直積集合
順序対 (a, b) は、たとえ a, b (a ≠ b) がともに A にも B にも属していたとしても、一般には (a, b) ≠ (b, a) である。ゆえに、集合としても、A = B または少なくともいずれか一方が空集合でない限り
A × B ≠ B × A {\displaystyle A\times B\neq B\times A}
である。すなわち、直積は二項演算として可換でない。
また厳密に言えば、直積は結合的でもない。すなわち、A, B, C を集合とするとき、
( A × B ) × C , A × ( B × C ) , A × B × C {\displaystyle (A\times B)\times C,\quad A\times (B\times C),\quad A\times B\times C}
はすべて集合として異なる。しかし誤解の虞が無いならば、しばしばこれらの間の自然 (canonical) な全単射