コーシー＝シュワルツの不等式
定理には数多くの証明が知られている。
より成り立つ。n = k (≥ 2) で成立すると仮定する。n = k + 1 のとき、
( ∑ i = 1 k + 1 x i y i ) 2 = ( ∑ i = 1 k x i y i + x k + 1 y k + 1 ) 2 {\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}x_{i}y_{i}+x_{k+1}y_{k+1}\right)^{2}}
≤ ( ( ∑ i = 1 k x i 2 ) 1 2 ( ∑ i = 1 k y i 2 ) 1 2 + x k + 1 y k + 1 ) 2 {\displaystyle \leq \left(\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}+x_{k+1}y_{k+1}\right)^{2}} (∵帰納法の仮定より)
標準内積を入れた数ベクトル空間で考えている場合は、成分表示すると
( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) {\displaystyle \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{y_{i}}^{2}\right)}
となる。特に n = 2, 3 の場合は
( x 1 y 1 + x 2 y 2 ) 2 ≤ ( x 1 2 + x 2 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 ) {\displaystyle (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2})^{2}\leq ({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2})}