交叉理論
従って、移動するサイクルの考え方には、適切な代数的同値関係(英語版)を使う。同値関係は、与えられた任意の 2つのサイクル V と W に対して、交叉 V' ∩ W' が固有となるような同値なサイクル V' と W' がそれぞれに存在するよう十分に広く取る。もちろん、一方では、二番目の V" と W" との同値関係に対して、V' ∩ W' が V" ∩ W" に同値である必要がある。
交叉理論の目的のため、有理同値は最も重要な同値である。X 上の 2つの r-次元サイクルが有理同値とは、 (k+1)-次元部分多様体 Y 上の有理函数 f が存在し、つまり、函数体 k(Y) もしくは同じことであるが、函数 f : Y → P が存在し、V - W = f(0) - f(∞) となることである。ここに f(-) は多重度を考慮することとする。有理同値は上記で必要なことを満たしている。
この交代和は、部分多様体に対応するイデアル環のねじれ(torsion)群の z の中で、X の局所環の上の長さを渡る。この表現はしばしば、セールのねじれ公式と呼ばれる。
注意:
第一のまとめ、 O X , z / I ⊗ O X , z O X , z / J = O Z , z {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,z}/I\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,z}}{\mathcal {O}}_{X,z}/J={\mathcal {O}}_{Z,z}} の長さは、多重度の「ナイーブ」な想定であるが、しかし、セールが示したように、十分ではない。
和は有限である。理由は、正規環 O X , z {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,z}} は有限のねじれ次元を持っているからである。
V と W の交叉が固有ではないとすると、上記の多重度はゼロとなる。固有であれば、多重度は正となる(どちらの記述も定義からはすぐには明らかにならない)。
スペクトル系列の議論を使い、 μ ( Z ; V , W ) = μ ( Z ; W , V ) {\displaystyle \mu (Z;V,W)=\mu (Z;W,V)} をしめすことができる。
P 1 × P 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}} (これは、P の中の非特異二次曲面 Q として解釈できる)の上の直線は、自己交叉数 0 である。なぜならば、直線を自分自身から移動することが可能だからである(この曲面を線織曲面(英語版)(ruled surface)(ルールド曲面)と言う)。交叉形式のことばでは、 P 1 × P 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}} はタイプ x y {\displaystyle xy} (このタイプは、基底変換の下で x 2 − y 2 {\displaystyle x^{2}-y^{2}} となる)である。(ルールド曲面上の)直線の基本的なクラスは 2つあり、互に一点 ( x y {\displaystyle xy} ) で交叉するが、自己交点数は 0 である( x 2 {\displaystyle x^{2}} もしくは y 2 {\displaystyle y^{2}} の場合)。