ビオ・サバールの法則
解は前節の通りで
φ = 1 4 π ε 0 ∫ V ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \phi \,\!={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{V}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'}
となる。本題のビオ・サバールの法則の場合はアンペール・マクスウェルの法則
rot  H = j + ∂ ∂ t D {\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {D}}}
をやはり静電場仮定で右辺第二項を無視した上で、ポテンシャル表示
H = 1 μ 0 rot  A {\displaystyle {\boldsymbol {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}}
を適用する。すると
からビオ・サバールの法則はベクトルポテンシャル A によって
A = μ 0 4 π ∫ V j 0 ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {j}}_{0}({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'}
と書き換えられることになる。ここで、 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は真空の透磁率、 j 0 = j + j M {\displaystyle {\boldsymbol {j}}_{0}={\boldsymbol {j}}+{\boldsymbol {j}}_{\boldsymbol {M}}} は電流密度+磁化電流密度である。
A = μ 0 4 π ∫ V j ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'}
を得ることになる。これに回転を取ればビオ・サバールの法則が得られる。
以上のことをまとめると、
考えているベクトル場 H {\displaystyle {\boldsymbol {H}}} が何らかのベクトル場 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} の回転で記述できる( div  H = 0 {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {H}}=0} )
ベクトル場 H {\displaystyle {\boldsymbol {H}}} の回転がベクトル場 j {\displaystyle {\boldsymbol {j}}} に比例する
空間次元が3であるとき(グリーン関数法の結果がこのような重み付けになる上で必要)
ビオ・サバールの法則が(比例係数を除いて)得られることになる。