正則表現 (数学)
「G が自分自身の上へ乗法によって作用する」と言うのはトートロジーである。この作用を置換表現と見なすと、正則表現はただ一つの軌道を持ち安定化群が G の単位元のみの部分群 {e} であるものとして特徴づけられる。与えられた体 K について、G の正則表現は、K 上のベクトル空間の基底の集合の置換表現と取ることで得られる線型表現である。この表現の重要性は、置換表現が分解しないことに対し(置換表現は推移的である)、正則表現は一般により小さい表現へ分解することにある。例えば、G を有限群で、K を複素数体とすると、正則表現は既約表現の直和へ分解し、分解における各々の既約表現の重複度はその次元である。これらの既約表現の個数は G の共役類の個数に等しい。
群環の記事では、有限群の正則表現について、正則表現がどのように加群とみなせるかとともに、詳しく解説されている。