0の0乗
半群 S の元 a の冪、すなわち n を正の整数としたときの a は n 個の a の積として定義される。さらに S がモノイドのとき(すなわち単位元 1 をもつとき)、a = 1 と定義される。とくに S が零元 0 ももつならば 0 = 1 である。
さらに負の整数 −n に対しても x ≔ 1/x と定義すれば ( ∗ ∗ ) {\displaystyle (**)} が満たされ、 x ≠ 0 の整数乗がうまく定義されて、指数法則 x = x x や x = (x) が任意の整数 n, m に対して成立する。
次に、指数が実数の場合を考えよう。底が x ≠ 0 の場合は、上述のように整数乗が定まるのであった。詳細は省略するが、底を x > 0 の場合に制限すれば、指数法則が成り立ったまま指数を有理数、さらには実数へと拡張し、連続な二変数関数を得ることができる。また、x = 0 の場合に対する正の実数乗も、同様に連続性を理由として 0 と定義することができる。
すなわち実数の実数乗 x は、底が x ≠ 0 で指数 y が整数であるか、底が x > 0 であるか、あるいは底が x = 0 で指数が y > 0 であればうまく定義でき、これら全ての点 (x, y) で二変数関数として連続となる。しかし、x は底が x= 0 のとき、指数が負の実数であればうまく定義できず、どのように 0 を定義しても点 (0, 0) で二変数関数として連続にはならない。言い換えれば、0 を x が連続となるように定めることはできないのである。