斉次座標環
中山の補題の結果によってこのとき φ は Fi − 1 において生成系の極小集合の Fi の与えられた基底をとる。極小自由分解 (minimal free resolution) の概念は次のような強い意味で well-defined である。そのような分解は(チェイン複体の同型を除いて)一意であり任意の自由分解において直和として現れる。R に内在的なこの性質によって次数ベッチ数 (graded Betti numbers) の定義ができる。すなわち Fi から来る次数 j の像の数である βi, j(より正確には、斉次多項式の行列として φ を考えることによって、右から帰納的に得られる次数によって増加するその斉次次数の成分の数)。換言すればすべての自由加群における重さは分解から推論することができ、次数ベッチ数は分解の与えられた加群の与えられた重さの生成元の数を数える。与えられた射影埋め込みにおける V のこれらの不変量の議論は、曲線の場合にさえ、研究領域である。
これらは極小自由分解が明示的に知られている例である。有理正規曲線(英語版)に対してそれは Eagon–Northcott complex である。射影空間における楕円曲線に対して分解は Eagon–Northcott complex の写像錐(英語版)として構成できる。