ネーターの定理
従って、
( ∂ L ∂ q ̇ i q ̇ i − L ) T ( t ) − ∂ L ∂ q ̇ i Q i ( q ( t ) , t ) {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}{\dot {q}}^{i}-L{\Bigr )}T(t)-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}Q^{i}(q(t),t)}
が保存する。
ハミルトニアンを用いれば
H ( p , q , t ) T ( t ) − p i Q i ( q ( t ) , t ) {\displaystyle H(p,q,t)T(t)-p_{i}Q^{i}(q(t),t)}
と書けて、ポアソン括弧を用いれば
{ H T − p i Q i , t } = T , { H T − p i Q i , q j } = Q j {\displaystyle \{HT-p_{i}Q^{i},t\}=T,~\{HT-p_{i}Q^{i},q^{j}\}=Q^{j}}
を得る。
A ( q i , p i ) → A ( q i , p i ) + ε i j k ε i ( ∂ A ∂ q j q k + ∂ A ∂ p j p k ) = A ( R i j q j + , R i j p j ) {\displaystyle A(q^{i},p^{i})\rightarrow A(q^{i},p^{i})+\varepsilon _{ijk}\epsilon ^{i}\left({\frac {\partial A}{\partial q_{j}}}q_{k}+{\frac {\partial A}{\partial p_{j}}}p_{k}\right)=A(R^{ij}q^{j}+,R^{ij}p^{j})}
ここで R i j {\displaystyle R^{ij}} は無限小回転である。よって角運動量は空間回転の生成子である。
例3:エネルギー
G δ = ε H {\displaystyle G_{\delta }=\epsilon H} とすると、 δ A = { A , ε H } = ε d A d t {\displaystyle \delta A=\{A,\epsilon H\}=\epsilon {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}}
A ( q i , p i ) → A ( q i , p i ) + ε d A d t = A ( q i ( t + ε ) , p i ( t + ε ) ) {\displaystyle A(q^{i},p^{i})\rightarrow A(q^{i},p^{i})+\epsilon {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A(q^{i}(t+\epsilon ),p^{i}(t+\epsilon ))}
よってエネルギーは時間並進の生成子である。