RLC回路
RLC回路は、同じ入力抵抗の受信回路と R を置換することでバンドパスフィルタやバンドストップフィルタとして使える。直列回路の場合の帯域幅(ラジアン毎秒)は次のようになる。
Δ ω = 2 α = 2 ζ ω 0 = R L {\displaystyle \Delta \omega =2\alpha =2\zeta \omega _{0}={R \over L}}
同様に帯域幅をヘルツで表すと次のようになる。
Δ f = Δ ω 2 π = α π = ζ ω 0 π = R 2 π L {\displaystyle \Delta f={\Delta \omega \over 2\pi }={\alpha \over \pi }={\zeta \omega _{0} \over \pi }={R \over 2\pi L}}
帯域幅は周波数応答がピークの半分になる2つの周波数の幅(通過帯域の幅、または阻止帯域の幅)である。
直列構成と並列構成の帯域幅の式は互いの逆の関係にある。このことは、回路設計でどちらを使うべきかを判断するのに便利である。しかし、回路解析においては、共振周波数とQ値をシステムの特性として使うことが多い。
減衰共振周波数 (damped resonance frequency) は、共振周波数と減衰係数から導出される。不足減衰 (underdamping) の場合、すなわち
α < ω 0 {\displaystyle \displaystyle \alpha <\omega _{0}}
または等価的に
ζ < 1 {\displaystyle \displaystyle \zeta <1}
である場合、減衰共振を次のように定義できる。
ω d = ω 0 2 − α 2 = ω 0 1 − ζ 2 {\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}
発振回路では、
α ≪ ω 0 {\displaystyle \alpha \ll \omega _{0}}
または
ζ ≪ 1 {\displaystyle \zeta \ll 1}
が成り立つ。従って、次のように近似できる。
ω d ≈ ω 0 {\displaystyle \omega _{d}\approx \omega _{0}}
これに基本パラメータ α と ωo を使うと、次が得られる。
Y ( s ) = I ( s ) V ( s ) = s L ( s 2 + 2 α s + ω 0 2 ) {\displaystyle Y(s)={I(s) \over V(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}\right)}}}
なお、この Y(s) の式は、零状態応答 (Zero State Response) の式と同じである。
極と零点
Y(s) の零点は、 Y ( s ) = 0 {\displaystyle Y(s)=0} となるような s の値である。
s = 0 {\displaystyle s=0\,} かつ | s | → ∞ {\displaystyle |s|\rightarrow \infty }
Y(s) の極は、 Y ( s ) → ∞ {\displaystyle Y(s)\rightarrow \infty } となるような s の値である。分母の二次方程式を解くと
s = − α ± α 2 − ω 0 2 {\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}
となる。なお、Y(s) の極は、特性多項式の根 λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} と λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} と同じである。