リーマン・ルベーグの補題
リーマン・ルベーグの補題は積分の漸近近似の有効性を証明するのに使うことができる.最急降下法(英語版)や停留位相法(英語版)などの厳密な取り扱いは,リーマン・ルベーグの補題に基づいている.
リーマン・ルベーグの補題は他のいろいろな状況において成り立つ.
f が L 可積分で (0, ∞) に台を持つとき,リーマン・ルベーグの補題は f のラプラス変換に対しても成り立つ.つまり,半平面 Re(z) ≥ 0 内で |z| → ∞ としたとき
∫ 0 ∞ f ( t ) e − t z d t → 0 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-tz}\,dt\to 0}
となる.
フーリエ級数に対するものもある:f が区間上の可積分関数ならば,f のフーリエ係数は n → ±∞ のとき 0 に近づく:
f ^ n → 0. {\displaystyle {\hat {f}}_{n}\ \to \ 0.}
これは f を区間の外では 0 として拡張し,実数直線全体でのバージョンを適用することで分かる.
抽象的な測度空間に対しても指数関数を抽象的な関数に変えたものが成り立つ.しかし証明は複雑ではない.記事末尾に挙げた文献を参照.