モノイド環
添加 (augmentation) とは次で定義される環準同型 η: R[G] → R である:
η ( ∑ g ∈ G r g g ) = ∑ g ∈ G r g . {\displaystyle \eta (\sum _{g\in G}r_{g}g)=\sum _{g\in G}r_{g}.}
η の核は添加イデアル (augmentation ideal) と呼ばれる。これは自由 R 加群で、すべての 1 ≠ g ∈ G に対する 1 − g からなる基底を持つ。
言い方を変えれば、前者の「形式和」の意味は後者の写像として理解される。
R[G] は環として単位的である。実際、R の乗法単位元 1 と G の単位元 e に対して、1⋅e ∈ R[G] は上記乗法の単位元を与える。
R[G] が環として可換となるのは、G が可換モノイドであるときである。
係数環の変更: 環 A, B とその間の環準同型 f: A → B に対して、モノイド環の間の準同型 F: A[G] → B[G] が (Fφ)(g) := f(φ(g))(形式和で書けば F(∑ rg⋅g) := ∑ f(rg)⋅g)とおくことにより一意的に定まる。
r ∈ R に対して元ごとのスカラー倍
( r φ ) ( g ) := r ( φ ( g ) ) ( r ∑ g r g ⋅ g := ∑ g ( r r g ) g ) {\displaystyle (r\phi )(g):=r(\phi (g))\qquad \left(r\sum _{g}r_{g}\cdot g:=\sum _{g}(rr_{g})g\right)}
を定義して R[G] は R 上の多元環になる。