外積代数
で与えられる。
⋀ k ( f ) = ⋀ ( f ) ⋀ k ( V ) : ⋀ k ( V ) → ⋀ k ( W ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}(f)=\bigwedge (f)_{\bigwedge ^{k}(V)}\colon \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k}(W)}
とすると、変換 ⋀(f) の V と W の基底に関する成分は f の k × k 小行列式の作る行列である。特に、V = W で V が有限 n-次元のとき、⋀(f) は 1 次元ベクトル空間 ⋀(V ) をそれ自身に移すから、これはスカラーで与えられ、それはちょうど f の行列式の値である。
一般に、結果として得られた k-ベクトルの基底の係数は基底 ei に関してベクトル vj を記述する行列の小行列式として計算できる。
基底に属する元の個数を数えることにより ⋀(V) の次元は二項係数 C(n , k) で与えられることが分かる。特に、k > n ならば ⋀(V) = {0} である。
外積代数の任意の元は多重ベクトルの和として表される。よって、外積代数はベクトル空間の直和
⋀ ( V ) = ⋀ 0 ( V ) ⊕ ⋀ 1 ( V ) ⊕ ⋀ 2 ( V ) ⊕ ⋯ ⊕ ⋀ n ( V ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)=\bigwedge ^{0}(V)\oplus \bigwedge ^{1}(V)\oplus \bigwedge ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \bigwedge ^{n}(V)}
に分解される(ここで ⋀(V) = K および ⋀(V) = V と約束する)。したがって外積代数の次元は二項係数の和に等しく、2 である。
であり、V 上の交代性
(1) 任意の v ∈ V {\displaystyle v\in V} に対して v ∧ v = 0 {\displaystyle v\wedge v=0}
を持つものである。これは以下の性質
(2) 任意の u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} に対して u ∧ v = − v ∧ u {\displaystyle u\wedge v=-v\wedge u}
(3) v 1 , ... , v k ∈ V {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V} が一次従属ならば v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v k = 0 {\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=0}
を特別の場合として含む。
圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。外積代数は双代数のひとつの例である。つまり、外積代数の(ベクトル空間としての)双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。この双対代数は特に V 上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。
外積代数の微分幾何における特筆すべき応用は、微分形式の定義に用いられることである。可微分多様体上の点における微分形式は、その点の接空間における重線型交代形式であり、k-次微分形式は接空間の k-次外冪からの線型汎函数である。結論として、重線型形式の楔積は自然に微分形式の楔積を定める。微分形式は微分幾何のさまざまな部分で大きな役割を担う。
特に、外微分は多様体上の微分形式に外積代数に微分環の構造を与える。外微分は多様体間の滑らかな写像に沿っての引き戻しと可換であり、それゆえに自然な微分作用素である。外微分を備えた微分形式の外積代数は、そのコホモロジーが台となる多様体のド・ラームコホモロジーと呼ばれる微分複体を成し、可微分多様体の代数的位相幾何学の根幹を成している。