サンクトペテルブルクのパラドックス
と発散するのは先に見たとおりだが、効用の期待値は
∑ k = 1 ∞ { 1 2 k log  ( a − b + 2 k − 1 ) } {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\{{\frac {1}{2^{k}}}\log \left(a-b+{2^{k-1}}\right)\right\}}
となり、この値は有限にとどまる。
単純なケースとして a = b(有り金全て賭ける)とすると、
∑ k = 1 ∞ ( 1 2 k log  2 k − 1 ) = log  2 ⋅ ∑ k = 1 ∞ k 2 k + 1 = log  2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2^{k}}}\log {2^{k-1}}\right)=\log 2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{2^{k+1}}}=\log 2}
となる。つまり、総資産2円(効用 log 2)以下なら、賭により効用は増えるので、有り金全て賭けてでも賭に参加すべきである。なお、総資産2円という状況はイメージしにくいので、賞金のスタートを1円から200万円に引き上げると、有り金全て賭けてでも賭に参加すべき資産は400万円以下となる。
しかし、総資産が2円より多いなら、2円と総資産の間のどこかに、賭けるべきか賭けぬべきかの境目となる b0 がある。b0 を求めるには方程式