無矛盾
また理論 T が矛盾することは次のように表される:
T ⊢ ⊥ {\displaystyle T\vdash \bot } .
矛盾する理論は任意の論理式を証明できるため、これは次と同値である:
∀ φ T ⊢ φ {\displaystyle \forall \phi \;T\vdash \phi } .
この性質に着目し、理論 T の論理式で有りながら証明できないような論理式 φ の存在を無矛盾の定義とすることがある。すなわち:
Con  ( T ) := ∃ φ T ⊬ φ {\displaystyle \operatorname {Con} (T):=\exists \phi \;T\nvdash \phi } .
この2つの無矛盾の定義は厳密には一致せず、区別するときには最初の方を単純無矛盾 (simply consistent)、新しい方を絶対無矛盾 (absolutely consistent) と呼ぶ。