普遍係数定理
0 → R → x ⋅ R → p R / ( x ) → 0 {\displaystyle 0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0}
という分解が可能であり、
0 → H o m ( R / ( x ) , N ) → p ∗ H o m ( R , N ) → ( x ⋅ ) ∗ H o m ( R , N ) {\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} (R/(x),N){\overset {p^{*}}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N){\overset {(x\cdot )^{*}}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N)}
である。 ここで φ ∈ H o m ( R , N ) {\displaystyle \varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)} に対し、 ( x ⋅ ) ∗ ( φ ) ( u ) = φ ( x u ) = x φ ( u ) {\displaystyle (x\cdot )^{*}(\varphi )(u)=\varphi (xu)=x\varphi (u)} である。 しかも φ ∈ H o m ( R , N ) {\displaystyle \varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)} は 1 ∈ R {\displaystyle 1\in R} の行き先により全ての u ∈ R {\displaystyle u\in R} の行き先が決まるので、 H o m ( R , N ) → ∼ N , φ ↦ φ ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (R,N){\overset {\sim }{\to }}N,\varphi \mapsto \varphi (1)} である。
チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う:
定理 ― R、Mを上述の定理と同様に取り、 C ∗ {\displaystyle C^{*}} を任意のコチェイン複体とすると、
0 → H n ( C ∗ ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ⊗ R M ) → β Tor R  ( H n + 1 ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H^{n}(C^{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H^{n+1}(C^{*}),M)\to 0}
が短完全系列となるα、βが存在する。
この短完全系列が C ∗ {\displaystyle C^{*}} 、Mに関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。
また R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で各 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H^{n}(C_{*})} が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。