ポアソン＝ボルツマン方程式
この非線形微分方程式をポアソン=ボルツマン方程式と呼ぶ。
特に、静電ポテンシャルが十分小さく、|zie ψ(r)|<<kTを満たす場合には、指数関数を一次近似することにより、線形化したポアソン=ボルツマン方程式
∇ ⋅ ( ε ( r ) ∇ ψ ( r ) ) = − 4 π ρ f ( r ) − 4 π k T ∑ i n i o z i 2 e 2 ψ ( r ) {\displaystyle \nabla \cdot (\varepsilon (\mathbf {r} )\nabla \psi (\mathbf {r} ))=-4\pi \rho ^{f}(\mathbf {r} )-{\frac {4\pi }{kT}}\sum _{i}n_{i}^{o}z_{i}^{\,2}e^{2}\psi (\mathbf {r} )}
が得られる。ここで、誘電率が空間的に均一である場合に右辺の末項に現れる係数によって、
1 l D 2 := 4 π ε k T ∑ i n i o z i 2 e 2 {\displaystyle {\frac {1}{l_{D}^{\,2}}}:={\frac {4\pi }{\varepsilon kT}}\sum _{i}n_{i}^{o}z_{i}^{\,2}e^{2}}
で定義される特性値lDはデバイの遮蔽距離と呼ばれ、系を特徴づける重要なパラメータとなる。