和算
江戸時代も終わりに向かう頃には、和算はますます高度化し、新たな展開を見せ、担い手も拡大した。安島直円の門下から、教育に優れた日下誠が出ると、その門からもとても多くの秀才が輩出された。
和田寧は、安島の積分思想を円にとどまらず、角形や立体など様々な図形へと多岐におよばせて、「豁術」(積分法)を創出し、また、この術のための便利として「円理表」(積分の公式集)を作成した。ここにおいて和田は円理に第三の革命をもたらした。「極数術」(極大極小論)の研究では、関孝和の創出以来、あかされていなかった適尽法の理論を解き明かして、従来の方法を簡便にしさらにその応用もより複雑で幅広いものへと拡げたのであった(これは今でいえば微分法による導関数の導出に等しい)。また、新奇な問題として、円や角などの図形が他の図形の上でころがったときの軌跡について論じはじめ、これを皮切りに以後この問題は盛んに行なわれた。
和田の名はたちまち算家たちの間に広まり、既に数学で名を挙げているはずの有力者たちが、その業を授かるために入門しにくるほどであった。
同じく日下誠の門下の内田五観は十一のころすでにその才能をあらわし、わずか十八にして関流の宗統を継いだ秀才であった。
この術は後代「千変万化」の術とも称えられ、あるいはこれが日本数学の全体ともいえる。すなわち、日本数学の基礎は「点竄術」によって初めて立ち、この術のおかげで数学の問題の難度や理論性がより高度に独特に発展していくこととなった。江戸後期の坂部広胖は「どんな難解な術でも点竄の理から漏れることはない。」といっている。
関孝和はまたこの他
約術 - 数値の簡単化の方法
剰一・朒一術、翦管術 - 剰余方程式問題
招差術 - 方程式の係数の決定法
垜術 - 数列問題
角術 - 正多角形の各数値の関係式問題
適尽法 - 解無し(実数解無し)の方程式の最適化
円理 - 円や曲線の諸問題
交式斜乗法 - 行列式展開
方陣・円攢 - 魔方陣の理論
など、多岐にわたる数学の分野において、研究あるいは新たな発明をしている。
江戸初期には数学の中心は京阪地方だったが、この頃から江戸の関孝和の学統、関流が圧倒的な主流派になってゆく(この為か、京阪地方の和算家の実態があまり今日に伝わっていない)。このように遺題継承の結果、関孝和のような独創的な数学者もあらわれて、日本の数学は高度な代数・整数方程式論・解析学・幾何学が実用の範囲を超えて発達していった。