代数関数
x0 ∈ C は y の多項式 p(x0, y) が n 個の相異なる零点を持つようなものとする。代数関数が x0 のある近傍で解析的であることを示そう。これらの零点のそれぞれを含む n 個の重ならない円板 Δi たちをとる。すると偏角の原理によって
1 2 π i ∮ ∂ Δ i p y ( x 0 , y ) p ( x 0 , y ) d y = 1. {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.}
連続性から、これは x0 のある近傍内の任意の x に対しても成り立つ。とくに、p(x, y) は Δi においてただ 1 つの解を持ち、それは留数定理によって与えられる:
f i ( x ) = 1 2 π i ∮ ∂ Δ i y p y ( x , y ) p ( x , y ) d y {\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy}
これは解析関数である。