射影法
つまり
( 1 ) u ∗ − u n Δ t = − ( u ⋅ ∇ ) u + ν ∇ 2 u ( 2 ) u n + 1 − u ∗ Δ t = − 1 ρ ∇ p {\displaystyle {\begin{aligned}(1)\qquad &{\frac {\mathbf {u} ^{*}-\mathbf {u} ^{n}}{\Delta t}}=-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} \\(2)\qquad &{\frac {\mathbf {u} ^{n+1}-\mathbf {u} ^{*}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p\end{aligned}}}
となるような仮の流速 u ∗ {\displaystyle \mathbf {u} ^{*}} を考える。ここで上付きの n {\displaystyle n} は、時刻を表す。
すると、まず第一段階として、圧力勾配項を無視した(1)式により
u ∗ = u n + Δ t { − ( u ⋅ ∇ ) u 2 + ν ∇ 2 u 2 } {\displaystyle \mathbf {u} ^{*}=\mathbf {u} ^{n}+\Delta t\left\{-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} ^{2}+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} ^{2}\right\}}