一次分数変換
各種二元数(通常の複素数、分解型複素数、二重数)の成す可換環は、「角度」で表すことのできる環である。これらに対してその虚軸上で定義された純虚指数函数:
exp  ( y j ) = cosh  y + j sinh  y , ( j 2 = + 1 ) , {\displaystyle \exp(yj)=\cosh y+j\sinh y,\quad (j^{2}=+1),}
exp  ( y ε ) = 1 + y ε , ( ε 2 = 0 ) , {\displaystyle \exp(y\epsilon )=1+y\epsilon ,\quad (\epsilon ^{2}=0),}
exp  ( y i ) = cos  y + i sin  y , ( i 2 = − 1 ) {\displaystyle \exp(yi)=\cos y+i\sin y,\quad (i^{2}=-1)}