時間順序積
シュレディンガー表示の量子力学において、ハミルトニアンHが時間に陽に依存する場合を考える。 このとき、時間順序積を用いると時間発展作用素を簡明に表現することができる。 系の時間発展作用素Uは状態|ψ(t)〉に対して、
| ψ ( t ) ⟩ = U ^ ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }
の関係を与えるものとして定義され、関係式
U ^ ( t 1 , t 3 ) = U ^ ( t 1 , t 2 ) U ( t 2 , t 3 ) ( t 1 > t 2 > t 3 ) U ^ ( t 0 , t 0 ) = I {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t_{1},t_{3})&={\hat {U}}(t_{1},t_{2})U(t_{2},t_{3})&(t_{1}>t_{2}>t_{3})\\{\hat {U}}(t_{0},t_{0})&=I\end{aligned}}}
を満たす。シュレディンガー方程式より
量子力学において、物理量は非可換な演算子で表現されるため、物理量の積はその順番によって異なる結果を与える。特に時間に依存する演算子の積について、時間の順序関係に従って、前の時刻にある演算子ほど右側に位置するように並び変えたものを時間順序積と呼ぶ。また時間順序に従って並べ替える作用素を時間順序作用素といい、記号Tで表す。
2つの物理量A1(t1)、A2(t2)の積において、その時間順序積は
T { A 1 ( t 1 ) A 2 ( t 2 ) } = { A 1 ( t 1 ) A 2 ( t 2 ) ( t 1 > t 2 ) A 2 ( t 2 ) A 1 ( t 1 ) ( t 2 > t 1 ) = θ ( t 1 − t 2 ) A 1 ( t 1 ) A 2 ( t 2 ) + θ ( t 2 − t 1 ) A 2 ( t 2 ) A 1 ( t 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}T\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\}&=\left\{{\begin{matrix}A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})&\quad (t_{1}>t_{2})\\A_{2}(t_{2})A_{1}(t_{1})&\quad (t_{2}>t_{1})\end{matrix}}\right.\\&=\theta (t_{1}-t_{2})A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})+\theta (t_{2}-t_{1})A_{2}(t_{2})A_{1}(t_{1})\end{aligned}}}
で与えられる。ここで、θ(t)はヘヴィサイドの階段関数を表す。