ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式
プレイヤー1と2の二人からなる非協力ゼロサムゲームを考える。ミニマックス原理はこの設定でも成立し、プレイヤー1の最適制御問題はプレイヤー1の制御変数を u {\displaystyle u} として以下のように表される。
max u min v E  { ∫ 0 T C ( t , X t , u t , v t ) d t + D ( X T ) } {\displaystyle \max _{u}\min _{v}\operatorname {E} \left\{\int _{0}^{T}C(t,X_{t},u_{t},v_{t})\,dt+D(X_{T})\right\}}
ただし、状態変数 ( X t ) t ∈ [ 0 , T ] {\displaystyle (X_{t})_{t\in [0,T]}\,\!} は次の確率微分方程式に従うとする。
d X t = μ ( t , X t , u t , v t ) d t + σ ( t , X t , u t , v t ) d w t {\displaystyle dX_{t}=\mu (t,X_{t},u_{t},v_{t})dt+\sigma (t,X_{t},u_{t},v_{t})dw_{t}}
この問題においてはプレイヤー2の制御変数 v {\displaystyle v} が問題に導入されている。プレイヤー1の問題の価値関数は以下のハミルトン–ヤコビ–ベルマン–アイザックス方程式(HJBI方程式、英: Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs equation (HJBI equation))の粘性解となる。
{\displaystyle -{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}q(t)x^{2}+{\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}ax-{\frac {b^{2}}{2r(t)}}\left({\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}.}
二次形式の価値関数を仮定する事により、通常のLQG制御と同様に、価値関数のヘシアンに関する一般的な リカッチ方程式を得ることが出来る。