複比
アーサー・ケイリーとフェリックス・クラインは、複比の非ユークリッド幾何学への適用を発見した。実射影平面の正則円錐曲線Cが与えられると、射影群G = PGL(3, R)内のそのスタビライザーGCはCの内部の点に推移的に作用する。ただし、点のペアに対するGCの作用には不変条件がある。実際、そのような不変量はすべて、適切な複比の関数として表現できる。
これは、3つの共線上の点を3つの共線上の点に写す必要があるためである(これは、射影線の制限ではない)。したがって、n点の一意の不変量を提供する一般化交差比は存在しない。
共線性は、維持する必要がある点の構成の唯一の幾何学的特性ではない。例えば、 5つの点は円錐曲線を決定するが、6つの点は一般に円錐曲線上にないため、「点の6つ組が円錐曲線上にあるか否か」も射影不変量となる。一般化位置での点の軌道を調べることができる(「一般化位置」の直線では区別することと同等だが、より高い次元では、議論したように幾何学的な考慮が必要である)が、上記のように、これはより複雑で情報が少なくなる。
ただし、アベル・ヤコビ写像とシータ関数を用いた、種数が正のリーマン面への一般化が存在する。
複比の概念は、加法、乗法、反転の環演算にのみ依存する(ただし、特定の元の反転は環ではその限りではない)。複比へのひとつのアプローチは、指定された3点を 0、1、無限大 にするホモグラフィとして解釈することである。逆数に関する制限の下で、環上の射影直線による環操作を使用してそのような写像を生成することが可能である。 4 点の複比は、4点目でのこのホモグラフィの評価である。
座標z1, z2, z3, z4の実数直線上の4つの異なる点の複比は次の式で与えられる。
( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = ( z 3 − z 1 ) ( z 4 − z 2 ) ( z 3 − z 2 ) ( z 4 − z 1 ) . {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}}.}
また、2つの3点の分割比率の「複比」として記述することもできる。
( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = z 3 − z 1 z 3 − z 2 : z 4 − z 1 z 4 − z 2 . {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}}}:{\frac {z_{4}-z_{1}}{z_{4}-z_{2}}}.}
複比は通常、 z1, z2, z3, z4のいずれかが無限大 ( ∞ ) {\displaystyle (\infty )} の場合にも拡張される。