量子群
α α ∗ + μ γ ∗ γ = α ∗ α + μ − 1 γ ∗ γ = I , {\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}
また、
u = ( α γ − γ ∗ α ∗ ) , {\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}
よって余積は Δ(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ, Δ(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α によって決定され、余逆は κ(α) = α, κ(γ) = −μγ, κ(γ) = −μγ, κ(α) = α によって決定される。u は表現であるがユニタリ表現ではないことに注意。u はユニタリ表現
v = ( α μ γ − 1 μ γ ∗ α ∗ ) {\displaystyle v={\begin{pmatrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\,\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{pmatrix}}}
と同値である。
同値であるが、SUμ(2) = (C(SUμ(2)), w) である、ただし C(SUμ(2)) は以下を満たす α と β によって生成される C 代数である:
β β ∗ = β ∗ β , {\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,}
ここで、古典論と同様、V は E たちで張られる n 次元の組みひもベクトル空間(英語版) であり、σ(いわゆるコサイクルツイスト)は E たちと F たちの間の非自明な linking をつくる。古典論とは対照的に、2つよりも多くの linked components が現れるかもしれないことに注意。量子ボレル代数の役割は組みひもベクトル空間のニコルス代数(英語版) B ( V ) {\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)} に取って代わられる。
決定的な材料は従って、I. Heckenberger による一般ディンキン図形のことばによるアーベル群に対する有限ニコルス代数の分類(英語版)であった。小さい素数の場合には、三角形のようなエキゾチックな例が起こる(ランク 3 のディンキン図形の図も参照)。
その間、Schneider と Heckenberger は、(有限次元の仮定なしに)Kharcheko によってアーベルな場合に証明されたように算術的なルート系の存在を非可換な場合にも一般に証明しPBW基底(英語版)を生成した。これは最近特別な場合 Uq(g) に使うことができ、例えばこれらの量子群のある種の余イデアル部分代数とリー代数 g のワイル群の位数との数値的な一致を説明する。