一般相対性理論における測地線
0 = δ S = ∫ δ ( − g μ ν d x μ d λ d x ν d λ ) d λ = ∫ δ ( − g μ ν d x μ d λ d x ν d λ ) 2 − g μ ν d x μ d λ d x ν d λ d λ {\displaystyle 0=\delta S=\int \delta \left({\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \lambda }}}}\right)\mathrm {d} \lambda =\int {\frac {\delta \left(-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \lambda }}\right)}{2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \lambda }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \lambda }}}}}}\mathrm {d} \lambda }
より具体的にするため、固有時 τ によって媒介変数表示することにしよう。四元速度は(時間的経路については) -1 に規格化されるので、上式は次の方程式と同等であるといえる。
0 = ∫ δ ( g μ ν d x μ d τ d x ν d τ ) d τ {\displaystyle 0=\int \delta \left(g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\right)\mathrm {d} \tau }
0 = ∫ d τ δ x μ ( − 2 g μ ν d 2 x ν d τ 2 + d x α d τ d x ν d τ ∂ μ g α ν − 2 d x α d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν ) {\displaystyle 0=\int \mathrm {d} \tau \delta x^{\mu }\left(-2g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-2{\frac {\mathrm {d} x^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\right)}
したがって、
0 = ∫ d τ δ x μ ( − 2 g μ ν d 2 x ν d τ 2 + d x α d τ d x ν d τ ∂ μ g α ν − d x α d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν − d x ν d τ d x α d τ ∂ ν g μ α ) {\displaystyle 0=\int \mathrm {d} \tau \delta x^{\mu }\left(-2g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {\mathrm {d} x^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }-{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }\right)}