球面調和関数
}{(k+|m|)!}}\,}}\,P_{k}^{|m|}(\cos \theta )\,e^{im\phi }}
と定義すれば、(A1), (A4), (A5), (B2) より、変数分離形の k 次の調和多項式 p は必ず
p ( r , θ , φ ) = r k ( A Y k m ( θ , φ ) + B Y k − m ( θ , φ ) ) , {\displaystyle p(r,\theta ,\phi )=r^{k}(AY_{k}{}^{m}(\theta ,\phi )+BY_{k}{}^{-m}(\theta ,\phi )),} m は整数で k ≤ |m|,
と書ける事になる。なお、p を直交座標に変換すると p が斉次多項式になっている事を確認できる。
また、3次元空間の場合、k 次球面調和関数全体のなすベクトル空間 Hk の次元は、(P2) より
dim C  H k = 2 k + 1 {\displaystyle \operatorname {dim} _{\mathbf {C} }{\mathcal {H}}_{k}=2k+1}
なので、(B2) より、以下の結論が得られる:
定理1 ― 3次元空間の場合、Y −kk (θ, φ), ..., Y kk (θ, φ) は Hk の基底である。すなわち3次元空間の場合、(変数分離形とは限らない)次数 k の斉次多項式(の球面への制限)Y が球面調和関数となる必要十分条件は、Y がこれらの関数の線形和として書ける事である。
3 次元空間 R の球面座標 (r, θ, φ) に対し、
d x d y d z = r 2 sin  θ d r d θ d φ {\displaystyle \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
が成立する。そこで、R 上の関数 χ, ξ に対し、χ, ξ の内積を
により定義し、さらに R の関数 f1, f2 の内積を
とする。f1, f2 が
f1(x) = χ1(r) Y1(θ, φ), f2(x) = χ2(r) Y2(θ, φ)
と変数分離形で書けていた場合には、(C1), (D1), (D2) で定義した内積は以下の性質を満たす。
⟨ f 1 | f 2 ⟩ = ⟨ χ 1 | χ 2 ⟩ R ⟨ Y 1 | Y 2 ⟩ S {\displaystyle \langle f_{1}|f_{2}\rangle =\langle \chi _{1}|\chi _{2}\rangle _{R}\langle Y_{1}|Y_{2}\rangle _{S}}
(C1), (D1), (D2) の内積を用いて自乗可積分な関数全体の集合をそれぞれ L(S, sin θ dθ dφ), L(R, r dr), L(R, dx dy dz) と書くと、ヒルベルト空間の一般論から、次が成立する。