リース＝ソリンの定理
ある定数 k < π に対し、それらの作用素は次の一様有界性を満たす: sup z ∈ S e − k | Im ( z ) | | ∫ ( T z f ) g μ 2 | < ∞ {\displaystyle \sup _{z\in S}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\left|\int (T_{z}f)g\,\mu _{2}\right|<\infty } Tz は、Re(z) = 0 なら、 L(μ1) から L(μ2) への有界作用素である。 Tz は、Re(z) = 1 なら、L(μ1) から L(μ2) への有界作用素である。 作用素ノルムは次の一様有界性を満たす。 sup Re ( z ) = 0 , 1 e − k | Im ( z ) | log  ‖ T z ‖ < ∞ . {\displaystyle \sup _{{\text{Re}}(z)=0,1}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\log \left\|T_{z}\right\|<\infty .}
すると、各 0 < θ < 1 に対し、作用素 Tθ は L(μ1) から L(μ2) への有界作用素となる。
実ハーディ空間と有界平均振動(英語版)の理論により、ハーディ空間 H(R) と有界平均振動の空間 BMO 上の作用素を扱う上でスタインの補間定理を使うことが可能となる。これはチャールズ・フェファーマンとエリアス・スタインによる結果である。
f : R → C のヒルベルト変換は次で与えられる。
H f ( x ) = 1 π p . v . ∫ − ∞ ∞ f ( x − t ) t d t = ( 1 π p . v . 1 t ∗ f ) ( x ) {\displaystyle {\mathcal {H}}f(x)={\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x-t)}{t}}\,dt=\left({\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} {\frac {1}{t}}\ast f\right)(x)} ,
ここで p.v. は積分のコーシーの主値を表す。このヒルベルト変換は、ある特定の単純な乗数を伴うフーリエ乗数作用素(英語版)である:
H f ^ ( ξ ) = − i s g n ( ξ ) f ^ ( ξ ) . {\displaystyle {\widehat {{\mathcal {H}}f}}(\xi )=-i\,\mathrm {sgn} (\xi ){\hat {f}}(\xi ).}
プランシュレルの定理より、ヒルベルト変換は L(R) からそれ自身への有界作用素となる。