クラウジウスの定理
{\displaystyle \oint \left({\frac {\delta Q_{1}}{T_{1}}}+{\frac {\delta Q_{2}}{T_{2}}}+\cdots +{\frac {\delta Q_{n}}{T_{n}}}\right)\leq 0.}
特に可逆過程の場合、クラウジウスの不等号において等号が成立する。可逆過程は現在エントロピーとして知られる状態量の概念が導入される際に用いられた。これは循環過程においては状態量の変化はゼロに等しいためである。言い換えると、クラウジウスの定理は冷たい熱浴から熱い熱浴に熱を運ぶという機能だけを実行するような機関を構成することは不可能であることを主張している。あるいは同じことだが、熱は熱い物体から冷たい物体へ自発的に流れ、その逆は起こらない。
エントロピー S の無限小の変化に関する一般化された「クラウジウスの不等式」
d S S y s ≥ δ Q T s u r r {\displaystyle dS_{\mathrm {Sys} }\geq {\frac {\delta Q}{T_{\mathrm {surr} }}}}
は、循環過程だけでなく閉じた系のどのような過程に関しても成立する。
− d S R e s , 1 = δ Q 1 T H o t ≤ δ Q 1 T 1 = d S S y s , 1 {\displaystyle -dS_{\mathrm {Res} ,{1}}={\frac {\delta Q_{1}}{T_{\mathrm {Hot} }}}\leq {\frac {\delta Q_{1}}{T_{1}}}=dS_{\mathrm {Sys} ,{1}}}
を得る。このことは、熱浴のエントロピー損失の大きさ | d S R e s , 1 | = δ Q 1 T H o t {\displaystyle |dS_{\mathrm {Res} ,{1}}|={\frac {\delta Q_{1}}{T_{\mathrm {Hot} }}}} は系が得たエントロピーの大きさ d S S y s , 1 {\displaystyle dS_{\mathrm {Sys} ,{1}}} ( ≥ 0 {\displaystyle \geq 0} ) より小さいということを意味する。
同様に、系が温度 T 2 {\displaystyle T_{2}} にあるとき、温度 T C o l d ≤ T 2 {\displaystyle T_{\mathrm {Cold} }\leq T_{2}} の冷たい熱浴に熱 − δ Q 2 {\displaystyle -\delta Q_{2}} を渡す(ここで δ Q 2 ≤ 0 {\displaystyle \delta Q_{2}\leq 0} とする)。従って、熱力学第二法則により、まったく同様の議論から