離散化
x [ k + 1 ] = e A T [ e A k T x ( 0 ) + ∫ 0 k T e A ( k T − τ ) B u ( τ ) d τ ] + ∫ k T ( k + 1 ) T e A ( k T + T − τ ) B u ( τ ) d τ {\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }
これが x [ k ] {\displaystyle \mathbf {x} [k]} のカッコで囲まれた表現であり、第2項は関数 v ( τ ) = k T + T − τ {\displaystyle v(\tau )=kT+T-\tau } で置き換えることで簡略にすることができる。 d τ = − d v {\displaystyle d\tau =-dv} である。また、積分中、 u {\displaystyle \mathbf {u} } が定数であるとすると次のようになる。
A d = e A T = L − 1 { ( s I − A ) − 1 } t = T {\displaystyle \mathbf {A} _{d}=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}}
B d = ( ∫ τ = 0 T e A τ d τ ) B = A − 1 ( A d − I ) B {\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B} } (もし A {\displaystyle \mathbf {A} } が正則行列であれば)
C d = C {\displaystyle \mathbf {C} _{d}=\mathbf {C} }
D d = D {\displaystyle \mathbf {D} _{d}=\mathbf {D} }
Q d = ∫ τ = 0 T e A τ Q e A ⊤ τ d τ {\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau }