シュワルツの鏡像の原理
定理の最も基本的な形を正確に述べれば以下のようになる。
U ⊂ C を領域とし、U± = {z ∈ U | ±Im z > 0}, I = U ∩ R とおく。
U は実軸に関して対称、すなわち { z ̄ ∣ z ∈ U } = U {\displaystyle \{{\bar {z}}\mid z\in U\}=U} が成り立つとする。
f: U+ ∪ I → C を U+ 上正則であるような連続関数とし、I 上常に実数値を取るものとする。
このとき f は D 上の正則関数 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} に拡張(解析接続)でき、 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} は
f ~ = { f ( z ) z ∈ U + ∪ I f ( z ̄ ) ̄ z ∈ U − {\displaystyle {\tilde {f}}={\begin{cases}f(z)&z\in U_{+}\cup I\\{\overline {f({\bar {z}})}}&z\in U_{-}\end{cases}}}
と書ける。