有界
実数からなる開区間 (a, b) や閉区間 [a, b] は(通常の実数の大小関係に関する)順序集合としても(通常のユークリッド距離に関する)距離空間としても有界である。
実数からなる集合(実数全体の成す集合 R の部分集合)が有界ならば、それを含む有界区間が存在する。
一般に、R に大小関係の直積順序と通常のユークリッド距離を入れて考えるとき、R の部分集合 S がこの順序に関して有界となることとこの距離に関して有界となることとは等価である。
実数全体 R は有界ではない(アルキメデス性)。
R の空でない有界集合は上限(最小上界)と下限(最大下界)を持つ。
ユークリッド空間 R の有界集合は全有界である。とくにR の有界集合はそれが閉集合ならばコンパクトである。一般に完備距離空間の全有界部分集合はコンパクトになる。