有効質量
であるため、
a = ∇ k ( F ħ ⋅ ∇ k ω ( k ) ) = 1 ħ 2 ∇ k ( ∇ k E ( k ) ) F {\displaystyle \mathbf {a} =\nabla _{k}\left({\frac {\mathbf {F} }{\hbar }}\cdot \nabla _{k}\,\omega (\mathbf {k} )\right)={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\nabla _{k}\left(\nabla _{k}\,E(\mathbf {k} )\right)\mathbf {F} }
と書ける。ここでド・ブロイの関係式 E = ħ ω {\displaystyle E=\hbar \omega } を用いた。これを成分表示すると、
a i = ( 1 ħ 2 ∂ 2 E ( k ) ∂ k i ∂ k j ) F j {\displaystyle a_{i}=\left({\frac {1}{\hbar ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}E\left(\mathbf {k} \right)}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}\right)\!F_{j}}
ここでjについてはアインシュタインの縮約記法を用いた。これを運動方程式と比較すると、有効質量は次のように与えられる。
有効質量(ゆうこうしつりょう、英: effective mass)とは、何らかの物理現象を、「古典力学における質量を含む物理法則(比較的簡単な現象の場合が多い)」と類比することで現象論的に理解しようとしたときに出てくる、質量相当の物理量の総称である。結晶中の電子の物性を用いる上で用いられる「有効質量」を指すことがほとんどだが、結晶中の電子の物性とは異なる物理現象にもこの概念を持ち込むことがある。
「結晶中の電子の有効質量」以外の「有効質量」としては、例えば、原子間力顕微鏡のカンチレバーの機械的な振動(古典力学の現象)を、よりやさしい(古典力学の)現象である、フックの法則に置き換えて考えるときに、フックの法則における質量に相当するパラメーターを有効質量と呼ぶことがある。
以下、本節では、「結晶中の電子の有効質量」について説明する。