二項係数
である。この一般化に関する研究は少ないが、(Fowler 1996) などにはすでに現れている。通常の二項係数に関する多くの等式がもはや成り立たなくなっていることに注意すべきである(例えば正の n に対して (nm) = (nn − m) や (− nm) = (− n− n − m) は一般には正しくない)。その挙動は極めて複雑で、x軸、y軸と直線 y = x で分けられる八分象限 (octant) のどの位置にあるかで著しく異なる。負の x に対しては負の整数の位置に特異点を持ち、正と負の領域が市松模様を成す:
0 ≤ y ≤ x なる八分象限では、通常の二項係数を滑らかに補間し、稜線を成す(「パスカルの稜線」("Pascal's ridge"))。
0 ≤ x ≤ y なる八分象限または x ≥ 0, y ≥ 0 なる四分象限では、函数は零に近い。
x ≤ 0, y ≥ 0 なる四分象限では、四点 (−n, m + 1), (−n, m), (−n − 1, m − 1), (−n − 1, m) を頂点とする平行四辺形ごとに非常に大きな正の値と負の値を交互に取る。
0 > x > y なる八分象限では、やはり非常に大きな正の値と負の値を交互に取るが、今度は正方形の格子で起こる。
−1 > y > x + 1 なる八分象限では、特異点の近くを除けば零に近い。
二項係数に関して詳しく知られた最も初期の議論は10世紀ごろハラユーダ(英語版)が古代サンスクリット語で書いた "Pingala's Chandaḥśāstra" である。1150年ごろには、インドの数学者バースカラ2世が著書 "Lilavati" で二項係数について詳しく述べている。
記号 (nk) はアンドレアス・フォン・エッチンクハウゼン(英語版)が1826年に導入したものである。 そのほかの記法として C(n, k), nCk, Ck, Ckn, Cnk, Cn,k, (n¦m) などがあり、何れも文字 C は組合せ (combination) や選択 (choice) を表している。
(nk) の値を、実際に二項冪を展開したり k-組合せを数え上げたりせずに、計算する方法はいくつかある。