ワイエルシュトラス関数
ワイエルシュトラス関数では和をn ≥ 0 についてのみとるため厳密にはスケール不変とはならない。
w ( b x ) = b − 1 ∑ n = 0 ∞ b n + 1 cos  ( b n + 1 π x ) = b − 1 ∑ n = − 1 ∞ b n + 1 cos  ( b n + 1 π x ) − b − 1 b 0 cos  ( b 0 π x ) = b − 1 [ w ( x ) − cos  π x ] ≠ b − 1 w ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}w(bx)&=b^{-1}\sum _{n=0}^{\infty }b^{n+1}\cos {(b^{n+1}\pi x)}\\&=b^{-1}\sum _{n=-1}^{\infty }b^{n+1}\cos {(b^{n+1}\pi x)}-b^{-1}b^{0}\cos(b^{0}\pi x)\\&=b^{-1}\left[w(x)-\cos \pi x\right]\\&\neq b^{-1}w(x)\end{aligned}}}
したがって、厳密な意味での自己相似性をもたない。