連続体濃度
実数の全体 Rは自然数の全体 N の冪集合の元と同じ数の元をもつ。さらに、これらの集合は N 自身よりも多くの元を含む(#連続濃度の非可算性節を見よ)。このことはゲオルク・カントールによって1874年に初めて示され、無限の尺度に異なる階層があることを確立した研究の嚆矢となった。後に、カントールはより簡明な対角線論法による証明も与えている。
連続体濃度を持つ集合には以下のような例がある。二つの異なる実数 a < b を取ったとき、これらの値がどんなに近い場合でも、開区間 (a,b)は R と同じ濃度の実数が含まれている。また、任意次元のユークリッド空間 R も R と同じ濃度を持つ(濃度の演算)。これらのことは以下の式で表される。
| ( a , b ) | = | R | = | R n | . {\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}
他の例については#連続体濃度をもつ集合節を参照のこと。
可算濃度 א0 = |N| と連続体濃度との間に、これらと異なる濃度が存在するかという問題は、カントールによって連続体仮説として提起された。クルト・ゲーデルおよびポール・コーエンの研究によって、連続体仮説自体はその否定も肯定も集合論の標準的な公理系 ZFC との間に矛盾を引き起こさないことが示された。詳しくは#連続体仮説節および連続体仮説を参照のこと。
上の等式
c = 2 א 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}
は、
1/2 = 0.50000..., 1/3 = 0.33333..., π = 3.14159....
などの実数の無限十進小数展開(最初の二つは循環小数の例でもある)を用いても説明できる。これらの展開は、整数の集合から { 0, ..., 9 } への写像のうち特別な性質(ある左無限半開区間上で恒等的に 0 となる)を持つものによって表されていると見なすことができる。整数全体の成す集合の濃度は א0 だから、
c ≤ 10 א 0 ≤ ( 2 4 ) א 0 = 2 4 ⋅ א 0 = 2 א 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq 10^{\aleph _{0}}\leq {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}}
を得る。ここで 4 א0 = א0 を用いた。他方、2 = {0, 1} を例えば {3, 7} に移すことにし、十進小数展開に 3 か 7 しか現れないような実数のみを考えれば、
2 א 0 ≤ c {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}}
となることがわかるから、ベルンシュタインの定理によって表式を得る。
いま、このような二値数列 (ai)i ∈ N に対して、単位閉区間 [0, 1] に属する実数で、その三進展開の数字の並びから作った数列が (ai) となるようなもの(つまり、小数点以下第 i-位の数字が ai であるような実数)が一意に定まるので、これを対応させる。実数の三進展開表示において一意性がくずれるのは、ある項から先に0が続く場合か2が続く場合のどちらかであることから、この対応は単射写像を定めている(この写像の像をカントール集合と呼ぶ)。したがって 2 א 0 ≤ c {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}} を得る。
以上のふたつから、ベルンシュタインの定理により c = | P ( N ) | = 2 א 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=|{\mathfrak {P}}(\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}} が結論できる。特に、連続濃度は可算集合の濃度よりも真に大きいことが従う。
もちろん、{0,1} から R への全単射を直接構成することによっても、 c = 2 א 0 {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}} の別証明を与えることができる。カントールの対角線論法も参照のこと。