特殊相対性理論
特殊相対性理論すなわち慣性力のない慣性系を対象とする理論体系が一通り出来上がった後、アインシュタインは、非慣性系と重力場へ対象を広げる仕事に取り組み、より一般的な理論である一般相対性理論を導いた。
特殊相対性理論では「あらゆる慣性系どうしが等価である」ことを原理としたが、さらに「慣性力と重力は本質的に区別がなく等価である」との視点に立ち、一般相対性理論を展開した。一般相対性理論によると、離れた観測者には光は速さが変化し曲線を描いて見える。この理論は、ニュートンの万有引力論による物理事象の捉え方を、全面的かつ発展的に書き換える内容である。
一般相対性理論では思索の対象を慣性系以外にも広げており、その名の通り、特殊相対性理論は一般相対性理論の「特殊な場合」に相当し、一般相対性理論は特殊相対性理論を包含する理論である。これらの2つの相対性理論を総称して(あるいは、両者を区別をせずに)相対性理論と呼ぶこともある。
三つの慣性系 K1, K2, K3 の間の相対速度を V12, V23, V31 とすると、それぞれの慣性系における微小世界間隔 ds1, ds2, ds3 および係数 a(|V|) についての関係式として
d s 1 2 = a ( | V 12 | ) d s 2 2 , d s 2 2 = a ( | V 23 | ) d s 3 2 , d s 3 2 = a ( | V 31 | ) d s 1 2 , {\displaystyle \mathrm {d} s_{1}{}^{2}=a(|{\boldsymbol {V}}_{12}|)\mathrm {d} s_{2}^{2},\quad \mathrm {d} s_{2}{}^{2}=a(|{\boldsymbol {V}}_{23}|)\mathrm {d} s_{3}^{2},\quad \mathrm {d} s_{3}{}^{2}=a(|{\boldsymbol {V}}_{31}|)\mathrm {d} s_{1}^{2},}
以下では話を簡単にするため時間1次元+空間1次元の計2次元の場合について述べる。
ある慣性系 (ct′, x′) において静止している剛体について、この慣性系 (ct′, x′) で測った剛体の長さをこの剛体の固有長さと呼ぶ。
今、固有長さ l の棒が慣性系 (ct′, x′) に対して静止しており、これを別の慣性系 (ct, x) から眺めたとする。話を簡単にするため、2つの慣性系の原点はいずれも棒の1つの端点 O に一致しているものとする。
棒は慣性系 (ct′, x′) に対して静止しているので、棒の他方の端点が描く世界線 C は (ct′, l) と t′ でパラメトライズできる。
慣性系 (ct, x) における現在 (0, x) と世界線 C との交わりはローレンツ変換により
( c t ′ l ) = γ ( c ⋅ 0 + x ⋅ ( v / c ) x − v ⋅ 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\l\\\end{pmatrix}}=\gamma {\begin{pmatrix}c\cdot 0+x\cdot (v/c)\\x-v\cdot 0\\\end{pmatrix}}}
なので、棒の長さは
x = l / γ {\displaystyle x=l/\gamma }
となる。ここで γ > 1 はローレンツ因子 1/√1 − (v/c) である。
これにしたがうと、棒に対して長さ方向に運動している座標系からみると、棒の長さは 1/γ 倍に縮んだかのように見える。この現象を ローレンツ収縮もしくはフィッツジェラルド=ローレンツ収縮という。
T をミンコフスキー空間上の2次のテンソルとし、e→0, e→1, e→2, e→3 をミンコフスキー空間の基底とし、e→, e→, e→, e→ をその双対基底とする。このとき、上述の基底や相対基底を使って T を4通りに成分表示する事が可能である:
T μ ν = T ( e → μ , e → ν ) , T μ ν = T ( e → μ , e → ν ) , T μ ν = T ( e → μ , e → ν ) , T μ ν = T ( e → μ , e → ν ) . {\displaystyle {\begin{aligned}T_{\mu \nu }&=T({\vec {e}}_{\mu },{\vec {e}}_{\nu }),\\T^{\mu }{}_{\nu }&=T({\vec {e}}^{\mu },{\vec {e}}_{\nu }),\\T_{\mu }{}^{\nu }&=T({\vec {e}}_{\mu },{\vec {e}}^{\nu }),\\T^{\mu \nu }&=T({\vec {e}}^{\mu },{\vec {e}}^{\nu }).\end{aligned}}}
4元ベクトル a→, b→ を
運動する観測者 A があり、A とは別の観測者 B が慣性運動し、A 側の座標系 (ct, x, y, z) にて B の位置が、
x→(τ) = (ct(τ), x(τ), y(τ), z(τ))
と書けるとき、
d s 2 = ( c d t ) 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=(c\mathrm {d} t)^{2}-\mathrm {d} x^{2}-\mathrm {d} y^{2}-\mathrm {d} z^{2}}
というローレンツ変換について不変な量 s をとり、A側の固有時刻を τ = s / c とする。
c 2 ( d τ d t ) 2 = ( d s d t ) 2 = c 2 − ( d x d t ) 2 − ( d y d t ) 2 − ( d z d t ) 2 = c 2 − v 2 {\displaystyle c^{2}\left({\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=c^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}-\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=c^{2}-v^{2}}