ハメル次元
次元についての重要な結果として、線型写像に対する階数・退化次数定理が挙げられる。
F/K を体の拡大とすると、拡大体 F は特に部分体 K 上のベクトル空間の構造を持つ。さらに、任意の F-ベクトル空間 V は K-ベクトル空間と見ることもできる。これらのベクトル空間の次元は
dimK(V) = dimK(F) dimF(V).
なる関係によって結ばれている。特に任意の n-次元複素ベクトル空間は実ベクトル空間として次元 2n を持つ。
ベクトル空間の次元について、基底の濃度および空間自身の濃度に関するいくつか簡単な公式が知られている。V を体 F 上のベクトル空間とし、その次元を dim V で表すと
dim V が有限ならば |V| = |F|,
dim V が無限ならば |V| = max(|F|, dim V),
などが成立する。
数学における、ベクトル空間の次元(じげん、英: dimension)とは、その基底の濃度、すなわち基底に属するベクトルの個数である。 他の種類の次元(たとえばヒルベルト次元)との区別のため、ハメル次元または代数次元と呼ばれることもある。この定義は「任意のベクトル空間は(選択公理を仮定すれば)基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。体 F 上のベクトル空間 V の次元を dimF(V) あるいは [V : F] で表す(文脈から基礎とする体 F が明らかならば単に dim(V) と書く)。
ベクトル空間 V が有限次元であるとは、その次元が有限値であるときにいう。