角谷の不動点定理
n-単体に対する角谷の定理は、任意のコンパクトな凸集合 S に対する定理の証明において用いることが出来る。ここでもまた、より細かい部分集合を作っていく手順は同じである。しかし、n-単体の場合に考えた直線的な辺を持つ三角形の代わりに、曲がった辺を持つ三角形を考えることになる。正式に言うと、S を覆う単体を見つけ、変位レトラクトを使うことで問題を S からその単体に移す。すると、n-単体に対してすでに得られた結果を利用することが出来るのである。
角谷の定理は、実数直線の閉区間上で定義される集合値函数の場合に、最も容易に証明される。その証明方法は、高次元の場合にも同様に適用することが出来るため、非常に有用である。
φ: [0,1]→2 を閉区間 [0,1] 上の集合値函数で、角谷の不動点定理の条件を満たすものとする。
[0,1] を細分する、互いに反対の方向へ動く隣接点の列を構成する。
i = 0, 1, ... に対して、次の性質を持つ列 (ai, bi, pi, qi) を構成する:
このとき、閉区間 [ai, bi] は [0,1] の部分区間の列である。条件 (2) より、このような列は次第に小さくなることが分かる。また条件 (3)–(6) より、函数 φ は各部分区間の左端を右方向に、右端を左方向に写すものであることが分かる。
このような列は次の手順で構成される。a0 = 0 および b0 = 1 を定める。p0 を φ(0) 内の任意の点とし、q0 を φ(1) 内の任意の点とする。このとき、条件 (1)–(4) は直ちに満たされる。さらに、p0 ∈ φ(0) ⊂ [0,1] であるため、p0 ≥ 0 は必ず成立し、条件 (5) は満たされる。同様に、q0 に対して条件 (6) は満たされる。
今、ak, bk, pk および qk は条件 (1)–(6) を満たすものと仮定する。次を定める。
m = (ak+bk)/2.