ベクトル場
M を n 次元の多様体(あるいは、同値なことだが、ユークリッド空間 R の部分集合で局所的には自由度 n の座標が入るようなもの)とするとき、M 上のベクトル場 X は写像 V: M → R で次の条件を満たすものとして定義される。
p を M の任意の点とし、p のまわりに二種類の座標系 (x1, ..., xn)、(y1, ..., yn) が考えられるとする。座標系 (x1, ..., xn) にもとづく V の表示を Vx (これは n 変数の n 次元ベクトル値関数である)、座標系 (y1, ..., yn) にもとづく V の表示を Vy (これも n 変数の n 次元ベクトル値関数である)とするとき、 V x = ∂ x ∂ y V y {\displaystyle V_{x}={\frac {\partial x}{\partial y}}V_{y}} がなりたつ。
したがって、ベクトル場 V からは座標系ごとに n 変数のベクトル値関数による表示が得られることになるが、座標系が交わるところでは上に挙げた条件によって関数たちが張り合わされ、幾何学的に内在的なものがえられている。