補空間
W がちょうど V における U の補空間となるのは、任意のベクトル v ∈ V が v = u + w ( u ∈ U , w ∈ W ) {\displaystyle v=u+w\qquad (u\in U,\,w\in W)} と一意に書けるときである。
U, W が V において互いに相補的な部分空間であるとき、その次元については dim  V = dim  U + dim  W {\displaystyle \dim V=\dim U+\dim W} が成り立つ。
U の補空間 W の次元を U の V における余次元(英語版)とも呼ぶ。
W が V における U の補空間であるとき、U は同じ空間 V における W の補空間である。
標準射影 V → V/U の U の補空間 W への制限は同型である(商線型空間の項も参照)。
ベクトル空間 V 上の自己準同型写像 f: V → V と V の f-不変部分空間 U(すなわち、f(U) ⊂ U となるような部分空間)に対し、U は必ずしも f-不変な補空間を持つわけではない。自己準同型 f に対し、任意の f-不変部分空間がf-不変補空間を持つとき、f は半単純であると言う。この半単純性は、代数閉体上で対角化可能ということと同値である。
似た用語が表現論においても用いられる。ユニタリ表現に対して、不変部分空間の直交補空間はふたたび不変部分空間となり、したがって任意の有限次元ユニタリ表現は半単純である。
不変部分空間を部分加群として解釈することにより、不変補空間は次の節で言う意味において相補部分加群と見なせる。