定義可能実数
実数を特定する手法の一つに幾何学的な方法がある。 実数 r {\displaystyle r} が作図可能数であるとは、与えられた長さ1の線分から始めてコンパスと定規を使って長さ r {\displaystyle r} の線分を構成する方法が存在することを言う。
全ての正の整数、および有理数は作図可能である。 2の正の平方根も作図可能である。しかしながら2の立方根は作図可能でない。これは立方体倍積問題がコンパスと定規で解けないことに関係している。
実数が計算可能実数であるとはアルゴリズムで、与えられた任意の自然数 n {\displaystyle n} に対して、 その実数の十進展開の n {\displaystyle n} 桁目を計算できること。 この概念はアラン・チューリングによって1936年に提唱された。
計算可能実数は代数的数を含み、多くの超越数も含む。 π {\displaystyle \pi } や e {\displaystyle e} .も計算可能である。 代数的実数と同様、計算可能実数も実数の部分体を成している。 また、自然数 n {\displaystyle n} についての n {\displaystyle n} 乗根についても閉じている。
これまでの説明と同様、ほとんどすべての実数は計算可能でない。 計算可能でない実数の例としては、Specker sequenceの極限や、 Chaitin's Ω numbersのようなアルゴリズム的ランダムな実数などがある。