急成長階層
以下の関数 fα の定義はケトネンとソロヴェイの論文による。極限順序数 α の基本列とは、自然数で添え字づけられた順序数の単調増加列 {αn}n < ω であって α に収束するものである。
極限順序数 α (≦ ε0) と自然数 n に対して α[n] を以下で定義する:
α が α = ω β + 1 ⋅ ( γ + 1 ) {\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta +1}\cdot (\gamma +1)} と書ける場合、 α [ n ] = ω β + 1 ⋅ γ + ω β ⋅ n {\displaystyle \alpha [n]=\omega ^{\beta +1}\cdot \gamma +\omega ^{\beta }\cdot n} 。
α が α = ω β ⋅ ( γ + 1 ) {\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta }\cdot (\gamma +1)} (β は極限順序数)と書ける場合、 α [ n ] = ω β ⋅ γ + ω β [ n ] {\displaystyle \alpha [n]=\omega ^{\beta }\cdot \gamma +\omega ^{\beta [n]}} 。
α = ε0 の場合、 α [ 0 ] = 1 , α [ n + 1 ] = ω α [ n ] {\displaystyle \alpha [0]=1,\ \alpha [n+1]=\omega ^{\alpha [n]}} 。