加群の層
なぜならば両辺とも同じ関手 Γ ( X , − ) = Hom O  ( O , − ) {\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-)} の右導来関手だからである.
注意:著者によっては(特にハーツホーン),添え字 O を書かない.
X をネーター環上の射影スキームとする.F, G を X 上の連接層とし,i を整数とする.するとある n0 が存在して
Ext O i  ( F , G ( n ) ) = Γ ( X , E x t O i ( F , G ( n ) ) ) , n ≥ n 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}
となる.
さらに, M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} は O X = A ~ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}} の構造を持ち,したがって A 上の加群の圏 ModA から O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 上の加群の圏への完全関手 M ↦ M ~ {\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}} を得る.それは ModA から X 上の準連接層の圏への同型を定義し,逆射は大域切断関手 Γ ( X , − ) {\displaystyle \Gamma (X,-)} である.X がネーター的スキームのときには,関手は有限生成 A 加群の圏から X 上の連接層の圏への同型である.
構成は以下の性質を持つ:任意の A 加群 M, N に対し,
M [ f − 1 ] ∼ = M ~ | D ( f ) {\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}} .
A の任意の素イデアル p に対し,Op = Ap 加群として M ~ p ≃ M p {\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}} .
H i  ( X , F ) = H i  ( C ∙ ( U , F ) ) {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))}
が成り立つ.ただし右辺は i 次チェックコホモロジー(英語版)である.
セールの定理A(英語版)により,X が射影多様体で F がその上の連接層のとき,十分大きい n に対して,F(n) は有限個の大域切断によって生成される.さらに,
(a) 任意の i に対して H(X, F) は R0 上有限生成であり,
(b) (セールの定理B(英語版))F に依存する整数 n0 が存在して, H i  ( X , F ( n ) ) = 0 , i ≥ 1 , n ≥ n 0 {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}}
となる.