ベッチ数
X が閉多様体のとき、ベッチ数はド・ラームコホモロジーの次元をあたえる。閉形式の空間を完全形式の空間でわった商空間の次元をあたえる。これはド・ラームの定理とホモロジー論の普遍係数定理によりえられる。 また X がリーマン多様体であれば、ホッジ理論によればベッチ数は調和形式の空間の次数を与えることがわかる。
モース理論によりベッチ数の交代和と、対応する適切なモース函数の臨界点の数 Ni の交代和に関する不等式が以下のようにあたえられる。
b i ( X ) − b i − 1 ( X ) + ⋯ ≤ N i − N i − 1 + ⋯ . {\displaystyle b_{i}(X)-b_{i-1}(X)+\cdots \leq N_{i}-N_{i-1}+\cdots .}
ウィッテンは、モース函数を使いこれらの不等式の説明をして、ド・ラーム複体の外微分を変形した。
(有理)ベッチ数 bk(X) は、ホモロジー群の任意のねじれ部分群(torsion)を考慮に入れてはいないが、しかし、非常に基本的な位相不変量である。
有限の単体複体の場合は、ホモロジー群 Hk(X, Z) は全ての k で有限ランクであり、また k が単体の次元を超えている場合は 0 である。
有限の CW-複体 K に対し、
χ ( K ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i b i ( K , F ) , {\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,F),\,}
が成り立つ。ここに χ ( K ) {\displaystyle \chi (K)} は K のオイラー標数を表し、F は任意の体である。
2つの空間 X と Y に対し
P X × Y = P X P Y , {\displaystyle P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},\,}
が成り立つ。ここに PX は X の ポアンカレ多項式(Poincaré polynomial)(より一般的には、無限次元の空間に対してはポワンカレ多項式)、すなわち X のベッチ数の母函数である