パラコンパクト空間
パラコンパクト性の概念のいくつかのバリエーションがある。それらを定義するために、まず上の用語のリストを拡張する必要がある。
位相空間が:
メタコンパクト(英語版)であるとは、すべての開被覆が開各点毎有限細分を持つことである。
オルソコンパクト(英語版)(オーソコンパクト)であるとは、すべての開被覆が開細分であってこの細分における任意の点についてのすべての開集合の共通部分が開であるようなものを持つことである。
全体正規 (fully normal) であるとは、すべての開被覆が開 star refinement を持つことであり、fully T4 であるとは、fully normal かつ T1 であることである(分離公理 (separation axioms) 参照)。
副詞「可算」 (countably) を形容詞「パラコンパクト」、「メタコンパクト」、"fully normal" の任意に付け足すことができ、このとき要求は可算開被覆に対してのみ適用する。
すべてのパラコンパクト空間はメタコンパクトであり、すべてのメタコンパクト空間はオルソコンパクトである。
被覆と点が与えられると、被覆内の点の star はその点を含む被覆のすべての集合の和集合である。記号で書けば、U = {Uα : α in A} の x の星形 (star) は
U ∗ ( x ) := ⋃ U α ∋ x U α . {\displaystyle \mathbf {U} ^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }.}
star の表記は文献で標準的になっているものはなく、これは 1 つの可能性にすぎない。
空間 X の被覆の star refinement は同じ空間の新しい被覆であって空間の任意の点が与えられると新しい被覆の点の star が古い被覆のある集合のある部分集合であるようなものである。記号では、V が U = {Uα : α in A} の star refinement であるとは、X の任意の x に対して、U のある Uα が存在して、V(x) が Uα に含まれるということである。
空間 X の被覆が点有限 (pointwise finite) であるとは、空間の全ての点が被覆の有限個の集合にしか属していないということである。
記号では、U が点有限被覆であるとは、X の任意の x に対して、集合
{ α ∈ A : x ∈ U α } {\displaystyle \left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}}
が有限であるということである。
名前が暗に意味しているように、fully normal 空間は正規である。すべての fully T4 空間はパラコンパクトである。実は、ハウスドルフ空間に対して、パラコンパクト性と full normality は同値である。したがって、fully T4 空間はパラコンパクトハウスドルフ空間と同じものである。
歴史的注釈: fully normal 空間はパラコンパクト空間よりも前に定義された。すべての距離化可能空間は fully normal であることの証明は易しい。A.H. Stone によってハウスドルフ空間に対して fully normal とパラコンパクトが同値であることが証明されたとき、彼はすべての距離化可能空間はパラコンパクトであることを暗に証明していたのである。後に M.E. Rudin は後者の事実の直接証明を与えた。