分類空間
より公式なステートメントは、G を(単に離散群とするのではなく)位相群でもありうることと、G の群作用が連続としうることを考えに入れる。連続作用のない場合、分類空間の概念は、ホモトピーの言葉でアイレンベルグ・マックレーン空間(英語版)(Eilenberg–MacLane space)の構成を通して、扱うことができる。ホモトピー論では、位相空間 BG の定義、つまり、主 G-バンドルの分類空間は、BG 上の普遍バンドル(英語版)(universal bundle)である全空間 EG とともに与えられる。つまり、このことの結果は、実際、連続写像
π : E G ⟶ B G . {\displaystyle \pi :EG\longrightarrow BG.\ }
である。
CW複体(CW complex)のホモトピー圏が基礎となる圏であることを前提とする。BG に要求される分類するという性質は、実際、π と関連付けられる。任意の主 G-バンドルが空間 Z 上に、
γ : Y ⟶ Z {\displaystyle \gamma :Y\longrightarrow Z\ }