局所凸位相ベクトル空間
すべてのノルム空間はハウスドルフな局所凸空間であり、局所凸空間の理論のほとんどは、一部のノルム空間の理論を一般化するものである。半ノルムの族は単一のノルムとして取られる。すべてのバナッハ空間は完備かつハウスドルフな局所凸空間であり、特に p ≥ 1 に対するL-空間は局所凸である。
より一般に、すべてのフレシェ空間は局所凸である。フレシェ空間は、半ノルムの分離可算族を伴う完備局所凸空間として定義できる。
実数列の空間 R で、半ノルム族 p i ( { x n } n ) = | x i | ( i ∈ N ) {\displaystyle p_{i}(\{x_{n}\}_{n})=|x_{i}|\qquad (i\in \mathbf {N} )} を備えるものを考える。この半ノルムの可算族は完備かつ可分であるため、その空間はノルム化可能ではないフレシェ空間である。その空間はまた、有限列に無限個の 0 を付けくわえて無限列にする自然な方法で R に埋め込まれる空間 R の極限位相となることに注意されたい。
任意のベクトル空間 V と、その上の線型汎函数の集まり F が与えられたとき、F 内のすべての線型汎函数を連続にしながら最も弱い位相を与えることで、V は局所凸位相ベクトル空間に作り変えることが出来る。これは F によって定められる弱位相あるいは始位相(英語版)として知られる。
が連続であるような最も粗い(英語版)位相である。この位相に対する y の近傍の基は、次の方法で定義することが出来る:A のすべての有限部分集合 B と、すべての ε > 0 に対して、
U B , ε ( y ) = { x ∈ V : p α ( x − y ) < ε ( ∀ α ∈ B ) } {\displaystyle U_{B,\varepsilon }(y)=\{x\in V:p_{\alpha }(x-y)<\varepsilon \ (\forall \alpha \in B)\}}
を定める。次に注意されたい。
U B , ε ( y ) = ⋂ α ∈ B ( p α , y ) − 1 ( [ 0 , ε ) ) . {\displaystyle U_{B,\varepsilon }(y)=\bigcap _{\alpha \in B}(p_{\alpha ,y})^{-1}([0,\varepsilon )).}
この位相においてベクトル空間の演算が連続であることは、前述の性質 2 および 3 より従う。結果として得られる位相ベクトル空間は、各 UB,ε(0) が絶対凸かつ併呑であるため(特に後者の性質は平行移動に対して保存されるため)、局所凸である。