行列の平方根
逆に、 J = [ J 1 O O J 2 ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}} 、ただし J 1 , J 2 {\displaystyle J_{1},J_{2}} はジョルダン標準形で、 J 1 {\displaystyle J_{1}} と J 2 {\displaystyle J_{2}} は共通の固有値を持たないとすると、 J {\displaystyle J} の平方根は、 K = [ K 1 O O K 2 ] {\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&O\\O&K_{2}\\\end{bmatrix}}} ただし、 K 1 2 = J 1 , K 2 2 = J 2 {\displaystyle K_{1}^{2}=J_{1},K_{2}^{2}=J_{2}} に限られる。
これは、 K = [ K 1 B C K 2 ] , J = K 2 {\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}},J=K^{2}} とすると、
K 3 = K J = [ K 1 B C K 2 ] [ J 1 O O J 2 ] = [ K 1 J 1 B J 2 C J 1 K 2 J 2 ] = J K = [ J 1 O O J 2 ] [ K 1 B C K 2 ] = [ J 1 K 1 J 1 B J 2 C J 2 K 2 ] {\displaystyle K^{3}=KJ={\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{1}J_{1}&BJ_{2}\\CJ_{1}&K_{2}J_{2}\\\end{bmatrix}}=JK={\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{1}K_{1}&J_{1}B\\J_{2}C&J_{2}K_{2}\\\end{bmatrix}}} より
以下では、対称行列(あるいはエルミート行列)に限定した行列の平方根についての性質を示す。 「正定値行列」とは、対称行列(あるいはエルミート行列)で、その全ての固有値が正の実数であるものをいう。「半正定値行列」とは、対称行列(あるいはエルミート行列)で、その全ての固有値がゼロまたは正の実数であるものをいう。
記号 √• や • は、主平方根を表すために用いる場合や、平方根の任意の一つを表すために用いる場合などがあるので、文脈に注意すべきである。
2 × 2 行列の場合は、すべての成分を明示的に計算することによって平方根を求めることはそう難しくない。固有値が退化していない場合の平方根は明示公式(英語版)として記述できる。
すなわち、 A = [ a b c d ] {\textstyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} とし、その行列式を Δ = a d − b c {\textstyle \Delta =ad-bc} 、 特性方程式 ( x − a ) ( x − d ) − b c = x 2 − ( a + d ) x + a d − b c = 0 {\textstyle (x-a)(x-d)-bc=x^{2}-(a+d)x+ad-bc=0} の判別式を δ = ( a + d ) 2 − 4 ( a d − b c ) = ( a + d + 2 Δ ) ( a + d − 2 Δ ) {\textstyle \delta =(a+d)^{2}-4(ad-bc)=(a+d+2{\sqrt {\Delta }})(a+d-2{\sqrt {\Delta }})} としたとき、
δ ≠ 0 {\textstyle \delta \neq 0} ならば、 A {\textstyle A} の平方根は、