超準解析
本節では超実数体 ∗ R {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} } の最も簡明な定義のひとつを概説する。 R {\displaystyle \mathbb {R} } を実数体、 N {\displaystyle \mathbb {N} } を自然数の成す半環とする。また、 R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} によって実数列の成す集合を表す。体 ∗ R {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} } は R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} の適当な商(後述)として定義される。いま N {\displaystyle \mathbb {N} } 上の非単項超フィルター F {\displaystyle F} を取る。とくに F {\displaystyle F} はフレシェフィルターを含む。次の2つの実数列を考える
u = ( u n ) , v = ( v n ) ∈ R N {\displaystyle u=(u_{n}),v=(v_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
q ( T ) {\displaystyle q(T)} がコンパクトであることから、 q ( ∗ T w ) x {\displaystyle q({}^{\ast }T_{w})x} は q ( ∗ T ) x {\displaystyle q({}^{\ast }T)x} に無限に近く、したがって | q ( ∗ T w ) x | > 1 {\displaystyle |q({}^{\ast }T_{w})x|>1} (無限小の緩みを許せば)であることが分かる。いま j {\displaystyle j} を | q ( ∗ T w ) ( Π j ( x ) ) | < 1 2 {\displaystyle |q({}^{\ast }T_{w})\left(\Pi _{j}(x)\right)|<{\tfrac {1}{2}}} なる最大の添字とすれば、 ∗ E j {\displaystyle {}^{\ast }E_{j}} に無限に近い標準元の成す空間が望みの不変部分空間となる。
バーンスタイン=ロビンソンの論文のプレプリントを読んだ上で、ポール・ハルモスは彼らの証明を標準的な手法で以って再解釈した。 どちらの論文も Pacific Journal of Mathematics の同じ号に立て続けに載っている。ハルモスによる証明で使われた幾つかのアイデアは、もっと後のquasi-triangular作用素に関するHalmosの仕事に再び現れている。
P ( A 1 , ... , A n ) ⟺ P ( ∗ A 1 , ... , ∗ A n ) {\displaystyle P(A_{1},\ldots ,A_{n})\iff P({}^{\ast }A_{1},\ldots ,{}^{\ast }A_{n})}
可算飽和性:もし { A k } k ∈ N {\displaystyle \{A_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }} が空でない内的集合の減少列ならば、
⋂ k A k ≠ ∅ {\displaystyle \bigcap _{k}A_{k}\neq \emptyset }
超積を用いることで、このような写像 ∗ {\displaystyle \ast } が存在することが示せる。 V ( R ) {\displaystyle V(\mathbb {R} )} の元は標準的と呼ばれる。 ∗ R {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} } の元は超実数と呼ばれる。