表現論
ホップ代数(Hopf algebra)は、一方で群やリー代数の表現論を特殊なケースとして保持する結合代数の表現論を改善する方法をもたらした。特に、2つの表現のテンソル積は、双対ベクトル空間の表現としての表現となっている。
群に付随したホップ代数は、結合代数の構造をもり、したがって、本来は群の変形としてあるいは普遍包絡代数として現れるため、ホップ代数を限定することに使われるにもかかわらず、一般にはホップ代数は量子群(quantum group)として知られている。量子群の表現論は、リー代数やリー群の表現論は、たとえば、柏原の結晶基底(英語版)(crystal basis)のような驚くべき内面的性質を持っている。
注目すべきこととして、表現論は、もっている分野の数が多いこと、群と代数の表現の研究方法が多様であることが挙げられる。表現論は、既に議論した基本的な考え方を共通に持つにもかかわらず、詳細では非常に異なっている。少なくとも違いは 3点あげることができる。
表現論は表現される代数的対象のタイプに依存する。群、結合代数、リー代数は異なるクラスであり、それぞれの表現論は異なる色合いを持っている。
表現論は表現される代数的対象の下にあるベクトル空間の性質に依存して、最も重要な差異は、有限次元表現と無限次元表現の間の差異である。無限次元の場合、付加された構造が重要である(たとえば、空間がヒルベルト空間やバナッハ空間であるか否かなど)。付加された代数的構造は、有限次元でも課すことができる。
表現論はベクトル空間が定義されている体のタイプにも依存する。もっとも重要な場合は複素数体の場合であり、他にも重要な場合として、実数の場合、有限体やp-進体の場合がある。体が正の標数の場合、代数的閉体でない場合に困難さが加わる。
半単純なリー群のコンパクト群による商は、対称空間(英語版)(symmetric space)であり、したがって保型形式の理論は対称空間上の調和解析と密接に関係する。
一般論が発達する以前、ヒルベルトモジュラ形式(英語版)(Hilbert modular form)やジーゲルモジュラ形式(英語版)(Siegel modular form)などの多くの重要な場合が詳細に研究された。この理論の重要な結果として、セルバーグ跡公式と、ロバート・ラングランズによるリーマン・ロッホの定理が保型形式の空間の次元の計算に適用されたことが上げられる。「保型表現」の考え方は、G が代数群の場合に、アデール的代数群として扱うことで、重要な値を求めることができることを証明した。完全に哲学的な結論として、ラングランズ・プログラムは、表現論と保型形式の数論的性質の間の関係を発展させた。
体 F 上のリー代数は、リーブラケットと呼ばれヤコビ恒等式を満たす歪対称双線型作用を持つベクトル空間である。特に、リー代数は、単位元でのリー群の接空間として発生し、「無限小対称性」として相互作用を導く リー代数の表現論の重要なアプローチは、リー代数の対応する表現論を研究するためであるが、リー代数の表現論は本質的に興味深いものを持っている。。
リー代数は、リー群のように、半単純な部分と可解な部分へと分解するレヴィ分解をもつが、一般には扱いにくい可解リー代数の表現がついて回る。これとは対蹠的に、半単純リー代数の有限次元表現はエリー・カルタンの仕事以来、完全に理解されている。半単純リー代数 g の表現は、その上ではリーブラケットが 0 となる(可換である)ような g の本質的に最大生成部分代数 h である、カルタン部分代数(Cartan subalgebra)を選択することにより解析される。g の表現は、h の作用の固有空間であるウェイト空間(weight spaces)と指標の無限小の類似へと分解することができる。したがって、半単純リー代数の構造は、ウェイトの発生可能な組み合わせを容易に理解するという表現の解析へと還元される。
群は圏を形成するので、他の圏の表現を考えることもできる。最も単純な一般化は、単一の対象をもつ圏であるモノイドである。群はすべての射が可逆なモノイドである。一般のモノイドは任意の圏で表現を持つ。集合の圏では、これらはモノイド作用(英語版)(monoid action)であるが、ベクトル空間や他の対象の上のモノイド表現を研究することができる。
さらに一般的に、表現される圏がひとつの対象しか持たないという前提を緩めることができる。まったく一般的に、これは単純に圏の間の函手の理論であり、少ししか知られていない。
表現論に重要なインパクトをもつ特別な場合に箙(えびら)の表現論がある。箙は単純に有向グラフ(ループと多重な矢印があってもよい)であるが、グラフの経路を考えることにより圏(と代数)を形成することができる。そのような圏/代数の表現は、表現論のいくつかの面を説明する。たとえば、群に関しての半単純ではない表現論の問題を、箙に関する半単純な表現の場合へ還元することを可能とする。