ゲージ理論
結局、ネーターの定理は、この変換群の不変性がカレント
J μ a = i ∂ μ Φ T T a Φ {\displaystyle \ J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{T}T^{a}\Phi }
の保存を導くことを意味する。ここに行列 T は群 SO(n) の生成元である。全ての生成元がカレントを保存する。
さて、このラグランジアンが局所的に O(n)-不変であることを要求することは、行列 G が(最初は、定数であった)、時空の座標 x の函数となるべきと言うことである。
不幸にも、行列 G は G = G(x) (G は x の函数とすると)のとき、微分を「通過」しない(行列と偏微分とが非可換となる)。
∂ μ ( G Φ ) ≠ G ( ∂ μ Φ ) . {\displaystyle \ \partial _{\mu }(G\Phi )\neq G(\partial _{\mu }\Phi )\ .}
G と微分が可換でないことは、(積の法則を保つために)追加項を導入することになり、ラグランジアンの不変性を壊す。これを修正するために、新しい微分作用素を Φ {\displaystyle \Phi } が再び Φ {\displaystyle \Phi } と同一視できるように
( D μ Φ ) ′ = G D μ Φ {\displaystyle \ (D_{\mu }\Phi )'=GD_{\mu }\Phi }
として定義する。
この新しい「微分」をゲージ共変(英語版)(gauge covariant derivative)と呼び、
一般相対論は重力を生成すると考えられる局所対称性を持っている(一般共変性(general covariance)、微分同相。 特殊相対論は大域対称性しかもたない(ローレンツ対称性、あるいはより一般的にポアンカレ対称性)。
素粒子物理学では、多くの大域対称性(例:アイソスピンの対称性のSU(2))と、局所対称性(例:弱い相互作用のSU(2))がある。素粒子物理学の標準模型はヤン・ミルズ理論から構成される。
超重力理論の対称群は局所対称性であり、一方、超対称性は大域対称性である。