対数的微分形式
複素多様体論や代数多様体論では、対数的(logarithmic)微分形式は、ある種類の極をもつ有理型微分形式である。
X を複素多様体とし、D ⊂ X を因子、ω を X−D 上の正則 p-形式とする。ω と dω が D に沿って大きくとも 1 の位数の極を持つとき、ω を D に沿って対数的極を持つという。ω は対数的 p-形式とも呼ばれる。対数的 p-形式はD に沿った X 上の有理 p-形式の層をなし、次のように書く。
Ω X p ( log  D ) . {\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D).}
リーマン面の理論では、次の局所表現を持つ対数的 1-形式が存在する。ある有理型函数(有理函数) f ( z ) = z m g ( z ) {\displaystyle f(z)=z^{m}g(z)} に対し
ω = d f f = ( m z + g ′ ( z ) g ( z ) ) d z {\displaystyle \omega ={\frac {df}{f}}=\left({\frac {m}{z}}+{\frac {g'(z)}{g(z)}}\right)dz}
となる。ここに g は 0 で正則で 0 とはならなく、m は f の 0 でのオーダーである。すなわち、ある開被覆が存在し、この微分形式の対数微分としての局所表現が存在する(通常の微分作用素 d/dz の中の外微分 d を少し変形する)。ω が整数の留数の単純極を持つだけであることに注意する。高次元の複素多様体では、ポアンカレ留数(英語版)(Poincaré residue)は、極に沿った対数的微分形式の振る舞いを記述することに使われる。
を再現する。 では、 W m H k ( X ; C ) {\displaystyle W_{m}H^{k}(X;\mathbf {C} )} を実際、Q 上で定義することができるので、コホモロジー上のフィルトレーション W ∙ , F ∙ {\displaystyle W_{\bullet },F^{\bullet }} は H k ( X ; Z ) {\displaystyle H^{k}(X;\mathbf {Z} )} 上の混合ホッジ構造を発生させる。
古典的には、たとえば、楕円函数の理論の中では、対数的微分形式は第一種微分形式(英語版)(differentials of the first kind)の補完物と考えられてきた。対数的微分形式は、第二種微分形式と呼ばれることもある(不幸にも、第三種微分形式との間に不整合がある)。古典論は、現在では、ホッジ理論の一面として取り込まれている。たとえば、あるリーマン面 S に対し、第一種微分形式は、H(S) の項 H として考えられている。ドルボー同型により層コホモロジー群 H(S,Ω) として解釈すると、これらの定義は同義と考えられる定義である。0 が S 上の正則函数 の層であるとき、 H(S,O) と解釈できるように、H(S) の中の H 直和を、対数的微分形式のベクトル空間として、より具体的にみなすことができる。
Ω X p ( log  D ) {\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)} の定義と外微分形式 d は d = 0 を満たすという事実により、
d Ω X p ( log  D ) ( U ) ⊂ Ω X p + 1 ( log  D ) ( U ) {\displaystyle d\Omega _{X}^{p}(\log D)(U)\subset \Omega _{X}^{p+1}(\log D)(U)}
を得る。このことは、因子 D に対応する正則対数複体(holomorphic log complex)として知られている層の複体 ( Ω X ∙ ( log  D ) , d ) {\displaystyle (\Omega _{X}^{\bullet }(\log D),d)} が存在することを意味する。この複体は、 j ∗ Ω X − D ∙ {\displaystyle j_{*}\Omega _{X-D}^{\bullet }} の部分複体であり、そこでは j : X − D → X {\displaystyle j:X-D\rightarrow X} は包含写像であり、 Ω X − D ∙ {\displaystyle \Omega _{X-D}^{\bullet }} は X − D 上の正則形式の層の複体である。