ヴァン・オーベルの定理
s = 2 a + 2 b + 2 c + ( 1 + i ) d {\displaystyle s=2a+2b+2c+(1+i)d}
点 Q から点 S に向かうベクトルを A 、点 P から点 R に向かうベクトルを B とすると,A は s-q ,B は r-p であるから、
A = s − q = ( b + 2 c + d ) + i ( d − b ) {\displaystyle A=s-q=(b+2c+d)+i(d-b)}
B = r − p = ( a + 2 b + c ) + i ( c − a ) {\displaystyle B=r-p=(a+2b+c)+i(c-a)}
となる。証明すべきは、線分 QS と線分 PR の長さが等しく、互いに直交していることであるから、複素数 A と B の関係が、
B = i A {\displaystyle B=iA}
を満たすことである。または、この式の両辺に i をかけて整理すると、
A + i B = 0 {\displaystyle A+iB=0}
となり、この式で証明してもよい。実際に計算すると、
A + i B {\displaystyle A+iB}
= ( b + 2 c + d − c + a ) + i ( d − b + a + 2 b + c ) {\displaystyle =(b+2c+d-c+a)+i(d-b+a+2b+c)}
= ( a + b + c + d ) + i ( a + b + c + d ) = 0 {\displaystyle =(a+b+c+d)+i(a+b+c+d)=0}
となる。