スピン構造
スピン多様体のÂ 種数は整数であり、さらに次元が 4 mod 8 であれば偶数である。 一般に、Â 種数は有理数不変量で、任意の多様体に対し定義されるが、一般に整数ではない。 これはもともとヒルツェブルフとボレルにより証明されたもので、アティヤ–シンガーの指数定理によって証明することができ、Â 種数はディラック作用素(英語版)(ディラック作用素は二階作用素の平方根であり、スピン構造が「平方根」であるおかげで存在する)の指数として実現することができる。これは指数定理に対して動機付ける例であった。
この議論は、二次のスティーフェル–ホイットニー類は Z2-係数コホモロジーの元ばかりでなく、ひとつ高次の整係数コホモロジーの元をも定義することを示している。実は、これは任意の偶数次スティーフェル–ホイットニー類に対して同じことが言える。そうして得られる奇数次の累に対して、慣習的に大文字の W が用いられ、それぞれの次数(これは常に奇数)をラベルとして、整係数スティーフェル–ホイットニー類と呼ぶ。
多様体がスピン-構造を全く持つとき、スピン構造全体の成す集合は、アフィン空間を成す。さらに言えば、スピン構造の空間には、H(M, Z) が自由かつ推移的に作用する。従って、スピン構造は(自然な方法ではないけれども)H(M, Z) の元に対応する。