アフィンリー代数
対応する単純Lie環のDynkin図形に追加の頂点を付け加えることは以下の構成に対応する.アフィンリー環は対応する単純リー環のループ代数の中心拡大として構成することが必ずできる.半単純リー環からはじめるときは,その単純成分に等しい個数の元によって中心拡大する.また物理では,半単純リー環と可換代数 C の直和をしばしば考える.この場合 n 個の可換な生成元のためさらに n 個の中心元をつけたす必要がある.
対応する単純コンパクトリー群のループ群の二次整係数コホモロジーは整数に同型である.アフィンリー群の一生成元による拡大は位相的にはこの自由ループ群上の円束であり,それらはファイブレーション(英語版)の第一チャーン類と呼ばれる two-class によって分類される.したがって,アフィンリー群の中心拡大ははじめにあらわれたところの物理学の文献でレベルと呼ばれる単一のパラメーター k によって分類される.アフィンコンパクト群のユニタリ最高ウェイト表現は k が自然数のときにのみ存在する.より一般に,半単純リー環を考えるとき,各単純成分に対してセントラルチャージが存在する.