量子回帰定理
ハミルトニアンの固有ベクトルの時間発展は、エネルギー準位から定まる周期をもつ周期関数であり、一般の状態ベクトルの時間発展はこれらの和として、表現される。P. BocchieriとA. Loingerは概周期関数の性質に基づき、初期状態の近くに回帰することを示した。
系のハミルトニアンをˆHとすると、状態ベクトルの時間発展は次のシュレディンガー方程式にしたがう
i ħ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ = H ^ | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }
ここで、離散準位Enをエネルギー固有値とする固有状態を|n〉と表すと、この解は
| ψ ( t ) ⟩ = ∑ n = 0 ∞ a n e − i ħ E n ( t − t 0 ) | n ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-{\frac {i}{\hbar }}E_{n}(t-t_{0})}|n\rangle }
∑ n = 0 ∞ | a n | 2 = 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}=1}
で与えられる。
このとき、時間tでの状態|ψ(t〉と初期状態|ψ(t0)〉の差のノルムを評価すると、
| | | ψ ( t ) ⟩ − | ψ ( t 0 ) ⟩ | | 2 = 2 ∑ n = 0 ∞ | a n | 2 ( 1 − cos  E n ħ ( t − t 0 ) ) {\displaystyle ||\,|\psi (t)\rangle -|\psi (t_{0})\rangle ||^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}\left(1-\cos {{\frac {E_{n}}{\hbar }}(t-t_{0})}\right)}
である。
ここで任意の正数ε > 0について、十分な大きなNをとれば、
2 ∑ n = N ∞ | a n | 2 ( 1 − cos  E n ħ ( t − t 0 ) ) < 4 ∑ n = N ∞ | a n | 2 < ε 2 2 {\displaystyle 2\sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|^{2}\left(1-\cos {{\frac {E_{n}}{\hbar }}(t-t_{0})}\right)<4\sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|^{2}<{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}
を満たす。
残る有限個の項については、概周期関数の理論より、
2 ∑ n = 0 N − 1 | a n | 2 ( 1 − cos  E n ħ ( T − t 0 ) ) < ε 2 2 {\displaystyle 2\sum _{n=0}^{N-1}|a_{n}|^{2}\left(1-\cos {{\frac {E_{n}}{\hbar }}(T-t_{0})}\right)<{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}
を満たす時間Tが存在することから、証明は完了する。
量子力学において、量子回帰定理(りょうしかいきていり、英: Quantum recurrence theorem)とは、量子状態の時間発展に関する定理。エネルギー固有状態として、離散準位のみをもつ量子系は時間発展により、初期状態のいくらでも近くに回帰することを主張する。古典力学におけるポアンカレの回帰定理の量子力学版に相当する。1957年にP. BocchieriとA. Loingerによって、示された。