Catamorphism
圏論では、CatamorphismとAnamorphismは圏論的双対である。
これは以下を意味する。(A, in)をある圏からそれ自身への自己関手Fに対する始代数とする。 従って、inはFAからAへの射であり、これが始であると仮定したので、つまり、(X, f)を他のF-代数(射f : FX → Xのこと)とすると、(A, in)から(X, f)への一意な準同型射hが常に存在すると仮定したので、AからXへの射hで、h . in = f . Fhを満たすものもまた一意に存在する。 そして、各fに対して一意に指定された射hをcata fで表す。
言い換えれば、固定されたF、A、inに対して、以下の関係式によって定義することもできる。
h = c a t a f {\displaystyle h=\mathrm {cata} \ f}
h ∘ i n = f ∘ F h {\displaystyle h\circ in=f\circ Fh}