数値積分
特異点を持つ積分の場合、佐藤超函数を経由して複素数値積分に持ち込むことで特異点を避け、誤差を抑えられる手法が提案されている。
数値積分のアルゴリズムは、滑らかである、連続である、特異点の数や場所が限られている、など、それぞれアルゴリズムが何らかの前提条件を関数にかけていて、それに沿った物が正常に積分できる。例えば、無数に不連続点がある関数は、基本的に数値積分が困難である。更に、広義積分可能であることも通常は前提条件に入っていて、コーシーの主値積分としては積分可能であっても、広義積分不可能な関数は、前提が崩れるためおかしな結果になる場合がある。
例えば ∫ − 1 1 1 x d x {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx} はコーシーの主値積分では 0 であるが、広義積分不可能であり、これを数値積分すると(そもそも正しい結果が無いが)おかしな結果が返ってくることがある。定積分が広義積分可能であるかどうかは簡単には判断が付かない場合もあるため注意が必要である。
2変数以上の多重積分の場合は、外側から積分し、外の変数を定数として内側の積分を数値積分すれば良い。ただし一般に、変数が増えると、モンテカルロ法や準モンテカルロ法の方が計算効率が良くなる。 なお、1983年当時における多重積分の理論、アルゴリズムの状況は次元に応じて次のように分類されている。
Range O(2次元):満足できる状況.
Range I(3−7次元):プロダクトルールがその変形でなんとかなる.
Range II(7−15次元):Ranges I と IIIの 境界領域.
Range III(15次元以上):モンテカルロ法, 準モンテカルロ法が必要になる.
高次元空間での数値積分は金融工学などで必要とされているため、活発に研究されている。