アインシュタインの縮約記法
4 次元空間におけるベクトル a と bμ (μ = 1, 2, 3, 4) の内積を記すときには、a bμ と記述される。これは、具体的に書けば
a μ b μ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 {\displaystyle a^{\mu }b_{\mu }=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}}
を意味することになる。
計量 (metric) が gμν (μ, ν = 0, 1, 2, 3) として表される曲がった時空においては、ベクトルの内積は
a μ b μ = g μ ν a μ b ν = ∑ μ , ν = 0 3 g μ ν a μ b ν {\displaystyle a^{\mu }b_{\mu }=g_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu }=\sum _{\mu ,\nu =0}^{3}g_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu }}
と記述される。最後の式は 4 次元の場合の縮約を、和の形で書いたものである。
特に特殊相対性理論や場の量子論で標準的に用いられるミンコフスキー空間での内積は、計量を ημν = diag(1, −1, −1, −1) とするとき
a μ b μ = a 0 b 0 − a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 {\displaystyle a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}}
と記述される(宇宙論などでは、符号を逆に取る流儀もある)。