曲面
位相幾何学的な意味において、閉曲面は基本多角形 (fundamental polygon) とよばれる偶数個の辺を持った多角形の向かいあう辺どうしを同一視することで構成できる。 この構成は n 個の異なった記号が二回ずつ、"+1" か "−1" の指数付きで現れるような長さ 2 n の文字列で表すことができる。指数 "−1" は対応する辺に基本多角形全体の向きとは反対の向きを振ることを示している。
上の模型は次のようにかける:
球面: ABBA
実射影平面: ABAB
クラインの壷: ABAB
トーラス: ABAB
二つの曲面 M, M′ が与えられたとき、それぞれから円盤を切り抜いてできた縁を張り合わせることで、二つの曲面の連結和 M # M′ が得られる。
以下の記号を使うことにする:
球面: S
実射影平面: P
クラインの壷: K
トーラス: T
ことのとき次が成り立つ:
S # S = S
S # M = M (Mは任意の曲面)
P # P = K
P # K = P # T
略記法 nM = M # M # ... # M(n回)、0M = Sも用いられる。
閉曲面の系列は次のようにかける:
gT(g-重トーラス): 種数 g の向き付き曲面 (g ≥ 0)
gP(g-重射影平面): 種数 g の向きなし曲面 (g ≥ 1)