アデール環
これらは、ラングランズ・プログラムで中心的な役割を果たし、体のガロア群の有限次表現の研究となり、類体論の非可換拡大の研究のひとつとなっている。
この理論の別の発展は、アデール的線型代数群の玉河数(英語版)(Tamagawa number)に関連している。玉河数は、G(Q) を G(A) へ関連付ける体積測度で、言わば、どのようにして G(A) の中の離散群である G(Q) を G(A) の中にあるのかということを測る数値である。玉河数についてのヴェイユの予想(英語版)(Weil conjecture on Tamagawa numbers)は、単連結な G に対して玉河数は常に 1 であろうという予想であった。この予想はヴェイユの現代的な二次形式の理論の扱いから来ている。証明は場合によって異なり、数十年を要し、最終的には1988年ロバート・コットウィッツ(英語版)(Robert Kottwitz)、1989年の V. I. チェルノウソフ(V. I. Chernousov)により得られた。玉河数の考え方の影響は、バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想の定式化の中で使うことを通して、また、スペンサー・ブロッホ(英語版)(Spencer Bloch)や加藤和也や他の多くの数学者によって開拓された玉河数予想を通して、アーベル多様体の数論の中に生きている。