四元数環
ここでいう「四元数環」はハミルトン型の一般四元数の成す多元環よりももう少し広い意味になっている。基礎体 F の標数が 2 でない場合、F 上の任意の四元数環は 4-次元の F-線型空間として、基底 {1, i, j, k} に乗法規則
i = a, j = b, ij = k, ji = −k
を課したものとして記述することができる。ただし、a, b は所与の F の零でない元とする。少し計算すれば k = −ab となることがわかる(ハミルトンの四元数は F = R, a = b = −1 の場合)。F の標数が 2 の場合も先ほどと異なる基底を用いた明示的な記述をすることはできる。しかし、様々な事象において標数に依らずに一様な記述を適用するには、F 上 4-次元の中心的単純環として F-四元数環を定義したほうが都合がよい。