有限射
可換環の準同型 A → B に対し、B が A 代数として有限生成であるとき、B は 有限型(finite type)の A 代数と呼ばれる。B が A 加群として有限生成であるとき、B は 有限(finite )A 代数と呼ばれるが、これは有限型であることよりも遥かに強い条件である。例えば、可換環 A と自然数 n に対して、多項式環 A[x1, ..., xn] は有限型の A 代数であるが、有限 A 加群となるのは A = 0 か n = 0 のときだけである。有限型ではあるが有限ではない射のもう1つの例は C [ t ] → C [ t ] [ x , y ] / ( y 2 − x 3 − t ) {\displaystyle \mathbb {C} [t]\to \mathbb {C} [t][x,y]/(y^{2}-x^{3}-t)} である。
スキーム論でこれに対応するものは次の通り。
例えば、任意の体 k に対して Spec ( k [ t , x ] / ( x n − t ) ) → Spec ( k [ t ] ) {\displaystyle {\text{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Spec}}(k[t])} は有限射である。これは、 k [ t ] {\displaystyle k[t]} 加群としての同型 k [ t , x ] / ( x n − t ) ≅ k [ t ] ⊕ k [ t ] ⋅ x ⊕ ⋯ ⊕ k [ t ] ⋅ x n − 1 {\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}} があることから分かる。幾何的には、これは原点で退化するアフィン直線の分岐 n 重被覆なので、有限であることは明らかである。一方、包含による A − 0 から A への射は有限ではない。ローラン多項式環 k[y, y] は k[y] 上の有限生成加群ではないからである。有限射を幾何的に捉えるならば、有限ファイバーを持つ全射を思い描かなければならない。