ホーナー法
多項式の除法への応用を示す。
筆記の場合、たとえば、
x 5 − 5 x 4 + 9 x 3 − 6 x 2 − 16 x + 13 {\displaystyle x^{5}-5x^{4}+9x^{3}-6x^{2}-16x+13\,}
を
x 2 − 3 x + 2 {\displaystyle x^{2}-3x+2\,}
で除したとき、商は
x 3 − 2 x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{3}-2x^{2}+x+1\,}
であり、余りは
− 15 x + 11 {\displaystyle -15x+11\,}
であるが、運算を示せば、
となる。すなわち、まず、第1列に被除数の係数を独特の符号で、左の行に除数の係数を重ねて、それぞれ書く。ただし第1項は独特の符号で、第2項以下は符号を変えて、それぞれ書く。被除数の第1項の係数を左の行の第2項から下に掛け、これを第2列に第2項の下から書く。そして第2項を加え、その和 − 2 {\displaystyle -2\,} を商の第2項の係数とし(ただし、商の第1項の係数は被除数の第1項の係数である)、これを罫線の左の行の第2項から下に掛け、これを第3列に第3項から書く。そして第3項を加え、その和 + 1 {\displaystyle +1\,} を商の第3項の係数にする。商は被除数の第1項を除数の第1項で除し、 x 3 {\displaystyle x^{3}\,} を得るから、商の第1項は x 3 {\displaystyle x^{3}\,} であり、したがって商は第4項にとどまることは明らかであろう。