ペロン＝フロベニウスの定理
h > 1 のときは、次を満たす置換行列 P が存在する:
P A P − 1 = ( 0 A 1 0 0 ... 0 0 0 A 2 0 ... 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ... A h − 1 A h 0 0 0 ... 0 ) . {\displaystyle PAP^{-1}={\begin{pmatrix}0&A_{1}&0&0&\ldots &0\\0&0&A_{2}&0&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&0&\ldots &A_{h-1}\\A_{h}&0&0&0&\ldots &0\end{pmatrix}}.} ここで主対角線上のブロック行列は、すべてゼロの正方行列である。
9. コラッツ=ヴィーランド(Collatz-Wielandt)の公式:全ての非負かつ非ゼロなベクトル x に対し、xi ≠ 0 である全ての i について、 [Ax]i / xi の最小値を、f(x) とする。このとき、実数値関数 f の最大値はペロン=フロベニウス固有値 r に等しい。
10. ペロン=フロベニウス固有値 r は、次の不等式を満たす: min i ∑ j a i j ≤ r ≤ max i ∑ j a i j . {\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}