シューアの補題
定理 ― M と N を環 R 上の単純加群とすると、任意の R-加群準同型写像 ρ: M → N は同型であるかまたは 0 である。特に、単純加群の自己準同型環は、斜体である。
ρ が R-加群の準同型写像であるという条件は、すべての m, n ∈ M と r ∈ R に対し、
ρ ( n + m ) = ρ ( n ) + ρ ( m ) , ρ ( r m ) = r ρ ( m ) {\displaystyle \rho (n+m)=\rho (n)+\rho (m),\quad \rho (rm)=r\rho (m)}
であることを意味する。
群 G の体 k 上のベクトル空間 V における任意の表現はそのまま G の群環 k[G] 上の加群 V とみることができるので、群のバージョンは加群のバージョンの特別な場合である。
定理 ― (V, ρ) と (W, τ) を G 上の既約表現とする。線型写像 f: V → W が
任意の g ∈ G に対して fρ(g) = τ(g) f
を満たせば、f = 0 であるか、あるいは(ρとτの次数が等しく)f は同型写像である。
シューアの補題はよく次の特別な場合に適用される。