柱体
三次元空間内に平面 P と、P 上に自己交差を持たない閉曲線(単純閉曲線)C が与えられているとする。さらに C 上の点を通り、P に平行でない直線 l を一つ選ぶ。
C 上の点を通り、l に平行であるような空間直線の全体が描く軌跡、あるいはそれを互いに平行な二つの平面 π1, π2(ただし l とは平行でない)とで囲んでできる有界な立体図形を柱体と呼ぶ(以下「柱体」は後者の意味で用いる)。
このとき、平面 π1 と平面 π2 との距離 h をこの柱体の高さという。また、柱体とこの二つの平面のそれぞれとの共通部分をこの柱体の底面、そうでない面を側面という。定義から明らかだが柱体の底面の数は 2 つで、互いに平行である。
さらに、底面と側面とが直交している柱体を直柱(あるいは直柱体)、そうでない柱体を斜柱(斜柱体)といって区別することがある。後述するように斜柱は適当な座標変換で直柱に変換することができる。
柱体の表面は、適当に直交変換することによって、次のように媒介変数表示することができる。
{ X = F x ( θ ) , Y = F y ( θ ) , Z = t . {\displaystyle {\begin{cases}X=F_{x}(\theta ),\\Y=F_{y}(\theta ),\\Z=t.\end{cases}}}
またこのとき、この柱体の平面 Z = 0 への正射影は閉曲線
C : { X = F x ( θ ) , Y = F y ( θ ) , Z = 0. {\displaystyle C\colon {\begin{cases}X=F_{x}(\theta ),\\Y=F_{y}(\theta ),\\Z=0.\end{cases}}}
を描く。逆にこのような形で曲線 C が与えられたなら、C の式において Z 座標の値を限定しなければ柱体を描くことがわかる。