集合の被覆
集合 S と その被覆 U = {Ui | i ∈ I} 、被覆 V = {Vj | j ∈ J} があるとする。以下で開被覆を考えているときは、 S は位相空間であるとする。
以下の条件を満たすとき、{Vj | j ∈ J} を {Ui | i ∈ I} の部分被覆 (subcover) という。 ∀ j ∈ J , ∃ k ∈ I s.t. V j = U k {\displaystyle \forall j\in J,\exists k\in I\quad {\text{s.t.}}\;V_{j}=U_{k}} 開集合からなる部分被覆を部分開被覆、有限被覆となる部分被覆を有限部分被覆という。同様に開被覆からなる有限部分被覆は有限部分開被覆という。
以下の条件を満たすとき、{Vj | j ∈ J} を {Ui | i ∈ I} の細分 (refinement) という。 ∀ j ∈ J , ∃ k ∈ I s.t. V j ⊆ U k {\displaystyle \forall j\in J,\exists k\in I\quad {\text{s.t.}}\;V_{j}\subseteq U_{k}} 有限被覆となる細分を有限細分という。開被覆の細分を考えるときには暗黙に開集合からなる細分であることを仮定している場合が多い。