接続形式
E → M を構造群 G をもつベクトルバンドルとしよう。M の開被覆 {U} の上で各々の U の上では G-標構に沿っている標構を 、eU よって表すとする。オーバーラップする開集合の交叉 U ∩ V 上で定義された G に値を持つ函数は、ある G に値を持つ函数 hUV に対して、
e V = e U ⋅ h U V {\displaystyle {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}}
によって、開集合の交叉が関連付けられる。
FGE を M の各々の点上に取られたすべての G 標構の集合とする。これは M 上の主 G-バンドルである。詳しくは、G 標構は全て G に関連しているという事実を使い、FGE を
F G E = ∐ U U × G / ∼ {\displaystyle F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim }
として、開被覆の集合の間を貼り合わせることが可能である。ここに、同値関係 ∼ {\displaystyle \sim } は、
( ( x , g U ) ∈ U × G ) ∼ ( ( x , g V ) ∈ V × G ) ⟺ e V = e U ⋅ h U V and g U = h U V − 1 ( x ) g V {\displaystyle ((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}}
接続形式(せつぞくけいしき、connection form)は、数学、特に微分幾何学における概念の1つで、微分形式や動標構(英語版)(moving frame)のことばを使うことにより、接続のデータを構成する方法である。
となる。
接続形式のことばでは、ベクトル場 v = Σieiv の外積接続は、
D v = ∑ k e k ⊗ ( d v k ) + ∑ j , k e k ⊗ ω j k ( e ) v j {\displaystyle Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}}
により与えられる。通常は、この式から ei を取り出して次の式のようにレヴィ・チヴィタ接続として書き直す。
∇ e i v = ⟨ D v , e i ⟩ = ∑ k e k ( ∇ e i v k + Σ j Γ i j k ( e ) v j ) . {\displaystyle \nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\Sigma _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right).}