ユニタリ作用素
数学の一分野、函数解析学におけるユニタリ作用素(ユニタリさようそ、英: unitary operator)は、ヒルベルト空間上の自己同型写像、すなわち構造(今の場合は、作用する対象となる空間の線型空間の構造、内積構造およびそこから定まる位相構造)を保つ全単射である。与えられたヒルベルト空間 H からそれ自身へのユニタリ作用素全体の成す集合は群を成し、H のヒルベルト群 Hilb(H) と呼ばれることもある。
恒等写像がユニタリ作用素であることは自明である。
非自明なユニタリ作用素の例として最も簡単なものは R における回転である。実際、回転はベクトルの長さも二ベクトル間の角度も変えない。R の回転についても同様。
複素数全体の成すベクトル空間 C 上で、絶対値 1 の複素数(つまり、適当な θ ∈ R に対して e の形に書ける数)を掛ける操作はユニタリ作用素である。注意すべきは θ の値は 2π の違いを除いてこの乗法の結果には影響しないこと、またそれゆえに C の独立なユニタリ作用素の全体は単位円で径数付けることができるということである。ゆえにこの場合のユニタリ作用素全体の成す群(U(1)と呼ばれる)は、集合としては単位円と見做すことができる。
より一般に、ユニタリ行列はちょうど有限次元ヒルベルト空間上のユニタリ作用素となっているから、ユニタリ作用素の概念はユニタリ行列の概念の一般化である。また、直交行列は、成分が全て実数という特別の場合のユニタリ行列であるから、R 上のユニタリ作用素である。
整数全体で添字付けられた数列空間 l 上の両側ずらし作用素(英語版)はユニタリである。一般に、ヒルベルト空間上で正規直交基底を並べ替えることによって作用する任意の作用素はユニタリになる。有限次元の場合、それらの作用素は置換行列である。一方、片側ずらし作用素(英語版)は等距、その共軛は余等距である。
フーリエ作用素(英語版)、すなわちフーリエ変換(に適当な正規化を施したもの)を作用させる操作は、ユニタリ作用素である。これはパーシヴァルの定理から従う。