多項式函数 (初等数学)
一次函数および二次函数の解析学的性質はよく知られている。より高次の多項式函数についても、いくつか知られた事実がある。
R 上定義された多項式函数は R の各点で微分可能である。正整数 k に対し、単項式 fk(x) ≔ ak⋅x の導函数は f′(x) = k⋅akx で与えられる。定数単項式の導函数は零函数である。
したがって特に、R 上定義された多項式函数は R 上の各点で連続である。
多項式函数の無限遠への極限は、そのもとも高い次数の単項式の極限に一致する。
anx の +∞ への極限は an > 0 ならば +∞; an < 0 ならば −∞.
anx の −∞ への極限は an > 0 かつ n が偶数ならば +∞; an > 0 かつ n が奇数ならば −∞; an < 0 かつ n が偶数ならば −∞; an < 0 かつ n が奇数ならば +∞.
多項式函数 f のグラフが y-軸 Oy を対象の軸に持つための必要十分条件は、f に現れるすべての単項式の次数が偶数となることである。おそらくこの性質が、グラフが Oy を対称の軸にもつ任意の函数を偶函数と呼ぶ由来である。
同様に、多項式函数 f が原点 O を対称の中心に持つための必要十分条件は、f に現れるすべての単項式の次数が奇数となることである。奇函数を参照。