ガウス積分
∫ R 2 exp  ( − ( x 2 + y 2 ) ) d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ exp  ( − r 2 ) r d r d θ = 2 π ∫ 0 ∞ r exp  ( − r 2 ) d r = π ∫ − ∞ 0 e s d s = π {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{2}}\exp(-(x^{2}+y^{2}))\,dA&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\exp(-r^{2})\,r\,dr\,d\theta \\&=2\pi \int _{0}^{\infty }r\exp(-r^{2})\,dr=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds=\pi \end{aligned}}}
と計算できる。後者では s = −r なる置換を行って、ds = −2r dr となることを用いている。さてこれらの結果から
( ∫ − ∞ ∞ exp  ( − x 2 ) d x ) 2 = π {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-x^{2})\,dx\right)^{2}=\pi }
であり、符号を考慮して
∫ − ∞ ∞ exp  ( − x 2 ) d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp(-x^{2})\,dx={\sqrt {\pi }}}
を得る。
上記の考察において、広義二重積分や二つの式を等しいとおいたことに対する正当性を再考しておこう。まずは近似函数
I 2 4 = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d y ) d x = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d s ) d x = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d x ) d s = 1 2 ∫ 0 ∞ d s 1 + s 2 = 1 2 arctan  s | 0 ∞ = π 4 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {I^{2}}{4}}&=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dy\right)\,dx=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}x\,ds\right)dx\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}x\,dx\right)\,ds={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\\[5pt]&=\left.{\frac {1}{2}}\arctan s\,\right|_{0}^{\infty }={\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}}
となり、所期の I = √π を得る。