次元論 (代数学)
( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} をネーター局所環とし、I を m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素イデアル(すなわち m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} のあるベキと m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の間にある)とする。 F ( t ) {\displaystyle F(t)} を associated graded ring gr I  R = ⊕ 0 ∞ I n / I n + 1 {\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}} のポワンカレ級数とする。つまり、
F ( t ) = ∑ 0 ∞ l ( I n / I n + 1 ) t n {\displaystyle F(t)=\sum _{0}^{\infty }\ell (I^{n}/I^{n+1})t^{n}}
ただし l {\displaystyle \ell } は(アルティン環 ( gr I  R ) 0 = R / I {\displaystyle (\operatorname {gr} _{I}R)_{0}=R/I} 上の)加群の長さを意味する。 x 1 , ...
d i m  R < ∞ ⇒ pd R 1  k = g l . d i m  R 1 < ∞ ⇒ R 1 regular . {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=\operatorname {gl.dim} R<\infty \Rightarrow \operatorname {pd} _{R_{1}}k=\operatorname {gl.dim} R_{1}<\infty \Rightarrow R_{1}{\text{ regular}}.}
basic step が残っている。 dim  R = 0 {\displaystyle \operatorname {dim} R=0} とする。 g l . d i m  R {\displaystyle \operatorname {gl.dim} R} が有限であれば 0 であると主張する。(このことは R が半単純環、すなわち体であることを意味している。)もしそうでないと仮定すると、ある有限加群 M {\displaystyle M} が存在して 0 < pd R  M < ∞ {\displaystyle 0<\operatorname {pd} _{R}M<\infty } であり、したがって実は pd R  M = 1 {\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1} であるような M が存在する。