点と直線の距離
}
2点間の距離は d = ( X 2 − X 1 ) 2 + ( Y 2 − Y 1 ) 2 {\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}} で求められるから、ここから点と直線の距離の公式として以下を得る。
d = ( x 0 + m y 0 − m k m 2 + 1 − x 0 ) 2 + ( m x 0 + m y 0 − m k m 2 + 1 + k − y 0 ) 2 = | k + m x 0 − y 0 | 1 + m 2 . {\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.}
なお、ここでは直線の方程式をy=mx+kとしたが、ax+by+c=0と比較するとm =-a/b, k =- c/bである。これを上式に代入し整理すれば、最初に導出した点と直線の公式が確かに得られる。
直線の方程式は、ベクトル方程式として与えることもできる:
x = a + t n {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} }
ここで a は直線のある点を表す位置ベクトルで、 n は直線の方向を表す単位ベクトル である。またtはスカラー変数で、xが直線の軌跡となる。
ここで、平面の任意の点 pとこの直線の距離は以下のように与えられる:
distance  ( x = a + t n , p ) = ‖ ( a − p ) − ( ( a − p ) ⋅ n ) n ‖ . {\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}
この公式は次のように導出できる: a − p {\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } は点pから点aへのベクトルである。