GNS構成法
また、C*-代数 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} の元 A {\displaystyle A} に対して、複素値 ω ( A ) {\displaystyle \omega (A)} を与える規格化された線形汎関数 ω {\displaystyle \omega } を状態と呼ぶ。このとき、GNS構成法では、C*-代数 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} 上の状態 ω {\displaystyle \omega } に対し、巡回表現と呼ばれる特別な表現 ( H ω , π ω ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\omega },\pi _{\omega })} を構成することができる。ここで巡回表現とは、巡回ベクトル Ω ω {\displaystyle \Omega _{\omega }} と呼ばれる元が存在し、状態による値を ω ( A ) = ⟨ Ω ω , π ω ( A ) Ω ω ⟩ {\displaystyle \omega (A)=\langle \Omega _{\omega },\pi _{\omega }(A)\Omega _{\omega }\rangle } と内積の形で表せるともに、 H ω = π ω ( A ) Ω ω ̄ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\omega }={\overline {\pi _{\omega }({\mathfrak {A}})\Omega _{\omega }}}} が成り立つような表現である。 ( H ω , π ω , Ω ω ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\omega },\pi _{\omega },\Omega _{\omega })} で与えられる組をGNS構成と呼ぶ。