固有写像
今 K ⊂ ∪ k ∈ K V k {\displaystyle K\subset \cup _{k\in K}V_{k}} であり、K はコンパクトと仮定されているため、 K ⊂ ∪ i = 1 s V k i {\displaystyle K\subset \cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}}} であるような高々有限個の点 k 1 , ... , k s {\displaystyle k_{1},\dots ,k_{s}} が存在する。さらに、集合 Γ = ∪ i = 1 s γ k i {\displaystyle \Gamma =\cup _{i=1}^{s}\gamma _{k_{i}}} は有限集合の有限の合併であるため、 Γ {\displaystyle \Gamma } は有限である。
今 f − 1 ( K ) ⊂ f − 1 ( ∪ i = 1 s V k i ) ⊂ ∪ λ ∈ Γ U λ {\displaystyle f^{-1}(K)\subset f^{-1}(\cup _{i=1}^{s}V_{k_{i}})\subset \cup _{\lambda \in \Gamma }U_{\lambda }} が従い、 f − 1 ( K ) {\displaystyle f^{-1}(K)} の有限部分被覆を見つけることが出来るため、証明は完成される。
言い換えると、すべての k ∈ K {\displaystyle k\ \in K} に対して、 f − 1 ( k ) ⊂ ∪ λ ∈ γ k U λ {\displaystyle f^{-1}(k)\subset \cup _{\lambda \in \gamma _{k}}U_{\lambda }} を満たすような有限の集合 γ k ⊂ Λ {\displaystyle \gamma _{k}\subset \Lambda } が存在する。集合 X ∖ ∪ λ ∈ γ k U λ {\displaystyle X\setminus \cup _{\lambda \in \gamma _{k}}U_{\lambda }} は閉である。f は閉写像であるため、その像は Y において閉である。したがって、集合 V k = Y ∖ f ( X ∖ ∪ λ ∈ γ k U λ ) {\displaystyle V_{k}=Y\setminus f(X\setminus \cup _{\lambda \in \gamma _{k}}U_{\lambda })} は Y において開である。 V k {\displaystyle V_{k}} が点 k {\displaystyle k} を含むことを確かめることは容易である。