集合
数学では、1 つも要素を持たないような集合も考える。外延性の原理によれば、このような集合はただ一つしか存在しないので、これを空集合 (英: empty set) といい ∅ で表す。∅ は任意の集合 A の部分集合である。なぜなら、任意の対象 x に対して x ∉ ∅ より x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A は真だからである。空集合の他にも決まった記号によって表される集合がいくつかある。日常的には一個だけ要素を持つものは集合とは呼ばれないが、数学ではそれも集合と呼ぶ(英語のsetやフランス語のensembleも日常的な用語では空集合や一個だけの集合に対しては使われない。):
N {\displaystyle \mathbb {N} } は自然数全体の集合を表す。
Z {\displaystyle \mathbb {Z} } は整数全体の集合を表す。
Q {\displaystyle \mathbb {Q} } は有理数全体の集合を表す。
R {\displaystyle \mathbb {R} } は実数全体の集合を表す。
C {\displaystyle \mathbb {C} } は複素数全体の集合を表す。
H {\displaystyle \mathbb {H} } は四元数全体の集合を表す。
U {\displaystyle \mathbb {U} } はグロタンディーク宇宙を表す。
詳細は「非交和」を参照
二つの集合の、交わりを持たない和。
前述のようにそれぞれ、論理的な概念の外延と内包に由来するものであり日本語圏では数学分野でも今もそれらの語がよく使われているが、英語圏ではそれぞれの原語であるextensionとintensionはこの分野では今はあまり見なくなっている。
条件 P(x) は「x が X の元であって、さらに条件 Q(x) を満たす」というような形で与えられることが多いが、このとき定まる集合を {x | x ∈ X かつ Q(x)} のように書く代わりに、しばしば簡単に
{ x ∈ X ∣ Q ( x ) } {\displaystyle \{x\in X\mid Q(x)\}}
などと略記する。集合 {x ∈ X | Q(x)} は X の部分集合となる。また、条件 P(x) が「条件 Q(y) を満たすようなある y を用いて x = f(y) と表すことができる」というような形のときは、集合 { x | P(x) } を
{ f ( y ) ∣ Q ( y ) } {\displaystyle \{f(y)\mid Q(y)\}}
のように表すこともある。
要素を外延的に書きつくせないような集合、例えば自然数全体の集合を
{ 0 , 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \{0,1,2,3,\dots \}}
のように書き表すこともあるが、"..." による省略部分は誤解を生じる余地があるため、このような記法はその省略された内容の意味が明らかである場合に限られる。