Atan2
{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if }}x>0{\text{ or }}y\neq 0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}
この式は、上記の定義よりもシンボリックな使用に適している場合がある。ただし、 x 2 + y 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} の丸め誤差の影響が領域 x < 0, y = 0 の近くで拡大するため、一般的な浮動小数点数の計算用途には適していない(これにより、yがゼロで除算されることもある)。
これらの膨らんだ丸め誤差を回避するため、先ほどの式を変形:
atan2  ( y , x ) = { 2 arctan  ( y x 2 + y 2 + x ) if x > 0 , 2 arctan  ( x 2 + y 2 − x y ) if x ≤ 0 and y ≠ 0 , π if x < 0 and y = 0 , undefined if x = 0 and y = 0.
Arg  ( e i Arg  ζ 1 e i Arg  ζ 2 ) = Arg  ( ζ 1 ζ 2 ) {\displaystyle \operatorname {Arg} (e^{i\operatorname {Arg} \zeta _{1}}e^{i\operatorname {Arg} \zeta _{2}})=\operatorname {Arg} (\zeta _{1}\zeta _{2})} .
(4)において、複素数の偏角の定理により e i Arg  ζ = ζ ̄ {\displaystyle e^{i\operatorname {Arg} \zeta }={\bar {\zeta }}} 、ここで ζ ̄ = ζ / | ζ | {\displaystyle {\bar {\zeta }}=\zeta /\left|\zeta \right|} 、従って Arg  ( e i Arg  ζ 1 e i Arg  ζ 2 ) = Arg  ( ζ 1 ̄ ζ 2 ̄ ) {\displaystyle \operatorname {Arg} (e^{i\operatorname {Arg} \zeta _{1}}e^{i\operatorname {Arg} \zeta _{2}})=\operatorname {Arg} ({\bar {\zeta _{1}}}{\bar {\zeta _{2}}})} となる。