チャップマン＝コルモゴロフ方程式
扱う系によって、チャップマン=コルモゴロフ方程式はいくつかの表現形式をとりうる。離散状態をとる連続時間マルコフ連鎖においては、pij(t)=P (X (t )=j|X (0)=i) に対し、チャップマン=コルモゴロフ方程式は
p i j ( t + s ) = ∑ k ∈ S p i k ( t ) p k j ( s ) {\displaystyle p_{ij}(t+s)=\sum _{k\in S}p_{ik}(t)p_{kj}(s)}
の形で表される。同様に離散時間マルコフ連鎖においては、pij(n)=P (X (n )=j|X (0)=i)に対し、チャップマン=コルモゴロフ方程式は
p i j ( n + m ) = ∑ k ∈ S p i k ( n ) p k j ( m ) {\displaystyle p_{ij}(n+m)=\sum _{k\in S}p_{ik}(n)p_{kj}(m)}
となる。ここで、遷移行列
P ( n ) = ( p i j ( n ) ) {\displaystyle P(n)=(p_{ij}(n))}
を導入すれば、チャップマン=コルモゴロフ方程式は遷移行列Pを用いて、
P ( n + m ) = P ( n ) P ( m ) {\displaystyle P(n+m)=P(n)P(m)}
という行列の積で表現される。