ハミルトン力学
一般化座標 q、一般化運動量 p から、変換を行って
P i = P i ( p , q , t ) , Q i = Q i ( p , q , t ) {\displaystyle P_{i}=P_{i}(p,q,t),\quad Q_{i}=Q_{i}(p,q,t)}
をしたとき、P,Q と時間の関数として書かれた新たなハミルトニアン H'(P,Q,t) を用いて、
Q ̇ i = ∂ H ′ ∂ P i , P ̇ i = − ∂ H ′ ∂ Q i {\displaystyle {\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial H'}{\partial P_{i}}},~{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial H'}{\partial Q_{i}}}}
となるとき、この変換を正準変換と言う。 一般化座標と一般化運動量は正準変換によって相互に混ざり合い、両者の区別は曖昧なものとなる。 一般化座標と一般化運動量を総称して正準共役量と呼ぶ。
正準共役量 p,q によって張られる空間は位相空間と呼ばれ、正準変換は二つの位相空間を対応付ける変換である。