実数
実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう。実数体の元(=要素)を実数という。
また位相的特徴付けである次を定義として採用することも出来よう:非自明な順序体であって順序位相に関して連結なものは唯一つに定まる(アルキメデス的順序群に関するHölderの定理による)。これを実数体と呼ぶ。実数体の元(=要素)を実数という。
これで実数(体)の概念は定まったがこれだけではまだ実数(体)というものが存在するかどうかは分からない。しかし#構成節で述べるようにそのようなものは実際に存在する、即ちこのような性質を満たす順序体が構成できることが分かる。またその構成方法は複数ある。また本記事では言及されていないが本来存在するならば、それがある意味で一意的なものであるかを確かめる必要があるが、実数体は実際にある意味で一意的に定まる。