カニンガム鎖
ここで各 i {\displaystyle i} に対し、 p i + 1 {\displaystyle p_{i+1}} の末尾で0が連続する個数は p i {\displaystyle p_{i}} のものより1だけ多い。第1種カニンガム鎖と同じく、この末尾の左側の部分は項が進むにつれて1桁ずつ左にシフトしていく。
第1種カニンガム鎖では p i = 2 i − 1 p 1 + ( 2 i − 1 − 1 ) {\displaystyle p_{i}=2^{i-1}p_{1}+(2^{i-1}-1)\,} なので p i ≡ 2 i − 1 − 1 ( mod p 1 ) {\displaystyle p_{i}\equiv 2^{i-1}-1{\pmod {p_{1}}}} である。ここでフェルマーの小定理より 2 p 1 − 1 ≡ 1 ( mod p 1 ) {\displaystyle 2^{p_{1}-1}\equiv 1{\pmod {p_{1}}}} だから、 p 1 {\displaystyle p_{1}} は p p 1 {\displaystyle p_{p_{1}}} を割り切る( i = p 1 {\displaystyle i=p_{1}} とおく)。これより、無限の長さのカニンガム鎖は存在しない。