エバルトの方法
エバルト法は、計算機の出現よりずっと以前に、理論物理学における手法として開発された。しかしながら、エバルト法は1970年代以降、粒子系のコンピュータシミュレーション、特に重力や静電気学といった逆2乗力を介して相互作用する粒子系において広範に使用されている。最近、PME法は打ち切りによるアーティファクトを除去するためにレナード-ジョーンズ・ポテンシャルの r − 6 {\displaystyle r^{-6}} 部分の計算にも使用されている。PME法はプラズマ、銀河、分子のシミュレーションに応用されている。
粒子・メッシュ法では、標準のエバルト和と同じく、包括的相互作用ポテンシャルが2つの項へと分離される。
φ ( r ) = d e f φ s r ( r ) + φ l r ( r ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {r}})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varphi _{\mathrm {sr} }({\boldsymbol {r}})+\varphi _{\mathrm {lr} }({\boldsymbol {r}})} .
粒子・メッシュ・エバルト和の基本的考えは、点粒子間の相互作用エネルギーの直接和
E TOT = ∑ i , j φ ( r j − r i ) = E s r + E l r {\displaystyle E_{\text{TOT}}=\sum _{i,j}\varphi ({\boldsymbol {r}}_{j}-{\boldsymbol {r}}_{i})=E_{\mathrm {sr} }+E_{\mathrm {lr} }}
第2項の被積分関数は、格子の周期を持つ r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} の関数であるから、フーリエ級数に展開できる。単位格子の体積を v c e l l {\displaystyle v_{\mathrm {cell} }} とおくと、次のように第2項を展開できる。
φ ( r ) = ∑ l 1 | r − l | erfc  ( G | r − l | ) + ∫ 0 G ∑ g 2 π v c e l l 1 ρ 3 exp  ( − | g | 2 / 4 ρ 2 ) exp  ( i g ⋅ r ) d ρ = ∑ l 1 | r − l | erfc  ( G | r − l | ) + 4 π v c e l l ∑ g exp  ( − | g | 2 / 4 G 2 ) | g | 2 exp  ( i g ⋅ r ) {\displaystyle {\begin{aligned}\phi ({\boldsymbol {r}})&=\sum _{\boldsymbol {l}}{\frac {1}{\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|}}\operatorname {erfc} (G\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|)+\int _{0}^{G}\sum _{\boldsymbol {g}}{\frac {2\pi }{v_{\mathrm {cell} }}}{\frac {1}{\rho ^{3}}}\exp(-|{\boldsymbol {g}}|^{2}/4\rho ^{2})\exp(i{\boldsymbol {g}}\cdot {\boldsymbol {r}})\,\mathrm {d} \rho \\&=\sum _{\boldsymbol {l}}{\frac {1}{\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|}}\operatorname {erfc} (G\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {l}}\right|)+{\frac {4\pi }{v_{\mathrm {cell} }}}\sum _{\boldsymbol {g}}{\frac {\exp(-\left|{\boldsymbol {g}}\right|^{2}/4G^{2})}{|{\boldsymbol {g}}|^{2}}}\exp(i{\boldsymbol {g}}\cdot {\boldsymbol {r}})\end{aligned}}}