谷山–志村予想
1990年代、「ヴェイユ予想」「谷山・ヴェイユ予想」と呼ばれてきたこの予想の名称からヴェイユの名前を排除すべく、ラングは大々的なキャンペーンを開始した。ラングは30年にわたってこの予想の歴史が誤って語られ続け当事者達に対する正当な評価が行われてこなかったとし、自身で行った調査をもとにこの予想を谷山・志村予想と呼ぶことにした。ラングは1995年に発表した記事の導入部でセールが1995年6月のブルバキ・セミナーにおいて語った呼称の由来は間違ってるとまず指摘し、1986年の「ためになった」という返信は何だったのか、と糾弾する。さらにゲルト・ファルティングスが「谷山・ヴェイユ予想(本質的には志村による)」と矛盾した言い回しを用いたことに言及する。そしてこうした混乱が生じた主な原因はヴェイユが1967年の論文でこの予想の来歴をきちんと書かずようやく1979年になってから全集のコメントに書いたからだ、と結論した。
ラングのキャンペーンの結果、この予想を「谷山・志村予想」と異なる名称で呼ぶことは憚られるようになった。今では多くの人がこの予想を谷山・志村予想と呼んでいる。
しかしすべての数学者がラングの意見に同調しているわけではない。
足立は、予想の呼称をどうするかは重要ではないが、日光シンポジウムにおけるヴェイユの指導的役割やこの周辺の問題における大きな業績、例えば楕円曲線の導手 N をこの問題に関連づけたことなどを鑑みるならば「谷山=志村=ヴェイユ予想」という呼称もおかしなものではないとし、1995年の著書においてはこの呼称を採用している。
T : J 0 ( N ) → J 0 ( N ) , [ φ ] ↦ [ φ ∘ T ] , φ ∈ S 2 ( Γ 0 ( N ) ) ∧ . {\displaystyle T:J_{0}\left(N\right)\rightarrow J_{0}\left(N\right),\quad [\varphi ]\mapsto [\varphi \circ T],\quad \varphi \in {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma _{0}\left(N\right)\right)^{\wedge }.}
これは、double coset operatorの定義と、ヘッケ作用素がdouble coset operatorの特殊な場合であることから導かれる。なお、記号 [ ] {\displaystyle [\quad ]} は同値類の意味である。
リーマン面 X {\displaystyle X} のヤコビアン(Jacobian(もしくはヤコビ多様体)は X {\displaystyle X} がコンパクト化されたモジュラー曲線 X ( Γ ) {\displaystyle X\left(\Gamma \right)} である場合にはより明示的な表示が出来る。
この場合、 Ω h o l 1 ( X ) {\displaystyle \Omega _{hol}^{1}\left(X\right)} の要素は、 ウェイト 2 のカスプ形式 た f ∈ S 2 ( Γ ) {\displaystyle f\in {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)} と強く結びついている。
与えられた f ∈ S 2 ( Γ ) {\displaystyle f\in {\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)} から作られる 1形式 ω ( f ) {\displaystyle \omega \left(f\right)} は一意的 (本質的に、 f ( τ ) d τ {\displaystyle f(\tau )d\tau } に等しい)。