平面波
前節の定理1と定理2は、周期が格子状の空間(Z-加群)をなすことを主張している。以下、格子について補足を行う。
d 次元標準正方格子 Z d {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}} を、以下のように定義する。即ち、d 次元標準正方格子は、成分全てが整数となるような d 次元実数ベクトルを全て集めることによって出来た集合である。
Z d = { ( z 1 ⋮ z d ) | z 1 , ... , z d ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}=\left\{\left.{\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{d}\\\end{pmatrix}}\ \left|{\begin{matrix}z_{1},\dots ,z_{d}\in \mathbb {Z} \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.}
Z d {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}} は、 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} の標準基底 e1 , ... , ed の Z 結合で生成される。