シチャーマンのサイコロ
と因数分解できる。 そして、等比数列の和の公式より
x n − 1 x − 1 = ∑ i = 0 n − 1 x i = 1 + x + ⋯ + x n − 1 {\displaystyle {\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}}
であるため、'n'面サイコロの母関数は
x + x 2 + ⋯ + x n = x x − 1 ∏ d ∣ n n Φ d ( x ) {\displaystyle x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}^{n}\Phi _{d}(x)}
と表せる。 ここで、 Φ 1 ( x ) = x − 1 {\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1} で約分すると、6面サイコロの母関数は
x Φ 2 ( x ) Φ 3 ( x ) Φ 6 ( x ) = x ( x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 − x + 1 ) {\displaystyle x\,\Phi _{2}(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)}
となる。
ここで、2個のサイコロを投げたときの出目が母関数同士の積になることを用いる。そして、その積を再度2個の母関数に分割した場合の係数に着目することで、サイコロの出目の組み合わせを導出できる。
また、このような正の整数のみで一般的なサイコロと同じ確率分布を持つようなサイコロは、シチャーマンのサイコロだけである。
シチャーマンのサイコロは、ニューヨーク州バッファローのジョージ・シチャーマンが発見し、1978年にマーティン・ガードナーがサイエンティフィック・アメリカンで初めて取り上げた。一般的なサイコロは反対側の面との和が7であるのに対し、シチャーマンのサイコロは反対側の面との和がそれぞれ5と9である。
後に、ガードナーはシチャーマンへの手紙において、とある知り合いのマジシャンがシチャーマンのサイコロのようなものが存在すると予期していたと述べた。
シチャーマンのサイコロを一般化すると3個以上のサイコロの組についてや、6面以外のサイコロに対しても考えられる(Broline (1979), Gallian and Rusin (1979), Brunson and Swift (1997/1998), Fowler and Swift (1999)を参照)