三項系
{ X ∓ , Y ± , Z ± } ± := [ [ X ∓ , Y ± ] , Z ± ] {\displaystyle \{X_{\mp },Y_{\pm },Z_{\pm }\}_{\pm }:=[[X_{\mp },Y_{\pm }],Z_{\pm }]}
を備えたジョルダン対となる。
ジョルダン三重系は V+ = V− かつそれらの三重積が一致しているときのジョルダン対である。他に重要な場合としては、V+ と V− の一方が他方の双対であって、双対三重積が
E n d ( S 2 V + ) ≅ S 2 V + ∗ ⊗ S 2 V − ∗ ≅ E n d ( S 2 V − ) {\displaystyle \mathrm {End} (S^{2}V_{+})\cong S^{2}V_{+}^{*}\otimes S^{2}V_{-}^{*}\cong \mathrm {End} (S^{2}V_{-})}
の元によって定義される場合である。このような場合というのは、特に上記の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が半単純な場合に生じ、このときキリング形式が g + 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{+1}} と g − 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}} との間の双対性(内積)を与える。