量子力学の数学的定式化
ι † : H ↪ G ′ {\displaystyle \iota ^{\dagger }~:~{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {G}}'} 、
を定義できる。
定義 (ゲルファントの三つ組) ― ι ( G ) {\displaystyle \iota ({\mathcal {G}})} が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で稠密なとき、このようにしてできた三つ組
G ↪ ι H ↪ ι † G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathcal {H}}{\overset {\iota ^{\dagger }}{\hookrightarrow }}{\mathcal {G}}'}
を、 ( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} を G {\displaystyle {\mathcal {G}}} に付随するゲルファントの三つ組(英語版)もしくはrigged Hilbert spaceという。
と定義する。 L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} の元をX上のL関数という。 さらにL(X)上の内積を
⟨ ψ , χ ⟩ := ∫ X ψ ( x ) ̄ χ ( x ) d x {\displaystyle \langle \psi ,\chi \rangle :=\int _{X}{\overline {\psi (x)}}\chi (x)\mathrm {d} x}
により定義すると、組 ( L 2 ( X ) , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (L^{2}(X),\langle \cdot ,\cdot \rangle )} はヒルベルト空間をなすことが知られている。このヒルベルト空間をX上のL空間という。
粒子がk個からなる系の場合、各粒子が3次元分の自由度を持つので、L(R)空間を利用すれば量子力学を自然に展開できる。また例えば(ポテンシャルの壁に遮られるなどして)粒子が有限の区間Iの内部しか動けないようなケースに対しても、X=Iの場合のL空間L(I)を利用できる。
( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} をゲルファントの三つ組とし、Aを H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素とする。本節の目標は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} よりも広い空間である G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} からAの固有ベクトルを探す事にあるが、そもそもAは H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上でしか定義されていないので、 G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} の元をAの固有ベクトルとみなすには、まずAの定義域を G ′ {\displaystyle {\mathcal {G}}'} 上に拡張する必要がある。
そこでAとして以下の2性質を満たすものを考える。なおこの2性質を満たすとき、Aは ( H , G , ι ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\mathcal {G}},\iota )} に付随するゲルファントの三つ組と両立するという:
G ⊂ D o m ( A ) {\displaystyle {\mathcal {G}}\subset \mathrm {Dom} (A)}
T λ = c δ ( x − λ ) {\displaystyle T_{\lambda }=c\delta (x-\lambda )}
がこの解になる事を簡単に確認でき、しかもこれ以外に解がない事も知られている。
以上の議論から X j {\displaystyle X_{j}} の一般化固有値λに対応する一般化固有空間E(λ)は
E ( λ ) = { c δ ( x − λ ) ∣ c ∈ C } {\displaystyle E(\lambda )=\{c\delta (x-\lambda )\mid c\in \mathbf {C} \}}
である。これは一次元空間なので、 E ( λ ) ≃ C {\displaystyle E(\lambda )\simeq \mathbf {C} } である。したがって ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} に対し、
ψ ^ λ : T ∈ E ( λ ) ↦ ⟨ T , ψ ⟩ ∈ C {\textstyle {\hat {\psi }}_{\lambda }~:~T\in E(\lambda )\mapsto \langle T,\psi \rangle \in \mathbf {C} }
は、
ψ ^ λ ( c δ ( x − λ ) ) = ∫ R c δ ( x − λ ) ψ ( x ) d x = c ψ ( λ ) {\displaystyle {\hat {\psi }}_{\lambda }(c\delta (x-\lambda ))=\int _{\mathbf {R} }c\delta (x-\lambda )\psi (x)\mathrm {d} x=c\psi (\lambda )}
