クラスター展開
h^{3N}}}\left(\int \prod _{k}d{\vec {r}}_{k}\right)\left(\int \prod _{k}d{\vec {p}}_{k}\exp \left\{-\beta \sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}\right\}\right)\\&={\frac {V^{N}}{N!h^{3N}}}\left(\int dp\exp \left\{-{\frac {\beta }{2m}}p^{2}\right\}\right)^{3N}\\&={\frac {V^{N}}{N!h^{3N}}}\left({\sqrt {\frac {2\pi m}{\beta }}}\right)^{3N}.\end{aligned}}}
ここで、h はプランク定数、m は粒子の質量、V は系の体積、β =( kBT ) は逆温度、またkB はボルツマン定数、T は熱力学温度をそれぞれ表す。最後の積分はガウス積分である。
分配関数が求まれば、ヘルムホルツの自由エネルギーを計算することができる。
F 0 = − k B T ln  Z 0 . {\displaystyle {\big .}F_{0}=-k_{B}T\ln Z_{0}.}
また、ヘルムホルツの自由エネルギーから、系を記述する熱力学ポテンシャル(エントロピー、内部エネルギー、化学ポテンシャルなど)が得られる。
このように、互いに相互作用しない自由粒子系を考える場合には、分配関数は厳密に計算でき、分配関数が分かれば系のあらゆる熱力学的性質は分配関数を元に記述される。