双対錐と極錐
例えばユークリッド空間 R などの、位相的双対 X* を備える線型空間 X に対し、その部分集合 C の双対錐 C* は次の集合で定義される。
C ∗ = { y ∈ X ∗ : ⟨ y , x ⟩ ≥ 0 ∀ x ∈ C } {\displaystyle C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}}
ここで ⟨y, x⟩ は X と X* の間の双対組、すなわち ⟨y, x⟩ = y(x) である。
C が凸集合や線型錐でない場合でも、C* は常に凸錐である。
代替的に、多くの研究者は実ヒルベルト空間(ユークリッド内積を備える R など)の文脈において双対錐を定義している。それは次の集合で定義され、しばしば内的双対錐(internal dual cone)と呼ばれる。
C internal ∗ := { y ∈ X : ⟨ y , x ⟩ ≥ 0 ∀ x ∈ C } .