ゼッケンドルフの定理
自然数 a, b に対して次のような演算 a ∘ b {\displaystyle a\circ b} を定義することができる。ゼッケンドルフの表現 a = ∑ i = 0 k F c i ( c i ≥ 2 ) {\displaystyle a=\sum _{i=0}^{k}F_{c_{i}}\;(c_{i}\geq 2)} と b = ∑ j = 0 l F d j ( d j ≥ 2 ) {\displaystyle b=\sum _{j=0}^{l}F_{d_{j}}\;(d_{j}\geq 2)} に対して、フィボナッチ積 a ∘ b = ∑ i = 0 k ∑ j = 0 l F c i + d j . {\displaystyle a\circ b=\sum _{i=0}^{k}\sum _{j=0}^{l}F_{c_{i}+d_{j}}.}
例えば、2 のゼッケンドルフの表現は F3, 4 に対するそれは F4 + F2 (F1 は用いない) であるから、 2 ∘ 4 = F 3 + 4 + F 3 + 2 = 13 + 5 = 18 {\displaystyle 2\circ 4=F_{3+4}+F_{3+2}=13+5=18} となる。
和の順序を入れ替えることでこれが可換であることは示すことができるが、ドナルド・クヌースはさらに、この演算が結合的でもあるということを証明した。