リアプノフ指数
λ = 1 n ln  | ∏ i = 0 n − 1 f ′ ( x i ) | = 1 n ∑ i = 0 n − 1 ln  | f ′ ( x i ) | {\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n}}\ln \left|\prod _{i=0}^{n-1}f'(x_{i})\right\vert ={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln \left|f'(x_{i})\right\vert }
となる。さらに上式において n → ∞ とした極限値が存在するとき、その極限値を初期値 x0 から出発する軌道のリアプノフ指数と呼ぶ。
λ = lim n → ∞ 1 n ∑ i = 0 n − 1 ln  | f ′ ( x i ) | {\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|}
1968年に発表されたValery Oseledecの多重エルゴード定理により、n → ∞ の極限値が存在すること、ほとんどすべての初期値 x0 で λ は同じ値に収束することが証明されている。対象とする力学系のアトラクターの吸引域内の初期値であれば、全ての初期値で同じ λ の値に収束する。
である j + 1 次元立方体の箱を考え、容量次元と同じように、ストレンジアトラクタの不変集合をこの箱を何個も当てながら全体を覆うことを考える。このとき、覆うのに必要な箱の数 N は、
N = exp  [ ( λ 1 − λ j + 1 ) t ] × exp  [ ( λ 2 − λ j + 1 ) t ] × ⋯ × exp  [ ( λ j − λ j + 1 ) t ] {\displaystyle N=\exp \left[(\lambda _{1}-\lambda _{j+1})t\right]\times \exp \left[(\lambda _{2}-\lambda _{j+1})t\right]\times \cdots \times \exp \left[(\lambda _{j}-\lambda _{j+1})t\right]}
と推論できる。よって、容量次元と同様の定義から、