二重階乗
通常の階乗函数は(ガンマ函数に拡張して)各負の整数の位置に極を持ち、それらの数へ階乗を延長することは妨げられる。しかし奇数の二重階乗は、その漸化式 n ! ! = n × ( n − 2 ) ! ! {\textstyle n!!=n\times (n-2)!!} を逆に解いて
と書くことにより、任意の負の奇数に延長することができる。この逆向きの漸化式を用いれば、−1!! = 1, −3!! = −1, −5!! = 1/3 などが計算でき、これ以降の(絶対値がより大きい)負の奇数に対して、その二重階乗は全て分数である。特に、正の奇数 n に対し
が言える。