ショートレートモデル
以下は、単一の確率的ファクター、つまりショートレートが全ての利子率の将来の変動を決定するワンファクターモデルである。利子率の平均回帰的性向を表現しないRendleman–Bartterとホー–リーモデル以外はオルンシュタイン–ウーレンベック過程の特別ケースと考えることが出来る。バシチェックモデル、Rendleman–Bartterモデル、CIRモデルは自由パラメーター(英語版)の数が有限であり、ゆえにモデルを観測された市場価格と一致させるような方法("カリブレーション")を用いてこれらのパラメーターを特定することが出来ない。この問題はパラメーターが時間によって確定的に変動することを許容すれば克服される。この方法でホー–リーモデルとそれに続くモデルは市場データからカリブレーションを行うことが出来る。つまり、これらのモデルはイールドカーブからなる債券価格を正確に導出することができる。ここで、これらのモデルは通常ショートレートの2項ツリーを用いて実装される。
マートンモデル (1973) においてはショートレートは r t = r 0 + a t + σ W t ∗ {\displaystyle r_{t}=r_{0}+at+\sigma W_{t}^{*}} となる。ここで W t ∗ {\displaystyle W_{t}^{*}} はスポットのリスク中立測度の下における1次元のブラウン運動である。
ショートレートモデル(英: short-rate model)とは、金利デリバティブの文脈において、通常 r t {\displaystyle r_{t}\,} と書かれるショートレートの将来の変動を記述する事によって将来の利子率の変動を表す数理モデルである。
ショートレートモデルにおいて、確率的な状態変数は瞬間的なスポットレートの形を取る 。ショートレート r t {\displaystyle r_{t}\,} はこの時、(年率換算での連続複利の)利子率であり、その利子率において、主体は無限に小さい時間の合間 t {\displaystyle t} において金銭を借りることができる。現在のショートレートを特定する事はイールドカーブ全体を特定することではない。しかしながら、無裁定価格理論によって、いくつかの公正で緩い技術的条件の下において、もしリスク中立測度 Q {\displaystyle Q} の下で確率過程として r t {\displaystyle r_{t}\,} の変動をモデル化できたならば、時点 t {\displaystyle t} における満期 T {\displaystyle T} 額面 1 のゼロクーポン債の価格は以下のように与えられる。