ヘンストック＝クルツヴァイル積分
∫ a + ∞ f ( x ) d x := lim b → + ∞ ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx:=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
のような無限区間に対する意味で広義のヘンストック=クルツヴァイル積分を考えることには意味がある。
かなりの種類の函数については、ヘンストック=クルツヴァイル積分がルベーグ積分よりも一般(より多くの函数を積分できる)というわけではない。例えば、 f が有界函数ならば、次の条件はどれも同値になる。
f はヘンストック=クルツヴァイル可積分である。
f はルベーグ可積分である。
f はルベーグ可測である。
一般に、任意のヘンストック=クルツヴァイル可積分函数はルベーグ可測であり、また f がルベーグ可積分であるための必要十分条件は f および |f| がともにヘンストック=クルツヴァイル可積分となることである。これは、ヘンストック=クルツヴァイル積分を、「非絶対可積分」版ルベーグ積分と看做すことができることを意味する。またこれから、ヘンストック=クルツヴァイル積分が単調収束定理の適当な(函数が非負であることを課さない)変形版を満たすことや、優収斂定理の適当な変形版(函数列 fn に対する支配条件を弱めて、適当な可積分函数 g, h で g ≤ fn ≤ h とできるとしたもの)を持たすことが導かれる。
f がリーマン可積分若しくはルベーグ可積分ならば、 f はヘンストック=クルツヴァイル積分可能であり、 f の積分値はいずれの積分の意味でとっても一致する。重要なヘイクの定理は、
∫ a b f ( x ) d x = lim c → b − ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{c\to b-}\int _{a}^{c}f(x)\,dx}
が等式のいずれかの辺が存在する限り成立すること(およびこれと対称に、下の限界についての上からの極限をとったものも成り立つこと)を述べるものである。これはつまり、函数 f が「広義ヘンストック=クルツヴァイル可積分」ならば、 f は狭義ヘンストック=クルツヴァイル可積分であることを意味する。特に、
∫ 0 1 sin  ( 1 / x ) x d x {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\sin(1/x)}{x}}\,dx}
のような広義リーマン積分またはルベーグ積分はそのままヘンストック=クルツヴァイル積分にもなっているのである。したがって、有限区間上(の非有界函数に対する意味で)の「広義ヘンストック=クルツヴァイル積分」を考えることには意味がないことが分かるが、しかし