有界入力有界出力安定性
もし h [ n ] {\displaystyle h[n]} がBIBO安定なら、 ∑ k = − ∞ ∞ | h [ k ] | = ‖ h ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty } となり
‖ x ‖ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ | h [ k ] | = ‖ x ‖ ∞ ‖ h ‖ 1 {\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}}
したがって、 ‖ x ‖ ∞ < ∞ {\displaystyle \|x\|_{\infty }<\infty } なら(有界なら)、 ‖ x ‖ ∞ ‖ h ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty } であるため、 | y [ n ] | {\displaystyle \left|y[n]\right|} も有界である。
連続時間の場合の証明も同じ論法である。