ジョルダンの補題
原点を中心とする上半平面にある正の半径Rの半円の経路で定義された複素数値の連続関数fを考える。
C R = { R e i θ ∣ θ ∈ [ 0 , π ] } {\displaystyle C_{R}=\{Re^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}}
aを正の数として、関数fが次の形式であるとする。
f ( z ) = e i a z g ( z ) , z ∈ C R {\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z),\quad z\in C_{R}}
このとき、ジョルダンの補題は、周回積分の次の上限を示す。
| ∫ C R f ( z ) d z | ≤ π a M R where M R := max θ ∈ [ 0 , π ] | g ( R e i θ ) | . {\displaystyle \left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\quad {\text{where}}\quad M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|.}
等号はgがすべてにおいてゼロとなるときに成り立ち、このとき両辺がゼロになる。下半平面の半円形の経路に関する同様の定理は、 a < 0の場合に当てはまる。
|z1| 、 |z2| 、...、 |zn| のすべてより大きいRについて以下が成り立つ。
∮ C f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n Res  ( f , z k ) , {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,,}
Res(f, zk)はfの特異点zkについての留数を示す。 fが条件( * )を満たしている場合、 Rが無限大の極限では、C1についての周回積分はジョルダンの補題によって消滅し、広義積分の値が以下のように得られる。
∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 2 π i ∑ k = 1 n Res  ( f , z k ) . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,.}