アポロニウスの問題
アポロニウスの問題は、10の特別なケースがあり、円(Circle, C)、直線(Line, L)、点(Point, P)などの「与えられた3つのオブジェクト」の性質によって分類される。慣習的に、これらの10のケースは、CCPなどの3文字のコードで区別される。ビエトはこれら10のケースすべてに対して、コンパスと定規のみを使った作図問題を解決した。ビエトは、似たケースの解法を、より複雑なケースを解くのに利用した。
ビエトはPPP(3つの点)のケースを、ユークリッドの原論に記載されている手法に従って解くことから始めた。ここから、ビエトは方べきの定理に相当する補題を得た。ビエトはこの補題を用いて、LPP(1本の直線と2つの点)のケースを解決した。再度ユークリッドの手法に従い、角の二等分線定理(英語版)を用いて、ビエトはLLL(3本の直線)のケースを解決した。そして、ビエトは、1点を通り、角の二等分線に対して垂直な直線を描くための補題を得た。そしてこれを、ビエトはLLP(2本の直線と1つの点)のケースを解くために用いたのである。以上はアポロニウスの問題の最初の4つのケース(これらのケースは円を含まない)を説明するものである。
− 2 ( X 1 ∣ X 2 ) = | c 1 − c 2 | 2 − ( s 1 r 1 − s 2 r 2 ) 2 {\displaystyle -2(X_{1}\mid X_{2})=|\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}|^{2}-(s_{1}r_{1}-s_{2}r_{2})^{2}}
が成り立つことが分かる。ただし、c1 − c2 を挟む縦棒はこの差ベクトルの長さ(すなわちユークリッドノルム)を表す。この式から分かることは、二次曲線上の二ベクトル X1, X2 が互いに直交する(垂直である)ならば(つまり (X1 | X2) = 0 ならば)、対応する円は接するということである。このとき、もし 2 つの符号 s1, s2 が同じ(即ち、二円が同じ "向き")ならば二つの円は内接し、
| c 1 − c 2 | 2 = ( r 1 − r 2 ) 2 {\displaystyle |\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}|^{2}=(r_{1}-r_{2})^{2}}
ゆえ、これら二円の中心間の距離は半径の差に等しい。対照的に、二つの符号 s1, s2 が相異なる(即ち、二円の "向き" が逆)ならば二円は外接し、
これゆえに、ビエトの解法はアポロニウスの問題の説得力ある再構成であると考えられている。ただし、ビエトのものとは異なる再構成が、3人の異なる著者によって独立に発表されている。
アポロニウスの問題に対する他の幾何学的解法は19世紀に開発された。もっとも有名な解法は Poncelet (1811) によるものである。また、Gergonne (1814) による解法も有名なもののひとつである。ポンスレの証明は円の相似中心(英語版)や、方べきの定理に依るものであったのに対して、ジェルゴンヌの手法は直線と円の軸(英語版)の間の結合関係を利用した。円の反転を用いた手法は1879年のジュリウス・ピーターセンによるものが先駆けとなった。ひとつの例としては、コクセターによるAnnual solution methodである。また、さらに別のアプローチとしてはリー球面幾何学(英語版)を用いたものが挙げられる。なお、これはソフス・リーによって開発されたものである。
アポロニウスの問題に対する代数学的解法は17世紀にルネ・デカルトとフォン・デア・プファルツによるものが先駆けとなった。なお、デカルトとフォン・デア・プファルツの解法はかなり複雑である。実際的な代数的手法は、18世紀・19世紀に一部の数学者によって開発された。この数学者にはレオンハルト・オイラーや、ニコラス・ファス(英語版)、カール・フリードリヒ・ガウス、ラザール・カルノー、そしてオーギュスタン=ルイ・コーシーが含まれる。