ガンマ関数
実部が正となる複素数 z {\displaystyle z} に対して、次の広域積分で定義される複素関数:
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t ( R z > 0 , ) {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t\qquad (\Re {z}>0,)}
をガンマ関数と呼ぶ。この積分表示は、アドリアン=マリ・ルジャンドルの定義にしたがって、第二種オイラー積分とも呼ばれる。元は階乗の一般化としてオイラーが得たもので、 Γ {\displaystyle \Gamma } という記号は、1814年にルジャンドルが導入したものである。それ以前にガウスは Π {\displaystyle \Pi } などと表記していた(ただし、 Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)} である)。
一般の複素数 z {\displaystyle z} に対しては、解析接続もしくは次の極限で定義される。
Γ ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) . {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod \limits _{k=0}^{n}{(z+k)}}}.}
オイラーの乗積表示からオイラーの定数
γ = lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − log  n ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)}
を括り出すとワイエルシュトラスの乗積表示が得られる。ワイエルシュトラスはガンマ関数が負の整数に極を持つことを嫌って逆数を用いた。ガンマ関数の逆数は複素平面全体で正則である。
1 Γ ( z ) = lim n → ∞ ∏ k = 0 n ( z + k ) n z n ! = lim n → ∞ z n − z ( ∏ k = 1 n e z / k ) ( ∏ m = 1 n z + m m e − z / m ) = z e γ z ∏ m = 1 ∞ ( 1 + z m ) e − z / m {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}{n^{z}n!}}=\lim _{n\to \infty }zn^{-z}\left(\prod _{k=1}^{n}{e^{z/k}}\right)\left(\prod _{m=1}^{n}{\frac {z+m}{m}}e^{-z/m}\right)=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m}}
( x , y , y 1 , ... , y n ) {\displaystyle (x,\ y,\ y_{1},\ \ldots ,\ y_{n})} を変数とする多項式 F ( x , y , y 1 , ... , y n ) {\displaystyle F(x,\ y,\ y_{1},\ \ldots ,\ y_{n})} に対し、
F ( x , y , y 1 , ⋯ , y n ) = 0 , y i = d i y d x i ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle F(x,y,y_{1},\cdots ,y_{n})=0,\quad y_{i}={\frac {d^{i}y}{dx^{i}}}\quad (i=1,\cdots ,n)}
の形で表される微分方程式を代数的微分方程式という。ガンマ関数はいかなる代数的微分方程式も満たさないことが知られている。ヘルダーが1887年に最初に証明を与えた後 、E. H. ムーア、A. オストロフスキ(英語版)、E. バーンズ(英語版)、ハウスドルフにより、別証明や一般化がなされた。
z → ∞ {\displaystyle z\to \infty } での漸近展開として、ガンマ関数はスターリングの公式で近似される。この漸近近似は複素平面全体(負の実数を除く)で成立するが、 | arg  z | = π {\displaystyle |{\arg z}|={\pi }} に近づくにつれ近似の誤差が大きくなる(極限の収束が遅くなる)ため、応用上は相反公式などを用いて | arg  z | ≤ π / 2 {\displaystyle |{\arg z}|\leq {\pi }/2} 程度に制限することもある。
Γ ( z + 1 ) ≈ 2 π z ( z e ) z ( | arg  z | < π , | z | ≫ 0 ) {\displaystyle \Gamma (z+1)\approx {\sqrt {2{\pi }z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\qquad (|{\arg z}|<{\pi },|z|\gg 0)} lim z → ∞ Γ ( z + 1 ) 2 π z ( z e ) z = 1 ( | arg  z | < π ) {\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {\Gamma (z+1)}{{\sqrt {2{\pi }z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}}=1\qquad (|{\arg z}|<{\pi })}