シングルトン限界
q進数の符号で、符号語の長さが n なら、符号語数 r の最大は q となる(符号語の各桁は他の桁とは独立に q 種類の値をとりうるため)。
C がq進数の符号であるとする。その全符号語 c ∈ C {\displaystyle c\in C} はそれぞれ異なる。各符号語の先頭から d − 1 {\displaystyle d-1} 桁を除去したとき、全符号語の最小ハミング距離は d {\displaystyle d} なので、残った符号語もそれぞれ異なる値でなければならない。したがって、符号語数 r {\displaystyle r} は変化しない。
この新たな符号の長さは
n − ( d − 1 ) = n − d + 1 {\displaystyle n-(d-1)=n-d+1}
となり、可能な最大符号語数は
q n − d + 1 {\displaystyle q^{n-d+1}}
となる。したがって、元の符号も符号語数について同じ限界を持つ。
A q ( n , d ) ≤ q n − d + 1 {\displaystyle A_{q}(n,d)\leq q^{n-d+1}}