純虚指数函数
複素数 z = x + iy(x, y は実数)に対して、複素指数函数は次の式で表せる:
exp(z) = exp(x)⋅cis(y)
cis(x) = cos(x) + i sin(x)と、
cis(−x) = cos(−x) + i sin(−x) = cos(x) − i sin(x)
を連立することにより、cos(x), sin(x) は cis関数で表せる:
cos  ( x ) = cis  ( x ) + cis  ( − x ) 2 = e i x + e − i x 2 , {\displaystyle \cos(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)+\operatorname {cis} (-x)}{2}}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},}
sin  ( x ) = cis  ( x ) − cis  ( − x ) 2 i = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin(x)={\frac {\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (-x)}{2i}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
微分: d d z cis  ( z ) = i cis  ( z ) = i e i z {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}}
初等解析学における函数 cis とは、実数 x を複素数 cos(x) + i sin(x) に対応させる関数のことである。ここで cos は余弦関数、sin は正弦関数、i は虚数単位である。
cis(x) ≔ cos(x) + i sin(x)
"cis" は "cos + i sin" の省略形である。
この函数 cis: R → S(⊂ C*) は、複素指数函数 e を用いれば、オイラーの公式より
cis(x) = e
と表せる。すなわち純虚変数 ix の指数函数(じゅんきょへんすうのしすうかんすう、英: imaginary exponential function)として書くことができる。複素指数函数とは別にこのような表記を設けることは、一見冗長であるように思われるが、偏角 x の関数であることを強調する上で有用となる。