ノルム多元体
数学におけるノルム多元体(のるむたげんたい、英: normed division algebra; ノルム付き可除代数)とは、乗法的なノルムを持つ多元体のことである。すなわち、実または複素数体上のノルム多元体 A は、多元体であって、かつ任意の x, y ∈ A に対して
‖ x y ‖ = ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}
を満たすノルム ǁ•ǁに関してノルム線型空間の構造も持つ。
定義からは無限次元のノルム多元環と言うものも考えることができるが、実はこれは起こらない。実数体上のノルム多元体は同型の違いを除いて
実数体 R,
複素数体 C,
四元数体 H,
八元数体 O
しかなく、これはフルヴィッツの定理として知られる。上記のノルム多元体のノルムは何れも標準的な絶対値によって与えられる。最初の三つが結合多元環である一方、八元数体は弱い形の結合性しか持たず交代代数になることに注意。
複素数体上の結合的ノルム多元体(ノルム線型体)は複素数体それ自身のみである。