超限帰納法
帰納法の場合と同様に、異なる種類の順序数を別々に扱うことができる。超限再帰の別の定式化は以下の通り:
超限再帰定理(バージョン2). 集合 g1、クラス関数 G2、G3 が与えられたとき、次の関数 F: Ord → V が一意的に存在する。
F(0) = g1,
F(α + 1) = G2(F(α)), for all α ∈ Ord,
F ( λ ) = G 3 ( F ↾ λ ) {\displaystyle F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )} , for all limit λ ≠ 0.
G2, G3 の定義域は、上記の性質を意味のあるものにするのに十分広いことが必要であることに注意。これらの性質を満たす数列の一意性は、超限帰納法を用いて証明できる。
より一般的には、任意の整礎関係 Rに対する超限再帰によってオブジェクトを定義することができる。(ここで R は集合でなく、真クラスであっても集合状な関係であればよい; すなわち、任意の x に対し、yRxを満たす yの集まりが集合になっていればよい)
(必要ならば全ての β < α {\displaystyle \beta <\alpha } に対しての P ( β ) {\displaystyle P(\beta )} を仮定してもよい。)
極限ケース: 全ての極限順序数 λ {\displaystyle \lambda } に対して、 P ( λ ) {\displaystyle P(\lambda )} であることを P ( β ) {\displaystyle P(\beta )} (全ての β < λ {\displaystyle \beta <\lambda } について)から証明する。
この3つのケースは、考慮する順序数の種類を除けば全て同じである。これらは形式的には別々に考える必要はないが、実際には証明は別個に行う必要があるほど異なるのが普通である。0は極限順序数と見なされることがあり、極限順序数と同じケースとして証明で扱われることがある。