微分積分学の基本定理
微分積分学の基本定理(びぶんせきぶんがくのきほんていり、英: fundamental theorem of calculus)とは、「関数に対する微分と積分は互いの逆操作である」 ということを主張する解析学の定理である。微分積分法の基本定理ともいう。
微分積分学の基本定理は一変数の関数に対するものだが、多変数関数への拡張は、ストークスの定理として知られる。
微分積分学の基本定理の発見以前は、微分法(接線法)と積分法(求積法)は別個の問題と捉えられていた。微分積分学の基本定理はアイザック・ニュートンによって1665年頃、ゴットフリート・ライプニッツによって1675年頃に、それぞれ独立に発見されている。当初ニュートンはこの結果を発表せず、(ニュートンより後に発見した)ライプニッツが先に公表したために先取権を巡って論争となった。
F ( b ) − F ( a ) = ∫ [ a , b ] f ( x ) d x {\displaystyle F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int _{\left[a,\ b\right]}f\left(x\right)\,{\rm {d}}x}
が成り立つ。逆に、 f {\displaystyle f} を任意の積分可能な関数とすると、 F {\displaystyle F} は至るところで d F d x = f {\displaystyle {\tfrac {{\rm {d}}F}{{\rm {d}}x}}=f} となる絶対連続な関数となる。
この定理の条件は、積分をヘンストック=クルツヴァイル積分と考えることにより、更に弱められる。特に、連続関数 F {\displaystyle F} が可算無限個の点で微分可能であるなら、導関数 f {\displaystyle f} はヘンストック=クルツヴァイル積分可能であり、
F ( b ) − F ( a ) = ∫ [ a , b ] f ( x ) d x {\displaystyle F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int _{\left[a,\ b\right]}f\left(x\right)\,{\rm {d}}x}
が成り立つ。ルベーグ積分の場合との違いは、 f {\displaystyle f} の積分可能性が要求されていないことである。