回転 (ベクトル解析)
ベクトル解析における回転(かいてん、英: rotation, curl)rot(または curl)は、三次元ベクトル場の無限小回転を記述するベクトル演算子である。
ベクトル場の各点において、ベクトル場の回転はベクトルとして表され、このベクトルの寄与(大きさと向き)によってその点での回転が特徴付けられる。
x と y に線型に依存するベクトル場
F ( x , y , z ) = y x ^ − x y ^ {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(x,y,z)=y{\hat {\boldsymbol {x}}}-x{\hat {\boldsymbol {y}}}}
をとれば、これは
のような様子で、見た目通りこの場が「回転」していることがわかる。この場に、どこでもよいから外輪 (paddle wheel) を置けば、外輪が時計回りに回転することはすぐに分かる。右手系に従うならば、この「回転」は、画面に向かって垂直に入る向きであることが期待される。右手系に座標系を取るのであれば、画面へ垂直に向かっていく方向は負の z-方向である。ここに x, y が出てこない(xy-平面に直交する)ことは交叉積と同様である。
さて、この場の回転を計算すれば、
grad と div に関しては上と同じ幾何学的解釈のもとでそのまま任意の向き付けられた擬リーマン多様体に対して一般化できる。これは、0-形式の空間と n-形式の空間が常に(ファイバーごとに)一次元でスカラー値函数の空間と同一視でき、かつ 1-形式の空間と (n − 1)-形式の空間が常に(ファイバーごとに)n-次元でベクトル場の空間と同一視できることによる。しかし、curl はこの方法で四次元やより高次元の場合へ(あるいは二次元やより低次元の場合へ)一般化することはできない。四次元の場合の微分形式の空間の次元は
0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0
であるから、(ファイバーごとに四次元な)1-ベクトル場の回転は、ファイバーごとに六次元な 2-ベクトル場
ω ( 2 ) = ∑ i < k = 1 , ... , 4 a i , k d x i ∧ d x k {\displaystyle \omega ^{(2)}=\sum _{i<k=1,\dotsc ,4}a_{i,k}\,dx_{i}\wedge dx_{k}}
となり、これは確かに六つの線型独立な項を持つ和で、1-ベクトル場と同一視することはできない。また、d = 0 となることから、1-ベクトルを 2-ベクトルを経て 3-ベクトルへ写すことに意味を持たせることができない。従って、先の論法によってベクトル場をベクトル場へ写す回転作用素 curl を他の次元において得ることはできないことがわかる。
しかし、ベクトル場の回転を 2-ベクトル場として定義することは一般に可能である(後述)。