位相多様体
n が 3 よりも大きいときの n 次元多様体の完全な分類は不可能であることが知られている。少なくとも群論における語の問題(英語版)と同じくらい難しく、それはアルゴリズム的に決定不能(英語版)であることが知られている。実は、与えられた多様体が単連結であるかどうかを決定するアルゴリズムは存在しない。しかしながら、次元 ≥ 5 の単連結多様体の分類は存在する。
わずかに一般的な概念がときに有用である。境界付き多様体とは任意の点が(固定された n に対して)ユークリッド半空間(英語版)
R + n = { ( x 1 , ... , x n ) ∈ R n : x n ≥ 0 } {\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}}
の開部分集合に同相な近傍を持つようなハウスドルフ空間である。用語はいくぶんまぎらわしい。任意の位相多様体は境界付き位相多様体であるが、逆は成り立たない。