連続 (数学)
また、関数 f(x) がある区間 I で連続であるとは、I に属するそれぞれの点で連続であることを言う:
∀ x 0 ∈ I , ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∈ I [ | x − x 0 | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( x 0 ) | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }x_{0}\in I,{}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x\in I\ [\ |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ]}
関数 f(x) が多変数であったり、またはベクトル値関数である場合にも、基本的には上の絶対値の記号をノルム(長さ)に変更すれば同じようにして連続性を定義することができる。関数空間のような無限個の変数で表される対象や、さらに抽象的な位相空間上で定義された写像についての連続性は近傍系やフィルター、有向点族(ネット)などの概念を通じて定義される。
ガウス記号 [x] によって実数から実数への関数 f(x) = [x] を定義しよう。この関数は、各整数の点で不連続である。この場合、関数のグラフにはギャップができる。ギャップのある不連続点を第一種不連続点という。これは正確には、a+, a− の両側に極限が存在するが、両者の極限が等しくならないようなものである。これは不連続点の中では最も連続に近いものである。
sin1/x は x = 0 での値をどのように定めてもこの点で不連続になる。これは第一種不連続点ではない。
x が有理数なら 1、無理数なら 0 の値をとる関数 d(x) をディリクレの関数と呼ぶ。これは R 上の全ての点で不連続である。単純だが極端な不連続関数の例として積分論などの議論で重宝される。
関数 f を、x が無理数の場合は f(x) = 0 と定義し、有理数の場合は x = p/q(p は整数、q は正の整数でこれらは互いに素)と表し、この q を使って f(x) = 1/q と定義すると、f は無理数では連続、有理数では不連続となる。