等質空間
一般に、X が等質空間であり、Ho が X のあるマークされた点 o(原点の選択)の安定化群であれば、X の点たちは左剰余類 G/Ho たちと対応し、マークされた点 o は単位元の剰余類に対応する。逆に、剰余類空間 G/H が与えられると、これは区別された一点すなわち単位元の剰余類を持った G の等質空間である。したがって等質空間は原点の選択なしに剰余類空間と考えることができる。
一般に、原点 o の異なる選択は、G の内部自己同型によって Ho と関係付けられる別の部分群 Ho′ による G の商群を導く。明示的には、
H o ′ = g H o g − 1 ( 1 ) {\displaystyle H_{o'}=gH_{o}g^{-1}\qquad \qquad (1)}
ただし g は go = o′ なる G の任意の元である。内部自己同型 (1) はそのような g の取り方にはよらず、g modulo Ho のみに依存することに注意する。
G の X への作用が連続であれば、H は G の閉部分群である。とくに、G がリー群であれば、H はカルタンの定理によって部分リー群である。したがって G/H は滑らかな多様体であるので X は群作用と両立する一意的な滑らかな構造(英語版)を持っている。
H が単位元のみからなる部分群 {e} であれば、X は主等質空間(英語版)である。
さらに両側剰余類(英語版)空間、とりわけクリフォード・クライン形式(英語版) Γ ∖ G / H , {\displaystyle \Gamma \backslash G/H,} へと進むことができる。ここで Γ は固有不連続(英語版)に作用する(G の)離散部分群である。
正の曲率:
球面(直交群): S n − 1 ≅ O ( n ) / O ( n − 1 ) {\displaystyle S^{n-1}\cong \mathrm {O} (n)/\mathrm {O} (n-1)}
向き付けられた球面(特殊直交群): S n − 1 ≅ S O ( n ) / S O ( n − 1 ) {\displaystyle S^{n-1}\cong \mathrm {SO} (n)/\mathrm {SO} (n-1)}
射影空間(射影直交群(英語版)): P n − 1 ≅ P O ( n ) / P O ( n − 1 ) {\displaystyle \mathrm {P} ^{n-1}\cong \mathrm {PO} (n)/\mathrm {PO} (n-1)}
平坦(曲率 0):
ユークリッド空間(ユークリッド群、point stabilizer は直交群): A ≅ E(n)/O(n)
負曲率:
双曲空間(順時ローレンツ群(英語版))、point stabilizer は直交群、双曲面モデル(英語版)に対応): H ≅ O(1, n)/O(n)
向き付けられた双曲空間: SO(1, n)/SO(n)
反ド・ジッター空間: AdSn+1 = O(2, n)/O(1, n)
X を空でない集合とし G を群とする。X が G-空間であるとは、G が X に作用していることをいう。自動的に G は集合に自己同型(全単射)によって作用することに注意する。X がさらにある圏に属しているならば、G の元はその圏における同型射として作用すると仮定される。したがって G によってもたらされる X 上の写像は構造を保つ。等質空間は G が推移的に作用するような G-空間である。
簡潔には、X が圏 C の対象であれば、G-空間の構造は圏 C の対象 X の自己同型射の群の中への準同型写像
ρ: G → AutC(X)
である。対 (X, ρ) は ρ(G) が X の台集合の対称変換の推移的な群であるならば等質空間を定義する。
一般相対性理論が用いられる現代宇宙論では、ビアンキ分類系が活用されている。相対論における等質空間はなんらかの宇宙モデルの背景計量の空間部分を表現している。例えば、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量における三つの場合は、ビアンキ I 型(平坦な宇宙)、V 型(開いた宇宙)、VII 型(平坦または開いた宇宙)、IX 型(閉じた宇宙)の部分集合で表現される。また、ミックスマスター宇宙(英語版)はビアンキ IX 型宇宙論の非等方な例である。
N 次元等質空間には、1/2N(N+1) 個からなるキリングベクトル集合の存在が許される。三次元の場合、全部で6つの線形独立なキリングベクトル場が存在する。三次元等質空間の特徴として、これらの線形結合を取ることによっていたるところ非零の三つのキリングベクトル場 ξ i ( a ) {\displaystyle \xi _{i}^{(a)}} を見付けることができる。