有向点族
有向点族の例として以下のものがある。特に3番目の開近傍系の例は有向点族の概念の根幹に関わる重要な例であり、後述する位相構造の特徴づけでも本質的な役割を果たす。
(点列) 自然数の全体に通常の大小関係で順序を入れたものは有向集合であるので、任意の点列は有向点族である。定義より明らかなように点列(xn)の点列としての収束性と有向点族としての収束性は一致する。
(実数値関数の極限) 同様に実変数関数の極限limx→∞ f(x)も、有向点族 ( f ( x ) ) x ∈ R {\displaystyle (f(x))_{x\in \mathbb {R} }} の極限ととらえる事ができる。
(開近傍系) 位相空間上の点 a を固定し、a の各近傍U からxUを任意に選ぶと、 ( x U ) U ∈ N a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {N}}_{a}}} は有向点族となる。
距離空間あるいは一様空間においては、コーシー列とほぼ同様にしてコーシーネットを定義ことができる。この概念はコーシー空間にまで一般化することができる。
それに対し点列の場合はその添え字の可算性ゆえ、同様の特徴づけを行うには空間の方にも可算性に関する条件が必要となる(詳細は列型空間を参照)。
なお、添え字集合を有向集合にした事は、位相空間上の各点の近傍系が有向集合である(詳細後述)事と相性がよく、これも点列概念の不十分さを解消する上で一役買っている。
点列の極限で位相構造を特徴づけられない例としては、整列順序集合[0,ω1]に順序から定まる位相を入れた空間がある。ここで ω1は最小の非可算順序数である。実際この集合においてω1は明らかに[0,ω1)の閉包に属しているにもかかわらず、[0,ω1)内のいかなる点列もω1に収束しない。なぜなら ω1の非可算性と「可算集合の可算和はまた可算集合になる」という事実により、 [0,ω1)内の任意の点列に対し、点列に属する点のいずれよりも大きい順序数α<ω1が存在するので、 ω1の開近傍(α,ω1]には点列の点が存在しえないからである。
点列概念から可算性を取り除くもう一つの方法として、1937年にアンリ・カルタンによって生み出されたフィルターの概念が知られているが、実はフィルターの概念は収束という観点から見た場合には有向点族の概念と実質的に同値である事が知られている。