自励系
(x1, x2, ..., xn) ∈ R の相空間に対して、(x1, x2, ..., xn, xn+1) ∈ R × R (あるいは (x1, x2, ..., xn, t) ∈ R × R)で張られる 1 次元高い空間を特に拡大相空間と呼ぶ。非自励系をこのように自励系に変換した方が、軌道の時間依存性が無くなり、解の一意性についても見通しが良い。
非自励系は上記のように常に自励系の形に書き換え可能なため、自励系の形の方が一般性が高いといえる。しかし、非自励系には
d x n + 1 d t = 1 {\displaystyle {\dfrac {dx_{n+1}}{dt}}=1}
の存在によって
( d x 1 d t , d x 2 d t , ⋯ , d x n d t , d x n + 1 d t ) ⊤ = 0 {\displaystyle \left({\dfrac {dx_{1}}{dt}},\ {\dfrac {dx_{2}}{dt}},\cdots ,{\dfrac {dx_{n}}{dt}},\ {\dfrac {dx_{n+1}}{dt}}\right)^{\top }=0}
を満たす平衡点が存在しない。非自励系の軌道は、拡大相空間上で t 軸方向へ常に流れ続ける。このため、自励系と非自励系では解析のアプローチを変える必要がある。
{ d x d t = v d v d t = − ω x + ε x 3 − γ v + B sin  Ω t {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=v\\{\dfrac {dv}{dt}}=-\omega x+\epsilon x^{3}-\gamma v+B\sin \Omega t\end{cases}}}
は 2 次元の非自励系の例である。
1 階連立微分方程式に限らずに、n 階の微分方程式
f ( t , x , d x d t , ⋯ , d n x d t n ) = 0 {\displaystyle f\left(t,x,{\frac {dx}{dt}},\cdots ,{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}\right)=0}
においても、方程式に独立変数 t が陽に含まれないものを自励系、t が陽に含まれるものを非自励系と呼ぶ。任意の 1 変数の n 階微分方程式は、n 変数の 1 階連立微分方程式に一般的に変換できる。
自励系という言葉は、振動学の自励振動に由来するが、自励系は自励振動を起こす系をとくに意味するわけではない。振動学における自励振動は時間(独立変数)t を含む強制項が存在しない方程式で記述されるため、それに関連して上記の種類の微分方程式が自励系と呼ばれるようになった。
独立変数を t ∈ R とし、n 個の従属変数 (x1, x2, ..., xn) ∈ R に関する一般な1階連立常微分方程式を、正規形で
{ d x 1 d t = f 1 ( t , x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) d x 2 d t = f 2 ( t , x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ⋮ d x n d t = f n ( t , x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx_{1}}{dt}}=f_{1}(t,\ x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})\\{\dfrac {dx_{2}}{dt}}=f_{2}(t,\ x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})\\\vdots \\{\dfrac {dx_{n}}{dt}}=f_{n}(t,\ x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})\\\end{cases}}}
と表す。これをベクトル記号でひとまとめに表すと、次のようになる。
d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {x}}}{dt}}=f(t,\ {\boldsymbol {x}})}