リー群の表現
リー群 G の(体 K 上の)ベクトル空間 V 上の表現は、(微分構造について)G から V の自己同型群への滑らかな群準同型 G → Aut(V) である。ベクトル空間 V に基底が選ばれていると、表現は、一般線型群 GL(n,K) への準同型として表すことができる。この表現は行列表現として知られている。ベクトル空間 V, W 上の G の2つの表現は、それらが V と W に対して同じ基底の選択に関して同じ行列であれば、同値な表現であるという。
リー代数のレベルでは、リー代数 G からリーブラケット [ , ] を保存する End(V) への対応する線形写像が存在する。リー代数の理論はリー代数の表現を参照。
準同型が、単射であるとき、表現を忠実(faithful)であるという。
ユニタリ表現は、G がユニタリ行列であるということ以外は、同じ方法で定義される。従って、リー代数は歪エルミート(skew-hermitian)行列である。
G がコンパクトリー群(compact Lie group)であれば、すべての有限次元表現は、あるユニタリ表現に同値である。
Fq を位数 q で標数 p の有限体とする。G をリー型の有限群、つまり、G は Fq 上に定義された連結簡約群 G の Fq-有理点であるとする。たとえば、n を正の整数とすると、GL(n, Fq) と SL(n, Fq) はリー型の有限群である。 J = [ 0 I n − I n 0 ] {\displaystyle J=\left[{\begin{smallmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{smallmatrix}}\right]} とする。ここに In は n×n の単位行列とする。
S p 2 ( F q ) = { g ∈ G L 2 n ( F q ) | t g J g = J } {\displaystyle Sp_{2}(\mathbb {F} _{q})=\left\{g\in GL_{2n}(\mathbb {F} _{q})|^{t}gJg=J\right\}}
とすると、Sp(2,Fq) はランク n のシンププレクティック群であり、リー型の有限群である。G = GL(n, Fq) や SL(n, Fq) (他の例もある)とすると、G の標準ボレル部分群(英語版)(standard Borel subgroup) B は、G の上三角元からなる G の部分群である。