ポワンカレの円板モデル
両端点(理想点 (ideal points))が単位ベクトル u, v で与えられる円弧と両端点が s, t である弧との間の角を計算する公式を与えることができる。理想点はクライン模型とポワンカレ円板模型とで共通しているから、この公式は両模型で共通である。
両模型における直線が直径の場合に、v = −u かつ t = −s であったとすれば、この場合単に二つの単位ベクトルの間の角を求めればよく、角度 θ は公式
cos  ( θ ) = u ⋅ s {\displaystyle \cos(\theta )=u\cdot s}
によって与えられる。v = −u だが t ≠ −s のときには、公式は楔積を用いれば書くことができて、
cos 2  ( θ ) = P 2 Q R {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}}
で与えられる。ただし、各点は
P = u ⋅ ( s − t ) Q = u ⋅ u R = ( s − t ) ⋅ ( s − t ) − ( s ∧ t ) ⋅ ( s ∧ t ) {\displaystyle {\begin{aligned}P&=u\cdot (s-t)\\Q&=u\cdot u\\R&=(s-t)\cdot (s-t)-(s\wedge t)\cdot (s\wedge t)\end{aligned}}}
である。両弦がともに直径でない場合の一般公式は
cos 2  ( θ ) = P 2 Q R {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )={\frac {P^{2}}{QR}}}
を得る。二点 u, v が円板の境界上の点で、かつ直径の両端点でないならば、今の式は
x 2 + y 2 + 2 ( u 2 − v 2 ) u 1 v 2 − u 2 v 1 x − 2 ( u 1 − v 1 ) u 1 v 2 − u 2 v 1 y + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {2(u_{2}-v_{2})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x-{\frac {2(u_{1}-v_{1})}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0}
と簡略化することができる。