ボゴリューボフ変換
( a ^ 1 , new a ^ 2 , new † ) ≡ U θ ( a ^ 1 a ^ 2 † ) U θ † = ( cosh  θ e − i φ sinh  θ e i φ sinh  θ cosh  θ ) ( a ^ 1 a ^ 2 † ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1,{\text{new}}}\\{\hat {a}}_{2,{\text{new}}}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}\equiv U_{\theta }{\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}\\{\hat {a}}_{2}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}U_{\theta }^{\dagger }={\begin{pmatrix}\cosh \theta &e^{-i\phi }\sinh \theta \\e^{i\phi }\sinh \theta &\cosh \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{1}\\{\hat {a}}_{2}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}}
このとき位相は φ = 0 {\displaystyle \phi =0} とされることも多い。 θ {\displaystyle \theta } は任意に取れるが、ハミルトニアンを対角化するためにボゴリューボフ変換を用いるときは非対角項が消えるように θ {\displaystyle \theta } をとる。
この行列の行列式が1であること( cosh 2  θ − sinh 2  θ = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}\theta -\sinh ^{2}\theta =1} (双曲線関数))から、 U θ {\displaystyle U_{\theta }} がユニタリー演算子であることがわかり、また新しい生成消滅演算子がボース粒子の交換関係を満たすことが保障される。
この新しい生成演算子によって作られる粒子をボゴリューボフ準粒子、あるいはボゴロンと呼ぶ。