捩率テンソル
物質科学、特に弾性理論では、捩れの考え方は重要である。ひとつの問題は、ぶどうのつるが巻きつくことをどう管理するかに焦点をあて、ぶどうの生長をモデル化する問題である 。ぶどう自身は、互いに弾性的に巻きつくつるのペアとしてモデル化される。エネルギーを最小化する中で、ぶどうは螺旋の形をして自然に成長する。しかし、ぶどうは長さを最大化して伸びるかも知れない。この場合は、ぶどうの捩れはつるのペアの捩れ(もしくは、同じことであるが、つるを結んでいるリボンの曲面の捩れ)に関係していて、ぶどうのつるの長さを最大化する(測地線)の構成とエネルギーを最小化する構成の間の差異を反映している。
γ(t) を M 上の曲線とすると、γ は、γ の領域の中の時間 t に対し、
∇ γ ̇ ( t ) γ ̇ ( t ) = 0 {\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}
で与えられるアフィンパラメータを持つ測地線である。(ここにドットは、t についての微分を表わし、測地線にそった方向を持つ接ベクトルと γ と関連つけている。)各々の測地線は、一意に、時刻 t = 0 での初期接ベクトル γ ̇ ( 0 ) {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)} により決まる。
接続の捩率テンソルの応用のひとつは、接続の測地的スプレー(英語版)(geodesic spray) である。大まかには、アフィンパラメータされた測地線である。捩率テンソルは、測地スプレーの項では接続を分類する曖昧さを意味する。
2つの接続 ∇ と ∇′ が同一のアフィンパラメータを持つ(つまり、同一の測地スプレーを持つとする)と、その差異は捩率テンソルである 。さらに詳しくは、X と Y を p ∈ M での 2つの接ベクトルとし、
流体力学では、捩率テンソルは自然に渦線に自然に関係する。
捩率形式(torsion form)は交代的な捩れを特徴付ける形式で、多様体 M のフレームバンドル(英語版)(frame bundle) FM に適用される。この主バンドルは、接続形式 ω である、ω は、垂直ベクトルを gl(n) の中の右作用の生成子へ写像する gl(n) に値を持つ 1-形式である。同じことであるが、gl(n) の随伴表現と FM の接バンドル上の右 GL(n) の作用が同変に作用する。動標構バンドルは、R に値をもつ標準 1-形式 θ も持っていて、標構 u ∈ FxM 上で π : FM → M を主バンドルの射影写像とすると、
θ ( X ) = u − 1 ( d π ( X ) ) {\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(d\pi (X))}
定義される(線型写像 u : R → TxMとみなす)。すると、捩率形式は、
Θ = d θ + ω ∧ θ {\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta }
となる。同値なことであるが、D を接続により決定される共変外微分(英語版)(exterior covariant derivative)とすると、Θ = Dθ としても定義される。
捩率形式は、R に値を持つ(水平な)テンソル形式(英語版)(tensorial form)であり、g ∈ Gl(n) の右作用の下では、次の同変写像の意味を持っている。
R g ∗ Θ = g − 1 ⋅ Θ . {\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta \ .}
ここに g は R 上へ基本表現を通して右側から作用する。
曲率形式は、gl(n) に値を持つ 2-形式
Ω = D ω = d ω + ω ∧ ω {\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega }
である。ここで、再び、D は共変外微分である。曲率形式と捩率形式のことばでは、対応するビアンキ恒等式は、
D Θ = Ω ∧ θ {\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }
D Ω = 0. {\displaystyle D\Omega =0.\,}
である。
さらに、次のようにして曲率形式と捩率形式より、曲率と捩れを再現することができる。FxM の点 u では、
R ( X , Y ) Z = u ( 2 Ω ( π − 1 ( X ) , π − 1 ( Y ) ) ) ( u − 1 ( Z ) ) , {\displaystyle R(X,Y)Z=u\left(2\Omega (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right)(u^{-1}(Z)),}
T ( X , Y ) = u ( 2 Θ ( π − 1 ( X ) , π − 1 ( Y ) ) ) , {\displaystyle T(X,Y)=u\left(2\Theta (\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y))\right),}
が成り立つ。再び、u : R → TxM はファイバーの標構を特定する函数であり、π を通してのベクトルのリフトの選択は、曲率形式と捩率形式が水平な形式であるので(両者とも垂直方向が曖昧であるので)、不適当である。