倒立振子
d d t ∂ L ∂ θ ̇ − ∂ L ∂ θ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}
この方程式系における L に上の表式を代入すると、倒立振子の運動を記述する方程式系が次のように得られる。
( M + m ) x ̈ − m l θ ̈ cos  θ + m l θ ̇ 2 sin  θ = F {\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}
l θ ̈ − g sin  θ = x ̈ cos  θ {\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }
この方程式系は非線形であるが、制御系の目標は振り子を直立に保つことなので、θ ≈ 0 近傍で線形化することが多い。
台車駆動型倒立振子は図のように、質量 m の質点を長さ l の棒の先に付け、逆側を水平に動ける台につけた構成である。台車は線形運動(英語版)しかしないものとし、運動を起こさせたり妨げたりするような力がはたらくものとする。
a → P / I = ( x ̈ + l θ ̇ 2 sin  θ − l θ ̈ cos  θ ) x ^ I + ( − l θ ̇ 2 cos  θ − l θ ̈ sin  θ ) y ^ I {\displaystyle {\vec {a}}_{P/I}=({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta ){\hat {x}}_{I}+(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta ){\hat {y}}_{I}}
第二運動法則を用いて、 x 方向と y 方向の二つの方程式を得る。質点にかかる反力は台車にかかる反力と逆符号になることに注意されたい。これはニュートンの第三法則から帰結する。
R x = m ( x ̈ + l θ ̇ 2 sin  θ − l θ ̈ cos  θ ) {\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}
R y − m g = m ( − l θ ̇ 2 cos  θ − l θ ̈ sin  θ ) {\displaystyle R_{y}-mg=m(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta )}