ラグランジアン (場の理論)
相互作用項
− q φ ( x ( t ) , t ) + q x ̇ ( t ) ⋅ A ( x ( t ) , t ) {\displaystyle -q\phi (\mathbf {x} (t),t)+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} (t),t)}
を、単位系 A・s・m の連続的電荷密度 ρ と、単位系 A・m の電流密度 j {\displaystyle \mathbf {j} } を含む項で置き換える。その結果、電磁場のラグランジアンは
L ( x , t ) = − ρ ( x , t ) φ ( x , t ) + j ( x , t ) ⋅ A ( x , t ) + ε 0 2 E 2 ( x , t ) − 1 2 μ 0 B 2 ( x , t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)+{\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}(\mathbf {x} ,t)}
である。 φ {\displaystyle \phi } について変分すると、