特異値
特異値は固有値に等しい。 σ i ( A ) = λ i ( A ) {\displaystyle \sigma _{i}(A)=\lambda _{i}(A)}
A p {\displaystyle A^{p}} の特異値を σ i ( p ) {\displaystyle \sigma _{i}^{(p)}} として、
| λ 1 | ≥ ⋯ ≥ | λ n | , σ 1 ( p ) ≥ ⋯ ≥ σ n ( p ) {\displaystyle |\lambda _{1}|\geq \cdots \geq |\lambda _{n}|,\quad \sigma _{1}^{(p)}\geq \cdots \geq \sigma _{n}^{(p)}}
と並べるとき、Banach代数の分野で知られた公式(Gelfand, 1941):
lim p → ∞ σ 1 ( p ) 1 p = | λ 1 | {\displaystyle \lim _{p\to \infty }\sigma _{1}^{(p){\frac {1}{p}}}=|\lambda _{1}|}
の一般化として、
lim p → ∞ σ i ( p ) 1 p = | λ i | , 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle \lim _{p\to \infty }\sigma _{i}^{(p){\frac {1}{p}}}=|\lambda _{i}|,\quad 1\leq i\leq n}
が成り立つ。この公式はヒルベルト空間上のコンパクト作用素に対しても成立する。