射影空間
R = ⨁ n ≥ 0 Γ ( C P n , O ( n ) ) {\displaystyle R=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (\mathbb {C} P_{n},{\mathcal {O}}(n))}
で定義すると、以上の議論から R は V^ の対称代数、すなわち、(n + 1)-変数の多項式環になることがわかる。
スキーム論では、以上の議論の逆をたどって一般の環(より一般には、任意のスキーム)上の射影空間を定義する。A を任意の可換環として、 R を A 上の (n + 1) 変数の多項式環 A[x0 , ... , xn] とする。R を A 上の次数環とみて、Proj(R) を R の無縁イデアル(定数項を持たない多項式全体のなすイデアル)を含まない斉次素イデアル全体の集合とすると、これは自然に A 上のスキームになり、これを A 上の射影空間と呼び、スキーム論では通常 P A n {\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}} で表す。環 A が体 K であるときは P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}} の K 値点全体は、ザリスキ位相を入れた上記 KPn と一致し、R の次数づけをずらした環 R(n) に対応する可逆層が上に現れた O ( n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(n)} と一致する。
一般線形群 GL(n + 1, K) はベクトル空間 V = K に原点を固定して作用し、原点を通る直線を原点を通る直線に写すので、射影空間 KPn には GL(n + 1, K) が作用する。単位行列の定数倍は射影空間に自明に作用するので、この作用は剰余群 PGL(n, K) = GL(n + 1, K)/K を経由する。群 PGL(n, K) をKPn の射影変換群 (projective linear transformaton group) と言う。射影変換群は、代数多様体としての(あるいは K = C のときは、複素多様体としての)KPn の自己同型群にほかならない。
GL(n + 1, K) の KPn への作用の1点の等方部分群 (stabilizer) は
( a ∗ 0 A ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&*\\0&A\end{pmatrix}}} ただし a ∈ K × , A ∈ G L ( n , K ) {\displaystyle a\in K^{\times },\quad A\in GL(n,K)}
の形の行列からなる部分群 H であり、空間 KPn は、剰余類 GL(n + 1, K)/H と同型である。すなわち、KPn は等質空間である。等質空間としての記述の点でも、射影空間はグラスマン多様体や旗多様体のもっとも簡単な場合に当たる。