正規直交系
定数関数 1/√2π と三角関数の列
1 2 π , cos  π t π , sin  π t π , cos  2 π t π , sin  2 π t π , ... {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\,{\frac {\cos {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\cos {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\dots }
からなる {1/√2π, cos(nπt)/√π, sin(nπt)/√π }n=1,2,... は、L([−π, π]) で完全正規直交系である。
ヒルベルト空間 H の正規直交系 {en} に対し、以下は同値となる。
{en} が完全正規直交系をなす。
{en} の一次結合全体が H で稠密である。
(フーリエ級数) 任意の x ∈H について、 x = ∑ n ⟨ x , e n ⟩ e n {\displaystyle x=\sum _{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}} が成り立つ。
(リース・フィッシャーの等式) 任意の x ∈H について、 ‖ x ‖ 2 = ∑ n | ⟨ x , e n ⟩ | 2 {\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{n}|\langle x,e_{n}\rangle |^{2}} が成り立つ。
(パーセバルの等式) 任意の x, y ∈H について、 ⟨ x , y ⟩ = ∑ n ⟨ x , e n ⟩ ⟨ e n , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n}\langle x,e_{n}\rangle \langle e_{n},y\rangle } が成り立つ。
区間 [−1, 1] 上の関数列
1 , t , t 2 , ... {\displaystyle 1,t,t^{2},\dots }
を L([−1, 1]) で正規直交化することで、
p n ( t ) = 1 2 n n ! ( n + 1 2 ) 1 / 2 d n d t n ( t 2 − 1 ) n ( n = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle p_{n}(t)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\biggl (}n+{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{1/2}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}(t^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,2,\dots )}
からなる正規直交系 {pn(t)} を得る。これはルジャンドル多項式 Pn(t) に規格化定数 (n + 1/2) を乗じた直交多項式である:
p n ( t ) = ( n + 1 2 ) 1 / 2 P n ( t ) {\displaystyle p_{n}(t)={\biggl (}n+{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{1/2}P_{n}(t)}