箱の中の気体
この場合、以下が適用される。
Φ ( E ) = e β ( E − μ ) + 1 {\displaystyle \Phi (E)=e^{\beta (E-\mu )}+1\,}
エネルギー分布関数を積分することで、
N = ( V f Λ 3 ) [ − Li 3 / 2 ( − z ) ] {\displaystyle N=\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right)\left[-{\textrm {Li}}_{3/2}(-z)\right]}
ここでもLis(z)は多重対数関数で、Λはド・ブロイの熱的波長である。 そのほかの結果はフェルミ気体を参照。
E = p 2 2 m {\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}
質量のない粒子では、
E = p c {\displaystyle E=pc\,}
ここで m {\displaystyle m} は粒子の質量、 c {\displaystyle c} は光速である。これらの関係を用いると、
質量のある粒子では
d g E = ( V f Λ 3 ) 2 π β 3 / 2 E 1 / 2 d E P E d E = 1 N ( V f Λ 3 ) 2 π β 3 / 2 E 1 / 2 Φ ( E ) d E {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~\beta ^{3/2}E^{1/2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {2}{\sqrt {\pi }}}~{\frac {\beta ^{3/2}E^{1/2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}}
ここでΛは気体の熱的波長である。
Λ = h 2 β 2 π m {\displaystyle \Lambda ={\sqrt {\frac {h^{2}\beta }{2\pi m}}}}