一般化された複素構造
これは、
L = { X + ξ ∈ ( T ⊕ T ∗ ) ⊗ C : J ( X + ξ ) = − 1 ( X + ξ ) } {\displaystyle L=\{X+\xi \in (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} \ :\ {\mathcal {J}}(X+\xi )={\sqrt {-1}}(X+\xi )\}}
で与えられる。この部分バンドル L は次の性質を持つ。
(i) 複素共役との交叉はゼロセクション: L ∩ L ̄ = 0 {\displaystyle L\cap {\overline {L}}=0} である。
(ii) L は 最大イソトロピック、つまり、複素ランクが N に等しく、全ての l , l ′ ∈ L . {\displaystyle \ell ,\ell '\in L.} に対し ⟨ l , l ′ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \ell ,\ell '\rangle =0} となる。
逆に、(i)と(ii)を満たす L は一意な一般化された複素構造の − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} -固有バンドルであり、したがって性質 (i)と(ii) は一般化された概複素構造のもう一つの定義と考えることもできる。
通常の複素幾何学では、一般化された概複素構造と複素ラインバンドルの間に対応関係がある。特別な一般化された概複素構造に対応する複素ラインバンドルは、しばしば 標準バンドル と言われる。通常の場合の標準バンドルを一般化したからである。その切断がピュアスピノル(英語版)であることから、ピュアスピノルバンドル(英語版)と呼ばれることもある。
一般化された概複素構造 は、まさに次の自然な内積を保つ一般化された接バンドルの概複素構造である。自然な内積とは、
J : T ⊕ T ∗ → T ⊕ T ∗ {\displaystyle {\mathcal {J}}:\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}\rightarrow \mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*}}
で
J 2 = − I d , and ⟨ J ( X + ξ ) , J ( Y + η ) ⟩ = ⟨ X + ξ , Y + η ⟩ . {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}=-{\rm {Id}},\ \ {\mbox{ and }}\ \ \langle {\mathcal {J}}(X+\xi ),{\mathcal {J}}(Y+\eta )\rangle =\langle X+\xi ,Y+\eta \rangle .}
を満たすものを言う。
通常の概複素構造の場合のように、一般化された概複素構造は、一意に − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} -固有バンドルであり、複素化した一般化接バンドル ( T ⊕ T ∗ ) ⊗ C {\displaystyle (\mathbf {T} \oplus \mathbf {T} ^{*})\otimes \mathbb {C} } の部分バンドルとなる。