位相的場の理論
物理的には (2)+(4) は相対論的な不変性に関連していて、一方 (3)+(5) は理論の量子的性質を示している。
Σ {\displaystyle \Sigma } は物理的な空間を表していることを意図していて (標準的な物理では d = 3 )、 Σ × I {\displaystyle \Sigma \times I} の中の余剰次元は「虚」時間である。空間 Z ( M ) {\displaystyle Z(M)} は量子論のヒルベルト空間であり、ハミルトニアン H {\displaystyle H} を持つ物理的理論は、時間発展作用素 e i t H {\displaystyle e^{itH}} 、もしくは「虚時間」作用素 e − t H {\displaystyle e^{-tH}} を持っている。「位相的」量子場理論は H = 0 {\displaystyle H=0} の時であり、このことはシリンダー Σ × I {\displaystyle \Sigma \times I} に沿った実際の力や(波の)伝播はないことを意味している。しかしながら、境界 ∂ M = Σ 0 ∗ ∪ Σ 1 {\displaystyle \partial M=\Sigma _{0}^{*}\cup \Sigma _{1}} を持ち、 Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} から Σ 1 {\displaystyle \Sigma _{1}} の間に介在する多様体 M {\displaystyle M} を通して、非自明な「伝播」(もしくはトンネル振幅)がありうる。