アダマール行列
定義より、n次のアダマール行列 H は以下の性質を満たす。
H ⊺ H = n I n {\displaystyle {\boldsymbol {H}}^{\intercal }{\boldsymbol {H}}=n{\boldsymbol {I}}_{n}}
ここで In は n次単位行列である。このことから、 det H = ± n n / 2 {\displaystyle \det {\boldsymbol {H}}=\pm n^{n/2}} となる。
行列 M を、要素が有界で |Mij| ≤ 1 (1 ≤ i, j ≤ n) である n次複素行列とする。このときアダマールの不等式より、Mの行列式は以下のように有界となる。
| det  ( M ) | ≤ n n / 2 {\displaystyle |\operatorname {det} ({\boldsymbol {M}})|\leq n^{n/2}}
実行列 M に関して、上記の不等式において等号が成り立つことと、M がアダマール行列であることとは同値である。
アダマール行列の次数は必ず1か2、もしくは4の倍数である。
アマダール行列の最初の例は、ジェームス・ジョセフ・シルベスターによって1867年に作られた。n次のアダマール行列 H が与えられたとき、行列
[ H H H − H ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}}}
は 2n次のアダマール行列となる。この結果は繰り返し適用できるため、以下のような行列の列が導かれる(この列はウォルシュ行列とも呼ばれる)。
H 1 = [ 1 ] H 2 = [ 1 1 1 − 1 ] H 4 = [ 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ] H 2 k = [ H 2 k − 1 H 2 k − 1 H 2 k − 1 − H 2 k − 1 ] = H 2 ⊗ H 2 k − 1 ( 2 ≤ k ∈ N ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {H}}_{1}&={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}\\{\boldsymbol {H}}_{2}&={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\\{\boldsymbol {H}}_{4}&={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}\\{\boldsymbol {H}}_{2^{k}}&={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {H}}_{2^{k-1}}&{\boldsymbol {H}}_{2^{k-1}}\\{\boldsymbol {H}}_{2^{k-1}}&-{\boldsymbol {H}}_{2^{k-1}}\end{bmatrix}}={\boldsymbol {H}}_{2}\otimes {\boldsymbol {H}}_{2^{k-1}}\quad (2\leq k\in \mathbb {N} )\end{aligned}}}
あるアダマール行列について行あるいは列ごとに符号を反転させる、行あるいは列を入れ替えることで別のアダマール行列が得られるとき、2つのアダマール行列は等価であるという。等価性という点では、1次、2次、4次、8次および12次のアダマール行列は一意である。16次では5種類の互いに等価でないアダマール行列が存在する。20次では3種類、24次では60種類、28次では487種類ある。32次、36次、40次では、100万を超える等価でないアダマール行列が存在する。