メビウス変換
実ミンコフスキー空間は、実数の順序四つ組 (x0, x1, x2, x3) 全体からなる四次元座標空間 R に二次形式
Q ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = x 0 2 − x 1 2 − x 2 2 − x 3 2 {\displaystyle Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}
をあわせて考えたものである。特殊相対論の用語を借りれば、Q > 0 となる点は時間的 (timelike) であると考えられ、さらに x0 > 0 となる点は未来方向 (future-pointing) であるという。また、Q < 0 となる点は空間的 (spacelike) であるという。零錐 (null cone) S は Q = 0 なる点全体の成す集合をいい、未来方向零錐 (future null cone) N は零錐の中でも x0 > 0 なる点全体から成る。したがって、天球は R の原点を始点とする N 内の半直線全体の成す集合と同一視される。行列式が正で二次形式 Q と時間方向を保つ R 上の線型変換全体の成す集合は制限ローレンツ群 SO(1, 3) を成す。
天球の幾何学に関して、その変換群 SO(1, 3) はスピノル上のスピン群の作用を見ることにより、メビウス変換の群 PSL(2, C) と同一視される (Penrose & Rindler 1986)。各 (x0, x1, x2, x3) ∈ R に対して、エルミート行列
すなわち、写像 π の核は単位行列 I のスカラー倍全体から成り、群の第一準同型定理から剰余群 GL(2, C)/(CI) がメビウス群に同型となることがわかる。さてこの剰余群は、一般射影線型群として知られ、通例 PGL(2, C) で表される。ここに、群の同型
Aut ( C ^ ) ≅ P G L ( 2 , C ) {\displaystyle {\mbox{Aut}}({\hat {\mathbb {C} }})\cong {\mathit {PGL}}(2,\mathbb {C} )}
が得られたことになる。同様にして任意の体 K 上で、射影線型群 PGL(2, K) と射影分数変換全体の成す群、あるいは射影直線を保つ射影線型自己同型全体の成す群とが同一視できる。これは、特に K が有限体のとき、代数学的に意味のある事実である。一方、複素数体の場合は幾何学的に非常に重要である。
PGL(2,C) による複素射影直線 CP への自然な作用は、射影直線 CP とリーマン球面とを
[ z 1 : z 2 ] ↔ z 1 / z 2 {\displaystyle [z_{1}:z_{2}]\leftrightarrow z_{1}/z_{2}}
なる対応で同一視することにより、メビウス群のリーマン球面への作用にちょうど一致する。ここで、 [z1 : z2] は CP 上の斉次座標であり、点 [1 : 0] がリーマン球面上の無限遠点 ∞ に対応する。