ベルマン方程式
a t + 1 = ( 1 + r ) ( a t − c t ) , c t ≥ 0 , {\displaystyle a_{t+1}=(1+r)(a_{t}-c_{t}),\;c_{t}\geq 0,}
および
lim t → ∞ a t ≥ 0. {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }a_{t}\geq 0.}
最初の条件は、問題設定に記述された資本の蓄積を示し、二つ目の条件は消費者が人生の終わりに置いて負債を先送りできないという横断性条件(英語版)を示す。 ベルマン方程式は次式となる。
V ( a ) = max 0 ≤ c ≤ a { u ( c ) + β V ( ( 1 + r ) ( a − c ) ) } , {\displaystyle V(a)=\max _{0\leq c\leq a}\{u(c)+\beta V((1+r)(a-c))\},}
この代わりに、同じ問題を例えばハミルトン方程式で扱う事もできる。
今、金利が時間とともに変化するとすれば、消費者は確率的最適化問題に直面する。