双極座標系
直交座標から双極座標への推移は次の公式によってなされる。
τ = 1 2 ln  ( x + a ) 2 + y 2 ( x − a ) 2 + y 2 {\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}}
と
π − σ = 2 arctan  2 a y a 2 − x 2 − y 2 + ( a 2 − x 2 − y 2 ) 2 + 4 a 2 y 2 {\displaystyle \pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}}
である。
この座標系は次のような恒等式も持っている。
tanh  τ = 2 a x x 2 + y 2 + a 2 {\displaystyle \tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}}
と
tan  σ = 2 a y x 2 + y 2 − a 2 {\displaystyle \tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}}}
である。