ヴィノグラードフの定理
彼は、 | α − a q | < 1 q 2 {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {a}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}} であれば、
| S ( α ) | ≪ ( N q + N 4 / 5 + N q ) log 4  N {\displaystyle |S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N}
となることを証明した。ジーゲル・ウォルフィッツの定理を使うと、 log  N {\displaystyle \log N} のべきの違いを区別せず q {\displaystyle q} を扱うことができ、ディリクレの近似定理を使うと、劣弧上で | S ( α ) | ≪ N log A  N {\displaystyle |S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N}}} を得ることができる。したがって、劣弧の区間の境界は、
C N log A  N ∫ 0 1 | S ( α ) | 2 d α ≪ N 2 log A − 1  N {\displaystyle {\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}} ,
により制限され、これが定理の誤差項(補助項)を与える。