対称式
1829年にコーシーは、 1 つの変数に着目した方法を用いた。 x1,x2,...,xn を変数とする n 変数の対称式は、x1 だけを定数と思えば、x2,...,xn を変数とする n−1 変数の対称式でもある。 x1,x2,...,xn を変数とする k 次の基本対称式を σk とし、 x2,...,xn を変数とする k 次の基本対称式を τk とすると
σ1 = x1 + τ1
σ2 = τ1 x1 + τ2
... ... ...
σn−1 = τn−2 x1 + τn−1
σn = τn−1 x1
という関係が成り立つ。
τ1 = σ1 − x1
τ2 = σ2 − τ1 x1 = σ2 − (σ1 − x1) x1 = σ2 − σ1 x1 + x1
...
と、順に代入を繰り返してみると、τ1, τ2,...,τn−1 は、x1 と σ1, ..., σk の多項式で表されることが分かる。
また、x1, x2, ..., xn は、
t n − σ 1 t n − 1 + σ 2 t n − 2 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 σ ( n − 1 ) t + ( − 1 ) n σ n = 0 {\displaystyle t^{n}-\sigma _{1}\ t^{n-1}+\sigma _{2}\ t^{n-2}-\cdots +(-1)^{n-1}\ \sigma _{(n-1)}\ t+(-1)^{n}\ \sigma _{n}=0}