対数微分法
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y\times {\frac {f'(x)}{f(x)}}=f'(x).}
この手法は対数の性質によって複雑な関数の微分を素早く、単純にするために使われる。以下の性質(対数法則)を、両辺の自然対数をとったのちの微分をする前に利用できる。最もよく使われる対数法則:
ln  ( a b ) = ln  ( a ) + ln  ( b ) , ln  ( a b ) = ln  ( a ) − ln  ( b ) , ln  ( a n ) = n ln  ( a ) {\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a)}
整理すると
f ′ ( x ) = f ( x ) × { h ′ ( x ) ln  ( g ( x ) ) + h ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) } = g ( x ) h ( x ) × { h ′ ( x ) ln  ( g ( x ) ) + h ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) } . {\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}=g(x)^{h(x)}\times {\Bigg \{}h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}{\Bigg \}}.}
同じ結果は f を exp の言葉で書き直しチェインルールを適用することによって得ることができる。
自然対数は2つの関数の積
f ( x ) = g ( x ) h ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,\!}
に適用されて積を和に変える
ln  ( f ( x ) ) = ln  ( g ( x ) h ( x ) ) = ln  ( g ( x ) ) + ln  ( h ( x ) ) {\displaystyle \ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x))\,\!}
チェインルールと和の法則(英語版)を適用して微分する
f ′ ( x ) f ( x ) = g ′ ( x ) g ( x ) + h ′ ( x ) h ( x ) {\displaystyle {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}}
整理すると
f ′ ( x ) = f ( x ) × { g ′ ( x ) g ( x ) + h ′ ( x ) h ( x ) } = g ( x ) h ( x ) × { g ′ ( x ) g ( x ) + h ′ ( x ) h ( x ) } {\displaystyle f'(x)=f(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}=g(x)h(x)\times {\Bigg \{}{\frac {g'(x)}{g(x)}}+{\frac {h'(x)}{h(x)}}{\Bigg \}}}