グロモフ・ハウスドルフ収束
関係 R ⊆ X ×Y が
(x0 , y0) , (x1 , y1) ∈ R ⇒ | d(x0 , x1) - d(y0 , y1) | ≤ ε
πX (R) = X , πY (R) = Y
を満たすとき全域的なε-関係という。これを使うと、DH(X , Y ) を以下のように定義できる。
D H ( X , Y ) := 1 2 inf { ε > 0 : {\displaystyle D_{\rm {H}}(X,Y):={\frac {1}{2}}\inf\{\epsilon >0:} 全域的なε-関係 R ⊆ X × Y {\displaystyle R\subseteq X\times Y} が存在。 } {\displaystyle \}}
このふたつの DH(X , Y ) は一致する。グロモフ・ハウスドルフ距離は距離空間の間の拡張擬距離になる。
さらに Y を距離空間 X の完備化としたとき、DH(X , Y ) = 0 が成り立つのでグロモフ・ハウスドルフ距離は有界な完備距離空間の間の距離となる。
以下空間は完備距離空間のみ考える。
数学においてグロモフ・ハウスドルフ距離(英: Gromov-Hausdorff distance)とは、デビット・エドワードによって1970年代によって導入された形状に関する差だけ取り出し、距離空間の間の差を測る距離である。後にミハイル・グロモフによって再発見された。 グロモフ・ハウスドルフ距離によって定義される収束がグロモフ・ハウスドルフ収束である。