レフシェッツ超平面定理
レフシェッツ(Lefschetz) は、定理を証明するため、彼のアイデアであるレフシェッツペンシル(英語版)(Lefschetz pencil)を使った。超平面切断 Y を単独で考えるというよりむしろ、超平面切断の族 Yt の中での超平面切断は Y = Y0 として考えに入れた。元の超平面切断は滑らかであるので、有限個を除きすべての Yt は滑らかな多様体である。これらの点を t-平面から取り除き、有限個のスリットを加えることで、結果として現れる超平面切断 X は、位相的に自明となる。すなわち、元の Yt と t-平面の開集合の積となっている。従って、X はどれくらい超平面切断が特異点でスリットと同一視できるかを表していると理解することができる。特異点から離れると、同一視することができることが帰納的に示すことができる。特異点では、モースの補題(英語版)(Morse lemma)は、特別単純な形の X の座標系を選択することができることを意味している。この座標系は直接定理を証明することに使うことができる。
数学では、特に代数幾何学や代数トポロジーでは、レフシェッツの超平面定理(Lefschetz hyperplane theorem)は、代数多様体の形と部分多様体の形の間のある関係についてのステートメントであり、この定理は、射影空間に埋め込まれた多様体 X と超平面切断(英語版)(hyperplane section) Y に対し、X のホモロジー、コホモロジー、ホモトピー群は、Y のそれらをも決定するという定理である。この種類の結果は、最初に複素代数多様体のホモロジー群に対し、ソロモン・レフシェッツ(Solomon Lefschetz)により言明された。同様の結果が、正の標数でも、他のホモロジー、コホモロジー理論で、ホモトピー群に対して発見されている。なお、レフシェッツ超平面定理のことを弱レフシェッツ定理(Weak Lefschetz Theorem)とも言う。