遅延ポテンシャル
を得る。
式(2-1-1),(2-1-7),(2-1-9) より、
∫ − ∞ ∞ { ( ω 2 c 2 ) A ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) + ∇ 2 A ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) } d ω = − μ 0 ∫ − ∞ ∞ i ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) d ω {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left\{\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right){\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)+\nabla ^{2}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\right\}\mathrm {d} \omega =-\mu _{0}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega } (2-1-11)
が判る。以上から、ヘルムホルツ方程式 、即ち、式(2-1-3)が、任意の実数ωに対して成り立つことが判る。
である。次にの第一項について検討する。 i ^ ( t , s ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {i}}}(t,{\boldsymbol {s}})} は、 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} に依存していないので、
D [ i ^ ( t , s ) ] = 0 {\displaystyle D[{\hat {\boldsymbol {i}}}(t,{\boldsymbol {s}})]=0} (2-2-7)
である。
以上から、式(2-2-2)の、 A ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}} は、
D A ^ ( r , ω ) = − μ 0 i ^ ( r , ω ) {\displaystyle D{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )=-\mu _{0}{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )} (2-2-8)
を充す。即ち、式 (2-1-3)のヘルムホルツ方程式を満たすことが判る。
F,Gを、ベクトル場、fを、スカラー値関数とする。このとき、
div  [ f F ] = ⟨ F | grad  [ f ] ⟩ + f div  [ F ] {\displaystyle \operatorname {div} \left[f{\boldsymbol {F}}\right]=\left\langle {\boldsymbol {F}}|\operatorname {grad} [f]\right\rangle +f\operatorname {div} [{\boldsymbol {F}}]} (S2-3-1)
を課すことで、以下のポテンシャル形式のマックスウェル方程式が得られる。
◻ A = − μ 0 i {\displaystyle \Box {\boldsymbol {A}}=-{\mu _{0}}{\boldsymbol {i}}} (1-2-4a)
◻ φ = − ρ ε 0 {\displaystyle \Box \varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}} (1-2-4b)
上記のポテンシャル形式のマックスウェル方程式は、φ(r, t ) 、A(r, t )それぞれについて、独立に解くことが出来る。ここで、φ(r, t ) は電位、A(r, t ) は磁気ベクトルポテンシャルを意味し、(勝手に)与えられた電荷分布をρ(r, t ) 、(勝手に)与えられた電流密度を i(r, t )とする。さらに、 ◻ {\displaystyle \Box } は、 ダランベール演算子、即ち、
◻ = − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 {\displaystyle \Box =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}+{\nabla }^{2}} (1-2-5)
を表す。c は光速を表す。