魔方陣
n=0の場合は定義できない。
n=2の場合、
[ L L L L L L L L L L L L U L L U U L U U X X X X X ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}L&L&L&L&L\\L&L&L&L&L\\L&L&U&L&L\\U&U&L&U&U\\X&X&X&X&X\\\end{bmatrix}}}
この行列と元の魔方陣を加えたものを作る。
[ 64 + L 92 + L 0 + L 28 + L 56 + L 88 + L 16 + L 24 + L 52 + L 60 + L 12 + L 20 + L 48 + U 76 + L 84 + L 36 + U 44 + U 72 + L 80 + U 8 + U 40 + X 68 + X 96 + X 4 + X 32 + X ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}64+L&92+L&0+L&28+L&56+L\\88+L&16+L&24+L&52+L&60+L\\12+L&20+L&48+U&76+L&84+L\\36+U&44+U&72+L&80+U&8+U\\40+X&68+X&96+X&4+X&32+X\\\end{bmatrix}}}
L = [ 4 1 2 3 ] U = [ 1 4 2 3 ] X = [ 1 4 3 2 ] {\displaystyle L={\begin{bmatrix}4&1\\2&3\\\end{bmatrix}}U={\begin{bmatrix}1&4\\2&3\\\end{bmatrix}}X={\begin{bmatrix}1&4\\3&2\\\end{bmatrix}}} を代入すると、求める大きさの魔方陣が完成する。
上段の中央を1にする
右上に次の数字を置いていく(最上段の上は最下段になる。下の図を参照。)
右上が埋まっていたら一つ下に次の数字を置く
再び右上へと数字を埋めていく
後は3,4の繰り返しで完成
例:7×7
すべての数を2乗しても、縦・横の和が一定になる物を多重魔方陣(multimagic square)と呼ぶ。
例: [ 16 41 36 5 27 62 55 18 26 63 54 19 13 44 33 8 1 40 45 12 22 51 58 31 23 50 59 30 4 37 48 9 38 3 10 47 49 24 29 60 52 21 32 57 39 2 11 46 43 14 7 34 64 25 20 53 61 28 17 56 42 15 6 35 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}16&41&36&5&27&62&55&18\\26&63&54&19&13&44&33&8\\1&40&45&12&22&51&58&31\\23&50&59&30&4&37&48&9\\38&3&10&47&49&24&29&60\\52&21&32&57&39&2&11&46\\43&14&7&34&64&25&20&53\\61&28&17&56&42&15&6&35\end{bmatrix}}}
図は8×8の魔方陣である。各列の数の合計は260になり、この各数を2乗すると、縦横の各列の和は11180になる。
魔方陣(まほうじん、英:magic square)とは、n×n 個の正方形の方陣に数字を配置し、縦・横・対角線のいずれの列についても、その列の数字の合計が同じになるもののことである。特に1から方陣のマスの総数 n までの数字を1つずつ過不足なく使ったものを言う。
このときの一列の和は、
1 n ∑ i = 1 n 2 i = n ( n 2 + 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n^{2}}i={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}}
と計算できる。
魔方陣の歴史は古く、中国では紀元前190年前には存在していた。魔法や神話的な意味を獲得し、芸術作品の象徴として様々な場所で用いられてきた。 現代では縦・横・対角線以外の形状の和や、数字の積などの単なる和以外の演算などにも一般化されている。