グラハム数
2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 11 4 3 3 3 3 3 − 2 ( 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 11 4 3 3 3 3 3 − 3 ( 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 11 4 3 3 3 3 3 − 4 ( 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 11 4 3 3 3 3 3 − 5 ( ⋯ 2 ↑ 6 ( 2 ↑ 5 ( 2 ↑ 4 ( 2 ↑ 3 ( 2 ↑ 2 ( 4 ↑ ( 2 + ( 2 + 4 ) ) ) ) ) ) ) ⋯ ) ) ) ) {\displaystyle 2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{11}4}3}3}3}3}3-2}\left(2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{11}4}3}3}3}3}3-3}\left(2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{11}4}3}3}3}3}3-4}\left(2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{11}4}3}3}3}3}3-5}\left(\cdots 2\uparrow ^{6}\left(2\uparrow ^{5}\left(2\uparrow ^{4}\left(2\uparrow ^{3}\left(2\uparrow ^{2}\left(4\uparrow \left(2+\left(2+4\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\cdots \right)\right)\right)\right)} ,
G(4) はその十進以下の表記が現実的に不可能な G(3) − 1 の数だけ ↑↑(二重矢印)を繰り返した数であるため、想像を絶する大きさとなっている。
次の段階の G(4) は3と3の間に G(4) 本矢印を置いたものであり、この時点で指数のみの表記も括弧を駆使しても事実上不可能となり、モーザー数 ( 2 [ 2 [ 5 ] ] = 2 [ 2 [ 4 ] [ 4 ] ] = 2 [ 2 [ 3 ] [ 3 ] [ 4 ] ] = 2 [ 2 [ 3 ] 258 ] = 2 [ 4 [ 4 ] [ 3 ] 253 ] {\displaystyle 2\left[2[5]\right]=2\left[2[4][4]\right]=2\left[2[3][3][4]\right]=2\left[2[3]_{258}\right]=2\left[4[4][3]_{253}\right]} )も超える。この操作を63回繰り返した数がグラハム数である。
この大きさをたとえる話として、「グラハム数を十進記数法を用いて印字しようとした場合(十分に印刷できる面積を持つ物体があるとして)、この全宇宙にある物質すべてをインクに変えても全く足りない」というものがある。しかし、その例えを使ったとしてもG(3)にすら満たない。
観測可能な宇宙の素粒子の総数は 10 と考えられているので、このたとえで表せる数は、素粒子1個で1文字を印刷するとしても n 進表記ならせいぜい n に過ぎない。
G = G 64 ( 4 ) = G ( G ( ⋯ G ⏟ 64 ( 4 ) ⋯ ) ) = 3 ↑↑↑↑↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↑↑↑ ⏟ 3 3 ↑↑↑↑↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↑↑↑ ⏟ 3 arrows ⋮ 3 ↑↑↑↑↑↑ ⋯ ⋯ ↑↑↑ ⏟ 3 arrows 3 ↑↑↑↑ 3 arrows } 64 layers {\displaystyle {\begin{aligned}G&=G^{64}(4)=\underbrace {G(G(\cdots G} _{64}(4)\cdots ))\\&=\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow \uparrow \uparrow } 3\\\qquad \quad 3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow \uparrow \uparrow } 3{\text{ arrows}}\\\vdots \\\qquad \quad 3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow \uparrow \uparrow } 3{\text{ arrows}}\\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3{\text{ arrows}}\end{matrix}}\right\}64{\text{ layers}}\end{aligned}}}
をグラハム数といい、その計算法は3の冪乗やテトレーションからの発展を基本としている。