行列の定値性
この条件は三角行列に新たな行 k を考えるごとに確かめることができる。
M が一意なコレスキー分解を持つこと 行列 M が正定値であるための必要十分条件は、真に正の実数を対角成分に持つ下半三角行列 L で M = LL を満たすものがただ一つ存在することである。このような分解は M のコレスキー分解と呼ばれる。
同様の理由により、
エルミート行列が負定値、半負定値、半正定値となるための必要十分条件が、それぞれその固有値が全て負、非正、非負となることであることが分かる。また、不定値の場合には正負両方の固有値が現れることで特徴付けられる。
小行列式の言葉で言えば、エルミート行列が負定値となる条件は、その k-次の首座小行列式が、k が奇数のとき負かつ k が偶数のとき正となることである。また、半正定値となるための必要十分条件はその任意の主小行列式が非負となることである。ここで首座小行列式を考えただけでは不十分であることは、なんとなれば成分が 0 と −1 しかとらないような対角行列について確かめてみるとよい。
エルミート行列 M が半正定値となる必要十分条件は、それが適当なベクトルからなる集合のグラム行列として得られることである。正定値の場合との違いは、これらのベクトルが必ずしも線型独立である必要が無いことである。
任意の行列 A に対して、行列 AA は必ず半正定値であり、かつ rank(A) = rank(AA) が成り立つ。