ルーシェの定理
である。
ここで ω : K → C {\displaystyle \omega \colon K\to \mathbb {C} } を、 ω ( z ) = 1 + g ( z ) / f ( z ) {\displaystyle \omega (z)=1+g(z)/f(z)} で定義する。 ∂ D {\displaystyle \partial D} 上では | f ( z ) | > | g ( z ) | {\displaystyle |f(z)|>|g(z)|} という条件から、 ∂ D {\displaystyle \partial D} 上では | f ( z ) | > 0 {\displaystyle |f(z)|>0} であり、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} および g ( z ) {\displaystyle g(z)} は K {\displaystyle K} 上で正則であるから、 ω ( z ) {\displaystyle \omega (z)} は ∂ D {\displaystyle \partial D} 上で正則である。