各点収束
例えば、半開区間 [0, 1) において、 x n = 0 {\displaystyle x^{n}=0} は 0 に各点収束するが、これは一様収束ではない。
連続関数列の極限関数が連続とは限らないが、一様収束であれば連続である。例えば、
f ( x ) = lim n → ∞ cos 2 n  ( π x ) {\displaystyle f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\cos ^{2n}(\pi x)}
は x が整数のとき 1 でそうでないとき 0 を取り、すべての整数で不連続である。
関数 fn の値は実数でなくてもよく、各点収束の概念が意味を持つためには、位相空間であればよい。一方、一様収束は、一般の位相空間に値を取る関数に対しては意味をなさないが、距離空間や、より一般に一様空間であれば意味を持つ。