リップマン–シュウィンガー方程式
リップマン–シュウィンガー方程式(リップマン–シュウィンガーほうていしき、英語: Lippmann–Schwinger equation)またはLS方程式は量子力学の散乱理論における基礎方程式である。
| ψ ( ± ) ⟩ = | φ ⟩ + G 0 ^ ± V ^ | ψ ( ± ) ⟩ . {\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\hat {G_{0}}}^{\pm }{\hat {V}}|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,}
ここで、 | ψ ( ± ) ⟩ {\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle } は散乱状態の状態ベクトル、 | φ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } は自由粒子の状態ベクトル、 G 0 ^ ± {\displaystyle {\hat {G_{0}}}^{\pm }} は自由粒子のグリーン演算子であり、
G 0 ^ ± ≡ 1 E − H 0 ^ ± i ε . {\displaystyle {\hat {G_{0}}}^{\pm }\equiv {\frac {1}{E-{\hat {H_{0}}}\pm i\epsilon }}.
| ψ + ⟩ = | φ ⟩ − i ħ lim t ′′ → − ∞ ∫ t ′′ 0 exp  ( i ( H ^ 0 − E − i η ħ ) t ′ / ħ ) V ^ | ψ + ⟩ d t ′ = | φ ⟩ − 1 H ^ 0 − E − i η ħ [ 1 − lim t ′′ → − ∞ exp  ( [ i ( H ^ 0 − E ) / ħ + η ] t ′′ ) ] V ^ | ψ + ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}|\psi ^{+}\rangle &=|\phi \rangle -{\frac {i}{\hbar }}\lim _{t''\to -\infty }\int _{t''}^{0}\exp(i({\hat {H}}_{0}-E-i\eta \hbar )t'/\hbar ){\hat {V}}|\psi ^{+}\rangle \,dt'\\&=|\phi \rangle -{\frac {1}{{\hat {H}}_{0}-E-i\eta \hbar }}\left[1-\lim _{t''\to -\infty }\exp({[i({\hat {H}}_{0}-E)/\hbar +\eta ]t''})\right]{\hat {V}}|\psi ^{+}\rangle .\end{aligned}}}
t ′′ → − ∞ {\displaystyle t''\to -\infty } とすることでリップマン–シュウィンガー方程式が得られる。