剰余類環
Zn と書くと、素数 p に対する p-進整数全体の成す環 Zp と混同の虞があり、剰余類環を Zn で表すことを好む文脈では、p-進整数の全体は Z ^ p {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}_{p}} で表すこともある。Z/nZ と書くのが、面倒だがもっとも誤解は少ないだろう。また、Z/n という表記もあるが稀であり、加えて
1 n Z := { k n ; k ∈ Z } {\displaystyle {1 \over n}\mathbb {Z} :=\left\{{k \over n};\ k\in \mathbb {Z} \right\}}
なる集合と紛らわしい。
記号の濫用だが、記述の面倒を避けるため慣例的に、同値類を表すのに代表元に施す角括弧をしばしば省略して、代表元とそれが属する合同類とを同じ文字で表す。したがってこのとき、同じ合同類を表すのに無数の符牒が与えられていることになる。たとえば、n = 0 および n − 1 = −1 は Z/nZ に属する合同類の間の関係式と考えれば有効な式である。また、慣例的に合同類を表す符牒が無数にあるという不定性を除くために、各合同類から「標準的」(canonical) な代表元を選んで、それと合同類とを同一視することもよく行われる。
このような慣例的規約に従えば、剰余類環 (Z/nZ, +, ×) は 0, 1, ..., n − 1 の n 個の元からなる。
任意の自然数 n ≥ 2 に対して Z/nZ は、nZ を零元、1 + nZ を単位元とする可換環を成す。
p が素数ならば剰余類環 Z/pZ は、p を法とする剰余体とも呼ばれる、位数 p の有限体を成し、(体を表す英語 "field" の頭文字をとって)Fp とも書かれる。各元の乗法に関する逆元はユークリッドの互除法を用いて簡単に計算することができる。
一方、n が素数でないならば、n の任意の約数が零因子となって乗法逆元を持たないので、n を法とする剰余環は体にはならない。n との最大公約数 (a, n) が 1 である(つまり n と互いに素である)ような整数 a に対し、合同類 a + nZ は、法 n に関する既約剰余類または既約合同類と呼ばれる。既約剰余類の全体は既約剰余類群(英語版)と呼ばれる群 (Z/nZ) を成す。これは環 Z/nZ の単数群であり、その位数はオイラー数 φ(n) である。