本質拡大
数学、とくに加群論において、環 R と R-加群 M とその部分加群 N が与えられたとき、次の条件を満たすならば M は N の本質拡大(英: essential extension)(あるいは N は M の本質部分加群(英: essential submodule または 英: large submodule))と呼ばれる。M のすべての部分加群 H に対して
H ∩ N = 0 ならば H = 0.
特別な場合として、R の本質左イデアル(英: essential left ideal)は左加群 RR の部分加群として本質的な左イデアルである。そのような左イデアルは R の任意の 0 でない左イデアルと 0 でない共通部分をもつ。同様に、本質右イデアルは右 R 加群 RR の本質部分加群のことである。
本質部分加群の一般的な表記には次の2つがある。
N ⊆e M および N ⊴ M {\displaystyle N\trianglelefteq M} .
本質部分加群の双対概念は余剰部分加群である。次の条件を満たすならば N は M の余剰部分加群(英: superfluous submodule または 英: small submodule)と呼ばれる。 M のすべての部分加群 H に対して
N + H = M ならば H = M.
余剰部分加群の一般的な表記には次の2つがある。
N ⊆s M および N ≪ M {\displaystyle N\ll M}