符号付測度
符号付測度には、無限大の値を取り得るか否かという点において、わずかに異なる二つの概念が存在する。研究論文や発展的な内容の書物においては、符号付測度は通常、有限の値を取ることのみ許されている。一方、大学生を対象とした教科書などにおいては、それらが無限大の値を取ることも許されていることが少なくない。混乱を避けるために、この記事においては、それら二つの概念をそれぞれ有限符号付測度(finite signed measure)および拡張符号付測度(extended signed measure)と区別して呼ぶことにする。
与えられた可測空間 (X, Σ)、すなわちある集合 X とその上の σ-代数 Σ に対して、定義される拡張符号付測度とは、 μ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu (\emptyset )=0} を満たす σ-加法的な関数
μ : Σ → R ∪ { ∞ , − ∞ } {\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}
のことを言う。