ハイパー演算子
つまり、
hyper n + 1  ( a , b ) = a ( n + 1 ) b = ( ⋯ ( a ( n ) a ) ( n ) ⋯ ( n ) a ) ( n ) a ⏟ b copies of a {\displaystyle \operatorname {hyper} _{n+1}\left(a,b\right)=a_{\left(n+1\right)}b=\underbrace {\left(\cdots \left(a^{\left(n\right)}a\right)^{\left(n\right)}\cdots ^{\left(n\right)}a\right)^{\left(n\right)}a} _{b{\text{ copies of }}a}}
である。
ただし、下付きハイパーn+1演算子はハイパーn演算子を使って簡単に表せる、たとえば
a ( 4 ) b = a ( 3 ) a ( 3 ) ( b − 1 ) = a a ( b − 1 ) {\displaystyle a_{\left(4\right)}b=a_{\left(3\right)}a_{\left(3\right)}\left(b-1\right)=a^{a^{\left(b-1\right)}}}
(冪乗法則より)なので、本質的に新しい演算ではなく、下付きハイパー演算子の用途はあまりない。