漸近線
| a x ( t ) + b y ( t ) + c | a 2 + b 2 {\displaystyle {\frac {|ax(t)+by(t)+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}
で与えられるので、直線 l が曲線 C の漸近線であるとは、
( ∗ ∗ ) lim t → β − ( a x ( t ) + b y ( t ) + c ) = 0 {\displaystyle (**)\quad \lim _{t\to \beta -}(ax(t)+by(t)+c)=0}
が成り立つことと同値である。曲線の媒介変数表示は一意ではないが、漸近線の定義はその取り方に依らない。実際、γ(t) を媒介変数の取り換えとすると、(∗∗) は
lim t → β − ( a x ( γ ( t ) ) + b y ( γ ( t ) ) + c ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \beta -}(ax(\gamma (t))+by(\gamma (t))+c)=0}
と同値であるからである。
実一変数の実数値関数のグラフは、媒介変数表示された平面曲線の特別な場合と考えることができる。
直線 y = ax + b は x → ∞ でグラフ y = f(x) に漸近するから、
( ∗ ) lim x → ∞ { f ( x ) − ( a x + b ) } = 0 {\displaystyle (*)\quad \lim _{x\to \infty }\{f(x)-(ax+b)\}=0}
が成り立つ。左辺の式を x で割った式は、尚のこと 0 に近付くから、
lim x → ∞ f ( x ) − ( a x + b ) x = 0. {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)-(ax+b)}{x}}=0.}
ここで
lim x → ∞ b x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {b}{x}}=0}
であるから、
a = lim x → ∞ f ( x ) x . {\displaystyle a=\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}.}
(∗) より、
b = lim x → ∞ ( f ( x ) − a x ) {\displaystyle b=\lim _{x\to \infty }(f(x)-ax)}
である。■
この等式より、x → ±∞ で漸近する直線は、x → ∞ と x → −∞ にそれぞれ1つである。