多様体
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。地図の上の点は地球上の点に対応し、さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地図と対応させることによって非常に把握しやすくなる。
地球は球であり、世界地図を一枚の平面的な地図におさめようとすれば、南極大陸が肥大化したり、地図の端の方では一枚の地図の中に(連続性を表現するために)同じ地点が複数描き込まれたりする。世界地図をいくつかの小さな地図に分割すると、こういった奇妙なことはある程度回避できる。例えば、北極を中心とした地図、南極を中心とした地図、ハワイを中心とした地図、ガーナを中心とした地図...... などのように分割できる。そして隣り合った地図の繋がりをそれぞれの地図に同じ地域を含めることで表現すればよい。
m1 次元 C 級多様体 (M1,S) から m2 次元 C 級多様体 (M2,T) への写像 f を考える。
f: M1 → M2
それぞれの多様体に与えられている座標近傍系が S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} , T = {(Vτ, ψτ) | τ ∈ Τ} で定められているとする。多様体上の関数と同じように、写像も座標を用いて表現することができる。関数の場合と違うのは写像でうつる先でも座標について考えなければならないことである。
M2 = R という「特別な」場合の写像が関数になる。
f(Uλ) ⊆ (Vτ) とし f を (Uλ, φλ) から (Vτ, ψτ) への写像として座標を用いて書くとすると
φ λ : U λ → U λ ′ {\displaystyle \varphi _{\lambda }:U_{\lambda }\to U'_{\lambda }}
ψ τ : V τ → V τ ′ {\displaystyle \psi _{\tau }:V_{\tau }\to V'_{\tau }}
とすれば
ψ τ ∘ f ∘ φ λ − 1 : U λ ′ → V τ ′ {\displaystyle \psi _{\tau }\circ f\circ \varphi _{\lambda }^{-1}:U'_{\lambda }\to V'_{\tau }}
となる。 これが具体的に座標の成分を用いて
位相多様体のことを、座標変換の微分可能性を仮定しないという意味で C 級多様体と呼ぶこともある。 C 級多様体のことを滑らかな多様体とも呼ぶ。特に n = ω すなわち、全ての座標変換が実解析関数であるときは特に解析多様体 (analytic manifold) という。
ここで、自然数 s, t が s ≤ t を満たすとき、定義より、C 級関数は C 級関数である。
例えば 5 回連続微分可能な関数は、4 回連続微分可能な関数でもある。
このことから、C 級微分可能多様体は C 級微分可能多様体でもある。
微分可能多様体は、C 級座標近傍系 Sの取り方によってはまったく別の多様体になってしまうので、 位相多様体 M と座標近傍系 S を対にして (M, S) と書くこともある。この意味で S は位相多様体 M に C 級可微分構造 (differentiable structure of class C) を定めると表現されることもある。
座標近傍系同士の関係や性質など座標近傍系の基本的な性質に関わることを論じる場合に、(M, S) と明示すると分かりやすい。