フーリエ変換
フーリエ変換および近い関係にあるラプラス変換は微分方程式の解法において広く用いられる。f(x) を可微分函数で、そのフーリエ変換を ˆf(ξ) とすると、導函数のフーリエ変換が 2πiξˆf(ξ) で与えられるという意味でフーリエ変換と微分作用素は両立する。このことを用いて微分方程式を代数方程式に変換することができる。ただし、この手法は定義域が実数全体である場合にしか適用できないことに注意が必要である。これを拡張して、定義域が R であるような多変数函数に関する偏微分方程式を代数方程式に書き換えることもできる。
また、この移行に際して「負の周波数」も導入される。例えば、波動 e 2 π i θ {\textstyle e^{2\pi i\theta }} および e − 2 π i θ {\textstyle e^{-2\pi i\theta }} はともに周期1を持つが、複素フーリエ級数においては別々の成分として取り扱われる。したがって、周波数を単純に周期の逆数と考えることはできなくなる。
フーリエ級数を以下のようにしてフーリエ変換の動機付けに用いることができる。関数 ƒ をある区間 [−L/2, L/2] の外側で 0 となるようなものとすると、任意の T ≥ L に対して ƒ を区間 [−T /2, T /2] 上のフーリエ級数に拡張できる。ここで f のフーリエ級数に現れる波動 e 2 π i n x / T {\textstyle e^{2\pi inx/T}} の係数となる c n {\textstyle c_{n}} で表される「量」は
f ^ ( n T ) = c n := ∫ − T / 2 T / 2 e − 2 π i n x / T f ( x ) d x {\displaystyle {\hat {f}}{\Big (}{\dfrac {n}{T}}{\Big )}=c_{n}:=\int _{-T/2}^{T/2}e^{-2\pi inx/T}f(x)\,dx}
で与えられ、ƒ は公式
絶対可積分関数のフーリエ変換は、常に成り立つというわけではない性質も持っている。絶対可積分関数 ƒ のフーリエ変換は一様連続で
‖ f ^ ‖ ∞ ≤ ‖ f ‖ 1 {\displaystyle \|{\hat {f}}\|_{\infty }\leq \|f\|_{1}}
を満たす。絶対可積分関数のフーリエ変換は
f ^ ( ξ ) → 0 as | ξ | → ∞ {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty }
であることを述べたリーマン・ルベーグの補題をも満足する。絶対可積分函数 f のフーリエ変換 ˆf は有界連続だが絶対可積分であるとは限らず、その逆変換をルベーグ積分として書くことは一般にはできない。しかしながら、ƒ および ˆf がともに絶対可積分ならば、反転公式
f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e 2 i π x ξ d ξ {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2i\pi x\xi }\,d\xi }
が殆ど全ての x において成り立つ。つまり、ƒ は右辺で定義される連続関数と殆ど至る所等しい。特に ƒ が実数直線上の連続関数として与えられたならば全ての x において等式が成り立つ。
前述の結果としてわかることは、フーリエ変換が L(R) 上単射であることである。