ヒッチン汎函数
従って、任意の 1-形式は、(定数なので)どこでもゼロにならないので安定で、2-形式 (もしくは p が偶数のときの p-形式) の安定性とは、非退化と同値である。
では、p = 3 の場合にはどうなるのか。 大きな n に対しては、3-形式は難しくなる。理由は、 ∧ 3 ( R n ) {\displaystyle \wedge ^{3}(\mathbb {R} ^{n})} , n 3 {\displaystyle n^{3}} , の次元の増加の仕方が、 G L ( n , R ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )} , n 2 {\displaystyle n^{2}} の次元の増加のしかたよりも早いからである。しかし、非常にまれな例外がある。つまり n = 6 {\displaystyle n=6} の場合で、その場合は dim ∧ 3 ( R 6 ) = 20 {\displaystyle \wedge ^{3}(\mathbb {R} ^{6})=20} であり、dim G L ( 6 , R ) = 36 {\displaystyle GL(6,\mathbb {R} )=36} である。次元 6 での安定な実 3-形式を ρ {\displaystyle \rho } とすると、 ρ {\displaystyle \rho } の G L ( 6 , R ) {\displaystyle GL(6,\mathbb {R} )} の下でのスタビライザーは次元 36 - 20 = 16 であり、実際に、 S L ( 3 , R ) × S L ( 3 , R ) {\displaystyle SL(3,\mathbb {R} )\times SL(3,\mathbb {R} )} もしくは S L ( 3 , C ) ∩ S L ( 3 , C ) {\displaystyle SL(3,\mathbb {C} )\cap SL(3,\mathbb {C} )} のいずれかになる。
6次元多様体に対しての定義は、以下の通りである。ヒッチンの論文の定義はより抽象的で、より一般的である。
M {\displaystyle M} を自明な標準バンドルを持つコンパクトな向き付けられたな 6次元多様体とすると、ヒッチン汎函数 は、次の式の 3-形式上の汎函数と定義する。
Φ ( Ω ) = ∫ M Ω ∧ ∗ Ω . {\displaystyle \Phi (\Omega )=\int _{M}\Omega \wedge *\Omega \ .}
ここに Ω {\displaystyle \Omega } は 3-形式であり、 * はホッジスター作用素を表す。