境界付き多様体
R + n ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} _{+}^{n}}}} を R の点であってすべての座標が非負のもの全体とする:
R + n ̄ = { ( x 1 , ... , x n ) ∈ R n : x 1 ≥ 0 , ... , x n ≥ 0 } . {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} _{+}^{n}}}=\{(x^{1},\dotsc ,x^{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x^{1}\geq 0,\dotsc ,x^{n}\geq 0\}.}
この部分集合は H と同相であるが微分同相ではない.M を境界を持つ(位相)多様体とする.頂点を持つ多様体とは,局所的に R + n ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} _{+}^{n}}}} の開部分集合と微分同相な多様体である.
境界付き多様体の助けを借りて,ストークスの積分定理を簡潔かつエレガントに定式化できる.M を向き付けられた n 次元境界付き可微分多様体とし,ω をコンパクト台を持つ n − 1 次の微分形式とすると,
∫ M d ω = ∫ ∂ M ω {\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega }
となる.M が境界を持たなければ,右辺の積分は 0 であり,M が 1 次元多様体ならば,右辺の積分は有限和である.