リースの補題
バナッハ空間上で作用するコンパクト作用素のスペクトル性は、行列のそれと同様である。リースの補題はこの事実を本質的に示すものである。
リースの補題により、任意の無限次元ノルム空間は、0 < α < 1 に対して | x n − x m | > α {\displaystyle |x_{n}-x_{m}|>\alpha } を満たす単位ベクトルの列 {xn} を含むことが分かる。この結果は、無限次元バナッハ空間上のある測度の非存在を示す上で有用となる。
この補題はまた、ノルム線型空間 X が有限次元かどうかを示す上でも用いられる。すなわち、閉単位球がコンパクトであるなら、X は有限次元である(背理法により証明される)。
リースの補題は、無限次元ノルム空間 X の単位球はコンパクトになり得ないことを証明する上で直接的に用いられる。単位球面から一つの元 x1 を選ぶ。その後 xn を、次が成り立つように単位球面から選んでいく:
{x1 ... xn−1} の張る線型部分空間 Yn−1 とある定数 0 < α < 1 に対して、 d ( x n , Y n − 1 ) > α {\displaystyle d(x_{n},Y_{n-1})>\alpha } 。}
明らかに {xn} は収束部分列を持たないため、単位球はコンパクトでないことが分かる。
この逆は、より一般的な状況でも成り立つ。位相ベクトル空間 X が局所コンパクトであるなら、それは有限次元である。すなわち局所コンパクト性は有限次元性を特徴付けるものである。この古典的結果もリースによるものである。
その簡単な証明は次のようになる:C を 0 ∈ X のコンパクトな近傍とする。コンパクト性より、次を満たす c1, ..., cn ∈ C が存在する:
C = ⋃ i = 1 n ( c i + 1 2 C ) . {\displaystyle C=\bigcup _{i=1}^{n}\;\left(c_{i}+{\frac {1}{2}}C\right).}
{ci} によって張られる有限次元部分空間 Y あるいはその閉包は、X であることを示す。実際、スカラー乗算は連続であるので、C ⊂ Y を示せば十分である。帰納法より、すべての m に対して
C ⊂ Y + 1 2 m C {\displaystyle C\subset Y+{\frac {1}{2^{m}}}C}
が成り立つ。しかしコンパクト集合は有界なので、C は Y の閉包に含まれる。以上で証明は完成された。