1−2+4−8+…
数学において、1 − 2 + 4 − 8 + ...は項が連続する2の冪で符号が交互に繰りかえす無限級数である。等比数列としては、初項 1 と公比 -2 で特徴付けられる。
∑ k = 0 n ( − 2 ) k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}}
これは実数の級数として発散するので、普通の意味では和を持たない。もっと広く解釈すると、この級数は一般化された和 1/3 をもつ。
ゴットフリート・ライプニッツは、早くも1673年に、発散する交代級数である1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ...を考察した。左または右で減算することによって、正または負の無限大が得られるので、どちらの答えも誤りであり、全体としては有限であるべきだ、と彼は主張した。
「さて、もしその2つのどちらも不可能であるか、またはむしろその2つのどちらが可能であるかを決めることができないならば、普通に考えて中間を選ぶ。そして、全体は有限の量に等しい。」
ライプニッツは、この級数が和を持つことを完全には断言しなかったが、メルカトルの手法を用いることにより、1⁄3 に収束するという仮説を確かに推測した 。ある級数が、和として実際に足し合わせることなしに、何らかの有限量と等しくなるという姿勢は、18世紀にはよくあることだったが、現代数学においては全く注目されていない。
クリスティアン・ヴォルフが、1712年半ばにライプニッツのグランディ級数に対する扱いを読んだ後、ヴォルフはその解法にとても喜び、算術平均の手法を 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − .
1 − 2 + 4 − 8 + ... の ボレル総和はまた 1/3 である。エミール・ボレルが1896年にボレル和の極限公式を導入したとき、これは 1 − 1 + 1 − 1 + ... に続く彼の最初の例の1つだった。