不定和分
∑ x sinh  a x = 1 2 csch  ( a 2 ) cosh  ( a 2 − a x ) + C , {\displaystyle \sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C,}
∑ x cosh  a x = 1 2 coth  ( a 2 ) sinh  a x − 1 2 cosh  a x + C , {\displaystyle \sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\coth \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh ax-{\frac {1}{2}}\cosh ax+C,}
∑ x tanh  a x = 1 a ψ e a ( x − i π 2 a ) + 1 a ψ e a ( x + i π 2 a ) − x + C , {\displaystyle \sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C,} ただし、ψq(x) は q-ディガンマ函数.
∑ x f ( x ) Δ g ( x ) = f ( x ) g ( x ) − ∑ x ( g ( x ) + Δ g ( x ) ) Δ f ( x ) , {\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x),}
∑ x f ( x ) Δ g ( x ) + ∑ x g ( x ) Δ f ( x ) = f ( x ) g ( x ) − ∑ x Δ f ( x ) Δ g ( x ) . {\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x).}
∑ x f ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t + ∑ k = 1 ∞ c k Δ k − 1 f ( x ) k ! + C {\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}\Delta ^{k-1}f(x)}{k!}}+C}
ただし、
c k = ∫ 0 1 Γ ( x + 1 ) Γ ( x − k + 1 ) d x {\displaystyle c_{k}=\int _{0}^{1}{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}dx}
は第二種ベルヌイ数(英語版)である。
↑ 一つのパラメータ h を導入して、歩み h の差分 Δh f(x) := f(x + h) − f(x) あるいは差分商 Δhf(x)⁄Δhx = f(x+h)−f(x)⁄h の逆演算として、歩み h の不定和分 ∑f(x)Δhx を考えることもある。h = 1 が本項における場合であり、また h→0 の極限で Δhf(x)⁄Δhx → df(x)⁄dx は微分商、∑f(x)Δhx → ∫f(x)dx は不定積分となる。
↑ 従って特に、函数 f(x) として定義域が整数全体となるようなもの、即ち数列 (an) を取るならば、周期 1 の周期函数とは定数列に他ならない。