建物 (数学)
Arithmetic groups, buildings and symmetric spaces”, Bull. London Math. Soc. 24 (2): 97–126, doi:10.1112/blms/24.2.97, MR1148671
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Tits, Jacques (1986), “Immeubles de type affine”, in Rosati, L.A., Buildings and the Geometry of Diagrams (CIME Session, Como 1984), Lect. notes in math., 1181, Springer, pp. 159–190, doi:10.1007/BFb0075514
Weiss, Richard M. (2003), The structure of spherical buildings, Princeton University Press, ISBN 0-691-11733-0
建物の任意のアパート A はコクセター複体である。実は、平行または (n – 1)-次元単体で交わる任意の二つの n-次元単体に対して、A の鏡映 (reflection) と呼ばれる周期 2 の単体的自己同型で、二つの n-単体の共有点を動かさず、一方を他方の上に移すようなものが一意的に存在する。このような鏡映は A のワイル群と呼ばれるコクセター群 W を生成し、単体的複体 A は W の標準幾何的実現に対応する。このコクセター群の標準生成系は A のある固定された小部屋の壁(境界となる (n − 1)-次元の単体)に関する鏡映によって与えられる。アパート A は同型を除いて建物によって決定されるから、同じことは共通のアパート A に属する X の任意の二つの単体に対しても正しい。W が有限型のとき、建物は球面的であると言い、アフィンワイル群となるとき建物はアフィンあるいはユークリッド型であるという。
小部屋系は小部屋の全体の成す隣接グラフによって与えられ、さらに隣接する小部屋の各対に対してコクセター群の標準生成元によるラベル付けを行ったものである。
任意の建物は、頂点をヒルベルト空間の正規直交基底と同一視することによって得られる幾何的実現から受け継がれる標準長さ函数(英語版)を持つ。アフィン型建物に対して、標準長さはアレクサンドロフ(英語版)の比較不等式CAT(0)(英語版)を満足する。この設定は測地三角形に対するブリュア-ティッツの非正値曲率条件として知られる。つまり、頂点から対辺の中点までの距離は、辺長が同じであるような対応するユークリッド的三角形での距離よりも大きくはならない。