円柱座標変換
∫ c A = ∫ x = − r 0 x = r 0 ∫ − r 0 2 − x 2 r 0 2 − x 2 ( ∂ b ∂ x − ∂ a ∂ y ) d x d y {\displaystyle \int _{c}^{}{A}=\int _{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int _{-{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}^{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}{\left({\frac {\partial b}{\partial x}}-{\frac {\partial a}{\partial y}}\right)dxdy}}} (5-3-7)
が成立することは、既知とする。
このとき
ここでは、ベクトル場の円柱表面∂M 上での面積分の計算方法を説明する。
x -y -z 空間で定義されたベクトル場X に対して、円柱面∂M 上の面積分を
∫ ∂ M X = ∫ Δ 1 X + ∫ Δ 2 X + ∫ Δ 3 X {\displaystyle \int _{\partial \mathbf {M} }{\mathbf {X} }=\int _{{\Delta }_{1}}{\mathbf {X} }+\int _{{\Delta }_{2}}{\mathbf {X} }+\int _{{\Delta }_{3}}{\mathbf {X} }} (5-2-1)
で定める。但し、右辺の各項は
∫ Δ 1 X = ∫ r = 0 r = r 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X ⋅ ( ∂ I 1 ∂ r × ∂ I 1 ∂ θ ) ) d θ d r {\displaystyle \int _{{\Delta }_{1}}{\mathbf {X} }=\int _{r=0}^{r={{r}_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(\mathbf {X} \cdot \left({\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial r}}\times {\frac {\partial {{\mathbf {I} }_{1}}}{\partial \theta }}\right)\right)}}\ d\theta dr} (5-2-2)
同様に曲線c (t ) の加速度ベクトルa(t ) :
a ( t ) = ( d v d t ) ( t ) {\displaystyle {\textbf {a}}(t)=\left({\begin{array}{l}{\frac {d{\textbf {v}}}{dt}}\end{array}}\right)(t)} (8-3-1)
については以下が成立する。
a ( t ) = a r ( t ) N r ( c ( t ) ) + a θ ( t ) N θ ( c ( t ) ) + a z ( t ) N z ( c ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {a} (t)={{a}_{r}}(t){{\mathbf {N} }_{r}}(c(t))+{{a}_{\theta }}(t){{\mathbf {N} }_{\theta }}(c(t))+{{a}_{z}}(t){{\mathbf {N} }_{z}}(c(t))} (8-3-2)
但しax , ay , az は、それぞれ a(t ) のx 成分、y 成分、z 成分を意味する。また、
{ a r ( t ) = a ( t ) ⋅ N r ( c ( t ) ) a θ ( t ) = a ( t ) ⋅ N θ ( c ( t ) ) a z ( t ) = a ( t ) ⋅ N z ( c ( t ) ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{a}_{r}(t)=a(t)\cdot {\textbf {N}}_{r}(c(t))\\{a}_{\theta }(t)=a(t)\cdot {\textbf {N}}_{\theta }(c(t))\\{a}_{z}(t)=a(t)\cdot {\textbf {N}}_{z}(c(t))\\\end{array}}\right.
従って、円柱座標変換の点 (r , θ, ζ) におけるヤコビ行列J Φ(r , θ, ζ) およびヤコビアン det(J Φ(r , θ, ζ)) は以下のようになる。ヤコビ行列、ヤコビアン共に定義域はr -θ-ζ空間全域である。
J Φ ( r , θ , ζ ) = ( cos  θ − r sin  θ 0 sin  θ r cos  θ 0 0 0 1 ) {\displaystyle {{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)} (2-1-4)
det ( J Φ ( r , θ , ζ ) ) = | cos  θ − r sin  θ 0 sin  θ r cos  θ 0 0 0 1 | = r {\displaystyle \det({{J}{\Phi }}(r,\theta ,\zeta ))=\left|{\begin{matrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right|=r} (2-1-5)
従って、円座標のときと同じく、特異点(ヤコビアンが 0 となる点)は、r = 0 となる点全て、つまり (0, θ, ζ) の形であらわされる点全てである。これらの点は全てx -y -z 空間上ではz 軸に移る。