ワグスタッフ素数
オンライン整数列大辞典の数列 A070265)であれば、 m {\displaystyle m} が奇数のとき x m + 1 {\displaystyle x^{m}+1} が x + 1 {\displaystyle x+1} で割り切れるという事実によって、これらの特殊な場合には Q ( a m , n ) {\displaystyle Q(a^{m},n)} は a n + 1 {\displaystyle a^{n}+1} で割り切れる。別のケースは k を正の整数として b = 4 k 4 {\displaystyle b=4k^{4}} のときである(例えば 4, 64, 324, 1024, 2500, 5184, etc. オンライン整数列大辞典の数列 A141046)。このとき aurifeuillean factorization(英語版) がある。
しかしながら、 b {\displaystyle b} が代数的な分解をもたないときは、 Q ( b , n ) {\displaystyle Q(b,n)} が素数になる n {\displaystyle n} が無数に存在するという予想を立てることができる。( b {\displaystyle b} ≤ 300 に対しては、素数や PRP が知られていない 9 つの底 97, 103, 113, 175, 186, 187, 188, 220, and 284 が存在し、PRP は知られているが素数であることが証明されていないような 7 つの底 53, 124, 150, 182, 205, 222, and 296 が存在する。リストを見よ。すべての n が奇素数であることに注意せよ。)
オンライン整数列大辞典の数列 A084742
b = 53, 124, 150, 182, 205, 222, 296 に対しては確率的素数しか存在ない。