接続 (ファイバー束)
定義 ― τ ∈ A k ( P ; g ) {\displaystyle \tau \in {\mathcal {A}}^{k}(P;{\mathfrak {g}})} 、 η ∈ A l ( P ; V ) {\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}^{\ell }(P;V)} に対し、τとηの積 τ ⋅ η ∈ A k + l ( P ; V ) {\displaystyle \tau \cdot \eta \in {\mathcal {A}}^{k+\ell }(P;V)} を以下のように定義する:
( τ ⋅ η ) p ( X 1 , ... , X k + l ) := 1 k ! l ! ∑ σ ∈ S k + l s g n ( σ ) ρ ∗ ( τ p ( X σ ( 1 ) , ... , τ ( X σ ( k ) ) ) η p ( X σ ( k + 1 ) , ... , X σ ( l ) ) {\displaystyle (\tau \cdot \eta )_{p}(X_{1},\ldots ,X_{k+\ell }):={1 \over k!\ell !}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k+\ell }}\mathrm {sgn} (\sigma )\rho _{*}(\tau _{p}(X_{\sigma (1)},\ldots ,\tau (X_{\sigma (k)}))\eta _{p}(X_{\sigma (k+1)},\ldots ,X_{\sigma (\ell )})}
ここで p ∈ P {\displaystyle p\in P} 、 X 1 , ... , X k + l ∈ T p P {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k+\ell }\in T_{p}P} であり、 S k + l {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k+\ell }} は k + l {\displaystyle k+\ell } 次の対称群である。
なお、これらはそれぞれ実ベクトルバンドル、実計量ベクトルバンドル、複素ベクトルバンドル、複素計量ベクトルバンドル、シンプレクティックバンドル、クリフォードバンドル(英語版)に対応する。
こうした群の場合、主バンドルの接続からベクトルバンドルの接続が定義でき、逆にベクトルバンドルの接続から主バンドルの接続が定義できる事を本章で見る。ファイバーバンドルの接続、特に主バンドルの接続を考える主目的はベクトルバンドルの接続を別の角度から捉え直す事にある。
チャーン・ヴェイユ理論では、特性類という主バンドルを使って特徴づけられる概念を用いるので、上記のように主バンドルに対して接続を定義することで、理論の記述が可能になる。
以下、本項では特に断りがない限り、多様体、関数、バンドル等は全てC級の場合を考える。よって紛れがなければ「C級」を省略して単に多様体、関数、バンドル等という。
∇ f X + g Y s = f ∇ X s + g ∇ Y s {\displaystyle \nabla _{fX+gY}s=f\nabla _{X}s+g\nabla _{Y}s}
∇ X ( a s + b s ′ ) = a ∇ X s + b ∇ X s ′ {\displaystyle \nabla _{X}(as+bs')=a\nabla _{X}s+b\nabla _{X}s'}
∇ X ( f s ) = X ( f ) s + f ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}(fs)=X(f)s+f\nabla _{X}s}
ここでX、YはM上の任意のベクトル場であり、s、s'はEの任意の接続とし、f、gはM上定義された任意の実数値可微分関数であり、a、bは任意の実数であり、 f Y {\displaystyle fY} は点Pにおいて f ( P ) Y P {\displaystyle f(P)Y_{P}} となるベクトル場であり、 X ( f ) {\displaystyle X(f)} はfのX方向微分であり、 [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} はリー括弧(英語版)である。
クリストッフェル写像の節と同様に、Eの元がMの局所座標 ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} およびEの垂直方向の局所座標 ( y 1 , ... , y n ) {\displaystyle (y^{1},\ldots ,y^{n})} の組 ( ( x 1 , ... , x m ) , ( y 1 , ... , y n ) ) {\displaystyle ((x^{1},\ldots ,x^{m}),(y^{1},\ldots ,y^{n}))} で書き表されているとし、 e ∈ E {\displaystyle e\in E} に対し、 曲率を
Ω e ( ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x l ) = Ω i k l ( e ) ∂ ∂ y i {\displaystyle \Omega _{e}\left({\partial \over \partial x^{k}},{\partial \over \partial x^{\ell }}\right)=\Omega ^{i}{}_{k\ell }(e){\partial \over \partial y^{i}}}
と成分表示する。さらにクリストッフェル写像の節と同様、 e ∈ E {\displaystyle e\in E} における水平リフトを
すなわち K e r V e = H e {\displaystyle \mathrm {Ker} V_{e}={\mathcal {H}}_{e}} 、 V e | V e = i d {\displaystyle V_{e}|_{{\mathcal {V}}_{e}}=\mathrm {id} } となる線形変換を定義できる。このVeを垂直射影(英: vertical projection)もしくは接続写像(英: connection map)といい、接続写像によって接続概念を定式化することも可能である:
定義 ― ファイバーバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の(C級の)接続(英: connection)とは、eに関してC級な写像
V e : T e E → V e {\displaystyle V_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {V}}_{e}}
の族 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} で以下の性質を満たすものである:
V e | V e = i d {\displaystyle V_{e}|_{{\mathcal {V}}_{e}}=\mathrm {id} }
後で述べるように、この垂直射影Veが主バンドルの接続の場合は接続形式に対応している。
が成立する事が知られている。上記の定理をNがP、aがe、Xiが ∂ i ∗ {\displaystyle \partial _{i}^{*}} 、fが点yにその第i座標yを対応させる関数である場合に適用する事で、
