ヘルダー条件
‖ f ‖ C k , α = ‖ f ‖ C k + max | β | = k | D β f | C 0 , α {\displaystyle \|f\|_{C^{k,\alpha }}=\|f\|_{C^{k}}+\max _{|\beta |=k}\left|D^{\beta }f\right|_{C^{0,\alpha }}}
ここで β は多重指数について変化し、
‖ f ‖ C k = max | β | ≤ k sup x ∈ Ω | D β f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\max _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }\left|D^{\beta }f(x)\right|}
である。これらのノルムと半ノルムは単純に | f | 0 , α {\displaystyle |f|_{0,\alpha }} と ‖ f ‖ k , α {\displaystyle \|f\|_{k,\alpha }} 、あるいは f の定義域への依存性を強調するために | f | 0 , α , Ω {\displaystyle |f|_{0,\alpha ,\Omega }\;} と ‖ f ‖ k , α , Ω {\displaystyle \|f\|_{k,\alpha ,\Omega }} のように表記される。Ω が開かつ有界であるなら、 C k , α ( Ω ̄ ) {\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})} はノルム ‖ ⋅ ‖ C k , α {\displaystyle \|\cdot \|_{C^{k,\alpha }}} に関してバナッハ空間となる。