レヴィ・チヴィタ接続
定義 (定曲率空間) ― ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} をリーマン多様体とする。ある c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } が存在して、Mの任意の点PとTPMの任意の独立なベクトルv、wに対し、
S e c P ( v , w ) = c {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w)=c}
が成立するとき、 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} を曲率cの定曲率空間という。
定曲率空間では曲率が下記のように書ける:
定理 (定曲率空間における曲率の形) ― ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} をリーマン多様体とし、 c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } とする。このときMが曲率cの定曲率空間である必要十分条件は、Mの任意の点PとTPMの任意のベクトルX、Y、Z、Wに対し、
g ( R ( X , Y ) W , Z ) = c g ( X , W ) g ( Y , Z ) − c g ( Y , W ) g ( X , Z ) {\displaystyle g(R(X,Y)W,Z)=cg(X,W)g(Y,Z)-cg(Y,W)g(X,Z)}
が成立する事である。
よって e ( t ) {\displaystyle e(t)} が正規直交基底であれば、 e ( t ) = e ̄ ( t ) A ( t ) {\displaystyle e(t)={\bar {e}}(t)A(t)} より A ( t ) {\displaystyle A(t)} は回転変換であり、 A ( t ) {\displaystyle A(t)} の微分は歪対称行列である。
↑ なお、一般相対性理論ではここに書いたのとは異なる解釈をする。具体的には ∇ d t d d t c ( t ) = 0 {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}{\tfrac {d}{dt}}c(t)=0} を成分で d 2 d t 2 x i ( t ) + d x j d t d x k d t Γ j k i ∂ ∂ x i = 0 {\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}x^{i}(t)+{dx^{j} \over dt}{dx^{k} \over dt}\Gamma _{jk}^{i}{\partial \over \partial x^{i}}=0} と表示し、重力 − d x j d t d x k d t Γ j k i {\displaystyle -{dx^{j} \over dt}{dx^{k} \over dt}\Gamma _{jk}^{i}} が質点にかかる事で加速度 d 2 d t 2 x i ( t ) {\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}x^{i}(t)} が変化すると解釈する。
ここで l {\displaystyle \ell } とkの添字の付け替えにより
∂ g k l ∂ x j d x j d s d x k d s = ∂ g j l ∂ x k d x k d s d x j d s {\displaystyle {\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}={\partial g_{j\ell } \over \partial x^{k}}{dx^{k} \over ds}{dx^{j} \over ds}}
なので、
d 2 x i d s 2 + g i l 2 ( ∂ g k l ∂ x j + ∂ g j l ∂ x k − ∂ g j k ∂ x l ) d x j d s d x k d s = 0 {\displaystyle {d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{g^{i\ell } \over 2}\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{j\ell } \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0}
となる。クリストッフェル記号の定義から定理は証明された。
Z ( g ( X , Y ) ) = g ( ∇ Z X , Y ) + g ( X , ∇ Z Y ) {\displaystyle Z(g(X,Y))=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)} (計量との両立)
ここでX、Y、ZはM上の任意の可微分なベクトル場であり、f、gはM上定義された任意の実数値C級関数であり、a、bは任意の実数であり、 f Y {\displaystyle fY} は点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} において f ( u ) Y u {\displaystyle f(u)Y_{u}} となるベクトル場であり、 X ( f ) {\displaystyle X(f)} はfのX方向微分であり、 [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} はリー括弧(英語版)である。すなわち、
( φ ∗ X ) t : E Q → E φ t ( Q ) {\displaystyle (\varphi _{*}^{X})_{t}~:~E_{Q}\to E_{\varphi _{t}(Q)}} 、 ( φ ∗ Y ) t : E Q → E ψ t ( Q ) {\displaystyle (\varphi _{*}^{Y})_{t}~:~E_{Q}\to E_{\psi _{t}(Q)}}
とすると、曲率を以下のように特徴づけられる:
定理 ―
( φ ∗ Y ) − t ∘ ( φ ∗ X ) − t ∘ ( φ ∗ Y ) t ∘ ( φ ∗ X ) t ( Z ) = Z + t 2 R ( X , Y ) Z + o ( t 2 ) {\displaystyle (\varphi _{*}^{Y})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{Y})_{t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{t}(Z)=Z+t^{2}R(X,Y)Z+o(t^{2})}
この定理は一般のベクトルバンドルに対する接続においても成立する。
, e ̄ m ( t ) ) {\displaystyle {\bar {e}}(t)=({\bar {e}}_{1}(t),\ldots ,{\bar {e}}_{m}(t))} として行列 A ( t ) {\displaystyle A(t)} を e ( t ) = e ̄ ( t ) A ( t ) {\displaystyle e(t)={\bar {e}}(t)A(t)} により定義すると、接続形式の定義より、 e ( 0 ) ω ( d c d t ( 0 ) ) {\displaystyle e(0)\omega \left({dc \over dt}(0)\right)} = ∇ d t e ( t ) | t = 0 {\displaystyle =\left.{\nabla \over dt}e(t)\right|_{t=0}} = ∇ d t e ̄ ( t ) A ( t ) | t = 0 {\displaystyle =\left.{\nabla \over dt}{\bar {e}}(t)A(t)\right|_{t=0}} = e ̄ ( 0 ) d A d t ( 0 ) {\displaystyle ={\bar {e}}(0){dA \over dt}(0)} = e ( 0 ) d A d t ( 0 ) {\displaystyle =e(0){dA \over dt}(0)} が成立する。ここで ∇ d t e ( t ) {\displaystyle {\nabla \over dt}e(t)} は成分ごとの微分 ( ∇ d t e 1 ( t ) , ... , ∇ d t e m ( t ) ) {\displaystyle \left({\nabla \over dt}e_{1}(t),\ldots ,{\nabla \over dt}e_{m}(t)\right)} の事である。 ∇が計量と両立すれば、 e ̄ ( t ) {\displaystyle {\bar {e}}(t)} は正規直交基底である。
