相空間
そして、θ と ω の組全体から成る抽象的な空間(θ と ω を座標とする平面)を考えると、それがこのシステムの相空間である。相空間を構成する一つひとつの要素は、単に点と呼ばれるほかに、相、相点、位相、位相点、代表点、状態などと呼ばれる。
相空間上の点は、時間変化によって相空間内を動く。相空間上を点が動いてできる経路は軌道と呼ばれる。時間を連続的なものとして考える力学系では、軌道は相空間上で連続的な曲線を描く。一方、時間を離散的なものとして考える力学系では、軌道は相空間上でとびとびの点列となる。決定論的に状態が定まるという要請により、相空間における2つの異なる軌道が交わることはない。ある力学系の全軌道の概略を相空間上に示した図を、相図(英: phase portrait)という。
力学系の従属変数の個数すなわち相空間の座標の数は、相空間または力学系の次元と呼ばれる。特に相空間は、状態変数が実数1つ(R)のときには相直線と、状態変数が実数2つ(R)のときには相平面と呼ばれることもある。ポアンカレ・ベンディクソンの定理に代表されるように、相空間の次元と形状は軌道の形状に制限を与える。一般的に、系が非線形でなおかつ高次元になるほど系の取り扱いが難しくなる。状態の空間的に連続的に分布している偏微分方程式で記述されるような力学系では、相空間の次元は無限になる。
可微分力学系では相空間は微分構造を持ち、ベクトル場で定まる連続力学系がその典型例である。状態変数を x = (x1, x2, ... xn) ∈ X ⊂ R、時間を t ∈ T ⊂R とし、力学系がn 連立一階微分方程式
d x k d t = f k ( x 1 , ⋯ , x n ) , ( k = 1 , ⋯ n ) {\displaystyle {\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},\cdots ,\ x_{n}),\ (k=1,\ \cdots n)}
で与えられるとき、相空間上の各点にはベクトル f (x): X → R が対応する。このとき、f (x) は解曲線の接ベクトルに一致し、各点が時間経過したときに動く方向と大きさを表す。
上記のように f が時間 t を陽に含まない微分方程式系は自律系と呼ばれる。自律系の微分方程式系は、現在の状態 x のみで次の状態が定まるという力学系の決定論的な考え方と合致する。一方で、以下のように t を陽に含む微分方程式系は非自律系と呼ばれる。
d x k d t = f k ( x 1 , ⋯ , x n , t ) , ( k = 1 , ⋯ n ) {\displaystyle {\frac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},\cdots ,\ x_{n},\ t),\ (k=1,\ \cdots n)}
非自律系では x を定めても、ベクトル f (x) は一つに定まらず、時間によって変化する。そこで、元の状態変数 x に時間 t を加えた組 (x, t) を座標とする空間 X × T を考える。t を形式的に n + 1 番目の状態変数 xn + 1 と見なせば、
{ d x k d t = f k ( x 1 , ⋯ , x n , x n + 1 ) , ( k = 1 , ⋯ n ) d x n + 1 d t = 1 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx_{k}}{dt}}=f_{k}(x_{1},\cdots ,\ x_{n},\ x_{n+1}),\ (k=1,\ \cdots n)\\{\dfrac {dx_{n+1}}{dt}}=1\end{cases}}}
という風に自律系の n + 1 連立一階微分方程式に帰着でき、空間 X × T 上の各点には方程式の右辺を成分とするベクトルが一意に定まる。元の n 次元相空間 X と区別し、このような n + 1 次元空間 X × T は拡大相空間(英: extended phase space)と呼ばれる。
測度論的力学系を展開するときは、相空間は可測構造を持つ。