余代数
写像 t w {\displaystyle \mathrm {tw} } を t w : C ⊗ C → C ⊗ C , c ⊗ c ′ ↦ c ′ ⊗ c {\displaystyle \mathrm {tw} :C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c} で定める。余代数 ( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} が余可換であるとは、 t w ∘ Δ = Δ {\displaystyle \mathrm {tw} \circ \Delta =\Delta } が成り立つことをいう。ここで新しい余積を Δ t w = t w ∘ Δ : C → C ⊗ C → C ⊗ C , c ↦ ∑ i c i ( 2 ) ⊗ c i ( 1 ) {\displaystyle \Delta _{\mathrm {tw} }=\mathrm {tw} \circ \Delta :C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto \sum _{i}c_{i}^{(2)}\otimes c_{i}^{(1)}} によって定めると、 ( C , Δ t w , ε ) {\displaystyle (C,\Delta _{\mathrm {tw} },\varepsilon )} は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと Δ = Δ t w {\displaystyle \Delta =\Delta _{\mathrm {tw} }} となることは同値である。