オイラーの公式
sin  x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( n 2 k + 1 ) ( cos  x n ) n ( tan  x n ) 2 k + 1 {\displaystyle \sin x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k+1}}
より
sin  x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! x 2 k + 1 {\displaystyle \sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}}
が得られる。 ここで、n → ∞ の極限を取った際の誤差項の挙動を考えると
cos  x n = 1 + a n {\displaystyle \cos {\frac {x}{n}}=1+a_{n}}
とおけば
( cos  x n ) n = ( 1 + a n ) n = 1 + n a n + ( n 2 ) a n 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}&=\left(1+a_{n}\right)^{n}\\&=1+na_{n}+{\binom {n}{2}}{a_{n}}^{2}+\dotsb \end{aligned}}}