ミンコフスキーの定理
v 1 = 2 w 1 , u = 2 w 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=2\mathbf {w} _{1},\mathbf {u} =2\mathbf {w} _{2}\in S} が成り立ち、 S は原点に関して対称だから v 2 = − u = − 2 w 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {u} =-2\mathbf {w} _{2}\in S} も成り立つ。 S は凸集合なので v = 1 2 ( v 1 + v 2 ) ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\in S} である。一方で
1 2 ( v 1 + v 2 ) = w 1 − w 2 ∈ L ∖ { 0 } {\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=\mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\backslash \{0\}}
であるから S は原点とは異なる L 上の点 v {\displaystyle \mathbf {v} } を有する。
を満たすならば、
| l i | ≤ k i ( i = 1 , 2 , ... , r + s ) {\displaystyle |l_{i}|\leq k_{i}(i=1,2,\ldots ,r+s)}
となる整数 x1, x2, ..., xn が存在する。
また k1, k2, ..., kr +s が実数で
k 1 k 2 ⋯ k r ( k r + 1 k r + 2 ⋯ k r + s ) 2 ≥ ( 4 π ) s n ! n n | Δ | {\displaystyle k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |}
を満たすならば、
∏ i = 1 n | l i | ≤ | Δ | {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}|l_{i}|\leq |\Delta |}
となる整数 x1, x2, ..., xn が存在する。