確率変数
最後に、2つの確率変数 X と Y が等しいとは、それらが定義される可測空間上の関数として等しいことを指す。
X ( ω ) = Y ( ω ) for all ω ∈ Ω {\displaystyle X(\omega )=Y(\omega )\qquad {\hbox{for all }}\omega \in \Omega }
連続型確率変数の例として、水平方向に回るルーレットを挙げることができる。標本空間としては「ルーレットの向き全体」を考える。この「向き」は連続的な状態を取り得るのでその標本空間の表現には実数を使うことが適切である。そこで真北方向を0(度)とし、確率変数 X を「ルーレットが真北の向きに対して取る角度」として定義すると、確率変数の値域は区間 [0, 360)(0度以上360度未満の実数)であり、ルーレットの元々の目的から各値を取る確率は等しいと考えられる。このとき区間内のあらゆる実数について、その値を取る確率は 0 であるが、ある範囲内の角度をなす確率は正の値である。例えば、[0, 180](0度以上180度以下)となる確率は 1/2 である。
確率質量関数の代わりに、X の確率密度を考えると、幅1度の確率密度は 1/360 である。確率は幅に比例し、確率分布は連続一様分布になる。一般に、連続型確率変数における確率は、存在すれば確率密度関数の範囲における積分値でとらえることができる。
混合タイプの確率変数としては例えば、コインを投げて表が出た時のみルーレットを回すということを考えることができる。コインが裏であれば X = −1、表であれば X = ルーレットの角度 とすると、この確率変数は確率 1/2 で −1、その他の数 [0, 360) である確率は上記の例の半分である。