リッシュのアルゴリズム
そうしてリッシュのアルゴリズムによれば、ui および v の候補として考慮すべき初等関数の数は有限個となる。
リッシュのアルゴリズムを直感的に理解するために、指数関数および対数関数が微分演算に対しどのように振舞うかを見てみよう。例えば関数 fe (ここで f および g は微分可能な関数)について
( f ⋅ e g ) ′ = ( f ′ + f ⋅ g ′ ) ⋅ e g {\displaystyle (f\cdot e^{g})'=(f^{\prime }+f\cdot g^{\prime })\cdot e^{g}}
であるから、不定積分をした結果の式中に e が含まれているとすれば、それは被積分関数の中にも含まれていなければならない。 さらに
( f ⋅ ( ln  g ) n ) ′ = f ′ ( ln  g ) n + n f g ′ g ( ln  g ) n − 1 {\displaystyle (f\cdot (\ln g)^{n})'=f^{\prime }(\ln g)^{n}+nf{\frac {g^{\prime }}{g}}(\ln g)^{n-1}}
であるから、不定積分の結果の式に (ln g) が含まれているとすれば、被積分関数の中にも (ln g) (m は n 以下)が含まれていなければならない。
なおこのアルゴリズムから、ガウス関数 exp(−x) の原始関数(ガウスの誤差関数 erf の定数倍)は初等関数の範囲では表せないという事実が従う。