単射
単射の制限は単射である。単射の拡張は単射であるとは限らない。
二つの単射の合成は単射である。
二つの写像の合成 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} が単射であれば、g は単射である(右図参照)。
写像 f : A → B に対し r ∘ f = id A {\displaystyle r\circ f=\operatorname {id} _{A}} を満たす写像 r : B → A (引き込み、レトラクション)が存在するならば f は単射である。
写像 f が単射であることは次の普遍性
f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h} を満たす任意の射 g, h: Z → X に対し、g = h である
によって特徴付けられる。圏論においてはこの普遍性によって単射 (monomorphism) を定義する。
X, Y を集合、f: X → Y を写像とするとき、次は同値である:
(1) f {\displaystyle f} は単射である。 (2) X の任意の部分集合 A に対し、 f − 1 [ f [ A ] ] = A {\displaystyle f^{-1}[f[A]]=A} が成り立つ。 ここで f [ ∙ ] , f − 1 [ ∙ ] {\displaystyle f[\bullet ],\ f^{-1}[\bullet ]} はそれぞれ像, 逆像である.