有理多様体
有理連結多様体(rationally connected variety) V は、代数的閉体上の射影代数多様体で、任意の 2点に対して射影空間から V への有理写像(英語版)(regular map)の像となるような代数多様体である。同じことであるが、多様体が有理連結とは、任意の 2点が有理曲線で多様体の中で結びつけることができることを言う。
この定義は、経路の性格が異なっているだけではなく、有理曲線が有理的に連結できる点となっていることで、弧状連結とは非常に異なっている。
射影空間を含む全ての有理多様体は、有理連結であるが、逆は成り立たなく、従って、有理連結多様体のクラスは有理多様体の一般化である。単有理多様体は有理連結であるが、逆が成り立つかどうかは未解決の問題である。
V を K [ X 1 , ... , X n ] {\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]} の素イデアル I=⟨f1, ..., fk⟩ で定義された次元 d のアフィン代数多様体とする。V が有理的ならば、 K ( U 1 , ... , U d ) {\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})} の n + 1 個の多項式 g0, ..., gn が存在し、 f i ( g 1 / g 0 , ... , g n / g 0 ) = 0 {\displaystyle f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0} となる。言い換えると、多様体の有理パラメータ化 x i = g i g 0 ( u 1 , ... , u d ) {\displaystyle x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots ,u_{d})} が得られる。
逆に、そのような有理パラメータ化があると、 K ( U 1 , ... , U d ) {\displaystyle K(U_{1},\dots ,U_{d})} への V の函数体の体準同型が存在する。しかしこの準同型は、必ずしも上への写像とは限らない。そのような上へのパラメータ化が存在する場合を、多様体は単有理的(unirational)という。リューロスの定理(以下を参照)は、単有理的な曲線は有理的であることを意味している。カステルヌオボーの定理は、標数がゼロのとき、全ての単有理的な曲面は有理曲面であることを言っている。
K 上のこれらの変数シンボルを置換する有限群 G {\displaystyle G} を考える。標準的なガロア理論によって、この群作用の固定点の集合は L {\displaystyle L} の部分体となり、典型的には L G {\displaystyle L^{G}} と書く。 K ⊂ L G {\displaystyle K\subset L^{G}} の有理性の問題はネターの問題(Noether's problem)と言い、固定点が K の純粋に超越拡大か否かを問うている。
ガロア理論についての論文(Noether 1918)で、ネター(Noether)は、与えられたガロア群をもつ方程式のパラメータ化の問題を研究し、「ネターの問題」へと帰結させた。(彼女が最初に言及したのは、(Noether 1913)であり、そこでは、E. フィッシャー(E. Fischer)の問題へ帰着させていた)彼女は、これが n = 2, 3, 4 の場合、正しいことを示した。R. G. Swan (1969) は、ネターの問題の反例を n = 47 で G が位数 47 の巡回群の場合に見つけた。
体 K 上の単有理多様体(unirational variety) V は、有理多様体により統制されているので、その函数体 K(V) は有限タイプの超越体である(有限タイプとは K は無限でも K(V) 上は有限次数であるように選ぶことが可能な時を言う)。リューロス問題の解は、代数曲線の場合には、有理曲線と単有理的な曲線は同じであり、代数曲面の場合は、カステルヌオボーの定理であり、単有理的な複素曲面は有理曲面を含んでいることを意味する。何故ならば、どちらの場合も算術種数と第二多重種数(second plurigenus)ともゼロとなることにより特徴付けられるからである。ザリスキー(Zariski)は、単有理的であるが有理的ではない例を、標数が p > 0 の場合の例(ザリスキー曲面(英語版)(Zariski surface))を見つけた。Clemens & Griffiths (1972)は、3次の3次元多様体(英語版)(three-fold)が、一般には有理多様体ではなく、有理性を持たない単有理的な例となることを示した。