接続 (主束)
主 G-束の接続 ω に対して、その曲率形式 Ω は g に値を取る2次の微分形式
Ω = d ω + 1 2 [ ω , ω ] : ( X , Y ) ↦ ω ( [ X , Y ] ) − X ( ω ( Y ) ) + Y ( ω ( x ) ) + [ ω ( X ) , ω ( Y ) ] {\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]:(X,Y)\mapsto \omega ([X,Y])-X(\omega (Y))+Y(\omega (x))+[\omega (X),\omega (Y)]}
として定義される。この微分形式は G-同変かつ水平的であるため、P ×G g を係数とする M 上の2次微分形式に対応する。この式は第二構造方程式ともよばれる。
G の線形表現 W により誘導されるベクトル束 P ×G W 上に ω が定める共変微分の曲率は Ω によって誘導される P ×G W の自己準同型によって表されている。
多様体 M 上の G-主束 π: P → M の接続形式 ω を用いることで、P の接空間を M の接空間に同型な部分空間とファイバーの接空間 ker π との直和に分解することができる。つまり、G の作用によって g からファイバーの接空間の上への同型が得られるが、一方で、ker ω は M の接空間に同型な P の接空間の部分空間を定めることができる。この部分空間は TP の部分束をなし、水平な方向および垂直な方向への分解 TP = ker ω ⊕ ker π によってファイバー束の接続が定められている。
反対に、ファイバー束の接続
π ∗ T M ≃ H ⊂ T P {\displaystyle \pi ^{*}TM\simeq H\subset TP}
であって、G-同変なもの、つまり Hx g = d Rg Hp を満たすものは ker ω = H となるような接続形式を一意的に定めている。
G の作用の微分写像 d Rg: Tx P → Tx g P と g への随伴表現 Ad に関して ω(d Rg X) = Adg(ω(X)) が成り立つ
の2つの条件を満たすようなもののことである。
文脈によっては、主 G-接続 は対 (P, ω) のことを指し、ω 自体は接続形式と呼ばれることもある。