リーマン球面
複素数の加法は任意の複素数 z に対して
z + ∞ = ∞ {\displaystyle z+\infty =\infty }
と定義することで拡張され、乗法は任意の 0 でない複素数 z に対して
z ⋅ ∞ = ∞ {\displaystyle z\cdot \infty =\infty }
とし、∞ ⋅ ∞ = ∞ と定義することで拡張される。∞ + ∞, ∞ – ∞, 0 ⋅ ∞ は未定義のままであることに注意すべきである。複素数とは違って、拡張複素数は体をなさない。∞ は乗法逆元をもたないからだ。それでもなお、C ∪ {∞} 上の除法を次のように定義するのが習慣である。0 でないすべての複素数 z に対して
z / 0 = ∞ and z / ∞ = 0 {\displaystyle z/0=\infty \quad {\text{and}}\quad z/\infty =0}
∞/0 = ∞ そして 0/∞ = 0。商 0/0 および ∞/∞ は定義されないままである。