ブレートシュナイダーの公式
四角形の面積を S とすると、
S = ± △ ADB ± △ BDC {\displaystyle S=\pm \bigtriangleup {\text{ADB}}\pm \bigtriangleup {\text{BDC}}} (±は、凸四角形と凹四角形の場合を省略します) = 1 2 p s sin  A + 1 2 q r sin  C {\displaystyle {\begin{aligned}&={\frac {1}{2}}ps\sin A+{\frac {1}{2}}qr\sin C\end{aligned}}}
より
4 S 2 = ( p s ) 2 sin 2  A + ( q r ) 2 sin 2  C + 2 p q r s sin  A sin  C {\displaystyle 4S^{2}=(ps)^{2}\sin ^{2}A+(qr)^{2}\sin ^{2}C+2pqrs\sin A\sin C}
を得る。また、余弦定理より、
BD 2 = p 2 + s 2 − 2 p s cos  A = q 2 + r 2 − 2 q r cos  C {\displaystyle {\text{BD}}^{2}=p^{2}+s^{2}-2ps\cos A=q^{2}+r^{2}-2qr\cos C}