超完全数
超完全数 (ちょうかんぜんすう、英: Superperfect number)とは完全数を発展させた数で、次の式を満たす整数 n のことである。
σ 2 ( n ) = σ ( σ ( n ) ) = 2 n {\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,}
ただしσ は約数関数、超完全数は Suryanarayana (1969) によって定義された。
具体的には
2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144,... (オンライン整数列大辞典の数列 A019279)
である。もし n が偶数の超完全数ならば 2−1 がメルセンヌ素数であるような 2 でなければならない。
奇数の超完全数はまだ知られていない。 奇数の超完全数 n が存在するなら、その数は n または σ(n) が少なくとも3つの異なる素因数からできる平方数でなければならないことは知られている。 奇数の超完全数は 7 x 10 までの数では存在しない。