アイゼンシュタイン級数
アイゼンシュタイン級数は、全モジュラ群 SL(2, Z) のモジュラ形式の最も明白な例である。ウェイト 2k のモジュラ形式の空間は、2k = 4, 6, 8, 10, 14 に対しては次元1となるため、これらのウェイトを持つようなアイゼンシュタイン級数の積が複数あるとき、それらは互いに定数倍となる。このようにして、等式
E 4 2 = E 8 , E 4 E 6 = E 10 , E 4 E 10 = E 14 , E 6 E 8 = E 14 {\displaystyle E_{4}^{2}=E_{8},\quad E_{4}E_{6}=E_{10},\quad E_{4}E_{10}=E_{14},\quad E_{6}E_{8}=E_{14}}
を得る。上で与えられたアイゼンシュタイン級数の q-展開を使い、約数のべき和を意味する等式
( 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ σ 3 ( n ) q n ) 2 = 1 + 480 ∑ n = 1 ∞ σ 7 ( n ) q n , {\displaystyle (1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n})^{2}=1+480\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{7}(n)q^{n},}
に言い換えられる。
よって、
σ 7 ( n ) = σ 3 ( n ) + 120 ∑ m = 1 n − 1 σ 3 ( m ) σ 3 ( n − m ) , {\displaystyle \sigma _{7}(n)=\sigma _{3}(n)+120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m),}
保型形式(Automorphic form)は、一般リー群のモジュラ形式の考え方を一般化し、アイゼンシュタイン級数を似たような形で一般化する。
OK を総実体 K の整数環とすると、PSL(2,OK) としてヒルベルト・ブレメンタールのモジュラ群(英語版)(Hilbert-Blumenthal modular group)が定義される。従って、アイゼンシュタイン級数をヒルベルト・ブレメンタールのモジュラ群のすべてのカスプに関連付けることができる。