多冪数
173 ⋯ {\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\cdots }
となる(Golomb, 1970)。
ペル方程式 x − 8y = 1 は無数に多くの自然数解を持つから、無数に多くの連続する多冪数が存在する(Golomb, 1970)。
奇数や 4 の倍数は多冪数、特に平方数の差で表されるが、ゴロムは
2 = 3 − 5
10 = 13 − 3
18 = 19 − 7 = 3(3 − 5)
など、多冪数の差として表される単偶数の例を示し、6 はそのように表すことはできず、他にも多冪数の差として表すことができない無数に多くの数が存在すると予想したが、Narkiewicz は
6 = 57 − 463
など、6 は多冪数の差として無数に多くの方法で表されることを示し、McDaniel は全ての整数は互いに素な多冪数の差として無数に多くの方法で表されることを示した(McDaniel, 1982)。
エルデシュは十分大きな全ての整数は高々 3 つの多冪数の和として表されると予想し、ロジャー・ヒース=ブラウン(英語版) によって証明された(Heath-Brown, 1987)。