アルティン相互法則
p と l を異なる奇素数とし、l* = (−1)l (いつも 1 (mod 4) である) とする。二次相互法則とは
( l ∗ p ) = ( p l ) {\displaystyle \left({\frac {\ell ^{\ast }}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right)}
なる関係のこと。二次相互法則とアルティン相互法則の関係は、次のように、二次体 F = Q ( l ∗ ) {\displaystyle \scriptstyle F=\mathbf {Q} ({\sqrt {\ell ^{\ast }}})} と円分体 L = Q ( ζ l ) {\displaystyle \scriptstyle L=\mathbf {Q} (\zeta _{\ell })} を研究することで得られる。この F は L の部分体である。H = Gal(L/F) および G = Gal(L/Q) とすると、Gal(F/Q) = G/H である。