チコノフの定理
(1) X ×Y の開集合族 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} が次の仮定を満たすとすれば、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} は X ×Y を被覆しない、つまり命題 2 が満たされることを示す。
仮定 : W {\displaystyle {\mathcal {W}}} のいかなる有限部分集合も X ×Y を被覆しない。
(2) 主張 : 次のような X の点 x0 が存在する。X の任意の開集合 U が x0 を含めば、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で U ×Y を被覆するものは存在しない。
証明 : 主張 が正しくないと仮定すれば、X の全ての点 x について x ∈ Ux で、Ux ×Y が W {\displaystyle {\mathcal {W}}} のある有限部分集合で被覆される開集合 Ux が存在する。X はコンパクトであるから、このような Ux の有限個を選んで X を被覆できる。従って、有限個の Ux ×Y が X ×Y を被覆できることになり、結局 X ×Y は W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限個の要素で被覆されることになり、仮定 に反する。
(3) 主張 : 次のような Y の点 y0 が存在する。
(6.4) Xλ はコンパクトであるから、このような Uλ, y の有限個を選んで Xλ を被覆できる。別の言い方をすれば、 Xλ のある有限部分集合 F が存在して、Xλ = ⋃ y ∈ F {\displaystyle \bigcup _{y\in F}} Uλ, y とできる。Uρ = ⋂ y ∈ F {\displaystyle \bigcap _{y\in F}} Uρ, y と置けば、 Uρ は xρ を含む Xρ の開集合であり、 F に含まれる各 y について Uρ ⊆ Uρ, y である。 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で ( ∏ ρ < λ U ρ , y ) × U λ , y × ( ∏ λ < σ X σ ) {\displaystyle (\prod _{\rho <\lambda }U_{\rho ,y})\times U_{\lambda ,y}\times (\prod _{\lambda <\sigma }X_{\sigma })} を被覆するものが存在するのであるから、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で ( ∏ ρ < λ U ρ ) × U λ , y × ( ∏ λ < σ X σ ) {\displaystyle (\prod _{\rho <\lambda }U_{\rho })\times U_{\lambda ,y}\times (\prod _{\lambda <\sigma }X_{\sigma })} を被覆するものが存在する。