モナド (超準解析)
超実数体 ∗ R {\displaystyle ^{\ast }\mathbb {R} } の元 x {\displaystyle x} のモナドとは
μ ( x ) = { y ∈ ∗ R ∣ x − y is infinitesimal } {\displaystyle \mu (x)=\{y\in {}^{\ast }\mathbb {R} \mid x-y{\text{ is infinitesimal}}\}}
で定義される集合である。 x {\displaystyle x} が有限のとき、 x {\displaystyle x} のモナドは標準実数をただひとつだけ含み、これを x {\displaystyle x} の標準部分(standard point)と呼ぶ。
位相空間 X {\displaystyle X} の(標準)点 x {\displaystyle x} のモナドとは
μ ( x ) = ⋂ { ∗ U ∣ U is a neighborhood of x } {\displaystyle \mu (x)=\bigcap \{{}^{\ast }U\mid U{\text{is a neighborhood of }}x\}}
で定義される ∗ X {\displaystyle {}^{\ast }X} の部分集合である。 ∗ X {\displaystyle {}^{\ast }X} の点は、ある標準点のモナドに属するときに、近標準的(nearstandard)であると言われる。