多重積分
で与えられるとき、T と f が囲む領域の n-次元体積の総計をリーマン和
∑ k = 1 m f ( P k ) vol ( C k ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k}){\text{vol}}(C_{k})}
によって近似することができる。ただし、Pk は Ck から取った代表点で、vol(Ck) は Ck を一次元区間の直積として表したときの各区間の長さの総乗、すなわち Ck の容積(測度)である。
分割の小矩形 Ck の径とは、Ck を直積として構成する一次元区間のうちの長さの最大値を言い、また矩形領域 T の与えられた分割の径とは、その分割に属する小矩形の径の最大値を言う。直観的に、分割の径をどんどん小さくしていけば、小矩形の総数 m はどんどん大きくなり、また各小矩形の容積 vol(Ck) はどんどん小さくなる。函数 f がリーマン可積分であるとは、径が高々 δ であるような T の可能な分割すべてを亘る極限
S = lim δ → 0 ∑ k = 1 m f ( P k ) vol ( C k ) {\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k}){\text{vol}}(C_{k})}
が存在することを言う。