非線形シュレディンガー方程式
中性ボーズ気体をはじめとするボーズ粒子系は極低温でボーズ=アインシュタイン凝縮と呼ばれる量子力学的な相転移を引き起こす。このとき、系は凝縮体の波動関数と呼ばれる秩序変数Ψで記述される。Ψはグロス=ピタエフスキー方程式 と呼ばれる次の三次元版の非線形シュレディンガー方程式にしたがう。
i ħ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) = ( − ħ 2 ∇ 2 2 m + V e x t ( r ) + g | Ψ ( r , t ) | 2 ) Ψ ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left(-{\frac {\hbar ^{2}\nabla ^{2}}{2m}}+V_{ext}(\mathbf {r} )+g|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)}
但し、Vextは外場ポテンシャルであり、g は粒子間相互作用の強さを表す結合定数である。