解析的トーション
M をリーマン多様体、E を M 上のベクトルバンドルとすると、E に値を持つ i -形式に作用するラプラス作用素が存在する。i -形式上のラプラス作用素の固有値を λj とすると、大きな s に対してゼータ函数 ζi が次のように定義される。
ζ i ( s ) = ∑ λ j > 0 λ j − s {\displaystyle \zeta _{i}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}}
このゼータ函数は解析接続により、全複素平面へ拡張される。ゼータ正規化されたi -形式上に作用するのラプラス作用素の行列式は次の式となる。
Δ i = exp  ( − ζ i ′ ( 0 ) ) {\displaystyle \Delta _{i}=\exp(-\zeta _{i}^{\prime }(0))}
これは形式的には、i -形式上に作用するのラプラス作用素の正の値の固有値の積である。解析的トーション T(M,E) は次のように定義される。
T ( M , E ) = exp  ( ∑ i ( − 1 ) i i ζ i ′ ( 0 ) / 2 ) = ∏ i Δ i − ( − 1 ) i i / 2 . {\displaystyle T(M,E)=\exp \left(\sum _{i}(-1)^{i}i\zeta _{i}^{\prime }(0)/2\right)=\prod _{i}\Delta _{i}^{-(-1)^{i}i/2}.}