ファルティングスの定理
数論において、モーデル予想(英: Mordell conjecture)とは、Mordell (1922) で提示された予想であり、有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である。後にこの予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された。この予想は Gerd Faltings (1983) により証明されたため、ファルティングスの定理(英: Faltings' theorem)として知られている。
モーデル・ヴェイユの定理により、ファルテングスの定理はアーベル多様体 A の有限生成部分群 Γ を持つ曲線 C の交点理論についての主張として再定式化することができる。C を A の任意の部分多様体に置き換え、Γ を任意の A の有限ランクの部分群へ置き換えることで、モーデル・ラング予想(英語版)(Mordell–Lang conjecture)が導出される。
ファルテングスの定理の別の高次元への一般化は、ラング・ボンビエリ予想(英語版)(Bombieri–Lang conjecture)であり、X が数体 k 上の準標準多様体(英語版)(pseudo-canonical variety)(すなわち、一般型の多様体)であれば、X(k) は X でザリスキー稠密ではない。さらに一般的な予想がポール・ヴォイタ(英語版)(Paul Vojta)により提示されている。
函数体のモーデル予想は、Manin (1963) と Grauert (1965) により証明された。Coleman (1990) はマーニンの証明のギャップを見つけ修正した。