かけ算の順序問題
日本では、1972年に朝日新聞で報道されて以来、この問題は数学者らにたびたび取り上げられてきた。 例えば、1つぶんの数×いくつ分で求まるかけ算の文章問題では、「6人のこどもに、1人4こずつみかんをあたえたい。みかんはいくつあればよいでしょうか。」という設問に対する、「(しき)6 × 4 = 24(こたえ)24 個」という解答を不正解にすべきかどうかが問題となる。日本の小学校では、1つぶんの数×いくつ分の順序で書かれている式のみを正解とする採点方針が散見され、式を不正解とし答えを正解とすることがある。このような事例に対して、交換法則が成り立つからどちらの順序でもよい、トランプ配りのように1こずつ渡した子は6をひとつ分(1巡分)と考えることもできるなどの批判が集中した。日本の小学生向け教科書、学習参考書に例示されている式は「1つぶんの数×いくつ分」の順序にほぼ統一されている。古くは高木貞治などの書いた教科書でも実質的に「1つぶんの数×いくつ分」と同じしかたで掛け算を「定義」している。定義に従い逆の順序に書かれた式を不正解とみなす記述は、各社の教科書指導書および一部の教科書・学習参考書に見られる。しかし、文部科学省による学習指導要領および指導要領解説では順序は規定されておらず、文部科学省は新聞の取材に対して(正解・不正解の)採点方針は学校現場に裁量があるとしている。
世界的には順序を不問にしているとの調査結果もある。
かけ算の式は「1つ分の数」×「いくつ分」であると教えているからその順序に書く約束になっているので、×の左右の数が逆になった式は意味が異なり、不正解であるという主張である。
「1つ分の数」×「いくつ分」の順序で書く約束があれば、1つ分の数といくつ分がそれぞれ正しく読み取れているかどうかを、問題文と式の順序をあえて逆にした問題によって確認できる。
田中博史は、式を「1つ分の数」×「いくつ分」の順序で書き、逆の順序の式は意味が異なることを明確にした、九九カルタ という算数教材を開発した。
「5 × 8」 (読み札)1はこに5こ入りのチョコレートが8はこあります。 「8 × 5」 (読み札)チョコレートが5はこあります。1はこは8こ入りです。
「1つ分の数」×「いくつ分」の順序で書く約束があるという擁護派の主張は、戦後すぐの算数指導から見られ、現在においても根強い。 1951年 小学校学習指導要領算数科編(試案)、数学教育協議会、1972年 大阪府の小学校、1977年 森毅、1993年 伊藤武広、萩上紘一、原田実、2008年 田中耕治、2011年 守屋誠司、田中博史、2014年 坪田耕三。 詳しくは『#かけ算の順序問題の経緯』の章を参照のこと。
この本で遠山啓についての項で、名古屋のラジオ局から、名古屋の小学校で「ミカンを4つずつ6人の人に配りたいと思う。ミカンは全部でいくつあればよいか」という問題に6 × 4 = 24と答えた子どもがいて、教師はこれを0点にしたということを聞かされ、意見を求められたのに対してどちらでも良いと答えたことを記している。矢野は理由付けを1時間ほどかけて考えたが、一週間後に遠山啓に話したところ、遠山啓はそう言うように考える子がときどきあることおよび、カード式配りとよんでいてもともと知っていたというエピソードを述べている。
1993年、数学者の伊藤武広、萩上紘一、原田実は、小学生に算数を教える教師に整数環Zの代数的構造などの数学的素養が必要であるとする論文を出版した。そのきっかけは、筆者らのうち一人の長男が2年生の時、「3枚の皿にりんごが2個ずつのっている時全部でりんごが何個あるか」という問題に対して「3 × 2 = 6」と解答したところ担任教師が「答えの6は正しいけれども,式は3 × 2ではなく 2 × 3でなければならない」と指導したことである。その後の問答で、教師は「リンゴが2個ずつのっている皿が3枚あるから2個+2個+2個即ち2個 × 3 = 6個である。2+2+2は2の3倍即ち2 × 3であって3の2倍即ち3 × 2ではないこれを同数累加という。」「2(リンゴの数)が被乗数,3(皿の枚数)が乗数でそれぞれちがう意味を持っている(立場が違う)から2 × 3と 3 × 2は同じではない 」などの主張をしたことが報告されている。
1994年、心理学者の守一雄は伊藤武広ら(1993)の論文について、なぜ環と加群の知識が必要な素養なのか示されていないと批判する論文を出版した。
また、「かけ算の順序が逆になっているのは、かけ算の意味を理解していないからであり、かけ算の意味を理解していないと、わり算を理解できない。」などとして、「かけ算の正しい順序」の正しさを主張したりする。これは、以下のような論法である。
ただ単に「わり算はかけ算の逆算だ」と指導するだけでは、じゅうぶんな理解を得られない。
なぜならば、わり算には、「12個のミカンを3人で分けると、1人何個もらえるか」(等分除)というパターンと「12個のミカンを3個ずつ分けると、ミカンをもらえるのは何人か」(包含除)というパターンがある。
同じわり算とよばれているものなのに出題パターンが2つあるので、ただ単に「わり算はかけ算の逆算だ」と指導するだけでは、じゅうぶんな理解を得られない。
それゆえ、かけ算の学習のときに、何個でひとかたまりになっているか・かたまりがいくつあるかを意識して、問題文の読み取りをさせる必要がある。
このように、「かけ算の順序に意味をもたせることによって、読み取りが正しくできているか判断できる。」という考えにもとづいて、「問題文の読み取りをしてから立式するように指導しないとただ計算ができるだけで応用問題に対応できなくなる。」「わり算を理解できなくなる。」などという主張がなされ、かけ算の順序にこだわった指導が展開されている。