分数
このとき、SR には、もとの環 R における演算と両立する和や積といった環としての演算が、すでに上で述べた規則に従って与えられる。
可換環 R に対して、R の零因子でない元の全体は積閉集合である。積閉集合 S をそのようなものとする場合、環 SR は R の全商環と呼ばれる。また、積閉集合 S が R の素イデアル P の補集合として与えられている場合には、SR の代わりにしばしば RP と書いて R の P における局所化と呼ぶ。なお、R が整域ならば、このような同値関係は簡約できて
r 1 s 2 − r 2 s 1 = 0 {\displaystyle r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}=0}
によって与えられ、これによって得られる全商環は可換体の構造を持つ。これを分数体あるいは商体と呼ぶ。
全商環や商体といった構造はある種の普遍性を与えており、たとえば整域の商体はもとの整域を含む最小の体を与えることなどが確かめられる。
有理整数環 Z の商体は有理数体 Q である。
体 k 上の多項式環 k[x] の商体は有理関数体 k(x) である。
体 k 上の形式冪級数環 k[[x]] の商体は形式ローラン級数体 k((x)) である。
積演算が非可換である場合、除法が左右で区別されるように分数も割る方向の左右で区別される。
分数 n/d は日本語で「d 分()の n」と読む(例:1/5 は五分の一()、5/12 は十二分の五())。
英語では一般に n over d と読むが、分子と分母が整数の場合には n-d-th(s) のように読む(例:1/5 は one-fifth, 5/12 は five-twelfths)。分母は序数詞と同じ様に読み、また分子が 1 以外の場合は複数形として扱う。例外として、分母が 2 の場合には half を用い(例:1/2 は one half または a half, 3/2 は three halves)、分母が 4 の場合には quarter と fourth のいずれも用い得る(例:1/4 は one quarter または one-fourth)。
帯分数 k+n/d は日本語で「k と d 分の n」または「k 荷() d 分の n」と読む。
明治初期の教科書では「か」であったが、その後西洋風に(英語ではこの部分を and と読むように)「と」と読ませる教科書も現れた。1905年以降の教科書では、1910年から1937年までと1950年代のもので「と」と「か」が併用されていたほかは、「と」と読ませている。
通常の算術において、2つの数の間の割り算は分数で表される。
分数は2つの数とその間に引かれた括線(かっせん、英: vinculum, fraction bar)で表される。分数表記において、被除数にあたる数を分子(ぶんし、英: numerator)、除数にあたる数を分母(ぶんぼ、英: denominator)と呼ぶ。分数の表記法はいくつかあるが、一般的には下記のように括線を横に引き、分子 n を括線の上、分母 d を括線の下に書く:
n d {\displaystyle {\frac {n}{d}}}
あるいは文中などにおいて、以下のように括線を斜めに書くこともある:
n / d {\displaystyle n/d}
これは逆向きに
d ∖ n {\displaystyle d\backslash n}
とも書かれる。