ヒルベルトスキーム
グロタンディエクは、ネータースキーム S 上のn-次元射影空間のヒルベルトスキーム Hilb(n)S を、様々な判別式を 0 とすることで定義されるグラスマン多様体(英語版)(Grassmannian)の部分スキームとして定義した。ヒルベルトスキームの基本的性質は、S 上のスキーム T に対し、ヒルベルトスキームは、T 上に平坦な P ×S T の閉部分スキームとなる T-に値を持つ点を持つ函手を表現する。
X が n-次元射影空間の部分スキームであれば、X は 次数付き部分である IX(m) を持ち n + 1 変数の多項式環 S の次数付きイデアル IX へ対応する。X のヒルベルト多項式 P にのみ依存する充分大きな m に対し、O(m) に係数を持つ X の全ての高次コホモロジー群は、0 となるので、特に、IX(m) は次元 Q(m) − P(m) を持つ。