ヘーグナー数
数論におけるヘーグナー数 (英: Heegner number)(コンウェイとガイによる命名)とは、虚二次体 Q [ − d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]} の類数が 1 {\displaystyle 1} となる平方因子を持たない正の整数 d {\displaystyle d} のことである。言い換えれば、その整数環は一意な分解を持つ。
このような数は類数問題の特別なケースから定まるとともに、数論におけるいくつかの注目すべき結果の根底にある。
(ベイカー・)スターク・ヘーグナーの定理によれば、ヘーグナー数は正確に9つ存在する。
1 , 2 , 3 , 7 , 11 , 19 , 43 , 67 , 163 {\displaystyle 1,2,3,7,11,19,43,67,163} オンライン整数列大辞典の数列 A003173
この結果はガウスによって予想され、1952年にクルト・ヘーグナー(英語版)によって軽微な誤りを含む証明がなされた。 アラン・ベイカーとハロルド・スターク(英語版)は1966年に結果を独立して証明し、スタークはさらにヘーグナーの証明の誤りは軽微であることを示した。
j ( ( 1 + − 19 ) / 2 ) = 96 3 = ( 2 5 ⋅ 3 ) 3 j ( ( 1 + − 43 ) / 2 ) = 960 3 = ( 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 ) 3 j ( ( 1 + − 67 ) / 2 ) = 5 280 3 = ( 2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 ) 3 j ( ( 1 + − 163 ) / 2 ) = 640 320 3 = ( 2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 23 ⋅ 29 ) 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5\,280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\,320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}.\end{aligned}}}
これらの超越数は、(単に次数 1 の代数的数である)整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる。
e π 19 ≈ x 24 − 24.000 31 ; x 3 − 2 x − 2 = 0 e π 43 ≈ x 24 − 24.000 000 31 ; x 3 − 2 x 2 − 2 = 0 e π 67 ≈ x 24 − 24.000 000 001 9 ; x 3 − 2 x 2 − 2 x − 2 = 0 e π 163 ≈ x 24 − 24.
000 000 000 000 0011 ; x 3 − 6 x 2 + 4 x − 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;\ \ \qquad \qquad \qquad x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;\qquad \qquad \quad x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,001\,9;\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}}
3次式の根は、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η(τ)の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる。
e π 19 ≈ 3 5 ( 3 − 2 ( 1 − 96 / 24 + 1 3 ⋅ 19 ) ) − 2 − 12.000 06 ... e π 43 ≈ 3 5 ( 9 − 2 ( 1 − 960 / 24 + 7 3 ⋅ 43 ) ) − 2 − 12.