ルベーグ測度
ルベーグ測度の現代的な構成はカラテオドリの拡張定理を用いた以下のものである。
いま自然数 n を固定する。R 内の(n-次元)区間あるいは超矩形 (box) とは、(一次元)区間の直積
B = ∏ i = 1 n [ a i , b i ] {\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]}
の形(但し、bi ≥ ai であるものとする)で書かれた R の部分集合の総称である。この区間 B の容積 vol(B) は
vol  ( B ) := ∏ i = 1 n ( b i − a i ) {\displaystyle \operatorname {vol} (B):=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})}
で与えられる。R の(高々)可算個の区間からなる区間族を総称して、R の区間塊という。
R の任意の部分集合 A に対して、R の区間塊をB とするとき、A のルベーグ外測度 λ*(A) を