極化恒等式
ノルム空間 (V , ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} ) において、 中線定理が成り立つならば、 V にはすべての x ∈ V {\displaystyle x\in V} で ‖ x ‖ 2 = ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle } を満たす内積が存在する。
⟨ x + z , y ⟩ − ⟨ x , y ⟩ − ⟨ z , y ⟩ = 1 2 ( ‖ x + y + z ‖ 2 − ‖ x + z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ‖ z − y ‖ 2 − ‖ z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 ) ≤ 1 2 ( ( ‖ x + z ‖ + ‖ y ‖ ) 2 − ‖ x + z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ( ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ) 2 − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ( ‖ z ‖ − ‖ y ‖ ) 2 − ‖ z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 ) = 1 2 ( ‖ x + z ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 + 2 ‖ x + z ‖ ‖ y ‖ − ‖ x + z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 − 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ − ‖ x ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 + ‖ z ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 − 2 ‖ z ‖ ‖ y ‖ − ‖ z ‖ 2 − ‖ y ‖ 2 ) = ‖ y ‖ ( ‖ x + z ‖ − ‖ x ‖ − ‖ z ‖ ) ≤ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle x+z,y\rangle -\langle x,y\rangle -\langle z,y\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|x+y+z\|^{2}-\|x+z\|^{2}-\|y\|^{2}+\|x-y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\|z-y\|^{2}-\|z\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[4pt]&\leq {\frac {1}{2}}\left(\left(\|x+z\|+\|y\|\right)^{2}-\|x+z\|^{2}-\|y\|^{2}+\left(\|x\|-\|y\|\right)^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}+\left(\|z\|-\|y\|\right)^{2}-\|z\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left({\cancel {\|x+z\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}+2\|x+z\|\|y\|-{\cancel {\|x+z\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}+{\cancel {\|x\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}-2\|x\|\|y\|-{\cancel {\|x\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}+{\cancel {\|z\|^{2}}}+{\cancel {\|y\|^{2}}}-2\|z\|\|y\|-{\cancel {\|z\|^{2}}}-{\cancel {\|y\|^{2}}}\right)\\[4pt]&=\|y\|\left(\|x+z\|-\|x\|-\|z\|\right)\\[4pt]&\leq 0\end{aligned}}}