局所微分同相写像
例えば、すべての多様体は位相的な意味で(ある n に対して R と)局所的には同じに見えるにもかかわらず、それらの可微分構造が局所的に同じように振る舞うかどうかを問うことは自然である。例えば、R を可微分多様体にする 2 つの異なる可微分構造(英語版)を R に課すことができるが、両方の構造は局所的に微分同相でない(下を見よ)。局所微分同相写像は局所的に可微分構造を保存するのであるが定義域が(滑らかな)多様体全体であることを保証するようにこれらの(局所)微分同相写像を "patch up" することができなければならない、ということにも注意しよう。例えば、2 次元球面から 2 次元ユークリッド空間への局所微分同相写像はそれらが確かに同じ局所的可微分構造をもつにもかかわらず存在しえない。これはなぜならば、すべての局所微分同相写像は連続であり、コンパクト空間の連続像はコンパクトであり、球面はコンパクトだが 2 次元ユークリッド空間はコンパクトでないからである。
数学、より具体的には微分トポロジーにおいて、局所微分同相写像(きょくしょびぶんどうそうしゃぞう、英: local diffeomorphism)は直感的には局所可微分構造(英語版)を保つ滑らかな多様体の間の関数である。局所微分同相写像の正式な定義は下で与えられる。