弱いゴールドバッハ予想
弱いゴールドバッハ予想(よわいゴールドバッハよそう、英語:Goldbach's weak conjecture)とはゴールドバッハの予想に類似した素数の和に関する数論の予想。次のように表現される。
5 より大きい奇数は 3 個の素数の和で表せる。
3 個の素数は同じ数であってもよい。
ゴールドバッハ予想が証明できれば弱いゴールドバッハ予想も証明できる(後述)。しかし弱いゴールドバッハ予想が証明できても(それだけでは)ゴールドバッハ予想は証明できない。ゴールドバッハ予想からこの予想は導かれるが、その逆はないので「弱い」という語を冠している。
大きな奇数ほどその数よりも小さな素数がより多く存在し、それらの組み合わせもより多くなるので、この予想は多くの数学者によって正しいと考えられている。
2013年、ハラルド・ヘルフゴットは弱いゴールドバッハ予想を証明したとする論文を発表した。
ゴールドバッハ予想が正しいと仮定すると以下の命題が成り立つ。
4 以上の偶数は 2 個の素数の和で表せる。
したがって自然数を n とおくと、n 番目の正の偶数について
2 n = p 1 + p 2 n > 1 {\displaystyle 2n=p_{1}+p_{2}\qquad n>1}
を満たす素数 p1 , p2 が必ず存在することになる。ここから n+2 番目の正の奇数は
2 ( n + 2 ) − 1 = p 1 + p 2 + 3 n > 1 {\displaystyle 2(n+2)-1=p_{1}+p_{2}+3\qquad n>1}
と 3 個の素数の和で表せるので、弱いゴールドバッハ予想も正しい。
逆に弱いゴールドバッハ予想が正しいと仮定すると n 番目の正の奇数について
2 n − 1 = p 1 + p 2 + p 3 n > 3 {\displaystyle 2n-1=p_{1}+p_{2}+p_{3}\qquad n>3}
を満たす素数 p1 , p2 , p3 が必ず存在することになる。ここから n 番目の正の偶数は
2 n = p 1 + ( p 2 + p 3 + 1 ) n > 3 {\displaystyle 2n=p_{1}+(p_{2}+p_{3}+1)\qquad n>3}
小さな奇数を順に 3 個の素数の和で表すと以下のようになる。
7 = 2 + 2 + 3
9 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3
11 = 2 + 2 + 7 = 3 + 3 + 5
13 = 3 + 3 + 7 = 3 + 5 + 5
15 = 2 + 2 + 11 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5
17 = 2 + 2 + 13 = 3 + 3 + 11 = 5 + 5 + 7
19 = 3 + 3 + 13 = 3 + 5 + 11 = 5 + 7 + 7
21 = 2 + 2 + 17 = 3 + 5 + 13 = 5 + 5 + 11 = 7 + 7 + 7
23 = 2 + 2 + 19 = 3 + 3 + 17 = 5 + 5 + 13 = 5 + 7 + 11
3 個の素数の和は 6 以上なので、5 以下の奇数を 3 個の素数の和で表すことはできない。また 3 個の奇素数の和は 9 以上なので、7 は 3 個の奇素数の和で表すことはできない。
「7 より大きい奇数は 3 個の奇素数の和で表せる」という予想もある。