ウィグナーのD行列
D m k j ( α , β , γ ) {\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )} がある球面基底 | l m ⟩ {\displaystyle |lm\rangle } を別の球面基底 R ( α , β , γ ) | l m ⟩ {\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|lm\rangle } に移すユニタリ変換であることをあらわす、次の関係式が成り立つ。
∑ k D m ′ k j ( α , β , γ ) ∗ D m k j ( α , β , γ ) = δ m , m ′ , {\displaystyle \sum _{k}D_{m'k}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\delta _{m,m'},}
∑ k D k m ′ j ( α , β , γ ) ∗ D k m j ( α , β , γ ) = δ m , m ′ {\displaystyle \sum _{k}D_{km'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{km}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\delta _{m,m'}}
SU(2)の指標は回転角βのみに依存する類関数であることから、回転軸に依存せず次式がなりたつ。
D m k j ( α , β , γ ) D m ′ k ′ j ′ ( α , β , γ ) = ∑ J = | j − j ′ | j + j ′ ⟨ j m j ′ m ′ | J ( m + m ′ ) ⟩ ⟨ j k j ′ k ′ | J ( k + k ′ ) ⟩ D ( m + m ′ ) ( k + k ′ ) J ( α , β , γ ) {\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{J=|j-j'|}^{j+j'}\langle jmj'm'|J\left(m+m'\right)\rangle \langle jkj'k'|J\left(k+k'\right)\rangle D_{\left(m+m'\right)\left(k+k'\right)}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )}
記号 ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | j 3 m 3 ⟩ {\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle } はクレブシュ–ゴルダン係数である。
χ j ( β ) ≡ ∑ m D m m j ( β ) = ∑ m d m m j ( β ) = sin  ( ( 2 j + 1 ) β 2 ) sin  ( β 2 ) {\displaystyle \chi ^{j}(\beta )\equiv \sum _{m}D_{mm}^{j}(\beta )=\sum _{m}d_{mm}^{j}(\beta )={\frac {\sin \left({\frac {(2j+1)\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)}}}
このため、群のハール測度を通じてより単純な以下の直交関係がなりたつ。
1 π ∫ 0 2 π d β sin 2  ( β 2 ) χ j ( β ) χ j ′ ( β ) = δ j ′ j {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\beta \sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)\chi ^{j}(\beta )\chi ^{j'}(\beta )=\delta _{j'j}}
また、以下の完全性関係式もなりたつ。
∑ j χ j ( β ) χ j ( β ′ ) = δ ( β − β ′ ) {\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\beta )\chi ^{j}(\beta ')=\delta (\beta -\beta ')}
したがって、β′ = 0 のとき以下がなりたつ。
∑ j χ j ( β ) ( 2 j + 1 ) = δ ( β ) {\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\beta )(2j+1)=\delta (\beta )}
ウィグナーらによる符号規約を用いると、j = 1/2, 1, 3/2, 2におけるd行列の要素 d m ′ m j ( θ ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\theta )} は以下のように与えられる。
j = 1/2の場合、
d 1 2 , 1 2 1 2 = cos  θ 2 d 1 2 , − 1 2 1 2 = − sin  θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=-\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}
j = 1の場合、
d 1 , 1 1 = 1 2 ( 1 + cos  θ ) d 1 , 0 1 = − 1 2 sin  θ d 1 , − 1 1 = 1 2 ( 1 − cos  θ ) d 0 , 0 1 = cos  θ {\displaystyle {\begin{aligned}d_{1,1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\\[6pt]d_{1,0}^{1}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin \theta \\[6pt]d_{1,-1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\\[6pt]d_{0,0}^{1}&=\cos \theta \end{aligned}}}