漸近展開
合流型超幾何関数 (en:confluent hypergeometric function):
1 F 1 ( α ; γ ; z ) := ∑ n = 0 ∞ ( α ) n ( γ ) n n ! z n , z ∈ C {\displaystyle _{1}F_{1}(\alpha ;\gamma ;z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha )_{n}}{(\gamma )_{n}\;n!}}z^{n},\quad z\in \mathbb {C} }
は次の漸近展開を持つ。
1 F 1 ( α ; γ ; z ) ∼ Γ ( γ ) Γ ( γ − α ) ( exp  ( − i π ) z ) − α [ 1 + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( α ) k ( α − γ + 1 ) k k ! 1 z k ] + Γ ( γ ) Γ ( α ) exp  ( z ) z α − γ [ 1 + ∑ k = 1 ∞ ( γ − α ) k ( 1 − α ) k k ! 1 z k ] , − π 2 < arg  ( z ) < 3 π 2 , | z | → ∞ .
一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。 項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。
漸近関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} は各 n に対して、 x 0 {\displaystyle x_{0}} の近傍で微分可能であり、関数列 { φ n ′ ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}} が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。
f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は、 x 0 {\displaystyle x_{0}} の近傍で微分可能であり、
が成立するとき、
∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}
を f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の漸近級数といい、
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)}
と表す。
さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という。
任意の正整数 n、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} の定義域内の x に対して
| f ( x ) − ∑ k = 0 n a k φ k ( x ) | < | a n + 1 φ n + 1 ( x ) | {\displaystyle \left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}a_{k}\varphi _{k}(x)\right|<|a_{n+1}\varphi _{n+1}(x)|}
が成立する。
点 x 0 {\displaystyle x_{0}} の近傍で定義された関数 f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x),\ g(x)} は、漸近関数列 { φ n ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi _{n}(x)\}_{n\geq 0}} に対する漸近展開
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) g ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ b k φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ \ \ g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
を持つとする。このとき、任意の α、β に対して
漸近展開(ぜんきんてんかい、英: Asymptotic expansion)とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析や特殊関数に対する数値解析など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある。