ミンコフスキーの定理
L を R 上の格子とし、 d (L) を L に対応する行列の行列式とする。 R 内の、原点に関して対称で体積が 2 n d ( L ) {\displaystyle 2^{n}d(L)} より大きい凸集合は、その内部に原点とは異なる L 上の点を有する。
特に体積が 2 より大きい、原点に関して対称な R 内の凸集合は必ず原点とは異なる整数点を有する。
v = b 1 u 1 + b 2 u 2 + ⋯ + b n u n {\displaystyle \mathbf {v} =b_{1}\mathbf {u} _{1}+b_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +b_{n}\mathbf {u} _{n}}
に対して
f ( v ) = ∑ i = 1 n ( b i − ⌊ b i ⌋ ) u i {\displaystyle f(\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-\lfloor b_{i}\rfloor )\mathbf {u} _{i}}
を対応させる。 f は R から F への写像で、
f ( v ) − v = ∑ i = 1 n ⌊ b i ⌋ u i ∈ L {\displaystyle f(\mathbf {v} )-\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}\lfloor b_{i}\rfloor \mathbf {u} _{i}\in L}
が成り立つ。さらに f は平行移動の貼り合わせであらわされるから、 f が S 上で単射ならば V ( f ( S ) ) = V ( S ) {\displaystyle V(f(S))=V(S)} となるはずである。しかし f の像は F に含まれるから