円柱座標変換
N z ( r , θ , ζ ) = ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) ) ‖ ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ ) ) × ( ∂ Φ ∂ θ ( r , θ , ζ ) ) ‖ = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{z}}(r,\theta ,\zeta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta )\right)\times \left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}(r,\theta ,\zeta )\right)\right\|}}=\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)} (2-2-3)
ここで、“×”はベクトル積を意味する。これらの幾何学的な意味は、後述するが、幾何学的な意味でも、これらは法線になっている。
勾配 grad :
( grad  f ) ( x , y , z ) = ( ( ∂ f / ∂ x ) ( x , y , z ) ( ∂ f / ∂ y ) ( x , y , z ) ( ∂ f / ∂ z ) ( x , y , z ) ) = ( ( ∂ f ∂ x ) ( x , y , z ) ) ( 1 0 0 ) + ( ( ∂ f ∂ y ) ( x , y , z ) ) ( 0 1 0 ) + ( ( ∂ f ∂ z ) ( x , y , z ) ) ( 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} f)(x,y,z)&=\left({\begin{matrix}(\partial f/\partial x)(x,y,z)\\(\partial f/\partial y)(x,y,z)\\(\partial f/\partial z)(x,y,z)\\\end{matrix}}\right)\\&=\left(\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(x,y,z)\right)\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\\end{matrix}}\right)+\left(\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)(x,y,z)\right)\left({\begin{matrix}0\\1\\0\\\end{matrix}}\right)+\left(\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)(x,y,z)\right)\left({\begin{matrix}0\\0\\1\\\end{matrix}}\right)\end{aligned}}} (6-2-1)
式(3-1-1)のソリッド円柱M の表面を ∂ M {\displaystyle \partial M} と書き、円柱表面、円筒面、M の表面、あるいはM の境界面と呼ぶ。表面∂M は、以下のΔ1 , Δ2 , Δ3 に分割することができる。
Δ 1 = { ( x y z ) | x 2 + y 2 ≤ r 0 z = 0 } {\displaystyle {{\Delta }_{1}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\leq {{r}_{0}}\\z=0\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} (3-2-1)
Δ 2 = { ( x y z ) | x 2 + y 2 = r 0 0 ≤ z ≤ z 0 } {\displaystyle {{\Delta }_{2}}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}_{0}}\\0\leq z\leq {{z}_{0}}\\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} (3-2-2)
x -y -z 空間で定義されたベクトル場X をx -y -z 座標系について表示すると
X ( x , y , z ) = ( X x ( x , y , z ) X y ( x , y , z ) X z ( x , y , z ) ) {\displaystyle \mathbf {X} (x,y,z)=\left({\begin{array}{c}{X}_{x}(x,y,z)\\{X}_{y}(x,y,z)\\{X}_{z}(x,y,z)\\\end{array}}\right)} (4-1-1)
となる。これを円柱座標表示に変換することを考える。まず、スカラー値関数Xr (r , θ, ζ) , Xθ (r , θ, ζ) , Xζ (r , θ, ζ) を、
{ X r = X ⋅ N r X θ = X ⋅ N θ X ζ = X ⋅ N z {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{{X}_{r}}=\mathbf {X} \cdot {{\mathbf {N} }_{r}}\\{{X}_{\theta }}=\mathbf {X} \cdot {{\mathbf {N} }_{\theta }}\\{{X}_{\zeta }}=\mathbf {X} \cdot {{\mathbf {N} }_{z}}\\\end{matrix}}\right.} (4-1-2)
と定義する。正確に書くと
{ ( ∂ f ∂ x ) = cos  θ ( ∂ f ∂ r ) − sin  θ r ( ∂ f ∂ θ ) ( ∂ f ∂ y ) = sin  θ ( ∂ f ∂ r ) + cos  θ r ( ∂ f ∂ θ ) ( ∂ f ∂ z ) = ( ∂ f ∂ ζ ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=\cos \theta \left({\frac {\partial f}{\partial r}}\right)-{\frac {\sin \theta }{r}}\left({\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)\\\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=\sin \theta \left({\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {\cos \theta }{r}}\left({\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)\\\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=\left({\frac {\partial f}{\partial \zeta }}\right)\\\end{array}}\right.} (6-1-4)
{ X x ∘ Φ = X r cos  θ − X θ sin  θ X y ∘ Φ = X r sin  θ + X θ cos  θ X z ∘ Φ = X ζ {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}{{X}_{x}}\circ \Phi ={{X}_{r}}\cos \theta -{{X}_{\theta }}\sin \theta \\{{X}_{y}}\circ \Phi ={{X}_{r}}\sin \theta +{{X}_{\theta }}\cos \theta \\{{X}_{z}}\circ \Phi ={{X}_{\zeta }}\\\end{array}}\right.} (4-1-5)
が分かる。
また、次の等式がr = 0 となる点を含むすべての (r , θ, ζ) に対して成立する。
X ( Φ ( r , θ , z ) ) = ( X r N r ) ( r , θ , z ) + ( X θ N θ ) ( r , θ , z ) + ( X z N z ) ( r , θ , z ) {\displaystyle \mathbf {X} (\Phi (r,\theta ,z))=({{X}_{r}}{{\mathbf {N} }_{r}})(r,\theta ,z)+({{X}_{\theta }}{{\mathbf {N} }_{\theta }})(r,\theta ,z)+({{X}_{z}}{{\mathbf {N} }_{z}})(r,\theta ,z)} (4-1-6)
式(4-1-6)を、ベクトル場の円柱座標表示という。より正確な言い方をすると、「x -y -z 空間で定義されたベクトル場X の円柱座標表示」という。
( rot  X ) θ ( r , θ , z ) = ( ∂ X r ∂ ζ ) ( r , θ , z ) − ( ∂ X ζ ∂ r ) ( r , θ , z ) {\displaystyle {{(\operatorname {rot} X)}_{\theta }}(r,\theta ,z)=\left({\frac {\partial {{X}_{r}}}{\partial \zeta }}\right)(r,\theta ,z)-\left({\frac {\partial {{X}_{\zeta }}}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)}
( rot  X ) ζ ( r , θ , z ) = 1 r ( ∂ ( r X r ) ∂ r ) ( r , θ , z ) − 1 r ( ∂ X r ∂ θ ) ( r , θ , z ) {\displaystyle {{(\operatorname {rot} X)}_{\zeta }}(r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (r{{X}_{r}})}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial {{X}_{r}}}{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,z)}
である。