空間充填
「正多面体を解く」一松信著、 東海大学出版会 (2002/05) ISBN 978-4486015871 「多面体木工(増補版)」佐藤郁郎・中川宏著、科学協力学際センター(2011/03) ISBN 978-4990588007
たとえば、立方体に対する平行六面体、アルキメデスの正三角柱に対する斜三角柱などである。また、対応する面(たとえば反対側の平行面)に凹凸をつけたり、充填図形を合同ないくつかの図形に再分割したりしても、新しい充填図形が得られる。しかしこれらは、数学的には本質的に新しいものとは言えない。
菱形十二面体による充填の双対充填形は四面体で構成されるし、またどのような多面体も四面体に分割できるので、四面体による充填は可能である。ただしそれが可能なのは、限られた形の四面体だけである。任意の三角形で充填ができる2次元空間とは異なる。
1つの図形の平行移動だけで空間充填できる図形を平行多面体といい、全ての面が反対側の面と平行である。変形で得られるものを除けば以下の5種類である。
立方体
アルキメデスの六角柱(単に六角柱とすることも多い)
切頂八面体
菱形十二面体
長菱形十二面体
これのうち長菱形十二面体だけが、広義の一様多面体かその双対ではない(アフィン変換等でも得られない)。
ジョンソンの立体1番(正四角錐)とジョンソンの立体3番(正三角台塔)
ジョンソンの立体1番(正四角錐)とジョンソンの立体7番(正三角錐柱)
ジョンソンの立体1番とジョンソンの立体27番(同相双三角台塔)
正四面体とジョンソンの立体1番
正四面体とジョンソンの立体4番(正四角台塔)
正四面体とジョンソンの立体8番(正四角錐柱)
正四面体とジョンソンの立体28番(同相双四角台塔)
正八面体とジョンソンの立体3番
正八面体とジョンソンの立体7番(正三角錐柱)
正八面体とジョンソンの立体12番(双三角錐)
切頂四面体とジョンソンの立体12番
切頂六面体とジョンソンの立体1番
立方八面体とジョンソンの立体1番
正四面体と正六面体と立方八面体と[ジョンソンの立体28番、ジョンソン立体29番(異相双四角台塔)]のいずれかまたは組み合わせ
正四面体とジョンソンの立体1番と[正六面体、ジョンソンの立体8番、ジョンソンの立体15番]のいずれかまたは組み合わせと[ジョンソンの立体28番、ジョンソン立体29番]のいずれかまたは組み合わせ
正四面体と正六面体と立方八面体とジョンソンの立体37番(異相双四角台塔柱)
正四面体と正六面体とジョンソンの立体1番とジョンソンの立体8番
正四面体と正八面体とジョンソンの立体1番とジョンソンの立体15番
正四面体とジョンソンの立体8番とジョンソンの立体15番とジョンソンの立体19番
正四面体とジョンソンの立体1番とジョンソンの立体28番と[正六面体、ジョンソンの立体8番、ジョンソンの立体15番]のいずれかまたは組み合わせ
正四面体とジョンソンの立体1番とジョンソンの立体37番と[正六面体、ジョンソンの立体8番、ジョンソンの立体15番]のいずれかまたは組み合わせ
正四面体と正六面体とジョンソンの立体1番とジョンソンの立体19番と[ジョンソンの立体8番、ジョンソンの立体15番]のいずれかまたは組み合わせ
正四面体とジョンソンの立体1番とジョンソンの立体4番と[正六面体、ジョンソンの立体8番、ジョンソンの立体15番]のいずれかまたは組み合わせ
(このリストは完全ではないかも知れません。完成させるためのご協力をよびかけます。)