極化恒等式
これらは実際に異なる概念であり、このことが L理論(英語版)で重要な結果をもたらす。簡単のため、この文脈では「対称双線形形式」は単に「対称形式」と呼ばれることが多い。
これらの式は、 可換環上の加群の双線形形式にも適用されるが、同様に B(u, v) について解くことができるのは2が環で可逆である場合のみで、それ以外の場合は異なる概念となる。たとえば、整数についていえば、より狭い概念である整二次形式と整対称形式の区別となる。
より一般に、環の対合が存在する場合、または2が可逆でない場合、 ε二次形式とε対称形式に区別される。対称形式は二次形式を定義し、二次形式から対称形式への(2の因数なしの)極化恒等式は「対称化写像」と呼ばれ、これは一般に同型ではない。 これは歴史的に微妙な違いだった。整数については、1950年代になって初めて「2なし」(整二次形式)と「2つき」(整対称形式)の関係が理解された(整二次形式の説明を参照)。 手術(英語版)(surgery)の代数化では、ミシュチェンコ(Mishchenko)は元々、(ウォール(Wall)やラニツキ(Ranicki)のように)正しい二次L群ではなく対称L群を使用していた(L理論(英語版)での議論を参照)。
複素数の線形代数ではふつう、 ⟨ v , u ⟩ {\displaystyle \langle v,u\rangle } が ⟨ u , v ⟩ {\displaystyle \langle u,v\rangle } の複素共役となるような半双線形形式内積を用いる。この場合、標準的な極化恒等式は内積の実部のみに対して与えられる。
Re  ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u ‖ 2 − ‖ v ‖ 2 ) Re  ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) Re  ⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u + v ‖ 2 − ‖ u − v ‖ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Re} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Re} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\end{aligned}}}
最後に、これらのどの文脈でも、恒等式を任意の次数の斉次多項式 (すなわち、 代数的形式)に拡張することができる。これは極化式(英語版)としても知られる(詳細は代数的形式の極化(英語版)の記事を参照)。
極化恒等式は、次のように表すことができる。
⟨ u , v ⟩ = 4 − 1 ∑ k = 0 3 i k ‖ u + i k v ‖ 2 {\displaystyle \langle u,v\rangle =4^{-1}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|u+i^{k}v\right\|^{2}}
Im  ⟨ u , v ⟩ = Re  ⟨ u , − i v ⟩ {\displaystyle \operatorname {Im} \langle u,v\rangle =\operatorname {Re} \langle u,-iv\rangle } (内積が2番目の変数で線形であるという規則による)を用いると、内積の虚数部は次のように得られる。
Im  ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u − i v ‖ 2 − ‖ u ‖ 2 − ‖ v ‖ 2 ) Im  ⟨ u , v ⟩ = 1 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 − ‖ u + i v ‖ 2 ) Im  ⟨ u , v ⟩ = 1 4 ( ‖ u − i v ‖ 2 − ‖ u + i v ‖ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Im} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u-iv\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Im} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{2}}\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}-\|u+iv\|^{2}\right)\\[3pt]\operatorname {Im} \langle u,v\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|u-iv\|^{2}-\|u+iv\|^{2}\right)\end{aligned}}}