Theorema Egregium
例えばカテノイド(英語版)(=懸垂面)とヘリコイド(英語版)(=螺旋面)は見た目は大きく異なるが、両者の距離構造は同じなので、ガウス曲率は変わらない。
このように「外の空間」とは無関係にMの情報だけを用いて計算できる量をMに内在的な(英: intrinsic)量であるという。Theorema Egregiumは、ガウス曲率がMの内在的な量である事を意味している。
Theorema Egregiumを使うと、地球の地図を書くとき距離を歪ませない正確な地図は書けない事を示す事ができる。実際、もし正確な地図が書けるなら、地球と地図(すなわち球面と平面)の距離構造は同一なので、Theorema Egregiumより両者のガウス曲率は等しくなければならないが、球面のガウス曲率は半径をRとすると1/Rであり、平面のガウス曲率は0である事が知られているので、これは矛盾である。
なお、ガウスがTheorema Egregiumなどの曲面論(ガウスの曲面論(英語版))を研究したきっかけは、国家の測量を依頼されたためであった。
ベルンハルト・リーマンはTheorema Egregiumに着目する事により、「外の空間」なしのn次元曲面、すなわちn次元リーマン多様体を定義し、これが今日の微分幾何学の研究の嚆矢となった。
さらにアルベルト・アインシュタインは、重力の座標変換則がリーマン多様体のそれとよく似ている事に着目し、宇宙をリーマン多様体の類似物(擬リーマン多様体)と見なすことで一般相対性理論を確立した。