ガンベル分布
ガンベル分布の確率変数を X とするとき、平均 E(X) および分散 V(X) は次のように表される。
E ( X ) = μ + γ η , {\displaystyle E(X)=\mu +\gamma \eta ,}
V ( X ) = π 2 η 2 6 . {\displaystyle V(X)={\frac {\pi ^{2}\eta ^{2}}{6}}.}
ここで γ = 0.577... はオイラーの定数である。
定数 μ と正の定数 η > 0 に対し、確率変数 X の分布関数 F(X) が
F ( x ) = exp  [ − exp  { − ( x − μ η ) } ] , − ∞ < x < ∞ {\displaystyle F(x)=\exp \left[-\exp \left\{-\left({\frac {x-\mu }{\eta }}\right)\right\}\right],\quad -\infty <x<\infty }
で与えられるとき、確率変数 X はガンベル分布に従うという。このとき、対応する確率密度関数 f (x) は
f ( x ) = 1 η exp  { − ( x − μ η ) } exp  [ − exp  { − ( x − μ η ) } ] , − ∞ < x < ∞ {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\eta }}\exp \left\{-\left({\frac {x-\mu }{\eta }}\right)\right\}\exp \left[-\exp \left\{-\left({\frac {x-\mu }{\eta }}\right)\right\}\right],\quad -\infty <x<\infty }
である。ガンベル分布は極値分布のタイプIに相当する。