ヴァンデルモンドの行列式
線型代数学において、ヴァンデルモンドの行列式(ヴァンデルモンドのぎょうれつしき、英: Vandermonde's determinant)とは、ある特殊な形をした正方行列の行列式である。名称は18世紀のフランスの数学者であるアレクサンドル=テオフィル・ヴァンデルモンド(フランス語版、英語版)に因む。ヴァンデルモンドは「ファンデルモンド」と表記されることもある。ファン (前置詞) も参照。
ヴァンデルモンドの行列式は、各行の公比の差積に等しい。具体的には、上記の行列 V に対して
det V = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x i − x j ) {\displaystyle \det V=\textstyle \prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})=(-1)^{n(n-1)/2}\prod \limits _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}-x_{j})}
が成り立つ。n = 2, 3 の場合を書き下せば、
| 1 x 1 1 x 2 | = x 2 − x 1 , {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\end{vmatrix}}=x_{2}-x_{1},}
| 1 x 1 x 1 2 1 x 2 x 2 2 1 x 3 x 3 2 | = ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) ( x 2 − x 1 ) {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&x_{1}&{x_{1}}^{2}\\1&x_{2}&{x_{2}}^{2}\\1&x_{3}&{x_{3}}^{2}\end{vmatrix}}=(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})(x_{2}-x_{1})}
である。公式より直ちに分かることとして、x1, ..., xn が全て異なるとき、かつそのときに限り、ヴァンデルモンドの行列式は 0 ではない。