ファジィ集合
A ⊞ B , A ∔ B , A + B ⟺ def μ A + B ( x ) := μ A ( x ) + μ B ( x ) − μ A ( x ) ⋅ μ B ( x ) {\displaystyle A\boxplus B,\quad A\dotplus B,\quad A+B{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{A+B}(x):=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-\mu _{A}(x)\cdot \mu _{B}(x)}
実数全体の成す集合の部分集合 A ⊂ R が μA(x) = 1 なる元に挟まれた区間となっているようなファジィ集合 ~A = (R, μA) をファジィ区間 (fuzzy interval) という。ファジィ数と同様に、帰属函数 μA は凸かつ正規化され、少なくとも区分的に連続とする
↑ AAAI
↑ Goguen, Joseph A., 196, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174
↑ "Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility," Fuzzy Sets and Systems 1: 3–28
↑ J. A. Goguen "Categories of fuzzy sets : applications of non-Cantorian set theory" PhD Thesis University of California, Berkeley, 1968
↑ Michael Winter "Goguen Categories:A Categorical Approach to L-fuzzy Relations" 2007 Springer ISBN 9781402061639
1 2 Michael Winter "Representation theory of Goguen categories" Fuzzy Sets and Systems Volume 138, Issue 1, 16 August 2003, Pages 85–126
↑ Goguen, J.A., "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18(1):145–174, 1967
あるファジィ集合の要素である度合いは、メンバシップ関数によって表される。例えばある年齢の人間を「若者」「中年」「老人」という3種類にわけることを考える。このときどこまでの年齢を若者とするか老人とするかは人によって意見の分かれる部分である。ファジィ理論ではこのような曖昧な事象を定量化し、集合のように扱うことを可能にする。例えば若者に属する集合を A、中年に属する集合を B、老人に属する集合を Cとすると「35歳の人間」 x は
μ A ( x ) = 0.2 {\displaystyle \mu _{A}(x)=0.2}
μ B ( x ) = 0.7 {\displaystyle \mu _{B}(x)=0.7}
μ C ( x ) = 0.1 {\displaystyle \mu _{C}(x)=0.1}
という風に表す、ここでは35歳の人間は0.7の割合で中年に属し0.2の割合で若者に属し0.1の割合で老人に属すると置いている(実際に正しいかどうかは別、あくまでこのように定義するという指標)。このとき μ A ( x ) + μ B ( x ) + μ C ( x ) = 1 {\displaystyle \mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)+\mu _{C}(x)=1} である。
A ̄ ⟺ def μ A ̄ ( x ) := 1 − μ A ( x ) {\displaystyle {\overline {A}}{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}\mu _{\overline {A}}(x):=1-\mu _{A}(x)}
となるメンバシップ関数をもつ集合と定義される。また対等関係、包含関係は以下のように表す。
凸かつ正規化された帰属函数 μA を持つ実数からなるファジィ集合 ~A = (R, μA) (A ⊂ R) がファジィ数であるとは、その帰属函数が少なくとも区分的に連続かつ、少なくとも一点において μA(x) = 1 となるものをいう。
この概念は、相手の体重を推測して正解により近い値を答えたほうが勝ちという「体重当て」遊びにも近いものがある。この場合、実体重を正確に言い当てることが帰属函数の値が 1 になることに相当する。