V ( x ) ∈ L p ( R l ) + L ∞ ( R l ) {\displaystyle V(x)\in L^{p}(\mathbb {R} ^{\ell })+L^{\infty }(\mathbb {R} ^{\ell })} で、しかも { p = 2 if l ≤ 3 p > 2 if l = 4 p > n / 2 if l ≥ 5 {\displaystyle {\begin{cases}p=2&{\text{if }}\ell \leq 3\\p>2&{\text{if }}\ell =4\\p>n/2&{\text{if }}\ell \geq 5\end{cases}}}
ここで L p ( R l ) + L ∞ ( R l ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{\ell })+L^{\infty }(\mathbb {R} ^{\ell })} は L p ( R l ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{\ell })} の元と L ∞ ( R l ) {\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} ^{\ell })} の元の和で書ける関数の集合である。
これが一般のリー群に関するネーターの定理であるが、強連続1パラメータユニタリ変換群に関するネーターの定理と違い、さらに g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のリー括弧に関しても、以下の性質が言える事である:
定理 ―
∀ X , Y ∈ g : π ( [ X , Y ] ) = i [ π ( X ) , π ( Y ) ] {\displaystyle \forall X,Y\in {\mathfrak {g}}~:~\pi ([X,Y])=i[\pi (X),\pi (Y)]}
なお、自己共役作用素の括弧積
[ A , B ] := A B − B A {\displaystyle [A,B]:=AB-BA}
は D o m ( A ) ∩ D o m ( B ) {\displaystyle \mathrm {Dom} (A)\cap \mathrm {Dom} (B)} が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の稠密部分集合になる場合にしか自己共役作用素ならないが、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} のユニタリ表現の場合には
∀ D ∈ g : W ⊂ D o m ( π ( X ) ) {\displaystyle \forall D\in {\mathfrak {g}}~:~W\subset \mathrm {Dom} (\pi (X))}
を満たす H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の稠密部分集合Dが必ず存在する事が知られているので、括弧積は必ず自己共役作用素となる。
可分な無限次元ヒルベルト空間は同型を除いて1つしか存在しない。すなわち以下が成立する:
定理 (可分なヒルベルト空間の一意性) ― H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} 、 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} を任意の可分な無限次元ヒルベルト空間とするとき、 H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} と H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} は同型である。
前述のように本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを取り扱う。よって本項で登場するヒルベルト空間で次元が無限のものは全て同型である。
ディラックのデルタ関数の概念は、緩増加超関数の概念を用いて定式化する事ができる。
定義 (デルタ超関数) ― ΩをRの開集合とするとき、以下のように定義される超関数をデルタ超関数という:
δ : C 0 ∞ ( Ω ) → C {\displaystyle \delta ~:~C_{0}^{\infty }(\Omega )\to \mathbf {C} } 、 φ ↦ φ ( 0 ) {\displaystyle \phi \mapsto \phi (0)}
内積の定義より、これは
⟨ δ , φ ⟩ = φ ( 0 ) {\displaystyle \langle \delta ,\phi \rangle =\phi (0)}
を意味する。上式をL空間における内積の定義と照らし合わせると、上式はディラックの議論における
∫ Ω δ ( x ) φ ( x ) d x = φ ( 0 ) {\displaystyle \int _{\Omega }\delta (x)\phi (x)\mathrm {d} x=\phi (0)}
を数学的に正当化したものとみなせる。
..(A1)
という形で書ける微分作用素は本質的に自己共役である。特に
C 0 ∞ ( R d ) → L 2 ( R d ) , {\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d}),\quad } ψ ( x ) ↦ − i ħ ( x k ∂ ∂ x j − x j ∂ ∂ x k ) ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\mapsto -i\hbar \left(x_{k}{\partial \over \partial x_{j}}-x_{j}{\partial \over \partial x_{k}}\right)\psi (x)}
