射影直線
数学の特に射影幾何学における射影直線(しゃえいちょくせん、英: projective line)は、俗に言えば通常の直線に無限遠点と呼ばれる補助的な点を付け加えて延長したものである。これにより、初等幾何学における多くの定理の主張や証明が(特別な場合を除く必要が無くなり)簡素な記述になる。例えば、二つの相異なる射影直線は射影平面においてちょうど一点において交わる(「平行」な場合は存在しない)。
射影直線の定式化には同値な多くの方法が存在する。もっとも広く用いられるのは、射影直線を二次元ベクトル空間内の一次元部分線型空間全体の成す集合として定義するものである。これはより一般の射影空間の定義の特別の場合になっている。
q-元からなる有限体 Fq 上の射影直線は q + 1 点からなる。他の全ての側面に関して他の種類の体上の射影直線と何ら変わることはない。例えば、斉次座標 [x : y] を用いれば、このうちの q 点は [a : 1] (a ∈ Fq) の形で得られ、残る無限遠点は [1 : 0] で表される。
有理写像は複素解析における正則函数に対応する役割を果たし、そして実際コンパクトリーマン面(英語版)の場合には両者の概念は一致する。
いま V を一次元とすれば、P(K) の「上に」存在する典型代数曲線 C の描像が得られる。C は非特異と仮定して(これは K(C) から始めて一般性を失わない)、そのような有理写像 C → P(K) が実は至るところ定義されることが証明できる(特異点が存在する場合にはこの限りでない。実際、例えば曲線が自己交叉する二重点を有理写像で写した結果は不定となりうる)。このことが描写する主要な幾何学的特性は分岐である。
例えば超楕円曲線のような、多くの直線が射影直線の分岐被覆として抽象的に表すことができる。リーマン–フルヴィッツの公式によれば、種数は分岐の種類のみに依存する。
有理曲線とは射影直線と双有理同値な曲線を言い(有理多様体を参照)、その種数は 0 である。射影空間 P 内の有理正規曲線(英語版) は、真の部分線型空間内に含まれることのない有理曲線をいう。その射影同値の違いを除いて唯一知られた例は、斉次座標に関して
[1 : t : t : ... : t]
と媒介変数を用いて与えられる。最初の興味深い例は三次撓線(英語版)の項を見よ。