誕生日のパラドックス
上記の確率を求める問題やその類似問題は、誕生日問題とよばれる。
あなたが22人の人間がいる部屋に入ったとき、「あなたと同じ」誕生日の人がいる確率は50%よりずっと低い。これは、「あなた以外の人」同士の誕生日が同じであるという可能性は考慮されないからである。
それでは、n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人いる場合の確率を計算する。閏年や双子は考えないものとし、誕生日は365日とも等確率であるとする。
まずは、n人の誕生日が全て異なる場合の確率 p1 を計算する。
2人目が1人目と異なっている誕生日である確率は、364/365 である。次に、3人目が1人目2人目と異なる誕生日である確率は 363/365 である。同様に4人目は 362/365、...、n人目は (365-n+1)/365 となる。 つまり、n人の誕生日が全て異なる確率は次のようになる。
p 1 ( n ) = 364 365 ⋅ 363 365 ⋅ 362 365 ⋅ ⋯ ⋅ 365 − n + 1 365 = 365 ! 365 n ( 365 − n ) !