正規直交基底
任意のベクトル x ∈ V {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in V} は正規直交基底 B {\displaystyle B} を用いて次のように展開できる。
x = ∑ b ∈ B ⟨ x , b ⟩ b {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{{\boldsymbol {b}}\in B}\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {b}}\rangle {\boldsymbol {b}}}
すなわち展開対象と各基底ベクトルの内積がその基底ベクトルの係数となっている。このことは基底による線形結合と基底ベクトルの内積を取ることで証明できる。
ベクトルの集合 {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} は R の正規直交基底を成す(標準基底)。実際、これら三つのベクトルの内積が零となること(⟨e1, e2⟩ = ⟨e1, e3⟩ = ⟨e2, e3⟩ = 0)および大きさが 1 に等しいこと(‖e1‖ = ‖e2‖ = ‖e3‖ = 1)は計算すれば直接的に分かるから {e1, e2, e3} は正規直交系である。R の各ベクトル (x, y, z) は線型和 ( x , y , z ) = x e 1 + y e 2 + z e 3 {\displaystyle (x,y,z)=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}} として表せるから、 {e1, e2, e3} は R 全体を張り、基底を成す。