自然数
自然数(しぜんすう、英: natural number)とは、個数もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。
自然数を 1, 2, 3, ... とする流儀と、0, 1, 2, 3, ... とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる(詳しくは#自然数の歴史と零の地位の節を参照)。日本では高校教育課程においては0を入れないが、大学以降では0を含めることも多い(より正確には、代数学では0を含め、解析学では除外することが多い)。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに前者を正整数、後者を非負整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。
数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。
なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数(例えば 3 や 18)を指して自然数ということもある。
集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
空集合を 0 と定義する。 0 := ∅ = { } . {\displaystyle 0:=\emptyset =\{\}.}
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。 s u c ( a ) := a ∪ { a } . {\displaystyle \mathrm {suc} (a):=a\cup \{a\}.}
0 を含み後者関数について閉じている集合のひとつを M とする。
自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である。
このように定義された集合 n は丁度(通常の意味で)n 個の元を含むことになる。また、これは有限順序数の構成であり、(通常の意味で)n ≤ m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。
以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。また、0 := {{}}, suc(a) := a ∪ {a} と定義したならば、
0 := {{}}
1 := {{}, 0} = {{}, {{}}}
2 := {{}, 0, 1} = {{}, {{}}, {{},{{}}} }
3 := {{}, 0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{},{{}}}, {{},{{}},{{},{{}}}} }
のような多少複雑な自然数になる。
しかし、ここでの 0 は数としての 0 ではなく、空の桁を表す目印に過ぎないものであった。
数としての 0 の概念は628年のインド人数学者ブラーマグプタによって見出され、現代の 0 の概念と近い計算法が考え出された。
19世紀、自然数の集合論的な定義がなされた。この定義によれば零を自然数に含める方がより便利である。集合論、論理学などの分野ではこの流儀に従うことが多い一方、数論などの分野では 0 を自然数には含めない流儀が好まれることが多い。どちらの流儀をとるにしろ、通常は著作あるいは論文毎に定義や注釈で明示される。とくに混乱を避けたい場合には、0 から始まる自然数を指すために非負整数、1 から始まる自然数を指すために正整数という用語を用いることもよくある。
計算機科学、特にプログラミングではよく 0, 1, 2, ... が使われるが、これは記憶装置(メモリー)の住所(アドレス)の相対位置を表すことが多く、相対位置としては 0, -1, -2, ... も処理の中で使われることから、自然数というよりは整数の範疇である。
19世紀のドイツの数学者レオポルト・クロネッカーが「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」という言葉を残し、正の整数が自然な数と考えた頃から、自然数という用語が定着したとされる。