ハウスドルフのパラドックス
回転 (G) を3つの集合A, B, Cに分割することができる。
Aが単位元1を持つ。
ρ {\displaystyle \rho } がAに属するとき、 φ ρ {\displaystyle \varphi \rho } はA + Bに属する。
ρ {\displaystyle \rho } がAに属するとき、 ψ ρ , ψ 2 ρ {\displaystyle \psi \rho ,\psi ^{2}\rho } はそれぞれB, Cに属する。
1と異なるGの要素のKでの固定点をQとする。Qは可算集合である。P = K - Qと置く。xの軌道を P x {\displaystyle P_{x}} とすると、 P x = P y {\displaystyle P_{x}=P_{y}} か、 P x ∩ P y = ∅ {\displaystyle P_{x}\cap P_{y}=\emptyset } のいずれか1つが成り立つ。 そして G = ⋃ x ∈ M P x {\displaystyle G=\bigcup _{x\in M}P_{x}} である.
選択公理により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これをMとする。
このとき