アーンショーの定理
アーンショーの定理を、静電場を使い直感的に証明すると以下の通り。
いま、スカラポテンシャル場 φ があるとすると任意の点において電場 E → {\displaystyle {\vec {E}}} は
E → = − grad φ {\displaystyle {\vec {E}}=-{\mbox{grad}}\,\phi }
と書ける。考えている領域内のある点で φ の極大があったと仮定する。その極大点を取り囲む小さな閉曲面を考える。すると、その閉曲面近くの電場ベクトルは必ず閉曲面を内から外へ貫く。勾配 grad φ が φ の極大点近傍では極大点に向かうためである。
すると ガウスの法則
∫∫ E → ⋅ n ^ d s = q ε 0 {\displaystyle \iint {\vec {E}}\cdot {\hat {n}}ds={\frac {q}{\epsilon _{0}}}}
より、閉曲面で E を積分した値が正の値をとり、内部には電荷が存在することになり仮定と矛盾する。