指標群
数学において、指標群 (character group) は複素数値関数による群の表現の群である。これらの関数は一次元行列表現と考えることができ、したがって関連した文脈である指標理論において生じる群指標の特別な場合である。群が行列によって表現されるときにはいつでも、行列のトレースによって定義される関数は指標 (character) と呼ばれる。しかしながら、これらのトレースは一般には群をなさない。これらの 1 次元指標のいくつかの重要な性質は一般の指標に適用する:
指標は共役類で不変である。
既約表現の指標は直交する。
有限アーベル群の指標群の主要な重要性は数論においてである。そこではそれがディリクレ指標を構成するために使われる。巡回群の指標群はまた離散フーリエ変換の理論においても現れる。局所コンパクトなアーベル群に対して、(連続性を仮定して)指標群はフーリエ解析の中核をなす。
G が位数 n のアーベル群であれば、指標 fk たちの集合は各元 g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対して ( f j f k ) ( g ) = f j ( g ) f k ( g ) {\displaystyle (f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g)} という積の下でアーベル群をなす。この群は G の指標群 (character group of G) であり、 G ^ {\displaystyle {\hat {G}}} と表記されることがある。その位数は n である。 G ^ {\displaystyle {\hat {G}}} の単位元は主指標 f1 である。fk の逆元は逆数 1/fk である。任意の g ∈ G に対して | f k ( g ) | = 1 {\displaystyle |f_{k}(g)|=1} であるから逆は複素共役に等しいことに注意する。