測度収束
以下では、f と fn (n ∈ {\displaystyle \in } N) は X → R の可測関数とする。
大域的な測度収束は、局所的な測度収束を意味する。しかし逆は成立しない。すなわち、一般的に、局所的な測度収束は大域的な測度収束よりも厳密に弱い概念となっている。
しかし、もし μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty } であるか、あるいは一般的に、すべての fn がある有限測度の集合の外部で消失するのであれば、局所的な測度収束と大域的な測度収束の間に違いは無くなる。
μ がシグマ有限(英語版)で、列 (fn) が f へと(局所的あるいは大域的に)測度収束するのであれば、ほとんど至る所で f へと収束する部分列が存在する。大域的な測度収束の場合は、シグマ有限性は必要とはされない。
μ がシグマ有限であるなら、(fn) が f へと局所的に測度収束するための必要十分条件は、すべての部分列が、ほとんど至る所で f へと収束する部分列をさらに持つことである。
X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } とし、μ をルベーグ測度とし、f を値がゼロであるような定数関数とする。
関数列 f n = χ [ n , ∞ ) {\displaystyle f_{n}=\chi _{[n,\infty )}} は f へと局所的に測度収束するが、大域的には測度収束しない。
k = ⌊ log 2  n ⌋ {\displaystyle k=\lfloor \log _{2}n\rfloor } とし、 j = n − 2 k {\displaystyle j=n-2^{k}} とした関数列 f n = χ [ j 2 k , j + 1 2 k ] {\displaystyle f_{n}=\chi _{[{\frac {j}{2^{k}}},{\frac {j+1}{2^{k}}}]}} (この初めの五つの項は χ [ 0 , 1 ] , χ [ 0 , 1 2 ] , χ [ 1 2 , 1 ] , χ [ 0 , 1 4 ] , χ [ 1 4 , 1 2 ] {\displaystyle \chi _{\left[0,1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{2}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{2}},1\right]},\;\chi _{\left[0,{\frac {1}{4}}\right]},\;\chi _{\left[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right]}} である)は、f へと局所的に測度収束する。
f , f n ( n ∈ N ) : X → R {\displaystyle f,f_{n}\ (n\in \mathbb {N} ):X\to \mathbb {R} } を、測度空間 (X,Σ,μ) 上の可測関数とする。関数列 (fn) が f へと大域的に測度収束するとは、すべての ε > 0 に対して
lim n → ∞ μ ( { x ∈ X : | f ( x ) − f n ( x ) | ≥ ε } ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in X:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0}
が成立することを言う。また、同様の関数列が f へと局所的に測度収束するとは、すべての ε > 0 および μ ( F ) < ∞ {\displaystyle \mu (F)<\infty } であるようなすべての F ∈ Σ {\displaystyle F\in \Sigma } に対して
lim n → ∞ μ ( { x ∈ F : | f ( x ) − f n ( x ) | ≥ ε } ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in F:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0}
が成立することを言う。
測度収束という語は、人によって、上述の大域的あるいは局所的のいずれかの場合に対して用いられる。