導来関手
共変な右完全関手 G と圏 A が充分に射影的(つまり、A の対象 A に対し、射影的対象 P とエピ射 P → A が存在する)とすると、右導来関手と同様に左導来関手 LiG を定義することができる。A の対象 X に対し、まず、次の形の射影的分解を構成する。
⋯ → P 2 → P 1 → P 0 → X → 0 {\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0}
ここに、各 Pi は射影的対象である。G をこの系列に適用し、最後の項を落としホモロジーを計算し、LiG(X) を得る。前と同様に、L0G(X) = G(X) となる。
この場合には、長完全系列は右ではなくて左側へ拡張され、
0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}
が、
⋯ → L 2 G ( C ) → L 1 G ( A ) → L 1 G ( B ) → L 1 G ( C ) → G ( A ) → G ( B ) → G ( C ) → 0 {\displaystyle \cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0}
となる。