対角関手
関手は圏 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の中で (within) 対象の積の簡明な別の記述を与えるために雇うことができる: 積 a × b {\displaystyle a\times b} は Δ {\displaystyle \Delta } から ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle } への普遍矢である。矢は射影写像からなる。
より一般に、任意の関手圏 C J {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}} において(ここで J {\displaystyle {\mathcal {J}}} は小さい添え字圏として考えられるべきである)、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の各対象 a {\displaystyle a} に対して、固定された対象 a {\displaystyle a} をもつ定数関手(英語版)が存在する: Δ ( a ) ∈ C J {\displaystyle \Delta (a)\in {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}} 。
対角関手 Δ : C → C J {\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}} は C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の各対象に関手 Δ ( a ) {\displaystyle \Delta (a)} を割り当て、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の各射 f : a → b {\displaystyle f:a\rightarrow b} に明らかな自然変換 η {\displaystyle \eta } in C J {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}} ( η j = f {\displaystyle \eta _{j}=f} によって与えられる)を割り当てる。 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} が 2 つの対象を持つ離散圏である場合には、対角関手 C → C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} がリカバーされる。
対角関手は関手の極限と余極限を定義する方法を提供する。