多重ゼータ値
これを有限複シャッフル関係式 (finite double shuffle relation) という。
調和積とシャッフル積のいずれかを積として考えた代数において、 H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}} が多項式環 H 0 [ y ] {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}[y]} に同型であるという事実が証明されている。このことを用いて、 H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}} の単項式を y の多項式として表示したときの定数項を取り出す写像 (を線形に拡張したもの) を、使う積の種類に応じてそれぞれ reg∗, regш と書く。このとき調和関係式、シャッフル関係式において H 0 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{0}} を H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}} に、 Z {\displaystyle Z} を Z ∘ r e g {\displaystyle Z\circ \mathrm {reg} } に置き換えても同様の事実が成り立つ。そうして得られる関係式を正規化複シャッフル関係式 (regularized double shuffle relation) という。