複素数の絶対値
つまり、0 以上のある実数 λ が存在して z 2 = λ z 1 {\displaystyle z_{2}=\lambda z_{1}} または z 1 = λ z 2 {\displaystyle z_{1}=\lambda z_{2}} と書けるときである。 | z 1 + z 2 + ⋯ + z n | ≤ | z 1 | + | z 2 | + ⋯ + | z n | {\displaystyle |z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|+\cdots +|z_{n}|} 逆向き三角不等式: | z 1 ± z 2 | ≥ | | z 1 | − | z 2 | | {\displaystyle |z_{1}\pm z_{2}|\geq {\bigl |}|z_{1}|-|z_{2}|{\bigr |}} | Re  z | ≤ | z | {\displaystyle |\operatorname {Re} z|\leq |z|} , | Im  z | ≤ | z | {\displaystyle |\operatorname {Im} z|\leq |z|} lim n → ∞ z n = α ⟺ lim n → ∞ Re  z n = Re  α , lim n → ∞ Im  z n = α {\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}=\alpha \iff \lim _{n\to \infty }\operatorname {Re} z_{n}=\operatorname {Re} \alpha ,\ \lim _{n\to \infty }\operatorname {Im} z_{n}=\alpha } 複素関数 | z | {\displaystyle |z|} は連続
上記の3性質は、絶対値を特徴付けるため、重要である。
| z | = | − z | = | z ̄ | = | − z ̄ | {\displaystyle |z|=|-z|=|{\overline {z}}|=|-{\overline {z}}|} ただし、上線 • は複素共役を表す。
| z | 2 = z z ̄ {\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}}
実数 x について成り立つ等式 |x| = max{x, −x} は、複素数では成り立たない。
複素絶対値関数 f(z) = |z| は正則でない。
数学における複素数の絶対値(ぜったいち、英: absolute value, 仏: module; 母数)とは、複素数平面における、原点 O(0) とのユークリッド距離として定義できる。これは、実数の絶対値を複素数に拡張した、唯一の乗法的ノルムとして特徴付けることができる。複素数 z の絶対値は |z| などで表される。
具体的には、複素数 z = a + bi(a, b は実数)(i は虚数単位)の絶対値は次の式で定義される:
| z | := a 2 + b 2 {\displaystyle |z|:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
複素数の絶対値の概念は実数の絶対値の拡張であり、乗法的ノルムの公理を満たす。これにより複素数列の収束・発散の概念がε-δ論法により導入でき、複素解析を講ずることができる。
用語として module を導入したのは Argand(英語版), Jean-Robert (1814), “Réflexion sur la nouvelle théorie des imaginaires, suivie de la démonstration d'un théorème d'analyse”, Annales de Gergonne 5: 197-209 で、幾何学的構成による虚数の表現を説明するものとして用いられた。
z ; z1, ..., zn を複素数とする。
非負性: | z | ≥ 0 {\displaystyle |z|\geq 0} 等号成立は z = 0 のとき。
非退化性: | z | = 0 ⟺ z = 0 {\displaystyle |z|=0\iff z=0}
乗法性: | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | {\displaystyle |z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|} | z 1 z 2 | = | z 1 | | z 2 | ( z 2 ≠ 0 ) {\displaystyle \left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}\quad (z_{2}\neq 0)} | z n | = | z | n {\displaystyle |z^{n}|=|z|^{n}} (n は整数)
三角不等式: | z 1 + z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 | {\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|} 等号成立は z 1 ̄ z 2 ∈ R + {\displaystyle {\overline {z_{1}}}z_{2}\in \mathbb {R} _{+}} のとき。