双対基底
有限次元ベクトル空間の場合、双対集合は常に双対基底であり、各基底に対して一意的である。それらの基底を B = {e1, ..., en} および B* = {e, ..., e} と表す。ベクトル ej の余ベクトル e による評価をペアリング ⟨e, ej⟩ = e(ej) で表すとき、二重直交性の条件は次のようになる:
⟨ e i , e j ⟩ = δ i j {\displaystyle \langle {\boldsymbol {e}}^{i},{\boldsymbol {e}}_{j}\rangle ={\delta ^{i}}_{j}}
このことは、「ベクトルのペアリング」を「対応する余ベクトルによる評価」と定義することによって、ドット積(内積)を定義することに繋がる。基底ベクトルに対して、これは ei · v ≔ ⟨e, v⟩ を意味し、基底ベクトルは ei · ej = δij を満たす。
ここで、前述のデルタの上付き添字と下付き添字の記号は、通常、余ベクトルを使っているものとベクトルあるいは二つのベクトルを符合させるために変化するものである。