数論
公開鍵暗号 - 暗号化と復号化を異なった鍵(数値)で行う方法。一つの鍵で復号化と暗号化を行う場合と比べ安全性と応用性が高まる。
固定ギア自転車のスキッドポイントの分散化 - 前後のギアの関係を互いに素にすると、スキッドポイントと呼ばれる摩耗点が最も分散化される(タイヤの寿命が向上する)。
フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。
他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。フェルマーの小定理やオイラーの定理、平方剰余の相互法則などはこの分野の成果である。
1940年代にアンドレ・ヴェイユがヴェイユ予想を発表し、バーナード・ドゥワーク、アレクサンドル・グロタンディーク、ピエール・ルネ・ドリーニュらがその証明に取り組んだ。
1961年の M. B. Barban の成果に基づき、1965年にエンリコ・ボンビエリらが「ボンビエリ=ヴィノグラドフの定理(英語版)」を定式化した。
1960年代後半にロバート・ラングランズがラングランズ・プログラムを提唱し、そこから他の数学者により様々な発展が得られた。
陳景潤の定理が1966年に発表され、1973年に証明された。
アンドリュー・ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明(1994年)。また、これと密接に関連する谷山・志村予想は1999年、クリストフ・ブレイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーによって証明された。