主イデアルに関する昇鎖条件
局所化 SA が UFD であれば、A も UFD である。(Nagata & 1975, Lemma 2.1) (これの逆は自明であることを注意しよう。)
整域 A が (ACCP) を満たすことと多項式環 A[t] が (ACCP) を満たすことは同値である。A が整域でないとき類似の主張は誤りである。
すべての有限生成イデアルが主であるような整域(すなわちベズー整域)が (ACCP) を満たすこととそれが主イデアル整域であることは同値である。
定数項が整数であるすべての有理係数多項式からなる環 Z+XQ[X] は (ACCP) を満たさない整域(実は GCD 整域)の例である、というのも主イデアルの鎖
( X ) ⊂ ( X / 2 ) ⊂ ( X / 4 ) ⊂ ( X / 8 ) , . . . {\displaystyle (X)\subset (X/2)\subset (X/4)\subset (X/8),...}
は無限に続くからである。