確率分布
離散確率分布のときに確率密度関数に対応する関数として確率質量関数 (probability mass function) がある。確率変数 X のとる値の集合が S = {x1, x2, ...} だとすると確率質量関数は
f X ( x i ) = P ( X = x i ) = P X ( { x i } ) {\displaystyle f_{X}(x_{i})=P(X=x_{i})=P_{X}(\{x_{i}\})}
で定まる関数 fX のことである。日本語では確率関数とも略されるが、英語の probability function は意味が曖昧な言葉とされる。
排他過程 (exclusion process) は、連続時間で発展する確率モデル。上記生命モデルが離散時間の決定論的モデルであるのに対応している。
Y 2 = − 2 ln  X 1 cos  ( 2 π X 2 ) {\displaystyle Y_{2}={\sqrt {-2\ln X_{1}}}\cos(2\pi X_{2})}
によって変換する。X の密度関数は
f X ( x 1 , x 2 ) = { 1 , ( x 1 , x 2 ) ∈ ( 0 , 1 ] 2 0 , ( x 1 , x 2 ) ∉ ( 0 , 1 ] 2 {\displaystyle f_{X}(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1,&(x_{1},x_{2})\in (0,1]^{2}\\0,&(x_{1},x_{2})\notin (0,1]^{2}\end{cases}}}
であり、上の公式を当てはめると Y の確率密度関数は
f Y ( y 1 , y 2 ) = 1 2 π exp  ( − y 1 2 + y 2 2 2 ) {\displaystyle f_{Y}(y_{1},y_{2})={\frac {1}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {{y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2}}{2}}\right)}
となり、Y が二次元の標準正規分布に従うことが分かる。このように単純な分布を持つ変数を変換して、複雑な分布を作る操作は計算機による乱数の生成で重要となる。
生命の時間的空間的モデル。セルオートマトンとも呼ぶ。生命競技 (life game) は2次元セルオートマトンの一種である。
パーコレーションを参照。浸透 (percolation) 確率に基づくモデル。具体的には森林火災の広がり、伝染病の伝搬、金属と絶縁体の混合物、強磁性元素と非磁性元素の混晶系、分子間の重合による巨大高分子のゲル化などがある。