乱雑位相近似
ボソン系のRPA真空 | R P A ⟩ {\displaystyle \left|\mathbf {RPA} \right\rangle } は、相関のないボソン真空 | M F T ⟩ {\displaystyle \left|\mathbf {MFT} \right\rangle } と元々のボソン励起 a i † {\displaystyle \mathbf {a} _{i}^{\dagger }} で表すことができる。
| R P A ⟩ = N e Z i j a i † a j † / 2 | M F T ⟩ {\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left|\mathrm {MFT} \right\rangle }
N = ⟨ M F T | R P A ⟩ ⟨ M F T | M F T ⟩ {\displaystyle {\mathcal {N}}={\frac {\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {RPA} \right\rangle }{\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {MFT} \right\rangle }}}
この時、量子状態 | ν ⟩ {\displaystyle |\nu \rangle } はその異なるもの同士は直交する、すなわち ⟨ ν | ν ′ ⟩ = δ ν ν ′ {\displaystyle \langle \nu |\nu '\rangle =\delta _{\nu \nu '}} と仮定する。
更に | m i ⟩ = a m † a i | H F ⟩ {\displaystyle |mi\rangle =a_{m}^{\dagger }a_{i}|HF\rangle } の線形結合で定義される状態 | ν ⟩ {\displaystyle |\nu \rangle } の最もエネルギーの低い状態(基底状態) | Φ R P A ⟩ {\displaystyle |\Phi _{RPA}\rangle } を O ν | Φ R P A ⟩ = 0 {\displaystyle O_{\nu }|\Phi _{RPA}\rangle =0} と定義する。
以上の条件のもとで上述のRPA固有値方程式は
⟨ Φ R P A | [ O ν ′ , [ H , O ν † ] ] | Φ R P A ⟩ = ħ ω ν δ ν ν ′ {\displaystyle \langle \Phi _{RPA}|[O_{\nu '},[H,O_{\nu }^{\dagger }]]|\Phi _{RPA}\rangle =\hbar \omega _{\nu }\delta _{\nu \nu '}}
と等価である。