プリューファー群
プリューファー p 群は subdirectly irreducible(英語版) である。アーベル群が subdirectly irreducible であることと有限巡回 p 群あるいはプリューファー群に同型であることは同値である。
プリューファー p 群は局所巡回な(英語版)(元の任意の有限集合が巡回群を生成する)唯一の無限 p 群である。上で見たように、Z(p) のすべての真の部分群は有限である。一方、この性質を持った無限アーベル群はプリューファー p 群だけである。
プリューファー p 群は可除である。可除群の分類で重要な役割を果たす。有理数とプリューファー群は共に最も単純な可除群である。正確にはアーベル群が可除であることと Q の(無限個でもよい)コピーたちと各素数 p に対して Z(p) の(無限個でもよい)コピーたちの直和であることは同値である。この直和に使われる Q と Z(p) のコピーの数は同型を除いて可除群を決定する。
アーベル群として(つまり Z 加群として)、Z(p) はアルティン加群であるがネーター加群ではない。したがって Z(p) はすべてのアルティン加群はネーター加群であるという命題の反例を与える(一方すべてのアルティン環はネーター環である)。
Z(p) の自己準同型環は p 進整数の環 Zp に同型である。
局所コンパクト位相群の理論において、プリューファー p 群(に離散位相を入れたもの)は p 進整数のコンパクト群のポントリャーギン双対であり、p 進整数の群はプリューファー p 群のポントリャーギン双対である。