バーンズのG関数
∫ 0 z log  Γ ( x ) d x = − ∫ 0 z log  ( 1 Γ ( x ) ) d x = − ( z log  z − z ) − z 2 γ 2 − ∑ k = 1 ∞ { ( k + z ) log  ( 1 + z k ) − z 2 2 k − z } {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx&=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx\\&=-(z\log z-z)-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\end{aligned}}}
となる。二つの評価を等しいと置いて
∫ 0 z log  Γ ( x ) d x = z ( 1 − z ) 2 + z 2 log  2 π + z log  Γ ( z ) − log  G ( 1 + z ) {\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}
の証明は完成する。□
バーンズの G-関数に対する差分方程式は、ガンマ関数の函数等式と合わせて、バーンズの G-関数の反射公式(英語版)(相反公式)
を得るのに用いることができる(もともとはヘルマン・キンケリン(英語版)によって証明された)。右辺に現れる対数正接積分は(二次の)クラウセン関数(英語版)を用いると、
2 π log  ( G ( 1 − z ) G ( 1 + z ) ) = 2 π z log  ( sin  π z π ) + Cl 2  ( 2 π z ) {\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}
と評価することができる。この結果の証明は、対数余接積分 Lc(z) の以下のような評価と dlog(sin πx)⁄dx = π⋅cot πx なる事実によるものである。部分積分により
ガンマ関数と同様にバーンズのG関数は引数の整数倍に関して以下の公式を有する。
G ( n z ) = K ( n ) n n 2 z 2 / 2 − n z ( 2 π ) − n 2 − n 2 z ∏ i = 0 n − 1 ∏ j = 0 n − 1 G ( z + i + j n ) {\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}
ここで K ( n ) {\displaystyle K(n)} は以下で与えられる。
K ( n ) = e − ( n 2 − 1 ) ζ ′ ( − 1 ) ⋅ n 5 12 ⋅ ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 = ( A e − 1 12 ) n 2 − 1 ⋅ n 5 12 ⋅ ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 . {\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}
ここで ζ ′ {\displaystyle \zeta ^{\prime }} はリーマンゼータ関数の導関数、 A {\displaystyle A} はグレイシャーの定数である。