天体力学
太陽系惑星の軌道が長期的に安定して保たれるかという太陽系の安定性(英語版)の問題はアイザック・ニュートン以来研究されてきた。ニュートンは太陽系は不安定であると考えていた。
ラグランジュらによる摂動論の研究を経て、ラプラスは1776年に永年摂動の1次の範囲では惑星の軌道長半径は時間変化せず安定であることを示した。シメオン・ドニ・ポアソンはラプラスの結果を拡張し、1808年に2次摂動の範囲でも軌道長半径は永年不変量であることを示した。しかしユルバン・ルヴェリエは1840年から41年にかけて、長期間の軌道進化では高次の摂動が重要であり、摂動の低次の項だけに基づくラプラスらによる安定性の証明は信頼できないと指摘した(同時に小分母の問題にも言及している)。アンリ・ポアンカレはルヴェリエの問題提起を受けて、1880年代に惑星系の軌道は解析的な解の表示が存在しないこと(ポアンカレの定理)、そして問題の摂動級数は一般に発散することを証明した。
により定義され、 ( l , L ) {\displaystyle (l,L)} , ( g , G ) {\displaystyle (g,G)} , ( h , H ) {\displaystyle (h,H)} が正準共役な組となっている。このときハミルトニアンは
F = − μ 2 2 L 2 {\displaystyle F=-{\frac {\mu ^{2}}{2L^{2}}}}
により与えられる。なおこれらの変数はケプラー問題の作用・角変数と関係している。
正準形式の摂動論は摂動後のハミルトニアンから角変数を消去するような正準変換を構築することによって実現される。このような正準変換を施すと、変換後の作用変数が時間変化しなくなり、問題を自明に解くことができる。このような変換は摂動の任意の次数まで続けることができるものの、この摂動級数は収束せず、級数を途中で打ち切る必要がある(この事情は定数変化法により得られる摂動級数でも同じである)。
E − e sin  E = M {\displaystyle E-e\sin E=M}
によって結ばれる。平均黄経 λ {\displaystyle \lambda } は
λ = M + Ω + ω = M + π {\displaystyle \lambda =M+\Omega +\omega =M+\varpi }
により定義される。これらの角 f {\displaystyle f} , E {\displaystyle E} , M {\displaystyle M} , λ {\displaystyle \lambda } は時間的に変化する量であるが、近点通過時刻 t 0 {\displaystyle t_{0}} または元期 (英: epoch) での平均黄経 ε {\displaystyle \epsilon } を与えればどの角も現在時刻 t {\displaystyle t} から計算できるため、例えば近点通過時刻 t 0 {\displaystyle t_{0}} を軌道要素として用いれば十分である。軌道要素の組 { a , e , i , t 0 , ω , Ω } {\displaystyle \{a,e,i,t_{0},\omega ,\Omega \}} はケプラーの軌道要素または軌道6要素と呼ばれ、これによって天体の運動状態を完全に特定できる(異なる軌道要素の組を用いる場合もある)。
具体的な太陽系惑星の軌道要素の値は#太陽系惑星の軌道要素節および#月の軌道要素節を参照。
ティティウス・ボーデの法則は1766年にヨハン・ティティウス (1729-1796) によって発見され、1772年にヨハン・ボーデ (1747-1826) によって紹介されたことで知られるようになった。これは、太陽系惑星の軌道長半径が簡単な数列
a n = 0.4 + 0.3 × 2 n A U ( n = − ∞ , 0 , 1 , 2 , 4 , 5 ) {\displaystyle a_{n}=0.4+0.3\times 2^{n}\,\mathrm {AU} \ \ (n=-\infty ,0,1,2,4,5)}
により与えらえるというものである。1781年のウィリアム・ハーシェル (1738-1822) による天王星の発見が n = 6 {\displaystyle n=6} の予測に一致したため、この法則は一層興味を集めるようになった。
1801年1月にジュゼッペ・ピアッツィ (1746-1826) は n = 3 {\displaystyle n=3} に対応するケレスを発見し(これは最初の小惑星の発見であった)2月上旬まで観測を続けたものの、見失った。
離心率 e {\displaystyle e} や軌道傾斜角 i {\displaystyle i} が小さいときの摂動関数 R {\displaystyle R} の展開は literal expansion として知られる。これは摂動関数を角度座標(平均近点離角 M {\displaystyle M} や近点黄経 λ {\displaystyle \lambda } など)の三角関数の和に分解するものであり、具体的な計算方法がラグランジュ、ラプラス、ルヴェリエ、ニューカムら多くの人の手によって研究されてきた。例えば中心天体のまわりを公転する2天体について考えるとき、その一方の摂動関数は
R = ∑ C ( a , e , I , a ′ , e ′ , I ′ ) cos  θ {\displaystyle R=\sum C(a,e,I,a',e',I')\cos \theta }