デバイ模型
デバイ温度や有効音速は結晶の硬度の評価基準となっている。)
エネルギーを求める積分の式に N(E) を代入して以下を得る。
U = ∫ 0 N 3 ∫ 0 N 3 ∫ 0 N 3 E ( n ) 3 e E ( n ) / k T − 1 d n x d n y d n z {\displaystyle U=\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}}
フォトンではこれらの積分は簡単に行うことができる。それは光の周波数が(少なくとも準古典的には)拘束されないためである。上の図が示すように、フォノンにおいてこれは正しくない。そこでデバイは3重積分を計算するため、球座標
( n x , n y , n z ) = ( n cos  θ cos  φ , n cos  θ sin  φ , n sin  θ ) {\displaystyle \ (n_{x},n_{y},n_{z})=(n\cos \theta \cos \phi ,n\cos \theta \sin \phi ,n\sin \theta )}
デバイ模型は完全には正確ではないものの、(伝導電子などの他の比熱への寄与が無視できる)絶縁体や結晶性固体における低温の比熱ではよい近似となっている。金属の低温の比熱では、デバイ模型による格子比熱の T に比例する比熱への寄与に加え、電子の比熱への T に比例する寄与が無視できない(十分低温では電子による比熱の方が支配的になる)。この場合、デバイ模型とは別に自由電子の比熱を見積もる必要がある。以下の表はいくつかの物質におけるデバイ温度のリストである。
横波のフォノンの図を以下で考える。
上の図で示すように、フォノンの波長の最小値が原子間隔の2倍であると仮定することは道理にかなっている。固体中には原子が N 個あり、今考えている固体は立方体であるから、一辺あたりの原子の数は √N 個である。よって原子間隔は L/√N で与えられ、よって波長の最小値は
λ m i n = 2 L N 3 {\displaystyle \lambda _{\rm {min}}={2L \over {\sqrt[{3}]{N}}}}
となり、さらにモード数 n の最大値は(フォトンでは無限大なのに対し)以下である。
n m a x = N 3 {\displaystyle n_{\rm {max}}={\sqrt[{3}]{N}}}
この最大のモード数 nmax は3つのエネルギーの総和の上限である。
U = ∑ n x N 3 ∑ n y N 3 ∑ n z N 3 E n N ̄ ( E n ) {\displaystyle U=\sum _{n_{x}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{y}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{z}}^{\sqrt[{3}]{N}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})}
ゆっくりと振舞う正常な関数では、総和は積分で置き換えることができる。(このことはトーマス=フェルミ近似として知られている。)