測地線
となるが、ここで弧長 s を媒介変数の一次関数と置き直せば s ̈ = 0 {\displaystyle {\ddot {s}}=0} となる。特に媒介変数 t を弧長 s と置き直せばより簡単になり、
d 2 x k d s 2 + 1 2 g k a ( ∂ g a i ∂ x j + ∂ g a j ∂ x i − ∂ g i j ∂ x a ) d x i d s d x j d s = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{k}}{\mathrm {d} s^{2}}}+{\frac {1}{2}}g^{ka}\left({\frac {\partial g_{ai}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{aj}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{a}}}\right){\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} s}}=0}