クザン問題
この逆が第一クザン問題である。つまり K/O の大域切断が与えられたときに、それに写像される K の大域切断が存在するかという問題であり、すなわち写像
H 0 ( M , K ) → φ H 0 ( M , K / O ) . {\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\varphi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} ).}
の像の特徴づけである。ホモロジーの長完全系列により
H 0 ( M , K ) → φ H 0 ( M , K / O ) → H 1 ( M , O ) {\displaystyle H^{0}(M,\mathbf {K} ){\xrightarrow {\varphi }}H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\to H^{1}(M,\mathbf {O} )}
は完全であるので、第一クザン問題は、一次元ホモロジー群 H(M,O) が 0 となるときは、常に解くことができる。特にカルタンの定理 Bにより、M がシュタイン多様体であれば第一クザン問題は常に解ける。