バナッハの不動点定理
{\displaystyle {\begin{aligned}d(T^{n}(x_{0}),T^{m}(x_{0}))&\leq {\frac {d(T(T^{n}(x_{0})),T^{n}(x_{0}))+d(T(T^{m}(x_{0})),T^{m}(x_{0}))}{1-q}},\\&={\frac {d(T^{n}(T(x_{0})),T^{n}(x_{0}))+d(T^{m}(T(x_{0})),T^{m}(x_{0}))}{1-q}}\\&\leq {\frac {q^{n}d(T(x_{0}),x_{0})+q^{m}d(T(x_{0}),x_{0})}{1-q}}\\&={\frac {q^{n}+q^{m}}{1-q}}d(T(x_{0}),x_{0}).\end{aligned}}}
q < 1 なので、最後の表現は n, m → ∞ に対してゼロに収束し、このことは {T(x0)} がコーシー列であることを意味する。m → ∞ に対しては、第一の証明で現れた次の不等式が得られる。
d ( T n ( x 0 ) , x ∗ ) ≤ q n 1 − q d ( T ( x 0 ) , x 0 ) . {\displaystyle d(T^{n}(x_{0}),x^{*})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(T(x_{0}),x_{0}).}
これは {T(x0)} が x* に収束する収束率を与えるものである。