素朴集合論
2つの集合 A と B が与えられたとき、それらの和集合は、A または B 、あるいはその両方の要素であるすべての対象で構成される集合であり(和集合の公理を参照)、A ∪ B で表される。
A と B の共通部分は、 A と B の両方にあるすべての対象の集合であり、A ∩ B で表される。
最後に、 A に対する B の相対補集合(A と B の差集合とも呼ばれる)は、 A に属するが B には属さないすべての対象の集合であり、 A \ B や A − B で表される。
記号的には、これらはそれぞれ以下のように表される
A ∪ B := {x : (x ∈ A) or(x ∈ B)}
A ∩ B := {x : (x ∈ A) and(x ∈ B)} = {x ∈ A : x ∈ B } = {x ∈ B : x ∈ A}
A \ B := {x : (x ∈ A) and not(x ∈ B)} = {x ∈ A : not( x ∈ B )}
2つの集合 A と B が与えられたとき、A のすべての要素が B の要素でもある場合、A は B の部分集合である。特に、各集合 B はそれ自体の部分集合である。B と等しくない B の部分集合は、真部分集合と呼ぶ。
A が B の部分集合である場合、B は A の上位集合(スーパーセット)である、A は B に含まれる、または B には A が含まれるとも言える。記号上は、 A ⊆ B が A が B の部分集合であることを意味し、B ⊇ A は B が A の上位集合であることを意味する。部分集合に記号 ⊂ と ⊃ を用いる著者もいれば、これらの記号を真部分集合にのみ用いる著者もいる。わかりやすくするために、記号 ⊊ と ⊋ を明示的に用いて、等しくないことを示すことができる。
例として、R を実数の集合、 Z を整数の集合、O を奇数の整数の集合、 P を現在または過去の米国大統領の集合とする。その場合、O は Z の部分集合であり、Z は R の部分集合であり、(したがって)O は R の部分集合であり、これらはいずれの場合も部分集合が真部分集合として解釈されうる。