極大トーラス
G をコンパクト連結リー群とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を G のリー代数とする。
G の極大トーラスは極大可換部分群であるが、逆は必ずしも成り立たない。
G の極大トーラス全体はちょうど g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の極大可換な対角的に作用する部分代数に対応するリー部分群全体である(cf. カルタン部分代数)
G の極大トーラス T が与えられると、すべての元 g ∈ G は T の元と共役である。
極大トーラスの共役は極大トーラスであるから、G のどの元もある極大トーラスに属している。
G のすべての極大トーラスは共役である。したがって、極大トーラス全体は G の部分群の中でただ1つの共役類をなす。
すべての極大トーラスの次元は等しいことが従う。この次元は G の階数である。
G の次元が n で階数が r であれば、n − r は偶数である。