冠頭標準形
φ {\displaystyle \phi } 、 ψ {\displaystyle \psi } 、 ρ {\displaystyle \rho } は量化子を含まない論理式であり、共通の自由変項を持たないものとする。次の論理式を考える。
( φ ∨ ∃ x ψ ) → ∀ z ρ {\displaystyle (\phi \lor \exists x\psi )\rightarrow \forall z\rho }
上述の規則群を最も内側の部分論理式から再帰的に適用していく。すると、以下のような一連の論理的に等価な論理式が得られる。
( ∃ x ( φ ∨ ψ ) ) → ∀ z ρ {\displaystyle (\exists x(\phi \lor \psi ))\rightarrow \forall z\rho }
∀ x ( ( φ ∨ ψ ) → ∀ z ρ ) {\displaystyle \forall x((\phi \lor \psi )\rightarrow \forall z\rho )}
∀ z ∀ x ( ( φ ∨ ψ ) → ρ ) {\displaystyle \forall z\forall x((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho )}
なお、元の論理式と等価な冠頭標準形は唯一ではない。例えば、上の例で仮説部ではなく帰結部を先に変換すると、次の冠頭標準形が得られる。
∀ x ∀ z ( ( φ ∨ ψ ) → ρ ) {\displaystyle \forall x\forall z((\phi \lor \psi )\rightarrow \rho )}