日本空間 (位相空間論)
位相空間 X {\displaystyle X} がある点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} において日本である (X is Japanese at x) とは、 x {\displaystyle x} の局所開近傍基であって、閉包を保つものが存在することである。 X {\displaystyle X} が全ての点で日本であるとき、単に X {\displaystyle X} は日本空間である (X is Japanese) という。
位相空間 X {\displaystyle X} がある点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} において弱日本である (X is weakly Japanese at x) とは、 x {\displaystyle x} の局所閉近傍基であって、閉包を保つものが存在することである。 X {\displaystyle X} が全ての点で弱日本であるとき、単に X {\displaystyle X} は弱日本空間である (X is weakly Japanese) という。
位相空間 X {\displaystyle X} の集合族 A ⊆ 2 X {\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq 2^{X}} が閉包を保つとは、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の任意の合併が閉包と交換することである。 つまり、任意の A ′ ⊆ A {\displaystyle {\mathcal {A}}'\subseteq {\mathcal {A}}} に対し、
⋃ A ∈ A ′ A ̄ = ⋃ A ∈ A ′ A ̄ {\displaystyle {\overline {\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}'}A}}=\bigcup _{A\in {\mathcal {A}}'}{\overline {A}}}
となることである。