フビニ・スタディ計量
分離性の共通の考え方は、フビニ・スタディ計量にも適用される。さらに詳しくは、計量が射影空間の自然な積、セグレ埋め込み(英語版)(Segre embedding)で分離的である。すなわち、 | ψ ⟩ {\displaystyle \vert \psi \rangle } が分離的状態(英語版)(separable state)であるとき、従って、 | ψ ⟩ = | ψ A ⟩ ⊗ | ψ B ⟩ {\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle } とかけるときに、計量は部分空間の計量の和として書くことができる。
d s 2 = d s A 2 + d s B 2 . {\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}\ \ .}
ここに d s A 2 {\displaystyle {ds_{A}}^{2}} と d s B 2 {\displaystyle {ds_{B}}^{2}} はそれぞれ部分空間 A と B 上の計量とする。
を得る。ここに和は、ギリシャ文字のインデックス α β が 0 から n までを渡るようにとり、最後の等式は次のテンソル積の非対称部分の標準記法が使われる。
Z [ α W β ] = 1 2 ( Z α W β − Z β W α ) . {\displaystyle Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\frac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}
この ds の表現は、全トートロジーバンドル C n + 1 ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}\backslash \{0\}} の全空間上のテンソルを定義するように一見、思われる。CP のトートロジーバンドルの正則切断 σ にそって引き戻すことにより、CP 上のテンソルであることが分かる。従って、この値は、引き戻しの値が切断の選択に独立であることが判明し、直接、計算することができる。
この計量のケーラー形式は、全体渡る定数正規化を、
ω = i ∂ ∂ ̄ log  | Z | 2 {\displaystyle \omega =i\partial {\overline {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}}
とすると、正則切断の選択とは明らかに独立である引き戻しとなる。log|Z| の値は、CP のケーラースカラーである。
( h i j ̄ ) = 1 ( 1 + | z | 2 ) 2 [ 1 + | z | 2 − | z 1 | 2 − z ̄ 1 z 2 ⋯ − z ̄ 1 z n − z ̄ 2 z 1 1 + | z | 2 − | z 2 | 2 ⋯ − z ̄ 2 z n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ − z ̄ n z 1 − z ̄ n z 2 ⋯ 1 + | z | 2 − | z n | 2 ] {\displaystyle {\bigl (}h_{i{\bar {j}}}{\bigr )}={\frac {1}{(1+|\mathbf {z} |^{2})^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]}
である。
各々の行列要素はユニタリ不変であることに注意すると、対角作用 z ↦ e i θ z {\displaystyle \mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z} } はこの行列を不変とする。