広田微分
二つの関数の組f 、g に対して、
D x f ⋅ g = ( ∂ ∂ x − ∂ ∂ x ′ ) f ( x ) g ( x ′ ) | x ′ = x = f x g − f g x {\displaystyle D_{x}f\cdot g=\left.{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial x'}}{\biggr )}f(x)g(x')\right|_{x'=x}=f_{x}g-fg_{x}}
で定義される二項演算を広田微分と呼ぶ。また演算子Dxを広田のD-演算子と呼ぶ。
より一般的には、多変数関数の二つの組f (x, y, z, ... ) 、g (x, y, z,... ) に対して、 高階の広田微分が
広田微分はヤコビの恒等式を満たす。 D x ( D x f ⋅ g ) ⋅ h + D x ( D x g ⋅ h ) ⋅ f + D x ( D x h ⋅ f ) ⋅ g = 0 {\displaystyle D_{x}(D_{x}f\cdot g)\cdot h+D_{x}(D_{x}g\cdot h)\cdot f+D_{x}(D_{x}h\cdot f)\cdot g=0}
D x 2 f ⋅ g = f x x g − 2 f x g x + f g x x {\displaystyle D_{x}^{\,2}f\cdot g=f_{xx}g-2f_{x}g_{x}+fg_{xx}}
D x 3 f ⋅ g = f x x x g − 3 f x x g x + 3 f x g x x − f g x x x {\displaystyle D_{x}^{\,3}f\cdot g=f_{xxx}g-3f_{xx}g_{x}+3f_{x}g_{xx}-fg_{xxx}}
D x 4 f ⋅ g = f x x x x g − 4 f x x x g x + 6 f x x g x x − 4 f x g x x x + f g x x x x {\displaystyle D_{x}^{\,4}f\cdot g=f_{xxxx}g-4f_{xxx}g_{x}+6f_{xx}g_{xx}-4f_{x}g_{xxx}+fg_{xxxx}}
D x D y f ⋅ g = f y x g − f y g x − f x g y + f g y x {\displaystyle D_{x}D_{y}f\cdot g=f_{yx}g-f_{y}g_{x}-f_{x}g_{y}+fg_{yx}}
広田微分を作用させた結果において、各項は二つの関数の導関数について、どちらも一次式の形になっており、これを双線形形式(bilinear form)と呼ぶ。また、広田微分を用いて、双線形形式に帰着させることを双線形化と呼ぶ。