フロベニウスの定理 (微分トポロジー)
ここで、勾配 ∇u1, ..., ∇un−r が線型独立 であるような u1, ..., un−r の解集合が存在する条件を求める。
フロベニウスの定理は、演算子 Lk が対合性として知られるある可積分性条件を満たす場合に限り、この問題が局所的に解を持つと主張している 。 具体的には、次の式
L i L j u ( x ) − L j L i u ( x ) = ∑ k c i j k ( x ) L k u ( x ) {\displaystyle L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{i}u(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}(x)L_{k}u(x)}
が 1 ≤ i, j ≤ r において、全ての C 級関数 u と、および x に依存することが認められているいくつかの係数 c 'ij' (x) に対して関係を満たす必要がある。言い換えれば、 交換子 [Li, Lj] は、任意の点でLk の線型包の内部になければならない。 対合の条件は偏導関数の可換性の一般化である。 実際、フロベニウス定理の証明戦略では、結果として生じる演算子が交換を行うように演算子 Li 間で線形結合を形成し、そして y1, ..., yr に関して厳密な偏導関数のための座標系 yiがあることを示す。