リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル
古典電磁気学を規範として、アルベルト・アインシュタインは特殊相対性理論を導いた。 電磁波の運動と伝播を調べることで、相対論的な空間と時間の記述を導いた。 リエナール・ヴィーヘルトの公式は運動する相対論的な粒子系のより詳細な解析をするための出発点として重要な役割を果たす。
巨視的で互いに独立に運動する粒子に対しては、リエナール・ヴィーヘルトの公式による記述は正確だが、粒子の運動が量子論的になる領域においては正確ではなくなる。
量子力学では粒子の電磁放射について制限が加わる。粒子の放射現象に関する古典的な記述は、実験結果と明らかに食い違ってしまう。例えば原子を構成する電子は古典論が示すような放射現象を起こさず、原子は安定に存在できる。このことは電子のエネルギー状態が量子化されることによって説明される。
放射を理解するには電磁場を量子化する必要があり、量子電磁力学として20世紀の後半に構築された。
リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル(英: Liénard–Wiechert potentials)は運動する点電荷によって生じる古典的な電磁場を記述する、ローレンツ・ゲージにおける電気ベクトル・ポテンシャルと磁気スカラー・ポテンシャルである。提案者であるアルフレド=マリー・リエナール(英語版)とエミール・ヴィーヘルトに因む。
リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャルはマクスウェルの方程式から直接導かれ、点電荷の任意の運動に対する時間変化する電磁場を完全に、相対論的に正しく記述する。波によって表される電磁輻射はリエナール=ヴィーヘルト・ポテンシャルから得られる。一方で、場を古典的に扱うがゆえに量子力学的な効果は表されない。
リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャルの表式は、一部を1898年にアルフレド=マリー・リエナールが、1900年から1900年初頭にかけてエミール・ヴィーヘルトがそれぞれ独立に与えた。
A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫∫ δ ( t ′ − t r ′ ) | r − r ′ | q v s ( t ′ ) δ 3 ( r ′ − r s ( t ′ ) ) d 3 r ′ d t ′ . {\displaystyle {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint {\frac {\delta (t'-t_{\mathrm {r} }')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}q{\boldsymbol {v}}_{\mathrm {s} }(t')\delta ^{3}({\boldsymbol {r'}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t'))\,d^{3}{\boldsymbol {r}}'dt'\,.}
デルタ関数によって r ′ = r s ( t ′ ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t')} となるような対角成分だけが取り出され、内側の積分が簡単になる。
t r ′ {\displaystyle t_{\mathrm {r} }'} は r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r}}'} の関数であることに注意し、 t r = t r ( r s ( t ′ ) , t ′ ) {\displaystyle t_{\mathrm {r} }=t_{\mathrm {r} }({\boldsymbol {r}}_{s}(t'),t')} と書き直して積分を行う。
φ ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∫ q δ ( t ′ − t r ′ ) | r − r s ( t ′ ) | d t ′ , {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int q{\frac {\delta (t'-t_{\mathrm {r} }')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t')|}}dt'\,,}
A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ q v s ( t ′ ) δ ( t ′ − t r ′ ) | r − r s ( t ′ ) | d t ′ . {\displaystyle {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int q{\boldsymbol {v}}_{\mathrm {s} }(t'){\frac {\delta (t'-t_{\mathrm {r} }')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }(t')|}}\,dt'\,.}