行列の平方根
2 2 j − 2 i − 1 ( j − i − 1 ) ! λ − ( 2 j − 2 i − 1 ) / 2 {\displaystyle K_{ij}={\frac {(-1)^{j-i-1}(2j-2i-2)!}{2^{2j-2i-1}(j-i-1)!}}\lambda ^{-(2j-2i-1)/2}}
λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} のとき、ジョルダン細胞 J n ( 0 ) {\displaystyle J_{n}(0)} は、
n = 1 {\displaystyle n=1} の場合、平方根0を持つ
n > 1 {\displaystyle n>1} の場合、平方根を持たない
例 J 2 ( 0 ) = [ 0 1 0 0 ] {\displaystyle J_{2}(0)={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}} は平方根を持たない。
λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} のとき、ジョルダン細胞 J n ( λ ) {\displaystyle J_{n}(\lambda )} の平方根が2つしかないことは、次から言える。 K 2 = J n ( λ ) {\displaystyle K^{2}=J_{n}(\lambda )} となる行列が存在したとし、 K 3 {\displaystyle K^{3}} の成分を考える。
対角化可能でない行列の場合にはジョルダン標準形が利用できる。
すべての固有値が正の実数であるような任意の複素行列が、同じ条件の平方根を持つことを見るには、ジョルダンブロックの場合に証明すれば十分である。そのようなブロックは実数 λ > 0 および冪零行列 N を用いて λ(I + N) の形に書ける。平方根の二項級数展開 (1 + z) = 1 + a1 z + a2 z + ⋯(収束域は |z| < 1)に対し、形式冪級数としての平方は 1 + z に等しい。z を N に置き換えれば、冪零性により有限個を除く全ての項は零となり、S = √λ(I + a1 N + a2 N + ⋯) が固有値 √λ に属するジョルダンブロックの平方根を与える。
一意性を見るには λ = 1 の場合に確認すれば十分である。上で構成した平方根を S = I + L の形に書けば、L は定数項を持たない N の多項式である。
半正定値実正方行列 A に対して、A = B B(あるいは A = BB )を満たす任意の矩形行列 B を A の非対称平方根 (asymmetric square root) と呼ぶ。(記号 は行列の転置を表す)
半正定値複素正方行列 A に対して、A = BB*(あるいは A = B*B. )を満たす任意の矩形行列 B を A の非エルミート平方根 (non-Hermitian square root) と呼ぶ。(記号 * はエルミート共軛を表す)
B がエルミート(実係数の場合は対称)ならば、B は上で述べたAの平方根と一致する。任意の正定値エルミート行列 A に対し、それ自身正定値エルミートとなる平方根は一意であり、これを主平方根 (unique square root, principal square root)と呼ぶ。