接続 (ベクトル束)
である。
引き戻しの特殊な場合として、Nが線分の場合がある。この場合写像 P : ( 0 , 1 ) → M {\displaystyle P~:~(0,1)\to M} はM上の曲線とみなせる。曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿った切断sに対し、
∇ s d t := f ∗ ( f ∗ ( ∇ ) d d t f ∗ ( s ) ) {\displaystyle {\nabla s \over dt}:=f_{*}\left(f^{*}(\nabla )_{\tfrac {d}{dt}}f^{*}(s)\right)}
を考える事ができる。 ∇ d t s {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}s} を接続 ∇ {\displaystyle \nabla } によって定まる曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿った切断sの共変微分という。成分で書けば
∇ s d t = ( d s i d t + d x k d t s j Γ k j i ) e i {\displaystyle {\nabla s \over dt}=\left({ds^{i} \over dt}+{dx^{k} \over dt}s^{j}\Gamma _{kj}^{i}\right)e_{i}}
となるので、レヴィ-チヴィタ接続の場合の曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿った切断sの共変微分の概念の一般化になっている事がわかる。
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Marcel Berger (2003/6/15).
この式は、共変微分 ∇ X s = ∇ X ( s j e j ) {\displaystyle \nabla _{X}s=\nabla _{X}(s^{j}e_{j})} にライプニッツ則を適用して係数部分の微分 X ( s j ) e j {\displaystyle X(s^{j})e_{j}} と基底部分の微分 s j ∇ X e j {\displaystyle s^{j}\nabla _{X}e_{j}} の和として表現したものと解釈できる。
そこで以下のような定義をする:
定義 (接続形式) ― 行列 ω ( X ) {\displaystyle \omega (X)} を
( ∇ X e 1 , ... , ∇ X e m ) = ( e 1 , ... , e m ) ω ( X ) {\displaystyle (\nabla _{X}e_{1},\ldots ,\nabla _{X}e_{m})=(e_{1},\ldots ,e_{m})\omega (X)}
により定義し、Xに ω ( X ) {\displaystyle \omega (X)} を対応させる行列値の1-形式 ω = ( ω i j ) i j {\displaystyle \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}} を局所的な基底 ( e 1 , ... , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} に関する接続∇の接続形式(英: connection form)という
定義から明らかに、
2つのアフィン接続 : ∇ , ∇ ′ : X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) {\displaystyle \nabla ,\nabla '~:~{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)} がM上の任意の曲線P(t)に対し、
∇ d t P ( t ) = 0 ⟺ ∇ ′ d t P ( t ) = 0 {\displaystyle {\nabla \over dt}P(t)=0\iff {\nabla ' \over dt}P(t)=0}
を満たすとき、 ∇ {\displaystyle \nabla } と ∇ ′ {\displaystyle \nabla '} は同一の測地線を定めるという。
D ( X , Y ) := ∇ X Y − ∇ X ′ Y {\displaystyle D(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla '_{X}Y}
とし、
S ( X , Y ) = 1 2 ( D ( X , Y ) + D ( Y , X ) ) {\displaystyle S(X,Y)={1 \over 2}(D(X,Y)+D(Y,X))}
A ( X , Y ) = 1 2 ( D ( X , Y ) − D ( Y , X ) ) {\displaystyle A(X,Y)={1 \over 2}(D(X,Y)-D(Y,X))}
∇ X s = X ( s j ) e j + s j ω i j ( X ) e i {\displaystyle \nabla _{X}s=X(s^{j})e_{j}+s^{j}\omega ^{i}{}_{j}(X)e_{i}}
である。
さらに ω i j {\displaystyle \omega ^{i}{}_{j}} を成分で、
と表記すると、
∇ X s = ( X k ∂ s i ∂ x k + X k s j Γ k j i ) e i {\displaystyle \nabla _{X}s=\left(X^{k}{\partial s^{i} \over \partial x^{k}}+X^{k}s^{j}\Gamma _{kj}^{i}\right)e_{i}}
とレヴィ-チヴィタ接続のときと同様の成分表示が得られる。 Γ k j i {\displaystyle \Gamma _{kj}^{i}} を(局所座標 x = ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{m})} と局所的な基底 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} に関する)接続係数(英: connection coefficient)、あるいはレヴィ-チヴィタ接続の場合の名前を流用し、クリストッフェル記号という。
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レヴィ・チヴィタ接続の場合は測地線を全く別の角度から特徴づける事ができる。
測地線方程式は曲線uの長さ ∫ a b ‖ d u d t ‖ d t {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\|{du \over dt}\right\|dt} を端点を固定して変分したときのオイラー・ラグランジュ方程式に等しい。ここで ‖ v ‖ := g ( v , v ) {\displaystyle \|v\|:={\sqrt {g(v,v)}}} である。すなわち、測地線は長さに関する停留曲線(≒端点を固定した曲線のなす空間において「微分」がゼロのなる曲線)である。
また測地線方程式は曲線uの「エネルギー」 ∫ a b ‖ d u d t ‖ 2 d t {\displaystyle \int _{a}^{b}\left\|{du \over dt}\right\|^{2}dt} を端点を固定して変分したときのオイラー・ラグランジュ方程式にもなっている。
m次元リーマン多様体Mが別のリーマン多様体 M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の余次元1の部分リーマン多様体、すなわち M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} 、 dim  M ̄ = dim  M + 1 {\displaystyle \dim {\bar {M}}=\dim M+1} の場合は、以下が成立する:
定理 ― i≠jを満たす任意のi, j ∈{1,...,m}に対し、
S e c u ( e i , e j ) = S e c ̄ u ( e i , e j ) + κ i κ j {\displaystyle \mathrm {Sec} _{u}(e_{i},e_{j})={\overline {\mathrm {Sec} }}_{u}(e_{i},e_{j})+\kappa _{i}\kappa _{j}}
ここで e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} は点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} における主方向で κ 1 , .