広義固有ベクトル
次の線型常微分方程式系を解く問題を考える:
ただし
x = [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋮ x n ( t ) ] , x ′ = [ x 1 ′ ( t ) x 2 ′ ( t ) ⋮ x n ′ ( t ) ] , {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {x}}'={\begin{bmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{bmatrix}},} および A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})}
行列 A が対角行列で i ≠ j に対して aij = 0 のとき,系 (5) は次の形の n 個の方程式の系に簡約される:
x 1 ′ = a 11 x 1 {\displaystyle x_{1}'=a_{11}x_{1}} x 2 ′ = a 22 x 2 {\displaystyle x_{2}'=a_{22}x_{2}}
⋮ {\displaystyle \vdots }
x n ′ = a n n x n {\displaystyle x_{n}'=a_{nn}x_{n}}
この場合,一般解は次で与えられる: