三角関数の公式の一覧
正弦関数と余弦関数の和は、正弦関数で表すことができる。
a sin  x + b cos  x = a 2 + b 2 ⋅ sin  ( x + φ ) {\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\,}
ここで、φの値は以下の式で与えられる。
φ = { arcsin  ( b a 2 + b 2 ) if a ≥ 0 , π − arcsin  ( b a 2 + b 2 ) if a < 0 , {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi -\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a<0,\end{cases}}}
または
φ = arctan  ( b a ) + { 0 if a ≥ 0 , π if a < 0 , {\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi &{\text{if }}a<0,\end{cases}}}
= tan  θ ⋅ ∏ k = 1 n ( tan  ( k π 2 n + 1 + θ ) ) ⋅ ∏ k = n + 1 2 n ( − tan  ( k π 2 n + 1 + θ ) ) {\displaystyle =\tan \theta \cdot {\prod _{k=1}^{n}{{\Biggl (}\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}\cdot \prod _{k=n+1}^{2n}{{\Biggl (}-\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}{\Biggr )}}}}
と変形でき、下記の式が成り立つ。
tan  ( 2 n + 1 ) θ = ( − 1 ) n ∏ k = 0 2 n tan  ( k π 2 n + 1 + θ ) {\displaystyle \tan(2n+1)\theta =(-1)^{n}\prod _{k=0}^{2n}{\tan {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}}}
正弦関数と余弦関数において、値が n / 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {n}}/2} (ただし 0 ≤ n ≤ 4)の形になるものは、覚えやすい値である。
円周率の計算において、以下のマチンの公式はよく使用される。
π 4 = 4 arctan  1 5 − arctan  1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}
レオンハルト・オイラーは、以下の式を示している。
π 4 = 5 arctan  1 7 + 2 arctan  3 79 . {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}.}