非有界作用素
T : B1 → B2 を、バナッハ空間の間の作用素とする。このとき、T の転置(あるいは、双対) T ′ : B 2 ∗ → B 1 ∗ {\displaystyle T':{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}} とは
⟨ T x , y ′ ⟩ = ⟨ x , T ′ y ′ ⟩ {\displaystyle \langle Tx,y'\rangle =\langle x,T'y'\rangle }
がすべての x ∈ B1 および y ∈ B2 に対して成り立つような作用素のことを言う。ここで、記法 ⟨ x , x ′ ⟩ = x ′ ( x ) {\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)} を用いた。
T の転置が存在するための必要十分条件は、T が稠密に定義されていることである(本質的には、上述の共役に対するものと同様の理由である)。