組成列
作用域をもつ群は群に対する群の作用と環の作用を一般化する。(Isaacs 1994, Chapter 10) にあるように群と加群との両方に対して統一的にアプローチすることができ、説明のいくつかが簡単になっている。群 G を集合 Ω から元(作用素)によって作用されていると考える。注意は Ω の元の作用で不変な部分群(Ω-部分群と呼ばれる)のみに制限される。したがって Ω-組成列は Ω-部分群のみを使わなければならず、Ω-組成因子は Ω-単純であるだけでよい。ジョルダン・ヘルダーの定理のような、上記の標準的な結果は、ほとんど同一の証明によって証明される。
特別なケースとして Ω = G であって G がそれ自身に作用しているときがある。重要な例は G の元が共役で作用して作用素の集合が内部自己同型からなるときである。この作用のもとでの組成列はちょうど主組成列(英語版)である。加群の構造は Ω が環であっていくつか追加の公理を満たすときの Ω-作用のケースである。
位数 n の巡回群に対して、組成列は n の順序を考慮に入れた素因数分解と関係があり、実は、算術の基本定理の証明をもたらす。
例えば、巡回群 C12 は異なる組成列として
C 12 ▹ C 6 ▹ C 2 ▹ 1 {\displaystyle C_{12}\triangleright C_{6}\triangleright C_{2}\triangleright 1} ;
C 12 ▹ C 4 ▹ C 2 ▹ 1 {\displaystyle C_{12}\triangleright C_{4}\triangleright C_{2}\triangleright 1} ;
C 12 ▹ C 6 ▹ C 3 ▹ 1 {\displaystyle C_{12}\triangleright C_{6}\triangleright C_{3}\triangleright 1}
をもつ。
各列から得られる組成因子の列はそれぞれ
C 2 , C 3 , C 2 {\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2}} ;
C 3 , C 2 , C 2 {\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}} ;
C 2 , C 2 , C 3 {\displaystyle C_{2},C_{2},C_{3}}
である。