接続 (ファイバー束)
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をファイバーバンドルとし、uをMの点とする。uの近傍で定義されたEの2つの切断s、s'に対し、
s ∼ s ′ ⟺ s u = s u and s ∗ | u = s ∗ ′ | u {\displaystyle s\sim s'\iff s_{u}=s_{u}~~{\text{and}}~~s_{*}|_{u}=s'_{*}|_{u}}
という同値関係を定義し、その同値類を j u 1 s {\displaystyle j_{u}^{1}s} と書き、sの1次のジェット(英: jet)という。さらに同値類全体を J u 1 E {\displaystyle J_{u}^{1}E} と書き、 J 1 E = ⋃ u ∈ M J u 1 E {\displaystyle J^{1}E=\bigcup _{u\in M}J_{u}^{1}E} とすると、
j u 1 s ∈ J 1 E ↦ u ∈ M {\displaystyle j_{u}^{1}s\in J^{1}E\mapsto u\in M}
によりJEはM上のバンドルとみなせる。このバンドルをファイバーバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} に関する1次のジェットバンドルという。なお、
j u 1 s ∈ J 1 E ↦ s u ∈ E {\displaystyle j_{u}^{1}s\in J^{1}E\mapsto s_{u}\in E}
によりJEをE上のバンドルとみなすこともできる。
R ( X , Y ) s = − V ( L i f t s ( X ) , L i f t s ( Y ) ) {\displaystyle R(X,Y)s=-V(\mathrm {Lift} _{s}(X),\mathrm {Lift} _{s}(Y))}
よって特にKoszul接続の曲率形式 Ω ^ e {\displaystyle {\hat {\Omega }}_{e}} とは以下の関係を満たす:
Ω ^ i j ( X , Y ) = − ⟨ e i , V ( L i f t e j ( X ) , L i f t e j ( Y ) ) ⟩ {\displaystyle {\hat {\Omega }}^{i}{}_{j}(X,Y)=-\langle e^{i},V(\mathrm {Lift} _{e_{j}}(X),\mathrm {Lift} _{e_{j}}(Y))\rangle }
ここで e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} であり、 ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle (e^{1},\ldots ,e^{n})} はその双対基底である。
前節で平行移動が局所的には必ず存在する事を見たが、平行移動の大域的な存在性は必ずしも保証されない。平行移動が大域的に存在するときに接続は完備であるという:
定義 (完備性) ― 任意の e ∈ E {\displaystyle e\in E} および π ( e ) ∈ M {\displaystyle \pi (e)\in M} を通る任意の曲線 c ( t ) ∈ M {\displaystyle c(t)\in M} に対し、 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿ったeの平行移動が定義できるとき、接続 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} は完備(英: complete)であるという。
任意のファイバーバンドルに完備な接続が少なくとも1つ入る事が知られている。
なお、接バンドルにおいては「完備」という言葉は
上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式(英: Maurer-Cartan equation)、もしくはリー群Gの構造方程式(英: structure equation)という。
一点集合 { x 0 } {\displaystyle \{x_{0}\}} を0次元多様体とみなし、Gを { x 0 } {\displaystyle \{x_{0}\}} 上のG-主バンドル G → { x 0 } {\displaystyle G\to \{x_{0}\}} とみなすと、上記の定理から明らかにモーレー・カルタン形式はこのバンドル上の接続となる。
構造方程式から以下が明らかに従う:
定理 ― モーレー・カルタン形式をG-主バンドル G → { x 0 } {\displaystyle G\to \{x_{0}\}} の接続とみなしたとき、この接続の曲率は0である。
曲率が0である事は水平部分空間が可積分である事と同値であったので、水平部分空間が自明になる一点上のバンドルでは曲率が0になるのは自明である。
実は以下が成立する:
定理 ― モーレー・カルタン形式は一点集合上のG-主バンドル G → { x 0 } {\displaystyle G\to \{x_{0}\}} の唯一の接続である。
実際、底空間が一点である事から T g G {\displaystyle T_{g}G} と V g {\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}} は同次元なので垂直射影は恒等写像しか存在せず、しかも基本ベクトル場の定義から g ∈ G {\displaystyle g\in G} と A ∈ g {\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}} に対し、
L i f t e ( ∂ ∂ x i ) = ∂ ∂ x k − Γ i k ( v ) ∂ ∂ v i {\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}\left({\partial \over \partial x^{i}}\right)={\partial \over \partial x^{k}}-\Gamma ^{i}{}_{k}(v){\partial \over \partial v^{i}}}
と書ける。一方、Koszul接続のクリストッフェル記号を
∇ ∂ ∂ x k e k = Γ k j i e i {\displaystyle \nabla _{\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}}e_{k}=\Gamma _{kj}^{i}e_{i}}
と定義すると、上述の定理から以下が従う:
定理 ― 以下が成立する:
Γ i k ( v ) = Γ k j i v j {\displaystyle \Gamma ^{i}{}_{k}(v)=\Gamma _{kj}^{i}v^{j}}
A _ g := d d t ( g ⋅ e x p ( t A ) ) | t = 0 = ( L g ) ∗ ( A ) = μ g − 1 ( A ) {\displaystyle {\underline {A}}_{g}:=\left.{\frac {d}{dt}}(g\cdot \mathrm {exp} (tA))\right|_{t=0}=(L_{g})_{*}(A)=\mu _{g}{}^{-1}(A)}
であるので、 G → { x 0 } {\displaystyle G\to \{x_{0}\}} 上の接続は
T g G = V g → μ g g {\displaystyle T_{g}G={\mathcal {V}}_{g}{\overset {\mu _{g}}{\to }}{\mathfrak {g}}}
のみになる。
以上のことから接続形式ωが定義されたG-主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} に対し、ωをM上の一点x0のファイバー P x 0 = π − 1 ( x 0 ) {\displaystyle P_{x_{0}}=\pi ^{-1}(x_{0})} (すなわちこの接続の垂直方向)に制限したものは必ずモーレー・カルタン形式μに一致する。
実は次が成立する:
定義 (曲線に沿った共変微分) ― π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を接続 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} が定義されたファイバーバンドルとし、 c ( t ) {\displaystyle c(t)} をM上の曲線とし、 s ( t ) {\displaystyle s(t)} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿ったEの切断とする。このとき、
∇ d t s ( t ) := V s ( t ) ( d d t s ( t ) ) {\displaystyle {\nabla \over dt}s(t):=V_{s(t)}\left({d \over dt}s(t)\right)}
を c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った s ( t ) {\displaystyle s(t)} の共変微分という。
アフィン接続の測地線完備性
リーマン計量が入っている場合の距離空間としての完備性
にも使われるが、上述した接続の完備性はこれらの完備性概念とは別概念である。実際、(アフィン接続に限らず)Koszul接続の場合には、平行移動は常に定義可能であるので、Koszul接続は上述の意味で常に完備である。
ファイバーがコンパクトの場合も完備性が成り立つ:
定理 ― π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をファイバー空間Fを持つファイバーバンドルとし、 H = { H e } e ∈ E {\displaystyle {\mathcal {H}}=\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} をこのバンドルの接続とする。 このとき、Fがコンパクトであれば H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は完備である。