ピカールの逐次近似法
t を実数空間 R に値をとる独立変数、x(t) = (x1(t), .., xm(t)) を m-次実数空間 R(または C)に値をとるベクトル値の未知関数を表すものとする。D を R(または R × C)の領域とし、f を D 上で定義された R(または C)に値をとる連続関数とする。このとき、正規形の1階常微分方程式
d d t x ( t ) = f ( t , x ( t ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\boldsymbol {x}}(t)={\boldsymbol {f}}(t,{\boldsymbol {x}}(t))}
において、D 内の点 (τ, ξ) に対し、初期条件
x ( τ ) = ξ {\displaystyle {\boldsymbol {x}}(\tau )={\boldsymbol {\xi }}}
を満たす解 x(t) を τ を含む区間 I で求める初期値問題を考える。この初期値問題を解くことは積分方程式
x ( t ) = ξ + ∫ τ t f ( s , x ( s ) ) d s {\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)={\boldsymbol {\xi }}+\int _{\tau }^{t}{\boldsymbol {f}}(s,{\boldsymbol {x}}(s))\,ds}
を解くことと同値である。