最小作用の原理
ハミルトン形式において、作用汎関数はハミルトン関数により
S [ p , q ] = ∫ t 0 t 1 [ p ( t ) q ̇ ( t ) − H ( p , q ) ] d t {\displaystyle S[p,q]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\big [}p(t){\dot {q}}(t)-H(p,q){\big ]}dt}
で与えられる。ハミルトン形式における力学変数は、一般化座標 q、及びこれに共役な一般化運動量 p である。これらは併せて正準変数と呼ばれる。 正準変数の変分 δq, δp に対して作用の変分は
δ S = [ p ( t ) δ q ( t ) ] t 0 t 1 + ∫ t 0 t 1 { δ p ( t ) [ q ̇ ( t ) − ∂ H ∂ p ] − [ p ̇ ( t ) + ∂ H ∂ q ] δ q ( t ) } d t {\displaystyle \delta S={\Big [}p(t)\,\delta q(t){\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\{\delta p(t)\left[{\dot {q}}(t)-{\frac {\partial H}{\partial p}}\right]-\left[{\dot {p}}(t)+{\frac {\partial H}{\partial q}}\right]\delta q(t)\right\}dt}