定義域
数学における写像の定義域(ていぎいき、英: domain of definition)あるいは始域(しいき、英: domain; 域, 領域)とは、写像の値の定義される引数(「入力」)の取り得る値全体からなる集合である。つまり、写像はその定義域の各元に対して(「出力」としての)値を与える。
例えば、実数の範囲での議論において、余弦函数の定義域はふつう実数全体の成す集合(実数直線)であるし、正の平方根函数の定義域は 0 以上の実数全体の成す集合であるものとする。定義域が実数から成る集合(実数全体の成す集合の部分集合)であるような実数値函数は、その定義域が x-軸上にあるものとして xy-直交座標系に表すことができる。
対応 f: A → B(あるいは二項関係 Rf ⊂ A × B)が与えられたとき、A を f の始集合あるいは始域、域 (domain) と呼び、対して B を終集合、終域、余域 (codomain) などと呼ぶ。対応、特に部分写像(あるいは右一意的二項関係)f: A → B に対し、(a, b) ∈ Rf なる b ∈ B が存在するような a ∈ A 全体から成る始域の部分集合 X ⊂ A を f の定義域 (domain of definition) という。これは f の制限(後述)として得られる対応 f: X → B が写像となることといっても同じである。対して、(a, b) ∈ Rf なる a ∈ A が存在するような b ∈ B 全体からなる終域の部分集合 Y ⊂ B を f の値域という。
従って特に、写像 f: A → B において、その定義域は始集合 A それ自身であるから、しばしば始域と定義域の概念は特に区別されない。写像 f: A → B の定義域 A の各元 x に対応する終域 B の元を f(x) なる式で表すとき、x を f の引数と呼び、f(x) は f の x における値または x の f による像と呼ぶ。f の値域または像は、定義域 A の各元の f による像となることのできる B の元全体の成す集合 f(A) = {f(x) ∈ B | x ∈ A} に一致する。