二項分布
二項分布は再生性を有する。すなわち B(n, p) に従う確率変数 X と B(m, p) に従う確率変数 Y が互いに独立であるとき、確率変数の和 X + Y は二項分布 B(n + m, p) に従う。
二項分布 B(n, p) に従う確率変数 X に対し、X の期待値 E[X] を求めると
E [ X ] = ∑ k = 0 n k f X ( k ) = ∑ k = 0 n k ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k = ∑ k = 1 n k ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k = ∑ k = 1 n k n ! ( n − k ) ! k ! p k ( 1 − p ) n − k = ∑ k = 1 n n ! ( n − k ) ! ( k − 1 ) ! p k ( 1 − p ) n − k = ∑ k = 1 n n ( n − 1 ) ! ( n − k ) ! ( k − 1 ) ! p p k − 1 ( 1 − p ) n − k = n p ∑ k = 1 n ( n − 1 ) ! ( n − k ) ! ( k − 1 ) ! p k − 1 ( 1 − p ) n − k {\displaystyle {\begin{aligned}E[X]&=\sum _{k=0}^{n}kf_{X}(k)\\&=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\sum _{k=1}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\sum _{k=1}^{n}k{\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{(n-k)!\,(k-1)!
これは、今日でいうところの中心極限定理の特別な場合に相当する。この正規分布への近似と標準正規分布表により、計算の労力を大きく削減することができる。
例えば、多数の住民の中から n 人を無作為に抽出し、ある質問について同意するかどうかを尋ねる場合を考える。同意する人数の割合は、もちろんサンプルに依存する。n 人を無作為に抽出する作業を何度も繰り返し行うとき、同意する人々の割合の分布は、実際の全住民の合意割合 p とほぼ等しい平均を持ち、標準偏差 σ = p ( 1 − p ) / n {\textstyle \sigma ={\sqrt {p(1-p)/n}}} である正規分布に近似される。未知の変数 p は、標準偏差が小さいほど正確な推定が可能である。そのため、抽出する人数 n は多い方が好ましい。
95%信頼区間ならば、正規分布で近似すると、その範囲は
p − 1.959964 p ( 1 − p ) n ∼ p + 1.959964 p ( 1 − p ) n {\displaystyle p-1.959964{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}\sim p+1.959964{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}
となる。たとえば、p = 50% の場合、n = 100 なら40%–60%、n = 1000 ならば47%–53%、n = 10000 ならば49%–51%となる。n = 10 の場合、正規分布近似ではなく、本来の定義に従って計算すると、89%信頼区間で、30%–70%となる。
p k ′ ( 1 − p ) n − 2 − k ′ + n p = n ( n − 1 ) p 2 + n p {\displaystyle {\begin{aligned}E{\bigl [}X^{2}{\bigr ]}&=\sum _{k=0}^{n}k^{2}P(X=k)\\&=\sum _{k=1}^{n}k(k-1){\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}+\sum _{k=1}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n!}{(n-k)!\,(k-2)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}+E[X]\\&=\sum _{k=2}^{n}{\frac {n!}{(n-k)!\,(k-2)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}+np\\&=n(n-1)p^{2}\sum _{k=2}^{n}{\frac {(n-2)!}{(n-k)!\,(k-2)!}}p^{k-2}(1-p)^{n-k}+np\\&=n(n-1)p^{2}\sum _{k'=0}^{n-2}{\frac {(n-2)!}{(n-2-k')!\,k'!}}p^{k'}(1-p)^{n-2-k'}+np\\&=n(n-1)p^{2}+np\\\end{aligned}}}
合計して、
V [ X ] = n ( n − 1 ) p 2 + n p − n 2 p 2 = n p ( 1 − p ) {\displaystyle {\begin{aligned}V[X]&=n(n-1)p^{2}+np-n^{2}p^{2}\\&=np(1-p)\\\end{aligned}}}
となる。