リー微分
i X ( ω ∧ η ) = ( i X ω ) ∧ η + ( − 1 ) k ω ∧ ( i X η ) {\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )}
を満たす。ここで、ω ∈ ∧(M) および微分形式 η は任意。もちろん、M 上の任意の実または複素数値の関数を 0 次微分形式 f ∈ ∧(M) と見なして
i f X ω = f i X ω {\displaystyle i_{fX}\omega =fi_{X}\omega }
が従う。外微分とリー微分の関係は以下のようにまとめられる。まず通常の関数 f に対しては、そのリー微分はベクトル場 X に関する外微分の縮約
L X f = i X d f {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}df}
である。一般の微分形式 ω に対しても、同様にそのリー微分は X の変分を考慮にいれた縮約
L X ω = i X d ω + d ( i X ω ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega )} .
である。また、積の微分法則は
L f X ω = f L X ω + d f ∧ i X ω {\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega }
によって与えられる。