ゲージ理論
δ ε A = [ ε , A ] − d ε {\displaystyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {A} =[\varepsilon ,\mathbf {A} ]-\mathrm {d} \varepsilon }
となる。ここに [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} はリーブラケットである。
素晴らしいことがあり、 δ ε X = ε X {\displaystyle \delta _{\varepsilon }X=\varepsilon X} であれば、 δ ε D X = ε D X {\displaystyle \delta _{\varepsilon }DX=\varepsilon DX} である。ここに D は共変微分
D X = d e f d X + A X {\displaystyle DX\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} X+\mathbf {A} X}
である。
また、 δ ε F = ε F {\displaystyle \delta _{\varepsilon }\mathbf {F} =\varepsilon \mathbf {F} } である。このことは、 F {\displaystyle \mathbf {F} } が共変に変換することを意味する。
全てではないが、一般に、ゲージ変換は無限小ゲージ変換により生成される。例として、底空間が多様体からリー群への写像が非自明である写像のホモトピー類が非自明であるようなコンパクト多様体である。例えば、インスタントン(英語版)(instanton)を参照。
他にもゲージ不変な作用は存在している(例えば、非線型電磁気学、ボルン・インフェルト作用(英語版)(Born–Infeld action)、チャーン・サイモンズモデル、テータ項(theta term)など)。
このラグランジアンの項の中には、 A {\displaystyle A} の一つと均衡を保つ変換をもつような場が存在しないことに注意します。この項のゲージ変換の下での不変性は、前提的に古典(幾何学的)対称性です。この対称性は量子化を遂行するために制限される必要があり、この過程はゲージ固定(英語版)(gauge fixing)ですが、制限した後でもゲージ変換は可能である。
そこで、ゲージ理論の完全なラグランジアンは
L = L l o c + L g f = L g l o b a l + L i n t + L g f {\displaystyle \ {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }={\mathcal {L}}_{\mathrm {global} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }}
となる。
L = 1 2 ( ∂ μ Φ ) T ∂ μ Φ − 1 2 m 2 Φ T Φ {\displaystyle \ {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\Phi )^{T}\partial ^{\mu }\Phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\Phi ^{T}\Phi }
とコンパクトに書くことができる。
項 ∂ μ {\displaystyle \partial _{\mu }} は、次元 4 のうちの各々で Φ {\displaystyle \Phi } の偏微分についてのアインシュタインの縮約記法を使っている。すると、G が n 次直交群 O(n) に属する定数行列であるときにはいつでも、変換
Φ ↦ Φ ′ = G Φ {\displaystyle \ \Phi \mapsto \Phi '=G\Phi }
の下にラグランジアンが不変であることが明らかとなる。 Φ {\displaystyle \Phi } の微分は Φ {\displaystyle \Phi } 自身へと変換され、両方の量はラグランジアンの中ではドット積で現れる(直交変換はドット積を保存する)ので、ラグランジアンが保存されることが分かる。
( ∂ μ Φ ) ↦ ( ∂ μ Φ ) ′ = G ∂ μ Φ {\displaystyle \ (\partial _{\mu }\Phi )\mapsto (\partial _{\mu }\Phi )'=G\partial _{\mu }\Phi }
この式は、特別なラグランジアンの大域対称性を特徴付け、対称群はゲージ群と呼ばれる。数学用語では、構造群であり、特にG-構造(英語版)(G-structure)の理論と呼ばれる。
上記の 2つの理論(連続電磁気学と一般相対論)は、連続体の理論の例である。連続体の理論の計算テクニックを暗に前提としている。
完全にゲージの選択を固定すると、個別の構成の境界条件は、原理的には完全に記述することが可能である。
完全にゲージを固定し一連の境界条件が与えられると、最小作用の原理は、これらの境界と整合性を持つ一意な数学的構成(従って一意な物理的状況)を決定する。
測定結果の可能性は次のように決定することができる。 全ての物理的状況の確率分布の確立は、設定情報と整合性を持つ境界条件により決定される。 可能な物理状況の各々の出力測定の確率分布の確立。 設定情報と整合性を持つ出力確率の分布を得るためのこれら 2つの確率分布の畳み込み。
ゲージ固定すると、境界条件の部分的情報の記述のゲージ依存性か、もしくは、理論の不完全性のどちらかのためのアノマリを計算から排除することができる。
これらの前提は充分に閉じられた形を持っているので、エネルギースケールや実験条件の広い範囲を渡って有効であり、光や熱、電気から日食、宇宙旅行と言ったことまでの日常生活の中で出くわす現象の大半について、理論は正確に予言することが可能である。数学的テクニック自体が破れるときである(理論自身の中の省略により)最も小さいスケールと最も大きなスケールのときのみ、理論がうまくいかない(最も有名な場合は、乱流とほかのカオス的な現象)。
標準模型は U(1) × SU(2) × SU(3) 対称性に基づく非可換ゲージ理論であり、1つの光子、3つのウィークボソン、および 8つのグルーオンの合計 12 のゲージボゾンを持つ。
ゲージ理論は重力を記述する一般相対論においても重要な役割を持つ。一般相対論の場合は、ゲージ場がテンソル場である。量子重力理論において、このゲージ場を量子化した重力子が存在すると考えられている。 ゲージ対称性は、一般相対論の一般共変性(principle of general covariance)の類似と見なすことができ、そこでの座標系は任意の時空の微分同相の下に自由に選択することができる。ゲージ対称性も微分同相対称性も両方とも、系の自由度の冗長性を反映している。
歴史的には、これらの概念は、初めは古典電磁気学で、そして後に一般相対性理論において考えられていた。しかしながら、以下に詳しく述べるように、ゲージ対称性の現代的な重要性は電子の相対論的量子力学である量子電磁気学において最初に現れた。今日、ゲージ理論は凝縮系物性論、原子核物理学、あるいは高エネルギー物理学の分野で非常に有用である。