中点法
しかし、2階微分が t n {\displaystyle t_{n}} と t n + 1 {\displaystyle t_{n+1}} の間で常に正、または(上掲の図のように)常に負であれば、曲線は接線から逸れ続けて h {\displaystyle h} の増大とともに誤差は拡大する。この図からは、この区間においては中点における接線(上側の緑色の線分)のほうが、ほとんどいつもより正確な曲線の近似となることが見てとれる。この接線は、まず元のオイラー法を使って中点での y ( t ) {\displaystyle y(t)} を推定し、次に f {\displaystyle f} から傾きを計算することで求まる。この改良された接線を使って y n {\displaystyle y_{n}} から y n + 1 {\displaystyle y_{n+1}} の値が計算される(図中の赤色の弦)。中点での y ( t ) {\displaystyle y(t)} の推定に誤差が伴うため、赤色の弦は正確には緑色の線分(真の接線)と平行ではないことに注意する。
中点法における各ステップでの局所的な誤差は O ( h 3 ) {\displaystyle O\left(h^{3}\right)} であり、大域的な誤差は O ( h 2 ) {\displaystyle O\left(h^{2}\right)} となる。このように、中点法はオイラー法と比べて数値計算的に強力でありながら、 h → 0 {\displaystyle h\to 0} のときの誤差の収束は一般的により速い。
中点法は、ルンゲ=クッタ法として知られるより高次の手法の一クラスである。