ラマヌジャンの合同式
は、7では割り切れない。1938年にジョージ・ネヴィル・ワトソン(英語版)は、 7の場合については7と補正すれば、正しいことを示した。 このとき、修正された予想は
24 λ ≡ 1 ( mod 5 a 7 b 11 c ) {\displaystyle 24\lambda \equiv 1{\pmod {5^{a}7^{b}11^{c}}}}
ならば、
p ( 5 a 7 b 11 c m + λ ) ≡ 0 ( mod 5 a 7 β 11 c ) , β = [ b + 2 2 ] {\displaystyle p(5^{a}7^{b}11^{c}m+\lambda )\equiv 0\quad ({\text{mod}}\,\,\,5^{a}7^{\beta }11^{c}),\,\beta ={\biggl [}{\frac {b+2}{2}}{\biggl ]}}
となる。ワトソンはこの修正された予想において、5, 7の場合の証明を与えた。さらに、1967年にオリバー・アトキン(英語版)は11について証明を与え、最終的にこの予想が正しいことが結論された。