運動量演算子
F [ p ^ ψ ] p = − i ħ F [ ∂ ψ ∂ x ] p = p F [ ψ ] p = p ψ ~ p ( t ) {\displaystyle {\mathcal {F}}[{\hat {p}}\psi ]_{p}=-i\hbar {\mathcal {F}}\left[{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right]_{p}=p{\mathcal {F}}[\psi ]_{p}=p{\tilde {\psi }}_{p}(t)}
となり、運動量表示された波動関数への運動量演算子の作用が
p ^ ψ ~ p ( t ) = p ψ ~ p ( t ) {\displaystyle {\hat {p}}{\tilde {\psi }}_{p}(t)=p{\tilde {\psi }}_{p}(t)}
であることが示される。
となるので
[ x ^ , p ^ ] ψ = x ^ ( p ^ ψ ) − p ^ ( x ^ ψ ) = i ħ ψ {\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]\psi ={\hat {x}}({\hat {p}}\psi )-{\hat {p}}({\hat {x}}\psi )=i\hbar \psi }
が確認される。
量子場の理論においては、第二量子化により場が量子化されて演算子として表される。量子場 φ ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {\phi }}(x)} に対する運動量演算子の作用は
i ħ [ P ^ μ , φ ^ ( x ) ] = ∂ μ φ ^ ( x ) {\displaystyle {\frac {i}{\hbar }}[{\hat {P}}_{\mu },{\hat {\phi }}(x)]=\partial _{\mu }{\hat {\phi }}(x)}
として演算子の交換子積で与えられる。 物理量の量子化における対応と同様に
P μ ↦ − i ħ ∂ μ {\displaystyle P_{\mu }\mapsto -i\hbar \partial _{\mu }}
で表される。