密度行列
Pr [ A {\displaystyle \Pr[A} の観測値が a ∣ s ′ ] = 1 2 Pr [ A {\displaystyle a\mid s']={1 \over 2}\Pr[A} の観測値が a ∣ | + ⟩ ] + 1 2 Pr [ A {\displaystyle a\mid |+\rangle ]+{1 \over 2}\Pr[A} の観測値が a ∣ | − ⟩ ] = ⟨ + | P a | + ⟩ + ⟨ − | P a | − ⟩ 2 = ⟨ L | P a | L ⟩ + ⟨ R | P a | R ⟩ 2 {\displaystyle a\mid |-\rangle ]={\langle +|P_{a}|+\rangle +\langle -|P_{a}|-\rangle \over 2}={\langle L|P_{a}|L\rangle +\langle R|P_{a}|R\rangle \over 2}}
が成立するので両者は等しい。ここでPaはaの固有空間への射影である。
本項では密度行列を、混合状態を記述する上での便利な道具立てとして導入した。しかし純粋状態を記述する際にも密度行列は有効に働く。
これは状態ベクトル表記もやはり、(位相以外にも差がある)全く別の状態ベクトルが、同一の純粋状態を表す場合があるからである。前述のように密度行列であればこうした問題は生じない。
状態ベクトルに対してこの問題が生じるのは、合成系の場合である。2つの系を合成した場合、合成系の状態ベクトルは、各々の系の状態ベクトル | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } のテンソル積である:
| ψ 1 , ψ 2 ⟩ = | ψ 1 ⟩ ⊗ | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1},\psi _{2}\rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle }
位相にしか差がない2つの状態ベクトルは同一の物理状態を表すので、