大数の法則
この節では確率変数が有限の分散 σ をもつ場合に限って、大数の弱法則の証明を与える。
確率変数列は独立同分布に従っているので、確率変数 X ̄ n {\displaystyle {\bar {X}}_{n}} の平均と分散はそれぞれ μ と σ/n になる。よってチェビシェフの不等式から
0 ≤ P ( | X ̄ n − μ | > ε ) ≤ 1 ε 2 V ( X ̄ n ) = 1 ε 2 σ 2 n → 0 ( n → ∞ ) {\displaystyle 0\leq P(\left\vert {\bar {X}}_{n}-\mu \right\vert >\varepsilon )\leq {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}V({\bar {X}}_{n})={\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\to 0\quad (n\to \infty )}
となり、定理の主張が得られる。