冪剰余記号
O k {\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}} でのフェルマーの小定理の類似物は α ∈ O k − p {\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k}-{\mathfrak {p}}} ならば
α N p − 1 ≡ 1 mod p {\displaystyle \alpha ^{\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}\equiv 1{\bmod {\mathfrak {p}}}}
が成り立つという主張であり、そのまま成立する。
そして、 N p ≡ 1 mod n {\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}\equiv 1{\bmod {n}}} のとき、上記を利用した
α N p − 1 n ≡ ζ n s mod p {\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}\equiv \zeta _{n}^{s}{\bmod {\mathfrak {p}}}}
はwell-definedであり、 α N p − 1 n {\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}} が mod p {\displaystyle {\bmod {\mathfrak {p}}}} で1の冪根 ζ n s {\displaystyle \zeta _{n}^{s}} と合同であることを意味する。