曲線
(消去理論(英語版)の任意の道具を使って)変数を消去することにより、代数曲線は平面代数曲線の上に射影することができるけれども、その際に尖点や二重点などの特異点が生じる可能性がある。
平面代数曲線は射影平面内の曲線として計算することもできる。曲線が全次数 d の多項式 f で定義されているとき、w⋅f(u/w, v/w) は斉次次数 d の斉次多項式 g(u, v, w) に簡略化できる。g(u, v, w) = 0 を満たす u, v, w の値はもとの曲線を完備化した射影曲線上の曲線上の点の斉次座標を与えており、特にもともとの曲線上の点は w が非零であるような点として表される。例えばフェルマー曲線(英語版) u + v = w はそのアフィン形が x + y = 1 で与えられる。この斉次化の過程はより高次元の空間内の曲線に対しても同様に定義できる。
代数曲線の重要な例として、円錐曲線は次数 2, 種数 0 の非特異曲線であり、楕円曲線は数論で扱われ暗号理論に重要な応用を持つ種数 1 の非特異曲線である。標数 0 の体における代数曲線はほとんどすべての場合に複素数上で考えるから、代数幾何学における代数曲線は実曲面と見ることもできる。特に、非特異な複素射影代数曲線はリーマン面と呼ばれる。
Length  ( γ ) := sup { ∑ i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( t i − 1 ) ) : n ∈ N , a = t 0 < t 1 < ... < t n = b } {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma ):=\sup \!{\Big \{}\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1})):n\in \mathbb {N} ,a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b{\Bigr \}}}
と定義できる。ただし、上限 sup は任意の自然数 n と [a, b] の任意の分割に亘ってとる。
求長可能曲線 (rectifiable curve) とは長さが有限な曲線(有限長曲線)を言う。曲線 γ: [a, b] → X が自然(または単位速さもしくは速さ 1)あるいは弧長パラメータを持つとは、任意の t1, t2 ∈ [a, b] (t1 ≤ t2) に対して
Length  ( γ | [ t 1 , t 2 ] ) = t 2 − t 1 {\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma |_{[t_{1},t_{2}]})=t_{2}-t_{1}}