再生核ヒルベルト空間
K x ( y ) = L y ( K x ) = ⟨ K x , K y ⟩ H , {\displaystyle K_{x}(y)=L_{y}(K_{x})=\langle K_{x},\ K_{y}\rangle _{H},}
が成り立つ。ただし、 K y ∈ H {\displaystyle K_{y}\in H} は L y {\displaystyle L_{y}} を生むような H {\displaystyle H} の元である。
これによって、 H {\displaystyle H} の再生核が以下の関数 K : X × X → R {\displaystyle K:X\times X\to \mathbb {R} } として定義できる。
K ( x , y ) = ⟨ K x , K y ⟩ H . {\displaystyle K(x,y)=\langle K_{x},\ K_{y}\rangle _{H}.}
定義から、 K : X × X → R {\displaystyle K:X\times X\to \mathbb {R} } (複素なら C {\displaystyle \mathbb {C} } )は対称(複素なら共役対称)であり、正定値でもある、つまり
である。したがって、プランシュレルの定理より
⟨ f , K x ⟩ L 2 = ∫ − ∞ ∞ f ( y ) ⋅ K x ( y ) ̄ d y = 1 2 π ∫ − a a F ( ω ) ⋅ e i ω x d ω = f ( x ) . {\displaystyle \langle f,K_{x}\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\cdot {\overline {K_{x}(y)}}\,dy={\frac {1}{2\pi }}\int _{-a}^{a}F(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega =f(x).}
となり、核の再生性を実際に確認できた。
この K x {\displaystyle K_{x}} はディラックのデルタ関数の「帯域制限版」であり、遮断周波数 a {\displaystyle a} が無限に行くと K x ( y ) {\displaystyle K_{x}(y)} は δ ( y − x ) {\displaystyle \delta (y-x)} に収束する。
RKHSの有用な性質として以下のようなものがある。
( X i ) i = 1 p {\displaystyle (X_{i})_{i=1}^{p}} を集合の列とし、 ( K i ) i = 1 p {\displaystyle (K_{i})_{i=1}^{p}} をそれぞれ ( X i ) i = 1 p {\displaystyle (X_{i})_{i=1}^{p}} 上の正定値関数とする。すると、 K ( ( x 1 , ... , x p ) , ( y 1 , ... , y p ) ) = K 1 ( x 1 , y 1 ) ⋯ K p ( x p , y p ) {\displaystyle K((x_{1},\ldots ,x_{p}),(y_{1},\ldots ,y_{p}))=K_{1}(x_{1},y_{1})\cdots K_{p}(x_{p},y_{p})} は X = X 1 × ⋯ × X p {\displaystyle X=X_{1}\times \dots \times X_{p}} 上の核である。
X 0 ⊂ X {\displaystyle X_{0}\subset X} とすると、 K {\displaystyle K} の定義域を X 0 × X 0 {\displaystyle X_{0}\times X_{0}} に制限したものもまた再生核となる。
任意の x ∈ X {\displaystyle x\in X} について K ( x , x ) = 1 {\displaystyle K(x,x)=1} となるように正規化した K {\displaystyle K} を考える。
}
線形性より ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ H = ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ G {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}=\langle \cdot ,\cdot \rangle _{G}} が { K x : x ∈ X } {\displaystyle \{K_{x}:x\in X\}} の張る空間上で成り立つ。 G {\displaystyle G} は完備であって H 0 {\displaystyle H_{0}} を含むから、 H 0 {\displaystyle H_{0}} を完備化したものを含む、つまり H ⊂ G {\displaystyle H\subset G} 。
ここから、逆に G {\displaystyle G} の任意の要素が H {\displaystyle H} の要素であることであることを示したい。 f {\displaystyle f} を G {\displaystyle G} の要素とする。 H {\displaystyle H} は G {\displaystyle G} の部分空間だから、 f H ∈ H {\displaystyle f_{H}\in H} と f H ⊥ ∈ H ⊥ {\displaystyle f_{H^{\perp }}\in H^{\perp }} を使って f = f H + f H ⊥ {\displaystyle f=f_{H}+f_{H^{\perp }}} と分解できる。