クニーズニク・ザモロドチコフ方程式
共形場理論において、上の定義に従うと、プライマリ場の n-点相関函数はKZ方程式を満す。特に、 s l 2 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}} と非負である整数 k に対し、スピン j 表現(英語版)(spin j representation) ( j = 0, 1/2, 1, 3/2,.., k/2) に対応する、k + 1 個のプライマリ場 Φ j ( z j ) {\displaystyle \Phi _{j}(z_{j})} が存在する。表現 ( ρ , V i ) {\displaystyle (\rho ,V_{i})} に対するプライマリ場 Φ j ( z j ) {\displaystyle \Phi _{j}(z_{j})} の相関函数 Ψ ( z 1 , ... , z n ) {\displaystyle \Psi (z_{1},\dots ,z_{n})} は、テンソル積 V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V n {\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}} に値をとり、KZ方程式は、
∑ s ⟨ X s ( z ) Φ ( z 1 , v 1 ) ⋯ Φ ( X s v i , z i ) ⋯ Φ ( v n , z n ) ⟩ = ∑ j ∑ s ⟨ ⋯ Φ ( X s v j , z j ) ⋯ Φ ( X s v i , z i ) ⋯ ⟩ ( z − z j ) − 1 {\displaystyle \sum _{s}\langle X_{s}(z)\Phi (z_{1},v_{1})\cdots \Phi (X_{s}v_{i},z_{i})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\rangle =\sum _{j}\sum _{s}\langle \cdots \Phi (X_{s}v_{j},z_{j})\cdots \Phi (X_{s}v_{i},z_{i})\cdots \rangle (z-z_{j})^{-1}}
を得る。一方、
∑ s X s ( z ) Φ ( X s v i , z i ) = ( z − z i ) − 1 Φ ( ∑ s X s 2 v i , z i ) + ( k + g ) ∂ ∂ z i Φ ( v i , z i ) + O ( z − z i ) {\displaystyle \sum _{s}X_{s}(z)\Phi \left(X_{s}v_{i},z_{i}\right)=(z-z_{i})^{-1}\Phi \left(\sum _{s}X_{s}^{2}v_{i},z_{i}\right)+(k+g){\partial \over \partial z_{i}}\Phi (v_{i},z_{i})+O(z-z_{i})}