ブロカールの問題
Dabrowski (1996)はOverholtの結果を一般化し、ABC予想が正しければ、任意の自然数 A に対し
n ! + A = k 2 {\displaystyle n!+A=k^{2}}
を満たす解は有限組しか存在しないこと、A が平方数でないときはABC予想によらず解は有限個しか存在しないこと(実際 A が p を法として平方剰余ではないような最小の素数 p をとると k 2 − A {\displaystyle k^{2}-A} は p で決して割り切れないので n < p でなければならない)を示した。その後、京都大学の望月新一(日本)によってABC予想が証明され(2020)、任意の自然数Aに対して解が有限個であることが示された。Luca (2002)はこれをさらに一般化し、 2次以上で整数係数を持つ任意の多項式P(x)に対して
n ! = P ( x ) {\displaystyle n!=P(x)}
を満たす解は有限組しか存在しないことを示した。
指数が2より大きい場合、および x 2 + y 2 = n ! {\displaystyle x^{2}+y^{2}=n!