クラマース・クローニッヒの関係式
またH(ω) を複素平面に解析接続した複素関数H(z) が、実軸より上側で正則かつ|z|→∞ で一様にH(z)→0 であるときにはH(ω) がクラマース・クローニッヒの関係式を満たすことを示すことができる。
H(z)/(z-ω) を複素平面上で、以下の4つの区間からなる閉曲線上で複素積分する。
実軸上の(-R, 0)→(ω - r, 0)
(ω, 0)を中心とする半径r の半円(ω - r, 0)→(ω + r, 0)
実軸上の(ω + r,0)→(R, 0)
原点を中心とする半径Rの半円(R, 0)→(-R, 0)
実軸より上側で正則であるという条件から、コーシーの積分定理によりこの閉曲線上の積分は0になる。 ここでR→∞、r→0の極限をとると区間4の積分は|z|→∞で一様にH(z)→0の条件より0となる。 区間2の積分はr→0で-iπH(ω)となる。 したがって区間1と3の積分の和はR→∞、r→0の極限で