準フロベニウス環
大きな影響を与えた論文 (Thrall 1948) で R. M. Thrall は(有限次元)QF 代数の3つの特定の性質に焦点を当て個別に研究した。追加の仮定をしてこれらの定義は QF 環を一般化するために使うこともできる。これらの一般化を開拓した少しの他の数学者には 森田紀一と太刀川弘幸が含まれる。
(Anderson & Fuller 1992) に従って、R を左または右アルティン環とする:
R が QF-1 であるとは、すべての忠実左加群と忠実右加群が平衡加群(英語版)であることをいう。
R が QF-2 であるとは、各直既約射影右加群と各直既約射影左加群が唯一の極小部分加群を持つことをいう。(すなわちそれらの半単純成分は単純である。)
R が QF-3 であるとは、移入包絡 E(RR) および E(RR) がともに射影加群であることをいう。
番号は階層を表しているわけではない。より緩い条件のもとで、環のこれら3つのクラスは互いを含まない。しかしながら、R が左または右アルティンという仮定の下では、QF-2 環は QF-3 である。QF-1 かつ QF-3 だが QF-2 でない例すらある。
数学、とくに環論において、フロベニウス環 (Frobenius ring) のクラスとその一般化は、フロベニウス多元環についてなされた研究の拡張である。おそらく最も重要な一般化は準フロベニウス環 (quasi-Frobenius ring, QF ring) のそれであろう。これはさらに右擬フロベニウス環 (pseudo-Frobenius ring, PF ring) と右有限擬フロベニウス環 (finitely pseudo-Frobenius ring, FPF ring) に一般化される。準フロベニウス環の他の種々の一般化には QF-1, QF-2, QF-3 環がある。
これらのタイプの環はゲオルク・フロベニウスによって考察された多元環の子孫と見ることができる。準フロベニウス環のパイオニアたちを部分的に挙げれば、R. ブラウアー(英語版)、森田紀一、中山正、C. J. Nesbitt(英語版), R. M. Thrall(英語版)。