差分法
解の誤差とは、真の解析解と近似解との間の差として定義される。有限差分法における誤差の原因は丸め誤差および打ち切り誤差または離散化誤差である。
問題に対する解の近似に有限差分法を用いるためには、まず初めに問題の領域を離散化しなければならない。これは普通は、その領域を一様な格子に分ければよい。これは有限差分法がしばしば「時間刻み」な仕方で微分に対する離散的な数値近似の集合を提供することを意味することに注意。
f ( x i ) = f ( x 0 + i h ) {\displaystyle f(x_{i})=f(x_{0}+ih)} .
一般に注目すべきは局所打ち切り誤差(英語版)で、典型的にはこれを O-記法で表す。局所打ち切り誤差は、各点における誤差について言うもので、真値 f'(xi) と近似値 f'i との差
f ′ ( x i ) − f i ′ {\displaystyle f'(x_{i})-f'_{i}}
である。この誤差の評価には、テイラー展開の剰余項を見るのが簡便である。式 f(x0 + h) に対するテイラー展開のラグランジュ型剰余項
R n ( x 0 + h ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( h ) n + 1 ( x 0 < ξ < x 0 + h ) {\displaystyle R_{n}(x_{0}+h)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(h)^{n+1}\quad (x_{0}<\xi <x_{0}+h)}
から、局所打ち切り誤差の支配項が求められる。