開写像定理 (関数解析)
ここで δ = r / (2k) とする。任意の y ∈ Y および任意の ε > 0 に対し、
‖ x ‖ < δ − 1 ‖ y ‖ {\displaystyle \|x\|<\delta ^{-1}\|y\|} および ‖ y − A x ‖ < ε ( 1 ) {\displaystyle \|y-Ax\|<\varepsilon \quad (1)}
を満たすような、ある x ∈ X が存在する。y ∈ δ V を固定する(ここで δV は球体 V の境界ではなく、V を係数 δ により拡大した球を意味する)。(1) により、‖x 1‖ < 1 かつ ‖y − A x 1‖ < δ/ 2 を満たすような x 1 が存在する。点列 {xn} を次のような方法で帰納的に定義する。
‖ x n ‖ < 2 − ( n − 1 ) {\displaystyle \|x_{n}\|<2^{-(n-1)}} および ‖ y − A ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) ‖ < δ 2 − n ( 2 ) {\displaystyle \|y-A(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})\|<\delta 2^{-n}\quad (2)}
とすると、(1) により