臨界点 (数学)
ガウス・ルーカスの定理(英語版)により、複素平面における多項式関数の臨界点はすべて関数の根の凸包内にある。したがって実根しかない多項式関数に対して、すべての臨界点は実であり、最大の根と最小の根の間にある。
Sendov の予想(英語版)は、関数のすべての零点が複素平面の単位円板に入っていれば、任意の与えられた零点から単位距離内に少なくとも1つの臨界点があるという主張である。
連続微分可能な実多変数関数(英語版)に対して、点 P(入力変数の値の組、R の点)が臨界点であるとは、関数の全ての偏微分が P において零であること、あるいは同じことであるが、その勾配が零であることをいう。臨界値は臨界点における関数の値である。
関数が滑らかあるいは少なくとも2回連続微分可能ならば、臨界点で極大値か極小値をとるか停留点である。二階微分のヘッセ行列の固有値を考えることで異なる場合を区別できる。
ヘッセ行列が非特異である臨界点は非退化といわれ、ヘッセ行列の固有値の符号が関数の局所的な振る舞いを決定する。一変数の関数の場合には、ヘッセ行列は単に 1 × 1 行列と見た二階微分であり、それが非特異であることと 0 でないことは同値である。この場合、非退化臨界点では、二階微分の正負に応じて極小または極大である。二階微分が零ならば、臨界点は一般に変曲点であるが、undulation point であるかもしれず、このとき極値を取る。
n 変数の関数に対して、臨界点におけるヘッセ行列の負の固有値の個数は臨界点の指数 (index) と呼ばれる。非退化臨界点で極大値をとることと指数が n であること、あるいはおなじことだがヘッセ行列が負定値であることは同値である。指数の他の値に対しては、非退化臨界点は鞍点である、つまりある方向には極大でありある方向には極小である。