基本アーベル群
ベクトル空間としての V は基底 {e1, ..., en} を上で述べた通りに持つ。V の任意の n 個のベクトル {v1, ..., vn} を取るとき、線型代数学の知識を用いて写像 T(ei) = vi は V の線型変換に一意に拡張されることが示せる。そのような T の各々は V から V への群準同型としての自己準同型と見ることもできるし、線型変換としての自己準同型と見ることもできる。
V の自己同型に限って考えれば、Aut(V) ≔ {T: V → V | ker T = 0} = GLn(Fp) は Fp 上の n-次正則行列全体の成す一般線型群である。
自己同型群 GL(V) = GLn(Fp) はベクトル空間の一般論により V ∖ {0} に推移的に作用する。実はこれが任意の有限群の中で基本アーベル群を特徴付ける性質である。すなわち、G が有限群でその単位元を e とし、Aut(G) が G ∖ {e} に推移的に作用するならば G は基本アーベル群である。(証明: Aut(G) が G ∖ {e} に推移的に作用するならば、G の単位元でない任意の元は同じ位数を持ち、それは素数である必要があるから、G は p-群である。p-群は非自明な中心を持つが、いまそれは任意の自己同型で不変であるから G 全体に一致する。)