ライプニッツの公式
ライプニッツの公式(ライプニッツのこうしき、英語: Leibniz formula)とは円周率の値を求めるための公式の一つである。以下の級数で表される。
1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − ⋯ = π 4 {\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}}
これは初項が 1 で各項が奇数の逆数である交項級数が π / 4 (= 0.785398...) に収束することを意味する。総和の記号を用いると以下のようになる。
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = π 4 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {\pi }{4}}}
この公式を名付けたのはライプニッツであるが、これはすでに15世紀のインドの数学者マーダヴァがライプニッツより300年ほど前に発見していたものである。公式の発見がマーダヴァの功績であることを示すためにマーダヴァ-ライプニッツ級数と呼ばれることもある。