一般相対性理論の数学
もうひとつの重要なテンソル微分は、リー微分である。一般相対性理論では、アフィン接続を通して計量に依存しているように見える表現が使われるが、共変微分とは異なり、リー微分は計量独立な微分である。共変微分は異なる点でのベクトルどうしの比較が可能であることをアフィン接続に要求するが、リー微分は同じ目的を達成するためベクトル場から来る合同性を使う。合同に沿って函数を引き継ぐ (Lie dragging) というアイデアはリー微分を、引き継がれた函数と与えられた点での元の函数の値とを比較することで定義する。リー微分はタイプ (r, s) のテンソル場に対して定義することができ、この観点からはタイプ (r, s) からタイプ (r, s) のテンソルへの写像とみなすことができる。
リー微分は通常、 L X {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {L}}_{X}} と記される。ここに X {\displaystyle \scriptstyle X} はリー微分の取る合同(英語版)(congruence) に沿ったベクトル場である。
ベクトル場にそったテンソルのリー微分は、テンソル場とベクトル場の共変微分を通して表現することができる。スカラーのリー微分は、単に方向微分である。
L X φ = X a ∇ a φ = X a ∂ φ ∂ x a {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\phi =X^{a}\nabla _{a}\phi =X^{a}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{a}}}}
一般相対性理論の登場以前から、物理的過程における変化は偏微分によって記述されていた、例えば、電磁場の変化を記述する場合などである(マックスウェル方程式も参照)。特殊相対性理論でさえも、偏微分はそこでの変化を記述する分にはまだ充分である。しかしながら一般相対性理論では、微分自体もテンソルであるような微分を用いなくてはならないことが見つけられた。テンソル微分は、ベクトル場の積分曲線 (integral curve) に沿った微分であるということも含んでいるいくつかの共通の特徴を持つ。
平坦でない多様体上の微分を定義するときに問題となるのは、異なる点上のベクトルを比較する自然な方法がないことである。そのため微分を定義するためには、一般の多様体上に追加の構造が要求される。以下では、2つの重要な微分が、それぞれ多様体上にある構造を追加することにより定義されることを述べる。
相対性理論の深い結論のひとつは、特権を持つ座標系(英語版)(privileged reference frames) の廃止である。物理現象の記述は、誰が計測するかには依存すべきでなく、つまり、どの座標(標構)も他の座標(標構)と同様であるべきである。特殊相対性理論は、すべての他の慣性系に優先する特別な慣性系が存在しないことを示しているが、それでも慣性系は非慣性系よりは優遇されている。一般相対性理論は慣性系の優先性をもなくし、自然を記述する優先された座標系は(慣性系か否かを問わず)存在しないことを示した。
任意の観測者は測定をすることで、その観測者が使っている座標系のみに依存した数値を得ることができる。このことは、(観察者により表現される)座標系には依存せず、独立性をもつような「不変構造」を使い相対性を定式化する方法を示唆している。この不変構造を表すのに最も適切な数学的構造はテンソルであるように思われる。たとえば、加速している電荷により生成される電磁場を計測するとき、その値は使う座標系に依存するが、電磁場自体は座標系からは独立しているとみなされる。この独立性は電磁テンソルにより表現される。
数学的には、テンソルは線型作用素を一般化した多重線型写像である。線型代数の考え方はテンソルの研究において役立つ。
多様体M 上の任意の点 p {\displaystyle \scriptstyle \,p} において、この多様体への接空間と余接空間を構成することができる。
時空の曲率は、ある点でのベクトルをとり、時空上の曲線に沿って平行移動することにより特徴付けることができる。アフィン接続はベクトルを、その方向を変えることなしに多様体上の曲線に沿って移動させる合理的方法を記述する規則である。
定義により、アフィン接続は双線型写像 Γ ( T M ) × Γ ( T M ) → Γ ( T M ) {\displaystyle \scriptstyle \Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\;\rightarrow \;\Gamma (TM)} である。ここに Γ ( T M ) {\displaystyle \scriptstyle \,\Gamma (TM)} は時空上のすべてのベクトル場の空間である。この双線型写像は接続係数(クリストッフェル記号として知られてもいる)のことばで記述することができる。これは無限小平行移動の下で基底ベクトルの成分に起きる変化を、
∇ e i e j = Γ j i k e k {\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\Gamma _{ji}^{k}e_{k}}
と表す。
リー微分には、高次ランクの項がさらに加えられる。例えば、タイプ (0, 2) のテンソルは、
L X T a b = X c ∇ c T a b + ( ∇ a X c ) T c b + ( ∇ b X c ) T a c = X c T a b , c + X , a c T c b + X , b c T a c {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}T_{ab}&=X^{c}\nabla _{c}T_{ab}+(\nabla _{a}X^{c})T_{cb}+(\nabla _{b}X^{c})T_{ac}\\&=X^{c}T_{ab,c}+X_{,a}^{c}T_{cb}+X_{,b}^{c}T_{ac}\end{aligned}}}
である。
さらに一般的には、
L X T a 1 ... a r b 1 ... b s = X c ( ∇ c T a 1 ... a r b 1 ... b s ) − ( ∇ c X a 1 ) T c ... a r b 1 ... b s − ⋯ − ( ∇ c X a r ) T a 1 ... a r − 1 c b 1 ... b s + ( ∇ b 1 X c ) T a 1 ...