四平方定理
( s 1 t 1 + s 2 t 2 + s 3 t 3 + s 4 t 4 f ) 2 + ( s 1 t 2 − s 2 t 1 + s 3 t 4 − s 4 t 3 f ) 2 + ( s 1 t 3 − s 2 t 4 − s 3 t 1 + s 4 t 2 f ) 2 + ( s 1 t 4 + s 2 t 3 − s 3 t 2 − s 4 t 1 f ) 2 = e p {\displaystyle \left({\frac {s_{1}t_{1}+s_{2}t_{2}+s_{3}t_{3}+s_{4}t_{4}}{f}}\right)^{2}+\left({\frac {s_{1}t_{2}-s_{2}t_{1}+s_{3}t_{4}-s_{4}t_{3}}{f}}\right)^{2}+\left({\frac {s_{1}t_{3}-s_{2}t_{4}-s_{3}t_{1}+s_{4}t_{2}}{f}}\right)^{2}+\left({\frac {s_{1}t_{4}+s_{2}t_{3}-s_{3}t_{2}-s_{4}t_{1}}{f}}\right)^{2}=ep}
を得る。これは最小の f {\displaystyle f} を選んだという仮定に背く。故に f = 1 {\displaystyle f=1} でなければならない。
以上により、全ての奇素数が高々四個の平方数の和で表されることが証明された。 Q.E.D.