バナッハ＝タルスキーのパラドックス
球は、それ自身と同じ球二つと分割合同である。
ただし、分割合同とは以下のように定義される: A と B をユークリッド空間の部分集合とする。 A と B が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として
A = ⋃ i = 1 n A i , B = ⋃ i = 1 n B i {\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i},\quad B=\bigcup _{i=1}^{n}B_{i}}
つまり、
A = A1 ∪ ... ∪ An , B = B1 ∪ ... ∪ Bn
と表すことができ、全ての i について、 A i {\displaystyle A_{i}} と B i {\displaystyle B_{i}} が合同であるとき、A と B を分割合同という。
さらに、この定理から次のより強い形の系を導くことが出来る。
3次元ユークリッド空間の有界な部分集合で、内部が空でないもの(つまり、有限の拡がりを持ち、曲線や曲面ではないもの)を任意に二つ選んだとすると、それらは分割合同である。
言い換えると、ビー玉を有限個に分割して組み替えることで月を作ったり、電話を組み替えて睡蓮を作ったり出来る(当然のごとく材質は変えられない)、ということである。 この定理の証明で、点集合は選択公理を使ってつくられる選択集合で構成されており、各断片はルベーグ可測ではない。すなわち、各断片は明確な境界や通常の意味での体積を持たない。物理的な分割では可測な集合しか作れないので、現実にはこのような分割は不可能である。
単位球面Sは群Hの作用を考えることにより軌道の集合に分けることが出来る。すなわち、Sの2つの点は、一方の点を他方に移すような回転がHに存在するとき、またそのときに限り同じ軌道に属すると定めるのである(ある点の軌道がSの稠密集合になることに注意)。同じ軌道に属するという関係はS上の同値関係であり、その同値関係による同値類が軌道である。このようにして類別された軌道全ての集合を Λ とする。 ⋃ λ ∈ Λ λ = S であるから、選択公理により、ある選択関数 φ : Λ → S が存在し、 ∀ (λ ∈ Λ) φ(λ) ∈ λ とできる。 M = {φ(λ) | λ ∈ Λ } と置く。Mはすべての軌道からちょうど1個の点を選んで集めた S の部分集合である。S のすべての点は、あるMの点に、あるHの元を作用させることによって得ることが出来る。つまり H M = S が成り立つ。したがって、Hのパラドキシカルな分割は以下のようにSの4つの部分集合A1, A2, A3, A4への分割を与える。
A 1 = S ( a ) M ∪ M ∪ B {\displaystyle A_{1}=S(a)M\cup M\cup B}
A 2 = S ( a − 1 ) M ∖ B {\displaystyle A_{2}=S(a^{-1})M\setminus B}