階段関数
互いに素である。すなわち、i ≠ j のとき、Ai ∩ Aj = ∅ である。
和集合が実数全体である。すなわち、A1 ∪ ... ∪ An = R である。
例えば、この条件を満たさずに階段関数
f = 4 χ [ − 5 , 1 ) + 3 χ ( 0 , 6 ) {\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}}
が与えられたならば、条件を満たすように
f = 0 χ ( − ∞ , − 5 ) + 4 χ [ − 5 , 0 ] + 7 χ ( 0 , 1 ) + 3 χ [ 1 , 6 ) + 0 χ [ 6 , ∞ ) {\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}}
と表現することもできる。