自然対数
自然対数 ln は直交双曲線 1/x の面積として定義される。それは具体的には定積分として
ln  ( a ) := ∫ 1 a 1 x d x {\displaystyle \ln(a):=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx}
と定めるということである。この函数は対数の基本性質 ln(ab) = ln(a) + ln(b) を満足するという意味において対数である。定数 e は ln(a) = 1 を満足する正数 a として定義される。
自然指数函数が先に(具体的には無限級数として)定義されている場合には、自然対数を自然指数函数の逆函数として定義することもできる。すなわち ln は exp(ln(x)) = x を満足する函数である。実数全体で定義された自然指数函数の値域は正数全体の集合に一致し、また自然指数函数は狭義単調増大(ゆえに一対一)であるから、ln はこの方法で任意の正数 x に対して矛盾なく定まる。