特性曲線法
( a ( x , y , z ) , b ( x , y , z ) , c ( x , y , z ) ) {\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,}
が全ての点において曲面 z = z(x, y) に接するという幾何学的な内容を意味する。言い換えると、解はこのベクトル場の積分曲線の合併となる。これらの積分曲線は、元の偏微分方程式の特性曲線と呼ばれる。
特性曲線の方程式は、ラグランジュ=シャルピ方程式によって次のように不変な形で表すことが出来る:
d x a ( x , y , z ) = d y b ( x , y , z ) = d z c ( x , y , z ) . {\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.}
また、この曲線のパラメータ化 t が固定された場合、これらの方程式は x(t), y(t), z(t) に対する次の連立常微分方程式として書くことが出来る。
d x d t = a ( x , y , z ) , d y d t = b ( x , y , z ) , d z d t = c ( x , y , z ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=a(x,y,z),\\{\frac {dy}{dt}}&=b(x,y,z),\\{\frac {dz}{dt}}&=c(x,y,z).\end{aligned}}}
これらを元の偏微分方程式の特性方程式 (characteristic equation) という。