積率母関数
↑ Allan Gut: Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Chapter 8, Example 8.2.
これとは対照的に特性関数は常に存在するため、そちらを代わりに使うこともある。
より一般化すると、n-次元の確率変数ベクトル(ベクトル値確率変数) X = ( X 1 , ... , X n ) {\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{n})} の場合、 t X {\displaystyle tX} の代わりに t ⋅ X ≡ t ⊺ X {\displaystyle {\boldsymbol {t}}\cdot {\boldsymbol {X}}\equiv {\boldsymbol {t}}^{\intercal }{\boldsymbol {X}}} を使い、次のように定義する。
M X ( t ) := E ( e t ⋅ X ) {\displaystyle M_{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {t}}):=E\left(e^{{\boldsymbol {t}}\cdot {\boldsymbol {X}}}\right)}