一様空間
被覆による一様構造の定義と区別するため、本項でこれまで扱ってきた一様構造の定義を対角線による一様構造の定義と呼ぶ事にすると、この2つの一様構造の定義はいわば「同値」であり、対角線による定義から被覆による定義を導け、その逆も導ける。
Xを集合とし、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を対角線によるX上の一様構造とするとき、
B := { U [ x ] ∣ U ∈ U , x ∈ X } {\displaystyle {\mathfrak {B}}:=\{U[x]\mid U\in {\mathcal {U}},x\in X\}}
とし、
U := { A : {\displaystyle {\mathfrak {U}}:=\{{\mathcal {A}}~:~} Xの被覆 ∣ A {\displaystyle \mid {\mathcal {A}}} の細分で B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} に属するものが存在する } {\displaystyle \}}
よって特に sup d ∈ D d ( x λ , x λ ′ ) {\displaystyle \sup _{d\in D}d(x_{\lambda },x'_{\lambda })} は(仮にsupが有限値であっても)0に収束するとは限らない。
擬距離の集合が同一の一様構造を定める条件 ― Xを集合とし、D、EをX上定義された擬距離の集合とする。 このとき、D、Eが同一の一様構造を定める必要十分条件はX×X上の任意のネット ( x λ , x λ ′ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、
D ( x λ , x λ ′ ) → 0 ⟺ E ( x λ , x λ ′ ) → 0 {\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0\iff E(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0}
が成立する事である。
擬距離の集合が同一の一様構造を定める条件 ― Xを集合とし、D、EをX上定義された擬距離の集合とする。 このとき、D、Eが同一の一様構造を定める必要十分条件はX×X上の任意のネット ( x λ , x λ ′ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、
定理・定義 (コーシーフィルター) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} と一致するものとし、さらに F {\displaystyle {\mathcal {F}}} をX上のフィルターとする。このとき以下の2条件は同値であり、以下の条件の少なくとも一つ(したがって両方)を満たすとき、フィルター F {\displaystyle {\mathcal {F}}} はコーシーフィルターであるという:
任意の近縁 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、ある F ∈ F {\displaystyle F\in {\mathcal {F}}} が存在し、 F × F ⊂ U {\displaystyle F\times F\subset U}
任意のd∈Dと任意のε>0に対し、ある F ∈ F {\displaystyle F\in {\mathcal {F}}} が存在し、 sup x , y ∈ F d ( x , y ) < ε {\displaystyle \sup _{x,y\in F}d(x,y)<\varepsilon }