級数
数学における級数 (きゅうすう、英: series) とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。ただし「無限の項の総和」が何を表しているのかということはしばしば解析学の言葉を用いて様々な場合に意味を与える(#級数の収束性の節を参照)ことができるが、そのようなことができない「発散する級数」もあれば、級数自体を新たな形式的対象としてとらえることもある。小さくなっていく実数を項とする級数の収束性については様々な判定条件が与えられている。
級数を表す記法として、和記号 ∑ {\displaystyle \textstyle \sum } を用いた表現 ∑ a n {\displaystyle \textstyle \sum a_{n}} や三点リーダ ⋯ を用いた表現 a0 + a1 + ⋯ などがある。
有限個の項以外は 0 とすることで有限個の対象の和を表すこともでき、無限項の和であることを特に強調する場合には無限級数ともいう。
添字集合 I が(たとえば最小の超限順序数 α0 のような)整列集合ならば、条件収束級数を考えることができる。超限帰納的に
∑ β < α + 1 a β = a α + ∑ β < α a β {\displaystyle \sum _{\beta <\alpha +1}a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }}
と定め、また極限順序数 α に対しては極限が存在する限り
∑ β < α a β = lim γ → α ∑ β < γ a β {\displaystyle \sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }}
と定義する。α0 の違いを除いて全ての極限が存在するならばこの級数は収束する。
必ずしも可算でない無限集合 I で添字付けられる非負実数の族 (ai)i∈I の総和は、発散する場合も含めて
∑ i ∈ I a i = sup A ⊂ I A :finite { ∑ i ∈ A a i } ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{A\subset I \atop A{\text{:finite}}}{\Bigl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,{\bigr \}}\in [0,\infty ]}
によって定義することができる。和の値が有限となるならば、ai > 0 となるような i ∈ I は高々可算である。実際このとき、任意の n ≥ 1 に対して、集合 An = {i ∈ I | ai > 1/n} は