ペロン＝フロベニウスの定理
A を非負行列とする。添字 i を固定したとき、その添字の周期(period of index)を、(A)ii > 0 が成立するような全ての自然数 m の最大公約数として定義する。A が既約であるとき、全ての添字の周期は等しく、それは A の周期と呼ばれる。実際、A が既約であるとき、その周期は、グラフ GA に含まれる全ての有向閉路の長さの最大公約数として定義される(Kitchens の 16 ページを参照)。
その周期はまた、非原始性の添字(index of imprimitivity)、または周期性の位数(order of cyclicity)などと呼ばれる。
周期が 1 であるとき、行列 A は非振動的(aperiodic)と呼ばれる。
行列 A は、非負かつ m 次のべきが正となるようなある自然数 m が存在するとき、原始的(primitive)であると呼ばれる。行列が原始的であることと、非負既約かつ非振動的であること、は同値であることは証明されている。
正の正方行列は原始的であり、原始的な行列は既約である。正行列に対するペロン=フロベニウスの定理の全ての内容は、原始的な行列に対してもやはり真である。しかし、一般的な非負既約行列 A については、(その周期が1でなければ)A のスペクトル半径に等しい絶対値を持つ固有値が複数個存在する場合がある。したがって正行列に対する定理は非負既約行列に対しては、絶対値が最大である固有値の数は行列の周期に等しい、と修正する必用がある。 非負既約行列に対するこの結果は、1912年、フロベニウスによって初めて与えられた。
行(あるいは、列)確率行列とは、各行(あるいは、列)の成分が非負の実数で、その行(あるいは、列)毎の和が 1 となるようなもののことを言う。このような行列は必ずしも既約ではないため、ペロン=フロベニウスの定理を直接的に適用することは出来ない。
A を行確率行列とすると、各成分が 1 であるような列ベクトルは、その行列の固有値 1 に対応する固有ベクトルであることが分かる。ここで固有値 1 は、上述の議論により ρ(A) である。しかし、それは単位円上の唯一つの固有値では無いこともあり、対応する固有空間が多次元となることもあり得る。A が既約な行確率行列であるなら、ペロン射影も同様に行確率的で、そのすべての行は等しい。
例えば上の例の二番目の行列に対しては、固有値0に対応する唯一の固有ベクトル (1,0) は狭義正では無い(最大固有値0は二重であって単純ではない)。したがって、正行列に対する定理の性質は、非負行列に対してはほとんど成立しないように思えるが、フロベニウスはその解決策となる概念を発見したのである。
非負行列の理論においてカギとなる概念として、既約行列(irreducible matrix)と呼ばれる、ある特別な非負行列の類が存在する。それにより、自明では無い一般化が可能になる。すなわち、絶対値が最大である固有値が複数存在する場合にも、最大固有値の構造を理解することができるのである:それらは、h をある整数(行列の周期)とし、r を正の実固有値とし、k = 0, 1, ..., h − 1 とすれば、r e という式で表せる。そうして r に対応する固有ベクトルは、狭義正の成分を持つ(これは一般的な非負行列において、成分が非負であるだけという場合と対照的である)。またそのような固有値は全て、特性多項式の単純根である。その他の性質については、以下で述べる。
A = (aij) を n × n の正行列とする。すなわち、1 ≤ i, j ≤ n に対して aij > 0 が成立しているものとする。このとき、以下の性質が成立する。
ペロン根(Perron root)あるいはペロン=フロベニウス固有値(Perron-Frobenius eigenvalue)と呼ばれるある正の実数 r が存在する。そのような r は A の固有値であり、他のすべての固有値 λ(複素数の場合もあり得る)の絶対値は、r よりも真に小さい。すなわち、|λ| < r が成立する。したがって、スペクトル半径 ρ(A) は r に等しい。
ペロン=フロベニウス固有値は単純である。すなわち、r は A の特性多項式の単純根である。その結果、r に対応する固有空間は一次元である(左固有空間、すなわち A の固有空間に対しても同様の性質が成り立つ)。
A には、固有値 r に対応する固有ベクトル v = (v1,...,vn) が存在して、その成分は全て正にとれる。すなわち、A v = r v かつ全ての 1 ≤ i ≤ n に対して vi > 0 であるものが存在する(同様に、正の左固有ベクトル w で、w A = r w および wi > 0 を満たすものが存在する)。