カーダー・パリージ・ザン方程式
W ( x → , t ) = ∫ ( 0 → , 0 ) ( x → , t ) D x → ′ ( t ′ ) exp  { − ∫ 0 t d t ′ [ ν 2 ( d x → ′ ( t ′ ) d t ′ ) 2 + λ 2 ν η ( x → ′ , t ′ ) ] } . {\displaystyle \displaystyle W\left({\vec {x}},t\right)=\int _{({\vec {0}},0)}^{({\vec {x}},t)}D{\vec {x}}\,'\left(t'\right)\exp \left\{-\int _{0}^{t}dt'\left[{\frac {\nu }{2}}\left({\frac {d{\vec {x}}\,'\left(t'\right)}{dt'}}\right)^{2}+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right]\right\}.}
上記の経路積分より、 W ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle W\left({\vec {x}},t\right)} は、 ( 0 → , 0 ) {\displaystyle \textstyle ({\vec {0}},0)} と ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle \left({\vec {x}},t\right)} を結ぶ、 d + 1 {\displaystyle \textstyle d+1} 次元空間上の方向付きの高分子 (directed polymer; DP) のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせる。
}
を満たすホワイトノイズ、特にガウシアンノイズであるとする。ここで ⟨ ⋅ ⟩ {\displaystyle \textstyle \left\langle \cdot \right\rangle } は角括弧で囲まれた物理量の配位空間での平均を表し、 δ ( ⋅ ) {\displaystyle \textstyle \delta \left(\cdot \right)} はディラックのデルタを表す。また D {\displaystyle \textstyle D} はノイズの強さである。
界面の高さ h ( x → , t ) {\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)} は、 x → {\displaystyle \textstyle {\vec {x}}} に対する一価関数であることを仮定する。この仮定により、KPZ方程式で記述される界面は巨視的にはオーバーハングを持たない。
↑ 対数の微分 ∂ α ( ln  W ) = ( ∂ α W ) / W {\displaystyle \scriptstyle \partial _{\alpha }\left(\ln W\right)=\left(\partial _{\alpha }W\right)/W} を計算してから W {\displaystyle \scriptstyle W} を両辺に掛ける。
↑ KPZ方程式の各項について ∇ {\displaystyle \textstyle \nabla } を左から掛ける。
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}b^{\alpha -z-1}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+b^{2\alpha -3}\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)&=b^{\alpha -3}\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-b^{-\left(d+2+z\right)/2}\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right),\\{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+b^{\alpha +z-2}\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)&=b^{z-2}\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-b^{\left(z-2\alpha -d\right)/2}\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right).\end{aligned}}\right.}
となる。ここで λ {\displaystyle \lambda } の項はスケール変換に対して不変であるとすると、指数 α {\displaystyle \textstyle \alpha } , z {\displaystyle \textstyle z} について、 α + z = 2 {\displaystyle \textstyle \alpha +z=2} が成り立つことになる。