形式的に実な体
抽象代数学において体が形式的に実(けいしきてきにじつ、英: formally real)、または形式的実体(けいしきてきじつたい、英: formally real field)とは、−1 の平方根を持たず(さらに −1 が平方元の和として表すことができない)、また平方元の和が零に等しいという関係式は自明な(つまり、その和に現れる全ての平方元がそれぞれ零に等しい、例えば x + y = 0 ⇒ x = y = 0)場合に限られるなどの、実数体とも共通する性質を満たすことを言う。形式的実体を単に実体(じつたい、英: real field)と呼ぶこともある。
与えられた体が形式的に実であることは、その体を(必ずしも一意的ではない方法によって)順序体にすることができるということを特徴づける性質である。
与えられた体 (K,+,×) が形式的に実であるとは、どのように自然数 n を選んでも
x1, x2, ..., xn ∈ K ならば x 21 + x 22 + ⋯ + x 2n ≠ −1
を満たすときに言う。
体 F に対して以下の条件は同値であることは容易に確認できる:
−1 が F の平方元の和に等しくなることは無い。即ち F のStufe(英語版)が無限大。
標数が 2 でない体 F において、F の平方元の和に書くことができない元が存在する。
F の平方元の和が零に等しいならば、その和に現れる全ての平方元がそれぞれ零に等しい。
即ち、これらの条件のうちの一つ(したがって三つすべて)を満たす体は形式的に実である。
1 (=1) は平方元であり、定義により形式的実体において 1 + 1 + ... + 1 の形の元が 0 に等しいことはないから、形式的実体の標数は必ず 0 である。