テトレーション
a ′ = e − 1 2 π b cos  π a 2 b ′ = e − 1 2 π b sin  π a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}
ここから以下の近似値が導かれる。
同様に値を逆向きに求めていくことで i = 1、 i = 0 が得られる。 i の値を複素平面上にプロットすると、点列は渦巻状に極限値 0.4383 + 0.3606i へと近づく。この値は n→∞ のときと解釈できる。
このようなテトレーションの列に関する研究はオイラーの時代から続けられてきているものの、そのカオス的な振る舞いのために不明な所が多い。これまでに発表された研究のほとんどは、無限反復指数関数の収束について焦点を当てたものである。現在の研究は高性能のコンピュータを用いたフラクタルと数式処理システムの出現に大きな恩恵を受けている。テトレーションについて分かっていることの多くは、複素力学系の一般的な知識と、指数写像の専門的な研究によるものである。
テトレーションを高さ実数または複素数へ拡張する、という一般的な問題への広く受け入れられた解答は今のところ存在しない。いくつかのアプローチについて以下で述べる。
一般にこの問題は任意の実数 a > 0 に対し、実数 x > −2 で定義され、次の条件を満たす超指数関数 f (x) = a を求めるものである。
f (0) = 1、 f (−1) = 0
任意の実数 x > −1 に対し f (x) = a↑↑(f (x−1))
三つ目の条件は通常次の中のどれかである。 連続性(通常は x > 0 における a、 x についての連続性) 微分可能性(x についての 1、 2、 k 回または無限回微分可能性) 正則性(x についての 2 階微分可能性を含む) 任意の実数 x > 0 に対して d 2 d x 2 f ( x ) > 0 {\displaystyle \displaystyle {{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}f(x)>0}} が成立する。
三つ目の条件は著者およびアプローチによって異なる。実数高さへの拡張には二つの主要なアプローチが存在し、一つは正則性、もう一つは微分可能性に基づいたものである。これらの二つのアプローチは、相反する結果を導くことから互いに大きく異なるとされ、調和は難しいと考えられている。
長さ 1 の区間で a が定義されれば、任意の x >−2 に対し容易に拡張される。