横断性 (数学)
以下はその極めて特別の場合である: 実変数実数値の可微分函数がその零点において零でない微分係数を持つならば、その零点は単純である(すなわち、函数のグラフはその零点において x-軸を横断する)。微分係数が零であることは曲線に水平に接することを意味するのだから、そのような場合には接空間は x-軸に一致することになる。
無限次元の例として以下を挙げる: ∂-作用素はリーマン面から概複素多様体への射の空間上で定義される、ある種のバナッハ空間束の切断で、この切断の零点集合は正則射からなる。この∂-作用素が零切断を横断することが示せるならば、そのモジュライ空間は滑らかな多様体を成す。これらの考察は、擬正則曲線(英語版)論およびグロモフ–ウィッテン理論において基本的な役割を果たす。(この例における横断性は、バナッハ空間を対象にするために、定義を精緻化する必要があることに注意。)
L1, L2, M をそれぞれ次元が l1, l2, m の多様体とし,横断的に交わる写像 f1: L1 → M, f2: L2 → M があるとする.
横断性の意味は M, L1, L2 の相対的な次元に大きく依存して異なる.l1 + l2 = m のときに横断性と接性の関係は最も明白である.
3つの別々の場合を考えることができる:
l1 + l2 < m のとき,L1 と L2 の接空間の像が M の接空間をはることはどんな点でも不可能である.したがって f1 と f2 のどんな交わりも横断的になり得ない.しかしながら,交わらない多様体は自明な意味で条件を満たすので,横断的に交わると言える.
l1 + l2 = m のとき,L1 と L2 の接空間の像は任意の交点において M の接空間を直和に張らなければならない.したがってそれらの交わりは孤立した符号付き点からなる,すなわち 0 次元多様体である.
l1 + l2 > m のとき,L1 と L2 の接空間の和は直和とは限らない.実際,f1 と f2 が,埋め込まれた部分多様体の場合に起こるように,交点ではめ込みであるときには,直和にはなりえない.写像がはめ込みならば,像の交わりは次元 l1 + l2 − m の多様体になる.