ロトカ・ヴォルテラの競争方程式
ここで、r1, r2 は種1と種2のそれぞれの内的自然増加率、K1, K2 は種1と2それぞれの環境収容力である。α12 が種2の個体数が種1の個体数増加率に与える影響の大きさを、α21 が種1の個体数が種2の個体数増加率に与える影響の大きさを表している。α12 と α21 は競争係数と呼ばれる。
同じモデルは
d N 1 d t = N 1 ( r 1 − β 1 N 1 − γ 12 N 2 ) , d N 2 d t = N 2 ( r 2 − β 2 N 2 − γ 21 N 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN_{1}}{dt}}&=N_{1}(r_{1}-\beta _{1}N_{1}-\gamma _{12}N_{2}),\\{\frac {dN_{2}}{dt}}&=N_{2}(r_{2}-\beta _{2}N_{2}-\gamma _{21}N_{1})\end{aligned}}}
という形式でも表され、使われる。β1, β2 は種内競争係数と呼ばれ、γ1, γ2 は種間競争係数あるいは単に競争係数と呼ばれる。上のモデルの係数との関係は K1 = r1/β1, K2 = r2/β2, α12 = γ12/β1 , α21 = γ21/β2 となっている。よって、α の値は種間競争の強さと種内競争の強さの相対値ともいえる。
ロトカ・ヴォルテラの競争方程式の陽な解は求まっていない。アイソクライン法によって解の大域的な振る舞いを知ることができる。N1-N2平面上のアイソクラインは
0 = r 1 N 1 ( 1 − N 1 + α 12 N 2 K 1 ) {\displaystyle 0=r_{1}N_{1}\left({1-{\frac {N_{1}+\alpha _{12}N_{2}}{K_{1}}}}\right)}
または
0 = r 2 N 2 ( 1 − N 2 + α 21 N 1 K 2 ) {\displaystyle 0=r_{2}N_{2}\left({1-{\frac {N_{2}+\alpha _{21}N_{1}}{K_{2}}}}\right)}
を満たす曲線である。この条件を満たす曲線は
直線1: N 1 = 0 {\displaystyle N_{1}=0}
直線2: N 2 = 0 {\displaystyle N_{2}=0}
直線3: K 1 − N 1 − α 12 N 2 = 0 {\displaystyle K_{1}-N_{1}-\alpha _{12}N_{2}=0}