平行線公準
1829年、ニコライ・ロバチェフスキーは無名のロシアの学術誌に鋭角仮定下の幾何学に関する記事を掲載する(1840年にまとめ直したものがドイツで出版されている)。1831年、ボーヤイ・ヤーノシュは彼の父ボーヤイ・ファルカシュの本の付録にて、やはり鋭角仮定下の幾何学を説明した。ボーヤイがロバチェフスキーと独立に理論を発展させたことには疑いがない。カール・フリードリヒ・ガウスも同様の問題を研究しており、1822年には手紙の中で非ユークリッド幾何学について言及しているものの、結果を公表しなかった。ガウスは友人であったファルカシュから息子ヤーノシュの結果について手紙で意見を求められた際、こう返答している。
「もし私がこの業績を称賛するわけにはいかないという言葉で始めれば、あなたは一瞬驚くことでしょう。しかし、そう言わざるをえないのです。これを称賛することは、私自身を称賛することになるのです。実際のところ、あなたのご子息がたどった道、導いた結論、全ての研究は、ここ30年から35年もの間、私の頭の中の一部分を占めていた考えとほぼ完全に一致するのです」
結果として得られた幾何学はニコライ・ロバチェフスキー、ベルンハルト・リーマン、そしてアンリ・ポアンカレによって双曲幾何学(鋭角の場合)と楕円幾何学(鈍角の場合)へと発展していった。平行線公準とユークリッドの他の公準が論理的に独立(英語版)であることは、最終的には1868年、ユージニオ・ベルトラミ(英語版)によって示された。
2000年もの間、平行線公準をユークリッドの他の4公準から証明するという試みが多数行われてきた。この証明が特に求められたのは、平行線公準が他の4公準とは違い、自明ではなかったことが大きな理由である。もしユークリッド原論における公準の記述順に意味があるとするならば、ユークリッドが平行線公準を公準に追加したのは、それを証明することができない、あるいはそれなしで先に進むことができないことに気付いたが故に他ならないことを意味している。4公準から第5公準を証明する試みが多く行われ、間違いが発見されるまでそれが正しい証明であると受け入れられてきた。証明において間違いを犯してしまった理由は、常に第5公準と同値の命題(プレイフェアの公理)を「明らかに」正しいものと仮定していたことに起因している。このことは5世紀のギリシャの哲学者プロクロスの時代から知られていたことではあるが、1795年、ジョン・プレイフェアがユークリッドに関する有名な解説書を著し、その中でユークリッドの第5公準を自身の公理と置き換えるよう提案した。このことで後にプレイフェアの公理として知られるようになった。
ギリシャの哲学者プロクロス (410-485) は、ユークリッド原論に関する解説書を著し、4公準から第5公準を導こうとした試みについて解説を行い、特にクラウディオス・プトレマイオスが間違った証明を行なっていることに言及している。その上で、プロクロスは続けて自らも間違った証明を与えている。しかし、第5公準と同値の命題を発見している。
アルトゥル・ショーペンハウアーは平行線公準を論理的に証明しようとする試みを批判した。しかしながら、ショーペンハウアーの使った論法は、公準は知覚により明らかであるというものであって、他の公理から論理的に導かれた結論というわけではない。 詳細は、ショーペンハウアーの平行線公準を論理的に証明しようとする試みへの批判(英語版)を参照。