逆ガウス分布
[ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} の範囲の値を取る実数の確率変数 x {\displaystyle x} が逆ガウス分布に従うとき、その累積分布関数は以下である。
F ( x ) = Φ { λ x ( x μ − 1 ) } + exp  ( 2 λ μ ) Φ { − λ x ( x μ + 1 ) } {\displaystyle F(x)=\Phi \left\{{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}-1\right)\right\}+\exp \left({\frac {2\lambda }{\mu }}\right)\Phi \left\{-{\sqrt {\frac {\lambda }{x}}}\left({\frac {x}{\mu }}+1\right)\right\}}
ここで
Φ ( u ) = ∫ − ∞ u 1 2 π exp  ( − z 2 2 ) d z {\displaystyle \Phi (u)=\int _{-\infty }^{u}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {z^{2}}{2}}\right){\mathit {dz}}}
であり、 μ > 0 , λ > 0 {\displaystyle \mu >0,~\lambda >0} がパラメータである。