階数因数分解
実際、特定の階数因数分解を次の手順で構成することが出来る: A {\displaystyle A} の行既約階段形 B {\displaystyle B} は計算することで得られる。このとき、上述の行列 C {\displaystyle C} は A {\displaystyle A} から全ての非ピボット列を除くことで得られ、 F {\displaystyle F} は B {\displaystyle B} から全てのゼロ行を除くことで得られる。
A P {\displaystyle AP} を、基本行列の積であるような行列 E {\displaystyle E} を左から掛けることによって、行既約階段形へと変換する。すなわち、 E A P = B P = E C ( I r , G ) {\displaystyle EAP=BP=EC(I_{r},G)} が得られる。ただし E C = [ I r 0 ] {\displaystyle EC={\begin{bmatrix}I_{r}\\0\end{bmatrix}}} である。すると、 B P = [ I r G 0 0 ] {\displaystyle BP={\begin{bmatrix}I_{r}&G\\0&0\end{bmatrix}}} と書くことが出来、したがって ( I r , G ) = F P {\displaystyle (I_{r},G)=FP} ということが分かる。これはすなわち、 A {\displaystyle A} に対して行ったものと同様の置換を列に対して行うことで得られる、行既約階段形に含まれる非ゼロの r {\displaystyle r} 個の行である。したがって、 A P = C F P {\displaystyle AP=CFP} が得られ、 P {\displaystyle P} が可逆であることから A = C F {\displaystyle A=CF} が得られる。以上で証明は完成された。