直線
直線上の点に実数を対応させることで数直線を考えることができる。具体的には、直線上に原点 O と単位点 E を指定し、任意の実数 x に対し、直線上にあり、一方の端点を原点とし、原点から単位点までを結ぶ有向線分との(向きまで込めた)線分比が x となるような線分の、原点ではない側の端点と x とを対応付けたもののことをいう。
しばしば、原点と単位点の距離の整数倍で数を目盛ったものを指す。数直線は向きを持った直線であり、原点から単位点の向きに矢印を記すことがある。また、数直線は、1 次元ユークリッド空間 R に対する座標系と捉えることも出来る。
また、数直線を用いることで数の和や差が図として視覚的に与えることができるため、しばしば教育に用いられる。例えば、上の数直線では足し算(和)は右に進むことであり、引き算(差)は左に進むことである。したがって、
1 + 2 は目盛りの 1 から 2 目盛り右に進むから 3 である。
2 - 3 は目盛りの 2 から 3 目盛り左に進むから -1 である。
互いに直交する向き付けられた数直線によってルネ・デカルトは絶対的な静止座標系を定義した。これは直交座標系と呼ばれる。
原点を固定し、原点を始点とする半直線を用いて極座標系が定義できる。このときの半直線は始線と呼ばれる。
直交座標系を入れた 2 次元ユークリッド空間 E を考えている時には、直線は1次方程式の形で与えられる;
L = { ( x , y ) ∣ a x + b y = c } {\displaystyle L=\{(x,y)\mid ax+by=c\}}
一般次元においても、線型方程式系のグラフとして直線を記述することができる。これは本質的にはベクトルによる記述と同等である。
また同じことだが、原点を固定して点とその位置ベクトルとを同一視すると、ユークリッド空間の異なる 2 点 A(a), B(b) ∈ E が与えられた時に、
L = { ( 1 − λ ) a + λ b ∣ λ ∈ R } {\displaystyle L=\{(1-\lambda )\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}}
なる集合 L は、A, B を含む直線となる(向きを考慮するなら、方向ベクトルは b - a で、これは A から B へ向かって引かれる)。この定義で、λ を 0 と 1 の間に限定すると A から B までを結ぶ(有向)線分
A B → = { ( 1 − λ ) a + λ b ∣ 0 ≤ λ ≤ 1 } {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\{(1-\lambda )\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} \mid 0\leq \lambda \leq 1\}}
が得られる。