ティッツ系
群 G がBN対を持つとき、ブリュア分解と呼ばれる分解
G = ∐ w ∈ W B w B {\displaystyle G=\coprod _{w\in W}BwB}
が成り立つ。
ティッツ系 (G, B, N, S) に対し、W のルート系 S の部分集合 X で生成される W の部分群を WX とし、PX = BWXB とおくと、PX は G の B を含む部分群である。G の部分群 P が B のある G-共役を含むとき、P を放物型部分群という。放物型部分群 P は一意的に存在する X ⊂ S により PS と共役である。すなわち、放物型部分群とは、PX (X ⊂ S) を G の内部自己同型で写したものの総称である。特に B の共役となっている部分群を、(広義の)ボレル部分群あるいは極小放物型部分群と呼ぶ。