平行線公準
しかしながら、「平行である」という定義として、代表的な3つ「等距離に離れている」、「決して交わらない」、「第3の直線と同じ角度で交わる」のうちのどれを使用するか、その理由を説明することは簡単なことではない。なぜなら、この3つが同値であるというのは、平行線公準に依存しているからである。例えば、プレイフェアの公理における「平行」を、「等距離に離れている」という意味で使えば、これはもはや平行線公準と同値ではなく、残りの4公準から証明が可能となる(「高々1本しか引くことができない」ということは、そのような線がなくてもよいのである)。しかしながら、平行線が互いに交わらない線分であると定義すれば、プレイフェアの公理は平行線公準と同値であるし、他の4公準から論理的に独立している。
ただし最初と最後のものは長さや角度を測ったりする操作が含まれ、そのぶん真ん中の性質よりは複雑になっている。そこで、真ん中の性質「決して交わらない」をユークリッド空間における平行性の定義に採用するのが普通である。そしてほかのふたつの性質は平行線の公理からの帰結ということになる。
平行線公準(へいこうせんこうじゅん)とは、ユークリッド幾何学における特色のある公準である。平行線公理、ユークリッド原論における5番目の公準であったことから、ユークリッド(エウクレイデス)の第5公準(公理)とも呼ばれている。これは2次元幾何学において次のようなことを述べている。
1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。
ユークリッド幾何学は平行線公準を含む全てのユークリッドの公準を満たすような幾何学を研究するものである。平行線公準が成立しない幾何学は非ユークリッド幾何学と呼ばれる。平行線公準から独立した幾何学(つまり、ユークリッド公準のうち、最初の4つの公準しか仮定しない幾何学)を絶対幾何学(英語版)(もしくは中立幾何学)と呼ぶ。