位相体
任意の体に対して、離散位相を入れた位相体は局所コンパクトになるので、この様な位相体を分類することはできないが、離散位相以外の位相を入れた位相体が局所コンパクトになるのは、かなり限定されることが知られている。そこで、以下において、位相は離散位相ではないとすると、局所コンパクト位相体は以下の様に分類することができる(以下体として非可換体も考えているので注意されたい。四元数体などがそうである)。
まず、連結である局所コンパクト位相体は、以下のいずれかの体と同型となる。
実数体 R
複素数体 C
四元数体 H
さらに、これらの体の位相は、それぞれの体の絶対値で与えられる距離空間と同相である。
次に連結ではない連続体は、以下のいずれかの体と同型である。
p-進体 Qp 上の有限次拡大体
p-進体 Qp 上の有限階数の斜体
有限体 Fq 上の一変数ローラン級数体 Fq((t)) の有限次拡大体
Fq((t)) の有限階数の斜体
さらに、これらの体の位相は、p-進体もしくは有限体上の一変数ローラン級数体上の非アルキメデス付値によって得られる距離による距離空間と同相である。
以上の結果、位相体が連結であるかないかによらず、局所コンパクトな位相体は乗法付値で得られる距離の距離空間に同相であり、さらにその距離で完備となる。従って局所コンパクトな位相体は、完備な付値体である。逆に完備な付値体は局所コンパクトであるので、位相体の局所コンパクト性と付値体の完備性は同じになる。
位相体(いそうたい、英: topological field)とは、密着位相ではない位相が入った位相空間であり、加法、乗法、加法逆元をとる操作および 0 以外の元に対する逆数をとる操作が連続となる体のことである。従って、位相体 K は加法に対する位相群であり、K は乗法に対する位相群となる。