除外変数バイアス
u {\displaystyle \mathbf {u} } は X {\displaystyle \mathbf {X} } とは相関しないので、期待最終項は期待値には影響しない。残りの項を整理すると
E ( β ^ ∣ X ) = β + ( X ⊤ X ) − 1 E ( X ⊤ z ∣ X ) δ = β + bias {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left({\widehat {\boldsymbol {\beta }}}\mid \mathbf {X} \right)&={\boldsymbol {\beta }}+(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {X} )^{-1}\mathbb {E} \left(\mathbf {X} ^{\top }\mathbf {z} \mid \mathbf {X} \right)\delta \\&={\boldsymbol {\beta }}+{\text{bias}}\end{aligned}}}
右辺第2項が除外変数バイアスであり、除外変数 z が行列 X に含まれる変数のいずれかと相関している場合( X ⊤ z ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {X} ^{\top }\mathbf {z} \neq \mathbf {0} } の場合)非ゼロである。