ホモロジー (数学)
この例をモデルとして、任意の位相空間 An の特異ホモロジーを定義することができる。X に対するチェイン複体を An として n 次元単体 から X への連続写像全体で生成される自由アーベル群(あるいは自由加群)をとることで定義できる。準同型 ∂n は単体の境界写像により誘導されるものである。
抽象代数においては、ホモロジーを用いて導来関手、たとえば Tor関手を定義できる。まず、加法的共変関手 F と加群 X から出発する。加群 X に対するチェイン複体は次のようにして定義される。
まず、自由加群 F1 と全射準同型 p1: F1 → X をえらぶ。次に自由加群 F2 と全射準同型 p2: F2 → ker(p1) をえらぶ。このように繰り返してゆき、自由加群 Fn と準同型 pn の列が定義できる。この列に関手 F を適用すると、チェイン複体が得られる。この複体のホモロジー Hn は F と X とのみに依存する。これを F の n 次導来関手の X における値であると定義する。
しかし位置の幾何学について書いた文章が数多く遺されており、終生興味を持ち続け熱心に研究していた。ガウスが位置の幾何学を重視していたことはリーマンにも影響を与えた。
1857年、リーマンは「アーベル関数の理論」と題した論文を公表する。この論文で再び曲面の連結性の数(connectedness number)という概念を考える。これは次のように定義される。曲面の上に n 本の閉曲線の族があり、どの閉曲線の組み合わせを取っても部分曲面の完全境界にならなかったとする。さらに、この族にどのような閉曲線を加えてもこの性質を満たさなくなるとする。このとき、この曲面を n + 1 重連結であると呼ぶ。例えば、円板は1重連結であり、円環は2重連結である。連結性の数は境界の無い曲面に対しても定義することができ、例えば球面の連結性の数は1である。連結性の数の定義に完全境界という概念を使ったのは正則関数を領域の境界に沿って線積分すると0になることによる。
ここには、考えている曲面の境界は考えず、連結性の数の定義においてツールとして用いる曲線が境界かどうかを考えるという、発想の転換があり、サイクルのなす群をバウンダリのなす群で割るというアイデアの原型を見ることができる。