ハンケル変換
F ( k ) = 1 2 π ∫ r = 0 ∞ ∫ θ = 0 2 π f ( r , θ ) e − i k r cos  ( θ ) r d r d θ {\displaystyle F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta )}\,r\,dr\,d\theta }
ここで θ はベクトル k と r の間にある角度である。関数 f が回転対称であれば、角度 θ に依存しなくなり、 f(r) と書ける。θ に関して積分すると、フーリエ変換は以下のようになる。
F ( k ) = F ( k ) = ∫ 0 ∞ f ( r ) J 0 ( k r ) r d r {\displaystyle F(\mathbf {k} )=F(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)r\,dr}
これが関数 f(r) の零次のハンケル変換である。