ハミルトン–ヤコビ方程式
最初の常微分方程式、
1 2 m ( d S z d z ) 2 + U z ( z ) = Γ z {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}
を分離し、変形して両辺に分母を掛けると以下の簡約されたハミルトン–ヤコビ方程式が得られる。
( d S μ d μ ) 2 + ( d S ν d ν ) 2 + 2 m a 2 U μ ( μ ) + 2 m a 2 U ν ( ν ) = 2 m a 2 ( sinh 2  μ + sin 2  ν ) ( E − Γ z ) {\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}