アインシュタイン・ヒルベルト作用
最後の項 ∇ σ ( g μ ν δ Γ ν μ σ − g μ σ δ Γ ρ μ ρ ) {\displaystyle \nabla _{\sigma }(g^{\mu \nu }\delta \Gamma _{\nu \mu }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\delta \Gamma _{\rho \mu }^{\rho })} に − g {\displaystyle {\sqrt {-g}}} をかけると、全微分となる。なぜならば、
− g A ; a a = ( − g A a ) , a o r − g ∇ μ A μ = ∂ μ ( − g A μ ) {\displaystyle {\sqrt {-g}}A_{;a}^{a}=({\sqrt {-g}}A^{a})_{,a}\;\mathrm {or} \;{\sqrt {-g}}\nabla _{\mu }A^{\mu }=\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}A^{\mu }\right)}
であり、ストークスの定理により、積分するときには境界項でのみ積分すればよい。従って、計量 δ g μ ν {\displaystyle \delta g^{\mu \nu }} の変分が無限遠点でゼロとなるとき、この項は作用の変分に寄与しない。さらに、
δ R δ g μ ν = R μ ν {\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }}
を得る。
リッチスカラーの変分を計算するために、まず、リーマン曲率テンソルの変分を計算し、次いで、リッチテンソルの変分を計算する。リーマン曲率テンソルは次のように定義される。
R ρ σ μ ν = ∂ μ Γ ν σ ρ − ∂ ν Γ μ σ ρ + Γ μ λ ρ Γ ν σ λ − Γ ν λ ρ Γ μ σ λ . {\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }.}
リーマン曲率テンソルはレビ・チビタ接続 Γ μ ν λ {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }} とは独立であるので、リーマン曲率テンソルの変分は次のように計算できる。
δ R ρ σ μ ν = ∂ μ δ Γ ν σ ρ − ∂ ν δ Γ μ σ ρ + δ Γ μ λ ρ Γ ν σ λ + Γ μ λ ρ δ Γ ν σ λ − δ Γ ν λ ρ Γ μ σ λ − Γ ν λ ρ δ Γ μ σ λ .