リース＝ソリンの定理
}
言い換えると、T が (p0, q0)-型かつ (p1, q1)-型であるなら、T はすべての 0 < θ < 1 に対して (pθ, qθ)-型ということになる。このため、この補間定理は絵を用いて表現することが出来る。実際 T のリース図(Riesz diagram)は、単位正方形 [0, 1] × [0, 1] 内の点 (1/p、1/q) で T が (p, q)-型であるようなものすべての集合として描かれる。補間定理は、T のリース図が凸集合であることを述べている。すなわち、リース図内の与えられた二点に対して、それらを結ぶ線分もまたその図に含まれる。
この補間定理は、元々リース・マルツェルによって1927年に証明された。その1927年の論文では、リース図の下半分の三角形、すなわち、p0 ≤ q0 かつ p1 ≤ q1 が成り立つ部分においてのみ証明が与えられた。オロフ・ソリン(英語版)はその残りの部分も含めた正方形全体に対して補間定理を拡張した。ソリンの証明は元々1938年に出版され、1948年の彼の学位論文で拡張された。
はじめに次の定義が必要となる:
定義 r 0 , r 1 {\displaystyle r_{0},r_{1}} を、 0 < r 0 < r 1 ≤ ∞ {\displaystyle 0<r_{0}<r_{1}\leq \infty } を満たす2つの数とする。このとき 0 < θ < 1 {\displaystyle 0<\theta <1} に対して、 r θ {\displaystyle r_{\theta }} を次の関係式を満たすものとして定義する: 1 r θ = 1 − θ r 0 + θ r 1 . {\displaystyle {\frac {1}{r_{\theta }}}={\frac {1-\theta }{r_{0}}}+{\frac {\theta }{r_{1}}}.}
f ∈ L p θ {\displaystyle f\in L^{p_{\theta }}} を積 | f | = | f | 1 − θ | f | θ {\displaystyle |f|=|f|^{1-\theta }|f|^{\theta }} に分解し、その p θ {\displaystyle p_{\theta }} 次の冪にヘルダーの不等式を適用することで、 L p {\displaystyle L^{p}} 空間の研究の基礎となる次の結果を得ることが出来る:
命題( L p {\displaystyle L^{p}} -ノルムの対数凸性)