多重積分
数学の微分積分学周辺分野における重積分(じゅうせきぶん、英: multiple integral; 多重積分)は、一変数の実函数に対する定積分を多変数函数に対して拡張したものである。n-変数函数の重積分は n-重積分とも呼ばれ、二変数および三変数函数に対する重積分は、それぞれ特に二重積分 (double integral) および三重積分 (triple integral) と呼ばれる。
適当な条件下においては、重積分は累次積分に等しく、帰納的に一次元の積分の繰り返しに帰着することができる。すなわち、
∫ D N f ( x 1 , ... , x N ) d x 1 ⋯ d x N = ∫ D N − 1 d x 1 ⋯ d x N − 1 ∫ D 1 f ( x 1 , ... , x N ) d x N {\displaystyle \int _{D^{N}}f(x_{1},\ldots ,x_{N})dx_{1}\cdots dx_{N}=\int _{D^{N-1}}dx_{1}\cdots dx_{N-1}\int _{D^{1}}f(x_{1},\ldots ,x_{N})dx_{N}}
を帰納的に用いて計算ができる(右辺は、まず xN に関して f を積分したものを、さらに残りの変数に関して積分することを表す)。ただし、積分領域の右肩の添字はその領域の次元を示すもので、D = D × N であるものとする。
フビニの定理によれば、f の重積分が絶対可積分であるとき、すなわち
∫ A × B | f ( x , y ) | d ( x , y ) < ∞ {\displaystyle \int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty }
が成立するとき、