ディリクレ級数
一般の級数のときと同じく、
∑ n = 1 ∞ | a n | n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|a_{n}|}{n^{s}}}}
が収束するとき、ディリクレ級数
∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
は絶対収束するという。
例えば、ベキ級数のとき、収束円周上の点を除いて、収束すればその点で絶対収束するが、 ディリクレ級数の場合、収束しても絶対収束するとは限らない。以下のことが成り立つからである。
収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} が有限の値であるディリクレ級数
∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
に対して、
∑ n = 1 ∞ | a n | n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|a_{n}|}{n^{s}}}}