被覆空間
連結な被覆空間が単連結のとき、普遍被覆(universal cover)という。普遍被覆の名称は、以下の普遍性という重要な性質に由来する。写像 q : D → X を X の普遍被覆とし、写像 p : C → X を X の任意の被覆とし、さらに、被覆空間 C が連結とすると、被覆写像 f : D → C が存在し、p o f = q となる。このことは、
「X の普遍被覆は、すべての X の連結な被覆を被覆する」
と言うことができる。
写像 f は、以下の意味で一意的である。x ∈ X を固定し、d ∈ D に対し q (d) = x で、c ∈ C に対し p (c) = x とすると、一意な被覆写像 f : D → C が存在し、p o f = q、かつ f (d) = c となる。
X が普遍被覆をもつならば、普遍被覆は本質的に一意である。q1 : D1 → X と q2 : D2 → X が X の 2つの普遍被覆とすると、同相写像 f : D1 → D2 が存在し、q2 o f = q1 となる。
空間 X が、弧状連結で、局所弧状連結であり、半局所単連結であるとき、そのときに限り、普遍被覆を持つ。X の普遍被覆は、X の経路の空間から構成することができる。
上に示した R → S は普遍被覆の例である。四元数と空間回転(英語版)(quaternions and spatial rotation)に示されている四元数から三次元回転群への写像 S → SO(3) も、普遍被覆である。