トムソンのランプ
ラッセルの処方箋とは、彼が論理的には可能だと言ったことに由来し、無限回の作業は次のようにすれば、有限時間内に収まる、というもの。ゼノンのパラドックスの二分法における前進型解釈で目的点に到着するケースにあたる。次の時系列に則った作業が、なされるとしよう。
1,1/2,1/4,1/8,1/16,...
この時系列で順に作業がなされるとするなら、その経過時間の総和
S=1+1/2+1/4+1/8+1/16+...
Sは2に収束する。すなわち、2分後には無限回の作業がなされたことになる。ランプで言えば、
初回にスイッチを押し点灯させ、1分後二回目を押し消灯する。1/2分後三回目を押し点灯、1/4分後、...、以下同様に半分の時間ごとにスイッチを押す。そのようにして、無限回スイッチを押したとしよう。
時刻:0 1 3/2 7/4...2
状態:○○○○○○○○●●●●○○● .... ?
このランプ、2分後には点灯しているのか消灯しているのか。
この質問に答えることはできない。点灯していることはできない、なぜなら、直ちに消灯することなく点灯したことはなかったのだから。