ド・モアブルの定理
n を整数とすると、
i n = ( 0 + i ) n = ( cos  π 2 + i sin  π 2 ) n = cos  n π 2 + i sin  n π 2 {\displaystyle i^{n}=(0+i)^{n}=\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)^{n}=\cos {\frac {n\pi }{2}}+i\sin {\frac {n\pi }{2}}}
∴ i n = { 1 if n ≡ 0 ( mod 4 ) i if n ≡ 1 ( mod 4 ) − 1 if n ≡ 2 ( mod 4 ) − i if n ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle \therefore \ i^{\,n}={\begin{cases}1&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {4}}\\i&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 2{\pmod {4}}\\-i&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}} n が非整数のときは、先述したように、複数取る値のうちの1つだけを求めている。