圭 (数学)
記法としては代数学における乗法的な演算記法の約束に従っているけれども、結合律を満足するなどの通常の「乗法」に期待される性質が、この代数系を考える際には(あってもなくても)問題にされないという意味で、圭演算 ⋆ {\displaystyle \star } は通常の乗法を意味していない。
なお " a ⋆ b {\displaystyle a\star b} " という式を、b が a に右から作用しているものと考えると便利である。そのように見るとき、2番目の条件は圭 K の任意の元による K 自身への右作用が二度行うと恒等変換となる、すなわち対合を与えることを意味していることになる。また、3番目の条件は右作用が ⋆ {\displaystyle \star } に関して(マグマとしての)準同型性を示すことを意味しており、対合は全単射となるから、特に K はこの作用を通して K 上の対合的自己同型 (involutive automorphism) からなる特定の集合と同一視されることがわかる。
冪記法を一部もちいると上記の条件は、
x a = b ⟺ x = b a − 1 , {\displaystyle x^{a}=b\iff x=b^{a^{-1}},}
( a ⋆ b ) c = ( a c ) ⋆ ( b c ) . {\displaystyle (a\star b)^{c}=(a^{c})\star (b^{c}).}
と書き直すことができ、これはすでに述べたことの繰り返しになるが、右からの( ⋆ {\displaystyle \star } に関する)乗法が定める右作用が ⋆ {\displaystyle \star } を唯一の演算としてもつマグマ R 上の自己同型となることを意味している。言い換えれば、「片側乗法が常にそれ自身の上の自己同型を定めるような代数系」というのがラックの別の定義の仕方であるということになる。
カンドルがロープや糸のように局所線形な対象上の結び目を表現することができることに比べ、ラックは組み紐のように結ばれずねじれているものをも表現することができる。