2状態系
と求めることができる。|1⟩, |2⟩ と 上記の |I⟩, |II⟩ はユニタリ変換で結ばれており、 |I⟩, |II⟩ も正規直交性
⟨ a | b ⟩ = δ a b ( a , b = I , I I ) {\displaystyle \langle a|b\rangle =\delta _{ab}\quad (a,b=\mathrm {I} ,\mathrm {II} )}
と完全性
| I ⟩ ⟨ I | + | I I ⟩ ⟨ I I | = I ^ {\displaystyle |\mathrm {I} \rangle \langle \mathrm {I} |+|\mathrm {II} \rangle \langle \mathrm {II} |={\hat {I}}}
の条件を満たす基底である。また、|I⟩, |II⟩ は次の形で ˆH のスペクトル分解を与える。
H ^ = E I | I ⟩ ⟨ I | + E I I | I I ⟩ ⟨ I I | {\displaystyle {\hat {H}}=E_{\mathrm {I} }|\mathrm {I} \rangle \langle \mathrm {I} |+E_{\mathrm {II} }|\mathrm {II} \rangle \langle \mathrm {II} |}