正則領域
すなわち、すべての点 x ∈ ∂ Ω {\displaystyle x\in \partial \Omega } に対して、 x {\displaystyle x} の近傍 U {\displaystyle U} に対し、 U ∩ Ω {\displaystyle U\cap \Omega } 上の正則函数 f {\displaystyle f} で x {\displaystyle x} のどのような近傍にも拡張できないものが存在する。
関係 1 ⇔ 2 , 3 ⇔ 4 , 1 ⇒ 4 , 3 ⇒ 5 {\displaystyle 1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5} は標準的な結果である。 1 ⇒ 3 {\displaystyle 1\Rightarrow 3} については岡の補題を参照されたい。 5 ⇒ 1 {\displaystyle 5\Rightarrow 1} の証明、すなわち局所的にのみ定義される拡張不可能な函数から、拡張を許さないような大域的正則函数を構成するという作業は、他のものと比べて困難である。この問題は、(エフジェニオ・エリア・レヴィ(英語版)(Eugenio Elia Levi)に因み)レヴィの問題と呼ばれ、岡潔によって初めて解かれた。その後、ラース・ヘルマンダーは函数解析と偏微分方程式の手法を使ってその問題を解いた( ∂ ̄ {\displaystyle {\bar {\partial }}} -問題の帰結である)。