ハウスドルフ次元
一般的に、与えられた集合 X のハウスドルフ次元を決定するのは困難である。次元を決定するためによく使われる手法は、上からの評価と下からの評価を行い、それらが同じ値を取ることを証明する手法である。すなわち、dimH(X) ≤ s(上から)かつ dimH(X) ≥ s(下から)であることを証明すれば dimH(X) = s である。上からの評価は比較的簡単で、特殊な δ 被覆を設定すれば求まる。特に一般的に大変なのが、ハウスドルフ測度およびハウスドルフ次元の下からの評価を得ることである。下からの評価のためにはあらゆる被覆を考えて決める必要があり、難しくなる。
数直線 R 上の図形であれば、定義からの直接計算でもハウスドルフ次元の決定は比較的容易である。ハウスドルフ次元が非整数を取る図形の中でもっとも有名な集合として、カントール集合がある。カントール集合ないしカントールの3進集合とは、線分 1 の中央から1/3の長さの線分を除去し、さらに残った2つの線分の中央のそれぞれの1/3の長さの線分を除去し、という操作を繰り返し無限回行うことで得られる図形である。カントール集合を作る途中の k 番目の操作でできる図形を Ck と表すと
C k = [ 0 , 1 3 k ] ∪ [ 2 3 k , 3 3 k ] ∪ ..
カントールの3進集合のハウスドルフ次元は log 2/log 3 = 0.6309... であったが、一般化したカントール集合、例えば線分の真ん中を 1 − 2k 除去する場合は、ハウスドルフ次元は log 2/log 1/k である。カントール集合と同様に再帰的な手続きから構成できるフラクタル図形の単純な例には、コッホ曲線 K、シェルピンスキー・ガスケット S などがある。これらも開集合条件を満たす相似縮小変換であり、それぞれのハウスドルフ次元は dimH(K) = log 4/log 3 = 1.2618... と dimH(S) = log 3/log 2 = 1.5849... である。
力学系でもフラクタルが様々な形で現れる。α 倍に縮む散逸系のパイこね変換のアトラクターはハウスドルフ次元 1 + log 2/−log α である。複素力学系のマンデルブロ集合は非常な複雑な図形だが連結で、その境界はハウスドルフ次元 2 である。
規則的に作られる自己相似フラクタルの外に、自然界で見られるようなランダムパターンから生まれる自己相似フラクタルもある。