解析的整数論
したがって、円の場合、ある δ < 1 {\displaystyle \delta <1} に対して O ( r δ ) {\displaystyle O(r^{\delta })} の形の誤差境界(英語版)(error bound)を得ることは、非常に重要な躍進である。ここへ最初に到達したのは、1906年のヴァーツラフ・シェルピンスキーで、彼は E ( r ) = O ( r 2 / 3 ) {\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})} であることを示した。1915年、ハーディとエドムント・ランダウは、 E ( r ) = O ( r 1 / 2 ) {\displaystyle E(r)=O(r^{1/2})} とすることはできないことを示した。これ以後、固定された ε > 0 {\displaystyle \epsilon >0} に対して E ( r ) ≤ C ( ε ) r 1 / 2 + ε {\displaystyle E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }} となるような実数 C ( ε ) {\displaystyle C(\epsilon )} が存在することを示すことが目標となった。
2000年、マルチン・ハックスレイ(英語版)(Martin Huxley)は、 で E ( r ) = O ( r 131 / 208 ) {\displaystyle E(r)=O(r^{131/208})} であることを示した。この結果は出版された中では最良の結果である。
( ∑ n = 1 ∞ a n n − s ) ( ∑ n = 1 ∞ b n n − s ) = ∑ n = 1 ∞ ( ∑ k l = n a k b l ) n − s ; {\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}
においても発揮される。したがって、2つのディリクレ級数の積の係数は、元の係数の乗法的畳み込み(英語版)(multiplicative convolution)である。さらに、部分和やタウバー型定理(Tauberian theorem)のような手法は、ディリクレ級数の解析的情報から係数についての情報を得ることに使うことができる。このように、乗法的函数の見積もりに共通する方法は、ディリクレ級数として(もしくは対合の等式を使い単純なディリクレ級数の積として)表現し、複素函数としてディリクレ級数を調べ、元の函数についての情報へ解析的な情報を書き換えるという方法である。