数理最適化
最適化問題は、次のように表現される:
与えられるもの:ある集合 A から実数への函数 f : A → {\displaystyle \to } R
目的:A 内のすべての x に対して最小化問題であれば f(x0) ≤ f(x) を満たす A 内の元 x0(最小点)と、あるいは最大化問題であれば f(x0) ≥ f(x) を満たす A 内の元 x0(最大点)を見つけること。
このような問題は最適化問題あるいは数理計画問題(コンピュータプログラミングとは直接的には関係ないが、例えば線型計画法では用いられる)と呼ばれる。多くの実世界での問題や理論的問題は、一般的な枠組みでモデル化される。物理学やコンピュータビジョンの分野における、この手法による問題は、エネルギー最小化(energy minimization)と呼ばれることもある。この場合、函数 f の値はモデル化されるシステムのエネルギーを表す。
典型的に集合 A はユークリッド空間 R の部分集合であり、しばしばある制約(英語版)の集合によって特徴づけられ、A の元は求められる等式あるいは不等式を満たす必要がある。f の定義域 A は探索空間(search space)あるいは選択集合(choice set)あるいは実行可能領域と呼ばれ、A の元は可能解(candidate solution, feasible solution)あるいは実行可能解と呼ばれる。
Resende (編):"Handbook of Applied Optimization"、Oxford Univ Pr on Demand、ISBN 978-0195125948(2002年2月22日)。
Boyd and Vandenberghe: "Convex Optimization", Cambridge Univ. Press (2004).
Jorge Nocedal and Stephen J. Wright: "Numerical Optimization", 2nd Ed., Springer (2006).
Wil Michiels, Emile Aarts, Jan Korst: "Theoretical Aspects of Local Search", Springer, ISBN 978-3642071485(2006年11月28日)。
Der-San Chen, Robert G. Batson, Yu Dang:”Applied Integer Programming: Modeling and Solution”、Wiley、ISBN 978-0470373064(2010年1月12日)。
Vladislav Bukshtynov: "Optimization: Success in Practice", CRC Press (Taylor & Francis), ISBN 978-1-032229478 (2023) .
日本語図書
今野浩、山下浩:「非線形計画法」、日科技連出版社 (ORライブラリー 6)、ISBN: 978-4817153067、(1978年3月)。
茨木俊秀、福島雅夫:「最適化の手法」、共立出版(情報数学講座)、ISBN 978-4320026643、(1993年7月)。
G.L. Nemhauser (編), M.J. Todd (編), A.H.G. Rinnooy Kan (編):「最適化ハンドブック」、朝倉書店、ISBN978-4254121025、(1995年10月1日)。
矢部博、八巻直一:「非線形計画法」(FD付き)、朝倉書店 (応用数値計算ライブラリ)、ISBN 978-4254114898、(1999年6月)。
田村明久、村松正和:「最適化法」、共立出版 (工系数学講座 17)、ISBN 978-4320016163、(2002年4月1日)。
久保幹雄、田村明久、松井知己(編):「応用数理ハンドブック」、朝倉書店、(2002)。
金谷健一:「これなら分かる最適化数学―基礎原理から計算手法まで」、共立出版、ISBN 978-4320017863、(2005年9月1日)。
Computational Optimization and Applications
Journal of Computational Optimization in Economics and Finance
Journal of Economic Dynamics and Control
SIAM Journal on Optimization (SIOPT) and Editorial Policy
SIAM Journal on Control and Optimization (SICON) and Editorial Policy