レヴィ・チヴィタ接続
M上のベクトル場X、Y、Zに対し、
R ( X , Y ) Z := ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}
と定義し、Rを ∇ {\displaystyle \nabla } に関する曲率(英: curvature)もしくは曲率テンソル(英: curvature tensor)という。ここで [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} はリー括弧(英語版)である。 RはX、Y、Zのいずれに関しても C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形である事が知られており、したがって、各 P ∈ M {\displaystyle P\in M} に対し、
R P : ( X , Y , Z ) ∈ T P M × T P M × T P M ↦ R ( X , Y ) Z ∈ T P M {\displaystyle R_{P}~:~(X,Y,Z)\in T_{P}M\times T_{P}M\times T_{P}M\mapsto R(X,Y)Z\in T_{P}M}
というテンソルとみなせる。
リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} で測地線方程式
∇ d t d d t c ( t ) = 0 {\displaystyle {\nabla \over dt}{d \over dt}c(t)=0}
を恒等的に満たすものを測地線という。2階微分は物理的には加速度であるので、測地線とは加速度が恒等的に0である曲線、すなわちユークリッド空間における直線を一般化した概念であるとみなせる。
リーマン多様体M上の曲線の、弧長パラメータによる「二階微分」の長さ
‖ ∇ d s d c d s ‖ {\displaystyle \left\|{\nabla \over ds}{dc \over ds}\right\|}
をMにおける c ( s ) {\displaystyle c(s)} の測地線曲率(英: geodesic curvature)、あるいは単に曲率(英: curvature)という。よって測地線は、曲率が0の曲線と言い換える事ができる。