冪集合
は、この集合族に対して包含関係による順序に関する上限と下限を与える。とくに、 S {\displaystyle S} の二つの部分集合 A , B {\displaystyle A,B} について
A ∨ B := sup { A , B } = A ∪ B {\displaystyle A\vee B:=\sup\{A,B\}=A\cup B}
A ∧ B := inf { A , B } = A ∩ B {\displaystyle A\wedge B:=\inf\{A,B\}=A\cap B}
を考えることにより、組 ( P ( S ) , ∧ , ∨ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),\land ,\lor )} は完備束となる。完備束の条件は空で無い部分集合族に対する上限・下限の存在を要求するものであるが、冪集合の束では集合族 M ⊂ P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {M}}\subset {\mathcal {P}}(S)} が空集合であるときにも
sup ( ∅ ) = ∅ , inf ( ∅ ) = S {\displaystyle \sup(\varnothing )=\varnothing ,\quad \inf(\varnothing )=S}
が冪集合 P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} の中に存在する。