局所可積分函数
定理 2 Ω を R の開部分集合とする。Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ に属するすべての函数 f は局所可積分である。
証明 p = 1 の場合は自明であるので省略し、以下では 1 < p ≤ +∞ を仮定して証明を続ける。Ω のあるコンパクトな部分集合 K に対し、その特性函数 χK を考える。このとき、p ≤ +∞ に対して
| ∫ Ω | χ K | q d x | 1 / q = | ∫ K d x | 1 / q = | μ ( K ) | 1 / q < + ∞ {\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|\mu (K)|^{1/q}<+\infty }
が成立する。ただし
q は、与えられた 1 ≤ p ≤ +∞ に対して 1/p + 1/q = 1 を満たすようなある正の数である。
μ(K) はコンパクト集合 K のルベーグ測度である。
このときヘルダーの不等式より、積 fχK は可積分である。すなわち、L1(Ω) に属すとともに、次を満たす。
∫ K | f | d x = ∫ Ω | f χ K | d x ≤ | ∫ Ω | f | p d x | 1 / p | ∫ K d x | 1 / q = ‖ f ‖ p | μ ( K ) | 1 / q < + ∞ .
定義 2. Ω をユークリッド空間 R 内のある開集合とする。このとき、各テスト函数 φ ∈ Cc (Ω) に対して
∫ Ω | f φ | d x < + ∞ {\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty }
を満たす函数 f : Ω → C は、局所可積分と呼ばれる。またそのような函数の集合は L1,loc(Ω) と記述される。ここで Cc (Ω) は、Ω に含まれるコンパクトな台を持つすべての無限回微分可能な函数 φ : Ω → R の集合を表す。
この定義の由来は、ニコラ・ブルバキとその学派によって発展された、ある位相ベクトル空間上の連続線型汎函数の概念に基づく測度と積分の理論にある。またこの定義は、Strichartz (2003) や Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 34) によって用いられた。この「超函数理論的な」定義は、前述の通常の定義と同値である。
↑ Maz'ya と Shaposhnikova はソボレフ空間 W(Ω) のある局所化されたものに対してのみ、陽的な定義を与えたことに注意されたい。しかしその本では、特に 44 ページで導入されている Lp,loc(Ω) のように、他のすべてのバナッハ空間の局所化されたものに対しても同様の手法が利用できると主張されている。
1 2 例えば (Vladimirov 2002, p. 3) や (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) を参照。
↑ 前節で注意されているように、この手法は Maz'ya & Shaposhnikova (2009) によって初等的な詳細については省かれながら採用された。
↑ 正確に言うと、それらは L1,loc(Ω) の部分ベクトル空間を形成する。Corollary 1 から Theorem 2 を参照。
↑ 例えば (Vladimirov 2002, p. 3) では書体 L が用いられている
↑ この内容については (Gilbarg & Trudinger 1998, p. 147) や (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5) を参照されたい。また簡単な注釈については (Maz'ja 1985, p. 6) や (Maz'ya 2011, p. 2) を参照されたい。