ハルナックの不等式
熱方程式のような線型の放物型偏微分方程式に対しても、ハルナックの不等式は存在する。
M {\displaystyle {\mathcal {M}}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内のある滑らかな領域とし、次の線型の放物型作用素を考える。
L u = ∑ i , j = 1 n a i j ( t , x ) ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j + ∑ i = 1 n b i ( t , x ) ∂ u ∂ x i + c ( t , x ) u . {\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u.}
ここで各係数は滑らかかつ有界で、行列 ( a i j ) {\displaystyle (a_{ij})} は正定値であるとする。 u ( t , x ) ∈ C 2 ( ( 0 , T ) × M ) {\displaystyle u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})} は不等式
楕円型偏微分方程式に対するハルナックの不等式は、ある連結開領域内の正の解の上限は、その下限とあるデータの汎函数のノルムを含む項の和にある定数を掛けたものによって上から評価される。すなわち
sup u ≤ C ( inf u + | | f | | ) {\displaystyle \sup u\leq C(\inf u+||f||)}
が成り立つ。この定数は方程式の楕円度(ellipticity)と連結開領域に依存する。