ポアソン括弧
h を二回微分可能な任意の関数とするとき、(5)より
X f X g ( h ) = X f ( { h , g } ) = { { h , g } , f } . {\displaystyle X_{f}X_{g}(h)=X_{f}(\{h,g\})=\{\{h,g\},f\}.}
同様に
X g X f ( h ) = { { h , f } , g } . {\displaystyle X_{g}X_{f}(h)=\{\{h,f\},g\}.}
よってヤコビの恒等式と(5)より、
[ X f , X g ] ( h ) = ( X f X g − X g X f ) ( h ) = { { h , g } , f } − { { h , f } , g } = { { f , g } , h } = − X { f , g } ( h ) . {\displaystyle [X_{f},X_{g}](h)=(X_{f}X_{g}-X_{g}X_{f})(h)=\{\{h,g\},f\}-\{\{h,f\},g\}=\{\{f,g\},h\}=-X_{\{f,g\}}(h).}
h の任意性より [ X f , X g ] = − X { f , g } {\displaystyle [X_{f},X_{g}]=-X_{\{f,g\}}} が証明された。