マーラー測度
多変数の多項式 p ( x 1 , ... , x n ) ∈ C [ x 1 , ... , x n ] {\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]} のマーラー測度 M ( p ) {\displaystyle M(p)} は、次の公式により同じように定義される。
M ( p ) = exp  ( 1 ( 2 π ) n ∫ 0 2 π ∫ 0 2 π ⋯ ∫ 0 2 π log  ( | p ( e i θ 1 , e i θ 2 , ... , e i θ n ) | ) d θ 1 d θ 2 ⋯ d θ n ) . {\displaystyle M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}
数学では、複素数係数の多項式 p ( x ) ∈ C [ x ] {\displaystyle p(x)\in \mathbb {C} [x]} のマーラー測度(Mahler measure) M ( p ) {\displaystyle M(p)} は、
M ( p ) = lim τ → 0 ‖ p ‖ τ = exp  ( 1 2 π ∫ 0 2 π ln  ( | p ( e i θ ) | ) d θ ) {\displaystyle M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right)}
と定義する。
ここに
| | p | | τ = ( 1 2 π ∫ 0 2 π | p ( e i θ ) | τ d θ ) 1 / τ {\displaystyle ||p||_{\tau }=\left({{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta }\right)^{1/\tau }\,}