水道方式
(2)複合過程の展開 素過程をマスターしたら複合課程へと進む。水道方式では「一般から特殊へ」と練習問題を配列する。
22+22型
22+20型
20+22型
20+20型
22+2型(22+02)......十の位が「空位(空っぽ)」という。「無の0」がそのまま「位取りの0」となる。
2+22型(02+22)......一の位が空位(空っぽ)。
20+2型(20+02)
2+20型(02+20)
「22+22型」は全ての基本操作を含み、位も全部揃っている。この方の基本的な法則を提供しておけば、あとは「0の入ったものを特殊とみる」だけですべての型に適用できる。このような型を水道方式では「水源地」と呼ぶ。
このあとは「繰り上がりのある2位の足し算」を「一般から特殊へ」の原則に従って展開する。
29+29
29+21
29+9......十の位が0になった「退化型」
9+29......退化型
29+1......退化型
1+29......退化型
このように水道方式では
素過程を暗記するほど徹底的にマスターさせる。
水源地を学習し、それを元に特殊化した型に進む。
という指導方針で練習問題を型分けして「3けた+3けた」まで練習させる。
最初に行う「水源地」から、各パターンに分かれる様子を、水道管が分岐して各家庭に至る様に見立てたのが、「水道方式」という呼び名の由来である。
足し算の素過程は「0+0」「0+1」から「9+9」まで100通りあるが、「0+0」「0+1」「0+2」や「1+0」「2+0」など自然数ではないものを除くと 81 通りになる。
これを、五・二進法を併用して「一般から特殊へ」の順番にならべると、
「足して五未満になる一位数」「足して五になる数」から枝分かれして繰り上がりや空位の0などの指導に結びつけてゆく。 具体的には
足して五未満になる数(1+1=2,1+2=3,1+3=4、2+1=3,3+1=4)
足して五(V)になる数(1+4=5,2+3=5,3+2=5、4+1=5)
といった基礎をおさえる。次に「5と5を足すと繰りあがりが生じる」というところから「空位の0」を導入し、
五と五以上の数の和で繰り上がりが生じるもの
五以上の数どうしの和によって繰り上がりが生じるもの
五未満の数と五以上の数の和において繰り上がりが生じないものといった(1+5=6、1+6=7、1+7=8、1+8=9、2+5=7、2+6=8、2+7=7、3+6=9)「型崩れ」問題の正誤によって「どこで躓いたのか」を明らかにする。
これを「五・二進法」というが、日本語では「ひと⇒ふた」「み⇒む」「よ⇒や」といった倍数関係に関する音韻調和もあるため、指導においては併用される。
とはいえ、若干くだくだしいという批判もあるので、
繰り上がりの無い場合。
加数が0の場合。
被加数が0の場合。
加数と被加数の両方が0の場合。
繰り上がりがあって和が2けたの場合。
繰り上がりがあって和が10になる場合。
となり、これを順番に練習させる流儀もある。練習に使用する数字は「2と9」を用いるので、「2-9分類法」(「2+2」「2+9」「9+2」「9+9」)と呼ぶ。
位取りが理解できていれば、 234×2 は、 200×2、30×2、4×2 ではなく、/ 2×2、3×2、4×2 の素過程に分解できる。これによって練習すべき素過程の数が大幅に減る。
かけ算の素過程の種類は以下の通り。
3×2
3×0
0×2
0×0
□×□=□□......積が十の位に繰り上がる型。
□×□=□0......同上の型。
素過程である0が入った練習では九九を唱えさせるとき「0」も唱えさせる事が重要であるとしている。水道方式では素過程は九九になり、2けた×1けた、3けた×1けたぐらいまでやって、2けた×2けたに移る。これらもタイルで説明する。足し算と同じように一般型から型崩れへと練習していく。
遠山は数多くある計算パターンをどのように分類し、どのように配列するかという問題に原則を作った。たとえば「3桁の足し算」は「0+0」から「999+999」までの百万通りあるが、これを
繰り上がりの出てこないものを最初にやる。
「0」が出てくるものは後回しにする。
標準型から少しずつ型崩れの問題に移ってゆく。
として分類している。 このとき、「二桁数+二桁数」「二桁数+三桁数」「三桁数+二桁数」などをどの段階で指導するか、といった悩みはある。