摂動函数
数学の数理最適化の分野において、摂動函数(せつどうかんすう、英: perturbation function)とは、主問題と双対問題を関連づける任意の函数である。そのような任意の函数は元の問題の摂動を定義する事実から、その名が付けられた。多くの場合、この函数は制約条件をシフトする形状を取る。
文献によっては、価値函数(英語版)が摂動函数と呼ばれ、摂動函数は二重函数(bifunction)と呼ばれることもある。
双対性のギャップ(英語版)は、次の不等式の右辺と左辺の差で与えられる。
sup y ∗ ∈ Y ∗ − F ∗ ( 0 , y ∗ ) ≤ inf x ∈ X F ( x , 0 ) , {\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})\leq \inf _{x\in X}F(x,0),}
ここで F ∗ {\displaystyle F^{*}} は両変数についての凸共役である。
摂動函数 F をどのように選んでも弱双対性は成立する。また強双対性が成立するための条件は数多く存在する。例えば、F が真結合凸函数で、下半連続かつ 0 ∈ core  ( Pr Y  ( dom  F ) ) {\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {Pr} _{Y}(\operatorname {dom} F))} であり(ここで core {\displaystyle \operatorname {core} } は代数的内部を表し、 Pr Y {\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}} は Pr Y  ( x , y ) = y {\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}(x,y)=y} で定義される Y の上への射影である)、X と Y がフレシェ空間であるなら、強双対性は成立する。