束 (束論)
束 L の部分束 (sublattice) とは、L の空でない部分集合であって、L と同じ交わりと結びによって再び束となるようなものをいう。つまり、L が束で、L の部分集合 M ≠ ∅ を考えるとき、M の元の任意の対 a, b に対して a ∨ b と a ∧ b がともに M に属するならば、M は L の部分束である。
束 L の部分束 M が L の凸部分束 (convex sublattice) であるとは、L の各元 x, y, z に対して、x ≤ z ≤ y かつ x, y ∈ M ならば z ∈ M となるときにいう。
任意の集合 A に対して、A の部分集合全体からなる族(A の冪集合)は包含関係の定める順序に関して束となる。これは A 自身を最大元、空集合を最小元とする有界束である。交わりおよび結びは共通部分および和集合によってそれぞれ与えられる。
任意の集合 A に対して、A の有限部分集合全体の成す族に包含関係で順序を入れたものはやはり束になる。この束が有界となるのは A 自身が有限であるときであり、かつそのときに限る。
任意の集合 A に対して、A の分割全体の成す族に分割の細分によって順序を入れれば束となる。
自然数全体の成す集合(ただし、0 を含む)N に対し、通常の大小関係を考えたものは "min" および "max" を演算として束を成す。この場合、自然数 0 は最小元だが、最大元は存在しない。
自然数全体の成す集合のデカルト積 N × N に対して、順序 ≤ を ( a , b ) ≤ ( c , d ) ⟺ a ≤ c and b ≤ d {\displaystyle (a,b)\leq (c,d)\iff a\leq c{\text{ and }}b\leq d} で定めると、自然数の対 (0, 0) が最小元で最大元は無い。
自然数全体の成す集合 N に整除関係 | を順序とし、演算として最大公約数 gcd および最小公倍数 lcm を考えれば、やはり束が得られる。この場合、自然数 1 が最小元で、自然数 0 が最大元となる。
任意の完備束(後述)は特殊な有界束である。
a ∧ b <: a かつ a ∧ b <: b ならば a <: a ∨ b かつ b <: a ∨ b。
任意の半モジュラー束は弱半モジュラー束である。