佐藤・テイト予想
2006年3月18日、ハーバード大学のリチャード・テイラー(Richard Taylor)は、ローラン・クローゼル(英語版)(Laurent Clozel)やミカエル・ハリス(英語版)(Michael Harris)やニコラス・シェパード-バロン(英語版)(Nicholas Shepherd-Barron)との共同研究の結果として、ある条件を満たす総実体上の楕円曲線の佐藤・テイト予想の証明の最終段階を、彼のウェブページに掲載した。 それ以来、3つの論文のうち 2つが出版されている。 さらに、結果はアーサー・セルバーグの跡公式(英語版)(Arthur–Selberg trace formula)の形を改善する条件となっている。ハリスは、そのような予想されている跡公式から従う 2つの楕円曲線(同種ではない)の積から得られる結果の条件付き証明(英語版)(conditional proof)を得ている。 2008年7月8日 (2008-07-08)現在、リチャード・テイラーは、彼のウェブサイトへ論文(トーマス・バーネット-ラム(英語版)(Thomas Barnet-Lamb)、ダヴィッド・ゲラティ(英語版)(David Geraghty)とミカエル・ハリスの共著)を掲載していて、そこではウェイトが 2 に等しいかまたは大きな任意の非CM正則モジュライ形式についての佐藤・テイト予想へ一般化されたヴァージョンを、直前の論文の本質的にはモジュラ性の結果を改善することで証明したと主張している。 彼らはまた、跡公式に関係するいくつかの問題がミカエル・ハリスの「ブックプロジェクト」 と、Sug Woo Shin との共同研究により解決したと主張している。
E を有理数体上定義された楕円曲線とする。これは整数に係数をもつ多項式によりあらわす事ができ、この多項式を素数 p を法として考えることによりほとんど全ての p について有限体 Fp 上の楕円曲線 Ep を定めることができる(ここで例外となるのは Ep が特異点をもつ場合だが、そのような素数 p は有限個しかない)。Np で Ep の有限体上に定義された点の数を表わすとすると、楕円曲線のハッセの定理により、
− 1 < ( p + 1 − N p ) 2 p =: a p 2 p < 1 {\displaystyle -1<{\frac {(p+1-N_{p})}{2{\sqrt {p}}}}=:{\frac {a_{p}}{2{\sqrt {p}}}}<1}
となる。このことから、θp を、
p + 1 − N p 2 p = cos  θ p ( 0 ≤ θ p ≤ π ) {\displaystyle {\frac {p+1-N_{p}}{2{\sqrt {p}}}}=\cos {\theta _{p}}~~(0\leq \theta _{p}\leq \pi )}
をみたす実数として定義する。