終結式
数学において、終結式(しゅうけつしき、英: resultant)とは、2つの多項式の係数から構成される式である。そうして終結式の値が零になることと2つの多項式が(係数体の分解体上で)共通零点を持つことは同値になる。このことから2つの多項式が共通零点を持つための必要十分条件が元の多項式の係数の多項式として得られる。具体的には、次のようにして定義される:
多項式 f(x) = anx + an−1x + ... + a1x + a0 (an ≠ 0)
の重複を含めた根を α1, ..., αn, g(x) = bmx + bm−1x + ... + b1x + b0 (bm ≠ 0)
の重複を含めた根を β1, ..., βm
とするとき、f, g の終結式 Res  ( f , g ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,g)} を、次の等式のどちらかで定義する: a n m b m n ∏ i , j ( α i − β j ) = | a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 b m b m − 1 ⋯ b 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ b m b m − 1 ⋯ b 0 | {\displaystyle {a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}}
(対角成分に an が m個、b0 が n個)
ここでは、文献に掲載されている方法により証明する。
(証明)
A := [ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 b m b m − 1 ⋯ b 0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ b m b m − 1 ⋯ b 0 ] {\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&b_{m}&b_{m-1}&\cdots &b_{0}\end{bmatrix}}}
とおく。A の第1~m行を an で、第(n + 1)~(m + n)行を bm で割ると、根と係数の関係より、成分は、0 か 1 か、α1, ..., αn または β1, ..., βm の基本対称式になる。