シュタイン多様体
シュタイン多様体であることは、(複素)強擬凸多様体であることと同値である。この後半の条件は、擬凸(あるいは多重劣調和)なエグゾースチョン函数が存在することを意味する。但しそのような函数は、 i ∂ ∂ ̄ ψ > 0 {\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0} を満たす X {\displaystyle X} 上の(モース函数と仮定されることもある)ある滑らかな実函数 ψ {\displaystyle \psi } で、すべての実数 c {\displaystyle c} に対して部分集合 { z ∈ X , ψ ( z ) ≤ c } {\displaystyle \{z\in X,\psi (z)\leq c\}} が X {\displaystyle X} 内でコンパクトとなるようなものである。これはいわゆる、エフジェニオ・エリア・レヴィ(英語版)(Eugenio Elia Levi) (1911) にちなんで名付けられたレヴィ問題の解でもある。この函数 ψ {\displaystyle \psi } は、境界がシュタイン領域と呼ばれるような対応するコンパクト複素多様体のクラスに対する、シュタイン多様体の一般化を与えるものである。シュタイン多様体は原像 { z | − ∞ ≤ ψ ( z ) ≤ c } {\displaystyle \{z|-\infty \leq \psi (z)\leq c\}} である。