ダンドラン球面
円錐曲線上の任意の点 P {\displaystyle P} に対し直線 S P {\displaystyle SP} を考え、円 k 1 {\displaystyle k_{1}} , k 2 {\displaystyle k_{2}} との交点をそれぞれ P 1 {\displaystyle P_{1}} , P 2 {\displaystyle P_{2}} とする。また、球面 G 1 {\displaystyle G_{1}} , G 2 {\displaystyle G_{2}} の中心をそれぞれ M {\displaystyle M} , M ′ {\displaystyle M'} ,半径を r 1 {\displaystyle r_{1}} , r 2 {\displaystyle r_{2}} ( r 1 < r 2 {\displaystyle r_{1}<r_{2}} )とすると、
△ M F 1 P {\displaystyle \bigtriangleup MF_{1}P} は直角三角形なので、
F 1 P 2 = M P 2 − M F 1 2 = M P 2 − r 1 2 {\displaystyle F_{1}P^{2}=MP^{2}-MF_{1}^{2}=MP^{2}-r_{1}^{2}}
△ M P 1 P {\displaystyle \bigtriangleup MP_{1}P} は直角三角形なので、
P 1 P 2 = M P 2 − M P 1 2 = M P 2 − r 1 2 {\displaystyle P_{1}P^{2}=MP^{2}-MP_{1}^{2}=MP^{2}-r_{1}^{2}}