ビオ・サバールの法則
前節で説明したように、数式上の性質さえ共通すればビオ・サバールの法則を得ることになる。それは具体的には流体力学が好例である。
流体力学における渦度は流速の回転として定義されている。
Ω = rot  v = ∇ × v = ( ∂ v z ∂ y − ∂ v y ∂ z , ∂ v x ∂ z − ∂ v z ∂ x , ∂ v y ∂ x − ∂ v x ∂ y ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Omega }}&=\operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}\\&={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial z}},&{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\dfrac {\partial v_{z}}{\partial x}},&{\dfrac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
電流I が如何なる点においても一定の場合磁場H は、
H = I 4 π ∫ d l × r r 3 {\displaystyle {\boldsymbol {H}}={\frac {I}{4\pi }}\int {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\times {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}}
となる。
また、
r r 3 = − grad  1 r {\displaystyle {\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}=-\operatorname {grad} {\frac {1}{r}}}
なので、これを代入すると、
div  H = 1 4 π ∫ V j ⋅ rot  ( grad  1 r ) d 3 r ′ = 0 {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {H}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\boldsymbol {j}}\cdot \operatorname {rot} \left(\operatorname {grad} {\frac {1}{r}}\right)\mathrm {d} ^{3}{\boldsymbol {r}}'=0}
を得る。これは、磁場に対するガウスの法則より導かれる結果に等しい。
点電荷q が一定の速度v で運動しているとき、特殊相対性理論とマクスウェルの方程式より以下の電束密度と磁場が与えられる。
D = q 4 π 1 − β 2 ( 1 − β 2 sin 2  θ ) 3 / 2 r r 3 H = v × D {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {D}}&={\frac {q}{4\pi }}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}{\frac {\boldsymbol {r}}{r^{3}}}\\{\boldsymbol {H}}&={\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {D}}\end{aligned}}}
ただし、β = v / c、θ は v とr のなす角であり、c は光速度である。