ピカールの定理
が存在するので
F 1 ( t ) = f ( z 2 e 59 π i t ) F 2 ( t ) = log  F 1 ( t ) 2 π i , ( | I F 2 ( 0 ) | ≤ 1 ) F 3 ( t ) = F 2 ( t ) G ( t ) = sinh − 1  F 3 ( t ) , ( | I G ( 0 ) | ≤ π ) {\displaystyle {\begin{aligned}&F_{1}(t)=f(z_{2}{e}^{59{\pi }it})\\&F_{2}(t)={\frac {\log {F_{1}(t)}}{2{\pi }i}},\qquad (|\Im {F_{2}(0)}|\leq 1)\\&F_{3}(t)={\sqrt {F_{2}(t)}}\\&G(t)=\sinh ^{-1}F_{3}(t),\qquad (|\Im {G(0)}|\leq \pi )\end{aligned}}}
とする。 | z 2 | < | z 1 | < e − 60 π {\displaystyle |z_{2}|<|z_{1}|<e^{-60\pi }} であるから F 1 ( t ) {\displaystyle F_{1}(t)} は | t | < 60 59 {\displaystyle |t|<{\tfrac {60}{59}}} で正則である。 F 1 ( t ) ≠ { 0 , 1 } {\displaystyle F_{1}(t)\neq \{0,1\}} であるから F 2 ( t ) {\displaystyle F_{2}(t)} は正則であり、 F 2 ( t ) ≠ { z ∈ Z } {\displaystyle F_{2}(t)\neq \{z\in \mathbb {Z} \}} である。
背理法による。 | z − z 0 | < δ {\displaystyle |z-z_{0}|<\delta } で f ( z ) ≠ { a , b } {\displaystyle f(z)\neq \{a,b\}} であれば | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} で
F ( z ) = f ( z − z 0 δ ) − a b − a ≠ { 0 , 1 } {\displaystyle F(z)={\frac {f\left({\tfrac {z-z_{0}}{\delta }}\right)-a}{b-a}}\neq \{0,1\}}
である。
M = sup | z | = e − 60 π | F ( z ) | {\displaystyle M=\sup _{|z|=e^{-60\pi }}|F(z)|}
とする。 F ( 0 ) {\displaystyle F(0)} が真性特異点であれば、カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理により
∃ z 1 , | z 1 | < e − 60 π , | F ( z 1 ) − ( M + e 15 π + 1 ) | < 1 ∃ z 2 , | z 2 | < | z 1 | , | F ( z 2 ) − 1 | < 1 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\exists {z_{1}},|z_{1}|<e^{-60\pi },\left|F(z_{1})-\left(M+e^{15\pi }+1\right)\right|<1\\&\exists {z_{2}},|z_{2}|<|z_{1}|,|F(z_{2})-1|<{\tfrac {1}{2}}\\\end{aligned}}}