素数計数関数
上述のルジャンドルやリーマンらによる公式以外にも、π(x) を表す公式がいくつか存在する。例えばWilliansは、ウィルソンの定理に基づき次の初等的な公式を与えている。
π ( m ) = − 1 + ∑ j = 1 m F ( j ) {\displaystyle \pi (m)=-1+\sum _{j=1}^{m}F(j)}
ここで F ( j ) {\displaystyle F(j)} は、ガウス記号を用いて
F ( j ) = [ cos 2  π ( j − 1 ) ! + 1 j ] {\displaystyle F(j)=\left[\cos ^{2}\pi {\frac {(j-1)!+1}{j}}\right]}
と定義される関数である。これが π(x) を表す理由は単純で、F(j) は合成数ならば 0、その他の値に対しては 1 を取るからである。ウィルソンの定理と同様、この公式も実用的な計算には用いることができない。
その他、ドイツの数学者エルンスト・マイセル(英語版)による巧妙な漸化関係を持つ公式などが知られている。マイセルは1885年自身の公式を用いて π(10) の値を求めた。