ランチェスターの法則
古典的な戦闘と近代的な戦闘で従う法則に違いが生じるのは、剣や弓矢による古典的な戦闘では個々の味方が個々の敵を相手とする一騎討ちを基本とした局地戦になるのに対し、小銃やマシンガンを利用した近代的な戦闘では集団的な行動をとる味方が、乱射により不特定の敵を確率的に殺していくものだからである。
古典的な戦闘の場合には、個々人による一騎討ちの寄せ集めであるので、戦争による戦闘員の消耗は単純に味方の人数と敵の人数の一次式になる(一次法則)。それに対し近代的な戦闘の場合、戦闘員の消耗は味方の人数と敵の人数の2次式(双曲線)になることが示せる(二次法則)。よって古典的な戦闘とは消耗する人数が大きく異なり、近代的な戦闘では古典的な戦闘と比べ、人数が多い方の軍隊が大幅に有利になる(後述)。
なお、戦後になってからランチェスターの法則を導出した数理モデルは経営学にも一部応用されており、フォルクスワーゲンのセールス戦略をこれにより説明するなどがされている(後述)。経営コンサルタントの田岡信夫は自身の研究を踏まえてこれを易しく解説した本を書いており、日本では「ランチェスター経営戦略」と呼ばれている。
ランチェスターの法則の式を見ると、もし初期の兵員数を変えることができないとしたら、勝つためには E {\displaystyle E} を増やす、つまり性能のよい武器を使うことが重要であることがわかる。しかし、それ以上に大切なのが、製品ライフサイクルの段階によって、第1法則と第2法則のどちらを使って戦闘を行う(グー・パー・チョキ理論)か、ということである。 また、軍事理論をマーケティングにそのままあてはめる(「戦闘力」=「営業力」、「兵員数」=「量」、「武器性能」=「質」に置き換えて考える)のは、なかなか困難なことである。
軍事における強者とは、兵員数が多い方の軍のことである。
ビジネスにおける強者とは、市場シェアが1位であることである。
第1法則と第2法則を比較すると、A軍の損害は、第2法則を適用したときのほうが少ない。よって、強者であるA軍は、できるだけ軍力を残すように第2法則を適用できる戦場で戦うべきである。
時刻tにおける自軍、敵軍の人数をそれぞれxt、ytとすると、一次法則は
x t α − y t β {\displaystyle {x_{t} \over \alpha }-{y_{t} \over \beta }}
が、戦闘がはじまってからの経過時間tによらず一定であるという法則である。ここでα、βはそれぞれ敵軍、自軍における兵器や戦闘員の能力を表す定数である。(なお自軍、敵軍とも戦闘の途中で戦闘員を追加することはないものとする)。
実際、Yと X ′ {\displaystyle X'} の戦闘に対してランチェスターの二次法則を適応すれば、 X ′ {\displaystyle X'} との戦闘が終了した時刻t1でのYの生存人数は
y t 1 = y 0 2 − ( x 0 2 ) 2 {\displaystyle y_{t_{1}}={\sqrt {y_{0}{}^{2}-\left({x_{0} \over 2}\right)^{2}}}}
であり、 X ′′ {\displaystyle X''} との戦闘が終了した時刻t2でのYの生存人数は
y t 2 = y t 1 2 − ( x 0 2 ) 2 {\displaystyle y_{t_{2}}={\sqrt {y_{t_{1}}{}^{2}-\left({x_{0} \over 2}\right)^{2}}}} = y 0 2 − x 0 2 2 {\displaystyle ={\sqrt {y_{0}{}^{2}-{x_{0}{}^{2} \over 2}}}}
である。したがって前述の条件 x 0 > y 0 2 {\displaystyle x_{0}>{y_{0} \over {\sqrt {2}}}} を満たす場合には、 y t 2 > 0 {\displaystyle y_{t_{2}}>0} であり、Yが勝つことがわかる。