冪剰余
整数 b, e と m (m > 0) について、m を法とする b の e-冪剰余とは、剰余群 Z/mZにおける剰余類 [b] の e-冪、つまり
[ b ] e ∈ Z / m Z {\displaystyle [b]^{e}\in \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }
である。しばしば、剰余類の代わりに代表元 c ∈ [b] をとって、整数として扱う。そのようなとき、特に 0 ≤ c < m であるような c を代表元として選ぶことが多い。
また、変数 x に関する m を法とする合同式
c = x e mod m {\displaystyle c=x^{e}{\bmod {m}}}
が解をもつような c を総称して法 m に対する e-冪剰余 (residue of e-th power modulo m) と呼び、解をもたないような c は総じて法 m に関して e-冪非剰余 (non-residue of e-th power modulo m) であるという。
冪剰余は、指数 e が負の場合にも定義できる。その場合、m を法として b の逆数(モジュラ逆数)となる d によって、
b e mod m := d | e | mod m {\displaystyle b^{e}{\bmod {m}}:=d^{|e|}{\bmod {m}}}
と定義する。