ゲーム理論
ゲーム理論では分析の対象となる意思決定主体をプレイヤー(英: player)と呼ぶ。プレイヤーは、あらゆるゲームのモデルに登場する基本的な構成要素であり、プレイヤー集合はしばしば N {\displaystyle N} によって表される。ゲーム理論におけるプレイヤーは労働者、投資家、投票者、官僚、テニス選手といった個人だけでなく、企業、クラブ、政党といった組織、さらには国家、神、シカ、植物などのような人間以外の意思決定主体にまで多岐に渡る。ゲーム理論においてはプレイヤーの人数が重要であり、ゲームを定義する際にはプレイヤーの人数を明示する必要がある。プレイヤーの数に応じて2人ゲーム、3人ゲーム、 n 人ゲームなどと呼ぶが、時にはプレイヤーの人数が無限の場合も考えられる。
ゲームの中に意思決定主体の選択によって影響されることのない不確実性がある場合、その偶然メカニズムは自然(英: nature)と呼ばれるプレイヤーとして定式化され、自然が選択する手番は偶然手番(英: chance move)と呼ばれる。ここでいう自然の例としては、天気、スポーツの試合前に行われるコイントス、企業の研究開発の成果、親の人格の良し悪しなどが挙げられる。自然はしばしば「0人目のプレイヤー」として定式化される。
展開形ゲームにおいてはゲームの木(英: game tree)を構成する手番(英: move)の「分割」としてプレイヤーが定義される。展開形ゲームでは各手番において何れか1人のプレイヤーが選択をするが、手番の分割として定義されるプレイヤー分割(英: player partition)によって各手番においてどのプレイヤーが意思決定を行うのかが指定される。
org/10.24546/81009833。
川俣雅弘『経済学史』培風館〈経済学教室(7)〉、2016年。ISBN 978-4-563-06257-6。
神取道宏 著「ゲーム理論による経済学の静かな革命」、岩井克人; 伊藤元重 編『現代の経済理論』東京大学出版会、1994年、15 - 56頁。
神取道宏「ゲーム理論と進化ゲームがひらく新地平」『進化ゲームとその展開』共立出版〈日本認知科学会編、「認知科学の探求」シリーズ、佐伯胖・亀田達也編〉、2002年、6 - 27頁。ISBN 978-4320094390。
神取道宏「ゲーム理論:社会の行きつく先を解き明かす」『経済学がわかる』朝日新聞社〈AERA Mook (No. 99)〉、2004年、45 - 47頁。
神取道宏「経済理論は何を明らかにし、どこへ向かってゆくのだろうか(第6章)」『日本経済学会75年史:回顧と展望』有斐閣、2010年、241 - 271頁。ISBN 978-4641163591。
神取道宏『ミクロ経済学の力』日本評論社、2014年。ISBN 9784535557567。
神取道宏「追悼 ジョン・ナッシュ : 数学者、そして数理科学者として」『経済セミナー』、日本評論社、2015a。
神取道宏『人はなぜ協調するのか:くり返しゲーム理論入門』三菱経済研究所、2015b。ISBN 978-4-943852-56-8。
岸本信「協力ゲーム理論入門」『オペレーションズ・リサーチ』、343 - 350頁2015年。
喜多見洋; 水田健『経済学史』ミネルヴァ書房、2012年。ISBN 9784623059362。
ロバート・ギボンズ 著、福岡 正夫、須田 伸一(訳) 編『経済学のためのゲーム理論入門』創文社、1995年。
ロバート・オーマンとトーマス・シェリングは「ゲーム理論の分析を通じて対立と協力の理解を深めた功績」を称えられて2005年にノーベル経済学賞を受賞した。ゲーム理論家の受賞は2004年のナッシュらに次いで2件目であった。経済学出身のシェリングと数学出身のオーマンの研究手法は対照的であり、この二人の同時受賞には一定の配慮があったという指摘がある。
哲学分野では、1971年に出版された哲学者ジョン・ロールズの著書『正義論』がミニマックス原理などのゲーム理論の影響を強く受けており、ハルサニを中心とするゲーム理論の専門家からは強く批判されることとなった。1970年代にハルサニはゲーム理論的見地に基づいた功利主義倫理学の研究を多く残している。ロールズによれば原初状態の概念を用いると平等主義的な分配に行き着くという。一方、ハルサニはロールズと同じころ独自に原初状態の概念を提案し、それが平等主義的ではなく功利主義的な分配をもたらすことを主張した。ロールズもハルサニも外部強制機関の存在を仮定するが、そう仮定した場合はハルサニの功利主義が妥当であり、ロールズの平等主義は誤りであるとゲーム理論家は考える。ただしロールズ自身の仮定から離れて外部強制機関が存在しない場合を考えると結論が逆転する。その場合、功利主義は適切でなくなり、ロールズ流の平等主義が妥当になる。
