準群
準群の二項演算は、可逆 (英: invertible である。すなわち、 左右の乗算作用素 L x {\displaystyle L_{x}} and R x {\displaystyle R_{x}} が共に、全単射であり、従って可逆 でる。
任意のループは、一意な左逆元と右逆元を持つ。すなわち:
x λ = e / x x λ x = e {\displaystyle x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e}
x ρ = x ∖ e x x ρ = e {\displaystyle x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e}
任意の x に対して、 x λ = x ρ {\displaystyle x^{\lambda }=x^{\rho }} が成り立つとき、 ループは (両側) 可逆 (英: (two-sided) inverses) を持つと言われる。 この場合、この逆元は通常 x − 1 {\displaystyle x^{-1}} と表される。
ループにおいて、可逆性よりも強い概念がある。よく使われるものとしては、以下のようなものがある。