安定曲線
安定曲線の最も重要な性質の一つは、局所的に完全交叉であることである。これにより、標準的なセール双対性の理論を適用することができる。特に、任意の安定曲線に対して ω C / S ⊗ 3 {\displaystyle \omega _{C/S}^{\otimes 3}} は相対的に非常に豊富な層(relatively very-ample sheaf)であることが示される。これを使って安定曲線を P S 5 g − 6 {\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{5g-6}} へ埋め込むことができる。射影空間に埋め込まれた種数 g {\displaystyle g} の曲線のモジュライ・スキームは、ヒルベルトスキームの標準的な理論を用いて構築することができる。そのときのヒルベルト多項式は
P g ( n ) = ( 6 n − 1 ) ( g − 1 ) {\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}
で与えられる。このヒルベルトスキームには、安定曲線に対応する点からなる部分空間
H g ⊂ Hilb P Z 5 g − 6 P g {\displaystyle H_{g}\subset {\textbf {Hilb}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5g-6}}^{P_{g}}}
が含まれている。この空間は、関手