部分和分
∑ bn が収斂級数 で、an が有界単調列 ならば、SN = ∑Nn=0 anbn は収束する。
函数 f(x), g(x) に対し、∑x を不定和分とすると、
∑ x f ( x ) ( g ( x + 1 ) − g ( x ) ) = f ( x ) g ( x ) − ∑ x g ( x + 1 ) ( f ( x + 1 ) − f ( x ) ) {\displaystyle \sum _{x}f(x)(g(x+1)-g(x))=f(x)g(x)-\sum _{x}g(x+1)(f(x+1)-f(x))}
が成り立つ。これを不定和分に関する部分和分の公式と呼ぶ。Δ を前進差分作用素とすれば、
∑ x f ( x ) Δ g ( x ) = f ( x ) g ( x ) − ∑ x ( g ( x ) + Δ g ( x ) ) Δ f ( x ) , {\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x),}
あるいは
∑ x f ( x ) Δ g ( x ) + ∑ x g ( x ) Δ f ( x ) = f ( x ) g ( x ) − ∑ x Δ f ( x ) Δ g ( x ) {\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)}
と書ける。
不定和分に関する部分和分は、不定積分に関する部分積分