四平方定理
( s 1 + s 2 2 ) 2 + ( s 1 − s 2 2 ) 2 + ( s 3 + s 4 2 ) 2 + ( s 3 − s 4 2 ) 2 = s 1 2 + s 2 2 + s 3 2 + s 4 2 2 = f 2 p {\displaystyle \left({\frac {s_{1}+s_{2}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {s_{1}-s_{2}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {s_{3}+s_{4}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {s_{3}-s_{4}}{2}}\right)^{2}={\frac {s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}+s_{4}^{2}}{2}}={\frac {f}{2}}p}
であるから最小の f {\displaystyle f} を選んだという仮定に背く。故に f {\displaystyle f} は奇数である。 f {\displaystyle f} を法とする s 1 , s 2 , s 3 , s 4 {\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}} の最小剰余を t 1 , t 2 , t 3 , t 4 {\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}} とすると
t 1 2 + t 2 2 + t 3 2 + t 4 2 ≡ s 1 2 + s 2 2 + s 3 2 + s 4 2 ≡ 0 ( mod f ) {\displaystyle t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+t_{3}^{2}+t_{4}^{2}\equiv {s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}+s_{4}^{2}}\equiv {0}{\pmod {f}}}