LTIシステム理論
通常、その信号がゼロでなくなる時点をスタート時点とし、ゼロから無限大までの積分とする(一方、負の無限大から積分するラプラス変換を一般に「両側ラプラス変換; bilateral Laplace transform」と呼ぶ)。
フーリエ変換は、無限に続く信号を処理するシステムの解析に使われる。例えば、変調された正弦波などだが、二乗可積分でない入力信号や出力信号には直接適用できない。スタート時点以前の信号がゼロなら、ラプラス変換は二乗可積分でなくとも適用可能である、フーリエ変換は、その信号のフーリエ変換が存在しない場合でも、ウィーナー・ヒンチンの定理を使って無限信号のスペクトルに適用される。
これらの変換は畳み込み属性があるため、システムの出力を与える畳み込みを畳み込み定理によって個別に変換したあとに積を求める形に変換できる。
y ( t ) = ( h ∗ x ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) x ( τ ) d τ {\displaystyle y(t)=(h*x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )d\tau } = L − 1 { H ( s ) X ( s ) } {\displaystyle \quad ={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}}
これにより変換や逆変換が容易になるだけでなく、システム応答からシステムの挙動についての洞察を得ることができる。システム関数の絶対値 |H(s)| から、入力 exp  ( s t ) {\displaystyle \exp({st})} がシステムを通過できるか、それとも減衰してしまうかを見ることができる。
(Strintzis) T {\displaystyle T} にNSSKがない時、因果的伝達関数 H ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle H(z_{1},z_{2})} は安定する必要十分条件は A ( z 1 , 1 ) ≠ 0 , | z 1 | ≥ 1 {\displaystyle A(z_{1},1)\neq 0,|z_{1}|\geq 1} しかも A ( 1 , z 2 ) ≠ 0 , | z 2 | ≥ 1 {\displaystyle A(1,z_{2})\neq 0,|z_{2}|\geq 1} しかも A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , ( z 1 , z 2 ) ∈ T {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,(z_{1},z_{2})\in T}
(DeCarlo, Murray and Saeks) T {\displaystyle T} にNSSKがない時、因果的伝達関数 H ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle H(z_{1},z_{2})} は安定する必要十分条件は A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , | z 1 | ≥ 1 {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,|z_{1}|\geq 1} しかも A ( z 1 , z 2 ) ≠ 0 , ( z 1 , z 2 ) ∈ T {\displaystyle A(z_{1},z_{2})\neq 0,(z_{1},z_{2})\in T}
h [ n 1 , n 2 ] = h [ n 1 + m , n 2 + m ] ∀ m ∈ Z {\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}+m,n_{2}+m]\qquad \forall \,m\in \mathbb {Z} }
ここで、次のように設定する。
m = − n 2 {\displaystyle m=-n_{2}\,}
すると、次のようになる。
h [ n 1 , n 2 ] = h [ n 1 − n 2 , 0 ] {\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}-n_{2},0]\,}
h [ n 1 , n 2 ] {\displaystyle h[n_{1},n_{2}]} の第二引数がゼロなら、通常それを簡潔さのために削除するので、上記の重ね合わせ積分はフィルタ設計でよく使われる畳み込み総和になる。
y [ n 1 ] = ∑ n 2 = − ∞ ∞ h [ n 1 − n 2 ] x [ n 2 ] = ( h ∗ x ) [ n 1 ] {\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1}-n_{2}]\,x[n_{2}]=(h*x)[n_{1}]}
従って、この畳み込み総和は任意の入力関数についての線型時不変系の作用を表している。有限次元のアナログについては、巡回行列を参照されたい。
まず、系の伝達関数が H ( z 1 , z 2 ) = B ( z 1 , z 2 ) A ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle H(z_{1},z_{2})={\frac {B(z_{1},z_{2})}{A(z_{1},z_{2})}}} として表示されて、以下のように極を分類する:
B ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle B(z_{1},z_{2})} の根と違う A ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle A(z_{1},z_{2})} の根は、第一類非真性特異点(Nonessential Singularities of the First Kind、NSFK)という;
B ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle B(z_{1},z_{2})} の根と重なる A ( z 1 , z 2 ) {\displaystyle A(z_{1},z_{2})} の根は、第二類非真性特異点(Nonessential Singularities of the Second Kind、NSSK)という。
NSSKはゼロと極を消去できなくで生まれる。例として、伝達関数は
H ( z 1 , z 2 ) = ( 1 − z 1 − 1 ) ( 1 − z 2 − 1 ) 2 − z 1 − 1 − z 2 − 1 {\displaystyle H(z_{1},z_{2})={\frac {(1-z_{1}^{-1})(1-z_{2}^{-1})}{2-z_{1}^{-1}-z_{2}^{-1}}}}
のようにする。そのゼロは
出力が現在と過去の入力のみに依存する場合、システムは「因果的; causal」であるという。「因果性; causality」の必要十分条件は次が成り立つことである。
h ( t ) = 0 ∀ t < 0 {\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0}
ここで h ( t ) {\displaystyle h(t)} はインパルス応答である。ラプラス変換は逆変換が一意に定まらないため、そこから因果性を判断することは通常不可能である。収束領域が示される場合、因果性を判断できる。