汎函数計算
f が函数(実数を変数に持つという意味で数値的な函数)で、M が作用素であるとき、形式的に組み立てられた数式 "f(M)" が意味を持ち何を表すべきものであるか、ということについてはそもそも必然的な理由というものが存在しない。また、仮にそういった理由があったとしても、ここで用いた函数 f は、既にもともとの数値的な f とは定義域が違ってしまう(ある種の記号の濫用)。これは例えば演算子法において、作用素(演算子)に関する代数的な数式が作用素それ自体の持つ意味とは無関係に単に記号的に扱われることと似た状況である。しかし例えば、数値的な函数 f(x) = x と n×n 行列 M を考えた場合に、特に抵抗なく代入が行われて「行列の平方をとる」というような言い回しをしたりすることが通用しているのも事実である。こういった意味で、汎函数計算の概念というのは、ある種の概念の上書き(オーバーロード)についての「原理的な」手法を作り出すことになっていると受け取らねばならない。
いま言った例を推し広げて、最も直ちに考え付くのは正方行列に多項式函数を適用するという事例である。話が有限次元の場合であるならば、この多項式汎函数計算から得られる作用素の情報というのは極めてたくさんある。例えば、ある作用素 T を零化するような多項式族を考えると、この族は多項式環のイデアルであり、さらに言えば非自明なイデアルである(零化イデアル)。