逆元
また、必ずしも乗法単位元を持たない結合環 (K, +, 0, ×) において、擬乗法と呼ばれる演算
x ∗ y = x + y − x y {\displaystyle x*y=x+y-xy}
を考えたとき、擬乗法に関する単位元は加法の単位元と同じ零元 0 であり、
x ∗ y = 0 {\displaystyle x*y=0}
が満たされるときの x を y の左擬逆元、y を x の右擬逆元とよぶ。x が左擬可逆かつ右擬可逆ならば、x は擬正則であるという。K が通常の乗法に関して単位元 1 をもつとき、
x ∗ y = x + y − x y ⟺ ( 1 − x ) ( 1 − y ) = 1 − x ∗ y {\displaystyle x*y=x+y-xy\iff (1-x)(1-y)=1-x*y}
となるので、x の擬正則であることと 1 − x が通常の意味での乗法に関して可逆であることとが同値になる。
局所環の項も参照
このとき、y も可逆であり、x は y の逆元になる。
単位的マグマ L の任意の元が可逆であるとき、L は単位的準群(ループ)であるという。
同様にして、マグマ (M, ∗) が複数の左単位元あるいは右単位元を持つとき、左逆元あるいは右逆元もそれらに応じて複数存在しうる(先の定義で用いた e は両側単位元であることに注意)。もちろん、いくつかの左または右単位元に関して左逆元かつ右逆元であるといったようなこともありうる。
代数系 (M, ∗) の演算 ∗ が結合的であるとき、M の元が左逆元と右逆元を両方とも持てばそれらは相等しく、したがってそれは逆元となる。言い換えれば、単位的半群において任意の元は高々一つ(この節にいう意味での)逆元を持つ。単位的半群における可逆元の全体は単元群と呼ばれる極大な部分群を成す。M の単元群は U(M) や H1 などと書かれる。
左可逆元は左消約的であり、右あるいは両側可逆についても同様である。