ペンローズ・タイル
これらのタイルの接合に、周期タイリングを避けるような制限をかけることにより、ペンローズ・タイリングが得られる。この制限をかけるには、マッチング規則、代入タイリングあるいは有限細分化則、切断射影法、および被覆法などさまざまな異なる方法がある。どの制限のもとでの接合でも、無数の異なるペンローズ・タイリングを生成することができる。
ペンローズ・タイリングは自己相似的である。つまり、ペンローズ・タイリングは、インフレーションおよびデフレーションと呼ばれる操作を用いて、構成タイルの大きさが異なる等価なペンローズ・タイリングに変換できる。ペンローズ・タイリングに含まれる有限のパッチ(区域)で表されるパターンは全て、タイリング全体の中に無限回だけ出現する。ペンローズ・タイリングは準結晶である。つまり、ペンローズ・タイリングを物理的構造として作成すると、ブラッグ・ピークからなり5回対称性を持っていて、繰り返しパターンとタイルの方向を示す回折像を生ずる。ペンローズ・タイリングの研究は、準結晶を形成する物理的材料を理解するために重要である。ペンローズ・タイリングは建築や装飾にも用いられている(写真参照)。
P1からP3までの3種類のペンローズ・タイリングを図に示した。これらは多くの共通する性質を持っている。どのタイルも五角形に(したがって黄金比に)関係する形状であるが、非周期的にタイル貼りするために必要なマッチング規則を基本的なタイル形状に追加しなければならない。プロトタイルの非周期集合を得るためのマッチング規則を表現する方法として、頂点や辺にラベルをつける、タイル表面にパターンを描く、あるいは(たとえば凹凸をつけることによって)辺の性質を変更する方法がある。