差分多項式
一般差分多項式に対する母関数は、次で与えられる。
e z t = ∑ n = 0 ∞ p n ( z ) [ ( e t − 1 ) e β t ] n . {\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.}
この母関数には、次のような一般化アペル表現が存在する。
K ( z , w ) = A ( w ) Ψ ( z g ( w ) ) = ∑ n = 0 ∞ p n ( z ) w n . {\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}.}
ここで A ( w ) = 1 {\displaystyle A(w)=1} 、 Ψ ( x ) = e x {\displaystyle \Psi (x)=e^{x}} 、 g ( w ) = t {\displaystyle g(w)=t} および w = ( e t − 1 ) e β t {\displaystyle w=(e^{t}-1)e^{\beta t}} とされる。