接続 (ベクトル束)
リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} においては、Mの曲率はリーマン計量をテイラー展開したときの2次の項として特徴づける事ができる:
定理 (リーマン多様体における曲率の特徴づけ) ― ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} をリーマン多様体とし、PをMの点とし、 ( x 1 , . . . , x m ) {\displaystyle (x^{1},...,x^{m})} をPを原点とする正規座標とする。このとき以下が成立する:
g k l = δ k l + 1 3 R j k l i x i x j + O ( | x | 3 ) {\displaystyle g_{k\ell }=\delta _{k\ell }+{1 \over 3}R_{jk\ell i}x^{i}x^{j}+O(|x|^{3})}
ここで R i k j l := g ( R ( ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x l ) ∂ ∂ x j , ∂ ∂ x i ) {\displaystyle R_{ikj\ell }:=g(R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}}){\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}})} である。
あるバンドル写像 φ : E 1 → E 2 {\displaystyle \varphi ~:~E_{1}\to E_{2}} が存在し、任意の P ∈ M {\displaystyle P\in M} に対し、 α ( s ) | P = φ P ( s ) {\displaystyle \alpha (s)|_{P}=\varphi _{P}(s)}
Mの各点Pに E 1 ∗ ⊗ E 2 {\displaystyle E_{1}{}^{*}\otimes E_{2}} の元を対応させるテンソル場ηが存在し、 α ( s ) | P = η P ( s ) {\displaystyle \alpha (s)|_{P}=\eta _{P}(s)}
また次が成立する:
定義・定理 ― αが局所演算子であるとする。このときMの任意の開集合Uに対し、 α U : Γ ( U , E ) → Γ ( U , E ) {\displaystyle \alpha ^{U}~:~\Gamma (U,E)\to \Gamma (U,E)} で
α U ( s | U ) = α ( s ) | U {\displaystyle \alpha ^{U}(s|_{U})=\alpha (s)|_{U}} for ∀ s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle \forall s\in \Gamma (E)}
を満たすものが一意に存在する。 α U {\displaystyle \alpha ^{U}} と書き、αのUへの制限(英: restriction)という。
∇ X ∇ Y s − ∇ Y ∇ X s = ( X Y s i ) e i − ( Y X s i ) e i = ( [ X , Y ] s i ) e i = ∇ [ X , Y ] s {\displaystyle \nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s=(XYs^{i})e_{i}-(YXs^{i})e_{i}=([X,Y]s^{i})e_{i}=\nabla _{[X,Y]}s}
が常に成立する事を示せる。そこで一般の接続 ∇ {\displaystyle \nabla } に対し、
R ( X , Y ) s := ∇ X ∇ Y s − ∇ Y ∇ X s − ∇ [ X , Y ] s {\displaystyle R(X,Y)s:=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}
と定義すると、 R ( X , Y ) s {\displaystyle R(X,Y)s} は「平たい」バンドルのときには恒等的にゼロになり、この意味において R ( X , Y ) s {\displaystyle R(X,Y)s} はバンドルの「曲がり具合」を表している考えられる。
0 = ∇ d t d P d t = d u d t ∇ d u ( d u d t d P d u ) = d u d t d 2 u d t 2 d P d u + ( d u d t ) 2 ∇ d u d P d u = d u d t d 2 u d t 2 d P d u {\displaystyle 0={\nabla \over dt}{dP \over dt}={du \over dt}{\nabla \over du}\left({du \over dt}{dP \over du}\right)={du \over dt}{d^{2}u \over dt^{2}}{dP \over du}+\left({du \over dt}\right)^{2}{\nabla \over du}{dP \over du}={du \over dt}{d^{2}u \over dt^{2}}{dP \over du}}
前述の議論から d P d u {\displaystyle {dP \over du}} は決して0にならず、仮定から d u d t {\displaystyle {du \over dt}} も決して0にならないので、上式から、
d 2 u d t 2 = 0 {\displaystyle {d^{2}u \over dt^{2}}=0} .
