シンプレクティック幾何学
エケランド(Ekeland)とホファー(Hofer)はシンプレクティック容量 (symplectic capacity) の概念を提唱した。 2 n {\displaystyle 2n} 次元シンプレクティック多様体に対するシンプレクティック容量とは、 2 n {\displaystyle 2n} 次元シンプレクティック多様体 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} に対して正数を割り当てる関数 c {\displaystyle c} で次の性質を満たすものである。 ( M , ω ) , ( M ′ , ω ′ ) {\displaystyle (M,\omega ),(M',\omega ')} をシンプレクティック多様体とする。
もしシンプレクティック埋め込み φ : ( M , ω ) → ( M ′ , ω ′ ) {\displaystyle \,\phi :(M,\omega )\to (M',\omega ')\,} が存在すれば、 c ( M , ω ) ≤ c ( M ′ , ω ′ ) . {\displaystyle \,c(M,\omega )\leq c(M',\omega ').\,}
c ( M , λ ω ) = | λ | c ( M , ω ) , λ ∈ R ∖ { 0 } .
運動方程式は、ラグランジュ形式においては一般化座標と一般化速度とを用いて、2階の常微分方程式系(オイラー・ラグランジュ方程式)として記述された。それに対して、ハミルトン形式においては、一般化座標と一般化運動量とを用い、1階の常微分方程式系(ハミルトンの正準方程式)により運動が記述された。しかし、ハミルトン形式において最も特徴的なことは、方程式が対称的であり、かつ、一般化座標と一般化運動量の2つが独立に扱われることである。この事実は、系の対称性や可積分性を調べるにはハミルトン系のほうが都合がよいことを意味する。なぜなら、ラグランジュ形式は配位空間上の対称性しか扱わないのに対して、ハミルトン形式は相空間(=配位空間の余接バンドル)上の対称性をも扱うからである。つまり、ハミルトン形式の方がより多くの変換が許容される。
運動方程式を求積するには第一積分(保存量)が必要である。(ハミルトニアンとは独立な)第一積分の数だけ方程式の自由度を落とすことができるからである。第一積分を使って、方程式の自由度を削減する方法を一般に簡約化という。
第一積分を見つけることは系における対称性を見つけることに等しい。系が対称性をもてば、その対称性に対応する保存量を見付けられるからである。例えば、並進対称性があれば運動量が保存し、回転対称性をもてば角運動量が保存する。このように、系の対称性と第一積分の存在との関係を一般的な状況下で研究したのは、ネーターが最初であるとされる。彼女は現在ネーターの定理と呼ばれる次の定理を示した。
[ x ^ j , x ^ k ] = [ p ^ j , p ^ k ] = 0 , [ x ^ j , p ^ k ] = i ħ δ j k {\displaystyle [{\hat {x}}_{j},{\hat {x}}_{k}]=[{\hat {p}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=0,\,\,[{\hat {x}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=i\hbar \delta _{jk}}
が成り立つ。一般にヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} とその上の正準交換関係を満たす自己共役作用素の組 ( H , x ^ 1 , ⋯ , x ^ n , p ^ 1 , ⋯ , p ^ n ) {\displaystyle ({\mathcal {H}},{\hat {x}}_{1},\cdots ,{\hat {x}}_{n},{\hat {p}}_{1},\cdots ,{\hat {p}}_{n})} を自由度nの正準交換関係表現という。正準量子化とは、ヒルベルト空間 L 2 ( R n ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})} 上の正準交換関係表現を定義することに他ならない。このような正準量子化の定義をはっきりと打ち出したのは、フォン・ノイマンである。フォン・ノイマンはさらに、ヴァイルの関係式を満たす正準交換関係表現がユニタリー同値なものを除いて一意に定まることを示した。これはハイゼンベルクによる行列力学とシュレディンガーによる波動力学の同値性を説明する。
シンプレクティック幾何の歴史は物理とともに始まり進展していったが、そしてシンプレクティック幾何は大域的幾何としての発展を期待されていた。例えば、ダルブーの定理によれば、局所的にはシンプレクティック空間 ( R 2 n , ω 0 = ∑ i d p i ∧ d q i ) {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{2n},\ \omega _{0}=\sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}\right)} で話が全て尽きてしまう。したがって、シンプレクティック幾何が扱うべきは大域的な対象であると長く言われてきた。しかし、物理と密着な関わりを持ちすぎたが故に、シンプレクティック幾何学は20世紀前半から始まる大域的解析学とは一線を画している面がある。しかし、特にグロモフ以降のシンプレクティック幾何学は、大域解析学の大きな柱へと成長を遂げることになる。グロモフは論文 のなかで概正則曲線の概念を定義し、その論文がエポックメイキングとなりそれ以降シンプレクティック幾何学は大域的トポロジーの一分野(シンプレクティックトポロジー)に躍り出ることとなる。これを深谷賢治は、『普通の大域シンプレクティック幾何学』 になった、と述べている。
