モレラの定理
モレラの定理は、フビニの定理やワイエルシュトラスのM判定法と組み合わせることで、和や積分によって定義される函数の解析性を示すために利用することが出来る。例えばリーマンゼータ函数
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
やガンマ函数
Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x {\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx}
を考える。任意の適切な閉曲線 C に対し、
∮ C Γ ( α ) d α = 0 {\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =0}
が示される。実際、
∮ C Γ ( α ) d α = ∮ C ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x d α {\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =\oint _{C}\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx\,d\alpha }