完全加法族
集合 X 上の σ-集合代数の定義は「集合 X の部分集合からなる族 Σ であって、可算回の合併、交叉と補演算という集合演算について閉じていて、合併についても交叉についても単位元を持つようなもの」である。
集合 X 上の完全加法族の定義は「X の部分集合の空でない族 Σ で、X 自身を含み、補集合を取る操作(補演算)および可算な合併に関して閉じているもの」である。
即ちこれは、有限加法族あるいは集合代数であって、かつその演算を可算無限回まで含めて順序完備(英語版)化したものになっている。集合 X とその上の完全加法族 Σ との対 (X, Σ) は可測空間と呼ばれる集合体になる。
例えば X = {a, b, c, d} とすると、X 上の完全加法族となる集合族の一つは
Σ = { ∅, {a, b}, {c, d}, {a, b, c, d} }
で与えられる。
より有用な例は、実数直線の部分集合族で、全ての開区間から始めて、それらの可算合併・可算交叉・補演算を取ることをそれらの演算がすべて閉じるようになるまで繰り返して(つまり、開区間を全て含む最小の完全加法族)得られる完全加法族である。得られた完全加法族はボレル σ-集合代数と呼ばれる(ボレル集合の項を参照)。