ルジャンドル変換
f(x) が k 次の斉次関数であるなら、そのルジャンドル変換は
∂ f ∂ x x − f = ( k − 1 ) f {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}x-f=(k-1)f}
である。特に k = 1 のとき、f(x) のルジャンドル変換は 0 となる。
f (x) がある区間で1次関数(直線)となる例を挙げる。
f ( x ) = { x 3 + x 4 ( 0 < x < 1 ) , x − 1 2 ( 1 ≤ x < 2 ) , x 2 2 − x + 3 2 ( 2 ≤ x ) . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {x^{3}+x}{4}}&(0<x<1),\\x-{\frac {1}{2}}&(1\leq x<2),\\{\frac {x^{2}}{2}}-x+{\frac {3}{2}}&(2\leq x).\end{cases}}}
導関数 f'(x) が全領域で連続、かつ Template:Math2= で定数 f'(x) = 1 であることに注意する。この関数のルジャンドル変換は p = 1 で折れ線となり、
f ∗ ( p ) = { 1 2 ( 4 p − 1 3 ) 3 / 2 ( 1 4 < p < 1 ) , 1 2 ( p 2 + 2 p − 2 ) ( 1 ≤ p ) {\displaystyle f^{*}(p)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left({\frac {4p-1}{3}}\right)^{3/2}&({\frac {1}{4}}<p<1),\\{\frac {1}{2}}(p^{2}+2p-2)&(1\leq p)\end{cases}}}
となる。