振り子
θ = x l {\displaystyle \theta ={x \over l}} ... (1-3)
であるから、おもりについての運動方程式は、
F = − m g sin  x l {\displaystyle F=-mg\sin {x \over l}} ... (1-4) m a = − m g sin  x l {\displaystyle ma=-mg\sin {x \over l}} ... (1-5) d 2 x d t 2 = − g sin  x l {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-g\sin {x \over l}} ... (1-6)
ここで、微小角 θ {\displaystyle \theta } について成り立つ近似
sin  θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } ... (1-7)
を用いて、(1-6) 式を変形すると、
d 2 x d t 2 = − g l x {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-{g \over l}x} ... (1-8)
となる。(1-8) は単振動における運動方程式と同形である。t = 0において θ = θ 0 {\displaystyle \theta =\theta _{0}} 、 θ ̇ = θ ̇ 0 {\displaystyle {\dot {\theta }}={\dot {\theta }}_{0}} である場合は、θの解は以下のようになる。
上式を積分して θ = 0 {\displaystyle \theta =0} から θ = θ 0 {\displaystyle \theta =\theta _{0}} となる時間を計算すると
t = 1 2 ω ∫ 0 θ 0 d θ sin 2  ( θ 0 / 2 ) − sin 2  ( θ / 2 ) {\displaystyle t={\frac {1}{2\omega }}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\sin ^{2}(\theta _{0}/2)-\sin ^{2}(\theta /2)}}}} .
これの4倍、すなわち4tが振り子の周期 T である。 sin  ( θ 0 / 2 ) = k {\displaystyle \sin(\theta _{0}/2)=k} 、 sin  ( θ / 2 ) = k sin  φ {\displaystyle \sin(\theta /2)=k\sin \phi } と置換すると周期は
T = 4 ω ∫ 0 π / 2 d φ 1 − k 2 sin 2  φ = 4 ω K ( k ) {\displaystyle T={\frac {4}{\omega }}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {4}{\omega }}K(k)} .
長さ l {\displaystyle l} の糸の先に質量 m {\displaystyle m} のおもりをつけ、糸の他端を固定してつり下げる。
おもりを少し横に引いて手を放すと、おもりは糸の固定点の真下の振り子のつりあいの位置 O を中心として往復運動を始める。おもりは糸の上端の固定点を中心とした円周上を運動するから、振り子のつり合いの位置 O を原点として、円周に沿って x {\displaystyle x} 軸をとると、おもりの運動は x {\displaystyle x} 軸上の一次元の運動と見ることができる。このとき、おもりの運動に関わる力はおもりに働く重力 m g {\displaystyle mg} の円周への接線方向だけである。ここで、重力 m g {\displaystyle mg} の円周への法線方向と糸の張力重力 T {\displaystyle T} は、おもりの運動を円周上に拘束する役割をしている。糸の鉛直方向となす角が θ {\displaystyle \theta } のとき、おもりの x {\displaystyle x} 軸上にかかわる力 F {\displaystyle F} は、
F = − m g sin  θ {\displaystyle F=-mg\sin \theta } ... (1-2)
となる。おもりの座標 x {\displaystyle x} と θ {\displaystyle \theta } は、