リー群の表現
最初に有限次元複素ベクトル空間上へ作用する表現を議論する。有限次元複素ベクトル空間 V 上のリー群 G の表現は、リー群 G から V の自己同型群への滑らかな群準同型 Ψ: G → Aut(V) である。
n 次元の V に対し、V の自己同型群は n × n の複素正方行列の部分集合と同一視できる。V の自己同型群は、この同一視を使用して、滑らかな多様体の構造が与えられる。上の定義のように、Ψ が滑らかであるという条件は、Ψ が滑らかな多様体(smooth manifold) G から滑らかな多様体 Aut(V) への滑らかな写像であることを意味する。
複素ベクトル空間 V の基底が選択されると、表現は一般線型群 GL(n, C) への準同型として表現することができる。これは行列表現として知られている。