超幾何関数
ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に z = 1 {\displaystyle z=1} を代入するとガウスの超幾何定理を得る。
F ( a , b ; c ; 1 ) = Γ ( c ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) ∫ 0 ∞ t a − 1 ( 1 − t ) c − a − b − 1 d t = Γ ( c ) B ( a , c − a − b ) Γ ( a ) Γ ( c − a ) = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) ( R a + R b < R c , c ∉ Z ∖ N ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(a,b;c;1)&={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\int _{0}^{\infty }t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\&={\frac {\Gamma (c)\mathrm {B} (a,c-a-b)}{\Gamma (a)\Gamma (c-a)}}\\&={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}\qquad (\Re {a}+\Re {b}<\Re {c},c\not \in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} )\\\end{aligned}}}