アティヤ＝シンガーの指数定理
σ ( D ) = ∑ | α | = p c α ( x 1 , ... , x n ) y 1 α 1 ⋯ y n α n {\displaystyle \sigma (D)=\sum _{|\alpha |=p}c_{\alpha }(x_{1},\ldots ,x_{n})y_{1}^{\alpha _{1}}\cdots y_{n}^{\alpha _{n}}}
は D の主表象 (principal symbol) と呼ばれる。y 座標がすべて 0 でない限り主表象が 0 にならないような作用素 D は楕円型と呼ばれる。
一般にx に関する座標変換の下での偏微分作用素の変換規則はジェットベクトルの変換則になり、低次の項まで含めた表象に対する変換規則は複雑なものになるが、最高次の部分である主表象に関する変換則は共変ベクトルに関するものと同じになり、主表象は余接束上の関数と考えるのが幾何的に自然な解釈となる。従って D が一般の多様体の上でベクトル束の切断の間の擬微分作用素として定義されている場合にも楕円型作用素の定義は意味を持つ。多様体 M とその上の楕円型微分作用素 Dについて Dの主表象 σ(D) は余接束の全空間 T*M の K群 K(T*M) の元を表していると見なすことができる。
楕円型微分作用素の例としてディラック作用素、符号作用素、複素多様体上の正則ベクトル束から定まるドルボー作用素などが挙げられる。