コンパクト空間
本節ではボルツァーノ・ワイエルシュトラス性の定式化に必要な概念である有向点族の概念を導入する。有向点族とは有向集合を添え字とする族である:
定義 (有向集合・有向点族) ― 空でない集合ΛとΛ上の二項関係「≤ 」の組 (Λ, ≤)が有向集合(ゆうこうしゅうごう、英: directed set)であるとは、「≤ 」が以下の性質を全て満たす事を言う:
(反射律)∀λ∈Λ : λ ≤λ
(推移律)∀λ,μ,ν∈Λ : λ ≤ μ, μ ≤ν ⇒ λ ≤ ν
Λの任意の二元が上界を持つ。すなわち∀λ,μ∈Λ∃ν∈Λ : λ ≤ ν, μ ≤ν
集合X上の有向点族とは、X上の族(xλ)λ∈Λで添字集合Λが有向集合であるものを指す。有向点族はネット (英: net)、 Moore-Smith 列(英: Moore-Smith sequence)、generalized sequenceなどとも呼ばれる。
コンパクトの概念は以下に述べる同値な2性質の少なくとも一方(したがって両方)を満たす事により定義される。
.. , n } {\displaystyle {\mathcal {T}}=\{B_{\delta _{x_{i}}/2}(x_{i})|i=1,\ldots ,n\}} を選び、
δ = min i δ x i / 4 {\displaystyle \delta =\min _{i}\delta _{x_{i}}/4}
とすれば δ x i {\displaystyle \delta _{x_{i}}} の個数は有限個なのでδ>0であることが保証される。
しかも T {\displaystyle {\mathcal {T}}} がXを被覆している事から、任意のx ∈ Xに対し、 x ∈ B δ x i ( x i ) {\displaystyle x\in B_{\delta _{x_{i}}}(x_{i})} となるxiが存在して、
f ( B δ ( x ) ) ⊂ f ( B δ i ( x ) ) ⊂ B ε ( f ( x ) ) {\displaystyle f(B_{\delta }(x))\subset f(B_{\delta _{i}}(x))\subset B_{\varepsilon }(f(x))}
となることから f {\displaystyle f} の X {\displaystyle X} における一様連続性が言える。
はコンパクトではない。
実際、
e n = ( δ n , k ) k ∈ N {\displaystyle \mathbb {e} _{n}=(\delta _{n,k})_{k\in \mathbb {N} }}
とすると(ここでδn,kはクロネッカーのデルタ)、
‖ e n − e m ‖ = 2 {\displaystyle \|\mathbb {e} _{n}-\mathbb {e} _{m}\|={\sqrt {2}}} for n≠m
であるので、 ( e n ) n ∈ N ⊂ B {\displaystyle (\mathbb {e} _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset B} のいかなる部分列 ( e n i ) i ∈ N {\displaystyle (\mathbb {e} _{n_{i}})_{i\in \mathbb {N} }} もコーシー列の条件
lim i , j → ∞ ‖ e n i − e n j ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{i,j\to \infty }\|\mathbb {e} _{n_{i}}-\mathbb {e} _{n_{j}}\|=0}
Xが距離空間(もしくはさらに一般的に一様空間)であれば、上記2つのいずれとも異なる角度からコンパクト性を特徴づける事ができる。距離空間Xがコンパクトである必要十分条件はXが全有界かつ完備である事である。ここで全有界性とは、有界性を強めた条件で、任意のε>0に対し、Xが有限個のε-球の和集合で書ける事を意味する。また完備性はX上のコーシー列が必ず収束する事を意味する。
距離空間においてコンパクトの概念は、点列コンパクト性と呼ばれる性質とも同値になる。これは前述したボルツァーノ・ワイエルシュトラス性が点列に対して成立するという趣旨の概念である。この概念は一般にはコンパクト性よりも弱いが、距離空間であればコンパクト性と同値になる事が知られている。
そのために用いるのがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とハイネ・ボレルの被覆定理である。これらの定理はいずれも「 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合であれば◯◯」という形の定理であるが、実は逆も成立する事が知られており、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} においては
有界閉集合である事
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分
ハイネ・ボレルの定理の結論部分
の3つは同値となる。しかも上記の2,3はいずれも位相構造のみを使って記述可能である。
したがって2もしくは3の一方を満たす(同値なので実は2,3の両方を満たす)事をもってコンパクト性を定義する。ただしテクニカルな理由により、上記の2に関しては若干の補正が必要になるが、これについては後述する。