断熱定理
さて、ここで断熱近似、すなわち、ハミルトニアンの時間変化が十分に小さいということで、 ⟨ ψ m | H ̇ | ψ n ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \psi _{m}|{\dot {H}}|\psi _{n}\rangle =0} が成立するとすれば、
c m ( t ) = c m ( 0 ) exp  ( i γ m ( t ) ) {\displaystyle c_{m}(t)=c_{m}(0)\exp(i\gamma _{m}(t))} ... (x)
という解が得られる。ただし、
γ m ( t ) ≡ i ∫ 0 t ⟨ ψ m ( t ) | ψ ̇ m ( t ′ ) ⟩ d t ′ {\displaystyle \gamma _{m}(t)\equiv i\int _{0}^{t}\langle \psi _{m}(t)|{\dot {\psi }}_{m}(t')\rangle dt'} ...(xi)
と記述されるもので、断熱発展が周期的なものであれば、γはBerry位相となる。(x)式の結果を(iv)式に適用することで、
| Ψ n ( t ) ⟩ = exp  ( − i θ n ( t ) t / ħ ) exp  ( − i γ n ( t ) / ħ ) | ψ n ( t ) ⟩ {\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle =\exp(-i\theta _{n}(t)t/\hbar )\exp(-i\gamma _{n}(t)/\hbar )|\psi _{n}(t)\rangle }
という結論を得ることができる。