近傍 (位相空間論)
位相空間 X と X の点 p に対して、p の近傍とは、p を含む X のある開集合 U を含むような X の部分集合
V ( ⊇ U ∋ p ) {\displaystyle V(\supseteq U\ni p)}
をいう。これは V の内部に p が含まれるといっても同じことである。
注意すべきは、V それ自体は X の開集合である必要はないことである。V 自身が開集合となるときは特に開近傍と呼ぶ。文献によっては開近傍を以って単に近傍とする場合もあるが、普通はそのことを断る。
また、任意の開集合はそれに含まれる全ての点の(開)近傍である。
一つの点の近傍全体の成す集合族は、その点における全近傍系と呼ばれる。
X の部分集合 S に対して、S の近傍とは、S を含む開集合を含む集合 V をいう。従って、集合 V が S の近傍であるための必要十分条件は、それが S の点すべての近傍となることである。従ってさらに、V が S の近傍であることと S が V の内部の部分集合であることとは同値である。