自由アーベル群
F が基底 B をもった自由アーベル群であれば、以下の普遍性 (universal property) が成り立つ:
抽象代数学において、自由アーベル群 (free abelian group) あるいは自由 Z-加群 (free Z-module) とは基底をもったアーベル群のことを言う。
アーベル群であるという条件は、結合的、可換、可逆な二項演算をもった集合であることを意味し、慣習的に演算は「加法」として、逆元を加えることを「減法」としてとらえられる。
基底とは、その群の任意の元が有限個の例外を除くすべての元が 0 となる整数係数線型結合としてちょうど一通りの方法で書けるような部分集合を言う。
したがって自由アーベル群の任意の元は、基底に属する元に「加法」や「減法」を有限回施すことで得られる。実例として整数全体の成す集合は加法に関して単元集合 {1} を基底とする自由アーベル群になる。実際、整数の加法は可換かつ結合的で、減法は加法逆元を加えることに等しく、各整数は 1 を必要な個数だけ加えたり引いたりすれば得られ、任意の整数はそれが 1 の何倍かを表す整数として一意に表すことができる。
自由アーベル群はその性質により、ベクトル空間とよく似た性格を持つ。代数的位相幾何学における応用として、自由アーベル群は鎖群(英語版)の定義に用いられ、また代数幾何学において因子の定義に用いられる。整格子(英語版)もまた自由アーベル群の例であり、格子論では実線型空間の自由アーベル部分群が調べられる。
基底 B を持つ自由アーベル群の各元は、非零整数 ai を係数として相異なる基底元 bi の有限項の和 ∑i aibi の形の式で表現することができる。