二面体群
二面体群 Dn の自己同型群は、アフィン群
Aff  ( Z / n Z ) = { a x + b ∣ ( a , n ) = 1 } {\displaystyle \operatorname {Aff} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )=\{ax+b\mid (a,n)=1\}}
と同型であり、よってその位数は nφ(n) である。ただし、φ はオイラーのφ関数で、すなわち φ(n) とは 1, ..., n - 1 の中で n と互いに素なものの個数である。実際、Dn は 2π/n の回転 R とひとつの鏡映 S で生成されるから、自己同型は R と S の移る先を決めれば決定するが、R の移る先の候補は位数 n の回転が φ(n) 個あり、S の移る先の候補は n 個の鏡映である。
n が奇数の場合、中心は単位元のみから成るので、単位元以外の任意の元が非自明な内部自己同型を与え、内部自己同型群の位数は 2n である。一方、n が偶数の場合、180°の回転が自明でない中心の元であるから、内部自己同型群の位数は n である。
2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&S_{3}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}.\end{matrix}}}
一般に、Dn は