摂動完全均衡
いま, a 2 m i n {\displaystyle a_{2}^{\rm {min}}} と b 2 m i n {\displaystyle b_{2}^{\rm {min}}} を 0 に近づけたならば,変動ゲームから得られるのはふたたびもとのゲームにほかならない:
lim a 2 m i n , b 2 m i n → 0 ( ( 1 − a 2 m i n , a 2 m i n ) , ( 1 − b 2 m i n , b 2 m i n ) ) = ( ( 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) ) = ( a 1 , b 1 ) {\displaystyle \lim _{a_{2}^{\rm {min}},b_{2}^{\rm {min}}\to 0}\left((1-a_{2}^{\rm {min}},a_{2}^{\rm {min}}),(1-b_{2}^{\rm {min}},b_{2}^{\rm {min}})\right)=((1,0),(1,0))=(a_{1},b_{1})}
誤り確率を 0 に近づけ,変動ゲームの均衡がもとのゲームのナッシュ均衡に近づくならば,この均衡は摂動完全均衡である.
この例では,変動ゲームは均衡 (a1, b1) に向かい,したがってこれは摂動完全均衡である.
E [ u ( a 1 ) ] = ( 1 − ε ) u ( a 1 , b 1 ) + ε u ( a 1 , b 2 ) = ( 1 − ε ) ⋅ 3 + ε ⋅ 5 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} [u(a_{1})]&=(1-\varepsilon )u(a_{1},b_{1})+\varepsilon u(a_{1},b_{2})\\&=(1-\varepsilon )\cdot 3+\varepsilon \cdot 5\end{aligned}}}
であり,反対に,戦略 a2 からの期待利得は,
E [ u ( a 2 ) ] = ( 1 − ε ) u ( a 2 , b 1 ) + ε u ( a 2 , b 2 ) = ( 1 − ε ) ⋅ ( − 2 ) + ε ⋅ 5 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} [u(a_{2})]&=(1-\varepsilon )u(a_{2},b_{1})+\varepsilon u(a_{2},b_{2})\\&=(1-\varepsilon )\cdot (-2)+\varepsilon \cdot 5\end{aligned}}}
である.次のことが簡単にわかる: