ナブラ
スカラーやベクトルに∇を施すと一般にスカラーやベクトルが返ってくるのだが、ベクトルの乗法は多様(スカラー倍、スカラー積、ベクトル積)だから、∇の施し方ですでに勾配(スカラー倍)・発散(スカラー積)・回転(ベクトル積)の三種類の微分が生じている。そこでこの三種類の微分に、再び各種微分を施すと可能なものが五種類出てきて、これにラプラス作用素とベクトルラプラス作用素を加えると、以下のようになる。f はスカラー場、v はベクトル場として、
div  ( grad  f ) = ∇ ⋅ ( ∇ f ) {\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)}
curl  ( grad  f ) = ∇ × ( ∇ f ) {\displaystyle \operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)=\nabla \times (\nabla f)}
Δ f = ∇ 2 f {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f}
grad  ( div  v ) = ∇ ( ∇ ⋅ v ) {\displaystyle \operatorname {grad} (\operatorname {div} {\boldsymbol {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})}
∇ ⋅ ( u × v ) = v ⋅ ( ∇ × u ) − u ⋅ ( ∇ × v ) {\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {v}}\cdot (\nabla \times {\boldsymbol {u}})-{\boldsymbol {u}}\cdot (\nabla \times {\boldsymbol {v}})}
∇ × ( f v ) = ( ∇ f ) × v + f ( ∇ × v ) {\displaystyle \nabla \times (f{\boldsymbol {v}})=(\nabla f)\times {\boldsymbol {v}}+f(\nabla \times {\boldsymbol {v}})}
∇ × ( u × v ) = u ( ∇ ⋅ v ) − v ( ∇ ⋅ u ) + ( v ⋅ ∇ ) u − ( u ⋅ ∇ ) v {\displaystyle \nabla \times ({\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {u}}(\nabla \cdot {\boldsymbol {v}})-{\boldsymbol {v}}(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}})+({\boldsymbol {v}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}-({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {v}}}
座標 (x, y, z) を持つ三次元デカルト座標空間 R において ∇ は、偏微分作用素を項とするベクトルとして
∇ = x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z {\displaystyle \nabla ={\hat {\boldsymbol {x}}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {\boldsymbol {y}}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {\boldsymbol {z}}}{\frac {\partial }{\partial z}}}
で与えられる。ただし、 x ^ , y ^ , z ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}},{\hat {\boldsymbol {y}}},{\hat {\boldsymbol {z}}}} はそれぞれ x, y, z 方向の単位ベクトルである。
スカラー場 f(x, y, z) の a ( x , y , z ) = a x x ^ + a y y ^ + a z z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {a}}(x,y,z)=a_{x}{\hat {\boldsymbol {x}}}+a_{y}{\hat {\boldsymbol {y}}}+a_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}} 方向への方向微分は
a ⋅ grad  f = a x ∂ f ∂ x + a y ∂ f ∂ y + a z ∂ f ∂ z = ( a ⋅ ∇ ) f {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+a_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+a_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}=({\boldsymbol {a}}\cdot \nabla )f}
で表される。これは場 f の a 方向への変化量を与えるものである。作用素の記法では、括弧に入れた要素は一つの一貫した単位と考えられ、この規約は流体力学では(流体の「動く」微分としての)流体微分の言葉で縦横に用いられている。