位相群
位相群はすべての位相空間の中でも特別のものだが、それはそれらのホモトピー型の意味でもそうである。基本となるのは、位相群 G が弧状連結な位相空間である分類空間 BG を決定することである(分類空間は、緩やかな仮定の下で位相空間上の主 G-束を分類する)。群 G はホモトピー圏(英語版)において BG のループ空間(英語版)に同型である。これは G のホモトピー型に様々な制約があることを意味する。これら制約の中にはH空間(英語版)の広い文脈で満足されるものもある。
例えば、位相群 G の基本群はアーベル群である(より一般に、G のホモトピー群のホワイトヘッド積(英語版)は零になる)。また、任意の体 k に対するコホモロジー環 H*(G, k) はホップ代数の構造を持つ。ハインツ・ホップ(英語版)とアルマン・ボレルによるホップ代数の構造定理の観点から、これは位相群の取りうるコホモロジー環に強い制約をかけるものになっている。特に、G が弧状連結な位相群でその有理係数コホモロジー環 H*(G, Q) が各次数で有限次元となるならば、この環は Q 上の自由次数付き可換環でなければならない。
G は位相空間として距離付け可能である。 G 上に左不変距離が存在して、それによる距離位相がもともとの位相に一致する。ただし、G 上の距離が左不変であるとは、各元 a ∈ G の左乗 x ↦ ax が G 上の等距変換となるものをいう。)
位相群の任意の部分群は、相対位相に関してそれ自身が位相群になる。G の部分群 H に対し、左剰余類全体の成す集合 G/H に商位相を入れたものは G の等質空間と呼ばれる。商写像 q: G → G/H は常に開になる。例えば、正整数 n に対し、超球面 S は、R の回転群 SO(n + 1) の等質空間で、実際 S = SO(n + 1)/SO(n) が成り立つ。等質空間 G/H がハウスドルフとなるための必要十分条件は、H が G において閉となることである。半ばこれを理由に、位相群の研究において部分群としては閉部分群を主に考えるのが自然である。
任意の開部分群 H は G において閉である。これは H の補集合が、開集合 gH (g ∈ G\H) の合併に等しいことからわかる。
G の正規部分群 H に対し、剰余群 G/H は商位相に関して位相群を成す。
任意の群は離散位相を考えることにより、自明に位相群と考えることができる(そのような群は離散群と呼ばれる)。この意味で位相群論は通常の群論に含まれる。
実数の全体 R に通常の位相を入れたものは、加法に関する位相群となる。より一般に、n-次元ユークリッド空間 R は加法に関して位相群である。位相アーベル群の他の例として、円周群 S や自然数 n に対するトーラス群(英語版) (S) が挙げられる。
古典群(英語版)は非アーベル位相群の重要な例である。例えば、成分が実数の n × n 可逆行列全体の成す一般線型群 GL(n, R) は、ユークリッド空間 Rの部分空間としての位相を入れて位相群とみることができる。他の古典群として、直交群 O(n) は、R 上の線型変換で、任意のベクトルの長さを変えないもの全体の成す群である。直交群は位相空間としてコンパクトになる。ユークリッド幾何学の大部分は、直交群あるいはそれと近い関係を持つ R の対称性の群 O(n) ⋉ R の構造の研究と見なすことができる。
ここまでに挙げた群はすべてリー群、すなわち滑らかな多様体であって、群演算が連続なだけでなく滑らかな写像となるようなものになっている。リー群はよくわかっている位相群である。つまり、リー群に関する多くの問題がリー環に関する準代数的な問題に読み替えられ、そして解決されている。