定数関数
定数関数は、合成関数に関して、二つの方法で特徴づけられる。
次の条件はすべて同値である:
f: A → B は定数関数である。
すべての関数 g, h: C → A に対して、f ∘ g = f ∘ h が成り立つ(ここで "∘" は関数の合成を表す)。
f と他の任意の関数との合成は、定数関数である。
上述の定数関数についての初めの特徴づけは、圏論の分野におけるより一般的な定数射の概念の性質を定義する上での動機となるものである。
前順序集合の間の定値写像は、順序を保存しかつ順序を逆にする写像である。逆に、f が順序を保存し、かつ逆にする写像であり、さらに f の定義域が束であるなら、f は必ず定値写像である。
定値写像の性質には、他に次のようなものがある:
始域と終域が等しいすべての定値写像は、冪等である。
位相空間の間のすべての定値写像は、連続写像である。
連結集合上の関数が局所定数関数であるための必要十分条件は、それが定数関数であることである。