ロホリンの定理
フリードマン(Freedman)のE8多様体(英語版)(E8 manifold)は、w2(M) が 0 であり、交叉形式 E8 が符号 8 の多様体である単連結でコンパクトな位相多様体(topological manifold)である。ロホリンの定理は、この多様体が滑らかな構造(英語版)(smooth structure)を持たないことを意味する。この多様体は、ロホリンの定理が(滑らかであるという多様体以外の)位相多様体に適用できないことを示している。
多様体 M が単連結であれば(あるいは、より一般的に、第一ホモロジー群が 2-torsionを持たなければ)、w2(M) は偶である交叉形式を持つことに同値である。このことは一般には正しくなく、エンリケス曲面はコンパクトで滑らかな 4次元多様体であり、符号が 8 の(16 では割れない)偶な交叉形式 II1,9 を持つが、しかし、クラス w2(M) は 0 ではなく、第二コホモロジー群の捩れ元により表現される。
Σ + 8Arf(M,Σ) + 8ks(M) mod 16,
となる。ここに ks(M) は M のカービー・ジーベンマン不変量である。M が滑らかであれば、M のカービー・ジーベンマン不変量は 0 である。
アルマン・ボレル(Armand Borel)とフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)は、次の定理を証明した。X を滑らかでコンパクトな次元が 4 で割れるようなスピン多様体であれば、Â 種数(英語版)(Â genus)は整数であり、X の次元が 4 mod 8 であれば偶数である。このことはアティヤ=シンガーの指数定理から導き出すことができる。マイケル・アティヤ(Michael Atiyah)とイサドール・シンガー(Isadore Singer)は、Â 種数がアティヤ・シンガー作用素の指数であり、常に整数であり、次元が 4 mod 8 のときは偶数であるを示した。4-次元多様体に対しヒルツェブルフの符号定理は、符号は −8 に Â 種数をかけた値であるので、アティヤ=シンガーの指数定理は、4次元の場合はロホリンの定理を含んでいる。
Ochanine (1980) は X がコンパクトな向き付け可能な滑らかでコンパクトな次元 4 mod 8 の多様体であれば、不当は 16 で割り切れることを証明した。