ペンローズ・タイル
続いてペンローズはプロトタイルの個数を2に減らし、カイト(kite、凧)およびダート(dart、矢)によるタイリング(タイリングP2、下記参照)、および菱形によるタイリング(タイリングP3、下記参照)を発見した。菱形タイリングは1976年にロバート・アムマンによって独立に発見された。ペンローズとジョン・H・コンウェイはペンローズ・タイリングの性質を調べ、その階層的性質を代入則で説明できることを発見した。この発見はマーティン・ガードナーによって1977年1月のサイエンティフィック・アメリカンの「数学ゲーム」コラムで発表された。
1981年にN. G. ド・ブラウンは、ペンローズ・タイリングの2つの構成法「マルチ・グリッド法」および「切断射影法」を提案した。マルチ・グリッド法では、5つの平行線族によって作られるアレンジメントの双対グラフとしてペンローズ・タイリングが得られる。切断射影法では、5次元立方構造の2次元への射影としてペンローズ・タイリングが得られる。これらの方法ではペンローズ・タイリングを単にタイルの頂点の集合とみなしているが、タイルは頂点を辺で結んで得られる幾何学的形状である。
与えられた1つのタイル、平面全体のタイリング、あるいは任意のタイルの集まりに、デフレーションを1回施すと「世代」が1つ増えるという。デフレーションの一世代で、各タイルは元のタイリングで使われていたタイルより小さい、2つ以上のタイルに置き換えられる。代入則によって、新しいタイルの配置はマッチング規則に従っていることが保証される。デフレーションの世代を経るごとに、形状は同じでより小さいタイルからなるタイリングが生成される。
タイルの分割規則は細分化則である。
この表を使うには注意が必要である。半カイトと半ダートのデフレーションはサンとスターのデフレーションのときにだけ使わなければならない。単独のカイトやダートに用いると誤った結果を与える。
また、単純な細分化則によってタイリングの端に穴ができることがある。こういった穴は右3図の上と下に見ることができる。個の問題を解決するには別の規則が必要である。
ペンローズの最初のタイリングでは、五角形以外に3つの形状のタイル、すなわち5つの先端を持つ「星」(五芒星)、「ボート」(星のおよそ3/5)、および「ダイアモンド」(細い菱形)を用いる。全てのタイリングが非周期的になることを保証するために、各辺の接合方法を特定するためのマッチング規則がある。五角形については、3種類の異なるマッチング規則がある。これらの三種の異なる五角形を別のプロトタイルとして扱うと、全部で6個のプロトタイプをもつ集合になる。五角形のタイルの異なる3種を、異なる3つの色で表すことが一般的である。