モデル理論
ゲーデルの完全性定理を含む古典モデル理論初期の定理の例は、上方および下方レーヴェンハイム-スコーレムの定理、ヴォート(英語版)の two-cardinal 定理、スコットの同形定理、タイプ排除定理 (omitting types theorem) 、そしてリル=ナルゼウスキの定理(英語版)がある。モデル理論が体へ応用された初期の結果の例は、タルスキの実閉体についての量化記号消去法(英語版)、疑有限体 (pseudo finite field) 上のアックス(英語版)の定理、そしてロビンソンの超準解析の開発がある。古典モデル理論の発展において、安定理論(英語版)の誕生が(非可算カテゴリー論 [uncountably categorical theory] 上のMorleyの範疇性定理(英語版)およびシェラハの分類プログラムを通して)重要なステップとなった。この安定理論は、理論が満たす構文条件に基づくランクと独立性(英語版)の算法を発展させた。この数十年で、応用モデル理論はより純粋な安定理論と繰り返し融合してきた。この合成の結果は、この記事では幾何学的モデル理論と呼ばれている。幾何学的モデル理論は、古典幾何学的安定理論と同じく、例えばo-minimality(英語版)を含むために利用されている。幾何学的モデル理論の例は、関数体についてのMordell–Lang予想(英語版)のフルショフスキーによる証明がある。幾何学的モデル理論の目標は、純粋なモデル理論の研究において実際に開発されたツールによって、さまざまな数学的構造における定義可能集合の詳細な研究を行い、数学の地理学を提供することである。