結合多元環
R-加群 A から始めるならば、R-線型環 A は、R-双線型写像 m: A × A → A; (x, y) ↦ xy で、A の任意の x, y, z について
x ( y z ) = ( x y ) z {\displaystyle x(yz)=(xy)z}
を満たすものを持つ R-加群 A として定義される。この R-双線型写像が A に環の構造を与え、R-線型環の構造が入るのである。任意の R-線型環はこの方法で得られる。
さらにこのようにして得られた線型環 A が単型である必要十分な条件は
∃ 1 ∈ A , 1 x = x 1 = x {\displaystyle \exists 1\in A,\;1x=x1=x}
となることである。圏論的に述べれば、この定義は「単型 R-線型環は R-加群全体の成すモノイド圏 R-Mod におけるモノイド対象である」と言うに等しい。
体 K に成分をとる n-次正方行列の全体は、K-上の単型線型環を成す。
複素数の全体 C は、実数体 R 上二次元の単型線型環を成す。
四元数の全体 H は、実数体 R 上の四次元単型線型環を成す(が、複素数体上の線型環にはならない。これは C を H の部分集合と見做したとき、各複素数は任意の四元数と可換とは限らないからである)。
平面上の変換として有用な、実二次正方行列の全体は線型環を成す。
実係数多項式の全体 R[X] は、実数体 R 上の単型線型環を成す。
任意のバナッハ空間 X に対し、連続線型作用素 A: X → X の全体は、(作用素の合成を積として)単型線型環を成す。これはバナッハ線型環である。
任意の位相空間 X に対し、X 上の実(または複素)数値連続函数の全体は、実(または複素)単型線型環を成す。ただし、ここでは函数の和と積は点ごとの演算で入れる。
単型でない線型環の例の一つは、x → ∞ での極限が 0 となるような函数 f: R → R 全体の成す集合によって与えられる。
クリフォード線型環は幾何学および物理学において有用である。
局所有限半順序集合の隣接代数は、組合せ論で用いられる単型線型環である。
任意の環 A を一意的な仕方で Z-線型環と見做すことができる。事実、1 を A の単位元へ写すということから環準同型 Z → A が一意的に定まる。従って、環の概念と Z-線型環の概念とは同一の概念を定める(これは任意のアーベル群と Z-加群とが同一の概念であることと同様である)。