ヒルベルト–ポワンカレ級数
K を体とし、V = ⊕i ∈ N Vi を N で次数付けられたK 上のベクトル空間とし、次数 n のベクトルからなる各部分空間 Vi は有限次元であるとする。このとき V のヒルベルト–ポワンカレ級数は、形式的冪級数
∑ i ∈ N dim K  ( V i ) t i {\displaystyle \sum _{i\in \mathbf {N} }\dim _{K}(V_{i})\,t^{i}}
である。同様に、任意の可換環 R 上の N で次数付けられた加群であって、各次数 n の斉次元からなる各部分加群が有限階数の自由加群であるものに対して定義することができる。つまり、次元を階数で置き換えるだけで十分である。ヒルベルト–ポワンカレ級数を考えている次数付きベクトル空間や加群は、しばしば付加的な構造、たとえば環の構造、をもっているが、ヒルベルト–ポワンカレ級数は乗法や他の構造とは独立である。
例: 変数が X0, ..., Xn の k 次単項式は(例えば帰納法で) ( n + k n ) {\displaystyle {\binom {n+k}{n}}} 個あるので、負の二項係数からK[X0, X1, ..., Xn] のヒルベルト–ポワンカレ級数は (1 − t) であることが直ちに従う。