冪級数
+ ⋯ {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }
や正弦関数の公式
sin  ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ {\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }
もそうである。これらの冪級数はテイラー級数の例でもある。
負冪は冪級数においては許されていない。例えば、 1 + x − 1 + x − 2 + ⋯ {\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots } は冪級数とは考えない(ローラン級数ではあるが)。同様に、 x 1 / 2 {\displaystyle x^{1/2}} のような分数冪も許されていない(がピュイズー級数(英語版)を参照)。係数 an が x に依存することは許されていない。したがって例えば
sin  ( x ) x + sin  ( 2 x ) x 2 + sin  ( 3 x ) x 3 + ⋯ {\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}
は冪級数ではない。
数学において、(一変数の)冪級数(べききゅうすう、英: power series)あるいは整級数(せいきゅうすう、仏: série entière)とは
∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n = a 0 + a 1 ( x − c ) 1 + a 2 ( x − c ) 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots }
の形の無限級数である。ここで an は n 番目の項の係数を表し、c は定数である。この級数は通常ある知られた関数のテイラー級数として生じる。
多くの状況において c(級数の中心 (center))は 0 である。例えばマクローリン級数を考えるときがそうである。そのような場合には、冪級数は簡単な形
∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots }
になる。
これらの冪級数は主に解析学において現れるが、組合せ論においても(形式的冪級数の一種である母関数として)現れ、電気工学においても(Z変換の名の下で)現れる。実数のよく知られた十進表記(英語版)もまた冪級数の例と見ることができる。係数は整数であり、引数 x は 1/10 に固定されている。数論における p 進数の概念もまた冪級数の概念と密接に関係している。