特性類
, p m ( n ) , e ( n ) ] if n = 2 m {\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda ){\overset {B\mu ^{*}}{\overset {\sim }{\to }}}{\begin{cases}\Lambda [p_{1}^{(n)},\ldots ,p_{m}^{(n)}]&{\text{ if }}n=2m+1\\\Lambda [p_{1}^{(n)},\ldots ,p_{m}^{(n)},e^{(n)}]&{\text{ if }}n=2m\\\end{cases}}}
H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) → ∼ B μ ∗ ∘ B ι ∗ Λ [ p 1 ( n ) , ... , p m ( n ) ] {\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda ){\overset {B\mu ^{*}\circ B\iota ^{*}}{\overset {\sim }{\to }}}\Lambda [p_{1}^{(n)},\ldots ,p_{m}^{(n)}]}
ポントリャーギン類とオイラー類を以下のように定義する:
定義 (ポントリャーギン類、オイラー類) ― 上の定理と同様に記号を定めるとき、
p i ( n ) ∈ H 4 i ( B O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle p_{i}^{(n)}\in H^{4i}(BO(n);\Lambda )}
を第iポントリャーギン類(英: i-th Pontryagin class)といい、 n = 2 m {\displaystyle n=2m} のとき、
e ( n ) ∈ H n ( B S O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle e^{(n)}\in H^{n}(BSO(n);\Lambda )}
よって、以下が成立する:
命題 ― nが偶数のとき、 H ∗ ( B S O ( 2 ) m ; Z ) ≈ Z [ γ 1 , ... , γ m ] {\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]} 上のワイル群の作用は、 γ 1 , ... , γ m {\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}} を置換する写像と、偶数個の γ i {\displaystyle \gamma _{i}} を符号反転する写像で生成される。
これらの事実を用いると、基本対称式 p i = σ i ( γ 1 2 , ... , γ m 2 ) {\displaystyle p_{i}=\sigma _{i}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})} と e = γ 1 ⋯ γ m {\displaystyle e=\gamma _{1}\cdots \gamma _{m}} を用いて、
H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) ≈ Λ [ p 1 , ... , p m , e ] {\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )\approx \Lambda [p_{1},\ldots ,p_{m},e]}
と書ける事がわかる。
c ( ξ ) := f ξ ∗ ( c G ) ∈ H ∗ ( X ; A ) {\displaystyle c(\xi ):=f_{\xi }{}^{*}(c_{G})\in H^{*}(X;A)}
により定義できる。
上の定理から、 H ∗ ( B G ; A ) {\displaystyle H^{*}(BG;A)} の元を普遍特性類(英: universal characteristic class)という事がある。上の定理は普遍特性類と特性類が1対1対応する事を意味している。
定理の証明は以下の通りである:
まずコホモロジーの元 f ξ ∗ ( c G ) {\displaystyle f_{\xi }{}^{*}(c_{G})} はホモトピーに依存せずに定まるので、 c ( ξ ) = f ξ ∗ ( c G ) {\displaystyle c(\xi )=f_{\xi }{}^{*}(c_{G})} はwell-definedである。
次に、 c ( ξ ) = f ξ ∗ ( c G ) {\displaystyle c(\xi )=f_{\xi }{}^{*}(c_{G})} が前の節で述べた特性類の定義を満たす事を示す。
分類定理で述べたように、GnK上の主GLn(K)-バンドルVnKに随伴するn次元ベクトルバンドルは、任意のCW複体X上のn次元ベクトルバンドルを分類する上で有益である。このためVnKに随伴するn次元ベクトルバンドルの事を普遍n-平面バンドル(英: universal n-plane bundle)と呼ぶ。
バンドルの一般論から、普遍n-平面バンドルは ( V n K ∞ × K n ) / G L n ( K ) {\displaystyle (V_{n}K^{\infty }\times K^{n})/GL_{n}(K)} と表記できるが、より具体的に表記する事も可能である。
グラスマン多様体GnKはKのn次元部分ベクトル空間全体のなす多様体なので、グラスマン多様体の元V=ベクトル空間上のファイバーとして、V自身を取ったベクトルバンドルを定義でき、これをグラスマン多様体のトートロジカル・バンドル(英語版)と呼ぶが、GnKのトートロジカル・バンドルが普遍n-平面バンドルになっている。
f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y}
に対し、
f ∗ ( c ( ξ ) ) = c ( f ∗ ( ξ ) ) {\displaystyle f^{*}(c(\xi ))=c(f^{*}(\xi ))}
