ヒルベルト空間
二つのヒルベルト空間 H1 および H2 を足し併せて、(直交)直和と呼ばれる別のヒルベルト空間 H1 ⊕ H2 を作ることができる。この空間は(x1, x2) (xi ∈ Hi, i = 1,2) なる順序対の全体からなる集合を台に持ち、その上の内積を
⟨ ( x 1 , x 2 ) , ( y 1 , y 2 ) ⟩ H 1 ⊕ H 2 := ⟨ x 1 , y 1 ⟩ H 1 + ⟨ x 2 , y 2 ⟩ H 2 . {\displaystyle \langle (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H_{1}\oplus H_{2}}:=\langle x_{1},y_{1}\rangle _{H_{1}}+\langle x_{2},y_{2}\rangle _{H_{2}}.}
で定めたものになっている。
正則関数の成すヒルベルト空間の別なクラスにベルグマン空間がある。D をガウス平面(または高次元の複素空間)の有界開集合とし、L(D) を D 上の正則関数 f で ‖ f ‖ 2 = ∫ D | f ( z ) | 2 d μ ( z ) < ∞ {\displaystyle \|f\|^{2}=\int _{D}|f(z)|^{2}\,d\mu (z)<\infty } なる意味で L(D) にも属するようなもの全体の成す集合とする。ただし積分は D におけるルベーグ測度に関してとる。明らかに L(D) は L(D) の部分空間であり、実は閉部分空間になっているので、それ自身ヒルベルト空間を成す。このことは、D のコンパクト部分集合 K の上で有効な評価 sup z ∈ K | f ( z ) | ≤ C K ‖ f ‖ 2 {\displaystyle \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{2}} からの帰結である。この評価自体はコーシーの積分公式から出る。従って、L(D) に属する正則関数列の収束はコンパクト収束でもあるから、極限関数もまた正則になる。先の評価不等式の別な帰結として、D の一点において関数 f を評価する線型汎関数は、実際には L(D) 上で連続であることがわかる。
より一般に、i ∈ I を添字とするヒルベルト空間の族 Hi に対して、その(外部)直和 ⨁ i ∈ I H i {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}} が、Hi のデカルト積の元 x = ( x i ∈ H i ∣ i ∈ I ) ∈ ∏ i ∈ I H i {\displaystyle \textstyle x=(x_{i}\in H_{i}\mid i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}} で条件 ∑ i ∈ I ‖ x i ‖ 2 < ∞ {\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty } を満たすもの全体から成る集合を台とし、内積を
⟨ x , y ⟩ = ∑ i ∈ I ⟨ x i , y i ⟩ H i {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\langle x_{i},y_{i}\rangle _{H_{i}}}
で定めることによって定義される。このとき、各空間 Hi は直和空間の中へ閉部分空間として埋め込まれる。もっと言えば、埋め込まれた各 Hi はどの二つも互いに直交する。逆に、一つのヒルベルト空間において閉部分空間の族 Vi (i ∈ I) で各空間がどの二つも互いに直交しているようなものが与えられているとき、それら全ての和集合が全体空間 H の中で稠密になるならば、H は本質的に Vi たちの直和に同型である。
ただし、右辺のドット積は各階の偏導関数全体の成すユークリッド空間におけるドット積である。s が整数でない場合にもソボレフ空間は定義できる。
ソボレフ空間は、(ヒルベルト空間のより具体的な構造に依拠する)スペクトル論の観点からも研究される。適当な領域 Ω に対してソボレフ空間 H(Ω) をベッセルポテンシャル(英語版)全体の成す空間として定義することができる。これはだいたい
H s ( Ω ) = { ( 1 − Δ ) − s / 2 f | f ∈ L 2 ( Ω ) } {\displaystyle H^{s}(\Omega )=\{(1-\Delta )^{-s/2}f|f\in L^{2}(\Omega )\}}
のようなものである。ここで Δ はラプラス作用素、(1 − Δ) はスペクトル写像定理(英語版)によって捉えることができる。非負整数 s に対するソボレフ空間の意味のある定義を与える必要があることをひとまず置いておけば、ソボレフ空間の定義はフーリエ変換のもとで特に望ましい性質を持ち、擬微分作用素の研究に対して理想的である。これらの方法をコンパクトリーマン多様体上で用いれば、例えばホッジ理論の基礎を成すホッジ分解が得られる。