バナッハ＝タルスキーのパラドックス
バナッハ=タルスキーのパラドックス (Banach-Tarski paradox) は、球を3次元空間内で、有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理(ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できない)。この操作を行うために球を最低5つに分割する必要がある。
バナッハ=タルスキーの証明では、ハウスドルフのパラドックスが援用され、その後、多くの人により証明の最適化、様々な空間への拡張が行われた。
結果が直観に反することから、定理であるが「パラドックス」と呼ばれる。証明の1箇所で選択公理を使うため、選択公理の不合理性を論じる文脈で引用されることがある。ステファン・バナフ(バナッハ)とアルフレト・タルスキが1924年に初めてこの定理を述べたときに選択公理を肯定的にとらえていたか、否定的にとらえていたか、判断することは難しい(「この研究に対する選択公理の果たす役割は注目に値する。」(Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention.)としか述べていない)。なお、選択公理よりも真に弱いハーン–バナッハの定理からバナッハ=タルスキーのパラドックスを導くことができる。また似たような話題としてシェルピンスキー・マズルキーウィチのパラドックスがあるがこちらは選択公理に依存しない。
この定理は次のように述べることも出来る。