床関数と天井関数
整数部分の値は床関数の値そのものであるから、例えば −2.3 の整数部分は −2 ではなく −3 であること、また小数部分は −0.3 ではなく 0.7 であることに注意が必要である(ただし、−2.3 の整数部分を −2 と定義する流儀(「0への丸め」)もあるが一般的ではない。またプログラミング言語によっては「0への丸め」を採用しているものがある)。任意の実数の小数部分は、0 以上 1 未満である。
例えば、以下のようになる。
⌊ 4.68 ⌋ = 4 , { 4.68 } = 0.68 {\displaystyle \lfloor 4.68\rfloor =4,\;\{4.68\}=0.68}
⌊ 5 ⌋ = 5 , { 5 } = 0 {\displaystyle \lfloor 5\rfloor =5,\;\{5\}=0}
⌊ e ⌋ = ⌊ 2.71828 ... ⌋ = 2 , { e } = 0.71828 ... {\displaystyle \lfloor e\rfloor =\lfloor \mathrm {2.71828\ldots } \rfloor =2,\;\{e\}=0.71828\ldots }
⌊ 53 ⌋ = ⌊ 7.2801 ... ⌋ = 7 , { 53 } = 0.
床関数と天井関数は広義単調増加関数である、すなわち x 1 ≤ x 2 ⇒ ⌊ x 1 ⌋ ≤ ⌊ x 2 ⌋ {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor } x 1 ≤ x 2 ⇒ ⌈ x 1 ⌉ ≤ ⌈ x 2 ⌉ {\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil }
床関数と天井関数は冪等である、すなわち ⌊ ⌊ ⋯ ⌊ x ⌋ ⋯ ⌋ ⌋ = ⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋ {\displaystyle \left\lfloor \left\lfloor \cdots \left\lfloor x\right\rfloor \cdots \right\rfloor \right\rfloor =\left\lfloor \lfloor x\rfloor \right\rfloor =\lfloor x\rfloor } ⌈ ⌈ ⋯ ⌈ x ⌉ ⋯ ⌉ ⌉ = ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉ = ⌈ x ⌉ {\displaystyle \left\lceil \left\lceil \cdots \left\lceil x\right\rceil \cdots \right\rceil \right\rceil =\left\lceil \lceil x\rceil \right\rceil =\lceil x\rceil }
x > 0 かつ n > 0 のとき、次の式が成り立つ。 ⌊ n x ⌋ ≥ n x − x − 1 x . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{x}}\right\rfloor \geq {\frac {n}{x}}-{\frac {x-1}{x}}.}
n が整数のとき、n ≤ x と n ≤ ⌊ x ⌋ {\displaystyle n\leq \lfloor x\rfloor } は同値である。意匠を凝らした言い方では、床関数はガロア接続の片翼を担っており、整数を実数へ埋め込む関数の上随伴である。
床関数を用いると、いくつかの素数生成式をつくることができる (ただしこれらは実際の計算には役立たない)。1つの例として、 n {\textstyle n} 番目の素数 p ( n ) {\textstyle p(n)} は p ( n ) = 1 + ∑ j = 1 2 n ⌊ n ∑ i = 1 j ⌊ cos 2  ( i − 1 ) ! + 1 i π ⌋ n ⌋ .
床関数は、実数 x に対して x 以下の最大の整数と定義され、
⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor }
floor  ( x ) {\displaystyle \operatorname {floor} (x)}
[ x ] {\displaystyle [x]}
などと書かれる。3つめの記号はガウス記号と呼ばれる。カール・フリードリヒ・ガウスが7つの証明を示した平方剰余の相互法則の3番目の証明に用いた(1808年)ことに由来する。日本、中国、ドイツなどでよく使われている。日本の高校数学や大学入試ではガウス記号が使われることがほとんどである。
床関数を数式で表すと次のようになる。
⌊ x ⌋ = max { n ∈ Z ∣ n ≤ x } . {\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}.}
実数 x に対し、 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } を整数部分、 x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle x-\lfloor x\rfloor } を小数部分と呼ぶ。小数部分は x mod 1 や {x} とも書かれる。