ゴールドバッハ・オイラーの定理
. . {\displaystyle T_{N}=\sum _{m\leq N+1}{\frac {1}{m-1}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}+...\quad }
とおく。ここで P は1以外の累乗数、 m は累乗数ではない数および1を動く。したがって
H N = S N + T N ⋯ ( 4 ) {\displaystyle H_{N}=S_{N}+T_{N}\quad \cdots (4)}
が成り立つ。 r ( n ) {\displaystyle r(n)} を n = r k {\displaystyle n=r^{k}} となる最小の r と定めると n > 1 {\displaystyle n>1} のとき r ( n ) {\displaystyle r(n)} は累乗数ではありえず、かつ一意的に定まるから
1 m − 1 = 1 m + 1 m 2 + . . . {\displaystyle {\frac {1}{m-1}}={\frac {1}{m}}+{\frac {1}{m^{2}}}+...\quad }
より
T N − 1 = ∑ 1 < r ( n ) ≤ N 1 n = ∑ 1 < n ≤ N 1 n + ∑ n > N , r ( n ) ≤ N 1 n {\displaystyle T_{N-1}=\sum _{1<r(n)\leq N}{\frac {1}{n}}=\sum _{1<n\leq N}{\frac {1}{n}}+\sum _{n>N,r(n)\leq N}{\frac {1}{n}}}