生成消滅演算子
量子論における場は、演算子で表される。相互作用が無い場合などでは、場の演算子が従うべき方程式を(フーリエ展開などで)解くことができる。その結果、場が粒子の生成消滅演算子で表されることがわかり、多体系と見なすことができる(ただし相互作用がある場合には、一般に生成消滅演算子を導入できるとは限らない。したがって場が第一義的な基本量であり、ハミルトニアン等の物理量も場を使って書き表す。)
多体系や場の量子論における生成消滅演算子は、ボース粒子とフェルミ粒子で定義が異なる。 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を1粒子ヒルベルト空間とする。 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のすべての f {\displaystyle f\ } における a ^ ( f ) {\displaystyle {\hat {a}}(f)\ } によって得られる代数に注目する。
ボース粒子での生成消滅演算子は、交換関係を用いて以下のように定義される。
[ a ( f ) , a ( g ) ] = [ a † ( f ) , a † ( g ) ] = 0 {\displaystyle [a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0}