形式的冪級数
有限個の負冪も許したものは形式的ローラン級数と呼ばれる。正確には次の形のものである。N を自然数、各 an を可換環 A の元として、
∑ n = − N ∞ a n X n {\displaystyle \sum _{n=-N}^{\infty }a_{n}X^{n}} .
このような元全体は環をなし、形式的ローラン級数環といい、A((X)) と表記する。とくに A が体 k であるとき、k((X)) も体であり、これは k[[X]] の商体でもある。
多項式とは異なり、一般には、「代入」は意味を持たない。無限個の和が出てきてしまうからである。
しかし、例えば次のようなときには意味を持つ。可換環 A はイデアル I による I 進距離で完備であるとする。このとき a 1 , ... , a n ∈ I {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in I} であれば、 ∑ α c α X α ∈ A [ [ X 1 , ... , X n ] ] {\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\in A[[X_{1},\dots ,X_{n}]]} の X 1 , ... , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} に a 1 , ...