特殊相対性理論
ローレンツ収縮は、アインシュタインが特殊相対性理論を提案する以前に、ローレンツとフィッツジェラルドが独立に提案したものである。彼らの提案は、数式上は特殊相対性理論のそれと同一であるが、彼らの理論はエーテル仮説を前提としており、物体は「エーテルの風」を受けて3次元空間内で実際に縮むとするものであった。すなわち、あくまでも彼らは「エーテルが静止している絶対空間がある」という考えのもとに立っていた。
それに対して、特殊相対性理論では、ローレンツ収縮を4次元時空間の各観測者ごとの座標系において解釈したものであり、絶対空間や絶対時間の存在を前提としない。前述のように慣性系によって測っている場所が違う事が収縮の起こる原因である。
粒子の平均寿命の延長 宇宙線の衝突により発生する非常に寿命の短い粒子が、単純に光速度程度で移動したと考えても数百メートル程度しか移動できないはずであるのに、地上で観測することができる。また、粒子加速器で粒子を光速近くまで加速すると、崩壊するまでの寿命が延びる。なお、この寿命の延びは厳密に特殊相対性理論による予測に従う。
質量とエネルギーの等価性 オットー・ハーンは核分裂を発見したが、この反応の際の質量欠損により、大量のエネルギーが放出された。この放出は特殊相対性理論の帰結のひとつである質量とエネルギーの等価性 E = mc2 において欠損相当の質量に換算される原子核内部の核子の結合エネルギーである。
その他 光速近くまで加速した電子等の荷電粒子を磁場によって曲げると、放射光と呼ばれる光が発生する。この光は特殊相対性理論の効果により前方に集中し、粒子軌道の接線方向への極めて指向性の高い光となる。
であることより
d τ d t = 1 − ( v / c ) 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}={\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}
である。右辺はローレンツ因子 γ の逆数である。これを観測者 A の世界線 C に沿って積分すると
T = ∫ C 1 − ( v ( t ) / c ) 2 d t {\displaystyle T=\int _{\mathrm {C} }{\sqrt {1-(v(t)/c)^{2}}}\mathrm {d} t}
により、A 側の固有時間 T が得られる。ここで v(t) は時刻 t における A と B の相対速度である。
v < c ゆえ、積分内は常に1未満であり、慣性系B側の時間 T′ との関係は次式となる:
T < T ′ . {\displaystyle T<T'.}
これはすなわち、ある慣性系でみたときの時間は固有時間よりも長い事を意味する。
特に観測者 A も慣性運動しているときは、相対速度 v は常に一定であり、次式となる:
T = T ′ 1 − ( v / c ) 2 . {\displaystyle T=T'{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}.}
特殊相対性理論で重要なのは主に2次のテンソルであるので、以下2次のテンソルに話を限定するが、一般の場合も同様である。なお、2次のテンソルは数学で二次形式と呼ばれるものと同一である。
2次のテンソル T に対し、
T ( a → , b → ) = T ( b → , a → ) {\displaystyle T({\vec {a}},{\vec {b}})=T({\vec {b}},{\vec {a}})}
が全ての4元ベクトル a→、b→ に対して成り立つとき、T を対称テンソルという。また
T ( a → , b → ) = − T ( b → , a → ) {\displaystyle T({\vec {a}},{\vec {b}})=-T({\vec {b}},{\vec {a}})}
が全ての4元ベクトル a→、b→ に対して成り立つとき、T を反対称テンソルという。
ガリレイ等価原理に則るならば、マイケルソンらの実験結果を整合するように解釈するには、物体の移動速度と位置と時刻の関係について、まったくの未知の法則の発見が必要であることを示すのみである。
結局、以上までの一連の経緯を経て当時の物理学が得たものは、光速は不変という実験事実が分かったこと、および、時間や空間の絶対的均質性といった前提が揺らいだことであった。前提の思想として「絶対空間」や「絶対時間」に拘泥しがちな一方で、「絶対空間」ではないはずの実験環境下で精密測定される光の速度はどれも一定値(有意の差のない範囲で同一・不変)であり、それに整合する一応の理論は構築可能であった。このように、時間・空間に対する思想と実験結果に対する(いわば応急措置的な)理論の間に、ある種の不調和ともとれる状況があった。そういった従来の疑わしい前提を排除したうえで、新たに基礎的な物理法則体系を提唱・検証する必要が生じていた。これを成し遂げたのが、当時アマチュアの物理研究家であったアインシュタインであった。
慣性座標系 (ct, x, y ,z) にいる観測者 A は、原点を通過した後、(ct, 0, 0, 0) という直線(世界線)にそって進んでいく。この様子を別の観測者 B の慣性座標系 (ct′, x′, y′, z′) で記述した式は(L3)式に (x, y, z) = (0, 0, 0) を代入した
( c t ′ x ′ y ′ z ′ ) = ( c t cosh  ζ − c t sinh  ζ 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ct\cosh \zeta \\-ct\sinh \zeta \\0\\0\end{pmatrix}}}
によって表現できる。この世界線の「傾き」
x ′ / t ′ = − c tanh  ζ {\displaystyle x'/t'=-c\tanh \zeta }
は2人の観測者の相対速度と解釈できるので、観測者 A から見た観測者 B の相対速度を v とすると、
v = c tanh  ζ {\displaystyle v=c\tanh \zeta }
となる。よって、
cosh  ζ = 1 1 − tanh 2  ζ = 1 1 − ( v / c ) 2 , {\displaystyle \cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}},}
4元運動量の時間成分 p に c を掛けたものをテイラー展開すると、
c p 0 = c m d x 0 d τ = m d x 0 / d t d τ / d t = m c 2 1 − ( v / c ) 2 = m c 2 + m v 2 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}cp^{0}&=cm{\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {m\mathrm {d} x^{0}/\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau /\mathrm {d} t}}\\&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}=mc^{2}+{\frac {mv^{2}}{2}}+\cdots \end{aligned}}}
である。
第二項はニュートン力学における運動エネルギーであるので cp はエネルギーに相当していると考えられる。
従って第一項の
E := m c 2 {\displaystyle E:=mc^{2}}
もエネルギーを表していると解釈できる。この値は質点が例え慣性系に対して静止していて v = 0 であっても持つエネルギーであることから、この値を質点の静止質量エネルギーと呼ぶ。
質量 m を持つこととエネルギー mc2 を持つことは等価であり、質量欠損や核反応・対消滅に伴うエネルギー放出・吸収から確かめられている。