零点
U 上で定義された正則函数 f1, f2 が I 上で一致するならば、U の全域で一致する。
このことは、C 内の区間 I 上で定義された函数を、I を含む C 内の連結開集合 U 上で定義された解析函数に延長する方法は高々一つしか許されないことを意味している。
つまり例えば、複素指数函数は、実変数の指数函数の C への唯一の解析的延長である。
函数関係不変の法則: 例えば実数の対 x, y に対して等式 exp(x + y) = exp(x)exp(y) の成立はよく知られているが、解析接続により、x, y は任意の複素数としてこの等式は成り立つ。実際、 y を実数として、C(これも連結開集合)上で定義される二つの正則函数 f1, f2 を f1(z) = exp(z + y) および f2(z) = exp(z)exp(y) と置けば、これら二つは R 上で一致するから、一致の定理により、C 上で一致する。つまり、z を複素数として、任意の実数 y に対し exp(z + y) = exp(z)exp(y) が成り立つ。 z を複素数として、C 上定義される二つの正則函数 f3, f4 を f3(u) = exp(z + u) および f4(u) = exp(z)exp(u) と置けば、(一つ前で見たとおり)これら二つは R 上一致するから、(一致の定理により)C 上で一致する。すなわち、任意の複素数 u および z に対して exp(z + u) = exp(z)exp(u) は成り立つ。