アーベルの連続性定理
証明 — 必要なら a 0 {\displaystyle a_{0}} に定数を加えて ∑ n = 0 ∞ a n = 0 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=0} と仮定してよい。第 n {\displaystyle n} 部分和を s n {\displaystyle s_{n}} と書くと、 a n = s n − s n − 1 {\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}} である。これを利用すると、
s n ( z ) = a 0 + a 1 z + ⋯ + a n z n = s 0 + ( s 1 − s 0 ) z + ⋯ + ( s n − s n − 1 ) z n = s 0 ( 1 − z ) + s 1 ( z − z 2 ) + ⋯ + s n − 1 ( z n − 1 − z n ) + s n z n = ( 1 − z ) ( s 0 + s 1 z + ⋯ + s n − 1 z n − 1 ) + s n z n {\displaystyle {\begin{aligned}s_{n}(z)&=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\\&=s_{0}+(s_{1}-s_{0})z+\cdots +(s_{n}-s_{n-1})z^{n}\\&=s_{0}(1-z)+s_{1}(z-z^{2})+\cdots +s_{n-1}(z^{n-1}-z^{n})+s_{n}z^{n}\\&=(1-z)(s_{0}+s_{1}z+\cdots +s_{n-1}z^{n-1})+s_{n}z^{n}\end{aligned}}}
arctan  x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 {\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}}
が得られる。ここで、交項級数に関するライプニッツの定理によって ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}} が収束することがわかる。以上のことからアーベルの連続性定理が使えて、求める式が得られる。
log  ( 1 + x ) {\displaystyle \log(1+x)} について同様の議論をすると、
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n + 1 = 1 − 1 2 + 1 3 − ⋯ = log  2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\dotsb =\log 2}
がわかる。