ツェルメロ集合論
正則性公理は1925年にフォン・ノイマンによって定義された。
現代のZFC公理系において、分出公理における「命題関数」とは「パラメータを含む一階の論理式で定義される任意の特徴」として解釈されるため、分出公理は公理型で置換される。「一階の論理式」という概念はツェルメロが自身の公理系を発表した1908年には知られておらず、ツェルメロは後にこの解釈をあまりにも限定的であるとして拒絶していた。ツェルメロ集合論はふつう、分出公理のそれぞれの一階の論理式を公理型で置換した、一階理論として捉えられる。ツェルメロ集合論を二階述語論理の理論として捉えることもでき、その場合は分出公理は単に一つの公理となる。ツェルメロ集合論の二階述語論理としての解釈はおそらくツェルメロ自身の考え方に近く、一階述語論理での解釈よりも強いものである。
ZFC集合論の通常の累積的階層 Vα (α は順序数)において、最初の無限順序数 ω より大きい任意の極限順序数 α に対する集合 Vα(例えば Vω·2)は、ツェルメロ集合論のモデルとなる。そのため、ツェルメロ集合論の無矛盾性は ZFC の定理である。