スツルムの定理
上の条件を満足するスツルム列の一つとして、多項式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} とその微分 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} について
f 0 ( x ) = f ( x ) {\displaystyle f_{0}(x)=f(x)}
f 1 ( x ) = f ′ ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)=f'(x)}
とおき、これにユークリッドの互除法を適用することで得られる多項式列がある:
f 0 ( x ) = g 1 ( x ) f 1 ( x ) − f 2 ( x ) f 1 ( x ) = g 2 ( x ) f 2 ( x ) − f 3 ( x ) f 2 ( x ) = g 3 ( x ) f 3 ( x ) − f 4 ( x ) ⋮ f l − 1 ( x ) = g l ( x ) f l ( x ) {\displaystyle {\begin{matrix}f_{0}(x)&=&g_{1}(x)f_{1}(x)-f_{2}(x)\\f_{1}(x)&=&g_{2}(x)f_{2}(x)-f_{3}(x)\\f_{2}(x)&=&g_{3}(x)f_{3}(x)-f_{4}(x)\\&\vdots &\\f_{l-1}(x)&=&g_{l}(x)f_{l}(x)~~~~~~~~~~\\\end{matrix}}}