二項積
ダブルドット積(二重点乗積)の定義には二通りあり、何れの意味で用いる規約になっているのかは文脈に注意すべきである。この二項積同士の積に対応する行列の演算はなく、このような定義を持ち出すことに疑問は無かろう。
通常のドット積(点乗積)が可換であるため、このダブルドット積(二重点乗積)もまたそうなる:
A : B = B : A . {\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\mathbf {B} :\mathbf {A} .}
ダブルドット積(二重点乗積)は転置に関して特別の性質を持つ:
A : B ⊤ = A ⊤ : B . {\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} ^{\top }=\mathbf {A} ^{\top }:\mathbf {B} .}
他には:
A : B = ( A ⋅ B ⊤ ) : I = ( B ⋅ A ⊤ ) : I . {\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ^{\top }):\mathbf {I} =(\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ^{\top }):\mathbf {I} .}
ベクトル a, b の二項積はこれらを併置した ab で表される。
ベクトル a, b のテンソル積は a ⊗ b で表される。
本項で扱う文脈においてこれらは互いに同じものを定める同義語であるが、テンソル積はより一般の対象に対してより抽象的な意味でも用いられることに注意すべきである。また「外積」(outer product) は全く別の概念である交叉積やより抽象的な楔積に対しても用いられる。
A = a b = ∑ j = 1 N ∑ i = 1 N a i b j e i e j . {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {ab} =\sum _{j=1}^{N}\sum _{i=1}^{N}a_{i}b_{j}{\mathbf {e} }_{i}\mathbf {e} _{j}.}
であり、行列の形に書けば
( a 1 a 2 ⋮ a N ) ( b 1 b 2 ⋯ b N ) = ( a 1 b 1 a 1 b 2 ⋯ a 1 b N a 2 b 1 a 2 b 2 ⋯ a 2 b N ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a N b 1 a N b 2 ⋯ a N b N ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{N}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{N}b_{1}&a_{N}b_{2}&\cdots &a_{N}b_{N}\end{pmatrix}}}