スピン角運動量
D ^ − u := ( D ^ u ) ∗ ( X 1 ) − i ( D ^ u ) ∗ ( X 2 ) {\displaystyle {\hat {D}}_{-}^{u}:=({\hat {D}}^{u})_{*}(X_{1})-i({\hat {D}}^{u})_{*}(X_{2})}
とする。
z軸回りのオブザーバブルに対する固有状態は
e + = ( 1 0 ) {\displaystyle e_{+}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}} 、 e − = ( 0 1 ) {\displaystyle e^{-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
である。u=1/2のときは、
D ^ + 1 / 2 e + = ħ 2 ( 0 1 0 0 ) e + = 0 {\displaystyle {\hat {D}}_{+}^{1/2}e_{+}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}e_{+}=0} 、
D ^ + 1 / 2 e − = ħ 2 ( 0 1 0 0 ) e − = ħ 2 e + {\displaystyle {\hat {D}}_{+}^{1/2}e_{-}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}e_{-}={\hbar \over 2}e_{+}} 、
D ^ − 1 / 2 e + = ħ 2 ( 0 0 1 0 ) e + = ħ 2 e − {\displaystyle {\hat {D}}_{-}^{1/2}e_{+}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}e_{+}={\hbar \over 2}e_{-}} 、
Spin(3)=SU(2)の元の成分表示(X1)を用いると、Φ3は下記のように表示できることも知られている:
Φ 3 ( α β − β ̄ − α ) = ( R e ( α 2 − β 2 ) I m ( α 2 + β 2 ) − 2 R e ( α β ) − I m ( α 2 − β 2 ) R e ( α 2 + β 2 ) 2 I m ( α β ) 2 R e ( α β ̄ ) 2 I m ( α β ̄ ) | α | 2 − | β | 2 ) {\displaystyle \Phi _{3}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\bar {\beta }}&-\alpha \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {Re} (\alpha ^{2}-\beta ^{2})&\mathrm {Im} (\alpha ^{2}+\beta ^{2})&-2\mathrm {Re} (\alpha \beta )\\-\mathrm {Im} (\alpha ^{2}-\beta ^{2})&\mathrm {Re} (\alpha ^{2}+\beta ^{2})&2\mathrm {Im} (\alpha \beta )\\2\mathrm {Re} (\alpha {\bar {\beta }})&2\mathrm {Im} (\alpha {\bar {\beta }})&|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}\\\end{pmatrix}}}
(G14)に従い、Φ3が誘導する写像(Φ3)* を、
( Φ 3 ) ∗ : d U ( t ) d t | t = 0 ∈ s p i n ( 3 ) = s u ( 2 ) ↦ d Φ 3 ( U ( t ) ) d t | t = 0 ∈ s o ( 3 ) {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}~:~\left.{\mathrm {d} U(t) \over \mathrm {d} t}\right|_{t=0}\in {\mathsf {spin}}(3)={\mathsf {su}}(2)\mapsto \left.{\mathrm {d} \Phi _{3}(U(t)) \over \mathrm {d} t}\right|_{t=0}\in {\mathsf {so}}(3)} ...(D1)
により定義する。このとき(Φ3)* は
( Φ 3 ) ∗ ( X x ) = F x {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}(X_{\mathbf {x} })=F_{\mathbf {x} }} ...(D2)
を満たす。成分で書けば
1 2 ( Φ 3 ) ∗ ( − i z − y − i x y − i x i z ) = ( 0 − z y z 0 − x − y x 0 ) {\displaystyle {1 \over 2}(\Phi _{3})_{*}{\begin{pmatrix}-iz&-y-ix\\y-ix&iz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{pmatrix}}}
「スピン」という名称は、この概念が広まりはじめた当時、粒子の「自転」のようなものと説明されたという歴史的理由による。このように回転するという解釈は現在は支持されていない。現在の標準模型においては電子はじめとする粒子の質量「点状」とされているため、仮に回転していたとしても物体の回転と比較できるものではないし、古典的な解釈を付け加える必要はなく無意味である。ただし、磁気回転効果により、電子のスピンと物体の回転運動とが関連付けられることは肯定されている。
非相対論的な量子力学において、スピン角運動量はそれ以外のオブザーバブルとは振る舞いを異にする為にスピン角運動量を記述するためだけの理論の修正を迫られる。それに対し相対論的量子力学では、例えばディラック方程式の定義それ自身にスピンの概念が織り込まれているなど、より自然な形でスピンが定式化される。
( i τ σ n ) j {\displaystyle \exp(i\tau \sigma _{\mathbf {n} })=\sum _{j=0}^{\infty }{1 \over j!}(i\tau \sigma _{\mathbf {n} })^{j}} = ∑ j : even ( i τ ) j j ! I + ∑ j : odd ( i τ ) j j ! σ n {\displaystyle =\sum _{j~:~{\text{even}}}{(i\tau )^{j} \over j!}I+\sum _{j~:~{\text{odd}}}{(i\tau )^{j} \over j!}\sigma _{\mathbf {n} }} = cos  ( τ ) I + i sin  ( τ ) σ n {\displaystyle =\cos(\tau )I+i\sin(\tau )\sigma _{\mathbf {n} }} ...(X3)
が従う。
θ = 2 τ {\displaystyle \theta =2\tau }
とすると、(L4)で述べたspin(3)=su(2)の基底を用いてスピン群の元を次のように書き表す事ができる事が、(X1)、(X2)、(X3)からわかる:
Spin(3)=SU(2)の任意の元Uは単位ベクトルn=(x, y, z)∈Rと
θ∈[0,4π]
を用いて
U = exp  ( θ X n ) {\displaystyle U=\exp(\theta X_{\mathbf {n} })}
の形で表記可能である。しかもS≠I, −Iであればこのように表記できるn、θは一意である。 ...(X4)