双線型形式
例えば、有理整数環 Z 上の双線型形式 B(x, y) = 2xy は非退化だがユニモジュラーでない(実際、誘導される Z → Z* = Z は 2-倍写像だから同型でない)。
V が有限次元の場合は、V と二重双対 V** とを同一視できる。このとき、B2 は線型写像 B1 の転置写像となることが示せる(V が無限次元の場合には、B2 は B1 の転置写像を V** における V の像に制限したものと一致する)。与えられた双線型形式 B に対し、B の転置とは
B*(v, w) = B(w, v)
で定義される双線型形式を言う。
双線型形式 B の左根基および右根基とは、それぞれ B1 および B2 の核、すなわちそれぞれ左および右の引数の空間全体と直交するベクトル全てからなる部分空間を言う。
V が有限次元ならば、B1 の階数は B2 の階数に等しい。この階数が dim(V) に等しいならば B1, B2 はともに V から V* への線型同型であり、したがって B は非退化である。階数・退化次数の定理により、これは左根基が(あるいは同じことだが右根基が)自明であるという条件と同値である。実際、有限次元の場合には、しばしばこれを非退化の定義として採用する:
ベクトル空間 V 上の任意の双線型形式 B に対し、カリー化により、V から双対空間 V* への線型写像の対 B1, B2: V → V* が
B 1 ( v ) = B ( v , ∙ ) : V → F ; w ↦ B 1 ( v ) ( w ) = B ( v , w ) {\displaystyle B_{1}(\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\bullet )\colon V\to F;\;\mathbf {w} \mapsto B_{1}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}
B 2 ( w ) = B ( ∙ , w ) : V → F ; v ↦ B 2 ( w ) ( v ) = B ( v , w ) {\displaystyle B_{2}(\mathbf {w} )=B(\bullet ,\mathbf {w} )\colon V\to F;\;\mathbf {v} \mapsto B_{2}(\mathbf {w} )(\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}
として誘導される。