宇宙 (数学)
しかし、S{} は通常の(有限主義者ではない)数学者にとっては不足である。なぜなら、N が S{} の部分集合として利用可能であるとはいえ、依然として N の冪集合は利用不可能だからである。特に、実数の任意の集合は利用不可能である。そのため、もう一度上記のプロセスを開始して S(S{}) を形成する必要があるだろう。しかし、物事を単純に保つために、自然数の集合 N は所与として SN を形成し、N 上の上部構造をとってもよい。これはしばしば通常の数学の宇宙であると考えられる。通常研究される数学のすべてはこの宇宙の要素を参照していると考えるということである。例えば、普通の実数の構成(デデキントの切断)はどれも SN に属している。超準解析も自然数の超準モデル上の上部構造において行うことができる。
宇宙が関心のある任意の集合 U であった前節からの哲学のわずかな転換に注意しよう。研究される集合は、前節では宇宙の部分集合であったが、本節では宇宙の要素である。したがって、P(SX) はブール束であるが、関連するもの SX 自体はそうではない。結果として、上部構造の宇宙を前節の冪集合の宇宙であるとみて、それにブール束とベン図の概念を直接的に適用することはまれである。そのかわりに、個々のブール束 PA を用いて作業することができる。ここで、A は SX に属する任意の関連する集合である。すると、PA は SX の部分集合である(そして、実際に SX に属する)。カントールの場合 X = R では特に、実数の任意の集合は利用可能ではないので、実際にもう一度上記のプロセスを開始する必要があるだろう。
空集合 X = {} に戻って、Si{} に対する Vi 、V0 = {} 、V1 = P{} などの (標準的な) 記法を導入する。 しかし、"上部構造" と呼ばれるものは、ω が1つ目の有限順序数とすれば、リスト Vω の次の項目となる。 これは次のような任意の順序数に拡張される。
V i := ⋃ j < i P V j {\displaystyle V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!}
任意の 順序数 i に対して Vi を定義する。 Vi のすべての和集合は次のようにフォン・ノイマン宇宙 V となる。
V := ⋃ i V i {\displaystyle V:=\bigcup _{i}V_{i}\!} .
Vi は各々すべてが集合であることに注意すること。しかしこれらの和集合 V は真の類である。 置換公理と同時期にZFにを加られた正則性公理は、すべての 集合が V に属することを主張している。
クルト・ゲーデルの構成可能集合 L と構成可能公理
到達不能基数は ZF のモデルと加法性公理を生じ、さらにグロタンディーク宇宙の集合の存在と等価である。