演算子法
それ以外の場合でも、もし関数 1 F ( p ) {\displaystyle {\frac {1}{F(p)}}} が
1 F ( p ) = ∑ n = 0 ∞ a n p − n {\displaystyle {\frac {1}{F(p)}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}p^{-n}}
という形の級数展開を持つならば、これは直接に
1 F ( p ) H ( t ) = ∑ n = 0 ∞ a n t n n ! H ( t ) {\displaystyle {\frac {1}{F(p)}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}H(t)}
という意味を持つものと理解できる。
上記のような規則を適用すると、任意の微分方程式を解くことが、純粋に代数的な問題に還元される。
ヘヴィサイドはさらに進んで、 p {\displaystyle p} の分数冪を定義し、演算子法と分数階微積分学の関係を確立した。
テイラー展開を用いると、 e a p f ( t ) = f ( t + a ) {\displaystyle e^{ap}f(t)=f(t+a)} なる式も得られるから、これにより演算子法を有限差分方程式や電気工学の遅延信号の問題にも適用することができる。