位相偏移変調
Q ( x ) = 1 2 π ∫ x ∞ e − t 2 / 2 d t = 1 2 erfc  ( x 2 ) , x ≥ 0 {\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}/2}dt={\frac {1}{2}}\,\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right),\ x\geq {}0} .
Q(x)は、平均がゼロ、分散が1となるガウスの確率密度関数でランダムな過程から得られた単一のサンプルがx以上である確率である。 それは相補ガウスエラー関数の規格化された形である。 ここで示した誤り率は加算性白色ガウス雑音(AWGN)のものである。 この誤り率はフェージングのものよりは低く、理論的な比較に適している。
k番目のタイムスロットで変調されるビット b k {\displaystyle b_{k}} 、差動符号化ビット e k {\displaystyle e_{k}} 、結果得られる変調信号 m k ( t ) {\displaystyle m_{k}(t)} を呼び出す。コンステレーション図は符号を±1(BPSKでは)に配置すると仮定する。差動符号化器は以下を生成する。
e k = e k − 1 ⊕ b k {\displaystyle \,e_{k}=e_{k-1}\oplus b_{k}}
⊕ {\displaystyle \oplus {}} は二進法またはモジュロ2の加算を示す。
そのため、 b k {\displaystyle b_{k}} はバイナリ"1"である場合、 e k {\displaystyle e_{k}} は状態を変更するだけである(バイナリ"0"からバイナリ"1"に、またはバイナリ"1"からバイナリ"0"に)。それ以外の場合は以前の状態のままである。これが上記の差動符号化BPSKの説明である。
受信信号は復調され、 e k = ± 1 {\displaystyle e_{k}=\pm 1} が生成され、差分復号器が符号化手順を逆にして
b k = e k ⊕ e k − 1 , {\displaystyle b_{k}=e_{k}\oplus e_{k-1},}
を生成する(バイナリ減算はバイナリ加算と同じであるため)。