円の面積
半径rの円を中心から扇形に細かく等分し、右図のように半分を互いに櫛形に合わさるように組み合わせる。非常に細かく等分していけば、底辺は円周の長さの半分、高さは半径とみなせるので、それぞれ π r {\displaystyle \pi r} 、 r {\displaystyle r} の平行四辺形の面積になる。したがって、
S = ( π r ) r = π r 2 {\displaystyle S=(\pi r)r=\pi r^{2}}
となる。
バビロニア数学では、円周の長さを c {\displaystyle c} としたとき、
S = 5 c 2 60 {\displaystyle S={\frac {\ 5c^{2}}{60}}}
で求めていた。また、円周率に相当する数値は、円に内接する正6角形によって近似した 3 や、内接および外接する正12角形で円の面積を近似して求まる 3.125 であったといわれている。
原点を中心として、半径 x {\displaystyle x} の円周 ( 2 π x {\displaystyle 2\pi x} ) に対して、高さ d x {\displaystyle dx} の円環を考える。
このとき、 d x {\displaystyle dx} が小さければ、半径 x {\displaystyle x} の円周と高さ d x {\displaystyle dx} でできる面積は長方形とみなせ、その面積は d S = 2 π x d x {\displaystyle dS=2\pi xdx} である。したがって、半径 r {\displaystyle r} の円の面積は x {\displaystyle x} を 0 から r {\displaystyle r} まで積分したものに等しい。
S = ∫ 0 r d S = ∫ 0 r 2 π x d x = 2 π [ x 2 2 ] 0 r = π r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S=\int _{0}^{r}\,dS&=\int _{0}^{r}2\pi x\,dx\\&=2\pi \left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{r}\\&=\pi r^{2}\end{aligned}}}
内接正多角形と同様に1区画の三角形の面積を考える(右図(b))
三角形の高さは r {\displaystyle r} 、底辺は 2 r tan  π n {\displaystyle 2r\tan {\frac {\pi }{n}}} となるので、1区画の面積は r 2 tan  π n {\displaystyle r^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}} であり、全区画の合計は n r 2 tan  π n {\displaystyle nr^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}} である。
n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } とすれば、 lim n → ∞ tan  π n = lim n → ∞ sin  π n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\tan {\frac {\pi }{n}}=\lim _{n\to \infty }\sin {\frac {\pi }{n}}} であるから、
lim n → ∞ n r 2 tan  π n = lim n → ∞ n r 2 sin  π n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }nr^{2}\tan {\frac {\pi }{n}}=\lim _{n\to \infty }nr^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}}
これは内接正多角形の場合と同様の式であり、上式は π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} に等しくなる。