八十一角形
正八十一角形においては、中心角と外角は4.444...°で、内角は175.555...°となる。一辺の長さが a の正八十一角形の面積 S は
S = 81 4 a 2 cot  π 81 {\displaystyle S={\frac {81}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{81}}}
cos  ( 2 π / 81 ) {\displaystyle \cos(2\pi /81)} を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式を3回解く必要である。 すると
cos  2 π 81 = cos  2 π 3 ⋅ 27 = ω 3 3 3 + ω 2 3 3 3 2 = − 1 + 3 i 2 3 3 3 + − 1 − 3 i 2 3 3 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{81}}=\cos {\frac {2\pi }{3\cdot 27}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\omega }}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\omega ^{2}}}}}}{2}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}}}}{2}}}