アフィン接続
アフィン接続は、カルタンの一般的フレムワークの中のでも定義することができる。現代のアプローチでは、標構バンドル上のアフィン接続の定義に密接に関係している。実際、ある定式化では、カルタン接続は適切な性質を満たす主バンドルの絶対平行性(英語版)である。この観点では、(あるアフィン多様体の)標構バンドル上の aff(n)に値を持つ 1-形式 (θ,ω): T(FM) → aff(n) はカルタン接続である。しかし、カルタンの元々のアプローチは、いくつかの点でこれとは異なっていた。
標構バンドル、もしくは主バンドルの考え方が存在しなかった。
接続は、点の無限小近傍の間での平行移動の項とみなした。
この平行移動は、線型というよちもアフィンである。
変換される対象は、現代的な意味では接ベクトルでなくともよいが、マークのついたアフィン空間の元である必要がある。カルタン接続は接空間とほぼ同一視することができる。
逆に、接バンドル上のアフィン接続は、たとえば、曲線を平行移動により定義される標構バンドルへ持ち上げるため、ω が接ベクトル上で 0 となることを要求することにより、標構バンドル上のアフィン接続を決定する。
標構バンドルは、接合形式(英語版) θ : T(FM) → R も持っていて、ベクトル場 Xξ の点での値のように垂直ベクトル(英語版)が 0 となるという意味で水平である。実際、θ は最初に接ベクトルの M への(標構 f での FM への)射影により、従って、標構 f での M 上の接ベクトルの成分をとることにより、定義される。θ は GL(n)-同変である(ここに、GL(n) は R 上へ行列の積として作用する)。
ペア (θ,ω) は、自明バンドル FM × aff(n) を持つ T(FM) のバンドル同型(英語版)を定義する。ここに、aff(n) は R と gl(n) のデカルト積である(アフィン群のリー代数とみなし、半直積的に作用する、以下を参照)。