進化的安定戦略
として対称化をはかる。ここで ρ i , j : X 0 × X 1 → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \rho _{i,j}~:~X_{0}\times X_{1}\to [0,1]} は ∑ i , j ρ i , j ( ξ 0 , ξ 1 ) = 1 {\displaystyle \textstyle \sum _{i,j}\rho _{i,j}(\xi _{0},\xi _{1})=1} を満たす関数である。
直観的には E i j {\displaystyle {\mathcal {E}}_{ij}} は自分が立場i、闘争相手が立場jにいるときの利得関数で、 ρ i , j ( ξ 0 , ξ 1 ) {\displaystyle \rho _{i,j}(\xi _{0},\xi _{1})} は自分が個体戦略 ( ξ 0 , ξ 1 ) ∈ X 0 × X 1 {\displaystyle (\xi _{0},\xi _{1})\in X_{0}\times X_{1}} を取っている際に、自分が立場i、闘争相手が立場jになる確率である。
本節では上述した1,...,5の制約を外すための手法を順に述べていく。
E ( q ^ , ( 1 − x ( t ) ) q ^ + x ( t ) q ) > E ( q , ( 1 − x ( t ) ) q ^ + x ( t ) q ) {\displaystyle E({\hat {\mathbf {q} }},(1-x(t)){\hat {\mathbf {q} }}+x(t)\mathbf {q} )>E(\mathbf {q} ,(1-x(t)){\hat {\mathbf {q} }}+x(t)\mathbf {q} )} ...(Eq-RP4)
が成立する事である。
以上の議論から x ( t ) ≠ 1 {\displaystyle x(t)\neq 1} であれば、 x ( t + 1 ) < x ( t ) {\displaystyle x(t+1)<x(t)} である必要十分条件は(Eq-RP4)が成立する事である事がわかった。
よって特に、
「 x ( t ) ≠ 1 {\displaystyle x(t)\neq 1} かつ(Eq-RP4)が成立」⇒「 x ( t + 1 ) < x ( t ) {\displaystyle x(t+1)<x(t)} が成立」 ...(Eq-RP5)
が結論づけられる。
さて、仮定より、 x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} は進化的安定戦略 q ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {q} }}} の q ≠ q ^ {\displaystyle \mathbf {q} \neq {\hat {\mathbf {q} }}} に対する参入障壁 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} に対して 0 ≤ x ( 0 ) < ε 0 {\displaystyle 0\leq x(0)<\varepsilon _{0}} を満たしていた。
E ( σ ∗ , σ ∗ ) + ε E ( σ ∗ , σ − σ ∗ ) > E ( σ , σ ∗ ) + ε E ( σ , σ − σ ∗ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma _{*})+\varepsilon E(\sigma _{*},\sigma -\sigma _{*})>E(\sigma ,\sigma _{*})+\varepsilon E(\sigma ,\sigma -\sigma _{*})} ...(A)
となる。したがって(A)式が成り立つ必要十分条件が定理3の2条件である事を示せばよい。
(必要性)(A)式で極限ε→0を取ると、均衡条件の式 E ( σ ∗ , σ ∗ ) ≥ E ( σ , σ ∗ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma _{*})\geq E(\sigma ,\sigma _{*})} が得られる。また E ( σ ∗ , σ ∗ ) = E ( σ , σ ∗ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma _{*})=E(\sigma ,\sigma _{*})} であれば、(A)式より ε E ( σ ∗ , σ − σ ∗ ) > ε E ( σ , σ − σ ∗ ) {\displaystyle \varepsilon E(\sigma _{*},\sigma -\sigma _{*})>\varepsilon E(\sigma ,\sigma -\sigma _{*})} なので、ε≠0に対してこれを変形すると E ( σ ∗ , σ ) > E ( σ , σ ) {\displaystyle E(\sigma _{*},\sigma )>E(\sigma ,\sigma )} となり、安定条件が言える。
(十分性)定義1の式を変形すると、
が成立した。
しかしこうした性質は行列ゲーム以外のゲームでは必ずしも成立するとは限らない。実際我々は現段階では一般のゲームにおける E {\displaystyle {\mathcal {E}}} には一切仮定をおいていない為、線形性どころか連続性すら成り立つとは限らない。
このため行列ゲームに対して示した性質は一般のゲームに対しては無条件に成り立つとは限らず、線形性など何らかの仮定をおいた上でこうした性質(の類似物)を示す必要がある。
そこで本節では、線形性など E {\displaystyle {\mathcal {E}}} に関する性質をいくつか導入し、これらの性質を元に進化的安定性の満たす性質を示す。
E ( r ∞ , r ∞ ) = ( 1 − x ∞ ) E ( q ^ , r ∞ ) + x ∞ E ( q , r ∞ ) > ( 1 − x ∞ ) E ( q , r ∞ ) + x ∞ E ( q , r ∞ ) = E ( q , r ∞ ) {\displaystyle E(\mathbf {r} _{\infty },\mathbf {r} _{\infty })=(1-x_{\infty })E({\hat {\mathbf {q} }},\mathbf {r} _{\infty })+x_{\infty }E(\mathbf {q} ,\mathbf {r} _{\infty })>(1-x_{\infty })E(\mathbf {q} ,\mathbf {r} _{\infty })+x_{\infty }E(\mathbf {q} ,\mathbf {r} _{\infty })=E(\mathbf {q} ,\mathbf {r} _{\infty })} ...(Eq-Rp6)
である。一方(Eq-RP1)の分母を払って極限を取ると
E ( τ ∞ , τ ∞ ) ⋅ x ∞ = E ( σ , τ ∞ ) ⋅ x ∞ {\displaystyle E(\tau _{\infty },\tau _{\infty })\cdot x_{\infty }=E(\sigma ,\tau _{\infty })\cdot x_{\infty }}
が成立する。 x ∞ ≠ 0 {\displaystyle x_{\infty }\neq 0} であれば上式両辺を x ∞ {\displaystyle x_{\infty }} で割る事ができるが、割った結果は(Eq-RP6)と矛盾する。したがって x t {\displaystyle x_{t}} のt→∞における極限は x ∞ = 0 {\displaystyle x_{\infty }=0} である事が結論付けられる。
Π = δ τ {\displaystyle \Pi =\delta _{\tau }}
のようにたった一つの混合戦略 τ = ∑ i ε j σ j {\displaystyle \tau =\textstyle \sum _{i}\varepsilon _{j}\sigma _{j}} により記述できる。ここで f i ( τ ) := E ( i , τ ) {\displaystyle f_{i}(\tau ):={\mathcal {E}}(i,\tau )} と定義すれば、
E ( σ , δ τ ) = ∑ i p i f i ( τ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ,\delta _{\tau })=\sum _{i}p_{i}f_{i}(\tau )}
が成立する事になる。利得関数 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} が上式のように書けるゲームが個体群ゲームである。