位置空間と運動量空間
つまり L の全微分
d L = ∑ i = 1 n ( ∂ L ∂ q i d q i + ∂ L ∂ q ̇ i d q ̇ i ) + ∂ L ∂ t d t , {\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}
に対して、ラグランジアンの偏微分を一般化運動量の定義式およびオイラー=ラグランジュ方程式によって書き換えると、次の関係を得る。
d L = ∑ i = 1 n ( p ̇ i d q i + p i d q ̇ i ) + ∂ L ∂ t d t . {\displaystyle dL=\sum _{i=1}^{n}({\dot {p}}_{i}dq_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}
更に積の微分法則を用いると、一般化座標と一般化速度による微分が、一般化運動量とその時間微分による微分に置き換えられる。
p ̇ i d q i = d ( q i p ̇ i ) − q i d p ̇ i p i d q ̇ i = d ( q ̇ i p i ) − q ̇ i d p i {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {p}}_{i}dq_{i}&=d(q_{i}{\dot {p}}_{i})-q_{i}d{\dot {p}}_{i}\\p_{i}d{\dot {q}}_{i}&=d({\dot {q}}_{i}p_{i})-{\dot {q}}_{i}dp_{i}\end{aligned}}}
逆に、運動量空間における3次元波動関数 φ {\displaystyle \phi } (k)は、直交基底関数 φ {\displaystyle \phi } j(k)の重みを付けた和として表される。
φ ( k ) = ∑ j ψ j φ j ( k ) {\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\sum _{j}\psi _{j}\phi _{j}(\mathbf {k} )}
連続的な場合は、積分で表される。
φ ( k ) = ∫ r − s p a c e ψ ( r ) φ r ( k ) d 3 r {\displaystyle \phi (\mathbf {k} )=\int _{\mathbf {r} {\rm {-space}}}\psi (\mathbf {r} )\phi _{\mathbf {r} }(\mathbf {k} ){\rm {d}}^{3}\mathbf {r} }
位置演算子は次式で与えられる。
r ^ = i ħ ∂ ∂ p = i ∂ ∂ k {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}=i{\frac {\partial }{\partial \mathbf {k} }}}