ルジャンドル記号
{\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{{\big \lfloor }{\frac {p+1}{6}}{\big \rfloor }}={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}11{\pmod {12}}\\-1&{\mbox{ if }}p\equiv 5{\mbox{ or }}7{\pmod {12}}.\end{cases}}} p ≠ 5である奇素数 ( 5 p ) = ( − 1 ) ⌊ 2 p + 2 5 ⌋ = { 1 if p ≡ 1 or 4 ( mod 5 ) − 1 if p ≡ 2 or 3 ( mod 5 ) . {\displaystyle \left({\frac {5}{p}}\right)=(-1)^{{\big \lfloor }{\frac {2p+2}{5}}{\big \rfloor }}={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}p\equiv 1{\mbox{ or }}4{\pmod {5}}\\-1&{\mbox{ if }}p\equiv 2{\mbox{ or }}3{\pmod {5}}.\end{cases}}}
フィボナッチ数 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... は漸化式F1 = F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1. により定義される。p が素数の場合 F p − ( p 5 ) ≡ 0 ( mod p ) , F p ≡ ( p 5 ) ( mod p ) .
クロネッカ-の証明は初めに下式を立て、p と q の役割を反対にすることで(p/q) と (q/p) の関係を得た。
( p q ) = sgn  ( ∏ i = 1 q − 1 2 ∏ k = 1 p − 1 2 ( k p − i q ) ) . {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \left(\prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right)\right).}
アイゼンシュタインの証明は次を示すことから始まる。
( q p ) = ∏ n = 1 p − 1 2 sin  ( 2 π q n p ) sin  ( 2 π n p ) . {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {\sin \left({\frac {2\pi qn}{p}}\right)}{\sin \left({\frac {2\pi n}{p}}\right)}}.}
正弦関数ではなく特定の楕円関数を使用することで、エイゼンシュタインは3次および4次の相互作用も証明することができた。