ファインマン–カッツの公式
事実、経路積分を数学的に明確に定義しようとしている書物ではこのように極限で定義されたものとして扱っている。
状態空間が無限の場合( x ∈ R d {\displaystyle \;\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}\;} )は基本的なブラウン運動を用いるだけなので形式的表現は簡単である。ただし、遷移確率(transition probability)を用いて解の具体的な関数形を導出する際、計算が簡単に済むか否かはポテンシャルの関数形に依存する。 定義域が半無限や有限の場合は境界条件が現れるためブラウン運動ではなく反射ブラウン運動、弾性ブラウン運動などを用いる必要がある。特に第3種の境界条件の場合は、弾性ブラウン運動で表現する必要があり、局所時間(local time)が公式に現れるので、形式的な表現は別として具体的に計算するのは面倒である。
e a d n 2 P x [ ± W T ( j ) ≥ n ] ≤ e a d n 2 T 2 π 1 n ∓ x ( j ) e − ( n ∓ x ( j ) ) 2 / ( 2 T ) → 0 , n → ∞ , {\displaystyle \;e^{adn^{2}}P^{x}\left[\pm W_{T}^{(j)}\geq n\right]\leq e^{adn^{2}}{\sqrt {{\frac {T}{2\pi }}\,}}{\frac {1}{n\mp x^{(j)}}}e^{-(n\mp x^{(j)})^{2}/(2T)}\rightarrow 0,\quad n\rightarrow \infty ,\;}
ただし、 0 ≤ a ≤ 1 / ( 2 T d ) {\displaystyle \;0\leq a\leq 1/(2Td)\;} である。 右辺第3項については、
E x [ v ( T , W T − t ) exp  ( − ∫ 0 T − t k ( W s ) d s ) ] , n → ∞ , r ↑ T − t , {\displaystyle \;E^{x}\left[v(T,W_{T-t})\exp \left(-\int _{0}^{T-t}k(W_{s})ds\right)\right],\quad n\rightarrow \infty ,\quad r\uparrow T-t,\;}
へ収束する。したがって、ファインマン-カッツの公式が証明された。QED