Q二項定理
となるが、左辺は n > N {\displaystyle n>N} で ( q − N ; q ) n = 0 {\displaystyle (q^{-N};q)_{n}=0} となり、右辺は k ≥ N {\displaystyle k{\geq }N} の分子が k − N {\displaystyle k-N} の分母を打ち消す。従って、
∑ n = 0 N ( q − N ; q ) n ( q ; q ) n ( − q N + 1 y ) n = ∏ k = 0 N − 1 1 + y q 1 + k 1 + y q N + 1 + k = ∏ k = 1 N ( 1 + y q k ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{\frac {(q^{-N};q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(-q^{N+1}y)^{n}=\prod _{k=0}^{N-1}{\frac {1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)}
である。左辺はqポッホハマー記号の変換式 ( a q − n + 1 ; q ) n = ( − a ) n q − n ( n − 1 ) / 2 ( a − 1 ; q ) n {\displaystyle (aq^{-n+1};q)_{n}=(-a)^{n}q^{-n(n-1)/2}\left(a^{-1};q\right)_{n}} により、