ホッジ予想
大半のアーベル多様体に対し、代数 Hdg*(X) は次数 1 で生成されるので、ホッジ予想が成り立つ。特に、ホッジ予想は、十分一般的なアーベル多様体、楕円曲線の積や単純アーベル多様体に対して成り立つ。しかし、Mumford (1969) では、Hdg(X) が因子クラスの積によって生成されないようなアーベル多様体の例を構成した。この例を Weil (1977) で、一般化した。このことは、多様体が虚二次体によって虚数乗法を持つときは、いつでも Hdg(X) が因子類の積によっては生成されないことを示すことでなされた。Moonen & Zarhin (1999)は 5 より次元の小さい場合に対し、Hdg*(X) が次数 1 で生成されるか、あるいは多様体が虚二次体の虚数乗法を持つかのいずれかであることを証明した。後者の場合には、ホッジ予想が成り立つ例は、特別ないくつかの場合だけしか知られていない。
ホッジはさらに整数ホッジ予想よりも強い予想を立てた。X 上のコホモロジーが、余次元が c である部分多様体上のコホモロジーから来たコホモロジーであるときに、レベル c と呼ぶことにする。少なくともレベルが c であるコホモロジー類は X のコホモロジー類をフィルターにかけると、c 番目のフィルトレーション N H(X, Z) が次の式を満たすことが容易に分かる。
N c H k ( X , Z ) ⊆ H k ( X , Z ) ∩ ( H k − c , c ( X ) ⊕ ⋯ ⊕ H c , k − c ( X ) ) . {\displaystyle N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )\subseteq H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).}
ホッジの元来のステートメントは以下であった。
一般化されたホッジ予想、ホッジのバージョン 次の式は等号が成立するであろう。
強いレフシェッツ定理と弱いレフシェッツの定理により、超曲面についてのホッジ予想の唯一の非自明な部分は、2m 次元超曲面の次数 m の部分(つまり中間コホモロジー) X ⊂ P 2 m + 1 {\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{2m+1}} である。次数 d が 2、つまり、X が二次曲面の場合には、ホッジ予想は、すべての m に対して成立する。m = 2、つまり、4次元多様体の場合は、ホッジ予想は、 d ≤ 5 {\displaystyle d\leq 5} に対し成立することが知られている。