代数的K理論
環の高次代数的 K-理論の定義の1つの可能性は、キレン(Quillen)により与えられた。
K n ( R ) = π n ( B G L ( R ) + ) , {\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(BGL(R)^{+}),}
ここに、πn はホモトピー群であり、GL(R) は R 上の行列の大きさを無限とした一般線形群の帰納極限である。B はホモトピー論の分類空間の構成であり、 はキレンのプラス構成(英語版)(plus construction)である。
この定義は n > 0 に対してのみ成立するので、高次代数的 K-理論を
K n ( R ) = π n ( B G L ( R ) + × K 0 ( R ) ) {\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(BGL(R)^{+}\times K_{0}(R))}
を経て、定義することもある。BGL(R) は弧状連結であり、K0(R) は離散的であるので、この定義は高次の場合との差異はなく、n = 0 の場合にも成立する。
数学では、代数的K-理論(だいすうてきK-りろん、algebraic K-theory)は、ある非負な整数 n に対して環からアーベル群への函手の系列
K n ( R ) {\displaystyle K_{n}(R)}
を定義して適用することに関係したホモロジー代数の重要な一部である。歴史的理由により、低次 K-群 K0 と K1 は、n ≥ 2 に対する高次 K-群 Kn とはいくらか異なった項と考えられている。実際、高次の群よりも低次の群は受け入れやすく、より多くの応用を持っている。高次の群の理論は、( R が整数の環であるときでさえ)非常に深く、計算することが確かに困難である。
群 K0(R) は、射影加群を使い、環のイデアル類群の構成を一般化したことになる。1960年代、1970年代の発展は、現在はキレン・サスリンの定理(英語版)(Quillen–Suslin theorem)となっている射影加群についてのジャン=ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)の予想を解こうとした努力に関係していた。
アレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)は、1950年代中期に K-理論をリーマン・ロッホの定理に非常に広い一般化を述べるためのフレームワークとして発見した。その後数年以内には、K-理論の位相的側面が、マイケル・アティヤ(Michael Atiyah)とフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により考え出され、現在は位相的K-理論(英語版)(topological K-theory)として知られている。
K-群の応用は多様体の手術理論(英語版)(surgery theory)では、1960年代に K-群が発見され、特に、古典的な代数学の問題とこれ以外にも多くの関係がもたらされた。
少し遅れて、理論の作用素代数のための一分野は、豊かな発展をして、作用素K-理論(英語版)(operator K-theory)やKK-理論(英語版)(KK-theory)をもたらした。K-理論は代数幾何学において代数的サイクルの理論で役割をはたすことも、明らかとなった(ゲルステンの予想(英語版)(Gersten's conjecture))。ここでは高次 K-群が高次の余次元の現象と関連してきていて、このことが研究を難しくしている。