十八角形
正十八角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正十八角形においては、中心角と外角は20°で、内角は160°となる。一辺の長さが a の正十八角形の面積 S は
S = 18 4 a 2 cot  π 18 ≃ 25.52 a 2 {\displaystyle S={\frac {18}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{18}}\simeq 25.52a^{2}}
で、外接円の半径 R は
R = a 2 csc  π 18 ≃ 2.8794 a {\displaystyle R={\frac {a}{2}}\csc {\frac {\pi }{18}}\simeq 2.8794a}
で与えられる。
cos  ( 2 π / 18 ) {\displaystyle \cos(2\pi /18)} を平方根と立方根で表すと、
cos  2 π 18 = cos  π 9 = 4 + 4 3 i 3 + 4 − 4 3 i 3 4 = 1 + 3 i 3 + 1 − 3 i 3 2 4 3 = 1 + 3 i 2 3 + 1 − 3 i 2 3 2 = − ω 2 3 + − ω 3 2 = 0.