函数の全微分
d f ( p ) = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( p ) d x i {\displaystyle {\mathit {df}}(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p){\mathit {dx}}_{i}}
が成り立ち、上記の近似式は
f ( p + h ) − f ( p ) ≈ [ d f ( p ) ] ( h ) {\displaystyle f(p+h)-f(p)\approx [\mathrm {d} f(p)](h)}
と書くことができる。
伝統的には、自然科学の広範な分野において、微分小 dxi を微小変分 hi それ自身と考えることがよく行われる。このとき、f の全微分 df はその変分の線型主要部であり、上記の近似式は
Δ f = f ( p + d x ) − f ( p ) ≈ d f {\displaystyle \Delta f=f(p+{\mathit {dx}})-f(p)\approx {\mathit {df}}}
あるいは
f ( p + d x ) ≈ f ( p ) + d f {\displaystyle f(p+{\mathit {dx}})\approx f(p)+{\mathit {df}}}
と書くことができる。
無限小変分としての全微分を考えることは全微分を理解する単純な方法である。たとえば時刻 t と時刻 t に依存する n 個の変数 pi の函数 M(t, p1, ..., pn) を考えるとき、M の無限小変分は
d M = ∂ M ∂ t d t + ∑ i = 1 n ∂ M ∂ p i d p i {\displaystyle {\mathit {dM}}={\frac {\partial M}{\partial t}}{\mathit {dt}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial M}{\partial p_{i}}}{\mathit {dp}}_{i}}
で与えられる。しばしばこの式は「経験論的」な無限小の間の関係として解釈されるが、変数 t および pi を函数と思えば、M(t, p1, ..., pn) はこれらの函数と M の合成と解釈できるから、上記は微分 1-形式の間の等式として完全に意味を持ち、外微分に関する連鎖律からすぐに得られる。