全順序
全順序集合を特定の種類の束として定義することもできる。つまり、任意の a, b に対して
{ a ∨ b , a ∧ b } = { a , b } {\displaystyle \{a\vee b,a\wedge b\}=\{a,b\}}
が成り立つものとして、a ≤ b ⇔ a = a ∧ b {\displaystyle a=a\wedge b} と定義するのである。これにより、全順序集合は分配束になる。
全順序集合が完備 (complete) であるとは、空でなく上界を持つ任意の部分集合が上限を持つことをいう。例えば実数全体の成す集合 R は完備だが、有理数全体の成す集合 Q はそうでない。
集合 X が完備となるような順序位相の性質についての結果はいくつもある。
X 上の順序位相が連結ならば X は完備である。
X が順序位相に関して連結となる必要十分条件は、それが完備かつ X に「ギャップ」がないことである(ここで「ギャップ」は X の適当な二点 a, b (a < b) に対して a < c < b を満たす点 c が存在しないことをいう)。
X が完備となる必要十分条件は、その順序位相に関する任意の閉有界集合がコンパクトとなることである。
完備束を成す全順序集合はその順序位相に関してコンパクトである。実数からなる閉区間(例えば単位閉区間 [0,1] )や、拡大実数直線はそういった例である。この二つの例の間には順序を保つ同相がある。
順序を保つ写像 f(a ≤ b ならば f(a) ≤ f(b))を射として、全順序集合の全体は半順序集合の圏の充満部分圏になる。
このとき、二つの全順序集合の間の全単射な射はこの圏における同型射になる。