アルス・マグナ (カルダーノの著書)
16世紀のイタリアでは、代数方程式を解く、時に金銭を賭けた数学競技が流行していた。またその解法は当時の師弟関係の間で伝授される秘術であり、公開されることはなかった。
3次方程式の解法では、シピオーネ・デル・フェッロが研究の端緒を開けたとされているが、彼は業績を公表せず、弟子の何人かに伝授して亡くなっていた。弟子の1人であったアントニオ・マリア・フィオル(Antonio Maria Fior )は、師の解法を使って数学競技で連勝し富と名声を得ていた。そこに、ニコロ・フォンタナ・タルタリアという人物が独自に 3 次方程式の解法をみつけたという話を聞きつけた。1535年、3 次方程式 x + ax = b (ただし a,b > 0) の数学競技でフィオルはタルタリアに勝負を挑んだもののフェッロの解法では勝てず、勝ったタルタリアは一躍有名になった。彼はおそらく独学でこの解法の発見していたが、彼も解法について公表しなかった。
1539年、ミラノの Piatti Foundation の数学の講義で、最初の数学本『Pratica Arithmeticæ et mensurandi singularis』(英: The Practice of Arithmetic and Simple Mensuration、「算術と単純求積の実践」)を出版したカルダーノは、タルタリアの話を聞きつけ、同年タルタリアに彼の 3 次方程式の解法を懇願した。
答えは 5 + √−15 と 5 − √−15 である。
と挙げた。虚数の概念がまだ確立しておらず、カルダーノはこの結果に物理的に意味は無いとして「sophistic(詭弁)」と呼んだが、「それでも我々は計算できる」と書き、積は正確に 40 になることを計算して数学的に正しいことを立証している。カルダーノはこの答えを「とらえどころのないくらいに役に立たない」と結んでいる。
これはカルダーノが 3 次方程式の解法に複素数を導入しているとするよくある誤解である。それは(現代の表記では)カルダーノの多項式の根の公式 x + px + q は、
− q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + − q 2 − q 2 4 + p 3 27 3 , {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},}
負の数の平方根はこの文脈中に自然に出てくるが、カルダーノが公式を適用したこの具体例の q/4 + p/27 は負になることはない。