生物学の分野では、イギリスの生物学者ジョン・メイナード・スミスが進化ゲームと呼ばれる分野を創始し、進化生物学がゲーム理論によって分析されるようになった。1950年代末にランド研究所の実験によって合理性を前提としない限定合理性の理論への関心は存在していたが、従来のゲーム理論の枠組みでは合理性の前提を緩めることは難しかった。しかし、生物学の中から誕生した進化ゲームが経済学に応用されることによって限定合理性を研究する機運が1980年代以降高まっていくこととなる。
Shubik, Martin (1983), Mathematics of Conflict, North-Holland, ISBN 0444866787
Simon, Herbert A. (1945), “Review of Theory of Games and Economic Behavior by J. von Neumann and O. Morgenstern”, American Journal of Sociology 50 (6): 558 – 560, doi:10.1086/219699
Simon, H. A. (1957), Models of Man, John Wiley & Sons, New York
Maschler, Michael; Solan, Elison; Zamir, Shmuel (2017), Game Theory, Cambridge University Press
Spence, Michael (1973), “Job market signaling”, Quarterly Journal of Economics 87 (3): 355–374, doi:10.2307/1882010
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Tadelis, Steven (2013), Game Theory: An Introduction, Princeton University Press, ISBN 9780691129082
レオニード・ハーヴィッツ、ロジャー・マイヤーソン、エリック・マスキンらは「メカニズムデザインの理論の基礎を確立した功績」を称えられて2007年にノーベル経済学賞を受賞した。
「しっぺ返し戦略」がアクセルロッドのコンピュータ・シミュレーション・トーナメントで優勝できたのは、それに参加したプログラムの種類が限定されていたからに過ぎないのである。さらに、プレイヤーの行動の計算コストを課すことによって限定合理性をモデル化すると、アクセルロッドのコンピュータ・シミュレーション・トーナメントの枠組みにおいてすら「しっぺ返し戦略」が最適戦略でなくなる場合があることが示されている。
1980年代中頃からは、環境問題のゲーム理論による研究も盛んになり、それら研究は Valuation Method and Policy Making in Environmental Economics (1989年) やGame Theory and the Environment (1998年) といった論文集にまとめられている。
経営学の分野では1981年に Competitive Strategies: An Advanced Textbook in Game Theory for Buisiness Studies という教科書が出版されて以来、積極的にゲーム理論が研究に応用されるようになった。また、1980年代にはジャン・ティロル (2014年ノーベル賞受賞) によってゲーム理論が産業組織論に応用されるようになり、ゲーム理論の教育や研究を行う経営学や商学関連の研究者も増えてきた。
Walker, Mark; Wooders, John (2001), “Minimax play at Wimbledon”, American Economic Review 91 (5): 1521 – 1538, doi:10.1257/aer.91.5.1521
Weibull, Jorgen W. (1997), Evolutionary Game Theory, The MIT Press, ISBN 978-0-262-73121-8 (大和瀬達二(監訳); 三澤哲也; 赤尾健一; 大阿久博; 横尾昌紀『進化ゲームの理論』文化書房博文社、1998年。ISBN 4-8301-0820-7。 )
Zambrano, Eduardo (2005), “Testable Implications of Subjective Expected Utility Theory”, Games and Economic behavior 53 (2): 262 - 268
