線型写像
線型写像 f, f1, f2: V → W および係数体の元 a に対して、スカラー倍 af および和 f1 + f2 を ( a f ) ( v ) := a ( f ( v ) ) , ( f 1 + f 2 ) ( v ) := f 1 ( v ) + f 2 ( v ) {\displaystyle (af)(v):=a(f(v)),\quad (f_{1}+f_{2})(v):=f_{1}(v)+f_{2}(v)}
で定めると、これらはまた V から W への線型写像を定める。
を行うとき、P, Q は正則行列で (v′1, ..., v′n) = (v1, ..., vn)P, (w′1, ..., w′m) = (w1, ..., wm)Q であり、
f ( ( v 1 ′ , ... , v n ′ ) [ a 1 ′ ⋮ a n ′ ] ) = f ( ( v 1 , ... , v n ) P [ a 1 ′ ⋮ a n ′ ] ) = ( w 1 , ... , w m ) A f P [ a 1 ′ ⋮ a n ′ ] = ( w 1 ′ , ... , w m ′ ) Q − 1 A f P [ a 1 ′ ⋮ a n ′ ] {\displaystyle {\begin{aligned}f{\Big (}(v_{1}',\ldots ,v_{n}'){\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}{\Bigr )}&=f{\Big (}(v_{1},\ldots ,v_{n})P{\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}{\Bigr )}\\&=(w_{1},\ldots ,w_{m})A_{f}P{\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}=(w_{1}',\ldots ,w_{m}')Q^{-1}A_{f}P{\begin{bmatrix}a_{1}'\\\vdots \\a_{n}'\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
数学の特に線型代数学における線型変換(せんけいへんかん、英: linear transformation、一次変換)あるいは線型写像(せんけいしゃぞう、英: linear mapping)は、ベクトルの加法とスカラー倍を保つ特別の写像である。特に任意の(零写像でない)線型写像は「直線を直線に移す」。
線型写像 f: V → W が全単射(したがって同型)であるとき、逆写像 f: W → V もまた線型同型になる。
双線型写像 f: V × W → X が与えられたとき、テンソル積空間 V ⊗ W から X への線型写像 φ が
φ ( v ⊗ w ) := f ( v , w ) ( v ∈ V , w ∈ W ) {\displaystyle \varphi (v\otimes w):=f(v,w)\quad (v\in V,w\in W)}
によって誘導される(テンソル積の普遍性)。