半双線型形式
歪エルミート形式あるいは反対称半双線型形式とは、半双線型形式 ε: V × V → C であって、
ε ( w , z ) = − ε ( z , w ) ̄ {\displaystyle \varepsilon (w,z)=-{\overline {\varepsilon (z,w)}}}
を満たすものを言う。任意の歪エルミート形式はエルミート形式に i を乗じたものとして書くことができる。
V が有限次元空間ならば、V の任意の基底 {ei} に関して、歪エルミート形式は歪エルミート行列 A によって
ε ( w , z ) = w ̄ T A z {\displaystyle \varepsilon (w,z)={\bar {\mathbf {w} }}^{T}A\mathbf {z} }
と表現される。歪エルミート形式に付随する二次形式 Q(z) = ε(z,z) は常に純虚である。
半双線型形式の概念は、逆転自己準同型を備える任意の環とその上の加群に対して一般化することができる。基礎環は必ずしも可換でない環としてよく、逆転準同型が複素共軛の代わりを果たす。二つの環 A, B, 左 A-加群 E, 左 B-加群 F, (A,B)-両側加群 G および B 上の逆転準同型 J に対して、積加群 E × F から G への写像 Φ が以下の条件
Φ ( x + x ′ , y ) = Φ ( x , y ) + Φ ( x ′ , y ) {\displaystyle \Phi (x+x',y)=\Phi (x,y)+\Phi (x',y)}
Φ ( x , y + y ′ ) = Φ ( x , y ) + Φ ( x , y ′ ) {\displaystyle \Phi (x,y+y')=\Phi (x,y)+\Phi (x,y')}
Φ ( a x , y ) = a Φ ( x , y ) {\displaystyle \Phi (ax,y)=a\Phi (x,y)}
Φ ( x , b y ) = Φ ( x , y ) b J {\displaystyle \Phi (x,by)=\Phi (x,y)b^{J}}
を満たすとき、J に関する右準双線型写像 (application sesquilinéaire) であるという。左準双線型写像も同様に定義される。
双線型形式を平方 (z) とするならば、半双線型形式はユークリッドノルム (|z| = zz) である。
半双線型形式に付随するノルムは複素単位円(ノルムが 1 の複素数全体)上の複素数を掛ける操作に関して不変であるが、双線型形式に付随するノルムは平方に関して同変(英語版)である。この意味で、双線型写像は「代数的に」より自然だが、半双線型形式は「幾何学的に」より自然である。
複素ベクトル空間上の双線型形式 B と、それに付随するノルム |x|B := B(x, x) に対して
| i x | B = B ( i x , i x ) = i 2 B ( x , x ) = − | x | B {\displaystyle |ix|_{B}=B(ix,ix)=i^{2}B(x,x)=-|x|_{B}}
となるが、これと対照的に、複素ベクトル空間上の半双線型形式 S とそれに付随するノルム |x|S := S(x, x) に関しては
| i x | S = S ( i x , i x ) = i ̄ i S ( x , x ) = | x | S {\displaystyle |ix|_{S}=S(ix,ix)={\bar {i}}iS(x,x)=|x|_{S}}
が成り立つ。