リー代数
と整合している線型写像を言う。リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} とイデアル I が与えられると、環の理論のように、イデアルはちょうど準同型の核であり、商代数 (factor algebra) g / I {\displaystyle {\mathfrak {g}}/I} を構成することができ、リー代数に対しても同型定理が成り立つ。
S を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の部分集合とする。S の全ての元 s に対し [ x , s ] = 0 {\displaystyle [x,s]=0} となるような元 x 全体の集合は、S の中心化部分代数(英語版) (centralizer) を構成する。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 自身の中心化代数は、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の中心と呼ばれる。中心化と同様に、S の全ての元 s に対し [ x , s ] {\displaystyle [x,s]} が S の元となるような x の集合は、S の部分代数を構成する。この部分代数は S の正規化部分代数 (normalizer of S) と呼ばれる。
複零性: [ x , x ] = 0 ( ∀ x ∈ L ) {\displaystyle [x,x]=0\quad (\forall x\in L)}
を満たす二項演算 [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} を備えるものを言う
2つのリー環 L1, L2 の間の写像 f: L1 → L2 がリー環準同型であるとは、それがリー環の2つの演算を保つときにいう。即ちリー環準同型 f は
f ( x + 1 y ) = f ( x ) + 2 f ( y ) f ( [ x , y ] 1 ) = [ f ( x ) , f ( y ) ] 2 ( ∀ x , y ∈ L 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+_{1}y)&=f(x)+_{2}f(y)\\f([x,y]_{1})&=[f(x),f(y)]_{2}\end{aligned}}\quad (\forall x,y\in L_{1})}
を満たす(演算の下付き添字はそれぞれの空間における演算であることを示す)。
任意のリー群 G から、付随する実リー代数 g = Lie  ( G ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)} が定義される。一般の定義はいくらか技術的であるが、実行列群の場合には、指数写像、すなわち行列の指数関数を通じて構成することができる。リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} は、全ての実数 t に対して exp(tX) ∈ G となるような行列 X 全体からなる。
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のリーブラケットは行列の交換子により与えられる。具体的な例として、成分が実数で行列式が 1 の n × n 行列からなる特殊線型群 SL(n, R) を考える。これは行列リー群であり、そのリー代数は、実数を成分とするトレースが 0 の n × n 行列全体からなる。
ここで L = ⨁ G i / G i + 1 {\displaystyle L=\bigoplus G_{i}/G_{i+1}} と置けば、L の直和成分ごとの群演算(各直和因子はそれぞれアーベル群であることに注意)を加法とし、括弧積を [ x G i , y G j ] = ( x , y ) G i + j {\displaystyle [xG_{i},yG_{j}]=(x,y)G_{i+j}\ } を線型に拡張したもので定めて L はリー環になる。ここで、交換子の定める括弧積が、リー環で言うところの括弧積の性質を持つことに、列の中心性が効いてくることに注意。