外微分
代わりに、完全に局所座標系 (x, ..., x) の言葉で定義することもできる。まず、座標(微分)形式 dx, ..., dx は座標チャートの範囲内で 1-形式の基底をなす。1 ≤ p ≤ k なる各 p に対して 1 ≤ ip ≤ n とし、多重添字 I = (i1, ..., ik) (および表記の濫用で dx ∧ ⋯ ∧ dx を dx と書く)が与えられたとき、R 上の単純 k-形式 φ = f dx の外微分は
d φ := ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i d x i ∧ d x I {\displaystyle \mathrm {d} \varphi :=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{I}}
で与えられる。一般の k-形式は I が {1, ..., n} の k-元部分集合全てを渡る単純 k-形式の和
ω = ∑ I f I d x I {\displaystyle \omega =\sum _{I}f_{I}\mathrm {d} x^{I}}
M が境界をもつコンパクトで滑らかで向き付け可能な n 次元多様体で、ω は M 上の (n − 1) 形式とするとき、一般化されたストークスの定理は
∫ M d ω = ∫ ∂ M ω {\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial {M}}\omega }
なることを述べる。直感的には、M が無限小領域に分割されたと考え、すべての領域の境界に渡って流れ (flux) を加えたとき、内部の境界はすべて打ち消し合い、M の境界を通る全体の流れが残る。
k 次微分形式の外微分は k + 1 次微分形式である。
f が滑らかな関数(0 形式)であれば、f の外微分 df は f の全微分 df である。つまり、外微分df は
任意の滑らかなベクトル場 X に対して、df(X) = dXf(ただし dXf は X 方向への f の方向微分)。
を満たす一意的な 1 形式である。
一般の k 形式の外微分には様々な同値な定義が存在する。