面積分
そのような例として、(高さが有限な)円柱の表面(側面と上面と底面)として与えられる曲面を挙げることができる。この問題は、曲面をいくつかの小片に分割して、それぞれの小片で面積分を計算し、それらをすべて足し上げることで、すぐに解決できる。これで実際にうまくいくのだが、ベクトル場の積分についてはやはり、分割の各小片での法ベクトルを、再びもとの一つの曲面に戻したときに方向が一貫性を持つように、気をつけて選ぶ必要がある。円柱の例で言えば、側面での法方向を立体の外向きに取ったならば、上面や底面でも同じく立体から外向きに法方向を取らねばならないということである。
そうすると次の問題は、各点の法方向を曲面全体で一貫して入れることができない曲面の存在である(例えば、メビウスの帯)。そのような曲面を小片に分割して各小片上に媒介変数をとり、再度もとのように貼合わせると、別々の小片に由来する法ベクトルの間で辻褄を合わせることができない。つまり、ある二つの小片の間の繋ぎ目で法ベクトルの方向が反対になるのである。このような曲面は向き付け不能であると言う。向き付け不能な曲面の上でベクトル場の積分について記述することはできない。