円分体
(3) m = p 1 e 1 ⋯ p r e r {\displaystyle \textstyle m=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{r}^{e_{r}}} ( r ≧ 2 , p 1 , ... , p r {\displaystyle \textstyle r\geqq 2,\ p_{1},\ldots ,\ p_{r}} は相異なる素数、 e 1 , ... , e r ≧ 1 ) {\displaystyle \textstyle e_{1},\ldots ,e_{r}\geqq 1)} であるときには
円分体 Q ( ζ p i e i ) {\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{e_{i}}})} の判別式を D i {\displaystyle D_{i}} とすると、 K の判別式は、
∏ i = 1 r D i φ ( m ) / φ ( p i e i ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{r}D_{i}^{\varphi (m)/\varphi (p_{i}^{e_{i}})}}
である。
クロネッカー=ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)
K が有理数体上のアーベル拡大体のとき、ある整数 m ≧ 3 {\displaystyle \textstyle m\geqq 3} が存在して、
K ⊂ Q ( ζ m ) {\displaystyle K\subset \mathbb {Q} (\zeta _{m})} となる。
例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー=ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。
クロネッカー=ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。