これは u = a t + b {\displaystyle u=at+b} となるa、bが存在することを意味する。
P ( t ) {\displaystyle P(t)} が測地線となるパラメーターtをアフィン・パラメーターという。上記の定理はアフィン・パラメーターがアフィン変換を除いて一意な事を意味する。
「捩率」という名称に関してはLoring W. Tuによれば「 T ∇ ( X , Y ) {\displaystyle T_{\nabla }(X,Y)} を「捩率」と呼ぶうまい理由は無いように見える」が、このテンソルには以下のような意味付けが可能である。
なめらかな任意の写像 α : U ⊂ R 2 → M {\displaystyle \alpha ~:~U\subset \mathbb {R} ^{2}\to M} に対し、リー括弧の性質より [ ∂ ∂ x α , ∂ ∂ y α ] = 0 {\displaystyle [{\tfrac {\partial }{\partial x}}\alpha ,{\tfrac {\partial }{\partial y}}\alpha ]=0} であることから、 ∇ ∂ x := ∇ ∂ ∂ x {\displaystyle {\tfrac {\nabla }{\partial x}}:=\nabla _{\tfrac {\partial }{\partial x}}} とすると、
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ベクトルバンドルの接続(せつぞく、英: connection)とは、微分幾何学の概念で、接ベクトルバンドルやより一般のベクトルバンドルに微分概念を定義する演算子である。接続に定義される微分概念を共変微分という。
接続および共変微分の概念は元々リーマン多様体上のベクトル場の微分を定義するために導入されたもので、この接続をレヴィ-チヴィタ接続という。一般の接続概念はレヴィ=チヴィタ接続の満たす性質を自然に一般のベクトルバンドル拡張する事で得られる。
接続によって定まる重要な概念の一つとして平行がある。これは与えられたベクトル場の与えられた曲線に沿った共変微分が0になる、という趣旨の概念で、曲線に沿って平行なベクトル場X(あるいはより一般にベクトルバンドルの切断)により、曲線の起点PにおけるベクトルXPが曲線の終点曲線の起点QにおけるベクトルXQに平行移動されたとみなす。 これにより、(何ら構造が定義されていない)多様体では無関係なはずの点PにおけるベクトルXPと点QにおけるベクトルXQにおけるベクトルを「接続」して関係づけて考える事ができる。
接続によって定まるもう一つの重要概念として曲率があり、これはベクトルバンドルの「曲がり具合」を表している。特に接ベクトルバンドルの曲率は多様体それ自身の「曲がり具合」とみなせる。曲率概念は歴史的には3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 内の曲面に対して定義されたものだが、実は「外の空間」である R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} がなくても定義できる曲面に内在的な量である事が示されたので、これを一般のリーマン多様体(の接ベクトルバンドル)、さらには一般のベクトルバンドルに対して拡張したものである。多様体に内在的な量としてみなしたとき、曲率の幾何学的意味は、閉曲線に沿ってベクトルを一周平行移動したとき、もとのベクトルとどの程度ずれるかを測った量であるとみなせる。
接続概念はゲージ理論やチャーン・ヴェイユ理論で用いられる。特にチャーン・ヴェイユ理論の特殊ケースとして、曲面に関する古典的なガウス・ボンネの定理を一般の偶数次元多様体に拡張するのに役立つ。
ω = ( ω i j ) i j {\displaystyle \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}} を同じ局所座標 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} に関する接続形式すると以下が成立する:
定理 ―
(カルタンの)第二構造方程式(英: (Cartan's) second structural equation): Ω = d ω + ω ∧ ω {\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }
一般化されたビアンキの第二恒等式(英: generalized second Bianchi identity): d ( Ω k ) = Ω k ∧ ω − ω ∧ Ω k {\displaystyle d(\Omega ^{k})=\Omega ^{k}\wedge \omega -\omega \wedge \Omega ^{k}} 、ここで Ω k = Ω ∧ ⋯ ∧ Ω ⏞ k {\displaystyle \Omega ^{k}=\overbrace {\Omega \wedge \cdots \wedge \Omega } ^{k}}