ヤコビの三重積
ヤコビの三重積はラマヌジャンの和公式の特殊な場合である。ラマヌジャンの和公式
∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n = ( a z ; q ) ∞ ( q ; q ) ∞ ( q a z ; q ) ∞ ( b a ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ( b ; q ) ∞ ( b a z ; q ) ∞ ( q a ; q ) ∞ ( | q | < 1 , | b / a | < | z | < 1 ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(az;q)_{\infty }(q;q)_{\infty }\left({\frac {q}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {b}{a}};q\right)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }\left({\frac {b}{az}};q\right)_{\infty }\left({\frac {q}{a}};q\right)_{\infty }}}\qquad (|q|<1,|b/a|<|z|<1)}
はq二項定理から導かれる。ラマヌジャンの和公式に b = 0 {\displaystyle b=0} を代入すると
b m ( x ) x m z m ( 1 − x z ) ( 1 − x 2 z ) ⋯ ( 1 − x m + 1 z ) = b m ( x ) x m z m ( 1 − x z ) ( 1 − x 2 z ) ⋯ ( 1 − x m z ) + b m ( x ) x 2 m + 1 z m + 1 ( 1 − x z ) ( 1 − x 2 z ) ⋯ ( 1 − x m + 1 z ) {\displaystyle {\frac {b_{m}(x)x^{m}z^{m}}{(1-xz)(1-x^{2}z)\cdots (1-x^{m+1}z)}}={\frac {b_{m}(x)x^{m}z^{m}}{(1-xz)(1-x^{2}z)\cdots (1-x^{m}z)}}+{\frac {b_{m}(x)x^{2m+1}z^{m+1}}{(1-xz)(1-x^{2}z)\cdots (1-x^{m+1}z)}}}
より
b n ( x ) = b n ( x ) x n + b n − 1 x 2 n − 1 , {\displaystyle b_{n}(x)=b_{n}(x)x^{n}+b_{n-1}x^{2n-1},}
つまり
b n ( x ) = b n − 1 ( x ) x 2 n − 1 1 − x n , b 0 ( x ) = 1 {\displaystyle b_{n}(x)={\frac {b_{n-1}(x)x^{2n-1}}{1-x^{n}}},b_{0}(x)=1}
が成り立つ。この漸化式を解くと
b n ( x ) = x n 2 ( 1 − x ) ( 1 − x 2 ) ⋯ ( 1 − x n ) {\displaystyle b_{n}(x)={\frac {x^{n^{2}}}{(1-x)(1-x^{2})\cdots (1-x^{n})}}}
が得られる。