小平次元
滑らかな射影曲線は、種数により離散的に分類され、種数は任意の自然数 g = 0, 1, .... を取ることができる。
「離散化された分類」により、与えられた種数に対し連結で既約な曲線のモジュライ空間が存在する。
曲線 X の小平次元は、
κ = −∞: 種数 0 (射影直線 P)の場合は、KX はエフェクティブでない、任意の d > 0 に対し Pd = 0 である。
κ = 0: 種数 1 (楕円曲線)の場合は、KX は自明バンドルであり、任意の d ≥ 0 に対し Pd = 1 である。
κ = 1: 種数 g ≥ 2 の場合、KX は豊富なラインバンドルであり、任意の d ≥ 2 に対し Pd = (2d−1)(g−1) である。
一意化定理を使うと、曲面(実曲面のことで、複素曲線の実次元は 2 である)の場合、小平次元 −∞ は正の曲率に対応し、小平次元 0 は平坦であることに対応し、小平次元 1 は負の曲率に対応する。注意すべきは、ほとんどの代数曲線が一般型であることである。曲線のモジュライ空間では、2つの連結成分は一般型でない曲線に対応していて、一方で全ての他の成分は一般型に対応している。さらに種数 0 の曲線の空間は一点であり、種数 1 の曲線の空間は(複素)次元 1 であり、種数 g ≥ 2 の曲線は次元 3g − 3 である。
ある体の上の次元 n の滑らかな(英語版) (smooth) 代数多様体 X の標準バンドルは、次の n-形式のラインバンドルである。X の余接バンドルの n 次の外冪である。
K X = ⋀ n Ω X 1 {\displaystyle \,\!K_{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X}^{1}}
のことを標準バンドルと言う。整数 d に対し、KX の d 次テンソル積は、再び、ラインバンドルとなる。d ≥ 0 に対し、大域切断 H(X, KX) のベクトル空間は、滑らかな射影多様体 X の双有理不変量であるという注目すべき性質を持っている。すなわち、より低い次元の部分集合を除き、X に同型な任意の滑らかな射影多様体のなす空間と、大域切断のなすベクトル空間は標準的に同一視できる.
d ≥ 0 に対し、X の d 番目の 多重種数(plurigenus) は、KX の大域切断のベクトル空間の次元として定義される。つまり、
P d = h 0 ( X , K X d ) = dim  H 0 ( X , K X d ) {\displaystyle P_{d}=h^{0}(X,K_{X}^{d})=\operatorname {dim} \ H^{0}(X,K_{X}^{d})}
である。
一般型 の多様体 X は最大の小平次元を持つ(小平次元は多様体の次元に等しい)。
κ ( X ) = dim  X . {\displaystyle \kappa (X)=\operatorname {dim} \ X.}
この等号という条件は、ラインバンドル KX が大きなラインバンドルであるか、もしくは、d-標準写像が十分大きな d に対し単射である(つまり、像への双有理写像である)。
例えば、豊富な標準バンドルは一般型である。
ある意味では、ほとんどの代数多様体が一般型である。例えば、n-次元射影空間の中の次数 d の滑らかな超曲面が一般型であることと、d > n+1 であることは同値である。従って、射影空間内のほとんどの超曲面は一般型であることが言える。
一般型の多様体は、たとえ曲面の場合であっても、明確に分類することが極めて困難なように見える。にもかかわらず、一般型の多様体に対し強い正しい結果が存在する。例えば、ボンビエリ(Bombieri)は1973年に、任意の一般型の複素曲面の d-標準写像は、全ての d ≥ 5 に対して双有理であることを示した。さらに一般には、ハーコン・マッカナン(Hacon-McKernan)、高山、辻は、2006年に全ての正の n に対し定数 c(n) が存在し、任意の n-次元の一般型複素多様体の d-標準写像が存在し d ≥ c(n) のとき、双有理同値となることを示した。
一般型の代数多様体の双有理自己同型群は有限群である。