接続 (微分幾何学)
ファイバーバンドルの接続のことをエーレスマン接続(英: Ehresmann conection)と呼ぶ場合があるが、主バンドルに対する接続の事を「エーレスマン接続」と読んでいる書籍もあるので注意が必要である。なお主バンドル上においても両者の概念は同値ではなく、ファイバーバンドルの接続のうち構造群の作用に関して不変なものを主バンドルの接続と呼ぶ。
両者の区別のため、一般のファイバーバンドルの接続を一般の接続(英: general connection)、主バンドルの接続を主接続(英: principal connection)と呼ぶ場合がある。
またファイバーバンドルの接続のうち、完備なもののみを「エーレスマン接続」と呼ぶ場合もある。なおエーレスマン自身による定義では完備性を仮定していた。
, ∇ d t e n ( t ) ) {\displaystyle \left({\nabla \over dt}e_{1}(t),\ldots ,{\nabla \over dt}e_{n}(t)\right)} の事である。 ∇が計量と両立すれば、 e ̄ ( t ) {\displaystyle {\bar {e}}(t)} は正規直交基底である。よって e ( t ) {\displaystyle e(t)} が正規直交基底であれば、 e ( t ) = e ̄ ( t ) A ( t ) {\displaystyle e(t)={\bar {e}}(t)A(t)} より A ( t ) {\displaystyle A(t)} は回転変換であり、 A ( t ) {\displaystyle A(t)} の微分は歪対称行列である。
↑ ここで T e ( E π ( e ) ) {\displaystyle T_{e}(E_{\pi (e)})} はπ(e)のファイバー E π ( e ) {\displaystyle E_{\pi (e)}} の点eにおける接空間であり、包含写像 E π ( e ) ⊂ E {\displaystyle E_{\pi (e)}\subset E} が誘導する写像 T e E π ( e ) ↪ T e E {\displaystyle T_{e}E_{\pi (e)}\hookrightarrow T_{e}E} により T e E π ( e ) {\displaystyle T_{e}E_{\pi (e)}} をTeEの部分空間とみなしている。
1 2 この「 H e {\displaystyle {\mathcal {H}}_{e}} はeに関してC級である」というのを厳密に定式化する方法は(同値な方法が)いくつかあるが、一つの方法は H = ∪ e ∈ E H e {\displaystyle {\mathcal {H}}=\cup _{e\in E}{\mathcal {H}}_{e}} を H e {\displaystyle {\mathcal {H}}_{e}} を e ∈ E {\displaystyle e\in E} 上のファイバーとするTEの部分ベクトルバンドルとみなし、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} がTEのC級の部分ベクトルバンドルである事を要請するというものである。
↑ 垂直部分空間の定義より V e = T e E π ( e ) {\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}=T_{e}E_{\pi (e)}} であるが、 E π ( e ) {\displaystyle E_{\pi (e)}} はベクトル空間なので、 E π ( e ) {\displaystyle E_{\pi (e)}} と接空間 T e E π ( e ) {\displaystyle T_{e}E_{\pi (e)}} と E π ( e ) {\displaystyle E_{\pi (e)}} は自然に同一視できる。
↑ なお 、#Salamonでは R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の(標準的とは限らない)基底 ( f 1 , ...
上では接バンドルに対する接続を説明したが、より一般にベクトルバンドルの接続、あるいはさらに一般にファイバーバンドルの接続を考える事ができる。上述のように平行移動と共変微分は実質的に同値な概念なので、平行移動・共変微分のうち、定義しやすい方をもとにして接続概念を定義すればよい。
そこでベクトルバンドルの場合は共変微分を、一般のファイバーバンドルの場合は平行移動をベースにして接続概念を定義する。
接続によって定まるもう一つの重要概念として曲率があり、これはファイバーバンドルの「曲がり具合」を表している。特に接ベクトルバンドルの曲率は多様体それ自身の「曲がり具合」とみなせる。曲率概念は歴史的には3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 内の曲面に対して定義されたものだが、実は「外の空間」である R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} がなくても定義できる曲面に内在的な量である事が示されたので、これを一般のリーマン多様体(の接ベクトルバンドル)、さらには一般のファイバーバンドルに対して拡張したものである。多様体に内在的な量としてみなしたとき、曲率の幾何学的意味は、閉曲線に沿ってベクトルを一周平行移動したとき、もとのベクトルとどの程度ずれるかを測った量であるとみなせる。
1 2 人名「Koszul」を「コシュール」と訳している文献があるため、「コシュール接続」と読むと思われるが、「コシュール接続」と訳した文献を発見できなかったので本項では「Koszul接続」と表記した。なお、Wikipediaの英語版には「フランス語: [kɔsyl]」とある。
↑ 接続∇はMの全域で定義されたベクトル場と切断に関するものなので、このような局所的に定義された座標で表示できるか否かは非自明である。しかし∇が「局所演算子」という性質を満たすことにより、局所的な座標で表示可能な事を示すことができる。詳細は接続 (ベクトル束)の項目を参照されたい。
↑ 成分 ω i j {\displaystyle \omega ^{i}{}_{j}} 接続形式といい、ωを接続行列(英: connection matrix)と呼ぶ場合もある。
↑ 厳密には以下の通りである。Mの曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って定義された局所的な基底 e ( t ) = ( e 1 ( t ) , ... , e n ( t ) ) {\displaystyle e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t))} を考え、 e ( 0 ) {\displaystyle e(0)} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って平行移動したものを e ̄ ( t ) = ( e ̄ 1 ( t ) , ...
そこで ∇ d t v ( t ) {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}v(t)} や ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} をリーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} に内在的な値とみなしたものを考える事ができる。 ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} は以下の公理で特徴づけられる事が知られている:
定理 (リーマン幾何学の基本定理) ― M上のベクトル場の組にM上のベクトル場を対応させる汎関数∇で以下の5つの性質をすべて満たすものが唯一存在する。このを ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} のレヴィ-チヴィタ接続といい、 ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}Y} をレヴィ-チヴィタ接続から定まるYのXによる共変微分という:
∇ f X + g Y Z = f ∇ X Z + g ∇ Y Z {\displaystyle \nabla _{fX+gY}Z=f\nabla _{X}Z+g\nabla _{Y}Z} (関数に関する左線形性)