シュレーディンガー場
運動方程式を再現する場のハミルトニアンは
H = ∇ ψ † ∇ ψ 2 m {\displaystyle H={\nabla \psi ^{\dagger }\nabla \psi \over 2m}}
この演算子のハイゼンベルクの運動方程式は、場の運動方程式を再現する。
古典場ラグランジアンを見つけるには、ルジャンドル変換をハミルトニアンの古典極限に適用する。
L = ψ † ( i ∂ ∂ t + ∇ 2 2 m ) ψ {\displaystyle L=\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi \,}
これは古典的には正しいが、量子力学的変換は、これほど単純ではない。経路積分を エルミートではなく、固有状態が直交しない演算子ψの固有値でとるためである。場の状態に対する経路積分は単純には過剰なカウントがおこる。 Lの時間微分項には、異なるフィールド状態間のオーバーラップが含まれるため、これは当てはまらない。