離散コサイン変換
次に、関数の定義域は離散的であるので、どの位置に関して関数が偶/奇対称であるのかを指定しなければならない。例えば、abcd という均等に離れた4つの点の列を考えてみよう。そして例えば、左の境界で偶対称であると指定したとしよう。このときどの位置で対称なのかという微妙な相違が生ずる。すなわち、データは点 a に関して偶対称であって偶関数への拡張は dcbabcd なのだろうか、それともデータは a とその前の点との中間点に関して偶対称であって拡張は dcbaabcd であるのか(a が繰り返すのか)?
これら2重の選択が、DCTと離散サイン変換 (DST) との標準的なさまざまな変種すべてを生じさせることになる。各々の境界は偶対称であるか奇対称であるかどちらかであることができ(これは2つの境界それぞれに2つの選択肢を与える)、さらに、各々の境界であるデータ点に関して対称か、2つのデータ点の中間点に関して対称かどちらかであることができる(同様に、これは2つの境界それぞれに2つの選択肢を与える)。結局、2 × 2 × 2 × 2 = 16 種類の選択肢がある。これらの選択肢のうち左の境界が偶対称であるものがDCTとよばれ、選択肢の半分の8つのタイプに対応する。残りの半分がDSTの8つのタイプとなる。
これらは境界条件が異なるだけで施される変換はすべて離散フーリエ変換であるが、これらの違いは変換を応用する際にその用途に強く影響し、さまざまなDCTの変種に対してそれぞれに有用な特性を与えている。最も直接的には、偏微分方程式をスペクトル法で解くために類フーリエ変換を用いるとき、境界条件は解かせることになる問題の一部として直接指定される。
X k = ∑ n = 0 N − 1 x n cos { π N ( n + 1 2 ) ( k + 1 2 ) } {\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \!\left\{{\frac {\pi }{N}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\right\}}
DCT-IVの行列は(定数倍を無視すれば)直交である。
DCT-IVの変種のひとつで、各変換のデータが「重なり合っている」変形を、修正離散コサイン変換 (modified DCT, MDCT) と呼ぶ。
DCT-IVは次の境界条件に対応する:
xn が n = −1/2 で偶対称、n = N − 1/2 で奇対称。
Xk についても同様。