ヤコビの二平方定理
v → 0 {\displaystyle v\to 0} として
θ 1 ( 0 , τ ) = 0 θ 1 ′ ( 0 , τ ) = π θ 2 ( 0 , τ ) θ 3 ( 0 , τ ) θ 4 ( 0 , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}(0,\tau )=0\\&\vartheta _{1}'(0,\tau )=\pi \vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{4}(0,\tau )\\\end{aligned}}}
により、 F ( 0 ) = π θ 2 ( 0 , τ ) 2 G ( 0 ) {\displaystyle F(0)=\pi \vartheta _{2}(0,\tau )^{2}G(0)} を得る。従って、
F ( v ) = π θ 2 ( 0 , τ ) 2 θ 3 ( v , τ ) θ 4 ( v , τ ) θ 2 ( v , τ ) 2 {\displaystyle F\left(v\right)={\frac {\pi \vartheta _{2}(0,\tau )^{2}\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )^{2}}}}
である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、 v = 1 4 {\displaystyle v={\tfrac {1}{4}}} を代入し、 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{{\pi }i\tau }} と書くと