多変数の微分
次に、(弱いほうの)逆写像定理(逆関数定理)を示す。 E {\displaystyle {\textbf {E}}} を R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}} の開集合とし、 E {\displaystyle {\textbf {E}}} は、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の値域を含む(つまり、 f ( D ) ⊂ E {\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {D}})\subset {\textbf {E}}} 、特に f ( p ) ∈ E {\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {p}})\in {\textbf {E}}} とする)とする。多変数ベクトル値関数
g ( x ) = ( g 1 ( x ) ⋮ g m ( x ) ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )=\left({\begin{matrix}{{g}_{1}}(\mathbf {x} )\\\vdots \\{{g}_{m}}(\mathbf {x} )\\\end{matrix}}\right)} (3-26)
)このとき、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、 a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能である」とは D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の全ての点において、(4-1)の意味で f {\displaystyle {\textbf {f}}} が a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能であることを意味する。このとき「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の a {\displaystyle {\textbf {a}}} についての偏導関数 ∂ [ a ] f {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} } 」とは、「 D {\displaystyle {\textbf {D}}} の点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と x {\displaystyle {\textbf {x}}} における偏微分商 ∂ [ a ] f | x {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{\textbf {x}}}} を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、
p {\displaystyle {\textbf {p}}} を D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の点とし、 a {\displaystyle {\textbf {a}}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} のベクトルとする( p {\displaystyle {\textbf {p}}} は p ∈ D {\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}} でなければならないが a {\displaystyle {\textbf {a}}} は a ∉ D {\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}} であってよい)。
p {\displaystyle {\textbf {p}}} , a {\displaystyle {\textbf {a}}} は固定されているものとする。
このとき、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能であるとは、以下の極限値
また、
lim x → p ( ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ o [ f , p ] ( x ) ) ‖ x − p ‖ = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0} (3-19)
は、