ラッセルのパラドックス
ヒルベルトからフレーゲ宛に返信が投函。ラッセルのパラドックスが3年前から4年前にツェルメロによって発見されていたことを記載。
フレーゲ『算術の基本法則』第II巻出版。後書きでラッセルのパラドックスを公開。
ラッセル『数学の原理』出版。型理論の始まり。
フレーゲ『概念記法』出版。数理論理学の始まり。
自分自身を要素として持たない集合全体からなる集合を R = { x ∣ x ∉ x } {\displaystyle R=\{x\mid x\notin x\}} とする。いま R ∈ R {\displaystyle R\in R} と仮定すると、 R {\displaystyle R} の定義より R ∉ R {\displaystyle R\notin R} となるから矛盾。一方、 R ∉ R {\displaystyle R\notin R} と仮定すると、再び R {\displaystyle R} の定義より R ∈ R {\displaystyle R\in R} となるから、やはり矛盾する。
集合論が形式化されていないことが矛盾の原因なのではなく、このパラドックスは、古典述語論理上の理論として形式化された無制限の内包公理を持つ素朴集合論や、直観主義論理上の素朴集合論においても生じる。したがって論理を古典論理から直観主義論理に変更してもラッセルのパラドックスは回避できない。パラドックスの回避については、様々な方法が提案されている。詳細は矛盾の解消を参照。