リーマン・ロッホの定理
リーマン球面(または、複素射影直線ともいう)は、単連結であるので、その1次特異ホモロジーはゼロである。特に、種数はゼロである。リーマン球面は、C の 2つのコピーで被覆することができ、変換写像(英語版)は次の式で与えられる。
C × ∋ z ↦ 1 / z . {\displaystyle \mathbf {C} ^{\times }\ni z\mapsto 1/z.}
したがって、C ひとつのコピー上の微分形式 ω = dz は、リーマン球面上の有理型微分形式に拡張される。これは
d ( 1 z ) = − 1 z 2 d z {\displaystyle d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}dz}
より無限遠点に位数2の極を持っている。したがって、その因子は K = (ω) = −2P (ここに P は無限遠点)である。
したがって、定理より、数列 l(nP) は
1, 2, 3, ...
である。この列は部分分数分解から導出することも可能である。逆に、この列がこのように始まると種数 g はゼロとなる。