確率の公理
まず、コルモゴロフ自身による公理系を解説し、次節で現代の定義について解説する。
Ω {\displaystyle \Omega } は、根元事象と呼ばれる要素の集合、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は Ω {\displaystyle \Omega } の部分集合から構成される族であり、その要素は事象と呼ばれる。 P {\displaystyle P} は F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} 上の集合関数とする。以下の5公理を満たす系 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},P)} を確率空間と呼ぶ。
1. F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は有限個の要素による集合和、集合差、共通部分について閉じている。
2. F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は Ω {\displaystyle \Omega } を含む。すなわち Ω ∈ F . {\displaystyle \Omega \in {\mathfrak {F}}.}
3. P {\displaystyle P} は非負の実数値をとる。すなわち、 P : F → R ≥ 0 {\displaystyle P:{\mathfrak {F}}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}
↑ コルモゴロフはこのような系を「集合体」と呼んでいるが、これだけの条件では補集合について閉じていることは言えないので、現代の意味での集合体とは異なる。
↑ この条件を加えることにより、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は、現代の意味での集合体になる。
↑ 有限加法性は満たすが連続性を満たさない確率関数を構成することができる。
↑ 以下は通常の確率論のテキストには大抵最初に書かれている内容であるが、参考文献の代表として、(伊藤 1953, p. 1)を挙げておく。