単振動
ただし、ここで振幅 A と位相角 ψ は下記のような時間の関数である。
A = A 1 2 + A 1 2 + 2 A 1 A 2 cos  [ ( ω 1 − ω 2 ) t + φ 1 − φ 2 ] {\displaystyle A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{1}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos \left[(\omega _{1}-\omega _{2})t+\phi _{1}-\phi _{2}\right]}}}
tan  ψ = A 1 − A 2 A 1 + A 2 tan  ( ω 1 − ω 2 2 t + φ 1 − φ 2 2 ) {\displaystyle \tan \psi ={\frac {A_{1}-A_{2}}{A_{1}+A_{2}}}\tan \left({\frac {\omega _{1}-\omega _{2}}{2}}t+{\frac {\phi _{1}-\phi _{2}}{2}}\right)}
簡単な場合として、2つの単振動の角振動数が同じ (ω1 = ω2) ときは、重ね合わされた振動も単振動になる。このとき、A と ψ は時間依存しない定数になる。2つの単振動の同一角振動数を ω とすれば、重ね合わされた振動も ω の単振動となる。このときの単振動は次式で与えられる。
x = A cos  ( ω t + α ) {\displaystyle x=A\cos \left(\omega t+\alpha \right)}
互いに直角する方向の単振動の重ね合わせも考えられる。xy-平面上の点が、x 方向に
x = A 1 cos  ( ω 1 t + φ 1 ) {\displaystyle x=A_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})}
という単振動をして、なおかつ y 方向に
y = A 2 cos  ( ω 2 t + φ 2 ) {\displaystyle y=A_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2})}
という単振動をしている場合を考える。このときの点の軌跡は、一般にリサジュー図形と呼ばれる曲線になる。もし ω1 = ω2 であれば、軌跡は楕円となる。なおかつ初期位相の差 φ2 − φ1 が π の整数倍であれば、軌跡は直線になる。同一方向のときと同様に、ω1/ω2 が有理数であれば、周期的な軌跡となり、リサジュー図形は閉曲線となる。ω1/ω2 が無理数であれば、リサジュー図形は閉じることのない曲線となる。
何かの量が時間経過に応じて変動しているとする。この量 x が単振動するとき、 x と時間 t の関係は余弦関数 cos によって
x = A cos  ( ω t + φ ) {\displaystyle x=A\cos(\omega t+\phi )}
と記述できる。変化量 x には変位、圧力、電圧、電流といったさまざまな量を当てはめることができる。x が電流あるいは電圧の場合は、単振動ではなく正弦波と呼ぶこともある。ただし、物理学の波動分野では、空間と時間を独立変数として正弦関数で表される進行波を指して正弦波と呼ぶ。
単振動の場合、上式の A, ω, φ は全て時間に依存しない定数である。式中の各パラメータの詳細は次のとおりである。
A は振幅と呼ばれる。一般的に A の値は正とする。x が物体の変位の振動を意味しているとすれば、変位の中立位置 (x = 0) から最大値に相当する。x の値が A と −A の間を往復する振動となる。
cos の中身 ωt + φ は位相と呼ばれる。三角関数の中身であるため、位相は物理的次元を持たない無次元量で、しばしば角度とみなしてラジアンや度の単位をあてる。ωt + φ を位相角とも呼ぶ。三角関数の性質によって、位相が 2π 増えるたびに、x は同じ値に戻ることになる。ここで π は円周率である。
φ は初期位相や初期位相角と呼ばれる。これは、φ が t = 0 のときの位相の値を意味しているためである。φ を位相定数と呼んだり、単に位相角とも呼ぶこともある。