体積予想
Kashaev (1997) では、結び目 K {\displaystyle K} のある状態和の漸近的振る舞いが、結び目補空間の双曲体積 vol  ( K ) {\displaystyle \operatorname {vol} (K)} を与えることに気づき、結び目 4 1 , 5 2 , 6 1 {\displaystyle 4_{1},5_{2},6_{1}} に対し、このことが正しいことを確かめた。そして、彼は、一般の双曲結び目(英語版)(hyperbolic knot)に対し、式 (2) が成り立つことを予想した。彼の結び目 K {\displaystyle K} に対する不変量は、1 の N {\displaystyle N} -乗根 q = exp  ( 2 π i / N ) {\displaystyle q=\exp {(2\pi i/N)}} での量子二重対数(英語版)(quantum dilogarithm)を基礎としている。