せん断写像
平面幾何学においてせん断写像(せんだんしゃぞう、英: shear mapping)とは、各々の点がある方向へ、その方向と平行な定直線からの符号付き距離に比例して移動するような線型写像である。この写像は、せん断変換、あるいは単にせん断とも呼ばれる。アルファベットの立体をイタリック体にする変換がせん断写像である。
たとえば、座標 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} で表される任意の点を ( x + 2 y , y ) {\displaystyle (x+2y,y)} に移す変換はせん断である。この場合、移動は水平であり、定直線は x {\displaystyle x} 軸、符号付き距離は y {\displaystyle y} 座標である。定直線を挟んで反対側にある点は逆向きに移動する。
せん断と回転を混同しないように注意する。せん断写像を平面上の点集合に施すと、平角を除く任意の角の角度が変わり、移動する方向を除く任意の線分の長さが変わる。
ベクトル空間 V とその部分空間 W について、W を保つせん断は任意のベクトルを W に平行に動かす写像である。
より正確には、V を W と W′ の直和であるとし、任意のベクトルvを
v = w + w′
と書くとき、W を保つせん断 L は
L(v) = (w + Mw′) + w ′
で定められる写像である。ただし、M は W′ を W の中へ移す線型変換とする。したがって、区分行列の記法を用いると L を表す行列は
( I M 0 I ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}I&M\\0&I\end{pmatrix}}}
と書ける。すなわち、対角線部分は 単位行列 I 、上半部分は M 、下半部分は0となる行列である。