正則関数
ここで、ある領域を定義域としてそこで特定の表示を持つ正則関数に対して、その定義域を超えて解析接続して得られる正則関数を考えるとき、はじめの表示がもとの定義域の外でも有効であるわけではないことには注意しなければならない。たとえば、リーマンゼータ関数の値 ζ(−1) = −1/12 に対して、Re(s) > 1 上で有効なゼータ関数の表示
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 − s + 2 − s + 3 − s + ⋯ + n − s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1^{-s}+2^{-s}+3^{-s}+\cdots +n^{-s}+\cdots }
を、s = −1 に対してむりやり適用すると
− 1 12 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n + ⋯ {\displaystyle -{\frac {1}{12}}=1+2+3+\cdots +n+\cdots }
となり(→1+2+3+4+...)、この表示が s = −1 の周辺で有効でないことを見て取ることができる。(厳密にはこの記述方法は正しくない)一方で、明らかに無限大に発散するはずの右辺が負の値を持つ左辺と等しいという、この一見不可解な等式を物理学への応用などの観点から正当化する方法が、繰り込みなどいくつか知られていて、それ自体興味深い研究対象である。
複素解析における正則関数(せいそくかんすう、英: regular analytic function)あるいは整型函数(せいけいかんすう、英: holomorphic function)とは、ガウス平面上あるいはリーマン面上のある領域について、常に微分可能な複素変数、複素数値函数(英語版)を指す。