レイノルズの輸送定理
連続の方程式は、物理量として密度ρを輸送定理に代入して導かれる。
今度は、逆の変換に伴って、積分領域を基準形状(変形なし形状)κ0 から変形形状κt に、積分変数をdV からdv に変換する。
∫ κ 0 ( D θ D t + θ d i v v ) J d V = ∫ κ t ( D θ D t + θ d i v v ) d v {\displaystyle \int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)J\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{t}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} v}
結局、元の式と比較すると次の関係が成り立つ。
D D t ∫ κ t θ ( x , t ) d v = ∫ κ t ( D θ D t + θ d i v v ) d v {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v=\int _{\kappa _{t}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} v}