一般数体篩法
f が Q (有理数体)上の k 次多項式であり、r がf の複素数根であるとする。すると f(r) = 0 であるが、これは、 r を r の k 乗未満の累乗の線形結合として表すように書き換えることができる。この方程式を用いて、指数 e ≥ k のr のべき指数を減らすことができる。たとえば、 f(x) = x + 1 で r が虚数単位iである場合、 i + 1 = 0 、すなわち i = −1 となる。これにより、複素積を定義できる。
( a + b i ) ( c + d i ) = a c + ( a d + b c ) i + ( b d ) i 2 = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i . {\displaystyle (a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+(bd)i^{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i.}
一般に、これは代数体 Q(r) に直接つながる。Q(r) は、次の式で与えられる複素数の集合として定義できる。
a k − 1 r k − 1 + .