分割数
{\displaystyle c_{k}={\begin{cases}(-1)^{m+1}&{\text{if }}k=q_{m},\\(-1)^{m}&{\text{if }}k=q_{m}+1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
とする。相異なる整数成分への分割の分割数を q(n) と書けば(これは分割の項に述べるように奇数成分への分割の分割数とも等しく)、
q ( n ) = | 1 1 − 1 1 0 − 1 − 1 1 − 1 0 − 1 − 1 1 0 0 0 − 1 − 1 1 − 1 1 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 − 1 − 1 1 0 1 0 1 0 0 − 1 − 1 0 ⋮ ⋱ ⋮ | ( n + 1 ) × ( n + 1 ) {\displaystyle q(n)={\begin{vmatrix}~1&~&~&~&~&~&~&~&~1~\\-1&~1&~&~&~&~&~&~&~0~\\-1&-1&~1&~&~&~&~&~&-1~\\~0&-1&-1&~1&~&~&~&~&~0~\\~0&~0&-1&-1&~1&~&~&~&-1~\\~1&~0&~0&-1&-1&~1&~&~&~0~\\~0&~1&~0&~0&-1&-1&~1&~&~0~\\~1&~0&~1&~0&~0&-1&-1&~&~0~\\~\vdots &~&~&~&~&~&~&\ddots &~\vdots ~\end{vmatrix}}_{(n+1)\times (n+1)}}
が成り立つ。第一列は数列 A010815 で、最終列は 2qm + 1 行目の成分が (−1) でそれ以外の成分は零である。
を得ている。ただし
A k ( n ) = ∑ 0 ≤ m < k ( m , k ) = 1 e π i [ s ( m , k ) − 1 k 2 n m ] {\displaystyle A_{k}(n)=\sum _{0\leq m<k \atop (m,k)=1}e^{\pi i\left[s(m,k)-{\frac {1}{k}}2nm\right]}}
とおいた。この式の微分の箇所はもう少し簡単な形に直せる。ここで、記号 (m, n) = 1 は m の値として n と互いに素であるものだけを考えることを意味する。また函数 s(m, k) はデデキント和である。ラーデマッハーの公式の証明はフォード円、ファレイ数列、モジュラー対称性およびデデキント・イータ函数などを主に使ってなされる。
2011年1月、小野とダルムシュタット工科大学のジャン・ヘンドリック・ブルーニエは、任意の自然数 n に対する p(n) を決定する有限で代数的な公式を得たと発表した。
分割数は n の「五角数分割」上の和として表すことができる。
n = k 1 + 2 k 2 + 5 k 5 + ⋯ = ∑ m q m k q m {\displaystyle n=k_{1}+2k_{2}+5k_{5}+\cdots =\sum _{m}q_{m}k_{q_{m}}}
これは、最小の成分が k + 1 以上であることから明らかである。
上記の 2つの場合は排反であるから、n の分割の総数は
p(n) = p(k + 1, n) + p(k, n − k)
となる。したがって、補助函数 p(k, n) を再帰的に次の式で定義する:
p ( k , n ) := { 0 ( k > n ) 1 ( k = n ) p ( k + 1 , n ) + p ( k , n − k ) ( k < n ) {\displaystyle p(k,n):=\left\{{\begin{array}{ll}0&(k>n)\\1&(k=n)\\p(k+1,n)+p(k,n-k)&(k<n)\end{array}}\right.}
この函数は少し複雑な挙動を見せる傾向にある。
p(1, 4) = 5
p(2, 8) = 7
p(3, 12) = 9
p(4, 16) = 11
p(5, 20) = 13
p(6, 24) = 16
もともとの分割数 p(n) はちょうど p(1, n) に当たる。
p(k, n) の一覧表は以下の通り。
.. k q m , {\displaystyle {\begin{aligned}K&=k_{1}+k_{2}+k_{5}+k_{7}+\cdots ,\\A&=k_{5}+k_{7}+k_{22}+k_{26}+\cdots =\sum _{m=\pm 2,\pm 4,\ldots }k_{q_{m}},\end{aligned}}}
および
( K k 1 , ... , k n ) ≡ K ! k 1 ! ⋯ k n ! δ K , k 1 + ⋯ + k n {\displaystyle \left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}~\delta _{K,k_{1}+\cdots +k_{n}}}
は多項係数である。p(n) に対する和の項の数は数列 A095699 で与えられる。例えば 8 = 7+1 = 5+2+1 = 5+1+1+1 = 2+2+2+2 = ... だから
を n の五角数分割とする。ここに各 qm = m(3m − 1)/2 は一般五角数(GPN, 数列 A001318)で qM は n を超えない最大の GPN である。故に
p ( n ) = ∑ k 1 = 0 n ∑ k 2 = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ∑ k 5 = 0 ⌊ n / 5 ⌋ ⋯ ∑ k q M = 0 ⌊ n / q M ⌋ ( − 1 ) A ( K k 1 , k 2 , k 5 , ... , k q M ) δ n , ∑ q m k q m , {\displaystyle p(n)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\sum _{k_{5}=0}^{\lfloor n/5\rfloor }\cdots \sum _{k_{q_{M}}=0}^{\lfloor n/q_{M}\rfloor }(-1)^{A}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},k_{2},k_{5},\ldots ,k_{q_{M}}\end{array}}\right)\delta _{n,\sum q_{m}k_{q_{m}}},}
を得る。ここで
K = k 1 + k 2 + k 5 + k 7 + ⋯ , A = k 5 + k 7 + k 22 + k 26 + ⋯ = ∑ m = ± 2 , ± 4 , .