冪級数
理論の拡張は多変数微積分学の目的のために必要である。ここで冪級数は
f ( x 1 , ... , x n ) = ∑ j 1 , ... , j n = 0 ∞ a j 1 , ... , j n ∏ k = 1 n ( x k − c k ) j k {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}}}
の形の無限級数として定義される。ただし j = (j1, ..., jn) は自然数のベクトルであり、係数 a(j1,...,jn) は通常実数か複素数であり、中心 c = (c1, ..., cn) と引数 x = (x1, ..., xn) は通常実あるいは複素ベクトルである。記号 Π {\displaystyle \Pi } は総乗を表す。より便利な多重指数表記を用いてこれは
f ( x ) = ∑ α ∈ N n a α ( x − c ) α {\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }}
と書くことができる。