ペアノの存在定理
この定理は、D がより高次元の空間 R × R の部分集合である場合にも、同様に成立する。しかし、無限次元のバナッハ空間においては一般的には成立しない。
しかし、この方程式の右辺は 0 を含むどのような近傍においてもリプシッツ連続ではないため、ピカール・リンデレフの定理は適用されず、したがってその解の一意性は保証されない。実際、初期値 y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=0} を与えたときこの常微分方程式は二種類の解 y ( x ) = 0 {\displaystyle y(x)=0} および y ( x ) = x 2 / 4 {\displaystyle y(x)=x^{2}/4} を持つ。任意の C に対し、 y = 0 {\displaystyle y=0} と y = ( x − C ) 2 / 4 {\displaystyle y=(x-C)^{2}/4} との間の解の変化が起こりうる。
連続性よりも弱い条件のもとでの、ペアノの存在定理の一般化として、カラテオドリの存在定理が知られている。