アフィン接続
滑らかな多様体は、局所的にユークリッド空間 R の滑らかな変形に見える数学的な対象である。たとえば、滑らかな曲線や曲面は、局所的には直線や平面の滑らかな変形に見える。滑らかな函数とベクトル場は、まさにユークリッド空間上であるかのように多様体を定義することができ、多様体上のスカラー函数は、自然な方法で微分することが可能である。ベクトル場の微分は、ユークリッド空間においては簡単な問題である。なぜなら、点 p における接ベクトル空間が普通に(平行移動によって)近くの点 q での接ベクトル空間と同一視できるからである。しかしながら、一般の多様体上でのベクトル場の微分はそう単純にはいかない。一般に、多様体上では近くの接空間の間にそのような自然な同一視は存在しないので、近接する点での接空間を well-defined な方法で比較することはできない。アフィン接続の考えは、近くの接空間を「接続する」ことにより、この問題を修正することで導入された。このアイデアの起源は、2つの源へと遡ることができる、曲面論(英語版)とテンソル解析である。
x での平行移動の微分は、TxM から T a x A x {\displaystyle T_{a_{x}}A_{x}} へ線型同型を決定する。
これたの最後の 2つの点は、詳しく説明することが極めて難しいので、アフィン接続は無限小としてより頻繁に定義される。このことを動機とすると、平行移動の観点からアフィン座標系がどのように無限小に移動するかを考えることに充分である。(これはカルタンの移動標構の方法(英語版)の原点である。)点でのアフィン標構は、一覧 (p, e1, ..., en) から構成される。ここに p ∈ Ax であり、ei は、Tp(Ax) の基底を形成する。よって、アフィン接続は、1-形式 (θ, ωi) の集まりにより定義される 1 階の微分方程式系としてシンボル的に与えられる。
( ∗ ) { d p = θ 1 e 1 + ⋯ + θ n e n d e i = ω i 1 e 1 + ⋯ + ω i n e n , i = 1 , 2 , ... , n {\displaystyle (*)\left\{{\begin{matrix}\mathrm {d} {p}&=\theta ^{1}{\mathbf {e}}_{1}+\cdots +\theta ^{n}{\mathbf {e}}_{n}&\\\mathrm {d} {\mathbf {e}}_{i}&=\omega _{i}^{1}{\mathbf {e}}_{1}+\cdots +\omega _{i}^{n}{\mathbf {e}}_{n},&\quad i=1,2,\ldots ,n\end{matrix}}\right.
曲率と捩率は、アフィン接続の主な不変量である。アフィン接続の概念を定義には同値な方法が多くあるので、曲率と捩率の定義も多くの異なる方法がある。
カルタン接続の観点から、曲率はモーレー・カルタン方程式
d η + 1 2 [ η ∧ η ] = 0 , {\displaystyle \mathrm {d} \eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ]=0,}
を満たすアフィン接続 η の「失敗」の度合いを表す。ここに、左辺の第二項は aff(n) のリーブラケットを使うウェッジ積である.η をペア (θ,ω) に拡張し、リー代数 aff(n) の構造を使うと、左辺は次の 2つの式へ拡張できる。
d θ + ω ∧ θ {\displaystyle \mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta }
d ω + ω ∧ ω {\displaystyle \mathrm {d} \omega +\omega \wedge \omega }
ここに、ウェッジ積は行列の乗法を使うこととする。