チャーン・サイモンズ理論
チャーン・サイモンズ理論を正準量子化するために、M の中の各々の2-次元曲面 Σ の上の状態を定義する。量子場理論でそのようであったように、状態はヒルベルト空間の中の光線に対応する。シュワルツタイプの位相場理論には時間という適切な概念が無いので、Σ がコーシー曲面(英語版)とすることができ、実際、状態は任意の曲面上で定義可能である。
Σ は余次元 1 であり、従って M を Σ に沿ってカットすることができる。そのようなカットをすると M は境界を持つ多様体となり、特に古典的に Σ の力学は、WZWモデルにより記述される。エドワード・ウィッテンはこの対応が量子力学的にも保存されることを示した。さらに詳しくは、彼は状態のヒルベルト空間がいつも有限次元であり、レベル k の G WZWモデルの共形ブロックの空間と標準的に同一視できることを示した。共形ブロックとは、局所的には正則と反正則なファクタで、それらが 2-次元共形場理論の相関函数の和を生成ようなファクタとなっている。
例えば、Σ が 2-球面(2-sphere)のとき、このヒルベルト空間は 1-次元なので、状態がただひとつの状態しかない。Σ が 2-トーラスのときは、状態はレベル k の g に対応するアフィンリー代数の可積分な群表現に対応する。高い種数の共形ブロックの特徴を、チャーン・サイモンズ理論のウィッテン解は持たない。