図形数
1 2 n ( n + 1 ) × 8 + 1 = ( 2 n + 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n+1)\times 8+1=(2n+1)^{2}}
である。
三角数の2倍は矩形数
連続する三角数の和は四角数
三角数の8倍に1を加えると四角数
紀元前2世紀のヒュプシクレス(英語版)は、三角数や四角数を一般化した多角数を定義した。その後、スミュルナのテオン、ニコマコス、イアムブリコスらが多角数について論じた。
2世紀頃のニコマコスは、その著書『算術入門』において、多角数は等差数列の和として定義されることを指摘したのみならず、種々の立体数についても述べている。具体的には、四面体数、四角錐数などの多角錐数、立方体数、切頂(英語版)多角錐数などである。それよりも前に、紀元前4世紀頃のオプスのフィリポやスピューシップスが四面体数について考察したと考えられるが、文献は残っていない。
1544年、マイケル・シュティーフェル(英語版)は、三角数、四面体数に続く五胞体数などの、高次元版の図形数を定義した。
近世ヨーロッパの数学者、バシェ(英語版)、フェルマー、オイラーらも多角数について論じている。初等的な性質のみならず、フェルマーが多角数定理を予想し、オイラーが五角数定理を示すなど、やや高度な数論にも図形数は現れる。
1996年に出版されたコンウェイとガイ(英語版)の『数の本』には、その他のさまざまな図形数、例えば中心つき四角数や体心立方数などが図付きで紹介されている。