積分変換
数学の分野における積分変換(せきぶんへんかん、英: Integral transform)とは、次の形をとるような変換 T のことである:
( T f ) ( u ) = ∫ t 1 t 2 K ( t , u ) f ( t ) d t . {\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}K(t,u)f(t)\,dt.}
この積分変換の入力は関数 f であり、出力は関数 Tf である。積分変換は作用素の一種である。
多くの便利な積分変換が存在する。個々の積分変換は、その変換の核関数 (kernel function) あるいは核 (kernel, nucleus) と呼ばれる二変数関数 K を定めれば決まる。また、積分区間は,核によって適当に定められる。 いくつかの核関数には逆 K(u, t) が存在し、それは(大まかに言えば)次のような逆変換を満たす:
f ( t ) = ∫ u 1 u 2 K − 1 ( u , t ) ( T f ( u ) ) d u . {\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)(Tf(u))\,du.}
このような公式は反転公式と呼ばれる。二変数の順番が変わっても変化しないような核は対称核と呼ばれる。