錐 (位相幾何学)
位相幾何学,特に代数的位相幾何学において,位相空間 X の錐(すい,英: cone)CX とは,X と単位区間 I = [0, 1] の積の商空間
C X = ( X × I ) / ( X × { 0 } ) {\displaystyle CX=(X\times I)/(X\times \{0\})\,}
である.直観的には,X を円柱にし,円柱の一端を点に押しつぶす.
X がユークリッド空間の中にあれば,X の錐は X から別の一点への線分の和集合に同相である.つまり,位相幾何学的な錐は幾何学的な錐と定義されるときには一致する.しかしながら,位相幾何学的な錐の構成の方が一般的である.
実数直線の点 p 上の錐は区間 {p} × [0, 1] である.
二点 {0, 1} 上の錐は端点を {0} と {1} とする "V" 字型である.
実数直線の区間 I 上の錐は中身の詰まった三角形であり,2-単体とも呼ばれる(最後の例を参照).
多角形 P 上の錐は底面を P とするピラミッドである.
円板上の錐は古典的な幾何学における円錐体である(「錐」の名前の由来).
円上の錐は円錐体の側面である:
{ ( x , y , z ) ∈ R 3 ∣ x 2 + y 2 = z 2 and 0 ≤ z ≤ 1 } . {\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=z^{2}{\text{ and }}0\leq z\leq 1\}.}
これは閉円板に同相である.
一般に,n 次元球面上の錐は (n + 1) 次元閉球体に同相である.
n 次元単体上の錐は (n + 1) 次元単体である.