局所コンパクト群における格子
X を局所有限木とすると、X の自己同型群 G は局所コンパクト位相群で、その位相の基は頂点の有限集合に関する固定部分群の全体で与えられる。したがって、頂点 x の固定部分群 Gx は開かつコンパクトな部分群であり、G の部分群 Γ 離散部分群となるのは Γx が適当な(したがって任意の)頂点 x に関して有限であるときである。故に部分群 Γ が X-格子となるのは、適当に定義された X/Γ の体積が有限の値となるときであり、また、一様 X-格子となるのは同じ商が有限グラフとなるときである。X/G が有限であるときは、先ほどの条件は Γ が G の格子(または一様格子)であることと同値である。
非一様格子の原型的な例は、群 SL(2,Z) によって与えられる。これは 特殊線型群 SL(2,R) 内の格子であり、モジュラー群とも近い関係にある。このような構成は、算術格子と呼ばれる、局所体 F 上の任意の半単純代数群における格子のクラスへの遠大な一般化を与える。例えば F = R を実数体としてざっと述べれば、リー群 G(R) は R に成分を持ち、なんらかの代数的な条件を満たす行列全体からなるもので、これを整数全体 Z に成分を持つものに制限したものとして、ひとつの格子 G(Z) が得られる。逆にグリゴリー・マーグリス(Grigory Margulis) は、G 二対する適当な仮定の下、任意の格子が本質的にこの方法から得られることを示した。この特筆すべき主張は格子の算術性 (Arithmeticity of lattices) あるいはマーグリスの算術性定理 (Margulis Arithmeticity Theorem) などとして知られる。