シュレーディンガー描像
もし、ハミルトニアンが時間に依るが、異なる時間でのハミルトニアン同士が交換するのであれば、時間発展演算子は次のように書ける。
U ^ ( t ) = exp  ( − i ħ ∫ 0 t d t ′ H ^ ( t ′ ) ) {\displaystyle {\hat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}dt^{'}\,{\hat {H}}(t^{'})\right)}
シュレーディンガー描像とは別に、座標系を座標系そのものが伝播関数により回転するようにとることもできる。この場合、波動の回転は座標系の回転と一致するので、定常状態の関数は真に定常となる。これがハイゼンベルク描像である。
時間発展演算子はどんな形でも良いわけではない。時間発展についての基本原理(シューレディンガー方程式)に合うような形でなければならない。
慣習的に、 t 0 {\displaystyle t_{0}\ } を、 t 0 = 0 {\displaystyle t_{0}=0\ } として省略し、 U ^ ( t , t 0 ) {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})\ } を U ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {U}}(t)\ } と書く。シュレーディンガー方程式に代入すると、
i ħ d d t U ^ ( t ) | ψ ( 0 ) ⟩ = H ^ U ^ ( t ) | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle ={\hat {H}}{\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle }
ここで H ^ {\displaystyle {\hat {H}}\ } は系のハミルトニアン、 | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (0)\rangle } は t = 0 {\displaystyle t=0} における状態ケットである。つまり、次の時間発展演算子の満たすべき条件が得られる。
i ħ d d t U ^ ( t ) = H ^ U ^ ( t ) {\displaystyle i\hbar {d \over dt}{\hat {U}}(t)={\hat {H}}{\hat {U}}(t)}
この式をそれぞれの条件のもとで解けば、時間発展演算子の具体的な形が求まる。