アディティブ・シンセシス
y [ n ] = ∑ k = 1 K r k [ n ] cos  ( 2 π f s ∑ i = 1 n f k [ i ] + φ k ) = ∑ k = 1 K r k [ n ] cos  ( θ k [ n ] ) {\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n]\cos \left({\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}\sum _{i=1}^{n}f_{k}[i]+\phi _{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}r_{k}[n]\cos \left(\theta _{k}[n]\right)\\\end{aligned}}}
ここで θ k [ n ] {\displaystyle \theta _{k}[n]\,} の差分より
θ k [ n ] = θ k [ n − 1 ] + 2 π f s f k [ n ] , n > 0 θ k [ 0 ] = φ k {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{k}[n]&=\theta _{k}[n-1]+{\frac {2\pi }{f_{\mathrm {s} }}}f_{k}[n]\ ,\quad n>0\\\theta _{k}[0]&=\phi _{k}\end{aligned}}}
である。
音響信号は正弦波の重ね合わせで表現できる(フーリエ変換)。さらに信号が周期性を持っていれば、その信号は正弦波の無限和で(積分せずに)表現できる(フーリエ級数)。 y ( t ) = r 0 + r 1 cos  ( 2 π f o t ) + ⋯ + r k cos  ( 2 π k f o t ) + ⋯ {\displaystyle y(t)=r_{0}+r_{1}\cos(2\pi f_{o}t)+\cdots +r_{k}\cos(2\pi kf_{o}t)+\cdots }
また、ヒトには知覚可能な周波数範囲(可聴域)が存在する。標準的には15kHzが上限でありそれ以上の音を聞き取ることができない。これは信号から可聴域外の成分を取り除いても聴覚上の差がない(=等価である)ことを意味する。
この2つの事実は、ある周期的な音響信号と聴覚上等価な信号を正弦波の有限和で表現できることを示唆する。なぜなら正弦波の無限和に含まれる15kHz以上の正弦波成分を除いても聴覚上等価な信号が構成でき、それは有限個の正弦波の和を意味するからである。
調和解析は、1822年フランスの数学者ジョゼフ・フーリエが熱伝導の文脈で彼の研究に関する広範な論文を発表して、研究が端緒に付いた。 この理論の初期の応用には、潮の干満の予測がある。1876年頃、 ケルビン卿ことウィリアム・トムソンは機械式の潮汐予測機(Tide-predicting machine)を構築した。この装置はharmonic analyzerとharmonic synthesizerで構成され、それらは19世紀に既に前述の名で呼ばれていた。 潮汐の測定値は、ケルビン卿の兄ジェームズ・トムソンの積分機(integrating machine)を使い分析された。結果として得られたフーリエ係数は、紐と滑車のシステムを使ったsynthesizerに入力され、将来の潮汐の予測のための正弦波基底の調和部分波が生成され足し合わされた。同様な装置は1910年にも、音の周期波形の解析を目的として構築された。 この装置のsynthesizer部は合成波形をグラフに描画し、それは主に解析結果の視覚的検証に使用された。