ファインマン–カッツの公式
を得る。ここで、右辺第2項は局所マルチンゲールであることに注意して、停止時刻 S n := inf ( t ≥ 0 | | | W t | | ≤ n d , n ≥ 1 ) {\displaystyle \;S_{n}:=\inf(t\geq 0|||W_{t}||\leq n{\sqrt {d\,}},n\geq 1)\;} を導入すると、 0 < r < T − t {\displaystyle \;0<r<T-t\;} に対して、
v ( t , x ) = E x [ ∫ 0 r ∧ S n g ( t + θ , W θ ) exp  ( − ∫ 0 θ k ( W s ) d s ) d θ ] + E x [ v ( t + S n , W S n ) exp  ( − ∫ 0 S n d s k ( W s ) ) 1 { S n ≤ r } ] + E x [ v ( t + r , W r ) exp  ( − ∫ 0 r d s k ( W s ) ) 1 { S n > r } ] , {\displaystyle \;v(t,x)=E^{x}\left[\int _{0}^{r\land S_{n}}g(t+\theta ,W_{\theta })\exp \left(-\int _{0}^{\theta }k(W_{s})ds\right)d\theta \right]+E^{x}\left[v(t+S_{n},W_{S_{n}})\exp \left(-\int _{0}^{S_{n}}dsk(W_{s})\right){\mathbf {1} }_{\{S_{n}\leq r\}}\right]+E^{x}\left[v(t+r,W_{r})\exp \left(-\int _{0}^{r}dsk(W_{s})\right){\mathbf {1} }_{\{S_{n}>r\}}\right],\;}