バターワースフィルタ
Sallen-Key形は能動部品(オペアンプ)も使って線形アナログフィルタを実装するトポロジーである。各段のSallen-Key形回路で複素共役の2つの極を実装する。全体としては、Sallen-Key形の回路をカスケード接続してフィルタを構成する。n が奇数の場合実数の極ができるが、それは別途実装する必要があり、一般にRC回路で構成して、それをオペアンプの回路とカスケード接続する。
Sallen-Key形の伝達関数は次の通りである。
H ( s ) = 1 1 + C 2 ( R 1 + R 2 ) s + C 1 C 2 R 1 R 2 s 2 {\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}}}
この分母がバターワース多項式の二次項の1つになるよう設定すればよい。 ω c = 1 {\displaystyle \omega _{c}=1} とすると、
C 1 C 2 R 1 R 2 = 1 {\displaystyle C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1\,}
かつ
C 2 ( R 1 + R 2 ) = 2 cos  ( 2 k + n − 1 2 n π ) {\displaystyle C_{2}(R_{1}+R_{2})=2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\pi \right)}
となるように設定する。この場合、2つの部品の値が定まらないが、好きなように選べばよい。
G 2 ( ω ) = | H ( j ω ) | 2 = 1 1 + ω 6 {\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}={\frac {1}{1+\omega ^{6}}}\,}
また、位相は以下の式で得られる。
Φ ( ω ) = arg  ( H ( j ω ) ) {\displaystyle \Phi (\omega )=\arg(H(j\omega ))\,}
群遅延は、角周波数についての位相の微分と定義され、異なる複数の周波数間の位相差による信号の歪みの尺度である。このフィルタの利得と遅延をプロットしたものを左図に示す。利得曲線を見ると、通過帯域にも除去帯域にもリップルがないことがわかる。
伝達関数 H(s) の絶対値の対数を複素平面にプロットしたものが右図である。複素平面の左半分に3つの極がある。これらは単位円上にあり、実数軸を中心として対称に位置する。利得関数は右半分に3つの極を持ち、全体として単位円が完成する。
この回路のコイルとコンデンサを入れ替えると、ハイパス・バターワースフィルタとなる。うまく計算した値のコイルとコンデンサを並列接続したものをそれぞれの位置に入れると、バンドパス・バターワースフィルタになる。
再度 ω c = 1 {\displaystyle \omega _{c}=1} としたとき、ω が大きいときの利得の対数の傾斜は以下のようになる。
lim ω → ∞ d log  ( G ) d log  ( ω ) = − n {\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )}}=-n}
デシベルで表すと、高周波ロールオフは 20n dB/decade または 6n dB/octave となる(電力は電圧利得の二乗に比例するため、20 という係数が使われる)。