対称式
n 個の変数 x1, ... , xn に関する対称式 f(x1, ..., xn) は基本対称式たち σ1, ... , σn に関する多項式 P によって表すことができるが、この P は f に対して一意的に定まる。つまり、基本対称式たちは係数環上代数的独立だということになる。
証明は変数 x1, ... , xn の数 n と、対称式の次数に関する帰納法によって行われる。n - 1変数の多項式 Q(s1, ..., sn - 1) で、基本対称式 σ1(x1, ... , xn - 1), ..., σn - 1(x1, ... , xn - 1) を代入して 0 になるようなものは si たちの多項式としてすでに 0 になることが示せていたとする。
P(s1, ..., sn) を n 変数の多項式で基本対称式を移入したときに零になる P(σ1,..., σn) = 0 ようなものとする。
1762年にウェアリングは、対称式に現れる単項式の指数の組に、辞書式順序を入れて、単項式の次数を下げていく方法で、対称式の基本定理の証明を行った。
0でない係数 c を持つ単項式
r ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = c ∏ k = 1 n x k a k = c x 1 a 1 x 2 a 2 ⋯ x n a n {\displaystyle r(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=c\ \prod _{k=1}^{n}x_{k}^{a_{k}}=c\ x_{1}^{a_{1}}\ x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}}
に対して、n 個の指数の組
deg(r) = (a1,a2, ..., an)
を次数(じすう)という。ここで、積に用いていない変数の指数は 0 である。この次数に、辞書式順序を入れる。
すなわち、2 つの単項式 s と t を比べ、指数を a1 から順に見ていき、最初の異なる指数の整数としての大小を deg(s) と deg(t) の大小とし、全ての指数が等しいときは deg(s) = deg(t) とする。たとえば、 (3,2,1,2) > (3,1,0,3) > (2,5,0,2) > (0,5,2,2) > (0,2,2,5) である。