ノルム代数
ノルム代数は、ノルム体 K 上の K-代数 A と A 上定義されたノルム ‖ • ‖: A → R の組 (A, ‖ · ‖) で以下の性質を満たすものを言う:
独立性: ‖ a ‖ = 0 ⟺ a = 0 ( ∀ a ∈ A ) . {\displaystyle \|a\|=0\iff a=0\quad (\forall a\in A).}
斉次性: ‖ λ a ‖ = | λ | ⋅ ‖ a ‖ ( ∀ λ ∈ K , ∀ a ∈ A ) . {\displaystyle \|\lambda a\|=|\lambda |\cdot \|a\|\quad (\forall \lambda \in \mathbb {K} ,\forall a\in A).}
劣加法性 (三角不等式): ‖ a + b ‖ ≤ ‖ a ‖ + ‖ b ‖ ( ∀ a , b ∈ A ) . {\displaystyle \|a+b\|\leq \|a\|+\|b\|\quad (\forall a,b\in A).
ノルム代数 A のノルムはノルム位相(ドイツ語版)と呼ばれる位相を定義する。ノルムの性質によりノルム代数の任意の代数演算が連続となることが直ちに従う: a n → a , b n → b , λ n → λ ( a n , a , b n , b ∈ A , λ n , λ ∈ K ) ⟹ λ n a n → λ a , a n + b n → a + b , a n ⋅ b n → a ⋅ b ( as n → ∞ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&a_{n}\to a,\,b_{n}\to b,\,\lambda _{n}\to \lambda \quad (a_{n},a,b_{n},b\in A,\,\lambda _{n},\lambda \in \mathbb {K} )\\&\qquad \implies \lambda _{n}a_{n}\to \lambda a,\,a_{n}+b_{n}\to a+b,\,a_{n}\cdot b_{n}\to a\cdot b\quad ({\text{as }}n\to \infty )\end{aligned}}} (極限は A のノルム位相に関してとる)
ノルム代数の各代数演算は、あきらかにその完備化にまで延長することができ、この完備化ノルム代数はバナッハ代数になる。したがって、任意のノルム代数は何らかのバナッハ代数に含まれる。