電荷密度
自由電子の場合の運動量密度 ρ(P) は、自由電子の実空間(3次元)での波動関数 ψ が平面波 e − i k ⋅ r {\displaystyle e^{-i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}} であるから、
∫∫ e − i G ⋅ ( r − r ′ ) e i k ⋅ ( r − r ′ ) d r d r ′ = ∫∫ e − i ( G − k ) ⋅ ( r − r ′ ) d r d r ′ = δ ( G − k ) = ρ k ( G ) {\displaystyle \iint e^{-i{\boldsymbol {G}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')}e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')}d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r'}}=\iint e^{-i({\boldsymbol {G}}-{\boldsymbol {k}})\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')}d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'=\delta ({\boldsymbol {G}}-{\boldsymbol {k}})=\rho _{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {G}})}