ケイリー＝アロンホルトの微分作用素
ξ = ( ξ 0 , ξ 1 , ⋯ , ξ n ) {\displaystyle \xi =(\xi _{0},\xi _{1},\cdots ,\xi _{n})} を不定元とし、標数0の体 K を係数とする多項式に対し、
H = ∑ l = 0 n ( n − 2 l ) ξ l ∂ ∂ ξ l {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{l=0}^{n}(n-2l)\xi _{l}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}}
D = ∑ l = 0 n l ξ l − 1 ∂ ∂ ξ l {\displaystyle {\mathcal {D}}=\sum _{l=0}^{n}l\xi _{l-1}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}}
Δ = ∑ l = 0 n ( n − l ) ξ l + 1 ∂ ∂ ξ l {\displaystyle \Delta =\sum _{l=0}^{n}(n-l)\xi _{l+1}{\frac {\partial }{\partial \xi _{l}}}}
で定義される、多項式環 K [ ξ ] {\displaystyle K[\xi ]} 上の微分 H , D , Δ {\displaystyle {\mathcal {H}},\,{\mathcal {D}},\,\Delta } をケイリー=アロンホルトの微分作用素という。
単項式 φ = ξ 0 m 0 ⋯ ξ n m n {\displaystyle \varphi =\xi _{0}^{m_{0}}\cdots \xi _{n}^{m_{n}}} に対し、その次数 deg  φ {\displaystyle \operatorname {deg} \varphi } 、重さ weight  φ {\displaystyle \operatorname {weight} \varphi } は、
deg  φ = ∑ l = 0 n m l {\displaystyle \operatorname {deg} \varphi =\sum _{l=0}^{n}m_{l}}
weight  φ = ∑ l = 0 n l ⋅ m l {\displaystyle \operatorname {weight} \varphi =\sum _{l=0}^{n}l\cdot m_{l}}
で定義される。
H , D , Δ {\displaystyle {\mathcal {H}},\,{\mathcal {D}},\,\Delta } の作用で次数 deg  φ {\displaystyle \operatorname {deg} \varphi } は不変であるが、重さ weight  φ {\displaystyle \operatorname {weight} \varphi } については、
weight  H φ = weight  φ {\displaystyle \operatorname {weight} {\mathcal {H}}\varphi =\operatorname {weight} \varphi }