特性関数 (確率論)
特性関数は、独立な確率変数の線型関数を操作する際に特に便利である。例えば、X1, X2, ..., Xn を独立な(同分布である必要はない)確率変数の列とし、
S n = ∑ i = 1 n a i X i {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}
とする。ここで ai は定数である。すると、Sn の特性関数は次のように定義できる。
φ S n ( t ) = φ X 1 ( a 1 t ) φ X 2 ( a 2 t ) ⋯ φ X n ( a n t ) {\displaystyle \varphi _{S_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\varphi _{X_{2}}(a_{2}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t)}
特に φ X + Y ( t ) = φ X ( t ) φ Y ( t ) {\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)} となる。これを示すには、特性関数の定義を書いてみればよい。
特性関数は確率変数を記述する代替手段を提供する。累積分布関数
F X ( x ) = E  [ 1 { X ≤ x } ] {\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {\mathbb {E} } [\mathbf {1} _{\{X\leq x\}}]}
は確率変数 X の確率分布の振る舞いと属性を完全に決定するが、それと同様に特性関数
φ X ( t ) = E  [ e i t X ] {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {\mathbb {E} } [e^{itX}]}
も確率変数 X の確率分布の振る舞いと属性を完全に決定する。どちらか一方が分かっていればもう一方を求めることができ、その確率変数の特徴についてそれぞれ異なる洞察を与える。しかし、これらの関数を単純な標準的関数で表せるかどうかは、場合によって異なる。
確率変数が確率密度関数を持つ場合、特性関数と密度関数は互いにもう一方のフーリエ変換になっているという意味で双対である。確率変数に積率母関数がある場合、特性関数は複素領域に拡張されうる。
φ X ( − i t ) = M X ( t ) {\displaystyle \varphi _{X}(-it)=M_{X}(t)}
なお、確率密度関数や積率母関数が存在しない場合でも、ある確率分布の特性関数は常に存在する。
特性関数は、特に独立した確率変数の線型結合の分析で有効である。他にも、確率変数の分解可能性(英語版)の理論においても重要である。