多項式
同じ不定元を持つ二つの多項式 f, g について、それらの和 f + g および積 fg とは、それぞれ、形式的な和や積を、加法・乗法の交換法則および分配法則が成り立つものとして整理して得られる多項式のことである。1変数の場合について式で表すと次のようになる。不定元を x として、 f = ∑ k = 0 m a k x k {\textstyle f=\sum _{k=0}^{m}a_{k}x^{k}} および g = ∑ k = 0 n b k x k {\textstyle g=\sum _{k=0}^{n}b_{k}x^{k}} とおく。さらに、am + 1 = am + 2 = ... = 0, bn + 1 = bn + 2 = ... = 0 と定めておく。そのとき、和は
f + g = ∑ k = 0 max ( m , n ) ( a k + b k ) x k {\displaystyle f+g=\sum _{k=0}^{\max(m,n)}(a_{k}+b_{k})x^{k}}
となり、積は
f g = ∑ k = 0 m + n ( ∑ i = 0 k a i b k − i ) x k {\displaystyle fg=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)x^{k}}
数学において、多項式(たこうしき、英: polynomial)とは、数と不定元(変数とも呼ばれる)をもとにして、和と積によってつくられる式のことである。たとえば、3x − 7x + 2x − 23 は x を不定元とする多項式である。多項式は不定元を複数もつ場合もある。
本記事では多項式とその基本的な演算について述べ、関連して代数方程式、因数分解、多項式関数といった事項に触れる。関連事項についての詳細は個別記事に譲る。なお、一部の記述は1変数多項式(不定元を1個だけもつ多項式)に特有の内容である。
代数方程式とは多項式によって表される方程式であり、これは特に1変数の場合には因数分解と密接に関係している。また、代数方程式は数学における最古の問題のひとつで、その解法の追究は複素数や群といった概念の発見をもたらした。
多項式関数とは多項式によって与えられる関数のことである。多項式は数学や他の科学にさまざまな形で現れるが、その背景には、複雑な関数の特徴をとらえる際に多項式関数による近似が頻繁に用いられることがあるといえるだろう。