リーマン面
S = C ∪ {∞} とおき、 z ∈ S ∖ { ∞ } {\displaystyle z\in S\setminus \{\infty \}} に対し f(z) = z とおき、 z ∈ S ∖ { 0 } {\displaystyle z\in S\setminus \{0\}} に対し g(z) = 1 / z とおき、1/∞ を 0 と定義する。すると、f と g は座標近傍で、互いに両立的であり、{ f, g } は S の座標近傍系をなし、S はリーマン面になる。
S = { ( z , w ) ∈ P ( C ) | z w − 1 = 0 } {\displaystyle S=\{\;(z,w)\in P(C)\;|\;zw-1=0\;\}}
この特別なリーマン面は、球面を複素平面で包んだと解することができるため、リーマン球面と言う。複素平面と異なり、リーマン球面はコンパクト空間である。
コンパクトなリーマン面の理論は、複素数上に定義される非特異な射影的代数曲線の理論と等価である。非コンパクトなリーマン面の重要な例は、解析接続により得られる。