調和振動子
調和振動子のポテンシャル U {\displaystyle U} は次のようになる。
U = 1 2 k x 2 {\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}}
ただし x {\displaystyle x} は物体の位置である。ばねが自然長の時の位置を原点とする。ハミルトニアン H = T + U {\displaystyle H=T+U} を求めれば、運動はハミルトンの正準方程式にしたがう。 T {\displaystyle T} は運動エネルギー、 p {\displaystyle p} は運動量である。
H = 1 2 m p 2 + k 2 x 2 {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}p^{2}+{\frac {k}{2}}x^{2}}
ハミルトンの正準方程式は
∂ x ∂ t = ∂ H ∂ p {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}={\frac {\partial H}{\partial p}}}
∂ p ∂ t = − ∂ H ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=-{\frac {\partial H}{\partial x}}}
である。ハミルトンの正準方程式から連立方程式が得られるが、これを解いても ニュートンの運動方程式 m x ̈ = − k x {\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx} を得るだけである。したがって、解は古典力学と同じ結果である。
また、ここで用いたハミルトニアンは量子力学でも使用する。
ξ 0 = 0.45 {\displaystyle \xi _{0}=0.45} では C n {\displaystyle C_{n}} が 0 {\displaystyle 0} でない値を持つ n {\displaystyle n} が2つ以上存在する。波動関数はエネルギー状態が基底状態の波動関数と励起状態の波動関数の重ね合わせで表される。波動関数の波形は時間によって変化し、定常状態ではない。波動関数は振動の中心付近で速度が最大になる。ド・ブロイの関係式
p = ħ λ {\displaystyle p={\frac {\hbar }{\lambda }}}
により速度が大きくなると波長 λ {\displaystyle \lambda } が短くなるので波動関数の波長が振動の中心付近では振動の端と比べて短くなっている。
よって a ^ † a ^ {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}} を数演算子と呼び n ^ {\displaystyle {\hat {n}}\ } で表す。
生成・消滅演算子をエネルギー固有状態 φ n ( x ) {\displaystyle \phi _{n}(x)} に作用させると、 n ^ {\displaystyle {\hat {n}}\ } の固有値n を増減させる。( n {\displaystyle n} = 0 , 1 , 2 , . . . . {\displaystyle 0,1,2,....} )
a ^ † φ n ( x ) = n + 1 φ n + 1 ( x ) a ^ φ n ( x ) = n φ n − 1 ( x ) ( n ≥ 1 ) a ^ φ 0 ( x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}^{\dagger }\phi _{n}(x)&={\sqrt {n+1}}\phi _{n+1}(x)\\{\hat {a}}\phi _{n}(x)&={\sqrt {n}}\phi _{n-1}(x)&(n\geq 1)\\{\hat {a}}\phi _{0}(x)&=0\end{aligned}}}
つまり n {\displaystyle n} をなんらかの粒子の数と見なすならば、生成演算子は粒子を一つ作り、消滅演算子は一つ減らす働きをする。また基底状態(粒子数0の状態)に消滅演算子を作用させても、もう粒子は消せない。
この演算子を用いれば、方程式の解を容易に導出できる。
量子力学では運動量演算子 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} を
p ^ = − i ħ ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}
と書く(正準量子化)。 ħ {\displaystyle \hbar } は換算プランク定数、 i {\displaystyle i} は虚数。よってハミルトニアン H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} は
H ^ = − ħ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}
となる。
1次元の量子的な調和振動子についての時間依存しないシュレーディンガー方程式は、以下のように書ける。
( − ħ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 ) φ ( x ) = E φ ( x ) {\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\phi (x)=E\phi (x)}
調和振動子の扱い方としては、上述の正準変数を用いた方法の他に、生成消滅演算子で書きなおして考える方法がある。
以下のような演算子を定義する。
a ^ = ħ 2 m ω ( + ∂ ∂ x + m ω ħ x ) {\displaystyle {\hat {a}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\left(+{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {m\omega }{\hbar }}x\right)} : 消滅演算子
a ^ † = ħ 2 m ω ( − ∂ ∂ x + m ω ħ x ) {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {m\omega }{\hbar }}x\right)} : 生成演算子
これを使うと、上述のシュレディンガー方程式は次のように書きなおせる。
ħ ω ( a ^ † a ^ + 1 2 ) φ = E φ {\displaystyle \hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)\phi =E\phi }
1/2の項が出るのは演算子に微分が含まれているためである。エネルギー固有値との比較から、 a ^ † a ^ {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}} の固有値は n {\displaystyle n} に等しいことがわかる。