ビュフォンの針
{ 2 π : 0 ≤ θ ≤ π 2 0 : elsewhere. {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {2}{\pi }}&:\ 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}
である。
2つの確率変数 x {\displaystyle x} と θ {\displaystyle \theta } は独立なので、同時確率密度関数は積をとって
{ 4 t π : 0 ≤ x ≤ t 2 , 0 ≤ θ ≤ π 2 0 : elsewhere. {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {4}{t\pi }}&:\ 0\leq x\leq {\frac {t}{2}},\ 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\0&:{\text{elsewhere.}}\end{cases}}}
となる。
針と線が交差するのは
x ≤ l 2 sin  θ . {\displaystyle x\leq {\frac {l}{2}}\sin \theta .}
のときである。
針の長さに応じて2つの場合に分けて考える。