複素数
複素数 z = x + yi(x, y は実数)において、直交座標 (x, y) に対応する極座標を (r, φ) (r ≥ 0) とするとき、
z = r ( cos  φ + i sin  φ ) {\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )} (三角関数表示)
と表すことができる。この表示式を極形式 (polar form) という。r は z の絶対値、φ は z の偏角である。0 を除いて、この表示は一意である。
極形式から元の直交座標を恢復するには、三角関数表示を展開すればよい。
オイラーの公式を用いれば、これを
z = re
と書くことができるし、cis函数を用いて
z = r cis(φ)
と書くこともある。
フェーザ表示
z = r ∠ φ {\displaystyle z=r\angle \varphi }
は電子工学において振幅 r と位相 φ を持つ正弦信号を表すのによく用いられる。
複素数全体からなる集合 C は可換体になる。つまり、以下の事実が成り立つ。
演算が閉じている:任意の二つの複素数の和および積は再び複素数になる。
反数の存在:任意の複素数 z に加法逆元 −z が存在してそれもまた複素数である。
逆数の存在:任意の非零複素数に対して乗法逆元 1/z が存在する。
さらにいくつかの法則を満足する。複素数 z1, z2, z3 に対して 和の交換法則:z1 + z2 = z2 + z1 和の結合法則:(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) 積の交換法則:z1z2 = z2z1 積の結合法則:(z1z2)z3 = z1(z2z3) 分配法則:z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3
これらの性質は、実数全体からなる集合 R が可換体であるという事実の下、先に与えた基本的な和と積の定義式から証明することができる。
実数と異なり、虚数に通常の大小関係 (z1 < z2) はない。つまり、複素数体 C は順序体にはならない。これは、自乗すると負である数(例えば虚数単位 i)が存在することによる。
1835年にハミルトンによって、負の数の平方根を用いない複素数の定義が与えられた。
実数の順序対 (a, b) および (c, d) に対して和と積を
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
により定めるとき、(a, b) を複素数という。実数 a は (a, 0) で表され、虚数単位 i は (0, 1) に当たる。このとき、R は +, × に関して体となり、零元は (0, 0)、単位元は (1, 0) である。
ハミルトンの代数的な見方に対するこだわりは、複素数をさらに拡張した四元数の発見へと結び付いた。
複素数 z の偏角(応用の場面ではしばしば「位相」とも呼ばれる)arg z とは、複素数平面上で、正の実軸から測った動径 OP の角度のことである。偏角 φ の値はラジアンで表すものとする。
角に 2π の任意の整数倍を加えてもそれが表す動径、複素数は同じであるから、偏角を与える関数は多価である。
そこで、偏角 arg z を一価関数として定義するには、主値を区間 (−π, π] とする場合、逆正接関数から次のようにして定義される(計算機言語では、y/x の逆正接関数を、二つの引数 x, y に対する atan2(y, x) として実装していることが多い):
偏角に関する等式 arg(zw) = arg(z) + arg(w) は、両辺の差が 2π の任意の整数倍であることを除いて成り立つ等式であることに注意しなければならない。
例えば arg(z) = arg(z) + arg(z) = 2 arg(z)
において、もし各項が任意の偏角をとるものとしてしまうと、 arg(z) = θ + 2nπ(n は任意の整数)
と書けば、右辺は 2θ + 4nπ だが左辺は 2θ + 2mπ(m は任意の整数)となり厳密には等しくならない。
それを明示するために合同式の記法を流用してしばしば
arg(zw) ≡ arg(z) + arg(w) (mod 2π)
などとも書く。このように mod 2π に関して合同であるという理解は重要である。しかし、先述のように(適当なリーマン面上で)偏角をとるものと仮定すれば、2π の整数倍を加える不定性無く実際に等号が成り立つ。すなわち、三つの複素数 zw, z, w のそれぞれに対して独立に偏角をとるのではなく、ひとたび arg(zw) = arg(z) + arg(w) を満たすように偏角を一組選べば(例えば右辺の各項の値を決め、それによって左辺の値を定義すれば)、z あるいは w を連続的に変化させるとき、arg(zw) も連続的に変化して、そのような三点の近傍において常に厳密な意味で等号が成立する。
この注意の下で以下が成り立つ:
arg(zw) = arg(z) + arg(w)
arg(z/w) = arg(z) − arg(w)
arg(z) = n arg(z)(n は整数)
偏角の計算法則は対数のそれとほぼ同じであるが、それは複素対数函数の虚部が偏角に等しいことに起因している。
複素数の乗除・冪は、極形式表示をしてから行う方が、直交座標表示よりも、見通しがよくなる。2つの複素数の極形式を
z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1),
z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2)
とすると、積 z1 z2 は、三角関数の加法定理:
cos  α cos  β − sin  α sin  β = cos  ( α + β ) , {\displaystyle \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =\cos(\alpha +\beta ),}
cos  α sin  β + sin  α cos  β = sin  ( α + β ) {\displaystyle \cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )}
により