境界 (位相空間論)
一般位相において位相空間 X の部分集合 S の境界(きょうかい、英語: boundary, frontier)とは、S の中からも外からも近づくことのできる点の全体の成す X の部分集合のことである。もうすこし形式的に言えば、S の触点(閉包に属する点)のうち、S の内点(開核に属する点)ではないものの全体の成す集合のことである。S の境界に属する点のことを、S の境界点(boundary point) と呼ぶ。S が境界を持たない (boundaryless) とは、S が自身の境界を包含しないこと、あるいは同じことだが境界点がひとつも S に属さないことをいう。集合 S の境界を表すのに、bd(S), fr(S), ∂S のような記法がしばしば用いられる。代数的位相幾何学における境界 (boundary) の概念との区別のため、ここでいう境界に対応する語として "boundary" の代わりに "frontier" を用いることがある(たとえば松坂『集合・位相入門』)。
集合 S の境界の連結成分のことを、S の境界成分 (boundary component) という。