二階導関数
微分積分学において、函数 f の二階導函数(にかいどうかんすう、英語: second derivative)とは、f の導函数の導函数のことを指す。大雑把に言えば、ある量の変化率そのものがどのように変化しているかを測定するのが二階導函数である。たとえば、物体の位置を時間に対して二階微分すると、物体の瞬間加速度、つまり物体の速度が時間に対してどのように変化しているかがわかる。ライプニッツの記法では、a を加速度、v を速度、t を時間、x を位置、d を瞬時の「デルタ」または変化量として
a = d v d t = d 2 x d t 2 {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}}
と表される。最後の式 d 2 x d t 2 {\displaystyle {\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}} は、位置(x)の時間に対する二階導函数である。
グラフにおいて、二階導函数はグラフの曲率や凹凸に対応する。二階導函数が正となる函数のグラフは下に凸となり、二階導函数が負となる函数のグラフは反対側に湾曲する。
函数 f の二階導函数を使うことで f の凹凸を調べることができる。二階導函数が正の函数は、下に凸(凸ともいう)であり、接線は函数のグラフの下に位置することになる。同様に、二階導函数が負の函数は上に凸(凹ともいう)であり、その接線は函数のグラフより上に位置することになる。
函数 f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} に対し、函数 f の導函数は
f ′ ( x ) = 3 x 2 {\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}}
であり、二階導函数( f ′ {\displaystyle f^{\prime }} の導函数)は
f ′ ′ ( x ) = 6 x . {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=6x.}
である。
この式において、 d u {\displaystyle du} は u {\displaystyle u} に適用する微分作用素、すなわち d ( u ) {\displaystyle d(u)} を、 d 2 u {\displaystyle d^{2}u} は微分作用素を2回適用すること、すなわち d ( d ( u ) ) {\displaystyle d(d(u))} を、 d u 2 {\displaystyle du^{2}} は u {\displaystyle u} に適用する微分作用素の2乗、すなわち ( d ( u ) ) 2 {\displaystyle (d(u))^{2}} を表している。
(上記の記法の意味を考慮して)このように表記すると、二階導函数の項は他の代数的な項と同じように自由に操作することができる。例えば、二階導函数の逆函数の公式は、二階導函数の連鎖律と同様に上の式の代数的操作から導くことができる。なお、このような記法の変更が十分に有用であるかどうかについては、未だに議論の余地がある。