連続的双対空間
バナハ空間の間のコンパクト線型写像 T: V → W に対し、その転置 T' もまたコンパクトである。これはアルツェラ・アスコリの定理を用いて証明できる。
V がヒルベルト空間であるとき、V からその連続的双対 V' の上への逆転同型 iV が存在し、V 上の任意の有界線型写像 T に対して、その連続的転置 T' とエルミート共役 T は
i V ∘ T ∗ = T ′ ∘ i V {\displaystyle i_{V}\circ T^{*}=T'\circ i_{V}}
なる関係で結ばれている。二つの位相線型空間の間の連続線型写像 T に対し、その転置 T' が連続となるのは、W' と V' の位相が「両立」するときである。例えば、V = W = X とし、両者の双対 X' にはともに X 上の有界集合上一様収束の位相(強位相) β(X', X) を入れたとき、あるいはともに X 上の各点収束の位相(弱-∗ 位相)σ(X', X) を入れたときなど。すなわち転置写像 T' は β(W', W) から β(V', V) への、あるいは σ(W', W) から σ(V', V) への連続線型写像となる。
ノルム空間 V の双対空間が可分ならば空間 V もそうであるが、逆は必ずしも成り立たない。例えば、 l は可分だが、その双対 l は可分でない。