コラッツの問題
本節では、コラッツ関数を少し変形したものを考える:
f ( n ) = { n / 2 if n ≡ 0 ( 3 n + 1 ) / 2 if n ≡ 1 ( mod 2 ) . {\displaystyle f(n)={\begin{cases}n/2&{\text{if }}n\equiv 0\\(3n+1)/2&{\text{if }}n\equiv 1\end{cases}}{\pmod {2}}.}
nが奇数の場合には3n + 1が必ず偶数になるので上記のようにできる。
P(...)をパリティ数とする。P(2n) = 0 で、P(2n + 1) = 1 である。整数nのパリティシーケンス(もしくは、パリティベクトル)を、pi = P(ai), ただしa0 = n, and ai+1 = f(ai) と定義する。 (3n + 1)/2 または n/2、どちらの操作が適用されるかは、パリティに依存する。パリティシーケンスはfによる操作の場合分けに等しい。 f(n)に対してこの形式を適用すると、2つの整数m とnのパリティシーケンスは、m とnが2を法として合同の場合のみ、最初のk項で一致するこが示される。