写像の合成
ふたつ(あるいはそれ以上の数の)写像 f: X → X, g: X → X が同一の集合を始域および終域に持つものとすれば、(重複を許した)長い合成の鎖を f ∘ f ∘ g ∘ f のようにして作ることができる。このような鎖の全体は変換モノイドまたは合成モノイドと呼ばれるモノイドの代数的構造を持つ。一般に、変換モノイドは極めて複雑な構造を持つ。特筆すべき例のひとつはド・ラーム曲線(英語版)である。X 上の変換 f: X → X の全体が成す集合は、X 上の全変換半群 (full transformation semigroup) と呼ばれる。
X 上の変換の集合 S の各元 f: X → X が全単射であるとき、S に属する変換から可能な限りの組合せをとって得られる合成の鎖の全体は変換群を成す。このとき、個の変換群は S で生成されるという。X 上の全単射な変換 f: X → X の全体は、写像の合成に関して群を成す。これを対称群と呼び、また合成群 (composition group) と呼ばれることもある。