射影 (集合論)
任意の位相空間 Y と連続写像の族 fj: Y → Xj (j ∈ I) の組が与えられれば、一意的な連続写像 f: Y → XI が存在して πj ∘ f = fj が任意の j に対して成立する。
逆に、与えられた写像 f: Y → XI が連続ならば、任意の射影 πj ∘ f は連続である。連続性に加えて、任意の射影 πj ∘ XI → Xj は開写像、すなわち積空間 XI の各開部分集合 W ⊂ XI の射影像が Xj の開集合となる。ただし、逆は成り立たない: すなわち積空間の部分集合 W ⊂ XI の射影 πj: W → Xj がすべて開でも、W は XI において開とは限らない。射影 πj: XI → Xj は一般には完備でもない。
数学の集合論における射影(しゃえい、英: projection)あるいは射影写像、特に標準射影は順序組に対してその一つの成分を対応させる写像である。より一般に射影は、集合の添え字付けられた任意の族の直積(デカルト積)上で定義された、元の族から特定の添字をもつ成分を選び出す写像を言う。選択公理を仮定すれば、空でない集合からなる任意の族に関して、射影は必ず全射になる。
射影は、集合論、位相空間論、測度論(ドイツ語版)など様々な分野において、あるいはまた、リレーショナルデータベースにおける演算としても用いられる。場合により、座標函数 (coordinate function) や 評価写像 (evaluation map) などと呼ばれることもある。