ボレル総和
非負整数nに対して、A(z) の第 n 部分和を An(z) で表す:
A n ( z ) = ∑ k = 0 n a k z k . {\displaystyle A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.}
A(z) の弱-ボレル総和は以下のように定義される。まず、A(z) のボレル和を次で定義する:
lim t → ∞ e − t ∑ n = 0 ∞ A n ( z ) n ! t n . {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}(z)}{n!}}t^{n}.}
この t → ∞ での極限がある z ∈ C で値 a(z) に収束するとき、A(z) の弱-ボレル総和は z で収束すると言い、
∑ a k z k = a ( z ) ( wB ) {\displaystyle \sum a_{k}z^{k}=a(z)\qquad ({\textbf {wB}})}
と書く。