与えられた数より小さい素数の個数について
解析接続(ただしワイエルシュトラス流のものとは異なる)
線積分 (contour integration)
フーリエ逆変換
リーマンはまた関数 J(x) を本質的にスティルチェス積分の尺度として用い、ζ(s) と素数分布との関連を論じた。そして log ζ(s) との比較を通じて、論文の主結果として J(x) を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数 π(x) の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年にド・ラ・ヴァレ・プーサン(英語版)とアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。