物質微分
物質微分(ぶっしつびぶん、英: material derivative)とは流れに乗って移動する流体粒子の物理量 (温度や運動量)の時間変化率のことで、連続体力学の概念の一つである。固定された場所での物理量の時間変化でなく、流れに乗って動く仮想的な「観測者」が観た物理量の時間変化を記述する。
物質微分はラグランジュ描像に基づく時間変化をオイラー描像に基づく時間変化で記述したものである。物体固有の時間変化を記述するものなので物質微分 D / D t {\displaystyle \mathrm {D} /\mathrm {D} t} は偏微分 ∂ / ∂ t {\displaystyle \partial /\partial t} と違いガリレイ不変(英語版)である。
名称としては他に、物質時間微分、流れに乗って移動するときの微分、実質微分、ラグランジュ微分などとも呼ばれる。
速度場 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} の流れにおける、スカラー場 φ ( x , t ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)} およびベクトル場 A ( x , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}},t)} の物質微分は以下のように表される。
D φ D t = ∂ φ ∂ t + v ⋅ ∇ φ {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \varphi }
D A D t = ∂ A ∂ t + v ⋅ ∇ A {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {A}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}}
ここで、それぞれの式の右辺第2項を移流項、対流項と呼び、非一様な物理量の分布の中を移動したことで観測される物理量の変化率を表す。