素数計数関数
x ln  x − 1 < π ( x ) {\displaystyle {\frac {x}{\ln x-1}}<\pi (x)} (ただし x ≥ 5393)
π ( x ) < x ln  x − 1.1 {\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\ln x-1.1}}} (ただし x ≥ 60184)
x ln  x ( 1 + 1 ln  x + 2 ln 2  x ) < π ( x ) {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{\ln ^{2}x}})<\pi (x)} (ただし x ≥ 88783)
π ( x ) < x ln  x ( 1 + 1 ln  x + 2.334 ln 2  x ) {\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\ln x}}(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2.334}{\ln ^{2}x}})} (ただし x ≥ 2953652287)
を示した。
数論の歴史において π(x) の増大度は重要な関心事とされてきた。
18世紀のレオンハルト・オイラーは、素数列の逆数の和が発散することを示した(素数の無限性の証明を参照)。平方数の逆数の和は収束するため、これは π(x) が x {\displaystyle {\sqrt {x}}} よりも速く増大することを示している。
1808年、アドリアン=マリ・ルジャンドルは以下の等式を示した。
π ( N ) = π ( N ) − 1 + ∑ d μ ( d ) [ N d ] {\displaystyle \pi (N)=\pi ({\sqrt {N}})-1+\sum _{d}\mu (d)\left[{\frac {N}{d}}\right]}
ここで μ ( d ) {\displaystyle \mu (d)} はメビウス関数、 [ x ] {\displaystyle [x]} はガウス記号であり、和は N {\displaystyle {\sqrt {N}}} 以下のすべての素数の積 P のすべての正の約数 d を動く。この式より、
lim x → ∞ π ( x ) x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x}}=0}
が導かれる。
π(x) と x/ln x の関係として以下の不等式が知られている。
x ln  x < π ( x ) < 1.25506 x ln  x {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\ln x}}}
左の不等号は x ≥ 17 で、右の不等号は x > 1 で成り立つ。
ピエール・デザルトは2010年に次の6つの不等式
x ln  x ( 1 + 1 ln  x ) < π ( x ) {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}(1+{\frac {1}{\ln x}})<\pi (x)} (ただし x ≥ 599)
π ( x ) < x ln  x ( 1 + 1.2762 ln  x ) {\displaystyle \pi (x)<{\frac {x}{\ln x}}(1+{\frac {1.2762}{\ln x}})} (ただし x ≥ 1)