代数的整数論
有理整数は単数を2つ 1 と −1 しか持たない。他の整数環では他の単数があるかもしれない。ガウスの整数環は4つの単数、前の2つと ±i を持つ。アイゼンシュタイン整数環 Z[exp(2πi / 3)] は6つの単数を持つ。実二次体の整数環は無限個の単数を持つ。例えば Z[√3] では、2 + √3 の任意の冪は単数であり、これらの冪はすべて相異なる。
一般に、O の単数群 O は、有限生成アーベル群である。したがって、有限生成アーベル群の基本定理より、それは捩れ部分と自由部分の直和である。数体の文脈でこれを再解釈すると、捩れ部分は O に属する1の冪根全体からなる。この群は巡回群である。自由部分はディリクレの単数定理によって記述される。この定理は自由部分の階数が r1 + r2 − 1 であるというものである。したがって例えば、自由部分の階数が 0 である体は、Q と虚二次体しかない。K/Q のガロワ群に対するガロワ加群としての O ⊗Z Q の構造を与えるより正確な主張も可能である。
素点のもう1つの種類は K の実あるいは複素埋め込みと R あるいは C 上の通常の絶対値関数を用いて特定できる。これらは無限素点である。絶対値は複素埋め込みとその共役の間で区別することができないから、複素埋め込みとその共役は同じ素点を決定する。したがって r1 個の実素点と r2 個の複素素点が存在する。v が絶対値に対応する付値であるとき、しばしば v | ∞ と書いて v が無限素点であることを、 v ∤ ∞ {\displaystyle v\nmid \infty } と書いてそれが有限素点であることを意味する。
体の素点をすべて一緒に考えることで数体のアデール環を得る。アデール環により、絶対値を用いて入手可能なすべてのデータを同時に追跡することができる。これは、アルティンの相互律のように、1つの素点での振る舞いが他の素点での振る舞いに影響するような常用において、重要な利益を生み出す。
代数的整数論は他の多くの数学分野と係わっている。代数的整数論はホモロジー代数の道具を用いる。関数体と数体の類似を通して、代数幾何の技術や思想に依拠する。さらに、整数環の代わりに Z 上の高次元スキームを研究する分野は数論幾何と呼ばれる。代数的整数論はまた数論的双曲3次元多様体の研究においても用いられる。