自己回帰移動平均モデル
ARMAモデルの一般化として次が挙げられる。
非線型自己回帰移動平均モデル (NARMA): Xt の過去の値や誤差項 εt との依存関係を線形に限定しない
自己回帰条件付き分散変動モデル (ARCH)
自己回帰和分移動平均モデル (ARIMA)
ベクトルARIMAモデル
季節ARIMAモデル (SARIMA): 季節変動効果の考慮
多変量自己回帰モデル (MAR)
p {\displaystyle p} 次の自己回帰 (AR) および q {\displaystyle q} 次の移動平均 (MA) からなる自己回帰移動平均モデル ARMA(p, q) {\displaystyle {\text{ARMA(p, q)}}} は以下のように定義される。
X t = c + ∑ i = 1 p φ i X t − i + ∑ i = 0 q θ i ε t − i {\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{i=0}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}}
ここで c {\displaystyle c} は定数、 φ k {\displaystyle \varphi _{k}} は自己回帰パラメータ、 θ k {\displaystyle \theta _{k}} は移動平均パラメータ ( θ 0 = 1 {\displaystyle \theta _{0}=1} )、 ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} は時刻 t {\displaystyle t} におけるホワイトノイズである。
すなわちARMAモデルでは、各時刻でサンプリングされたホワイトノイズが過去時刻 q {\displaystyle q} まで重み付け和でフィードフォワードされ、また過去時刻 p {\displaystyle p} まで出力が線形フィードバックされ、定数に足しこまれることで現在値が得られる。