フビニの定理
フビニの定理とトネリの定理を組み合わせることで、フビニ=トネリの定理(しばしばフビニの定理と省略して呼ばれる)が得られる。その定理では、X と Y が σ-有限測度(英語版)であり、f は以下の三つの積分
∫ X ( ∫ Y | f ( x , y ) | d y ) d x {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x}
∫ Y ( ∫ X | f ( x , y ) | d x ) d y {\displaystyle \int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y}
∫ X × Y | f ( x , y ) | d ( x , y ) {\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)}
のいずれかが有界であるような可測函数であるなら、次の等式が成立することが述べられている。
(レオニダス・トネリ(英語版)の名にちなむ)トネリの定理(Tonelli's theorem)は、フビニの定理の後継となる定理である。トネリの定理の結論はフビニの定理のものと同一であるが、フビニの定理の |f| の積分が有限であるという仮定は、f が非負であるという仮定に置き換えられる。
トネリの定理では、(X, A, μ) と (Y, B, ν) が σ-有限測度空間(英語版)であり、X×Y から [0,∞] への函数 f が非負かつ可測であるなら、次が成立すると述べられている。
∫ X ( ∫ Y f ( x , y ) d y ) d x = ∫ Y ( ∫ X f ( x , y ) d x ) d y = ∫ X × Y f ( x , y ) d ( x , y ) . {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
トネリの定理の特別な場合として、 ∑ x ∑ y a x y = ∑ y ∑ x a x y {\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}a_{xy}=\sum _{y}\sum _{x}a_{xy}} のような和の順序交換が挙げられる。
フビニの定理の特別な場合として、実ベクトル空間の閉有界部分集合の積上の連続函数に対する定理は、18世紀にオイラーによって知られていた。Lebesgue (1904) はこの結果を、ある区間の積上の有界可測函数へと拡張した。1906年にレヴィは、この定理は有界ではなくても可積分である函数に対して拡張されると予想し、フビニは1907年にそれが事実であることを証明した。