LTIシステム理論
遅延作用素がこのような単純なZ変換の形式となることは、変換の有効性の証でもある。
別の単純なLTI作用素として、平均化作用素がある。
A { x [ n ] } = ∑ k = n − a n + a x [ k ] {\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k]}
これは、総和が線型性をもつため、線型である。
A { c 1 x 1 [ n ] + c 2 x 2 [ n ] } {\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}} = ∑ k = n − a n + a ( c 1 x 1 [ k ] + c 2 x 2 [ k ] ) {\displaystyle =\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)} = c 1 ∑ k = n − a n + a x 1 [ k ] + c 2 ∑ k = n − a n + a x 2 [ k ] {\displaystyle =c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]} = c 1 A { x 1 [ n ] } + c 2 A { x 2 [ n ] } {\displaystyle =c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\}} .
指数関数が固有関数であるという性質は、LTIシステムの解析や予測に役立つ。そのラプラス変換
H ( s ) = L { h ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ h ( t ) e − s t d t {\displaystyle H(s)={\mathcal {L}}\{h(t)\}=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}dt}
を使えば、インパルス応答から固有値を得ることができる。特に興味深いのは純粋な正弦波の場合( exp  ( j ω t ) {\displaystyle \exp({j\omega t})} の形式の指数関数、ただし ω ∈ R {\displaystyle \omega \in \mathbb {R} } であり、かつ j = − 1 {\displaystyle j={\sqrt {-1}}} )である。これは引数が純粋な虚数であっても、一般に複素指数関数と呼ばれる。フーリエ変換 H ( j ω ) = F { h ( t ) } {\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}} により、純粋な複素正弦波の固有値が求められる。 H ( s ) {\displaystyle H(s)} と H ( j ω ) {\displaystyle H(j\omega )} は共にシステム関数、システム応答、伝達関数などと呼ばれる。
ラプラス変換は一般に、t がある値より小さいとき信号がゼロとなるような信号で使われる。
LTIシステム理論(英語: LTI system theory)は、電気工学、特に電気回路、信号処理、制御理論といった分野で、線型時不変系(linear time-invariant system)に任意の入力信号を与えたときの応答を求める理論である。通常、独立変数は時間だが、空間(画像処理や場の古典論など)やその他の座標にも容易に適用可能である。そのため、線型並進不変(linear translation-invariant)という用語も使われる。離散時間(標本化)系では対応する概念として線型シフト不変(linear shift-invariant)がある。