ガウス積分
I ( a ) = ∫ − a a exp  ( − x 2 ) d x {\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}\exp(-x^{2})\,dx}
を考える。求めるガウス積分が絶対収斂ならば、それはコーシー主値、即ち
lim a → ∞ I ( a ) {\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)}
なる極限によって求められることになる。これを見るには、
∫ − ∞ ∞ | exp  ( − x 2 ) | d x < ∫ − ∞ − 1 − x exp  ( − x 2 ) d x + ∫ − 1 1 exp  ( − x 2 ) d x + ∫ 1 ∞ x exp  ( − x 2 ) d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\exp(-x^{2})|\,dx<\int _{-\infty }^{-1}-x\exp(-x^{2})\,dx+\int _{-1}^{1}\exp(-x^{2})\,dx+\int _{1}^{\infty }x\exp(-x^{2})\,dx<\infty }
が成り立つという事実を確かめればよい。故に I(a) の平方をとれば
I ( a ) 2 = ∫ − a a ∫ − a a exp  ( − ( x 2 + y 2 ) ) d x d y {\displaystyle I(a)^{2}=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}\exp(-(x^{2}+y^{2}))\,dx\,dy}
と書くことができて、フビニの定理により、これは xy-座標平面における面積分
ウォリス積分における公式を用いて証明することができる。
x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} で 1 − x 2 ≤ e − x 2 ≤ 1 1 + x 2 {\displaystyle 1-x^{2}\leq e^{-x^{2}}\leq {\frac {1}{1+x^{2}}}} が成り立つことを、微分法により示す
自然数 n に対して ∫ 0 π / 2 sin 2 n + 1  θ d θ < ∫ 0 ∞ e − n t 2 d t < ∫ 0 π / 2 sin 2 n − 2  θ d θ {\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}\theta \,d\theta <\int _{0}^{\infty }e^{-nt^{2}}\,dt<\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n-2}\theta \,d\theta } が成り立つことを示す
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 n ∫ 0 ∞ e − n t 2 d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2{\sqrt {n}}\int _{0}^{\infty }e^{-nt^{2}}\,dt} は n → ∞ のとき √π に収束することをウォリスの公式により示す
ガウス積分を求める標準的な方法として、以下のアイデアはポアソンまで遡れる:
平面 R 上の函数 exp{−(x + y)} = exp(−r) を考え、これを2通りの方法で計算する。
一つは直交座標系に関する二重積分として計算し、その値は求める値の平方になることを確かめる。
いま一つは極座標系に関する二重積分(いわゆるバウムクーヘン積分)として計算し、その値が π となることを確かめる。
広義積分が現れることに注意して、これら2つの計算を比較して積分の値が求まる。即ち、面積要素 dA が xy-直交座標系では dA = dx dy, rθ-極座標系では dA = r dr dθ で与えられることに注意すれば、
∫ R 2 exp  ( − ( x 2 + y 2 ) ) d A = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ( ∫ − ∞ ∞ exp  ( − t 2 ) d t ) 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{2}}\exp(-(x^{2}+y^{2}))\,dA=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\exp(-t^{2})\,dt\right)^{2},\end{aligned}}}
および