ベッセル関数
Heine の積分表示 ただし複号は上が ι = 1 {\displaystyle \iota =1} , 下が ι = 2 {\displaystyle \iota =2}
H ν ( ι ) ( z ) = ∓ 2 i e ∓ ν π i / 2 π ∫ 0 ∞ e ± i z cosh  t cosh  ν t d t [ | R e ( ν ) | < 1 , ± I m ( z ) > 0 ] {\displaystyle H_{\nu }^{(\iota )}(z)={\frac {\mp 2ie^{\mp \nu \pi i/2}}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{\pm iz\cosh t}\cosh \nu t\,dt\ \ [|\mathrm {Re} (\nu )|<1,\pm \ \mathrm {Im} (z)>0]}
Whittaker の積分表示 ここに P n ( t ) {\displaystyle P_{n}(t)} はルジャンドル多項式
j n ( z ) = 1 2 i n ∫ − 1 1 e i z t P n ( t ) d t {\displaystyle j_{n}(z)={\frac {1}{2i^{n}}}\int _{-1}^{1}e^{izt}P_{n}(t)dt}
整数 n {\displaystyle n} に対しては、 Y n ( x ) {\displaystyle Y_{n}(x)} は J n ( x ) {\displaystyle J_{n}(x)} と線形独立な第2の解を与えている。 整数 n {\displaystyle n} に対して、 Y n ( x ) {\displaystyle Y_{n}(x)} と Y − n ( x ) {\displaystyle Y_{-n}(x)} の間に Y − n = ( − 1 ) n Y n ( x ) {\displaystyle Y_{-n}=(-1)^{n}Y_{n}(x)} という関係が成り立ち、従って両者は線形従属である。
J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} 及び Y α ( x ) {\displaystyle Y_{\alpha }(x)} はどちらも、負の実軸を除く複素平面上で x {\displaystyle x} の解析的な関数(正則な関数)である。 α {\displaystyle \alpha } が正の整数のとき、これらの関数は負の実軸上に分岐点を持たず、したがって x {\displaystyle x} の整関数となる。また、固定した x {\displaystyle x} に対して、ベッセル関数は α {\displaystyle \alpha } の整関数となる。
第1種ベッセル関数
第2種ベッセル関数