エニオン
θがこれら以外の値(θ≠nπ)をとる場合には、また違った結果を得る。この場合には、粒子が交換されるとき、それらはあらゆる位相をとることができるので、フランク・ウィルチェックはそのような粒子を記述するために"エニオン"という言葉を提唱した。
粒子のスピン量子数をsとして、 θ = 2 π s {\displaystyle \theta =2\pi s\;} を用いたとき、sが整数ならボース粒子、半整数ならフェルミ粒子となる。すなわち、次の数式が成立する。
e i θ = e 2 i π s = ( − 1 ) 2 s {\displaystyle e^{i\,\theta }=e^{2\,i\pi s}=(-1)^{2\,s}} or | ψ 1 ψ 2 ⟩ = ( − 1 ) 2 s | ψ 2 ψ 1 ⟩ {\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =(-1)^{2\,s}\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle }
分数量子ホール効果の端の領域においては、エニオンは一次元空間に制限される。一次元エニオンの数学的モデルは、上述の交換関係の基礎を与える。