階層ベイズモデル
無限の交換可能性とは、無限数列 y 1 , y 2 , ... {\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots } のすべての有限な部分集合が交換可能である、という性質である。つまり、任意の n {\displaystyle n} について、数列 y 1 , y 2 , ... , y n {\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}} 交換可能である。
定数 n に対して、集合 y 1 , y 2 , ... , y n {\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}} が交換可能であるとは、同時確率 P ( y 1 , y 2 , ... , y n ) {\displaystyle P(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})} が添え字の順列によらず不変であることをいう。つまり、 1 , 2 , ... , n {\displaystyle 1,2,\ldots ,n} を並び替えて得られるすべての順列 π ( π 1 , π 2 , ... , π n ) {\displaystyle \pi \,(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n})} に対して次の式が成立する。
P ( y 1 , y 2 , ... , y n ) = P ( y π 1 , y π 2 , ... , y π n ) . {\displaystyle P(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=P(y_{\pi _{1}},y_{\pi _{2}},\ldots ,y_{\pi _{n}}).}
x 1 , ... , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} が独立同分布ならば交換可能だが、交換可能であっても独立同分布であるとは限らない。 次に、交換可能だが独立同分布ではない例を示す。
壺の中に赤い玉 1 個と青い玉 1 個があり、二分の一の確率でどちらかを取り出すものとする。