準群
Q と P を準群とする。Q から P への 準群ホモトピー (英: quasigroup homotopy) とは、Q から P への写像の三つ組み (α, β, γ) であって、以下を満たすものを言う:
α ( x ) β ( y ) = γ ( x y ) {\displaystyle \alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)}
for all x, y in Q. 特に三つの写像が等しい時に 準群準同型 (英: quasigroup homomorphism) と言う。
アイソトピー (または イソトピー、英: isotopy) とは、三つの写像 (α, β, γ) が全単射であるようなホモトピーである。 二つの準群の間に、アイソトピーが存在するとき、それらは、アイソトピック (または イソトピック、英: isotopic) と呼ばれる。
(Smith 2007) は以下の重要な性質とサブクラスに名を与えた。
左除算と右除算は、定義式の変数を並び替えて準群を構成する例である。 オリジナルの演算 ∗ (i.e., x ∗ y = z) から、我々は次の五つの新しい演算を定義できる: x o y := y ∗ x ( 逆演算 (英: opposite operation) )、/, \, および/, \, の逆演算である。 これにより、合計六つの準群演算が得られる。それらは、共役 (英: conjugates) または パラストロフィ (英: parastrophesと呼ばれる。 また、これら六つの演算の内の任意の二つは (同じもの同士を含む) は、互いに共役 (パラストロフィ) と呼ばれる。
三つの演算が一致する、つまり x ∗ y = x / y = x \ y であるような、より狭いクラスが全対称準群(totally symmetric quasigroup、略してTS-準群とも)である。全対称準群には可換な、つまり x ∗ y = y ∗ x であるような半対称準群とする別の定義もある。
冪等な全対称準群はシュタイナー三重系と等価であることから、シュタイナー準群(Steiner quasigroup、squag)とも呼ばれる。ループにおいてこれに対応するのが sloop であり、冪等性 x ∗ x = x に代えて x ∗ x = 1 を満たすものである。また、冪等性を要求しない一般の全対称準群は、一般化楕円三次曲線(Generalized Elliptic Cubic Curve、GECC)とも呼ばれる、拡張シュタイナー三重系の幾何学的概念に相当する。
ループが 左可逆性 (英: left inverse property) を持つとは、任意の x , y {\displaystyle x,y} に対して、 x λ ( x y ) = y {\displaystyle x^{\lambda }(xy)=y} が成り立つことをいう。同値であるが、 L x − 1 = L x λ {\displaystyle L_{x}^{-1}=L_{x^{\lambda }}} あるいは x ∖ y = x λ y {\displaystyle x\backslash y=x^{\lambda }y} と書いても良い。
ループが 右可逆性 (英: right inverse property) を持つとは、 x {\displaystyle x} and y {\displaystyle y} に対して、 ( y x ) x ρ = y {\displaystyle (yx)x^{\rho }=y} が成り立つことである。 R x − 1 = R x ρ {\displaystyle R_{x}^{-1}=R_{x^{\rho }}} あるいはor y / x = y x ρ {\displaystyle y/x=yx^{\rho }} と書いても同じ。
ループが 反自己同型可逆性 (英: antiautomorphic inverse property) を持つとは ( x y ) λ = y λ x λ {\displaystyle (xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }} が成り立つことである。