ヘルダー条件
すると、
| u n ( x ) − u n ( y ) | | x − y | α ≤ ( | u n ( x ) − u n ( y ) | | x − y | β ) α / β | u n ( x ) − u n ( y ) | 1 − α / β ≤ | u n | 0 , β β / α ( 2 ‖ u n ‖ ∞ ) 1 − α / β = o ( 1 ) {\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}\leq \left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\alpha /\beta }|u_{n}(x)-u_{n}(y)|^{1-\alpha /\beta }\leq |u_{n}|_{0,\beta }^{\beta /\alpha }\,\left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-\alpha /\beta }=o(1)}
であるために、
| u n − u | 0 , α = | u n | 0 , α → 0 {\displaystyle |u_{n}-u|_{0,\alpha }=|u_{n}|_{0,\alpha }\to 0}
が成り立つ。
Ω をあるユークリッド空間(あるいはより一般に、全有界な距離空間)の有界部分集合とし、0 < α < β ≤ 1 を二つのヘルダー指数とする。このとき、対応するヘルダー空間には次の明らかな包含が存在する:
C 0 , β ( Ω ) → C 0 , α ( Ω ) . {\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega ).}
ヘルダーノルムの定義より、C(Ω) 内のすべての f に対して、不等式
| f | 0 , α , Ω ≤ d i a m ( Ω ) β − α | f | 0 , β , Ω {\displaystyle |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }}
が成り立つため、この包含は連続である。さらにこの包含は、‖ · ‖0,β ノルムにおける有界集合が ‖ · ‖0,α ノルムにおいて相対コンパクトであるという意味で、コンパクトである。これはアスコリ=アルツェラの定理の直接的な帰結である。実際、(un) を C(Ω) 内のある有界列とすると、アスコリ=アルツェラの定理より、一般性を失うことなく一様収束 un → u と u = 0 を仮定できる。
w ( u , x 0 , r ) = sup B r ( x 0 ) u − inf B r ( x 0 ) u {\displaystyle w(u,x_{0},r)=\sup _{B_{r}(x_{0})}u-\inf _{B_{r}(x_{0})}u}
が、0 < λ < 1 を満たす固定された λ と、十分小さな任意の r に対して
w ( u , x 0 , r 2 ) ≤ λ w ( u , x 0 , r ) {\displaystyle w(u,x_{0},{\tfrac {r}{2}})\leq \lambda w(u,x_{0},r)}
を満たすなら、u はヘルダー連続である。
ソボレフ空間の指数が空間次元よりも低い場合、モレーの不等式によってソボレフ空間の函数は適切なヘルダー空間に埋め込まれる。正確には、n < p ≤ ∞ であるなら p と n にのみ依存する定数 C が存在し、すべての u ∈ C(R) ∩ L(R) に対して
‖ u ‖ C 0 , γ ( R n ) ≤ C ‖ u ‖ W 1 , p ( R n ) {\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}}
が成立する。ここで γ = 1 − (n/p) である。したがって、u ∈ W(R) であるなら、必要に応じて測度 0 の集合上で再定義された後、u は実際に指数 γ のヘルダー連続となる。