可換環
代数学では普通のことだが、二つの対象の間の写像のなかに、今考えている対象の構造に関する準同型と呼ばれるものを考えることができる。環の場合、写像 f: R → S は
f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b) および f(1) = 1
を満たすとき環準同型と呼ぶ。これらの条件から f(0) = 0 となることは保証されるが、乗法単位元 1 を保つという仮定はほかの二つの条件からは導出されない。またこのとき、S の元 s への R の元 r による積を
r · s := f(r) · s
で与えるものと理解することにより、S は R 上の環とも呼ばれる。
準同型 f の核および像がそれぞれ ker(f) = {r ∈ R : f(r) = 0} および im(f) = f(R) = {f(r) : r ∈ R} で定義される。両者はそれぞれ R のイデアルおよび S の部分環を成す。