期待値
確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} において、確率変数 X が実数などの連続値を取る(非可算無限)であるとき(連続型確率変数)、可積分な確率変数 X の期待値は
E [ X ] = ∫ Ω X ( ω ) d P ( ω ) {\displaystyle E[X]=\int _{\Omega }X(\omega )\,dP(\omega )}
で定義される。ただし確率変数 X が可積分であるとは、
∫ Ω | X ( ω ) | d P ( ω ) < ∞ {\displaystyle \int _{\Omega }|X(\omega )|\,dP(\omega )<\infty }
を満たすことであり、この積分は抽象的なルベーグ積分である。
事象 A ∈ F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} に対して、
E [ X : A ] = E [ 1 A X ] = ∫ A X ( ω ) d P ( ω ) {\displaystyle E[X:A]=E[1_{A}X]=\int _{A}X(\omega )\,dP(\omega )}
と書いて期待値をとる範囲を A に制限する。ここで 1A は指示関数である。
6 面体のサイコロを 1 回振る。ただし出る目の確率はすべて 1/6 とする。出る目 X の期待値は
E [ X ] = 1 × 1 6 + 2 × 1 6 + 3 × 1 6 + 4 × 1 6 + 5 × 1 6 + 6 × 1 6 = 21 6 = 3.5 {\displaystyle E[X]=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}={\frac {21}{6}}=3.5}