シルベスター数列
数論において、シルベスター数列 (英語: Sylvester's sequence) とは、各項がそれまでの項の総積に1を足したものであるような数列である。最初のいくつかの項は次のようになる:
「シルベスター数列」という名称は、1880年にこの数列を最初に調査したジェームス・ジョセフ・シルベスターに由来している。数列の各項の値はシルベスター数 (英: Sylvester number) と呼ばれることもある。
シルベスター数列の値は二重指数関数的に増加し、その逆数の和は他の単位分数の級数よりも速く1に収束する。シルベスター数列を定義する漸化式は、各項の数の素因数分解をより容易にさせるが、数列の増加速度が急速であるために、完全な素因数分解はいくつかの項に対してしか知られていない。
シルベスター数は1のエジプト式分数表現、佐々木・アインシュタイン多様体、オンラインアルゴリズムの実装などに応用されている。
シルベスター数列の第 n 項は次の式で定義される:
s n = 1 + ∏ i = 0 n − 1 s i . {\displaystyle s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}.}
0個の項の積 (空積) は 1 であるため、s0 = 2 である。
あるいは、次のような漸化式で定義してもよい:
s i = s i − 1 ( s i − 1 − 1 ) + 1 , ( s 0 = 2 ) {\textstyle \displaystyle s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,\quad (s_{0}=2)}