ヘンゼルの補題
f ( x ) {\displaystyle f(x)} を整数(または p 進整数)を係数とする多項式とし、m と k を m ≤ k を満たす正の整数とする。整数 r に対して
f ( r ) ≡ 0 mod p k and f ′ ( r ) ≢ 0 mod p {\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}}
が成り立ったとする。このとき、任意の m > 0 {\displaystyle m>0} に対してある整数 s が存在して
f ( s ) ≡ 0 mod p k + m and r ≡ s mod p k {\displaystyle f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\quad {\text{and}}\quad r\equiv s{\bmod {p}}^{k}}
が成り立つ。この s は法 p で一意であり、次の式
全ての正の整数 n に対して R / m n {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}} に持ち上げることができるので、n を限りなく大きくしていったときの"極限"を考えたくなる。これが p 進整数が考案された主な理由の1つである。
R を可換環、 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を極大イデアルとすると、 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} のベキたちは R の m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 進位相と呼ばれる位相についての基本近傍系になる。この位相による完備化は局所環 R m {\displaystyle R_{\mathfrak {m}}} の完備化と同一視でき、また射影極限 lim ← R / m n {\displaystyle \lim _{\leftarrow }R/{\mathfrak {m}}^{n}} とも同一視できる。この完備局所環は R ^ m {\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}} と一般的に書き表される。
f ( 1 ) ≢ 0 mod 4 {\displaystyle f(1)\not \equiv 0{\bmod {4}}} なので、1の法4への持ち上げで f(x) の法4での根になるものは存在しない。
g ( x ) = x 2 − 17 {\displaystyle g(x)=x^{2}-17} 、r = 1 とする。すると g ( 1 ) ≡ 0 mod 2 {\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {2}}} かつ g ′ ( 1 ) ≡ 0 mod 2 {\displaystyle g'(1)\equiv 0{\bmod {2}}} である。また、 g ( 1 ) ≡ 0 mod 4 {\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {4}}} であるので、この解を法4へ持ち上げることができ、2つの持ち上げ(1と3)はともに解である。これらの解に対しても微分は法2でやはり0であるので、アプリオリにはこれらを法8に持ち上げられるかどうかは分からない。しかし実際には g(1) も g(3) も法8で0と合同であるので持ち上げることができる。法8では1, 3, 5, 7が解である。これらの中で g(1) と g(7) だけが法16で0なので、1と7だけが法16に持ち上げることができ、それらは1, 7, 9, 15である。これらの中では7と9だけが g(x) = 0 mod 32 なので、同様に法32での解7, 9, 23, 25が得られる。任意の整数 k ≥ 3 に対して法2での g(x) の根1の法 2 の根への持ち上げは4つ存在することがわかる。
| f ( X ) | = max { | a 0 | , ... , | a n | } = max { 0 , 1 , 0 } = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}|f(X)|&=\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n}|\}\\&=\max\{0,1,0\}=1\end{aligned}}}
であるが、 max { | a 0 | , | a n | } = 0 {\displaystyle \max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}=0} なので、この多項式は既約ではありえない。一方 Q 7 [ X ] {\displaystyle \mathbb {Q} _{7}[X]} では両方の値が等しいので既約である可能性がある。 既約であるかどうか決定するためにはニュートンの多角形を使う必要がある。
p を奇素数、a を0ではない p を法とする平方剰余とする。このとき、p 進整数環 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} の中に a の平方根が存在することをヘンゼルの補題を使って示すことができる。これを見るために f ( x ) = x 2 − a {\displaystyle f(x)=x^{2}-a} と置く。r を法 p での a の平方根とすると
f ( r ) = r 2 − a ≡ 0 mod p and f ′ ( r ) = 2 r ≢ 0 mod p {\displaystyle f(r)=r^{2}-a\equiv 0{\bmod {p}}\quad {\text{and}}\quad f'(r)=2r\not \equiv 0{\bmod {p}}}
が成り立つ。2番目の式は p が奇数であることによる。基本形のヘンゼルの補題を使って、r1 = r から出発して反復計算を行うことにより整数の列 { r k } {\displaystyle \{r_{k}\}} を
r k + 1 ≡ r k mod p k , r k 2 ≡ a mod p k {\displaystyle r_{k+1}\equiv r_{k}{\bmod {p}}^{k},\quad r_{k}^{2}\equiv a{\bmod {p}}^{k}}
が成り立つように作ることができる。この列はある p 進整数 b に収束し b = a を満たす。
この b は、法 p で r1 と合同になる Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} における a の唯一の平方根である。
元々のヘンゼルの補題は、整数を係数とする多項式の素数 p を法とする因数分解を p の冪乗を法とする因数分解、もしくは p 進整数環上の因数分解に持ち上げることを主張(そして証明)するものであった。この補題は、整数を任意の可換環、素数を極大イデアル、そして p 進整数環をその極大イデアルについての完備化に置き換えることで簡単に一般化できる。証明の仕方も同じである。この一般化された補題も広く用いられる。本記事で述べるのもこれである。
R を可換環、 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} をその極大イデアルの1つ、そして
h = α 0 X n + ⋯ + α n − 1 X + α n {\displaystyle h=\alpha _{0}X^{n}+\cdots +\alpha _{n-1}X+\alpha _{n}}
を R [ X ] {\displaystyle R[X]} の多項式で最高次の係数 α 0 {\displaystyle \alpha _{0}} が m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} に含まれないものとする。
と置く。これは整数にはならないかもしれないが、p 進整数にはなっている。数列 rk はある p 進整数 に収束し、極限は f(x) = 0 の解になっている。そして、rk から rk+1 を計算する漸化式をよく見てみると、実数の場合における求根アルゴリズムであるニュートン法の漸化式とまったく同じになっている。
p 進数の中で計算を行い p 進絶対値を使うことで f ′ ( a ) ≡ 0 mod p {\displaystyle f'(a)\equiv 0{\bmod {p}}} となってしまう f(a) ≡ 0 mod p の解についても使えるようにしたヘンゼル補題がある。 f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} が0になってしまわないことは必要である。この一般化されたヘンゼルの補題は次のようになる。整数 a で
| f ( a ) | p < | f ′ ( a ) | p 2 {\displaystyle |f(a)|_{p}<|f'(a)|_{p}^{2}}