リーマンゼータ関数
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∏ p :prime ∑ n p = 0 ∞ 1 p s ⋅ n p = ∏ p :prime ∑ n p = 0 ∞ p − s ⋅ n p = ∏ p :prime 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{:prime}}}\sum _{n_{p}=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{s\cdot n_{p}}}}=\prod _{p{\text{:prime}}}\sum _{n_{p}=0}^{\infty }p^{-s\cdot n_{p}}=\prod _{p{\text{:prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
ただし、無限積はすべての素数 p について取る。これが、リーマンゼータ関数のオイラー積表示である。これを拡張し、ディリクレ級数は以下の式の左辺で定義され、一方右辺はそのオイラー積で、実部が 1 より大きい複素数 s に対して、関数 f (n) が乗法的関数(すなわち f (mn) = f (m) f (n) が成り立つ関数)であるのならば、
∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s = ∏ p :prime 1 1 − f ( p ) p − s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{:prime}}}{\frac {1}{1-f(p)\,p^{-s}}}}
と表示される。
複素平面上で複素数はベクトルとして表され、和はベクトルの和で表される。このため級数
∑ k = 1 n k − s {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{-s}}
は k = 1.. n {\displaystyle k=1..n} に対する k − s {\displaystyle k^{-s}} を連結したものとなる。この図形は n {\displaystyle n} が大きくなると、 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} を中心とする螺旋に漸近する。実際に n {\displaystyle n} が大きいとき以下の近似式が成り立つ。
∑ k = 1 n k − s ≈ n − s + 1 − s + 1 + ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{-s}\approx {\frac {n^{-s+1}}{-s+1}}+\zeta (s)}
このことは ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} が オイラー・マスケローニ定数の一般化とみなせることを示している。
ゼータ関数を適当に組み合わせることにより、様々な数論的関数を係数とするディリクレ級数の母関数を得ることができる。
たとえば、ゼータ関数の逆数はメビウス関数 μ(n) を用いて
1 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}
と表せる。この式と ζ(2) の値から、分布が一様であるという仮定の下、任意に取り出した2つの整数が互いに素である確率は 6 π 2 {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}} であることが証明できる。
自然数 n の(正の)約数の個数と全ての約数の和は、どちらも約数関数として定義され、それぞれ、d(n)、 σ(n) で表すことができる。このとき、
π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = − 1 s ( 1 − s ) + ∫ 1 ∞ ( x 1 − s 2 + x s 2 ) ψ ( x ) d x x {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=-{1 \over {s({1-s})}}+\int \limits _{1}^{\infty }\left({x^{{1-s} \over 2}+x^{{s} \over 2}}\right)\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}}
この式はすべての s {\displaystyle s} について収束する。また、右辺は s {\displaystyle s} を 1 − s {\displaystyle 1-s} に変えても変化しないことから以下の等式が成り立つ。
π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = π − 1 − s 2 Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)}
ガンマ関数の乗法公式および相反公式より