スピン角運動量
[ L ^ y , L ^ z ] = ( i ħ ) 2 λ ∗ ( [ F y , F z ] ) = ( i ħ ) 2 λ ∗ ( F x ) = L ^ x {\displaystyle [{\hat {L}}_{y},{\hat {L}}_{z}]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{y},F_{z}])=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{x})={\hat {L}}_{x}}
[ L ^ z , L ^ x ] = ( i ħ ) 2 λ ∗ ( [ F z , F x ] ) = ( i ħ ) 2 λ ∗ ( F z ) = L ^ y {\displaystyle [{\hat {L}}_{z},{\hat {L}}_{x}]=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}([F_{z},F_{x}])=(i\hbar )^{2}\lambda _{*}(F_{z})={\hat {L}}_{y}}
が従う。
2つの軸に関する軌道角運動量演算子は、SO(3) のユニタリ表現 λ によって結ばれる。すなわち、R を回転行列で z 軸を w 軸に移すものとすると、w 軸の周りの軌道角運動量 L ^ w {\displaystyle {\hat {L}}_{w}} は合成写像
L ^ w = λ ( R ) L ^ z λ ( R ) − 1 {\displaystyle {\hat {L}}_{w}=\lambda (R){\hat {L}}_{z}\lambda (R)^{-1}}
である。
本節では、前節で定義したSpin(3)の既約ユニタリ表現Dを用いて、オブザーバブルを定義し、そのオブザーバブルの性質を調べる。
オブザーバブル
D u : S p i n ( 3 ) = S U ( 2 ) → W s {\displaystyle D^{u}~:~{\mathsf {Spin}}(3)={\mathsf {SU}}(2)\to W_{s}}
が誘導する写像
( D u ) ∗ : s p i n ( 3 ) = s u ( 2 ) → W u , {\displaystyle (D^{u})_{*}~:~{\mathsf {spin}}(3)={\mathsf {su}}(2)\to W_{u},} d  U ( t ) d  t | t = 0 ↦ d  D u ( U ( t ) ) d  t | t = 0 {\displaystyle \left.{\operatorname {d} U(t) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}\mapsto \left.{\operatorname {d} D^{u}(U(t)) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}}
と3次元空間の単位ベクトル n ∈ s p i n ( 3 ) ≃ R 3 {\displaystyle \mathbf {n} \in {\mathsf {spin}}(3)\simeq \mathbf {R} ^{3}} を用いてオブザーバブル
T ^ n = i ħ ( D u ) ∗ ( X n ) {\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {n} }=i\hbar (D^{u})_{*}(X_{\mathbf {n} })}
T ^ + ( E z , k ) = c ( k ) ⋅ S ( ∑ j = 1 2 u ( I ⊗ ⋯ ⊗ D + 1 / 2 ( X n ) ∨ j ⊗ ⋯ ⊗ I ) ( e n + ⊗ ⋯ ⊗ e n + ⏟ u + k ⊗ e n − ⊗ ⋯ ⊗ e n − ⏟ u − k ) {\displaystyle {\hat {T}}_{+}(E_{z,k})=c(k)\cdot {\mathcal {S}}(\sum _{j=1}^{2u}(I\otimes \cdots \otimes {\overset {\overset {j}{\vee }}{D_{+}^{1/2}(X_{\mathbf {n} })}}\otimes \cdots \otimes I)(\underbrace {e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{+}} _{u+k}\otimes \underbrace {e_{\mathbf {n} }^{-}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{-}} _{u-k})} = c ( k ) ⋅ S ( ( u − k ) ħ ⋅ e n + ⊗ ⋯ ⊗ e n + ⏟ u + k + 1 ⊗ e n − ⊗ ⋯ ⊗ e n − ⏟ u − k − 1 ) {\displaystyle =c(k)\cdot {\mathcal {S}}((u-k)\hbar \cdot \underbrace {e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{+}} _{u+k+1}\otimes \underbrace {e_{\mathbf {n} }^{-}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{-}} _{u-k-1})} = ( u − k ) ħ c ( k ) c ( k + 1 ) ⋅ E z , k + 1 {\displaystyle ={(u-k)\hbar c(k) \over c(k+1)}\cdot E_{z,k+1}} = ħ ( u − k ) ( u + k + 1 ) ⋅ E z , k + 1 {\displaystyle =\hbar {\sqrt {(u-k)(u+k+1)}}\cdot E_{z,k+1}} = ħ u ( u + 1 ) − k ( k + 1 ) ⋅ E z , k + 1 {\displaystyle =\hbar {\sqrt {u(u+1)-k(k+1)}}\cdot E_{z,k+1}}
T ^ − ( E z , k ) {\displaystyle {\hat {T}}_{-}(E_{z,k})} のケースも同様に証明できる。
が定義される。
複素計量ベクトル空間V上のユニタリ演算子全体のなす群をU(V)とするとき、回転行列 R に対し複素ベ クトル空間 L 2 ( R 3 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上のユニタリ演算子 λR を対応させる(連続準同型)写像
λ : R ∈ S O ( 3 ) ↦ λ ( R ) ∈ U ( L 2 ( R 3 ) ) {\displaystyle \lambda ~:~R\in \mathrm {SO} (3)\mapsto \lambda (R)\in \mathrm {U} (L^{2}(\mathbf {R} ^{3}))}
を SO(3) の L 2 ( R 3 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上のユニタリ表現という。
一方、SO(3) に対応する「無限小変換」全体の集合 so(3) を(G1)のように定義し、(G14)に従ってλが誘導する写像λ*を
