量子コホモロジー
純粋な次数を持つ a, b に対し、
deg  ( a ∗ b ) = deg  ( a ) + deg  ( b ) {\displaystyle \deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)}
と
b ∗ a = ( − 1 ) deg  ( a ) deg  ( b ) a ∗ b . {\displaystyle b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.}
が成り立つ。小さな量子カップ積は分配法則を満たし、Λ-双線型である。単位元 1 ∈ H 0 ( X ) {\displaystyle 1\in H^{0}(X)} もまた、小さな量子コホモロジーの単位元である。
小さなカップ積は結合法則も満たす。これはグロモフ・ウィッテン不変量の張り合わせ規則の結果であり、難しいテクニカルな結果である。このことはグロモフ・ウィッテンポテンシャル (種数 0 のグロモフ・ウィッテン不変量の母函数) が WDVV方程式(英語版)として知られているある3階の微分方程式を満たすことと同じことである。
交叉ペア
X を(フビニ-スタディ計量に対応する)標準シンプレクティック形式と複素形式を持つ複素射影平面とし、 l ∈ H 2 ( X ) {\displaystyle \ell \in H^{2}(X)} を直線 L のポアンカレ双対とすると、
H ∗ ( X ) ≅ Z [ l ] / l 3 . {\displaystyle H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.}
が得られる。ゼロでない唯一のグロモフ・ウィッテン不変量は、クラス A = 0 でか。もしくは A = L である。
∫ X ( l i ∗ l j ) 0 ⌣ l k = G W 0 , 3 X , 0 ( l i , l j , l k ) = δ ( i + j + k , 4 ) {\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{0}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,4)}
であり、