次世代行列
D F ( x 0 ) = [ F 0 0 0 ] , D V ( x 0 ) = [ V 0 J 3 J 4 ] {\displaystyle D{\mathcal {F}}(x_{0})={\begin{bmatrix}F&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad D{\mathcal {V}}(x_{0})={\begin{bmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{bmatrix}}}
となる。ここで F と V は
F = [ ∂ F i ∂ x j ( x 0 ) ] 1 ≤ i , j ≤ m , V = [ ∂ V i ∂ x j ( x 0 ) ] 1 ≤ i , j ≤ m {\displaystyle F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\mathcal {F}}_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})\end{bmatrix}}_{1\leq i,\,j\leq m},\quad V={\begin{bmatrix}{\frac {\partial {\mathcal {V}}_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})\end{bmatrix}}_{1\leq i,\,j\leq m}}
で定義される m 次正方行列である。このとき K = FV は次世代行列と呼ばれる。その最大固有値、すなわちスペクトル半径 R0 = ρ(K) がこのモデルの基本再生産数である。
ここで F i ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}(x)} は i 番目の区画における新規感染の発生率を表しており、 V i + ( x ) {\displaystyle {\mathcal {V}}_{i}^{+}(x)} は他のコンパートメントから i 番目の区画への遷移率を、 V i − ( x ) {\displaystyle {\mathcal {V}}_{i}^{-}(x)} は i 番目の区画から他の区画への遷移率を表している。このとき
F ( x ) = ( F 1 ( x ) , ... , F n ( x ) ) T , V ( x ) = ( V 1 ( x ) , ... , V n ( x ) ) T {\displaystyle {\mathcal {F}}(x)=({\mathcal {F}}_{1}(x),\dotsc ,{\mathcal {F}}_{n}(x))^{T},\qquad {\mathcal {V}}(x)=({\mathcal {V}}_{1}(x),\dotsc ,{\mathcal {V}}_{n}(x))^{T}}
とおけば、上のモデルは
d x d t = F ( x ) − V ( x ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\mathcal {F}}(x)-{\mathcal {V}}(x)}
と書くこともできる。いま x0 を感染症のない定常状態とする。このとき F ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(x)} と V ( x ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(x)} のヤコビ行列は x0 において