線型回帰数列
と書けているとすると、P(f) の核は (f − ri⋅id) の核の直和に表される。従って、ERp の基底を決定するには、これらの核それぞれの基底を知れば十分である。
多項式 Q の次数が αi より真に小さいとき、一般項が Q(n)⋅r ni であるような任意の数列が (f − ri⋅id) の核に入ることが、αi に関する帰納法で示せる。j = 0, ..., αi − 1 に対する数列 (n⋅r ni ) は αi に対応する直和因子における αi 個の元からなる線型独立系であり、さらに i = 1, ..., k として ERp の α1 + α2 + ⋯ + αk = p 個の元からなる線型独立系となるから、これは p-次元ベクトル空間 ERp の基底を成すことが確かめられる。従って、ERp の任意の元は、αi よりも真に低い次数を持つ Q に対する Q(n)⋅r ni を一般項とする数列の和として表される。
特性多項式が一次式の積 (X − r1)(X − r2) に書けるなら、前節の多項式 Q は次数 0 であり、ER2 の任意の元は一般項が λ1⋅r n1 + λ2⋅r n2 の数列となる。
特性多項式の因数分解が (X − r0) なら、前節の多項式 Q の次数は 1 であり、ER2 の任意の元は一般項が (λ n1 + λ2)⋅r n0 の数列となる。