ガウス・ボンネの定理
単位法線は符号をつける事で2本存在するが、 M ⊂ R 3 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}} が向き付け可能な場合には、ηPがPに関して連続になるように選ぶ事ができる。
各点P∈Mに対し、ベクトルηPは長さ1のベクトルなので、ηPを原点中心の単位球Sの元とみなす事ができる。このようにみなす事で定義できる写像
G : P ∈ M ↦ η P ∈ S 2 {\displaystyle G~:~P\in M\mapsto \eta _{P}\in S^{2}}
をガウス写像(英: Gauss map、英: Gauss spherical mapping)という。
ガウス写像はガウス曲率と以下の関係を満たす:
定理 (ガウス写像によるガウス曲率の意味付け) ― M、Sの体積要素をそれぞれ d V {\displaystyle dV} 、 d V ′ {\displaystyle dV'} とするとき、ガウス写像が誘導する写像
G ∗ : ⋀ 2 T G ( P ) ∗ S 2 → ⋀ 2 T P ∗ M {\displaystyle G^{*}~:~\bigwedge ^{2}T_{G(P)}^{*}S^{2}\to \bigwedge ^{2}T_{P}^{*}M}
は、
G ∗ ( d V G ( P ) ′ ) = K P d V P {\displaystyle G^{*}(dV'_{G(P)})=K_{P}dV_{P}}
を満たす。
三角形を頂点の多い多角形に置き換えても、2-次元擬多様体に対しては同じ公式が成り立つ。n 頂点の多角形に対しては、式の中の 3 と 6 をそれぞれ n/(n-2) と 2n/(n-2) に置き換えればよい。例えば、四角形に対し、それぞれ式の中の 3 と 6 を 2 と 4 へと置き換えればよい。さらに特別な場合は、 M {\displaystyle M} が閉じた 2-次元のデジタル多様体(英語版)(digital manifold)であれば、種数は、
g = 1 + ( M 5 + 2 M 6 − M 3 ) / 8 , {\displaystyle g=1+(M_{5}+2M_{6}-M_{3})/8,\ }
となる。ここに M i {\displaystyle M_{i}} は曲面上で i {\displaystyle i} 個の隣接点を持つような曲面上の点の数を表している。