ポントリャーギン双対
ポントリャーギン-ファン・カンペン (P-K) 双対性はいくつかの方向へ拡張することができる。
S.Kaplan は「ポントリャーギン双対性の拡張」において局所コンパクトハウスドルフ可換群の任意濃度の直積と可算逆極限が P-K 双対性を満たすことを示した。後の 1975 年 R.Venkataraman は「ポントリャーギン双対性の拡張」において他の事実のとともに P-K 双対性をもつ可換位相群の任意の開部分群がそれ自身 P-K 双対性を持つことを示した。さらに最近になって、S. Ardanza-Trevijano と M.J. Chasco は上述のカプランの結果を拡張し、「位相アーベル群のシーケンシャル極限のポントリャーギン双対性」において、P-K 双対性を満たすアーベル群列の順極限と逆極限が P-K 双対性をもつのはその群が距離化可能であるかまたは kω-空間であるときであり、必ずしも局所コンパクトである必要はないが、それ以外にいくつかの条件がその数列に関して満足されなければならない。
G を局所コンパクト可換群とするとき、G の指標とは円周群 T に値を持つ G 上の連続群準同型のことである。 G の指標全体の成す集合はそれ自身が G の双対群と呼ばれる局所コンパクト群を成すことが示される。
双対群上の群演算は指標の点ごとの積、指標の逆元はその複素共軛、位相はコンパクト集合上一様収束位相(すなわちコンパクト開位相)によって与えられる。 この位相は一般には距離化可能ではないが、群 G が可分な局所コンパクト可換群であるならばその双対群は距離化可能である。
アーベル群 G の双対群は ˆG で表される。
すでに述べたように、局所コンパクト可換群の双対群はそれ自身局所コンパクト可換群であり、したがってハール測度を(もっとはっきり言えば互いに正数倍の関係にあるハール測度の全体からなる族を)持つ。