行列の対数
「与えられた行列に対数が存在するか否か」という問題は、複素係数の範囲で考えるときに最も単純な答を持つ。この場合、与えられた行列が対数を持つための必要十分条件は、それが可逆であることである。ジョルダン標準形で考えれば、任意の A = P J P − 1 {\displaystyle A=PJP^{-1}} に対して、 exp  ( P X P − 1 ) = ∑ n = 0 ∞ ( P X P − 1 ) n n ! = P ∑ n = 0 ∞ X n n ! P − 1 = P exp  ( X ) P − 1 {\displaystyle \exp(PXP^{-1})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(PXP^{-1})^{n}}{n!}}=P\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n!}}P^{-1}=P\exp(X)P^{-1}} であるから、 J = exp  ( X ) {\displaystyle J=\exp(X)} となる X {\displaystyle X} が存在すれば、 A = exp  ( P X P − 1 ) {\displaystyle A=\exp(PXP^{-1})} となり A {\displaystyle A} は対数を持つ。逆に A = exp  ( Y ) {\displaystyle A=\exp(Y)} となる Y {\displaystyle Y} が存在すれば、 J = P − 1 A P = exp  ( P − 1 Y P ) {\displaystyle J=P^{-1}AP=\exp(P^{-1}YP)} となり J {\displaystyle J} は対数を持つ。
06 ] {\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{bmatrix}\cosh((\ln 2)/2)&\sinh((\ln 2)/2)\\\sinh((\ln 2)/2)&\cosh((\ln 2)/2)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.06&.35\\.35&1.06\end{bmatrix}}}
と計算することができる。
より豊かな例として、初めに ピタゴラスの三つ組(英語版) (p, q, r) をとって a = ln(p + r) − ln q とおくと
e a = p + r q = cosh  a + sinh  a {\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a}
が成り立つ。するといま
exp [ 0 a a 0 ] = [ r / q p / q p / q r / q ] {\displaystyle \exp \!{\begin{bmatrix}0&a\\a&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{bmatrix}}}
となるから
1 q [ r p p r ] {\displaystyle {\frac {1}{q}}{\begin{bmatrix}r&p\\p&r\end{bmatrix}}}
は行列
[ 0 a a 0 ] ( a = ln  ( p + r ) − ln  q ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a\\a&0\end{bmatrix}}\quad (a=\ln(p+r)-\ln q)}
を対数に持つ。