ウィルティンガーの微分
∂ ∂ z ( z 3 + 3 z z ̄ + z ̄ 2 ) = 3 z 2 + 3 z ̄ ∂ ∂ z ̄ ( z 3 + 3 z z ̄ + z ̄ 2 ) = 3 z + 2 z ̄ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(z^{3}+3z{\bar {z}}+{\bar {z}}^{2})&=3z^{2}+3{\bar {z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(z^{3}+3z{\bar {z}}+{\bar {z}}^{2})&=3z+2{\bar {z}}\end{aligned}}}
f が正則であるとき、f ′ = ∂f である。
コーシー・リーマンの方程式が成り立つことと、∂f = 0 となることは同値である。
∂∂ = ∂∂ = (1/4)Δ, ここで Δ = ∂/∂x + ∂/∂y はラプラシアン。 正則関数を実部・虚部に分け f = u + iv とすると、Δf = 4∂∂f = 0, したがって Δu + iΔv = 0 となるから、Δu = Δv = 0, すなわち u と v は調和であることがわかる。
∂ ∂ z ̄ ( f ∘ g ) = ( ∂ f ∂ z ∘ g ) ∂ g ∂ z ̄ + ( ∂ f ∂ z ̄ ∘ g ) ∂ g ̄ ∂ z ̄ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\left(f\circ g\right)=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}}
∂ z ∂ z = 1 , ∂ z ̄ ∂ z = 0 , ∂ z ∂ z ̄ = 0 , ∂ z ̄ ∂ z ̄ = 1. {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial z}}=1,\,{\frac {\partial {\bar {z}}}{\partial z}}=0,\,{\frac {\partial z}{\partial {\bar {z}}}}=0,\,{\frac {\partial {\bar {z}}}{\partial {\bar {z}}}}=1.}
f(z) が z と z の多項式であるとき、z, z を独立変数と思って形式的に偏微分すればよい。例えば、