超越数
∑ k = 1 ∞ 1 F 2 k = 5 − 5 2 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}} 。(西岡、トッファー (T. Töpher) )
リウヴィルは、1844年に超越数の最初の例を与えた(リウヴィル数)。さらに1873年にシャルル・エルミートによって、自然対数の底 e が超越数であることが証明された。
カントールは1874年に、実数全体の集合が非可算集合である一方で代数的数全体の集合が可算集合であることを示すことにより、ほとんどの実数や複素数は超越数であることを示した。
その後、リンデマンは、1882年に円周率 π が超越数であることを証明した。これによって古代ギリシア数学以来の難問であった円積問題が否定的に解かれた。また、彼は、任意の0でない代数的数 a に対する e が超越数であることも証明した(リンデマンの定理)。
ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題を提出したが、そのうちの 7番目の問題「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、a は超越数であるか」は、1934-1935年にゲルフォントとシュナイダーによって肯定的に解決された(ゲルフォント=シュナイダーの定理)。
1968年ベイカーは、ゲルフォント=シュナイダーの定理を含む、代数的数の1次形式の超越性および、1次形式の値が計算可能な下限で与えられることを証明した(ベイカーの定理を参照)。特に後者の結果は、ディオファントス方程式の整数解の上限を求めるための基本的な定理として重要なものである。
1996年、ネステレンコにより、長い間懸案であった、π と、e(ゲルフォントの定数)の代数的独立性が証明された。