指数関数
指数関数 exp a  ( x ) := a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) {\displaystyle \exp _{a}(x):=a^{x}\ (a>0,\ a\neq 1)} は次の性質を持つ:
a > 1 {\displaystyle a>1} のとき狭義増加: s > t ⇒ a s > a t . {\displaystyle s>t\Rightarrow a^{s}>a^{t}.}
0 < a < 1 {\displaystyle 0<a<1} のとき狭義減少: s > t ⇒ a s < a t . {\displaystyle s>t\Rightarrow a^{s}<a^{t}.}
exp a : R → ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \exp _{a}\colon \mathbb {R} \to (0,\infty )} は各 a {\displaystyle a} に対し全単射.
指数関数 exp  ( x ) {\displaystyle \exp(x)} を一意的に定義するための特徴付けは、同値な方法がいくつも知られている。中でも以下の冪級数
exp  ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ {\displaystyle \exp(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }
で定義するのが典型的である。これは他の方法で指数関数を定義した場合に導くことのできる、指数関数のテイラー級数そのものである。
あまり典型的ではないが、自然対数関数の逆関数という意味で、指数関数 exp  ( x ) {\displaystyle \exp(x)} を方程式
x = ∫ 1 y d t t {\displaystyle x=\int _{1}^{y}{dt \over t}}
の解 y と定めることもできる。あるいはまた、以下の極限
exp  ( x ) = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}
によっても同じものが定まる。