結びと交わり
半順序集合 P において、部分集合 S の結び (join) と交わり (meet) はそれぞれ S の上限(最小上界)⋁S と S の下限(最大下界)⋀S である。一般に、半順序集合の部分集合の結びや交わりは存在するとは限らない;存在するときには、それらは P の元である。
結びと交わりは P の元の対上の可換結合的冪等部分二項演算として定義することもできる。a と b が P の元であるとき、結びは a ∨ b と書かれ、交わりは a ∧ b と書かれる。
結びと交わりは順序の反転に関して対称双対(英語版)である。全順序集合の部分集合の結び/交わりは単にその極大/極小元である。
すべての対が結びを持つような半順序集合は join-semilattice(英語版) である。双対的に、すべての対が交わりを持つような半順序集合は meet-semilattice(英語版) である。join-semilattice でも meet-semilattice でもあるような半順序集合は束である。単にすべての対ではなくすべての部分集合が結びと交わりを持つような束は完備束である。すべての対が結びや交わりをもつわけではないがその演算が(定義されるときに)ある公理を満たすような partial lattice(英語版) を定義することもできる。