約数関数
自然数 n に対して、約数関数 σx(n) とは、n の約数 d の x 乗和を値に取る関数である:
σ x ( n ) = ∑ d | n d x {\displaystyle \sigma _{x}(n)=\textstyle \sum \limits _{d|n}d^{x}}
特に、x = 0 のとき σ0(n) は n の約数の個数を表し、d(n) や τ(n) と表されることもある。x = 1 のとき σ1(n) は n の約数の総和であり、単に省略して σ(n) と表す場合もある。
また、約数関数 σx(n) のk階反復を
σ x k ( n ) := σ x ( ⋯ ( σ x ⏟ k ( n ) ⋯ ) {\displaystyle {\sigma _{x}}^{k}(n):=\underbrace {\sigma _{x}(\cdots (\sigma _{x}} _{k}(n)\cdots )}
と書く。例えば σ x 2 ( n ) = σ x ( σ x ( n ) ) , σ x 3 ( n ) = σ x ( σ x ( σ x ( n ) ) ) {\displaystyle {\sigma _{x}}^{2}(n)=\sigma _{x}(\sigma _{x}(n)),\quad {\sigma _{x}}^{3}(n)=\sigma _{x}(\sigma _{x}(\sigma _{x}(n)))} である。
k = 1 、x = 1 のときはどちらもそれぞれ省略して、σ(n) = σ1(n)(k=x=1の場合)、σ(n)(k=2,x=1の場合)などと表記する場合もある。