有限差分
商の差分: ∇ ( f g ) = 1 g det ( ∇ f ∇ g f g ) ( det ( g ∇ g 1 1 ) ) − 1 {\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{pmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{pmatrix}}\left(\det {\begin{pmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{pmatrix}}\right)^{-1}} あるいは ∇ ( f g ) = g ∇ f − f ∇ g g ⋅ ( g − ∇ g ) , {\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}},} Δ ( f g ) = g Δ f − f Δ g g ⋅ ( g + Δ g ) . {\displaystyle \Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\Delta f-f\,\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}.}
和分: ∑ n = a b Δ f ( n ) = f ( b + 1 ) − f ( a ) , {\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a),} ∑ n = a b ∇ f ( n ) = f ( b ) − f ( a − 1 ) . {\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1).}
See Refs
歴史的には、これとファンデルモンド恒等式(英語版)
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) ( x ) n − k ( y ) k {\displaystyle (x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(x)_{n-k}~(y)_{k}}
(二項定理に対応する)は、陰計算の体系に至る観察に含まれる。
p-進解析学において、マーラーの定理は f が多項式函数であるという仮定は単に連続であるという仮定に緩めることができることを述べる。
カールソンの定理(英語版)はニュートン級数が(存在すれば)一意であるための必要十分条件を与える。しかし一般にはニュートン級数の存在は保証されない。
ニュートン級数、スターリング補間多項式、セルバーグ多項式は、一般の差分多項式の特別の場合である。これらは全て適当にスケールされた前進差分の言葉で定義される。
In a compressed and slightly more general form and equidistant nodes the formula reads f ( x ) = ∑ k = 0 ( x − a h k ) ∑ j = 0 k ( − 1 ) k − j ( k j ) f ( a + j h ) . {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).}