トレミーの定理
トレミーの定理(トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem)とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式:
A C ⋅ B D = A D ⋅ B C + A B ⋅ D C {\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}
が成り立つという幾何学の定理。トレミーは古代ローマの天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる。
トレミーの定理を一般化したオイラーの定理(オイラーのていり)とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式(英: Ptolemy's inequality):
A C ⋅ B D ≦ A D ⋅ B C + A B ⋅ D C {\displaystyle AC\cdot BD\leqq AD\cdot BC+AB\cdot DC}
が成り立つという幾何学の定理のことである。逆に、必ずしも同一平面上にない4点 A, B, C, D に関して、辺の長さに関する等式:
A C ⋅ B D = A D ⋅ B C + A B ⋅ D C {\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}
が成り立つならば、4点 A, B, C, D は同一直線上にあるか、または同一平面上にあり、かつ四角形 ABCD は同一の円に内接する。