コンパクト作用素
ヒルベルト空間上のコンパクト作用素を次のように定義することもできる。ヒルベルト空間 H 上の作用素 T: H → H がコンパクトであるとは T が
T = ∑ n = 1 N λ n ⟨ f n , ∙ ⟩ g n {\displaystyle T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\bullet \rangle g_{n}}
の形に表せることをいう。ここで、1 ≤ N ≤ ∞ であり、f1, ..., fN および g1, ..., , gN は(必ずしも完全でない)正規直交系とする。このとき、λ1, ..., λN はその作用素の特異値と呼ばれる正数列である。特異値は 0 においてのみ集積することができる。また、括弧 <•, •> はヒルベルト空間上の内積で、右辺の和は作用素ノルムに関して収束する。
コンパクト作用素のクラスの重要な部分類にトレース類や核作用素のクラスがある。