パイこね変換
保存系の場合と同様に、変換を再帰的に繰り返し適用すると、初期の各点は離れ離れになっていく。すなわち初期値鋭敏性を持つ。しかし保存系の場合と異なり、散逸系の場合は変換を適用するたびに、初期領域は帯状に分割されていき、その帯の面積も減少していく。1つの帯の幅は変換の度に a 倍されるので、n 回変換後の各帯の幅は a となる。帯の数は変換のたびに2倍されるので、n 回変換後はその数は 2 となる。
変換を繰り返すたびに帯は薄くなり、その数は増加していくことになるが、その極限は次のようになっている。f の n 回の反復合成を f で表し、像 A = f(E) がパイこね変換を無限に適用したときに得られる部分集合を表すとする。このとき、A の極限は実際に存在し、f(A) = A を満たす不変集合である。さらに、A はフラクタルであり、カントール集合の一種となっている。この場合、ハウスドルフ次元 dimH A とボックス次元 dimB A は一致しており、それらの値は
dim H  A = dim B  A = 1 + log  ( 1 / 2 ) log  a {\displaystyle \dim _{H}A=\dim _{B}A=1+{\frac {\log(1/2)}{\log a}}}
( x n + 1 , y n + 1 ) = { ( 2 x n , y n / 3 ) 0 ≤ x n ≤ 1 / 2 ( 2 x n − 1 , y n / 3 + 2 / 3 ) 1 / 2 < x n ≤ 1 {\displaystyle (x_{n+1},\ y_{n+1})={\begin{cases}(2x_{n},\ y_{n}/3)&0\leq x_{n}\leq 1/2\\(2x_{n}-1,\ y_{n}/3+2/3)&1/2<x_{n}\leq 1\end{cases}}}
または、折り返しで「折り畳み」の操作を行う形式の場合では、次の形式の変換で3分割のカントール集合に厳密に一致する。
( x n + 1 , y n + 1 ) = { ( 2 x n , y n / 3 ) 0 ≤ x n ≤ 1 / 2 ( 2 − 2 x n , 1 − y n / 3 ) 1 / 2 < x n ≤ 1 {\displaystyle (x_{n+1},\ y_{n+1})={\begin{cases}(2x_{n},\ y_{n}/3)&0\leq x_{n}\leq 1/2\\(2-2x_{n},\ 1-y_{n}/3)&1/2<x_{n}\leq 1\end{cases}}}