ベズーの等式
(例えば拡張されたユークリッドの互除法を使って)ベズー係数の一組 (x, y) が計算されたとき、すべての組は
( x + k b gcd ( a , b ) , y − k a gcd ( a , b ) ) {\displaystyle \left(x+k{\frac {b}{\gcd(a,b)}},\ y-k{\frac {a}{\gcd(a,b)}}\right)}
の形で表せる、ただし k は任意の整数であり分数は整数になる。
ベズー係数のこれらの組の中で、ちょうど2つが
| x | ≦ | b gcd ( a , b ) | and | y | ≦ | a gcd ( a , b ) | . {\displaystyle |x|\leqq \left|{\frac {b}{\gcd(a,b)}}\right|\quad {\text{and}}\quad |y|\leqq \left|{\frac {a}{\gcd(a,b)}}\right|.}
を満たす。また、a と b の一方が他方の約数であるときのみ等号が成立しうる。
これは除法の原理による。すなわち、2つの整数 c と d が与えられると、d が c を割らなければ、ちょうど1つの組 (q,r ) が存在して、c = dq + r かつ 0 < r < |d | となり、別の1つの組が存在して、c = dq + r かつ 0 < −r < |d | となる。
拡張ユークリッドアルゴリズムはつねにこれらの2つの最小の組の1つをもたらす。