建物 (数学)
X の k-次元単体は k + 1 個の互いに隣接する格子からなるクラスに同値であり、(n − 1)-次元単体は、適当にラベルを付け替えれば、鎖
p L n ⊂ L 1 ⊂ L 2 ⊂ ⋯ ⊂ L n − 1 ⊂ L n {\displaystyle pL_{n}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \cdots \subset L_{n-1}\subset L_{n}}
に対応する。ただし、それぞれの隣り合う項の商は位数 p を持つものとする。アパートは V の固定された基底 (vi) に対して基底 (p⋅vi) に関する格子全体をとることによって定義される。ただし、(ai) は Z の元で、各成分に同じ整数を加える違いを除いて一意的に定まるものとする。
定義により、このような各アパートは所期の形となり、それらの和は X 全体と一致する。二番目の公理は、シュライヤー細分の一種から従う。最後の公理を満たすことは
( L + p k L i ) / p k L i {\displaystyle (L+p^{k}L_{i})/p^{k}L_{i}}
の形の有限アーベル群の順序に基づく単純な数え上げ法によって示される。標準コンパクト性論法により、X が実は K の取り方に独立であることが示される。特に、K ≔ Q ととれば X の可算性が従う。
n-次元建物 X は抽象単体的複体(英語版)であって、アパート (apartments) と呼ばれる以下の条件を満たす部分複体 A の和となっているようなものである。
X の各 k-単体は、k < n ならば少なくとも三つの n-単体に含まれる。
アパート A に属する任意の (n − 1)-単体はちょうど二つの隣接する (adjacent) A の n-単体に含まれる、かつ隣接 n-単体のグラフは連結である。
X に属する任意の二つの単体に対し、それらをともに含むアパート A が存在する。
二つの単体が、二つのアパート A および A′ のいずれにも含まれるならば、A から A′ の上への単体同型で、二つの単体の頂点を固定するものが存在する。
A に属する n-単体を部屋または小部屋 (chamber, chambre) と呼ぶ。
この建物の階数は n + 1 と定められる。