アーベルの連続性定理
となる。 s n z n → 0 {\displaystyle s_{n}z^{n}\rightarrow 0} であるから、
f ( z ) = ( 1 − z ) ∑ n = 0 ∞ s n z n = ( 1 − z ) ∑ n = 0 m − 1 s n z n + ( 1 − z ) ∑ n = m ∞ s n z n {\displaystyle f(z)=(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}z^{n}=(1-z)\sum _{n=0}^{m-1}s_{n}z^{n}+(1-z)\sum _{n=m}^{\infty }s_{n}z^{n}}
と表せる。 s n → 0 {\displaystyle s_{n}\rightarrow 0} より、任意の正の実数 ε に対して十分大きな m {\displaystyle m} 以降の項 s n {\displaystyle s_{n}} は | s n | < ε {\displaystyle |s_{n}|<\varepsilon } にできるので、十分大きな m {\displaystyle m} 以降の項の和の絶対値 | ∑ n = m ∞ s n z n | {\displaystyle \left|\sum _{n=m}^{\infty }s_{n}z^{n}\right|} は幾何級数 ε ∑ n = m ∞ | z | n = ε | z | m / ( 1 − | z | ) < ε / ( 1 − | z | ) {\displaystyle \varepsilon \sum _{n=m}^{\infty }|z|^{n}=\varepsilon |z|^{m}/(1-|z|)<\varepsilon /(1-|z|)} で上から評価される。