線型代数群
線型代数群の変種としていくつかの方向性が考えられる。逆写像 i : G → G {\displaystyle i\colon G\to G} の存在を落とせば線型代数モノイドの概念が得られる。
線型代数群 G の体 k 上定義された代数多様体(あるいはスキーム)X への作用(英語版)とは射
であって群作用の公理系を満足するものを言う。他の種類の群論と同様、群は幾何学的対象の対称性として自然に生じるものであるから、群作用を調べることは重要である。
群作用の理論の一端として、幾何学的不変式論は線型代数群 G の代数多様体 X への作用の軌道全体の成す集合を記述する商多様体 X/G を構成することを目的とするものだが、これには様々な困難が生じる。たとえば X がアフィン代数多様体ならば X/G を 不変式環(英語版) O(X) のスペクトル Spec O(X) として構成しようと試みることはできるけれども、永田雅宜は「不変式環は必ずしも k-代数として有限生成でない」(したがって、不変式環のスペクトルも一般には代数多様体でないスキームとなる)というヒルベルトの第14問題(英語版)に対する否定的解答を示した。肯定的な方向での解答として「G が簡約群ならば対応する不変式環が有限生成である」というハバッシュの定理(英語版)が、標数 0 の場合にはヒルベルトと永田により証明されている。
簡約群 G が射影代数多様体 X に作用するとき、幾何学的不変式論にはさらに微妙な問題が含まれてくる。特に、その理論では X の「固定」点および「半固定」点 ("stable" and "semistable" points) からなる開部分集合を定めるが、そのための商射は半固定点集合上でしか定義されない。
体 k 上の線型代数群 G に対して、単位成分 identity component G ∘ {\displaystyle G^{\circ }} (点 1 を含む連結成分)は指数有限な正規部分群である。よって群の拡大
1 → G ∘ → G → F → 1 {\displaystyle 1\to G^{\circ }\to G\to F\to 1}
がある。ここで F は有限代数群である。(代数的閉体 k に対して、F は抽象有限群と同一視できる。)このため、代数群の研究の多くは連結群に焦点を合わせている。
抽象群論における様々な概念は線型代数群へ拡張できる。線型代数群が可換・べき零(英語版)・可解であるとは何を意味するかを定義するのは、抽象群論における定義の類似から、単純である。例えば、線型代数群が可解 solvable であるとは、線型代数部分群からなる組成列であって、その商群が可換となるものを持つことである。同様に、線型代数群 G の閉部分群 H に対し、その正規化群・中心・中心化群は自然に G の閉部分群スキームと見做せる。もしそれらが k 上滑らかならば、上で定義した線型代数群である。
よって G から g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} への移行は a process of differentiation である。元 x ∈ G(k) に対して、共役写像 G → G, g ↦ xgx の 1 ∈ G(k) での導分は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の自己同型であり、随伴表現
Ad : G → Aut  ( g ) {\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})}
を与える。
標数ゼロの体上において、線型代数群 G の連結部分群 H はリー代数 h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} により一意的に定まる。しかし g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のリー部分代数すべてが G の代数部分群と対応するわけではない。(C 上のトーラス G = (Gm) がそのような例である。)正標数の場合には、同じリー代数を定める G の連結部分群はいくつも存在し得る。(重ねてトーラス G = (Gm) がそのような例である。)このような理由で、代数群のリー代数は重要ではあるものの、代数群の構造論にはより大域的な道具立てが必要とされる。