メビウスの帯
実際にメビウスの帯をつくるときは長方形の短い端同士を180°ひねって貼りあわせればよいが、これは数学的には2つの辺を同一視して得られる商空間を考えていることになる。
長方形に対して(三角形分割して)全体が同調するように向きを与えると、向かい合う辺同士には逆の向きが導かれる(長方形ABCDの辺ABについてAからBへの向きが導かれれば、辺CDに対してはCからDへの向きが導かれる)。そこで、片方の辺からもう片方の辺への、向きを保存する同相写像を考え、それによって移りあう点を同一視して得られる商空間を考えると、これがメビウスの帯になる(貼り合わせに使わなかった辺は帯の境界となる)。向きを逆にする同相写像を使って同一視を行った場合は、向かい合う辺がそのまま貼り合わされたことになるので、商空間はメビウスの帯ではない通常の帯になる。
また、3次元ユークリッド空間内の円筒
C = { ( x , y , z ) ∈ R 3 ; | x 2 + y 2 | = 1 , | z | ≤ 1 } {\displaystyle C=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3};|x^{2}+y^{2}|=1,|z|\leq 1\}}
を考え、C上の点(x , y , z)と(-x , -y , -z)を同一視して得られる商空間を考えると、これもやはりメビウスの帯となる。