ジャイロベクトル空間
ジャイロ群に対して、coadditionと呼ばれる別の演算を定義することができる。coadditionは a ⊞ b = a ⊕ g y r [ a , ⊖ b ] b {\displaystyle a\boxplus b=a\oplus \mathrm {gyr} [a,\ominus b]b} により定義される。ジャイロ可換ジャイロ群においてはcoadditionは可換性を持つ。
ジャイロ空間の同型写像は、ジャイロ群の加算とスカラー倍、そして内積を保つ。
先に述べた3つのジャイロ空間(メビウスジャイロ空間、アインシュタインジャイロ空間、固有速度ジャイロ空間)は同型である。
M, E, Uをそれぞれメビウス、アインシュタイン、固有速度ジャイロベクトル空間とし、それぞれの要素 vm, ve, vu を取る。このとき、これらの間の同型写像は以下のように与えられる。
ただし、 ⊕ E {\displaystyle \oplus _{E}} と ⊕ M {\displaystyle \oplus _{M}} は次の等式で与えられる。
u ⊕ E v = 2 ⊗ ( 1 2 ⊗ u ⊕ M 1 2 ⊗ v ) {\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)}
u ⊕ M v = 1 2 ⊗ ( 2 ⊗ u ⊕ E 2 ⊗ v ) {\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)}
これはメビウス変換とローレンツ変換の関係に関係がある。
初期のジャイロベクトルに関するある本に対する書評は次のように述べている。
長年、非ユークリッド幾何学的な手法を相対論や電磁気学の問題解決に応用する試みはわずかしか無かった。肯定的な結果も無く後続の研究には魅力も無いという状況では、似たような研究をしようとする人が躊躇ってしまうのは必然である。最近まで、1912年に登場した手法を改良することが誰もできなかったのだ。Ungarの新しい本で、彼は非ユークリッド的手法からこれまで致命的に欠如していた要素を与える。それは、アインシュタインの速度合成の構造を完全に保つエレガントな非結合的代数構造である。