体のテンソル積
一般論を得るためには K ⊗N L に(単に N-線型空間同士のテンソル積というだけでは不十分なので)環構造を入れて考える必要がある。すなわち、N-線型空間としての構造(和とスカラー倍)に加えて、生成元同士の積が
( a ⊗ b ) ( c ⊗ d ) := a c ⊗ b d {\displaystyle (a\otimes b)(c\otimes d):=ac\otimes bd}
となるように積が定義できる(実際この式は各変数に関して N-線型ゆえ、テンソル積の普遍性により、生成元の上で考えたこの積はテンソル積空間全体で定義された双線型な積に拡張できる)。これによりテンソル積空間上に環構造が定まり、K ⊗N L は体のテンソル積 (tensor product of fields) と呼ばれる可換 N-代数になる。
体のテンソル積の環構造は、K, L をともに、N の適当な拡大体へ埋め込むすべての方法を考えることによって調べることができる。注意すべき点として、このテンソル積構成は共通の部分体 N の存在は仮定するが、K と L を部分体として含む共通の拡大体 M の存在はアプリオリには仮定しない(これは合成体構成では仮定していたことである)。K と L をそのような体 M に埋め込む(それを具体的に α: K → M, β: L → M と書く)ときはいつでも、
γ ( a ⊗ b ) = ( α ( a ) ⊗ 1 ) ⋆ ( 1 ⊗ β ( b ) ) = α ( a ) .
これは一般的な描像、そして実は(グロタンディークのガロワ理論に利用されているラインに沿って)ガロワ理論の発達の道を与える。分離拡大に対して根基は常に {0} であることを示すことができる; したがってガロワ理論の場合は体のみの積の、半単純なものである。