多変数多項式
次数 d(零または正の整数)の斉次多項式は次数 d の単項式の線型結合である。零多項式は任意の次数 d に対する d-次の斉次多項式と考える。例えば二変数多項式 2X + XY – 5Y は次数 3 の斉次多項式だが、2X + XY – 5Y は斉次でない。全次数 d の任意の多項式 P は次数がそれぞれ 0, ..., d の斉次多項式 P0, ..., Pd の一意的な和に書ける。このとき各 Pi を P の次数 i の斉次成分と言う。先ほどの非斉次の例では、次数 3 の斉次成分は 2X – 5Y, 次数 5 の斉次成分は XY でそのほかの斉次成分は 0 である。斉次成分への分解を別の述べ方をすれば、A[X1, ..., Xn] は Ad[X1, ... , Xn] の加群の直和に書ける。ただし d は非負整数を亙り、また Ad[X1, ..., Xn] は次数 d の斉次多項式全体の成す A-部分加群とする。それぞれ次数 d, e の二つの斉次多項式の積が次数 d + e の斉次多項式であり、対して和がふたたび斉次となるのは d = e のときに限ることに注意する。
↑ Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions], p. 138-156.
↑ Algèbre commutative par Antoine Chambert-Loir, cours à l'université de Rennes 1 (2006–2007).
↑ Anneaux de polynômes en plusieurs variables par Patrick Polo, de l'université Pierre-et-Marie-Curie.