フーリエ変換NMR
磁化のx成分は次式のように書ける。
M x ( t ) = { [ φ x x ( 0 ) − ∫ 0 ∞ ω φ x x ( t ) ( τ ) sin  ω τ d τ ] cos  ω t + [ ∫ 0 ∞ ω φ x x ( t ) ( τ ) cos  ω τ d τ ] sin  ω t } B 1 x ( 2 ) {\displaystyle M_{x}(t)=\left\{\left[\phi _{xx}(0)-\int _{0}^{\infty }\omega \phi _{xx}(t)(\tau )\sin \omega \tau d\tau \right]\cos \omega t+\left[\int _{0}^{\infty }\omega \phi _{xx}(t)(\tau )\cos \omega \tau d\tau \right]\sin \omega t\right\}B_{1x}\qquad (2)}
以下では、磁気共鳴に関する議論を総括した久保亮五と冨田和久の論文による理論的展開について説明する。彼らは階段型の磁場に対する応答を考えた。
A ( ω ) = ω 2 4 π k T V ∫ − ∞ ∞ G ( t ) e − i ω t d t {\displaystyle A(\omega )={\frac {\omega ^{2}}{4\pi kTV}}\int _{-\infty }^{\infty }G(t)e^{-i\omega t}dt}
逆に相関関数は,動磁化率の虚部 χ ′′ {\displaystyle \chi ''} または吸収スペクトル A ( ω ) {\displaystyle A(\omega )} の逆フーリエ変換として表せる。
G ( t ) = k T V π ∫ − ∞ ∞ χ ′′ ( ω ) ω e i ω t d ω {\displaystyle G(t)={\frac {kTV}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi ''(\omega )}{\omega }}e^{i\omega t}d\omega }
G ( t ) = 2 k T V ∫ − ∞ ∞ A ( ω ) ω 2 e i ω t d ω {\displaystyle G(t)=2kTV\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {A(\omega )}{\omega ^{2}}}e^{i\omega t}d\omega }
G ( t ) {\displaystyle G(t)} を偶関数として定義したので, χ ′′ {\displaystyle \chi ''} は奇関数, A ( ω ) {\displaystyle A(\omega )} は偶関数である。
緩和関数 φ ( t − t 0 ) {\displaystyle \phi (t-t_{0})} を
Δ M ≡ M ( t ) − M 0 = φ ( t − t 0 ) B 1 x {\displaystyle \Delta \mathbf {M} \equiv \mathbf {M} (t)-\mathbf {M} _{0}=\phi (t-t_{0})\mathbf {B} _{1}x}
φ ( ∞ ) = 0 , M ( ∞ ) = M 0 {\displaystyle \phi (\infty )=0,\quad \mathbf {M} (\infty )=\mathbf {M} _{0}}
を満たすテンソル量と定義する。すると B 1 x {\displaystyle \mathbf {B} _{1x}} が − ∞ {\displaystyle -\infty } からずっとかけられている場合の時刻tでの磁化の期待値は、足しあわせの原理により次のように書ける。
Δ M = φ ( 0 ) B 1 x ( t ) − ∫ − ∞ t φ ( t − t ′ ) d B 1 x ( t ′ ) d t ′ d t ′ {\displaystyle \Delta \mathbf {M} =\phi (0)\mathbf {B} _{1x}(t)-\int _{-\infty }^{t}\phi (t-t'){\frac {d\mathbf {B} _{1x}(t')}{dt'}}dt'}