有限変形理論
コーシの変形テンソル(The Cauchy deformation tensor)について述べる。 1828年の早期には、 オーギュスタン=ルイ・コーシーは、左Cauchy–Green変形テンソルの逆行列 B − 1 {\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\,\!} として定義される変形テンソルを導入した。
このテンソルは、流体力学や流体力学の文献では、ピオラテンソルやフィンガーテンソル といわれている。
変形された構成では、この粒子は、位置ベクトル x + Δ x {\displaystyle \mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} \,\!} によって与えられる新しい位置 q {\displaystyle q} を持つ。変形していない状態でも変形した状態でも、粒子 P {\displaystyle P} と Q {\displaystyle Q} を結ぶ線分 Δ X {\displaystyle \Delta X} と Δ x {\displaystyle \Delta \mathbf {x} } はそれぞれ非常に小さいと仮定すると、 d X {\displaystyle d\mathbf {X} } と d x {\displaystyle d\mathbf {x} \,\!} と表すことができる。したがって、図2から、以下を得る。
ここで、 d u {\displaystyle \mathbf {du} } は相対変位ベクトルであり、変形された構成における P {\displaystyle P} に対する Q {\displaystyle Q} の相対変位を表す。
右コーシー・グリーン変形テンソル(The right Cauchy–Green deformation tensor)について説明する。1839年、ジョージ・グリーンは、「右Cauchy–Green変形テンソル」または「グリーンの変形テンソル」として知られる変形テンソルを導入した。これは以下のように定義される:
物理的には、Cauchy–Greenテンソルは変形による距離の局所的な変化の2乗を表す。つまり、以下のように表される。
d x 2 = d X ⋅ C ⋅ d X {\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot \mathbf {C} \cdot d\mathbf {X} }
C {\displaystyle \mathbf {C} } の不変量は、しばしばひずみエネルギー密度関数の式に使用される。最も一般的に使用される不変量は、以下の通りである。
ここで、 J := det F {\displaystyle J:=\det \mathbf {F} } は変形勾配 F {\displaystyle \mathbf {F} } の行列式(determinant)であり、 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} は単位繊維(unit fibers)の伸び率を示す。これらの繊維は、右(参照)伸びテンソル(right stretch tensor)の固有ベクトル方向に初めは沿って配置されている(一般的にこれらの方向は座標系の三つの軸とは一致しない)。