偶関数と奇関数
偶関数全体の成す集合、奇関数全体の成す集合はともにベクトル空間の構造を持つ(さらに偶関数の全体は可換多元環を成す。一方、奇関数の全体は積について閉じておらず多元環を成さない)。
また、任意の関数 f(x) に対し、
f even ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) 2 , f odd ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) 2 {\displaystyle f_{\text{even}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},\quad f_{\text{odd}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}}
で定義される函数 feven および fodd はそれぞれ偶関数および奇関数であり、それぞれ f の偶成分 (even part) および奇成分 (odd part) という。
このとき、明らかに f = feven + fodd が成り立つが、関数 f(x) が偶関数かつ奇関数となるのは f(x) = 0 のとき、かつそのときに限るから、そのような表し方はただ一通りである。すなわち、関数全体の成すベクトル空間は、偶関数全体の成すベクトル空間と奇関数全体の成すベクトル空間の直和に分解される。