行列
行列に含まれる行の数が m, 列の数が n である時に、その行列を m 行 n 列行列や m × n 行列、m n 行列などと呼ぶ。行列を構成する行の数と列の数の対を型 (英: type) あるいはサイズという。したがって m 行 n 列行列のことを (m, n) 型行列などと呼ぶこともある。K 上の m × n 行列の全体は K, K や Mat(m, n; K), Mm×n(K) などで表される。
1つの列を持つ行列を列ベクトル、1つの行をもつ行列を行ベクトルと呼ぶ。例えば行列
A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}}
に対して、[a1 1a2 1] , [a1 2a2 2] はその列ベクトル、[a1 1 a1 2], [a2 1 a2 2] はその行ベクトルである。
行と列の数が同じである行列は正方行列と呼ばれる。無限の行または列をもつ行列を無限次行列と呼ぶ。プログラミングにおいて行または列を持たない行列を考えると便利となることがしばしばあるが、このような行列を空行列と呼ぶ。
行列の各成分に一つのスカラーを掛けることにより、任意の行列のスカラー倍
λ A := [ λ a i j ] i = 1 , ... , m , j = 1 , ... , n {\displaystyle \lambda A:=[\lambda a_{ij}]_{i=1,\ldots ,m, \atop j=1,\ldots ,n}}
が定義される。例えば、
5 ⋅ [ 1 − 3 2 1 2 7 ] = [ 5 ⋅ 1 5 ⋅ ( − 3 ) 5 ⋅ 2 5 ⋅ 1 5 ⋅ 2 5 ⋅ 7 ] = [ 5 − 15 10 5 10 35 ] {\displaystyle 5\cdot {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&-15&10\\5&10&35\end{bmatrix}}}
である。
スカラー乗法が意味を持つためには、スカラー λ と行列の成分が同じ環 (K, +, ·, 0) からとった元であるべきであり、このとき m × n 行列の全体 K は、左 K-加群(K が体ならばベクトル空間)になる。ベクトル空間(あるいは自由加群)としての K は m n 次元数ベクトル空間 K と同型である。
n × n 行列 A = [ai j] の行列式とは、
det ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn  ( σ ) ∏ i = 1 n a i σ ( i ) {\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma (i)}}
で定義される数である。これは行列の固有値の積と一致し、det(En) = 1, det(A B) = det(A) det(B) などが成り立つ。