随伴作用素
ヒルベルト空間 H 上の密定義作用素 A は、その定義域 D(A) が H において稠密で、かつその終域が H であるようなものを言う。 その随伴 A はその定義域 D(A)が
⟨ A x , y ⟩ = ⟨ x , z ⟩ ( ∀ x ∈ H ) {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,z\rangle \quad (\forall x\in H)}
を満たす z ∈ H が存在するような y ∈ H 全体の成す集合で与えられ、かつ A(y) = z となるものとして定義される。
上記性質 1.–5. は(定義域と終域が適当な条件を満たせば)成立する。例えば最後の性質について、随伴作用素 (AB) は(A, B, AB が密定義作用素ならば)作用素BA の延長で与えられる。
作用素 A の像とその随伴 A の核との間の関係性は、
ker  A ∗ = ( im  A ) ⊥ ( ker  A ∗ ) ⊥ = im  A ̄ {\displaystyle {\begin{aligned}&\ker A^{*}=(\operatorname {im} A)^{\bot }\\&(\ker A^{*})^{\bot }={\overline {\operatorname {im} A}}\end{aligned}}}
1 2 3 4 Reed & Simon 2003, pp. 186–187; Rudin 1991, §12.9
↑ 詳細は非有界作用素を参照。
↑ Reed & Simon 2003, pp. 252; Rudin 1991, §13.1
↑ Rudin 1991, Thm 13.2
↑ 有界作用素の場合は Rudin 1991, Thm 12.10 を見よ。
↑ 有界作用素の場合と同じ。
↑ Reed & Simon 2003, pp. 187; Rudin 1991, §12.11