コリオリの力
上記は広義のコリオリの力の項である。
− m ( a 1 f 1 ′′ + a 2 f 2 ′′ + a 3 f 3 ′′ + P ′′ ) = m ω 2 ( a 2 f 2 + a 3 f 3 + R cos  α f 3 ) = m ω 2 { b 2 e 2 + ( b 1 sin  α + b 3 cos  α + R cos  α ) ( sin  α e 1 + cos  α e 3 ) } {\displaystyle {\begin{aligned}-m(a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P'')&=m\omega ^{2}(a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}+R\cos \alpha f_{3})\\&=m\omega ^{2}\left\{b_{2}e_{2}+(b_{1}\sin \alpha +b_{3}\cos \alpha +R\cos \alpha )(\sin \alpha e_{1}+\cos \alpha e_{3})\right\}\end{aligned}}}
また極点より緯度の小さい地域ではコリオリの力の影響はさらに小さくなる。日常生活の中で地球の回転によって生じるコリオリの力は非常に小さなものなのである。
同じく極点において、今度は秒速1000 mの砲弾を距離10 km先まで飛ばすときのコリオリの力による影響を考える。先ほどと同様に考えると、コリオリの力による加速度の大きさは
a ′ = 2 ω v ′ = 1.46 × 10 − 1 m / s 2 {\displaystyle a'=2\omega v'=1.46\times 10^{-1}\mathrm {m/s^{2}} }
であり、通過するのにかかる時間tは t = 10.0 s {\displaystyle t=10.0\mathrm {s} } であるから等加速度運動とみなすとずれの距離 x {\displaystyle x} は
x = 1 2 a ′ t 2 ≒ 7.3 m {\displaystyle x={1 \over 2}a't^{2}\fallingdotseq 7.3\mathrm {m} }
したがって 7 m {\displaystyle 7\mathrm {m} } ものずれが生じる。このように大規模な運動(運動速度が大きくて、運動する時間も長い)では地球の回転によって生じるコリオリの力は大きな影響を及ぼすのである。
回転座標系として、 P {\displaystyle P} を原点とし、次の3つの単位ベクトルで張られる座標系を考える。
この座標系で、時刻 t {\displaystyle t} における質点 X {\displaystyle X} の位置が、 f 1 {\displaystyle f_{1}} 成分 a 1 ( t ) {\displaystyle a_{1}(t)} 、 f 2 {\displaystyle f_{2}} 成分 a 2 ( t ) {\displaystyle a_{2}(t)} 、 f 3 {\displaystyle f_{3}} 成分 a 3 ( t ) {\displaystyle a_{3}(t)} で表記されたとする。(以下 t {\displaystyle t} は省略する。)
静止系で表すと
X = a 1 f 1 + a 2 f 2 + a 3 f 3 + P = a 1 f 1 + a 2 f 2 + a 3 f 3 + R sin  α f 1 + R cos  α f 3 {\displaystyle {\begin{aligned}X&=a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}+P\\&=a_{1}f_{1}+a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}+R\sin \alpha f_{1}+R\cos \alpha f_{3}\end{aligned}}}
である。
[ e 1 e 2 e 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] = [ f 1 f 2 f 3 ] [ cos  α 0 sin  α 0 1 0 − sin  α 0 cos  α ] [ b 1 b 2 b 3 ] = [ f 1 f 2 f 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}
のため
[ cos  α 0 sin  α 0 1 0 − sin  α 0 cos  α ] [ b 1 b 2 b 3 ] = [ a 1 a 2 a 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}}
でなければならない。
α {\displaystyle \alpha } は時間には依存しないため、
このコリオリ効果の垂直成分をエトヴェシュ効果(Eötvös effect)と呼ぶ。
上記の例は、物体の接線速度が地球の自転速度(465 m/s)より速くなると、物体が西に向かうにつれてエトヴェシュ効果が減少し始める理由を説明するために使うことができる。上の例で西向きの列車が速度を上げると、線路を押す重力の一部が、慣性系上で円運動を維持するために必要な求心力を占める。列車が西向きの速度を自転速度の2倍の930 m/s (2,100 mph)にすると、その求心力は列車が停止するときに受ける力と等しくなる。慣性系から見ると、どちらの場合も同じ速度で回転するが、方向は反対である。したがって、エトヴェシュ効果を完全に打ち消す力は同じである。930 m/s (2,100 mph)以上の速度で西に移動する物体は、代わりに上向きの力が加わる。図では、10-キログラム (22 lb)の物体を異なる速度で列車に乗せた場合のエトヴェシュ効果を示している。放物線の形をしているのは、求心力が接線速度の2乗に比例するからである。慣性系上では、放物線の底は原点を中心とする。オフセットは、この議論が地球の回転系を使用しているためである。このグラフは、エトヴェシュ効果が対称的ではなく、高速で西に移動する物体が受ける下向きの力は、同じ速度で東に移動する物体が受ける上向きの力よりも小さいことを示している。