フレドホルム理論
非同次フレドホルム積分方程式
f ( x ) = − ω φ ( x ) + ∫ K ( x , y ) φ ( y ) d y {\displaystyle f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy}
は次の形に形式的には書き出すことができるかもしれない。
f = ( K − ω ) φ {\displaystyle f=(K-\omega )\phi }
これは形式的な解
φ = 1 K − ω f {\displaystyle \phi ={\frac {1}{K-\omega }}f}
である。この形の解はレゾルベント形式化と呼ばれ、そこではレゾルベントは次の作用素として定義される。
R ( ω ) = 1 K − ω I . {\displaystyle R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}.}
Kの固有函数と固有値の集まりがあたえられると、レゾルベントは次のような具体的な形をとるかもしれない。
R ( ω ; x , y ) = ∑ n ψ n ∗ ( y ) ψ n ( x ) ω n − ω {\displaystyle R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}}
数学において、フレドホルム理論(フレドホルムりろん、英: Fredholm theory)とは積分方程式の理論である。狭義にはフレドホルム理論はフレドホルム積分方程式の解の理論のことであり、広義には、フレドホルム理論の抽象的構造がフレドホルム作用素のスペクトル理論とヒルベルト空間上のフレドホルム核の観点で与えられることをいう。理論の名前はエリック・イヴァル・フレドホルム(Erik Ivar Fredholm)に因んでいる。