時間微分
d d t A ( t ) = 1 i ħ [ A ( t ) , H ] + ∂ ∂ t A ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]+{\frac {\partial }{\partial t}}A(t)}
と表される。この方程式はハイゼンベルクの運動方程式と呼ばれる。ハイゼンベルク方程式は、ハイゼンベルク描像における物理量の時間発展を与える量子力学の基本方程式である。
その他生物学では、ロジスティック方程式 などにこの時間微分が用いられる。
ある個体群において、時刻 t に個体数が N 体が存在しているとする。実際の生物個体数は不連続な値(整数)をとるものであるが、数学的扱いを簡便にするために、個体数は連続な値(実数)をとるものとする(1.5体といったような値も含める)ことがしばしば行われる。実際の生物でいえば、個体数が多かったり各個体の世代が重なったりしていれば、このような近似も妥当性を帯びてくる。個体数を連続な値とすれば、個体数の増加率は N の時間微分 dN/dt で表すことができる。
個体数について、ある個体の出生と死亡という2つの要因のみによって個体数は増減する。個体群の出生率が死亡率を上回っていれば、個体数は増え続けるということになる。さらに簡略化するために出生率と死亡率を常に一定であるとする。個体数当たりの出生率を b、個体数当たりの死亡率を d とすれば、個体数の増加率は差し引きした b − d に個体数 N を掛け合わせた値となる。よって個体数増加率 dN/dt は
d N d t = m N {\displaystyle {\dfrac {dN}{dt}}=mN}
と表される。
一般の導関数と同様に、時間微分は様々な微分の記法によって表されるが、物理学では慣習的に、時間微分を表す記法としてニュートンの記法を用いることが好まれる。
ニュートンの記法とは、ある関数の導関数を元の関数の上にドットをつけることで表す方法のことである。
例えば q の時間微分を ·q、さらに時間微分したものは ··q と表される。