リー微分
実際、X をx 座標系 において
X = X a ∂ ∂ x a {\displaystyle X=X^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}
と表せば、
L X f ( p ) = d f ( p ) [ X ( p ) ] = X a ∂ f ∂ x a ( p ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=df(p)[X(p)]=X^{a}{\frac {\partial f}{\partial x^{a}}}(p)}
を得る。これは初めに示した関数のリー微分の定義と一致している。
別のやり方として、M 上の滑らかなベクトル場 X が M 上の曲線族を定義することを示すことから出発することもできる。すなわち、M 上の任意の点 p に対して、M 上の 曲線 γ(t) が存在して、p = γ(0),
d γ d t ( t ) = X ( γ ( t ) ) {\displaystyle {\frac {d\gamma }{dt}}(t)=X(\gamma (t))}
が成立する。この 1 階常微分方程式の解の存在は、ピカール・リンデレフの定理によって保証されている(もっと一般に微分幾何におけるフロベニウスの定理によって与えられる)。これに対してリー微分を
L X f ( p ) = d d t f ( γ ( t ) ) | t = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)={\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\vert _{t=0}} .
と定義するのである。