混線内接円
三角形 A B C {\displaystyle ABC} の A {\displaystyle A} 傍接円は一意に存在する。 A {\displaystyle A} を中心とし A B ⋅ A C {\displaystyle {\sqrt {AB\cdot AC}}} を半径とする反転と、角 A {\displaystyle A} の二等分線に関する鏡映を合成することで定義される変換を Φ {\displaystyle \Phi } とする。反転と鏡映は全単射であり接点が不変に保たれるので、 Φ {\displaystyle \Phi } も同様である。このとき、 Φ {\displaystyle \Phi } による A {\displaystyle A} 傍接円の像は、辺 A B {\displaystyle AB} と辺 A C {\displaystyle AC} に内接し、かつ三角形 A B C {\displaystyle ABC} の外接円に接するので、すなわち A {\displaystyle A} 混線内接円である。したがって、 A {\displaystyle A} 混線内接円は一意に存在し、同様の議論により B {\displaystyle B} と C {\displaystyle C} に対しても同じことが示される。