対称双線型形式
V を体 K 上の有限次元ベクトル空間とする。写像 b : V × V → K が、V 上の双線型形式であるとは、すべてのベクトル u, v, w ∈ V とスカラー λ ∈ K に対して次の3条件を満たすことである。
b ( u + v , w ) = b ( u , w ) + b ( v , w ) {\displaystyle b(u+v,w)=b(u,w)+b(v,w)}
b ( u , v + w ) = b ( u , v ) + b ( u , w ) {\displaystyle b(u,v+w)=b(u,v)+b(u,w)}
b ( λ u , v ) = λ b ( u , v ) = b ( u , λ v ) {\displaystyle b(\lambda u,v)=\lambda b(u,v)=b(u,\lambda v)}
これらの3条件に加えて条件
b ( u , v ) = b ( v , u ) {\displaystyle b(u,v)=b(v,u)}
を満たすとき b : V × V → K を対称双線型形式という。
平面 R のベクトル x = (x1, x2) と y = (y1, y2) に対して
b ( x , y ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 {\displaystyle b(x,y)=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}}
で定まる標準内積 b : R × R → R は対称双線型形式である。また
b ′ ( x , y ) = x 1 y 1 − x 2 y 2 {\displaystyle b'(x,y)=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}}
で定まる写像 b′ : R × R → R や
b 0 ( x , y ) = 0 {\displaystyle b_{0}(x,y)=0}
で定まる自明な写像 b0 : R × R → R なども対称双線型形式である。