回転面
で与えられる。
上記の曲線が t = x, 即ち函数 y = f(x) (a ≤ x ≤ b) で与えられるならば、上記の x-軸周りの場合の積分は
A x = 2 π ∫ a b y 1 + ( d y d x ) 2 d x = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {dy}{dx}}{\Bigr )}^{\!2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,dx}
と簡単になる。同様に y-軸周りの場合も a ≤ y ≤ b とすれば
A y = 2 π ∫ a b x 1 + ( d x d y ) 2 d y {\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {dx}{dy}}{\Bigr )}^{\!2}}}\,dy}
であることが上記の公式からしたがう。
極小回転面(英語版)とは、与えられた二点間を結ぶ曲線の生成する回転面であって、その表面積が最小であるようなもの(回転面であってそれ自身極小曲面となるもの)を言う。回転面に関する変分法の基本問題は、二点間を結ぶ曲線であって極小回転面を与えるものを求めることである。極小回転面は平面および懸垂面(英語版)の二種類しかない。