位相的性質
ベール空間: 空間 X がベール空間とは、それが X 自身の中で痩せて(英語版)いないときに言う。おなじことだが、X がベール空間となるのは、その稠密開集合からなる任意の可算交叉が稠密となるときに言う。
位相的等質性: 空間 X が(位相的に)等質とは、X 内の任意の二点 x, y に対し、同相写像 f: X → X で f(x) = y を満たすものが存在するときに言う。直観的に述べれば、これはこの空間がどの点で見ても同じものに見えることを意味している。任意の位相群は位相的に等質である。
有限生成、アレキサンドロフ: 空間 X がアレキサンドロフ(英語版)とは、X の開集合からなる任意濃度の交叉がふたたび開集合となるときに言う。これは閉集合からなる任意濃度の合併がふたたび閉となるとしても同じである。これはちょうど、すべて位相空間と連続写像の圏に関する有限生成対象(英語版)に一致する。
零次元: 空間が零次元とは、開かつ閉集合からなる基底を持つことを言う。これは小さい帰納次元が 0 の空間ということにほかならない。
概離散: 空間が概離散(英語版)とは任意の開集合が閉(すなわち開かつ閉集合)となるときに言う。概離散空間は、有限生成零次元空間とちょうど同じ概念である。
ブール: 空間がブールとは、零次元コンパクトハウスドルフ空間のことをいう(これは完全不連結コンパクトハウスドルフとしても同じ)。
T2 空間は常に T1 である。
T21⁄2、ウリゾーン: 空間がウリゾーン(英語版)とは、 任意の二点がそれぞれの閉近傍で互いに交わらないものを持つときに言う。T21⁄2 空間は常に T2 である。
完全 T2、完全ハウスドルフ: 空間が完全 T2(英語版)とは、その任意の相異なる二点が函数で分離される(英語版)ときに言う。任意の完全ハウスドルフ空間はウリゾーンである。
正則: 空間が正則(英語版)とは、任意の閉集合 C と C に含まれない点 p に対しそれぞれの近傍で互いに交わらないものを持つときに言う。
T3、正則ハウスドルフ: 空間が正則ハウスドルフ(英語版)とは、それは正則 T0 空間であるときに言う(正則空間がハウスドルフとなるためにはそれが T0 であることが必要十分であるから、用語法に齟齬はない)。
完全正則: 完全正則(英語版)とは、任意の閉集合 C と C に含まれない点 p が函数で分離されるときに言う。
T31⁄2、チホノフ、完全正則ハウスドルフ、完全 T3: チコノフ空間(英語版)とは完全正則 T0 空間を言う(完全正則空間がハウスドルフとなる必要十分条件はそれが T0 であることなので、用語法に齟齬はない)。
連結: 空間が連結とは、空でない開集合の非交和に表されないときに言う。連結であるための必要十分条件として、開かつ閉集合が空集合と全体集合以外にないことを挙げることができる。
局所連結: 空間が局所連結とは、各点が連結集合からなる基本近傍系を持つときに言う。
完全不連結: 空間が完全不連結とは、ひとつより多くの点を持つ連結部分集合を持たないときに言う。
弧状連結: 空間 X が弧状連結とは、X の任意の二点 x, y に対し、x から y へ結ぶ道—連続写像 p: [0, 1] → X で p(0) = x かつ p(1) = yを満たすもの—がとれるときに言う。弧状連結空間は常に連結である。
局所弧状連結: 空間が局所弧状連結(英語版)とは、その各点が弧状連結集合からなる基本近傍系を持つときに言う。局所弧状連結空間が連結となるための必要十分条件はそれが弧状連結であることである。
単連結: 空間 X が単連結とは、それが弧状連結であって、かつ任意の連続写像 f: S → X が定値写像にホモトピックであるときに言う。
局所単連結: 空間 X が局所単連結とは、X の各点 x が単連結な近傍からなる基本近傍系を持つときに言う。