不連続線型写像
完備でない空間においては不連続線型写像の例を構成するのは容易である。線型独立なベクトルからなるコーシー列で極限を持たないものを任意に取れば、線型作用素は際限なく増加することができる。これはつまり、空間に「穴」があるから線型作用素が連続でないという意味である。
例えば、X として区間 [0, 1] 上の滑らかな実数値函数全体の成す空間に一様ノルム
‖ f ‖ = sup x ∈ [ 0 , 1 ] | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|}
を入れたものを考えると、「一点において微分する」写像
T ( f ) = f ′ ( 0 ) {\displaystyle T(f)=f'(0)}
は X 上で定義される実数値函数で、線型になるが、連続でない。実際、函数列
f n ( x ) = sin  ( n 2 x ) n {\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\sin(n^{2}x)}{n}}}
より一般に、空間が完備である場合も含めて、不連続線型写像の存在を証明することができる。K は実数体 R または複素数体 C であるものとして、X, Y を体 K 上のノルム空間で、X は無限次元、Y は零ベクトル空間でないと仮定する。ここで、X から K への不連続線型写像 f が求まれば、Y の勝手な非零元 y0 に対して g(x) = f(x)y0 と置くことで、X から Y への不連続線型写像 g の存在が言える。
そこで、無限次元空間 X に対して連続でない線型汎函数の存在を、非有界な f を様々構成することによって示す。そういうわけで、X の線型独立なベクトルからなる列 (en)n (n ≥ 1) を考え、各 n = 1, 2, ... に対して
T ( e n ) = n ‖ e n ‖ {\displaystyle T(e_{n})=n\|e_{n}\|}
と定める。この線型独立なベクトルからなる列を延長して X の基底を得、上記の元以外の基底ベクトルにおける T の値を零と定めて、T を X 上の線型写像に一意的に拡張することができる。得られた線型写像は明らかに有界でないから、これは連続でない。
ここで、任意の線型独立系を基底に延長することができるという事実を用いたから、そこに暗黙の裡に選択公理が使われていることに注意すべきである(前掲の具体例では選択公理を必要としない)。
既に注意した通り、一般の不連続線型写像の存在定理には選択公理 (AC) が用いられる。実は完備な定義域(例えばバナッハ空間)を持つ不連続線型写像の構成的な例というものは存在しないのである。解析学において、職業数学者がふつう実用にする限りは、選択公理は(ZFC集合論の公理の一つとして)常に仮定されている。従って、解析学者は任意の無限次元位相線型空間に不連続線型写像を認めることができる。
一方、1970年にロバート・ソロヴェイ(英語版)は、実数からなる任意の集合が可測となるような集合論のモデルを示した。従って、このモデルにおいて不連続線型実函数は存在しないことになる。このモデルは明らかに選択公理を満足しない。
ソロヴェイの結果は、任意の無限次元線型空間が不連続線型写像を許すこと仮定することは必要条件でないことを示すものであり、より構成主義者の観点に沿った解析学というものが展開し得る。