ロピタルの定理
x 5 − ⋯ ) = lim | x | → ∞ ( 1 − 1 3 ! x 2 + 1 5 ! x 4 − ⋯ ) = 1 + lim | x | → ∞ 1 x ( − 1 3 ! x + 1 5 ! x 3 − ⋯ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{|x|\to \infty }x\sin {\frac {1}{x}}&=\lim _{|x|\to \infty }x\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3!\,x^{3}}}+{\frac {1}{5!\,x^{5}}}-\cdots \right)\\&=\lim _{|x|\to \infty }\left(1-{\frac {1}{3!\,x^{2}}}+{\frac {1}{5!\,x^{4}}}-\cdots \right)\\&=1+\lim _{|x|\to \infty }{\frac {1}{x}}\left(-{\frac {1}{3!\,x}}+{\frac {1}{5!\,x^{3}}}-\cdots \right)\end{aligned}}}
|x| ≥ 1 に対して、最後の行の第2項の極限のかっこの中の展開は有界であるので極限は 0 である。
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\&=f''(x).\end{aligned}}}
である。
ロビタルの定理はしばしば巧妙な方法において引き合いに出される。ここで f ( x ) + f ′ ( x ) {\displaystyle f(x)+f'(x)} が x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } で収束すると、
lim x → ∞ f ( x ) = lim x → ∞ e x f ( x ) e x = lim x → ∞ e x ( f ( x ) + f ′ ( x ) ) e x = lim x → ∞ ( f ( x ) + f ′ ( x ) ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{e^{x}f(x) \over e^{x}}=\lim _{x\to \infty }{e^{x}(f(x)+f'(x)) \over e^{x}}=\lim _{x\to \infty }(f(x)+f'(x))}
であるので極限 lim x → ∞ f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)} が存在し、 lim x → ∞ f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f'(x)=0} である。
ロピタルの定理 (ロピタルのていり、英: l'Hôpital's rule) とは、微分積分学において不定形(英語版)の極限を微分を用いて求めるための定理である。ベルヌーイの定理 (英語: Bernoulli's rule) と呼ばれることもある。
本定理を (しばしば複数回) 適用することにより、不定形の式を非不定形の式に変換し、その極限値を容易に求めることができる可能性がある。