接線
綜合幾何学および有限幾何学において、「接線」は適当な集合に対する「接続」(incidence) の言葉で(つまり可微分性の仮定なしに)定義できる。
射影平面内の二次集合に対して、その接線とは、その二次集合とちょうど一点のみを共有するか、その二次集合に全く含まれるような直線を言う。
この定義のもとで、射影平面内の卵形 (oval) に対する接線は、卵形の各点においてちょうど一本だけ存在する。一つの卵形と二点より多くを共有する直線は存在しない。
解析的にこれは、ファノの公理(ドイツ語版)を満足するパップスの射影平面(英語版)上の二次曲線であり、二次集合のもっとも重要な特別の場合である(射影直線が与えられた二次曲線の接線であるとは、その直線の係数ベクトルがその二次曲線を(点集合として)定義する斉二次方程式を満足するときに言う)。
第三の場合は、実ユークリッド平面を実射影平面のアフィン成分(有限部分)と見て、標準内積を持つものと考えれば、二次曲線と直線の共有点において、二次曲線の定義方程式の函数の勾配が、それらの法ベクトルであるということと同じである。このような意味において、微分の定める本当の接線に対して、「形式微分」により定義される「代数的」接線もまた考えられる。
右図において、接点で接線と交わる径は、その接線、および円の方程式の接点における勾配、の法ベクトルの方向(つまり、円の中心から接点へ結ぶ向き)も同じく表している。