応力
平面応力状態では σz, τyz, τzx が 0 なので、主応力は以下の関係から求められる。
| ( σ x − λ ) τ x y τ x y ( σ y − λ ) | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}(\sigma _{x}-\lambda )&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&(\sigma _{y}-\lambda )\\\end{vmatrix}}=0}
上式を展開するとλに関する2次方程式が得られ、これを解くと、平面応力状態での主応力 σ1, σ2 は次のようになる。
σ 1 , σ 2 = ( σ x + σ y ) ± ( σ x − σ y ) 2 + 4 τ x y 2 2 {\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {(\sigma _{x}+\sigma _{y})\pm {\sqrt {(\sigma _{x}-\sigma _{y})^{2}+4\tau _{xy}^{2}}}}{2}}}
主軸の方向は次のようになる。
θ 1 = tan  σ 1 − σ x τ x y , θ 2 = tan  σ 2 − σ x τ x y {\displaystyle \theta _{1}=\tan {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{x}}{\tau _{xy}}}\ ,\ \theta _{2}=\tan {\frac {\sigma _{2}-\sigma _{x}}{\tau _{xy}}}}
ここでθは、x 軸とσ1、σ2の主軸がなす角度である。
ここで、aij は2つの座標間の方向余弦で、各座標軸とは下記の表のような関係となる。
上式を展開すると、3次元応力状態での各応力の変換式は以下のようになる。
σ 11 ′ = a 11 2 σ 11 + a 12 2 σ 22 + a 13 2 σ 33 + 2 a 11 a 12 σ 12 + 2 a 11 a 13 σ 13 + 2 a 12 a 13 σ 23 {\displaystyle \sigma _{11}'=a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23}}
以上の2式を等値すれば、
J 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 = σ x + σ y + σ z = tr  ( σ ) , J 2 = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 = σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x − τ x y 2 − τ y z 2 − τ z x 2 , J 3 = σ 1 σ 2 σ 3 = σ x σ y σ z + 2 τ x y τ y z τ z x − σ x τ y z 2 − σ y τ z x 2 − σ z τ x y 2 = det  ( σ ) {\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}=\sigma _{x}+\sigma _{y}+\sigma _{z}=\operatorname {tr} (\sigma ),\\J_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}=\sigma _{x}\sigma _{y}+\sigma _{y}\sigma _{z}+\sigma _{z}\sigma _{x}-\tau _{xy}^{2}-\tau _{yz}^{2}-\tau _{zx}^{2},\\J_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=\sigma _{x}\sigma _{y}\sigma _{z}+2\tau _{xy}\tau _{yz}\tau _{zx}-\sigma _{x}\tau _{yz}^{2}-\sigma _{y}\tau _{zx}^{2}-\sigma _{z}\tau _{xy}^{2}=\operatorname {det} (\sigma )\end{aligned}}}