双有理幾何学
各々の双有理同値類の中に一意に最も小さい代数多様体を見つけることは可能か? 現代の定義は、射影的多様体 X が極小とは、標準ラインバンドル KX が X のすべての曲線で非負な次数を持つことである。言い換えると、KX はネフ(数値的正という意味だが、通常使用しているので、本文ではネフという用語を使用する。)である。ブローアップした多様体が決して極小ではありえないことは、容易にチェックできる。
この考え方は、代数曲線(次元が 2 の多様体)に対しては完全に成り立つ。現代のことばでは、1890年から1910年までの代数幾何学のイタリア学派(英語版)の一つの中心的な結果は、曲面の分類の一部とあわせ、すべての曲面 X は、ある曲線 C が存在して積 P × C か、もしくは極小曲面 Y のどちらかに双有理同値である。 2つの場合は互いに排他的であり、Y は存在するとしたら一意である。Y が存在すると、X の極小モデルと呼ばれる。