行列指数関数
ケイリー・ハミルトンの定理を考えれば、n次正方行列乗はその行列の高々次数 n − 1 の多項式として表示できるはずである。
非零な一変数多項式 P および Qt は P(A) = 0 なるものとする。有理型函数
f ( z ) = e t z − Q t ( z ) P ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}}
が整函数ならば
e t A = Q t ( A ) {\displaystyle e^{tA}=Q_{t}(A)}
が成り立つ。これを示すには上記等式において P(z) を掛けて z を A で置き換えればよい。
さてこのような多項式 Qt(z) は以下のように見つけることができる(シルベスターの公式(英語版)参照)。a は P の根として、 Qa,t(z) は P に f の a におけるローラン級数の主要部を掛けることで得られる。これは関連するフロベニウス共変行列(英語版)に比例する。a が P の根を亙るときの Qa,t 全ての和 St が所期の Qt として取れる。他全ての Qt は St(z) に P の定数倍を加えることで得られる。特に、ラグランジュ–シルヴェスター多項式 St(z) は P より次数が低くなる唯一の Qt である。