オイラー＝ラグランジュ方程式
以上ではオイラー=ラグランジュ方程式の物理学的な側面を説明したが、方程式そのものは物理学とは無関係に定式化できるので、 まず物理学的な背景から離れて方程式を説明し、その後で方程式のニュートン力学的な解釈を説明する。
C 級関数
u : R d → R f ; x = ( x 1 , ... , x d ) ↦ u ( x ) = ( u 1 ( x ) , ... , u f ( x ) ) {\displaystyle u:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{f};x=(x_{1},\ldots ,x_{d})\mapsto u(x)=(u_{1}(x),\ldots ,u_{f}(x))}
を考える。
F : R f × R f d × R d → R ; ( v , m , x ) ↦ F ( v , m , x ) {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{f}\times \mathbb {R} ^{fd}\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ;(v,m,x)\mapsto F(v,m,x)}
としたとき、オイラー=ラグランジュ方程式とは u ( x ) {\displaystyle u(x)} に関する以下の連立偏微分方程式のことである。
∂ F ∂ v i ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) − ∂ ∂ x μ ( ∂ F ∂ m i , μ ( u ( x ) , ∂ u ( x ) , x ) ) = 0 ( i = 1 , .
p i ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) = ∂ L ∂ q ̇ i ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) {\displaystyle p_{i}(q(t),{\dot {q}}(t),t)={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)}
で定義され、これを使うとオイラー=ラグランジュ方程式は
p ̇ i = ∂ L ∂ q i ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) {\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)}
と書き換えられる。上式右辺を一般化力と呼ぶ事にすると、上述の方程式は「一般化運動量の微分=一般化力」を意味する。
ニュートン方程式は「運動量の微分=力」であったので、オイラー=ラグランジュ方程式はニュートン方程式を一般化座標に拡張したものであるとみなす事ができる。
.. , f ) {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial v_{i}}}(u(x),\partial u(x),x)-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\left({\frac {\partial F}{\partial m_{i,\mu }}}(u(x),\partial u(x),x)\right)=0\quad (i=1,\ldots ,f)}
ここで ∂ u ( x ) {\displaystyle \partial u(x)} は x による偏微分
∂ u ( x ) = { ∂ u i ∂ x μ } 1 ≤ i ≤ f , 1 ≤ μ ≤ d {\displaystyle \partial u(x)=\left\{{\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{\mu }}}\right\}_{1\leq i\leq f,1\leq \mu \leq d}}
を表す。
なお通常は記号を疎漏に用い、上の方程式を
d d ε I [ u ̄ + ε δ ] | ε = 0 = ∫ Ω δ i ( x ) { ∂ F ∂ v i ( u ̄ , ∂ u ̄ , x ) − ∂ ∂ x μ ( ∂ F ∂ m i , μ ( u ̄ , ∂ u ̄ , x ) ) } d d x = 0 {\displaystyle {\frac {d}{d\epsilon }}I[{\bar {u}}+\epsilon \delta ]{\bigg |}_{\epsilon =0}=\int _{\Omega }\delta _{i}(x)\left\{{\frac {\partial F}{\partial v_{i}}}({\bar {u}},\partial {\bar {u}},x)-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\left({\frac {\partial F}{\partial m_{i,\mu }}}({\bar {u}},\partial {\bar {u}},x)\right)\right\}\,d^{d}x=0}
が得られる。 この式が任意の δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} について言えるには、括弧内が 0 でなければならない。
従って、オイラー=ラグランジュ方程式
∂ F ∂ v i ( u , ∂ u , x ) − ∂ ∂ x μ ( ∂ F ∂ m i , μ ( u , ∂ u , x ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial v_{i}}}(u,\partial u,x)-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\left({\frac {\partial F}{\partial m_{i,\mu }}}(u,\partial u,x)\right)=0}
が導かれる。