直既約加群
標数 0 の体上の群環はマシュケの定理により半単純なので、直既約加群と単純加群の概念は一致する。
一方、正標数の体上の群環に関しては両者が一致するとは限らない。たとえば F を標数 p > 0 の体とし、P を位数 q の 巡回 p-群とする。群 P の生成元を x とし、
M i = ⨁ 1 ≤ j ≤ i F ( x − 1 ) q − j ( 1 ≤ i ≤ q ) {\displaystyle M_{i}=\bigoplus _{1\leq j\leq i}F(x-1)^{q-j}\quad (1\leq i\leq q)}
とおく。このとき {Mi | 1 ≤ i ≤ q} は有限次元直既約 FP-加群の同型類である。しかしながら、有限次元単純 FP-加群の同型類は自明な加群 M1 のみである。