双曲線関数
双曲線関数のテイラー展開あるいはローラン展開は、以下の式で与えられる。ただし、Bn, En はそれぞれベルヌーイ数 (B2 = 1/6, B4 = −1/30, ...)、オイラー数 (E0 = 1, E2 = −1, ...) である。
sinh  x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + ⋯ cosh  x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + ⋯ tanh  x = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! = x − x 3 3 + 2 x 5 15 − 17 x 7 315 + ⋯ , | x | < π 2 csch  x = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 ( 1 − 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! = 1 x − x 6 + 7 x 3 360 − 31 x 5 15120 + ⋯ , 0 < | x | < π sech  x = ∑ n = 0 ∞ E 2 n x 2 n ( 2 n ) !
双曲線関数が指数関数で表せるように、その逆関数である逆双曲線関数は対数関数を用いて表示することができる。等式 x = sinh y や x = cosh y などを考えれば、これらは e に関する二次方程式であるから解くことができて、次の表示を得る。
sinh − 1  x = log  ( x + x 2 + 1 ) cosh − 1  x = log  ( x + x 2 − 1 ) tanh − 1  x = 1 2 log  1 + x 1 − x {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{-1}x&=\log \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\cosh ^{-1}x&=\log \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\\\tanh ^{-1}x&={\frac {1}{2}}\log {\frac {1+x}{1-x}}\end{aligned}}}
逆関数 sinh, cosh などはそれぞれ area sin hyp, area cos hyp (area は「面積」の意)もしくはそれを略して ar sinh, ar cosh と書いたり、逆三角関数と同様に arcsinh, arccosh などと書いたりすることもある。