予測子修正子法
予測子修正子法(よそくししゅうせいしほう、英: Predictor‐Corrector Method)とは、常微分方程式の初期値問題に対する数値解法の一つである。
線形多段法に分類され、予測子によって近似計算を行い、修正子によりその近似値を修正する方法が一般的。
代表的な予測子修正子法としてHeunの中点法、Milne-Simpson法、Adams-Moulton法がある。Milne-Simpson法は弱安定で、時には不安定現象を起こすことがある。また、4次のAdams-Moulton法は安定な線形3段解法のうちで最高の次数を持つことが知られている。
常微分方程式の初期値問題は以下である。
d u d t = f ( t , u ) {\displaystyle {\dfrac {du}{dt}}=f(t,u)}
u ( t 0 ) = u 0 {\displaystyle u(t_{0})=u_{0}}
この厳密解は以下の積分方程式を満足する。
u ( t N ) − u ( t M ) = ∫ t M t N f ( t , u ( t ) ) d t {\displaystyle u(t_{N})-u(t_{M})=\int _{t_{M}}^{t_{N}}f(t,u(t))dt}
ここで、右辺の積分区間を単にきざみの一単位 h {\displaystyle h} にとった公式を一般にアダムス型公式という。
v n + 1 − v n = ∫ t n t n + 1 g p ( t ) d t {\displaystyle v_{n+1}-v_{n}=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}g_{p}(t)dt}
被積分関数 g p ( t ) {\displaystyle g_{p}(t)} は p {\displaystyle p} 個の標本点において値 f i = f ( t j , v j ) {\displaystyle f_{i}=f(t_{j},v_{j})} をとるラグランジュ補間公式であって、たかだか p − 1 {\displaystyle p-1} 次の多項式である。