ルート系
E8 ルート系は次の集合に合同な R のベクトルの任意の集合である:
D 8 ∪ { 1 2 ∑ i = 1 8 ε i e i : ε i = ± 1 , ε 1 ⋯ ε 8 = + 1 } . {\displaystyle \mathrm {D} _{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}:\varepsilon _{i}=\pm 1,\varepsilon _{1}\dotsm \varepsilon _{8}=+1\right\}.}
このルート系は240個のルートを持つ.いま挙げた集合は,E8 ルート格子の長さ √2 のベクトル全部の集合である.この格子は単に E8 格子(英語版)や Γ8 とも呼ばれる.これは R の次のような点全体の集合である:
すべての座標が整数であるか,あるいは,すべての座標が整数でない半整数であり,
8つの座標の和は偶数である.
したがって,
E 8 = { α ∈ Z 8 ∪ ( Z + 1 2 ) 8 : | α | 2 = ∑ α i 2 = 2 , ∑ α i ∈ 2 Z } . {\displaystyle \mathrm {E} _{8}=\left\{\mathbf {\alpha } \in \mathbf {Z} ^{8}\cup \left(\mathbf {Z} +{\frac {1}{2}}\right)^{8}:|\mathbf {\alpha } |^{2}=\sum \mathbf {\alpha } _{i}^{2}=2,\sum \mathbf {\alpha } _{i}\in 2\mathbf {Z} \right\}.}
既約ルート系は対応する連結ディンキン図形にしたがって名づけられる.4つの無限族(An, Bn, Cn, Dn で,古典型ルート系と呼ばれる)と5つの例外的な場合(例外型ルート系)が存在する.サブスクリプトはルート系の階数を意味する.
既約ルート系において長さ (α, α) の値は高々2種類であり,短いルートと長いルートである.すべてのルートが同じ長さを持っているときは長いと定義し,ルート系は simply laced といわれる.これは A, D, E の場合におこる.同じ長さの任意の2つのルートはワイル群の同じ軌道に入る.Simply laced でない場合 B, C, G, F では,ルート格子は短いルートによって張られ,長いルートは部分格子を張り,これはワイル群で不変で,コルート格子の r/2 倍に等しい,ただし r は長いルートの長さである.
添付の表において,|Φ| は短いルートの個数を表し,I は長いルートによって生成される部分格子のルート格子における指数を表し,D はカルタン行列の行列式を表し,|W| はワイル群の位数を表す.