特性類
H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) → ι ∗ H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) B φ A ∗ ↓ B φ A | U ( 1 ) n ∗ ↓ H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) → ι ∗ H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) {\displaystyle {\begin{array}{lll}H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )&{\overset {\iota ^{*}}{\to }}&H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\\B\varphi _{A}{}^{*}\downarrow &&B\varphi _{A}|_{U(1)^{n}}{}^{*}\downarrow \\H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )&{\overset {\iota ^{*}}{\to }}&H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\end{array}}}
が可換である事から、 ι ∗ {\displaystyle \iota ^{*}} の像は確かに
H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) W {\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )^{W}}
に落ちる事がわかる。
このとき次の事実が従う事が知られている:
定理 ― 写像
ι ∗ : H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) → H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) W ≈ Z [ α 1 , ...
このとき P G → P G / H {\displaystyle PG\to PG/H} はH-主バンドルであり、しかもPGの定義からPGは弱可縮なので、 P G → P G / H {\displaystyle PG\to PG/H} はH-普遍バンドルである。よって P G / H {\displaystyle PG/H} はBHのモデルの1つであり、PGは対応するH-普遍バンドルである。
そこで以下 P H = P G {\displaystyle PH=PG} 、 B H = P G / H {\displaystyle BH=PG/H} とみなすと、可換図式
P H = P G → i d P G ↓ ↻ ↓ B H = P G / H → B G = P G / G {\displaystyle {\begin{array}{ccc}PH=PG&{\overset {id}{\to }}&PG\\\downarrow &\circlearrowright &\downarrow \\BH=PG/H&\to &BG=PG/G\end{array}}}
が考えられ、この可換図式にバランス積を取ることで、
, γ m 2 ) γ 1 ε 1 ⋯ γ m ε m {\displaystyle f(\gamma _{1},\ldots ,-\gamma _{k}\ldots ,-\gamma _{\ell },\ldots ,\gamma _{m})=\left(\sum _{\varepsilon _{k}=0,\varepsilon _{\ell }=0}-\sum _{\varepsilon _{k}=1,\varepsilon _{\ell }=0}-\sum _{\varepsilon _{k}=0,\varepsilon _{\ell }=1}+\sum _{\varepsilon _{k}=1,\varepsilon _{\ell }=1}\right)f_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{m}}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})\gamma _{1}{}^{\varepsilon _{1}}\cdots \gamma _{m}{}^{\varepsilon _{m}}}
となる。fは偶数回の符号反転に関して不変でなければならない事から、 f ( γ 1 , ... , γ m ) = f ( γ 1 , ... , − γ k ... , − γ l , ... , γ m ) {\displaystyle f(\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m})=f(\gamma _{1},\ldots ,-\gamma _{k}\ldots ,-\gamma _{\ell },\ldots ,\gamma _{m})} なので、 ε k = ε l {\displaystyle \varepsilon _{k}=\varepsilon _{\ell }} となる項以外は0でなければならない。
Wが無限次元の場合は V n W {\displaystyle V_{n}W} 、 V n U W {\displaystyle V_{n}^{U}W} 、 V n O W {\displaystyle V_{n}^{O}W} は有限次元多様体にはならないが、言葉を混用してこの場合もスティーフェル「多様体」と呼ぶ。
定義 (グラスマン多様体) ― K {\displaystyle K} 、 W {\displaystyle W} を上と同様に取り、Wのn次元部分ベクトル空間全体の集合 G n W {\displaystyle G_{n}W} をW上のn次元グラスマン多様体(英語版)(英: Grassmannian)という。 また、 K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } のとき、Wの向きづけられたn次元部分ベクトル空間全体の集合 G ~ n W {\displaystyle {\tilde {G}}_{n}W} をW上のn次元向きづけられたグラスマン多様体(英: oriented Grassmannian)という。
スティーフェル多様体と同様、Wが次元mの有限次元ベクトル空間であれば、
