グッドスタインの定理
グッドスタイン数列を定義するに当たり、まず「nを底とした遺伝的記法」を定義する。ある自然数をnを底とした遺伝的記法で表すためには、まずその数を a k n k + a k − 1 n k − 1 + ⋯ + a 0 {\displaystyle a_{k}n^{k}+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots +a_{0}} (ただし、 a i {\displaystyle a_{i}} は0とn-1の間の値をとる整数)という形に書き換える。次に、ここに現れる各項を独立したnの積で表す。たとえば a k n k {\displaystyle a_{k}n^{k}} は n k + n k + ⋯ + n k {\displaystyle n^{k}+n^{k}+\cdots +n^{k}} という形になる。そのあと今度は全ての指数kをnを底とした遺伝的記法に書き換える。以下、再帰的に繰り返して、記述中に現れる全ての数字がnか0になるまで続ける。