現代ポートフォリオ理論
, n {\displaystyle w_{i}={\frac {1}{D}}\left(\mu _{p}\sum _{j=1}^{n}v_{ij}(C\operatorname {E} (R_{j})-A)+\sum _{j=1}^{n}v_{ij}(B-A\operatorname {E} (R_{j}))\right),\quad i=1,\dots ,n}
となる。ただし
A = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n v i j E  ( R j ) , B = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n v i j E  ( R i ) E  ( R j ) , C = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n v i j , D = B C − A 2 > 0 {\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}v_{ij}\operatorname {E} (R_{j}),\;B=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}v_{ij}\operatorname {E} (R_{i})\operatorname {E} (R_{j}),\;C=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}v_{ij},\;D=BC-A^{2}>0}
である。さらにこのポートフォリオに投資した時、期待収益率と収益率の分散について以下の関係が成立する。
σ p 2 = C μ p 2 − 2 A μ p + B D ⋯ ( 1 ) {\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {C\mu _{p}^{2}-2A\mu _{p}+B}{D}}\quad \cdots (1)}
設定 金融市場には金融資産が n {\displaystyle n} 個存在すると仮定する。さらに任意の金融資産 i {\displaystyle i} について、その収益率を R i {\displaystyle R_{i}} とする。そして金融市場は完全市場であると仮定する。さらにすべての金融資産 i {\displaystyle i} にはリスクが存在するものとする。つまり、全ての資産の収益率 R i {\displaystyle R_{i}} の分散は必ず0より厳密に大きいものとする。 投資家は自身の資金の 100 w i {\displaystyle 100w_{i}} パーセントを金融資産 i {\displaystyle i} に投資するものとする。この投資比率を表す w i , i = 1 , ... , n {\displaystyle w_{i},i=1,\dots ,n} をポートフォリオ と呼ぶことにする。比率なので ∑ i = 1 n w i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1} を満たす。ポートフォリオ w i {\displaystyle w_{i}} による投資の収益率を R p {\displaystyle R_{p}} と表すことにする。 E , Var , Cov , Corr {\displaystyle \operatorname {E} ,\;\operatorname {Var} ,\;\operatorname {Cov} ,\;\operatorname {Corr} } をそれぞれ期待値、分散、共分散、相関係数のオペレーターとする。
現代ポートフォリオ理論においては、投資家は合理的でリスク回避的であるということが仮定されている。つまり、同じ期待収益を上げられる資産ならばリスクの小さいものを好むということである。このリスクは収益率の標準偏差で測られる。このリスクを回避する程度がどの程度であるかは投資家によって異なるが、後の分離定理と呼ばれる定理により、全ての合理的投資家のポートフォリオ選択問題は所与の期待収益率を達成するもので最も分散が小さいものを選択するという問題に置き換えられる。