スカラーポテンシャル
3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} において、非回転ベクトル場Eのスカラーポテンシャルは次式で与えられる。
Φ ( r ) = 1 4 π ∫ R 3 div  E ( r ′ ) ‖ r − r ′ ‖ d V ( r ′ ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi }\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}\,dV(\mathbf {r} ')}
d V ( r ′ ) {\displaystyle dV(\mathbf {r} ')} はr'に関する微小体積要素である。このとき
E = − ∇ Φ = − 1 4 π ∇ ∫ R 3 div  E ( r ′ ) ‖ r − r ′ ‖ d V ( r ′ ) {\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \Phi =-{1 \over 4\pi }\mathbf {\nabla } \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|}}\,dV(\mathbf {r} ')}
これはEが連続的であり無限大に向かい漸近的に0まで減少し、1/rより速く減衰し、Eの発散が無限大に向かうと減衰し1/rよりも速く減衰する場合に成り立つ。