補有限
部分空間に関して: 補有限位相空間の任意の部分位相空間はふたたび補有限である。
コンパクト性に関して: 補有限位相空間の任意の開集合は有限個の例外を除いて X の全ての点を含むから、空間 X はコンパクトかつ点列コンパクトである。
分離性に関して: 補有限位相は T1-分離公理を満たすもっとも粗い位相(つまり、任意の一元集合が閉であるような最小の位相)である。実は、X 上の位相が T1-分離公理を満たす必要十分条件は、それが補有限位相を含むことである。X が有限集合ならば、その補有限位相は単に離散位相のことに他ならない。X が無限集合の場合、補有限位相は、空でないどの二つの開集合も互いに素ではない(つまり超連結である)から、 T2 でも正則でも正規でもない。
補有限位相 (cofinite topology)(若しくは有限補集合位相 (finite complement topology))は任意の集合 X 上で定義することができる位相である。これは、ちょうど空集合および X の全ての補有限部分集合を開集合とする位相空間である。したがって、補有限位相空間において任意の閉集合は必ず有限集合となるか、さもなくば全体空間 X である。記号で書けば、補有限位相とは
T = { A ⊆ X ∣ A = ∅ or X ∖ A is finite } {\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing {\mbox{ or }}X\setminus A{\mbox{ is finite}}\}}
のことをいう。補有限位相はザリスキー位相の文脈で自然に生じる。実際、体 K 上の多項式で有限集合上または K の全域で常に 0 となるようなものの全体は、K 上のザリスキー位相で(「アフィン直線」として)考えたとき、補有限位相を与える。同様のことは、任意の既約代数曲線においても成り立つ。一方、例えば平面上の曲線 XY = 0 などでは成り立たない。