エンリケス・小平の分類
コンパクト複素曲面の分類に使われる最も重要な不変量は、連接層の様々なコホモロジー群の次元で与えることができる。基本的な不変量の一つは、多重種数と次で定義されるホッジ数である。
K は、断面が正則 2-形式であるような標準ラインバンドルである。
n ≥ 1 に対し Pn = dim H(K) は多重種数である。多重種数は双有理不変量、すなわち、ブローアップの下での不変量である。サイバーグ・ウィッテンの理論を使い、フリードマン(Friedman)とモルガン(Morgan)は、複素多様体の双有理不変量は基礎となる向き付けられた滑らかな 4-次元多様体にのみ依存することが示された。非ケーラー曲面では、多重種数が基本群により決定されるが、ケーラー多様体は正則ではあるが異なる多重種数と異なる小平次元を持つ曲面の例がある。個別の多重種数が頻繁に使われることは少なく、最も重要な双有理不変量はそれらの増加率を測る小平次元である。
小平次元を κ で表す。小平次元は多重種数が全て 0 であれば −∞ であり、他の場合は (Pn/n) が最も小さくなる値である(曲面では 0, 1 か 2 である)。
次の挙げるように、ホッジ数を線型結合として表す(少なくとも複素曲面の)不変量は幾通りもある。
b0,b1,b2,b3,b4 をベッチ数: bi = dim(Hi(S)) で表すと、b0 = b4 = 1 であり、b1 = b3 = h + h = h + h であり、b2 = h + h + h である。標数 p > 0 の場合は、ベッチ数(l-進コホモロジーを使い定義する)はこの方法によりホッジ数へ関連付けられるというわけではない。
e = b0 − b1 + b2 − b3 + b4 はオイラー標数、あるいは、オイラー数である。
q は不正則数であり、ピカール多様体やアルバネーゼ多様体の次元であり、(素数の標数である必要はないが、)複素曲面の不正則数は、h である。
pg = h = h = P1 は幾何種数である。
pa = pg − q = h − h は算術種数である。