対称群
対称群の部分群は一般に置換群と呼ばれる。
Sn に属する置換 σ は、{1, 2, ..., n} 上のある全単射 f と、ある k ∈ {1, 2, ..., n} に対し
[ k f ( k ) f 2 ( k ) ... f m − 1 ( k ) f m ( k ) j f ( k ) f 2 ( k ) f 3 ( k ) ... f m ( k ) k j ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}k&f(k)&f^{2}(k)&\ldots &f^{m-1}(k)&f^{m}(k)&j\\f(k)&f^{2}(k)&f^{3}(k)&\ldots &f^{m}(k)&k&j\end{bmatrix}}}
の形(ここで j は f(k) の形で得られないような {1, 2, ..., n} の元全てについてである)に書けるならば巡回置換 (cycle) と呼び、
σ = ( k f ( k ) ... f m ( k ) ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}k&f(k)&\ldots &f^{m}(k)\end{pmatrix}}}
で表す。このとき m + 1 は σ によって一意に定まり、巡回置換 σ の長さ (length) と呼ばれる。
ふたつの巡回置換が互いに素であるとは、それらが共通の文字を含まないことを言う。互いに素な巡回置換は互いに可換である。
任意の置換は互いに素な巡回置換の積に順序を除いて一意的に分解することができる(ただし、「0 個の積」は恒等置換、「1 個の積」は自分自身という意味でいう)。