金融経済学
資産価格付けの基本定理(英: the fundamental theorems of asset pricing)とは、Michael Harrison、デイヴィッド・クレプス、Stanley Pliska らによって示された裁定機会の非存在と市場の完備性の同値条件を述べる定理である。数理ファイナンスにおける様々な派生証券の価格付け理論で中心的な役割を果たしている定理である。
金融市場の数学的定式化の違いにより定理の内容が若干異なるが、通常以下のように言及される。
資産価格付けの第1基本定理
金融市場に裁定取引が存在しない必要十分条件は少なくとも1つ以上のリスク中立確率が存在することである。
資産価格付けの第2基本定理
金融市場に裁定取引が存在しないと仮定する。この時、金融市場が完備である必要十分条件はリスク中立確率が一意に定まることである。
確率的割引ファクターの項目で見たように、リスク中立確率とは金融資産の価格を利子率で割り引いたものがマルチンゲールになるような確率である。よって価格変動の確率的性質が既知の金融資産を用いてリスク中立確率を一度計算してしまえば様々な金融資産の現在価格を計算することが出来る。資産価格付けの基本定理はこのような数学的操作によって導かれる現在価格に対し、無裁定価格付け理論という金融経済学としての価格付けに対する基礎を与える定理となる。
1973年にフィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズは完全かつ完備な市場の下でのヨーロピアン型コールオプションについての価格付けに対する論文を発表した。同論文中のオプション価格を決定する偏微分方程式をブラック=ショールズ方程式(英: Black-Scholes equation)と言う。
完全市場の下で、配当が無く価格変動が幾何ブラウン運動に従う株式と利子率が時間を通じて一定な債券を想定する。この時、株式を原資産とする満期 T {\displaystyle T} 、行使価格 K {\displaystyle K} のヨーロピアン型コールオプションの t {\displaystyle t} 時点における株価 x {\displaystyle x} の下での価格 C ( t , x ) {\displaystyle C(t,x)} は裁定取引が存在しないという条件の下で次の偏微分方程式の解となる。
r C = ∂ C ∂ t + r x ∂ C ∂ x + 1 2 σ 2 x 2 ∂ 2 C ∂ x 2 {\displaystyle rC={\frac {\partial C}{\partial t}}+rx{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial x^{2}}}}