アレクサンドロフ拡大
正整数全体の成す集合 N の一点コンパクト化 N* は K ≔ {0} ∪ {1/n | n ∈ N} に順序位相を入れたものに同相である。
位相空間 X における点列 (an) が X の一点 a に収束するための必要十分条件は、n ∈ N に対し f(n) ≔ an および f(∞) ≔ a とおいて得られる写像 f: N* → X が連続となることである。ここで N には離散位相が入っているものとする。
Polyadic空間(英語版)は局所コンパクトハウスドルフな離散空間の一点コンパクト化のデカルト冪からの連続像として定義される位相空間である。
Alexandroff, P.S. (1924), “Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume”, Math. Ann. 92 (3-4): 294–301, doi:10.1007/BF01448011, JFM 50.0128.04, https://eudml.org/doc/159072
Brown, Ronald (1973), “Sequentially proper maps and a sequential compactification”, J. London Math Soc. (2) 7: 515–522, doi:10.1112/jlms/s2-7.3.515, Zbl 0269.54015
Munlres, James (1999), Topology (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2, Zbl 0951.54001
一点コンパクト化の幾何学的によく実感できる例は、立体射影の逆を考えることで与えられる。立体射影 S は北極点 (0, 0, 1) を除く単位球面からユークリッド平面への同相写像を陽に与えるものであったことを思い出そう。その逆写像(逆立体射影)S: R ↪ S は開写像かつ、追加の点 ∞ ≔ (0, 0, 1) を添加して得られるコンパクトハウスドルフ空間への稠密な埋め込みとなる。立体射影により緯線円 z = c は平面円 r = √(1 + c)/(1 − c) へ写されるから、北極点 (0, 0, 1) の基本近傍系を取り除いて得られる穴あき球冠 c ≤ z < 1 は平面閉円板 r ≥ √(1 + c)/(1 − c) の補集合に対応する。より定性的に述べれば、∞ における基本近傍系は、K が R のコンパクト部分集合を亙るときの S(R ∖ K) ∪ {∞} によって与えられる。
この例はすでに一般の場合の鍵となる考え方を含んでいる。