十九角形
さらに、以下のような関係式が得られる。
( 2 cos  2 π 19 + ω ⋅ 2 cos  16 π 19 + ω 2 ⋅ 2 cos  14 π 19 ) 3 = 3 α + 7 β + 12 − 6 ω ( β + 1 ) + 3 ω 2 ( α − 1 ) ( 2 cos  2 π 19 + ω 2 ⋅ 2 cos  16 π 19 + ω ⋅ 2 cos  14 π 19 ) 3 = 3 α + 7 β + 12 − 6 ω 2 ( β + 1 ) + 3 ω ( α − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega (\beta +1)+3\omega ^{2}(\alpha -1)\\&\left(2\cos {\frac {2\pi }{19}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {16\pi }{19}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {14\pi }{19}}\right)^{3}=3\alpha +7\beta +12-6\omega ^{2}(\beta +1)+3\omega (\alpha -1)\\\end{aligned}}}
正十九角形においては、中心角と外角は18.947...°で、内角は161.052...°となる。一辺の長さが a の正十九角形の面積 S は
S = 19 4 a 2 cot  π 19 ≃ 28.4652 a 2 {\displaystyle S={\frac {19}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{19}}\simeq 28.4652a^{2}}
で、外接円の半径 R は
R = a 2 csc  π 19 ≃ 3.037767 a {\displaystyle R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{19}}\simeq 3.037767a}
で与えられる。
cos  ( 2 π / 19 ) {\displaystyle \cos(2\pi /19)} を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式を2回解く必要である。 以下には、中間結果(三次方程式を1回解いた際の関係式)を示す。