動吸振器
最も単純な減衰の無い2自由度系の線形ばね質量系について考える。ばねkmで支えられた質量mmからなる主系(制振対象)に、ばねkaと質量maからなる従系(動吸振器)が取り付けられたモデルが、動吸振器の最も単純なモデルとなる。このモデルでは、2つの質量は質点(ある一点に質量が集中している)とし、ばねの重さは考えない。質点mm、maの変位(ばねkm、kaがともにつり合っている位置からの移動量)をそれぞれxm、xaと表すこととし、時刻をtとおくと、主系が力振幅f0、角振動数Ωの調和振動形の加振力を受けるとき、運動方程式は以下のようになる。
m m x ̈ m + k m x m + k a ( x m − x a ) = f 0 cos  ( Ω t ) {\displaystyle m_{m}{\ddot {x}}_{m}+k_{m}x_{m}+k_{a}(x_{m}-x_{a})=f_{0}\cos(\Omega t)}
m a x ̈ a + k a ( x a − x m ) = 0 {\displaystyle m_{a}{\ddot {x}}_{a}+k_{a}(x_{a}-x_{m})=0}
この系全体としての固有振動数ω1、ω2は次のように求まる。
m a x ̈ a + c a ( x ̇ a − x ̇ m ) + k a ( x a − x m ) = 0 {\displaystyle m_{a}{\ddot {x}}_{a}+c_{a}({\dot {x}}_{a}-{\dot {x}}_{m})+k_{a}(x_{a}-x_{m})=0}
この運動方程式より、主系の変位倍率は次のように求まる。
| X m x s t | = ( α 2 − β 2 ) 2 + ( 2 ζ a α β ) 2 [ ( α 2 − β 2 ) ( 1 − β 2 ) − μ α 2 β 2 ] 2 + ( 2 ζ a α β ) 2 ( 1 − β 2 − μ β 2 ) 2 {\displaystyle \left|{\frac {X_{m}}{x_{st}}}\right\vert ={\sqrt {\frac {(\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{2}+(2\zeta _{a}\alpha \beta )^{2}}{\left[(\alpha ^{2}-\beta ^{2})(1-\beta ^{2})-\mu \alpha ^{2}\beta ^{2}\right]^{2}+(2\zeta _{a}\alpha \beta )^{2}(1-\beta ^{2}-\mu \beta ^{2})^{2}}}}}
ここで、
ただし、
b 1 = 65536 + 241664 μ + 369920 μ 2 + 305664 μ 3 + 148720 μ 4 + 43500 μ 5 + 7339 μ 6 + 576 μ 7 {\displaystyle b_{1}=65536+241664\mu +369920\mu ^{2}+305664\mu ^{3}+148720\mu ^{4}+43500\mu ^{5}+7339\mu ^{6}+576\mu ^{7}}
b 2 = 524288 + 2818048 μ + 6621184 μ 2 + 8864512 μ 3 + 7377280 μ 4 + 3896224 μ 5 + 1271168 μ 6 + 233491 μ 7 + 18432 μ 8 {\displaystyle b_{2}=524288+2818048\mu +6621184\mu ^{2}+8864512\mu ^{3}+7377280\mu ^{4}+3896224\mu ^{5}+1271168\mu ^{6}+233491\mu ^{7}+18432\mu ^{8}}
定点理論による最適値:
主系力加振系(調和振動)
X a x s t = ω m 2 ω a 2 ( ω 1 2 − Ω 2 ) ( ω 2 2 − Ω 2 ) {\displaystyle {\frac {X_{a}}{x_{st}}}={\frac {\omega _{m}^{2}\omega _{a}^{2}}{(\omega _{1}^{2}-\Omega ^{2})(\omega _{2}^{2}-\Omega ^{2})}}}
ここで、Xm/xstの式に注目すると、ωa = Ωのとき、Xm/xst = 0となる。すなわち加振力の振動数Ωが既知のとき、動吸振器の単体固有角振動数ωaをΩと一致させるように設計することで、主系の振動を完全に消失させることができる。このような手法を同調(tuning)とよぶ。このように補助質量体に主系の振動を吸収させるが動吸振器の基本原理である。このように、連結された振動系で1つの振動系の振動が極小になることを反共振(英語版)とよぶ。
また、ωa = Ωのときの従系質量体の振動変位の解は、
x a = f 0 k a cos  ( Ω t + π ) {\displaystyle x_{a}={\frac {f_{0}}{k_{a}}}\cos(\Omega t+\pi )}