加算性白色ガウス雑音
シリアルデータ通信においては、ランダムジッタ(RJ)に起因するタイミング誤差をモデル化するためにAWGNの数学モデルが使われる。
右のグラフは、AWGNに関連したタイミングエラーの一例を示している。変数Δtはゼロ交差における不確実性を表す。AWGNの振幅が増加するにつれ、SN比が減少する。結果として不確実性Δtが増加する。
AWGNの影響を受けると、入力が正弦波で出力が狭帯域フィルタによる出力である、正もしくは負の方向へ進むゼロ交差の平均回数は以下のようになる。
p o s i t i v e z e r o c r o s s i n g s s e c o n d = n e g a t i v e z e r o c r o s s i n g s s e c o n d {\displaystyle {\frac {\mathrm {positive\ zero\ crossings} }{\mathrm {second} }}={\frac {\mathrm {negative\ zero\ crossings} }{\mathrm {second} }}}
= f 0 S N R + 1 + B 2 12 f 0 2 S N R + 1 {\displaystyle =f_{0}{\sqrt {\frac {\mathrm {SNR} +1+{\frac {B^{2}}{12f_{0}^{2}}}}{\mathrm {SNR} +1}}}}
このとき
f0はフィルタの中心周波数
Bはフィルタの帯域幅
SNRは線形項における信号対雑音電力比
この範囲より、微分エントロピーの性質を推測すると
h ( Y ) ≤ 1 2 log  ( 2 π e ( P + N ) ) {\displaystyle h(Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))\,\!}
となる。よって通信路の容量は相互情報量における達成可能な最大の境界で与えられ、
I ( X ; Y ) ≤ 1 2 log  ( 2 π e ( P + N ) ) − 1 2 log  ( 2 π e N ) {\displaystyle I(X;Y)\leq {\frac {1}{2}}\log(2\pi e(P+N))-{\frac {1}{2}}\log(2\pi eN)\,\!}
I ( X ; Y ) {\displaystyle I(X;Y)} は
X ∼ N ( 0 , P ) {\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,P)\,\!}
のときに最大となり、このとき通信路容量 C {\displaystyle C} は以下となる。
C = 1 2 log  ( 1 + P N ) {\displaystyle C={\frac {1}{2}}\log \left(1+{\frac {P}{N}}\right)\,\!}