リーマン幾何学の基本定理
ここに ∂ X ⟨ Y , Z ⟩ {\displaystyle \partial _{X}\langle Y,Z\rangle } はベクトル場 X に沿った函数 ⟨ Y , Z ⟩ {\displaystyle \langle Y,Z\rangle } の微分を表す。
任意のベクトル場 X, Y に対し、
∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] , {\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}
である。ここに [X, Y] はベクトル場 X, Y のリーのブラケットである。
第一の条件は、計量テンソルは平行移動により保存されることを意味し、一方、第二の条件は接続 ∇ の捩率テンソルが 0 であることを表している。
基本定理の拡張は、擬リーマン多様体が与えられると、一意に接続が存在し、任意のベクトル値 2-形式を持つ計量テンソルを捩率として保存するという定理となる。
次のテクニカルな証明は、局所座標系で接続の座標表現であるクリストッフェル記号を示している。与えられた計量に対し、この(局所座標系を使う)方程式の集合は、むしろ複雑である。与えられた計量に対し、クリストッフェルの記号を使うよりも早く、より簡単な方法がある。この方法は、作用積分やオイラー・ラグランジュ方程式を使う方法である。