複比
非調和群はλ ↦ 1/λとλ ↦ 1 − λによって生成される。 {0, 1, ∞}に対するその作用は S3との同型を与える。また、前述の6つのメビウス変換として実現することもでき、これは(整数エントリで定義されるため)任意の体上でS3の射影表現を生成し、(2つの項が1/−1のみが異なることはないため)常に忠実/単射である。 2元体上では射影直線は3点しか持たないため、この表現は同型であり、例外的な同型 S 3 ≈ P G L ( 2 , 2 ) {\displaystyle \mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2)} である。標数3では、これにより点 − 1 = [ − 1 : 1 ] {\displaystyle -1=[-1:1]} が安定し、これは 2 = 1 / 2 = − 1 {\displaystyle 2=1/2=-1} であることから調和複比の軌道が1点のみであることに対応する。 3元体上では、射影線には4つの点しかなく、 S 4 ≈ P G L ( 2 , 3 ) {\displaystyle \mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,3)} であり、したがってこの表現は正確に調和複比のスタビライザーであり、点 − 1 {\displaystyle -1} のスタビライザーに等しい埋め込み S 3 ↪ S 4 {\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}} が得られる。
複比は、直線の射影変換の下で不変である。複素射影線またはリーマン球の場合、これらの変換はメビウス変換として知られている。一般的なメビウス変換の形式は次のように表される。
f ( z ) = a z + b c z + d , where a , b , c , d ∈ C and a d − b c ≠ 0. {\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\mbox{where }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ and }}ad-bc\neq 0.}
これらの変換は、リーマン球に作用する群、メビウス群を形成する。
複比の射影不変性は、
( f ( z 1 ) , f ( z 2 ) ; f ( z 3 ) , f ( z 4 ) ) = ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) . {\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\ }
すべてのメビウス変換が一般化された円を一般化された円にマッピングするという事実より、4つの点が共線または共円である場合にのみ複比が実数になる。
メビウス群の作用は、リーマン球の異なる点の三つ組の集合上で単純に推移的である。異なる点の任意の順序付き三つ組(z2, z3, z4)が与えられると、一意なメビウス変換f(z)が存在する。この変換は複比を用いて簡単に記述できる。