単集合
数学における単集合(たんしゅうごう、英: singleton; 単元集合、単項集合、一元集合)あるいは単位集合(unit set)は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。
例えば、{0} という集合は単集合である。
クラス S を指示関数 1S: X → {0, 1} が定義するものとすると、S が単集合であるための必要十分条件は、その指示関数 1S が適当な y ∈ X に対して
1S(x) = (x = y) (∀ x ∈ X)
(右辺はアイバーソン括弧)を満たすことである。
歴史的には、この定義はホワイトヘッドとラッセルが自然数 1 を
1 = def α ^ { ( ∃ x ) . α = ι ȷ x } where ι ȷ x = def y ^ ( y = x ) {\displaystyle 1{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}{\hat {\alpha }}\{(\exists x).\alpha =\iota \jmath x\}\quad {\text{where }}\iota \jmath x{\stackrel {\text{def}}{{}={}}}{\hat {y}}(y=x)}
と定義するために導入したものである。
位相空間論において、ある空間の全ての単集合が閉集合であることと、その空間が T1-空間であることは同値である。
単集合を台として構築される構造が、様々な圏における終対象や零対象を与えることがしばしばある。例えば、
既に述べたように、単集合はちょうど集合の圏 Set における終対象になっており、他の集合で Set の終対象となるものは存在しない。
任意の単集合は、唯 1通りの(全ての部分集合を開集合とする位相を考える)方法で位相空間にすることができる。このような一元位相空間は位相空間と連続写像の圏 Top における終対象である。他にこの圏 Top の終対象となる位相空間は存在しない。
任意の単集合は、唯 1通りの(唯一の元を単位元とする)方法で群にすることができる。このような一元群(単位群)は、群と群準同形の圏 Grp における零対象である。他にこの圏 Grp の終対象となる群は存在しない。