多項式環
多項式環の第一の性質は基本的で、二つの零でない多項式の積は零ではないというものである。実際、 pm⋅X (pm ≠ 0) で始まる次数 m の多項式 p と qn⋅X (qn ≠ 0) で始まる次数 n の多項式との積 pq は rX で始まる。ここで係数は r = pm⋅qn ≠ 0 であるから、積 pq は次数 m + n の零でない多項式である。任意の零でない二つの元の積が再び零とならない(英語版)ような可換環は整域であると言われる。すなわち、多項式環 K[X] は整域である。
次数は無限に減少することはできないので、最終的には互除法の除算は終了し、最後の零でない剰余が最初のふたつの多項式の最大公約元である。この方法により、ガウスは整数に対する算術の基本定理を厳密に証明すると同時に、それを多項式に対して一般化することに成功した。ユークリッドの互除法の類似が許される可換環はユークリッド環と呼ばれ、それらは素因子への一意的な分解が可能な分解環 (anneau factoriel) あるいは一意分解整域 (unique factorization domain) と呼ばれる環になる。つまり、多項式環 K[X] は分解環であり、ユークリッド整域である。
多項式の剰余付き除算の別の系として、K[X] の任意の零ではない真のイデアル I は単項生成であるという事実がある。つまり I は、I に帰属する任意の多項式の最大公約元である唯一つの非零多項式 f の倍元全体からなる。したがって、多項式環 K[X] は主イデアル整域である。
多変数の多項式環に対して、積 XY と YX は単純に等しいものと定義される。多項式環のもう少し一般の概念は、これらの形式的な積を別なものとして区別して扱うことによって得られる。形式的には、環 R に係数を持つ n 個の非可換な変数に関する多項式環はモノイド環 R[N] で、モノイド N が n 個の文字に関する自由モノイド(n 個の記号をアルファベットとする文字列全体が文字列の結合を積として成すモノイド)の場合である。係数も変数もそれぞれそれらの間で可換性を持つ必要はないが、係数と変数との間では可換でなければならない。
可換環 R に係数を持つ n-変数多項式環は、階数 n の自由可換 R-多元環であった(上述)ことにちょうど応じるように、可換環 R 上の n-変数非可換多項式環は n 個の元からなる生成系を持つ自由単位的 R-結合多元環であり、n > 1 ならばこれは非可換である。
(強形)k は体でその代数閉包を K とし、I を多項式環 k[X1, ..., Xn] のイデアル、V(I) を I によって定義される K の代数的集合とする。f を V(I) 上の任意の点で消えている多項式とすると、f のある冪がイデアル I に属す: f m ∈ I , ( ∃ m ∈ N ) . {\textstyle f^{m}\in I,\quad (\exists m\in \mathbb {N} ).}
イデアルの根基の概念を用いれば、この結論は f が I の根基に属するということである。この形の零点定理の系として、代数閉体 K に対して K[X1, ..., Xn] のイデアルの根基と n-次元アフィン空間 K の代数的集合との間に一対一対応が存在する。この対応は写像
によって得られる。
多項式環の素イデアルが K の既約部分多様体に対応する。