くりこみ群
d F ( g ) d g = 1 β ( g ) {\displaystyle {\frac {dF(g)}{dg}}={\frac {1}{\beta (g)}}}
を満足する関数、 φ ( z ) {\displaystyle \phi (z)} は z {\displaystyle z} の任意関数である。ここで、初期条件
G ( 1 , g ) = g {\displaystyle G(1,g)=g}
により φ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} は F − 1 ( x ) {\displaystyle F^{-1}(x)} であることが分かるので、結局、
G ( x , g ) = F − 1 ( F ( g ) + ln  x ) {\displaystyle G(x,g)=F^{-1}(F(g)+\ln x)}
が解である。
関数 β ( g ) {\displaystyle \beta (g)} は、物理量のスケール変換の応答を決定する重要な量で、ベータ関数と呼ばれる。ベータ関数をどうやって求めるかは重要な問題だが、摂動計算による以外、事実上、方法はない。