整域
a と b が整域 R の元であるとき、「a が b を割る(整除する)」あるいは「a が b の約元である」「b が a の倍元である」ということを、ax = b を満たす R の元 x が存在することを以って定義する。このとき、a | b と表す。
乗法単位元を割るような元は R の単元と呼ぶ(これはちょうど R の可逆元の概念と一致する)。単元は他の全ての元を整除する。
a が b を整除し、かつ b が a を整除するならば a と b は同伴 (associate) する、あるいは互いに同伴な元であるという。
単元でないような元 q について、q が既約元であるとは、q が単元でない二つの元の積に表されることが無いときにいう。
零元でも単元でもない元 p について、 p が素元であるとは、p が任意の積 ab を割るならば必ず p が a または b の約元となるときにいう。このことは、「その元が生成するイデアルが素イデアルであるような元を素元という」と言っても同じである。任意の素元は既約元である。逆にGCD整域(例えば UFD)において任意の既約元は素元となる。
素元の概念は、(負の素元が許されることを除けば)有理整数環 Z における素数の概念の一般化になっている。
抽象代数学における整域(せいいき、英: integral domain)は、零因子を持たない可換環であって、自明環 {0} でないものをいう。整域の概念は整数全体の成す環の一般化になっており、整除可能性を調べるのに自然な設定を与える。環の定義に乗法単位元を含めない場合であっても、単に可換環あるいは整域と言ったときには乗法単位元を持つと仮定することが少なくない。即ち、整域とは単位的可換域のことをいう。
上記の如く「整域」を定めるのが広く採用されているけれども、いくらかの揺れもある。特に、非可換な整域を許すことが時としてある。しかし、「整域」(integral domain) という語を可換の場合のために用い、非可換の場合には「域」(domain) を用いることにすると約束するのがたいていの場合には有効である(奇妙な話ではあるが、この文脈では形容辞「整」の中に「可換」の意も含まれるということになる)。別な文献では(ラングが顕著だが)整環 (entire ring) を用いるものがある。
いくつか特定の種類の整域のクラスについては、以下のような包含関係が成立する。
可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解整域 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体 ⊃ 有限体
零因子の非存在(零積法則)は、整域において非零元による乗法の簡約律が満足されることを意味する。つまり、a ≠ 0 のとき、等式 ab = ac から b = c が結論できる。
任意の素元が必ず既約元となることに対し、その逆は一般には真でない。例えば二次整数環 Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} において、数 3 は既約だが素元でない。実際、3 のノルムである 9 は
( 2 + − 5 ) ( 2 − − 5 ) , 3 × 3 {\displaystyle (2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),\quad 3\times 3}
という二種類の分解を持つが、このとき 3 は積 ( 2 + − 5 ) ( 2 − − 5 ) {\displaystyle (2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}})} を割るが、 2 + − 5 {\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}} も 2 − − 5 {\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}} も割らない。数 3 および 2 ± − 5 {\displaystyle 2\pm {\sqrt {-5}}} が既約であることは a + 5b = 3 が整数解を持たないことなどから分かる。
上記の例では素元分解の一意性が満足されないが、イデアルを考えれば一意的なイデアル分解が得られる。ラスカー-ネーターの定理も参照。