準正規作用素
逆に、UP = PU なることが確かめられれば A は準正規でなくてはならない。従って、作用素 A が準正規であることと、その極分解において UP = PU が成り立つこととは同値である。
ヒルベルト空間 H が有限次元のとき、任意の準正規作用素 A は正規になる。これは実際、有限次元ならば極分解 A = UP において部分等長作用素 U はユニタリに取れるから、
A ∗ A = ( U P ) ∗ U P = P U ( P U ) ∗ = A A ∗ {\displaystyle A^{*}A=(UP)^{*}UP=PU(PU)^{*}=AA^{*}}
となることにより確かめられる。
一般には、部分等長作用素がユニタリ作用素に拡張できるとは限らないから、従って準正規作用素も必ずしも正規とはならない。例えば、片側ずらし作用素(英語版) T は TT が恒等作用素となるから準正規だが、T は明らかに正規でない。