正準座標
多様体 Q が与えられると、その上のベクトル場 X は(同じことであるが、接バンドル TQ の切断)、余接バンドル上に作用する函数と考えられる。すると、接空間と余接空間の双対性により、このことは、函数
P X : T ∗ Q → R {\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }
を定義し、
P X ( q , p ) = p ( X q ) {\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}
が T q ∗ Q {\displaystyle T_{q}^{*}Q} の中のすべての余接ベクトル p に対して成立する。ここに、 X q {\displaystyle X_{q}} は点 q での多様体 Q の接空間 T q Q {\displaystyle T_{q}Q} の上のベクトルである。函数 P X {\displaystyle P_{X}} は X に対応する運動量函数と呼ばれる。
局所座標系では、点 q でのベクトル場 X は、
X q = ∑ i X i ( q ) ∂ ∂ q i {\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}