クロス積
ベクトル積では結合法則に代わって
[ a , [ b , c ] ] − [ [ a , b ] , c ] = [ b , [ a , c ] ] {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]-[[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}],{\boldsymbol {c}}]=[{\boldsymbol {b}},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {c}}]]}
の関係式が成り立つ。これを変形すれば
[ a , [ b , c ] ] + [ b , [ c , a ] ] + [ c , [ a , b ] ] = 0 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]]+[{\boldsymbol {b}},[{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]]+[{\boldsymbol {c}},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]]={\boldsymbol {0}}}
が得られ、ヤコビ恒等式と呼ばれている。
[ a , b ] ≐ ( a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ) {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]\doteq {\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\\\end{pmatrix}}}
となる。以上のことを形式的に
[ a , b ] = | e 1 a 1 b 1 e 2 a 2 b 2 e 3 a 3 b 3 | {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&a_{1}&b_{1}\\{\boldsymbol {e}}_{2}&a_{2}&b_{2}\\{\boldsymbol {e}}_{3}&a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}}
と表現することもある。
エディントンのイプシロン εijk を用いると
[ a , b ] i = ∑ j , k ε i j k a j b k {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{i}=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}
である。