熱的ド・ブロイ波長
古典統計力学において、自由粒子からなる理想気体では、分配関数や分配関数から導かれるエントロピーは熱的ド・ブロイ波長を用いて表すことができる。
質量を m とする自由粒子からなる理想気体が温度 T の熱平衡状態にあるとする。粒子数を N 個、系の体積をVとすると、カノニカル分布での分配関数は
Z ( T , V , N ) = V N N ! ( 2 π m k B T h 2 ) 3 N / 2 {\displaystyle Z(T,V,N)={\frac {V^{N}}{N!}}{\biggl (}{\frac {2\pi mk_{B}T}{h^{2}}}{\biggr )}^{3N/2}}
で与えられる。これは熱的ド・ブロイ波長を用いて
Z ( T , V , N ) = V N N ! λ T 3 N {\displaystyle Z(T,V,N)={\frac {V^{N}}{N!\lambda _{T}^{3N}}}}
と表すことができる。このとき、ヘルムホルツの自由エネルギー F=−kBT ln Z から、エントロピーは
S ( T , V , N ) = − ∂ F ∂ T | V , N = N k B { 5 2 + ln  ( V N λ T 3 ) } {\displaystyle S(T,V,N)=-\left.{\frac {\partial F}{\partial T}}\right|_{V,N}=Nk_{B}\left\{{\frac {5}{2}}+\ln {{\biggl (}{\frac {V}{N\lambda _{T}^{3}}}{\biggl )}}\right\}}