冪函数
各自然数 n に対して R 上の函数
f n ( x ) := x n = x × ⋯ × x ⏟ n {\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}=\underbrace {x\times \cdots \times x} _{n}}
が定義できる。この函数は、
n が偶数のとき偶函数、すなわち任意の実数 x に対して f(–x) = f(x) であり、対応する函数のグラフは y-軸に関して線対称になる。
n が奇数のとき奇函数、すなわち任意の実数 x に対して f(–x) = –f(x) であり、対応するグラフは原点に関して点対称である。
小さい n に対する冪函数を具体的に書けば:
n = 1 のとき、恒等変換 f1(x) = x . これはもっとも単純な一次函数であり、線型変換にもなる。
n = 2 のとき、平方函数 f2(x) = x. これはもっとも単純な二次函数であり、グラフが放物線となる唯一の冪函数である.
n = 3 のとき、f3(x) = x はもっとも単純な三次函数である.
n = 0 の場合もふつうはこの仲間に入る。
各負の整数 −n に対して、非零実数の集合 R* ≔ R ∖ {0} = {x ∈ R | x ≠ 0} 上の函数
f − n ( x ) := x − n = 1 x n = 1 f n ( x ) {\displaystyle f_{-n}(x):=x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}={\frac {1}{f_{n}(x)}}}
が定義される。前節の fn と同様に、函数 f–n は n が偶数のとき偶、奇数のとき奇である。
小さい n に対して具体的に書けば:
−n = −1 のとき、逆数函数 f−1(x) = 1⁄x. これは、対応する函数のグラフが双曲線となる唯一の冪函数である。
これらの函数もすべて f−n(1) = 1 を満たす。また特に m < n とするとき
x − n > x − m ( 0 < x < 1 ) , {\displaystyle x^{-n}>x^{-m}\quad (0<x<1),}
x − n < x − m ( 1 < x ) {\displaystyle x^{-n}<x^{-m}\quad (1<x)}
が成り立つ。
これら負の整数冪の冪函数はすべて、正の実軸上で狭義単調に x → +0 の極限となる +∞ から x → +∞ の極限となる 0 まで減少する。これらのグラフはすべて x = 0 と y = 0 の二つの直線を漸近線に持つ。負の実軸上では、偶数冪ならば単調増大、奇数冪ならば単調減少の区別が生じる。