上昇と下降
(m < n) が B の素イデアルの鎖であって各 1 ≤ i ≤ m に対して q i {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}} が p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} の上にあるようなときにはいつでも後者の鎖が各 1 ≤ i ≤ n に対して q i {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}} が p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} の上にあるような鎖
q 1 ⊆ q 2 ⊆ ⋯ ⊆ q n {\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}}
に拡張できることをいう。
(Kaplansky 1970) において、拡大 A⊆B が上昇性質を満たせば lying-over property も満たすことが示されている。