有限幾何学
一般的に任意の正の整数 n {\displaystyle n} に対し、 n {\displaystyle n} -空間の幾何は n {\displaystyle n} 次元幾何と呼ばれる。4次元射影幾何はP-8を次のP-8'に置き換え、さらに最後の公理P-8"を付け加えることで得られる。
P-8': すべての点が同一3-空間にある、ということはない。
P-8": S 4 {\displaystyle S_{4}} が4-空間なら、すべての点は S 4 {\displaystyle S_{4}} 上にある。
一般的に n {\displaystyle n} 次元射影幾何(n = 4,5,...)は、P-8を次のような公理で置き換えることで得られる。
(i) 全ての点が同一の S 3 , S 4 , ... , S n − 1 {\displaystyle S_{3},S_{4},\ldots ,S_{n-1}} 上にある、ということはない。
(ii) S n {\displaystyle S_{n}} がn-空間なら、すべての点は S n {\displaystyle S_{n}} 上にある
これら高次元(n>3)空間の研究は最新の数学理論においても多くの重要な応用を持っている。