ヤコビ恒等式
集合 S {\displaystyle S} に二項演算 ∗ {\displaystyle *} と可換かつ単位元 0 {\displaystyle 0} を持つ二項演算 + {\displaystyle +} が定義され、この ( S , + , ∗ ) {\displaystyle (S,+,*)} について、
a ∗ ( b ∗ c ) + b ∗ ( c ∗ a ) + c ∗ ( a ∗ b ) = 0 ∀ a , b , c ∈ S . {\displaystyle a*(b*c)+b*(c*a)+c*(a*b)=0\quad \forall {a,b,c}\in S.}
が成立するとき、 ( S , + , ∗ ) {\displaystyle (S,+,*)} はヤコビ恒等式を満たすという。
S {\displaystyle S} が + {\displaystyle +} によって加法群の構造を持ち、ねじれ元を持たないとき、 S {\displaystyle S} の元は ∗ {\displaystyle *} に関して冪零である。実際上記の恒等式で a = b = c とおけばよい。