0.999...
前項と特に関連して、組合せゲーム理論(英語版)における同様の実数代替体系として、"無限二色ハッケンブッシュゲーム (infinite Blue-Red Hackenbush)" を考えることができる。1974年に、エルウィン・バーレカンプ (Elwyn Berlekamp) はデータ圧縮のアイディアに刺激されてハッケンブッシュ文字列と実数の2進展開の関係について述べた。例えば、"ハッケンブッシュ文字列 (Hackenbush string)" LRRLRLRL... の値は 0.010101... = 1/3 である。しかしながら、文字列 LRLLL...(0.111... に対応する)の値は 1 に比べてごくわずかだけ小さい。 これらの2数(LRLLL... と 1)の差は超現実数 1/ω(ω は最小の超限順序数)である。これに関連するゲームは LRRRR... すなわち 0.000... である。
等式 0.999... = 1 の証明は直ちに2つの方法で一般化される。最初に、まさにその特別な場合において考えられたように、すべての 0 でない有限小数(すなわち、後に 0 が限りなく続く)は 9 が後ろにずっと続く別表現をもっている。例えば、0.24999... は 0.25 に等しい。
次に、0.999... = 1 に相当する結果を他の基数にも適用することができる。例えば 二進法では 0.111... = 1 であり、三進法では 0.222... = 1 である。一般に、基数を b とするとき、小数点以下には b − 1 が繰り返し並ぶ。実解析の教科書は 0.999... = 1 の例を飛ばして、これらの一般化のうちの一つか両方を最初から紹介する傾向がある。
1 の別表現は、非整数を基数としても現れる。例えば、黄金比を基数とすると、2つの標準的表示は 1.000... と 0.101010... であるが、他にも 0.11, 0.1011, 0.101011 のように隣接する "1" を含む無数の表現がある。一般的に、1 と 2 の間のほとんどすべての q に対し、"非可算無限" の 『1 の q進表現』が存在する。他方で、(1 より大きい自然数を含めた)なお"非可算無限"の q が 1 の q進表現を(自明な 1.000... を除いて)ただ一つしかもたない。この結果は1990年頃に ポール・エルデシュ (Paul Erdős)、ミクローシュ・ホルヴァート (Miklos Horváth)、イストヴァン・ヨー (István Joó) によって最初に述べられた。
1 − 0.999... は何になるかを尋ねると、しばしば "0.000...1" を浮かべられることがある。これに意味を持せることができるか否かは別として、0.999... の "最後の 9" に 1 を足すことで次々に繰り上がり、すべての 9 が 0 に変わって、一の位に 1 が残るという意図は直観的には明白である。この考えは、(他にも理由はあるが)0.999... には "最後の 9" がないので失当であるが、『最後の9』を持つ無限文字列を持つ体系というのは存在する。
p進数は整数論が研究対象とする数体系である。実数と全く同様に、p進数はコーシー列を経由して有理数の完備化として作ることができる。ただしこの構成には、0 は 1 よりも p に近く、p にはもっと近いという、(実数の構成のときとは)異なる距離を用いる。p進数は p が素数のとき体をなし、p が素数でないとき(10 はこの場合である)でも環をなす。したがって、p進数に足し算や掛け算のような計算を実行することができ、無限小は存在しない。
p進数には小数展開の類似を考えることができ、位が左へ進む(実数の小数展開とは逆に、右へは有限桁しか進めない)。10進展開 ...999 を考える。一の位に 1 を加えることができるが、すると 0 だけが残されて繰り上がりが続き、その結果 1 + ...999 = ...000 = 0 となる。すなわち、...999 = −1 である。もう一つの導出方法は等比級数を用いる。"...999" の意味をもつ等比級数は実数においては収束しないが、10進数では収束し、よく知られた公式を再び用いることができて