判別式
判別式の概念は一変数の多項式に加えて円錐曲線、二次形式、代数体(英語版)を含む他の代数的構造に一般化されている。代数的整数論における判別式は密接に関係し、分岐についての情報を含む。実は、分岐のより幾何的なタイプは判別式のより抽象的なタイプにも関係し、それによって多くの応用においてこれが中心的な代数的アイデアになる。
f ′ ( α i ) = a n ∏ j ( j ≠ i ) ( α i − α j ) ⋯ ( 2 ) {\displaystyle f'(\alpha _{i})=a_{n}\textstyle \prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})\quad \cdots \ (2)}
ここで、f'(x) = 0 の根を β1, ..., βn−1 とする。
f ′ ( x ) = n a n ∏ j = 1 n − 1 ( x − β j ) {\displaystyle f'(x)=na_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n-1}(x-\beta _{j})}
f ′ ( α i ) = n a n ∏ j = 1 n − 1 ( α i − β j ) ⋯ ( 3 ) {\displaystyle f'(\alpha _{i})=na_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n-1}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (3)}
(2) = (3) より、an ≠ 0 に注意して
∏ j ( j ≠ i ) ( α i − α j ) = n ∏ j = 1 n − 1 ( α i − β j ) ⋯ ( 4 ) {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})=n\prod \limits _{j=1}^{n-1}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \cdots \ (4)}