基本行列 (コンピュータビジョン)
より具体的には、 y {\displaystyle \mathbf {y} } と y ′ {\displaystyle \mathbf {y} '} をそれぞれ画像1と2の同次正規化画像座標とし、 y {\displaystyle \mathbf {y} } と y ′ {\displaystyle \mathbf {y} '} がシーン内の同じ3次元点に対応する場合、以下の式が成り立つ。
( y ′ ) ⊤ E y = 0 {\displaystyle (\mathbf {y} ')^{\top }\,\mathbf {E} \,\mathbf {y} =0}
基本行列を定義する上記の関係は、1981年にH.クリストファー・ロンゲ・ヒギンズによって発表され、この概念がコンピュータービジョンコミュニティに紹介された。 リチャード・ハートレーとアンドリュー・ジサーマンの著書では、類似の行列がもっと以前から写真測量法に登場していたと報告されている。 ロンゲ・ヒギンズの論文には、対応する正規化画像座標の組から E {\displaystyle \mathbf {E} } 推定するためのアルゴリズムと、 E {\displaystyle \mathbf {E} } が既知である場合に2台のカメラの相対的な位置と向きを決定するためのアルゴリズムが含まれている。そして最終的に、基本行列を用いて画像上の点の3次元座標を決定する方法を示している。
第一に、 R {\displaystyle \mathbf {R} } と [ t ] × {\displaystyle [\mathbf {t} ]_{\times }} を表現している式は、以下より、基本行列の定義式を満たす。
[ t ] × R = U W Σ U T U W − 1 V T = U Σ V T = E {\displaystyle [\mathbf {t} ]_{\times }\,\mathbf {R} =\mathbf {U} \,\mathbf {W} \,\mathbf {\Sigma } \,\mathbf {U} ^{T}\mathbf {U} \,\mathbf {W} ^{-1}\,\mathbf {V} ^{T}\,=\mathbf {U} \,\mathbf {\Sigma } \,\mathbf {V} ^{T}=\mathbf {E} }
第二に、この [ t ] × {\displaystyle [\mathbf {t} ]_{\times }} がある t {\displaystyle \mathbf {t} } の外積の行列表現であることを示さなければならない。まず、