コリオリの力
接平面 T {\displaystyle T} 内の北向きの大きさ v {\displaystyle v} の速度ベクトルについて考えれば、それを平面 L {\displaystyle L} に射影すると大きさは v sin  α {\displaystyle v\sin \alpha } となり、平面 L {\displaystyle L} 内のコリオリの力は、大きさ 2 m ω v sin  α {\displaystyle 2m\omega v\sin \alpha } 、方向は東であり、それを接平面 T {\displaystyle T} に射影すると、コリオリの力は変わらず、大きさ 2 m ω v sin  α {\displaystyle 2m\omega v\sin \alpha } 、方向は東となる。
接平面 T {\displaystyle T} 内の大きさ v {\displaystyle v} の任意の方向の速度ベクトルは、東方向と北方向の速度ベクトルの一次結合で表せるため、その接平面 T {\displaystyle T} 内のコリオリの力は、大きさ 2 m ω v sin  α {\displaystyle 2m\omega v\sin \alpha } 、方向は北極側から見て速度ベクトルの方向から90度時計回りに回転した方向となることが分かる。
地球は東向きに自転している。そのため、低緯度の地点から高緯度の地点に向かって運動している物体には東向き、逆に高緯度の地点から低緯度の地点に向かって運動している物体には西向きの力が働く。北半球では右向き、南半球では左向きの力が働くとも言える。例としては、以下のものがある。
北半球で真北に撃った砲弾が、標的よりもわずかに東(右)にずれることは昔から知られていることである。このように、大砲やロケット、1000 m近い長距離での狙撃などの軌道計算はコリオリの力を考慮した補正が必要である。
ここからは地球の自転によるコリオリの力の大きさを数学的に記述する。地球の角速度を ω {\displaystyle \omega } とすると、緯度 φ {\displaystyle \phi } における地平面内の南北方向の方向ベクトルの角速度は、 ω sin  φ {\displaystyle \omega \sin \phi } となるため、地球の自転によるコリオリの力の大きさは物体の速さを v {\displaystyle v} として
| F C | = m v f , f = 2 ω sin  φ {\displaystyle |{\boldsymbol {F}}_{C}|=mvf,\quad f=2\omega \sin \phi }
で表される。 f {\displaystyle f} はコリオリ因子と呼ばれる。
コリオリの力が与える影響を考える一例として、コリオリの力を一番強く受ける極点において時速 100 k m {\displaystyle 100\mathrm {km} } のボールをピッチャープレートとホームベースの距離 18.
[ f 1 f 2 f 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}} 座標系の座標
[ a 1 a 2 a 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}}
が、
[ e 1 e 2 e 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}} 座標系の座標
[ b 1 b 2 b 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}}
と同じ点を表すには、
m a ′ = F ′ + m ω 2 r ′ − 2 m ω R ( π / 2 ) v ′ {\displaystyle m{\boldsymbol {a'}}={\boldsymbol {F'}}+m\omega ^{2}{\boldsymbol {r'}}-2m\omega {\boldsymbol {R}}(\pi /2){\boldsymbol {v'}}}
すなわち回転座標系から物体を見た場合実際の力 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} のほかに m ω 2 r ′ {\displaystyle m\omega ^{2}{\boldsymbol {r'}}} と 2 m ω R ( π / 2 ) v ′ {\displaystyle 2m\omega {\boldsymbol {R}}(\pi /2){\boldsymbol {v'}}} の力が働いているように見える。
この 2 m ω R ( π / 2 ) v ′ {\displaystyle 2m\omega {\boldsymbol {R}}(\pi /2){\boldsymbol {v'}}} は、見かけの力でコリオリの力という。コリオリの力は速度 v ′ {\displaystyle v'} の方向と回転軸の方向 ω {\displaystyle \omega } の両方に垂直である。
m ω 2 r ′ {\displaystyle m\omega ^{2}{\boldsymbol {r'}}} は、質点を回転軸に垂直に引き離そうとする見かけの力で遠心力という。