多変数多項式
簡単のため、n 変数多項式環 A[X1, ..., Xn] を考える。すると、任意の可換 A-多元環 B と B の元の n-組 (b1, ..., bn) に対し、評価準同型と呼ばれる A[X1, ..., Xn] から B への一意的な A-多元環準同型が存在して、各 Xi は同じ添字の bi に写る。この性質と準同型定理を併せれば、有限型(フランス語版) A-可換多元環が適当な n に対する多項式環 A[X1, ..., Xn] の剰余環に同型となることが示される。したがって、そのような多元環からほかの可換 A-多元環への準同型の構成にそれは本質的である。
より一般に、多項式環は以下の普遍性によって特徴付けられる:
A が B の部分環のとき、上記の評価準同型の像は A および bs の生成する B の部分環 A[(bs)s∈S] である。 可換環 C に対し、任意の準同型 ψ: A → C は普遍性により一意な準同型 φ: A[(Xs)s∈S] → C[(Xs)s∈S] に延長されて、φ(Xs) = Xs (∀s ∈ S) が成り立つ。これは不定元の集合を固定した多項式環の間の係数環の取り換えに関する函手性に読み替えることができる。したがって、φ の像は ψ の像を D として D[(Xs)s∈S] であり、φ の核は ψ の核の生成するイデアルに一致する。
P(X) = X + a1X + ⋯ + an を次数 n > 0 で体に係数を持つ多項式とする。t1, ..., tn を P(X) の分解体における P(X) の根(重複があってもよい)とすれば、Si(t1, ..., tn) = (–1)⋅ai (i = 1, ..., n) が成り立つ。
任意の対称多項式は、基本対称多項式の多項式に一意的に書くことができる。
代数学における適当な単位的可換環 A に係数を持つ多変数多項式(たへんすうたこうしき、英: multivariable polynomial; multivariate polynomial, 仏: polynôme en plusieurs indéterminées, 多元多項式)は、不定元 X に関する一変数多項式環 A[X] を一般化する A-結合多元環の元を言う。有限個の不定元に関する多項式環 A[X1, ..., Xn] は n に関して帰納的に構成できる。すなわち、この多項式環は、一つの不定元 Xn の多項式環 A[X1, ..., Xn–1] に係数を持つ多項式全体の成す環である。任意の添字集合 I(無限集合でもよい)で添字付けられた任意個数の不定元 Xi (i ∈ I) に関する多項式環 A[(Xi)i∈I] は、I の任意の有限部分集合 J に対する多項式環 A[(Xi)i∈J] を亙る「合併」として定義される。より精確には、I が有限でも無限でも、A[(Xi)i∈I] はモノイド環として定義できる。それはつまり、モニック単項式(つまり有限個の不定元 Xi からなる冪積)全体の成すモノイドを考え、それら単項式の A-係数の形式線型結合として多項式は定義されるということである。
以下本項では、A は単位的可換環とし、A-多元環は結合的かつ単位的な多元環を意味するものとする。