同値類
同値関係は二項関係 ∼ であって以下の3つの性質を満たすものである:
X の任意の元 a に対して,a ∼ a である(反射性),
X の任意の2元 a, b に対して,a ∼ b ならば b ∼ a である(対称性),
X の任意の3つの元 a, b, c に対して,a ∼ b かつ b ∼ c ならば a ∼ c である(推移性).
元 a の同値類は [a] と書き,a と ∼ によって関係づけられる元全体の集合
[ a ] = { x ∈ X ∣ a ∼ x } {\displaystyle [a]=\{x\in X\mid a\sim x\}}
として定義される.同値関係 R を明示して [a]R とも書かれる.これは a の R-同値類といわれる.
同値関係 R に関する X のすべての同値類からなる集合を X/R と書き,X の R による商集合 (quotient set of X by R, X modulo R) と呼ぶ.
∼ が X 上の同値関係で P(x) が,x ∼ y であるときにはいつでも,P(y) が真ならば P(x) が真であるような,X の元の性質であるとき,性質 P は ∼ の不変量,あるいは関係 ∼ のもとで well-defined であるといわれる.
よくある場合は f が X から別の集合 Y への関数であるときに生じる;x1 ∼ x2 であるときにはいつでも f(x1) = f(x2) であるとき,f は ∼ に対する射,∼ の下での類不変量,あるいは単に ∼ の下の不変量といわれる.これは例えば有限群の指標理論において現れる.著者によっては「∼ の下で不変」の代わりに「∼ と両立する」あるいはただ「∼ に従う」を用いる.
任意の関数 f: X → Y はそれ自身,x1 ∼ x2 ⇔ f(x1) = f(x2) なる X 上の同値関係を定義する.x の同値類は f(x) に写される X の元全体の集合である,つまり,類 [x] は f(x) の逆像である.この同値関係は f の核(英語版)として知られている.
より一般に,関数は(X 上の同値関係 ∼X の下で)同値な引数を(Y 上の同値関係 ∼Y の下で)同値な値に送ることがある.そのような関数は ∼X から ∼Y への射と呼ばれる.
This material is basic and can be found in any text dealing with the fundamentals of proof technique, such as any of the following:
Sundstrom (2003), Mathematical Reasoning: Writing and Proof, Prentice-Hall
Smith; Eggen; St.Andre (2006), A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.), Thomson (Brooks/Cole)
Schumacher, Carol (1996), Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics, Addison-Wesley, ISBN 0-201-82653-4
O'Leary (2003), The Structure of Proof: With Logic and Set Theory, Prentice-Hall
Lay (2001), Analysis with an introduction to proof, Prentice Hall