カイ二乗分布
カイ二乗分布の確率密度関数は x ≥ 0 に対し
f ( x ; k ) = 1 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) x k / 2 − 1 e − x / 2 {\displaystyle f(x;k)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}}
また x ≤ 0 に対し fk(x) = 0 という形をとる。ここで Γ はガンマ関数である。
分布関数は
F ( x ; k ) = γ ( k / 2 , x / 2 ) Γ ( k / 2 ) {\displaystyle F(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}
(ただし γ(k, z) は不完全ガンマ関数)である。
Y = X 1 / ν 1 X 2 / ν 2 {\displaystyle Y={\frac {X_{1}/\nu _{1}}{X_{2}/\nu _{2}}}} (ただし X 1 ∼ χ ν 1 2 {\displaystyle X_{1}\sim \chi _{\nu _{1}}^{2}} と X 2 ∼ χ ν 2 2 {\displaystyle X_{2}\sim \chi _{\nu _{2}}^{2}} はカイ二乗分布に従う独立な確率変数)とすると、 Y ∼ F ( ν 1 , ν 2 ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})} 、つまり自由度で割って比をとるとF分布に従う。