循環小数
無限小数は、厳密には極限の概念を用いて定義される。特に、循環小数が表す数は無限等比級数、すなわち等比数列の和の極限と見なすことができ、ゆえに有理数である。例えば、
2. 4 ̇ 2 3 ̇ = 2 + 423 10 3 + 423 10 6 + 423 10 9 + ⋯ = 2 + 423 10 3 − 1 = 2 + 47 111 = 269 111 {\displaystyle 2.{\dot {4}}2{\dot {3}}=2+{\frac {423}{10^{3}}}+{\frac {423}{10^{6}}}+{\frac {423}{10^{9}}}+\cdots =2+{\frac {423}{10^{3}-1}}=2+{\frac {47}{111}}={\frac {269}{111}}}
である。
一般には、冒頭の循環していない有限小数部分を分離し a とおき、循環部分の循環節の部分だけ取り出した小数部分を b、循環節の長さを n とすれば
a + b ( 1 + 1 10 n + 1 10 2 n + 1 10 3 n + ⋯ ) {\displaystyle a+b\left(1+{\frac {1}{10^{n}}}+{\frac {1}{10^{2n}}}+{\frac {1}{10^{3n}}}+\cdots \right)}
十進数の 1/891 の循環節は、891 = 3×11 なので、3 と 1/11 の循環節の長さを掛けたものになる。十進数では 3 は 3 桁、1/11 は2桁の循環節なので、3×2 = 1810桁の循環小数になる。よって 1/891 = 0.001122334455667789... となる。
一方で、十進数の 891 は十八進数の場合 2D9 で、素因数分解は 2D9 = 3×B となる。10 = 2×3 なので、1/B の循環節は 1010桁に対して、3 は 4桁ではなく2桁に縮まり、2桁の後に 1010桁の循環節が来る。よって、1/2D9 = 0.0069ED1B834G... となる。