ペロンの公式
アーベルの総和公式:
∑ 1 ≤ n ≤ M a n φ ( n ) = A ( M ) φ ( M ) − ∫ 1 M A ( x ) φ ′ ( x ) d x {\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}\phi (n)=A(M)\phi (M)-\int _{1}^{M}A(x)\phi '(x)\,dx}
において φ ( x ) = x − s {\displaystyle \phi (x)=x^{-s}} とおき、
∑ 1 ≤ n ≤ M a n n − s = A ( M ) M − s + s ∫ 1 M A ( x ) x − s − 1 d x {\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}n^{-s}=A(M)M^{-s}+s\int _{1}^{M}A(x)x^{-s-1}dx}
M → ∞ {\displaystyle M\to \infty } とすると R e ( s ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>0} だから右辺第1項は消えて
g ( s ) := ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s = s ∫ 1 ∞ A ( x ) x − ( s + 1 ) d x {\displaystyle g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx}