アッカーマン関数
A ( m , n ) {\displaystyle A(m,n)} = ( 2 ↑ m − 2 ( n + 3 ) ) − 3 {\displaystyle =\left(2\uparrow ^{m-2}\left(n+3\right)\right)-3} = ( 2 → ( n + 3 ) → ( m − 2 ) ) − 3 {\displaystyle =\left(2\rightarrow \left(n+3\right)\rightarrow \left(m-2\right)\right)-3} = hyper  ( 2 , m , n + 3 ) − 3 {\displaystyle =\operatorname {hyper} (2,m,n+3)-3} = h y p e r m  ( 2 , n + 3 ) − 3 {\displaystyle =\operatorname {hyper{\mathit {m}}} (2,n+3)-3}
と簡潔に表す事が出来る。
十分にxの値を大きくしたとき、アッカーマン関数の値は急増加関数で A ( x , a ) ≈ f ω ( x ) {\displaystyle A(x,a)\thickapprox f_{\omega }(x)} ( a {\displaystyle a} は定数)と近似できる。
すなわち、
φ ( a , b , 0 ) = a + b φ ( a , b , 1 ) = 0 + a + ⋯ + a ⏟ b times = a ⋅ b φ ( a , b , 2 ) = 1 ⋅ a ⋅ ⋯ ⋅ a ⏟ b times = a b φ ( a , b , 3 ) = a a ⋅ ⋅ ⋅ a ⏟ ( b + 1 ) times ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (a,b,0)&=a+b\\\varphi (a,b,1)&=0+\underbrace {a+\cdots +a} _{b\;{\textrm {times}}}=a\cdot b\\\varphi (a,b,2)&=1\cdot \underbrace {a\cdot \cdots \cdot a} _{b\;{\textrm {times}}}=a^{b}\\\varphi (a,b,3)&=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{(b+1)\;{\textrm {times}}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}
となるように定義されている。