代数体
n 次の代数体 K に含まれる代数的整数全体の集合を O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} とすると、以下のことが成立する。
O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} は整域である。このことより、 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} を K の整数環 (ring of integers) という。
O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} は、有理整数環上ランク n の自由加群である。つまり、 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} の元、 ω 1 , ... , ω n {\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\ \omega _{n}} が存在して、任意の O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} の元 α は、以下の形に一意的に表される。 α = a 1 ω 1 + ⋯ + a n ω n {\displaystyle \alpha =a_{1}\omega _{1}+\cdots +a_{n}\omega _{n}} 。但し、 a 1 , ... , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,\ a_{n}} は有理整数。上記 { ω 1 , .
Q ( − 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})} の整数環、 Z [ − 1 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} のことである。
O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} の任意のイデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} に対して、剰余環 O K / a {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}} は有限環である。このとき、剰余環 O K / a {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}} の元の個数を、イデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} のノルム (norm)といい、 N a {\displaystyle N{\mathfrak {a}}} で表す。
ここでは、代数体上のイデアルに特化した内容を述べる。
v {\displaystyle v} を素点の1つとし、 | ⋅ | v {\displaystyle |\cdot |_{v}} を v {\displaystyle v} に含まれる正規付値とする。 このとき、K の 0 でない任意の元 α に対して
∏ v | α | v = 1 {\displaystyle \prod _{v}|\alpha |_{v}=1}
が成立する。但し、積は K の素点全てを動くものとする。
つまり、任意の代数体に対して、付値の集合を正規付値全体の集合とすれば、積公式が成立する。