複素線積分
三角関数を含む積分に対して、ある種の代入を行って複素有理関数へと変換することで積分値が算出できる場合がある。
例として次のような積分を考える。
∫ − π π 1 1 + 3 ( cos  t ) 2 d t . {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }{1 \over 1+3(\cos {t})^{2}}\,dt.}
z = e と変数変換する。
cos  t = 1 2 ( e i t + e − i t ) = 1 2 ( z + 1 z ) {\displaystyle \cos t={1 \over 2}\left(e^{it}+e^{-it}\right)={1 \over 2}\left(z+{1 \over z}\right)}
および
d z d t = i z , d t = d z i z {\displaystyle {dz \over dt}=iz,\ dt={dz \over iz}}
であることを思い出すと、代入により積分は次のように書き直せる。C は単位円周。
Titchmarsh, E.C. (1939), The Theory of Functions (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 0-19-853349-7
Jean Jacquelin, Marko Riedel, Branche univalente, Les-Mathematiques.net, in French.
Marko Riedel et al., Problème d'intégrale, Les-Mathematiques.net, in French.
Marko Riedel et al., Integral by residue, math.stackexchange.com.
Various authors, sin límites ni cotas, es.ciencia.matematicas, in Spanish.
W W L Chen, Introduction to Complex Analysis
上記の方法は、次の形をした全ての積分に適用できる。
∫ 0 2 π P ( sin  ( t ) , sin  ( 2 t ) , ... , cos  ( t ) , cos  ( 2 t ) , ... ) Q ( sin  ( t ) , sin  ( 2 t ) , ... , cos  ( t ) , cos  ( 2 t ) , ... ) d t {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P(\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots )}{Q(\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots )}}\,dt}
ここで P と Q は多項式である(つまり、三角関数の有理関数の積分を考えている)。積分範囲は先の例のように π から -π まででも良いし、また 2π だけ離れた任意の区間でも良い。
変数変換 z = exp  ( i t ) {\displaystyle z=\exp(it)} を行うのが技巧である。このとき d z = i exp  ( i t ) d t {\displaystyle dz=i\exp(it)\,dt} だから、
1 i z d z = d t . {\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}
この変換により閉区間 [0, 2π] は複素平面の単位円周に写される。