ラプラス作用素
ラプラス作用素の概念は、勾配 grad と発散 div をリーマン多様体 M 上に一般化する事で定義でき、M 上定義された関数 f に対して
Δ f := div  grad  f = − 1 | det  g | ∂ ∂ x i ( | d e t g | g i j ∂ f ∂ x j ) {\displaystyle \Delta f:=\operatorname {div} \operatorname {grad} f=-{\frac {1}{\sqrt {|\operatorname {det} g|\,}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\sqrt {|\mathrm {det} g|\,}}\,g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}\right)}
により定義される作用素をラプラス=ベルトラミ作用素(英語版)(英: Laplace–Beltrami operator)、あるいは単にラプラシアンという。ここで g はリーマン計量である。なおユークリッド空間の通常のラプラシアンとは符号が反対になっている事に注意されたい(この章で後述する他のラプラシアンも同様)。
リーマン多様体上の grad と div は外微分から定義する方法と共変微分から定義する方法が知られているが、関数の場合はどちらの定義であっても同値になるので、どちらを使ってもラプラス・ベルトラミ作用素の定義は同一になる。
しかしこれをさらに拡張してリーマン多様体上の微分形式に対するラプラス作用素を定義しようとすると両者の定義は一致しない。