斜交ベクトル空間
上記で使用したモデル空間 R は、誤解の元となる様な多くの標準的構造を有するので、その代わり、一般化したベクトル空間を使うこととする。V を n 次元の実ベクトル空間、V をその双対ベクトル空間とする。ここで、以下の形式を持つこれら空間の直和 W := V ⊕ V を考える。
ω ( x ⊕ η , y ⊕ ξ ) = ξ ( x ) − η ( y ) {\displaystyle \omega (x\oplus \eta ,y\oplus \xi )=\xi (x)-\eta (y)}
そして、V の任意の基底 ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} を取り、その双対基底
( v 1 ∗ , ... , v n ∗ ) {\displaystyle (v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*})} .
を考える。xi = (vi, 0)および yi = (0, vi) と書くと、これら基底ベクトルが W 内にあると解することができる。これらを一まとめにして考えると、W の完全な基底
( x 1 , ... , x n , y 1 , ... , y n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}
が得られる。
ここで定義した形式 ω は、本節冒頭の形式と同一の特徴を有することを示すことができる。