ケイリー・ハミルトンの定理
t に関する多項式を係数として持つ行列、例えば tIn − A やその余因子行列(の転置行列)B なとは M(n, R[t]) の元である。t の同じ次数の冪を含む項をまとめることにより、M(n, R[t]) に属する行列を t を変数とする行列係数の「多項式」の形に書き表すことができる。行列係数の多項式全体の成す集合を M(n, R)[t] と書けば、M(n, R)[t] と M(n, R[t]) との間に一対一対応が存在するから、それにより対応する算術演算を定義することができる。特に乗法は
( ∑ M i t i ) ( ∑ N j t j ) = ∑ i , j ( M i N j ) t i + j {\displaystyle \left(\sum M_{i}t^{i}\right)\left(\sum N_{j}t^{j}\right)=\sum _{i,j}(M_{i}N_{j})t^{i+j}}
で与えられる。これは明らかに非可換な乗法である(特に右辺の係数における積の順番は、左辺の対応する因子の現れる順番を反映するようにしなければならない)。
この設定で、等式 ( t I n − A ) B = p ( t ) I n {\displaystyle (tI_{n}-A)B=p(t)I_{n}} は M(n, R)[t] の元の間の乗法を含む式と見なすことができる。この時点で、単に t が行列 A に等しいとおく誘惑にかられそうになる(そうすれば左辺は零行列で右辺は p(A) になるから)が、これは係数が可換でないときには許されない操作である。それでも非可換環 M 上で「右評価写像」evA: M[t] → M は定義できる(これは各 t を A の冪 A で置き換えるが、この冪は常に対応する係数の右から掛けるものと約束するものである)。
1次正方行列 A = (a) に対し、その固有多項式は p(λ) ≔ λ − a であり、p(A) = (a) − a⋅I1 = (0) は明らかである。
置き換えにおいて、λ の冪は、A の、行列の積による冪に置き換わるから、特に p(λ) の定数項は A すなわち単位行列の定数倍に置き換わる。
定理により、特に A は、より低次の A の多項式で表されることが分かる。係数環が体(英語版)のとき、ケイリー・ハミルトンの定理は「任意の正方行列 A の最小多項式は A の固有多項式を整除する(割り切る)」という主張に同値である。
この定理は1853年にハミルトンが初めて証明した(それは「非可換」環である四元数を変数とする一次函数の逆を用いたものであった)。これは一般の定理において、実4次または複素2次という特別の場合に当たるものである。
ケイリー・ハミルトンの定理は、四元数係数の行列に対しても成立する。
1858年にケイリーは 3次およびそれより小さい行列に関して定理を述べているが、証明は 2次の場合のみを著している。一般の場合が初めて証明されたのは1878年でフロベニウスによる。
ここで出てきた式 1/2((trA) − tr(A)) は、cn−k に対する(ベル多項式を用いた)一般式から出たものだから、n次正方行列に対してもこれは常に λ の係数 cn−2 を与えるものとなっていることが一見して分かる。ゆえに特に、3次正方行列 A に対するケイリー・ハミルトンの定理の主張を
A 3 − ( tr  A ) A 2 + 1 2 ( ( tr  A ) 2 − tr  ( A 2 ) ) A − det ( A ) I 3 = O {\displaystyle A^{3}-(\operatorname {tr} A)A^{2}+{\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))A-\det(A)I_{3}=O}
と書くことができる。同様に の場合の行列式は今度は
det ( A ) = 1 3 ! B 3 ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 ) = 1 6 ( s 1 3 + 3 s 1 ( − s 2 ) + 2 s 3 ) = 1 6 ( ( tr  A ) 3 − 3 tr  ( A 2 ) ( tr  A ) + 2 tr  ( A 3 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{3!