部分リーマン多様体の接続と曲率
.. , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} に対し、以下が成立する
e u ( Ω ) = 1 ( 8 π ) k k ! R i 1 i 2 j 2 j 1 ⋅ ⋯ ⋅ R i m − 1 i m j m j m − 1 g ( e i 1 ∧ ⋯ ∧ e i k , e j 1 ∧ ⋯ ∧ e j k ) d V {\displaystyle \mathrm {eu} (\Omega )={1 \over (8\pi )^{k}k!}R_{i_{1}i_{2}j_{2}j_{1}}\cdot \cdots \cdot R_{i_{m-1}i_{m}j_{m}j_{m-1}}g(e^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}},e^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge e^{j_{k}})dV}
ここでdVはMの体積要素であり、上式はアインシュタインの縮約記法を用いている。
なお、上式は i 1 , ... , i k {\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{k}} および j 1 , ... , j k {\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{k}} が 1 , ... , k {\displaystyle 1,\ldots ,k} の置換になっている項以外は0になる。
η ∗ ( [ M ] ) = η ∗ ( [ S 1 ] ) + ⋯ + η ∗ ( [ S n ] ) in H m ( S m ) {\displaystyle \eta _{*}([M])=\eta _{*}([S_{1}])+\cdots +\eta _{*}([S_{n}])~~{\text{in}}~~H_{m}(S^{m})}
が成立する。 η ∗ ( [ M ] ) {\displaystyle \eta _{*}([M])} は定義からMのガウス写像の写像度に等しく、写像度 η ∗ ( [ S i ] ) {\displaystyle \eta _{*}([S_{i}])} は零点xiの指数に一致したので定理が証明された。
上述の定理の条件を満たすXを選ぶと、Xの零点の指数の総和はポアンカレ・ホップの定理よりNのオイラー標数に等しいので、以上の事実から
d e g ( G ) = χ ( N ) {\displaystyle \mathrm {deg} (G)=\chi (N)}
が成立する。
N'をNのコピーとし、NとN'をその縁である ∂ N = ∂ N ′ = M {\displaystyle \partial N=\partial N'=M} で張り合わせてできる多様体を N ~ {\displaystyle {\tilde {N}}} とする(すなわち N ~ {\displaystyle {\tilde {N}}} はNのダブル(英語版))と、
χ ( N ~ ) + χ ( M ) = χ ( N ) + χ ( N ′ ) = 2 χ ( N ) {\displaystyle \chi ({\tilde {N}})+\chi (M)=\chi (N)+\chi (N')=2\chi (N)}
N ^ := N ∖ ( B 1 ∪ ⋯ ∪ B n ) {\displaystyle {\hat {N}}:=N\setminus (B_{1}\cup \cdots \cup B_{n})} とすると、Biの定義から N ^ {\displaystyle {\hat {N}}} 上Xは0にならない。このため P ∈ N ^ {\displaystyle P\in {\hat {N}}} に対し、
η ( P ) := X P ‖ X P ‖ {\displaystyle \eta (P):={X_{P} \over \|X_{P}\|}}
が定義できる。 η ( P ) {\displaystyle \eta (P)} は長さ1である事から単位球Sの元とみなす事ができるので、写像
η : P ∈ N ^ ↦ η ( P ) ∈ S m {\displaystyle \eta ~:~P\in {\hat {N}}\mapsto \eta (P)\in S^{m}}
が定義できる。明らかにηのMへの制限はMのガウス写像に一致する。
また零点の指数の定義から η S i {\displaystyle \eta _{S_{i}}} の写像度は零点xiの指数に一致する
ホモロジー群 H m ( S i ) {\displaystyle H_{m}(S_{i})} 、 H m ( M i ) {\displaystyle H_{m}(M_{i})} の基本類をそれぞれ [ S i ] {\displaystyle [S_{i}]} 、 [ M ] {\displaystyle [M]} とする。
よってとくに M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} が曲率cの定曲率空間(英語版)、すなわち M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} 上の任意の点Pにおける任意の方向の断面曲率がcである空間の場合には、
S e c ( e i , e j ) = c + κ i κ j {\displaystyle \mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})=c+\kappa _{i}\kappa _{j}}
が成立する。
実は上式の右辺はMに内在的な量である:
定理 (Theorema Egregiumの一般化) ― M ̄ c {\displaystyle {\bar {M}}_{c}} を曲率cの定曲率空間とし、 M ⊂ M ̄ c {\displaystyle M\subset {\bar {M}}_{c}} をその余次元1の部分多様体とし、さらにPをMの点とする。さらに線形写像 ρ : ∧ 2 T M P → ∧ 2 T M P {\displaystyle \rho ~:~\wedge ^{2}TM_{P}\to \wedge ^{2}TM_{P}} を
g ( ρ ( X ∧ Y ) , Z ∧ W ) = g ( R ( X , Y ) W , Z ) {\displaystyle g(\rho (X\wedge Y),Z\wedge W)=g(R(X,Y)W,Z)}
により定義する。
このとき、ρの固有値の集合は
{ κ i κ j + c ∣ i , j ∈ 1 , ... , m , s.t. i ≠ j } {\displaystyle \{\kappa _{i}\kappa _{j}+c\mid i,j\in 1,\ldots ,m,{\text{ s.
