算術の超準モデル
超積モデルは非可算となることが知られている。このことを見るには N {\displaystyle \mathbb {N} } の無限直積から超積モデルへの単射を構成すればよい。他方でレーヴェンハイム-スコーレムの定理により、算術の可算な超準モデルが存在しなければならない。構成法の一つとしてヘンキン構成を用いた方法がある。
・定理
算術の超準モデルの順序構造は、ある端点を持たない稠密全順序集合 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} を用いて、 N ⊕ Z × Q {\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} \times {\mathcal {Q}}} と表せる。
特に、可算超準モデルの場合、上の表示において、 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} は可算となるので、端点を持たない稠密全順序の理論(DLO)の可算範疇性より、 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } と同型となる。したがって可算超準モデルの順序構造は N ⊕ Z × Q {\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} \times \mathbb {Q} } と表せる。
・証明
いま M {\displaystyle M} を算術の超準モデルとする。