ケプラー方程式
2 n π ( ∫ 0 π d E cos  n M − ∫ 0 π d M cos  n M ) , {\displaystyle {\frac {2}{n\pi }}\left(\int _{0}^{\pi }dE\cos nM-\int _{0}^{\pi }dM\cos nM\right),}
を得る。上式の第2項はコサイン関数の周期性により消える。 第1項に元のケプラーの方程式を代入すると
2 n π ∫ 0 π d E cos  n ( E − e sin  E ) , {\displaystyle {\frac {2}{n\pi }}\int _{0}^{\pi }dE\cos n(E-e\sin E),}
を得る。ここで、 n 次のベッセル関数の積分表示の1つ
J n ( z ) = 1 π ∫ 0 π d θ cos  ( z sin  θ − n θ ) , {\displaystyle J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }d\theta \cos(z\sin \theta -n\theta ),}
を用いると、 2 J n ( n e ) / n {\displaystyle 2J_{n}(ne)/n} に等しいことがわかるので、結局、
E = M + ∑ n = 1 ∞ 2 n J n ( n e ) sin  n M , {\displaystyle E=M+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n}}J_{n}(ne)\sin nM,}
が厳密解であることがわかる。
別ルートによって同じ結果にたどり着くことも可能である。