発散 (ベクトル解析)
div  ( ε ) → = ( ∂ ε x x ∂ x + ∂ ε x y ∂ y + ∂ ε x z ∂ z ∂ ε y x ∂ x + ∂ ε y y ∂ y + ∂ ε y z ∂ z ∂ ε z x ∂ x + ∂ ε z y ∂ y + ∂ ε z z ∂ z ) {\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {div} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial \varepsilon _{xx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{xy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{xz}}{\partial z}}\\[5pt]{\dfrac {\partial \varepsilon _{yx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{yy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{yz}}{\partial z}}\\[5pt]{\dfrac {\partial \varepsilon _{zx}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{zy}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial \varepsilon _{zz}}{\partial z}}\end{pmatrix}}}
になる。
ベクトル解析における発散(はっさん、英: divergence)は、ベクトル場の各点ごとの流入出(英語版)の評価を符号付きスカラー値で測るベクトル作用素である。より技術的に言えば、対象点を含む近傍領域を定義しそこに出入りする流束の総和と領域体積との比をとり、領域を無限小に近づけたときの極限である。
身近な例えでは、温度変化のある空気の各点の移動速度ベクトル場をみる。一部の領域の空気を熱するとその膨張した空気は領域から全方向へ広がるから、領域の外側を向く速度場が生じる。このときの速度場の発散をとると、加熱された領域の内部で正値の分布であり、この領域は速度場全体にとっての流入(あるいは正の湧き出し、湧出、source)域である。逆に空気が冷やされ収縮するならば、冷却される領域の発散は負値となり、その領域は流出(負の湧き出し、あるいは沈み込み、排出、sink)域である。
x, y, z を三次元ユークリッド空間のデカルト座標系とし、対応する単位ベクトルからなる基底を i, j, k とする。
連続的微分可能なベクトル場 F = U i + V j + W k の発散はスカラー値の函数:
div  F = ∇ ⋅ F = ∂ U ∂ x + ∂ V ∂ y + ∂ W ∂ z {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {F}}={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}}
に等しい。これは座標で表されているけれども、物理的解釈が示唆する通り、この式の値は任意の直交変換によって変わることはない。
しばしば用いられる発散の記法 “∇ · F” は、中黒を点乗積と見做して、∇ の成分(ナブラの項を参照)と F の成分との積和をとったものが上記の式になるという記憶術として使える。しかしもちろん、作用素の適用は成分同士の積とは異なるから、これは記号の濫用の一種である。
連続的微分可能二階テンソル場 ε の発散は、一階テンソル場
∇ ⋅ ( φ F ) = ( ∇ φ ) ⋅ F + φ ( ∇ ⋅ F ) {\displaystyle \nabla \cdot (\varphi {\boldsymbol {F}})=(\nabla \varphi )\cdot {\boldsymbol {F}}+\varphi (\nabla \cdot {\boldsymbol {F}})}
を任意のスカラー場 φ に対して満足する。
あるいは発散の概念を、次元 n で体積要素(あるいは密度)μ を持つ多様体、例えばリーマン多様体やローレンツ多様体に対して定義することもできる。R 上のベクトル場に対する 2-形式の構成を一般化して、多様体上のベクトル場 X は (n − 1)-形式 j = iXμ を、X と μ との縮約によって定める。このとき、ベクトル場 X の発散は等式
d j = div  ( X ) μ {\displaystyle dj=\operatorname {div} (X)\mu }
によって定められる。リー微分に対する標準公式を用いれば、これを
L X μ = div  ( X ) μ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu =\operatorname {div} (X)\mu }
と書くこともできる。即ち、発散はベクトル場に沿って流すときの体積要素の膨張率を測るものである。
リーマン多様体やローレンツ多様体上で、計量体積要素に関する発散は、レヴィ・チヴィタ接続 ∇ を用いて計算することができて、
が成立する。任意の三次元ベクトル場の回転の発散は常に 0 に等しい。即ち、
∇ ⋅ ( ∇ × F ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times {\boldsymbol {F}})=0}
が成り立つ。発散が 0 のベクトル場 F が R 内の球体上定義されているならば、その球体上のベクトル場 G で F = curl(G) を満たすものが存在する。これより複雑な R 内の領域では、このような G は必ずしも存在しない(ポワンカレの補題の項参照)。この主張が真でなくなる度合は、考える領域 U の複雑性を量化するのに適当な、鎖複体
{ scalar fields on U } → grad { vector fields on U } → curl { vector fields on U } → div { scalar fields on U } {\displaystyle \{{\text{scalar fields on }}U\}\xrightarrow {\operatorname {grad} } \{{\text{vector fields on }}U\}\xrightarrow {\operatorname {curl} } \{{\text{vector fields on }}U\}\xrightarrow {\operatorname {div} } \{{\text{scalar fields on }}U\}}
のホモロジーによって測ることができる。こうしたことが、ドラームコホモロジーの起源および主な動機付けであった。