ディガンマ関数
を得る。但し、 γ = 0.5772 ... {\displaystyle \gamma =0.5772\ldots } はオイラーの定数である。
また、ディガンマ関数は次の漸化式を満たす。
ψ ( z + 1 ) = ψ ( z ) + 1 z {\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}
この関係式から、一般に
ψ ( z + n ) = ψ ( z ) + ∑ k = 1 n 1 z + k − 1 {\displaystyle \psi (z+n)=\psi (z)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z+k-1}}}
であり、特に z = 1 {\displaystyle z=1} とすれば、特殊値
ψ ( n + 1 ) = − γ + ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle \psi (n+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}
が得られる。