ヘンゼルの補題
を満たすものがあったとすると、p 進整数 b で f(b) = 0 かつ | b − a | p < | f ′ ( a ) | p {\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}} となるものが一意的に存在する。この b を作るにはニュートン法の漸化式が初期値 a で p 進数に収束することを示しその極限を b と置けばよい。条件 | b − a | p < | f ′ ( a ) | p {\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}} を満たす根として b が一意であることを示すには追加の議論がいる。
先ほどのヘンゼルの補題の m = 1 {\displaystyle m=1} の場合はこの一般化された補題の特殊な場合になっている。条件 f(a) ≡ 0 mod p と f ′ ( a ) ≢ 0 mod p {\displaystyle f'(a)\not \equiv 0{\bmod {p}}} は | f ( a ) | p < 1 {\displaystyle |f(a)|_{p}<1} と | f ′ ( a ) | p = 1 {\displaystyle |f'(a)|_{p}=1} を意味するからである。
b i ≡ a i mod det J f ( a ) m , 1 ⩽ i ⩽ n {\displaystyle b_{i}\equiv a_{i}{\bmod {\det }}J_{\mathbf {f} }(a){\mathfrak {m}},\qquad 1\leqslant i\leqslant n}
が成り立つという意味で a に"近い"解である。
この定理の特別な場合として、 f i ( a ) ≡ 0 mod m {\displaystyle f_{i}(\mathbf {a} )\equiv 0{\bmod {\mathfrak {m}}}} がすべての i に対して成り立ち、しかも det J f ( a ) {\displaystyle \det J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )} が A の単数なら、解 f(b) = 0 ですべての i に対して b i ≡ a i mod m {\displaystyle b_{i}\equiv a_{i}{\bmod {\mathfrak {m}}}} が成り立つものが存在することがわかる。
n = 1 の場合、 a = a は A の元で J f ( a ) = J f ( a ) = f ′ ( a ) {\displaystyle J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )=J_{f}(a)=f'(a)} である。したがって、この多変数のヘンゼルの補題の仮定は1変数の場合には通常のヘンゼルの補題の仮定と同じになっている。
m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を極大イデアルとしているので、 その剰余環 R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}} は体である。したがって ( R / m ) [ X ] {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]} は単項イデアル整域なので、 特に一意分解環である。これは、任意のゼロではない ( R / m ) [ X ] {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]} の多項式は ( R / m ) {\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})} のゼロでない元とモニック(最高次の係数が1という意味)な既約多項式の積として一意的にかけることを意味する。
ヘンゼルの補題は、h の法 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} での互いに素な多項式への因数分解は、任意の k に対して m k {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}} を法とする因数分解に一意的に持ち上げられることを主張する。
大切で特別な場合として f = X − r {\displaystyle f=X-r} であるときを考える。この場合、互いに素という仮定は r は h mod m {\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}} の単根であるということを意味する。したがってこの場合にはヘンゼルの補題の主張は次のようになる(これもヘンゼルの補題と言われる)。
記号と仮定は今までと同じとし、r を h mod m {\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}} の単根とする。このとき、r は全ての正の整数 n に対して h mod m n {\displaystyle h{\bmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}} の単根に一意的に持ち上げることができる。つまり、任意の正の整数 n 対して h mod m n {\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}^{n}} の単根 r n ∈ R / m n {\displaystyle r_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}} であって r n ≡ r ( mod m ) {\textstyle r_{n}\equiv r{\pmod {\mathfrak {m}}}} を満たすものが一意的に存在する。