スペクトル系列
となっている。この2番目のページの微分の次数は (-2, 1) なので、微分は
d p , q 2 : E p , q 2 → E p − 2 , q + 1 2 {\displaystyle d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}}
という形をしていて、
d 0 , q 2 : E 0 , q 2 → 0 {\displaystyle d_{0,q}^{2}:E_{0,q}^{2}\to 0} , d 1 , q 2 : E 1 , q 2 → 0 {\displaystyle d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0}
なので、微分は全て零写像となっている。したがって、 E ∞ = E 2 {\displaystyle E^{\infty }=E^{2}} が成り立ち、このスペクトル系列は"退化"している。さて、このスペクトル系列が H ∗ {\displaystyle H_{*}} に収束し、そのフィルトレーションが
0 = F − 1 H n ⊂ F 0 H n ⊂ ⋯ ⊂ F n H n = H n {\displaystyle 0=F_{-1}H_{n}\subset F_{0}H_{n}\subset \dots \subset F_{n}H_{n}=H_{n}}
B ∞ p , q = ⋃ r = 0 ∞ B r p , q = ⋃ r = 0 ∞ ( im d p , q − r : F p − r C p + q − 1 → C p + q ) ∩ F p C p + q {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }({\mbox{im }}d^{p,q-r}:F^{p-r}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}
を考える。この表示から Z ∞ p , q {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}} について何が言えるか考えるために、フィルトレーションは分離的と仮定していたことを思い出そう。この仮定から、r が大きくなると、(最初の式に出てくる)核は縮小していき Z ∞ p , q = ker  ( F p C p + q → C p + q + 1 ) {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1})} となる。
もう一つの典型的なスペクトル系列は2重複体のスペクトル系列である。2重複体(double complex)とは、全ての整数 i と j を添え字に持つ対象 Ci,j の集まりと、2つの微分 d と d の組を合わせたものである。d は i を減少させ、d は j を減少させるものとする。さらに、 微分は反可換(anticommute)、つまり d d + d d = 0 とする。目標は、2つのホモロジーのホモロジー、 H i I ( H j I I ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))} と H j I I ( H i I ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))} を比較することである。このために、2重複体に2つの異なる方法でフィルトレーションをいれる。次がそのフィルトレーションである:
( C i , j I ) p = { 0 if i < p C i , j if i ≥ p {\displaystyle (C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{if }}i\geq p\end{cases}}}
を得る。あとはこの列が A と C のところで完全であることを示せばよい。さきのスペクトル系列は、微分の2重次数は (2, −1) であるから、E2 項で退化することに注意する。したがって、E2 項は E∞ 項と一致するので、
E 2 p , q ≅ gr p H p + q ( B ∙ ) = { 0 if p < 0 or p > 1 H q ( B ∙ ) / H q ( A ∙ ) if p = 0 im H q + 1 f ∙ : H q + 1 ( A ∙ ) → H q + 1 ( B ∙ ) if p = 1 {\displaystyle E_{2}^{p,q}\cong {\text{gr}}_{p}H^{p+q}(B^{\bullet })={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\{\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}}
が成り立つ。E2 項は、これに加えて E1 項のホモロジーとしての直接的な記述を持つ。
