分解体
α が f(X) の根とすれば、
α n = − ( b n − 1 α n − 1 + ⋯ + b 1 α + b 0 ) {\displaystyle \alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0})}
であり、積 g(α)h(α) の m ≥ n なる項 α は
α n α m − n = − ( b n − 1 α n − 1 + ⋯ + b 1 α + b 0 ) α m − n = − ( b n − 1 α m − 1 + ⋯ + b 1 α m − n + 1 + b 0 α m − n ) {\displaystyle \alpha ^{n}\alpha ^{m-n}=-\left(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}\right)\alpha ^{m-n}=-\left(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{m-n}\right)}
と簡約することができる。
この簡約規則を用いる例として、Ki = Q[X] を有理係数多項式環として、既約多項式 f(X) = X − 2 をとる。g(α) = α + α, h(α) = α + 1 を Q[X]/(X − 2) の二元とすれば、f(X) による簡約規則は α = 2 だから、g(α)h(α) = (α + α)(α + 1) = α + 2 α + α = (α) α + 2α + α = 2 α + α + 2αと計算できる。