ガロア拡大での素イデアルの分解
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ここに、Qj は OL の異なるイデアルである。さらに、Qj の各々の惰性群の次数hは、対応する多項式 hj の次数にひとしく、Qj に対し、明白な公式
Q j = P O L + h j ( θ ) O L {\displaystyle Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L}}
が存在する。
ガロア拡大の場合は、惰性群の次数はみな等しく、分岐指数は e1 = ... = en とみな等しくなる。
上の結果が必ずしも成立しない例外的な素数は、環 OK[θ] の導手に相対的に素な素数である。導手はイデアル
{ y ∈ O L : y O L ⊆ O K [ θ ] } {\displaystyle \{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\}}
として定義され、どのくらい整数環(order) OK[θ] が全体の整数環(最大整数環)OL から隔たっているかを測る。
重要な注意として、上記前提を持たす θ が存在しないような L/K と P の例が存在することである。(例えば、を参照)従って、上記のアルゴリズムはそのような P を要素として使用できなく、例えば、に記載されているような、さらに複雑なアプローチを使う必要がある。
p ≡ 1 mod 4 である任意の素数は、Z[i] の 2つの異なるイデアルへ分解する。このことは、2個の平方数の和のフェルマーの定理の計算である。例えば、
( 13 ) = ( 2 + 3 i ) ( 2 − 3 i ) {\displaystyle (13)=(2+3i)(2-3i)}
である。この場合の分解群は、自明な群 {1} であり、実際、自己同型 σ は 2つの素数 (2 + 3i) と (2 − 3i) へと切り替わるので、両方の素数である分解群であることはあり得ない。惰性群も、分解群の部分群であるが、自明な群である。2つの剰余体が存在し、それぞれの素数に対する剰余体は、
O L / ( 2 ± 3 i ) O L {\displaystyle O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}}
である。両方とも 13 個の元を持つ有限体に同型である。フロベニウス元は自明な自己同型であり、このことは、任意の整数、a と b に対して、
( a + b i ) 13 ≡ a + b i mod 2 ± 3 i {\displaystyle (a+bi)^{13}\equiv a+bi{\bmod {2}}\pm 3i}
を意味する。