円周率
4 arccot  5 − arccot  239 = π 4 {\displaystyle 4\operatorname {arccot} 5-\operatorname {arccot} 239={\frac {\pi }{4}}} と書かれることもある。
4 と 1/4 が二進法と相性が良く、収束も早いため、コンピュータでの円周率計算によく使われる公式の一つである。
4/π の連分数表示
4 π = 1 + 1 3 + 4 5 + 9 7 + 16 9 + 25 ⋱ {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {4}{5+{\cfrac {9}{7+{\cfrac {16}{9+{\cfrac {25}{\ddots }}}}}}}}}}}
ガウス=ルジャンドルのアルゴリズム
初期値の設定: a 0 = 1 , b 0 = 1 2 , t 0 = 1 4 , p 0 = 1. {\displaystyle a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.} 反復式:an, bn が希望する桁数になるまで以下の計算を繰り返す。小数第n位まで求めるとき log2 n回程度の反復でよい。 a n + 1 = a n + b n 2 , b n + 1 = a n b n , t n + 1 = t n − p n ( a n − a n + 1 ) 2 , p n + 1 = 2 p n .
分母を整数と分数の和で表すことを続けていった表示を連分数という。「整数」を最大にしていくと、分子を全て 1 にできる:
a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 ⋱ + 1 a n {\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}}
π は無理数であるから、円周率 π の連分数展開は有限項では終わらず無限項の連分数となる:
π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
π の桁を記憶術に頼らずに暗記する方法が各種存在している。
日本語では、語呂合わせにより、長い桁を暗記するのも比較的簡単である。有名なものとして、以下がある。
全く傾向が異なるものとして、
英語圏では語呂合わせがうまくいかないため、単語の文字数で覚える方法がある。
3桁目の like を want としたものもある(出典は不明)。
これらのような覚え方は多くあり、日本語では上記のものの改編で90桁までのものや、歌に合わせたもの、数値を文字に置き換えて1,000桁近く覚える方法などがある。
双曲線関数(双曲線余接関数)の公式より
1 e 2 − 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 ( n π ) 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{e^{2}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n\pi )^{2}+1}}}
ニュートンの無平方根公式
π = 3 ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! ( 2 n + 1 ) 16 n ( n ! ) 2 = 3 ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) C n ( 2 n + 1 ) 16 n {\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2n+1)16^{n}(n!)^{2}}}\\&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n+1)C_{n}}{(2n+1)16^{n}}}\end{aligned}}}
(Cn はカタラン数)この式は、
π = 6 arcsin  1 2 {\displaystyle \pi =6\arcsin {\frac {1}{2}}} のマクローリン級数となっている。
マチンの公式(マチン、1706年(1709年とも))
4 arctan  1 5 − arctan  1 239 = π 4 {\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}}
小数点以下1000桁までの値
π = 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 .