四色定理
いずれにせよ、この次数5の頂点のケースを扱うには、頂点を取り除くよりも複雑な概念を必要とする。むしろ、(Gの)各頂点の次数が指定されたGの連結部分グラフである構成を考えることに議論の形式が一般化される。例えば、次数4の頂点の状況で説明されるケースは、Gにおいて次数4であるとラベル付けされた1つの頂点からなる構成である。上記と同様に、構成を削除して残りのグラフを4色化した場合、構成を再び追加したときに4色化も拡張できるように色付けを修正できることを示せば十分である。これが可能な構成を還元可能な構成と呼ぶ.ある構成の集合のうち少なくとも1つがGのどこかに必ず出現する場合、その集合を不可避な構成と呼ぶ。上の議論は、まず5つの構成(次数1の頂点、次数2の頂点、...、次数5の頂点)からなる不可避的な集合を与え、最初の4つが還元可能であることを示した。
Gは三角形であり、構成中の各頂点の次数は既知であり、構成内部の辺はすべて既知であるため、与えられた構成に隣接するGの頂点の数は決まっており、それらはサイクルで結ばれる。これらの頂点は配置の環を形成する。環にk個の頂点を持つ配置はk環構成であり、環を持つ配置は環構成と呼ばれる。上記の単純な場合と同様に、リングのすべての異なる4つのカラーリングを列挙することができる。構成のカラーリングに変更することなく拡張できるカラーリングは、最初は良いと呼ばれる。例えば、3つ以下の近傍を持つ上記の単一頂点の配置は、最初は良い配置であった。一般に、リングのカラーリングを良いものに変えるためには、上の4つの近傍がある場合のように、周囲のグラフを系統的に再カラーリングする必要がある。