Ψ 2 − t ∘ Ψ 1 − t ∘ Ψ 2 t ∘ Ψ 1 t ( e ) = e + t 2 [ ∂ 1 ∗ , ∂ 2 ∗ ] | e + o ( t 2 ) {\displaystyle \Psi _{2}^{-t}\circ \Psi _{1}^{-t}\circ \Psi _{2}^{t}\circ \Psi _{1}^{t}(e)=e+t^{2}[\partial _{1}^{*},\partial _{2}^{*}]|_{e}+o(t^{2})}
が成立する。一般にM上のベクトル場X、Yに対し、
L i f t ( [ X , Y ] ) = H ( [ L i f t ( X ) , L i f t ( X ) ] ) {\displaystyle \mathrm {Lift} ([X,Y])=H([\mathrm {Lift} (X),\mathrm {Lift} (X)])}
, e m ( t ) ) {\displaystyle (e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))} をtで微分したものが接続形式 ω ( d c d t ( 0 ) ) {\displaystyle \omega ({\tfrac {dc}{dt}}(0))} に一致する。
よって特に(レヴィ・チヴィタ接続などの)∇がEの計量と両立する接続の場合、∇による平行移動は回転変換、すなわち S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} の元なので、その微分である接続形式ωは S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} のリー代数 s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)} の元、すなわち歪対称行列である。
このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群(上の例では S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} )が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。
本節では特に断りのない限り、 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を完備な接続 H = { H e } e ∈ E {\displaystyle {\mathcal {H}}=\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が定義されたファイバーバンドルでMが連結なものとする。
η ∈ A ρ k ( P ; V ) ↦ φ ♭ ∈ A k ( M ; E ) {\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P;V)\mapsto \varphi ^{\flat }\in {\mathcal {A}}^{k}(M;E)}
は全単射である。
上記の写像の逆写像は以下のように書ける:
定理 ― ξ ∈ A k ( M ; E ) {\displaystyle \xi \in {\mathcal {A}}^{k}(M;E)} 、 p ∈ P {\displaystyle p\in P} 、 Y 1 , ... , Y k ∈ T p P {\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{k}\in T_{p}P} に対し、
ξ ♯ := φ p − 1 ∘ ξ ( π ∗ ( Y 1 ) , ... , π ∗ ( Y k ) ) {\displaystyle \xi ^{\sharp }:=\varphi _{p}{}^{-1}\circ \xi (\pi _{*}(Y_{1}),\ldots ,\pi _{*}(Y_{k}))}
とすると、
ξ ∈ A k ( M ; E ) ↦ ξ ♯ ∈ A ρ k ( P ; V ) {\displaystyle \xi \in {\mathcal {A}}^{k}(M;E)\mapsto \xi ^{\sharp }\in {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P;V)}
は: η ↦ η ♭ {\displaystyle \eta \mapsto \eta ^{\flat }} の逆写像である。
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をベクトルバンドルとし、 ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} をMの局所座標とし、 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} をEの局所的な基底とし、Eの元vを v = v j e j {\displaystyle v=v^{j}e_{j}} と表すと、クリストッフェル写像の節で述べたように、 e ∈ E {\displaystyle e\in E} における水平リフトを
∇ d t s ( t ) = d d t s ( t ) − L i f t s ( t ) ( d d t c ( t ) ) {\displaystyle {\frac {\nabla }{dt}}s(t)={\frac {d}{dt}}s(t)-\mathrm {Lift} _{s(t)}({\frac {d}{dt}}c(t))}
が成立する。
平行移動の定義より、 s ( t ) {\displaystyle s(t)} が平行であれば、
d d t s ( t ) = L i f t s ( t ) ( d d t c ( t ) ) {\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}s(t)=\mathrm {Lift} _{s(t)}\left({\tfrac {d}{dt}}c(t)\right)}
であった。この事からすなわち、共変微分 ∇ d t s ( t ) {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}s(t)} とは、平行移動からのズレを表す量である事がわかる。
接続概念の定義において垂直方向への射影
V e : T e E → V e {\displaystyle V_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {V}}_{e}}
を導入したが、同様にして水平方向への射影
H e : T e E → H e {\displaystyle H_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {H}}_{e}}
も定義できる。
曲率概念はこのVe、Heを使って定義できる:
定理・定義 (ファイバーバンドルの曲率形式) ― π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を接続 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} が定義されたファイバーバンドルとし、 H e := K e r V e {\displaystyle {\mathcal {H}}_{e}:=\mathrm {Ker} V_{e}} への射影を H e : T e E → H e {\displaystyle H_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {H}}_{e}} とする。
E上のベクトル場ξ、ηに対し、
Ω ( ξ , η ) := − V ( [ H ( ξ ) , H ( η ) ] ) {\displaystyle \Omega (\xi ,\eta ):=-V([H(\xi ),H(\eta )])}