モナド (圏論)
圏 C 上のモナド ( T , η , μ ) {\displaystyle (T,\eta ,\mu )} に対して、C の対象 A と射 α: TA → A の組をT-代数という。また、T-代数 (A, α) と (B, β) の間のモルフィズム f: (A, α) → (B, β) を、 β ∘ T f = f ∘ α {\displaystyle \beta \circ Tf=f\circ \alpha } を満たす C の射 f: A → B で定める。T のアイレンベルグ-ムーア圏 C T {\displaystyle \mathbb {C} ^{T}} とは、T-代数とその間のモルフィズムからなる圏である。
T-代数の圏に対して、随伴となる関手 F T : C → C T {\textstyle F^{T}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{T}} と U T : C T → C {\textstyle U^{T}:\mathbb {C} ^{T}\to \mathbb {C} } は次のように定められる:
F T ( x ) = ( T x , μ x ) {\displaystyle F^{T}(x)=(Tx,\mu _{x})} , F T ( f ) = T f {\displaystyle F^{T}(f)=Tf}