付値体
体 K 上の乗法付値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} が離散付値であるとき、付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} を離散付値体という。
離散付値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} に対する付値環、付値イデアルを O , p {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {O}},\ {\mathfrak {p}}} とおき、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の素元を π とし、1 より大きい正数 q を
| π | = q − 1 {\displaystyle |\pi |=q^{-1}}
が満たされる様にとると
p n = { x ∈ K | | x | < 1 q n − 1 } ( n = 1 , 2 , ... ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}^{n}=\left\{x\in K\left|\ |x|<{\frac {1}{q^{n-1}}}\right.\right\}\ \ \ \ (n=1,2,\ldots )}
であり、便宜的に p 0 = O {\displaystyle {\mathfrak {p}}^{0}={\mathcal {O}}} とおくと
以下において、特に断らない限り、K を非アルキメデス付値 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} に対してヘンゼル体であるとし、K の有限次または無限次の代数拡大体 L に対して、 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} の延長が同値なものを除いて唯一存在するので、それを | ⋅ | L {\displaystyle |\cdot |_{L}} とおき、 F K , F L {\displaystyle F_{K},\ F_{L}} をそれぞれ | ⋅ | K , | ⋅ | L {\displaystyle |\cdot |_{K},\ |\cdot |_{L}} における付値環としたとき、L として、 F L {\displaystyle F_{L}} が F K {\displaystyle F_{K}} の分離拡大である様な K の代数拡大体とする。例えば、K をp進体とすれば、K の任意の代数拡大体 L に対して、上記の条件は全て満たされる。
特に K に p と互いに素な正整数に対する 1 のベキ乗根全てを添加した体は、K の最大不分岐拡大体である
(3) L , K ′ {\displaystyle L,\ K'} を K の代数閉包に含まれる有限次代数拡大とし、 L ′ = L K ′ {\displaystyle L'=LK'} とおく。このとき、 L / K {\displaystyle L/K} が不分岐であれば、 L ′ / K ′ {\displaystyle L'/K'} も不分岐である。
(4) L , L ′ {\displaystyle L,\ L'} が K の不分岐拡大体であるならば、合成体 L L ′ {\displaystyle LL'} も K の不分岐拡大体である。
K の(有限次ないし無限次)代数拡大体 E に対して、E に含まれる K の不分岐拡大体全ての合成は、包含関係で最大な K の不分岐拡大体であり、これを E / K {\displaystyle E/K} の最大不分岐部分拡大という。 特に K の代数閉包 K ̄ {\displaystyle {\bar {K}}} に対して、 K ̄ / K {\displaystyle {\bar {K}}/K} の最大不分岐部分拡大を K の最大不分岐拡大体という。
L / K {\displaystyle L/K} の最大不分岐拡大 T に対して、以下のことが成立する。
T の剰余体は F L / F K {\displaystyle F_{L}/F_{K}} の分離閉包であり、T の値群は K の値群と等しい。
非アルキメデス付値に対する完備体の性質として、以下のものが挙げられる。
(1) 非アルキメデス付値に対する完備体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} 内のコーシー列 { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} の収束点を α としたとき、α が 0 でないならば、十分大きな全ての n に対して
| α | = | a n | {\displaystyle |\alpha |=|a_{n}|}
が成立する。
(2) 非アルキメデス付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} の完備化を ( K ′ , | ⋅ | ′ ) {\displaystyle \scriptstyle (K',\ |\cdot |')} とする。このとき、K が代数閉体であるならば、 K ′ {\displaystyle K'} も代数閉体である。
このことから、例えば、p進体 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} の代数閉包を Q p ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}} とし、p進付値をこの代数閉包に延長したもので完備化した体を C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} とおくと、 C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} は代数閉体となる。
付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} の数列 { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} がコーシー列または基本列であるとは、任意の正数 ε に対して、ある整数 N が存在して、N より大きい任意の整数 m, n に対し
| a m − a n | < ε {\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon }
が成立することである。任意の K のコーシー列が K 内の点に収束するとき、K は完備であるといい、このとき ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} を | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} に対する完備体という。
付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} のコーシー列は、K 内に収束するとは限らないので、付値体は完備であるとは限らない。例えば、先に付値体の例として挙げた例のうち、 ( R , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {R} ,\ |\cdot |)} と ( C , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {C} ,\ |\cdot |)} は、いずれも完備体であるが、 ( Q , | ⋅ | p ) {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {Q} ,\ |\cdot |_{p})} は完備体ではない。