カッツ・ムーディ代数
正定値行列 S は有限次元単純リー環を生じる。
半正定値行列 S はアフィン型の無限次元カッツ・ムーディ・リー環、アフィン・リー環を生じる。
不定値行列 S は不定型のカッツ・ムーディ・リー環を生じる。
C と S の対角成分は正だから、S は負定値あるいは半負定値にはなりえない。
有限型とアファイン型の対称化可能で分解不可能な一般カルタン行列は完全に分類されている。それらはディンキン図形とアファイン・ディンキン図形に対応する。不定型のカッツ・ムーディ・リー環についてはほとんど分かっていない。これらのカッツ・ムーディ代数に対応する群はジャック・ティッツによって任意の体上構成されたが。
不定型のカッツ・ムーディ・リー環の中ではほとんどの研究は双曲型のものに焦点を当てている。これは行列 S は不定値だが、I の各真部分集合に対し、対応する部分行列が正定値あるいは半正定値となるものである。双曲的カッツ・ムーディ環は階数が高々 10 であり、それらは完全に分類されている。階数 2 のものは無限にあり、3 から 10 には 238 個ある。hyperbolic groups: compact and noncompact に一覧がある。