進化的安定戦略
まず1に関しては、ゲーム理論の言葉で言えば繰り返しゲームを考える必要がある、という事である。一回のゲームの利得と繰り返し行ったゲームの利得の平均値とを区別する為、一回のゲームの利得はこれまで通り E ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle E(\cdot ,\cdot )} で表し、繰り返し行ったゲームの利得の平均値を E ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\cdot ,\cdot )} と表す事に事にする。
ゲームを行うたびに闘争相手が毎回異なると仮定できる場合には、繰り返しゲームの平均利得 E ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\cdot ,\cdot )} は E ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle E(\cdot ,\cdot )} と一致する(詳細後述)。一方、同一の闘争相手と何度もゲームを繰り返す場合はより複雑で、後退帰納法(有限繰り返しゲームの場合)やフォーク定理(無限繰り返しゲームの場合)など、ゲーム理論の手法を用いて E ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\cdot ,\cdot )} を求める必要がある。
これは例えば、遺伝的多型により、個体が生まれた段階でどの純粋戦略を取るのかが決まる場合がこの状況に相当する。
一方、定義G4の式の右辺は、全ての個体が全く同一の混合戦略 ∑ i = 1 n ε i σ i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}\sigma _{i}} を取っている状況である。これは例えば、「混合戦略 ∑ i = 1 n ε i σ i {\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}\sigma _{i}} を取る事」が遺伝的に単型な形で刷り込まれており、ゲーム開始の段階でランダムに σ 1 , ... , σ n {\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}} のうちどれかを行う場合がこの状況に相当する。
多型-単型同値性はこの多型のケースと単型のケースが E {\displaystyle {\mathcal {E}}} の第一変数の戦略を取る個体Pの平均利得という観点から見るとこの「多型」の状況と「単型」の状況に差がない事を意味する。
Pの闘争相手がゲームのたびに個体群から毎回ランダムに選ばれるケース(個体群の個体数は無限大なのでこれは闘争相手が毎回異なる事を意味する)における繰り返し行列ゲームの場合には、明らかに多型-単型同値性が成立する。しかしゲームによっては多型-単型同値性が成り立たないものもあり、次章以降でそうしたゲームについて見る。
これまで我々は、着目している個体が純粋戦略を取る場合の連続レプリケーター方程式に関して考察してきたが、より一般に、有限個の混合戦略 q 1 , ... , q m ∈ Δ n {\displaystyle \mathbf {q} _{1},\ldots ,\mathbf {q} _{m}\in \Delta _{n}} を取る個体がそれぞれ割合 x 1 ( t ) , ... , x m ( t ) {\displaystyle x_{1}(t),\ldots ,x_{m}(t)} で存在する個体群に対する連続レプリケーター方程式を考える事もできる:
d x i d t ( t ) = ( q i − q x ( t ) ) T A q x ( t ) ) x i ( t ) for i = 1 , ...
本節では非対称なゲームを定式化し、対称化を方法を述べる。今各個体には2つの立場(role)があり、どちらの立場にいるかにより取れる戦略が異なるものとする。立場0、立場1にいる時に取れる戦略全体の集合をそれぞれX0、X1と表記する。このとき、非対称なゲームの戦略空間は
X 0 × X 1 {\displaystyle X_{0}\times X_{1}}
である。戦略空間の元 ( σ , τ ) ∈ X 0 × X 1 {\displaystyle (\sigma ,\tau )\in X_{0}\times X_{1}} の直観的意味は「もし自分が立場0であれば戦略σを取り、立場1であれば戦略τを取る」というものである。
このゲームにおける個体群戦略は ( σ 1 , τ 1 ) , ... , ( σ m , τ m ) ∈ X 0 × X 1 {\displaystyle (\sigma _{1},\tau _{1}),\ldots ,(\sigma _{m},\tau _{m})\in X_{0}\times X_{1}} と ε 1 , ... , ε m ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{m}\in [0,1]} ( ε 1 + ⋯ + ε m = 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}+\cdots +\varepsilon _{m}=1} )を用いて
x 1 ( t + 1 ) x 1 ( t ) : ⋯ : x m ( t + 1 ) x m ( t ) = E ( q 1 , q x ( t ) ) : ⋯ : E ( q m , q x ( t ) ) {\displaystyle {x_{1}(t+1) \over x_{1}(t)}~:~\cdots ~:~{x_{m}(t+1) \over x_{m}(t)}=E(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))~:~\cdots ~:~E(\mathbf {q} _{m},\mathbf {q} _{\mathbf {x} }(t))} ...(Eq-R7)
が成立する。ここで
E ( p , q ) = p T A q + β {\displaystyle E(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\mathbf {p} ^{T}A\mathbf {q} +\beta } ...(Eq-R8)
である。上の比の等式は左辺に登場する分母 x i ( t ) {\displaystyle x_{i}(t)} が0である場合は意味を持たないが、前節でも述べたのと同様の議論により、 x i ( t ) {\displaystyle x_{i}(t)} が0になるのは混合戦略 q i {\displaystyle \mathbf {q} _{i}} を取る個体が個体群から絶滅した事を意味するので、以降のsに関しては常に x i ( s ) = 0 {\displaystyle x_{i}(s)=0} であるものと解釈する。
混合戦略 σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} を取る個体の集団に、混合戦略 σ {\displaystyle \sigma } を取る個体群が侵入し、集団全体の中で後者の割合がεになったとする。このとき、対戦相手がランダムに選ばれるとすれば、混合戦略 σ ∗ {\displaystyle \sigma _{*}} を取る個体の利得の期待値は
( 1 − ε ) E ( σ ∗ , σ ∗ ) + ε E ( σ ∗ , σ ) = E ( σ ∗ , ( 1 − ε ) σ ∗ + ε σ ) {\displaystyle (1-\varepsilon )E(\sigma _{*},\sigma _{*})+\varepsilon E(\sigma _{*},\sigma )=E(\sigma _{*},(1-\varepsilon )\sigma _{*}+\varepsilon \sigma )}
このように仮定すると、個体群のうち割合 p i ( t ) {\displaystyle p_{i}(t)} の個体が、それぞれ f i ( p i ( t ) ) {\displaystyle f_{i}(\mathbf {p} _{i}(t))} の子供を残すのだから、世代t+1において戦略1, ..., nを取る個体の比率は
p 1 ( t ) f 1 ( p ( t ) ) : ⋯ : p n ( t ) f n ( p ( t ) ) {\displaystyle p_{1}(t)f_{1}(\mathbf {p} (t))~:~\cdots ~:~p_{n}(t)f_{n}(\mathbf {p} (t))}
となる。ここで我々は
仮定3.により、(突然変異を例外とすれば)子供は親と同じ遺伝子を持つため、親と同じ戦略を取り
仮定4.により突然変異が起こらない
事を利用した。以上より世代世代t+1において戦略iを取る個体の割合は、以下の離散レプリケーター方程式に従う:
ここで
f ̄ ( p ( t ) ) = ∑ j p j ( t ) f j ( p ( t ) ) {\displaystyle {\bar {f}}(\mathbf {p} (t))=\sum _{j}p_{j}(t)f_{j}(\mathbf {p} (t))}
である。