ラプラシアン行列
本節では、グラフにわたって経時的に拡散する関数 φ {\textstyle \phi } の例を示す。この例中のグラフは2次元離散グリッド上に構築され、グリッド上の点は8個の隣接点と連結している。3つの初期点は正の値を持つと指定されているのに対し、グリッド中の残りの値は0である。経時的に、指数関数的減衰によってグリッド全体へとこれらの点上の値が均等に分布する。
このアニメーションを生成するために使われた完全なMATLABのソースコードを以下に示す。ソースコードは、初期条件の指定、これらの初期条件のラプラシアン行列の固有値への射影、これらの射影された初期条件の指数関数的減衰のシミュレーションの過程を示す。
M e v = { 1 , if v = i − 1 , if v = j 0 , otherwise . {\displaystyle M_{ev}=\left\{{\begin{array}{rl}1,&{\text{if }}v=i\\-1,&{\text{if }}v=j\\0,&{\text{otherwise}}.\end{array}}\right.}
によって与えられる辺e(頂点iとjを連結している; i > j)と頂点vについて要素Mevを持つ | e | × | v | {\textstyle |e|\times |v|} 有向接続行列Mを定義する。
次に、ラプラシアン行列Lは
L = M T M , {\displaystyle L=M^{\textsf {T}}M\,,}
を満たす( M T {\textstyle M^{\textsf {T}}} はMの転置行列)。
ここで、単位ノルム固有値ベクトル v i {\textstyle \mathbf {v} _{i}} および対応する固有値 λ i {\textstyle \lambda _{i}} を使った L {\textstyle L} の固有値分解を考える。