ブラ-ケット記法
正規直交基底のうち2つのラベルを α, β として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて
⟨ α | β ⟩ = δ α , β , {\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha ,\beta },}
連続基底ではデルタ関数を用いて
⟨ α | β ⟩ = δ ( α − β ) {\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta (\alpha -\beta )}
となる。
また正規直交基底の完全性は離散基底について、
∑ α | α ⟩ ⟨ α | = 1 {\displaystyle \sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}
連続基底について、
∫ d α | α ⟩ ⟨ α | = 1 {\displaystyle \int \mathrm {d} \alpha ~|\alpha \rangle \langle \alpha |=1}
と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」 | α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle } があるかのように書いている(量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照)。