断熱定理
すると
∑ n c n δ n m exp  ( i θ n ) = − ∑ n c n ⟨ ψ m | ψ n ̇ ⟩ exp  ( i θ n ) {\displaystyle \sum _{n}c_{n}\delta _{nm}\exp(i\theta _{n})=-\sum _{n}c_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi _{n}}}\rangle \exp(i\theta _{n})} ...(vi)
c m ̇ ( t ) = − ∑ n ⟨ ψ m | ψ m ̇ ⟩ exp  ( i ( θ n − θ m ) ) {\displaystyle {\dot {c_{m}}}(t)=-\sum _{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi _{m}}}\rangle \exp(i(\theta _{n}-\theta _{m}))} ...(vii)
の条件が得られる。ここで、固有方程式(i)の両辺をtで微分する。
H ̇ | ψ n ⟩ + H | ψ ̇ n ⟩ = E n ̇ | ψ n ⟩ + E n | ψ ̇ n ⟩ {\displaystyle {\dot {H}}|\psi _{n}\rangle +H|{\dot {\psi }}_{n}\rangle ={\dot {E_{n}}}|\psi _{n}\rangle +E_{n}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle } ...(viii)