環上の多元環
R を可換環とするとき、R 上の多元環 (R-algebra) とは、R-加群 A であって、A の乗法と呼ばれる双線型な二項演算
[ ∙ , ∙ ] : A × A → A {\displaystyle [\bullet ,\,\bullet ]\colon A\times A\to A}
を備えたものを言う。即ち A の乗法は任意のスカラー a, b ∈ R と任意の元 x, y, z ∈ A について
双線型性: [ a x + b y , z ] = a [ x , z ] + b [ y , z ] , [ z , a x + b y ] = a [ z , x ] + b [ z , y ] {\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}
を満たす。