セルバーグゼータ函数
ここに p は素な合同類全体を渡り、 N(p) は合同類 p のノルムで、p のより大きい固有値の二乗である。
有限領域を持つ双曲曲面に対して、セルバーグゼータ函数が付帯している。この函数は複素平面上の有理型函数である。このゼータ函数は、曲面上の閉じた測地線の言葉で定義される。
セルバーグゼータ函数 Z(s) のゼロ点と極は、曲面のスペクトルのデータの言葉で記述することができる。
ゼロ点は次のような点である。
固有値 s 0 ( 1 − s 0 ) {\displaystyle s_{0}(1-s_{0})} を持つ全てのカスプ形式に対し、点 s 0 {\displaystyle s_{0}} にゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、対応する固有空間の次元に等しい。(カスプ形式とは、定数項がゼロのフーリエ展開を持つラプラス・ベルトラミ作用素の固有函数である。)
ゼータ函数は散乱行列 φ ( s ) {\displaystyle \phi (s)} の行列式の全ての極でゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、散乱行列の対応する極のオーダーに等しい。
ゼータ函数は、 1 / 2 − N {\displaystyle 1/2-\mathbb {N} } で極をもち、点 − N {\displaystyle -\mathbb {N} } で、極、もしくはゼロ点を持つ。
伊原のゼータ函数は、セルバーグゼータ函数の p-進類似(グラフ理論的な類似)と考えられている。