ドッグレッグ法
F ( x + t δ s d ) ≈ 1 2 ‖ f ( x ) + t J ( x ) δ s d ‖ 2 = F ( x ) + t δ s d ⊤ J ⊤ f ( x ) + 1 2 t 2 ‖ J δ s d ‖ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}F({\boldsymbol {x}}+t{\boldsymbol {\delta _{\mathrm {sd} }}})&\approx {\frac {1}{2}}\left\|{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})+t{\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {\delta _{\mathrm {sd} }}}\right\|^{2}\\&=F({\boldsymbol {x}})+t{\boldsymbol {\delta _{\mathrm {sd} }}}^{\top }{\boldsymbol {J}}^{\top }{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})+{\frac {1}{2}}t^{2}\left\|{\boldsymbol {J}}{\boldsymbol {\delta _{\mathrm {sd} }}}\right\|^{2}\end{aligned}}}
コーシー点におけるパラメータtの値を計算するには、最後の表式をtに関して微分したものとゼロを結んだ等式を解けばよく、解は次の式で与えられる。
t = − δ s d ⊤ J ⊤ f ( x ) ‖ J δ s d ‖ 2 = ‖ δ s d ‖ 2 ‖ J δ s d ‖ 2 {\displaystyle t=-{\frac {{\boldsymbol {\delta _{\mathrm {sd} }}}^{\top }{\boldsymbol {J}}^{\top }{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})}{\left\|{\boldsymbol {J}}{\boldsymbol {\delta _{\mathrm {sd} }}}\right\|^{2}}}={\frac {\left\|{\boldsymbol {\delta _{\mathrm {sd} }}}\right\|^{2}}{\left\|{\boldsymbol {J}}{\boldsymbol {\delta _{\mathrm {sd} }}}\right\|^{2}}}}