空間 (数学)
現代数学における「空間」の扱いは、古典的な扱いと比べると、極めて異なる。
数学的空間は(ある空間のクラスが基となる空間のクラスの特徴を全て受け継ぐという意味で)しばしば階層構造を示す。例えば、任意の内積空間は、‖x‖ := ⟨x, x⟩ によって内積がその空間上のノルムを導くから、ノルム空間にもなる。
距離や角度といったものは考えず、(各次元における立体の)容積のみを考察の対象とすることによって測度論が持ち上がってくる。測度とは、長さや面積の一般化であるとともに、質量や電荷の分布の一般化、あるいは確率論に対するコルモゴロフの手法に従えば、確率分布の一般化でもある。
古典数学における「立体」は単なる点集合よりもずっと正則な存在である。立体の境界の容積は 0 であるから、「立体の容積」とはその立体の「内部」の容積であり、立体の内部は立方体の無限列によって埋め尽くすことができる。これとは対照的に、勝手な点集合においては、その境界が 0 でない容積を持つことがある(例えば、与えられた立方体の内側に含まれる有理点全体の成す集合など)。測度論は、このような容積(や他の測度)の概念を可測集合と呼ばれる非常に漠とした集合のクラスへ一般化するものである。実際、応用上で非可測集合を扱うわけでないとしても、測度論を展開するには議論を可測集合(および可測函数)に制限しなければならない。
定義により与えられた可測空間における可測集合は可測函数および可測写像の概念を導く。位相空間を可測空間とするには、それが完全加法族を備えていなければならない。ボレル集合の成す完全加法族は最も典型的だが、それ以外のものも考えうる(ベール集合、普遍可測集合なども用いられる)。あるいは、位相とは関係なく、与えられた集合や写像の集まりから完全加法族を生成することもできる。非常によくある状況として、異なる位相が同じ完全加法族を導くことがある(例えば、可分ヒルベルト空間上のノルム位相と弱位相など)。可測空間の任意の部分集合はそれ自身可測空間になる。
(連続性、収斂、開集合、閉集合などといった)位相的概念は任意のユークリッド空間で自然に定義される。すなわち、任意のユークリッド空間は位相空間である。二つのユークリッド空間の間の同型は、対応する位相空間の間の同型(つまり同相)でもあるが、逆は正しくない。すなわち、距離を歪める同相写像が存在しうる。ブルバキの語法では、「位相空間」は「ユークリッド空間」構造の台となる(underlying; 下敷きとなる)構造である。同様の概念は圏論においても生じる。つまり、ユークリッド空間の圏は位相空間の圏上の具体圏であり、前者の圏は忘却函手(「引き剥がし」函手)によって後者の圏へ写される。
三次元ユークリッド空間はユークリッド空間の特別の場合である。ブルバキの語法では、三次元ユークリッド空間の種はユークリッド空間の種よりも豊饒 (rich) であるという。