記述集合論
記述集合論の多くの問題は究極的には順序数と基数に関する集合論的な性質に依存している。すなわち連続体仮説、巨大基数公理、構成可能性の公理などの集合論のoptionalな公理に依存する。この現象はとりわけ射影集合に対して顕著である。これらはポーランド空間 X {\displaystyle X} 上の射影階層を通して定義される:
集合が Σ 1 1 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{1}} とはそれが解析集合であることをいう。
集合が Π 1 1 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{1}^{1}} とはそれが補解析集合であることをいう。
集合 A {\displaystyle A} が Σ n + 1 1 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}} とは、ある X × X {\displaystyle X\times X} の Π n 1 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n}^{1}} 集合 B {\displaystyle B} に対して A {\displaystyle A} が B {\displaystyle B} の第1座標への射影であることをいう。
集合 A {\displaystyle A} が Π n + 1 1 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}} とは、ある X × X {\displaystyle X\times X} の Σ n 1 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{n}^{1}} 集合 B {\displaystyle B} に対して A {\displaystyle A} が B {\displaystyle B} の第1座標への射影であることをいう。
ポーランド空間のボレル集合はボレル階層に分類される。これは開集合から始めて可算和と補集合をいくつ適用して得られるかに基づく。この分類は可算順序数によって階層付けられる。任意のゼロでない可算順序数 α {\displaystyle \alpha } に対して Σ α 0 , {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0},} , Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} , Δ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}} なるクラスが次のように定義される。ここで各々は太字(boldface)で書かれ、細字(lightface)のものは別に定義される。
集合が Σ 1 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{1}^{0}} とはそれが開集合であることをいう。
集合が Π α 0 {\displaystyle \mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}} であるのは、その補集合が Σ α 0 {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}} のとき、かつそのときに限る。
記述集合論はポーランド空間とそのボレル集合の研究とともに始まった。
ポーランド空間は第二可算公理を満たす位相空間で完備距離化可能なものをいう。同じことだが、それは可分な完備距離空間で距離を忘却したものである。ポーランド空間の例としては次のものが含まれる:実数直線 R {\displaystyle \mathbb {R} } , ベール空間 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} , カントール空間 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} , ヒルベルト立方体 I N {\displaystyle I^{\mathbb {N} }}