ウィグナー関数
望遠鏡や光ファイバー通信機器の設計において、ウィグナー関数は単純なレイトレーシング(英語版)と波形解析とのギャップを埋めるために用いられる。ここで近軸近似の下では、p/ħ は k = |k|sinθ ≈ |k|θ と置き換えられる。この文脈では、ウィグナー関数は干渉の影響をとりこんだまま光線の位置 x と角度 θ で系を取り扱う最善の方法である。ウィグナー関数がいずれかの点で負になった場合、単純なレイトレーシングでは系をモデル化するのに不十分であることを示している。
信号解析においては、時間変化する電気信号、機械的振動、音波などをウィグナー分布により解析することがある。ここで、x は時間、 p/ħ は角振動数 ω = 2πf(f は振動数)に置き換えられる。
超高速光学において、短レーザーパルスは上と同じように f および t で置換されたウィグナー関数により特徴づけられる。チャープ(周波数の時間依存性)などのパルスの乱れをウィグナー関数により可視化することができる。図7を参照。
量子光学では、 x および p/ħ を X 及び P 成分、電磁場の実部と虚部に置き換える(コヒーレント状態も参照)。 図1は光の量子状態を示している。
実際、調和力が働いている場合も古典的である。
状態の重なり積分は以下のように計算される。 | ⟨ ψ | θ ⟩ | 2 = 2 π ħ ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ d p P ψ ( x , p ) P θ ( x , p ) {\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P_{\psi }(x,p)P_{\theta }(x,p)}
作用素の期待値(平均値)はウィグナー変換したのちに位相空間上の平均値をとることにより与えられる。 g ( x , p ) ≡ ∫ − ∞ ∞ d y ⟨ x − y / 2 | G ^ | x + y / 2 ⟩ e i p y / ħ {\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\langle x-y/2|{\hat {G}}|x+y/2\rangle e^{ipy/\hbar }} ⟨ ψ | G ^ | ψ ⟩ = T r ( ρ ^ G ^ ) = ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ d p P ( x , p ) g ( x , p ) {\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =\mathrm {Tr} ({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} pP(x,p)g(x,p)}
ψ を波動関数とし、x, p をそれぞれ位置および運動量、または他の正準共役量(例えば電磁場の実部および虚部、もしくは信号における時間と周波数など)とすると、ウィグナー関数 P(x, p) は以下のように定義される。
ここで、ウィグナー関数は ψ が x 上に台を持たない領域でも台を持つことがある。
ウィグナー関数の定義は x および p について対称である。
P ( x , p ) = 1 π ħ ∫ − ∞ ∞ φ ∗ ( p + q ) φ ( p − q ) e − 2 i x q / ħ d q {\displaystyle P(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(p+q)\varphi (p-q)e^{-2ixq/\hbar }\,\mathrm {d} q}
ここで、φ は ψ のフーリエ変換である。
三次元系では、以下のようになる。
P ( r → , p → ) = 1 ( 2 π ) 3 ∫ ψ ∗ ( r → + ħ s → / 2 ) ψ ( r → − ħ s → / 2 ) e i p → ⋅ s → d 3 s {\displaystyle P({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \psi ^{*}({\vec {r}}+\hbar {\vec {s}}/2)\psi ({\vec {r}}-\hbar {\vec {s}}/2)e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}}\,\mathrm {d} ^{3}s}