行列式に対するライプニッツの明示公式
n次正方行列 A に対して、その (i, j)成分を ai,j で表すと、その行列式 det(A) は次の式で表せる:
det ( A ) = ∑ τ ∈ S n ( sgn  τ ) ∏ i = 1 n a i , τ ( i ) = ∑ σ ∈ S n ( sgn  σ ) ∏ i = 1 n a σ ( i ) , i {\displaystyle \det(A)=\textstyle \sum \limits _{\tau \in S_{n}}(\operatorname {sgn} \tau )\prod \limits _{i=1}^{n}a_{i,\tau (i)}=\sum \limits _{\sigma \in S_{n}}(\operatorname {sgn} \sigma )\prod \limits _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i}}
ここに sgn は置換群 Sn に属する置換に対する符号を与える函数である。