ベクトル解析
ベクトル解析(ベクトルかいせき、英語:vector calculus)は空間上のベクトル場やテンソル場に関する微積分に関する数学の分野である。
多くの物理現象はベクトル場やテンソル場として記述されるため、ベクトル解析は物理学の様々な分野に応用を持つ。
物理学では3次元ユークリッド空間上のベクトル解析が特によく用いられるが、ベクトル解析は一般のn次元多様体上で展開できる。
Xをベクトル場とし、 ユークリッド空間上の曲線Cが x ( u ) = ( x 1 ( u ) , x 2 ( u ) , x 3 ( u ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))} 、u∈[a,b]とパラメーター表示されているとする。積分
I = ∫ a b F ( x ( u ) ) ‖ d  x d  u ( u ) ‖ d  u {\displaystyle I=\int _{a}^{b}F(\mathbf {x} (u))\left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} u}(u)\right\|\operatorname {d} u}
を曲線Cに沿ったスカラー場Fの線積分という。
線積分の定義はCとその向き付けには依存するが、同じ向き付けを与える限りパラメーターの取り方に依存しない。実際曲線Cを別のパラメーターwに x ( w ) = ( x 1 ( u ( w ) ) , x 2 ( u ( w ) , x 3 ( u ( w ) ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (w)=(x_{1}(u(w)),x_{2}(u(w),x_{3}(u(w)))} 、w∈[c,d]と変数変換して同様の積分
rot  X = ( ∂ X 3 ∂ x 2 − ∂ X 2 ∂ x 3 , ∂ X 1 ∂ x 3 − ∂ X 3 ∂ x 1 , ∂ X 2 ∂ x 1 − ∂ X 1 ∂ x 2 ) {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {X} =\left({\frac {\partial X_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial X_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial X_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial X_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial X_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial X_{1}}{\partial x_{2}}}\right)}
div  X = ∂ X 1 ∂ x 1 + ∂ X 2 ∂ x 2 + ∂ X 3 ∂ x 3 = tr  ( ∂ X i ∂ x j ) i j {\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {X} ={\partial X_{1} \over \partial x_{1}}+{\partial X_{2} \over \partial x_{2}}+{\partial X_{3} \over \partial x_{3}}=\operatorname {tr} \left({\partial X_{i} \over \partial x_{j}}\right)_{ij}}