シンプレクティック同相写像
リーマン多様体とは異なり、シンプレクティック多様体は非常にリジッド(rigid)というわけではない。ダルブーの定理は、同じ次元のすべてのシンプレクティック多様体は局所的に等長(isometric)であることを言っている。これに対して、リーマン幾何学の等長は、リーマン多様体の局所不変量であるリーマン曲率テンソルを保存せねばならない。さらに、シンプレクティック多様体上の任意の函数 H はハミルトンベクトル場 XH を定義し、ハミルトン微分同相の一径数群(英語版)をべきとして持っている。このことからシンプレクティック同相群は常に非常に大きく、無限次元である。他方、リーマン多様体の等長(isometric)群は、常に(有限次元の)リー群である。さらに、大きな対称群を持つリーマン多様体は非常に特別であり、生成するリーマン多様体の対称性は非自明である。
シンプレクティック多様体の任意の滑らかな函数は、定義より、ハミルトンベクトル場とシンプレクティックベクトル場(英語版)のすべての(シンプレクティックな)部分代数の集合を与える。シンプレクティックベクトル場のフローを構成することが、シンプレクティック同相である。シンプレクティック同相は、シンプレクティック 2-形式を保存するので、従って、シンプレクティック体積形式も保存し、ハミルトン力学のリウヴィルの定理が成り立つ。ハミルトンベクトル場から導出されたシンプレクティック同相は、はハミルトニアンシンプレクティック同相として知られている。
1 = { H , H } = X H ( H ) = 0 {\displaystyle 1=\{H,H\}=X_{H}(H)=0} であるので、ハミルトンベクトル場のフローも H を保存する。物理学では、これをエネルギーの保存則と解釈する。
連結なシンプレクティック多様体の第一ベッチ数がゼロであれば、シンプレクティックとハミルトンベクトル場は一致するので、シンプレクティック同相のハミルトン等方性(英語版)(Hamiltonian isotopy)とシンプレクティック等方性(英語版)(symplectic isotopy)の考え方は一致する。
ハミルトン力学のフローとしての測地線(英語版)は測地線の方程式がハミルトンフローを定式化していると見ることができる。