射爆理論
a 1 = 2 σ 1 2 log  ( 2 π σ 1 σ 2 f 0 ) , a 2 = 2 σ 2 2 log  ( 2 π σ 1 σ 2 f 0 ) {\displaystyle a_{1}={\sqrt {2\sigma _{1}^{2}\log(2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}f_{0})}},\quad a_{2}={\sqrt {2\sigma _{2}^{2}\log(2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}f_{0})}}}
f0 :弾着分布の等高線関数
x1 とx2 の両軸のばらつきが等しい場合、つまり σ 1 2 = σ 2 2 ≡ σ 2 {\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}\equiv \sigma ^{2}} の時は円形正規分布となり、弾着分布の確率密度関数は以下の式で表される。
f ( x 1 , x 2 ) = 1 2 π σ 2 exp ( − ( x 1 − μ 1 ) 2 + ( x 2 − μ 2 ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle f(x1,x2)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\exp \!\left(-{\frac {(x_{1}-\mu _{1})^{2}+(x_{2}-\mu _{2})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
射線方向x1 と左右方向x2 のばらつきがそれほど大きく違わない場合には、上記の円形正規分布を用いて近似計算を簡略にできる。
μ 1 , μ 2 {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}} :目標中心と弾着中心のずれ
σ 1 2 , σ 2 2 {\displaystyle \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}} :分散
特に弾着中心のずれがなく、つまり μ 1 = μ 2 = 0 {\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0} の場合には、単発撃破確率P は、以下の式になる。
P = L 2 π ( S 1 2 + σ 1 2 ) ( S 2 2 + σ 2 2 ) {\displaystyle P={\frac {L}{2\pi {\sqrt {(S_{1}^{2}+\sigma _{1}^{2})(S_{2}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}}
1次元の弾着分布は、以下の正規分布で表される。
f ( x ) = 1 2 π σ exp ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \!\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}
この分布f (x ) はx = μで最大値 1 / 2 π σ {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}\sigma } となり、x = μ±σで変曲点を持つ。また、平均μと分散σ を持つ正規分布はN (μ, σ ) と表され、特にμ = 0 , σ = 1 の正規分布は標準正規分布N (0, 1 ) と呼ばれる。
目標誤差を 0 として、単一砲からの射撃を想定して、武器誤差も簡単のために照準誤差に含めて考え、照準誤差XA の分布はμA 、分散σA の正規分布N (μA , σA ) 、弾道誤差XB の分布は平均μB 、分散σB の正規分布N (μB , σB ) になると仮定する。
構造的大目標の命中は一定距離以内の射弾と定義され、目標中心から距離R 以内の弾着での命中の特性は、次の式で表される。
H ( x ) = { 1 , (hit) | x | ≦ R 0 , (miss) | x | > R {\displaystyle H(x)={\begin{cases}1,{\mbox{(hit)}}&|x|\leqq R\\0,{\mbox{(miss)}}&|x|>R\end{cases}}}
命中弾がj 発の場合の条件付きの目標撃破確率Dj を定義すれば、次のようになる。
構造的大目標の抗甚性、または脆弱性
銃砲弾・爆弾の弾種や加害能力
目標中心と弾着点との相対位置
目標撃破の基準
命中弾数 (j )
1から3は目標への損傷程度を規定し、損傷程度が4の目標撃破の基準を上回れば撃破となる。
n 発中j 発の命中弾がある確率をPj とすれば、目標撃破確率P は、次の式で表される。
P = ∑ j = 1 n P j D j {\displaystyle P=\sum _{j=1}^{n}P_{j}D_{j}}
ただし、条件付きの目標撃破確率Dj は容易には得られないため、経験的な推定を含めた近似によって最終的な目標撃破確率P は求められる。
最も簡単なDj の近似としては、0 と 1 の階段関数でj がk を越えるとDj = 1 となるものである。
D j = { 0 , j ≦ k − 1 1 , j ≥ k {\displaystyle D_{j}={\begin{cases}0,&j\leqq k-1\\1,&j\geq k\end{cases}}}
これにより、単発撃破確率P は、以下の式になる。 P = 1 2 π σ 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a exp  ( − r 2 2 σ 2 ) r d r d θ = 1 − exp  ( − a 2 2 σ 2 ) {\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\exp(-{\frac {r^{2}}{2\sigma ^{2}}})rdrd\theta =1-\exp(-{\frac {a^{2}}{2\sigma ^{2}}})}
このP はレーリー分布となる。
弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがμだけある場合を考えると、分散についてはσ1 = σ2 = 0 で良いが、目標中心と弾着中心のずれ (μ, 0) とする。弾着の分布が円形分布なのでずれの方向にx1 軸を合わせることで計算式を単純にできる。単発撃破確率P は、以下の式になる。
銃砲を使用した戦闘における銃砲弾の弾着とそれによる目標の破壊は、ランダムな要素を持つ確率的な現象であると同時に、射手を含めた発射システムが備える多種多様な特性に起因した結果である。
射爆理論はこの確率と固有特性に着目した研究分野であり、火力投射・投下型の兵器での射撃と爆撃に関しては、「目標撃破の確率特性の分析」と「目標撃破の効率化と最適化の理論研究」の2つの分野に大別できる。
目標撃破の確率論的特性の分析とは、軍事のオペレーションズ・リサーチ(OR)問題であり、射撃と爆撃におけるシステム全体を確率的変動要因に分解してそれぞれの確率分布を分析することである。
目標撃破の効率化と最適化の理論研究は、一般的な資源配分問題であり、射法や修正方法、射弾配分、兵力配分の最適化を求めて研究されている。
射爆理論では敵からの攻撃による被害を要素に含めず、一方的な攻撃状態のみを仮定している。双方の攻撃と被害に関しては別に「交戦理論」という研究分野で扱われる。
この階段関数はあまり良い近似とは言えず、より精度の高い近似として損傷関数の考えを用い、目標に致命的部位が存在するものとして目標の撃破に至るまでの過程をより実体に近づけるものである。この致命的部位への命中確率、つまり条件付き撃破確率をD として命中弾をj 発得る目標撃破確率Dj は、次の式で表される。
D j = 1 − ( 1 − D ) j {\displaystyle D_{j}=1-(1-D)^{j}}
これまで扱った損傷関数は単峰関数であったが、大目標の致命的部位の分布は複数存在すると仮定して目標撃破確率Dj の1次元分布損傷関数D (x ) はいくつかの山を形成する。また、目標への命中関数H の1次元分布H (x ) は損傷関数D (x ) を内包する 0 と 1 の階段関数となる。
目標への命中関数の分布H (x ) が一様であると仮定すると、1発の命中弾によって致命的な被害を与える確率D は、次の式で表される。
D = ∫ − ∞ ∞ D ( x ) d x ∫ − ∞ ∞ H ( x ) d x {\displaystyle D={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }D(x)dx}{\int _{-\infty }^{\infty }H(x)dx}}}
条件付き撃破確率D が一定で独立であるとすれば、最終的な目標撃破確率P は、次の式で表される。
P = ∑ j = 1 n P j D j = 1 − ( 1 − p D ) n {\displaystyle P=\sum _{j=1}^{n}P_{j}D_{j}=1-(1-pD)^{n}}
p :1発の射弾の命中確率
逐次射撃でも、目標撃破の有無だけを次回の射撃に反映させる場合には観測射撃(Shoot-Look-Shoot)と呼び、弾着点の観測結果によって次の射撃を修正する場合には修正射撃と呼ぶ。