リッチフロー
何故、リッチフローを定義する発展方程式が、一種の非線形拡散方程式であるかということを理解するためには、詳細に 2次元多様体の特別な場合を考えると、2次元多様体上の任意の計量テンソルは、指数函数的等温度座標 (exponential isothermal coordinate chart) では、次のような形として記述できる。
d s 2 = exp  ( 2 p ( x , y ) ) ( d x 2 + d y 2 ) . {\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))(dx^{2}+dy^{2}).}
(これらの座標は、距離ではなく角度を正しく表現することから、共形的な座標系をもたらす。)
リーマン多様体のリッチテンソルやラプラス・ベルトラミ作用素を計算する最も容易な方法は、次式のエリー・カルタン (Élie Cartan) の微分形式の方法を使うことである。
σ 1 = exp  ( p ) d x , σ 2 = exp  ( p ) d y {\displaystyle \sigma ^{1}=\exp(p)\,dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\,dy}
すると、計量テンソルは
σ 1 ⊗ σ 1 + σ 2 ⊗ σ 2 = exp  ( 2 p ) ( d x ⊗ d x + d y ⊗ d y ) {\displaystyle \sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}=\exp(2p)\,\left(dx\otimes dx+dy\otimes dy\right)}
{\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{212}\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}
を使い、リーマンテンソルの線型独立な成分を導出できる。すなわち、
R 1 212 = − Δ p {\displaystyle {R^{1}}_{212}=-\Delta p}
であり、この式よりリッチテンソルの 0 でない成分は、
R 22 = R 11 = − Δ p . {\displaystyle R_{22}=R_{11}=-\Delta p.}
であることが分かる。このことから、双対座標の基底 (coordinate cobasis) に関しての各成分を見つけることができ、
R x x = R y y = − ( p x x + p y y ) {\displaystyle R_{xx}=R_{yy}=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)}
を得ることができる。
しかし、計量テンソルも対角的であり、
g x x = g y y = exp  ( 2 p ) {\displaystyle g_{xx}=g_{yy}=\exp(2p)}
とでき、少し要素を計算すると、エレガントなリッチフローの表現
∂ p ∂ t = Δ p {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=\Delta p}
を得ることができる。この式は明らかに、よく知られている拡散方程式の類似であり、熱方程式
∂ u ∂ t = Δ u {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u}