ハルナックの不等式
ハルナックの不等式は R 内の x0 を中心とする半径 R の閉球上で定義される非負函数 f に対して適用される。f がその閉球上で連続であり、その内部で調和的であるなら、|x - x0| = r < R を満たす任意の点 x に対して次が成り立つ。
1 − ( r / R ) [ 1 + ( r / R ) ] n − 1 f ( x 0 ) ≤ f ( x ) ≤ 1 + ( r / R ) [ 1 − ( r / R ) ] n − 1 f ( x 0 ) . {\displaystyle \displaystyle {{1-(r/R) \over [1+(r/R)]^{n-1}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).}}
n = 2 の場合、平面 R に対してこの不等式は次のように書き換えられる。
R − r R + r f ( x 0 ) ≤ f ( x ) ≤ R + r R − r f ( x 0 ) . {\displaystyle {R-r \over R+r}f(x_{0})\leq f(x)\leq {R+r \over R-r}f(x_{0}).
数学におけるハルナックの不等式(ハルナックのふとうしき、英: Harnack's inequality)とは、ある正の調和函数の二点での値を関連付ける不等式で、A. Harnack (1887) によって導入された。J. Serrin (1955) と J. Moser (1961, 1964) はハルナックの不等式を、楕円型あるいは放物型偏微分方程式の解へと一般化した。ポアンカレ予想に対するグリゴリー・ペレルマンの解法では、R. Hamilton (1993) によって発見されたリッチフローに対するハルナックの不等式のある変形版が用いられている。ハルナックの不等式は、調和函数の列の収束に関するハルナックの定理を証明するためにも用いられる。また、ハルナックの不等式は、偏微分方程式の弱解の内部での正則性を示すためにも使うことができる。