分数次フーリエ変換
フーリエ変換は本質的にボソン的である。これがうまくいくのは重ね合わせの原理との整合性のためであり、干渉パターンと関連がある。対して、フェルミオン的フーリエ変換も存在する。これらは超対称 FRFT および超対称ラドン変換(英語版)に一般化できる。分数次ラドン変換、シンプレクティック(英語版) FRFT、シンプレクティックウェーブレット変換も存在する。量子回路はユニタリ操作に基いているため、後者が関数空間上のユニタリ作用素である積分変換の計算に有用である。FRFTを実装する量子回路も設計されている。
FrFTは次のように積分変換として表わせる。
F α f ( u ) = ∫ K α ( u , x ) f ( x ) d x {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }f(u)=\int K_{\alpha }(u,x)f(x)\,\mathrm {d} x}
ここで、α-角核関数はつぎのようになる。
K α ( u , x ) = { 1 − i cot  ( α ) exp  ( i π ( cot  ( α ) ( x 2 + u 2 ) − 2 csc  ( α ) u x ) ) if α is not a multiple of π , δ ( u − x ) if α is a multiple of 2 π , δ ( u + x ) if α + π is a multiple of 2 π , {\displaystyle K_{\alpha }(u,x)={\begin{cases}{\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}\exp \left(i\pi (\cot(\alpha )(x^{2}+u^{2})-2\csc(\alpha )ux)\right)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is not a multiple of }}\pi ,\\\delta (u-x)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\delta (u+x)&{\mbox{if }}\alpha +\pi {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\end{cases}}}