魔方陣
斜め方向の和が、対角線以外でも等しくなるような物を完全方陣または汎魔方陣と呼ぶ。
一辺nが4以上でかつ n≠4k+2 の時、完全方陣が作成可能である。
例: [ 6 12 7 9 15 1 14 4 10 8 11 5 3 13 2 16 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}6&12&7&9\\15&1&14&4\\10&8&11&5\\3&13&2&16\end{bmatrix}}}
この図において斜めの和を見ると、
6+1+11+16 = 12+14+5+3 = 7+4+10+13 = 9+15+8+2 = 34
9+14+8+3 = 7+1+10+16 = 12+15+5+2 = 6+4+11+13 = 34
が成り立っている。
その他、「四隅(上図では6+9+3+16)」の合計が34になる。
さらに、「任意の2×2の固まり」も、34になる(「カド」と「中央」の2×2の固まりの合計は、どんな4×4の魔方陣でも必ず34になる))。
ペントミノ(T型)の5つの数字の合計が34になるものもある。
また、任意の「斜めの一つ置き」の和は、17になる。上の図では
6+11、12+5、15+2、1+16、7+10、9+8、14+3、4+13の8組
0と1とを同数だけ要素とした4x4方陣にて 縦・横・対角上の和が一致する組み合わせは、下記のABCDE5通り。
これらを下記のように組合せて 2進数4桁の各位に割り当てれば、0から15までの数からなる4方陣が作れる。さらに全体に1ずつ加算することで、普通の1から16までの数からなる魔方陣が得られる。
A= [ 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&1\\1&1&0&0\\0&0&1&1\\\end{bmatrix}}} ,B= [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&1&0&1\\1&0&1&0\\\end{bmatrix}}} ,C= [ 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\\1&1&0&0\\\end{bmatrix}}} ,D= [ 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0&0\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\\end{bmatrix}}} ,E= [ 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&1\\1&0&1&0\\\end{bmatrix}}}
n×nの各行各列に1~nを配置したものをラテン方陣という。これを2つ組合わせることでも魔方陣を作ることが可能である。
数独、ナンバープレースと呼ばれるペンシルパズルは、これに条件を付加した物である。
西洋数秘術のユピテル魔方陣(木星魔方陣)は次の図のとおりである。各ラインの和は34(女性数の最初2と男性素数17(ピタゴラス学派では不幸とする)の積)になっている。縦、横、斜めのいずれの列も和が等しくなるように数字を並べたばかりでなく、右上の四マス(右下、左上、左下それぞれの四マスも同様)、中央2列の端の四マス、中央2行の端の四マス、中央の四マスや隅の四マスまでひとつ残らず和が34になっている。 [ 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}4&14&15&1\\9&7&6&12\\5&11&10&8\\16&2&3&13\\\end{bmatrix}}}
アルブレヒト・デューラーの『メランコリア1』という作品には砂時計隣に4×4の次の図のユピテル魔方陣が描かれている。この魔方陣の中には、偉業を達成した制作年の1514が埋め込まれている。
[ 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}16&3&2&13\\5&10&11&8\\9&6&7&12\\4&15&14&1\end{bmatrix}}}
易の八卦のうち周易の「先天図」「帰蔵易(歸藏易は殷王朝の易)」「連山易(夏の易)」の三図は魔方陣的な図であり、卦に河図洛書と関わる数字を当てた場合、帰蔵図は魔方陣となる。連山易は風水羅盤に記載・使用される(正方形にしたが元図は八角形)。
3×3の魔方陣(三方陣)は、対称形を除けば下記の形しか存在しない。各列の合計は15になる。
[ 8 1 6 3 5 7 4 9 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\\\end{bmatrix}}}
三方陣の暗記法として、
「憎し(294)と思えば、七五三(753)、六一坊主に蜂(618)が刺す」
「憎し(294)と思えば、七五三(753)、六一八(618)はみな同じ」
「フクシ(294)マの、七五三(753)は、ロイヤ(618)ルホテルで」
などが知られている。
九星などで用いられる「河図洛書」(洛書)の図は次のとおりであり、上の図の対称形になっている。
また西洋数秘術のサトゥルヌス魔方陣(土星魔方陣)は次の図のとおりである。