同伴行列
モニック多項式 p から定まる同伴行列 C(p) の固有多項式と最小多項式は p と一致する。このような意味でモニック多項式 p は正方行列 C(p) を〈同伴〉している。
行列 A が適当な体 K の元を成分にもつ n 次行列とすると、以下は同値:
A はその固有多項式の同伴行列に K 上で相似である。
A の固有多項式と最小多項式は一致する。
A の最小多項式の次数は n である。
K = spanK{v, Av, ..., Av} となるベクトル v が存在する。
V = K は K[A]-加群として巡回的(かつ V = K[A]/(p(A)) である(このことを以って A は正常 (regular) であるという)。
一般には任意の正方行列 A が同伴行列に相似となるとは限らないが、いくつかの同伴行列 C(p1), ..., C(pm) の直和
R = [ C ( p 1 ) ⋱ C ( p m ) ] {\displaystyle R={\begin{bmatrix}C(p_{1})&&\\&\ddots &\\&&C(p_{m})\end{bmatrix}}}
に相似となる。モニック多項式の列 p1, ..., pm は後に続く多項式を割り切るように選ぶことができ、それらは A により一意的に決まる。このようにして得られた区分行列 R を A の有理標準形と呼ぶ(代数閉体上における行列のジョルダン標準形の類似)。