チャーン・ヴェイユ準同型
で与えられる P 上の 2k-形式とする。ここに ε σ {\displaystyle \epsilon _{\sigma }} は 2k 個の対称群 S 2 k {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}} の置換の符号 σ {\displaystyle \sigma } である。
すると次のことが示される。
f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )}
は閉形式であり、
d f ( Ω ) = 0 , {\displaystyle df(\Omega )=0,\,}
で、ド・ラームコホモロジー類
f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )\,}
は P の接続の選択に依存しないので、主バンドルにのみ依存する。
このようにして f から得られるコホモロジー類
φ ( f ) {\displaystyle \phi (f)\,}
について、代数(環)準同型
φ : K ( g ∗ ) A d ( G ) → H ∗ ( M , K ) . {\displaystyle \phi :\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}\rightarrow H^{*}(M,\mathbb {K} ).\,}
を得る。