整拡大
B を環とし、A をその部分環とする。このとき B の元 b について次は同値。
b は A 上整
部分環 A[b] ⊂ B は A-加群として有限生成
A[b] は有限生成 A-加群である部分環 C ⊂ B に含まれる
忠実な A[b]-加群 M で A 上有限生成なものが存在する
有限生成部分 A-加群 M ⊂ B が存在し、bM ⊂ M であり、M の B における零化イデアルは0
, x n ] {\displaystyle {\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]} は k [ x 1 , ... , x n ] {\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]} 上整である。
有限群 G が環 A に作用しているとする。このとき A は G によって固定される元の集合 A 上整である。ring of invariants を見よ。
任意の環において1の冪根と冪零元は Z 上整である。
R を環とし、u を R を含む環における単位元とする。このとき
u が R 上整であるのは、u ∈ R[u] であるとき、かつそのときに限る。
R [ u ] ∩ R [ u − 1 ] {\displaystyle R[u]\cap R[u^{-1}]} は R 上整である。
形式冪級数環 C[[x]] の、ローラン級数体 C((x)) の有限次拡大における整閉包は、 C [ [ x 1 / n ] ] {\displaystyle \mathbf {C} [[x^{1/n}]]} の形である(cf. ピュイズー級数)。
正規射影多様体 X の斉次座標環の整閉包は切断の環(ring of sections)である。
⨁ n ≥ 0 H 0  ( X , O X ( n ) ) {\displaystyle \bigoplus \nolimits _{n\geq 0}\operatorname {H} ^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))}