マイヤー・ヴィートリス完全系列
マイヤー・ヴィートリス完全系列のもう少しだけ難しい応用として、クラインの壷 X のホモロジー群の計算を挙げよう。二つのメビウスの帯 A, B をそれらの境界円にそって貼合せた和として X を分解すれば、A, B およびそれらの交わり A ∩ B は円にホモトピー同値であるから、マイヤー・ヴィートリス完全系列の非自明な部分は
となり、かつ自明な部分からは X の次元が 2 以上のホモロジーが消えることがわかる。実際、(メビウスの帯の境界円は中心円の周りを二重に覆うから)真ん中の写像 α は 1 を (2, −2) へ写す。特に α は単射であり、故に 2 以上の次元のホモロジーが消えることが出る。結局、Z の基底として (1, 0) および (1, −1) をとれば
H ~ n ( X ) ≅ δ 1 n ( Z ⊕ Z 2 ) = { Z ⊕ Z 2 if n = 1 0 if n ≠ 1 {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)\cong \delta _{1n}(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}}
が得られる。
k-次元球面 X = S のホモロジーをきちんと計算するために、A および B をそれらの交わりが (k − 1)-次元赤道球面にホモトピー同値な X の二つの半球面とする。k-次元半球面は k-次元円板にホモトピックで、これは可縮だから、A および B のホモロジー群は自明である。簡約ホモロジー群に対するマイヤー・ビートリス完全系列から
が得られる。
完全性から直ちに、写像 ∂* が同型になることがわかるので、0次元球面(二点)の簡約ホモロジーから帰納的に、
H ~ n ( S k ) ≅ δ k n Z = { Z if n = k 0 if n ≠ k {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(S^{k})\cong \delta _{kn}\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}n=k\\0&{\text{if }}n\neq k\end{cases}}}
が得られる。ただし、δ はクロネッカーのデルタである。
このように球面のホモロジー群は完全にわかっており、今のところ知られている球面のホモトピー群の場合(特に n > k の場合には殆ど知られていない)とは対照的である。