情報系
( X n ) n ∈ N {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} を確率空間 ( Ω , A , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} 上の確率過程とする。このとき
F n := σ ( X k ∣ k ≤ n ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)}
は σ-加法族であり、 F = ( F n ) n ∈ N {\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }} は情報系になる。ここで σ ( X k ∣ k ≤ n ) {\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)} は確率変数列 X 1 , X 2 , ... , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} によって生成されたσ-加法族を表す。
F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} が σ-加法族で
σ ( X k ∣ k ≤ n ) ⊆ σ ( X k ∣ k ≤ n + 1 ) {\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1)}
だから、 F {\displaystyle \mathbb {F} } は確かに情報系になっている。
( Ω , A , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} を確率空間、 I {\displaystyle I} を全順序 ≤ {\displaystyle \leq } を備えた添字集合とする( N {\displaystyle \mathbb {N} } , R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} , または R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} の部分集合であることが多い)。
任意の i ∈ I {\displaystyle i\in I} について F i {\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}} は A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の部分 σ-加法族とする。このとき