回転矢印表記
回転矢印表記(かいてんやじるしひょうき)もしくはバードの矢印回転表記(バードのやじるしかいてんひょうき、英: Bird's revolving arrow notation)は、クリス・バード(Chris Bird)が考案した巨大数の表記法の一つであり、コンウェイのチェーン表記の拡張により、非拡張チェーン表記よりも遥かに巨大な数を表記できるようにしたものである。拡張チェーン系の表記法では開発された年代が最も古いもので、2000年頃に考案されたものと思われる。
チェーン表記の拡張版には他に、後に考案されたピーター・ハーフォードによる拡張チェーン表記などがある。
なお、この回転矢印表記は日本の2chの巨大数スレッドで一時期盛んに行われたものの、近年では巨大数論者の間でほとんど用いられていない歴史的な表記法となっている(詳細は後述)。
実際、旧バード数におけるN(=3(↑G)(↑G)(↑G)(↑G)3)と旧バード数を配列表記で近似してみると、旧バード数におけるNは≒{3,3,2,1,4G+1}≒{3,3,2,1,G}≒{3,3,2,1,{4,65,1,2}}≒{G,2,1,1,1,2}(詳細は後述)と5~6変数レベル、旧バード数そのものも大雑把に見積もっても{3,3,2,2,1,2}より大きく{4,3,2,2,1,2}より小さい(可能な限り厳密に見積もれば≒{3,{{3,3,2,1,{4,65,1,2}},3,1,2,1,2},1,2,1,2})という結果となり、これは6変数配列表記レベルの数としては比較的小さい数に留まってしまう。
その後クリス・バードは配列表記を用いてそれを発展させて巨大数を作成する方針に転換し(バードの配列表記)、新たな定義によるバード数(新バード数)を定義し、実際にそれは計算可能なふぃっしゅ数のうち最大のふぃっしゅ数バージョン6をも大きく超える数となっている。
このように、近年では巨大数論者の間で見向きもされなくなった回転矢印表記と旧バード数であるが、日本の巨大数の歴史という面では、回転矢印表記が2chでしばらく用いられたのと、旧バード数を本質的に超えることを目標にふぃっしゅ数バージョン3(回転矢印表記のレベルを超えた巨大数)が開発されたという点を考慮すると、それなりに重要なポジションを占めていると考えることもできる。
ここでは、回転矢印表記とピーター・ハーフォードの拡張チェーン表記と配列表記でどのような近似・大小関係になるかを示す。「>~」は「M>~N」と使った場合、「MはNに近似し、なおかつMの方が厳密には大きい」という意味で、「<~」はその逆である。
a→→b = a→2(b-1) >~ {a,a,a-1,b-2} チェーン表記によるCG関数は、cg(n)=n→n→...(n個のn)...→n→nだが、これをピーター・ハーフォードの拡張チェーン表記と回転矢印表記とで比較すると、前者ではn→2(n-1)、後者ではn→→nとなる。これは前者の表記によるa→2bのbは→の本数を表しているのに対し、後者の表記によるa→→bのbはaの個数を表しているという違いがあるからである。
a→→→b <~ a→2b→22 <~ {a,b,1,1,2}
a→b = a↓b↓c <~ a→2b→2(c-1) <~ {a,b,c-2,1,2}
a↓b↓c↓2 <~ {a,c,1,2,2} > {a,c,1,2,2}
a↓b↓c↓d <~ {a,c,d-1,2,2} >~ {a,c,d-1,2,2}
a↓a↓...(b個のa)...↓a↓a = a↓↓b >~ {a,a,a-1,b-2,2}
a↓b = a←b←c <~ {a,b,c-2,1,3}
一般的に、別表記を使った比較では次のようになる。
↑e(a,b,c) <~ {a,b,c-2,1,e}
↑e(a,a,...,a,b,c) (カッコ内の変数の数はd個) >~ {a,b,c-1,d-2,e}