デバイ模型
を用いて、立方体を球の1/8と大胆に近似した。
U ≈ ∫ 0 π / 2 ∫ 0 π / 2 ∫ 0 R E ( n ) 3 e E ( n ) / k T − 1 n 2 sin  θ d n d θ d φ {\displaystyle U\approx \int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{R}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}n^{2}\sin \theta \,dn\,d\theta \,d\phi }
ここで R は球の半径(立方体と球の1/8とで粒子数が一致するように定める)であり、 立方体の体積は単位格子の N 個分の体積である。
N = 1 8 4 3 π R 3 {\displaystyle N={1 \over 8}{4 \over 3}\pi R^{3}}
よって次を得る。
R = 6 N π 3 {\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}}
以上で正しい本来の積分を球の積分に置き換えたことにより、再び模型に不正確さが生じてしまっている。
エネルギーを求める積分は以下の式となる。
U = 3 π 2 ∫ 0 R h c s n 2 L n 2 e h c s n / 2 L k T − 1 d n {\displaystyle U={3\pi \over 2}\int _{0}^{R}\,{hc_{s}n \over 2L}{n^{2} \over e^{hc_{s}n/2LkT}-1}\,dn}
デバイ模型においては、 T ≫ T D {\displaystyle T\gg T_{D}} のときデバイ固体の温度が「高い」とよぶ。 | x | ≪ 1 {\displaystyle |x|\ll 1} のとき、 e x − 1 ≈ x {\displaystyle e^{x}-1\approx x} と近似することができ、以下が導かれる。
C V N k ∼ 9 ( T T D ) 3 ∫ 0 T D / T x 4 x 2 d x {\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{D}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{D}/T}{x^{4} \over x^{2}}\,dx}
C V N k ∼ 3 {\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 3}
これはデュロン=プティの法則であり、比熱を上昇させてしまう非調和性を考慮にいれなくても非常に正確な結果が導かれる。導体や半導体の固体の全比熱においては、無視できない電子比熱の寄与がある。
デバイ模型とアインシュタイン模型はどの程度実験値と一致するのであろうか?どちらも驚くほど近い結果を示すが、特に低温ではアインシュタイン模型よりもデバイ模型がよい一致を示すことが知られている。
2つの模型はどのように違うのだろうか?質問に答えるには、同じグラフに2つの結果を描くのがよいだろう。アインシュタイン模型もデバイ模型も熱容量の「関数形式」を導く。両方とも数学「模型」であり、スケールのない数学模型はありえない。スケールにより、数学模型は実世界での対応するものと結びついている。アインシュタイン模型の比熱は以下の式で与えられ、
C V = 3 N k ( ε k T ) 2 e ε / k T ( e ε / k T − 1 ) 2 {\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\epsilon \over kT}\right)^{2}{e^{\epsilon /kT} \over \left(e^{\epsilon /kT}-1\right)^{2}}}
そのスケールは ε / k である。一方、デバイ模型のスケールはデバイ温度 TD である。両方のスケールは、模型を実験データにあてはめることで得られる。(デバイ温度は理論的には音速と結晶の次元から計算される。
ν = c s λ = c s N 3 2 L = c s 2 N V 3 {\displaystyle \nu ={c_{s} \over \lambda }={c_{s}{\sqrt[{3}]{N}} \over 2L}={c_{s} \over 2}{\sqrt[{3}]{N \over V}}}
これはアインシュタイン温度をつくり
T E = ε k = h ν k = h c s 2 k N V 3 {\displaystyle T_{E}={\epsilon \over k}={h\nu \over k}={hc_{s} \over 2k}{\sqrt[{3}]{N \over V}}}
よって求めたい2つの温度の比は以下のようになる。
T E T D = π 6 3 {\displaystyle {T_{E} \over T_{D}}={\sqrt[{3}]{\pi \over 6}}}
これにより、両方のモデルを同じグラフへと描くことができるようになった。付け加えると、この比は3次元球の8分円の体積 1/84/3πR とそれを含む立方体の体積 R の比の3乗根である。これはちょうど、エネルギー積分を近似する際にデバイによって用いられた補正因子でもある。