正準変換
タイプ1の母関数W1=W1(q, Q, t)に対し、ルジャンドル変換
W 3 ( Q , p , t ) = W 1 ( q , Q , t ) − ∑ i = 1 n q i p i {\displaystyle W_{3}(Q,p,t)=W_{1}(q,Q,t)-\sum _{i=1}^{n}q_{i}p_{i}}
を施せば、独立な変数として(Q, p)を選んだ場合であるタイプ3の母関数W3=W3(Q, p, t)が得られる。 このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。
q i = − ∂ W 3 ∂ p i , P i = − ∂ W 3 ∂ Q i , H = K − ∂ W 3 ∂ t {\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial W_{3}}{\partial p_{i}}},\,\,P_{i}=-{\frac {\partial W_{3}}{\partial Q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{3}}{\partial t}}}