LF空間
シュヴァルツ超函数論では、開集合 Ω ⊂ R 上の超函数を、線型写像
T : D ( Ω ) → R {\displaystyle T\colon {\mathcal {D}}(\Omega )\to \mathbb {R} }
で、以下の連続性条件:
K ⊂ Ω がコンパクトで、 D ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )} 内の K に台を持つ函数列 (fn) が一様に fn → 0 を満たすならば、T(fn) → 0 が成り立つ。
を満たすものと定義する。この定義において、この連続性条件が位相に関する連続性を表していることは、一見してわかりよいものではない。実はこれに関しては、 D ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )} がボルノロジー空間ゆえ、点列連続性を考えれば十分なのである。つまり、コンパクト集合 K ⊂ Ω について C(K) 上の T に対する制約条件を与えることに他ならない。先に述べた LF-空間上の線型作用素の連続性に対する性質から、実際に D ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )} の LF-空間としての位相に関する連続性が導かれる。
このようにして、LF-空間 D ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )} 上の連続線型汎函数として定義されるシュヴァルツ超函数の概念的構造が表される。