極限
lim x → − ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty }
または、
f ( x ) → ∞ ( x → − ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow -\infty )}
と表す。
これは次のように定義される。
∀ K > 0 , ∃ X < 0 ; ∀ x [ x < X ⟹ f ( x ) > K ] {\displaystyle \forall K>0,\exists X<0;\forall x\;{\bigg [}x<X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}
同様に、 x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } や x → − ∞ {\displaystyle x\rightarrow -\infty } における負の無限大への発散を定義することができる。
x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } や x → − ∞ {\displaystyle x\rightarrow -\infty } において、関数 f(x) が収束もせず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その関数は数列と同様に振動するという。
関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。
ある無限区間 ( a , ∞ ) {\displaystyle (a,\infty )} で定義される関数 f(x) において、x が限りなく大きくなると関数 f(x) の値も限りなく大きくなるとき、「x が限りなく大きくなるとき f(x) は正の無限大に発散する」といい、
lim x → ∞ f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty }
または、
f ( x ) → ∞ ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow \infty \quad (x\rightarrow \infty )} :
と表す。
これは次のように定義される。
∀ K > 0 , ∃ X > 0 ; ∀ x [ x > X ⟹ f ( x ) > K ] {\displaystyle \forall K>0,\exists X>0;\forall x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}}
また、ある無限区間 ( − ∞ , a ) {\displaystyle (-\infty ,a)} で定義される関数 f(x) において、x が限りなく小さくなると関数 f(x) の値が限りなく大きくなるとき、「x が限りなく小さくなるとき f(x) は正の無限大に発散する」といい、
lim n → ∞ a n = − ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }
または、
a n → − ∞ ( n → ∞ ) {\displaystyle a_{n}\to -\infty \;(n\to \infty )}
と表す。数列 {an} が負の無限大へ発散することは、各項 an を反数にした数列 {bn} (bn = −an, n = 1, 2, 3, ...) が正の無限大に発散することと同値である。あるいは絶対値をとって得られる数列 が正の無限大に発散すると言っても同じである。イプシロン-エヌ論法では、
∀ K < 0 , ∃ n 0 ∈ N ; ∀ n ∈ N [ n > n 0 ⟹ a n < K ] {\displaystyle \forall K<0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}<K{\bigg ]}}
となる。
数列が収束せず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その数列は振動するという。振動も発散の一種である。
点列の収束の概念は、一般の位相空間においても収束先の近傍系をもちいて定式化される。しかし、一般的な位相空間の位相構造は、どんな点列が収束しているかという条件によって特徴付けできるとは限らない。そこで、ネットやフィルターといった、点列を拡張した構成とその収束の概念が必要になる。任意の位相空間 X に対し、X 上で収束している(収束先の情報も込めた)フィルターの全体 CN(X) や、あるいは収束しているフィルターの全体 CF(X) を考えると、これらからは X の位相が復元できる。