変分法における直接解法
次が成立する。函数 p ↦ F ( x , y , p ) {\displaystyle p\mapsto F(x,y,p)} がほとんどすべての x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } とすべての y ∈ R m {\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}} に対して凸であるなら、 J {\displaystyle J} は列的に下半連続である。
n = 1 {\displaystyle n=1} あるいは m = 1 {\displaystyle m=1} のとき、逆のような次の定理が成立する。
F {\displaystyle F} は連続で、 | F ( x , y , p ) | ≤ a ( x , | y | , | p | ) {\displaystyle |F(x,y,p)|\leq a(x,|y|,|p|)}
がすべての ( x , y , p ) {\displaystyle (x,y,p)} と、 y {\displaystyle y} と p {\displaystyle p} について増加で x {\displaystyle x} について局所可積分であるような固定された函数 a ( x , y , p ) {\displaystyle a(x,y,p)} に対して成立すると仮定する。