時間尺度微分積分学
そのような時間尺度上のデルタ微分法の中で最も知られた三種の例として、微分法・差分法・量子解析を挙げることができる。Dynamic equations on a time scale have a potential for applications, such as in population dynamics. For example, they can model insect populations that evolve continuously while in season, die out in winter while their eggs are incubating or dormant, and then hatch in a new season, giving rise to a non–overlapping population.
f のデルタ微分が存在するとは、任意の ε > 0 に対し t の適当な近傍 U を選べば | f ( σ ( t ) ) − f ( s ) − f Δ ( t ) ( σ ( t ) − s ) | ≤ ε | σ ( t ) − s | ( ∀ s ∈ U ) {\displaystyle |f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)|\leq \varepsilon |\sigma (t)-s|\qquad (\forall s\in U)} とできるときに言う。
T = R と取れば、σ(t) = t かつ μ(t) = 0 であり、f = f′ は通常の微分積分学で用いられる微分となる。
T = Z(整数全体)と取れば、σ(t) = t + 1 かつ μ(t) = 1 であり、f = Δf は和分差分学で用いられる前進差分となる。