対称減少再配分
等位集合が有限測度を持つような非負の可測函数 f {\displaystyle f} の再配分は、次で与えられる。
f ∗ ( x ) = ∫ 0 ∞ I { y : f ( y ) > t } ∗ ( x ) d t . {\displaystyle f^{*}(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:f(y)>t\}^{*}}(x)\,dt.}
すなわち f ∗ ( x ) {\displaystyle f^{*}(x)} の値は、 { y : f ( y ) > t } {\displaystyle \{y:f(y)>t\}} の対称再配分の半径が x と等しいような高さ t を与える。この定義には、次のような動機がある。任意の非負の函数 g {\displaystyle g} に対して、等式
g ( x ) = ∫ 0 ∞ I { y : g ( y ) > t } ( x ) d t {\displaystyle g(x)=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{y:g(y)>t\}}(x)\,dt}
が成り立つため、上述の定義は等式 I A ∗ = I A ∗ {\displaystyle \mathbb {I} _{A}^{*}=\mathbb {I} _{A^{*}}} が成り立つための唯一つの定義となる。