双曲型偏微分方程式
双曲系と保存則には関連がある。一つの未知関数 u = u ( x → , t ) {\displaystyle u=u({\vec {x}},t)} についての一つの微分方程式からなる双曲系を考える。この場合、系 ( ∗ ) {\displaystyle (*)} は次の形で記述される:
( ∗ ∗ ) ∂ u ∂ t + ∑ j = 1 d ∂ ∂ x j f j ( u ) = 0. {\displaystyle (**)\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0.}
今、 u {\displaystyle u} は流束 f → = ( f 1 , ... , f d ) {\displaystyle {\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})} を備えるある量であると考えられる。この量が保存されることを示すために、系 ( ∗ ∗ ) {\displaystyle (**)} を領域 Ω {\displaystyle \Omega } について積分する:
∫ Ω ∂ u ∂ t d Ω + ∫ Ω ∇ ⋅ f → ( u ) d Ω = 0. {\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)d\Omega =0.
}
u {\displaystyle u} と f → {\displaystyle {\vec {f}}} が十分に滑らかな関数であるなら、発散定理を使い、また積分と ∂ / ∂ t {\displaystyle \partial /\partial t} の順序の交換を行うことで、一般的な形での量 u {\displaystyle u} についての保存則
d d t ∫ Ω u d Ω + ∫ ∂ Ω f → ( u ) ⋅ n → d Γ = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }ud\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}d\Gamma =0}
を得ることが出来る。この式は、領域 Ω {\displaystyle \Omega } 内の u {\displaystyle u} の時間変化の割合が、境界 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } に沿った正味の流束と等しいことを意味している。これは単一の等式であるため、 u {\displaystyle u} は Ω {\displaystyle \Omega } 内で保存されていると結論付けることが出来る。