ディリクレベータ関数
リーマンゼータ関数の乗積表示であるオイラー積が示唆するように、リーマンゼータ関数の重要な性質のひとつは素数との関わりが深いことである。同じように、ディリクレベータ関数にも、素数全体を動く変数 p を用いた
β ( s ) = ∏ p ≡ 1 mod 4 1 1 − p − s ∏ p ≡ 3 mod 4 1 1 + p − s {\displaystyle \beta (s)=\prod _{p\equiv 1{\bmod {4}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod _{p\equiv 3{\bmod {4}}}{\frac {1}{1+p^{-s}}}}
という乗積表示が存在する。