リミットサイクル
よって、r0 ≠ 0 であれば、r(t) は t → ∞ で r → 1 であり、系の原点を除く全ての軌道は回転しながら単位円に近づいていくこととなる。この結果は、明示的な一般解を必要としない簡易な安定判別によっても得られる。よって、原点を中心とする単位円がこの系の安定なリミットサイクルである。
上記の微分方程式系にパラメータ a を与えた
r ̇ = r ( a − r 2 ) , θ ̇ = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {r}}&=r(a-r^{2}),\\{\dot {\theta }}&=1\end{aligned}}}
では、a > 0 であれば、半径 √a の円が上記と同様に安定なリミットサイクルである。しかし a < 0 のときは、全ての軌道は原点に収束する。a = 0 のときも、代数的なオーダーの速さだが全ての軌道は原点に収束する。a > 0 になったときに、原点は不安定となり、原点周囲に安定なリミットサイクルが発生する。よって、この系では a = 0 でホップ分岐が起きている。
上記は解析解を得ることができる例だが、ほとんどの非線形微分方程式系は解析的に解くことはできない。非線形振動現象の代表的な例であり、なおかつ実際の現象に由来する二階非線形微分方程式として、バルタザール・ファン・デル・ポールが三極真空管の発振回路で起こる自励振動を解明するために導いたファン・デル・ポール方程式がある。