フーリエ変換
任意の実数 x0 に対して h(x) = ƒ(x − x0) であるならば h ^ ( ξ ) = e − 2 π i x 0 ξ f ^ ( ξ ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )=e^{-2\pi ix_{0}\xi }{\hat {f}}(\xi )}
が成り立つ。
以下にフーリエ変換の閉じた表示に関する表を掲げる(フーリエ変換はよく用いられる三種類を挙げてある)。函数 ƒ(x) , g(x), h(x) に対して、それらのフーリエ変換をそれぞれ ˆf, ˆg, ˆh で表す。
任意の実数 ξ0 に対して h(x) = eƒ(x) ならば h ^ ( ξ ) = f ^ ( ξ − ξ 0 ) {\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi -\xi _{0})}
が成り立つ。
この節の記載は、フーリエ変換の「動機」についてのものであるが、フーリエ変換の理解に必須のものではなく、むしろ理解を妨げる要因(数学的に不正確な内容を含む)もあるため、注意が必要である。フーリエ変換についてのイメージを掴むには有用であるが、この節の理解に拘泥するとむしろ本質的な理解が阻害されることになる。
フーリエ変換を考える動機はフーリエ級数の研究に始まる。フーリエ級数の研究において、複雑な周期関数は単純な波動の数学的な表現である正弦関数や余弦関数の和として表される。正弦や余弦の性質のおかげで、この和に現れる各波の量、フーリエ係数を積分によって計算することができる。
多くの場合に、 e 2 π i θ = cos  2 π θ + i sin  2 π θ {\textstyle e^{2\pi i\theta }=\cos {2\pi \theta }+i\sin {2\pi \theta }} (オイラーの公式)を用いて、正弦関数および余弦関数の代りに基本波動 e 2 π i θ {\textstyle e^{2\pi i\theta }} を用いた方が便利である。この場合には多くの公式が簡単化され、本項で後述するフーリエ変換のほかの類似の定式化をあたえるという点に優位性がある。この正弦・余弦から複素指数関数への移行にはフーリエ係数が複素数値であることを要する。この複素数は、関数に含まれる波動の振幅(あるいは大きさ)と、位相(あるいは初期角)の両方を与えているものと通常は解釈される。