分裂補題
B は A と C の直和(英語版)に同型で、q は A の自然な入射に一致し、r は C への自然な射影に一致する。
短完全列は上のステートメントのどれかが成り立てば分裂する (split) という。
(「写像」という言葉は考えているアーベル圏の射を意味し、集合の間の写像ではない。)
注意: 完全列 0 → A ⟶ A ⊕ C ⟶ C → 0 {\displaystyle 0\rightarrow A\longrightarrow A\oplus C\longrightarrow C\rightarrow 0} は分裂するとは限らない。
この補題によって第一同型定理を精密化することができる。
第一同型定理は上記の短完全列において C ≅ B / q ( A ) {\displaystyle C\cong B/q(A)} (すなわち "C" は "r" の余像あるいは "q" の余核に同型である)ということを述べている。
列が分裂すれば、 B = q ( A ) ⊕ u ( C ) ≅ A ⊕ C {\displaystyle B=q(A)\oplus u(C)\cong A\oplus C} であり、第一同型定理は単に C の上への射影である。
それは線型代数学の( V ≅ ker  T ⊕ im T {\displaystyle V\cong \ker T\oplus \operatorname {im} \,T} の形での)階数・退化次数の定理の圏論的一般化である。
See also splitting lemma in singularity theory.
それゆえ任意の C の元 c に対して b = q(a) + k が存在して c = r(b) = r(q(a) + k) = r(k)。したがって任意の C の元 c に対して ker t の元 k が存在して c = r(k), and r(ker t) = C。
r(k) = 0 であれば k は im q に入る。im q と ker t の共通部分は 0 であるから、k = 0 である。したがって射の制限 r : ker t → C は同型射であり ker t は C に同型である。
最後に、im q は 0 → A → B の完全性により A と同型である。なので B は A と C の直和に同型であり (3) が証明される。
(2) ならば (3) を示すために、同様の議論をする。B の任意の元は集合 ker r + im u に入る。すべての B の元 b に対し b = (b - ur(b)) + ur(b) であってこれは ker r + im u に入っている。ker r と im u の共通部分は 0 である、なぜならば r(b) = 0 かつ u(c) = b であれば 0 = ru(c) = c。
完全性から im q = ker r で、q は単射だから、im q は A と同型で、A は ker r と同型である。ru は全単射だから、u は単射でありしたがって im u は C と同型である。なので B は再び A と C の直和である。