ハーンの分解定理
数学におけるハーンの分解定理(ハーンのぶんかいていり、英: Hahn decomposition theorem)とは、オーストリアの数学者であるハンス・ハーンの名にちなむ定理で、可測空間 (X, Σ) およびその σ-代数 Σ 上で定義される符号付測度 μ が与えられたとき、次を満たすような二つの可測集合 P および N が Σ 内に存在するということを述べたものである:
P ∪ N = X および P ∩ N = ∅.
E ⊆ P を満たすような Σ 内の各 E に対して μ(E) ≥ 0 が成り立つ。すなわち、P は μ に対する正集合(英語版)である。
E ⊆ N を満たすような Σ 内の各 E に対して μ(E) ≤ 0 が成り立つ。すなわち、N は μ に対する負集合である。
このような分解は本質的に一意である。すなわち、上の三つの条件を満たすような他の任意の可測集合のペア (P′, N′) に対して、対称差 P Δ P′ および N Δ N′ は、そのすべての可測な部分集合が測度 0 であるという強い意味において、μ-零集合である。そのようなペア (P, N) は、符号付測度 μ のハーン分解(Hahn decomposition)と呼ばれる。
これは X \ Nn 内のすべての可測な部分集合 D についての μ(D) の下限である。この下限は先験的に –∞ となることもあり得る。D は空集合であることもあり、μ(∅) = 0 であるため、sn ≤ 0 となる。したがって Σ に属する Dn で、Dn ⊆ X \ Nn および
μ ( D n ) ≤ max { s n / 2 , − 1 } ≤ 0 {\displaystyle \mu (D_{n})\leq \max\{s_{n}/2,-1\}\leq 0}
を満たすようなものが存在する。上述の主張より、μ(An) ≤ μ(Dn) を満たすようなある負集合 An ⊆ Dn が存在する。Nn+1 = Nn ∪ An を定める。また
N = ⋃ n = 0 ∞ A n {\displaystyle N=\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}}
とする。集合 (An)n≥0 は互いに素であるため、μ の σ-加法性より、Σ に属するすべての B ⊆ N に対して
μ ( B ) = ∑ n = 0 ∞ μ ( B ∩ A n ) {\displaystyle \mu (B)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B\cap A_{n})}
が成立する。特にこのことは、N が負集合であることを意味する。今 P = X \ N を定義する。