ロッサーのからくり
加えて、論理式 Pvbl T  ( y ) {\displaystyle \operatorname {Pvbl} _{T}(y)} を ∃ x Proof T  ( x , y ) {\displaystyle \exists x\operatorname {Proof} _{T}(x,y)} と定義する。これは T {\displaystyle T} から証明可能な論理式の集合を定義することを意図している。
T {\displaystyle T} に課した仮定から、 y {\displaystyle y} が論理式 φ {\displaystyle \phi } のコードならば、 neg ( y ) {\displaystyle {\text{neg}}(y)} は論理式 ¬ φ {\displaystyle \neg \phi } のコードであるという性質を持つ論理否定関数 neg ( y ) {\displaystyle {\text{neg}}(y)} を定義できることも示せる。論理否定関数はどんな値であっても入力に取ることができる。入力が論理式のコードであるとは限らない。
理論 T {\displaystyle T} のゲーデル文 φ {\displaystyle \phi } ( G T {\displaystyle G_{T}} と表すこともある)は、 T {\displaystyle T} が φ {\displaystyle \phi } ↔ ¬ Pvbl T  ( # φ ) {\displaystyle \neg \operatorname {Pvbl} _{T}(\#\phi )} を証明できるような論理式である。ゲーデルの証明が示したことは以下の通りである。 T {\displaystyle T} が無矛盾ならば、 T {\displaystyle T} は自分自身のゲーデル文を証明できない。しかしゲーデル文の否定も証明できないことを示すためには、理論が単なる無矛盾ではなくω無矛盾であるという、より強い仮定を追加する必要がある。たとえば、理論 T = PA + ¬ G P A {\displaystyle T={\text{PA}}+\neg {\text{G}}_{PA}} (ここでPAはペアノ算術) は ¬ G T {\displaystyle \neg G_{T}} を証明する。ロッサー (1936) はゲーデルの証明に使われたゲーデル文を置き換えることができる異なる自己言及文を構築し、ω無矛盾性の仮定を取り除いた。