オイラーの定理 (微分幾何学)
地球楕円体面上の任意の点において、主方向は子午線方向及び卯酉線方向であり、両方向が直交していることは容易に確認できる。地理緯度 φ {\displaystyle \varphi } における子午線曲率半径を M φ {\displaystyle M_{\varphi }} 、卯酉線曲率半径を N φ {\displaystyle N_{\varphi }} とするとき、極大曲率をもつ主方向(子午線方向)に対し任意方位角 α {\displaystyle \alpha \,\!} をなす垂直截線の曲率半径 R φ α {\displaystyle R_{\varphi }^{\alpha }} は、回転楕円体の幾何学的考察からも導出可能ではあるが、オイラーの定理を用いることにより、
R φ α = M φ N φ N φ cos 2  α + M φ sin 2  α {\displaystyle R_{\varphi }^{\alpha }={\frac {M_{\varphi }N_{\varphi }}{N_{\varphi }\cos ^{2}\alpha +M_{\varphi }\sin ^{2}\alpha }}}
のように直ちに求めることができる。