構成主義 (数学)
構成的数学における選択公理の立ち位置は、構成主義者のプログラムによってアプローチが異なり、複雑な状況である。「構成的」の自明な意味の一つは、数学者が非公式に使う、「選択公理を除いたZF集合論で証明可能」である。しかし、より制限された形式の構成的数学を提案する者は、ZF自体が構成的システムになっていないと主張するかもしれない。
型理論(特に高階型理論)の直観的理論においては、様々な形式の選択公理が許容される。例えば公理 AC11 は以下のように言い換えられる:「実数の集合上の任意の関係 R に対して、各実数 x に対して R(x,y) を満たす実数 y が存在することが証明されれば、実際にすべての実数に対して R(x,F(x)) を満たす関数 F が存在する。」類似した選択原理もすべての有限な型に対して許容される。これらの一見非構成的な原理を採用する動機は、「各実数 x に対して R(x,y) を満たす実数 y が存在する」ことの証明の直観的理解にある。BHK解釈(英語版)によれば、この証明は本質的に求められる関数 F であるとされる。直観主義者が許容する選択原理は排中律を含意しない。
しかし、構成的集合論に対する特定の公理系においては、en:Diaconescu-Goodman-Myhill theorem が示すように、選択公理が(他の公理が存在する状況で)排中律を含意する。構成的集合論には弱形式の選択公理を含むものがあり、たとえば Myhill の集合論における従属選択公理のようなものがある。
古典的な測度論は、ルベーグ測度の古典的な定義では集合の測度や関数の積分を具体的に計算する方法を表現しないため、基本的に非構成的である。実際、関数を「実数を入力して実数を出力する」という規則として考えると、関数の積分を計算するアルゴリズムが存在し得ない。これはどのアルゴリズムも一度に有限個の関数値しか呼び出せず、非自明な精度の積分を計算するには有限個の値では足りないためである。この難問の解決策として、初めて Bishop (1967) が実行した方法は、収束係数に関する情報を含む、(連続率が既知の) 連続関数の点単位の極限として記述された関数のみを考えることである。測度論を構成主義化する利点は、集合が構成的に完全測度であると証明できるならば、その集合内の点を探すアルゴリズムが存在するということである(Bishop (1967)を再度参照)。例えば、このアプローチはどの底でも正規数となる実数を構成するのに使うことができる。