行列の平方根
行列 B が行列 A の平方根であるとは、B = A を満たすときに言う。
実数 a > 0 {\displaystyle a>0} の平方根 a {\displaystyle {\sqrt {a}}} が exp  ( 1 2 log  ( a ) ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{2}}\log(a)\right)} で求まることと同様に、
n次実数値正方行列 A {\displaystyle A} の全ての特性根の実数部分が正である場合、
行列対数関数を log  ( A ) = log  ( c ) I − Σ k = 1 ∞ 1 k ( I − 1 c A ) k {\displaystyle \log(A)=\log(c)I-\Sigma _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left(I-{\frac {1}{c}}A\right)^{k}} と定義し(cは任意の正数、級数が収束すれば c {\displaystyle c} に係らず同じ値に収束する)
行列指数関数を exp  ( X ) = Σ k = 0 ∞ 1 k !
実数の方程式 f ( x ) = x 2 − a = 0 {\textstyle f(x)=x^{2}-a=0} をニュートン法で解く方法を、行列にそのまま適用して求める方法である。
n次正方行列 A {\textstyle A} に対し、n次正方行列の列 X m {\textstyle X_{m}} を次の漸化式で定める
X m + 1 = 1 2 ( X m + A X m − 1 ) {\textstyle X_{m+1}={\frac {1}{2}}(X_{m}+AX_{m}^{-1})}
この列が適当な初期値 X 0 {\displaystyle X_{0}} について収束すれば、収束値 X ∞ {\textstyle X_{\infty }} について、 X ∞ 2 = A {\textstyle X_{\infty }^{2}=A} となる。
このことは、収束すれば X ∞ = 1 2 ( X ∞ + A X ∞ − 1 ) {\textstyle X_{\infty }={\frac {1}{2}}(X_{\infty }+AX_{\infty }^{-1})} が成り立つことから言える。
あるいは、2次のケイリー・ハミルトンの定理 A 2 − ( a + d ) A + Δ I = 0 {\textstyle A^{2}-(a+d)A+\Delta I=0} から ( a + d ) A = A 2 + Δ I {\textstyle (a+d)A=A^{2}+\Delta I} 、 ( a + d + 2 Δ ) A = A 2 + 2 Δ A + Δ I = ( A + Δ I ) 2 {\textstyle (a+d+2{\sqrt {\Delta }})A=A^{2}+2{\sqrt {\Delta }}A+\Delta I=(A+{\sqrt {\Delta }}I)^{2}} としても良い。