協力ゲーム
ここで対称なプレイヤーとは、 v ( S ∪ { i } ) = v ( S ∪ { j } ) , ∀ S ⊆ N ∖ { i , j } {\displaystyle v(S\cup \{i\})=v(S\cup \{j\}),\forall ~S\subseteq N\setminus \{i,j\}} が成り立つようなプレイヤー i {\displaystyle i} , j {\displaystyle j} のことである。 対称性のある解の概念は、入れ替え可能なプレイヤーについては利得に違いを与えない。
加法性 (Additivity)
2つのゲームの和からなるゲームにおいて、プレイヤーへの利得が (和を取った)それぞれのゲームでの利得の和に等しくなる性質。 v {\displaystyle v} と ω {\displaystyle \omega } をゲームとすると、 ゲーム ( v + ω ) {\displaystyle (v+\omega )} は、提携Sに対してそれぞれのゲームの提携値の和を 提携値 ( v + ω ) ( S ) {\displaystyle (v+\omega )(S)} として与えるゲームである。
e., v ( S ) = 1 {\displaystyle v(S)=1} ) が存在して、すべての i ∈ S {\displaystyle i\in S} について x ≻ i p y {\displaystyle x\succ _{i}^{p}y} となることである。 「選好プロファイル p {\displaystyle p} にかんする単純ゲーム v {\displaystyle v} のコア」 C ( v , p ) {\displaystyle C(v,p)} とは、 関係 ≻ v p {\displaystyle \succ _{v}^{p}} によって支配されないような選択肢の集合 ( ≻ v p {\displaystyle \succ _{v}^{p}} についての集合 X {\displaystyle X} 上の極大要素の集合) のことである:
x ∈ C ( v , p ) {\displaystyle x\in C(v,p)} は、 y ≻ v p x {\displaystyle y\succ _{v}^{p}x} となる y ∈ X {\displaystyle y\in X} が存在しないことと同値である。