フレアーホモロジー
すべてのπ2(M)に属する A に対し、 ⟨ c 1 , A ⟩ = 0 {\displaystyle \langle c_{1},A\rangle =0} が成立する。 <c1,π2(M)>=NZにより定義される最小チャーン数 N ≥ 0 が n - 2 に等しいかまたは大きい.
シンプレクティック多様体 M の量子コホモロジー群は、通常のコホモロジーとノビコフ環 Λ のテンソル積、つまり、
Q H ∗ ( M ) = H ∗ ( M ) ⊗ Λ {\displaystyle QH_{*}(M)=H_{*}(M)\otimes \Lambda } .
と定義できる。このフレアーホモロジーの構成は、M 上の概複素構造の選択とは独立であることも説明するし、モース理論や擬正則曲線(英語版)の考え方から得られたフレアーホモロジーとの同型も説明できる。ここで、背景としてホモロジーとコホモロジーの間のポアンカレ双対があることに注意が必要である。
数学において、フレアーホモロジー(Floer homology)は、シンプレクティック幾何学や低次元トポロジーの研究に使用される有用なツールである。フレアーホモロジーは、有限次元のモース理論の無限次元の類似として発生した高級な不変量である。アンドレアス・フレアー(Andreas Floer)は、現在はハミルトニアンフレアーホモロジーと呼ばれているフレアーホモロジーの最初のバージョンを導入し、シンプレクティック幾何学のアーノルド予想の証明に使った。フレアーは、これと密接に関連するシンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体の理論を開発した。フレアーは、また、シンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体に密接に関連する理論も開発した。フレアーが第三番目に構成したことは、ヤン・ミルズ汎函数を使い、ホモロジー群を閉 3次元多様体へ関連付けた。これらの理論とそれの適用は、3次元や 4次元トポロジーと同様に、シンプレクティック多様体や接触多様体の現在の研究で、基本的な役割を果たしている。
フレアーホモロジーは、無限次元多様体とその上の実数値函数をある興味深い対象へ結び付けることにより定義される。例えば、シンプレクティック幾何学のバージョンでは、フレアーホモロジーは、シンプレクティック作用汎函数をシンプレクティック多様体の自由ループ空間へ結び付ける。3次元多様体の(インスタントン(英語版)(instanton))バージョンでは、3次元多様体上のSU(2)-接続の空間へ結び付ける。おまかに言うと、フレアーホモロジーは、無限次元多様体の上の自然な函数から計算されるモースホモロジーである。