微分作用素
Δ = ∇ 2 = ∑ k = 1 n ∂ 2 ∂ x k 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}}
で定義されるラプラス作用素がある。他の微分作用素として、オイラー作用素θ は
θ = z d d z {\displaystyle \vartheta =z{d \over dz}}
で定義される。この作用素の固有函数は z の単項式
θ ( z k ) = k z k , ( k = 0 , 1 , 2 , ... ) {\displaystyle \vartheta (z^{k})=kz^{k},\quad (k=0,1,2,\ldots )}
であり、homogeneity operator とも呼ばれる。n-変数のテータ作用素は、
Θ = ∑ k = 1 n x k ∂ ∂ x k {\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}
により与えられる。
微分演算 D は線型(英語版)である。すなわち、
D ( f + g ) = ( D f ) + ( D g ) , {\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}
D ( a f ) = a ( D f ) {\displaystyle D(af)=a(Df)}
を満たす。ここに f と g は函数であり、a は定数である。
函数係数の D を変数とする任意の多項式も、微分作用素である。また、微分作用素の合成は
( D 1 ∘ D 2 ) ( f ) = D 1 ( D 2 ( f ) ) {\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f))}
という規則に基づいて扱うことができるが、いくつかの注意が必要である。まず、作用素 D2 に関する任意の函数係数は、D1 を適用するのに必要なだけの何倍も微分可能でなければならないことである。そのような(函数係数の)作用素の環を得るには、全ての係数の任意階数の導函数を用いることを仮定せねばならない。第二に、この環は可換にはならないことである。作用素 gD は一般には Dg に等しくない。事実として、量子力学の基本的な関係式
D x − x D = 1 {\displaystyle Dx-xD=1}
を例に挙げることができる。D を変数とする定数係数多項式であるような作用素全体の成す部分環は、対照的に可換である。この部分環は、別な方法で特徴付けることができる。この環は平行移動不変な作用素のすべてからなる。
微分作用素にシフト定理(英語版)(shift theorem)も従う。
微分幾何学や代数幾何学において、二つのベクトル束の間の微分作用素の座標に非依存な記述をすることが便利なことがある。E および F は可微分多様体 M 上のベクトル束とする。切断の空間上の R-線型写像 P: Γ(E) → Γ(F) がk-階の線型微分作用素であるとは、ジェット束(英語版) J(E) を通して分解するときに言う。即ち、ベクトル束の間の線型写像
i P : J k ( E ) → F {\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}
が存在して、
P = i P ∘ j k {\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}
が成り立つ。ここに j: Γ(E) → Γ(J(E)) は、E の任意の切断にそのk-次のジェット(英語版)を対応付ける延長 (prolongation) 写像である。
これはちょうど、与えられた E の切断 s に対し、点 x ∈ M における P(s) の値は x における s の k-階の無限小の振る舞いにより完全に決定されることを意味する。特にこのことから、P(s)(x) は s の芽により決定されることが従い、またこれは微分作用素が局所的であるということで表される。基本的結果は、このステートメントの逆である任意の(線型)局所作用素は微分作用素であるというペートルの定理(英語版)(Peetre theorem)である。