音楽と数学
ピタゴラス音律は完全協和音である完全八度、完全五度、完全四度のみで作られる調律である。長三度は三度ではなくditone、つまり文字通りには「二全音」として考えられていて、その音程は(9:8) = 81:64である。 全音は2つの完全五度から導かれる(3:2)/2 = 9:8。
純正な長三度の比率5:4と短三度の比率6:5に対し、ピタゴラス音律では81:64と32:27となり、シントニックコンマすなわち81:80の差がある。Carl Dahlhaus (1990, p.187)によれば、「従属的な三度はピタゴラス音律に従い、独立した三度は倍音に基づく音程にむかう」。
西洋の伝統的音楽は一般に純正律で演奏することはできず、体系的に調整された音律を必要とする。調整は、不規則なウェル・テンペラメント、レギュラーテンペラメント、さまざまな平均律や正則中全音律などが用いられる。しかし、どの場合においても中全音律の基本的特徴を必要とする。例として、ii度音の平方根をドミナント上の五度に調律した場合、主音との音程差は9:8に等しくなる。また、短三度(6:5)を4:3サブドミナント音度の下においた場合、主音からの音程差は10:9に等しい。中全音律は9:8と10:9の間の相違を減らしている。すなわち、これら2つの比、(9:8)/(10:9) = 81:80はユニゾンとして扱われている。