リーマンゼータ関数の特殊値
z k − n − 2 , 0 ) {\displaystyle \zeta (-n)=n!\,(-1)^{n}\operatorname {Res} \!{\Biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}\,z^{k-n-2},\,0{\Biggr )}}
ここで、右辺の留数は、
Res ( ∑ k = 1 ∞ B k k ! z k − n − 2 , 0 ) = B n + 1 ( n + 1 ) ! {\displaystyle \operatorname {Res} \!{\Biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}\,z^{k-n-2},\,0{\Biggr )}={\frac {B_{n+1}}{(n+1)!}}}
であるから、
ζ ( − n ) = ( − 1 ) n B n + 1 n + 1 {\displaystyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}\,B_{n+1}}{n+1}}}
この公式を利用することで、負の整数に対する特殊値を計算することができる。一般に負の偶数に対しては、
ζ ( − 2 n ) = 0 {\displaystyle \zeta (-2n)=0}
が恒等的に成り立つ。これを自明な零点という。また負の奇数については n = 1 から小さい順に n = 9 まで計算してみると、
ζ ( − 1 ) = − 1 12 {\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}}