アルティン相互法則
m (>1) を奇数かもしくは、4 の倍数とし、ζm を 1の原始 m乗根とし、L = Q(ζm) を m次の円分体とする。ガロア群 Gal(L/Q) は (Z/mZ) と次の写像によって同一視することができる。σを
σ ( ζ m ) = ζ m a σ . {\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}
により与えられる aσ にうつす。L/Q の導手は (m)∞ であり、 m と素なイデアル (n) 上のアルティン写像は、単純に (Z/mZ) の元 n (mod m) である。
アルティン相互法則 (もしくは大域相互法則) は、K の モジュラス(英語版) c が存在し、アルティン写像が同型
I K c / ι ( K c , 1 ) N L / K  ( I L c ) → ∼ Gal  ( L / K ) {\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/\iota (K_{\mathbf {c} ,1})\operatorname {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{{}\to {}}}\operatorname {Gal} (L/K)}
を引き起こすという法則である。ここに Kc,1 は c を法とする射線全体(英語版)、 ι : K × → I K {\textstyle \iota :K^{\times }\to I_{K}} は単項分数イデアルに送る写像、NL/K は L/K に付随するノルム写像、I cL は L の c と素な分数イデアルである。そのようなモジュラス c は L/K の定義モジュラスと呼ばれる。最小な定義モジュラスを L/K の導手といい、典型的には f ( L / K ) {\textstyle {\mathfrak {f}}(L/K)} と書く。