対称式
g(x1,x2) = f(x1,x2) + f(x2,x1)
h(x1,x2) = f(x1,x2) f(x2,x1)
は、いずれも対称式である。
単項式
T ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = c x 1 a 1 x 2 a 2 ⋯ x n a n {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=c\ x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\cdots x_{n}^{a_{n}}}
に、適当な置換 σ ∈ Sn を作用させて単項式
T ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) σ = c x σ ( 1 ) a 1 x σ ( 2 ) a 2 ⋯ x σ ( n ) a n {\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{\sigma }=c\ x_{\sigma (1)}^{a_{1}}\ x_{\sigma (2)}^{a_{2}}\cdots x_{\sigma (n)}^{a_{n}}}
が作られるとき、この 2 つの単項式 T(x1,x2,...,xn) と T(x1,x2,...,xn) は同型(どうけい)であるという。
T と同型な単項式の全ての和
T + T1 + T2 + ... Tm
は、対称式であり、このように、同型な単項式の和として得られる対称式のことを、単型(たんけい)の対称式という。
f の項のうちで、次数が deg(f) に等しい項の係数を c0 とすると、f が定数でなければ
d e g ( f ) > d e g { f − c 0 ( ∏ k = 1 n − 1 σ k a k − a ( k + 1 ) ) σ n a n } {\displaystyle deg(f)>deg\left\{f-c_{0}\left(\prod _{k=1}^{n-1}\sigma _{k}^{a_{k}-a_{(k+1)}}\right)\sigma _{n}^{a_{n}}\right\}}
が成り立つ。適当な基本対称式の積を、f から引くと f よりも次数を下げる事ができるということである。得られた式の次数を調べ、同じように適当な基本対称式の積を引いていくことにより、多項式の次数を下げていくことができる。f と基本対称式の多項式の差は、この操作を有限回繰り返すことによって、定数になる。
f(x1,x2,...,xn) − h(σ1,σ2,...,σn) = 定数
となるような、基本対称式についての多項式 h が得られ、
f(x1,x2,...,xn) = h(σ1,σ2,...,σn) + 定数
と表すことができる。
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