平面曲線
曲線上の座標系または弧長変数(弧長パラメータ)s とは、特別な種類の媒介変数表示で、積分の下の限界 a を固定し上の限界 t を変数と見るとき、積分 s ( t ) = ∫ a t ‖ α ′ ( u ) ‖ d u {\textstyle s(t)=\int _{a}^{t}\|\alpha '(u)\|{\mathit {du}}} が上の限界 t のみに依存して決まるものを言う。この積分函数 s は幾何学的には、固定された点 a から測った(必要ならば符号付きで考えた)弧長である。これにより常に曲線上にはこの曲線座標系に基づく座標を入れることが可能となる(弧長変数による媒介表示)。実際、 s ′ ( t ) = ‖ α ′ ( t ) ‖ > 0 {\textstyle s'(t)=\|\alpha '(t)\|>0} ゆえ s(t) は逆を持ち、それを t ≔ t(s) と書けば、弧長変数への媒介変数の取り換え β ( s ) = α ( t ( s ) ) {\textstyle \beta (s)=\alpha (t(s))} を得る。この場合、曲線上の一点における接線を決定することは、単位接ベクトルに平行となる直線をとることに等しい。すなわち
ゆえ、接ベクトルは単位ベクトルである。