ディリクレベータ関数
ディリクレベータ関数は、複素数 s と正の整数 n に対して、
β ( s ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) s = 1 − 1 3 s + 1 5 s − 1 7 s + ⋯ {\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}=1-{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots }
で定義される関数 β である。上記の級数は s の実部が 0 より大きい場合、すなわち Re s > 0 の場合にのみ収束するが、解析接続による操作を施すことによりすべての複素数で有効な値をもつ正則な有理型関数となる。ガンマ関数 Γ を用いれば、
β ( s ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ e − x x s − 1 1 + e − 2 x d x {\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\varGamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}\,x^{s-1}}{1+e^{-2x}}}\,{\rm {d}}x}
と、リーマンゼータ関数と類似した積分表示ができる。