水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
である。
3次元空間における体積要素dV = dx′dy′dz′は動径方向の線素dr′と球面方向の面素dS = sinθdθdφを用いて
d  V = r ′ 2 d  r ′ d  S {\displaystyle \operatorname {d} V=r'^{2}\operatorname {d} r'\operatorname {d} S}
と書けるので、(B1)におけるψのノルム
‖ ψ ‖ := ∫ 0 π | ψ ( x ′ , y ′ , z ′ ) | 2 d  V {\displaystyle \|\psi \|{}:={\sqrt {\int _{0}^{\pi }|\psi (x',y',z')|^{2}\operatorname {d} V}}}
も
‖ ψ ‖ := ‖ R ‖ r ‖ Y ‖ S {\displaystyle \|\psi \|{}:=\|R\|_{r}\|Y\|_{S}} ...(M1)
と「変数分離」する。ここで
Y ( θ , φ ) = P l | m | ( cos  θ ) e i m φ {\displaystyle Y(\theta ,\varphi )=P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\,e^{im\phi }}
であり、
‖ Y ‖ S := ∫ 0 π | Y ( θ , φ ) | 2 d  S {\displaystyle \|Y\|_{S}{}:={\sqrt {\int _{0}^{\pi }|Y(\theta ,\phi )|^{2}\operatorname {d} S}}} .
よって特に、軌道角運動量演算子の自乗ˆLとも可換である:
[ H ^ x ′ , L 2 ^ ] = 0 {\displaystyle [{\hat {H}}_{{\boldsymbol {x}}'},{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}]=0}
よってˆHx′はˆLと同時対角化できるはずである、さらに
[ L 2 ^ , L ^ z ] = 0 {\displaystyle [{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}},{\hat {L}}_{z}]=0}
である事から、ˆHx′, ˆL, ˆLzの3つを同時対角化できるはずである。
そこでまず、ˆL, ˆLzの同時固有関数を求め、これを利用してˆHx′の固有関数を求める。
(C1)、(C2)を参考に、(W5)の厳密解R(ρ)を
R ( ρ ) = ρ l u ( ρ ) e − ρ / 2 {\displaystyle R(\rho )=\rho ^{\ell }u(\rho )\mathrm {e} ^{-\rho /2}} ...(C3)
の形に変数変換する。一般に3つの関数の積の微分は公式
( f g h ) ′ = f ′ g h + f g ′ h + f g h ′ ( f g h ) ′′ = ( f ′′ g h + f g ′′ h + f g h ′′ ) + 2 ( f ′ g ′ h + f g ′ h ′ + f ′ g h ′ ) {\displaystyle {\begin{aligned}(fgh)'&=f'gh+fg^{'}h+fgh'\\(fgh)''&=(f''gh+fg''h+fgh'')+2(f'g'h+fg'h'+f'gh')\end{aligned}}}
を満たすので、(W5)の第一項、および第二項は、