楕円曲線
しかしながら、P がたまたま変曲点(そこで曲線の凹み方が変わるような点)であるようなときは、接線は P でしか曲線と交叉しない。そこで、R を P 自身として、P + P を単純に点の反対の点とする。
ヴァイエルシュトラス標準形ではない三次曲線に対しては、九つある変曲点のうちの一つを単位元 O とすることで群構造を定義することができる。射影平面内では、多重度を考慮にいれると、三次曲線と任意の直線は三つの点で交叉する。点 P に対し、−P は O と P を通る第三の点として一意に定義される。そして、任意の P と Q に対する P + Q は、R を P と Q を含む直線上の第三の点としたとき、P + Q = −R として定義される。
K をその上で曲線が定義される体とし(つまり、曲線を定義する式の係数 K の中にある)、曲線を E で表すと、E 上の点であり、かつx座標とy座標の値が共に K 上にある点(無限遠点を含む)を、E の K-有理点とよぶ。K-有理点の集合は、E(K) で表す。これも群を形成する。なぜならば、多項式の性質から、P が E(K) の点であれば −P も E(K) の点であり、P と Q の 2点が E(K) の点であれば、第三の点も E(K) の点になるからである。加えて、K が L の部分体であれば、E(K) は E(L) の部分群である。
上記の群は、幾何学的に記述されると同様に代数的にも記述できる。体 K (体の標数は 2 でも 3 でもないとする)上の曲線 y = x + ax + b が与えられるとし、曲線上の点を P = (xP, yP) と Q = (xQ, yQ) として、まず、xP ≠ xQ とする(下図の一つ目のグラフ)。