ゼルニケ多項式
ゼルニケ多項式は | Z n m ( ρ , φ ) | ≤ 1 {\displaystyle |Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1} の範囲の値を取る。ここで、動径多項式 R n m ( ρ ) {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )} は、 n − m が偶数の場合、
R n m ( ρ ) = ∑ k = 0 n − m 2 ( − 1 ) k ( n − k ) ! k ! ( n + m 2 − k ) ! ( n − m 2 − k ) ! ρ n − 2 k {\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2\,k}}
また奇数の場合0として定義される。