ゼロ除算
ゼロ除算を代数学的記述に用いて、例えば以下のように 1 = 2 のような誤った証明を導くことができる。
以下を前提とする。
0 × 1 = 0 {\displaystyle 0\times 1=0\quad }
0 × 2 = 0 {\displaystyle 0\times 2=0\quad }
このとき、次が成り立つ。
0 × 1 = 0 × 2 {\displaystyle 0\times 1=0\times 2}
両辺をゼロ除算すると、次のようになる。
1 = 2 {\displaystyle 1=2\quad }
この誤謬は、暗黙のうちに 0/0=1 であるかのように扱っていることから生じる。
上の証明が間違いであることは多くの人が気づくと思われるが、これをもっと巧妙に表現すると間違いを分かりにくくできる。例えば、1 を x と y に置き換え、ゼロを x − y、2 を x + y で置き換える。すると上記の証明は次のようになる。
0 × 1 = 0 {\displaystyle 0\times 1=0\quad } のとき
( 0 ) × ( 1 ) = 0 {\displaystyle (0)\qquad \times (1)=0}
( x − y ) × ( x ) = ( x − y ) x = 0 {\displaystyle (x-y)\times (x)=(x-y)x=0}
( x − y ) x = x 2 − x y = 0 {\displaystyle (x-y)x=x^{2}-xy=0} ...