スピン構造
M をパラコンパクト位相多様体とし、M 上の向き付けられた n-次元ベクトル束 E はファイバー計量(英語版)を持つとする(これは、M の各点における E のファイバーが内積空間であることという意味である)。E のスピノル束は、M の各点に対して一貫した仕方でスピン表現を付随させるための処方箋になる。スピン構造を持つことが可能となることへの位相的障害が存在し、その結果として、与えられた束 E が如何なるスピノル束も持たないこともありうる。E がスピン構造を持つ場合、束 E はスピンである(スピン束)という。
このことは、主束を考えることによって厳密にすることができる。ベクトル束の正規直交標構(英語版)全体の成す集合は標構束(英語版) PSO(E) を成す(これは特殊直交群 SO(n) の作用の下での主束である)。PSO(E) に対するスピン構造とは、PSO(E) の(スピン群 Spin(n) の作用の下の)主束 PSpin(E) への持ち上げである。
スピン構造が存在するのは、束 E が向き付け可能かつその束の二次スティーフェル–ホイットニー類が準同型 H(M, Z) → H(M, Z/2Z) の像に属する(すなわち、三次の整係数スティーフェル–ホイットニー類が消えている)ときである。このとき、束 E は「スピンである」(スピン-束)という。直観的には、弧の持ち上げが、任意に得られたスピン束の U(1)-成分のデカルト平方のチャーン類を与える。ホップとヒルツェブルフの定理により、向き付け可能な四次元閉多様体は、常にスピン構造を持つ。