リー代数
したがって、ハイゼンベルク群の任意の元は、群の生成元、すなわちリー代数のこれらの生成元の、行列指数関数の積 [ 1 a c 0 1 b 0 0 1 ] = e b y e c z e a x {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right]=e^{by}e^{cz}e^{ax}~}
として表現可能である。
量子力学における角運動量演算子の x, y, z 成分の間の交換関係は、 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} と s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} のそれと同じである:
[ L x , L y ] = i ħ L z , {\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},} [ L y , L z ] = i ħ L x , {\displaystyle [L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},} [ L z , L x ] = i ħ L y . {\displaystyle [L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y}.}
但し、物理学の慣例により、リー代数の元に因子 i=√-1 を乗じた関係式を用いている。角運動量演算子の問題は、このリー代数の全ての有限次元表現を求めることに帰着する。
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の全ての元 x, y, z に対し、 [ x , [ y , z ] ] + [ z , [ x , y ] ] + [ y , [ z , x ] ] = 0 . {\displaystyle [x,[y,z]]+[z,[x,y]]+[y,[z,x]]=0\ .}
双線型性と交代性により、反交換関係、すなわち、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の全ての元 x, y に対し、[x, y] = −[y, x] が成り立つ。逆に、反交換関係は、体の標数が 2 ではないとき、交代性があることを意味する。
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のように、普通、リー代数はフラクトゥールの小文字で表される。リー代数がリー群に付随していると、リー代数のスペルはリー群と同じにする(書体は異なる)。例えば、特殊ユニタリ群の SU(n) のリー代数は s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)} と書かれる。
リー代数は、ある程度、分類することが可能である。特に、このことはリー群の分類に応用される。
数学における(狭義の)リー環(リーかん、英: Lie ring)はリー代数とよく似た構造で、リー代数を一般化した代数的構造と見ることもできるが、群の降中心列(英語版)の研究においても自然に生じてくる。
リー環と関連する概念としてリー群やリー代数があるが、(環が加法に関して群になるのとは異なり)リー環は加法に関して必ずしもリー群を成さず、他方で任意のリー代数はリー環の例である。任意の結合環は交換子括弧積 [ x , y ] = x y − y x {\displaystyle [x,y]=xy-yx} を考えればリー環になる。逆に、任意のリー環には普遍包絡環(普遍展開環)と呼ばれる結合環を対応させることができる。
リー環は、ラザール対応(英語版)を通じてp-群の研究に用いられる。p-群の降中心因子は有限アーベル p-群だから、これを Z/pZ 上の加群と見ることができる。降中心因子すべての(加群としての)直和には、2つの剰余類の括弧積を代表元の交換子積を代表元とする剰余類を割り当てるものと定義して、リー環の構造を入れることができる。このリー環は、もう1つ p-乗冪写像と呼ばれる加群の準同型によって豊饒化することができ、そうして得られたリー環がいわゆる制限リー環である。
リー環をリー代数の類似と見る立場からは、p-進整数環のような整数環上のリー代数の研究などを通じて、p-進解析的な位相群やその自己準同型を定義するのにもリー環は有用である。シュヴァレーによるリー型の有限群の定義は、複素数体上のリー代数を有理整数環上に係数制限し、さらに法 p で割って考えることにより有限体上のリー代数を得るものである。
g > [ g , g ] > [ [ g , g ] , [ g , g ] ] > [ [ [ g , g ] , [ g , g ] ] , [ [ g , g ] , [ g , g ] ] ] > ⋯ {\displaystyle {\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]>\cdots }
が有限回でゼロに達することを言う。
全ての有限次元リー代数は、根基(英語版) (radical) と呼ばれる一意的な極大可解イデアルを持つ。リー対応の下、連結なべき零リー群、連結な可解リー群はそれぞれ、べき零、可解リー代数に対応する。