ポアンカレ不等式
ただし d = 2 {\displaystyle \scriptstyle {d={\sqrt {2}}}} )であることが知られている(例えば Kikuchi & Liu (2007) を参照)。
さらに、滑らかな有界領域 Ω {\displaystyle \Omega } に対して、空間 W 0 1 , 2 ( Ω ) {\displaystyle W_{0}^{1,2}(\Omega )} におけるラプラス作用素のレイリー商は、(負の)ラプラシアンの極小固有値 λ1 に対応する固有函数によって最小化されるため、任意の u ∈ W 0 1 , 2 ( Ω ) {\displaystyle u\in W_{0}^{1,2}(\Omega )} に対して
| | u | | L 2 2 ≤ λ 1 − 1 | | ∇ u | | L 2 2 {\displaystyle \displaystyle ||u||_{L^{2}}^{2}\leq \lambda _{1}^{-1}||\nabla u||_{L^{2}}^{2}}
が成立することは簡単な帰結である。さらにこの定数 λ1 は最適なものである。