アスコリ＝アルツェラの定理
T がバナッハ空間 X からバナッハ空間 Y へのコンパクト線型作用素であるとき、その転置 T は(連続)双対空間 Y から X へのコンパクト作用素である。これはアスコリ=アルツェラの定理によって確かめることが出来る。
実際、X の閉単位球 B の像 T(B) は、Y のコンパクト部分集合 K に含まれる。Y の単位球 B は、Y から K へ制限されることにより、有界かつ同程度連続な K 上の(線型)連続函数の集合 F を定義する。アスコリ=アルツェラの定理より、B 内のすべての列 {y∗n} に対して、K 上で一様収束する部分列が存在する。これは、その部分列の像 T ∗ ( y n k ∗ ) {\displaystyle T^{*}(y_{n_{k}}^{*})} が X においてコーシーであることを意味する。
f が、開円板 D1 = B(z0, r) における正則函数で、その絶対値が M より小さいなら、(例えばコーシーの積分公式によって)その導函数の絶対値はより小さい円板 D2 = B(z0, r/2) において 4M/r よりも小さくなる。D1 上の正則函数の族が D1 上で定数 M によって有界であるなら、D2 への制限の族 F は D2 上で同程度連続となる。したがって、D2 上で一様収束する部分列を選ぶことが出来る。これはモンテルの定理の第一ステップである。
証明は対角線論法に本質的に基づくものである。最も簡単な場合は、次の有界閉区間上の実数値函数の場合である:
I = [a, b] ⊂ R を有界閉区間とする。一様有界かつ同程度連続な函数 f : I → R の無限集合を F とする。このとき、I 上で一様収束する F の元の列 fn が存在する。
I 内の有理数の数え上げ {xi}i ∈N を固定する。F は一様有界なので、点 {f(x1)}f∈F の集合は有界である。したがってボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、{fn1(x1)} が収束するような F 内の相異なる函数の列 {fn1} が存在する。点 {fn1(x2)} の列に対して同様の議論を繰り返すことで、{fn2(x2)} が収束するような {fn1} の部分列 {fn2} の存在が分かる。
帰納的にこの手順はどこまででも繰り返すことが出来、次の包含関係を満たす部分列
構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikipedia.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \left \{f_{n_1} \right \} \supseteq \left \{f_{n_2} \right \} \supseteq \cdots}