量子力学の数学的定式化
.. , d ∀ ψ ∈ D : [ A j , B k ] ψ = i ħ δ j , k ψ , {\displaystyle \forall j,k=1,\ldots ,d~\forall \psi \in D~:~[A_{j},B_{k}]\psi =i\hbar \delta _{j,k}\psi ,\quad } [ A j , A k ] ψ = 0 , [ B j , B k ] ψ = 0 {\displaystyle [A_{j},A_{k}]\psi =0,\quad [B_{j},B_{k}]\psi =0}
(規約性) A j ( K ∩ D o m ( A j ) ) ⊂ K , {\displaystyle A_{j}({\mathcal {K}}\cap \mathrm {Dom} (A_{j}))\subset {\mathcal {K}},\quad } B k ( K ∩ D o m ( B k ) ) ⊂ K {\displaystyle B_{k}({\mathcal {K}}\cap \mathrm {Dom} (B_{k}))\subset {\mathcal {K}}} が任意の j , k = 1 , ...
定義 ― λがレゾルベント集合ρ(A)に属していれば A − λ I : D o m ( A ) → H {\displaystyle A-\lambda I~:~\mathrm {Dom} (A)\to {\mathcal {H}}} は全単射なので、A-λIの逆写像
R λ := ( A − λ I ) − 1 : H → D o m ( A ) ⊂ H {\displaystyle R_{\lambda }:=(A-\lambda I)^{-1}~:~{\mathcal {H}}\to \mathrm {Dom} (A)\subset {\mathcal {H}}}
が定義できる。RλをAのλにおけるレゾルベントという。
次の事実が知られている:
定理 ― Aが閉作用素の場合、Rλは必ず有界である。
なお本稿ではAが閉作用素の場合に限定してレゾルベント集合を定義したが、Aが閉作用素でない場合にレゾルベント集合の定義を拡張する際は、A-λIが全単射になり、しかもRλが有界になるλの全体をレゾルベント集合と定義する。
L空間を定義するには、測度論の概念を必要とする。そこでまず測度論を直観的説明する。厳密な説明は当該項目を参照されたい。
測度空間Xとは、Xの部分集合の「大きさ」の概念が定義された空間で、「大きさ」の具体例としては元の個数、面積、体積などがある。測度空間上定義された「大きさ」のことを測度という。Xの全ての部分集合に測度が定義されている必要はなく、測度が定義可能な部分集合を可測な部分集合という。
測度空間上では積分を定義可能な事が知られている。ただし測度の場合と同様、全ての関数に対してその積分が定義できるわけではない。積分概念を定義可能な関数の事を可測関数という。
測度空間X上の2つの可測関数ψ、φが
Xの可測部分集合AでAの測度が0であるものが存在し、 ∀ x ∈ X ∖ A : ψ ( x ) = φ ( x ) {\displaystyle \forall x\in X\setminus A~:~\psi (x)=\varphi (x)}
を満たすとき、ψとφはほとんど至るところ等しいといい、
ψ ( x ) = φ ( x ) {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)} a.e.
と表記する(「a.e.」は「almost everywhere」の略)。
e x p ( − i s B j ) e x p ( − i t B k ) e x p ( i s B j ) e x p ( i t B j ) = I . {\displaystyle \mathrm {exp} (-isB_{j})\mathrm {exp} (-itB_{k})\mathrm {exp} (isB_{j})\mathrm {exp} (itB_{j})=I.}
通常の正準交換関係の場合には、 A j , B k {\displaystyle A_{j},B_{k}} の定義域の共通部分が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で稠密でないとそもそも交換子が定義できないという問題を抱えていたが、ヴァイルの関係式の場合、 A j , B k {\displaystyle A_{j},B_{k}} を指数関数の上に乗せた結果出来上がるユニタリ変換を取り扱っており、しかもBLT定理よりこれらのユニタリ変換の定義域は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 全体であるので、こうした定義域の問題は起こらない。
正準交換関係をヴァイル関係式で表す事を、正準交換関係のヴァイル表現という。なお、一般には通常の正準交換関係よりもヴァイルの関係式の方が強い制約条件であり、両者は同値ではない。
定理 (リースの表現定理) ― α : H → C {\displaystyle \alpha ~:~{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} } を有界線形作用素とすると、以下の性質を満たす ψ ∈ H ∗ {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}^{*}} が一意に存在する
任意の χ ∈ H {\displaystyle \chi \in {\mathcal {H}}} に対し、 α ( χ ) = ⟨ ψ , χ ⟩ {\displaystyle \alpha (\chi )=\langle \psi ,\chi \rangle }
なお H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が有限次元であれば上に述べた事実は自明であるが、無限次元であってもこの事実が成り立つ所にこの定理の主眼がある。以上の事実から、ブラベクトルを以下のように特徴づけられる事がわかる:
系 ― ブラベクトルと複素数値の有界線形作用素は1対1に対応する。
位置作用素 Q j ( ψ ) := x j ⋅ ψ {\displaystyle Q_{j}(\psi ):=x_{j}\cdot \psi } と運動量作用素 P j ( ψ ) = − i ħ ∂ ∂ x j ( ψ ) {\displaystyle P_{j}(\psi )=-i\hbar {\partial \over \partial x_{j}}(\psi )} は、状態空間 H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} の稠密部分集合 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} で定義された作用素である。よってこれらの交換子も H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の稠密部分集合 S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} 上で定義可能であり、以下の関係式(正準交換関係)を満たす。ここでIは単位行列であり、 δ j , k {\displaystyle \delta _{j,k}} はクロネッカーのデルタである:
∀ j , k = 1 , ...
