自己回帰和分移動平均モデル
( 1 − ∑ i = 1 p φ i L i ) ( 1 − L ) d X t = ( 1 + ∑ i = 1 q θ i L i ) ε t {\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)(1-L)^{d}X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}
したがって、d個の単位根を持つ自己回帰多項式を持つ A R M A ( p + d , q ) {\displaystyle \mathrm {ARMA} (p+d,q)} プロセスの特殊なケースと考えることができる。 このため、d > 0 のARIMAモデルで正確に記述されるプロセスは広義の定常ではない。
上記は次のように一般化できる。
( 1 − ∑ i = 1 p φ i L i ) ( 1 − L ) d X t = δ + ( 1 + ∑ i = 1 q θ i L i ) ε t . {\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)(1-L)^{d}X_{t}=\delta +\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}.\,}
これは、ドリフト δ 1 − ∑ φ i {\displaystyle {\frac {\delta }{1-\sum \varphi _{i}}}} を伴う A R I M A ( p , d , q ) {\displaystyle \mathrm {ARIMA} (p,d,q)} プロセスを定義する。
対して。
A R I M A ( 0 , 0 , q ) {\displaystyle \mathrm {ARIMA} (0,0,q)} の場合、 y t = e t + ∑ i = 1 q θ i e t − i . {\displaystyle y_{t}=e_{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}e_{t-i}.}
v T + h ∣ T = σ ^ 2 [ 1 + ∑ i = 1 h − 1 θ i e t − i ] , for h = 2 , 3 , ... {\displaystyle v_{T+h\,\mid \,T}={\hat {\sigma }}^{2}\left[1+\sum _{i=1}^{h-1}\theta _{i}e_{t-i}\right],{\text{ for }}h=2,3,\ldots }
一般に、ARIMAモデルからの予測区間は、予測期間が長くなるにつれて広がる。