有限加法族
空でない集合 S 上の部分集合族 M ⊂ 2 が和 ∪ と補集合をとる集合演算 c について閉じていて、和 ∪ に関する中立元 ∅ を持つとき、M を有限加法族または単に加法族と呼ぶ。
A1, A2 ∈ M ⇒ A1 ∪ A2 ∈ M,
A ∈ M ⇒ A ∈ M,
∅ ∈ M.
また、M ⊂ 2 が積 ∩ と対称差 Δ について閉じていて、積 ∩ に関する中立元 S を含むとき、M を集合体と呼ぶ。
A1, A2 ∈ M ⇒ A1 ∩ A2 ∈ M,
A1, A2 ∈ M ⇒ A1 Δ A2 ∈ M,
S ∈ M.
有限加法族の条件は加法的な一つの演算 ∪ に関する構造に注目していて、集合体のほうは積 ∩ と対称差 Δ の二つの演算がつくる集合環の構造に注目しての命名であるが、この二つの定義の条件は互いに同値であり、これらはまったく同じ概念を定める。また、これら(が含む集合環の)の条件から帰納的に
A 1 , A 2 , ... , A n ∈ M ⇒ ⋃ k = 1 n A i ∈ M {\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in \mathbf {M} \Rightarrow \bigcup _{k=1}^{n}A_{i}\in \mathbf {M} }
A 1 , A 2 , ... , A n ∈ M ⇒ ⋂ k = 1 n A i ∈ M {\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in \mathbf {M} \Rightarrow \bigcap _{k=1}^{n}A_{i}\in \mathbf {M} }
など、有限回の集合演算に関して閉じていることが示せる。