開水路
開水路における運動量式は
( M 0 ) 2 − ( M 0 ) 1 = V sin  θ − F ρ g {\displaystyle \left(M_{0}\right)_{2}-\left(M_{0}\right)_{1}=V\sin \theta -{\frac {F}{\rho g}}}
で与えられる。ここで、 ( M 0 ) 1 , ( M 0 ) 2 {\displaystyle \left(M_{0}\right)_{1},\left(M_{0}\right)_{2}} :検査面1, 2での比力、 V {\displaystyle V} :コントロールボリュームの体積、 θ {\displaystyle \theta } :河床勾配、 F {\displaystyle F} :外力(摩擦力)である。これから、勾配が水平で外力が無視できるとき、比力が保存されることが分かり、比力保存則となる。
これは以下のようにして得られる。
まず、拡張された運動量を用いてRANS方程式(英語版)をユニフローにおいて他の保存則と同様のコントロールボリュームで積分すると、以下の式を得ることができる。
∫∫ A 1 M ^ 11 d A = ∫∫ A 2 M ^ 11 d A = c o n s t .
流れの平均流速を算出する式として、ここでは層流の場合の理論式と、乱流の場合の対数則、および経験則としてシェジー式とマニング式を説明する。
まず、流れが層流の場合を考える。するとこの時、主流速 U {\displaystyle U} の河床に垂直方向の分布は
U = g I 2 ν y ( 2 h − y ) {\displaystyle U={\frac {gI}{2\nu }}y\left(2h-y\right)}
となり、図6のように放物線を描く。よって、その最大流速 u m a x {\displaystyle u_{\rm {max}}} は水面で最大値
U m a x = g I h 2 2 ν {\displaystyle U_{\rm {max}}={\frac {gIh^{2}}{2\nu }}}
をとり、平均流速 v {\displaystyle v} は
v = g I h 2 3 ν = 2 3 U m a x {\displaystyle v={\frac {gIh^{2}}{3\nu }}={\frac {2}{3}}U_{\rm {max}}}
となる。これが流れが層流の場合の平均流速公式である。
またこの時、河床から 0.42 h {\displaystyle 0.42h} の点で平均流速をとることが分かり、実際に平均流速を測定するためには
水面下 0.6 h {\displaystyle 0.6h} の点の流速を直接測定する
v = C R I {\displaystyle v=C{\sqrt {RI}}}