行列の対数
対角化可能行列 A に対する ln A の求め方は以下のようにする。
行列 A の固有ベクトルからなる行列 V を求める(各列が A の固有ベクトル)。
V の逆行列 V を求める。
このとき
A ′ = V − 1 A V {\displaystyle A'=V^{-1}AV}
と置けば A' は A の固有値が対角成分に並んだ対角行列となる。
ln(A') を得るためには、A' の対角成分をそれぞれの自然対数で置き換えればよい。
これにより
ln  A = V ( ln  A ′ ) V − 1 {\displaystyle \ln A=V(\ln A')V^{-1}}
を得る。
このような A の対数が(A が実行列の場合でさえ)複素行列となりうることは、各成分が実かつ正の行列が(にも拘らず)負のあるいはさらに複素数の固有値を持ち得る(それは回転行列の例においても言えることである)という事実から従う。この種の行列の対数が一意でないことは、複素数の対数が一意でないことから生じてくる。
与えられた正方行列 A に対して、e = A を満たす正方行列 B を、A の(行列の)対数と呼び B = log(A) あるいは ln(A) などで表す。複素数の場合と同様、行列の対数はしばしば一意ではない(後述)。
なお、正方行列を変数とする指数関数は、正方行列 B に対して
e B = exp  ( B ) := ∑ n = 0 ∞ B n n ! {\displaystyle e^{B}=\exp(B):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B^{n}}{n!}}}
で定義される。
2×2 実行列が負の行列式を持つとき、その実対数は存在しない。まず初めに、任意の 2×2 実行列は三種類の複素数 z = x + yε(ただし ε2 ∈ {−1, 0, +1})のいずれか一種類と見なすことができて、そのときの z は2×2 実行列全体の成す環の部分複素数平面上の点になっていることに注意する。
行列式が負であるような場合は ε2 = +1 の場合、すなわち分解型複素数平面上にしか存在しない。この平面のうちの1/4のみが指数写像の像であって、この部分(四分象限)においてのみ対数写像が定義できる。三つある他の象限は ε と −1 が生成するクラインの四元群の作用による一つ目の象限の像になる。
たとえば、a = ln 2(このとき cosh a = 5/4 および sinh a = 3/4)とすれば、行列の形で
A = exp [ 0 a a 0 ] = [ cosh  a sinh  a sinh  a cosh  a ] = [ 1.25 .75 .75 1.25 ] {\displaystyle A=\exp \!{\begin{bmatrix}0&a\\a&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.25&.75\\.75&1.25\end{bmatrix}}}
と書くことができるから、この行列は
ln  A = [ 0 ln  2 ln  2 0 ] {\displaystyle \ln A={\begin{bmatrix}0&\ln 2\\\ln 2&0\end{bmatrix}}}