相対位相
相対位相に関して、以下のような普遍性による特徴づけができる。Y が X の部分空間で i: Y → X を包含写像とするとき、任意の位相空間 Z に対して写像 f: Z → Y が連続となることと、合成写像 i ∘ f が連続となることは同値である。
この性質は、Y 上の部分位相の定義として用いることができるという意味で、相対位相を特徴付ける性質である。
以下、相対位相に関する性質を挙げる。以下では S は位相空間 X の部分空間とする。
f: X → Y が連続ならば、その S への制限もやはり連続である。
f: X → Y が連続ならば、f: X → f(X) もやはり連続である。
S の閉集合はちょうど X の閉集合と S との交わりとして得られる。
A が S の部分空間ならば A は同じ位相で X の部分空間にもなる。すなわち、S から誘導される A の位相は X から誘導される A の位相と一致する。
S が X の開部分空間ならば、S の部分空間が S において開となることと、それが X において開となることとは同値である。
S が X の閉部分空間ならば、S の部分空間が S において閉となることと、それが X において閉となることとは同値である。
B を X の開基とすると、BS = {U ∩ S : U ∈ B} は S の開基である。
距離空間の部分集合上に距離函数を制限することによって誘導される位相は、その部分集合における部分位相空間としての位相に一致する。