ホッジ構造
ホッジ加群は複素多様体の上のホッジ構造の変形の一般化である。ホッジ加群は多様体の上のホッジ構造の層のようなものとインフォーマルには考えることができる。詳細な定義 (Saito (1989)) は技術的で複雑である。特異点を持った多様体に対しては、混合ホッジ加群への一般化がいくつかある。
各々のスムースな複素多様体に対して、これに付随する混合ホッジ加群のアーベル圏がある。これらは形式的に多様体の上の層の圏のような振る舞いをする。例えば、多様体間の射 f は、層の射のように、混合ホッジ加群(の導来圏)の間の函手 f ∗ , f ∗ , f ! , f ! {\displaystyle f^{*},\ f_{*},\ f_{!},\ f^{!}} を引き起こす。
{\displaystyle \forall p,q\ :\ p+q=n+1,\ \ F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\ \ {\text{and}}\ \ F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.}
を満たすもののことである。これら2つの関係は次の2つの条件で与えられる。
H p , q = F p H ∩ F q H ̄ {\displaystyle H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}}
F p H = ⨁ i ≥ p H i , n − i {\displaystyle F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}}
例えば、X をコンパクトなケーラー多様体とし、HZ = H(X,Z) を X のn 次整数係数特異コホモロジー群とすると、H=HZ ⊗C は、複素係数のn次コホモロジー群となり、ホッジ理論から上記のような H の直和分解が得られ、これらのデータからウェイト n の純粋ホッジ構造が定まる。また、この場合の対応するホッジフィルトレーションを、ホッジ・ド・ラームスペクトル系列(英語版)(Hodge-de Rham spectral sequence)から得ることもできる。
代数幾何学への応用としては、複素射影多様体の周期の分類を考えることができる。
ホッジ構造や混合ホッジ構造を基礎とする機構は、アレクサンドル・グロタンディークにより予想されたモチーフという理論に対しては、大部分が未だに予想にとどまっている。非特異代数多様体 X の数論的な情報は、l-進コホモロジーに作用するフロベニウス元の固有値にエンコードされているが、複素代数多様体として考えた X から生ずるホッジ構造を共通にあるものを持っている。セルゲイ・ゲリファンド(Sergei Gelfand)とユーリ・マーニン(Yuri Manin)は1988年に彼らの著作 Methods of homological algebra の中で、他のコホモロジー群の上に作用しているガロア対称性とは異なり、形式的ではあるが「ホッジ対称性」の原点は非常に神秘的であると指摘している。ホッジ対称性はド・ラームコホモロジー上にの非完全な群 R C / R C ∗ {\displaystyle R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}} の作用を通して表現される。従って、この神秘性はミラー対称性の発見と定式化という深さを持っている。