二項定理
二項式の総乗といった、より次元の高いものを取り扱う場合にも二項定理はしばしば有用である。二項定理により等式
( x 1 + y 1 ) n 1 ⋯ ( x d + y d ) n d = ∑ k 1 = 0 n 1 ⋯ ∑ k d = 0 n d ( n 1 k 1 ) x 1 k 1 y 1 n 1 − k 1 ⋯ ( n d k d ) x d k d y d n d − k d {\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}=0}^{n_{1}}\cdots \sum \limits _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\dbinom {n_{1}}{k_{1}}}\,{x_{1}}^{k_{1}}{y_{1}}^{n_{1}-k_{1}}\;\cdots \;{\dbinom {n_{d}}{k_{d}}}\,{x_{d}}^{k_{d}}{y_{d}}^{n_{d}-k_{d}}}
が成り立つ。この式は多重添字記法を用いれば
( x + y ) α = ∑ ν ≤ α ( α ν ) x ν y α − ν {\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\textstyle \sum \limits _{\nu \leq \alpha }{\dbinom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }}
とより簡潔に表される。