静磁場
< ν ( s ) ( rot s  [ A ( s ) ] ) | ( rot s  [ δ A ( s ) ] ) > + 1 2 < ν ( s ) ( rot s  [ δ A ( s ) ] ) | ( rot s  [ δ A ( s ) ] ) > − < i f c ( s ) | δ A ( s ) > {\displaystyle <\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])>+{\frac {1}{2}}<\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])>\ -<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )>} (3-5-5)
式(3-5-5)から、二次の微小項を無視すると、Fの第”一”変分
μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( M ( s ) | r − s | ) × d 2 s = μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( M ( s ) × n ∂ Ω | r − s | ) | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\times {d}^{2}\mathbf {s} \ ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )\times \mathbf {n} _{\partial \Omega }}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|\ } (2-4-6)
が得られる。以上から示すべき式が証明された。
今、 i M ( r ) , K M {\displaystyle {\boldsymbol {i}}_{M}(\mathbf {r} ),\ {\mathbf {K} }_{M}} を、
i M ( r ) := rot  [ M ( r ) ] {\displaystyle {\boldsymbol {i}}_{M}(\mathbf {r} ):=\operatorname {rot} [\mathbf {M} (\mathbf {r} )]} (体積磁化電流密度) (2-4-7)
が得られる。従って、
rot  [ H tot ( r ) ] = rot  [ H f c ( r ) ] + rot  [ H M ( r ) ] = i f c {\displaystyle \operatorname {rot} [\mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )]=\operatorname {rot} [\mathbf {H} _{fc}(\mathbf {r} )]+\operatorname {rot} [\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )]={\boldsymbol {i}}_{fc}} (3-2-4)
が得られる。これは、即ち(静磁場の)アンペールの法則である。
式(3-2-4)を示そう。式(2-2-9) 及び以下の式(3-2-5)より、
rot grad=0 (3-2-5)
H M ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )} に対し、回転微分を作用させると、
本節では、真空中に定常な(つまり時刻tに依存しない)電流密度が作り出す磁束密度について、一般に成り立つ事柄について述べる。ただし、時間的な変動の影響はもちろんのこと、これ以外にも、電場や強制電荷、分極電荷の影響は排除されているものとする。 本記事では、専ら体積電流密度を中心に扱い、線電流近似については、例えば 等に委ねることとする。
真空中に定常な(つまり時刻tに依存しない)電流密度 i ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} が与えられた とする。このとき、 i ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} は、以下の磁気ベクトルポテンシャル A i ( r ) {\displaystyle \mathbf {A} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )} を空間内に作り出す。
A i ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 ( i ( s ) | r − s | ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {A} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}\left({\frac {{\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)\ d^{3}\mathbf {s} } (1-1)
を意味する。<F|∇>のことを、”F・∇”と書くこともある。
Gを、ベクトル場としたとき、<F|∇>をGに作用させると、
⟨ F | ∇ ⟩ G = f 1 ∂ g 1 ∂ x 1 + f 2 ∂ g 2 ∂ x 2 + f 3 ∂ g 3 ∂ x 3 = ( J [ G ] ) ⋅ F {\displaystyle \left\langle \ \mathbf {F} \ |\ \nabla \ \right\rangle \mathbf {G} ={f}_{1}{\partial {g}_{1} \over \partial {x}_{1}}+{f}_{2}{\partial {g}_{2} \over \partial {x}_{2}}+{f}_{3}{\partial {g}_{3} \over \partial {x}_{3}}=(J[\mathbf {G} ])\cdot \mathbf {F} }
が成り立つ。ここで、 J [ G ] {\displaystyle J[\mathbf {G} ]} は、Gのヤコビ行列(ヤコビアンではない)を意味する。