半単純リー代数
半単純性の帰結の一つは、全ての有限次元表現が完全可約になるというワイルの完全可約性定理である。半単純リー代数の無限次元表現は一般に必ずしも完全可約とならない。
半単純性の第一の重要性は、任意の有限次元リー代数が可解イデアルと半単純リー代数の半直積となることを述べたレヴィ分解から来ている。
可解イデアルの場合とは対照的に、半単純リー代数は非常にエレガントな分類を持っている。代数閉体上の半単純リー代数はルート系によって、またルート系はディンキン図形によって完全に分類されてしまう。
また半単純リー代数の有限次元表現の分類は一般のリー代数の分類と比べ簡単である。例えば半単純リー代数のジョルダン分解はその表現におけるジョルダン分解と一致する。これは一般のリー代数では成立しないことである。
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が半単純であれば g = [ g , g ] {\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]} となる。特に線形半単純リー代数は全て特殊線形リー代数 s l {\displaystyle {\mathfrak {sl}}} の部分代数となる。 s l {\displaystyle {\mathfrak {sl}}} の構造の研究は半単純リー代数の表現論の重要な一部分である。