オストログラドスキーの定理
ラグランジアン L = L ( q , q ̇ , q ̈ ) {\displaystyle L=L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})} により記述される物理系について、そのラグランジアンが加速度 q ̈ {\displaystyle {\ddot {q}}} に関する非縮退条件 ∂ 2 L ∂ q ̈ 2 ≠ 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\ddot {q}}^{2}}}\neq 0} を満足するとき、この系のハミルトニアン H {\displaystyle H} は上下ともに非有界となる。
一般にオストログラドスキーの定理が適用される系のハミルトニアンは、少なくともひとつの正準運動量 P {\displaystyle P} の線型な関数であり、上下ともに非有界となる。このこと自体は不安定性の存在を直ちに意味するわけではないが、そのような系が他の自由度と相互作用を持つと、エネルギー最小状態 (基底状態) が存在しないため不安定な系となる。この意味でオストログラドスキーの定理により存在が保証される不安定性は線型不安定性またはオストログラドスキー不安定性と呼ばれ、また線型不安定性を持つ力学自由度のことをオストログラドスキーゴーストと呼ぶ。オストログラドスキーの定理は、通常の物理系の運動方程式が (ニュートンの運動方程式のように) 2階微分方程式として定式化される理由を説明すると解釈される。
より一般的な多自由度系におけるオストログラドスキー不安定性の解析は Motohashi et al. (2016) で与えられている。