リーマン＝スティルチェス積分
を考え、これらのそれぞれ下限および上限をそれぞれダルブー=スティルチェス上積分および下積分と呼べば
L ( P , f , g ) ≤ ∫ a b _ f d g ≤ ∫ a ̄ b f d g ≤ U ( P , f , g ) {\displaystyle L(P,f,g)\leq {\underline {\,\int _{\,a}^{\,b}\!\!\!\!\!}}\quad f\,dg\leq \,\,{\overline {\!\!\int _{a}}}^{{} \atop \scriptstyle b}f\,dg\leq U(P,f,g)}
が成立する。
lim | P | → 0 [ U ( P , f , g ) − L ( P , f , g ) ] = 0 , {\displaystyle \lim _{|P|\to 0}[U(P,f,g)-L(P,f,g)]=0,}
すなわち上積分と下積分が存在して一致するとき、f は g に関してダルブー=スティルチェス可積分であるといい、その一致する値を f の g に関するダルブー=スティルチェス積分の値とする。
g が [a, b] 上非減少ならば、f の g に関する一般化リーマン=スティルチェス積分が存在するための必要十分条件は、任意の ε > 0 に対して適当な分割 P を選べば
積分函数 g が至る所微分可能と仮定しても、g に関するリーマン=スティルチェス積分は
∫ a b f ( x ) g ′ ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx}
で与えられるリーマン積分とは必ずしも一致しない(例えば、導函数 g′ が非有界のとき)。しかし g′ が連続であるときには、両者は一致する。あるいは、g が自身の導函数 g′ のルベーグ積分函数と一致する(すなわち、g が絶対連続である)ときにも、両積分は一致する。
しかし g が跳躍不連続点を持つ場合や、連続かつ単調増大ながら殆ど至る所微分が消えている場合(例えば g がカントール函数のとき)には、いずれもリーマン=スティルチェス積分を g の導函数を用いたリーマン積分の形に書くことはできない。
リーマン=スティルチェス積分に関しても、部分積分が
∫ a b f d g = f ( b ) g ( b ) − f ( a ) g ( a ) − ∫ a b g d f {\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dg=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g\,df}
なる形で成り立ち、この式に現れる二つの積分の一方が存在すれば他方も存在することが言える(Hille & Phillips 1974, §3.3)。
リーマン=スティルチェス積分はダルブー積分(英語版)の適当な一般化(ダルブー=スティルチェス積分)としてもきちんと扱うことができる。分割 P に対して、函数 f の函数 g に関する上ダルブー(=スティルチェス)和
U ( P , f , g ) = ∑ i = 0 n − 1 M i ( g ( x i + 1 ) − g ( x i ) ) ( M i := sup x i ≤ x ≤ x i + 1 f ( x ) ) {\displaystyle U(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}M_{i}(g(x_{i+1})-g(x_{i}))\quad (M_{i}:=\sup _{x_{i}\leq x\leq x_{i+1}}f(x))}
および下ダルブー(=スティルチェス)和
L ( P , f , g ) = ∑ i = 0 n − 1 m i ( g ( x i + 1 ) − g ( x i ) ) ( m i := inf x i ≤ x ≤ x i + 1 f ( x ) ) {\displaystyle L(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}m_{i}(g(x_{i+1})-g(x_{i}))\quad (m_{i}:=\inf _{x_{i}\leq x\leq x_{i+1}}f(x))}
上記を少し一般化したものがPollard (1920)で導入され、現在の解析学ではそちらのほうが普通となっている。分割 P が別の分割 Pε の細分であるとは、単に P より目の細かい分割を考えるというだけではなく、P が Pε に分点を追加して得られることを意味するものとする。函数 f の g に関する一般化リーマン=スティルチェス積分の値が A であるとは、任意の正数 ε > 0 に対して分割 Pε を適当に選べば、Pε の任意の細分 P に対して、代表点 ci ∈ [xi, xi+1] の選び方に依らず
| S ( P , f , g ) − A | < ε {\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon }
が満たされるようにできることを言う。
この一般化は、一般化リーマンスティルチェス積分が閉区間 [a, b] の分割全体の成す有向集合上のムーア=スミス極限(英語版)として得られることを示すものになっている (McShane 1952)。Hildebrandt (1938)はこれをポラール=ムーア=スティルチェス積分(英語版) と呼んでいる。