レヴナー微分方程式
f t ( D ) = U ( t ) , f t ( 0 ) = 0 , ∂ z f t ( 0 ) = 1 {\displaystyle f_{t}(D)=U(t),\,\,\,f_{t}(0)=0,\,\,\,\partial _{z}f_{t}(0)=1}
となり、 [0,∞) X D のコンパクトな部分集合の上で一様連続であることを意味する。
さらに、函数 a ( t ) = f t ′ ( 0 ) {\displaystyle a(t)=f_{t}^{\prime }(0)} は正定値、連続で、単調増加な函数である。
再度、パラメータ化し、
f t ′ ( 0 ) = e t {\displaystyle f_{t}^{\prime }(0)=e^{t}}
とおくと、
f t ( z ) = e t z + a 2 ( t ) z 2 + ⋯ {\displaystyle f_{t}(z)=e^{t}z+a_{2}(t)z^{2}+\cdots }
となる。
この単葉写像 ft(z) をレヴナーチェーン(Loewner chain)と呼ぶ。
ケーベの歪曲定理(英語版)(Koebe distortion theorem)は、チェーンから得られることと開集合 U(t) の性質が同じであることを示した。
で定義すると、 φ {\displaystyle \varphi } は φ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \varphi (0)=0} の D の単葉自己写像である。
そのような写像は、 0 < | φ ′ ( 0 ) | ≤ 1 {\displaystyle 0<|\varphi '(0)|\leq 1} であり、各円板 Dr (|z| < r, 0 < r < 1) を自分自身へ写像するので、
| f ′ ( 0 ) | ≤ | g ′ ( 0 ) | , f ( D r ) ⊆ g ( D r ) {\displaystyle \displaystyle {|f^{\prime }(0)|\leq |g^{\prime }(0)|},\ \ \ \ \displaystyle {f(D_{r})\subseteq g(D_{r})}}
であることが分かる。