熱膨張率
(10/K)
気体の場合は体積ではなく密度でその状態を表すことが多い。ここで気体の質量を m とすると、密度 ρ は、
ρ = m V {\displaystyle \rho ={\frac {m}{V}}}
となる。よって体積膨張率 β は、
β = 1 V d V d t = ρ m d V d ρ d ρ d t = ρ m ⋅ ( − m ρ 2 ) d ρ d t = − 1 ρ d ρ d t {\displaystyle \beta ={\frac {1}{V}}{\frac {dV}{dt}}={\frac {\rho }{m}}{\frac {dV}{d\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\rho }{m}}\cdot \left(-{\frac {m}{\rho ^{2}}}\right){\frac {d\rho }{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}}
と表せる。すなわち体積膨張率 β は密度の温度による変化率によっても表せる。
特に理想気体の場合は、その状態方程式を代入することで
β = 1/t
となる。ここで t は絶対温度である。
固体の体積膨張率 β は、物体の体積 V を用いて次のように定義される:
β = 1 V d V d t {\displaystyle \beta ={\frac {1}{V}}{\frac {dV}{dt}}}
ここで V は l を用いて V = l と表されるので、
β = 1 V d V d t = 1 l 3 d V d l d l d t = 1 l 3 ⋅ 3 l 2 d l d t = 3 l d l d t = 3 α {\displaystyle \beta ={\frac {1}{V}}{\frac {dV}{dt}}={\frac {1}{l^{3}}}{\frac {dV}{dl}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {1}{l^{3}}}\cdot 3l^{2}{\frac {dl}{dt}}={\frac {3}{l}}{\frac {dl}{dt}}=3\alpha }
となる。つまり、体積膨張率 β は線膨張率 α の3倍に等しい。