マルコフ性
P r [ X ( t + h ) = y | X ( t ) = x ] = P r [ X ( h ) = y | X ( 0 ) = x ] , ∀ t , h > 0 , {\displaystyle \mathrm {Pr} {\big [}X(t+h)=y\,|\,X(t)=x{\big ]}=\mathrm {Pr} {\big [}X(h)=y\,|\,X(0)=x{\big ]},\quad \forall t,h>0,}
そうでない場合は「非斉時的; time-inhomogeneous」であるという。斉時的マルコフ過程は一般に非斉時的過程よりも単純であり、マルコフ過程の中でも最も重要なクラスである。
実際にはマルコフ過程でないものを「現在」状態や「将来」状態の概念を拡張することでマルコフ過程的に表現することもある。例えば、X が非マルコフ過程であるとする。ここで、X における状態間の時間間隔を過程 Y の各状態とする。これを数式で表すと次のようになる。
Y ( t ) = { X ( s ) : s ∈ [ a ( t ) , b ( t ) ] } . {\displaystyle Y(t)={\big \{}X(s):s\in [a(t),b(t)]\,{\big \}}.}
Y がマルコフ性を持つ場合、それは X のマルコフ的表現となる。この場合 X を二階マルコフ過程(second-order Markov process)と呼ぶ。高階マルコフ過程も同様に定義される。
非マルコフ過程のマルコフ的表現の例として、移動平均を時系列に並べた移動平均線がある。
マルコフ過程で最も知られているのはマルコフ連鎖だが、他にも様々な過程があり、ブラウン運動も近似的にはマルコフ性を有する。