GRS検定
, ε N , t ) ′ {\displaystyle (\epsilon _{1,t},\dots ,\epsilon _{N,t})^{\prime }} がある N {\displaystyle N} 次元正規分布 N(0, ∑ε) に従う(等分散性)と仮定すると、二次形式 α ^ ′ Σ ^ − 1 α ^ {\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\alpha }}}\prime {\widehat {\Sigma }}^{-1}{\widehat {\boldsymbol {\alpha }}}} のF検定統計量
T − N − K N ( 1 + F ̄ ′ Ω ^ − 1 F ̄ ) − 1 α ^ ′ Σ ^ − 1 α ^ {\displaystyle {\frac {T-N-K}{N}}{\Big (}1\ +\ {\overline {\boldsymbol {F}}}^{\prime }{\widehat {\Omega }}^{-1}{\overline {\boldsymbol {F}}}{\Big )}^{-1}{\widehat {\boldsymbol {\alpha }}}^{\prime }{\widehat {\Sigma }}^{-1}{\widehat {\boldsymbol {\alpha }}}}
は自由度 N {\displaystyle N} と T − N − K {\displaystyle T-N-K} のF分布に従う。ここで
F ̄ = 1 T ∑ t = 1 T F t {\displaystyle {\overline {\boldsymbol {F}}}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\boldsymbol {F}}_{t}}
F t = ( F 1 , t , ...