クラウジウス・クラペイロンの式
以上の導出において、化学ポテンシャルが相転移点において微分不可能であるため、微分の際に相転移点を超えないように注意が必要である。 相1を低温相、相2を高温相とする。温度 T と、それより高温 T'(T' > T)での二相共存状態を考える。 それぞれの温度での二相共存の条件は
μ 1 ( T , p tr ( T ) ) = μ 2 ( T , p tr ( T ) ) {\displaystyle \mu _{1}(T,p_{\text{tr}}(T))=\mu _{2}(T,p_{\text{tr}}(T))}
μ 1 ( T ′ , p tr ( T ′ ) ) = μ 2 ( T ′ , p tr ( T ′ ) ) {\displaystyle \mu _{1}(T',p_{\text{tr}}(T'))=\mu _{2}(T',p_{\text{tr}}(T'))}
である。ここから
μ 1 ( T ′ , p tr ( T ′ ) ) − μ 1 ( T , p tr ( T ) ) T ′ − T = μ 2 ( T ′ , p tr ( T ′ ) ) − μ 2 ( T , p tr ( T ) ) T ′ − T {\displaystyle {\frac {\mu _{1}(T',p_{\text{tr}}(T'))-\mu _{1}(T,p_{\text{tr}}(T))}{T'-T}}={\frac {\mu _{2}(T',p_{\text{tr}}(T'))-\mu _{2}(T,p_{\text{tr}}(T))}{T'-T}}}
の関係にある。標準圧力 p0 における沸点を T0 とするなら、右辺の第1項は、トルートンの規則を使うと
Δ vap H m ( p 0 , T ) ∼ Δ vap H m ( p 0 , T 0 ) ∼ 10 R T 0 {\displaystyle \Delta _{\text{vap}}H_{\text{m}}(p_{\text{0}},T)\sim \Delta _{\text{vap}}H_{\text{m}}(p_{\text{0}},T_{\text{0}})\sim 10RT_{\text{0}}}
程度の大きさである。それに対して右辺の第2項は、熱力学的状態方程式とジュールの法則を使うと
| ∫ p 0 p vap ( ∂ Δ H m ∂ p ) T d p | ∼ V l,m p 0 ≪ V g,m p 0 ∼ R T 0 {\displaystyle \left|\int _{p_{\text{0}}}^{p_{\text{vap}}}\left({\frac {\partial \Delta H_{\text{m}}}{\partial p}}\right)_{T}dp\right|\sim V_{\text{l,m}}p_{\text{0}}\ll V_{\text{g,m}}p_{\text{0}}\sim RT_{\text{0}}}
となる(Vl, m, Vg, mはそれぞれ液体と蒸気のモル体積)。よって近似 1, 2 の下ではモル蒸発エンタルピーの圧力依存性は無視できる。
Δ H m ( p vap , T ) = Δ H m ( p 0 , T ) {\displaystyle \Delta H_{\text{m}}(p_{\text{vap}},T)=\Delta H_{\text{m}}(p_{\text{0}},T)}
このとき、蒸気圧の対数の温度依存性は次式で与えられる。
ln  p vap p 0 = ∫ 1 / T 1 / T 0 Δ H m ( p 0 , T ′ ) R d ( 1 T ′ ) {\displaystyle \ln {\frac {p_{\text{vap}}}{p_{\text{0}}}}=\int _{1/T}^{1/T_{\text{0}}}{\frac {\Delta H_{\text{m}}(p_{\text{0}},T')}{R}}d\left({\frac {1}{T'}}\right)}
近似 3: モル蒸発エンタルピーが温度にも依らないと近似するなら、蒸気圧の対数の温度依存性は次式で与えられる。
ln  p vap p 0 = Δ vap H m R ( 1 T 0 − 1 T ) {\displaystyle \ln {\frac {p_{\text{vap}}}{p_{\text{0}}}}={\frac {\Delta _{\text{vap}}H_{\text{m}}}{R}}\left({\frac {1}{T_{\text{0}}}}-{\frac {1}{T}}\right)}
log 10  p vap p 0 = Δ vap H m 2.