モース理論
(3) 完全に図形が水没したとき (peaks)
これら 3つのタイプの臨界点 – basins, passes, と peaks (また、最小、鞍点、最大とも言う) – に対し、指数を割り付ける。直感的に言うと、周りの f が減少する独立した方向の数を、臨界点 b の指数とする。従って、最小点、鞍点、最大点の指数はそれぞれ 0, 1, 2 となる。厳密には、臨界点の指数は、その点でのヘッセ行列の負定値の部分行列の次元である。滑らかな写像の場合は、ヘッセ行列は対角行列となる。
M を f(−∞, a] と定義する。トポグラフィーの脈絡を離れ、M のトポロジーがどのように a の増加に対し変化するのかを、同様に分析することができる。M が向き付けられたトーラスで f が垂直軸への射影であるとき、点は平面の上の高さとなる。
トーラスの下の端から始め、p, q, r, s を指数がそれぞれ 0, 1, 1, 2 である臨界点とする。a が 0 より小さいときは、M は空集合である。a が p のレベルを通り過ぎた後、0<a<f(q) のときに、M は、空集合に繋がる点(0-cell)にホモトピー同値な円板である。次に、a がレベル q を超えた f(q)<a<f(r) のとき、M は円筒状となり、(左に図示するように)1-cellである円板にホモトピー同値となる。