単拡大
L = K (α) を単拡大とする。
この拡大が有限であれば、 α は K 上代数的である(α のベキたちの間に線型従属な関係があり α で消える多項式が得られる); L は α の最小多項式 P の根体に同型である(この体は多項式環 K[X] の P で生成されたイデアルによる商として得られる)。 とくに、α が K 上代数的な元であれば、体 K(α) は "K[α]"、すなわち a n α n + ⋯ + a 1 α + a 0 {\displaystyle a_{n}\alpha ^{n}+\dotsb +a_{1}\alpha +a_{0}} 、ただし αi ∈ K、の形で表されるもの全体の集合、に他ならない。
無限次拡大であれば、 α は K 上超越的である; 拡大体は K 上の有理関数体 K(X) に同型である(実際、X を α に写す K[X] から L への K-代数準同型は単射であるので分数体 K(X) に拡張し、このように得られた K(X) から L への体準同型は全射である)。
K と L の間のすべての中間拡大は単拡大である。これは α が代数的なときだけでなく、α が超越的なときも正しい。後者の主張はリューローの定理である。
素数次のすべての有限拡大は単拡大である。
原始元の定理より、すべての有限分離拡大は単拡大である。
有限拡大 L/K が単拡大であることと K と L の間に有限個しか中間体がないことは同値である。
体論の基本的な定理の1つは、P(X) が K 上の既約多項式であれば、商環 A=K[X]/(P)、ただし (P) は K[X] において P で生成されるイデアル、は体であるというものである。さらに、P が K の拡大 L で根 α をもてば、体 K(α) は A に同型である。この実際的意味は次のようである。n = deg(P) としてせいぜい次数 n - 1 の多項式で単拡大 K (α) の元を表すことが常にできる。K (α) の二元の和は対応する多項式の和に、積は多項式の積 mod P (これはユークリッド除法によって多項式の積を P で割りその余りをとることを意味する)に翻訳される。
例えば、P(X) = X + 1 であれば、虚数 i が C において P の根であることを知っている。今見たことから、C は a + b X の形の多項式の集合に同型である。
単拡大の概念は、主に次の二つの点から数学上の興味を集めている。
単拡大は分類が完了している体拡大である。拡大の生成元が K 上超越的なら無限次拡大で有理関数体に同型(フランス語版)であり、 生成元 α が代数的なら拡大は有限で、α の K 上の最小多項式の根体に同型である。
原始元の定理はすべての有限次分離拡大が単拡大であることを保証する。代数拡大はそのすべての元の最小多項式が重根をもたないときに分離的という。有限拡大の分離性のいろいろな同値条件に加えて、代数拡大が分離的であるための十分条件は基礎体が完全体(例えば標数 0 あるいは有限体)であることである。