階乗冪
変数 x の下降 n-乗の微分は、
d d x x n _ = x n _ ( H x − H x − n ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{x}^{\underline {n}}={x}^{\underline {n}}(H_{x}-H_{x-n})}
である。ただし、 H x {\displaystyle H_{x}} は調和数である。
また変数 x の上昇 n-乗の微分は、
d d x x n ̄ = x n ̄ ( ψ ( x + n ) − ψ ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{x}^{\overline {n}}={x}^{\overline {n}}(\psi (x+n)-\psi (x))}
である。ただし、 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} はディガンマ関数である。
逆に、自然数 n の下降 x-乗の冪指数 x を変数とする微分は、
d d x n x _ = n x _ ψ ( n − x + 1 ) , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{n}^{\underline {x}}={n}^{\underline {x}}\psi (n-x+1),}
自然数 n の上昇 x-乗の冪指数 x に関する微分は、
d d x n x ̄ = n x ̄ ψ ( n + x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{n}^{\overline {x}}={n}^{\overline {x}}\psi (n+x)}
となる。
以下、x は必ずしも自然数でない実または複素数数値の変数(あるいはより一般の環の元でもよい)とし、n は自然数とする。