アーベル総和法
また、このように {an} の級数を f(x) の左極限 x → 1− で定義する総和法をアーベル総和法と呼ぶ。
なお、f(x) は部分和
s n = ∑ k = 0 n a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}
によって、
f ( x ) = ( 1 − x ) ∑ n = 0 ∞ s n x n {\displaystyle f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}}
とも表すことができる。したがって、f(x) は部分和の列 {sn} に
∑ n = 0 ∞ ( 1 − x ) x n = ( 1 − x ) 1 1 − x = 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(1-x)x^{n}=(1-x){\frac {1}{1-x}}=1}
を満たす因子 (1 − x)x を乗じて、和を取っていることになる。