モジュラリティ
上記のような方法によるランダムな配置において、リンクの一方に gi 内のノードの「手」が選ばれる確率は、以下のように書ける。
a i = ∑ r ∈ g i k r 2 M = ∑ r ∈ g i ∑ s A r s 2 M = ∑ j ∑ r ∈ g i ∑ s ∈ g j A r s 2 M = ∑ j e i j {\displaystyle a_{i}=\sum _{r\in g_{i}}{\frac {k_{r}}{2M}}=\sum _{r\in g_{i}}\sum _{s}{\frac {A_{rs}}{2M}}=\sum _{j}\sum _{r\in g_{i}}\sum _{s\in g_{j}}{\frac {A_{rs}}{2M}}=\sum _{j}e_{ij}}
これは、少なくとも一方が gi 内のノードに繋がるリンク数の、全リンク数に占める割合の期待値である。リンクの両端が gi 内のノードである場合の、すなわち eii の期待値は ai の2乗となる。
よって、モジュラリティは以下のように定義される。
Q = ∑ i = 1 C ( e i i − a i 2 ) {\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{C}\left(e_{ii}-a_{i}^{2}\right)}