クロネッカーの極限公式
クロネッカーの第二極限公式は、
E u , v ( τ , 1 ) = − 2 π log  | f ( u − v τ ; τ ) q v 2 / 2 | {\displaystyle E_{u,v}(\tau ,1)=-2\pi \log |f(u-v\tau ;\tau )q^{v^{2}/2}|}
である。ここに、
u と v は実数で、ともに整数であることはない。
q = e かつ q = e
p = e かつ p = e
Re(s) > 1 に対し E u , v ( τ , s ) = ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) e 2 π i ( m u + n τ ) y s | m τ + n | 2 s {\displaystyle E_{u,v}(\tau ,s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}e^{2\pi i(mu+n\tau )}{y^{s} \over |m\tau +n|^{2s}}} で、他の複素数 s に対しては解析接続によって定義される。
f ( z , τ ) = q 1 / 12 ( p 1 / 2 − p − 1 / 2 ) ∏ n ≥ 1 ( 1 − q n p ) ( 1 − q n / p ) {\displaystyle \textstyle f(z,\tau )=q^{1/12}(p^{1/2}-p^{-1/2})\prod _{n\geq 1}(1-q^{n}p)(1-q^{n}/p)}