開平法
不等式(1) を簡略化する。「20」を基数 10 と合わせるため 10 × 2 とする。そのため
qm = 2pm
ym = 10x − 100pm
とおくと、不等式(1) は
(10qm + am)am ≤ ym ... (1')
である。
qm = 2pm
= 2(10pm+1 + am+1)
= 10qm+1 + 2am+1 ... (2)
(1') を満たす最大の am を求めるために、ym の整数部分 zm を、zm+1 から求める。
rm = (10qm + am)am とおくと、
ym = 10x − 100pm
= 100{10x − (10pm+1 + am+1)}
= 100{10x − 100pm+1} − 100(20pm+1 + am+1)am+1
= 100ym+1 − 100rm+1
100ym+1 = 10x − 10000pm+1 の整数部分は、x の 10 の位を xi とすると、100zm+1 + 10x2m+1 + x2m に等しい。したがって、
zm = (100zm+1 + 10x2m+1 + x2m) − 100rm+1
= 100(zm+1 − rm+1) + 10x2m+1 + x2m ... (3)
(2), (3) から、(1') を満たす最大の am を求めていく。