モジュラー表現論
通常表現論においては、単純加群 k(G) の総数は G の共軛類の総数に等しいのであった。モジュラー表現論の場合、単純加群の総数 l(G) は想定する素数 p と互いに素な位数を持つ元の共軛類(p-正則類)の総数に等しい。
ブロックの不足群は、ブロック理論へのより加群理論的なアプローチからの特徴付けも様々にできる。これはグリーンが構築した手法で、直既約加群に対してその相対射影性を使って定義される頂点と呼ばれる p-部分群を対応付けるものである。例えば、あるブロックに属する各直既約加群の頂点は、そのブロックの不足群に(共軛を除いて)含まれ、かつその不足群の真の部分群はこの性質を持たない。
ブラウアーの第一主定理は「有限群 G の与えられた p-部分群 D を不足群に持つブロックの総数は、D の G おける正規化群 N = NG(D) に対して、N の D を不足群に持つブロックの総数と一致する」ことを主張する。
非自明な不足群を調べる最も簡単なブロック構造は、不足群が巡回群のときで、この場合そのブロックに属する直既約加群の同型類は有限個しかない(有限表現型)。このようなブロックの構造は、ブラウアー, デイド、グリーン、トンプソン他多数の研究により、いまではよく分かっている。これ以外の場合には、ブロックに属する直既約加群の同型類は無限個存在する(無限表現型)。
不足群が巡回群でないようなブロックは、tame 表現型と wild 表現型の二種類に大別することができる。(素数 2 に対してのみ存在する)tame 表現型ブロックは、二面体群、準二面体群あるいは(一般)四元数群を不足群に持ち、それらの構造はエルトマンによる一連の論文で広く決定されている。wild 表現型ブロックに属する直既約加群は、主ブロックに対するものであっても、分類は極めて困難である。
有限体上の表現論に関する最初期の結果として Dickson (1902) は、標数 p が群の位数を割らないならばその表現論は標数 0 の表現論と同様にできることを示した。ディクソンは、幾つかの有限群のモジュラー不変量についても研究している他、Dickson行列に基づいた各種の符号はGabidulin符号と共に古典的ではあるが符号理論における重要な応用に寄与している。標数が群の位数を割る場合のモジュラー表現の系統的な研究は、Brauer (1935) に始まり、以来数十年の研究がつづけられている。