ルベーグの微分定理
このときほとんど全ての x に対し、集合が点 x へ収縮するとき
f ( x ) = lim U → x , U ∈ V 1 | U | ∫ U f d λ {\displaystyle f(x)=\lim _{U\rightarrow x,\,U\in {\mathcal {V}}}{\frac {1}{|U|}}\int _{U}f\,\mathrm {d} \lambda }
が成り立つ。
立方体全体の集合は V {\displaystyle {\mathcal {V}}} の一例であり、また R において定数 m ≥ 1 を固定したとき、縦横比が m から m までの範囲に収まるような長方形全体の集合 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} (m) もそうである。R に任意のノルムが与えられたとき、このノルムから定まる距離についての球全体の集合も V {\displaystyle {\mathcal {V}}} の条件を満たす。
1次元の場合は Lebesgue (1904) が先立って証明を与えている:
f が実数体上の可積分関数であるとき、関数
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}
はほとんど至るところ微分可能で F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=f(x)} を満たす。