サンプリング周波数変換
矩形関数(Rectangular function) G(w) :
G ( w ) = { 1 , | w | < b 0 , | w | > b {\displaystyle G(w)={\begin{cases}1,&|w|<b\\0,&|w|>b\end{cases}}}
g ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ G ( w ) e i w t d w = 1 2 π i t 2 i sin  ( b t ) = 2 π sin  ( b t ) t {\displaystyle g(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }G(w)\ e^{iwt}dw={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}it}}2i\sin(bt)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sin(bt)}{t}}}
考え方としては、f(t)は、f[n]のような離散的で飛び飛びの場所しかデータがないが、sinc 関数であるところの g(t)は連続関数なので、あらゆる時刻 t の関数値を読み出すことが出来る。だから、f[n]とg(t)の畳み込み積分で、f[n]には存在していない場所のデータまで補完したかのようにデータを読み出すことが出来るようになる。それを利用すれば、上方サンプリング変換でも、下方サンプリング変換でも同様の考え方で処理できる。