安定曲線
S {\displaystyle S} を任意のスキーム、 g ≥ 2 {\displaystyle g\geq 2} を整数とする。 S {\displaystyle S} 上の種数 g の安定曲線とは、固有平坦射 π : C → S {\displaystyle \pi :C\to S} であって、 その幾何学的ファイバー C s {\displaystyle C_{s}} が被約な連結1次元スキームで以下の条件を満たすものを言う。
C s {\displaystyle C_{s}} は通常2重点のみを特異点として持つ
全ての有理曲線成分(rational component) E {\displaystyle E} は他の成分と 2 {\displaystyle 2} 点以上で交叉する
dim  H 1 ( O C s ) = g {\displaystyle \dim H^{1}({\mathcal {O}}_{C_{s}})=g}
これらのテクニカルな条件は、(1)技術的な複雑性を減らし、そしてピカール・レフシェッツ理論の適用を可能にし、(2)あとで構築するモジュライ・スタックが無限小自己同型を持たないように曲線を硬化(rigidify)し、(3)全てのファイバーが同じ算術種数をもつことを保証するために 必要である。なお、(1)に関連して、楕円曲面に生じ得る特異点の種類は完全に分類することが可能であることに言及しておく。