ラック式鉄道
☆足尾銅山観光トロッコ鉄道 リッゲンバッハ式(変形)。 ☆シグナス森林鉄道 リッゲンバッハ式。最大勾配138‰。2022年2月廃止。 ☆那須りんどう湖 LAKE VIEWスイス鉄道 フォンロール式。最大勾配38‰。2019年運行終了、車両は展示されている。 (☆は鉄道事業法等に準拠しない、観光施設内の遊戯施設扱いの遊覧鉄道)
パナマ パナマ運河にて、船舶をけん引する機関車およびそれが走行する軌道がラック式である。
アメリカ合衆国 マニトウ・アンド・パイクスピーク鉄道 アプト式、最大勾配250‰。山頂駅はラック式鉄道で世界最高所(標高4300m)。 ワシントン山コグ鉄道 マーシュ式、最大勾配364‰。世界最初のラック式鉄道。蒸気運転。
ブラジル コルコバード鉄道 リオデジャネイロの名勝コルコバードの丘を登るリッゲンバッハ式の電気鉄道。2両編成のスイス製電車が運用される。 サントス=ジュンジアイ鉄道(ポルトガル語版) アプト式(粘着式併用)。サントスとサンパウロを結ぶ貨物輸送の大動脈。このアプト式は日本企業による設計で、1973年以前はインクラインを使用しワイヤーロープで車両を牽引する方式を採用していた。なお、この方式はアプト式開業後の1981年まで併用。
アルゼンチン・チリ ロス・アンデス=メンドーサ・アンデス横断鉄道(スペイン語版) アプト式(粘着式併用)。アンデス山脈を越えてアルゼンチンとチリを結ぶ鉄道。アプト式の国境部分は1984年以降休止中。
ラック式鉄道に対して+車輪とレールの間の摩擦力(粘着力)によってのみ駆動と支持を行う通常の鉄道を粘着式鉄道と呼ぶが、粘着式の場合、登坂可能条件は「1000μWD≧W(r+i+a)」という式で求められる(左辺:動力車の粘着引張力・右辺:列車全体の走行の諸抵抗)。
(μ=粘着係数(無次元量)WD=動力車の動輪上重量(t)、W=列車全体の重量(t)、r=単位重量当たりの走行抵抗(kg/t)、i=勾配上における単位重量当たりの勾配抵抗、a=加速運転における単位重量当たりの加速度抵抗(kg/t)。iとaの抵抗の値は「i=勾配角度G(kg/t)」(勾配角度Gは勾配の ‰ での数値)、「a=31α(kg/t)」(αは加速度(km/h)/s)。)
この式を勾配角度Gを求める場合に変換すると「G≦1000μWD/W-r-31α」となり、粘着係数を鉄道において一般的な0.15・0.20・0.25とし、単位当たり走行抵抗rを7、加速度αを0.25(km/h)/sとすると、登坂限界の勾配は以下の表のようになる。
粘着式鉄道における登坂限界勾配の推定(単位 ‰)
この数値は仮想的な物で実際には安全に余裕を見込んで設置される必要性があるため、鉄道における勾配は全軸駆動の電車列車でも100 ‰、機関車牽引の場合は70 ‰付近が粘着式の限界とされている。 実際の鉄道でもポルトガルのリスボントラムでは最急勾配135 ‰、オーストリアのペストリングベルク鉄道は最急勾配116 ‰であるなど、欧州では最急勾配100 ‰前後の粘着式の路面電車が最急になる。
元々マーシュ、リッゲンバッハ、アプトの各方式は、動力車が蒸気機関車・蒸気動車だった時代に開発されたが、蒸気動力車は動輪そのものがピストンの往復運動を回転運動に変えるクランクの役を果たしている関係から、動軸の衝動が大きく、このためピニオンがラックレールから外れることのないよう何らかの対策をする必要があった。しかし、ユングフラウ鉄道では長大なトンネルがあったため開業当初から電化されており、電動機の振動は蒸気機関に比べると小さかったのでこれらの対策が不要とラックレールの構造を簡易的にできたのでシンプルで低コストのシュトループ式が開発された。のちにさらに改良型のフォン・ロール式も生み出された。