Arithmetica Universalis
16 Problems Resolution of Geometrical Questions - LXXXIII. How Geometrical Questions may be reduced to Equations - LXXXIII. 61 Problems
Part II Nature of the Roots of Equations - CX. Transmutations of Equations - CXXIII. Limits of the Roots of Equations - CXXXII. Reduction of Equations by Surd Divisors - CXL.
Appendix Linear Construction of Equations Roots of Numeral Equations by their Limits (by Colin Maclaurin) Method of Series by which you may approximate to Roots of Literal Equations (by Colin Maclaurin) Measures of Ratios (by James Maguire)
Reduction of Medial Equations - LXXV. Transformation of two or more Equations into one, in order to exterminate the unknown Quantities - LXXV. Extermination of an unknown Quantity by Equality of its Values - LXXVI. Extermination of an unknown Quantity, by substituting its Value for it - LXXVII. Extermination of an unknown Quantity of several Dimensions in each Equation - LXXVIII. Method of taking away any number of Surd Quantities out of Equations - LXXXI. Resolution of Arithmetical Questions - LXXXII. How a Question may be brought to an Equation - LXXXII.
x 4 − p x 3 + p p x x − 6 p 3 − q x + 2 p q = 0 , {\displaystyle x^{4}-px^{3}+ppxx\left.{\begin{array}{l}-6p^{3}\\-q\end{array}}\right.x+2pq=0,}
which ought to have two affirmative and two negative Roots; yet it has, if you regard the Change of the Signs, four affirmative ones. There are therefore two impossible ones, which, for their Ambiguity, in the former Case seem to be negative ones; in the latter, affirmative ones. But you may know almost, by this Rule, how many Roots are impossible.
この部分を日本語訳すると以下のようになる。
百十九. 方程式が不可能な根 (複素数根, impossible Roots) を持たなければ、正の根 (affirmative Roots) と負の根の個数はその方程式の各項の符号から分かるだろう。正の根は、符号の列が + から −、または − から + へ変化する数だけあり、残りは負の根である。
方程式 x − x − 19x + 49x − 30 = 0 について、各項に対する符号を + − − + − というように並べると、符号の変化は一番目 + から二番目 −、三番目 − から四番目 +、四番目 + から五番目 − にあり、すなわち正の根が 3 つあり、従って 4 つ目の根は負である。しかし方程式が不可能な根を持つ場合には、それらの不可能な根が、正でも負でもなく曖昧なもの (ambiguous ones) となり得る限りは、この規則は力を持たない。例えば、方程式 x + px + 3px − q = 0 は、符号より 1 つの正の根と 2 つの負の根を持つ。ここで x = 2p、あるいは x − 2p = 0、として先の方程式に掛けると、方程式の正の根は 1 つ増え、次の方程式が得られる。
x 4 − p x 3 + p 2 x 2 − ( 6 p 3 + q ) x + 2 p q = 0 , {\displaystyle x^{4}-px^{3}+p^{2}x^{2}-\left(6p^{3}+q\right)x+2pq=0,}
この方程式は 2 つの正の根と 2 つの負の根を持たなくてはならないが、符号の変化から判断するには、4 つの正の根を持つことになる。従って、符号の曖昧さから、2 つの不可能な根があって、それらは初めの方程式においては負であり、後の方程式では正である。 しかし、この規則から、いくつの根が不可能であるかをまったく知ることができるだろう。