双曲型平衡点
次の非線型系を考える。
d x d t = y , {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=y,}
d y d t = − x − x 3 − α y , α ≠ 0 {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x-x^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0}
この唯一の平衡点は (0, 0) である。そこでの線型化は
J ( 0 , 0 ) = ( 0 1 − 1 − α ) {\displaystyle J(0,0)={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-\alpha \end{pmatrix}}} .
となる。この行列の固有値は − α ± α 2 − 4 2 {\displaystyle {\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}} である。すべての値の α ≠ 0 に対し、これらの固有値は実部がゼロとなることはない。したがって、この平衡点は双曲型平衡点である。この線型化系は、(0, 0) の近くでの非線型系と同様の挙動を示す。α = 0 のとき、この系は (0, 0) において双曲型ではない平衡点を持つ。