カルタン部分環
標数 0 の代数閉体上の有限次元半単純リー環のカルタン部分環は可換であり,その随伴表現の以下の性質も持つ: g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のウェイト空間を h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} に制限(英語版)したものは表現を対角化し,0 ウェイトベクトルの固有空間は h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} である.(なので h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} の中心化リー環は h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} と一致する.)非零ウェイトはルートと呼ばれ,対応する固有空間はルート空間と呼ばれ,すべて1次元である.
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が代数閉体上の線型リー環(有限次元ベクトル空間 V の自己準同型全体のなすリー環の部分リー環)であるとき, g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の任意のカルタン部分環は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の極大トーラス部分リー環(英語版)の中心化リー環である,つまり,V の自己準同型として対角化可能な元のみからなる部分環であって,他のそのような部分環に真に含まれないという意味で極大なものである.