リーマン・ロッホの定理
典型的には l ( D ) {\displaystyle l(D)} が興味のある量であり、 l ( K − D ) {\displaystyle l(K-D)} は補正項と考えることができる。(特殊指数とも呼ぶ。)したがって、定理は大まかに言い換えると、
次元 − 補正 = 次数 + 1 − g.
特に補正項 l ( K − D ) {\displaystyle l(K-D)} は非負であるから
l ( D ) ≥ deg  ( D ) + 1 − g {\displaystyle l(D)\geq \deg(D)+1-g}
となる。これをリーマンの不等式と呼ぶ。定理の中の「ロッホの部分」は、不等式の両辺の間のありうる差異の記述の部分である。種数 g のリーマン面の標準因子 K は次数 2g − 2 であり、因子を定める有理型1形式の取り方には依存しない。これは、定理中で D = 0 とすればよい。特に、D の次数が 2g − 1 以上のとき補正項は 0 となるので、
l ( D ) = deg  ( D ) + 1 − g {\displaystyle l(D)=\deg(D)+1-g}
となる。
以下では、種数が小さいときに定理の説明をしている。他にも密接に関連した定理が数多くあり、直線束を使った同値な定式化や、代数曲線への一般化などがある。
リーマン・ロッホの定理(リーマン・ロッホのていり、英: Riemann–Roch theorem)とは、複素解析学や代数幾何学などで用いられる、閉リーマン面上の複素解析と曲面の種数とを結びつける定理である。特定の位数の零点と極をもつ有理型関数空間の次元計算に役立つ。
まず、ベルンハルト・リーマンがRiemann (1857)でリーマンの不等式(Riemann's inequality)を証明した。そして短い間ではあったが、リーマンの学生であったグスタフ・ロッホが、Roch (1865)で決定的な形に到達した。その後、この定理は代数曲線上や高次元代数多様体に一般化され、さらにそれを超えた一般化もなされている。
{\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg(D)+1-g.}
deg D ≥ 2g -1 のときに
l ( D ) = deg  ( D ) + 1 − g {\displaystyle l(D)=\deg(D)+1-g}
が成り立つことも上と同様である。 ここに C は代数的閉体 k 上の射影的な非特異代数曲線である。事実、同じ公式が任意の体の上の射影曲線に対して成立する。ただし、因子の次数を、基礎体の可能な拡張と因子をサポートする点の剰余体からくる重複度を考えに入れる。 結局、アルティン環の上の固有曲線に対して、因子に付随する直線束のオイラー標数は、(近似的に定義された)因子の次数と構造層 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} のオイラー標数により与えられる。
定理の中の滑らかさの前提は次のように緩めることができる。代数的閉体上の(射影的な)曲線で、すべての局所環がゴレンシュタイン環であるようなものについて、上と同じステートメントが成立する。ただし上記で定義した幾何種数は以下で定義される算術種数 ga で置き換えるものとする。
g a := dim k  H 1 ( C , O C ) . {\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C}).}
(滑らかな曲線では、幾何種数と算術種数は一致する。)この定理は一般の特異点を持つ曲線(や高次元の多様体)に対しても成立する。