同型写像
R を正の実数のなす乗法群とし、R を実数のなす加法群とする。
対数関数 log: R → R はすべての x, y ∈ R に対して log(xy) = log x + log y を満たすので、それは群準同型である。指数関数 exp: R → R はすべての x, y ∈ R に対して exp(x + y) = (exp x)(exp y) を満たすので、それも準同型である。
恒等式 log exp x = x および exp log y = y は log と exp が互いの逆関数であることを示している。log は準同型である逆関数を持つ準同型であるから、群同型である。
log は同型だから、正の実数の積を実数の和に翻訳する。この機能により、定規と対数表(英語版)を用いて、あるいは対数スケールの計算尺を用いて実数を掛けることができる。
抽象代数学において,2つの基本的な同型射が定義される:
群同型、2つの群の間の同型
環同型、2つの環の間の同型(体の間の同型は実は環同型であることに注意)
代数的構造の自己同型が群をなすのと全く同様に、共通の構造を持つ2つの代数の間の同型は heap(英語版) をなす。特定の同型に2つの構造を同一視させることでこの heap は群になる。
解析学において、ラプラス変換は難しい微分方程式を簡単な代数方程式に写す同型写像である。
圏論において、圏 C は2つのクラスからなるとしよう。1つは対象のクラスで、1つは射のクラスである。このとき前の例や多くの他の場合を含む同型射の一般的な定義は:同型射とは逆射をもつ射 f: a → b である、すなわち射 g: b → a であって fg = 1b かつ gf = 1a なるものが存在する射である。例えば、全単射線型写像はベクトル空間の間の同型写像であり、逆関数も連続な全単射連続関数は位相空間の間の同相写像と呼ばれる同型写像である。
グラフ理論において、2つのグラフ G と H の間の同型写像は G の頂点たちから H の頂点たちへの全単射 f であって次の意味で「辺の構造」を保つものである:G において頂点 u から頂点 v に辺があるのは H において f(u) から f(v) に辺があるとき、かつそのときに限る。