自由境界問題
自由境界問題の他の有名な例として、古典的なポアソン方程式と密接な関連がある、障害問題(英語版)が挙げられる。微分方程式
− ∇ 2 u = f , u | ∂ Ω = g {\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=g}
の解は、変分原理を満たす。すなわちその解は、汎関数
E [ u ] = 1 2 ∫ Ω | ∇ u | 2 d x − ∫ Ω f u d x {\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }fu\,\mathrm {d} x}
を、境界上で g の値を取るようなすべての関数 u について、最小化するものである。障害問題においては、次のような付加的な制限が課される:ある与えられた関数 φ に対して、
u ≤ φ {\displaystyle u\leq \varphi \,}
が Ω 内で成立しているものとする。
氷の融解は、温度場 T に対するステファン問題で、それは次のように定式化される。T > 0 の時に現れるような相 1 と、T < 0 の時に現れるような相 2 の二つの相からなる領域 Ω を占めるようなある媒質を考える。その二つの相の温度拡散率はそれぞれ α1 および α2 とする。例えば、水の温度拡散率は 1.4×10 m/s であり、氷の温度拡散率は 1.335×10 m/s である。
単一の相からなる領域において、温度は熱方程式によって決定づけられるものとする。T > 0 の領域においては、
∂ T ∂ t = ∇ ⋅ ( α 1 ∇ T ) + Q {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\nabla \cdot (\alpha _{1}\nabla T)+Q}
によって温度が決定され、T < 0 の領域においては、
∂ T ∂ t = ∇ ⋅ ( α 2 ∇ T ) + Q {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\nabla \cdot (\alpha _{2}\nabla T)+Q}
で決定される。これは、Ω の(既知の)境界上の適切な条件の下で考えられるものである。ここで Ω は熱のシンクあるいはソースを表す。
時刻 t において T = 0 であるような表面(surface)を Γt と表す。