Invariant basis number
invariant basis number の条件の主たる目的は、IBN 環上の自由加群はベクトル空間に対する次元定理(英語版)の類似を満たすことである。すなわち、IBN 環上の自由加群の 2 つの基底は同じ濃度を持つ。(選択公理よりも真に弱い)ultrafilter lemma(英語版) を仮定すると、この結果は実は上で与えた定義と同値であり、これを別の定義とすることができる。
IBN 環 R 上の自由加群 R の階数 (rank) は R に同型な勝手な(したがってすべての)R-加群 R の指数 m の濃度と定義される。したがって IBN property は自由 R-加群のすべての同型類は一意的な階数を持つことを主張する。階数は IBN を満たさない環に対しては定義されない。ベクトル空間に対しては、階数は次元とも呼ばれる。したがってこれまでの結果をまとめると: 階数がすべての自由 R-加群に対して一意的に定義されることと、それがすべての有限生成自由 R-加群に対して一意的に定義されることは同値である。