線積分
この線積分は物理学でよく用いる。たとえば、ベクトル場 F で表す力場の内側で曲線 C に沿って運動する粒子の成す仕事を F の C 上の線積分で表す。
W ( t 0 ; t 1 ) = ∫ C F ( r ( t ) , t ) ⋅ d r ( t ) = ∫ t 0 t 1 F ( r ( t ) , t ) ⋅ d r d t ( t ) d t {\displaystyle W(t_{0};t_{1})=\int _{C}{\boldsymbol {F}}{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t),t{\bigr )}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}(t)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t),t{\bigr )}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}\!(t)\,\mathrm {d} t}