小行列式
< jk ≤ n に対して、それらをそれぞれ I, J と呼ぶことにすると、これらの添え字から得られる小行列式 det ( ( A i p , j q ) p , q = 1 , ⋯ , k ) {\displaystyle \det((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\cdots ,k})} は
det I , J A , [ A ] I , J {\displaystyle {\det }_{I,J}A,\ [A]_{I,J}}
などと書かれる((i) は添え字の列 I を表す)。注意しないといけないのは、文献・著者によって全く逆の2種類の意味を指すことがあることである。著者によっては、I, J のどちらにも属している成分から作られる行列の行列式を意味し、著者によっては、I, J に対応する行・列を除いて得られる行列の行列式を意味する。この記事では前者(I の行と J の列から元を選ぶ)の方の定義を用いる。例外的な場合は (i, j)小行列式の場合である;この場合、取り除く方の表記 M i , j = det ( ( A p , q ) p ≠ i , q ≠ j ) {\displaystyle M_{i,j}=\det((A_{p,q})_{p\neq i,q\neq j})} がどの文献でも標準的であり、この記事においても用いる。
m × n 行列 A に対して、正の整数 k が k ≤ m, n を満たすとき、k次小行列式 (minor determinant of order k)とは、A の m個の行から選んだ k個の行に属し、n個の列から選んだ k個の列にも属する成分からなる k次小正方行列の行列式のことである。このことは、A から m − k個の行と n − k 個の列を除いて得られる k次小正方行列の行列式ということもできる。
m × n行列の小行列(式)の作られ方は、全部で ( m k ) ⋅ ( n k ) {\displaystyle \textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}} 個ある。
零次の小行列式 (Minor of order zero) はしばしば 1 と定義される(空積も参照のこと)。
対照的に、正方行列に対する第零小行列式 (zeroth minor) とは、単にその行列の行列式のことを言う。
元々の A の行・列を具体的に指定して表記するには、1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ m, 1 ≤ j1 < j2 < ...