リプシッツ連続
d Y ( f ( x ) , f ( y ) ) < M d X ( x , y ) α ( ∀ x , y ∈ X ) {\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))<M\,d_{X}(x,y)^{\alpha }\quad (\forall x,y\in X)}
が成立するときにいう。次数 α > 0 のヘルダー条件を次数 α の一様リプシッツ条件とも呼ぶ。
K ≥ 1 が存在して
1 K d X ( x 1 , x 2 ) ≤ d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ K d X ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{K}}\,d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq K\,d_{X}(x_{1},x_{2})}
が成り立つならば、f は双リプシッツ連続あるいは単に双リプシッツ (bilipshitz) であると言う。双リプシッツ連続写像は単射であり、また実はその像の上への同相写像である。双リプシッツ連続であることは、その(像の上で定義される)逆写像もリプシッツであるような単射リプシッツ連続写像であることと同じである。全射な双リプシッツ連続写像は、ちょうど距離空間の間の同型写像になる。