二次曲面
無心二次超曲面
a 1 ′ X 1 2 + a 2 ′ X 2 2 + ⋯ + a n − 1 ′ X n − 1 2 + 2 b X n = 1 {\displaystyle a'_{1}X_{1}^{2}+a'_{2}X_{2}^{2}+\cdots +a'_{n-1}X_{n-1}^{2}+2bX_{n}=1}
上の 3 式を、非退化な二次超曲面の標準形という。この時、上の係数を対角成分にもつ行列は適当な相似変換を行うことにより、次のような行列に変換できる。
S = ( E p 0 0 0 − E q 0 0 0 ( 0 ) ) {\displaystyle S={\begin{pmatrix}E_{p}&0&0\\0&-E_{q}&0\\0&0&(0)\end{pmatrix}}}
ただし、右下の成分が 0 になるのは、無心二次超曲面の場合のみである。係数 1 の単位行列の次数 p と、係数 −1 の単位行列の次数 q を対にしたもの (p, q) を、二次超曲面の符号数という。二次超曲面の形態は、符号数によってさらに細かく分類される。
を考えると、定義式の 2 次と 1 次の斉次部分は R の標準内積 ⟨•, •⟩ を使って
⟨ A x , x ⟩ = ∑ i = 1 n a i x i 2 + 2 ∑ i < j n a i j x i x j , ⟨ b , x ⟩ = ∑ i = 1 n b i x i {\displaystyle \langle A\mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}+2\sum _{i<j}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j},\quad \langle \mathbf {b} ,\mathbf {x} \rangle =\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}}
と表すことができるので、定義式は
⟨ A x , x ⟩ + 2 ⟨ b , x ⟩ + c = 0 {\displaystyle \langle A\mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +2\langle \mathbf {b} ,\mathbf {x} \rangle +c=0}
という形に書くことができる。これはさらに