フレドホルムの交代定理
( ∗ ∗ ) u = 0 on ∂ Ω . {\displaystyle (**)\qquad u=0\qquad {\text{on }}\partial \Omega .}
ここで Ω ⊆ R は滑らかな境界を持つ有界集合で、h(x) は固定された函数(シュレディンガー作用素の場合は、ポテンシャル)である。函数 f ∈ X は、変化させることの出来るデータで、それに対して方程式の解を求めることを考える。ここで X を、Ω 上のすべての自乗可積分函数からなる空間 L(Ω) とし、dom(L) は、ソボレフ空間 W (Ω) ∩ W0(Ω)(Ω 上の自乗可積分函数で、1階および2階の弱微分が存在し、それらも自乗可積分であるものからなる空間)とする。さらに ∂Ω 上ではゼロ境界条件が満たされるものとする。
X が(今回の例のように)適切に選ばれるなら、μ0 >> 0 に対して作用素 L + μ0 は正となり、楕円型評価を利用することで、L+μ0 : dom(L) → X は全単射かつその逆はコンパクトで、像が dom(L) と等しいような至る所で定義される X から X への作用素 K であることが分かる。そのような μ0 を固定する。しかしそれは道具に過ぎないので、その値は重要ではない。
このとき、前述のコンパクト作用素に対するフレドホルムの交代定理を、境界値問題 (*)-(**) の可解性に関する内容に変えることが出来る。上述のように、フレドホルムの交代定理では次のことが主張される: