ベレジンスキー＝コステリッツ＝サウレス転移
BKT転移のメカニズムを解明するために、渦生成に必要なヘルムホルツの自由エネルギー(つまり、エネルギーとエントロピーとの競合)について考える。
単独の渦1個(簡単のため、渦度を1とする)が持つエネルギーは、スピン波近似のハミルトニアンから、
E ∼ J 2 ∫ d 2 r ( ∇ θ ) 2 = J 2 ∫ a L d 2 r 2 π d r 1 r 2 = π J log  ( L a ) {\displaystyle E\sim {\frac {J}{2}}\int {\mathrm {d} }^{2}r(\nabla \theta )^{2}={\frac {J}{2}}\int _{a}^{L}d^{2}r2\pi {\mathrm {d} }r{\frac {1}{r^{2}}}=\pi J\log \left({\frac {L}{a}}\right)}
と表せる。第2式の動径方向の積分は、格子間隔(渦芯の半径)aを下限として系全体の半径Lまでの範囲で行っている。また、2次元格子上で渦の中心を置く位置のとりうる数(つまり、微視的な状態数)を考えて、ボルツマンの公式を用いると、渦のエントロピーは
G ( r i − r j ) ∼ exp  ( − r log  2 β J ) {\displaystyle G({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j})\sim \exp \left(-r\log {\frac {2}{\beta J}}\right)}
ここで、βは逆温度である。
一方、低温領域については、スピン波近似を用いて計算される。系が十分低温である場合、各スピンのゆらぎは小さくなり、隣接するスピン同士の向きはほとんど同じとみなすことができる。このような近似のもとで、相関関数は
G ( r i − r j ) ∼ ( 1 r ) 1 / 2 π β J {\displaystyle G({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j})\sim \left({\frac {1}{r}}\right)^{1/2\pi \beta J}}
となる。この式は距離rに反比例する減少関数となっている。
通常の相転移では、秩序相であれば長距離秩序が存在し相関関数は減衰せず、無秩序相であれば相関関数は指数関数的に減衰する。つまり2次元XY模型の低温領域における相関は、距離が離れるにつれてゆっくりと減衰するような特殊な秩序を持っている。このような秩序は準長距離秩序と呼ばれる。