正軸体
正軸体(せいじくたい、cross-polytope)は、2次元の正方形、3次元の正八面体、4次元の正十六胞体を各次元に一般化した正多胞体。
なお、定義によっては形式的に0次元正軸体は点、1次元正軸体は線分となるが、正軸体一般の性質の一部が成り立たないため、0次元・1次元に正軸体は存在しないとすることが多い。
β {\displaystyle \beta } 体(ベータたい)ともいい、n 次元正軸体を β n {\displaystyle \beta _{n}} と書く。
正単体、超立方体(正測体)と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。
正軸体を作図するには、座標 ( ± 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) {\displaystyle (\pm 1,0,0,\cdots ,0)} の巡回
( ± 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) , ( 0 , ± 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ⋯ , ( 0 , 0 , ⋯ , 0 , ± 1 ) {\displaystyle (\pm 1,0,0,\cdots ,0),(0,\pm 1,0,\cdots ,0),\cdots ,(0,0,\cdots ,0,\pm 1)}
を頂点とし、最も近い(距離 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} の)2点ずつを辺で結ぶ。最も近い3点ずつが面を構成し、m + 1 (0 ≤ m ≤ n - 1) 点ずつが m 次元面を構成する。
なおこの作図は、超立方体
( ± 1 , ± 1 , ⋯ , ± 1 ) {\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)}
の双対の作図と等価である。
またこうして作図された正軸体は、n 次元ユークリッド空間を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} で表して
{ x ∈ R n : ‖ x ‖ 1 ≤ 1 } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}}
でも定義できる。