ポストの定理
ポストの定理は定義可能性と再帰理論に関連したいくつかの概念を必要とする。この節ではそれら概念の概要を解説する。
算術的階層は、ペアノ算術で定義可能な自然数の集合を階層的に分類するものである。ある論理式が Σ m 0 {\displaystyle \Sigma _{m}^{0}} に属するとは、それが冠頭標準形(全ての量化子が先頭にある)の存在量化式で、存在量化と全称量化が m {\displaystyle m} 回交互にあって、それらが量化されていない論理式に適用されている場合である。次のような形式のペアノ算術の言語で書かれた論理式 φ ( s ) {\displaystyle \phi (s)} は Σ m 0 {\displaystyle \Sigma _{m}^{0}} 論理式である。
∃ n 1 ∀ n 2 ∃ n 3 ∀ n 4 ⋯ Q n m ρ ( n 1 , ... , n m , x 1 , ... , x k ) {\displaystyle \exists n_{1}\forall n_{2}\exists n_{3}\forall n_{4}\cdots Qn_{m}\rho (n_{1},\ldots ,n_{m},x_{1},\ldots ,x_{k})}
ここで ρ は量化子を含まない論理式で、Q は m が偶数なら ∀ {\displaystyle \forall } 、m が奇数なら ∃ {\displaystyle \exists } である。