畳み込み
多項式の掛け算の結果の係数列は、元の多項式の係数列の線形畳み込みになる。実際
( ∑ i = 0 m a i x i ) ( ∑ j = 0 l b j x j ) = ∑ k = 0 m + l ( ∑ i + j = k a i b j ) x k = ∑ k = 0 m + l ( ∑ i = 0 k a i b k − i ) x k {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{m}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{l}b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+l}\left(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)x^{k}=\sum _{k=0}^{m+l}\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)x^{k}}
であり、掛け算の結果の係数が a*b となる。
連続関数 f, g の畳み込み f ∗ g は以下のように定義される:
( f ∗ g ) ( t ) = ∫ f ( τ ) g ( t − τ ) d τ {\displaystyle (f*g)(t)=\int f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }
積分を用いて2つの関数を合わせることから畳み込み積分、合成積、重畳積分とも呼ばれる。
積分範囲は関数の定義域に依存する。通常は区間 (−∞, +∞) で定義される関数を扱うことが多いので、積分範囲は −∞ から +∞ で計算されることが多い。一方 f, g が有限区間でしか定義されない場合には、g(t − τ) が定義域内に入るように f, g を周期関数と見なして計算される。この周期関数と見なして畳み込みをすることを循環畳み込み(じゅんかんたたみこみ、英: cyclic convolution)と呼ぶ。
畳み込み積分が用いられた最初期の例の一つは d'Alembert (1754) Recherches sur différents points importants du système du monde におけるテイラーの定理の導出にある。また
∫ f ( u ) ⋅ g ( x − u ) d u {\displaystyle \int f(u)\cdot g(x-u){\mathit {du}}}
の形の式は Lacroix(英語版) Treatise on differences and series の505頁で用いられ、そのすぐ後にLaplace, Fourier, Poissonらの研究に畳み込み演算が現れている。名称自体が広く用いられるようになるには1950年代あるいは1960年代を待たなければならない。
コンパクト台付きや可積分な函数と同様に、函数が無限遠で十分急速に減少(英語版)すれば畳み込みができて, それらの畳み込みもまた急速に減少することは重要な性質である. とくに f と g が急減少函数ならば, それらの畳み込み f ∗ g もまた急減少函数となる. このことを, 畳み込みが微分と可換であるという事実と組み合わせれば, シュヴァルツ函数のクラスが畳み込みで閉じていることが導かれる.
位相群 G 上の有限ボレル測度 μ と ν に対し, それらの畳み込み μ ∗ ν は G の各可測部分集合 E に対して
( μ ∗ ν ) ( E ) = ∫∫ 1 E ( x y ) d μ ( x ) d ν ( y ) {\displaystyle (\mu *\nu )(E)=\iint 1_{E}(xy)\,d\mu (x)\,d\nu (y)}
で定義され, やはり有限測度となる. 実際, 全変動に関するヤングの不等式
‖ μ ∗ ν ‖ ≤ ‖ μ ‖ ‖ ν ‖ {\displaystyle \lVert \mu *\nu \rVert \leq \lVert \mu \rVert \,\lVert \nu \rVert }
が満足される. G が局所コンパクト群で左ハール測度 λ を持ち, μ と ν が λ に関して絶対連続で各々密度函数を持つ場合には、畳み込み μ ∗ ν もまた絶対連続で, その密度函数は各測度の密度函数の (通常の函数としての) 畳み込みに一致する.
考える位相群が実数の加法群 (R, +) のとき, その上の確率測度 μ と ν をとれば, 測度の畳み込み μ ∗ ν は, 分布 μ および ν に従う独立確率変数 X および Y の和 X + Y の確率分布に対応する.
撮像時のブレなどの多くのぶれ (blur) は畳み込みで記述できる。例えば、ピントがぼけた写真は、ピントがあった仮想的な画像と、絞りの特性を示す円との畳み込みである。また被写体等の動きによるブレも、静止した仮想的な画像と動きの特性との畳み込みであり、グラフィックソフトウェアのモーションブラーはこの畳み込み演算を計算によりシミュレートすることで実現している。
画像認識においても、異なるスケールの画像を認識するにあたり、畳み込みでぶれをつくってから、画像処理することがある。