トニー・オリバ
キューバでは父親や兄弟、近所の人と毎週のように農場近くの空き地で野球をプレーしていた。本人はキューバから離れることに消極的だったが、セミプロの元野球選手だった父の奨めもあり、MLBのミネソタ・ツインズのスカウトであるジョー・カンブリアと1961年2月に契約を結んだ。彼に連れられ、アメリカ合衆国へ渡った。
1962年9月9日にMLB初出場を果たし、同年は9試合に出場。翌1963年は9月9日から7試合に出場した。いずれも打席数はわずかであったが2年とも4割を超える打率を残した。もっともこの2シーズンは大部分をツインズ傘下のファームチームで過ごしており、着実に鍛えられていた。
1964年は開幕からMLBに定着、161試合に出場して打率.323を記録し、首位打者のタイトルを獲得した。また、リーグ最多となる109得点・217安打・43二塁打・374塁打を記録。オールスターゲームに選ばれ、アメリカン・リーグ新人王を受賞。新人王の投票では、20人のうち1人がウォーリー・バンカーに票を投じたため、満票での受賞はならなかった。オールスターゲームには1971年まで8年連続で選出された。これはジョー・ディマジオの6年連続を抜き、イチローに破られるまで最多連続記録だった 。
1965年は打率.321を記録し、2年連続で首位打者のタイトルを獲得した。
各年度の太字はリーグ最高
1961年に渡米する際、オリバは1941年生まれの弟のペドロ・ジュニアのパスポートを使用し、書類はペドロ・ジュニアの名前と生年月日を示すように改ざんされた。しかし名前はそのまま使用され続け、オリバは1990年代後半にトニー・ペドロ・オリバと正式に改名した。