球函数に対するプランシュレルの定理
F ( g ) = 1 | W | ∫ a ∗ F ~ ( λ ) Φ λ ( g ) | d ( λ ) | 2 d λ = ∫ a + ∗ F ~ ( λ ) Φ λ ( g ) | d ( λ ) | 2 d λ {\displaystyle F(g)={1 \over |W|}\int _{{\mathfrak {a}}^{*}}{\tilde {F}}(\lambda )\Phi _{\lambda }(g)|d(\lambda )|^{2}\,d\lambda =\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {F}}(\lambda )\Phi _{\lambda }(g)|d(\lambda )|^{2}\,d\lambda }
となる。ただし、 a + ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}} はワイルの小部屋である。実はこの結果は a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上のフーリエ反転公式から従う。というのも、
d ( λ ) δ ( e X ) Φ λ ( e X ) = ∑ σ ∈ W s i g n ( σ ) e i λ ( X ) {\displaystyle d(\lambda )\delta (e^{X})\Phi _{\lambda }(e^{X})=\sum _{\sigma \in W}{\rm {sign}}(\sigma )e^{i\lambda (X)}}
だから d ( λ ) ̄ F ~ ( λ ) {\displaystyle {\overline {d(\lambda )}}{\tilde {F}}(\lambda )} は F ( e X ) δ ( e X ) {\displaystyle F(e^{X})\delta (e^{X})} のフーリエ変換に他ならないからである。
で定義される。ただし、 α 0 = ( α , α ) − 1 α {\displaystyle \alpha _{0}=(\alpha ,\alpha )^{-1}\alpha } であり、定数 c0 は
ρ = 1 2 ∑ α ∈ Σ + m α α {\displaystyle \rho ={1 \over 2}\sum _{\alpha \in \Sigma ^{+}}m_{\alpha }\alpha }
に対して、c(–iρ) = 1 が成り立つように選ぶものとする。
球函数に対するプランシュレルの定理は、写像
W : L 2 ( K ∖ G / K ) → L 2 ( a + ∗ , | c ( λ ) | − 2 d λ ) ; f ↦ f ~ {\displaystyle W\colon L^{2}(K\backslash G/K)\to L^{2}({\mathfrak {a}}_{+}^{*},|c(\lambda )|^{-2}\,d\lambda );\;f\mapsto {\tilde {f}}}
がユニタリであり、 f ∈ L 1 ( K ∖ G / K ) {\displaystyle f\in L^{1}(K\backslash G/K)} による畳み込みを f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} による乗算へ写すことを述べるものである。