マートンのポートフォリオ問題
V ( t , x ) = max α , c E t , x [ ∫ t T e − ρ s u ( c s ) d t + e − ρ T u ( X T ) ] {\displaystyle V(t,x)=\max _{\alpha ,c}E_{t,x}\left[\int _{t}^{T}e^{-\rho s}u(c_{s})dt+e^{-\rho T}u(X_{T})\right]} subject to d X s = ( ( ( μ − r ) α s + r ) X s − c s ) d s + α s X s σ d W s , {\displaystyle {\mbox{subject to }}dX_{s}={\Big (}((\mu -r)\alpha _{s}+r)X_{s}-c_{s}{\Big )}ds+\alpha _{s}X_{s}\sigma dW_{s},} X t = x {\displaystyle X_{t}=x}
ただし、 ρ > 0 {\displaystyle \rho >0} は定数の割引パラメーターで、効用関数 u ( c ) {\displaystyle u(c)} はCRRA型効用関数である。つまり
u ( c ) = { c 1 − γ 1 − γ γ ≠ 1 , γ > 0 log  ( c ) γ = 1 {\displaystyle u(c)={\begin{cases}{\dfrac {c^{1-\gamma }}{1-\gamma }}&\gamma \neq 1,\gamma >0\\\log(c)&\gamma =1\end{cases}}}
である。