P進量子力学
ローレンツ群の p-進一般化は で考えられていて、2008年に出版された論文では、群に関してと、7 mod 8 に合同な素数上の体に関してである。 この著者は、有理数上の群の稠密部分集合を見つけ、それらが p-数上の群へ写像され、結局、素数を mod とする整数上の群へと写像されることを発見した。この方法により任意の群の稠密部分集合を発見することが可能となる。
である。ここに、 χ {\displaystyle \,\chi } はアデールからであたえられた C への加法的な指標である。
χ ( x ) = χ ∞ ( x ∞ ) ∏ p χ p ( x p ) → e − 2 π i x ∞ ∏ p e 2 π i { x p } p . {\displaystyle \chi (x)=\chi _{\infty }(x_{\infty })\prod _{p}\chi _{p}(x_{p})\rightarrow e^{-2\pi ix_{\infty }}\prod _{p}e^{2\pi i\{x_{p}\}_{p}}\ .}
また、 { x p } p {\displaystyle \,\{x_{p}\}_{p}} は x の通常の p-進展開での x p {\displaystyle \,x_{p}} の分数部分である。これは準同型
Z / n Z → e 2 π i / n {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rightarrow e^{2\pi i/n}}
の強い一般化と考えられる。
ところで、アデール的な経路積分は、入力として A にパラメータを持ち、波動函数を生成し、
アデール的な量子調和振動子の基底状態は
ψ 0 ( x ) = 2 1 / 4 e − π x ∞ 2 ∏ p Ω ( | x p | p ) {\displaystyle \psi _{0}(x)=2^{1/4}e^{-\pi {x_{\infty }}^{2}}\prod _{p}\Omega (|x_{p}|_{p})}
であるを示すことができる。 ここに | x p | p {\displaystyle \,{|x_{p}|}_{p}} が p-進整数である場合は Ω ( | x p | p ) {\displaystyle \,\Omega (|x_{p}|_{p})} は 1 であり、そうでない場合は 0 である。これが通常の複素数値の基底状態と非常に見ていることに注意する必要がある。メリン変換のアデール的なバージョンへ適用すると、
Φ ( α ) = 2 Γ ( α / 2 ) π − α / 2 ζ ( α ) {\displaystyle \Phi (\alpha )={\sqrt {2}}\,\Gamma (\alpha /2)\pi ^{-\alpha /2}\zeta (\alpha )}
を得る。ここに Γ {\displaystyle \Gamma } はガンマ函数であり、 ζ {\displaystyle \zeta } はリーマンゼータ函数である。ところで、次のテイト公式として有名な函数等式がある。
Φ ( α ) = Φ ′ ( 1 − α ) . {\displaystyle \,\Phi (\alpha )={\Phi }'(1-\alpha )\ .