球面三角法
球面三角形の一辺が π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} となっているものを象限三角形という。この場合も公式は簡単になる。 c = π 2 {\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}} とすると、
(Q1) cos  C = − cos  A cos  B , (Q6) tan  B = − cos  a tan  C , (Q2) sin  A = sin  a sin  C , (Q7) tan  A = − cos  b tan  C , (Q3) sin  B = sin  b sin  C , (Q8) cos  a = sin  b cos  A , (Q4) tan  A = tan  a sin  B , (Q9) cos  b = sin  a cos  B , (Q5) tan  B = tan  b sin  A , (Q10) cos  C = − cot  a cot  b .
ABC を球面三角形とし辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とする。弧 AB を含む大円が乗る平面と弧 AC を含む大円が乗る平面のなす角を A とする。これは、点 A における2つの大円の接ベクトルのなす角ともいえる。ただし、a と一致するとは限らない。同様に B, C も定義する。 このとき、次の式が成り立つ。
球面三角法の余弦定理
cos  a = cos  b cos  c + sin  b sin  c cos  A cos  b = cos  c cos  a + sin  c sin  a cos  B cos  c = cos  a cos  b + sin  a sin  b cos  C {\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B\\\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\end{aligned}}}
球面三角法の正弦定理
sin  a sin  A = sin  b sin  B = sin  c sin  C {\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}
正弦余弦定理
一般に、大円の平面に垂直な直径の両端をその大円の極という。右図において球面三角形ABCの1つの辺BCを考えると、それには2つの極があるが、そのうち辺BCから見てAと同じ側にあるほうをA'とする。同様に辺CA, ABについても極B', C'を定めることができる。このようにして得られた3点A', B', C'を結んで新しい一つの球面三角形A'B'C'が得られる。これを元の球面三角形ABCの極三角形という。
球面三角形A'B'C'が球面三角形ABCの極三角形であるならば、逆に球面三角形ABCは球面三角形A'B'C'の極三角形である。また今、球面三角形A'B'C'が球面三角形ABCの極三角形であるとし、その三辺、三角をそれぞれa', b', c'、A', B', C'で表すと、a, b, c、A, B, Cとの間には次のような関係がある:
A ′ = π − a , B ′ = π − b , C ′ = π − c , a ′ = π − A , b ′ = π − B , c ′ = π − C . {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}}