球面
「球面は正の一定ガウス曲率を持つ」 [注釈] ガウス曲率は二つの主曲率の積である。ガウス曲率は、曲面上の長さや角度を測ることで決定され、その曲面の空間への埋め込みの仕方に依らないという意味で、曲面の持つ内在的な性質である。したがって、曲面を曲げてもガウス曲率は変わらず、またほかの正の一定ガウス曲率を持つ曲面は球面に小さな切れ目を入れてそれを曲げることで得ることができる。そうして得られた球面以外の曲線は境界を持ち、球面は境界を持たない正の一定ガウス曲率を持つ唯一の曲面となる。擬球面(英語版)は負の一定ガウス曲率を持つ曲面の例である。
「剛体運動の三径数族によって球面は球面自身に変形される」 [注釈] 原点を中心とする単位球面について、任意の座標軸回りの回転でこの球面は自身に写る。原点を通る任意の直線周りの回転は、三座標軸周りの回転の組み合わせで表すことができる(オイラー角の項を参照)から、先の球面をそれ自身に写す任意の回転からなる回転の三径数族が存在する(この族は三次元回転群 SO(3) である)。ほかに変換の三径数族を持つ曲面は、平面(この場合の族は、x-軸および y-軸に沿った平行移動と原点を中心とする回転で径数付けられる)に限る。円筒は剛体運動のに径数族を持つ唯一の曲面であり、一径数族を持つ曲面は回転曲面および螺旋面(英語版)に限る。