運動量演算子
となる。
波動力学において運動量演算子は
p ^ = − i ħ ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}
として微分演算子と関係付けられる。すなわち座標表示された波動関数 ψ(x,t) に対して
p ^ ψ ( x , t ) = − i ħ ∂ ψ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}\psi (x,t)=-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}
と作用する。 微分演算子による表示が正準交換関係を満たすことは連鎖律により確認される。すなわち位置の演算子を作用させたのち、運動量演算子を作用させると
p ^ ( x ^ ψ ) = − i ħ ∂ ( x ψ ) ∂ x = − i ħ x ∂ ψ ∂ x − i ħ ψ = x ^ ( p ^ ψ ) − i ħ ψ {\displaystyle {\hat {p}}({\hat {x}}\psi )=-i\hbar {\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=-i\hbar x{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-i\hbar \psi ={\hat {x}}({\hat {p}}\psi )-i\hbar \psi }