オイラーのφ関数
同じことだが、群 G の位数を #G, 環 R の単数群を R で表すとき、等式
φ ( m ) = # ( Z / m Z ) × {\displaystyle \varphi (m)=\#(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}
が成立する。これは特に、オイラーの定理 a φ ( m ) ≡ 1 ( mod m ) {\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}} の成立を意味する。また同じ式から、1 の m 乗根で原始的であるものの一つを ζ とし、既約剰余類群 (Z/mZ) を円分拡大 Q(ζ)/Q のガロア群と見れば φ(m) が円の m 分多項式の次数に等しいことも従う。
n > 1 ならば φ(n) < n である。また、n > 3 ならば
φ ( n ) ≥ e − γ n log  log  n + 2.50637 e γ log  log  n {\displaystyle \varphi (n)\geq e^{-\gamma }{\cfrac {n}{\log \log n+{\cfrac {2.50637}{e^{\gamma }\log \log n}}}}}
が成り立つ。ここで γ はオイラー定数である。