代数的K理論
代数的 K-群はL-函数の特殊値や非可換岩澤理論の主予想や高次レギュレータ構成の定式化にも使われる。
パーシン予想(英語版)(Parshin's conjecture)は、有限体上の滑らかな多様体の高次代数的 K-群に関係していて、この場合には群は torsion に upto で 0 となることが予想されている。
他の基本的な予想は、ハイマン・バス(英語版)(Hyman Bass)によるバスの予想(Bass' conjecture)があり、すべての群 Gn(A) は、A が有限生成な Z-代数のとき、有限生成であるという予想である(群 Gn(A) は有限生成 A-加群の圏の K-群である)。
Lluis-Puebla, Emilio; Loday, Jean-Louis; Gillet, Henri; Soulé, Christophe; Snaith, Victor (1992), Higher algebraic K-theory: an overview, Lecture Notes in Mathematics, 1491, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-55007-5, Zbl 0746.19001
Magurn, Bruce A. (2009), An algebraic introduction to K-theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 87 (corrected paperback ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-10658-0
Srinivas, V. (2008), Algebraic K-theory, Modern Birkhäuser Classics (Paperback reprint of the 1996 2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4736-0, Zbl 1125.19300
Weibel, C., The K-book: An introduction to algebraic K-theory, http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
.. , a n } {\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}} と書かれる。k の中で可逆な整数 m に対して、写像
∂ : k ∗ → H 1 ( k , μ m ) {\displaystyle \partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{m})}
が存在する。ここに μ m {\displaystyle \mu _{m}} はある k の分離的拡大の単元の m-乗根を表す。これは、
∂ n : k ∗ × ⋯ × k ∗ → H n ( k , μ m ⊗ n ) {\displaystyle \partial ^{n}:k^{*}\times \cdots \times k^{*}\rightarrow H^{n}\left({k,\mu _{m}^{\otimes n}}\right)\ }
へ拡大され、ミルナーの定義関係式を満たす。従って、 ∂ n {\displaystyle \partial ^{n}} は、ガロア記号写像(Galois symbol map)と呼ばれる K n M ( k ) {\displaystyle K_{n}^{M}(k)} とみなすことができる。
体のエタールコホモロジー(あるいはガロアコホモロジー)とミルナーの K-理論(modulo 2)の間の関係は、ミルナー予想と呼ばれ、ウラジーミル・ヴォエヴォドスキー(Vladimir Voevodsky)により証明された。奇素数に対する類似な命題がブロッホ・加藤予想であり、ヴォエヴォドスキー、ロスト(Rost)、他により証明された。