基底 (線型代数学)
同様に span  ( S + k ) ̄ {\displaystyle {\overline {\operatorname {span} (S_{+k})}}} の元を足して S + ( k + 1 ) {\displaystyle S_{{+}{(k+1)}}} を構成しこれを span  ( S + n ) ̄ = ∅ {\displaystyle {\overline {\operatorname {span} (S_{+n})}}=\varnothing } すなわち span  ( S + n ) = V {\displaystyle \operatorname {span} (S_{+n})=V} になるまで有限回繰り返すと、 S + n {\displaystyle S_{+n}} は線形独立かつ V {\displaystyle V} の生成系(=基底)となり定理が証明できる。
このような基底はほとんど常に複数存在し、一意的に決まることは稀(例えば S が既に基底である場合、S が空集合である場合、V が二元集合である場合など)である。同様の問題として「どのような部分集合 S が基底を含むか」ということを考えることができるが、これには S が V を張ることが必要十分である。この場合、S は複数の異なる基底を含むのが普通である。