三次元球面
↑ しばしば、周辺構造として埋め込まれる空間の次元が n であること(あるいはそれが囲む領域としての超球体が n-次元であること)を以って「n-次元-」と番号付けする文献があるので注意。この流儀ではたとえば「グローム」は「四次元超球」となる。
二次元球面 S 上の通常の球面座標系に対応するものとして、S 上の超球面座標系の一種を入れることは想定しやすい。この場合、とり方は一つではないけれども、三つのパラメタ (ψ, θ, φ) を用いて
のように取ればよい。ψ を任意の値で固定するとき、二つのパラメタ θ, φ は半径 sin(ψ) の二次元球面を描くことに注意せよ(ただし、ψ が 0 または π のときは退化して一点を表す)。 この座標系に関して、三次元球面上の球面距離 (round metric) は
で与えられ、また体積要素(あるいは体積形式)は
と与えられる。 これらの座標は四元数を用いる洗練された記述の仕方がある。任意の単位四元数 q が適当な単位虚四元数 τ (τ = -1) を用いて、ベルソル(英語版) として
と表せることを想起せよ(オイラーの公式の四元数版)。いま単位虚四元数は三次元空間 Im H 内の二次元単位球面上に載っているから、上記の τ はいつでも
の形(通常の球面座標系を用いた表示)に書くことができて、これを用いて q を
と書き下せば、ここに xi (i = 0, 1, 2, 3) は先の変換式 1 を満たすものであると識れる。
単位四元数 q で空間回転を記述するとき(cf. 四元数と空間回転(英語版))、上記の表示は τ の周りに 2ψ の角度で回ることを述べるものと見ることができる。