平方剰余の相互法則
( a b p ) = ( a p ) ( b p ) {\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)}
が成立する。一般に素数 p に対して Zp = {1, 2, ..., p − 1} は p を法とする乗法に関して群をなすが、この式はルジャンドル記号が Zp から{−1, 1} への群準同型を与えることを示している。この写像の核は位数 (p − 1)/2 の部分群であり、Zp の元のちょうど半分が平方剰余、残り半分が平方非剰余となる。
この法則は、レオンハルト・オイラーによって予想され、カール・フリードリッヒ・ガウスによって証明された(ガウス日誌によれば、1796年4月8日。発表されたのは1801年の『整数論』において)。ガウスはこの法則に対して生涯で7つ(または8つ)の異なる証明を与えた。その一つの動機は、三次や四次の相互法則を証明することにあった。現在では240以上もの証明が知られている。
三次や四次の相互法則は、ヤコビ、アイゼンシュタインによって独立に証明された(1844年にアイゼンシュタインが証明を公表)。より高次のまた一般的な代数的整数における一般的な相互法則の証明は(ヒルベルトの第9問題)、高木貞治やエミール・アルティンによってなされた。(アルティン相互法則を参照)