球函数に対するプランシュレルの定理
に属する函数 f の球変換として表せられる。ペイリー・ウィーナーの定理により、コンパクト台付き滑らかな SU(2)-不変函数の球変換はちょうど、指数的増加条件
| F ( λ ) | ≤ C e R ⋅ | I m λ | {\displaystyle |F(\lambda )|\leq Ce^{R\cdot |{\rm {Im}}\,\lambda |}}
を満足する C 上の正則函数の制限であるような R 上の函数である。G 上の函数として Φλ は L(C) において定義される球主系列の行列要素になっている。ただし、C は H 3 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{3}} の境界と同一視するものとする。表現は等式
π λ ( g − 1 ) ξ ( z ) = | c z + d | − 2 − i λ ξ ( g ( z ) ) {\displaystyle \pi _{\lambda }(g^{-1})\xi (z)=|cz+d|^{-2-i\lambda }\xi (g(z))}
で与えられる。また函数
スペクトル論により、局所コンパクト空間 X 上の測度 μ と、H0 と L(X, μ) の間のユニタリ変換 U で A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} に属する作用素の全体を対応する乗算作用素の全体の上へ写すものとが、本質的にただ一つ存在する。
この変換 U を球フーリエ変換あるいは単に球変換と呼び、μ をプランシュレル測度と呼ぶ。ヒルベルト空間 H0 は G 上の両側 K-不変自乗可積分函数全体の成す空間 L(K\G/K) と同一視することができる。
A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} の指標 χλ(即ち X の点)は、Cc(K\G/K) に属する f に対する等式
χ λ ( π ( f ) ) = ∫ G f ( g ) ⋅ φ λ ( g ) d g {\displaystyle \chi _{\lambda }(\pi (f))=\int _{G}f(g)\cdot \varphi _{\lambda }(g)\,dg}
を通じて G 上の正定値球函数 φλ によって記述することができる。ただし、π(f) は A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} における畳み込み作用素であり、積分は G のハール測度に関するものである。
G 上の球函数 φλ はハリッシュ=チャンドラの公式
↑ Helgason 1984
↑ Beerends 1987, pp. 4–5
↑ Helgason, p. 447
↑ Helgason 1984, p. 267
↑ Helgason 1984, p. 430
↑ Helgason 1984, p. 435
↑ Helgason 1978, p. 403
↑ Helgason 1984, p. 436
↑ Halgason 1984, p. 447
↑ Knapp 2001, Chapter VII
↑ Knapp 2001, p. 177
↑ Knapp 2001, p. 182
↑ Helgason 1978, p. 407
↑ Helagson 1984, p. 484
↑ Helgason 1978, p. 414
↑ Helgason 1984, p. 437
↑ 後者の、台に関する主張はムスタパ・ライスの結果の代わりにコスタント多項式を対応させる明示的手法を用いて、フレンステッド-イェンゼンの証明から従う。
↑ Helgason 1984, pp. 452–453
↑ Rosenberg 1977
↑ Helgason 1984, p. 588–589
↑ Anker 1991, p. 347
↑ Helgason 1984, p. 489
を満足する。一方、
b ( λ ) = f λ ( i ) = ∫ sin  λ t λ sinh  t d t = π λ tanh  π λ 2 , {\displaystyle b(\lambda )=f_{\lambda }(i)=\int {\sin \lambda t \over \lambda \sinh t}\,dt={\pi \over \lambda }\tanh {\pi \lambda \over 2},}
は ±R, ±R + πi を頂点とする矩形の周りで e i λ t / sinh  t {\displaystyle e^{i\lambda t}/\sinh t} を積分することによって計算できる。このとき固有函数
φ λ = b ( λ ) − 1 M 1 Φ λ {\displaystyle \phi _{\lambda }=b(\lambda )^{-1}M_{1}\Phi _{\lambda }}
は正規化条件 φλ(i) = 1 を満足する。このような解は、常微分方程式のロンスキ行列式が消えるか、さもなくば sinh r を不定元とする冪級数に展開されるかの何れかでなければならない。これにより、
φ λ ( e t i ) = 1 2 π ∫ 0 2 π ( cosh  t − sinh  t cos  θ ) − 1 − i λ d θ {\displaystyle \varphi _{\lambda }(e^{t}i)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }(\cosh t-\sinh t\cos \theta )^{-1-i\lambda }\,d\theta }
c s α ( λ ) = c 0 2 − i ( λ , α 0 ) Γ ( i ( λ , α 0 ) ) Γ ( 1 2 ( 1 2 m α + 1 + i ( λ , α 0 ) ) Γ ( 1 2 ( 1 2 m α + m 2 α + i ( λ , α 0 ) ) {\displaystyle c_{s_{\alpha }}(\lambda )=c_{0}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))}}
が導かれる。ただし
c 0 = 2 m α / 2 + m 2 α Γ ( 1 2 ( m α + m 2 α + 1 ) ) {\displaystyle c_{0}=2^{m_{\alpha }/2+m_{2\alpha }}\Gamma ({1 \over 2}(m_{\alpha }+m_{2\alpha }+1))}
とする。c(λ) に対する一般のギンディキン-カルペレヴィッチの公式(英語版)は、この公式と cs(λ) の乗法性の帰結として、直ちに得られる。