正規分布
また、多変量の統計として共分散まで込めた多次元の正規分布も定義され、平均 μ = (μ1, μ2, ..., μn) の n 次元正規分布の同時密度関数は次の式で与えられる。
f ( x ) = 1 ( 2 π ) n | Σ | exp ( − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{n}{\sqrt {\vert {\mathit {\Sigma }}\vert }}}}\exp \!\left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{\mathrm {T} }\,{\mathit {\Sigma }}^{-1}(x-\mu )\right)}
ここで、∑ = (σij) は分散共分散行列と呼ばれる正定値対称行列である。|Σ| は Σ の行列式。なお、A[x] は(対称)行列 A とベクトル x に対して二次形式 xAx を意味するもの(ジーゲルの記号)とすると (x − μ)∑(x − μ) = ∑[x − μ] と書くこともできる。
この n 次元正規分布を Nn(μ, ∑) と表す。特に1次元の場合、平均 (μ) と分散共分散行列 ∑ = (σ) は共に1次元の平均と分散を意味する1つの実数値であり、記号 N1((μ), ∑) = N1((μ), (σ)) は単に N(μ, σ) と書かれる(先に述べた1次元の場合の記号と同じものと理解してよい)。