ファン・ホーベ特異点
ここで積分は定数Eの面 ∂ E {\displaystyle \partial E} にわたり行う。
k z ′ {\displaystyle k'_{z}\,} が面に直交し、Eの勾配に平行となるような新しい座標系 k x ′ , k y ′ , k z ′ {\displaystyle k'_{x},k'_{y},k'_{z}\,} を選ぶことができる。 この座標系が元の座標系の回転であれば、k'空間の体積要素は、
d k x ′ d k y ′ d k z ′ = d k x d k y d k z {\displaystyle dk'_{x}\,dk'_{y}\,dk'_{z}=dk_{x}\,dk_{y}\,dk_{z}}
dEは次のように書ける。
d E = | ∇ → E | d k z ′ {\displaystyle dE=|{\vec {\nabla }}E|\,dk'_{z}}
g(E)の式に代入すると、
g ( E ) = L 3 ( 2 π ) 3 ∫∫ d k x ′ d k y ′ | ∇ → E | {\displaystyle g(E)={\frac {L^{3}}{(2\pi )^{3}}}\iint {\frac {dk'_{x}\,dk'_{y}}{|{\vec {\nabla }}E|}}}