ケイシーの定理
が得られる。円 O , O i {\displaystyle \,O,O_{i}} が接していることから
O O i ̄ = R − R i , ∠ O i O O j = ∠ K i O K j {\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}
C {\displaystyle \,C} を円 O {\displaystyle \,O} の周上の点とする。正弦定理を三角形 K i C K j {\displaystyle \,K_{i}CK_{j}} に用いると
K i K j ̄ = 2 R ⋅ sin  ∠ K i C K j = 2 R ⋅ sin  ∠ K i O K j 2 {\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}
が得られる。これより、