可除群
アーベル群が被約 (reduced) とは、その可除部分群が {0} のみであることをいう。すべてのアーベル群は1つの可除部分群と1つの被約部分群の直和である。実は、任意の群には一意的な最大の可除部分群が存在して、この可除群は直和因子である。これは整数環 Z のような遺伝環の特別な性質である:環がネーター的だから移入加群の直和は移入であり、環が遺伝的だから移入加群の商加群は移入的であり、したがって移入加群で生成される任意の部分加群は移入的である。逆は (Matlis 1958) の結果である:任意の加群が一意的な極大移入部分加群を持てば、環は遺伝的である。
可算被約周期的アーベル群の完全な分類はUlmの定理(英語版)によって与えられる。