可微分多様体
X が p での接ベクトルであり、f が p の近くで定義された微分可能な関数であれば、X を定義する同値類の任意の曲線に沿って f を微分することは X に沿った well-defined な方向微分を与える:
X f ( p ) := d d t f ( γ ( t ) ) | t = 0 . {\displaystyle Xf(p):=\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.}
再び、チェーンルールによってこれは同値類からの γ の選び方に依らないことが示せる、なぜならば p において互いに一次の接触を持つ任意の曲線は同じ方向微分を生み出すからである。
関数 f を固定すると、写像
X ↦ X f ( p ) {\displaystyle X\mapsto Xf(p)}
は接空間上の線型汎関数である。この線型汎関数はしばしば df(p) と表記され、f の p での微分 (differential) と呼ばれる:
d f ( p ) : T p M → R . {\displaystyle df(p)\colon T_{p}M\to {\mathbf {R} }.}
1, 2, 3次元のすべての位相多様体は(微分同相の違いを除いて)一意的な微分構造を持つ。したがって位相多様体と可微分多様体の概念は高次元でしか区別がない。各高次元で滑らかな構造を持たない位相多様体や複数の微分同相でない構造を持つ位相多様体が存在することが知られている。
滑らかにできない多様体の存在は Kervaire (1960) によって証明され、Kervaire多様体(英語版)参照、後にドナルドソンの定理の文脈で説明された(ヒルベルトの第五問題(英語版)と比較せよ); 滑らかにできない多様体の良い例は E8 多様体(英語版)である。
複数の両立不能な構造を持つ多様体の古典的な例はジョン・ミルナー (John Milnor) のエキゾチック 7 次元球面(英語版)である。
テンソル束は接束と余接束のすべてのテンソル積の直和(英語版)である。テンソル束の各元はテンソル場であり、ベクトル場上、あるいは他のテンソル場上、多重線型作用素として作用することができる。
テンソル束は可微分多様体にはなれない、なぜならば無限次元だからである。しかしながらスカラー関数の環上の多元環ではある。各テンソルはどれだけの接因子と余接因子をそれが持っているかを示すその階数によって特徴づけられる。ときどきこれらの階数は共変および反変階数、それぞれ接階数と余接階数を表す、と呼ばれることがある。