シュワルツ超函数
U, V を R の開集合で V ⊂ U を満たすものとする。EVU: D(V) → D(U) を、V にコンパクトな台を持つ滑らかな函数が与えられたとき、「0 で延長」してより大きな U にコンパクト台を持つ滑らかな函数と看做す操作とするとき、超函数の制限写像 ρVU が EVU の随伴作用素として定義される。つまり、任意の超函数 S ∈ D′(U) に対してその制限 ρVU S は、任意のテスト函数 φ ∈ D(V) に対して
⟨ ρ V U S , φ ⟩ = ⟨ S , E V U φ ⟩ {\displaystyle \langle \rho _{VU}S,\varphi \rangle =\langle S,E_{VU}\varphi \rangle }
を満たす、空間 D′(V) に属する超函数として定義される。
U = V でない限り V の制限は単射でも全射でもない。全射にならないのは、超函数は V の境界で発散 (blow up) していてもよいからである。簡単なところでは U = R, V = (0,2) のとき、超函数
S ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n δ ( x − 1 n ) {\displaystyle S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \!\left(x-{\frac {1}{n}}\right)}
は D′(V) に属すが、D′(U) の元に延長することはできない。
線型作用素 T: D(U) → D(U) が偏微分
T φ = ∂ φ ∂ x k {\displaystyle T\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}}}
で与えられているとき、部分積分により、φ, ψ ∈ D(U) に対し、
⟨ T φ , ψ ⟩ = ⟨ ∂ φ ∂ x k , ψ ⟩ = − ⟨ φ , ∂ ψ ∂ x k ⟩ {\displaystyle \langle T\varphi ,\psi \rangle =\left\langle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{k}}},\,\psi \right\rangle =-\left\langle \varphi ,\,{\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\right\rangle }
が成り立つことがわかるから、T = −T を得る。これは D(U) から D(U) への連続線型変換である。故に、超函数 S ∈ D′(U) に対して、S の座標系 xk に関する偏導函数は、任意のテスト函数 φ に対して
のように書かれる。弱-* 位相を考えることにより、D′(U) は局所凸位相線型空間となる。特に D′(U) における列 (Sk) が超函数 S に収斂することは任意のテスト函数 φ に対して
⟨ S k , φ ⟩ → ⟨ S , φ ⟩ {\displaystyle \langle S_{k},\varphi \rangle \to \langle S,\varphi \rangle }
が満たされることと同値である。これはまた、D(U) の任意の有界部分集合上で S に一様収斂することとも同値である(D(U) の部分集合 E が有界であるとは、U のコンパクト部分集合 K と正の数 dn が存在して、E の任意の元 φ が K に含まれる台を持ち 任意の n-階導函数が dn で抑えられることをいう)。