位相的場の理論
そこでは、古典的な相空間は、閉曲面 Σ {\displaystyle \Sigma } に結び付いていて、 Σ {\displaystyle \Sigma } の上の平坦 G {\displaystyle G} -バンドルのモジュライ空間である。ラグランジアンは(枠付きである)3-次元多様体の上の G {\displaystyle G} -接続のチャーン・サイモンズ形式の整数倍である。整数倍の整数 k {\displaystyle k} はレベルとも呼ばれ、理論のパラメータであり、 k → ∞ {\displaystyle k\rightarrow \infty } は古典極限を与える。この理論は自然に d = 0 の理論と結合し、「相対的」な理論を生成する。詳細はウィッテンにより示され、3-球内の(枠付き)絡み目の分配関数は、まさに適当な単位根に対するジョーンズ多項式の値になる。理論は適当な円分体の上で定義することができる。境界を持ったリーマン面を考えると、この理論は、d = 0 に結合した d = 2 理論の代りに、d = 1 の共形理論になっている。この理論はジョーンズ-ウィッテン理論として発展し、結び目理論と量子論を結ぶ契機となったことが分かる。
d = 3 の場合は、ドナルドソンが S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} インスタントンのモジュライ空間を使い、微分可能な 4次元多様体の整数不変量を定義した。これらの不変量は第二ホモロジーの上の多項式である。
知られている位相的場の理論は、2つの一般的なクラスへ分けられる。ひとつはシュワルツタイプの TQFT であり、もうひとつはウィッテンタイプの TQFT である。ウィッテンタイプの TQFT はコホモロジカルな場の理論としても知られている。(Schwarz 2000) を参照。