複素解析
複素関数とは、自由変数と従属変数がともに複素数の範囲で与えられるような関数である。より正確に言えば複素平面の部分集合上で定義された複素数値の関数が複素関数と呼ばれる。複素関数に対し自由変数や従属変数を実部と虚部とに分けて考えることができる。
z = x + i y , w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , {\displaystyle z=x+iy,\,w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}
ここで x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R . {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} .}
従って複素関数の成分
u = u ( x , y ) , {\displaystyle u=u(x,y),}
v = v ( x , y ) {\displaystyle v=v(x,y)}
は、2つの実変数 x, y についての実数値関数だと考えることができる。複素解析の基本的な概念は、指数関数、対数関数、三角関数などの実関数を複素関数に拡張することにより与えられることが多い。