凸錐
ヒルベルト空間 V の閉凸部分集合 K が与えられたとき、K 内の点 x での集合 K の法錐(normal cone)は次で定義される:
N K ( x ) = { p ∈ V : ∀ x ∗ ∈ K , ⟨ p , x − x ∗ ⟩ ≥ 0 } . {\displaystyle N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,x-x^{*}\rangle \geq 0\right\}.}
V の閉凸部分集合 K が与えられたとき、点 x での集合 K の接錐(英語版)(tangent cone)は次で定義される:
T K ( x ) = ⋃ h > 0 1 h ( K − x ) ̄ . {\displaystyle T_{K}(x)={\overline {\bigcup _{h>0}{\tfrac {1}{h}}(K-x)}}.}
ヒルベルト空間 V の閉凸部分集合 K が与えられたとき、点 x での集合 K への外向き法錐(outward normal cone)は次で定義される:
N K ( x ) = { p ∈ V : ∀ x ∗ ∈ K , ⟨ p , x − x ∗ ⟩ ⩽ 0 } .
真凸錐(proper convex cone)という語は、文脈によって様々な意味で定義されている。それはしばしば V の任意の超平面に含まれない突凸錐のことを指したり、位相的に閉(したがって鋭)、あるいは位相的に開(したがって鈍)などの他の条件を含むもののことを指すこともある。人によっては、この記事で凸錐と呼んでいるものに対して楔(wedge)という語を使い、この記事で突凸錐や真凸錐と呼んでいるもののことを錐と呼ぶこともある。
{\displaystyle N_{K}(x)=\left\{p\in V\;:\;\forall x^{*}\in K,\langle p,x-x^{*}\rangle \leqslant 0\right\}.}
ヒルベルト空間 V の閉凸部分集合 K が与えられたとき、点 x での集合 K への接錐(tangent cone)は、外向き法錐 N K ( x ) {\displaystyle N_{K}(x)} への極錐として、次のように定義される:
T K ( x ) = N K ∗ ( x ) = d e f { y ∈ V | ∀ ξ ∈ N K ( x ) : ⟨ y , ξ ⟩ ⩽ 0 } . {\displaystyle T_{K}(x)=N_{K}^{*}(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\{y\in V|\forall \xi \in N_{K}(x):\langle y,\xi \rangle \leqslant 0\}.}
法錐と接錐のいずれも閉かつ凸という性質を持っている。それらは凸最適化や変分不等式(英語版)、射影力学系などの分野において重要な概念である。