球面三角法
hav  x = d e f 1 2 ( 1 − cos  x ) = sin 2  x 2 {\displaystyle \operatorname {hav} x\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{2}}(1-\cos x)=\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}
で定義される半正矢関数 hav  ( ) {\displaystyle \operatorname {hav} ()} が航海用として使用されていた。具体的には、球面上の2点間の球面に沿った距離を求める場面である。前述の余弦定理でも求めることは可能だが、2地点間が近い(例えば経度差が0に近い)とき cos  x = 0.99999999 {\displaystyle \cos {x}=0.99999999} といった値を使うことになり、計算しづらいのでこちらを用いた。定義からこの関数の値は常に正であり、かつ、偶関数である。
cos  x = 1 − 2 hav  x {\displaystyle \cos x=1-2\operatorname {hav} x} から、最初の球面三角法の余弦定理を書き直すと
1 − 2 hav  a = cos  b cos  c + sin  b sin  c ( 1 − 2 hav  A ) {\displaystyle 1-2\operatorname {hav} a=\cos b\cos c+\sin b\sin c(1-2\operatorname {hav} A)}
天文学や航海術では一つの角が直角の場合が多く、この場合公式は簡単になる。
C = π 2 {\displaystyle C={\frac {\pi }{2}}} とすると、 (R1) cos  c = cos  a cos  b , (R6) tan  b = cos  A tan  c , (R2) sin  a = sin  A sin  c , (R7) tan  a = cos  B tan  c , (R3) sin  b = sin  B sin  c , (R8) cos  A = sin  B cos  a , (R4) tan  a = tan  A sin  b , (R9) cos  B = sin  A cos  b , (R5) tan  b = tan  B sin  a , (R10) cos  c = cot  A cot  B .