数え上げ幾何学
アポロニウスの問題は、数え上げ幾何学のもっとも早い段階の例の一つである。この問題は、3つの円、点、直線が与えられたときに、それらに接する円の数と構成を問うている問題である。一般に、3つの円が与えられたときには、問題の解は 8つあり、それらの解は 2 とみることができて、各々の接する条件は円の空間上の二次式の条件で与えられる。しかし、与えられた円が特別な位置にあると、解の数は 0 (答えがない)から 6 までの任意の整数の値をとりうる。ただし、アポロニウスの問題に 7 つの解が与えられる配置というものは存在しない。
ヴェロネーゼ曲面は、次の「二重線」と呼ばれる円錐曲線をパラメトライズする。
( a X + b Y + c Z ) 2 = 0 {\displaystyle (aX+bY+cZ)^{2}=0}
この理由は、二重線は平面内のすべての直線と交叉するからで、射影平面内の直線は多重度 2 でほかの直線と交叉し、従って、直線に接する非退化な円錐曲線として、同じ交叉条件を満たす(交叉するときの多重度は 2)。
ベズーの定理は、5次元空間の中の 5次超曲面は 32 = 2 個の点で交叉するであろうことを言っている。しかし、適当な 2次超曲面は一般の位置にはない。32 個の中から、31 個が引き抜かれて、ヴェロネーゼ曲面に受け継がれ、正しい答へ至る(幾何学的な観点から)、すなわち 1 である。「退化」している場合との交叉に引き継がれる過程は、'fudge factor'の典型的な幾何学的導入部である。
これらが一見、任意の入り込んでしまう性質を克服するのが、ヒルベルトの問題(英語版)で(正確には、ヒルベルトの第15問題(英語版))である。この問題は、シューベルトの計算自体の基本的問題を超えている。