P進数
整数 n に対して p 進数体の分数イデアル pZp ⊂ Qp を考える。これは次のフィルトレーション
⋯ ⊂ p 2 Z p ⊂ p Z p ⊂ Z p ⊂ p − 1 Z p ⊂ ⋯ {\displaystyle \cdots \subset p^{2}\mathbb {Z} _{p}\subset p\mathbb {Z} _{p}\subset \mathbb {Z} _{p}\subset p^{-1}\mathbb {Z} _{p}\subset \cdots }
を定める。全ての和集合を取ると Qp となり、全ての共通部分を取ると {0} になる。これをオイラー図で表したものが右図である。
pZp は0との p 進距離が p 以下の元の集まりである。図はあくまでもオイラー図であるが、pZp を円で表すことによりこのことを表現している。
差集合 pZp ∖ pZp を考える。図はオイラー図なので、図の円環部分がこの集合に対応する。しかし、この集合は0との p 進距離が p に等しいものの集まりなので、このことは図で正確に表現できていない。
pZp はコンパクトな集合である。このことは表せている。
任意のコンパクトな部分集合 K に対して、K ⊂ Qp = ∪n pZp は開被覆になっていることから、ある n が存在して K ⊂ pZp が成り立つ。このこともこの図で表せている。
数列 1, 2, 3, ... を考える。この数列は実数では無限に発散していく。一方、p 進数の場合は Zp というコンパクトな集合から抜け出せない。