ジョヴァンニ・ジェローラモ・サッケーリ
サッケーリはユークリッドの第5公準を他の4つの公準から証明するという古代からたくさんの数学者を苦しめてきた問題を、第5公準をそれと同値な命題「全ての三角形の内角の和は2直角に等しい」に置き換え(この置き換えは13世紀にアラビアの数学者ナシールッディーンにより示されていたもので、サッケーリはこのことを直角仮定と呼んだ)、これに対し、互いに背反する2つの命題「全ての三角形の内角の和は2直角よりも小さい」(鋭角仮定)、「全ての三角形の内角の和は2直角よりも大きい」(鈍角仮定)が共に矛盾を導くことを示し、直角仮定、したがって第5公準を証明するという手法(つまり背理法である)で解こうとした。サッケーリは前述した論文『あらゆる汚点から清められたユークリッド』で第5公準の代わりに鋭角仮定又は鈍角仮定を公準としてさまざまな定理を導き、特に鈍角仮定を付け加えると直線の長さが有限になるため、直線の長さが無限であるという第2公準と矛盾することを示した。したがって残りの鋭角仮定から矛盾が発生することを導き出せば第5公準は他の4つの公準から導き出せる定理だということが証明されるのだが、彼が導き出した鋭角仮定の反証はその中で第5公準が使われていたため当初の目的は達成できなかった。