実解析的アイゼンシュタイン級数
実解析的アイゼンシュタイン級数を変数 z の函数と見なすと、E(z, s) は、固有値 s(s-1) を持つ H 上のラプラス作用素の実解析的固有函数である。言い換えると、E(z, s) は、楕円型偏微分方程式を満たす。
z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} とすると、 y 2 ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) E ( z , s ) = s ( s − 1 ) E ( z , s ) . {\displaystyle y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)E(z,s)=s(s-1)E(z,s).}
函数 E(z, s) は、一次分数変換により、上半平面上の z への SL(2,Z) 作用の下に不変である。前の性質とともに、このことはアイゼンシュタイン級数がマース形式であり、古典的な楕円モジュラ函数の実解析的な類似物であることを意味する。
注意: E(z, s) は H 上の不変リーマン計量に関して、z の 2乗可積分函数ではない。
アイゼンシュタイン級数は Re(s) > 1 で収束し、全複素平面上の s の有理函数へ解析接続することができ、(H の上の全ての z に対し)s = 1 で留数 π の唯一の極を持つ。定数項はクロネッカーの極限公式で記述される。
アイゼンシュタイン級数を
E ∗ ( z , s ) = π − s Γ ( s ) ζ ( 2 s ) E ( z , s ) {\displaystyle E^{*}(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)E(z,s)\ }
と函数変形をすると、函数等式
E ∗ ( z , s ) = E ∗ ( z , 1 − s ) {\displaystyle E^{*}(z,s)=E^{*}(z,1-s)\ }
を満たす。この等式は、リーマンゼータ函数 ζ(s) の函数等式に類似である。
2つの異なるアイゼンシュタイン級数 E(z, s) と E(z, t) のスカラー積はマース・セルバーグの関係式(英語版)(Maass-Selberg relation)で与えられる。
J. Bernstein, Meromorphic continuation of Eisenstein series
Epstein, P. (1903), “Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen I”, Math. Ann. 56 (4): 614–644, doi:10.1007/BF01444309 .
A. Krieg (2001), “Epstein zeta-function”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Epstein_zeta-function
Kubota, T.