環上の加群
自由加群は基底を持つ加群である。これは係数環 R のいくつかのコピーの直和に同型である加群といっても同じである。自由加群はベクトル空間とかなり同じように振舞う。
環 R 上の左 R-加群もしくは R-左加群とは、アーベル群 (M, +) とスカラー乗法と呼ばれる作用 R × M → M の組であって、その作用(通常は、r ∈ R と x ∈ M に対して x のスカラー r-倍を単に文字を併置して rx と記す)は、r, s ∈ R, x, y ∈ M は任意として、条件
r ( x + y ) = r x + r y , {\displaystyle r(x+y)=rx+ry,}
( r + s ) x = r x + s x , {\displaystyle (r+s)x=rx+sx,}
( r s ) x = r ( s x ) , {\displaystyle (rs)x=r(sx),}
1 R x = x {\displaystyle 1_{R}x=x}
を満足するものでなければならない(最後の条件は R が乗法単位元を持つときで、それを 1R で表している。環が単位的であることを仮定しない文脈では、R-加群の定義においてこの最後の条件も課されず、特にこの条件をも満足することで定まる構造を単位的左 R-加群、単型 R-左加群などと呼んで区別する。本項では用語の一貫性を図るため、特に断りの無い場合は環も加群も単位的であると仮定する)。
射影加群は自由加群の直和因子であり、自由加群とよい性質をたくさん共有している。
入射加群は射影加群の双対として定義される。
ベクトル空間においては、スカラーの全体は体を成し、ベクトルに対して分配律などの特定の条件を満足するスカラー乗法によって作用している。環上の加群においては、スカラーの全体は環であればよく、その意味で環上の加群の概念は重大な一般化になっている。可換環論における重要な概念であるイデアルおよび剰余環は、いずれも環上の加群とみることができ、イデアルや剰余環に関するさまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。非可換環論では、イデアルの(作用の入る向きとして)左右を区別するし、環上の加群においてもそれはより顕著になることだが、しかしさまざまに重要な環論的議論において片側(大抵は左)からの作用に関するものだけを条件として提示することが行われる。
加群の理論のおおくは、ベクトル空間のもつ好ましい性質が、単項イデアル環のような「素性のよい」(well-behaved) 環上の加群の領域でどれだけたくさん存在するかというような議論からなるが、しかしながら環上の加群はベクトル空間に比べてかなり複雑である。たとえばどんな加群でも基底を持つわけではないし、基底を持つ(自由加群と呼ばれる)加群であっても基礎環(係数環)が不変基底数条件を満足しないならば階数も一意ではない。これはベクトル空間が(選択公理を仮定すれば)常に基底を持ち、基底の濃度が常に一定となることと対照的である。