接続 (微分幾何学)
Mを R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分多様体とし、 c ( t ) {\displaystyle c(t)} をM上の曲線とし、さらに v ( t ) {\displaystyle v(t)} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上定義されたMのベクトル場とし(すなわち各時刻tに対し、 v ( t ) {\displaystyle v(t)} は v ( t ) ∈ T c ( t ) M {\displaystyle v(t)\in T_{c(t)}M} を満たすとし)、
∇ d t v ( t ) := P r c ( t ) ( d d t v c ( t ) ) {\displaystyle {\nabla \over dt}v(t):=\mathrm {Pr} _{c(t)}\left({d \over dt}v_{c(t)}\right)}
と定義する。ここでPrはMの点c(t)における R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内の接平面(と自然に同一視可能なTc(t)M)への射影である。またX、YをM上のベクトル場とするとき、
∇ X Y | P := ∇ d t Y exp  ( t X ) ( P ) {\displaystyle \nabla _{X}Y|_{P}:={\nabla \over dt}Y_{\exp(tX)(P)}}
と定義する。ここで exp  ( t X ) ( P ) {\displaystyle \exp(tX)(P)} は時刻0に点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} を通るXの積分曲線である。
{ H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が定義する共変微分を∇とすると、 φ ∘ ∇ {\displaystyle \phi \circ \nabla } はKoszul接続の公理を満たす。
任意の λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } 、 e ∈ E {\displaystyle e\in E} に対し、 H λ e = ( m λ ) ∗ ( H e ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda e}=(m_{\lambda })_{*}({\mathcal {H}}_{e})}
ここでmλはベクトル e ∈ E {\displaystyle e\in E} をλ倍した λ e ∈ E {\displaystyle \lambda e\in E} に写す写像とする。
Koszul接続から一般の接続概念を誘導する方法と(上記の定理の条件を満たす)一般の接続概念からKoszul接続を誘導する方法は「逆写像」の関係にあり、上記の定理の条件を満たす一般の接続概念とKoszul接続は1:1に対応する。
ψ ∇ X s = L i f t ( X ) ψ s {\displaystyle \psi _{\nabla _{X}s}=\mathrm {Lift} (X)\psi _{s}}
ここで L i f t ( X ) ψ s {\displaystyle \mathrm {Lift} (X)\psi _{s}} は F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} 上のベクトル場 Y := L i f t ( X ) {\displaystyle Y:=\mathrm {Lift} (X)} により F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} 上の R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 値関数 ψ s {\displaystyle \psi _{s}} の各成分を微分した Y ( ψ s ) {\displaystyle Y(\psi _{s})} の事である。