線形論理
指数的結合子を MLL に追加したもの。MELLの決定問題は未解決である。
線形論理には、様々な限定バージョンや変種が存在する。その1つは、古典/直観論理の軸に沿った変種である。古典線形論理 (CLL) は Girard が最初に提唱した線形論理である。CLL では、全ての結合子には双対が存在する。以下は、CLL をシークエント計算で表したものである。
証明は全てカット規則を使わない形に変換できる。
線形含意はこの表には出ていないが、線形否定と乗法的論理積を使えば、CLLでも A ⊸ B ≡ A ⅋ B と定義できる。これは古典論理ではお馴染みの形である。例えば、普通の含意 ⇒ は、A ⇒ B ≡ ?A ⅋ B と定義できる。
このような定義はもちろん「線形否定」の記法を必要とするが、古典論理では双対を使うこともできる。A の双対は A と記述され、以下のように定義される。
論理単位元も同様の双対を持つ。例えば、⊤ = 0 であり、! と ? は双対である。双対の規則とは、ある項を一方の辺からもう一方に移す場合、その双対に変換される、というものである。
直観線形論理 (ILL) は、1つの帰結しか許容しない。CLL とは異なり、ILL の結合子には完全な双対性はない。実際、par (⅋) と why not (?) と命題定数「ボトム (⊥)」は、導入規則の帰結が複数必要となるため、ILL には存在しない。結果として、ILL では線形含意が基本的結合子となっている。
線形論理の他の変種には、特定の結合子を持つものと持たないものなどがあり、扱う論理の複雑さも様々である。以下は、最も一般的な変種である。
資源の同時平行的出現を表し、供給するときに使われる。1つのボタンを押すと、ガムとソフトドリンクを1つずつ同時に購入できるとすると、これを gum ⅋ drink と表すことができる。乗法的論理積 gum ⊗ drink との違いは、機械側で順序を制御する点である。ガムとドリンクではどういう順序でも構わないが、コーヒーの自販機ではコーヒーと紙コップが販売され、cup ⅋ coffee と cup ⊗ coffee では意味が大きく異なる。論理積のときと同様、結合法則と交換法則が成り立つ。その単位元は「ボトム」(⊥)であり、空のゴールを意味する。例えば、コインを投入せずに返却レバーを押すことを表す。