ジョンの方程式
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このような函数は、次のジョンの方程式によって特徴付けられる:
∂ 2 u ∂ x i ∂ y j − ∂ 2 u ∂ y i ∂ x j = 0. {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial y_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y_{i}\partial x_{j}}}=0.}
この式は三次元についてはフリッツ・ジョン(英語版)、高次元については Kurusa によって示された。
三次元のX線コンピュータ断層撮影において、ジョンの方程式は失われたデータを埋めるために用いられる。例えば、螺旋のような曲線を横切る点源によってそのようなデータは得られる。
より一般に、超双曲型偏微分方程式(リヒャルト・クーラントによる語)は、次の形式の二階偏微分方程式である。