逆問題
上の二つの正則化もそうであったが、x の推定値 x ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}} は観測値の線型結合で表されている。
x ^ = L y {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {y}}}
観測値 y は、真の値をノイズ付きで観測したものだから、y の定義式を代入して
x ^ = L ( K x + n ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {L}}({\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {n}})}
K は N 行 M 列( N < M {\displaystyle N<M} )だから、逆行列は存在しないが、ノイズがなければ、よい観測は x ^ = x {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {x}}} となるはずである。そこで、LK=I と L を定めればよさそうである。