条件付き独立
今度の国民投票で「賛成」と投票する有権者の割合を p とする。母集団から無作為に n 人の有権者を選んで世論調査を行う。i = 1、 ...、 n に対して、 i が賛成に投票するなら Xi = 1、賛成に投票しないなら Xi = 0 とする。
統計的推論への頻度主義的アプローチでは、p に確率分布を与えることなく、X1 、...、 Xn を独立した確率変数と呼ぶ。
対照的に、統計的推論へのベイズアプローチでは、p に確率分布を割り当てて、その確率を「p が任意の間隔にあるという確信の度合い」として解釈する。このモデルでは、確率変数 X1 、 ...、 Xn は独立ではないが、p の値を条件として条件付き独立である。特に、多数の X が 1 に等しいことが観察された場合、p が 1 に近いことが示唆されるので、次に観測される X が 1 に等しいという条件付き確率が高くなる。
ほかの条件 K {\displaystyle K} で条件付けした部分空間でも、同様の規則が成立する。
例えば、
X ⊥ ⊥ Y ⟹ Y ⊥ ⊥ X {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\quad \implies \quad Y\perp \!\!\!\perp X}
に関しては、
X ⊥ ⊥ Y ∣ K ⟹ Y ⊥ ⊥ X ∣ K {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid K\quad \implies \quad Y\perp \!\!\!\perp X\mid K}
が成立する。
ここで、 P ( A ∣ B , C ) {\displaystyle P(A\mid B,\,C)} は観測 B {\displaystyle B} と観測 C {\displaystyle C} が与えられた下での仮説 A {\displaystyle A} の確率である。観測 C {\displaystyle C} の下で、観測 B {\displaystyle B} は仮説 A {\displaystyle A} の確からしさについて何ら貢献しない。このとき、 C {\displaystyle C} の下で A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} は条件付き独立であると表現し、 A ⊥ ⊥ B ∣ C {\displaystyle A\perp \!\!\!\perp B\mid C} と表記する。条件付き独立性の概念は、統計的推論のグラフベースの理論に不可欠である。