シンプレクティック数値積分法
正準力学系において、 ( q i , p i ) {\displaystyle (q_{i},p_{i})} を正準変数、 H = H ( q i , p i ) {\displaystyle H=H(q_{i},p_{i})} をハミルトニアンとするとき、その運動方程式はハミルトンの正準方程式
d q i d t = ∂ H ∂ p i ( q , p ) , d p i d t = − ∂ H ∂ q i ( q , p ) {\displaystyle {\frac {dq_{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}(q,p),\ \ {\frac {dp_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}(q,p)}
である。これらの運動方程式の解 ( q i ( t ) , p i ( t ) ) {\displaystyle \left(q_{i}(t),p_{i}(t)\right)} は一般に次の性質を満足する。
シンプレクティック形式 ω = ∑ i d p i ∧ d q i {\displaystyle \omega =\sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}} を不変に保つ。
ハミルトニアン H ( q i ( t ) , p i ( t ) ) {\displaystyle H\left(q_{i}(t),p_{i}(t)\right)} を不変に保つ。
ところが、正準方程式を数値的に解くためにルンゲ=クッタ法のような汎用の数値積分アルゴリズムを適用すると、一般に数値解においてこれらの性質が破れ、長時間の積分によりエネルギーが保存しないなどの非物理的な結果を生じ得る。シンプレクティック積分法は厳密にシンプレクティック写像であるような(すなわちシンプレクティック形式を保存する)数値積分アルゴリズムであり、ハミルトン力学系の数値解析手法としてより優れた性質を示す。例えば調和振動子
H = 1 2 p 2 + 1 2 q 2 {\displaystyle H={\frac {1}{2}}p^{2}+{\frac {1}{2}}q^{2}}
に2次のシンプレクティック積分法を適用すると、時間刻み幅を h {\displaystyle h} として、真のハミルトニアンの代わりに
H ~ = 1 2 p 2 + 1 2 q 2 − h 2 4 q 2 {\displaystyle {\tilde {H}}={\frac {1}{2}}p^{2}+{\frac {1}{2}}q^{2}-{\frac {h^{2}}{4}}q^{2}}
を保存するため、数値解はある楕円軌道の上に留まり、エネルギーの単調な増加または減少を生じない。さらに、偶数次のシンプレクティック積分子は時間反転対称性を持つという利点も存在する。
一方で、時間刻み幅を動的に変更する適応時間刻みを単純にシンプレクティック積分子に適用するとハミルトニアンの保存が破れることが知られている。