乗法定理
ベルヌイ多項式に対する乗法定理はヨーゼフ・ルートヴィヒ・ラーベが1851年に与えた。
および、オイラー多項式に対して
または
となる。
ベルヌイ多項式はフルヴィッツゼータ函数の特別の場合として得られるから、これら等式もそれに関する等式から従う。
周期ゼータ函数 (periodic zeta function) は
と定義される。ここに Lis(z) はポリ対数函数である。倍数公式は
で与えられる。要するにこれはベルヌイ作用素の固有値 2 に属する固有ベクトルである。乗法定理は
と書ける。
周期ゼータ函数はフルヴィッツゼータ函数の反射公式において生じ、そのような理由から、この函数が従う関係式とフルビッツゼータの関係式は s → −s と置きかえる分だけの違いである。
ベルヌイ多項式は周期ゼータ函数の s を整数に近づける極限として得られるから、ベルヌイ多項式の乗法定理も上記の関係式から導くことができる。同様に q = log z と置けば、ポリ対数函数に対する乗法定理から導ける。
倍数公式および乗法定理はガンマ函数に対するものが原型的な例である。ガンマ函数の倍数公式は
で与えられ、アドリアン゠マリ・ルジャンドルに因んでルジャンドル倍数公式やルジャンドル関係式と呼ばれる。一般の乗法定理は、自然数 k ≥ 1 に対して
で与えられ、カール・フリードリヒ・ガウスに因んでガウスの乗法公式と呼ばれる。ガンマ函数に対するこの乗法定理は、チョウラ–セルバーグの公式の自明指標に対する特別の場合として理解することができる。