コンツェビッチ不変量
この値を Φ と表記すると、 Z() = Φ。
そして、合成とテンソル積に対しては以下のようにコンツェビッチ不変量を定める。
Z(s·u)=Z(s)·Z(u)。
Z(s ⊗ u)=Z(s) ⊗ Z(u)。
通常のタングルとは異なり、隣り合う端点との距離が等しいことを仮定しないことに注意すべきである(これにより、ここで扱うようなタングルを非結合的タングル、準タングルと呼ぶこともある)。準タングルはモノイド圏を成すが、モノイド積に関して (a ⊗ b)⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c) は成立しない。Φ はこの両辺の間の同型を与え、五角関係式(モノイド圏のコヒーレンス条件)をみたす。Φ(またはリー代数由来のウェイトシステムによる像)をドリンフェルト・アソシエータ と呼ぶこともある。上記の U や Φ は無限級数であり、一般の結び目に対する Z の値を求めることは低次の項を除いて非常に難しい。
X を円( 1次元多様体の例)とする。オーダー n のヤコビ図(Jacobi diagram) G とは、右の図の例のような 2n 個の頂点を持ち、部分グラフとして円(external circle)をひとつ持ち、それ以外の円の内部にもグラフ(inner graph)を持ち、次の条件を満たすグラフのことをいう。
外部の円にのみ向きが付いている。
頂点には、1 もしくは、3 の値が割り付けられている。内部グラフの次数 3 の頂点は接続する 3つの辺に時計方向、反時計方向に順序が対応している。次数 1 の頂点には、重複しないように外部の円に接続されていて、順序は外部の円により与えられる。
G の辺をコード(chord)と呼ぶ。このヤコビ図全体から生成される可換群を以下の関係式で割った空間を A ( X ) {\displaystyle A(X)} と書く。
(AS 関係式) +=0
(IHX 関係式) =-
(STU 関係式)=-
(FI 関係式)=0
図中で、実線の矢印は外部の円 X の一部を表し、破線はコードを表す。
3 の値を持つ頂点を持たないヤコビ図を、特にコード図(chord diagram)と呼ぶ。グラフ G の各連結成分が 3 の頂点を持つとき、STU 関係式を繰り返し適用してヤコビ図をコード図に変形することができる。コード図だけを考えるときには、上記の四種類の関係式は次の二つの関係式として表される。
(四項関係式)-+-=0
(FI 関係式)=0
K を三次元空間 C× R に埋め込まれたモース結び目とする。つまり、K を S から C× R への写像 s → (z (s), h (s)) と書いたとき、h の臨界点は全て孤立しているとする。更に、h の一つの臨界値に対して、その逆像は一点から成るとする。