軌道 (力学)
閉じた軌道の場合には物体の速度は常に各位置での脱出速度より小さい。
自由落下する物体の軌跡は常に円錐曲線になる。
開いた軌道の形は双曲線(物体の速度が脱出速度にちょうど等しい場合には放物線)である。この場合、二つの物体は互いにしばらく接近し、最接近の前後で互いの周りを大きく回り込んで再び離れ、二度と帰ってこない。太陽に対して十分に大きな力学的エネルギーを持つ彗星がたまたま太陽に接近するような場合にはこのような軌道をとる。
閉じた軌道の形は楕円(速度がある特定の値をとる場合には円)である。地球の周りを軌道運動する物体が地球に最も近づく点を近地点 (perigee) と呼ぶ。地球以外の天体の周りを公転する一般の場合には近点 (periapsis / apofocus / apocentron) と呼ぶ。これに対して地球から最も遠ざかる点を遠地点 (apogee) または一般に遠点 (apoapsis / apofocus / apocentron) と呼ぶ。近点から遠点に引いた直線を line-of-apsides と呼ぶ。これは楕円軌道の長軸であり、軌道の差し渡しが最も長い位置になる。
閉じた軌道を持つ物体は一定の周期で軌道上を運動し続ける。この運動はケプラーの法則によって経験的に記述され、数学的にはニュートンの法則から導かれるものである。これらの法則は以下のように定式化される。
太陽の周りを公転する惑星の軌道は楕円であり、その楕円の焦点の1つに太陽が位置する。従って軌道は軌道面と呼ばれる平面上にある。
万有引力定数 G は以下の通りである。
6.6742 × 10 N·m/kg
6.6742 × 10 m/(kg·s)
6.6742 × 10(kg/m)s.
よってこの定数は (密度) × (時間) の次元を持つ。このことから次の性質を持つ。
軌道運動をする天体について、距離のスケールを変更しても時間のスケールは変化しない(天体の密度を変えずに大きさを変える場合も含む)。例えば距離を半分にすると、質量は 1/8、重力は 1/16 になるため、重力加速度は 1/2 になる。従って軌道周期は元の場合と同じままである。同様に、物体を塔から落下させる場合、物体が地面に達するまでの時間は地球と塔の縮尺をどのようにとっても同じになる。
また、全ての天体の密度を4倍にすると、軌道の形は同じだが軌道運動の速度は2倍になる。
全ての天体の密度を4倍にして長さのスケールを半分にすると、軌道の形は同じで軌道速度も元と同じになる。
ある物体が半径 r で平均密度 σ の球形の物体の周囲を軌道長半径 a、公転周期 T の楕円軌道を描いて回る時、上記の性質は以下の式に表される。
G T 2 σ = 3 π ( a r ) 3 , {\displaystyle GT^{2}\sigma =3\pi \left({\frac {a}{r}}\right)^{3},}