グリーンの恒等式
{\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {P} \right)=\nabla \cdot \left(\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} -\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} \right).}
この方程式はラプラシアンを使って次のように書くことが出来る:
P ⋅ Δ Q − Q ⋅ Δ P + Q ⋅ [ ∇ ( ∇ ⋅ P ) ] − P ⋅ [ ∇ ( ∇ ⋅ Q ) ] = ∇ ⋅ ( P × ∇ × Q − Q × ∇ × P ) . {\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]=\nabla \cdot \left(\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right).}
しかし、項
この定理は発散定理の特別な場合であり、ψ と φ の勾配をそれぞれ u と v で置き換えた部分積分の高次元版と本質的に同値である。
上述のグリーンの第一恒等式は、発散定理において F = ψΓ とすることで得られる次のより一般の恒等式の特別な場合である:
∫ U ( ψ ∇ ⋅ Γ + Γ ⋅ ∇ ψ ) d V = ∮ ∂ U ψ ( Γ ⋅ n ) d S = ∮ ∂ U ψ Γ ⋅ d S . {\displaystyle \int _{U}\left(\psi \nabla \cdot \mathbf {\Gamma } +\mathbf {\Gamma } \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\mathbf {\Gamma } \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \mathbf {\Gamma } \cdot d\mathbf {S} .}
数学においてグリーンの恒等式(グリーンのこうとうしき、英: Green's identities)とは、ベクトル解析に現れる三つの恒等式のことを言う。グリーンの定理を発見した数学者のジョージ・グリーンの名にちなむ。
グリーンの恒等式はリーマン多様体上で成立する。この場合、初めの二つの恒等式は次のようになる。
∫ M u Δ v d V + ∫ M ⟨ grad  u , grad  v ⟩ d V = ∫ ∂ M u N v d V ~ ∫ M ( u Δ v − v Δ u ) d V = ∫ ∂ M ( u N v − v N u ) d V ~ . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}u\Delta v\,dV+\int _{M}\langle \operatorname {grad} \ u,\operatorname {grad} \ v\rangle \,dV&=\int _{\partial M}uNvd{\widetilde {V}}\\\int _{M}\left(u\Delta v-v\Delta u\right)\,dV&=\int _{\partial M}(uNv-vNu)d{\widetilde {V}}.\end{aligned}}}
ここで u と v は M 上の滑らかな実数値函数、dV は計量と両立する体積形式、 d V ~ {\displaystyle d{\widetilde {V}}} は M の境界上で誘起された体積形式、N は境界上での向き付けられた単位法ベクトル場、∇u = div(grad u) はラプラシアンである。