終域
値域と終域との違いを見るもう一つの例として、線型空間の間の線型写像を考えよう。特に R からそれ自身への任意の線型変換を考えれば、それは実数を成分とする 2 × 2 正方行列によって表すことができる。そのような行列はどれも 定義域が R で終域が R であるような写像を表すのだけれども、値域は未知である。値域が終域に一致する変換(これはフルランクつまり階数 2の場合)もあれば、そうでなくより小さい線型部分空間に写る場合(階数 1 や 0 の行列)もある。例えば行列 T が
T = ( 1 0 1 0 ) {\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}}
で与えられるものとすると、これは点 (x, y) を (x, x) へ写す線型変換を表す。点 (2, 3) は T の値域には属さないが、終域には属する(いまは明示的に R から R への線型変換を考えている。すべての 2 × 2-行列がそうであるように、T もそのような線型変換を表している)。
値域と終域が異なるということが、しばしば考えている写像の性質を発見するのに有効となり得る。例えば、先の T は終域よりも真に小さい値域を持つから、フルランクではない。