志村多様体
各々の志村多様体は、反射体と言われる標準的な数体 E の上に定義することができる。志村多様体は解析的に(すなわち複素多様体として)定義されるが、このことから数論的な重要性を持っていることが示唆される。志村多様体は相互法則の志村による定式化の出発点を形成し、そこで特殊点とよばれる点が数論的に重要な役割を担う。
志村多様体上の特殊点の集合のザリスキー閉包の性質は、アンドレ・オールト予想(英語版)(André-Oort conjecture)により記述される。一般化されたリーマン予想を前提として、条件付きの結果としてこの予想が得られる。
エルミート対称空間の特別なタイプと合同群 Γ に対し、 Γ ∖ X = S h K ( G , X ) {\displaystyle \Gamma \backslash X=Sh_{K}(G,X)} の形の代数多様体とそのバイリー・ボレルのコンパクト化(英語版)(Baily–Borel compactification)は、1960年代に一連の志村五郎の論文で導入された。後日、彼のモノグラフとして出版されているが、志村のアプローチは、虚数乗法論の相反法則の最大限の一般化を追求する研究で、現象的にも広い範囲に及ぶ。時代は遡るが、「志村多様体」と言う命名はピエール・ドリーニュ(Pierre Deligne)が導入し、彼は志村理論の中で独立した抽象的な形をしている部分の研究を推し進めた。ドリーニュの定式化では、志村多様体はホッジ構造のあるタイプのパラメータ空間である。このようにして、彼らは、レベル構造を持つ楕円曲線のモジュライ空間がそうであったように、モジュラ曲線の自然に高次元への一般化を作り出した。多くの場合、志村多様体が解であるようなモジュライ問題は同一視することができる。