アーベル群
さらに言えば、可除群 A が何らかのアーベル群 G の部分群となるとき、A は G における直和補因子を持つ(すなわち、G の適当な部分群 C で G = A ⊕ C なるものがとれる)。したがって、可除群はアーベル群の圏における入射対象であり、逆に任意の入射アーベル群は可除である(ベーアの判定法(英語版))。非零可除部分群を持たないアーベル群は被約 (reduced) であるという。
対極的な性質を持つ無限アーベル群の重要な二つのクラスに、ねじれ群(英語版)とねじれのない群(英語版)がある。例えば、加法群の商 Q/Z はねじれアーベル群の、加法群 Q はねじれのないアーベル群のそれぞれ例になっている。
ねじれ群でもねじれのない群でもないアーベル群は混合群 (mixed group) という。アーベル群 A とその(最大)ねじれ部分群 T(A) に対して、剰余群 A/T(A) はねじれがない。しかし一般に、ねじれ部分群は A の直和因子とは限らない(つまり A は T(A) ⊕ A/T(A) に同型でない)から、混合群の理論はねじれ群とねじれのない群の理論を単純に合わせればよいという話にはならない。