代数的な元
K のすべての元 a は明らかに K 上代数的である、なぜならば X - a の根だからだ。より一般に、
K の有限次拡大体のすべての元 a は K 上代数的である。
実際、K の有限次(n 次としよう)拡大は K 上有限次元のベクトル空間である。したがって 1, a, a, ..., a の間には線型従属な関係があり、a を根に持つ多項式が得られる。
代数的あるいは超越的な元という概念を、K と a を含む L の最小の部分環である K[a] を使って特徴づけることができる。環 K[a] の元は a の多項式として書ける L の元である。すなわち K[a] は多項式環 K[X] の X を a に写す環準同型 φ による像である。この準同型が単射でないことと多項式が a で消えることは同値である。また、a が K[X] の多項式の根であれば、a は K[a] が根体であるような既約多項式(前の多項式の因数)の根である。まとめると
元 a が K 上超越的であることと、K[a] と K[X] が同型である(同型は φ によって与えられる)ことは同値である。
元 a が K 上代数的であることと、K[a] が体であることは同値である。
K(a) を、a を含む L の最小の部分体とする(K(a) の元は a の有理式として書けるような L の元である)。これによって再び定式化することができる。
元 a が K 上代数的であることと K(a) = K[a] であることは同値である。
元 a が K 上代数的であることと K の拡大 K(a) が有限次拡大であることは同値である。
(したがって1つ目の性質から、K 上代数的な任意の元は K の有限次拡大の元である)。