次数付き環
上記の定義は添え字集合として任意のモノイド G を使った次数付き環に一般化できる。G-次数環(G-graded ring)A は直和分解
A = ⨁ i ∈ G A i {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in G}A_{i}}
をもった環であって
A i A j ⊆ A i ⋅ j {\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i\cdot j}}
が成り立つようなものである。
今や"次数環"の概念は N-次数環と同じものである。ただし N は非負整数が加法についてなすモノイドである。次数加群や代数についての定義もまた添え字集合 N を任意のモノイド G にとりかえることによって拡張できる。
注意:
環が単位元をもつことを要求しない場合、モノイドのかわりに半群でもよい。
例:
群は自然に対応する群環を次数付ける。同様に、モノイド環は対応するモノイドによって次数付けされる。
超代数(英語版) は Z2-次数代数の別名である。クリフォード代数はその例である。ここで斉次元は次数 0(偶数)かまたは 1(奇数)である。
次数付き加群の射の核と像は次数付き部分加群である。
例:次数付き環はそれ自身の上の次数付き加群である。次数付き環のイデアルが斉次であることと次数付き部分加群であることは同値である。定義によって部分環が次数付き部分環であることと次数付き部分加群であることは同値である。次数付き加群の零化イデアルは斉次イデアルである。
例:次数付き環から次数付き環への像が中心に含まれるような次数付き射を与えることは、後者の環に次数付き代数の構造を与えることと同じである。
次数付き加群 M が与えられたとき、the l-twist of M ( l ) {\displaystyle M(l)} は M ( l ) n = M n + l {\displaystyle M(l)_{n}=M_{n+l}} によって定義される次数付き加群である。(cf. 代数幾何のセールのねじり層(英語版))
M と N を次数付き加群とする。 f : M → N {\displaystyle f:M\to N} が加群の射であれば、 f ( M n ) ⊂ N n + d {\displaystyle f(M_{n})\subset N_{n+d}} のときに f の次数は d であるという。微分幾何学における微分形式の外微分は負の次数をもつそのような射の例である。