メルカトル級数
この級数はテイラーの定理によって、ln(x) の x = 1 でのn階導函数を
d d x ln  ( x ) = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}
からはじめて帰納的に計算することで得られる。
もしくは、有限等比級数(t ≠ −1)
1 − t + t 2 − ⋯ + ( − t ) n − 1 = 1 − ( − t ) n 1 + t {\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}
より、
1 1 + t = 1 − t + t 2 − ⋯ + ( − t ) n − 1 + ( − t ) n 1 + t {\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}}
を得る。このとき、
∫ 0 x d t 1 + t = ∫ 0 x ( 1 − t + t 2 − ⋯ + ( − t ) n − 1 + ( − t ) n 1 + t ) d t {\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\ dt}
であるから、項別積分によって