ユークリッドの運動群
E(1), E(2), E(3) は自由度によって以下のように分類できる:
シャールの定理(英語版)は E(3) の任意の元が螺旋変位であることを主張する。
任意の方向への与えられた距離だけの平行移動は共軛類を成し、平行移動群は任意の距離に対するこれら共軛類の非交和になる。
一次元の場合、全ての鏡映が一つの共軛類に入る。
二次元の場合、何れかの向きに属する同じ角度の回転は同じ類に入る。同じ距離だけ平行移動する映進は同じ類に入る。
三次元の場合: 任意の点に関する反転は同じ類に入る。 同じ角だけの回転は同じ類に入る。 一つの軸に関する回転とその軸に沿った平行移動との合成は、角度が等しくかつ移動距離が等しいとき同じ類に入る。 一つの平面内での鏡映は同じ類に入る。 一つの平面内での鏡映とその平面内での同じ距離だけの平行移動との合成は同じ類に入る。 一つの軸に関する平角でない同じ角度の回転に、その軸に垂直な一つの平面に関する鏡映を合成したものは、同じ類に入る。
各点においてこの対称変換群の下での像全体の成す集合(最初の点の軌跡)は位相的に離散である。例えば 1 ≤ m ≤ n として互いに独立な方向への m 種類の平行移動で生成される群や有限な点群がそうであり、また格子群もこれに入る。もう少し一般には離散空間群も例として挙げられる。