強制法
数学の集合論における強制法(きょうせいほう、Forcing)とは、ポール・コーエンによって開発された無矛盾性や独立性を証明するための手法である。強制法が初めて使われたのは1962年、連続体仮説と選択公理のZFからの独立性を証明した時のことである。強制法は60年代に大きく再構成されシンプルになり、集合論や、再帰理論などの数理論理学の分野で、極めて強力な手法として使われてきた。
この強制関係 p ⊩ M , P {\displaystyle \Vdash _{M,P}} φ の、"外部"を見ている定義が、 名前と式の複雑性に関する帰納法による"内部"を見ている定義と同値であるという点は重要である。 これは、M[G] の性質は実は M で把握され、ZFCが M[G] で成立することを 確かめられることに影響する。このことは以下の3つの重要な性質として要約される。:
真理性: M[G] ⊨ φ(val(u1,G),...,val(un,G)) となるのは、それが G によって強制されているとき、すなわちある条件 p ∈ G があって p ⊩ M , P {\displaystyle \Vdash _{M,P}} φ(u1,...,un) となること。
定義可能性: 文 "p ⊩ M , P {\displaystyle \Vdash _{M,P}} φ(u1,...,un)" は M で定義可能である。
干渉性: p ⊩ M , P {\displaystyle \Vdash _{M,P}} φ(u1,...,un) かつ q ≤ p ならば q ⊩ M , P {\displaystyle \Vdash _{M,P}} φ(u1,...,un)である。
V 上に強制関係を式の複雑性に関する帰納法で定義する。
1.
強制半順序は3つ組順序対
(P, ≤, 1)
である。ここで "≤" はP上の前順序関係(広義の半順序)で、以下のsplitting condition(アトムの非存在性)を満たすもの。
任意の p ∈ Pに対して、s ≤ q, r となる s ∈ P が存在しないようなq, r ≤ p である q, r ∈ P が存在する。
1 は最大元である。すなわち、
全ての p ∈ P に対して p ≤ 1
P の要素は条件と呼ばれ、
p ≤ q
を
p は q より強い
とよぶ。直観的には、これは"小さい"条件がより"多く"情報をもたらしているということである。区間[3.1415926,3.1415927]はπの値について、より広い区間[3.1,3.2]よりも多くの情報を与えている。
(ここで使われる条件は多様である。"≤"に反対称律を求める場合もあり、そのときはこの順序は狭義(広く使われている意味の)半順序である。最大要素の存在を仮定しないこともある。逆順序も利用された。これはシェラハとその共著者の研究でも知られている。)
強制半順序 P は P-名前と関連付けられる。P-名前は集合で、
{(u,p):u は P-名前 かつ p ∈ P}
この定義は超限再帰によるものである。