ルンゲの定理
メルゲルヤンの定理
この定理が非常に強力である点は、集合 A を任意に選択できることにある。言い換えると、 C ∖ K {\displaystyle \mathbb {C} \backslash K} の有界連結な成分の中から任意の複素数を選ぶことができ、選んだ数のみが極となる有理函数列の存在が定理から保証される。
C ∖ K {\displaystyle \mathbb {C} \backslash K} が連結集合(K が単連結であることと同値)である特別な場合は、定理の集合 A は空集合となる。極をもたない有理函数は単に多項式であるので、次の系を得る。
C ∖ K {\displaystyle \mathbb {C} \backslash K} が連結集合であるような C のコンパクト部分集合を K として、f が K 上の正則函数であれば、K 上で f に一様収束する多項式の列 ( p n ) {\displaystyle (p_{n})} が存在する。
ルンゲの定理は次のように一般化される。A をリーマン球面 C∪{∞} の部分集合とし、A が K の非有界な連結成分(∞ を含む)と交わるとすると、上の定式化において、有理函数は無限遠点に極を持つことが分かる。一方、さらに一般的な定式化の中では、極は K の非有界な連結成分のどこにでも選ぶことができる。