シュレーディンガー方程式
波動関数に物理的な意味が与えられるには、波動関数の空間部分について二乗可積分である必要がある。
‖ ψ ( x , t ) ‖ 2 = ∫ ψ ∗ ( x , t ) ψ ( x , t ) d x < ∞ . {\displaystyle \|\psi (x,t)\|^{2}=\int \psi ^{*}(x,t)\psi (x,t)\,dx<\infty .}
可積分性の条件は、波動関数に対して適切な境界条件を課すことで満足される。通常は更に波動関数の規格化条件
‖ ψ ( x , t ) ‖ 2 = ∫ ψ ∗ ( x , t ) ψ ( x , t ) d x = 1 {\displaystyle \|\psi (x,t)\|^{2}=\int \psi ^{*}(x,t)\psi (x,t)\,dx=1}
を満たすものが非物理的でない解として採用される。
古典力学における運動方程式はニュートン力学の運動の第2法則であり、これと等価な式としてオイラー=ラグランジュ方程式や正準方程式(ハミルトン方程式)がある。これらの方程式は、力学系の運動を解き、初期条件や系の配置を指定した時に任意の時間に力学系がどのように振る舞うかを数学的に予測するために使われる。
他方で量子力学では、量子系(通常原子、分子、亜原子粒子のような自由か束縛されているか局在しているもの)のシュレーディンガー方程式が、古典力学における運動方程式に対応し、状態の時間発展を記述する。 ニュートンの運動の第2法則のように、シュレーディンガー方程式はヴェルナー・ハイゼンベルクの行列力学や、リチャード・P・ファインマンの経路積分のような等価な別の表現に書き換えることができる。
{\displaystyle {\hat {U}}(t-t_{0})=\exp \left({\frac {(t-t_{0})}{i\hbar }}{\hat {H}}\right).}
ハミルトニアンが時間に依存しない例として、ポテンシャル V が時間に依存しない一般の多体系のハミルトニアン
H ^ = ∑ k = 1 N p ^ k 2 2 m k + V ( x ^ 1 , ... , x ^ N ) {\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {{\hat {p}}_{k}^{2}}{2m_{k}}}+V({\hat {x}}_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{N})}
が挙げられる。p は粒子の運動量、x は粒子の位置を表す演算子である。m は粒子の質量であり、それぞれの定数や演算子の添字 k は観測された各粒子を番号付けるものである。また N は系の粒子数を表す。 ハミルトニアンが時間に依存する例としては、量子系が外界と相互作用する場合が挙げられ、特に有名なものとして古典的な電磁場と相互作用する電子のハミルトニアンがある。
H ^ = 1 2 m ( p ^ + e A ( x ^ , t ) ) 2 − e Φ ( x ^ , t ) . {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\boldsymbol {p}}}+e{\boldsymbol {A}}({\hat {\boldsymbol {x}}},t)\right)^{2}-e\Phi ({\hat {\boldsymbol {x}}},t)\,.}
ここで A, Φ は電磁ポテンシャルであり、e は電気素量である。
{\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {r}},t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}e^{i({\boldsymbol {k}}_{n}\cdot {\boldsymbol {r}}-\omega _{n}t)}.\,\!}
波数k が連続的な場合には和ではなく積分で表され、波動関数 Ψ(r , t ) は波数空間の波動関数のフーリエ変換となる。
Ψ ( r , t ) = 1 ( 2 π ) 3 ∫ Φ ( k ) e i ( k ⋅ r − ω t ) d 3 k {\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int \Phi ({\boldsymbol {k}})e^{i({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}-\omega t)}d^{3}{\boldsymbol {k}}\,\!}
ここでd k = dkx dky dkz は波数空間での微小体積であり、積分は波数空間の全体にわたって行われる。運動量波動関数 Φ(k ) が被積分関数として現れているが、これは、位置の波動関数と運動量の波動関数が互いのフーリエ変換であることから生じる。
中性のヘリウム原子(He, Z = 2)や、陰性の水素イオン(H, Z = 1)、陽性のリチウムイオン(Li, Z = 3)のような、いかなる二電子系に対する方程式は、
E ψ = − ħ 2 [ 1 2 μ ( ∇ 1 2 + ∇ 2 2 ) + 1 M ∇ 1 ⋅ ∇ 2 ] ψ + e 2 4 π ε 0 [ 1 r 12 − Z ( 1 r 1 + 1 r 2 ) ] ψ {\displaystyle E\psi =-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{2\mu }}\left(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{M}}\nabla _{1}\cdot \nabla _{2}\right]\psi +{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{r_{12}}}-Z\left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}\right)\right]\psi }
r 1 はひとつの電子の位置(r 1 = |r 1| はその大きさ)で、r 2 はもうひとつの電子の位置(r2 = |r 2| はその大きさ)である。