ピタゴラスの定理
△ABC において ∠C ≠ π/2 であると仮定する。頂点 A から直線 BC に下ろした垂線の足を D とし、AD = h, CD = d とする。
∠C < π/2 の場合、直角三角形 ABD においてピタゴラスの定理より
c 2 = ( a − d ) 2 + h 2 = a 2 − 2 a d + d 2 + h 2 {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(a-d)^{2}+h^{2}\\&=a^{2}-2ad+d^{2}+h^{2}\end{aligned}}}
であり、同様に直角三角形 ACD では
b 2 = d 2 + h 2 {\displaystyle b^{2}=d^{2}+h^{2}}
である。よって
c 2 = a 2 − 2 a d + b 2 < a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}-2ad+b^{2}<a^{2}+b^{2}}
となる。
∠C > π/2 の場合も同様に考えて
直角をはさむ2辺 a, b が連続する原始ピタゴラス数は
(3, 4, 5), (20, 21, 29), (119, 120, 169), ...(オンライン整数列大辞典の数列 A114336)
である。この問題はフランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが出題し、解も発見した。
斜辺 c と他の2辺の和 a + b が両方とも平方数になる最小のピタゴラス数は
a = 4565486027761, b = 1061652293520, c = 4687298610289
である。この問題はピエール・ド・フェルマーが出題し、解も発見した。
ピタゴラス数 (a, b, c) において a, b の差が 1 で、c が平方数になるのは (119, 120, 169) に限られる。
119 + 120 = (13).
3辺の長さが a, b, c の直角三角形と、周の長さと面積の両方が同じ値となる、すべての辺の長さが整数である二等辺三角形が存在するならば、そのような直角三角形は全て相似であり、最小の (a, b, c) の値は、(135, 352, 377) である。
c 2 = ( a + d ) 2 + h 2 = a 2 + 2 a d + d 2 + h 2 = a 2 + 2 a d + b 2 {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(a+d)^{2}+h^{2}\\&=a^{2}+2ad+d^{2}+h^{2}\\&=a^{2}+2ad+b^{2}\end{aligned}}}
ゆえに
c 2 > a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}>a^{2}+b^{2}}
となる。
よっていずれの場合も
a 2 + b 2 ≠ c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq c^{2}}
である。対偶を取って、a + b = c ならば ∠C = π/2 である。
なお、この証明から分かるように、
∠C < π/2 ⇔ a + b > c
∠C = π/2 ⇔ a + b = c
∠C > π/2 ⇔ a + b < c
という対応がある。