対合
を満たすものの組 (R, "*") として対合付き環の概念が得られる。もっと一般に必ずしも可換でないものを含む二項演算(と単項演算、0項演算)のみからなる代数系 A にその上の対合 σ が存在するとき、σ が A からその逆代数系 A への準同型となる(つまり、二項演算の順番を逆にし、単項、0 項演算と可換となる)とき、代数系 A の構造と対合 σ は両立するといい、組 (A, σ) を対合つき代数系と呼ぶ。たとえば、n 次全行列環 Mn(K) (K は可換環あるいは体)に、行列を転置させる写像 t を考えたとき、x, y を行列、λ をスカラーとすると
t ( t x ) = x , {\displaystyle {}^{t}\!({}^{t}\!x)=x,} t ( x + y ) = t x + t y {\displaystyle {}^{t}\!(x+y)={}^{t}\!x+{}^{t}\!y} t ( x y ) = t y t x {\displaystyle {}^{t}\!(xy)={}^{t}\!y{}^{t}\!x} t ( λ x ) = λ t x {\displaystyle {}^{t}\!(\lambda x)=\lambda {}^{t}\!x}
が満たされるので、(Mn(K), t) は対合つき多元環である。
体 L が対合となる自己同型 σ を持つとき、σ の固定体を F とすると、拡大 L/F は二次拡大である。