基底 (線型代数学)
あらゆる線型空間はそれを生成できる線型独立なベクトル集合を1つ以上持つ。言い換えれば、線型結合で空間の全ベクトルを一意に表せるベクトル集合が常に存在する。そしてそれらベクトルの個数は各線形空間で一意に定まる。つまりあらゆる線形空間は「座標系」のような定数個の基本要素の線型結合で必ず表現できる。このように線形空間を特徴づける、線型独立な生成系のことを基底と呼ぶ。
基底の取り方に依らない、基底ベクトルの個数(濃度)は次元と呼ばれる。基底が常に存在することは基底の存在定理で証明される。
a, b がともに実数であるような座標(数ベクトル)(a, b) 全てからなるベクトル空間 R を考える。このとき、R の任意のベクトル v = (a, b) は v = a (1,0) + b (0,1) と書けて、e1 := (1,0) と e2 := (0,1) は明らかに線型独立だから、{e1, e2} は R の基底になる。この自然で単純な基底を R の標準基底という。これ以外にも、任意の二つの線型独立なベクトル(例えば (1,1) と (−1,2) など)が、やはり R の基底を成す。
一つの数学的結果が複数のやり方で証明できることは普通であるが、ここでは {(1,1), (−1,2)} が R の基底を成すことの証明を三通りほど挙げてみる。
{ 0 } {\displaystyle \{{\boldsymbol {0}}\}} を除く有限ベクトル空間 V {\displaystyle V} には V {\displaystyle V} を生成する一次独立な部分集合 B ⊂ V {\displaystyle B\subset V} すなわち基底が常に存在する。これを基底の存在定理という。
この定理は次のように証明できる(概略)。 V {\displaystyle V} の定義より V {\displaystyle V} は部分集合 S 1 = { v 1 | v 1 ≠ 0 } {\displaystyle S_{1}=\{{\boldsymbol {v_{1}}}|{\boldsymbol {v_{1}}}\neq {\boldsymbol {0}}\}} を必ず持ち、これは線形独立である。 S 1 {\displaystyle S_{1}} は V {\displaystyle V} の一次独立な部分集合であるから、基底の延長定理により S 1 {\displaystyle S_{1}} を延長して得られる基底 B ⊂ V {\displaystyle B\subset V} が常に存在し、定理が証明できる。
無限次元ベクトル空間に対しては、一般には選択公理が必要である。