余弦定理
( ∵ cos  β cos  γ − sin  β sin  γ = cos  ( β + γ ) = cos  ( π − α ) = − cos  α ) {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=\left(b\cos \gamma +c\cos \beta \right)^{2}\\&=b^{2}\cos ^{2}\gamma +2bc\cos \gamma \cos \beta +c^{2}\cos ^{2}\beta \\&=b^{2}(1-\sin ^{2}\gamma )+2bc\cos \gamma \cos \beta +c^{2}(1-\sin ^{2}\beta )\\&(\because \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =\cos ^{2}\beta +\sin ^{2}\beta =1)\\&=-(b^{2}\sin ^{2}\gamma +c^{2}\sin ^{2}\beta )+b^{2}+c^{2}+2bc\cos \beta \cos \gamma \\&=-(b\sin \gamma -c\sin \beta )^{2}-2bc\sin \gamma \sin \beta +b^{2}+c^{2}+2bc\cos \beta \cos \gamma \\&=-0^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc(\cos \beta \cos \gamma -\sin \beta \sin \gamma )\\&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha .\\&(\because \cos \beta \cos \gamma -\sin \beta \sin \gamma =\cos(\beta +\gamma )=\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha )\end{aligned}}}
であり第二余弦定理となる。
a > 0 に注意して逆の変形をすれば、第二余弦定理から第一余弦定理を得る。
a sin  α = b sin  β = c sin  γ ( ∵ 1 ) = b cos  γ sin  β cos  γ = c cos  β sin  γ cos  β = b cos  γ + c cos  β sin  β cos  γ + sin  γ cos  β ( ∵ 2 ) = b cos  γ + c cos  β sin  ( β + γ ) ( ∵ 3 ) = b cos  γ + c cos  β sin  ( π − α ) ( ∵ α + β + γ = π ) = b cos  γ + c cos  β sin  α {\displaystyle {\begin{aligned}{a \over \sin \alpha }&={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }\qquad (\because {\text{1}}\quad )\\&={b\cos \gamma \over \sin \beta \cos \gamma }={c\cos \beta \over \sin \gamma \cos \beta }\\&={b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \beta }\qquad (\because {\text{2}}\quad )\\&={b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin(\beta +\gamma )}\qquad (\because {\text{3}}\quad )\\&={b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin(\pi -\alpha )}\qquad (\because \alpha +\beta +\gamma =\pi )\\&={b\cos \gamma +c\cos \beta \over \sin \alpha }\end{aligned}}}
である。したがって、辺々 sin  α {\displaystyle \sin \alpha } を乗じて
a = b cos  γ + c cos  β {\displaystyle a=b\cos \gamma +c\cos \beta }
が得られる。
逆に、第一余弦定理を仮定して、正弦定理のうち外接円の半径との関係を除く部分を導出することが、この証明を逆にたどることでできる。