リーマン曲率テンソル
B j i = − ∂ 2 log  g ∂ x j ∂ x i + ∑ b ∂ log  g ∂ x b { b j i } {\displaystyle B_{ji}=-{\frac {\partial ^{2}\log {\sqrt {g}}}{\partial x^{j}\partial x^{i}}}+\sum _{b}{\frac {\partial \log {\sqrt {g}}}{\partial x^{b}}}\left\{{{b} \atop {ji}}\right\}}
を得る。したがって、 ∂ g ∂ x k = 0 {\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}=0} のときは、Bj i = 0 であり、
R j i = A j i = ∑ a ∂ { a j i } ∂ x a − ∑ a , b { a j b } { b a i } {\displaystyle R_{ji}=A_{ji}=\sum _{a}{\frac {\partial \left\{{{a} \atop {ji}}\right\}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a,b}\left\{{{a} \atop {jb}}\right\}\left\{{{b} \atop {ai}}\right\}}
となる。
R k j i h = − R j k i h {\displaystyle R_{kji}{}^{h}=-R_{jki}{}^{h}} (定義より)
R k j i h + R i k j h + R j i k h = 0 {\displaystyle R_{kji}{}^{h}+R_{ikj}{}^{h}+R_{jik}{}^{h}=0} (定義より)