マンデルブロ集合
次の漸化式
{ z n + 1 = z n 2 + c z 0 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}z_{n+1}=z_{n}^{2}+c\\z_{0}=0\end{cases}}}
で定義される複素数列 {zn}n∈N∪{0} が n → ∞ の極限で無限大に発散しないという条件を満たす複素数 c 全体が作る集合がマンデルブロ集合である。
複素数 c を複素平面上の点として(あるいは同じことだが c = a + ib と表して c を xy-平面上の点 (a, b) として)表すと、この平面上でマンデルブロ集合はフラクタル図形として表される。右に示した 4 つの図は複素平面上でのマンデルブロ集合である。右下が全体像、他の 3 つの図は各部の拡大像である。図中の黒い部分がマンデルブロ集合に相当し、周囲の色は発散する速さを表している。
複素平面上においてマンデルブロ集合の大半の面積を占めるのは、原点を含むカージオイドに無数の円が外接し、その円にさらに無数の小さい円が外接することを無限に繰り返してできるフラクタル図形である。さらに、周囲を拡大すると、このフラクタル図形に類似した「飛び地」のような図形(図左上など)が無数に見られる。