二個の平方数の和
二個の平方数の和(にこのへいほうすうのわ)は「平方数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られているものであるが呼びかたが定まっておらず、フェルマーの4n+1定理、フェルマーの二平方定理、あるいは単にフェルマーの定理(フェルマーの最終定理とは異なる)などと呼ばれる。
4を法として1に合同な素数は二個の平方数の和で表される。
定理 ― 奇素数 p が整数 x と y を用いて、
p = x 2 + y 2 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}
と表されるのは、
p ≡ 1 ( mod 4 ) . {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}.}
の時に限る。また、逆も成り立つ。そして、この分解は一意的である。
合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方(冪指数が偶数)になっていることである。この定理は、フェルマーによって提起され、オイラーによって解決された。
具体的に4を法として1に合同な素数とは 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, ⋯ {\displaystyle \cdots } (オンライン整数列大辞典の数列 A002144)