随伴表現
G {\displaystyle G} をリー群、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をそれに付随するリー代数( G {\displaystyle G} の単位元における接空間)とする。
g ∈ G {\displaystyle g\in G} として h ∈ G {\displaystyle h\in G} に対して φ g : G → G , φ g : h ↦ g h g − 1 {\displaystyle \phi _{g}:G\to G,\,\phi _{g}:h\mapsto ghg^{-1}} を G {\displaystyle G} の内部自己同型写像といい、さらに微分 d ( φ g ) e =: A d g : g → g {\displaystyle d(\phi _{g})_{e}=:Ad_{g}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} によって付随するリー代数の同型写像が得られる。
A d g {\displaystyle Ad_{g}} は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の線型写像になっていて、準同型
A d : G → G L ( g ) , g ↦ A d g {\displaystyle Ad:G\to GL({\mathfrak {g}}),\quad g\mapsto Ad_{g}}
をリー群の随伴表現という。
リー群の随伴表現の微分を a d {\displaystyle ad} で表し、これをリー代数の随伴表現という。