位置演算子
1次元では、波動関数の絶対値の二乗 |ψ| = ψψ は、位置 x での粒子を見つける確率密度を表す。 よって粒子の位置の測定の期待値は、
⟨ x ⟩ = ∫ − ∞ + ∞ x | ψ | 2 d x = ∫ − ∞ + ∞ ψ ∗ x ψ d x {\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }x|\psi |^{2}dx=\int _{-\infty }^{+\infty }\psi ^{*}x\psi dx}
その結果、位置に対応する量子力学的な演算子は ˆx で、
x ^ ψ ( x ) = x ψ ( x ) {\displaystyle {\hat {x}}\psi (x)=x\psi (x)}
左辺の x の上にあるサーカムフレックスˆは演算子を表し、 この方程式は「いかなる関数 ψ(x) でも演算子 x が作用した結果は ψ(x) の x 倍に等しい」、またはもっと単純に「演算子 x はいかなる関数 ψ(x) でも x 倍する」ということができる。