変分原理
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta E[\Psi ]&=\delta \left({\frac {\sum _{\lambda }\sum _{\lambda '}c_{\lambda }^{*}c_{\lambda '}H_{\lambda ,\lambda '}}{\sum _{\lambda }\sum _{\lambda '}c_{\lambda }^{*}c_{\lambda '}\Phi _{\lambda ,\lambda '}}}\right).\end{aligned}}}
この変分が任意のパラメーターの変分 { δ c λ ∗ } {\displaystyle \left\{\delta c_{\lambda }^{*}\right\}} に対してゼロになることは、各パラメーター { c λ ∗ } {\displaystyle \left\{c_{\lambda }^{*}\right\}} の偏微分がゼロになることと同じなので、
∂ E ∂ c λ ∗ = ∂ ∂ c λ ∗ ( ∑ λ ′ ∑ λ ′′ c λ ′ ∗ c λ ′′ H λ ′ , λ ′′ ∑ λ ′ ∑ λ ′′ c λ ′ ∗ c λ ′′ Φ λ ′ , λ ′′ ) = ∑ λ ′′ c λ ′′ H λ , λ ′′ ∑ λ ′ ∑ λ ′′ c λ ′ ∗ c λ ′′ Φ λ ′ , λ ′′ − ∑ λ ′ ∑ λ ′′ c λ ′ ∗ c λ ′′ H λ ′ , λ ′′ ∑ λ ′ ∑ λ ′′ c λ ′ ∗ c λ ′′ Φ λ ′ , λ ′′ ∑ λ ′′ c λ ′′ Φ λ , λ ′′ ∑ λ ′ ∑ λ ′′ c λ ′ ∗ c λ ′′ Φ λ ′ , λ ′′ = ∑ λ ′ c λ ′ ( H λ , λ ′ − E Φ λ , λ ′ ) ∑ λ ′ ∑ λ ′′ c λ ′ ∗ c λ ′′ Φ λ ′ , λ ′′ = 0.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial E}{\partial c_{\lambda }^{*}}}&={\frac {\partial }{\partial c_{\lambda }^{*}}}\left({\frac {\sum _{\lambda '}\sum _{\lambda ''}c_{\lambda '}^{*}c_{\lambda ''}H_{\lambda ',\lambda ''}}{\sum _{\lambda '}\sum _{\lambda ''}c_{\lambda '}^{*}c_{\lambda ''}\Phi _{\lambda ',\lambda ''}}}\right)\\&={\frac {\sum _{\lambda ''}c_{\lambda ''}H_{\lambda ,\lambda ''}}{\sum _{\lambda '}\sum _{\lambda ''}c_{\lambda '}^{*}c_{\lambda ''}\Phi _{\lambda ',\lambda ''}}}-{\frac {\sum _{\lambda '}\sum _{\lambda ''}c_{\lambda '}^{*}c_{\lambda ''}H_{\lambda ',\lambda ''}}{\sum _{\lambda '}\sum _{\lambda ''}c_{\lambda '}^{*}c_{\lambda ''}\Phi _{\lambda ',\lambda ''}}}{\frac {\sum _{\lambda ''}c_{\lambda ''}\Phi _{\lambda ,\lambda ''}}{\sum _{\lambda '}\sum _{\lambda ''}c_{\lambda '}^{*}c_{\lambda ''}\Phi _{\lambda ',\lambda ''}}}\\&={\frac {\sum _{\lambda '}c_{\lambda '}\left(H_{\lambda ,\lambda '}-E\Phi _{\lambda ,\lambda '}\right)}{\sum _{\lambda '}\sum _{\lambda ''}c_{\lambda '}^{*}c_{\lambda ''}\Phi _{\lambda ',\lambda ''}}}=0.\end{aligned}}}
δq は元の経路 q(t) 近傍の別の(仮想的な)経路との差であり、他方、時間変化 dq は経路 q に沿った変化の大きさを表す。
一般化座標 q の微小変化 δq について、始点 t =t1 と終点 t =t2 においては経路が固定されているので、
δ q ( t 1 ) = δ q ( t 2 ) = 0 {\displaystyle \delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0}
は常に満たされる。
一般化座標 q の表す経路の変化に伴い、一般化速度 q ̇ {\displaystyle {\dot {q}}} も微小変化する。
q ̇ ( t ) → q ̇ ( t ) + δ q ̇ ( t ) . {\displaystyle {\dot {q}}(t)\to {\dot {q}}(t)+\delta {\dot {q}}(t).}
ここで、一般化速度の微小変化 δ q ̇ ( t ) {\displaystyle \delta {\dot {q}}(t)} は、ある時刻t における、二つの経路での一般化速度の差を表す。
δ q ̇ ( t ) = d d t δ q ( t ) . {\displaystyle \delta {\dot {q}}(t)={\frac {d}{dt}}\delta q(t).}
作用積分の変分を計算すると、
となる。δq (t1) = δq (t2) = 0 から第一項は 0 となる。q(t) の任意の微小変化 δq(t) に対して、作用積分の変分がゼロ δS = 0 である条件として、
∂ L ∂ q ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) − d d t ( ∂ L ∂ q ̇ ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)\right)=0,}
を得る。これはオイラー=ラグランジュ方程式になっている。
同様にして変分原理を、幾何光学(光線光学)における光の反射や屈折の問題について適用すれば、フェルマーの原理が得られる。フェルマーの原理において、作用積分に対応するものは空間の 2 点間を結ぶ経路の光路長であり、ラグランジアンに対応するものは屈折率となる。
ここで、 ρ ( r ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})} は位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} における電荷密度、 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} は国際単位系における真空の誘電率、 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} はラプラシアンを表す。
この方程式は、次の φ ( r ) {\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})} の汎関数 F [ φ ( r ) ] {\displaystyle F[\phi ({\boldsymbol {r}})]} について変分原理を用いることでも得られる。
F [ φ ( r ) ] = ∫ V { 1 2 | ∇ φ ( r ) | 2 − ρ ( r ) ε 0 φ ( r ) } d V . {\displaystyle F[\phi ({\boldsymbol {r}})]=\int _{V}\left\{{1 \over 2}\left|\nabla \phi ({\boldsymbol {r}})\right|^{2}-{\rho ({\boldsymbol {r}}) \over \varepsilon _{0}}\phi ({\boldsymbol {r}})\right\}dV.}