体の拡大
Aut(K/k) は写像の合成を積として群をなし、K の k-自己同型群と呼ばれる。また、拡大 N/k が正規ならば k-自己同型群 Aut(N/k) を特に拡大 N/k のガロア群と呼んで、Gal(N/k) や G(N/k) と記す。
なお一般に二つの拡大 K/k と L/l があって、上の体の中への同型 f: K → L と下の体の中への同型 g: k → l が与えられるとき、
f : K → L | | g = f | k : k → l {\displaystyle {\begin{matrix}\qquad f\colon &K&\to &L\\&|&&|\\g=f|_{k}\colon &k&\to &l\end{matrix}}}
f の k への制限 f|k がちょうど g となるなら f を g の上にある K 上の(L の中への)同型あるいは拡大 K/k から L/l への準同型という。
K, M, k が体で K/M および M/k がともに体の拡大であるとき K/M/k と書いて体の拡大の列と言い、M を拡大 K/k の中間体(ちゅうかんたい、intermediate field)という。
もし M, N がともに K/k の中間体なら、共通部分 M ∩ N もふたたび K/k の中間体となる。とくに、K の部分集合 E と k に対して、E と k とをともに含む最小の体が存在する。これを k に E を添加(てんか、adjunction)した体とよび k(E) のように表す。また、部分体 M に対し M = k(E) となるとき、M は E によって k 上生成された体であるといい、E を M の k 上の生成系とも呼ぶ。中間体 M, N に対して和集合 M ∪ N は必ずしも体とはならないが、M ∪ N を含む最小の体 MN := M(N) = N(M) を M と N の合成体と呼ぶ。
代数閉包の(同型を除く)一意性から、通常はある体 k の拡大を考えるときには、k の代数閉包 k を一つ固定し、k の任意の拡大は代数閉包 k に含まれる中間体であるものとして議論を進めることが多い。
k に有限集合 E = {a1, ..., an} を添加した体 k(E) は k 上有限生成あるいは k 上有限型であるといわれ、k(a1, ..., an) とも略記される。特に生成系が一元集合 E = {α} のとき、k(α) を k に α を添加して得られる単拡大あるいは単純拡大(たんじゅんかくだい、simple extension)という。一般に、有限とは限らない集合 E を添加するとき、