正則関数の解析性
| ( z − a ) n ( w − a ) n + 1 f ( w ) | ≤ M r n {\displaystyle \left|{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mr^{n}}
が成り立ち、ワイエルシュトラスのM判定法によって級数は C 上一様収束するので、 和と積分は交換できる。
因子 (z − a) は積分の変数 w に依らないから、くくりだすことができ、次の式を得る:
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ ( z − a ) n 1 2 π i ∫ C f ( w ) ( w − a ) n + 1 d w . {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-a)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w.}
これは z についての冪級数の求める形
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}
であり、係数は
c n = 1 2 π i ∫ C f ( w ) ( w − a ) n + 1 d w {\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w}
である。