全有界空間
全有界性とコンパクト性の間には、次の良い関係が存在する:
すべてのコンパクト距離空間は、全有界である。
一様空間がコンパクトであるための必要十分条件は、それが全有界であって、コーシー完備であることである。これはユークリッド空間から任意の空間へのハイネ・ボレルの被覆定理の一般化と見なされる:その場合、有界性を全有界性に(そして閉性を完備性に)代える必要がある。
全有界性とコーシー完備化の間には相互補完的な関係がある。すなわち、ある一様空間が全有界であるための必要十分条件は、そのコーシー完備化が全有界であることである(これは、ユークリッド空間においてある集合が有界であることと、その閉包が有界であることは同値という事実に対応する)。
これらの定理を組み合わせて、ある一様空間が全有界であるための必要十分条件は、その完備化がコンパクトであること、ということが分かる。これは全有界性の代替的な定義となる。あるいは、全有界性とは異なる定義が使われるが、プレコンパクト性の定義とされることもある。すると、ある空間が全有界であるための必要十分条件は、それがプレコンパクトであること、という定理が得られる(この方法で定義を分けることは、選択公理が無い場合に有用となる。次節参照)。