スペクトル分解 (関数解析学)
この場合、T − λ は下に有界でない(すなわち、 ||y||=1 なる y で ||(T − λ)(y)|| がいくらでも小さいものが存在する)ことが証明される。また同様に、稠密な部分集合 R 上で定義される線型逆作用素 (T − λ) は有界作用素でなく、したがって X 全体に拡張することが出来ない。このとき、λ は T の連続スペクトル σc(T) に含まれると言われる。
T − λ が単射であるが、稠密な値域を持たない場合。すなわち、X 内のある元 x とその近傍 N で (T − λ)(y) が N に含まれないようなものが存在する場合。このとき、作用素 (T − λ) x → x は有界あるいは非有界であるが、どのような場合でも X 全体の上への有界線型写像への一意的な拡張は存在しない。この場合の λ は T の剰余スペクトル σr(T) に含まれると言われる。
以上より、σ(T) は三つの集合の直和
σ ( T ) = σ p ( T ) ∪ σ c ( T ) ∪ σ r ( T ) {\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{p}(T)\cup \sigma _{c}(T)\cup \sigma _{r}(T)}
で与えられることが分かる。
なお、 T − λ が単射であるかどうかに関わらず稠密な値域を持たないような λ の集合をTの圧縮スペクトルといい、 σcp(T) で表す。圧縮スペクトルは剰余スペクトルの全部と点スペクトルの一部からなる。