ローレンツ群
[ t x y z ] = [ 1 0 0 0 0 cos  ( λ ) − sin  ( λ ) 0 0 sin  ( λ ) cos  ( λ ) 0 0 0 0 1 ] [ t 0 x 0 y 0 z 0 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}t\\x\\y\\z\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{matrix}}\right]}
ここで、z 軸まわりの回転 exp(i λ Jz) の1パラメータ行列群をすぐにみてとることができる。群パラメータ λ で微分し λ=0 を代入すれば、次の行列が得られる。
i J z = [ 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] {\displaystyle iJ_{z}=\left[{\begin{matrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}}\right]}
これが最初のベクトル場に対応する。このようにしてリー代数の要素の行列表現とベクトル場表現を対応づけることができる。
前節の手続を逆転させることにより、上の六つの生成子に対応するメビウス変換が次に示すパウリ行列にそれぞれ β/2 (回転の場合)および iθ/2 (ブーストの場合)をかけて指数関数をとったものになることがわかる。