連分数
x = a 0 + 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 {\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+}}\,{\frac {1}{a_{2}+}}\,{\frac {1}{a_{3}}}}
または
x = [a0; a1, a2, a3]
また、極限の概念により、分数を無限に連ねたものも考えられる。
[ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , ... ] = lim n → ∞ [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , ... , a n ] {\displaystyle \left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \right]=\lim _{n\to \infty }\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}\right]}
二次無理数(整数係数二次方程式の根である無理数)の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。
例として黄金数 φ を考える。φ は x − x − 1 = 0 の正の解である。この式を変形すると、
x 2 = x + 1 x = 1 + 1 x = 1 + 1 1 + 1 x = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 x {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&=x+1\\x&=1+{\frac {1}{x}}\\&=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x}}}}\\&=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x}}}}}}\end{aligned}}}
以下同様にして、
φ = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 ⋱ = [ 1 ; 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ...