伊藤の補題
伊藤の公式は、 h ( t , x ) {\displaystyle h(t,x)} の二次までのテイラー展開に
( d B t ) 2 = d t {\displaystyle (dB_{t})^{2}=dt}
d B t d t = 0 {\displaystyle dB_{t}dt=0}
( d t ) 2 = 0 {\displaystyle (dt)^{2}=0}
を適用して得られる形をしている。 伊藤ルールを用いると、次のような計算が出来る。
d e B t 2 = 2 B t e B t 2 d B t + ( e B t 2 + 2 B t 2 e B t 2 ) d t {\displaystyle de^{B_{t}^{2}}=2B_{t}e^{B_{t}^{2}}dB_{t}+(e^{B_{t}^{2}}+2B_{t}^{2}e^{B_{t}^{2}})dt}
確率過程、とくにウィーナー過程 B t {\displaystyle B_{t}} の積分を考えたい。確率的にしか予言できない過程であっても、大数の法則を認めるような立場では、積分を定義することが出来る。 このような積分の定義の仕方にはいくつかあるが、伊藤清の定義した伊藤積分が、積分がマルチンゲールになるという応用上望ましい性質を持つため、しばしば用いられる。