ポワンソーの楕円体
これら2つの保存則は角運動量ベクトル L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} に対して2つの拘束を与えている。すなわち、運動エネルギー則は L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} が楕円面上にある拘束を与え、角運動量の保存則は L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} が 球面 上にあることを示している。これら2つの曲面はタコシェル形の曲線において交わり、それが L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} の解となる。
この導出では角運動量ベクトル L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} を考慮するため、角速度ベクトル ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} に着目したポワンソーの作図法とは異なる。これは ジャック・フィリップ・マリー・ビネ によって導かれた。
外部トルクが無い場合、角運動量ベクトル L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} は 慣性座標系 において保存される。
d L d t = 0 {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}=0}
角運動量ベクトル L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} は、慣性テンソル I {\displaystyle {\boldsymbol {I}}} と角速度ベクトル ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} を用いて表すこともできる。
L = I ⋅ ω {\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {I}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}}
ここで各成分は、慣性座標系における値である。これより運動エネルギーは角速度と角運動量の内積として表される。
T = 1 2 ω ⋅ L {\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}}
角運動量ベクトル L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} は慣性座標系において不変であるから、これは角速度ベクトル ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} が絶対空間に固定された平面上に拘束されていることを表している。この平面は 不変平面 と呼ばれ、法線ベクトルは L {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} の定数倍である。角速度ベクトル ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} によってこの不変平面に描かれる軌跡は ハーポルホード (ギリシャ語で "蛇の軌跡" の意)と呼ばれ、一般には閉曲線にはならない。