不確定性原理
時間とエネルギーに関しては、観測量の分散に対するロバートソン不等式を論じることは一般にできない。それはエネルギー固有値が連続でかつ上限および下限を持たない量子系でなければ、ハミルトニアン ˆH に正準共役な時間演算子 ˆT は定義できないためである。もし考えている量子系においてエルミートな ˆT が存在して
[ H ^ , T ^ ] = i ħ {\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {T}}]=i\hbar }
を満たすならば、任意の実数 k に対して
U ^ ( k ) = exp  ( − i k T ^ / ħ ) {\displaystyle {\hat {U}}(k)=\exp(-ik{\hat {T}}/\hbar )}
というユニタリ変換が存在する。これをあるエネルギー固有値 E に対応する固有状態 |E⟩ に作用させると、得られる状態は
H ^ U ^ ( k ) | E ⟩ = ( E + k ) U ^ ( k ) | E ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}{\hat {U}}(k)|E\rangle =(E+k){\hat {U}}(k)|E\rangle }
という関係を満たすため、エネルギー固有値が E + k のエネルギー固有状態を得たことになる。しかし k は負の無限大から正の無限大の間の任意の実数値をとれるため、エネルギー固有値も連続的となり下限も上限もなくなる。