ダランベールの収束判定法
次の級数を考える。
∑ n = 1 ∞ e n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}
これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、
lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ | e n + 1 n + 1 e n n | = lim n → ∞ | 1 1 + 1 n e | = e > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {e^{n+1}}{n+1}}\;}{\;{\dfrac {e^{n}}{n}}\;}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{1+{\dfrac {1}{n}}}}e\right|\\&=e>1\end{aligned}}}
eは1より大きいため、級数は発散する。