リーマン・ロッホの定理
X {\displaystyle X} を種数 g の閉リーマン面、K を標準因子とすると、任意の因子 D ∈ Div  ( X ) {\displaystyle D\in \operatorname {Div} (X)} に対し
l ( D ) − l ( K − D ) = deg  ( D ) + 1 − g {\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg(D)+1-g}
が成り立つ。
リーマン面上の因子と正則直線束の間の密接な対応関係を使い、異なってはいるが同値な方法で述べることもできる。L を X 上の正則直線束とする。 H 0 ( X , L ) {\displaystyle H^{0}(X,L)} で L の正則切断の空間を表すとする。この空間は有限次元となるので、この空間の次元を h 0 ( X , L ) {\displaystyle h^{0}(X,L)} で表すとする。K で X 上の標準束を表す。すると、リーマン・ロッホの定理は、次のように記述できる。
h 0 ( X , L ) − h 0 ( X , L − 1 ⊗ K ) = deg  ( L ) + 1 − g . {\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g.}
前の節の定理は、L がポイントバンドル(英語版)(すなわち L = O ( n P ) {\displaystyle L=O(nP)} という形の直線束)のときの特別な場合である。