タイル張り
一切周期性を持たないタイル張りも存在する。ただし、周期的タイル張りを非周期的に変形させたもの(場所によってランダムな方法でタイルを分割するなど)は、非周期的タイル張りとは考えない。
最初の非周期的タイル張りは、1966年に発見された、20426種類のタイルを使うものである。その後、より少ない種類数のタイルによるタイル張りが発見され、1974年にはイギリスの物理学者ロジャー・ペンローズが非周期的タイル張りの可能な2種類の菱形のタイル「ペンローズ・タイル」を考案したが、非周期的モノタイル(単一で非周期的タイル張り可能なタイル)が存在するかどうかは長らく未解決であり、アインシュタイン問題と呼ばれていた。
しかし、2011年にSocolar–Taylor tileと呼ばれる一種類の非連結なタイルで非周期的タイル張りが可能であることが発見され、2023年にはDavid Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, Chaim Goodman-Straussが、初めは裏返しを使ってもよいという弱い条件のもとで"帽子"("hat")と名付けられた13角形のタイル1種類で非周期的タイル張りが可能であることを報告し、それから間もなく、"帽子"の改良によって裏返しの不要な14角形の非周期的モノタイル「Spectre」を発表してアインシュタイン問題の完全解決に至った。
ちなみに高次元では1種類のブロックによる3次元空間の非周期充填が1993年に発見されている。
ペンローズタイル。有名な非周期タイル張り。
Smithらの“帽子”による非周期タイル張り。
一種類の場合と同じように、正多角形のみでできていて、頂点形状が一様なアルキメデスのタイル張りと呼ばれる平面充填が8種類あり、半正多面体の一種とされることもある。括弧中は頂点形状(各頂点に集まる正多角形の種類と順序)を表す。
正三角形4枚、正六角形1枚 (3, 3, 3, 3, 6)
正三角形3枚、正方形2枚 (3, 3, 3, 4, 4)
正三角形3枚、正方形2枚 (3, 3, 4, 3, 4)
正三角形1枚、正方形2枚、正六角形1枚 (3, 4, 6, 4)
正三角形2枚、正六角形2枚 (3, 6, 3, 6)
正三角形1枚、正十二角形2枚 (3, 12, 12)
正方形1枚、正六角形1枚、正十二角形1枚 (4, 6, 12)
正方形1枚、正八角形2枚 (4, 8, 8)