分離拡大
F[X] の多項式 f が分離多項式 (separable polynomial) であるとは、F[X] における f のすべての既約因子が相異なる根をもつということである。多項式の分離性は係数をどの体で考えているかに依存する。例えば、g が F[X] の非分離多項式で、g の F 上の分解体 E を考えると、E[X] における g の任意の既約因子は線型でありしたがって相異なる根をもつので、g は E[X] において分離的である必要がある。これにもかかわらず、F[X] の分離多項式 h は F の すべての 拡大体上で分離的でなければならない。
F[X] の元 f を既約多項式とし f′ をその形式微分とする。このとき以下の条件は f が分離的である、すなわち相異なる根をもつための同値な条件である。
E ⊃ F および α ∈ E であれば、(X − α) は E[X] において f を割らない。
K ⊃ F が存在して f は K において deg(f) 個の根をもつ。
f と f′ は F のどの拡大体においても共通根をもたない。
f′ は零多項式でない。
上記最後の条件から、既約多項式が相異なる根をもたなければ、その微分は 0 でなければならない。次数が正の多項式の形式微分が 0 になるのは体が素数標数のときに限るから、既約多項式が相異なる根をもたないためにはその係数は素数標数の体に入っていなければならない。