カントールの往復論法
以下のとおりだとみなす。
(A, ≦A) と (B, ≦B) は、全順序集合である。
A、B は、最大元および最小元を有しない。
A、B は、稠密に順序付けられている、つまり、任意の 2 元の間には他の元が少なくとも 1 つ存在する。
A、B は、可算無限濃度である。
A、B の元を重なりなく以下のとおり列挙し、これを固定する。
A = {a1, a2, a3, ...}
B = {b1, b2, b3, ...}
ここで、A と B の間に、狭義単調増加な一対一対応を構成しよう。 初期状態では、A のどの要素も B の元と対応付けられていない。
(1) i を、B の如何なる要素とも対応付けられていない ai のうちの最小の添字とする。 j を、A の如何なる要素とも対応付けられていない bj であって、かつ ai が bj と対応付けても、対応付けが狭義単調であるという要件を満たすことができるものとする。 このとき、ai と bj を対応付ける。
(2) j を、A の如何なる要素とも対応付けられていない bj のうちの最小の添字とする。