収束級数
正の項からなる数列 (an), (bn) について、各項の比 an/bn が 0 でない有限な極限をもつならば ∑ n = 1 ∞ a n < ∞ ⟺ ∑ n = 1 ∞ b n < ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}<\infty \iff \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}<\infty } が成り立つ。
与えられた級数をなんらかの積分と比較することで収束・発散を判定する方法がある。数列 (an) に対して f(n) = an となる正値単調減少関数が存在するならば、 ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ∫ 1 t f ( x ) d x < ∞ , {\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,} のとき級数は収束し、積分が発散するならば級数は同様に発散する。
(f1, f2, ...) を関数列とする。関数項級数
∑ n = 1 ∞ f n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}
が、関数 f に一様収束する (converge uniformly) とは
s n ( x ) = ∑ k = 1 n f k ( x ) {\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}
で定義される部分和関数列 (sn) が f に一様収束することを言う。
比較判定法の関数項無限級数における対応物が存在して、ワイエルシュトラスのM判定法と呼ばれる。