ヴァンデルモンドの行列式
ヴァンデルモンドの行列式は、数学のいろいろな場面で現れる。最も古典的なのは、多項式の決定に関することである。x1, ..., xn が全て異なるならば、
f ( x 1 ) = y 1 , f ( x 2 ) = y 2 , ⋯ , f ( x n ) = y n {\displaystyle f(x_{1})=y_{1},\,f(x_{2})=y_{2},\cdots ,f(x_{n})=y_{n}}
を満たす n − 1 次以下の多項式 f(x) は一意に定まる。このことを示すために、
f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n − 1 x n − 1 {\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}}
とおくと、上記の条件から、係数 a0, ..., an−1 は
各行が初項1の等比数列である正方行列
V := [ 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 n − 1 1 x 2 x 2 2 ⋯ x 2 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x n x n 2 ⋯ x n n − 1 ] {\displaystyle V:={\begin{bmatrix}1&x_{1}&{x_{1}}^{2}&\cdots &{x_{1}}^{n-1}\\1&x_{2}&{x_{2}}^{2}&\cdots &{x_{2}}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&{x_{n}}^{2}&\cdots &{x_{n}}^{n-1}\end{bmatrix}}}
をヴァンデルモンド行列(英: Vandermonde matrix)といい、その行列式をヴァンデルモンドの行列式という。