フィルター (数学)
集合 S 上の任意のフィルター F に対し、以下のようにして集合関数が定義できる:
m ( A ) = { 1 if A ∈ F 0 if S ∖ A ∈ F undefined otherwise {\displaystyle m(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}A\in F\\0&{\text{if }}S\setminus A\in F\\{\text{undefined}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
この関数は有限加法性を持ち、弱い意味での測度になっている。従って「φ はほとんど至る所成り立つ」の類似として、
{ x ∈ S ∣ φ ( x ) } ∈ F {\displaystyle \{x\in S\mid \varphi (x)\}\in F}
というかたちの言明が考えられる。フィルターへの帰属関係についてのこの解釈はモデル理論における超積の研究で(直ちに厳密な証明を与えるものではないが)指導原理として用いられている。
B は空でなく、空集合は B に入っていない
フィルター基 B が与えられたとき、 B を含む P(S) の元すべてを考えることでフィルターが得られる。
集合 X 上のフィルター F と写像 f: X → Y に対し、P(Y) の部分集合 { f(A) : A ∈ F } はフィルター基になっている。これによって生成されるフィルターは記法の濫用によって f(F) と書かれる。
S の各部分集合 T に対して、 T が生成する単項フィルターが考えられる。また、S の任意の元 p について、 {p} が生成する単項フィルターのことを言葉の濫用により p が生成する単項フィルターとも呼ぶ。S の任意の元 p について、p が生成するフィルターは超フィルターになっている。有限集合上の超フィルターは必ず単項フィルターの形をしている。反対に、(無限集合上で)単項フィルターの形をしていない超フィルターの存在証明にはツォルンの補題が必要になる。
F が S 上の超フィルターならば、S の任意の部分集合 A について A ∈ F か A ∈ F のどちらかが成立している。