行列の分解
別名:一般シューア分解
適用:正方行列 A と B
コメント:この分解には2つのバージョンがある:複素と実.
分解(複素バージョン): A = Q S Z ∗ {\displaystyle A=QSZ^{*}} および B = Q T Z ∗ {\displaystyle B=QTZ^{*}} , ただし Q と Z はユニタリ行列で, は共役転置を表し,S と T は上三角行列である.
コメント:複素QZ分解において,A の対角成分と対応する T の対角成分の比 λi = Sii/Tii は一般化固有値問題 Av = λBv(ただし λ は未知のスカラーで v は未知の非零ベクトル)を解く一般化固有値である.
分解(実バージョン):A = QSZ および B = QTZ, ただし A, B, Q, Z, S, T は実数のみを成分とする行列である.この場合 Q と Z は直交行列であり. は転置を表し,S と T はブロック上三角行列である. S と T の対角ブロックのサイズは 1 × 1 か 2 × 2 である.