コーシーの定理 (群論)
証明 (McKay 1959): 群 G の位数は素数 p で割り切れるとする。集合 S を次で定める。
S := { ( x 1 , . . . , x p ) ∈ G p ∣ x 1 . . . x p = e } . {\displaystyle S:=\{\,(x_{1},...,x_{p})\in G^{p}\mid x_{1}...x_{p}=e\,\}.}
このとき、(x1, ..., xp) が S に属すならば、(x2, x3, ..., xp, x1), (xp, x1, x2, ..., xp − 1) も S に属す。写像 f: S → S を、 f ( x 1 , . . . , x p ) = ( x 2 , x 3 , . . . , x p , x 1 ) {\displaystyle f(x_{1},...,x_{p})=(x_{2},x_{3},...,x_{p},x_{1})} で定める。f は全単射となる。よって、f は対称群 Sym(S) の元であり、互いに素な巡回置換の積で表すことができる。p 個の f を合成してできる写像 f は恒等写像であり、Sym(S) の単位元であるので、f の表現における各巡回置換の長さは 1 あるいは p である。