主イデアル
全てのイデアルが、主イデアルというわけではない。
例えば、2つの変数 x, y の、複素数を係数とする全ての多項式からなる環 C[x, y] を考える。x と y で生成されたイデアル (x, y) は、定数項が 0 となるような C[x, y] の多項式全てから構成されるが、主イデアルではない。このことを見るために、p が (x, y) の生成元であると仮定すると、x と y は両方とも p により割り切れることになるが、このことは p が 0 でない定数でない限り不可能である。しかし 0 は (x, y) の中の唯一の定数であり、従って矛盾する。