射影空間
がわかる。実射影空間に関しては、Sから RPn への二重被覆を用いて貼り合わせ写像の重複度を計算するとこの胞体分割に付随するホモロジー複体は、Ci = Z (i = 0, 1, ..., n) とおくとき
C 0 ⟵ 0 C 1 ⟵ 2 C 2 ⟵ ⋯ ← 1 + ( − 1 ) n C n {\displaystyle C_{0}{\overset {0}{\longleftarrow }}C_{1}{\overset {2}{\longleftarrow }}C_{2}\longleftarrow \cdots {\xleftarrow {1+(-1)^{n}}}C_{n}}
で与えられるので、整数係数のホモロジー群は
H i ( R P n , Z ) = { Z / 2 Z i ≡ 1 (mod 2) , 0 ≤ i ≤ n Z i = n ≡ 1 (mod 2) 0 otherwise {\displaystyle H_{i}(\mathbb {R} P_{n},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &i\equiv 1\;{\mbox{(mod 2)}},\;0\leq i\leq n\\\mathbb {Z} &i=n\equiv 1{\mbox{(mod 2)}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
となる。係数を Z2 = Z/2Z に取り換えると、複素射影空間の場合と類似性の強い
KPn の自明なベクトル束 K × KPn の部分ベクトル束 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} を
V = { ( v , p ) ∈ K n + 1 × K P n ∣ v ∈ V p } {\displaystyle {\mathcal {V}}=\{(v,p)\in K^{n+1}\times KP_{n}\mid v\in V_{p}\}}
で定め、 O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} を商束 K × KPn/ V {\displaystyle {\mathcal {V}}} とすると、 O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} は普遍直線束 O ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)} の双対直線束と同型になる。これを超平面直線束 (hyperplane line bundle) と呼ぶ。
で与えられる(1/aj は第 i 成分)ことから、この開被覆は RPn に多様体の構造(実射影空間)を、CPn に複素多様体の構造(複素射影空間)を与える。変換関数が有理関数で与えられる事から、任意の体 K に対しても、ザリスキ位相を考える事によって KPn は代数多様体となる。
射影空間の概念は純粋に代数的であり非常に標準的であるため、適切な枠組みを用いる事によって、その性質は体 K の取り方によらず共通しているものが多い。以下の記述は特に断らない限り、スキーム論の枠組みを用いる事で任意の体上の代数多様体としての射影空間に対して成り立つが、代数幾何学以外で重要な場合は体 K が実数体 R または複素数体 C の場合であるので、実射影空間および複素射影空間の場合に則した記述を行う。