減衰振動
減衰振動のもっとも単純なモデルは、壁と質点をばねでつないだ調和振動子モデルに、速度に比例する抵抗力を発生する減衰要素を加えたものである。時間をt、質点の質量をm、ダンパの減衰係数をc、ばね定数をk、質点の位置をx (t) (垂直方向のみ動けるとする)とすると、このモデルの運動方程式は次の線形微分方程式となる:
m x ̈ ( t ) + c x ̇ ( t ) + k x ( t ) = 0 {\displaystyle m{\ddot {x}}(t)+c{\dot {x}}(t)+kx(t)=0}
さらに初期条件として次を与える:
x ( 0 ) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}} :初期位置
x ̇ ( 0 ) = v 0 {\displaystyle {\dot {x}}(0)=v_{0}} :初期速度
ここで上付きドットは時間微分である。この式のように、減衰力が速度に比例して発生するモデルにおける係数cのことを粘性減衰係数(viscous damping coefficient)と呼ぶ。
このモデルでは質点の垂直方向位置xのみを自由度としているので線形1自由度振動系などと呼ぶ。このような系は減衰を考慮した振動の最も単純な系の1つだが、この系の解析から減衰振動の重要な基礎概念を得ることができる。
さらに初期条件も含めて無次元数で表すと、
χ ′′ ( τ ) + 2 ζ χ ′ ( τ ) + χ ( τ ) = 0 , {\displaystyle \chi ''(\tau )+2\zeta \chi '(\tau )+\chi (\tau )=0,}
χ ( 0 ) = 1 , χ ′ ( 0 ) = σ {\displaystyle \chi (0)=1,\quad \chi '(0)=\sigma }
となる。ここで
′ = d / d τ {\displaystyle '=\mathrm {d} /\mathrm {d} \tau }
τ = ω 0 t {\displaystyle \tau =\omega _{0}t} :無次元時間
χ = x / x 0 {\displaystyle \chi =x/x_{0}} :無次元振幅
σ = v 0 x 0 ω 0 {\displaystyle \sigma ={\frac {v_{0}}{x_{0}\omega _{0}}}} :無次元初期速度
上式から分かるように、この運動を支配するパラメータは本質的に減衰比ζと初期速度σの2つしかない。このことは次元解析をすることによっても分かる。