アフィン写像
アフィン変換が可逆であるとき、正則アフィン変換という。アフィン変換が正則となるのは、線型変換部分 A が正則であるときであり、そのときに限る。有限次元の場合、拡大係数行列による表現をもちいれば、逆変換は
( A − 1 − A − 1 b 0 , ... , 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{-1}&-A^{-1}b\\0,\ldots ,0&1\end{pmatrix}}}
で与えられる。正則アフィン変換の全体はアフィン変換群を成す。n-次元空間上のアフィン変換群 affn は、n-次一般線型群 GLn を部分群として含み、それ自身は (n+1)-次一般線型群 GLn+1 の部分群を成す。
相似変換の全体は直交変換のスカラー倍で表される変換全体の成すアフィン変換群の部分群である。アフィン変換の線型変換部分 A の行列式の値が 1 または −1 であることと、その変換で面積が保たれる(等積変換である)こととは同値であり、そのようなアフィン変換の全体もまた部分群を成す。両方の条件を組み合わせれば等距変換を得るが、そのような変換は線型変換部分 A が直交変換となるものであり、その全体は相似変換群と等積変換群双方の部分群を成す。
これらの群はどれも、(線型変換部分 A の行列式が正であるがゆえに)向きを保つ変換からなる部分群をもつ。3-次元での等距変換群は剛体の運動(真の回転と純平行移動)全体の成す群である。
任意の行列 A について以下の条件は互いに同値である。
A − I が可逆行列(I は単位行列)。
A は 1 を固有値に持たない。
任意のベクトル b に対して、アフィン変換 Ax + b はちょうど一つの不動点を持つ。
一般に、アフィン変換は線型変換(回転、拡大縮小、剪断(せん断))と平行移動の組み合わせである。いくつかの線型変換の組合せは一つの線型変換として得られるから、アフィン変換は一般に
x ↦ A x + b {\displaystyle x\mapsto Ax+b}
の形で書けるもので尽くされる。有限次元の場合には、アフィン変換は適当な性質を満たす行列 A とベクトル b を用いて表すことができる。
幾何学的には、ユークリッド空間内のアフィン変換は以下のような構造を保つ。
共線性: (任意の)同一直線上にある3点のアフィン変換による像は、やはり同一直線上にある3点となる。
線分比: 同一直線上にある3点 p1, p2, p3 に対して、比 | p 2 − p 1 | / | p 3 − p 2 | {\displaystyle |p_{2}-p_{1}|/|p_{3}-p_{2}|} は変換後も変わらない。