第二基本形式
Rの媒介変数表示された曲面 S の第二基本形式は、ガウスによって導入され、研究された。まず、曲面が表面が2回連続的微分可能(continuously differentiable)な関数 z = f(x,y) のグラフであり、平面 z = 0 が原点で曲面に接していると仮定する。そして、 f とそれの x および y に関する偏導関数は、(0,0)でゼロになるとする。それ故、(0,0)での f のテイラー展開は次のように2次の項で始まることになる。
z = L x 2 2 + M x y + N y 2 2 + higher order terms , {\displaystyle z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+{\text{higher order terms}}\,,}
座標 (x,y) で表される原点における第二基本形式は2次形式となる。
L d x 2 + 2 M d x d y + N d y 2 . {\displaystyle L\,dx^{2}+2M\,dx\,dy+N\,dy^{2}\,.}
S 上の滑らかな点 P に対し、平面 z = 0 が P で S に接するように座標系を選択し、同様の方法で第二基本形式を定義できる。