測度の緊密性
X が距離化可能なコンパクト空間であるなら、X 上のすべての(複素測度でもあり得る)測度の全体は緊密である。距離化不可能なコンパクト空間に対しては、この限りではない。区間 [ 0 , ω 1 ] {\displaystyle [0,\omega _{1}]} を順序位相(英語版)を備えるものとすると、その上にはある内部正則ではない測度 μ {\displaystyle \mu } が存在する。したがって単元集合 { μ } {\displaystyle \{\mu \}} は緊密ではない。
数学における緊密性(きんみつせい、英: tightness)とは、測度論の分野に現れるある概念である。直感的には、ある与えられた測度の全体が「無限大へと逃げない」ことを意味する。
(X, T) をある位相空間とし、Σ を X 上の σ-代数で位相 T を含むようなものとする(したがって、X のすべての開部分集合は可測集合であり、Σ は少なくとも X 上のボレル σ-代数と同程度良質なものである)。M を Σ 上の測度(符号付測度あるいは複素測度)の全体とする。そのような全体 M が緊密(あるいは、一様緊密ともしばしば呼ばれる)であるとは、任意の ε > 0 に対して、ある X のコンパクト部分集合 Kε が存在し、
| μ | ( X ∖ K ε ) < ε {\displaystyle |\mu |(X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon }
が M 内のすべての測度 μ に対して成立することを言う。ここで | μ | {\displaystyle |\mu |} は測度 μ {\displaystyle \mu } の全変動(英語版)を表す。扱う測度が確率測度であることは頻繁に起こり、その様な場合、上式は
μ ( K ε ) > 1 − ε {\displaystyle \mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon \,}
と書き換えられる。緊密な全体 M が単一の測度 μ のみで構成されるとき、そのような μ は(研究者によって)緊密測度(tight measure)あるいは内部正則測度と呼ばれる。
Y が X に値を取る確率変数で、その X 上の確率分布が緊密測度であるなら、そのような Y は可分確率変数(separable random variable)あるいはラドン確率変数(Radon random variable)と呼ばれる。
緊密性の一つの一般化として、大偏差理論(英語版)に応用される、指数緊密性(exponential tightness)という概念がある。あるハウスドルフ位相空間 X 上の確率測度の族 (μδ)δ>0 が指数的に緊密(exponentially tight)であるとは、任意の η > 0 に対して X のあるコンパクトな部分集合 Kη が存在し、
lim sup δ ↓ 0 δ log  μ δ ( X ∖ K η ) < − η {\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\eta })<-\eta }
が成立することを言う。