ツォルンの補題
ツォルンの補題は三つの主要な成果と(ZFにおいて)同値である
ハウスドルフの極大原理
選択公理
整列可能定理
テューキーの補題
さらに、ツォルンの補題(または同値な命題)は数学の各分野で重要な成果を導く。例えば、
バナッハの拡張定理は関数解析のもっとも基本的な成果であるハーン・バナッハの定理の証明に使われる
全ての線型空間は基底を持つ。これは線型代数における成果であり、ツォルンの補題と同値である
全ての単位的可換環は極大イデアルを持つ。環論における成果
位相空間論におけるチコノフの定理。これも同値である
よって、a + b は I の元である。後者の場合は、a も b もともに J の元であるから、同様に a + b は I の元である。さらに、任意の r ∈ R に対して、ar と ra は J の元であるから、I の元でもある。以上により、I は R のイデアルであることが分かった。
そして、イデアルが R と一致することは 1 を含むことと同値である(明らかに R に等しければ 1 を含むし、1を含んでいたとすると任意の R の元 r に対して、r1 = r もこのイデアルの元であり、R と等しいことが分かる)。そこで、I が R に等しいと仮定すると、それは 1 を含み、T のある要素が 1 を含むことになり、それは R と一致する。しかし、これは P から R を除いていたことに矛盾する。
ツォルンの補題の条件は確認できたので、P には極大元が存在する。言い換えると、R には極大イデアルが存在する。
この証明は環 R が乗法単位元 1 を持っていることに依存していることに注意しよう。これ無しではこの証明は無効であり、さらにこの言明は偽になりうる。例えば、Q に通常の加法と自明な乗法(つねに ab = 0)を入れた環は極大イデアルも 1 も持たない: この環のイデアルは加法による部分群そのものである。真部分群 A による商群 Q/A は可除群である。よって、有限生成にはならず、A を真に含む自明でない部分群が存在する。