空間 (数学)
空間の分類は三つの階層で行われる。各数学理論がその対象が持つある種の性質によって対象が記述されるものとして与えられるとき、最初に問題となるのは「それはどのような性質か」ということである。
例えば、第一階層の分類 (upper-level classification) でユークリッド空間と射影空間とが区別できる。これはユークリッド空間では二点間の距離を考えることができるが、射影空間では考えることができないことによる。これらの空間は「型」が異なる。
別な例として、「三角形の内角の和はいくらか」という問いはユークリッド空間では意味を持つが射影空間では意味を持たない。故にこれらは型の異なる空間なのである。一方、この問いは非ユークリッド幾何学でも意味を成すが、答えが異なる。これは第一階層での区別ではない。
ユークリッド平面と三次元ユークリッド空間との区別も、「次元はいくつか」という問いは双方で有効であるから、やはり第一階層での区別ではない。
ブルバキによれば、第一階層の分類は「型による特徴づけ」あるいは「型付け」と関係があるが、それらは同一の概念ではない(二つの同値な構造が異なる型を持ちうる)。
第二階層の分類 (second level of classification) では(第一階層に準じて意味を成す問いの中で)特に重要な問いに関してその答えを勘案するものである。この第二階層で区別されるものは例えば、ユークリッド空間と非ユークリッド空間、有限次元空間と無限次元空間、コンパクト空間と非コンパクト空間などがある。
同様に、コンパクト位相空間の種は位相空間の種よりも豊饒である。
ユークリッドの公理系には自由度がなく、空間の幾何学的性質はすべて公理系から一意的に決定される。もっとはっきり言えば、三次元ユークリッド空間はどれも全て互いに同型である。この意味で、単に三次元ユークリッド空間と呼び、具体的に「どのような」三次元ユークリッド空間であるかを通常は指示しない(英語では定冠詞 "the" を付けて呼ぶ)。ブルバキでは、対応する理論は一意 (univalent) であるという。対して、位相空間は一般には非同型であるから、それらの理論は多意 (multivalent) であるという。同様の考え方は数理論理学においても生じる。理論が範疇的であるとは、その濃度が等しい全てのモデルが互いに同型であるときにいう。ブルバキによれば、多意な理論の研究は古典数学から現代数学を峻別する最も著しい特徴である。