生存分析
所与の時間 t 0 {\displaystyle t_{0}} における余寿命(future lifetime)は、 t 0 {\displaystyle t_{0}} 歳まで生存した場合の死亡までの残り時間である。したがって、現在の表記では T − t 0 {\displaystyle T-t_{0}} となる。期待余寿命(expected future lifetime)とは、余寿命の期待値である。 t 0 {\displaystyle t_{0}} 歳まで生存している場合、 t 0 + t {\displaystyle t_{0}+t} 歳以前に死亡する確率は、ちょうど次のとおりとなる。
P ( T ≤ t 0 + t ∣ T > t 0 ) = P ( t 0 < T ≤ t 0 + t ) P ( T > t 0 ) = F ( t 0 + t ) − F ( t 0 ) S ( t 0 ) . {\displaystyle P(T\leq t_{0}+t\mid T>t_{0})={\frac {P(t_{0}<T\leq t_{0}+t)}{P(T>t_{0})}}={\frac {F(t_{0}+t)-F(t_{0})}{S(t_{0})}}.}
したがって、余寿命の確率密度は、
d d t F ( t 0 + t ) − F ( t 0 ) S ( t 0 ) = f ( t 0 + t ) S ( t 0 ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {F(t_{0}+t)-F(t_{0})}{S(t_{0})}}={\frac {f(t_{0}+t)}{S(t_{0})}}}
Pr ( T > T i ∣ θ ) = 1 − F ( T i ∣ θ ) = S ( T i ∣ θ ) . {\displaystyle \Pr(T>T_{i}\mid \theta )=1-F(T_{i}\mid \theta )=S(T_{i}\mid \theta ).}
死亡時の年齢が T i , r {\displaystyle T_{i,r}} 未満で T i , l {\displaystyle T_{i,l}} より大きいことがわかっているような区間打切りデータの場合、次の式を得る。
Pr ( T i , l < T < T i , r ∣ θ ) = S ( T i , l ∣ θ ) − S ( T i , r ∣ θ ) . {\displaystyle \Pr(T_{i,l}<T<T_{i,r}\mid \theta )=S(T_{i,l}\mid \theta )-S(T_{i,r}\mid \theta ).}
区間打ち切りデータが発生する重要なアプリケーションは現在の状況データであり、事象 T i {\displaystyle T_{i}} は、ある観測時間以前には発生しておらず、次の観測時間以前には発生していることがわかっている。
生存分析(せいぞんぶんせき、英: survival analysis)または生存時間解析とは、生物の死や機械システムの故障など、1つの事象(event、イベント)が発生するまでの予想される期間を分析する統計学の一分野である。このトピックは、工学では、信頼性理論または信頼性分析と呼ばれ、経済学では、継続時間分析または継続時間モデリング、社会学ではイベント履歴分析と呼ばれる。
生存分析を用いて答えられる質問には、たとえば、ある時間を過ぎて生存する人々の割合はどのくらいか、生き残った人々のうち、彼らはどのくらいの割合で死亡または故障するのか、複数の死因または故障を考慮に入れることができるか、特定の状況または特性は、生存 (英語版) の確率をどのように増加または減少させるのか、などが挙げられる。
このような質問に答えるためには、「寿命」(lifetime、ライフタイム)を定義する必要がある。 生物学的な生存の場合の死は明確であるが、機械的な信頼性の場合では故障は明確に定義されないことがある。
それは増加または減少、非単調、または不連続になるだろう。例として、バスタブ曲線ハザード関数は、tの値が小さいときに大きく、ある最小値まで減少し、その後再び増加する。これは、機械システムが導入後すぐに故障するか、あるいはシステムの経年劣化に伴って故障するという特性をモデル化したものである。
あるいは、ハザード関数は、慣習的に Λ {\displaystyle \Lambda } (ラムダ)または H {\displaystyle H} と呼ばれる累積ハザード関数(cumulative hazard function)で表現することもでき、
Λ ( t ) = − log  S ( t ) {\displaystyle \,\Lambda (t)=-\log S(t)}
符号を入れ替えて指数をとるか、
S ( t ) = exp  ( − Λ ( t ) ) {\displaystyle \,S(t)=\exp(-\Lambda (t))}
(連鎖律を使用して)微分することができる。
d d t Λ ( t ) = − S ′ ( t ) S ( t ) = λ ( t ) . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Lambda (t)=-{\frac {S'(t)}{S(t)}}=\lambda (t).}
「累積ハザード関数」という名称は、時間の経過に伴うハザードの「蓄積」であるという事実に由来する。