クザンの定理
クザンの定理(英: Cousin's theorem)は次のような実解析学における定理である:
閉領域(現代的な用語でいえば閉かつ有界)の各点に対して半径が有限の円(現代的には近傍)が与えられているとき、この領域を有限個の部分領域に分けて、各部分領域がその部分領域内の点を中心とする与えられた円の内部に入るようにできる。
この結果はアンリ・ポアンカレの学生であるピエール・クザンによって1895年に確立・証明されたものである。それはコンパクト性に関するハイネ・ボレルの被覆定理の原型( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} のコンパクト部分集合の任意の被覆に対するそれ)の拡張になっている。「クザンの定理」は一般にはアンリ・ルベーグに帰着でき、「ボレル=ルベーグの定理」と呼び替えられた。ルベーグは1898年にこの結果を思いつき、1903年に彼の学位論文において証明した。
現在では、これは次のように述べられる:
C {\displaystyle {\mathcal {C}}} を [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} の全被覆とする。つまり、 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} の閉部分区間の集まりであって、任意の x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} に対して、ある δ > 0 {\displaystyle \delta >0} が存在して、 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} は [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} の部分区間 I {\displaystyle I} で x ∈ I {\displaystyle x\in I} かつ l e n g t h ( I ) < δ {\displaystyle \mathrm {length} (I)<\delta } なるものを全て含むとする。
ξ 0 = min J {\displaystyle \xi _{0}=\min J}
ξ i + 1 = min { ξ ∈ J ∣ ξ i < ξ and ξ i + δ ( ξ i ) / 2 ∈ I ξ } {\displaystyle \xi _{i+1}=\min\{\xi \in J\mid \xi _{i}<\xi {\text{ and }}\xi _{i}+\delta (\xi _{i})/2\in I_{\xi }\}}
b ∈ I ξ i {\displaystyle b\in I_{\xi _{i}}} となったら構成を終える。
各 0 < i < n {\displaystyle 0<i<n} に対し、 ξ i − 1 + δ ( ξ i − 1 ) / 2 ∈ I ξ i {\displaystyle \xi _{i-1}+\delta (\xi _{i-1})/2\in I_{\xi _{i}}} であって、 I ξ i {\displaystyle I_{\xi _{i}}} は開集合であるから、 I ξ i − 1 {\displaystyle I_{\xi _{i-1}}} と I ξ i {\displaystyle I_{\xi _{i}}} は ( ξ i − 1 , ξ i ) {\displaystyle (\xi _{i-1},\xi _{i})} のどこかで交わる。