ルベーグ積分
{\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int \lim _{k}f_{k}\,d\mu .}
が成立する。
注意: 左辺または右辺の一方が正の無限大に発散すれば、もう一方の辺も同様である。
ファトゥーの補題: {fk}k∈N を非負値可測関数の列とする。このとき
∫ lim _ k  f k d μ ≤ lim _ k  ∫ f k d μ {\displaystyle \int \varliminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \varliminf _{k}\int f_{k}\,d\mu }
が成立する。
この定理においては左辺が正の無限大に発散すれば、右辺も正の無限大に発散する。
ルベーグの収束定理: {fk}k∈N を可測関数の列で f に概収束するとし、可積分関数 g によって、 E のほとんど至るところで任意の k に対して |fk | ≤ gと上下から押さえられているとする。このとき、極限関数 f も可積分であり
lim k ∫ f k d μ = ∫ f d μ {\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu }
が成立する。
線型性: 可積分関数 f, g と実数 a, b に対して、af + bg も可積分になり
∫ E ( a f + b g ) d μ = a ∫ E f d μ + b ∫ E g d μ {\displaystyle \int _{E}(af+bg)\,d\mu =a\int _{E}f\,d\mu +b\int _{E}g\,d\mu \,}
単調性: 0 ≤ f ≤ g ならば
∫ E f d μ ≤ ∫ E g d μ {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu \leq \int _{E}g\,d\mu }
単調収束定理: {fk}k∈N を非負値可測関数の増大列とする。つまり
0 ≤ f k ( x ) ≤ f k + 1 ( x ) ∀ k ∈ N , a.e. x ∈ E . {\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,{\text{ a.e. }}\ x\in E.}
このとき
lim k ∫ f k d μ = ∫ lim k f k d μ .
測度論を全く使わない方法としては、リーマン積分はコンパクト台を持つ任意の連続関数に対して定まっているので、関数解析の手法を用いることでより一般の関数にこの積分を拡張する方法がある。Cc を R 上定義された実数値関数でコンパクト台を持つもの全体とする。ノルムをリーマン積分を用いて
‖ f ‖ = ∫ | f ( x ) | d x {\displaystyle \|f\|=\int |f(x)|\,dx}
により定める。
これにより Cc は線形ノルム空間となる。距離空間の完備化 (Hausdorff completion) によって完備な空間に拡張したものを L とする。この空間はルベーグ可積分な関数からなる空間と(ほとんど至るところ等しい関数は同一視したとして)同型となる。さらに、リーマン積分は Cc 上の連続な線形汎関数であり、Cc は L の稠密な部分空間であるから、L 上の線形汎関数にただ一通りに拡張できる。この拡張は、ルベーグ積分と一致する。
この方法の問題点は関数を空間の点として定めていることであり、この抽象的な点を関数として表現する方法が自明ではないことである。とりわけ、関数列の各点収束と積分との関係を示すことは非常に難しい。このアプローチを一般化して局所コンパクト空間上のラドン測度に関する積分の理論を構築することができる。これは Bourbaki (2004) によって採用されたアプローチである。詳細は局所コンパクト空間上のラドン測度を参照。