ペル方程式
冒頭の不定方程式の右辺を 1 のかわりに −1 としたもの
x 2 − n y 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1}
もペル方程式と呼ばれることがあるが、これは n の値によっては解を持たないこともある。
解を持つ n と、解の例をいくつか挙げる:n = 2 のとき (x, y) = (1, 1), n = 5 のとき (x, y) = (2, 1), n = 13 のとき (x, y) = (18, 5)。
どのような n が -1 の解を持つのかは、未解決問題だが、√n を連分数展開したときの循環節の長さ(周期)が奇数のとき、かつその場合に限り解を持つことが、知られている。−1 の解を持つ n の必要条件としては、
4の倍数でない
4k + 3 型の素因数を持たない
k + 2k/a (0 < a < 2k, a | 2k) の形でない
が挙げられる。1, 2は、
N = x + 1 = ny
と置いたとき、N が2平方和に分解されており、gcd(x, 1) = 1 であることから、2平方和定理からの自明な帰結として得られる。