ポアンカレ・ベンディクソンの定理
ポアンカレ・ベンディクソンの定理の一般化・拡張と見なせるような結果は多い。以下は主に (Ciesielski 2012) に基づく。
相空間 M が平面や球面以外のケースでは次のような結果がある。空ではない閉不変集合 S に含まれる部分集合で、閉不変集合の性質を持つのが空集合と S 自身のみであるとき、S を極小集合という。トーラス T 上の C 級自励系微分方程式が定める流れについて、この流れの極小集合は平衡点、周期軌道、T 全体のいずれかであることが知られている。さらに M を C 級コンパクト連結2次元多様体と仮定すると、流れの極小集合は、M ≠ T のときは平衡点または周期軌道、M = T のときは平衡点、周期軌道、T 全体のいずれか、と一般化できる。
M がクラインの壺 K の場合は次のような結果が知られている。非平衡点 x について φ(T, x) = x を満たす T > 0 が存在するとき x を周期点という。K 上の流れでは、ある点 x がそれ自身の極限集合に属するとき(すなわち x ∈ ω(x) または x ∈ α(x))、x は平衡点または周期点である。
Krzysztof Ciesielski (2012). “The Poincaré-Bendixson Theorem: from Poincaré to the XXIst century”. Central European Journal of Mathematics 10: 2110–2128. doi:10.2478/s11533-012-0110-y.
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齋藤 利弥、2002、『位相力学 ―常微分方程式の定性的理論―』復刊、共立出版 ISBN 4-320-01712-9
齋藤 利弥、1984、『力学系以前 ―ポアンカレを読む―』第1版、日本評論社〈数セミ・ブックス 9〉
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Steven H.