パーフェクトイド空間
任意のパーフェクトイド体 K に対して、チルト(tilt)と呼ばれる有限な標数 p のパーフェクトイド体 K が定まる。集合としては、これは次の式
K ♭ = lim ← x ↦ x p  K {\displaystyle K^{\flat }=\varprojlim _{x\mapsto x^{p}}K}
で定義される。つまり、K の元の無限列 (x0, x1, x2, ...) であって xi = xpi+1 を満たすもの全体が K である。K の乗法は項別に定義されるが、加法の定義の仕方は複雑である。K の標数が有限であれば K ≅ K が成り立つ。K が Q p ( p 1 / p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}(p^{1/p^{\infty }})} の p 進完備化であれば、K は F p ( ( t ) ) ( t 1 / p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {F} _{p}((t))(t^{1/p^{\infty }})} の t 進完備化である。
数学のパーフェクトイド空間(パーフェクトイドくうかん、英: perfectoid space)とは、p 進数体に代表される混標数(英語版)の体の上での数論幾何学の研究に用いられる、アディック空間(英語版)の一種である。
パーフェクトイド体とは、階数(高さともいう)1の非離散付値から誘導された位相を持つ完備な位相体 K であって、K°/p 上のフロベニウス自己準同型 Φ が全射であるもののことである。ここで K° は冪有界元全体のなす環である。
パーフェクトイド空間は混標数の状況を等標数の状況と比較するために用いられる。またこのことを目的として創始された。この比較を数学的に行うための技術的な道具立てが傾同値と概純定理である。ペーター・ショルツェによって2012年に創始された。