陰函数定理
J = ( ∂ x ( r , θ ) ∂ r ∂ x ( r , θ ) ∂ θ ∂ y ( r , θ ) ∂ r ∂ y ( r , θ ) ∂ θ ) = ( cos  θ − r sin  θ sin  θ r cos  θ ) {\displaystyle J={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x(r,\theta )}{\partial r}}&{\frac {\partial x(r,\theta )}{\partial \theta }}\\[5pt]{\frac {\partial y(r,\theta )}{\partial r}}&{\frac {\partial y(r,\theta )}{\partial \theta }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}}
が det(J) ≠ 0 を満たすことが十分であった。ここに det(J) = r が成り立つから、極座標に戻すためには r ≠ 0 が十分である。ゆえに残りの r = 0 の場合に関して確かめよう。この場合、座標変換が可逆でないことを確かめることは容易である。実際、原点において θ の値は定義可能でない。