線形予測法
線形予測における係数は複数の形式で表現できる。以下は代表的な係数表現である。
線形予測係数(英: linear predictive coefficients; LP coefficients): 定義式における a i {\displaystyle a_{i}} 。ノイズに対する脆弱性が知られる
line spectral frequencies; LSF
reflection coefficients; RC
autocorrelations; AC
ログ面積比(英: log area ratios; LAR)
arcsine of reflection coefficients; ASRC
impulse responses of LP synthesis filter; IR
係数表現によってノイズ耐性や計算量の特性が異なる。例えば音声符号化における線形予測(線形予測符号化)ではアナログ回線に由来するノイズへ耐性を持たせるために、LP coefficients 以外の係数表現がしばしば用いられてきた。
系列 x ( n ) {\displaystyle x(n)} に対して p {\displaystyle p} 次の線形予測法で推定した値 x ^ ( n ) {\displaystyle {\widehat {x}}(n)} は予測係数 a i {\displaystyle a_{i}} を用いて次で表される。
x ^ ( n ) = − ( a 1 x ( n − 1 ) + a 2 x ( n − 2 ) + . . . + a p x ( n − p ) ) = − ∑ i = 1 p a i x ( n − i ) = − a 1 : p ⊤ x n − 1 : n − p {\displaystyle {\widehat {x}}(n)=-(a_{1}x(n-1)+a_{2}x(n-2)+...+a_{p}x(n-p))=-\sum _{i=1}^{p}a_{i}x(n-i)=-{\boldsymbol {a_{1:p}}}^{\top }{\boldsymbol {x_{n-1:n-p}}}}
すなわち線形予測法とは p {\displaystyle p} 次の過去系列を用いた線形回帰である。
この誤差は多次元信号においてベクトルノルム ‖ . ‖ {\displaystyle \|.\|} を用いて次のように定義される。
e ( n ) = ‖ x ( n ) − x ^ ( n ) ‖ {\displaystyle e(n)=\|x(n)-{\widehat {x}}(n)\|\,}