優収束定理
↑ W. A. J. Luxemburg (1971), “Arzelà's dominated convergence theorem for the Riemann integral”, Amer. Math. Monthly 78: 970-979, doi:10.2307/2317801
↑ Nadish de Silva (2010), “A concise, elementary proof of Arzelà's bounded convergence theorem”, Amer. Math. Monthly 117: 918-920, doi:10.4169/000298910x523407
関数列がある可積分関数 g によって支配されるという仮定を外すことは出来ない。このことは次の例によって分かる。区間 [0, 1] 上の関数列 {fn} を次で定義する。(0, 1/n] 内の x に対しては fn(x) = n であり、それ以外の x に対しては fn(x) = 0 である。この列を支配するような g が存在するとしたら、それは各点上限 h = supn fn も支配しなければならない。今、
∫ 0 1 h ( x ) d x ≥ ∫ 1 / m 1 h ( x ) d x ≥ ∑ n = 1 m − 1 ∫ ( 1 / ( n + 1 ) , 1 / n ] n d x = ∑ n = 1 m − 1 1 n + 1 → ∞ as m → ∞ {\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{1/m}^{1}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{(1/(n+1),1/n]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \quad {\text{as }}m\to \infty }