代替の弾力性
代替の弾力性(だいたいのだんりょくせい、英: The elasticity of substitution)とは、生産関数の2つの要素の比率の変化を限界代替率で割ったもの。競争的市場では、2つの生産要素の価格比が1%変化したときに、その要素の投入量の比が何%変化するかを測る指標となる。等量曲線の曲率の指標であり、2つの要素の代替率(同質性の程度)を測る指標である。以上の記述は生産関数を前提にしているが、同様の概念を効用関数を前提にしても定義することができる。
賃金が割高になれば、資本の投入量が相対的に増えるので代替の弾力性は正である。
生産関数が f ( L , K ) {\displaystyle f(L,K)} であるとき、対数差分を変化率と解釈すると(つまり d ln  A = d A / A {\displaystyle d\ln A=dA/A} )、代替の弾力性は
σ K L = d ln  ( K / L ) d ln  ( d f d L / d f d K ) = d ( K / L ) K / L d ( d f d L / d f d K ) d f d L / d f d K {\displaystyle \sigma _{KL}={\frac {d\ln(K/L)}{d\ln({\frac {df}{dL}}/{\frac {df}{dK}})}}={\frac {\frac {d(K/L)}{K/L}}{\frac {d({\frac {df}{dL}}/{\frac {df}{dK}})}{{\frac {df}{dL}}/{\frac {df}{dK}}}}}}
とも書ける。また、 σ K L = σ L K {\displaystyle \sigma _{KL}=\sigma _{LK}} である。
財1への需要の財2への需要に対する比率は x 1 x 2 = ( p 2 p 1 ) σ I {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}=\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\sigma }I} となる。したがって、価格比で微分すると d ( x 1 x 2 ) / ( p 2 p 1 ) = σ ( p 2 p 1 ) σ − 1 I {\displaystyle d\left({\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)/\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)=\sigma \left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\sigma -1}I} となる。需要の比 x 1 x 2 = ( p 2 p 1 ) σ I {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}=\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\sigma }I} を価格比 p 2 p 1 {\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}} で割ると、 ( x 1 x 2 ) / ( p 2 p 1 ) = ( p 2 p 1 ) σ − 1 I {\displaystyle \left({\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right)/\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)=\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{\sigma -1}I} となる。