時間発展
古典物理学における時間発展とは、物理量の値が時間によって変化することである。
例えば古典力学の一形式であるニュートン力学では、時間発展はニュートンの運動方程式によって表現する。これと等価なハミルトン力学では、時間発展は正準方程式で表現され、ラグランジュ力学では、時間発展はオイラー・ラグランジュの運動方程式で表現される。
閉じた系の場合、時刻t での状態 | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } は時刻t = 0 での状態 | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (0)\rangle } をユニタリ変換したものである。つまりベクトルの長さや内積は時間が経っても変わらない(これは時間発展の基礎方程式、たとえばシュレーディンガー方程式などからも当然導かれる)。
このユニタリ変換は、ひとつのヒルベルト空間内でのユニタリ変換なので、そのヒルベルト空間上の演算子で書ける。これを時間発展演算子(時間推進演算子とも呼ばれる)と呼び、 U ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {U}}(t)} と書く。
| ψ ( t ) ⟩ = U ^ ( t ) | ψ ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle |\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle .