モチーフ (数学)
ヴェイユコホモロジー論をひとつ固定すると、このヴェイユコホモロジー論は Mnum (数値的同値を使ったピュアモチーフ)から有限次元 Q-ベクトル空間への函手である。前者の圏は淡中圏であることを示すことができる。ホモロジカル同値と数値的同値が同値であるということを前提とすると、すなわち、上記の標準予想 D を前提とすると、函手 H は完全で忠実なテンソル函手である。淡中の定式化を適用し、Mnum は代数群 G の表現の圏と同値となる。この圏はモチーヴィックガロア群と呼ばれる。
マンフォード・テイト群(英語版)(Mumford–Tate group)はホッジ理論の淡中理論的双対群である。再び大まかな言い方をすると、ホッジ予想とテイト予想は不変式論(英語版)(invariant theory)のタイプの予想である。正しい定義を言うとすると、代数的サイクルの有理線形部分空間間は、これらの群作用の不変部分と見なせると予想されている。モチーヴィックガロア群は、これらのモチーフ的親玉と考えられている。
各々の代数多様体 X は対応するモチーフ [X] を持っているので、最も単純なモチーフの例を挙げる。
[point]
[projective line] = [point] + [line]
[projective plane] = [plane] + [line] + [point]
多くの場合、つまり、ド・ラームコホモロジー、ベッチコホモロジー、l-進コホモロジーの場合に、これらの「方程式」は保持され、任意の有限体上の点の数が合同ゼータ函数の乗法記法(英語版)(multiplicative notation)で保持される。
一般的な考え方としては、モチーフは形式的に良い性質を持つ全ての妥当なコホモロジー論は同じ構成を持っているということで、特に、全てのヴェイユコホモロジー論はそのような性質を持つであろうという考え方である。次の問題の中で、異なるヴェイユコホモロジー論があり、それらを異なる状況下で適用し、異なる圏を持ち、多様体の構造的側面を反映する。
ベッチコホモロジーは複素数体(の部分体)上で定義され、整数上で定義されている有理な点を持ち、位相不変量である。
(C 上の多様体の)ド・ラームコホモロジーには、混合ホッジ構造があり、微分幾何学的不変量である。
( [ X ] , α ) ⊗ ( [ Y ] , β ) := ( X × Y , π X ∗ α ⋅ π Y ∗ β ) , π X : ( X × Y ) × ( X × Y ) → X × X , {\displaystyle ([X],\alpha )\otimes ([Y],\beta ):=(X\times Y,\pi _{X}^{*}\alpha \cdot \pi _{Y}^{*}\beta ),\qquad \pi _{X}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to X\times X,} と π Y : ( X × Y ) × ( X × Y ) → Y × Y {\displaystyle \pi _{Y}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to Y\times Y}
で与えられる。射のテンソル積も定義できる。f1 : (X1, α1) → (Y1, β1) と f2 : (X2, α2) → (Y2, β2) をモチーフの射とする。γ1 ∈ A*(X1 × Y1) であり、γ2 ∈ A*(X2 × Y2) を f1 と f2 の表現とすると、
f 1 ⊗ f 2 : ( X 1 , α 1 ) ⊗ ( X 2 , α 2 ) ⊢ ( Y 1 , β 1 ) ⊗ ( Y 2 , β 2 ) , f 1 ⊗ f 2 := π 1 ∗ γ 1 ⋅ π 2 ∗ γ 2 {\displaystyle f_{1}\otimes f_{2}:(X_{1},\alpha _{1})\otimes (X_{2},\alpha _{2})\vdash (Y_{1},\beta _{1})\otimes (Y_{2},\beta _{2}),\qquad f_{1}\otimes f_{2}:=\pi _{1}^{*}\gamma _{1}\cdot \pi _{2}^{*}\gamma _{2}} ,
となる。ここに πi : X1 × X2 × Y1 × Y2 → Xi × Yi は射影である。