行空間
[ 1 3 2 2 7 4 1 5 2 ] ∼ ⏟ r 2 − 2 r 1 [ 1 3 2 0 1 0 1 5 2 ] ∼ ⏟ r 3 − r 1 [ 1 3 2 0 1 0 0 2 0 ] ∼ ⏟ r 3 − 2 r 2 [ 1 3 2 0 1 0 0 0 0 ] ∼ ⏟ r 1 − 3 r 2 [ 1 0 2 0 1 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{2}-2r_{1}}{\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{3}-r_{1}}{\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{3}-2r_{2}}{\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\underbrace {\sim } _{r_{1}-3r_{2}}{\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}
行列が階段形になれば、そのときの非ゼロの行が行空間の基底となる。今回の場合、基底は { (1, 3, 2), (0, 1, 0) } となる。他にあり得る基底として、さらなる書き下しの結果、{ (1, 0, 2), (0, 1, 0) } を得ることが出来る。
この計算方法は、ベクトルの集合の張る部分空間の基底を見つけるために、一般的に用いられる。行列がさらに行既約階段形へと簡略化されるなら、その結果として得られる基底は行空間により一意的に定められる。