有理根定理
例として、方程式
3 x 3 − 5 x 2 + 5 x − 2 = 0 {\displaystyle 3x^{3}-5x^{2}+5x-2=0\,\!}
のいずれの有理根も
± 1 , 2 1 , 3 , {\displaystyle \pm {\tfrac {1,2}{1,3}}\,,}
に含まれなければならない。つまり、この方程式の根として可能なものは以下の 8 つである:
1 , − 1 , 2 , − 2 , 1 3 , − 1 3 , 2 3 , − 2 3 . {\displaystyle 1,-1,2,-2,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {2}{3}}\,.}
これらの候補は例えばホーナー法によってテストすることができる。今回の場合、正しい有理根は 1 つだけある。根の候補が方程式を満たさないなら、それを使って残る候補のリストを短縮できる。例えば x = 1 は方程式を満たさず、方程式の左辺は 1 になる。