四元数
google.com/books?id=75vJL_Y-PvsC&pg=PA193 . 著者らはヴィルヘルム・ブラシュケが1959年に唱えた「四元数を初めて同定したのはオイラーで、それは1748年の5月4日のゴールドバッハへ向けた書簡においてである」("the quaternions were first identified by L. Euler in a letter to Goldbach written on May 4, 1748,") という主張に言及し「この書簡においてオイラーが四元数を『同定した』というのは如何にもナンセンスで... この主張は馬鹿げている」("it makes no sense whatsoever to say that Euler "identified" the quaternions in this letter... this claim is absurd.") と評している。
↑ Simon L. Altmann (1989-12). “Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal”. Mathematics Magazine 62 (5): 306. https://www.jstor.org/stable/2689481.
↑ Hamilton (1844, pp. 489–495)
↑ HAKMEM (1972) のアイテム107に "attitude of the spacecraft" が四元数でストアされている、という表現がある。
ベクトル解析は四元数と同じ現象を記述するために、四元数に関する文献から自由に用語法や考え方を拝借していたが、ベクトル解析の方が概念的に簡単で、記法もすっきりしていたので、遂には数学と物理学における四元数の役割は小さく追いやられることとなった。このような変遷の副作用で、現代的な読者にはハミルトンの仕事は難しく複雑なものと化してしまった。ハミルトンのオリジナルの定義は馴染みがなく、その書き振りは冗長で不明瞭である。
四元数は20世紀の後半になって、三次元の自由な回転を記述する能力を買われて、多用されることとなった。四元数による3次元の回転(姿勢)の表現は、3次正方行列による表現と比べて記憶容量が小さくて演算のスピードも速い。加えて、オイラー角と違ってジンバルロックが起きない。この特徴は、地上における上下方向のような絶対的な軸の無い、宇宙機のような三次元の自由度が完全にある場合の姿勢制御などでの利用に適しており、宇宙機以外にもCG、コンピュータビジョン、ロボット工学、制御理論、信号処理、物理学、生物情報学、分子動力学法、計算機シミュレーションおよび軌道力学など、他にも多くの応用がある。
また、四元数は二次形式との関係性により、数論からの後押しも受けている。
1989年以降、アイルランド国立大学メイヌース校の数学教室は、科学者(2002年には物理学者のマレー・ゲルマン、2005年にスティーヴン・ワインバーグなど)や数学者(2003年のアンドリュー・ワイルズなど)からなる、ダンシンク天文台からロイヤル運河の橋までを歩く巡礼の旅を開催している。ハミルトンが橋に刻みつけた公式はもはや見ることはできないが。
四元数全体のなす集合 H は実数体上の 4次元ベクトル空間を成す(実数全体は 1次元、複素数全体は 2次元、八元数全体は 8次元である)。四元数は加法と、結合的で分配的な乗法を持つが、その乗法は可換でない。従って四元数の全体 H は実数体上の非可換結合多元環である。H には複素数体 C の複製が含まれるが、H は C 上の結合多元環にはならない。
四元数は除法が可能であるから、H は多元体(乗法が可換でないことを除けば可換体と同様の構造)である。実数体上の有限次元結合的多元体は非常に少なく、フロベニウスの定理はそれが R, C, H のちょうど3種類であることを述べるものである。また、四元数のノルムにより四元数の全体はノルム多元環となるが、実数体上のノルム多元体もまた非常に限られ、フルヴィッツの定理(英語版)はそれが R, C, H, O の四種類(O は八元数全体)であることを述べる。
複素数の行列表現と全く同様に、四元数も行列で表現することができる。四元数を行列で表現し、四元数の加法と乗法を行列のそれに対応させる方法は、少なくとも二つあり、一つは 複素 2次正方行列を用いるもの、もう一つは実 4次正方行列を用いるものである。何れの場合も、表現は線型に関連する表現の族として与えられるもので、抽象代数学の観点からは、H からそれぞれ全行列環 M2(C) および M4(R) への単射環準同型である。
複素 2次正方行列を用いて、四元数 a + bi + cj + dk は
( a + b i c + d i − c + d i a − b i ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}}
と表現される。この表現は以下の性質を持つ:
複素数 (c = d = 0) は対角行列に対応する。
四元数のノルム(複素数のノルム同様に、自身とその共軛との積の平方根)は対応する行列の行列式の平方根に一致する。
四元数の共軛は、対応する行列のエルミート共軛に対応する。
単位四元数に制限すれば、この表現は S と SU(2) との間の同型を与える。後者の群は量子力学においてスピンを記述するのに重要である(パウリ行列を参照)。
実 4次正方行列を用いれば、同じ四元数は