ガウス曲率
R の中の曲面のガウス曲率は、第二基本形式(second fundamental form)と第一基本形式(first fundamental form)の行列式の比率として表すことができる。
K = det I I det I = L N − M 2 E G − F 2 . {\displaystyle K={\frac {\det II}{\det I}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}
ブリオッキの公式(Brioschi formula)は、第一基本形式の項だけでガウス曲率を表すことができる。
K = | − 1 2 E v v + F u v − 1 2 G u u 1 2 E u F u − 1 2 E v F v − 1 2 G u E F 1 2 G v F G | − | 0 1 2 E v 1 2 G u 1 2 E v E F 1 2 G u F G | ( E G − F 2 ) 2 {\displaystyle K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}}
ミンディングの定理(Minding(英語版)'s theorem) (1839) は、同じ定数曲率 K を持つすべての曲面は局所等長であるという定理である。ミンディングの定理の結果、曲率 0 の定数曲率曲目はある平面を折り返すことにより構成することができる。そのような曲面を可展曲面と呼ぶ。ミンディングは、正の定数曲率を持つ閉曲面(closed surface)は必然的にリジッドかとの問いも発していた。
リーベンマンの定理(Liebmann's theorem) (1900) はミンディングの問いに答え、正のガウス曲率を持つ R の中の正則(C 級の) 閉曲面は、球面だけであることをしめした。標準的な証明は、極端な主曲率となる点は非正なガウス曲率を持つというヒルベルトの補題(英語版)(Hilbert's lemma)を使う。
ヒルベルトの定理(英語版)(Hilbert's theorem) (1901) は、負の定数曲率を持つ R の中の解析的な(C 級)曲面は存在しないという定理である。実際、R の中への C 級の埋め込みに対しては成立するが、C-級の曲面に対しては成立しない。擬球面(英語版)(pseudosphere)は、特異点であるカスプは除いて、負の定数曲率のガウス曲率を持つ。