アフィン接続
本質的には滑らかなクライン幾何学として、アフィン空間は平坦なカルタン接続を持つ多様体である。さらに一般的なアフィン多様体、あるいはアフィン幾何学は、容易にモーレー・カルタン方程式により表現される平坦性条件へ落すことにより得られる。定義を得る方法としてはいくつかあるが、2つの定義を与えることにする。両方とも、アフィンリー群 Aff(n) のリー代数 aff(n) の中に値を持つ 1-形式と整合する、平坦モデルの 1-形式 (θ,ωj) である。
これらの定義では、M は滑らかな n-次元多様体であり、A = Aff(n)/GL(n) は同じ次元のアフィン空間である。
すべての x ∈ M とすべての X ∈ TxM に対し、一意的に γ(0) = x であるアフィン測地線 γ : I → M が存在し、 γ ̇ ( 0 ) = X {\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=X} である。ここに I は R の最大開区間であり、0 をその定義された測地線上に持っている。このことは、ピカール・リンデレフの定理(英語版)に従い、アフィン接続に付随する指数写像(英語版)の定義を可能とする。
特に、M が(擬-)リーマン多様体であり、∇ がレヴィ・チヴィタ接続であれば、アフィン測地線はリーマン幾何学の通常の測地線であり、局所的に距離を極小化する。
ここで定義する測地線は、M の中の与えられた直線が a と b を定数としたときのアフィン再パラメータ化 γ(t) → γ(at+b), の選び方に依存しない直線を囎唹して、パラメータ化された曲線 γ を決定するので、アフィン的にパラメータ化されているという。アフィン測地線の接ベクトルは、それ自身に平行で向いている方向が同じである。パラメータ化されていない測地線、あるいは、単に自分自身に平行で向きが同じではない接ベクトルは、ある γ にそって定義されたある函数 k に対し、単に
∇ γ ̇ γ ̇ = k γ ̇ {\displaystyle \nabla _{\dot {\gamma }}{\dot {\gamma }}=k{\dot {\gamma }}}
となるのみである。パラメータ化されていない測地線は、射影接続(英語版)の観点から、研究されていることもある。