等比数列
等比数列(とうひすうれつ)または幾何数列(きかすうれつ、英: geometric progression, geometric sequence)は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比(こうひ、英: common ratio)という。
例えば初項が 4, 公比が 3 の等比数列の最初の数項を列挙すると 4, 12, 36, 108, ... となる。ある数列について、隣り合う項の比(この場合、12/4, 36/12, 108/36, ...)が常に等しいならその数列は等比数列である。
等比数列 {an} について、(定義より公比は 0 でないため)公比 r は任意の n 番目の項とその次の項の比 r = an+1/an から得られる(特に r = 1 の場合は公差が 0 の等差数列でもある)。等比数列の各項は初項 a と公比 r を用いて具体的に以下のように表せる。
a , a r , a r 2 , ... , a r n , ... . {\displaystyle a,\,ar,\,ar^{2},\,\dots ,\,ar^{n},\,\dots \,.}
a0 を初項とすれば、n 番目の項 an は以下のように表せる。
a n = a r n . {\displaystyle a_{n}=ar^{n}.}
これが等比数列の一般項である。
∑ k = 0 ∞ a r k := lim n → ∞ ∑ k = 0 n a r k = a lim n → ∞ 1 − r n + 1 1 − r = | r | < 1 a 1 − r {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}&:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}ar^{k}\\&=a\lim _{n\to \infty }{\frac {\;1-r^{n+1}}{1-r\;}}\\&{\overset {|r|<1}{=}}{\frac {a}{1-r}}\end{aligned}}}
例えば公比 1/2 で初項が 1 の等比級数は 2 に収束する:
∑ k = 0 ∞ ( 1 2 ) k = 1 1 − 1 2 = 2 . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\tfrac {1}{2}}}}=2\,.}