コーシーの凝集判定法
「凝集」変換 f ( n ) → 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle \textstyle f(n)\rightarrow 2^{n}f(2^{n})} は積分での変数変換 x → e x {\displaystyle \textstyle x\rightarrow e^{x}} が f ( x ) d x → e x f ( e x ) d x {\displaystyle \textstyle f(x)\,\mathrm {d} x\rightarrow e^{x}f(e^{x})\,\mathrm {d} x} を引き起こすことを連想させる。
実際、積分判定法により単調関数 f に対しては級数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)} の収束と広義積分 ∫ 1 ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} の収束は同値である。
u(n) を真に増大する正整数の列で、連続する差分の比が有界である、つまりある正の実数 N があって
Δ u ( n ) Δ u ( n − 1 ) = u ( n + 1 ) − u ( n ) u ( n ) − u ( n − 1 ) < N for all n {\displaystyle {\Delta u(n) \over \Delta u(n{-}1)}\ =\ {u(n{+}1)-u(n) \over u(n)-u(n{-}1)}\ <\ N\ \ {\text{for all }}n}
が成り立つものとする。このとき、 f ( n ) {\displaystyle f(n)} がコーシーの凝集判定法のものと同じ前提条件を満たすなら、級数 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)} が収束することと級数