見せかけの回帰
ここで次のような線形回帰式を最小二乗法で推定する。
y t = α + β x t + ε t {\displaystyle y_{t}=\alpha +\beta x_{t}+\epsilon _{t}}
x t {\displaystyle x_{t}} と y t {\displaystyle y_{t}} には何の関係もないので β = 0 {\displaystyle \beta =0} である。しかし、この回帰式の、 T {\displaystyle T} 個の観測値においての最小二乗法による β {\displaystyle \beta } 推定量 β ^ T {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{T}} は以下の確率変数に分布収束する。
β ^ T → d σ v σ w ∫ 0 1 V ( t ) W ( t ) d t − ∫ 0 1 V ( t ) d t ∫ 0 1 W ( t ) d t ∫ 0 1 W ( t ) 2 d t − ( ∫ 0 1 W ( t ) d t ) 2 {\displaystyle {\widehat {\beta }}_{T}\ {\xrightarrow {d}}\ {\frac {\sigma _{v}}{\sigma _{w}}}{\frac {\int _{0}^{1}V(t)W(t)dt-\int _{0}^{1}V(t)dt\int _{0}^{1}W(t)dt}{\int _{0}^{1}W(t)^{2}dt-\left(\int _{0}^{1}W(t)dt\right)^{2}}}}
1期前の説明変数、もしくは被説明変数を説明変数として加える事で見せかけの回帰は回避できる。つまり、単位根過程 x t , y t {\displaystyle x_{t},\ y_{t}} に対し
y t = α + β 1 x t + β 2 x t − 1 + β 3 y t − 1 + ε t {\displaystyle y_{t}=\alpha +\beta _{1}x_{t}+\beta _{2}x_{t-1}+\beta _{3}y_{t-1}+\epsilon _{t}}
という回帰式で最小二乗法を適用する。例えば、数式での表現で定義されているように x t , y t {\displaystyle x_{t},\ y_{t}} がランダムウォークならば、 β 3 = 1 , β 1 = β 2 = 0 {\displaystyle \beta _{3}=1,\ \beta _{1}=\beta _{2}=0} であり、結果として誤差項が v t = ε t {\displaystyle v_{t}=\epsilon _{t}} を満たし、定常過程となるので通常の最小二乗法で係数が一致推定できる。しかし、仮説検定においては y t {\displaystyle y_{t}} の非定常性により通常の手続きと異なる方法を取る必要がある。