零化イデアル
R が可換環で M が R-加群のとき、AnnR(M) を、Hom とテンソルの随伴性(英語版)によって恒等写像 M → M の随伴写像によって決定される作用写像 R → EndR(M) の核として、記述することができる。
より一般に、加群の双線型写像 F : M × N → P {\displaystyle F\colon M\times N\to P} が与えられたとき、部分集合 S ⊂ M {\displaystyle S\subset M} の annihilator は S {\displaystyle S} を零化する N {\displaystyle N} のすべての元からなる集合である。
Ann  ( S ) := { n ∈ N ∣ ∀ s ∈ S , F ( s , n ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {Ann} (S):=\{\,n\in N\mid \forall s\in S,F(s,n)=0\,\}}
逆に、 T ⊂ N {\displaystyle T\subset N} が与えられたとき、 M {\displaystyle M} の部分集合として annihilator を定義できる。
S が左 R-加群 M の部分集合であれば、Ann(S) は R の左イデアルである。証明: a と b が両方とも S を零化すれば、各 s ∈ S に対して、(a + b)s = as + bs = 0 であり、任意の r ∈ R に対して、(ra)s = r(as) = r0 = 0 である。(同様の証明によって右加群の部分集合の零化イデアルは右イデアルである。)
S が M の部分加群であれば、AnnR(S) は両側イデアルにもなる。 rs は S の元なので、(ar)s = a(rs) = 0 である。
S が M の部分集合で N が S で生成される M の部分加群であれば、一般に AnnR(N) は AnnR(S) の部分集合であるが、必ずしも等しいとは限らない。R が可換であれば、等号が成り立つことを確認するのは容易である。
M は作用 r ̄ m := r m {\displaystyle {\overline {r}}m:=rm\,} を用いて R/AnnR(M)-加群と考えることもできる。ちなみに、いつもこの方法で R-加群を R/I-加群に できるわけではないが、イデアル I が M の零化イデアルの部分集合であれば、この作用は well-defined である。R/AnnR(M)-加群として、M は自動的に忠実加群になる。