行列の定値性
n × n エルミート行列 M に対して、以下の条件は何れも M が正定値であることと同値である。
M の任意の固有値が正の実数であること M の固有値分解を M = PDP とする。ここで、P は M の固有ベクトルのなす正規直交基底をその列ベクトルとして並べて得られるユニタリ行列で、D は対応する固有値をその主対角成分に並べて得られる対角行列である。このとき行列 M は P の列ベクトルからなる基底に関して表したとき、対角行列 D と見做すことができる。特に、一対一の変数変換 y = Pz によって、zMz が任意の複素ベクトル z に対して正の実数となるためには、yDy が任意の y に対して正の実数となること(即ち、D が正定値であること)が必要十分であることがわかる。対角行列に対してこれが成り立つのは、その主対角成分(従って今の場合 M の固有値)が全て正である場合に限られる。スペクトル定理によればエルミート行列の任意の固有値は実数であることが保証されるから、実対称行列 M の固有多項式が使える場合には、デカルトの符号律 を使って固有値の正値性を確かめることができる。
M に付随する半双線型形式が内積となること 行列 M の定める半双線型形式とは、任意の x, y ∈ C に対して ⟨x, y⟩ := yMx と置いて得られる函数 ⟨,⟩: C × C → C を言う。任意の複素行列 M に対してこの形式は各々の引数に関してそれぞれの線型性の条件は満足するから、従ってこれが C 上の内積であるための必要十分条件は、⟨z, z⟩ が任意の非零ベクトル z に対して正の実数となることであり、これは即ち M が正定値である条件に他ならない。