グロモフ・ウィッテン不変量
グロモフ・ウィッテン不変量は、一般相対論と量子力学を統一しようとする試みである物理学の分野である弦理論で興味を持たれている。この理論では、基本粒子で始まる宇宙の万物が、小さな弦(英語版)から作られているとする。弦が時空の中を移動するとき、軌跡として曲面ができ、この極限を弦のワールドシートと呼ぶ。不幸にも、そのようなパラメトライズされた曲面のモジュライ空間は、すくなくとも前提的には、無限次元である。この空間上には適切な測度が知られていないので、経路積分が厳密に定義できない。
状況は、閉じたA-モデルとして知られる変形で改善される。ここでは 6次元の時空であり、シンプレクティック多様体を形成していて、ワールドシートが必然的に擬正則曲線によりパラメトライズされ、有限次元のモジュライ空間となることが判明している。従って、GW不変量は、モジュライ空間上の積分として、理論の経路積分である。特に、種数 g での A-モデルの自由エネルギーは、種数 g のGW不変量の母函数である。
, α n ) := G W g , n X , A ⋅ β ⋅ α 1 ⋅ ⋯ ⋅ α n ∈ H 0 ( Y , Q ) , {\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}(\beta ,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}):=GW_{g,n}^{X,A}\cdot \beta \cdot \alpha _{1}\cdot \cdots \cdot \alpha _{n}\in H_{0}(Y,\mathbf {Q} ),}
となるとする。ここに ⋅ {\displaystyle \cdot } は、Y の有理ホモロジーの交叉積を表す。この値は有理数であり、与えられたクラスに対しグロモフ・ウィッテン不変量である。この数は、擬正則曲線の「仮想的」数を与える(クラス A の中の種数 g でドリーニュ・マンフォード空間の β-部分の領域を持っている) n 個のマークされた点は αi を表しているサイクルへ写像される。
簡単に言うと、GW不変量はどのくらい多くの曲線が X の n 個の選ばれた部分多様体と交叉するのかの数を数える。しかしながら、数の「仮想的」性質のために、数自体が期待されるような自然数である必要はない。安定写像の空間はオービフォールド(英語版)であり、イソトロピーの点は不変量に対して非整数の値で寄与する。
この構成には膨大な変形があり、ホモロジーに代わりコホモロジーが使われたり、積分が交叉となったり、ドリーニュ・マンフォードの空間からのプルバックされたチャーン類はや、また、積分であったりする。
{\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {ev} :{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,A)\to Y\\\mathrm {ev} (C,x_{1},\cdots ,x_{n},f)=\left(\mathrm {st} (C,x_{1},\cdots ,x_{n}),f(x_{1}),\cdots ,f(x_{n})\right).\end{cases}}}
評価写像は、M の基本類を次によって表される Y の d-次元有理ホモロジークラスへ写像する。
G W g , n X , A ∈ H d ( Y , Q ) . {\displaystyle GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}(Y,\mathbf {Q} ).}
ある意味で、このホモロジー類はデータ g と n と A に対する X のグロモフ・ウィッテン不変量である。これはシンプレクティック多様体 X のシンプレクティック同相の不変量である。
グロモフ・ウィッテン不変量を幾何学的に理解するためには、β を M ̄ g , n {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}} の中のホモロジー類とし、α1, ..., αn を X の中のホモロジー類として、 β, α1, ..., αn の余次元の和が、d に等しくなるようにする。これらはキネットの公式(英語版)(Künneth formula)により、Y のホモロジー類を引き起こす。
G W g , n X , A ( β , α 1 , ...