頂垂線 (三角形)
三角形の三つの頂垂線(場合によってはその延長線)は、三角形の垂心 H と呼ばれる一点において交わる。。垂心が三角形の内部にあるための必要十分条件はその三角形が鋭角三角形(すべての角が直角以上になることがない三角形)となることである。一つの角が直角ならば、垂心はその直角を成す頂点に一致する。
三角形の頂点およびそのなす角を同じ文字 A, B, C で表し、対応する辺の長さを a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| とする(しばしば辺自体も同じ文字で表す)とき、垂心の三線座標(英語版)は
で与えられ、また重心座標(英語版)は
で与えられる。
重心座標系は三角形の内点に対してすべての座標が正となるが、外部の点では少なくとも一つの座標が負であり、また頂点において二つの座標の値が零となるから、垂心に対して与えられる上記の重心座標は、垂心が鋭角三角形の内部にあり、直角三角形の直角を成す頂点上にあり、また鈍角三角形の外部にあることを示すものになっている。
ガウス平面において、点 A, B, C はそれぞれ複素数 zA, zB, zC を表現するものであり、三角形 ABC の外接円がガウス平面の原点に中心を持つと仮定すれば、複素数
を表現する点 H は三角形 ABC の垂心である。これにより、垂心 H の自由ベクトルによる特徴付け
が直接的に得られる。前者の式は「シルベスターの問題」と呼ばれるベクトルの等式で、ジェームス・ジョセフ・シルベスターが提案した。