汎函数行列式
井戸型ポテンシャルの中の量子力学的粒子の運動を記述する次の式で定義される汎函数行列式の計算をしよう。
det ( − d 2 d x 2 + A ) ( x ∈ [ 0 , L ] ) , {\displaystyle \det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\qquad (x\in [0,L]),}
ここに A はポテンシャルの深さで L は井戸の幅とする。作用素を対角化し固有値を掛け合わせることで、行列式を計算しよう。そこで、あって欲しくない発散定数に悩まされないためには、深さ A の作用素と深さ A = 0 の作用素との間で割り算をし、商を計算しよう。このポテンシャルの固有値は
λ n = n 2 π 2 L 2 + A ( n ∈ N 0 ) . {\displaystyle \lambda _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A\qquad (n\in \mathbb {N} _{0}).}
に等しい。
このことは
det ( − d 2 d x 2 + A ) det ( − d 2 d x 2 ) = ∏ n = 1 + ∞ n 2 π 2 L 2 + A n 2 π 2 L 2 = ∏ n = 1 + ∞ ( 1 + L 2 A n 2 π 2 ) .