B*-環
(C*) ‖ xx ‖ = ‖ x ‖‖ x ‖ (∀x ∈ A)
を満足するバナッハ *-環 A は C*-環と呼ばれる 。条件 (B*) から自動的に、対合 ∗ が等距、すなわち ‖ x ‖ = ‖ x ‖ であることが従う。従ってこのとき (C*) が満足されるから、故に B*-環は C*-環である。実は (C*) から (B*) が導かれる(これは自明なことではない、が条件 ‖ x ‖ = ‖ x ‖ を用いることなくそれを証明することができる)。そのような理由から、現在の用語法では「B*-環」と呼ぶことは稀で、「C*-環」と呼ぶようになっている。