ルジャンドルの公式
nはp進法で n = n l p l + ⋯ + n 1 p + n 0 {\displaystyle n=n_{\ell }p^{\ell }+\cdots +n_{1}p+n_{0}} と書ける。したがって、 ⌊ n p i ⌋ = n l p l − i + ⋯ + n i + 1 p + n i {\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor =n_{\ell }p^{\ell -i}+\cdots +n_{i+1}p+n_{i}} であり、
ν p ( n !
p を底とする p-進展開の観点からルジャンドルの公式を定式化し直すこともできる。 s p ( n ) {\displaystyle s_{p}(n)} をnのp進表記における各位の和とすると以下の式が成り立つ。
ν p ( n ! ) = n − s p ( n ) p − 1 . {\displaystyle \nu _{p}(n!)={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.}
例えば、n =6を二進法で表記すると 610=1102 であり、 s 2 ( 6 ) = 1 + 1 + 0 = 2 {\displaystyle s_{2}(6)=1+1+0=2} である。したがって
ν 2 ( 6 ! ) = 6 − 2 2 − 1 = 4 {\displaystyle \nu _{2}(6!)={\frac {6-2}{2-1}}=4}
同様に、n =6を三進法で表記すると 610=203 であり、 s 3 ( 6 ) = 2 + 0 = 2 {\displaystyle s_{3}(6)=2+0=2} である。したがって
ν 3 ( 6 ! ) = 6 − 2 3 − 1 = 2 {\displaystyle \nu _{3}(6!)={\frac {6-2}{3-1}}=2}
である。
任意の素数 p と任意の非負整数 n に対して、νp(n) は n を割り切る最大 p-冪の指数(すなわち、n の p-進付値)を表す記号とする。このとき、
ν p ( n ! ) = ∑ i = 1 ∞ ⌊ n p i ⌋ {\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }
である。但しここで、 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } は床関数である。式の右辺に見かけ上の無限和が現れているけれども、n および p が固定されれば現れる非零項は有限個しかない: 実際、i を十分大きく p > n なるようにとれば ⌊ n p i ⌋ = 0 {\textstyle \lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor =0} が成り立つ。