4元電流密度
古典的な粒子系を考えるとき、粒子はその位置によって記述される。4元電流密度は相対論的に取り扱われる量であり、粒子も相対論的な系を考える。 位置 Xi にある粒子が電荷 qi を帯びているとき、作用汎関数は
S int [ X , A ] = ∑ i q i ∫ d X i μ d λ A μ ( X i ) d λ = ∫ ∑ i q i ∫ d λ ( d X i μ d λ δ 4 ( X i ( λ ) − x ) ) A μ ( x ) d 4 x {\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{int}}[X,A]&=\sum _{i}q_{i}\int {\frac {dX_{i}^{\mu }}{d\lambda }}A_{\mu }(X_{i})\,d\lambda \\&=\int \sum _{i}q_{i}\int d\lambda \left({\frac {dX_{i}^{\mu }}{d\lambda }}\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\right)A_{\mu }(x)\,d^{4}x\\\end{aligned}}}
で書かれる。したがって、この系の4元電流密度は
j μ ( x ) = ∑ i q i c − g ∫ X ̇ i μ ( λ ) δ 4 ( X i ( λ ) − x ) d λ {\displaystyle j^{\mu }(x)=\sum _{i}{\frac {q_{i}c}{\sqrt {-g}}}\int {\dot {X}}_{i}^{\mu }(\lambda )\,\delta ^{4}(X_{i}(\lambda )-x)\,d\lambda }
である。