逆元
このような簡単な視座はグリーンの関係式(英語版)によって一般化され、勝手な半群の任意の冪等元 e は Re における左単位元、および Le における右単位元となる。もうすこし直観的にいえば、この事実は互いに逆である任意の対から局所左単位元および局所右単位元が導かれるということである。
単位的半群において、前節で定義した意味での逆元の概念は本節におけるそれよりも真に狭い意味のものになっている。H1 の元は前節の単位的マグマの意味での逆元を持つのみであるが、その一方で任意の冪等元 e に対する He の元は本節における意味での逆元を持つ。この広い意味での逆元の定義では、かってな半群や単位的半群において逆元が一意である必要はない(し、存在するとも限らない)。任意の元が正則元であるような半群あるいは単位的半群は正則半群と呼ばれ、任意の元が少なくとも一つの逆元を持つ。また、任意の元が本節に言う意味での逆元をちょうどひとつだけ持つような半群は逆半群という。そして、ただひとつの冪等元を持つ逆半群は群である。逆半群は吸収元 0 を持つことがあるが、(もしあれば 000 = 0 を満たすから)群ではそのような元は存在しない。
半群論以外の文脈では、本節にいう意味の逆元がただひとつ存在するとき、それを擬似逆元あるいは準逆元 (quasi-inverse) と呼ぶことがある。このことは(本項で扱う例などのような)多くの応用において、結合性が満足され、この概念を単位元に関する(左、右)逆元の一般化と見ることができることから正当化される。
A right − 1 = A ⊺ ( A A ⊺ ) − 1 = [ 1 4 2 5 3 6 ] ( [ 1 2 3 4 5 6 ] [ 1 4 2 5 3 6 ] ) − 1 = [ 1 4 2 5 3 6 ] [ 14 32 32 77 ] − 1 = 1 54 [ 1 4 2 5 3 6 ] [ 77 − 32 − 32 14 ] = 1 18 [ − 17 8 − 2 2 13 − 4 ] {\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{right}}^{-1}&=A^{\intercal }(AA^{\intercal })^{-1}={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\right)^{\!\!\!-1}\\[10pt]&={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
を得る。左逆元は存在しない。実際
A ⊺ A = [ 1 4 2 5 3 6 ] [ 1 2 3 4 5 6 ] = [ 17 22 27 22 29 36 27 36 45 ] {\displaystyle A^{\intercal }A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}}
これは非正則行列なので逆を持たない。