ストーン双対性
x ∈ O ⇔ p x ( e ) ∈ O ⇔ 1 ∈ p x − 1 ( O ) ⇔ Ω ( p x ) ( O ) = 1 ⇔ f ( O ) = 1 {\displaystyle x\in O\Leftrightarrow p_{x}(e)\in O\Leftrightarrow \mathbf {1} \in p_{x}{}^{-1}(O)\Leftrightarrow \Omega (p_{x})(O)=\mathbf {1} \Leftrightarrow f(O)=1}
が成り立つ。
そこでptを以下のように定義する:
定義(SFrmからSobへの関手pt) ― SFrmからSobへの関手ptは以下のように定義される:
対象:空間的完備ハイティング代数F に対し以下のような位相空間(pt(F )と表記)を対応させる: 底空間X :F から2 への射全体の集合。 X の開集合⇔ ∃ u ∈ F {\displaystyle \exists u\in F} が存在し、 { f ∈ X ∣ f ( u ) = 1 } {\displaystyle \{f\in X\mid f(u)=\mathbf {1} \}} と表記できる集合。
射:ψ : F → G に f ∈ p t ( G ) ↦ f ∘ ψ ∈ p t ( F ) {\displaystyle f\in \mathrm {pt} (G)\mapsto f\circ \psi \in \mathrm {pt} (F)} を対応させる。
ポイントレス位相空間論の利点の一つは、通常の位相空間論であれば選択公理に基づかなければ証明できない定理であっても、ポイントレス位相空間論におけるその定理の対応物は選択公理に頼らず証明できる場合がある事である。これは選択公理を持たないトポスを考える場合に有利に働く。
ただし、位相空間と空間的ロケールの対応関係は位相空間がsober性を満たす場合にしか成り立っていない事が原因で、通常の位相空間論における定理や概念とポイントレス位相空間論におけるそれらの対応物が若干異なった概念になってしまう事がある事に注意しなければならない。
そのような概念の例として直積がある。sober性を満たさない位相空間に対応するロケールの直積には集合としては等しいがロケールとしては等しくない2つの部分ロケールが存在する事がありうるが、一方で位相空間論における直積では2つの部分空間が等しいのはそれらが点集合として等しい場合に限る。
また位相空間の部分空間とロケールの部分ロケールも異なる概念である。 例えば有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } を位相空間とみなした場合、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } には可算個の部分位相空間しか存在しないが、一方で Q {\displaystyle \mathbb {Q} } に対応するロケールには[実数の濃度]個の部分ロケールが存在する。