モチーフ (数学)
標準予想は、最初、代数的サイクルとヴェイユコホモロジー論の相互関係の言葉で定式化された。ピュアモチーフの圏はこれらの予想の圏論的なフレームワークを提供する。
標準予想は、非常に難しいと通常考えられていて、一般の場合については未解決である。グロタンディエクはボンビエリ(Bombieri)とともに、標準予想が成り立つことを前提とした条件付きだが、非常に短くエレガントなヴェイユ予想(ドリーニュにより別の方法で証明された)の証明を与え、モチーヴィックなアプローチの深いことを示した。
例えば、キネット標準予想(Künneth standard conjecture)は、代数的サイクル π ⊂ X × X の存在が(任意のヴェイユコホモロジーに対し)標準射影 H*(X) → H(X) ↣ H*(X) を誘導することが、全てのピュアコホモロジーが M がウェイト n の次き分解 n: M = ⊕ GrnM へ分解することを意味すると言っている。このウェイト(weights)という用語は、同じ分解、いわば滑らかな射影多様体のド・ラームコホモロジーの分解から来る。ホッジ理論を参照。
予想 Dは、数値的な一致とホモロジカル同値(英語版)(homological equivalence)から始め、ホモロジカルと数値同値の観点からピュアモチーフの同値を意味する。
三角圏DM(k)はヴォエヴォドスキーによって構成され、期待される多くの性質をもつことが, 期待されるt-structureの存在をのぞいて, 証明された。その数論への応用にはまだ程遠い状態にあるが, ヴォエヴォドスキーによる応用にミルナー予想とBloch-Kato予想をがある。ヴォエヴォドスキー(Voevodsky)は彼のモチーフ理論を応用しその予想を証明しフィールズ賞を受賞した。キーとなる考え方としてこれらのモチーフや安定ホモトピーを使った。しかしながら注意すべきことはこれらの予想の証明にはDMではなく位相幾何学におけるスペクトラの安定ホモトピー圏のモチーフ版への拡張を用いており, それもVoevodskyによって構成された。
ヴォエヴォドスキーの定義した三角圏は、周モチーフを充密な部分圏として含んでいて、「正しい」モチーヴィックコホモロジーを与える。しかし、ヴォエヴォドスキーはまた、整数係数においてはモチーヴィックな t-構造は存在しないことも示した。
完全体上の滑らかな多様体の圏 Sm から始める。同じように上記のピュアモチーフを構成するために、通常の射の代わりに、滑らかな対応が使われる。
モチーヴィックコホモロジー(Motivic cohomology)自身は、代数的K-理論によって混合モチーフが考案される以前に考え出されていた。上の圏は、
H(X, m) := H(X, Z(m)) := HomDM(X, Z(m)[n])
により、モチーヴィックコホモロジーを再整備して定義することができる。ここに、n と m は整数であり、Z(m) は テイトオブジェクト Z(1) の m-乗のテンソルべきである。ヴォエヴォドスキーの設定では、テンソルべきは複素射影空間 P から -2 シフトした点への写像であり、[n] は三角圏の中の通常のシフトを意味する。