円周率が22/7より小さいことの証明
π のより良い上限としてよく知られた 355/113 は、
0 < ∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 ( 25 + 816 x 2 ) 3164 ( 1 + x 2 ) d x = 355 113 − π {\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}(25+816x^{2})}{3164(1+x^{2})}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi }
として与えられる。この値は十進小数で表すと
355 113 = 3.141 592 92 ⋯ {\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.141\,592\,92\cdots }
であり、小数点以下6桁まで π と一致する。被積分関数の分母に x = 1 を代入すると、積分値の下限
∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 ( 25 + 816 x 2 ) 6328 d x = 911 5 261 111 856 = 0.