固有値と固有ベクトル
で、この場合の A の固有値は、ただ一つ λ = 1 のみである。この固有値 1 の固有空間は変換 1I − A の零空間、すなわち線型方程式 (I − A)x = 0 の解空間であり、
[ 0 0 1 2 0 ] [ x 1 x 2 ] = 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\{\frac {1}{2}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=0}
の解 x 全体である。この方程式の解空間は、
x = [ 0 c ] ( c ∈ K ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}0\\c\end{bmatrix}}\quad (c\in \mathbb {K} )}
となる。ここで c は任意の定数である。つまり、この形に表される(この場合、真上または真下を向いている)ベクトルで零ベクトルでないものは全てこの行列 A の固有ベクトルである。
一般に、2次正方行列は代数的重複を込めて2つの固有値をもち、固有値それぞれに関する固有ベクトルをもつ。ほとんどのベクトルが行列の作用によってその長さと方向の両方を変えるのに対して、固有ベクトルは向きつき長さのみが変化し、方向は変わらない。
例えば、三次元内の回転変換の固有ベクトルは回転軸の中にある。この変換の固有値は 1 のみで、固有値は 1 の固有空間は回転軸である。固有空間が一次元であるから、この固有値 1 の幾何的重複度は 1 であり、スペクトルは実数である固有値 1 唯一つのみからなる。
別の例として、右のモナ・リザの画像の変形のような剪断変換の正方行列を考える:
A = [ 1 0 − 1 2 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{2}}&1\end{bmatrix}}}
まず、この行列の固有多項式を求める。
det ( λ I − A ) = det ( λ [ 1 0 0 1 ] − [ 1 0 − 1 2 1 ] ) = ( λ − 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\det(\lambda I-A)&=\det \!\left(\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{2}}&1\end{bmatrix}}\right)\\&=(\lambda -1)^{2}\end{aligned}}}
故に、この行列 A の固有方程式は
(λ − 1) =0