ハール測度
∫ G f ( x ) d μ ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \int _{G}f(x)d\mu (x)\geq 0}
となることを言う。また、汎関数が左不変であるとは、G の元 g の G における左移動作用の構造移行
∫ G f ( g x ) d μ ( x ) = ∫ G ( L g − 1 f ) ( x ) d μ ( x ) = ∫ G f ( x ) d ( L g μ ) ( x ) {\displaystyle \int _{G}f(gx)d\mu (x)=\int _{G}(L_{g^{-1}}f)(x)d\mu (x)=\int _{G}f(x)d(L_{g}\mu )(x)}
によって汎関数の空間 M(G) への左移動作用を定めるとき Lgμ = μ が G の任意の元 g でなりたつことをいう。左不変性を右不変性、両側不変性に取り替えたものも同様に定める。
局所コンパクト群 G とその上の左ハール測度 μ および G の元 g に対し、g による右移動 Rg で μ を移した Rgμ はやはり左不変測度である。したがってハール測度の一意性から
R g μ = Δ G ( g ) μ {\displaystyle R_{g}\mu =\Delta _{G}(g)\mu }
となる G 上の正値函数 ΔG が存在する。これを "群 G 上のモジュラー函数 (modular function)と呼ぶ。モジュールは絶対値 1 の複素数全体の成すコンパクト群 T を表現加群とする G の表現(群の指標)を与え、その意味でモジュラー指標 (modulus character) と呼ばれることもある。また、
Δ G − 1 μ ( x ) = μ ( x − 1 ) {\displaystyle \Delta _{G}^{-1}\mu (x)=\mu (x^{-1})}
は右ハール測度であり、この式はハール測度 μ の取り方には依らないから、この意味でモジュール ΔG は「左右のハール測度のずれ」を測るものであるとみることもできる。特に ΔG が恒等的に 1 に等しいとき、局所コンパクト群 G は両側不変なハール測度を持ちユニモジュラー (unimodular) であるといわれる。