M,n,k-ゲーム
m,n,k-ゲームとは、三目並べや五目並べのようなゲームを一般化したもので、2人のプレイヤーがm×nマスの盤面上に自分の石を交互に置き、先に自分の石を縦・横・斜めのいずれかにk個並べたプレイヤーが勝利となるゲームの総称である。三目並べは3,3,3-ゲーム、15路盤を使用した五目並べは15,15,5-ゲームとなる。並べる石の数のみに着目してk目並べ(k-in-a-row)とも呼ばれる。
m,n,k-ゲームという呼称は、ゲーム理論など主に数学的な対象において用いられる。
二次元の盤面の代わりに、多次元の盤面による変種を考えることができる。
例えば、n次元空間における、各辺をk個のマス目に区切った超立方体におけるk目並べを考える。HalesとJewettは、kが奇数かつ
k ≥ 3 - 1
の場合、または、kが偶数かつ
k ≥ 2 - 2
の場合、引き分けになることを証明した。
彼らは、マス(セル)の数が辺の数の2倍以上の場合も引き分けになる推測しているが、これは以下の場合かつ以下の場合にのみ発生する。
2 k ≥ (k + 2)