平坦加群
射影加群は平坦である。特に自由加群も平坦である。
(推移性) B が平坦 A 代数で、M が平坦 B 加群ならば、M は A 加群としても平坦である。
(係数拡大) A 加群 M が平坦ならば、任意の A 代数 B に対し、B 加群 M ⊗A B も平坦である。
AS を環 A の積閉集合 S による局所化とすると、AS は A 上平坦である。
(局所性)上より、A の任意の素イデアル p に対し、Mp = M ⊗A Ap は平坦な Ap 加群となる。逆に、任意の p に対し Mp が Ap 上平坦ならば、M は A 上平坦である。
I を A の自明でないイデアルとすると、A/I が AS の形に書ける場合を除き、A 加群 A/I は平坦でない。
A 加群 M が平坦であることと、任意の A 加群 N に対し TorA1 (M, N) = 0 となることとは同値である。
M は平坦な A 加群であるとすると、次に述べる条件は同値である。これらの条件を満たすとき M は忠実平坦な A 加群であるという。
A の任意の極大イデアル m に対し、M ≠ mM が成り立つ。
0 → M ⊗A N1 → M ⊗A N2 → M ⊗A N3 → 0 が完全ならば、0 → N1 → N2 → N3 → 0 も完全である。
0 でない任意の A 加群 N に対し、M ⊗A N ≠ 0 が成り立つ。
A 代数 B に関しても同様に忠実平坦性を定義する。この場合は次も同値である。
A の任意の素イデアル p に対し、A ∩ q = p なる B の素イデアル q が存在する。