証明 (数学)
数学における証明 (しょうめい、英語: Mathematical proof) とは、ある命題が正しいことを主張するための一連の演繹のこと。証明の各段階においては、前提(公理、定理等の認められた事実)や仮定から推論規則によって新たな命題を導くという形態をとる。ある証明の中で導入された仮定は、証明の別の部分で証明されるか、その証明の中で否定されなければならない(背理法)。
命題 P を証明したいとき、P をそのまま証明することを直接証明という。それに対して P が真であることを直接証明する代わりに、P と同値な別の命題が真であることを証明する方法を間接証明という(これらはあくまで直観的な分類に過ぎず、数学的な定義があるわけではない)。
A ⇒ B が成り立ち、B を満たすものがただひとつであれば、B ⇒ A が成り立つ。
数学における命題の証明においては、通常、その正しさの確認は証明の作成者と読者に委ねられている。証明の概念を形式化することによって、その正しさを機械的に判定したり、証明そのものを数学の研究対象とすることもできる。
有限集合を1つ固定し、その有限集合の元をアルファベットという。
アルファベットの有限列を語という。
語の集合を言語という。
言語を1つ固定し、その言語に属する語を命題という。
命題の集合を1つ固定し、その集合に属する命題を事前に認められた仮定として採用し、それを公理と呼ぶ。
命題の有限個の組がどのような条件を満たせば、それらの命題から別の命題が導けるのかを決めたルールの組を決め、それらのルールを推論規則という。
公理の集合と推論規則の集合の組を公理系と呼ぶ。
Aを公理系とし、(P1,...,Pn) を命題の列とする。
任意の i≦n に対し Pi が
Pi は公理である
Pi は、P1,..., Pi-1 から、許された推論規則によって導くことができる
のいずれかを満たすとき、(P1,...,Pn) を Pn の(公理系 A における)証明と言う。
ある (P1,...,Pn) があって、(P1,...,Pn) が Pn の証明であるとき、Pn は(公理系 A において)証明可能である、もしくは Pn は定理であるという。