ラグランジアン (場の理論)
となる。ミンコフスキー計量を使って 電磁テンソルの全ての添え字を持ち上げる。この記法により、マクスウェルの方程式は、
∂ μ F μ ν = − μ 0 j ν および ε μ ν λ σ ∂ ν F λ σ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }\quad {\text{および}}\quad \epsilon ^{\mu \nu \lambda \sigma }\partial _{\nu }F_{\lambda \sigma }=0}
となる。ここで、ε はレヴィ・チヴィタテンソルである。従って、特殊相対論における電磁場のラグランジアン密度をローレンツベクトルとテンソルで記述すると、
L ( x ) = j μ ( x ) A μ ( x ) − 1 4 μ 0 F μ ν ( x ) F μ ν ( x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)}
である。この記法で書くと、古典電磁気学がローレンツ不変な理論であることが明らかである。等価原理により、電磁気学の記法を曲がった時空へ拡張することが簡単になる。
ラグランジアンの時間での積分を作用と呼び、S で表す。場の理論において、ラグランジアン L は時間での積分を作用
S = ∫ L d t {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int L\mathrm {d} t}
とし、ラグランジアン密度 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} はすべての時空に渡る積分を作用
S [ φ ] = ∫ L ( φ , ∇ φ , ∂ φ ∂ t , x , t ) d 3 x d t {\displaystyle {\mathcal {S}}[\phi ]=\int {\mathcal {L}}\left(\phi ,\nabla \phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},\mathbf {x} ,t\right)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \mathrm {d} t}
とする区別をすることが屡々ある。
ラグランジアン密度の空間的な体積積分はラグランジアンで、3次元では
L = ∫ L d 3 x {\displaystyle L=\int {\mathcal {L}}\,d^{3}x}
である。重力がある場合や、一般曲線座標系を用いる場合には、ラグランジアン密度 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は g {\displaystyle {\sqrt {g}}} の因子を含み、スカラー密度(英語版)になる。この手付きにより、作用 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} が一般的な座標変換のもとで不変になることが保証される。