スツルムの定理
このとき f l ( x ) {\displaystyle f_{l}(x)} は f 0 ( x ) {\displaystyle f_{0}(x)} と f 1 ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)} との最大公約数であり、さらに f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} と f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} が共通根をもたない、すなわち f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} が単根のみをもつとき、 f l ( x ) = {\displaystyle f_{l}(x)=} 定数 ≠ 0 {\displaystyle \neq 0} を満足する。
また、3重対角化された対称行列 A {\displaystyle A} からなる行列 λ I − A {\displaystyle \lambda I-A} の主小行列式により構成される多項式列や、最高次の係数が正である直交多項式の列も区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} においてスツルム列をなす。
実係数多項式の列 f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯ , f l ( x ) {\displaystyle f_{0}(x),f_{1}(x),f_{2}(x),\cdots ,f_{l}(x)} は x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} でスツルム列をなし、 f 0 ( a ) f 0 ( b ) ≠ 0 {\displaystyle f_{0}(a)f_{0}(b)\neq 0} であるとする。 このとき、 x {\displaystyle x} を固定して関数値の列
f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯ , f l ( x ) {\displaystyle f_{0}(x),~f_{1}(x),~f_{2}(x),~\cdots ,~f_{l}(x)}
を左から右に見ていったときの符号(正負)の変化の回数を N ( x ) {\displaystyle N(x)} とすると、方程式 f 0 ( x ) = 0 {\displaystyle f_{0}(x)=0} の区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 内における解の個数は
N ( a ) − N ( b ) {\displaystyle N(a)-N(b)}
で与えられる。
列の最後の多項式 f L ( x ) {\displaystyle f_{L}(x)} は 区間 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} に於いて一定の符号を持つ(つまり f L ( x ) {\displaystyle f_{L}(x)} は区間 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} に零点を持たない)。
f 0 ( x ) {\displaystyle f_{0}(x)} の区間 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} に於ける任意の零点を z {\displaystyle z} とすれば、 f 0 ′ ( z ) f 1 ( z ) > 0 {\displaystyle f_{0}'(z)f_{1}(z)>0} である。ここで f 0 ′ ( x ) {\displaystyle f_{0}'(x)} は f 0 ( x ) {\displaystyle f_{0}(x)} の導関数を表す。