グリーンの恒等式
}
この積分の中の第二項は、問題が適切であるような領域 U の境界に対するグリーン函数として G が選ばれる(ディリクレ境界条件)とき、消える。すなわち
ψ ( η ) = ∮ ∂ U ψ ( y ) ∂ G ( y , η ) ∂ n d S y {\displaystyle \psi (\mathbf {\eta } )=\oint _{\partial U}\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } )}{\partial \mathbf {n} }}\,dS_{\mathbf {y} }}
となる。この形式はディリクレ境界条件の問題に対する解を構成する際に用いられる。ノイマン境界条件の問題に対する解を見つけるためには、境界上で法線微分が消失するようなグリーン函数を代わりに用いればよい。
さらに上述の恒等式は、 ψ がヘルムホルツ方程式あるいは波動方程式の解で、G が適切なグリーン函数の解である場合にも適用される。そのような文脈において、この恒等式はホイヘンス=フレネルの原理の数学的表現となる。