ヒルベルト類体
よって Kk′ は K′ の部分体であるので、拡大次数 [Kk′ : k′] は [K′ : k′] を割り切る。k0 ≔ k′ ∩ K と置く。k と k′ がともに l ベキ分体に含まれるという仮定から素数 l のこれらの体における分岐指数は Q 上の拡大次数でなければならず、l の上にある k の素イデアルの k′/k における分岐指数は [k0 : k] である。一方、k0 はヒルベルト類体 K の部分体なので k の不分岐拡大である。よって [k0 : k] = 1、つまり k = k0 でなければならない。これから [Kk′ : k′] = [K : k] がわかる。[Kk′ : k′] は [K′ : k′] を割り切るので [K : k] もそうである。最後にこれらの拡大次数が類数であったことを思い出すことにより証明は完結する。
岩澤の類数公式の証明もヒルベルト類体を使うとイデアル類群をガロア群と解釈できることを使う。エルブラン・リベットの定理(英語版)の証明でも、不分岐アーベル拡大、つまりヒルベルト類体の部分体の存在を示すことによって類数の性質を導くという論法が使われる。