ベクトル束
ベクトル束 π1: E1 → X1 からベクトル束 π2: E2 → X2 への射 (morphism) は、連続写像 f: E1 → E2 と g: X1 → X2 の対であって、以下の条件を満たすものである。
g ∘ π1 = π2 ∘ f
任意の x ∈ X1 に対し、f が引起こす写像 π1(x) → π2(g(x)) は、ベクトル空間の線型写像である。
π1 の全射性により、g は f によって完全に決定される。このことから f は g の被覆と呼ばれる。
ベクトル束全体の成す類に束射を考え合わせたものは圏をなす。ベクトル束を空間が可微分多様体で束射影が滑らかなものに制限し、束の射も滑らかなもののみに制限すると、滑らかなベクトル束の圏を得る。ベクトル束の射は、ファイバー束間の束写像の概念の特別な事例であり、(ベクトル)束準同型(写像) (vector bundle homomorphism) ともいう。
E1 から E2 への束準同型で、その逆写像が再び(E2 から E1 への)束準同型であるものを(ベクトル)束同型(写像) (vector bundle isomonprphism) といい、このとき E1 と E2 とは束(として)同型であるという。
X 上の(階数 k の)ベクトル束と(X 上の階数 k の)自明束の間の同型写像を E の自明化 (trivialisation) といい、自明化をもつベクトル束 E は自明である、または自明化可能 (trivialisable) であるという。ベクトル束の定義より、任意のベクトル束は局所的に自明である。
固定した底空間 X の上のすべてのベクトル束の圏を考えることもできる。 この圏の射として、底空間 X 上の写像が恒等写像になるベクトル束の射を取る。 つまり、以下の図式を可換にする束の射である。
(この圏はアーベル圏ではない。ベクトル束の射の核をベクトル束とする自然な方法は一般に存在しない)
ベクトル束 π1: E1 → X1 からベクトル束 π2: E2 → X2 へのベクトル束の射が、写像 g: X1 → X2 を被覆するとき、この射は、X1 上で E1 から引き戻し束(英語版) gE2 へのベクトル束の射と見ることもできる。
実ベクトル束は、
底空間(ていくうかん、base space)と呼ばれる位相空間 X および全空間(ぜんくうかん、total space)と呼ばれる位相空間 E
束射影(そくしゃえい、bundle projection)あるいは単に射影と呼ばれる連続写像 π: E → X
任意の x ∈ X に対し、ファイバー π({x}) に与えられた実ベクトル空間としての構造
の組であって(ただし、紛れのおそれの無い場合には束射影の記号で代表して、ベクトル束 π: E → X あるいは全空間で代表してベクトル束 E のように呼ぶ)、以下の整合性条件:
任意の x ∈ X に対し、開近傍 U, 正整数 k, 同相写像
φ : U × R k → π − 1 ( U ) {\displaystyle \phi \colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)}
が存在し、任意の y ∈ U に対して、
任意の v ∈ R に対して π(φ(y, v)) = y かつ
写像 R k → π − 1 ( y ) ; v ↦ φ ( y , v ) {\displaystyle \mathbf {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(y);\,v\mapsto \phi (y,v)} はベクトル空間の同型写像である。