ロピタルの定理
このとき x > b {\displaystyle x>b} とするとコーシーの平均値の定理から a < y < x {\displaystyle a<y<x} なるある y が存在して
f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) = f ′ ( y ) g ′ ( y ) {\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}={\frac {f'(y)}{g'(y)}}}
が成り立つから
| f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) − L | < ε / 3 {\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}-L\right|<\varepsilon /3}
となる。よって x > b {\displaystyle x>b} において