クライン-ゴルドン方程式
ここで、ダランベールの演算子
◻ ≡ 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \square \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}}
と新たな量
μ ≡ m c ħ {\displaystyle \mu \equiv {\frac {mc}{\hbar }}}
を導入すれば、クライン–ゴルドン方程式は
( ◻ + μ 2 ) φ ( x , t ) = 0 {\displaystyle (\square +\mu ^{2})\phi ({\boldsymbol {x}},t)=0}
と簡明に表すことができる。
なお、クライン–ゴルドン方程式の記述においては、 c = 1 , ħ = 1 {\displaystyle c=1,\hbar =1} とする自然単位系が採用されることも多い。
相対論的な粒子のエネルギーを ε {\displaystyle \epsilon } 、運動量をp とすると、
ε 2 = m 2 c 4 + c 2 p 2 {\displaystyle \epsilon ^{2}=\,m^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}
が成り立つ。ただし、m は粒子の静止質量、c は光速度である。ここで、非相対論的量子力学とのアナロジーによって、 p → = − i ħ ∇ {\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar \nabla } 及び ε = i ħ ∂ ∂ t {\displaystyle \epsilon =i\hbar {\partial \over {\partial t}}} という置き換えをすると、
( i ħ ∂ ∂ t ) 2 = m 2 c 4 + c 2 ( − i ħ ∇ ) 2 {\displaystyle \left(i\hbar {\partial \over {\partial t}}\right)^{2}=m^{2}c^{4}+c^{2}(-i\hbar \nabla )^{2}}