関数 (数学)
はひとつまたは複数のパラメータで添字付けられる一般には無限個の変数をもつ関数の一種
F ( ( f x ) x ∈ R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\left((f_{x})_{x\in \mathbb {R} }\right)}
と見なすことができる。また、有限次元ベクトル空間は基底を固定することにより、その座標で表される係数体の有限個の直積と同型であるから、そこからの汎関数は多変数関数
F ( x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n ) {\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})}
と同一視できる。
関数に対して数を対応付けるという汎関数の概念は、さらに関数に関数を対応付ける作用素の概念に一般化される。
引数のとる値と函数のとる値を表の形に書きならべることに依って函数を表現することもできる。定義域が有限ならば、このやり方で函数を完全に特定することができる。例えば、掛け算をする函数 f : { 1 , ... , 5 } 2 → R ; f ( x , y ) := x y {\displaystyle f\colon \{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} ;\;f(x,y):=xy} は馴染みの乗積表
によって表すことができる。
しかし、定義域が連続的な場合には、定義域の特定の値に対する函数の値しか表には表示することができない。中間の値が必要となったときには、補間を使って函数の値を評価することは可能である。例えば正弦函数の小数第6位までで丸めた値を並べた数表の一部を以下のように与えることができる:
計算機や電卓の登場以前には、対数や三角函数などの函数に対するこのような数表がしばしば編纂され出版されていた。
17世紀にはじまった函数の概念は、新しい無限小解析の基礎付けとなった(函数概念の歴史(英語版)を参照)。当時は、実変数の実数値函数しか考えられておらず、どの函数も滑らかな函数であることが仮定されていたが、直に多変数函数や複素変数函数に定義が拡張されていった。19世紀後半には数学的に厳密な函数の定義が導入され、任意の定義域および終域を持つ函数も扱われ始めた。
いまや函数は数学のあらゆる分野において用いられる。初歩の基礎解析学では単に「函数」といえば一変数の実数値函数の意味である。より一般の定義が導入され厳密な設定のもとで函数を扱うようになるのは実解析や複素解析においてであろう。
実函数とは「実変数」「実数値」の函数、つまり実数全体の成す集合を終域とし実数からなる適当な区間を含む部分集合を定義域とする函数を言う。以下本節では、そのような函数を単に函数と呼ぶことにする。
数学及びその応用分野において最もよく扱われる函数はさらに適当な正則性条件(連続性や微分可能性あるいは解析性など)が課せられる。このような正則性があることによって、函数はそのグラフを用いてよく視覚化することができる。以下、適当な区間上で微分可能であるような函数だけを扱う。
函数は点ごとの演算が備わっている。つまり、函数 f, g に対して、それらの和・差・積を
で定義すれば、f, g の定義域の交わりを定義域とする函数が得られる。同様にこれらの商を
と定義することができるが、この場合定義域は f, g の定義域の交わりから g の零点を除いたものになる。
多項式からは実数全体で定義された多項式函数が定まる。これには定数函数・一次函数・二次函数などが含まれる。ふたつの多項式函数の商である有理函数は(零除算が起きないように)有限個の例外を除くすべての実数を定義域とする。もっとも単純な有理函数 x ↦ 1/x のグラフは双曲線で 0 を除く実数直線全体を定義域に持つ。
実可微分函数の導函数もまた実函数である。実連続函数の原始函数はもとの函数が連続となる任意の開区間上で可微分な実函数を与える。