ΩをRの領域とし、ψ : Ω → Cを局所可積分関数とするとき、C∞0(Ω)上の線形汎関数Tψを
T ψ : C 0 ∞ ( Ω ) → C {\displaystyle T_{\psi }~:~C_{0}^{\infty }(\Omega )\to \mathbf {C} } 、 φ ↦ ∫ R d φ ( x ) ψ ( x ) d x {\displaystyle \phi \mapsto \int _{\mathbf {R} ^{d}}\phi (x)\psi (x)\mathrm {d} x}
により定義することで、局所可積分関数ψにC∞0(Ω)上の線形汎関数Tψを対応させる事ができる。この対応関係が単射な事は容易に確かめられるので、ψとTψを自然に同一視することにすると、C∞0(Ω)上の線形汎関数の集合は局所可積分関数の集合を部分集合として含むことになるので、C∞0(Ω)上の線形汎関数を局所可積分関数よりも広いクラスの「関数」であるとみなせる。そこでC∞0(Ω)上の線形汎関数で「連続」なものの事を「シュワルツ超関数」、あるいは単に「超関数」と呼ぶことにする。
定義 (超関数) ― 線形汎関数
T : C∞0(Ω)→R
で連続なものをシュワルツ超関数、あるいは単に超関数という。
量子力学では以下を仮定する:
仮定 (波束の収縮に関する仮定) ― 物理量Aを観測した観測値λがAの固有値であれば、観測直後の状態ベクトルはAのλに対する固有ベクトルになる。
上述の仮定では観測値が固有値、すなわち点スペクトルに属していた場合の事を述べているが、観測値が連続スペクトルに属していた場合については何も規定していない事に注意されたい。
本節の目標は、非有界作用素のもう一つのスペクトル分解方法であるスペクトル測度によるスペクトル分解を定式化する事である。まず、スペクトル測度の概念を定式化する動機を与える為に、有限次元における固有値分解を復習する。
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を有限次元のヒルベルト空間とし、Aを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素とする。有限次元の場合、自己共役作用素は必ず固有値分解可能な事が知られている。すなわちAの固有値をλ1、...、λnとし、これらの固有値に対応する固有空間をV1、...、Vnとすると、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元ψは必ず
ψ=ψ1+...+ψn、 ψ1∈V1、...、ψn∈Vn
と表現でき、
Aψ=λ1ψ1+...+λnψn
が成立する。そこで H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元のVjへの射影変換をPjとすると、明らかに
A = ∑ j = 1 n λ j P j {\displaystyle A=\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}P_{j}}
S ′ ( R d ) → D ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})\to {\mathcal {D}}'(\mathbf {R} ^{d})} 、 T ↦ T | C 0 ∞ ( R d ) {\displaystyle T\mapsto T|_{C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})}}
を考える事ができる。この写像は単射である事が知られているので、この写像により自然に S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} を D ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbf {R} ^{d})} の部分集合とみなすことができる。
d次のハイゼンベルク群とは、
H d = R d × R d × R {\displaystyle \mathbf {H} _{d}=\mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} }
に以下のような積を入れる事で定義されるリー群である:
( p , q , c ) ⋅ ( p ′ , q ′ , c ′ ) := ( p + p ′ , q + q ′ , c + c ′ + 1 2 ( p q ′ − q p ′ ) ) {\displaystyle (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,c)\cdot (\mathbf {p} ',\mathbf {q} ',c'):=(\mathbf {p} +\mathbf {p} ',\mathbf {q} +\mathbf {q} ',c+c'+{1 \over 2}(\mathbf {p} \mathbf {q} '-\mathbf {q} \mathbf {p} '))}
ここで p q ′ {\displaystyle \mathbf {p} \mathbf {q} '} 、 q p ′ {\displaystyle \mathbf {q} \mathbf {p} '} は R d {\displaystyle \mathbf {R} ^{d}} 上の内積である。
i ħ d d t ψ ( t ) {\displaystyle i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\psi (t)} = i ħ lim t → 0 e x p ( − i t ħ H ) ( ψ ) − ψ t {\displaystyle =i\hbar \lim _{t\to 0}{\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)(\psi )-\psi \over t}} = H ( ψ ) {\displaystyle =H(\psi )}
が成立する。さらに作用素解析の定義より、
e x p ( 0 H ) {\displaystyle \mathrm {exp} \left(0H\right)} = ∫ σ ( H ) e x p ( 0 λ ) d μ ( ψ ) {\displaystyle =\int _{\sigma (H)}\mathrm {exp} (0\lambda )\mathrm {d} \mu (\psi )} = ∫ σ ( H ) d μ ( ψ ) = i d {\displaystyle =\int _{\sigma (H)}\mathrm {d} \mu (\psi )=\mathrm {id} }
である。最後の等号は作用素値積分の定義より従う。よって
ψ ( 0 ) = e x p ( 0 H ) ( ψ ) = ψ {\displaystyle \psi (0)=\mathrm {exp} \left(0H\right)(\psi )=\psi }
となり、ψ(t)はシュレディンガー方程式の解となる。
本節では ( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} に付随するゲルファントの三つ組に対するスペクトル定理について述べる。このスペクトル定理は、 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} が核型フレシェ空間、もしくはより一般に核型局所凸空間の場合に対して成立する。核型局所凸空間の定義はテクニカルなものなので、本項ではその定義について述べるのは避けるが、重要なのは以下の集合がいずれも核型局所凸空間になるという事である:
C 0 ∞ ( Ω ) {\displaystyle C_{0}^{\infty }(\Omega )} 、ここでΩはRの開集合
S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})}
定理 (ゲルファントの三つ組によるスペクトル定理) ― G {\displaystyle {\mathcal {G}}} を核型局所凸空間であるとし、Aを ( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} と両立する自己共役作用素とする。このとき、Aは ( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} に対して一般化固有ベクトルの完全系を持つ。