リュカ数列
P が奇数で、 Qが偶数ならば、 Un , Vn はいつも奇数である。
P, Q が奇数ならば、 Un , Vn は n が3の倍数であるとき偶数で、そうでないとき奇数である。
p が奇素数ならば、 U p ≡ ( D p ) , V p ≡ P ( mod p ) , ( D p ) {\displaystyle U_{p}\equiv \left({\frac {D}{p}}\right),V_{p}\equiv P{\pmod {p}},\left({\frac {D}{p}}\right)} は平方剰余の記号である。
p が奇素数で、 P , Q を割り切るならば、p は U 1を除く全ての Un を割り切る。
p が奇素数で、 P を割り切り Q を割り切らないならば、p が Un を割り切るのは n が偶数であることと同値である。
p が奇素数で、 P を割り切らず Q を割り切るならば、p は決して Un を割り切らない。
p が奇素数で、 PQ を割り切らず、 Dを割り切るならば、p が Un を割り切るのは n が p の倍数であることと同値である。
p を PQD を割り切らない奇素数とし l = p − ( D p ) {\displaystyle l=p-\left({\frac {D}{p}}\right)} とおくと、 p は Ul を割り切る。
最後の定理はフェルマーの小定理の一般化である。これと原始約数の定義から、次のことがわかる。
p を PQD を割り切らない奇素数とする、 l = p − ( D p ) {\displaystyle l=p-\left({\frac {D}{p}}\right)} とおく。