楕円
中国語で楕円の楕は「木の切り株」の意味で「木の切り口」の 形から名付けられたと考えられている。 日本では田畑の実際の形から「飯櫃」「平卵形」などと呼ばれていたが、関孝和は「側円」と呼んだ。江戸時代には側円と呼ばれ明治になって楕円と呼ばれるようになった。
さらに、楕円上の点を指定する指標として、 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ベクトルのx軸に対する角度 θ {\displaystyle \theta } も導入する。
( tan  θ = y / x , − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 {\displaystyle \tan \theta =y/x,-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2} )
A) 0 < b ≤ a {\displaystyle 0<b\leq a} の時
e = 1 − ( b / a ) 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-(b/a)^{2}}}}
楕円(の右半分)を
x = a sin  u , y = b cos  u , 0 ≤ u ≤ π {\displaystyle x=a\,\sin u,\,y=b\,\cos u,\,0\leq u\leq \pi }
で表す。 a E ( u , e ) {\displaystyle a\,E(u,e)} は点 ( 0 , b ) {\displaystyle (0,b)} から u {\displaystyle u} が与える点までの弧長となっている。
この時
y / x = tan  θ = ( b / a ) / tan  u {\displaystyle y/x=\tan \theta =(b/a)/\tan u}
tan  u = ( b / a ) / tan  θ {\displaystyle \tan u=(b/a)/\tan \theta }