交点数 (代数幾何学)
交点数は、部分的には、ベズーの定理を満たす交叉を定義せよという要求に動機を持っている。
交点数は、固定点の研究から発生している。固定点は、対角線をもつ函数のグラフの交叉として、うまく定義することができる。固定点での交叉数の計算は、多重度をもつ固定点を数え、数値的な形をしたレフシェッツ不動点定理を導く。
代数多様体の場合の普通に構成するときの定義は、段階を踏む。以下に与える定義は、非特異多様体 X の上の因子の交点数の定義である。
1. 定義から直接計算することのできる唯一の交点数は、x で一般の位置にある超曲面(X の余次元 1 の部分多様体)の交点の場合である。特に、X を非特異と仮定し、次の関係を満たすような多項式 fi(t1, ..., tn) に対して、x の近傍で局所的に方程式 f1, ..., fn をもつ n 個の超曲面 Z1, ..., Zn をとる。
n = dim k  X {\displaystyle n=\dim _{k}X} .
全ての i に対し、 f i ( x ) = 0 {\displaystyle f_{i}(x)=0} (つまり、x は超曲面の交叉である。)
dim x ∩ i = 1 n Z i = 0 {\displaystyle \dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0} (つまり、因子は一般の位置にある。)
x で f i {\displaystyle f_{i}} は非特異である。
すると、x での交点数は、
( Z 1 ⋯ Z n ) x := dim k  O X , x / ( f 1 , ... , f n ) {\displaystyle (Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots ,f_{n})} ,