グリーン関数 (多体理論)
以上は基底状態におけるグリーン関数であり、絶対温度が 0 K である場合のみ使える。有限温度では期待値のとり方を密度行列を使った平均値にすればよい。このグリーン関数は時間だけでなく温度にも依存し、温度グリーン関数(または松原グリーン関数;temperature Green's function) G A . B τ {\displaystyle G_{A.B}^{\tau }} という。温度グリーン関数は1955年に松原武生によって提案されたもので、次のように定義される。
G A . B τ = − ⟨ T r [ A ^ ( τ ) B ^ ( τ ′ ) ] ⟩ {\displaystyle G_{A.B}^{\tau }=-\langle T_{r}[{\hat {A}}(\tau ){\hat {B}}(\tau ')]\rangle }
ここで ⟨ ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot \rangle } はグランドカノニカル平均、 A ^ ( τ ) = e H ^ τ / ħ A ^ e − H ^ τ / ħ {\displaystyle {\hat {A}}(\tau )=e^{{\hat {H}}\tau /\hbar }{\hat {A}}e^{-{\hat {H}}\tau /\hbar }} はハイゼンベルク表示を虚時間に拡張したものである。