パンルヴェ方程式
パンルヴェ超越関数の起源は、微分方程式の解としてしばしば現れる特殊関数の研究および、線型微分方程式の等モノドロミー変形の研究にある。たとえば楕円関数などは特殊関数のクラスのなかでも特に有用なものの一つである。パンルヴェ超越関数は、方程式の特異点がパンルヴェ性を満たす二階常微分方程式の解として定められる。ここで、パンルヴェ性とは「動く特異点は極に限る」というものである。線型常微分方程式はつねにパンルヴェ性を持つが、非線型方程式でパンルヴェ性を持つものは稀である。アンリ・ポアンカレとラザルス・フックスはパンルヴェ性を持つ一階方程式が、必ずワイエルシュトラス方程式かリッカチ方程式に変形できることを示した(これらの方程式は求積法と既知の特殊関数によって明示的に解ける)。エミール・ピカールは一階よりも高階の動く真性特異点をもつ方程式に着目して、パンルヴェ性をもつ新たな例を探ろうとして失敗に終わっている(二階より高階の方程式では、解が動く自然境界を持ち得る)。1900年頃、ポール・パンルヴェは動く特異点を持たない二階微分方程式を研究していて、そのような方程式で有理関数 R を用いて
y ′′ = R ( y ′ , y , t ) {\displaystyle y''=R(y',y,t)}
の形に表されるものは、適当な変形を加える違いを除いて50個の「標準形」に直すことができることを発見した(一覧表が (Ince 1956) にある)。
d 2 y d t 2 = 1 2 y ( d y d t ) 2 + 3 2 y 3 + 4 t y 2 + 2 ( t 2 − α ) y + β y {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{2y}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+{\tfrac {3}{2}}y^{3}+4ty^{2}+2(t^{2}-\alpha )y+{\frac {\beta }{y}}}
d 2 y d t 2 = 1 2 ( 1 y + 1 y − 1 + 1 y − t ) ( d y d t ) 2 − ( 1 t + 1 t − 1 + 1 y − t ) d y d t + y ( y − 1 ) ( y − t ) t 2 ( t − 1 ) 2 { α + β t y 2 + γ t − 1 ( y − 1 ) 2 + δ t ( t − 1 ) ( y − t ) 2 } {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right){\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {y(y-1)(y-t)}{t^{2}(t-1)^{2}}}\left\{\alpha +\beta {\frac {t}{y^{2}}}+\gamma {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {t(t-1)}{(y-t)^{2}}}\right\}\end{aligned}}}
パンルヴェ I から V まではパンルヴェ VI の退化した場合になっている。もう少し詳しくは、以下の図式の如くだが、この図式は対応するガウスの超幾何関数の退化の系列をも与えている。