ホッジ双対
ホッジ双対を3次元へ適用すると、軸性ベクトルと 2-ベクトル(英語版)(bivector)の間の同型の間の同型、つまり軸性ベクトル a と 2-ベクトル A を対応させることができる。すなわち、
A = ⋆ a a = ⋆ A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\star {\boldsymbol {a}}\qquad {\boldsymbol {a}}=\star {\boldsymbol {A}}}
が成り立つ。ここに、⋆ は双対作用素を表す。これらの双対関係は、実、および複素クリフォード代数 Cl3(R) の単位擬スカラー(英語版)(Unit pseudoscalar)の作用により以下のように記述できる。i = e1e2e3 (ベクトル {el} は 3次元ユークリッド空間の中での直交基底である)は、次の関係式に従う。
A = a i a = − A i {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {a}}i\quad {\boldsymbol {a}}=-{\boldsymbol {A}}i}
ベクトルの双対は i をかけることにより得ることができる。これは次のように代数の幾何積(英語版)(geometric product)の性質を使って説明できる。
を用いた。
これらの双対 ⋆ と i 関係式は、任意のベクトルに対して適用できる。ここで双対は、クロス積 a = u × v として生成された軸性ベクトルを、2-ベクトルに値を持ち 2つの極(つまり、軸性ではない)ベクトル u と v の外積 A = u ∧ v へと関係付けることに適用される。2つの積は、行列式を使う同じ方法で、記法 elm = elem を使い、次のように書き表すことができる。
a = u × v = | e 1 e 2 e 3 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 | , A = u ∧ v = | e 23 e 31 e 12 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 | {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&{\boldsymbol {e}}_{2}&{\boldsymbol {e}}_{3}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}\,,\quad {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{23}&{\boldsymbol {e}}_{31}&{\boldsymbol {e}}_{12}\\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}}}
スター作用素のよく知られた例は、n = 3 次元の場合で、このとき 3 次元のベクトルと 3 × 3 歪対称行列の対応と見なすことができる。これはベクトル解析において暗に使われていて、たとえば、2つのベクトルのウェッジ積からクロス積を作りだすことができる。特に、ユークリッド空間 R では、容易に、
⋆ d x = d y ∧ d z {\displaystyle \star \mathrm {d} x=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}
⋆ d y = d z ∧ d x {\displaystyle \star \mathrm {d} y=\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x}
⋆ d z = d x ∧ d y {\displaystyle \star \mathrm {d} z=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
であることが分かる。ここに dx, dy, dz は R 上の標準の直交な微分 1-形式である。3次元におけるホッジ双対は、明らかにクロス積とウェッジ積を関連付ける。微分幾何学へ限定しない詳細な説明は、パラグラフを改める。