ルベーグ＝スティルチェス積分
函数 f が点 a において「正常」("regular") であるとは、右および左側の極限 f(a+) および f(a−) が存在して、a における値がそれらの算術平均
f ( a ) := 1 2 ( f ( a − ) + f ( a + ) ) {\displaystyle f(a):={\frac {1}{2}}\,(f(a-)+f(a+))}
に一致することをいう。二つの有界変動函数 U, V が与えられたとき、U または V のいづれかが連続となるような点、若しくは U および V がともに正常となるような点では、ルベーグ=スティルチェス積分に対する部分積分公式
∫ a b U d V + ∫ a b V d U = U ( b + ) V ( b + ) − U ( a − ) V ( a − ) , ( a < b ) {\displaystyle \int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\quad (a<b)}
が成立する。この公式は少し一般化して、U および V に関する余分な条件を落とすことができる。
f が実連続函数(実変数実数値の連続函数)で、v が非減少実函数のときのルベーグ=スティルチェス積分はリーマン=スティルチェス積分に同値であり、ルベーグ=スティルチェス積分を測度が μv であることを陰に伏せたまま
∫ a b f ( x ) d v ( x ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)}
と書くのが普通である。特に確率論で v が実数値確率変数 X の累積分布函数であるときには
∫ − ∞ ∞ f ( x ) d v ( x ) = E [ f ( X ) ] {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathbb {E} [f(X)]}
などとよく書かれる(詳細はリーマン=スティルチェス積分の項を参照されたい)。
∫ a b f ( x ) d g ( x ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}
は測度 μg に関する f の通常のルベーグ式の積分として定義される。g が非増大の場合には
∫ a b f d g := − ∫ a b f d ( − g ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dg:=-\int _{a}^{b}f\,d(-g)}
と置いて非減少函数の場合に帰着する(非減少な −g に対して先ほどの構成を適用すればよい)。
一般の有界変動函数 g と有界函数 f の場合には、g を区間 [a, x] における g の全変動 g1 := Vxa g および g2 := g1 − g(x) を用いて
g ( x ) = g 1 ( x ) − g 2 ( x ) {\displaystyle g(x)=g_{1}(x)-g_{2}(x)}
と分解すれば、g1 および g2 は共に単調非減少となり、先ほどの構成を適用できるから、結局 g に関するルベーグ=スティルチェス積分を
∫ a b f d g = ∫ a b f d g 1 − ∫ a b f d g 2 {\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dg=\int _{a}^{b}f\,dg_{1}-\int _{a}^{b}f\,dg_{2}}
で定めることができる。