一階述語論理
{ ∀ x [ P ( x ) ⇒ Q ( x ) ] , P ( a ) } {\displaystyle \{\forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\,,\,P(a)\}}
の論理的帰結 (logical consequence) であるという事実に反映される。一般に、論理式 φ {\displaystyle \phi } ; が論理式の可算集合 Σ {\displaystyle \Sigma } ; の論理的帰結であるとは、 Σ {\displaystyle \Sigma } ; の論理式のすべてをみたす解釈は必ず φ {\displaystyle \phi } ; もみたすこととして定義され、これは、あるいくつかの前提からある結論が論理的に導かれるという概念の数学的な定式化である。
命題論理においては、論理式の解釈は各命題記号に対する真理値 0 , 1 の割り当てが与えられた。これに対して、一階述語論理の論理式の解釈は構造 (structure) と呼ばれ、これは領域 (universe, domain) と呼ぶ空でない集合と、それぞれの非論理記号(述語記号・関数記号・定数記号)の "意味" の割り当てからなる。領域とは「すべての x {\displaystyle x} について」といったときの x {\displaystyle x} が動きうる値の範囲である。一階述語論理の論理式は構造を一つ与えることによって真偽が決定される。
二階述語論理(およびそれ以上の高階述語論理)では、述語および関数に対する量化を導入する。