プラニメータ
プラニメータ (Planimeter) は、地図など平面上の図形の輪郭をなぞることにより、その面積を計測する装置。面積計ともいう。
多角形の面積を計算するには図形の隣り合う2つの頂点とある特定の点を結んでできる三角形の面積を加算(積分)することで得ることができる。プラニメータはこの原理を利用している。
以前は写真のような機械式のものが多かったが、現在は二つの車輪の回転量から面積を測定するデジタル型のものが主流になっている。
土木測量などの分野でよく使用される。
より数学的に厳密には、リニアプラニメータの動作は次式の成分を持つ (x,y) 平面上のベクトル場
N → ( x , y ) = ( b − y , x ) {\displaystyle {\vec {N}}(x,y)=(b-y,x)}
にグリーンの定理を適用することで説明できる。ここで bはエルボ E の y 座標である。
このベクトル場 N → {\displaystyle {\vec {N}}} は測定アーム EM に垂直である。つまり
E M → ⋅ N → = x N x + ( y − b ) N y = 0. {\displaystyle {\overrightarrow {EM}}\cdot {\vec {N}}=xN_{x}+(y-b)N_{y}=0.}
また N → {\displaystyle {\vec {N}}} の大きさ(ノルム)は一定でありアームの長さ m に等しい。つまり
‖ N ‖ = ( b − y ) 2 + x 2 = m . {\displaystyle \|N\|={\sqrt {(b-y)^{2}+x^{2}}}=m.}
したがってグリーンの定理を用いて