クレイン＝ミルマンの定理
上述の閉凸包は、 K {\displaystyle K} を含むすべての X {\displaystyle X} の閉部分集合の共通部分として定義される。そしてそれは、位相ベクトル空間内の凸包の閉包と等しいことが知られている。定理の証明は、ある部分では容易であるが、「十分な」極点の存在を示すという点に主な難しさがある。
マルク・クレインとダヴィット・ミルマン(英語版)によって証明された元の定理の内容は、ここで述べたものより若干一般性に欠けるものとなっている。
その定理より以前に、ヘルマン・ミンコフスキーは、 X {\displaystyle X} が有限次元であるなら K {\displaystyle K} はその極点の集合の凸包と等しいことを示していた。クレイン=ミルマンの定理は、その結果を任意の局所凸空間 X {\displaystyle X} に対して一般化するものであったが、閉包が必要となり得るという注意も付されていた。