一般化されたリーマン予想
ディリクレの算術級数定理によると、a と d が互いに素な自然数であれば、等差数列 a, a+d, a+2d, a+3d, ... には無限個の素数が含まれる。π(x,a,d) でこの数列に含まれる x 以下の素数の数を表すことにする。もし一般化されたリーマン予想が正しければ、全ての互いに素な a と d と任意の ε > 0 に対し、
π ( x , a , d ) = 1 φ ( d ) ∫ 2 x 1 ln  t d t + O ( x 1 / 2 + ε ) as x → ∞ {\displaystyle \pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt+O(x^{1/2+\epsilon })\quad {\mbox{ as }}\ x\to \infty }
である。ここで φ(d) はオイラーのトーシェント函数、 O {\displaystyle O} はランダウの記号である。これは素数定理の重要な拡張である。
GRHが正しいとすると、3(ln n) 未満の n と互いに素な数と同じく、任意の乗法的群 ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} の真部分群は 2(ln n) 未満の数を削除することができる。言い換えると、 ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} は、2(ln n) 未満の数の集合により生成される。