二項関係
左一意的かつ右一意的ならば、関係は一対一であるという。
全域性条件:
X の任意の元 x, y について、X の任意の元 z について zRx ⇔ zRy が成り立てば必ず x = y となるとき R は外延的であるという。
全順序は外延的である。∈は任意の集合上で外延的である。
反射的、対称的かつ推移的な関係は同値関係(あるいは等値関係)と呼ばれる。反射的、反対称的かつ推移的な関係は半順序である。半順序が完全ならば全順序、単純順序、線型順序あるいは鎖などと呼ばれる。整礎的な線型順序は整列順序と呼ばれる。ある関係が対称、推移的かつ連続的ならば必ず反射的である。
R が X と Y の上の二項関係ならば、次のような Y と X 上の二項関係が定まる:
(集合の)恒等関係(「~に等しい」)、帰属関係(「~の元である」)、包含関係(「~の部分集合である」)といったようなある種の「関係」では、これらの関係の始集合および終集合となるべきものが公理的集合論の通常の公理系では集合とはならず、上述の意味での二項関係として理解することができないということがしばしば起こりうる。
例えば、(通常の集合論では集合にならない)「集合全体の成す集合」を始集合と終集合に持つ二項関係 “=” として「恒等関係」の一般概念のモデルを考えたいとする。この問題は、通常は(宇宙または普遍集合と呼ばれるような)「十分大きな」集合 A をとって、“=” の代わりに考える対象を A に含まれる集合だけに制限した制限関係 “=A” を考えることによって回避する(必要ならば普遍集合をさらに大きなものに取り替える)。同様に、「包含関係」⊆ も始集合と終集合をある特定の集合 A の冪集合 P(A) に制限して関係 ⊆A を考え、また同様に「帰属関係」∈ も始集合を A に終集合を P(A) に制限することで関係 ∈A が定められて問題を回避することができる。
X の任意の二元 x, y について、x R y または y R x の一方あるいは両方が必ず満足されるとき、R は完全であるという。
全順序集合における「大なりイコール」"≥" は完全関係の例である。本節にいう total は前節の total とは意味が異なる。