代数多様体
アフィン代数多様体 V, W の間の射は、多変数解析の場合と同様、V 上の正則関数の組で与えるのが自然である。すなわち、アフィン代数多様体 V から A k m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{m}} への射 g : V → A k m {\displaystyle g\colon V\to \mathbb {A} _{k}^{m}} を g i ∈ A ( V ) ( i = 1 , ... , m ) {\displaystyle g_{i}\in A(V)\;(i=1,\ldots ,m)} を用いて
V ∋ a ↦ ( g 1 ( a ) , ... , g m ( a ) ) ∈ A k m {\displaystyle V\ni a\mapsto (g_{1}(a),\ldots ,g_{m}(a))\in \mathbb {A} _{k}^{m}}
で定める。W が A k m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{m}} の中で定義されるアフィン代数多様体であり、g の像が W に含まれるとき、g は射 g: V → W を定めるという。射 g: V → W が与えられると、関数の合成によって、座標環の間の準同型写像
g ∗ : A ( W ) → A ( V ) ; g ∗ ( f ( y 1 , ... , y m ) ) = f ( g 1 ( x 1 , ... , x n ) , .
はそのアフィン開部分多様体に制限すると、そのイデアルの列
I ( Z 0 ) ⊊ I ( Z 1 ) ⊊ ⋯ ⊂ I ( Z r ) ⊊ ⋯ {\displaystyle I(Z_{0})\subsetneq I(Z_{1})\subsetneq \cdots \subset I(Z_{r})\subsetneq \cdots }
が対応する。アフィン代数多様体の座標環(あるいはアフィン代数多様体が定義されるアフィン空間に対応する多項式環)はネーター環であるので、このイデアルの昇鎖は有限の長さで止まる。代数多様体はアフィン開部分代数多様体の有限個の和集合であるので、結局、X の閉部分集合の列は有限の長さで止まる:
X = Z 0 ⊃ Z 1 ⊋ ⋯ ⊋ Z N {\displaystyle X=Z_{0}\supset Z_{1}\supsetneq \cdots \supsetneq Z_{N}} (この列の長さを N とする)
X のこの性質を、位相空間 X はネーター空間 (noetherian space) であるという。X の任意の既約閉部分集合の真減少列の長さの最大値を X の(ネーター)次元という。可換環論(体上有限生成環の理論)によれば、アフィン代数多様体のネーター次元(すなわち、対応する座標環のクルル次元)は関数体の超越次数と一致することが知られているので、このことから、一般の代数多様体のネーター次元が上記の次元の定義と一致する。