カップ積
コホモロジーのカップ積は恒等式
α p ⌣ β q = ( − 1 ) p q ( β q ⌣ α p ) {\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})}
を満たすので対応する積は次数付き可換(英語版) (graded-commutative) である。
カップ積は次の意味で関手的である。
f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y}
が連続写像であり、
f ∗ : H ∗ ( Y ) → H ∗ ( X ) {\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)}
がコホモロジーに誘導された準同型であれば、
f ∗ ( α ⌣ β ) = f ∗ ( α ) ⌣ f ∗ ( β ) , {\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),}
が全ての類 α, β ∈ H (Y) に対して成り立つ。言い換えると、f は(次数付き)環準同型である。