外積代数
外積代数は1844年、『拡大の理論』(Ausdehnungslehre) の包括的な言葉の下にヘルマン・グラスマンによって初めて導入された。これはもっと一般に量の拡大の代数的(あるいは公理的)な理論について言及しており、また早い時期における現代的なベクトル空間の概念のさきがけの一つとなっている。アデマール・ジャン・クロード・バール・デ・サン=ブナン(英語版)もまた同様の exterior calculus の概念を著しており、それがグラスマンに先駆けて成されたものと主張した。
外積代数それ自身は、アーサー・ケイリーとジェームス・ジョセフ・シルベスターの重ベクトルの理論の形式的側面を捉えたいくつかの規約あるいは公理から組み立てられたもので、それゆえに幾何学的な言葉での形式的な理由付けの面を抜きにすれば、命題計算のような「計算」(calculus) の類である。
で定義される。この楔積の定義は、K が有限標数をもてば矛盾無く定まる。上記と同値で階乗を使わないものとして
( ω ∧ η ) ( x 1 , ... , x k + m ) = ∑ σ ∈ Sh k , m sgn  ( σ ) ω ( x σ ( 1 ) , ... , x σ ( k ) ) η ( x σ ( k + 1 ) , ... , x σ ( k + m ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(\omega \wedge \eta )(x_{1},\ldots ,x_{k+m})\\&\quad =\sum _{\sigma \in \operatorname {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)})\end{aligned}}}
を考えることもできる。ここで Shk,m ⊂ Sk+m は (k, m)-シャッフル(英語版)全体の成す部分集合である。(k, m)-シャッフルは {1, 2, ..., k + m} の置換 σ であって、σ(1) < σ(2) < ... < σ(k) かつ σ(k + 1) < σ(k + 2) < ... < σ(k + m) なるものを言う。
V は有限次元とし、V を V の双対空間とする。任意の α ∈ V に対し、代数 ⋀(V) 上の反微分
i α : ⋀ k ( V ) → ⋀ k − 1 ( V ) {\displaystyle \textstyle i_{\alpha }\colon \bigwedge ^{k}(V)\to \bigwedge ^{k-1}(V)}
が定義できる。この微分を α に関する内積あるいは内部積 (interior product) と呼ぶ。挿入作用素 (insertion operator) や α による縮約 (contraction) などということもある。
w ∈ ⋀(V) とすると、w は V から R への重線型写像であるから、k-重直積 V × V × ⋯ × V における値によって定まる。V の k − 1 個の元 u1, u2, ..., uk−1 に対し、
( i α w ) ( u 1 , u 2 , ... , u k − 1 ) = w ( α , u 1 , u 2 , ... , u k − 1 ) {\displaystyle (i_{\alpha }{\mathbf {w} })(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})={\mathbf {w} }(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})}
が定義される。加えて、f が純スカラー(つまり、⋀(V ) の元)であるときには iαf = 0 とする。
K を標数 0 の体とするとき、ベクトル空間 V の外積代数はテンソル空間 T(V) の交代テンソル全体の成す部分空間と自然に同一視される。外積代数が T(V) の x ⊗ x で生成されるイデアルによる商多元環として定義されたことを思い出そう。
T(V) を次数 r の斉次テンソル全体の成すベクトル空間とすれば、T(V) は分解可能テンソル
v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v r , ( v i ∈ V ) {\displaystyle v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r},\quad (v_{i}\in V)}
で生成される。分解可能テンソルの交代化作用素 (antisymmetrization) あるいは歪対称化作用素 (skew-symmetrization) は
Alt  ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v r ) = 1 r ! ∑ σ ∈ S r sgn  ( σ ) v σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ v σ ( r ) {\displaystyle \operatorname {Alt} (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{r})={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn}(\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (r)}}