因数分解
t 3 − t 2 − 3 t + 3 = ( t − 1 ) ( t 2 − 3 ) = ( t − 1 ) ( t − 3 ) ( t + 3 ) {\displaystyle t^{3}-t^{2}-3t+3=(t-1)(t^{2}-3)=(t-1){\boldsymbol {(t-{\sqrt {3}})(t+{\sqrt {3}})}}}
さらに数の範囲を複素数まで広げると、3. は更に因数分解が行える。
α 3 − 1 = ( α − 1 ) ( α 2 + α + 1 ) = ( α − 1 ) ( α − − 1 + 3 i 2 ) ( α − − 1 − 3 i 2 ) {\displaystyle \alpha ^{3}-1=(\alpha -1)(\alpha ^{2}+\alpha +1)=(\alpha -1)\left(\alpha -{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)\left(\alpha -{\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\right)}
代数方程式 f(x) = 0 に対し、その根を求めることは f(x) を一次式の積に因数分解することと等価である。しかし、展開は機械的に行う方法があるのに対して、整式を因数分解する統一的な方法はないため、状況に応じて適当な方法を適用する必要がある。
整数の素因数分解は、整数の乗法のある種の逆演算ではあるけれども、しかしアルゴリズム的な意味(計算量)において乗法とは比べ物にならないほど複雑であり、特に巨大整数の素因数分解は困難な問題で、これを一般に短時間に行う方法は知られていない。この複雑性はRSA暗号のような公開鍵暗号によるセキュリティの信頼性の基礎になっている。
多項式の因数分解もまた何世紀にもわたって研究がおこなわれてきている。初等代数学においては、多項式を因数分解することで多項式の根を求める求根問題を各因子の根を求める問題に帰着させることができる。整数係数の多項式あるいは体に係数をとる多項式の体系は一意分解性質を備えている—それはつまり、(素数を既約多項式に取り換えた)算術の基本定理の多項式版が成り立つということである—。特に、複素数係数の一変数多項式は、必ず一次式の積に(掛ける順番を除いて)一意に表すことができる—これは代数学の基本定理の一つの述べ方である—。この場合、因数分解は求根アルゴリズムが与えられていれば自由にできる。整数係数の場合の多項式の因数分解問題は計算機代数においてひとつの基礎を成す技術的課題である。
二次方程式の解の公式により、ax + bx + c = 0 の解は
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
であるので
a x 2 + b x + c = a ( x − − b + b 2 − 4 a c 2 a ) ( x − − b − b 2 − 4 a c 2 a ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)}
と因数分解される。
例として x − x − 2 を因数分解することを考える。 x − x − 2 = 0 の解は
x = − ( − 1 ) ± ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 2 ) 2 ⋅ 1 = 2 , − 1 {\displaystyle x={\frac {-(-1)\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-2)}}}{2\cdot 1}}=2,-1}
である。よって x − x − 2 = (x − 2)(x + 1) という因数分解の結果を得る。
零でも単元でもない元を「既約元」の積に分解するような因子分解を「既約元分解」と呼び、「素元」の積に分解されるとき「素元分解」と呼ぶ。素元は必ず既約元であったから素元分解は既約元分解の一種であるが、実はその分解は一意である、しかし必ずしも逆(「既約元が必ず素元となる」という性質)は言えないから素元分解でない既約元分解を持つ整域は存在する(これは一意分解可能性質のうち、分解可能よりも一意性の方が困難な性質であることを含意している)。一般に、既約元分解可能な整域は原子整域(英語版) (AD)あるいは分解整域 (factorization domain; FD) と呼ばれる。一方、「既約元が必ず素元となる」という性質はユークリッドの補題と呼ばれ(これは Z の既約元として定義される素数が Z の素元であることを述べたユークリッドによる補題に名称を因む)、ユークリッドの補題を満たす整域をEL整域 (ELD) と呼ぶ。