優秀環
優秀環の定義は非常に込み入っているため、まず優秀環の定義に必要な各種の技術的な条件を復習しなければならない。優秀環であるためには非常に多くの条件を満たす必要があるように見えるかもしれないが、実際にはほとんどの環は優秀である。例えば、体や多項式環、完備なネーター環、標数0のデデキント環( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } など)、そしてこれらの商や局所化を取ったものは全て優秀である。
優秀環 R {\displaystyle R} はG環なので、定義よりネーター環である。強鎖状なので、任意の2つの素イデアルを結ぶ素イデアルの極大鎖はすべて同じ長さを持つ。このことはこの環の次元の研究に便利である。ある特定の極大鎖によって次元を抑えられるからである。実際これは、素イデアルの極大鎖の帰納的定義を持つ無限次元ネーター環は作れないことを意味する。
準優秀環は永田環(英語版)。
準優秀かつ被約な局所環は解析的被約(英語版)。
準優秀かつ正規な局所環は解析的正規(英語版)。