シローの定理
位数 n の群は巡回群に限るような正の整数 n がある。たとえば n = 15 がそのような数であることがシローの定理を用いることでわかる。ここで n3 | 5 かつ n3 ≡ 1 (mod 3) である。これを満たす唯一の n3 は 1 である。つまり、位数3の部分群はただ1つ存在し、よって正規部分群である (別の共役が存在しないため)。同様に、n5 | 3 かつ n5 ≡ 1 (mod 5) であるため、位数5の部分群は正規部分群となる。3と5は互いに素であるため、これら2つの群の共通部分は自明な群であり、よって G は位数3の群と位数5の群の内部直積であるため、位数15の巡回群である。したがって、位数15の群は同型を除いてただ一つである。(このような整数 n についてはA003277も参照。)