グレブナー基底
グレブナー基底の基本的な考え方は、多項式の集合 F を以下の特性を持つ "性質の良い"(グレブナー基底と呼ばれる)多項式の集合 G に変換することである。
F と G は "等価"(つまり同じイデアルを生成する)
さらに、グレブナー基底についての理論から以下のことが分かっている。
グレブナー基底の "性質の良さ" のため、F で解くのが難しい多くの問題をグレブナー基底 G で解くことができる。
任意の F を等価なグレブナー基底 G に変換するアルゴリズム(ブッフベルガーアルゴリズム)が存在する。
G での問題の解法は、多くの場合、簡単に F での問題の解法に変換できる。
例えば、数式処理システムで多変数の連立代数方程式を解く場合、直接解くのは多くの場合難しい。その際に与えられた方程式のグレブナー基底を計算しそれらを解くことで、元の連立代数方程式の解を求めることができる。
多項式環上のグレブナー基底の理論はオーストリアの大学院生であったブルーノ・ブッフベルガー(英語版)によって1965年に発表され、その当時のブッフベルガーの指導教授ヴォルフガンク・グレブナー(英語版)の名前からグレブナー基底と名付けられた。これと独立して1964年に局所環上での同様の理論が広中平祐によって発見され、標準基底(standard basis、あるいはHironaka's standard basis)とも呼ばれる。自由リー代数の枠組みでの同様の理論はA. I. Shirshovによって1962年に発見されたが、ソ連の外には広く知られなかった。