環論
厳密にいうと、環とはアーベル群 (R, +) に第二の二項演算 * で、任意の a, b, c ∈ R に対して
a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c {\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c}
a ∗ ( b + c ) = ( a ∗ b ) + ( a ∗ c ) {\displaystyle a*(b+c)=(a*b)+(a*c)}
( a + b ) ∗ c = ( a ∗ c ) + ( b ∗ c ) {\displaystyle (a+b)*c=(a*c)+(b*c)}
を満たすようなものをあわせて考えたものである。環 R にさらに乗法単位元 (multiplicative identity, unity) すなわち、R の全ての元に対して
a ∗ e = e ∗ a = a {\displaystyle a*e=e*a=a}
を満たす元 e が R に存在するならば、R は単位元を持つ環(単位的環)であるという。整数の環における整数 1 はこのような乗法単位元の例になっている。
乗法単位元 e が加法単位元(零元)に等しい環は、必ずただ一つの元からなる環で、自明な環と呼ばれる。