ガロアの逆問題
ガロアの逆問題(ガロアのぎゃくもんだい、英語: inverse Galois problem)とは、全ての有限群が有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } のガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問う、ガロア理論の問題である。この問題は、19世紀初期にはじめて提起された未解決問題である。
いくつかの置換群については、その置換群がガロア群となるような有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の代数拡大を全て与える生成的多項式(英語版)が知られている。 例えば、次数が5以下の置換群は生成的多項式を持つことが知られている。また、位数が8の巡回群のように、生成的多項式が存在しない群が存在することも知られている。
より一般的に、任意の有限群 G と体 K に対して、ガロア群が G と同型になるようなガロア拡大体 L/Kは存在するかを問う問題も考えられる。そのような体 L が存在するとき、G は K 上実現可能であると言う。
全ての対称群と交代群は有理数係数多項式のガロア群として現れることがヒルベルトにより示された。
多項式 x + ax + b の判別式は
( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 ( n n b n − 1 + ( − 1 ) 1 − n ( n − 1 ) n − 1 a n ) {\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)}
である。
特殊な場合として、
f(x, s) = x − sx − s.
を考える。
多項式 f(x, s) の s を素数に置き換えたもの(f(x, s) の特殊化と呼ぶ)は、アイゼンシュタインの既約判定法により既約な多項式である。したがって f(x, s) は Q ( s ) {\displaystyle \mathbb {Q} (s)} 上既約である。さらに、f(x, s) は
x n − x 2 − 1 2 − ( s − 1 2 ) ( x + 1 ) {\displaystyle x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)(x+1)}
と置き、
g(y, t) = y − nty + (n − 1)t
と定義すると、これは
y − y − (n − 1)(y − 1) + (t − 1)(−ny + n − 1)
ともかける。
これから、多項式 g(y, 1) は 1 を重複度2の零点として持ち、残りの n − 2 個の零点は重複度が1であることが分かり、Gal(f(x, s)/Q(s)) が互換を含むことがわかる。互換を含む任意の有限な2重可移的置換群(英語版) は対称群そのものと一致する。
ヒルベルトの既約性定理(英語版) から、f(x, t) を特殊化するとその多項式の有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上のガロア群が Sn となるものが無限に存在する。また、そのような有理数は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } のなかで稠密である。
g(y, t) の判別式は
( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n n ( n − 1 ) n − 1 t n − 1 ( 1 − t ) {\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)}
となる。
これは完全平方ではない。