チェビシェフの不等式
X を、期待値が μ, 有限の分散が σ である確率変数とすると、任意の実数 k > 0 に対して
Pr ( | X − μ | ≥ k σ ) ≤ 1 k 2 {\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}}
ただし k > 1 の場合にだけ意味がある。
余事象について、こうなる。
Pr ( | X − μ | < k σ ) > 1 − 1 k 2 {\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|<k\sigma )>1-{\frac {1}{k^{2}}}}
例として、k = √2 を使えば、少なくとも半数の値は区間 (μ − √2σ, μ + √2σ) 内に存在することが分かる。
チェビシェフの不等式は大数の法則(弱法則)の証明に用いられるものとして特に重要である。
チェビシェフの不等式(チェビシェフのふとうしき、英: Chebyshev's inequality)は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフによって初めて証明された。
標本または確率分布は、平均の周りに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差との間の、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から標準偏差の 2 倍以上離れた値は、全体の 1/4 以下である。一般に、標準偏差の n 倍以上離れた値は全体の 1/n 以下である。