Particle-in-Cell法
多くの場合、取り扱う系には膨大な数の粒子が含まれており、実行不可能な計算量となってしまう。シミュレーションを効率的に行うために、いわゆる「超粒子 (super particle、または macro-particle)」が使用される。超粒子とは、多数の現実の粒子が集約された、計算上で扱う粒子の事である。例えばプラズマシミュレーションの場合、1つの超粒子は数百万の電子またはイオンに対応する。また、流体シミュレーションの場合、超粒子は渦要素などに対応する。ローレンツ力から受ける加速は電荷質量比のみに依存するため、たとえ超粒子の数をリスケーリングしたとしても、超粒子が現実の粒子と同じ軌跡を辿るようにする事が可能である。
超粒子に対応させる現実の粒子の数 (これを 超粒子の重み という) は、超粒子の運動について十分な統計を収集できるように決める必要がある。系内の異種粒子間 (例えばイオンと中性粒子の間) に大きな密度差がある場合、粒子種ごとに別々の重みを適用する場合もある。
Buneman、Dawson、Hockney、Birdsall、Morseらにより発明された古典的なPIC法は、多種の問題について直感的であり、かつ簡単に実装できるという長所を持つ。これらの長所があったために、特にプラズマシミュレーションにおける分野でPIC法が成功したと考えられている。古典的なPIC法には、通常、次の手順が含まれる。
運動方程式の積分
電荷と電流の、場の格子への分配
格子上での場の計算
格子から粒子の位置への場の内挿
平均場を介した粒子間相互作用のみを含むモデルは PM (Particle-Mesh) と呼ばれ、直接的な二体相互作用を含むモデルは PP (Particle-Particle) と呼ばれる。 また、それらの両方を含むモデルは PP-PM もしくは PM と呼ばれる。
PIC法は初期の頃から、いわゆる 離散粒子ノイズ による誤差の影響を受けやすい、と認識されてきた。 この誤差は本質的には離散粒子が持つ統計的性質に起因するものである。オイラー法やセミラグランジュ法などの従来の固定格子による手法と比べると、今でも理解が進んでいるとは言い難い。
現代の幾何学的PIC法のアルゴリズムは、非常に多くの理論的枠組みに基づいている。これらのアルゴリズムでは、離散多様体、微分形式の補間、正準または非正準のシンプレクティック数値積分法の手法を使用して、ゲージ不変性、電荷保存則、エネルギー-運動量保存則が保証されると同時に、さらに重要な粒子-場系の無限次元シンプレクティック構造も保証される。これらの優れている点は、幾何学的PIC法のアルゴリズムが場の理論の基本的な枠組みに基づいて構築されており、完全形式、つまり物理学の変分原理と直接結びついている事である。