ビアンキの第二恒等式: ( ∇ X R ) ( Y , Z ) + ( ∇ Y R ) ( Z , X ) + ( ∇ Z R ) ( X , Y ) = 0 {\displaystyle (\nabla _{X}R)(Y,Z)+(\nabla _{Y}R)(Z,X)+(\nabla _{Z}R)(X,Y)=0}
ここで ( ∇ X R ) {\displaystyle (\nabla _{X}R)} はRが3つの接ベクトルX、Y、Wを引数にとって1つの接ベクトル R ( X , Y ) W {\displaystyle R(X,Y)W} を返す事から、Rをテンソル積 T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ T M {\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes TM} の元とみなしたときの共変微分である。テンソル積に対する共変微分の定義は後述する。
このことを示すため、いくつか記号を導入する。 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} をリーマン多様体とし、 ∇ {\displaystyle \nabla } を ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 上のレヴィ-チヴィタ接続とする。 U ⊂ M → R m {\displaystyle U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}} をMの局所座標とする。以下、U上でのみ議論する。議論を簡単にするため、Uを R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} の部分集合と同一視する。
U上の滑らかな曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} を考え、この曲線の座標表示を x : [ a , b ] → U ⊂ R m {\displaystyle x~:~[a,b]\to U\subset \mathbb {R} ^{m}} 、 P ( t ) = x ( t ) = ( x 1 ( t ) , ... , x m ( t ) ) {\displaystyle P(t)=x(t)=(x^{1}(t),\ldots ,x^{m}(t))} とする。さらに η : [ a , b ] → U ⊂ R m {\displaystyle \eta ~:~[a,b]\to U\subset \mathbb {R} ^{m}} を滑らかな写像で η ( a ) = η ( b ) = 0 {\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0} となるものとし、 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} に対して曲線
なお関数fの偏微分 ∂ i f {\displaystyle \partial _{i}f} は f , i {\displaystyle f_{,i}} と「,」をつけて略記する。したがって
Y i ; j = Y i , j + Y k Γ i j k {\displaystyle Y^{i}{}_{;j}=Y^{i}{}_{,j}+Y^{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}}
が成立する。
なお、
Y i ; j , k {\displaystyle Y^{i}{}_{;j,k}}
は ∇ j ( ∇ k Y i ∂ i ) {\displaystyle \nabla _{j}(\nabla _{k}Y^{i}\partial _{i})} ではなく後述する二階共変微分 ∇ ∂ j , ∂ k Y i ∂ i {\displaystyle \nabla _{\partial _{j},\partial _{k}}Y^{i}\partial _{i}} を意味するので注意されたい。
最後に一般相対性理論で重要な擬リーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続について述べる。ここで擬リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} とはリーマン多様体と同様、各点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} に対してuに関してなめらかで非退化な二次形式 g u : T u M × T u M → R {\displaystyle g_{u}~:~T_{u}M\times T_{u}M\to \mathbb {R} } を対応させるが、gに正定値性を要求しないものである。このようなgを擬リーマン計量という。
擬リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} の場合もgが正定値とは限らないだけで、リーマン多様体の場合と同じ式でレヴィ-チヴィタ接続を定義できる。またリーマン多様体の場合と同じ公理によってレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける事も可能である。
平行移動、共変微分、測地線、正規座標、曲率といった概念も同様に定義でき、平行移動はgを保つ線形写像となる。
一方、リーマン多様体のものとの違いとしては、Hopf-Rinowの定理が成り立たない事が挙げられる。
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Jeff A. Viaclovsky. “Math 865, Topics in Riemannian Geometry”. カリフォルニア大学アーバイン校. 2023年10月31日閲覧。
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佐々木重夫『微分幾何学I』 13巻、岩波出版〈岩波講座 基礎数学〉、1977年8月。
実はこれらの量はMの内在的な量である事、すなわち R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} からMに誘導されるリーマン計量(とその偏微分)のみから計算できる事が知られている。具体的には以下の通りである:
定理 ― Mに局所座標 ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} を取るとき、以下が成立する(アインシュタインの縮約で表記):
∇ d t v ( t ) = ( d d t v i ( t ) + d x j ( t ) d t v k ( t ) Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle {\nabla \over dt}v(t)=\left({d \over dt}v^{i}(t)+{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}} ...(1)
where Γ j k i = 1 2 g i l ( ∂ g k l ∂ x j + ∂ g l j ∂ x k − ∂ g j k ∂ x l ) {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{i\ell }\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right)} .