ステレオ投影
球面上の球面座標(英語版) (φ, θ) と平面上の極座標 (R, Θ) を用いると、立体射影とその逆写像は
( R , Θ ) = ( sin  φ 1 − cos  φ , θ ) , {\displaystyle (R,\Theta )=\left({\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right),}
( φ , θ ) = ( 2 arctan  ( 1 R ) , Θ ) {\displaystyle (\varphi ,\theta )=\left(2\arctan \left({\frac {1}{R}}\right),\Theta \right)}
となる。ただし、R = 0 の場合は、φ = π と解釈する。
また、三角関数の等式を用いて、この式を書き直す方法がたくさんある。球面上の円柱座標 (r, θ, z) と平面上の極座標 (R, Θ) を用いると、立体射影とその逆写像は、
( R , Θ ) = ( r 1 − z , θ ) , {\displaystyle (R,\Theta )=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \right),}
( r , θ , z ) = ( 2 R 1 + R 2 , Θ , R 2 − 1 R 2 + 1 ) {\displaystyle (r,\theta ,z)=\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right)}
となる。
地図学では、球面である地球を平面の地図に投影する図法の一つとして、ステレオ投影のことを平射図法(平射方位図法)またはステレオ図法と言う。角度(形)と面積を保ったまま球を平面に投影する地図は無い、という事実が地図学の基本的問題である。一般的に、統計学は積分をする傾向があるために、正積投影は統計向きである。一方、正角投影は航海目的に好ましい。平射図法は正角投影に分類される。また、地球のどちらかの極を中心に投影したとき、経線は原点から放射状にのび、緯線は原点を中心とする円になるという、方位図法としての特性が得られる。すなわち平射図法は正角方位図法である。
地球を赤道半径 a {\displaystyle a} 、離心率 e {\displaystyle e} の回転楕円体とするとき、緯度 φ {\displaystyle \varphi } 、経度 λ {\displaystyle \lambda } の点をXY平面に投影する式は以下のとおりである。すなわち、座標原点を極点にとり、極点から赤道へ向かう方向を正方向とした中央経線をX軸に設定し、当該中央経線の経度を λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}} とするとき、