微分可能関数
関数 f は、それ自体連続であるような導関数 f′(x) が存在するなら、連続的微分可能(continuously differentiable)であると言われる。微分可能関数の導関数が跳躍不連続点を持つことは無いが、真性不連続点を持つことはある。例えば、関数
f ( x ) = { x 2 sin  ( 1 / x ) if x ≠ 0 0 if x = 0 {\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}
は点 0 において微分可能である。なぜならば、
f ′ ( 0 ) = lim Δ → 0 ( Δ 2 sin  ( 1 / Δ ) − 0 Δ ) = 0 {\displaystyle f'(0)=\lim _{\Delta \to 0}\left({\frac {\Delta ^{2}\sin(1/\Delta )-0}{\Delta }}\right)=0}