ポアソン方程式
3次元空間Rの有界領域Ωでf (ξ, η, ζ )が1階連続微分可能とすると、
u 0 ( x , y , z ) = − 1 4 π ∫∫∫ Ω f ( ξ , η , ζ ) ( ξ − x ) 2 + ( η − y ) 2 + ( ζ − z ) 2 d ξ d η d ζ = − 1 4 π ∫∫∫ Ω f ( ξ , η , ζ ) 1 r d ξ d η d ζ ( r = ( ξ − x ) 2 + ( η − y ) 2 + ( ζ − z ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}u_{0}(x,y,z)&=-{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{\Omega }{\frac {f(\xi ,\eta ,\zeta )}{\sqrt {(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}+(\zeta -z)^{2}}}}d\xi d\eta d\zeta \\&=-{\frac {1}{4\pi }}\iiint _{\Omega }f(\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {1}{r}}\,d\xi d\eta d\zeta \quad (r={\sqrt {(\xi -x)^{2}+(\eta -y)^{2}+(\zeta -z)^{2}}})\end{aligned}}}
ポアソン方程式は対数ポテンシャルやニュートン・ポテンシャルを用いることで、有界領域の内部における解の例(特殊解)u0を構成することができる。こうした特殊解は物理や工学での応用上、重要である。さらに、いくつかの条件の下では、全領域(無限境界)における解となる。また、こうした特殊解を用いることで、ポアソン方程式の境界値問題をより単純なラプラス方程式の境界値問題に帰着させることができる。
ポアソン方程式は電磁気学、移動現象論、流体力学といった物理学の諸領域において、系を記述する基礎方程式として現れる。例えば、電荷分布を与えたときの静電ポテンシャルや質量分布を与えたときの重力ポテンシャルを記述する方程式はポアソン方程式であり、その代表的な例である。また、熱の発生源が存在する場合の温度分布や物質の発生・消滅源が存在する場合の物質濃度分布においても、時間に依存性しない定常状態を記述する方程式はポアソン方程式となる。