極集合
函数解析学と関連する数学の分野において、あるベクトル空間の与えられた部分集合の極集合(きょくしゅうごう、英: polar set)とは、その双対空間の中のある集合のことを言う。
双対組 ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} が与えられたとき、 X {\displaystyle X} のある部分集合 A {\displaystyle A} の極集合あるいは極とは、次で定義される Y {\displaystyle Y} 内の集合 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} のことを言う。
A ∘ := { y ∈ Y : sup x ∈ A | ⟨ x , y ⟩ | ≤ 1 } {\displaystyle A^{\circ }:=\{y\in Y:\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}}
X {\displaystyle X} の部分集合 A {\displaystyle A} の双極(bipolar)とは、 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} の極集合のことを言う。それは A ∘ ∘ {\displaystyle A^{\circ \circ }} と表記される X {\displaystyle X} 内の集合である。