上半平面
上半平面にリー群 GL(2, R) が
( a b c d ) z := a z + b c z + d for z ∈ H {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}z:={\frac {az+b}{cz+d}}\quad {\text{ for }}z\in {\mathfrak {H}}}
によって(計量を保って)作用する。H は同じ作用で SL(2) の作用を受ける。このとき、z = i の固定部分群は
S O ( 2 , R ) = { ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) } {\displaystyle SO(2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\cos \,\theta \end{pmatrix}}\right\}}
となるので、解析同相
H ≃ S L ( 2 , R ) / S O ( 2 , R ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}\simeq SL(2,\mathbb {R} )/SO(2,\mathbb {R} )}
が成り立つ。さらに SL(2, Z) のような離散部分群(しばしば Γ で表される)の作用で H を割った空間(これも適当な仕方でリーマン面の構造を持つ)の上の微分形式は保型形式と呼ばれる数論的対象を定める。