フォン・ノイマンの安定性解析
誤差の時間依存性は誤差の振幅 A m {\displaystyle A_{m}} が時間ステップの関数である仮定することによって考慮されている。誤差の成長・減衰は指数関数的になる傾向があるので、振幅が時間とともに指数関数的に変化すると仮定するのは妥当である。ゆえに
ε ( x , t ) = ∑ m = 1 M e a t e i k m x {\displaystyle \epsilon (x,t)=\sum _{m=1}^{M}e^{at}e^{ik_{m}x}}
と仮定する。ただしa は定数である。
誤差が従う差分方程式は線形なので(級数の各項の挙動は級数自体と同じである)、次の典型的な項の誤差の成長を考察すれば十分である:
ε m ( x , t ) = e a t e i k m x {\displaystyle \epsilon _{m}(x,t)=e^{at}e^{ik_{m}x}} ・・・(3)
誤差に対するこの形式を使用して安定特性を調べても一般性を失わない。誤差が時間ステップを進めるごとにどのように変化するかを調べるため、式(3)を(2)に代入し整理すると
e a Δ t = 1 + r ( e i k m Δ x + e − i k m Δ x − 2 ) = 1 − 4 r sin 2  k m Δ x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}e^{a\Delta t}&=1+r\left(e^{ik_{m}\Delta x}+e^{-ik_{m}\Delta x}-2\right)\\&=1-4r\sin ^{2}{\frac {k_{m}\Delta x}{2}}\end{aligned}}} ・・・(4)