球面座標系
{ e r = e x sin  θ cos  φ + e y sin  θ sin  φ + e z cos  θ e θ = e x cos  θ cos  φ + e y cos  θ sin  φ − e z sin  θ e φ = − e x sin  φ + e y cos  φ {\displaystyle {\begin{cases}{\boldsymbol {e}}_{r}={\boldsymbol {e}}_{x}\sin \theta \,\cos \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\sin \theta \,\sin \phi +{\boldsymbol {e}}_{z}\cos \theta \\{\boldsymbol {e}}_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{x}\cos \theta \,\cos \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\cos \theta \,\sin \phi -{\boldsymbol {e}}_{z}\sin \theta \\{\boldsymbol {e}}_{\phi }=-{\boldsymbol {e}}_{x}\sin \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\cos \phi \\\end{cases}}}
で表される。
標準内積を考えれば
| e r | 2 = | e θ | 2 = | e φ | 2 = 1 {\displaystyle |{\boldsymbol {e}}_{r}|^{2}=|{\boldsymbol {e}}_{\theta }|^{2}=|{\boldsymbol {e}}_{\phi }|^{2}=1}
e r ⋅ e θ = e r ⋅ e φ = e θ ⋅ e φ = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\boldsymbol {e}}_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\boldsymbol {e}}_{\phi }={\boldsymbol {e}}_{\theta }\cdot {\boldsymbol {e}}_{\phi }=0}
である。z-軸上 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため φ が定まらない。さらに原点 (x,y,z) = (0,0,0) においては θ も定まらない。
球面座標 (r,θ,φ) から直交直線座標 (x,y,z) への変換の式を微分すれば
{ d x = sin  θ cos  φ d r + r cos  θ cos  φ d θ − r sin  θ sin  φ d φ d y = sin  θ sin  φ d r + r cos  θ sin  φ d θ + r sin  θ cos  φ d φ d z = cos  θ d r − r sin  θ d θ {\displaystyle {\begin{cases}dx=\sin \theta \,\cos \phi \,dr+r\cos \theta \,\cos \phi \,d\theta -r\sin \theta \,\sin \phi \,d\phi \\dy=\sin \theta \,\sin \phi \,dr+r\cos \theta \,\sin \phi \,d\theta +r\sin \theta \,\cos \phi \,d\phi \\dz=\cos \theta \,dr-r\sin \theta \,d\theta \\\end{cases}}}
が得られて、ヤコビ行列とヤコビ行列式は
ベクトル場 A の発散は
A ⋅ d S = ( div  A ) d V {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=(\operatorname {div} {\boldsymbol {A}})\,dV}
で定義されるスカラー場である。球座標で表した体積素と面積素を用いれば
( div  A ) r 2 sin  θ d r d θ d φ = r 2 A r sin  θ d θ ∧ d φ + r A θ sin  θ d φ ∧ d r + r A φ d r ∧ d θ = [ ∂ ∂ r ( r 2 A r sin  θ ) + ∂ ∂ θ ( r A θ sin  θ ) + ∂ ∂ φ ( r A φ ) ] d r d θ d φ {\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {div} {\boldsymbol {A}})\,r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi &=r^{2}A_{r}\sin \theta \,d\theta \wedge d\phi +rA_{\theta }\sin \theta \,d\phi \wedge dr+rA_{\phi }\,dr\wedge d\theta \\&=\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r}\sin \theta )+{\frac {\partial }{\partial \theta }}(rA_{\theta }\sin \theta )+{\frac {\partial }{\partial \phi }}(rA_{\phi })\right]dr\,d\theta \,d\phi \\\end{aligned}}}