チャーン類
チャーン類は特性類である。チャーン類は滑らかな多様体のベクトル束に付随する位相不変量である。2つの表向きは異なるベクトル束が同じか否かという疑問は、答えることが非常に難しい。チャーン類は、簡単な検証法を提供する。もし2つのベクトル束のチャーン類が一致しなければ、ベクトル束は異なる。しかし、逆は正しくはない。
トポロジーや微分幾何学や代数幾何学では、しばしば、ベクトル束がいくつの線型独立な切断を持つのかを数えることが重要となる。チャーン類は、例えばリーマン・ロッホの定理やアティヤ・シンガーの指数定理を通して、線型独立な切断の数についていくつかの情報をもたらす。
チャーン類は、実用的な計算にとっても妥当性を持っている。微分幾何学では(また、ある種の代数幾何学では)、チャーン類は曲率形式の係数の多項式として表すことができる。
チャーン類は次の公理を満たす。
公理 1.: 全ての V に対して、 c 0 ( V ) = 1 {\displaystyle c_{0}(V)=1} である。
公理 2.: 自然さ( Naturality) f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} が連続で、f*V が V のベクトル束の引き戻し(英語版)であれば、 c k ( f ∗ V ) = f ∗ c k ( V ) {\displaystyle c_{k}(f^{*}V)=f^{*}c_{k}(V)} である。
公理 3. ホイットニーの和公式: W → X {\displaystyle W\to X} を別の複素ベクトル束とすると、ベクトル束の直和 V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} のチャーン類は、次で与えられる。
この問題へのアプローチには数々の方法があり、それらの各々はチャーン類の少しずつ異なる側面に焦点を当てている。
チャーン類への元々のアプローチは、代数トポロジーを通してであった。チャーン類は、分類空間への V からの写像(この場合には、無限グラスマン多様体(英語版)(Grassmannian)である)を提供するホモトピー論を通して発生する。多様体上の任意のベクトル束 V は、分類空間の上の普遍束の引き戻しとして実現される。従って、V のチャーン類は、普遍束のチャーン類の引き戻しとして定義することができる。これらの普遍チャーン類はシューベルトサイクル(英語版)(Schubert cycle)によって、明示的に書き下すことができる。
チャーンのアプローチは、微分幾何学を使っていて、この記事において主として述べられる曲率のアプローチを使っていた。彼は以前の定義が実は彼の定義と同値であることを示した。
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)のアプローチもあり、彼は線束の場合の定義のみが公理論的に必要であることを示した。