確率密度関数
同時確率密度関数を構成する連続型確率変数 X1, ..., Xn がいずれも独立である時、
f X 1 , ⋯ , X n ( x 1 , ⋯ , x n ) = f X 1 ( x 1 ) ⋯ f X n ( x n ) {\displaystyle f_{X_{1},\cdots ,X_{n}}(x_{1},\cdots ,x_{n})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n})}
である。それぞれの周辺確率密度関数は下記で表される。
f X i ( x i ) = f i ( x i ) ∫ f i ( x ) d x {\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(x_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}}
n個の連続型確率変数 X1, ..., Xn について、同時確率密度関数と呼ばれる確率密度関数を定義することができる。この確率密度関数は n次元空間の定義域 D 中の n 個の変数 X1, ..., Xn を用いて、下記のように書くことができる。
P  ( X 1 , ⋯ , X N ∈ D ) = ∫ D f X 1 , ⋯ , X N ( x 1 , ⋯ , x N ) d x 1 ⋯ d x N . {\displaystyle \operatorname {P} \left(X_{1},\cdots ,X_{N}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\cdots ,X_{N}}(x_{1},\cdots ,x_{N})\,dx_{1}\cdots dx_{N}.}
もし F(x1, ..., xn) = Pr(X1 ≤ x1, ..., Xn ≤ xn) がベクトル (X1, ..., Xn) の同時累積分布関数ならば、同時確率密度関数を偏微分で導くことができる。
f ( x ) = ∂ n F ∂ x 1 ⋯ ∂ x n | x {\displaystyle f(x)={\frac {\partial ^{n}F}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}{\bigg |}_{x}}
p ( Y ) = ∫ − ∞ ∞ p U ( Y Z ) p V ( Z ) | Z | d Z = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − 1 2 Y 2 Z 2 1 2 π e − 1 2 Z 2 | Z | d Z = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − 1 2 ( Y 2 + 1 ) Z 2 | Z | d Z = 2 ∫ 0 ∞ 1 2 π e − 1 2 ( Y 2 + 1 ) Z 2 Z d Z = ∫ 0 ∞ 1 π e − ( Y 2 + 1 ) u d u u = 1 2 Z 2 = − 1 π ( Y 2 + 1 ) e − ( Y 2 + 1 ) u ] u = 0 ∞ = 1 π ( Y 2 + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p(Y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(YZ)\,p_{V}(Z)\,|Z|\,dZ\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}Y^{2}Z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}Z^{2}}|Z|\,dZ\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(Y^{2}+1)Z^{2}}|Z|\,dZ\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(Y^{2}+1)Z^{2}}Z\,dZ\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-(Y^{2}+1)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}Z^{2}\\&=\left.-{\frac {1}{\pi (Y^{2}+1)}}e^{-(Y^{2}+1)u}\right]_{u=0}^{\infty }\\&={\frac {1}{\pi (Y^{2}+1)}}\end{aligned}}}
が導かれる。これは、標準コーシー分布である。