複素微分形式
通常の外微分は、切断の写像 d:E→E を定義する。この写像を Ω の切断に限定すると、実際 d:Ω→Ω + Ω である 外微分は多様体のより厳密な複素構造を反映はしない。
d と前のサブセクションで定義されたことを使うと、ドルボー作用素(Dolbeault operators)
∂ = π p + 1 , q ∘ d : Ω p , q → Ω p + 1 , q , ∂ ̄ = π p , q + 1 ∘ d : Ω p , q → Ω p , q + 1 {\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}
と定義することができる。これらの作用素を局所座標で表わすため、
α = ∑ | I | = p , | J | = q f I J d z I ∧ d z ̄ J ∈ Ω p , q {\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}
とおく。ここに I と J は複数のインデックスを持っている。すると、