モンストラス・ムーンシャイン
1987年、ノートンはクイーンの結果と自身の計算を組み合わせ、一般ムーンシャイン予想を定式化した。この予想は、モンスター群の各々の元 g、次数付きベクトル空間 V(g)、各々の元と元の交換子 (g, h) に対して、以下の条件を満たす上半平面上の正則函数 f(g, h, τ) を関係づける規則が存在するという予想である。
各々の V(g) は、M の元である g の中心化元の次数付き射影表現である。
各々の f(g,h,τ) は、定数函数かもしくは、Hauptmodul である。
各々の f(g,h,τ) は、M の元 g, h の同時共役の下に不変である。
各々の (g,h) に対して、f(g,h,τ) の表現が次数付きトレースによって与えられるような、V(g) 上の線型変換への h のリフトが存在する。
任意の ( a b c d ) ∈ S L 2 ( Z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbf {Z} )} に対し、 f ( g , h , a τ + b c τ + d ) {\displaystyle f\left(g,h,{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)} は f ( g a h c , g b h d , τ ) {\displaystyle f\left(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau \right)} に比例する。
フレンケル・レポウスキー・ミュールマンの構成では主に2つのツールを用いる。
ランク n の偶の格子 L の格子頂点作用素代数 VL の構成。物理学の言葉では、これはトーラス R/L 上のコンパクト化されたボゾン弦のカイラル代数である。カイラル代数は、大まかには、n-次元の振動子表現を持つ L の群環のテンソル積として記述される(可算無限個の生成子を持つ多項式環と同型となる)問題のケースでは、L をランクが 24 のリーチ格子(英語版)(Leech lattice)とする。
軌道体(英語版)(orbifold)の構成。 物理学の言葉では、これは商軌道体の上を伝搬するボゾン弦を記述する。フレンケル・レポウスキー・ミュールマンの構成は、最初は共形場理論の中に現れる軌道体であった。リーチ格子の -1 対合について、VL の対合 h と、既約な h-ツイストした VL加群(これは h をリフトする対合の性質を引き継ぐ)が存在する。ムーンシャイン加群を得るには、VL とそのツイストした(英語版)加群の直和における、h の不動点の部分空間をとればよい。
フレンケル、レポウスキー、ミュールマンは、ムーンシャイン加群の頂点作用素代数としての自己同型群は M であり、その次数次元は j のフーリエ展開を与えることを示した。
特に m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} についてのワイルの分母公式(Weyl denominator formula)は正確に小池・ノートン・ザギエ恒等式に一致する。
リー代数ホモロジー(英語版)とアダムズ作用素(英語版)を使うことにより、各々の元に対してツイストされた分母公式を与える。これらの恒等式は、小池・ノートン・ザギエ恒等式を j に関連付けるのとほぼ同じ方法で、マッカイ・トンプソン級数 Tg に関連付ける。
ツイストされた分母公式から、Tg の係数上の再帰的な関係式が導かれる。これらの関係式は、最初の 7つの項がコンウェイとノートンにより与えられた函数に一致することを確認するだけでよいほど、十分に強力である。
このようにして、証明は完成した。ボーチャーズが後に語る所によると「ムーンシャイン予想を証明した際、私はまさに月をも飛び超えるほどの舞い上がり様でした。」「ある種の薬物を摂取した人の感じる気分とはこれの事なのかと、偶に思ったりもします。その仮説を検証した事は無いので、定かではありませんが。」