モーデルの定理
数学におけるモーデルの定理(モーデルのていり、英: Mordell's theorem)とは、有理数体 Q 上の楕円曲線 E の有理点と無限遠点 O のなすアーベル群 E(Q) が有限生成になる、という定理である。有限生成アーベル群の基本定理から有限生成アーベル群は次に同型であることが知られている。
Z ⊕ r ⊕ T ( r ≥ 0 ) {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus r}\oplus T\qquad (r\geq 0)}
ここで T {\displaystyle T} は有限アーベル群(ねじれ部分群)である。(r は E の階数(ランク)と呼ばれ、関連する予想にミレニアム懸賞問題のBSD予想がある。)
有限生成アーベル群 E(Q) の場合、ねじれ部分群 T は次のいずれかに同型となる(メイザーのねじれ定理)。
(i) Z / n Z ( 1 ≤ n ≤ 10 or n = 12 ) {\displaystyle {\text{(i)}}\;\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \qquad (1\leq n\leq 10\,{\text{ or }}\,n=12)}
(ii) Z / n Z ⊕ Z / 2 Z ( n = 2 , 4 , 6 , 8 ) {\displaystyle {\text{(ii)}}\;\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \;\oplus \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \qquad (n=2,4,6,8)}
モーデルの定理は後にアンドレ・ヴェイユによって代数体上のアーベル多様体の有理点のなす群に関するモーデル・ヴェイユの定理へと拡張された。
f : E ( Q ) → E ( Q ) / 2 E ( Q ) {\displaystyle f\colon E(\mathbb {Q} )\to E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )}
とし E(Q) の部分集合 A の f による像が E(Q)/2E(Q) であるとする。(すなわち f: A → E(Q)/2E(Q) が全射。いま A に演算は定義しない。)
このときモーデルの弱定理より A が有限集合でも構わないことがわかる。そこで A = { Q 1 , Q 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , Q n } {\displaystyle A=\{Q_{1},Q_{2},\cdot \cdot \cdot ,Q_{n}\}} とする。ここで正数 M を
M = max { C , H ( Q 1 ) , H ( Q 2 ) , ⋅ ⋅ ⋅ , H ( Q n ) } {\displaystyle M=\max\{C,H(Q_{1}),H(Q_{2}),\cdot \cdot \cdot ,H(Q_{n})\}}
と定めると次のモーデルの定理が成り立つ
E(Q) は {P ∈ E(Q), H(P) ≦ M} によって生成される。
高さの定義よりこれは有限集合でなので、結局 E(Q) は有限生成であることが分かる。