臨界点 (数学)
実一変数の可微分関数 f(x) の臨界点 (critical point) あるいは停留点 (stationary point) とは、f の定義域の値 x0 であって、その微分が 0 である f′(x0) = 0 もののことである。臨界値 (critical value) は臨界点の f による像である。これらの概念は f のグラフによって可視化できる:臨界点ではグラフは水平な接線をもち、関数の微分は 0 である。
(曲線である)グラフに可視化するのは容易だが、関数の臨界点の概念は曲線のある方向での臨界点の概念と混同してはならない(詳細な定義は下記参照)。g(x, y) が2変数可微分関数(英語版)のとき、g(x, y) = 0 は曲線の陰方程式である。そのような曲線の、y 軸に平行な射影(写像 (x, y) → x)に対する臨界点とは、 ∂ g ∂ y ( x , y ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0} なる曲線の点である。これは、曲線の接線は y 軸に平行であり、この点において g は x から y への陰関数を定義しないことを意味する(陰関数定理を参照)。(x0, y0) がそのような臨界点であれば、x0 は対応する臨界値である。そのような臨界点は bifurcation point(英語版) とも呼ばれる。