準素分解
さて、集合 { N ⊆ M ∣ P ∉ Ass  ( N ) } {\displaystyle \{N\subseteq M\mid P\not \in \operatorname {Ass} (N)\}} を考える(0 が属するから空でない。M はネーター加群だから集合は極大元 Q をもつ。もし Q が P 準素でなかったら、 P ′ ≠ P {\displaystyle P'\neq P} を M/Q の素因子として、 R / P ′ ≃ Q ′ / Q {\displaystyle R/P'\simeq Q'/Q} がある部分加群 Q′ に対して成り立ち、極大性に反する。(注: P ∉ Ass  ( Q ) ⊂ Ass  ( Q ′ ) . {\displaystyle P\not \in \operatorname {Ass} (Q)\subset \operatorname {Ass} (Q').} )したがって Q は準素であり証明は完了する。
注意:同じ証明により、R, M, N がすべて次数付けられていれば、分解における Qi も次数付けられているようにとることができる。