跡 (線型代数学)
トレースを定める写像の双対
F ∗ = F → V ⊗ V ∗ ≅ End  ( V ) {\displaystyle F^{*}=F\to V\otimes V^{*}\cong \operatorname {End} (V)}
は 1 ∈ F を単位行列へ写すものであり、スカラーをスカラー行列へ写すという意味での包含写像である。この意味で、「トレースはスカラーの双対である」。双代数の言葉で言えば、スカラーが単位、トレースが余単位である。
合成写像
F → I End  ( V ) → tr F {\displaystyle F{\overset {I}{{}\to {}}}\operatorname {End} (V){\overset {\operatorname {tr} }{{}\to {}}}F}
は単位行列のトレースとしての n倍写像である(この n は考えているベクトル空間 V の次元である)。
係数体 F 上有限次元ベクトル空間 V 上の自己線型作用素全体の成す空間 L(V,V) を V の双対空間とのテンソル積と
V ∗ ⊗ V → L ( V , V ) ; h ⊗ v ↦ ( w ↦ h ( w ) v ) {\displaystyle V^{*}\otimes V\to {\mathcal {L}}(V,V);\;h\otimes v\mapsto (w\mapsto h(w)v)}
によって同一視することができる。このとき、標準的な双線型写像
t : V ∗ × V → F ; t ( w ∗ , v ) = w ∗ ( v ) ( w ∗ ∈ V ∗ , v ∈ V ) {\displaystyle t\colon V^{*}\times V\to F;\;t(w^{*},v)=w^{*}(v)\quad (w^{*}\in V^{*},\,v\in V)}
から(テンソル積の普遍性により)導かれるテンソル積空間上の線型写像 tr: V* ⊗ V → F を跡(トレース)と呼ぶ。
行列式の場合と異なり積のトレースはトレースの積とは一致しないが、クロネッカー積(行列のテンソル積)のトレースはトレースの積に一致する: tr(X ⊗ Y) = tr(X)tr(Y).
A が対称かつ B が反対称ならば tr(AB) = 0 である。
単位行列 In のトレースは考えている空間の次元 n である(その意味で次元の概念をトレースを用いて一般化することもできる)。同様に、冪等行列 A(つまり A = A)のトレースは A の階数であり、また冪零行列のトレースは零である。 より一般に、行列 A の固有多項式が f(x) = (x − λ1)...(x − λk) と因数分解できるならば tr(A) = d1λ1 + ... + dkλk.
任意の正方行列 A, B に対して、それらの(環論的)交換子のトレースは消える: tr([A,B]) = 0(リー環の言葉で言えば「跡写像は行列リー環 gln からスカラーへの写像である」(後述)。特に相似不変性を考慮すれば、単位行列がどんな行列の対の交換子とも相似にならないことが分かる。逆に任意のトレース零な正方行列は交換子の線型結合として書ける。さらに言えば、任意のトレース零な正方行列は対角成分が全て零の正方行列とユニタリ同値になる。
冪零行列の任意の冪のトレースは零である。係数体の標数が零ならば逆も成り立つ(任意の冪のトレースが零ならば冪零である)。
エルミート行列のトレースは実である(エルミート行列の対角成分はすべて実となることによる)。
射影行列のトレースは行列の階数に等しい。すなわち、PX = X(XX)X ならば tr(PX) = rank(X).