義務論理
よって上の四つの式の集合は矛盾していることが分かる。よって、上の四つの命題がすべて成り立っているような状況は、論理的にありえない状況であるということになる。これは先の直観と相容れない。
二番目の文を g → O t {\displaystyle g\to Ot} と表現すれば、論理的矛盾の発生は回避することができる。しかしこうすると、今度は別の問題が生ずる。 g → O t {\displaystyle g\to Ot} は、 ¬ g {\displaystyle \lnot g} であることから論理的に帰結する。よって、「ジョーンズは、隣人を助けに行くのであれば、助けに行くことを隣人に伝えるべきである」という義務は、「ジョーンズは隣人を助けに行かない」という事実から論理的に導けることになる。これはこれで直観に反する。
三番目の文を O ( ¬ g → ¬ t ) {\displaystyle O(\lnot g\to \lnot t)} と表現することによっても、論理的矛盾の発生は回避できる。しかし、これも同様の問題を発生させる。すなわち、今度は「ジョーンズは隣人を助けに行くべきである」という義務から「ジョーンズが隣人を助けに行かないのであれば、ジョーンズは助けに行くことを隣人に伝えるべきではない」という義務が論理的に導けることになってしまうのである。
インドのミーマーンサー学派の哲学者や古代ギリシアの哲学者は、義務的概念の形式論理的関係に注目していた。また、後期中世哲学では、義務的概念と真理的概念を比較している。ゴットフリート・ライプニッツは自著 Elementa juris naturalis において、licitum、illicitum、debitum、indifferens の間の論理関係がそれぞれ、possible、impossible、necessarium、contingens の間の論理関係に対応していると記している。
最初の妥当と思われる義務論理はゲオルク・ヘンリク・フォン・ウリクトが論文 Deontic Logic として発表したものである。フォン・ウリクトは deontic という言葉を英語で初めて義務論理を指す言葉として使った。Mally の論文はドイツ語で Deontik という言葉を使っていた(1926年)。フォン・ウリクトの論文以降、多くの哲学者や計算機科学者がその研究をしたり、義務論理体系を構築するようになった。とはいうものの、義務論理は論理学の中でも議論が多く、共通認識が形成されていない領域の1つである。
1951年のフォン・ウリクトの論理体系は、命題論理に様相論理学を取り入れたものだった。1964年、フォン・ウリクトは A New System of Deontic Logic を著し、そこでは命題論理への回帰が見られ、Mally の論理体系に非常に近くなっている。フォン・ウリクトが規範的推論のために可能性と必然性の様相論理を採用したことは、ライプニッツへの回帰であった。