コクセター群
元 v がブリュア順序に関して元 u 以上であるというのを、v のある簡約表示が u のある簡約表示を部分文字列として含むときにいう(v のある簡約表示というのを v の任意の簡約表示としても同値である)。ただしこの場合は、使わない文字が(どの位置にでも)あってよい。右(左)弱順序の場合は、v ≥ u という関係を v の簡約表示が u の簡約表示を最初(最後)の部分に含むことと定める。語の長さを考えることによって、コクセター群は次数付き半順序集合(英語版)となる。これらの順序に対応するハッセ図も研究の対象となり、また生成元から決定されるケイリーグラフとも関係する。絶対順序は弱順序と同様に定義されるが、そのアルファベットはコクセター群の生成系の任意の共役の全体からなる。
例えば S3 の置換 (1 2 3) は、ただ一つの簡約表示 (1 2)(2 3) を持つから、ブリュア順序では (1 2) と (2 3) の上にあるけれども、弱順序に関しては (1 2) の上にあるだけということになる。
コクセター群 W は有限個の位数 2 の元で生成されるから、そのアーベル化は基本アーベル 2-群(つまり巡回群 Z/2Z のいくつかのコピーの直和に同型)である。これは W の一次のホモロジー群の言葉に読み替えられる。
二次のホモロジー群に関係するシューア乗因子 M(W) は、有限鏡映群については (Ihara & Yokonuma 1965) で、アフィン鏡映群については (Yokonuma 1965) で計算されている。(Howlett 1988) も参照。いずれの場合においても、そのシューア乗因子は基本アーベル 2-群である。有限またはアフィンのワイル群からなるいかなる無限族 {Wn} も M(W) の階数は n を無限大に飛ばした極限で安定である。