半線型写像
V の基底 B を固定して、体の自己同型 σ ∈ Gal(K/k) に関する任意の半線型写像 f に対して、g: V → V を
g ( ∑ b ∈ B l b b ) := ∑ b ∈ B f ( l b σ − 1 b ) = ∑ b ∈ B l b f ( b ) {\displaystyle g{\Bigl (}\sum _{b\in B}l_{b}b{\Bigr )}:=\sum _{b\in B}f(l_{b}^{\sigma ^{-1}}b)=\sum _{b\in B}l_{b}f(b)}
で定義する。f(B) も V の基底を成すから、これは g が単に V の基底変換となることを意味し、従って線型かつ可逆的、すなわち g ∈ GL(V)。
ここで h ≔ fg と置くと、V の任意の元 v = ∑b∈B lbb に対し
h v = f g − 1 v = ∑ b ∈ B l b σ b {\displaystyle hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}l_{b}^{\sigma }b}
となるから、h は固定された基底 B に関する部分群としての Gal(K/k) (= Gal(K/k)B) に属する。この分解 f = hg は固定された基底 B に対して一意的である。さらに GL(V) は Gal(K/k)B の作用によって正規化されるから、
Γ L  ( V ) = GL  ( V ) ⋊ Gal  ( K / k ) {\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Gal} (K/k)}
となることが言える。