交代式
表現論の観点からは、対称式環も交代式環も n-変数多項式環の n 個の変数に対する対称群の作用(英語版)の部分表現と見ることができる(n 個の文字に対する置換が、それら文字からなる文字列(英語版)への作用を誘導することに注意せよ)。
対称群は、自明表現と符号表現のふたつの一次元表現を持つ。自明表現に対応するのが対称多項式で、符号表現に対応するのが交代多項式である。きちんと述べれば、任意の対称多項式からなるスカラー係数線型結合の全体が対称群の自明表現・任意の交代多項式からなるスカラー係数線型結合の全体が対称群の符号表現であり、これらは多項式全体の成す空間とそれら各々の表現とのテンソル積をとったものとして得られる。
標数 2 ではこれら二つの表現は区別されないから、状況はより複雑である。
三変数以上の多項式環への対称群の作用では、これら二つ以外の部分表現も出てくる。