エネルギー保存の法則
という等式が得られる。 f ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {f}}(t)} を粒子に対する力学的な操作によって生じる力だとすれば、それがなす仕事は操作の前後での粒子の力学的エネルギー、すなわち粒子の位置エネルギーと運動エネルギーの和、の差に等しい。 特に、外部から力学的操作を行わない場合には、粒子にはポテンシャルによる力しか働かないので、系の力学的エネルギーは保存されることになる。 また、操作の前後で粒子の速度を変えないようにすれば、操作の前後では粒子の運動エネルギーが変化しないので、外部から与えられた仕事は粒子のポテンシャルの差に等しくなる。
こうして得られた等式が成り立つことを、力学的エネルギー保存の法則と呼ぶ。保存則が成り立っているかどうかは系の設定により、外界の力学的エネルギーを考慮しない場合には、保存則は成り立たないが、外界の力学的エネルギーを考慮するのであれば、外界への仕事を付け加える形で、保存則が成立する。
外界に及ぼされる力は − f ( t ) {\displaystyle -{\boldsymbol {f}}(t)} で表され、摩擦などによる抗力を考える場合には、粒子の速度の関数になる。
特に、原子核反応を扱う場合においては、質量のエネルギーへの変換は無視できないほど大きく、質量は保存されていない、として計算するようになっている。
ただし、この法則を一応受け入れるとしても、一体どの程度まで受け入れてよいのかということについて見解はバラバラであった。例えばニールス・ボーアは、ベータ崩壊をエネルギー保存の法則が成立していない事例だと考えていた。
ただしそのような状況の中で、1932年にヴォルフガング・パウリとエンリコ・フェルミが、β崩壊の事例でも、仮にエネルギー保存の法則が成立していると仮定して計算したところ、中性の粒子が存在しているだろう、と予想することができた。彼らはその粒子の存在を主張したものの具体的な物証は無く、長らく認められなかったが、1956年になり実験によってその粒子(ニュートリノ)が確認された。この出来事によって、有効範囲については疑問視されることも多かったものの、エネルギー保存の法則が成り立つと仮定してみることが、科学的発見につながるひとつの指針にもなり得ることが知られるようになった。
が得られる。ここで得られた関数 1 2 m | d r ( t ) d t | 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left|{\frac {d{\boldsymbol {r}}(t)}{dt}}\right|^{2}} は粒子の運動エネルギーと呼ばれ、この差分は粒子になされた仕事を表す。
ポテンシャルと仕事、運動エネルギーと仕事の関係をそれぞれ見比べると、