0
文字 0 によって表されるものは、おもに「何もないこと」に対応する基数(自然数)であり、1 の直前の序数(順序数)であって、最小の非負整数である。また、−1 の次の整数でもある。零(れい、ぜろ)、ゼロ(伊: zero)、セロ(西: cero)、ヌル(独: Null)、ノート(英: nought)、ニヒル(羅: nihil)などと読まれる。また、文字の形状から、稀にまるあるいはオーなどのように呼ばれることもある。なお、日本の通話表においては、0 は「数字のまる」と送られる。
数としての 0 は、整数環、実数体(あるいはさらに一般の数からなる代数系 )における加法単位元であるという性質をもっている。文字としての 0 の使用は位取りによる記数法の桁揃えに役立つ。
記号で書けば、 x > 0 ⟹ lim y → 0 + x y = + ∞ , x > 0 ⟹ lim y → 0 − x y = − ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}x>0&\implies \lim _{y\to 0^{+}}{x \over y}=+\infty ,\\x>0&\implies \lim _{y\to 0^{-}}{x \over y}=-\infty \end{aligned}}} が成立する。
冪乗: x = 0 の場合にきちんと定義できないまま残される文脈があること(0の0乗を参照)を除けば、x = 1 である。任意の正の実数 x に対して 0 = 0 である。
⁄0 なる式が、⁄g(x) の形の式の極限を決定しようとするなかで、それぞれ独立に分子分母の極限を取った結果として現れるかもしれない。これは不定形(英語版)と呼ばれる。これは単に必ずしも極限が求まらないということを意味するものではなく、むしろ ⁄g(x) の極限は、それが存在するならば、ロピタルの定理のような別の方法によって求めるべきであるということを意味する。
0 個の対象の和は 0 であり、 0 個の対象の積は 1 である。階乗 0! は 1 と評価される。
0 = 1 − 1 = 0 − 0、次は4。(オンライン整数列大辞典の数列 A045991)
フィボナッチ数列では、0 は 1 の前者である。
図形数では、1 の前に 0 を含めることがある。
1桁は全て回文数である。そのため、0 も回文数である。
三角関数、三角比では0度を表す。
集合論では 0 は空集合の濃度である。ある人が林檎を一つも持っていないならば、その人は 0 個の林檎を持っている。実際のところ、集合論から展開されるある種の数学では 0 は空集合のこととして定義される。こう定義したとき、0 としての空集合は元を持たない集合としての空集合に対するフォンノイマンの基数割り当て(英語版)であり、空集合に対する濃度は 0 個の元を持つという意味が割り当てられた値としての空集合を返す。
同じく集合論で、0 は最小の順序数であり、空集合を整列集合とみなしたものに対応する。
命題論理では 0 を真理値が偽であることを表すのに用いる。
抽象代数学では 0 は一般に(考えている構造において定義されているならば)加法に関する単位元としての、あるいは乗法に関する吸収元としての、零元を表すのに用いられる。 例えば線型代数学において零写像 0, すなわち定義域 V の任意の元を値域 W の零ベクトルに写す線型写像は、V から W への線型写像の成す線型空間 Hom(V, W) の零元である(零射も参照)。また零行列を 0 で表すこともある。
同じく抽象代数学において、零元のみからなる部分代数系 {0} を 0 で表すことがある。(零対象 (代数学)(英語版)も参照)
束論では 0 は有界束の最小元を表すのに用いられる。
圏論では 0 は圏の始対象(特に零対象)を表すのに用いられる。
ゲーデル数では、0 は空文字列を意味する。
しかし整数部分である1時間単位や角度そのものには零を使わず、12時の次は0時ではなく1時であった。ギリシャでは、バビロニアのゼロ記号にはギリシア文字のオミクロン「ο」を当てた。アラビア数字の0と形が似ているが、これはおそらく偶然であったとされる。
アルキメデスは「ある数とある数を足せば、結果は元の数より大きくなる」という「アルキメデスの公理」を定立したが、足しても増えない性質を持つゼロは、この公理上、数ではないことになる。古代ギリシア人は「ο」を単に小数点のような位取りを表す補助記号として使い、数のうちに含めなかった。ギリシア数字にはゼロを示す文字がなく、ギリシャの数体系を継承したローマ数字にもゼロにあたる数字がない。
古代西洋で 0 の概念が受容されなかったのは、その宇宙観によるところが大きかった。アリストテレスの自然論においては「自然は真空を嫌う」とされ(真空嫌悪(英語版))、空間は必ず何らかの物質が充満しているとして真空、つまり「無」の存在を認めなかった。またアリストテレスは、宇宙を地球を中心にする球である天球と定義し、有限なものと考えた。この哲学からは「無」と「無限」は認められなかった。
アリストテレス哲学を源流とする「無」と「無限」を否定する宇宙観は中世ヨーロッパに継承され、宗教の一部と化した。17世紀まで、ヨーロッパでゼロや無限を主張することは、キリスト教への冒瀆であり、死刑宣告を意味した。中世ヨーロッパではゼロを悪魔の数字とみなし、ローマ法王により使用が禁じられた。1600年には、宇宙が無限であると主張した修道士のジョルダーノ・ブルーノが、異端の罪で火あぶりの刑にされている。