自由加群
自由加群についての多くのステートメントは、一般の環上の加群については成り立たないが、自由加群のある種の一般化に対してはなお成り立つ。射影加群は自由加群の直和因子なので、自由加群への単射が存在し、その基底を射影加群に関する何らかの証明で使うことができる。より弱い一般化として平坦加群やねじれのない加群がある。平坦加群はテンソル積が完全列を保つという性質をもつ。環が特別な性質をもてば、逆が成り立つことがある。例えば、任意の完全局所デデキント環上のすべてのねじれのない加群は平坦加群、射影加群、自由加群でもある。
局所環、完全環、デデキント環を見よ。
任意の R-加群 M と任意の写像 φ : E → M {\displaystyle \varphi \colon E\to M} に対して、 φ = ψ ∘ ι {\displaystyle \varphi =\psi \circ \iota } を満たす加群準同型 ψ : C ( E ) → M {\displaystyle \psi \colon C(E)\to M} が一意的に存在する。
さらに自由加群の構成を関手 C : S e t → R - M o d {\displaystyle C\colon \operatorname {\mathcal {Set}} \to R\operatorname {-{\mathcal {Mod}}} } としてみれば、これは忘却関手 U : R - M o d → S e t {\displaystyle U\colon R\operatorname {-{\mathcal {Mod}}} \to \operatorname {\mathcal {Set}} } の左随伴であること、つまり自然同型
S e t  ( E , U ( M ) ) ≅ R - M o d  ( C ( E ) , M ) {\displaystyle \operatorname {\mathcal {Set}} (E,U(M))\cong R\operatorname {-{\mathcal {Mod}}} (C(E),M)}
がわかる。