余因子行列
余因子行列は、外積代数の抽象的な用語を使うことで表示することができる。V を n次元ベクトル空間とする。ベクトルの外積により双線形対が得られる:
V × ∧ n − 1 V → ∧ n V {\displaystyle V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V}
ベクトルの外積は完全対である。それ故、それは同型写像を引き起こす:
φ : V → ≅ Hom  ( ∧ n − 1 V , ∧ n V ) {\displaystyle \phi \colon V\ \xrightarrow {\cong } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)}
明示すると、この対は、v ∈ V を φ v {\displaystyle \phi _{\boldsymbol {v}}} に写す:
φ v ( α ) = v ∧ α ( α ∈ ∧ n − 1 V ) {\displaystyle \phi _{\boldsymbol {v}}(\alpha )={\boldsymbol {v}}\wedge \alpha \qquad (\alpha \in \wedge ^{n-1}V)}
T : V → V を線形変換とする。T の(n − 1)次外冪による引き戻しは線形変換空間の射を作る。このとき T の余因子変換は次の合成で定義される:
V → φ Hom  ( ∧ n − 1 V , ∧ n V ) → ( ∧ n − 1 T ) ∗ Hom  ( ∧ n − 1 V , ∧ n V ) → φ − 1 V {\displaystyle V\ \xrightarrow {\phi } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}} \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {\phi ^{-1}} \ V}
V = R に 基底 (e1, ..., en) が与えられていて、T のこの基底に関する表現行列は A であるとき、T の余因子変換は A の余因子行列である。何故正しいのか考えてみるに、 ∧ n − 1 R n {\displaystyle \wedge ^{n-1}\mathbb {R} ^{n}} の基底を取る:
{ e 1 ∧ ⋯ ∧ e ^ k ∧ ⋯ ∧ e n } k = 1 n {\displaystyle \{{\boldsymbol {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\boldsymbol {e}}}_{k}\wedge \dots \wedge {\boldsymbol {e}}_{n}\}_{k=1}^{n}}
可換環 R 上の n次正方行列 A = (ai,j) の余因子行列とは、(i, j)成分が (j, i)余因子である n次正方行列のことであり、記号で adj  ( A ) {\displaystyle \operatorname {adj} (A)} , A ~ {\displaystyle {\widetilde {A}}} などで表す。
A の (i,j)小行列式を Mi,j で表すことにする。これは、A の第i行、第j列を除いてできる (n − 1)次小正方行列の行列式である:
adj  ( A ) = ( b i , j ) , b i , j = ( − 1 ) i + j M j , i {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(b_{i,j}),\quad b_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{j,i}}
A の (i,j)余因子を ~ai,j で表すと、