付値体
付値体 ( K , | ⋅ | K ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |_{K})} は、 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} によって完備であり、L を K の代数拡大体とすると、 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} は、L に一意的に延長が可能である。もし、L が K の有限次拡大であるならば、L の乗法付値を | ⋅ | L {\displaystyle |\cdot |_{L}} とおくと、L は | ⋅ | L {\displaystyle |\cdot |_{L}} で完備となり、
| α | L = | N L / K ( α ) | K n {\displaystyle |\alpha |_{L}={\sqrt[{n}]{|N_{L/K}(\alpha )|_{K}}}}
が成立する。但し、n は L の K に対する拡大次数である。
注意として、L が K の無限次代数拡大体であるとき、L が完備になるとは限らない。 例えば、p進体の代数閉包は完備ではない。
先にも述べた様に、完備体の性質の多くの性質はヘンゼル体でも成立している。先に挙げたヘンゼルの補題から得られる結果以外で、ヘンゼル体でも成立する性質(当然完備体でも成立する)をいくつか挙げる。
付値体 ( K , | ⋅ | K ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |_{K})} は | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} でヘンゼル体であり、L を K の代数拡大体とすると、 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} は、L に一意的に延長が可能である。もし、L が K の有限次拡大であるならば、L の乗法付値を | ⋅ | L {\displaystyle |\cdot |_{L}} とおくと、
| α | L = | N L / K ( α ) | K n {\displaystyle |\alpha |_{L}={\sqrt[{n}]{|N_{L/K}(\alpha )|_{K}}}}
が成立する。但し、n は L の K に対する拡大次数である。
上記の逆、つまり、任意の代数拡大体への延長が唯一である様な非アルキメデス付値体はヘンゼル体であることが知られている。
いま分岐指数 e を e = e ′ p s ( s ≥ 0 , ( e ′ , p ) = 1 ) {\displaystyle \scriptstyle e=e'p^{s}\ (s\geq 0,\ (e',\ p)=1)} と表し、 T, V をそれぞれ L / K {\displaystyle L/K} の最大不分岐部分拡大、最大順分岐部分拡大とすれば、K, T, V, L の値群・剰余体・分岐指数・剰余次数の間には、以下の様な関係が成立する。
K ⊆ T ⊆ V ⊆ L G K = G T ⊆ G V ⊆ G L F K ⊆ F T = F V ⊆ F L 1 = 1 ≤ e ′ ≤ e 1 ≤ [ T : K ] = [ T : K ] ≤ [ L : K ] / e {\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}K&\subseteq &T&\subseteq &V&\subseteq &L\\G_{K}&=&G_{T}&\subseteq &G_{V}&\subseteq &G_{L}\\F_{K}&\subseteq &F_{T}&=&F_{V}&\subseteq &F_{L}\\1&=&1&\leq &e'&\leq &e\\1&\leq &[T:K]&=&[T:K]&\leq &[L:K]/e\end{array}}}
上記において、特に T = K {\displaystyle T=K} かつ V = L {\displaystyle V=L} であるとき、 L / K {\displaystyle L/K} は完全分岐であるといい、 V ≠ L {\displaystyle V\neq L} のとき(つまり L / K {\displaystyle L/K} が順分岐ではないとき)、 L / K {\displaystyle L/K} は激分岐であるという。
完備体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} が離散付値体、つまり | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} が離散付値である場合を考える。 すると、K の 0 ではない元 α は、以下の形に一意的に表現される:
α = ∑ n = r ∞ c n π n ( c n ∈ Γ , c r ≠ 0 ) {\displaystyle \alpha =\sum _{n=r}^{\infty }c_{n}\pi _{n}\ \ \ \ (c_{n}\in \Gamma ,\ c_{r}\neq 0)}
但し、 R | ⋅ | ⊃ Γ {\displaystyle \scriptstyle R_{|\cdot |}\supset \Gamma } は、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の剰余体 R | ⋅ | / m | ⋅ | {\displaystyle \scriptstyle R_{|\cdot |}/{\mathfrak {m}}_{|\cdot |}} の 0 を含む完全代表系、 { π n } {\displaystyle \scriptstyle \{\pi _{n}\}\!} は | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の素元である。
順分岐拡大について、以下のことが成立する。
(1) L を K の有限次代数拡大体とし、T を L / K {\displaystyle L/K} の最大不分岐部分拡大としたとき、L が K の順分岐拡大である必要十分条件は、p と互いに素な正整数 m 1 , ... , m r {\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{r}} と K の元 a 1 , ... , a r {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}} が存在して
L = T ( a 1 m 1 , ... , a r m r ) {\displaystyle L=T({\sqrt[{m_{1}}]{a_{1}}},\ldots ,{\sqrt[{m_{r}}]{a_{r}}})}
となることである。
(2) L , K ′ {\displaystyle L,\ K'} を K の代数閉包に含まれる有限次代数拡大とし、 L ′ = L K ′ {\displaystyle L'=LK'} とおく。このとき、 L / K {\displaystyle L/K} が順分岐であれば、 L ′ / K ′ {\displaystyle L'/K'} も順分岐である。
(3) L , L ′ {\displaystyle L,\ L'} が K の順分岐拡大体であるならば、合成体 L L ′ {\displaystyle LL'} も K の順分岐拡大体である。
K の(有限次ないし無限次)代数拡大体 E に対して、E に含まれる K の順分岐拡大体全ての合成は、包含関係で最大な K の順分岐拡大であり、 E / K {\displaystyle E/K} の最大順分岐部分拡大という。
} {\displaystyle \{U^{(n)}|n=0,1,2,\ldots \}} は K × {\displaystyle \scriptstyle K^{\times }} の 1 に対する基本近傍系となる。 また、各 n に対して、 U ( n ) {\displaystyle U^{(n)}} は K の単数群 O × {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}}^{\times }} の部分群となる。これを n 次主単数群といい、特に U ( 1 ) {\displaystyle U^{(1)}} を主単数群という。
上記の付値イデアルのベキおよび n 次主単数群に対して、以下のことが成立する。
各 n = 1 , 2 , ... {\displaystyle \scriptstyle n=1,2,\ldots } に対して
O × / U ( n ) ≃ ( O / p n ) × , U ( n ) / U ( n + 1 ) ≃ O / p {\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\simeq ({\mathcal {O}}/{\mathfrak {p}}^{n})^{\times },\ \ \ \ \ U^{(n)}/U^{(n+1)}\simeq {\mathcal {O}}/{\mathfrak {p}}}
が成立する。