双対ベクトル空間
そして V の双対空間は A から F への写像全体の成す空間 F に同一視される。実際、V 上の線型汎函数 T は V の基底におけるその値 θα = T(eα) によって一意に決定され、また任意の写像 θ: A → F (θ(α) = θα) は
T ( ∑ α ∈ A f α e α ) = ∑ α ∈ A f α T ( e α ) = ∑ α ∈ A f α θ α {\displaystyle T{\biggl (}\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }{\biggr )}=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }T(e_{\alpha })=\sum _{\alpha \in A}f_{\alpha }\theta _{\alpha }}
と置くことにより V 上の線型汎函数 T を定める(fα は有限個の α を除いて全て 0 だから、やはりこの和が有限であることに注意)。
V が有限次元ならば、V* は V と同じ次元を持つ。V の基底 {e1, ..., en} から双対基底と呼ばれる特別な V の基底を定義することができる。それは V 上の線型汎函数の集合 {e, ..., e} で、係数 ci ∈ F の選び方に依らず
e i ( c 1 e 1 + ⋯ + c n e n ) = c i ( i = 1 , ... , n ) {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(c_{1}\mathbf {e} _{1}+\dotsb +c_{n}\mathbf {e} _{n})=c_{i}\quad (i=1,\dotsc ,n)}
を満たすものとして定義される(上付きの添字が冪を意味するものではないことに注意せよ)。特に、一つの係数を 1, 残りをすべて 0 とすることにより、関係式は
e i ( e j ) = δ i j {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta _{ij}}
に帰着される。ここに δij はクロネッカーのデルタである。
ベクトル空間 V からその二重双対 V** への標準的な(自然な)線型準同型 Ψ が
( Ψ ( v ) ) ( φ ) := φ ( v ) , ( v ∈ V , φ ∈ V ∗ ) {\displaystyle {\bigl (}\Psi (v){\bigr )}(\phi ):=\phi (v),\quad (v\in V,\,\phi \in V^{*})}
と置くことにより定まる。この写像 Ψ 必ず単射になる。これが同型となるのは V が有限次元のとき、かつそのときに限る。実際、ベクトル空間とその二重双対との間の、この同型写像は自然同型の原型的な例となっている。無限次元のヒルベルト空間は、代数的な二重双対ではなく、連続的な二重双対に同型なので、この反例にはならない。