静磁場
と定めると、
∫ s ∈ S X ( s ) d 2 S = ∫ ( u 1 , u 2 ) ∈ I ⟨ X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) | n S ⟩ | ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 | d u 1 d u 2 {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\ {d}^{2}S={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\langle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ {\mathbf {n} }_{S}\rangle \left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|\ d{u}_{1}d{u}_{2}}
である。
(2)従って、"(1)"を平行移動すれば、位置 s ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}} に置かれた磁気モーメントmは、空間上の位置rに作り出す磁気ベクトルポテンシャルは、
a s ( r ) = μ 0 4 π ( m × ( r − s ) | r − s | ) {\displaystyle \mathbf {a} _{s}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {\mathbf {m} \times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)} (2-1-3) である。
従って、上記の磁気モーメント M ( s ) d s {\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {s} )d\mathbf {s} } それぞれは、磁気ベクトルポテンシャル
μ 0 4 π ( ( M ( s ) d s ) × ( r − s ) | r − s | ) {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {(\mathbf {M} (\mathbf {s} )d\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right)} (2-1-4)
φ M ( r ) := − ∫ s ∈ Ω ⟨ M ( s ) | ( r − s ) ⟩ | r − s | 3 d 3 Ω {\displaystyle {\phi }_{M}(\mathbf {r} ):=-{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }{\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\rangle }{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\ {d}^{3}\Omega } (2-3-4)
と定める(磁化が定める磁位、あるいは、磁化が定めるスカラーポテンシャルと言う)と、
φ M ( r ) = − ∫ s ∈ Ω div s  [ M ( s ) | r − s | ] d 3 Ω + ∫ s ∈ Ω div s  [ M ] | r − s | d 3 Ω {\displaystyle {\phi }_{M}(\mathbf {r} )=-{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {div} _{s}\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\Omega +{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }{\frac {\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ {d}^{3}\Omega } (2-3-5)
右辺第一項に、ガウスの発散定理を適用すると、
右辺は、 ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle ({u}_{1},{u}_{2})} についてのベクトル値関数 X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) × ( ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 1 ) {\displaystyle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\times \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\right)}
を、成分ごとに区間I上で重積分したものを意味する。即ち、(2)との関係でいえば、 ∫ s ∈ S X ( s ) × d 2 S = ∫ s ∈ S X ( s ) × n S | d 2 S | {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\times {d}^{2}S={\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\times \mathbf {n} _{S}|{d}^{2}S|}
となる。
F,Gを、ベクトル場、fを、スカラー値関数とする。このとき、
div  [ f F ] = ⟨ F | grad  [ f ] ⟩ + f div  [ F ] {\displaystyle \operatorname {div} \left[f\mathbf {F} \right]=\left\langle \mathbf {F} |\operatorname {grad} [f]\right\rangle +f\operatorname {div} [\mathbf {F} ]}