ポアソン核
上半平面に対するポアソン核は、t が補助パラメータの役割を果たすアーベル核
K ( t , ξ ) = e − 2 π t | ξ | {\displaystyle K(t,\xi )=e^{-2\pi t|\xi |}}
のフーリエ変換として現れる。すなわち
P ( t , x ) = F ( K ( t , ⋅ ) ) ( x ) = ∫ R n e − 2 π t | ξ | e − 2 π i ξ ⋅ x d ξ {\displaystyle P(t,x)={\mathcal {F}}(K(t,\cdot ))(x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}e^{-2\pi t|\xi |}e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,d\xi }
となる。特にフーリエ変換の性質より、畳み込み
P [ u ] ( t , x ) = [ P ( t , ⋅ ) ∗ u ] ( x ) {\displaystyle P[u](t,x)=[P(t,\cdot )*u](x)}
は、少なくとも形式的には、上半平面におけるラプラス方程式の解となる。t → 0 に対して、弱い意味で P[u](t,x) → u(x) となることも示すことが出来る。