単関数
どのような非負の可測関数 f : X → R + {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}} であっても、単調増加な非負の単関数の列の各点収束の極限として与えられる。実際、 f {\displaystyle f} を測度空間 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 上定義される、上述のような非負可測関数とする。各 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } に対し、 f {\displaystyle f} の値域を、 2 2 n + 1 {\displaystyle 2^{2n}+1} 個の区間で、その内の 2 2 n {\displaystyle 2^{2n}} 個が長さ 2 − n {\displaystyle 2^{-n}} を持つようなものに区分する。すなわち、各 n {\displaystyle n} に対して、
I n , k = [ k − 1 2 n , k 2 n ) {\displaystyle I_{n,k}=\left[{\frac {k-1}{2^{n}}},{\frac {k}{2^{n}}}\right)} for k = 1 , 2 , ... , 2 2 n {\displaystyle k=1,2,\ldots ,2^{2n}}
および
I n , 2 2 n + 1 = [ 2 n , ∞ ) {\displaystyle I_{n,2^{2n}+1}=[2^{n},\infty )}