フーリエ変換の応用
(q は距離の単位で p は運動量の単位であるため、指数部分にプランク定数が存在することで指数部分が無次元化される。)
よって位置の波動関数による粒子の状態の表現の1つの方法から、運動量の波動関数による粒子の状態の表現の別の方法へ移行するためにフーリエ変換が用いられる。無限に多くの異なる分極が可能で、全て等価に妥当である。状態のある表現から別の表現への変換が可能であることは、しばしば便利である。
2つ目のフーリエ変換の使用は、量子力学と場の量子論における適切な波動方程式を解くことである。非相対論的な量子力学では、外部力のない1次元の時間変化する波動関数についてのシュレーディンガー方程式は、
∂ 2 ∂ x 2 ψ ( x , t ) = i h 2 π ∂ ∂ t ψ ( x , t ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}
これは虚数単位iが存在することを除いて熱伝導方程式と同じである。この方程式はフーリエ法で解くことができる。
ポテンシャルエネルギー V(x) が存在するときは、この式は、
∂ 2 ∂ x 2 ψ ( x , t ) + V ( x ) ψ ( x , t ) = i h 2 π ∂ ∂ t ψ ( x , t ) . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).