ローラン級数
r = 0 の場合というのは、つまり一点 c においてのみ定義されないかも知れない正則関数 f(z) の場合であるが、特に重要である。そのような関数のローラン展開における −1 番目の係数 a-1 は関数 f(z) の特異点 c における(微分形式 f(z)dz の)留数と呼ばれ、留数定理における重要な役割を演じる。
例えば、関数
f ( z ) = e z z + e 1 z {\displaystyle f(z)={e^{z} \over z}+e^{1 \over z}}
を考える。この関数は z = 0 を除いた各点で正則である。中心 c = 0 に関するローラン展開を決定するために、指数関数のテイラー展開を利用すると
f ( z ) = ⋯ + ( 1 3 ! ) z − 3 + ( 1 2 ! ) z − 2 + 2 z − 1 + 2 + ( 1 2 ! ) z + ( 1 3 ! ) z 2 + ( 1 4 ! ) z 3 + ⋯ {\displaystyle f(z)=\cdots +\left({1 \over 3!}\right)z^{-3}+\left({1 \over 2!}\right)z^{-2}+2z^{-1}+2+\left({1 \over 2!}\right)z+\left({1 \over 3!}\right)z^{2}+\left({1 \over 4!}\right)z^{3}+\cdots }
なる展開を得る。したがって留数が 2 であることが見てとれる。