リーマン積分
例えば、
f ( x ) = { − 1 ( x < 0 ) 0 ( x = 0 ) 1 ( x > 0 ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&(x<0)\\0&(x=0)\\1&(x>0)\end{cases}}}
とすれば
∫ − x x f ( t ) d t = ∫ − x 0 f ( t ) d t + ∫ 0 x f ( t ) d t = − x + x = 0 {\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t)\,dt=\int _{-x}^{0}f(t)\,dt+\int _{0}^{x}f(t)\,dt=-x+x=0}
が任意の x に対して成り立つが、f(x) を 1 だけ右にずらした f(x − 1) に対しては x > 1 のとき
∫ − x x f ( t − 1 ) d t = ∫ − x 1 f ( t − 1 ) d t + ∫ 1 x f ( t − 1 ) d t = − ( x + 1 ) + ( x − 1 ) = − 2 {\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t-1)\,dt=\int _{-x}^{1}f(t-1)\,dt+\int _{1}^{x}f(t-1)\,dt=-(x+1)+(x-1)=-2}
となってしまう。