ホモトピー群
p: E → B をファイバーを F とする基点を保つセール・ファイブレーション(英語版)とする、つまり、CW複体に関してホモトピーリフトの性質(英語版)を持つ写像とする。B は弧状連結であるとする。このときホモトピー群の長完全列
... → πn(F) → πn(E) → πn(B) → πn−1(F) →... → π0(E) → 0
が存在する。ここで π0 に関する写像は π0 が群でないから群準同型ではないが、像は核に等しいという意味で完全である。
例: ホップ・ファイブレーション(英語版)。B を S とし E を S とする。p をホップ・ファイブレーションとする。ファイバーは S である。長完全列
⋯ → πn(S) → πn(S) → πn(S) → πn−1(S) → ⋯
と、n ≥ 2 のとき πn(S) = 0 であることから、n ≥ 3 のとき πn(S) = πn(S) であることが分かる。とくに、π3(S) = π3(S) = Z である。
被覆空間の場合には、ファイバーが離散的なとき、次のことが成り立つ。すべての n > 1 に対して、πn(E) は πn(B) に同型であり、すべての n > 0 に対して πn(E) は πn(B) に単射に埋め込まれ、π1(E) の埋め込みに対応する π1(B) の部分群はファイバーの元たちと全単射に対応する剰余集合を持つ。