非可換環
可換でない環の例をいくつか挙げる:
実数上の n 次全行列環、ただし n > 1。
ハミルトンの四元数。
可換でない群と零環でない環から作られる任意の群環
単純環 (simple ring) とは、自身と零イデアルの他に両側イデアルを持たない、零環でない環である。単純環は必ず単純多元環 (simple algebra) と考えることができる。環としては単純だが加群としては単純でない環が存在する。例えば、可換体上の 2 次以上の全行列環は、(M(n, R) の任意のイデアルは、R のイデアル I に対して M(n, I) の形であるから)非自明なイデアルを持たないが、非自明な左イデアル(すなわちある固定された列が 0 である行列全体の集合)を持つ。
アルティン・ウェダーバーンの定理によって、左または右アルティンであるすべての単純環は、可除環上の行列環である。特に、実数体上有限次元のベクトル空間である単純環は、実数体、複素数体、四元数体のいずれかの上の行列環のみである。
任意の極大イデアルによる剰余環は単純環である。特に、体は単純環である。環 R が単純であることと逆転環 R が単純であることは同値である。
可除環上の行列環ではない単純環の例はワイル代数である。