デデキントゼータ関数
が成立するので、 F n {\displaystyle F_{n}} は、n を2つの平方数の和で表す方法の数の4倍に等しい。慣例に従って、2つの平方数の和で表す方法の数を r 2 ( n ) {\displaystyle r_{2}(n)} と書くと、
ζ K ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 / 4 ) r 2 ( n ) n s {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(1/4)r_{2}(n)}{n^{s}}}}
と表される。
さて、K は二次体であるので、 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} は、リーマンゼータ関数と、クロネッカー指標からなるディリクレL関数の積で表される。 K = Q ( − 1 ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})} のクロネッカー指標を具体的に求めることにより、
任意の整イデアルは、素イデアルの積で表すことができるので、デデキントゼータ関数は、以下のオイラー積表示を持つ。
Re  s > 1 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>1} のとき、
ζ K ( s ) = ∏ p 1 1 − ( N p ) − s {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-(N{\mathfrak {p}})^{-s}}}} 。
ただし、積は K の素イデアル全てを動くものとする。