オイラーの公式
証明 — 微分方程式を用いた証明を示す。x を実数、x の関数 f (x) を以下のように定義する。
f ( x ) := cos  x + i sin  x . {\displaystyle f(x):=\cos x+i\sin x.}
また記法を簡潔にするために補助的な方程式
y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}
によって y を定める。これらをまとめると以下の方程式を得る。
(1) に x = 0 を代入すると
を得る。(1) の両辺を x について微分し、両辺に虚数単位 i を掛けると以下のようになる。
(3) と (1) より
を得る。任意の 0 でない複素数 α について、関数 e は次の関係を満たす。
(4) と (5) を見比べ、α = i と置き換えれば、f(0) = 1 より
が成り立つ。最後に (1) および (6) から y を消去すればオイラーの公式が得られる。
e i x = cos  x + i sin  x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}