レーヴェンハイム–スコーレムの定理
この定理の現代的な形式は、本項目の導入部で行っている可算なシグネチャのバージョンよりも一般的で強い。
一般化されたレーヴェンハイム–スコーレムの定理では、あらゆるシグネチャ σ、あらゆる無限濃度の σ構造 M、あらゆる無限濃度 κ ≥ |σ| について、|N| = κ となる σ構造 N があり、
κ < |M| なら、N は M の初等的部分構造であり、
κ > |M| なら、N は M の初等的拡張である。
この定理は、上の箇条書きされた部分に対応して2つに分割されることが多い。ある構造がより小さい濃度の初等部分構造を持つとする定理の部分を下方レーヴェンハイム–スコーレムの定理 と呼ぶ。ある構造がより大きい濃度の初等拡張を持つとする定理の部分を上方レーヴェンハイム–スコーレムの定理 と呼ぶ。
冒頭の簡単な言明の場合、理論の無限のモデルとは、ここでいう M である。定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。