アフィン結合
特に、ベクトル空間 V を任意のアフィン空間に付随するベクトル空間として考えるとき(例えば、原点を忘れることにより V 自身を V の付随するベクトル空間とするアフィン空間と見做すことができる)、そのアフィン部分空間 A は適当な点 p0 ∈ V と線型部分空間 U ⊂ V を用いて A = p0 + U の形に書くことができることを思い出そう。このとき A の任意の点 p は p − p0 ∈ U を満たすから、適当な A の点 p1, ..., pn を選んでベクトルp1 − p0, ..., pn − p0 が U の基底となるようにすることができて、
p − p 0 = μ 1 ( p 1 − p 0 ) + ⋯ + μ n ( p n − p 0 ) {\displaystyle p-p_{0}=\mu _{1}(p_{1}-p_{0})+\cdots +\mu _{n}(p_{n}-p_{0})}
と書ける。ここで、λ0 := 1 − ∑ni=1 μi, λi := μi (i = 1, ..., n) と置けば
p = λ 0 p 0 + λ 1 p 1 + ⋯ + λ n p n ( ∑ i = 0 n λ n = 1 ) , {\displaystyle p=\lambda _{0}p_{0}+\lambda _{1}p_{1}+\cdots +\lambda _{n}p_{n}\qquad \left(\sum _{i=0}^{n}\lambda _{n}=1\right),}