ドゥーブのマルチンゲール不等式
B を1次元標準ブラウン運動(canonical one-dimensional Brownian motion)とする。このとき任意の定数 C > 0 に対し
P [ sup 0 ≤ t ≤ T B t ≥ C ] ≤ exp  ( − C 2 2 T ) {\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right]\leq \exp \left(-{\frac {C^{2}}{2T}}\right)}
証明は次の通りである。まず指数関数が単調非減少であることから、任意の非負実数 λ に対し
{ sup 0 ≤ t ≤ T B t ≥ C } = { sup 0 ≤ t ≤ T exp  ( λ B t ) ≥ exp  ( λ C ) } {\displaystyle \left\{\sup _{0\leq t\leq T}B_{t}\geq C\right\}=\left\{\sup _{0\leq t\leq T}\exp(\lambda B_{t})\geq \exp(\lambda C)\right\}}
ドゥーブのマルチンゲール不等式と、ブラウン運動の指数関数をとって作った確率過程が正値の劣マルチンゲールになることを考えあわせると
ここで記法の慣習として、確率過程
X : [ 0 , T ] × Ω → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to [0,+\infty )}
を定めている標本空間 Ω の上の確率測度を P 、測度 P による期待値を E 、つまり
E [ X T ] = ∫ Ω X T ( ω ) d P ( ω ) {\displaystyle \mathbf {E} [X_{T}]=\int _{\Omega }X_{T}(\omega )\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )}
(ルベーグ積分)と記している。 F s {\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}} を確率変数族 Xi (i ≤ s) が生成する完全加法族とする。この完全加法族の集合は確率空間上の増加情報系(英語版)(情報系、フィルトレーション)をなす。