半直積
( n 1 , h 1 ) ∗ ( n 2 , h 2 ) = ( n 1 φ h 1 ( n 2 ) , h 1 h 2 ) {\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})}
によって定義される ∗ : ( N × H ) × ( N × H ) → N ⋊ φ H {\displaystyle *\colon (N\times H)\times (N\times H)\to N\rtimes _{\varphi }H}
である。
これは群を定め、単位元は (1N, 1H) で、(n, h) の逆元は (φh(n), h) である。対 (n, 1H) 全体は N と同型な正規部分群をなし、対 (1N, h) 全体は H に同型な部分群をなす。群全体はこれら2つの部分群の内部半直積になっている。
逆に、群 G と正規部分群 N と部分群 H が与えられていて、G のすべての元 g が一意的に g = nh, ただし n ∈ N, h ∈ H, の形に書けるとしよう。φ : H → Aut(N) を φ(h) = φh、ただしすべての n ∈ N,h ∈ H に対して
φ h ( n ) = h n h − 1 , {\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1},}