縮小写像
縮小写像とは、距離空間 (M,d) における M からM への写像 f であり、ある定数 0 < k < 1 の実数が存在して
d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ k d ( x , y ) . {\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).}
という条件が全ての x, y ∈ M について成り立つ写像である。完備距離空間上の縮小写像は、ただ一つの不動点を持つ。この定理は縮小写像の原理などとして知られる。さらに、完備距離空間上の縮小写像 f の反復合成による点列 x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... はその不動点に収束する。縮小写像の原理は、常微分方程式の解の存在と一意性の証明にも使われる。
縮小写像の m 個の組 f1, f2, ..., fm が与えられたときに、R 上の全てのコンパクト集合の族 C をハウスドルフ距離によって完備距離空間にすると、任意の X ⊂ C について