分離超平面定理
が得られる。上記の関係について極限を取れば右辺は 0 となり、従って
| x i − x j | ≤ 0 {\displaystyle |x_{i}-x_{j}|\leq 0}
を満たす。すなわち xi はコーシー列であり、Kは完備であるからその極限値は K に含まれるので、δ はベクトル x ∈ K の最小ノルムとなる。最小ノルムを持つベクトルの一意性について、ベクトル y ∈ K が最小ノルム δ を持つならば、
| x − y | 2 ≤ 2 | x | 2 + 2 | y | 2 − 4 δ 2 = 0 {\displaystyle |x-y|^{2}\leq 2|x|^{2}+2|y|^{2}-4\delta ^{2}=0}
となるから x = y である。□