正則性公理
定理 ― 任意の α ∈ ON に対して、
R ( α ) {\displaystyle R(\alpha )} は推移的
∀ β ≤ α ; R ( β ) ⊆ R ( α ) {\displaystyle \forall \beta \leq \alpha ;R(\beta )\subseteq R(\alpha )}
証明 — 超限帰納法による。α = 0 のときは明らかである。∀β < α に対して成り立っていると仮定する。α = β + 1 のとき、仮定より R(β) は推移的であり、 R ( α ) = P ( R ( β ) ) {\displaystyle R(\alpha )={\mathcal {P}}(R(\beta ))} も推移的になる。また、 R ( β ) ⊂ P ( R ( β ) ) = R ( α ) {\displaystyle R(\beta )\subset {\mathcal {P}}(R(\beta ))=R(\alpha )} となる。α が極限順序数のとき、仮定より ∀β < α に対して R(β) は推移的であり推移的集合の和集合が推移的になることにより
R ( α ) = ⋃ β < α R ( β ) {\displaystyle R(\alpha )=\bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )}
も推移的になる。さらに
∀ β < α ; R ( β ) ⊂ ⋃ β < α R ( β ) = R ( α ) {\displaystyle \forall \beta <\alpha ;R(\beta )\subset \bigcup _{\beta <\alpha }R(\beta )=R(\alpha )}