二次方程式
二次方程式とは、次数 2 の代数方程式のことである。一般には
a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} (*)
(a ≠ 0, b, c は定数)と表される。これを二次方程式の一般形 (generalized form) という。二次方程式の一般形は、方程式としての変形や変数変換により、いくつかの特徴をもつ特殊な形にできる。本項では便宜的に以下の用語を用いる。
一般形の方程式 (*) の両辺を 2 次の係数(最高次係数)a ≠ 0 で割って 1 にすることができる。これを二次の整方程式あるいは二次方程式の正規形 (normal form) と呼ぶ:
x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} (**)
(p, q は定数)
p = b a , q = c a {\displaystyle p={\frac {b}{a}},\ q={\frac {c}{a}}} (***)
また、左辺が完全平方式と定数の和のみになっている方程式を、二次方程式の標準形 (standard form) と呼ぶ:
a ( x + p ) 2 + q = 0 {\displaystyle a(x+p)^{2}+q=0}
(a ≠ 0, p, q は定数)
これは、変数を t = x + p と変換すれば未知数 t に関する 1 次の項が無い方程式である:
at + q = 0
平方完成により、二次方程式の解の公式を導出することができる。これは、標数 2 でない体で一般に通用する。
二次方程式 ax + bx + c = 0 に対し、
a ( x + b 2 a ) 2 + c − b 2 4 a = 0 ⟺ ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 ⟺ x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 a ⟺ x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{\!2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}=0&\iff \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\&\iff x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\\&\iff x={\cfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}}
特に、b が 2 を因数に持つ場合、b = 2b' とおくと
x = − b ′ ± ( b ′ ) 2 − a c a {\displaystyle x={\frac {-b'\pm {\sqrt {(b')^{2}-ac}}}{a}}}
と簡明になる。
正規化された標準形二次方程式
x − m = 0
は
x = m
と同値であるから、解は m の平方根に等しい。平方根は 0 以外は複数あり、実数なら正の方を √m で表す。このとき解は
x = ± m {\displaystyle x=\pm {\sqrt {m}}}
になる。
m が負ならば、解 ±√m は虚数である。これらを統一的に表すために、√−1 を i と表し、虚数単位という。虚数単位 i は x + 1 の根である。
a > 0 のとき、√−a = √a i