ハーディ空間
{\displaystyle f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1.}
そして f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} が H(T) に属しているなら、f は H に属す。 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} は H(T) 内にある、すなわち f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} は、全ての n < 0 に対して an = 0 を満たすフーリエ係数 (an)n∈Z を持つと仮定する。このとき、 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} と関連するハーディ空間 H の元 f は、次の正則函数である。
f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n z n , | z | < 1. {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.}
応用の場面では、これら負のフーリエ係数が消失している函数は通常、因果解(causal solution)と解釈される。したがって空間 H は自然に L 空間の内側にあり、N によって添え字付けられる無限列として表される。一方、L は Z によって添え字付けられる両側無限列(bi-infinite sequence)から構成される。
実ベクトル空間 R 上の解析において、ハーディ空間 H(0 < p ≤ ∞)は、∫Φ = 1 を満たすあるシュワルツ函数 Φ に対して極大函数(英語版)
( M Φ f ) ( x ) = sup t > 0 | ( f ∗ Φ t ) ( x ) | {\displaystyle (M_{\Phi }f)(x)=\sup _{t>0}|(f*\Phi _{t})(x)|}
が L(R) に属するような、緩増加超函数 f によって構成される。ここで ∗ は畳み込みを表し、Φt (x) = tΦ(x / t) である。H 内の超函数 f の H-準ノルム ||f ||Hp は、MΦf の L ノルムとして定義される(これは Φ の選択に依存するが、異なるシュワルツ超函数 Φ を選んでも同値なノルムが与えられる)。H-準ノルムは p ≥ 1 のときノルムであるが、p < 1 のときはノルムではない。
1 < p < ∞ であるなら、ハーディ空間 H は L と等しいベクトル空間で、同値なノルムを持つ。p = 1 のとき、ハーディ空間 H は L の真部分集合である。