ヒルベルト変換
u のヒルベルト変換は u(t) とコーシー核(英語版)と呼ばれる函数 h(t) ≔ 1/πt との畳み込みと考えることができる。h(t) は可積分でないから畳み込みの定義積分は収束しないが、代わりにコーシー主値(ここでは p.v. と書く)を用いることでヒルベルト変換は定義される。陽に書けば、函数(あるいは信号)u(t) のヒルベルト変換は
で—上記の積分が主値の意味で存在する限りにおいて—定義される。これはちょうど、u と緩増加超函数 p.v. 1/πt との畳み込みになっている。あるいはまた、変数変換を施すことにより、上記の主値積分を
と明示的に書くことができる。 函数 u にヒルベルト変換 H を続けて二回施すとき、定義に現れる二度の積分が適当な意味で収束する限りにおいて、得られる結果は u の符号反転:
である。特に、H の逆変換は −H になる。この事実を確認するには、u のフーリエ変換のもとでのヒルベルト変換の振る舞い(後述)を見ることがもっとも簡便である。
上半平面上の解析函数に対し、ヒルベルト変換は境界値の実部と虚部との間の関係を記述する。つまり、複素函数 f(z) が平面 Im z > 0 上で解析的かつ u(t) ≔ Re f(t + 0⋅i) と書くとき、u のヒルベルト変換が存在する限りにおいて Im f(t + 0⋅i) = H(u)(t) が定数を加える違いを除いて成立する。