カラテオドリ計量
球 B への接ベクトルに対するカラテオドリ長(Carathéodory length)という概念がある。x を B の点とし、v を x における B への接ベクトルとする。B はベクトル空間 X 内の開単位球であるため、接空間 TxB は自然な方法によって X と関連付けられ、v は X の元と見なされる。このとき、x における v のカラテオドリ長 α(x, v) は
α ( x , v ) := sup { | D f ( x ) v | ; f : B → Δ is holomorphic } {\displaystyle \alpha (x,v):=\sup\{|Df(x)v|;\ f\colon B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}\}}
と定義される。α(x, v) ≥ ǁvǁ であり、等号は x = 0 であるときに成り立つことが示される。