環 (数学)
An Introduction to Rings and Modules with K-Theory in View. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2000.
Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1322960, ISBN 978-0-387-94268-1, 978-0-387-94269-8
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Fraenkel, A. "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen." J. reine angew. Math. 145, 139-176, 1914
Gilmer, R.
r を固定された自然数とし、(R, +R, ·R) を環として、 M r ( R ) = { ( f i j ) i , j : f i j ∈ R for every i , j ∈ { 1 , 2 , 3 , ... , r } } M_{r}(R)=\{{(f_{ij})}_{i,j}:f_{ij}\in R{\text{ for every }}i,j\in \{1,2,3,\dots ,r\}\} とおく。演算 +M : Mr(R) × Mr(R) → Mr(R) および ·M : Mr(R) × Mr(R) → Mr(R) を、任意の元 a = (aij)i,j, b = (bij)i,j に対して、 a + M b = ( a i j + R b i j ) i , j a ⋅ M b = ( ∑ k = 1 r a i k ⋅ R b k j ) i , j {\displaystyle {\begin{aligned}a+_{M}b&=(a_{ij}+_{R}b_{ij})_{i,j}\\a\cdot _{M}b&={\Bigl (}\textstyle \sum \limits _{k=1}^{r}a_{ik}\cdot _{R}b_{kj}{\Bigr )}_{i,j}\end{aligned}}} で定めると (Mr(R), +M, ·M) は環となる。これを R 上の r×r 行列環あるいは r次正方行列環という。
一意分解整域 (UFD) の理論も環論では重要である。実質的に算術の基本定理の類似を満たす環が一意分解環ということになる。
環 R が一意分解整域であるとは
R は整域である。
R の零元でも単元でもない元は、有限個の既約元の積に書ける。
各 ai および bj を R の既約元として ∏ i = 1 n a i = ∏ j = 1 m b j {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}a_{i}=\prod \limits _{j=1}^{m}b_{j}} と書けるならば n = m かつ、適当な番号の付け替えによって、bi = aiui が全ての i について成立させることができる。ただし、ui は R の適当な単元である。
2番目の条件は R の「非自明」な元の既約元への分解を保証するものであり、3番目の条件によってそのような分解は「単元を掛ける違いを除いて」一意的である。
[ x , x ] = 0 {\displaystyle [x,x]=0}
ただし、x, y, z は L の任意の元である。リー環はその加法群がリー群となることは必要としない。任意のリー代数はリー環である。任意の結合環に対して括弧積を
で定めると、リー環が得られる。逆に任意のリー環に対して、普遍包絡環と呼ばれる結合環が対応する。
リー環は、ラザール対応を通じて有限p-群の研究に用いられる。p-群の低次の中心因子は有限アーベル p-群となるから、Z/pZ 上の加群である。低次の中心因子の直和には、括弧積を2つの剰余表現の交換子として定義することによって、リー環の構造が与えられる。このリー環構造は他の加群準同型によって豊穣化されるならば、p-冪写像によって制限リー環とよばれるリー環を対応させることができる。
リー環はさらに、p進整数環のような整数環上のリー代数を調べることによって、p進解析群やその自己準同型を定義するのにも利用される。リー型の有限群の定義はシュバレーによって与えられた。すなわち、複素数体上のリー環をその整数点に制限して、さらに p を法とする還元を行うことにより有限体上のリー環を得る。