頂垂線 (三角形)
三角形の外接半径を R とすれば
が成り立つ。 さらに外接半径 R とともに、三角形の内接半径を r, 傍接半径を ra, rb, rc とすれば、頂点から垂心への距離に関して以下の関係
が満足される。
任意の頂垂線、例えば AD を延長して外接円と交わる点を P とし、外接円の弦 AP を作れば、その足 D は線分 HP を二等分する(すなわち H D = D P {\textstyle HD=DP} )。
三角形の一辺とほかの二辺の延長とに外接 (externally tangent) する任意の抛物線の準線(英語版)は、その三角形の垂心を通過する
三角形の垂心を通る外接円錐曲線(英語版)は直角双曲線である。
三角形 ABC が斜三角形(英語版)(直角を含まない)ならば、もとの三角形の垂心に関する垂足三角形(英語版) (pedal triangle) を、単にその三角形の垂足三角形 (orthic triangle, altitude triangle) と呼ぶ。つまり、斜三角形のすべての頂垂線の足の成す三角形 DEF が垂足三角形である。垂足三角形 DEF の内心は、もとの三角形 ABC の垂心に一致する。
垂足三角形の頂点に対する三線座標系(英語版)は以下で与えられる:
D = 0 : sec B : sec C,
E = sec A : 0 : sec C,
F = sec A : sec B : 0.
垂足三角形の延長辺(英語版)は、その基準三角形の対延長辺と三つの共線点で交わる。
任意の鋭角三角形において、周長最小となる内接三角形はその垂足三角形である。 これは1775年に提示されたファニャノの問題(英語版)の解である。垂足三角形の辺は、その外接円のもとの三角形の頂点における接線に平行である。