線型微分方程式
各成分が変数 x の(適当な階数の)可微分関数である n 次元縦ベクトル y(x), m 次元縦ベクトル b(x) および m × n 行列 A(x) に対し、
d y d x = A ( x ) y + b {\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=A(x)\mathbf {y} +\mathbf {b} }
で定義される微分方程式系を、A(x) を係数行列 (coefficient matrix) とする 1 階連立型線型微分方程式などと呼ぶ。 b(x) = 0 (for all x) である場合、方程式は斉次であるといい、
d y d x = A ( x ) y {\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=A(x)\mathbf {y} }
を元の方程式に属する斉次方程式という。右辺の A(x)y は y に関して線型性を持つ。
A ( x ) ( y 1 ( x ) + y 2 ( x ) ) = A ( x ) y 1 ( x ) + A ( x ) y 2 ( x ) , A ( x ) λ y ( x ) = λ A ( x ) y ( x ) .