基底 (位相空間論)
開基の重要な性質を二つ挙げる:
開基の元は、全体空間 X を被覆する。
B1, B2 が開基の元で、それらの交わりを I とすると、I の各点 x に対し、開基の元 B3 で x を含み I に含まれるものが取れる。
X の部分集合族 B が上記の条件のうちの何れかでも満たさないならば、B は X 上のどのような位相の開基にもならない(しかし、X のどんな部分集合族も準開基になる)。逆に、B が上記に条件のどちらも満たすならば、B を開基とする X の位相が一意的に定まり、B によって生成された位相と呼ばれる(この位相は開集合系として、B を含む X の任意の位相すべての交わりに一致する)。このようにして位相を定義する手法は広く用いられる。集合族 B が X 上の位相を生成するための十分だが必要でない条件の一つは、B が交叉に関して閉じていることである。この場合であれば、上記の性質において常に B3 = I と取ることができる。
例えば、実数直線における開区間全体の成す族は、実数直線上のある位相の開基になる。実際、任意の二つの開区間の交わりは、それ自身開区間であるか、または空集合である。実は、この開基の生成する位相は実数直線における通常の位相である。
しかし、一つの位相に関してその開基は一意的には決まらない。複数の開基が(たとえ大きさが異なるものであっても)、同じ位相を生成し得るのである。例えば、端点が有理数であるような開区間の全体も、端点が無理数であるような開区間の全体も、ともにやはり実数直線の通常の位相を生成するが、これら二つの集合族はまったく交わりを持たず、またともに開区間全体の成す開基に含まれる。
F の各元 F1, F2 に対してその合併 F1 ∪ F2 は F のある部分族の交わりに書ける(即ち、F1 にも F2 にも含まれない任意の x に対し、F の元 F3 で F1 ∪ F2 を含むが x を含まない者が存在する)。
が成り立つ。集合 X の部分集合族でこの二条件を満たすようなものは、X 上のある位相の閉基を成す。この位相に関する閉集合の全体は、F の元の交わりとして書けるもの全体にまったく一致する。
場合によっては開基よりも閉基を考えたほうが有効であることもある。例えば、空間が完全正則であるための必要十分条件は、その上の函数の零点集合の全体が閉基を成すことである。任意の位相空間 X について、その上の函数の零点集合の全体は、X 上の何らかの位相の閉基を成す。この位相は、もともとの位相よりも粗い X のうちで最も細かい完全正則位相である。同様の流れで、アフィン空間 A 上のザリスキー位相は多項式函数の零点集合を閉基として定義される。