スペクトル系列
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 E 0 , 2 2 0 ⋯ 0 E n , 2 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 , 1 2 0 ⋯ 0 E n , 1 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 , 0 2 0 ⋯ 0 E n , 0 2 0 ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,0}^{2}&0&\cdots \\\end{matrix}}}
という形をしている。さらに、 p = 0 , n {\displaystyle p=0,n} に対して、普遍係数定理により
E p , q 2 = H p ( S n ; H q ( F ) ) = H q ( F ) {\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))=H_{q}(F)}
であるから、 E 2 {\displaystyle E^{2}} ページは
d p , q I + d p , q I I : T n ( C ∙ , ∙ ) p I / T n ( C ∙ , ∙ ) p + 1 I = C p , q → T n − 1 ( C ∙ , ∙ ) p I / T n − 1 ( C ∙ , ∙ ) p + 1 I = C p , q − 1 {\displaystyle d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}}
がある。 これから、E の微分は d + d から誘導される写像 Cp,q → Cp,q−1 であることがわかる。しかし、この写像と d の次数は異なっているので、d は E 上でゼロでなければならない。これは、微分が d と一致していることを意味しているので、
I E p , q 1 = H q I I ( C p , ∙ ) {\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })}
となる。E を明らかにするためには、
スペクトル系列を作るための最も強力な方法は、ウィリアム・マッセイ(英語版)による完全対を使う方法である。完全対は特に代数的位相幾何学の分野でよく使われ、他の作り方が知られていないスペクトル系列が多く存在する。実際、全ての知られているスペクトル系列は完全対から作ることができる。にもかかわらず、(完全対は)抽象代数学ではあまり人気がなく、その分野ではほとんどのスペクトル系列はフィルターつき複体から得られている。完全対を定義するために、アーベル圏を1つとる。先程と同じく、応用上は大抵の場合環上の2重次数つき加群の圏である。完全対 とは、対象 A と C の対と、この対象間の3つの準同型: f : A → A, g : A → C and h : C → A であって、次の完全性の条件を満たすものを言う:
Image f = Kernel g
Image g = Kernel h
Image h = Kernel f
このデータを単に (A, C, f, g, h) と表す。完全対は三角形の絵で表現することが多い。