反射関係
反射関係(はんしゃかんけい、英: reflexive relation)は、数学における二項関係の一種。二項関係には反射性 (reflexivity) のものと無反射性 (irreflexivity) のものがある(無反射性の事を非反射性とよぶ文献もある)。なお、ここでの(二項)関係は X × X という形式であり、集合 X からそれ自身への関係である。
無反射性は反射性が成り立たないという条件よりも狭い範囲に適用される。従って、二項関係は、反射的なもの、無反射的なもの、どちらでもないものに分類される。不等式“less than”や“greater than”は無反射的だが、“less than or equal to”や“greater than or equal to”は反射的である。しかし、整数に関する関係 R を a = −b であるときだけ(同値)a R b が成り立つと定義した場合、この関係は反射的でも無反射的でもない。なぜなら 0 の場合だけ自分自身との関係として成立するからである。
推移的で無反射的な関係は、非対称関係で強半順序関係である。一方、推移的で反射的な関係は、単に前順序関係である。従って、有限集合では前者よりも後者の方が多い。
Quine (1951) などは、反射関係を totally reflexive と称し、reflexive という用語は次のような弱い関係を指すとしている。
∀ a ( ∃ b ( a R b ∨ b R a ) → a R a ) . {\displaystyle \forall a(\exists b(aRb\lor bRa)\to aRa).}