有限拡大
線型代数学と同様、ガロワ理論は有限次元の方が無限次元よりもはるかに簡単である。原始元の定理は例えばすべての代数体、すなわち有理数体 Q のすべての有限拡大は単拡大であることを保証する。
この枠組みは応用に十分である。これは理論の発明者、Évariste Galois (1811-1832) による応用である。例えば多項式の方程式が解の公式をもつための必要十分条件を与えるアーベル-ルフィニの定理を伴う代数方程式の理論を述べることができる。立方体倍積問題や角の三等分、定規とコンパスで作図可能な正多角形の分類のような、古代までさかのぼる幾何学的な問題は、Pierre-Laurent Wantzel (1814-1848) によって有限拡大の枠組みの中で解かれた。フェルマーの最終定理を多くのパラメーターの値に対して証明できる Ernst Kummer (1810-1893) の理論のような数論におけるたくさんの応用もまた述べることができる。
この状況はなお未解決の領域である、例えば群が与えられたときにこの群をガロワ群としてもつ多項式を見つける逆ガロワ理論(フランス語版)。
それにも関わらず、研究の対象が無限拡大であるような数学の大きな分野もまた存在する。歴史的に最初の例は円積問題と関係する。Ferdinand von Lindemann は 1882 年に Q の有限拡大で π を含むものは存在しないことを示した。20世紀の大きな仕事を代表する他の理論は類体論である。それは David Hilbert (1862-1943) によって開かれ、本質的に無限拡大を扱う。