閉包 (位相空間論)
ユークリッド空間の部分集合 S に対して、点 x が S の触点(閉包点)(英語: adherent point, closure point, point of closure)であるとは、x を中心とする任意の開球体が必ず S の点を少なくとも一つ含むときにいう(x が S に属するときは、所期の点として x 自身を選んでよい)。
この定義は「ユークリッド空間」の部分を「任意の距離空間 X」に書き換えて直ちに一般化することができる。きちんと述べれば、距離 d を持つ距離空間 X に対して、X の点 x が X の部分集合 S の触点であるとは、各 r > 0 に対して S の適当な点 y を選べば d(x, y) < r とできるときにいう(やはり y = x ととり得る)。これは、式で書けば x が
d(x, S) := inf{d(x, s) : s ∈ S} = 0
を満たすことに他ならない。これをさらに「開球体」の代わりに「近傍」を考えて、一般の位相空間に対するものに一般化することができる。すなわち、位相空間 X の部分集合 S に対して、X の点 x が S の触点であるとは、x の任意の近傍が必ず S の点を少なくとも一つ含むときに言う(この定義は、近傍の定義にそれが開であることを含むか否かに依らない)。