正規拡大
Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の正規拡大でないという事実は上記3つの性質のうちの1つ目を使っても確かめられる。代数的数体 A {\displaystyle \mathbb {A} } は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } の代数的閉包であって Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} を含む。一方、
Q ( 2 3 ) = { a + b 2 3 + c 4 3 ∈ A | a , b , c ∈ Q } {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in \mathbb {A} \,|\,a,b,c\in \mathbb {Q} \}}
であり、ω を2の虚三乗根の1つとすれば、写像
σ : Q ( 2 3 ) ⟶ A a + b 2 3 + c 4 3 ↦ a + b ω 2 3 + c ω 2 4 3 {\displaystyle {\begin{array}{rccc}\sigma :&\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})&\longrightarrow &\mathbb {A} \\&a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}&\mapsto &a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{array}}}