生成消滅演算子
定義から明らかなように、 a ^ {\displaystyle {\hat {a}}} 、 a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} は自己共役でもオブザーバブルでもない。
{ q ^ , p ^ } {\displaystyle \{{\hat {q}},{\hat {p}}\}} と { a ^ , a ^ † } {\displaystyle \{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\}} は一対一に対応している。よって全ての物理量は { q ^ , p ^ } {\displaystyle \{{\hat {q}},{\hat {p}}\}} でも表せるし、 { a ^ , a ^ † } {\displaystyle \{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\}} でも表せる。
時間に依存しない量子的な1次元調和振動子のシュレディンガー方程式から出発する。
( p ^ 2 2 m + m ω 2 2 q ^ 2 ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle \left({\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}{\hat {q}}^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x)}
ここで、消滅演算子 a ^ {\displaystyle {\hat {a}}} を以下で定義し、そのエルミート共役 a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} を生成演算子と呼ぶことにする。
a ^ ≡ m ω 2 ħ q ^ + i 2 m ħ ω p ^ {\displaystyle {\hat {a}}\equiv {\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}{\hat {q}}+{\frac {i}{\sqrt {2m\hbar \omega }}}{\hat {p}}}