ハミルトン場の理論
複数のスカラー場 φ(x, t) およびそれらの共役 πi(x, t) に対して、ハミルトン密度はそれらすべての関数である。
H ( φ 1 , φ 2 , ... , π 1 , π 2 , ... , x , t ) = ∑ i φ ̇ i π i − L ( φ 1 , φ 2 , ... , ∇ φ 1 , ∇ φ 2 , ... , ∂ φ 1 / ∂ t , ∂ φ 2 / ∂ t , ... , x , t ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{1},\phi ^{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t)=\sum _{i}{\dot {\phi }}^{i}\pi _{i}-{\mathcal {L}}(\phi ^{1},\phi ^{2},\ldots ,\nabla \phi ^{1},\nabla \phi ^{2},\ldots ,\partial \phi ^{1}/\partial t,\partial \phi ^{2}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t).
が通常の偏導関数の代わりに使用される。「 · 」はドット積である。テンソル添字表記法(英語版)(総和規約を含む)では、これは
δ δ φ i = ∂ ∂ φ i − ∂ μ ∂ ∂ ( ∂ μ φ i ) {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \phi ^{i}}}={\frac {\partial }{\partial \phi ^{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\phi ^{i})}}}
と表される。ここで ∂μは4勾配(英語版)である。