1の冪根
1 の冪根は全て、複素数平面における単位円周上にある。また概要で述べたことより、1 の n乗根の全体は、位数 n の巡回群である。これは円周群の正規部分群である。
複素係数の方程式 x − a = 0(a は複素数)の解は、a の n乗根を任意に一つ選んで √a と表せば、 x = √a ζk (k = 0, 1, ..., n − 1)
となる。
1 の n乗根は、複素数平面では、単位円に内接する正n角形の頂点である。この正n角形の重心は原点 0 であるから、1 の原始n乗根の一つを ξn とすると、次の等式が成り立つ:
∑ k = 0 n − 1 ξ n k = 1 + ξ n + ξ n 2 + ⋯ + ξ n n − 2 + ξ n n − 1 = 0 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}{\xi _{n}}^{k}=1+\xi _{n}+{\xi _{n}}^{2}+\cdots +{\xi _{n}}^{n-2}+{\xi _{n}}^{n-1}=0}