球冠
V {\displaystyle V} の式は、n次元球体単位の体積 C n = π n / 2 / Γ [ 1 + n 2 ] {\displaystyle C_{n}={\scriptstyle \pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}} や超幾何関数 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}} 、正規化不完全ベータ関数 I x ( a , b ) {\displaystyle I_{x}(a,b)} を用いて
V = C n r n ( 1 2 − r − h r Γ [ 1 + n 2 ] π Γ [ n + 1 2 ] 2 F 1 ( 1 2 , 1 − n 2 ; 3 2 ; ( r − h r ) 2 ) ) = 1 2 C n r n I ( 2 r h − h 2 ) / r 2 ( n + 1 2 , 1 2 ) {\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)} と表すことができ、
以下の議論ベースの計算とは別であるが、球冠の表面積は直感的な議論により球面扇形の体積 V s e c {\displaystyle V_{sec}} から導出することができる。
A = 3 r V s e c = 3 r 2 π r 2 h 3 = 2 π r h . {\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.}
直感的な議論は、総体積を無限小の三角錐の総体積を合計することに基づいている。角錐の体積の式 V = 1 3 b h ′ {\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'} ( b {\displaystyle b} は各角錐の底面(球体の表面にある)の無限面積で、 h ′ {\displaystyle h'} は底面から頂点(球の中心)までの各角錐の高さ)を用いる。極限をとったときの各 h ′ {\displaystyle h'} は定数であり、球の半径 r {\displaystyle r} と等しいため、無限小の角錐の底面積の合計は球冠の表面積に等しくなる。
V s e c = ∑ V = ∑ 1 3 b h ′ = ∑ 1 3 b r = r 3 ∑ b = r 3 A {\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}
“Volume of the intersection of three spheres of unequal size: a simplified formula”. The Journal of Physical Chemistry 91 (15): 4121–4122. doi:10.1021/j100299a035.
Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). “Exact calculation of the volume and surface area of fused hard-sphere molecules with unequal atomic radii”. Molecular Physics 62 (5): 1247–1265. Bibcode: 1987MolPh..62.1247G. doi:10.1080/00268978700102951.
Petitjean, Michel (1994). “On the analytical calculation of van der Waals surfaces and volumes: some numerical aspects”.
一般的に、 n {\displaystyle n} 次元ユークリッド空間における高さ h {\displaystyle h} で半径 r {\displaystyle r} の超球冠の n {\displaystyle n} 次元の体積は
V = π n − 1 2 r n Γ ( n + 1 2 ) ∫ 0 arccos  ( r − h r ) sin n  ( t ) d t {\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}
で与えられる。ここで Γ {\displaystyle \Gamma } (ガンマ関数)は Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t} で与えられる。