商位相空間
分離性 一般に、商空間構成は分離公理とは相性が悪く、ある空間 X の持つ分離性は商空間 X/~ に必ずしも遺伝しないし、X と同様の分離性を X/~ が持つとも限らない。 X/~ が T1-空間となる必要十分条件は、同値関係 ~ の任意の同値類が X の閉集合であることである。 商写像が開であるときには、X/~ がハウスドルフ空間となることと、関係 ~ が直積位相空間 X × X の閉集合となることとが同値である。
連結性 位相空間が連結または弧状連結ならば、その任意の商空間もおなじ性質を持つ。 単連結または可縮な空間の商空間は、必ずしもおなじ性質を持つわけはない。
コンパクト性 位相空間がコンパクトならば任意の商空間もそうである。 局所コンパクト空間の商空間は必ずしもそうではない。
次元 商空間の位相次元はもとの空間のそれよりも増加しうる(もちろん減少することもある)。このような例は空間充填曲線から得られる。
商写像 q: X ↠ Y は数多ある全射の中で、次のような性質によって特徴付けられるものである。