ローレンツ群
ローレンツ群 O(1, 3) はリー群であるから、滑らかな多様体として位相的に説明することができる。多様体としては、四つの連結成分を持っている。直感的には、このことは四つの位相的に分離した部分から成ることを意味する。
四つの連結成分はその要素がもつ二つの変換特性により分類される。
ある種類の要素は時間反転ローレンツ変換により逆転される。たとえば、未来を向いた時間的ベクトルは過去を向いたベクトルに反転される。
ある種類の要素は向きを非固有ローレンツ変換 (improper Lorentz transformations) により逆転される。たとえば、特定の四脚場(英語版)がそれにあたる。
時間の方向を保存するローレンツ変換は順時ローレンツ変換 (orthochronous Lorentz transformations) と呼ばれる。順時ローレンツ変換が成す部分群はしばしば O(1, 3) と表記される。向きを保存するものは固有ローレンツ変換 (proper Lorentz transformations) と呼ばれ、線形変換としての行列式は +1(非固有ローレンツ変換では −1)となる。固有ローレンツ変換の成す部分群は SO(1, 3) と表記される。
この曲線は変換の軌道である。
これらの回転不変量の形式から、フロー線(軌道)がシンプルに説明できることがわかる。あまり重要でない座標 y を無視すると、各軌道は「ヌル平面」 t = z + c2 と「双曲面」 t − x − z = c3 との交差線となる。c3 = 0 の場合は放物面は光円錐へと縮退し、軌道は対応するヌル平面上の放物線になる。
光円錐上のある特定のヌルラインは不変に保たれる。これは上述したリーマン球面上の不動点に対応する。原点を通る別のヌルラインは変換により「円錐の周りに振り回される」。そのようなヌルラインが α が増えるにつれどのように動くかは、上述の天球上のある円形フロー線に沿って動く点に対応する。
代わりに Re(α) = 0 とすると、似た軌道ではあるが x と y の役割が逆転したものが得られる。
放物型変換はヘリシティ |h| ≥ 1 の質量のない粒子(たとえば光子)のゲージ対称性に繋がる。さきほど明示した例では、z 方向に質量のない粒子は運動しており、その四元運動量は P=(p,0,0,p) であり、運動中の「小群」内では上で示した x-ブーストと y-回転の組み合わせ Kx−Jy により変化しない。このことは明示した変換則から明らかである。P は光的ベクトルであるから不変であり、したがって α を変化させても何も影響を受けない。上の特殊な場合では c1 = c2 = c3 = 0 である。(類似の生成子 Ky+Jx と Jz も E(2) と同型な光的ベクトルの小群を構成する。)