部分多様体
広義の正則でない部分多様体は、はめ込み f: N → M による像 S のことを指す。ただし、この S は一般には部分多様体ではなく、はめ込み f は単射ではない(単射なはめ込みのことを(正則でない)埋め込みという)から S は自己交差を持つことを許容する。
より狭義には包含写像 i: N → M が単射なはめ込みであるときに、多様体 N を M の正則でない部分多様体と呼ぶ。このとき、包含写像 i が可微分同相であることを仮定するが、この際、N の i による像 S に入っている位相が M からの相対位相であるとは限らない。この意味で、N が M の部分多様体でないとする流儀もある。
もし単射なはめ込み f: N → M が与えられれば、N の f による像 f(N) は一意に決まる。このとき f は可微分同相であるように取る。このことから正則でない部分多様体は単射なはめ込みの作る像そのものであるという見方もできる。
前述の通り、この場合の部分多様体に入る位相は M からの相対位相でなくてもよい。この意味で位相空間の部分空間の定義よりも緩やかな定義であると見ることもできる。
この正則でない部分多様体はリー群の理論の中に登場するもので、部分リー群は自然な正則でない部分多様体である。