2状態系
s 3 = Tr  ( σ ^ 3 ρ ^ ) = | c 1 | 2 − | c 2 | 2 {\displaystyle s_{3}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{3}{\hat {\rho }})=|c_{1}|^{2}-|c_{2}|^{2}}
で与えられる実数である。ここで
s → ( t ) = s 1 e 1 → + s 2 e 2 → + s 2 e 3 → {\displaystyle {\vec {s}}(t)=s_{1}{\vec {e_{1}}}+s_{2}{\vec {e_{2}}}+s_{2}{\vec {e_{3}}}}
で定義される単位ベクトルをブロッホベクトルといい、ブロッホベクトルがなす単位球面をブロッホ球という。ブロッホ球上の点は経度 π/2 − θ、経度 φ とする極座標の実パラメータ (φ, θ) で表すことができる。2状態系のブロッホ球による表示は米国の物理学者リチャード・ファインマンによって導入された。
2状態系は3次元実空間の単位球面であるブロッホ球で記述することができる。2状態系の密度行列
ρ ^ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | = | c 1 | 2 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + c 1 c 2 ∗ | 1 ⟩ ⟨ 2 | + c 2 c 1 ∗ | 2 ⟩ ⟨ 1 | + | c 2 | 2 | 2 ⟩ ⟨ 2 | {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\rho }}&=|\psi \rangle \langle \psi |\\&=|c_{1}|^{2}|1\rangle \langle 1|+c_{1}c_{2}^{\,\ast }|1\rangle \langle 2|+c_{2}c_{1}^{\,\ast }|2\rangle \langle 1|+|c_{2}|^{2}|2\rangle \langle 2|\end{aligned}}}
はパウリ行列により、
ρ ^ = s 0 I ^ 2 + s 1 σ ^ 1 2 + s 2 σ ^ 2 2 + s 3 σ ^ 3 2 {\displaystyle {\hat {\rho }}=s_{0}{\frac {\hat {I}}{2}}+s_{1}{\frac {{\hat {\sigma }}_{1}}{2}}+s_{2}{\frac {{\hat {\sigma }}_{2}}{2}}+s_{3}{\frac {{\hat {\sigma }}_{3}}{2}}}
U ^ ( t , 0 ) = e − i ħ H ^ t = e − i ω 0 t I ^ e − i t ω → ⋅ σ ^ → = e − i ω 0 t { cos  ( | ω → | t ) I ^ − i sin  ( | ω → | t ) ( n → ⋅ σ ^ → ) } {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t,0)&=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}\\&=e^{-i\omega _{0}t{\hat {I}}}e^{-it{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}}}\\&=e^{-i\omega _{0}t}\left\{\cos {(|{\vec {\omega }}|t)}\,{\hat {I}}-i\sin {(|{\vec {\omega }}|t)}\,({\vec {n}}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}})\right\}\end{aligned}}}
で与えられる。但し、n→ は
n → = ω → | ω → | {\displaystyle {\vec {n}}={\frac {\vec {\omega }}{|{\vec {\omega }}|}}}
で与えられる単位ベクトルである。
量子力学において、2状態系(2じょうたいけい、英: two-state system)とは、2つの独立な量子状態から構成される量子系である。自明ではない量子系としては最も簡単なものであるが、量子力学の特徴的な性質を備える。コインの表裏のような古典対応物と異なり、2状態系の量子状態を記述する状態ベクトルは、2つの独立な状態の重ね合わせの比率と位相差が異なる無限に多くの状態を取り得る。こうした性質は量子情報理論での量子ビットの基礎をなす。2状態系として記述される系は電子や原子核のスピン 1/2 の系、光子の偏光状態、共鳴波長の光に応答する原子の2準位系、ニュートリノ振動、アンモニア分子の反転モードなどの豊富な物理現象を含む。また、核磁気共鳴やアンモニアメーザーの理論的な基礎付けを与えている。J. J. Sakurai の著書 "Modern quantum mechanics" ではノーベル賞受賞者で2状態系の解析に携わった者として、7人の名を挙げている。