ガロワ加群
実は p が素数であるとき 1 の p 乗根に対する円分体のすべての部分体は(Z 上)正規整基底を持つ。これは Gaussian period(英語版) の理論(ヒルベルト・シュパイザーの定理(英語版))から分かる。一方、Q(i) は正規整基底を持たない。これはエミー・ネーターにより発見された(ひょっとすると彼女以前に知られていたかもしれない)必要条件の例である。ここで問題となるのは順分岐である。K はなお Q とし、L の判別式(英語版) D のことばでは、どんな素数 p の p 乗も D を割り切らない。するとネーターの定理は、順分岐は OL が Z[G] 上射影加群であるために必要かつ十分であると述べている。したがって確かにそれが自由加群であるためにそれが必要である。自由と射影の間のギャップの問題が残っており、それに対して大きな理論が建設されているところである。
ダフィット・ヒルベルトの結果に基づく古典的な結果の 1 つは、順分岐アーベル的代数体は正規整基底を持つというものである。このことはクロネッカー・ウェーバーの定理を使ってアーベル体を円分体に埋め込むことで分かる。