テント写像
テント写像(テントしゃぞう、英: tent map)は、力学系あるいはカオス理論における基礎的な写像の一つである。パラメータ(定数)を一つ持つ、以下のような区分線形関数 f(x) で与えられる。
f ( x ) = { μ x , x < 1 2 , μ ( 1 − x ) , 1 2 ≤ x . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\mu x,&x<{\frac {1}{2}},\\\mu (1-x),&{\frac {1}{2}}\leq x.\end{cases}}}
μ > 1 では、写像を反復合成して生成される x の軌道は、ほとんどの初期値でカオスとなる。テント写像は最も簡素な単峰写像の例であり、カオス力学系の教科書などでもしばしば採り上げられる。
しかしこのとき、任意のランダムによる記号列とテント写像による記号列を一致させる初期値 x0 ∈ [0, 1] が一つ存在する。言い換えれば、適当な x0 を選ぶことで、テント写像はあらゆる並びのLR記号列を生み出すことができる。
また、テント写像 fμ =2 (x) は、パラメータ a = 4 のロジスティック写像 ga = 4 (y) と位相共役な関係にある。すなわち、h(x) ∘ fμ = 2(x) = ga = 4(y) ∘ h(x) を満たす同相写像 h(x) を取ることができ、それは
h ( x ) = y = 1 − cos  π x 2 {\displaystyle h(x)=y={\frac {1-\cos \pi x}{2}}}
である。ここで ∘ は写像の合成を意味する。この位相共役性を利用して、ga = 4 のリアプノフ指数の値を解析的に得ることができる。1947年、スタニスワフ・ウラムとジョン・フォン・ノイマンは fμ = 2 と ga = 4 が位相共役であることを示し、ロジスティック写像 ga = 4 の軌道の乱雑さを明らかにした