ベッツの法則
E ̇ = 1 2 m ̇ ( v 1 2 − v 2 2 ) = 1 4 ρ S ( v 1 + v 2 ) ( v 1 2 − v 2 2 ) = 1 4 ρ S v 1 3 { 1 − ( v 2 v 1 ) 2 + ( v 2 v 1 ) − ( v 2 v 1 ) 3 } {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {E}}&={\frac {1}{2}}{\dot {m}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\frac {1}{4}}\rho S(v_{1}+v_{2})(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})\\&={\frac {1}{4}}\rho Sv_{1}^{3}\left\{1-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)-\left({\frac {v_{2}}{v_{1}}}\right)^{3}\right\}\end{aligned}}}
得られる E ̇ {\displaystyle {\dot {E}}} は流体の仕事率に相当し、損失がなければ羽根車が受け取る動力と等しい(ここでこの仕事率 E ̇ {\displaystyle {\dot {E}}} をP と置き直す)。
ところでこの E ̇ {\displaystyle {\dot {E}}} ( = P ) を(v2 /v1) で微分した関数はv2 /v1 = 1/3 で0を取ることが確かめられる。