商 (数学)
有理数は(分母が0でない)ふたつの整数の商として定義できる。
より詳細な定義は次のとおりである。
実数 r が有理数であることは分母が0でない2整数の商として表されることと同値である。有理数でない実数は無理数である。
より正式には次のようになる。
実数 r が与えられたとき、r が有理数であるとは r = a/b かつ b ≠ 0 を満たす整数 a および b が存在することと同値である。
無理数(2整数の商でない数)の存在は幾何学で、正方形の辺に対する対角線の長さの比として最初に発見された。
商はまた、剰余が負にならない最大の自然数としても定義される。例えば、除数3は被除数20から剰余が負にならずに最大6回まで引くことができる。
20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 ≥ 0
一方で
20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 < 0
となる。
この場合、商は2数の整数部となる。