多項定理
m = 2 のとき、主張は二項定理である。
多重添字記法を用いると、定理の主張は
( x 1 + ⋯ + x m ) n = ∑ | α | = n ( n α ) x α {\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{|\alpha |=n}{\dbinom {n}{\alpha }}x^{\alpha }}
略記できる。ここに、α = (α1, α2, ..., αm), x = (x1, x2, ..., xm) であって、x = xα11 xα22⋅ ⋯ ⋅xαmm および |α| = α1 + α2 + ... + αm, α! = α1! α2! ⋅ ... ⋅ αm! に対して (nα) = n!/α! = |α|/α! である。
例えば、 ( a + b + c ) 3 {\displaystyle (a+b+c)^{3}} を展開すると、次のようになる:
( a + b + c ) 3 = ( a + b + c ) ( a + b + c ) ( a + b + c ) = a 3 + 3 a 2 + 3 a b 2 + 6 a b c + 3 a c 2 + b 3 + 3 b c 2 + c 3 {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)^{3}&=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)\\&=a^{3}+3a^{2}+3ab^{2}+6abc+3ac^{2}+b^{3}+3bc^{2}+c^{3}\end{aligned}}}
二項定理を既知とすると、項数 m について数学的帰納法により証明できる。
まず m = 1 のとき、k1 = n であり両辺は単項で x1 に等しい。
次に、m に対して多項定理が成り立つと仮定する。
( x 1 + x 2 + ⋯ + x m + x m + 1 ) n = ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m − 1 + ( x m + x m + 1 ) ) n {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m-1}+(x_{m}+x_{m+1}))^{n}}
に帰納法の仮定を適用して
= ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + K = n ( n k 1 , k 2 , ... , k m − 1 , K ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 ( x m + x m + 1 ) K = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + K = n ( ( n k 1 , k 2 , ... , k m − 1 , K ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m − 1 k m − 1 ∑ k m + k m + 1 = K ( K k m , k m + 1 ) x m k m x m + 1 k m + 1 ) ( binomial theorem ) = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m − 1 + K = n ∑ k m + k m + 1 = K ( n k 1 , k 2 , .