エルデシュ＝シュトラウス予想
特定の合同関係を満たす n の値に対し、4/n の展開は多項恒等式の例として即座に見つけられる。例えば、n が3を法として2と合同な際、4/n は
と展開できる。この時、3つの分母 n、(n + 1) / 3、n (n + 1) / 3 はそれぞれ n の多項式であり、n が3を法として2と合同な限り整数となる。エジプト式分数の貪欲法(英語版)によって n が24を法として1または17と合同な場合以外において常に3項以下の展開が得られ、また24を法として17と合同な場合においては3を法として2と合同な際の関係で補完できるため、これら2つの方法で3項以下の展開を得られない n は、24を法として1と合同となるような値のみである。
Mordell (1967) によって列記された合同恒等式は、n が以下の条件のうちいずれかを満たす場合の3項でのエジプト式分数による 4/n の展開を与える。
2 mod 3 (上記)
3 mod 4
2 または 3 mod 5
3, 5, あるいは 6 mod 7
5 mod 8
モーデルの恒等式を組み合わせることで、1, 121, 169, 289, 361, 529 mod 840 の場合以外のすべての n について 4/n が展開可能である。この恒等式の対象外となる最小の素数は1009である。より大きな類の合同恒等式を組み合わせることで、Webbらは予想の反例候補の自然密度(英語版)が0であると示した。変数 N が無限大に向かうと、区間 [1, N] における反例候補の割合が極限において 0 に収束する傾向にある。