重ね合わせの原理
干渉という現象は波の重ね合わせに基づいている。二つ以上の波が同一の空間を進んでいるとき、空間各点における正味の変位は個々の波が作る変位の和となる。ノイズキャンセリングヘッドホン(英語版)などでは合成波の振幅は個々の成分よりも小さくなる。このような場合を「弱め合う干渉」と呼ぶ。他方でラインアレイスピーカー(英語版)などでは合成波の振幅が個々の成分より大きくなる。この場合「強め合う干渉」と呼ばれる。
よく見られるタイプの境界値問題は、抽象的に表せば、境界条件
G ( y ) = z {\displaystyle G(y)=z}
のもとで方程式
F ( y ) = 0 {\displaystyle F(y)=0}
を満たす関数 y を見つけるというものである。たとえば、ディリクレ境界条件のもとでラプラス方程式を解く場合、 F はある領域 R におけるラプラシアンにあたり、 G は y を R の境界に制限する演算子、 z は R の境界において y が等しくならなければならない関数を意味する。
F および G がどちらも線形演算子である場合には、方程式F( y ) = 0の解の線形重ね合わせがやはり方程式の解となる、という形で重ね合わせの原理が成り立つ。
F ( y 1 ) = F ( y 2 ) = ⋯ = 0 ⇒ F ( y 1 + y 2 + ⋯ ) = 0 {\displaystyle F(y_{1})=F(y_{2})=\cdots =0\ \Rightarrow \ F(y_{1}+y_{2}+\cdots )=0}
このとき境界値も加算される。
G ( y 1 ) + G ( y 2 ) = G ( y 1 + y 2 ) {\displaystyle G(y_{1})+G(y_{2})=G(y_{1}+y_{2})}
そのため、方程式の解のリストが与えられれば、解を適当に重ね合わせることで境界条件を満たす解を作り出すことができる。これは境界値問題を解くアプローチとして一般的なものである。