直線
アフィン空間(ベクトル)の理論を持ち出すと、次のようにして直線を定義することが出来る: ユークリッド空間 E に対して、任意の一点 P と 0 でない一つのベクトル a が与えられたとき、
L = { P + λ a ∣ λ ∈ R } {\displaystyle L=\{P+\lambda \mathbf {a} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}}
で表されるような集合 L を直線という(これは一般のベクトル空間にも拡張できる)。この定義においては直線は向きを持つものとみなされる。a は直線の方向を決めるベクトルであり、P は直線上の点になる。同じ直線を与える点とベクトルの組 P, a は一通りではない。また、この定義で λ の動く範囲を限定すると半直線
L + = { P + λ a ∣ λ ∈ R ≥ 0 } {\displaystyle L_{+}=\{P+\lambda \mathbf {a} \mid \lambda \in \mathbb {R} \geq 0\}}
や線分を記述することができる。