正則基数
非可算な正則な極限基数は弱到達不能基数として知られていて、この存在性はZFCの下では証明できないし、その存在性がZFCと矛盾するかどうかも知られていない。
弱到達不能基数の存在性はしばしば追加的な公理として採られることがある。
到達不能基数はアレフ関数の不動点である必要がある。しかし、その不動点は正則とは限らない。例えば、最初の不動点は א 0 , א א 0 , א א א 0 , . . . {\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},...} の ω {\displaystyle \omega } -列の極限で、これは特異基数である。
選択公理の下では、後続型基数は正則である。なので、ほとんどのアレフ数濃度の正則性、特異性は後続型基数か極限基数かで確かめられる。
濃度の中には、どのアレフ数と等しいか証明できないものもある。