円運動
.. (1-v)
と表すことができ、 v 2 = v x 2 + v y 2 {\displaystyle \mathbf {v} ^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}} であるので、(1-v) より、 v 2 = r 2 ω 2 {\displaystyle \mathbf {v} ^{2}=r^{2}\omega ^{2}} が得られる。したがって、v は次のように表される。
| v | = r | ω | {\displaystyle |\mathbf {v} |=r\left|\omega \right|} ... (1-vi)
(1-v) をさらに t で微分すると、
d 2 x d t 2 = − ω 2 x , d 2 y d t 2 = − ω 2 y {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-\omega ^{2}x,\ {d^{2}y \over dt^{2}}=-\omega ^{2}y} ... (1-vii)
加速度 a は、 a 2 = a x 2 + a y 2 {\displaystyle \mathbf {a} ^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} と表されるので、a と半径 r には次の関係が成り立つ。
| a | = ω 2 r {\displaystyle |\mathbf {a} |=\omega ^{2}r\,} ... (1-viii)。
α {\displaystyle \alpha } はいわゆる積分定数で、物理でいうと初期条件であり、この場合は初期位相)といえる。(1-i)、(1-ii) より、
x = r cos  ( ω t + α ) , y = r sin  ( ω t + α ) {\displaystyle x=r\cos(\omega t+\alpha ),\ y=r\sin(\omega t+\alpha )} ... (1-iii)
x ̇ = − r ω sin  ( ω t + α ) , y ̇ = r ω cos  ( ω t + α ) {\displaystyle {\dot {x}}=-r\omega \sin(\omega t+\alpha ),\ {\dot {y}}=r\omega \cos(\omega t+\alpha )} ... (1-iv)
となり、(1-iv) から物体の速さ v は x 、y それぞれの速度成分を v x {\displaystyle v_{x}} , v y {\displaystyle v_{y}} とすると、
{ v x = − r ω sin  ( ω t + α ) v y = r ω cos  ( ω t + α ) {\displaystyle {\begin{cases}v_{x}=-r\omega \sin(\omega t+\alpha )\\v_{y}=r\omega \cos(\omega t+\alpha )\end{cases}}} .