シャープレイ値
状況を定式化するために、特性関数型ゲームの概念を導入する。 プレイヤーの集合 N {\displaystyle N} および関数を v : P ( N ) → R {\displaystyle v\;:\;{\mathcal {P}}(N)\;\to \Re } へ定義する。 こうしてプレイヤーの部分集合から実数への関数(特性関数という)は以下の性質をもつ。
v ( ∅ ) = 0 {\displaystyle v(\varnothing )=0}
v ( S ∪ T ) ≥ v ( S ) + v ( T ) {\displaystyle v(S\cup T)\geq v(S)+v(T)}
ここで S {\displaystyle S} と T {\displaystyle T} は N {\displaystyle N} の任意の非交の(交わりが空集合の)部分集合である。
関数 v {\displaystyle v} の性質は以下のとおりである。 もしも S {\displaystyle S} がプレイヤーの提携で、協力に合意している場合、 v ( S ) {\displaystyle v(S)} は その提携からの総報酬の期待値を示す。 このときの v ( S ) {\displaystyle v(S)} の値は S {\displaystyle S} 以外のプレイヤーの行動とは独立に決まる。
不等式で示される第二の条件 v {\displaystyle v} の優加法性とは、 二つのグループ(単独でもよい)が協働することで 報酬の総和が増えることはあっても減ることはないという性質を表す。