軌道 (力学系)
離散力学系は写像の反復によって定義される。相空間上のある点 x0 ∈ M に写像 f: M → M を繰り返し適用することで、x0, f (x0), f (x0), ... f (x), ... という点列が得られる。点列は x0, x1 = f (x0), x2 = f (x0), ... xn = f (x0), ... とも表す。この点列が離散力学系の軌道である。多くの力学系で f は連続写像である。
例えば、R 上の正弦関数 f(x) = sin(x) で定義される離散力学系を考える。x0 = 123 とすると、
x 0 = 123 x 1 = − 0.4599 ... x 2 = − 0.4438 ... ⋮ x 300 = − 0.0975 ... x 301 = − 0.0974 ... ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=123\\x_{1}&=-0.4599\ldots \\x_{2}&=-0.4438\ldots \\\vdots \\x_{300}&=-0.0975\ldots \\x_{301}&=-0.0974\ldots \\\vdots \end{aligned}}}
というような数列がその軌道である。
細かく分けると、点列 x0, f (x0), f (x0), ... は特に前方軌道や正の半軌道と呼ばれ、O+(x0) や O(x0) のように表す。
O + ( x 0 ) = { f n ( x 0 ) ∣ n = 0 , 1 , 2 , ... } {\displaystyle O_{+}(x_{0})=\{f^{n}(x_{0})\mid n=0,\ 1,\,2,\ldots \}}