標本化定理
標本化定理は、元の信号をその最大周波数の2倍を超えた周波数で標本化すれば完全に元の波形に再構成されることを示す。
標本化とは、数学的には連続関数の値からある点の値だけを標本として取り出して離散関数に変換する操作であり、与えられた連続関数 g と標本化関数 δ の積を求めることと等しい。標本化関数 δ とは、ある離散値(連続でない、飛び飛びの値)x に対してのみ δ(x) = 1 となり、その他の x に対しては δ(x) = 0 となるような関数である。対象となる原関数 g(x) と標本化関数 δ(x) の積を取ると、関数 G ( x ) = δ ( x ) g ( x ) {\displaystyle G(x)=\delta (x)g(x)} が得られる。δ(x) = 1 となる x に対してのみ G ( x ) = g ( x ) {\displaystyle G(x)=g(x)} となり、それ以外の領域では G(x) = 0 となる。
標本化定理とは、ある関数 g(x) をフーリエ変換した関数 F(f) の成分(スペクトル)が、 | f | ≥ W {\displaystyle |f|\geq W} の範囲で F(f) = 0 であるような関数 g(x) に対して、 1 f = 1 2 W {\displaystyle {\tfrac {1}{f}}={\tfrac {1}{2W}}} より小さい周期を持つ標本化関数で標本化したときに得られる関数は、そのスペクトルのうち | f | < W {\displaystyle |f|<W} が原関数のスペクトルに一致するというものである。