マーロ基数
κ がマーロ基数であるとする。α ≤ κなる α に対して、α 上の超限帰納法によって、κ が α-到達不能であることを示す。 κ がマーロ基数であるので、κ は到達不能である。同じことだが、0-到達不能でもある。
κ が α-到達不能なので、全ての β < α に対して β-到達不能基数があって、κに近づく。 ある値より大きいが κ より小さいβ-到達不能基数の simultaneous limits の集合を考える。 これは κ 内で非有界である(β < α なる β に対する β-到達不能基数 より大きい基数のω回の選択を考えると、正則性により κ より小さい極限を得る(α ≥ κ であれば矛盾する))。 これは閉でもあるので κ の中でclubである。 だから、κ のマーロ性により、これは到達不能基数を含む。 この到達不能性は実は α-到達不能性であり、κ は α+1-到達不能である。
λ ≤ κ が極限順序数で κ が全ての α < λ に対して α-到達不能であるなら、全ての β < λ はある α < λ に対してそれより小さい。 この場合は自明である。特に、κ は κ-到達不能ですなわちhyper-到達不能である。