アダマール行列
アダマール行列の理論に関する最も重要な未解決問題は、その存在性についてである。アダマール予想とは、任意の正整数 k に対して 4k次のアダマール行列が存在するというものである。
1867年のシルベスターによる生成法では、2次のアダマール行列が得られた。12次と20次のアダマール行列は、アダマールによって1893年に求められた。
その後、1933年にレイモンド・ペイリーが、4を法として3と合同であるような任意の素数冪 q について、q + 1次のアダマール行列を生成する方法を示した。彼はまた、4を法として1と合同である素数冪 q について、2(q + 1)次のアダマール行列を生成した。彼の生成法は有限体を用いたものである。アダマール予想はペイリーの業績から生じたものと考えるべきかも知れない。シルベスターとペイリーの手法を組み合わせても 4k次のアダマール行列が生成できない最小の次数は 92 (k = 23) である。92次のアダマール行列は、バウメルト、ゴロム、ホールが計算機を用いて1962年に生成した。彼らはジョン・ウイリアムソンの手法を用いて計算を行い、これはさらに多くの次数の行列を生成することにも成功した。現在では、アダマール行列を生成する多くの手法が知られている。
2004年6月21日、Hadi KharaghaniとBehruz Tayfeh-Rezaieは428次のアダマール行列を生成したと発表した。この結果、まだ生成されていないアダマール行列の最低次数は668となった。