半単純環
ゲオルグ・フロベニウス (Georg Frobenius) は、リヒャルト・デデキント (Richard Dedekind) との文通から、有限群そしてとくに、当時 déterminant de groupe と呼ばれ今では廃れてしまった行列の表現の分解の概念に興味を持った。この手紙は群の表現論(フランス語版)の起源である。1897年、彼は表現、すなわちベクトル空間に線型に作用する群、と、加群、ただし環がその空間に作用する、の間の近接をとらえた。飛躍は埋められ、群は線型化され加群になる。群上の加群の構造と同値な構造を持つ加群の上のすべての進歩は表現論したがって群論を進歩させる主題である。
ハインリッヒ・マシュケ (Heinrich Maschke) は、クラインの生徒であったが、彼の名を持つ定理を証明した最初の人である。それはこのタイプの加群を構成する元を決定する。それは半単純である。それは整数環のようなユークリッド環に強いアナロジーを持つ。それらは有限個しか存在しない違いにおいて少し素数と対応する半単純加群の列に分解する。