加群のテンソル積
Hom関手 H o m R ( − , − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-)} とは異なり、テンソル積は両方のインプットで共変である。
M⊗- と -⊗N はつねに右完全関手であるが左完全とは限らないことを証明できる。定義により、加群 T は T⊗- が完全関手ならば平坦加群である。
{mi}i∈I と {nj}j∈J がそれぞれ M と N の生成集合であれば、 {mi⊗nj}i∈I,j∈J は M⊗N の生成集合になる。テンソル関手 M⊗R- は左完全でないことがあるので、これはもとの生成集合が極小であったとしても極小生成集合ではないかもしれない。
テンソル積が体 F 上でとられているならば -⊗- が両方の位置で完全であり、生成集合が M と N の基底であるとき、 { m i ⊗ n j ∣ i ∈ I , j ∈ J } {\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}} は確かに M⊗F N の基底をなすということは正しい。
数学において、加群のテンソル積 (tensor product of modules) は双線型写像(例えば積)についての議論を線型写像(加群準同型)の言葉でできるようにする構成である。その加群の構成はベクトル空間のテンソル積の構成と類似であるが、可換環上の加群の組に対して実行して第三の加群を得ることができ、また任意の環上の左加群と右加群の組に対しても実行できてアーベル群が得られる。テンソル積は抽象代数学、ホモロジー代数学、代数トポロジー、代数幾何学の分野において重要である。ベクトル空間に関するテンソル積の普遍性は抽象代数学のより一般的な状況に拡張される。それによって線型演算を通じて双線型あるいは多重線型演算を研究することができる。代数と加群のテンソル積は係数拡大のために使うことができる。可換環の場合には、加群のテンソル積を繰り返して加群のテンソル代数を作ることができ、加群の積を普遍的な方法で定義することができる。
M, N と R を前節のようにする。R 上のテンソル積 (tensor product)
M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N}
は次の意味で普遍的な(上で定義された意味で)双線型写像
⊗ : M × N → M ⊗ R N {\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}
をもったアーベル群である:
すべてのアーベル群 Z とすべての双線型写像 f : M × N → Z {\displaystyle f:M\times N\to Z\,}
に対して一意的な群準同型 f ~ : M ⊗ R N → Z {\displaystyle {\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to Z}
が存在して f ~ ∘ ⊗ = f .