極集合
双対組 ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} に対し、 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} は Y {\displaystyle Y} 上の弱*位相(英語版)の下で Y {\displaystyle Y} において閉である。
ある集合 A {\displaystyle A} の双極 A ∘ ∘ {\displaystyle A^{\circ \circ }} は、 A {\displaystyle A} の絶対凸包絡集合である。すなわち、 A {\displaystyle A} を含む最小の絶対凸集合である。 A {\displaystyle A} がすでに絶対凸であるなら、 A ∘ ∘ = A {\displaystyle A^{\circ \circ }=A} が成り立つ。
X {\displaystyle X} 内の閉凸錐 C {\displaystyle C} に対し、極錐 は C {\displaystyle C} に対する片側極集合と同値で、次で与えられる。
C ∘ = { y ∈ Y : sup { ⟨ x , y ⟩ : x ∈ C } ≤ 1 } {\displaystyle C^{\circ }=\{y\in Y:\sup\{\langle x,y\rangle :x\in C\}\leq 1\}} .