ゲージ理論
D μ = ∂ μ + i g A μ {\displaystyle \ D_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }}
と言う形を取る。
ここに g は相互作用の強さを定義する量であり、結合定数と呼ぶ。簡単な計算の後、ゲージ場 A(x) が次のように変換せねばならないことが分かる。
A μ ′ = G A μ G − 1 + i g ( ∂ μ G ) G − 1 . {\displaystyle \ A'_{\mu }=GA_{\mu }G^{-1}+{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }G)G^{-1}\ .}
ゲージ場はリー代数の元であり、
A μ = ∑ a A μ a T a {\displaystyle \ A_{\mu }=\sum _{a}A_{\mu }^{a}T^{a}}
と拡張できる。
従って、リー代数の生成元と同じゲージ場がある。
結局、今では、局所ゲージ不変(locally gauge invariant)ラグランジアン
L l o c = 1 2 ( D μ Φ ) T D μ Φ − 1 2 m 2 Φ T Φ {\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }={\frac {1}{2}}(D_{\mu }\Phi )^{T}D^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{T}\Phi }
が得られている。
パウリ(Pauli)は、 Φ {\displaystyle \Phi } として場の理論へ適用されたゲージ理論を第一種のゲージ変換と呼び、一方、 A {\displaystyle A} の中で償われる変換を第二種のゲージ変換と呼んだ。
1954年に楊振寧とミルズは核子の強い相互作用を説明するモデルを提唱した。 彼らは、電磁相互作用のU(1)対称性の理論を一般化して、陽子と中性子のアイソスピンSU(2)対称性に基づいた理論を構築した。このモデル自体は実験と整合しなかったが非可換対称性に基づくヤン=ミルズ理論として多くの理論の原型となった。
このアイデアは後に、弱い相互作用と電磁相互作用を統一する電弱相互作用への応用が見いだされた。さらに、非可換ゲージ理論は漸近的自由性と呼ばれる特徴を再現できることが判明したことで、ゲージ理論はより魅力的なものとなった。漸近的自由性は強い相互作用の重要な特徴であると見なされていた。これにより、強い相互作用のゲージ理論を探求しようという動機が生まれた。この理論は量子色力学と呼ばれ、クォークのカラーSU(3)対称性に基づくゲージ理論である。ゲージ理論は、量子電磁力学 (QED) 、量子色力学 (QCD) およびワインバーグ=サラム理論の基礎をなしている。さらに、電磁相互作用、弱い相互作用および強い相互作用を統一する標準模型はゲージ理論の言葉で記述されている。
最初に量子化されたゲージ理論は量子電磁力学(QED)であった。最初の方法は、ゲージ固定し、それから正準量子化へ適用するという方法であった。グプタ・ブロイラー(英語版)(Gupta–Bleuler)の方法も、この問題を扱うために開発された。非可換ゲージ理論は、今では、多くの方法により扱われている。量子化の方法は、量子化の記事で記述されている。
量子化の主要な点は、理論で記述されている様々な過程の確率振幅(probability amplitude)を計算することを可能とすることである。テクニカルには、確率振幅は真空期待値のある相関函数の計算である。このことは理論の繰り込みを含んでいる。
理論の結合定数が充分に小さいとき、求めるべき量の全ては摂動論により計算することができる。量子化のスキームはそのような計算(正準量子化)の単純化を意図していて、摂動量子化スキームと言われることもある。現在は、これらの方法のからゲージ理論の詳細な実験検証の大半が導かれる。
しかしながら、ほとんどのゲージ理論では、多くの興味のある量は非摂動的である。この問題に適合する(格子ゲージ理論のような)量子化スキームは、非摂動的量子化スキームと呼ばれる。このスキームの詳細な計算は、スーパーコンピュータを必要とし、他のスキームよりもうまく開発されているとは言えない。