平面三項環
( ( ∞ ) , [ ∞ ] ) ∈ I {\displaystyle ((\infty ),[\infty ])\in I}
任意の射影平面は適当な平面三項環からこの方法で構成することができる。ただし二つの同型でない平面三項環から同型な射影平面が導かれることもある。
逆に任意の射影平面 π から、どの三点も同一直線上にない四点 O, E, U, V を選び出して、 O = (0, 0), E = (1, 1), V = (∞), V = (0) となるような座標を導入することができて、このとき三項演算は(∞ 以外の)座標の関係式として y = T(x, a, b) となるための必要十分条件を、点 (x,y) が無限遠点 (a) から (0, b) へ結んだ直線上にあることと定めることで得られる。射影平面を定義する公理系はこれが平面三項環を与えることを示すのに用いられる。
平面三項系が線型であることは、この付随する射影平面が特定の幾何学的条件を満足することに同値である。また、
より一般に、任意の射影平面 P は以下の何れかのレンツ図形をちょうど一つ持つ:
レンツ分類の細分化としてレンツ-バルロッティ分類が知られている。各射影平面 P は以下の分類のどれかちょうど一つに当てはまる: