クラメールのパラドックス
次の9点を通る三次曲線を求めよう。
(0, 0), (0, 1), (0, -1), (1, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (-1, -1)
三次曲線の方程式を Ay + (B + Cx) y + (D + Ex + Fx) y + (G + Hx + Jx + Kx) = 0 とおくと、係数は次の連立方程式を満たす必要がある。
( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 − 1 1 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 − 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1 ) ( A B C D E F G H J K ) = 0 {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&1&0&0&0\\-1&1&0&-1&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\-1&1&1&-1&-1&-1&1&1&1&1\\0&0&0&0&0&0&1&-1&1&-1\\1&1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1\\-1&1&-1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\B\\C\\D\\E\\F\\G\\H\\J\\K\\\end{pmatrix}}=\mathbf {0} }
例えば、2点を通る一次曲線(直線)は一意に定まり、5点を通る二次曲線は一意に定まる。そこで、一般に n 次曲線は何個の点を与えれば一意に定まるか、という問題が考えられる。少しの考察からは、矛盾する次のふたつの結論が得られる。
平面代数曲線は Ay + (B + Cx) y + (D + Ex + Fx) y + (G + Hx + Jx + Kx) y + etc. = 0 と書けるため、係数をすべて求めるためには n (n + 3)/2 個の方程式が必要となる。つまり、n (n + 3)/2 個の点が n 次の平面代数曲線を一意に決定するであろう。
二つの n 次の平面代数曲線において、n 回交わることができるものが存在する。つまり、これらの n 個の点を通る曲線は少なくとも2本存在する。したがって、これら一方の曲線を決定するためには、これらの n 個の点では十分でなく、それより多くの点が必要であろう。
例えば、任意の3次平面代数曲線を一意に決定するためには、前者に従えば9個の点で十分であるが、後者に従えば9個より多くの点を必要とする曲線が存在する。
現代からすれば、これはパラドックスではなく、別の条件が必要となることが容易にわかる。数学史上においては、レオンハルト・オイラーによって解決された。