初期値問題
y 1 ( x ) = 4 + ∫ 0 x 2 t y 0 ( t ) d t = 4 + 4 ∫ 0 x 2 t d t , y 2 ( x ) = 4 + ∫ 0 x 2 t y 1 ( t ) d t = 4 + ∫ 0 x 2 t [ 4 + 4 ∫ 0 t 2 s d s ] d t = 4 + 4 ∫ 0 x 2 t d t + 4 ∫ 0 x d d t [ 1 2 ( ∫ 0 t 2 s d s ) 2 ] d t = 4 + 4 ∫ 0 x 2 t d t + 4 ⋅ 1 2 ( ∫ 0 x 2 t d t ) 2 , y 3 ( x ) = 4 + ∫ 0 x 2 t y 2 ( t ) d t = 4 + ∫ 0 x 2 t [ 4 + 4 ∫ 0 t 2 s d s + 4 ⋅ 1 2 ( ∫ 0 t 2 s d s ) 2 ] d t = 4 + 4 ∫ 0 x 2 t d t + 4 ⋅ 1 2 ( ∫ 0 x 2 t d t ) 2 + 4 ⋅ 1 2 ∫ 0 x 2 t ( ∫ 0 t 2 s d s ) 2 d t = 4 + 4 ∫ 0 x 2 t d t + 4 ⋅ 1 2 ∫ 0 x d d t [ 1 3 ( ∫ 0 t 2 s d s ) 3 ] d t = 4 + 4 ∫ 0 x 2 t d t + 4 ⋅ 1 2 ( ∫ 0 x 2 t d t ) 2 + 4 ⋅ 1 2 ⋅ 1 3 ( ∫ 0 x 2 t d t ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}(x)&=4+\int _{0}^{x}2ty_{0}(t)\ dt=4+4\int _{0}^{x}2t\ dt,\\y_{2}(x)&=4+\int _{0}^{x}2ty_{1}(t)\ dt=4+\int _{0}^{x}2t\left[4+4\int _{0}^{t}2s\ ds\right]\ dt\\&=4+4\int _{0}^{x}2t\ dt+4\int _{0}^{x}{\dfrac {d}{dt}}\left[{\dfrac {1}{2}}\left(\int _{0}^{t}2s\ ds\right)^{2}\right]\ dt\\&=4+4\int _{0}^{x}2t\ dt+4\cdot {\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{x}2t\ dt\right)^{2},\\y_{3}(x)&=4+\int _{0}^{x}2ty_{2}(t)dt\\&=4+\int _{0}^{x}2t\left[4+4\int _{0}^{t}2sds+4\cdot {\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{t}2sds\right)^{2}\right]dt\\&=4+4\int _{0}^{x}2tdt+4\cdot {\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{x}2tdt\right)^{2}+4\cdot {\dfrac {1}{2}}\int _{0}^{x}2t\left(\int _{0}^{t}2sds\right)^{2}dt\\&=4+4\int _{0}^{x}2tdt+4\cdot {\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}{\dfrac {d}{dt}}\left[{\dfrac {1}{3}}\left(\int _{0}^{t}2sds\right)^{3}\right]dt\\&=4+4\int _{0}^{x}2tdt+4\cdot {\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{x}2tdt\right)^{2}+4\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}\left(\int _{0}^{x}2tdt\right)^{3}\end{aligned}}}
C を C = ±e で与えられる未知定数とすることで
y = C e 0.85 t {\displaystyle y=Ce^{0.85t}}
を得る。ここで C の値については、初期条件 y (0) = 19 を代入することにより
19 = C e 0.85 × 0 {\displaystyle 19=Ce^{0.85\times 0}}
∴ C = 19 {\displaystyle \therefore C=19}
が得られるため、最終的に求める解は
y ( t ) = 19 e 0.85 t {\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}
となる。
これは「解が存在するとすれば上記の式で与えられる」ことの証明に過ぎない。しかし、この証明は逆向きに辿れる、あるいは前述の通り、解の存在が一般的に証明されているので、上記の y {\displaystyle y} は実際に解になっていることが確かめられる。