最小の非可算順序数
任意の順序数は、順序位相の入った位相空間と捉えることができる。位相空間 [0,ω1) および [0,ω1] は、いくつかの興味深い性質を持っている。
[0,ω1) は点列コンパクトであるがコンパクトではない。任意の距離空間においてその二つは同値であるから、[0,ω1) は距離化不可能である。
可算コンパクトではあるため、 [0,ω1) はコンパクトでない可算コンパクト空間の例になっている。
[0,ω1) は第一可算公理を満たすが可分でも第二可算的でもない。
ω1 は[0,ω1) の極限点であるが、 [0,ω1) 内の可算な点列で ω1 に収束するものは存在しない。なぜなら、可算集合の可算和はまた可算集合になるからである。よって [0, ω1] においてω1 は可算な基本近傍系を持てず、[0, ω1] は第一可算公理を満たさない。
ω1 から実数 R {\displaystyle \mathbb {R} } への任意の連続関数 f は、ある順序数から先が定数関数になる。即ち、ある β ∈ ω 1 {\displaystyle \beta \in \omega _{1}} と実数 c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } が存在して、 β < α {\displaystyle \beta <\alpha } ならば f ( α ) = c {\displaystyle f(\alpha )=c} となる。
他にも ω1 は、長い直線やTychonoff plankといった、位相空間論における重要な反例を作り出すために用いられている。