フロー (数学)
フローは通常、集合 X に備えられた数学的構造を伴うものであることが要求される。特に、X に位相が備えられるなら、φ は通常連続であることが求められる。X に微分可能構造が備えられるなら、φ は通常微分可能であることが要求される。それらのケースにおいて、フローはそれぞれ同相写像と微分同相写像の一パラメータ部分群(英語版)を構成する。
特別な状況では、局所フロー(local flow)として、次の部分集合でのみ定義されるものを考えることがある:
d o m ( φ ) = { ( x , t ) | t ∈ [ a x , b x ] , a x < 0 < b x , x ∈ X } ⊂ X × R . {\displaystyle \mathrm {dom} (\varphi )=\{(x,t)\ |\ t\in [a_{x},b_{x}],\ a_{x}<0<b_{x},\ x\in X\}\subset X\times \mathbb {R} .}
このような集合は φ のフロー領域(flow domain)と呼ばれる。これはベクトル場のフローに対しても同様である。
ある集合 X 上のフローは、X 上の実数の加法群の群作用である。より具体的に、フローは写像
φ : X × R → X {\displaystyle \varphi :X\times \mathbb {R} \rightarrow X}
で、すべての x ∈ X および実数 s、t に対し
φ ( x , 0 ) = x ; {\displaystyle \varphi (x,0)=x;}
φ ( φ ( x , t ) , s ) = φ ( x , s + t ) {\displaystyle \varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t)}
を満たすものである。慣習として、φ(x, t) の代わりに φ(x) と書くことで、上述の方程式を φ = Id(恒等写像)および φ ∘ φ = φ(群法則)と表すことが多い。すると、すべての t ∈ R に対して、写像 φ: X → X は逆 φ: X → X を持つ全単射であることが分かる。このことは上述の定義より従い、実パラメータ t は反復合成写像におけるものと同様に、一般化された写像の冪として取られる。