角運動量保存の法則
∑ i d L i d t = ∑ i r i × ( ∑ j F i j + F i e ) = ∑ i ∑ j r i × F i j + ∑ i r i × F i e {\displaystyle \sum _{i}{\frac {d{\boldsymbol {L}}_{i}}{dt}}=\sum _{i}{\boldsymbol {r_{i}}}\times (\sum _{j}{\boldsymbol {F_{ij}}}+{\boldsymbol {F_{i}^{e}}})=\sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {r_{i}}}\times {\boldsymbol {F_{ij}}}+\sum _{i}{\boldsymbol {r_{i}}}\times {\boldsymbol {F_{i}^{e}}}}
となる。右辺第一項は、作用反作用の法則( F i j = − F j i {\displaystyle {\boldsymbol {F_{ij}}}=-{\boldsymbol {F_{ji}}}} )より、次式のようになる:
∑ i ∑ j r i × F i j = ∑ i < j ( r i − r j ) × F i j . {\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}{\boldsymbol {r_{i}}}\times {\boldsymbol {F_{ij}}}=\sum _{i<j}{({\boldsymbol {r_{i}}}-{\boldsymbol {r_{j}}})}\times {\boldsymbol {F_{ij}}}.