アーノルドの舌
例えば、図の底の中心にある大きな V-形領域における (K,Ω) のすべての値は、回転数 ω = 1 / 2 {\displaystyle \omega =1/2} に対応する。「同期」という語が用いられる一つの理由として、各値 θ n {\displaystyle \theta _{n}} が(与えられた K の値に対して、舌の幅の違いを除いて)ランダムに大きな妨害によって摂動され得るが、極限の回転数は摂動されないという事実が挙げられる。すなわち、 θ n {\displaystyle \theta _{n}} に対して効果のあるノイズが加えられても、その列は信号に対して「同期」状態を保つ。ノイズが存在する中で「同期」する能力は、位相同期ループ電子回路の有用性の中で中心的なものである。
すべての有理数 p / q {\displaystyle p/q} に対して、モード同期領域が存在する。円周写像はしばしば、K = 0 において測度ゼロの集合である有理数を、 K ≠ 0 {\displaystyle K\neq 0} に対して測度が非ゼロな集合へ写すと言われる。サイズによって順序付けられたときに最大であるような舌は、ファレイ分数において生じる。固定された K と、その写像を通る切断面を取ったとき、ω は Ω の函数としてプロットされ、悪魔の階段(devil's staircase)が与えられる。その形状は本質的にカントール函数と似たものである。
円周写像はまた、カオスへ繋がる劣調和ルートを示す。すなわち、3,6,12,24,.... の形状の周期倍化である。