古典電磁気学の共変定式
L int = 1 c J μ A μ ( x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}={\frac {1}{c}}J^{\mu }A_{\mu }(x)}
で与えられる。相互作用項の汎関数微分は
δ S int [ X , A ] δ A μ ( x ) = 1 c J μ ( x ) − g {\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}_{\text{int}}[X,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}={\frac {1}{c}}J^{\mu }(x){\sqrt {-g}}}
で与えられるので、電磁場 A に対する運動方程式としてマクスウェル方程式
D ν F ν μ ( x ) = − Z 0 c J μ ( x ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\nu }F^{\nu \mu }(x)=-{\frac {Z_{0}}{c}}J^{\mu }(x)}
が得られる。
となる。 これと自由粒子の作用汎関数 SX から荷電粒子 X に対する運動方程式が
δ S X [ X ] δ X i μ ( λ ) + δ S int [ X , A ] δ X i μ ( λ ) = − p ̇ i μ ( λ ) − q i X ̇ i ν ( λ ) F ν μ ( X i ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S_{X}[X]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}+{\frac {\delta S_{\text{int}}[X,A]}{\delta X_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )-q_{i}{\dot {X}}_{i}^{\nu }(\lambda )\,F_{\nu \mu }(X_{i})=0}