有限差分
数学における有限差分(ゆうげんさぶん、英: finite difference)はf(x + b) − f(x + a) なる形の式を総称して言う。有限差分を b − a で割れば、差分商が得られる。微分を有限差分で近似することは、微分方程式(特に境界値問題)の数値的解法である有限差分法において中心的な役割を果たす。
ある種の漸化式は多項間の関係式を有限差分で置き換えて差分方程式にすることができる。
今日では「有限差分」の語は、特に数値解法の文脈において、微分の有限差分近似の同義語としてもよく用いられる。有限差分近似は冒頭の用語法に則れば有限差分商のことである。
有限差分それ自体も、抽象的な数学的対象として研究の主題となり得るものである。例えばジョージ・ブール (1860), ルイ・メイヴィル・ミルン゠トムソン(英語版) (1933), カロリー・ヨルダン(ドイツ語版) (1939) らの業績があり、それはアイザック・ニュートンにまで遡れる。そのような観点で言えば、有限差分に関する形式的な計算は無限小に関する計算の代替となるものである。
有限差分の重要な応用として、数値解析、特に数値微分方程式論において、常微分および偏微分方程式の数値解を得る目的での利用が挙げられる。これは、微分方程式に現れる微分を、それを近似する有限差分で置き換えるという考え方である。これを有限差分法と呼ぶ。
有限差分法は、計算機科学や工学の熱工学や流体力学などといった分野においてよく応用される。