超弾性
非圧縮性の場合、 Φ ( C ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {C}})} を Φ ^ ( C ) {\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})} で代替できるため、 S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} の式は次のように表される。
S = 2 ∂ Φ ^ ∂ C + p J C − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2{\frac {\partial {\hat {\Phi }}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+pJ{\boldsymbol {C}}^{-1}}
偏差成分 S ′ {\displaystyle {\boldsymbol {S}}'} は、
S ′ = 2 ∂ Φ ^ ∂ C {\displaystyle {\boldsymbol {S}}'=2{\frac {\partial {\hat {\Phi }}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}}
である。通常は、 Φ ( C ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {C}})} と Φ ^ ( C ) {\displaystyle {\hat {\Phi }}({\boldsymbol {C}})} は等しくないが、非圧縮性を有する場合、 C ^ = C {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {C}}}={\boldsymbol {C}}} より成立する。
弾性とは、ある位置 X {\displaystyle {\boldsymbol {X}}} の応力がそこの変形勾配 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} で決まる性質を表す。このときの応力は、第一ピオラ-キルヒホッフ応力 P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} を用いると、
P = P ( F ( X ) , X ) {\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})}
と書ける。
特別な場合として、ある変形区間での応力による仕事が、初期 t 0 {\displaystyle t_{0}} における状態と t {\displaystyle t} における状態のみに依存して、変形の経路に非依存なとき、この性質を超弾性という。経路非依存性より、以下に示すポテンシャル関数 Φ {\displaystyle \Phi } が得られる。
Φ ( F ( X ) , X ) = ∫ t 0 t P ( F ( X ) , X ) : F ̇ d t {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=\int _{t_{0}}^{t}{\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}}):{\dot {\boldsymbol {F}}}dt}
1 2 C ̇ = E ̇ {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\dot {\boldsymbol {C}}}={\dot {\boldsymbol {E}}}} より、第二ピオラ-キルヒホッフ応力 S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} について同様の式展開を行うと、
Φ ̇ = ∂ Φ ∂ C : C ̇ = 1 2 S : C ̇ {\displaystyle {\dot {\Phi }}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {S}}:{\dot {\boldsymbol {C}}}}
S ( C ( X ) , X ) = 2 ∂ Φ ∂ C = ∂ Φ ∂ E {\displaystyle {\boldsymbol {S}}({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {X}}),{\boldsymbol {X}})=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {E}}}}}
となる。
超弾性(ちょうだんせい、Hyperelasticity)とは、物体を構成する物質の力学的特性の数理的表現のひとつであり、ひずみエネルギー密度関数(単位体積あたりのひずみエネルギーを表す弾性ポテンシャル)を有することが特徴である。超弾性を有する物質を超弾性体とよび、ゴムの最も簡易なモデルとして登場したことに由来して、数十%~数百%の大ひずみ状態を想定している。
を得る。今、 γ {\displaystyle \gamma } は任意の係数を表す。微圧縮性の場合は J {\displaystyle J} のままの方が便利なので、 J = 1 {\displaystyle J=1} を代入していない。変形すると、
S = 2 ∂ Φ ∂ C + γ J C − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}+\gamma J{\boldsymbol {C}}^{-1}}
ここで、 p = 1 3 t r σ {\displaystyle p={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}} と定義すると、
p = 1 3 t r σ = 1 3 J − 1 S : C = 2 3 J − 1 ∂ Φ ∂ C : C + γ {\displaystyle p={\frac {1}{3}}\mathrm {tr} \,{\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{3}}J^{-1}{\boldsymbol {S}}:{\boldsymbol {C}}={\frac {2}{3}}J^{-1}{\frac {\partial \Phi }{\partial {\boldsymbol {C}}}}:{\boldsymbol {C}}+\gamma }