熱核
∂ K ∂ t ( t , x , y ) = Δ K ( t , x , y ) for all t > 0 and x , y ∈ Ω {\displaystyle {\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta K(t,x,y){\text{ for all }}t>0{\text{ and }}x,y\in \Omega }
lim t → 0 K ( t , x , y ) = δ x ( y ) for all x , y ∈ Ω {\displaystyle \lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y){\text{ for all }}x,y\in \Omega }
K ( t , x , y ) = 0 , x ∈ ∂ Ω or y ∈ ∂ Ω . {\displaystyle K(t,x,y)=0,\quad x\in \partial \Omega {\text{ or }}y\in \partial \Omega .}
このような場合に、任意の領域上での熱核の正式な表現を導出することは、困難ではない。実際、ある連結領域(あるいは境界を伴う多様体)U でのディリクレ問題を考える。そのラプラシアンに対するディリクレ問題の固有値を λn とする。すなわち、
{ Δ φ + λ φ = 0 in U φ = 0 on ∂ U {\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\text{in}}\ U\\\phi =0&{\text{on}}\ \partial U\end{array}}\right.