Lp空間
もう一つのほうはデヴィッド・ドノホ(英語版)が l0-「ノルム」と呼んだもので、ベクトル x の非ゼロ成分の数を返すものである。0 = 0 と定義するならば、各元 x の l0「ノルム」の値は
| x 1 | 0 + | x 2 | 0 + ⋯ + | x n | 0 {\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\dotsb +|x_{n}|^{0}}
に等しく、即ち R において(0 < p < 1 なる)p ノルムの p ↓ 0 とした極限と見ることができるので、—これは斉次的でないから真のノルムではないけれども—用語の濫用により単に "0-ノルム" のように呼ぶ数学者も少なくない。これら性質の欠落によってノルムとはならないにも拘らず、この非ゼロ成分を数え上げる「ノルム」は計算科学や情報理論、統計学 - 特に信号処理における圧縮センシングや計算的調和解析において、用いられている。
実数直線(resp. 周期函数)に関するフーリエ変換(resp. フーリエ級数)は、1 ≤ p ≤ 2 および 1/p + 1/q = 1 を満たす p, q に対して、L(R) を L(R) に(resp. L(T) を l に)写す。これはリース=ソリンの定理の帰結で、ハウスドルフ=ヤングの不等式により確かめられる。
対照的に、p > 2 の場合、そのようなフーリエ変換は L への写像ではない。
口語的に言うと、1 ≤ p < q ≤ ∞ であるなら、L(S, μ) はより局所特異的な函数を含むものであるし、L(S, μ) の元はより拡大されたものである。半直線 (0, ∞) 上のルベーグ測度を考える。L に属する連続関数は 0 の近くで爆発するかも知れないが、無限大に向かって十分早く減衰するものである必要がある。一方、L に属する連続函数は必ずしも減衰する必要はないが、爆発することは許されない。そのことを正確に述べたのが、次の技術的結果である:
0 ≤ p < q ≤ ∞ とする。L(S, μ) が L(S, μ) に含まれるための必要十分条件は、S が任意に大きい測度の集合を含まないことである。
0 ≤ p < q ≤ ∞ とする。L(S, μ) が L(S, μ) に含まれるための必要十分条件は、S が任意に小さい非ゼロ測度の集合を含まないことである。
特に、その領域 S が有限測度を持つなら、(イェンゼンの不等式による)評価式
この節では 1 ≤ p < ∞ を仮定する。
(S, Σ, μ) を測度空間とする。S 上の可積分単関数 f は
f = ∑ j = 1 n a j 1 A j {\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}
の形式で記述される。ここで、j = 1, ..., n に対し、aj はスカラーであり Aj ∈ Σ は有限測度を持つ。積分の構成法により、可積分単関数のベクトル空間は L(S, Σ, μ) において稠密であることが分かる。
S が距離化可能空間で Σ がそのボレル σ-代数、すなわち開集合を含む S の部分集合の最小の σ-代数である場合には、さらに多くのことが分かる。
V ⊂ S を μ(V) < ∞ であるような開集合とする。V に含まれるすべてのボレル集合 A ∈ Σ およびすべての ε > 0 に対して、次を満たす閉集合 F と開集合 U が存在することが分かる:
F ⊂ A ⊂ U ⊂ V and μ ( U ) − μ ( F ) = μ ( U ∖ F ) < ε . {\displaystyle F\subset A\subset U\subset V{\text{ and }}\mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon .}
S 上で連続な φ で次を満たすようなものが存在することが分かる:
0 ≤ φ ≤ 1 V and ∫ S | 1 A − φ | d μ < ε .
↑ Dunford & Schwartz 1958, III.3.
↑ Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems, Mathematics and its Applications (East European Series), 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, pp. xvi+524, ISBN 90-277-2186-6, MR920371, OCLC 13064804
↑ Maddox, I.J. (1988), Elements of Functional Analysis (2nd ed.), Cambridge: CUP , page 16
↑ Titchmarsh 1976.
↑ Rudin, Walter (1980), Real and Complex Analysis (2nd ed.), New Delhi: Tata McGraw-Hill , Theorem 6.16
1 2 Rudin 1991, §1.47.
↑ Adams & Fournier 2003.
↑ Duren 1970, §7.5.
↑ Kalton, Peck & Roberts 1984.
1 2 3 Grafakos 2004.