一意分解環
厳密には、整域 R の零元でも単元でもない元 x が何れも
x = p1 p2 ... pn
のように R の有限個の既約元の積として書くことができて、その表示が一意であるとき R は一意分解環であるという。ここで表示が一意であるとは、x が R の既約元 q1, ..., qm によって再び
x = q1 q2 ... qm,
のようにも表せたとするならば、m = n であって、番号の適当な並べ替えを行う全単射 φ: {1, ..., n} → {1, ..., m} を与えると、pi と qφ(i) とが i = 1, ..., n のそれぞれについて同伴 (associated) となるようにできるということを意味する。
一意性の部分の検証は一般には困難であることがしばしばであって、次の同値な条件への言い換えは有用である: 整域が一意分解環となるのは、その零元でも単元でもない任意の元が R の素元の積の形に書けるときである。