クレインの条件
μ を上述のように定められる測度とする。μ のすべてのモーメント
m n = ∫ − ∞ ∞ x n d μ ( x ) , n = 0 , 1 , 2 , ... {\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu (x),\quad n=0,1,2,\ldots }
は有限であると仮定する。もし
∫ − ∞ ∞ − ln  f ( x ) 1 + x 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx<\infty }
が成立するなら、μ についてのハンバーガーのモーメント問題(英語版)は不定である。すなわち、R 上の別の測度 ν ≠ μ で
m n = ∫ − ∞ ∞ x n d ν ( x ) , n = 0 , 1 , 2 , ... {\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\nu (x),\quad n=0,1,2,\ldots }
を満たすようなものが存在する。この事実は、上述のクレインの定理の必要性(only if)の部分より従う。
μ を、実数直線上のある絶対連続な測度で、dμ(x) = f(x) dx が満たされるものとする。指数関数の和
∑ k = 1 n a k exp  ( i λ k x ) , a k ∈ C , λ k ≥ 0 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}\exp(i\lambda _{k}x),\quad a_{k}\in \mathbb {C} ,\,\lambda _{k}\geq 0}
が L2(μ) において稠密であるための必要十分条件は
∫ − ∞ ∞ − ln  f ( x ) 1 + x 2 d x = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx=\infty }
が成立することである。