ネイピア数の無理性の証明
以降の全ての項の和は、b が 1 以上であることから
{ b ! ( b + 1 ) ! + b ! ( b + 2 ) ! + b ! ( b + 3 ) ! + ⋯ } = 1 ( b + 1 ) + 1 ( b + 1 ) ( b + 2 ) + 1 ( b + 1 ) ( b + 2 ) ( b + 3 ) + ⋯ < 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + ⋯ = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}\\&={\frac {1}{(b+1)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots \\&<{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots =1\end{aligned}}}
と 1 未満になる。したがって ( ) 内と { } 内を足した右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。
ゆえに e = a/b を満たす自然数 a, b が存在するという仮定は誤りである。