多変数複素関数
数学における多変数複素関数論(たへんすうふくそかんすうろん、英: the theory of functions of several complex variables)とは、複素多変数の複素数値関数、すなわち、n 個の複素数の組全体のなす数ベクトル空間 C 上の複素数値関数
f ( z 1 , z 2 , ... , z n ) {\displaystyle f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}
を扱う分野である。複素解析(これは n = 1 の場合に当たる理論ではあるが、n > 1 の場合とは一線を画す性質を持つ)と同様、任意の単なる函数を扱うものではなく、正則 (holomorphic) あるいは複素解析的 (complex analytic) な関数、つまり局所的に変数 zi たちの冪級数で書けるような関数を扱う。そのような関数は結局のところ、多項式列の局所一様極限として得られるような関数ということもでき、n 次元コーシー・リーマンの方程式の局所解と言っても同じことであるということが分かる。
一変数複素関数の正則性の定義には、局所的に整級数で表されることを条件として定義する方法、コーシー・リーマン方程式を満たすことを条件として定義する方法、複素的に微分可能であることを条件として定義する方法の3通りの方法があった。多変数の場合にも複数の定義の仕方がある。
n を2以上の整数とし、f を C の領域 D 上定義された複素数値関数とする。f に対する以下の条件は同値であり、いずれか一つ(したがって全て)を満たすとき、f は D 上正則(holomorphic)であるという。
D の任意の点 z0 に対し、この点の近傍で収束するべき級数を用いて f は
f ( z ) = ∑ α ∈ N 0 n c α ( z − z 0 ) α {\displaystyle f(z)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}c_{\alpha }(z-z_{0})^{\alpha }}
と表される。ここで N0 は0以上の整数のなす集合、(z − z0) は多重指数記法による冪である。
D の任意の点 z に対し、この点の近傍で連続な関数 α1, ..., αn が存在しその近傍で