ユークリッド環
a および b は R の元で、b は零でないとすると、R の元 q および r で、a = bq + r, かつ r = 0 または f(r) < f(b) のいずれかを満たすようなものが存在する
を満たす。少なくとも一つのユークリッド函数を備えた整域をユークリッド環と呼ぶ。ここで、ユークリッド環の構造が「特定」のユークリッド函数を持つことを要求していないことに注意すべきである。一般に一つのユークリッド環が複数のユークリッド函数を持ちうるが、そのようなものはどれでも一つあればよいのである。
多くの代数学の教科書では、ユークリッド函数がさらに次のような性質