一様有界性
一般的な場合として Y {\displaystyle Y} を、距離 d {\displaystyle d} を備える距離空間とする。このとき、集合
F = { f i : X → Y , i ∈ I } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}:X\to Y,i\in I\}}
が一様有界であるとは、
d ( f i ( x ) , a ) ≤ M ∀ i ∈ I ∀ x ∈ X {\displaystyle d(f_{i}(x),a)\leq M\qquad \forall i\in I\quad \forall x\in X}
を満たすような Y {\displaystyle Y} の元 a {\displaystyle a} と、ある実数 M {\displaystyle M} が存在することを言う。
数学の分野における有界関数とは、下界と上界、すなわちその関数のどの値の絶対値よりも大きい定数が存在する関数のことを言うが、そのような関数の族を考えた場合には、関数によってそのような定数が異なるものとなる場合がある。もしもそれら全てを抑えるような一つの定数を見つけることが出来るなら、そのような関数の族は一様有界(いちようゆうかい、英: uniform bounded)であると呼ばれ、そのような性質のことを一様有界性(いちようゆうかいせい、英: uniform boundedness)と呼ぶ。
関数解析学における一様有界性原理(英語版)は、作用素の族が一様有界であるための十分条件を与える。