自己回帰和分移動平均モデル
誤差項 ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} は、一般に、平均ゼロの正規分布からサンプリングされた独立同分布の変数であるとみなされる。
ここで、多項式 ( 1 − ∑ i = 1 p ′ α i L i ) {\displaystyle \textstyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)} が多重度dの単位根(因子1 - L)を持つ場合、次のように書き換えることができる。
( 1 − ∑ i = 1 p ′ α i L i ) = ( 1 − ∑ i = 1 p ′ − d φ i L i ) ( 1 − L ) d . {\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)=\left(1-\sum _{i=1}^{p'-d}\varphi _{i}L^{i}\right)\left(1-L\right)^{d}.}
A R I M A ( p , d , q ) {\displaystyle \mathrm {ARIMA} (p,d,q)} プロセスでは、p = p'-dで用いて、次のように表す。
ARIMAモデルに適切なパラメータを見つけるため、Box-Jenkinsパラメータ最適化のような方法論を適用する様々なパッケージがある。
EViews:広範なARIMAおよびSARIMA機能を備えている
Julia:TimeModelsパッケージにARIMA実装が含まれている
Mathematica:ARIMAProcess関数が含まれている
MATLAB:Econometrics Toolbox には、ARIMAモデル と ARIMAエラーを伴う回帰が含まれる
NCSS:ARIMA ィッティングと予測のためのいくつかの手順が含まれる
Python:statsmodelsパッケージには、時系列分析のモデル(AR、ARIMA、VARなど)や時系列分析のプロセスモデルが含まれている。
R:標準のR statsパッケージには、 ARIMA Modelling of Time Series に記載されている arima 関数が含まれている。この他に A R I M A ( p , d , q ) {\displaystyle \mathrm {ARIMA} (p,d,q)} の部分では、この関数は季節要因、切片項、外性変数(xreg 、「外部回帰因子」と呼ばれる)も含む。CRAN task view on Time Series が参考になり、さらに多くのリンクがある。Rの forcast パッケージは auto.