ハッセ・ヴェイユのゼータ函数
L p ( s , E ) = { ( 1 − a p p − s + p 1 − 2 s ) , if p ∤ N ( 1 − a p p − s ) , if p ‖ N 1 , if p 2 | N {\displaystyle L_{p}(s,E)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{if }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{if }}p\|N\\1,&{\text{if }}p^{2}|N\end{cases}}}
とする。この ap は次のような幾何的な意味を持つ。まず N は E の導手とよばれる不変量で、これは E がどのような還元をもつかをはかる。E は N を割らない素数 p で良い還元を持ち、このとき
ap = p + 1 −(E mod p の点の数)
とする。N をちょうど割る素数 p (つまり、p は N を割るが、p は割らないような、このことは p || N と書く)に対し乗法的還元(英語版)を持ち、このとき E が p で分裂するかしないかに従い ap = ±1 とする。p が N を割るような素数のとき E は加法的還元(英語版)を持つ。