数学 > 幾何学 > 多様体論 > 微分幾何学 > リーマン多様体、接続、曲率 > 部分リーマン多様体の接続と曲率
本項、部分リーマン多様体の接続と曲率では、古典的なガウスの曲面論(英語版)を高次元のリーマン多様体の場合に拡張した成果を述べる。具体的にはリーマン多様体 M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の部分多様体Mに対し、
M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} 、Mのレヴィ・チヴィタ接続やリーマン曲率の関係性
第二基本形式、第三基本形式(英語版)
主曲率、ガウス曲率、平均曲率(英語版)
Theorema Egregium
ガウス写像
ガウス・ボンネの定理
といったものを高次元化した成果を述べる。
以下、本項では ( M ̄ , g ) {\displaystyle ({\bar {M}},g)} をリーマン多様体とし、
M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}}
をその部分多様体とする。また特に断りがない限り、単に「多様体」、「写像」等といった場合はC級のものを考える。
よって g ( ∇ ̄ d s d P v ( t ) d s , η ) {\displaystyle g({\tfrac {\bar {\nabla }}{ds}}{\tfrac {dP_{v}(t)}{ds}},\eta )} は測地線の曲率の大きさに符号をつけたものである。
主曲率とは(符号付きの)測地線の曲率の大きさ g ( ∇ d s d P ( t ) d s , η ) {\displaystyle g({\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {dP(t)}{ds}},\eta )} の極値になっている値の事である。
主曲率は具体的には下記のように求める事ができる。 ∇ d s d d s P v ( s ) = 0 {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {d}{ds}}P_{v}(s)=0} なので、 曲線に沿ったガウスの公式と第二基本形式の定義より、
g ( ∇ ̄ d s d d s P v ( s ) , η ) {\displaystyle g\left({\tfrac {\bar {\nabla }}{ds}}{\tfrac {d}{ds}}P_{v}(s),\eta \right)} = g ( I I ( d P ( t ) d s , d P v ( t ) d s ) , η ) {\displaystyle =g(\mathrm {I\!I} \left({\tfrac {dP(t)}{ds}},{\tfrac {dP_{v}(t)}{ds}}\right),\eta )} = I I η ( d P ( t ) d s , d P v ( t ) d s ) {\displaystyle =\mathrm {I\!I} _{\eta }\left({\tfrac {dP(t)}{ds}},{\tfrac {dP_{v}(t)}{ds}}\right)}
第一に、オイラー形式を定義する際、パッフィアンを ( 2 π ) k {\displaystyle (2\pi )^{k}} で割るのは、このようにすると後述するガウス・ボンネの定理で不要な定数が消えて定理の記述が簡単になるからである。
第二に、「 P f ( Ω ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (\Omega )} 」という記号の意味についてである。「 P f ( Ω ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (\Omega )} 」はパッフィアンPf(A)の具体的表記において、行列AをΩに置き換え、さらに積をウェッジ積に置き換えることで定義される。すなわち、
P f ( Ω ) = 1 2 k k ! ∑ σ ∈ S m s g n ( σ ) Ω σ ( 1 ) σ ( 2 ) ∧ ⋯ ∧ Ω σ ( m − 1 ) σ ( m ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (\Omega )={1 \over 2^{k}k!}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{m}}\mathrm {sgn} (\sigma )\Omega ^{\sigma (1)}{}_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge \Omega ^{\sigma (m-1)}{}_{\sigma (m)}}
なお、添字の上下がPf(A)の具体的表記とは異なっているが、正規直交基底を考えているのでこれは問題にならない。