弱位相
上記の無限和に極限が存在する事から、 lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} である。
以上の事から任意のα ∈ Hに対し、
α ( φ n ) = ⟨ φ n , ψ ⟩ = ⟨ φ n , s-lim m → ∞ ∑ k = − m m a k φ k ⟩ = lim m → ∞ ⟨ φ n , ∑ k = − m m a k φ k ⟩ = a n {\displaystyle \alpha (\varphi _{n})=\langle \varphi _{n},\psi \rangle =\langle \varphi _{n},{\underset {m\to \infty }{\text{s-lim}}}\sum _{k=-m}^{m}a_{k}\varphi _{k}\rangle =\lim _{m\to \infty }\langle \varphi _{n},\sum _{k=-m}^{m}a_{k}\varphi _{k}\rangle =a_{n}}
であるので、n → ∞のとき、
α ( φ n ) = a n → 0 {\displaystyle \alpha (\varphi _{n})=a_{n}\to 0}
となり、
w-lim n → ∞ φ n = 0 {\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\text{w-lim}}}\varphi _{n}=0}
が成立する。