イデアル (環論)
I, J を環 R の左(右)イデアルとする。I, J の和を
I + J := { a + b ∣ a ∈ I , b ∈ J } {\displaystyle I+J:=\{a+b\mid a\in I,\,b\in J\}}
で定義すると、これは I, J を含む左(右)イデアルのうち最小のものである。また、I と J の積集合 I ∩ J は I, J に含まれる左(右)イデアルのうち、最大のものである。しかし、和集合 I ∪ J は必ずしもイデアルにならない。I と J が共に両側イデアルのとき、それらの積を
I J := { a 1 b 1 + ⋯ + a n b n ∣ n ∈ N , a i ∈ I , b i ∈ J } {\displaystyle IJ:=\{a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,\,a_{i}\in I,\,b_{i}\in J\}}
で定義すると、これはまた両側イデアルであり、I ∩ J に含まれる。積の定義は、単なる I の元と J の元の積ではなく、その有限和全体の集合であることに注意する必要がある。これらの間の包含関係をまとめると次のようになる。
I J ⊂ I ∩ J ⊂ I , J ⊂ I ∪ J ⊂ I + J {\displaystyle IJ\subset I\cap J\subset I,\,J\subset I\cup J\subset I+J}
ただし、最初の包含関係は、I, J が両側イデアルの場合である。