フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
i > 1 {\displaystyle i>1} のとき、 x i {\displaystyle x_{i}} の前に成分が追加される:組の補題の言明 1 を P {\displaystyle P} with z = ( x 1 , ... , x i − 1 ) {\displaystyle z=(x_{1},\dots ,x_{i-1})} に適用する。この操作により、 R ( x i , x j ) {\displaystyle R(x_{i},x_{j})} を満たすすべての ( i + 1 ) {\displaystyle (i+1)} -組 ( ( x 1 , ... , x i − 1 ) , x i , x j ) = ( x 1 , ... , x i − 1 , x i , x j ) {\displaystyle ((x_{1},\dots ,x_{i-1}),x_{i},x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{j})} を含むクラス P 1 {\displaystyle P_{1}} が生成される。
j = i + 1 {\displaystyle j=i+1} のとき、 P 2 = P 1 {\displaystyle P_{2}=P_{1}} とする。 j > i + 1 {\displaystyle j>i+1} のとき、 x i {\displaystyle x_{i}} と x j {\displaystyle x_{j}} の間に成分が追加される:組の補題の言明 2 を用いて x i + 1 , ...
帰納ステップ: φ {\displaystyle \phi } は k ( > 0 ) {\displaystyle k(>0)} 個の論理記号を含む。「 k {\displaystyle k} 未満の個数の論理記号を含むすべての ψ {\displaystyle \psi } に対して、定理が真である」という、帰納の仮説を仮定する。この条件下で、 k {\displaystyle k} 個の論理記号を含む φ {\displaystyle \phi } に対して、定理が真であることを証明する。この証明において、クラス変数 Y 1 , ... , Y m {\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}} を Y → {\displaystyle {\vec {Y}}} で略記する。すると例えば論理式 φ ( x 1 , ... , x n , Y 1 , ... , Y m ) {\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})} は φ ( x 1 , ... , x n , Y → ) {\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},{\vec {Y}})} のように書ける。
Case 1: φ ( x 1 , ... , x n , Y → ) = ¬ ψ ( x 1 , ...