カオス理論
カオスにはその必要十分条件が与えられていないことから、カオスの判定は複数の定義の共通を持って、カオス性があるという判定以外に方法が無い。このため、カオスの判定とは必要条件という性質を持つ。多くは、スペクトルの連続性、ストレンジアトラクタ、リアプノフ指数、分岐などを以ってカオスと判定している。
しかしながら、ただのランダムノイズであっても、リアプノフ指数が正になるといった事例が指摘され、こういった面よりノイズとカオスは区別はつかない。そのため、例えばリアプノフ指数や、何をもってストレンジアトラクタと見なすかの指標をそのまま信用してカオスと判定して良いかという問題が起きる。
1992年に、ノイズか決定論的システムから作成されたデータかどうかを検定する「サロゲート法」が提案された。サロゲート法は基本的には統計学における仮説検定にもとづく手法であるため、与えられたデータが検定にパスした場合でも、そのデータについて「仮定したノイズであるとは言いがたい」という主張はできるが、「カオスである」という断定をすることはできず、その意味で決定的な検定方法ではない。以下サロゲート法の概要について説明する。
56995} のときについては、まず a {\displaystyle a} が3を超えたところで X n {\displaystyle X_{n}} が2つの値を繰り返す様になる。さらに a {\displaystyle a} が 1 + 6 {\displaystyle 1+{\sqrt {6}}} より大きくなると X n {\displaystyle X_{n}} のとる値が4つ、8つと増加していく。この周期逓倍点の間隔は一定の比率ファイゲンバウム定数で縮まる。
3.56995 < a {\displaystyle 3.56995<a} のとき、 X n {\displaystyle X_{n}} のとる値に規則性が見られなくなる。この境界値3.56995をファイゲンバウム点と呼ぶ。周期逓倍点の間隔が0に収束し、周期が無限大に発散したのであるが、場所によっては3と7の周期性が戻る。この部分は"窓"と呼ばれる。
この様に単純な二次方程式から複雑な振る舞いが発生し、また a = 4 {\displaystyle a=4} 付近では初期値 X 0 {\displaystyle X_{0}} のわずかな違い(例えば0.1と0.1000001)が将来の値 X n {\displaystyle X_{n}} に決定的な違いをもたらしている。