最大公約数
ゆえに、一般には最大公約数は最大の公約数ではない。
n = 2 {\displaystyle n=2} とし、 0 {\displaystyle 0} でない自然数 a 1 {\displaystyle a_{1}} と 0 {\displaystyle 0} の最大公約数は a 1 {\displaystyle a_{1}} である
自然数が一つ以下の場合は自明なので普通は二つ以上の場合を考えることになるが、二番目の性質により二つの自然数の最大公約数を考えることに帰着する。この定義からアプリオリには任意の二つの自然数に最大公約数が存在するかわからないが、実際には単に存在するだけでなく具体的に計算するアルゴリズムがユークリッドの互除法として知られており、この重要な応用がベズーの等式である。
たとえば 333 {\displaystyle 333} と 57 {\displaystyle 57} の最大公約数をユークリッドの互除法により求めてみよう。 333 = 57 × 5 + 48 {\displaystyle 333=57\times 5+48} なので gcd ( 333 , 57 ) = gcd ( 57 , 48 ) {\displaystyle \gcd(333,57)=\gcd(57,48)} である。 57 = 48 × 1 + 9 {\displaystyle 57=48\times 1+9} なので gcd ( 57 , 48 ) = gcd ( 48 , 9 ) {\displaystyle \gcd(57,48)=\gcd(48,9)} である。