一般ディリクレ級数
∑ k = 1 n a k = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + ∞ a n e ω z z d z {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+\infty }a_{n}{\frac {e^{\omega z}}{z}}dz}
が成立する。但し、積分路は、すべての λ k {\displaystyle \lambda _{k}} を通らない様にとる。
さらに、 x > σ c {\displaystyle \scriptstyle x>\sigma _{c}} であるならば、
a n = lim T → ∞ 1 T ∫ x x + T f ( x + i y ) e λ n ( x + i y ) d y {\displaystyle a_{n}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{x}^{x+T}\!\!f(x+iy)e^{\lambda _{n}(x+iy)}dy} 。
任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。
任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。
任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。
一般ディリクレ級数が Re  s > σ c {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{c}} を満たす複素数 s に対して収束し、 Re  s < σ c {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{c}} を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} が存在する。
この σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。 収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } 、常に発散する場合は + ∞ {\displaystyle \scriptstyle +\infty } と定める。
収束軸の値の求め方
一般ディリクレ級数
∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}