極値
同様に関数 f を定義域 U に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最大値であるとき値 f(p) を関数 f の極大値(local maximum)といい、点 p を関数 f の極大点(local maximum point)という。
極小値と極大値を総称して極値(extremum)といい、極小点と極大点を総称して極値点という。
上の条件に現れる d(p, q) < ε ⇒ f(p) ≤ f(q) を 0 < d(p, q) < ε ⇒ f(p) < f(q) へ置き換えたとき、値 f(p) を関数 f の狭義の極小値(strict local minimum)という。同様に狭義の極大値(strict local maximum)も定義される。またこれらを総称して狭義の極値という。(ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。)
数学の実解析において、実数値関数の極値(きょくち、英: extremum)とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。
n 次元ユークリッド空間 R の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが2回連続微分可能であるとする。
関数 f の停留点 p におけるヘッセ行列
∇ 2 f ( p ) = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ( p ) ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ( p ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ( p ) ⋯ ∂ 2 f ∂ x n 2 ( p ) ] {\displaystyle \nabla ^{2}f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(p)\end{bmatrix}}}
が正の定符号(∇ f(p) > 0)であるならば関数 f は点 p において狭義の極小値をとる。またヘッセ行列 ∇ f(p) が負の定符号(∇ f(p) < 0)であるならば関数 f は点 p において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 f は点 p において極値をとらない(このとき点 p は関数 f の鞍点と呼ばれる)。
この方法により、ヘッセ行列 ∇ f(p) が特異行列で停留点 p が退化している場合を除けば、極値判定ができる。