複素速度ポテンシャル
2次元かつ非粘性、渦なしの流れについて、速度ポテンシャル Φ と流れ関数 Ψ の双方が定義できる。この双方に対し、ある参照点の任意方位について勾配をとると、2つの勾配ベクトルは参照点速度の直交しあう成分であり、それらの合ベクトルは勾配参照の方位によらず一意に定まる。この性質は複素平面上の正則条件に相当する。
数式の上では速度 u = (u , v ) が次のように書ける。
u = ∂ φ ∂ x = ∂ ψ ∂ y , v = ∂ φ ∂ y = − ∂ ψ ∂ x {\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\\v&={\frac {\partial \phi }{\partial y}}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\end{aligned}}}