ポワンカレの上半平面モデル
このとき、i の安定部分群は回転群
S O ( 2 ) = { ( cos  θ sin  θ − sin  θ cos  θ ) : θ ∈ R } {\displaystyle {\mathit {SO}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}:\theta \in {\mathbf {R} }\right\}}
である。H の元 z はいずれも PSL(2, R) の元で i に写されるから、これは任意の z の等方部分群が SO(2) に同型となることを意味しており、したがって H = PSL(2,R)/SO(2) が成立する。言い換えれば、単位接束と呼ばれる上半平面上の単位接ベクトル全体の成す束は PSL(2, R) に同型であるということである。
上辺平面はモジュラー群 SL(2, Z) によって自由正規集合(英語版) に分割される。