特性関数 (確率論)
関連する概念として、積率母関数と確率母関数(英語版)がある。特性関数は全ての確率分布について存在するが、積率母関数はそうとは限らない。
特性関数は、フーリエ変換と密接な関係がある。確率密度関数 p(x) の特性関数は、p(x) の連続フーリエ変換 P(t) の複素共役である。
φ X ( t ) = ⟨ e i t X ⟩ = ∫ − ∞ ∞ e i t x p ( x ) d x = ( ∫ − ∞ ∞ e − i t x p ( x ) d x ) ̄ = P ( t ) ̄ {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\langle e^{itX}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}p(x)\,dx={\overline {\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}p(x)\,dx\right)}}={\overline {P(t)}}}
1 2 3 Lukacs 1970.
↑ Billingsley 1995.
↑ Pinsky 2002.
↑ Bochner 1955.
1 2 Andersen et al. 1995.
↑ Sobczyk 2001.
↑ Cuppens 1975.
↑ Wendel 1961.