ヤコビの楕円関数
ヤコビの楕円関数が持つ代数的な関係式として
cn 2  ( u , k ) + sn 2  ( u , k ) = 1 {\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u,k)+\operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1}
dn 2  ( u , k ) + k 2 sn 2  ( u , k ) = 1 {\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u,k)+k^{2}\ \operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1}
がある。
これらの方程式で定まる2つの二次曲面の共通部分は楕円曲線であり、(cn, sn, dn)は楕円曲線のパラメタ表示を与えることが分かる。ヤコビの楕円関数の加法定理により、この楕円曲線の点は群となる。
cn  ( x + y ) = cn  ( x ) cn  ( y ) − sn  ( x ) sn  ( y ) dn  ( x ) dn  ( y ) 1 − k 2 sn 2  ( x ) sn 2  ( y ) , sn  ( x + y ) = sn  ( x ) cn  ( y ) dn  ( y ) + sn  ( y ) cn  ( x ) dn  ( x ) 1 − k 2 sn 2  ( x ) sn 2  ( y ) , dn  ( x + y ) = dn  ( x ) dn  ( y ) − k 2 sn  ( x ) sn  ( y ) cn  ( x ) cn  ( y ) 1 − k 2 sn 2  ( x ) sn 2  ( y ) .
や ( d y d x ) 2 = ( 1 − y 2 ) ( 1 − k 2 + k 2 y 2 ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2})}
d n ( x ) {\displaystyle \mathrm {dn} \,(x)} は次の微分方程式の解である
d 2 y d x 2 − ( 2 − k 2 ) y + 2 y 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0}
や ( d y d x ) 2 = ( y 2 − 1 ) ( 1 − k 2 − y 2 ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2})}
楕円関数には様々な記法があり、無用な混乱を引き起こしている。楕円関数は2変数の関数である。最初の変数は振幅φを使って表すこともあるが、一般には、以下のように u を使う。二番目の変数はパラメタ m を使ったり、母数(英語版) k を使って表す。ここで、k = m である。他にも、modular angle(英語版) α を使うこともある。m = sin α である。これら別記法の定義や発展した話題、相補的な対応概念については、楕円積分や四半周期(英語版)の記事を見られたい。