エネルギー演算子
E = i ħ ∂ ∂ t {\displaystyle E=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}
偏微分は線型作用素であり、ゆえにこの表現はエネルギーに関する演算子となっている:
E ^ = i ħ ∂ ∂ t {\displaystyle {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}
結論として、スカラー E は演算子の固有値であり、ˆE は演算子であるといえる。これらの結果を要約すると、
E ^ Ψ = i ħ ∂ ∂ t Ψ = E Ψ {\displaystyle {\hat {E}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi }
3次元平面波
Ψ = e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle \Psi =e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}
に対しても、導出は全く同じであり、時間を含む項に変更がないため、時間微分となる。この演算子は線型であるため、平面波の任意の線型結合に対して有効であり、そのため波動関数や演算子の特性に影響を与えることなく任意の波動関数に作用することができる。ゆえにこれは任意の波動関数に対して真でなければならない。上記のクライン-ゴルドン方程式のように、相対論的量子力学においてもなお機能することが分かる。
エネルギー演算子は自由粒子の波動関数(シュレーディンガー方程式の平面波解)を用いることで容易に導出される。1次元の場合から始めよう。波動関数は、
Ψ = e i ( k x − ω t ) {\displaystyle \Psi =e^{i(kx-\omega t)}}
Ψ の時間微分は、
∂ Ψ ∂ t = − i ω e i ( k x − ω t ) = − i ω Ψ {\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i\omega e^{i(kx-\omega t)}=-i\omega \Psi }
これにド・ブロイの関係式
E = ħ ω {\displaystyle E=\hbar \omega }
を代入し、次の式を得る:
∂ Ψ ∂ t = − i E ħ Ψ {\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}\Psi }
この式を整理すると、
E Ψ = i ħ ∂ Ψ ∂ t {\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}
エネルギー因子 E はスカラー値であり、粒子が有するエネルギーであって、測定される値である。両辺の Ψ を消去すると、