極限 (圏論)
極限の定義は実際によく使われている多くの構成を十分に包摂する一般的なものである。以下では図式F : J → Cの極限(L, φ)について考える。
終対象。Jが空な圏である場合は、形がJである図式はただひとつであり、それは空である(集合論の空写像と同様である)。空な図式の錐はCの勝手なひとつの対象のことであり、Fの極限は他のどの対象もそれを経由して一意に分解する。これは終対象の定義そのものである。
積。Jが離散圏の場合は、図式FはたんにJで添え字付けられたCの対象の族である。Fの極限Lはこれらの対象の積と呼ばれる。錐を構成する射の族 φX : L → F(X) は積からの射影と呼ばれる。例えば集合の圏においては、積は直積集合であり、射影は各因子への自然な射影のことである。 冪。積の特別な場合として、図式Fの対象関数がCの対象Xへの定数関数であるとする。この図式の極限をXのJ乗と呼び、Xと記す。
等化子。Jの対象が二つであり、恒等射以外には対象1から対象2への平行な二つの射からなる場合は、形がJである図式はCにおける平行な射の対である。このような図式の極限はこれらの射の等化子と呼ばれる。 核。核は等化子の特別な場合で、射の片方がゼロ射であるときをいう。
引き戻し。図式Fが三つのCの対象XとYとZを選び、恒等射でない射はf : X → Zとg : Y → Zのみであるとする。Fの極限Lは引き戻しまたはファイバー積と呼ばれる。
逆極限。Jを有向半順序集合とし(i ≤ jに対して射i → jを追加した小さな圏とみなす)、F : J → Cを図式とする。
関手G : C → Dが図式F : J → Cの極限を持ち上げるとは、(L, φ)がGFの極限であるときはいつでも、Fの極限(L′, φ′)が存在して、G(L′, φ′) = (L, φ)が成り立つことをいう。関手Gが Jの形の極限を持ち上げるとは、Jの形の全ての図式の極限を持ち上げることをいう。これは、積を持ち上げる、等化子を持ち上げる、引き戻しを持ち上げる等のように使用することができる。最後に、Gが極限を持ち上げるとは、全ての極限を持ち上げることをいう。余極限の持ち上げについても双対的な定義が可能である。
関手Gが図式Fに対して一意に極限を持ち上げるとは、Fの極限でありG(L′, φ′) = (L, φ)となるような、逆像(L′, φ′)がただひとつ存在することをいう。Gが一意に極限を持ち上げることは、それが極限を持ち上げる準忘却函手(英語版)であることと同値である。
極限を持ち上げることは、極限を保存することと明らかに関係している。Gが図式Fの極限を持ち上げて、GFが極限を持つとすると、Fもまた極限を持ち、GはFの極限を保存する。さらに、
GがJの形の極限を持ち上げ、DがJの形の極限を持つならば、CはJの形の極限を持ち、Gはこれらの極限を保存する
Gが小さな極限を持ち上げ、Dが完備であるならば、Cも完備であり、Gは連続である
ことが従う。双対的に余極限に対しても同様に成り立つ。