二項係数
二項係数の積は二項係数の線型結合として
( z m ) ( z n ) = ∑ k = 0 m ( m + n − k k , m − k , n − k ) ( z m + n − k ) {\displaystyle {\binom {z}{m}}{\binom {z}{n}}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{m}{\dbinom {m+n-k}{k,m-k,n-k}}{\dbinom {z}{m+n-k}}}
と表すことができる。この展開の結合係数は多項係数で与えられる。ラベル付けられた組合せ論的対象を用いて言えば、この結合係数はそれぞれ重み m および n のラベル付けられた対象の対で最初の k 個のラベルが一致するようなものに m + n − k をラベル付ける方法の総数、あるいはそれらを貼り合せて新たに重み m + n − k でラベル付けられた対象を付け加える方法(つまり、このラベルを一方の対象の貼り合せない部分、他方の対象の貼り合せない部分、両者の貼り合せ部分の3つの部分に分ける方法)の総数である。このように見ると、二項係数の母函数は下降階乗冪に対する通常母函数に対応する指数型母函数である。
パスカルの法則(英語版)は重要な漸化式
で、これを用いて (nk) が任意の自然数 n, k に対して自然数となること(別な言い方をすれば、連続する k-個の整数の積を k! が割り切ること)を帰納的に示すことができる。これは定義 (∗) や乗法表示からは直ちに明らかなことではない。
パスカルの法則からパスカルの三角形が生じる:

番号 n の行には (nk) の値が k = 0, ..., n に対して並べられている。これを書くには、一番外側の 1 から始めて、常に隣り合う2項を加えた数をその真下に書いていけばよい。この方法によって、分数や乗算を使わずに二項係数を手早く計算することができる。
例えば三角形の5行目を見れば
(x + y) = 1 x + 5 xy + 10 xy + 10 xy + 5 x y + 1 y
が直ちに読み取れる。
他の対角線上の数との差は、上記漸化式 (3) の帰結として、一つ前の対角線上の数である。