幾何学的トポロジー
高次元トポロジーでは、特性類が基本的な不変量であり、手術理論(英語: surgery theory)がキーとなる理論である。
特性類は、位相空間 X 上の各々の主バンドルと X のコホモロジー類を結びつける方法である。コホモロジー類は、バンドルがツイストしてバンドルへの拡張、特に、切断を持つかどうかを測る。言い換えると特性類は、大域的不変量(invariant)であり、大域的な積構造から局所的な積構造を導けるかどうかを測る。特性類は、代数トポロジーや微分幾何学や代数幾何学では統一された幾何学的概念のひとつとなっている。
手術理論(英語: Surgery theory)は、Milnor (1961)により導入された多様体から別の多様体を作り出す、「制御された」テクニックの集まりである。手術は多様体の一部を切り出し、他の多様体の一部を置き換え、切り出した境界部分に沿って貼り合わせることでなされる。この方法は密接にハンドル分解(英語版)(handle decomposition)と密接な関係を持ち(同一ではない)、次元が 3 以上の多様体の分類と研究で主要なツールである。
さらにテクニカルには、この考え方は、よく理解されている多様体 M から出発し、手術を実行することで、多様体 M が求められる性質を持つ多様体として作り変えることに使用される。この方法では、ホモロジーやホモトピー群や他の興味深い不変量が知られている。
Kervaire and Milnor (1963) によるエキゾチック球面(英語版)(exotic sphere)の分類は、高次元トポロジーの主要なツールとしての手術理論の出現を導いた。
多様体は、低次元と高次元の振る舞いは極端に異なっている。
高次元トポロジーは、5 あるいは、それ以上の次元の多様体を指すか、または、相対的な場合には、余次元が 3 あるいは、それ以上の次元の埋め込みを指す。一方、低次元トポロジーは、4 以下の次元の問題に関係しているか、あるいは、余次元 2 以下での埋め込みに関係している。
次元が 4 は特別で、ある見方(トポロジックな)では次元 4 は高次元であることに対し、他の見方(微分同相として)では次元 4 は低次元である。この重なりによって、次元 4 では、たとえば、R 上のエキゾチックな微分構造(exotic differentiable structures on R)のような、例外的な現象が生み出される。このように、4次元多様体のトポロジー的な分類は原理上は簡単であり、重要な問題は、位相多様体は微分可能構造を持つか?と、もし微分可能構造を持つならばどのくらい持つのか?、である。次元が 4 の滑らかな場合は、重要な問題として一般ポアンカレ予想(英語版)(generalized Poincaré conjecture)が未だ解決されていないことが挙げられる。
多様体は、向きを選ぶことができるならば、向きつけ可能で、連結な向き付け可能多様体は、2つの異なる向き付けが可能である。この設定では、互いに同値な様々な向きつけ可能性の定式化を与えることができ、要求された応用や一般性のレベルに依存する。一般位相多様体への応用の定式化は、ホモロジー論の方法に頼ることが多く、一方、微分可能多様体(differentiable manifold)への応用の定式化は、さらに構成が存在するため、微分形式のことばでの定式化する。空間の向き付けの考えかたの重要な一般化は、他の空間(ファイバーバンドル)によりパラメーター化された空間のぞくの向き付けへの一般化で、そのためには向き付けは、パラメータの値の変化に関して連続的に変化する空間の中で選択されねばならない。