テイラーの定理
例えば、関数 f: R → R の三階のテイラー多項式は、x − a = v と書いて、
P 3 ( x ) = f ( a ) + ∂ f ∂ x 1 ( a ) v 1 + ∂ f ∂ x 2 ( a ) v 2 + ∂ 2 f ∂ 2 x 1 ( a ) v 1 2 2 ! + ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ( a ) v 1 v 2 + ∂ 2 f ∂ 2 x 2 ( a ) v 2 2 2 ! + ∂ 3 f ∂ x 1 3 ( a ) v 1 3 3 ! + ∂ 3 f ∂ 2 x 1 ∂ x 2 ( a ) v 1 2 v 2 2 ! + ∂ 3 f ∂ x 1 ∂ 2 x 2 ( a ) v 1 v 2 2 2 ! + ∂ 3 f ∂ 3 x 2 ( a ) v 2 3 3 !
e は (*) によって増加関数だから、部分区間 [−1, 0] 上で剰余項を評価するのに単純に e ≤ 1 (x ∈ [−1, 0]) を使うことができる。[0, 1] 上の剰余の上界を得るには、0<ξ<x に対して e<e という性質を用いて、二次のテイラー展開を用いて
e x = 1 + x + e ξ 2 x 2 < 1 + x + e x 2 x 2 , 0 < x ≤ 1 {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1}
と評価できる。e について解いて、単純に分子を最大化、分母を最小化して、
e x ≤ 1 + x 1 − x 2 2 = 2 1 + x 2 − x 2 ≤ 4 , 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1}
を得る。e に対するこれらの評価を組み合わせて、
| R k + 1 ( x ) | ≤ 4 | x | k + 1 ( k + 1 ) ! ≤ 4 ( k + 1 ) ! , − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle |R_{k+1}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1}