エルゴード理論
確率測度Pにおいて保測変換Tは任意の事象Aにおいて P ( T A ) = P ( A ) {\displaystyle P(TA)=P(A)} といった具合にAの起こりうる確率を変化させずに別又は同じ事象TAに変換するものをいう。即ち、確率測度という大きさの測り方を指定したときに、大きさを変えずに変化させる操作の総称をいう。ただし、 P ( T − 1 A ) = P ( A ) {\displaystyle P(T^{-1}A)=P(A)} であることはmeasure preserving(邦訳:測度保存)という名がついており、可逆性を満たせば保測変換になるという広いクラスとなる。
統計的、事象的、観察結果
このとき可測力学系 ( [ 0 , 1 ) , B ( [ 0 , 1 ) ) , λ , R α ) {\displaystyle ([0,1),{\mathcal {B}}([0,1)),\lambda ,R_{\alpha })} は α ∉ Q {\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Q} } のときに限ってエルゴード的である。
b ∈ N {\displaystyle b\in \mathbb {N} } に対して写像 T b : [ 0 , 1 ) → [ 0 , 1 ) {\displaystyle T_{b}:[0,1)\rightarrow [0,1)} を T b ( x ) = b x mod 1 {\displaystyle T_{b}(x)=bx\mod 1} と定義する。このとき可測力学系 ( [ 0 , 1 ) , B ( [ 0 , 1 ) ) , λ , T b ) {\displaystyle ([0,1),{\mathcal {B}}([0,1)),\lambda ,T_{b})} はエルゴード的である。
パイこね変換(Baker's map)
猫マップ(Arnold's cat map)