留数
解析函数 f(z) に対し z = a が孤立特異点であるとき、 z = a における留数 Res  ( f , a ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)} または Res a  ( f ) {\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)} が定義でき、
留数定理により次のように定められる。
Res z = a f ( z ) := 1 2 π i ∮ γ f ( z ) d z {\displaystyle \operatorname {Res} \limits _{z=a}\,f(z):={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}}
(z = a が正則点の場合にもこの積分および留数を考えることができるが、コーシーの積分定理により、その場合留数の値は消える)。ただし、i は虚数単位、積分路 γ は点 z = a を中心とする十分小さな円を正の向きに回るものとする(実際には、積分路は、それがガウス平面から切り取る有界領域が z = a 以外に f(z) の特異点を含まなければ、どんな単純閉曲線でも良い)。
単純閉曲線 γ と、γ が囲む有界領域 D を考える。D 上で定義される関数 f(z) が D 内に孤立特異点 a1, a2, ..., an をもち、それ以外で正則であるなら
∮ γ f ( z ) d z = 2 π i ∑ i = 1 n Res z = a i f ( z ) {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}=2\pi i\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Res} \limits _{z=a_{i}}\,f(z)}
が成り立つ。ただし、積分は γ を D の内点からの偏角が正の向き(領域を左に望む方向)に進む。これを留数定理 (residue theorem) と呼ぶ。