自己同型
対象 X の自己同型全体が(真のクラスではなく)集合をなす場合、この集合は写像の合成の下に群をなす。この群を X の自己同型群と呼ぶ。これが群をなすことは、以下のことから簡単に確認できる。
閉性(Closure):2つの自己準同型の合成は再び自己準同型となる。
結合法則(Associativity): 射の合成は常に結合的である。
単位元(Identity): 対象からそれ自身への恒等写像は単位元となる。
逆元(Inverses): 定義より、全ての同型は逆写像を持つ。その逆写像も同型であり、また自己準同型でもあるため、それは自己同型となる。
圏 C の対象 X の自己同型群は、AutC(X) あるいは、圏が前後関係より明らかな場合は、単に Aut(X) と書く。
集合論では、集合 X 上の任意の置換は、自己同型である。X の自己同型群は、X の対称群とも呼ばれる。
初等的な算術(英語版)(elementary arithmetic)では、整数の集合 Z は加法の下で群とみることができ、符号の反転が唯一の非自明な自己同型となる。しかし、環と考えた場合は自明な自己同型しか持たない。一般的に、符号反転は任意のアーベル群上の自己同型になるが、環や体ではそうならない。
群の自己同型は、群からそれ自身への群同型である。非公式に言うと、構造を変化させない群上の置換である。すべての群 G に対して、像は内部自己同型(inner automorphism)の群 Inn(G) となり、核が G の中心となるような、自然な作用をもつ準同型 G → Aut(G) が存在する。従って、G が自明な中心を持つならば、G を G 自身の自己同型群に埋め込むことができる。
線型代数では、ベクトル空間 V の自己準同型が、線型変換 V → V である。自己同型は V 上の可逆な線型変換のことである。ベクトル空間が有限次元のとき、V の自己同型群は一般線型群 GL(V) と同じになる。
体の自己同型は、体から自分自身への全単射な環準同型である。有理数 Q と実数 R の場合には、非自明な体自己同型は存在しない。R が非自明な体自己同型を持つとすると、R の全体への拡大ができない(なぜならば、R は平方根を持つ数の性質を保たなくなるからであるからである)。複素数 C の場合は、R を R の中へ移す非自明な自己同型は複素共役ただ一つである。しかし、(選択公理を前提とすると、)無限個(非可算個の)「ワイルド」な自己同型が存在する。