ヴァイエルシュトラスの楕円函数
与えられた周期を持つ二重周期有理型函数の全域性は、楕円曲線に付随する代数函数体を定めるが、この体が
C ( ℘ , ℘ ′ ) {\displaystyle \mathbb {C} (\wp ,\wp ')}
であることが示せるので、そのような函数はペー函数とその導函数に関する有理函数になる。
単独の周期平行四辺形をトーラス(つまりドーナツ型をしたリーマン面)に巻きつけることができるから、与えられた周期対に付随する楕円函数を、このリーマン面上の函数と見做すこともできる。
三次多項式 4X − g2X − g3 の根 e2, e3 は τ に依存して決まり、テータ函数を用いて
e 1 ( τ ) = 1 3 π 2 ( θ 4 ( 0 ; τ ) + θ 01 4 ( 0 ; τ ) ) , {\displaystyle e_{1}(\tau )={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{01}^{4}(0;\tau )),}
e 2 ( τ ) = − 1 3 π 2 ( θ 4 ( 0 ; τ ) + θ 10 4 ( 0 ; τ ) ) , {\displaystyle e_{2}(\tau )=-{\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )),}
Im(τ)>0 において g2 および g3 は正則で Δ(τ) ≠ 0 が成り立つから、 j-不変量も Im(τ)>0 において正則である。また不変量は周期格子にのみ依存することからモジュラー変換により不変である。つまり a,b,c,d が ad − bc = 1 を満たす整数(つまり ( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} がモジュラー群 SL(2, Z) に属する)のとき Im(τ)>0 において
j ( a τ + b c τ + d ) = j ( τ ) {\displaystyle j\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=j(\tau )}
が成り立つ。そして j-不変量についてはフーリエ級数は、ノーム q = exp(iπτ) の平方を用いて、
j ( τ ) = q − 2 + 744 + 196884 q 2 + ⋯ {\displaystyle j(\tau )=q^{-2}+744+196884q^{2}+\cdots }
となる(係数は(オンライン整数列大辞典の数列 A000521)により与えられる)。
と書ける。ペー函数は収斂の早いテータ函数を用いて表せば、上記の定義に用いた級数を用いるよりも、手早く計算できる。テータ函数による表示は
℘ ( z ; τ ) = π 2 θ 2 ( 0 ; τ ) θ 10 2 ( 0 ; τ ) θ 01 2 ( z ; τ ) θ 11 2 ( z ; τ ) − π 2 3 [ θ 4 ( 0 ; τ ) + θ 10 4 ( 0 ; τ ) ] {\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]}
で与えられる。ペー函数は(原点を含む)周期格子の各頂点において二位の極を有する。 これらの定義のもと、ペー函数 ℘(z) は偶函数、その z に関する導函数 ℘' は奇函数になる。
さらに楕円函数論を推し進めれば、与えられた周期格子を持つ任意の有理型函数の中で、ペー函数に関する条件は、定数を加えたり非零定数倍したりすることを除き、極に関する条件のみで決まることが示される。
Δ ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) 12 Δ ( τ ) {\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}
が成り立つ。またフーリエ級数は、ノーム q = exp(iπτ) の平方を用いて、
Δ ( τ ) = ( 2 π ) 12 ∑ k = 1 ∞ τ ( k ) q 2 k , τ ( k ) ∈ Z {\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\sum _{k=1}^{\infty }\tau (k)q^{2k},\tau (k)\in \mathbf {Z} }
となる。ここで τ(1)=1, τ(2)=-24, τ(3)=252, ... はラマヌジャンのタウ函数である(オンライン整数列大辞典の数列 A000594)。さらにデデキントのイータ関数との関係から
Δ ( τ ) = ( 2 π ) 12 q 2 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q 2 n ) {\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}q^{2}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{2n})}
が成り立つ。
g 2 ( ω 1 , ω 2 ) = π 4 12 ω 1 4 ( θ 2 ( 0 , q ) 8 − θ 3 ( 0 , q ) 4 θ 2 ( 0 , q ) 4 + θ 3 ( 0 , q ) 8 ) {\displaystyle g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{4}}{12\omega _{1}^{4}}}\left(\theta _{2}(0,q)^{8}-\theta _{3}(0,q)^{4}\theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{3}(0,q)^{8}\right)}
および
g 3 ( ω 1 , ω 2 ) = π 6 ( 2 ω 1 ) 6 [ 8 27 ( θ 2 ( 0 , q ) 12 + θ 3 ( 0 , q ) 12 ) − 4 9 ( θ 2 ( 0 , q ) 4 + θ 3 ( 0 , q ) 4 ) ⋅ θ 2 ( 0 , q ) 4 θ 3 ( 0 , q ) 4 ] {\displaystyle g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{6}}{(2\omega _{1})^{6}}}\left[{\frac {8}{27}}\left(\theta _{2}(0,q)^{12}+\theta _{3}(0,q)^{12}\right)-{\frac {4}{9}}\left(\theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{3}(0,q)^{4}\right)\cdot \theta _{2}(0,q)^{4}\theta _{3}(0,q)^{4}\right]}
が成り立つ。ただし、τ = ω2/ω1 は周期比で q = exp(iπτ) はノームである。