代数曲線
本節では、二元多項式 p(x, y) の定める平面代数曲線と、p の斉次化多項式 P(x, y, z) = p(x, y) の定める射影完備化を考える。
射影空間内の曲線を考える方が望ましいということはしばしばある。射影平面内の代数曲線、あるいは平面射影曲線とは、三変数斉次多項式 P(x, y, z) の零点を射影座標に持つ射影平面内の点全体の成す集合を言う。
方程式 p(x, y) = 0 の定める任意のアフィン代数曲線は、p の斉次化
h p ( x , y , z ) = z deg  ( p ) p ( x z , y z ) {\displaystyle {}^{h}p(x,y,z)=z^{\deg(p)}p({\tfrac {x}{z}},{\tfrac {y}{z}})}
の定める方程式 p(x, y, z) = 0 の定義する射影曲線に完備化することができる。逆に P(x, y, z) = 0 が射影曲線を定める斉次方程式ならば、P(x, y, 1) = 0 はこの射影曲線上の第三射影座標が零でないような点全体の成すアフィン曲線の方程式になる。これら二つの操作は互いに逆になっている。実際、p(x, y, 1) = p(x, y) であり、また p が p(x, y) = P(x, y, 1) で定義されるものとすれば p(x, y, z) = P(x, y, z) が P が z で割り切れない限り直ちに得られる。
例えば、方程式 x + y − z = 0 の定める射影曲線は単位円の方程式 x + y − 1 = 0 の射影完備化である。
例えば、係数体 F が実数体 R であるとき、x + y = −1 は R(x) の代数拡大体を定義するが、対応する曲線は R の部分集合と見れば点を持たない。方程式 x + y = −1 は、スキームの意味での R 上の既約代数曲線(R 上有限型の、整かつ分離的な一次元スキーム(英語版))を定義する。この意味において、F 上の既約代数曲線の全体(を双有理同値で割ったもの)と F 上の一変数代数函数体の全体との間の一対一対応は、一般に成立する。
曲線としては同型でない二つの曲線が双有理同値となる(つまり同型な函数体を持つ)ことが起こり得る。この状況は非特異(つまり如何なる特異点も持たない)曲線を扱うときには簡単になる。すなわち、体上の二つの非特異射影曲線が同型となるための必要十分条件は、それらの函数体が同型となることである。
曾の定理(英語版)は代数閉体上の代数曲線の函数体に関するものである。
この曲線は、適当な整数 k をとれば g k0 h が f, x3g0 − g3, ..., xng0 − gn の生成するイデアルに入るような多項式 h たちの成すイデアルの生成系によって定義される。この表現は f が定義する平面曲線と曲線の間の有理同値(英語版)である。任意の代数曲線をこの方法で表現できるが、最初の二つの変数への射影がほとんど常に一対一 (injective) であるようにするために一次の変数変換が必要となることもある。変数変換が必要となるとき、それが無限体上定義されている限り直ちに、ほとんど全ての変換が有効である。
この表現により、非平面代数曲線の任意の性質(例えばそれを図示することなど)を、その平面射影に対する対応する性質から容易に演繹することが可能となる。
陰伏方程式によって定義される曲線に対する上記の表示は、最小の変数ブロックが (x1, x2) となる消去順序に対するグレブナー基底から容易に演繹できる。まず、多項式 f はこの基底の中で x1, x2 のみに依存する唯一の多項式である。i = 3, ..., n に対して、函数 gi/g0 はこの基底の xi に関して一次かつ x1, x2, xi のみに依存する多項式を選ぶことで得られる。そのようなものが選べない場合というのは、その方程式が代数多様体ではない代数的集合 を定めているか、代数多様体を定めるが一次元でない場合か、座標を取り直す必要があるかの何れかである。この最後の場合というのは、f が一意に存在して、i = 3, ..., n に対して先頭単項式が x1, x2, xi のみに依存する単項式が取れるときに起きる。