ラングランズ双対
分離的な閉体 K 上の簡約代数群から、簡約代数群のルートデータ(英語版)(root datum) (X, Δ, X*, Δ) を構成することができ、そこでは、X は極大トーラスの指標の格子である双対格子 X* (一径数部分群で与えられる)であり、Δ はルート、 Δ はコルートである。K 上の連結簡約代数群は、ルートデータにより(同型を除き)一意に決定される。ルートデータは群の中心を決定するので、ディンキン図形より少し多い情報を持っている。
任意のルートデータ (X, Δ,X*, Δ) に対し、双対ルートデータ (X*, Δ,X, Δ) を一径数部分群を持つ指標を取り替え、ルートとコルートを取り替えることにより定義できる。
G が代数的閉体 K 上の連結簡約代数群であれば、ラングランズ双対群 G は複素連結簡約群で、そのルートデータは G のルートデータの双対である。
例: ラングランズ双対群 G は G と同じディンキン図形を持つ。ただし、タイプ Bn の成分はタイプ Cn の成分と互いに入れ替える。G が自明な中心を持つと、G は単純連結で、G が単純連結であれば、G は自明な中心を持つ。GLn(K) のラングランズ双対群は、GLn(C) である。