トゥシャール多項式
数学において、Jacques Touchard (1939) によって研究されたトゥシャール多項式(トゥシャールたこうしき、英: Touchard polynomials)あるいは指数多項式(exponential polynomials) とは、次で定義される二項型の多項式列のことを言う。
T 0 ( x ) = 1 , T n ( x ) = ∑ k = 1 n S ( n , k ) x k = ∑ k = 1 n { n k } x k , n > 0. {\displaystyle T_{0}(x)=1,\qquad T_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}x^{k},\quad n>0.}
ただし S(n, k) は第二種スターリング数、すなわちサイズが n の集合を k 個の互いに素な空でない集合に分割する組合せの数を表す(上の第二式に現れる大括弧の記号 { } はドナルド・クヌースによって導入された)。n次トゥシャール多項式の 1 における値は n 番目のベル数、すなわち、サイズ n の集合を分割する組合せの数である。すなわち
T n ( 1 ) = B n {\displaystyle T_{n}(1)=B_{n}}
である。
X を、期待値が λ であるようなポアソン分布を伴う確率変数とすると、その n 次モーメントは E(X) = Tn(λ) で、次が定義される。