環 (数学)
つまり、主イデアル整域は可除性に関して整数環と同様に振舞うのである。例えば、任意の PID は UFD である、すなわち算術の基本定理の対応物が任意の PID で成立する。さらに言えば、ネーター環というのは任意のイデアルが有限生成となる環のことだから、主イデアル整域は明らかにネーター環である。PID においては既約元の概念と素元の概念が一致するという事実と、任意の PID がネーター環であるという事実とを合わせると、任意の PID が UFD となることが示せる。PID においては、任意の二元の最大公約元について延べることができる。すなわち、x, y が主イデアル整域 R の元であるとき、xR + yR = cR(左辺は再びイデアルとなるから、それを生成する元 c がある)とすれば、この c が x と y の GCD である。
体と PID との間にある重要な環のクラスとして、ユークリッド整域がある。特に、任意の体はユークリッド整域であり、任意のユークリッド整域は PID である。ユークリッド整域のイデアルは、そのイデアルに属する次数最小の元で生成される。しかし、任意の PID がユークリッド整域となるわけではない。よく用いられる反例として
が挙げられる。
係数をある環 R に持つ多変数の多項式全体の集合 R[x1, x2, ..., xn] は環をなす。
A を環、n を自然数とするとき、A に係数を持つ n 次の正方行列全体の集合 MnAは(一般には非可換な)環をなす。
G がアーベル群であるとき、G の自己準同型全体のなす集合 End(G) は、加法を値ごとの和で、乗法を写像の合成によって定義することで(一般には非可換な)環をなす。
S を集合とするとき、S の冪集合 P(S) は次のようにして環になる (A, B ⊂ S): A + B = ( A ∪ B ) − ( A ∩ B ) {\displaystyle A+B=(A\cup B)-(A\cap B)} A ∗ B = A ∩ B {\displaystyle A*B=A\cap B}
これはブール代数の例である。
Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: Dover, 2000
Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, Interscience Publishers, pp. xiii+234, MR0155856, ISBN 978-0-88275-228-0 (1975 reprint)
Pierce, Richard S., Associative algebras. Graduate Texts in Mathematics, 88. Studies in the History of Modern Science, 9. Springer-Verlag, New York–Berlin, 1982. xii+436 pp. ISBN 0-387-90693-2
Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, 28, 29, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0387900896
結合的多元環は環であり、体 K 上のベクトル空間でもある。例えば、実数体 R 上の n次行列全体の成す集合は、実数倍と行列の加法に関して n次元の実ベクトル空間であり、行列の乗法を環の乗法として持つ。二次の実正方行列を考えるのが非自明だが基本的な例である。