付値環
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体 K の局所環 R が付値環であることとそれが支配で順序を入れた K に含まれるすべての局所環からなる集合の極大元であることは同値である。これは上記から容易に従う。
A を体 K の部分環とし、 f : A → k {\displaystyle f:A\to k} を代数的閉体 k の中への環準同型とする。このとき f は、D を A を含む K のある付値環として、環準同型 g : D → k {\displaystyle g:D\to k} に拡張する。(証明: g : R → k {\displaystyle g:R\to k} を極大な拡張とする。これはツォルンの補題によって明らかに存在する。極大性によって、R は f の核を含む極大イデアルをもった局所環である。S が R を支配する局所環であれば、S は R 上代数的である。もしそうでないとすれば、 S {\displaystyle S} は g が拡張する多項式環 R [ x ] {\displaystyle R[x]} を含み、極大性に反する。 S / m S {\displaystyle S/{\mathfrak {m}}_{S}} は R / m R {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}_{R}} の代数的な体拡大であることが従う。