三角関数の無限乗積展開
sin  ( π z ) {\displaystyle \sin({\pi }z)} は複素平面全体で正則(マクローリン展開の収束半径が無限大)であるから無限次の多項式で表される。 sin  ( π z ) {\displaystyle \sin({\pi }z)} の零点は z = ... , − 1 , 0 , + 1 , ... {\displaystyle z=\dotsc ,-1,0,+1,\dotsc } であるから、 c {\displaystyle c} を定数として
sin  ( π z ) = c z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) ( 1 − z n ) = c z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \sin({\pi }z)=cz\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}{\left(1-{\frac {z}{n}}\right)}=cz\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}}
微分して