複素指数函数
明度は函数の絶対値を表す: 虚軸方向の変化に対して一定であり、実軸方向では右へ行く(引数の実部が大きい)ほど明るくなっているのが分かる。
色相は函数の偏角を表す: 実軸方向の変化に対して一定であり、虚軸方向では引数の虚部に対する周期性が色相の繰り返しパターンから読み取れる。
具体的には、複素指数函数は次の冪級数で与えられる:
exp  ( z ) := ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \exp(z):=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{n!}}}
したがって、複素指数函数は整関数である。
オイラーの公式、複素数についての指数法則:e e = e より、複素指数函数は、実関数で代数的に与えられる:
z = x + yi(x, y は実数)(i は虚数単位)に対して、
exp  ( x + i y ) = e x ( cos  y + i sin  y ) {\displaystyle \exp(x+iy)=e^{x}(\cos y+i\sin y)}
複素数全体からなる加法群を C, 非零複素数からなる乗法群を C* で表すとき、複素指数函数 exp: C → C* は、位相群の準同型(連続指標)のうちで微分可能かつ exp′(1) = 1 を満たすものとして特徴づけられる。
実数 x を
exp(ix) = cos(x) + isin(x)(オイラーの公式)