正規行列
行列 A が正規であるための必要十分条件は、それが対角行列 Λ とユニタリ行列 U により、 A = U Λ U ∗ {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}} なる形に書けることである。ただし、対角行列 Λ の各成分 λ は A の固有値であり、U の各列は A の固有ベクトルで与えられ、Λ の対角線上に並ぶ固有値の順番と U の列に並ぶ固有ベクトルの順番は対応する。
スペクトル定理を別な形で述べれば、正規行列は C の適当な正規直交基底に関して対角行列として表されるような行列である。あるいは、行列が正規となる必要十分条件は、その固有空間が C を生成し、かつ各固有空間はどの二つも C の標準内積に関して直交することである。
正規行列に対するスペクトル定理は、より一般の任意の正方行列に対する結果であるシューア分解の特別な場合と見ることができる。実は、A が正方行列ならば、シューア分解により上半三角行列 B にユニタリ相似となる。