ハミルトンベクトル場
対応 f ↦ Xf は線型であるので、2つのハミルトン関数の和は対応するハミルトンベクトル場の和へ変換される。
(q, ..., q, p1, ..., pn) を M 上の正準座標とする(上記参照)。すると、曲線 γ(t) = (q(t), p(t)) がハミルトンベクトル場 XH の積分曲線であることと、この曲線が次のハミルトン方程式(英語版)の解であることは、同値である。
q ̇ i = ∂ H ∂ p i {\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}
p ̇ i = − ∂ H ∂ q i . {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}.}
ハミルトニアン H は積分曲線に沿って定数である。