ベルヌーイ多項式
である。この展開は n ≥ 2 のとき 0 ≤ x ≤ 1 で、n = 1 のとき 0 < x < 1 で有効である。
オイラー多項式のフーリエ級数も求められる。フーリエ余弦係数とフーリエ正弦係数を以下のように定義すると。
C ν ( x ) = ∑ k = 0 ∞ cos  ( ( 2 k + 1 ) π x ) ( 2 k + 1 ) ν , {\displaystyle C_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}},}
S ν ( x ) = ∑ k = 0 ∞ sin  ( ( 2 k + 1 ) π x ) ( 2 k + 1 ) ν . {\displaystyle S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}.}
ただし、 ν > 1 {\displaystyle \nu >1} とする。また、
C 2 n ( x ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n − 1 ) ! π 2 n E 2 n − 1 ( x ) {\displaystyle C_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)}