ラグランジアン (場の理論)
を得る。右辺の最後のテンソル項はエネルギー・運動量テンソルであり、
T μ ν ≡ − 2 − g δ ( L m a t t e r − g ) δ g μ ν = − 2 δ L m a t t e r δ g μ ν + g μ ν L m a t t e r {\displaystyle T_{\mu \nu }\equiv {\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}
である。g は、計量テンソルを行列と見なしたときの、その行列式である。 Λ {\displaystyle \Lambda } は宇宙定数である。一般相対論で、ラグランジアン密度の作用を積分する際の測度は、一般に − g d 4 x {\displaystyle {\sqrt {-g}}d^{4}x} である。計量テンソルの行列式の平方根はヤコビ行列式と同値であることから、積分の座標の決め方が独立になる。マイナス符号は、計量の二次形式としての符号数の結果必要になる(行列式自体が負である)。
物質場が存在する場合に、一般相対論でのラグランジアン密度は、
L GR = L EH + L matter = c 4 16 π G ( R − 2 Λ ) + L matter {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{GR}}={\mathcal {L}}_{\text{EH}}+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}}
である。R はスカラー曲率であり、これは リッチテンソルを計量テンソルで縮約したものである。リッチテンソルは、リーマン曲率テンソルをクロネッカーのデルタで縮約した二階テンソルである。 L EH {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{EH}}} の積分は、アインシュタイン・ヒルベルト作用として知られている。リーマン曲率テンソルは、潮汐力を表すテンソルであり、クリストッフェル記号とクリストッフェル記号の共変微分から構成される。クリストッフェル記号の共変微分は、重力による場を表す。このラグランジアンをオイラー=ラグランジェ方程式へ代入し、計量テンソル g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} を場と考えると、アインシュタイン場の方程式
R μ ν − 1 2 R g μ ν + g μ ν Λ = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}
ラグランジアン場の理論では、一般座標系の函数としてのラグランジアンをラグランジアン密度へ置き換えて考える。これは、系の場とその導関数、あるいは場合により空間と時間座標も含めたものの函数である。
場の理論では、独立変数 t は、時空 (x, y, z, t) の中での事象や、より一般的には多様体上の点 s へ含めて考える。
ラグランジアン密度は、単にラグランジアンということも多い。