連続写像
一般の距離空間 (X, dX) と (Y, dY) の間の写像 f: X → Y についても、a ∈ X における連続性の定義は
lim x → a f ( x ) = f ( a ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}
で与えられる。
これもまたε-δ論法によって、
任意の正の実数 ε について適切な正の実数 δ をとることで、dX(x, a) < δ を満たす全ての x について dY(f(x), f(a)) < ε が成り立つ
と言い換えることができる。
また、点 p の ε-近傍 Bε(p) = {q | d(q, p) < ε} の概念を用いることで、
任意の正の実数 ε について適切な正の実数 δ をとることで、a の δ-近傍に含まれる全ての x について f(x) は f(a) の ε-近傍に含まれる
とも言えて、x ∈ A → f(x) ∈ B ⇔ f(A) ⊂ B ⇔ A ⊂ f(B) であることから、一階述語論理で
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 [ f ( B δ ( a ) ) ⊂ B ε ( f ( a ) ) ] {\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;{\bigl [}f(B_{\delta }(a))\subset B_{\varepsilon }(f(a)){\bigr ]}}