コーシー・ビネの公式
とする。ただし、δはクロネッカーのデルタ
δ ν μ = { 1 ( μ = ν ) 0 ( μ ≠ ν ) {\displaystyle \delta _{\nu }^{\mu }={\begin{cases}1&\quad (\mu =\nu )\\0&\quad (\mu \neq \nu )\end{cases}}}
である。 これをコーシー・ビネの公式に代入し、一般化されたクロネッカーのデルタ
A ≐ ( δ 1 i 1 ⋯ δ m i 1 ⋯ δ n i 1 ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ δ 1 i m ⋯ δ m i m ⋯ δ n i m ) , B ≐ ( δ j 1 1 ⋯ δ j m 1 ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 m ⋯ δ j m m ⋮ ⋱ ⋮ δ j 1 n ⋯ δ j m n ) ( i k ∈ [ n ] , j k ∈ [ n ] f o r k ∈ [ m ] ) {\displaystyle A\doteq {\begin{pmatrix}\delta _{1}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{m}^{i_{1}}&\cdots &\delta _{n}^{i_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{1}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{m}^{i_{m}}&\cdots &\delta _{n}^{i_{m}}\end{pmatrix}},\quad B\doteq {\begin{pmatrix}\delta _{j_{1}}^{1}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{m}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{j_{1}}^{n}&\cdots &\delta _{j_{m}}^{n}\end{pmatrix}}\quad (i_{k}\in [n],j_{k}\in [n]\mathrm {~for~} k\in [m])}
{\displaystyle {\begin{aligned}&\textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})={\begin{vmatrix}1&1\\3&1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1\\3&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&2\\1&-1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}3&1\\0&2\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1&2\\3&-1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}}\\&\qquad \qquad =(-2)\times (-2)+(-3)\times 6+(-7)\times 2=-28.\\\end{aligned}}}
となる。
(例3)m = 3, n = 3 の場合として、行列 A = ( 1 1 2 3 1 − 1 1 − 1 0 ) , B = ( 1 1 0 3 1 0 0 2 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\1&-1&0\\\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1&1&0\\3&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}}} を考える。