マクネマー検定
最初の例では、ある研究者が、ある薬が特定の病気に効果があるかどうかを調べようとしている。表には個人の数が示されており、行には治療前の診断(病気があるかないか)が、列には治療後の示されている。この検定では、前後の測定に同じ被験者を含める必要がある(マッチドペア)。
この例では、「限界均一性」の帰無仮説は、治療の効果がなかったことを意味する。上記のデータから、マクネマー検定統計量は
χ 2 = ( 121 − 59 ) 2 121 + 59 {\displaystyle \chi ^{2}={(121-59)^{2} \over {121+59}}}
この値は21.35であり、帰無仮説が意味する分布に従う可能性は極めて低い( P <0.001)。したがって、この検定は、治療効果がないという帰無仮説を棄却するための強力な証拠となる。
2番目の例は、漸近的マクネマー検定とそれ以外の検定との違いを示す。データテーブルは先ほどと同様だが、セル内の数字が異なる。
これらのデータでは、サンプルサイズ(161人)は小さくないが、マクネマー検定と他のバージョンでは結果が異なる。正確二項検定ではP = 0.053が得られ、連続性補正を使用したマクネマー検定では χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} = 3.68、P = 0.055 となる。漸近的なマクネマーの検定では χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} = 4.55、P = 0.033となり、mid-P マクネマー検定ではP = 0.035が得られる。
bやcが小さい場合(b + c < 25)、 χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} はカイ二乗分布では十分に近似されず、正確二項検定を使用する。ここで、b は、サイズパラメータn = b + c および p = 0.5の二項分布と比較される。b '≥ c'の場合、
exact-P-value = 2 ∑ i = b n ( n i ) 0.5 i ( 1 − 0.5 ) n − i , {\displaystyle {\text{exact-P-value}}=2\sum _{i=b}^{n}{n \choose i}0.5^{i}(1-0.5)^{n-i},}
これは、 p = 0.5、n = b + cの二項分布累積分布関数に2を乗じたものである。
エドワーズは、二項の正確なP値を近似するため、連続性を補正した次のバージョンを提案した。
χ 2 = ( | b − c | − 1 ) 2 b + c . {\displaystyle \chi ^{2}={(|b-c|-1)^{2} \over b+c}.}
mid-P マクネマー検定は、正確な片側P値から観察された bの確率の半分を引き、それを2倍して両側の mid-P 値を得ることによって計算される
mid-p-value = 2 ( ∑ i = b n ( n i ) 0.5 i ( 1 − 0.5 ) n − i − 0.5 ( n b ) 0.5 b ( 1 − 0.
この検定は、n 人の被験者の標本に対する 2 つの検査の結果の 2x2分割表に、次のように適用される。
限界均一性の帰無仮説とは、各結果に対する2つの限界確率が同じであるというもので、pa + pb = pa + pc かつ pc + pd = pb + pd に対応する。
したがって、帰無仮説H0と対立仮説H1は
H 0 : p b = p c H 1 : p b ≠ p c {\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&:~p_{b}=p_{c}\\H_{1}&:~p_{b}\neq p_{c}\end{aligned}}}
ここで、pi (i = a, b, c, d) は、対応するラベルを持つセルでの発生する確率を示す。
マクネマー検定の検定統計量は次の通り。
χ 2 = ( b − c ) 2 b + c {\displaystyle \chi ^{2}={\frac {(b-c)^{2}}{b+c}}}
帰無仮説のもと、検査間で十分な数の不一致(セルbおよびセルcに相当)がある場合、 χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} は自由度1のカイ二乗分布となる。もし、この χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} の結果が有意であれば、帰無仮説が棄却され、pb ≠ pc(限界比率が有意に異なる)という対立仮説が支持される。