ワイエルシュトラスの因数分解定理
数 z 0 {\displaystyle z_{0}} が数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} の中にちょうど m 回あれば、函数 f は z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} に多重度 m の零点を持つ。
証明: f ( z ) {\displaystyle f(z)} の対数を取ると次のようになる。
log  f ( z ) = ∑ n = 1 ∞ log  E n ( z / a n ) = ∑ n = 1 ∞ ( log  ( 1 − z / a n ) + h n ( z / a n ) ) {\displaystyle \log f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\log E_{n}(z/a_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }(\log(1-z/a_{n})+h_{n}(z/a_{n}))}
前節で示したように { a n } n ∈ N {\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} が集積点を持たないことは、任意の正数 R {\displaystyle R} に対して自然数 N {\displaystyle N} が決まり、 n > N {\displaystyle n>N} であれば | a n | > R {\displaystyle |a_{n}|>R} となるという条件と同値である。