ラピディティ
ラピディティ φ はローレンツブーストの行列積による表式
( c t ′ x ′ ) = ( cosh  φ sinh  φ sinh  φ cosh  φ ) ( c t x ) = Λ ( φ ) ( c t x ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}={\boldsymbol {\Lambda }}(\varphi ){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}}
に現われる。行列 Λ(φ) は ( p q q p ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}} のような対称行列で、かつ p と q が p − q = 1 を満たすような行列であり、したがって点 (p, q) は単位双曲線の上に乗り、双曲線関数で表現することができる。このような行列全体は、単位反対角行列によって張られるリー代数を持つ不定値直交群 O(1,1)(英語版)を成す。この作用は時空図上に表現することができる。行列指数関数の記法を用いると、 Λ(φ) = e のように表わすことができる。ここで、 Z は単位反対角行列
Z = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {Z}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}