Montgomery curve
楕円曲線はワイエルシュトラス形式で記述できる。特に、モンゴメリ形式の楕円曲線
M A , B {\displaystyle M_{A,B}} : B y 2 = x 3 + A x 2 + x {\displaystyle By^{2}=x^{3}+Ax^{2}+x}
は、次の方法で変換できる; M A , B {\displaystyle M_{A,B}} の方程式の各項を B 3 {\displaystyle B^{3}} で除算し、変数xとyをそれぞれ u = x B {\displaystyle u={\frac {x}{B}}} と v = y B {\displaystyle v={\frac {y}{B}}} に置き換える。これにより、方程式
v 2 = u 3 + A B u 2 + 1 B 2 u {\displaystyle v^{2}=u^{3}+{\frac {A}{B}}u^{2}+{\frac {1}{B^{2}}}u}
が得られる。ここから短いワイエルシュトラス形式を取得するには、uを変数 t − A 3 B {\displaystyle t-{\frac {A}{3B}}} に置き換えるだけで十分で、
v 2 = ( t − A 3 B ) 3 + A B ( t − A 3 B ) 2 + 1 B 2 ( t − A 3 B ) ; {\displaystyle v^{2}=\left(t-{\frac {A}{3B}}\right)^{3}+{\frac {A}{B}}\left(t-{\frac {A}{3B}}\right)^{2}+{\frac {1}{B^{2}}}\left(t-{\frac {A}{3B}}\right);}
モンゴメリ曲線 M A , B {\displaystyle M_{A,B}} 上の与えられた2つの点 P 1 = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1})} と P 2 = ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2})} に対して、点 P 3 = P 1 + P 2 {\displaystyle P_{3}=P_{1}+P_{2}} は、幾何学的には、 P 1 {\displaystyle P_{1}} と P 2 {\displaystyle P_{2}} を通る直線と曲線 M A , B {\displaystyle M_{A,B}} の3番目の交点によって決定される。 P 3 {\displaystyle P_{3}} の座標 ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3})} は次のように計算できる。
1)アフィン平面における直線は一般に y = l x + m {\displaystyle ~y=lx+m} で表せるが、 P 1 {\displaystyle P_{1}} と P 2 {\displaystyle P_{2}} を通るという条件から、 l = y 2 − y 1 x 2 − x 1 {\displaystyle l={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}} と m = y 1 − ( y 2 − y 1 x 2 − x 1 ) x 1 {\displaystyle m=y_{1}-\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\right)x_{1}} となる。