漸化式
デジタル信号処理では、漸化式はある時点の出力が新たな時点の入力となるシステムのフィードバックをモデル化することができる。したがって、無限衝撃応答 (IIR) デジタルフィルターなどを考えることができる。たとえば、遅延時間 T の「フィードフォーワード」IIR 櫛型フィルタは
y t = ( 1 − α ) x t + α y t − T {\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+\alpha y_{t-T}}
となる。ここで xt は時刻 t における入力で、yt は時刻 t における出力、α はどの程度の遅延信号を出力へフィードバックするかを制御するものである。ここからわかることとして
y t = ( 1 − α ) x t + α ( ( 1 − α ) x t − T + α y t − 2 T ) {\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+\alpha ((1-\alpha )x_{t-T}+\alpha y_{t-2T})}
y t = ( 1 − α ) x t + ( α − α 2 ) x t − T + α 2 y t − 2 T {\displaystyle y_{t}=(1-\alpha )x_{t}+(\alpha -\alpha ^{2})x_{t-T}+\alpha ^{2}y_{t-2T}}
などが挙げられる。
階数 d の線型漸化式
a n = c 1 a n − 1 + c 2 a n − 2 + ⋯ + c d a n − d {\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}+\dots +c_{d}a_{n-d}}
は特性方程式
λ d − c 1 λ d − 1 − c 2 λ d − 2 − ⋯ − c d λ 0 = 0 {\displaystyle \lambda ^{d}-c_{1}\lambda ^{d-1}-c_{2}\lambda ^{d-2}-\dots -c_{d}\lambda ^{0}=0}
を持つ。この漸化式の再帰性が(反復適用によって一定の値に漸近的に収束するという意味で)安定であるための必要十分条件は、固有値(つまり特性方程式の根)の全てが(実数か複素数かに関わらず)1 よりも小さい絶対値を持つことである。