行列式
行列式の1つの行(または列)の各要素に一定の数cをかけた行列式の値は、もとの行列式の値のc倍になる。
X を実2次正方行列
X = [ a b c d ] {\displaystyle X={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
とするとき、これは
[ x y ] ↦ [ a x + b y c x + d y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}}}
という平面上の線型変換を定めている。一方で、2つの平面ベクトル u = (u0, u1), v = (v0, v1) に対して、これらが張る平行四辺形の「向きも込めた」面積は
A ( u , v ) = u 0 v 1 − u 1 v 0 {\displaystyle A(u,v)=u_{0}v_{1}-u_{1}v_{0}}
により指定されると考えることができる。このとき A(Xu, Xv) = (ad − bc)A(u, v) が成り立っているが、これは X の定める線型変換によって平面内の図形の面積が (ad − bc)-倍される、と解釈できる。