8点アルゴリズム
基本的な8点アルゴリズムは、原理的に基礎行列 F {\displaystyle \mathbf {F} } の推定にも使用できる。定義される F {\displaystyle \mathbf {F} } の制約は次のようになる。
( y ′ ) T F y = 0 {\displaystyle (\mathbf {y} ')^{T}\,\mathbf {F} \,\mathbf {y} =0}
ここで y , y ′ {\displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {y} '} 対応した画像座標の同次表現である(正規化していなくともよい)。これは、以下のように基本行列と同様の方法で行列 Y {\displaystyle \mathbf {Y} } を形成し、方程式を解くことができることを意味する。
f T Y = 0 {\displaystyle \mathbf {f} ^{T}\,\mathbf {Y} =\mathbf {0} }
ここで f {\displaystyle \mathbf {f} } は F {\displaystyle \mathbf {F} } のベクトル表現である。上記の手順に従うことで、8つの対応点の集合から F {\displaystyle \mathbf {F} } を決定することができる。ただし実際には結果として得られる基本行列はエピポーラ制約を決定するのに役立たない場合がある。
ハートレーは、1997年の記事でこの推定問題に対処した。彼の問題の分析は、問題がその空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 内の同次画像座標の分布の悪さによって引き起こされることを示している。二次元画像座標 ( y 1 , y 2 ) {\displaystyle (y_{1},y_{2})\,} の典型的な同次表現は次のようになる。
y = ( y 1 y 2 1 ) {\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\1\end{pmatrix}}}
ここで y 1 , y 2 {\displaystyle y_{1},y_{2}\,} はいずれも一般的なデジタルカメラでは、0から1000~2000の範囲にある。これは、 y {\displaystyle \mathbf {y} } の最初の2つの座標が3番目の座標よりもはるかに広い範囲にわたって変化することを意味する。さらに、 Y {\displaystyle \mathbf {Y} } を構築するために使用される画像上の点が画像の比較的小さな領域、例えば ( 700 , 700 ) ± ( 100 , 100 ) {\displaystyle (700,700)\pm (100,100)\,} にある場合、ベクトル y {\displaystyle \mathbf {y} } はすべての点に対してだいたい同じような方向を指す。結果として、 Y {\displaystyle \mathbf {Y} } には1つの大きな特異値があり、残りは小さい値になってしまう。