ブールの不等式
である。(ここで留意すべきは、右辺のどちらの項も非負である、という点である。)
さて、集合 A i {\displaystyle A_{i}} を、交わりを持たないよう変形する。
B i = A i − ⋃ j = 1 i − 1 A j . {\displaystyle B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}.}
とすると、 { B i } {\displaystyle \{B_{i}\}} は互いに素であり、また B i ⊂ A i {\displaystyle B_{i}\subset A_{i}} であり、かつ
⋃ i = 1 ∞ B i = ⋃ i = 1 ∞ A i {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}
となる。
したがって、以下の式を演繹することができる。
P ( ⋃ i A i ) = P ( ⋃ i B i ) = ∑ i P ( B i ) ≤ ∑ i P ( A i ) . {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}