ヒルベルト空間
簡単に言えば、量子力学系の状態はある種のヒルベルト空間におけるベクトルであり、可観測量はその空間上のエルミート作用素であり、系の対称性はユニタリ作用素であり、観測は直交射影である。量子力学的対称性とユニタリ作用素との間の関係は、1928年のワイルに始まる群のユニタリ表現論の発展の原動力となった。他方、1930年代の初め頃には、古典的な力学系のある種の性質が、エルゴード理論の枠組みのもとでヒルベルト空間を用いた方法で調べられるようになり、明らかにされた。
量子力学における可観測量の代数は、ハイゼンベルクの行列力学による量子論の定式化に従って、自然に或るヒルベルト空間上で定義される作用素環となる。1930年代のうちにフォン・ノイマンがヒルベルト空間上の作用素の成す環としての作用素環を調べ始め、フォン・ノイマンやその時代の人々が研究した種類の作用素環は、今日ではフォン・ノイマン環と呼ばれている。1940年代には、ゲルファント、ナイマーク(英語版)、シーガル(英語版)らが C-環と呼ばれる種類の作用素環の定義を与えた。これはヒルベルト空間の基盤となることはない一方で、それまで知られていた作用素環のもつ有用な特徴が当てはまる。特に、存在する殆どのヒルベルト空間論の根底にある、自己随伴作用素のスペクトル定理が C-環に対して一般化された。これらの手法は今や抽象調和解析や表現論において基本となっている。
ヒルベルト空間 H において、点列 {xn} がベクトル x ∈ H に弱収束するとは、任意の v ∈ H に対し
lim n ⟨ x n , v ⟩ = ⟨ x , v ⟩ {\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle }
をみたすことをいう。
例えば、任意の正規直交列 {ƒn} は 0 に弱収束することが、ベッセルの不等式から従う。任意の弱収束列 {xn} は一様有界性原理(英語版)により有界である。
逆に、ヒルベルト空間における任意の有界列は弱収束する部分列を含む(アラオグルの定理) 。この結果は、R 上の連続関数に対してボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理を用いるのと同じやり方で、連続凸関数に対する最小値定理の証明に用いられる。これにはいくらか異なった述べ方があるが、以下のような形が簡便であろう
ƒ: H → R が凸関数で、‖x‖ → ∞ のとき ƒ(x) → +∞ を満たすとき、ƒ は H の適当な点 x0 ∈ H で最小値を持つ。
この事実(とその種々の一般化)は変分法における直接法の基礎を成している。有界閉凸関数に対する最小値の存在は、もう少し抽象的な、ヒルベルト空間 H 内の有界閉凸部分集合が H の回帰性により弱コンパクトになるという事実からも直接的に得られる。弱収束部分列の存在性は、エーベルライン・スムリアンの定理(英語版)の特別の場合である。
‖ u 1 + ⋯ + u n ‖ 2 = ‖ u 1 ‖ 2 + ⋯ + ‖ u n ‖ 2 {\displaystyle \|u_{1}+\cdots +u_{n}\|^{2}=\|u_{1}\|^{2}+\cdots +\|u_{n}\|^{2}}
が成り立つ。三平方の定理の主張は任意の内積空間で有効であるにも拘らず、この等式を級数(無限和)に対して拡張するには完備性を課さねばならない。互いに直交するベクトルからなる級数 ∑ uk が H において収束するための必要十分条件は、各項のノルムの平方からなる級数が収束し、かつ
‖ ∑ k = 0 ∞ u k ‖ 2 = ∑ k = 0 ∞ ‖ u k ‖ 2 {\displaystyle \left\|\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|^{2}}
が満たされることである。更に言えば、互いに直交するベクトルからなる級数の和は、それらのベクトルの和をとる順番に依らずに定まる。