モレラの定理
と記述すると、積分の順序交換にフビニの定理を用いることが出来、
∫ 0 ∞ ∮ C x α − 1 e − x d α d x = ∫ 0 ∞ e − x ∮ C x α − 1 d α d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\oint _{C}x^{\alpha -1}e^{-x}\,d\alpha \,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha \,dx}
が得られる。すると x ↦ x の解析性から
∮ C x α − 1 d α = 0 {\displaystyle \oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha =0}
となり、したがって上述の二重積分は 0 であることが示される。ゼータ函数の場合、M判定法によって閉曲線に沿った積分と直和の順序交換を行うことが出来、同様の結果が得られる。
例えば、ある開円板上の連続函数 f に一様収束する正則函数の列 f1, f2, ... を考える。コーシーの積分定理より、すべての n と円板内の任意の閉曲線 C に対して
∮ C f n ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}
が成立する。このとき一様収束であることは、任意の閉曲線 C に対して
∮ C f ( z ) d z = ∮ C lim n → ∞ f n ( z ) d z = lim n → ∞ ∮ C f n ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}
が成立することを意味し、したがってモレラの定理より f は正則となる。この事実から、任意の開集合 Ω ⊆ C に対し、すべての有界かつ解析的な函数 u: Ω → C の集合 A(Ω) は、上限ノルムに関してバナッハ空間となることが従う。