本質的上限と本質的下限
実数直線上のルベーグ測度と、それに対応する σ-代数 Σ を考える。函数 f を
f ( x ) = { 5 , if x = 1 − 4 , if x = − 1 2 , otherwise. {\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}}
で定義する。この函数の上限(最大値)は 5 であり、下限(最小値)は −4 である。しかし、それらの値は測度ゼロの集合 {1} および {−1} の上でしか取られない。その他のすべての集合上では、この函数の値は 2 である。したがって、この函数の本質的上限と本質的下限は、ともに 2 である。
別の例として、次の函数