近傍 (位相空間論)
上述の定義は開集合が既に与えられているときには有用であるが、そうでない場合にも位相を定義する方法は複数存在しており、先に近傍系を定義しておいてそれを用いて開集合を「その各点の近傍が常に含まれる集合」として定義することも可能である。
X 上の近傍系とは、X の各点に X の部分集合からなるフィルター N(x) で以下の条件を満足するものを割り当てたものである。
点 x は N(x) のどの元 U にも含まれる。 ∀ U ∈ N ( x ) : x ∈ U {\displaystyle \forall U\in N(x):\ x\in U}
N(x) の各元 U について N(x) の元 V で V の各元 y に対して U が N(y) に属するようなものが存在する。(上の条件により y は U に含まれるので V は U に含まれる) ∀ U ∈ N ( x ) , ∃ V ∈ N ( x ) : ∀ y ∈ V , U ∈ N ( y ) {\displaystyle \forall U\in N(x),\ \exists V\in N(x):\ \forall y\in V,\ U\in N(y)}
この定義と先の定義とは両立する。すなわち、開集合系を使って定義される近傍系から得られる位相は元々の位相と一致し、かつ逆に近傍系から得られる位相に関する開集合系によって位相を定めたものも元々の位相に一致する。