量子統計力学
H ^ ( { p i } , { x i } ) = K ^ ( { p i } ) + Φ ^ ( { x i } ) , {\displaystyle {\hat {H}}(\{\mathbf {p} _{i}\},\{\mathbf {x} _{i}\})={\hat {K}}(\{\mathbf {p} _{i}\})+{\hat {\Phi }}(\{\mathbf {x} _{i}\}),}
の運動エネルギー項 K とポテンシャル・エネルギー項 Φ が交換可能ならば、指数関数 exp{−βˆH} は指数関数の積 exp{−βˆK}exp{−βˆΦ} に分離することができる( ベイカー-キャンベル-ハウスドルフの公式(英語版) を用いる)。不確定性関係より、両者は可換ではないが、交換関係の寄与は充分高温 (β が充分小さい) ならば無視できるため、可換だと思える。指数関数の積に書き直すことができれば、あとは通常の数と同様に扱えるため、ヘルムホルツの自由エネルギーを、運動エネルギーによる部分とポテンシャル・エネルギーによる部分とに分離することができる。
Z ( β ) = 1 N !
同様な問題は、固体内の格子振動でも見られる。古典統計力学によると、線形近似の下で、各原子が平均して 3kBT だけのエネルギーをもつことになるので、固体のモル比熱は 3kBT × NA = 3R ということになるが、低温になるにつれて、実際の比熱はこれより著しく小さくなり、絶縁体の結晶の例では、比熱が低温では温度の三乗 T に比例していることが知られている。これも格子振動を量子化することによって見事に説明される。