が成立するものの事をいう。またF-バンドル ξ {\displaystyle \xi } のcによる像 c ( ξ ) {\displaystyle c(\xi )} の事をξの(cに関する)特性類と呼ぶ。
上の定義における記号の意味を説明すると、 f ∗ ( c ( ξ ) ) = c ( f ∗ ( ξ ) ) {\displaystyle f^{*}(c(\xi ))=c(f^{*}(\xi ))} における左辺の f ∗ {\displaystyle f^{*}} は、fがコホモロジーに誘導する写像
f ∗ : c ( ξ ) ∈ H q ( Y , A ) ↦ f ∗ ( c ( ξ ) ) ∈ H q ( X , A ) {\displaystyle f^{*}~:~c(\xi )\in H^{q}(Y,A)\mapsto f^{*}(c(\xi ))\in H^{q}(X,A)}
の事であり、右辺の f ∗ {\displaystyle f^{*}} はX上のF-バンドル ξ = ( E , X , π ) {\displaystyle \xi =(E,X,\pi )} のfによる引き戻しによって定義されるY上のF-バンドルの事である。
逆に言えば、いずれかの点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} で行列式が0になるfに対しては f ∗ ( c ( ξ ) ) = c ( f ∗ ( ξ ) ) {\displaystyle f^{*}(c(\xi ))=c(f^{*}(\xi ))} が成立する必要はないし、次元が異なるベクトルバンドル間の写像に関してもこの性質が成立する必要はない。
第二に、本項では多くの教科書と同様、ファイバーバンドルの底空間BがCW複体である場合に限定して特性類を定義したが、より一般の空間、例えばパラコンパクトな位相空間に対しても特性類を定義できる。ただしこの場合本項で述べる性質のいくつかは成立しない。なお幾何学における多くの用途ではCW複体を対象にすれば十分である。実際、任意の可微分多様体は単体的複体、したがってCW複体と位相同型になる事が知られており、(可微分とは限らない)位相多様体もコンパクトな場合はCW複体とホモトピー同型になる事が知られている。さらにいえば任意の位相空間はCW複体と弱ホモトピー同型(英語版)である。
また本項では底空間Bに対してはCW複体である事を要求したものの、構造群G、ファイバーF、全空間Eは(CW複体とは限らない)任意の位相群、位相空間でよい。
k , l {\displaystyle k,\ell } の任意性から ε 1 = ⋯ = ε m {\displaystyle \varepsilon _{1}=\cdots =\varepsilon _{m}} となる項のみが生き残る事になるので、fは
f ( γ 1 , ... , γ m ) = f 0 , ... , 0 ( γ 1 2 , ... , γ m 2 ) + f 1 , ... , 1 ( γ 1 2 , ... , γ m 2 ) γ 1 ⋯ γ m {\displaystyle f(\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m})=f_{0,\ldots ,0}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})+f_{1,\ldots ,1}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})\gamma _{1}\cdots \gamma _{m}}
であり、fが γ 1 2 , ... , γ m 2 , γ 1 ⋯ γ m {\displaystyle \gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2},\gamma _{1}\cdots \gamma _{m}} の多項式で書ける事がわかる。 fは変数の入れ替えに対しても不変でなければならないので、以上の議論からfは γ 1 2 , ⋯ , γ m 2 {\displaystyle \gamma _{1}{}^{2},\cdots ,\gamma _{m}{}^{2}} の基本対象式と τ = γ 1 ⋯ γ m {\displaystyle \tau =\gamma _{1}\cdots \gamma _{m}} の多項式として書く事ができ、定理が示された。
本節ではコホモロジー環 H ∗ ( B S O ( n ) , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )} 、 H ∗ ( B O ( n ) , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n),\Lambda )} の構造し、これをもとにポントリャーギン類とオイラー類を定義する。そのために利用するのは、チャーン類のときと同様、ワイル群に関する議論である。そこでSO(n)の極大トーラスを記述するため、nが偶数であるか奇数であるかに応じてn=2m、n=2m+1として μ : S O ( 2 ) m ↪ S O ( n ) {\displaystyle \mu ~:~SO(2)^{m}\hookrightarrow SO(n)} を
により定義する。ここで「 ⊕ {\displaystyle \oplus } 」は対角線上に行列を並べる演算であり、R(θ)は2次元の回転行列
R ( θ ) := ( cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ) {\displaystyle R(\theta ):={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}
である。 μ {\displaystyle \mu } によるSO(2)の像はSO(n)の極大トーラスである事が知られている。さらに自然な埋め込み ι : S O ( n ) ↪ O ( n ) {\displaystyle \iota ~:~SO(n)\hookrightarrow O(n)} を考える。