オイラー法
がある(帰納法による証明も可能である)。ここで、Cmax も定数である。固定された時間 t n = t 0 + n h {\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh} での局所誤差の上界はゆえに
‖ e n , h ‖ ≤ C m a x h λ ( e ( t n − t 0 ) λ − 1 ) {\displaystyle \|e_{n,h}\|\leq {\frac {C_{\mathrm {max} }h}{\lambda }}(e^{(t_{n}-t_{0})\lambda }-1)}
(ここで不等式 1 + x ≤ e x {\displaystyle 1+x\leq e^{x}} を使った)。上記式から h が 0 の極限で局所誤差も 0 に収束する。すなわち、オイラー法は収束である。 そのうえ、e のテイラー展開を用いて、 ‖ e n , h ‖ = O ( h 2 ) {\displaystyle \|e_{n,h}\|=O(h^{2})} であることも明らかになる。したがって、オイラー法は1次方法となる。
収束性を示したことで、方法が使えるようになる。しかし、収束性が保証できるのは、h が十分小さい場合、近似解が厳密解に収束することのみである。一体 h をどれだけ小さくすれば正しい近似解を得られるのかは一切伝えていない。