結び目理論
三次元球面 S の北半球に結び目 K1 、 南半球に結び目 K2 があるとする(共に向き付けられているとする)。K1 の一部と K2 の一部を変形して、両方の結び目が赤道のある一点の十分小さな近傍を通り、かつ赤道と交わらないようにできる。このとき、この近傍の中で結び目の向きにあわせて「紐のつなぎかえ」を行うことで K1 と K2 から一つの結び目ができる。このように、「分離されている二つの結び目から一つの結び目をつくる」操作を結び目の合成といい、できあがった結び目を K1 ♯ {\displaystyle \sharp } K2 と書く。逆に、合成 K1 ♯ {\displaystyle \sharp } K2 に対して K1、K2を因子と呼ぶ。合成は「つなぎかえる」点の選び方や、その過程での変形のしかたによらず、結び目そのものに対して決まる。結び目の合成は 連結和、バンド和と呼ばれる操作と同等なものである。
結び目の合成は二項演算として結合律と可換律をみたし、結び目全体の集合に可換モノイドの構造を与える(単位元は自明な結び目)。
二つの自明でない結び目の合成として表せない結び目を素な結び目(英語版)という(ただし自明な結び目は素な結び目に含めない)。
正則図式において、結び目(絡み目)の2箇所の成分が1点に写されているところを交点または交差点といい、奥にある線の上を手前にある線が横切るとき、その交点で奥にある線がちょっと切れているように描けば、線の前後関係を損なうことなく結び目を二次元に射影することができる。
結び目(絡み目)の射影図の中に右図のように簡単に取り除ける交点があるとき、それを除去可能な交点または無駄な交点という。除去可能な交点を全て取り除いた射影図は既約射影図(きやくしゃえいず)といわれる。
結び目(絡み目)を射影図として図示するほかにも、以下のような表示方法がある。
ドウカーの表示法
n交点の結び目の射影図を、n個の偶数の列によって表示する手法。
コンウェイの表示法
タングルという概念を用いて結び目や絡み目を表示する手法。
組み紐による表示法
組み紐を用いて結び目や絡み目を表示する。1923年にアレキサンダーが任意の結び目や絡み目が組み紐として表現できることを証明している。
↑ ただし、ここでいう「多項式」には伝統的に正負のおよび分数の(英語版)冪を許す「多項式」も含まれ、厳密な意味で言えば、それらが必ずしも多項式ではないことに注意すべきである