コンパクトハウスドルフ空間上の連続函数
実数値あるいは複素数値連続函数の空間 C(X) は、任意の位相空間 X について定義される。しかしコンパクトでない場合、非有界函数を含むこともあるため、C(X) は一様ノルムについて一般にバナッハ空間であるとは限らない。したがって X 上の有界連続函数の空間 CB(X) がより多く扱われる。この空間は一様ノルムについてバナッハ空間(実際、恒等元を含む可換バナッハ環)である(Hewitt & Stromberg 1965, Theorem 7.9)。
特に測度論では、X が局所コンパクトハウスドルフ空間であるような特別な場合を考えることによって更なる一般化が望まれることもしばしばある。この場合、次に述べる CB(X) の二つの部分空間が区別される(Hewitt & Stromberg 1965, §II.7):
コンパクトな台を持つ函数からなる C(X) の部分集合、C00(X)。これは無限大の近傍において消失する函数の空間と呼ばれる。
任意の ε > 0 に対して x ∈ X\K であれば |f(x)| < ε となるようなコンパクト集合 K⊂X が存在する函数からなる C(X) の部分集合、C0(X)。これは無限大で消失する(英語版)函数の空間と呼ばれる。
C00(X) の閉包が C0(X) である。特に、後者はバナッハ空間である。