積の微分法則
定義により f, g: R → R が一点 x で微分可能ならば
f ( x + h ) = f ( x ) + f ′ ( x ) h + ψ 1 ( h ) g ( x + h ) = g ( x ) + g ′ ( x ) h + ψ 2 ( h ) ( ψ 1 , ψ 2 ∼ o ( h ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)&=f(x)+f'(x)h+\psi _{1}(h)\\g(x+h)&=g(x)+g'(x)h+\psi _{2}(h)\end{aligned}}\quad (\psi _{1},\psi _{2}\sim o(h))}
と書くことができる。ここで o はランダウの記号で
lim h → 0 ψ 1 ( h ) h = lim h → 0 ψ 2 ( h ) h = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\psi _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\psi _{2}(h)}{h}}=0}
この公式は、
( f ⋅ g ) ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ , {\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g',}
あるいはライプニッツの記法では
d d x ( u ⋅ v ) = u ⋅ d v d x + v ⋅ d u d x {\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}}
と書くことができる。
あるいは無限小(あるいは微分形式)の記法を用いて
d ( u v ) = u d v + v d u {\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}
と書いてもよい。
三つの函数の積の導函数は
d d x ( u ⋅ v ⋅ w ) = d u d x ⋅ v ⋅ w + u ⋅ d v d x ⋅ w + u ⋅ v ⋅ d w d x {\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}}
である。
X, Y, Z はバナハ空間(例えばユークリッド空間)とし、B: X × Y → Z は連続双線型作用素とする。このとき B は微分可能で、その一点 (x,y) ∈ X × Y における導函数は
( D ( x , y ) B ) ( u , v ) = B ( u , y ) + B ( x , v ) {\displaystyle (D_{(x,y)}B)(u,v)=B(u,y)+B(x,v)}
で与えられる線型写像 D(x,y)B: X × Y → Z である。