四元数
四元数の共軛(きょうやく)は複素共役およびクリフォード代数の元の転置 (transposition) あるいは逆転 (reversal) の類似物である。四元数 q = a + bi + cj + dk に対して、q の共軛は
a − bi − cj − dk
で定義される。これを q, q, q, ~q などで表す。共軛をとる操作は対合、つまり自身を自身の逆とする変換であり、一つの元の共軛を二度とればもとの元に戻る。2つの四元数の積の共軛は、それぞれの四元数の共軛を「順番を逆にして」掛けたものになる。つまり p, q を四元数とすれば
(pq) = qp
であって pq でない。
複素数における共軛とは異なり、四元数の共軛は乗法と加法を用いて完全に書き表すことができる:
q ∗ = − 1 2 ( q + i q i + j q j + k q k ) {\displaystyle q^{*}=-{\frac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)}
共軛を用いると、四元数 p の実部、虚部はそれぞれ
p + p*/2, p − p*/2
となる。
四元数 q のノルム ‖ q ‖ は、自身とその共軛の積の平方根として定義される:
‖ q ‖ = q q ∗ = q ∗ q = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 {\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {qq^{*}}}={\sqrt {q^{*}q}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}}
↑ Lambek, J. If Hamilton had prevailed: quaternions in physics (1995) Math. Intelligencer, vol. 17, #4, p. 7—15. doi:10.1007/BF03024783
↑ A. Yefremov, F. Smarandache, V. Christianto: Yang-Mills field from quaternion space geometry, and its Klein-Gordon representation, Progress in Physics, vol. 3, July 2007, pp.42-50. Also in Florentin Smarandache (ed.): Hadron Models and Related New Energy Issues, InfoLearnQuest, 2007, ISBN 978-1-59973-042-4, pp.208-219
↑ ウィリアム・ローワン・ハミルトン (1866). Hamilton Elements of Quaternions article 285. p. 310. https://books.google.com/?id=fIRAAAAAIAAJ&pg=PA117&dq=quaternion#PPA310,M1
↑ Hardy Elements of quaternions. library.cornell.edu. p.
↑ On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra (letter to John T. Graves, dated October 17, 1843). 1843.
↑ Boris Abramovich Rozenfelʹd (1988). The history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space. Springer. p. 385. https://books.google.com/books?id=DRLpAFZM7uwC&lpg=PA385&ots=Zx5CHBJ9Lk&dq=%22On%20Quaternions;%20or%20on%20a%20new%20System%20of%20Imaginaries%20in%20Algebra%22&pg=PA385#v=onepage&q=%22On%20Quaternions%3B%20or%20on%20a%20new%20System%20of%20Imaginaries%20in%20Algebra%22&f=true
↑ Hamilton. Hodges and Smith. (1853). p. 60. https://books.google.com/?id=TCwPAAAAIAAJ&printsec=frontcover&dq=quaternion+quotient+lines+tridimensional+space+time#PPA60,M1