拡大行列
C を 2×2 の正方行列
C = [ 1 3 − 5 0 ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}1&3\\-5&0\end{bmatrix}}}
とする。C の逆行列を見つける上で、はじめに 2×2 の単位行列 I を用いて拡大行列 (C | I) を作る。すると、行基本変形のみを行って (C | I) の C に対応する部分を単位行列へと変換することで、
( C ∣ I ) = [ 1 3 1 0 − 5 0 0 1 ] {\displaystyle (C\mid I)=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&3&1&0\\-5&0&0&1\end{array}}\right]}
( I ∣ C − 1 ) = [ 1 0 0 − 1 5 0 1 1 3 1 15 ] {\displaystyle (I\mid C^{-1})=\left[{\begin{array}{cc|cc}1&0&0&-{\frac {1}{5}}\\0&1&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{15}}\end{array}}\right]}
が得られる。最終的に得られた拡大係数行列の右側の部分が、求める逆行列となっている。
線型方程式系
x + y + 2z = 3
x + y + z = 1
2x + 2y + 2z = 2.
を考える。この係数行列は
A = [ 1 1 2 1 1 1 2 2 2 ] , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},}
であり、拡大係数行列は
( A ∣ B ) = [ 1 1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 ] {\displaystyle (A\mid B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right]}
である。これらは両方とも等しい階数 2 を持つため、系には少なくとも一つの解が存在する。さらに、その階数は未知関数の数 3 よりも少ないため、解は無限に存在する。