ラムゼーの定理
ラムゼー数の性質については、特にr=s=2としたときのラムゼー数R (k , l )=R2 (k , l )について多くの結果が知られている。
次の結果が知られている。
R (k , l )≤ R (k -1, l )+R (k , l -1). R (k -1, l )+R (k , l -1)個の点からなる完全グラフから1点v を選び、そこから残りの点への辺を1と2に彩色する。このとき、色1に塗られている辺の個数がR (k -1, l )以上かまたは、色2に塗られている辺の個数がR (k , l -1)以上である。前者の場合(後者の場合も同じように議論できる)、色1に塗られている辺の向かう先の点の個数がR (k -1, l )以上だから、それらの点からk -1個の点の、色1のみからなる完全グラフか、l個の点の色2のみからなる完全グラフがある。前者の場合、v とあわせればk 個の点の色1のみからなる完全グラフが得られる。ちなみに、この議論とk+lに関する数学的帰納法によって、R (k , l )の存在を示すことが出来る。
R (k , k )≤ 4R (k , k -2)+2.
Rr (k1, k2, ..., kr)≤ Rr -1(Rs (k1-1, k2, ..., kr), Rr (k1, k2-1, ..., kr), ..., Rr (k1, k2-1, ..., kr-1)).
ラムゼー数が確定している例を、以下の表に示す。
r ≥ 3のときにラムゼー数が確定しているのはR3 (3, 3, 3)=17が知られているに過ぎない。