ペル方程式
n が 61 の場合は、√61 = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14](周期は 11 で奇数)なので近似分数 29718/3805 が得られ、右辺 = −1 の最小解は ( x 1 , y 1 ) = ( 29718 , 3805 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})=(29718,3805)} となる。右辺 = 1 の最小解は、 x + y 61 = ( x 1 + y 1 61 ) 2 {\displaystyle x+y{\sqrt {61}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {61}})^{2}} から (x, y) = (1766319049, 226153980) となる。
解の公式から
α = x + y n , β = x − y n {\displaystyle \alpha =x+y{\sqrt {n}},\;\beta =x-y{\sqrt {n}}}
とおくと、
x k = α k + β k 2 , y k = α k − β k 2 n {\displaystyle x_{k}={\frac {\alpha ^{k}+\beta ^{k}}{2}},\;y_{k}={\frac {\alpha ^{k}-\beta ^{k}}{2{\sqrt {n}}}}}
が得られる。つまり、ペル方程式の解に対して、yk/y, 2xk はリュカ数列を構成する。