三角関数の公式の一覧
加法定理に(θ±φ)を代入することにより、積和公式を導くことができる。これを変形すると和積公式になる。
α, β, γ が三角形の3つの角の大きさのとき、即ち α + β + γ = π を満たす場合、以下の式が成り立つ。
tan  α + tan  β + tan  γ = tan  α ⋅ tan  β ⋅ tan  γ {\displaystyle \tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,}
cot  β ⋅ cot  γ + cot  γ ⋅ cot  α + cot  α ⋅ cot  β = 1 {\displaystyle \cot \beta \cdot \cot \gamma +\cot \gamma \cdot \cot \alpha +\cot \alpha \cdot \cot \beta =1}
cot  α 2 + cot  β 2 + cot  γ 2 = cot  α 2 ⋅ cot  β 2 ⋅ cot  γ 2 {\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}}
単位円と三角関数の関係を検討することにより、以下の性質が導かれる。
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\varphi }+\sin {(\varphi +\alpha )}+\sin {(\varphi +2\alpha )}+\cdots {}\\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\sin {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \sin {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\\[10pt]&\cos {\varphi }+\cos {(\varphi +\alpha )}+\cos {(\varphi +2\alpha )}+\cdots {}\\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\cos {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \cos {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}}
正接関数と正割関数に関して以下の式が成り立つ。
tan  x + sec  x = tan  ( x 2 + π 4 ) = exp  ( gd − 1  x ) {\displaystyle \tan x+\sec x=\tan \left({x \over 2}+{\pi \over 4}\right)=\exp \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)}
ただし、 gd − 1  x {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}x} はグーデルマン関数の逆関数である。
− cos  α + cos  β + cos  γ = 4 sin  α 2 cos  β 2 cos  γ 2 − 1 {\displaystyle -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1}
sin  ( 2 α ) + sin  ( 2 β ) + sin  ( 2 γ ) = 4 sin  α sin  β sin  γ {\displaystyle \sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,}
− sin  ( 2 α ) + sin  ( 2 β ) + sin  ( 2 γ ) = 4 sin  α cos  β cos  γ {\displaystyle -\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,}
cos  ( 2 α ) + cos  ( 2 β ) + cos  ( 2 γ ) = − 4 cos  α cos  β cos  γ − 1 {\displaystyle \cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\,}
cos  ( 2 n + 1 ) θ = ( − 1 ) n 2 2 n ∏ k = 0 2 n cos  ( k π 2 n + 1 + θ ) {\displaystyle \cos(2n+1)\theta =(-1)^{n}2^{2n}\prod _{k=0}^{2n}{\cos {\Bigl (}{\frac {k\pi }{2n+1}}+\theta {\Bigr )}}}
が成り立つ。
tanでは、
tan  3 x = sin  3 x cos  3 x = sin  x ⋅ sin  ( 60 ∘ + x ) ⋅ sin  ( 60 ∘ − x ) cos  x ⋅ cos  ( 60 ∘ + x ) ⋅ cos  ( 60 ∘ − x ) = tan  x ⋅ tan  ( 60 ∘ + x ) ⋅ tan  ( 60 ∘ − x ) {\displaystyle \tan {3x}={\frac {\sin {3x}}{\cos {3x}}}={\frac {\sin {x}\cdot \sin {(60^{\circ }+x)}\cdot \sin {(60^{\circ }-x)}}{\cos {x}\cdot \cos {(60^{\circ }+x)}\cdot \cos {(60^{\circ }-x)}}}=\tan {x}\cdot \tan(60^{\circ }+x)\cdot \tan(60^{\circ }-x)}
が成り立つ。
d d x sin  x = cos  x , d d x arcsin  x = 1 1 − x 2 d d x cos  x = − sin  x , d d x arccos  x = − 1 1 − x 2 d d x tan  x = sec 2  x , d d x arctan  x = 1 1 + x 2 d d x cot  x = − csc 2  x , d d x arccot  x = − 1 1 + x 2 d d x sec  x = tan  x sec  x , d d x arcsec  x = 1 | x | x 2 − 1 d d x csc  x = − csc  x cot  x , d d x arccsc  x = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}\sin x&=\cos x,&{d \over dx}\arcsin x&={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\cos x&=-\sin x,&{d \over dx}\arccos x&={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\tan x&=\sec ^{2}x,&{d \over dx}\arctan x&={1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{d \over dx}\operatorname {arccot} x&={-1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\sec x&=\tan x\sec x,&{d \over dx}\operatorname {arcsec} x&={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\\{d \over dx}\csc x&=-\csc x\cot x,&{d \over dx}\operatorname {arccsc} x&={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\end{aligned}}}
積分に関しては三角関数の原始関数の一覧を参照。
三角関数(特に正弦関数と余弦関数)の導関数と原始関数が三角関数であらわされることは、微分方程式やフーリエ解析を含む数学の多くの分野で有用である。
一部の角に対する値は、黄金比 φ を用いて表すことができる。
cos  ( π 5 ) = cos  36 ∘ = 5 + 1 4 = φ 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\cos 36^{\circ }={{\sqrt {5}}+1 \over 4}={\frac {\varphi }{2}}}
sin  ( π 10 ) = sin  18 ∘ = 5 − 1 4 = φ − 1 2 = 1 2 φ {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }}
以下の式は加法定理などから容易に導くことができる。
正弦関数と余弦関数の三倍角の公式は、元の関数の三次方程式で表すことができる。従って、三次方程式の解を求めることでそれらの三角関数の値を得ることができる。
幾何学的には、三倍角の公式を経由し三角関数の値を求めることは角の三等分問題に相当する。この問題は、定規とコンパスを用いた解法が特別な角を除いて存在しないことが知られている。
方程式 x − 3x + d/4 = 0(正弦関数ならば x = sinθ, d = sin(3θ) とする)の判別式は正なのでこの方程式は3つの実数解を持つ。