ジョン・ウォリス
ウォリスの最も重要な著作 Arithmetica Infinitorum は1656年に出版された。この論文はデカルトとカヴァリエーリの解析的手法を体系化して拡張したものである。円錐曲線についての節の後、べき乗の標準的記法を自然数から有理数に次のように拡張している。
x 0 = 1 , x − 1 = 1 x , x − 2 = 1 x 2 , etc. {\displaystyle x^{0}=1,\ x^{-1}={\frac {1}{x}},\ x^{-2}={\frac {1}{x^{2}}},{\text{ etc.}}}
x 1 / 2 = square root of x , x 2 / 3 = cube root of x 2 , etc. {\displaystyle x^{1/2}={\text{ square root of }}x,\ x^{2/3}={\text{ cube root of }}x^{2},{\text{ etc.}}}
x 1 / n = n th root of x . {\displaystyle x^{1/n}=n{\text{th root of }}x.}
x p / q = q th root of x p . {\displaystyle x^{p/q}=q{\text{th root of }}x^{p}.}
この記法の様々な代数的応用を示した後、積分法に主題を移し、y = x という曲線と x 軸と x = h という垂線に囲まれた部分の面積が、底辺と高さが同じ平行四辺形の面積に対してこの領域の面積が常に 1/m + 1 という比率であることを証明している。