代数多様体
積多様体の定義より、任意の代数多様体 X に対して、対角写像 Δ: X → X × X が x ↦ ( x , x ) {\displaystyle x\mapsto (x,x)} で定義される。対角写像の像 Δ(X) が X × X の閉集合になるとき、X は分離的 (separated) であるという。分離的な代数多様体の部分多様体は分離的である。2つの分離的な代数多様体の積多様体も分離的である。アフィン代数多様体は分離的である。また、射影代数多様体は分離的である。従って、準射影代数多様体は分離的である。
また、任意の代数多様体 Y に対して、射影 X × Y → Y による任意の閉集合の像が閉集合になるとき、分離的な代数多様体 X は完備 (complete)、または k 上固有 (proper over k) であるという。固有な代数多様体の閉部分多様体はまた固有である。2つの固有な代数多様体の積も固有である。射影空間は固有である(消去法 (elimination theory) の基本定理)。従って、射影代数多様体は固有である。
代数多様体はザリスキー位相を持っているので、位相空間論の意味で分離的(ハウスドルフ的)ではあり得ない。上に述べた分離性、固有性は、位相空間論で言うところの、ハウスドルフ性、およびコンパクト性の代数多様体のコンテクストでの正しいアナロジーである。
t ↦ ( x 1 , x 2 ) = ( 1 − t 2 1 + t 2 , 2 t 1 + t 2 ) {\displaystyle t\mapsto (x_{1},x_{2})=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}
によって、1変数有理関数体 C(t) と同型になる。C(t) は射影直線 P C 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} の関数体にほかならないので、この X と P C 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}} は本質的に同じ図形と見なされるべきである。更に Y ⊂ P C 2 {\displaystyle Y\subset \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}} を x 0 x 2 2 − x 1 3 − x 0 x 1 2 = 0 {\displaystyle x_{0}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}-x_{0}x_{1}^{2}=0} で定めると、関数体 C(Y) は C ( x 1 ) [ x 2 ] / ( x 2 2 − x 1 3 − x 1 2 ) {\displaystyle \mathbb {C} (x_{1})[x_{2}]/(x_{2}^{2}-x_{1}^{3}-x_{1}^{2})} で与えられるけれども対応 t ↦ ( x 1 , x 2 ) = ( t 2 − 1 , t ( t 2 − 1 ) ) {\displaystyle t\mapsto (x_{1},x_{2})=(t^{2}-1,t(t^{2}-1))} によってこれも1変数有理関数体 C(t) と同型になる。