微分ガロア理論
微分 D を有する任意の微分体 F に対し、F の定数体(ていすうたい、英:constants)と呼ばれる部分体
Con(F) = {f ∈ F | Df = 0}
が存在する。 定数体は、F の素体を含む。
2 つの微分体 F と G が与えられた場合に、 G が F の単純微分拡大 であって、
∃s∈F; Dt = Ds/s
を満たすとき、G を F の対数拡大(たいすうかくだい、英:logarithmic extension)という。
これは、対数微分の形式をしている。 直感的には、t をある F の要素 s の対数と考えることができ、この場合、同条件は普通の連鎖律に対応する。 しかし、F には一意的に対数が定まる訳ではないことに注意が必要である。 対数的な多くの F の拡大体を考えることもできる。 同様に、指数拡大(しすうかくだい、英:exponential extension)とは、
∃s∈F; Dt = tDs
を満たす単純微分拡大である。 また、積分拡大とは、
∃s∈F; Dt = s
を満たす単純微分拡大である。積分拡大や指数拡大は、体の標数が0でかつ拡大体の定数体が一致するとき、ピカール・ベシオ拡大になる。
上記の注意書きを念頭に置き、この要素は F の要素 s の指数と考えることができる。 最後に、F から G へ至る部分体の有限列があり、Con(F) = Con(G) は代数閉体であって列の各拡大が有限次代数拡大、対数拡大または指数拡大の何れかであるとき、G を初等微分拡大(しょとうびぶんかくだい、英:elementary differential extension)という。