複素共役
すなわち次が成り立つ。
z + w = z + w
zw = z w
複素共役は実数を変えない:
z が実数 ⇔ z = z
逆に、C 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。
複素共役変換は、C の全ての点で複素微分不可能である。
複素共役変換を R 上の線型変換と見ると、その表現行列は
[ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
代数方程式について、
「実係数多項式 P(x) が虚数根 α をもつならば、α の共役複素数 α も P(x) の虚数根である」
すなわち
実係数多項式 P(x) について、P(α) = 0 ⇔ P(α) = 0
が成り立つ(1746年、ダランベール)。このことは、複素共役変換は環準同型であることから容易に示せる。