フレドホルム作用素
e n : e i t ∈ T ↦ e i n t , n ≥ 0 {\displaystyle e_{n}\colon e^{it}\in \mathbb {T} \mapsto e^{int},\quad n\geq 0\,}
に関するシフト作用素は、関数 φ = e1 を掛ける乗算作用素 Mφ である。より一般的に、φ を T 上定義された、T 上で消えない(0 にならない)複素連続関数とし Tφ を記号 φ に関するテープリッツ作用素(英語版)とすれば、Tφ は L(T) から H(T) への正射影 P の導く φ の乗算作用素
T φ : f ∈ H 2 ( T ) ↦ P ( f φ ) ∈ H 2 ( T ) {\displaystyle T_{\varphi }\colon f\in H^{2}(\mathbb {T} )\mapsto P(f\varphi )\in H^{2}(\mathbb {T} )}
に等しい。このとき Tφ は H(T) 上のフレドホルム作用素で、その指数は閉道 t ∈ [0, 2 π] → φ(e) に関する 0 のまわりでの巻き数に -1 をかけたものとなる。
↑ Yuri A. Abramovich and Charalambos D. Aliprantis, "An Invitation to Operator Theory", p.156
↑ T. Kato, "Perturbation theory for the nullity deficiency and other quantities of linear operators", J. d'Analyse Math. 6 (1958), 273–322.
↑ Berkani Mohammed: On a class of quasi-Fredholm operators INTEGRAL EQUATIONS AND OPERATOR THEORY Volume 34, Number 2 (1999), 244-249
アティヤ=シンガーの指数定理は多様体上のある種の作用素の指数の、位相的な特徴づけを与える。
楕円作用素はフレドホルム作用素で展開することができる。偏微分方程式論においてフレドホルム作用素を用いることは、パラメトリックス法の抽象的な形である。