ヴァイエルシュトラスの楕円函数
ヴァイエルシュトラスのぺー函数
ワイエルシュトラスの楕円関数
ワイエルシュトラスのペー函数
数学におけるヴァイエルシュトラスの楕円函数(ヴァイエルシュトラスのだえんかんすう、英: Weierstrass's elliptic functions)は、カール・ワイエルシュトラスに名を因む、単純な形をした楕円函数の一種である。このクラスの楕円函数は、ペー函数と呼ばれ、一般に ℘ なる記号(ヴァイエルシュトラス・ペー)で表される。
ヴァイエルシュトラスの楕円函数は、近しい関係にある三種類の方法で定義することができて、それぞれ一長一短がある。一つは、複素変数 z と複素数平面上の格子 Λ の函数として、いま一つは z と格子の二つの生成元(周期対)を与える複素数 ω1, ω2 を用いて述べるもの、残る一つは z と上半平面における母数 (modulus) τ に関するものである。最後のはその前のと、上半平面上の周期対を選んで τ = ω2/ω1 とした関係にある。この方法では、z を止めて、τ の函数と見ると、ヴァイエルシュトラス楕円函数は τ のモジュラー函数になる。
周期対を与える方法を具体的に書けば、ω1, ω2 を二つの周期に持つペー函数は、
℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = 1 z 2 + ∑ n 2 + m 2 ≠ 0 { 1 ( z + m ω 1 + n ω 2 ) 2 − 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 2 } {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}}
で定義される。このとき、周期格子