複素平面
z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }}
と簡単に記述できる。
2つの複素数 z, w の積 zw を計算するのに、z, w を極形式表示し
z = r(cosα + i sinα),
w = s(cosβ + i sinβ)
とすると、三角関数の加法定理:
cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ
sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ
より、
z w = r s { cos  ( α + β ) + i sin  ( α + β ) } {\displaystyle zw=rs\{\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )\}}
となり、zw の極形式が得られる。ゆえに
| z w | = | z | | w | {\displaystyle |zw|=|z||w|}
arg  z w ≡ arg  z + arg  w ( mod 2 π ) {\displaystyle \arg zw\equiv \arg z+\arg w{\pmod {2\pi }}}
となり、積 zw は、複素平面において、z を原点中心に argw 回転、|w| 倍に相似拡大して得られる点だと分かる。
特に、絶対値が 1 の複素数を掛けることは、複素数平面において原点中心の回転を施すことと同等であると分かる。
複素数平面の導入により、複素数全体 C には幾何学的な意味づけができる。