高木の存在定理
モジュラスとは(または射因子(ray divisor)とも言う)、正の整数の指数をもつ K の付値(また、素点(place)、素因子(prime)とも言う)の形式的有限積のことを言う。モジュラスの中に現れるアルキメデス的な付値(無限素点ともいう)は、完備化が複素数ではなく実数になるもののみを含む。そのような無限素点は K の順序と対応し、モジュラスにおいては必ず指数 1 である。
モジュラス m は、非アルキメデス的(有限)付値部分 mf とアルキメデス的(無限)付値部分 m∞ の積である。有限部分 mf は K の整数環 OK のゼロでないイデアルと対応し、無限部分 m∞ は K の実埋め込みいくつかの集合に対応する。モジュラス m にたいして次の二つの群 Im および Pm を次のように定める。Im は m と互いに素な全ての分数イデアルの群である(mf に現れる全ての素イデアルを含まないという条件で、ここには無限部分に対する条件は課さない)。Pm は Im のうちで主分数イデアル (u/v) であって次の条件をみたすもののなす部分群である。ここで u と v、m∞ の各々の整環の中で mf と互いに素であり、u ≡ v mod mf であり、m∞ に属する全ての順序に対し u/v > 0 であるような OK のゼロでない元である。
(Pm の定義としてはある生成元があたえられた条件をみたせばよい、ということに注意する。