積 (圏論)
集合の圏における(圏論的な意味での)積はデカルト積(集合の直積)である。与えられた集合の族 Xi (i ∈ I) に対する積は、集合 ∏i∈I Xi ≔ {(xi)i∈I | xi ∈ Xi (∀i ∈ I)} と自然な射影の族 πi: ∏i∈I Xi → Xj (j ∈ I) との組として定まる。ここで各射影は πj((xi)i∈I) ≔ xj を満たす写像である。 任意の集合 Y と写像の族 fi: Y → Xi が与えられたとき、普遍射 f: Y → ∏i∈I Xi は f(y) ≔ (fi(y))i∈I として定まる。
他の例:
位相空間の圏における積は、各因子の台集合のデカルト積を台として積位相を入れた空間である。積位相はすべての射影が連続であるような最も粗い位相(英語版)である。
一つの環 R 上の加群の圏における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの加法と分配的な積を入れたものである。
群の圏における積は、台集合のデカルト積に成分ごとの積を入れた群の直積によって与えられる。
関係の圏 Rel において、積は非交和によって与えられる。(集合の圏 Set が Rel の部分圏であることを考えるとこれは少し驚かれるかもしれない。)
代数多様体の圏において、圏論的な積はSegre埋め込み(英語版)によって与えられる。
半アーベルモノイド(英語版) (semi-abelian monoid) の圏において、圏論的な積は history monoid によって与えられる。
半順序集合は順序関係を射として用いることで圏として扱うことができる。この場合積と余積は最大下界と最小上界(交わりと結び)に対応する。