CES型関数
n {\displaystyle n} 個のバラエティが存在するとき、効用関数は以下のように書ける。
U = ( ∑ i = 1 n x i ρ ) 1 ρ . {\displaystyle U=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\rho }\ \right)^{\frac {1}{\rho }}.}
ただし、 U {\displaystyle U} は効用水準、 x i {\displaystyle x_{i}} はバラエティ i {\displaystyle i} の消費量、 σ {\displaystyle \sigma } は代替の弾力性である。生産関数のときと同様、 σ = 1 / ( 1 − ρ ) {\displaystyle \sigma =1/(1-\rho )} が代替の弾力性となる。
σ {\displaystyle \sigma } が無限大に近づくとバラエティ x i {\displaystyle x_{i}} は互いに完全代替になり、同質財のバラエティであると解釈できる(市場は完全競争になる)。
σ {\displaystyle \sigma } が1に近づくとバラエティ x i {\displaystyle x_{i}} は互いに補完的になり、差別化財のバラエティであると解釈できる(市場は独占的競争になる)。
これはCESアグリゲーターとも呼ばれ、ポール・アーミントンによって最初に議論された。CES効用関数はホモセティックな選好の特別なケースと解釈できる。
この関数形の下では、複数の財のバラエティから効用を得るような効用関数、あるいは複数の生産要素から財を生産する生産関数があるときに、バラエティ間あるいは生産要素間の代替の程度が定数となる。ジョン・ヒックス、ジョーン・ロビンソンなどがこの概念の確立に貢献した。
CES型生産関数(英: Constant elasticity of substitution production function)を仮定すると、生産要素間の代替の弾力性が定数になる。代替の弾力性は「生産要素の比率の変化」の「生産の限界代替率の変化」に対する比で定義され、CES型生産関数の場合はそれが定数になる。資本と労働を生産要素とするCES型生産関数がロバート・ソローによって導入され、その後ケネス・アローやホリス・チェンリー(英語版)、バジチャ・ミンハス(英語版)らの貢献によってさらに普及した。
となり、需要関数は
x ( p x , p y , I ) = p x − σ p x 1 − σ + p y 1 − σ ⋅ I {\displaystyle x(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{x}^{-\sigma }}{p_{x}^{1-\sigma }+p_{y}^{1-\sigma }}}\cdot I}
y ( p x , p y , I ) = p y − σ p x 1 − σ + p y 1 − σ ⋅ I {\displaystyle y(p_{x},p_{y},I)={\frac {p_{y}^{-\sigma }}{p_{x}^{1-\sigma }+p_{y}^{1-\sigma }}}\cdot I}
となる。ただし I {\displaystyle I} は所得水準、 p x {\displaystyle p_{x}} は財 x {\displaystyle x} の価格、 p y {\displaystyle p_{y}} は財 y {\displaystyle y} の価格である。