スターク予想
ガロア群 G の複素数体上の有限次表現を一つ取り、V をその表現空間、χ をその指標とする。(S 部分を除外した)アルティン L 函数を
L S ( s , χ ) = ∏ p ∉ S d e t ( 1 − F r o b p N p − s ∣ V I p ) − 1 {\displaystyle L_{S}(s,\chi )=\prod _{{\mathfrak {p}}\notin S}\mathrm {det} \left(1-\mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}N{\mathfrak {p}}^{-s}\mid _{V^{I{\mathfrak {p}}}}\right)^{-1}}
と定義する。ここで、有限素点 p に対し Ip ⊂ G は p の惰性群、V はこれによる不変部分空間、Frobp ∈ G は p のフロベニウス元(の一つ)、Np は p の絶対ノルム(英語版)である。この函数は有理型に解析接続され、s = 0 で正則になる。
この L 函数の s = 0 でのテイラー展開の先頭係数を CS(χ) と書く。つまり、s = 0 でのこの函数の位数を rS(χ) とするとき、s = 0 の近傍で
L S ( s , χ ) = C S ( χ ) s r S ( χ ) + O ( s r S ( χ ) + 1 ) {\displaystyle L_{S}(s,\chi )=C_{S}(\chi )s^{r_{S}(\chi )}+O(s^{r_{S}(\chi )+1})}
が成り立つような複素数として CS(χ) を定義する(O はランダウの記号)。