フォン・マンゴルト関数
フォン・マンゴルト関数は、以下の恒等式を満たす。
log  ( n ) = ∑ d ∣ n Λ ( d ) {\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d)}
和は n のすべての約数 d を渡る。この恒等式は、素数の累乗ではない項が0に等しいことから、算術の基本定理によって証明される。たとえば、n = 12 = 2 × 3の場合を考える。すると
∑ d ∣ 12 Λ ( d ) = Λ ( 1 ) + Λ ( 2 ) + Λ ( 3 ) + Λ ( 4 ) + Λ ( 6 ) + Λ ( 12 ) = Λ ( 1 ) + Λ ( 2 ) + Λ ( 3 ) + Λ ( 2 2 ) + Λ ( 2 × 3 ) + Λ ( 2 2 × 3 ) = 0 + log  ( 2 ) + log  ( 3 ) + log  ( 2 ) + 0 + 0 = log  ( 2 × 3 × 2 ) = log  ( 12 ) .