アレクサンダー多項式
また、アレクサンダー多項式の 1 における値は Z の単元である。すなわち
Δ K ( 1 ) = ± 1 {\displaystyle \Delta _{K}(1)=\pm 1}
が成り立つ。
同じく定義の意味を考えれば、このことは結び目の補空間が被覆変換 t の生成するホモロジー円周となっているという事実を表している。より一般に、M が自由階数 rank(H1X) = 1 となるような三次元多様体のとき、M はその無限巡回被覆空間の位数イデアル(行列式イデアル)として定義されるアレクサンダー多項式 ΔM(t) を持つ。この場合、ΔM(1) は、符号の違いを除いて一次元ホモロジー群 H1M のねじれ部分群の位数に等しい。
対称かつ 1 における値が単元であるような任意のローラン多項式が、何らかの結び目のアレクサンダー多項式となることが知られている (Kawauchi 1996)
数学におけるアレクサンダー多項式(アレクサンダーたこうしき、英: Alexander polynomial)は、各種結び目に整数係数多項式を割り当てる結び目不変量である。アレクサンダー多項式は最初に発見された多項式不変量(英語版)で、1923年にJ.W.アレクサンダー(英語版)が発見した。1969年にジョン・コンウェイは、この多項式(の、今日ではアレクサンダー・コンウェイ多項式と呼ばれている形)が、スケイン関係式を用いて計算できることを示した。1984年にジョーンズ多項式が発見されて初めて、アレクサンダー多項式の幾何学的な意味が明らかになった。また、コンウェイは、すぐにアレクサンダー多項式を再研究し、アレクサンダー自身の論文の中で、すでに同様の スケイン関係式 が示されていることを明らかにしている。