片側極限
lim x → a − f ( x ) , lim x ↑ a f ( x ) , lim x ↗ a f ( x ) , lim x → a − 0 f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x),\;\lim _{x\uparrow a}\,f(x),\;\lim _{x\nearrow a}\,f(x),\;\lim _{x\to a-0}\,f(x)}
などと書く。
f(x) の x が a に近付く時の通常の意味での極限が存在するなら、二つの片側極限は存在し、それらは一致する。極限
lim x → a f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\,}
が存在しなくても、二つの片側極限が存在する場合もある。そのため、x が a に近付く時の極限を両側極限と呼ぶこともある。片側極限の一方は存在するがもう一方は存在しない場合や、いずれの片側極限も存在しない場合もあり得る。
右側極限は、次のように厳密に定義することが出来る:
lim x → a + f ( x ) = L :⇔ ( ∀ ε > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ I ) [ 0 < x − a < δ ⟹ | f ( x ) − L | < ε ] {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L\ :\Leftrightarrow \ ({}^{\forall }\varepsilon >0)({}^{\exists }\delta >0)({}^{\forall }x\in I)[0<x-a<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ]}