ヘリーの定理
Radon (1921) の証明と同様に、ラドンの定理(英語版)による有限の場合の証明を始めに行う。すると無限の場合は、コンパクト性を特徴付ける有限交差性によって従う。すなわち、コンパクト空間の閉部分集合の集まりの共通部分が空でないための必要十分条件は、すべての有限の部分的な集まりの共通部分が空でないことなのである(ある単一の集合を固定した際、その集合と他のすべての集合との共通部分は、ある固定されたコンパクト空間の閉部分集合である)。
証明は数学的帰納法によって行われる:
基本となる場合 n = d+2 とする。仮定より、任意の j = 1, ..., n に対して、Xi すべてと Xj の例外との共通部分に含まれる点 xj が存在する。今、A1 の凸包が A2 の凸包と交わる互いに素な部分集合 A1, A2 を持つ集合 A = {x1, ..., xn} に対して、ラドンの定理(英語版)を適用する。p はそれら二つの凸包の共通部分にある点とする。次を示す:
p ∈ ⋂ j = 1 n X j . {\displaystyle p\in \bigcap _{j=1}^{n}X_{j}.}
実際、任意の j ∈ {1, ..., n} を考え、p ∈ Xj を示す。Xj に含まれない可能性のある唯一つの A の元は xj である。