不動点定理
ただし、チャーチ・チューリングのテーゼの観点では、これらの直感的な意味合いは同じであり、「再帰関数は、関数を関数にうつすある汎関数の最小の不動点として表すことができる」ということに他ならない。
ところで、初めに紹介した「関数の繰り返し適用によって不動点を求める」という手法は、集合論でも用いる手法である。正規関数の不動点補題(英語版)では、「順序数から順序数への連続な狭義単調増加関数には、少なくとも1つの(実際には多数の)不動点が存在する」ことを述べている。また、半順序集合の閉包作用素(英語版)には必ずいくつかの不動点が存在し、それらが、この閉包作用素に関する意味で「閉」な元である(これが、閉包作用素を先に定義する最大の理由である)。
元の個数が奇数であるような有限集合上の任意の対合は不動点を持つ。より一般に、元の有限集合上の任意の対合に対して、不動点の数と元の数の偶奇性は一致する。ドン・ザギエはこれらの観察の下でフェルマーの二平方和定理の一文証明を与えた。これは整数の三つ組の成す同じ集合上の二つの対合を記述することで成り立っており、一方はただ一つの不動点を持つことが平易にわかるもので、他方は与えられた素数 (ただし mod 4 で 1 のもの) を二平方和でおのおの表現したものに対する不動点を持つ。前者は奇数個の不動点を持つから後者もそうで、従って必ず所期の形の表現が存在することがわかる。