円分多項式
n が素数のときは係数が全て 1 の n − 1 次の多項式となる。
すべての整数は円分多項式の係数として現れる。さらに強く、どのような等差数列 ( s n + t ) n ≥ 1 ( s > t ≥ 0 ) {\displaystyle (sn+t)_{n\geq 1}(s>t\geq 0)} をとっても、すべての整数はある Φ s n + t {\displaystyle \Phi _{sn+t}} の係数として現れる。
任意の円分多項式の全ての根は、いくつかの有理数から出発して四則と冪根を繰り返すことにより表せることが知られている。実際、Φn(x) のガロア群は Z/nZ の乗法群である。特に n がフェルマー素数のときは、冪根として平方根を用いるだけで表すことが可能であるため、長さ 1 の線分が与えられれば、定規とコンパスを使用して半径 1 の円弧を n 等分する線分が作図可能である。
x が異なる円分多項式の差として表される多項式の根ならば 1/2 < x < 2 となる。このことから多項式 F, G の間に F ⪯ G {\displaystyle F\preceq G} を x > 2 となるすべての x について F ( x ) ≤ G ( x ) {\displaystyle F(x)\leq G(x)} となることと定義すると ⪯ {\displaystyle \preceq } は円分多項式の間の全順序を定めることが分かる。