レイリー・ジーンズの法則
クーロンゲージの条件から波数ベクトル k は Ak と垂直である。 k に垂直で、互いに直交する2つの単位ベクトル ek,1, ek,2 を取れば、Akは
A k = ∑ γ = 1 , 2 A k , γ e k , γ {\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {k} }=\sum _{\gamma =1,2}A_{\mathbf {k} ,\gamma }\mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\gamma }}
と偏光の2自由度に対応する形に展開できる。Qk(t), Pk(t)についても、同様に ek,γで展開できる。その係数を Qk,γ(t), Pk,γ(t) とすれば、これらも正準変数である。ハミルトニアンは最終的に
H = ∑ k , γ H k , γ = ∑ k , γ 1 2 ( P k , γ 2 ( t ) + ω k 2 Q k , γ 2 ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}H&=\sum _{\mathbf {k} ,\gamma }H_{\mathbf {k} ,\gamma }\\&=\sum _{\mathbf {k} ,\gamma }{\frac {1}{2}}(P_{\mathbf {k} ,\gamma }^{\,2}(t)+\omega _{k}^{\,2}Q_{\mathbf {k} ,\gamma }^{\,2}(t))\end{aligned}}}
となるが、これは波数ベクトル k と偏光の2つの自由度 γ=1,2 で特徴付けられる調和振動子の集まりである。