ヒルベルトの第12問題
そこで,ヒルベルトの第12番目の問題は、指数函数を一般化したような解析関数を考えて、その特殊値により一般的な代数体 K の最大アーベル拡大 K を生成できるかどうかを問う問題であると解釈できる。Kが虚二次体 Q(τ) の場合には虚数乗法論によりその最大アーベル拡大はモジュラ函数 j(τ) と楕円函数 ℘(τ, z) の特殊値(対応する楕円曲線の等分点における値)と 1のべき根を全てつけ加えることで得られる。これがKが虚二次体の場合に対するヒルベルトの問題への解答である。さらに虚二次体の高次元化ともいえるCM体に対する結果が志村五郎により得られた。
ヒルベルトの第12問題の元々の設定は少し不正確な点がある(というか、ヒルベルトが正確にはどのような意図を述べたのかはわからない)ので、それについて注意する。問題の主張は「虚二次体のアーベル拡大は楕円(モジュラ)函数の特殊値により生成される」であるように思われる。まず実際には アーベル拡大を生成するには1のべき根を使うことも必要となる(ヒルベルトは暗にそのつもりで言ったかもしれない)。