ロトカ・ヴォルテラの競争方程式
名称については、競争方程式以外に、競争式や競争系、競争モデルなどとも呼ばれる。表記揺れとしてヴォルテラではなくボルテラとも記される。他にロトカとヴォルテラの名を冠した生物の個体数のモデルとして、ロトカ・ヴォルテラの方程式がある。こちらは競争関係ではなく捕食・被食関係にある2種の個体数変動を表すモデルである。ただし、本記事で説明してきた競争関係を表すモデル(方程式)についても単に「ロトカ・ヴォルテラの方程式」と呼ぶことも多い。
ロトカ・ヴォルテラの競争方程式はアメリカの数学者アルフレッド・ロトカとイタリアの数学者ヴィト・ヴォルテラに由来する。方程式の初出として、ロトカの1925年の著作、ヴォルテラの1926年あるいは1931年の論文・著作がしばし引用される。一方で、科学技術史研究者のシャロン・キングスランドは、ロトカは捕食・被食モデルの方には重点的に取り組んでいたものの、競争モデルへの関心は比較的薄く、競争モデル自体の論文を提出したのは1932年の1つだけであることを指摘している。それに対してヴォルテラは競争モデルに積極的に取り組み、ゲオルギー・ガウゼはヴォルテラの結論を前述のように実験的に検証した。そのためキングスランドは、ジョージ・イヴリン・ハッチンソンが呼んでいたように、Volterra-Gause equations(ヴォルテラ・ガウゼの方程式)と呼ぶ方がより正確だろうと述べている。
この点を含め、2種の個体数の時間変化を表したモデルがロトカ・ヴォルテラの競争方程式である。
ロジスティック方程式では、自らの個体数増加による個体数増加率への抑制効果を (1 − N/K) で表していた。同じように、他方の種の個体数が多いほど、一方の種の個体数増加率は抑制されると考えられる。そのため2種の場合は、種1に対する抑制の効果を (1 − N1 + α12 N2/K1) で表すことが考えられる。ここで、N1, N2 は種1と2のそれぞれの個体数である。α12 が種2の個体数が種1の個体数増加率に与える影響の大きさを与える正の定数である。このようなモデリングによって、種1と種2についてのロトカ・ヴォルテラの競争方程式は、以下のような2変数の連立常微分方程式で表される。
d N 1 d t = r 1 N 1 ( 1 − N 1 + α 12 N 2 K 1 ) , d N 2 d t = r 2 N 2 ( 1 − N 2 + α 21 N 1 K 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN_{1}}{dt}}&=r_{1}N_{1}\left({1-{\frac {N_{1}+\alpha _{12}N_{2}}{K_{1}}}}\right),\\{\frac {dN_{2}}{dt}}&=r_{2}N_{2}\left({1-{\frac {N_{2}+\alpha _{21}N_{1}}{K_{2}}}}\right).\end{aligned}}}