自由粒子
仮定より ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)} はxに関して絶対可積分であるので、変数xに関するフーリエ変換
ψ ^ ( p , t ) = 1 ( 2 π ) d / 2 ∫ R d e − i p x / ħ ψ ( x , t ) d x {\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)={1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }
が定義でき、 ψ ^ ( p , t ) {\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)} も可積分である。
(1)、(2)の両辺をフーリエ変換する事で、
i ħ ∂ ∂ t ψ ^ ( p , t ) = | p | 2 2 m ψ ^ ( p , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}\ {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)} .