ファトゥの補題
上と同じ設定のもとで、関数列 f1, f2, . . . が S 上で μ に関してほとんど至る所で関数 f へと各点収束するなら、
∫ S f d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ S f n d μ {\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,}
が成立する。
f1, f2, . . . を、測度空間 (S,Σ,μ) 上で定義される拡張実数値可測関数とする。すべての n に対して fn ≤ g が成立するような S 上の可積分関数 g が存在するなら、
lim sup n → ∞ ∫ S f n d μ ≤ ∫ S lim sup n → ∞ f n d μ {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu }
が成立する。
注釈: ここで g が可積分であるとは、g が可測で ∫ S g d μ < ∞ {\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty } が成り立つことを言う。