明示公式
明示公式のリーマンによる元々の用途は、与えられた数よりも小さな素数の数を求める完全な公式を与えるためであった。このためには、F(log(y)) を 0 ≤ y ≤ x に対しては y/log(y) であり、そうでない場合は 0 であるとすると、右辺の和の主要項は、x より小さな素数の数である。左辺の主要項は、Φ(1) であり、この式が素数定理の主要項であることが分かり、ゼータ函数の非自明な零点を渡る和が主要な補正項であることが分かる。(これを使う場合には F が滑らかであるという条件を満たさないという小さな問題がある。)