凸共役性
絶対値函数
f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=\left|x\right|}
の凸共役は
f ⋆ ( x ∗ ) = { 0 , | x ∗ | ≤ 1 ∞ , | x ∗ | > 1 {\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1\end{cases}}}
である。指数函数 f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=\,\!e^{x}} の凸共役は
f ⋆ ( x ∗ ) = { x ∗ ln  x ∗ − x ∗ , x ∗ > 0 0 , x ∗ = 0 ∞ , x ∗ < 0 {\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0\end{cases}}}
である。指数函数の凸共役とルジャンドル変換は、凸共役の定義域が厳密に大きいことを除いて一致する。ルジャンドル変換は正の実数に対してのみ定義されるためである。
F を確率変数 X の累積分布函数とする。このとき、部分積分により
f ( x ) := ∫ − ∞ x F ( u ) d u = E  [ max ( 0 , x − X ) ] = x − E  [ min ( x , X ) ] {\displaystyle f(x):=\int _{-\infty }^{x}F(u)\,du=\operatorname {E} \left[\max(0,x-X)\right]=x-\operatorname {E} \left[\min(x,X)\right]}
は次の凸共役を持つ。
f ⋆ ( p ) = ∫ 0 p F − 1 ( q ) d q = ( p − 1 ) F − 1 ( p ) + E  [ min ( F − 1 ( p ) , X ) ] = p F − 1 ( p ) − E  [ max ( 0 , F − 1 ( p ) − X ) ] . {\displaystyle f^{\star }(p)=\int _{0}^{p}F^{-1}(q)\,dq=(p-1)F^{-1}(p)+\operatorname {E} \left[\min(F^{-1}(p),X)\right]=pF^{-1}(p)-\operatorname {E} \left[\max(0,F^{-1}(p)-X)\right].}
次の表では、多くの有名な函数のルジャンドル変換で、有用な性質を持つものが示されている。
数学において凸共役(とつきょうやく、英: convex conjugation)とは、ルジャンドル変換の一般化である。ルジャンドル=フェンシェル変換あるいはフェンシェル変換としても知られる(アドリアン=マリ・ルジャンドルとウェルナー・フェンシェル(英語版)の名にちなむ)。