ラプラス変換
L [ ∫ 0 t f ( u ) d u ] = 1 s F ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left[\int _{0}^{t}f(u)\mathrm {d} u\right]={\frac {1}{s}}F(s)}
これを繰り返すと、一般の n 階の導関数のラプラス変換は以下のようになる。
L [ d n f ( t ) d t n ] = s n F ( s ) − ∑ k = 0 n − 1 s n − k − 1 f ( k ) ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{n}f(t)}{\mathrm {d} t^{n}}}\right]=s^{n}F(s)-\sum _{k=0}^{n-1}s^{n-k-1}f^{(k)}(0)} = s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − s n − 2 f ( 1 ) ( 0 ) − s n − 3 f ( 2 ) ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle =s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f^{(1)}(0)-s^{n-3}f^{(2)}(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)}