作用素をもつ群
集合 Ω の作用素をもつ群 (G, Ω) は、群 G とその上の写像
ω : G → G {\displaystyle \omega \colon G\to G}
で群の演算に対して分配的であるようなものからなる族 Ω を合わせて考えたものである。このとき Ω を作用域といい、その元を G 上の作用素という。
変換 ω による群 G の元 g の像を g と書けば、作用の分配性は
( g h ) ω = g ω h ω ( ∀ ω ∈ Ω , ∀ g , h ∈ G ) {\displaystyle (gh)^{\omega }=g^{\omega }h^{\omega }\quad (\forall \omega \in \Omega ,\forall g,h\in G)}
と表せる。また、G の部分群 S が Ω の作用に関する固有部分群もしくは安定部分群 (stable subgroup)あるいは Ω-不変部分群または簡単に Ω-部分群であるとは、
s ω ∈ S ( ∀ s ∈ S , ∀ ω ∈ Ω ) {\displaystyle s^{\omega }\in S\quad (\forall s\in S,\forall \omega \in \Omega )}
が成り立つときに言う。