カラテオドリの存在定理
により定義されるヘビサイド関数とする。この時、微分方程式の解は、ランプ関数
y ( t ) = ∫ 0 t H ( s ) d s = { 0 , if t ≤ 0 ; t , if t > 0 {\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}H(s)\,\mathrm {d} s={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\leq 0;\\t,&{\text{if }}t>0\end{cases}}}
となる。しかし、この関数は t = 0 {\displaystyle t=0} で微分可能でないため、厳密にいえば微分方程式を満たさない。このような例は、至るところで微分可能ではないような解に対しても、微分方程式の解としての概念を拡張する必要性を示唆し、結果として次のような定義が考えられるきっかけとなった。
もし関数 y が絶対連続であり、ほとんど至るところで微分方程式 y ′ = f ( t , y ) {\displaystyle y'=f(t,y)} を満たし、また初期条件 y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y(t_{0})=y_{0}} を満たすなら、y はそのような微分方程式の拡張された意味での解 と呼ばれる。 関数 y の絶対連続性は、その微分がほとんど至るところで存在することを意味する。