ニュートンの恒等式
e 0 = 1 , − e 1 = − p 1 , e 2 = 1 2 ( e 1 p 1 − p 2 ) , − e 3 = − 1 3 ( e 2 p 1 − e 1 p 2 + p 3 ) , e 4 = 1 4 ( e 3 p 1 − e 2 p 2 + e 1 p 3 − p 4 ) , ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1,\\[4pt]-e_{1}&=-p_{1},\\[4pt]e_{2}&={\frac {1}{2}}(e_{1}p_{1}-p_{2}),\\[4pt]-e_{3}&=-{\frac {1}{3}}(e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}),\\[4pt]e_{4}&={\frac {1}{4}}(e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}
この方法で多項式を定式化すると、Delves や Lyness の方法により解析関数の零点を見つけるのに役立つ。
最初の4つの公式は、アルベールジラールによってニュートン以前の1629年に得られた。
p m = ( − 1 ) m m ∑ r 1 + 2 r 2 + ⋯ + m r m = m r 1 ≥ 0 , ... , r m ≥ 0 ( r 1 + r 2 + ⋯ + r m − 1 ) ! r 1 ! r 2 ! ⋯ r m ! ∏ i = 1 m ( − e i ) r i . {\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-e_{i})^{r_{i}}.}
通常のベル多項式により次のように簡単に表すことができる。
p m = ( − 1 ) m m ∑ k = 1 m 1 k B ^ m , k ( − e 1 , ... , − e m − k + 1 ) , {\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}{\hat {B}}_{m,k}(-e_{1},\ldots ,-e_{m-k+1}),}
または母関数として表すことができる。