ヘルダーの不等式
∑ k = 1 ∞ | ∏ i = 1 n a k i | ≤ ∏ i = 1 n ( ∑ k = 1 ∞ | a k i | p i ) 1 / p i {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }\left|\prod \limits _{i=1}^{n}a_{ki}\right|\leq \prod \limits _{i=1}^{n}\left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }|a_{ki}|^{p_{i}}\right)^{1/{p_{i}}}}
が成り立つ。ただし、各 pi は正とする。
確率空間 (Ω, Σ, μ) 上の期待値を与える作用素を E とすると、確率変数 X, Y についてのヘルダーの不等式は
E | X Y | ≤ ( E | X | p ) 1 p ( E | Y | p ) 1 p {\displaystyle E|XY|\leq (E|X|^{p})^{\frac {1}{p}}(E|Y|^{p})^{\frac {1}{p}}}
となる。この特別な場合として、0 < r < s なる数について
E | X | r ≤ ( E | X | s ) r s {\displaystyle E|X|^{r}\leq (E|X|^{s})^{\frac {r}{s}}}
が成り立つ。これは p = s/r と確率変数 |X| と 1Ω について上の式を適用することによって得られる。
解析学におけるヘルダーの不等式(- ふとうしき、英: Hölder's inequality)とは、数列や可測関数の間に成り立つ最も基本的な不等式の一つであり、測度空間上のL空間の構造の解析などにしばしば用いられる。オットー・ヘルダーに因んでこの名前が付いている。歴史的には1888年にレオナルド・J・ロジャーズによって、さらにその翌年にヘルダーによって独立に発見された。