束 (束論)
半順序集合 (L, ≤) が束であるとは、以下の二条件が満足されるときに言う。
⋁ ( A ∪ B ) = ( ⋁ A ) ∨ ( ⋁ B ) , ⋀ ( A ∪ B ) = ( ⋀ A ) ∧ ( ⋀ B ) {\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee \left(A\cup B\right)&=\left(\bigvee A\right)\vee \left(\bigvee B\right),\\\bigwedge \left(A\cup B\right)&=\left(\bigwedge A\right)\wedge \left(\bigwedge B\right)\end{aligned}}}
がともに成り立つという意味である。ここで B として空集合を取ると
⋁ ( A ∪ ∅ ) = ( ⋁ A ) ∨ ( ⋁ ∅ ) = ( ⋁ A ) ∨ 0 = ⋁ A , ⋀ ( A ∪ ∅ ) = ( ⋀ A ) ∧ ( ⋀ ∅ ) = ( ⋀ A ) ∧ 1 = ⋀ A {\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee \left(A\cup \emptyset \right)&=\left(\bigvee A\right)\vee \left(\bigvee \emptyset \right)=\left(\bigvee A\right)\vee 0=\bigvee A,\\\bigwedge \left(A\cup \emptyset \right)&=\left(\bigwedge A\right)\wedge \left(\bigwedge \emptyset \right)=\left(\bigwedge A\right)\wedge 1=\bigwedge A\end{aligned}}}
となり、これは A ∪ ∅ = A であるという事実と整合する。
L の任意の二元 a, b に対して、二元集合 {a, b} が結び(上限、最小上界、和) a ∨ b を持つ。
順序集合論的な束は二つの二項演算 ∨, ∧ を生じ、その可換性、結合性、吸収性から (L, ∨, ∧) が代数的な意味での束を定めることを確かめることは難しくない。このとき、もとの順序関係は、こうしてえられた代数的構造からすぐに回復することができる。すなわち
a ≤ b ⟺ a = a ∧ b {\displaystyle a\leq b\iff a=a\land b}
と定めて得られた順序 ≤ は、もとの束の順序関係に一致する。
逆に、代数的に定義された束 (L, ∨, ∧) に対し、L 上の半順序 ≤ を、L の各元 a, b に対して
a ≤ b ⟺ a = a ∧ b {\displaystyle a\leq b\iff a=a\land b}
または
a ≤ b ⟺ b = a ∨ b {\displaystyle a\leq b\iff b=a\lor b}
で定めれば順序集合論的な意味の束が得られる。吸収律はいずれの定義に関しても同値である。そうして、この方法で定めた順序関係 ≤ が導く結びと交わりがもともとの代数的な意味での束の演算 ∨, ∧ に一致することも確かめられる。
このように束の二つの定義は同値であるから、必要と目的に応じて束の二つの側面を自由に選んで使うことができる。
束には二項演算がふたつあることから、一方が他方に対して分配的かということを考えるのは自然な問いである。すなわち、束 L の各元 a, b, c に対して、互いに双対的な次の等式
a ∨ a = a , a ∧ a = a . {\displaystyle a\lor a=a,\quad a\land a=a.}
これらの公理は (L, ∨) および (L, ∧) がともに半束となることを要請するものである。また吸収律は(公理のうちこれだけが条件式に結びと交わりの両方が現れているので)、これによって束が、単にかってな半束の対ということではなく、対となる二つの半束のあいだに適切な相互関係があることを仮定するものとなっている。特に、互いの半束の間に双対性が見て取れる。
代数的な意味での有界束とは代数的構造 (L, ∨, ∧, 1, 0) であって、(L, ∨, ∧) は束であり、(束の最小元となるべき)0 が結び ∨ に関する単位元で、(束の最大元となるべき)1 が交わり ∧ に関する単位元となるものをいう。さらなる詳細は半束の項に譲る。
束はある種の群に似た代数的構造と関連がある。実際、交わりも結びも結合的かつ可換なので、束を台を共有するふたつの可換半群の対と看做すことができる。有界束ならば、この二つの半群は実際には可換モノイドになる。吸収律だけが、束論に特有の定義式である。
可換性と結合性により、結びや交わりを二項ではなく空でない任意の有限集合上の演算として考えることもできる。有界束の場合には、空集合に関する結び(空和)と空集合に関する交わり(空積)をそれぞれ 0 と 1 として定義することができる。このことは、有界束がある意味で一般の束よりも自然であるという見方を与えるものであって、しばしば、単に束といえば有界束のことを意味するという文献があるので注意が必要である。
このような束の代数的な解釈は普遍代数学において本質的な役割を果たす。