アーベル群のランク
アーベル群の部分集合 {aα} が(Z 上)線型独立 (linearly independent) であるとは、これらの元の線型結合で0になるのは自明なものしかないということである。つまり、
∑ α n α a α = 0 , n α ∈ Z , {\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,}
という式において有限個を除くすべての係数 nα が 0 (なので和は実質有限)であれば、残りの係数も 0 である、という性質を持った部分集合{aα}の事である。A における任意の 2 つの極大線型独立集合は同じ濃度をもつことから、不変量の一つとしてA のランク、階数 (rank) と呼ばれる。
アーベル群のランクはベクトル空間の次元に類似である。ベクトル空間の場合との主な違いは捩れの存在である。アーベル群 A の元は位数が有限であるときに捩れと分類される。すべての捩れ元からなる集合は部分群であり、捩れ部分群 (torsion subgroup) と呼ばれ T(A) と表記される。群は非自明な捩れ元をもたないときに捩れなし (torsion-free) と呼ばれる。剰余群 A/T(A) は A の唯一の極大捩れなし商であり、そのランクは A のランクと一致する。
類似の性質をもったランクの概念は任意の整域上の加群に対して定義できる。アーベル群のケースは Z 上の加群に対応する。