リー環の拡大
{\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]&=\lambda ^{l+m}\otimes [G_{i},G_{j}]+\varphi (\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+L(\lambda {\frac {d\lambda ^{l}}{d\lambda }}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+lL(\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}K(G_{i},G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}{C_{ik}}^{m}{C_{jm}}^{k}C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta ^{ij}C.\end{aligned}}}
これは多項式ループ代数の普遍中心拡大である.
用語の注意:物理学の用語では,上の代数はカッツ・ムーディ代数で通用するかもしれないが,数学ではそうではない.そのためには追加の次元,導分による拡大が必要である.それにもかかわらず,物理への応用で,g0 の固有値あるいはその代表が(通常の)量子数と解釈されると,生成元の追加の superscript はレベルと呼ばれる.それは追加の量子数である.固有値がちょうどレベルである追加の作用素はさらに以下で導入される.
L: g × g → F を非退化対称結合的双線型形式とし,d を導分であって L ( d ( G 1 ) , G 2 ) = − L ( G 1 , d ( G 2 ) ) {\displaystyle L(d(G_{1}),G_{2})=-L(G_{1},d(G_{2}))}
を満たすものとすると, φ ( G 1 , G 2 ) = L ( d ( G 1 ) , G 2 ) {\displaystyle \varphi (G_{1},G_{2})=L(d(G_{1}),G_{2})}
によって定義される φ は 2-コサイクルである.
G が行列リー群(英語版)のとき,リー環の元 G は
G = d d t ( g ( t ) ) | t = 0 {\displaystyle G={\frac {d}{dt}}\left.(g(t))\right|_{t=0}}
によって与えることができる,ただし α は t = 0 で単位元を通る G 内の微分可能な道である.リー環の元の交換子は2つの道 g1, g2 と群の交換子を用いて計算できる:
[ G 1 , G 2 ] = d d t g 1 ( t ) g 2 ( t ) g 1 ( t ) − 1 g 2 ( t ) − 1 | t = 0 , G 1 = g 1 ′ ( 0 ) , G 2 = g 2 ′ ( 0 ) . {\displaystyle [G_{1},G_{2}]={\frac {d}{dt}}\left.g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1}\right|_{t=0},\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0).}
同様に,群の表現 U(G) が与えられると,そのリー環 u(g) は次で計算される:
[ U 1 , U 2 ] = d d t U ( g 1 ( t ) ) U ( g 2 ( t ) ) U ( g 1 ( t ) ) − 1 U ( g 2 ( t ) ) − 1 | t = 0 = d d t U ( g 1 ( t ) g 2 ( t ) g 1 ( t ) − 1 g 2 ( t ) − 1 ) | t = 0 , G 1 = g 1 ′ ( 0 ) , G 2 = g 2 ′ ( 0 ) .
G をローレンツ群 O(3, 1) とし,T を (R, +) と同型な4次元の平行移動群とし,ポワンカレ群 P の乗法規則を考える:
( a 2 , Λ 2 ) ( a 1 , Λ 1 ) = ( a 2 + Λ 2 a 1 , Λ 2 Λ 1 ) , a 1 , a 2 ∈ T ⊂ P , Λ 1 , Λ 2 ∈ O ( 3 , 1 ) ⊂ P , {\displaystyle (a_{2},\Lambda _{2})(a_{1},\Lambda _{1})=(a_{2}+\Lambda _{2}a_{1},\Lambda _{2}\Lambda _{1}),\quad a_{1},a_{2}\in \mathrm {T} \subset P,\;\Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {O} (3,1)\subset \mathrm {P} ,}
を満たす.これを見るには,左辺で ε の定義を用い,それから l の線型性を用いる.g 上のヤコビの恒等式を用い,6つの項のうち半分を取り除く.Use the definition of ε again on terms l[Gi,Gj] sitting inside three Lie brackets, bilinearity of Lie brackets, and the Jacobi identity on e, and then finally use on the three remaining terms that Im ε ⊂ ker s and that ker s ⊂ Z(e) so that ε(Gi, Gj) brackets to zero with everything. It then follows that φ = i ∘ ε satisfies the corresponding relation, and if h in addition is one-dimensional, then φ is a 2-cocycle on g (via a trivial correspondence of h with the underlying field).
中心拡大
the main reason for this convention is that physicists like their Lie algebra elements to be Hermitian (as opposed to skew-Hermitian) in order for them to have real eigenvalues and hence be candidates for observables.
↑ ミゲル・アンヘル・ヴィラソロ(英語版) (Miguel Ángel Virasoro) は 1940 年生まれのアルゼンチンの物理学者.彼に因んで名づけられているヴィラソロ代数は,最初 Virasoro (1970) で出版された.
↑ 同じ効果は W の基底の変換によって得ることができる.
↑ 2-コサイクルがその値をアーベル群 U(1) に取るとき,すなわちそれが位相因子であるとき,これはウィグナーの定理の文脈では常にそうであるが,構成において C* を U(1) でおきかえてもよい.
↑ Bäuerle & de Kerf 1997, Chapter 18. 文献はこの事実と示すのが難しいことを述べている.さらなる文献は与えられていない.