ヘロンの公式
この公式はアレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが、現代ではこれ自体はシラクサのアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。
一般化として、円に内接する四角形の面積を辺の長さから求めるブラーマグプタの公式があり、さらには円に内接するという条件を外し、角度も用いて四角形の面積を求めるブレートシュナイダーの公式がある。ヘロンの公式はこれらの公式の特別な場合となっている。
しかし、円に内接するn角形について面積を、その辺の長さから四則演算とk乗根をとる操作によって求める代数的な公式は n ≥ 5 では存在しないことが知られている。
± b 2 − ( 2 S a ) 2 ± c 2 − ( 2 S a ) 2 = a {\displaystyle \pm {\sqrt {b^{2}-\left({\frac {2S}{a}}\right)^{2}}}\pm {\sqrt {c^{2}-\left({\frac {2S}{a}}\right)^{2}}}=a}
となる。
この式を S について解いた正の方が解である。
ピタゴラスの定理より、
CH = b 2 − h 2 = a − d {\displaystyle {\text{CH}}={\sqrt {b^{2}-h^{2}}}=a-d} (3)
BH = c 2 − h 2 = d {\displaystyle {\text{BH}}={\sqrt {c^{2}-h^{2}}}=d} (4)
と表すと、
c 2 = d 2 + h 2 {\displaystyle c^{2}=d^{2}+h^{2}} (5)
b 2 = h 2 + ( a − d ) 2 = h 2 + a 2 − 2 a d + d 2 {\displaystyle b^{2}=h^{2}+(a-d)^{2}=h^{2}+a^{2}-2ad+d^{2}} (6)
(5)の式を(6)の式に代入して、hを消すと、
b 2 = a 2 − 2 a d + c 2 {\displaystyle b^{2}=a^{2}-2ad+c^{2}}
d = a 2 − b 2 + c 2 2 a {\displaystyle d={\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a}}} (7)