ムーア・ペンローズ逆行列
ブロック構造化された行列の擬似逆行列を計算するための最適化されたアプローチ(英語版)が存在する。
A + {\displaystyle A^{+}} はすべての行列 A に対して存在するが、 A がフルランク(すなわち、 A のランクが min { m , n } {\displaystyle \min\{m,n\}} である)であるならば、 A + {\displaystyle A^{+}} は単純な代数式として表される。
A の列ベクトルが線型独立である(したがって行列 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} は可逆である)ならば、 A + {\displaystyle A^{+}} は次のように計算できる。
このような擬似逆行列は左逆行列となる。この場合、 A + A = I n {\displaystyle A^{+}A=I_{n}} となる。 A の行ベクトルが線型独立である(行列 A A ∗ {\displaystyle AA^{*}} が可逆である)ならば、 A + {\displaystyle A^{+}} は次のように計算できる。
これは右逆行列となり、 A A + = I m {\displaystyle AA^{+}=I_{m}} となる。
擬似逆行列は以下の極限を持つ。
(チコノフ正則化を参照)。 ( A A ∗ ) − 1 {\displaystyle (AA^{*})^{-1}} や ( A ∗ A ) − 1 {\displaystyle (A^{*}A)^{-1}} が存在しない場合にも、これらの極限は存在する。