ベルヌーイ多項式
孫智偉とハオ・パンは以下の驚くべき対称関係を確立した。今、 r + s + t = nかつ x + y + z = 1とすると、
r [ s , t ; x , y ] n + s [ t , r ; y , z ] n + t [ r , s ; z , x ] n = 0 , {\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,}
が成り立つ。ただし、
[ s , t ; x , y ] n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( s k ) ( t n − k ) B n − k ( x ) B k ( y ) {\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y)}
である。
D = d⁄dx は x についての微分演算として、ベルヌーイ多項式は
B n ( x ) = D e D − 1 x n {\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}
としても与えられる。ただし、この分数は形式的冪級数として展開される(演算子法を参照)。これにより
∫ a x B n ( u ) d u = B n + 1 ( x ) − B n + 1 ( a ) n + 1 {\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(u)\,du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}}
が従う(後述する#積分公式の節も参照)。