中山の補題
証明: 主張 2 を M/N に適用する。
次の結果は生成元の言葉で中山の補題を述べている。
主張 4: M が R 上有限生成加群であり、M の元 m1, ..., mn の M/J(R)M における像が M/J(R)M を R-加群として生成すれば、m1, ..., mn は M を R-加群として生成する。
証明: 主張 3 を N = ΣiRmi に適用する。
最後の系の結論は、前もって M が有限生成であると仮定しなくても、I-進位相について M が完備かつ分離加群であると仮定すれば、成り立つ。ここで分離性は I-進位相がT1分離公理を満たすことを意味する。これは ⋂ k = 1 ∞ I k M = 0 {\displaystyle \textstyle {\bigcap _{k=1}^{\infty }I^{k}M=0}} と同値である。