ウェダーバーンの小定理
A を有限域とする。A の各元 x ≠ 0 に対し、2 つの写像
a ↦ a x , a ↦ x a : A → A {\displaystyle a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A}
は cancellation property によって単射であり、したがって有限性から全射である。基本的な群論からA の非零元全体は乗法について群をなすことが従う。したがって、A は斜体である。A の中心 Z(A) は体であるから、A は Z(A) 上有限 n 次元のベクトル空間である。すると我々の目標は n = 1 を示すことである。q を Z(A) の位数とすると、A の位数は q である。中心に入っていない各 x ∈ A に対して、x の centralizer Zx の位数は q である。ここに d は n より小さい n の約数である。Z(A), Zx, A を乗法について群と見て、類等式を次のように書ける
q n − 1 = q − 1 + ∑ q n − 1 q d − 1 {\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}