リウヴィルの定理 (物理学)
ハミルトン力学におけるリウヴィルの定理(英: Liouville's theorem)とは、確率分布がどのように時間発展するかを予言する定理であり、フランスのジョゼフ・リウヴィル(リュービル、リウヴィユ)によって発見された。
典型的に、τ が位置と運動量の座標を表すとして、ρ は系が相空間の微小体積 dτ 中に見つかる確率である。τ は N 個の粒子の系において、変数の組を表すのに便利な簡潔的表現である。
{ x 1 , x 2 , ... , x N , y 1 , y 2 , ... , y N , z 1 , z 2 , ... , z N ; p x 1 , p x 2 , ... , p x N , ... , p z N } . {\displaystyle \{\,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{N},z_{1},z_{2},\ldots ,z_{N};p_{x1},p_{x2},\ldots ,p_{xN},\ldots ,p_{zN}\,\}.}
リウヴィルの定理によると、ハミルトニアン H と分布関数 ρ を持つ系で
∂ ∂ t ρ = − { ρ , H } {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\{\,\rho ,H\,\}}
が成り立つ。ここで中括弧はポアソン括弧を表す。これをリウヴィル方程式と呼ぶ。
この定理の結果で興味深いのは、時間発展に対して相空間中の体積が保存するということである。もし系が相空間で、ある体積を持って始まると分かっているとき、時間が経った後でも系は同じ体積を持つ部分空間にある。