ザックール・テトローデ方程式
となる。
温度 T に依存する熱的ド・ブロイ波長
Λ = h 2 π m k T {\displaystyle \Lambda ={\frac {h}{\sqrt {2\pi mkT}}}}
を用いると、ザックール・テトローデ方程式は
S N k = ln  V N Λ 3 + 5 2 {\displaystyle {\frac {S}{Nk}}=\ln {\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}+{\frac {5}{2}}}
と簡潔に表すことができる。
この方程式によりエントロピーが定数を含めて定まり、熱測定から求めた第三法則エントロピーと比較することで、ミクロな定数の組み合わせ mkh を決定することが出来る。
温度を絶対零度まで近づけていくと、ザックール・テトローデ方程式のエントロピーは負の無限大に発散してしまい、絶対零度でエントロピーはゼロであると主張する熱力学第三法則に反する。この方程式は古典領域(十分に高温)では良く成立するが、低温では破綻する。
統計力学を使わずに熱力学から導いた理想気体のエントロピーは
S = C p ln  T − n R ln  p + n R ( 5 2 + i ) {\displaystyle S=C_{p}\ln T-nR\ln p+nR\left({\frac {5}{2}}+i\right)}
となる。ここからヘルムホルツエネルギーは
F = − k T ln  Z = − N k T ln  V N Λ 3 − N k T {\displaystyle F=-kT\ln Z=-NkT\ln {\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}-NkT}
となる。ここで階乗の対数はスターリングの近似 ln N! ≈ NlnN − N を用いて評価している。従って、エントロピーは
S = − ∂ F ∂ T = N k ln  V N Λ 3 + 5 2 N k {\displaystyle S=-{\frac {\partial F}{\partial T}}=Nk\ln {\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}+{\frac {5}{2}}Nk}
となり、ザックール・テトローデ方程式が導かれる。
さらに圧力は
p = − ∂ F ∂ V = N k T V {\displaystyle p=-{\frac {\partial F}{\partial V}}={\frac {NkT}{V}}}
となり、この系が理想気体の状態方程式を満たすことが分かる。また、内部エネルギーは
U = F + T S = 3 2 N k T {\displaystyle U=F+TS={\frac {3}{2}}NkT}
となる。