アーベル・ヤコビ写像
次の定理は、アーベル(Abel)により証明された。
D = ∑ i n i p i {\displaystyle D=\sum _{i}n_{i}p_{i}\ }
が因子であると仮定する(C の点の形式的線型結合であることを意味する)と、
u ( D ) = ∑ i n i u ( p i ) {\displaystyle u(D)=\sum _{i}n_{i}u(p_{i})\ }
と定義することができ、従って、因子上のアーベル・ヤコビ写像の値を言うことができる。この理論は、 D と E が 2つの有効な因子である、つまり、 n i {\displaystyle n_{i}} がすべて正の整数であると、
u ( D ) = u ( E ) {\displaystyle u(D)=u(E)\ }
であることと、 D {\displaystyle D} が E {\displaystyle E} が線型同値(英語版)(linearly equivalent)であることとは、同値である。このことは、アーベル・ヤコビ写像が、次数 0 の因子類群の空間からヤコビ多様体への(アーベル群の)単射写像を誘導することを意味する。ヤコビは、この写像が全射でもあることを証明し、従って 2つの群は自然に同型となることを証明した。
アーベル・ヤコビの定理は、コンパクト複素曲線(正則 1-形式の周期を modulo とする双対)のアルバネーゼ多様体は、そのヤコビ多様体(次数 0 の因子の同値類)と同型であることを意味している。高次元のコンパクト射影多様体について、アルバネーゼ多様体やピカール多様体は、双対であるが同型であるとは限らない。