井戸型ポテンシャル
解法は前者と同じであるが、ここではより詳細に解法を記述する。
定常状態のシュレディンガー方程式
( − ħ 2 2 m d 2 d x 2 + V ( x ) ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right)\psi (x)=E\psi (x)} (2)
を解いて説明する。(V0>0)
しかし、Eの値によって粒子の振る舞いは変化する。そのため、解く際に、
E<0
0<E<V0(束縛状態)
V0<E(散乱状態)
の3通りに場合分けをして解く。
(定常状態では、物理的な意味を持ち、かつ式(2)を満たす波動関数ψ(x)はE>0の範囲にしか存在しない。 よって、ここでは1の場合は考えないものとする。)
lim x → ± L / 2 − 0 ψ ′ ( x ) = lim x → ± L / 2 + 0 ψ ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \pm L/2-0}\psi '(x)=\lim _{x\rightarrow \pm L/2+0}\psi '(x)} (7)
を適用すると、解は
tan  ( k L / 2 ) = k ′ / k {\displaystyle \tan(kL/2)=k'/k} のとき、
ψ ( x ) = { C 1 e k ′ x ( x < − L / 2 ) A cos  ( k x ) ( − L / 2 < x < L / 2 ) C 1 e − k ′ x ( L / 2 < x ) {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}C_{1}e^{k'x}&(x<-L/2)\\A\cos(kx)&(-L/2<x<L/2)\\C_{1}e^{-k'x}&(L/2<x)\end{cases}}} (8)
tan  ( k L / 2 ) = − k / k ′ {\displaystyle \tan(kL/2)=-k/k'} のとき、
ψ ( x ) = { C 1 e k ′ x ( x < − L / 2 ) B sin  ( k x ) ( − L / 2 < x < L / 2 ) − C 1 e − k ′ x ( L / 2 < x ) {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}C_{1}e^{k'x}&(x<-L/2)\\B\sin(kx)&(-L/2<x<L/2)\\-C_{1}e^{-k'x}&(L/2<x)\end{cases}}} (9)
r = ( k ′ 2 − k 2 ) ( e − 2 m − e 2 m ) ( k ′ + k ) 2 e 2 ( n − m ) − ( k ′ − k ) 2 e 2 ( n + m ) {\displaystyle r={\frac {\left(k'^{2}-k^{2}\right)\left(e^{-2m}-e^{2m}\right)}{\left(k'+k\right)^{2}e^{2\left(n-m\right)}-\left(k'-k\right)^{2}e^{2\left(n+m\right)}}}} (17)
が求まる。( m = i k L / 2 , n = i k ′ L / 2 {\displaystyle m=ikL/2,n=ik'L/2} とおいた。) 式(14)、式(15)に式(16)を代入し、それらの値と式(16)、式(17)を式(13)に代入したものが、散乱状態での解である。
解釈(透過率と反射率)
このときの
| t | 2 = 16 k ′ 2 k 2 2 ( k ′ 4 + 6 k ′ 2 k 2 + k 4 ) − ( k ′ 2 − k 2 ) 2 ( e 4 m + e − 4 m ) {\displaystyle |t|^{2}={\frac {16k'^{2}k^{2}}{2\left(k'^{4}+6k'^{2}k^{2}+k^{4}\right)-\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{2}\left(e^{4m}+e^{-4m}\right)}}} (18)
この章では、解の偶奇性を考慮し、 − L / 2 < x < L / 2 {\displaystyle -L/2<x<L/2} の領域を考える。
ポテンシャルV(x)が、
V ( x ) = { V 0 ( x < − L / 2 ) 0 ( − L / 2 < x < L / 2 ) V 0 ( L / 2 < x ) {\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&(x<-L/2)\\0&(-L/2<x<L/2)\\V_{0}&(L/2<x)\end{cases}}} (1)
のときの粒子の運動を調べる。