レヴィ・チヴィタ接続
Christoffel, Elwin Bruno (1869), “Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades”, J. für die Reine und Angew. Math. 70: 46–70
Levi-Civita, Tullio (1917), “Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e consequente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana”, Rend. Circ. Mat. Palermo 42: 73–205
リーマン多様体上の関数fのラプラシアンを以下のように定義する:
定義 ― M上の関数 f : M → R {\displaystyle f~:~M\to \mathbb {R} } に対し、
Δ f := d i v g r a d f = δ d f = − t r ( ∇ 2 f ) = − 1 | d e t g | ∂ ∂ x i ( | d e t g | g i j ∂ f ∂ x j ) {\displaystyle \Delta f:=\mathrm {div} ~\mathrm {grad} f=\delta df=-\mathrm {tr} (\nabla ^{2}f)=-{1 \over {\sqrt {|\mathrm {det} g|}}}{\partial \over \partial x^{i}}({\sqrt {|\mathrm {det} g|}}g^{ij}{\partial f \over \partial x^{j}})}
と定義し、Δをラプラス=ベルトラミ作用素(英語版)(英: Laplace–Beltrami operator)、あるいは単にラプラシアンという。
発散の定義でマイナスの符号がつく規約を採用した関係で、通常のラプラシアンとは符号が反対になっている事に注意されたい(この章で後述する他のラプラシアンも同様)。

上述したラプラシアンの定義を微分形式に拡張する事ができるが、拡張方法は(同値ではない)2通りの方法がある。
測地線が R {\displaystyle \mathbb {R} } 全域に拡張できるか否かに関して以下の定理が知られている。
定理 (Hopf-Rinowの定理(英語版)) ― ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} を連結なリーマン多様体とし、 ∇ {\displaystyle \nabla } をM上のレヴィ-チヴィタ接続とする。このとき、以下の条件は互いに同値である:
( M , g ) {\displaystyle (M,g)} はgが定める距離に関し、距離空間として完備である。
( M , ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} は測地線完備である。
全ての点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} に対し、TPMの全ての元vに対し e x p P ( v ) {\displaystyle \mathrm {exp} _{P}(v)} を定義できる。
ある点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} に対し、TPMの全ての元vに対し e x p P ( v ) {\displaystyle \mathrm {exp} _{P}(v)} を定義できる。
M上の任意の2点P、Qに対し、PとQの両方を通る( ∇ {\displaystyle \nabla } に関する)測地線が存在する。
gが定める距離に関し、Mの有界閉集合はコンパクトである。
より一般に、TをM上の(r,s)-テンソル場の共変微分はライプニッツ則により定義する。
定理・定義 ― TをM上の(r,s)-テンソル場とし、Tを写像
T : ( T ∗ M ) r × ( T M ) s → R {\displaystyle T~:~(T^{*}M)^{r}\times (TM)^{s}\to \mathbb {R} }
とみなす。このとき、M上の任意に1-形式 α 1 , ... , α r {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}} とM上の任意のベクトル場 X , Y 1 , ... , Y s {\displaystyle X,Y_{1},\ldots ,Y_{s}} に対し、
( ∇ X T ) ( α 1 , ... , α r , Y 1 , ... , Y s ) := X T ( ( α 1 , ... , α r , Y 1 , ... , Y s ) ) − ∑ i = 1 r T ( ( α 1 , ... , ∇ X α i , ... , α r , Y 1 , ... , Y s ) ) − ∑ j = 1 s T ( ( α 1 , ... , α r , Y 1 , ... , ∇ X Y j , ...