加群の直和
抽象代数学における直和(ちょくわ、英: direct sum)は、いくつかの加群を一つにまとめて新しい大きな加群にする構成である。加群の直和は、与えられた加群を「不必要な」制約なしに部分加群として含む最小の加群であり、余積の例である。双対概念である直積(英語版)と対照をなす。
この構成の最もよく知られた例はベクトル空間(体上の加群)やアーベル群(整数環 Z 上の加群)を考えるときに起こる。構成はバナッハ空間やヒルベルト空間をカバーするように拡張することもできる。
を満たすもの全体の成す空間として Hi たちのヒルベルト空間の直和を定義することもできる。このとき、そのような函数 α と β の内積は
⟨ α , β ⟩ = ∑ i ⟨ α i , β i ⟩ {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle }
で与えられる。この空間は完備であり、確かにヒルベルト空間が得られている。
例えば、添字集合を I = N にとり Xi = R とすれば、直和 ⨁ i ∈ N X i {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in \mathbf {N} }X_{i}} はノルム ‖ a ‖ ≔ √∑i |ai| が有限となる実数列 (ai) 全体の成す空間 l2 である。これをバナッハ空間の例と比べると、バナッハ空間の直和とヒルベルト空間の直和は必ずしも同じではないことがわかる。しかし有限個の成分しかないならば、バナッハ空間の直和はヒルベルト空間の直和と同型である(ノルムは異なるかもしれないが)。
すべてのヒルベルト空間は基礎体(R か C)の十分たくさんのコピーの直和に同型である。これはすべてのヒルベルト空間は正規直交基底をもつという主張と同値である。より一般に、ヒルベルト空間の任意の閉部分空間は補空間をもつ(とくに直交補空間がとれる)。逆に、リンデンシュトラウス–ツァフリーリの定理(英語版)の述べるとおり、与えられたバナッハ空間の任意の閉部分空間が補空間を持つならば、そのバナッハ空間は(位相的に)ヒルベルト空間に同型である。