ケーリー＝ディクソンの構成法
これ以降の全ての段階の構成法は形式が同じものになる。
今回は、四元数 p および q の順序対 (p, q) を作って、ちょうど四元数にしたのと同様に、乗法と共役を
( p , q ) ( r , s ) := ( p r − s ∗ q , s p + q r ∗ ) {\displaystyle (p,q)(r,s):=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*})}
で定義する。
しかし、注意しなければならないのは、四元数の全体では交換法則は成り立たないから、この乗法の定義式において積の因子の順番が重要な意味を持つということである。定義式の最後の因子が qr ではなく rq であったならば、そのような定義式の下で、各元とその共役元との積が実数になることが導けない。
前と完全に同じ理由で、共役演算はノルムと、任意の零でない元について乗法逆元を与える。
この代数はグレーブスによって1843年には発見されていたものだが、八元数あるいは「ケーリー数」と呼ばれている。
八元数は2つの独立した四元数からなるので、実数体上の8次元ベクトル空間をなす。
八元数の乗法は、四元数の乗法よりもさらに奇妙なものになっている。非可換であるだけではなくて、結合的でもない。つまり、p, q, r を八元数とするときに乗法の結合法則、
( p q ) r = p ( q r ) {\displaystyle (pq)r=p(qr)}
は一般には成り立たない。