ボルツマンマシン
− Δ E i T = ln  ( 1 − p i=on p i=on ) {\displaystyle -{\frac {\Delta E_{i}}{T}}=\ln \left({\frac {1-p_{\text{i=on}}}{p_{\text{i=on}}}}\right)}
− Δ E i T = ln  ( 1 p i=on − 1 ) {\displaystyle -{\frac {\Delta E_{i}}{T}}=\ln \left({\frac {1}{p_{\text{i=on}}}}-1\right)}
exp  ( − Δ E i T ) = 1 p i=on − 1 {\displaystyle \exp \left(-{\frac {\Delta E_{i}}{T}}\right)={\frac {1}{p_{\text{i=on}}}}-1}
となる。定数 T {\displaystyle T} は各システムの温度であるとし、 i {\displaystyle i} 番目ユニットが1である確率 p i=on {\displaystyle p_{\text{i=on}}} は:
p i=on = 1 1 + exp  ( − Δ E i T ) {\displaystyle p_{\text{i=on}}={\frac {1}{1+\exp(-{\frac {\Delta E_{i}}{T}})}}}
となる。このような関係がボルツマン・マシンにおける確率式らにみられる理論関数の基礎となっている。