リーマン予想
リーマンゼータ関数は実部が 1 よりも大きい複素数 s に対して絶対収束無限級数
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }
によって定義される。レオンハルト・オイラー(リーマンの生まれる40年前に亡くなった)はこの級数がオイラー積
ζ ( s ) = ∏ p : prime 1 1 − p − s = 1 1 − 2 − s ⋅ 1 1 − 3 − s ⋅ 1 1 − 5 − s ⋅ 1 1 − 7 − s ⋯ 1 1 − p − s ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p:{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }
に等しいことを示した、ここで無限積はすべての素数 p を走り、再び実部が 1 より大きい複素数 s に対して収束する。
は、単位区間上の二乗可積分関数全体のなすヒルベルト空間 L(0, 1) において稠密である。Beurling (1955) はこれを次を示すことで拡張した:ゼータ関数が実部が 1/p よりも大きい零点を持たないこととこの関数空間が L(0, 1) において稠密であることは同値である。
Salem (1953) はリーマン予想が真であることと次が同値であることを示した:積分方程式
∫ 0 ∞ z − σ − 1 φ ( z ) e x z + 1 d z = 0 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\phi (z)}{e^{\frac {x}{z}}+1}}\,dz=0}
は 1/2 < σ < 1 に対して非自明な有界な解 φ を持たない。
Weil の判定法(英語版)はある関数の正値性がリーマン予想と同値であるという主張である.関連するのは Li の判定法(英語版)で,ある数列の正値性がリーマン予想と同値であるという主張である。
Speiser (1934) はリーマン予想が次の主張と同値であることを証明した:ζ(s) の導関数 ζ′(s) は帯
0 < R ( s ) < 1 2 {\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}}
に零点を持たない。ζ(s) が臨界線上に1位の零点しか持たないことはその導関数が臨界線上に零点を持たないことと同値である。
Connes (1999, 2000) はリーマン予想と非可換幾何学の間の関係を記述し、アデール類空間へのイデール類群の作用に対するセルバーグ跡公式の適切な類似があればリーマン予想が従うことを示した。これらのアイデアのいくつかは Lapidus (2008) に詳細に述べられている。
ガウスの類数予想は,与えられた類数を持つ虚二次体は有限個しかないという(ガウスの Disquisitiones Arithmeticae の article 303 において最初に述べられた)予想である.それを示す1つの方法は、判別式 D → − ∞ {\displaystyle D\rightarrow -\infty } のとき類数 h ( D ) → ∞ {\displaystyle h(D)\rightarrow \infty } となることを示すことである。
リーマン予想に関わる以下の定理は Ireland & Rosen 1990, pp. 358–361 に記されている:
定理 (Hecke; 1918). D < 0 を虚二次体 K の判別式とする。すべての虚二次ディレクレ指標の L 関数に対する一般リーマン予想を仮定する。このとき
h ( D ) > C | D | log  | D | {\displaystyle h(D)>C{\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}}
となるような絶対的な定数 C が存在する。
定理 (Deuring; 1933). リーマン予想が偽ならば,|D| が十分大きいとき h(D) > 1 である.
定理 (Mordell; 1934).
ヒルベルトとポリヤはリーマン予想を導出する1つの方法は自己共役作用素を見つけることであると提案した。その存在から ζ(s) の零点の実部に関する例の主張が、実固有値に主張を適用すると従うのである。このアイデアのいくつかの根拠は、零点がある作用素の固有値に対応するリーマンゼータ関数のいくつかの類似から来る:有限体上の多様体のゼータ関数の零点はエタールコホモロジー群上のフロベニウス元の固有値に対応し、セルバーグゼータ関数の零点はリーマン面のラプラス作用素の固有値であり、p 進ゼータ関数の零点はイデール類群へのガロワ作用の固有ベクトルに対応する。
Odlyzko (1987) は、リーマンゼータ関数の零点の分布はガウスのユニタリアンサンブル(英語版)から来るランダム行列の固有値といくつかの統計学的性質を共有していることを示した。これはヒルベルト–ポリヤ予想にいくらかの根拠を与える。
1999年、マイケル・ベリーとジョナサン・キーティング(英語版)は古典ハミルトニアン H = xp のある未知の量子化 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} が存在して、以下を満たすと予想した。
ζ ( 1 2 + i H ^ ) = 0 , {\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+i{\hat {H}}\right)=0,}
あるいはさらに強く、リーマンの零点が作用素 1 2 + i H ^ {\displaystyle {\frac {1}{2}}+i{\hat {H}}} のスペクトルと一致する。これは正準量子化と対照的である。