対称テンソル
対称テンソルの例はたくさんあるが、例えば計量テンソル gμν, アインシュタインテンソル Gμν, リッチテンソル Rμν など。
物理学や工学で用いられるさまざまな物性および場が対称テンソル場として表される。例えば、応力、歪み、異方的伝導性など。拡散MRIも、脳やその他の体の部分の拡散の記述に対称テンソルをしばしば用いる。
楕円体は代数多様体の例であり、任意の次数の対称テンソルは斉次多項式の形で射影代数多様体を定義するのに用いられ、またそのような形で調べられる。
単純テンソル T をテンソル積
T = v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v r {\displaystyle T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}}
として書くとき、T の対称成分はその因子ベクトルの対称積
v 1 ⊙ v 2 ⊙ ⋯ ⊙ v r := 1 r ! ∑ σ ∈ S r v σ 1 ⊗ v σ 2 ⊗ ⋯ ⊗ v σ r {\displaystyle v_{1}\odot v_{2}\odot \cdots \odot v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}}
と呼ばれる。一般に、対称テンソル空間 Sym(V) に可換かつ結合的な積 "⊙" を入れて多元環にすることができる。二つのテンソル T1 ∈ Sym(V), T2 ∈ Sym(V) が与えられたとき、対称化作用素を用いて
T 1 ⊙ T 2 = Sym  ( T 1 ⊗ T 2 ) ( ∈ Sym k 1 + k 2  ( V ) ) {\displaystyle T_{1}\odot T_{2}=\operatorname {Sym} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Sym} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right)}
i σ k = T i 1 i 2 ... i k {\displaystyle T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma k}}=T_{i_{1}i_{2}\dots i_{k}}}
が任意の置換 σ について満足される。
V 上の k-次対称テンソル全体の成す空間は、しばしば S(V) や Sym(V) で表される。S(V) はそれ自身ベクトル空間を成し、また V が N-次元ならば Sym(V) の次元は二項係数を用いて
dim  Sym k  ( V ) = ( N + k − 1 k ) {\displaystyle \dim \operatorname {Sym} ^{k}(V)={N+k-1 \choose k}}
で与えられる。対称テンソル空間 Sym(V) は k = 0, 1 ,2, ... に対する Sym(V) の直和
Sym  ( V ) = ⨁ k = 0 ∞ Sym k  ( V ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{k}(V)}
として構成される。