有限生成群
有限生成群の部分群は必ずしも有限生成に限らない。二元生成自由群 F2 の交換子部分群は有限生成群の有限生成でない部分群の例を与える。
有限生成群の指数有限な部分群は常に有限生成であり、またシュライアー指数公式(英語版)はそのような部分群に対して必要な生成元の数の上限を与える。
Howson (1954)は自由群の二つの有限生成部分群の交わりがふたたび有限生成となることを示した。より精確には、二つの有限生成部分群の生成元の数をそれぞれ m, n とするとき、それら部分群の交わりは高々 2mn − m − n + 1 個の生成元で生成される。この上界の値はハンナ・ノイマン(英語版)によって 2(m − 1)(n − 1) + 1 まで著しく改善された(ハンナ・ノイマン予想(英語版)を参照)。
群の部分群束(英語版)が昇鎖条件を満足するための必要十分条件は、その群の任意の部分群が有限生成になることである。任意の部分群が有限生成となる群はネーター的(英語版)であると言う。
任意の有限生成部分群が有限となる群は局所有限(英語版)であると言う。任意の局所有限群はねじれ群、すなわち任意の元が位数有限となる群である。逆に、任意のねじれアーベル群は局所有限である。