位相幾何学
位相(トポロジー)は、大まかに言えば集合の元が互いにどの程度空間的に関連があるのかを示す、この分野の中心的な数学的構造である。一つの集合には複数の異なる位相が入り得る。例えば、実数直線、複素数平面、およびカントール集合は異なる位相を持つ同一の集合と見ることができる。
厳密に言えば、集合 X に対し、X の部分集合族 τ が X の位相であるとは、
空集合 ∅ および全体集合 X は τ の元
τ の元の任意の合併は τ の元
τ の元の任意の有限交叉は τ の元
の三条件をすべて満たすときに言う。τ が X 上の位相であるとき、対 (X, τ) は位相空間と呼ばれる。集合 X に特定の位相 τ が備わっていることを Xτ と書き表すこともある。
τ の元は X の開集合と呼ばれる。X の部分集合が閉であるとは、その補集合が τ の元となる(つまり補集合が開集合となる)ことである。X の部分集合は、開でも閉でもある(開かつ閉集合)こともあれば、そのどちらでもないこともある。空集合と X 自身は常に開かつ閉である。点 x を含む開集合は x の(開)近傍と呼ばれる。
代数的位相幾何学は位相空間を調べるのに抽象代数学由来の道具を用いる数学の一分野である。その基本的な最終目的は同相を除いて位相空間を分類する代数的不変量を求めることであるが、普通はホモトピー同値を除いて大まかな分類を得ることが目的となる。
そのような不変量として最も重要なのがホモトピー群、ホモロジー群およびコホモロジー群である。
代数的位相幾何学では位相的問題を調べるのに代数学を用いることが主だけれども、位相を用いて代数的問題を解くということも時には可能である。例えば代数的位相幾何学で「自由群の任意の部分群がまた自由となること」を簡便に示すことができる。