直積 (ベクトル)
テンソルに対する外積はふつうテンソル積と呼ばれる。テンソル a は階数 q で各次元 (i1, ..., iq), b は階数 r で各次元が (j1, ..., jr) とすれば、これらの外積 c は階数 q + r で各次元 (k1, ..., kq+r) は先に i の次元を並べた後に j の次元を並べたものになる。これを ⊗ を用いた座標に依存しない表記で書き、その成分を添字表記で書けば
c = a ⊗ b , c i j = a i b j {\displaystyle {\boldsymbol {c}}={\boldsymbol {a}}\otimes {\boldsymbol {b}},\quad c_{ij}=a_{i}b_{j}}
となる。高階テンソルの場合も同様で、例えば
T = a ⊗ b ⊗ c , T i j k = a i b j c k {\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {a}}\otimes {\boldsymbol {b}}\otimes {\boldsymbol {c}},\quad T_{ijk}=a_{i}b_{j}c_{k}}
外積は物理量(例えば慣性テンソルなど)の計算や、デジタル信号処理やデジタル画像処理における変形操作を行うのに有用である。また統計的解析においても、二つの確率変数の共分散および自己共分散行列の計算に有用である。
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\otimes {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {v}}^{\top }={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{pmatrix}}.}
ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合である。
「テンソルの外積」を「テンソル積」の同義語として用いる文献もある。外積は R, APL, Mathematica などいくつかの計算機プログラム言語では高階函数でもある。