二次体
二次体 Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の判別式を D としたとき、
D = { d ( d ≡ 1 mod 4 ) , 4 d ( d ≡ 2 , 3 mod 4 ) . {\displaystyle D={\begin{cases}d&(d\equiv 1\mod 4),\\4d&(d\equiv 2,3\mod 4).\end{cases}}}
従って、d ≡ 1 (mod 4) のときは、 { 1 , ( 1 + D ) / 2 } {\displaystyle \scriptstyle \{1,\ (1+{\sqrt {D}})/2\}} 、それ以外のときは、 { 1 , D } {\displaystyle \scriptstyle \{1,\ {\sqrt {D}}\}} が、 Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の整基底となる。
有理整数係数の二元二次形式の類数を H(D) (D は、二次形式の判別式) とし、 二次体 K = Q ( D ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})} の(代数体としての)類数を、hK とすると、H(D) = hK である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。