双対
与えられた平面グラフに対し、その外面も含む各面に新たな頂点を対応させ、もとのグラフでは隣り合う面に対応する頂点同士を結んで得られるグラフを、与えられたグラフの双対グラフという。 形式的には 平面グラフ G = (V, E, F) (V:頂点集合、E:辺集合、F:面集合)に対して、その双対グラフは G = (F, E, V) で与えられるグラフである。
で定義し、G の部分群 Φ に対して G の部分群 Φ を
Φ ∗ := { g ∈ G ∣ φ ( g ) = 1 for all φ ∈ Φ } {\displaystyle \Phi ^{*}:=\{g\in G\mid \phi (g)=1{\mbox{ for all }}\phi \in \Phi \}} : Φ の任意の指標によって 1 に移されるような G の元全体
と定義すると、自然な同型
H ∗ ≃ ( G / H ) ∧ , Φ ∗ ≃ ( G ^ / Φ ) ∧ {\displaystyle H^{*}\simeq (G/H)^{\wedge },\quad \Phi ^{*}\simeq ({\hat {G}}/\Phi )^{\wedge }}
が成立する。さらにまた H を H に対応させるような G の部分群全体から G の部分群全体への写像は全単射で、(H) = H が成り立つ(Φ に関しても同様)。
そして有限性や可換性の条件をゆるめると問題は急速に難しくなる。