三体問題
ふたつの質点が互いにニュートン重力を及ぼし合って運動するとき、その軌道は楕円、放物線、双曲線のいずれかになることが知られている(ケプラーの法則)。三体問題はこの系にさらにひとつの質点が加わった場合の進化を求めるもので、太陽-地球-月系や、太陽-木星-土星系など、天体力学の様々な局面で必要となるため古くから調べられてきた。現実的に三体問題を取り扱う場合、問題の簡略化のために、いくつかの仮定がなされることがある。三体ともに同一平面上を運動するという仮定を置く場合、平面三体問題と呼ばれる。三体のうち、一体の質量が他の二体に影響を及ぼさないほど微小で無視できるとする仮定を置いた場合、制限三体問題と呼ばれる。特に制限三体問題において、残り二体の軌道を円軌道と仮定する場合、円制限三体問題と呼ばれる。
よく知られた特殊解としては、円制限三体問題におけるラグランジュ点や、三体の質量が等しい場合に8の字型の軌道をとる8の字解等が存在する。
三体問題が求積可能であるかという可積分性についての否定的な結果は、フランスの数学者アンリ・ポアンカレによって、導かれた。1889年にスウェーデン兼ノルウェー国王オスカー2世の還暦を祝うために開催されたコンテストで、ポアンカレはいくつかの仮定を置いた制限三体問題を考察し、運動を定める第一積分がある種の摂動級数では表現できないことを示した(ポアンカレの定理)。さらに、ポアンカレはこの研究の中で安定多様体、不安定多様体が交差するために生じるホモクリニック軌道と呼ばれる極めて複雑な運動の挙動の概念に到達した。
こうした三体問題を端緒とする積分可能性やカオス現象の研究は、現代的な力学系理論の発展の契機となっている。
三体問題における二体衝突は正則であり適切な座標変換により除去できることがトゥーリオ・レヴィ=チヴィタやカール・スンドマンの研究によって20世紀前半には明らかになっていた(詳細はレヴィ=チヴィタ変換を見よ)。一方、三体の同時衝突については Siegel (1941) によって真性特異点であり正則化できないことが示されている。スンドマンは三体衝突が可能であるためには系の全角運動量がゼロでなければならないことを証明した(カール・ワイエルシュトラスはスンドマンより早くこの事実を知っていたが、証明を出版しなかった)。なおスンドマンはこれらの結果をもとに、全角運動量がゼロでない初期値に対して、すべての時刻 t {\displaystyle t} で収束する三体問題の無限級数解の存在を、それを実際に構成することにより証明した。ただしこの無限級数解は収束が極めて遅く、このような解の表示から何らかの帰結を引き出すことは実際上不可能であると考えられている。
McGehee は1974年に現在McGehee変数と呼ばれる座標変換を考案し、三体衝突近傍の振る舞いを取り扱うブロー・アップ (blow up) という手法を開発した。この方法はその後の研究でしばしば用いられている。
Chazy (1922) は、三体問題の特異性のない解の t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } での最終的な振る舞いについて研究し、以下に述べる7パターンのいずれかであると結論した。なおここで添え字 i {\displaystyle i} , j {\displaystyle j} は 1, 2, 3を走り、例えば r 1 {\displaystyle r_{1}} は第2体と第3体の距離を表す。
二体間距離がすべて無限大に発散する場合 r j → ∞ {\displaystyle r_{j}\to \infty } ( j = 1 , 2 , 3 {\displaystyle j=1,2,3} )。この場合、極限 r j / t → C j {\displaystyle r_{j}/t\to C_{j}} が存在し、その値に応じて次の3パターンに分類される。 The hyperbolic motions H {\displaystyle H} : C j > 0 {\displaystyle C_{j}>0} ( j = 1 , 2 , 3 {\displaystyle j=1,2,3} ). The hyperbolic-parabolic motions H P i {\displaystyle HP_{i}} : C i = 0 {\displaystyle C_{i}=0} かつ C j > 0 {\displaystyle C_{j}>0} ( j ≠ i {\displaystyle j\neq i} ).
第 i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} 体の運動方程式は、その座標を r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 、質量を m i {\displaystyle m_{i}} とするとき、次式により与えられる。
m i d 2 r i d t 2 = − ∑ j ≠ i G m i m j r i − r j | r i − r j | 3 {\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=-\sum _{j\neq i}Gm_{i}m_{j}{\frac {\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|^{3}}}}
ここに t {\displaystyle t} は時刻、 G {\displaystyle G} は重力定数である。
この系には以下の10個の運動の積分が存在することがレオンハルト・オイラーの時代までには知られていた( v i = d r i d t {\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\frac {d\mathbf {r} _{i}}{dt}}} は第 i {\displaystyle i} 体の速度)。これらの積分はオイラー積分と呼ばれる。