三次元球面
いま、貼り合わせる赤道球面での「温度」が零度であるものとし、一方の三次元球体は「高温」、他方は「低温」の球体と思う。高温のほうを「上半球面」、低温のほうを「下半球面」とする三次元球面が得られており、各三次元球体の中心で最高温度/最低温度をとるものとすれば、それら中心がそれぞれ三次元球面の北極/南極になる。
この構成は、(一つ次元を落とした対応物としての)二次元球面の構成を考えると見通しが立つかもしれない。すなわち、二枚の円板(二次元球体)を境界となる円周(一次元球面)で張り合わせることを考える。二つの円板は直径を同じにしておき、二つの円板を重ね合わせて、境界上の点を貼り合わせる。ここで第三の座標として同様に温度を考えてもよいが、いまは空間座標がもう一つあるから、第三の方向へ膨らませれば、それぞれの円板を北半球と南半球とし貼り合わせた円周が赤道となる二次元球面の姿を見るのは容易であろう。
半径 r が 1 のとき、別の超球面座標系 (η, ξ1, ξ2) が、S の C への埋め込みを用いて以下のように与えられる。複素座標 (z1, z2) ∈ C をいま
の形に取る。これはまた R の点として
と書くこともできる。ここに η は 0 から π/2 の範囲を動き、また ξ1 および ξ2 は 0 と 2π の間の任意の値をとることができる。これらの座標系は、三次元球面をホップ束(英語版) S 1 → S 3 → S 2 {\textstyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}} として記述するのに有用である。
η を 0 と π/2 の間の任意の値で止めて考えるとき、座標 (ξ1, ξ2) は二次元トーラスをパラメタ付ける。ξ1 および ξ2 の各々を一定とすることで描かれる円形の軌跡は、トーラス上の直交格子を描く(図を参照)。退化する場合(η が 0 または π/2 のとき)これらの座標は円周を描く。
この座標系のもとで三次元球面上の球面距離は
で、また体積要素は
で、それぞれ与えられる。 ホップファイブレーション(英語版)での間を埋める円周たち (interlocking circles) を得るには、上記の方程式を単純に
と置きかえればよい。
この場合 η, ξ1 がどの円かを特定し、ξ2 が各円に沿った位置を特定する。ξ1 または ξ2 の何れかについてぐるりと一周 (0 から 2π まで) すれば、トーラスの両の軸となる全円が描かれる。
半径 r の三次元球面の三次元(超)表面積は
で与えられ、同球面の囲む四次元(超)体積は
で与えられる。
三次元球面が三次元超平面との交わりを持てば、その交わりは二次元球面である(ただし、超平面が超球面に接するときには一点になる)。三次元球面が与えられた一つの超平面を通り抜ける様子は、それらの交わりが一点から始まって次第に大きくなり、極大に達するのは超平面がちょうど三次元球面の「赤道」を切り取る位置に来るときで、その後ふたたび交わりである二次元球面は次第に小さくなり一点となったところで三次元球面は超平面を離れる、というふうに観察できる。