五胞体数
3つの連続する五胞体数のうち2つは五角数である。なぜなら 3n − 2 番目の五胞体数は (3n − n)/2 番目の五角数であり、3n − 1 番目の五胞体数は (3n + n)/2 番目の五角数だからである。
パスカルの三角形では左上(または右上)から5列目の数が五胞体数にあたる。
五胞体数の逆数の総和は
∑ k = 1 ∞ 1 k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 ) 24 = 24 ∑ k = 1 ∞ 1 6 ( 1 k − 3 k + 1 + 3 k + 2 − 1 k + 3 ) = 4 ( 1 1 − 3 2 + 1 2 + 1 3 ) = 4 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\frac {k(k+1)(k+2)(k+3)}{24}}}&=24\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {3}{k+1}}+{\frac {3}{k+2}}-{\frac {1}{k+3}}\right)\\&=4\left({\frac {1}{1}}-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)\\&={\frac {4}{3}}\end{aligned}}}
となる。