自然演繹
ここまでの説明は、命題の性質に重きを置いており、「証明」の形式的定義をしていなかった。証明を形式的に記述するには、仮説的導出の記法を若干変える必要がある。前件に(変項の無限可算集合 V から)「証明変項; proof variables」によるラベルを付け、後件を実際の証明で装飾する。前件あるいは仮説はターンスタイル(⊢)を挟んで、後件の前に記される。このような変形を「局所化仮説; localized hypotheses」と呼ぶこともある。以上の変更を図にまとめると次のようになる。
詳細が不要な場合、仮説群をまとめて Γ と記す。証明を正確にするには、証明不能な判断 "A true" ではなく、"π is a proof of (A true)"(πは A true の証明である)という判断を扱う。これを記号的に "π : A true" と記する。標準的手法では、証明は判断 "π proof" に構成規則を適用することで示される。最も単純な証明として、ラベル付き仮説を使ったものがある。