一般化双曲型分布
正規逆ガウス分布(英語版) (NIG) となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。
確率密度関数
g h ( x ; − 1 / 2 , α , β , δ , μ ) = nig  ( x ; α , β , δ , μ ) = α δ π exp  ( δ α 2 − β 2 + β ( x − μ ) ) K 1 ( α δ 2 + ( x − μ ) 2 ) δ 2 + ( x − μ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )&=\operatorname {nig} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\alpha \delta }{\pi }}\exp(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}+\beta (x-\mu )){\frac {K_{1}(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}})}{\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}}\end{aligned}}}
自由度 ν の非対称なスチューデントのt分布となる。(β ≠ 0)
g h ( x ; λ = − ν 2 , α → | β | , β , δ , μ ) = δ ν | β | ( ν + 1 ) / 2 K ( v + 1 ) / 2 ( ( δ 2 + ( x − μ ) 2 ) β 2 ) exp  ( β ( x − μ ) ) 2 ( v − 1 ) / 2 Γ ( ν 2 ) π ( δ 2 + ( x − μ ) 2 ) ( ν + 1 ) / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;&\lambda ={\frac {-\nu }{2}},\alpha \to |\beta |,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\delta ^{\nu }|\beta |^{(\nu +1)/2}K_{(v+1)/2}\left({\sqrt {(\delta ^{2}+(x-\mu )^{2})\beta ^{2}}}\right)\exp(\beta (x-\mu ))}{2^{(v-1)/2}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi }}\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)^{(\nu +1)/2}}}\end{aligned}}}