ポアソン方程式
f =f (x1,...,xn)を既知の関数とし、u=u (x1,...,xn)を未知関数としたときに、次の形で与えられる2階の偏微分方程式をn次元ポアソン方程式と呼ぶ。
∂ 2 ∂ x 1 2 u ( x 1 , ... , x n ) + ∂ 2 ∂ x 2 2 u ( x 1 , ... , x n ) + ⋯ + ∂ 2 ∂ x n 2 u ( x 1 , ... , x n ) = f ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}u(x_{1},\dotsc ,x_{n})+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}u(x_{1},\dotsc ,x_{n})+\dotsb +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}u(x_{1},\dotsc ,x_{n})=f(x_{1},\dotsc ,x_{n})}
特にf が恒等的に0である場合には、ラプラス方程式に帰着される。
ラプラス演算子Δ またはナブラ∇ を用いれば、
Δ u = f {\displaystyle \Delta u=f\,}
または、
∇ 2 u = ∇ ⋅ ∇ u = f {\displaystyle {\nabla }^{2}u=\nabla \cdot \nabla u=f\,}
と表すことができる。