同程度連続
(fn) を、実数全体の集合 R の部分集合 X 上で定義された実数値関数 fn : X → R の列とする(より一般の関数に関する定義は後述)。
この列 (fn) が同程度連続であることの定義は、任意の ε > 0 と x ∈ X に対し、適切な δ > 0 を選べば、任意の自然数 n と |x - x′| < δ なる任意の x' ∈ X に対し、|fn(x) - fn(x′)| < ε が成立することである。
さらに、関数列 (fn) が一様に同程度連続であることの定義は、任意の ε > 0 に対し、適切な δ > 0 を選べば、任意の自然数 n と |x - x′| < δ なる任意の x, x′ ∈ X に対し、|fn(x) - fn(x′)| < ε が成立することである。
参考までに、列 (fn) の全ての関数が連続であることの定義を記すと、任意の自然数 n, ε > 0 と x ∈ X に対し、適切な δ > 0 を選べば、|x - x′| < δ なる任意の x′ ∈ X に対し、|fn(x) - fn(x′)| < ε が成立することである。
この3つの定義の相違を以下にまとめる。連続性においては、δ は ε, n, x の全てに依存して選んでよい。しかし、同程度連続性においては、δ は n に依存してはならず、一様な同程度連続性においては、δ は n と x のどちらにも依存せずに選べなくてはならない。
冒頭で述べたように、同程度連続な関数列が各点収束するとき、その極限関数は連続である。以下しばらく、関数は全て R の部分集合 X から R への関数とする。
定理1:関数列 (fn) が同程度連続であるとする。ある関数 f が、任意の x ∈ X に対し fn(x) → f(x) (n → ∞) を満たすとき、f は連続である。
定理1の仮定は幾分弱めることができる。関数列が稠密な部分集合上で各点収束すれば十分である。
定理2:関数列 (fn) が同程度連続であるとする。また、D は X の稠密な部分集合であるとする。x ∈ D に対し fn(x) が収束するならば、fn(x) は(D の元に限らない)任意の x ∈ X に対して収束し、極限関数は連続である。
fn の定義域 X が閉区間 [0, 1] の場合はもう少し強い結果が従う。まず、同程度連続性と一様な同程度連続性は一致する。
定理3:閉区間 [0, 1] 上の実数値関数の列 (fn) が同程度連続ならば、その列は一様に同程度連続でもある。
そして、同程度連続で各点収束するならば一様収束であることが従う。
定理4:閉区間 [0, 1] 上の実数値関数の列 (fn) が同程度連続であり、さらに各点 x ∈ [0, 1] に対し fn(x) → f(x) とする。