素朴集合論
ゲオルク・カントールの集合論は、実際には集合論のパラドックスと関係ないと考える者もいる(Frápolli1991を参照)。これを確実に判断するのが難しい理由の一つは、カントールがシステムの公理化を行わなかったためである。 1899年までに、カントールは自身の理論の無制限の内包によっていくつかのパラドックス、たとえばカントールのパラドックスやブラリ=フォルティのパラドックスが生じることに気づいていたが、それらが自身の理論の評価を下げるとは思っていなかった。カントールのパラドックスは、実際には上記の(誤った)仮定(任意の性質 P(x) を用いて集合を構成できること)と P(x) =「x は基数」を用いて導出できる。フレーゲは、素朴集合論の形式化された版を解釈できる理論を明示的に公理化した。バートランド・ラッセルがパラドックスを提示したときに実際に取り上げたのはこの形式理論であり、必ずしも(前述の通りパラドックスに気づいていた)カントールの理論ではなかった。もっとも、おそらく念頭に置いていただろう。
直感的には、順序対は、1つが最初の要素として、もう1つが2番目の要素として区別できるような2つの対象の集まりである。2つの順序対について、最初の要素が等しくかつ2番目の要素が等しいとき、またそのときに限って2つの順序対は等しい。
形式的には、通常は (a, b) で表される第1座標 a と第2座標 b の順序対は、集合 {{a}, {a, b}} で表される。
したがって、2つの順序対 (a, b) と (c, d) は、a = c かつ b = d のとき、またそのときに限って等しい。
あるいは、順序対は形式的に全順序を持つ集合 {a, b} と考えることができる。
(表記 (a, b) は、実数直線上の開区間を表すのにも用いられるが、文脈上どの意味が意図されているかを明らかにする必要がある。表記 ]a, b[ で開区間を、(a, b) で順序対を表すように区別することもある)。