特異値分解
行列 M {\displaystyle M} を、ある特定の階数 r {\displaystyle r} を持つ別の行列 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} で近似すると便利な場合がある。この場合の近似を rank  ( M ~ ) = r {\displaystyle \operatorname {rank} ({\tilde {M}})=r} という条件の下で M {\displaystyle M} と M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} の差(フロベニウスノルム)が最小なものという意味であるとすると、行列 M {\displaystyle M} の特異値分解によって、 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} を求めることができる。すなわち、
M ~ = U Σ ~ V ∗ {\displaystyle {\tilde {M}}=U{\tilde {\Sigma }}V^{*}}
ここに、 Σ ~ {\displaystyle {\tilde {\Sigma }}} は、 Σ {\displaystyle \Sigma } から大きい方から数えて r {\displaystyle r} 個の特異値を残して、それ以外の特異値を零とおいたもの。