エルゴード定理
フォン・ノイマンはL(Ω)ノルムの意味で収束、すなわち二乗平均収束(mean converge)で時間平均が存在するという平均エルゴード定理(mean ergodic theorem)を示した。
Ωにおいて2乗可積分な複素数値関数ρ(x) ∈ L(Ω)に対し
lim n → ∞ ∫ Ω | 1 n ∑ i = 1 n ρ ( x i ) − ρ ∗ ( x ) | 2 d x = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }\left|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (x_{i})-\rho ^{\ast }(x)\right|^{2}\,dx=0}
すなわち
ρ ∗ ( x ) = s -  lim n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n ρ ( x i ) {\displaystyle \rho ^{\ast }(x)=\operatorname {s-} \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\rho (x_{i})}
ここでは力学における相空間を想定し、領域をn次元ユークリッド空間Rにおける有界領域Ωとする。実際の物理系でも空間的制約や第一積分などの束縛条件により、相空間上の代表点の運動は有界領域に限られることが多い。同じ力学系で記述される相空間内の代表点の時間発展は位相流体として非圧縮性な定常流を成している。出点x =x0 ∈ Ωを選ぶと流れに沿ってi 単位時間ごと(i =0,± 1,± 2,...)の位置
... , x − 2 , x − 1 , x 0 , x 1 , x 2 , ... {\displaystyle \dotsc ,x_{-2},x_{-1},x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc }
が定まる。また定常という言葉は、時間の取り方に点の移動が不変すなわち x n = x ^ {\displaystyle x_{n}={\hat {x}}} なる点において
x n + m = x ^ m = ( x n ) m {\displaystyle x_{n+m}={\hat {x}}_{m}=(x_{n})_{m}}
が成り立つ、つまり群の性質を有する。非圧縮性は位相体積不変を表すリウヴィルの定理を意味する。