カントール関数
カントール関数はカントール集合と密接に関係している。カントール集合は、0次元体積(点の個数)は無限大である一方で1次元体積(長さ)は0であるようなフラクタルであり、そのハウスドルフ次元は D = log  2 / log  3 {\displaystyle D=\log 2/\log 3} である。カントール関数は、カントール集合の部分集合の D-次元体積 HD を用いて次式で定義できる。
f ( x ) = H D ( C ∩ ( 0 , x ) ) {\displaystyle f(x)=H_{D}(C\cap (0,x))}
| f m ( x ) − f n ( x ) | = ∑ i = n m − 1 | f i + 1 ( x ) − f i ( x ) | ≤ ∑ i = n ∞ 2 − i max x ∈ [ 0 , 1 ] | f 1 ( x ) − f 0 ( x ) | = 2 − n + 1 max x ∈ [ 0 , 1 ] | f 1 ( x ) − f 0 ( x ) | {\displaystyle |f_{m}(x)-f_{n}(x)|=\sum _{i=n}^{m-1}|f_{i+1}(x)-f_{i}(x)|\leq \sum _{i=n}^{\infty }2^{-i}\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|=2^{-n+1}\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|}
従って数列 { f n ( x ) } n = 0 ∞ {\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }} はコーシー列であるから、極限値 f(x) を持つ(各点収束)。更に、上の式で m → ∞ とすることで
| f ( x ) − f n ( x ) | < 2 − n + 1 max x ∈ [ 0 , 1 ] | f 1 ( x ) − f 0 ( x ) | {\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|<2^{-n+1}\max _{x\in [0,1]}|f_{1}(x)-f_{0}(x)|}
が得られる。これは関数列が f に一様収束することを意味する。
なお、ここでは初期関数として f0(x) = x を用いたが、実際には f0(0) = 0, f0(1) = 1 なる有界関数でさえあれば何でも構わない。
単位区間 [0, 1] における関数列 { f n } n = 0 ∞ {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=0}^{\infty }} を次のように帰納的に定義すると、これはカントール関数に収束する。
f 0 ( x ) = x {\displaystyle f_{0}(x)=x}
f n + 1 ( x ) = { 1 2 × f n ( 3 x ) if 0 ≤ x < 1 3 1 2 if 1 3 ≤ x < 2 3 1 2 + 1 2 × f n ( 3 x − 2 ) if 2 3 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle f_{n+1}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x)&{\mbox{if }}0\leq x<{\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}{\frac {1}{3}}\leq x<{\frac {2}{3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\times f_{n}(3x-2)&{\mbox{if }}{\frac {2}{3}}\leq x\leq 1\end{cases}}}
各 n に対し fn(0) = 0, fn(1) = 1 であるから、f は x = 1/3, 2/3 において連続である。ここで、n ≥ 1 において
閉区間 [0, 1] 上の数 y に対し、その二進小数展開を
y = ∑ k = 1 ∞ b k 2 − k {\displaystyle y=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}2^{-k}}
とする。この y について、
C z ( y ) = ∑ k = 1 ∞ b k z k {\displaystyle C_{z}(y)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}z^{k}}
という関数 Cz を考える。このとき、z = 1/3 とすると、
x = 2 C 1 3 ( y ) {\displaystyle x=2C_{\frac {1}{3}}(y)}
の逆関数 y = y(x) はカントール関数となる。一般に z < 1/2 において Cz(y) のグラフはカントール関数のグラフを横倒しにしたような形になっており、その幅は z の値が 0 に近づくほど広くなっていく。
ミンコフスキーの疑問符関数 は見た目はカントール関数とよく似ており、カントール関数を「滑らかにした」ようなものに見える。 カントール関数が三進小数展開を二進小数展開に変換することで構成されるのと同じように、疑問符関数は連分数展開を二進小数展開に変換することで構成される。 疑問符関数は全ての有理数における微分係数が 0 であるという興味深い性質を持っている。