複素多様体
複素多様体に対してリーマン計量の類似物を定義できて、エルミート計量と呼ぶ。リーマン計量のように、エルミート計量は滑らかな微分可能な変形を持ち、接空間の上で正定値な内積である。各々の点での接空間上では、複素構造の観点から、エルミートである。リーマン多様体の場合と同じく、そのような計量はいつでも複素多様体上には十分多く存在している。もしそのような計量が、シンプレクティック構造の場合、つまり、閉じた非退化な場合には、計量はケーラーと呼ばれる。ケーラー構造はより非常に難しい条件となる。
ケーラー多様体の例としては、微分可能な射影多様体や、ケーラー多様体の任意の複素部分多様体がある。ホップ多様体(Hopf manifold)はケーラー多様体ではない複素多様体の例である。ホップ多様体を構成するためには、複素ベクトル空間から原点を取り去り、この空間に対して exp(n) をかける整数の群の作用を考える。商は第一ベッチ数が 1 の複素多様体で、従ってホッジ理論よりケーラー多様体ではあり得ないことが分かる。
カラビ-ヤウ多様体は、リッチ平坦なコンパクトケーラー多様体として、あるいは同値なことであるが、第一チャーン類がゼロとなるようなコンパクトケーラー多様体として定義される。