五次方程式
T = ( z 1 30 + z 2 30 ) + 522 ( z 1 25 z 2 5 − z 1 5 z 2 25 ) − 10005 ( z 1 20 z 2 10 + z 1 10 z 2 20 ) . {\displaystyle T=(z_{1}^{30}+z_{2}^{30})+522(z_{1}^{25}z_{2}^{5}-z_{1}^{5}z_{2}^{25})-10005(z_{1}^{20}z_{2}^{10}+z_{1}^{10}z_{2}^{20}).}
これらを用いて(と書いているのにTは使われていない?)
q ( z ) = H ( z 1 , z 2 ) 3 1728 f ( z 1 , z 2 ) 5 = H ( z , 1 ) 3 1728 f ( z , 1 ) 5 {\displaystyle q(z)={\frac {H(z_{1},z_{2})^{3}}{1728f(z_{1},z_{2})^{5}}}={\frac {H(z,1)^{3}}{1728f(z,1)^{5}}}}
となり、 q ( z ) = u {\displaystyle q(z)=u} は(uが何であるか言及がない?
複素トーラス(英語版)の周期をそれぞれ ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} として、 τ {\displaystyle \tau } を
τ = ω 2 ω 1 {\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}
で定義する。ただし、 τ {\displaystyle \tau } は純虚数と仮定する。また、
q = e i π τ {\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}
と定義する。この時 q {\displaystyle q} と q n {\displaystyle q^{n}} が満足する関係式、または同値だが τ {\displaystyle \tau } と n τ {\displaystyle n\tau } とが満たすべき関係式のことを「レベル n {\displaystyle n} のモジュラー方程式」と言う。この方程式は次の形をとる。
L ′ L = n K ′ K . {\displaystyle {\frac {L'}{L}}=n{\frac {K'}{K}}.}
の周期の比、すなわち第一種完全楕円積分
K = K ( κ ) = ∫ 0 1 d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − κ 2 x 2 ) , K ′ = K ′ ( κ ) = K ( κ ′ ) = ∫ 0 1 d x ( 1 − x 2 ) ( 1 − κ ′ 2 x 2 ) , κ ′ = 1 − κ 2 {\displaystyle K=K(\kappa )=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\kappa ^{2}x^{2})}}},\quad K'=K'(\kappa )=K(\kappa ')=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-{\kappa '}^{2}x^{2})}}},\quad \kappa '={\sqrt {1-\kappa ^{2}}}}
を用いて、
τ = i K ′ K {\displaystyle \tau ={\frac {{\rm {i}}K'}{K}}}
の関係で結ばれている。これが κ ( τ ) {\displaystyle \kappa (\tau )} から τ {\displaystyle \tau } を決定する式である。この式は代数的には解けないが、この方程式を満足する τ {\displaystyle \tau } を r i {\displaystyle r_{i}} に代入して五次方程式の解が得られる。
ただし、 K , L {\displaystyle K,L} はそれぞれ母数が k , l {\displaystyle k,l} の第1種完全楕円積分、 K ′ , L ′ {\displaystyle K',L'} はそれぞれ母数が k ′ := 1 − k 2 {\displaystyle k':={\sqrt {1-k^{2}}}} 、 l ′ := 1 − l 2 {\displaystyle l':={\sqrt {1-l^{2}}}} の第1種完全楕円積分を表す。この方程式によって、2つの母数 k , l {\displaystyle k,l} が満たすべき方程式が決まる。 n = 5 {\displaystyle n=5} のとき τ {\displaystyle \tau } と 5 τ {\displaystyle 5\tau } は次の関係式を満足することが分かっている。
F [ − κ ( 5 τ ) 4 , κ ( τ ) 4 ] = 0 , F ( x , y ) = x 6 − y 6 + 5 x 2 y 2 ( x 2 − y 2 ) − 4 x y ( x 4 y 4 − 1 ) = 0 , {\displaystyle F\left[-{\sqrt[{4}]{\kappa (5\tau )}},{\sqrt[{4}]{\kappa (\tau )}}\right]=0,\quad F(x,y)=x^{6}-y^{6}+5x^{2}y^{2}(x^{2}-y^{2})-4xy(x^{4}y^{4}-1)=0,}
五次方程式を正20面体方程式(60次方程式)に帰着させ、正20面体方程式の解は超幾何関数で示される。
正20面体を二次元球面 Sに内接。 二次元球面 Sとリーマン球面(複素射影直線)を同一視。複素射影直線の斉次座標を z 1 , z 2 ( z = z 1 / z 2 ) {\displaystyle z_{1},z_{2}(z={z_{1}}/{z_{2}})} とし、以下の式を得る。
f = z 1 z 2 ( z 1 10 + 11 z 1 5 z 2 5 − z 2 10 ) , {\displaystyle f=z_{1}z_{2}(z_{1}^{10}+11z_{1}^{5}z_{2}^{5}-z_{2}^{10}),}
H = − ( z 1 20 + z 2 20 ) + 228 ( z 1 15 z 2 5 − z 1 5 z 2 15 ) − 494 z 1 10 z 2 10 , {\displaystyle H=-(z_{1}^{20}+z_{2}^{20})+228(z_{1}^{15}z_{2}^{5}-z_{1}^{5}z_{2}^{15})-494z_{1}^{10}z_{2}^{10},}
5次の推移群は以下の 5種類である。
S5 対称群(位数 120)
A5 交代群(位数 60)
B'5 メタ巡回群(英語版)(位数 20)
B5 半メタ巡回群(位数 10)
C5 巡回群(位数 5)
既約な Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 係数の 5 次方程式 x 5 + a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 {\displaystyle x^{5}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0} のガロア群 G は,♯G = 120, 60, 20, 10, 5 である。
5次対称群 S5
5次交代群 A5
位数20のフロベニウス群(英語版) F20
10次二面体群 D10
5次巡回群 C5