ヘルムホルツの定理
rot  A ′ = rot  ( A + grad  χ ) = rot  A {\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {A} '=\operatorname {rot} \left(\mathbf {A} +\operatorname {grad} \chi \right)=\operatorname {rot} \mathbf {A} }
これらの関係は grad c = 0 および rot grad χ = 0 より導かれる。 他に、以下の方程式を満たすような場 ψ(x), B(x) を加える自由度がある。
0 = − grad  ψ ( x ) + rot  B ( x ) . {\displaystyle \mathbf {0} =-\operatorname {grad} \psi (\mathbf {x} )+\operatorname {rot} \mathbf {B} (\mathbf {x} ).}
例として、φ に Δψ = 0 を満たす調和関数 ψ を加え、A にそれを打ち消す項を加えることができる。
応用上、よく用いられるスカラーポテンシャル φ とベクトルポテンシャル A の与え方として、