整関数
したがって lim sup n → ∞ | a n | 1 / n = 0 {\textstyle \limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}=0} が成り立つ。またそれゆえ、整函数の任意の階数の導函数もまた整函数になる。
コーシーの積分公式:
は、分数式 1/(s − z) を整級数に展開することにより、各テイラー係数を積分
によって決定できる。ただし上記の両方の積分では、積分路 γ は z を囲まない閉路とする。さらに M(R) を z を中心とする半径 R の円板上での函数の最大絶対値とすれば、極めて重要なコーシーの不等式(フランス語版)
が簡単な論法により得られる。
整函数に関する重要な結果としてリウヴィルの定理がある:
解析函数 f が円板 |z| < r の内部に零点 a1, a2, ..., an を持つならば ln  | f ( 0 ) | = − ∑ k = 1 n ln  ( r | a k | ) + 1 2 π ∫ 0 2 π ln  | f ( r e i θ ) | d θ {\displaystyle \ln |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\ln \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln |f(re^{i\theta })|d\theta } が成り立つ。
が導かれる。この公式により、零点の個数と整函数の増大度を結びつけることが可能である。すなわち、f(s) が整函数で、その任意の零点 ak が半径 r の円板内に含まれるとき、絶対値が x 以下の零点の個数を n(x) と書けば、
が成り立ち、したがって 0 において非零な整函数に対して、イェンゼンの公式を
の形で与えることができる。有限増大度 ρ の整函数に対しては n(r) < r が示せる。
級数 ∑ k | a k | − τ {\textstyle \sum _{k}|a_{k}|^{-\tau }} は τ > ρ に対して収束し、この級数が収束するような最小の τ の値を、これら零点列の(ボレルの)実位数 (ordre réel) または収束冪数 (exposant de convergence) と言う。そのとき以下のボレルの定理が成り立つ:
↑ Hadamard, Jacques (1892), “Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier sur une fonction considérée par Riemann”, Journal de mathématiques pures et appliquées 9
↑ Carleman, Torsten, Sur un théorème de Weierstrass, http://www.math.technion.ac.il/hat/fpapers/car1.pdf
↑ たとえば Kaplan, Wilfred, Approximation par des fonctions entières, http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.mmj/1031710533
↑ Boas 1954, p. 11.
↑ Rudin, Walter, Real and complex analysis
↑ Pólya, Georg (1915), “Über ganzwertige ganze Funktionen”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 40: 1–16, doi:10.1007/BF03014836, ISSN 0009-725X, http://www.springerlink.com/content/7q0r434816514656/