射影作用素
直交射影でないような射影のことを、斜交射影と呼ぶこともある。直交射影ほど頻繁ではないが、この種の射影は二次元に描画された空間図形を表すのにも用いられる。
斜交射影はその値域と核によって定まり、与えられた値域と核を持つ射影の行列表現の式は次のように求められる。まず射影の値域の基底を成すベクトルを u1, ..., uk とし、それらを列ベクトルとして並べた n × k 行列を A と書く。射影の値域と核とは互いに補空間になっているから、核の次元は n − k である。従って、射影の核の直交補空間の次元は k であり、v1, ..., vk がその基底を成すものとして、それらを並べた行列を B と書く。このとき、当該の射影は
P = A ( B ⊤ A ) − 1 B ⊤ {\displaystyle P=A(B^{\top }A)^{-1}B^{\top }}
によって定まる。この公式を、上で直交射影に対してやったように拡張することもできる。