ランチェスターの法則
剣などの武器で戦う古典的な戦闘では、味方の一人が敵の一人を狙い撃つスタイルなので、 Δ t {\displaystyle \Delta t} の時間内の自軍、敵軍の兵の減少数 Δ x {\displaystyle \Delta x} 、 Δ y {\displaystyle \Delta y} は、それぞれ敵の兵士の持つ武器の性能に比例するとしてよいであろう。すなわち
Δ x = − α Δ t {\displaystyle \Delta x=-\alpha \Delta t}
Δ y = − β Δ t {\displaystyle \Delta y=-\beta \Delta t}
である。ここでβ、αはそれぞれ自軍、敵軍の武器の性能を表す定数である。
よって両軍の人数は近似的に微分方程式
d x d t = − α {\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=-\alpha }
d y d t = − β {\displaystyle {\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}=-\beta }
によって記述できる。この微分方程式を解くことで一次法則を導くことができる。