離散群
フリーズ群(英語版)や文様群はユークリッド平面の等長変換群(英語版)の離散部分群である.文様群は余コンパクトであるが,フリーズ群はそうでない.
結晶群(英語版)は通常ユークリッド空間の等長変換群の余コンパクト離散部分群を意味するが,冪零(英語版)あるいは可解リー群(英語版)の余コンパクト離散部分群を意味することもある.
すべての三角形群(英語版) T は,球面の(T が有限のとき),ユークリッド平面(T が有限指数の Z + Z 部分群をもつとき),あるいは双曲平面(英語版)の,等長変換群の離散部分群である.
フックス群(英語版)は,定義により,双曲平面の等長変換群の離散部分群である. 向きを保ち双曲平面の上半平面モデルに作用するフックス群はリー群 PSL(2, R), 双曲平面の上半平面モデルの向き付けを保つ等長変換の群,の離散部分群である. フックス群を,双曲平面を3次元双曲空間に等長に埋め込み,平面上の群作用を空間全体に拡張することによって,クライン群(英語版)の特別な場合と考えることがある. モジュラー群 PSL(2, Z) は PSL(2, R) の離散部分群と考えられる.モジュラー群は PSL(2, R) における格子であるが,余コンパクトではない.
クライン群(英語版)は,定義により,3次元双曲空間(英語版)の等長変換群の離散部分群である.擬フックス群(英語版)はクライン群である. 向きを保ち3次元双曲空間の上半空間(英語版)モデルに作用するクライン群はリー群 PSL(2, C), 3次元双曲空間の上半空間モデルの向きを保つ等長変換の群,の離散部分群である.
リー群の格子は商空間のハール測度が有限な離散部分群である.