グロンウォールの不等式
実数 a < b に対し、[a, ∞) か [a, b] あるいは [a, b) のいずれかの形をとる実軸上の区間を I で表す。β および u を、区間 I 上で定義される実数値連続関数とする。もし関数 u が区間 I の内部 I で微分可能であり、微分不等式
u ′ ( t ) ≤ β ( t ) u ( t ) , t ∈ I ∘ {\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ }}
を満たすならば、関数 u は対応する微分方程式 y ′(t) = β(t) y(t) の解によって上から評価される。すなわち
u ( t ) ≤ u ( a ) exp  ( ∫ a t β ( s ) d s ) {\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}
が、区間 I に含まれるすべての t に対して成立する。
注意: ここでは関数 β および u の符号に関して何の仮定も置いていない。
≤ exp  ( μ ( I s , t ) ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\leq \sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\leq \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}}
が、区間 I に含まれるすべての s < t に対して得られる。もし関数 α が非負であるなら、これらの結果を主張 1 に代入することにより、関数 u についての求めるグロンウォールの不等式の変形版が得られる。
関数 t → μ([a, t]) が区間 I に含まれる t について連続である場合、主張 2 により
∑ k = 0 n − 1 μ ⊗ k ( A k ( s , t ) ) = ∑ k = 0 n − 1 ( μ ( I s , t ) ) k k ! → exp  ( μ ( I s , t ) ) as n → ∞ {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\to \exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\qquad {\text{as }}n\to \infty }
が得られ、したがって関数 α の積分可能性により、ルベーグの優収束定理を用いることで求める不等式が得られる。