グリーン関数 (多体理論)
T r {\displaystyle T_{r}} は τ {\displaystyle \tau } と τ ′ {\displaystyle \tau '} の大小関係に応じて時間順序積と同じ並べ替えをする演算子である。
ˆA, ˆB がそれぞれ場の演算子 ψ(r, t), ψ(r, t) あるいは生成消滅演算子である場合、1粒子温度グリーン関数と呼ばれる。
G τ ( r τ , r ′ τ ′ ) = − ⟨ T r [ ψ ^ ( r , τ ) ψ ^ † ( r ′ , τ ′ ) ] ⟩ {\displaystyle G^{\tau }({\boldsymbol {r}}\tau ,{\boldsymbol {r}}'\tau ')=-\langle T_{r}[{\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}},\tau ){\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}',\tau ')]\rangle }
n粒子温度グリーン関数は次のように定義される。
G τ ( r 1 τ 1 , r 2 τ 2 , ... , r 2 n τ 2 n ) = − ⟨ T r [ ψ ( r 1 , τ 1 ) .
G r ( r t , r ′ t ′ ) = θ ( t − t ′ ) i ħ ⟨ [ ψ ^ ( r , t ) , ψ ^ † ( r ′ , t ′ ) ] ± ⟩ G a ( r t , r ′ t ′ ) = − θ ( t − t ′ ) i ħ ⟨ [ ψ ^ ( r , t ) , ψ ^ † ( r ′ , t ′ ) ] ± ⟩ G c ( r t , r ′ t ′ ) = 1 i ħ ⟨ T [ ψ ^ ( r , t ) ψ ^ † ( r ′ , t ′ ) ] ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}G^{\mathrm {r} }({\boldsymbol {r}}t,{\boldsymbol {r}}'t')&={\frac {\theta (t-t')}{i\hbar }}\langle [{\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}},t),{\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}',t')]_{\pm }\rangle \\G^{\mathrm {a} }({\boldsymbol {r}}t,{\boldsymbol {r}}'t')&=-{\frac {\theta (t-t')}{i\hbar }}\langle [{\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}},t),{\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}',t')]_{\pm }\rangle \\G^{\mathrm {c} }({\boldsymbol {r}}t,{\boldsymbol {r}}'t')&={\frac {1}{i\hbar }}\langle T[{\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}},t){\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}',t')]\rangle \end{aligned}}}
これらの関数がグリーン関数と呼ばれる理由は、二時間グリーン関数が、相互作用がない場合の時間依存シュレーディンガー方程式の数学的な意味でのグリーン関数になっているからである。