クリフォード代数
クリフォード群のクラスはルドルフ・リプシッツ (Rudolf Lipschitz) によって発見された。
このセクションにおいて V は有限次元で二次形式 Q は非退化であると仮定する。
クリフォード代数の元へのその可逆元の群による作用はひねられた共軛 (twisted conjugation) の言葉によって定義できる。x は y ↦ xyα(x) と写す、ただし α は上で定義された main involution、による twisted conjugation。
クリフォード群 Γ はこの作用の下でベクトルを安定化する (stabilize vectors) 可逆元 x の集合として定義される。これが意味するのは V のすべての v に対して:
x v α ( x ) − 1 ∈ V . {\displaystyle xv\alpha (x)^{-1}\in V.}
この公式はまたノルム Q を保つベクトル空間 V 上のクリフォード群の作用を定義し、従ってクリフォード群から直交群への準同型を与える。クリフォード群はノルムが 0 でない V のすべての元 r を含み、これらは v を v − 2⟨v,r⟩r/Q(r) に持っていく対応する鏡映によって V 上作用する。
ベクトル空間 V が与えられると外積代数 ⋀(V) を構成でき、その次元は V 上のどんな二次形式からも独立である。K が標数 2 でなければ ⋀(V) と Cl(V, Q) の間にベクトル空間として考えて自然な同型が存在する(そして標数が 2 でない場合には自然でないかもしれない同型が存在する)ということが判明する。これが代数同型であることと Q = 0 は同値である。したがってクリフォード代数 Cl(V, Q) を Q に依存した積で V 上の外積代数を豊かにしたもの(あるいはより正確には、量子化、 cf. 導入)と考えることができる(外積はなお Q とは独立に定義できる)。
同型を確立する最も易しい方法は V の直交基底 {ei} をとりそれを上で述べられたように Cl(V, Q) の基底に拡張することである。写像 Cl(V, Q) → ⋀(V) は
e i 1 e i 2 ⋯ e i k ↦ e i 1 ∧ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i k {\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}