アレクサンダー多項式
アレクサンダー多項式に対する以下の計算手法はアレクサンダーが自身の論文で与えたものである。
結び目の向きづけられた射影図の交叉点の数が n であるとする。この図は平面を n + 2 個の領域に分ける。アレクサンダー多項式を計算するには、まずサイズが n × (n + 2) の接続行列を作らねばならない。この行列の n 本の行が n 個の交叉点に対応し、n + 2 本の列が領域に対応する。この接続行列の各成分の値は 0, 1, −1, t, −t のいずれかである。
行列の各成分は、ある特定の領域と交叉点に対応して決まる。その領域がその交叉点に隣接しないならば成分の値は 0 である。また領域がその交叉点に隣接するときは、その位置関係で成分の値が決まる。位置関係は下をくぐる線が入ってくる方から交叉点を見てのものとして、成分は以下の表のように与えられる。
領域が交叉点をくぐる前の左側にあるとき: −t
領域が交叉点をくぐる前の右側にあるとき: 1
領域が交叉点をくぐった後の左側にあるとき: t
領域が交叉点をくぐった後の右側にあるとき: −1