フォック状態
合成した固有状態に交換演算子 P ^ {\displaystyle {\hat {P}}} が作用すると、ボース粒子の場合は対称的、フェルミ粒子の場合は反対称的になければならない。
たとえばテンソル積表現での2粒子系においては次のようになる。
P ^ | x 1 , x 2 ⟩ = | x 2 , x 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }
2つの同種粒子のフォック状態 | 1 1 , 1 2 ⟩ {\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle } について、次の不可弁別性が成り立つ。よって
ボース粒子では | 1 1 , 1 2 ⟩ = + | 1 2 , 1 1 ⟩ {\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =+|1_{2},1_{1}\rangle }
真空状態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } は最低エネルギーの状態で、 a ^ {\displaystyle {\hat {a}}} と a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} の期待値はこの状態では0になる。
a ^ | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a ^ † = 0 {\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =\langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }=0}
電磁場とベクトルポテンシャルは同じ一般形のモード展開を持つ。
F ( r , t ) = ε a e i ψ ⋅ r − ω t + h c {\displaystyle F({\boldsymbol {r}},t)=\varepsilon ae^{i{\boldsymbol {\psi }}\cdot {\boldsymbol {r}}-\omega t}+hc}
これらの場の演算子の期待値が真空状態では0になることを見るのは簡単である。
⟨ 0 | F | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}
しかし、これらの場の演算子の二乗の期待値は0ではないことを示すことができる。 このように0アンサンブル平均についての場におけるゆらぎが存在する。 これらの真空ゆらぎは、量子光学におけるラムシフトなど多くの興味深い現象の原因となる。
フェルミ粒子の反対称性を保持するために、フェルミ粒子の生成消滅演算子を導入する。 フェルミ粒子フォック状態 | n 1 , n 2 , ⋯ , n l , ⋯ ⟩ {\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle } に生成演算子を次のように作用させる。
c ^ l † | n 1 , n 2 , ⋯ , n l , ⋯ ⟩ = n l + 1 | n 1 , n 2 , ⋯ , n l + 1 , ⋯ ⟩ {\displaystyle {\hat {c}}_{l}^{\dagger }|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle ={\sqrt {n_{l}+1}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l}+1,\cdots \rangle }
消滅演算子は次のように作用する。
c ^ l | n 1 , n 2 , ⋯ , n l , ⋯ ⟩ = n l | n 1 , n 2 , ⋯ , n l − 1 , ⋯ ⟩ {\displaystyle {\hat {c}}_{l}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle ={\sqrt {n_{l}}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l}-1,\cdots \rangle }
これら2つの演算子の作用は反対称的に行われる(後述)。
最も単純な1つのモードのボース粒子フォック状態を考える(ここで考えている状態を1粒子状態と呼ぶこともあるが、この状態を多粒子状態と考えることもできるため(後述)、ここでは単にモードと呼ぶことにする)。これはエネルギー的には1つの調和振動子と等価である。
以下の交換関係を満たす生成消滅演算子を定義する。
[ b ^ , b ^ † ] = 1 {\displaystyle [{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1}
数演算子とよばれるエルミート演算子を以下で定義する。
N ^ ≡ b ^ † b ^ {\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}
この固有値方程式は、
N ^ | n ⟩ = n | n ⟩ {\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle }
この固有値 N {\displaystyle N} は非負の整数である。また、この固有ベクトル | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } に生成消滅演算子が作用すると、
フェルミ粒子系における生成消滅演算子の反交換関係は、
{ c ^ i , c ^ j † } ≡ c ^ i c ^ j † + c ^ j † c ^ i = δ i j {\displaystyle \{{\hat {c}}_{i},{\hat {c}}_{j}^{\dagger }\}\equiv {\hat {c}}_{i}{\hat {c}}_{j}^{\dagger }+{\hat {c}}_{j}^{\dagger }{\hat {c}}_{i}=\delta _{ij}}
{ c ^ i † , c ^ j † } = { c ^ i , c ^ j } = 0 {\displaystyle \{{\hat {c}}_{i}^{\dagger },{\hat {c}}_{j}^{\dagger }\}=\{{\hat {c}}_{i},{\hat {c}}_{j}\}=0}
ここで { , } {\displaystyle {\{\ ,\ \}}} は反交換子、 δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} はクロネッカーのデルタである。これらの反交換関係は、フェルミ粒子フォック状態の反対称性を表すために用いられる。