初等同値性
同じシグネチャ σ の構造 M と N が初等的同値であるとは、自由変数を持たない σ 上の一階文が M で真であることと N で真であることが同値であることである。すなわち、M と N が同じ完全な一階理論を持つことである。M と N が初等的同値であることを M ≡ N で表すことがある。
一階の理論が完全であることは、その理論のいかなる二つのモデルも初等的同値であることと、同値である。
例えば、一つの二項関係記号 '<' のみを持つ言語を考える。通常の順序を入れた実数全体の集合 R と 有理数全体の集合 Q は初等的同値である。というのも、両方とも '<' は非有界の稠密線型順序であるからである。それで初等同値性が分かるのは、ウォッシュ-ヴォートテストで示されるように、非有界稠密線型順序の理論が完全であるためである。
より一般に、無限モデルを持ついかなる一階理論にも、同型でない初等同値なモデルが存在する。このことはレーヴェンハイム-スコーレムの定理から得られる。例えば、ペアノ算術の超準モデルは通常の 0, 1, 2, etc. 以外のオブジェクトを持つが、標準モデルと初等的同値である。