モジュライ空間
となる。同様に種数 1 の場合は、曲線の 1 次元の空間が存在するが、全てのそのような曲線は次元 1 の自己同型群を持っているので、スタック M 1 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}} は次元 0 となる。g > 1 のときは、自己同型群は有限群でしかなく、自己同型群の次元は 0 であるので、荒いモジュライスタック空間は次元 3g-3 をもつ。結局、種数がゼロのときは、荒いモジュライ空間は次元が 0 であり、種数が 1 の曲線の荒いモジュライは次元が 1 となる。
n 個の点をマークした種数 g のノードを持つ曲線のモジュライスタックを考えることにより、問題を豊富にすることができる。そのようにマークされた曲線が安定であるとは、曲線の自己同型群のマークされた点が有限個と固定した部分群が有限群であることを言う。n 個の点をマークした種数 g の曲線の滑らか(もしくは安定)なモジュライスタックは、 M g , n {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}} (もしくは M ̄ g , n {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}} ) と書き、次元 3g−3+n と持つ。
特に興味を引く場合として、1つのマークした点を持つ種数 1 のモジュライスタック M ̄ 1 , 1 {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}} がある。これは楕円曲線のスタックで、多くのモジュラ形式の研究の自然な原点となっており、このスタック上のバンドルの有理型切断となっている。
何が空間 M のモジュライ空間を意味するかには様々な異なる考え方がある。これらの各々の定義は、何が空間の点が幾何学的な対象を意味するかについて異なる考え方を定式化している。
実射影空間(英語版) P は、原点を通る R の中の直線をパラメータ化したモジュライ空間である。同様に、複素射影空間は原点を通る C の中の全て複素直線の空間である。
さらに一般的に、体 F 上のベクトル空間 V のグラスマン多様体(英語版) G(k, V) とは、V の k-次元線型部分空間のモジュライ空間である。