ラグランジュ補間
もうひとつ重心形補間の利点として、新しい節点 xk+1 の追加も各 wj を ( x j − x k + 1 ) {\textstyle (x_{j}-x_{k+1})} で割って、新しい wj+1 を計算するだけで容易にできる点が挙げられる。
さらに第一形を単純化することもできて、まず定数函数 g(x) ≡ 1 の重心補間 g ( x ) = l ( x ) ∑ j = 0 k w j x − x j {\textstyle g(x)=\ell (x)\sum \limits _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}} を計算してから L を g で割れば、得られる
L ( x ) = ∑ j = 0 k w j x − x j y j ∑ j = 0 k w j x − x j {\displaystyle L(x)={\frac {\textstyle \sum \limits _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}}{\sum \limits _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}}}} は与えられた節点における補間性を失わない。この補間多項式を重心補間多項式の「第二形」あるいは「真の形」という。真の重心補間多項式は、L の各節点における評価に際してラグランジュ基底 l を評価しなくてよいという点で有利である。
他方、 y i = y j y_{i}=y_{j} もそれら二点が実際には単一の点となる。
任意の i ≠ j に対して、基底多項式 lj(x) は分子に (x − xi) を因子として持つから、x = xi のとき積全体も零となる。他方、i = j のときは明らかに li(xi) = 1 が成り立つ。すなわち、 l j ( x i ) = δ i j {\textstyle \ell _{j}(x_{i})=\delta _{ij}} である。ここに右辺はクロネッカーのデルタ。したがって各点 xi において L ( x i ) = y i + 0 + 0 + ⋯ + 0 = y i {\textstyle L(x_{i})=y_{i}+0+0+\dotsb +0=y_{i}} となり L は所期の函数の補間を与えるものとなる。