ベルヌーイ数
.. {\displaystyle A,B,C,D,\ldots } がベルヌーイ数 ( B 2 {\displaystyle B_{2}} 以降) である。ベルヌーイが記した数式は、
S ^ k ( n ) = 1 k + 1 ∑ j = 0 k ( k + 1 j ) B ^ j n k − j + 1 {\displaystyle {\hat {S}}_{k}(n)={\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{k+1 \choose j}{\hat {B}}_{j}\,n^{k-j+1}}
に相当する。この数式に用いた展開係数 B ^ j {\displaystyle {\hat {B}}_{j}} は、
B ^ 1 = 1 / 2 ( = − B 1 ) , B ^ j = B j ( j ≠ 1 ) {\displaystyle {\hat {B}}_{1}=1/2\,(=-B_{1}),\quad {\hat {B}}_{j}=B_{j}\quad (j\neq 1)}
のように、 j ≠ 1 {\displaystyle j\neq 1} においてベルヌーイ数と一致する。一部の文献では B j {\displaystyle B_{j}} の代わりに B ^ j {\displaystyle {\hat {B}}_{j}} をベルヌーイ数と呼んでいる。
一方、日本ではベルヌーイとほぼ同時期に関孝和がべき乗和を定式化し、ベルヌーイ数を発見していた。 そのため、ベルヌーイ数を関・ベルヌーイ数と書いている文献もある。
以下は、定義の漸化式を用いて、第 29 項までのベルヌーイ数の分子と分母を算出した結果である。 また、オンライン整数列大辞典には10000項までの分母、分子がそれぞれ掲載されている。
分母オンライン整数列大辞典の数列 A027642 リスト
分子オンライン整数列大辞典の数列 A027641 リスト
ベルヌーイ数の漸化式は、上記の関数 f(x) = x/e − 1 の逆数をテイラー展開し、その 2 つの積が 1 になることから導出できる。その漸化式は厳密な計算には有用であるが、n が大きくなると途中の式の値が非常に大きくなるため、浮動小数点数を使って計算する場合、精度が著しく悪くなる計算として知られている。
奇数番目のベルヌーイ数は B1 以外はすべて 0 であり、偶数番目は B0 を除いて正の数と負の数が交互に並ぶ。 ベルヌーイ数の第 3 項以降の奇数項が 0 となることは、 x/e − 1 +1/2 x が偶関数であることから証明できる。