ひずみ
フックの法則に従う等方性材料は、垂直応力により垂直ひずみが生じる。
面積が dx × dy の2次元微小矩形材料要素を考える。これは変形後にひし形になる。図より、
l e n g t h ( A B ) = d x , {\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx,\,}
l e n g t h ( a b ) = ( d x + ∂ u x ∂ x d x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x d x ) 2 = d x 1 + 2 ∂ u x ∂ x + ( ∂ u x ∂ x ) 2 + ( ∂ u y ∂ x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}\,\!}
変位勾配が微小であることを仮定すると、導関数の2乗の項は無視できる。
ひずみテンソルは2階の対称テンソルであるため自由度が6であるが、元々の変数である変位の自由度は3であるから、ひずみ成分の間にはある関係が存在する。この関係式を適合条件式(equation of compatibility)という。
工学ひずみ、またはコーシーひずみは、荷重を加えたことによる物体の初期状態に対する総変形の比として表現される。部材軸方向荷重による工学垂直ひずみe は、物体の初期状態における長さL に対する、長さの変化量として記述される。垂直ひずみは、引張荷重の場合は正となり、圧縮荷重の場合は負となる。
e = Δ L L = l − L L {\displaystyle \ e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {\ell -L}{L}}}
ここで l {\displaystyle \ \ell } は変形後の物体の長さである。
ひずみの大きさに応じて、変形の解析は3つの理論に分類される。