円周率が22/7より小さいことの証明
Dalzell は1944年の論文で、この積分に言及し、被積分関数の分母に x = 1 を代入すると下からの評価が、x = 0 を代入すると上からの評価が得られると指摘した。すなわち、
1 1260 = ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 2 d x < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 d x = 1 630 {\displaystyle {\frac {1}{1260}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{2}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1}}\,dx={\frac {1}{630}}}
であり、これより円周率 π の評価として
22 7 − 1 630 < π < 22 7 − 1 1260 {\displaystyle {\frac {22}{7}}-{\frac {1}{630}}<\pi <{\frac {22}{7}}-{\frac {1}{1260}}}
を得る。十進小数で表現すると 3.1412... < π < 3.1420... となる。これらの評価値の誤差は、0.015% 未満である。
であるから、この変形を 2n 回繰り返すことにより
x 4 n ( 1 − x ) 4 n = ( 1 + x 2 ) ∑ j = 0 2 n − 1 ( − 2 ) j x 4 n + j ( 1 − x ) 4 n − 2 ( j + 1 ) + ( − 2 ) 2 n x 6 n . {\displaystyle x^{4n}(1-x)^{4n}=(1+x^{2})\sum _{j=0}^{2n-1}(-2)^{j}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2(j+1)}+(-2)^{2n}x^{6n}.}
を得る。また、
x 6 n − ( − 1 ) 3 n = ∑ j = 1 3 n ( − 1 ) 3 n − j x 2 j − ∑ j = 0 3 n − 1 ( − 1 ) 3 n − j x 2 j = ∑ j = 0 3 n − 1 ( ( − 1 ) 3 n − ( j + 1 ) x 2 ( j + 1 ) − ( − 1 ) 3 n − j x 2 j ) = − ( 1 + x 2 ) ∑ j = 0 3 n − 1 ( − 1 ) 3 n − j x 2 j , {\displaystyle {\begin{aligned}x^{6n}-(-1)^{3n}&=\sum _{j=1}^{3n}(-1)^{3n-j}x^{2j}-\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}\\&=\sum _{j=0}^{3n-1}{\bigl (}(-1)^{3n-(j+1)}x^{2(j+1)}-(-1)^{3n-j}x^{2j}{\bigr )}\\&=-(1+x^{2})\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j},\\\end{aligned}}}
0 < ∫ 0 1 x 4 ( 1 − x ) 4 1 + x 2 d x < = ∫ 0 1 x 4 − 4 x 5 + 6 x 6 − 4 x 7 + x 8 1 + x 2 d x < = ∫ 0 1 ( x 6 − 4 x 5 + 5 x 4 − 4 x 2 + 4 − 4 1 + x 2 ) d x < = [ x 7 7 − 2 x 6 3 + x 5 − 4 x 3 3 + 4 x − 4 arctan  x ] 0 1 < = 1 7 − 2 3 + 1 − 4 3 + 4 − π < = 22 7 − π {\displaystyle {\begin{aligned}0&<\int _{0}^{1}\!{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,{\rm {d}}x\\&{\phantom {<}}=\int _{0}^{1}\!{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,{\rm {d}}x\\&{\phantom {<}}=\int _{0}^{1}\!{\biggl (}x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}{\biggr )}\,{\rm {d}}x\\&{\phantom {<}}={\biggl [}{\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\,{\biggr ]}_{0}^{1}\\&{\phantom {<}}={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \\&{\phantom {<}}={\frac {22}{7}}-\pi \end{aligned}}}