ベルヌーイ多項式
ベルヌーイ多項式の指数型母関数は、
t e x t e t − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n ( x ) t n n ! {\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}
である。 また、オイラー多項式の指数型母関数は
2 e x t e t + 1 = ∑ n = 0 ∞ E n ( x ) t n n ! {\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}
となる。
ベルヌーイ多項式 Bn の定義の仕方は(同値なものが)いくつもある。そのうちのどれを定義とするかは、目的に応じて決めればよい。
B n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n B n ( x ) ( n ≥ 0 ) , {\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)\quad (n\geq 0),}
E n ( 1 − x ) = ( − 1 ) n E n ( x ) , {\displaystyle E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x),}
( − 1 ) n B n ( − x ) = B n ( x ) + n x n − 1 , {\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1},}
( − 1 ) n E n ( − x ) = − E n ( x ) + 2 x n , {\displaystyle (-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n},}
B n ( 1 / 2 ) = ( 1 / 2 n − 1 − 1 ) B n ( n ≥ 0 ) {\displaystyle B_{n}(1/2)=(1/2^{n-1}-1)B_{n}\quad (n\geq 0)} : 後述の乗法公式から従う。