商群
G がリー群で N が G の正規リー部分群であるとき、商 G / N もまたリー群である。この場合、もとの群 G は底空間が G / N ファイバーが N のファイバー束(具体的には主 N 束)の構造を持つ。
正規でないリー部分群 N に対し、左剰余類の空間 G / N は群ではないが、単に G が作用する可微分多様体である。これは等質空間と呼ばれる。
G/N が商群と呼ばれる理由は整数の除法から来る。12 を 3 で割ると答えは 4 である、なぜならば 12 個のモノを 3 コのモノからなる 4 つのグループに分けることができるからである。商群は同じ思想であるが、最終的な答えは数ではなく群である、なぜならば群はモノの任意の集まりよりも多くの構造を持っているからである。
詳しく述べるため、N を G の正規部分群として、G/N を見ると、群構造は自然な「グループ分け」をするために用いられる。これらは N の G における剰余類である。群と正規部分群から始めたから、最終的な商は(通常の割り算が与える)単なる剰余類の個数よりも多くの情報を含んでおり、それ自身群構造を持つ。
N を群 G の正規部分群とする。集合 G/N を N の G におけるすべての左剰余類からなる集合と定義する、すなわち、G/N = { aN : a ∈ G } とする。G/N 上の演算を次のように定義する。G/N の各元 aN と bN に対し、aN と bN の積は (aN)(bN) である。これは G/N 上の演算を定めている、なぜならば G の部分集合の次の等式が成り立つからである:
(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = (ab)NN = (ab)N.
ここで N が正規部分群であることを本質的に用いている。G/N 上のこの演算が結合的で、単位元 N を持ち、G/N の元 aN の逆元は aN であることが確かめられる。したがって、集合 G/N に上で定義された演算を考えると群をなす;これは G の N による商群 (quotient group) と呼ばれる。
N の正規性により、N の G における左剰余類たちと右剰余類たちは等しく、したがって代わりに G/N を N の G における右剰余類たちの集合として定義することもできた。