ウェブスターのホルン方程式
により与えられる。これを問題の領域の密度の増分による質量変化
∂ ρ ∂ t S Δ x Δ t {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}S\Delta x\Delta t}
と等置することにより、非一様な断面を持つ気柱における連続の方程式
∂ ρ ∂ t + 1 S ∂ ( S ρ v ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {1}{S}}{\frac {\partial (S\rho v)}{\partial x}}=0}
が導かれる。これとオイラー方程式を連立し音圧 p {\displaystyle p} に関して整理することによりウェブスターのホルン方程式が得られる。
断面積 S {\displaystyle S} が座標 x {\displaystyle x} の指数関数 S ∝ e x / l {\displaystyle S\propto e^{x/l}} である場合、ウェブスターのホルン方程式の解として
p ( t , x ) = e − x / 2 l ( A e i κ x + B e − i κ x ) {\displaystyle p(t,x)=e^{-x/2l}(Ae^{i\kappa x}+Be^{-i\kappa x})}
が得られる( A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} は定数)。
が存在する( A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} は定数)。
なお、ウェブスターのホルン方程式から閉じた円錐管(一方の口が開き他方の口が閉じているもの)における音響共鳴条件が導かれる。管の閉じた口を x 1 {\displaystyle x_{1}} 、管の開いた口を x 2 {\displaystyle x_{2}} とおくと、(開口端補正を無視するとき)共鳴波数は
k L = n π − tan − 1  k x 1 ( n = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle kL=n\pi -\tan ^{-1}kx_{1}\ \ (n=1,2,\cdots )}
により与えられる( L = x 2 − x 1 {\displaystyle L=x_{2}-x_{1}} とおいた)。管がほぼ円柱とみなせるときにはこれは閉管における共鳴条件に帰着する一方で、管が完全な円錐であるときには開管の共鳴条件に一致する。