ブラック–ショールズ方程式
ブラック–ショールズモデルとは、1種類の配当のない株と1種類の債券の2つが存在する証券市場のモデルである。さらに連続的な取引が可能で、市場は完全市場であることを仮定している。
そして、時刻 t における株価を St 、債券価格を Bt とする。株価は以下の確率微分方程式に従うとする。
d S t = σ S t d W t + μ S t d t {\displaystyle dS_{t}=\sigma S_{t}dW_{t}+\mu S_{t}dt}
ここで、Wt は標準ウィーナー過程であり、σ, μ は定数で、σ はボラティリティ、μ はドリフト(英語版)である。よって株価は幾何ブラウン運動で表される。
また、債券価格は次で表されるとする。
B t = B 0 exp  ( r t ) {\displaystyle B_{t}=B_{0}\exp(rt)}
ここで、r は定数の無リスク利子率である。
さらに、0 ≤ t ≤ T で発展的可測(英: progressively measurable)な確率過程の組 (at(ω), bt(ω)) を取る。
κ := ∂ C ∂ σ = S t T − t 1 2 π e x p { − 1 2 d 1 2 } {\displaystyle \kappa :={\frac {\partial C}{\partial \sigma }}=S_{t}{\sqrt {T-t}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {exp} \left\{-{\frac {1}{2}}d_{1}^{2}\right\}}
デルタとガンマが共に常に正であることから、Y軸をオプション価値としX軸を原資産価格とした座標平面でのオプション価値の曲線は右上がりの凸状の曲線になる。さらにセータが負であることからこの曲線は時間経過と共に下方へ移動していく。プットオプションや配当込みオプションの場合のグリークスは英語版wikipedia のen:Greeks (finance)#Formulas for European option Greeksを参照のこと。
ヨーロピアンタイプのプットオプションについてもコールオプションの場合と全く同様の議論から次の偏微分方程式が成り立つ。
r P = ∂ P ∂ t + 1 2 σ 2 S t 2 ∂ 2 P ∂ S t 2 + r S t ∂ P ∂ S t {\displaystyle rP={\frac {\,\partial P\,}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}{\frac {\,\partial ^{2}P\,}{\partial S_{t}^{2}}}+rS_{t}{\frac {\partial P}{\,\partial S_{t}\,}}}
ただし、P はプットオプションの現在価格である。つまり、原資産の価格変動が幾何ブラウン運動で、債券利子率が一定ならば、どのようなデリバティブについても偏微分方程式の形は同じとなる。異なるのは境界条件で、プットオプションの場合の境界条件は
P(0, t) = Ke (t (≤ T) は任意)
P(St, t) → 0 as St → ∞ (t (≤ T) は任意)
P(ST, T) = max{K − ST, 0}
となる。解は