体の拡大
k ( E ) = lim → F  k ( F ) = ⋃ F k ( F ) {\displaystyle k(E)=\varinjlim _{F}k(F)=\bigcup _{F}k(F)}
となる。ただし、F は包含関係による帰納系と見た E の有限部分集合全体を動く。
有限生成拡大体 k(a1, ..., an) は、k 上の n 個の不定元 x1, ..., xn に関する多項式を使って、
k ( a 1 , ... , a n ) = { f ( a 1 , ... , a n ) g ( a 1 , ... , a n ) | f , g ∈ k [ x 1 , ... , x n ] } {\displaystyle k(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left\{\left.{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{g(a_{1},\ldots ,a_{n})}}\ \right|f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\right\}}
の形に表すことができる。これは、k(a1, ..., an) が
k [ a 1 , ... , a n ] := { f ( a 1 , ... , a n ) ∣ f ∈ k [ x 1 , ... , x n ] } {\displaystyle k[a_{1},\ldots ,a_{n}]:=\{f(a_{1},\ldots ,a_{n})\mid f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\}}
によって定まる k 上の環(これは k と a1, ..., an を含む最小の環で、k 上 a1, ..., an で生成される環と呼ばれる)の商体であることを意味する。
1 2 ブルバキ 1969, p. 67.
↑ ブルバキ 1968, p. 128.
↑ ブルバキ 1969, p. 68.
↑ ブルバキ 1969, pp. 69-70.
↑ ブルバキ 1969, p. 70.
↑ ブルバキ 1969, p. 74.
↑ ブルバキ 1969, p. 75.
1 2 ブルバキ 1969, p. 77.
↑ ブルバキ 1969, p. 89.
↑ Morandi 1996, p. 177, Theorem 19.14.
↑ Morandi 1996, p. 178, Theorem 19.15.
↑ Morandi 1996, p. 10, Corollary 1.22.
↑ Morandi 1996, p. 14, Problem 16.
↑ ブルバキ 1969, p. 102.
↑ ブルバキ 1969, pp. 113-114. 命題9及び命題10の系1参照。
↑ ブルバキ 1969, p. 115.
1 2 ブルバキ 1969, p. 133.
↑ ブルバキ 1969, p. 139. 無限次ガロア拡大の場合は p. 174。
↑ ブルバキ 1969, p. 69.
↑ 記号 K/k において、記法 "/k" は「体 k 上の」(over k) という意味であり、これはなんらかの商代数系や割り算を意味するものではない。一方で K/k を剰余群や商環などと同様の商構造と見ることもできる。K を k 上のベクトル空間と思えば、商集合としての K/k は K の k 上の基底にあたるものであり、K がある k 係数多項式の分解体ならば、K/k は多項式の根全体の集合と見なされる。また k-自己同型群 Aut(K/k) は商集合としての K/k 上に置換として作用する。特に拡大 N/k が多項式に分解によって得られる正規拡大ならば、ガロア群 Gal(N/k) は多項式の根の置換によって定まる対称群の部分商である。
↑ 上の体が厳密な意味では下の体を含んでいない場合にも、体の拡大と呼ぶことがある。つまり、適当な埋め込み写像が与えられていて、その埋め込まれた像を下の体として体の拡大を考えるとき、埋め込みの像と原像とを同一視して扱うのである。