フロー (数学)
H 0 1 ( Ω ) = C 0 ∞ ( Ω ) ̄ H 1 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )={\overline {C_{0}^{\infty }(\Omega )}}^{H^{1}(\Omega )}}
は Ω 内にコンパクトな台を持つ、 H 1 ( Ω ) − {\displaystyle H^{1}(\Omega )-} ノルムについて無限回微分可能な関数の空間の閉包である。
任意の v ∈ D ( Δ D ) {\displaystyle v\in D(\Delta _{D})} に対して、次が成り立つ。
Δ D v = Δ v = ∑ i = 1 n ∂ 2 ∂ x i 2 v . {\displaystyle \Delta _{D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}v~.}
この作用素を使うと、熱方程式は u ′ ( t ) = Δ D u ( t ) {\displaystyle u'(t)=\Delta _{D}u(t)} および u(0) = u と書き換えることが出来る。したがって、この方程式に対応するフローは
φ ( u 0 , t ) = e t Δ D u 0 {\displaystyle \varphi (u^{0},t)={\mbox{e}}^{t\Delta _{D}}u^{0}}
となる(前述の記法を参照)。ここで exp(tΔD) は ΔD によって生成される(解析的)半群である。