深さ (環論)
可換ネーター局所環 R が深さ 0 をもつこととその極大イデアル m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} が素因子であることと同値である。あるいは同じことだが、R の 0 でない元 x が存在して x m = 0 {\displaystyle x{\mathfrak {m}}=0} (すなわち x は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を零化する)。これが意味するのは、本質的に、閉点が埋め込まれた成分(英語版)であるということだ。
例えば、環 k [ x , y ] / ( x 2 , x y ) {\displaystyle k[x,y]/(x^{2},xy)} (ただし k は体)は原点に埋め込まれた二重点をもつ直線 ( x = 0 {\displaystyle x=0} ) を表現するが、原点において深度 0 をもつが次元は 1 である。これはコーエン・マコーレーでない環の例を与える。