最速降下曲線
フェルマーの原理より、2点間で光のビームが通る実際の道筋は、最短の時間で光が横切るものである。したがって最速降下曲線は、光が媒質の中で垂直方向の加速を受けるとき(gを重力加速度とする)の光のビーム軌道である。エネルギー保存の法則を用いれば、h を現在の位置とはじめの位置との高さの差とすると、物体が一定の重力の中にあるときその速度は
v = 2 g h {\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}
となる。速度は水平方向の変位によらないことに注意。 θは軌道が垂直方向となす角とする。スネルの法則によれば軌道上で光のビームは次の式に従う:
sin  θ v = 1 v m a x {\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v_{\mathrm {max} }}}} .
v m a x {\displaystyle v_{\mathrm {max} }} は最高速度である。( sin  θ {\displaystyle \sin \theta } が最大値1となるとき)
上記の式の速度を代入すると次の2つの結論が得られる。
粒子の速度がゼロの始めは角度はゼロである。したがって最速降下曲線は原点で垂直方向である。(つまり下方向)
速度は軌道が水平になるとき最大である。
ギリシア語でbrachistosは最も短いという意味で、chronosは時間という意味である。