帰納極限
として与えられる。ここで、xi ∈ Ai と xj ∈ Aj に対して、xi ∼ xj となるのは、適当な k ∈ I において
f i k ( x i ) = f j k ( x j ) {\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})}
が満たされるときである。発見的に、この直和における二つの元が同値となる必要十分条件はそれらがこの帰納系において「いつかは (eventually) 等しくなる」ときである。この同値関係の、逆極限との双対性に焦点を当てた定式化として、各元は帰納系に属する各射による自身の像と同値である、つまり
x i ∼ f i k ( x i ) {\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ik}(x_{i})}
が任意の i, k に対して成り立つ。
この定義から、自然に標準射 φi: Ai → A が、各元をその同値類へ移すことによって定まる。帰納極限 A における代数的な演算はこの標準射を通じて自然な方法で定義される。
加群の圏において帰納極限を取る操作の重要な性質として、それが完全函手となることが挙げられる。
I と C を圏とする。C の固定された対象 X に対して cX: I → C を定値函手とする。任意の函手 F: I → C に対して、函手
lim →  F : C → S e t {\displaystyle \varinjlim F\colon C\to \mathbf {Set} }
を各 X ∈ ob(C) に F から cX への自然変換の全体のなす集合 Hom(F, cX) を対応させるものとする。 lim →  F {\displaystyle \varinjlim F} が表現可能ならば、C における表現対象を F の直極限と呼び、やはり lim →  F {\displaystyle \varinjlim F} と書く。
C がアーベル圏ならば任意個(無限個でもよい)の対象の直和が存在する(グロタンディークの公理 AB3)から、 lim →  F {\displaystyle \varinjlim F} は任意の函手 F: I → C に対して表現可能であり、
lim → : Hom ( I , C ) → C ; F ↦ lim →  F {\displaystyle \varinjlim \colon {\text{Hom}}({\mathcal {I}},{\mathcal {C}})\to {\mathcal {C}};\quad F\mapsto \varinjlim F}
はアーベル圏の右完全加法的函手である。