ピタゴラスの定理
△ABC において
‖ c → ‖ 2 = ‖ a → ‖ 2 + ‖ b → ‖ 2 {\displaystyle \Vert {\vec {c}}\|^{2}=\Vert {\vec {a}}\|^{2}+\Vert {\vec {b}}\|^{2}}
であり
c → = b → − a → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {b}}-{\vec {a}}}
である。 ここで
‖ c → ‖ 2 = c → ⋅ c → = ( b → − a → ) ⋅ ( b → − a → ) = ‖ b → ‖ 2 − 2 b → ⋅ a → + ‖ a → ‖ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Vert {\vec {c}}\|^{2}&={\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\\&=({\vec {b}}-{\vec {a}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {a}})\\&=\Vert {\vec {b}}\|^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}+\Vert {\vec {a}}\|^{2}\\\end{aligned}}}
である。したがって
b → ⋅ a → = 0 {\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {a}}=0}
である。よって
∠ C = π 2 {\displaystyle \angle {\text{C}}={\frac {\pi }{2}}}
である。ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。
3次元空間内に平面があるとき、その閉領域 S の面積は、yz 平面、zx 平面、xy 平面への射影の面積 Sx, Sy, Sz を用いて
S 2 = S x 2 + S y 2 + S z 2 {\displaystyle S^{2}={S_{x}}^{2}+{S_{y}}^{2}+{S_{z}}^{2}}
と表される。これは高次元へ一般化できる。