関数 (数学)
数学の特定の分野では、その他の特別な記法が使われたりもする。例えば線型代数学や函数解析学では線型形式をベクトルに作用させるときに、それらの間に成り立つ双対性を明らかにするために内積の記法が用いられる(量子力学でも同様のブラケット記法が用いられる)。数理論理学や計算理論ではラムダ計算の記法が、函数の抽象化や適用(英語版)などの基本概念を明示的に表すために用いられる。圏論やホモロジー代数では、上で見た函数の矢印記法を延長あるいは一般化するように、函数からなる図式およびそれらの合成が可換図式を満たすという意味でどのような可換性を持つかという形で記述される。
函数のグラフは函数の直観的描像を与えるために広く用いられる。グラフからは、例えば函数がどのように増減するかといった函数の性質を読み取ることができて、函数の理解に役立つ。函数によっては、その表現に棒グラフなども利用できる。
一つの例として、実数体 R {\displaystyle \mathbb {R} } で定義された二価の関数
f ( x ) := ± 1 + x 2 {\displaystyle f(x):=\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}
はベクトル値関数
f : R → R 2 ; x → f ( x ) = ( 1 + x 2 , − 1 + x 2 ) {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2};\ x\to f(x)=({\sqrt {1+x^{2}}},-{\sqrt {1+x^{2}}})}
として扱うことができる。また、定義域の "コピー" を作って定義域を広げてやることで、その拡張された定義域上の一価の関数
f : A ⊔ B → R ( A = B = R ) {\displaystyle f\colon A\sqcup B\to \mathbb {R} \quad (A=B=\mathbb {R} )} f ( x ) = { − 1 + x 2 ( x ∈ A ) , 1 + x 2 ( x ∈ B ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}-{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in A),\\{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in B)\end{cases}}}
と見なすこともある。複素変数の対数関数 log は素朴には無限多価関数であるが、これを log のリーマン面上の一価関数と見なすなど、定義域を広げて一価にする手法は解析的な関数に対してしばしば用いられる。
函数 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が全単射でなくとも、適当な部分集合 E ⊆ X {\displaystyle E\subseteq X} および F ⊆ Y {\displaystyle F\subseteq Y} を選んで、f の E への制限が E から F への全単射となり、その意味での逆函数を持つということは起こり得る。逆三角函数はこのような仕方で定義される。
より一般に、ふたつの集合 X, Y の間の二項関係 R が与えられ、X の部分集合 E は各元 x ∈ E に対して適当な y ∈ Y が存在して x R y とできるものとする。どの x ∈ E に対してそのような y ∈ Y をひとつ選び出す判定法がわかっているものとすれば、函数 f : E → Y {\displaystyle f\colon E\to Y} を定義することができ、関係 R から陰伏的に定まるとの意味で陰函数と呼ぶ。
陰函数定理は点の近傍における陰函数の存在と一意性を保証する緩やかな可微分性条件を提供するものである。