行列
正方行列ではない行列の固有値
[ a b c d e f ] [ x 1 x 2 ] = λ [ x 1 x 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=\lambda \,{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}
正方行列ではない行列のトレース
tr  [ a b c d e f ] = ⋯ {\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\end{bmatrix}}=\cdots }
群というのは集合と二項演算(つまり、任意の二つの対象を結合して第三の対象を作る操作)からなる数学的構造で、適当な条件を満たすものである。行列をその元とし、行列の積を群演算とするような群は、行列群または線型代数群と呼ばれる。群の任意の元は可逆であるから、最も一般の行列群は与えられたサイズの可逆行列全体の成す群 GLn であり、一般線型群と呼ばれる。
行列の性質のうちで積と反転に関して保たれるものを用いると、さらに別の行列群を定義することもできる。例えば、与えられたサイズの行列式が 1 であるような行列の全体は、同じサイズの一般線型群に含まれる部分群となり、特殊線型群 SLn と呼ばれる。また、条件
MM = I
で定まる直交行列の全体は直交群 O(n) を成す。「直交」の名は、対応する R の線型変換が、M を掛ける操作で二つのベクトルの内積を変えない
(Mv) · (Mw) = v · w
という意味で角を保つことに由来する。 任意の有限群は何らかの行列群同型である。なんとなれば対称群の正則表現を考えればよい。故に、表現論の意味で、一般の群を比較的よくわかっている行列群を用いて調べることができる。