反対称テンソル
i σ k e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ ⋯ ⊗ e i k {\displaystyle \operatorname {Alt} T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}}
と書ける。右辺に現れるテンソル成分は、しばしば対称化する添字を角括弧で括って
T [ i 1 i 2 ... i k ] = 1 k ! ∑ σ ∈ S k sgn  ( σ ) T i σ 1 i σ 2 ... i σ k {\displaystyle T_{[i_{1}i_{2}\dots i_{k}]}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}}
とも書かれる。例えば、V の次元は任意として、二階共変テンソル M に対し
M [ a b ] = 1 2 ! ( M a b − M b a ) {\displaystyle M_{[ab]}={\frac {1}{2!}}(M_{ab}-M_{ba})}
であり、また三階共変テンソル T に対して
T [ a b c ] = 1 3 !
V は標数 0 の体上のベクトル空間とする。T ∈ V を k-次テンソルとすれば、T の反対称成分(交代成分) は、符号付き平均化(反対称化、交代化)
Alt  T = 1 k ! ∑ σ ∈ S k sgn  ( σ ) τ σ T {\displaystyle \operatorname {Alt} T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\tau _{\sigma }T}
によって与えられる反対称テンソルである。和は k-次対称群の全体を亙ってとる。明らかに、T ∈ V が反対称テンソルであるための必要十分条件は Alt(T) = T を満たすことである。
基底をとって考えれば、和の規約を用いて
T = T i 1 i 2 ... i k e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ ⋯ ⊗ e i k {\displaystyle T=T_{i_{1}i_{2}\dots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}}
と書くとき、T の反対称成分は
Alt  T = 1 k ! ∑ σ ∈ S k sgn  ( σ ) T i σ 1 i σ 2 ...