体積要素
数学において、体積要素(たいせきようそ、英: volume element)とは、関数を球面座標系や円柱座標系など様々な座標系において体積について積分する際に現われる概念である。次の式により表現される:
d V := ρ ( u 1 , u 2 , u 3 ) d u 1 d u 2 d u 3 . {\displaystyle dV:=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.}
ここで、ui は座標であり、任意の集合 B の体積を次のように計算できるものとする:
Volume  ( B ) := ∫ B ρ ( u 1 , u 2 , u 3 ) d u 1 d u 2 d u 3 . {\displaystyle \operatorname {Volume} (B):=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,du_{1}\,du_{2}\,du_{3}.
}
たとえば、球面座標系においてはdV = u1 sin u2 du1 du2 du3 であり、従って dV = u1 sin u2 である。
体積要素という概念は三次元に留まるものではない。二次元では面積要素(めんせきようそ、area element)と呼ばれることも多く、面積分を行う際に有用である。座標変換の際、(変数変換公式により)体積要素は座標変換のヤコビ行列の行列式の絶対値だけ変化する。この事実から、体積要素は多様体の一種の測度として定義できることが従う。向き付け可能な可微分多様体においては、典型的には体積要素は体積形式、すなわち最高次の微分形式から導かれる。向き付け不可能な多様体においては、典型的には体積要素は(局所的に定義される)体積要素の絶対値であり、1-密度(英語版)を定義する。