多変量正規分布
実数値確率変数から成るベクトル X = ( X 1 , ... , X k ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{k})^{\mathrm {T} }} が中心化正規確率変数ベクトル(centered normal random vector)であるとは、 k × l {\displaystyle k\times \ell } 実成分定行列 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} が存在して、 A Z {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} } が X {\displaystyle \mathbf {X} } と同一の確率分布に従うことを言う。ここで Z {\displaystyle \mathbf {Z} } は l {\displaystyle \ell } 次元標準正規確率変数ベクトルである。
μ = ( μ X μ Y ) , Σ = ( σ X 2 ρ σ X σ Y ρ σ X σ Y σ Y 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\begin{pmatrix}\mu _{X}\\\mu _{Y}\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{X}^{2}&\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}\\\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}&\sigma _{Y}^{2}\end{pmatrix}}}
2次元のときは、多変量正規分布であるための同値な条件として挙げた最初の方は、やや緩められる:
可算無限通りの X と Y の線型結合がどれも正規分布に従うならば、ベクトル [X Y]′ は2変量正規分布に従う。
2変数の場合の等高線を x,y-平面にプロットすると楕円になる。相関係数 ρ が大きくなっていくとき、楕円は次の直線:
y ( x ) = sgn  ( ρ ) σ Y σ X ( x − μ X ) + μ Y . {\displaystyle y(x)=\operatorname {sgn}(\rho ){\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}(x-\mu _{X})+\mu _{Y}.}
の方向に向かって押しつぶされていく。この背景として、この式の sgn(ρ) ("sgn" は符号関数)を ρ に取り換えたものは、X の値が与えられたときの Y の最良線形不偏予測量(英語版)(best linear unbiased prediction)になっているという性質がある。
k 成分ベクトル μ {\displaystyle \mathbf {\mu } } と k × k {\displaystyle k\times k} 対称半正定値行列 Σ {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}} が存在して、 X {\displaystyle \mathbf {X} } の特性関数が
φ X ( u ) = exp  ( i u T μ − 1 2 u T Σ u ) {\displaystyle \varphi _{\mathbf {X} }(\mathbf {u} )=\exp {\Big (}i\mathbf {u} ^{T}{\boldsymbol {\mu }}-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {u} ^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {u} {\Big )}}
と書ける。
球面正規分布(spherical normal distribution)とは、どんな直交座標系で表示しても確率変数ベクトルの各成分が独立となるような分布、と特徴付けられる。