二項型多項式列
( p n ∘ q ) ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k q k ( x ) = ∑ 0 ≤ k ≤ l ≤ n a n , k b k , l x l {\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq k\leq \ell \leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}
で与えられる多項式列である。(ここで、p の方は第 n-項を考えるのでそれを示す下付き添字を付けて pn としているが、対する q は(一つの項ではなくて)全ての項を考えるので添え字は現れていない)。
デルタ作用素を上述の如く微分作用素 D の冪級数として定義するとき、冪級数の間の群演算は冪級数の形式的な合成とすれば、既に述べたデルタ作用素と二項型多項式列との間の自然な全単射は群の同型である。
多項式列 {pn(x) : n = 0, 1, 2, ...} が二項型であるための必要十分条件は、以下の条件をすべて満足することである。
pn(x) ↦ npn−1(x) で定義される変数 x に関する多項式全体の成す空間上の線型汎函数がシフト同変である。
任意の x において p0(x) = 1 を満たす。
n > 0 に対して pn(0) = 0 を満たす。
この汎函数がシフト同変であるという主張は、この多項式列がシェファー列を成すということと同じである。実は二項型多項式列全体の成す集合はシェファー列全体の成す集合に真に含まれる。
上記の線型汎函数は明らかにデルタ作用素である。つまり、x を変数とする多項式全体の成す線型空間上のシフト同変な線型汎函数であって、多項式の次数を 1 だけ下げる。最も明らかなデルタ作用素の例は、差分作用素 Δ および微分作用素 D = d⁄dx である。実は任意のデルタ作用素は微分作用素 D の冪級数
数学における多項式列(つまり、自然数の集合 {0, 1, 2, 3, ...} で添字付けられた多項式の成す列であって、かつ各多項式の添字がその多項式の次数に等しいもの){pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...} が二項型(にこうがた、英: binomial type)であるとは、この列が恒等式
p n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) p k ( x ) p n − k ( y ) {\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y)}
を満足するときに言う。このような数列は無数に存在し、二項型多項式列をすべて集めて得られる集合は後述のように陰合成のもとで群を成す。任意の二項型多項式列はベル多項式で表すことができる。任意の二項型多項式列はシェファー列だが、逆は必ずしも成り立たない。多項式列は19世紀の漠然とした umbral calculus の概念を下敷きにしている。
二項型多項式列の概念は組合せ論、確率論、統計学、その他さまざまな分野に応用を持つ。