位相空間
本節の目標は、位相空間上での収束概念を定義し、収束概念によってこれまで述べてきた様々な概念を捉え直す事にある。 位相空間における収束概念は、距離空間における点列の収束概念を適切に修正する事により得られる:
定義 (距離空間における点列の収束) ― ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} を距離空間とする。Xの点列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} がXの点xに収束するとは以下が成立する事を言う:
∀ ε > 0 ∃ n 0 ∈ N ∀ n > n 0 : x n ∈ B ε ( x ) {\displaystyle \forall \varepsilon >0\exists n_{0}\in \mathbb {N} \forall n>n_{0}~:~x_{n}\in B_{\varepsilon }(x)}
ここで、 B ε ( x ) = { y ∈ X | d ( y , x ) < ε } {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)=\{y\in X|d(y,x)<\varepsilon \}} である。
位相空間における収束を定義するにあたり、上述の距離空間における収束の定義に2つの変更を行う:
ε-近傍 B ε ( x ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)} の代わりに一般の近傍を用いる。
距離空間は自然に位相空間になるが、では逆に位相空間がどのような条件を満たせば距離空間になるであろうか。
すなわち、位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} が距離化可能であるとは、X 上の距離 d が(少なくとも一つ)存在し、d がX 上に定める位相が O {\displaystyle {\mathcal {O}}} と一致する事を言う。
学部レベルの教科書には距離化可能性の十分条件であるウリゾーンの距離化可能定理が載っていることが多いが、現在は距離化可能性の必要十分条件である長田=スミルノフの距離化定理やビングの距離化定理が知られている。
位相空間Xの部分集合Aに対し、Aの「内部」、「外部」、「境界」の概念を定義できる:
定義 (内点、外点、境界点) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、AをX の部分集合とする。このとき、
x ∈ X がAの内点であるとは、ある開集合O ⊂ Xが存在し、x ∈ O ⊂ Aが成立する事をいう。
Aの内点をAの外点と呼ぶ。
Aの内点でも外点でもない 点x ∈ XをAの境界点という。
定義 (内部、外部、境界) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、AをX の部分集合とする。このとき、
Aの内点全体の集合をAの内部(ないぶ, 英: interior)または開核といい、 A ∘ , Int  A {\displaystyle A^{\circ },\operatorname {Int} A} などと表す。
また位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} において、 S ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathfrak {P}}(X)} が O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を生成するとき、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の準開基(じゅんかいき, 英: open subbase)という。
以上で我々は、準開基の抽象的な定義を与えたが、準開基の概念をより具体的な形で与えることもできる。そのための準備として、まず準開基の関連概念である開基について述べる。
定義 (開基) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、 B ⊂ O {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {O}}} とする。
以下が満たされるとき、 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} は O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開基(かいき, 英: open base、open basis)であるという。
具体的にはXに値を取る点列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} や、実数を定義域に持つX値関数fから定義される族 ( f ( x ) ) x ∈ R {\displaystyle (f(x))_{x\in \mathbb {R} }} が N {\displaystyle \mathbb {N} } や R {\displaystyle \mathbb {R} } 上に自然な順序を入れた場合に有向点族になるので、これらの収束概念は有向点族の収束概念により定式化できる。
しかしより重要なのは、以下に述べる開近傍系を添字集合に取る有向点族である
命題 (開近傍系を添字集合に取る有向点族) ― aを位相空間Xの点とし、 V a {\displaystyle {\mathcal {V}}_{a}} をaの開近傍系とする。このとき V a {\displaystyle {\mathcal {V}}_{a}} 上の二項関係
U ≤ V : ⟺ V ⊃ U for U , V ∈ V a {\displaystyle U\leq V~:\!\iff V\supset U~~~~{\text{for }}U,V\in {\mathcal {V}}_{a}}
を入れると、 ( V a , ≤ ) {\displaystyle ({\mathcal {V}}_{a},\leq )} は有向集合である。
本節ではXのべき集合 P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)} の任意の部分集合 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} から作る方法を述べる。
定義・定理 (位相の生成、準開基) ― Xを集合とし、 S ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathfrak {P}}(X)} を任意の集合族とする。このとき、X上の位相 O {\displaystyle {\mathcal {O}}}
S ⊂ O {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {O}}}
を満たすものの中で最も弱いもの O S {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}} が存在する。この O S {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}} を、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を含む最弱の位相(英: weakest topology)といい、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} は O S {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathcal {S}}} を生成する(英: generate)という。
(2を強共終性(英: strong cofinality)という)
上の定義でhが単射である事を要求してない事に注意されたい。これはもしh に単射性を要求すると病的な例(Tychonoff plank)のせいでいくつかの当然と思われる定理が成り立たなくなってしまうからである。
これが原因で、点列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} を有向点族とみなした場合の部分有向点族は点列になっていない場合もあり得る。実際、 ( x h ( γ ) ) γ ∈ Γ {\displaystyle (x_{h(\gamma )})_{\gamma \in \Gamma }} を ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} の部分有向点族とすると、h が単射でない事から同じx nが部分有向点族に複数回(場合によっては非可算無限回)登場するかもしれないし、Γも全順序ではないかもしれない。
