層係数コホモロジー
この理論の一つの問題は、X 自体がうまく振る舞わ(英語版)(well-behaved)ないと チェックコホモロジーが良い性質を持たないということである。このことは、X が多様体のような場合は困難ではないが、ザリスキー位相が一般にはハウスドルフ的ではないので、代数幾何学への応用では困ることになる。チェックコホモロジーの問題は、層の短完系列に付随するコホモロジー群の長完全系列を作ることに失敗することで明白となる。実践的には、このことは計算を行うときの基本的方法(つまり、与えられた層から短完全系列を通して他のものをどのようにして導き出すかを示し、結果を求める)である。理論は暫くの間、混乱した状態であった。ジャン・ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)はチェックの理論が成り立つことを示し、他方、アレクサンドル・グロタンディーク(Alexandre Grothendieck)は、長完全系列の成り立つようなより抽象的な定義を提案した。
グロタンディエクの定義は大域切断
Γ X : F ↦ F ( X ) {\displaystyle \Gamma _{X}:{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(X)}
の導来函手として、層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に係数を持つ位相空間 X の層コホモロジーを定義した。
この函手は、完全函手ではない。このことは、分岐切断の理論の他にもありふれている事実である(例えば、複素数の対数の場合、指数層系列を参照)。これは左完全系列であり、従って、右導来函手の系列を持ち、
H i ( X , F ) ( i ≥ 0 ) {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\quad (i\geq 0)}
と書く。
これらの導来函手の存在は、層のアーベル圏のホモロジー代数によりもたらされ、実際、このことが理論の設定の主たる理由である。このことは入射分解を持つこととは独立である。すなわち、理論の中での計算は、実践的には短完全系列や長完全系列がより良いアイデアであり得ることを通して、単射的分解での計算が可能である。
導来函手は任意のアサイクリックな分解へ函手を適用し、複体のコホモロジーを保つことで計算可能であるので、コホモロジー群を計算する方法が複数存在する。具体的な状況とは独立して、細層、軟弱層、アサイクル層が、コホモロジー群の具体的計算に使われる。単射的層(英語版)(injective sheaves)を参照。