スピン構造
この障害を打ち消すために、このスピン束と同じ障害 w2 を持つ U(1)-束とのテンソル積束をとる。これが「束」の語の濫用であることに注意すべきである(スピン束も U(1)-束もコサイクル条件を満たさないので、どちらも実際には束でない)。
正当な U(1)-束はチャーン類により分類される(これは H(M, Z) の元である)。この類を上記の完全系列の一項目の元と同一視すると、次の矢印はこのチャーン類を二倍するから、正当な束は二項目の H(M, Z) の偶数である元と対応する。一方、奇数である元はコサイクル条件を満たさない束と対応する。よって、障害は二項目の H(M, Z) が矢印の像のに属することが満足されないこと(これは完全性により、次の矢印による H(M, Z2) の像により分類される)によって分類される。
スピン束に関する対応する障害を打ち消すには、この像が w2 である必要がある。特に、w2 が矢印の像に属さなければ、障害が w2 に等しい如何なる U(1)-束も存在せず、従って障害は打ち消されない。完全性により w2 が直前の矢印の像に属するのは、次の矢印(これがボックシュタイン準同型 β であることを思い出そう)の核に属するときに限る。すなわち、障害を打ち消すための条件は
W 3 = β w 2 = 0 {\displaystyle W_{3}=\beta w_{2}=0}
である。ここで、三次の整係数スティーフェル–ホイットニー類 W3 は、二次スティーフェル–ホイットニー類 w2 のボックシュタイン準同型像である(このことを W3 の定義として採用することもできる)という事実を用いた。