半微分可能性
ある関数がその定義域のある内点 a において微分可能であるための必要十分条件は、それが a において半微分可能であるとともに左微分と右微分が一致することである。
半微分可能であるが微分可能でない関数の例として、絶対値関数が挙げられる(a = 0 において半微分可能であるが微分可能でない)。
点 a において半微分可能な関数は、a において連続である。
指示関数 1[0,∞) は、すべての実数 a において右微分可能であるが、ゼロにおいて不連続である(この指示関数はゼロにおいて左微分可能でないことに注意されたい)。
上述の定義は、R の部分集合上で定義される実数値関数 f に対して一般化される。a を、f の定義域のある内点とする。このとき、f が点 a において半微分可能であるとは、すべての方向 u ∈ R に対して、極限
∂ u f ( a ) = lim h → 0 + f ( a + h u ) − f ( a ) h {\displaystyle \partial _{u}f(a)=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h\,u)-f(a)}{h}}}
が実数として存在することを言う。
したがって半微分可能性は、上の極限 h → 0 での h を正の数に限定している点において、ガトー微分可能性よりも弱い概念である。
(この一般化では、片側極限点がより強い内点の概念に置き換えられているため、n = 1 においては元の定義と同値ではないことに注意されたい)