排中律
次の命題 P について考える。
「ソクラテスは死ぬ」
この命題に対して、排中律とは、
「ソクラテスは死ぬかあるいは死なないかのどちらかである」
という命題 P ∨ ¬P はつねに成立する(常に真である)、とする主張である(それ以外の第三の状態や中間の状態を取らない)。
この主張は古典論理(形式論理学)における基本的な定義であり、命題 P の内容によらず適用できる。
排中律に依存した論証の例を次に示す。これは、よく知られた例である。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} が無理数であることは知られている。そこで、次のような数を考える。
2 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}
排中律に基づくと、明らかにこの数は有理数か無理数かのどちらかである。これが有理数なら証明が完了する。もし無理数なら、次のような数を考える。
a = 2 2 {\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}} および b = 2 {\displaystyle b={\sqrt {2}}}
すると、