余接定理
第一公式
和の公式と余接定理より、
∴ a − b c = sin  ( α 2 − β 2 ) cos  ( γ 2 ) {\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}
第二公式
和の公式と余接定理より、
和積公式を適用して整理すれば、
b + a c = cos  ( α 2 − β 2 ) sin  ( γ 2 ) {\displaystyle {\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}
図のように a, b, c を3辺の長さ、A, B, C を各頂点とし、α, β, γ を各頂点に対応する角、半周長を s = a + b + c/2, r を内接円の半径とすると、以下の式が成立する。
cot  ( α 2 ) s − a = cot  ( β 2 ) s − b = cot  ( γ 2 ) s − c = 1 r {\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{s-a}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}{s-b}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{s-c}}={\frac {1}{r}}} (1)
また、r について、
r = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) s . {\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.} (2)