余代数
A ∗ ⊗ A ∗ → ( A ⊗ A ) ∗ , f ⊗ g ↦ [ a ⊗ b ↦ f ( a ) g ( b ) ] {\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A)^{\ast },\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]}
が存在して A ∗ ⊗ A ∗ ≃ ( A ⊗ A ) ∗ {\displaystyle A^{\ast }\otimes A^{\ast }\simeq (A\otimes A)^{\ast }} となる。積と単位の双対
m ∗ : a → ( A ⊗ A ) ∗ ≃ A ∗ ⊗ A ∗ , u ∗ : A → K , f ↦ f ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}m^{\ast }&:a\to (A\otimes A)^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\u^{\ast }&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)\end{aligned}}}
によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に A {\displaystyle A} が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。
( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} 、 ( D , Δ ′ , ε ′ ) {\displaystyle (D,\Delta ',\varepsilon ')} を K {\displaystyle K} -余代数とする。 K {\displaystyle K} -線型写像 f : C → D {\displaystyle f:C\to D} が
Δ ′ ∘ f = ( f ⊗ f ) ∘ Δ , {\displaystyle \Delta '\circ f=(f\otimes f)\circ \Delta ,}
ε ′ ∘ f = ε {\displaystyle \varepsilon '\circ f=\varepsilon }
を満たすとき f {\displaystyle f} を余代数射(coalgebra morphism)という。これは以下の図式が可換であることと同値: