フーリエ級数の収束
フーリエ級数の収束(フーリエきゅうすうのしゅうそく)は純粋数学における調和解析の分野で研究される問題である。フーリエ級数は一般には収束するとは限らず、収束するための条件が存在する。
収束性の判断には各点収束、一様収束、絶対収束、L 空間、総和法、チェザロ和の知識を要する。
応用においてフーリエ係数の大きさを知ることがしばしば重要になる。 関数 f が絶対連続であるなら、関数 f のみに依存する定数 K について、以下の関係が成り立つ。
| f ^ ( n ) | ≤ K | n | . {\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {K \over |n|}.}
f が有界変動関数(英語版)であるなら、以下の関係が成り立つ。
| f ^ ( n ) | ≤ v a r ( f ) 2 π | n | . {\displaystyle \left|{\widehat {f}}(n)\right|\leq {{\rm {var}}(f) \over 2\pi |n|}.}
f ∈ C なら以下の関係が成り立つ。
| f ^ ( n ) | ≤ ‖ f ( p ) ‖ L 1 | n | p .