クネーザーの定理 (組み合わせ論)
| A ( e ) | + | B ( e ) | ≥ | A | + | B | {\displaystyle |A(e)|+|B(e)|\geq |A|+|B|}
が成り立つ。
ところで
b 2 = g − e ∉ A − e ( g ∉ A ) {\displaystyle b_{2}=g-e\not \in A-e(g\not \in A)}
より b 2 ∉ B ( e ) {\displaystyle b_{2}\not \in B(e)} だから | B ( e ) | < | B | {\displaystyle |B(e)|<|B|} である。よって帰納法の仮定より
| A ( e ) + B ( e ) | ≥ | A ( e ) | + | B ( e ) | − | H | {\displaystyle |A(e)+B(e)|\geq |A(e)|+|B(e)|-|H|}
となる G の非自明部分群 H がとれる。上記の不等式を使って
| A + B | ≥ | A ( e ) + B ( e ) | ≥ | A ( e ) | + | B ( e ) | − | H | ≥ | A | + | B | − | H | {\displaystyle |A+B|\geq |A(e)+B(e)|\geq |A(e)|+|B(e)|-|H|\geq |A|+|B|-|H|}
がいえる。よって帰納法により弱い形の定理が証明される。