ロトカ・ヴォルテラの競争方程式
アイソクラインを使って、解(時間が経過したときのそれぞれの個体数の変化)の定性的な挙動を知ることができる。すなわち、N1-N2相平面上の点(各個体数)がアイソクライン直線の内側、外側、あるいは直線上にあるかどうかに注目すれば、個体数増加率の値そのものは不明でも、個体数増加率の正負は知ることができる。直線3の場合は
直線内側(K1 − N1 − α12N2 > 0)のとき: dN1/dt > 0
直線外側(K1 − N1 − α12N2 < 0)のとき: dN1/dt < 0
直線上(K1 − N1 − α12 N2 = 0)のとき:dN1/dt = 0
なので、内側では N1 は増加する方向、外側では N1 は減少する方向、直線上では N1 は増減しないことがわかる(上図)。直線4の場合も同様に、内側では N2 は増加する方向、外側では N2 は減少する方向、直線上では N2 は増減しないことがわかる。
直線3と直線4を重ね合わせることで、各個体数が変化する方向が判明する。N1-N2相平面上で直線3と直線4の相対的な位置関係は、係数の値によって次のように4種類ある。
(1) K2 < K1/α12 かつ K1 > K2/α21 のとき
(2) K2 > K1/α12 かつ K1 < K2/α21 のとき
(3) K2 > K1/α12 かつ K1 > K2/α21 のとき
(4) K2 < K1/α12 かつ K1 < K2/α21 のとき
したがって、それぞれの場合ごとに解の大局的な挙動が異なり、下図のようになる。
直線4: K 2 − N 2 − α 21 N 1 = 0 {\displaystyle K_{2}-N_{2}-\alpha _{21}N_{1}=0}
という4つの直線である。1番目は N2 軸と一致する直線である。2番目は N1 軸と一致する直線である。3番目はN1切片が K1、N2切片が K1/α12 の直線である。4番目はN1切片が K2/α21、N2切片が K2 の直線である。これらの直線を境界にして、それぞれの個体数増加率の正負が切り替わる。現実の生物個体数は正の値であるから、特に関係するのは3番目と4番目の直線である。3番目の直線上では、dN1/dt = 0 であるから、この直線を通る解は平面上を上下方向(N2軸方向)にだけ動く。そのため、このアイソクライン直線を傾き無限大のアイソクラインと呼ぶ。一方、4番目の直線上では、dN2/dt = 0 であるから、この直線を通る解は平面上を左右方向(N1軸方向)にだけ動く。そのため、このアイソクライン直線を傾き0のアイソクラインと呼ぶ。