最大値最小値定理
証明にあたっては f の上界の存在と最大値について調べることになる。そうすれば、その結果を函数 –f に適用して f の下界の存在と最小値についての結果を得ることができる。証明は全て実数直線に関する文脈の中で行われることにも注意。
最大値定理の証明においてはその途中段階として有界性定理をまず証明する。証明は基本的に次のような段階を踏んで行う:
有界性定理を証明する。
像が f の上限に収斂するような点列を得る。
得られた点列の部分列で、f の定義域に属する点へ収斂するものがあることを示す。
連続性を用いて、得られた部分列の像が f の上限へ収斂することを示す。
定理を用いるには定義域が有界かつ閉であることが必要であることを示す例を挙げる。何れも与えられた区間において最大値を持たないものである。
上に非有界な定義域 [0, ∞) を持つ函数 ƒ(x) = x は上に有界でない。
上に非有界な定義域 [0, ∞) を持つ函数 ƒ(x) = x⁄(1 + x) は有界だが、上限である 1 を値にとる点 x が存在しない。
閉でない定義域 (0, 1] を持つ函数 ƒ(x) = 1⁄x は上に有界でない。
閉でない定義域 (0, 1] を持つ函数 ƒ(x) = 1 – x は有界だが、上限の値 1 をとる点 x が存在しない。
上記例の後二者において ƒ(0) = 0 と定めることで、定理において閉区間上で連続であることが要求されることが理解される。