累積分布関数
累積分布関数は広義単調増加関数であり、右連続関数である。さらに以下が成立する。
lim x → − ∞ F X ( x ) = 0 , lim x → + ∞ F X ( x ) = 1. {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\quad \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1.}
離散型確率変数 X では以下が成立する。
F X ( x ) = P  ( X ≤ x ) = ∑ x i ≤ x P  ( X = x i ) = ∑ x i ≤ x p ( x i ) . {\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i}).}
連続型確率変数 X では以下が成立する。
F X ( b ) − F X ( a ) = P  ( a < X ≤ b ) = ∫ a b f X ( x ) d x {\displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)=\operatorname {P} (a<X\leq b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx}