熱的残存粒子
粒子 χ {\displaystyle \chi } が温度 T {\displaystyle T} の熱平衡にあるとき、それが非相対論的である ( k B T ≪ m χ c 2 {\displaystyle k_{\mathrm {B} }T\ll m_{\chi }c^{2}} ) ならば、その数密度 n χ {\displaystyle n_{\chi }} は
n χ = g χ ( m χ k B T 2 π ħ 2 ) 3 2 e − β m χ c 2 {\displaystyle n_{\chi }=g_{\chi }\left({\frac {m_{\chi }k_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}e^{-\beta m_{\chi }c^{2}}}
と書ける。従って熱平衡にあるときの Y {\displaystyle Y} の値は
Y E Q ( x ) = 45 4 2 π 7 / 2 g χ g ∗ S ( x ) x 3 2 e − x {\displaystyle Y_{\mathrm {EQ} }(x)={\frac {45}{4{\sqrt {2}}\pi ^{7/2}}}{\frac {g_{\chi }}{g_{*S}(x)}}x^{\frac {3}{2}}e^{-x}}
後者は粒子 χ {\displaystyle \chi } が相対論的であるときには n χ = g χ ′ ζ ( 3 ) k B 3 π 2 ħ 3 c 3 T 3 {\displaystyle n_{\chi }=g'_{\chi }{\frac {\zeta (3)k_{\mathrm {B} }^{3}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}} , 非相対論的であるときには n χ = g χ ( m χ k B T 2 π ħ 2 ) 3 2 e − β m χ c 2 {\displaystyle n_{\chi }=g_{\chi }\left({\frac {m_{\chi }k_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}e^{-\beta m_{\chi }c^{2}}} と書ける。ここに ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} はリーマンゼータ関数( ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} はアペリーの定数)、 g χ ′ {\displaystyle g'_{\chi }} は粒子 χ がボース粒子であるときその内部自由度 g χ {\displaystyle g_{\chi }} 、フェルミ粒子であるとき 3 4 g χ {\displaystyle {\frac {3}{4}}g_{\chi }} である。
独立変数として時刻 t {\displaystyle t} の代わりに温度 T {\displaystyle T} を用いる。ただし温度は宇宙膨張とともに減少するため、粒子 χ の質量 m χ {\displaystyle m_{\chi }} で無次元化した変数
ある粒子 χ {\displaystyle \chi } が自身の反粒子 χ ̄ {\displaystyle {\bar {\chi }}} との対消滅チャンネルを持つ場合を考える。この対消滅反応の反応率は反粒子の数密度 n χ ̄ {\displaystyle n_{\bar {\chi }}} 、対消滅断面積 σ {\displaystyle \sigma } 、粒子速度 v {\displaystyle v} の積
P = n χ ̄ σ v {\displaystyle P=n_{\bar {\chi }}\sigma v}
である。高温高密度状態にある初期宇宙においてはこの反応が頻繁に起き、粒子 χ {\displaystyle \chi } はこの反応を通じて熱平衡にある。やがて宇宙が膨張し温度と数密度が下がると、反応率 P {\displaystyle P} が減少し宇宙の膨張率(ハッブルパラメータ) H {\displaystyle H} を下回る。これにより対生成・対消滅反応が実効的に停止し(これを「脱結合 (decoupling)」と呼ぶ)、粒子 χ {\displaystyle \chi } の存在量が変化しなくなる。