天体力学
同一の中心天体のまわりの2つの公転軌道について、その平均運動が簡単な整数比にあるとき尽数関係 (英: commensurable) にあるという。このような軌道は安定化または不安定化し、平均運動共鳴と呼ばれる。より正確には、2つの軌道 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} が平均運動共鳴にあるとは、 p {\displaystyle p} , q {\displaystyle q} を整数として
p n A − q n B + ( q − p ) π ̇ A = 0 {\displaystyle pn_{A}-qn_{B}+(q-p){\dot {\varpi }}_{A}=0}
が成立することを言う(通常第3項は小さな値であり落としてよい)。例えば小惑星帯のカークウッドの空隙と呼ばれる小惑星の数が少ない領域は木星と平均運動共鳴にあり不安定化したものだと考えられている。逆に太陽系外縁部には共鳴外縁天体と呼ばれる海王星と平均運動共鳴にある天体群が存在することが知られており、その代表的なものが2:3の平均運動共鳴にある冥王星である。また2つの1:2平均運動共鳴が同時に成立するとき(すなわち1:2:4の平均運動共鳴にあるとき)ラプラス共鳴と呼び、太陽系では木星系のイオ-エウロパ-ガニメデが唯一の例である。
一方、平均運動共鳴とは異なり、永年摂動による近点移動の振動数が摂動天体の固有振動数と尽数関係にあるときは永年共鳴 (英: secular resonance) として知られている。これは軌道周期に比べ非常に長い時間スケールでの軌道の不安定化を導く。
(プライムなしが注目天体の軌道要素、プライムありがもう一方の天体の軌道要素)という形に展開される。軌道要素の時間変化は、周期摂動とそれより長い時間スケールでの時間変化を引き起こす(英: secular perturbation)に分解できるが、太陽系天体では周期摂動より永年摂動の方が重要である。そのため摂動関数から周期摂動( j 1 {\displaystyle j_{1}} または j 1 ′ {\displaystyle j_{1}'} がゼロでない項)を落としたものをラグランジュの惑星方程式と用いることにより永年摂動の計算が可能となる。例えば近点黄経には時間に比例して増大する項(永年項, 英: secular term)が存在し近点移動が生じる。一方で、離心率と軌道傾斜角には永年項が存在せず非常に長い周期で時間変化する。
19世紀末に三体問題の求積不可能性が Heinrich Bruns (1848-1919) によるブルンスの定理、そしてアンリ・ポアンカレ (1854-1912) によるポアンカレの定理によって明らかになった。ポアンカレはこの定理および関連する彼の研究成果を1892年から1899年にかけて出版された3巻からなる著書『天体力学の新しい方法』 (仏: Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste) にまとめている。その後ポアンカレは微分方程式の解を解析的に求めるのではなく、その定性的な性質を明らかにする力学系の理論を創始した。なお、先行する1880年代にはアレクサンドル・リャプノフ (1857-1918) が力学系の先駆的な研究を行っている。ポアンカレの力学系の理論はジョージ・デビット・バーコフ (1884-1944) らによって受け継がれ20世紀に大きく発展した。バーコフは1927年に Dynamical Systems を出版している。
20世紀に入ってからもエードヴァルド・ヒューゴ・フォン・ツァイペル(英語版) (1873-1959) は伝統的な摂動論の研究を行い、リンドステッド (Anders Lindstedt)-ポアンカレの方法を発展させた。またトゥーリオ・レヴィ=チヴィタ (1873-1941)、カール・スンドマン (1873-1949) らは三体問題の数学的な研究を継続した。