メルカトル図法
λ = x + λ 0 φ = 2 tan − 1  exp  y − π 2 = sin − 1  tanh  y = gd  y {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda &=x+\lambda _{0}\\\varphi &=2\tan ^{-1}\exp y-{\frac {\pi }{2}}\\&=\sin ^{-1}\tanh y\\&=\operatorname {gd} y\\\end{aligned}}}
ここで gd  y {\displaystyle \operatorname {gd} y} はグーデルマン関数である。グーデルマン関数の逆関数 gd − 1  φ {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\varphi } はランベルト関数とも呼ばれている。
ただし地球は扁球回転楕円体モデルがより正確なので、 y {\displaystyle y} 座標を縮減する必要があり、長半径を1、第一離心率を e {\displaystyle e} として、
y = tanh − 1  sin  φ − e tanh − 1  ( e sin  φ ) {\displaystyle {\begin{aligned}y=\tanh ^{-1}\sin \varphi -e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\end{aligned}}}
海図をはじめ世界図にも用いられるようになったのは、1599年にイギリスのエドワード・ライト(英語版)が数値計算法(今日でいうリーマン和による方法)を用いて緯線距離を導き出し、作図に必要な数表を作成してからである。この定積分を求める問題は17世紀中期に地図学を目的とする数学上の関心事として取り沙汰されていた(正割関数の積分(英語版)問題)が、当該積分はアイザック・バローによって初めて閉じた式(英語版)として求められたとされ(年代不詳)、1668年にジェームス・グレゴリーによっても求められた。今日では、この緯線距離 u {\displaystyle u} の式は上述のランベルト関数(逆グーデルマン関数) gd − 1  φ {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\varphi } に相当すると解釈される。