ボレル集合
X {\displaystyle X} がポーランド空間、即ち X {\displaystyle X} の位相を定める X {\displaystyle X} 上の距離函数 d {\displaystyle d} が存在して、 X {\displaystyle X} が d {\displaystyle d} に関して完備な可分距離空間となるものとする。このとき、 X {\displaystyle X} はボレル空間として、(1) R {\displaystyle \mathbb {R} } , (2) Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , (3) 有限空間、の何れか一つに同型である。
(この結果はマハラムの定理を髣髴とさせる)。
ボレル空間として考えるとき、実数直線 R と、R に可算集合を合併させたものとは、互いに同型である。
標準ボレル空間 (standard Borel space) とはポーランド空間に付随するボレル空間を言う。
標準ボレル空間は(同型を除いて)その濃度によって決まること、および任意の非可算標準ボレル空間は連続体濃度を持つことに注意せよ。
ポーランド空間の部分集合に対して、ボレル集合はポーランド空間上で定義される連続単射の像として得られる集合として特徴づけることができる。しかし、単射でない連続写像の像は必ずしもボレルにならない(解析集合を参照)。
標準ボレル空間は、その上の任意の確率測度に関して標準確率空間となる。