トリリウムの定理
半直線ABと傍接円との接点をHとする。
まず ∠BAP=∠CAP より PB=PC である。
次に
∠IBP=∠IBC+∠CBP=∠IBC+∠CAP=∠IBA+∠IAB=∠BIP
つまり ∠IBP=∠BIP
よって△PBIは二等辺三角形であり PB=PI である。
以上から PB=PI=PC である。
また
∠JBI=∠IBC+∠JBC=1/2∠ABC+1/2∠CBH=1/2(∠ABC+∠BCA+∠CAB)=90°
つまり ∠JBI=90°
いま直角三角形JBIにおいて斜辺IJ上に点Pがあることと PB=PI が分かっている。このとき
∠PJB=90°-∠BIP=90°-∠IBP=∠PBJ
より△PBJは二等辺三角形であり PB=PJ である。
以上から PB=PI=PC=PJ である。
これが示されるべきことであった(Q.E.D.)。