双子素数
ブルン定数 B2 の2005年時点での最も正確な値は、B2 = 1.902160583104... である。この値は、10 までに現れる双子素数を使用して求められた (Sebah, 2002)。なお、1994年にブルン定数を計算する過程で P54C Pentium の浮動小数点演算命令にバグが存在することが発見され、話題となった(詳しくはPentiumを参照)。
陳景潤 (Chen Jing Run) は、p + 2 が高々2個の素数の積となるような素数 p が無数に存在することを示している (Chen, 1966)。
p + 2 が高々2個の素数の積となるような素数 p を陳素数と定義したとき、無限個の陳素数の3項等差数列が存在する(Ben Green, テレンス・タオ, 2005)。
(n, n + 2) が双子素数であるための必要十分条件は、4{(n − 1)! + 1} + n ≡ 0 (mod n(n + 2)) である (Clement, 1949)。
2005年、D. Goldston-J. Pintz-C. Yildirim によって次式が証明された。 lim inf n → ∞ p n + 1 − p n log  p n = 0. {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=0.}