ペル方程式
x − ny = 1 の、115 以下の n についての最小解の一覧表を、以下に示す。
x − ny = −1 の、653 以下の n についての最小解の一覧表を、以下に示す。
3は、この形の数の平方根が k 2 + 2 k a = [ k ; a , 2 k , a , 2 k , ⋯ ] {\displaystyle {\sqrt {k^{2}+{\frac {2k}{a}}}}=[k;a,2k,a,2k,\cdots ]} と、周期2の連分数に展開されることから、導かれる。例えば、a = k = 12 なら √12+2 = √146 = [12; 12, 24, 12, 24, ...] である。上記が、必要条件であり、必要十分条件でないことは、34 (= 2 × 17), 205 (= 5 × 41), 221 (= 13 × 17) などの多数の反例で示される。
十分条件の報告例は少ないが、n が 4k + 1 型の素数の場合や 8k + 5 型の素数の2倍の場合も、必ず解を持つことが報告されている。また、n = k + 1 の形であれば、(x, y) = (k, 1) が解になることは、明らかであろう。