量子渦
上式の A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} を超伝導電流密度 j s = − n s e s 2 m A − n s e s ħ m ∇ φ {\displaystyle {\boldsymbol {j}}_{s}=-{\frac {n_{s}e_{s}^{2}}{m}}{\boldsymbol {A}}-{\frac {n_{s}e_{s}\hbar }{m}}{\boldsymbol {\nabla }}\phi } を用いて書き換えると、
Φ = − m s n s e s 2 ∮ ∂ S j s ⋅ d l + ħ e s ∮ ∂ S ∇ φ ⋅ d l {\displaystyle \Phi =-{\frac {m_{s}}{n_{s}e_{s}^{2}}}\oint _{\partial S}{\boldsymbol {j}}_{s}\cdot d{\boldsymbol {l}}+{\frac {\hbar }{e_{s}}}\oint _{\partial S}{\boldsymbol {\nabla }}\phi \cdot d{\boldsymbol {l}}}
上記の式より r → 0 {\displaystyle r\to 0} の極限で、磁場は B ( r ) ∝ ln  ( λ / r ) {\displaystyle B(r)\propto \ln(\lambda /r)} となり対数関数的に発散する。実際には r ≲ ξ {\displaystyle r\lesssim \xi } に対して磁場は
B ( 0 ) ≈ Φ 0 2 π λ 2 ln  κ , {\displaystyle B(0)\approx {\frac {\Phi _{0}}{2\pi \lambda ^{2}}}\ln \kappa ,}
と導かれる。ここで κ = λ / ξ {\displaystyle \kappa =\lambda /\xi } はギンツブルグ-ランダウパラメーターとして知られる量であり、第二種超伝導体においては κ > 1 / 2 {\displaystyle \kappa >1/{\sqrt {2}}} と定義される。
アブリコソフ-ボルテックスは第二種超伝導体の中の格子欠損にトラップされる。たとえ初めにアブリコソフ-ボルテックスが無い状態であっても、一度磁場を臨界磁場( H c 1 {\displaystyle H_{c1}} )以上に加えれば、磁場は超伝導体の中にアブリコソフ-ボルテックスを纏って侵入する。それぞれのボルテックスは磁束量子 Φ 0 {\displaystyle \Phi _{0}} 一つを運ぶことになる。アブリコソフ-ボルテックスは、格子欠損などにトラップされない場合三角格子状に並び、その(磁束量子の)平均密度はほぼ印加磁場と等しい。このとき形成される格子をアブリコソフ格子と呼ぶ。
しかし、実際には、閉曲面の中に「渦」のような超流動体の存在しない小さな領域がある場合、閉曲線Cに沿った循環
∮ C v s ⋅ d l = ħ m ∮ C ∇ φ ⋅ d l = ħ m Δ φ {\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {v}}_{s}\cdot \,d{\boldsymbol {l}}={\frac {\hbar }{m}}\oint _{C}\nabla \phi \cdot \,d{\boldsymbol {l}}={\frac {\hbar }{m}}\Delta \phi }
はゼロにはならない。ここで、Δφは閉曲線に沿って一周したときの波動関数の位相差である。一般に、波動関数は閉曲線に沿って一周した後に同じ値に戻らなければならないから、可能な位相差は2πの整数倍(Δφ=2πn)となる。ここで、nは任意の整数である。このように、超流動状態における循環は、
∮ C v s ⋅ d l = 2 π ħ m n {\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {v}}_{s}\cdot \,d{\boldsymbol {l}}={\frac {2\pi \hbar }{m}}n}
と量子化される。このときの量子化の単位 2 π ħ / m = h / m {\displaystyle 2\pi \hbar /m=h/m} は、循環量子(quantum of circulation)と呼ばれる。実際には、n≧2の渦の生成はn=1の渦の生成と比べてエネルギー的に不安定となるため、超流動体はn=1の渦のみが存在する系となる。