フーリエ級数
オイラーの公式を用いると、複素数型のフーリエ級数を得ることができる。f も複素数値に取ることができ
c n = 1 2 π ∫ − π π f ( t ) exp  ( − i n t ) d t , ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , ... ) {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\exp(-int)dt,\left(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots \right)}
を、f のフーリエ係数 (Fourier coefficient) といい、これを用いて書かれた多項式
∑ n = − m m c n e i n x {\displaystyle \sum _{n=-m}^{m}c_{n}e^{inx}}
を、m 次のフーリエ多項式 (Fourier polynomial) という。
フーリエ級数は、関数に対して定義されるフーリエ係数を用いて
a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k cos  k x + b k sin  k x ) {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx)}
の形に表される三角級数のことである。熱方程式を発見したフーリエは、平衡状態における熱方程式に注目し、適当な境界条件の下で二変数のラプラス方程式
( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) φ ( x , y ) = 0 {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}\right)\phi (x,y)=0}
に帰着させて解を求めようとした。この時、フーリエは、
∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k + 1 cos  ( ( 2 k + 1 ) x ) = π 4 , ( − π 2 < x < π 2 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over 2k+1}\cos((2k+1)x)={\pi \over 4},\left(-{\pi \over 2}<x<{\pi \over 2}\right)}