クラマース＝ワニア双対性
である。ここに、 v = tanh  K {\displaystyle v=\tanh K} であり、 w = tanh  L {\displaystyle w=\tanh L} である。このことから、高温展開との関係がわかる。関係はより対称性が明確となるように、
sinh  2 K ∗ sinh  2 L = 1 {\displaystyle \,\sinh 2K^{*}\sinh 2L=1} sinh  2 L ∗ sinh  2 K = 1 {\displaystyle \,\sinh 2L^{*}\sinh 2K=1}
と記述することができる。サイトあたりの自由エネルギーの熱力学的極限(thermodynamic limit)
f ( K , L ) = lim N → ∞ f N ( K , L ) = − k T lim N → ∞ 1 N log  Z N ( K , L ) {\displaystyle f(K,L)=\lim _{N\rightarrow \infty }f_{N}(K,L)=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}(K,L)}
を用いると、クラマース=ワニアの双対性は、
f ( K ∗ , L ∗ ) = f ( K , L ) + 1 2 k T log  ( sinh  2 K sinh  2 L ) {\displaystyle f(K^{*},L^{*})=f(K,L)+{\frac {1}{2}}kT\log(\sinh 2K\sinh 2L)}
を与える。
K = L {\displaystyle K=L} である等方的な場合は、 K = K c {\displaystyle K=K_{c}} に臨界点があるとすれば、 K = K c ∗ {\displaystyle K=K_{c}^{*}} にも別な臨界点がある。従って、唯一の臨界点がある場合は、 K = K ∗ = K c ∗ {\displaystyle K=K^{*}=K_{c}^{*}} のみに臨界点があることとなり、これは sinh  2 K c = 1 {\displaystyle \sinh 2K_{c}=1} を意味し、 k T c = 2.2692 J {\displaystyle kT_{c}=2.2692J} を得る。