ランキン・セルバーグの方法
ある意味では、この理論はベルンハルト・リーマンまで遡る。彼はリーマンゼータ函数をヤコビのテータ函数のメリン変換として構成した。リーマンはテータ函数の漸近解析(英語版)(asymptotics)を使い、解析接続とテータ函数の保型性を得て、函数等式を証明した。エーリッヒ・ヘッケや後日のハンス・マース(英語版)(Hans Maass)は、同じメリン変換の方法を上半平面上のモジュラ形式へ応用した。これにより、リーマンの例は特別な例と見なすことができるようになった。
ロバート・アレクサンダー・ランキン(英語版)(Robert Alexander Rankin)とアトル・セルバーグ(Atle Selberg)は、独立に、それらの対合の L-函数を構成した。現在は、GL(2)の標準表現(英語版)(standard representation)に付随するラングランズ L-函数と考えられている。リーマンが行ったように、彼らは少し異なるタイプのモジュラ函数の積分を使う。
GL(n) 上の標準L-函数(ゴドマン(英語版)(Godement)–ジャケ(Jacquet))。この理論は、元々の論文の中で完全に解かれている。
GL(n) × GL(m) 上のテンソル積 L-函数(m = 1 であれば、標準 L-函数を含んでいる)、は、ジャケ(Jacquet), イリヤ・ピアテツキー=シャピロ(Ilya Piatetski-Shapiro), シャリカ(Shalika)による。この理論は、完全にモエグリン(Moeglin)とワルズプルガー(Waldspurger)により解決され、逆エンジニアリングにより「逆定理」が確立した。
GL(n) の対称二重積は志村五郎により解かれた。ゲルバート(Gelbart)–ジャケ(Jacquet)は (n = 2)の場合、ピャテツキー=シャピロ(Piatetski-Shapiro)とパターソン(Patterson)により (n = 3)の場合、バンプ(Bump)–ギンツバーグ(Ginzburg) (n > 3)の場合が解かれた。
GL(n) 上の外二重積は、ジャケ(Jacquet)–シャリカ(Shalika)とバンプ(Bump)–ギンツバーグ(Ginzburg)による。
GL(2) × GL(2) × GL(2) 上の三重積(Garrett, Harris, Ikeda, Piatetski-Shapiro, Rallis, Ramakrishnan, and Orloff).
GL(2) 上の対称三重積 (Bump–Ginzburg–Hoffstein)
GL(2) 上の対称四重積 (Ginzburg–Rallis)
E6 と E7 の標準L-函数 (Ginzburg)