整関数
「定数でない整函数が、適当な領域において有限な漸近値をもつことがあるか、常に有限な極限を持つかの何れであるか」を問題にすることができる。リウヴィルの定理により、任意の方向において有限な漸近値を持つということが不可能であることは既知である。 f が漸近値を許すとは、適当な方向の経路が存在して s がその経路に沿って無限大に発散するとき f(s) が値 a に収束するときに言う(そのような経路は「a の決定路」(chemin de détermination a) と呼ぶ)。したがって定数でない任意の整函数は、少なくとも一つ ∞ の決定路を持つ。
増大度が 1/2 より小さい整函数 f に対しては、原点中心かつ半径が限りなく大きくなる無限個の円が存在して、その上での f の最小絶対値は無限大に発散する。したがって、増大度が 1/2 より小さい整函数に対しては、有限な漸近値は存在しない。実はワイマンは以下の定理を示した:
f が種数 n の函数であるとき、高々一つの値を除く任意の a に対して、函数 f − a は、やはり種数 n である。
Dans ses investigations sur les fonctions entières à la suite du mémoire fondateur de Weierstrass, エドモン・ラゲール(英語版)は
f(z) は整函数、1 > ε >0 は望むだけ小さいとして、 A ( r ) = ( ln  M ( r ) ) 1 − ε {\textstyle A(r)=(\ln M(r))^{1-\epsilon }} および q ( r ) = ε 6 ln  ln  M ( r ) {\textstyle q(r)={\frac {\epsilon }{6}}\ln \ln M(r)} と置く。ここで r は十分大きく ln  ln  M ( r ) > 343 / ε {\textstyle \ln \ln M(r)>343/\varepsilon } が成立するようにとると、f(z) は以下の二つの性質のうち一つを満足する:
中央円周が |z| = r の幅 πr/q(r) の球冠において、不等式 ln  | f ( z ) | > A ( r ) {\textstyle \ln |f(z)|>A(r)} が成り立つ;
中心が円周 |z| = r 上にある半径 8πr/q(r) の円(これを充填円と呼ぶ)が少なくとも一つ存在して、その円上で函数 f(z) は絶対値 A(r) 以下の値を一つの値 a(r) の近傍を除いて全てとる。この近傍は a(r) を中心とする半径 2/A(r) の円に含まれる。
この充填円は方程式 f(z) = a の解の決定に有用である。
整函数の導函数の増大度はもとの整函数の増大度に等しい。
また整函数は無限回微分可能であるから、任意の階数の導函数についても増大度はすべて等しい。
整函数の増大をより細かく比較するために、
で定義される下増大度 (inferior order) を考える。
整函数の導函数の下増大度は、もとの整函数の下増大度に等しい。
が示されるが、これではまだ十分に精密ではない。有限増大度 ρ の整函数 f に対して、函数 ρ(r) が存在して、以下の性質
ρ(r) は定義されて連続、各点において左および右微分可能である;
lim r → ∞ ρ ( r ) = ρ ; {\textstyle \lim _{r\to \infty }\rho (r)=\rho ;}
lim r → ∞ ρ ′ ( r ) r ln  r = 0 ; {\textstyle \lim _{r\to \infty }\rho '(r)r\ln r=0;}
lim sup r → ∞ ln  M f ( r ) r ρ ( r ) = 1 {\textstyle \limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln M_{f}(r)}{r^{\rho (r)}}}=1}