超準解析
↑ Colombeau, J. F., New Generalized Functions and Multiplication of the Distributions. North Holland, Amsterdam, 1984.
↑ Colombeau, J. F., Elementary introduction to new generalized functions. North-Holland, Amsterdam, 1985.
↑ M.Oberguggenberger, H.Vernaeve. Internal sets and internal functions in Colombeau theory, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 341(1), 649-659 (2008)
↑ Todorov, T.D. Colombeau’s Generalized Functions and Non-Standard Analysis, in book: Bogoljub Stanković, Endre Pap, Stevan Pilipović, Vasilij S. Vladimirov, eds. Generalized Functions, Convergence Structures, and Their Applications, Springer, 1988.
↑ 磯野優介『超準解析入門-超実数と無限大の数学-』数学入門公開講座テキスト、京都大学数理解析研究所、2017年、21-25頁。
↑ Salbany, S.; Todorov, T. Nonstandard Analysis in Point-Set Topology. Erwing Schrodinger Institute for Mathematical Physics.
↑ Chang, C. C.; Keisler, H. J. Model theory. Third edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xvi+650 pp. ISBN 0-444-88054-2
↑ 中村徹(1997)『超準解析とファインマン経路積分』河合文化教育研究所
↑ 中村徹, 超準解析による経路積分, 数理解析研究所講究録 982, 115-125 (1997)
↑ Allen Bernstein and Abraham Robinson, Solution of an invariant subspace problem of K. T. Smith and P. R. Halmos, Pacific Journal of Mathematics 16:3 (1966) 421-431
↑ P. Halmos, Invariant subspaces for Polynomially Compact Operators, Pacific Journal of Mathematics, 16:3 (1966) 433-437.
↑ L. van den Dries and A. J.
定理. 区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上の実数値関数 f {\displaystyle f} が連続であるのは、区間 ∗ [ a , b ] {\displaystyle {}^{\ast }[a,b]} 内のどんな超実数 x {\displaystyle x} に対しても ∗ f ( x ) = f ( s t ( x ) ) {\displaystyle {}^{\ast }f(x)=f(\mathrm {st} (x))} が成り立つとき、かつそのときに限る。(詳しく微小連続の項を参照)
同様に、
定理. 実数値関数 f {\displaystyle f} が実数値 x {\displaystyle x} において微分可能であるのは、任意の無限小超実数 h {\displaystyle h} に対して、標準部
f ′ ( x ) = st  ( ∗ f ( x + h ) − ∗ f ( x ) h ) {\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}\right)}
が存在し(つまり括弧内の差分商が有限値で)かつ h {\displaystyle h} に依存しないとき、かつそのときに限る。このとき f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} は実数であり、 f {\displaystyle f} の x {\displaystyle x} における微分となる。
相異なる2つの実数の差が無限に小さくなることはないという [...] 異論に対して、ゴットフリート・ライプニッツは、無限小の理論は理想的数――それは実数と比較して無限に小さかったり無限に大きかったりするものであるが、後者(訳注:実数)と同じ性質を有する――の導入を含意するものであると主張した。
ロビンソンはこのライプニッツの連続性の原理(英語版)は移行原理(英語版)の先駆けであるとしている。ロビンソンは次のように続ける:
しかしながら、彼も、彼の弟子たちや後継者たちも、このようなシステムに繋がる合理的な進展(訳注:そのような原理を合理化するもの)を得なかった。その結果、無限小の理論は徐々に評判を落としてゆき、最終的には古典的な極限の理論に取って代わられた。
ロビンソンはさらに次のように続ける:
本書では、ライプニッツのアイデアが完全に正当なものであり、古典解析やその他の多くの数学の分科に対する新奇で実りあるアプローチに繋がることを示す。我々の方法の鍵は、現代モデル理論の基盤にある、数学の言語と数学的構造との間の関係の詳細な分析によって齎される。
1973年、直観主義者アレン・ハイティングは超準解析を「重要な数学的研究の標準モデル」だと賞賛した。
測度論への応用としてはピーター・ローブ(英語版)によるローブ測度の構成が顕著である。これは測度論を用いる他の分野への応用の端緒となったものである。確率過程の理論への超準解析の応用(ブラウン運動をランダムウォークとして構成するものなど)はそのような応用の例であり、Albeverio et.al.はこの研究領域への優れた導入が含まれる。近接分野への応用としては、釜江による個別エルゴード定理の超準的証明がある。
Glenn ShaferとVladimir Vovkは、ゲーム論的確率論(離散的な時間軸上で繰り返される賭けゲームを基礎とする確率論)を連続時間確率過程の研究に接続するため、超準的手法を用いた。