ファン・デル・ヴェルデンの定理
区間Iに含まれる整数をn色で塗り分けたとする。Iを長さMのMinN(L,1,n^M)個の区間に分割する。長さMの各区間はn^M色のうちの1色で塗られていると見なすことが出来る。MinNの定義より、我々は等間隔で並んだL+1個の長さMの区間を見つけることが出来、その中で最も右の1個を除いたL個の区間は同じ色で塗られている。Mの定義より、a,s_1,s_2,...,s_Dが存在して、P(k) (k=0,1,...,D) は区間[1,M]に含まれており、P(k)は単色である。s_{D+1}を上述の長さMの区間どうしの間隔とすれば良い。
2. あるLと任意のD、任意のnに対してMinN(L,D,n)は存在するとする。このとき、次のようにMinN(L+1,1,n)を上から評価することができる。
M i n N ( L + 1 , 1 , n ) ≤ 2 M i n N ( L , n , n ) {\displaystyle {\mathrm {M} inN}(L+1,1,n)\leq 2{\mathrm {M} inN}(L,n,n)}
<証明> I=[1,2MinN(L,n,n)]とする。Iをn色で塗り分ける。このときa,s_1,...,s_nが存在して、P(k) (k=0,1,...,n)は[1,MinN(L,n,n)]に含まれており、P(k)は単色である。