P進付値
つまり、環 R を有理整数環 Z の素数 p における局所化 Z(p)(あるいは p-進整数環 Zp)とすると、R の極大イデアル m は p の生成する単項イデアル (p) = pZ(p)(あるいは pZp)であり、他の任意のイデアルは極大イデアルの冪 m = (p) として得られることが確かめられるが、このことを用いて R の元 x, y (y ≠ 0) に対して
v p ( x ) := inf { n ∈ N ≥ 0 ∣ x ∈ m n } , {\displaystyle v_{p}(x):=\inf\{n\in \mathbb {N} _{\geq 0}\mid x\in \mathbf {m} ^{n}\},}
v p ( x / y ) := v p ( x ) − v p ( y ) {\displaystyle v_{p}(x/y):=v_{p}(x)-v_{p}(y)}
と定めた vp は p-進付値を与えるのである。