ガトー微分
連続的ガトー微分可能性は大きく二つの方法で定義することができる。以下、函数 F: U → Y は開集合 U の各点でガトー微分可能と仮定する。U における連続的微分可能性の概念の一つは、直積空間上の写像 dF: U × X → Y が連続であることを課すものである。この場合線型性を仮定する必要はなく、X と Y がともにフレシェ空間ならば dF(u; •) は任意の u に関して自動的に有界かつ線型である (Hamilton 1982)。
より強い意味での連続的微分可能性は u ↦ DF(u) が U から、X から Y への連続線型写像全体の成す空間 L(x, y) への写像として連続であることを課すものである。即ち、DF: U → L(X,Y); u ↦ DF(u) の連続性を言う。ここで、DF(u) 自体が連続であることは既に前提としていることに注意。
技術的な便宜上、X, Y がバナハ空間であるときは、後者の意味での連続的微分可能性を考えるのが典型的(だがいつも (universal) というわけではない)である。これは L(X, Y) もまたバナハであり、従って函数解析学における標準的な結果をそこで用いることができるという理由による。前者のほうは、非線型解析ではより一般的に用いられる定義であり、この分野では函数空間は必ずしもバナハでない。例えば、フレシェ空間における微分法(英語版)は、しばしば可微分多様体上の滑らかな函数からなる意味のある函数空間において、ナッシュ-モーザーの逆写像定理(英語版)などで応用される。