超現実数
上で述べたω の冪もある種の指数函数と思えるが、実数体上定義された指数函数の延長として望ましい性質を持つものではない。しかしこれも e を底とする指数函数を作るうえで必要であり、以下 ω と書いたときには、この指数函数を意味するものとする。
y が二進分数であるとき、x ∈ No を変数とする冪函数 x ↦ x は、それぞれが帰納的に定義できる乗法・乗法逆元・平方根を使って、それらの合成によって得られる。この函数の値は、基本関係式 x = x⋅x から完全に決定され、ただしそれは存在できるほかの任意の冪と必然的に一致するように定められる。
例えば y ≔ 3 = {2 | } の場合を考えるならば、1⁄3 の左の項に 0 があることは、定義式の右項にある (1+(y − y)(1/y))⁄y に (1⁄y) から 0, yL から 2 を取ってきて代入した (1 + (2 − 3)⋅0)/2 = 1⁄2 が 1⁄y の右集合に入ることを意味する。この 1/2 の存在を利用して今度は、定義式の左項の (1+(y − y)(1/y))⁄y を見れば、(1 + (2 − 3)⋅(1/2))/2 = 1⁄4 が 1⁄y の左集合に入ることが分かる。これをさらに利用すれば、(1 + (2 − 3)⋅(1/4))/2 = 3⁄8 は右集合の項であるとわかり、というように以下これを続ければ、
を得る。
負の y に対する 1⁄y は、1⁄y ≔ −1⁄(−y) で与えられる。y = 0 ならば 1⁄y は定義されない (undefined)。
A detailed philosophical development of the concept of surreal numbers as a most general concept of number: Alain Badiou, Number and Numbers, New York: Polity Press, 2008, ISBN 0-7456-3879-1 (paperback), ISBN 0-7456-3878-3 (hardcover).
The Univalent Foundations Program (2013). Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. Princeton, NJ: Institute for Advanced Study. MR3204653. http://homotopytypetheory.org/book/ The surreal numbers are studied in the context of homotopy type theory in section 11.6.