リー環の指数写像
すべての X ∈ g {\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} に対して、写像 γ ( t ) = exp  ( t X ) {\displaystyle \gamma (t)=\exp(tX)} は、単位元における接ベクトルが X であるような G の唯一の1パラメータ部分群である。したがって exp  ( t + s ) X = ( exp  t X ) ( exp  s X ) {\displaystyle \exp(t+s)X=(\exp tX)(\exp sX)\,} exp  ( − X ) = ( exp  X ) − 1 . {\displaystyle \exp(-X)=(\exp X)^{-1}.\,}
指数写像 exp : g → G {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G} は滑らかな写像(英語版)である。単位元における微分 exp ∗ : g → g {\displaystyle \exp _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} は(通常の同一視によって)恒等写像である。したがって指数写像は適当に制限すると g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} における 0 のある近傍から G における 1 のある近傍への微分同相となる。
しかしながら指数写像は一般には被覆写像ではない。