波束
物理学で最もよく用いられる波束として、ガウス波束が挙げられる。平面波 φk(x) = e を重ね合わせて、次のような定常的な波束を考える。
ψ ( x , 0 ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ α ( k ) φ k ( x ) d k {\displaystyle \psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\alpha (k)\varphi _{k}(x)dk}
ただし重ね合わせ係数は、
α ( k ) = a 2 π 4 exp  [ − a 2 2 ( k ′ − k ) 2 ] {\displaystyle \alpha (k)={\sqrt[{4}]{\frac {a^{2}}{\pi }}}\exp \left[-{\frac {a^{2}}{2}}(k'-k)^{2}\right]}
このガウス積分を実行すると、
ψ ( x , 0 ) = 1 a 2 π 4 exp  [ − x 2 2 a + i k ′ x ] {\displaystyle \psi (x,0)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{a^{2}\pi }}}\exp \left[-{\frac {x^{2}}{2a}}+ik'x\right]}
このようなガウス関数と平面波の積で表された波束をガウス波束と呼ぶ。