λ ∗ : d  R ( t ) d  t | t = 0 ∈ s o ( 3 ) {\displaystyle \lambda _{*}~:~{\operatorname {d} R(t) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\in {\mathsf {so}}(3)} ↦ d  λ ( R ( t ) ) d  t | t = 0 ∈ { L 2 ( R 3 ) {\displaystyle \mapsto {\operatorname {d} \lambda (R(t)) \over \operatorname {d} t}{\Bigg |}_{t=0}\in \{L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上の歪エルミート演算子 } {\displaystyle \}}
、E2sは明らかに W 1 / 2 ⊙ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\odot 2u}} の基底となる。したがって W 1 / 2 ⊙ 2 u {\displaystyle W_{1/2}{}^{\odot 2u}} は2u+1次元である。
定義
Wuを
W u = W 1 / 2 ⊙ 2 u {\displaystyle W_{u}=W_{1/2}{}^{\odot 2u}} ...(M2)
と定義する。
Dの構成
U∈Spin(3)に対し、
( D 1 / 2 ) ⊗ 2 u ( U ) : W 1 / 2 ⊗ 2 u → W 1 / 2 ⊗ 2 u {\displaystyle (D^{1/2})^{\otimes 2u}(U)~:~W_{1/2}{}^{\otimes 2u}\to W_{1/2}{}^{\otimes 2u}}
を
∑ j φ j , 1 ⊗ ⋯ ⊗ φ j , 2 u {\displaystyle \sum _{j}\phi _{j,1}\otimes \cdots \otimes \phi _{j,2u}} ↦ ∑ j D 1 / 2 ( U ) ( φ j , 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ D 1 / 2 ( U ) ( φ j , 2 u ) {\displaystyle \mapsto \sum _{j}D^{1/2}(U)(\phi _{j,1})\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U)(\phi _{j,2u})}
本節では3次元スピン群Spin(3)=SU(2)のユニタリ表現について詳細に述べ、これを土台として軌道角運動量、スピン角運動量、およびそれらの和である全角運動量の性質を調べる。
と同一視する事で、スピンを考慮した波動関数の空間 H = L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} 上のオブザーバブルとみなす。(ここでidは恒等写像である)。
後述するように、スピン角運動量演算子は、Vs上のエルミート演算子として定式化できるが、これも同種の同一視により、 H = L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} 上のオブザーバブルとみなす。すなわち S ^ {\displaystyle {\hat {S}}} を(何らかの軸に関する)スピン角運動量とするとき、 S ^ {\displaystyle {\hat {S}}} は
i d ⊗ S ^ : L 2 ( R 3 ) ⊗ V s → L 2 ( R 3 ) ⊗ V s , {\displaystyle \mathrm {id} \otimes {\hat {S}}~:~L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}\to L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s},~~} ∑ j φ j ( x , y , z ) ⊗ σ j ↦ ∑ j φ j ( x , y , z ) ⊗ S ^ ( σ j ) {\displaystyle \sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\otimes \sigma _{j}\mapsto \sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\otimes {\hat {S}}(\sigma _{j})}
と同一視する。
スピンを考慮した波動関数 ψ ∈ H = L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} の表記には次の2通りが多用される。
成分表示
テンソル積の定義より、波動関数 ψ ∈ H = L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} は
ψ = ∑ j φ j ( x , y , z ) ⊗ σ j {\displaystyle \psi =\sum _{j}\phi _{j}(x,y,z)\otimes \sigma _{j}} ...(B1)
という形に成分表示できる。ここで φ j ( x , y , z ) {\displaystyle \phi _{j}(x,y,z)} はL(R)の元であり、σj は Vs の元すなわちスピノールである。そこで、
φ j ( x , y , z , σ ) := φ j ( x , y , z ) ⊗ σ {\displaystyle \varphi _{j}(x,y,z,\sigma ):=\phi _{j}(x,y,z)\otimes \sigma }
と定義すれば、
ψ = ∑ j φ j ( x , y , z , σ j ) {\displaystyle \psi =\sum _{j}\varphi _{j}(x,y,z,\sigma _{j})}
である。
交換関係
x軸(1,0,0)、y軸(0,1,0)、z軸(0,0,1)∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {R} ^{3}} を回転軸に持つスピン角運動量演算子を S ^ x , S ^ y , S ^ z {\displaystyle {\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}} とすると、
S ^ x = i ħ ( π s ) ∗ ( X 1 ) S ^ y = i ħ ( π s ) ∗ ( X 2 ) S ^ z = i ħ ( π s ) ∗ ( X 3 ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\hat {S}}_{x}&=&i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{1})\\{\hat {S}}_{y}&=&i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{2})\\{\hat {S}}_{z}&=&i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{3})\end{array}}}
となる。よって(G15)より、軌道角運動量と同様、以下の交換関係が成り立つ:
D ^ − 1 / 2 e − = ħ 2 ( 0 0 1 0 ) e − = 0 {\displaystyle {\hat {D}}_{-}^{1/2}e_{-}={\hbar \over 2}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}e_{-}=0}
なので、(N1)、(M1)、(P1)、(P2)より、