微分方程式
一変数関数の導関数の関係式で書かれる常微分方程式と多変数関数の偏導関数を含む関係式で書かれる偏微分方程式に分かれる。
常微分方程式とは例えば、
d d x f ( x ) − f ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)-f(x)=0}
や、
d 2 d x 2 f ( x ) − 2 d d x f ( x ) + f ( x ) = sin  ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\!f(x)-2{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!f(x)+f(x)=\sin(x)}
のような方程式である。
また、偏微分方程式は、
( x ∂ ∂ y − y ∂ ∂ x ) f ( x , y ) = 0 {\displaystyle \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)f(x,y)=0}
や、
( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) f ( x , y ) = α x + β y {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=\alpha x+\beta y}
のような格好をした方程式である。
方程式が未知関数の一次式として書けるような方程式を線形微分方程式と呼ぶ。また、線型でない微分方程式は非線形微分方程式と呼ばれる。 例えば、g(x) を f(x) を含まない既知の関数とすれば、
( d d x + α ) f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}+\alpha \right)f(x)=g(x)}
は線型微分方程式であり、
( d d x f ( x ) d d x ) f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)f(x)=g(x)}
は非線型微分方程式である。線型と呼ばれる理由は後述する線型斉次な方程式について、解の線型結合がその方程式の一般解をなすためである。
未知関数が 1 つの場合、高階の線型微分方程式を一階線型微分方程式の形に書き直すことができる。 たとえば、{gk} を既知関数の組として、以下の線型微分方程式が与えられたとき、
( ∑ k = 0 n g k + 1 ( x ) d k d x k ) f ( x ) = g 0 ( x ) , g n + 1 ( x ) = 1 {\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}g_{k+1}(x){\frac {\mathrm {d} ^{k}}{{\mathrm {d} x}^{k}}}\right)f(x)=g_{0}(x),\quad g_{n+1}(x)=1}