低次元トポロジー
高次元多様体の研究に有効な使われるツールであっても、低次元多様体へ適用できない定理があり、そのいくつかを挙げる。たとえば、
スティーンロッドの定理は、向きつけられた 3次元多様体は自明な接バンドルを持つという定理である。他の言い方では、3次元多様体の唯一の特性類は向き付け可能性の障害であるということもできる。
任意の閉 3次元多様体は、4次元多様体の境界である。この定理は何人かの人により独立に示された。この定理は、Dehn–Lickorish(英語版)の定理と呼ばれる 3次元多様体のヘーガード分解(英語版)を通して得られる。また、閉多様体のコボルディズム環のルネ・トムの計算からも得られる。
R 上の異種可微分構造の存在は、元々は、サイモン・ドナルドソンとアンドレイ・キャッソン(英語版)の仕事に基づき、マイケル・フリードマンにより得られた。以来、フリードマン、ロバート・ゴンフ(英語版)、クリフォード・タウベス(英語版)やローレンス・テイラーにより、R 上には微分同相でない滑らか構造が連続して存在することが示された。一方、n ≠ 4 として、R は微分同相を除くと滑らか構造はひとつしか存在しないことが知られている。
数学において、(実)位相空間 X のタイヒミューラー空間 TX は、恒等写像と同位(英語版)な同相写像の作用を除いて X 上の複素構造をパラメータ付ける空間である。TX 上の各点は、「印」をつけたリーマン面の同型類とみなすことができる。ただし、「印」とは X から自分自身への同相写像の同位類である。タイヒミューラー空間は、(リーマン)モジュライ空間の普遍被覆軌道体(英語版)である。
タイヒミューラー空間は、標準的な複素多様体の構造と豊かな自然計量を持っている。タイヒミューラー空間の台となる位相空間は、フリッケ(Fricke)により研究され、その上のタイヒミュラー計量は Oswald Teichmüller (1940) で導入された。