メルテンスの定理
とおく( g (s) についての等式はリーマンゼータ関数のオイラー積から得られる)。アーベルの総和公式を用いて
h ( s ) = ( s − 1 ) ∫ 1 ∞ P ( t ) t s d t {\displaystyle h(s)=(s-1)\int _{1}^{\infty }{\frac {P(t)}{t^{s}}}dt}
が得られる。ここで t = e u / ( s − 1 ) {\displaystyle t=e^{u/(s-1)}} とおくとオイラーの定数の積分表示から
( s − 1 ) ∫ 1 ∞ log  log  t t s d t = ∫ 1 ∞ e − u log  u s − 1 d t = − γ − log  ( s − 1 ) {\displaystyle (s-1)\int _{1}^{\infty }{\frac {\log \log t}{t^{s}}}dt=\int _{1}^{\infty }e^{-u}\log {\frac {u}{s-1}}dt=-\gamma -\log(s-1)}
となる。これと第二定理を用いて
h ( s ) + log  ( s − 1 ) + γ − b → 0 ( s → 1 + 0 ) {\displaystyle h(s)+\log(s-1)+\gamma -b\rightarrow 0(s\rightarrow 1+0)}
素数 p が n の階乗 n ! {\displaystyle n!} を割り切る回数を e ( p , n ) {\displaystyle e(p,n)} とおくと ルジャンドルの公式 より
e ( n , p ) = ∑ i = 1 ∞ ⌊ n p i ⌋ {\displaystyle e(n,p)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }
であるから
n p − 1 ≤ e ( n , p ) < n p − 1 {\displaystyle {\frac {n}{p}}-1\leq e(n,p)<{\frac {n}{p-1}}}
が成り立つ。よって
∑ p ≤ n log  p ( n p − 1 ) ≤ log  n ! = ∑ p e ( n , p ) log  p < ∑ p ≤ n n log  p p − 1 {\displaystyle \sum _{p\leq n}\log p\left({\frac {n}{p}}-1\right)\leq \log n!=\sum _{p}e(n,p)\log p<\sum _{p\leq n}{\frac {n\log p}{p-1}}}
となるから
∑ p ≤ n log  p p ≤ 1 n ( log  n !