強正則グラフ
重複度は整数でなければいけないから、これらの表現から v, k, μ, λ の間にはさらに制約が加わることになる。これはクレイン条件(Krein conditions)と呼ばれている。
2 k + ( v − 1 ) ( λ − μ ) = 0 {\displaystyle 2k+(v-1)(\lambda -\mu )=0} である強正則グラフは、対称カンファレンス行列(英語版)(conference matrix)との関連からカンファレンスグラフ(英語版)(conference graph)と呼ばれる。このときパラメータは
srg ( v , 1 2 ( v − 1 ) , 1 4 ( v − 5 ) , 1 4 ( v − 1 ) ) {\displaystyle {\text{srg}}\left(v,{\tfrac {1}{2}}(v-1),{\tfrac {1}{4}}(v-5),{\tfrac {1}{4}}(v-1)\right)}
となる。 2 k + ( v − 1 ) ( λ − μ ) ≠ 0 {\displaystyle 2k+(v-1)(\lambda -\mu )\neq 0} である強正則グラフの隣接行列は、重複度の異なる整数固有値を持つことになる。
逆に、連結正則グラフは隣接行列の固有値が高々3個であるとき、強正則グラフである。
長さ5の閉路グラフ:srg(5, 2, 0, 1)
ピーターセングラフ:srg(10, 3, 0, 1)
クレブシュグラフ(英語版)(Clebsch graph):srg(16, 5, 0, 2)
シュリクハンデグラフ(英語版)(Shrikhande graph)は srg(16, 6, 2, 2) であり、距離推移グラフではない。
n × n の正方ルークのグラフ(英語版)(rook's graph)、つまり両部が同じ頂点数からなる完全2部グラフ Kn,n の en:line graphであり、srg(n, 2n − 2, n − 2, 2) と表せる。n=4 のときはシュリクハンデグラフとパラメータが一致するが、これらはグラフ同型ではない。
ホフマン–シングルトングラフ:srg(50, 7, 0, 1)
ジェウィルスグラフ(英語版)(Gewirtz graph):srg(56, 10, 0, 2)
λ = 0 の強正則グラフはトライアングルフリー(英語版)(triangle free)である。頂点数が3未満の完全グラフと、全ての完全2部グラフ以外では、上に挙げた7つ(五角形、ピーターセングラフ、クレブシュグラフ、ホフマン–シングルトングラフ、ジェウィルスグラフ、M22グラフ、ヒグマン–シムスグラフ)が知られている全てである。
λ = 0 かつ μ = 1 の強正則グラフは内周5のムーアグラフになる。再び、上に挙げたグラフのうち3つ(五角形、ピーターセングラフ、ホフマン–シングルトングラフ)は、それぞれパラメータは (5, 2, 0, 1), (10, 3, 0, 1), (50, 7, 0, 1) で、知られているものはこれらで全てである。
ムーアグラフを作るパラメータとして残っている唯一の候補は (3250, 57, 0, 1) だが、これを満たすグラフが存在するかどうか、また存在すればそれは一意的かどうかは未解決である。