GNS表現
H = ⨁ φ ∈ E A H φ , π = ⨁ φ ∈ E A π φ {\displaystyle {\mathcal {H}}=\bigoplus _{\varphi \in E_{\mathfrak {A}}}{\mathcal {H}}_{\varphi },\,\,\pi =\bigoplus _{\varphi \in E_{\mathfrak {A}}}\pi _{\varphi }}
を構成すると、これは | | π ( A ) | | = | | A | | {\displaystyle ||\pi (A)||=||A||} を満たす忠実な表現であり、 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} は B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})} と等距離*-同型となる。
φ ( A ) = ⟨ Ω φ , π φ ( A ) Ω φ ⟩ ∀ A ∈ A {\displaystyle \varphi (A)=\langle \Omega _{\varphi },\pi _{\varphi }(A)\Omega _{\varphi }\rangle \quad {}^{\forall }A\in {\mathfrak {A}}}
を満たす。但し、 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle \,,\,\rangle } は H φ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varphi }} 上の内積である。
2. Ω φ {\displaystyle \Omega _{\varphi }} は巡回ベクトル(cyclic vector)をなす。すなわち、
π φ ( A ) Ω φ = { π φ ( A ) Ω φ | A ∈ A } {\displaystyle \pi _{\varphi }({\mathfrak {A}})\Omega _{\varphi }=\{\pi _{\varphi }(A)\Omega _{\varphi }|\,A\in {\mathfrak {A}}\}}
はノルムによる強位相について、 H φ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varphi }} で稠密である。
なお、1.のように内積の形式で与えられる状態をベクトル状態といい、2.のように巡回ベクトルをもつ表現を巡回表現という。