プロパゲーター
非相対論的な量子力学では、プロパゲーターはある時刻での空間位置から後の時刻での位置への移動する基本粒子の確率振幅を与える。プロパゲーターはシュレーディンガー方程式のグリーン函数(基本解)である。このことは、系がハミルトニアン H を持っている場合は、適切なプロパゲーターが函数 K(x,t;x',t') であり、次の方程式を満たす。
( H x − i ħ ∂ ∂ t ) K ( x , t ; x ′ , t ′ ) = − i ħ δ ( x − x ′ ) δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \left(H_{x}-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)K(x,t;x',t')=-i\hbar \delta (x-x')\delta (t-t')}
ここに Hx は、x 座標の項で記述されたハミルトニアンであり、 δ(x) はディラックのデルタ函数である。
これは次のようにも表すことができる。
K ( x , t ; x ′ , t ′ ) = ⟨ x | U ^ ( t , t ′ ) | x ′ ⟩ {\displaystyle K(x,t;x',t')=\langle x|{\hat {U}}(t,t')|x'\rangle }
ここに Θ ( x ) := { 1 for x ≥ 0 0 for x < 0 {\displaystyle \Theta (x):={\begin{cases}1&{\mbox{for}}&x\geq 0\\0&{\mbox{for}}&x<0\end{cases}}}
はヘヴィサイドの階段函数であり、
[ Φ ( x ) , Φ ( y ) ] := Φ ( x ) Φ ( y ) − Φ ( y ) Φ ( x ) {\displaystyle \left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x)}
は交換子である。
前進プロパゲーター (Advanced propagator):
2つの極の周りを反時計まわりの積分路は、因果律前進プロパゲーターである。この値は、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が空間的 (spacelike) であったり、 x 0 > y 0 {\displaystyle x^{0}>y^{0}} (すなわち、 y {\displaystyle y} が x {\displaystyle x} の過去であった場合)にはゼロとなる。
この積分路の選択は、次の極限を計算することと同等である。
↑ Saddle point approximation, planetmath.org
1 2 3 4 Bjorken and Drell, Appendix C
位置空間プロパゲーターのフーリエ変換は、運動量空間の中のプロパゲーターと考えることができる。(運動量空間の中で考えると)位置空間のプロパゲーターを考えるよりも、非常に単純にすることができる。
運動量空間のプロパゲーターは、(上でみたように)積分路が適切な時にのみうまく理解することができるにもかかわらず、明白な項 ε {\displaystyle \epsilon } をもって書かれる。この ε {\displaystyle \epsilon } 項は、境界条件と因果律が協調していることを意味している。(以下にこのことを示す)
4元運動量 p {\displaystyle p} に対し、運動量空間内の因果律とファインマンプロパゲーターは、次のようになる。
G ~ r e t ( p ) = 1 ( p 0 + i ε ) 2 − p → 2 − m 2 {\displaystyle {\tilde {G}}_{\mathrm {ret} }(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}}