アルティン環
環 R に対し次の二条件は同値である。
(降鎖条件): R の左イデアルからなる任意の降鎖は有限の長さで停止する: I 1 ⊇ I 2 ⊇ ⋯ , ( I k : ideal , k = 1 , 2 , ... ) ⇒ ∃ N such that I N = I N + 1 = ⋯ . {\displaystyle I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \cdots ,(I_{k}{\text{ : ideal}},k=1,2,\dots )\Rightarrow \exists N{\text{ such that }}I_{N}=I_{N+1}=\cdots .}
(極小条件): R の左イデアルからなる空でない任意の族は包含関係に関する極小元を持つ: ∅ ≠ L := { I λ ⊆ R ∣ I λ : ideal , λ ∈ Λ } ⇒ ∃ I ∈ L such that I ⊅ I λ for all λ .