ケーニヒの定理 (集合論)
{\displaystyle \kappa <cf(\lambda ^{\kappa }).\!}
μ = λ κ {\displaystyle \mu =\lambda ^{\kappa }\!} としよう。 この系の結論に反して、 κ ≥ c f ( μ ) {\displaystyle \kappa \geq cf(\mu )} であったとしよう。 先に挙げた系により、 μ < μ c f ( μ ) ≤ μ κ = ( λ κ ) κ = λ κ ⋅ κ = λ κ = μ {\displaystyle \mu <\mu ^{cf(\mu )}\leq \mu ^{\kappa }=(\lambda ^{\kappa })^{\kappa }=\lambda ^{\kappa \cdot \kappa }=\lambda ^{\kappa }=\mu } となり、これは矛盾である。よって、この系の結論は成立しなければならない。
各 i に対して fi(a) ≠ xi であるので、 g は和から積への単射である。
次に、和から積への関数 f が全射ではないことを示す。 関数 f に対し、カントールの対角線論法と同様の議論によって f の値になりえない 積の要素 e を構成する。I の各要素 i に対し、 Ai から Bi への関数 fi を fi ( a ) = (f ( a )) ( i ) で定義する。 仮定により fi は Ai から Bi への全射ではないので、I の各要素 i に対して、Bi の要素で fi の像に入らないものがある。 選択公理により、B の要素 e であって e ( i ) が fi の値にならないものが存在する。 もし f が全射ならば、ある Ai と Ai の要素 c があり f ( c ) = e を満たす。 しかし、fi ( c ) = e ( i ) となるので、これは e ( i ) の取り方に矛盾する。よって f は全射ではない。 よって、積の濃度は和の濃度より真に大きい。