オイラー法
例えば h を 10 以下にしないと近似解が厳密解に近付かない場合、最低限でも 10 時間での解を計算しなければならないので効率が大きく下がる。そのため、もし h に関係なく近似解が思わぬ行動を取れないことを示せるなら、h を自由に設定できてそのような心配はいらなくなる。上述の条件が満たされる方法は、おおよそ数値的に安定(正しくいうとA-安定)である。厳密な定義や他の安定性(L-安定、零点安定他)については、硬い方程式を参照。
線形微分方程式 y ′ = k y {\displaystyle y'=ky} をオイラー法により求める場合 z = h k {\displaystyle z=hk} を複素平面にとったとき図の円より外側の領域で数値解が不安定となる。
{ z ∈ C ∣ | z + 1 | ≤ 1 } , {\displaystyle \{z\in \mathbf {C} \mid |z+1|\leq 1\},}
図の領域は線形安定領域と呼ばれる。 例えば k = − 2.3 {\displaystyle k=-2.3} の場合では、時間の刻み幅 h = 1 {\displaystyle h=1} では z = h k = − 2.3 {\displaystyle z=hk=-2.3} となる。
よってこの z {\displaystyle z} では安定領域より外側の領域のためオイラー法の数値解は不安定となる。