スターリングの近似
log  sin  π z = log  ( e π i z − e − π i z ) − π i 2 − log  2 ∼ π i z − π i 2 − log  2 {\displaystyle \log \sin \pi z=\log \left(e^{\pi iz}-e^{-\pi iz}\right)-{\frac {\pi i}{2}}-\log 2\sim \pi iz-{\frac {\pi i}{2}}-\log 2}
であるから
C = log  2 π 2 {\displaystyle C={\frac {\log 2\pi }{2}}}
を得る。剰余項については
α = 2 1 + cos  arg  z {\displaystyle \alpha ={\frac {2}{1+\cos \arg z}}}
として
| ∫ n = 1 N B 2 m + 1 ( n − ⌊ n ⌋ ) d n ( 2 m + 1 ) ( n + z − 1 ) 2 m + 1 | ≤ | B 2 m | 2 m ∫ n = 1 N d n | n + z − 1 | 2 m + 1 ≤ | B 2 m | 2 m α 2 m + 1 ∫ n = 1 N d n ( n + | z | − 1 ) 2 m + 1 = | B 2 m | α 2 m + 1 | z | 2 m = O ( z − 2 m ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{n=1}^{N}{\frac {B_{2m+1}(n-\lfloor n\rfloor )dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}}\right|&\leq {\frac {\left|B_{2m}\right|}{2m}}\int _{n=1}^{N}{\frac {dn}{\left|n+z-1\right|^{2m+1}}}\\&\leq {\frac {\left|B_{2m}\right|}{2m\alpha ^{2m+1}}}\int _{n=1}^{N}{\frac {dn}{(n+\left|z\right|-1)^{2m+1}}}={\frac {\left|B_{2m}\right|}{\alpha ^{2m+1}\left|z\right|^{2m}}}=O\left(z^{-2m}\right)\\\end{aligned}}}
であり
z 2 3 e − z 1 / 3 2 ≪ z − 1 2 ( z → ∞ ) {\displaystyle z^{\tfrac {2}{3}}e^{-{\tfrac {z^{1/3}}{2}}}\ll z^{-{\tfrac {1}{2}}}\qquad (z\to \infty )}
であるから
Γ ( z + 1 ) = 2 π z ( z e ) z ( 1 + O ( z − 1 3 ) ) {\displaystyle \Gamma (z+1)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\left(1+O(z^{-{\tfrac {1}{3}}})\right)}
を得る。これは
lim z → ∞ Γ ( z + 1 ) 2 π z ( z e ) z = 1 ( | arg  z | < π ) {\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {\Gamma (z+1)}{{\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}}=1\qquad (|\arg z|<\pi )}
を示すに十分である。ただし、実際の誤差は O ( z − 1 ) {\displaystyle O(z^{-1})} であるが、それを鞍点法で示すのは困難である。
d 2 d z 2 log  Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ 1 ( n + z ) 2 d t + 1 2 z 2 + i ∫ 0 ∞ ( z + i t ) − 2 − ( z − i t ) − 2 e 2 π t − 1 d t = 1 z + 1 2 z 2 + i ∫ 0 ∞ ( z + i t ) − 2 − ( z − i t ) − 2 e 2 π t − 1 d t {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}dt+{\frac {1}{2z^{2}}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t}-1}}dt\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t}-1}}dt\\\end{aligned}}}
積分して
d d z log  Γ ( z ) = C 1 + log  z − 1 2 z + i ∫ 0 ∞ − ( z + i t ) − 1 + ( z − i t ) − 1 e 2 π t − 1 d t {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \Gamma (z)=C_{1}+\log z-{\frac {1}{2z}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {-(z+it)^{-1}+(z-it)^{-1}}{e^{2\pi t}-1}}dt}