ヘーグナー数
e π 163 = ( e π i / 24 η ( τ ) η ( 2 τ ) ) 24 − 24.000 000 000 000 001 05 ... e π 163 = ( e π i / 12 η ( τ ) η ( 3 τ ) ) 12 − 12.000 000 000 000 000 21 ... e π 163 = ( e π i / 6 η ( τ ) η ( 5 τ ) ) 6 − 6.000 000 000 000 000 034 ... {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}
ここで、イータ商は上記の代数的数である。
, p − 2 {\displaystyle n=0,\dots ,p-2} に対して素数を与えることを証明した。
(なお p − 1 {\displaystyle p-1} を代入すると p 2 {\displaystyle p^{2}} となるため、 p − 2 {\displaystyle p-2} が n の最大値となる。)
4 p − 1 = 1 , 2 , 3 {\displaystyle 4p-1=1,2,3} を満たす p が存在しないため、機能するヘーグナー数は 7 , 11 , 19 , 43 , 67 , 163 {\displaystyle 7,11,19,43,67,163} であり、これらはオイラーの形の素数生成式における p = 2 , 3 , 5 , 11 , 17 , 41 {\displaystyle p=2,3,5,11,17,41} にそれぞれ対応する。特にこれらの p は、リヨネ(英語版)によってオイラーの幸運数(英語版)と呼ばれている。
ここで j ( ( 1 + − 163 ) / 2 ) = ( − 640 320 ) 3 {\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}} とすると、以下の式が得られる。
( − 640 320 ) 3 = − e π 163 + 744 + O ( e − π 163 ) . {\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).}
これはすなわち
e π 163 = 640 320 3 + 744 + O ( e − π 163 ) {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}
であり、誤差の線形項は
− 196 884 / e π 163 ≈ − 196 884 / ( 640 320 3 + 744 ) ≈ − 0.000 000 000 000 75 {\displaystyle -196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}
となるため、 e π 163 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}} が上記の範囲でほぼ整数である理由となる。