階乗冪
下降階乗冪は多項式環の基底を成す。これは下降階乗冪の線型結合同士の積が再び下降階乗冪の線型結合となることを意味し、それは以下を確かめれば十分である:
x m _ x n _ = ∑ k = 0 m ( m k ) ( n k ) k ! x m + n − k _ . {\displaystyle x^{\underline {m}}\,x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,x^{\underline {m+n-k}}.}
右辺に現れる各項の係数
( m k ) ( n k ) k ! {\displaystyle {m \choose k}{n \choose k}k!}
をこの積における結合定数 (connection coefficient) と総称する。この定数は組合せ論的に、m-元集合と n-元集合の非交和から選んだ k-組合せの総数と解釈することができる。