対称行列
(1944), “On the theory of automorphic functions of a matrix variable I–geometric basis”, Amer. J. Math. 66: 470–488 Schur, I. (1945), “Ein Satz über quadratische formen mit komplexen koeffizienten”, Amer. J. Math. 67: 472–480 Benedetti, R.; Cragnolini, P. (1984), “On simultaneous diagonalization of one Hermitian and one symmetric form”, Linear Algebra Appl. 57: 215–226
↑ Bosch, A. J. (1986). “The factorization of a square matrix into two symmetric matrices”. Amer. Math. Monthly 93 (6): 462–464. doi:10.2307/2323471. JSTOR 2323471.
↑ Golub & Van Loan 2013, p. 186, (4.4.1).
↑ Horn & Johnson 1985, p. 167, Example 4.0.1.
↑ Kac 1990, p. 16.
↑ Kac 1990, p. 41.
↑ Kac 1990, p. 27.
有限次元のスペクトル定理によれば、任意の実対称行列は直交行列によって対角化可能である。更に、実正方行列 A が対称であるのは
D = Q T A Q {\displaystyle D=Q^{T}AQ}
が実対角行列となる実直交行列 Q が存在するとき、かつそのときに限ることが知られている。従って、任意の対称行列は適当な正規直交基底に関する(同値の違いを除いて)対角行列である。言い換えれば、n 次実正方行列 A が対称となる必要十分条件は、A の固有ベクトルの全体が R の正規直交基底となることである。
任意の実対称行列は、複素行列と見てエルミートであり、従ってその全ての固有値は実数である(コーシー 1829)。実はこれら固有値は、その行列の対角化(上で述べた D)の成分であり、従って D は A によって(成分を並べる順番を除いて)一意に決定される。本質的に、実行列が対称であるという性質は複素行列がエルミートであるという性質に対応する。