半環
抽象代数学において、半環(はんかん、英: semi-ring)とは環に類似した代数的構造で、環の公理から加法的逆元の存在を除いたものである。負元 (negative) の無い環 (ring) ということから rig という用語もしばしば用いられる。
あるいは半環 S に対して A = S であるとき、(自己準同型を行列と同一視すれば)End(A) は S-係数の n-次行列半環になる。
環を成さない半環の最も簡単な例は、二元ブール代数(英語版) B で、これは可換半環を成す。
自然数係数多項式の全体 N[x] は可換半環を成す。実はこれが単項生成な自由可換半環を与える。
個別の環、例えば整数全体 Z や実数全体 R の成す環は、それ自身が半環の個別の例を与える。
熱帯半環 R ∪ {−∞} は、max(a, b) を半環の加法(単位元は −∞)、通常の加法を半環の乗法(単位元は 0)として、可換冪等半環を成す。加法演算として max の代わりに min を考えて R ∪ {∞} を熱帯半環として定式化することもできる。
任意に与えられた無限基数に対して、その基数よりも小さな基数(濃度)全体の成す集合は、基数の加法と乗法に関して半環を成す。あるいは、内部モデル(英語版)での基数全体の成す集合は(内部モデルでの)基数の加法と乗法に関して半環を成す。