群の拡大
拡大問題を解決するというのは、H の K による拡大を全て分類すること、あるいはもっと実際的にいえば、そのような拡大全てをもっと判り易くて計算し易い数学的対象を使って表現することをいう。一般に拡大問題は非常に困難な問題で、他に条件を付け加えてやらないと意味のある拡大の分類というものは殆ど得られない。
二つの拡大がいつ同値(あるいは合同)であるかを知ることは重要である。すなわち、拡大
1 → K → i G → π H → 1 {\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}
および
1 → K → i ′ G ′ → π ′ H → 1 {\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}
が同値 (equivalent) または合同 (congruent) であるとは、群同型 T: G → G' が存在して、図式
を可換にするときに言う。この拡大の同値類全体の成す集合はしばしば Ext(H, K) と書かれる。
↑ group+extension#Definition in nLab Remark 2.2.
↑ MacLane, Saunders, Homology, p. 103
↑ Brown & Porter 1996.
↑ Karpilovsky 1987, pp. 5, 7.
↑ Karpilovsky 1987, pp. 92, 94.