普遍性
位相空間 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} は、2つの開部分集合 U , V ∈ O X {\textstyle U,V\in {\mathcal {O}}_{X}} によって覆われるものとする。すなわち、 X = U ∪ V {\textstyle X=U\cup V} が成り立つとする。このとき、共通部分 U ∩ V {\textstyle U\cap V} からの包含写像 U ∩ V → i U → j ′ X {\displaystyle U\cap V\xrightarrow {i} U\xrightarrow {j'} X} と U ∩ V → j V → i ′ X {\displaystyle U\cap V\xrightarrow {j} V\xrightarrow {i'} X} による可換図式は、位相空間の圏 Top において普遍性を持つ。すなわち、連続写像 f: U → Y と g: V → Y が f ◦ i = g ◦ j を満たすとき、f = h ◦ j' と g = h ◦ j' を満たすような連続写像 h: X → Y がただ1つ存在する。
よい条件( U ∩ V {\textstyle U\cap V} は空でなく弧状連結)の下で、この図式から誘導される基本群のなす図式は同様に普遍性を持つ。これを (基本群に関する)ファン・カンペンの定理と呼ぶ。