一様連続
一様連続(いちようれんぞく、英: uniformly continuous)とは、数学における関数の連続性を強めたもので、イプシロン-デルタ論法によって定式化される。直観的には「グラフを横に少しずらしても縦のずれが一様に小さいこと」とも言える。
大雑把に言って、関数の一様連続性とは、引数 x の変化が小さいと関数値 f(x) の変化も一様に小さいことを指す。このとき、f(x) の変化の度合いは x の変化の度合いにのみ依存し、x の値にはよらない。つまり、f の定義域で x1 と x2 が十分に近ければ(x の値によらず)、f(x1) と f(x2) は近くなることである。
一様連続ならば連続であるが、逆は一般には成り立たない。しかし定義域が有界閉区間であれば、その区間上連続な関数は一様連続であることが知られている(ハイネ・カントールの定理)。
一様連続性の定義はユークリッド空間や、それを一般化した概念である距離空間において定義される。さらに一般に一様空間上でも定義可能である。
関数が連続であるからといって一様連続とは限らない。例えば、二乗する演算 x ∈ R ↦ x 2 ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} \mapsto x^{2}\in \mathbb {R} } や逆数を取る演算 x ∈ ( 0 , ∞ ) ↦ 1 x ∈ R {\displaystyle x\in (0,\infty )\mapsto {\tfrac {1}{x}}\in \mathbb {R} } は定義域で連続であるが、一様連続ではない。
f : X → Y, g : Y → Z が共に一様連続ならば、その合成写像 g ∘ f : X → Z も一様連続である。