コーシー＝シュワルツの不等式
( x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) 2 ≤ ( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 ) {\displaystyle (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3})^{2}\leq ({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2})({y_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2}+{y_{3}}^{2})}
となる。これらは有限次元の内積空間における例であるが、無限次元の内積空間でも成り立つ。自乗可積分函数空間では内積として積分の形があり、2つの自乗可積分函数 f, g に対して
( ∫ f ( x ) g ( x ) ∗ d x ) 2 ≤ ∫ | f ( x ) | 2 d x ⋅ ∫ | g ( x ) | 2 d x {\displaystyle \left(\int f(x)g(x)^{*}\,dx\right)^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx}
がシュワルツの不等式に当たる不等式である。これはヘルダーの不等式に一般化される。
≤ ( ∑ i = 1 k x i 2 + x k + 1 2 ) ( ∑ i = 1 k y i 2 + y k + 1 2 ) {\displaystyle \leq \left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{x_{i}}^{2}+{x_{k+1}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k}{y_{i}}^{2}+{y_{k+1}}^{2}\right)} (∵ n = 2 のときより)
= ( ∑ i = 1 k + 1 x i 2 ) ( ∑ i = 1 k + 1 y i 2 ) {\displaystyle =\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}{x_{i}}^{2}\right)\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{k+1}{y_{i}}^{2}\right)}
となって成立する。
}
ここからコーシー=シュワルツの不等式を得る。
複素内積空間においても同様の証明がある。この場合は、⟨x|y⟩ なる内積を考えるとき、実数 t と絶対値 1 の複素数 λ について
⟨ x + λ t y | x + λ t y ⟩ {\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}}+\lambda t{\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}}+\lambda t{\boldsymbol {y}}\rangle }
に対して同様の議論を行い、
( Re  ⟨ x | λ y ⟩ ) 2 − ⟨ x | x ⟩ ⟨ y | y ⟩ ≤ 0 {\displaystyle \left(\operatorname {Re} \langle {\boldsymbol {x}}|\lambda {\boldsymbol {y}}\rangle \right)^{2}-\langle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {x}}\rangle \langle {\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {y}}\rangle \leq 0}
が導かれる。