多変数の微分
である。従って
lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) + ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ o [ f , p ] ( x ) ) ‖ x − p ‖ = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\,=0} (3-11)
を示すを示せば終証である。
以下(3-11)を示す。
以降 f i {\displaystyle f_{i}} は f {\displaystyle {\textbf {f}}} の第 i 成分を表す。 f i {\displaystyle f_{i}} は以下の性質を満たす。
f i ( x ) = y i ∘ f ( x ) = y i ( f ( x ) ) = ⟨ e i | f ( x ) ⟩ {\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=y_{i}(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))=\langle \mathbf {e} _{i}|\mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle } (1-11)
f ( x 1 , ... , x n ) = ( f 1 ( x 1 , ... , x n ) ⋮ f m ( x 1 , ... , x n ) ) = ∑ i = 1 m f i ( x ) e i {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}}
これまでの議論では、一点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。
D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の開集合とし、
f ( x 1 , , x n ) = ( f 1 ( x 1 , , x n ) ⋮ f m ( x 1 , , x n ) ) {\displaystyle \mathbf {f} ({{x}_{1}},,{{x}_{n}})=\left({\begin{matrix}{{f}_{1}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})\\{\vdots }\\{{f}_{m}}({{x}_{1}},,{{x}_{n}})\\\end{matrix}}\right)} (4-1)
を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義され、 R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}} に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
a {\displaystyle {\textbf {a}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の固定されたベクトルとする。( a ∉ D {\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}} でもよい。
f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で微分可能であるとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で任意のベクトル a {\displaystyle {\textbf {a}}} に対して偏微分可能である。実際、
( f ( t a + p ) − f ( p ) t ) − A ⋅ a = ( f ( t a + p ) − ( A ⋅ ( ( t a + p ) − p ) + f ( p ) ) ‖ ( t a + p ) − p ‖ ) ‖ a ‖ {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {\mathbf {f} (t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)-\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} \\&=\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)\left\|\mathbf {a} \right\|\end{aligned}}} (2-5)
f {\displaystyle {\textbf {f}}} の第 i 成分 f i {\displaystyle {f}_{i}} は以下の等式を満たす。
f i ( x ) = y i ∘ f ( x ) = ⟨ e i | f ( x ) ⟩ {\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\langle \mathbf {e} _{i}\ |\ \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle } (1-11)
上式において ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } は内積を意味する。
式 (1-10), (1-11) を用いて、 f i {\displaystyle {f}_{i}} を((1-5) の定義式通りに) p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分することを考える。 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能ならば、 f i {\displaystyle f_{i}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能で、
「誤差項」の導入を行う。 f {\displaystyle {\textbf {f}}} と p {\displaystyle {\textbf {p}}} に対し、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の p {\displaystyle {\textbf {p}}} における誤差項(ランダウの記号) o [ f , p ] {\displaystyle {\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}} を
o [ f , p ] ( x ) = f ( x ) − ( ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + f ( p ) ) {\displaystyle \mathbf {o} _{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left({(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)} (2-13)
によって定める。
lim x → p o [ f , p ] = 0 {\displaystyle {\underset {{\textbf {x}}\to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}=\mathbf {0} } (2-14)
( J ( g ∘ f ) ) [ p ] {\displaystyle {{\left(J\left({\textbf {g}}\circ \mathbf {f} \right)\right)}_{[{\textbf {p}}]}}} = ( ∂ g 1 ∂ x 1 | [ f ( p ) ] ⋯ ∂ g 1 ∂ x m | [ f ( p ) ] ⋮ ⋮ ⋮ ∂ g l ∂ x 1 | [ f ( p ) ] ⋯ ∂ g l ∂ x m | [ f ( p ) ] ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}{{\left.{\frac {\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{g}_{1}}}{\partial {{x}_{m}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\\\vdots &\vdots &\vdots \\{{\left.{\frac {\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{g}_{l}}}{\partial {{x}_{m}}}}\right|}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\\\end{matrix}}\right)} ( ∂ f 1 ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f 1 ∂ x n | [ p ] ⋮ ⋮ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 | [ p ] ⋯ ∂ f m ∂ x n | [ p ] ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}{{\left.{\frac {\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{f}_{1}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}\\\vdots &\vdots &\vdots \\{{\left.{\frac {\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}&\cdots &{{\left.{\frac {\partial {{f}_{m}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}\\\end{matrix}}\right)} (3-21)