平均
算術平均、相乗平均、調和平均は同じ式
μ p = ( 1 n ∑ i = 1 n x i p ) 1 / p {\displaystyle \mu _{p}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\right)^{1/p}}
あるいは
n μ p p = ∑ i = 1 n x i p {\displaystyle n{\mu _{p}}^{p}=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}}
で表せる。この実数 p に対して定義した式の値を p一般化平均と呼ぶ。
p = 1 で算術平均、p = −1 で調和平均となり、p → 0 への極限が相乗平均である。また、p = 2 の場合を二乗平均平方根 (RMS) と呼び、物理学や工学で様々な応用をもつ。p → ∞ への極限は最大値、p → −∞ への極限は最小値である。
一般化平均は、ベクトル ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})} の pノルムを n 1 / p {\displaystyle n^{1/p}} で割った結果に一致する。
相乗平均(そうじょうへいきん)または幾何平均(きかへいきん、英: geometric mean, 独: geometrisches Mittel, 仏: moyenne géométrique)は
μ G = ∏ i = 1 n x i n = x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle \mu _{\mathrm {G} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\dotsb x_{n}}}}
で定義される。幾何平均は相乗平均と同義の用語である。
式変形して
μ G n = ∏ i = 1 n x i = x 1 x 2 ⋯ x n {\displaystyle {\mu _{\mathrm {G} }}^{n}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}x_{2}\dotsb x_{n}}
とも表せる。
対数を取ると
データの大きさ n が 2 のときの相加平均、相乗平均、調和平均をそれぞれ A, G, H とすると、
A = x 1 + x 2 2 , G = x 1 x 2 , H = 2 x 1 x 2 x 1 + x 2 {\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},\quad G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},\quad H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}}
なので、
G = A H {\displaystyle G={\sqrt {AH}}}
が成立する。すなわち、データの相乗平均は相加平均と調和平均の相乗平均に等しくなる。