オイラーの五角数定理
∑ n = − ∞ + ∞ ( x 3 / 2 ) n 2 ( − x − 1 / 2 ) n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x 3 m ) ( 1 − x ( 6 m − 3 ) / 2 x − 1 / 2 ) ( 1 − x ( 6 m − 3 ) / 2 x 1 / 2 ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x 3 m ) ( 1 − x 3 m − 2 ) ( 1 − x 3 m − 1 ) ∑ n = − ∞ + ∞ ( − 1 ) n x n ( 3 n − 1 ) / 2 = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x m ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left(x^{3/2}\right)^{n^{2}}\left(-x^{-1/2}\right)^{n}&=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{3m})(1-x^{(6m-3)/2}x^{-1/2})(1-x^{(6m-3)/2}x^{1/2})\\&=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{3m})(1-x^{3m-2})(1-x^{3m-1})\\\sum _{n=-\infty }^{+\infty }(-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}&=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{m})\end{aligned}}}
となる。
この例では 6 + 5 + 4 -> 5 + 4 + 3 + 3 となる。このときの n は
n = m + ( m + 1 ) + ( m + 2 ) + ⋯ + ( 2 m − 2 ) = ( m − 1 ) ( 3 m − 2 ) 2 = k ( 3 k − 1 ) 2 , {\displaystyle n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots +(2m-2)={\frac {(m-1)(3m-2)}{2}}={\frac {k(3k-1)}{2}},}
である。ここで k = 1−m である(負数)。この分割に割り当てられる符号は (−1) であり、 s = m−1 = −k であるため、再び (−1). となる。
以上のことから、偶数分割と奇数分割はほとんどの場合、打ち消しあい、五角数定理の右辺の項はゼロとなるが、n が一般五角数 n = g k = k ( 3 k − 1 ) / 2 {\displaystyle n=g_{k}=k(3k-1)/2} である場合のみ、ペアを満たさない分割が一つだけ生じる。この分割に割当てられる符号は(−1) であるため、五角数定理の右辺には(−1)x という項が残る。