Q-Qプロット
正規確率プロットを使用する際には、標準正規分布の順序統計量の期待値の尺度であるランキットを使用する。
より一般的には、シャピロ–ウィルク検定は、与えられた分布の順序統計量の期待値を用いる。 得られたプロットと回帰直線は、(フィッティングされた直線の切片と勾配から)位置とスケールの一般化された最小二乗推定値を生成する。これは正規分布には(位置とスケールはそれぞれ平均と標準偏差によって推定されるため)あまり重要ではありませんが、他の多くの分布にも役立つ。
しかし、これは、順序統計量の期待値を計算する必要があり、分布が正規分布でない場合には困難な場合がある。
順序統計中央値は、その分布の順序統計の中央値である。これらは、次のようにして連続一様分布についての分位関数および順序統計中央値の観点から表すことができる。
N ( i ) = G ( U ( i ) ) {\displaystyle N(i)=G(U(i))}
ここで U(i) は一様な順序統計中央値であり、Gは所望の分布についての分位関数である。分位関数は、累積分布関数の逆数(Xがある値以下である確率)である。すなわち、確率を仮定すると、累積分布関数の対応する分位数が必要となる
James J. Filliben は次の式を一様順序統計中央値を推定するために用いた。
m ( i ) = { 1 − 0.5 1 / n i = 1 i − 0.3175 n + 0.365 i = 2 , 3 , ... , n − 1 0.5 1 / n i = n . {\displaystyle m(i)={\begin{cases}1-0.5^{1/n}&i=1\\\\{\dfrac {i-0.3175}{n+0.365}}&i=2,3,\ldots ,n-1\\\\0.5^{1/n}&i=n.\end{cases}}}
この推定が非直感的な形をしている理由は、統計中央値は単純な形をしていないためである。
理論分布からの分位数の選択は、状況と目的に依存しうる。例えば、サイズnのサンプルが与えられたとき、サンプリング分布が実現する分位数であるので、k = 1、...、nに対してk / nを用いる。最後のn / nは100パーセンタイル(理論分布の最大値)に対応する。これは無限大になりうる。他にも、k /(n + 1)や、(k-0.5)/ nを用いて均等に配置するなどの手法が存在する。
理論的もしくは経験的な文脈を持つ理論またはシミュレーションに基づいて、多くの手法が提案されている。以下でこれらについて説明する。より詳しい問題は、ドイツのタンク問題として知られる「サンプルの最大値プラスギャップ」の解が存在する最大値(母集団の最大値の推定値)の選択である。最も単純にはm + m / n-1となる。 この間隔の均等化は、パラメータの最大間隔推定において生じる。