ボレル階層
⋃ α < ω 1 Σ α 0 = ⋃ α < ω 1 Π α 0 = ⋃ α < ω 1 Δ α 0 {\displaystyle \bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}=\bigcup _{\alpha <\omega _{1}}\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}} . そして、この和に集合が属することは、それがボレルであることと同値である。
X {\displaystyle X} が不可算なポーランド空間である場合、全ての α < ω 1 {\displaystyle \alpha <\omega _{1}} において Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} は Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} に部分集合として含まれてはいないことが示せる。したがって、この階層は潰れない。