全微分
函数 f は二つの変数 x, y の函数とする。通常はこれらは互いに独立であると仮定するところだが、これらが従属関係を持つ状況を考えなければならない場面も存在する。例えば y が x の函数で、f の定義域を R 内の曲線に制限するとすれば、このとき x に関する f の偏微分は、f の変化率を正しくあたえるものとならない(x を動かせば y も変化してしまうから)。しかし全微分はそれらの依存関係も汲んで捉えることができる。
例えば f(x,y) = xy を考える。x に関する f の変化率は普通は x に関する偏微分商、今の場合 ∂f⁄∂x = y で得られるが、y が x に依存するならば、x を動かすとき y を固定することができないから、この偏微分商は x の変分に対する f の変化率を正しく与えない。
今制約条件として直線 y = x 上に話を限れば、f(x,y) = f(x,x) = x である。この場合、f の x に関する全微分商は
d f d x = 2 x {\displaystyle {\frac {\mathit {df}}{\mathit {dx}}}=2x}
である。y に x の式を実際に代入する代わりに、同じ結果を連鎖律を用いて
d f d x = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y d y d x = y + x ⋅ 1 = x + y {\displaystyle {\frac {\mathit {df}}{\mathit {dx}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathit {dy}}{\mathit {dx}}}=y+x\cdot 1=x+y}
全微分では f の t に対する依存関係として、このような変数間の陰伏的な従属関係も含めて考えるのである。その意味において函数の全微分商は、函数の偏微分商とは異なる。
例えば、函数 f(t,x,y) の t に関する全微分商は
d f d t = ∂ f ∂ t d t d t + ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t {\displaystyle {\frac {\mathit {df}}{\mathit {dt}}}={\frac {\partial f}{\partial t}}{\frac {\mathit {dt}}{\mathit {dt}}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathit {dx}}{\mathit {dt}}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathit {dy}}{\mathit {dt}}}}
であり、これはまた
d f d t = ∂ f ∂ t + ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t {\displaystyle {\frac {\mathit {df}}{\mathit {dt}}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathit {dx}}{\mathit {dt}}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\mathit {dy}}{\mathit {dt}}}}