シュニレルマン密度
※追記 : 定義より全ての n に対して、0 ≤ A(n) ≤ n であり nσA ≤ A(n) であるから、0 ≤ σA ≤ 1 かつ σA = 1 であることは A = N であることと同値である。さらに、 σ A = 0 ⇒ ∀ ε > 0 ∃ n A ( n ) < ε n . {\displaystyle \sigma A=0\Rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n\ A(n)<\epsilon n.}
シュニレルマン密度は集合の最初の値に対して敏感である. ∀ k k ∉ A ⇒ σ A ≤ 1 − 1 / k {\displaystyle \forall k\ k\notin A\Rightarrow \sigma A\leq 1-1/k} .
特に、 1 ∉ A ⇒ σ A = 0 {\displaystyle 1\notin A\Rightarrow \sigma A=0} かつ 2 ∉ A ⇒ σ A ≤ 1 2 {\displaystyle 2\notin A\Rightarrow \sigma A\leq {\frac {1}{2}}} である。
結局、偶数と奇数のシュニレルマン密度はそれぞれ、0 と 1/2 である。シュニレルマンとリンニクは、以下に見るように、この敏感さを利用した。(シュニレルマン密度は A の小さな部分に強く依存する。しかし、比較的容易に加法的整数論に関する定理を得ることができるため、シュニレルマンによって早くから研究がなされた。)