スティーフェル・ホイットニー類
写像 w1 : Vect1(X) → H(X; Z/2Z) は全単射であるにもかかわらず、対応する写像は高次元では必ずしも単射となるわけではない。たとえば、n を偶数として、接バンドル TS を考えると、R への S の標準的な埋め込みを持つ S への法バンドル ν はラインバンドルである。S は向きつけ可能であるので、ν は自明である。和 TS ⊕ ν はまさに TR から S への制限であり、R は可縮であるので、和は自明である。従って w(TS) = w(TS)w(ν) = w(TS ⊕ ν) = 1 である。しかし TS → S は自明ではない。そのオイラー類 e ( T S n ) = χ ( T S n ) [ S n ] = 2 [ S n ] ≠ 0 {\displaystyle e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S^{n}]=2[S^{n}]\not =0} である。ここに [S] は S の基本類を表し、χ はオイラー標数を表す。
f: X → Grn を無限グラスマン多様体の連続写像とすると、同型を除き X 上の写像 f により誘導された束
f ∗ γ n ∈ V e c t n ( X ) {\displaystyle f^{*}\gamma ^{n}\in {\mathit {Vect}}_{n}(X)}
は写像 [f] のホモトピー類のみに依存する。したがって、引き戻しの操作は、ホモトピー同値を法とした写像 X → Grn の集合
[ X ; G r n ] {\displaystyle [X;Gr_{n}]}
から、X 上のランク n のベクトル束の同型類の集合
V e c t n ( X ) {\displaystyle {\mathit {Vect}}_{n}(X)}
への写像を与える。
この構成において重要なことは、X がパラコンパクト空間であれば、この写像は全単射であるということである。これが無限グラスマン多様体をベクトル束の分類空間と呼ぶ理由である。
従って、P(R) はアイレンベルグ・マックレーン空間(英語版)(Eilenberg-Maclane space) K(Z/2Z, 1) である。
アイレンベルグ・マックレーン空間の性質は次のような性質である。任意の X と η を生成子とする f → f*η により与えられる同型に対し、
[ X ; P ∞ ( R ) ] = H 1 ( X ; Z / 2 Z ) {\displaystyle [X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )]=H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}
であり、また、
H 1 ( P ∞ ( R ) ; Z / 2 Z ) = Z / 2 Z {\displaystyle H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }
となる。第一の式を適用することは、α : [X, Gr1] → Vect1(X) も全射となり、全射である写像
w1 : Vect1(X) → H(X; Z/2Z);
を得る。このことが、直線束に対するスティーフェル・ホイットニー類 w1 を定義する。