冪集合
集合 S {\displaystyle S} の冪集合は、冪を表す power からとって、通常は
P ( S ) , P ( S ) , p o w ( S ) , P o w e r ( S ) , Π ( S ) , P ( S ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(S),\ {\mathcal {P}}(S),\ {\mathfrak {pow}}(S),\ \mathrm {Power} (S),\ \Pi (S),\;\mathbb {P} (S)} , ℘(S), 2
などのように記される。2 という表記は、一般に X が Y から X への写像全体の集合を表すことによる(後述)。
集合 S が与えられたとき、S のすべての部分集合からなる集合
P ( S ) := { A : a set ∣ A ⊆ S } {\displaystyle {\mathfrak {P}}(S):=\{A\colon {\mbox{a set}}\mid A\subseteq S\}}
を S の冪集合と呼ぶ。例えば
P ( ∅ ) = { ∅ } {\displaystyle {\mathfrak {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}}
P ( { a } ) = { ∅ , { a } } {\displaystyle {\mathfrak {P}}(\{a\})=\{\varnothing ,\{a\}\}}
P ( { x , y } ) = { ∅ , { x } , { y } , { x , y } } {\displaystyle {\mathfrak {P}}(\{x,y\})=\{\varnothing ,\{x\},\{y\},\{x,y\}\}}