クレブシュ–ゴルダン係数
全角運動量の固有状態は、カップリングしてない基底の完全性関係を使って展開できる。
| ( j 1 j 2 ) J M ⟩ = ∑ m 1 = − j 1 j 1 ∑ m 2 = − j 2 j 2 | j 1 m 1 j 2 m 2 ⟩ ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ {\displaystyle |(j_{1}j_{2})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }
この展開係数 ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ {\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle } をクレブシュ–ゴルダン係数と呼ぶ。
演算子
J ^ z = j z ⊗ 1 + 1 ⊗ j z {\displaystyle {\hat {\textrm {J}}}_{z}={\textrm {j}}_{z}\otimes 1+1\otimes {\textrm {j}}_{z}}
を定義式の両辺に作用させると、クレブシュ–ゴルダン係数は
M = m 1 + m 2 . {\displaystyle M=m_{1}+m_{2}.\,}
の時のみ 0 にならない。
角運動量演算子は、以下の交換関係を満たすエルミート演算子 j ^ x {\displaystyle {\hat {j}}_{x}} 、 j ^ y {\displaystyle {\hat {j}}_{y}} 、 j ^ z {\displaystyle {\hat {j}}_{z}} で定義される。
[ j ^ k , j ^ l ] = j ^ k j ^ l − j ^ l j ^ k = i ħ ∑ m ε k l m j ^ m ( k , l , m ∈ ( x , y , z ) ) {\displaystyle [{\hat {j}}_{k},{\hat {j}}_{l}]={\hat {j}}_{k}{\hat {j}}_{l}-{\hat {j}}_{l}{\hat {j}}_{k}=i\hbar \sum _{m}\varepsilon _{klm}{\hat {j}}_{m}\quad \quad (k,l,m\in (x,y,z))}
ここで ε k l m {\displaystyle \varepsilon _{klm}} はエディントンのイプシロンである。 3つの演算子を合わせたものを「ベクトル演算子」と呼ぶ。