シュレーディンガー場
粒子が2体ポテンシャル V ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle V(x_{1},x_{2})} と相互作用するとき、相互作用は作用に非局所的な寄与をもたらす。
S = ∫ x t ψ † ( i ∂ ∂ t + ∇ 2 2 m ) ψ − ∫ x y ψ † ( y ) ψ † ( x ) V ( x , y ) ψ ( x ) ψ ( y ) . {\displaystyle S=\int _{xt}\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi -\int _{xy}\psi ^{\dagger }(y)\psi ^{\dagger }(x)V(x,y)\psi (x)\psi (y).}
2体ポテンシャルは、相対論的場を電気力学に結びつけたときの非相対論的極限です。 伝播する自由度を無視することで、非相対論的電子間の相互作用はクーロン力となる。2+1次元では次のようになる。
V ( x , y ) = j 2 | y − x | . {\displaystyle V(x,y)={j^{2} \over |y-x|}.}
原子核の古典的な位置をモデル化するために外部ポテンシャル組み込むと、この2体ポテンシャルを持つシュレディンガー場は、凝縮物質の物理学のほぼすべてを記述する。 例外は、核の量子力学的干渉が重要な超流動性のような効果と、電子の運動が相対論的であり得る内殻電子の効果である。
⟨ 1 ; x 1 | 1 ; y 1 ⟩ = δ ( x 1 − y 1 ) {\displaystyle \langle 1;x_{1}|1;y_{1}\rangle =\delta (x_{1}-y_{1})\,}
⟨ 2 ; x 1 x 2 | 2 ; y 1 y 2 ⟩ = δ ( x 1 − y 1 ) δ ( x 2 − y 2 ) ± δ ( x 1 − y 2 ) δ ( x 2 − y 1 ) {\displaystyle \langle 2;x_{1}x_{2}|2;y_{1}y_{2}\rangle =\delta (x_{1}-y_{1})\delta (x_{2}-y_{2})\pm \delta (x_{1}-y_{2})\delta (x_{2}-y_{1})\,}
等としてとればよい。 物理的性質は異なるものの、ボソンとフェルミオンについてほぼ形式的に同一であるため、ここから粒子はボソンであるものとする。
このヒルベルト空間には自然な演算子がある。 ψ † ( x ) {\displaystyle \scriptstyle \psi ^{\dagger }(x)} と呼ばれる1つの演算子は、xに余分な粒子を生成する演算子である。各基本状態に対して定義される:
ψ † ( x ) | N ; x 1 . . . x n ⟩ = | N + 1 ; x 1 , . . . , x n , x ⟩ {\displaystyle \psi ^{\dagger }(x)|N;x_{1}...x_{n}\rangle =|N+1;x_{1},...,x_{n},x\rangle \,}
(粒子がすでにxにある場合にはやや曖昧さがある。)
別の演算子は位置xにある粒子を消滅させる。