ミルナー数
函数の芽を集めて、同値類を構成することができる。ひとつの標準的な同値は、A-同値(英語版)である。2 つの函数の芽 f , g : ( C n , 0 ) → ( C , 0 ) {\displaystyle f,g:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)} が A-同値とは、微分同相な函数の芽 φ : ( C n , 0 ) → ( C n , 0 ) {\displaystyle \phi :(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ^{n},0)} と ψ : ( C , 0 ) → ( C , 0 ) {\displaystyle \psi :(\mathbb {C} ,0)\to (\mathbb {C} ,0)} が存在し、 f ∘ φ = ψ ∘ g {\displaystyle f\circ \phi =\psi \circ g} となる、つまり、f を g とする函数の定義域も値域の両方の微分同相な変数変換が存在することを言う。
正則な複素数値函数 f の芽を考えると、
f : ( C n , 0 ) → ( C , 0 ) . {\displaystyle f:(\mathbb {C} ^{n},0)\to (\mathbb {C} ,0)\ .}
このようにすると、複素数 z 1 , ... , z n {\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}} の n-個の組をとり、複素数の値 f ( z 1 , ... , z n ) {\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})} ととる。これを z := ( z 1 , ... , z n ) {\displaystyle z:=(z_{1},\ldots ,z_{n})} と書くことにする。
第一階数(order)の偏微分 ∂ f / ∂ z 1 , ... , ∂ f / ∂ z n {\displaystyle \partial f/\partial z_{1},\ldots ,\partial f/\partial z_{n}} が z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} ですべてゼロとなるときに、f は z 0 ∈ C n {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} ^{n}} で特異であるという。