イプシロン-デルタ論法
微積分学の定理の内、特に関数の極限に関する定理は、この ε-δ論法による定義に基づき証明される。言葉を代えれば、ε-δ論法を用いない微分積分学は厳密な定義に基づかないため、数学界では高校数学の段階で ε-δ論法による定義を教えるべきである、という意見もある。一方で、数学以外の自然科学を含む多くの分野ではε-δ論法により定義されるほどの厳密さを用いなくても、(過程はともかく)結果的には正しい結論に至ることが多く、それらの分野においては大学教育であっても不要と見なす意見もあり、ε-δ論法による定義を教えることの必要性は、数学教育における古くて新しい論争である。
任意の ε に対して δ = √ε + 9 − 3 と取れば
0 < | x − 3 | < δ = ε + 9 − 3 {\displaystyle 0<|x-3|<\delta ={\sqrt {\varepsilon +9}}-3}
ならば
| x 2 − 9 | = | x + 3 | | x − 3 | < ( δ + 6 ) δ = ( ε + 9 + 3 ) ( ε + 9 − 3 ) = ε {\displaystyle |x^{2}-9|=|x+3||x-3|<(\delta +6)\delta =({\sqrt {\varepsilon +9}}+3)({\sqrt {\varepsilon +9}}-3)=\varepsilon }
なので
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 ; x ∈ R [ 0 < | x − 3 | < δ ⇒ | x 2 − 9 | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;x\in \mathbb {R} \;[0<|x-3|<\delta \Rightarrow |x^{2}-9|<\varepsilon ]}
が成り立ち、x → 3 のとき x → 9 となることが ε-δ論法により示されたことになる。