フレネ・セレの公式
半径 r (>0)、間隔 2π h 、角速度ω(>0)の螺旋上の運動
x ( t ) = r cos  ( ω t ) y ( t ) = r sin  ( ω t ) z ( t ) = h ω t {\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=r\cos(\omega t)\\y(t)&=r\sin(\omega t)\\z(t)&=h\omega t\end{aligned}}}
を考える。弧長は
s ( t ) = r 2 + h 2 ω t {\displaystyle s(t)={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\,\omega t}
で与えられる。
フレネ・セレ標構は
フレネ・セレ標構に対して、動標構の微分の関係式(0)を適用すると、フレネ・セレ標構の定義(2)からω2=0となる。 ω3=κ,ω1=τと置き換えるとフレネ・セレの公式:
d d s ( T N B ) = ( 0 κ 0 − κ 0 τ 0 − τ 0 ) ( T N B ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {T}}\\{\boldsymbol {N}}\\{\boldsymbol {B}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {T}}\\{\boldsymbol {N}}\\{\boldsymbol {B}}\end{pmatrix}}}
が得られる。
κ,τはそれぞれ曲線の曲率、捩率を表し、公式より、