の閉包として書ける軌道角運動量作用素も自己共役である。
(A1)の形の微分作用素Dが自己共役である事の証明は本項の範囲を超えるため省略するが、Dが対称作用素である事は以下のように示すことができる。φ, ψ ∈C∞0(R)に対し、部分積分の公式から
スペクトルσ(A)の定義より、λがσ(A)に属する場合、A-λIは全単射でない。すなわちA-λIは「全射でない」かもしくは「単射でない」事を意味する。
定義 ― σ(A)の元のうち、A-λIが単射でない複素数λ全体の集合をσP(A)と書き、σP(A)をAの点スペクトルという。
λがσP(A)の元であれば明らかに
ker  ( A − λ I ) ≠ { 0 } {\displaystyle \ker(A-\lambda I)\neq \{0\}}
であるので、
A ψ = λ ψ {\displaystyle A\psi =\lambda \psi }
となる0でない ψ ∈ D o m ( A ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} (A)} が存在する。すなわち点スペクトルσP(A)の元はAの固有値である。
である。すなわち c ∈ C → ∼ c δ ( x − λ ) {\displaystyle c\in \mathbf {C} {\overset {\sim }{\to }}c\delta (x-\lambda )} を ψ ( λ ) {\displaystyle \psi (\lambda )} 倍する写像である。したがって X {\displaystyle X} に関する ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} の一般化フーリエ変換
ψ ^ = { ψ ^ λ } λ ∈ R {\textstyle {\hat {\psi }}=\{{\hat {\psi }}_{\lambda }\}_{\lambda \in \mathbf {R} }}
は自然に
{ ψ ( λ ) } λ ∈ R {\displaystyle \{\psi (\lambda )\}_{\lambda \in \mathbf {R} }}
と同一視でき、これは ψ {\displaystyle \psi } それ自身と同一視できる。よって X {\displaystyle X} に関する ψ ∈ S ( R ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )} の一般化フーリエ変換は ψ {\displaystyle \psi } それ自身である。
フォン・ノイマンの一意性定理を定式化するために必要な概念を定義する。
定義 (閉作用素、可閉作用素、閉包作用素) ― 稠密に定義された線形作用素 T : H 1 → H 2 {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} が以下を満たすとき、Tは閉作用素であるという:
点列 { ψ } n ⊂ H 1 {\displaystyle \{\psi \}_{n}\subset {\mathcal {H}}_{1}} が ( ψ n , T ( ψ n ) ) → ( φ , χ ) ∈ H 1 × H 2 {\displaystyle (\psi _{n},T(\psi _{n}))\to (\varphi ,\chi )\in {\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}} となる(φ,χ)を持てば、 φ ∈ D o m ( T ) {\displaystyle \varphi \in \mathrm {Dom} (T)} であり、しかもχ=T(φ)が成立する。
定義 ― 以下の3条件を満たす可算個の切断の組 ( e j ) j = 1 ∞ {\displaystyle (e_{j})_{j=1}^{\infty }} が存在するとき、 ( e j ) j = 1 ∞ {\displaystyle (e_{j})_{j=1}^{\infty }} を ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} の同時正規直交基底(simultaneous orthonormal basis)といい、 ( H λ ) λ ∈ X {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\lambda })_{\lambda \in X}} と同時正規直交基底 ( e j ) j = 1 ∞ {\displaystyle (e_{j})_{j=1}^{\infty }} の組を可測構造(measurability structure)つきのヒルベルト空間族という:
任意のλ∈Xと任意の相異なるj, k ∈ Nに対し、 ⟨ e j ( λ ) , e k ( λ ) ⟩ λ = 0 {\displaystyle \langle e_{j}(\lambda ),e_{k}(\lambda )\rangle _{\lambda }=0}
任意のλ∈Xと任意のj ∈ Nに対し、 ⟨ e j ( λ ) , e j ( λ ) ⟩ λ {\displaystyle \langle e_{j}(\lambda ),e_{j}(\lambda )\rangle _{\lambda }} は0もしくは1である。
任意のλ∈Xに対し、 H λ = S p a n ( ( e j ( λ ) ) j = 1 ∞ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda }=\mathrm {Span} ((e_{j}(\lambda ))_{j=1}^{\infty })}