体上有限生成環の理論
となるが、これは、y1 が A の部分環 k[z2 , ... , zn] 上整であることを示す。同じ議論を繰り返せば高々 n 回までの操作で定理の前半が示された。後半については、g ∈ I ∩ k[a1 , ... , am] を取り、前半と同様 b i = a i − a 1 s i {\displaystyle b_{i}=a_{i}-a_{1}^{s_{i}}} なる置き換えを上手く取ると、
β ⋅ a 1 M + {\displaystyle \beta \cdot a_{1}^{M}+} (a1, b2, ... , bm について M 次未満の項)- g = 0 ( β ∈ k )
とできる。従って、k[a1 , ... , am] は部分多項式環 k[g , b2... , bm] 上整。よって、整拡大の推移性より、A は k[g , b2... , bm] 上整になる。(g) ⊂ I ∩ k[g , b2... , bm] は明らかであるが、(g) は k[g , b2... , bm] の高さが 1 以上の素イデアルである一方で、下降定理 (going-down theorem) (整拡大 参照)によって、I ∩ k[g , b2... , bm] の高さは 1 なので、高さの定義より (g) = I ∩ k[g , b2... , bm]とならなければならない。
A を k[x1 , ... , xn] の剰余環として表し、A における xi の像を yiとする。k[x1 , ... , xn] → A が単射であれば定理の主張は自明。したがって準同型の核 I が0でないと仮定し、n が減少する帰納法で証明する。zi (i=2, 3, ... , n) を、自然数 ri を使って
z i = y i − y 1 r i {\displaystyle z_{i}=y_{i}-y_{1}^{r_{i}}}
で定めると、I に属する多項式 f があって f(y1 , ... , yn)=0 なので、特に
f ( y 1 , z 2 + y 1 r 2 , ... , z n + y 1 r n ) = 0 {\displaystyle f(y_{1},z_{2}+y_{1}^{r_{2}},\ldots ,z_{n}+y_{1}^{r_{n}})=0}
を得る。ri を 0 ≪ r 2 ≪ ... ≪ r n {\displaystyle 0\ll r_{2}\ll \ldots \ll r_{n}} ととれば、この関係式は
α ⋅ y 1 N + {\displaystyle \alpha \cdot y_{1}^{N}+} (y1, z2, ... , zn について N 次未満の項)= 0 ( α ∈ k )