絶対収束
絶対収束は無限積の収束性を判定することもできる。
複素数列の級数 ∑ i = 1 ∞ a i {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}} が絶対収束するならば、無限積 ∏ i = 1 ∞ ( 1 + a i ) {\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }(1+a_{i})} も収束する。
‖ A − a n k ‖ = ‖ ∑ i = 1 ∞ y i − a n k ‖ = ‖ ∑ i = 1 ∞ y i − ∑ i = 1 k y i ‖ {\displaystyle \|A-a_{n_{k}}\|=\left\|\sum _{i=1}^{\infty }y_{i}-a_{n_{k}}\right\|=\left\|\sum _{i=1}^{\infty }y_{i}-\sum _{i=1}^{k}y_{i}\right\|}
= ‖ ∑ i = k + 1 ∞ y i ‖ ≤ ∑ i = k + 1 ∞ ‖ y i ‖ < ∑ i = k + 1 ∞ 2 − i = 2 − k → 0 ( k → ∞ ) {\displaystyle =\left\|\sum _{i=k+1}^{\infty }y_{i}\right\|\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }\|y_{i}\|<\sum _{i=k+1}^{\infty }2^{-i}=2^{-k}\to 0(k\to \infty )}
すなわち部分列 ank は A に収束する。an は G 上のコーシー列であったから、anも A に収束する。(証明終り)
収束するが絶対収束しないような級数は条件収束すると言う。このような級数の例として交項調和級数がある。級数の収束判定法の多くのもの、例えばダランベールの収束判定法やコーシーの冪根判定法などは、絶対収束性を判定する。それは、実用的に重要な冪級数が収束円の内部で絶対収束するためである。