パリス＝ハーリントンの定理
大雑把に言えば Jeff Paris と Leo Harrington (1977) は、ペアノ代数の中では強化版有限ラムゼーの定理がペアノ代数それ自体の無矛盾性を帰結することを示した。ゲーデルの第二不完全性定理によってペアノ代数はそれ自体の無矛盾性を証明することはできないので、結局、強化版有限ラムゼーの定理はペアノ代数では証明できないということになる。
強化版有限ラムゼーの定理を満たす数 N は n, m, k の計算可能関数であるが、とても速く増加する。それは原始再帰関数ではないが、急速に増加する原始再帰関数でない関数の例としてよく出されるアッカーマン関数のようなものに比べてもはるかに速く増加する。ペアノ代数はアッカーマン関数がすべての値に対して定義されていることを証明することができるが、強化版有限ラムゼーの定理の場合はその増加があまりにも速く、すべての値に対して定義されていることすら証明できない。