トルマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式
状態方程式 F(ρ, P)=0 が与えられたとき、密度と圧力を関係付け、・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式は平衡にある等方な球対称な物質の構造を完全に決定する。もし1/cの大きさの項を無視するとき、トルマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式は、ニュートンの静水圧方程式(hydrostatic equation)となり、平衡にある等方な球対称な物質で一般相対性理論の補正が重要でないときに用いられる。
もし真空中の球面境界である物質の模型で方程式が使われるとき、圧力が無い条件P(r)=0とe=1-2GM(r)/rcが境界条件として課される。二番目の境界条件は真空の静的球対称場の方程式解は一意に次のシュヴァルツシルト計量であることから課される。
d s 2 = ( 1 − 2 G M 0 / r c 2 ) c 2 d t 2 − ( 1 − 2 G M 0 / r c 2 ) − 1 d r 2 − r 2 ( d θ 2 + s i n 2 θ d φ 2 ) . {\displaystyle ds^{2}=(1-2GM_{0}/rc^{2})c^{2}dt^{2}-(1-2GM_{0}/rc^{2})^{-1}dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\mathrm {sin} ^{2}\theta d\phi ^{2})\ .}
ここでM0はもう一度説明すると遠くに離れた観測者が重力場から感じる質量の合計である。境界をr=rBとすると、M(r)の定義は次の式を要求する。
M 0 = M ( r B ) = ∫ 0 r B 4 π ρ ( r ) r 2 d r . {\displaystyle M_{0}=M(r_{B})=\int _{0}^{r_{B}}4\pi \rho (r)r^{2}\,dr\ .}
物体の密度を体積について積分して計算する。これに対して、次の量を考える。
M 1 = ∫ 0 r B 4 π ρ ( r ) r 2 1 − 2 G M ( r ) / r c 2 , d r . {\displaystyle M_{1}=\int _{0}^{r_{B}}{\frac {4\pi \rho (r)r^{2}}{\sqrt {1-2GM(r)/rc^{2}}}}\ ,dr.}
この二つの量の差は
δ M = ∫ 0 r B 4 π ρ ( r ) r 2 ( ( 1 − 2 G M ( r ) / r c 2 ) − 1 / 2 − 1 ) d r , {\displaystyle \delta M=\int _{0}^{r_{B}}4\pi \rho (r)r^{2}((1-2GM(r)/rc^{2})^{-1/2}-1)\,dr,}
この差は重力の束縛エネルギーをcで割ったものとなる。