交換演算子
量子化学におけるハートリー・フォック法の文脈では、上述の交換統計から生じる交換相互作用エネルギーを推算するために修正された交換演算子が定義される。この方法では、次のようなエネルギー的交換演算子を定義することが多い。
K ^ j ( x 1 ) f ( x 1 ) = φ j ( x 1 ) ∫ φ j ∗ ( x 2 ) f ( x 2 ) r 12 d x 2 {\displaystyle {\hat {K}}_{j}(x_{1})f(x_{1})=\phi _{j}(x_{1})\int {{\frac {\phi _{j}^{*}(x_{2})f(x_{2})}{r_{12}}}\mathrm {d} x_{2}}}
ここで、 K ^ j ( x 1 ) {\displaystyle {\hat {K}}_{j}(x_{1})} は1電子交換演算子、 f ( x 1 ) {\displaystyle f(x_{1})} , f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{2})} は交換演算子の作用する1電子波動関数を位置による関数表示したもの、 φ j ( x 1 ) {\displaystyle \phi _{j}(x_{1})} および φ j ( x 2 ) {\displaystyle \phi _{j}(x_{2})} は j 番目の電子の1電子波動関数を位置による関数表示したものである。これらの距離を r12 と表わしている。1 および 2 というラベルは単に記法的な便宜上のものであり、物理的には「どの電子がどれか」を追跡する方法は存在しない。