積位相
任意の i ∈ I に対して Si ⊂ Xi であるような集合族 ( Si ) i∈I に対して、
( ∏ i ∈ I S i ) a = ∏ i ∈ I S i a {\displaystyle \left(\prod _{i\in I}S_{i}\right)^{a}=\prod _{i\in I}{S_{i}}^{a}}
が成り立つ。I が有限集合 I = { 1, 2, 3, ..., n } のときは、S1⊂X1 , S2⊂X2 , ... , Sn⊂Xn であるような集合 S1 , S2 , ... , Sn に対して、
( S 1 × S 2 × ⋯ × S n ) o = S 1 o × S 2 o × ⋯ × S n o {\displaystyle \left(S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}\right)^{o}={S_{1}}^{o}\times {S_{2}}^{o}\times \cdots \times {S_{n}}^{o}}
が成り立つ。
直積位相は次の事実により各点収束の位相 (topology of pointwise convergence) とも呼ばれる。X における点列(あるいはネット)が収束することとその空間 Xi へのすべての射影が収束することは同値である。とくに、I 上のすべての実数値関数からなる空間 X = R を考えると、直積空間における収束は関数の各点収束と同じである。
直積位相についての重要な定理はチコノフの定理である: 任意のコンパクト空間族の直積空間はコンパクトである。これは有限個のコンパクト空間の場合について示すのは容易だが、一般の場合の主張は選択公理と同値である。