レヴィ＝チヴィタ変換
さらに H ~ {\displaystyle {\tilde {H}}} が保存量であることから、それが負の値を取る束縛軌道に関しては、これは角振動数 ω = − 8 H ~ {\displaystyle \omega ={\sqrt {-8{\tilde {H}}}}} の調和振動子の方程式に等しい。
なお、この運動方程式は形式的に ( P , Q ; T , t ) {\displaystyle (\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ;T,t)} を正準変数とするハミルトニアン
Γ = 1 2 ( P 1 2 + P 2 2 ) + 4 T ( Q 1 2 + Q 2 2 ) − 4 μ {\displaystyle \Gamma ={\frac {1}{2}}(P_{1}^{2}+P_{2}^{2})+4T(Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2})-4\mu }
に対応する正準方程式に ( T {\displaystyle T} はもとのハミルトニアン H ~ {\displaystyle {\tilde {H}}} の符号を反転させたものと解釈するとき) 一致する。
2次元ケプラー問題のハミルトニアンは、 p = ( p 1 , p 2 ) {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2})} を運動量、 q = ( q 1 , q 2 ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2})} を座標とするとき
H ( p , q ) = 1 2 ( p 1 2 + p 2 2 ) − μ q 1 2 + q 2 2 {\displaystyle H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}+p_{2}^{2})-{\frac {\mu }{\sqrt {q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}}
により与えられる。対応する運動方程式は
d q j d t = p j , d p j d t = − μ q j ( q 1 2 + q 2 2 ) 3 / 2 , ( j = 1 , 2 ) {\displaystyle {\frac {dq_{j}}{dt}}=p_{j},\ \ {\frac {dp_{j}}{dt}}=-{\frac {\mu q_{j}}{(q_{1}^{2}+q_{2}^{2})^{3/2}}},\ \ (j=1,2)}
である。この方程式は重力源からの距離 r = q 1 2 + q 2 2 {\displaystyle r={\sqrt {q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}} がゼロの極限で発散する特異性がある。Levi-Civita変換はこの特異性を除去するような変数変換である。