ピカールの逐次近似法
次のスカラー微分方程式の初期値問題を考える。
d x ( t ) d t = t x ( t ) , x ( 0 ) = 1 {\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=tx(t),\quad x(0)=1}
ピカールの逐次近似法で φn(t) を構成すると
φ 1 ( t ) = 1 + ∫ 0 t s d s = 1 + t 2 2 φ 2 ( t ) = 1 + ∫ 0 t s ( 1 + s 2 2 ) d s = 1 + t 2 2 + t 4 2 ⋅ 4 ⋯ φ n ( t ) = 1 + t 2 2 + t 4 2 ⋅ 4 + ⋯ + t 2 n 2 ⋅ 4 ⋯ ⋅ ( 2 n ) = ∑ l = 0 n 1 l !
で定義すると、D 上で f(t, x) は連続かつ
| f ( t , x ) | ≤ 2 ( ( t , x ) ∈ D ) {\displaystyle |f(t,x)|\leq 2\quad ((t,x)\in D)}
で有界であるが、リプシッツ連続ではない。このとき、初期値問題
d x ( t ) d t = f ( t , x ) , x ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=f(t,x),\quad x(0)=0}
を考えると、逐次近似列は
φ 2 k − 1 ( t ) = t 2 , φ 2 k ( t ) = − t 2 ( k = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle \varphi _{2k-1}(t)=t^{2},\,\varphi _{2k}(t)=-t^{2}\quad (k=1,2,\cdots )}
となり、収束しない。一方で、解は
φ ( t ) = t 3 3 {\displaystyle \varphi (t)={\frac {t^{3}}{3}}}
である。