多項式
多項式の除法とは、体 K 上の(1変数)多項式 f, g(ただし g ≠ 0)に対して、次の2条件をみたす多項式 Q, R を求める手続きである。
f = gQ + R
R の次数は g の次数よりも小さい。(ただし、定数多項式 0 の次数は 0 より小さいものと解釈する。)
これらの条件をみたす多項式 Q, R の組は必ず存在し、しかも一意的である。Q のことを f を g で割った商、R のことを余り(または剰余)という。f を g で割った余りが 0 のとき、すなわち f = gQ をみたす Q が存在するとき、f は g で割り切れるという。
より一般に、単位元をもつ可換環 R 上の多項式 f, g についても、g がモニック多項式(最高次の項の係数が 1)ならば、同様にして f を g で割った商および余りを定めることができる。
多項式の除法は、より一般の、余りつきの除法の特別な場合とみなすことができる。除法の原理、ユークリッド環も参照せよ。
なお、多項式の除法に関する商のほかに、有理式としての商 f/g を考えることもできる。両者は異なるものである。
行列多項式は行列変数の多項式である。通常はスカラー値の多項式 P(x) = ∑ni=0 aix = a0 + a1x + a2x + ⋯ + anx が与えられたとき、これを行列 A で評価した値というものを
P ( A ) = ∑ i = 0 n a i A i = a 0 I + a 1 A + a 2 A 2 + ⋯ + a n A n {\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}A^{i}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n}}
のこととして定義する。ここで、定数項は単位行列 I のスカラー倍に置き換わることに注意。
行列多項式方程式は行列多項式の間の等式であって、考えている範囲の行列のうち特定のもののみがそれを満足するものを言う。同様に、考えている行列環 Mn(R) に属する任意の行列について成り立つ行列多項式の間の等式は行列多項式恒等式と呼ぶ。
形式冪級数 ∑∞n=0 anx は多項式とよく似ているが、非零項が(可算)無限個あってもよい(つまり有限次とは限らない)点が異なる。ゆえに多項式と違って、一般には全ての項を陽に書き下すことは(無理数の小数表示が全て書ききれないことと同様の意味で)できない。しかし、各項に対する扱いや演算における項の操作ルールは多項式に対するものとまったく同じくすることができる。形式冪級数ではなく収束冪級数を考えることでも多項式を一般化することができるが、積は必ずしも収束するとは限らないので、環構造の埋め込みにはならないことに注意。形式冪級数は一般に次数に関して最大の非零項を持つとは限らないが、必ず最小の非零項を持つから、多項式の次数に対応する概念として形式冪級数の位数 (order) は最小の非零項の次数として定まる。
「多項式」と「整式」は、数学の文献では同じ意味で使われることが多い。しかし一般にはそうでない流儀もある。たとえば、「整式」を本記事でいう多項式の意味で用い、「多項式」は単項式でない整式の意味で用いることがある。
また、現在の日本の中等教育課程では、本記事でいう多項式を「整式」とよび、「多項式」の語は副次的に用いる習慣がみられる。たとえば、中学校学習指導要領では「多項式」の語は「単項式」との対比においてのみ使われている。高等学校学習指導要領には「多項式」は現れず、もっぱら「整式」の語が使われている。
多項式の不定元を数に置き換えることを代入という。たとえば、多項式 f(x) = anx + an − 1x + ... + a1x + a0 の不定元 x に数 c を代入することで
f ( c ) = a n c n + a n − 1 c n − 1 + ⋯ + a 1 c + a 0 {\displaystyle f(c)=a_{n}c^{n}+a_{n-1}c^{n-1}+\dots +a_{1}c+a_{0}}
という数が得られる。
m 変数多項式 f(x1, ..., xm) を用いて f(x1, ..., xm) = 0 という形に表される方程式のことを代数方程式という。またその解、すなわち f(c1, ..., cm) = 0 を満たす数の組 (c1, ..., cm) のことを、多項式 f(x1, ..., xm) の零点という。
1変数多項式 f(x) の零点のことを f(x) の根ともいう。数 c が f(x) の根であることは、f(x) が1次式 x − c で割り切れるための必要十分条件である(因数定理)。f(x) が (x − c) で割り切れ、かつ (x − c) では割り切れないとき、c は f(x) の重複度 k の根であるという。2以上の重複度をもつ根は重根とよばれる。
体 K 上の1変数多項式 f が K の代数閉包において重根をもつことは、f と導多項式 f′ が定数でない共通因子をもつことと同値である(関連して、判別式を参照せよ)。f が K の代数閉包において重根をもたないとき、f は分離多項式であるという。