半群
半群の研究は、群や環といったより複雑な公理から決まるほかの代数的構造からすると、随分と若い。いくつかの文献 によれば、半群に対応する用語が用いられた最初はフランス語で、1904年に J.-A. de Séguier の著した Élements de la Théorie des Groupes Abstraits(『抽象群原論』)においてである。
Anton Suschkewitschは半群についてのそれなりに意味のある結果を得た最初の人で、1928年の論文 Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit(『一意可逆性の条件を外した有限群について』)で有限単純半群の構造を決定し、有限半群の極小イデアル(あるいはグリーンの関係式の J-系列)が単純であることを示した。そういったことからすれば、有限群論の基礎付けが行われるのは随分と後になってからのことで、デヴィット・リース、ジェイムス・アレクサンダー・グリーン、Evgenii Sergeevich Lyapin、アルフレッド・クリフォードおよびゴードン・プレストンらによる。最後の二者は半群論に関する二巻のモノグラフを1961年と1967年にそれぞれ出版している。1970年には『半群フォーラム』という定期刊行雑誌(現在はシュプリンガー・フェアラークが編集)が発行され、半群論全般を扱う数少ない数学雑誌の一つとなっている。
近年の在野の研究ではより分化が進んでおり、(逆半群のような)半群の重要なクラスに焦点を当てたモノグラフや、代数的オートマトン理論(特に有限オートマトン)や函数解析学における応用などに焦点を当てたものなども現れている。
半群から演算の結合性の公理を落とせば、マグマが得られる。これは 二項演算 M × M → M を備えた集合 M という意味以上のものではない。
別な方向での一般化として、n-項半群 (n-ary semigroup) あるいはn-半群 (n-semigroup)、多重項半群 (polyadic semigroup) とか多項半群 (multiary semigroup) などと呼ばれるタイプの一般化がある。これは演算のアリティを変更し、二項演算の替わりに多項演算を備えた「半群」G を考えるものである。結合律の一般化は、たとえば三項版の結合律が
(abc)de = a(bcd)e = ab(cde)
つまり文字列のどの隣り合う三つを括弧で括ったものも相等しい、というふうに与えられる。一般の n-項版は n + (n − 1) の長さの文字列のどの隣り合う n-項を括っても相等しいとなる。2-半群が通常の半群である。詳細は多項群(英語版) を参照