広義固有ベクトル
正方行列に実行できる最も基本的な演算の3つは,和とスカラー倍と積である.これらは n × n 行列 A の多項式関数を定義するのにちょうど必要な演算である.多くの関数がマクローリン級数として書けることを基本的な解析学から思い出すと,行列のより一般の関数をきわめて容易に定義できる.A が対角化可能ならば,つまり
D = M − 1 A M {\displaystyle D=M^{-1}AM}
で
D = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] {\displaystyle D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}}
ならば,
[ 0 0 0 0 ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}
となり,x1, x2 とも任意でよい.たとえば, x = [ 1 0 ] {\textstyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} も, x = [ 0 1 ] {\textstyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}} もいずれも固有値 λ = 1 に対する固有ベクトルとなる.この2つの固有ベクトルは互いに線形独立である.
なお,
rank  ( λ I − A ) = 0 = 2 ⏟ n − 2 ⏟ γ {\displaystyle \operatorname {rank} (\lambda I-A)=0=\underbrace {2} _{n}-\underbrace {2} _{\gamma }}
であり,幾何学的重複度は γ = 2 である.実際に,固有値 λ = 1 に対して,2つの互いに線形独立な固有ベクトルが得られることがわかる.
ベクトル xm が行列 A の固有値 λ に対応する階数 m の広義(あるいは一般)固有ベクトル (英: generalized eigenvector) であるとは, ( A − λ I ) m x m = 0 {\displaystyle (A-\lambda I)^{m}{\boldsymbol {x}}_{m}=0} を満たすが, ( A − λ I ) m − 1 x m ≠ 0 {\displaystyle (A-\lambda I)^{m-1}{\boldsymbol {x}}_{m}\neq {\boldsymbol {0}}} であることをいう.
明らかに,階数 1 の広義固有ベクトルは通常の固有ベクトルである.すべての n × n 行列 A は n 個の線型独立な広義固有ベクトルを持ち,ジョルダン標準形の「ほとんど対角」な行列 J に相似であることを示すことができる.つまり,可逆行列 M が存在して,J = MAM となる.このときの行列 M は A の 広義モード行列(英語版) と呼ばれる.λ が代数的重複度 μ の固有値ならば,A は λ に対応する μ 個の線型独立な広義固有ベクトルを持つ.これらの結果は,A のある種の行列関数を簡易に計算する際に有用となる.
与えられた λ に対するすべての広義固有ベクトルによって張られる集合は λ の広義(あるいは一般)固有空間 (英: generalized eigenspace) をなす.