ガロア理論の基本定理
次の例はガロア群がアーベル群でない最も簡単な例である。
Q 上の多項式 x−2 の分解体 K を考える。すなわち、K = Q (θ, ω) で、ここに θ は 2 の立方根であり、ω は 1 の立方根である(が 1 ではない)。例えば、K を複素数の中の体と考えると、θ として 2 の実立法根、ω として
ω = − 1 2 + i 3 2 {\displaystyle \omega ={\frac {-1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
が取れる。ガロア群 G = Gal(K/Q) は 6 つの元をもち、3つの対象の置換群と同型である。G は(たとえば)2つの自己同型—— f と g とする ——により生成され、それらは次の θ と ω への作用により定められる。
f ( θ ) = ω θ , f ( ω ) = ω , {\displaystyle f(\theta )=\omega \theta ,\quad f(\omega )=\omega ,}
g ( θ ) = θ , g ( ω ) = ω 2 . {\displaystyle g(\theta )=\theta ,\quad g(\omega )=\omega ^{2}.}
したがって