コルモゴロフの三級数定理
( X n ) n ∈ N {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} を独立な実数値確率変数列とする。級数 ∑ n = 1 ∞ X n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}} が確率1で有限値に収束するための必要十分条件は、ある A > 0 {\displaystyle A>0} に対し以下の3条件が成り立つことである。
確率の級数 ∑ n = 1 ∞ P ( | X n | ≥ A ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {P} (|X_{n}|\geq A)} が収束する。
Y n = X n 1 { | X n | ≤ A } {\displaystyle Y_{n}=X_{n}\mathbf {1} \{|X_{n}|\leq A\}} とおくと Y n {\displaystyle Y_{n}} の期待値の級数 ∑ n = 1 ∞ E [ Y n ] {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {E} [Y_{n}]} が収束する。
分散の級数 ∑ n = 1 ∞ V a r ( Y n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {Var} (Y_{n})} が収束する。
∑ n = 1 ∞ Z n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Z_{n}} が確率1で有限値に収束 ⇒ ∑ n = 1 ∞ V a r ( Z n ) < ∞ {\displaystyle \Rightarrow \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {Var} (Z_{n})<\infty }
が成り立つ(より一般には、級数の各項の期待値が0、各項の分散が常に有限値として存在、各項の絶対値が項番 n にも確率空間の元 ω にもよらない定数で抑えられている、の3つの前提が満たされていれば、この論理包含が成り立つ)。
今、 Z n {\displaystyle Z_{n}} の作り方からこの前件が成り立ち、さらに V a r ( Z n ) = 2 V a r ( Y n ) {\displaystyle \mathrm {Var} (Z_{n})=2\mathrm {Var} (Y_{n})} だから、条件 (iii) が証明された。