ミラー対称性 (弦理論)
数え上げ幾何学への応用に加えて、ミラー対称性は弦理論での計算の実行の基本的なツールである。位相的弦理論のA-モデルでは、グロモフ・ウィッテン不変量と呼ばれる無限個の数値により、計算することは極めて難しいが、物理的に興味のある量を表現できる。一方、B-モデルでは計算が古典的な積分へ還元することができ、非常に容易になる。 理論家たちは、ミラー対称性を適用することで、A-モデルでの難しい計算を、等価であるが技術的にはやさしいB-モデル上の計算へ移し替えができるようになった。従って、現在ではこれらの計算は、弦理論の様々な物理的過程の確率を決定することに使われている。ミラー対称性は他の双対性と結合されて、一方の理論を別の異なる理論の等価な計算へ移し替える。この方法で別な理論の計算へ外出しすることにより、理論家たちは双対性を使わずには計算が不可能であった多くの量の計算が可能となった。
1990年、エドワード・ウィッテンは弦理論を簡素化した位相的場の理論を導入し、物理学者たちは位相的場の理論にもミラー対称性のバージョンが存在することを示した。 この位相的場の理論についてのステートメントは、普通は数学的な脈絡でのミラー対称性の定義として使われている。 1995年、数学者マキシム・コンツェビッチ(Maxim Kontsevich)は、弦理論の物理的なミラー対称性にアイデアの基礎を置く新しい数学的な予想を提案した。ホモロジカルミラー対称性として知られているこのミラー対称性予想は、ミラー対称性を2つの数学的構造の同値性として定式化した。すなわち、カラビ・ヤウ多様体上の連接層の導来圏とそのミラーの深谷圏(英語版)の同値性である。
1996年から2000年にかけての、アレクサンダー・ギベンタール(英語版)(Alexander Givental)、ボング・リアン(Bong Lian)、ケフェング・リウ(英語版)(Kefeng Liu)、シン=トゥン・ヤウ(Shing-Tung Yau)はコンセビッチのいくつかのアイデアをどのようにして有理曲線の実際の数え上げに精密化して適用することができるかを示した。 これらの結果が、現次元での、ミラー対称性の数学的な証明をどのように考えるのかを示している。
ミラー対称性のアイデアは、1980年代中期まで遡ることができ、そのときは半径 R {\displaystyle R} の円の上の伝搬している弦が物理学的には、適当な計量の単位をとると、半径 1 / R {\displaystyle 1/R} の円の上を伝搬している弦と等価であることに気付いたときである。 この現象は、現在ではT-双対として知られていて、ミラー対称性に密接に関連していることが理解されている。
1985年からの論文の中で、フィリップ・キャンデラス(英語版)(Philip Candelas)、ガリー・ホロビッツ(Gary Horowitz)、アンドリュー・ストロミンジャー(Andrew Strominger)とエドワード・ウィッテン(Edward Witten)は弦理論をカラビ・ヤウ多様体上へコンパクト化することで、大まかには理論が素粒子理論の標準モデルに似たものとなることを示した。
実際、キャンデラスたちは、ミラー対称性を使いカラビ・ヤウ多様体の上の有理曲線を数えることができ、長きにわたり未解決であった問題を解明できることを示した(参照項目:ミラー対称性の応用)。元来のミラー対称性へのアプローチは、理論物理学者からの必ずしも数学的には厳密(mathematical rigor)ではないアイデアに基づいているにもかかわらず、数学者はミラー対称性予想のいくつかを数学的に厳密な証明に成功しつつある。
今日では、ミラー対称性は純粋数学の主要な研究テーマであり、数学者は物理学者の直感に基づくミラー対称性を数学的に深く理解しつつある。ミラー対称性は弦理論の計算を実行する際の基本的なツールでもある。ミラー対称性への主要なアプローチは、マキシム・コンツェビッチ(Maxim Kontsevich)のホモロジカルミラー対称性予想のプログラムやアンドリュー・ストロミンジャー(Andrew Strominger)、シン=トゥン・ヤウ(Shing-Tung Yau)、エリック・ザスロフ(英語版)(Eric Zaslow)のSYZ予想を含んでいる。