次元 (数学)
代数多様体の次元は様々な同値な方法で定義される。最も直感的な方法はおそらく任意の正則点における接空間の次元であろう。別の直感的な方法は、多様体との交叉が有限個の点(次元0)になってしまうために必要な超平面の個数として、次元を定義することである。この定義は、多様体の超平面との交叉は、超平面が多様体を含まない限り、多様体の次元から 1 下がるという事実に基づいている。
代数的集合は代数多様体の有限個の和集合であるから、その次元はその成分の次元の最大値である。それは与えられた代数的集合の部分多様体の鎖 V 0 ⊊ V 1 ⊊ ... ⊊ V d {\displaystyle V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq V_{d}} の最大の長さに等しい(そのような鎖の長さは " ⊊ {\displaystyle \subsetneq } " の個数である)。
各多様体は代数的スタック(英語版)と考えることができ、その多様体としての次元はスタックとしての次元と一致する。しかしながら多様体と対応しないスタックもたくさん存在し、これらの中には負の次元を持つものもある。具体的には、V が m 次元多様体で G が V に作用する n 次元の代数群 であれば、商スタック(英語版) [V/G] の次元は m − n である。