エアリー関数
正の引数に対して、エアリー関数は変形ベッセル関数と
Ai  ( x ) = 1 π x 3 K 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) , Bi  ( x ) = x 3 ( I 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) + I − 1 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{1/3}(2x^{3/2}/3),\\[8pt]\operatorname {Bi} (x)&={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(I_{1/3}(2x^{3/2}/3)+I_{-1/3}(2x^{3/2}/3)\right)\end{aligned}}}
なる関係を持つ。ここで I±1/3, K1/3 は xy" + xy' − (x + 1⁄9)y = 0 の解である。エアリー関数の一階微分は
Ai ′  ( x ) = − x π 3 K 2 / 3 ( 2 x 3 / 2 / 3 ) {\displaystyle \operatorname {Ai} '(x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{2/3}(2x^{3/2}/3)}