Zermelo, Ernst (1913), Über eine Anwendung der Mengenlehre auf die Theorie des Schachspiels, 2, Cambridge University Press, pp. 501 – 504, http://www.socio.ethz.ch/publications/spieltheorie/klassiker/Zermelo_Uber_eine_Anwendung_der_Mengenlehre_auf_die_Theorie_des_Schachspiels.pdf (英訳後半:On an Application of Set Theory to the Theory of the Game of Chess)
ハルサニとゼルテンはゲーム理論を経済学の市場理論だけでなく生物学、政治学、哲学、倫理学、論理学などさまざまな分野への応用を試みており、この頃からゲーム理論が広範な分野へ応用されるようになった。例えば、1978年6月13日から6月16日までの四日間に渡ってウィーン高等研究所で開催されたコンファレンスにおいて浜田宏一が国際金融制度と金融政策について二段階ゲームを用いて分析した研究を報告している。
政治学への応用としてはニューヨーク大学の政治学教授スティーブン・ブラームスが、国際関係論や投票理論に関する Game Theory and Politics (1975年)、政治におけるさまざまなパラドックスを研究したParadoxes in Politics (1976年) などの著書を刊行しており、1977年には「ゲーム理論と政治学」と題したシンポジウムが米国マサチューセッツで開かれている。1979年には「紛争についてのコンファレンス」がニューヨークで開かれ、シュービックによる非協力ゲームの応用研究などが報告されている。これらコンファレンスにはハルサニ、ルーカス 、ロス (2012年ノーベル賞受賞)、シュービックといったゲーム理論家も多く参加した。
数理科学としてのゲーム理論のもうひとつの特徴として、公理論的アプローチが挙げられる。公理論的アプローチにおいては、分析対象の性質や均衡などをその対象が必ずしも意図せず持つような特性などから逆に特徴付けるような手法、すなわち公理的特徴付け(英: axiomatic characterization)が採用される。ここで用いられる公理系とは論理的な形で与えることのできる究極の形式的表現であり、理論の精密性を保証するために必要不可欠であった。従来の経済学には原理(英: principle)という言葉が多用されるものの公理(英: axiom)という言葉は用いられなかった。これに対して、ゲーム理論は社会科学において初めて公理系と呼ばれる概念を用いて社会状況を表現してその解を導くことを試みた学問分野である。
オーストリア学派の中心的経済学者であったカール・メンガーが公理主義的経済学の構築を提案していた頃、ジョン・フォン・ノイマンはダフィット・ヒルベルトと共同で数学や量子力学の公理化を進めていた。一方、オスカー・モルゲンシュテルンはメンガーらの影響を受け、公理論的基礎を持つ科学的言語の創造とそれに基づく社会科学と倫理学に再構築を構想していた。ゲーム理論はこのフォン・ノイマンとモルゲンシュテルンが出会ったことによって誕生し、その当初から公理論的体系を具していた。
また青木は、世界銀行経済開発研究所(現在の世界銀行研究所)のプロジェクトとして「開発経済および転換経済における銀行(メインバンク)の役割」、「移行経済におけるコーポレート・ガバナンス」、「東アジアの経済開発における政府に役割」、「経済開発における共同体と市場」といったプロジェクトが行われた。これらのプロジェクトには14カ国から62人の研究者が参加している。
他の制度研究と比較した際の比較制度分析の特徴として、『比較制度分析に向けて』の訳者である瀧澤弘和と谷口和弘は次の3点を挙げている。すなわち、第一に、制度を共有予想の自己維持的システムとして、あくまでゲームの均衡として捉える立場であり、第二に、経済組織をインセンティブ理論のみから見るではなく情報システムとしての性格付けをも重視する観点であり、第三に、制度配置の多様性とダイナミックスを把握する上で制度的補完性のみならずゲームの連結を強調する観点である。特に、第二の観点からは、物的資産に対する所有権配置を強調する不完備契約理論の立場も相対化されることになり、シリコンバレーなどに見られるタスク間の補完性を削減することによって経済活動のより効率的な配置が実現されているような今日的現象も理解可能となる。
