底に関する指数函数
指数函数とは以下の微分方程式および初期条件 f ′ = k f ( f ( 0 ) = 1 ) {\displaystyle f'=kf\quad (f(0)=1)} を適当な k に対して満足する任意の可微分函数を言う。
このような函数に対して、k はその導函数の 0 における値に等しいことに注意する。
k = 1 に対して解 (函数 exp) が存在することのみ知れていれば、任意の k に対する解は明らかに函数 x ↦ exp(kx) で与えられる。それが唯一の解であることが示せる。さらに言えば、この解が和を積に写すこと、したがってそれが a = exp(k) に対する代数的性質による定義と一致することが確かめられる。