アトラクター
アトラクターの再構成を行う上でまず問題となるのは、埋め込み次元 m と時間遅れ τ をどう決めるのかである。埋め込み次元については、定理上は m > 2d であれば埋め込みであることが保証されるが、これは十分条件であり、m がこれ以下でも埋め込みとなることはあり得る。埋め込み次元が小さいと、再構成された曲線で摂動でも消えない自己交差が起き、1対1とならない。しかし、埋め込み次元を大きく取り過ぎると、計算コストの問題や予測への悪影響が出てくる。そのため、先にアトラクターの次元を推定する。カオス時系列の解析において標準的に利用されている手法は、ボックスカウント次元の代わりに相関次元を使うもので、ピーター・グラスバーガー(英語版)とイタマー・プロカッチャ(英語版)が導入したGPアルゴリズムで比較的容易に相関次元を計算できる。埋め込み次元を増やしながら再構成したアトラクターの相関次元を計算し、相関次元の増加が頭打ちになったとき、このときの相関次元値をアトラクターの次元とし、このときの埋め込み次元を最適な m 値とする。
連続力学系の場合: ある δ > 0 が存在し、任意の x ∈ A と任意の近傍 U(x) に対して、|φ(t, x) − φ(t, y)| > δ を満たす y ∈ U と t ∈ R が存在する。
離散力学系の場合: ある δ > 0 が存在し、任意の x ∈ A と任意の近傍 U(x) に対して、|f(x) − f(y)| > δ を満たす y ∈ U と k ∈ Z が存在する。
初期値鋭敏性とは、わずかな初期値の違いが時間発展にともなって次第に大きくなることを意味し、バタフライ効果という言葉としても知られる。ただし、上記の初期値鋭敏性の定義は指数関数的な分離を必ずしも要求していない。現在では、指数関数的分離すなわち正のリアプノフ指数を持つことを初期値鋭敏性に要求することが多い。
準周期アトラクターと同じく、自励的な連続力学系においてはストレンジアトラクターは3次元以上から存在する。最初に広く知られた連続力学系のストレンジアトラクターは、エドワード・ローレンツが熱対流の振る舞いをモデル化から導入した次のローレンツ方程式で現れる。
x ̇ = − σ x + σ y {\displaystyle {\dot {x}}=-\sigma x+\sigma y}
y ̇ = − x z + r x − y {\displaystyle {\dot {y}}=-xz+rx-y}
z ̇ = x y − b z {\displaystyle {\dot {z}}=xy-bz}
複雑な構造を持ち、軌道がカオスとなるタイプのアトラクターを、ストレンジアトラクター(英語: strange attractor)という。この命名はデービット・リュエルとフロリス・ターケンス(英語版)による。他には、カオスアトラクター、カオティックアトラクター、カオス的アトラクター、奇妙なアトラクター、フラクタルアトラクターといった呼び方もある。
力学系におけるカオスとは、大雑把に言えば、決定論的に確定した規則に従って生み出される複雑・不規則・不安定な振る舞いを指す。カオスの厳密な定義は専門家間でも微妙に異なっており、カオスの統一的な数学的定義は未だに存在していない。散逸系におけるカオスとはストレンジアトラクターを意味する。
古くから知られていたアトラクターは、点アトラクター、周期アトラクター、準周期アトラクターの3つだけであった。ストレンジアトラクターというクラスのアトラクターは、コンピューターが発達して数値計算が実用になって以降の1960年代になって見つかった。「カオス」と同様、ストレンジアトラクターの広く共有された定義も現在のところ存在していない。ここではアトラクターの定義に合わせ、ウィギンス 2013 に沿ったストレンジアトラクターの定義を挙げる。集合 A が位相的に推移的なアトラクターであり、かつコンパクトであるとする。さらに (A, φ) あるいは (A, f) が以下の初期値鋭敏性を満たすとき、A をストレンジアトラクターと呼ぶ。
アトラクター(英語: attractor)とは、「引き付ける」を意味する英語単語 attract から出来た言葉で、大雑把にいえばアトラクターとは、その周りの軌道を引き付けるような性質をもった領域である。さらに、軌道がそのような領域まで引き付けられた後は、軌道はその領域内に留まり続ける。
アトラクターの厳密な定義については議論が残っており、広く共有された統一的な数学的定義は今のところ存在していない。ここでは、まずは ウィギンス 2013 に沿った定義を以下に述べる。力学系の相空間を R とし、相空間上の点(状態変数)を x とする。連続力学系を定めるベクトル場の流れを φ(t, x): R × R → R で表すとする。離散力学系を定める写像 の k 回繰り返し適用を f(x): Z × R → R で表すとする。部分集合 A ⊂ R が以下を満たすとき、A を吸引集合と呼ぶ。
連続力学系の場合: A は閉不変集合、すなわち全ての x ∈ A と t ∈ R について φ(t, x) ∈ A である。 A にある近傍 B が存在し、全ての x ∈ B と t ∈ R について φ(t, x) ∈ B である。 全ての x ∈ B について、t → ∞ のとき φ(t, x) → A である。
離散力学系の場合: A は閉不変集合、すなわち全ての x ∈ A と k ∈ Z について f(x) ∈ A である。
数値計算実験では、繰り返しが見られずストレンジアトラクターと判断されるものであっても、厳格な立場から言えば、実はそれは計算時間を超える極めて長い周期を持つ周期アトラクターであるという可能性が残る。カオスであることの厳密な証明できている事例は、系が双曲型である場合にほとんど限られている。ある可微分写像の不変閉部分集合が双曲型であるとき、任意の点の接空間は拡大的な部分空間と縮小的な部分空間の直和となる。双曲型のアトラクターを双曲型アトラクターといい、双曲型アトラクターであればカオスであることが知られる。双曲型力学系でストレンジアトラクターを持つことが示される例には、平面上に定義されるパイこね変換やトーラス体上に定義されるソレノイドなどがある。
一方で、アトラクターが非双曲型の場合、解析は一般に困難となる。しかし、自然な力学系の多くは非双曲型である。これまで構成・研究された双曲型アトラクターは、応用研究で現れる微分方程式とのポアンカレ写像によるつながりがないなど、やや人工的といえる。著名なローレンツアトラクターも、ストレンジアトラクターであることは確実視されてはいたものの、数学的証明を与えることは長い間できていなかった。ローレンツアトラクターが最初に発見されたのは1963年だが、ストレンジアトラクターであることの完全な形での数学的証明が最初に与えられたのは2002年のことで、ウォリック・タッカーが精度保証付き数値計算と解析的手法を組み合わせて証明した。