モース-ケリー集合論
{\displaystyle {\begin{array}{l}\forall C[\lnot MC\leftrightarrow \exists F(\forall x[Mx\rightarrow \exists s(s\in C\land \langle x,s\rangle \in F)]\land \\\qquad \forall x\forall y\forall s[(\langle x,s\rangle \in F\land \langle y,s\rangle \in F)\rightarrow x=y])].\end{array}}}
この公理の形式的なバージョンは置換公理と類似し、クラス関数 F で具体的に表現する。次の節では、サイズ制限公理が選択公理の通常の形よりどの程度強いかを論じる。
冪集合: p を、要素が集合 a の可能なすべての部分集合であるようなクラスとする。すると p は集合である。
∀ a ∀ p [ ( M a ∧ ∀ x [ x ∈ p ↔ ∀ y ( y ∈ x → y ∈ a ) ] ) → M p ] . {\displaystyle \forall a\,\forall p\,[(Ma\land \forall x\,[x\in p\leftrightarrow \forall y\,(y\in x\rightarrow y\in a)])\rightarrow Mp].}
和集合: s = ⋃ a {\displaystyle s=\bigcup a} を集合 a の和クラス(a の要素すべての和集合)とする。すると s は集合である。
∀ a ∀ s [ ( M a ∧ ∀ x [ x ∈ s ↔ ∃ y ( x ∈ y ∧ y ∈ a ) ] ) → M s ] .