Qポッホハマー記号
q二項係数 (英: q-binomial coefficient) は二項係数のq-類似である。
[ n k ] q := [ n ] q ! [ n − k ] q ! [ k ] q ! = ( q ; q ) n ( q ; q ) n − k ( q ; q ) k . {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{n-k}(q;q)_{k}}}.}
以下の変換式が成立する。
( a q − n + 1 ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q − n + 1 + k ) = ( − a ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − q n − 1 − k a ) = ( − a ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − q k a ) ( n − 1 − k ↦ n ) = ( − a ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ( 1 a ; q ) n {\displaystyle {\begin{aligned}(aq^{-n+1};q)_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\prod _{k=0}^{n-1}\left(1-{\frac {q^{n-1-k}}{a}}\right)\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\prod _{k=0}^{n-1}\left(1-{\frac {q^{k}}{a}}\right)\qquad (n-1-k{\mapsto }n)\\&=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left({\dfrac {1}{a}};q\right)_{n}\end{aligned}}}