曲面 (数学)
また、曲面によっては、単一の媒介付けその曲面全体を辿ることができるようなものが存在しないということも起こり得る。したがって、しばしば複数の媒介方程式を使って、それらの像が曲面全体を覆えるようにする。これは多様体の概念によって曲面を定式化するものである。多様体を扱う文脈は典型的には位相幾何学や微分幾何学であるが、その場合の曲面とは二次元の多様体のことである。言い換えれば、曲面とは各点がユークリッド平面(の適当な開集合)に同相な近傍を持つ位相空間のことを言う。このような定式化ものとで、高次元空間内の曲面や(どのような空間に含まれるかさえ問題としない)抽象曲面なども定義することができるようになる。しかしこれらは「滑らか」な曲面しか扱わないので、円錐曲面(英語版)の頂点や自己交叉を持つ曲面の交叉点など、特異点(英語版)のある曲面は除外されてしまう。
古典幾何学での曲面は、何らかの点や線の成す軌跡として一般に定義される。例えば、球面は「中心」と呼ばれる定点から与えられた距離にある点の軌跡である。また例えば、円錐曲面(英語版)は定点を通り一つの曲線と交わる直線の軌跡になっている。あるいは回転曲面は曲線を一つの直線を軸に回転させた軌跡である。線織面(英語版)も適当な制限を課して直線を動かした軌跡になっている。
(R 内の)陰伏曲面の特異点とは、陰伏方程式を満足する点であって、その点において定義多項式の三つ全ての偏微分 0 となるようなものを言う。したがって、曲面の特異点の全体は 4 本の三変数多項式方程式からなる方程式系の解集合となる。ほとんどの場合にそのような方程式系には解がないことから、多くの曲面が特異点を全く含まないことがわかる。特異点を持たない曲面は正則 (regular) または非特異 (non-singular) であると言う。
特異点付近の曲面の研究および特異点の分類は特異点論(英語版)と言う。特異点が孤立するとは、その近傍に他の特異点を含まないときに言う。さもなくば特異点の集合は曲線を成す(自己交叉曲面の場合には特にそうである)。
数学における曲面(きょくめん、英: surface)は、平面の概念を平坦ではない(つまり曲率が必ずしも零でない)ものへ一般化するものである。これは直線に対する曲線の二次元的な対応物である。精確な定義は、それぞれの文脈および研究に用いる数学的な道具によって異なる複数のものが存在する。
数学的概念としての曲面は、日常語としての、あるいは科学やコンピュータグラフィックが扱うような、曲面(または表面形状)の概念を理想化したものと理解することができるものである。本項では様々な種類の曲面を考慮したり比較したりすることがあるので、その場合にはそれらを区別できる曖昧さのない用語法を用いる必要がある。たとえば、「位相曲面」は二次元の(位相)多様体としての曲面の意味であり(曲面の項で扱う)、「(可)微分曲面」は可微分多様体となっている場合に用いる(曲面の微分幾何(英語版)の項を参照)。任意の微分曲面は位相曲面であるが、逆は言えない。
簡単のため、特に断りが無ければ「曲面」は三次元ユークリッド空間(特に、R内の曲面の意味で用いることにする。他の空間に含まれることを仮定しない曲面は抽象曲面 (abstract surface) と呼ぶ。