円周群
Hom  ( T , T ) ≅ Z . {\displaystyle \operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .}
円周群の既約実表現は自明表現(これは一次元)と、回転
ρ n ( e i θ ) = ( cos  n θ − sin  n θ sin  n θ cos  n θ ) ∈ S O ( 2 ) ( n ∈ Z + ) {\displaystyle \rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{pmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{pmatrix}}\in SO(2)\quad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}
で尽くされる。ここで、n を正整数としているのは、ρ−n は ρn と同値だからである。