エディントンのイプシロン
が成り立つ。ここで δij はクロネッカーのデルタである。
第1の公式より、
ε i j k = det [ δ 1 i δ 1 j δ 1 k δ 2 i δ 2 j δ 2 k δ 3 i δ 3 j δ 3 k ] {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}&=\det {\begin{bmatrix}\delta _{1i}&\delta _{1j}&\delta _{1k}\\\delta _{2i}&\delta _{2j}&\delta _{2k}\\\delta _{3i}&\delta _{3j}&\delta _{3k}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
が導かれる。
ε i j k ε l m n = det [ δ i l δ i m δ i n δ j l δ j m δ j n δ k l δ k m δ k n ] = δ i l ( δ j m δ k n − δ j n δ k m ) + δ i m ( δ j n δ k l − δ j l δ k n ) + δ i n ( δ j l δ k m − δ j m δ k l ) ∑ k ε i j k ε l m k = det [ δ i l δ i m δ j l δ j m ] = δ i l δ j m − δ i m δ j l ∑ j , k ε i j k ε l j k = 2 δ i l ( ∑ 1 ≤ j < k ≤ 3 ε i j k ε l j k = δ i l ) ∑ i , j , k ε i j k ε i j k = 6 ( ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ 3 ε i j k ε i j k = 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&=\det {\begin{bmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\end{bmatrix}}\\&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)+\delta _{im}\left(\delta _{jn}\delta _{kl}-\delta _{jl}\delta _{kn}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)\\\sum _{k}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmk}&=\det {\begin{bmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}\\\end{bmatrix}}\\&=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\\\sum _{j,k}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ljk}&=2\delta _{il}\qquad \left(\sum _{1\leq j<k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ljk}=\delta _{il}\right)\\\sum _{i,j,k}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijk}&=6\quad \qquad \left(\sum _{1\leq i<j<k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijk}=1\right)\end{aligned}}}