摂動
これに左から ⟨ n j | {\displaystyle \langle n_{j}|} をかけて
⟨ n j | ( V − E n ( 1 ) ) | ψ n ( 0 ) ⟩ = 0 {\displaystyle \langle n_{j}|(V-E_{n}^{(1)})|\psi _{n}^{(0)}\rangle =0}
よって
c j E n ( 1 ) = ∑ i ⟨ n j | V | n i ⟩ c i {\displaystyle c_{j}E_{n}^{(1)}=\sum _{i}\langle n_{j}|V|n_{i}\rangle c_{i}}
が成り立つ。
これをすべての j {\displaystyle j} について出すと、 n {\displaystyle n} 個の n + 1 {\displaystyle n+1} 元方程式が得られるが、規格化を考えていないため、この n + 1 {\displaystyle n+1} 個の方程式を解くて、エネルギーの一時摂動及び縮退が解ける様子がわかる。