空間ベクトル
v = S ′ T ′ → {\displaystyle \mathbf {v} ={\overrightarrow {S'T'}}}
と記し、同じものとみなすというのが向きと大きさを持った量というベクトルの概念の幾何学的な表現(幾何学的ベクトル)である。
あるベクトル a と同じ方向で大きさの比率(スカラー)が k であるようなベクトルを ka と表す。また、a と同じ大きさで逆の向きを持つベクトルは −a と表す。同様に、a と逆の向きを持ち大きさの比率が k であるようなベクトルは −ka と記す。これをベクトル a のスカラー k 倍あるいは単にスカラー倍(スカラー乗法)と呼ぶ。
二つのベクトル a, b の和 a + b を、それらの始点を合わせたときにできる平行四辺形の(始点を共有する)対角線に対応するベクトルと定める(三つ以上のベクトルの和も、二つの和をとる演算から帰納的に定める)。a, b がどんなものであっても a + b = b + a が成り立っていることに注意されたい。
また逆に、あるベクトルを二つ(以上)の異なるベクトルの和に分解することができる。特にxyz-空間の各軸の方向で長さ 1 の有向線分に対応するベクトル(基本ベクトル、単位ベクトル)を x, y, z の各軸でそれぞれ i, j, k と置くと、任意のベクトル v は
v = v x i + v y j + v z k {\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} }
の形に表せる。
ここで、ピタゴラスの定理を用いると、ベクトル v の大きさ ||v|| は
‖ v ‖ = v x 2 + v y 2 + v z 2 {\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert ={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}
によって求まる。
ベクトルの始点を xyz-座標系の原点に合わせると、任意のベクトルはその終点の座標によって一意的に表すことができる。
v := v x i + v y j + v z k ↔ ( v x , v y , v z ) =: P ( v ) . {\displaystyle \mathbf {v} :=v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} \leftrightarrow (v_{x},v_{y},v_{z})=:P(\mathbf {v} ).}
このとき、空間内の点 Q に対して Q = P(v) となるベクトル v を点 Q の位置ベクトルと呼ぶ。