リース＝フィッシャーの定理
∫ | f − ∑ k = 0 n u k | p d μ ≤ ∫ ( ∑ l > n | u l | ) p d μ → 0 as n → ∞ . {\displaystyle \int \left|f-\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq \int \left(\sum _{\ell >n}|u_{\ell }|\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu \rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}
0 < p < 1 の場合は、p-ノルムが劣加法的でないため、いくつかの修正が必要となる。この場合はより強い仮定
∑ ‖ u n ‖ p p < ∞ {\displaystyle \sum \|u_{n}\|_{p}^{p}<\infty }
の下で、
| ∑ k = 0 n u k | p ≤ ∑ k = 0 n | u k | p when p < 1 {\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{n}u_{k}\right|^{p}\leq \sum _{k=0}^{n}|u_{k}|^{p}{\text{ when }}p<1}
を繰り返し利用する。p = ∞ の場合は、μ について無視出来る集合の外側での一様収束性に関する簡単な問題に帰着される。
この定理の最もよくある形式のものは、[–π, π] 上の可測函数が自乗可積分であるための必要十分条件は、対応するフーリエ級数が L の意味で収束することである。すなわち、自乗可積分函数 f に対応するフーリエ級数の第 N 部分和が
S N f ( x ) = ∑ n = − N N F n e i n x , {\displaystyle S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,\mathrm {e} ^{inx},}
で与えられるなら
lim N → ∞ ‖ S N f − f ‖ 2 = 0 , {\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\Vert S_{N}f-f\right\|_{2}=0,}
が成立することをいう。ここで Fn は第 n 番目のフーリエ係数
F n = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x , {\displaystyle F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,\mathrm {e} ^{-inx}\,\mathrm {d} x,}
であり、 ‖ ⋅ ‖ 2 {\displaystyle \left\Vert \cdot \right\|_{2}} は L-ノルムである。
リース=フィッシャーの定理はより一般的な状況でも適用される。R を、函数の内積空間(例えば、直線上の可測函数や、単位円上の解析的函数の空間。古い文献ではしばしばユークリッド空間と呼ばれる)とし、 { φ n } {\displaystyle \{\varphi _{n}\}} を R 内の正規直交系(例えば、フーリエ基底やエルミートあるいはラゲールの陪多項式など。直交多項式を参照されたい)とし、それは必ずしも完備でなくてもよいとする(内積空間において、正規直交集合が完備となるための十分条件は、その集合のすべてのベクトルと直交するような非ゼロのベクトルが存在しないことである)。この定理では、ノルム空間 R が完備(したがって R はヒルベルト空間)であるなら、l ノルムが有限であるような任意の列 { c n {\displaystyle c_{n}} } は空間 R 内の函数 f を定義する。
その函数は次で定義される: f = lim n → ∞ ∑ k = 0 n c k φ k {\displaystyle f=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}c_{k}\varphi _{k}} 。ここで極限は R ノルムについてのものである。
ベッセルの不等式と組み合わせることで、その逆も同様に成り立つ:f が R 内の函数であるなら、フーリエ係数 ( f , φ n ) {\displaystyle (f,\varphi _{n})} は有限の l ノルムを持つ。