単項イデアル環
1. n を法とした整数 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } .
2. R 1 , ... , R n {\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n}} を環とし R = ∏ i = 1 n R i {\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}} とする。このとき R が主環であることと Ri がすべての i に対して主環であることは同値である。
3. 主環の任意の乗法的集合における局所化は再び主環である。同様に、主環の任意の商は再び主環である。
4. R をデデキント整域とし I を R の 0 でないイデアルとする。このとき商 R/I は主環である。実際、I を素イデアルの冪の積として分解できる: I = ∏ i = 1 n P i a i {\displaystyle I=\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{a_{i}}} , そして、中国の剰余定理によって R / I ≅ ∏ i = 1 n R / P i a i {\displaystyle R/I\cong \prod _{i=1}^{n}R/P_{i}^{a_{i}}} , なので各 R / P i a i {\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}} が主環であることを見れば十分である。
証明は中国剰余定理を零イデアルの極小準素分解に適用する。
Hungerford による以下の結果も存在する:
定理 (Hungerford): R を主環とする。すると R は直積 ∏ i = 1 n R i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}} として書ける、ただし各 Ri は主イデアル整域の商である。
Hungerford の定理の証明は完備局所環 (complete local ring) に対する コーエンの構造定理(英語版)を用いる。
上記例 3 のように議論し Zariski-Samuel の定理を使うことで次のことを確認するのは易しい。Hungerford の定理は任意の special principal ring が離散付値環の商であるというステートメントと同値である。