三十八角形
以下の三次方程式を解くことにより求めることができる。
x 3 − x 2 − 6 x + 7 = 0 {\displaystyle x^{3}-x^{2}-6x+7=0}
さらに、以下のような関係式が得られる。
( 2 cos  2 π 38 + ω ⋅ 2 cos  22 π 38 + ω 2 ⋅ 2 cos  14 π 38 ) 3 = 3 x 1 + 7 x 2 − 12 − 6 ω ( x 2 − 1 ) + 3 ω 2 ( x 1 + 1 ) ( 2 cos  2 π 38 + ω 2 ⋅ 2 cos  22 π 38 + ω ⋅ 2 cos  14 π 38 ) 3 = 3 x 1 + 7 x 2 − 12 − 6 ω 2 ( x 2 − 1 ) + 3 ω ( x 1 + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega (x_{2}-1)+3\omega ^{2}(x_{1}+1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{38}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{38}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{38}}\right)^{3}=3x_{1}+7x_{2}-12-6\omega ^{2}(x_{2}-1)+3\omega (x_{1}+1)\\\end{aligned}}}
正三十八角形においては、中心角と外角は9.473...°で、内角は170.526...°となる。一辺の長さが a の正三十八角形の面積 S は
S = 38 4 a 2 cot  π 38 ≃ 114.64795 a 2 {\displaystyle S={\frac {38}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{38}}\simeq 114.64795a^{2}}
cos  ( 2 π / 38 ) {\displaystyle \cos(2\pi /38)} を平方根と立方根で表すことが可能である。正十九角形も参照。
以下ように x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} をおくと