境界要素法
数値解析
CAE
有限要素法
代用電荷法
先に示したように、2次元ラプラス問題ではポテンシャルu とフラックスq とが変数(未知量)である境界積分方程式の離散化が必要になる。そこでまず、u とq とをN 個の補間関数を用いて近似する。
u ( x ) ≈ u ~ ( x ) = ∑ j = 1 N φ j ( x ) U j , q ( x ) ≈ q ~ ( x ) = ∑ j = 1 N φ j ( x ) Q j , {\displaystyle u({\boldsymbol {x}})\approx {\tilde {u}}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{N}\phi _{j}({\boldsymbol {x}})U_{j},\quad \quad q({\boldsymbol {x}})\approx {\tilde {q}}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{N}\phi _{j}({\boldsymbol {x}})Q_{j},}
ここで、φj は補間関数であり、有限要素法で用いられている曲線要素や三角形要素、四辺形要素などをそのまま利用できる。なお、境界要素近似においては、定式化の上で特段の制約がない限り、区間一定近似の導入が可能である。その簡易さと境界積分の計算のしやすさから、多くの場合で区間一定近似が用いられる。
静弾性問題(等方均質の場合, Kelvin解) r = | x − ξ | {\displaystyle r=|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\xi }}|} :ソース点と積分点との距離,E :ヤング率、ν:ポアソン比、 G = E 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}} :せん断弾性係数、δij :クロネッカーのデルタ、 u i j ∗ ( x ; ξ ) = − 1 8 π ( 1 − ν ) G [ ( 3 − 4 ν ) ln  r δ i j − ∂ r ∂ x i ∂ r ∂ x j ] , (for 2D) {\displaystyle u_{ij}^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }})=-{\frac {1}{8\pi (1-\nu )G}}\left[(3-4\nu )\ln r\delta _{ij}-{\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial r}{\partial x_{j}}}\right],\quad {\text{(for 2D)}}} ただし、この式は平面ひずみ問題の基本解である。平面応力問題の場合には、νを ν ′ = ν / ( 1 + ν ) {\displaystyle \nu '=\nu /(1+\nu )} に置き換えて基本解を構成すればよい。 u i j ∗ ( x ; ξ ) = 1 16 π ( 1 − ν ) G r [ ( 3 − 4 ν ) δ i j + ∂ r ∂ x i ∂ r ∂ x j ] , (for 3D) {\displaystyle u_{ij}^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }})={\frac {1}{16\pi (1-\nu )Gr}}\left[(3-4\nu )\delta _{ij}+{\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial r}{\partial x_{j}}}\right],\quad {\text{(for 3D)}}}
定常スカラー波動問題
境界要素法は、先に示した境界積分方程式を離散化し、近似解を得るための方法である。離散化においては、
境界上の未知量(ラプラス問題であればポテンシャルu とフラックスq )の近似
近似関数を代入した後に得られる(積分方程式の)残差方程式の取り扱い
境界形状の近似
境界上の積分計算
が必要となる。以下では、先に取り上げた2次元ラプラス問題を例に、順を追ってその内容を説明する。
境界要素法では、まず対象とする問題の支配(微分)方程式から境界積分方程式を導出する。定式化には直接法と間接法の2種類がある。今日では、支配方程式の未知量をそのまま積分方程式の未知量として取り扱うことのできる、直接法定式化を採用する場合が多い。ここでは、2次元ラプラス問題を例に、直接法定式化による境界積分方程式の導出方法を説明する。
そのため、 ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} はソース点、 x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} は観測点と呼ばれる。
この定義式を上の積分方程式に代入すると、
u ( ξ ) = ∫ Γ u ∗ ( x ; ξ ) q ( x ) d Γ x − ∫ Γ q ∗ ( x ; ξ ) u ( x ) d Γ x , ( ξ ∈ Ω ) {\displaystyle u({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\Gamma }u^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }})q({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}-\int _{\Gamma }q^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }})u({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x},\quad ({\boldsymbol {\xi }}\in \Omega )}
を得る。この式は、境界上のポテンシャルとフラックスの分布が得られている時に、領域内部の点x におけるポテンシャル値を計算する際に用いることができる。ラプラス問題や静弾性問題などでは、観測されるポテンシャル値に及ぼす境界上の解の変動の影響は距離が離れると共に小さくなるため、境界要素法によると内部の点でのポテンシャル値は精度よく計算できると考えられている。
次に、この積分方程式において、ポテンシャル値を評価する点ξを領域内部から境界上の点に移動させる。