直交曲線座標
前節に示した基底ベクトル( e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}} )は共変基底ベクトルといわれるが、それはベクトルと「共変」するからである。直交曲線座標の場合、反変基底ベクトル ( e i {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}} ) は、共変ベクトルと同じ方向(但し逆長)になるので、簡単に求められる(このため、2組の基底ベクトルは互いに対して逆であると言われる)即ち、
e i = e ^ i h i = e i h i 2 {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}}
クロネッカーのデルタを使うと、 e i = δ i j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\delta _{i}^{j}} となることに注意のこと。
また、
e ^ i = e i h i = h i e i = e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}={\hat {\mathbf {e} }}^{i}}
3次元デカルト座標における外積は、以下の通りである。
x × y = ( x 2 y 3 − x 3 y 2 ) e ^ 1 + ( x 3 y 1 − x 1 y 3 ) e ^ 2 + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) e ^ 3 {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}}
そして、直交曲線座標系でも、成分を正規化した基準で計算すれば、上記の式は有効である。
直交曲線座標において、共変基底あるいは反変基底を考えた場合の外積を構成するには、やはり基底ベクトルを正規化する必要がある。例えば、
x × y = ∑ i x i e i × ∑ j y j e j = ∑ i x i h i e ^ i × ∑ j y j h j e ^ j {\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}