ゲルシュゴリンの定理
ゲルシュゴリンの定理は条件数の大きな行列 A に対する Ax = b (b はベクトル) の形の方程式を x について解くときに有用である。
この種の問題において、最終結果における誤差は初期データの誤差と A の条件数との積と同じオーダーになるのがふつうである。例えば b がコンマ以下6桁既知で A の条件数が 1000 ならば x はコンマ以下3桁の精度でしか保証できない。条件数が非常に大きければ、丸めによる非常に小さな誤差でさえ、その影響で拡大されてしまい、結果は意味のないものになってしまう。
A の条件数は減らした方がよいのだが、それは前処理で実行できる。つまり、P ≈ A となる行列 P を構成して方程式 PAx = Pb を x について解くのである。ここで A の本当の逆行列が使えればよいのだが、逆行列を求める問題は一般には非常に難しい。
さて、PA ≈ I で I は単位行列だから、PA の固有値はすべて 1 に近いはずである。ゲルシュゴリンの定理により、PA の任意の固有値はどの領域にあるのかわかっているから、P をどのように選べばよいかを大まかに評価することができる。