グロタンディーク群
グロタンディーク群と名のついた別の構成は、次のような構成である。R をある体 k 上の有限次元代数、あるいはより一般的にアルティン環とする。グロタンディーク群 G0(R) を有限生成 R-加群の同型類の集合 { [ X ] ∣ X ∈ R − M o d } {\displaystyle \{[X]\mid X\in R\mathrm {-Mod} \}} で生成されたアーベル群とし、次の関係が成り立つとする。R-加群のすべての短完全列
0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}
が関係式
[ A ] − [ B ] + [ C ] = 0 {\displaystyle [A]-[B]+[C]=0}
を満たすとする。
これらの生成子と関係式により定義される可換群がグロタンディーク群 G0(R) である。
この群は普遍性を満たす。予備的な定義をする。同型類の集合からアーベル群 A への函数 χ が加法的とは、各々の完全系列 0 → A → B → C → 0 に対し、 χ ( A ) − χ ( B ) + χ ( C ) = 0 {\displaystyle \chi (A)-\chi (B)+\chi (C)=0} であることをいう。すると、任意の加法的函数 χ: R-mod → X に対し、一意に群準同型 f: G0(R) → X が存在し、χ が f を通して分解し、各々の A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の対象を G0(R) の中の同型類を表現する元への写像となる。
これら 2つの概念の共通な一般化は、完全圏(英語版) A {\displaystyle {\mathcal {A}}} のグロタンディーク群により与えられる。単純化された完全圏は、別の短系列 A → B → C の類を持つ加法圏である。この別な系列は「完全系列」と呼ばれる。別のクラスの正確な公理はグロタンディーク群を構成する上で問題ではない。
完全圏のグロタンディーク群は、前と同様に圏 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の対象(の同型類)の生成子 [M] を持ち、各々の完全系列
A ↪ B ↠ C {\displaystyle A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C}
に対する関係式
[ A ] − [ B ] + [ C ] = 0 {\displaystyle [A]-[B]+[C]=0}
を持つアーベル群として定義される。
あるいは完全圏のグロタンディーク群を普遍性を使い定義することもできる。