関数の極限
x がある有限の値に近づくときだけでなく、x が正か負の無限に近づくときの関数の極限を定義することもできる。
ある無限区間 (a, ∞) で定義される関数 f(x) において、x が限りなく大きくなると関数 f(x) の値がある値 L に近づくとき、「x が限りなく大きくなるとき f(x) は L に収束する」といい、
lim x → ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}
または
f ( x ) → L ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow \infty )}
と表す。
これは次のように定義される。
∀ ε > 0 , ∃ X > 0 ; ∀ x [ x > X ⟹ | f ( x ) − L | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }X>0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}x>X\Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}
例えば、 f ( x ) = 2 x x + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}} を考える。