自然演繹
これを説明すると、A ∨ B が真で、A true と B true それぞれから C true が導かれるなら、C は必ず真となる。ここで、A true や B true を保証しているわけではないことに注意されたい。偽については、次の除去規則が得られる。
⊥ t r u e C t r u e ⊥ E {\displaystyle {\frac {\perp true}{C\ true}}\perp E}
これを解釈すると、偽が真であれば、任意の命題 C が真である、ということになる。
否定については、含意と類似している。
A t r u e u ⋮ p t r u e ¬ A t r u e ¬ I u , p ¬ A t r u e A t r u e C t r u e ¬ E {\displaystyle {\cfrac {\begin{matrix}{\cfrac {}{A\ true}}u\\\vdots \\p\ true\end{matrix}}{\lnot A\ true}}\lnot I^{u,p}\qquad {\cfrac {\lnot A\ true\quad A\ true}{C\ true}}\lnot E}
導入規則では、仮説 u も後件 p も結論に現れない。これら規則は概略的なので、この導入規則を解釈すると、"A true" から任意の命題 p について "p true" であることを導ける場合、A は偽である(すなわち "not A true")、ということになる。除去規則については、A と not A が共に真である場合、矛盾が生じ、あらゆる命題 C が真となる。含意と否定の規則がよく似ているため、not A と A ⊃ ⊥ が等価(互いにもう一方を導出可能)であることは容易にわかる。
この場合の証拠はラベル自身である。
簡潔さを保つため、以下では判断ラベル true を省略する。従って、"Γ ⊢ π : A" となる。ここで、明確な証明でいくつかの結合子を再評価する。論理積については、論理積の証明の形式を見つけるために、その導入規則 ∧I を見てみる。それらは、2つの要素の証明の対となる。従って、次のようになる。
除去規則 ∧E1 と ∧E2 は論理積の右か左のいずれかの要素を選択する。従って、証明は2つの投影(第一 = fst と 第二 = snd)の対となる。
含意については、導入によって仮説の局所化(あるいは束縛)が形成され、これを λ を使って記述する。規則にある "Γ, u:A" は、仮説群 Γ に追加の仮説 u を加えることを意味する。
明確化された証明では、証明を処理し、論じることが可能となる。証明に関する重要な操作は、ある証明を別の証明の前提に置き換える操作である。これを一般に「代入定理; substitution theorem」と呼び、数学的帰納法によって証明可能である。