三角数
1 1 = 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}=1} 1 3 + 1 6 = 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}} 1 10 + 1 15 + 1 21 + 1 28 = 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}}
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三角数の漸化式として
Ta+b = Ta + Tb + ab や Tab = TaTb + Ta−1Tb−1 などが挙げられる。
回文数である三角数は 55, 66, 666 だけであると考えられている。
あらゆる自然数は高々3つの三角数の和で表すことができる、という定理がある。これは、ガウスによって1796年(彼の日誌によれば7月10日)に証明された。この定理は全ての自然数が高々n個のn角数の和で表すことができるというフェルマーの多角数定理の中に含まれている。
偶数の完全数は三角数でもある。
平方数でもある三角数は平方三角数と呼ばれ、無数にある。1, 36, 1225, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A001110)
フィボナッチ数である三角数は 1, 3, 21, 55(オンライン整数列大辞典の数列 A039595)
五角数である三角数は 1, 210, 40755, 7906276, ...