三相交流
Y結線・Δ結線における皮相電力 S {\displaystyle S} 、複素電力 S ̇ {\displaystyle {\dot {S}}} 、無効電力 Q {\displaystyle Q} は
S = 3 V l I l S ̇ = 3 V l I l e j θ Q = 3 V l I l sin  θ {\displaystyle {\begin{aligned}S&={\sqrt {3}}\ V_{l}I_{l}\\{\dot {S}}&={\sqrt {3}}\ V_{l}I_{l}e^{j\theta }\\Q&={\sqrt {3}}\ V_{l}I_{l}\sin \theta \\\end{aligned}}}
である。
瞬時値形式とベクトル形式は、形が違うだけで同じものを指し示している。そのためどちらか一方の形式において、証明すれば十分なのだが、ここではそれぞれの形式における証明方法を記載している。
三角関数の加法定理を用いる。
e a ( t ) + e b ( t ) + e c ( t ) = E { sin  ω t + sin  ( ω t − 2 3 π ) + sin  ( ω t − 4 3 π ) } = E ( sin  ω t − 1 2 sin  ω t − 3 2 cos  ω t − 1 2 sin  ω t + 3 2 cos  ω t ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}e_{a}(t)+e_{b}(t)+e_{c}(t)&=E\left\{\sin \omega t+\sin \left(\omega t-{\frac {2}{3}}\pi \right)+\sin \left(\omega t-{\frac {4}{3}}\pi \right)\right\}\\&=E\left(\sin \omega t-{\frac {1}{2}}\sin \omega t-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos \omega t-{\frac {1}{2}}\sin \omega t+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos \omega t\right)\\&=0\end{aligned}}}
以上の計算により、三つの起電力の和が0になることが示された。