内積
実 n-次元数ベクトル空間 R において、任意の二元 x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) に対し、 ⟨ x , y ⟩ := ∑ i = 1 n x i y i {\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}} とすると、この ⟨,⟩ は(正定値な)内積の性質を満たす。これを、R の標準内積と呼ぶ。標準内積は R を n行1列の行列と同一視することで、転置⊤と行列積を用いて ⟨ x , y ⟩ = x ⊤ y {\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\top }y} と表わせる。また、n 次の(正定値)対称行列 A を用いて ⟨ x , y ⟩ A := x ⊤ A y {\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}:=x^{\top }Ay} とおくと、これも(正定値)内積の性質を満たす。