剰余環
もっとも極端な剰余環の例は、環 R の極端なイデアル(つまり、{0} および R 自身)で割ることで得られる。剰余環 R/{0} は R に自然同型であり、剰余環 R/R は自明な環 {0} に自然同型である。これは、簡単に言うと「より小さなイデアル I で割ったほうが剰余環 R/I はより大きくなる」という一般的な法則に、適合している。I が R の真のイデアル(つまり I ≠ R)ならば R/I が自明な環になることはない。
整数全体の成す環 Z と偶数全体の成すイデアル 2Z を考えれば、剰余環 Z/2Z は偶数全体と奇数全体というただ二つの元からなる。これは二元体 F2 に自然同型である(なんとなれば、偶数全体を 0, 奇数全体を 1 と考えればよい)。合同算術とは本質的に剰余環 Z/nZ における算術のことである。
実数に係数を持つ、不定元 X に関する多項式全体の成す環 R[X] と、そのイデアル I = (X + 1) を考える(I は多項式 X + 1 の倍元の全体が成すイデアル)。剰余環 R[X]/(X + 1) は複素数体 C に自然同型である。特に剰余類 [X] が虚数単位 i の役割を果たす。