特性部分群
G を群とし、g を G の固定された元とすると、共役写像
x ↦ g x g − 1 {\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}
は G の自己同型写像である(これを内部自己同型という)。すべての内部自己同型で不変な G の部分群を正規部分群という。特性部分群はすべての自己同型に対して不変であるから、すべての特性部分群は正規部分群である。
一方、すべての正規部分群が特性部分群であるわけではない。いくつか例を挙げよう。
H を群とし、G を直積 H × H とする。このとき G の部分群 {1} × H と H × {1} はどちらも正規部分群であるが、どちらも特性部分群でない。とくに、これらの部分群はいずれも、2 つの因子を入れ替える自己同型 (x, y) → (y, x) の下で不変でない。
この具体例として、V を(直積 Z2 × Z2 と同型な)クラインの四元群とする。この群は可換群なので、すべての部分群は正規である。しかし、3 つの非単位元のどんな置換も V の自己同型であるので、位数 2 の 3 つの部分群はどれも特性部分群ではない。