スターリングの近似
トーマス・ベイズの John Canton への書簡が1763年に王立協会により公表されている。それによると、スターリングの公式は収束級数ではないとされていた。
スターリングの公式の収束級数形式を得るには以下を評価する。
∫ 0 ∞ 2 arctan  ( t / z ) exp  2 π t − 1 d t = ln  Γ ( z ) − ( z − 1 2 ) ln  z + z − 1 2 ln  2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1}}\,dt=\ln \Gamma (z)-\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z+z-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi }
一つの方法として、階乗冪の逆数の収束級数を使う方法がある。 z n ̄ = z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) {\displaystyle z^{\overline {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1)} としたとき、次のようになる。
∫ 0 ∞ 2 arctan  ( t / z ) exp  2 π t − 1 d t = ∑ n = 1 ∞ c n ( z + 1 ) n ̄ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1}}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(z+1)^{\overline {n}}}}}