素数の間隔
n番目の素数と(n+1)番目の素数の間の間隔gnは数論的関数の1例である。この文脈では通常dnで表され、素数差分関数(prime difference function)と呼ばれる。この関数は乗法的関数でも加法的関数でもない。
Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 リチャード・ガイ『数論における未解決問題集』一松信 監訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、1983年1月。ISBN 978-4-431-70584-0。 - 注釈:旧版。 リチャード・K・ガイ 著、金光滋 訳『数論〈未解決問題〉の事典』朝倉書店、2010年11月。ISBN 978-4-254-11129-3。 - 注釈:原タイトル:Unsolved Problems in Number Theory 原著第3版の翻訳。
Soundararajan, Kannan (2007). “Small gaps between prime numbers: the work of Goldston-Pintz-Yıldırım”.
最初で最小で唯一奇数の素数の間隔は、唯一の偶数の素数である 2 と最初の奇数の素数である 3 の間の1である。他の素数の間隔はすべて偶数である。値 2 の間隔が連続しているのは素数 3, 5, 7 の間の間隔である g2 と g3 の1組だけである。
任意の整数 n に対して、n の階乗(n を含む n までの全ての正の整数の積)を用いると、数列
n ! + 2 , n ! + 3 , n ! + 4 , ... , n ! + n {\displaystyle n!+2,n!+3,n!+4,\ldots ,n!+n}
において1番目の項は2で割り切れ、2番目の項は3で割り切れ、これが続く。よって、これはn − 1個の連続した合成数の数列であり、長さがn以上の間隔を与える隣り合う素数の間の連続した整数の列(の全体あるいは一部)になる。このことから隣り合う素数の間隔にはいくらでも大きいものが常に存在すること、すなわち、任意に与えた整数Nに対して gm ≥ N となる添字mが常に存在することが分かる。