ランダムウォーク
Xn (n = 1, 2, ...) を独立かつ同分布な R 値確率変数族とする。この時、
S n = X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}
を(d 次元)ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。
特に、Xn が Z 値であり、かつ、
P ( X n = e j ) = P ( X n = − e j ) = 1 2 d {\displaystyle P(X_{n}=\mathbf {e} _{j})=P(X_{n}=-\mathbf {e} _{j})={\frac {1}{2d}}}
( e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} は、第 j 成分が 1 の単位ベクトル)である時、Sn を(d 次元)単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。
直接的一般化として、結晶格子(結晶構造の抽象化)上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と砂田により証明されている。