関数の微分
d y = ∂ y ∂ x 1 Δ x 1 + ⋯ + ∂ y ∂ x n Δ x n {\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}}
一変数の場合と同様に、
d x i ( Δ x 1 , ... , Δ x n ) = Δ x i {\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i}}
であるから、
d y = ∂ y ∂ x 1 d x 1 + ⋯ + ∂ y ∂ x n d x n {\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}}
となる。このdy は、
d y ≈ Δ y {\displaystyle dy\approx \Delta y}
と見なせる。この誤差は変数の増分を十分に小さく取ることにより、 Δ x 1 2 + ⋯ + Δ x n 2 {\displaystyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}} に対して任意に小さくすることが出来る。