有界変動函数
局所可積分函数 u が SBV(Ω) に属するとは、以下の二条件がともに満足されることを言う:
そこで可積分函数 f が重み φ に関する重み付き有界変動函数あるいは重み φ-付き有界変動函数、φ-BV函数とは、その φ-変動が有限となることと定める。
f ∈ B V φ ( [ 0 , T ] ; X ) ⟺ V φ , [ 0 , T ] ( f ) < + ∞ . {\displaystyle f\in BV_{\varphi }([0,T];X)\iff V_{\varphi ,[0,T]}(f)<+\infty .}
空間 BVφ([0, T]; X) はノルム
に関して位相線型空間を成す。ただし、‖ f ‖∞ は f の上限ノルムである。重み付き有界変動函数を導入し完全に一般に研究したのは Musielak & Orlicz (1959) である(Laurence Chisholm Young は正整数 p に対する φ(x) = x の場合に先駆的な研究を残した)。