アルティン・シュライアー理論
実際 2 つ目の場合には、X − X + a の分解体は K 上 b で拡大され、多項式の p 個の根 b + i は K[b] に属しており相異なる。すると K のこの拡大は分離拡大であり従ってガロワ拡大である。ガロワ群が p 個の射からなり 0 ≤ i ≤ p − 1 に対して b ↦ b + i {\displaystyle b\mapsto b+i} によって定義されることを証明するには、多項式が既約であること、従って K[b] がその根体であることを示せば十分である。
もし K[X] の次数 0 < d < p の多項式が X − X + a を割れば、それは K[b] において単項式 (X − b − i) の積であり、X の係数は、K の元で、従って j ∈ K で −db − j の形で、d は K において 0 でなく、これは b が K に属していないから不可能である。よって多項式は既約である。
例えば、2 つの元を持った有限体は 4 つの元からなる有限体をアルティン・シュライアー拡大として持ち、これは多項式 X − X + 1 = X + X + 1 によって拡大されたものである。