ダランベール演算子
ここで g μ ν {\textstyle g_{\mu \nu }} はミンコフスキー計量 である。すなわち、 g 00 = 1 {\textstyle g_{00}=1} , g 11 = g 22 = g 33 = − 1 {\textstyle g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1} , その他 μ ≠ ν {\textstyle \mu \neq \nu } については g μ ν = 0 {\displaystyle g_{\mu \nu }=0} の値をとる。μ と ν はアインシュタインの縮約記法にしたがう総和のための添字であり、0, 1, 2, 3 のいずれかの値をとる。また、∇ = Δ はラプラス演算子である。
文献によっては負の計量符号数 [− + + +] すなわち η 00 = − 1 , η 11 = η 22 = η 33 = 1 {\textstyle \eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1} を用いている場合もある。
この場合、符号を反転させて
◻ = Δ − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 {\displaystyle \Box =\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}
とする。また、光速度 c を 1 とするような単位系を用いる場合も多く、その場合は、
1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ⟶ ∂ 2 ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\longrightarrow {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}
という置き換えをする。さらに波動方程式などにおいて、光速度 c の部分を一般の波の伝播速度 s などに置き換える場合もある。
ローレンツ変換はミンコフスキー計量を不変に保つ。ゆえに、ダランベール演算子はローレンツスカラーである。したがって、先に用いた座標表現は、あらゆる慣性系における標準座標に対し有効である。
標準座標系 (ct, x, y, z) で表されるミンコフスキー空間において、ダランベール演算子は次の形で定義される。
◻ := ∂ μ ∂ μ = g μ ν ∂ ν ∂ μ = ∂ 2 ∂ ( c t ) 2 − ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ 2 ∂ y 2 − ∂ 2 ∂ z 2 = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − Δ {\displaystyle {\begin{aligned}\Box &:=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=g_{\mu \nu }\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }\\&={\frac {\partial ^{2}}{\partial (ct)^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta \end{aligned}}}