チャーン類
分裂原理(英語版)(splitting principle)や環理論のどちらかにより、任意のチャーン多項式 c t ( E ) {\displaystyle c_{t}(E)} は、コホモロジー環へ拡張の後、線型要素に分解する。この議論では、E は線束の直和である必要はない。
「複素ベクトル束 E の任意の対称多項式 f を σk の基本対称多項式として書くことができ、σk を ck(E) へ置き換えることができる。」
例: 多項式 sk を s 1 = σ 1 , s 2 = σ 1 2 − 2 σ 2 {\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}} などで
t 1 k + ⋯ + t n k = s k ( σ 1 ( t 1 , ⋯ , t n ) , ⋯ , σ k ( t 1 , ⋯ , t n ) ) {\displaystyle t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\cdots ,t_{n}),\cdots ,\sigma _{k}(t_{1},\cdots ,t_{n}))}
とすることができる(ニュートンの恒等式を参照。)。和
ch  ( E ) = e a 1 ( E ) + ⋯ + e a n ( E ) = ∑ s k ( c 1 ( E ) , ⋯ , c n ( E ) ) / k !