スピノール
古典的な空間幾何学において、回転や超平面に関する鏡映の作用を受けることにより、ベクトルは決まった振る舞いを示す。しかし、回転と鏡映はある意味でベクトルに対するそれらの作用という言葉で表されるよりも詳細な幾何学的な情報を含む。スピノルは、この幾何学をより十分に取り込むために構成された対象である(方位のもつれ(英語版)を参照)。
スピノルの概念を捉えるために、本質的に2つの方法がある。
一つは群の表現によるものである。この視点では、先験的に直交群のリー代数の表現に普通のテンソル構成で得られない存在することが分っているものとする。これらの失われた表現は「スピン表現」、その構成要素はスピノルと呼ばれる。この視点において、スピノルは必ず回転群 SO(n, R) の、あるいはより一般に符号数が (p, q) である空間における不定符号特殊直交群(英語版) SO(p, q, R) の、二重被覆群の表現(の表現空間)に属さねばならない。これらの二重被覆は、スピン群 Spin(p, q) と呼ばれるリー群である。スピノル全ての性質、応用及び派生するものは、まずスピン群において明らかにされる。
もう一つは、幾何学的な見方である。スピノルは明示的に構成され、そのときの関連するリー群の作用の下でどのように振舞うか知ることができる。この後者のアプローチには、スピノルが何であるかということの具体的で初等的な記述を与えることができるという利点がある。しかしながら、このような記述は(フィエルツ恒等式のような)スピノルの込み入った性質が必要とされるときには手に余る。