ガロア理論
多項式 p を形式的に根の一次式の積として表す(実際、これは K を含む代数閉体上で可能になる)ことで 多項式 p の係数は根の基本対称式であること(根と係数の関係)が分かる。 拡大体 L の自己同型 σ が根の入れ替えを引き起こしているときには σ の下で多項式 p の係数や、より一般に K の元は変化しないことが分かる。
一方、K の元を不変にするような L の自己同型は多項式 p の根を入れ替えている。 このような変換すべての集まり Gal(L/K) は変換の合成という二項演算について群の構造を持っている。 これを L の K 上のガロア群、または多項式 p のガロア群と呼ぶ。
仮に 多項式 p の根が係数の加減乗除やべき根による式で表せていたとすると、その式のうち一部分で表される数から生成するような体を考えることができる。 こうして得られる体は K を含んで L に含まれる体(L の部分拡大)となる。 このとき、ガロア理論の主定理によってこの部分拡大をちょうど不変体にするような Gal(L/K) の部分群が存在する。 K の元 x の n 乗根は n 個あるが、それらすべてで生成されるような L の部分体は重要な役割を果たす。