コンパクト化
X {\displaystyle X} をコンパクトでない位相空間とし、 ∞ {\displaystyle \infty } を X {\displaystyle X} 上に存在しない一点とし、 X ∗ := X ∪ { ∞ } {\displaystyle X^{*}:=X\cup \{\infty \}} に以下の位相を入れたものを考える。
さらに i : X ↪ X ∗ {\displaystyle i:X\hookrightarrow X^{*}} を包含写像とする。この時、 X ∗ {\displaystyle X^{*}} はコンパクトである事が示せ、しかも i ( X ) {\displaystyle i(X)} が X ∗ {\displaystyle X^{*}} で稠密である事も示せるので、 ( X ∗ , i ) {\displaystyle (X^{*},i)} はコンパクト化の条件を満たす。 ( X ∗ , i ) {\displaystyle (X^{*},i)} の事をX の(アレクサンドロフの)一点コンパクト化という。