オルンシュタインの同型定理
同型性に関する疑問は、二つのベルヌーイスキーム BS(1/2, 1/2) と BS(1/3, 1/3, 1/3) が同型であるかどうかを尋ねたジョン・フォン・ノイマンの時代まで遡る。1959年にヤコフ・シナイとアンドレイ・コルモゴロフは、この疑問に対する否定的な返答として、二つの異なるスキームは、同一のエントロピーを持たないなら同型とはなり得ないことを示した。具体的に彼らは、ベルヌーイスキーム BS(p1, p2,..., pn) のエントロピーは次で与えられることを示した:
H = − ∑ i = 1 N p i log  p i . {\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.}
ドナルド・オルンシュタインによって1970年に証明された、オルンシュタインの同型定理では、同一のエントロピーを持つ二つのベルヌーイスキームは力学系として同型であることが示された。この結果は、非常に似ていても非スキーム系であれば同じ性質を持たないという意味において、シャープなものであった。具体的に、同一のエントロピーを持つコルモゴロフ系は同型ではない。オルンシュタインはこの業績によって、ボッチャー記念賞を得た。
同型定理の簡潔な証明は、1979年に Michael S. Keane と M. Smorodinsky によって与えられた。しかし、元の証明は二つの異なる系が同型であるか否かを決定する簡潔な基準を提供するものであったため、依然として重要なものとなっている。