調和平均
調和平均は一般化平均(英語版)でパラメータを −1 とした特別な場合 (M−1) であり、また3つのピタゴラス平均の一つである。ピタゴラス平均の残る2つは算術平均 (M1) と幾何平均 (M0) である。
調和平均は、典型的には率や比に対する平均を考える場合に適切である。例えば速度の平均を計算することを考えると、乗り物がある距離を時速 60 km で走りそれから同じ距離を時速 40 km で走った場合、全体の走行時間と走行距離から求められる平均速度は調和平均の値である時速 48 km であって、算術平均によって求められる時速 50 km を平均とするのは適切ではない。もっとも、調和平均が適切な場合でもしばしば誤って算術平均が用いられる。
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この関係式は調和平均の定義式を変形した式
H = n ∑ i = 1 n 1 x i = n ∏ j = 1 n x j ∑ i = 1 n ∏ j = 1 n x j x i {\displaystyle H={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n\prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}x_{j}}{x_{i}}}}}}
から導かれる。
3つの数の平均では次の関係が成り立つ:
A 3 G 3 + G 3 H 3 + 1 ≤ 3 4 ( 1 + A H ) 2 {\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}}
数式で表現すれば
tan  2 A = 2 c s c + s ⋅ 1 c − s {\displaystyle \tan 2A={\frac {2cs}{c+s}}\cdot {\frac {1}{c-s}}}
となる。例えば、 tan  A = 3 7 {\displaystyle \tan A={\frac {3}{7}}}
であれば、最もよく知られた形の二倍角公式は tan  2 A = 2 tan  A 1 − tan 2  A = 2 ⋅ 3 7 1 − ( 3 7 ) 2 = 21 20 {\displaystyle \tan 2A={\frac {2\tan A}{1-\tan ^{2}A}}={\frac {2\cdot {\frac {3}{7}}}{1-({\frac {3}{7}})^{2}}}={\frac {21}{20}}}
であるが、調和平均による公式を用いて tan  2 A = 2 ⋅ 7 ⋅ 3 7 + 3 ⋅ 1 7 − 3 = 21 20 {\displaystyle \tan 2A={\frac {2\cdot 7\cdot 3}{7+3}}\cdot {\frac {1}{7-3}}={\frac {21}{20}}}
とも書ける。