立方数
1を除く全ての立方数は、連続する2つの平方数の差として表される。
n 3 = ∑ k = 1 n k 3 − ∑ k = 1 n − 1 k 3 = { n ( n + 1 ) 2 } 2 − { ( n − 1 ) n 2 } 2 n ≧ 2 {\displaystyle n^{3}=\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{3}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}k^{3}=\left\{{\dfrac {n(n+1)}{2}}\right\}^{2}-\left\{{\dfrac {(n-1)n}{2}}\right\}^{2}\quad n\geqq 2}
立方数の列の第2階差数列は公差 6 の等差数列であり、第3階差数列は定数列 6である。したがって立方数の列は3階等差数列である。
フィボナッチ数列に現れる立方数は、1 と 8 のみといわれている。
立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。
立方数のうち平方数でもある数は n と表せる。また、約数を7個持つ数は全て素数を6乗した数である。