中心極限定理
φ Z n ( t ) = ( φ Y 1 ( t n ) ) n = ( 1 − t 2 2 n + O ( n − 3 2 ) ) n = ( 1 + − t 2 2 + O ( n − 1 2 ) n ) n → e − t 2 / 2 , n → ∞ {\displaystyle \varphi _{Z_{n}}\left(t\right)=\left(\varphi _{Y_{1}}\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\right)^{n}=\left(1-{\frac {t^{2}}{2n}}+O(n^{-{\frac {3}{2}}})\right)^{n}=\left(1+{\frac {-{\frac {t^{2}}{2}}+O(n^{-{\frac {1}{2}}})}{n}}\right)^{n}\to e^{-t^{2}/2},\quad n\to \infty }
最後の関数は標準正規分布 N(0, 1) の特性関数である。特性関数と確率分布の対応は一対一なので、この結果は n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } の極限で Zn が N(0, 1) に収束することを意味する。なお、厳密に特性関数の収束と確率分布関数の収束の対応関係が成り立つことはレヴィの連続性定理により保証される。
以上により、部分和 Sn = X1 + ... + Xn は正規分布 N(nμ, nσ) に収束し、標本平均 X ̄ n = ( X 1 + ⋯ + X n ) / n {\displaystyle {\bar {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n} は正規分布 N(μ, σ/n) に収束することが証明された。