ウィグナー関数
P(x, p) は実関数である。
x および p の確率密度関数は次の周辺確率により与えられる。 ∫ − ∞ ∞ d p P ( x , p ) = ⟨ x | ρ ^ | x ⟩ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle } 系が純粋状態ならば ∫ − ∞ ∞ d p P ( x , p ) = | ψ ( x ) | 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P(x,p)=|\psi (x)|^{2}} ∫ − ∞ ∞ d x P ( x , p ) = ⟨ p | ρ ^ | p ⟩ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,P(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle } 系が純粋状態ならば ∫ − ∞ ∞ d x P ( x , p ) = | φ ( p ) | 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\,P(x,p)=|\varphi (p)|^{2}} ∫ − ∞ ∞ d x ∫ − ∞ ∞ d p P ( x , p ) = T r ( ρ ^ ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} p\,P(x,p)=\mathrm {Tr} ({\hat {\rho }})} 通常密度行列 ˆρ のトレースは1である。
Levanda, M.; Fleurov, V. (2001). “Wigner quasi-distribution function for charged particles in classical electromagnetic fields”. Annals of Physics 292: 199–231. arXiv:cond-mat/0105137.