ウィルソン素数
ウィルソンの定理はより一般に、任意の整数 n ≥ 1 と素数 p ≥ n に対し
( n − 1 ) ! ( p − n ) ! ≡ ( − 1 ) n ( mod p ) {\displaystyle (n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ ({\bmod {p}})}
と表現できる( p − n + k ≡ ( − 1 ) ( n − k ) ( mod p ) {\displaystyle p-n+k\equiv (-1)(n-k)\ ({\bmod {p}})} だから)。オーダー n の一般化ウィルソン素数(generalized Wilson prime of order n)とは p が(n − 1)!(p − n)! − (− 1) を割り切るような素数 p のことである。
任意の自然数 n に対し、オーダー n の一般化ウィルソン素数は無限に存在すると予想されている。
オーダー n の一般化ウィルソン素数の最小値を順に並べた数列は以下のとおりである。この次の項(n = 8)の値は 1.4×10 よりも大きいことが分かっている。
5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... (A128666)