ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
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関数 h : R → R, h(t) = g(y + t z) を考える。計算により、h ′(0) = 0、すなわち
h ′ ( 0 ) = d d t ⟨ T ( y + t z ) , y + t z ⟩ ⟨ y + t z , y + t z ⟩ ( 0 ) = 0 {\displaystyle h'(0)={\frac {d}{dt}}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\langle y+tz,y+tz\rangle }}(0)=0}
が得られる。m = <Ty, y> / <y, y> とする。いくつかの代数的操作により、上述の表現は以下のようになる(ここで Re は複素数の実部を意味する)。
R e ⟨ T y − m y , z ⟩ = 0. {\displaystyle Re\langle Ty-my,z\rangle =0.}
しかし z は任意であるため、Ty − my = 0 が成立する。これが数学的な場合のスペクトル定理の証明の要点となる。
つづいて、T の正規直交な固有ベクトルe0, ..., en − 1 が見つかった場合を考える。このとき、En:= span(e0, ..., en − 1) は T の下で不変であり、自己共役性により、En の直交補空間 Hn は T の不変部分空間となる。今、T の Hn への制限を Tn と表す。m(Tn) = 0 であるなら、Tn = 0 であり、手順は終了する。そうでないなら、Tn に上述の主張を適用することにより、Hn における T のノルム 1 の固有ベクトル en で対応する非ゼロの固有値が λn = ± m(Tn) であるようなものが存在することが分かる。
F = (span{en}) とする。ただし {en} は上の帰納的手順により構成された有限あるいは無限の列とする。自己共役性により、F は T の下で不変である。T の F への制限を S と表す。有限回のステップでもし手順が終了したなら、その最後のベクトルを em−1 とすれば、構成法により F= Hm および S = Tm = 0 であることが分かる。無限の場合には、T のコンパクト性と en の 0 への弱収束性から、Ten= λn en → 0 が分かり、したがって λn → 0 となる。F はすべての n に対して Hn に含まれるため、m(S) ≤ m(Tn) = |λn| がすべての n に対して成立し、したがって m(S) = 0 となる。