順序数
任意の順序数 α, β, γ に対して次が成り立つことが示される:
α ∉ α
α ∈ β かつ β ∈ γ ⇒ α ∈ γ
α ∈ β または α = β または β ∈ α
そこで、α ∈ β のとき β は α より大きいといい、α < β と書く。この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。ω より小さな順序数(すなわち自然数)を有限順序数と呼び、ω 以上の(すなわち ω と等しいか ω より大きい)順序数を超限順序数と呼ぶ。順序数の大小関係に関して次が成り立つ:
整列集合 (A, <A) が整列集合 (B, <B) のある始切片と同型のとき、またそのときに限り ord(A, <A) < ord(B, <B)。
有限順序数の範囲では、上で定義された大小関係は通常の大小関係と一致する。
α が順序数のとき、S(α) ≔ α ∪ { α } は α より大きな順序数のうちで最小のものである。S(α) を α の後続者 (successor of α)と呼ぶ。
O が順序数からなる集合のとき、 ⋃ α ∈ O α {\textstyle \bigcup _{\alpha \in O}\alpha } もまた順序数であり、O の最小上界となっている。
順序数の間には自然数の場合と同じく和、積、冪が定義できる。特に有限順序数の間の演算は通常のそれと一致する。