最小多項式 (体論)
a(x) を E/F に対する α の最小多項式とする。a(x) の一意性は x に α を代入する F[x] から E への環準同型 subα, つまり、subα(f(x)) = f(α), を考えることによって証明される。subα の核 ker(subα) は α を根に持つ F[x] のすべての多項式の集合である。つまり、上記より ker(subα) = Jα である。subα は環準同型であるから、ker(subα) は F[x] のイデアルである。F[x] は F が体のとき必ず主イデアル整域であるから、ker(subα) を生成する ker(subα) の多項式が少なくとも 1 つ存在する。そのような多項式は ker(subα) の零でない多項式の中で最小次数であり、a(x) はその中の唯一のモニック多項式である。