粗空間
U {\displaystyle {\mathcal {U}}} と V {\displaystyle {\mathcal {V}}} が Θ {\displaystyle \Theta } に属すとき、 { Δ V ( V ) : V ∈ V } {\displaystyle \{\Delta _{\mathcal {V}}(V):V\in {\mathcal {V}}\}} も Θ {\displaystyle \Theta } に属す。
V {\displaystyle {\mathcal {V}}} が Θ {\displaystyle \Theta } に属し、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が V {\displaystyle {\mathcal {V}}} の細分のとき、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} も Θ {\displaystyle \Theta } に属す。
この条件を満たす集合族のクラス Θ {\displaystyle \Theta } が与えられたとき { Δ V : V ∈ Θ } {\displaystyle \{\Delta _{\mathcal {V}}:V\in \Theta \}} はある粗構造の基本近縁系となる。
粗構造 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} の元を粗空間 X {\displaystyle X} の制御集合(controlled sets)または近縁(entourages)という。
粗構造 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} が同じ台集合上の別の粗構造 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} よりも細かいとは、 F ⊆ E {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {E}}} となることをいう。このとき F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は E {\displaystyle {\mathcal {E}}} よりも粗いという。
粗空間 X の近縁 E {\displaystyle E} と部分集合 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} に対し、 A {\displaystyle A} の E {\displaystyle E} -近傍 E ( A ) {\displaystyle E(A)} は E ( A ) := { x ∈ X : ∃ a ∈ A , ( x , a ) ∈ E } {\displaystyle E(A):=\{x\in X:\exists a\in A,(x,a)\in E\}} と定義される。同様に一点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} の E {\displaystyle E} -近傍を E ( x ) := E ( { x } ) {\displaystyle E(x):=E(\{x\})} と定義する。