極限 (圏論)
Iを有限な圏とし、Jを小さいフィルター付き圏(英語版)とする。任意の二項関手
F : I × J → Set
に対して、自然変換
c o l i m J l i m I F ( i , j ) → l i m I c o l i m J F ( i , j ) . {\displaystyle \mathrm {colim} _{J}\,\mathrm {lim} _{I}F(i,j)\rightarrow \mathrm {lim} _{I}\,\mathrm {colim} _{J}F(i,j).}
が存在する。言い換えると、Setにおけるフィルター余極限と有限極限は交換する。
関手G : C → DはCone(F)からCone(GF)への写像を誘導する。すなわち、ΨをNからFへの錐とすると、GΨはGNからGFへの錐となる。関手Gが Fの極限を保存するとは、(L, φ)がFの極限であるときはいつでも、(GL, Gφ)がGFの極限となることをいう。(注意: Fの極限が存在しない場合も、GはFの極限を保存する(空虚な真))
関手Gが' Jの形の全ての極限を保存するとは、Gが任意の図式F : J → Cの極限を保存することをいう。例えば、Gは積を保存する、等化子を保存する、引き戻しを保存する等のように使用する。連続関手とは全ての小さな極限を保存する関手をいう。
同様の定義は余極限についても可能である。例えば、関手GはFの余極限を保存するとは、(L, φ)がFの余極限のときはいつでも、G(L, φ)がGFの余極限となることをいう。余連続関手とは全ての小さな余極限を保存する関手をいう。
Cが完備圏であるならば、上記の極限の存在定理により、関手G : C → Dが連続であることは、(小さい)積と等化子を保存することと同値となる。