ツェルメロ＝フレンケル集合論
ツェルメロ=フレンケル集合論は、単一の原始概念の形式化、すなわち整礎な純粋集合(英語版)の概念の形式化を目的としているため、議論領域内のすべての対象 (entity) はそのような集合となる。したがって、ツェルメロ=フレンケル集合論における公理は純粋集合のみに言及し、そのモデルにアトム(英語版)(urelement) が含まれないようにしている。さらに、真のクラスは間接的にしか扱えない。具体的には、ツェルメロ=フレンケル集合論では、全体集合(すべての集合を含む集合)の存在も無制限の内包も許容しないため、ラッセルのパラドックスを回避できる。フォン・ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論(NBG) は、ツェルメロ=フレンケル集合論の保存拡大としてよく用いられており、真のクラスを明示的に扱うことができる。
ツェルメロ=フレンケル集合論の公理には多くの同値な定式化が存在する。ほとんどの公理は、他の集合から定義された特定の集合の存在を主張する。たとえば対の公理は、任意の2つの集合 a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} が与えられたとき、 a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} のみからなる新しい集合 { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} の存在を主張する。
. , w n {\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}} を含む任意の式とする( y {\displaystyle y} は φ {\displaystyle \phi } の自由変項でない )。このとき:
∀ z ∀ w 1 ∀ w 2 ... ∀ w n ∃ y ∀ x [ x ∈ y ⇔ ( ( x ∈ z ) ∧ φ ) ] . {\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \phi )].}
分出公理は部分集合のみを構築でき、次のように一般的な集合を構築することはできないことに注意せよ:
{ x : φ ( x ) } . {\displaystyle \{x:\phi (x)\}.}
この制限は、ラッセルのパラドックス( y = { x : x ∉ x } {\displaystyle y=\{x:x\notin x\}} とすると y ∈ y ⇔ y ∉ y {\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\notin y} となる )や、ラッセルのパラドックスの変種(無制限の内包公理を含む素朴集合論に関連するもの)を防ぐするために必要である。