ゾンマーフェルト展開
フェルミ分布のモーメント母関数は以下のような形である。
∫ − ∞ ∞ d ε 2 π e τ ε / 2 π { 1 1 + e β ( ε − μ ) − θ ( − ε ) } = 1 τ { ( τ T 2 ) sin  ( τ T 2 ) e τ μ / 2 π − 1 } , 0 < τ T / 2 π < 1. {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}e^{\tau \epsilon /2\pi }\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{\tau }}\left\{{\frac {({\frac {\tau T}{2}})}{\sin({\frac {\tau T}{2}})}}e^{\tau \mu /2\pi }-1\right\},\quad 0<\tau T/2\pi <1.}
ここで、 k B T = β − 1 {\displaystyle k_{\rm {B}}T=\beta ^{-1}} であり、ヘヴィサイドの階段関数 − θ ( − ε ) {\displaystyle -\theta (-\epsilon )} は発散的な絶対零度分布を引き去っている。これを τ {\displaystyle \tau } のべき乗で展開した結果の一部を以下に示す。
Sommerfeld, A. (1928). “Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik”. Zeitschrift für Physik 47: 1–3. Bibcode: 1928ZPhy...47....1S. doi:10.1007/BF01391052.
Ashcroft, Neil W. (1976). Solid State Physics. Thomson Learning. p. 760. ISBN 978-0-03-083993-1.