剛体
直交軸の定理とは、剛体が薄い平板の時、この平面での互いに直交する軸の周りの慣性モーメントの和は、2つの軸の交点で面に直交する軸の周りの慣性モーメントに等しくなるという定理である。
ここで、平面内の2つの軸をx軸、y軸とすると、これらの軸の周りの慣性モーメントは次のようになる。ここでρは面密度であり、積分領域は剛体上の全平面をとる。
I x = ∫ ρ y 2 d x d y , I y = ∫ ρ x 2 d x d y ( d m = ρ d x d y ) {\displaystyle I_{x}=\int \rho y^{2}\,dx\,dy,\quad I_{y}=\int \rho x^{2}\,dx\,dy\,\,\,\,\,(dm=\rho \,dx\,dy)}
この和は、
I x + I y = ∫ ρ ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ ρ r 2 d x d y {\displaystyle I_{x}+I_{y}=\int \rho (x^{2}+y^{2})\,dx\,dy=\int \rho r^{2}\,dx\,dy}
となるが、rはz軸からの距離でありちょうどz軸の周りの慣性モーメントとなっている。
I x + I y = I z {\displaystyle I_{x}+I_{y}\,=\,I_{z}}