ロジスティック写像
(xn, xn+1) = (0, 0) と (xn, xn+1) = (1, 0) がその2つの交点で、これらの交点の位置は a の値に影響されず一定である。
写像のグラフは、とくにロジスティック写像のような1変数の写像のグラフは、その写像の振る舞いを理解するための鍵である。グラフの効能の一つは、不動点と呼ばれる点の図示である。写像のグラフに重ねるように y = x の直線(45°の直線)を引く。この45°直線とグラフが交わる点があれば、その点が不動点である。式で書くと、不動点とは
を満たしている点であり、写像を適用しても変化しない点を意味する。不動点を xf と表記することにする。ロジスティック写像の場合に式 (2-2) を満たす不動点は、ax(1 − x) = x を解いて、
の2点である(a = 0 の場合を除く)。不動点の概念は離散力学系において最も重要となる。
1変数写像に対して使えるもう一つのグラフを利用した技術が、クモの巣図法と呼ばれる手法である。横軸上に初期値 x0 を決めた後に、そこから f (x) の曲線まで縦向きに直線を引く。f (x) の曲線にぶつかったところから y = x の45°直線まで横向きに直線を引き、45°直線にぶつかったところから f (x) の曲線まで縦向きに直線を引く。これを繰り返すことで、平面上にクモの巣状ないし階段状の図ができる。実はこの作図は図示的に軌道の計算を行ってることに等しく、作成されたクモの巣状の図は x0 から出発する軌道を表している。この図法によって、軌道の全体的な振る舞いを一目で見ることができる。
ロジスティック写像の f (x) のグラフを描くと、不動点 xf 2 での接線の傾きは a = 3 を境に 1 を超えて不安定化するのが観察できる。同時に新たな2つの交点が現れ、これらが周期点 xf 1 と xf 2 である。
2周期点の微分係数をロジスティック写像について実際に計算すると、
となる。これを式 (3-7) に当てはめると、パラメータ a が、
を満たすときに2周期点が漸近安定であることがわかる。この範囲は 3 < a < 1 + √6 となり、つまり a が 1 + √6 = 3.44949... を超えると、2周期点は漸近安定ではなくなり、また振る舞いが変わる。
[0, 1] 内のほぼ全ての初期値が2周期点に引き寄せられるが、 xf 1 = 0 と xf 2 = 1 − 1/a も [0, 1] 内に不安定な不動点として残り続けている。これら不安定不動点は、以後 a を増やし続けても [0, 1] 内にずっと残り続ける。そのため、初期値がちょうど xf 1 または xf 2 であるときは、軌道は2周期点には引き寄せられない。さらに、初期値が xf 1 に対する最終的不動点である場合と、xf 2 に対する最終的不動点である場合も、軌道は2周期点には引き寄せられない。このような最終的不動点である点は [0, 1] の中に無限に存在する。しかし、このような点の数は、[0, 1] という実数の集合と比較すれば無視できるほど小さい。
この方程式の解が周期点である。実は不動点 xf 1 = 0 と不動点 xf 2 = 1 − 1/a もまた、式 (3-4) を満たす。したがって、式 (3-5) の解の内、2つの解は xf 1 と xf 2 に相当し、残り2つの解が2周期点である。2周期点をそれぞれ xf 1, xf 2 と表すとする。式 (3-5) を解くことで、xf 1, xf 2 を次のように得られる。
不動点の安定性と同じようなことが、周期点についても言える。つまり、周囲の軌道を引き付ける周期点は漸近安定な周期点と呼ばれ、周囲の軌道が離れていく周期点は不安定な周期点と呼ばれる。周期点の安定性判別も、不動点と同じように可能である。一般的な場合を想定して、写像を k 回反復させた f (x) について考える。この微分 df (x)/dx を (f )′(x) と表すとする。ある k-周期点 xf が
を満たせば、xf は漸近安定である。不安定についても不動点と同じように
を満たせば、xf は不安定である。
以上の周期点の安定性の議論も、不動点と同じようにグラフ描写によって理解しやすくなる。この図では、横軸 xn に対して縦軸を xn+2 とし、xn+2 と xn の関係を表す曲線を描く。この曲線と45°直線の交点は式 (3-4) を満たす点であるから、交点は不動点と2周期点を表している。
という結果は 01001... といったような記号列になる。一方で、ロジスティック写像の軌道 x0, x1, x2,... について、x = 0.5 以下のものは 0 に x = 0.5 を超えるものは 1 に変換し、軌道を 0 と 1 から成る記号列に置き換える。例えば、初期値 x0 = 0.2 とすれば、 x1 = 0.64, x2 = 0.9216, x3 = 0.28901, ... となるので、軌道は 0110... という記号列になる。前者のコイン投げによる記号列を SC とし、後者のロジスティック写像による記号列を SL とする。記号列 SC には、ランダムなコイン投げで記号を決めていったのであらゆるパターンの数列があり得る。よって、ロジスティック写像による記号列 SL がどんなものだったとしても、SC の中に同一のものが存在する。そして、「実に驚くべきこと」として、この逆が成立する。つまり、どのような SC の記号列であっても、初期値を適切に選びさえすればロジスティック写像の軌道 SL によって実現できる。すなわち、任意の SC に対し、SC = SL となる x0 が [0, 1] 中にただ1点存在する。