部分積分
作用素論における部分積分の利用例の1つとして、 − Δ {\textstyle -\Delta } ( Δ {\textstyle \Delta } は ラプラス作用素) が L 2 {\textstyle L^{2}} において正値作用素であるということが挙げられる(L 空間を参照)。
f が滑らかでコンパクトな台を持つならば、部分積分を用いることにより以下の結果を得る。
⟨ − Δ f , f ⟩ L 2 = − ∫ − ∞ ∞ f ′′ ( x ) f ( x ) ̄ d x = − [ f ′ ( x ) f ( x ) ̄ ] − ∞ ∞ + ∫ − ∞ ∞ f ′ ( x ) f ′ ( x ) ̄ d x = ∫ − ∞ ∞ | f ′ ( x ) | 2 d x ≥ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}}
部分積分を ∫ v d u {\textstyle \int v\,du} に対して再帰的に適用することにより、次の公式を得る。
∫ u v = u v 1 − u ′ v 2 + u ′′ v 3 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 u ( n − 1 ) v n + ( − 1 ) n ∫ u ( n ) v n . {\displaystyle \int uv=uv_{1}-u'v_{2}+u''v_{3}-\cdots +(-1)^{n-1}\ u^{(n-1)}\ v_{n}+(-1)^{n}\int {u^{(n)}v_{n}}.\!}
ここで、 u ′ {\textstyle u'} は u {\textstyle u} の1次導関数、 u ′′ {\textstyle u''} は2次導関数であり、 u ( n ) {\textstyle u^{(n)}} は n 次導関数を表す。
{\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}}
この結果を繰り返し適用することによって、一般の k に対する結果が得られる。同様の手法は導関数のラプラス変換を求める際にも利用出来る。