線型微分方程式
ω を代数方程式 F(t) = 0 の根とすれば、指数関数 exp(ωx) は d exp(ωx)/dx = ωexp(ωx) を満たすから、
F ( d d x ) e x p ( ω x ) = F ( ω ) e x p ( ω x ) = 0 {\displaystyle F\left({\frac {d}{dx}}\right){\rm {exp}}(\omega x)=F(\omega ){\rm {exp}}(\omega x)=0}
となり、y = exp(ωx) は元の常微分方程式の解である。ただし、f (d/dx) は、多項式 f (t) の t を d /dx に置き換えた微分作用素である。
特性多項式 F(t) が重根を持たなければ、線型代数学でよく知られた事実により集合 {exp(ωx) | ω は F(t) の根} は元の常微分方程式の解を生成する。重根を持つならば xexp(ωx) などがさらに必要となる。