ガトー微分
函数 F が十分に連続的微分可能と仮定すると、F のガトー微分に関して微分積分学の基本定理の一種が成立する。具体的に書けば、
F: X → Y はガトー微分 dF: U × X → Y が連続函数であるという意味で C-級とすると、任意の u ∈ U および h ∈ X に関して F ( u + h ) − F ( u ) = ∫ 0 1 d F ( u + t h ; h ) d t {\displaystyle F(u+h)-F(u)=\int _{0}^{1}dF(u+th;h)\,dt} が成り立つ。ただし、積分はゲルファント-ペティス積分(弱積分)の意味で取る。
これにより、よく知られた微分の性質の多くをガトー微分も満たす(例えば、高階導函数の重線型性や交換性)。基本定理の帰結として他にも、
各点 u ∈ U においてガトー微分は、函数
d F ( u ; ∙ ) : X → Y ; ψ ↦ d F ( u ; ψ ) {\displaystyle dF(u;\bullet )\colon X\to Y;\;\psi \mapsto dF(u;\psi )}
を定める。この函数は任意のスカラー α に対して
d F ( u ; α ψ ) = α d F ( u ; ψ ) {\displaystyle dF(u;\alpha \psi )=\alpha dF(u;\psi )}
を満たすという意味で斉一次だが、必ずしも加法的でなく、従ってガトー微分係数は線型でないことが起こり得る(この点ではフレシェ微分と異なる)。また、線型となる場合であっても、X と Y が無限次元の場合には ψ に関して連続とならないことが生じ得る。さらに言えば、線型かつ連続となるようなガトー微分係数に対して、その連続的微分可能性の定式化には互いに同値でないいくつかの方法が存在する。
例えば、二変数の実数値函数 F を