2の自然対数
ディリクレのイータ関数(英語版)は
η ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n s {\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}}
と定義されるので、上記のテイラー展開から、
η(1) = log 2
である。また、log 2 は以下のような級数でも求められる。
log  2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n ⋅ 2 n {\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot 2^{n}}}}
log  2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 1 3 n + 1 − 1 3 n + 2 + 1 3 n + 3 ) {\displaystyle \log 2=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {1}{3n+1}}-{\frac {1}{3n+2}}+{\frac {1}{3n+3}}\right)}
ネイピア数 e を底とした実数 x を変数とする対数関数 log x が x = 2 のときにとる値が log 2 である。対数関数は指数関数の逆関数であるので、
e = 2
を満たすただ一つの実数の z が log 2 である。
対数関数のテイラー展開は
log  ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n x n ( | x | < 1 ) {\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad (|x|<1)}
である。これに形式的に x = 1 を代入すると
log  2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ {\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }
となるが、この級数は実際に log 2 に収束することが知られている(→交項級数、アーベルの連続性定理)。