量子群
上記の q = 1 に対する Uq(g) のような量子群の有限商の記述にはかなりの進展があった。通常は点状 (pointed) ホップ代数のクラスを考える。つまりすべての部分余イデアルは 1 次元であるということであり、したがってそれらの和は余根基 (coradical) と呼ばれる群をなす。
2002年、H.-J. Schneider と N. Andruskiewitschは、とくに上記の Uq(g) の有限商として、(素数 2, 3, 5, 7 を除いて)余根基がアーベル群の点状ホップ代数の長年に渡る分類の努力を終えた。通常の半単純リー環のときと同じようにそれらは E たち(ボレルパート)と双対の F たちと K たち(カルタン部分環)に分解する:
( B ( V ) ⊗ k [ Z n ] ⊗ B ( V ∗ ) ) σ . {\displaystyle \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbf {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }.}