インパルス応答
h [ n − k ] = T [ δ [ n − k ] ] {\displaystyle h\left[n-k\right]=T\left[\delta \left[n-k\right]\right]}
のように置くと、最終的に次の式が得られる。
y [ n ] = ∑ k x [ k ] h [ n − k ] {\displaystyle y\left[n\right]=\sum _{k}x\left[k\right]h\left[n-k\right]}
h [ n ] {\displaystyle h\left[n\right]} は T で表されるシステムのインパルス応答である。上記からわかるように、h[n] は入力が離散的なディラックのデルタ関数であった時のシステム出力である。連続的な時間系でも、同様の結果が成り立つ。
概念的な例として、ある部屋の中に風船があり、その位置を p とする。風船が弾むと、「ぽん」という音がする。ここで、この部屋は「ぽん」という音を入力として多重反射させるシステム T である。入力 δ p [ n ] {\displaystyle \delta _{p}[n]} は「ぽん」であり、時間的幅が短いのでディラックのデルタ関数に似ている。出力 h[n,p] は残響の並びである。h[n,p] は風船の位置(p)に依存する。部屋の中のあらゆる位置 p について h[n,p] が判っていれば、我々はこの部屋のインパルス応答を把握していることになる。すると、その部屋が生成する音がどうなるかを常に予測することが可能となる。
制御理論では、インパルス応答はディラックのデルタ関数の入力への応答特性である。これは力学系の解析に有効である。デルタ関数をラプラス変換すると1になるので、インパルス応答はシステムの伝達関数の逆ラプラス変換と等価になる。