行列の基本変形
以下のような (n, n) 型行列を基本行列という。
P i , j = [ 1 ⋱ 0 1 ⋱ 1 0 ⋱ 1 ] ( 1 ≤ i ≠ j ≤ n ) {\displaystyle P_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\\\end{bmatrix}}(1\leq i\neq j\leq n)}
Q i , c = [ 1 ⋱ 1 c 1 ⋱ 1 ] ( 1 ≤ i ≤ n , c ≠ 0 ) {\displaystyle Q_{i,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&c&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\\\end{bmatrix}}(1\leq i\leq n,c\neq 0)}
[ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}}
よって、この三つの変形を単位行列に適用すれば、逆行列が求まる。
以下の六つの変形を、行列の基本変形という。
二つの列を入れ替える
(例: [ 2 3 4 5 6 7 8 1 9 ] → [ 3 2 4 6 5 7 1 8 9 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}3&2&4\\6&5&7\\1&8&9\end{bmatrix}}} )
ある列を0でない定数倍する
(例: [ 2 3 4 5 6 7 8 1 9 ] → [ 2 12 4 5 24 7 8 4 9 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}2&12&4\\5&24&7\\8&4&9\end{bmatrix}}} )
ある列に、他のある列の定数倍を加える
(例: [ 2 3 4 5 6 7 8 1 9 ] → [ 5 3 4 11 6 7 9 1 9 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}5&3&4\\11&6&7\\9&1&9\end{bmatrix}}} )
二つの行を入れ替える
(例: [ 2 3 4 5 6 7 8 1 9 ] → [ 5 6 7 2 3 4 8 1 9 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}5&6&7\\2&3&4\\8&1&9\end{bmatrix}}} )
ある行を 0 でない定数倍する
(例: [ 2 3 4 5 6 7 8 1 9 ] → [ 2 3 4 5 6 7 16 2 18 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\16&2&18\end{bmatrix}}} )
ある行に、他のある行の定数倍を加える
(例: [ 2 3 4 5 6 7 8 1 9 ] → [ 2 3 4 5 6 7 6 − 2 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\6&-2&5\end{bmatrix}}} )
行に関する変形三つをまとめて行に関する基本変形、列に関する変形三つをまとめて列に関する基本変形という。