アポロニウスの問題
もし3つの与円のうち2つが交わらないのであれば、2つの円が同心円となるように反転の中心を選ぶことができる。この反転の下では、解円は2つの同心円の間の円環内部に存在する。従って、このとき解円は2つの1パラメータ族(one-parameter families)に属する。ひとつめの族においては(図 7)、解円は内側の同心円を内包せず、むしろ円環内の玉軸受のようになる。
2つめの族(図 8)においては、解円は内側の同心円を内包する。一般的にそれぞれの族に対して4つの解が存在し、8つの可能な解を生み出すが、これは代数学的解法とも矛盾しない。
与円のうち2つが同心円であるとき、アポロニウスの問題はガウスの方法を使って簡単に解くことができる。3つの与円の半径の値は既知であるが、同心円の共通の中心から同心でない円までの距離 dnon も同様に既知の値である(図 7)。解円はその半径 rs、角度 θ、解円の中心から同心円の共通の中心までの距離 ds、解円の中心から同心でない円の中心までの距離 dT によって決定される。
解円の半径および距離 ds は既知の値である(図 7)。そして、距離 dT = rs ± rnon であり、これは解円が同心でない円に内接するか外接するかに依存する。従って、余弦定理から、
cos  θ = d s 2 + d n o n 2 − d T 2 2 d s d n o n ≡ C ± . {\displaystyle \cos \theta ={\frac {d_{\mathrm {s} }^{2}+d_{\mathrm {non} }^{2}-d_{\mathrm {T} }^{2}}{2d_{\mathrm {s} }d_{\mathrm {non} }}}\equiv C_{\pm }.
反転という手法は、大きさの変更(Resizing)によってより便利になる。ビエトの作図でも述べられているように、この3つの与円と解円は、接点を保ったまま、その大きさの変更が可能である。よって、初期のアポロニウスの問題は、より解くのが簡単であろう別の問題へと変換される。例えば、これら4つの円は、このうち1つの円が点に縮まるまで大きさの変更をすることができる。あるいは、しばしば、このうち2つの与円が互いに接するように大きさを変更される。また、いずれかのオブジェクトに交わっている与円は、円環へと変換する手法を用いると、交わりを解消するように大きさの変更ができる。このようなケースにおいて、元々のアポロニウスの問題の解に関しては、大きさの変更や反転によって変換された問題の解を得て、この変換された問題を、元々の問題に戻すことによって、元々の問題の解が得られる。
一つの与円を点にまで縮める
最初のアプローチにおいては、ひとつの与円が点 P に縮められるまで、すべての与円を(接点を保ったまま)縮めたり膨らませたりする 。その場合は、アポロニウスの問題の極限の場合として「円円点」(CCP) の問題に「退化」することになり、点 P を通る(2つの)与円および点 P に接する解円を探す問題へと変換される。P を中心とする円に関する反転は、2つの与円を新たな円に変え、解円を直線へと変える。よって、変換された問題に対する解は、2つの(変換された)与円に接する直線である。
そのような解となる直線は4つあり、これは2つの与円の外部および内部の相似の中心(英語版)により作図されうるものである。P において再反転し、また大きさの変更を元に戻すことで、このような解となる直線を、元々のアポロニウスの問題への答えである解円へと変換することができる。すべての8つの一般解は、それぞれの解の内部・外部どちらの接点なのかの違いに従って円を縮めたり膨らませたりすることによって得られる。しかしながら、相異なる与円は点になるまで縮めることも可能であり、この場合は(円だけの場合とは)異なる解を得る。
二つの与円が接するまで大きさの変更をする
このアプローチでは、与円のうち2つが互いに接するように、与円の半径は適宜Δrの大きさだけ変更される。これら2つの与円の接点は、接する円のそれぞれに2箇所で交わる円における反転の中心になるように選ばれる。反転することによって、互いに接している2つの円は2つの平行な直線となる。この2つの円の接点だけが反転することにより無限へと送られるため、これらの点が互いに交わったりすることはない。同様の反転は3つめの円を、別の異なる円へと変える。反転された問題の解は、(1)変換された3つめの円に接する、与えられた平行な2つの直線に平行する直線、あるいは、(2)定数の半径を持ち、与えられた2つの平行な直線と変換された3つめの与円に接する円、のどちらかでなくてはいけない。もういちど反転を行い、すべての円の半径をΔrずつ調整することで、元々の3つの与円に接する解円を得る。