双代数
すると,図式 1 と 3 は Δ: B → B ⊗ B は単位的(結合)代数 (B, ∇, η) と (B ⊗ B, ∇2, η2) の準同型である
Δ ∘ ∇ = ∇ 2 ∘ ( Δ ⊗ Δ ) : ( B ⊗ B ) → ( B ⊗ B ) {\displaystyle \Delta \circ \nabla =\nabla _{2}\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)} , あるいは単に Δ(xy) = Δ(x) Δ(y),
Δ ∘ η = η 2 : K → ( B ⊗ B ) {\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta _{2}:K\to (B\otimes B)} , あるいは単に Δ(1B) = 1B ⊗ B
と言っている;図式 2 と 4 は ε: B → K が単位的(結合)代数 (B, ∇, η) と (K, ∇0, η0) の準同型であると言っている:
ε ∘ ∇ = ∇ 0 ∘ ( ε ⊗ ε ) : ( B ⊗ B ) → K {\displaystyle \epsilon \circ \nabla =\nabla _{0}\circ (\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K} , あるいは単に ε(xy) = ε(x) ε(y)
ε ∘ η = η 0 : K → K {\displaystyle \epsilon \circ \eta =\eta _{0}:K\to K} , あるいは単に ε(1B) = 1K.