完全加法的集合関数
加法的集合関数の一例として、実数全体の成す集合 R の冪集合 P(R) 上で定義される次のような関数 μ が考えられる:
μ ( A ) = { 1 if 0 ∈ A 0 if 0 ∉ A . {\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}
A1, A2, ..., Ak, ... を、R に含まれる互いに素な集合の列とする。このとき、それらのどれも 0 を含まないか、どれか一つだけが 0 を含む二通りの場合が考えられる。いずれの場合でも、等号
μ ( ⋃ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( A n ) {\displaystyle \mu \!\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}
が成り立つため、μ はσ-加法的関数である。
σ-加法的関数のその他の例については、測度および符号付測度の記事を参照されたい。
有限加法的であるが σ-加法的でない関数の例として、上述の例から少し変更を加えた、次のような実数の冪集合で定義される関数 μ が考えられる: