CFL条件
実際の現象を速さ(特性速度)の大きさが C の波動であるとする。この現象は次の移流方程式で記述される:
∂ u ∂ t + C ∂ u ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+C{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}
この方程式を時間ステップ幅Δt 、格子幅Δx として、時間微分に1次精度陽解法、空間微分に1次精度風上差分を用いて離散化すると、
u i n + 1 − u i n Δ t + C u i n − u i − 1 n Δ x = 0 {\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+C{\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0}
すなわち
u i n + 1 = u i n − C Δ t Δ x ( u i n − u i − 1 n ) {\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-{\frac {C\Delta t}{\Delta x}}(u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n})}
となる。このとき、情報が伝播する速さはΔx /Δt、実際の波の速さの大きさはCであるから
Δ x Δ t > C {\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta t}}>C}
がCFL条件となる。この式を無次元数であるクーラン数 C Δt /Δx を使って、「クーラン数は1より小さくなければならない」と表現することもある。