コンパクト空間
コンパクト空間の(有限個または無限個の)直積に直積位相位相を入れたものはコンパクトである:
定理 (チコノフの定理) ― ( X λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (X_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} をコンパクトな位相空間の族とする。このとき直積 ∏ λ ∈ Λ X λ {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }} に直積位相を入れたものはコンパクトである。
なおチコノフの定理は(ZF公理系を仮定した上で)選択公理と同値である事が知られている。
チコノフの定理より例えば R {\displaystyle \mathbb {R} } 上の単位区間 I = [ 0 , 1 ] {\displaystyle I=[0,1]} の無限個のコピー I 1 , I 2 , ... {\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots } の直積 ∏ i ∈ N I i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }I_{i}} に直積位相を入れたものはコンパクトである。
コンパクト性の概念は以下のように特徴づける事ができる:
定義 (ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} が以下の性質を満たすとき ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} はコンパクトであるという:
(ハイネ・ボレル性) Xの任意の開被覆 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に対し、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} のある有限部分集合 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} が存在し、 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} はXを被覆する。
定理 (2つの定義が同値であること) ― ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義はボルツァーノ・ワイエルシュトラス性によるコンパクトの定義と同値である。
位相空間X のコンパクト化とは X をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。コンパクトな空間は数学的に取り扱いやすい為、X をそのような空間に埋め込む事で X の性質を調べやすくする事ができる。コンパクトでない位相空間に一点付け加えるだけでコンパクト化する方法が必ず存在する(アレクサンドロフの一点コンパクト化)他、いくつかのコンパクト化の方法が知られている。実用上は X の構造を保つなど、X の性質が調べやすくなるコンパクト化の方法を選ぶ必要がある(例えば X が多様体であるときにコンパクト化 K として多様体になるものを選ぶ等)。
上述の定義における T {\displaystyle {\mathcal {T}}} の事を S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の有限部分被覆という。
もともとのハイネ・ボレルの定理は以下のように記述できる:
定理 (ハイネ・ボレルの被覆定理) ― R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分集合Xが有界閉集合であれば、( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} から誘導される部分位相に関して)ハイネ・ボレル性によるコンパクトの定義を満たす。
後述するように、実は逆向きも成立する事が知られているので、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} においてはコンパクト性は有界閉集合である事と同値である。なお、一般の距離空間では「コンパクト部分集合⇒有界閉集合」は言えるが逆向きは成立するとは限らない。
任意の近縁 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、ある有限集合F∈Xが存在し、 ∪ x ∈ F U [ x ] = X {\displaystyle \cup _{x\in F}U[x]=X} である。
任意の擬距離d∈Dと任意の実数ε>0に対し、Xの有限部分集合Fが存在し、 ∪ x ∈ F { y ∣ d ( x , y ) < ε } = X {\displaystyle \cup _{x\in F}\{y\mid d(x,y)<\varepsilon \}=X} が成立する。
X上の任意の有向点族は部分有向点族でコーシーなものを持つ。
定義 (一様空間の完備性) ― 距離空間 X が完備であるとは X 上の任意のコーシー有向点族が少なくとも1つ極限を持つ事をいう。
上で「少なくとも1つ極限を持つ」という言い方をしているのは、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相構造がハウスドルフでない限り、有向点族の収束の一意性は保証されないからである。