コピュラ (統計学)
ある関数 φ を用いて次のように表せるコピュラをアルキメデスコピュラ (Archimediean copula) という。
C(u, v) = φ(φ(u) + φ(v))
関数 φ は [0, 1] から [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} への連続な単調減少関数であって φ(1) = 0 を満たすものである。この φ を ジェネレーター (generator) という。
上記の W や Π もアルキメデスコピュラである(ジェネレーターはそれぞれ 1 - t および - ln t)。なお、M はアルキメデスコピュラではない。
Π(u, v) = uv は積コピュラと呼ばれる。
確率変数 X と Y がそれぞれ確率分布関数 F および G に従い、また X と Y の結合分布関数を H とする。このときスクラーの定理によって H(x, y) = C(F(x), G(y)) をみたすコピュラ C が存在することとなるが、X と Y が互いに独立であることと、C = Π であることとは同値となる。この意味で積コピュラを独立コピュラと呼ぶこともある。
n 次元単位立方体 [0, 1] から単位区間 [0, 1] への関数 C: [0, 1] → [0, 1] が次の性質をもつとき、C を n 次元コピュラ(または n コピュラ)という。
u ∈ [ 0 , 1 ] n {\displaystyle \mathbf {u} \in [0,1]^{n}} のうち少なくとも 1 つの要素が 0 であるとき、すなわち u = (u1, ..., ui-1, 0, ui+1, ..., un); i = 1, 2, ..., n であるとき C(u) = 0
u ∈ [ 0 , 1 ] n {\displaystyle \mathbf {u} \in [0,1]^{n}} が 1 つの要素を除いてすべて 1 であるとき、すなわち u = (1, ..., 1, ui, 1, ..., 1); i = 1, 2, ..., n であるとき C(u) = ui
C(u) は n-increasing である、すなわち n 次元単位立方体内の任意の直方体 B = × i = 1 n [ x i , y i ] ⊆ [ 0 , 1 ] n {\displaystyle B=\times _{i=1}^{n}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{n}} について