変曲点
下降変曲点は導関数が極小値をとる変曲点をいい、上昇変曲点は導関数が極大値をとる変曲点をいう。
変曲点は f ′(x) がその点で零かどうかで分類できる:
f ′(x) が零ならば、その点は停留変曲点という。
f ′(x) が零でないならば、その点は非停留変曲点という。
停留変曲点は極値をとらない。より一般に、実多変数関数の文脈において、極値点でない停留点は鞍点と呼ばれる。 停留変曲点の例は、y = x のグラフにおける点 (0, 0) である。この点での接線は x 軸であり、グラフはこの点で接線の両側の二つに分けられる。
非停留変曲点の例は、y = x + ax(a ≠ 0 は任意)のグラフにおける点 (0, 0) である。このグラフの原点における接線は直線 y = ax であり、この点でグラフは接線の両側に分けられる。
考える曲線が2回連続微分可能な関数 y = f (x) である場合には、f の2階導関数が零となる点であって、かつその点の前後で2階導関数の符号が変化するような点ということができる。2階導関数が零となってもその前後で符号が変化しないような点は起伏点と呼ぶこともある。
変曲点は、代数幾何学においてはもう少し一般的に、接線と3次以上の接触をもつような正則点として定義される。4次以上の接触をもつときは、起伏点または超変曲点と呼ぶ。