指数型分布族
次のように記述しても同等である。
f X ( x ∣ θ ) = exp  [ η ( θ ) ⋅ T ( x ) − A ( θ ) + B ( x ) ] {\displaystyle f_{X}(x\mid \theta )=\exp {\left[\eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )+B(x)\right]}}
θ {\displaystyle \theta } は指数型分布族のパラメータと呼ばれる。
η ( θ ) = θ {\displaystyle \eta (\theta )=\theta } の場合、指数型分布族は正準型(canonical form)であるという。 変換後のパラメータ η = η ( θ ) {\displaystyle \eta =\eta (\theta )} をパラメータとして用いることにより、指数型分布族を正準型に変換することができる。
指数型分布族が正準型であるときのパラメータを自然パラメータ(natural parameter)と呼ぶ。
単一の実数パラメータに基づく指数型分布族では、 確率密度関数 (離散分布の場合は確率質量関数)が次の形式で表現できる。
f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) exp  [ η ( θ ) ⋅ T ( x ) − A ( θ ) ] {\displaystyle f_{X}(x\mid \theta )=h(x)\exp {\left[\eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )\right]}}
ここで、 T ( x ) {\displaystyle T(x)} 、 h ( x ) {\displaystyle h(x)} 、 η ( θ ) {\displaystyle \eta (\theta )} 、 A ( θ ) {\displaystyle A(\theta )} はいずれも既知の関数である。
しばしば次のように同等の形式で記述される。
f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) g ( θ ) exp  [ η ( θ ) ⋅ T ( x ) ] {\displaystyle f_{X}(x\mid \theta )=h(x)\,g(\theta )\,\exp {\left[\eta (\theta )\cdot T(x)\right]}}