ルーシェの定理
まず、
log  ( f ( z ) + g ( z ) ) = log  f ( z ) + log  ( 1 + g ( z ) / f ( z ) ) {\displaystyle \log(f(z)+g(z))=\log f(z)+\log(1+g(z)/f(z))}
であることに注目する。 f ( z ) {\displaystyle f(z)} および g ( z ) {\displaystyle g(z)} は D {\displaystyle D} で極を持たないので偏角の原理 から f ( z ) + g ( z ) {\displaystyle f(z)+g(z)} の D {\displaystyle D} 内における零点の個数をnとすれば、
n = 1 2 π i ∮ ∂ D d log  ( f ( z ) + g ( z ) ) d z d z = 1 2 π i [ ∮ ∂ D d log  f ( z ) d z d z + ∮ ∂ D d log  ( 1 + g ( z ) / f ( z ) ) d z d z ] {\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {d\log(f(z)+g(z))}{dz}}dz\\&={\frac {1}{2\pi i}}\left[\oint _{\partial D}{\frac {d\log f(z)}{dz}}dz+\oint _{\partial D}{\frac {d\log(1+g(z)/f(z))}{dz}}dz\right]\end{aligned}}}
D {\displaystyle D\ } を複素平面(ガウス平面)のある単連結な開集合(領域)、 ∂ D {\displaystyle \partial D} をその境界 (ただし、連続曲線であるなど、十分に良い性質を持つものとする)、 K {\displaystyle K\ } を D {\displaystyle D\ } の閉包 (= D + ∂ D {\displaystyle D+\partial D\ } ) とし、 f ( z ) {\displaystyle f(z)\ } および g ( z ) {\displaystyle g(z)\ } を K {\displaystyle K\ } 上で定数でない正則な複素関数で、 ∂ D {\displaystyle \partial D\ } 上で、 | f ( z ) | > | g ( z ) | {\displaystyle |f(z)|>|g(z)|\ } を満たすとすれば、 D {\displaystyle D\ } 内での f ( z ) + g ( z ) {\displaystyle f(z)+g(z)\ } と f ( z ) {\displaystyle f(z)\ } の零点の個数 (ただし位数nの零点はn個として数える)は一致する。
従って ω ( z ) {\displaystyle \omega (z)} による ∂ D {\displaystyle \partial D} の像を C {\displaystyle C} とすれば、 C {\displaystyle C} も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。
上の式の右辺第2項の積分を考えれば、
∮ ∂ D d log  ( 1 + g ( z ) / f ( z ) ) d z d z = ∮ ∂ D d log  ω d ω d ω d z d z = ∮ C d log  ω d ω d ω {\displaystyle \oint _{\partial D}{\frac {d\log(1+g(z)/f(z))}{dz}}dz=\oint _{\partial D}{\frac {d\log \omega }{d\omega }}{\frac {d\omega }{dz}}dz=\oint _{C}{\frac {d\log \omega }{d\omega }}d\omega }
である。