算術級数定理
d , k {\displaystyle d,k} を互いに素な整数とするとき、算術級数 d n + k {\displaystyle dn+k} が無数の素数を含むことを示す。エル函数のオイラー乗積表示の対数を取り、
log  L ( s , χ ) = log  ∏ p 1 1 − χ ( p ) p − s = ∑ p ∑ n ≥ 1 χ ( p n ) p n s ( s > 1 ) = ∑ p χ ( p ) p s + O ( 1 ) = ∑ j = 1 d χ ( j ) ∑ p ≡ j 1 p s + O ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\log {L(s,\chi )}&=\log \prod _{p}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}=\sum _{p}\sum _{n\geq 1}{\frac {\chi (p^{n})}{p^{ns}}}\qquad (s>1)\\&=\sum _{p}{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}+O(1)\\&=\sum _{j=1}^{d}\chi (j)\sum _{p\equiv {j}}{\frac {1}{p^{s}}}+O(1)\\\end{aligned}}}