義務論理
標準義務論理の意味論は通常、可能世界意味論によって与えられる。
M = ⟨ W , R , V ⟩ {\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle W,R,V\rangle } はクリプキモデルであるとする。ここで W {\displaystyle W} は可能世界の集合、 R {\displaystyle R} は W {\displaystyle W} 上の二項関係、 V {\displaystyle V} は原子式の集合から W {\displaystyle W} の冪集合への写像である。また、 R {\displaystyle R} は「どんな w ∈ W {\displaystyle w\in W} に対しても、ある w ′ ∈ W {\displaystyle w'\in W} が存在して w R w ′ {\displaystyle wRw'} 」という条件を満たすものとする(すなわち、 R {\displaystyle R} は継続的な関係であるとする)。論理式の真偽は、このようなクリプキモデルと可能世界 w ∈ W {\displaystyle w\in W} に対して相対的に定められる。技術的には以下のように帰納的に定義される。なお、 M , w ⊨ φ {\displaystyle {\mathcal {M}},w\vDash \varphi } は「 φ {\displaystyle \varphi } はモデル M {\displaystyle {\mathcal {M}}} の可能世界 w {\displaystyle w} において成り立つ」ということを表す。
直観的には、「あなたはソファで眠るかベッドで寝るかしてよい」という命題から、「あなたはソファで眠ってもよいし、あなたはベッドで寝てもよい」という命題が論理的に導けるように思われる。ところが、標準義務論理によればそのような推論は認められない。この問題を、自由選択許可(free choice permission)のパラドックスと言う。
上の二つの命題を標準義務論理によって表現すると、それぞれ次のようになる。
P ( s ∨ g ) {\displaystyle P(s\lor g)}
P s ∧ P g {\displaystyle Ps\land Pg}
直観的には、 P ( s ∨ g ) → ( P s ∧ P g ) {\displaystyle P(s\lor g)\to (Ps\land Pg)} であるように思われる。しかし、この論理式は標準義務論理によれば恒真ではない。これがパラドックスである。
パラドックスを解消するために、 P ( A ∨ B ) → ( P A ∧ P B ) {\displaystyle P(A\lor B)\to (PA\land PB)} を公理として追加することも考えられる。しかしこの方策はうまくいかない。この公理を追加した場合、 ¬ O A {\displaystyle \lnot OA} が定理となってしまい、どんな命題も義務ではないことが帰結されてしまう。これではやはり直観に反することになる。
ロスのパラドックスとは、「手紙を投函すべきである」という命題から、「手紙を投函するかもしくはそれを焼却するかすべきである」という命題が導けてしまうというパラドックスである。これら二つの命題を標準義務論理によって表現すると、それぞれ次のようになる。
O m {\displaystyle Om}
O ( m ∨ b ) {\displaystyle O(m\lor b)}
ここで、 m → ( m ∨ b ) {\displaystyle m\to (m\lor b)} は古典論理の定理であるから、 O m → O ( m ∨ b ) {\displaystyle Om\to O(m\lor b)} は標準義務論理の定理である。したがって O m {\displaystyle Om} は O ( m ∨ b ) {\displaystyle O(m\lor b)} を含意することが分かる。これは、手紙を投函する義務から、手紙を焼却することによっても達成しうる義務が生ずることになることを意味しており、直観に反する。