部分群
一方、部分群 A と B の和集合が部分群になるのは、 A と B の一方が他方を包含している場合のみに限られる。たとえば、2 と 3 はともに加法群としての 2Z と 3Z の和集合に含まれるが、それらの和である 5 はこの和集合には属さない。別の例では、平面上のX軸とY軸(加法について考える)がある。それぞれは部分群をなすが、それらの和集合は部分群にならない。ついでながら、これら二つの部分群の共通部分は、単位元である原点のみの部分群となる。
S が G の部分集合ならば S を含む最小の部分群が存在する。これは S を含む部分群すべての共通部分をとることによって求められる。これを記号 ⟨S⟩ で表し、「 S から生成される部分群」とよぶ。 G のある元が ⟨S⟩ に含まれるという事は、その元は S の元および S の元の逆元の有限個の積で表されるという事である。
G の任意の元 a は巡回群 ⟨a⟩ を生成する。 ⟨a⟩ が適当な正の整数 n に対する Z/nZ と同型であるならば、n は a = e を満たす最小の正整数である。この n を a の位数 (order) という。もし ⟨a⟩ が Z と同型ならば、 a は無限位数を持つ、あるいは a の位数は無限大であるという。
与えられた群の部分群全体の成す集合は、包含関係に関して完備束になる。これを部分群の束と言う(この束の下限は通常の集合論的な意味での共通部分だが、上限は集合論的な意味での和集合ではなく、それから生成される部分群である)。G の単位元を e と書けば、単位群 {e} が G の最小の部分群であり、また最大の部分群は G そのものである。
群 G の部分集合 H が G の部分群(英: subgroup)であるとは、 H が G の演算に関して群になることである——より正確に表現すると、 H が G の部分群であるとは、G 上の演算を制限して得られる H 上の演算に関して H が群になることである。この関係は通常、
H ≤ G {\displaystyle H\leq G}
という記号で表現され、「 H は G の部分群である」と読む。
G の真部分群(英: proper subgroup)とは、部分群 H が G の真部分集合である(つまり H ≠ G である)ことであり、この関係は H < G という記号で表現される。任意の群 G に対し、G 自身と単位元のみからなる集合 {e} は常に G の部分群である。 H が G の部分群であるとき、 G は H の拡大群であると表現する場合がある。
G が任意の半群であるときも、G の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 G は順序対 (G, ∗) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、G を台となる集合としてその上に演算 "∗" が代数的構造(あるいはもっとほかの構造)を定めるということを強調するためである。
以下では、通常の慣習に倣って ∗ を省略し、積 a ∗ b を単に ab と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。