ガウスの連分数
最も簡単なものは、関数
0 F 1 ( a ; z ) = 1 + 1 a 1 ! z + 1 a ( a + 1 ) 2 ! z 2 + 1 a ( a + 1 ) ( a + 2 ) 3 ! z 3 + ⋯ {\displaystyle \,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }
を使った恒等式
0 F 1 ( a − 1 ; z ) − 0 F 1 ( a ; z ) = z a ( a − 1 ) 0 F 1 ( a + 1 ; z ) {\displaystyle \,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(a+1;z)}
から始めるもので、
f i = 0 F 1 ( a + i ; z ) , k i = 1 ( a + i ) ( a + i − 1 ) {\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}}}
と置けば次の展開が得られる。
この展開は特にランベルトの連分数として知られており、初出は1768年にまで遡る。
これより次式がすぐに従う。
tan  ( z ) = z 1 − z 2 3 − z 2 5 − z 2 7 − ⋱ {\displaystyle \tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}}
tanh の展開は、ネイピア数の任意の整数乗 e が無理数であることを証明するのに使うことができる(しかし残念なことに、e が超越数であることを証明するのには力不足である)。