完備距離空間
これと対照的に、無限次元ノルム線型空間は完備になることもならないことも起こり得る(完備な場合をバナハ空間と呼ぶ)。有界閉区間上で定義された実数値連続函数の空間 C[a, b] は上限ノルムに関してバナハ空間、つまり完備距離空間になる。しかし上限ノルムは、有界開区間上の連続関数の空間 C(a, b) では(非有界関数が含まれるために)ノルムにならない。代わりに、コンパクト収束の位相を考えると空間 C(a, b) にはフレシェ空間の構造を与えることができる。これは、完備で平行移動不変な距離関数によってその位相が誘導されるような局所凸位相線型空間である。
任意の素数 p に対して、p-進数全体の成す空間 Qp は完備である。この空間は有理数の空間 Q を p-進距離で完備化したものである(同様の仕方で、Q を通常の距離で完備化したものは実数の空間 R になる)。
任意の集合 S に対して S 内の点列全体の成す集合 S は、点列 (xn) と (yn) との間の距離を、xN と yN とが相異なるような最小の添字を N(そのような添え字が無い場合は N = 0)として、1/N と定めれば完備距離空間になる。この空間は離散空間 S の可算個のコピーの積位相空間に同相である。