蔵本モデル
全ての振動子がランダムに動くインコヒーレントな状態の解は ρ = 1 / ( 2 π ) {\displaystyle \rho =1/(2\pi )} に対応する。 r = 0 {\displaystyle r=0} の場合、振動子の間に全く相関は無い。 集団の振動子の位相分布が一様であれば、集団は静的に安定な状態である(けれども個々の振動子の位相は自らの固有のωに従って変化し続けている)。
Kが十分強いとき、完全に同期した解が実現する。 完全に同期した状態では、全ての振動子は、個々の位相は異なれども、共通の振動数をとる。
部分的に同期した場合の解は、 固有振動数の値が近い幾つかの振動子のみが同期し、他の振動子はばらばらに動く状態を引き起こす。 数学的には、同期した振動子は、
ρ = δ ( θ − ψ − arcsin  ( ω K r ) ) {\displaystyle \rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin \left({\frac {\omega }{Kr}}\right)\right)}
となり、ばらばらに動く振動子は、
ρ = n o r m a l i z a t i o n c o n s t a n t ( ω − K r sin  ( θ − ψ ) ) {\displaystyle \rho ={\frac {\rm {normalization\;constant}}{(\omega -Kr\sin(\theta -\psi ))}}}
となる。振動子は | ω | < K r {\displaystyle |\omega |<Kr} の場合は同期でき、そうでない場合はばらばらな動きになる。