ルジャンドル多項式
に従うが、これらから得られる等式
( 2 n + 1 ) P n ( x ) = d d x [ P n + 1 ( x ) − P n − 1 ( x ) ] {\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right]}
ルジャンドル多項式の積分に有効である。これを繰り返し用いて
d d x P n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 ) P n ( x ) + ( 2 ( n − 2 ) + 1 ) P n − 2 ( x ) + ( 2 ( n − 4 ) + 1 ) P n − 4 ( x ) + ⋯ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+(2(n-2)+1)P_{n-2}(x)+(2(n-4)+1)P_{n-4}(x)+\dotsb }
あるいは同じことだが、
d d x P n + 1 ( x ) = 2 P n ( x ) ‖ P n ( x ) ‖ 2 + 2 P n − 2 ( x ) ‖ P n − 2 ( x ) ‖ 2 + ⋯ {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P_{n+1}(x)={2P_{n}(x) \over \|P_{n}(x)\|^{2}}+{2P_{n-2}(x) \over \|P_{n-2}(x)\|^{2}}+\dotsb }