次元解析
バッキンガムのπ定理(Buckingham Π theorem)とは、数理物理学の分野において、次元解析の基礎となる理論である。大雑把に言うと、物理的な関係式が物理変数をn 個含み、それらの変数がk 種類の独立な基本単位を持つならば、その式は元の物理変数で構成されるp = n - k 個の無次元パラメータを含む式と等価であるという定理である。この定理により、与えられた物理変数から、たとえ関係式の形が不明であっても無次元パラメータを求めることができる。物理量を無次元量で書き直せば、式の次元の一致・不一致をチェックする必要がなくなり、解析が簡単になる。ただし、無次元パラメータの選び方は一意ではない。バッキンガムのΠ定理は無次元パラメータを求める方法を与えるだけであり、物理的に意味のあるものを選ぶわけではない。
2つの物理的な系の無次元パラメータが一致するとき、それらの系は相似であるという(大きさのみが異なる三角形を相似と呼ぶのと同様である)。これらの系は数学的には等価であるため、解析をするために便利な(実験などがしやすい)系を選ぶことができる。
より正確に表現すると、無次元パラメータの個数p は次元行列M の退化次数 null M に等しく、k はその階数 rank M に等しい。物理的に異なる系に対して、無次元パラメータが等しくなるなら、それらの系は数学的に等価である。
つまり τ と 1/ω の大きさのバランスによって運動の様子が変わることが予想される。
Π定理からは、物理量が m, c, k の3つで次元が M , T {\displaystyle {\mathsf {M}},{\mathsf {T}}} の2種類である(調和振動のときと同じ理由によって初期変位は入れなくても良い)から、次元行列が
M = ( ⋅ m c k M 1 1 1 T 0 − 1 − 2 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &m&c&k\\{\mathsf {M}}&1&1&1\\{\mathsf {T}}&0&-1&-2\end{pmatrix}}}
となる。したがって1つの無次元量でこの現象を特徴づけられることがわかる。この無次元量には通常、減衰比と呼ばれる
ζ = 1 / 2 τ ω = c / 2 m k {\displaystyle \zeta =1/2\tau \omega =c/2{\sqrt {mk}}}
が用いられ、実際に運動方程式を解析的に解くと、ζ < 1 のとき減衰振動、ζ = 1 のとき臨界減衰、ζ > 1 のとき過減衰となり、運動が定性的にも変化する。