弦の場の理論
プロパゲーターは幅 π {\displaystyle \pi } と長さ T {\displaystyle T} のワールドシート上の帯状領域を形を取る。
赤い線に沿って b {\displaystyle b} -ゴーストの積分を入れることもできる。モジュラス T {\displaystyle T} は、0 から ∞ {\displaystyle \infty } まで積分する。
3次の頂点は次の図に示すように、3つのプロパゲーターを貼り合わせることにより記述することができる。
3次元に埋め込まれた頂点を表現するために、プロパゲーターは中線に沿って半分に折り曲げてある。その結果により得られる幾何学は、3つのプロパゲーターの中線が出会い、曲率が特異となるただ一つの点を除き、完全に平坦である。
これらのファインマン・ダイアグラムは、開弦の散乱ダイアグラムのモジュライ空間の完全な被覆空間を生みだす。このことから、オンシェルの振幅に対し、ウィッテンの開弦の場の理論を使い計算された n-個の点を持つ開弦の振幅は、通常のワールドシートの方法を使い計算された振幅と同一である。 ウィッテンの弦の場の理論を使った最初のオフシェル計算は、スチュアート・サミュエル(英語版)(Stuart Samuel)により行われた。
最も単純で最もよく研究されている共変な相互作用を持つ弦の場の理論が、エドワード・ウィッテン(Edward Witten)により構成された。この理論は、ボゾン的な開弦の力学を記述しており、3次の頂点を自由な開弦の作用に加えることにより与えられる。
S ( Ψ ) = 1 2 ⟨ Ψ | Q B | Ψ ⟩ + 1 3 ⟨ Ψ , Ψ , Ψ ⟩ {\displaystyle S(\Psi )={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Q_{B}|\Psi \rangle +{\tfrac {1}{3}}\langle \Psi ,\Psi ,\Psi \rangle } ,
ここに、自由弦の場合、 Ψ {\displaystyle \Psi } はBRST-量子化された自由なボゾン的な開弦のフォック空間のゴースト数 1 の元である。
3次の頂点
⟨ Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 ⟩ {\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle }
は三重の線型写像で、全体でゴースト数 3 となる3つの弦の場となっている。
非可換幾何学に動機を持っていたウィッテンに従えば、次の式によって暗に定義される ∗ {\displaystyle *} -積を使うことが便利である。