コンパクト化
これは μ ∈ ω X {\displaystyle \mu \in \omega X} にたいし ω f ( μ ) ∈ ⋂ { C ⊆ K : C is closed , f − 1 ( C ) ∈ μ } {\displaystyle \omega f(\mu )\in \bigcap \{C\subseteq K:C{\text{ is closed}},f^{-1}(C)\in \mu \}} と定義することで構成できる。
このとき { x } ∈ i ( x ) , { y } ∉ i ( x ) ( x ≠ y ) {\displaystyle \{x\}\in i(x),\{y\}\notin i(x)(x\neq y)} から i {\displaystyle i} は単射。 i ( x ) ∈ ω C ↔ x ∈ C ( x ∈ X , C ∈ F ) {\displaystyle i(x)\in \omega C\leftrightarrow x\in C(x\in X,C\in {\mathcal {F}})} から i ( C ) ̄ = ω C {\displaystyle {\overline {i(C)}}=\omega C} (特に i ( X ) ̄ = ω X {\displaystyle {\overline {i(X)}}=\omega X} )及び i ( C ) ̄ ∩ i ( X ) = ω C ∩ i ( X ) = i ( C ) {\displaystyle {\overline {i(C)}}\cap i(X)=\omega C\cap i(X)=i(C)} がいえ i : X → i ( X ) {\displaystyle i:X\to i(X)} は同相。
以上から ( i , ω X ) {\displaystyle (i,\omega X)} はT1なコンパクト化である。 ( i , ω X ) {\displaystyle (i,\omega X)} をウォールマンのコンパクト化という。
X {\displaystyle X} がチコノフ空間のとき上記の F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を閉集合ではなくゼロ集合(実連続関数の一点の逆像となる集合)全体とするとストーン・チェックのコンパクト化になる。