ディオファントス近似
この証明の過程を利用して、π の近似で性能が良いものを分母が小さい順に求めると、以下のようになる。
| 3 − 1 π | < 1 | 22 − 7 π | < 1 / 7 | 333 − 106 π | < 1 / 106 | 355 − 113 π | < 1 / 113. {\displaystyle {\begin{aligned}|3-1\pi |&<1\\|22-7\pi |&<1/7\\|333-106\pi |&<1/106\\|355-113\pi |&<1/113.\end{aligned}}}
これから π の近似として、3, 22/7, 333/106, 355/113, ... を得ることができる。これらの近似値は古代からよく知られた円周率の近似値である。
また、近似値と連分数展開は深い関係にある。例えば π の連分数展開は
3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 ⋱ {\displaystyle 3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}
であるが、7 の時点で計算を打ち切ると 22/7、15 の時点で打ち切ると 333/106 となる。この手法で5番目の近似値を求めると、円周率の近似として、103993/33102 を得ることができる。また実際
| 103993 − 33102 π | < 1 / 33102 {\displaystyle |103993-33102\pi |<1/33102}
である。