クザンの定理
有界閉区間 I = [ a , b ] {\displaystyle I=[a,b]} の点付き分割とは、次を満たす点列 { x i ∣ i ≤ n } {\displaystyle \{x_{i}\mid i\leq n\}} と { ξ i ∣ i < n } {\displaystyle \{\xi _{i}\mid i<n\}} からなる:
a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b}
x i ≤ ξ i ≤ x i + 1 {\displaystyle x_{i}\leq \xi _{i}\leq x_{i+1}}
また I {\displaystyle I} 上のゲージ δ {\displaystyle \delta } とは I {\displaystyle I} 上定義された正の実数値を取る関数をいう。点付き分割が δ {\displaystyle \delta } -細であるとは、任意の i < n {\displaystyle i<n} に対して x i + 1 − x i ≤ δ ( ξ i ) {\displaystyle x_{i+1}-x_{i}\leq \delta (\xi _{i})} が成り立つことをいう。
そこで x i {\displaystyle x_{i}} を ξ i − 1 < x i < ξ i {\displaystyle \xi _{i-1}<x_{i}<\xi _{i}} かつ x i ∈ I ξ i − 1 ∩ I ξ i {\displaystyle x_{i}\in I_{\xi _{i-1}}\cap I_{\xi _{i}}} となるように選択する。また x 0 = a , x n = b {\displaystyle x_{0}=a,\ x_{n}=b} とおく。すると x i , ξ i {\displaystyle x_{i},\xi _{i}} は I {\displaystyle I} の点付き分割を成す。また、各 i < n {\displaystyle i<n} に対して、 x i , x i + 1 ∈ I ξ i {\displaystyle x_{i},x_{i+1}\in I_{\xi _{i}}} ゆえ、 x i + 1 − x i < δ ( ξ i ) {\displaystyle x_{i+1}-x_{i}<\delta (\xi _{i})} が成り立つ。すなわち x i , ξ i {\displaystyle x_{i},\xi _{i}} は δ {\displaystyle \delta } -細である。