整数
Z {\displaystyle \mathbf {Z} } における通常の大小関係
... < − 3 < − 2 < − 1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... {\displaystyle \ldots <-3<-2<-1<0<1<2<3<\ldots }
は、上にも下にも有界でない全順序関係であり、
a < b {\displaystyle a<b} かつ c < d {\displaystyle c<d} ならば a + c < b + d {\displaystyle a+c<b+d} ,
a < b {\displaystyle a<b} かつ 0 < c {\displaystyle 0<c} ならば a c < b c {\displaystyle ac<bc}
が成り立つという意味で Z {\displaystyle \mathbf {Z} } の環構造と両立し、 Z {\displaystyle \mathbf {Z} } は順序環となる。0 より大きな元は「正」、0 より小さな元は「負」である。正の整数全体 N {\displaystyle \mathbf {N} } は、任意の整数 x {\displaystyle x} に対し x {\displaystyle x} または − x {\displaystyle -x} が N {\displaystyle \mathbf {N} } に属するという意味で Z {\displaystyle \mathbf {Z} } の賦値環である。
「もの」の個数という素朴な意味で理解される自然数の中では、足し算と掛け算は自由にできるが、引き算については「引かれる数が引く数よりも大きい」という前提を満たさねばならず、その意味では自由ではない。これを自由に行うために「負の整数」を導入して、数の範囲を拡張しようというのが整数の概念である。すなわち、
a + x = b {\displaystyle a+x=b}
の形の方程式は、 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} が整数ならば必ずただ一つの解を持つ。
自然数を「正の整数」とし、自然数 n に対して加法に関する逆元 −n を導入し、これを「負の整数」とする。「正の整数」「0」「負の整数」をあわせた数の中で普通に足し算・引き算・かけ算ができるように、また、「正の整数」に対する演算はもともとの自然数としてのそれであるように加法と乗法を定義することができる(足し算引き算を包摂して「加法」と呼んでいる)。
a − b = a + ( − b ) {\displaystyle a-b=a+(-b)}
しかし、例えば 2 × x = 1 {\displaystyle 2\times x=1} となる整数 x {\displaystyle x} が存在しないように、依然として一般に除法は不自由なままである(自由にできるようにするためには有理数にまで数の範囲を広げなければならない)。