連続体力学
連続体の挙動は基礎方程式と呼ばれる微分方程式で記述される。
基礎方程式は全ての連続体が満たす保存則と研究対象である物質固有の構成式からなる。
本節では連続体が満たす保存則を紹介する。
連続体を空間表記したとき、時刻tにおける空間上の点xでの連続体の密度をρ=ρ(x,t)とする。
空間内の領域Vを考え、 Vの境界∂V上の微小な面dSとその法線ベクトルnに対し、微小時間ΔtにdSからVの外へ流出する粒子の総質量は ρ v ⋅ n Δ t d S {\displaystyle \rho {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}}\Delta t\mathrm {d} S} であるので、空間内の領域Vの質量のΔt秒間での増加量は 質量保存の法則より、
∫ V ∂ ρ ∂ t Δ t d V = − ∫ ∂ V ρ v ⋅ n Δ t d S = − ∫ V ∇ ⋅ ( ρ v ) Δ t d V {\displaystyle \int _{V}{\partial \rho \over {\partial t}}\Delta t\mathrm {d} V=-\int _{\partial V}\rho {\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {n}}\Delta t\mathrm {d} S=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})\Delta t\mathrm {d} V}
である。ここで第二の等号はガウスの発散定理より従う。Vの任意性により、連続体は以下の連続の方程式を満たさねばならないことが結論づけられる:

(B1)式より、物質微分を使えば連続の方程式は

とも書ける。