ケルビン・ストークスの定理
一方で、面積分の定義から
∫∫ S ( ∇ × F ) d S = ∫∫ D ⟨ ( ( ∇ × F ) ( ψ ( u , v ) ) | ∂ ψ ∂ u ( u , v ) × ∂ ψ ∂ v ( u , v ) ⟩ d u d v {\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }(\nabla \times \mathbf {F} )d\mathbb {S} =\iint _{D}\left\langle ((\nabla \times \mathbf {F} )(\psi (u,v))\ |\ {\frac {\partial \psi }{\partial u}}(u,v)\times {\frac {\partial \psi }{\partial v}}(u,v)\right\rangle dudv}
が成り立つ。さらにスカラー三重積を考慮すると、以下を得る.