反復法 (数値計算)
ハレー法(英語版)では
g ( x ) = x − f ( x ) f ′ ( x ) − f ′′ ( x ) f ( x ) 2 f ′ ( x ) {\displaystyle g(x)=x-{\frac {f(x)}{f'(x)-{\frac {f''(x)f(x)}{2f'(x)}}}}}
ととる。これは収束する場合は3次の収束となる。すなわち、
Δ x i + 1 = 3 ( f ′ ′ ) 2 − 2 f ′ f ′ ′ ′ 12 ( f ′ ) 2 ( Δ x i ) 3 + O [ Δ x i ] 4 {\displaystyle \Delta x_{i+1}={\frac {3(f^{\prime \prime })^{2}-2f^{\prime }f^{\prime \prime \prime }}{12(f^{\prime })^{2}}}(\Delta x_{i})^{3}+O[\Delta x_{i}]^{4}}
与えられた関数f についてf (x) = 0 を満たす値x を得ることを目的とする。反復法の一般的なアルゴリズムは以下のようになる:
初期値x0 ∈ R を定める。i = 0 とおく。
漸化式 x i + 1 = g ( x i ) {\displaystyle x_{i+1}=g(x_{i})} によりxi + 1 を求める。ここでg はf より決まる関数である。
適当な判断基準 r ( x i , x i + 1 ) ≤ ε ( ε > 0 ) {\displaystyle r(x_{i},x_{i+1})\leq \epsilon \quad (\epsilon >0)} が成り立てば(このことを収束と表現する)停止し、xi を解とする。そうでなければi → i + 1 とし、ステップ2へ戻る。通常、判断基準には r ( x i , x i + 1 ) = | x i + 1 − x i | {\displaystyle r(x_{i},x_{i+1})=|x_{i+1}-x_{i}|} などが採られる。