単葉関数
(1) D で f ( z ) {\displaystyle f(z)} が単葉正則であるが、 f ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)} の零点が存在すると仮定して矛盾を導く。
まず、 f ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)} の零点の内の一つを任意に選んで z 0 {\displaystyle z_{0}} とする。 z 0 {\displaystyle z_{0}} の近傍 U を、その閉包 U ̄ {\displaystyle {\overline {U}}} がコンパクトで U ̄ ⊂ D {\displaystyle {\overline {U}}\subset D} となるように選ぶ。
この仮定の下では、 U ̄ {\displaystyle {\overline {U}}} で f ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)} の零点の個数は有限である。なぜなら、零点が無限個存在するとすれば、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理により U ̄ {\displaystyle {\overline {U}}} において全ての零点の集合は少なくとも1個の集積点を持つことになり、一致の定理から U で f ′ ( z ) = 0 {\displaystyle f'(z)=0} となり、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は単葉正則という仮定に反するからである。
これをεとする。 { gn(z) } は D ′ ̄ {\displaystyle {\overline {D'}}\ } で g (z) に一様収束するから、ある N ∈ N {\displaystyle \mathbb {N} } が存在して n ≥ N であれば |gn(z) − g (z) | < εとできる。
従って、 n が十分大きな自然数であれば、 ∂ D ′ {\displaystyle \partial D'\ } 上で |g (z) | > |gn (z) − g (z) | とでき、ルーシェの定理により D ′ {\displaystyle D'\ } での gn (z) と g (z) の零点の個数は一致するはずであるが、gn (z) は単葉関数であるから零点の個数は高々1であり(上記基本定理から単葉正則関数の微分は 0 にならないのでその零点の位数は1である)、一方 g (z) のそれはz1、z2 を含めて2以上であるから矛盾である。従って、 D で g (z) は定数でなければ単葉関数であることになる。