随伴関手
Dの各対象Yに対して、 η Y = Φ Y , F Y ( 1 F Y ) ∈ h o m D ( Y , G F Y ) {\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)} とする。ここで、 1 F Y ∈ h o m C ( F Y , F Y ) {\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)} は恒等射である。
Φが全単射で自然であることから、各 ( G X , ε X ) {\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})} はFからXへの普遍射であり、各 ( F Y , η Y ) {\displaystyle (FY,\eta _{Y})} はYからGへの普遍射である。
Φが自然であることから、εとηの普遍性が導かれ、各射 f: FY → X と g: Y → GX に対して、2つの公式
CとDを前加法圏とし、F : C ← Dを加法的関手とし、G : C → DがFの右随伴であるとすると、Gも加法的関手であり、hom集合の全単射
Φ Y , X : h o m C ( F Y , X ) ≅ h o m D ( Y , G X ) {\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \mathrm {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}
は、実は、アーベル群の同型である。双対的に、Gが加法的で、FがGの左随伴であるとすると、Fもまた加法的である。
さらに、CとDを加法圏(つまり、前加法圏であり有限双積をもつ)とすると、任意の随伴関手の対は自動的に加法的となる。
このことを使うと、以下に挙げる復元が可能である
変換ε、η、Φは以下の等式で関連付けられる。
f = Φ Y , X − 1 ( g ) = ε X ∘ F ( g ) ∈ h o m C ( F ( Y ) , X ) g = Φ Y , X ( f ) = G ( f ) ∘ η Y ∈ h o m D ( Y , G ( X ) ) Φ G X , X − 1 ( 1 G X ) = ε X ∈ h o m C ( F G ( X ) , X ) Φ Y , F Y ( 1 F Y ) = η Y ∈ h o m D ( Y , G F ( Y ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}f=\Phi _{Y,X}^{-1}(g)&=\varepsilon _{X}\circ F(g)&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(F(Y),X)\\g=\Phi _{Y,X}(f)&=G(f)\circ \eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,G(X))\\\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})&=\varepsilon _{X}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{C}(FG(X),X)\\\Phi _{Y,FY}(1_{FY})&=\eta _{Y}&\in &\,\,\mathrm {hom} _{D}(Y,GF(Y))\\\end{aligned}}}
積、引き戻し、等化子、核はどれも圏論的な極限の例である。全ての極限関手は対応する対角関手(考えている極限の種類から決まる)の右随伴である。随伴の余単位は極限対象からの(つまり、関手圏における、考えている極限に対応する対角関手からの)定義射を与える。以下に個々の例を示す。
積 関手Π : Grp → Grpを各対(X1, X2)に直積群X1×X2を対応させるものとし、関手Δ : Grp ← Grp を各群Xに積圏Grpの対象(X, X)を対応させる対対角関手とする。直積群の普遍性からΠはΔの右随伴であることが分かる。この随伴のcounitは極限を定めるX1×X2からX1 と X2への2つの射影の対である射である。unitは群XからX1×X2の中への対角包含射(xを(x, x)に写す)である。
集合のデカルト積や環の直積や位相空間の直積なども同じである。