ラングレーの問題
Aを中心としてABを半径とする円を描くと、BCはその円に内接する正十八角形の1辺となり、問題に登場する他の線は同じ正十八角形の対角線の一部になる。
四角形の4辺及び対角線のなす角度が全て整数となるものを整角四角形という。また、右図の整角四角形において、角度 a, b, c, d が与えられて角度 e を求める(または角度 e がその値となることを証明する)ような問題を整角四角形問題と呼ぶ。
ラングレーの問題は、整角四角形問題のうち (a, b, c, d, e) = (20, 60, 50, 30, 30) となるものに相当する。
一般の四角形では、a, b, c, d がいずれも整数であっても、e が整数となるとは限らない。例えば (a, b, c, d) = (20, 60, 40, 40) の場合は、e = 16.91751... という無理数となる。
a, b, c, d, e がいずれも10°の倍数となる問題群については、日本でも初等幾何による証明を網羅した研究例が存在する。海外では、1970年代末にイギリスの J. F. Rigby が、一部の問題群を除いた全ての整角四角形問題(整角三角形の問題も含む)の初等幾何による証明を体系的に示した例がある。Rigbyが初等幾何で証明できなかった問題群については、2015年10月までに全て初等幾何による解法が出揃った。