共円
任意の三角形において九点円と呼ばれる円を共有する九つの共円点が存在する。それら九点は: 各辺の中点、各頂垂線の足、各頂点と垂心の中点である。
レスターの定理の述べるところによれば、任意の不等辺三角形において、二つのフェルマー点、九点中心(英語版)(九点円の中心)、外心が共円である。
三角形の各辺に平行でルモワーヌ点を通るように三つの直線を引くならば、それら直線ともとの三角形の辺との交点として得られる六点は共円で、共有する円はルモワーヌ円と呼ばれる。
任意の三角形 T に付随するヴァン・ラムーン円(英語版)は、与えられた三角形の三つの中線によって T の内側に描かれる六つの三角形の外心をすべて周上に含む。
三角形の外心、ルモワーヌ点および最初のふたつのブロカール点は共円で、共有する円は外心とルモワーヌ点を結ぶ線分を直径とする。
より一般に、すべての頂点が共円であるような多角形は共円多角形または円内接多角形と言う。多角形が共円であるための必要十分条件は、そのすべての辺の垂直二等分線が共点直線族となることである
文献によっては共線点族(同一直線上に載っている点からなる集合)を共円点族の特別の場合とみなすこともある(これは直線を半径無限大の円と考える場合には自然な考えである)。このように考えることは、射影幾何学的な観点から、円に関する反転やメビウス変換を扱う場合には有意である(これらの変換は、この拡張した意味での共円性を保つ)。
複素数平面(複素数の実部および虚部をデカルト平面の x-座標および y-座標と見なしてできる平面)において、共円性はとくに簡単な定式化をもつ。複素数平面上の四点が共円または共線となるための必要十分条件は、それらの複比が実数となることである。