ザリスキー位相
e a ( P ) = 0 ⇔ P ∈ V ( a ) {\displaystyle e_{a}(P)=0\Leftrightarrow P\in V(a)}
を得る。
さらに一般的には、任意のイデアル I に対する V(I) は、I で 0 となる全ての函数の共通集合であり、公式に古典的な定義と同じである。実際、A がある代数的閉体 k 上の多項式環であるという意味でA の極大イデアルは(前のパラグラフで議論した)k の n 個の組と同一視でき、剰余体は k と一致し、「評価」写像は対応する n 個の組での多項式の実際の値である。上に示したように、「函数の零点」として双方の意味を持つ現代的定義の解釈として、極大イデアルを同時に考える現代的定義と古典的定義は本質的に同じになっている。
まさに Spec をアフィン多様体に置き換え、Proj構成(英語版)(Proj construction)を射影多様体が現代の代数幾何のである。「不適切な極大イデアル」(別な記事に議論されている)の完備化が必要ではあるが、アフィンから射影の定義への古典的な定義は、「イデアル」を「同次イデアル」へ置き換えるだけである。
V ( S ) = { x ∈ P n ∣ f ( x ) = 0 , ∀ f ∈ S } {\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}}
と言ってもよい。
これと同じ事実がこれらの集合に対して成り立つかもしれない。ただし、「イデアル」という単語は「斉次イデアル」という単語に置き換えねばならない。すると、斉次多項式の集合 S に対して V(S) は、 P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} 上の位相を定義する。このように、これらの集合の補集合を D(S) あるいは、混乱がないならば、D′(S) と書く。
射影的なザリスキー位相は、アフィン多様体のザリスキー位相がアフィン代数的集合に対して部分空間の位相をとることにより定義されたことと同様に、射影的代数的集合に対して定義される。上記と同じ公式により、射影的座標環の元の集合により、ザリスキー位相が定義されることが示される。