馬蹄形写像
馬蹄形写像は、上記のような非常に複雑な軌道を取ると同時に構造安定である力学系として知られる。構造安定であるとは、大雑把にいうと、ある力学系が別の力学系に変動したときに、その別の系が元の系にある程度以上近ければ質的に同じ挙動が保たれるという意味である。 数学的には、構造安定性は写像同士の近さを示す距離(位相)を導入して定義される
まず、馬蹄形写像の非遊走集合 Ω(h) は摂動 φ に対して Ω-安定である。元々 R に局所的に定義されていた馬蹄形写像を、2次元球面上に拡張し、C 級微分同相写像 h: S → S として再定義する。C 位相を入れた、S の C 級微分同相写像の全体から成る集合 Diff(S) 上で、h の近傍 U を考える。このときに、ある適当な近傍 U を取れば、近傍内の任意の写像 φ とその非遊走集合 Ω(φ)に対して、h|Ω(h) と φ|Ω(φ) が位相共役な関係となる。
馬蹄形写像はΩ-安定であり、さらに強い安定性すなわち構造安定性も備える。Ω(h) に制限されない S 全体で、 h: S → S と φ: S → S が位相共役の関係となる。すなわち、h のどの軌道も、φ の軌道として向きを保存して現れる。