収束級数
任意の数列 (a1, a2, ...) に対して、an ≤ |an| が任意の n について成立するから、
| ∑ n = 1 ∞ a n | ≤ ∑ n = 1 ∞ | a n | {\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\right|\leq \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}
がわかる。これはつまり、右辺が収束するならば、もとの級数も収束することを示している(逆は成り立たない)。
無限級数 ∑|an| が収束するならば、無限級数 ∑ an は絶対収束 (absolutely convergent) するという。絶対収束級数の部分和の成す増大列から各値を結んで得られる折れ線は有限の長さを持つ。指数関数のテイラー級数は至る所絶対収束する。
無限級数 ∑ an が収束して、無限級数 ∑|an| は発散するならば、無限級数 ∑ an は条件収束 (conditionally convergent) するという。条件収束級数の部分和の値をつないで得られる線分は長さが無限大となる。対数関数のテイラー級数は収束域の各点で条件収束する。
リーマンの級数定理(英語版)は「条件収束級数はその項を並べ替えることにより任意の値に収束させ、あるいは発散させることができる」ということを述べるものである。
条件収束という代わりに半収束 (semiconvergent) ということもある。逆に絶対収束の代わりに無条件収束 (unconditionally convergent) ともいう。