ホッジ双対
非退化な対称双線型形式(以下ではこれを内積とよぶ)を持つベクトル空間 V 上のホッジスター作用素(Hodge star operator)は、V の外積代数上の線型作用素であり、0 ≤ k ≤ n に対し、k-ベクトルを (n − k)-ベクトルに写すものである。
k-ベクトル上の内積 ⟨•, •⟩ は、V 上の内積から、 k-ベクトル α = α1 ∧ ... ∧ αk と β = β1 ∧ ... ∧ βk に対して、
⟨ α , β ⟩ = det ( ⟨ α i , β j ⟩ ) {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\det {\bigl (}\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle {\bigr )}}
と定め、これを双線形に拡張することで得られる。
n-ベクトル の空間は 1 次元で、したがって単位n ベクトル ω には 2 つの取り方がある。このどちらかを選ぶことにより V 上の向き付けが決まる。
ホッジスター作用素は以下の性質をもち、またこれにより決定される。2つの k-ベクトル α, β が与えられたとき、
α ∧ ( ⋆ β ) = ⟨ α , β ⟩ ω {\displaystyle \alpha \wedge (\star \beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \omega }
である。