ディリクレ級数
を満たす実数 σ u {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}} が存在して、 Re  s > σ u {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{u}} を満たす複素数 s に対して、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は一様収束するが、 Re  s < σ u {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{u}} を満たす複素数 s に対して、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は一様収束しない。
この σ u {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}} を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。
一様収束軸と収束軸との間には、 0 ≤ σ u − σ c ≤ 1 / 2 {\displaystyle \scriptstyle 0\leq \sigma _{u}-\sigma _{c}\leq 1/2} が成立し、右辺の 1/2 は最良であることが知られている。
数論的関数に対する母関数の例を与える。
(1) a ( n ) = 1 {\displaystyle a(n)=1} ( n = 1 , 2 , ... ) {\displaystyle \scriptstyle (n=1,\ 2,\ldots )} の母関数は、リーマンゼータ関数に等しい。
∑ n = 1 ∞ 1 n s = ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)}
(2) メビウス関数 μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)}
∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s = 1 ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}
(3) オイラー関数 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)}
ディリクレ級数
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
は、 Re  s > σ {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma } で収束するならば、 Re  s > σ {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma } で正則である。さらに、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} の微分は
f ( k ) ( s ) = ( − 1 ) k ∑ n = 1 ∞ a n log k  n n s {\displaystyle f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}\log ^{k}n}{n^{s}}}}
で与えられる。
もし
lim x → ∞ A ( x ) x s = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {A(x)}{x^{s}}}=0}
であるならば
∑ n = 1 ∞ a n n s = s ∫ 1 ∞ A ( x ) x 1 + s d x {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{1+s}}}dx} 。
但し、両辺のうち、少なくとも一方は収束しているとする。
(3) ラプラス=スティルチェス変換
ディリクレ級数に対して、ラプラス=スティルチェス変換を行うことにより、以下の様な積分表示が得られる。
ディリクレ級数
∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
に対して、 B ( t ) = ∑ n ≤ e t a n {\displaystyle \scriptstyle B(t)=\sum _{n\leq e^{t}}a_{n}} とおく。このとき
∑ n = 1 ∞ a n n s = ∫ 0 ∞ e − t s d B ( t ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\int _{0}^{\infty }e^{-ts}dB(t)} 。
(1) メリン変換
ディリクレ級数
∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
に対して、ベキ級数 F ( z ) {\displaystyle F(z)} を
F ( z ) = ∑ n = 1 ∞ a n z n {\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}
で定める。
このとき、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} が絶対収束する領域内で
∑ n = 1 ∞ a n n s = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ F ( e − t ) t s − 1 d t {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }F(e^{-t})t^{s-1}dt}
が成立する。これをメリン変換 (Mellin transform)という。
この変換を用いて、ディリクレ級数の性質をベキ級数を用いて考察したり、その逆でベキ級数の性質をディリクレ級数から求めたりすることができる。
(2) フラッグマンによる積分表示
ディリクレ級数
∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
に対して、 A ( x ) = ∑ n ≤ x a n {\displaystyle \scriptstyle A(x)=\sum _{n\leq x}a_{n}} とおく。