ヤコビの公式
ヤコビ公式の両辺は A および A' の係数に関して多項式である。それゆえ A の固有値が相異なり、かつゼロでないような稠密な部分集合上で多項恒等式を示せば十分である。
A の因子が A = BC のように微分可能ならば、
t r ( A − 1 A ′ ) = t r ( ( B C ) − 1 ( B C ) ′ ) = t r ( B − 1 B ′ ) + t r ( C − 1 C ′ ) {\displaystyle \mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} ((BC)^{-1}(BC)')=\mathrm {tr} (B^{-1}B')+\mathrm {tr} (C^{-1}C')}
である。
特に、L が正則ならば、I = L L かつ
0 = t r ( I − 1 I ′ ) = t r ( L ( L − 1 ) ′ ) + t r ( L − 1 L ′ ) {\displaystyle 0=\mathrm {tr} (I^{-1}I')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (L^{-1}L')}
である。
A は相異なる固有値を持つから、A = L DL(D は対角行列)を満たす微分可能な複素正則行列 L が存在する。