弾性曲線方程式
「ベルヌーイ・オイラーの仮定」節と同様の条件で、部材軸と同じ方向の応力 σ z z {\displaystyle \sigma _{zz}} を考えると、そのオーダー(大きさ)は、
σ z z = O ( p b ) {\displaystyle \sigma _{zz}=O\left({\frac {p}{b}}\right)}
となる。
ゆえに、同様の議論から、部材軸に垂直方向の変形は、軸方向の圧縮引張変形に比べて非常に小さくなる。 これより、「変形後も断面形状は変化しない」と考えられ、これを断面形状不変の仮定(だんめんけいじょうふへんのかてい)と言う。
長さ l {\displaystyle l} 、1辺の長さが b {\displaystyle b} の正方断面はり部材に分布荷重 p {\displaystyle p} が作用しているとき、垂直断面にかかる垂直応力 σ x x {\displaystyle \sigma _{xx}} およびせん断応力 σ x z {\displaystyle \sigma _{xz}} のオーダー(大きさ)は、
σ x x = O ( p l 2 b 3 ) , {\displaystyle \sigma _{xx}=O\left({\frac {pl^{2}}{b^{3}}}\right),}
σ x z = O ( p l b 2 ) {\displaystyle \sigma _{xz}=O\left({\frac {pl}{b^{2}}}\right)}
となる。 はり部材は、高さに比べて長さが十分に長いと考えられるので、また、せん断弾性係数と弾性係数は同程度のオーダー(大きさ)であるので、結局、軸方向の圧縮引張変形に対して、せん断変形が非常に小さくなる。
よって、はり部材においては、「せん断変形はゼロ」と考えてよく、せん断変形がゼロであるなら「垂直断面は、変形後も部材軸に対して垂直」と考えても問題がない。これが、ベルヌーイ・オイラーの仮定(ベルヌーイオイラーのかてい、英語: Bernoulli-Euler theory)あるいは平面・直角保持の仮定(へいめんちょっかくほじのかてい)である。
弾性曲線方程式の誘導には、まず、はりの変形に対して
変形後も、部材軸に直角な断面は直角なままである(ベルヌーイ・オイラーの仮定もしくは平面直角保持の仮定、あるいはベルヌーイ・ナビエの仮説)。
変形後も、断面の形状は変化しない(断面形状不変の仮定)。
変形は微小である(微小変位理論)。
というような状態を仮定する(その妥当性に関しては後述)。