サニャック効果
他の一例として、赤道に沿って時計を移動させ地球(自転角速度 ω {\displaystyle \omega } )上を1周させることを考える。東向きと西向きの移動とで時計の進み方に差が生じ、一周後の時間の遅れはそれぞれ ± 2 c − 2 ω S {\displaystyle \pm 2c^{-2}\omega S} となる。
これも慣性系(非回転座標系)に移行し、対地速度 ± v {\displaystyle \pm v} 及び0で移動する時計が示す時間の遅れを求めれば当然の事象と言える。
また、赤道一周に沿って極めて多数個の時計をほとんど無限小間隔で並べ、一周の始点から終点へ向けて、順に隣接する時計の対を全て同期させていったとする。なおこの同期は回転座標系下を考慮した補正等を加えないと仮定する。そして始点上と終点上の時計を比較すると上記と同じ「ずれ」 2 c − 2 ω S {\displaystyle \,2c^{-2}\omega S} が生じている。
角速度 ω {\displaystyle \omega } で回転する系のボルン座標の線素(固有時は τ = s / c {\displaystyle \tau =s/c} )は円筒座標で下記のように表される。
d s 2 = ( c 2 − r 2 ω 2 ) d t 2 − d r 2 − r 2 d θ 2 − d z 2 − 2 r 2 ω d t d θ {\displaystyle ds^{2}=(c^{2}-r^{2}\omega ^{2})dt^{2}-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-dz^{2}-2r^{2}\omega \,dt\,d\theta }
ここで時計を、 r {\displaystyle r} と z {\displaystyle z} は一定で、 θ = ± v r t {\displaystyle \theta =\pm {\frac {v}{r}}t} に従い移動させると、線素は下記のように表される。
d s 2 = ( c 2 − ( r ω ± v ) 2 ) d t 2 {\displaystyle ds^{2}=(c^{2}-(r\omega \pm v)^{2})dt^{2}}
この時計の進み方は下記に比例する。
1 − ( r ω ± v c ) 2 {\displaystyle {\sqrt {1-\left({\frac {r\omega \pm v}{c}}\right)^{2}}}}
これも慣性系(非回転座標系)へ移行して説明すれば当然の特殊相対論効果と言える。