ボレル階層
ボレル集合が有限ランクを持つとは、それがある有限順序数 α {\displaystyle \alpha } に対する Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} に属することである; そうでなければ無限ランクを持つという。
一般の位相空間で成り立つわけではないが、もし Σ 1 0 ⊆ Σ 2 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}\subseteq \mathbf {\Sigma } _{2}^{0}} であれば、そのボレル階層では次の性質が成立することが示せる:
全ての α について、 Σ α 0 ∪ Π α 0 ⊆ Δ α + 1 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}\cup \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}\subseteq \mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}} である。したがって、一度 Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} か Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} に属した集合は、その α より大きい順序数に対応する全ての階層にも属する。