海岸線のパラドックス
長さの基本概念はユークリッド距離に由来する。ユークリッド幾何学では、直線は2点間の最短距離を表す。 この線はただ1つの長さを持つ。球面上では、これは大円距離に置き換えられる。大円距離は、両方の端点と球の中心を含む平面上にある球面の曲線に沿って測定される。弧長はより複雑だが計算可能である。定規で測定する場合、図のように点を結ぶ直線の合計を求めることで曲線の長さを近似できる。
数本の直線を使用して曲線の線長を近似すると、実際の長さよりも短い近似値が導かれる。より短い(より多数の)線を用いると、合計は曲線の実際の長さに近づいていく。この長さの正確な値は微積分を使って見つけることができる。下のアニメーションは、滑らかな曲線に正確な長さを割り当てる方法を示している。
ただし、この方法ですべての曲線を測定できるわけではない。フラクタルは、定義上、複雑さが測定スケールによって変化する曲線である。