余因子行列
A を n次正方行列とする。
adj  ( O ) = O {\displaystyle \operatorname {adj} (O)=O} (O は零正方行列)
adj  ( I ) = I {\displaystyle \operatorname {adj} (I)=I} (I は単位行列)
adj  ( c A ) = c n − 1 adj  ( A ) {\displaystyle \operatorname {adj} (cA)=c^{n-1}\operatorname {adj} (A)} (c はスカラー)
adj  ( A T ) = adj  ( A ) T {\displaystyle \operatorname {adj} (A^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (A)^{\mathsf {T}}} (T は転置を表す)
det ( adj  ( A ) ) = ( det A ) n − 1 {\displaystyle \det(\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-1}}
A が正則なら、 adj  ( A ) = ( det A ) A − 1 {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(\det A)A^{-1}} これから次が導かれる: adj(A) は正則で、その逆行列は(det A)A adj(A) = adj(A).
adj(A) の各成分は A の成分の多項式である。特に、実数体または複素数体上では、adj(A) の各成分は、A の成分の滑らかな関数である。
C = [ + | a 22 a 23 a 32 a 33 | − | a 21 a 23 a 31 a 33 | + | a 21 a 22 a 31 a 32 | − | a 12 a 13 a 32 a 33 | + | a 11 a 13 a 31 a 33 | − | a 11 a 12 a 31 a 32 | + | a 12 a 13 a 22 a 23 | − | a 11 a 13 a 21 a 23 | + | a 11 a 12 a 21 a 22 | ] , {\displaystyle C={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},}
ここで