測地線
d d t ( ∂ F ∂ x ̇ a ) − ∂ F ∂ x a = d d t ( g a i x ̇ i d s d t ) − 1 2 ∂ g i j ∂ x a x ̇ i x ̇ j d s d t = g a i x ̈ i s ̇ + ∂ g a i ∂ x j x ̇ i x ̇ j s ̇ − g a i x ̇ i s ̈ ( s ̇ ) 2 − 1 2 ∂ g i j ∂ x a x ̇ i x ̇ j s ̇ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}^{a}}}\right)-{\frac {\partial F}{\partial x^{a}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {g_{ai}{\dot {x}}^{i}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}\right)-{\frac {1}{2}}{\frac {{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{a}}}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}={\frac {g_{ai}{\ddot {x}}^{i}}{\dot {s}}}+{\frac {{\frac {\partial g_{ai}}{\partial x^{j}}}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}{\dot {s}}}-{\frac {g_{ai}{\dot {x}}^{i}{\ddot {s}}}{\left({\dot {s}}\right)^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{a}}}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}{\dot {s}}}=0}
微分幾何学において測地線(そくちせん、英: geodesic)とは、曲面(より一般的にはリーマン多様体)上の曲線であって、その上の十分近い2つの離れた点が最短線で結ばれた曲線を言う。ユークリッド空間における直線の概念を、曲がった空間において一般化したものである。「測地線」という用語は、地球の大きさと形状を測定する学問である測地学に由来する。本来の意味では、測地線は地表の2点間の最短ルートであり、球体形状の地球の場合、大円の一部となる。測地線の中でその長さが最小のものは最短測地線という。
リーマン空間において、ある曲線が曲面上の測地線となるための必要十分条件は、曲線の主法線と曲面の接平面の法線とが曲線に沿って常に一致することである。
この概念は、数学的な空間にも拡張され、例えばグラフ理論ではグラフ上の2つの頂点 (vertex) や結節点 (node) 間の測地線が定義されている。一般相対性理論では、光は曲がった空間での測地線を進むという原理に基づいて構築されている。