円分多項式
n 乗して初めて 1 になる条件は k と n が互いに素なことであるため、冒頭の定義が与えられる。定義からすぐに得られる帰納的関係式
Φ n ( x ) = x n − 1 ∏ d ∣ n d ≠ n Φ d ( x ) {\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod \limits _{d\mid n \atop d\neq n}\Phi _{d}(x)}}}
またはメビウスの反転公式により得られる
Φ n ( x ) = ∏ d ∣ n ( x n d − 1 ) μ ( d ) {\displaystyle \Phi _{n}(x)=\textstyle \prod \limits _{d\mid n}(x^{\frac {n}{d}}-1)^{\mu (d)}}
が計算上は有用である。