エクイティプレミアムパズル
R e , t + 1 = p e , t + 1 + d e , t + 1 p e , t {\displaystyle R_{e,t+1}={\frac {p_{e,t+1}+d_{e,t+1}}{p_{e,t}}}}
R f , t + 1 = p b , t + 1 p b , t {\displaystyle R_{f,t+1}={\frac {p_{b,t+1}}{p_{b,t}}}}
とし、消費の対数成長率を x t + 1 = log  ( c t + 1 ) − log  ( c t ) {\displaystyle x_{t+1}=\log(c_{t+1})-\log(c_{t})} とすれば、 x t + 1 {\displaystyle x_{t+1}} が正規分布に従うという仮定の下で次の2式が成立する。
log  R f , t + 1 = − log  β + γ E [ x t + 1 ] − 1 2 γ 2 V a r ( x t + 1 ) {\displaystyle \log R_{f,t+1}=-\log \beta +\gamma E[x_{t+1}]-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}\mathrm {Var} (x_{t+1})}
log  E [ R e , t + 1 ] − log  R f , t + 1 = γ V a r ( x t + 1 ) {\displaystyle \log E[R_{e,t+1}]-\log R_{f,t+1}=\gamma \mathrm {Var} (x_{t+1})}
ラース・ハンセンとラビ・ジャガナサン(英語版)は資産価格モデルの妥当性を判定するための一つの基準を提案した。これをハンセン–ジャガナサン境界(英: Hansen–Jagannathan bound)と言う。ハンセン–ジャガナサン境界を使えば、異なる形でエクイティプレミアムパズルを表現することが出来る。
数式による説明において、株式とゼロ・クーポン債の価格は
p e , t = E t [ β u ′ ( c t + 1 ) u ′ ( c t ) ( p e , t + 1 + d e , t + 1 ) ] {\displaystyle p_{e,t}=E_{t}\left[\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}{\Big (}p_{e,t+1}+d_{e,t+1}{\Big )}\right]}
p b , t = E t [ β u ′ ( c t + 1 ) u ′ ( c t ) p b , t + 1 ] {\displaystyle p_{b,t}=E_{t}\left[\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}p_{b,t+1}\right]}
で決定する事は述べた。ここで確率的割引ファクター(英: stochastic discount factor) m t + 1 = β u ′ ( c t + 1 ) u ′ ( c t ) {\displaystyle m_{t+1}=\beta {\frac {u^{\prime }(c_{t+1})}{u^{\prime }(c_{t})}}} を定義し、上の2式をグロスリターンで表示すると