オイラー＝ラグランジュ方程式
となるが、被積分関数の第二項を部分積分すると、
d d ε I [ u ̄ + ε δ ] = [ δ i ( x ) ∂ F ∂ m i , μ ( u ε , ∂ u ε , x ) ] ∂ Ω + ∫ Ω δ i ( x ) { ∂ F ∂ v i ( u ε , ∂ u ε , x ) − ∂ ∂ x μ ( ∂ F ∂ m i , μ ( u ε , ∂ u ε , x ) ) } d d x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\epsilon }}I[{\bar {u}}+\epsilon \delta ]=&\left[\delta _{i}(x){\frac {\partial F}{\partial m_{i,\mu }}}(u_{\epsilon },\partial u_{\epsilon },x)\right]_{\partial _{\Omega }}\\&+\int _{\Omega }\delta _{i}(x)\left\{{\frac {\partial F}{\partial v_{i}}}(u_{\epsilon },\partial u_{\epsilon },x)-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\left({\frac {\partial F}{\partial m_{i,\mu }}}(u_{\epsilon },\partial u_{\epsilon },x)\right)\right\}\,d^{d}x\\\end{aligned}}}
となる。積分領域の境界 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } で δ ( x ) = 0 {\displaystyle \delta (x)=0} なので第一項は 0 となる。最終的に、