アンリ・ルベーグ
ルベーグの着想は、彼が単関数と呼んだ有限個の値しかとらない可測関数に対してまず積分を構成することだった。つぎにより複雑な関数に対する積分を、その関数よりも小さな単関数たちの積分値の上限として定義した。
ルベーグ積分は、有界区間上定められた有界関数(これらはリーマン可積分である)はルベーグ可積分になり、二つの方法による積分値は一致するという性質を持っている。他方、様々な関数がリーマン可積分でないにもかかわらずルベーグ可積分になっていて、ルベーグ可積分によって初めてそれらの積分値をとることが可能になる。
ルベーグ積分論の展開の一部として、ルベーグはルベーグ測度の概念を導入した。これは区間の長さの概念をとても広いクラスの、可測集合と呼ばれる集合に拡張したものである(したがって、単関数とは有限個の値しかとらない関数であって、それぞれの値が可測集合上で定められているもの、ということになる)。測度を積分にするルベーグの技法は様々な状況に簡単に一般化でき、現代的な測度論のきっかけとなった。
ルベーグ積分には欠点もある。リーマン積分は非有界な領域上定義された関数の一部について広義リーマン積分として拡張できるが、それらのうちにはルベーグ積分では積分を定義できないものもある。実直線上の関数について言えば、(どちらかと言えばリーマン積分に基づいている)ヘンストック積分がルベーグ積分と広義リーマン積分との両方を含んだ定式化を与えている。しかし、ヘンストック積分は実直線の順序構造に依拠して定義されるため、ルベーグ積分が定義できる他の空間上の関数についてはヘンストック積分を定義することができない。