スペクトル密度
ここで、エネルギーは信号の2乗を積分したものであり、その信号を電圧として 1Ω の負荷に加えたときの物理エネルギーに等しい。f(t) が伝送路を通って伝播する電気信号の電位を(ボルトで)表す場合、スペクトル密度 ESD(ω) の測定単位は volt×seconds として現れるが、物理学のスペクトルのエネルギー密度としてはまだ次元的に正確ではない。しかしながら、(オームで表される)伝送路の特性インピーダンス Z によって除算すると、ESD(ω) の次元は1オーム当たり volt×seconds になる。これは、1 ヘルツ当たりのジュール(物理学で定義されるスペクトルのエネルギー密度の国際単位)と等価となる。
確率論的な信号については、フーリエ変換の二乗値は一般的に極限に近づけないが、期待は行う。(ピリオドグラム(英語版)を参照。)
見解:取り扱う多くの信号が積分可能ではなく、その信号の 非正規化(=通常の) フーリエ変換は存在しない。何人かの著者(たとえば Risken)は、まだ非正規化フーリエ変換を使ってパワースペクトル密度の定義
⟨ F ( ω ) F ∗ ( ω ′ ) ⟩ = 2 π P S D ( ω ) δ ( ω − ω ′ ) {\displaystyle \langle F(\omega )F^{\ast }(\omega ')\rangle =2\pi \,PSD(\omega )\,\delta (\omega -\omega ')}
を公式化している。ここで、δ(ω − ω') はディラックのデルタ関数である。このような公式の文献は直観を導くには有用であるが、十分な注意と共に使用されるべきである。
このような形式推論を用いると、定常ランダム過程とパワースペクトル密度 PSD(ω) およびこの信号の自己相関関数 R(τ) = <f(t) f(t + τ)> がフーリエ変換対でなければならないことに気づくだろう。
PSD には次のような特性がある。
実際に使われる過程のスペクトルは対称である: S(− f) = S(f) 言い換えると、偶関数である。
[− 1/2, +1/2] の範囲で連続しており、微分可能である。
PSD の微分は f = 0 で 0 となる。(このことはパワースペクトルが偶関数となるために必要である。)そうでない場合、微分は f = 0 で存在しない可能性がある。
自己共分散関数はフーリエ逆変換を使うことにより再構成することができる。
PSD は、時間軸上の分散の分布を示している。とりわけ、 Var ( X t ) = γ 0 = 2 ∫ 0 1 / 2 S ( ω ) d ω {\displaystyle {\text{Var}}(X_{t})=\gamma _{0}=2\int _{0}^{1/2}S(\omega )d\omega } である。
PSD は自己共分散関数の一次関数となる。 もし γ が2つの関数 γ(τ) = α1γ1(τ) + α1γ2(τ) に再構成される場合、 S(f) = α1S1(f) + α2S2(f) となる。 ここで S i ( f ) = F { γ i } {\displaystyle S_{i}(f)={\mathcal {F}}\{\gamma _{i}\}}
パワースペクトル G(f) は次式で定義される。
G ( f ) = ∫ − ∞ f S ( f ′ ) d f ′ . {\displaystyle G(f)=\int _{-\infty }^{f}S(f^{\prime })\,df^{\prime }.}