ブローアップ (数学)
f , g ∈ C [ x , y , z ] {\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]} を d {\displaystyle d} 次の斉次多項式で、一般の位置にある、つまりこれらが定める射影多様体がベズーの定理によって d 2 {\displaystyle d^{2}} 個の点で交わるものとする。スキームの射影的射
Proj ( C [ s , t ] [ x , y , z ] ( s f ( x , y , z ) + t g ( x , y , z ) ) ) ↓ Proj ( C [ x , y , z ] ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\textbf {Proj}}\left({\dfrac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(sf(x,y,z)+tg(x,y,z))}}\right)\\\downarrow \\{\textbf {Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z])\end{matrix}}}
前述の C のブローアップで、複素数であることを本質的に使っている箇所はない。したがって任意の体の上でブローアップを行うことができる。例えば、R を原点で実ブローアップするとメビウスの帯ができあがる。同様に、2次元球面 S をブローアップすると 実射影平面(英語版) ができあがる。
法錐への変形(英語版)は代数幾何学の証明で頻繁に使われるブローアップのテクニックである。スキーム X と閉部分スキーム V に対し次の組
V × { 0 } in Y = X × C or X × P 1 {\displaystyle V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}}
でブローアップする。すると
Y ~ → C {\displaystyle {\tilde {Y}}\to \mathbf {C} }
はファイブレーションになる。一般ファイバーは自然に X と同型になる。
一方、中心ファイバーは X の V に沿ったブローアップと V の法錐(英語版)の各ファイバーを射影空間に完備化した2つのスキームの和である。
ブローアップは、シンプレクティック形式と整合的な概複素構造を備えさせたシンプレクティック多様体の圏でも複素多様体のブローアップと同じ様に行うことができる。これはまず位相幾何学レベルで意味をもつ操作として定義される。ブローアップした多様体にシンプレクティック形式を備えさせるには、例外因子 E にシンプレクティック形式を任意に拡張できるわけではないので、少し注意が必要である。E の近傍においてシンプレクティック形式を取り換えるか、Z の近傍を切り取ってブローアップを行い境界を well-defined な方法でつぶす必要がある。これはシンプレクティック・カット(英語版)の枠組みを使うことで最も良く理解でき、シンプレクティック・ブローアップはこれの特別な場合である。シンプレクティックカットは、その逆演算であるシンプレクティック和(英語版)とともに、滑らかな因子に沿った法錐への変形のシンプレクティック版である。