尖点
x, y は実変数とし、滑らかな実数値函数 f(x, y) を考える(つまり f は実平面全体を実数直線へ写す写像である)。そのような滑らかな函数全体の成す空間は、定義域および終域のそれぞれにおける微分同相な座標変換という形で、平面の微分同相群および直線の微分同相群というふたつの群の作用を受ける。この群作用によってこの函数空間の全体を軌道と呼ばれる同値類に分けることができる。
そのような同値類からなる族の一つに、アーノルドの導入した記法で、非負整数 k に対して A ±k (英語版) と書かれるものがある。すなわち、函数 f が A ±k -型であるとは、それが x ± y の軌道に属する—つまり定義域および終域における適当な微分同相座標変換が存在して f がその形の曲線に写すことができる—ときに言う。この単純な形 x ± y を A ±k -型特異函数の標準形(英語版)(normal form) と呼ぶ。
三次元ユークリッド空間内の滑らかな曲線を平面に平行投影(英語版)するとき、尖点は自然に表れてくる。一般には、そのような射影は自己交叉点や通常尖点を特異点として持つ曲線となる。自己交叉は曲線上の相異なる二点が同じ点に射影されるときに生じる。通常尖点は曲線の接線が射影方向に平行なとき(つまりその接線全体が一点に射影されるとき)に生じる。これらの現象が同時に起こる点ではより複雑な特異点が現れる。例えば、変曲点(および起伏点(英語版))において接線が射影方向に平行ならば嘴点を生じる。
多くの場合(典型的にはコンピュータビジョンやコンピュータグラフィックスにおいて)、射影を考える曲線は、その射影の適当な(滑らかな)空間的対象への制限に関する臨界点の成す曲線であり、したがって尖点は対象の像(コンピュータビジョン)やその影(コンピュータグラフィックス)の輪郭の特異点として生じる。
ほかには、焦線(英語版)や波面などを、実世界で目に見える尖点を持つ曲線の例として挙げることができる。