Z変換
Z変換は離散時間フーリエ変換(DTFT)の拡張である。DTFTはZ変換でz=eを代入したものと一致する。
言い換えると、 z {\displaystyle z} の定義域を(複素平面において)単位円上に限定したZ変換がDTFTであると解釈できる。
Z変換は線型性を持ち、したがって特に重ね合わせの原理を用いて計算できる。したがって任意のxn,ynに対して
Z [ a x n + b y n ] = a Z [ x n ] + b Z [ y n ] {\displaystyle {\mathcal {Z}}[ax_{n}+by_{n}]=a{\mathcal {Z}}[x_{n}]+b{\mathcal {Z}}[y_{n}]}
が成立する。但し、a,bは定数。逆Z変換も同様に線型性を持つ。したがって、与えられた関数を部分分数分解できるとき、各因子が変換表にあるものに合致すれば、その変換が求められる。
列xnのZ変換は以下の式で定義される:
Z [ x n ] = X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x n z − n {\displaystyle {\mathcal {Z}}[x_{n}]=X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}z^{-n}}
ここでnは整数でzは複素数である。なお後述の片側Z変換に対してこれを両側Z変換(two-sided Z-transform、bilateral Z-transform)と呼ばれる。
n<0 でxn=0のような場合は、総和の範囲を 0 〜 ∞ で計算できる:
Z [ x n ] = X ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x n z − n {\displaystyle {\mathcal {Z}}[x_{n}]=X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}z^{-n}}