完全交叉環
正則局所環は完全交叉環。しかし逆は正しくない。環 k [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle k[x]/(x^{2})} は0次元の完全交叉環であるが正則ではない。
完全交叉環はゴレンシュタイン環。しかし逆は正しくない。環 k [ x , y , z ] / ( x 2 , y 2 , x z , y z , z 2 − x y ) {\displaystyle k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)} は0次元のゴレンシュタイン環だが、完全交叉環ではない。