ノイマン級数
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots }
の作用素への拡張になっている。
特に z ∈ C と有界作用素 A について、|z| > ||A|| であれば、レゾルベント作用素 (zI − A) が存在し、
( z I − A ) − 1 = ∑ n = 0 ∞ 1 z n + 1 A n {\displaystyle (zI-A)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{z^{n+1}}}A^{n}}
および
‖ ( z I − A ) − 1 ‖ ≤ 1 | z | 1 1 − ‖ A ‖ | z | {\displaystyle \|(zI-A)^{-1}\|\leq {\frac {1}{|z|}}{\frac {1}{1-{\frac {\|A\|}{|z|}}}}}
が成り立つ。