リンドハード理論
∑ i q i ∂ f k ∂ k i = − ∑ i q i ∂ f k ∂ μ ∂ ε k ∂ k i = − ∑ i q i k i ħ 2 m ∂ f k ∂ μ {\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}}
ここで ε k = ħ 2 k 2 2 m {\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}} 、 ∂ ε k ∂ k i = ħ 2 k i m {\displaystyle {\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}} を用いた。
よって、
ε ( q , 0 ) = 1 + V q ∑ k , i q i k i ħ 2 m ∂ f k ∂ μ ħ 2 k → ⋅ q → m = 1 + V q ∑ k ∂ f k ∂ μ = 1 + 2 π e 2 ε q L 2 ∂ ∂ μ ∑ k f k = 1 + 2 π e 2 ε q ∂ ∂ μ N L 2 = 1 + 2 π e 2 ε q ∂ n ∂ μ ≡ 1 + κ q .
ここで3次元での静的に遮蔽されたクーロンポテンシャルは次のように与えられる。
V s ( q , ω = 0 ) ≡ V q ε ( q , ω = 0 ) = 4 π e 2 ε q 2 L 3 q 2 + κ 2 q 2 = 4 π e 2 ε L 3 1 q 2 + κ 2 {\displaystyle V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}+\kappa ^{2}}{q^{2}}}}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}}}{\frac {1}{q^{2}+\kappa ^{2}}}}
またこの結果のフーリエ変換は、
V s ( r ) = ∑ q 4 π e 2 ε L 3 ( q 2 + κ 2 ) e i q → ⋅ r → = e 2 ε r e − κ r {\displaystyle V_{s}(r)=\sum _{q}{{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}(q^{2}+\kappa ^{2})}}e^{i{\vec {q}}\cdot {\vec {r}}}}={\frac {e^{2}}{\epsilon r}}e^{-\kappa r}}
これは湯川ポテンシャルとして知られる。