イルミネーション問題
イルミネーション問題(Illumination problems)は、内側に反射率100パーセントの鏡を貼った閉曲線の中に点光源を1つ置いた時に、部屋の中の全てを照らすことができるか、という問題。
この問題をもう少し文学的に表現すると次のようになる。「壁一面が鏡張りの部屋でマッチに火をつけた時に、マッチが見えない場所が生じるような形の部屋はあるだろうか?」
原題は、アメリカの数学者エルンスト・ストラウス(英語版)が1950年代に提起したと考えられている。
この問題は2つの仮説から成る。
仮説1. どのような閉曲線であっても、閉曲線内のどこに光源を置いても、閉曲線内の全ての場所に光が当たる。
仮説2. 仮説1が否定されたとしても、閉曲線内を完全に照らすことができる点が1つは存在する。
この問題に反例を与えたのは、ロジャー・ペンローズである。1958年にペンローズは楕円と直線で構成された「照らせない部屋(unilluminable room)」と呼ばれる閉曲線を発表した。この図形はストラウスの仮説を2つとも否定する。
「ペンローズの照らせない部屋」には曲線部分がある。1969年、ビクター・クレー(Victor Klee)はこの問題を「多角形」、つまり直線のみで作られた閉曲線なら成立するかどうかを提起した 。
この問題の仮説1に反例があることを示したのがジョージ・トカルスキー(George Tokarsky)である。