計算可能数
計算可能数の範囲には全ての代数的数、e、π などの具体的な超越数など実用的な具体的実数が全て含まれている。計算可能実数というのは、計算したり近似したりできる実数全てを網羅したものであるが、考慮すべき実数が全て計算可能であると仮定すると実数に関する結論は大きく異なってくる。全ての数学に、実数全体でなく計算可能数のみを用いることができるのかという問いが自然に出てくる。この考えは構成主義の観点からも魅力的でエレット・ビショップ やフレッド・リッチマンが構成的数学の ロシア学派 と呼んで追究してきたものである。 計算可能数上の解析学を実際に展開するためには、いくつかの注意が必要である。例えば、列の古典的な定義を用いる際、計算可能数の集合は有界列の上限を取るという基本的な操作について閉じていない (例えば、前述のSpecker sequenceなど)。この困難さについては計算可能な収束係数を持つ列のみを考慮することによって対処することができ。このようにして得られた理論は計算可能解析学と呼ばれている。
実数の位相的性質が関係しない限り、区間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} の実数の代わりに 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }} の元 (0,1 の値を取る全域関数) を扱う方が便利なことがしばしばある。 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }} の元は実数の二進展開と同一視することができる。ただし、 . d 1 d 2 ... d n 0111 ... {\displaystyle .d_{1}d_{2}\ldots d_{n}0111\ldots } と . d 1 d 2 ... d n 10 {\displaystyle .d_{1}d_{2}\ldots d_{n}10} は同じ実数を表しており、区間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} は 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }} の元のうち1の列で終わらないもの全体と全単射で対応する(相対位相を考えれば同相にもなる)。 この小数展開の性質は計算可能な実数が十進展開で定義されたものであるか ε {\displaystyle \epsilon } 近似で定義されたものであるかを実効的に区別することは不可能であることを意味している。