超越次数
拡大が代数的であることとその超越次数が 0 であることは同値である。このとき空集合が超越基底である。
n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。
より一般に、基礎体 K 上の n 次元代数多様体の関数体(英語版) L の超越次数は n である。
Q(√2, π) の Q 上の超越次数は 1 である、なぜならば √2 は代数的であり π は超越的であるからだ。
Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。(これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。)
Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。