ホッジ双対
Vを向きつけられた内積空間とし、nをその次元とする。0 ≤ k ≤ n をみたす整数 k に対し、ホッジスター作用素とは、k-ベクトル(英語版)(k-vectors)から (n − k)-ベクトル空間への同型写像のことである。この写像の k-ベクトルの像は、k-ベクトルのホッジ双対と呼ばれる。k-ベクトルの空間および(n − k)-ベクトルの空間の次元はともに二項係数
( n k ) = ( n n − k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}}
である。同じ体の上の同じ次元の 2つのベクトル空間は常に同型であるが、標準的方法で同型となるわけではない。しかし、この場合のホッジ双対は、内積とベクトル空間の向き付けを利用することによって、代数における二項係数のパターンを反映した同型を自然にさだめる。またこれによって k-ベクトル空間の内積を導く。自然な定義とは、この双対関係が理論の幾何学的な役割を果たすことを意味する。
最初の興味深い例は、3次元ユークリッド空間 V である。二項係数は 1, 3, 3, 1であり、ホッジ双対は、2つの 3次元空間、V 自身とV から導かれる 2つのベクトルのウェッジ積の空間の間の同型を確立する。詳細は、#例の節を参照。この場合には、まさに伝統的なベクトル解析であるクロス積(外積)である。クロス積は 3次元でのみ定義されるのに対し、ホッジ双対は一般次元で定義される。
数学において、ホッジスター作用素(ホッジスターさようそ、Hodge star operator)、もしくは、ホッジ双対(ホッジそうつい、Hodge dual)は、ウィリアム・ホッジにより導入された線型写像である。ホッジ双対は、有限次元の向き付けられた内積空間の外積代数の上で定義されるk -ベクトルのなす空間から(n − k)-ベクトルのなす空間への線形同型である。
他のベクトル空間に対する多くの構成と同様に、ホッジスター作用素は多様体の上のベクトルバンドルへの作用に拡張することができる。 たとえば余接束の外積代数(すなわち、多様体上の微分形式の空間)に対して、ホッジスター作用素を用いてラプラス=ド・ラーム作用素を定義し、コンパクトなリーマン多様体上の微分形式のホッジ分解を導くことができる。
a i = ( a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) e 1 e 2 e 3 = a 1 e 2 e 3 ( e 1 ) 2 + a 2 e 3 e 1 ( e 2 ) 2 + a 3 e 1 e 2 ( e 3 ) 2 = a 1 e 2 e 3 + a 2 e 3 e 1 + a 3 e 1 e 2 = ⋆ a {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}i&=(a_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+a_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}){\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}\\&=a_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}({\boldsymbol {e_{1}}})^{2}+a_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}({\boldsymbol {e}}_{2})^{2}+a_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}({\boldsymbol {e}}_{3})^{2}\\&=a_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}+a_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}\\&=\star {\boldsymbol {a}}\end{aligned}}}
また、{elem} により張られる双対空間においても、