指数型分布族
失敗回数は固定
いずれの場合も、固定する必要のあるパラメーターが観測値のサイズを制限している。
一般的な分布のうち、指数型分布族ではないものとして、 スチューデントの t 分布、ほとんどの混合分布、範囲が固定されていない場合の均一分布が挙げられる。
すべての指数型分布族は、単一パラメーターによる指数型分布族の積に分解できる。
単一の実数パラメータに基づく指数型分布族を、複数の実数パラメータ(下記ベクトル)に基づく指数型分布族に拡張できる。
θ = ( θ 1 , θ 2 , ... , θ s ) ⊺ . {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\left(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{s}\right)^{\intercal }.}
確率密度関数(または離散分布の場合は確率質量関数)が次のように記述できる場合、ベクトル指数型分布族に属している。
f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) exp  ( ∑ i = 1 s η i ( θ ) ⋅ T i ( x ) − A ( θ ) ) {\displaystyle f_{X}(x\mid {\boldsymbol {\theta }})=h(x)\exp {\left(\sum _{i=1}^{s}\eta _{i}({\boldsymbol {\theta }})\cdot T_{i}(x)-A({\boldsymbol {\theta }})\right)}}
またはもっとコンパクトな形で