微分
対角線埋め込み Δ: x → (x, x, ..., x) との合成を考えれば、多変数のテイラー級数も最初の方の項が f ( x ) ≈ f ( a ) + ( D f ) ( x ) + ( D 2 f ) ( Δ ( x − a ) ) + ⋯ = f ( a ) + ( D f ) ( x − a ) + ( D 2 f ) ( x − a , x − a ) + ⋯ = f ( a ) + ∑ i ( D f ) i ( x − a ) i + ∑ j , k ( D 2 f ) j k ( x − a ) j ( x − a ) k + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {x} )&\approx f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x} )+(D^{2}f)(\Delta (\mathbf {x-a} ))+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+(D^{2}f)(\mathbf {x-a} ,\mathbf {x-a} )+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+\sum _{i}(Df)_{i}(\mathbf {x-a} )^{i}+\sum _{j,k}(D^{2}f)_{jk}(\mathbf {x-a} )^{j}(\mathbf {x-a} )^{k}+\cdots \end{aligned}}}
となるようなものとして与えられる。ただし、f(a) は定値函数と同一視され、各 (x − a) はベクトル x − a の第 i-成分で、(Df)i, (Df)jk, ... は線型変換としての Df, Df, ... の各成分を表す。
関数 f(x) が開区間 I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } で定義されており、すべての a ∈ I {\displaystyle a\in I} において微分可能であるとき、f は区間 I において微分可能であるという。またそのとき、a に対して微分係数 f(a) を対応させる区間 I 上の関数のことを、f の導関数といい f′(または変数の記号を補って f′(x))で表す。
I がその他のタイプの区間である場合にも、区間 I における微分可能性を定義することができる。たとえば、I が有界閉区間 [α, β] である場合には、区間の内点では通常の意味での微分係数の存在を要請し、α では右側微分係数が、β では左側微分係数が存在することを要請する。導関数 f′(x) の値は、x = α では右側微分係数、x = β では左側微分係数とする。
関数 f が区間 I において微分可能で、さらに導関数 f′ が I で連続であるとき、f は I において連続微分可能である、または C 級であるという。