差分法
最も簡単な例として、次の1階常微分方程式を考える:
u ′ ( x ) = 3 u ( x ) + 2 {\displaystyle u'(x)=3u(x)+2\,}
これを解くには、差分商
u ( x + h ) − u ( x ) h ≈ u ′ ( x ) ( h → 0 ) {\displaystyle {\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}\approx u'(x)\quad (h\to 0)}
を用いて
u ( x + h ) = u ( x ) + h ( 3 u ( x ) + 2 ) {\displaystyle u(x+h)=u(x)+h(3u(x)+2)\,}
と近似する。この方法をオイラー法という。この最後の方程式のように、微分方程式の微分を差分商に置き換えたものを、差分方程式(さぶんほうていしき、difference equation)と呼ぶ。