ワイエルシュトラスの因数分解定理
sin  π z = π z ∏ n ≠ 0 ( 1 − z n ) e z / n = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
cos  π z = ∏ q ∈ Z , q odd ( 1 − 2 z q ) e 2 z / q = ∏ n = 0 ∞ ( 1 − 4 z 2 ( 2 n + 1 ) 2 ) {\displaystyle \cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\right)}
つまり f ( z ) {\displaystyle f(z)} は整函数である。
注意:
定理の条件を満たす数列 { p n } {\displaystyle \{p_{n}\}} は常に存在することに注意せよ。たとえば、 p n = n {\displaystyle p_{n}=n} とすれば収束が保証される。これから、任意に与えられた可算無限数列の全ての点のみを零点として持つ整函数の存在も保証される。ただし、収束する数列は一意ではない。この数列を有限回位置を変えて、他の数列 p'n ≥ pn をとっても、常に収束する。
定理は次のように一般化される。リーマン球面上の開集合の中の数列(したがって、領域)に対して、それらの部分集合の中で正則であり、数列の点で零点を持つ函数が存在する。
代数学の基本定理により与えられる場合も含まれることに注意せよ。もし数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} が有限であれば、 p n = 0 {\displaystyle p_{n}=0} として f ( z ) = c ∏ n ( z − a n ) {\displaystyle \,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})} が得られる。