ピタゴラス平均
これらは次のように定義される。
AM  ( x 1 , ... , x n ) = 1 n ( x 1 + ⋯ + x n ) GM  ( x 1 , ... , x n ) = | x 1 × ⋯ × x n | n HM  ( x 1 , ... , x n ) = n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {1}{n}}\left(x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}\right)\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}\end{aligned}}}
∀ x , M ( x , x , ... x ) = x {\displaystyle \forall x,\;M(x,x,\ldots x)=x}
単調性と冪等性の組み合わせは、ある集合の平均値が常にその集合の両極端の間にあることを意味する。
min ( x 1 , ... , x n ) ≤ M  ( x 1 , ... , x n ) ≤ max ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle \min(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \max(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})}
調和平均と算術平均は、正の引数については互いに逆数と双対である。
HM  ( 1 x 1 , ... , 1 x n ) = 1 AM  ( x 1 , ...