タクシー数
N = m d 1 3 d 2 3 ⋯ d k 3 {\displaystyle N=md_{1}^{3}d_{2}^{3}\cdots d_{k}^{3}} ととれば s ( N ) ≥ k {\displaystyle s(N)\geq k} が成り立つ。m = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから s(N) がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta(n) は確かに存在する。
一般に F が3次形式で
F ( x , y ) = m 0 {\displaystyle F(x,y)=m_{0}}
が階数 r の楕円曲線を与えているとき、
F ( x , y ) = m , m = m 0 d 3 {\displaystyle F(x,y)=m,m=m_{0}d^{3}}
の解の個数が > c(log m) となる m が無数に存在する(c> 0 は F と m0 のみに依存し d には依存しない)。
x 3 + y 3 = 657 {\displaystyle x^{3}+y^{3}=657}
は階数3を持つことが知られている(実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる)。よって
s ( N ) > c log 3 / 5  N {\displaystyle s(N)>c\log ^{3/5}N}
となる N が無数に存在する。したがって
Ta ( n ) < exp  ( c n 5 / 3 ) {\displaystyle {\text{Ta}}(n)<\exp(cn^{5/3})}
が無数の n に対して成り立つ。
X 3 + Y 3 = Z 3 ± 1 {\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}\pm 1}
の無限個の整数解を得る(オイラーとは別の)方法が述べられている。
ラマヌジャンやハーディー・ライトがタクシー数の解法を示して以降は、コンピュータによる発見が常となった。ジョン・リーチ(英語版)は1957年にTa(3)を発見した。1991年にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは1994年にTa(5)を発見し、1999年にデービッド・W・ウィルソンによって確認された。Ta(6)はウーヴェ・ホラーバッハによって2008年3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが、これは2003年に Claude et al. によって99%の確率でTa(6)であろうとされていたものだった。2006年にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた。2008年にはクリスチャン・ボワイエとJaroslaw WroblewskiによってTa(11)からTa(22)までの上限が更新された。
より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり1以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 T が T = x+yと書かれるとき、全ての組 (x, y) に対して x, y は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。