ロジスティック写像
以上3つの厳密解を考察すると、いずれの解も
という形になっている。ここで、f は何かしらの適当な関数、f はその逆関数を意味する。a = 4 では f (x) = cos x、a = 2 では f (x) = e 、a = −2 では f (x) = 2 cos (1/3(π − √3 x)) である。ただし、任意の a について一般的にロジスティック写像の厳密解を表すことができるような、数学的に標準的な関数の f は存在しない。
メイもジョージ・オスター(英語版)とともにそのスケーリング則に気づいていたが、深く追うことまではできなかった。ファイゲンバウムは、式 (4-1) で示した正弦写像でも同じ定数が現れることを発見し、このスケーリング則にはロジスティック写像だけに留まらない普遍性があることを知った。1980年には、この結果に対する厳密な証明がピエール・コレ(英語版)、ジャン=ピエール・エックマン(英語版)、オスカー・ランフォード(英語版)らによって与えられた。ファイゲンバウムとほぼ同時期あるいはその後、物理学者たちによって実現象に同じ周期倍化カスケードとファイゲンバウム定数が発見され、あくまでも数学的現象と見られていたカオスは物理学方面にも大きな衝撃を与えることとなる。
ただし、カオス流行以前の研究成果が軽視され、それらの研究成果の多くまでもがロジスティック写像などを用いた再発見者の功績扱いされる風潮への批判もある。メイ自身も先行研究があったことを尊重した上で、自身の功績は「2次写像の奇怪な数学的挙動を独立に最初に発見」したのではなく、自分は「科学におけるその広範な意味づけを最後に強調した研究者たち」の一人であると位置付けている。数学者のロバート・デバニー(英語版)は、自著でロジスティック写像の解説に入る前に次のように語っている。
これにより、単に2次関数 fλ(x) = λx(1 − x)(これもまたロジスティック写像と呼ばれる)を反復すれば、最初の個体数 x0 の運命が予測できるようになるというわけだ。簡単な話のように聞こえるだろうが、あえて言い添えておくならば、この単純な2次関数の反復が完全に理解できるようになったのは、何百人もの数学者の努力の末、やっと1990年代の終わり頃になってからのことなのである。
単純に言えば、ロジスティック写像とは次のような2次関数である。
式中の a は定数を意味し、パラメータと呼ばれる。a 以外には、μ や r や λ をパラメータの記号に使うこともある。
式 (1-1) に対して、まず定数 a の具体的な数値を決める。さらに変数 x の値を適当に決め、式から y の値を計算する。そして、得られた y の値を新しい x の値とみなして式に代入し、新しい y の値を計算する。このような計算を繰り返すことが、ロジスティック写像を使って行うことである。例として、a を 2、最初の x を 0.01 としたときの繰り返し計算を5回目まで行うと、以下の表のようになる。
ロジスティック写像自体は中学校で習うような何の変哲もない2次関数であり、計算自体も中学生でも可能である。繰り返しの計算も電卓ででき、コンピュータの表計算ソフトを使えばより簡単にできる。
ロジスティック写像は、漸化式あるいは差分方程式の形式で次のようにも書き表される。
x0 の値を決めると、この差分方程式にしたがい、その後の変数の値 x1, x2, x3,... が順次に計算できる。このような数列を作る差分方程式を、力学系(ダイナミカルシステム)とも呼ぶ。力学系とは、時間とともに状態が変化する系(システム)のことで、とりわけ現在の状態が決まればその後の状態も一意的に決まる系を指す。差分方程式 (1-2) のような形式で定義される力学系はとくに離散力学系と呼ばれる。
力学系的な視点では、変数 xn の下付き添え字 n を時刻や時間と呼ぶ。数列の最初の値 x0 は初期値と呼ばれる。変数の時間変化の様子を、明確な専門用語ではないが振る舞いと呼ぶ。