集合の分割
自然数の集合 N = {1, 2, ..., n} の同値関係 ~ に対応した分割が非交差 (noncrossing) であるとは、N 内のそれぞれ別の数 a、b、c、d が a < b < c < d という大小関係で、しかも a ~ c および b ~ d ということがない場合である。 上記のX = {1, 2, 3, 4} では、13/24のみが非交差ではない分割である. 有限集合の非交差な分割の束は、自由確率論において重要であることが近年わかってきた。2つの束の結びをとる操作が合致しないため、これらは全ての分割の束の部分集合を形成するが、部分束ではない。
集合 X の分割 π が集合 X の分割 ρ の細分 (refinement) であるとは、π の個々の元が全て ρ のいずれかの元の部分集合であることを言う。大雑把に言えば、π の方が p よりも分割が細かい。これを π ≤ ρ と表記することもある。
X の分割の集合におけるこの「より細かい」関係は半順序であり(そのため "≤" で表すのが適当)、実のところ完備束である。例えば、X = {1, 2, 3, 4} の「分割束」には15の元があり、以下のハッセ図で表される。
もう1つの例として、同値関係の観点から分割を細分化する方法を述べる。D を一般的なトランプの52枚のカードの集合とする。D における「色が同じ」という関係を ~C などと表記する。このとき2つの同値類、{赤いカード} という集合と {黒いカード} という集合が得られる。この ~C に対応した2ブロックの分割には「スートが同じ」という関係 ~S による細分が存在し、4つの同値類 {スペード}、{ダイヤ}、{ハート}、{クラブ} が得られる。