リーマン積分
初めから函数がリーマン可積分であることがわかっている場合には、そのようなリーマン和から正しい積分値が得られるが、しかし例えばディリクレの函数 IQ は、このようなリーマン和を用いると [0, 1] 上可積分で、その値が 1 であるかのように見えてしまう。実際、任意の小区間の端点は有理数になるから、有理数の上で値が 1 であるこの函数は、この分割では常に 1 であるかのように見えてしまう。このように定義することに伴う問題は、積分を二つの部分に分割しようとするときに顕在化する。例えば、次のような等式
∫ 0 2 − 1 I Q ( x ) d x + ∫ 2 − 1 1 I Q ( x ) d x = ∫ 0 1 I Q ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbf {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbf {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbf {Q} }(x)\,dx}
は当然の如く成立すべきものであるが、等分割上の左側または右側リーマン和を用いた場合は、左辺の二つの項は(0, 1 以外の全ての端点が無理数になるから)ともに 0 に等しく、他方右辺は既に見たように 1 に等しい。
上述の定義のもと、リーマン積分はこの問題を「IQ の積分が存在しない」とすることで回避する。なお、ルベーグ積分はこれらの積分の値が全て 0 となるように定義されている。
リーマン積分は線型変換である。すなわち、f, g が有界閉区間 I 上リーマン可積分で、α, β を定数とすると、
∫ I ( α f + β g ) d x = α ∫ I f ( x ) d x + β ∫ I g ( x ) d x {\displaystyle \int _{I}(\alpha f+\beta g)\,dx=\alpha \int _{I}f(x)\,dx+\beta \int _{I}g(x)\,dx}
が成り立つ。函数のリーマン積分は一つの数であるから、これはリーマン積分がリーマン可積分函数全体の成すベクトル空間上の線型汎函数となることを示している。