松原振動数
定義:
c η ( a , b ) ≡ − n η ( a + b ) − n η ( a − b ) 2 b . {\displaystyle c_{\eta }(a,b)\equiv -{\frac {n_{\eta }(a+b)-n_{\eta }(a-b)}{2b}}.}
ボソンとフェルミオンでは:
c B ( a , b ) ≡ c + ( a , b ) , {\displaystyle c_{B}(a,b)\equiv c_{+}(a,b),}
c F ( a , b ) ≡ c − ( a , b ) . {\displaystyle c_{F}(a,b)\equiv c_{-}(a,b).}
n B ( a + b ) − n B ( a − b ) = coth  β b 2 + n B ′ ′ ( b ) a 2 + ⋯ , {\displaystyle n_{B}(a+b)-n_{B}(a-b)=\operatorname {coth} {\frac {\beta b}{2}}+n_{B}^{\prime \prime }(b)a^{2}+\cdots ,}
n F ( a + b ) − n F ( a − b ) = − tanh  β b 2 + n F ′ ′ ( b ) a 2 + ⋯ . {\displaystyle n_{F}(a+b)-n_{F}(a-b)=-\operatorname {tanh} {\frac {\beta b}{2}}+n_{F}^{\prime \prime }(b)a^{2}+\cdots .}
虚時間区間(0,β)で定義される関数G(τ)を考える。 これはフーリエ級数の観点で与えられる。
G ( τ ) = 1 β ∑ i ω G ( i ω ) e − i ω τ , {\displaystyle G(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }G(i\omega )e^{-i\omega \tau },}
ここで振動数は 2π/β間隔の離散的な値のみとる。
振動数の選択は、関数G(τ)の境界条件に依存している。 物理学ではG(τ)はグリーン関数の虚時間表現を表す。
G ( τ ) = − ⟨ T τ ψ ( τ ) ψ ∗ ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle G(\tau )=-\langle {\mathcal {T}}_{\tau }\psi (\tau )\psi ^{*}(0)\rangle .}
これはボソン場の周期的境界条件G(τ+β)=G(τ)を満たす。 一方フェルミオン場では、境界条件は反周期的G(τ + β) = −G(τ)である。
振動数領域でのグリーン関数G(iω)が与えられたとき、その虚時間表現G(τ)は松原振動数の和によって評価できる。 その和がボソン振動数かフェルミオン振動数のどちらでとるかに依存して、得られるG(τ)は異なる。 これらを区別するため、次を定義する。
G η ( τ ) = { G B ( τ ) , if η = + 1 , G F ( τ ) , if η = − 1 , {\displaystyle G_{\eta }(\tau )={\begin{cases}G_{B}(\tau ),&{\text{if }}\eta =+1,\\G_{F}(\tau ),&{\text{if }}\eta =-1,\end{cases}}}
G B ( τ ) = 1 β ∑ i ω n G ( i ω n ) e − i ω n τ , {\displaystyle G_{B}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}G(i\omega _{n})e^{-i\omega _{n}\tau },}
G F ( τ ) = 1 β ∑ i ω m G ( i ω m ) e − i ω m τ . {\displaystyle G_{F}(\tau )={\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}G(i\omega _{m})e^{-i\omega _{m}\tau }.}
ここでτは区間(0,β)に制限されていることに注意。 境界条件は区間の外にG(τ)を拡張するために用いることができる。 よく用いられる結果を以下の表にまとめる。
ボソン振動数 z = i ω n {\displaystyle z=i\omega _{n}} の極を作るために、どちらの半平面で収束がコントロールされるかに依存して次の2つのタイプの松原重み関数を選ぶことができる。
h B ( 1 ) ( z ) = β 1 − e − β z = − β n B ( − z ) = β ( 1 + n B ( z ) ) {\displaystyle h_{B}^{(1)}(z)={\frac {\beta }{1-e^{-\beta z}}}=-\beta n_{B}(-z)=\beta (1+n_{B}(z))}
h B ( 2 ) ( z ) = − β 1 − e β z = β n B ( z ) {\displaystyle h_{B}^{(2)}(z)={\frac {-\beta }{1-e^{\beta z}}}=\beta n_{B}(z)}
h B ( 1 ) ( z ) {\displaystyle h_{B}^{(1)}(z)} は左半平面(Re z < 0)での収束をコントロールし、 h B ( 2 ) ( z ) {\displaystyle h_{B}^{(2)}(z)} は右半平面(Re z > 0)での収束をコントロールする。
Π ( i ω n ) = − 1 β ∑ i ω m 1 i ω m + i ω n − ε 1 − i ω m − ε ′ = 1 − n F ( ε ) − n F ( ε ′ ) i ω n − ε − ε ′ . {\displaystyle \Pi (i\omega _{n})=-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}{\frac {1}{i\omega _{m}+i\omega _{n}-\epsilon }}{\frac {1}{-i\omega _{m}-\epsilon '}}={\frac {1-n_{F}(\epsilon )-n_{F}\left(\epsilon '\right)}{i\omega _{n}-\epsilon -\epsilon '}}.}