写像の微分
可微分写像 φ: M → N と M 上のベクトル場 X が与えられたとき、X の φ による押し出しを N 上の適当なベクトル場と同一視することが普通はできない。例えば、写像 φ が全射でなければ φ の像に属さないところでそのような押し出しを定義する自然な方法がないし、また φ が単射でなければ与えられた点における押し出しの選び方が複数存在しうる。にもかかわらず、この困難を正確にして、写像に沿うベクトル場の概念が用いられる。
M 上のベクトル束 φTN の切断を φ に沿うベクトル場と呼ぶ。例えば、M が N の部分多様体で、φ が包含写像のとき、φ に沿うベクトル場とは N の接束の M に沿う切断のことに他ならない。特に、M 上のベクトル場は TM の TN への包含を通じてそのような切断を定める。
X を M 上のベクトル場、すなわち TM の切断とするとき、微分を点ごとにX に適用することにより、ベクトル場の押し出し φ∗X が誘導され、これは φ に沿うベクトル場、すなわち M 上の φTN の切断である。