準正規作用素
任意の正規作用素は準正規である。
A の極分解を A = UP とするとき、A が準正規ならば UP = PU が成り立つ。これを見るために、極分解の正因子 P が AA のただ一つの正の平方根 (AA) の形に書けることに注意しよう。準正規性は A が AA と可換となることであり、自己随伴作用素に対する連続汎函数計算の帰結として A が P = (AA) と可換であること、すなわち
U P P = P U P {\displaystyle UPP=PUP}
が導かれ、ひとまず P の値域上で UP = PU となることがわかる。さて h ∈ H が P の値域に属するならば明らかに UPh = 0 だが、PUh = 0 も同様に成り立つことが U が P の値域の閉包で定義される部分等長作用素であることから言える。然らば、P の自己随伴性により H は P の像と核との直和となることと合わせて H の全域において UP = PU なることが確定する。