超実数
実数でない量の非正式な概念は、2 つの文脈にそって歴史的に微積分学において現れる。1 つは dx のような無限小として、もう 1 つは広義積分の極限において使われる ∞ という記号として現れる。
移行原理のひとつの例として「0 でないいかなる 数についても 2x ≠ x」という主張は実数にとって真であり、この主張は移行原理で求められる性質を持った文になっているから、超実数についても真である。超実数についてこれが真であるということは、∞ のような一般記号は超実数の体系に属するすべての無限大量に対して使用不能であることを意味する。無限大量は“大きさが”他の無限大量と異なっているし、無限小量も他の無限小量と異なる。
同様にして、「0 での割り算は定義されない」という主張に移行原理が適用できるから、おいそれと1/0 = ∞ のように書くのも無効である。そのような計算を厳密に書くならば「ε が無限小ならば 1/ε は 無限大量 である」となる。
いかなる有限超実数 x に対しても、その標準部 st(x) は、無限小の違いしかない唯一の実数と定義される。
超実数の体系のアイデアは、実数の集合 R を拡張し、代数の基本公理を変更することなく無限小や無限大を含む体系 *R を構成するというものである。「任意の数 x に対し~」という形のいかなる主張も、実数にとって真であれば超実数にとっても真である。例えば「任意の数 x に対し x + 0 = x」という公理にもあてはまる。複数の変数に対する量化、例えば「任意の数 x, y に対しても、xy = yx」などでも同じことが成り立つ。 この「実数体に対する主張を超実数体に対して引き移す」ことができるということを移行原理(英語版)という。ただし「いかなる数の集合 S に対しても~」という形の主張は引き継ぐことができない。実数と超実数とが区別される唯一の性質は、典型的には集合とは関係なく構成できる、関数や関係のような集合やその他の高位の構造や上の量化に依るものである。
超実数の全体 *R は、実数体 R を部分体として含む、順序体を成す。実数体とは異なり、超実数は通常の意味の距離空間を成さないが、超実数の大小関係から順序位相(英語版)を入れることはできる。
定冠詞 the を付けて "the hyperreal numbers" と呼ぶことは、言及される大抵の文脈において一意な順序体が存在しないという点で、幾ばくか誤解を招くことになる。しかし、論文 Kanovei & Shelah (2003)は実数体の定義可能で可算飽和(英語版)(ω-飽和)な初等拡大(英語版)が存在することを示した。これは the hyperreal numbers と呼ぶにふさわしいものであった。よりはっきり言えば、実数列の空間から超冪構成により得られるこの体は(連続体仮説を仮定すれば)同型を除いて一意に定まる。
超実体であるという条件は、実数 R を真に含む実閉体であるという条件よりも強い。また、Woodin & Dales (1996) の意味での準超実体 (the super-real field)であるという条件よりも強い。