複素数の偏角
主値 (−π, π] における偏角の値を、記号で Arg z(最初の文字を大文字)で表すことがある。表記には揺れがあり、arg と Arg が文献によって逆になることもあることに注意。
arg  z = { Arg  z + 2 π n ∣ n ∈ Z } {\displaystyle \arg z=\{\operatorname {Arg} z+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}}
Arg  z = { arg  z − 2 π n ∣ n ∈ Z ∧ ( − π < Arg  z ≦ π ) } {\displaystyle \operatorname {Arg} z=\{\arg z-2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \,\land \,(-\pi <\operatorname {Arg} z\leqq \pi )\}}
2つの複素数の乗除は、極形式表示することにより、簡明に行うことができる。複素数 z1, z2 の極形式表示を
z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1)
z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2)
とすると、
arg z1z2 ≡ arg z1 + arg z2
arg z1/z2 ≡ arg z1 − arg z2
(何れも mod 2π)
z ≠ 0 で n が整数のとき、
arg z ≡ n arg z (mod 2π)
arg  ( 2 + i ) + arg  ( 3 + i ) = arg  ( 2 + i ) ( 3 + i ) = arg  ( 5 + 5 i ) = π 4 ( mod 2 π ) / / {\displaystyle {\begin{aligned}\arg(2+i)+\arg(3+i)&=\arg(2+i)(3+i)\\&=\arg(5+5i)\\&={\dfrac {\pi }{4}}{\pmod {2\pi }}\quad //\end{aligned}}}
数学において、複素数の偏角(へんかく、英: argument of complex)とは、複素数平面上で複素数が表す点の動径が表す一般角のことである。複素数 z の偏角は記号で arg z で表す。偏角はラジアンで表す。
複素数を極形式表示することで、絶対値と偏角が得られる。これにより、複素数の乗除が簡明に行うことができる。
複素数に対する偏角は、2π の任意の整数倍を足す分だけ表し方がある。つまり、多価関数である。そこで表示を一意にするには、主値を決め、区間 (−π, π] などに制限する。
2π の任意の整数倍の差を除いて次の等式が成り立つ:
arg zw ≡ arg z + arg w
arg z/w ≡ arg z − arg w
(何れも mod 2π)