対称差
対称差について、次の 4 つが成り立つ:
(A△B)△C = A△(B△C) (結合法則)、
A△∅ = ∅△A = A、
A△A = ∅、
A△B = B△A (交換法則)。
X を 1 つの集合とし、P(X) を X の冪集合とする。P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A△B を対応させれば、P(X) における 1 つの二項算法が得られる。上の 4 つの性質から、その算法に関して P(X) はアーベル群となる。空集合 ∅ はその群の単位元である。P(X) の任意の元 A に対して A は A の逆元であるから、P(X) はブール群でもある。X がちょうど 2 個の元から成る集合であるならば、その可換群 P(X) はクラインの四元群 Z2 × Z2と同型である。
共通部分は対称差に対して分配法則を満たす:
A∩(B△C) = (A∩B)△(A∩C)。
よって、X を 1 つの集合とするとき、P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A△B を対応させて得られる二項算法を加法とし、P(X) × P(X) の元 (A, B) に P(X) の元 A∩B を対応させて得られる二項算法を乗法とすれば、P(X) は環となる。また、P(X) はブール環でもある。