平均値の定理
∫ a b φ ( x ) d F ( x ) = φ ( a + 0 ) { F ( ξ ) − F ( a + 0 ) } + φ ( b − 0 ) { F ( b − 0 ) − F ( ξ ) } {\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi (x)\,dF(x)=\varphi (a+0)\{F(\xi )-F(a+0)\}+\varphi (b-0)\{F(b-0)-F(\xi )\}}
を満たすものが存在することが示せる。これを第二平均値定理という。特に、開区間 (a,b) において、f(x) が可積分で φ(x) が有界かつ単調な関数であるならば、f(x) の不定積分が第二平均値定理にいう F(x) の条件を満たしているので、この場合の第二平均値定理の等式は
∫ a b f ( x ) φ ( x ) d x = φ ( a + 0 ) ∫ a ξ f ( x ) d x + φ ( b − 0 ) ∫ ξ b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi (x)dx=\varphi (a+0)\int _{a}^{\xi }f(x)\,dx+\varphi (b-0)\int _{\xi }^{b}f(x)\,dx}
の形に表せる。