多重線型交代写像
交代多重線型写像の任意の引数 xi に他の引数の定数倍を加えた xi + c⋅xj (j ≠ i, および c は係数環 R の元) に取り換えても(したがってさらにほかの引数の任意の線型結合を加えても)もとの写像の値は変化しない
任意の交代多重線型写像は反対称である
n! が係数環 R の単元ならば、任意の反対称 n-重線型形式は交代的である。
係数環が標数 2 でないならば、任意の反対称重線型写像は交代的である。
体 K 上のベクトル空間 V を K 上 n-次元として、V の(順序付けられた)基底 e := ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e:=(e_{1},\dots ,e_{n})} をとる。V の任意のベクトルを x j = ∑ i = 1 n X i , j e i {\textstyle x_{j}=\sum _{i=1}^{n}X_{i,j}e_{i}} の形に書くとき、これらベクトルの n-組 ( x 1 , ... , x n ) ∈ V n {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in V^{n}} における n-重交代写像 f : V n → W {\displaystyle f\colon V^{n}\to W} の値は、多重線型性と交代性(反対称性)により