多元体
多元体において結合律の成立を課さずに、普通はより弱い結合性の条件(交代律や冪結合律など)を課したものを考えることもある。体上の多元環も参照。
実数体上で有限次元の可換単位的多元体は同型を除いてちょうど二つだけ存在する(それは実数体と複素数体で、いずれも結合的である)。非結合的な例を作るために、複素数の通常の乗法の代わりに、その複素共軛を取ったものとして、乗法 ∗ を
a ∗ b = a b ̄ {\displaystyle a*b={\overline {ab}}}
で定義すると、これにより実数体上二次元の可換で非結合的な多元体が得られるが、これは単位元を持たない。このほかにも可換非結合的な有限次元実多元体は無数に存在するが、しかしそれらは全て実二次元である。
実は、任意の有限次元可換実多元体の次元は 1 か 2 のいずれかであることが1940年に証明されており、ハインツ・ホップに因んでホップの定理と呼ばれる。証明には位相幾何学的な方法が用いられた。後に代数幾何学を用いた別証明が発見されているけれども、直接的な代数的証明というものは知られていない。代数学の基本定理をホップの定理の系として得ることもできる。
可換性の仮定を落とすことで、ホップは自身の結果を拡張し「任意の有限次元実多元体の次元は2の冪でなければならない」ということを示した。