ラドン＝ニコディムの定理
数学におけるラドン=ニコディムの定理(ラドン=ニコディムのていり、英: Radon–Nikodým theorem)は、測度論の分野における一結果で、ある可測空間 (X, Σ) が与えられたとき、(X, Σ) 上のある σ-有限測度(英語版) ν が別の (X, Σ) 上の σ-有限測度 μ に関して絶対連続であるなら、任意の可測部分集合 A ⊂ X に対して次を満たす可測函数 f : X → [0, ∞) が存在することを述べた定理である:
ν ( A ) = ∫ A f d μ {\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }
この函数 f はラドン=ニコディム微分と呼ばれ、dν/dμ と表記される。
この定理の名は、1913年に空間 R での特別な場合について証明を与えたヨハン・ラドンと、1930年に一般の場合の証明を与えたオットー・ニコディム(英語版)に由来する。1936年にハンス・フロイデンタールは、この定理を特別な場合として含む、リース空間での一結果であるフロイデンタールのスペクトル定理を証明することによって、その結果の更なる一般化に成功した。
Y がバナッハ空間であり、ラドン=ニコディムの定理が Y に値を取る函数に対して同様に成り立つなら、Y はラドン=ニコディム性を備えると言われる。全てのヒルベルト空間はラドン=ニコディム性を備えている。
この定理は確率論におけるアイデアを、実数上で定義される確率質量および確率密度から、任意の集合上で定義される確率測度へと拡張する上で非常に重要となる。このことは、ある確率測度を別のものへ変化させることが可能か、また可能であればどのようにできるか、という事実を示唆している。特に、ある確率変数の確率密度関数は、ある基底測度(通常は連続型確率変数に対するルベーグ測度)に関する誘導測度 (induced measure) のラドン=ニコディム微分となる。それは例えば、確率測度の条件付期待値の存在を示す際に利用することができるが、これ自体が確率論における重要概念であり、条件付き確率はその特殊例に過ぎない。
その他の分野では、数理ファイナンスにおいてこの定理は広く用いられている。確率測度の変化はデリバティブの合理価格設定 (rational pricing) を行う上での基本であり、実際の確率をリスク中立確率に転換する上で用いられる。
この節では、ラドン=ニコディムの定理の測度論的な証明を紹介する。ヒルベルト空間の手法を使った函数解析的な証明も、ジョン・フォン・ノイマンによって与えられている。
証明のアイデアは、有限測度 μ および ν に対して f dμ ≤ dν を満たす函数 f を考えることである。単調収束定理の下で、そのようなすべての函数の上限はラドン=ニコディム微分を与える。有限測度に関する技術的な事実より、μ の残りの部分は ν に関して特異的であることが従う。そのような結果が有限測度に対して得られれば、σ-有限測度や符号付測度、複素測度に対しても自然な形で拡張される。詳細は下記の通りである。