ベクトル束
数学において、ベクトル束(べくとるそく、英: vector bundle; ベクトルバンドル)は、ある空間 X(例えば、X は位相空間、多様体、代数多様体等)により径数付けられたベクトル空間の族を作るという方法で与えられる幾何学的構成である。
ベクトル空間に対する演算の多くは、それをファイバーごとに行うことによってベクトル束の演算に拡張することができる。
例えば、E が X 上のベクトル束のとき、x ∈ X におけるファイバー Ex をその双対ベクトル空間 (Ex) に取り替えて、E の双対束 (dual bundle) と呼ばれる X 上のベクトル束 E が定まる。厳密に言えば、E は、x ∈ X, φ ∈ (Ex) に関する対 (x, φ) 全体の成す集合として定義できる。E の局所的自明化の逆像の双対空間は E の局所的自明化だから、双対束は局所的に自明である。これには双対ベクトル空間を取る操作が関手的であること(ここでは双対をとることと同型写像とが可換ということ)が鍵になっている。
(同じ体上の)二つのベクトル空間の上で行える関手的操作のほとんどは X 上のベクトル束 E, F の対に直接的に拡張することができる。いくつか例を挙げる。
E と F のホイットニー和 (Whitney sum) または直和束 (direct sum bundle) と呼ばれる X 上のベクトル束 E ⊕ F は、各点 x の上のファイバーがベクトル空間 Ex と Fx の直和 Ex ⊕ Fx となるものとして定義される。
したがって、F(U) を U 上で定義された実数値連続関数環の上の加群と見なすことができる。さらに、X 上の実数値連続関数全体の成す構造層を OX と書くと、F は OX 加群全体の層になる。
どんな OX 加群の層でも、ベクトル束からこの方法で得られるというわけではなく、局所自由であるものに限られる。実際にこの構成法では、局所的には射影 U × R → U の切断を求めることになるが、それはちょうど連続写像 U → R であって、連続関数 U → R の k 組として表されるからである。
さらに言えば、X 上の実ベクトル束の圏は、局所自由かつ有限生成な OX 加群の層の圏に圏同値である。したがって、X 上の実ベクトル束の圏は OX 加群の層の圏に含まれていると考えることができる。後者はアーベル圏であり、それによってベクトル束の射の核や余核をその中でならば計算することができる。
n-階ベクトル束が自明であるための必要十分条件は、それが n 個の線型独立な大域切断を持つことであることに注意。