絶対収束
である。∑∞n = 1 |an| は収束するから、コーシーの定理により、任意の ε > 0 {\displaystyle \epsilon >0} に対し、ある N {\displaystyle N} が存在し、 N < k , l {\displaystyle N<k,l} ならば ∑ n = k + 1 l | a n | < ε {\displaystyle \sum _{n=k+1}^{l}|a_{n}|<\epsilon } となるため、 | s l − s k | < ε {\displaystyle |s_{l}-s_{k}|<\epsilon } が言え、sk もコーシー列である。従って sk はある点に収束する。
複素数列の場合は、zn = an + ibn とすると、|an| ≤ |zn| 、|bn| ≤ |zn| のため、∑∞n = 1 znが絶対収束すれば∑∞n = 1 anも∑∞n = 1 bnも絶対収束するため、実数の場合に帰着できる。(証明終り)
上記の証明ではコーシー列が収束するという完備性とノルムが満たす三角不等式のみが用いられているから、これは完備なノルム空間であるバナッハ空間に対するものに容易に修正できる:
(an) は実数列とし、∑∞n = 1 |an| は収束するとする。第 k 部分和を sk = ∑kn = 1 an と書くと、自然数 k < l に対し、 | s l − s k | = | ∑ n = k + 1 l a n | ≤ ∑ n = k + 1 l | a n | {\displaystyle |s_{l}-s_{k}|=\left|\sum _{n=k+1}^{l}a_{n}\right|\leq \sum _{n=k+1}^{l}|a_{n}|}
すると、以下の式がなりたつ
‖ ∑ i = 1 N a σ ( i ) − A ‖ = ‖ ∑ i ∈ σ − 1 ( { 1 , ... , N ε } ) a σ ( i ) − A + ∑ i ∈ I σ , ε a σ ( i ) ‖ {\displaystyle \left\|\sum \limits _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|}
絶対収束する実または複素級数は収束する。
これについて、完備性とコーシー列に基づく「コーシーの判定法」による簡明な証明がある:
∑ i = 1 ∞ | a i | {\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}|} は仮定より収束するからその値を S {\displaystyle \ S\ } とする。また、 p n = ( 1 + a 1 ) ( 1 + a 2 ) ⋯ ( 1 + a n ) {\displaystyle p_{n}=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{n})} 、および y 1 = p 1 , y n = p n − p n − 1 = ( 1 + a 1 ) ( 1 + a 2 ) ⋯ ( 1 + a n − 1 ) a n {\displaystyle y_{1}=p_{1},\,y_{n}=p_{n}-p_{n-1}=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{n-1})a_{n}} とする。すると、 p n = ∑ i = 1 n y i {\displaystyle p_{n}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}} および、 y n = p n − 1 a n {\displaystyle \ y_{n}=p_{n-1}a_{n}\ } である。