対角化
次の 2 次実正方行列 A は固有値 a − bi と a + bi をもち、たとえば以下の正則行列 P で対角化される。
A = [ a − b b a ] , P = [ i 1 − i 1 ] , P − 1 A P = [ a − b i a + b i ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},\quad P={\begin{bmatrix}i&1\\-i&1\end{bmatrix}},\quad P^{-1}AP={\begin{bmatrix}a-bi&\\&a+bi\end{bmatrix}}}
一方、次の行列 B は対角化可能ではない。
B = [ λ 1 λ ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}\lambda &1\\&\lambda \end{bmatrix}}}
3次正方行列について、具体的な数値で計算を行ってみる。
次の行列は対角化可能かどうか判断し、可能な場合は対角化せよ:
A = [ 1 2 0 0 3 0 2 − 4 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{bmatrix}}}
固有値と固有ベクトルを計算すると、
λ 1 = 3 , λ 2 = 2 , λ 3 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1}