上極限と下極限
数列 (an) の上極限と下極限は(無限大をとることを許せば)必ず存在する。これは極限値が存在するかどうか分からないのと対照的である。
(an) の部分列 (bn) が収束したとする。このとき lim _ n → ∞  a n ≤ lim n → ∞ b n ≤ lim ̄ n → ∞  a n . {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}\leq \varlimsup _{n\to \infty }a_{n}.}
(an) の部分列で上極限に収束するものが存在する。下極限についても同様。
この2つの性質から導ける次の性質がもっとも重要である。
「(an) が収束すること」と「上極限と下極限が一致すること」は同値である。