運動量演算子
ブラ-ケット記法を用いれば、状態ベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } を座標表示した波動関数は ψ ( x , t ) = ⟨ x | ψ ⟩ {\displaystyle \psi (x,t)=\langle x|\psi \rangle } と表わされる。 運動量演算子を作用させた状態ベクトル p ^ | ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {p}}|\psi \rangle } の座標表示は
⟨ x | p ^ | ψ ⟩ = − i ħ ∂ ∂ x ψ ( x , t ) = − i ħ ∂ ∂ x ⟨ x | ψ ⟩ {\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x,t)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle }
となる。これは座標基底 ⟨ x | {\displaystyle \langle x|} に対する作用が
⟨ x | p ^ = − i ħ ∂ ∂ x ⟨ x | {\displaystyle \langle x|{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|}