今の次数のない簡単な例では r0 に重要性は無かったが、実際には、ほとんどのスペクトル系列は環 R 上の2重次数つきの加群(や環の層上の2重次数つきの加群の層)の圏から生じる。このような場合は、シート1枚は2重次数つき加群であり、したがって2重次数1つにつき項が1つあり、シートはその直和に分解する。シートの各項の境界写像の直和として、シートの境界写像が定義される。その次数は r に応じて慣習的に固定されている。ホモロジー的なスペクトル系列の場合は、項は E p , q r {\displaystyle E_{p,q}^{r}} と書かれ、微分の 2重次数(bidegree)は (− r,r − 1) である。コホモロジー的なスペクトル系列の場合は、項は E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} と書かれ、微分の 2重次数 は (r, 1 − r) である。(この2重次数の選び方は現実に自然に生じるものに即したものになっている。後段の2重複体についての例を参照のこと。)スペクトル系列によって、最初のシートの境界写像は r = 0、 r = 1、もしくは r = 2 に対応する次数を持つ。例えば、後で説明するフィルターつき複体のスペクトル系列では r0 = 0、グロタンディーク・スペクトル系列(英語版)の場合は r0 = 2 である。r0 は 0, 1, 2のいずれかであることが多い。
スペクトル系列の極めて典型的な例はフィルターつきの(英語版)双対鎖複体から得られる。これは、双対鎖複体 C であって、全ての整数 p に対して部分複体 FC が定義されており、境界写像はフィルトレーションと両立している、つまり d(FC) ⊆ FC が成り立つものである。(現実の例では p は上か下かどちらか片方で有界であることが多い。)フィルトレーションは減少している、つまり FC ⊇ FC と仮定する。双対鎖複体の項に対応する数字は n で表すことにする。あとではさらに、フィルトレーションはハウスドルフ(分離的とも言う)、つまり FC の全ての共通部分をとるとゼロであり、フィルトレーションは覆い尽くしている(exhaustive)、つまり FC の全ての和集合をとると鎖複体 C 全体となることを仮定する。
フィルトレーションは0への近さを測るものとして便利である。p が大きくなるにつれて、FC はゼロに近づいていく。このフィルトレーションから、あとのシートに行けば行くほどコバウンダリとコサイクルが元の複体のコバウンダリとコサイクルに近づいていくスペクトル系列が作れる。このスペクトル系列は、フィルター次数 p と補充次数(complementary degree)q = n − p で2重に次数づけられたものである。(補充次数は全次数 n よりも便利な添字であることが多い。例えば、あとで説明する2重複体のスペクトル系列の場合にそうである。)
このスペクトル系列を手作業で作ってみよう。
2重次数つきのスペクトル系列は膨大な量の把握すべきデータを持つが、これを視覚的に捉えるために広く使われている表示方法がある。r、p、q を2重次数つきスペクトル系列の3つの添字とする。r ごとに、方眼紙が1枚あると想像しよう。このシートの上で、p は水平方向、q は垂直方向の位置を表しているとしよう。そして、各マス目に対象 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} が置いてあると考えるのである。
n = p + q と置いて、これをスペクトル系列のもう一つの別の自然な添字とすることもよく行われる。n は各シートにおいて北西から南東に対角的に走る。ホモロジー的な場合には、微分は2重次数 (−r, r − 1) を持つので、n は1減る。コホモロジー的な場合には n は1増える。r が0の場合は、微分は下もしくは上に1マス先にいる対象へ向かい、鎖複体の微分と同様になっている。r が1の場合は、微分は左もしくは右に1マス先にいる対象に向かう。r が2の場合は、微分はチェスのナイトが移動する位置にいる対象へ向かう。より大きな r の場合は、微分は一般化されたナイトが移動する位置にいる対象へ向かう。
このスペクトル系列は2番目のページで退化するとは限らないが、3番目のページでは微分の次数が (-3, 2) なのでそのページで退化する。分母がゼロであることに注意すると、 E p , 0 3 = ker  ( d : E p , 0 2 → E p − 2 , 1 2 ) {\displaystyle E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})} が分かる。同様に、 E p , 1 3 = coker  ( d : E p + 2 , 0 2 → E p , 1 2 ) {\displaystyle E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})} が分かる。したがって、
0 → E p , 0 ∞ → E p , 0 2 → d E p − 2 , 1 2 → E p − 2 , 1 ∞ → 0 {\displaystyle 0\to E_{p,0}^{\infty }\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to E_{p-2,1}^{\infty }\to 0}
が成り立つ。先程の例と同様に、スペクトル系列がフィルトレーション F を持つ H に収束したとする。