二次形式
これはシルベスターの慣性法則の定式化の一つであり、n+ および n− はそれぞれ正および負の慣性指数 (indices of inertia) と呼ばれる。ここでの定義は基底の選び方および対応する実対称行列 A のとり方に依存する形で述べたが、シルベスターの慣性法則は(それらのとり方に依存せず)これらの指数が二次形式 q の不変量であることを述べるものである。
二次形式 q が正定値(あるいは負定値)となるのは 0 でない任意のベクトル v に対して q(v) > 0(あるいは q(v) < 0)を満たすつまり、正の定符号(あるいは負の定符号)を持つときにいう。。 q(v) の値が正にも負にもなるとき、q は不定値二次形式であるという。ヤコビの定理やシルベスターの定理で示されることは、n-変数の任意の正定値二次形式が適当な正則線型変換によって n-個の平方数の和に書けるということである。幾何学的に言えば、任意の次元において正定値実二次形式がただ「ひとつ」存在し、その等距変換群(英語版)はコンパクトな直交群 O(n) となる。これは不定値二次形式の場合とは対照的で、たとえば不定値二次形式に対応する不定値直交群(英語版) O(p, q) は非コンパクトである。さらに言えば、Q および −Q の等距変換群は(O(p, q) ≈ O(q, p) なる意味で)同じであるが、付随するクリフォード代数は(したがってピン群(英語版)も)異なる。