絶対ガロア群
有理数体の絶対ガロア群を直接的に記述する方法が知られていない。有理数体の絶対ガロア群の元で他の元と区別できるよう名前が付けられているのは単位元と複素共役だけである。ベールイの定理によりこの絶対ガロア群はグロタンディークの子供のデッサン(曲面上の地図)に忠実に作用するので、代数体のガロア理論を"見る"ことはできる。
有理数体の最大アーベル拡大 K の絶対ガロア群は自由副有限群であろうと予想されている(シャファレヴィッチの予想)。
全ての副有限群はあるガロア拡大のガロア群となるが、全ての副有限群が絶対ガロア群となるわけではない。例えば、有限群で絶対ガロア群となるものは単位元のみの自明な群か位数2の群だけであることがアルティン・シュライアーの定理から分かる。
全ての射影的副有限群(英語版)は擬代数的閉体(英語版)の絶対ガロア群として実現できる。このことはアレクサンダー・ルボツキー(英語版)とルー・ファン・デン・ドリース(英語版)によって証明された。