数列
漸化式自体が帰納的に数列を定義するものであり、一般項 an がどのような形であるかを述べることが自然数に関する命題とみなすことができることから、漸化式を持つ数列の一般項を求める際に数学的帰納法は有用な手法である。
任意の添字 n に対応する項 an を一般項 (general term) という。一般項は必ずしも n の明示的な式として定まっているわけではないし、一般にその必要もないが、n を勝手に指定したときに対応する項 an がきちんと定まることが言える必要はある。
関数 a の定義域を整数全体の集合 Z に変え、初項や末項のない両側無限列 (an)n∈Z を考えることもある。両側無限列は実質的に 2 つの片側無限列の合成であり、n = 0 などを基準に番号の付け替えを行えば、1 つの片側無限列に直すことができる。
数列 (an) の各項 an がそれ以前の項 (a0, ..., an) を用いて帰納的に定められるならば、その帰納的関係式をその数列が満たす漸化式と呼び、数列 (an) はその漸化式(と初期値)によって定められるという。
有限級数の極限は、すべての可算無限個の項についての和と見ることができ、無限級数と呼ばれる。
∑ n = 1 ∞ a n = lim n → ∞ S n , S n = ∑ i = 1 n a i {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n},\quad S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}
双無限数列 (an)n∈Z の和は、2 つの無限級数
∑ n = 0 ∞ a n , ∑ m = 1 ∞ a − m {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\quad \sum _{m=1}^{\infty }a_{-m}}
が収束するならば、それらの和である。