一般化された複素構造
一般化された複素構造幾何学の概に当たる構造のいくつかは、G-構造(英語版)のことばで言い換えることができる。「概」という単語は、可積分性を持つと付かない。
上記の内積を持つバンドル (T ⊕ {\displaystyle \oplus } T) ⊗ {\displaystyle \otimes } C は、 O(2n, 2n) 構造をもっている。一般化された概複素構造は、この構造を U(n, n) 構造へ退化させたものである。従って、一般化された複素構造の空間は、コセット
O ( 2 n , 2 n ) U ( n , n ) . {\displaystyle {\frac {O(2n,2n)}{U(n,n)}}.}
となる。 一般化された概ケーラー構造(英語版)は、対応するテンソルの積のマイナスが (T ⊕ {\displaystyle \oplus } T) ⊗ {\displaystyle \otimes } C の上の正定値計量であるような可換な作用をもつ一般化された複素構造のペアである。 一般化された概ケーラー構造は、構造群を U(n) × {\displaystyle \times } U(n) まで退化させた構造である。一般化されたケーラー多様体と、そのツイストした相手は、双エルミートな多様体(英語版)に同値である。これは1984年に、シルベスター・ジェームズ・ゲーツ(英語版), クリス・ハル(英語版) と (Martin Roček)(英語版)により、2-次元超対称な量子場の理論の脈絡で発見された。
最後に、一般化された概カラビヤウ計量構造は、さらに構造群が SU(n) × {\displaystyle \times } SU(n) へ退化する。