トランスクリティカル分岐
力学系には、連続的な時間で考える連続力学系と、離散的な時間で考える離散力学系がある。どちらの種類の力学系でも、トランスクリティカル分岐と見なされる分岐が存在する。力学系の分岐には、固定点(連続力学系では平衡点ともいう)の近傍の振る舞いが変化する局所的分岐と、1つの固定点の近傍に限定されない大局的な振る舞いが変化する大域的分岐がある。トランスクリティカル分岐は局所的分岐の主な例の一つで、1次元以上の系で起こり得る。ただし、多次元相空間で起こる場合でもトランスクリティカル分岐による振る舞いの変化はある1次元部分空間上に制限されており、中心多様体の理論によって1次元ベクトル場または1次元写像の分析に帰着できる。
トランスクリティカル分岐には、2つの固定点が関わる。1つの固定点は安定(源点)で、もう一つの固定点は不安定(沈点)である。パラメータを変化させると、1つの固定点がもう1つの固定点に近づいていき、衝突して通り過ぎる。したがって、トランスクリティカル分岐では固定点の数は分岐(衝突)後も変わらない。しかし、それぞれの固定点の安定性が分岐によって入れ替わる。このような2つの固定点間での安定性の交換がトランスクリティカル分岐の特徴であり、安定性交替型分岐とも呼ばれる。遷臨界型分岐や遷臨界分岐といった呼び方がされることもある。
トランスクリティカル分岐は非双曲型固定点で起こる分岐であり、連続力学系では分岐点でヤコビ行列が固有値 0 を1つ持ち、離散力学系では分岐点でヤコビ行列が固有値 1 を1つ持つ。このような分岐は連続力学系ではゼロ固有値分岐と呼ばれ、トランスクリティカル分岐はその一種である。