環の直積
R = Πi ∈ I Ri が環の積であれば、すべての i ∈ I に対して、i 番目の座標に積を射影する全射環準同型 pi: R → Ri がある。射影 pi とともに積 R は、以下の普遍性をもっている:
S が任意の環で fi: S → Ri がすべての i ∈ I に対して環準同型であれば、ちょうど1つの環準同型 f: S → R が存在してすべての i ∈ I に対して pi ∘ f = fi である。
これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 Ri → R は環準同型ではない、なぜならばそれは Ri の単位元を R の単位元に写さないからだ。
各 i ∈ I に対して Ai が Ri のイデアルであれば、A = Πi ∈ I Ai は R のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。