プラトー・レイリー不安定性
R ( r ) = C I 1 ( k r ) {\displaystyle R(r)=CI_{1}(kr)}
である。ここで、C は境界条件を適用することによって決定される定数である。
圧力は、以下のようになる。
P ( r ) = − ω ρ C k I 0 ( k r ) {\displaystyle P(r)=-{\frac {\omega \rho C}{k}}I_{0}(kr)}
ここで、修正ベッセル関数の性質 I '0 (ξ) = I1(ξ) を用いた。
境界条件を適用する。自由表面における運動論的境界条件は
∂ R ~ ∂ t ∼ u ~ r {\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {R}}}{\partial t}}\sim {\tilde {u}}_{r}}
であり、この条件を用いると
C = ε ω I 1 ( k R 0 ) {\displaystyle C={\frac {\varepsilon \omega }{I_{1}(kR_{0})}}}
が得られる。次に、自由表面における法線応力のつり合いを考えると
p 0 + p ~ = σ ∇ ⋅ u → {\displaystyle p_{0}+{\tilde {p}}=\sigma \nabla \cdot {\vec {u}}}
となる。
噴流表面の曲率半径を R1、R2 と書くと、σ∇⋅u→ = (1/R1 + 1/R2) で表される。ここで