連接環
R {\displaystyle R} を環とする。
M {\displaystyle M} を左 R {\displaystyle R} -加群とする。以下の条件は同値である:
M {\displaystyle M} は左連接である。
M {\displaystyle M} は有限型でありすべての整数 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} に対して左 R {\displaystyle R} -加群のすべての準同型 R n ⟶ M {\displaystyle R^{n}\longrightarrow M} の核は有限型である。
M {\displaystyle M} は有限型でありすべての有限型左 R {\displaystyle R} -加群 N {\displaystyle N} に対してすべての準同型 f : N → M {\displaystyle f:N\rightarrow M} に対して ker  ( f ) {\displaystyle \ker(f)} は有限型である。
さらに、以下の条件は同値である:
R {\displaystyle R} は左連接である。
有限型左自由 R {\displaystyle R} -加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。
すべての有限表示左 R {\displaystyle R} -加群は連接である。
すべての整数 n {\displaystyle n} に対して左 R {\displaystyle R} -加群のすべての準同型 R n ⟶ R {\displaystyle R^{n}\longrightarrow R} の核は有限型である。
左ネーター環は左連接である。
局所的に、それは左 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -加群の準同型 O X q ⟶ O X p {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{q}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{p}} の余核に同型である、すなわち、 X {\displaystyle X} のすべての空でない開集合 U {\displaystyle U} に対して完全列
O X q ( U ) | U ⟶ O X p ( U ) | U → F | U ⟶ 0 {\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}^{q(U)}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}^{p(U)}\right\vert U\rightarrow \left.{\mathcal {F}}\right\vert U\longrightarrow 0}
が存在する。