リーマン・ジーゲルの公式
π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = π − s / 2 Γ ( s 2 ) ∫ 0 ↙ 1 x − s e π i x 2 e π i x − e − π i x d x + π − 1 − s 2 Γ ( 1 − s 2 ) ∫ 0 ↘ 1 x s − 1 e − π i x 2 e π i x − e − π i x d x {\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx}