凸共役性
X {\displaystyle X} を実ノルム線型空間とし、 X ∗ {\displaystyle X^{*}} を X {\displaystyle X} の双対空間とする。双対組を次で表す。
⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : X ∗ × X → R . {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{*}\times X\to \mathbb {R} .}
拡大実数に値を取る函数
f : X → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
に対する凸共役
f ⋆ : X ∗ → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle f^{\star }:X^{*}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}
は、上限を用いて次のように定義される。
函数の凸共役は常に下半連続である。二重共役 f ∗ ∗ {\displaystyle f^{**}} (凸共役の凸共役)は閉凸包、すなわち、 f ∗ ∗ ≤ f {\displaystyle f^{**}\leq f} を満たす最大の下半連続凸函数でもある。真凸函数 f に対し、次が成り立つ。
f = f ∗ ∗ {\displaystyle f=f^{**}} であるための必要十分条件は、f が凸かつ下半連続であることである(フェンシェル=モローの定理)