対称群
γ : G → Sym  ( G ) ; g ↦ γ g δ : G → Sym  ( G ) ; g ↦ δ g σ : G → Sym  ( G ) ; g ↦ σ g {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &\colon G\to \operatorname {Sym} (G);\ g\mapsto \gamma _{g}\\\delta &\colon G\to \operatorname {Sym} (G);\ g\mapsto \delta _{g}\\\sigma &\colon G\to \operatorname {Sym} (G);\ g\mapsto \sigma _{g}\end{aligned}}}
は群の準同型であり、これにより群 G の元は G 自身の上の置換群の元として表される。これが群の置換表現である。
置換表現を一元体上の線型表現と看做して表現論の一般論に組み込む試みが見られる。