弱解
( − 1 ) | α | = ( − 1 ) α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle (-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}
が生じる理由は、微分方程式の各項における全ての偏導関数を u から φ {\displaystyle \varphi } へ移すために α1 + α2 + ... + αn 回の部分積分が必要であることと、それら各部分積分一回ごとに −1 を掛ける必要があるからである。
微分作用素 Q(x, ∂) は、P(x, ∂) の形式的随伴(formal adjoint)である(随伴の概念については随伴作用素を参照)。
まとめると、元の(強)問題が、開集合 W 上の |α| 回微分可能な函数 u で
P ( x , ∂ ) u ( x ) = 0 for all x ∈ W {\displaystyle P(x,\partial )u(x)=0{\mbox{ for all }}x\in W}
を満たすもの(いわゆる強解)を見つける、という問題であるとき、ある可積分函数 u が弱解であるとは、W にコンパクトな台を持つ全ての滑らかな函数 φ {\displaystyle \varphi } に対して、
∫ W u ( x ) Q ( x , ∂ ) φ ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}
成り立つことを言う。