ヴァイエルシュトラスの楕円函数
ペー函数 ℘ は複素平面上の有理型函数で、各格子点において二位の極を有する。また、1 と τ を周期に持つ二重周期函数、すなわち ℘ は
℘ ( z + 1 ) = ℘ ( z + τ ) = ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z+1)=\wp (z+\tau )=\wp (z)}
を満たす。上記の和は次数 −2 の斉次函数で、c を零でない複素数として
℘ ( c z ; c τ ) = ℘ ( z ; τ ) / c 2 {\displaystyle \wp (cz;c\tau )=\wp (z;\tau )/c^{2}}
が成立し、これを用いて、任意の周期対に対する ℘-函数を定義することができる。z に関する導函数も計算できて、℘ に関して代数的な関係式
℘ ′ 2 = 4 ℘ 3 − g 2 ℘ − g 3 {\displaystyle \wp '^{2}=4\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}}
が得られる。ここで g2, g3 は τ のみに依存して決まり、また τ のモジュラー形式になる。代数方程式
Y 2 = 4 X 3 − g 2 X − g 3 {\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-g_{2}X-g_{3}}
は楕円曲線を定め、(℘, ℘') がこの曲線の径数付けになっていることが確かめられる。