積分曲線
時間 t0 で p を通るベクトル場 X の積分曲線 α の上記の定義は,α が次の常微分方程式の初期値問題の局所的な解であるということと同じである:
α ( t 0 ) = p ; {\displaystyle \alpha (t_{0})=p;\,}
α ′ ( t ) = X ( α ( t ) ) . {\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha (t)).\,}
それは J 内の時間に対してのみ定義されていて,すべての t ≥ t0(もちろん t ≤ t0 も)に対して定義されている必要はないという意味で局所的である.したがって,積分曲線の存在と一意性を証明する問題は常微分方程式・初期値問題の解を見つけそれが一意であることを示す問題と同じである.