環の根基
環論という数学の分野において、環の根基 (radical of a ring) は環の「悪い」元からなるイデアルである。
根基の最初の例は冪零根基であった。これは (Wedderburn 1908) のサジェスチョンに基づいて、(Köthe 1930) で導入された。次の数年間でいくつかの他の根基が発見された。それらのうち最も重要な例はジャコブソン根基である。根基の一般論は (Amitsur 1952, 1954, 1954b) と Kurosh (1953) によって独立に定義された。
詳細は「ジャコブソン根基」を参照
R を可換とは限らない任意の環とする。R のジャコブソン根基 (Jacobson radical of R) はすべての単純右 R-加群の零化イデアルの共通部分である。
ジャコブソン根基のいくつかの同値な特徴づけが存在する。例えば:
J(R) は R の正則極大右(あるいは左)イデアルの共通部分である。
J(R) は R のすべての右(あるいは左)原始イデアルの共通部分である。
J(R) は R の極大右(あるいは左)準正則右(resp. 左)イデアルである。
冪零根基のように、この定義を任意の両側イデアル I に拡張することが J(I) を射影 R→R/I の下での J(R/I) の原像と定義することによってできる。
R が可換であれば、ジャコブソン根基は常に冪零根基を含む。環 R が有限生成 Z-代数であれば、冪零根基はジャコブソン根基に等しく、より一般的に: 任意のイデアル I の根基は I を含む R のすべての極大イデアルの共通部分に常に等しい。これは R がジャコブソン環であると言っている。