半群
半群論は、偏微分方程式論においてもある種の問題の研究のために用いられる。大雑把にいえば、半群を使った手法というのは偏微分方程式をある種の函数空間上の常微分方程式とみなすことである。例えば、次のような空間的な区間 (0, 1) ⊂ R と時間 t ≥ 0 上の熱方程式の初期値/境界値問題
{ ∂ t u ( t , x ) = ∂ x 2 u ( t , x ) , ( x ∈ ( 0 , 1 ) , t > 0 ) ; u ( t , x ) = 0 , ( x ∈ { 0 , 1 } , t > 0 ) ; u ( t , x ) = u 0 ( x ) , ( x ∈ ( 0 , 1 ) , t = 0 ) {\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&(x\in (0,1),t>0);\\u(t,x)=0,&(x\in \{0,1\},t>0);\\u(t,x)=u_{0}(x),&(x\in (0,1),t=0)\end{cases}}}
を考える。X をL((0, 1); R) とし、A を
S の各元 a, b, c に対して、等式 (a • b) • c = a • (b • c) が成り立つ。
S を半群 (S, •) の台集合とよぶ。また誤解のおそれがなければ「半群 S」のように台集合と同じ記号で半群を表す。
台集合が有限集合である半群を有限半群 (finite semigroup) または有限位数を持つ半群 (semigroup with finite order)、台集合が無限集合である半群を無限半群 (infinite semigroup) または無限位数を持つ半群 (semigroup with infinite order)という。