凸集合
凸性の持つ特定の性質を公理として、ほかの対象へ凸性を一般化することができる。
与えられた集合 X に対し、X 上の凸型 (convexity) とは X の部分集合族 C であって以下の公理系を満足するものを言う:
空集合 ∅ および X は C に属する。
C の元からなる任意の集合族の交わりは C に属する。
C の元からなる(包含関係に関して)全順序な集合族の合併は C に属する。
凸型 C の元を凸集合と呼び、対 (X, C) を凸型空間 (convexity space) と呼ぶ。通常の意味の凸性に対して、前二つの公理が成立する(三つ目は自明である)。
このように抽象的な凸性の、より離散幾何学に適した別定義は、反マトロイド(英語版)(抽象的凸幾何)に関連する凸幾何学を参照せよ。
ベクトル空間の凸部分集合は以下の性質をもつ。
空集合とベクトル空間の全体は凸である。
凸集合の任意の交叉は凸である。
凸部分集合の非減少列の合併は凸集合である。
最後の凸集合の合併に関する性質については、合併をとる対象を包含関係を持つ列に制限することが大切である(ふたつの凸集合の合併は必ずしも凸集合でない)。