状態空間 (制御理論)
x 2 ( t ) := x 1 ̇ ( t ) {\displaystyle x_{2}(t):={\dot {x_{1}}}(t)} は物体の速度を表す。
x 2 ̇ ( t ) = x 1 ̈ ( t ) {\displaystyle {\dot {x_{2}}}(t)={\ddot {x_{1}}}(t)} は物体の加速度を表す。
出力 y ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)} は物体の位置である。
可制御性を評価すると、次のようになる。
[ B A B ] = [ [ 0 1 m ] [ 0 1 − k 2 m − k 1 m ] [ 0 1 m ] ] = [ 0 1 m 1 m k 1 m 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}B&AB\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\left[{\begin{matrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{matrix}}\right]&\left[{\begin{matrix}0&1\\-{\frac {k_{2}}{m}}&-{\frac {k_{1}}{m}}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}0\\{\frac {1}{m}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0&{\frac {1}{m}}\\{\frac {1}{m}}&{\frac {k_{1}}{m^{2}}}\end{matrix}}\right]}
フィードバックに加えて、入力 r ( t ) {\displaystyle r(t)} がある場合、 u ( t ) = − K y ( t ) + r ( t ) {\displaystyle \mathbf {u} (t)=-K\mathbf {y} (t)+\mathbf {r} (t)} となる。
x ̇ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)} y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}
この式に当てはめると、次のようになる。
x ̇ ( t ) = A x ( t ) − B K y ( t ) + B r ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)-BK\mathbf {y} (t)+B\mathbf {r} (t)} y ( t ) = C x ( t ) − D K y ( t ) + D r ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)-DK\mathbf {y} (t)+D\mathbf {r} (t)}
出力方程式を y ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)} について解き、その結果を状態方程式に当てはめると次のようになる。
古典的な線形システムとして、一次元の移動する物体を考える。壁にバネで繋がれた物体が水平な平面上を移動する場合、ニュートン力学では次の式で表される。
m y ̈ ( t ) = u ( t ) − k 1 y ̇ ( t ) − k 2 y ( t ) {\displaystyle m{\ddot {y}}(t)=u(t)-k_{1}{\dot {y}}(t)-k_{2}y(t)}
ここで
y ( t ) {\displaystyle y(t)} は位置、 y ̇ ( t ) {\displaystyle {\dot {y}}(t)} は速度、 y ̈ ( t ) {\displaystyle {\ddot {y}}(t)} は加速度である。
u ( t ) {\displaystyle u(t)} は加えられた力である。
k 1 {\displaystyle k_{1}} は粘性摩擦係数である。
k 2 {\displaystyle k_{2}} はバネ定数である。
m {\displaystyle m} は物体の質量である。
この場合の状態方程式は次のようになる。