単振動
d x d t = − ω A sin  ( ω t + φ ) = ω a cos  ( ω t + φ + π 2 ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-\omega A\sin(\omega t+\phi )=\omega a\cos(\omega t+\phi +{\frac {\pi }{2}})}
d 2 x d t 2 = − ω 2 A cos  ( ω t + φ ) = ω 2 A cos  ( ω t + φ + π ) {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}A\cos(\omega t+\phi )=\omega ^{2}A\cos(\omega t+\phi +\pi )}
と表現できるので、速度の位相は元の x よりも π/2 (90°) 進んでおり、加速度の位相は元の x よりも π (180°) 進んでいることになる。
φ に 2π の整数倍を加えた値、すなわち φ, φ ± 1 × 2π, φ ± 2 × 2π, ... はいずれも同じ振動を表す。これらの中から、式がなるべく簡単になるように φ の値を決めることができる。
ω は角振動数や円振動数、角周波数と呼ばれる。振幅と同じく、一般的に ω の値は正とする。角振動数は、単位時間当たりの位相の変化量、あるいは位相の変化率を意味している。単位は rad/s(ラジアン毎秒)または 1/s(毎秒)か Hz(ヘルツ)となる。
上述のとおり、位相が 2π 増えるたびに x は同じ値に戻る。位相が 2π 増えるのに必要な時間を周期と呼ぶ。周期は記号 T などで表される。周期の定義より、周期 T と角振動数 ω には
2 π = ω T {\displaystyle 2\pi =\omega T}
という関係があるから、T は ω によって次のように表される。
T = 2 π ω {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}
また、周期の逆数 1/T を振動数あるいは周波数と呼ぶ。振動数は記号 f や ν などで表され、角振動数によって表現すれば
f = ω 2 π {\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}}
となる。振動数は 1 秒間に振動する回数を意味しており、単位は Hz(ヘルツ)である。混乱のおそれが無い場合は、角振動数 ω を指して単に振動数と呼ぶこともある。ただし、ω の値と f の値が 2π 倍違う点には常に注意を要する。
近 桂一郎、2006、『振動・波動』第1版、裳華房〈裳華房フィジックスライブラリー〉 ISBN 4-7853-2226-8
長谷川 修司、2009、『振動・波動』、講談社〈講談社基礎物理学シリーズ 2〉 ISBN 978-4-06-157202-7
鈴木 浩平、2004、『振動の工学』、丸善〈機械工学基礎コース〉 ISBN 4-621-07377-X
横山 隆・日野 順市・芳村 敏夫、2015、『基礎振動工学』第2版、共立出版 ISBN 978-4-320-08211-3
藤田 勝久、2016、『振動工学 ―振動の基礎から実用解析入門まで』新装版、森北出版 ISBN 978-4-627-66542-2
安田 仁彦、2012、『振動工学 ―基礎編』改訂版、コロナ社 ISBN 978-4-339-04624-3
小出 昭一郎、1997、『物理学』三訂版、裳華房 ISBN 4-7853-2074-5
下郷 太郎・田島 清灝、2002、『振動学』初版、コロナ社〈機械系 大学講義シリーズ 11〉 ISBN 4-339-04045-2
入江 敏博・小林 幸徳、2006、『機械振動学通論』第3版、朝倉書店 ISBN 978-4-254-23116-8
単振動同士の和を作ることを、単振動の重ね合わせや単振動の合成と呼ぶ。単振動の重ね合わせは、振動・波動の多くの場面で現れる。例えば、自由度 n の線形多自由度系の振動の非減衰自由振動は、単振動の n 個の重ね合わせで表現できる。また、フーリエ級数を使えば、与えられた様々な周期運動を単振動の無限の重ね合わせで表現できる。
2つの単振動する量 x1 と x2 を考える。これらが同一方向(同じ x 軸方向)の振動だとすれば、その重ね合わせは、
x = x 1 + x 2 = A 1 cos  ( ω 1 t + φ 1 ) + A 2 cos  ( ω 2 t + φ 2 ) {\displaystyle x=x_{1}+x_{2}=A_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+A_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2})}
となる。単振動を幾何ベクトルとして考えれば、単振動の重ね合わせとは、円運動するベクトル OP1 と円運動するベクトル OP2 の和 OP = OP1 + OP2 を作成して、OP を軸へ射影していることに等しい。上式は、合成や加法定理といった三角関数の公式を用いて下記のように変形できる。
x = A cos  ( ω 1 + ω 2 2 t + φ 1 + φ 2 2 + ψ ) {\displaystyle x=A\cos \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}t+{\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}+\psi \right)}
単振動は、次のような余弦関数と正弦関数の和の形でも表現できる。
x = B 1 cos  ω t + B 2 sin  ω t {\displaystyle x=B_{1}\cos \omega t+B_{2}\sin \omega t}
ここで、B1 と B2 は定数である。単振動の正弦関数による表現
x = A sin  ( ω t + φ ) {\displaystyle x=A\sin(\omega t+\phi )}
と比較すると、B1、B2 は振幅 A、初期位相 φ と次のような関係がある。
A = B 1 2 + B 2 2 {\displaystyle A={\sqrt {B_{1}^{2}+B_{2}^{2}}}}
tan  φ = B 1 B 2 {\displaystyle \tan \phi ={\frac {B_{1}}{B_{2}}}}
自由振動の問題などでは、振幅と初期位相が既知として与えられるのではなく、t = 0 のときの x の値、および t = 0 のときの x の速度(後述参照)の値が与えられ、単振動の形が定まる。これらの値を x0、v0 と表すとする。 この cos と sin の和の形式の場合、cos 側が x0 を表現する役割を持ち、sin 側が v0 を表現する役割を持つ。すなわち、x0 と v0 が与えられたときの単振動は、下記のように表現できる。
x = x 0 cos  ω t + v 0 ω sin  ω t {\displaystyle x=x_{0}\cos \omega t+{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \omega t}