代数幾何学と解析幾何学
X を複素射影代数多様体とする。X は複素多様体であるので、複素数の点 X(C) はコンパクト複素解析空間の構造を持ち、X と表わされる。同様に、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を X 上の層とすると、X 上の対応する層 F an {\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}} が存在し、これが解析的な対象と代数的な対象を関連付ける函手となる。典型的な X と X を関連付ける定理は、次のように言うことができる。
X 上の任意の 2つの連接層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} と G {\displaystyle {\mathcal {G}}} に対し、自然な準同型
Hom O X ( F , G ) → Hom O X an ( F an , G an ) {\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})}
は同型である。ここに、 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} は代数多様体 X の構造層であり、 O X an {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}} は解析的多様体 X の構造層である。
20世紀には、ソロモン・レフシェッツの名前をつけたレフシェッツの原理が代数幾何学の中で、K を複素数体として扱うように、標数が 0 の任意の代数的閉体 K 上の代数幾何学の位相的なテクニックを評価するために主張された。大まかに言うと、Cの上の代数幾何学で正しいステートメントは、任意の標数が 0 である代数的閉体の上でも正しいということである。詳細な原理の証明は、アルフレト・タルスキ(Alfred Tarski)により、数理論理学を基礎としてなされた。
この原理は、C上の代数多様体の解析的、位相的な方法を使って得られる結果を出すことを、標数 0 のほかの代数的な閉体の上で行うことで可能となる。