ビネ・コーシーの恒等式
( a × b ) ⋅ ( c × d ) = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) ( a , b , c , d ∈ R 3 ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\quad ({\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}}\in \mathbb {R} ^{3})}
が得られる。(この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。)
この式をスカラー三重積の性質を使って変形すれば