分類空間
BG の有効に計算する問題は、未だに問題が残っている。例えば、(リー群のような興味深い群 G に対して)少なくともホモトピー論としての制限をするならば、特性類の理論は、本質的には、BG のコホモロジー群を計算する問題と同じとなる(H.カルタンの定理(英語版)(H Cartan's theorem))。 ボットの周期性定理(英語版)(Bott periodicity theorem)に示されているように、BG のホモトピー群は、基本的に興味深い対象でもある。初期の分類空間についての仕事は、(例えば、バー構成(英語版)(bar construction)のように、)単体としての具体的記述をもたらした。
分類空間の例としては、G がオーダー 2 の巡回郡のとき、BG は無限次元の実射影空間である。このとき対応する EG は、可縮空間であり、結果として元の v を通した群作用 G を持つ無限次元ヒルベルト空間から -v を持つヒルベルト空間へ移し、BG を選ぶようなホモトピー同値を持つこととなる。