多項式環
以下の性質に関して、R は可換環で S ≔ R[X1, ..., Xn] は R 上の n-変数多項式環とする。環の拡大 R ⊂ S は順番に X1, ..., Xn を添加していくことにより R から n-段階で得られる。ゆえに以下の性質のどれも、証明は n = 1 の場合のみを考えれば十分である。
R が整域ならば S もそうである。
R が一意分解環ならば S もそうである。このことの証明は(多項式に関する)ガウスの補題による。
ヒルベルトの基底定理: R がネーター環ならば S もそうである。
R が大域次元有限なネーター環ならば gl . dim  R [ X 1 , ... , X n ] = gl . dim  R + n {\displaystyle \operatorname {gl} .\dim R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]=\operatorname {gl} .\dim R+n} である。クルル次元に対して類似の結果がある。
数学、殊に抽象代数学における多項式環(たこうしきかん、英語: polynomial ring)は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。多項式環はヒルベルトの基底定理や分解体の構成、線型作用素の理解など数学のかなり広い分野に影響をもつ概念である。セール予想のような多くの重要な予想が、他の環の研究に影響をもち群環や形式冪級数環のようなほかの環の定義にさえ影響を及ぼしている。
環上の多変数多項式環は、「もっとも一般」の有限生成可換多元環である。すなわち以下の普遍性が成り立つ: