有界函数
数学の分野において、ある集合 X 上で定義される実数あるいは複素数値の函数 f が有界函数(ゆうかいかんすう、英: bounded function)であるとは、その値からなる集合が有界集合であることを言う。言い換えると、X 内のすべての x に対して
| f ( x ) | ≤ M {\displaystyle |f(x)|\leq M}
が成り立つような、x に依らない実数 M が存在することを言う。
しばしば、X 内のすべての x に対して f ( x ) ≤ A {\displaystyle f(x)\leq A} が成立するとき、その函数は上界 A によって上から抑えられる(bounded above)と言い、そのような A が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、X 内のすべての x に対して f ( x ) ≥ B {\displaystyle f(x)\geq B} が成立するとき、その函数は下界 B によって下から抑えられる(bounded below)と言い、そのような B が存在するときその函数は下に有界であるという。
(しばしば、函数・写像・作用素などが同意語として扱われることもあるけれども)この概念は、有界作用素のそれと混同しないように注意するべきである。