代替の弾力性
s 21 {\displaystyle s_{21}} を財2への(財1に対する)支出比率 s 21 ≡ p 2 x 2 p 1 x 1 {\displaystyle s_{21}\equiv {\frac {p_{2}x_{2}}{p_{1}x_{1}}}} とする。 相対価格 p 2 / p 1 {\displaystyle p_{2}/p_{1}} が変化すると、相対支出は以下の弾力性で変化する。
d s 21 d ( p 2 / p 1 ) = x 2 x 1 + p 2 p 1 ⋅ d ( x 2 / x 1 ) d ( p 2 / p 1 ) = x 2 x 1 ( 1 + d ( x 2 / x 1 ) d ( p 2 / p 1 ) ⋅ p 2 / p 1 x 2 / x 1 ) = x 2 x 1 ( 1 − σ 21 ) {\displaystyle {\frac {ds_{21}}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {x_{2}}{x_{1}}}+{\frac {p_{2}}{p_{1}}}\cdot {\frac {d\left(x_{2}/x_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}={\frac {x_{2}}{x_{1}}}\left(1+{\frac {d\left(x_{2}/x_{1}\right)}{d\left(p_{2}/p_{1}\right)}}\cdot {\frac {p_{2}/p_{1}}{x_{2}/x_{1}}}\right)={\frac {x_{2}}{x_{1}}}\left(1-\sigma _{21}\right)}
国際貿易の実証研究では産業内のバラエティ間の代替の弾力性が推定されている。例えば、ロバート・フィーンストラは以下のような推定値を得ている。より同質的な金塊や銀塊で代替の弾力性が大きくなっていることがわかる。
代替の弾力性 σ {\displaystyle \sigma } は、同質的企業の独占的競争市場の貿易モデルから導出される貿易の利益を測る式
貿易の利益 = ( λ ′ λ ) − 1 / ( σ − 1 ) {\displaystyle =\left({\frac {\lambda ^{\prime }}{\lambda }}\right)^{-1/(\sigma -1)}}
に現れる。ただし、 λ {\displaystyle \lambda } は閉鎖経済における自国市場産の財への支出比率、 λ ′ {\displaystyle \lambda ^{\prime }} は貿易自由化後の支出比率である。したがって、代替の弾力性のパラメーター σ {\displaystyle \sigma } を正しく推定することが貿易の利益を測る上で重要となる。
したがって、代替の弾力性は、
d ( x 1 / x 2 ) / ( p 2 / p 1 ) ( x 1 / x 2 ) / ( p 2 / p 1 ) = σ ( p 2 p 1 ) σ − 1 I ( p 2 p 1 ) σ − 1 I = σ {\displaystyle {\frac {d(x_{1}/x_{2})/(p_{2}/p_{1})}{(x_{1}/x_{2})/(p_{2}/p_{1})}}={\frac {\sigma \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\sigma -1}I}{\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\sigma -1}I}}=\sigma }
となる。CES型関数の場合は代替の弾力性は σ {\displaystyle \sigma } である。