極限
ユークリッド空間のように、距離 d の定まった空間における点の列についての収束の概念を、実数の列の収束の概念を拡張して定めることができる。すなわち、点列 (xn)n が点 y に収束するとは、正の実数列 (d(xn, y))n が 0 に収束することである。この概念をさらに一般化して、自然数によって数え上げられるとは限らない「列」とその収束性を一般の位相空間に対して定式化することができる。(#位相空間を参照のこと)
距離 d に関する極限であることを明示するために lim の代わりに d-lim などと書くこともある。
一般には x がある有限の値に近づくときを考えることが多いが、x が正か負の無限に近づくときの関数の極限を定義することもできる。
ある無限区間 (a, ∞)(を含む集合)で定義される関数 f(x) において、x が限りなく大きくなると関数 f(x) の値がある値 L に近づくとき、「x が限りなく大きくなるとき f(x) は L に収束する」といい、
lim x → ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}
または、
f ( x ) → L ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow \infty )}
と表す。
これは次のように定義される。
∀ ε > 0 , ∃ X > 0 ; ∀ x [ x > X ⟹ | f ( x ) − L | < ε ] {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\exists X>0;\;\forall x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}
例えば、 f ( x ) = 2 x x + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}} を考える。
f ( 100 ) = 1.9802 {\displaystyle f(100)=1.
自然数の逆数の列 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... を考えると、n を限りなく大きくしていくと一般項 1/n は限りなく 0 に近づいていく。このときこの数列は 0 に収束するといい、このことを
lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}
あるいは
1 n → 0 ( n → ∞ ) {\displaystyle {\frac {1}{n}}\to 0\quad (n\to \infty )}
と書く。
カール・ワイエルシュトラスは「限りなく近づく」という曖昧な表現は使わず、イプシロン-デルタ論法を用いて厳密に収束を定義した。これによれば、数列 {an} がある一定の値 α に収束するとは、次が成り立つことである(この場合はイプシロン-エヌ論法とも言う):