分数次フーリエ変換
分数次フーリエ変換は時間周波数解析や DSP に用いられることがある。ノイズのフィルタリングにも有用だが、ノイズと信号が時間・周波数領域において重ならないことが条件となる。次の例を考えよう。ノイズを除去したいが直接フィルタを適用することができない場合、まず分数次フーリエ変換により(ノイズを含む)信号を回転させる。すると、適切なフィルタを適用することにより欲しい信号のみを通すことができる。したがってノイズは完全に除去される。その後さらに分数次フーリエ変換を適用することにより信号を元にもどせば欲しかった信号が得られる。
分数次フーリエ変換は光学系の設計やホログラフィックストレージの効率最適化に用いられることもある。
したがって、時間領域における打ち切り、もしくは同じことだが周波数領域におけるローパスフィルターの適用により、時間・周波数領域の任意の凸包を切り取ることができる。対して、分数次フーリエ変換を使わず時間領域的手法や周波数領域的手法のみを用いる場合、それらの軸に平衡な矩形を切り取ることしかできない。
フーリエ変換の通常の解釈は、時間領域信号を周波数領域信号へと変換するものである。これに対して、逆フーリエ変換の解釈は周波数領域信号を時間領域信号に変換するものである。見て分かるように、分数次フーリエ変換は(時間領域でも周波数領域でもどちらでもよい)信号を時間と周波数の間の領域の信号へと変換するもの、つまり時間・周波数領域(英語版)での回転と解釈できる。この見方は線形正準変換(英語版)により一般化される。この変換は、分数次フーリエ変換を一般化し、時間・周波数領域における回転以外の線形変換を可能とする。
下の図を例にとろう。時間領域信号が(下のとおり)矩形の場合、周波数領域ではsinc関数となる。しかし、分数次フーリエ変換を作用させた場合、矩形信号は時間と周波数の間の領域の信号が得られる。
実際、分数次フーリエ変換は時間周波数分布上の回転操作である。上述の定義から、α = 0 の場合の分数次フーリエ変換では何も変化せず、α = π/2 の場合はフーリエ変換となり、時間周波数分布を π/2 だけ回転させる。α がその他の値の場合、分数次フーリエ変換は時間周波数分布を α だけ回転させる。次の図はさまざまな α の値における分数次フーリエ変換の結果である。