部分環
環 R に対し、R の任意個数の部分環の交わりはまた R の部分環となる。従って、R の任意の部分集合 X に対し、X を含む部分環すべての交わり S は X を含む R の部分環となる。この部分環 S は X を含む R の部分環のうち最小のものである(ここで「最小」であるというのは、T が X を含む R の部分環ならば必ず S が T に含まれることを意味する)。この部分環 S を X によって生成された R の部分環という。S = R となるとき、環 R は X で生成されるという。
数学における部分環(ぶぶんかん、英: subring)は、環 R の部分集合 S で、R の加法と乗法をそこに制限するときそれ自身が環となり、かつ R の単位元を含むものを言う。単位元を持つことを仮定しない場合には、R の演算の制限で S が環を成すことのみを以って部分環を定義する(この場合も自動的に S は R の加法単位元を含む)。後者は前者よりも弱い条件であり、例えば任意のイデアルは(たとえ乗法的単位元を持つ環においても)後者の意味の部分環になる(この部分環が、もとの環とは異なる乗法単位元を持つ場合もあり得る)。(本項で扱う)単位元の存在を定義に含める場合には、R の部分環となるようなイデアルは R 自身に限る。