優秀環
体 k {\displaystyle k} を含む環 R {\displaystyle R} が k {\displaystyle k} 上幾何学的に正則(英語版)とは、 k {\displaystyle k} の任意の有限次拡大 K {\displaystyle K} に対して環 R ⊗ k K {\displaystyle R\otimes _{k}K} が正則であることをいう。
環の準同型 R → S {\displaystyle R\to S} が正則であるとは、平坦かつ全ての p ∈ Spec ( R ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(R)} に対してファイバー S ⊗ R κ ( p ) {\displaystyle S\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {p}})} が p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} の剰余体 κ ( p ) {\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})} 上幾何学的に正則であることをいう。
以下の例に示されるように、数論や代数幾何学に自然に現れるほとんどの可換環は優秀である。
全ての完備ネーター局所環は優秀。体や p 進整数の環 Zp など。
全ての標数0のデデキント環は優秀。特に、整数環 Z は優秀である。標数が0より大きい体上のデデキント環は優秀とは限らない。
実数体 R や複素数体 C 上の有限個変数の収束冪級数の環は優秀。
優秀環の局所化は優秀。
優秀環上有限生成な環は優秀。したがって優秀環 R {\displaystyle R} 上多項式で生成される環 R [ x 1 , ... , x n ] / ( f 1 , ... , f k ) {\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{k})} は優秀である。これは代数幾何学で考察の対象になるほとんどの環は優秀であることを意味する。