有限アーベル群の構造定理
第二の分解におけるC'j0 を C1 で置き換えても、和はやはり直積であり、等式 ∏ i C i = C 1 × ∏ j ≠ j 0 C j ′ {\textstyle \prod _{i}C_{i}=C_{1}\times \prod _{j\neq j_{0}}C'_{j}} も保たれる。C1 による商をとれば ∏ i > 1 C i ≃ ∏ j ≠ j 0 C j ′ {\textstyle \prod _{i>1}C_{i}\simeq \prod _{j\neq j_{0}}C'_{j}} を得て、(帰納法の仮定により)(a2, ..., ak) = (b1, ..., bj0−1, bj0+1, ..., bl) が成り立ち、したがって (a1, ..., ak) = (b1, ..., bl) を得る。
n = 1 のときはよい。n > 1 のとき、位数が n より真に小さい任意の有限アーベル群に対して所期の分解の一意性が成り立つと仮定する。G を位数 n の有限アーベル群とし、G の所期の直積分解が G = C 1 × ⋯ × C k = C 1 ′ × ⋯ × C l ′ {\displaystyle G=C_{1}\times \dotsb \times C_{k}=C'_{1}\times \dotsb \times C'_{\ell }} と二通りに、各直積因子の位数の列 (a1, ..., ak), (b1, ..., bl) が所期の整除条件を満たすように与えられたとする。x を C1 の生成元とし、第二の分解における x の成分を (y1, ..., yl) とすれば、x の位数は G の冪数 e に等しいのだから、少なくとも一つの添字 j0 が存在して yj0 が位数 e となる(このとき b1 = ⋯ = bj0 = e となることに注意せよ)。