境界付き多様体
上半空間を
H n := { ( x 1 , ... , x n ) ∈ R n ∣ x n ≥ 0 } {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}:=\left\{(x^{1},\dotsc ,x^{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x^{n}\geq 0\right\}}
と書く.これには R の部分空間位相を与え,特に H 全体は開かつ閉集合である.
n 次元境界付き位相多様体とは,第二可算公理を満たすハウスドルフ空間であって,任意の点が上半空間の開部分集合 V ⊂ H に同相な開近傍を持つものをいう.