ガロワ加群
これらは標数 l の有限体上の表現であり、しばしば l 進表現の mod l での還元として生じる。
数学において、ガロワ加群 (Galois module) は、G がある体の拡大のガロワ群であるときの G-加群である。G-加群が体上のベクトル空間や環上の自由加群であるときに、用語ガロワ表現 (Galois representation) がしばしば用いられるが、G-加群の同義語としても用いられる。局所体や大域体の拡大のガロワ加群の研究は数論において重要なツールである。
K が局所体あるいは大域体であるとき、類構造(英語版) (class formation) の理論は K に以下のものをアタッチする。
K のヴェイユ群(英語版) W K {\displaystyle W_{K}}
連続な群準同型 φ : W K → G K {\displaystyle \phi \colon W_{K}\to G_{K}}
位相群の同型写像 r K : C K → ∼ W K ab {\displaystyle r_{K}\colon C_{K}\,{\xrightarrow {\sim }}\,W_{K}^{\text{ab}}}
ここで、CK は、K が局所体か大域体かに応じて、K あるいはイデール類群 IK/K であり、W abK は K のヴェイユ群のアーベル化である。φ を通して、GK の任意の表現を WK の表現と考えることができる。しかし、WK は GK よりも真に多くの表現を持ち得る。例えば、rK を通して、WK の連続複素指標は CK の連続複素指標と全単射の関係にある。したがって、CK 上の絶対値指標から、像が無限である WK の指標が定まり、(GK の指標の像はすべて有限であるので)これは GK の指標ではない。
WK の l-進表現は GK と同様に定義される。これは幾何学から自然に生じる。すなわち、X が K 上の滑らかな射影多様体であれば、X の幾何学的ファイバーの l-進コホモロジーは、GK の l-進表現であり、φ を通して WK の l-進表現を誘導する。K が局所体で剰余体の標数が p ≠ l であれば、WK のいわゆるヴェイユ・ドリーニュ表現を研究する方が簡単である。