数列の極限
ある定数 c について xn = c ならば、xn → c である。
xn = 1/n ならば、xn → 0 である。
n が偶数のときには xn = 1/n で、n が奇数のときには xn = 1/n ならば、xn → 0 である。(n が奇数のときにはいつでも xn+1 > xn であるという事実は無関係である。)
任意の実数が与えられたとき、その数に収束する数列を、十進近似を取ることによって、容易に構成できる。例えば、列 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ... は 1/3 に収束する。十進表現 0.3333... は、
0.3333 ⋯ ≜ lim n → ∞ ∑ i = 1 n 3 10 i {\displaystyle 0.3333\cdots \triangleq \lim _{n\to \infty }\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\dfrac {3}{10^{i}}}}
で定義される。前の列の極限であることに注意。
数列の極限を見つけることは必ずしも明らかではない。2つの例は lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} (極限は e である)と算術幾何平均である。はさみうちの原理はそのような場合にしばしば有用である。
実数において、数 L が数列 (xn) の極限であるとは、数列の数が L にどんどん近づき、他の数には近づかないことをいう。