平行
1: 直線 m は直線 l に対する距離が至る所同じ
2: a を通る任意の直線が l と x において交わるとき、x を無限遠へ動かす
3: a を通る l, m に共通の横断線が、両者と直角に交わる
平面上の互いに交わらない直線の対としての平行線の定義は『原論』第 I 巻の定義 23 に現れている。古代ギリシア人は、おもに平行線公準を証明しようと試みる中で、もっと別の平行線の定義についても議論している。プロクルスは等距離直線としての平行線の定義はポセイドニオスに帰するとし、同じ脈絡においてゲミノスを引用している。シンプリキオスもポセイドニオスの定義に言及し、アガニスによるその修正についても述べている。
19世紀の終わりごろ、イングランドにおいて『原論』はいまだ中学校における標準的な教科書であった。新たな射影幾何学および非ユークリッド幾何学の勃興により、旧来からの幾何学の取り扱いは変化を余儀なくされており、このころいくつか新しい幾何学の教科書が書かれている。これら新興の教科書における主要な相違点は—それら新興教科書の間でも、またそれらと原論との間でも—平行線の取り扱いが異なることである。これらの改革的な教科書に批判的な人物がいないはずはなく、そのうちの一人としてチャールズ・ドッジソン(ルイス・キャロルとして知られる)は戯曲 Euclid and His Modern Rivals(『ユークリッドと彼の現代のライバルたち』)を書き、それらテキストを扱き下ろした