単項イデアル整域
単項イデアル整域の例を挙げる。以下では可換環 R の元 a1, ... an の生成するイデアルを (a1, ..., an) = { r1a1 + ... + rnan | ri ∈ R } と表す。
Z: 整数環。
Z[i]: ガウスの整数環。
Z[ω]: アイゼンシュタイン整数環。
Z(p): 整数環の素イデアル (p) ≠ 0 における局所化。非自明なイデアルは (p) の形で表せる。
K: 任意の体。
K[X]: 体 K 上の一変数多項式環。実は逆も成り立つ(多項式環 A[X] が PID となるならば A は体である)。
K[[X]]: 体 K 上の一変数形式冪級数環。任意の非自明なイデアルは (X) の形で表せる。
単項イデアル整域とならない整域の例を挙げる。
Z[X]: 整数係数の一変数多項式環。たとえばイデアル (2, X) は単項イデアルでない。
K[X, Y]: 体 K 上の二変数多項式環。たとえばイデアル (X, Y) は単項イデアルでない。