二個の平方数の和
p ≡ 1 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,3\;(\operatorname {mod} \;8)} の素数は p = x 2 + 2 y 2 {\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}} で表される。合成数が x 2 + 2 y 2 {\displaystyle x^{2}+2y^{2}} で表されるための必要十分条件は、 p ≡ 1 , 2 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,2,3\;(\operatorname {mod} \;8)} 以外の素因数が全て平方になっていることである。この証明は以下に与えられる。
平方剰余の相互法則の第一補充法則と第二補充法則により、