マルチカノニカル法
⟨ Q ⟩ = ∫ Γ min Γ max ∫ Ω Q ( F r ) p ( F r ) δ ( f − F r ) d r d f = ∫ Γ min Γ max Q ( f ) p ( f ) ∫ Ω δ ( f − F r ) d r d f = ∫ Γ min Γ max Q ( f ) p ( f ) ρ ( f ) d f {\displaystyle {\begin{aligned}\langle Q\rangle &=\int _{\Gamma _{\min }}^{\Gamma _{\max }}\int _{\Omega }Q(F_{\boldsymbol {r}})p(F_{\boldsymbol {r}})\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}\,df\\&=\int _{\Gamma _{\min }}^{\Gamma _{\max }}Q(f)p(f)\int _{\Omega }\delta (f-F_{\boldsymbol {r}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}\,df\\&=\int _{\Gamma _{\min }}^{\Gamma _{\max }}Q(f)p(f)\rho (f)\,\mathrm {d} f\\\end{aligned}}}
つまり、状態密度を知っていれば、それは Ω {\displaystyle \Omega } 上の状態数の Γ {\displaystyle \Gamma } への射影であるから、 F の値についての一次元積分により、位相空間上の多次元積分そすることなく平均値が計算できることになる。
自由度の高い系については状態数が大きくなるため、解析的な表式を得ることは難しく、 ⟨ Q ⟩ {\displaystyle \langle Q\rangle } の計算も困難となる。