オイラーの規準
数論において、オイラーの規準(英語:Euler's criterion)は、ある整数が素数を法とする平方剰余であるか否かを決定するための式である。
p を奇素数とし、a を p と互いに素である整数とする。このとき
a p − 1 2 ≡ { 1 ( mod p ) if there is an integer x such that a ≡ x 2 ( mod p ) , − 1 ( mod p ) if there is no such integer. {\displaystyle a^{\tfrac {p-1}{2}}\equiv {\begin{cases}\;\;\,1{\pmod {p}}&{\text{ if there is an integer }}x{\text{ such that }}a\equiv x^{2}{\pmod {p}},\\-1{\pmod {p}}&{\text{ if there is no such integer.}}\end{cases}}}
オイラーの規準は、ルジャンドル記号を使用して簡潔に再定式化することができる。
( a p ) ≡ a p − 1 2 ( mod p ) . {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\tfrac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.}
この規準はレオンハルト・オイラーによる1748年の論文に初めて登場した。