バナッハ極限
したがって | 1 ν ∑ i = ν 2 ν − 1 ∗ x i | ≤ 1 ν ν M = M {\displaystyle |{\frac {1}{\nu }}\sum _{i=\nu }^{2\nu -1}{}^{\ast }x_{i}|\leq {\frac {1}{\nu }}\nu M=M} となるからよい。
L I M {\displaystyle \mathrm {LIM} } がバナッハ極限の条件のうち線形性と正値性を満たすことは移行原理によって明らかである。シフト作用素で不変であるのは
1 ν ∑ i = ν 2 ν − 1 ∗ x i + 1 = ∗ x 2 ν ν + 1 ν ∑ i = ν 2 ν − 1 ∗ x i − ∗ x ν ν {\displaystyle {\frac {1}{\nu }}\sum _{i=\nu }^{2\nu -1}{}^{\ast }x_{i+1}={\frac {{}^{\ast }x_{2\nu }}{\nu }}+{\frac {1}{\nu }}\sum _{i=\nu }^{2\nu -1}{}^{\ast }x_{i}-{\frac {{}^{\ast }x_{\nu }}{\nu }}}
であり、第一項と第三項は無限に小さいので s t {\displaystyle \mathrm {st} } で消えることによる。最後の条件を満たすのは、任意の無限大超自然数 i {\displaystyle i} に対して
lim inf x n ≤ s t ( ∗ x i ) ≤ lim sup x n {\displaystyle \liminf x_{n}\leq \mathrm {st} ({}^{\ast }x_{i})\leq \limsup x_{n}}
となることから分かる。