アトラクター
以上のような時間遅れ座標系への変換を利用した手法は、一般的な信号解析では把握が難しい現象、特にカオスが関わる複雑な非線形信号データの解明に有効な手法の一つである。実現象の実験測定データからアトラクターの再構成が成功した事例としては、化学振動反応のベロウソフ・ジャボチンスキー反応でのストレンジアトラクターや2円筒間のテイラークエット流れでの準周期振動がある。
再構成の手法を使って様々な実現象の中にカオスの証拠を見出す問題が、これまでに取り組まれてきている。再構成されたアトラクターを利用した予測も研究されている。カオスでは高精度な長期予測は原理的に不可能だが、同時にその振る舞いは決定論的に定まっているので、短期予測の精度向上の可能性は残されている。また、再構成されたアトラクターを応用した異常検出・モニタリング技術も研究されている。アトラクターの構造はそのシステムの変化に反応して変化するため、正常な状態のアトラクターと異常な状態のアトラクターを用意しておき、現在の状態をこれらと照らし合わせることで状態監視を行う。ばね、ボルト、転がり軸受、ポンプなどを対象に、再構成されたアトラクターを応用した異常検出の研究例がある。
ただし、時系列データから系の力学系的性質を調べるのは難しい問題でもある。上手くいかなかった例としては、1984年に行われた酸素原子同位体濃度にもとづく過去100万年の気候ダイナミクスの研究で、この気候ダイナミクスが4次元程度の低次元カオスである可能性が示唆されたが、後で否定されている。特に、実験系ではない純粋な自然現象を対象とする場合は、測定データ数が限られてしまうという点やダイナミクスの要因自体が長期間の間に変動する可能性も解析を難しくしている。
また、アトラクターないし吸引集合と関連してトラッピング領域(英語: trapping region)、捕捉領域、閉じこめ領域などと呼ばれる相空間上の領域もある。これは、全ての前方軌道がそこから出ることがない領域を意味する。具体的には、トラッピング領域 R とは次の条件を満たす有界閉集合である。
連続力学系の場合: 任意の t ≥ 0 について、φ(t, R) ⊂ R となる。
離散力学系の場合: f(R) ⊂ R となる。
連続力学系のトラッピング領域は、R の境界のどの点においてもベクトル場が R の内へ向いていることと同等である。トラッピング領域 R を用いて吸引集合 A を次のようにも定義できる。
連続力学系の場合: A = ⋂ t > 0 φ ( t , R ) {\displaystyle A=\bigcap _{t>0}\phi (t,R)}
離散力学系の場合: A = ⋂ k ≥ 0 f k ( R ) {\displaystyle A=\bigcap _{k\geq 0}f^{k}(R)}
その他の概念として、リペラー(英語: repeller)がある。これは、時間を反転させたときに吸引的になる解を指す。離散力学系 f でいえば、逆写像 f のアトラクターが f のリペラーであると定義できる。不安定な性質を持ち軌道が離れていく不動点や平衡点が、リペラーの例である。
相空間上の1つの点へ収束するアトラクターを、点アトラクター(英語: point attractor)という。これは、アトラクターの中でもっとも単純なものといえる。点アトラクターという呼び方の他に、静止アトラクター、ポイントアトラクター、固定点アトラクター、平衡点アトラクター、不動点アトラクターといった言い方もある。
固定点とは、時間変化しても相空間上で動かない点のことで、連続力学系では平衡点、離散力学系では不動点とも呼び分けることもある。近傍の軌道を引き付ける性質を持つ固定点を漸近安定であるといったり、吸引的であるという。点アトラクターとは、言い換えれば漸近安定な固定点のことである。ただし、点アトラクターを指して単に固定点、平衡点、不動点と呼ぶこともある。
点アトラクターの一例として、次のエノン写像が挙げられる。
x n + 1 = 1 − a x n 2 n + y n {\displaystyle x_{n+1}=1-ax_{n}^{2}n+y_{n}}
y n + 1 = b x n {\displaystyle y_{n+1}=bx_{n}}
ここで、a と b は時間変化しない定数(パラメータ)である。エノン写像は、ミシェル・エノンが後述するローレンツアトラクターのメカニズムを研究するために導入された力学系である。エノン写像の振る舞いは a と b の値によってさまざまな様相を示すが、b = 0.3 かつ −0.