ツェルメロ＝フレンケル集合論
クレパ仮説の否定は、到達不能基数の存在と無矛盾性同値(英語版)である。
強制法の変種を用いて、選択公理の無矛盾性と証明不可能性、すなわち、選択公理とZFの独立性を示すこともできる。選択公理の無矛盾性は、内部モデル L が選択公理を満たしていることを証明することで(比較的)簡単に検証できる(したがって、ZFのどのモデルにもZFCの部分モデルが含まれているため、Con(ZF)はCon(ZFC)を含意する)。強制法は選択公理を保持するため、選択公理を満たすモデルから選択公理と矛盾するモデルを直接生成することはできない。ただし、強制法を使用して、ZFは満たすがCは満たさない部分モデルを含むモデルを作成できる。
独立性を証明する他の方法は、強制法ではなく、ゲーデルの第二不完全性定理に基づくものである。このアプローチでは、独立性を証明したい命題を用いて、ZFCの集合モデルの存在を証明する。この場合、Con(ZFC)は真となる。 ZFCはゲーデルの第二定理の条件を満たすため、ZFCの無矛盾性をZFCでは証明できない(ZFCが実際に無矛盾である場合)。したがって、ZFCでそのような証明ができる命題はない。この方法で、巨大基数の存在をZFCで証明できないことは証明できるが、ZFCが所与のときに巨大基数の存在を仮定することが無矛盾であることは証明できない。
集合の元に対する和集合が存在する。たとえば、集合 { { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } {\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}} の元に対する和集合は { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} である。
和集合の公理は、任意の集合の集合 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} について、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の元の元であるすべての元を含む集合 A {\displaystyle A} が存在することを主張する:
∀ F ∃ A ∀ Y ∀ x [ ( x ∈ Y ∧ Y ∈ F ) ⇒ x ∈ A ] . {\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}
この式は、 ∪ F {\displaystyle \cup {\mathcal {F}}} の存在を直接主張するものではないが 、上記の分出公理を用いて集合 ∪ F {\displaystyle \cup {\mathcal {F}}} を A {\displaystyle A} から構築することができる:
∪ F = { x ∈ A : ∃ Y ( x ∈ Y ∧ Y ∈ F ) } . {\displaystyle \cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.}
ZFC公理の動機の1つは、フォン・ノイマンによって導入された集合の累積階層である。この観点では、集合論の宇宙は階層的に構築され、順序数ごとに1つの階層が存在する。階層0では集合が存在しない。次の各階層で、すべての元が前の階層で追加されている場合、集合が宇宙に追加される。したがって、空集合は階層1で追加され、空集合を含む集合は階層2で追加される。この方法で得られたすべての集合の集まりは、すべての階層をまとめて V と呼ぶ。 V 内の集合に対して、その集合が V に追加された最初の階層を割り当てることにより、階層構造に配置できる。
集合が純粋かつ整礎的であるとき、かつそのときに限り、集合がVに含まれることを証明できる。順序数のクラスが適切な反射律を有する場合、VがZFCのすべての公理を満たすことを証明できる。たとえば、集合 x が階層 α で追加されたと仮定する。これは、 x のすべての要素が α より前の階層で追加されたことを意味する。すると、 x の部分集合のどの元も階層 α の前に追加されるため、 x のどの部分集合も階層 α で追加される。
一般的な集合論の批判については、集合論への批判を参照。
ZFCは、強すぎることと弱すぎること、および真のクラスや普遍集合などの対象を捉えられないことの両方で批判されてきた。
ペアノ算術や二階算術などの多くの数学的定理は、(逆数学のプログラムで調べられるように)ZFCよりもはるかに弱いシステムで証明できる。マックレーンとフェファーマンはどちらもこの点を指摘している。 「主流の数学」(公理集合論とは直接関係のない数学)のいくつかは、ペアノ算術と二階算術を超えているが、それでも、そのような数学はすべてZFCより弱いZC(ツェルメロ集合論と選択公理)で行うことができる。正則性公理や置換公理など、ZFCの強さの多くは、主に集合論自体の研究を容易にするために含まれている。
一方、公理的集合論の中では、ZFCは比較的弱い。 新基礎集合論とは異なり、ZFCは普遍集合の存在を認めていない。したがって、ZFCの下での集合の宇宙は、集合の代数の基本演算の下では閉じられない。
ここで、 Z 0 {\displaystyle Z_{0}} は任意の無限集合であり、 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} は冪集合を得る操作を表す。さらに、ツェルメロの公理の1つは、「明確な (definate)」属性の概念を提起したが、その操作上の意味は明らかでなかった。 1922年、フレンケルとスコーレムは、原子論理式を帰属関係と同一性の表現に限定した一階述語論理における論理式として定式化できるものとして、「明確な」属性を操作することをそれぞれ独立に提案した。彼らはまた、分出公理を置換公理に置き換えることを独立に提案した。これらの公理と(フォン・ノイマンによって最初に提案された)正則性公理をツェルメロ集合論に追加すると、 ZFで表される公理系が得られる。選択公理(AC)またはそれと等価な命題をZFに追加すると、ZFCが導かれる。
これは、分離の公理が構築できる x の部分集合が階層 α で追加され、 x のべき集合が α の次の階層で追加されることを意味する。 VがZFCを満たすことの完全な考察については、 Shoenfield (1977)を参照せよ。
累積階層に階層化された集合の宇宙という様式は、ZFCや、フォン・ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論(NBG)やモース-ケリー集合論などの関連する公理的集合論の特徴である。累積階層は、新基礎などの他の集合論とは互換性がない。
V の定義を変更して、各階層で、前の階層の和集合の部分集合をすべて追加するのではなく、ある意味で定義可能な場合にのみ部分集合を追加するようにもできる。この場合、より「狭い」階層構造をもつ構成可能宇宙 L が得られる。L は、選択公理を含むZFCのすべての公理も満たす。 V = L かどうかはZFC公理から独立している。 Lの構造は V より規則的で良い性質を持つが、 V = L を「構成可能性公理(英語版)」としてZFCに追加すべきであると主張する数学者も少数ながら存在する。