局所連結空間
上のように、 P C x {\displaystyle PC_{x}} もまた x を含む X のすべての弧状連結部分集合の和集合であるから、補題によってそれ自身弧状連結である。弧状連結集合は連結であるから、すべての x ∈ X に対して P C x ⊂ C x {\displaystyle PC_{x}\subset C_{x}} が成り立つ。
しかしながら弧状連結集合の閉包は弧状連結とは限らない: 例えば、位相幾何学者の正弦曲線は x > 0 なるすべての点 (x, y) からなる開部分集合 U の閉包であり、U は実数直線の区間に同相であるので、確かに弧状連結である。さらに、位相幾何学者の正弦曲線 C の道成分は開だが閉でない U と閉だが開でない C ∖ U {\displaystyle C\setminus U} である。
空間が局所弧状連結であることとすべての開部分集合 U に対して U の道成分が開であることは同値である。したがって局所弧状連結空間の道成分は X のどの 2 つも互いに素な開集合への分割を与える。局所弧状連結空間の開連結部分空間は必ず弧状連結であることが従う。さらに、空間が局所弧状連結であれば、局所連結でもあるので、すべての x ∈ X に対して、 C x {\displaystyle C_{x}} は連結かつ局所弧状連結であり、したがって弧状連結である、すなわち C x = P C x {\displaystyle C_{x}=PC_{x}} である。つまり、すべての局所弧状連結空間に対して成分と道成分は一致する。