方法 (アルキメデスの著書)
この議論は無限小である線の代わりに小さな長方形を使う取り尽くし法により簡単に厳密なものにすることができ、これはアルキメデスが『平面の釣合について』で行っている。
したがって、三角形の質量中心は中線上の交点にあるはずである。問題の三角形の場合、1つの中線はy = x/2で、2番目の中線はy = 1 − xである。これらの方程式を解くと、2つの中線の交点はx = 2/3である点上にあることがわかり、てこ上における三角形の総質量は、三角形の総質量がこの点を押し下げている(もしくはぶら下がっている)かのようになる。三角形による総トルクはその面積1/2にx = 0にある支点から質量中心までの距離2/3をかけたものである。この1/3のトルクは支点から距離-1にある放物線の均衡をとる。したがって、放物線の面積は逆のトルクを与えるために1/3でなければならない。
このような方法で放物線の任意の断面積を求めることができ、同様の議論でxの任意乗の積分を求めることができるが、これ以上の乗数は代数学を使わないと複雑になる。アルキメデスは半球の質量中を求めるために使ったxの積分までしか行っていないが、他の作品では放物線の質量中心を求めている。
『方法』の注目すべき点の1つは、アルキメデスが円柱の断面で定義される2つの図形を発見したことであるが、その図形は曲線的な境界を持つにもかかわらず体積に πが含まれない。これはこの研究の中心となる点である—幾何学的な立体の交点により定義された体積の間には非自明な有理数の関係があるように、ある種の曲線形状は定規とコンパスにより修正することができる。
アルキメデスはこのことを論文の冒頭で強調しており、読者に他の方法で結果を再現することを勧めている。他の例とは異なり、これらの図形の体積はアルキメデスの他の作品では厳密に計算されていない。パリンプセストの断片からは、詳細は保存されていないが、体積の厳密な境界線を証明するために形を刻んだり囲んだりした様子がみられる。
アルキメデスが考える2つの図形は、2つの円柱が直角に交わるものであり、(x, y, z)の領域は次に従う。
(2Cyl) x 2 + y 2 < 1 y 2 + z 2 < 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}<1\;\;\;y^{2}+z^{2}<1}
円形のプリズムの領域は次に従う。
(CirP) x 2 + y 2 < 1 0 < z < y . {\displaystyle x^{2}+y^{2}<1\;\;\;\;\;0<z<y.}
どちらの問題も機械的方法では簡単な積分が得られるスライスがある。円形のプリズムの場合はx軸をスライスする。y-z平面上の任意のxにおける領域は、辺長 1 − x 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {1-x^{2}}}} で面積 1 / 2 ( 1 − x 2 ) {\displaystyle \scriptstyle 1/2(1-x^{2})} の直角三角形であり、総体積は