点と直線の距離
点P(x0, y0)と、ax + by + c =0で与えられる直線を考える。また、点Q(x1, y1)を直線上の任意の点とし、ベクトルn(a, b)を点Qを始点とする法線ベクトルとする。このとき、点Pと直線の距離dは、ベクトルQPをnに直交射影したものの長さと等しい。この射影したベクトルの長さは、
d = | Q P → ⋅ n | ‖ n ‖ . {\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.}
となる。いま、
Q P → = ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) , {\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),}
なので、
ユークリッド幾何学において点と直線の距離 (てんとちょくせんのきょり、英: Distance from a point to a line) とは、点と直線上の任意の点の距離で最短になるものをいう。点と直線を結ぶ線分で点と直線の距離に等しい長さをもつものは、与えられた直線と直交する性質がある。点と直線の距離を計算する公式は、いくつかの方法によって導出できる。
点と直線の間の最短距離を知ることは様々な場面において有益である。例えば、道路までの最短距離が分かったり、グラフ上の値のちらばりを定量化したりなどである。線形曲線回帰の一種であるデミング回帰(英語版)では、独立変数と従属変数が等しい分散を持つ場合には、近似曲線と各データ点の距離によって近似の精度が測定される直交回帰(英語版)に帰着される。
この証明は、直線が座標軸に対して平行でも垂直でもない場合にのみ、つまり直線の方程式でaもbも0でない場合にのみ成り立つ証明である。
方程式 ax + by + c = 0 で表される直線の傾きは −a/b であるから、この直線に対して垂直な任意の線分の傾きはb/a (与えられた直線の傾きの逆数の負)である。ここで点(m, n)を、与えられた直線と、点(x0, y0)を通り与えられた直線に直交する直線の交点とする。点(m, n)と点(x0, y0)を通る直線は元の直線に直交するから
y 0 − n x 0 − m = b a . {\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.}
したがって a ( y 0 − n ) − b ( x 0 − m ) = 0 {\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0} が得られ、さらに両辺を2乗することで以下を得る:
a 2 ( y 0 − n ) 2 + b 2 ( x 0 − m ) 2 = 2 a b ( y 0 − n ) ( x 0 − m ) .