一様空間
任意の近縁 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、ある有限集合F∈Xが存在し、 ∪ x ∈ F U [ x ] = X {\displaystyle \cup _{x\in F}U[x]=X} である。
任意の擬距離d∈Dと任意の実数ε>0に対し、Xの有限部分集合Fが存在し、 ∪ x ∈ F { y ∣ d ( x , y ) < ε } = X {\displaystyle \cup _{x\in F}\{y\mid d(x,y)<\varepsilon \}=X} が成立する。
X上の任意のネットは部分ネットでコーシーなものを持つ。
全有界を使うとコンパクト性は以下のように特徴づけられる。
定理 (一様空間におけるコンパクト性の特徴づけ) ― X を一様空間とするとき以下の3つは同値である。
X はコンパクトである。
X は全有界かつ完備である。
距離構造が定める位相の定義を自然な一般化する事で、一様構造が定める位相を定義できる:
定義 ― 一様空間 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} に対し、下記の性質を満たす集合V ⊂ Xを開集合とみなす位相を定める事ができるこれを一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} がXに定める位相(英: topology of unifomity U {\displaystyle {\mathcal {U}}} )もしくは一様位相(英: uniform topology)という:
∀ x ∈ V ∃ U ∈ U : U [ x ] ⊂ V {\displaystyle \forall x\in V\exists U\in {\mathcal {U}}~:~U[x]\subset V}
さらに f ∗ − 1 ( V ) {\displaystyle f_{*}{}^{-1}({\mathcal {V}})} を含む最小の一様構造は、fを一様連続にする最小の一様構造と一致する。
(有限個または無限個)の前一様構造の族 ( S λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle ({\mathcal {S}}_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} の和集合 ⋃ λ ∈ Λ S λ {\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {S}}_{\lambda }} は前一様構造である
以上の事実の系として次が従う:
系 ― Xを集合 ( Y , U ) λ ∈ Λ {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})_{\lambda \in \Lambda }} を一様空間の族とし、各λ∈Λに対し f λ : X → Y λ {\displaystyle f_{\lambda }~:~X\to Y_{\lambda }} を写像とする。
このとき全てのλ∈Λに対して f λ {\displaystyle f_{\lambda }} を一様連続とするX上の最小の一様構造が存在する。
よって特に擬距離空間においては我々の考えている一様収束音概念が通常の一様収束の概念と一致する事がわかる:
定理 (擬距離の集合による一様収束性の一様構造の特徴づけ) ― Xを集合とし、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} をXの部分集合の集合とし、 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、Dを U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を定める擬距離の集合とする。
S ∈ S {\displaystyle S\in {\mathcal {S}}} 、 d ∈ D {\displaystyle d\in D} に対し、F(X,Y)上の擬距離d*を
d ∗ ( f , g ) := sup x ∈ S d ( f ( x ) , g ( x ) ) {\displaystyle d_{*}(f,g):=\sup _{x\in S}d(f(x),g(x))}
により定義する。このとき、擬距離の集合
{ d ∗ ∣ d ∈ D } {\displaystyle \{d_{*}\mid d\in D\}}
によりF(X,Y)上に定まる一様構造は S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元に関する一様収束の一様構造は以下の一様構造と一致する。
コンパクト収束に関しては以下が成立する:
定理 ― コンパクト収束の位相構造はコンパクト開位相と一致する。
任意の一様構造は必ず擬距離の集合から定まる:
定理 (一様構造は必ず擬距離の集合から定まる) ― Xを集合とし、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} をX上の任意の一様構造とする。このとき
d : X × X → R {\displaystyle d~:~X\times X\to \mathbb {R} }
が一様連続となるX上の擬距離dの集合を D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} とすると、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} は D U {\displaystyle D_{\mathcal {U}}} によって定まるX上の一様構造と一致する。
なお同様の事はが準一様構造についても成り立つ。すなわち集合X上の任意の準一様構造 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} に対し、準擬距離(英: quasi-pseudometric)の集合Dが存在し、 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} はDから定まる準一様構造に一致する。
