距離函数
集合 X 上の函数
d: X × X → R
(ここで、R は実数全体の成す集合)が距離函数であるとは、x, y, z を X の任意の元として、以下の条件
d(x, y) ≥ 0 (非負性)
d(x, y) = 0 if and only if x = y (同一律)
d(x, y) = d(y, x) (対称律)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (劣加法性あるいは三角不等式)
が満たされることを言う(条件 1, 2 をあわせて正定値性ということもある)。非負性をいう条件 1 は他の条件から導くことができる(上の三角不等式で z = x とした式に同一律と対称律を適用すれば非負性が導かれる)ので、距離函数だけを考えるならば条件 1 を必ずしも別項立てる必要はないが、適当な一般化を考えたりする際には分けておくほうが有効なこともある。
これらの条件は直感的な距離の概念が持っている性質を抽出したものである。たとえば、相異なる2点の間には正の距離があり、距離によって識別できないならば同じ点(identity of indiscernibles; 不可識別者同一)である。また、ある点 x から別の点 y へ行く距離と、辿り方を逆にした y から x までの距離とは同じである。三角不等式は、ある点 x から別の点 z へ直接行く場合と比べて、xからzへ行くまでに『そこを経由したほうが近くなるような点y』はXのどこにも存在しないということである。ユークリッドは「二点間の最短距離は直線である」と述べているが、これはユークリッド幾何学における三角不等式を表したものに他ならない。
空間 X 上の擬距離 (pseudometric) 函数 d: X × X → R は距離の公理のうち不可識別者同一の仮定を各 x に対して d(x, x) = 0 を満たすのみに緩める(つまり d(x, y) = 0 でありながら x ≠ y となることが起こりうる)以外はすべて満足する。即ち、擬距離の公理は
d(x, y) ≥ 0
d(x, x) = 0
d(x, y) = d(y, x)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
で与えられる。擬距離は一般化された距離のなかで最もよく用いられる概念である。文献によっては、この一般化された距離の概念を、半ノルムから導かれることを以て「半距離」と呼ぶ場合があるので注意。
与えられたノルム空間 (X, ||•||) に対して、X 上の距離 d を
d(x, y) := ||x − y||
によって定めることができる。これを、ノルム ||•|| によって誘導された距離という。
逆に、ベクトル空間 X 上に距離 d が定義されて、以下の条件
d(x, y) = d(x + a, y + a) (平行移動不変性)
d(αx, αy) = |α|d(x, y) (同次性)
が満たされるとき、X 上のノルムが
||x|| := d(x, 0)
と置くことによって定まる。
同様に、半ノルムは擬距離を定め、平行移動不変かつ同次の擬距離は半ノルムを誘導する。