代数多様体
平面 A C 2 {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}} 上、1つの多項式 F(x1, x2) で定義されたアフィン代数多様体を平面曲線というが、平面曲線は微分が消えていない点のまわりでは通常の意味での多様体(C 上ならばリーマン面)になっている(陰関数定理)。しかし、この位相空間は一般にコンパクトにならない。平面曲線の場合、方程式 f(x1, x2) = 0 から定まる代数関数 (algebraic function) は、解析接続およびリーマンの除去可能特異点定理により、この平面曲線から有限個の点(特異点)を取り除きコンパクト化したリーマン面 S 上の有理型関数としてとらえられ、代数関数全体のなす体、つまり1変数の有理関数体の f による拡大体 K = C(x1)[x2]/(f) は、このコンパクトリーマン面 S の有理型関数全体のなす体 M(S) と自然に同形になる。更に、コンパクトなリーマン面 S の同型類はその上の有理型関数体 M(S) と1対1に対応している。
この代数関数論から、より高次元の代数多様体を考えるにあたっては代数多様体としてはコンパクトなものを考え、その上の関数としては有理型関数あるいはコンパクトなもの同士の間の正則写像を考えると都合が良い、という教訓が得られる。この要請を満たす代数多様体は射影空間の中で定義される射影代数多様体として実現できる。
従って、X の次元は n = trans. deg k k(X) と定めるべきである。
この定義には、解決すべきいくばくかの問題がある。1つ目は、体 k が複素数体であるときの代数多様体は、滑らかな点(定義後述)の周りで複素多様体になるが(陰関数定理)、代数多様体としての次元の定義が複素多様体の次元の定義(すなわち、接空間のベクトル空間としての次元)と一致するかという問題である。この問題は上記の直感的説明を厳密化することで解決できる(次節接空間と滑らかさ参照)。
もうひとつの問題は、上の次元の定義は一般のスキームには拡張不能であるということである。一般のスキームの次元は、ネーター次元(可換環論のクルル次元; Krull diemension に対応)で定義される。以下、代数多様体のネーター次元を定義し、上記の次元の定義がネーター次元と一致することを説明する。代数多様体 X の閉部分集合の真の減少列
X = Z 0 ⊃ Z 1 ⊋ ⋯ ⊋ Z r ⊋ ⋯ {\displaystyle X=Z_{0}\supset Z_{1}\supsetneq \cdots \supsetneq Z_{r}\supsetneq \cdots }
代数多様体(だいすうたようたい、algebraic variety)は、最も簡略に言えば、多変数多項式からなる連立方程式の解集合として定義される図形である。代数幾何学の最も主要な研究対象であり、デカルトによる座標平面上の解析幾何学の導入以来、多くの数学者が研究してきた数学的対象である。主にイタリア学派による射影幾何学的代数多様体、代数関数論およびその高次元化に当たるザリスキおよびヴェイユによる付値論的抽象代数多様体などの基礎付けがあたえられたが、20世紀後半以降はより多様体論的な観点に立脚したスキーム論による基礎付けを用いるのが通常である。
本項では、スキーム論的な観点に立ちつつ、スキーム論を直接用いず代数多様体を定義しその性質について述べる。また議論を簡潔にするのため特に断らない限り体 k は代数的閉体であると仮定する(体 k が代数的閉であるという条件を除去するために必要な考察についてはスキーム論へ向けてを参照)。
一般の代数多様体は、普通の多様体と同様、アフィン代数多様体の貼り合わせとして定義される。貼り合わせを定義するために、アフィン代数多様体の開集合について少し述べる。
アフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} の中で定義されるアフィン代数多様体 V = V(P) (P は多項式環の素イデアル)の閉部分集合は、P を含むイデアル I を用いて V(I) で与えられる。従って、V の開集合は、DV(I) = V \ V(I) と書ける。特に、I = P + (f) と書けるイデアル、すなわち、I が P と f で生成されたイデアルのとき、DV(I) を DV(f) と書く事にする。f が P に含まれない元を動くとき、上述 (Z3) によって
D V ( I ) = ⋃ f ∈ I D V ( f ) {\displaystyle D_{V}(I)=\bigcup _{f\in I}D_{V}(f)}
となるので、DV(f) は V の位相の基底になる。更に、Vf をひとつ次元の大きいアフィン空間 A k n + 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n+1}} の中で、イデアル I + (xn+1 . f − 1) で定義されるアフィン代数多様体とすると、自然な射影 (x1, ..., xn, xn+1 ) → (x1, ..., xn) は同相写像 Vf → DV(f) を与える。