汎函数微分
1927年のトーマス=フェルミ模型では、電子構造の密度汎函数論の最初の試みにおいて、非干渉一様電子ガスに対する運動エネルギー汎函数
T T F [ ρ ] = C F ∫ ρ 5 / 3 ( r ) d r {\displaystyle T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}}
が用いられた。TTF[ρ] は電荷密度 ρ(r) にのみ依存して、その勾配やラプラシアンあるいは他の高階微分には依存しない(このような汎函数は「局所的」であるという)。従って
δ T T F [ ρ ] δ ρ = C F ∂ ρ 5 / 3 ( r ) ∂ ρ ( r ) = 5 3 C F ρ 2 / 3 ( r ) {\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }[\rho ]}{\delta \rho }}=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}({\boldsymbol {r}})}{\partial \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}({\boldsymbol {r}})}
が成り立つ。
最終的に、任意の函数は汎函数として表せることを注意しておこう。例えば
ρ ( r ) = ∫ ρ ( r ′ ) δ ( r − r ′ ) d r ′ {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'}
である。この汎函数は上記最初の二つの例のように ρ にのみ依存(つまり局所的)であるから、
δ ρ ( r ) δ ρ ( r ′ ) = ∂ ρ ( r ′ ) δ ( r − r ′ ) ∂ ρ ( r ′ ) = δ ( r − r ′ ) {\displaystyle {\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}={\frac {\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')}{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')}
が成り立つ。
なる形に書くことができる。ここで、三行目は積分の限界において φ = 0 と仮定した。故に汎函数微分は
δ F [ ρ ] δ ρ = ∂ f ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ f ∂ ∇ ρ {\displaystyle {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}}
あるいはより明示的に書けば
δ F [ ρ ( r ) ] δ ρ ( r ) = ∂ ∂ ρ ( r ) f ( r , ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) ) − ∇ ⋅ ∂ ∂ ∇ ρ ( r ) f ( r , ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) ) {\displaystyle {\frac {\delta F[\rho ({\boldsymbol {r}})]}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}})}}f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))-\nabla \cdot {\frac {\partial }{\partial \nabla \rho ({\boldsymbol {r}})}}f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))}