正規作用素
↑ Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray (1971). Linear Algebra (Second ed.). pp. 312
↑ Hoffman, Kenneth & Kunze, Ray (1971). Linear Algebra (Second ed.). pp. 317
↑ これに対して、場の量子論などで重要なクラスである生成演算子と消滅演算子は非可換である。
1 2 Naylor, Arch W.; Sell George R. (1982). Linear Operator Theory in Engineering and Sciences. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3. https://books.google.co.jp/books?id=t3SXs4-KrE0C&dq=naylor+sell+linear&redir_esc=y&hl=ja
↑ Andô, Tsuyoshi (1963). “Note on invariant subspaces of a compact normal operator”. Archiv der Mathematik 14: 337–340. doi:10.1007/BF01234964.
↑ Garrett, Paul (2005年). “Operators on Hilbert spaces”. 2014年2月19日閲覧。
数学の特に函数解析学における正規作用素(せいきさようそ、英: normal operator)は、複素ヒルベルト空間 H 上の連続線型作用素 N: H → H でエルミート随伴 N を持ち、NN = N N を満たすものを言う。
正規作用素が重要であるのは、それに対するスペクトル定理が成り立つからである。今日では正規作用素のクラスはよく分かっている。正規作用の例としては
ユニタリ作用素: N = N
エルミート作用素(自己随伴作用素): N = N;(あるいは反自己随伴作用素: N = −N)
正作用素(英語版): N = MM (∃M: H → H は有界)
正規行列は考えるヒルベルト空間が C のときの正規作用素と考えられる。
別なやり方をすれば、正規作用素の核はその像の直交補空間である。従って、任意の正整数 k に対して作用素 N の核は N 自身の核と等しく、正規作用素の任意の広義固有値は通常の固有値である。λ が正規作用素 N の固有値であるための必要十分条件は、その複素共軛 λ が N の固有値となることである。正規作用素の相異なる固有値に属する固有ベクトルは互いに直交し、正規作用素はその固有空間の直交補空間を不変にする。このことから通常のスペクトル定理「有限次元空間上の任意の正規作用素はユニタリ作用素によって対角化可能である」が出る。これは無限次元の場合にも、射影値測度(英語版)を用いて一般化できる。正規作用素の剰余スペクトルは空である。
互いに可換な正規作用素の積はやはり正規となるが、これは自明ではなくフーグリードの定理(英語版)から従う。フーグリードの定理(のパットナムが拡張した形)は