過剰数
例えば、20 の約数の総和は 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42 > 20 × 2 であるので(もしくは「20 の自身を除く約数の総和は 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22 > 20 であるので」)20 は過剰数である。約数関数を用いると σ(n) > 2n を満たす n が過剰数である。過剰数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小の数は 12 である。奇数の過剰数のうち最小の数は 945 である(σ(945) = 1920 > 945 × 2 = 1890)。
過剰数を 12 から小さい順に列記すると
12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102,...
となる。
過剰数もしくは完全数の倍数は全て過剰数であり、したがって偶数の過剰数も奇数の過剰数も無数に存在する。また、全ての擬似完全数は完全数もしくは過剰数である。ほとんどの過剰数は擬似完全数でもあり、そうでない過剰数は不思議数と呼ばれる。
σ(n) = 2n + 1 を満たす n は過剰数であり、準完全数と呼ばれる。準完全数はいまだに見つかっておらず、もし存在するならば奇数の平方数で 10 より大きく、少なくとも 7 つの相異なる素因数を持つことが分かっている。
自然数のうち過剰数が占める割合は 0.2474 から 0.2480 の間であると証明されている。
20161 より大きい整数は 2 つの過剰数の和で表すことができる。
20 が過剰数なので、その倍数つまり下 2 桁が 00, 20, 40, 60, 80 である数は全て過剰数となる。