ベルトランの逆説
ベルトランのパラドックスは以下のようなものである。
「円に内接する正三角形を考える。その円の弦を1本無作為に選ぶ。その弦が正三角形の辺よりも長くなる確率はどれだけか?」
ベルトランはこれに関して3つの主張を述べた。どれももっともらしく見えるが、結果は異なるものとなる。
弦の選び方1:赤は正三角形の1辺より長く、青は短い「無作為な端点」方式円周上の2点を無作為に選び、それらを結ぶ弦を考える。問題の確率を計算するために、正三角形を回転させ、1つの頂点が選ばれた点の1つに一致するようにする。もしもう一方の端点が、正三角形の他の2頂点を結んだ弧の上にあれば、弦は正三角形の1辺よりも長いことが分かる。この弧の長さは円周の3分の1なので、求める確率は3分の1である。
弦の選び方2「無作為な半径」方式円の半径を1本無作為に選び、さらにその上の1点を無作為に選んで、選ばれた点を通り選ばれた半径に垂直な弦を考える。