曲面のリーマン・ロッホの定理
X を非特異射影曲面とし、D を X 上の因子、K を X の標準因子とする。このとき D に対応する直線束を O(D) とし、それを係数にもつコホモロジーのオイラー数を χ(O(D)) とすると、
χ ( O ( D ) ) = χ ( O ) + 1 2 D . ( D − K ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\chi ({\mathcal {O}})+{\tfrac {1}{2}}D.(D-K)}
がなり立つというのが定理である。ここでドット . は交叉数(交点数ともいう)とし、定数 χ(0) は自明バンドルの正則オイラー標数であり pa を曲面の算術種数とすると これは 1 + pa に等しい。比較のため、曲線のリーマン・ロッホの定理は、 χ(D) = χ(0) + deg(D)と言っている。必要であれば、セール双対性を使い h(O(D)) を h(O(K − D)) として表すことができるが、曲線の場合と異なり、一般には h(O(D)) の項を層コホモロジーを含まない形に書くことは簡単ではない(実際は、よく 0 となる)。