超越数
最初に証明した人を括弧内に記述するが、特別な条件の場合に対しては、別の人物が既に証明している場合も多々ある。ただしそれらの詳細についてはここの一覧では触れない。詳細は、各記事ならびに参考文献などを参照のこと。
(1) 超越数となる定数の例
自然対数の底 e(エルミート)
円周率 π(リンデマン)
e π ( = ( − 1 ) − i ) {\displaystyle e^{\pi }\ (=(-1)^{-i})} 。これはゲルフォントの定数とよばれる。(オンライン整数列大辞典の数列 A039661) (ゲルフォント=シュナイダーの定理)
π + e, πe(ネステレンコ (Yu. V. Nesterenko))
正の整数を小さい順に並べた小数であるチャンパーノウン定数 0.123456789101112...(マーラー (K. Mahler))
連分数展開が [ 0 ; a F 0 , a F 1 , a F 2 , ⋯ ] {\displaystyle \scriptstyle [0;\ a^{F_{0}},\ a^{F_{1}},\ a^{F_{2}},\ \cdots ]} である無理数。ただし、a は 2 以上の整数であり、 { F n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{F_{n}\}_{n\geq 0}} はフィボナッチ数列。(クヌース)
チャイティンの定数 Ω
超越数の正の整数乗
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
代数的数 α ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \alpha \neq 0} に対する、 e α {\displaystyle e^{\alpha }} 。
(チュドノフスキー (G. V. Chudnovsky))
ベータ関数 B ( 1 2 , 1 6 ) , B ( 1 2 , 1 4 ) , B ( 1 2 , 1 3 ) {\displaystyle \scriptstyle B({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{6}}),\ B({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}}),\ B({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}})} 。(ジーゲル、シュナイダー、チュドノフスキー)
ヤコビのテータ級数の値 θ 1 ( 0 , α ) , θ 2 ( 0 , α ) , θ 3 ( 0 , α ) {\displaystyle \scriptstyle \vartheta _{1}(0,\alpha ),\ \vartheta _{2}(0,\alpha ),\ \vartheta _{3}(0,\alpha )} 。(ネステレンコ)
(4) ベキ級数で表される関数の特殊値が超越数となる例
リウヴィル級数: 0 < | α | < 1 {\displaystyle \scriptstyle 0<|\alpha |<1} である代数的数 α {\displaystyle \scriptstyle \alpha } に対する、 ∑ k = 1 ∞ α − k ! {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }\alpha ^{-k!
j ( τ ) {\displaystyle \scriptstyle j(\tau )} をクラインのモジュラ関数とし、 α {\displaystyle \alpha } を、上半平面内の3次以上の代数的数としたときの j ( α ) {\displaystyle \scriptstyle j(\alpha )} 。(シュナイダー)
α ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \alpha \neq 0} に対する、位数 0 の第1種ベッセル関数 J 0 ( α ) {\displaystyle J_{0}(\alpha )} 。(ジーゲル)
α ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle \alpha \neq 0} に対する、合流型超幾何級数 F ( 1 , 1 , c ; α ) {\displaystyle F(1,1,c;\alpha )} ( c {\displaystyle c} は0以下の整数以外の有理数)。(シドロフスキー (A. B. Shidlovsky))
ガンマ関数 Γ ( 1 6 ) , Γ ( 1 4 ) , Γ ( 1 3 ) , Γ ( 1 2 ) , Γ ( 2 3 ) , Γ ( 3 4 ) , Γ ( 5 6 ) {\displaystyle \scriptstyle \Gamma ({\tfrac {1}{6}}),\ \Gamma ({\tfrac {1}{4}}),\ \Gamma ({\tfrac {1}{3}}),\ \Gamma ({\tfrac {1}{2}}),\ \Gamma ({\tfrac {2}{3}}),\ \Gamma ({\tfrac {3}{4}}),\ \Gamma ({\tfrac {5}{6}})} 。