接続 (主束)
Koszul 接続はレヴィ・チビタ接続よりも一般的で、かつ接続の形式化において不恰好なクリストッフェル記号を最終的に除去することができた(少なくとも隠すことができた)ので取り扱いが容易であった。付随する平行移動操作は接続の用語を用いた自然な代数的解釈を持つ。Koszul 接続は共変微分と平行移動の概念との解析的な対応を代数的な対応に書き換えるので、微分幾何学のコミュニティに受け入れられた。
同じ年、カルタンの学生のEhresmann は主束、一般にはファイバー束の文脈から微分形式としての接続の多様性を提示した。Ehresmannによるファイバー束の接続は、厳密にはカルタン接続の一般化ではない。Cartan's equivalence methodとの関係により、カルタン接続は底空間の微分構造と強く結びついている。ファイバー束の接続はS.S.チャーンのような当時の幾何学者の基礎的な結果に対して、むしろ強固な枠組みであった。S.S.チャーンは当時ゲージ接続と呼ばれることになるものを研究するのにカルタン接続から離れている。Ehresmannの視点からは主束の接続は全空間の「水平な」或いは「鉛直な」ベクトル場の仕様から構成されている。このとき平行移動は底空間の曲線を全空間の水平なベクトル場への持ち上げだと見なせる。この視点は、ホロノミーを考える際に特に有用であることが示されている。