反転幾何学
平面上の点集合の反転は、それを基準円で分離したときのそれぞれの部分を反転して得られる点集合になる。円反転に関して以下の性質は重要である。
基準円の中心を通る円は、基準円の中心を通らない直線に反転し、逆に基準円の中心を通らない直線は基準円の中心を通る円に反転する。一方、基準円の中心を通る直線は、反転して自分自身に写る。
基準円の中心を通らない円を反転すると、円と基準点の交点は変わらずやはり基準円の中心を通らない円に写る。円(または直線)が反転変換で保たれるための必要十分条件は、それが基準円との交点において基準円と直交することである。
他には以下のような性質がある:
相異なる二点 A, A′ を通る円 q の、円 k に関する反転が A, A′ を入れ替えるならば、二円 k, q は互いに直交する。
二円 k, q が直交するとき、k の中心 O を通り q と交わる直線は、従って q との交点の k に関する反転点でも交わる。