カルタン部分環
代数閉でない体上,すべてのカルタン部分環が共役なわけではない.重要なクラスは分裂型カルタン部分環(英語版)である:リー環が分裂カルタン部分環 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} をもつとき,分裂可能 (splittable) と呼ばれ,対 ( g , h ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})} は分裂型リー環(英語版)と呼ばれる;代数閉体上,すべての半単純リー環は分裂可能である.任意の2つの分裂型カルタン環は共役であり,それらは代数閉体上の半単純リー環におけるカルタン環に類似の機能を果たし,したがって分裂型半単純リー環は(実は分裂型簡約リー環は)代数閉体上の半単純リー環と多くの性質を共有する.
しかしながら,代数閉でない体上,すべての半単純リー環が分裂可能なわけではない.