交代多重線型形式
体 K 上のベクトル空間 V 上で定義された多重線型形式 f が交代的 (alternating) あるいは反対称 (antisymmetry) とは、追加の性質(反対称性):
を満たすときに言う。ただし、σ は集合 {1, ..., n} 上の置換で、sgn(σ) は置換の符号(偶置換のとき +1, 奇置換のとき −1)とする。帰結として、交代多重線型形式はその任意のふたつの引数の入れ替えに関して反対称: すなわち、互換 σ ≔ (p, q) に対して
となることが従う。さらに K の標数が 2 でないと仮定すれば、反対称性の式で x p = x q = x {\displaystyle x_{p}=x_{q}=x} と置くことにより、交代性: f ( x 1 , ... , x , ... , x , ... , x k ) = 0 {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x,\ldots ,x,\ldots ,x_{k})=0} が従う。文献によっては、最後の条件を交代形式の定義にもちいるものもあることに注意する。交代的ならば反対称であることは常にいえるが、既に述べたように、標数が 2 のときには逆は言えないので注意が必要である。