相対論的力学
となって共役運動量は4元運動量に一致する。
拘束条件を用いてラグランジュ関数から補助変数 e を消去すれば
L X ( X ̇ ) = − m c − X ̇ μ X ̇ μ = − m c 2 d τ d λ {\displaystyle L_{X}({\dot {X}})=-mc{\sqrt {-{\dot {X}}^{\mu }{\dot {X}}_{\mu }}}=-mc^{2}{\frac {d\tau }{d\lambda }}}
であり、作用汎関数は
S X [ X ] = − m c ∫ − X ̇ μ X ̇ μ d λ = − m c 2 ∫ d τ {\displaystyle S_{X}[X]=-mc\int {\sqrt {-{\dot {X}}^{\mu }{\dot {X}}_{\mu }}}d\lambda =-mc^{2}\int d\tau }
となり、粒子が時空上に描く世界線の長さに比例する。