マチンの公式
マチンの公式に類似した式は比較的探しやすいため、非常に多くの形の式が見つかっている。この節では、その中のほんの一部を紹介する。複素数を用いたマチンの公式の証明と同様の計算を用いるなどして、計算機を用いて公式を探索していくことも可能である。
加法定理により、
tan  ( 4 arctan  1 5 − π 4 ) = tan  ( 4 arctan  1 5 ) − tan  π 4 1 + tan  ( 4 arctan  1 5 ) tan  π 4 = 120 119 − 1 1 + 1 ⋅ 120 119 = 1 239 {\displaystyle \tan \left(4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\tan(4\arctan {\frac {1}{5}})-\tan {\frac {\pi }{4}}}{1+\tan(4\arctan {\frac {1}{5}})\tan {\frac {\pi }{4}}}}={\frac {{\frac {120}{119}}-1}{1+1\cdot {\frac {120}{119}}}}={\frac {1}{239}}}
逆関数をとって、
arctan  1 239 = 4 arctan  1 5 − π 4 {\displaystyle \arctan {\frac {1}{239}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-{\frac {\pi }{4}}}
したがって、
4 arctan  1 5 − arctan  1 239 = π 4 {\displaystyle 4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}={\frac {\pi }{4}}}
π 4 = 6 arctan  1 8 + 2 arctan  1 57 + arctan  1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}
高野喜久雄による公式(1982年)
π 4 = 12 arctan  1 49 + 32 arctan  1 57 − 5 arctan  1 239 + 12 arctan  1 110443 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}}
シムソン(Robert Simson;1687生, 1768没; 初等幾何学のシムソン線の発見者)による公式
π 4 = 8 arctan  1 10 − 4 arctan  1 515 − arctan  1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=8\arctan {\frac {1}{10}}-4\arctan {\frac {1}{515}}-\arctan {\frac {1}{239}}}
π = 6 arctan  1 3 = 6 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 ( 1 3 ) 2 n + 1 {\displaystyle \pi =6\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}=6\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2n+1}}
で同じように n = 50 までで打ち切って計算すると
6 ∑ n = 0 50 ( − 1 ) n 2 n + 1 ( 1 3 ) 2 n + 1 = 3.141592653589793238462643395 ⋯ {\displaystyle 6\sum _{n=0}^{50}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2n+1}=3.141592653589793238462643395\cdots }
となり、円周率の実際の値とは小数点以下 25 桁まで一致している。上の表で見るとマチンの公式では d(5) で 25 桁まで一致しており、そのときの計算に用いた項の数は 4 × (5 + 1) = 24 項であるので、シャープによる計算のほぼ半分の項数によって、小数点以下 25 桁までの円周率が得られている。