計量テンソル
平らな ミンコフスキー空間(Minkowski space)
( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( t , x , y , z ) {\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(t,x,y,z)\ }
g = [ − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] , d s 2 = − ( d t ) 2 + ( d x ) 2 + ( d y ) 2 + ( d z ) 2 {\displaystyle g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=-(dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}
シュワルツシルト計量
と定義される。
この定義からわかる通り、 gij は、2点間の距離に対する各軸成分の寄与を表す係数である。
このとき2つの接ベクトル(tangent vector) U = u i ∂ ∂ x i {\displaystyle U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ } と V = v i ∂ ∂ x i {\displaystyle V=v^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ } のなす角度 θ は、
cos  θ = g i j u i v j | g i j u i u j | | g i j v i v j | {\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}\ }
で与えられる。