位相空間
任意の近傍 N ∈ N x {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}} に対し、ある B ∈ B x {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}_{x}} が存在し、x ∈ B ⊂ N
近傍概念は収束などxの局所的な振る舞いを記述する際に用いられるので、多くの場合全ての近傍を考える代わりに、基本近傍系のみを考えれば十分である。例えば次が成立する:
命題 ― B x {\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}} を位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の点xにおける基本近傍系とする。このとき、
x ∈ XがAの内点 ⇔ ∃ N ∈ B x : N ⊂ A {\displaystyle \exists N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~N\subset A}
x ∈ XがAの外点 ⇔ ∃ N ∈ B x : N ⊂ A c {\displaystyle \exists N\in {\mathcal {B}}_{x}~:~N\subset A^{c}}
A ̄ = ( ( A c ) ∘ ) c {\displaystyle {\bar {A}}=((A^{c})^{\circ })^{c}} である事を用いて、以上で述べた内部に関する結果をド・モルガンの法則により閉包の結果に翻訳できる:
定理 (クラトウスキイの公理系) ― 位相空間Xの任意の部分集合A、Bに対し、以下が成立する:
A ⊂ A ̄ {\displaystyle A\subset {\overline {A}}} A ̄ ̄ = A ̄ {\displaystyle {\overline {\overline {A}}}={\overline {A}}} A ∪ B ̄ = A ̄ ∪ B ̄ {\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}} ∅ ̄ = ∅ {\displaystyle {\overline {\emptyset }}=\emptyset }
∃ C 1 , C 2 > 0 ∀ x ∈ V : C 1 ‖ x ‖ ′ ≤ ‖ x ‖ ≤ C 2 ‖ x ‖ ′ {\displaystyle \exists C_{1},C_{2}>0\forall x\in V~:~C_{1}\|x\|'\leq \|x\|\leq C_{2}\|x\|'}
を満たすとき、 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 、 ‖ ⋅ ‖ ′ {\displaystyle \|\cdot \|'} は同値なノルムであるという。
‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 、 ‖ ⋅ ‖ ′ {\displaystyle \|\cdot \|'} が同値であれば、これらのノルムが定める距離
d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ {\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|} 、 d ′ ( x , y ) = ‖ x − y ‖ ′ {\displaystyle d'(x,y)=\|x-y\|'}
は V上に同一の位相を定める。