有限変形理論
Infinitesimal strain
Compatibility (mechanics)
Curvilinear coordinates
Piola–Kirchhoff stress tensor, the stress tensor for finite deformations.
Stress measures
Strain partitioning

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変形勾配テンソルは以下の式で表される。
これは、基準の配置(configuration)と現在の配置の両方の単位ベクトル ( e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} 、 I K {\displaystyle \mathbf {I} _{K}\,\!} )を含むことからもわかるように、この両方に関連している。 従って、two-point tensorである。
χ ( X , t ) {\displaystyle \chi (\mathbf {X} ,t)\,\!} に対する連続性の仮定により、 F {\displaystyle \mathbf {F} } は、逆関数、即ち H = F − 1 {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {F} ^{-1}\,\!} を持つ。この H {\displaystyle \mathbf {H} } は 空間変形勾配テンソル(spatial deformation gradient tensor) である。ここで、陰関数定理 よれば、ヤコビアン(即ち、 | J ( X , t ) | {\displaystyle |J(\mathbf {X} ,t)|} ) は非退化(即ち、 | J ( X , t ) | = det F ( X , t ) ≠ 0 {\displaystyle |J(\mathbf {X} ,t)|=\det \mathbf {F} (\mathbf {X} ,t)\neq 0} )とならねばならない。
変形された構成における面積に対して定義される量を、基準構成における面積に対する量に変換するため、あるいはその逆の変換も同様に行うため、
として表されるNansonの関係を使用する。ここで、 d a {\displaystyle da} は変形配置における領域の面積であり、 d A {\displaystyle dA} は参照配置における同じ領域の面積である。 n {\displaystyle \mathbf {n} } は現構成における領域要素の外向き法線であり、 N {\displaystyle \mathbf {N} } は参照構成における外向き法線、 F {\displaystyle \mathbf {F} } は変形勾配であり、また J = det F {\displaystyle J=\det \mathbf {F} \,\!} である。
体積要素の変換に対応する式は次の通りである。