Ext関手
Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} を群 G の群環とすると、 Ext Z [ G ] ∗ ( Z , M ) {\displaystyle {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)} は、M に係数を持つ群コホモロジー H ∗ ( G , M ) {\displaystyle H^{*}(G,M)} である。
p 個の元を持つ有限体 Fp に対し、 H ∗ ( G , M ) = Ext F p [ G ] ∗ ( F p , M ) {\displaystyle H^{*}(G,M)={\text{Ext}}_{\mathbb {F} _{p}[G]}^{*}(\mathbb {F} _{p},M)} であり、群コホモロジーは選ばれた基礎となる環には依存しない。
数学では、ホモロジー代数の Ext関手(Ext functors)は、Hom関手の導来関手であり、Tor関手と同様、ホモロジー代数学の中心概念である。ホモロジー代数学では、代数的トポロジーのアイデアが代数的構造の不変量を定義するのに使われている。群のコホモロジーやリー環、結合多元環はすべてExtの言葉で定義できる。Extという名称は、最初のExt群Extにより加群の拡大が分類できることから来ている。 Ext関手は、最初代数幾何学で使われ、その後は数学の多くの分野で共通して使われている。名称の "Ext" は、関手とアーベル圏での拡大(Extension)との関係からきている。