一般化された超幾何関数
z n = γ + log  z + z ⋅ 2 F 2 [ 1 , 1 2 , 2 ; z ] {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Si} (z)&=z\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)(2n+1)!}}z^{2n}=z\cdot {_{1}F_{2}}\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]\\\operatorname {Ci} (z)&=\gamma +\log {z}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)(2n)!}}z^{2n}=\gamma +\log {z}-{\frac {z^{2}}{4}}\cdot {_{2}F_{3}}\left[{\begin{matrix}1,1\\2,2,{\frac {3}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]\\\operatorname {Ei} (z)&=\gamma +\log {z}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{nn!}}z^{n}=\gamma +\log {z}+z\cdot {_{2}F_{2}}\left[{\begin{matrix}1,1\\2,2\end{matrix}};z\right]\\\end{aligned}}}
級数 ∑ n = 0 ∞ t n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }t_{n}} の連続する項の比が n の有理関数であるとき、これを超幾何級数(hypergeometric series)という。慣習的にはあらかじめ初項を括り出しておき、定義に t0 = 1 も含め正規化する。定義から
t n + 1 t n = P ( n ) Q ( n ) {\displaystyle {\frac {t_{n+1}}{t_{n}}}={\frac {P(n)}{Q(n)}}}
となる n の多項式 P(n), Q(n) が存在する。
たとえば指数関数のテイラー級数
∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}
は超幾何級数で、この場合
t n = z n n ! , t n + 1 t n = z n + 1 {\displaystyle t_{n}={\frac {z^{n}}{n!}},\quad {\frac {t_{n+1}}{t_{n}}}={\frac {z}{n+1}}}
ゆえ P(n) = z, Q(n) = n + 1 となる。
分母分子を一次式の積へ分解することで有理関数を