ジョルダン標準形
正方行列 A のジョルダン標準形 J = PAP と、特性多項式 f A ( x ) = det ( x I − A ) {\displaystyle f_{A}(x)=\det(xI-A)} 、最小多項式 φ A ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)} には次のような関係がある。
なお、最小多項式とは f(A) = O となる多項式 f(x) のうち、次数が最小で、最高次係数が 1 のもの(モニック)を言う。f(A) = O となる多項式 f(x) は、多項式として φ A ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)} で割り切れる(多項式としての除算の余りがゼロとなる)という性質がある。ケイリー・ハミルトンの定理により fA(A) = O であり、fA(x) は多項式として φ A ( x ) {\displaystyle \varphi _{A}(x)} で割り切れる。
(1) f A ( x ) = det ( x I − A ) = det P − 1 det ( x I − A ) det P = det ( x I − P − 1 A P ) = det ( x I − J ) = f J ( x ) {\displaystyle f_{A}(x)=\det(xI-A)=\det P^{-1}\det(xI-A)\det P=\det(xI-P^{-1}AP)=\det(xI-J)=f_{J}(x)} より、
代数的閉体 K 上の有限次元線形空間を V とし、線形変換 ƒ : V → V をとる。 ƒ が半単純 (semisimple) であるとは、線形空間 V が V = ⨁ V λ {\displaystyle V=\bigoplus V_{\lambda }} と ƒ の固有値 λ ∈ K の固有空間 Vλ = { v ∈ V | ƒ(v) = λ } の直和として表せることである。 また ƒ が 冪零 (nilpotent) であるとは、ある自然数 r が存在して f = 0 となることである。
線形変換 ƒ : V → V に対して、半単純線形変換 ƒs と冪零線形変換 ƒn で
f = f s + f n , f s f n − f n f s = 0 {\displaystyle f=f_{\rm {s}}+f_{\rm {n}},\quad f_{\mathrm {s} }f_{\mathrm {n} }-f_{\mathrm {n} }f_{\mathrm {s} }=0}
, e s , 1 {\displaystyle e_{1,1},e_{2,1},\dotsc ,e_{s,1}} は ker  f {\displaystyle \ker f} の元で線形独立だから、これらに b 1 , b 2 , ... , b n − r − s {\displaystyle b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{n-r-s}} を加えて ker  f {\displaystyle \ker f} の基底を作る。また V の元 c 1 , c 2 , ... , c s {\displaystyle c_{1},c_{2},\dotsc ,c_{s}} を f ( c i ) = e i , n i {\displaystyle f(c_{i})=e_{i,n_{i}}} となるようにとる。このとき n 個のベクトル { e i , j } ∪ { b i } ∪ { c i } {\displaystyle \{e_{i,j}\}\cup \{b_{i}\}\cup \{c_{i}\}} が線形独立であることは容易に分かり、これらは V の基底である。 c i = e i , n i + 1 , b i = e k + i , 1 {\displaystyle c_{i}=e_{i,n_{i}+1},\ b_{i}=e_{k+i,1}} と番号づけると、これが f のジョルダン基底となる。