ハイネの和公式
ハイネの変換式はq二項定理から導かれる。
2 F 1 [ a , b c ; 1 ] = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) ( R a + R b < R c , c ∉ Z ∖ N ) {\displaystyle _{2}F_{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};1\right]={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}\qquad (\Re {a}+\Re {b}<\Re {c},c\not \in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} )}
の q-類似となっている。
ハイネの和公式は、次のハイネの変換式(Heine's transformation)から導くことができる。
2 φ 1 [ a , b c ; q , z ] = ( b ; q ) ∞ ( a z ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ 2 φ 1 [ c b , z a z ; q , b ] {\displaystyle _{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,z\right]={\frac {(b;q)_{\infty }(az;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }(z;q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{b}},z\\az\end{matrix}};q,b\right]}