オイラーの定数
γ = ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) m n − 1 n − m ln  Γ ( m + 1 m ) , { m ∣ m ∈ R ∖ { 0 , − 1 , − 1 k + 1 } } w h e r e { k ∣ k ∈ Z ∖ { − 1 } } {\displaystyle \gamma =\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{m^{n-1}n}}-m\ln \Gamma \left({\frac {m+1}{m}}\right),\quad \{m\mid m\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-{\dfrac {1}{k+1}}\}\}\,\mathrm {where} \,\{k\mid \,k\in \mathbb {Z} \setminus \{-1\}\}}
γ = lim m → 0 ( ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) m n − 1 n − m ln  Γ ( m + 1 m ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{m\rightarrow 0}\left(\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{m^{n-1}n}}-m\ln \Gamma \left({\frac {m+1}{m}}\right)\right)}
γ = lim m → − 1 ( ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) m n − 1 n − m ln  Γ ( m + 1 m ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{m\rightarrow -1}\left(\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\zeta (n)}{m^{n-1}n}}-m\ln \Gamma \left({\frac {m+1}{m}}\right)\right)}
を用いれば
γ = − ∫ 0 ∞ log  t e − t d t = − ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − u − e − t u u d u e − t d t = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − t u − e − u u d u e − t d t = ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − t ( u + 1 ) u d t − ∫ 0 ∞ e − u e − t u d t ) d u = ∫ 0 ∞ ( 1 u ( u + 1 ) − e − u u ) d u {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }\log {t}e^{-t}dt\\&=-\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}-e^{-tu}}{u}}du\;e^{-t}dt\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-tu}-e^{-u}}{u}}du\;e^{-t}dt\\&=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t(u+1)}}{u}}dt-\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}e^{-t}}{u}}dt\right)du\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{u(u+1)}}-{\frac {e^{-u}}{u}}\right)du\\\end{aligned}}}