セルバーグ跡公式
セルバーグの跡公式は位相群上の関数空間に作用する積分作用素の跡を二通りの方法で計算することで得られる。有限次元ベクトル空間に作用する線形作用素、つまり行列の場合、対角成分の和と固有値の和はともに行列の跡に等しいので
対角成分の和 = 固有値の和
が成り立つのであった。簡単にいうとこの等式の積分作用素版がセルバーグの跡公式である。
言い換えると、
{ u ( γ z ) = u ( z ) , ∀ γ ∈ Γ y 2 ( u x x + u y y ) + μ n u = 0. {\displaystyle {\begin{cases}u(\gamma z)=u(z),\ \ \forall \gamma \in \Gamma \\y^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right)+\mu _{n}u=0.\end{cases}}}
変数を代入して、
μ = s ( 1 − s ) , s = 1 2 + i r {\displaystyle \mu =s(1-s),s={\frac {1}{2}}+ir}
とすると、固有値はラベル付けされる。
r n , n ≥ 0. {\displaystyle r_{n},n\geq 0.}
するとセルバーグ跡公式は次のように与えられる。
∑ n = 0 ∞ h ( r n ) = μ ( F ) 4 π ∫ − ∞ ∞ r h ( r ) tanh  ( π r ) d r + ∑ { T } log  N ( T 0 ) N ( T ) 1 / 2 − N ( T ) − 1 / 2 g ( log  N ( T ) ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h(r_{n})={\frac {\mu (F)}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r\,h(r)\tanh(\pi r)dr+\sum _{\{T\}}{\frac {\log N(T_{0})}{N(T)^{1/2}-N(T)^{-1/2}}}g\left(\log N(T)\right).