実解析的アイゼンシュタイン級数
ζ ^ ( s ) = π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) , {\displaystyle {\hat {\zeta }}(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma {\biggl (}{\frac {s}{2}}{\biggr )}\zeta (s)\ ,}
σ s ( m ) = ∑ d | m d s , {\displaystyle \sigma _{s}(m)=\sum _{d|m}d^{s}\ ,}
であり、
K s ( z ) = 1 2 ∫ 0 ∞ exp  ( − z 2 ( u + 1 u ) ) ⋅ u s − 1 d u ∼ π 2 z e − z , ( z → ∞ ) {\displaystyle {\begin{aligned}K_{s}(z)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp {\biggl (}-{\frac {z}{2}}\left(u+{\frac {1}{u}}\right){\biggr )}\cdot u^{s-1}du\\&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (z\rightarrow \infty )\end{aligned}}}
は、 変形されたベッセル函数である。