ファデエフ＝ポポフゴースト
ゴースト場はゲージ場の理論を経路積分によって定式化する際に、あいまいさや特異性をもつ解を出さないように定式化するために必要となる。ゲージ対称性をもつ理論の場合、ゲージ変換で繋がる物理的に等価な解の中から一つだけ選び出す処方は存在しない。経路積分では、これらの等価な物理的状態に対応する場の配位が重複して計算されることによる問題が生じる。この重複は経路積分の測度の因子に含まれる。そのためファインマン・ダイアグラムなどの通常の方法を用いて、様々な量を元の作用から直接計算することができなくなる。
この問題はゴースト場を作用に追加してゲージ対称性を破ることにより解決することができる。この手法はファデエフ=ポポフの方法と呼ばれる。ゴースト場は現実の粒子ではなく計算上のツールであり、仮想粒子としてのみファインマン・ダイアグラムに現れるが、ユニタリティを保つために必要となる。
物理量はゲージの選び方に依らないにもかかわらず、ゴースト場の定式化はゲージの選び方に依存する。通常は、ファインマン=トホーフトゲージがもっとも単純である。以後このゲージを仮定する。
ゴースト場に対しては、スピン-統計性の関係が成立しない。これはゴースト場が非物理的な場であることの理由づけとなっている。例えば、量子色力学などのヤン=ミルズ理論では、ゴースト場はスピン 0 の実スカラー場であるが、フェルミオンのように反可換な場で表される。
一般に、ボゾン的な対称性に対しては反可換なゴースト場、フェルミオン的な対称性に対しては可換なゴースト場が必要となる。
ゲージ条件 Φ I ( A ) = 0 {\displaystyle \Phi ^{I}(A)=0} を課してゲージ変換の自由度を固定するとき、ゴースト場のラグランジアンは
L FP = i b I c a δ a Φ I ( A ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{FP}}=ib^{I}c^{a}\delta ^{a}\Phi ^{I}(A)}
で与えられる。ここで δ a {\displaystyle \delta ^{a}} は微小ゲージ変換である。 ゴースト場 c a ( x ) {\displaystyle c^{a}(x)} はゲージ群の随伴表現の添え字をもち、ゲージ変換のパラメータを反可換にしたような場である。 反ゴースト場 b I ( x ) {\displaystyle b^{I}(x)} は拘束条件と同じ添え字を持ち、ラグランジュの未定乗数を反可換にしたような場である。 ゴースト場はゴースト数 +1 をもち、反ゴースト場はゴースト数 -1 をもつ。
ヤン=ミルズ理論でのゴースト場 c a ( x ) , c ̄ a ( x ) {\displaystyle c^{a}(x),{\bar {c}}^{a}(x)} に対するラグランジアンは