指数関数的減衰
c = λ N 0 {\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}}
を得る。
われわれは指数関数的減衰が指数分布のスカラー倍であることを見出したのであり(i.e. 対象の個々の平均寿命はそれぞれ指数分布にしたがっているわけである)、指数分布の期待値はよく知られている。ここで部分積分により個々の寿命から全体の平均寿命を次のように計算することができる:
τ = ⟨ t ⟩ = ∫ 0 ∞ t ⋅ c ⋅ N 0 e − λ t d t = ∫ 0 ∞ λ t e − λ t d t = 1 λ . {\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot {c}\cdot {N_{0}}e^{-\lambda {t}}dt=\int _{0}^{\infty }\lambda {t}e^{-\lambda {t}}dt={\frac {1}{\lambda }}.}
BGP
1 τ c = λ c = λ 1 + λ 2 = 1 τ 1 + 1 τ 2 {\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}
と表される。通分して逆数をとり、
τ c = τ 1 τ 2 τ 1 + τ 2 {\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}}
となる。つまり複数の崩壊に分岐する場合の平均寿命とは、各々の平均寿命の調和平均の逆数でありまた各々の平均寿命の和を全ての平均寿命の積で割ったものである。
ところで半減期と平均寿命は定数項が異なるだけであるから、上記式は半減期の場合も全く同様に
T 1 / 2 = t 1 t 2 t 1 + t 2 {\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}
と書くことができる。