球面座標系
d x = e x d x + e y d y + e z d z = ( e x e y e z ) ( d x d y d z ) = ( e x e y e z ) ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) ( d r d θ d φ ) {\displaystyle {\begin{aligned}d{\boldsymbol {x}}&={\boldsymbol {e}}_{x}\,dx+{\boldsymbol {e}}_{y}\,dy+{\boldsymbol {e}}_{z}\,dz\\&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{x}&{\boldsymbol {e}}_{y}&{\boldsymbol {e}}_{z}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{x}&{\boldsymbol {e}}_{y}&{\boldsymbol {e}}_{z}\\\end{pmatrix}}{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}}{\begin{pmatrix}dr\\d\theta \\d\phi \\\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
となるので、具体的に
球面座標 (r,θ,φ) での位置ベクトル x の偏微分により
e r = ∂ x ∂ r , e θ = 1 r ∂ x ∂ θ , e φ = 1 r sin  θ ∂ x ∂ φ {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial r}},~{\boldsymbol {e}}_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial \theta }},~{\boldsymbol {e}}_{\phi }={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial \phi }}}
を定義する。 標準基底 ex , ey , ez を用いれば、位置ベクトルの微分は