フロベニウス自己準同型
多項式
x − x − 1
の判別式は
19 × 151,
であるので、素数 3 上で不分岐である。また、mod 3 で既約でもある。従って、3-進数 Q3 の体への根 ρ の添加は、Q3 の不分岐拡大 Q3(ρ) を与える。ρ に最も近い根をとることによりフロベニウス写像の ρ の像を見つけることができ、この方法をニュートン法(Newton's method)と呼ばれることもある。このようにして、整数の環 Z3[ρ] の元である、3-進整数に係数を持つ ρ で次数 4 を持つ多項式である。この多項式は、modulo 3 では、
ρ 3 + 3 ( 460 + 183 ρ − 354 ρ 2 − 979 ρ 3 − 575 ρ 4 ) {\displaystyle \rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})}
である。
これは Q 上の代数的数であり、Q の Q3 への埋め込みのことばで、大域的フロベニウスの像を正しく表したものである。さらに、係数は代数的であり、結果は代数的に表すことができる。しかし、これらはガロア群の位数である次数は 120 であり、p-進の結果が成り立てば、明らかに計算が非常に簡単に遂行できるという結果を示している。
F X / S g = 1 X × F S − 1 {\displaystyle F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}}
で定義される。これは 1X による F S − 1 {\displaystyle F_{S}^{-1}} のベースチェインジである。
上の A と R の例につづいて、幾何学的フロベニウスは
∑ i ( ∑ α a i α X α ) ⊗ b i ↦ ∑ i ∑ α a i α b i 1 / p X α {\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }}
であると定義される。 { f j ( 1 / p ) } {\displaystyle \{f_{j}^{(1/p)}\}} の項で R を書き換えた後、幾何学的フロベニウスは
∑ a α X α ↦ ∑ a α 1 / p X α {\displaystyle \sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }}
となる。
代数的整数論では、フロベニウス元(Frobenius elements)は、有限次ガロア拡大L/Kにおいて不分岐な L の素イデアル Φに対して定義である。拡大は不分岐であるので、Φ の分解群は剰余体の拡大のガロア群である。よって局所的な場合のように、フロベニウス元は L の整数環の元に対して次のように定義することができる。
s Φ ( x ) ≡ x q mod Φ {\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi }
ここに q は剰余体 OK/(Φ ∩ OK) の位数である。
フロベニウスの持ち上げはp-微分(英語版)(p-derivations)に対応している。