ゴールドバッハの予想
同様に n が 3 の倍数、m が 3 でない素数のとき、n − m は 3 と互いに素となる可能性があり、その分素数である確率も若干高くなる。1923年、ハーディとリトルウッドはこのような解析をより注意深く行い、次のように予想した。
予想 (ハーディ・リトルウッド予想の一部) ― 任意の固定された c ≥ 2 に対し、十分大きな整数 n を c 個の素数の和 n = p1 + ... + pc (p1 ≤ ... ≤ pc) として表現する方法の数は、次に漸近的に等しい。
( ∏ p p γ c , p ( n ) ( p − 1 ) c ) ∫ 2 ≤ x 1 ≤ ⋯ ≤ x c : x 1 + ⋯ + x c = n d x 1 ⋯ d x c − 1 ln  x 1 ⋯ ln  x c {\displaystyle \left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}}}
ただし式中の積は素数全体 p に渡って行い、γc,p(n) は合同式 n = q1 + ... + qc mod p (q1, ...,qc ≠ 0 mod p) の解の個数を表す。
この予想は c ≥ 3 において正しいことがヴィノグラードフ(英語版)により厳密に証明されているが、c = 2 の場合は未だ証明されていない。
ノルウェーの数学者ブルンは1920年頃(いくつかの論文に分かれているため曖昧)、エラトステネスの篩を発展させた新しい篩法を用いて、十分大きなすべての偶数は、高々9つの素数の積であるような数の二つの和であることを証明した。
ハーディとリトルウッドは1923年に、L関数に対する一般化されたリーマン予想(の若干弱い形を)を仮定して、全ての奇数 n ≧ n0 が3個の素数の和となるような下限 n0 が存在することを証明し、またその表現の個数の漸近公式を得た。また同様の仮定のもとにほとんどすべての偶数が二つの奇素数で表されること、すなわち例外的な数全体は零集合であることを証明。しかし偶数を二つの奇素数で表す仕方の数の漸近公式については予想するにとどまった。
1930年にソビエトの数学者シュニレルマンは、2個の素数の和で表される数と0, 1からなる集合は正のシュニレルマン密度を持つことをブルンの篩を用いて初等的に示し、シュニレルマンの定理から、すべての自然数が高々 k 個の素数の和であるような、k が存在することを示した。
1937年にソビエトの数学者ヴィノグラードフ(英語版)は三素数の問題に関して、三角和の方法を用いて、一般化されたリーマン予想を仮定することなしに、上記のような定数 n0 (現在、具体的にわかっている。 n 0 = 3 3 15 {\displaystyle n_{0}=3^{3^{15}}} (Borozdin,1939)さらに良い評価として n 0 ≈ 2 × 10 1346 {\displaystyle n_{0}\approx 2\times 10^{1346}} (Liu Ming-Chit and Wang Tian-Ze,2002))の存在を証明した。
素数を、例えば平方数のような他の特別な数の集合に置き換えると、同じような問題を考えることができる。
ジョゼフ=ルイ・ラグランジュにより、すべての正の整数は高々4つの平方数の和であることが証明されている。素数の冪の和に関しては、ウェアリングの問題や、関連するウェアリング・ゴルドバッハの問題(英語版)を参照。
ハーディとリトルウッドは彼らの予想 I として「全ての大きな奇数 (n > 5) は1つの素数と1つの素数の2倍の和である」ことを載せた(Mathematics Magazine, 66.1 (1993): 45-47.)。この予想は、ルモワーヌの予想(英語版)(あるいは、レヴィ予想)として知られている。
プラクティカル数に対するゴールドバッハ予想は、1984年に Margenstern により提示され、1996年にジュゼッペ・メルフィ(英語版)により証明された。すなわち、全ての偶数は 2つのプラクティカル数の和である。
「4以上の偶数は2個の幸運数の和として表せる」という問題は、未解決である。
また整数環 Z と同じく一意分解整域である多項式環 Z[x] に対して同じような問題を考えると、これは証明することができる。Hayes (1965) 参照。