二項演算
集合 A 上で定義される 2 変数の写像
μ : A × A → A ; ( x , y ) ↦ μ ( x , y ) {\displaystyle \mu \colon A\times A\to A;\ (x,y)\mapsto \mu (x,y)}
を A 上の二項演算あるいは乗法などと呼び、集合 A を二項演算 μ の台集合 (underlying set) などと呼ぶ。A の 2 元 x, y に対し、順序対 (x, y) の二項演算 μ による像 μ(x, y) を x と y の積あるいは結合などと呼んで、多くの場合に中置記法に則って x μ y のように記す(混乱のおそれの無い場合には、しばしば xy と略記する)。
また、A × A 上の写像 g が A 上の二項演算を与えるとき、A は g について閉じているあるいは g は A において閉じているという。
A の任意の二つの対象から、第三の対象を与える「二項演算」の手続きのみが与えられていて、その手続きの値域がふたたび A に含まれるかどうか(第三の対象が A の対象となるか)が問題となるとき、この演算が閉じているかどうかを検討することが求められる。
そのような例として、ある集合 S がより大きな集合 A の部分集合であって、A が特定の代数的構造を備えた代数系であるとき、S が A の部分代数系となること(すなわち、A の各演算を S に制限した演算を考えるとき S 自身が同じ代数的構造を持つこと)は、各演算が S において閉じていることが必要十分である。