微分同相写像
特に、M の微分同相写像群のリー代数は M 上のすべてのベクトル場からなり、ベクトル場のリーブラケット(英語版)を備えている。幾分形式的に、これは空間の各点における座標 x に小さい変化を加えることによってわかる:
x μ → x μ + ε h μ ( x ) {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)}
なので無限小生成元はベクトル場である
L h = h μ ( x ) ∂ ∂ x μ . {\displaystyle L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}.}
連結多様体 M に対して微分同相写像群は M 上推移的に作用する。より一般に、微分同相写像群は configuration space CkM 上推移的に作用する。M の次元が少なくとも 2 であれば微分同相写像群は configuration space FkM 上推移的に作用する: M 上の作用は多重可移である (Banyaga 1997, p. 29)。
M = G がリー群のとき、left-translation を経由して G のそれ自身の微分同相写像群への自然な包含がある。Diff(G) で G の微分同相写像群を表すと、splitting Diff(G) ≃ G × Diff(G, e) が存在する、ただし Diff(G, e) は群の単位元を固定する Diff(G) の部分群である。
ユークリッド空間 R の微分同相写像群は2つの成分からなり、向きを保つのと向きを逆にする微分同相写像からなる。実は、一般線型群は写像 f(x) ↦ f(tx)/t, t ∈ (0,1] の下で原点を固定する微分同相写像の部分群 Diff(R, 0) の変位レトラクトである。したがってとくに一般線型群は diffeomorphism group 全体の変位レトラクトでもある。
点の有限集合に対して、微分同相写像群は単に対称群である。同様に、M が任意の多様体であれば群の拡大 0 → Diff0(M) → Diff(M) → Σ(π0(M)) が存在する。ここで Diff0(M) は M のすべての成分を保存する Diff(M) の部分群であり、Σ(π0(M)) は集合 π0(M) (M の成分)の置換群である。さらに、写像 Diff(M) → Σ(π0(M)) の像は微分同相写像類を保存する π0(M) の全単射である。
多様体に対して微分同相写像群は通常連結でない。その component group は写像類群(英語版)と呼ばれる。次元 2 において、すなわち曲面に対して、写像類群は有限表示群であり、Dehn twists によって生成される (Dehn, Lickorish, Hatcher) 。マックス・デーン (Max Dehn) と Jakob Nielsen はそれは曲面の基本群の外部自己同型群(英語版)と同一視できることを証明した。
ウィリアム・サーストン (William Thurston) は写像類群の元を分類することによって 3 つのタイプにこの解析を細分した: 周期的微分同相写像に同値なもの; 単純閉曲線を不変のままにする微分同相写像に同値なもの; pseudo-Anosov diffeomorphisms に同値なもの。トーラス S × S = R/Z の場合には、写像類群は単にモジュラー群 SL(2, Z) であり分類は楕円型、放物型、双曲型行列の言葉の古典的なものに帰着する。サーストンは写像類群はタイヒミュラー空間(英語版)のコンパクト化上に自然に作用することを観察することによって彼の分類を達成した; この大きくされた空間は閉球に同相であるから、ブラウアーの不動点定理が適用可能になる。
M が向き付けられた滑らかな閉多様体であれば、スメイルによって、向きを保つ微分同相写像の群の単位元成分(英語版)は単純であることが予想された。これはまず Michel Herman によって円の積に対して証明されていた; サーストンによって完全に一般的に証明された。