冪等元
平方因子を持たない整数 n に対して、n を法とする整数の剰余環 Z/nZ を考えよう。中国剰余定理によって、この環は n の素因数 p を法とする整数の剰余体の直積に分解する。これらの直積因子の冪等元は 0 と 1 に限ることは明らかである。つまり、各因子は 2 つの冪等元をもつ。したがって n が m 個の因子をもてば、 Z/nZ は 2 個の冪等元をもつ。
6 を法とするの整数の剰余環 Z/6Z に対してこのことを確かめよう。6 は 2 つの因数(2 と 3)をもつから、2 個の冪等元をもつはずである。
0 = 0 = 0 (mod 6)
1 = 1 = 1 (mod 6)
2 = 4 = 4 (mod 6)
3 = 9 = 3 (mod 6)
4 = 16 = 4 (mod 6)
5 = 25 = 1 (mod 6)
これらの計算から、 Z/6Z において 0, 1, 3, 4 は冪等元であり、2 と 5 は冪等元でない。これは後述する分解の性質を証明している。3 + 4 = 1 (mod 6) であるので、環の分解 Z/6Z = 3Z/6Z ⊕ 4Z/6Z が存在する。3Z/6Z の単位元は 3 + 6Z であり、4Z/6Z の単位元は 4 + 6Z である。
Ann(S) がひとつの冪等元によって生成されるような環はBaer 環(英語版)と呼ばれる。条件がすべての一元部分集合に対してのみ成り立つならば、その環は右Rickart 環(英語版)と呼ばれる。これらの環は両方とも、乗法単位元をもたない場合でさえ興味深い。
すべての冪等元が中心的な環はアーベル環(Abelian ring)と呼ばれる。この環は可換とは限らない。
すべての冪等元がジャコブソン根基を法として持ち上がるときに SBI環 (SBI ring) あるいは Lift/rad ring と呼ばれる。
e が環 R の冪等元であれば、eRe は再び環になり、その乗法単位元は e である。環 eRe はしばしば R の corner ring と呼ばれる。corner ring は自己準同型環 EndR (eR) ≅ eRe によって自然に生じる。