半単純リー代数
半単純リー代数にはいくつかの一般化がある。まず半単純リー代数に対して成立する多くの命題が、より一般に簡約リー代数に対しても成立する。抽象的には簡約リー代数とはその随伴表現が完全可約となるものであり、具体的には簡約リー代数とは半単純リー代数と可換リー代数の直和である。例えば s l n {\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}} は半単純リー代数であり g l n {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}} は簡約リー代数である。
(半単純/簡約)複素リー代数の性質の多くが、代数閉体とは限らない体上の分裂(半単純/簡約)リー代数に対して成立する。代数閉体上の(半単純/簡約)リー代数は必ず分裂するが他の体では必ずしもそうではない。分裂半単純リー代数は代数閉体上の半単純リー代数と本質的に同じ表現論を持っている。例えば分裂カルタン部分代数は代数閉体上のカルタン部分代数と同じ役割を果たす。これは例えば (Bourbaki 2005) でとられたアプローチである。