群のコホモロジー
特に π2(X) が自明な群であれば、この公式から位相的な不変量である2次のホモロジー群が基本群から純代数的に計算できることになる。
続く研究でホップは高次のホモトピー群 πi(X) が 1 < i < n に対して自明になるならば Hn(X; Z) / h(πn(X)) も基本群から代数的に決まることを示した。これから、この場合には n 次までのホモロジー群がすべて基本群から代数的に決定できることになる。しかし、ホップはこの段階ではどのように決定できるかまでは示さなかった。
群のコホモロジーとホモロジーは、2次のホモロジー群に対してホップが証明した公式の右辺を生成元と関係式に依らない内在的な式にし、さらに先の条件を満たす空間の高次のホモロジー群を基本群で代数的に記述するためにサミュエル・アイレンベルグとソーンダース・マックレーンによって生み出された。Eilenberg & MacLane (1943) では(群の作用が自明な場合について)群のコホモロジーの定義が与えられ、そして双対鎖複体を用いた現代でも用いられる定義(「#双対鎖複体」参照)が群のコホモロジー群の計算結果として述べられている。そして先の条件を満たす空間について「空間のコホモロジー=群のコホモロジー」が成り立つという形で高次のホップの公式が発表されている。
彼らがどのように考えて群の(コ)ホモロジーの定義に至ったかを述べると次のようになる。まず X を弧状連結な位相空間とする。そして
S ( X ) : S 0 ⟵ ∂ S 1 ⟵ ∂ S 2 ⟵ ∂ ⋯ {\displaystyle S(X):S_{0}{\stackrel {\partial }{\longleftarrow }}S_{1}{\stackrel {\partial }{\longleftarrow }}S_{2}{\stackrel {\partial }{\longleftarrow }}\cdots }
群 G はその表現を通じて研究されるべきであるという群論における一般的なパラダイムがある。このような表現をわずかに一般化したものに G 加群がある:G 加群とは群 G の各元が自己同型として作用するアーベル群 M である。われわれは G は乗法的に、 M は加法的に書くことにする。
G 加群 M が与えられたとき、 G 不変な元のなす部分加群
M G = { x ∈ M ∣ ∀ g ∈ G , g x = x } {\displaystyle M^{G}=\{\,x\in M\mid \forall g\in G,\ gx=x\,\}}
を考えるのは自然である。いま N が M の G 部分加群(つまり、G による作用で閉じている M の部分群)であるとすると、一般に「 M/N の不変な元は M の不変な元の N の不変な元による商として得られる」というのは正しくない:N を法として不変であることの方が広い。群の1次コホモロジー H(G, M) はこの差をきちんと測ることを目的とする。
一般に群のコホモロジー関手 H は不変な元をとる関手がどれほど完全でないかを測っている。これは長完全列によって表される。
群のコホモロジーは次の意味で群 G に反変的に依存している:つまり群準同型 f : H → G は自然な射 H(G, M) → H(H, M) を誘導する。(ここで後者の M は f を介して H 加群としてみる。)これを制限写像(英: restriction map)という。もし H の G における指数が有限ならば、逆向きの移送写像(英: transfer map)と呼ばれる写像
cor H G : H n ( H , M ) → H n ( G , M ) {\displaystyle \operatorname {cor} _{H}^{G}\colon H^{n}(H,M)\to H^{n}(G,M)}
がある。次数 0 のところでは、この写像は
M H → M G , m ↦ ∑ g ∈ G / H g m {\displaystyle M^{H}\to M^{G},\ m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm}
で与えられる。G 加群の射 M → N が与えられたとき、コホモロジー群の射 H(G, M) → H(G, N) を得ることができる。