ヤコビの楕円関数
u = u ( φ , m ) = ∫ 0 φ r ( θ , m ) d θ {\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }
となる。ここで、 φ = arccos  ( x ) {\displaystyle \varphi =\arccos(x)} である。単位円でおなじみの関係式
cos  θ = x , sin  θ = y {\displaystyle \cos \theta =x,\quad \sin \theta =y}
を楕円の場合に一般化して、
cn  ( u , m ) = x , sn  ( u , m ) = y b {\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=x,\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{b}}}
を定義とする。
さらに、
dn  ( u , m ) = 1 r ( φ , m ) {\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}}
と定める。
m 1 sc 2  ( u ) + m 1 = m 1 nc 2  ( u ) = dc 2  ( u ) − m {\displaystyle m_{1}\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc} ^{2}(u)-m}
cs 2  ( u ) + m 1 = ds 2  ( u ) = ns 2  ( u ) − m {\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-m}
ここで、m + m1 = 1 and m = kである。
pq · qp = 1 と pq = pr / qr を使うことで、二乗についてのさらなる関係式を得られる。ここで、p、q、rは s、c、d、n の任意の文字であり、ss = cc = dd = nn = 1 とする。
c n ( u ; k ) = θ 01 θ 10 ( z ; τ ) θ 10 θ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle \mathrm {cn} (u;k)={\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}}
d n ( u ; k ) = θ 01 θ ( z ; τ ) θ θ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle \mathrm {dn} (u;k)={\vartheta _{01}\vartheta (z;\tau ) \over \vartheta \vartheta _{01}(z;\tau )}}
となる。
これで、ヤコビの関数が母数k(τ)の式で定義されたので、これを反転して τ を k の式で表す必要がある。初めに、余母数 k ′ = 1 − k 2 {\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}} を考える。これは τ の関数として、
k ′ ( τ ) = ( θ 01 θ ) 2 {\displaystyle k'(\tau )=\left({\vartheta _{01} \over \vartheta }\right)^{2}}
と書ける。
次に、
l = 1 2 1 − k ′ 1 + k ′ = 1 2 θ − θ 01 θ + θ 01 {\displaystyle \ell ={1 \over 2}{1-{\sqrt {k'}} \over 1+{\sqrt {k'}}}={1 \over 2}{\vartheta -\vartheta _{01} \over \vartheta +\vartheta _{01}}}