バーゼル問題
放物線をフーリエ級数で表す方法を用いる。
f ( x ) = x 2 4 ( − π ≤ x ≤ π ) {\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}}{4}}\quad (-\pi \leq x\leq \pi )}
を考える。この放物線は偶関数であるから余弦関数で展開できる:
x 2 4 = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos  n x . {\displaystyle {\frac {x^{2}}{4}}={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx.}
ここで
a 0 = 1 π ∫ − π π x 2 4 d x = π 2 6 {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {x^{2}}{4}}\,dx={\frac {{\pi }^{2}}{6}}}
であり、an (n ≥ 1) は
1 π ∫ − π π x 2 4 cos  n x d x = ( − 1 ) n n 2 {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {x^{2}}{4}}\cos nx\,dx={\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}}