ツェルメロ＝フレンケル集合論
y\,\phi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}.}
∃ ! {\displaystyle \exists !} の意味は、一意存在量化子を参照せよ。
言い換えれば、論理式 φ {\displaystyle \phi } が定義可能な関数 f {\displaystyle f} を表し、 A {\displaystyle A} が f {\displaystyle f} の定義域を表し、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が任意の x ∈ A {\displaystyle x\in A} に対して集合であるとすると、 f {\displaystyle f} の値域はある集合 B {\displaystyle B} の部分集合となる。 B {\displaystyle B} が十分に大きい場合、この公理はコレクションの公理と呼ばれることもある。
重要な命題の多くはZFCとは独立である(ZFCから独立な命題の一覧を参照)。独立性は通常、強制法によって証明される。強制法によってZFCの可算推移モデル(巨大基数公理で拡張されることもある)を拡張し、問題の命題を満足することが示される。すると、命題の否定を満たすための別の方法が示される。強制法による独立性の証明では、算術的命題、他の具体的な命題、および巨大基数公理からの独立性が自動的に証明される。 ZFCに依存しない命題のいくつかは、構成可能集合などの特定の内部モデル(英語版)に該当することが証明できる。ただし、構成的集合について真であるいくつかの命題は、仮定された巨大基数公理と整合しない。
強制法で、次の命題がZFCから独立であることを証明できる。
連続体仮説
ダイヤモンド原理
ススリンの仮説
マーティンの公理(これはZFCの公理ではない)
構成可能性公理(V=L)(英語版) (これもZFCの公理ではない)
備考:
V=L の無矛盾性は内部モデル(英語版)によって証明できるが、強制法ではできない。ZFのどのモデルも、切り出して ZFC + V=L のモデルとすることができる。
ダイヤモンド原理は、連続体仮説とススリンの仮説の否定を含意する。
マーティンの公理と連続体仮説の否定は、ススリンの仮説を含意する。
構成可能集合は、一般化連続体仮説、ダイヤモンド原理、マーティンの公理、およびクレパ仮説を満たす。