T検定
1900年ごろのビールは、酵母の数が正確に計測できなかったために、味が不安定だったと言われる。 発酵タンクの数はとても少なかった(小標本であった)にもかかわらず、正規分布をつかって推定していたため、精度が悪かった。 ゴセットはそれまでのデータを調べ上げ、平均からの偏差を不偏標準誤差で割った単純な値(t値)が、確率分布(t分布)に従うことを発見した。
実務的なデータ分析では、母集団が様々な前提を満たしているかどうかを調べるため、以下のような検定をt検定の前段階に行う場合がある。母集団が正規分布に従うかどうかは、コルモゴロフ-スミルノフ検定やシャピロ-ウィルク検定などの正規性検定によって判断することもできる。なお、F検定等により等分散性を検定し、その結果を踏まえてスチューデントのt検定またはウェルチのt検定を行う二段階の検定方法は、検定の多重性の問題が生じるため推奨されない。等分散性について考慮する必要のないウェルチのt検定を用いればよい(ウェルチのt検定は等分散性について頑健なので、事前に等分散性の検定を行う必要はない)。
前と同じ標本を対象とする。ウェルチのt検定は分散が等しい場合も等しくない場合も使用できる。
検定統計量t0 を
t 0 = | X ̄ − Y ̄ | U x m + U y n {\displaystyle t_{0}={\frac {|{\overline {X}}-{\overline {Y}}|}{\sqrt {{\frac {U_{x}}{m}}+{\frac {U_{y}}{n}}}}}}
により算出する。t分布の自由度νは、
ν = ( U x m + U y n ) 2 U x 2 m 2 ( m − 1 ) + U y 2 n 2 ( n − 1 ) {\displaystyle \nu ={\frac {({\frac {U_{x}}{m}}+{\frac {U_{y}}{n}})^{2}}{{\frac {U_{x}^{2}}{m^{2}(m-1)}}+{\frac {U_{y}^{2}}{n^{2}(n-1)}}}}}
であるが、これは整数になるとは限らないので、10未満の場合は小数自由度のt分布表を利用する。10以上ならば小数部を切り捨て整数部のみを使用してよい。
t検定は大きく次のように分けられる。
2つの母集団がいずれも正規分布に従うと仮定したうえでの、平均が等しいかどうかの検定。 標本が対になっている、つまり1組の標本のメンバー各々と、もう1組の特定のメンバーとの間に特別な関係がある場合(例えば、同じ人に前後2回調査する場合、夫と妻とで比較する場合など)。 標本が独立で、比較する2つの群の分散が等しいと仮定できる場合(等分散性の仮定)。 標本が独立で、等分散性が仮定できない(異分散)場合。これは正確にはウェルチのt検定と呼ばれる。
正規分布に従う母集団の平均が、特定の値に等しいかどうかの検定。
回帰直線の勾配が0と有意に異なるかどうかの検定。
t検定は母集団の正規分布を前提とするパラメトリック検定であるが、この条件が満たされず、さらに標本サイズが小さいと、t検定で近似することも困難となる。そういった場合にはノンパラメトリック検定を用いる方法がある。ノンパラメトリック検定は汎用性を重視し、効率性を犠牲にしているというものの、場合によっては検出力(1 − β)がt検定に比べて高い。ただし、例えば正規分布の場合、最善はパラメトリック検定のt検定であるが、ノンパラメトリック検定のウィルコクソンの符号順位検定を用いても、必要なデータ数は π / 3 {\displaystyle \pi /3} = 約1.05 倍であり、5%程度多めに標本が必要なだけである。
標本が独立ならばマン・ホイットニーのU検定など
対になる標本ならばウィルコクソンの符号順位検定など
を用いることができる。ただしt検定やZ検定が母集団の平均値に注目して仮説を立てるのに対して、ノンパラメトリック検定ではランキング、中央値や分布などに注目して仮説を立てることに注意が必要。
t検定がマン・ホイットニーのU検定およびウィルコクソンの符号順位検定と比較して必要な標本数の比率。1未満はt検定の方が必要標本数が小さいことを意味する。
正規分布 - 0.9549
一様分布 - 1
両側指数分布 - 1.5
ロジスティク分布 - 1.0966
指数分布 - 3
対数正規分布 - 7.3537
ガンベル分布 - 1.2337
三角分布 - 0.8889
この比率が最小となる分布 - 0.864