遺産の額が不足してしまった訳であるが、この場合には、100万円を三等分して100/3万円ずつ3人で分ける。もし、200万円の遺産が残った場合には、Aには50万円、BとCにはそれぞれ75万円ずつ分ける。もし300万円の遺産が残った場合には、A、B、Cにそれぞれ50万円、100万円、150万円を分ける。」遺産の総額が100万円の場合は均等分配、300万円の場合は比例分配である一方で200万円の場合の分配の基準が直観的には理解しがたく、この『バビロニア・タルムード』の記述は永らくユダヤ人たちを悩ませてきたが、オーマンとシュマイドラーはこの分配方法が協力ゲーム理論の「仁」という解概念によって説明できることを明らかにしたのである。その概要は、以下の通りである。すなわち、財産総額を E, 債権者の集合を N = {1, 2, ..., n} とし各債権者 i の債権額を di とすると、E, d1, d2, ..., dn は全て正値であり、E < d1 + d2 + ⋯ + dn が仮定される。
ゲームの重要な構成要素である利得関数(英: payoff function)は戦略集合の直積を定義域とする実数値関数 f i : × k ∈ N S k → R {\displaystyle f_{i}\colon \times _{k\in N}S_{k}\to \mathbb {R} } として定義される。一般に利得関数はプレイヤーごとに異なるため、 n 人ゲームでは n 個の利得関数の組 { f i } i ∈ N {\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in N}} を定義する必要がある。利得関数の値である利得(英: payoffs)とは各プレイヤーが実行した戦略によって決定されたゲームの結果に対する評価値であり、したがって、利得関数は効用関数、評価関数、損失関数などと呼ぶこともある。ただし、ゲーム理論における利得関数は、従来の価格理論における効用関数とは異なり、定義域に自分の選択した戦略だけでなく他のプレイヤーが選択した戦略が含まれる。これは意思決定の相互依存的状況を重視するゲーム理論の本質的な側面を反映している。
社会科学では、利得とは通常、企業の利潤(英: profit)や個人の効用(英: utility)に該当する。他方、生物学の文脈では、利得とは個体の適応度(英: fitness)に該当し、生存する子孫の個体数の期待値を意味する。
ゲームには偶然の要素がしばしば加わり、また相手の行動の予測が困難な場合も多いため、リスクや不確実性の下での意思決定の基準たり得る利得関数を考える必要がある。このような要請に応える理論的枠組みとして、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンによる期待効用理論があり、ゲーム理論においても多く応用されている。
成田悠輔「公立学校選択制の意図せざる帰結」『経済セミナー』、海外論文SURVEY(連載28回)第663巻、108 - 109頁、2011年。
日経ビジネス『新しい経済の教科書(2014-2015年版)』日本経済新聞社、2014年。
日本経済学会 (2002), 2002年度中原賞受賞者, http://www.jeaweb.org/jpn/AwardsNakahara2002.html 2016年8月閲覧。
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日本経済学会 (2008), 2008年度中原賞受賞者, http://www.jeaweb.org/jpn/AwardsNakahara2007.html 2016年8月閲覧。
ジョン・フォン・ノイマン; オスカー・モルゲンシュテルン『ゲームの理論と経済行動』阿部修一・銀林浩・下島英忠・橋本和美・宮本敏雄、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2009年。ISBN 978-4-480-09211-3。 (Von Neumann, John; Morgenstern, Oskar (2007-03-19), Theory of Games and Economic Behavior (Princeton Classic Editions ed.), Princeton Univ Press, ISBN 0691130612 )
協力ゲームを表現する際にしばしば用いられる方法として「提携形」がある。提携形ゲーム(英: games in coalitional form)は(1)プレイヤーの集合 N := { 1 , . . . , n } {\displaystyle N:=\{1,...,n\}} 、(2)特性関数 v : 2 N → R {\displaystyle v\colon 2^{N}\to \mathbb {R} } によって定義される。プレイヤー集合の部分集合 S ⊆ N {\displaystyle S\subseteq N} は提携(英: coalition)と呼ばれるが、特性関数の値は任意の提携が提携に参加したプレイヤーにもたらす利得の総計として解釈される。提携形ゲームは特性関数形ゲーム(英: games in characteristic function form)とも呼ばれる。