フーリエ変換
しかし自乗絶対可積分函数のフーリエ変換は自乗絶対可積分函数の一般の類を成す。そのような L(R)-函数のフーリエ変換の制限は測度 0 の集合上では定義することができない。1 ≤ p ≤ 2 に対する L における制限問題の理解はいまだ活発な研究の行われる領域である。驚くべきことに、集合 S の曲率が非零であるようないくつかの場合には、フーリエ変換の S への制限を定義することができる。S が R における単位球面であるときが特に興味深い。この場合に、トマス-ステインの制限定理によれば、フーリエ変換の R における単位球面への制限は 1 ≤ p ≤ (2n + 2)/(n + 3) に対する L 上で有界作用素である。
1-次元の場合と多次元の場合とで、フーリエ変換の大きな違いは部分和作用素に関係する。与えられた絶対可積分函数 ƒ に対し
f R ( x ) = ∫ S R f ^ ( ξ ) e 2 π i x ⋅ ξ d ξ , x ∈ R n {\displaystyle f_{R}(x)=\int _{S_{R}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}}
同様の方法で、h(x) が ƒ(x) と g(x) との相互相関
h ( x ) := ( f ⋆ g ) ( x ) := ∫ − ∞ ∞ f ( y ) ̄ g ( x + y ) d y {\displaystyle h(x):=(f\star g)(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}\,g(x+y)\,dy}
であるならば h(x) のフーリエ変換が
h ^ ( ξ ) = f ^ ( ξ ) ̄ g ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,{\hat {g}}(\xi )}
で与えられることが示される。
非零実数 a に対し、h(x) = ƒ(ax) ならば h ^ ( ξ ) = 1 | a | f ^ ( ξ a ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}{\Big (}{\frac {\xi }{a}}{\Big )}}
が成り立つ。a = −1 つまり h(x) = ƒ(−x) の場合には、時間反転性 (time-reversal property) h ^ ( ξ ) = f ^ ( − ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(-\xi )}
が導かれる。
f ^ ( ω ) = 1 ( 2 π ) n / 2 ∫ R n f ( x ) e − i ω ⋅ x d x , {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx,}
f ( x ) = 1 ( 2 π ) n / 2 ∫ R n f ^ ( ω ) e i ω ⋅ x d ω {\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega }
という定義が導かれる。この規約のもとでは、フーリエ変換はふたたび L(R) 上のユニタリ変換となり、また フーリエ変換と逆変換の間の対称性も回復することができる。
これら三種類の定義はどれも、順変換逆変換ともに複素指数函数的な積分核を結びつけることによって形成されている。順変換と逆変換で肩に付く符合は反対でなければならないが、どちらがどちらの符号を持つべきであるかという選択は、やはり定義の仕方によるということになる。