捩れ部分群
任意のアーベル群 ( A , + ) {\displaystyle (A,+)\;} と任意の素数 p と任意の自然数 n に対してp^n の位数をもつ A の元全体の集合
A [ p n ] = { g ∈ A | p n g = 0 } . {\displaystyle A[p^{n}]=\{\,g\in A\;|\;p^{n}g=0\,\}.\;}
(この記号はよく使われる)は部分群であり p-冪捩れ部分群 (p-power torsion subgroup) と呼ばれる。
A [ p n ] {\displaystyle A[p^{n}]} の全てのnに渡って和を取ったもの
A [ p ∞ ] = { g ∈ A | ∃ n ∈ N , p n g = 0 } . {\displaystyle A[p^{\infty }]=\{\,g\in A\;|\;\exists n\in \mathbb {N} ,\;p^{n}g=0\,\}.\;}
(この記号もよく使われる)も部分群を成し、Aのp-部分 (p-part) と呼ばれる。これはもちろんp-群である。
捩れ部分群 Ator はAのp-部分のすべての素数 p を渡る直和に同型である。