約数
1, 2, 4, 8, 9, 16, 18, 25, 32, 36, 49, 50, 64, 72, 81, 98, 100, 121, 128, 144, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A028982)
奇数になる正の約数の和の列は 1, 3, 7, 13, 15, 31, 39, 57, 63, 91, 93, 121, 127, 133, 171,...(オンライン整数列大辞典の数列 A060657)
正の約数の和が素数になる自然数は2, 4, 9, 16, 25, 64, 289, 729, 1681, 2401,...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A023194)
2 以外は平方数である。これらの数の正の平方根は 2, 3, 4, 5, 8, 17, 27, ...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A055638)
素数になる約数の和の列は 3, 7, 13, 31, 127, 307, 1093, 1723, 2801,...である。(オンライン整数列大辞典の数列 A023195)
自然数 n, d に対し、
σ(N)/N = n/d
を満たす奇数の自然数 N が k 個の相異なる素因数を持つとき、
N < (d + 1)
が成り立つ。(Nielsen, 2003)
約数の概念は、除法の原理が定義される、整域で一般化される。ユークリッド整域などの一意分解整域、例えば可換体上の一変数多項式環 K[x] などである。
すなわち、任意の元 f に対し、f を余りなく割り切る元を f の約元(divisor)あるいは因子(factor)という。f が真の約元を持たないとき f を既約元という(素因子あるいは既約因子ともいう)。
ユークリッド整域では単元(unit, 可逆元 invertible element)倍の違いを除いて素因数分解の一意性が成り立つ。素因数分解の一意性を要求しないならば、さらに一般の可換環 R に対しても、単項イデアルの包含関係により約数の概念を拡張することができる。すなわち、a, b ∈ R に対し、単項イデアル (a) = aR, (b) = bR が (a) ⊃ (b) を満たすとき、a は b の約元(あるいは約数、因子)であるといい、a | b と表す。このとき、b は a の倍元(または倍数)であるともいう。