捩れ (代数学)
R を(可換)主イデアル整域とし、M を有限生成 R-加群とすると、主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は、同型を除き加群 M の詳細な記述を与える。特に、この定理は、
M ≃ F ⊕ t ( M ) , {\displaystyle M\simeq F\oplus t(M),}
であることを言っている。ここに F は(M のみに依存する)有限な階数の自由 R-加群であり、 t(M) は M の捩れ部分加群である。系として、有限生成で捩れのない R 上の任意の加群は自由である。この系はより一般の可換整域に対しては成り立たず、2変数多項式環 R = K[x, y] に対してさえ成り立たない。有限生成でない加群に対しては、上の直和分解は正しくない。アーベル群の捩れ部分群はその直和因子になるとは限らない。
群 G の元 g は、有限位数を持つとき、つまり、正の整数が存在し、g = e となるようなとき、群の捩れ元 (torsion element) と呼ぶ。ここで e は群の単位元を、 g は m 個の g のコピーの積を表す。群は、すべての元が捩れ元であるとき、捩れ群 (torsion group)、あるいは周期群 (periodic group) といい、捩れ元が単位元のみ場合を捩れのない群 (torsion-free group) という。アーベル群 A の捩れ元全体 T は部分群をなし、捩れ部分群 (torsion-subgroup) と呼ばれる。このとき A/T は捩れのない群である。