ケーテ予想
Amitsur による次の予想があった:「J が R の nil イデアルであれば、J[x] は多項式環 R[x] の nil イデアルである。」この予想は、もし正しければ、上記の同値な主張を通してケーテ予想を証明するのであるが、しかしながら、Agata Smoktunowicz によって反例が作られた。これはケーテ予想の反証ではないものの、ケーテ予想は一般には誤りかもしれないという疑惑を焚き付けた。
(Kegel 1962) において、2 つの冪零部分環の直和であるような環はそれ自身冪零であることが証明された。「冪零 (nilpotent)」を「局所冪零 (locally nilpotent)」あるいは「冪零元 (nil)」で置き換えることができるか否かという問題が生じた。Kelarev が nil ではないが 2 つの局所冪零環の直和である環の例を作ったときに部分的に進展した。これは Kegel の問題で「冪零」を「局所冪零」にしたものは誤りであることを示している。
1 つの冪零部分環と 1 つの nil 部分環の和は必ず nil である。