CW複体X、Yの間の任意の連続写像 g : X → Y {\displaystyle g~:~X\to Y} とY上の任意の主G-バンドル η = ( P , Y , π ) {\displaystyle \eta =(P,Y,\pi )} に対し、ηの分類写像を f η : Y → B G {\displaystyle f_{\eta }~:~Y\to BG} とし、X上のバンドル ξ := g ∗ ( η ) {\displaystyle \xi :=g^{*}(\eta )} の分類写像を f ξ : X → B G {\displaystyle f_{\xi }~:~X\to BG} とすると、 f ξ ∗ ( P G ) ≈ ξ = g ∗ ( η ) {\displaystyle f_{\xi }{}^{*}(PG)\approx \xi =g^{*}(\eta )} と g ∗ ( f η ∗ ( P G ) ) ≈ g ∗ ( η ) {\displaystyle g^{*}(f_{\eta }{}^{*}(PG))\approx g^{*}(\eta )} は同型なバンドルを定めるので、分類定理より f ξ {\displaystyle f_{\xi }} と f η ∘ g {\displaystyle f_{\eta }\circ g} はホモトープである。よって
c ( g ∗ ( η ) ) = c ( ξ ) = f ξ ∗ ( c G ) = g ∗ ( f η ∗ ( c G ) ) = g ∗ ( c ( η ) ) {\displaystyle c(g^{*}(\eta ))=c(\xi )=f_{\xi }{}^{*}(c_{G})=g^{*}(f_{\eta }{}^{*}(c_{G}))=g^{*}(c(\eta ))}
が成立する。
定理の対応関係が1対1である事は明らかである。
定理・定義 (チャーン類の公理的特徴づけ) ― 特性類の組 ( c i ( n ) ) i , n {\displaystyle (c_{i}^{(n)})_{i,n}} でn次元複素ベクトルバンドル ξ = ( π , E , B ) {\displaystyle \xi =(\pi ,E,B)} に H 2 i ( B , Z ) {\displaystyle H^{2i}(B,\mathbb {Z} )} の元を対応させるもの
c i ( n ) : ξ = ( π , E , B ) ↦ H 2 i ( B , Z ) {\displaystyle c_{i}^{(n)}~:~\xi =(\pi ,E,B)\mapsto H^{2i}(B,\mathbb {Z} )}
で以下の性質を満たすものが一意に存在する。 c i ( n ) {\displaystyle c_{i}^{(n)}} をn次元ベクトルバンドルの第iチャーン類と呼ぶ。
以下でXは任意のCW複体、ξ、ηはX上の任意の複素ベクトルバンドル、n、mはそれぞれξ、ηのファイバー(であるベクトル空間)の次元であり、「 ⊕ {\displaystyle \oplus } 」はベクトルバンドルのホイットニー和である:
次元公理(英: dimension axiom): c 0 ( n ) ( ξ ) = 1 {\displaystyle c_{0}^{(n)}(\xi )=1} 、 c i ( n ) ( ξ ) = 0 for i > n {\displaystyle c_{i}^{(n)}(\xi )=0~~{\text{ for }}i>n} 。
である。以上の議論とポントリャーギン類の定義
p i = B μ ∗ − 1 ( σ j ( γ 1 2 , ... , γ m 2 ) ) {\displaystyle p_{i}=B\mu ^{*}{}^{-1}(\sigma _{j}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2}))}
から定理が従う。
上の定理がΛ係数のコホモロジーに関するものである事に注意されたい。チャーン類は整数係数のコホモロジーに属するが、整数係数の場合は c 2 j + 1 ( ξ C ) = 0 {\displaystyle c_{2j+1}(\xi _{\mathbb {C} })=0} が成立するとは限らない。しかし 2 c 2 j + 1 ( ξ C ) = 0 {\displaystyle 2c_{2j+1}(\xi _{\mathbb {C} })=0} である事は言える。実際、一般に複素ベクトルバンドル η {\displaystyle \eta } の複素共役バンドル η ̄ {\displaystyle {\bar {\eta }}} とすると、 c k ( η ̄ ) = ( − 1 ) k c k ( η ) {\displaystyle c_{k}({\bar {\eta }})=(-1)^{k}c_{k}(\eta )} が成立し、しかも実ベクトルバンドルの複素化 ξ C {\displaystyle \xi _{\mathbb {C} }} はその複素共役バンドル ξ ̄ C {\displaystyle {\bar {\xi }}_{\mathbb {C} }} と同型なので、
P i j : C n → C n {\displaystyle P_{ij}~:~\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}} を第i成分と第j成分を入れ替える行列とすると、明らかに [ P i j ] ∈ W {\displaystyle [P_{ij}]\in W} である。この事実を利用すると、以下の事実が示せる:
定理 ― U ( n ) {\displaystyle U(n)} のワイル群 W = W ( U ( n ) ) {\displaystyle W=W(U(n))} は置換群と群同型であり、Wは U ( 1 ) n {\displaystyle U(1)^{n}} の成分の入れ替えとして U ( 1 ) n {\displaystyle U(1)^{n}} に作用する。
定理を示すために U ( 1 ) n {\displaystyle U(1)^{n}} の U ( n ) {\displaystyle U(n)} における正規化群Nから A ∈ N {\displaystyle A\in N} を任意に選び、Aの形を決定する。
そのために u 1 , ... , u n ∈ C {\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} } を | u i | = 1 {\displaystyle |u_{i}|=1} を満たす相異なる複素数とし、 U = u 1 ⊕ ⋯ ⊕ u n ∈ U ( n ) {\displaystyle U=u_{1}\oplus \cdots \oplus u_{n}\in U(n)} を u 1 , ...
