ジャコブソン根基
R が単位的で自明環 {0} でなければ、ジャコブソン根基はつねに R とは異なる。なぜならば、単位元をもつ環はつねに極大右イデアルをもつからである。しかしながら、環論におけるいくつかの重要な定理や予想は J(R) = R のケースを考える。――「R が nil ring (つまり、その各元が冪零)であれば、多項式環 R[x] はそのジャコブソン根基に等しいだろうか?」これは未解決の Köthe 予想と同値である。
環 R/J(R) のジャコブソン根基は零である。ジャコブソン根基が零の環は半原始環と呼ばれる。
環が半単純であることとアルティン環かつそのジャコブソン根基が零であることは同値である。
f : R → S が全射環準同型であれば、f(J(R)) ⊆ J(S) である。
M が有限生成左 R-加群であって、J(R)M = M であれば、M = 0 である(中山の補題)。
J(R) はすべての中心的冪零元を含むが、0 以外の冪等元は含まない。
J(R) は R のすべての nil イデアル(英語版)を含む。R が左または右アルティン環であれば、J(R) は冪零イデアルである。実際はより強いことが言える。 { 0 } = T 0 ⊆ T 1 ⊆ ⋯ ⊆ T k = R {\displaystyle \left\{0\right\}=T_{0}\subseteq T_{1}\subseteq \dotsb \subseteq T_{k}=R} が右 R-加群 R の組成列(そのような組成列は R が右アルティン的であれば確かに存在し、R が左アルティン的であれば同様の左組成列が存在する)であれば、 ( J ( R ) ) k = 0 {\displaystyle \left(J\left(R\right)\right)^{k}=0} である。