リーマンゼータ関数
ゼータ関数を解析接続するためには、オイラーが導入したガンマ関数 Γ (s) が必要となる。ガンマ関数 Γ (s) は、Re s > 0 となる複素数の範囲で、
Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ e − t t s − 1 d t {\displaystyle \varGamma (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,t^{s-1}\,{\rm {d}}t}
のように定義されており、ここにおいて t = nx と変数を変換し、積分変数を x と決定すれば、
1 n s = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ e − n x x s − 1 d x {\displaystyle {\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\varGamma (s)}}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,x^{s-1}\,{\rm {d}}x}
となる。これをゼータ関数に代入したとき、被積分関数は広義一様に絶対収束するため項別に積分する(極限と積分を入れ替える)ことができて、
ζ ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\varGamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}
となる。これによって、リーマンゼータ関数 ζ (s) が積分によって表示された。
まず、ゼータ関数が Re s > 1 のもとで絶対収束することを以下に証明する。
ゼータ関数において変数を s = a + bi と定め、これらを実部と虚部に分解すれば、
n − s = n − a n − i b = n − a e − i b log  n {\displaystyle n^{-s}=n^{-a}\,n^{-ib}=n^{-a}\,e^{-ib\log n}}
である。このために |n| = n である。特に n ≤ t ≤ n + 1 において a > 1 ならば、n > 0 かつ t > 0 であるから、
n − a ≥ t − a ≥ ( n + 1 ) − a ⟺ ∫ n n + 1 n − a d t ≥ ∫ n t = n + 1 t − a d t ≥ ∫ n n + 1 ( n + 1 ) − a d t ⟺ n − a ≥ ∫ n n + 1 t − a d t ≥ ( n + 1 ) − a {\displaystyle {\begin{aligned}&n^{-a}\geq t^{-a}\geq (n+1)^{-a}\\&\Longleftrightarrow \int _{n}^{n+1}n^{-a}\,{\rm {d}}t\geq \int _{n}^{t=n+1}t^{-a}\,{\rm {d}}t\geq \int _{n}^{n+1}(n+1)^{-a}\,{\rm {d}}t\\&\Longleftrightarrow n^{-a}\geq \int _{n}^{n+1}t^{-a}\,{\rm {d}}t\geq (n+1)^{-a}\end{aligned}}}
ζ ( − n ) = ( − 1 ) n B n + 1 n + 1 {\displaystyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}\,B_{n+1}}{n+1}}}
しかるに複素数 s が負の偶数であれば ζ (s) = 0 であり、これらをリーマンゼータ関数の 自明な零点 と呼ぶ。これらの表示はオイラーによる。具体的には、
ζ ( 0 ) = − 1 2 {\displaystyle \zeta (0)=-{\frac {1}{2}}}
ζ ( 2 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 = 1.6449 ... {\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}}}={\pi ^{2} \over 6}=1.6449\dots } (→バーゼル問題)
ζ ( 4 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 = π 4 90 = 1.0823 ... {\displaystyle \zeta (4)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{4}}}={\pi ^{4} \over 90}=1.0823\dots }
ζ ( 6 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 6 = π 6 945 = 1.0173 ... {\displaystyle \zeta (6)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{6}}}={\pi ^{6} \over 945}=1.0173\dots }
ζ ( 8 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 8 = π 8 9450 = 1.00407 ...
と置いて、最終的に上式は次のように書かれる。
log  ζ ( s ) s = ∫ 1 ∞ Π ( x ) x − s − 1 d x {\displaystyle {\frac {\log \zeta (s)}{s}}=\int _{1}^{\infty }\!\!\Pi (x)\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x}
この公式に、メリン変換などと呼ばれる積分の反転公式を使うと、π(x) を表示する公式を求めることができる。この公式は、リーマンの素数公式、あるいは明示公式 (explicit formula) などと呼ばれている。なおメビウスの反転公式によって π(x) は
π ( x ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n Π ( x 1 / n ) {\displaystyle \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\,\Pi (x^{1/n})}
と書けることを注意しておこう。
ゼータ関数の零点の分布に関する未解決問題であるリーマン予想は、素数公式の近似精度に関連している。この予想は純粋数学における最も重要な未解決問題であると考える数学者は多い。
ゼータ関数と素数との最初の関連はオイラーによって示された。リーマンゼータ関数は、全ての素数 p に関する無限積である
ζ ( s ) = ∏ p : prime 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
という形で表すことができる。これをオイラー積あるいはオイラー表示という。この無限積が sの実部Re(s) > 1 のときゼータ関数に絶対収束していることは、幾何級数(等比級数)の公式
1 1 − p − s = ∑ n = 0 ∞ ( p − s ) n = 1 + p − s + p − 2 s + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(p^{-s})^{n}=1+p^{\!-s}+p^{\!-2s}+\cdots }
が絶対収束すること(特に有限和のように分配法則が成り立つこと)に注意して、十分に大きな素数 p を固定し、それ以下の素数 p をわたる有限積を作り、その p → ∞ {\displaystyle p\to \infty } とした極限を考えることで示すことができる。この部分有限積の展開について、自然数 n の最大素因数が p であれば、そこまでの有限積の中に n が含まれるため、上のようなゼータ関数のオイラー積表示が成り立っている。オイラー積 § ゼータ関数に対するオイラー積も参照。