分離拡大
したがって、F[X] が非分離既約(非零)多項式をもつならば、F のフロベニウス自己準同型は自己同型ではありえない(ただし F は素数標数 p をもつとする)。
K が素数標数 p の有限体で X が不定元であれば、K 上の有理関数体 K(X) は不完全体である。さらに、多項式 f(Y)=Y−X は非分離である。(このことを確かめるには、f が根 α をもつような拡大体 E ⊃ K(X) が存在することに注意しよう。すると E において α p = X {\displaystyle \alpha ^{p}=X} である。したがって、E 上で考えることにより、 f ( Y ) = Y p − X = Y p − α p = ( Y − α ) p {\displaystyle f(Y)=Y^{p}-X=Y^{p}-\alpha ^{p}=(Y-\alpha )^{p}} (最後の等号は freshman's dream(英語版) から従う)であり、f は相異なる根をもたない。)より一般に、F が正標数の任意の体でフロベニウス自己準同型が自己同型でなければ、F は非分離代数拡大を有する。
体 F が完全であることとその代数拡大のすべてが分離的であることは同値である(実は F のすべての代数拡大が分離的であることと F のすべての有限次元拡大が分離的であることは同値である)。上の段落で概説された議論から、F が完全であることと F の標数が 0 であるかまたは F の標数は素数 p でフロベニウス自己準同型が自己同型であることが同値であることが従う。
一方で、任意の代数拡大 E ⊃ F は F 上純非分離で E が分離であるような中間拡大 K をもたないかもしれない(しかしながら、そのような中間拡大は E ⊃ F が有限次正規拡大のとき確かに存在する(このとき K は F 上の E のガロワ群の固定体にとることができる))。そのような中間拡大が存在するならば、そして [E : F] が有限であれば、そして S が前の段落でのように定義されていれば、[E : F]sep=[S : F]=[E : K]。この結果の1つの有名な証明は原始元定理に依存するが、原始元定理とは独立なこの結果の証明は確かに存在する(どちらの証明も次の事実を用いる。K ⊃ F が純非分離拡大で f ∈ F[X] が分離既約多項式であれば、f は K[X] においても既約である。)。上記の等式([E : F]sep=[S : F]=[E : K])は次のことを証明するのに使える。E ⊃ U ⊃ F が [E : F] が有限であるようなものであれば、[E : F]sep=[E : U]sep[U : F]sep。
F が任意の体であれば、F の分離閉包 (separable closure) F は F 上分離的な F の代数閉包の元全部からなる体である。これは F の極大ガロワ拡大である。定義によって、F が完全であることとその分離閉包と代数閉包が一致することは同値である(とくに、分離閉包の概念は不完全体に対してのみ興味がある)。