二項級数
自然数冪以外の二項級数に関する結果が初めて得られたのは、アイザック・ニュートンによる、ある種の曲線の下に囲われる面積の研究においてであった。この結果を m が有理数であるところの y = (1 − x) の形の式として利用して、ジョン・ウォリスは(現代的な記法で書けば)後続する (−x) の係数列 ck は先行する係数に(自然数冪のときと同様に)m − (k − 1)/k を掛けることで求められることを発見した。これは二項係数に関する公式を陰伏的に与えたに等しい。ウォリスは以下の実例を陽に記している
( 1 − x 2 ) 1 2 = 1 − x 2 2 − x 4 8 − x 6 16 ⋯ {\displaystyle (1-x^{2})^{\frac {1}{2}}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }