区間 (数学)
有界区間/非有界区間: その区間を包含する上位集合に、区間内のすべての元がそれ以上となるような数が存在するとき、その数を下界といい、その区間は左有界であるという。逆にすべての元がそれ以下となるような数は上界といい右有界となる(→順序集合#上界)。
有界区間はその径(この場合両端点の絶対差 |a − b|)が有限であるという意味において有界集合である。この径のことを、区間の長さ、幅、測度、大きさなどのように呼ぶ。非有界区間の長さはふつう +∞ と定義される。空な区間の長さは 0 と定義したり、あるいは定義しない。
有界区間の中心または中点とは、両端点が a と b のとき (a + b)/2 のことを言い、区間の半径とは長さの半分 |a − b|/2 を言う。中心や半径は非有界区間や空区間では定義しない。
文脈によっては補完数直線の部分集合としての区間を定義することもできる。補完数直線ではすべての実数に加えて二つの無限遠点 −∞ および +∞ が元として含まれるから、その文脈では [−∞, b], [−∞, b), [a, +∞], (a, +∞] などの記法も使用できる。例えば (−∞, +∞] は −∞ を除く拡大実数全てからなる集合を表す。その解釈のもとでは、[−∞, b], (−∞, b], [a, +∞], [a, +∞) はすべて意味を為し、かつ何れも相異なる。特に (−∞, +∞) は通常の実数全体の成す集合で、[−∞, +∞] は拡大実数全体の成す集合になる。拡大実数で考える場合、通常の実数の中で考える場合と比べて定義や語法などが影響を受けるかもしれないことに注意すべきである。例えば、区間 (−∞, +∞) = R は通常の実数の範囲では閉集合だが、拡大実数の範囲で考えるならばそうではない。
{\displaystyle (a,b):=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}.} 別表記→ ] a , b [ {\displaystyle ]a,b[} 半開区間(左開右閉) ( a , b ] := { x ∈ R ∣ a < x ≤ b } . {\displaystyle (a,b]:=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}.} 別表記→ ] a , b ] {\displaystyle ]a,b]} 半開区間(左閉右開) [ a , b ) := { x ∈ R ∣ a ≤ x < b } . {\displaystyle [a,b):=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}.} 別表記→ [ a , b [ {\displaystyle [a,b[}
なお、a = b のとき、(a, b), [a, b), (a, b] は何れも空集合を表し、[a, b] は一点集合 {a} を表す。また a > b のときは、四種類とも空集合になる。