ビオ・サバールの法則
v が c に対して十分に小さい( v 2 ≪ c 2 {\displaystyle v^{2}\ll c^{2}} )ときは、近似的に
D = q 4 π r r 3 H = q v 4 π × r r 3 {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {D}}&={\frac {q}{4\pi }}\ {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\\{\boldsymbol {H}}&={\frac {q{\boldsymbol {v}}}{4\pi }}\times {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\end{aligned}}}
と表すことができる。
これらの電束密度と磁場に関する式は、点電荷に対するビオ・サバールの法則と呼ばれ、1888年にオリヴァー・ヘヴィサイドによって導かれた。
ここで、ds = a dθ であることを用いて、
H ⊥ ( z ) = 1 4 π I a 2 ( a 2 + z 2 ) 3 / 2 ∫ 0 2 π d θ = 1 4 π 2 π I a 2 ( a 2 + z 2 ) 3 / 2 = I a 2 2 ( a 2 + z 2 ) 3 / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}H_{\perp }(z)&={\frac {1}{4\pi }}{\frac {Ia^{2}}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{4\pi }}{\frac {2\pi \,Ia^{2}}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}}={\frac {Ia^{2}}{2(a^{2}+z^{2})^{3/2}}}\end{aligned}}}
ここで、z = 0 とすれば、円の中心部に生じている磁場HO が得られる。即ち、
H O = H ⊥ ( 0 ) = I 2 a {\displaystyle H_{\mathrm {O} }=H_{\perp }(0)={\frac {I}{2a}}}
であり、これは先ほど求めたものに一致する。