代数幾何学用語一覧
グロタンディークの基本的なアイデアの1つは、関係性を重視すること、つまりスキームそれ自身ではなく射を考えることであった。スキームの圏は整数環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } のスペクトルを終対象として持つ。したがって、任意のスキーム S {\displaystyle S} は一意的な方法で Spec ( Z ) {\displaystyle {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )} 上にある。
ケンプ消滅定理(英語版)は旗多様体の高次コホモロジーの消滅に関するもの。
ザリスキー・リーマン空間(英語版)とは、局所環付き空間であって、その点が付値環であるもの。
ネータースキーム X 上の連接層とは、準連接層であって OX 加群として有限生成であるもの。
Y の点 y に対し、射 f が y で有限表示(y で有限に表示されるともいう)とは、f(y) のアフィン開近傍 U と y のアフィン開近傍 V が存在して、f(V) ⊆ U かつ O Y ( V ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)} が O X ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)} 上有限表示代数(英語版)であること。射 f が局所有限表示とは、Y の全ての点で有限表示であること。X が局所ネーターなら、f が局所有限表示であることと局所有限型であることは同値。射 f : Y → X が有限表示(Y は X 上有限表示ともいう)とは、局所有限表示かつ準コンパクトかつ準分離的であること。X が局所ネーターなら、f が有限表示であることと有限型であることは同値。
分裂トーラス(英語版)とは、有限個の乗法群 G m {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} の積のこと。
1. 安定曲線とは、おとなしい特異点を持つ曲線のこと。振る舞いのよい曲線のモジュライ空間(英語版)を作るために使われる。
2. 安定ベクトル束(英語版)は、ベクトル束のモジュライ空間(英語版)を作るために使われる。
射影スキーム X のトートロジー的直線束(英語版)とは、セールのねじり層(英語版) O X ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)} の双対のこと。つまり O X ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)} 。
次元(英語版)は、既約閉部分スキームの鎖の最大の長さと定義される、大域的な性質である。スキームが既約であれば局所的である。これは位相にのみ依存し、構造層には依存しない。「大局次元」も参照。例:同次元スキーム(英語版)は、次元 0 のものはアルティンスキーム、1 のものは代数曲線、2 のものは代数曲面。
π : X → Y {\displaystyle \pi :X\to Y} を滑らかな射影曲線の間の分離的(separable)な有限射とする。 π {\displaystyle \pi } が馴分岐(暴分岐が無い)、例えば標数0の体上で考えているのであれば、π の次数と X と Y の種数と分岐指数を関係付けるリーマン・フルヴィッツの公式 2 g ( X ) − 2 = deg  ( π ) ( 2 g ( Y ) − 2 ) + ∑ y ∈ Y ( e y − 1 ) {\displaystyle 2g(X)-2=\operatorname {deg} (\pi )(2g(Y)-2)+\sum _{y\in Y}(e_{y}-1)}
が成り立つ。今日では、この公式は π が馴分岐と仮定しなくても成り立つ次のより一般的な公式 K X ∼ π ∗ K Y + R {\displaystyle K_{X}\sim \pi ^{*}K_{Y}+R}
の帰結と理解されている。ここで、 ∼ {\displaystyle \sim } は線形同値を表し、 R = ∑ P ∈ X length O P  ( Ω X / Y ) P {\displaystyle R=\sum _{P\in X}\operatorname {length} _{{\mathcal {O}}_{P}}(\Omega _{X/Y})P} は相対余接層の因子(共役差積(英語版)) Ω X / Y {\displaystyle \Omega _{X/Y}} である。
1. X を代数多様体、D をその上の有効なカルティエ因子とし、ともに双対化層(英語版) ω D , ω X {\displaystyle \omega _{D},\omega _{X}} があったとする。このとき、 ω D = ( ω X ⊗ O X ( D ) ) | D {\displaystyle \omega _{D}=(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(D))|_{D}} が成り立つ。これを随伴公式という。
2. X と D が滑らかであれば、この公式は次と同値: K D = ( K X + D ) | D {\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}} ここで K D , K X {\displaystyle K_{D},K_{X}} は D と X の標準因子。
有限階数の局所自由層。
"川又ログ端末的"の省略形。
1. スキームの射 f : Y → Xが開(閉)とは、基礎位相空間の写像が開(閉)であること。つまり、Y の開部分スキームが X の開部分スキームに写されること(閉の場合も同様)。例えば、有限表示の平坦射は開で、固有写像は閉である。
2. スキーム X の開部分スキームは、開部分集合 U に構造層 O X | U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}} をつけたもの。
射影公式(英語版)とは、与えられた、スキームの射 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 、 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 加群 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 、有限階数の局所自由 O Y {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}} 加群 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} に対して、自然同型 f ∗ ( F ⊗ f ∗ E ) = ( f ∗ F ) ⊗ E {\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)=(f_{*}F)\otimes E}
が成り立つという公式である。一言でいうと、 f ∗ {\displaystyle f_{*}} は局所自由層の作用に関して線形である。
「Proj構成(英語版)」参照。
http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf 参照。
帰納スキーム(英語版)はスキームの閉埋入の帰納的極限。
カラビ・ヤウ計量とは、リッチ曲率がゼロであるケーラー計量のこと。