マクローリンの不等式
n = 2 のときには、マクローリンの不等式は2変数に対する相加相乗平均の不等式になる。 マクローリンの不等式が具体的にどのような不等式を与えるかが分かりやすい例として、n = 4 の場合を挙げる:
a 1 + a 2 + a 3 + a 4 4 ≥ a 1 a 2 + a 1 a 3 + a 1 a 4 + a 2 a 3 + a 2 a 4 + a 3 a 4 6 ≥ a 1 a 2 a 3 + a 1 a 2 a 4 + a 1 a 3 a 4 + a 2 a 3 a 4 4 3 ≥ a 1 a 2 a 3 a 4 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}&\quad {\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}{4}}\\[8pt]&\geq {\sqrt {\frac {a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+a_{1}a_{4}+a_{2}a_{3}+a_{2}a_{4}+a_{3}a_{4}}{6}}}\\[8pt]&\geq {\sqrt[{3}]{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{4}+a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}a_{4}}{4}}}\\[8pt]&\geq {\sqrt[{4}]{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}}.\end{aligned}}}
マクローリンの不等式は、ニュートンの不等式を用いて証明することができる。