接ベクトル空間
数学においては、このように性質を調べた後でその性質をその言葉の定義と取り替えて一般化することがよくある。
すなわち m 次元 C 級多様体 M の点 p の近傍で定義された任意の C 級関数 f, g 及び実数 a, b に対し
v(af + bg) = av(f) + bv(g)
v(fg) = v(f) g(p) + f(p) v(g)
をみたすような対応
v: f ↦ v(f) ∈ R
のことを p における方向微分という。
この定義には曲線 φ すら出てこない。
多様体 M 上の点 p における方向微分の全体を Dp(M) と書く。
f = g が恒等的に 1 を取る関数であれば、定義より
v ( 1 ∗ 1 ) = v ( 1 ) ∗ 1 + 1 v ( 1 ) {\displaystyle v(1*1)=v(1)*1+1v(1)}
v ( 1 ) = 0 {\displaystyle v(1)=0}
となる。このことより f が定数 a を取る定数関数であれば
v ( a ) = v ( a ∗ 1 ) = a v ( 1 ) = 0 {\displaystyle v(a)=v(a*1)=av(1)=0}
となることがわかる。
p の開近傍を十分小さく取ったときに C 級関数 f, g の値がその開近傍上で等しいとき
v(f) - v(g) = v(f − g) = v(0) = 0
v(f) = v(g)
となる。
p ∈ M での方向微分 u, v と C 級関数 f 実数 a に対して
(u + v)(f) = u(f) + v(f)
(au)(f) = a(u(f))
のように、方向微分の和と定数倍を定義することにより、 Dp(M) はベクトル空間になる。
接ベクトル空間は、多様体上の点ごとに定義されるベクトル空間である。接ベクトル空間の元を接ベクトルという。全ての点で接ベクトルが定まっているとベクトル場というものが定義できる。ベクトル場は多様体の形を調べたり、多様体上の粒子の運動を調べたりするのに非常に役立つ概念である。物理学でいえば電磁場や重力場などを記述でき、そのベクトル場の中に置かれた粒子はその点での接ベクトルの向いている方向に沿って移動していく。本項目で扱うのは、そのベクトル場の基礎となるある 1 点の上の接ベクトル空間である。
1 ≤ r ≤ ∞ とする。 m 次元 C 級多様体 M と、その中の C 級曲線
φ : ( − ε , ε ) → M {\displaystyle \phi \colon (-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}
を考え φ(0) = p ∈ M とする。
p を含む座標近傍 (U; x1, ..., xm) において φ(t) = (x1(t), ..., xm(t)) を t で微分して、t = 0 を代入することにより曲線 φ の点 p での速度ベクトル
d φ d t ( 0 ) := ( d x 1 d t ( 0 ) , d x 2 d t ( 0 ) , ... , d x m d t ( 0 ) ) {\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}(0):=\left({\frac {dx_{1}}{dt}}(0),{\frac {dx_{2}}{dt}}(0),\dotsc ,{\frac {dx_{m}}{dt}}(0)\right)}
多様体上の接ベクトル空間(せつベクトルくうかん、英語: tangent vector space)あるいは 接空間(英語: tangent space)とは、多様体上の各点で定義されるベクトル空間であり、その点における全ての接ベクトルの集合である。接ベクトル空間は、ユークリッド空間内の曲線や曲面における接ベクトルの一般化ともいえる。