三次方程式
ラグランジュは、三次方程式や四次方程式の代数的解法を分析し、根の置換という代数方程式論の方向性を決定づける重要な概念に到達した。この研究はガロア理論の発見へと繋がっていった。
x + A2 x + A1 x + A0 = 0
の 3 つの解を r0, r1, r2 とし 1 の虚立方根の一つ
ω = − 1 + i 3 2 {\displaystyle \omega ={-1+i{\sqrt {3}} \over 2}}
を取る。
s0 = r0 + r1 + r2
s1 = r0 + ω r1 + ω r2
s2 = r0 + ω r1 + ω r2
とおくと
r 0 = s 0 + s 1 + s 2 3 {\displaystyle r_{0}={s_{0}+s_{1}+s_{2} \over 3}}
r 1 = s 0 + ω 2 s 1 + ω s 2 3 {\displaystyle r_{1}={s_{0}+\omega ^{2}s_{1}+\omega s_{2} \over 3}}
r 2 = s 0 + ω s 1 + ω 2 s 2 3 {\displaystyle r_{2}={s_{0}+\omega s_{1}+\omega ^{2}s_{2} \over 3}}
である。