分出公理
この公理型を理解するために、集合 B は A の 部分集合である必要があることに注意しよう。つまり、公理型の実際の主張は、 集合 A と述語 P に対して、A の部分集合であって、その元が P を満たす A の元となる集合 B が見つかる、ということである。外延性の公理より、この集合は唯一つ定まる。この集合はよく、 {C ∈ A : P(C)} といった集合の内包表記を用いて表される。結局、この公理の本質はこういうことである:
述語で定義される集合のどの部分クラスも集合である。
分出公理は、一般的な集合論 ZFC に関連する公理的集合論のシステムに特徴的なものであるが、根本的に異なる代替集合論のシステムではほとんど見られない。例えば、新基礎集合論や en:positive set theory では、素朴集合論の内包公理という、異なる制限が用いられる。Vopenka の代替集合論では、準集合(英語版)(semiset)と呼ばれる、集合の真部分クラスを認めることの正しさを主張する。 ZFC に関連したシステムにおいても、en:Kripke-Platek set theory with urelementsのように、分出公理は有界量化子の式で制限されることがある。