弦の場の理論
弦の場の理論(げんのばのりろん、英語: String Field Theory)とは、相対論的な弦の力学が場の量子論の言葉で再定式化されるような弦理論の定式化である。弦のプロパゲーター (propagator) のように、ファインマン・ダイアグラムを拡張することで、弦の散乱振幅を弦の結合と分岐の頂点の様子として見ることにより、この定式化は摂動論のレベルで完成している。大半の弦理論では、自由弦と加えられた相互作用項を第二量子化することにより得られる古典的作用に、この定式化がエンコードされている。普通の(場の理論の)第二量子化の場合と同様に、その定式化の古典場の構成は、元々の理論の波動函数により与えられる。このことは、弦の場の理論の場合も 弦の場 と呼ばれる古典的構成が、自由弦の作るフォック空間の元で与えられることを意味する。
定式化の主要な有利点は、オフシェル(off-shell)の確率振幅の計算が可能なことであり、古典的作用が有効なときには、弦の散乱の標準的な種数による方法からは、直接見ることのできない非摂動的な情報をもたらすことである。特に、アショク・セン(英語版)(Ashoke Sen)の仕事 に従うと、不安定なDブレーン(D-brane)上のタキオン凝縮(英語版)(tachyon condensation)の研究に有益である。
ワールドシートの弦理論の言葉では、 T ( p ) {\displaystyle T(p)} , A μ ( p ) {\displaystyle A_{\mu }(p)} と χ ( p ) {\displaystyle \chi (p)} が、弦の振幅が様々な状態の中にあることを表現する。第二量子化の後では、それらは、タキオン(tachyon) T {\displaystyle T} 、ゲージ場 A μ {\displaystyle A_{\mu }} 、ゴースト場 χ {\displaystyle \chi } を表す古典場として、替わりに解釈される。
ワールドシートの弦理論では、フォック空間の非物理的な元は、条件 Q B | Ψ ⟩ = 0 {\displaystyle Q_{B}|\Psi \rangle =0} を導入することにより、等価関係 | Ψ ⟩ ∼ | Ψ ⟩ + Q B | Λ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle \sim |\Psi \rangle +Q_{B}|\Lambda \rangle } と同様に消去される。第二量子化の後では、等価関係はゲージ不変性として解釈される。一方、 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } が物理的であるという条件は、運動方程式と解釈される。物理的な場はゴースト数 1 であるので、弦の場 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } がフォック空間のゴースト数 1 の元であることも前提としている。
ボゾン的な開弦の場合は、適当な対称性と運動方程式を持つゲージ固定された作用が元々アンドレ・ヌボー(英語版)(André Neveu)、ヘルマン・ニコライ(ドイツ語版)(Hermann Nicolai)、ピーター・ウェスト(Peter C.
運動方程式は、次の方程式で与えられる。(この方程式を一部の学会ではクロイター方程式(Kroyter equation)と呼ぶこともある。)
Q B Ψ + Ψ ∗ Ψ = 0 {\displaystyle Q_{B}\Psi +\Psi *\Psi =0\left.\right.}
弦の場 Ψ {\displaystyle \Psi } は通常の古典場の無限個の集りであるので、これらの方程式は非線型な微分方程式の無限個の集りを表す。(これらの方程式の)解を探すには、2つの方法がある。
ひとつは数値的な方法で、弦の場を消去し、単に固定された値よりも小さな質量を持つ場を意味するとする、「レベル消去(level truncation)」として知られている過程である。 これは運動方程式を有限個の結合された微分方程式とする過程で、多くの解の発見へつながった。
第二の方法は、マルチン・シュナーベル(Martin Schnabl)の仕事により、*-積とBRST作用素による作用の下での単純な振る舞いを持つように仮設を注意深く取り込むことで、解析的な解を得ることができるという方法である。この方法は、タキオン真空解と同様に、臨界での変形を表す解として得られることを導いた。
West)により得られている。これは、
S free open ( Ψ ) = 1 2 ⟨ Ψ | Q B | Ψ ⟩ , {\displaystyle S_{\text{free open}}(\Psi )={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |Q_{B}|\Psi \rangle \ ,}
により与えられ、 ⟨ Ψ | {\displaystyle \langle \Psi |} は | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } のBPZ-双対である。
ボゾン的な閉弦に対するBRST-不変な力学項の構成は、さらに ( L 0 − L ~ 0 ) | Ψ ⟩ = 0 {\displaystyle (L_{0}-{\tilde {L}}_{0})|\Psi \rangle =0} と ( b 0 − b ~ 0 ) | Ψ ⟩ = 0 {\displaystyle (b_{0}-{\tilde {b}}_{0})|\Psi \rangle =0} という条件を加えることが必要である。従って、力学項は、
S free closed = 1 2 ⟨ Ψ | ( c 0 − c ~ 0 ) Q B | Ψ ⟩ . {\displaystyle S_{\text{free closed}}={\tfrac {1}{2}}\langle \Psi |(c_{0}-{\tilde {c}}_{0})Q_{B}|\Psi \rangle \ .}
となる。
さらに考える必要のあることは、超弦をスーパーゴーストがゼロモードであるとして扱うことである。