ザイフェルト–ファン・カンペンの定理
π 1 ( X , w ) = ⟨ u 1 , ⋯ , u k , v 1 , ⋯ , v m ∣ α 1 , ⋯ , α l , β 1 , ⋯ , β n , I ( w 1 ) J ( w 1 ) − 1 , ⋯ , I ( w p ) J ( w p ) − 1 ⟩ . {\displaystyle \pi _{1}(X,w)=\langle u_{1},\cdots ,u_{k},v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\rangle .}
圏論では、 π 1 ( X , w ) {\displaystyle \pi _{1}(X,w)} は群の圏における次の図式のプッシュアウト(英語版)である:
π 1 ( U , w ) ← π 1 ( U ∩ V , w ) → π 1 ( V , w ) . {\displaystyle \pi _{1}(U,w)\gets \pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w).}
円は代数トポロジーに於ける最も重要かつ基本的な例であるが、残念ながら上で与えた定理は円の基本群を計算できない。その理由は、円は連結な共通部分を持つような2つの開集合の和集合としては実現し得ないということにある。この問題は、幾何学的な状況に応じて選択をした基点の成す集合 A {\displaystyle A} 上の基本亜群 π 1 ( X , A ) {\displaystyle \pi _{1}(X,A)} を用いることによって解決することができる。円の場合には、2つの基点を選べばよい。
この亜群は A ∩ X {\displaystyle A\cap X} の点を結ぶ X {\displaystyle X} 内の曲線達の両端に相対的(両端を固定する)ホモトピー類からなる。とくに、 X {\displaystyle X} が可縮空間で、 A {\displaystyle A} が X {\displaystyle X} の相異なる2点からなるとき、 π 1 ( X , A ) {\displaystyle \pi _{1}(X,A)} は I {\displaystyle {\mathcal {I}}} としばしば書かれる亜群に同型であることが容易に見て取れる。この亜群は2つの頂点と各頂点間にちょうどひとつの射からなる。この亜群は、群の理論に於ける整数の成す群が果たすのと同様の役割を、亜群の理論に於いて果たす。