列空間
A [ c 1 ⋮ c n ] = [ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ] [ c 1 ⋮ c n ] = [ c 1 a 11 + ⋯ + c n a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ c 1 a n 1 + ⋯ + c n a n n ] = c 1 [ a 11 ⋮ a n 1 ] + ⋯ + c n [ a n 1 ⋮ a n n ] = = c 1 v 1 + ⋯ + c n v n {\displaystyle {\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+&\cdots &+c_{n}a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}a_{n1}+&\cdots &+c_{n}a_{nn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{n1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{n1}\\\vdots \\a_{nn}\end{bmatrix}}=\\{}&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}}
として記述される。したがって A の列空間は、x ∈ R に対するすべてのあり得る積 Ax からなる。これは、対応する線型写像の像(あるいは、値域)と同様である。
K をスカラー体とする。A を、列ベクトル v1, v2, ..., vn を伴う m × n 行列とする。それら列ベクトルの線型結合とは、次の形式で記述される任意のベクトルのことを言う:
c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n , {\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},}
ここで c1, c2, ..., cn はスカラーである。v1, ... ,vn の線型結合としてあり得るすべてのベクトルからなる集合のことを、A の列空間と言う。すなわち、A の列空間は、ベクトル v1, ... , vn の張る部分空間である。
行列 A の列ベクトルの任意の線型結合は、A と列ベクトルの積として記述される。すなわち
A = [ 1 0 0 1 2 0 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}} とすると、その列ベクトルは v1 = (1, 0, 2) と v2 = (0, 1, 0) である。
v1 と v2 の線型結合は、次の形式で記述される任意のベクトルである: c 1 [ 1 0 2 ] + c 2 [ 0 1 0 ] = [ c 1 c 2 2 c 1 ] {\displaystyle c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}\,}
そのようなベクトルすべてからなる集合が、A の列空間である。この場合の列空間は、方程式 z = 2x を満たすようなベクトル (x, y, z) ∈ R の集合である(デカルト座標を用いることで、この集合は三次元空間における原点を通る平面であることが分かる)。