判別式
f(x) = anx + an−1x + ... + a1x + a0 (an ≠ 0)
とする。n次方程式 f(x) = 0 には、代数学の基本定理より、重複を含めて n 個の複素数解が存在する。それらを α1, ..., αn とするとき、次の等式が成り立ち、多項式 f あるいは代数方程式 f(x) = 0 の判別式という。
a n 2 n − 2 ∏ i , j ( i < j ) ( α i − α j ) 2 {\displaystyle {a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}
= ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n | a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 | {\displaystyle ={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}}