コーシー・ビネの公式
が導かれる。最後の式の p は {1, ..., m} から {1, ..., n} への写像である。
行列式の反対称性により p が単射の場合のみ行列式は非零なので、p(i) = k(π(i)) と置き換えられる。ここで、置換 π : [m] → [m] は m次対称群 S m {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{m}} の元であり、k : [m] → [n] は i < j ⇒ k(i) < k(j) を満たす関数である。これより
m > n の場合、1 ≤ k1 < ... < km ≤ n となる整数の組 (k1, k2, ..., km) は存在しないから、公式の右辺は 0 となる。このとき A, B の階数はこの場合高々 n だから、m × m 行列 AB の階数も高々 n (< m) であるので、公式の左辺 det(AB) は 0 となり、公式が成り立つ。
m = n のとき、A, B は正方行列である。1 ≤ k1 < ... < km ≤ n となる整数の組 (k1, k2, ..., km) は [n] に等しいから、公式は
( A B ) ( 1 ⋯ m 1 ⋯ m ) = A ( 1 ⋯ m 1 ⋯ n ) B ( 1 ⋯ n 1 ⋯ m ) {\displaystyle (AB){\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}1&\cdots &m\\1&\cdots &n\end{pmatrix}}B{\begin{pmatrix}1&\cdots &n\\1&\cdots &m\end{pmatrix}}}