クローニッヒ・ペニーのモデル
ブロッホの定理によると波動関数は ψ k ( x ) = e i k x u k ( x ) {\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)} と表せ、 u k ( x ) {\displaystyle u_{k}(x)} は格子の周期性を持つ関数である。 このことは、 u k ( x ) {\displaystyle u_{k}(x)} もフーリエ級数として展開できることを意味する。
u k ( x ) = ∑ K u ~ k ( K ) e i K x . {\displaystyle u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.}
よって波動関数は、
ψ k ( x ) = ∑ K u ~ k ( K ) e i ( k + K ) x . {\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.}
これをシュレーディンガー方程式に代入すると、
[ ħ 2 ( k + K ) 2 2 m − E k ] ⋅ u ~ k ( K ) + ∑ K ′ V ~ ( K − K ′ ) u ~ k ( K ′ ) = 0 {\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]\cdot {\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0}
または、
1 = ∑ K 2 m ħ 2 A a 2 m E k ħ 2 − ( k + K ) 2 {\displaystyle 1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}
または、
ħ 2 2 m a A = ∑ K 1 2 m E k ħ 2 − ( k + K ) 2 {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}
ここで式を簡単にするため、新しい変数を定義する。
α 2 := 2 m E k ħ 2 {\displaystyle \alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}}
これを用いると、
ħ 2 2 m a A = ∑ K 1 α 2 − ( k + K ) 2 {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}}
ここでKは逆格子ベクトルである。つまりKについての和は、 2 π a {\displaystyle {\frac {2\pi }{a}}} の整数倍にわたる和である。よって、