命題論理
整式 ¬ ¬ φ {\displaystyle \lnot \lnot \phi } からは φ {\displaystyle \phi } を推論できる。
公理系2の、はじめの2つの公理を、以下の4つに置き換えたもの。
φ → ( χ → φ ) {\displaystyle \phi \rightarrow (\chi \rightarrow \phi )}
( χ → ( χ → φ ) ) → ( χ → φ ) {\displaystyle (\chi \rightarrow (\chi \rightarrow \phi ))\rightarrow (\chi \rightarrow \phi )}
( φ → ( χ → ψ ) ) → ( χ → ( φ → ψ ) ) {\displaystyle (\phi \rightarrow (\chi \rightarrow \psi ))\rightarrow (\chi \rightarrow (\phi \rightarrow \psi ))}
( χ → ψ ) → ( ( φ → χ ) → ( φ → ψ ) ) {\displaystyle (\chi \rightarrow \psi )\rightarrow ((\phi \rightarrow \chi )\rightarrow (\phi \rightarrow \psi ))}
上の3つの公理は、シークエント計算における構造規則の弱化、縮約、転置に対応する。
命題論理の命題の取り扱いは普通、命題計算()、または文計算()と呼ぶ命題変数を原子式にするような形式的な推論の体系によってなされる。
命題論理において問題になるのは、個々の命題の「意味」よりも命題を「かつ」「ならば」などの論理演算子で関係づけたときにどんな推論ができるか、ということである。命題論理と違い主に個々の命題の意味を扱うのは述語論理などである。
推論の性質をいかなる形に考えるかによって、直観主義論理的な命題論理をはじめ様相論理や相関論理などさまざまな命題論理が考えられるが、通常、単に命題論理と呼んだ場合には、古典命題論理()を指す(古典論理)。従って、本項目では古典命題論理について主に解説することとする。
一般的にいえば、命題計算とは「文法的にきちんとした」統語的な表現(整式)の集合、その表現のいくつかからなる部分集合(公理の集合)、さらに加えて表現の空間上に二項関係を定義する変形規則の集合からなる形式的体系である。
普通、それぞれの表現が数学の表現として具体的に解釈されるとき、表現の変形規則が一定の意味同等性を保つように与えられる。特に表現が論理体系そのものとして解釈されるときには「意味同等性」が論理的同等性のことを指すように変形規則が与えられる。
φ {\displaystyle \phi } を仮定して整式 ψ {\displaystyle \psi } が導かれたら ( φ → ψ ) {\displaystyle (\phi \rightarrow \psi )} を推論できる。