KdV方程式
KdV方程式の係数のとり方はいくつかの流儀が存在するが、いずれも適当な変数変換の下で、互いに移り変われる。例えば、u → −u なる変換による
u t − 6 u u x + u x x x = 0 {\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}
や u → u/6 なる変換による
u t + u u x + u x x x = 0 {\displaystyle u_{t}+uu_{x}+u_{xxx}=0}
もよく用いられる。
KdV方程式の研究の歴史は、1834年、造船技師スコット・ラッセル(英語版)がエジンバラ郊外の運河で孤立波を観察したことに遡る。彼は艀用の狭い運河のそばで馬に乗っているときに、孤立波が運河を伝播する様子を偶然、目撃した。彼はその時の状況を次のように記している。
造船技師かつ流体力学の研究者であった彼は、実験用の水槽を作り、研究を進めた。そして、次の結果を得た。
浅水波の伝播において、孤立波(永久型の長波)が存在する。
一定水深の水路において、孤立波の速度は v = √g(h + η) で与えられる。ここで g は重力加速度、η は静止した状態の流体水面から測った波の高さ、h は静止流体の深さである。この研究結果は、ケルヴィン卿、ストークス、ブシネスク(英語版)、エアリーといった当時の科学者の間で、孤立波の存在についての大きな論争を起こした。特にエアリーは孤立波の存在に否定的であった。孤立波の存在に最終決着がつくのは、スコット・ラッセルの観測から60年経った後であった。
1895年、コルトヴェーグ(英語版) (D. Korteweg) とド・フリース(英語版) (G.