電磁ポテンシャル
なお、静磁場において電場に対する電位が一意に定まらず積分定数分だけの自由度があるように、電磁場に対する電磁ポテンシャルも一意には定まらない(しかも自由度が大きい為、定数分の差を除いても一意に定まらない)。必要に応じてさらなる条件(ローレンツゲージ、クーロンゲージ等)を課す場合がある。
また ( φ 1 , A 1 ) {\displaystyle (\phi _{1},{\boldsymbol {A}}_{1})} 、 ( φ 2 , A 2 ) {\displaystyle (\phi _{2},{\boldsymbol {A}}_{2})} がいずれも(M0-a)を満たす事から、
∇ ( φ 2 − φ 1 ) = ∂ ( A 2 − A 1 ) ∂ t = ∇ ∂ g ∂ t {\displaystyle \nabla (\phi _{2}-\phi _{1})={\frac {\partial ({\boldsymbol {A}}_{2}-{\boldsymbol {A}}_{1})}{\partial t}}=\nabla {\frac {\partial g}{\partial t}}} 。
よってある時間の関数 C(t) が存在して、
φ 2 = φ 1 + ∂ g ∂ t + C ( t ) {\displaystyle \phi _{2}=\phi _{1}+{\frac {\partial g}{\partial t}}+C(t)} ...(2)。
となる。ここで
f ( x , y , z , t ) = g ( x , y , z , t ) + ∫ d t C ( t ) {\displaystyle f(x,y,z,t)=g(x,y,z,t)+\int \mathrm {d} tC(t)}
とすれば grad  C t = 0 {\displaystyle \operatorname {grad} Ct=0} より」(1)、(2)は(G-a,b)に一致する。
ゲージ変換によって以下の条件式を満たすような電磁ポテンシャルを作ることが可能である。
∂ μ A μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}
この条件式をローレンツ条件という。ローレンツ条件は連続の方程式の形をしており、ローレンツ変換に対して不変な形になっている。この条件式を満たす電磁ポテンシャルを用いてマクスウェルの方程式を書き換えると、以下の非斉次の波動方程式が得られる。
∂ ν ∂ ν A μ = ◻ A μ = − μ 0 j μ {\displaystyle \partial _{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }=\square A^{\mu }=-\mu _{0}j^{\mu }}
ここで
∂ ν ∂ ν = ◻ = − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 {\displaystyle \partial _{\nu }\partial ^{\nu }=\square =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}}