有向点族
これはU ∩ A に少なくとも一つ元が存在する事を意味するので、そのような元をx U とすると x U ∈ U ∩ A ⊂ A {\displaystyle x_{U}\in U\cap A\subset A} である事から ( x U ) U ∈ N a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {N}}_{a}}} はA 上にある。しかも前節で述べたように ( x U ) U ∈ N a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {N}}_{a}}} は有向点族でありしかもa に収束する。よって十分性が言えた。
逆にa に収束するA 上の有向点族(xλ)λ∈Λがあったとすれば、収束性の定義からa の任意の近傍U 内に有向点族の点xλが存在する。しかも仮定からxλ ∈ A でもあったので、これは(2)が成立する事を意味し、したがって a ∈ A ̄ {\displaystyle a\in {\bar {A}}} である。こうして必要性も言えた。
有向点族に関する諸概念は基本的に点列に関する概念を焼きなおしたものであるが、以下で述べる普遍性の概念は、有向点族に固有のものである。

普遍性の概念は点列ではなく有向点族の概念に基づいている事が重要であり、普遍性を満たす点列は自明なもの(=有限個を除いて常に同じ点を指す点列)のみである事が知られている。
任意の有向点族は普遍な部分有向点族を必ず持つ事が知られている:

上記の定理の証明にはフィルターの概念を用いる為、証明は後の章に譲る。
なお上記の定理は部分有向点族の定義でh が単射でないものを許容した事を本質的に利用しており、もしh として単射なもののみを許す事にすると上記の定理は成り立たない。反例として、(xλ)λ∈Λが点列である場合を考える。この場合、部分有向点族(x h(γ))γ∈Γ自身が部分列として必然的に点列になるが、この場合部分列(x h(γ))γ∈Γが普遍になるのは、それ自身が(前述の意味で)自明な点列である場合に限られる。しかしその場合のh は単射でない。h を単射に限定すると、部分列は決して自明な点列にはならない(すなわち普遍な部分有向点族にならない)。

以下の定理は定義から明らかである:

以上2つの定理から、有向点族は必ず普遍有向点族を部分有向点族として、その普遍有向点族のさらに部分有向点族を取るとまた普遍有向点族になる。
有向点族(ゆうこうてんぞく、directed family of points)とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。
点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である(可算または非可算な)有向集合の元で添え字付けられている。
有向点族の概念の利点として以下の2つがある:
点列にある「可算性」、「全順序性」という束縛がなくなる。点列の場合はこうした束縛ゆえに定理を証明する際に空間に可算性に関する何らかの仮定(第一可算公理など)を課さねばならなくなる事があるのに対し、有向点族ではそのような条件なしに同様の定理が証明できる場合がある。
複数の収束概念を統一的に扱う事ができる。例えば点列の収束、実数値関数の収束、リーマン積分におけるリーマン和等は有向点族の収束概念の特殊ケースとみなせる。
特に重要なのは、開集合、閉包、連続性などの位相構造に関する概念を有向点族の収束性で特徴づけられる事である。