実数空間
ほかの一般の体と異なり、実数体 R が順序体となることから、R 上に向きが導かれる。R からそれ自身への任意の非退化線型写像は、付随する行列の行列式の符号に従って、向きを保つか向きを逆にするかのいずれか一方に分類される。座標(基底の元)の置換を行った結果の向きは置換の偶奇性によって決まる。
R またはその領域上の微分同相もまた向きを保つか逆にするかで分類できる。これは微分形式の理論で重要な帰結を持つ。
点乗積
x ⋅ y = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}
はベクトル空間 R 上のノルム ‖ x ‖ = √x⋅x を定める。任意のベクトルがそのユークリッドノルムを持つならば、任意の二点間に距離
d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}
が定義され、R には(そのアフィン構造に加えて)距離空間の構造が入る。
R のベクトル空間の構造と同じく、上記の点乗積およびユークリッド距離は暗黙的にその存在が仮定されているのが通例である。しかし厳密に言えば、n-次元実数空間と n-次元ユークリッド空間は異なる数学的対象である。任意の n-次元ユークリッド空間は、点乗積およびユークリッド距離が上記の形になるデカルト座標系(直交座標系)を持つが、一つのユークリッド空間上に直交座標系は「無数に」存在する。