旗多様体
体F上の有限次元ベクトル空間V内の旗は、部分空間の増加列です。ここで、「増加」とは、それぞれが次の適切な部分空間であることを意味します。
{ 0 } = V 0 ⊂ V 1 ⊂ V 2 ⊂ ⋯ ⊂ V k = V . {\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}
dim Vi = di と書くと、次のようになります 。
0 = d 0 < d 1 < d 2 < ⋯ < d k = n , {\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}
ここで、nはVの次元です。したがって、k ≤ nでなければなりません。 すべてのiについてdi = iの場合、旗は完全な旗と呼ばれ、それ以外の場合は部分旗と呼ばれます。 旗の指数は列 (d1, ..., dk) です。
一部の部分空間を削除することにより、完全な旗から部分旗を取得できます。逆に、適切な部分空間を挿入することで、部分旗を (さまざまな方法で) 完全な旗にすることができます。