三角関数
sin  ( − θ ) = − sin  θ cos  ( − θ ) = cos  θ tan  ( − θ ) = − tan  θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \end{aligned}}}
三角関数の微積分は、以下の表のとおりである。ただし、これらの結果には様々な(一見同じには見えない)表示が存在し、この表における表示はいくつかの例であることに注意されたい。
なお、以下の表の C は積分定数、ln(·) は自然対数である。

ただし、gdx はグーデルマン関数の逆関数である。(gdx = ln|sec x + tan x|)
三角関数の微分では、次の極限
lim h → 0 sin  h h = 1 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}=1}
の成立が基本的である。このとき、sinx の導関数が cosx であることは加法定理から従う(が、後述のようにこれは循環論法であると指摘される)。さらに余角公式 cosx = sin (π/2 − x) から cosx の導関数は −sinx である。すなわち、sinx は微分方程式 y''(x) + y(x) = 0 の特殊解である。また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。
また、この無限級数の収束半径は無限大である(すなわち任意の実数や複素数で収束する))。この定義に基づいて
lim x → 0 sin x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin \,x}{x}}=1}
を示すことができる。
しかしながら、このように定義された三角関数が、本来持つべき幾何学的な性質を有しているかどうかは全く明らかなことではない。これを確かめるためには、三角関数の諸公式(周期性やピタゴラスの基本三角関数公式等)を証明し、また円周率は、余弦関数の正の最小の零点(つまり、cosx = 0 となる正の最小の値)の存在を示し、その 2 倍と定義する。すると、 x ↦ ( cos  x , sin  x ) {\displaystyle x\mapsto (\cos x,\sin x)} が区間 [0, 2π) から単位円周への(「反時計まわりの」)全単射であることを示すことができる。(連続微分可能な)曲線の長さを積分によって定義すれば、単位円周の長さが 2π であることなどがわかり、上のように定義された三角関数や円周率は、初等幾何での三角関数や円周率の素朴な定義と同じものであることが分かった 。