正準変換
質量m、角振動数ωの一次元調和振動子では、ハミルトニアンは
H ( q , p ) = 1 2 m p 2 + m ω 2 2 q 2 {\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2m}}p^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q^{2}}
で与えられる。母関数を
W 1 ( q , Q ) = 1 2 m ω q 2 cot  Q {\displaystyle W_{1}(q,Q)={\frac {1}{2}}m\omega q^{2}\operatorname {cot} {Q}}
で与えると、新旧の正準変数の間には
p = ∂ W 1 ∂ q = m ω q cot  Q {\displaystyle p={\frac {\partial W_{1}}{\partial q}}=m\omega q\operatorname {cot} {Q}}
∫ ⋯ ∫ γ ∏ i = 1 n d q i d p i = ∫ ⋯ ∫ Γ ∏ i = 1 n d Q i d P i {\displaystyle \int \cdots \int _{\gamma }\prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=\int \cdots \int _{\Gamma }\prod _{i=1}^{n}dQ_{i}dP_{i}}
が成り立つ。すなわち、領域γの体積は正準変換(q, p) →(Q, P) で不変に保たれる。
特に、時間発展は正準変換の特別な例であり、領域γ(t)の時間発展を考えると、リウヴィルの定理
∫ ⋯ ∫ γ ( t ) ∏ i = 1 n d q i d p i = c o n s t . {\displaystyle \int \cdots \int _{\gamma (t)}\prod _{i=1}^{n}dq_{i}dp_{i}=\operatorname {const.} }
が導かれる。
P i = P i ( q , p , t ) ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle P_{i}=P_{i}(q,p,t)\quad (i=1,\cdots ,n)}
が新たな正準変数となるとき、すなわち、新たなハミルトニアンK(Q, P, t)が存在して、
Q i ̇ = ∂ K ∂ P i {\displaystyle {\dot {Q_{i}}}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}}
P i ̇ = − ∂ K ∂ Q i {\displaystyle {\dot {P_{i}}}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}}
が成り立つとき、(q, p) →(Q, P) を正準変換という。 正準変換の下では、一般化座標と一般化運動量は互いに混ざり合い、等価な役割を果たす。
正準変換は次の性質を満たしており、群の構造を持つ。
恒等変換は正準変換である。
正準変換に対し、逆変換が存在し、逆変換も正準変換となる。
2つの正準変換の合成は正準変換である。
正準変換の合成は結合法則を満たす。