スカラー場の理論
ファインマン・ダイアグラムの複雑な計算や対称性に関する議論に有用な方法が経路積分による量子化である。スカラー場がφ相互作用をする場合の生成汎関数を以下のように定義する。
Z [ J ] ≡ ∫ D φ e i ∫ d 4 x ( 1 2 ∂ μ φ ∂ μ φ − m 2 2 φ 2 − g 4 ! φ 4 + J φ ) = ∫ D φ e i ∫ d 4 x ( 1 2 ∂ μ φ ∂ μ φ − m 2 2 φ 2 + J φ ) ( 1 − i ∫ d 4 x g 4 ! φ 4 + ⋯ ) {\displaystyle {\begin{aligned}Z[J]&\equiv \int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}\\&=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+J\phi \right)}\left(1-i\int d^{4}x{g \over 4!}\phi ^{4}+\cdots \right)\end{aligned}}}
ファインマン則には位置空間と運動量空間の二種類の表示があるが、以下では運動量空間におけるファインマン則を記述する。
各内線、各外線には、対応するファインマン伝播関数を与える。スカラー場の場合、 i p 2 − m 2 + i ε {\displaystyle {\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}} となる。
各頂点は、対応する相互作用項の結合定数を与える。スカラー場の場合、-ig となる。
与えられた運動量によって1本の線の運動量を決める。各頂点に運動量保存則を課すため、4元運動量のδ関数をかける。さらに、与えられた運動量以外のループ運動量 l に対して、積分 ∫ d 4 l ( 2 π ) 4 {\displaystyle \int {\frac {d^{4}l}{(2\pi )^{4}}}} を行う。
ファインマン・ダイアグラムの対称性に応じた対称因子を与える。
外線と連結していない真空泡グラフは考慮しない。
最後のルールである真空泡グラフの寄与は、生成汎関数Z[J=0]として表されるので、あらかじめ生成汎関数をZ[J]/Z[J=0]と再定義しておけば、この寄与を無視することができる。
↑ Aizenman, M. (1981). “Proof of the Triviality of φ4d Field Theory and Some Mean-Field Features of Ising Models for d>4”. Physical Review Letters 47: 1–4. doi:10.1103/PhysRevLett.47.1.
スカラー場の理論がスケール不変性を持つ、つまりスケール変換
x → λ x {\displaystyle x\rightarrow \lambda x}
φ → λ − Δ φ {\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi }
のもとで不変であることには特別な意味がある。作用は質量次元が0となるよう設定されているが、全ての作用がスケール変換のもとで不変とは限らない。これは、作用の中に含まれるパラメータmや gn が固定された量、すなわち上記の変換のもとでの不変量として扱われるためである。このことから、スカラー場のスケール不変性の条件は、作用の中に含まれる全てのパラメータの質量次元が0であることである。言い換えると、スケール不変な理論は固定された長さスケール(すなわち、質量スケール)を持たない理論であり、固定された長さスケールを持つ理論はスケール不変でない。
D次元の時空におけるスカラー場の理論において、唯一の無次元量の結合定数 gn は、nが
n = 2 D D − 2 {\displaystyle n={\frac {2D}{D-2}}}
のときである。例えば、D=4においては結合定数 g4 のみが古典的な無次元量となるので、D=4における唯一の古典的にスケール不変なスカラー場の理論は、質量項を持たないφ理論となる。
通常、古典場がスケール不変であるとき、それと対応する量子場は必ずしもスケール不変であるとは限らない。このように、古典論で成立していた対称性が量子論で破れることをアノマリーと呼ぶ。
この結果より、φ理論のベータ関数は常に正である、すなわち、φ理論はエネルギースケールの増加に比例して結合定数が増加する理論であることが分かる。この結合が十分に強いとき、この結果は有限エネルギーにおけるランダウ・ポールの存在を示唆している。しかし、強結合領域では摂動論が適用できないため、ランダウ・ポールを記述するためには非摂動的な方法が必要となる。
場の量子論において結合定数がエネルギースケールに依存するとき、連続極限(運動量カットオフを無限大にする極限)をとることで、その場が自由場と等しくなる場合がある。このとき、結合定数が0となるので、伝播関数は自由場のそれと等しくなり、相互作用は無いものとみなされる。この理論は、カットオフを取り除かずに成立する有効理論であると解釈される。この性質はtrivialityと呼ばれ、φ相互作用においては、5次元以上の時空(D≧5)で成り立つことが証明されている。D=4の場合におけるtrivialityの存在は、厳密な証明はされていないが、数値計算によって十分な証拠が確認されている。この議論はヒッグス機構と関連しており、ヒッグス粒子の質量の上限を指定する要因の一つである。