ボルツマン分布
エネルギー準位の分布が離散的な場合は、エネルギーが εi に等しい準位の数を gi として、エネルギーが εi である粒子の数 ni は
n i = f i g i = λ e − β ε i g i {\displaystyle n_{i}=f_{i}g_{i}=\lambda \,\mathrm {e} ^{-\beta \epsilon _{i}}g_{i}}
となり、系の全粒子数と全エネルギーは
N = ∑ i n i = λ ∑ i e − β ε i g i , E = ∑ i ε i n i = λ ∑ i ε i e − β ε i g i {\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\lambda \sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta \epsilon _{i}}g_{i},\quad E=\sum _{i}\epsilon _{i}\,n_{i}=\lambda \sum _{i}\epsilon _{i}\,\mathrm {e} ^{-\beta \epsilon _{i}}g_{i}}
で与えられる。
ボルツマン分布は気体の温度が充分に高く、密度が充分に低く、かつ量子効果が無視されるような系において適用される。βε=ε/kT が大きな値を取るような場合、もしくは状態密度が小さい場合のように、古典的粒子として扱うには限界が生じ、かつ粒子の波動関数が実質的に重複していない場合は、ボース=アインシュタイン分布およびフェルミ=ディラック分布の両方がボルツマン分布になる。