VIX指数
σ 2 = E ∗ [ 1 T ∫ 0 T v 2 ( t ) d t ] − 2 T E ∗ [ ∫ 0 T v ( t ) d W ∗ ( t ) ] {\displaystyle \sigma ^{2}=E^{*}\left[{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}v^{2}(t)dt\right]-{\frac {2}{T}}E^{*}\left[\int _{0}^{T}v(t)dW^{*}(t)\right]}
が得られる。第2項は確率積分の期待値なので v {\displaystyle v} に妥当な仮定を課せばその値は0である。つまり次の結果が得られる。
σ 2 = E ∗ [ 1 T ∫ 0 T v 2 ( t ) d t ] {\displaystyle \sigma ^{2}=E^{*}\left[{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}v^{2}(t)dt\right]}
よって
V I X T = 100 × E ∗ [ 1 T ∫ 0 T v 2 ( t ) d t ] {\displaystyle VIX_{T}=100\times {\sqrt {E^{*}\left[{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}v^{2}(t)dt\right]}}}
となる。したがってVIX指数は満期までの平均ボラティリティにリスク中立確率測度で期待値を取ったものを基準化した指数である。CBOEが発表しているVIX指数はS&P 500を原資産としたオプション価格と先渡価格から計算されるので、VIX指数はS&P 500のボラティリティに対するものとなる。またCBOEが発表しているVIX指数の満期は30日である。