有界作用素
ノルム空間のあいだの全ての線形作用素が有界であるというわけではない。X を、[−π, π] 上で定義されるすべての三角多項式 P からなる空間とし、そのノルムを
‖ P ‖ := ∫ − π π | P ( x ) | d x {\displaystyle \|P\|:=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx}
で定める。L:X→X を、微分を行うような作用素、すなわち、多項式 P をその微分 P′ へと写すような作用素として定義する。このとき
v := e i n x , n ∈ N {\displaystyle v:=e^{inx},\quad n\in \mathbb {N} }