ゴールマハティヒ予想
(Davenport, Lewis & Schinzel (1961))m, nを固定するごとに、この方程式は高々有限個の解しか持たない。ただしこの証明は整数点についてのジーゲルの定理(これは「effective」ではない)に基づいている。
(Nesterenko & Shorey (1998))d ≥ 2, r ≥ 1, s ≥ 1 なる d, r, s を用いて m − 1 = dr, n − 1 = ds と表されるとき、max(x, y, m, n) の値は r, s にのみ依存して実効的に計算可能な定数によって上から押さえられる。
(Yuan (2005))この方程式が解を持つための必要条件は、m = 3 かつ n が奇数であることである。
(He & Togbé (2008))x, y を固定するごとに、この方程式は高々1個の解しか持たない。