内点法
式(5)が表しているのは関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の勾配が制約式の勾配により張られる部分空間の中に存在するということである。このとき小さな μ {\displaystyle \mu } による摂動相補性条件は、最適解が c i ( x ) = 0 {\displaystyle c_{i}(x)=0} の境界付近に存在するか、もしくは制約 c i ( x ) {\displaystyle c_{i}(x)} の勾配 g {\displaystyle g} がほとんど0であるということを表している。
式(4)および式(5)に対してニュートン法を用いて ( x , λ ) {\displaystyle (x,\lambda )} を更新していくことを考えると、その更新幅 ( p x , p λ ) {\displaystyle (p_{x},p_{\lambda })} は次の線型方程式の解として与えられる。
( W − A T Λ A C ) ( p x p λ ) = ( − g + A T λ μ 1 − C λ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}W&-A^{T}\\\Lambda A&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{\lambda }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-g+A^{T}\lambda \\\mu 1-C\lambda \end{pmatrix}}}