ゼルニケ多項式
ゼルニケ多項式 Z n m ( ρ , φ ) {\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )} は、
Z n m ( ρ , φ ) = { R n m ( ρ ) cos  ( m φ ) m ≥ 0 R n | m | ( ρ ) sin  ( | m | φ ) m < 0 {\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )={\begin{cases}R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )&m\geq 0\\R_{n}^{|m|}(\rho )\,\sin(|m|\,\varphi )&m<0\end{cases}}}
により定義される。ここで、 n は非負整数、 m は n ≧ |m| なる整数であり、 ρ は 動径 (0 ≦ ρ ≦ 1)、 φ は偏角である。
ゼルニケ多項式 (ゼルニケたこうしき、英語: Zernike polynomials)とは、単位円上で定義された直交多項式である。
とくに光学において軸対称な光学収差を回折理論に基づいて解析的に取り扱う際に用いられる。。
呼称は、位相差顕微鏡の発明によって1953年にノーベル物理学賞を受賞した光物理学者フリッツ・ゼルニケに由来する。
∫ 0 2 π cos  ( m φ ) sin  ( m ′ φ ) d φ = 0 {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0}
ここで ε m {\displaystyle \epsilon _{m}} は m = 0 {\displaystyle m=0} のとき2、 m ≠ 0 {\displaystyle m\neq 0} のとき1と定義される。これらより、単位円状でのゼルニケ多項式の直交性
∫ Z n m ( ρ , φ ) Z n ′ m ′ ( ρ , φ ) d 2 r = ε m π 2 n + 2 δ n , n ′ δ m , m ′ {\displaystyle \int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{m}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'}}
が導かれる。ここで d 2 r = ρ d ρ d φ {\displaystyle d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi } であり n − m {\displaystyle n-m} と n ′ − m ′ {\displaystyle n'-m'} はいずれも偶数と仮定している。
{\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}}
この式より、動径多項式の導関数を、2つの動径多項式から計算することができる。
d d ρ R n m ( ρ ) = ( 2 n m ( ρ 2 − 1 ) + ( n − m ) ( m + n ( 2 ρ 2 − 1 ) ) ) R n m ( ρ ) − ( n + m ) ( n − m ) R n − 2 m ( ρ ) 2 n ρ ( ρ 2 − 1 ) . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}}