リー群
いくつかの例と、それらに関連する数学や物理学の分野について触れる。
ユークリッド空間 R は、ベクトルの加法を群演算と見て可換リー群である。
可逆な n 次正方行列全体 GLn(R) は行列の積によって群をなす(一般線型群と呼ばれる)が、これを n 次元のユークリッド空間の部分多様体とみるとリー群である。この一般線型群は、行列式の値が 1 となる行列全体のなす群(特殊線型群と呼ばれる)を部分群として含むが、これもやはりリー群の例となる。
n 次元ベクトル空間における回転と鏡映が生成する変換群 On(R) は直交群と呼ばれるリー群である。(回転だけから生成される直交群の部分群SOn(R)は特殊直交群と呼ばれるリー群である。)
スピノル群は特殊直交群の二重被覆であり、場の量子論におけるフェルミ粒子の研究に用いられる。
斜交群 Sp2n(R) は、シンプレクティック形式を保つ行列全体のなすリー群である。
0 次元球面 S, 1 次元球面 S および 3 次元球面 S は、これらをそれぞれ絶対値が 1 の実数全体、複素数全体、四元数全体と同一視することでリー群にすることができる。他の次元の球面ではこのようなことはできないし、リー群にはならない。リー群としての S はしばしば円周群と呼ばれる。いくつかの円周群同士の直積リー群はトーラス群と呼ばれる。
リー環 Mn(R) からリー群 GLn(R) への指数写像は通常の冪級数として、行列 A に対して
exp(A) = 1 + A + A/2! + A/3! + ⋯
によって定められる。G が GLn(R) の部分群ならば、この指数写像は G のリー環を G のなかへ写す。したがって、任意の行列のリー群に対して指数写像を考えることができる。
この指数写像の定義は扱いやすいが、行列群ではないリー群に対しては定義されていないし、指数写像が行列群としての表し方に依らないかどうかについては自明なことではない。これは以下のように抽象的な指数写像の定義を与えることで解決することができる。
リー環 g の任意のベクトル v は、1 を v へと写す R から g への線型写像(これをリー環準同型と考えることができる)を定める。R は単連結リー群 R のリー環になっているので、これは対応するリー群の間の準同型 c: R → G を引き起こす。これは s, t ∈ R に対して
c(s + t) = c(s) c(t)
を満たす(右辺は G における乗法である)。この式と指数関数が満たす公式との類似性から、
exp(v) = c(1)
とおくと、行列群に対しては今の定義は先の定義と同じものを定めることが確かめられる。これを指数写像と呼ぶ。作り方からこれはリー環 g を対応するリー群 G のなかへ写すことが判る。指数写像は、リー環 g の零元 0 の近傍からリー群 G の単位元 e の近傍への可微分同相写像である。実数全体が成す可換リー環 R は正の実数全体が乗法に関して成すリー群 R+ に付随するリー環になっているので、指数写像は実数に対する指数関数の一般化になっていることがわかる。