ケイリーグラフ
ベーテ格子あるいはケイリー木は n 個の生成元をもつ自由群のケイリーグラフである。n 個の生成元をもつ群 G の表示は n 個の生成元をもつ自由群から群 G への全射準同型と対応し、ケイリーグラフの観点からはケイリー木からケイリーグラフへの射に対応する。これは(代数的トポロジーでは)ケイリーグラフの一般には単連結とは限らない普遍被覆と解釈することもできる。
無限群に対してケイリーグラフのcoarse幾何学は幾何学的群論の基本である。有限生成群に対して、これは有限生成集合の選び方に依らず、したがってその群に固有の性質である。これは無限群に対してのみ興味のあることである:すべての有限群は全体を有限生成集合として選ぶことができるので一点(あるいは自明な群)とcoarse同値である。
形式的には、与えられた生成元に対して、語距離(ケイリーグラフ上の自然な距離)があり、距離空間を定める。この空間のcoarse同値の代表系は群の不変量である。