なお本項に載せた部分有向点族の定義は(Kelly 1975)による。書籍によってはこれとは異なる定義を採用している場合もあるが、こうした別定義とも何らかの意味で同値である事が示されている。
開集合のX における補集合の事を閉集合と呼び、閉集合全体の集合
F = { F ⊂ X ∣ F c ∈ O } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{F\subset X\mid F^{c}\in {\mathcal {O}}\}}
の事を位相空間X の閉集合系と呼ぶ。
開集合が直観的には「縁を含まない」、「開いた」集合だったのに対し、その補集合である閉集合は直観的には「縁を含んだ」、「閉じた」集合である。 本項ではこれまで、開集合系を使って位相空間を定義し、開集合の補集合として閉集合を定義したが、閉集合系 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を使って下記のように位相空間を定義する事もできる。この場合、開集合は閉集合の補集合として定義する。
定義 (閉集合系による位相空間の定義) ― Xを集合とし、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} をXのべき集合 P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)} の部分集合とする。
F {\displaystyle {\mathcal {F}}} が以下の性質を満たすとき、組 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} を X を台集合とし F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を閉集合系とする位相空間と呼び、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の元を X の閉集合と呼ぶ。
次に有向点族の二重極限に関する定理を紹介する。後述するように、この定理は有向点族の極限で位相を特徴づける際に役立つ。定理を記述するため、まず有向集合の直積に有向集合構造が入る事を見る:
命題・定義 (有向集合の直積) ― (Γλ)λ∈Γを有向集合の族とするとき、(Γλ)λ∈Γの集合としての直積 × λ ∈ Λ Γ λ {\displaystyle {\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }} に
( γ λ ) λ ∈ Λ ≥ ( ξ λ ) λ ∈ Λ : ⟺ ∀ λ ∈ Λ : γ λ ≥ ξ λ {\displaystyle (\gamma _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\geq (\xi _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }~:\iff \forall \lambda \in \Lambda ~:~\gamma _{\lambda }\geq \xi _{\lambda }}
という順序を入れると、 × λ ∈ Λ Γ λ {\displaystyle {\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }} は有向集合になる。
これまで説明してきたように、連続性と収束性は、位相空間で定義可能な代表的な性質である。しかしこれらを強めた概念である一様連続性と一様収束性は、位相のみをベースにして定義する事はできない。
これらの概念は、距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念である一様空間で定義可能である。
(Γλ)λ∈Λの直積を Γ = × λ ∈ Λ Γ λ {\displaystyle \Gamma ={\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }} とし、有向点族 ( w λ , ξ ) ( λ , ξ ) ∈ Λ × Γ = ( x λ , ξ λ ) ( λ , ξ ) ∈ Λ × Γ {\displaystyle (w_{\lambda ,\xi })_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }=(x_{\lambda ,\xi _{\lambda }})_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }} を考える(ただし ξ = ( ξ λ ) λ ∈ Λ ∈ Γ = × λ ∈ Λ Γ λ {\displaystyle \xi =(\xi _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\in \Gamma ={\underset {\lambda \in \Lambda }{\times }}\Gamma _{\lambda }} と定める)。
このとき ( w λ , ξ ) ( λ , ξ ) ∈ Λ × Γ {\displaystyle (w_{\lambda ,\xi })_{(\lambda ,\xi )\in \Lambda \times \Gamma }} はzに収束する。
これらはより具体的に書き表す事が可能である:
定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、
像位相の開集合系は f ∗ ( O ) := { U ⊂ Y ∣ f − 1 ( U ) ∈ O } {\displaystyle f_{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subset Y\mid f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}} に一致する。
商位相の開集合系は、 π ∗ ( O ) := { U ⊂ Y ∣ π − 1 ( U ) ∈ O } {\displaystyle \pi _{*}({\mathcal {O}}):=\{U\subset Y\mid \pi ^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}} に一致する。
直和位相の開集合系は、 { ⋃ λ ∈ Λ O λ | ∀ λ ∈ Λ : O λ ∈ O λ } {\displaystyle {\Bigg \{}\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }{\Bigg |}\forall \lambda \in \Lambda ~:~O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }{\Bigg \}}} に一致する。
C l : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle \mathrm {Cl} ~:~{\mathfrak {P}}(X)\to {\mathfrak {P}}(X)}
で、 A ̄ := C l ( A ) {\displaystyle {\bar {A}}:=\mathrm {Cl} (A)} がクラトウスキイの公理系を満たすものとする。
このときX上の位相構造 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} で位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の閉包作用素が A ̄ = C l ( A ) {\displaystyle {\bar {A}}=\mathrm {Cl} (A)} に一致するものがただ一つ存在する。 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の閉集合系 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は具体的には以下のように書ける:
F = { F ⊂ X ∣ F = F ̄ } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{F\subset X\mid F={\bar {F}}\}}
位相空間にはいくつかの同値な定義があるが、本項ではまず、開集合を使った定義を述べる。