直交群
用語「直交群」は上の定義を一般化して、体上のベクトル空間における非退化な対称双線型形式や二次形式を保つような、可逆な線形作用素全体からなる群を表すことがある。特に、体 F 上の n 次元ベクトル空間 F 上の双線型形式がドット積で与えられ、二次形式が二乗の和で与えられるとき、これに対応する直交群 O(n, F) は、群の元が F 成分 n × n 直交行列で群の積を行列の積で定めるものである。これは一般線形群 GL(n, F ) の部分群であって、以下の形で与えられる。
O ( n , F ) = { Q ∈ G L ( n , F ) ∣ Q T Q = Q Q T = I } . {\displaystyle \mathrm {O} (n,F)=\{Q\in \mathrm {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\}.}
ここで Q は Q の転置であり、 I は単位行列である。
| O ( 2 n + 1 , q ) | = 2 q n ∏ i = 0 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) . {\displaystyle |\mathrm {O} (2n+1,q)|=2q^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}
−1 が Fqにおいて平方ならば
| O ( 2 n , q ) | = 2 ( q n − 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) . {\displaystyle |\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}
−1 が Fqにおいて平方でないならば
| O ( 2 n , q ) | = 2 ( q n + ( − 1 ) n + 1 ) ∏ i = 1 n − 1 ( q 2 n − q 2 i ) . {\displaystyle |\mathrm {O} (2n,q)|=2(q^{n}+(-1)^{n+1})\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i}).}