リースの表現定理
この定理は、ヒルベルト空間とその(連続的)双対空間の間に、ある重要な関係性を構築するものである。すなわち、基礎体が実数体であるなら、それら2つの空間は等長同型であり、複素数体であるなら、それらは等長反同型(英語版)である、ということについてこの定理は述べている。そのような(反)同型性は、以下で述べるように、とりわけ自然なものである。
H をヒルベルト空間とし、H から体 R あるいは C へのすべての連続線型汎関数からなる双対空間を H* と表す。x が H の元であるなら、
φ x ( y ) = ⟨ y , x ⟩ ∀ y ∈ H {\displaystyle \varphi _{x}(y)=\left\langle y,x\right\rangle \quad \forall y\in H}
で定義される関数 φx は H* の元である。ただし、 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } はヒルベルト空間の内積を表すものとする。リースの表現定理では、H* の「すべての」元に対してこのような形での表記法が一意に存在する、ということが述べられている。
定理 Φ(x) = φx で定義される写像 Φ: H → H* は、等長(反)同型である。すなわち、
Φ は全単射。
x と Φ(x) のノルムは等しい: ‖ x ‖ = ‖ Φ ( x ) ‖ {\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert \Phi (x)\Vert } .
Φ は加法的である: Φ ( x 1 + x 2 ) = Φ ( x 1 ) + Φ ( x 2 ) {\displaystyle \Phi (x_{1}+x_{2})=\Phi (x_{1})+\Phi (x_{2})} .