ゼノンのパラドックス
認識論的原理として次のものが置かれる:
物体が位置することのできる時空間の各点は実数値の座標によって記述される。ただし、我々は内的集合論の中でモデル化しているから、実数の中には無限小や無限大といった超準的な実数も含まれている。
物体が超準的な座標を持つ点に位置するとき、その対象の位置は確証できない。例えば、物体が零でない無限小の空間座標を持つ位置にあるとき、その物体は空間座標 0 の点に位置すると我々は誤解するかもしれない。
物体の運動は区別可能な2点に位置することによって確証される。例えば、物体の空間座標が(異なる時点に於いて) 0 から正の無限小に変化するとしても、その物体が運動していることは確証されない。しかし、0 から 1/2 に変化するならば、その物体が運動していると確証できる。
この原則に基づけば、「私たちが観察できない状況に対しては説明する責任がない」、「チェックポイントの列の外にある微小世界での運動に関する仮説が成り立つ余地があり、...運動という考えを追放する理由はない。」と主張する。山川偉也は、しかし、このような議論では、「ゼノンを論駁できないと思います」と評する。
ゼノンの議論が提起する問題を、論理的・数学的なものと限定せず、物理的・実在的過程の問題でもあるとして、あるいは多のパラドックスと関係づけて、意味のあるものとして捉えようとする論考は、他にもいくつか提出されている。アドルフ・グリュンバウム(英語版)、とかウェスリー・サモン(英語版)らを挙げることができる。
数学上の問題が一段落したのち、新たな見解がいくつか提案された。その一人、ラッセルは、
「したがって、ゼノンの議論は空間と時間とが点と瞬間で構成されているという見解に向けられているのであって、空間と時間の有限のひろがりは、有限の数の点と瞬間からなっているという意見に対する反論と同じように、ゼノンの論証は詭弁ではなく、まったく正しいのである、と私たちは結論することが出来る。」
と言う。そして、逃れる道は、
(1)空間と時間は点と瞬間で構成されているが、有限の空間的あるいは時間的区間に含まれる点や瞬間の数は無限であると主張するか、(2)空間と時間が点と瞬間で構成されていることを否定するか、(3)空間と時間の実在性を全面的に否定するか、といういずれかの方法に依らなければならない。
ラッセルは(1)の見地から、歴史上のゼノンが考えていたかはさておいて、たとえばと、アキレスと亀を再解釈し、