ルンゲ＝レンツベクトル
L = m k a ( 1 − e 2 ) ( L = | L | ) {\displaystyle L={\sqrt {mka(1-e^{2})}}\quad (L=|{\boldsymbol {L}}|)}
の関係が成り立つ。
このとき、
A = p × L − m k r r {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {p}}\times {\boldsymbol {L}}-mk{\frac {\boldsymbol {r}}{r}}}
で定義されるベクトルをルンゲ=レンツベクトルと呼ぶ。ルンゲ=レンツベクトルは
A ̇ = 0 {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {A}}}={\boldsymbol {0}}}
を満たす保存量である。
一般に中心力ポテンシャルの下での運動は回転対称性から角運動量ベクトルは保存量となり、その軌道は角運動量ベクトルに垂直な一定平面内に限られる。一方で、必ずも軌道が閉じて閉軌道となることは保証されない。距離に反比例する中心力ポテンシャル V(r) においても、わずかにその値が揺らぐと近日点と遠日点を結ぶ軸に歳差が生じ、楕円軌道としては閉じない。軌道が閉じる背後には角運動量ベクトルに加えて、別の保存量の存在が示唆されるが、ルンゲ=レンツベクトルがその保存量となっている。
C 1 ^ = 2 s ( s + 1 ) ħ 2 {\displaystyle {\hat {C_{1}}}=2s(s+1)\hbar ^{2}}
となる。一方、
C 1 ^ = 1 2 ( L ^ 2 − 1 2 m E A ^ 2 ) = − m k 2 4 E − 1 2 ħ 2 {\displaystyle {\hat {C_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\hat {\boldsymbol {L}}}^{2}-{\frac {1}{2mE}}{\hat {\boldsymbol {A}}}^{2}\right)=-{\frac {mk^{2}}{4E}}-{\frac {1}{2}}\hbar ^{2}}
であるから、水素型原子のエネルギー準位は
E = − m k 2 2 ħ 2 ( 2 s + 1 ) 2 s = 0 , 1 2 , 1 , ⋯ {\displaystyle E=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}(2s+1)^{2}}}\quad s=0,{\frac {1}{2}},1,\cdots }
となる。ここで、2s + 1 は主量子数 n に対応する。
量子力学では正準量子化により、力学的な物理量はエルミート演算子になる。演算子(の各座標成分)同士の積は可換とは限らず、古典力学とは違い演算子 ˆp × ˆL は −ˆL × ˆp に一致しない。したがって、ˆp × ˆL はエルミート演算子ではなく、量子力学では物理量を表わさない。そこで量子力学的なルンゲ=レンツベクトルは、エルミート演算子
A ^ = 1 2 ( p ^ × L ^ − L ^ × p ^ ) − m k r ^ r {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}={\frac {1}{2}}({\hat {\boldsymbol {p}}}\times {\hat {\boldsymbol {L}}}-{\hat {\boldsymbol {L}}}\times {\hat {\boldsymbol {p}}})-mk{\frac {\hat {\boldsymbol {r}}}{r}}}
で定義される。
ˆA はハミルトニアン ˆH と可換であるから、ハイゼンベルク方程式からの帰結として保存量であるといえる。