計量ベクトル空間
p ≠ 2 とするとき、ベクトル空間に
‖ x ‖ p = ( ∑ i = 1 ∞ | ξ i | p ) 1 / p ( x = { ξ i } ∈ l p ) {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\infty }|\xi _{i}|^{p}\right)^{1/p}\quad (x=\{\xi _{i}\}\in \ell ^{p})}
なるノルムをいれてノルム空間を得ることはできるが、中線定理(平行四辺形公式)を満たさないので内積空間にはならない(ノルムに付随する内積が存在するには中線定理が成り立たなければならない)。
しかし内積空間ならば、内積から自然に定義され、中線定理を満足するノルム
‖ x ‖ = ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}
を持つ。このノルムは内積の定義における正定値性公理によってきちんと定義される。ノルムはベクトル x の長さ(あるいは大きさ)と考えることができる。公理から直接に以下のようなことが分かる: