3乗剰余の相互法則
Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} は一意因数分解環であり、素数は3つの類に分類される:
3は特殊な場合である:
3 = − ω 2 ( 1 − ω ) 2 . {\displaystyle 3=-\omega ^{2}(1-\omega )^{2}.} 3は Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} の素数の二乗で割り切れる Z {\displaystyle \mathbb {Z} } で唯一の素数 。素数3は Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} で分岐すると言う 。
2(mod 3)正の素数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } に合同なのも Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} の素元である 。これらの素数は Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} で惰性すると言う 。惰性する素数 q {\displaystyle q} のノルムは以下で与えられることに注意。
N ( q ) = q 2 ≡ 1 mod 3 . {\displaystyle N(q)=q^{2}\equiv 1{\bmod {3}}.}
1(mod 3)に合同な Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の正の素数は、 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} の2つの共役な素元の積である 。