一般相対性理論における測地線
ここに、測地線方程式が得られた。
d 2 x β d τ 2 + Γ β α ν d x α d τ d x ν d τ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{\beta }}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }{\frac {\mathrm {d} x^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}=0}
クリストッフェル記号計量テンソルを用いて以下のように定義される。
Γ β α ν = 1 2 g μ β ( ∂ α g μ ν + ∂ ν g μ α − ∂ μ g α ν ) {\displaystyle \Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)}
(注意: この導出は、光的および空間的経路についても同様に成り立つ。)
部分積分を用い、(境界においてゼロとなる)全微分を落とすと、次が得られる。
0 = ∫ d τ ( d x μ d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν δ x α − 2 δ x μ d d τ ( g μ ν d x ν d τ ) ) = ∫ d τ ( d x μ d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν δ x α − 2 δ x μ ∂ α g μ ν d x α d τ d x ν d τ − 2 δ x μ g μ ν d 2 x ν d τ 2 ) {\displaystyle 0=\int \mathrm {d} \tau \left({\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\right)\right)=\int \mathrm {d} \tau \left({\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} x^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}-2\delta x^{\mu }g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}\right)}
測地線の運動方程式のこの表式はコンピュータ計算や、一般相対性理論とニュートン重力を比較する際に便利である。この形式を固有時をパラメータとする形式の測地線の運動方程式から導出するのは連鎖律を用いればすぐに可能である。この方程式の両辺は添字 μ が 0 のときは両辺が零の恒等式になることに気付く。もし、粒子の速度が十分に小さいならば、測地線方程式は次の式に帰着する。
d 2 x n d t 2 = − Γ n 00 {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{n} \over \mathrm {d} t^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}}
ここでローマ字の添字 n は [1,2,3] の値をとる。この方程式は単純に、ある特定の位置と時刻にある全ての試験粒子が一定の加速度を受けることを意味しており、これはニュートン重力における良く知られた性質である。例えば、ISS の周りに浮かぶ物体は全て、重力によって ISS とおおよそ同じ加速度を受ける。
∂ x λ ∂ X μ {\displaystyle {\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}}
すると、次の方程式が得られる。
d 2 x λ d T 2 = − d x ν d T d x α d T [ ∂ 2 X μ ∂ x ν ∂ x α ∂ x λ ∂ X μ ] {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{\lambda } \over \mathrm {d} T^{2}}=-{\mathrm {d} x^{\nu } \over \mathrm {d} T}{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} T}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]}
以前と同じように、 t ≡ x 0 {\displaystyle t\equiv x^{0}} と定義する。連鎖律を用いて、パラメータ T を消去してパラメータ t を導入すると、以下のようになる。
(局所座標系 X と一般座標系 x の関係を記述している)角括弧の中の項は一般座標系の関数であるから、(座標時をパラメータに用いた)測地線の運動方程式がこの方程式から直ちに得られる。測地線の運動方程式は、平行移動の概念を用いて導出することもできる。