線型連続体
x<yなるX の元x,yをとる。x<z<yなるX の元zが存在しないと仮定し、次の集合を考える。
A = ( − ∞ , y ) , B = ( x , ∞ ) {\displaystyle A=(-\infty ,y),B=(x,\infty )}
これらの集合は
交わらない(disjointである)。
(a∈Bであれば、x<aかつa<yは仮定より起こり得ないことから、a∈Aであればa<y である。)
非空である(xはAの元であり、yはBの元である)。
(順序位相において)開集合である。
その和集合はX である。
これはX が連結であることに反する。よって、X はb)を満たす。
次に上限性質を持つことを証明しよう。CをX の上に有界な部分集合で上限を持たないとし、DをbをCの上界として(b,+∞)の形のすべての半直線(open ray)の和であるとする。 そうすると、Dは
(開集合の和集合であるから)開である
閉である
非空である
を満たす。このDとその補集合はX上の分離(separation(en))を形成する。これはXが連結であることに反する。よって、上限性質を満たす。