ポントリャーギン類
全ポントリャーギン類(total Pontryagin class)
p ( E ) = 1 + p 1 ( E ) + p 2 ( E ) + ⋯ ∈ H ∗ ( M , Z ) , {\displaystyle p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbf {Z} ),}
は、ベクトルバンドルのホイットニー和(英語版)(Whitney sum)の観点から modulo 2-torsion で乗法的である。ホイットニー和とは、M の 2つのベクトルバンドル E と F に対し、
2 p ( E ⊕ F ) = 2 p ( E ) ⌣ p ( F ) {\displaystyle 2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)}
となることである。個々のポントリャーギン類 pk の項では、
2 p 1 ( E ⊕ F ) = 2 p 1 ( E ) + 2 p 1 ( F ) , {\displaystyle 2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F),}
2 p 2 ( E ⊕ F ) = 2 p 2 ( E ) + 2 p 1 ( E ) ⌣ p 1 ( F ) + 2 p 2 ( F ) {\displaystyle 2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F)}