数列
S を自然数全体の集合 N またはその n における切片 {0, 1, 2, ..., n} とするとき、S から実数(あるいは複素数)への関数 a を数列(すうれつ、英: sequence)と呼び、順序付けられた数の並びとして
a0, a1, a2, ..., an, ...
のように記す。各数 ai をこの数列の項という。すなわち、関数 a の n における値を an と書き、列のn 番目の項と考える。また、(ak)k=0,1,2,...,n,... あるいは、慣習的に {ak}k=0,1,2,...,n,...(または単に {an})とも表す。
各項を表すために添えられる n を数列 a の添字 (index) という。添字が 0 からでなくてもよいことは既述のとおりであるが、その場合にも(特に n が自然数以外の値をとる場合でも)形式的に「an は n 番目の項である」と言うことがある。
最初の 2 項から始めて、
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
のように連続した 2 項の和を次の項とするフィボナッチ数列に代表される、漸化式が成り立つ数列。
数列 (an) の各項 an がある定まった関数 f を用いて
an+1 = f (a1, a2, ..., an)
となるように(もちろん f の取りうる引数の数は一定であるから、右辺に現れる項はある一定の規則に従い落とされるものとして)帰納的に定められているとき、関数 f を数列 (an) の漸化式とよび、あるいは、数列 (an) は漸化式 f により定められているという。
漸化式を解くとは、漸化式で与えられている数列 (an) の一般項 an を n の陽な式で表すことである。
等差数列や等比数列は、その定義から極めて単純な漸化式を持つ。一般の等差数列に対する漸化式は
an+1 = an + d
という形に表される。定数 d はその等差数列の公差である。この漸化式は簡単に解けて、一般項は an = a1 + (n − 1)d となる。同様に、一般の等比数列に対する漸化式は
an+1 = ran
という形に表される。定数 r はその等比数列の公比である。この漸化式を解けば、一般項は an = r ⋅ a1 となる。これらは後述する隣接二項間漸化式の最も単純なものである。
特定の形の漸化式が成立する場合など、いくつかの場合には、一般項 an は n の明示的な形の式で表される。