ヒルベルト行列
このようなものを定義する動機としては次のような積分を考えると良い:
∫ 0 1 ( x i − 1 ) ( x j − 1 ) d x = ∫ 0 1 x i + j − 2 d x = 1 i + j − 1 = H i , j {\displaystyle \int _{0}^{1}(x^{i-1})(x^{j-1})\,dx=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx={\frac {1}{i+j-1}}=H_{i,j}}
すなわちヒルベルト行列は区間[0,1]での x {\displaystyle x} の冪乗に対するグラム行列である。
ヒルベルト行列は対称行列、特にハンケル行列である。 また正定値行列である。
ヒルベルト行列は全正値行列であり、すなわち全ての部分行列の行列式が正である。
ヒルベルト行列は悪条件の行列の代表例であり、数値計算において極めて扱い辛い。 例えば2-ノルムによる条件数を冒頭の5次行列の例に対し計算すると 4.8 × 10 5 {\displaystyle 4.8\times 10^{5}} となる。 条件数は次数 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } に対し O ( e 3.5255 n / n ) {\displaystyle O(e^{3.5255n}/{\sqrt {n}})} のように増大する。
上述の通りヒルベルト行列の行列式は閉じた式で書けるが、これはコーシー行列式の特別な場合である。
ヒルベルト行列の逆行列も閉じた式で書ける。 具体的には、その ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 要素は
( H − 1 ) i , j = ( − 1 ) i + j ( i + j − 1 ) ( n + i − 1 n − j ) ( n + j − 1 n − i ) ( i + j − 2 i − 1 ) 2 {\displaystyle (H^{-1})_{i,j}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^{2}}
であり( n {\displaystyle n} は元のヒルベルト行列の次数)、いずれも整数である。 (このことからも行列式の逆数が整数であることがわかる)