線型独立
線型代数学において、n 本のベクトルが線型独立(せんけいどくりつ、英: linearly independent)または一次独立であるとは、それらのベクトルが張る空間が n 次元部分線形空間になることである。
線型独立であるベクトルたちは、何れも、零ベクトルでない。
具体的には、n 本のベクトル v1, ..., vn が線型独立であるとは、 c 1 , ... , c n {\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}} をスカラーとして、
∑ i = 1 n c i v i = 0 ⇒ c 1 = ⋯ = c n = 0 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}c_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}=\mathbf {0} \Rightarrow c_{1}=\cdots =c_{n}=0}
が成り立つことである(#定義)。
線型独立でないことを線型従属(一次従属)という。
V = R とし V の次の元を考える:
e 1 = ( 1 , 0 , 0 , ... , 0 ) , e 2 = ( 0 , 1 , 0 , ... , 0 ) , ⋮ e n = ( 0 , 0 , 0 , ... , 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {e}}_{1}&=(1,0,0,\ldots ,0),\\{\boldsymbol {e}}_{2}&=(0,1,0,\ldots ,0),\\&\vdots \\{\boldsymbol {e}}_{n}&=(0,0,0,\ldots ,1).\end{aligned}}}
これら e1, e2, ..., en は線型独立である。実際、a1, a2, ..., an は R の元として