完全順列
{\displaystyle {\begin{aligned}|A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}|&=\sum _{i}\left|A_{i}\right|-\sum _{i<j}\left|A_{i}\cap A_{j}\right|+\sum _{i<j<k}\left|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right|+\cdots +(-1)^{n+1}\left|A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}\right|\\&={n \choose 1}(n-1)!-{n \choose 2}(n-2)!+{n \choose 3}(n-3)!-\cdots +(-1)^{n+1}{n \choose n}0!\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{n \choose i}(n-i)!\\&=n!\ \sum _{i=1}^{n}{(-1)^{i+1} \over i!}\end{aligned}}}
このとき、完全順列は n 個の数字の中、どれも固定しない置換による順列になるので、以下の式を得る。
a n = n ! − | A 1 ∪ ⋯ ∪ A n | = n ! ∑ i = 0 n ( − 1 ) i i ! . {\displaystyle a_{n}=n!-|A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}|=n!\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}.}