マシュー函数
フロケの定理(あるいはブロッホの定理)によると、値の固定された a および q に対し、マシューの方程式は次の形状の複素数値解を許すものである。
F ( a , q , x ) = exp  ( i μ x ) P ( a , q , x ) . {\displaystyle F(a,q,x)=\exp(i\mu \,x)\,P(a,q,x).}
ここで μ {\displaystyle \mu } はマシュー指数(Mathieu exponent)と呼ばれるある複素数で、P は x {\displaystyle x} に関する周期 π {\displaystyle \pi } の周期函数で、複素数に値を取るものである。しかし、一般に P は正弦函数ではない。下図の例では、 a = 1 , q = 1 5 , μ ≈ 1 + 0.0995 i {\displaystyle a=1,\,q={\frac {1}{5}},\,\mu \approx 1+0.0995i} の場合が与えられている(実部は赤、虚部は緑で表す)。