ポアンカレの定理
について、そのポアンカレ集合が D {\displaystyle D} で稠密であるならば、この系にはハミルトニアンと独立な運動の積分
Φ ( J , θ , ε ) = Φ 0 ( J , θ ) + ε Φ 1 ( J , θ ) + ε 2 Φ 2 ( J , θ ) + ⋯ {\displaystyle \Phi (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }},\epsilon )=\Phi _{0}(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})+\epsilon \Phi _{1}(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})+\epsilon ^{2}\Phi _{2}(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})+\cdots }
で各係数 Φ s {\displaystyle \Phi _{s}} が作用・角変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} の解析的な関数であるようなものは存在しない。
ポアンカレの定理は多自由度の近可積分系には一般に摂動パラメータに解析的に依存する非自明な積分が存在しないこと、あるいは可積分系は摂動パラメータ ε {\displaystyle \epsilon } に関して連続的には存在し得ないことを示している。