対数微分
ちょうど正の実数の逆数の対数は数の対数のマイナス1倍であるように。
より一般に、商の対数微分は被除数と除数の対数微分の差である:
( u / v ) ′ u / v = ( u ′ v − u v ′ ) / v 2 u / v = u ′ u − v ′ v , {\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},\!}
ちょうど商の微分は非除数と除数の対数の差であるように。
別の方向に一般化して、(実定数の指数による)ベキの対数微分は、指数と、底の対数微分の積である:
( u k ) ′ u k = k u k − 1 u ′ u k = k u ′ u , {\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},\!}
ちょうどベキの対数は指数と底の対数の積であるように。
まとめると、微分と対数はともに積の法則、逆数の法則(英語版)、商の法則、そしてベキの法則(英語版)をもつ(list of logarithmic identities(英語版) を比較せよ)。法則の各ペアは対数微分を通して関係している。