複素多様体
正則函数は実数の上での滑らかな函数よりも強い条件を満たすから、微分可能多様体の理論と複素多様体の理論とでは大きな違いがある。また、コンパクトな複素多様体は、微分可能多様体よりも代数多様体に非常に近い多様体である。
例えば、ホイットニーの埋め込み定理(英語版)により、すべての n-次元微分可能多様体は R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} の中へ微分可能部分多様体として埋め込まれるが、複素多様体がC の中へ正則に埋め込まれるようなことは『まれ』である。例えば、コンパクトな連結多様体 M を考えてみると、M 上の任意の正則函数は、リウヴィルの定理により局所定数となる。ここで、もしも C の中への M の正則な埋め込みがあったとすると、C の座標函数は M の上の定数ではない正則函数に限定されてしまう。これは、M が一点の場合を除き、コンパクト性と矛盾する。