フロベニウスの硬貨交換問題
数学的には、問題は次のように定式化される。
互いに素(すなわち gcd (a1, a2, ..., an) = 1)である正の整数 a1, a2, ..., an が与えられたとき、これらの数の整数の和(錐結合)、つまり k1a1 + k2a2 + ... + knan
で表現できない最大の整数を求めよ。ここで係数 k1, k2, ..., kn は非負整数とする。
この最大の整数を集合 {a1, a2, ..., an} のフロベニウス数と呼び、g(a1, a2, ..., an) で表される。
フロベニウス数が存在するためには、最大公約数 (GCD) が1であることが必要である。最大公約数が1でないならば、最大公約数の倍数ではないすべての整数は、その集合の要素の錐結合で表せないだけでなく、線形和としても表現できないため、最大の整数は存在しない。例えば、4円と6円の2種類の硬貨では、最大公約数は2(円)になるため、何枚組み合わせても奇数円を作ることはできない。一方、最大公約数が1である場合は常に、{a1, a2, ..., an} の錐結合で表せない整数の集合は、シューアの定理により限りがあるため、フロベニウス数が存在する。