ハーディ空間
{\displaystyle g\in H^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ if and only if }}g\in L^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ and }}{\hat {g}}(n)=0{\text{ for all }}n<0.}
ただし ĝ(n) は単位円上で可積分な函数 g のフーリエ係数であり、次が成り立つ。
∀ n ∈ Z , g ^ ( n ) = 1 2 π ∫ 0 2 π g ( e i φ ) e − i n φ d φ . {\displaystyle \forall n\in \mathbf {Z} ,\ \ \ {\hat {g}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi .}
空間 H(T) は L(T) の閉部分空間である。1 ≤ p ≤ ∞ に対して L(T) はバナッハ空間であるため、H(T) もまた同様にバナッハ空間となる。
上述の議論は逆も成り立つ。p ≥ 1 に対して函数 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} ∈ L(T) が与えられるとき、ポアソン核 Pr を用いて単位円板上の正則函数 f を次のように再構成することが出来る:
f ( r e i θ ) = 1 2 π ∫ 0 2 π P r ( θ − φ ) f ~ ( e i φ ) d φ , r < 1.