グロス＝ピタエフスキー方程式
グロス=ピタエフスキー方程式はシュレーディンガー方程式に相互作用項を加えた形をしている。結合定数 g は相互作用する二つのボソンの間の散乱長 as に比例する:
g = 4 π ħ 2 a s m . {\displaystyle g={\frac {4\pi \hbar ^{2}a_{\mathrm {s} }}{m}}\,.}
ここで ħ {\displaystyle \hbar } は換算プランク定数であり m はボソンの質量である。
エネルギー密度は
E = ħ 2 2 m | ∇ Ψ ( r ) | 2 + V ( r ) | Ψ ( r ) | 2 + 1 2 g | Ψ ( r ) | 4 {\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\vert \nabla \Psi ({\boldsymbol {r}})\vert ^{2}+V({\boldsymbol {r}})\vert \Psi ({\boldsymbol {r}})\vert ^{2}+{\frac {1}{2}}g\vert \Psi ({\boldsymbol {r}})\vert ^{4}}
グロス=ピタエフスキー方程式(グロス=ピタエフスキーほうていしき、英: Gross–Pitaevskii equation; GPE)は、ボソン間相互作用が擬ポテンシャルとして表される理想的なボソン多体系の、ハートリー=フォック近似の下での基底状態を記述するモデルである。
グロス=ピタエフスキー方程式の名前は、ユージン・グロス(英語版)とレフ・ピタエフスキー(英語版)に因む。グロス=ピタエフスキー方程式は、グロスおよびピタエフスキーの頭文字を取ってしばしばGP方程式と呼ばれる。あるいは更に短縮してGPと呼ぶこともある。
ハートリー=フォック近似において N 体のボソン系全体を表す波動関数 Ψ は、個々のボソンに対応する波動関数たち {ψi}i ∈ [N] の積状態として表すことができる。
Ψ ( r 1 , r 2 , ... , r N ) = ψ ( r 1 ) ψ ( r 2 ) ... ψ ( r N ) {\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})=\psi ({\boldsymbol {r}}_{1})\psi ({\boldsymbol {r}}_{2})\dots \psi ({\boldsymbol {r}}_{N})}
ここで ri は i 番目のボソンの位置を表す。
擬ポテンシャルモデルのハミルトニアン H として以下のものを考える。
H = ∑ i = 1 N { ( − ħ 2 2 m ∂ 2 ∂ r i 2 + V ( r i ) ) } + ∑ i < j 4 π ħ 2 a s m δ ( r i − r j ) .