ネイピア数の表現
(II) から連分数等価変換により得られる連分数
e = 2 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + ⋱ {\displaystyle e=2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}}
IV. (II) から変換して得られるが、... 6, 10, 14, ... という項を含み、収束が早い。
e = 1 + 2 1 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 18 + ⋱ {\displaystyle e=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}}
V. この例は e の指数関数のうち特殊なケースである。
e 2 x / y = 1 + 2 x ( y − x ) + x 2 3 y + x 2 5 y + x 2 7 y + x 2 9 y + ⋱ {\displaystyle e^{2x/y}=1+{\cfrac {2x}{(y-x)+{\cfrac {x^{2}}{3y+{\cfrac {x^{2}}{5y+{\cfrac {x^{2}}{7y+{\cfrac {x^{2}}{9y+\ddots \,}}}}}}}}}}}