モーメント (数学)
と表される。
この定義による変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。
μ 0 ( 0 ) = N {\displaystyle \mu _{0}^{(0)}=N} 。
μ = μ 1 ( 0 ) / N {\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}/N} は平均値。
σ 2 = μ 2 / N = { μ 2 ( 0 ) − ( μ 1 ( 0 ) ) 2 } / N {\displaystyle \sigma ^{2}=\mu _{2}/N=\{\mu _{2}^{(0)}-(\mu _{1}^{(0)})^{2}\}/N} は分散、 σ = μ 2 / N {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mu _{2}/N}}} は標準偏差。
γ 1 = μ 3 / N σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}=\mu _{3}/N\sigma ^{3}} は歪度。
γ 2 = μ 4 / N σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}=\mu _{4}/N\sigma ^{4}-3} は尖度。
)。
点 ( μ 10 ( 0 ) / μ 00 ( 0 ) , μ 01 ( 0 ) / μ 00 ( 0 ) ) {\displaystyle (\mu _{10}^{(0)}/\mu _{00}^{(0)},\mu _{01}^{(0)}/\mu _{00}^{(0)})} は重心。
慣性主軸(周りの2次モーメントが最小になる直線)は重心を通り、傾きは tan  θ {\displaystyle \tan \theta } で、θ は tan  2 θ = 2 μ 11 ( 0 ) / ( μ 20 ( 0 ) − μ 02 ( 0 ) ) {\displaystyle \tan 2\theta =2\mu _{11}^{(0)}/(\mu _{20}^{(0)}-\mu _{02}^{(0)})} を満たす。
慣性主軸を x 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを μ 00 ( 0 ) {\displaystyle \mu _{00}^{(0)}} で割った値は拡大縮小に対し不変。
モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。