ブラウワーの不動点定理
また点 p {\displaystyle p} はすべての t に対して H t {\displaystyle H_{t}} の正則値であるとする。このとき、 deg p  f = deg p  g {\displaystyle \deg _{p}f=\deg _{p}g} が成り立つ。
K {\displaystyle K} の境界に不動点が存在しないなら、函数
H ( t , x ) = x − t f ( x ) {\displaystyle H(t,x)=x-tf(x)}
は g ( x ) = x − f ( x ) {\displaystyle g(x)=x-f(x)} から恒等函数へのホモトピーである。恒等函数はすべての点において写像度 1 となる。特に、原点でも写像度 1 であるため、 g {\displaystyle g} もまた原点で写像度 1 となる。結果として、原像 g − 1 ( 0 ) {\displaystyle g^{-1}(0)} は空とはならない。 g − 1 ( 0 ) {\displaystyle g^{-1}(0)} の元が、すなわち元の関数 f の不動点である。
さらなる一般化のためにはより多くの概念が要求される。写像度の定義は、f の特異値にまで拡張されねばならず、したがって連続函数までの拡張となる。近年のホモロジー論の進展は、写像度の構成を簡略化し、標準的な証明となっている。
この定理には、使用される文脈と一般化の程度に応じて、いくつかの異なるヴァージョンがある。最も簡単なものは次である:
平面における定理閉円板からそれ自身へのすべての連続函数は少なくとも一つの不動点を持つ。
これは任意の有限次元空間に対して次のように一般化される:
ユークリッド空間における定理ユークリッド空間の閉球からそれ自身へのすべての連続函数は不動点を持つ。
より一般的な場合は次である:
コンパクト凸集合における定理ユークリッド空間のコンパクト凸部分集合 K からそれ自身へのすべての連続函数は不動点を持つ。
より一般的な場合は、次のような異なる名前で知られている:
シャウダーの不動点定理バナッハ空間のコンパクト凸部分集合 K からそれ自身へのすべての連続函数は不動点を持つ。
すなわち
deg p  ( f ) = ∑ x ∈ f − 1 ( p ) sign  ( det ( D f ( x ) ) ) {\displaystyle \operatorname {deg} _{p}(f)=\sum _{x\in f^{-1}(p)}\operatorname {sign} \left(\det(Df(x))\right)}
である。写像度とは、大雑把にいうと、p のまわりの小さな集合についての原像 f の「シート」の数である。但し、そのシートが逆向きであればマイナスをかけて数えることとする。したがってこれは、回転数の概念の高次元への一般化である。
写像度は次の「ホモトピー不変性」という性質を持つ: f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} を二階連続的微分可能な函数とし、 0 ≤ t ≤ 1 {\displaystyle 0\leq t\leq 1} に対して H t ( x ) = t f + ( 1 − t ) g {\displaystyle H_{t}(x)=tf+(1-t)g} とする。
ブラウワーによる1911年の証明は、連続写像の写像度の概念を利用したものだった。その証明に関する近年の記述は参考文献 に見られる。
K = B ( 0 ) ̄ {\displaystyle K={\overline {B(0)}}} を、原点を中心とする R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内の閉単位球とする。簡単のため、 f : K → K {\displaystyle f:K\to K} は連続的微分可能とする。ある点 p ∈ B ( 0 ) {\displaystyle p\in B(0)} が f {\displaystyle f} の正則値であるとは、 p {\displaystyle p} の原像のすべての点において f {\displaystyle f} のヤコビアンが非特異であることをいう。特に、逆函数定理より、 f {\displaystyle f} の原像のすべての点は( K {\displaystyle K} の内部である) B ( 0 ) {\displaystyle B(0)} に属する。正則値 p ∈ B ( 0 ) {\displaystyle p\in B(0)} における f {\displaystyle f} の写像度は、 f {\displaystyle f} の下での p {\displaystyle p} の原像についての f {\displaystyle f} のヤコビ行列式の符号の和で定義される。