ウェーブレット
実応用での効率性を考えると、マザー(プロトタイプ)ウェーブレット(関数)はコンパクトサポートの連続微分可能関数であることが望ましい。しかし、(連続ウェーブレット変換における)解析的であることの要求と、理論的な理由から、一般的にウェーブレット関数は 空間 L 1 ( R ) ∩ L 2 ( R ) {\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )} の部分空間から選ばれる。これは絶対値積分可能かつ2乗積分可能な可測関数の空間である。
∫ − ∞ ∞ | ψ ( t ) | d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|\,dt<\infty } and ∫ − ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt<\infty } .
この関数空間では必ずゼロ平均と二乗ノルムの条件が定式化できる。
∫ − ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0} (ゼロ平均の条件)
ウェーブレットはもっぱらスケーリングフィルタ g により定義される。これは長さ 2N で和が 1 となる有限インパルス応答(FIR) の低域通過フィルタである。双直交ウェーブレットでは、分解と再合成のフィルタが別々に決定される。
分析では、高域通過フィルタは低域通過フィルタの QMF として計算され、再合成フィルタは分解フィルタの時間反転である。
例えば、ドブシー・ウェーブレット(英語版)とSymletウェーブレット(チェコ語版)は、スケーリングフィルタで定義することができる。