グロモフは次の定理を示した。
定理 (non-squeezing) : r , R > 0 {\displaystyle r,R>0} とする。 また、
{ φ t } {\displaystyle \{\phi _{t}\}} を配位空間 N {\displaystyle N} 上の1パラメータ変換群とし、 L {\displaystyle L} を系のラグランジアンであるとする。もし { φ t } {\displaystyle \{\phi _{t}\}} の状態空間 T N {\displaystyle TN} への持ち上げに対してラグランジアン L {\displaystyle L} が不変ならば、系は
G ( q , q ̇ ) = ∑ i ξ i ( q , q ̇ ) ∂ L ∂ q ̇ i {\displaystyle G(q,{\dot {q}})=\sum _{i}\xi _{i}(q,{\dot {q}}){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}
という第一積分をもつ。ここで
ξ = ∑ i ξ i ∂ ∂ q i {\displaystyle \xi =\sum _{i}\xi _{i}{\partial \over \partial q_{i}}}
は 1パラメータ変換群 { φ t } {\displaystyle \{\phi _{t}\}} の無限小変換である。
ネーターの定理はハミルトン形式に対しても同様に成り立つ。
ここで、 s , t {\displaystyle s,t} はそれぞれ R × S 1 {\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}} の第一、第二成分の座標である。(**)の解 u {\displaystyle u} で、 s → − ∞ {\displaystyle s\to -\infty } の極限で u ( s , ∙ ) : S 1 → M {\displaystyle u(s,\bullet ):S^{1}\to M} がハミルトン方程式の1周期解xに、 s → ∞ {\displaystyle s\to \infty } の極限で周期解 y {\displaystyle y} に収束するもののモジュライ空間を M ( x , y ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(x,y)} と書く。 μ H ( x ) − μ H ( y ) = 1 {\displaystyle \mu _{H}(x)-\mu _{H}(y)=1} ならば、このモジュライ空間は有限集合であることが証明できる。したがって、上で定義した境界作用素 δ {\displaystyle \delta } はwell-definedである。さらに次の定理が成立すれば、鎖複体 ( C F ∗ ( H ) , δ ) {\displaystyle (CF_{\ast }(H),\delta )} がようやく構成できたことになる(正確には、概複素構造 J {\displaystyle J} にも依存した鎖複体を構成した)。
定理(フレアー): ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} が単調ならば、 δ ∘ δ = 0 {\displaystyle \delta \circ \delta =0} が成り立つ。
である。ここで、 b k ( M ) {\displaystyle b_{k}(M)} は k {\displaystyle k} 次のベッチ数である。
この予想はハミルトン系の周期解に関する予想であるが、シンプレクティック多様体上の不動点定理としても捉えることができる。すなわち、 { φ t } t ∈ R {\displaystyle \{\phi _{t}\}_{t\in \mathbb {R} }} をハミルトンベクトル場 X H t {\displaystyle X_{H_{t}}} のフローとし、 γ : R / Z → M {\displaystyle \gamma :\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to M} をハミルトン系の周期解としよう。簡単のため、 γ {\displaystyle \gamma } の周期は1であるとする。すると、 γ ( 0 ) ∈ M {\displaystyle \gamma (0)\in M} は φ 1 ( γ ( 0 ) ) = γ ( 0 ) {\displaystyle \phi _{1}(\gamma (0))=\gamma (0)} を満たす。つまり、 γ ( 0 ) {\displaystyle \gamma (0)} はハミルトン微分同相写像の不動点である。この観点からみれば、アーノルド予想とは
Conjecture(Arnold)
φ {\displaystyle \,\phi \,} を(M, ω)上のハミルトン微分同相写像とする。