量化
以上の表記方法は全て全称量化にも適用可能である。全称量化の他の記法として、次のものがある。
( x ) P ⋀ x P {\displaystyle (x)\,P\quad \bigwedge _{x}P}
一部の記法では、量化範囲を明示的に示している点に注意されたい。量化範囲は常に示すべきだが、その数学理論によっては表現方法も変わってくる。
全ての量化の議論領域が固定である場合: ツェルメロ=フレンケルの集合論など
一部の議論領域が固定で、必要に応じて各変項の「型; type」として領域を宣言する場合: プログラミング言語の型システムに似ている
毎回量化の範囲を明示的に示す場合: 領域内の全てのオブジェクトの集合をシンボルで表したり、領域内のオブジェクトの型を示す。
次のような文を考えてみよう。
任意の自然数 n について、s = n × n となる、ある自然数 s がある。
これは明らかに真である。これは単に全ての数に平方が存在することを主張しているに過ぎない。
量化子を意味する部分の順序を変えると、その内容は全く変わってしまう。
ある自然数 s について、s = n × n となる、任意の自然数 n がある。
これは明らかに偽である。ある1つの自然数 s が、あらゆる自然数の平方であると主張することになってしまう。
以上の基本的事実は、量化子の入れ子に際して非常に重要となる。量化子の適用順序は極めて重要である。
やや複雑な例として、解析学の重要な概念である一様連続の例を示す。これは、2つの量化子の順序を入れ替えるだけで各点連続を表すようになる。これを示すため、f が R 上の実数値関数であるとする。
A: R 上の f の各点連続
∀ x ∈ R , ∀ ε > 0 ⏟ , ∃ δ > 0 , ∀ h ∈ R , | h | < δ ⟹ | f ( x ) − f ( x + h ) | < ε {\displaystyle \underbrace {\forall x\in \mathbb {R} ,\ \forall \varepsilon >0} ,\exists \delta >0,\forall h\in \mathbb {R} ,\quad |h|<\delta \implies |f(x)-f(x+h)|<\varepsilon }