理想数
f (X) を一変数の整数係数多項式として f (α) を考える。これは今日でいうところの円分整数であるが、クンマーは「複素数」と呼んでいる。またアルファベットの f はもう使ってしまっているので記号は重複しているのであるが、多項式の方の f は必ず f (α) として使うことにして区別する。
以上の準備のもと、クンマーは f (α) が
f (α) ≡ 0 mod q for η = ur
を満たすとき「f (α) は 置換 η = ur に属する q の理想素因子を含む」と定義した。この合同式の定義は次の通りである。まず f (α) を Z[η, η1, ..., ηe − 1] の元 φj(η)(j=0, 1, ..., f − 1)を使って f (α) = ∑ f − 1j = 0 α φj(η) として表す(表せる)。そしてすべての j に対して φj(ur) ≡ 0 mod q が成り立つこと、つまり φj(η) を先ほどの環準同型で送ると 0 になることを先の合同式の定義とする。
クンマーはこの合同式で理想因子が含まれるかどうか判定することを化学で例えて「試薬によって生じる沈殿物で溶液に含まれる元素を決定するようなもの」と言っている。