二重指数関数型数値積分公式
I h ( N ) = π 2 h ∑ k = − N − N + f ( tanh  ( π 2 sinh  ( k h ) ) ) cosh  ( k h ) cosh 2  ( π 2 sinh  ( k h ) ) , N = N − + N + + 1 {\displaystyle I_{h}^{(N)}=\displaystyle {\frac {\pi }{2}}h\sum _{k=-N_{-}}^{N_{+}}f{\Bigl (}\tanh \left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\sinh {(kh)}\right){\Bigr )}{\dfrac {\cosh {(kh)}}{\cosh ^{2}\left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\sinh {(kh)}\right)}},N=N_{-}+N_{+}+1} 。
ここで、 N {\displaystyle N} は被積分関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の関数値を評価する回数である。 N − {\displaystyle N_{-}} と N + {\displaystyle N_{+}} は、離散化誤差( Δ I = I − I h {\displaystyle \Delta I=I-I_{h}} )と打ち切り誤差( ε = I h − I h ( N ) {\displaystyle \varepsilon =I_{h}-I_{h}^{(N)}} )がほぼ等しくなるように決める。