多重線型写像
B 1 , ... , B k {\textstyle {\mathcal {B}}_{1},\dotsc ,{\mathcal {B}}_{k}} はそれぞれ E 1 , ... , E k {\textstyle E_{1},\dotsc ,E_{k}} の(有限とは限らない)基底とすれば、制限写像
は全単射(そしてベクトル空間の同型である。すなわち、k重線型写像は基底ベクトルの k-組における値(これはベクトル空間 F の任意のベクトルを選びうる)によって一意に決定される。 有限次元の場合、1 ≤ i ≤ k に対して具体的に基底を B i := { e i 1 , ... , e i d i } {\textstyle {\mathcal {B}}_{i}:=\{\mathbf {e} _{i1},\dotsc ,\mathbf {e} _{id_{i}}\}} と書けば、各空間 Ei の任意の元は
と書けるから、それらの k-組 x 1 , ... , x k {\textstyle x_{1},\dotsc ,x_{k}} に対する k-重線型写像 f : E 1 × E 2 × ⋯ × E k → F {\textstyle f\colon E_{1}\times E_{2}\times \dotsb \times E_{k}\to F} の値は
であり、d1 ⋯ dk 個のベクトル f ( e 1 , j 1 , ... , e k , j k ) {\textstyle f(\mathbf {e} _{1,j_{1}},\dotsc ,\mathbf {e} _{k,j_{k}})} で完全に決定される。
線型代数学において、多重線型写像(たじゅうせんけいしゃぞう、英: multilinear map)は各変数ごとに線型な多変数関数である。正確には、多重線型写像は、 V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}} および W をベクトル空間(あるいは可換環上の加群)として、次の性質を満たす写像
である: 各 i に対して、vi を除くすべての変数を固定して変化させないとき、 f ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})} は vi に関して線型である。
一変数の多重線型写像は線型写像であり、二変数のそれは双線型写像である。より一般に、k 変数の多重線型写像は k 重線型写像 (k-linear map) と呼ばれる。多重線型写像の終域が係数体(スカラー値)のときはとくに多重線型形式と言う。例えば、スカラー積は対称双線型形式であり、行列式は正方行列の列(あるいは行)ベクトルを引数と見れば多重線型形式である。
すべての変数が同じ空間に属していれば、対称(英語版)、反対称、交代(英語版) k 重線型写像を考えることができる(注意すべき点として、基礎(英語版)環(あるいは体)の標数が 2 でなければ後ろ2つは一致し、標数が 2 であれば前2つは一致する)。例えば、スカラー積は対称であり、行列式は反対称である。
多重線型写像や多重線型形式は多重線型代数において研究の基本的な対象である。多重線型写像の系統的な研究により行列式、外積、そして幾何学的内容を含む多くの他の道具の一般的な定義が得られる。多様体の枠組みや微分幾何学においても多くの応用がある。