数理最適化
次の記号を考える:
min x ∈ R ( x 2 + 1 ) . {\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\;(x^{2}+1).}
これは x を実数の集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } から選んだときの目的函数 x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} の最小値を意味する。この場合の最小値は x = 0 {\displaystyle x=0} のときの 1 {\displaystyle 1} である。
同様に、記号
max x ∈ R 2 x {\displaystyle \max _{x\in \mathbb {R} }\;2x}
は、任意の実数 x に対する目的函数 2x の最大値を意味する。この場合、目的函数は非有界なのでそのような最大値は存在せず、「無限大」あるいは「定義されない」が答えとなる。
a r g m a x x ∈ [ − 5 , 5 ] , y ∈ R x cos  ( y ) {\displaystyle {\underset {x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y)}
あるいは
a r g m a x x , y x cos  ( y ) , subject to: x ∈ [ − 5 , 5 ] , y ∈ R {\displaystyle {\underset {x,\;y}{\operatorname {arg\,max} }}\;x\cos(y),\;{\text{subject to:}}\;x\in [-5,5],\;y\in \mathbb {R} }
は、x が区間 [ − 5 , 5 ] {\displaystyle [-5,5]} に属するという制約の下で、目的函数 x cos  ( y ) {\displaystyle x\cos(y)} の値を最大化する ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} のペアを意味する(再び、その関数の最大値については問われていない)。この場合の解は、すべての整数 k に対する (5, 2kπ) と (−5,(2k+1)π) である。
arg min と arg max はしばしば、argmin および argmax と書かれることもあり、それらは「最小値の引数」および「最大値の引数」を意味する。