ガウスの連分数
..)が定まって次の展開が得られる。
1 F 1 ( a + 1 ; b + 1 ; z ) 1 F 1 ( a ; b ; z ) = 1 1 + a − b b ( b + 1 ) z 1 + a + 1 ( b + 1 ) ( b + 2 ) z 1 + a − b − 1 ( b + 2 ) ( b + 3 ) z 1 + a + 2 ( b + 3 ) ( b + 4 ) z 1 + ⋱ {\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}
または