エッジ検出
f ( x ) = I r − I l 2 ( erf  ( x 2 σ ) + 1 ) + I l {\displaystyle f(x)={\frac {I_{r}-I_{l}}{2}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)+1\right)+I_{l}}
エッジの左側では、輝度は I l = lim x → − ∞ f ( x ) {\displaystyle I_{l}=\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)} 、右側では I r = lim x → ∞ f ( x ) {\displaystyle I_{r}=\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)} となる。尺度パラメータ σ をエッジのぼやけ尺度と呼ぶ。
画像の輝度の勾配を見積もる方法はいくつもある。最も単純な方法は次のような中央差分の式で表される。
L x ( x , y ) = − 1 / 2 ⋅ L ( x − 1 , y ) + 0 ⋅ L ( x , y ) + 1 / 2 ⋅ L ( x + 1 , y ) {\displaystyle L_{x}(x,y)=-1/2\cdot L(x-1,y)+0\cdot L(x,y)+1/2\cdot L(x+1,y)\,}
L y ( x , y ) = − 1 / 2 ⋅ L ( x , y − 1 ) + 0 ⋅ L ( x , y ) + 1 / 2 ⋅ L ( x , y + 1 ) {\displaystyle L_{y}(x,y)=-1/2\cdot L(x,y-1)+0\cdot L(x,y)+1/2\cdot L(x,y+1)\,}
これは、次のようなフィルタで画像をマスクするのに相当する。
L x = [ − 1 / 2 0 1 / 2 ] ∗ L and L y = [ + 1 / 2 0 − 1 / 2 ] ∗ L {\displaystyle L_{x}={\begin{bmatrix}-1/2&0&1/2\end{bmatrix}}*L\quad {\mbox{and}}\quad L_{y}={\begin{bmatrix}+1/2\\0\\-1/2\end{bmatrix}}*L}