局所体
, p − 1 , r ≤ − 1 ) {\displaystyle x=\sum _{i=r}^{\infty }c_{i}p^{i}\ \ \ \ (c_{i}=0,1,\ldots ,p-1,\ r\leq -1)}
と p 進展開したとき
χ K ( x ) = e ( c r p r + ⋯ + c − 1 p − 1 ) {\displaystyle \chi _{K}(x)=e(c_{r}p^{r}+\cdots +c_{-1}p^{-1})}
と定めると、p 進体上の連続な指標となる。
(2) K が p進体の有限次拡大体であるとき
(1) で得られた χ Q p ( x ) {\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} _{p}}(x)} と、 K / Q p {\displaystyle \scriptstyle K/\mathbb {Q} _{p}} に対するトレースを用いて
χ K ( x ) = χ Q p ( Tr K / Q p  ( x ) ) {\displaystyle \chi _{K}(x)=\chi _{\mathbb {Q} _{p}}(\operatorname {Tr} _{K/\mathbb {Q} _{p}}(x))}
で定義すると、K 上の連続な指標となる。
(3) K が有限体係数の1変数ベキ級数体 F ( ( t ) ) {\displaystyle F((t))} であるとき
( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} を局所体とし、F を | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の剰余体、π を | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の素元としたとき、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} と同値な非アルキメデス付値 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} として
| π | K = ( # F ) − 1 {\displaystyle |\pi |_{K}=(\#F)^{-1}}
を満たすものが唯1つ存在する。この | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} を K の正規付値という。
( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} を完備なアルキメデス付値体としたとき、K は実数体もしくは複素数体と同型であるが、 K の正規付値を、K が実数体と同型であるときは、 | ⋅ | K = | ⋅ | ∞ {\displaystyle \scriptstyle |\cdot |_{K}=|\cdot |_{\infty }} とし、K が複素数体と同型であるとき、 | ⋅ | K = | ⋅ | ∞ 2 {\displaystyle \scriptstyle |\cdot |_{K}=|\cdot |_{\infty }^{2}} と定める。ここで、 | ⋅ | ∞ {\displaystyle \scriptstyle |\cdot |_{\infty }} は実数もしくは複素数上の絶対値とする。