射影作用素
U を X の閉部分空間とすると、X = U ⊕ V となる閉部分空間 V が存在する場合に限り、値域が U, 核が V となる射影 P は連続である。これは閉グラフ定理から従う。即ち、xn → x かつ Pxn → y とするとき、Px = y が示されればよい。U が閉で、{Pxn} ⊂ U だから y は U に属し、Py = y が成り立つ。また、xn − Pxn = (I − P)xn → x − y である。このとき、V は閉で {(I − P)xn} ⊂ V だったから、x − y ∈ V 即ち P(x − y) = Px − Py = Px − y = 0 を得て、主張が示される。
今の議論では U, V がともに閉であるという仮定が効いているが、閉部分空間 U が与えられたときにその閉補空間 V の存在は一般には保証されない。ただし、ヒルベルト空間では直交補空間をとることで常にそれができる。バナッハ空間の場合には、一次元部分空間が常に閉補空間を持つことが、ハーン・バナッハの定理から直ちに従う。実際、U を u が張る一次元部分空間とすると、ハーン・バナッハから、有界線型汎函数 φ で φ(u) = 1 なるものがとれる。このとき、作用素 P(x) := φ(x)u は P = P を満足し、射影となる。φ の有界性から P の連続性が出るから、従って Ker(P) = Ran(I − P) が U の閉補空間となる。
そうは言うものの、開写像定理により、バナッハ空間上の任意の連続射影は開写像であることが言える。
(定義は後述するが)直交でない(斜交)射影の簡単な例として
P = [ 0 0 α 1 ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}}
を挙げることができる。行列の積の定義に従って計算すれば
P 2 = [ 0 0 α 1 ] [ 0 0 α 1 ] = [ 0 0 α 1 ] = P {\displaystyle P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P}
故に P が実際に射影となることが分かる。
この射影 P が直交射影となるのは α = 0 のときであり、かつそのときに限る。