レトラクト (位相幾何学)
例えば,ホワイトヘッドの定理(英語版)は ANR に対して成り立つ:ANR の間の写像であって(基点の任意の選択に対して)ホモトピー群上の同型を誘導するものはホモトピー同値である.ANR は位相多様体,ヒルベルト立方体多様体,バナッハ多様体,などを含むから,これらの結果は空間の大きいクラスに適用する.
多くの写像空間は ANR である.特に,Y を ANR で,ANR である閉部分空間 A を持つものとし,X をコンパクト距離化可能空間で,閉部分空間 B を持つものとする.このとき空間 (Y, A), つまり対(英語版)の間の写像 (X, B) → (Y, A) 全体のなす空間にコンパクト開位相を入れたものは,ANR である.したがって,例えば,任意の CW 複体のループ空間(英語版)は CW 複体のホモトピー型を持つ.
Cauty により,距離化可能空間 X が ANR であることは,X の任意の開部分集合が CW 複体のホモトピー型を持つことと同値である.
Cauty により,計量線型空間(英語版) V(すなわち移動不変な計量を持つ位相ベクトル空間)であって AR でないものが存在する.V として可分なF空間(すなわち完備計量線型空間)を取ることができる.(上の Dugundji の定理により,V は局所凸にはなりえない.)V は可縮であって AR ではないので,ANR でもない.上の Cauty の定理によって,V は開部分集合 U であって CW 複体にホモトピー同値ではないものを持つ.したがって,強局所可縮だが CW 複体にホモトピー同値でない距離化可能空間 U が存在する.強局所可縮なコンパクト(あるいは局所コンパクト)距離化可能空間が ANR でなければならないかどうかは知られていない.