ジェフリーズ事前分布
同様に、 各面の出現確率が γ → = ( γ 1 , ... , γ N ) {\displaystyle {\vec {\gamma }}=(\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{N})} ( 0 ≤ γ i ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \gamma _{i}\leq 1} 、 ∑ i = 1 N γ i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\gamma _{i}=1} )で与えられる N {\displaystyle N} 面のサイコロを振る場合、 γ → {\displaystyle {\vec {\gamma }}} についてのジェフリーズ事前分布は、すべての(アルファ)パラメーターが半分に設定されたディリクレ分布である。これは、考えられる結果ごとに半分の疑似カウント(英語版)を使用すること対応する。
同等に、各 i {\displaystyle i} について γ i = φ i 2 {\displaystyle \gamma _{i}=\varphi _{i}^{2}} とおくと、 φ → {\displaystyle {\vec {\varphi }}} についてのジェフリーズ事前分布は ( N − 1 ) {\displaystyle (N-1)} 次元の単位球上で一様になる(つまり、 N {\displaystyle N} 次元の単位球の表面で一様)。
つまり、 p θ ( θ ) {\displaystyle p_{\theta }(\theta )} と p φ ( φ ) {\displaystyle p_{\varphi }(\varphi )} が通常の積分変数変換で関連付けられている時のことをいう。
フィッシャー情報量は再パラメータ化の下で次のように変換されるため、
I φ ( φ ) = I θ ( θ ) ( d θ d φ ) 2 , {\displaystyle I_{\varphi }(\varphi )=I_{\theta }(\theta )\left({\frac {d\theta }{d\varphi }}\right)^{2},}
事前確率分布を p φ ( φ ) ∝ I φ ( φ ) {\displaystyle p_{\varphi }(\varphi )\propto {\sqrt {I_{\varphi }(\varphi )}}} 及び p θ ( θ ) ∝ I θ ( θ ) {\displaystyle p_{\theta }(\theta )\propto {\sqrt {I_{\theta }(\theta )}}} の様に定義すれば、望んでいた「不変性」が得られる。