ソボレフ不等式
R 上のすべての実数値函数で、k 階までの弱微分が L に含まれるものからなるソボレフ空間を W(R) と表す。ここで k は非負の整数で、1 ≤ p < ∞ である。ソボレフ埋蔵定理の第一の部分では、k > l と 1 ≤ p < q < ∞ が (k − l)p < n および
1 q = 1 p − k − l n {\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k-l}{n}}}
を満たす二つの実数であるなら、
W k , p ( R n ) ⊂ W l , q ( R n ) {\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset W^{l,q}(\mathbf {R} ^{n})}
であり、この埋め込みは連続であることが示されている。k = 1 および l = 0 であるような特別な場合では、次が成り立つ:
W 1 , p ( R n ) ⊂ L p ∗ ( R n ) {\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}
n < p ≤ ∞ とする。このとき、p と n にのみ依存するある定数 C が存在して、すべての u ∈ C(R) ∩ L(R) に対して次の不等式が成り立つ。
‖ u ‖ C 0 , γ ( R n ) ≤ C ‖ u ‖ W 1 , p ( R n ) {\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}}
ここで
γ := 1 − n p {\displaystyle \gamma :=1-{\frac {n}{p}}}
である。したがって u ∈ W(R) であるなら、測度 0 の集合上で再定義されることもあり得るが、u は指数 γ のヘルダー連続である。
同様の結果は、境界が C であるような有界領域 U に対しても成り立つ。この場合、
‖ u ‖ C 0 , γ ( U ) ≤ C ‖ u ‖ W 1 , p ( U ) {\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}}
となる。ここで定数 C は n, p と U に依存する。この場合の不等式は、W(U) から W(R) へのノルム保存拡張を行うことで、上述の不等式より従う。
境界が C であるようなコンパクト多様体に関するコンドラショフ埋蔵定理(Kondrachov embedding theorem)では、k > l と k − n/p > l − n/q が成り立つなら、ソボレフの埋め込み
W k , p ( M ) ⊂ W l , q ( M ) {\displaystyle W^{k,p}(M)\subset W^{l,q}(M)}
は完全連続であることが示されている。