基底変換
今 T : V → W を線型変換とし、{α1, ..., αn} を V に対する基底とし、{β1, ..., βm} を W に対する基底とする。φ と ψ をそれぞれ V と W の与えられた基底に関する座標同型とする。このとき写像 T1 = ψ o T o φ は R から R への線型変換であり、したがって、j = 1, ..., n に対して第 j 列が ψ(T(αj)) で与えられるようなある行列 t が存在する。この行列は、順序付けられた基底 {α1, ..., αn} および {β1, ..., βm} に関する T の行列と呼ばれる。もし η = T(ξ) であり、y と x が η および ξ の座標タプルであるなら、y = ψ(T(φ(x))) = tx が成立する。逆にもし、ξ が V に含まれ、x = φ(ξ) が {α1, ..., αn} に関する ξ の座標タプルであり、y = tx および η = ψ(y) と定めるなら、η = ψ(T1(x)) = T(ξ) が成立する。すなわち、ξ が V の元、η が W の元で、x と y がそれらの座標タプルであるなら、y = tx であるための必要十分条件は η = T(ξ) である。
定理 U、V および W を有限次元ベクトル空間とし、それぞれに対して順序付けられた基底が選ばれるものとする。T : U → V および S : V → W が行列 s と t を伴う線型変換であるなら、(与えられた基底に関する)線型変換 S o T : U → W の行列は st である。
ベクトルの集合は、各列がその集合の各ベクトルの成分で与えられるような一つの行列として表現することが出来る。基底はベクトルの集合であるため、基底はこの種の行列によって与えられる。以下では、空間の任意の物体の基底変換は、この行列と関係していることが示される。例えば、ベクトルはその逆によって変換される(そしてそれらはしたがって反変オブジェクトと呼ばれる)。