トンプソン群
F の有限表示は次で与えられる。
⟨ A , B ∣ [ A B − 1 , A − 1 B A ] = [ A B − 1 , A − 2 B A 2 ] = i d ⟩ {\displaystyle \langle A,B\mid \ [AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\mathrm {id} \rangle }
ここで [ x , y ] {\displaystyle [x,y]} は、通常の群論における交換子 x y x − 1 y − 1 {\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}} を表す。
F には2つの生成元と2つの関係からなる上のような有限表示があるが、次の無限表示によって非常に簡単かつ直感的に記述される。
⟨ x 0 , x 1 , x 2 , ... ∣ x k − 1 x n x k = x n + 1 f o r k < n ⟩ . {\displaystyle \langle x_{0},x_{1},x_{2},\dots \ \mid \ x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+1}\ \mathrm {for} \ k<n\rangle .}
2つの表示は、 x 0 = A , x n = A 1 − n B A n − 1 ( n > 0 ) {\displaystyle x_{0}=A,x_{n}=A^{1-n}BA^{n-1}\,(n>0)} で関連付けられる。