水素分子イオン
ここで、 H A A = ⟨ χ A | H ^ | χ A ⟩ = ∫ χ A ( − ħ 2 2 m ∇ 2 − e 2 4 π ε 0 ( 1 r A + 1 r B − 1 R ) ) χ A d τ = E H ( 1 s ) + e 2 4 π ε 0 ( 1 R − J ) {\displaystyle H_{AA}=\langle \chi _{A}|{\hat {H}}|\chi _{A}\rangle =\int \chi _{A}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}-{\frac {1}{R}}\right)\right)\chi _{A}d\tau =E_{H(1s)}+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{R}}-J\right)} 同様に、 H A B = ⟨ χ A | H ^ | χ B ⟩ = ∫ χ A ( − ħ 2 2 m ∇ 2 − e 2 4 π ε 0 ( 1 r A + 1 r B − 1 R ) ) χ B d τ = E H ( 1 s ) + e 2 4 π ε 0 ( 1 R − K ) {\displaystyle H_{AB}=\langle \chi _{A}|{\hat {H}}|\chi _{B}\rangle =\int \chi _{A}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}-{\frac {1}{R}}\right)\right)\chi _{B}d\tau =E_{H(1s)}+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{R}}-K\right)} よって、固有エネルギーはそれぞれ
{ E 0 = E H ( 1 s ) − e 2 4 π ε 0 J + K 1 + S A B + e 2 4 π ε 0 1 R E 1 = E H ( 1 s ) − e 2 4 π ε 0 J − K 1 − S A B + e 2 4 π ε 0 1 R {\displaystyle {\begin{cases}E_{0}=E_{H(1s)}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {J+K}{1+S_{AB}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{R}}\\E_{1}=E_{H(1s)}-{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {J-K}{1-S_{AB}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{R}}\end{cases}}}
それぞれの式の第2項は結合を形成することによる電子の安定化の寄与であり、第3項は核同士の反発による不安定化の寄与を表している。
また、水素分子イオンの分子軌道関数は
{ ψ 0 = 1 2 ( 1 + S A B ) ( χ A + χ B ) ψ 1 = 1 2 ( 1 − S A B ) ( χ A − χ B ) {\displaystyle {\begin{cases}\psi _{0}={\frac {1}{\sqrt {2(1+S_{AB})}}}(\chi _{A}+\chi _{B})\\\psi _{1}={\frac {1}{\sqrt {2(1-S_{AB})}}}(\chi _{A}-\chi _{B})\end{cases}}}
と求められる。