群準同型
準同型 h: G → H の核 ker(h) を、h によって H の単位元にうつる G の元全体の集合
と定義し、また準同型 h: G → H の像を
で定義する。核は G の正規部分群である(実際、u ∈ ker(h) とすれば、任意の g ∈ G に対し
が成立するから、 g − 1 ker  ( h ) g = ker  ( h ) {\textstyle g^{-1}\ker(h)g=\ker(h)} はすぐにわかる)。また、像は H の部分群である。準同型 h が単射(しばしば 群単準同型 (group monomorphism) と呼ばれる)になることと ker(h) = {eG} となることとは同値である。
準同型の核と像は、その準同型がどのくらい同型に近いかを測るものと解釈することができる。第一同型定理によれば、準同型 h: G → H の像 im h は、余像と呼ばれる商群 G/ker h に同型である。
複素成分の n 次正則行列 A に対して行列式 det(A) を対応させる写像 det: GLn(C) → C* は群準同型である。ここで GLn(C) は複素数体上の n 次一般線型群である。この群準同型は全射であり、その核は n 次特殊線型群 SLn(C) と呼ばれる。
実成分の n 次正則行列 A に対して逆行列の転置 θ(A) = A を対応させる写像 θ: GLn(R) →GLn(R) は群(準)同型である。このとき θ で固定される行列の全体 { A | θ(A) = A } は直交群 O(n) となる。
零でない複素数 z = re に対して絶対値 |z| = r を対応させる写像 C* → R* は群準同型である。この写像は全射であり、核は複素平面の単位円に属する複素数の全体 { e | 0 ≤ θ < 2π } である。
奇素数 p についてルジャンドル記号は (Z/pZ)* = {1, ..., p − 1} から {±1} への群準同型 a ↦ a mod p を定める。