群の位数に関する積の法則
↑ 代数的整数論における formule du produit は特に積公式 と呼ばれるので混同の虞は無いと思われる。
↑ これらの中で、積(元ごとに積をとって得られる集合)だけが必ずしも部分群をなさない(いずれか一方の部分群が正規部分群ならば群になる)。他は常に部分群である。
↑ 積の法則は。一般にこの N の正規性を落としてもよいことを含意するが、正規性が無い場合部分群の積は部分群にならず、したがって準同型定理(あるいは同型定理)の適用はできないので、証明はもう少し丁寧に見る必要がある。
↑ この第二の式は特に H, K が有限群であるという仮定の下で述べている。これは (Isaacs 2008, p. 6) に練習問題として出ている。またこれら両側剰余類は、H × K の G への右作用(これは上で述べた両側作用にほかならない)の軌道と同じ働きを表している。
↑ この式の第一の等号は、写像 H / ( H ∩ ( g K g − 1 ) ) → { h g K ∣ h ∈ H } ; x = h ( H ∩ ( g K g − 1 ) ) ↦ x g K = h g K {\displaystyle H/{\mathopen {(}}H\cap (gKg^{-1}){\mathclose {)}}\to \{hgK\mid h\in H\};\;x=h{\mathopen {(}}H\cap (gKg^{-1}){\mathclose {)}}\mapsto xgK=hgK} が全単射であることにより、HgK が K に等濃な成分 [H : H ∩ gKg] 個に分割されることから言える。第二の等号も同様にしてできるが、対称性により第一の等号に帰着してもよい。