ビーティ数列
ランベック–モーザーの定理(英語版)はレイリーの定理を一般化するもので、整数函数およびその逆函数から定義されるより一般の列の対が、同じ整数全体の集合の分割性質を持つことを示す。
ウスペンスキー(英語版)の定理は、正の実数α1, ..., αn に対し (⌊kαi⌋)k,i≥1 が全ての整数をちょうど一つずつ含むならば n ≤ 2 であることを述べる。つまり、三つ以上のビーティ列の組に関するレイリーの定理と同等の定理は存在しない。
r ≔ φ を黄金比とすれば、s = r + 1 である。この場合、整数列 (⌊nr⌋) は下ワイソフ列
1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A000201)
であり、補列 (⌊ns⌋) は上ワイソフ列
2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... (A001950)
である。これらの列はワイソフのゲーム(英語版)の最適戦略を定義し、ワイソフ配列(英語版)の定義に用いられる。
もう一つの例として、r ≔ √2, s = 2 + √2 の場合、数列は
1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, ... (A001951);
3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, ... (A001952).
あるいは r ≔ π, s = π/(π - 1) に対する列は
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, ... (A022844);
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, ... (A054386).
これら数列の対に関して、第一の列に現れるどの数も第二の列には現れず、またその逆も言えるということに注意せよ。