ラグランジュ力学
ラグランジュ形式の解析力学は最小作用の原理によって構成される。 元々はニュートン的な力学の分野において成立したが、電磁気学や相対性理論でも応用することが出来て、これらの分野における基礎方程式(マクスウェル方程式、アインシュタイン方程式)を導き出すことが出来る。 また、量子力学においても、経路積分の方法は最小作用の原理に関連して考え出された方法である。
ラグランジュ形式では一般化座標によって記述されており、変数の取り方が任意である。 ニュートンの運動方程式はベクトルの方程式であり、デカルト座標以外では煩雑な座標変換が必要となるが、ラグランジュ形式においてはラグランジアンはスカラーであり座標変換が簡単である。
実際の計算上でも、例えば長さが一定の振り子などで円周上を運動する場合には、平面内の運動なのでニュートンの運動方程式では2つの方向の2変数が必要となるが、ラグランジュ形式では一般化座標として角度を選ぶことにより1変数の方程式が得られる。 もちろんニュートンの運動方程式はラグランジュ形式と等価なので適当な変換により同じ式が得られるが、ラグランジュ形式では直接得られる点で便利である。
δ S = 1 c ∫ ( ∂ L ∂ φ δ φ + ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) ∂ μ δ φ ) − g d d x = 1 c ∫ [ ∂ L ∂ φ − 1 − g ∂ μ ( ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) − g ) ] δ φ − g d d x + 1 c ∮ ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) δ φ − g d Σ μ {\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&={\frac {1}{c}}\int \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\partial _{\mu }\delta \phi \right){\sqrt {-g}}\,d^{d}x\\&={\frac {1}{c}}\int \left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}{\sqrt {-g}}\right)\right]\delta \phi {\sqrt {-g}}\,d^{d}x+{\frac {1}{c}}\oint {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta \phi {\sqrt {-g}}\,d\varSigma _{\mu }\\\end{aligned}}}
ラグランジュ力学(ラグランジュりきがく、英語:Lagrangian mechanics)は、一般化座標とその微分を基本変数として記述された古典力学である。フランスの物理学者ジョゼフ=ルイ・ラグランジュが創始した。後のハミルトン力学と同様にニュートン力学を再定式化した解析力学の一形式である。
である。
補助変数 γi は、作用に微分が含まれておらず、非物理的な量である。補助変数の拘束条件は
δ S [ X , γ ] δ γ i ( λ ) = 1 2 ( − 1 γ i 2 η μ ν X ̇ i μ X ̇ i ν − m i 2 c 2 ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[X,\gamma ]}{\delta \gamma _{i}(\lambda )}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {1}{\gamma _{i}^{2}}}\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)=0}
となる。質量 m がゼロでないときには
γ i 2 = − η μ ν X ̇ i μ X ̇ i ν m i 2 c 2 {\displaystyle \gamma _{i}^{2}=-{\frac {\eta _{\mu \nu }{\dot {X}}_{i}^{\mu }{\dot {X}}_{i}^{\nu }}{m_{i}^{2}c^{2}}}}
γ i = 1 m i c − ( X ̇ i ) 2 {\displaystyle \gamma _{i}={\frac {1}{m_{i}c}}{\sqrt {-({\dot {X}}_{i})^{2}}}}
となって上の作用積分と等価であることが確認される。補助変数の実数性を仮定すれば、運動が時間的なものに限定される。