力学的エネルギー
− γ v = − γ v v ^ {\displaystyle -\gamma {\boldsymbol {v}}=-\gamma v{\hat {\boldsymbol {v}}}}
例えば、調和振動のポテンシャルは、
1 2 k ( x − x 0 ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}k({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0})^{2}}
である。 (x0 は振動中心の位置ベクトル)これは変位の二乗の形になっている。これを知っているならば、ポテンシャルの底が x の形になっている場合は単振動をすることが分かる。単振り子のポテンシャルは三角関数で書ける。
U = A ( 1 − c o s θ ) = A ( θ 2 2 − θ 4 4 ! + ⋯ ) {\displaystyle U=A(1-\mathrm {cos} \,\theta )=A\left({\frac {\theta ^{2}}{2}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+\cdots \right)}
十分に振幅が小さいときには単振動で近似できることが分かる。
力学的エネルギーは、熱力学での内部エネルギー(摩擦などを通してやりとりされる)や他のエネルギーに変わりうる。この場合、力学的エネルギーの保存は成立しなくなるが、エネルギー全体としては保存している。つまりこの場合は、より広義の意味でエネルギーは保存している(→エネルギー保存の法則)。