操作変数法
標準的な操作変数推定量は平均処置効果(英: average treatment effect, ATE)というよりは局所平均処置効果(英: local average treatment effect, LATE)を取り出すことができる。Imbens and Angrist (1994) は線形な操作変数推定量は弱い条件の下で局所平均処置効果の加重平均と見なせることを示した。ここでその加重は操作変数の変化に対する内生的な説明変数の弾力性に依存している。端的に言えば、観測された操作変数の変化に反応した部分母集団についてのみ変数の効果は表れ、操作変数の変化に最も反応した部分母集団が操作変数の大きさや程度に最も大きな影響を持つだろうということを意味している。
例えば、研究者がランドグラント大学の存在を所得の回帰における大学教育の操作変数として使う時、研究者は大学が存在していれば学位を取るが、存在していなければ学位を取らなかった部分母集団における大学の所得に対する影響を識別する。この実証研究では、追加的な仮定なしには、大学があろうとなかろうと学位を取る、もしくは取らない人々における大学の効果について研究者は何も言えない。
↑ Nelson, C. R.; Startz, R. (1990). “Some Further Results on the Exact Small Sample Properties of the Instrumental Variable Estimator”. Econometrica 58 (4): 967–976. JSTOR 2938359.
↑ Stock, J.; Wright, J.; Yogo, M. (2002). “A Survey of Weak Instruments and Weak Identification in Generalized Method of Moments”. Journal of the American Statistical Association 20 (4): 518–529. doi:10.1198/073500102288618658.
↑ Hayashi, Fumio (2000). “Testing Overidentifying Restrictions”. Econometrics. Princeton: Princeton University Press. pp. 217–221. ISBN 0-691-01018-8. https://books.google.com/books?id=QyIW8WUIyzcC&pg=PA217
操作変数の一般的な定義は、反事実的かつグラフィカルな形式論を用いることで、ジューディア・パールによって与えられた。グラフィカルな操作変数の定義は Z が次の条件を満たすことで与えられる。
( Z ⊥ ⊥ Y ) G X ̄ ( Z ⧸ ⊥ ⊥ X ) G {\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y)_{G_{\overline {X}}}\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)_{G}}
ここで ⊥ ⊥ {\displaystyle \perp \!\!\!\perp } はベイジアン・ネットワークにおけるd分離(英語版) であり、 G X ̄ {\displaystyle G_{\overline {X}}} は X {\displaystyle X} に入る矢印がすべてカットオフされるようなベイジアン・ネットワークにおけるグラフである。
操作変数の反事実的(英: counterfactual)な定義は操作変数 Z が以下を満たすことである。
( Z ⊥ ⊥ Y x ) ( Z ⧸ ⊥ ⊥ X ) {\displaystyle (Z\perp \!\!\!\perp Y_{x})\qquad (Z\not \!\!{\perp \!\!\!\perp }X)}
ここで Y x {\displaystyle Y_{x}} は X {\displaystyle X} が x {\displaystyle x} であった時の Y {\displaystyle Y} の取りうる値であり、 ⊥ ⊥ {\displaystyle \perp \!\!\!\perp } は独立を表している。
共変数が外生的である時、最小二乗推定量の小標本における性質は、 X {\displaystyle X} で条件づけた推定量のモーメントを計算するという標準的な方法で得ることができる。共変数のいくつかが内生的で操作変数法を用いている時、推定量のモーメントによる単純な表現は得られなくなる。一般的に操作変数推定量は漸近的に望ましい性質のみを持ち、有限標本における性質は明らかではなく、推量も推定量の標本分布に漸近的に近似することをベースにしている。操作変数が興味のある方程式の誤差項と無相関で、かつ弱操作変数でないとしても、操作変数推定量の有限標本における性質は大したものは得られない。例えば、適切に識別されたモデルからはモーメントを持たない有限標本推定量が得られ、ゆえにこの推定量のバイアスについて言えることは何もないし、検定統計量の名目値も実質的に歪み、推定量は一般的にパラメータの真の値から離れたものになる。