ムーファン・ループ
ムーファンループは (群とは異なり) 必ずしも結合的ではない 。ムーファン恒等式は、結合法則の弱い形式と見なすことができる。 ムーファン恒等式に適当な値を代入することにより、以下の式が得られる:
x ( x z ) = ( x x ) z {\displaystyle x(xz)=(xx)z} (式 (N2) において y := e を代入)
y ( x x ) = ( y x ) x {\displaystyle y(xx)=(yx)x} (式 (N1) において z := e を代入)
x ( y x ) = ( x y ) x {\displaystyle x(yx)=(xy)x} (式 (N2) において z := e を代入 or (N1) において y := e を代入 or (M1) において z := e を代入 or (M2) において y := e を代入)
ムーファンの定理は、ムーファン・ループにおける三つの元 x, y, z が結合法則 ( x y ) z = x ( y z ) {\displaystyle (xy)z=x(yz)} に従う場合、結合的な部分ループを生成すると述べている。この定理の系として、ムーファン・ループは、非結合的であると言える。すなわち、ムーファン・ループの任意の二つの元によって生成される部分ループは、結合的であり、従って群になる 。