スチュワートの定理
∠AMC=θ, ∠BMC=θ′ とおくと cos θ′ = cos(π-θ) = −cos θ である。
余弦定理より以下の式が成り立つ。
b 2 = x 2 + d 2 − 2 d x cos  θ a 2 = y 2 + d 2 − 2 d y cos  θ ′ = y 2 + d 2 + 2 d y cos  θ . {\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=x^{2}+d^{2}-2dx\cos \theta \\a^{2}&=y^{2}+d^{2}-2dy\cos \theta '\\&=y^{2}+d^{2}+2dy\cos \theta .\,\end{aligned}}}
上の式に y をかけ、下の式に x をかけて和をとり、cos θ の項を消去する。
b 2 y + a 2 x = x 2 y + y 2 x + ( x + y ) d 2 = ( x + y ) ( x y + d 2 ) = c ( x y + d 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&b^{2}y+a^{2}x\\&=x^{2}y+y^{2}x+(x+y)d^{2}\\&=(x+y)(xy+d^{2})\\&=c(xy+d^{2})\\\end{aligned}}}