双対ベクトル空間
ベクトル空間 V が有限次元でない場合にも適当な無限集合 A で添字付けられる基底 eα は持つから、有限次元の場合と同様の構成によって、双対空間の線型独立な元の族 e (α ∈ A) を作ることはできるが、これは必ずしも基底とならない。
例えば、有限個の例外を除く全ての成分が 0 であるような実数列全体の成す空間 R を考えると、これは自然数全体の成す集合 N で添字付けられる標準基底、すなわち各 i ∈ N に対して ei は第 i-項が 1 で他はすべて 0 となるようなものを持つ。R の双対空間は全ての実数列からなる空間 R である。数列 (an) の (xn) ∈ R への作用は ∑ an xn で与えられる(これは xn の非零項が有限個しかないことから有限和である)。R の次元は可算無限だが、R の次元は非可算である。
このような考察は任意の体 F 上の任意の無限次元ベクトル空間に対して一般化できる。基底 {eα : α ∈ A} を一つとって V を fα = f(α) は有限個の例外を除く全ての α ∈ A に対して 0 となるような写像 f: A → F 全体の成す空間 (F)0 と同一視すれば、写像 f は V のベクトル ∑α∈A fα eα と同一視される(f の仮定からこれは有限和だから意味を持ち、また基底の定義により任意の v ∈ V はこの形に書ける)。