フォン・ノイマンエントロピー
ジョン・フォン・ノイマンは量子力学における様々な定式化をまとめ上げ、量子力学の数学的な基礎を確立した。フォン・ノイマンの仕事は1932年に刊行された著書『量子力学の数学的基礎』にまとめられた。フォン・ノイマンは、測定に伴う波動関数の収縮を非可逆過程として記述する測定理論を構成した。フォン・ノイマンによって定式化された測定は、射影測定あるいはフォン・ノイマン測定と呼ばれる。
密度行列は、フォン・ノイマンとレフ・ランダウとで独立に定式化されたが、両者は異なる動機を持っていた。ランダウは、状態ベクトルによる混合量子系の部分系を記述することが不可能であるということである。他方、フォン・ノイマンは、量子統計力学と量子測定の理論の双方の発展のために密度行列を導入した。
密度行列の定式化は、古典統計力学のツールの量子力学領域への拡張として発展した。古典的なフレームワークにおいて、すべての可能な熱力学的な量を求めるために、系の分配関数が導入された。フォン・ノイマンは、ヒルベルト空間の中の状態と作用素の脈絡において、密度行列を導入した。統計的な密度行列作用素の考え方は、概念的には似ているが数学的には異る方法で、すべての平均的な量を計算することを可能とする。量子数の集合 n1, n2, ..., nN 上にパラメータで与えられる波動函数の集合 |Ψ〉 が与えられたとする。与えられた自然な変数は、系の実際の波動函数の中の基本的な粒子の特別な波動函数を持つ振幅である。
フォン・ノイマンエントロピーの性質をいくつか上げる。
S(ρ) が 0 であることと、ρ が純粋状態をあらわしていることとは同値。
S(ρ) は、N をヒルベルト空間の次元としたとき、最大混合状態に対し最大で ln N に等しい。
S(ρ) は ρ の基底では変換の下に不変である、つまり、U をユニタリ変換とすると、S(ρ) = S(UρU) である。
S(ρ) は凹(concave)である。つまり、正の数の集合 λi が与えられ、それらの和が統一され( Σ i λ i = 1 {\displaystyle \Sigma _{i}\lambda _{i}=1} )、密度作用素 ρi がwe have
S ( ∑ i = 1 k λ i ρ i ) ≥ ∑ i = 1 k λ i S ( ρ i ) . {\displaystyle S{\bigg (}\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\rho _{i}{\bigg )}\geq \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}S(\rho _{i}).}
S(ρ) は、独立系に対して加法的である。