非線型シグマモデル
ワールドシートと名付けられた 2次元の多様体が求められる弦理論に、このモデルが適合することが明らかとなっている。この一般化された繰り込み性の価値は、ダニエル・フリーダン(英語版)(Daniel Friedan)により示された。理論が摂動論の主要項のオーダーで
λ ∂ g a b ∂ λ = β a b ( T − 1 g ) = R a b + O ( T 2 ) , {\displaystyle \lambda {\frac {\partial g_{ab}}{\partial \lambda }}=\beta _{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^{2})~,}
という形の繰り込み群方程式を持つことを、彼は示した。ここの Rab は対象多様体のリッチテンソルである。
このことは、固定点を持つ対象多様体のアインシュタイン場の方程式に従うリッチフローを表している。摂動論のこのオーダーでの共形不変性は、量子補正のために失われることはなく、このモデルの量子場理論は正しいくりこみであることを認めると、そのような固定点の存在は適切となる。
さらに非線型な相互作用を追加すると、フレーバーカイラルアノマリーは、WZWモデルとして結果する。このモデルはくりこみ性を保存し、テレパラリズム(英語版)(teleparallelism)も考えに入れた赤外固定点(英語版)(infrared fixed point)を導き、捩率テンソルを含むフローの幾何学を議論することとなる ("geometrostasis")。
このモデルは、無限遠点でラグランジアン密度が 0 となる( n ^ = {\displaystyle {\hat {n}}=} 定数 を意味する)ので、トポロジカルな有限な作用の解を持つ。従って、有限作用解のクラスでは、無限遠点をひとつの点をみなすことができる、つまり、時空はリーマン球面と同一視することができる。
n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} の場は、同様に球面上にあり、写像 S 2 → S 2 {\displaystyle S^{2}\to S^{2}} は、明らかに、2次元球面の第二ホモトピー群により分類される解である。これらの解は O ( 3 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(3)} インスタントン(英語版)(instanton)と呼ばれる。
トポロジカルな性質のため特に興味の持たれている例は、ラグランジアン密度
L = 1 2 ∂ μ n ^ ⋅ ∂ μ n ^ {\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}}
を持つ次元 1 + 1 の中の O ( 3 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(3)} 非線型シグマモデルである。ここに n ^ = ( n 1 , n 2 , n 3 ) {\displaystyle {\hat {n}}=(n_{1},n_{2},n_{3})} であり、拘束条件 n ^ ⋅ n ^ = 1 {\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\hat {n}}=1} を持ち、μ = 1, 2 とする。