光線行列解析
また、
C = θ 2 x 1 | θ 1 = 0 D = θ 2 θ 1 | x 1 = 0 {\displaystyle C={\theta _{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad D={\theta _{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}}
これは、入射面と出射面における光線ベクトルが、2つの面の間の光学系を表す光線行列 M によって関係づけられることを表している。黒体輻射に基づく熱力学的な議論より、光線行列 M の行列式は、屈折率の比により表されることが示される。
det ( M ) = A D − B C = n 1 n 2 {\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={n_{1} \over n_{2}}}
したがって、入射面と出射面が同一の媒質中にあるか、あるいは異なる媒質であるが同一の屈折率を有している場合には、M の行列式は1となる。
文献によっては、光線行列について異なった定義を用いている。そこでは光学方向余弦 n sinθ を θ の代わりに用いている。これにより、特に屈折に関わる光線行列に変更が生じる。
同様の手法は電気回路の解析にも用いられる。二端子対回路を参照のこと。
[ q 2 1 ] = k [ A B C D ] [ q 1 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}}}
k は、光線ベクトルの第2要素を1に維持するための規格化定数である。式を展開すると、
q 2 = k ( A q 1 + B ) , 1 = k ( C q 1 + D ) {\displaystyle q_{2}=k(Aq_{1}+B),\qquad 1=k(Cq_{1}+D)\,}
第1式を第2式で割り、規格化定数を消去すると、
q 2 = A q 1 + B C q 1 + D {\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}}
あるいは、逆数を用いて書き直すと、
1 q 2 = C + D / q 1 A + B / q 1 {\displaystyle {1 \over q_{2}}={C+D/q_{1} \over A+B/q_{1}}}