ワームホール
表記中に変数 r {\displaystyle r} を復活させ、さらに d z 2 = d l 2 − d r 2 {\displaystyle dz^{2}=dl^{2}-dr^{2}} で定義される z {\displaystyle z} 座標を導入すると、ワームホール計量はさらに単純な以下の表現にまとまる。
d s 2 = d z 2 + d r 2 + r 2 d φ 2 . {\displaystyle ds^{2}=dz^{2}+dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}.\,}
これは円筒座標系の計量である。ここで z {\displaystyle z} 座標はワームホールで結ばれた2つの宇宙の間の距離を定義する超空間座標であり、落下質点の存在する宇宙の外を記述している。この計量を用いて図示された宇宙形状が"概念図"に示されるような有名な虫食い穴状の時空である。この図において宇宙に相当するのはトンネル状の平面上であり、筒の中は宇宙の外の超空間であって落下粒子が立ち入ることはない。
この時空図において z {\displaystyle z} 軸はトンネル形状の中心軸として存在しており、この中心軸から時空面までの超空間的な距離が r {\displaystyle r} 座標として記述される。上下の宇宙の接続点であるトンネルの中央にあたる円が r = k {\displaystyle r=k} の球面(地平面)に相当する。そして l {\displaystyle l} はその円からの時空面上での距離を記述することになる。
通過可能なワームホールの一例を示す。
d s 2 = − e 2 Φ ( r ) c 2 d t 2 + d r 2 1 − b ( r ) / r + r 2 ( d θ 2 + sin 2  θ d φ 2 ) . {\displaystyle ds^{2}=-e^{2\Phi (r)}c^{2}dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-b(r)/r}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}).\,}
この式において Φ ( r ) {\displaystyle \Phi (r)} は重力赤方偏移の尺度を、 b ( r ) {\displaystyle b(r)} はワームホールの3次元形状を定義する。
この式を単純化するために特殊な場合として重力赤方偏移のない球状のワームホールを仮定し、 Φ ( r ) = 0 , b ( r ) = k 2 / r {\displaystyle \Phi (r)=0,b(r)=k^{2}/r} とする。さらに新たな空間座標の尺度として l = ± r 2 − k 2 {\displaystyle l=\pm {\sqrt {r^{2}-k^{2}}}} なる l {\displaystyle l} を導入し、変数変換を行う。
その結果、ワームホールを記述する計量は以下のような単純な表現に書き換えられる。
ほかにも、通行可能なワームホールは誕生した段階で進行方向に対して地平面も反地平面も持たず、特異点も持たないような時空構造を持つ必要があり、したがってブラックホールやホワイトホールを単純に連結した時空とは本質的に異なるものである。また人間が利用することを考える場合は、トンネルの内側は潮汐力が十分小さく通過に必要となる時間がトンネルの外を直接目的地に向かうよりも十分短くなるような時空構造になっていることが望ましいとする思考実験もある。
しかし、これらはブラックホールの外の座標系をブラックホールの内側まで外挿できるとするなど、実証されていない多くの仮定を含むものが多く、妥当性に疑問が残る。ホワイトホールはアインシュタイン方程式が時間対称性を許容するために現れる解の1つであり、実際は少なくとも巨視的には対称性の破れが示唆されており宇宙スケールでの実在は否定的とされている。ワームホールに関してもいまのところ数学的な可能性の一つに過ぎない。ワームホールでは落下不可能な反地平面を持つが、この反地平面は物理的にきわめて不安定であるためホワイトホールを仮定するようなワームホールはすぐに潰れてしまい通過不可能(後述)とする研究もある。
観測的にも、ホワイトホールのような領域の存在を示唆する事実は全くないものの、SFなどでは理論的な理解が進まないままに多く引用され、現在に至るも人々の興味を集めている。また科学者の間でも理論的考察を深めるためのツールとしてたびたび取り上げられている。