カリー＝ハワード同型対応
カリー=ハワード対応により、型付けられた表現は対応する論理式の証明と見做すことができる。以下、いくつかの例を与える。
様相論理における可能性様相 ◊ {\displaystyle \Diamond } とmonadic types for effects
λρ計算は古典論理と対応する
λI計算は適切さの論理と対応する
グロタンディーク位相に於ける局所真理(∇)様相、あるいは同じことだが Benton, Bierman, and de Paiva (1998) のlax様相(○)は計算型を記述するCL論理と対応する。
ハワードの対応はまた自然演繹およびラムダ計算の制限に対しても成り立つ。例えばBCKλ計算とBCK論理の対応が挙げられる。ここでBCKλ計算とは、ラムダ項の構成のうち関数適用の規則を
M と N に共通に現れる自由変数が存在しないならば (MN) はラムダ項である
と制限することにより得られる項書換え系である。これにより自由変数の複数回の使用が禁止される。したがってこの体系は1つの仮定を複数回使用する(縮約規則)ことを禁止するBCK論理と対応する。さらにラムダ項の構成のうちラムダ抽象の規則を
M の中に変数記号 x が自由に現れるならば (λx.M) はラムダ項である
と制限することにより得られる体系はBCI論理と対応する。これにより未使用の変数の束縛が禁止される。したがってこの体系は縮約規則に加えて未使用の仮定を解消する(弱化規則)ことを禁止するBCI論理と対応する。