階数・退化次数の定理
A u = 0 ⇒ [ A 1 : A 1 B ] [ u 1 u 2 ] = 0 ⇒ A 1 ( u 1 + B u 2 ) = 0 ⇒ u 1 + B u 2 = 0 ⇒ u 1 = − B u 2 ⇒ u = [ u 1 u 2 ] = [ − B I n − r ] u 2 = X u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}&\Rightarrow [A_{1}:A_{1}B]{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {u}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{2}\end{bmatrix}}={\boldsymbol {0}}\\&\Rightarrow A_{1}({\boldsymbol {u}}_{1}+B{\boldsymbol {u}}_{2})={\boldsymbol {0}}\\&\Rightarrow {\boldsymbol {u}}_{1}+B{\boldsymbol {u}}_{2}={\boldsymbol {0}}\\&\Rightarrow {\boldsymbol {u}}_{1}=-B{\boldsymbol {u}}_{2}\\&\Rightarrow {\boldsymbol {u}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {u}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-B\\I_{n-r}\end{bmatrix}}{\boldsymbol {u}}_{2}=X{\boldsymbol {u}}_{2}\end{aligned}}}
が成立する。これより、Ax = 0 の解であるような任意のベクトル u は、X の列ベクトルで与えられる n − r 個の特殊解の線型結合でなければならない、ということが証明される。さらにすでに、X の列ベクトルは線型独立であることが分かっている。したがって、X の列ベクトルは A の零空間の基底を形成する。すると、A の退化次数は n − r である。r は A の階数に等しいために、rank A + nullity A = n が成立する。QED.