微分形式
, x j k ) d x j 1 ∧ ⋯ ∧ d x j k {\displaystyle \mathrm {d} y_{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} y_{i_{k}}=\sum _{j_{1}<\dotsb <j_{k}}{\frac {\partial {\bigl (}y_{i_{1}},y_{i_{2}},\dotsc ,y_{i_{k}}{\bigr )}}{\partial {\bigl (}x_{j_{1}},x_{j_{2}},\dotsc ,x_{j_{k}}{\bigr )}}}\mathrm {d} x_{j_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x_{j_{k}}}
と変換される。右辺の係数は、ヤコビアンである。
∑ が付くのは k < n の時を含めた一般の式だからである。
D ⊆ R において定義された微分 k 形式
ξ = f d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x k {\displaystyle \xi =f\,\mathrm {d} x_{1}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x_{k}}
に対し、D 上の積分を
∫ D ξ = ∫ D f d x 1 ⋯ d x k {\displaystyle \int _{D}\xi =\int _{D}f\,\mathrm {d} x_{1}\dotsm \mathrm {d} x_{k}}
で定義する。右辺は D で定義された重積分である。そしてこの定義は座標によらない。
通常は積分 ∫ f ( x ) d x {\textstyle \int f(x)\,\mathrm {d} x} において、∫ と dx は一対の記号であり、別々に用いることはできないが、微分形式としての意味を与えたことによって dx は一つの記号として意味を持ったことになる。
微分形式の「係数」になっている関数の微分を通じて、微分形式の次数を 1 つあげる線形写像 d : ⋀ k ( D ) → ⋀ k + 1 ( D ) {\textstyle \mathrm {d} \colon \bigwedge ^{k}(D)\to \bigwedge ^{k+1}(D)} が定義される。
正確には、この写像は k によって定義域や値域が異なる写像であり d のように k を明示して区別すべきであるが、特に気にせず、どれも d で表すことが多い。
領域 D に座標系 {x1, x2, ..., xn} が与えられているとき、微分 0 形式 すなわち D 上の関数 f には全微分
d f = ∂ f ∂ x 1 d x 1 + ∂ f ∂ x 2 d x 2 + ⋯ + ∂ f ∂ x n d x n {\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,\mathrm {d} x_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,\mathrm {d} x_{2}+\dotsb +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\,\mathrm {d} x_{n}}
を対応させる。これは座標系の選び方によらない量になっている。
数学における微分形式(びぶんけいしき、英: differential form)とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。
などが成り立つ。
微分 k 形式 ξ と微分 l 形式 η の外積 ξ ∧ η は、微分 k + l 形式となり、交代性から
ξ ∧ η = ( − 1 ) k l η ∧ ξ {\displaystyle \xi \wedge \eta =(-1)^{kl}\eta \wedge \xi }
となることが分かる。
特に、k が奇数の時は
ξ ∧ ξ = − ξ ∧ ξ {\displaystyle \xi \wedge \xi =-\xi \wedge \xi }
となり
ξ ∧ ξ = 0 {\displaystyle \xi \wedge \xi =0}
が導かれる。これは、 同じ微分 1 形式の外積が 0 になるという事実の一般化である。偶数次の微分形式の時は 0 になるとは限らない。
また、和と積を組み合わせた演算では分配法則
(f1 dx1 + f2 dx2) ∧ (f3 dx3 + f4 dx4) = f1 f3 dx1 ∧ dx3 + f1 f4 dx1 ∧ dx4 + f2 f3 dx2 ∧ dx3 + f2 f4 dx2 ∧ dx4
などが成り立つ。