汎函数行列式
形式的には有限次元の場合から無限次元の場合への直観を働かせれば、測度は次の式となる。
D φ = ∏ i d c i 2 π . {\displaystyle {\mathcal {D}}\phi =\prod _{i}{\frac {dc_{i}}{2\pi }}.}
このことから汎函数積分はガウス積分の積になる。
構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikipedia.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \int_V \mathcal D \phi \; e^{-\langle \phi|S|\phi\rangle} = \prod_i \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dc_i}{2\pi} e^{-\lambda_ic_i^2}. }
従って、積分は計算ができて、次の式となる。
∫ V D φ e − ⟨ φ | S | φ ⟩ = ∏ i 1 2 π λ i = N ∏ i λ i {\displaystyle \int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \lambda _{i}}}}}={\frac {N}{\sqrt {\prod _{i}\lambda _{i}}}}}
S をコンパクトな台を持つ正定値で滑らかな(微分可能な)係数をもつ楕円型微分作用素とする。つまり、ある定数 c > 0 が存在し、
⟨ φ , S φ ⟩ ≥ c ⟨ φ , φ ⟩ {\displaystyle \langle \phi ,S\phi \rangle \geq c\langle \phi ,\phi \rangle }
をすべてのコンパクトな台を持つ滑らかな函数 φ に対して成り立つとする。すると、S は下界 c を持つ L の自己共役作用素へ拡大が可能である。S の固有値は数列
0 < λ 1 ≤ λ 2 ≤ ⋯ , λ n → ∞ . {\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\qquad \lambda _{n}\to \infty .}
として並べることができ、従って S のゼータ函数は級数により定義される。を参照のこと。
ζ S ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 λ n s . {\displaystyle \zeta _{S}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}.}
ζS が全複素平面での有理型関数に拡張できる。 さらに、一般的な状況下ではゼータ函数を定義できるが、ゼータ函数は楕円型微分作用素(もしくは擬微分作用素)は s = 0 {\displaystyle s=0} で正規(regular)となる。
形式的に、この級数を項別に微分すると、