: C ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) → C ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) , ∑ i a i s i ↦ ∑ i a i ( s i ′ + s i ′′ ) {\displaystyle p_{!}~:~C_{*}(BO(n);\Lambda )\to C_{*}(BSO(n);\Lambda ),~~\sum _{i}a_{i}s_{i}\mapsto \sum _{i}a_{i}(s'_{i}+s''_{i})}
により定義し、 g : B S O ( n ) → B S O ( n ) {\displaystyle g~:~BSO(n)\to BSO(n)} を(唯一の)非自明なデッキ変換とすると、
B ι ∘ p ! ( t ) = 2 t for ∀ t ∈ C ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) p ! ∘ B ι ( s ) = s + g ( s ) for ∀ s ∈ C ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle {\begin{array}{rcll}B\iota \circ p_{!}(t)&=&2t&{\text{ for }}\forall t\in C_{*}(BO(n);\Lambda )\\p_{!}\circ B\iota (s)&=&s+g(s)&{\text{ for }}\forall s\in C_{*}(BSO(n);\Lambda )\end{array}}}
が成立する。よってこれらがコホモロジーに誘導する写像は、
p ! ∗ ∘ B ι ∗ ( v ) = 2 v for ∀ v ∈ H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) B ι ∗ ∘ p !
チャーン類の定義において、α1,...,αnの代わりに単元 u ∈ C , s.t. | u | = 1 {\displaystyle u\in \mathbb {C} ,{\text{ s.t. }}|u|=1} をこれらに掛けた β 1 := u α 1 , ... , β n := u α n {\displaystyle \beta _{1}:=u\alpha _{1},\ldots ,\beta _{n}:=u\alpha _{n}} をチャーン根とするようにチャーン類を定義する事もできるため、チャーン類の定義には単元uの選び方だけ自由度がある事になる。
そこで何らかの規約を置くことでこの自由度を消す必要があるが、どのような規約を置くかは分野による。
定義 (チャーン類) ― H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) ≈ Z [ α 1 , ... , α n ] {\displaystyle H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\approx \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]} 上の第i基本多項式
σ i ( α 1 , ... , α n ) = ∑ A ⊂ { 1 , ... , n } , | A | = i ( ∏ k ∈ A α k ) {\displaystyle \sigma _{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\sum _{A\subset \{1,\ldots ,n\},|A|=i}\left(\ \prod _{k\in A}\alpha _{k}\right)}
の
ι ∗ : H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) → H ∗ ( B U ( 1 ) n ; Z ) {\displaystyle \iota ^{*}~:~H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )\to H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )}
による逆像
c i ( n ) = ( ι ∗ ) − 1 ( σ i ( α 1 , ... , α n ) ) ∈ H 2 i ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle c_{i}^{(n)}=(\iota ^{*})^{-1}(\sigma _{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}))\in H^{2i}(BU(n);\mathbb {Z} )}
自然数 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} に対し H 2 ( B O ( n ) ; Z 2 ) {\displaystyle H^{2}(BO(n);\mathbb {Z} _{2})} の具体的形を調べるため、チャーン類のときと同様、連続準同型写像
ι : O ( 1 ) n ↪ O ( n ) , ( A 1 , ... , A n ) ↦ A 1 ⊕ ⋯ ⊕ A n {\displaystyle \iota ~:~O(1)^{n}\hookrightarrow O(n),~(A_{1},\ldots ,A_{n})\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}
により O ( 1 ) n {\displaystyle O(1)^{n}} を O ( n ) {\displaystyle O(n)} の部分群とみなす。ここで「 ⊕ {\displaystyle \oplus } 」は対角線上に行列を並べる演算である。
φ A : B ↦ A B A − 1 {\displaystyle \varphi _{A}~:~B\mapsto ABA^{-1}} を内部自己同型とする。チャーン類の時と同様、 O ( 1 ) n {\displaystyle O(1)^{n}} の正規化群
N = { A ∈ O ( n ) ∣ φ A ( O ( 1 ) n ) = O ( 1 ) n } {\displaystyle N=\{A\in O(n)\mid \varphi _{A}(O(1)^{n})=O(1)^{n}\}}