三重積 (ベクトル解析)
すなわち、a×b は a および b に垂直である。同様に (a×b)×c も a×b に垂直だから、 (a×b)×cとa と b は線形従属であり、同一平面内にある (∵この組が線形独立と仮定すると、全てに垂直なa×b を加えてできる組、(a×b)×cとa と bとa×b は線形独立になり、これらが3次元ベクトルであることに矛盾する)。 ここで、 a と b は一次独立なので、μ, ν を未定のスカラーとして
( a × b ) × c = μ a + ν b {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=\mu {\boldsymbol {a}}+\nu {\boldsymbol {b}}}
と書ける。
また、 (a×b)×c は c にも垂直だから、
0 = μ ( a ⋅ c ) + ν ( b ⋅ c ) {\displaystyle 0=\mu ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})+\nu ({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})}
よって
μ = − λ ( b ⋅ c ) ν = λ ( a ⋅ c ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=-\lambda ({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\\\nu &=\lambda ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\end{aligned}}}
( ∑ i = 1 n a i c i ) ( ∑ j = 1 n b j d j ) − ( ∑ i = 1 n a i d i ) ( ∑ j = 1 n b j c j ) = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i b j − a j b i ) ( c i d j − c j d i ) {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}
を既知とすれば、スカラー四重積の公式
( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) = ( a × b ) ⋅ ( c × d ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})}
が得られるが、スカラー三重積の性質を使って変形すれば
a ⋅ ( b × c ) = ( a × b ) ⋅ c ( ≡ [ a , b , c ] ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,\,(\equiv [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}])}
[ a , b , c ] = [ b , c , a ] = [ c , a , b ] {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]=[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]=[{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]}