ポアンカレの回帰定理
ボルツマンは熱力学第二法則を原子論で説明することを試み、H定理を発表した。これに対してエルンスト・ツェルメロ(E.Zermelo)は、1896年にポアンカレの回帰定理を根拠とする、再帰パラドックス(recurrence paradox)を発表して批判した。
但し、H=H(q, p) は系のハミルトニアンである。 この時間発展によって
T t : ( q ( 0 ) , p ( 0 ) ) → ( q ( t ) , p ( t ) ) {\displaystyle T_{t}:(q(0),p(0))\rightarrow (q(t),p(t))}
を与える写像 Tt が定まる。写像 Tt は性質
T t ∘ T s = T t + s {\displaystyle T_{t}\circ T_{s}=T_{t+s}}
T t ∘ T − t = I {\displaystyle T_{t}\circ T_{-t}=I}
を満たしており、その集合 {Tt} は流れ(flow)と呼ばれる。リュービルの定理によれば、相空間上の体積要素
d q 1 d p 1 ⋯ d q n d p n {\displaystyle dq_{1}dp_{1}\cdots dq_{n}dp_{n}}
は、 {Tt} による時間発展に対して、不変である。これは、{Tt} が測度を不変に保つ保測変換であることを意味する。