単位の換算
式(3-1)については、L [u1] u1 や L [u2] u2 が「物理量」であり、L [u1] や L [u2] は物理量の値であり、u1 や u2 が単位であることを考えれば想到出来よう。
もっと言えば、物理量 L が、物理量の値と、単位の積として、
L = L [ u 1 ] u 1 = L [ u 2 ] u 2 {\displaystyle L=L[{\mathrm {u} }_{1}]\ {\mathrm {u} }_{1}=L[{\mathrm {u} }_{2}]\ {\mathrm {u} }_{2}}
書かれるという、物理量の「定義」そのものを言っているに過ぎない。
例解するならば
家から学校までの距離 = 5 km = 5000 m
のように言っているにすぎない。この例においては、
L = 家から学校までの距離
L [ u 1 ] = 5 {\displaystyle L[{\mathrm {u} }_{1}]=5}
u 1 = k m {\displaystyle {\mathrm {u} }_{1}=\mathrm {km} }
L [ u 2 ] = 5000 {\displaystyle L[{\mathrm {u} }_{2}]=5000}
u 2 = m {\displaystyle {\mathrm {u} }_{2}=\mathrm {m} }
である。
式(3-2)については、以下のように考えればよい。
u 1 = α u 2 {\displaystyle {\mathrm {u} }_{1}=\alpha \ {\mathrm {u} }_{2}}
であれば、
L [ u 1 ] = 1 ⇔ L [ u 2 ] = α {\displaystyle L[{\mathrm {u} }_{1}]=1\Leftrightarrow L[{\mathrm {u} }_{2}]=\alpha }
である。従って、
L [ u 1 ] = x ⇔ L [ u 2 ] = α x {\displaystyle L[{\mathrm {u} }_{1}]=x\Leftrightarrow L[{\mathrm {u} }_{2}]=\alpha x}
であり、
L [ u 1 ] = ( 1 / α ) L [ u 2 ] {\displaystyle L[{\mathrm {u} }_{1}]=(1/\alpha )L[{\mathrm {u} }_{2}]}
L [ u 2 ] = α L [ u 1 ] {\displaystyle L[{\mathrm {u} }_{2}]=\alpha L[{\mathrm {u} }_{1}]}
である。
例解するならば、長さ L について
1 km = 1000 m
を用いて数値方程式の単位換算を考えた場合、
L [km] = 1 ⇔ L [m] = 1000
である。従って、
L [km] = x ⇔ L [m] = 1000x (x は任意実数)
であり、
L [km] = (1/1000)L [m]
L [m] = 1000L [km]
となる。