バーンズのG関数
バーンズの G-関数は、正規化条件 G(1) = 1 のもと以下の函数等式
G ( z + 1 ) = Γ ( z ) G ( z ) {\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}
を満たす。このバーンズ函数の満たす函数等式とガンマ函数の満たす函数等式
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)}
との類似性に注目せよ。この函数等式を用いることにより、バーンズ G が整数引数に対して以下の通り
G ( n ) = { 0 if n = 0 , − 1 , − 2 , ... ∏ i = 0 n − 2 i ! if n = 1 , 2 , 3 ... {\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=1,2,3\dots \end{cases}}}
を値とすることが導かれる(特に、G(1) = G(2) = 1 が従う。またこれにより、
G ( n ) = ( Γ ( n ) ) n − 1 K ( n ) {\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}
がわかる。ただし Γ(x) はガンマ関数を、K はK関数を表す。上記の函数等式は、凸条件 d/dxG(x) ≥ 0 を追加すれば、一意にバーンズ G-函数を定義する。