資産価格付けの基本定理
離散時間の場合は概要で説明した通りの定理が成立する。簡単な証明を記す。
リスク中立確率の存在から裁定取引の非存在
背理法を用いる。そもそも裁定取引とは現時点で組成にかかる費用が0で将来の利益が必ず非負であり、さらに正の確率で正の利益をもたらすポートフォリオのことを指す。このような裁定ポートフォリオの時点 t {\displaystyle t} における割引価値を X t {\displaystyle X_{t}} とすれば、 X 0 = 0 {\displaystyle X_{0}=0} かつ将来の時点 T {\displaystyle T} において、 P ( X T ≥ 0 ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} (X_{T}\geq 0)=1} かつ P ( X T > 0 ) > 0 {\displaystyle \mathbb {P} (X_{T}>0)>0} である。ただし、 P {\displaystyle \mathbb {P} } は実際の確率を表す確率測度であり、 P ( ⋅ ) {\displaystyle \mathbb {P} (\cdot )} はカッコ内の事象が起こる確率である。
ここで A {\displaystyle A} は任意に選んだので、結局リスク中立測度 P B , P C {\displaystyle \mathbb {P} _{B},\mathbb {P} _{C}} は同じものである。よって完備市場の下ではリスク中立測度は一意に定まる。
リスク中立測度の一意性から市場の完備性
逆を示すにはマルチンゲール表現定理(英語版)を用いる。市場が完備であるという事は任意の条件付き請求権(英: contingent claim)に複製ポートフォリオが存在するという事である。任意の条件付き請求権の条件付き期待値はマルチンゲールとなるので、マルチンゲール表現定理により金融資産の価格過程に対する確率積分として表示することが可能である、つまり複製ポートフォリオとして表現できる。ゆえに市場は完備である。ここでリスク中立測度が一意に定まらないとマルチンゲール表現定理を用いる事が出来ないので、その点でリスク中立測度の一意性が必要になる。
市場の完備性の必要十分条件は、例えば有限状態の場合はペイオフ行列の階数が状態数と一致することであり、ブラック=ショールズモデルの場合はボラティリティ行列の階数がブラウン運動の数と常に一致することである。
資産価格付けの基本定理は、金融市場の数学的定式化の違いにより定理の内容が若干異なるが、通常以下のように言及される。
資産価格付けの第1基本定理
金融市場に裁定取引が存在しない必要十分条件は少なくとも1つ以上のリスク中立確率が存在することである。
資産価格付けの第2基本定理
金融市場に裁定取引が存在しないと仮定する。この時、金融市場が完備である必要十分条件はリスク中立確率が一意に定まることである。
資産価格付けの基本定理という名前はPhilip Dybvigとステファン・ロス(英語版)に由来する。リスク中立確率とは利子率で割り引かれたすべての金融資産価格がマルチンゲールとなるような仮想上の確率であるので、そのような数学的概念の存在や一意性と、同値条件にあたる裁定取引の非存在や市場の完備性といった経済学的な概念が結び付けられたことで重要な意味を持ち、多くの資産価格理論が資産価格付けの基本定理を利用したものになっている。
すると、 H {\displaystyle H} は事象 A {\displaystyle A} が起これば1円、起こらなければ0円となる。また、市場の完備性からこのオプションには複製ポートフォリオが存在する。この複製ポートフォリオの時点 t {\displaystyle t} での割引価値を X t {\displaystyle X_{t}} とする。すると、リスク中立確率の定義から X 0 = E B  [ H ] = P B ( A ) {\displaystyle X_{0}=\operatorname {E} _{B}[H]=\mathbb {P} _{B}(A)} X 0 = E C  [ H ] = P C ( A ) {\displaystyle X_{0}=\operatorname {E} _{C}[H]=\mathbb {P} _{C}(A)}
が成り立つ。ただし、 E B , E C {\displaystyle \operatorname {E} _{B},\operatorname {E} _{C}} はそれぞれリスク中立測度 P B , P C {\displaystyle \mathbb {P} _{B},\mathbb {P} _{C}} の下での期待値である。よって、 P B ( A ) = P C ( A ) {\displaystyle \mathbb {P} _{B}(A)=\mathbb {P} _{C}(A)} が成り立つ。