ヴィノグラードフの定理
A を正の実数とすると、
r ( N ) = 1 2 G ( N ) N 2 + O ( N 2 log − A  N ) , {\displaystyle r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),}
が成り立つ。ここで、 Λ {\displaystyle \Lambda } をフォン・マンゴルト関数とすると
r ( N ) = ∑ k 1 + k 2 + k 3 = N Λ ( k 1 ) Λ ( k 2 ) Λ ( k 3 ) {\displaystyle r(N)=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{3})}
であり、
G ( N ) = ( ∏ p ∣ N ( 1 − 1 ( p − 1 ) 2 ) ) ( ∏ p ∤ N ( 1 + 1 ( p − 1 ) 3 ) ) {\displaystyle G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right)\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \over {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right)}
である。