部分リーマン多様体の接続と曲率
∇ ̄ {\displaystyle {\bar {\nabla }}} をgが定める M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} 上のレヴィ-チヴィタ接続とする。またリーマン計量gをMに制限することで、 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} がリーマン多様体になるので、gが定めるM上のレヴィ-チヴィタ接続 ∇ {\displaystyle \nabla } を考える事ができる。
一方、Mは M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の部分多様体なので、 M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} のレヴィ-チヴィタ接続 ∇ ̄ {\displaystyle {\bar {\nabla }}} のMへの制限 ∇ ̄ M {\displaystyle {\bar {\nabla }}^{M}} も考える事ができる。
ガウスの方程式はMの曲率が全空間 M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の曲率と第二基本形式から決まる事を意味している。同様にリッチの方程式はMの法曲率がワインガルテン写像から決まる事を意味している。
またガウスの方程式からMの断面曲率
S e c P ( v , w ) := g P ( R P ( v , w ) w , v ) g P ( v , v ) g P ( w , w ) − g P ( v , w ) 2 {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w):={g_{P}(R_{P}(v,w)w,v) \over g_{P}(v,v)g_{P}(w,w)-g_{P}(v,w)^{2}}} と M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の断面曲率 S e c ̄ P ( v , w ) {\displaystyle {\overline {\mathrm {Sec} }}_{P}(v,w)} に関して以下の系が従う:
系 ― TPMの正規直交している2本のベクトルv、wに関し、以下が成立する:
S e c P ( v , w ) = S e c ̄ P ( v , w ) + g ( I I ( v , v ) , I I ( w , w ) ) − g ( I I ( v , w ) , I I ( v , w ) ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w)={\overline {\mathrm {Sec} }}_{P}(v,w)+g(\mathrm {I\!I} (v,v),\mathrm {I\!I} (w,w))-g(\mathrm {I\!I} (v,w),\mathrm {I\!I} (v,w))}