回転
線型代数学において、回転とは、内積が定義された実線型空間における線型変換であって、その表現行列が直交行列かつ行列式が +1 であるものをいう。応用上はユークリッド空間における回転が重要である。回転の定義を素朴に表現するならば、回転中心と呼ばれる固定点から各点への距離を変えず、点同士の相対的な位置関係、すなわち距離と向きをも変えない変換であるということになる。回転中心を原点とする座標系を考えると、これらの定義は同等である。実際、表現行列が直交行列であることが、2点間の距離を変えない、すなわち合同変換であることを意味し、行列式が +1 であることが、向きを変えないということを意味する。直交行列の行列式は +1 か -1 であるが、-1 であるものは向きを変えるのであり、そのような合同変換の例として鏡映が挙げられる。
3次元ユークリッド空間における回転は、回転軸と呼ばれる固定直線からの距離および点の相対的な位置関係を変えない変換と定義されることもある。しかし、ある一点からの距離を変えない変換はそのような軸を持つことが証明できるため、どちらで定義しても同じである。一般に、奇数次元ユークリッド空間における回転は回転軸を持つ。