情報幾何学
11509/isciesci.49.8_337、ISSN 0916-1600、NAID 110003983934。
↑ “情報による観測量の変化速度の熱力学的な限界を発見 - 東京大学 大学院理学系研究科・理学部”. 2021年6月15日閲覧。
↑ 伊藤, 創祐 (2020). “物理学と情報幾何学: ゆらぐ系の熱力学の視点から”. 数理科学 689: 38-45. http://sosuke110.com/surikagaku2020.pdf.
↑ 長岡浩司「量子情報幾何学の世界」『総合講演・企画特別講演アブストラクト』第2002巻Spring-Meeting、日本数学会、2002年、24-37頁、doi:10.11429/emath1996.2002.Spring-Meeting_24、NAID 130005450749。
↑ 渡辺優「量子情報幾何におけるHeisenberg の不確定性関係の位置付け (函数解析学による一般化エントロピーの新展開)」『数理解析研究所講究録』第1852号、京都大学数理解析研究所、2013年9月、210-216頁、ISSN 1880-2818、NAID 110009625602。
↑ 高津飛鳥「Wasserstein幾何学と情報幾何学 (特集 情報幾何学の探究 : 基礎と応用,現状と展望に迫る)」『数理科学』第58巻第11号、サイエンス社、2020年11月、67-73頁、ISSN 0386-2240、NAID 40022377287、JAN 4910054691108。
∇ {\displaystyle \nabla } が平坦であるならば ∇ ∗ {\displaystyle \nabla ^{*}} も平坦であるので、組 ( M , g , ∇ , ∇ ∗ ) {\displaystyle (M,g,\nabla ,\nabla ^{*})} を双対平坦空間といい、組 ( g , ∇ , ∇ ∗ ) {\displaystyle (g,\nabla ,\nabla ^{*})} を双対構造という。もともと統計多様体は、ラウリッツィン(英語版)によってリーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} と甘利・チェンツォフテンソル場と呼ばれる ( 0 , 3 ) {\displaystyle (0,3)} 対称テンソル場 C {\displaystyle C} の組 ( M , g , C ) {\displaystyle (M,g,C)} として定義されていたが、両者は基本的に等価である。
∇ {\displaystyle \nabla } が平坦であるならば、テンソル場 ∇ g {\displaystyle \nabla g} が対称であることとある関数 φ {\displaystyle \phi } が存在して局所的に g = ∇ d φ {\displaystyle g=\nabla d\phi } と表されることは同値であり、これはヘッシアンに他ならないので ∇ {\displaystyle \nabla } が平坦な統計多様体は1970年代に志磨裕彦が定義したヘッセ多様体と一致しており、その統計構造をヘッセ構造、関数 φ {\displaystyle \phi } をヘッセ・ポテンシャルという。ヘッセ構造はAdS/CFT対応におけるBTZブラックホールに見出されることが知られている。