並進演算子 (量子力学)
T ^ ( x ) ≈ 1 − i x ⋅ p ^ / ħ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})\approx 1-i{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}}/\hbar }
よって運動量演算子は並進の生成子と言える。
これらの関係が正しいことを確認するには、位置空間の波動関数に作用する並進演算子をテイラー展開すれば良い。指数関数をすべての次数に展開すれば、
ψ ( r − x ) = T ^ ( x ) ψ ( r ) = exp  ( − i x ⋅ p ^ ħ ) ψ ( r ) = ( ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( − i ħ x ⋅ p ^ ) n ) ψ ( r ) = ( ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( − x ⋅ ∇ ) n ) ψ ( r ) = ψ ( r ) − x ⋅ ∇ ψ ( r ) + 1 2 ! ( x ⋅ ∇ ) 2 ψ ( r ) − ...
c ( a i ) = e 2 π i x i {\displaystyle c({\boldsymbol {a_{i}}})=e^{2\pi ix_{i}}} を代入すると、
c ( R ) = e 2 π i ( n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 ) = e i k ⋅ R {\displaystyle {\begin{aligned}c({\boldsymbol {R}})&=e^{2\pi i(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3})}\\&=e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {R}}}\end{aligned}}}
ここで k = b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 {\displaystyle {\boldsymbol {k}}={\boldsymbol {b}}_{1}x_{1}+{\boldsymbol {b}}_{2}x_{2}+{\boldsymbol {b}}_{3}x_{3}} は逆格子ベクトル、 b i {\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{i}} はその基底で b i ⋅ a j = 2 π δ i j {\displaystyle {\boldsymbol {b}}_{i}\cdot {\boldsymbol {a}}_{j}=2\pi \delta _{ij}} を満たす。