ケルビン・ストークスの定理
(2)以下の等式の証明:
∮ Γ F d Γ = ∮ γ ( F ∘ ψ ) d γ {\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\mathbf {F} d\Gamma ={\oint }_{\gamma }(\mathbf {F} \circ \psi )d\gamma }
(3)以下の等式の証明:
∫∫ S ∇ × F d S = ∫∫ D ( ∂ P 2 ∂ u − ∂ P 1 ∂ v ) d u d v {\displaystyle \iint _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} \ d\mathbb {S} =\iint _{D}\left({\frac {\partial {P}_{2}}{\partial u}}-{\frac {\partial {P}_{1}}{\partial v}}\right)dudv}
(4)グリーンの定理への帰着:
最後に、本定理をグリーンの定理に帰着する。
∫ c 0 F d c 0 = ∫ c 1 F d c 1 {\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} d{c}_{0}=\int _{c_{1}}\mathbf {F} dc_{1}}
大変紛らわしいことに、例えばLawrence では、Theorem 2-1の c0 と c1のような関係にあるような2曲線の関係は単に「ホモトピック」と呼ばれている。また、Theorem 2-1のような H : [0, 1] × [0, 1] → U を、 c0 と c1”の間のホモトピーと称している。 保存力場を議論する文脈では、そのような本が多い。
しかしながら、「ホモトピック」、「ホモトピー」という用語は、通常は、別の意味(より弱い条件のものを指す) で使われる。
従って、ホモトピー、ホモトピックという言葉が、Theorem 2-1の意味([TLH3]を要請する)なのか、通常の意味なのかを区別する適切な言い方が、見当たらない。そこで、当座において区別を必要とする場合には、本記事に限った言い方として、Tube-like-Homotopy Tube-Homotopeという言い方を、Theorem 2-1の意味であることを強調するために用いることにする。
ケルビン・ストークスの定理(ケルビン・ストークスのていり、英: Kelvin–Stokes' theorem) は、3次元ベクトル場の2次元曲面上での面積分に関する定理であり、本定理は、与えられたベクトル場の回転を面積分したものと、前記面積分の積分領域の境界での線積分とを関連付ける。
本定理は、一般化されたストークスの定理の特殊なケースの一つであり、3次元ベクトル場が、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の一次微分形式と見なした場合に対応する(この場合外微分dがrotに対応する)。
本定理は、回転定理ともいわれる。