ランダム行列
英語: Marchenko–Pastur Law, Marchenko–Pastur distribution、Marchenko–Pastur 分布とも言う。
ウィシャート行列の固有値分布スペクトルは Marchenko–Pastur 分布に近づいていくとするもの。
この則は次のウィグナーの半円則を包含している。
英語: Wigner matrix, Wigner ensemble
原子核のエネルギー準位の研究で1950年代にウィグナーが導入したN×N実対称行列 (あるいはエルミート行列)。確率変数の確率分布に関してはモーメント (確率論)が存在すること (平均や分散などが発散しないこと) を要求しているくらいで確率分布の指定はない。ガウス分布を指定した場合はガウス型ウィグナー行列 (Gaussian Wigner matrix) となる。
ある行列における独立な確率変数の総数。行列に対称性など行列要素の分布に制約がなければ βN だが、ガウス型アンサンブルのように対称性があると (対角成分とその他を足して) N + N(N-1)β/2 となる。
英語: Circular law
n×n 実正方行列 (または複素正方行列) において各行列要素を独立同一分布で平均ゼロ E(Xj,k)=0、分散 E ( | X j , k | 2 ) = 1 / n {\displaystyle E(|X_{j,k}|^{2})=1/n} のように規格化すると、行列のサイズを非常に大きくしていく (n → ∞) に従い固有値は複素平面上の単位円盤 (英: unit disc) 上で一様に分布するようになるというもの。この円則が当てはまるのはベルヌーイ・アンサンブルやジニブル・アンサンブルなどで、行列要素間に対称条件がありすべての固有値が実数となるウィシャート行列やウィグナー行列などでは複素平面の実軸上にのみ固有値が分布しこの円則は当てはまらない。(代わりにそれぞれMarchenko-Pasture則あるいは半円則がこの則に相当する。)
英語: eigenvalue distribution
行列サイズを非常に大きくしていった場合の固有値の同時確率密度関数の極限分布や最大固有値λmax・最小固有値λminの極限分布などが主に研究されている。最大最小固有値の分布はランダム行列の固有値の極値分布といえる。
以下にこの分野で多用される用語を示す。
bulk - 固有値全体の統計的性質について言及する際に用いられる。例: bulk statistics, bulk distribution, bulk behavior, in the bulk of spectrum
edge - 最大または最小固有値に関して言及する際に用いられる。例: edge statistics, edge behavior
soft edge
hard edge