ハウスドルフ空間
f: X → Y を写像、X × X の部分集合 ker(f) = {(x, x′) | f(x) = f(x′) } をその核とするとき、 f が連続で Y がハウスドルフならば ker(f) は閉集合 f が全射開写像で ker(f) が閉集合ならば Y はハウスドルフ f が全射連続開写像のとき、Y がハウスドルフであることと ker(f) が閉であることは同値になる
f, g: X → Y が連続写像で Y がハウスドルフ空間のとき、それらの等化域 eq(f, g) = { x |f(x) = g(x) } は X の中で閉じている。とくに、f とg が稠密な集合上一致していたらそれらは全空間上で一致していることになる。
f: X → Y が全射閉写像でかつ任意の y ∈ Y について f(y) がコンパクトであるとする。このとき X がハウスドルフならば Y もハウスドルフになる
f: X → Y が全射開連続写像で Xがコンパクトハウスドルフ空間のとき、以下は同値である Y はハウスドルフ f は閉写像 ker(f) は閉集合