調和級数
級数
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }
は交代調和級数 (alternating harmonic series) として知られる。この級数の収束性はライプニッツの収束判定法(英語版)からわかる。とくにこの級数の和は 2 の自然対数に等しい。つまり
1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ = ln  2 {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2}
が成り立つ。この式は自然対数関数のテイラー級数であるメルカトル級数の特別な場合である。
逆正接関数のテイラー級数から、関連する級数
∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ = π 4 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}
が導かれる。これはライプニッツの π の公式として知られる。
調和級数の発散は非常に遅く、たとえば最初の 10 個の項の和は 100 よりも小さい。これは部分和が対数的増加であることによる。特に
∑ n = 1 k 1 n = ln  k + γ + ε k {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}}
が成り立つ。ここで γ はオイラー・マスケローニ定数で εk は k → ∞ の極限で 0 に近づく。この結果はレオンハルト・オイラーによる。
実数値凸関数 φ で
lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi ({\frac {u}{2}})}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}}}
を満たすものに対し、級数
∑n≥1 φ (n)
は必ず収束する。