解析学
数学基礎論
数理論理学
数 自然数論 実数論 実数の連続性 イプシロン-デルタ論法
集合論 公理的集合論
関数 写像 媒介変数 連続関数 初等関数 三角関数 指数関数 対数関数 特殊関数 ガンマ関数 エアリー関数 ベッセル関数 誤差関数 楕円関数 直交多項式
級数 数列 コーシー列 収束 収束半径 絶対収束 一様収束 条件収束 無条件収束 収束判定法 比較判定法 ダランベールの収束判定法 コーシーの収束判定法 コーシーの冪根判定法
微分積分学 微分法 接線 偏微分 積分法 不定積分 定積分 部分積分 置換積分 広義積分 微分積分学の基本定理
複素解析 代数学の基本定理 コーシー・リーマンの方程式 複素積分 コーシーの積分公式 コーシーの積分定理 留数 ローラン展開 解析接続 リーマン球面 リーマン面 モノドロミー行列 漸近展開 等角写像
数学の基礎付けにおいて忘れてはならないのは集合論であるが、本格的に導入されたのは19世紀もすでに後半、1874年カントールによるものである。とくにR・ベール、ボレル、ルベーグらの仕事には集合論は欠かせないものであった。ベールは不連続関数を分類し、ルベーグがそれを一般化してオイラーが与えた関数の定義である「解析的」の意味をはじめて明確化した。
更にルベーグはボレルの測度論を一般化しルベーグ測度を導入することによってルベーグ積分論を定式化した。これにより長さ、面積、体積などを完全に一般化することに成功し、これによって複雑な図形、例えば曲線や曲面の長さや面積などをそのような立場から論ずることが可能となった。
更にルベーグ積分論はコルモゴロフによって確率論の厳密化にも用いられ、確率論を現代解析学として扱うことを可能とした。このため純粋数学としての確率論は現代数学では解析学に分類されるわけである。
積分の理論は更に一般化され応用範囲も広まり、例えばウィーナーによりブラウン運動のような複雑な現象ですら数学的に取り扱うことすら可能となった。
解析学の起源は、エウドクソスが考案し、アルキメデスが複雑な図形の面積や体積を求める為に編み出した「取り尽くし法」にまでさかのぼれる。彼らの業績は、ある意味で今日の積分の始まりとも呼べるものであろう。しかしながら近世までは一般的理論は存在せず、あくまで個々の図形に適用されるにとどまった。