フレネル積分
引数が無限大に漸近したときの C と S の極限は、複素解析の手法で求められる。それには、正のx軸、半直線 y = x, x ≥ 0、原点を中心とした半径 R の円で囲まれた複素平面での扇形の領域の境界線に沿って、次の関数の扇形積分を使う。
∮ d z e i z 2 = 0 {\displaystyle \oint \mathrm {d} z~e^{iz^{2}}=0}
この周回積分が0になるのは領域内に極がないためである。R が無限大の極限を考えると、 γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}} (円弧部分)上の積分は0になり、 γ 3 {\displaystyle \gamma _{3}} 上の積分はガウス積分から
∫ γ 3 d z e i z 2 = ∫ 0 R d t 1 + i 2 e − t 2 → π 8 ( 1 + i ) ( R → ∞ ) {\displaystyle \int _{\gamma _{3}}\mathrm {d} z~e^{iz^{2}}=\int _{0}^{R}\mathrm {d} t~{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}e^{-t^{2}}\to {\sqrt {\frac {\pi }{8}}}(1+i)\quad (R\to \infty )}
となる。よって、 γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} (実軸)上の積分の実部と虚部を取ることで、 C ( ∞ ) = S ( ∞ ) = π / 8 {\displaystyle C(\infty )=S(\infty )={\sqrt {\pi /8}}} が求められる。