ニュートン＝カントロビッチの定理
ニュートン=カントロビッチの定理(ニュートン=カントロビッチのていり)は、ニュートン法に対する半局所収束定理であり、1948年にレオニート・カントロヴィチによって示された。バナッハ空間においても成立して、楕円型PDE・非線形方程式の解に対する精度保証付き数値計算で活用されているだけでなく、線形計画問題の精度保証付き数値解法にも応用される。 ニュートン法は特定の条件で方程式f(x)=0もしくは方程式系F(x)=0の解に収束する数列を生成する。ニュートン=カントロビッチの定理はこの数列の初期値に条件を与え、その条件が満たされたときに初期値の近くに解が存在して数列が解に収束することを主張している。
さらに、 M ≤ L {\displaystyle M\leq L} をこの球におけるヤコビアンに対するリプシッツ定数であるとする。 最後の準備として、数列 ( x k ) k {\displaystyle (\mathbf {x} _{k})_{k}} , ( h k ) k {\displaystyle (\mathbf {h} _{k})_{k}} , ( α k ) k {\displaystyle (\alpha _{k})_{k}} を帰納的に以下の通りで定める:
h k = − F ′ ( x k ) − 1 F ( x k ) α k = M ‖ F ′ ( x k ) − 1 ‖ ‖ h k ‖ x k + 1 = x k + h k . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {h} _{k}&=-F'(\mathbf {x} _{k})^{-1}F(\mathbf {x} _{k})\\[0.4em]\alpha _{k}&=M\,\|F'(\mathbf {x} _{k})^{-1}\|\,\|\mathbf {h} _{k}\|\\[0.4em]\mathbf {x} _{k+1}&=\mathbf {x} _{k}+\mathbf {h} _{k}.\end{alignedat}}}