半ノルム
絶対斉次性と劣加法性から、半ノルム 0のベクトル全体の成す集合
Z = { x ∈ V : p ( x ) = 0 } {\displaystyle Z=\{x\in V:p(x)=0\}}
が V の部分線型空間となることが従う。ここで V 上の同値関係 ∼ が
x ∼ y ⟺ def x − y ∈ Z {\displaystyle x\sim y{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}x-y\in Z}
によって定まる。この同値関係に関する同値類全体の成す集合 ~V は、線型空間として商線型空間 V/Z であり、半ノルム p に関してノルム空間となる。これを V の半ノルム p による商ノルム空間と言う。
このような構成は、例えばL-空間の定義に用いられる。
函数解析学の分野において局所凸線型空間は、半ノルムの族 (pi)i∈I によってしばしば定義される。これによりもとの線型空間 V に位相が入り、V は位相線型空間となる。
そのためにまず、部分集合 U ⊂ V が開であるとは、適当な x ∈ U に対し、ε > 0 と有限個の添字 i1, ..., ir が存在して、任意の y ∈ V に対して
p i j ( y ) < ε , j = 1 , ... , r ⟹ x + y ∈ U {\displaystyle p_{i_{j}}(y)<\varepsilon ,\,j=1,\ldots ,r\implies x+y\in U}
となるときに言うと定める。
この文脈において、特定の分離性条件を満足する半ノルム族が特に注目される。半ノルム族 (pi)i∈I が分離的 (separated) あるいは完全 (total) であるとは、各 x ∈ V ∖ {0} に対し、少なくとも一つの半ノルム pi が存在して pi(x) ≠ 0 となるときに言う。線型空間 V が先に述べた半ノルム族の定める位相に関してハウスドルフ(分離的)となるのは、ちょうど半ノルム族が分離的となるときである。そのような位相線型空間は局所凸空間と呼ばれる