サイコロ
距骨を使ったサイコロこそが現在のサイコロの起源であるとする説も唱えられている。少なくとも、以下のように複数の言語でサイコロは骨と関連付けられている。
英語では、古くは「動物の距骨」の意味の複数形「astragali」をサイコロの意でも用いていた。また現代英語でも「骨」の複数形「bones」をサイコロを指すスラングとして用いている。
中国語および日本語では「骰子」と表記するが、この「骰」は「投げる骨」の意の会意兼形声文字である。
正六面体のサイコロの発祥地は古代インドとも古代エジプトとも言われる。現在と同じように1の裏が6であり、反対面を足すと7になるサイコロの最古のものは、紀元前8世紀頃のアッシリアの遺跡から発掘されたものである。
この他、古代ローマ時代には正二十面体のサイコロも作られており、現在イギリスの大英博物館に収蔵されている。ただし、これは各面に記号を刻んだものであり遊具ではなく占い専用の道具であった可能性が高い。
古代メソポタミアの遺跡からは、4面のサイコロが出土したが、当初はゲームのコマと考えられた。
古代ギリシアでは、3個、時に2個のサイコロを使った賭博が非常に盛んに行われており、特に上流階級の酒宴(シュンポシオン、ギリシア語:συμποσιον)の席では、欠かせないものとなっていた。またギリシア神話には、パラメーデースがサイコロを発明したとの記述がある。
日本へは、奈良時代に中国から伝来した。
任意の面数を持つサイコロを、任意の回数ないし個数振る際の各種の値は、振る回数ないし個数を f(ただし f ∈ Z {\displaystyle f\in \mathbb {Z} } かつ 0 ≤ f)、面数を p(ただし p ∈ Z {\displaystyle p\in \mathbb {Z} } かつ 1 ≤ p)とし、各回の出目の和を合計値とすると、一般に以下の式で求められる。例として、3D6 (f = 3, p = 6) の場合の値を添えた。
易占専用に作られたサイコロも存在する。これは、主に略筮法を模擬するもので、
8面ダイス2個(数字の代わりに、乾・兌・離・震・巽・坎・艮・坤の8文字が彫られている)
6面ダイス1個(同じく、初・二・三・四・五・上の6文字)
以上の組み合わせから成る。中筮法を模擬するため、8面ダイスが6個使われることもある。入れたままでサイコロを振ることができる、専用の箱も市販されている。なお、八卦にはそれぞれ数字が配当されているため、通常の8面ダイスの数字を適宜読み替えて使用することも可能であるが、利便性は若干劣る。
f ≥ p の時に、全種類の目が少なくとも1回以上出る確率は(ここで { f p } {\displaystyle \{{\begin{smallmatrix}f\\p\end{smallmatrix}}\}} は第二種スターリング数)、
(すべての目が1回以上出る確率)= { f p } p ! p f = ∑ i = 0 p ( − 1 ) i ( p i ) ( p − i ) f p f {\displaystyle {\frac {\left\{{\begin{matrix}f\\p\end{matrix}}\right\}p!}{p^{f}}}={\frac {\displaystyle \sum _{i=0}^{p}(-1)^{i}{\binom {p}{i}}(p-i)^{f}}{p^{f}}}}
f = p の時に、全種類の目が1回ずつ出る確率は、
(すべての目が1回ずつ出る確率)= p ! p p {\displaystyle {\frac {p!}{p^{p}}}}
f = p + 1 の時に、全種類の目が少なくとも1回以上出る確率は、
(すべての目が1回以上出る確率)= f ! 2 ⋅ p p {\displaystyle {\frac {f!}{2\cdot p^{p}}}}
例(7D6 の場合): 7 ! 2 ⋅ 6 6 = 5040 93312 = 35 648 ≈ 0.054 {\displaystyle {\frac {7!}{2\cdot 6^{6}}}={\frac {5040}{93312}}={\frac {35}{648}}\approx 0.054}