線型回帰数列
判別式が 0 のときは、根が r0 一つしかなく、(R) を満たす幾何数列が (λr n0 ) しか出てこないから、状況が全く変わってくる。考え方としては、一般項が λn⋅r n0 となる数列 (un)n∈N が (R) を満足するような数列 (λn)n∈N を見つければよい。これは「定数変化法」と呼ばれる手法である。まずは、r0 が 0 でない限り (λn)n∈N が存在することを確かめよう。(un)n∈N に対する漸化式は (λn)n∈N に関する漸化式
r 0 2 λ n + 2 = a r 0 λ n + 1 + b λ n {\displaystyle r_{0}^{2}\lambda _{n+2}=ar_{0}\lambda _{n+1}+b\lambda _{n}}
に書き直すことができる。a + 4b = 0 と r0 = a/2 となる事実を用いれば、算術数列の定義式
λ n + 2 − λ n + 1 = λ n + 1 − λ n {\displaystyle \lambda _{n+2}-\lambda _{n+1}=\lambda _{n+1}-\lambda _{n}}
が得られるから、従って数列 (λn)n∈N は一般項が λn = λ + μn の算術数列になる。
故に、(R) を満たす数列 (un) の一般項は
u n = ( λ + μ n ) r 0 n {\displaystyle u_{n}=(\lambda +\mu n)r_{0}^{n}}
となる。この結果は、数列が実数値でも複素数値でも特性多項式の判別式が 0 ならば適用できる。
線型回帰数列 x n = c 1 λ 1 n + ⋯ + c p λ p n {\displaystyle x_{n}=c_{1}\lambda _{1}^{n}+\cdots +c_{p}\lambda _{p}^{n}} において、実根に対応する一つの項が n を無限大に飛ばす極限で 0 に収束するのは、その実特性根の絶対値が 1 より小さいときである。絶対値が 1 に等しいときは、特性根が +1 ならば n の増加に伴って一定であり、−1 のときは二つの値を行き来する。絶対値が 1 より大きい特性根の項は n とともに発散する。同様に、互いに複素共軛な特性根に対応する二項は、それら根の絶対値が 1 より小さいとき、減衰振動しながら 0 に収束する。絶対値が 1 に等しいときは一定振幅で振動し、また絶対値が 1 より大きければ際限なく大きくなりつつ振動する。
したがって、この数列 xn が n の増加に伴って 0 に収束するの(安定の場合)は、全ての特性根の絶対値が 1 より小さいことである。
と書くことができる。ただし、A, B ∈ K は数列の最初の二項から決まるパラメータである。
ここまで数列はある番号 n0 から始まるものとして扱ったが、以下、一般性を失うことなく数列は自然数全体の成す集合 N 上で定義されるものと仮定してよい。実際、数列 (un) が n0 からしか定義されていないとき、N 上で定義される数列 (vn)n∈N を vn = un+n0 によって定めることができる。
基本的な考え方は線型漸化式 (R) を満たす幾何数列を求めること、即ち数列 (r)n∈N が (R) を満たすようなスカラー r を見つけることである。そうするとこの問題が、二次方程式 r − ar − b = 0 を解くことと等価であることが容易に理解される。多項式 r − ar − b はこの数列の特性方程式と呼ばれ、その判別式は Δ = a − 4b で与えられる。特性多項式の根の数によって、いくつかの場合が区別されねばならない。