幾何分布
幾何分布(きかぶんぷ、英: geometric distribution)は、離散確率分布で、次の2通りの定義がある。
ベルヌーイ試行を繰り返して初めて成功させるまでの試行回数 X の分布。台は {1, 2, 3, ...}.
ベルヌーイ試行を繰り返して初めて成功させるまでに失敗した回数 Y = X − 1 の分布。台は {0, 1, 2, 3, ...}.
問題とする事柄によってこれら2つの幾何分布から都合の良い方を選ぶ。混同を避けるために幾何分布について言及するときは定義を明らかにするのが賢明である。しかし多くの場合前者(X の分布)を指す。
各成功確率 p である独立ベルヌーイ試行について
Pr ( X = k ) = p ( 1 − p ) k − 1 , Pr ( X ≤ k ) = 1 − ( 1 − p ) k {\displaystyle \Pr(X=k)=p(1-p)^{k-1},\qquad \Pr(X\leq k)=1-(1-p)^{k}}
(k = 1, 2, 3, ...),
Pr ( Y = k ) = p ( 1 − p ) k , Pr ( Y ≤ k ) = 1 − ( 1 − p ) k + 1 {\displaystyle \Pr(Y=k)=p(1-p)^{k},\qquad \Pr(Y\leq k)=1-(1-p)^{k+1}}
(k = 0, 1, 2, 3, ...).
例えば、サイコロの1の目が出るまで繰り返し投げるとする。p = 1/6 の幾何分布に従うといい、それの台は {1, 2, 3, ...} である。