一様空間
記号の定義 ― Xを集合とし、DをX上定義された擬距離の集合とし、さらに ( x λ , x λ ′ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} をX×X上のネットとする。このとき、
∀ d ∈ D : d ( x λ , x λ ′ ) → 0 {\displaystyle \forall d\in D~:~d(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0}
の事を
D ( x λ , x λ ′ ) → 0 {\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0}
と略記する。
上の記号において、収束の速度がd ∈ D毎に異なる事を許容している事に注意されたい。すなわちあるd ∈ Dに対しては d ( x λ , x λ ′ ) < ε {\displaystyle d(x_{\lambda },x'_{\lambda })<\varepsilon } であっても別のd' ∈ Dに対しては d ( x λ , x λ ′ ) ≥ ε {\displaystyle d(x_{\lambda },x'_{\lambda })\geq \varepsilon } となる事も起こりうる。
これまで擬距離の集合により定まる一様構造について述べてきたが、一様構造がただ一つの(擬)距離から定まる条件を特徴づける事もできる:
定義・定理 (擬距離化可能性・距離化可能性) ― 集合X上の一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} がただ一つの擬距離dからなる集合 { d } {\displaystyle \{d\}} から定まっているとき、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} は擬距離化可能であるという。特にdが距離であれば距離化可能であるという。
一様構造 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が擬距離化可能である必要十分条件は U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の可算な部分集合 B ⊂ U {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {U}}} で、以下を満たすものが存在する事である:
∀ U ∈ U ∃ B ∈ B : B ⊂ U {\displaystyle \forall U\in {\mathcal {U}}\exists B\in {\mathcal {B}}~:~B\subset U}
また U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が擬距離化可能で、しかも U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相がハウスドルフであれば、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} は距離化可能である。
D ( x λ , x λ ′ ) → 0 ⟺ E ( x λ , x λ ′ ) → 0 {\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0\iff E(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0}
が成立する事である。
擬距離の集合D、Eが同一の一様構造を定めるとき、D、Eは一様同値(英: uniformly equivalent)であるといういう。
擬距離の任意の集合Dは一様有界な擬距離の集合と必ず同値になる:
定理 ― Xを集合とし、DをX上定義された擬距離の集合とする。さらに任意の擬距離dに対し、
d ∗ ( x , y ) := arctan  ( d ( x , y ) ) {\displaystyle d_{*}(x,y):=\arctan(d(x,y))}
と定義する。このとき、Dは
E = { d ∗ ∣ d ∈ D } {\displaystyle E=\{d_{*}\mid d\in D\}}
と一様同値である。しかもEは以下の意味で一様有界である
sup { d ∗ ( x , y ) ∣ x , y ∈ X , d ∗ ∈ E } < ∞ {\displaystyle \sup\{d_{*}(x,y)\mid x,y\in X,d_{*}\in E\}<\infty }
一様空間では一様連続性が定義可能である:
定義 (一様連続性) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} 、 ( Y , V ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {V}})} を一様空間とする。このとき写像
f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y}
が一様連続(英: uniformly continuous)であるとは、任意の V ∈ V {\displaystyle V\in {\mathcal {V}}} に対し、
{ ( x 1 , x 2 ) ∈ X × X ∣ ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ∈ V } ∈ U {\displaystyle \{(x_{1},x_{2})\in X\times X\mid (f(x_{1}),f(x_{2}))\in V\}\in {\mathcal {U}}}
が成立する事を言う。
一様空間は、集合Xと、一様構造と呼ばれるX×Xの部分集合の族 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の組として定義される。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} の元Uは近縁と呼ばれ、直観的には(x, y) ∈ Uとなる事はxとyが(Uに入る程度には)「近い」事を意味する。例えば擬距離空間の場合には2点間の距離がε以下になるX×Xの部分集合Uεを
U ε = { ( x , y ) ∈ X × X : d ( x , y ) < ε } {\displaystyle U_{\varepsilon }=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)<\varepsilon \}}
と定義し、
∃ ε > 0 : U ε ⊂ U {\displaystyle \exists \varepsilon >0~:~U_{\varepsilon }\subset U}
を満たすU ⊂ X×Xを近縁とみなす事で自然に一様空間とみなせる事が知られている(詳細後述)。