平面曲線
媒介表示された平面曲線が点 t0 において正則もしくは正常 (regular) である、または点 t0 がこの曲線上の正則点であるとは、α′(t0) ≔ (φ′(t0), ψ′(t0)) ≠ (0,0) なることを言い、区間 I 上で正常とは I 上の任意の t において α′(t) ≠ (0,0) となることを言う。
α′(t0) = (0,0) を満たす点 t0 はこの曲線の特異点と呼ぶ。
曲線の正則性は、その曲線の接線の定義を可能にする。可微分曲線 α(t) の正則点 P0 ≔ α(t0) における接線は、点 P0 を通り、ベクトル
に平行な直線を言う。すなわち、点 t0 の周りで接線上の点 (X, Y) は方程式
を満足し、また媒介変数 t を用いれば (X, Y) ≔ (Xt, Yt) は
としても表される。曲線が方程式 y = f(x) によって陽に与えられているならば、その点 (x0, y0) における接線は
なる関係によって与えられる。また、曲線が陰伏方程式 F(x, y) = 0 によって与えられているならば接線は
平面曲線を表す方法の一つは、各 x に対応する y の値を与える方程式 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} を用いるもので、そのように与えられる xy-平面上の点 (x, y) がその平面曲線上の点を表すように方程式を与えることである。この種の曲線は、実函数のグラフとして曲線のグラフを与えることでも記述できる。実際、この表現法はひとつの独立変数に関する写像 α ( t ) = ( t , f ( t ) ) {\displaystyle \alpha (t)=(t,f(t))} としても書くことができる。しかしこの方法は幾何学的には様々な制約があり、この形で表すには複雑すぎる曲線というものが極めて頻繁にあらわれるから、そのような場合にこの形で幾何学的性質を調べることは向かない。