零多項式
斉次多項式はふつう全ての項の(全)次数が斉しい多変数の多項式を言う。その意味において、零多項式はいかなる次数の斉次多項式でもない。しかし、斉次多項式 P はスカラー λ ≠ 0 によるスカラー倍に関して P(λ⋅x) = λ⋅P(x) となる自然数 k が存在するという意味において、斉 k-次の斉次函数である。零多項式はその意味において任意の斉次次数を持つ斉次多項式と見なすことができる。
零多項式が任意の次数の斉次多項式と見なすことは、k-次の斉次多項式全体 A が多項式の和に関して加法群となるために、あるいは和とスカラー倍に関してベクトル空間を成すようにするために有用である。このとき、多項式環 K[x] は次数環としての斉次成分への分解 K[x] = A + A + ⋯ ができ、これはまたベクトル空間の直和分解であり、したがって次数付き多元環としての分解になる。