3乗剰余の相互法則
ガウスの定理 : p を次を満たす正の素数とする: p = 3 n + 1 = 1 4 ( L 2 + 27 M 2 ) . {\displaystyle p=3n+1={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right).}
このとき、 L ( n ! ) 3 ≡ 1 mod p {\displaystyle L(n!)^{3}\equiv 1{\bmod {p}}} が成り立つ。
このガウスの定理により、直ちに次が従う。
[ L p ] 3 = [ M p ] 3 = 1. {\displaystyle \left[{\tfrac {L}{p}}\right]_{3}=\left[{\tfrac {M}{p}}\right]_{3}=1.}
ヤコビの定理(証明なしで述べられている)。 q ≡ p ≡ 1 ( mod 6 ) {\displaystyle {\mathit {q}}\equiv {\mathit {p}}\equiv {\text{1}}{\pmod {\text{6}}}} が正の素数とする。明らかに、 pとqの両方とも3を法として1に合同であるため、次のように仮定する。 p = 1 4 ( L 2 + 27 M 2 ) , q = 1 4 ( L ′ 2 + 27 M ′ 2 ) . {\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left(L^{2}+27M^{2}\right),\qquad q={\tfrac {1}{4}}\left(L'^{2}+27M'^{2}\right).
数学、特に初等整数論・代数的整数論において、3乗剰余の相互法則(さんじょうじょうよのそうごほうそく、英: cubic reciprocity)とは、合同式 x ≡ p (mod q) が解けるための条件を提示する、一連の定理群のことである。ここで「相互法則」という単語は、以下に提示する主定理に由来する。
主定理 p と q をアイゼンシュタイン整数環上の、3とも互いに素な素元とするとき、合同式 x ≡ p (mod q) が可解となる必要十分条件は x ≡ q (mod p) が可解となることである。
これの最初のいくつかの例は、オイラー予想と同等である。
[ 2 p ] 3 = 1 ⟺ L ≡ M ≡ 0 mod 2 [ 3 p ] 3 = 1 ⟺ M ≡ 0 mod 3 [ 5 p ] 3 = 1 ⟺ L M ≡ 0 mod 5 [ 7 p ] 3 = 1 ⟺ L M ≡ 0 mod 7 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {2}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad L\equiv M\equiv 0{\bmod {2}}\\\left[{\frac {3}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad M\equiv 0{\bmod {3}}\\\left[{\frac {5}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {5}}\\\left[{\frac {7}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad LM\equiv 0{\bmod {7}}\end{aligned}}}
明らかに'L≡M(mod' 2)なので、q= 2のばあいの基準は以下のように簡略化することができる。
[ 2 p ] 3 = 1 ⟺ M ≡ 0 mod 2 .
Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} の一意分解定理は λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} ならば
λ = ± ω μ ( 1 − ω ) ν π 1 α 1 π 2 α 2 π 3 α 3 ⋯ , μ ∈ { 0 , 1 , 2 } , ν , α 1 , α 2 , ... ⩾ 0 {\displaystyle \lambda =\pm \omega ^{\mu }(1-\omega )^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\cdots ,\qquad \mu \in \{0,1,2\},\quad \nu ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \geqslant 0}
ここでそれぞれの π i {\displaystyle \pi _{i}} (アイゼンシュタインの定義による)素元。そして、この表現は、因子の順序を除き一意的である。
合同と最大公約数の概念は、 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} でも通常の整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の場合と同じように次のように定義される。単数はすべての数値を割り切るため、法 λ {\displaystyle \lambda } の任意の同伴な元を法としても合同関係は真であり 、GCDの同伴元もまたGCDである。