D-加群
代数的 D-加群の第一の例は、標数 0 の体 K 上のワイル代数 An(K) 上の加群である。この例は、次のような変数の多項式からなる代数である。
x1, ..., xn, ∂1, ..., ∂n.
ここに、すべての変数 xi と ∂j は互いに可換であり、交換子は、
[∂i, xi] = ∂ixi − xi∂i = 1.
である。任意の多項式 f(x1, ..., xn) に対し、このことは関係式
[∂i, f] = ∂f / ∂xi,
を意味するので、ワイル代数を微分方程式へ関連付けることができる。
(代数的) D-加群は、定義により、環 An(K) 上の左加群である。D-加群の例は、ワイル代数自身(左からの乗算により自分自身へ作用する)、及び可換な多項式環 K[x1, ..., xn] を含んでいる。ここに、xi は乗算によって作用し、∂j は xj に関して偏微分として作用する。
数学において、D-加群(D-module)は、微分作用素の環 D 上の加群である。そのような D-加群への主要な興味は、線型偏微分方程式の理論へのアプローチとしてである。1970年ころ以来、D-加群の理論は、主要には代数解析上の佐藤幹夫のアイデアがまとめられ、佐藤・ベルンシュタイン多項式(英語版)についての佐藤とヨゼフ・ベルンシュタイン(Joseph Bernstein)の仕事へと発展した。
初期の主要な結果は、柏原正樹の柏原の構成定理(英語版)と柏原の指数定理(英語版)である。D-加群論の方法は、層の理論から導かれ、代数幾何学のアレクサンドル・グロタンディークの仕事から動機を得たテクニックが使われている。D-加群のアプローチは、微分作用素を研究する伝統的な函数解析のテクニックとは異なっている。最も強い結果は、極大過剰決定系(英語版)(ホロノミック系(英語版))に対して得られ、表象により特性多様体(英語版)が定義される。特性多様体は余接バンドルの包合的部分集合であり,その中で最良の例が、最小次元の余接バンドルのラグラジアン部分多様体である(包合系(英語版))。テクニックは、グロタンディーク学派の側からゾグマン・メブク (Zoghman Mebkhout) により開発された。彼は、すべての次元でのリーマン・ヒルベルト対応(英語版)の導来圏の一般的なバージョンを得た。
∇ [ v , w ] ( m ) = [ ∇ v , ∇ w ] ( m ) {\displaystyle \nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)}
を満たす。ここに f は X 上の正則函数であり、v と w はベクトル場で、m は M の局所切断であり、[−, −] は交換子を表す。従って、さらに M が局所自由 OX-加群であれば、M が与えられると、D-加群構造は平坦か、または、可積分である接続を持つ M に付随するベクトルバンドルを持つことに他ならない。
環 DX が非可換であれば、左と右の D-加群は異なっているはずである。しかし、両方の加群のタイプの間の圏同値が存在するので、入れ替えることができる。圏同値は左加群 M をテンソル積 M ⊗ ΩX へ写像することにより与えられる。ここに、ΩX は X 上の微分 1-形式の最高次の外積べきにより与えられる層である。この層は、
ω ⋅ v := − Liev (ω)
により決まる自然な右作用を持つ。ここに v は階数 1 の微分作用素、いわば、ベクトル場 ω であり n-形式 (n = dim X) であり、Lie はリー微分を表す。