付値
体 K の 1-変数有理関数体 K(x) の 0 でない元 f(x) に対して f ( x ) = g ( x ) h ( x ) ( g ( x ) , h ( x ) ∈ K [ x ] ) {\displaystyle f(x)={g(x) \over h(x)}\quad (g(x),\,h(x)\in K[x])} と表したとき、v(f) = deg h − deg g と定義すると、v は K(x) の加法付値となる。
α を無理数とし、体 K 係数の 0 でない多項式 p ( x , y ) = ∑ j = 0 m a j x j y m − j ( a j ∈ K , m ≥ 0 ) {\displaystyle p(x,y)=\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}y^{m-j}\quad (a_{j}\in K,\ m\geq 0)} に対して、v(p) = min{j + (m − j)α | aj ≠ 0, 0 ≤ j ≤ m} とし、K 上の 2-変数有理関数体 K(x, y) の 0 でない元 f(x, y) に対して f ( x , y ) = g ( x , y ) h ( x , y ) ( g ( x , y ) , h ( x , y ) ∈ K [ x , y ] ) {\displaystyle f(x,y)={g(x,y) \over h(x,y)}\quad (g(x,y),\ h(x,y)\in K[x,y])} と表したとき、v(f) = v(g) − v(h) と定義すると、v は K(x, y) の加法付値となる。
これを p-進付値という。これは上記の p-進加法付値を使って、|a|p = p とあらわすことができる。
より一般に、上記の p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -進加法付値 v に対して、|a| p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} = N p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} で与えられる|•| p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} : K → R は、代数体 K 上の乗法付値となる。ここで N p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} は素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} のノルムである。これを p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} -進付値という。
↑ 一般に 1 を含む任意の環 R の加法付値に対して、Rv, m v {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}} が定義され、それぞれ R の部分環、Rv のイデアルとなるが、R が体以外の場合、一般には付値環の持つ多くの性質を有しないので、付値環を体上の加法付値の下で定義する。
↑ 一般に、順序群 G に対して、この様な性質を満たす部分群を孤立部分群という
↑ この n は加法付値の階数に等しい。
↑ 文献によっては、値群が Z の部分群となるとき離散付値という場合がある。
↑ 離散付値ではない加法付値に対する付値環は、ネーター環にはならない。
↑ 乗法付値のことを単に付値という場合がある。また、加法付値のことを付値、乗法付値のことを絶対値と言う場合もある。
↑ このことは乗法付値の条件3 と同値である。
↑ アルキメデス付値 |•| および r ≥ 0 に対して、Rr = {α ∈ K | |α| ≤ r} とおくと、Rr が環になるのは、Rr = {0} の場合に限る。
↑ 単に「付値」といった場合、加法付値か乗法付値かは問わないものとする。
↑ しかしながら、C(t) にはアルキメデス付値が存在する。
↑ 添字の 1, ... , n は単に区別のためのものであり、p-進付値を指しているわけではない。後述の独立性定理、積公式も同じ。