弧長
既に述べたように、曲線の中には求長不能な、すなわち折線近似の長さに上界がない(長さをいくらでも大きくできる)ものが存在する。少し砕けた表現では、そのような曲線は長さが無限大であるなどという。曲線上の(少なくとも二点以上を含む)任意の弧が無限長を持つような連続曲線が存在する。そのような曲線の例としてコッホ曲線や、0 をいずれかの端点とする任意の開区間上で f (x) = xsin(1/x) および f (0) = 0 で定義される函数のグラフなどがある。無限長曲線の大きさを「測る」のには、ハウスドルフ次元やハウスドルフ測度(英語版)が用いられることもある。
函数 y = f (x) で与えられる曲線が求長可能であるものと仮定する。曲線上の点 a から b までの f に沿った弧長 S を近似するために、斜辺を連結して曲線の弧を「被覆」できるような直角三角形の列を構成する。簡単のため、全ての三角形の底辺は等しく Δx であるものとすると、その各々の三角形に対して高さ Δy が対応づけられて、斜辺の長さがピタゴラスの定理により
Δ x 2 + Δ y 2 = 1 + ( Δ y Δ x ) 2 Δ x {\displaystyle {\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}={\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x}
と与えられる。S を近似する n 個の斜辺の長さの和は
S ≈ ∑ i = 1 n 1 + ( Δ y i Δ x i ) 2 Δ x i {\displaystyle S\approx \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {1+{\Bigl (}{\frac {\Delta y_{i}}{\Delta x_{i}}}{\Bigr )}^{\!\!2}}}\,\Delta x_{i}}