馬蹄形写像
レビンソンの論文は、1940年代のイギリスのメアリー・カートライト(英語版)とジョン・エデンサー・リトルウッドの研究成果をもとにしていた。カートライトとリトルウッドの研究は強制振動型のファン・デル・ポール方程式に関するもので、その微分方程式は無限に多くの周期解を持つことを示していた。
スメールは、レビンソンの論文、カートライトとリトルウッドの方程式について取り組み、レビンソンの結果が正しいことを理解した。この過程で、以下の強制振動型ファンデルポール方程式が示す複雑な挙動の本質を幾何学的に考察し、スメールは馬蹄形写像のアイデアに至った。この複雑な挙動の本質は「引き伸ばし」と「折り曲げ」であると直感し、馬蹄形写像を思いついたという。
ちなみに、スメールが最初のころに考えた写像の変形は、現在のものとはやや異なる2箇所を折り曲げて畳むような変形で、スメールの図を見たリー・ニューワース(ドイツ語版)からのコメントを経て、今の馬蹄形写像となった。ただし、この当時にスメールが考えていた2折り変形の写像でも、現在の馬蹄形写像と同等な現象は起き得る。
この話題について1960年の夏にバークレーで講演したとき、リー・ニューワースが言った:「何故それをこんな風にしないんだ?」
「お見事」と私は言い、それを馬蹄 (horseshoe) と呼んだ。
一方、0 と 1 の無限列を要素とし、全ての 0 と 1 の組み合わせから成る集合を Σ で表す。Σ 上の2点(2つの列)a = (...a−2a−1⋅a0a1a2...) と b = (...b−2b−1⋅b0b1b2...) の距離を
d ( a , b ) = ∑ i = − ∞ ∞ | a i − b i | 2 | i | {\displaystyle d(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=-\infty }^{\infty }{\frac {\left|a_{i}-b_{i}\right\vert }{2^{\left|i\right\vert }}}}
で定義する。さらに、Σ 空間に作用するシフト写像 σ を
σ ( ⋯ s − 2 s − 1 ⋅ s 0 s 1 s 2 ⋯ ) = ( ⋯ s − 2 s − 1 s 0 ⋅ s 1 s 2 ⋯ ) {\displaystyle \sigma (\cdots s_{-2}s_{-1}\cdot s_{0}s_{1}s_{2}\cdots )=(\cdots s_{-2}s_{-1}s_{0}\cdot s_{1}s_{2}\cdots )}
と定義する。すなわち、σ は列の構成要素を一つ左へずらすだけの写像である。距離 d により、σ は Σ 上の同相写像である。
以上のように用意された σ を Σ 上の点に反復適用すれば、時間発展に応じて点が移り変わっていく離散力学系の軌道が構成できる。