確率密度関数
(n(y) はg(x) = y を満たす x の解の数、gk(y) はその解)である。
これを見ると、期待値 E[g(X)] を求めるためには最初に新たな確率変数 Y = g(X) の確率密度 fg(X) を求める必要があると思いたくなる。しかし、
E  [ g ( X ) ] = ∫ − ∞ ∞ y f g ( X ) ( y ) d y {\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }yf_{g(X)}(y)\,dy}
を計算するよりはむしろ、
E  [ g ( X ) ] = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) f X ( x ) d x {\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx}
を計算する方がよい。
X と g(X) の両方が確率密度関数を持つ時、あらゆる場合に2つの積分値は等しい。g が単射である必要はない。前者より後者の計算が簡単である場合がある。
確率密度関数(、英: probability density function、PDF)とは、確率論において、連続型確率変数がある値をとるという事象の確率密度を記述する関数である。確率変数がある範囲の値をとる確率を、その範囲にわたって確率密度関数を積分することにより得ることができるよう定義される。確率密度関数の値域は非負の実数であり、定義域全体を積分すると1である。
例えば単変数の確率密度関数を平面上のグラフに表現して、x軸に確率変数の値を、y軸に確率密度を採った場合、求めたい範囲(x値)の下限値と上限値での垂直線と、変数グラフ曲線と y = 0 の直線とで囲まれる範囲の面積が確率になる。
「確率分布関数」 (probability distribution function) あるいは「確率関数」 (probability function) という用語は、具体的に何を指しているか現時点でも定義が曖昧であり、確率論研究者や統計学者の間では、その意味が標準的でないとされる場合がある。
他の資料に拠れば「確率密度関数」は値の集合に対する関数として定義されたり、累積分布関数との関係で言及されたり、確率質量関数の意味で使われたりする。さらには、密度関数 (density function) という用語が確率質量関数の意味で用いられている場合もある。