開写像定理 (関数解析)
‖ x n + 1 ‖ < 2 − n {\displaystyle \|x_{n+1}\|<2^{-n}} および ‖ y − A ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n ) − A ( x n + 1 ) ‖ < δ 2 − ( n + 1 ) {\displaystyle \|y-A(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})-A(x_{n+1})\|<\delta 2^{-(n+1)}}
であるような x n+1 を選ぶことが出来る。したがって、(2) は x n+1 に対して満たされることになる。今
s n = x 1 + x 2 + ⋯ + x n {\displaystyle \ s_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}
とする。(2) の初めの不等式から、{sn} はコーシー列であることが分かり、X が完備であることから、sn はある x ∈ X へと収束する。(2) より、点列 Asn は y へと向かい、したがって A の連続性により Ax = y となる。また
‖ x ‖ = lim n → ∞ ‖ s n ‖ ≤ ∑ n = 1 ∞ ‖ x n ‖ < 2 {\displaystyle \|x\|=\lim _{n\to \infty }\|s_{n}\|\leq \sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<2}
が得られる。これは全ての y ∈ δV は A(2U) に属すること、あるいは同じ意味で、X の単位球の像 A(U) は Y の開球 (δ/2)V を含むということを示している。したがって、A(U) は Y における 0 の近傍であるため、証明は完成される。