多角数定理
四角数の場合については、ラグランジュの四平方定理と等価である。
k 番目の m 角数とは、次の公式
P m ( k ) = ( m − 2 ) k 2 − ( m − 4 ) k 2 {\displaystyle P_{m}(k)={\frac {(m-2)k^{2}-(m-4)k}{2}}}
で与えられる数のことである。直観的には、たとえば石を、一辺に k 個ある正 m 角形の形に敷き詰めて並べることができるとき、石の総数が k 番目の m 角数になっている。
これは古代ギリシャ人たちが名づけた名前であって、素数はどのような図形にも並べることができないことから、直線数とも呼ばれていた。
例えば、三角数とは 1, 3, 6, 10, 15, ... のことである。また四角数は平方数の列 1, 4, 9, 16, ... に他ならない。1番目の m 角数は 1 であり、2番目の m 角数は m である。
である。同時に
b > 1 2 + 6 N m − 2 − 3 > ( 1 2 − 3 m − 2 ) + 6 N − 6 r m − 2 − 3 = b ′′ ( ⇐ m ≥ 5 ) {\displaystyle b>{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {6N}{m-2}}-3}}>\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{m-2}}\right)+{\sqrt {{\frac {6N-6r}{m-2}}-3}}=b''\qquad (\Leftarrow {m\geq 5})}
であるから
b 2 + 2 b + 4 − 3 a = b 2 + 2 b + 4 − 3 ( 2 ( N − b − r m − 2 ) + b ) = ( b − ( 1 2 − 3 m − 2 ) ) 2 − ( 1 2 − 3 m − 2 ) 2 − 6 ( N − r m − 2 ) + 4 > ( b − ( 1 2 − 3 m − 2 ) ) 2 − 6 ( N − r m − 2 ) + 3 > ( b ′′ − ( 1 2 − 3 m − 2 ) ) 2 − 6 ( N − r m − 2 ) + 3 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}+2b+4-3a&=b^{2}+2b+4-3\left(2\left({\frac {N-b-r}{m-2}}\right)+b\right)\\&=\left(b-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{m-2}}\right)\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{m-2}}\right)^{2}-6\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)+4\\&>\left(b-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{m-2}}\right)\right)^{2}-6\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)+3\\&>\left(b''-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{m-2}}\right)\right)^{2}-6\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)+3=0\\\end{aligned}}}