平均次元
ε {\displaystyle \epsilon } を非負実数とする。 Y {\displaystyle Y} を位相空間として、 f {\displaystyle f} を X {\displaystyle X} から Y {\displaystyle Y} への連続写像とする。このとき、 f {\displaystyle f} が ε {\displaystyle \epsilon } -埋め込みであるとは、 Y {\displaystyle Y} の任意の点の f {\displaystyle f} による逆像の直径が ε {\displaystyle \epsilon } 以下になることである。
すなわち、 ε {\displaystyle \epsilon } 程度の誤差を許容すれば、 f {\displaystyle f} は埋め込みになるということである。 また、 ε = 0 {\displaystyle \epsilon =0} のとき、 ε {\displaystyle \epsilon } -埋め込みとは普通の埋め込みのことである。
ただし、簡単のために、無限巡回群 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } が作用している場合だけを扱うことにする。
無限巡回群 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } が X {\displaystyle X} に連続に作用しているとせよ。
Z ↷ X , x ↦ k k ⋅ x {\displaystyle \mathbb {Z} \curvearrowright X,\quad x{\overset {k}{\mapsto }}k\cdot x\,}
各自然数 N {\displaystyle N} に対して、 X {\displaystyle X} 上の新しい距離 d N {\displaystyle d_{N}} を
d N ( x , y ) := max | k | < N d ( k ⋅ x , k ⋅ y ) {\displaystyle d_{N}(x,y):=\max _{|k|<N}d(k\cdot x,k\cdot y)}
と定める。 X {\displaystyle X} はコンパクトだったので、 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} と ( X , d N ) {\displaystyle (X,d_{N})} とは同相になる。 特に、 ( X , d N ) {\displaystyle (X,d_{N})} はコンパクトである。 ここで重要な観点は、群作用によるくりこみで距離空間の無限系列を系統的に作り出せるということである。
いわゆるOrnstein-Weissの補題により、極限
lim N → ∞ W i d i m ε ( X , d N ) 2 N − 1 =: W i d i m ε ( ( X , d ) : Z ) {\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\mathrm {Widim} _{\epsilon }(X,d_{N})}{2N-1}}=:\mathrm {Widim} _{\epsilon }((X,d):\mathbb {Z} )}
は有限確定値として常に存在する。
これまでの準備のもとで、平均次元は次で定義される。
dim  ( X : Z ) := lim ε → 0 W i d i m ε ( ( X , d ) : Z ) {\displaystyle \dim(X:\mathbb {Z} ):=\lim _{\epsilon \to 0}\mathrm {Widim} _{\epsilon }((X,d):\mathbb {Z} )}
幅次元などは距離に依存しているが、平均次元は X {\displaystyle X} の位相と両立する距離の取り方とは独立である。 これは X {\displaystyle X} のコンパクト性により恒等写像が一様連続になることに由来する。 一般に、無限次元位相空間は、たとえ距離化可能であったとしても、その位相と両立する距離を標準的に選び出す方法がないことが多い。 従って、この性質は重要である。