変位
変位の記述には二つの方法がある。一つは物質表示やラグランジュ表示と呼ばれ、基準配置における位置ベクトル X を用いて物理量を表す方法である。物質表示の際に参照される座標系を物質座標系と呼ぶ。もう一つは、空間表示やオイラー表示と呼ばれ、現在配置における位置ベクトル x を用いて物理量を表す方法である。空間表示の際に参照される座標系を空間座標系と呼ぶ。連続体力学#連続体の記述方法も参照のこと。
基準配置と現在配置における物質点 P の位置を関連付けるベクトルを変位ベクトルと呼び、物質表示では u ( X , t ) = u i e i {\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}(\mathbf {X} ,t)=u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}} 、空間表示では U ( x , t ) = U i E i {\displaystyle \ {\boldsymbol {U}}(\mathbf {x} ,t)=U_{i}{\boldsymbol {E}}_{i}} と記述される。
変位場は物体の全ての物質点、全ての変位ベクトルのベクトル場であり、基準配置と現在配置を関連付ける。一般に、変位場は物質表示によって以下のように記述される。
u ( X , t ) = b ( X , t ) + x ( X , t ) − X {\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}(\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {b}}({\boldsymbol {X}},t)+{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}},t)-{\boldsymbol {X}}\qquad } または、 u i = α i J b J + x i − α i J X J {\displaystyle \qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}