完全数
σ(K) = 2a とおき、上の式に代入して両辺を 2 で割れば
( 2 n + 1 − 1 ) a = K {\displaystyle \left(2^{n+1}-1\right)a=K}
となる。
もし a ≠ 1 なら、1、 a、 (2 − 1)a は K の相異なる約数のため、
σ ( K ) ≧ 1 + a + ( 2 n + 1 − 1 ) a = 2 n + 1 a + 1 = σ ( K ) + 1 {\displaystyle \sigma \left(K\right)\geqq 1+a+\left(2^{n+1}-1\right)a=2^{n+1}a+1=\sigma \left(K\right)+1}
となり矛盾する。ゆえに、a = 1 でなければならない。したがって、N が偶数の完全数であるためには、
K = 2 n + 1 − 1 {\displaystyle K=2^{n+1}-1} かつ σ ( K ) = 2 n + 1 = K + 1 {\displaystyle \sigma \left(K\right)=2^{n+1}=K+1}
でなければならない。σ(K) = K + 1 より、K は K と 1 以外に約数がない素数でなければならない。
ゆえに、N が偶数の完全数であるのは、 N = 2(2 − 1)(ただし 2 − 1 は素数)の形のときに限られる。Q.E.D.