有限階作用素
有限階作用素は、無限次元の状況で扱われる(有限サイズの)行列である。したがってそれらの作用素は線型代数学の手法によって表現できる。
線型代数学における結果より次が分かる: 複素数成分の長方形行列 M ∈ C が階数 1 であるための必要十分条件は、M が
の形に表わされることである。全く同様の議論で、ヒルベルト空間 H 上の作用素 T の階数が 1 であるための必要十分条件は、
であることが分かる。ここで α, u, v に対する条件は有限次元の場合と同じである。 したがって、帰納的に、有限階数 n の作用素は次の形を持つ:
ここで {ui}, {vi} は正規直交基底である。これは本質的に特異値分解の言い換えであることに注意されたい。この形を、有限階作用素の標準形(canonical form)という。
わずかに一般化し、可算無限個の n と 0 にのみ集積する正の数列 {αi} を考えるとき、T はコンパクト作用素となり、コンパクト作用素に対する標準形が得られる。
級数 ∑i αi が収束するなら、T はトレースクラス作用素である。
数学の一分野である函数解析学における有限階作用素(ゆうげんかいさようそ、英: finite-rank operator)とは、値域が有限次元であるようなバナッハ空間の間の有界線型作用素のことをいう。