合同算術
「合同算術」の歴史的な例は整数に基づくものである。一つの自然数 n を固定して「法 n で考える (modulo n)」とは、任意の整数をそれを n で割った剰余と同一視するものである。例えば n = 12 のときは時計算として詳しく知られるものになる。これは 12 時間だけことなる時刻において時針は同じ位置にあるということと理解すれば、例えば 13 時間と 1 時間は同一視される。そのような集合上で算術を行うには、その加法および乗法が上記のような同一視と両立することを確かめねばならない。そうしてルジャンドルによって「剰余」を数とは異なる対象を与えるものして定式化された。
ガウスの貢献はこの集合、今日整数の合同類 の環 Z/nZ と呼ばれる代数系、の構造を詳らかにするものであった。第一に加法に関して考えれば、これは 1 を生成元とする巡回群を定める。第二に乗法に関しては、これは法 n に依存して性質が異なり、法 n が素数ならば体が得られる。このような方法により、計算の記述は簡素化される。その歴史的な例が、ガウスの著書 Disquisitiones Arithmeticae に載っているウィルソンの定理およびフェルマーの小定理である。
法 n が素数でない場合の合同算術はより複雑なものとなるが、その構造を明らかにするのに中国の剰余定理が利用できる。この場合の合同類環は整域を成さず、零因子(それ自身は非零だが、ほかの非零元に掛けると零になる元)が存在する。この環における可逆元の数はオイラー数 φ(n) で与えられ、例えば一般化されたフェルマーの小定理が成り立つ。