レーマーの予想
となるという予想である。ここに D = [ K ( Q ) : K ] {\displaystyle D=[K(Q):K]} とする。楕円曲線 E が虚数乗法を持つとドブロウォルスキーの結果の類似は、ローラン(Laurent)のおかげで、
h ^ E ( Q ) ≥ C ( E / K ) D ( log  log  D log  D ) 3 {\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D}}\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3}}
となる。任意の楕円曲線に対し、知られている最も良い結果は、ダヴィッド・マッサー(David Masser)による
h ^ E ( Q ) ≥ C ( E / K ) D 3 ( log  D ) 2 {\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{3}(\log D)^{2}}}}
という結果である。非整数の j-不変量を持つ楕円曲線に対しては、これが改善されて、ヒンドリー(Hindry)とジョゼフ・シルバーマン(英語版)(Joseph H. Silverman)による
h ^ E ( Q ) ≥ C ( E / K ) D 2 ( log  D ) 2 {\displaystyle {\hat {h}}_{E}(Q)\geq {\frac {C(E/K)}{D^{2}(\log D)^{2}}}}
という結果がある。
一変数のマーラー測度を考える。イエンセンの公式は、 P ( x ) = a 0 ( x − α 1 ) ( x − α 2 ) ⋯ ( x − α D ) {\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})} であれば、
M ( P ( x ) ) = | a 0 | ∏ i = 1 D max ( 1 , | α i | ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(P(x))=|a_{0}|\prod _{i=1}^{D}\max(1,|\alpha _{i}|)}
であることを示している。(このパラグラフを通して、 m ( P ) = log  ( M ( P ( x ) ) {\displaystyle m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))} と表すことにする。これもマーラー測度と呼ばれる。)
このことは、 P {\displaystyle P} が整数係数の多項式であれば、 M ( P ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(P)} が 1 以上の代数的数であり、従って、 m ( P ) ≥ 0 {\displaystyle m(P)\geq 0} は代数的整数の対数であることを示している。