同型写像
例えば、3次元空間における2次元単位球面
S 2 := { ( x , y , z ) ∈ R 3 ∣ x 2 + y 2 + z 2 = 1 } {\displaystyle S^{2}:=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}}
と複素平面の一点コンパクト化 C ∪ {∞} として表せるリーマン球面 C ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}} と複素射影直線(商空間)
P C 1 := ( C 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ) / ( C ∗ ) {\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbb {C} }^{1}:=(\mathbb {C} ^{2}\setminus \{(0,0)\})/(\mathbb {C} ^{*})}
として表せるリーマン球面は1つの数学的対象の3つの異なる記述であり、すべて同型であるが、すべてある1つの空間の部分集合ではないから、等しくない:1つ目は R の部分集合で、2つ目は C ≅ R に追加の一点を加えたもので、3つ目は C の subquotient(英語版) である。
圏論の文脈では、対象は通常せいぜい同型である――実際、圏論の発展の動機づけはホモロジー論における異なる構成が同値な(同型な)群を生むことを示すことであった。しかしながら、2つの対象 X と Y の間の写像たちが与えられると、それらが等しいかどうか(それらは集合 Hom(X, Y) の元なので、等しいかどうかは適切な関係である)を、特に可換図式において、問う。
であり、どれか1つの同型写像が本質的に他のよりも良いということはない。この観点と意味において、これらの2つの集合は「同一」とは考えられないから等しくない:それらの間の同型を選ぶことは出来るが、これは同一であることよりも弱い主張であり、選ばれた同型の文脈でしか有効でない。
同型は明らかで従わざるを得ないように見えることもあるが、なお等号ではない。単純な例として、Joe、John、Bobby Kennedy の間の系譜学的関係は、実際の意味で、Manning family のアメリカン・フットボールのクォーターバック、Archie、Peyton、Eli の間の系譜学的関係と同じである。父子関係と兄弟関係は完璧に対応している。2つの家族の間のこの類似性は用語 isomorphism (Greek iso-, "same," and -morph, "form" or "shape") の起源を説明する。しかしケネディー一家はマニング一家と同じ人々ではないから、2つの系譜学的構造は単に同型であって等しくはない。
別の例はより形式的で等号を同型と区別する動機づけをより直接に説明する:有限次元ベクトル空間 V と V からその係数体 K への線型写像のなす双対空間 V* = { φ: V → K } との区別である。これらの空間は同じ次元を持ち、したがって抽象的なベクトル空間としては同型である(なぜなら,集合が濃度で分類されるのとちょうど同じように、代数的にはベクトル空間は次元によって分類されるため)が、同型写像 V → ∼ V ∗ {\displaystyle V\,{\overset {\sim }{\to }}\,V^{*}} の「自然」な選択は存在しない。