マクスウェルの方程式
いずれの式も左辺は線形演算子のダランベルシアン□が作用しており、右辺は片やスカラー値の、片やベクトル値の連続関数である。ベクトルについては各々の成分について適用して考えることでスカラーの場合と同様に考えることができる。線形微分方程式に対してはグリーン関数法を考えることで解くことができる。すなわち、
( Δ − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) G ( x , t ) = − δ ( x , t ) {\displaystyle \left(\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)G({\boldsymbol {x}},t)=-\delta ({\boldsymbol {x}},t)}
の解となる関数(グリーン関数) G ( x , t ) {\displaystyle G({\boldsymbol {x}},t)} を求めることで一般に
電荷密度と電流密度が作る場である D , H {\displaystyle {\boldsymbol {D}},~{\boldsymbol {H}}} と、電荷密度と電流密度に力を及ぼす場である E , B {\displaystyle {\boldsymbol {E}},~{\boldsymbol {B}}} は分極 P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} と磁化 M {\displaystyle {\boldsymbol {M}}} を介して以下のように関連付けられる。
D = ε 0 E + P H = μ 0 − 1 B − M {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {D}}&=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}\\{\boldsymbol {H}}&=\mu _{0}^{-1}{\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {M}}\end{aligned}}}
真空中では P = M = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {0}}} となる。
E-H対応の場合は磁気に関する構成方程式が B = μ 0 H + P m {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\mu _{0}{\boldsymbol {H}}+{\boldsymbol {P}}_{\mathrm {m} }} となる。
が定義される。
4元電流密度により1次微分形式
J = j μ d x μ = ρ c 2 d t − j x d x − j y d y − j z d z {\displaystyle J=j_{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }=\rho c^{2}\mathrm {d} t-j_{x}\mathrm {d} x-j_{y}\mathrm {d} y-j_{z}\mathrm {d} z}
を導入し、これのホッジ双対により3次微分形式
J ∗ = 1 3 !
電流または変位電流の周りには磁場が巻いていることを示す。
この式は、電流によって磁場が生じるというアンペールの法則に変位電流を加えたものである。

マクスウェルの方程式は、次の2つの組に分類されることが多い。
で伝搬する波動であることを意味する。媒質の屈折率
n = μ ε μ 0 ε 0 = c μ ε {\displaystyle n={\sqrt {\frac {\mu \varepsilon }{\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=c{\sqrt {\mu \varepsilon }}}
を導入すれば、 v {\displaystyle v} は
v = c n {\displaystyle v={\frac {c}{n}}}
とも表される。
ここで、真空の誘電率と真空の透磁率の各値から導かれる定数 c {\displaystyle c} の値が光速度の値とほとんど一致することから、マクスウェルは光は電磁波ではないかという予測を行った。その予測は1888年にハインリヒ・ヘルツによって実証された。ヘルツはマクスウェルの方程式の研究に貢献したので、マクスウェルの方程式はマクスウェル-ヘルツの(電磁)方程式と呼ばれることもある。