特殊相対性理論
2つの慣性系 K1, K2 の間の相対速度を Vとすると、それぞれの慣性系における微小世界間隔 ds1, ds2および係数 a(|V|) についての関係式として、逆変換に対する要請から
d s 1 2 = a ( | V | ) d s 2 2 , d s 2 2 = a ( | − V | ) d s 1 2 {\displaystyle \mathrm {d} s_{1}{}^{2}=a(|{\boldsymbol {V}}|)\mathrm {d} s_{2}^{2},\quad \mathrm {d} s_{2}{}^{2}=a(|{\boldsymbol {-}}V|)\mathrm {d} s_{1}{}^{2}}
が得られ、代入して a ( | V | ) 2 = 1 {\displaystyle a(|{\boldsymbol {V}}|)^{2}=1} が得られる。a(|V|) > 0よりa(|V|) ≡ 1が得られる。
本節では光速を超えずに移動する観測者 A の感じる時間の長さ(観測者の固有時間)s が、A の世界線の(ミンコフスキー計量で測った)「長さ」に一致することを示す。
フィッツジェラルド=ローレンツ収縮によって、マイケルソン・モーリーの実験では「エーテルの風」の効果がキャンセルされたと説明しており、その際の収縮の度合いを説明する座標変換式(ローレンツ変換、Lorentz transformation)を定式化した。しかしながら、この座標変換の理解のみでは検証可能性を欠いていた。他方で、ローレンツとポアンカレは、時間の流れが観測者によって異なるとする「局所時間」という相対性理論の萌芽ともいえる思索を提起し、Wilson や Röntgen–Eichenwald の実験に合致できる電磁場の方程式を導出していた。
以上の理論はいずれも数式上は実験事実と合致しており、現代物理学が支持するアインシュタインの理論とも整合する。すなわち、このような数式を持ち込みさえすれば、従来の物理理論との実験上の矛盾はひとまず解消されるということは、一定の成果ではあった。しかしこれらの理論は、あくまでもエーテル仮説(絶対空間の存在)と光速度不変則(実験事実)の食い違う部分のみを解消する為に導出された解決策に過ぎず、たとえば下記のような疑問について、理論上・実験上の不満を残した。
運動する物体が、実際に縮むことなどあり得るのか? 実際に縮むのであれば、その物体の破壊には影響するのか?
数式上導入された「局所時間」を、物理学の体系としてどう解釈するのか?
sinh  ζ = tanh  ζ 1 − tanh 2  ζ = ( v / c ) 1 − ( v / c ) 2 {\displaystyle \sinh \zeta ={\frac {\tanh \zeta }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}={\frac {(v/c)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}}
である。そこでローレンツ因子 γ を
γ := 1 1 − ( v / c ) 2 {\displaystyle \gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}}
と定義すると、以下が導かれる:
相対速度を用いたローレンツ変換の表示 ― 観測者Aから見た観測者Bの相対速度を v とするとき、必要なら空間方向の座標軸を回転させる事で、ローレンツ変換は
と書ける。
我々は(L4)式やそれと同値な(L3)式を導くとき、空間方向の座標変換をおこなった。これは別の見方をすると、ローレンツ変換から空間方向の回転成分を取り除いたものが(L3)式や(L4)式であるということである。
(L3)式や(L4)式のように書けるローレンツ変換、すなわち空間方向に回転しないローレンツ変換の事をローレンツ・ブーストと呼ぶ。
ミンコフスキー空間上の各世界点 P にテンソル TP を割り振ったもの(すなわちミンコフスキー空間からテンソルの集合への写像 P ⤅ TP)をテンソル場という。
相対性理論でテンソル場は中核に位置する概念であり、電磁場を初めとして様々なものをテンソル場として表現する。
η ( ∑ μ a μ e → μ , ∑ ν b ν e → ν ) = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a μ b μ {\displaystyle \eta \left(\sum _{\mu }a^{\mu }{\vec {e}}_{\mu },\sum _{\nu }b_{\nu }{\vec {e}}^{\nu }\right)=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}=a^{\mu }b_{\mu }}
と通常の内積のように書け、ミンコフスキー内積特有の符号の煩わしさから解放されるので便利である。
基底を一つ指定したとき、a は添え字 μ に対し反変、aμ は添え字 μ に対し共変であるという。これらの名称は、基底を取り替えた際の成分の変化に由来する。すなわち、ミンコフスキー空間上にもう1組の基底 (e′→0, e′→1, e′→2, e′→3) を用意し、基底の間の座標変換が成分表示で
e′→ν = e→μΛν
と書けていたとすると4元ベクトル a→ の反変成分 a→ = a′e′→ν = ae→μ は、
a′ = (Λ)μ a
という関係になるので、ダッシュつきの座標系にうつるとき、基底とは反対に Λν の逆行列で結ばれる。それゆえ、「反対の変化」、すなわち反変と呼ばれる。