ラドン測度
X 上の(正値)ラドン測度全体の成す点付き錐 M+(X) には、二つの測度 m1, m2 の間のラドン距離 ρ を
ρ ( m 1 , m 2 ) := sup f ∫ X f d ( m 1 − m 2 ) {\displaystyle \rho (m_{1},m_{2}):=\sup _{f}\int _{X}f\,d(m_{1}-m_{2})}
で定義することにより、完備距離空間の構造を与えることができる。ただし、sup は f: X → [−1, 1](⊂ R) なる連続関数 f の全てに亘ってとる。この距離にはいくつか制約があり、例えば X 上の確率ラドン測度全体の成す空間
P ( X ) := { m ∈ M + ( X ) ∣ m ( X ) = 1 } {\displaystyle \mathbf {P} (X):=\{m\in \mathbf {M} _{+}(X)\mid m(X)=1\}}
はラドン距離に関して点列コンパクトにならない(つまり、確率測度の任意の列がラドン距離に関して収束する部分列を持つことは保証されない)。これはある種の応用において障害となる。他方、X がコンパクト距離空間ならば、P(X) はワッサースタイン距離に関してコンパクト距離空間となる。
ラドン距離に関する収束は測度の弱収束(英語版)
ρ ( m n , m ) → 0 ⟹ m n ⇀ m {\displaystyle \rho (m_{n},m)\to 0\implies m_{n}\rightharpoonup m}
を含意するが、逆は一般には成り立たない。ラドン距離に関する測度の収束を、弱収束に対照するものという意味で強収束と呼ぶことがある。
局所コンパクト空間上の測度論を関数解析の観点から完全に構築するには、測度(積分)をコンパクト台付き連続関数から拡張する必要がある。これにはいくつかの段階を踏んで、任意の実または複素数値関数に対して拡張を行う。
下半連続正値(実数値)関数 g の上積分 μ*(g) を、h ≤ g なるコンパクト台付き連続関数 h に対する正の数 μ(h) の上限(無限大となる場合を許す)として定義する。
任意の正値(実数値)関数 f に対する上積分 μ*(f) を g ≥ f なる下半連続関数 g の上積分 μ*(g) の下限として定義する。
ベクトル空間 F = F(X, μ) を X 上の関数 f でその絶対値の上積分 μ*(|f|) が有限となるようなもの全体の成す空間として定義する。絶対値の上積分は F 上の半ノルムを定め、その半ノルムの誘導する位相に関して F は完備空間になる。
可積分関数全体の成す空間 L(X, μ) をコンパクト台付き連続関数全体の成す空間の F の中での閉包として定義する。