イデアル類群
類体論は与えられた代数体のすべてのアーベル拡大,つまりガロワ群が可換なガロワ拡大を分類しようとする代数的整数論の分野である.とりわけ美しい例は代数体のヒルベルト類体において見つかる.これはそのような体の極大不分岐アーベル拡大として定義できる.代数体 K のヒルベルト類体 L は一意的であり,以下の性質を持つ:
K の整数環のすべてのイデアルは L では単項になる,すなわち,I を K の整イデアルとすると,I の像は L の単項イデアルである.
L は K のガロワ拡大であり,そのガロワ群は K のイデアル類群に同型である.
どちらの性質も証明はそれほど簡単ではない.