リスク中立確率
リスク中立確率とは資産価格がマルチンゲールとなるような仮想上の確率を指す。確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} 上において、リスク中立確率測度 P ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}} とは、以下の2条件を満たす確率測度を言う。
P {\displaystyle \mathbb {P} } と P ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}} は同値(互いに絶対連続)である。
任意の金融資産の価格とそのインカム・ゲインの和を安全資産の利子率で割り引いたものはリスク中立確率測度 P ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}} の下で(局所)マルチンゲールとなる。
例えば、離散時間モデルの場合、任意の金融資産 i {\displaystyle i} の価格 p i , t {\displaystyle p_{i,t}} について以下の式が成立する。
p i , t = E ~ t [ p i , t + 1 + d i , t + 1 1 + r f , t + 1 ] {\displaystyle p_{i,t}={\widetilde {E}}_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}\right]}
リスク中立確率測度は確率的割引ファクターの別表現とも言える。ここでは離散時間の場合について考えるが、連続時間においても同じ結論が成立する。リスク中立確率測度 P ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {P} }}} は確率測度 P {\displaystyle \mathbb {P} } と同値であるので、ラドン=ニコディム微分 d P ~ / d P {\displaystyle d{\widetilde {\mathbb {P} }}/d\mathbb {P} } が存在して
p i , t = E ~ t [ p i , t + 1 + d i , t + 1 1 + r f , t + 1 ] = E t [ p i , t + 1 + d i , t + 1 1 + r f , t + 1 d P ~ d P ] {\displaystyle p_{i,t}={\widetilde {E}}_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}\right]=E_{t}\left[{\frac {p_{i,t+1}+d_{i,t+1}}{1+r_{\mathrm {f} ,t+1}}}{\frac {d{\widetilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}\right]}