楕円曲線
有理数体 Q 上、あるいは一般に代数体 K 上定義された曲線 E/K についても接線と割線の方法 (the tangent and secant method) による加法は適用できる。群構造を定義したときにも述べたように、明示公式から、2つの K-有理点 P, Q の和は、P と Q を結ぶ直線は K 上に係数を持つゆえ、再び K 上に座標を持つ。このようにして、E の K-有理点全体のなす集合は E の複素数点(K が実代数体の場合は実数点)全体のなす群の部分群を成す。この意味において、楕円曲線はアーベル群、すなわち P + Q = Q + P となっている。
モジュラー性定理は、以前は谷山志村予想としても知られていたが、Q の上の全ての楕円曲線 E はモジュラーであるということであり、言い換えると、楕円曲線のハッセ・ヴェイユのゼータ関数はウェイト 2 でレベル 1 のモジュラー形式のL-関数であるということを言っている。ここに N はアーベル多様体 E の導手(英語版)である。(導手とは、E の判別式 Δ(E) として同じ素数により割ることのできる整数を言う。)言い換えると、Re(s) > 3/2 に対し、L-関数を
L ( E ( Q ) , s ) = ∑ n > 0 a ( n ) n − s {\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),s)=\sum _{n>0}a(n)n^{-s}}
の形に書くと、
∑ a ( n ) q n , q = exp  ( 2 π i z ) {\displaystyle \sum a(n)q^{n},\qquad q=\exp(2\pi iz)}
はウェイト 2 でレベル N の双曲モジュラー形式の新形式(英語版)(newform)を定義する。N を割らない素数 l に対して、モジュラー形式の係数 a(l) は l に等しい、つまり法 l での最小多項式の解の個数に等しい。
判別式(と導手)が 37 である楕円関数 y 2 − ′′ y ′′ = x 3 − x {\displaystyle y^{2}-''y''=x^{3}-x} の例は、モジュラー形式
射影平面で考えると、すべての滑らかな三次曲線上の群構造を定義することができる。射影平面上、楕円曲線がヴァイエルシュトラスの標準形
Y 2 Z + a 1 X Y Z + a 3 Y Z 2 = X 3 + a 2 X 2 Z + a 4 X Z 2 + a 6 Z 3 {\displaystyle Y^{2}Z+a_{1}XYZ+a_{3}YZ^{2}=X^{3}+a_{2}X^{2}Z+a_{4}XZ^{2}+a_{6}Z^{3}}
によりあらわされるとき、そのような三次曲線は斉次座標(英語版) [0 : 1 : 0] である無限遠点 O を持ち、群の単位元となる。
曲線は x-軸で対称であるので、任意の点 Pが与えられると、−P はその反対側の点として取ることができる。−O は O とする。
P と Q が曲線上の二点であれば、一意に第三の点 P + Q を次の方法で定義することができる。まず、P と Q を通る直線を引く。この直線は一般に第三の点 R で曲線と交わる。P + Q を R の反対の点である −R とする。
この加法の定義は、ほとんどの場合はうまく働くが、いくつかの例外がある。一つ目の例外は、加算する点の片方が O であるときである。このとき、P + O = P = O + P と定義し、O は群の単位元となる。第二の例外は、P と Q が互いに反対側の点である場合である。この場合は、P + Q = O と定義する。最後の例外は、P = Q の場合であり、このとき一点しかないため、これを通る直線を一意に定義できない。そこで、この点での曲線の接線を使う。ほとんどの場合、接線は第二の点 R で曲線と交叉するため、反対の点をとることができる。
Z ( E ( F p ) ) = exp  ( ∑ card  [ E ( F p n ) ] T n n ) {\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p}))=\exp \left(\sum \operatorname {card} \left[E({\mathbf {F} }_{p^{n}})\right]{\frac {T^{n}}{n}}\right)}
で与えられる。
冪の右肩に乗っている指数の和は、対数の展開に似ていて、実際、そのように定義されるゼータ関数は有理関数
Z ( E ( F p ) ) = 1 − a p T + p T 2 ( 1 − T ) ( 1 − p T ) {\displaystyle Z(E(\mathbf {F} _{p}))={\frac {1-a_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}}}
である。
よって、Q 上の E のハッセ・ヴェイユのゼータ関数は、全ての素数 p についてのこれらの情報を互いに集めることにより定義される。すなわち、
L ( E ( Q ) , s ) = ∏ p ( 1 − a p p − s + ε ( p ) p 1 − 2 s ) − 1 {\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),s)=\prod _{p}\left(1-a_{p}p^{-s}+\varepsilon (p)p^{1-2s}\right)^{-1}}