線型写像
恒等写像(値を変えない写像)および零写像(全てを零ベクトルへ写す写像:0-値函数)は何れも線型である。
実函数 f(x) ≔ ax (a は定数) は線型である。 実函数 f(x) ≔ x + 1 は線型でない(がアフィンにはなる)。線型変換は原点を変えない。 実函数 f(x) ≔ x は線型でない。
m × n 実行列 A は列ベクトル x ∈ R を列ベクトル Ax ∈ R へ写す線型写像を定める。逆に、有限次元ベクトル空間の間の任意の線型写像は(それぞれの空間の基底を一つ固定するとき)行列で表現される。またこのとき、線型写像 f をその表現行列 Af へ写す写像(行列表現)はそれ自身が線型写像になる(後述)。
M ≔ M(n, R) を n 次実正方行列の全体がなす n 次元ベクトル空間とする。x ∈ M に対し、写像 ad x: M → M を adx(y) ≔ xy − yx で定義すると、ad x は線型写像である。