ローレンツ空間
R ∋ t ↦ 1 2 f ∗ ( | t | ) . {\displaystyle \mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).}
これらの定義の下で、 0 < p < ∞ {\displaystyle 0<p<\infty } および 0 < q ≤ ∞ {\displaystyle 0<q\leq \infty } に対し、ローレンツ準ノルムは次で与えられる。
‖ f ‖ L p , q = { ( ∫ 0 ∞ ( t 1 p f ∗ ( t ) ) q d t t ) 1 q q ∈ ( 0 , ∞ ) , sup t > 0 t 1 p f ∗ ( t ) q = ∞ . {\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}
数学の解析学の分野におけるローレンツ空間(ローレンツくうかん、英: Lorentz space)は、1950年代にジョージ・ローレンツによって導入された概念で、よく知られた L p {\displaystyle L^{p}} 空間の一般化である。
ローレンツ空間は L p , q {\displaystyle L^{p,q}} と表される。 L p {\displaystyle L^{p}} 空間のように、それは函数の「大きさ」に関する情報を表すノルム(正確には準ノルム)によって特徴づけられる。そのような函数の大きさに関する基本的な定性的概念として次の二つがある:その函数のグラフの高さがどの程度か、またそれがどの程度広がっているか、である。ローレンツノルムは、値域 ( p {\displaystyle p} ) と定義域 ( q {\displaystyle q} ) の両方について測度を指数的にリスケールすることで、それら二つのいずれについても L p {\displaystyle L^{p}} ノルムより強い制御を与える。ローレンツノルムは、しかし L p {\displaystyle L^{p}} ノルムのように函数の値の任意の再配分の下で不変である。