コバノフホモロジー
数学において、コバノフホモロジー(英: Khovanov homology)は、鎖複体のホモロジーとしてできる向きづけられた結び目の不変量である。コバノフホモロジーはジョーンズ多項式のカテゴリ化(英語版)として考えられる。
コバノフホモロジーは1990年代の終わりに、ミハイル・コバノフ(英語版)(Mikhail Khovanov)により導入された。彼は当時はカリフォルニア大学デービス校に在籍しており、現在はコロンビア大学に所属している。
また、 P 0 ( u n k n o t ) = 1 {\displaystyle P_{0}(unknot)=1} とする。 n > 0 {\displaystyle n>0} について、多項式 P n ( L ) {\displaystyle P_{n}(L)} は、量子群 s l ( n ) {\displaystyle sl(n)} の表現論を通して解釈することができ、また P 0 ( L ) {\displaystyle P_{0}(L)} は、量子リー超代数(英語版) U q ( g l ( 1 | 1 ) ) {\displaystyle U_{q}(gl(1|1))} を通して解釈することができる。
アレクサンダー多項式 P 0 ( L ) {\displaystyle P_{0}(L)} は二重結び目ホモロジー論のオイラー標数である。
P 1 ( L ) = 1 {\displaystyle P_{1}(L)=1} は自明である。
ジョーンズ多項式 P 2 ( L ) {\displaystyle P_{2}(L)} は二重絡み目ホモロジー論のオイラー標数である。
ホムフリー多項式(HOMFLY多項式、もしくはHOMFLYPT多項式)は、三重次数付き絡み目ホモロジー論のオイラー標数である。
(以下の定義はドロール・バー-ナタン(英語版)(Dror Bar-Natan)の論文に沿う。)
次数付きベクトル空間の上の次数シフト 作用素を {l} で表す;すなわち、m 次元内の同次成分は、 m + l へシフトする。
同様にして、鎖複体の上の 高さシフト 作用素を[s] と表す。つまり、r 番目のベクトル空間 もしくは 加群は、(r + s) 番目の場所へ移動し、そのときにすべての微分写像もともにシフトすることになる。
V を次数 1 の生成子 q と次数 −1 の生成子 q とを持つ次数付きベクトル空間とする。
ここで絡み目 L を表現する任意の図形 D をとる。コバノフホモロジー の公理は次のようになる:
[ø] = 0 → Z → 0, ここの ø は空の絡み目を表す。
[O D] = V ⊗ [D], ここの O は結ばれていない自明な成分を表す。
[D] = F(0 → [D0] → [D1]{1} → 0)
これらの内の三番目で、F は「平坦化する」作用素を表していて、単体複体は二重複体から、対角に沿って直和をとることで得られる。