代数的整数
二つの代数的整数の和、差、積もまた代数的整数となる。ただし一般に商は代数的整数とならない。これは代数的整数 p, q とその積 pq について、それらを根とするモニック多項式の次数を比べると、一般に pq のほうが高くなるためである。このことは終結式を求めて因数分解することで分かる。例として、代数的整数 x, y がモニック多項式 x − x − 1 = 0, y − y − 1 = 0 を満たすとし、加えて積を z = xy (⇔ z − xy = 0) とおく。これらの左辺の多項式から終結式を用いて x と y を消去することで、z に関するモニック多項式 z − 3z − 4z + z + z − 1 が得られる。この多項式は既約であり、z = xy を根に持つ。(xy は多項式 z − xy, x − x − 1 に対して y, z を定数とみたときの終結式となっている。このことは「与えられた多項式 f, g の終結式は f, g が生成するイデアルに属する」ことからも確認できる。)
上の理由より、整数から冪根・加法・乗法を用いて構成可能な数は全て代数的整数である。しかしその逆、即ち「全ての代数的整数が整数から冪根・加法・乗法を用いて構成可能」は成り立たない。素朴な例としては、五次の既約多項式の根の殆どは整数から冪根・加法・乗法を用いて構成可能でないことがアーベル・ルフィニの定理から従う。
代数的整数を係数とするモニック多項式の根は全て代数的整数となる。即ち代数的整数は、任意の拡大に対し整閉であるような環をなす。
単項イデアル定理(英語版)より、代数的整数環 A はベズー整域となる。