誤差関数
一連の何らかの測定値が正規分布になっていて、標準偏差が σ {\displaystyle \sigma } 、期待値が 0 {\displaystyle 0} の場合、1つの測定値の誤差が − a {\displaystyle -a} と a {\displaystyle a} の間になる確率は erf ( a σ 2 ) {\displaystyle \operatorname {erf} \,\left(\,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\,\right)} である。これは、例えば、デジタル通信システムでの符号誤り率の特定などに使える。
誤差関数と相補誤差関数は例えば、境界条件をヘヴィサイドの階段関数で与えたときの熱方程式の解に出現する。
相補誤差関数の累次積分は次のように定義される。
i n erfc ( z ) = ∫ z ∞ i n − 1 erfc ( ζ ) d ζ {\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\int _{z}^{\infty }\mathrm {i} ^{n-1}\operatorname {erfc} \,(\zeta )\;\mathrm {d} \zeta \,}
これらには次のような冪級数がある。
i n erfc ( z ) = ∑ j = 0 ∞ ( − z ) j 2 n − j j ! Γ ( 1 + n − j 2 ) {\displaystyle \mathrm {i} ^{n}\operatorname {erfc} \,(z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,}
ここから次のような対称性が得られる。