エンジェル・プロブレム
もし悪魔に必勝法がなければ、天使は常に自分が負けないように手を選ぶことで無限にゲームを続けることができ、勝敗の定義からそれが天使の必勝法となる。より抽象的には、天使の勝つすべてのゲームプレイの集合は、すべてのゲームプレイの自然な位相空間に対して閉じている、つまりゲームは決定的である。当然ながら、無限に続けられるあらゆるゲームはプレイヤー2が必勝法を持たないときプレイヤー1は自らが負けないような手を選び続けることができるが、ゲームの勝敗の定義次第では単にゲームを無限に続けることがプレイヤー1の勝利になるとは限らない。したがって、決定的でないゲームが存在する可能性はある。
コンウェイはこの問題に対する回答に賞金を与えると宣言した(十分な力を持つ天使の必勝法に100ドル、天使の力によらず悪魔が勝つと示すことができれば1000ドル)。当初は、チェスボードを三次元に拡張した問題に対する進展が見られた。オリジナルの(二次元の)問題では、2006年後半に、独立した複数の証明によって天使の勝利が示された。Bowditch は4の力を持つ天使が勝つことを証明し、Máthé と Kloster は、力が2あれば十分なことを示した。
三次元の場合に、天使が常に北の方角に進み、悪魔はみっつの平面上でしかプレイしないと制限を置くとしたとき、悪魔に必勝法があるのかわかっていない。
Bowditch は元のゲームに対する変種(game 2)としてルールに次の変更を加えた。
天使はかつて行ったことのあるいかなる地点にも戻ることができる(その後、悪魔によってブロックされようとした場合であっても)
k-悪魔は、ある場所にブロックを置こうとするなら k 回そこにブロックを置こうと試みる必要がある
天使は東西南北のひとつ隣にだけ動ける
天使が勝つには"回り道"をする必要がある
"回り道"は π = ∪ i = 1 ∞ ( σ i ∪ γ i ) {\displaystyle \pi =\cup _{i=1}^{\infty }(\sigma _{i}\cup \gamma _{i})} で定義される道である。ここで σ = ∪ i = 1 ∞ σ i {\displaystyle \sigma =\cup _{i=1}^{\infty }\sigma _{i}} は半無限の弧(自身と交差しない道で、開始点はあるが終了点が存在しないもの)であり、 γ i {\displaystyle {\gamma _{i}}} は互いに素な閉路で次の性質を満たす。
∀ i : | γ i | ≤ i {\displaystyle \forall i:|\gamma _{i}|\leq i} で | γ i | {\displaystyle |\gamma _{i}|} は i 番目の閉路の長さを示す。
天使を勝たそうとする直観的な戦略の多くはうまくいかず、この問題の難しさはそれをどう乗り越えるかにある。たとえば、天使が自らの近くにあるブロックから逃げ続けようとする場合、悪魔は盤上の北向きに巨大な馬蹄形を作った上で、天使の近くの南側からブロックを置いていくことで天使を追い込める。反対に天使が遠くを見通して遠方にある罠を避けようとする場合は、悪魔は今度は北向きに小さな馬蹄形を作って、天使のはるか南側からブロックを置いていって罠にかけられる。
天使は(自明な罠を避けるためにたまに東西にジグザグにも動いて)力の限り北に動き続ければ勝てるはずだと思うかもしれない。この戦略では、天使の到達しうる領域は(三次元でとらえれば)円錐形の中に納まることになる。悪魔は離れたところでその円錐を突っ切るように壁を作っていくことができ、いずれ天使はその壁にぶつかる。この天使は北方に進む一方なので、飛び越えられない厚さの壁を作っておけばそこで動けなくなる。