凸錐
上述の性質より凸錐は、線型結合や単なる加法の下で閉じている線型錐として定義することも出来る。より簡潔に言うと、集合 C が凸錐であるための必要十分条件は、V 内の任意の正のスカラー α に対して "αC = C および C + C = C が成り立つことである。
さらに上述の定義における「正のスカラー α, β」は、「少なくともいずれかは 0 でない非負のスカラー α, β」に置き換えることも出来る。
この概念は V 上の内積に関しては何も必要としていない。
有限次元において、双対錐のこれら二種類の概念は本質的に同一である。なぜならば、任意の内積は V* から V への線型同型(非特異線型写像)を導き、その同型は V* 内において第二の定義の双対錐を、第一の定義のそれに写すからである。錐は、それに関する内積が第一の定義における双対と等しいのであれば、与えられた内積について特に注意することなく自己双対であるとすることが出来る。この内積によって導かれる V から V* への写像はしたがって、C* ⊂ V* を C ⊂ V へ写す。しかし、双対錐から元の錐への上への線型同型の存在は、この意味における自己双対性と同値ではない。すなわち、そのようなすべての同型は V 上の非特異な双線型形式を導くが、この形式は必ずしも正定ではない(すなわち、必ずしも内積ではない)。双対錐への線型同型であるが、自己同型でないような錐には多くの例がある。そのような一例として、偶数個の頂点を持つ正多角基(regular polygonal base)を伴う三次元の任意の錐が挙げられる。
V のアフィン超平面(affine hyperplane)とは、V に属するベクトル v と、ある(線型)超平面 H に対して、v + H の形式を持つ V の任意の部分集合のことを言う。
半空間の包含の性質より、次の結果が成立する。Q を V に含まれるある開半空間とし、Q の有界超平面 H と任意の Q のベクトル v に対して A = H + v を定める。C を Q に含まれる線型錐とする。このとき C が凸錐であるための必要十分条件は、集合 C′ = C ∩A が A の凸部分集合(すなわち、凸結合の下で閉じている集合)であることである。
この結果より、アフィン空間の凸集合のすべての性質は、ある固定された開半空間に含まれる凸錐に対する性質との類似点を持つことが分かる。