完全系列
ホモロジー代数における完全系列(かんぜんけいれつ、英: exact sequence)あるいは完全列(かんぜんれつ)とは、環上の加群や群などの系列で各射の像空間が次の射の核空間と正確に合致するものをいう。
系列 0 → M ′ → f M → g M ′′ → 0 {\displaystyle 0\xrightarrow {} M'\xrightarrow {f} M\xrightarrow {g} M''\xrightarrow {} 0} が完全であることは、f が単射かつ g が全射であり、さらに g が同型 M / f ( M ) → ≃ M ′′ {\displaystyle M/f(M)\xrightarrow {\simeq } M''} を誘導することと同値。
系列がすべての R 加群 Xi において完全であるとき、その系列を完全系列(exact sequence)と呼び、
⋯ → X n − 1 ⟶ f n − 1 X n ⟶ f n X n + 1 → ⋯ (exact) {\displaystyle \cdots \to X_{n-1}{\stackrel {f_{n-1}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n}{\stackrel {f_{n}}{{}\longrightarrow {}}}X_{n+1}\to \cdots \quad {\text{(exact)}}}
などと表記する。なお、系列が Xn において完全であるならば、その定義から明らかに
f n ∘ f n − 1 ( x ) = 0 n + 1 ∀ x ∈ X n − 1 {\displaystyle f_{n}\circ f_{n-1}(x)=0_{n+1}\;\;\forall \,x\in X_{n-1}} (ただし、 0 n + 1 {\displaystyle 0_{n+1}} は X n + 1 {\displaystyle X_{n+1}} の零元)
が成り立つ(逆は一般に成り立たない)。