モジュラー群
モジュラー群は、双曲平面の等長(isometries)群の部分群をなすので、重要である。双曲平面の幾何学の上半平面モデル H を考えると、H のすべての向きを保つ(orientation-preserving)等長群は、a, b, c, d を普通の実数の代わりに整数とし、ad − bc = 1 とすると、
z ↦ a z + b c z + d {\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}
形のメビウス変換のすべてから構成される。また、これとは別に次の式に従う H 上の PSL(2, R) 群の作用でもある。
( a b c d ) ⋅ z = a z + b c z + d . {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z\,=\,{\frac {az+b}{cz+d}}\ .}
この(左-)作用は、忠実であり、PSL(2, Z) は PSL(2, R) の部分群であるので、モジュラー群は H の向きを保つ等長群の部分群である。