離散付値環
Z(2) = { p/q : p, q ∈ Z, q は奇数 } とする。このとき Z(2) の分数体は Q である。さて、Q の任意の 0 でない元 r に対して、その分母と分子に一意分解を適用して、r を 2p/q と書くことができる。ただし、p, q, k は整数であって p と q は奇数である。このとき、ν(r)=k と定義する。すると、Z(2) は ν に関して離散付値環である。Z(2) の極大イデアルは 2 で生成された単項イデアルであり、(単元倍を除いて)"唯一の"既約元は 2 である。
Z(2) はデデキント整域 Z の 2 で生成された素イデアルにおける局所化であることに注意しよう。デデキント整域の 0 でない素イデアルにおける任意の局所化は離散付値環である。実際上は、このようにして離散付値環が現れることが多い。特に、任意の素数 p に対して環 Z(p) を全く同様に定義できる。
本質的により幾何学的な例のために、環 R = {f/g : f, g は R[X] の多項式で g(0) ≠ 0} をとり、変数 X の有理関数体 R(X) の部分環と考える。