劣調和函数
と書くことができる。f が Ω において正則で、0 < p < ∞ のとき、前述の不等式は φ = |f| に対して適用することが出来る。以上の事実より、古典的ハーディ空間 H 内の任意の函数 F は次を満たすと結論づけられる。
∫ 0 2 π ( sup 0 ≤ r < 1 | F ( r e i θ ) | ) p d θ ≤ C 2 sup 0 ≤ r < 1 ∫ 0 2 π | F ( r e i θ ) | p d θ . {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left(\sup _{0\leq r<1}|F(re^{i\theta })|\right)^{p}d\theta \,\leq \,C^{2}\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }|F(re^{i\theta })|^{p}d\theta .}
さらに考察することで、F は動径方向に沿った極限 F(e) を単位円上のほとんど至る所で持ち、(優収束定理より)Fr(e) = F(re) で定義される Fr は L(T) において F に収束する。