ヘンストック＝クルツヴァイル積分
興味深いことに、直線上のルベーグ積分を同様なやり方で再定義することができる。まず初めに、ヘンストック=クルツヴァイル積分における条件である
∀ i t i − δ ( t i ) < u i − 1 ≤ t i ≤ u i < t i + δ ( t i ) {\displaystyle \forall _{i}\ t_{i}{-}\delta (t_{i})<u_{i-1}\leq t_{i}\leq u_{i}<t_{i}{+}\delta (t_{i})}
を δ-細分割 (δ-fine partition) の概念を用いた条件
∀ i t i ∈ [ u i − 1 , u i ] ⊂ U δ ( t i ) ( t i ) {\displaystyle \forall _{i}\ t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}]\subset U_{\delta (t_{i})}(t_{i})}
に置き換える(ここで Uε(a) は a の ε-近傍とする)と、上で与えたものと同値になるが、このように変更したあとは条件
∀ i t i ∈ [ u i − 1 , u i ] {\displaystyle \forall _{i}\ t_{i}\in [u_{i-1},u_{i}]}
を落とすことができて、マクシェイン積分の定義の条件
∀ i [ u i − 1 , u i ] ⊂ U δ ( t i ) ( t i ) {\displaystyle \forall _{i}\ [u_{i-1},u_{i}]\subset U_{\delta (t_{i})}(t_{i})}
が得られる(この変更の結果として得られるマクシェイン積分はルベーグ積分と同値になる)。