半線型写像
一般半線型群 ΓL(V) は典型的な古典群(英語版) GL(V) の拡張である。このような写像を考えることの重要性は射影幾何学の研究からも生じてくる。一般線型群 GL(V) の(V に付随する)射影ベクトル空間 P(V) の上に誘導される作用は、射影一般半線型群 PΓL(V) を成し、これは射影一般線型群 PGL(V) を拡張するものである。
ベクトル空間 V 上の射影幾何 PG(V) とは、V の部分空間全体の成す束を言う。典型的な半線型写像は線型ではないけれども、任意の半線型写像 f: V → W は順序を保つ写像 f: PG(V) → PG(W) を誘導する。つまり、任意の半線型写像は射影変換 を誘導する。(射影直線を除いて)このことの逆は、射影幾何学の基本定理(英語版)である。以上から、半線型写像がベクトル空間の射影幾何上の自己同型群を定義するという意味において、これらは射影幾何学において有用である。
射影一般半線型群 PΓL(3,4) は散在型単純群(英語版) の一つであるマシュー群 M24 の構成にも利用できる。すなわち、PΓL(3,4) は M24 の極大部分群であり、またこれをマシュー群全体に拡大する方法はいくつか存在する。