弾性衝突
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したがって、衝突前後の質量中心の速度は以下のようになる。
v x ̄ = m 1 u 1 + m 2 u 2 m 1 + m 2 {\displaystyle v_{\bar {x}}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}
v x ̄ ′ = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 . {\displaystyle v_{\bar {x}}'={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}
v x ̄ {\displaystyle v_{\bar {x}}} と v x ̄ ′ {\displaystyle v_{\bar {x}}'} の式における分子は衝突前後の総運動量である。運動量が保存されるので v x ̄ = v x ̄ ′ {\displaystyle v_{\bar {x}}=v_{\bar {x}}'} となる。
質量中心に関しては、両方の速度が衝突により逆転する。重い粒子は質量中心に向かってゆっくりと移動し、同じゆっくりとした速度ではね返る。軽い粒子は質量中心に向かって速く移動し同じく速い速度ではね返る。
質量中心の速度は衝突により変化しない。これを確認するために衝突前の時間 t {\displaystyle t} と衝突後の時間 t ′ {\displaystyle t'} における質量中心を考える。
x ̄ ( t ) = m 1 x 1 ( t ) + m 2 x 2 ( t ) m 1 + m 2 {\displaystyle {\bar {x}}(t)={\frac {m_{1}x_{1}(t)+m_{2}x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}}}
x ̄ ( t ′ ) = m 1 x 1 ( t ′ ) + m 2 x 2 ( t ′ ) m 1 + m 2 . {\displaystyle {\bar {x}}(t')={\frac {m_{1}x_{1}(t')+m_{2}x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}}.
いわゆる速度のパラメータ s {\displaystyle s} (通常ラピディティと呼ばれる)を用いて下式を得る。
v / c = tanh  ( s ) {\displaystyle v/c=\tanh(s)}
よって、以下の式を得る。
1 − v 2 c 2 = sech  ( s ) {\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\operatorname {sech} (s)}
相対論的エネルギーと運動量は以下の式により表される。
E = m c 2 1 − v 2 c 2 = m c 2 cosh  ( s ) {\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}\cosh(s)}
p = m v 1 − v 2 c 2 = m c sinh  ( s ) {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc\sinh(s)}
衝突する質量 m 1 {\displaystyle m_{1}} と m 2 {\displaystyle m_{2}} のエネルギーと運動量の和は、それぞれの式から光速 c {\displaystyle c} を除算すると以下の式となる(速度 v 1 {\displaystyle v_{1}} , v 2 {\displaystyle v_{2}} , u 1 {\displaystyle u_{1}} , u 2 {\displaystyle u_{2}} は速度のパラメータ s 1 {\displaystyle s_{1}} , s 2 {\displaystyle s_{2}} , s 3 {\displaystyle s_{3}} , s 4 {\displaystyle s_{4}} に対応する)