ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング作用素
リーマンゼータは次のように書くことが出来る。
ζ ( s ) = s s − 1 − s ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( s − 1 n ) t n {\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s-1 \choose n}t_{n}}
ここで t n {\displaystyle t_{n}} は上述の行列成分によって与えられる。すなわち
t n = ∑ m = 0 ∞ G m n ( m + 1 ) ( m + 2 ) {\displaystyle t_{n}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {G_{mn}}{(m+1)(m+2)}}}
である。直和を計算することで、次が得られる。
t n = 1 − γ + ∑ k = 1 n ( − 1 ) k ( n k ) [ 1 k − ζ ( k + 1 ) k + 1 ] {\displaystyle t_{n}=1-\gamma +\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left[{\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}\right]}
ここで γ {\displaystyle \gamma } はオイラー=マスケローニの定数である。このような t n {\displaystyle t_{n}} は下降階乗(falling factorial)展開に対して、スティルチェス定数と同様の役割を果たす。