バターワースフィルタ
バターワースフィルタをデジタルフィルタとして実装する場合、双一次変換やZ変換を使ってアナログフィルタを離散化することが多い。高次の場合、量子化誤差の影響が出やすくなる。そのためバイクアッド・フィルタ(英語版)をカスケード接続したものとして計算することが多い(奇数次の場合は、一次フィルタもカスケード接続する)。
バターワース多項式は上記のように複素数形式でも書けるが、複素共役な極同士を掛け合わせることで実数形式で書くこともできる。この多項式は ω c = 1 {\displaystyle \omega _{c}=1} と設定することで正規化される。正規化バターワース多項式の一般形式は以下のようになる。
B n ( s ) = ∏ k = 1 n 2 [ s 2 − 2 s cos  ( 2 k + n − 1 2 n π ) + 1 ] {\displaystyle B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]} (n が偶数の場合)
B n ( s ) = ( s + 1 ) ∏ k = 1 n − 1 2 [ s 2 − 2 s cos  ( 2 k + n − 1 2 n π ) + 1 ] {\displaystyle B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]} (n が奇数の場合)
小数点以下第4位まで表すと、以下のようになる。