ラグランジュ力学
L ( q , q ̇ , t ) = K ( q , q ̇ , t ) + D i ( q , t ) q ̇ i + C ( q , t ) , K ( q , q ̇ , t ) = ∫ 0 1 q ̇ i H i ( q , q ̇ τ , t ) d τ , D i ( q , t ) = q j ∫ 0 1 d τ τ Z [ i , j ] ( τ q , t ) + ∂ G ∂ q i , C ( q , t ) = q i ∫ 0 1 d τ Y i ( q τ , t ) , H i ( q , q ̇ , t ) := ∫ 0 1 d τ A i j ( q , τ q ̇ , t ) q ̇ j , Z [ i , j ] ( q , t ) ≡ − Z [ j , i ] ( q , t ) := 1 2 ( ∂ B i ∂ q ̇ j − ∂ B j ∂ q ̇ i ) + ∂ 2 K ∂ q i ∂ q ̇ j − ∂ 2 K ∂ q ̇ i ∂ q j , Y i ( q , t ) := { ∂ 2 K ∂ q i ∂ q ̇ j + 1 2 ( ∂ B i ∂ q ̇ j − ∂ B j ∂ q ̇ i ) } q ̇ j − ∂ K ∂ q i − B i + ∂ 2 K ∂ q ̇ i ∂ t + ∂ D i ∂ t .
座標変換の時間微分は連鎖律により
g ̇ i ( Q , t ) = d g i d t ( Q , t ) = Q ̇ I ⋅ ∂ g i ∂ Q I ( Q , t ) + ∂ g i ∂ t ( Q , t ) {\displaystyle {\dot {g}}_{i}(Q,t)={\frac {dg_{i}}{dt}}(Q,t)={\dot {Q}}_{I}\cdot {\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}(Q,t)+{\frac {\partial g_{i}}{\partial t}}(Q,t)}
であるため、新たな座標に共役な運動量は
P I ( t ) = ∂ L ~ ∂ Q ̇ I = ∂ L ∂ q ̇ i ∂ g i ∂ Q I = p i ⋅ ∂ g i ∂ Q I {\displaystyle P_{I}(t)={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q}}_{I}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}=p_{i}\cdot {\frac {\partial g_{i}}{\partial Q_{I}}}}
となる。