パウリ方程式
ベクトルポテンシャル A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} と スカラーポテンシャル φ {\displaystyle \phi } で記述される電磁場中の、質量 m {\displaystyle m} 、電荷 q {\displaystyle q} の粒子のパウリ方程式は
ここで σ = ( σ x , σ y , σ z ) {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=(\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})} はパウリ行列を簡便性のためベクトルの形に並べたもの、 p = − i ħ ∇ {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=-i\hbar \nabla } は運動量演算子。
| ψ ⟩ = [ ψ + ψ − ] {\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{bmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{bmatrix}}}
は2成分スピノルの波動関数で、列ベクトルをブラ-ケット記法で表している。
ハミルトニアン
H ^ = 1 2 m [ σ ⋅ ( p − q A ) ] 2 + q φ {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot ({\boldsymbol {p}}-q{\boldsymbol {A}})\right]^{2}+q\phi }
は、パウリ行列が含まれるため 2 × 2 行列である。