加群のテンソル積
M ⊗ N の構成は m ∈ M と n ∈ N に対して記号 m ⊗ n を基底とする自由アーベル群の次で生成される部分群による商をとる。
−(m+m′) ⊗ n + m ⊗ n + m′ ⊗ n
−m ⊗ (n+n′) + m ⊗ n + m ⊗ n′
(m·r) ⊗ n − m ⊗ (r·n)
の形のすべての元、ただし m, m′ ∈ M, n, n′ ∈ N, r ∈ R。 (m, n) を m ⊗ n を含む剰余類に写す関数は双線型であり、部分群はこの写像が双線型であるように最小に選ばれている。
M と N の直積(英語版)は滅多に M と N のテンソル積に同型でない。R が可換でないときは、テンソル積は M と N が反対側の加群であることを要求するが、直積は同じ側の加群であることを要求する。すべての場合において線型かつ双線型な M × N から Z への唯一の関数は零写像である。