GNS表現
(3) 規格化条件 | | φ | | = sup { | φ ( A ) | | | | A | | = 1 , A ∈ A } = 1 {\displaystyle ||\varphi ||=\sup\{|\varphi (A)|\,|\,||A||=1,\,A\in {\mathfrak {A}}\}=1}
このとき、 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} のヒルベルト空間 H φ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varphi }} 上の表現、すなわち、 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} から H φ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varphi }} の有界作用素のなす代数 B ( H φ ) {\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{\varphi })} への*-準同型写像 π φ : A → B ( H φ ) {\displaystyle \pi _{\varphi }:{\mathfrak {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{\varphi })} で、次の条件を満たすものを構成することができる。この表現をGNS表現と呼ぶ。
1. ある元 Ω φ ∈ H φ {\displaystyle \Omega _{\varphi }\in {\mathcal {H}}_{\varphi }} が存在し、