並進演算子 (量子力学)
T ^ R 1 T ^ R 2 ψ = c ( R 1 ) T ^ R 2 ψ = c ( R 1 ) c ( R 2 ) ψ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{1}}{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{2}}\psi &=c({\boldsymbol {R}}_{1}){\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{2}}\psi \\&=c({\boldsymbol {R}}_{1})c({\boldsymbol {R}}_{2})\psi \end{aligned}}}
また、
T ^ R 1 + R 2 ψ = c ( R 1 + R 2 ) ψ {\displaystyle {\hat {T}}_{\boldsymbol {R_{1}+R_{2}}}\psi =c({\boldsymbol {R}}_{1}+{\boldsymbol {R}}_{2})\psi }
よって次の関係が得られる。
c ( R 1 + R 2 ) = c ( R 1 ) c ( R 2 ) {\displaystyle c({\boldsymbol {R}}_{1}+{\boldsymbol {R}}_{2})=c({\boldsymbol {R}}_{1})c({\boldsymbol {R}}_{2})}
ここで a i {\displaystyle {\boldsymbol {a_{i}}}} をブラベー格子における3つの基本ベクトルとする。
T ^ ( x ) T ^ ( y ) = T ^ ( y ) T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}}){\hat {T}}({\boldsymbol {y}})={\hat {T}}({\boldsymbol {y}}){\hat {T}}({\boldsymbol {x}})}
x i {\displaystyle x_{i}} をうまく選ぶと、 c ( a i ) {\displaystyle c({\boldsymbol {a_{i}}})} を常に次のような形に書くことができる。
c ( a i ) = e 2 π i x i {\displaystyle c({\boldsymbol {a_{i}}})=e^{2\pi ix_{i}}}
R が次のように一般的なブラベー格子ベクトルであるとする。
R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 {\displaystyle {\boldsymbol {R}}=n_{1}{\boldsymbol {a}}_{1}+n_{2}{\boldsymbol {a}}_{2}+n_{3}{\boldsymbol {a}}_{3}}
このとき、
c ( R ) = c ( n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 ) = c ( n 1 a 1 ) c ( n 2 a 2 ) c ( n 3 a 3 ) = c ( a 1 ) n 1 c ( a 2 ) n 2 c ( a 3 ) n 3 {\displaystyle {\begin{aligned}c({\boldsymbol {R}})&=c(n_{1}{\boldsymbol {a}}_{1}+n_{2}{\boldsymbol {a}}_{2}+n_{3}{\boldsymbol {a}}_{3})\\&=c(n_{1}{\boldsymbol {a}}_{1})c(n_{2}{\boldsymbol {a}}_{2})c(n_{3}{\boldsymbol {a}}_{3})\\&=c({\boldsymbol {a}}_{1})^{n_{1}}c({\boldsymbol {a}}_{2})^{n_{2}}c({\boldsymbol {a}}_{3})^{n_{3}}\end{aligned}}}
結合性: T ^ ( x 1 ) ( T ^ ( x 2 ) T ^ ( x 3 ) ) = ( T ^ ( x 1 ) T ^ ( x 2 ) ) T ^ ( x 3 ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}}_{1})\left({\hat {T}}({\boldsymbol {x}}_{2}){\hat {T}}({\boldsymbol {x}}_{3})\right)=\left({\hat {T}}({\boldsymbol {x}}_{1}){\hat {T}}({\boldsymbol {x}}_{2})\right){\hat {T}}({\boldsymbol {x}}_{3})} となることを要求する。これは関数の合成に基づくすべての群の場合のように、定義により正しい。
よって全ての x での並進演算子 T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} の集合 T {\displaystyle {\mathfrak {T}}} は群をなす 。この並進群は連続的に無限個の元をもつ連続群である。さらに並進演算子は互いに交換する、すなわち2回並進(2回続けた並進)はその順番に依らない。よって並進群はアーベル群である。
位置の固有状態のヒルベルト空間上での作用する並進群は、ユークリッド空間でのベクトルの加法の群と同型である。
並進演算子 T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} は粒子や場を x だけ動かす。したがって、位置演算子の固有状態 |r⟩ (つまり粒子の位置が確実に r の状態)に T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} を作用させると、その位置は (r + x) に移る。
T ^ ( x ) | r ⟩ = | r + x ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {r}}\rangle =|{\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {x}}\rangle }
並進演算子の性質を記述する別の(等価な)方法は、位置空間の波動関数に基づくものである。粒子が位置空間の波動関数 ψ ( r ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})} を持ち、 T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} が粒子に作用したとき、新しい位置空間の波動関数 ψ ′ ( r ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})} は ψ ′ ( r ) = ψ ( r − x ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})=\psi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}})} で定義される。