ペル数
ペル数(ぺるすう、Pell number)は自然数で、以下の漸化式で定義される数列にある項のことである。
P 1 = 1 , P 2 = 2 {\displaystyle P_{1}=1,P_{2}=2\,}
P n = 2 P n − 1 + P n − 2 ( n ≥ 3 ) {\displaystyle P_{n}=2P_{n-1}+P_{n-2}\quad (n\geq 3)}
ペル数を1から小さい順に列記すると
1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, ...オンライン整数列大辞典の数列 A000129
ペル数は前項を2倍した数と前々項との和になっている。なお0番目のペル数を0と定義する場合もある。
n番目のペル数は
P n = ( 1 + 2 ) n − ( 1 − 2 ) n 2 2 {\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}}
という式で表される。 | 1 − 2 | < 1 {\displaystyle \scriptstyle \left\vert 1-{\sqrt {2}}\right\vert <1} であるため、nが大きくなるにつれて隣接するペル数の比 Pn+1/Pn は白銀数 1 + 2 {\displaystyle \scriptstyle 1+{\sqrt {2}}} に限りなく近付く。