パンルヴェ方程式
パンルヴェ方程式が持ち得る特異点は次のようなものである。
動く極
無限遠点 ∞
点 0 (III, V, VI-型)
点 1 (VI-型)
パンルヴェ I-型では、特異点は動く二位の極か留数 0 の点になり、その解は複素平面上にそのような極を無限個持つ。z0 に二位の極を持つ関数は、z0 の近傍で収束するローラン展開
( z − z 0 ) − 2 − z 0 10 ( z − z 0 ) 2 − 1 6 ( z − z 0 ) 3 + h ( z − z 0 ) 4 + z 0 2 300 ( z − z 0 ) 6 + ⋯ {\displaystyle (z-z_{0})^{-2}-{\frac {z_{0}}{10}}(z-z_{0})^{2}-{\frac {1}{6}}(z-z_{0})^{3}+h(z-z_{0})^{4}+{\frac {z_{0}^{2}}{300}}(z-z_{0})^{6}+\cdots }
をもつ(h は適当な複素数)。極の場所は (Boutroux 1913, 1914) に詳しく載っている。半径 R の球に含まれる極の数は、だいたい R の定数倍程度増加する。
II-型では全ての特異点が(動く)一位の極である。