軟化子
注釈 1 超函数の理論が未だ広く知られていなかった頃は、上述の性質 (3) は次のような内容で代えられていた:適切なヒルベルト空間またはバナッハ空間に属する与えられた函数と、 φ ε {\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }} との畳み込みが、ε → 0 のときにその与えられた函数に収束する これが正確なカート・オットー・フリードリヒ(英語版)の業績である。この結果はまた、軟化子が近似恒等作用素(英語版)と関連している理由を明らかにするものでもある。
注釈 2 前節でも簡潔に指摘されていたように、軟化子という語はもともとは次の畳み込み作用素に対する呼び名であった:
Φ ε ( f ) ( x ) = ∫ R n φ ε ( x − y ) f ( y ) d y {\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}
ここで φ ε ( x ) = ε − n φ ( x / ε ) {\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )} であり、 φ {\displaystyle \varphi } は上述の三条件と、正値性あるいは対称性のいずれか、あるいは両方を満たす滑らかな函数である。