B L {\displaystyle {\mathcal {B}}_{L}} 、 B R {\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}} を基底とする一様構造 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} をそれぞれGの左一様構造(英: left unifomity)、右一様構造(英: right unifomity)という。
さらに L ∪ R {\displaystyle {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {R}}} を準基底とする一様構造 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} が存在し、これを両側一様構造(英: two-sided unifomity)という。
これら3つの一様構造の定める位相構造はもとの位相構造と一致する:
定理 ― 上と同様に記号を定義するとき、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 、 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} が定める位相構造はいずれも O {\displaystyle {\mathcal {O}}} と一致する。
特別な名称はないものの L ∩ R {\displaystyle {\mathcal {L}}\cap {\mathcal {R}}} によって生成される一様構造も考える事ができる。
L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} はそれぞれ左不変、右不変な擬距離の集合により特徴づける事ができるがこれについては後述する。
このとき完備な一様空間 ( X ̄ , U ̄ ) {\displaystyle ({\bar {X}},{\bar {\mathcal {U}}})} と単射 ι : X → X ̄ {\displaystyle \iota ~:~X\to {\bar {X}}} が存在し、単射 ι {\displaystyle \iota } によりXを X ̄ {\displaystyle {\bar {X}}} の部分集合とみなすと、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が U ̄ {\displaystyle {\bar {\mathcal {U}}}} の部分一様構造になっているものが存在する。この X ̄ {\displaystyle {\bar {X}}} (と ι {\displaystyle \iota } の組)をXの完備化(英: completion)という。
さらに D ̄ {\displaystyle {\bar {D}}} を X ̄ {\displaystyle {\bar {X}}} 上の擬距離の集合で D ̄ {\displaystyle {\bar {D}}} が定める一様構造が U ̄ {\displaystyle {\bar {\mathcal {U}}}} と一致するものとするとし、Dを D ̄ {\displaystyle {\bar {D}}} に属する擬距離をXに制限したものの集合とするとき、Dの定める一様構造は U {\displaystyle {\mathcal {U}}} に一致する。
上記の定理の条件を満たす X ̄ {\displaystyle {\bar {X}}} は必ずしも一意ではない。しかしXが定める位相がハウスドルフであれば一意である事が保証される。
アンドレ・ヴェイユが1937年に一様構造の明示的な定義を与える以前は、一様概念は完備性同様に距離空間に付随するものとして扱われていた。ブルバキの著書『Topologie Générale』では近縁系を用いた一様構造の定義が与えられ、またジョン・テューキーは一様被覆での定義を与えた。ヴェイユはまた、擬距離の族を用いた一様空間の特徴づけも与えている。
John L. Kelly (1975/6/27). General Topology. Graduate Texts in Mathematics (27). Springer-Verlag. ISBN 978-0387901251 Kindle版:ASIN : B06XGRCCJ3 翻訳版:ジョン・L.ケリー 著、児玉之宏 訳『位相空間論』吉岡書店〈数学叢書〉、1979年7月1日。ISBN 978-4842701318。
“Uniform Space”. Encyclopedia of Mathematics. European Mathematical Society. 2021年4月6日閲覧。
Eric Schechter (1997/1/15). Handbook of Analysis and its Foundations. Academic Press. ISBN 978-0126227604
Klaas Pieter Hart. “E-07: Uniform Spaces, I” (pdf). Encyclopedia of General Topology. Delft University of Technology.
U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が条件2,3以外の3つを満たすとき、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を前一様構造(英: preuniformity)という。
条件5以外の4つを満たすとき、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} は準一様構造(英: quasi-uniformity) であるという。
条件2,3は U {\displaystyle {\mathcal {U}}} がフィルターである事を要求しており、前一様構造はフィルター基になっている。この事から前一様構造の事を一様構造基(英: uniformity base)ともいう。なお前述した擬距離空間における例では
{ U ε ∣ ε > 0 } {\displaystyle \{U_{\varepsilon }\mid \varepsilon >0\}}
が前一様構造になっている事を容易に確かめられる。
一方、準一様構造は一様構造の別の側面から一般化しており、擬距離から近縁を定義すれば一様構造が定まるのに対し、準擬距離(英: quasi-pseudometric)から近縁を定義すれば準一様構造が定まる。