ジェフリーズ事前分布
1パラメータの場合と同様に、 θ {\displaystyle \theta } と φ {\displaystyle \varphi } をそれぞれ異なる2種類のパラメータ座標とし、 θ {\displaystyle \theta } は φ {\displaystyle \varphi } の連続微分可能な関数であるとする。事前分布 p θ ( θ → ) {\displaystyle p_{\theta }({\vec {\theta }})} が再パラメータ化の下で「不変」であるとは、以下を満たすことをいう:
p φ ( φ → ) = p θ ( θ → ) det J , {\displaystyle p_{\varphi }({\vec {\varphi }})=p_{\theta }({\vec {\theta }})\det J,}
ここで J {\displaystyle J} はヤコビ行列であり、各成分は以下で与えられる:
J i j = ∂ θ i ∂ φ j . {\displaystyle J_{ij}={\frac {\partial \theta _{i}}{\partial \varphi _{j}}}.}
フィッシャー情報行列は再パラメータ化の下で次のように変換される:
{\displaystyle {\begin{aligned}p(\mu )&\propto {\sqrt {I(\mu )}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {d}{d\mu }}\log f(x\mid \mu )\right)^{2}\right]}}={\sqrt {\operatorname {E} \!\left[\left({\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }f(x\mid \mu )\left({\frac {x-\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{2}dx}}={\sqrt {1/\sigma ^{2}}}\propto 1.\end{aligned}}}
つまり、ジェフリーズ事前分布は μ {\displaystyle \mu } に依存しない。これは、実数直線上の正規化されていない一様分布であり、すべての点で1(または定数)の分布である。これは不適切な事前分布(英語版)であり、定数を選択する自由度を除き、実数直線上での一意な並進不変分布(実数の加算に関するハール測度)である。このとき、平均は位置の測度に対応し、並進不変性は場所に関する情報がないことに対応する。