分解 (ホモロジー代数)
多くの状況では、与えられた加群 M を分解する加群 Ei に条件が課される。例えば、加群 M の自由分解はすべての加群 Ei が自由 R 加群であるような左分解である。同様に、射影分解あるいは平坦分解はすべての Ei が射影加群あるいは平坦加群であるような左分解である。単射分解は C がすべて単射加群であるような右分解である。
すべての R 加群は自由左分解を持つ。したがって当然(英語版)任意の加群は射影分解や平坦分解も持つ。証明のアイデアは、E0 を M の元によって生成される自由 R 加群と定義し、E1 を自然な写像 E0 → M の核の元によって生成される自由 R 加群と定義し、......とすることである。双対的に、任意の R 加群は移入分解を持つ。射影分解(そしてより一般に平坦分解)は Tor 関手を計算するのに使うことができる。
加群 M の射影分解は鎖ホモトピー(英語版)の違いを除いて一意的である、すなわち、M の2つの射影分解 P0 → M と P1 → M が与えられると、それらの間の鎖ホモトピーが存在する。