0.999...
1 の別表現としての 0.999... に関する一つの応用が初等整数論に見られる。1802年にグッドウィン (H. Goodwin) は、ある種の素数を分母とする分数では、循環小数表示したときに 9 が現れることを発表した。例えば、
1/7 = 0.142857142857..., 142 + 857 = 999
1/73 = 0.0136986301369863..., 0136 + 9863 = 9999
と書かれている。
ミディ (E. Midy) は1836年にこのような分数に関する一般的な結果を証明して、現在はミディの定理と呼ばれている。その論文は曖昧であり、彼の証明が直接 0.999... を含むかどうか定かではない。しかし、レーヴィット (W. G. Leavitt) による少なくとも一つの現代的な証明ではそれが含まれている。もし、0.b1b2b3... という形の小数が正の整数であることを証明できれば、それは 0.999... に他ならず、それがこの定理において 9 たちが出現する原因となる。この方向への研究は 最大公約数、剰余計算、フェルマー素数、群の元の位数、平方剰余の相互法則などの概念に動機付けを与える。
実解析では、三進法での類似表現 0.222... = 1 は最も単純なフラクタルの一つ、カントール三進集合 (the middle-thirds Cantor set) の特徴づけに重要な役割を果たしている。
数学の初学者はしばしば 0.999... と 1 が等しいことを理解できない。極限の概念や無限小の性質が日常の感覚と大きく異なっていることがその理由とされる。その共通の要因として次のようなものがある。
生徒は「十進数では、一つの数はただ一通りの小数で表すことができるはずだ」と思い込んでいる場合が多い。表示が異なる2つの小数が等しいことが分かると、それが逆説であるように見える。見かけ上よく知られた数 1 の登場でその感がさらに強くなる。
"0.999..."(または同様の表現)を、多いけれども有限の個数の "9" の列(おそらく可変であり特定できない長さ)として解釈する生徒もいる。たとえ生徒が "9" の無限個の列であることを受け入れたとしても、まだ最後の "9" が「無限の彼方に」あると期待しているのかもしれない。
直観やあいまいな教え方により、生徒は数列の極限を、一つの決まった値ではなくある種の無限操作と考えるようになる。それは数列の各項はその極限に達する必要はないからである。生徒が数列とその極限の違いを受け入れても、彼らは "0.999..." を極限ではなく数列を意味するものと読む可能性がある。
これらの考えは、通常の実数を扱う文脈においては誤っている。しかしながら、通常と異なる場面で適用するために発明された、もしくは、0.999... を理解するのに有益な反例としての、より精巧な数の体系構造においては、それらの考えの多くが部分的に正しいことが示される。
これらの要因の多くはデイヴィッド・トール (David Tall) 教授により発見された。
0.999... = 1 のいくつかの証明は、通常の実数がアルキメデス順序体であること、すなわち、"0 でない無限小は存在しない" ことに依存している。特に、差 1 − 0.999... は任意の正の有理数よりも小さいはずであるから、それは(0 か)無限小でなければならないが、実数の体系には 0 でない無限小は無いので、差は 0、つまり二つの値は等しいことが結論付けられる。それでも、実数の非アルキメデス的代替となりうる様々な体系を含む、数学的に一貫した順序代数系(英語版)は存在する。