合同関係
代数的構造が 1 つよりも多くの演算を持つとき、合同関係は各演算と両立することを要求される。例えば、環は加法と乗法を両方持ち、環上の合同関係は、r1 ≡ r2 かつ s1 ≡ s2 であるときにはいつでも、
r1 + s1 ≡ r2 + s2 および r1s1 ≡ r2s2
を満たさなければならない。環上の合同に対して、0 を含む同値類はいつも両側イデアルであり、同値類の集合上の 2 つの演算は対応する商環を定義する。
合同関係の一般の概念は普遍代数学、すべての代数的構造に共通するアイデアを研究する分野、の文脈において正式な定義を与えることができる。この設定において、合同関係は次を満たす代数的構造上の同値関係 ≡ である。すべての n-項演算 μ と、各 i に対して ai ≡ ai′ を満たすすべての元 a1,...,an,a1′,...,an′ に対して、
μ(a1, a2, ..., an) ≡ μ(a1′, a2′, ..., an′)