超実数
これを回避するには、位置の問題を明示しなければならない。数列には無限の項(添字)が存在するから、有限個の項についてそれを問題にしたくない。問題となる添字集合の一貫した選択は、自然数上の任意の自由超フィルター U によって与えられる。自由超フィルターとは有限集合を含まない超フィルターのことである(それの良い点は、ツォルンの補題よりそのような多くの U が存在することである。悪い点は、それが明示的に構成されえないということである)。 「問題」となる添字集合を一つ選び出すような、U を考えよう。つまり、
( a 0 , a 1 , a 2 , . . . ) ≤ ( b 0 , b 1 , b 2 , . . . ) ⇔ { n ∣ a n ≤ b n } ∈ U {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},...)\leq (b_{0},b_{1},b_{2},...)\Leftrightarrow \{n\mid a_{n}\leq b_{n}\}\in U}
と定義しよう。
これは、total preoder であり、2 つの数列 a, b に対し、a ≤ b かつ b ≤ a であるとき、a と b を区別しないことを認めれば、これは全順序になる。この同一視により、超実数順序体 *R が構成される。代数的観点からみると、U によって対応する可換環 A の極大イデアル I(すなわち、U の元の幾つかが消えた数列の集合)を定義し、A/I を *R と定義できる。
超実数の体系において定積分を定義する一つの方法は、dx を無限小、n を超準自然数 として
a, a + dx, a + 2 dx, ..., a + n dx
で定義される超準有限(英語版)格子上でとった無限和の標準部をとることである。このとき、積分の下の限界は a, 上の限界は b = a + n dx である。