標準偏差
母集団の中から、大きさ n(母集団の大きさよりはるかに小さい)の標本 x1, x2, ..., xn を抽出したとする。このとき、標本平均は次の式で表される:
x ̄ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}
この標本平均を使って次式で定義される量を標本分散と呼ぶ:
s 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ̄ ) 2 = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 − x ̄ 2 {\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}={\dfrac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}-{\bar {x}}^{2}}
標本分散の平方根 s を標本標準偏差と呼ぶ。
X を連続型確率変数とする。X の値が区間 [x1, x2] に属する確率が、連続関数 f(x) を用いて
∫ x 1 x 2 f ( x ) d x {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\!f(x)\,dx}
と表せるとき、f(x) を X の確率密度関数という。このとき
f ( x ) ≥ 0 , ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 1 {\displaystyle f(x)\geq 0,\quad \int _{-\infty }^{\infty }\!f(x)\,dx=1}
である。このとき
E [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x {\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }\!xf(x)\,dx}
を確率変数 X の期待値という。また、
V [ X ] = ∫ − ∞ ∞ ( x − E [ X ] ) 2 f ( x ) d x {\displaystyle V[X]=\int _{-\infty }^{\infty }\!{\big (}x-E[X]{\big )}^{2}f(x)\,dx}
を確率変数 X の分散という。この分散の非負の平方根を標準偏差という。