リッカチの微分方程式
変形KdV方程式
v t − 6 v 2 v x + v x x x = 0 , v t := ∂ v ( x , t ) ∂ t , v x := ∂ v ( x , t ) ∂ x , v x x x := ∂ 3 v ( x , t ) ∂ x 3 , {\displaystyle v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0,\quad v_{t}:={\frac {\partial v(x,t)}{\partial t}},\quad v_{x}:={\frac {\partial v(x,t)}{\partial x}},\quad v_{xxx}:={\frac {\partial ^{3}v(x,t)}{\partial x^{3}}},}
は、Miura変換
u = v x + v 2 , {\displaystyle u=v_{x}+v^{2},}
によって、KdV方程式と
u t − 6 u u x + u x x x = ( 2 v + ∂ x ) ( v t − 6 v 2 v x + v x x x ) , {\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=\left(2v+\partial _{x}\right)\left(v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}\right),}
の関係で結ばれる。したがって、変形KdV方程式の解はKdV方程式の解である。Miura変換において、 u {\displaystyle u} を既知関数、 v {\displaystyle v} を未知関数と見なせば、これはリッカチの微分方程式である。