距離空間
実数の差の絶対値による距離を与えた単位閉区間の可算個の直積 [0, 1] は完備可分距離空間となり、ヒルベルト立方体とよばれる。位相的にはこれはコンパクト空間 [0, 1] の可算個の直積の積位相によって得られるコンパクト空間になっている。可分な(あるいは同値なことだが、第二可算公理を満たす)距離空間 (X, d) は、その稠密な可算部分集合 {an : n ∈ N} をもちいて x ↦ (min(d(x, an), 1))n∈N と定義される写像によりヒルベルトキューブの中に埋め込むことができる。こうして任意の可分距離空間は位相的にはヒルベルト・キューブの部分空間と同一視することができる。
完備な可分距離空間のボレル集合のなすσ代数はきわめて限られたものになっている。実際、そのようなσ代数は
高々可算集合の離散距離空間
単位閉区間 [0, 1] に、実数の絶対値からきまる距離を付与した距離空間
のボレル集合のなす2種類σ代数の和として表すことができる。
距離空間 (X, d) と劣加法的な広義単調増加関数 f: R≥0→ R≥0が与えられたとき、f◦d も距離となる。f が原点で 0 を取り連続なとき f◦d は d と同じ位相を定める。特に f(x) = x/(1 + x) は f(0) = 0 となる劣加法的で有界な広義単調増加連続関数なので
d ( x , y ) 1 + d ( x , y ) {\displaystyle {\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}}
は d と位相を同じくする有界な距離を定める。
ハミング距離は、2つの文字列の間に定義される距離で、2つの文字列の中に異なる文字何個があるかである。 たとえば「simply」と「sample」は異なる文字が2つ(iとa、yとe)あるので、「simply」と「sample」のハミング距離は2である。
このようなものにも距離を定義すると、抽象的で分かりにくかった対象に図形的に分かりやすい解釈を与える事ができる。 例えばハミング距離は誤り訂正を図形的で分かりやすいものにしてくれる。 誤り訂正とは、データ通信の際に生じる誤りを取り除く方法の事である。例えば「apple」という文章を送ったはずがデータ通信の途中でエラーが入り、 「axple」になってしまったとしよう。 そうしたらデータを受信した人は辞書を引いて、「axple」とハミング距離が一番近い単語を探す事で誤りを訂正できる。 このようにハミング距離は、「誤りを訂正する」という図形的ではないものに、「距離が一番近いものを探す」という図形的な解釈を与えてくれるのである。