接続 (微分幾何学)
L i f t e : T π ( e ) M → H e {\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}~:~T_{\pi (e)}M\to {\mathcal {H}}_{e}}
を考える事ができる。 L i f t e ( v ) {\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}(v)} を v ∈ T π ( e ) M {\displaystyle v\in T_{\pi (e)}M} のeへの水平リフト(英: horizontal lift)という。水平リフトの定義から明らかなように、切断 s ( t ) {\displaystyle s(t)} が平行である必要十分条件は
d d t s ( t ) = L i f t s ( t ) ( d d t c ( t ) ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}s(t)=\mathrm {Lift} _{s(t)}\left({\tfrac {d}{dt}}c(t)\right)}
を満たす事である。
とし、各点pにωpを対応させるP上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 値1-形式の場ωを接続形式(英: connection form)という。
以上の議論から明らかに垂直射影からωが定まり、逆にωから垂直射影が定まるのでωによって接続概念を定式化できる:
定義・定理 (接続形式) ― Mを多様体、Gをリー群とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をGのリー代数とし、さらに P {\displaystyle P} をM上のG-主バンドルとする。 P {\displaystyle P} 上定義された g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -値の1-形式のC級の場
ω : T P → g {\displaystyle \omega ~:~TP\to {\mathfrak {g}}}
で以下を満たすものを P {\displaystyle P} の接続形式という:
任意の A ∈ g {\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}} 、 p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、 ω p ( A _ p ) = A {\displaystyle \omega _{p}({\underline {A}}_{p})=A}
以上の考察を元に、ファイバーバンドルの接続を定義する。そのためにまず「垂直部分空間」という概念を定義する。 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をファイバーFを持つファイバーバンドルとし、e∈EをEの元とするとしπが誘導する写像を π ∗ : T E → T M {\displaystyle \pi _{*}~:~TE\to TM} とするとき、
V e := { ξ ∈ T e E ∣ π ∗ ( ξ ) = 0 } = T e ( E π ( e ) ) {\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}:=\{\xi \in T_{e}E\mid \pi _{*}(\xi )=0\}=T_{e}(E_{\pi (e)})}
を、eにおけるTeEの垂直部分空間(英: vertical subspace)という。そしてファイバーバンドルの接続を以下のように定義する:
本節では特に断りのない限り、 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を完備な接続 H = { H e } e ∈ E {\displaystyle {\mathcal {H}}=\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が定義されたファイバーバンドルでMが連結なものとする。ここで接続が完備であるとは、M上の任意の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上に c ( 0 ) {\displaystyle c(0)} から c ( 1 ) {\displaystyle c(1)} までの平行移動を常に定義可能な事を指す。