逆三角関数
arcsec  z = arccos  1 z = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n n ) 4 n ( 2 n + 1 ) z − ( 2 n + 1 ) = π 2 − ( z − 1 + ( 1 2 ) z − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z − 5 5 + ⋯ ) ; | z | ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&=\arccos {\frac {1}{z}}\\&={\frac {\pi }{2}}-\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {\binom {2n}{n}}{4^{n}(2n+1)}}z^{-(2n+1)}\\&={\frac {\pi }{2}}-\left(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\dotsb \right);\quad |z|\geq 1\end{aligned}}}
arctan  u + arctan  v = arctan  u + v 1 − u v ( mod π ) , u v ≠ 1 . {\displaystyle \arctan u+\arctan v=\arctan {\frac {u+v}{1-uv}}{\pmod {\pi }},\qquad uv\neq 1\,.}
これは正接の加法定理
tan  ( α + β ) = tan  α + tan  β 1 − tan  α tan  β {\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}
から
α = arctan  u , β = arctan  v {\displaystyle \alpha =\arctan u\,,\quad \beta =\arctan v}
とすることで導かれる。
{\displaystyle \arctan z={\frac {z}{1+z^{2}}}\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}
(n = 0 に対する和の項は 1 である 0 項の積であることに注意する。)
代わりにこれは次のようにも書ける:
arctan  z = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) ! z 2 n + 1 ( 1 + z 2 ) n + 1 {\displaystyle \arctan z=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}\;{\dfrac {z^{\,2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}}
ここから次の級数も得られる:
( arcsin  z ) 2 = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 1 ( n ! ) 2 ( 2 n + 2 ) ! z 2 n + 2 {\displaystyle (\arcsin z)^{2}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {2^{2n+1}(n!)^{2}}{(2n+2)!}}\;z^{\,2n+2}}
arcsin  x = θ {\displaystyle \arcsin x=\theta }
とおくと、
sin  θ = x {\displaystyle \sin \theta =x}
正弦の指数関数による定義より
e i θ − e − i θ 2 i = x {\displaystyle {\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}=x}
を得る。
k = e i θ {\displaystyle k=e^{i\,\theta }}
とおくと
k − 1 k 2 i = x {\displaystyle {\frac {k-{\frac {1}{k}}}{2i}}=x}
これを k について解くと、
k 2 − 2 i x k − 1 = 0 {\displaystyle k^{2}-2ix\,k-1=0}
e i θ = k = i x ± 1 − x 2 {\displaystyle e^{i\theta }=k=ix\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}
arcsin  x = θ = − i log  ( i x ± 1 − x 2 ) {\displaystyle \arcsin x=\theta =-i\log(ix\pm {\sqrt {1-x^{2}}})}
(正の分枝を選ぶ)
表から sin の項目を参照すれば:
arccos  x = arcsin  1 − x 2 , if 0 ≤ x ≤ 1 arctan  x = arcsin  x 1 + x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arctan x&=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\end{aligned}}}