コーエン・マコーレー環
Cohen–Macaulay の条件の1つの意味は coherent duality theory において見られる。ここで条件はアプリオリ に導来圏にある dualizing object がただ1つの加群(連接層)によって表現されるケースに対応する。するとより良い Gorenstein の条件は射影的なこの加群(可逆層)によって表現される。非特異性(正則性)はなお強い条件である。これは幾何学的な対象のある点における滑らかさの概念に対応する。したがって、幾何学的な意味で、Gorenstein と Cohen–Macaulay の概念は滑らかな点よりも広い範囲の点、滑らかとは限らないが多くの意味で滑らかな点のように振る舞う点、を捕らえる。
R を可換ネーター環とする。以下ではBruns & Herzog (1998)に従って定義を述べる。
K が体であれば、形式的冪級数環の商 K [ [ x , y ] ] / ( x 2 , x y ) {\displaystyle K[[x,y]]/(x^{2},xy)} (局所環の、埋め込まれた二重点をもつ直線の二重点における完備化)は Cohen–Macaulay でない、なぜならば深さ0だが次元1だからだ。
K が体であれば、環 K [ [ x , y , z ] ] / ( x y , x z ) {\displaystyle K[[x,y,z]]/(xy,xz)} (局所環の、平面と直線の共通部分における完備化)は Cohen–Macaulay でない(等次元(英語版)ですらない)。 x − z {\displaystyle x-z} で割ると直前の例を得る。
K が体であれば、環 K [ [ w , x , y , z ] ] / ( w y , w z , x y , x z ) {\displaystyle K[[w,x,y,z]]/(wy,wz,xy,xz)} (局所環の、一点で交わる二平面の共通部分における完備化)は Cohen–Macaulay でない。 w − x {\displaystyle w-x} で割ると直前の例を得る。