ベルヌーイの定理
系外からのエネルギーのやりとりを考えた拡張されたベルヌーイの定理も存在する。
渦なしの流れでは v = ∇ φ {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\nabla \phi } と表せるので、オイラー方程式は
∇ { ∂ φ ∂ t + | ∇ φ | 2 2 + ∫ d p ρ + Ω } = 0 {\displaystyle \nabla \left\{{\partial \phi \over \partial t}+{\left|\nabla \phi \right|^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}\right\}=0}
となり、これを積分すると
∂ φ ∂ t + | ∇ φ | 2 2 + ∫ d p ρ + Ω = f ( t ) {\displaystyle {\partial \phi \over \partial t}+{\left|\nabla \phi \right|^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}=f(t)}
となる。ただし、 f ( t ) {\displaystyle f(t)} は任意の関数である。
気体の運動では、重力が無視でき、また、運動の時間スケールが熱伝導の時間スケールに比べて十分小さく断熱過程と見なせる場合が多い。このときポアソンの法則により p ∝ ρ γ {\displaystyle p\propto \rho ^{\gamma }} ( γ = C p / C v {\displaystyle \gamma =C_{p}/C_{v}} は比熱比)とできるので、ベルヌーイの定理は
断熱過程に従う非粘性気体の定常な流れでは、流線上で
v 2 2 + ( γ γ − 1 ) p ρ = ( γ γ − 1 ) p s ρ s {\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{s}}{\rho _{s}}}}
が、成り立つ。ただし、 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} は速度ベクトル、 p {\displaystyle p} は圧力、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 γ = C p / C v {\displaystyle \gamma =C_{p}/C_{v}} は比熱比、 p s , ρ s {\displaystyle p_{s},\rho _{s}} はよどみ点における圧力と密度である。