代数幾何学と解析幾何学
f を固有とすると、この写像は同型となる。また、この場合には、全ての高次順像について同型 ( R i f ∗ F ) a n ≅ R i f ∗ a n F a n {\displaystyle (R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }} が成り立つ。
ここで、X がハウスドルフかつコンパクトとする。 F , G {\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}} が 2つとも ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 上の連接な代数的な層で、 f : F a n → G a n {\displaystyle f:{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }} が O X a n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }} 加群の層の写像とすると、f = φ をもつ一意な層の写像 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 加群 φ : F → G {\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}} が存在する。
全ての φ: X → Y に対し、上で定義された写像 φ は解析空間の写像である。さらに写像 φ ↦ φ は、開埋め込みを開埋め込みへと写像する。X = Spec(C[x1,...,xn]) に対し、X = C と全ての多重円板(polydisc) U に対する O X a n ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)} は、U 上の正則函数の空間の適当な商となる。
全ての X 上の層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} (代数的層という)に対し、X 上の層 F a n {\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }} (解析的層という)と層の写像 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modules λ X ∗ : F → ( λ X ) ∗ F a n {\displaystyle \lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }} が存在する。