ケイリー・ハミルトンの定理
ケイリー・ハミルトンの定理により、一般の n次正則行列 A(つまり A の行列式は 0 でない)に対し、その逆行列 A は A の n − 1次以下の行列多項式で表せる。実際、
式 (∗) において、定数項を移項すると
− ( − 1 ) n det ( A ) I n = A ( A n − 1 + c n − 1 A n − 2 + ⋯ + c 1 I n ) {\displaystyle -(-1)^{n}\det(A)I_{n}=A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n})}
両辺に A を掛けると
A − 1 = ( − 1 ) n − 1 det A ( A n − 1 + c n − 1 A n − 2 + ⋯ + c 1 I n ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {(-1)^{n-1}}{\det A}}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n})}
を得る。
一般に、係数 ci を与える公式が、完全指数型ベル多項式によって
c n − k = ( − 1 ) k k ! B k ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 , ⋯ , ( − 1 ) k − 1 ( k − 1 ) ! s k ) {\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k})}
と与えられる。
ここでの主張において重要な点である「商と剰余が一意であること」を見るには、2通りの表示 PQ + r = PQ′ + r′ があったとしてそれを P(Q − Q′) = r′ − r の形に書けば十分である。実際、P はモニック(最高次係数 1)であるから P(Q − Q′) の次数は Q = Q′ でなければ P の次数より小さくはならない。
しかしここで用いた被除数 p(t)In も除数 Int − A もともに部分環 (R[A])[t] に属している(ここで R[A] は A の生成する行列環 M(n, R) の部分環、すなわち A のすべての冪によって R 上線型に張られる集合である)。したがって、実は上記の割り算は可換多項式環の中で実行できるものであり、もちろんこの小さい環においても同じ商 B と剰余 0 が与えられる。このことから特に B が実は (R[A])[t] に属すことが分かる。このように可換環部分環の中で考えれば、等式 p(t)In = (tIn − A)B において t を A とおくことは有効、すなわち評価写像
実例として 2次の場合を書けば、 perm  ( a b c d ) = a d + b c {\displaystyle \operatorname {perm} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad+bc} であるから、 q ( λ ) = perm  ( λ I 2 − A ) = λ 2 − ( a + d ) λ + ( a d + b c ) {\displaystyle q(\lambda )=\operatorname {perm} (\lambda I_{2}-A)=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad+bc)} であり、これに A を代入した
q ( A ) = A 2 − ( a + d ) A + ( a d + b c ) I 2 = ( 2 b c 0 0 2 b c ) {\displaystyle q(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad+bc)I_{2}={\begin{pmatrix}2bc&0\\0&2bc\end{pmatrix}}} は一般には零でない。
ケイリー・ハミルトンの定理の証明の中には、数以外を成分とする行列を用いて、あたかも error 式を用いた論法にある意味似た方法をとるものがあるが、その場合でも AIn は A と等しくなく、結論も異なる所へ到達する。