金融経済学
金融市場の実証研究の進展と共に計量経済学における時系列分析の手法も発達してきた。特に金融に関連する時系列データに対する統計手法を研究する学問を金融計量経済学(英: financial econometrics)と言う。主要な成果としてロバート・エングルとクライヴ・グレンジャーによる共和分(英: cointegration)分析、ロバート・エングルによるARCHモデル、ARCHモデルの発展形としてのGARCHモデルや確率的ボラティリティモデル、ジェームス・ハミルトンによるマルコフ・スイッチングモデルなどがある。また日中のティックデータなどの高頻度データの解析法として高頻度時系列分析も発展している。
特にロバート・エングルとクライヴ・グレンジャーは2003年のノーベル経済学賞を受賞している。
r {\displaystyle r} は債券の利子率で σ {\displaystyle \sigma } はボラティリティと呼ばれる株価の値動きの激しさを表すパラメータである。境界条件は
C ( T , x ) = max { x − K , 0 } {\displaystyle C(T,x)=\max\{x-K,0\}}
C ( t , 0 ) = 0 {\displaystyle C(t,0)=0}
lim x → ∞ { C ( t , x ) − ( x − e − r ( T − t ) K ) } = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\left\{C(t,x)-{\Big (}x-e^{-r(T-t)}K{\Big )}\right\}=0}
である。この偏微分方程式をブラック=ショールズ方程式と言う。ブラック=ショールズ方程式の導出に当たっては、数学者の伊藤清らによって発展した確率微分方程式の理論が中心的な役割を果たしている。ブラック=ショールズ方程式は後退放物型方程式と呼ばれる偏微分方程式に当たるので解析的に解くことができ、その解は
C ( t , x ) = x N ( d + ( T − t , x ) ) − K e − r ( T − t ) N ( d − ( T − t , x ) ) {\displaystyle C(t,x)=xN(d_{+}(T-t,x))-Ke^{-r(T-t)}N(d_{-}(T-t,x))}
となる。ただし
以下で金融経済学で用いられる概念について列挙する。
ノートレード定理(英語版)(英: no trade theorem)とは、ある状況下において、たとえ投資家が金融資産についてのインサイダー情報などの私的情報を得たとしても、均衡では金融資産の取引が発生しないという定理である。ポール・ミルグロム とナンシー・ストーキーにより1982年に発表され、多数の拡張がなされている。
ミルグロムとストーキーの論文におけるノートレード定理とは、事前的な富の配分がパレート効率的であり、全ての投資家は合理的で、この二つの事実が投資家の間でロバート・オーマンの1976年の論文の意味での共有知識になっている時に、情報に対する確率的な解釈が一致している(英: concordant beliefs)リスク回避的な投資家の間では、たとえ追加的な私的情報が投資家にもたらされようとも取引が起こらない、ということを述べている。
定理が成立するための仮定は非現実的だが、私的情報を得ても取引が起こらないという直観に反した結果になっている。