軌道力学
円軌道において、衛星の速度を遅くする方向に推力を働かせると、その点から180度の地点に近点を持つ楕円軌道となる。衛星の速度を速くする方向に推力を働かせると、その点から180度の地点に遠点を持つ楕円軌道となる。
軌道力学の法則の結果は、時として直観と相容れないことがある。例えば、同じ円軌道上の2機の宇宙船がドッキングしようとする場合、その位置が非常に接近していない時に、後ろの宇宙船は速度を速めるために単純にエンジンを吹かすことはできない。そうすると軌道の形が変化し、ターゲットと出会うことができない。ドッキングするための1つの方法は、速度を下げるために逆向きにエンジンの噴射を行い、その後、低い円軌道に戻すために再度噴射を行う。低軌道は高軌道よりも速度が速いため、後ろの宇宙船は追いつくことが出来る。3度目の噴射で、先行する宇宙船の軌道と交わり、後ろから接近できるような楕円の軌道に移行する。
標準的な前提が適用できないようなレベルであれば、実際の軌道は計算したものからずれることになる。例えば、大気の抗力は、地球軌道にある物体について複雑化要因になり得る。これらの経験則は、連星系等の同程度の質量の2つかそれ以上の物体に適用する際には、不正確になる。惑星のような大きな物体にとっては、古典力学と一般相対性理論の差異も重要になる。
標準的な前提の下で、楕円軌道を公転する物体の軌道速度( v {\displaystyle v\,} )は次のように計算される。
v = μ ( 2 r − 1 a ) {\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}
ここで、
μ {\displaystyle \mu \,} は標準重力パラメータ、
r {\displaystyle r\,} は天体間の距離、
a {\displaystyle a\,\!} は軌道長半径の長さである。
双曲線軌道の速度の方程式は、+ 1 a {\displaystyle {1 \over {a}}} となるか、aが負の場合は上式となる。
軌道離心率が0<e<1であれば、自由軌道の方程式の分母が真近点角θに伴って変化するが、0になることはなく、必ず正の値である。そのため、相対的な位置ベクトルは有界であり、近点rpにおける最小値は、以下の式で与えられる。
r p = p 1 + e {\displaystyle r_{p}={\frac {p}{1+e}}}
最大値rは、θ=180°の時である。この点は遠点と呼ばれ、raで示される動径座標は、次のようになる。
r a = p 1 − e {\displaystyle r_{a}={\frac {p}{1-e}}}
近点Pから遠点Aまでの距離を2aとすると、以下の方程式が成り立つ。
2 a = r p + r a {\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}
上記の方程式を展開して、次の値が得られる。
a = p 1 − e 2 {\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}}}
aは、楕円軌道の軌道長半径である。rについて解くと、次のようになる。
r = a ( 1 − e 2 ) 1 + e cos  θ {\displaystyle r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }}}