円周率は3
まず、直径 1 の円 C と、円 C に内接する正12角形を考える。半径 r の円の円周の長さは 2πr なので、半径が 1/2 である円 C の円周の長さ l は l = 2 π ⋅ 1 2 = π {\displaystyle l=2\pi \cdot {\frac {1}{2}}=\pi }
となる。また、円 C に内接する正12角形の辺の長さを L とすると L = 12 sin  15 ∘ = 12 1 − cos  30 ∘ 2 = 6 2 − 3 {\displaystyle L=12\sin 15^{\circ }=12{\sqrt {\frac {1-\cos {30^{\circ }}}{2}}}=6{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}
であり、L を2乗すると L 2 = 36 ( 2 − 3 ) > 36 ( 2 − 1.74 ) = 9.36 > 9.