豊穣圏
すなわち、射に関して演算もしくは性質が定められ、それらが射の合成によって保たれる。例えば2-圏(英語版)において(一次元の)射の間に二次元の射 (2-cell) が存在して水平合成ができるし、あるいはアーベル圏において射には加法が定義される。
圏に類似な対象で、それ自身は個々の射の概念を全く持たないが、射対象は圏同様の合成と見なせる性質を持つもの。例えば、前順序集合(英語版)は合成則を推移律によって保障されるし、ローヴェアの距離空間は射対象が数値的な距離でありその合成則は三角不等式により与えられる。
射対象全体の成す圏が集合の圏に通常のデカルト積を備えたモノイド圏となっているときを考えれば、その場合の豊饒圏、豊穣函手などは、通常の圏論における通常の定義に基づく、圏、函手などに帰着される。
モノイド圏 M に射対象を持つ豊饒圏を M 上の豊饒圏 (enriched category over M) や M における豊饒圏 (enriched category in M) あるいは M で豊饒化された圏 (category enriched by M) や簡単に M-豊饒圏 (M-enriched category) もしくはもっと簡単に M-圏 (M-category) などと呼ぶ。マクレーンはモノイド圏を表すのに文字 V を使っていたから、豊饒圏のことも一般に V-圏と呼ぶこともある。
この場合、上にあげた「一つ目の図式」において C(a, d) へ至る各経路が、三連続する個々の射 a → b → c → d(各々 C(a, b), C(b, c) および C(c, d) からとった元である)の二種類ある合成の仕方の各々に対応し、図式の可換性がその二種類の合成順によって結合の結果が変わらないこと(という通常の圏でまさに要求される条件)を主張するものになっている。
このように図式にして考えることの何が新しいのかといえば、結合律を課すことを豊饒圏 C の個別の射を陽に出すことなく言い表しているという点である。射圏 M における射に関するこれらの図式(C 内の図式ではない)は、合成の結合性の概念を一般の場合にも意味を為すようにするために存在する(一般の場合には、射対象 C(a, b) は抽象的に与えられ(集合のように「元を持つ」とは限らないから)、豊饒圏 C 自身は個々の射の概念を持つ必要さえ一切ないのである)。
さて通常の圏が恒等射を持つという概念は、「単位律」を表す左および右単位子(英語版) λ, ρ に関する二番目と三番目の図式