中心つき八面体数
三次元整数座標における八面体(内部の格子の数は中心つき八面体数となる)は、三次元マンハッタン距離内に存在する球の数でもある。そのため、ルターとメルテンスは中心つき八面体数のことを「クリスタルボールの体積(the volume of the crystal ball)」と呼んだ。
正五角錐を用いた中心つき図形数のように、この数列は違う捉え方をすることもできる。三次元の同心正五角錐の頂点数によって定義される数列(1, 6, ...)は、それぞれの三角形の面に三角数の格子があり、底面の五角形の面に五角数の格子があり、その合計とも捉えられる。 つまり、三角数 T(n) と五角数 P(n) を用いて C(n) = T(n) + 4T(n − 1) と表される。
中心つき八面体数はドラノワ数の D(3, n)でもあり、左・上・左上(45°)の移動の組み合わせで左下の点から 3 × n の格子を通り、右上の点に行く経路の数でもある。