不定元 xi に対して xi > 1 が成り立つ。