ラマヌジャンのタウ函数
無限個の p に対して a(p) = 0 mod p であるような例もまた知られていない.本当に無限個の p に対して a(p) = 0 mod p であるのかどうか疑い始めた人々もいた.証拠として多くの人は(ウェイト 12 の)ラマヌジャンの τ(p) を挙げた.τ(p) = 0 mod p であることが分かっている最大の p は p = 7758337633 である.方程式 τ(p) ≡ 0 mod p の解は 10 まででは p = 2, 3, 5, 7, 2411, 7758337633 のみである.
Lehmer (1947) はすべての n に対して τ(n) ≠ 0 であると予想し,これはレーマーの予想と呼ばれることもある.レーマーは n < 214928639999 に対して予想が正しいことを証明した (Apostol 1997, p. 22).次の表はこの条件がいくつまでの n について成り立つかの進展をまとめたものである.