接ベクトル空間
接ベクトルの定義において、係数 {ai ∈ R} をどのような組み合わせでとってもその接ベクトルに対する p を通る曲線 φ が存在する。逆に p を通る C 曲線 φ に対して定められた方向微分 vφ は接ベクトルになる。
見かけは局所座標系に依存しているように見える定義も、局所座標に依存しないベクトルとして定まっている。 p を含む別の座標近傍 (V; y1, ..., ym) を取り、座標変換を考え
( ∂ ∂ x i ) p = ∑ j = 1 m ∂ y j ∂ x i ( p ) ( ∂ ∂ y j ) p {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)_{p}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}(p)\left({\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)_{p}}
を用いれば、接ベクトルは
m 次元 C 級多様体 M とその上の点 p を考える。 p における 接ベクトル v は、 p の近傍で定義された C 級関数 f を実数 v(f) に対応させる関数である。
v : f ↦ v ( f ) ∈ R {\displaystyle v\colon f\mapsto v(f)\in \mathbf {R} }
v(f) は接ベクトル v と関数 f の組であり、 v を固定して、 f に対して値が定まると考えてきた。逆に f を固定して
d f p : v ↦ v ( f ) {\displaystyle df_{p}\colon v\mapsto v(f)}
という関数も考えることができる。この dfp を f の p における 微分 (differential) という。
接ベクトルのなす空間 Tp(M) は R 上の線型空間であることから、 Tp(M) から R への線型写像のなす双対ベクトル空間
T p ∗ ( M ) = Hom R  ( T p ( M ) , R ) {\displaystyle T_{p}^{*}(M)=\operatorname {Hom} _{\mathbf {R} }(T_{p}(M),\mathbf {R} )}
が定まるが、 微分 dfp はこの Tp(M) の元である。
多様体上の関数の微分は、多様体から多様体への写像の微分へと拡張される。
M: a 次元 C 級多様体
N: b 次元 C 級多様体
として、C 級写像
f: M → N
を考える。
M の中の曲線
φ : ( − ε , ε ) → M {\displaystyle \phi \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}
φ ( 0 ) = p ∈ M {\displaystyle \phi (0)=p\in M}
をとり、 p を含む座標近傍 (U; x1, ..., xa) を取る。 曲線 φ の t = 0 における接ベクトルは
v φ = ∑ i = 1 a d x i d t ∂ ∂ x i {\displaystyle v_{\phi }=\sum _{i=1}^{a}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}
と書ける。
ここで φ を f で N の中へ写した曲線
( f ∘ φ ) : ( − ε , ε ) → N {\displaystyle (f\circ \phi )\colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to N}
f ( φ ( 0 ) ) = q ∈ N {\displaystyle f{\bigl (}\phi (0){\bigr )}=q\in N}