多重線型代数
が成立している。したがって、dim SE や dim ∧E の母関数 σt (E ) = ∑ dim(SE )t や λt (E ) = ∑ dim(∧E )t について
σ t ( E ⊕ F ) = σ t ( E ) σ t ( F ) , λ t ( E ⊕ F ) = λ t ( E ) λ t ( F ) {\displaystyle \sigma _{t}(E\oplus F)=\sigma _{t}(E)\sigma _{t}(F),~\lambda _{t}(E\oplus F)=\lambda _{t}(E)\lambda _{t}(F)}
が成立している。ここから σt (K ) = 1 + t + t + ... = 1/(1 - t ) や λt (K ) = 1 + t から dim ∧ K = nCm などが従う。
上に挙げたテンソル代数の特徴付けは、E → T(E ) が K –代数の圏から K –加群の圏への埋め込み関手の左随伴関手であることをいっている。同様にして E → S (E ) は可換 K –代数の圏から K 加群の圏への埋め込み関手の左随伴関手になっている。
テンソル積加群や対称積加群、外積加群についても関手的な特徴付けができる。n 次テンソル冪は n 変数双線型写像を表現している。つまり、K –加群 F に対して E から F への n 重線型写像を Ln (E ; F ) と書くことにすれば、関手の間の自然な同一視 Ln (E ; F ) = HomK (TE , F ) がある。
同様にして n 次対称冪や n 次外冪もそれぞれある関手を表現していると見なすことができる。具体的には、SE は n 次対称写像の空間
Sym n  ( E ; F ) = { φ {\displaystyle \operatorname {Sym} _{n}(E\,;F)=\{\phi } は E {\displaystyle E} から F {\displaystyle F} への n {\displaystyle n} 重線型写像で φ ( x 1 , ... , x i , x i + 1 , ... , x n ) = φ ( x 1 , .