ソボレフ共役
ある q >p に対し、ソボレフ空間 W 1 , p ( R n ) {\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})} の元 u が L q ( R n ) {\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} ^{n})} に属するかという問題が考えられる。より具体的に、 ‖ D u ‖ L p ( R n ) {\displaystyle \|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}} が ‖ u ‖ L q ( R n ) {\displaystyle \|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}} を制御するのはいつか、という問題が考えられる。次の不等式が任意の q に対して成立することはないということは、容易に確かめられる。
‖ u ‖ L q ( R n ) ≤ C ( p , q ) ‖ D u ‖ L p ( R n ) {\displaystyle \|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C(p,q)\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}} (*)
コンパクトな台を持つ無限回微分可能な函数 u ( x ) ∈ C c ∞ ( R n ) {\displaystyle u(x)\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} を考える。