不等式
一次不等式 線形計画法
二次不等式
相加相乗平均
イェンセンの不等式
コーシー=シュワルツの不等式
ヘルダーの不等式
チェビシェフの不等式
三角不等式
シュールの不等式
ギブスの不等式
クラフトの不等式
ポアンカレの不等式(英語版)
不等式は方程式の場合とは異なり、不等号の種類(向き)が意味を持つので、不等式に対する操作でそれが変化することがあることに注意しなければならない。
不等式の両辺に等しいものを加えても、評価は変わらない。よって、方程式と同様に、不等式も移項することによって同値なまま変形ができる。
両辺に同じ数値を加えたり減じたりする場合には不等号の向きは変化しないが、両辺に同じ負の数を乗じたり除したりする場合には、不等号の向きが変わる。乗数・除数が変数であったり文字式であったりと正負が不定の場合は、場合分けして計算する必要がでてくる。
まとめると、実数の大小に関する不等式は次の性質をもつ。
a ≦ b ⇔ b ≧ a
a < b ⇔ b > a
a ≦ b ⇔ a = b または a < b
a ≧ b ⇔ a = b または a > b
a ≦ a, a ≧ a
a ≦ b かつ b ≦ a ならば a = b
a ≦ b かつ b ≦ c ならば a ≦ c
a ≦ b かつ c ≦ d ならば a + c ≦ b + d
a ≦ b ならば -b ≦ -a
0 < a, b ならば 0 ≦ ab
1, 2, 3, 4 は不等号という記号の約束事である。また、5, 6, 7 は順序の公理として抽象化される性質である。すなわち 5, 6, 7 は実数の大小関係が順序関係であるということを述べている。8, 9, 10 が成り立つことは順序が体演算と適合すると言われ、実数の全体が順序体をなすことの成立要件である。