エルミート行列
線型代数学におけるエルミート行列(エルミートぎょうれつ、英: Hermitian matrix)または自己随伴行列(じこずいはんぎょうれつ、英: self-adjoint matrix)とは、複素数を成分とする正方行列で自身の随伴行列(共軛転置)と一致するものを言う。エルミート行列は、実対称行列の複素数に対する拡張版の概念として理解することができる。
正方行列 A の随伴を A と書くとき、複素正方行列がエルミートであるということは、
A = A † {\displaystyle A=A^{\dagger }}
が成り立つということであり、これはまた
A ⊤ = [ a j , i ] = [ a ̄ i , j ] = A ̄ {\displaystyle A^{\top }=[a_{j,i}]=[{\bar {a}}_{i,j}]={\bar {A}}}
が成り立つことと同値ゆえ、その成分は任意の添字 i, j について (i, j)成分は (j, i)成分の複素共役と等しい。
随伴行列 A は A と書かれるほうが普通だが、A を複素共軛(本項では A と書いた)の意味で使う文献も多く紛らわしい。
エルミート行列の名はシャルル・エルミートに因む。エルミートは1855年、この種の行列の固有値が常に実数となるという実対称行列と同じ性質を持つことを示した。
よく知られたパウリ行列、ゲルマン行列および一般化されたそれらはエルミートである。理論物理学においてそれらのエルミート行列には、しばしば虚数の係数が掛かって歪エルミート行列となる。