アイソスピン
τ 1 = ( 0 1 1 0 ) , τ 2 = ( 0 − i i 0 ) , τ 3 = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle \mathbf {\tau } ^{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}},~\mathbf {\tau } ^{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\end{pmatrix}},~\mathbf {\tau } ^{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}}
を用いて表すことができて、角度を ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} とすると、
U = exp  ( ω → ⋅ τ → / 2 ) {\displaystyle U=\exp({\vec {\omega }}\cdot {\vec {\tau }}/2)}
である。 ここで、 I → = τ → / 2 {\displaystyle {\vec {I}}={\vec {\tau }}/2} とすると、 I → {\displaystyle {\vec {I}}} は角運動量代数
[ I x , I y ] = i I z , [ I y , I z ] = i I x , [ I z , I x ] = i I y {\displaystyle [I_{x},I_{y}]=iI_{z},~[I_{y},I_{z}]=iI_{x},~[I_{z},I_{x}]=iI_{y}}
を満たす。
I → {\displaystyle {\vec {I}}} を角運動量代数を満たす演算子として核子以外にも拡張したものがアイソスピン演算子である。 I → 2 {\displaystyle {\vec {I}}^{2}} の固有値は I ( I + 1 ) {\displaystyle I(I+1)} となり、 I z {\displaystyle I_{z}} の固有値は、 − I , − I + 1 , .
アイソスピン (isospin) は、ハドロンの持つ量子数の一つである。 クォークモデルの確立により、アイソスピンもクォークへと拡張されている。