射有限群
任意に与えられた群 G に対して、G の射有限完備化 (profinite completion) と呼ばれる射有限群 G を考えることができる。これは、N が G の指数有限な正規部分群全体を亘るとき、剰余群 G/N が(正規部分群の包含関係で与えられる半順序構造を移行することにより導かれる剰余群の間の自然な準同型に関して)成す逆系の射影極限として定義される。このとき、自然な準同型 η: G → G が存在して、この準同型による G の像は G において稠密である。この準同型 η が単射となるのは、群 G が剰余有限である(N が指数有限なる正規部分群すべてを亘る共通部分が自明、つまり
⋂ N = 1 {\displaystyle \bigcap N=1}
が成立する)ときであり、かつそのときに限る。また、準同型 η は次のような普遍性によって特徴付けられる。すなわち、任意の射有限群 H と任意の群準同型 f: G → H が与えられたとき、連続群準同型 g: G → H で f = gη を満たすものが一意的に存在する。