メトロポリス・ヘイスティングス法
提案分布 Q ( x ′ | x ) {\displaystyle \displaystyle Q(x'|x)} は x {\displaystyle x} が与えられたときの状態 x ′ {\displaystyle x'} を提案する条件付き確率であり、採択確率 A ( x ′ , x ) {\displaystyle \displaystyle A(x',x)} は x {\displaystyle x} が与えられたときの状態 x ′ {\displaystyle x'} を採択する条件付き確率である。
P ( x ′ | x ) = Q ( x ′ | x ) A ( x ′ , x ) {\displaystyle P(x'|x)=Q(x'|x)A(x',x)}
この関係を以前の式に代入して以下の式を得る。
A ( x ′ , x ) A ( x , x ′ ) = P ( x ′ ) P ( x ) Q ( x | x ′ ) Q ( x ′ | x ) {\displaystyle {\frac {A(x',x)}{A(x,x')}}={\frac {P(x')}{P(x)}}{\frac {Q(x|x')}{Q(x'|x)}}} .
次のステップとして、この式を満たす採択率を選ぶことが必要である。よくある選択として、メトロポリス選択が知られ以下の式で得られる。