形式的に実な体
順序体は必ず形式的に実である。実際、順序体において任意の平方元は正であり、その和もやはり正となるが、対して −1 は正元でない。
逆はアルティンとシュライヤーが真であることを示した。即ち、
F が形式的実体ならば適当な順序 ≤ を導入して (F,≤) を順序体にすることができる。
実際、F の平方元の和全体の成す部分集合 S は前正錐 (prepositive cone) を成すから、ツォルンの補題により S を含み −1 を含まない極大な前正錐として正錐 P が得られる。このとき順序 ≤ を
a ≤ b ⇔ b − a ∈ P
と定めれば (F,≤) は順序体になる。