フラクタル次元
フラクタル構造を生成するアプローチは主に2つある。1つは単位となる図形から成長させる方法(図1)、もう1つはシェルピンスキーの三角形のようにもととなる構造を続けて分割してゆく方法(図2)である。ここでは第2のアプローチによってフラクタル次元を定義する。
ユークリッド次元 D に存在する線形サイズ1の図形があり、そのサイズを各空間方向に 1/l に縮めると、もとの図形を埋めるには N = l 個の自己相似図形が必要となる(図1)。しかしながら、
D = log  N ( l ) log  l {\displaystyle D={\frac {\log N(l)}{\log l}}}
(ここで対数の基数は任意)によって定義される次元はまだその位相次元もしくはユークリッド次元と等しい。上記の等式をフラクタル構造に適用することによって、 期待された通り非整数となるフラクタル構造の次元(これは事実上ハウスドルフ次元である)を得ることができる。
D = lim ε → 0 log  N ( ε ) log  1 ε {\displaystyle D=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\log N(\epsilon )}{\log {\frac {1}{\epsilon }}}}}
ここで N(ε) はもとの構造全体を埋めるのに必要とされる線形サイズεの自己相似構造の数である。
例えば、シェルピンスキーの三角形(図2)は 1⁄2 に縮めると3つの自己相似構造が必要になるので、そのフラクタル次元はこのように求められる: