アフィン群
一般線型群 GL(V) の任意の部分群 G が与えられたとき、記号を流用してしばしば Aff(G) と表されるアフィン群を、
Aff ( G ) := V ⋊ G {\displaystyle {\text{Aff}}(G):=V\rtimes G}
と定義することができる。もっと一般かつ抽象的に、任意の群 G と線型空間 V を表現空間とする G の表現 ρ: G → GL(V) が与えられたとき対応するアフィン群
V ⋊ ρ G {\displaystyle V\rtimes _{\rho }G}
がえられるこうして得られたアフィン群は「線型表現による群の拡大」であり、上述のごとく短完全列
1 → V → V ⋊ ρ G → G → 1 {\displaystyle 1\to V\to V\rtimes _{\rho }G\to G\to 1}
が存在する。