環の圏
数学においてよく知られた多くの圏と異なり、環の圏 Ring の任意の二対象の間には必ずしも射が存在するわけではない。これは(単位的)環準同型が単位元を保つという事実の反映である。例えば、零環 0 = {0} から任意の非零環への射は存在しない。環 R から S への射が存在するためには、S の標数が R の標数を割り切ることが必要条件である。
射集合が空となることがあってさえ、それでも始対象が存在するから、環の圏 Ring は連結(英語版)である。
Ring の射について、以下のことが言える:
環の圏 Ring における同型射は、一対一上への(つまり集合論的な意味で全単射な)環準同型で与えられる。
環の圏 Ring における単型射(圏論的単射)は、集合論的単射(つまり一対一の)環準同型である。しかし、任意の単型射は正則(英語版)とは限らない。
任意の集合論的全射(つまり上への)環準同型は Ring における全型射(圏論的全射)だが、逆は正しくない。包含環準同型 Z → Q は集合論的全射でない圏論的全射の例である。任意の可換環 R から、その任意の局所化への自然な環準同型は、圏論的全射であるが必ずしも集合論的全射となるわけではない。
集合論的全射な環準同型は Ring における正則(英語版)または極値的全射(英語版)として特徴づけられる(Ring においてこの二つの射のクラスは一致する)。
環の圏 Ring における双型射は一対一全型射(集合論的単射な圏論的全射)である。包含射 Z → Q は同型射でない双型射の例である。