コーシーの函数方程式
しかし、そのような R の Q-基底を構成的な方法で明示的に与えることはできないから、求める病的な解函数も同様に明示的に構成することはできないことを再度断っておく。
既にみた通り、各 xi ∈ B に対して f を xiQ に制限したものは f(xi) を比例定数とする Q-線型写像 f: xiQ → R; λi xi ↦ f(xi)λi でなければならない。各 x ∈ R が xi の一意的な有限線型結合として表されるから、f: R → R が加法的との仮定のもとで、
と置くことにより、任意の x ∈ R に対して f(x) は矛盾なく定まる。基底に対する f の値 f: B → R に基づいて定義した f がコーシーの函数方程式を満足することを確かめるのは難しくない。さらに言えば、任意の解函数がこのようにして得られることも明らかである。特に、方程式の解函数が R-線型となるための必要十分条件は、f(xi)/xi が xi ∈ Bに依らず一定となることである。ある意味、非線型解を明示できないにもかかわらず、コーシーの函数方程式の解函数は(濃度の意味で)「ほとんど」が実際に非線型な病的解である。
数学の実解析におけるコーシーの函数方程式(コーシーのかんすうほうていしき、英: Cauchy's functional equation)は、オーギュスタン・ルイ・コーシーがその著書『解析教程』において扱ったことに名を因む、
で与えられる函数方程式である。一般に、この方程式を満足する函数・写像は加法的であると言う(しかし、以下、本項では f として実函数の場合のみを取り扱う)。
この方程式を Q 上で(つまり有理変数有理数値の函数)で考える場合、初等代数学的な方法で解函数が f: x ↦ cx (c は有理数) という形の函数族(Q-線型写像)のみであることが確かめられる。
R 上で実函数解を考えるとき、c を任意の実数に取り換えた族 f: x ↦ cx はやはりこの方程式の解となるが、それ以外にも極めて複雑な解が存在しうる。それでもなお、適当な「正則性条件」を設定することによって、病的な解を排除することはできる(中には極めて弱い条件のものもある)。