広義の記数法
この節では、底が一定で冗長でない記数法について説明する。
書き方は位取り記数法と同じく、底が K であれば、数
⋯ + c 2 K 2 + c 1 K 1 + c 0 K 0 + c − 1 K − 1 + c − 2 K − 2 + ⋯ {\displaystyle \cdots +c_{2}K^{2}+c_{1}K^{1}+c_{0}K^{0}+c_{-1}K^{-1}+c_{-2}K^{-2}+\cdots }
を
⋯ c 2 c 1 c 0 c − 1 c − 2 ⋯ {\displaystyle \cdots c_{2}c_{1}c_{0}c_{-1}c_{-2}\cdots }
のように仮数を書き並べることで表記できる。この記法では、n を自然数とすると
10 n = 1 0 ⋯ 0 ⏞ n {\displaystyle 10^{n}=1\overbrace {0\cdots 0} ^{n}}
が成り立つ。一般的に位取り記数法と呼ばれるものは、0 から N − 1 までの N 個の整数を仮数にもつ底が N の表記法のことである。これは任意の 0 以上の実数を無限に近似できるが、その他の数を表記するには演算子が必要となる。
中には底が自然数でないものも考えられている。コンピュータでは二進法を用いている場合がほとんどだが、符号の扱いが難しい。そこで、底を −2 とした記法が考えられた。この方法では、0 と 1 を用いてすべての整数を表すことが出来る。その他に複素数を表記するため、−1 + i を底としたものも考えられている(i は虚数単位)。これらはドナルド・クヌースにより考案されたが、演算が複雑なため実際に用いられることは稀である。
i は虚数単位とする。仮数が n 通りであれば、底の絶対値は n {\displaystyle {\sqrt {n}}} となる。
任意の複素数を表記できるものとして、次の例が考えられる。
注釈
↑ 実数を表記した場合、マイナス二進法と同じ表記となる。
↑ 実数を表記した場合、平衡三進法と同じ表記となる。