ポワンカレ計量
なる関係が成り立つ。函数 Φ(z, z) が計量ポテンシャル (potential of the metric) であるとは
4 ∂ ∂ z ∂ ∂ z ̄ Φ ( z , z ̄ ) = λ 2 ( z , z ̄ ) {\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\Phi (z,{\bar {z}})=\lambda ^{2}(z,{\bar {z}})}
を満たすことを言う。ラプラス-ベルトラミ作用素 Δ は
Δ = 4 λ 2 ∂ ∂ z ∂ ∂ z ̄ = 1 λ 2 ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) {\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}
で与えられ、計量のガウス曲率 K は
K = − Δ log  λ {\displaystyle K=-\Delta \log \lambda }
で与えられる。
ポアンカレ計量は調和函数の空間の上に定義される縮小写像を成す。このことはシュヴァルツの補題の一般化であり、シュヴァルツ-アールフォルス-ピックの定理と呼ばれる。
複素数平面上の計量を一般に、λ を z および z を変数とする正実数値函数として
d s 2 = λ 2 ( z , z ̄ ) d z d z ̄ {\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\bar {z}})\,dz\,d{\bar {z}}}
なる形に表すことができ、複素数平面上の曲線 γ の長さ l(γ) は
l ( γ ) = ∫ γ λ ( z , z ̄ ) | d z | {\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\bar {z}})\,|dz|}
で与えられる。また、複素数平面の部分集合 M の面積 area(M) は
area ( M ) = ∫ M λ 2 ( z , z ̄ ) i 2 d z ∧ d z ̄ {\displaystyle {\text{area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\bar {z}})\,{\frac {i}{2}}\,dz\wedge d{\bar {z}}}
と書ける。ただし、 ∧ {\displaystyle \wedge } は体積形式を構成するのに用いる外積である。この計量の行列式の値は λ に等しく、従って行列式の平方根は λ である。平面上のユークリッド体積形式 dx∧dy に対して、
d z ∧ d z ̄ = ( d x + i d y ) ∧ ( d x − i d y ) = − 2 i d x ∧ d y {\displaystyle dz\wedge d{\bar {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-i\,dy)=-2i\,dx\wedge dy}
他にもこの計量の重要な表し方として、複比を用いる形のものがある。一点コンパクト化された複素数平面 C ^ = C ∪ { ∞ } {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}} 上の任意の四点 z1, z2, z3, z4 に対して、それらの複比が
( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = ( z 1 − z 2 ) ( z 3 − z 4 ) ( z 2 − z 3 ) ( z 4 − z 1 ) {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{4}-z_{1})}}}
で与えられ、計量は
ρ ( z 1 , z 2 ) = ln  ( z 1 , z 2 × ; z 2 , z 1 × ) {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\ln(z_{1},z_{2}^{\times };z_{2},z_{1}^{\times })}
と書ける。ただし、z1, z2 は、z1 と z2 とを測地的に結ぶ実数直線上での両端点であり、またこれらは z1 が z1 と z2 の間にあるように番号付けられている。
この計量に対する測地線は、実軸に直交する円弧(原点が実軸上にある半円)および実軸上に端点を持つ垂直線である。