ファトゥの補題
を満たすような c > 0 が存在するなら、
E [ lim inf n → ∞ X n | G ] ≤ lim inf n → ∞ E [ X n | G ] {\displaystyle \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]} almost surely
が成立する。
注釈:
E [ max { X , 0 } | G ] = ∞ , {\displaystyle \mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty ,}
を満たすような集合
X := lim inf n → ∞ X n {\displaystyle X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}}
上では、上の不等式の左辺は正の無限大であると見なされる。その下極限の条件付き期待値は、この集合上では、well-defind ではない場合もある。なぜならば、その負の部分の条件付き期待値も正の無限大となる可能性もあるからである。