推移的集合
集合 X が推移的であることは ⋃ X ⊆ X {\displaystyle \bigcup X\subseteq X} であることと同値である。 ここで ⋃ X {\displaystyle \bigcup X} は、Xの全ての要素(のうち集合であるもの)の和、すなわち ⋃ X = { y | ( ∃ x ∈ X ) y ∈ x } {\displaystyle \bigcup X=\{y|(\exists x\in X)y\in x\}} のことである。 X が推移的であるなら、 ⋃ X {\displaystyle \bigcup X} も推移的である。 X と Y が推移的なら、X∪Y∪{X,Y}も推移的である。 一般的に、Xが全ての要素が推移的集合であるクラスならば、 X ∪ ⋃ X {\displaystyle X\cup \bigcup X} も推移的である。
urelementsを持たない集合Xが推移的であることはそれが自身の冪集合の部分集合となること、 すなわち X ⊂ P ( X ) {\displaystyle X\subset {\mathcal {P}}(X)} となることと同値である。 urelementsを持たない推移的集合の冪集合は推移的である.