楕円積分
第一種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第一種楕円積分の積分範囲を θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} までとしたものである。
K ( k ) = F ( π 2 , k ) = ∫ 0 π / 2 1 1 − k 2 sin 2  θ d θ {\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}d\theta }
k 2 sin 2  θ {\displaystyle k^{2}\sin ^{2}\theta } のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると
K ( k ) = ∫ 0 π / 2 ( 1 − k 2 sin 2  θ ) − 1 2 d θ = ∫ 0 π / 2 ( 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n ( k 2 sin 2  θ ) n n ! ) d θ = π 2 + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) !