多重集合
非負整数 n を単項式 x で表すと、同様にして非負整数からなる有限多重集合を多項式 f(x) で表すことができる。
これには累積母函数 g(t) = log f(e) を考えるのが簡便である。
多重集合の濃度は e = f(1).
累積母函数の導函数は g ′ ( t ) = f ( e t ) − 1 f ′ ( e t ) e t {\displaystyle g'(t)=f(e^{t})^{-1}f'(e^{t})e^{t}} . 多重集合の平均値 μ = g ′ ( 0 ) = f ( 1 ) − 1 f ′ ( 1 ) {\displaystyle \mu =g'(0)=f(1)^{-1}f'(1)} . 多重集合の分散 σ 2 = g ′′ ( 0 ) {\displaystyle \sigma ^{2}=g''(0)} .
多重集合 (A, mA) に対し、台集合 A の部分集合 B を台集合とする多重集合 (B, mB) で B の各元 b の重複度について
m B ( b ) ≤ m A ( b ) {\displaystyle m_{B}(b)\leq m_{A}(b)}
が成り立つとき、多重集合 (B, mB) は多重集合 (A, mA) の部分多重集合であるといい、(B, mB) ⊂ (A, mA) で表す。
また、多重集合に対する和、差、積、対称差などの概念が、通常の集合に関する和、差、積、対称差などに従って定義される。例えば、多重集合 A, B の和 A ∪ B は包含関係 ⊂ を順序とする上限、積 A ∩ B は ⊂ に関する下限である。多重集合の演算は台集合に対しては通常の集合演算として作用するが、その元の重複度については多少の注意を要する。
集合 X の(全ての元を各個に区別して)各元の重複度を 1 としたときの重複度関数は集合 X の指示関数である。有限集合の指示関数を数え上げ測度で積分したものは集合の基数をあたえるから、多重集合の元 a の重複度は、同じ値 a を持つ元を全てあわせた集合の指示関数の積分で得られる。
↑ Alkhazaleh, S.; Salleh, A. R.; Hassan, N. (2011). “Soft Multisets Theory”. Applied Mathematical Sciences 5 (72): 3561–3573.
↑ Alkhazaleh, S.; Salleh, A. R. (2012). “Fuzzy Soft Multiset Theory”. Abstract and Applied Analysis.
↑ Burgin, Mark (1990). “Theory of Named Sets as a Foundational Basis for Mathematics”. Structures in Mathematical Theories. San Sebastian. pp. 417–420. http://www.blogg.org/blog-30140-date-2005-10-26.html
↑ Burgin, Mark (1992). “On the concept of a multiset in cybernetics”. Cybernetics and System Analysis 3: 165–167.
↑ Burgin, Mark (2004). "Unified Foundations of Mathematics". arXiv:math/0403186。
↑ Burgin, Mark (2011). Theory of Named Sets. Mathematics Research Developments. Nova Science Pub Inc. ISBN 978-1-61122-788-8