開写像と閉写像
すべての同相写像は開、閉、連続である。実際、全単射な連続写像に対する条件「同相写像である」、「開写像である」、「閉写像である」は互いに同値である。
Y が離散位相を持っていれば(すなわちすべての部分集合が開かつ閉であれば)すべての関数 f : X → Y は開写像かつ閉写像である(が連続であるとは限らない)。例えば、R から Z への床関数は開かつ閉だが、連続でない。この例は連結空間の開あるいは閉写像による像が連結であるとは限らないことを示している。
位相空間の積 X=ΠXi があるときにはいつでも、自然な射影 pi : X → Xi は開である(連続でもある)。 ファイバー束の射影と被覆写像は積の局所的に自然な射影であるから、これらもまた開写像である。射影はしかしながら閉であるとは限らない。例えば第一成分への射影 p1 : R → R を考えよ。A = {(x,1/x) : x≠0} は R において閉だが、p1(A) = R − {0} は閉でない。しかしながら、コンパクトな Y に対して、射影 X × Y → X は閉である。これは本質的に tube lemma である。
単位円上のすべての点に、正の x-軸の、原点とその点を結ぶ半直線との角度を割り当てることができる。単位円から半開区間 [0, 2π) へのこの関数は全単射、開、閉だが、連続でない。これはコンパクト空間の開あるいは閉写像による像がコンパクトとは限らないことを示している。これを単位円から実数への関数と考えれば開でも閉でもないということにも注意しよう。終域を指定することは本質的である。
f(x) = x で定まる関数 f : R → R は連続かつ閉だが開でない。