超現実数
超現実数を、単純さ (simplicity) を先祖 (ancestor) のラベルに持つ極大二分擬木 (pseudo-tree) およびその順序関係によって構成する方法は Philip Ehrlich (2012) による。通常の木の定義と異なるのは、各頂点の先祖は整列集合を成すが、極大元(直前の先祖)は持たないかもしれないことである。すなわち、先祖集合の順序型は自然数だけではなく一般順序数となりうる。この構成もまたアリングの公理系を満足し、符号列表現に容易に引き写せる。
のような形式が次々に生まれてくる。こうして整数は全て超現実数の集合に含まれる(上記は右辺の名称を左辺の式で定義するという意味の定義式であることに注意する。これらの各名称が実際に適切なものであることは、後で述べる超現実数の四則演算が定義されたときに根拠が与えられるであろう)。同様に
のようなものも生じるから、二進分数(英語版)(分母が2の冪であるような有理数)もまた全てが超現実数の集合に含まれる。
無限に段階を踏んだ後であれば、無限部分集合も使ってよいということになり、任意の実数 a が、a より小さい(ここでの大きい・小さいは、実数としての大小関係で言うことに注意)二進分数全体の成す集合 La と a より大きい二進分数全体の成す集合 Ra を用いて {La | Ra} と表現される(これはあたかもデデキントの切断の如きである)。そうして任意の実数もまた超現実数の集合に埋め込まれる。
あるいはまた、
および
なる表現も作られ、ω は任意の整数よりも大きい超限数として、ε は任意の正実数より小さいが 0 よりは大きい無限小として解釈できるが、これらもまた超現実数として与えられる。さらに言えば、通常の算術における四則演算(加減乗除)が、これらの実数でないような量まで含めて、超現実数全ての集まりが一つの順序体となるような仕方で拡張できる。よって、この枠組みの中では 2ω や ω − 1 などのような無限大を数として扱った議論もできるということになる。
1, 2nd ed., 2001, ISBN 1-56881-130-6.
Martin Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, W. H. Freeman & Co., 1989, ISBN 0-7167-1987-8, Chapter 4. A non-technical overview; reprint of the 1976 Scientific American article.
Polly Shulman, "Infinity Plus One, and Other Surreal Numbers", Discover, December 1995.
A detailed treatment of surreal numbers: Norman L. Alling, Foundations of Analysis over Surreal Number Fields, 1987, ISBN 0-444-70226-1.
A treatment of surreals based on the sign-expansion realization: Harry Gonshor, An Introduction to the Theory of Surreal Numbers, 1986, ISBN 0-521-31205-1.
Alling (1987) もまた超現実数体が実係数ハーン級数(英語版)体(各級数の和の値は超現実数として解釈する)に順序体として同型となることを証明した(この級数表現は、上述した超現実数の標準形に対応するものである)。これにより、超現実数をより従来的な順序体論的アプローチに結び付けることができる。
この同型により超現実数が写された先の体は、コンウェイ標準形における最高次項の冪指数の加法逆元を付値とする付値体である(例えば ν(ω) = −1)。したがって、この体の付値環は有限超現実数(実数または実数に無限小成分を加えたもの)すべてからなる。ここで付値として冪指数の符号を反転させるのは、コンウェイ標準形における冪指数が逆整列集合を成していることと、それに対しハーン級数が値群における(正順の)整列部分集合によって定式化されていることによるものである。
超現複素数 (surcomplex number) は、二つの超現実数 a, b に対して a + bi(i は虚数単位)の形をした数を言う。超現実数の全体は(それが真のクラスとなることを除いて)代数閉体を成す。それは有理数体に代数独立(英語版)な超越元の成す適当な真クラスを添加して生成される体の代数閉包に同型である。この事実は、任意に固定した集合論の中で、体の同型を除いて超現複素数を特徴付けるものである。
Sω を超えて超限帰納法を適用することを続ければ、より大きな順序数 α が α を誕生日とする最大の超現実数を表すものとして取り出せる(これは本質的に、超限帰納法から得られる順序数の定義である)。そのような順序数の最初のものは ω + 1 ≔ {ω | } である。第 (ω + 1)-世代における正の無限大超現実数は他にも ω − 1 ≔ {1, 2, 3, 4, ... | ω} がある。この w − 1 が順序数でないことを見るのは重要である—順序数 ω はどのような順序数の後継にもならない。これは誕生日 ω + 1 の超現実数であって、これを ω − 1 とラベル付けるのはそれが ω = {1, 2, 3, 4, ... | } と −1 = { | 0} との和に一致することに基づく。同様に、第 (ω + 1)-世代に属する二つの無限小超現実数 2ε ≔ ε + ε = {ε | 1 + ε, 1⁄2 + ε, 1⁄4 + ε, 1⁄8 + ε, ...} および ε/2 ≔ ε⋅1⁄2 = {0 | ε} が新たに生じる。
超限帰納法も後のほうの段階では、任意の自然数 k に対する ω + k よりも大きな超現実数 2ω ≔ ω + ω = {ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4, ... | } が存在する。この数に ω + ω と付けることの正当性は、その誕生日が ω + ω(つまり、ω から後継をとる操作によって到達できない最小の順序数)であることと、超現実数としての ω と ω の超現実数の和に一致することの両方の理由からくる。
第 n-世代において生じる形式 x = {L | R} がそれより前の世代 i < n から遺伝するための必要十分条件は、Si の適当な元をとれば、それが L の任意の元より大きく、かつ R の任意の元より小さくできることである(言葉を換えて言えば、L と R が以前の段階で既知となっている数によって既に隔たれているならば、x は新たな数を表すものではなく、既に得られた数である)。x が n より前の任意の世代から来る数を表すとき、そのような世代 i に最小値(つまり x の誕生日)が存在して、その最小値を実現する数 c が L と R の間にただ一つ存在する。x はこの c を含む形式(つまり、Sn において c の属する同値類)として第 i-世代における c の表現を部分集合として含む。