クロネッカー積
クロネッカー積はテンソル積の特別な場合であるから、双線型性と結合性を持つ。すなわち、A, B, C を適当なサイズの行列、k をスカラーとして
A ⊗ ( B + C ) = A ⊗ B + A ⊗ C , {\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,}
( A + B ) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C , {\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,}
( k A ) ⊗ B = A ⊗ ( k B ) = k ( A ⊗ B ) , {\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),}
( A ⊗ B ) ⊗ C = A ⊗ ( B ⊗ C ) {\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)}
が成り立つ。
クロネッカー積は可換でなく、一般には A ⊗ B と B ⊗ A は異なる行列となる。しかし A ⊗ B と B ⊗ A とは置換同値、すなわち置換行列 P, Q で
A ⊗ B = P ( B ⊗ A ) Q {\displaystyle A\otimes B=P(B\otimes A)Q}
となるものが存在する。さらに A, B が正方行列の場合には、A ⊗ B と B ⊗ A とは置換相似、すなわち置換同値であって P = Q とすることができる。
と書ける。
行列 A, B, C, D は行列の積 AC および BD が定義できるようなサイズの行列とすれば、
( A ⊗ B ) ( C ⊗ D ) = A C ⊗ B D {\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD}
が成立する。これは行列の通常の積とクロネッカー積が混じっているので、混合積性質と呼ばれる。