曲面
閉じた(つまりコンパクトで境界のない)連結な曲面の位相同型類については完全な分類がある。そのような曲面は次の二つの無限系列のどれかに当てはまる:
球面に g 個のハンドルをつけたもの(g-重トーラスとよばれる)。これはオイラー標数が 2 − 2g の向きがついた曲面であり、種数 g の曲面ともよばれる。
球面に k 個の実射影平面をつけたもの。これはオイラー標数が 2 − k の向きがつかない曲面である。
したがってオイラー標数と向き付け可能性がコンパクトな曲面を位相同型の限りで(さらには、考えている曲面がなめらかなら微分同相の限りで)特徴付けていることになる。