エネルギー保存の法則
以下に一粒子系の場合についての力学的エネルギー保存の法則を述べる。
一粒子の運動について、粒子に働く力 F ( r ( t ) , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t),t)} がポテンシャル V ( r ( t ) ) {\displaystyle V({\boldsymbol {r}}(t))} を用いて、
F ( r ( t ) , t ) = − ∇ V ( r ( t ) ) + f ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t),t)=-\nabla V({\boldsymbol {r}}(t))+{\boldsymbol {f}}(t)}
と表される場合について、ニュートン力学の運動の第2法則、
m d 2 r d t 2 ( t ) = F ( r ( t ) , t ) {\displaystyle m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}(t)={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t),t)}
より次の運動方程式が得られる。
m d 2 r d t 2 ( t ) = − ∇ V ( r ( t ) ) + f ( t ) . {\displaystyle m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}(t)=-\nabla V({\boldsymbol {r}}(t))+{\boldsymbol {f}}(t).
1807年にトマス・ヤングは、vis viva という用語で表されていた運動の概念を、"energy" と呼んだ。energy はギリシア語の ἐνέργεια(羅: energeia, エネルゲイア)という語を基にした造語である。ギリシャ語のἐνέργεια (energeia ) というのは語の構成としては εν + εργον (en +ergon ) であり、εργον (ergon ) は「仕事」、εν— (en —) は「~の状態」という意味である。よって「仕事をしている状態」といったような意味である。アリストテレスの哲学において ἐνέργεια は、ものが持つ「可能態」の中から現実化された「現実態」を意味する。つまり、energy という用語を用いている背景には、眼には見えない「活力」が具体的な「仕事」に変化したのだ、という発想がある。
ヤングが energy という用語を用いたからといって、それが人々にすぐに用いられるようになったわけでもなく、人々の間に定着するようになったのは、あくまで後のことである。vis viva 相当の概念は、19世紀半ばでもしばしば、英語圏では "force" と呼ばれていたし、ドイツ語圏では „Kraft” と呼ばれていた。
現代的な意味で energy の語が用いられるようになったのは、ヤングより後のことで、1850年頃にウィリアム・トムソンによって kinetic energy(運動エネルギー)、1853年にウィリアム・ランキンによって potential energy(位置エネルギー)の語が定義された。
1905年にアルベルト・アインシュタインは、Annus Mirabilis papers の一つの „Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?”において、質量とエネルギーが交換可能なのではないか、という提案を行った。これをきっかけとして、物理学が大きく変容していくことになった。「エネルギー」や「物質」という概念自体が大きく変わっていくことになったのである。
特殊相対性理論において、質量はエネルギーの一形態であり、E=mc2 という式の関係が成り立っている。したがって相対論の立場では、エネルギー保存の法則は「質量を含めたエネルギーの総和が保存されている」という主張になる。
他の物理学の様々な主張同様に、このアインシュタインの主張も最初は受け入れられなかったり疑問視されたが、原子核反応や電子対生成などの実験において成立していることが確認されると、アインシュタインの考えが次第に受け入れられるようになっていった。
なおそれに伴って、「質量保存則は(厳密に言えば)成り立っていない」と考えられるようになった。