ガウス整数
複数のガウス整数の共通の約数を公約数と呼ぶ。公約数が単数のみであるとき、それらのガウス整数たちは互いに素であるという。さて、公約数を定義したなら、最大公約数も定義したくなるが、次の注意が必要である。
複素数の間には大小関係が定義されていないので、「最大」の意味するところをはっきりさせる必要がある。
最大公約数は「一意」に存在するか。
最大公約数に期待される性質「任意の公約数は最大公約数の約数」が成り立つか。
1に対する一つの答として、「最大」とはノルムが最大と解釈すればよい。2と3についてはそれほど明らかではないが、後述するように、ガウス整数環においては素因数分解の一意性が成り立つことから、答は肯定的である。ただし、正確には最大公約数は完全に一意に決定するのではなく、同伴の違いにより4つ存在することになる(有理整数環における通常の最大公約数も、正のものと負のものの2つが存在する)。逆に言うと、素因数分解の一意性が成り立たない整数環においては、公約数や最大公約数を定義する意義があまりない。
ガウス整数環の特筆すべき性質として、素元分解整域(一意分解環などともいう)であるという事実がある。つまり、
任意のガウス整数は積の順序・同伴による違いを除いてガウス素数の積で一意に表すことができる
という定理がある。
例:
5 = (1 + 2i)(1 − 2i) = (2 + i)(2 − i)
は2通りの因数分解を与えているが、1 + 2i と 2 − i、1 − 2i と 2 + i がそれぞれ同伴であるので、これらは同じ因数分解とみなす。
(有理整数環で 6 = 2 × 3 = (−3) × (−2) は区別しないのと同様である)
素因数分解の一意性は、当然成り立つことであるかのように誤解されることは多い。初等教育・中等教育では、有理整数の素因数分解の一意性の非自明性について触れられることはほとんどないが、しかし √2 が無理数であることの証明で、素因数分解の一意性を用いずに証明している、という点が挙げられる。