楕円
ii) − π / 2 ≤ θ 1 < 0 ≤ θ 2 ≤ π / 2 {\displaystyle -\pi /2\leq \theta _{1}<0\leq \theta _{2}\leq \pi /2} L = a ( 2 E ( π / 2 , e ) − E ( u 2 , e ) − E ( u 1 , e ) ) {\displaystyle L=a\,(2E(\pi /2,e)-E(u_{2},e)-E(u_{1},e))} u 1 = t h 2 u ( θ 2 ) , u 2 = t h 2 u ( − θ 1 ) {\displaystyle u_{1}=th2u(\theta _{2}),\,u_{2}=th2u(-\theta _{1})}
iii) − π / 2 ≤ θ 1 ≤ θ 2 < 0 {\displaystyle -\pi /2\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}<0} L = a ( E ( u 2 , e ) − E ( u 1 , e ) ) {\displaystyle L=a\,(E(u_{2},e)-E(u_{1},e))} u 1 = t h 2 u ( − θ 1 ) , u 2 = t h 2 u ( − θ 2 ) {\displaystyle u_{1}=th2u(-\theta _{1}),\,u_{2}=th2u(-\theta _{2})}
ここで
t h 2 u ( θ ) = tan − 1  ( ( b / a ) / tan  θ ) {\displaystyle th2u(\theta )=\tan ^{-1}((b/a)/\tan \theta )}
また、焦点は y 軸上にあり、その座標は ( 0 , b 2 − a 2 ) , ( 0 , − b 2 − a 2 ) {\displaystyle \left(0,{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\right),\left(0,-{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\right)} となる。(a = bの時は円となる)
同じ楕円は、t を媒介変数とする媒介変数表示では、次のように表現できる。
x = a cos  t {\displaystyle x=a\,\cos t}
y = b sin  t {\displaystyle y=b\,\sin t}
0 ≤ t < 2 π {\displaystyle 0\leq t<2\pi }
ただし、t は (x,y) ベクトルのx軸に対する角度ではない(天体力学では離心近点角と呼ばれる)。
また、 u = tan  ( t / 2 ) {\displaystyle u=\tan(t/2)} と置くと、
cos  ( t ) = 1 − u 2 1 + u 2 sin  ( t ) = 2 u 1 + u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(t)&={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\\\sin(t)&={\frac {2u}{1+u^{2}}}\end{aligned}}}
2次元直交座標系で、原点 O が長軸と短軸の交点となる楕円は代数的に次のように書ける。これを標準形という。
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
a > b > 0 のとき、2a は長軸の長さ(長径)、2b は短軸の長さ(短径)となる。xy 平面上にグラフを書くと横長の楕円となる。また、焦点はx 軸上にあり、その座標は ( a 2 − b 2 , 0 ) , ( − a 2 − b 2 , 0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0\right),\left(-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0\right)} となる。
b > a > 0 のときは逆に、2b が長軸の長さ(長径)、2a が短軸の長さ(短径)となる。したがって、xy 平面上にグラフを書くと縦長の楕円となる。