等時曲線
一般の T(y0) について言えることはここまでである。ひとたび T(y0) が与えられれば、そのラプラス変換が計算でき、 ds/dy のラプラス変換を得ることができ、逆変換を施すことにより ds/dy が得られる。
等時曲線問題では、T(y0) = T0 が定数関数である。1 のラプラス変換は 1/z であるから、次を得る。
L [ d s d y ] = 2 g π z 1 2 L [ T 0 ] = 2 g π T 0 z − 1 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} y}}\right]&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}z^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T_{0}]\\&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}T_{0}z^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}
上述のラプラス変換を逆に利用することにより、次の結論を得る。
d s d y = T 0 2 g π 1 y {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} y}}=T_{0}{\frac {\sqrt {2g}}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {y}}}}
サイクロイドがこの式に従うことは示すことができる。
(Simmons 1972, Section 54)
g cos  θ d θ = − k 2 d s {\displaystyle g\cos \theta \,\mathrm {d} \theta =-k^{2}\,\mathrm {d} s}
d s = − g k 2 cos  θ d θ {\displaystyle \mathrm {d} s=-{\frac {g}{k^{2}}}\cos \theta \,\mathrm {d} \theta }
この方程式は曲線の傾斜角の変化と曲線に沿った距離の変化とを関係づけている。ここでピタゴラスの定理と曲線の傾斜は傾斜角の正接に等しいことおよび三角恒等式をいくつか用いると、ds を dx を用いて表現することができる。
d s 2 = d x 2 + d y 2 = ( 1 + ( d y d x ) 2 ) d x 2 = ( 1 + tan 2  θ ) d x 2 = sec 2  θ d x 2 d s = sec  θ d x {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} s^{2}&=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}\\\ &=\left(1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right)\,\mathrm {d} x^{2}\\\ &=(1+\tan ^{2}\theta )\,\mathrm {d} x^{2}\\\ &=\sec ^{2}\theta \,\mathrm {d} x^{2}\\\mathrm {d} s&=\sec \theta \,\mathrm {d} x\end{aligned}}}