虚数
虚数を発見したのはカルダーノで、1545年の代数の本には、数「10」を、和が 10 かつ積が 40 である2数の組に分ける問題が載せられている。
この問題を現代的に書き下すと次のようになる。
{ ( x , y ) ∈ C 2 x + y = 10 x y = 40 {\displaystyle {\begin{cases}\;\,\displaystyle (x,y)\in \mathbb {C} ^{2}\\\;\,\displaystyle x+y=10\\\;\,\displaystyle xy=40\\\end{cases}}}
なる組 (x,y) を求めよ。
根と係数の関係を用いて解くと、
(x,y) は t(∈C) に関する二次方程式 t 2 − 10 t + 40 = 0 {\displaystyle t^{2}-10t+40=0} の2解の組である。
⇔ ( x , y ) = ( 5 ± 15 i , 5 ∓ 15 i ) . ◼ {\displaystyle \Leftrightarrow (x,y)=(5\pm {\sqrt {15}}i,5\mp {\sqrt {15}}i).\;\blacksquare }
カルダーノは、この問題は不可能だが形式的に解を求めれば
5 + √−15 と 5 − √−15
の2つであると書いている。
同じイタリアのラファエル・ボンベリは、1572年の代数の本で、三次方程式 x = 15x + 4 を、カルダーノが発見した解の公式で解くと
x = 2 + 11 − 1 3 + 2 − 11 − 1 3 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2+11{\sqrt {-1}}}}+{\sqrt[{3}]{2-11{\sqrt {-1}}}}}