レイチャウデューリ方程式
ある時空領域で強いエネルギー条件(英語版)が成り立つとし、 X → {\displaystyle {\vec {X}}} を渦度の無い測地単位ベクトル場であり hypersurface orthogonal とする。例えば、この状況は宇宙論的モデルにおけるアインシュタイン方程式の厳密解のひとつ、ちり解でちりの世界線を研究する際に現われる(ただし、渦度をゼロとするため世界線が互いに巻き付くことはないものとする)。
この場合、レイチャウデューリ方程式は以下のようになる。
θ ̇ = − θ 2 3 − 2 σ 2 − E [ X → ] a a {\displaystyle {\dot {\theta }}=-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-2\sigma ^{2}-{E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}}
ここで、右辺は必ず負であるから、膨張テンソルが初期値は正であったとしても(最初はちりのボールが体積を増していたとしても)、やがては負にならなければならない(ちりのボールは潰れなければならない)。