エルランゲン・プログラム
クラインの考え方は数学界に大きな影響を与え、当時乱立していた各種の幾何学を近代的な視点で再統一することに成功した。クラインの定義はその後数十年の間主流であり続けたが、ただベルンハルト・リーマンが創立したリーマン幾何学のみは等質空間とみなせず、したがってエルランゲン・プログラムでは捉えられなかった。
20世紀に入り、ヘルマン・ワイルの創出したアフィン接続を契機に、アンリ・カルタンらによってクラインの幾何学とリーマン幾何学を包括するカルタンの幾何学が提案された。
リーマン幾何学が、多様体Mの各点の接ベクトル空間を計量ベクトル空間とみなすように、カルタンの幾何学では、Mの各点の接ベクトル空間を g / h {\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}} とみなす。ここで g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 、 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} はそれぞれ、クラインの意味の幾何学 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} を構成するリー群G、Hのリー代数である。