3乗剰余の相互法則
ガウスは、4乗剰余に関する2番目の段落で、次のように述べている。
双次残差の定理は、算術の分野が虚数に拡張された場合にのみ、最大の単純さと真の美しさで輝く。そのため、制限なしに、 a + biの形式の数が研究の対象を構成する...私たちはそのような数を整数の複素数と呼ぶ。 [太字は原文のまま]
これらの数は現在、Z [i ]で表されるガウス整数と呼ばれている。 iは1の4乗根であることに注意。 脚注で彼は以下のように付け加えている。
3次剰余の理論は、a + bhの形式の数の考慮に同様の方法で基づいている必要がある。ここで、 hは方程式h = 1の虚数根...同様に、高次の剰余の理論では他の虚数の導入となる。
アイゼンシュタインは、三次剰余に関する彼の最初の記述で1の立方根から構築された数の理論を展開した。それらは現在アイゼンシュタイン整数環と呼ばれています。アイゼンシュタインは(言い換えれば)「この環の特性を調査するには、 Z [i ]に関するガウスの研究を参照し、証明を修正するだけでよい」と述べた。いずれの環も一意分解環であるため、これは驚くべきことではない。
「高次の剰余の理論」に必要な「その他の虚数」は、1の冪乗根である。ガウス整数とアイゼンシュタイン整数を生成する虚数は、これらの最も単純な例である。
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\tfrac {2}{p}}\right]_{3}=1&\iff 3\mid b,\\\left[{\tfrac {3}{p}}\right]_{3}=1&\iff 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm b),\\\left[{\tfrac {5}{p}}\right]_{3}=1&\iff 15\mid b{\text{ or }}(3\mid b{\text{ and }}5\mid a){\text{ or }}15\mid (a\pm b){\text{ or }}15\mid (2a\pm b),\\\left[{\tfrac {6}{p}}\right]_{3}=1&\iff 9\mid b{\text{ or }}9\mid (a\pm 2b),\\\left[{\tfrac {7}{p}}\right]_{3}=1&\implies (3\mid b{\text{ and }}7\mid a){\text{ or }}21\mid (b\pm a){\text{ or }}7\mid (4b\pm a){\text{ or }}21\mid b{\text{ or }}7\mid (b\pm 2a).\end{aligned}}}
最初の2つの命題は次のように言い換えることができる 。
p を3を法として1に合同な素数とするとき、以下が成り立つ: 2が p の3乗剰余となるのは、p = a + 27b と書けるとき、そしてそのときに限る。 3が p の3乗剰余となるのは、4p = a + 243b と書けるとき、そしてそのときに限る。