モランI
空間的自己相関がないという帰無仮説の下でのモラン I の期待値は以下のように表される。
E ( I ) = − 1 N − 1 {\displaystyle E(I)={\frac {-1}{N-1}}}
この期待値に用いられる帰無分布は、入力 x {\displaystyle x} が無作為に選択された置換 π {\displaystyle \pi } によって並べ替えられるということである。置換の選び方を通じての期待値ということである。
サンプルサイズが大きい場合(すなわち、N が無限に近づくにつれて)、期待値はゼロに近づく。
モラン I の分散は以下のように表される。
Var  ( I ) = N S 4 − S 3 S 5 ( N − 1 ) ( N − 2 ) ( N − 3 ) W 2 − ( E ( I ) ) 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (I)={\frac {NS_{4}-S_{3}S_{5}}{(N-1)(N-2)(N-3)W^{2}}}-(E(I))^{2}}
ここで、
S 1 = 1 2 ∑ i ∑ j ( w i j + w j i ) 2 {\displaystyle S_{1}={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j}(w_{ij}+w_{ji})^{2}}