ワイル代数
以下 F を体とし、 F に係数を持ち X を変数とする一変数多項式環 F[X] の元やその上の微分作用素を考える。多項式を係数とする微分作用素は一般に
f n ( X ) ∂ X n + ⋯ + f 1 ( X ) ∂ X + f 0 ( X ) {\displaystyle f_{n}(X)\partial _{X}^{n}+\cdots +f_{1}(X)\partial _{X}+f_{0}(X)}
の形に書ける。これは変数 X に関する微分を ∂X とするとき、X と ∂X とが F 上生成する多元環 W(X) := F[X; ∂X] の元である。積の微分法則(ライプニッツ則)により ∂X(Xφ) = (1 + X∂X)φ となるから、作用素として X と ∂X との間には
∂ X X = X ∂ X + 1 ⟺ [ ∂ X , X ] = 1 {\displaystyle \partial _{X}X=X\partial _{X}+1\iff [\partial _{X},X]=1}
という関係がある。この W(X) はワイル代数と総称される多元環の無限系列の最初のものになっている。より一般に、n-次のワイル代数 An は n-変数多項式係数の微分作用素が成す環