ハミルトン–ヤコビ方程式
ハミルトン–ヤコビ方程式は変数分離によって解かれる場合に最も便利であり、その場合には保存量が直接的に求められる。例えば、ハミルトニアンが陽には時間 t {\displaystyle t} に依っていない場合、 t {\displaystyle t} を分離する事が出来る。そのとき、時間微分 ∂ S ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}} は定数(通常 − E {\displaystyle -E} )となる必要があり、分離された解
S = W ( q 1 , ... , q N ) − E t {\displaystyle S=W(q_{1},\dots ,q_{N})-Et}
を与える。時間に依存しない関数 W ( q ) {\displaystyle W(\mathbf {q} )} は時にハミルトンの特性関数と呼ばれる。簡約されたハミルトン–ヤコビ方程式は以下のようになる。
H ( q , ∂ S ∂ q ) = E {\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)=E}
他に変数分離が可能な状況として、ある一般化座標 q k {\displaystyle q_{k}} とその微分 ∂ S ∂ q k {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}} が一つの関数 ψ ( q k , ∂ S ∂ q k ) {\displaystyle \psi \left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)} を通してのみハミルトニアンの中に現れるような場合を考える。