陰計算
同様の umbral な関係式は和分差分学の理論においても存在する。例えばテイラー級数の umbral 版は、多項式函数 f に対する第 k-階前進差分を Δ[f] と書けば、
f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ Δ k [ f ] ( 0 ) k ! ( x ) k {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!}}(x)_{k}}
と書くことができる。ここで (x)k = x(x − 1)(x − 2)⋯(x − k+1) はポッホハマー記号でここでは下降階乗の意味である。同様の関係式が、後退差分と上昇階乗に関しても成立する。
この級数はニュートン級数 あるいはニュートンの前進差分展開などとも呼ばれる。このテイラー展開類似の級数は和分差分学で利用される。
これはつまり下付きの n が上付き(冪指数)に移ったということだから、umbral calculus のカギとなる操作が肯定されたことになる。例えば
B n ( y + x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B n − k ( y ) x k {\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}}
は右辺を L を用いて書いて展開すれば
∑ k = 0 n ( n k ) B n − k ( y ) x k = ∑ k = 0 n ( n k ) L ( ( 2 y ) n − k ) x k = L ( ∑ k = 0 n ( n k ) ( 2 y ) n − k x k ) = L ( ( 2 y + x ) n ) = B n ( x + y ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L((2y)^{n-k})x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(2y)^{n-k}x^{k}\right)=L((2y+x)^{n})=B_{n}(x+y)}
と証明できる。後にロタは、このトピックにありがちな三つの同値関係(これらがすべて "=" で書かれていた)を区別しそこなったことで極めて複雑な結果に陥ったことを述べている。