ビリアル定理
0 = 2 ⟨ K ⟩ + ⟨ ∑ i r i ⋅ F i ⟩ {\displaystyle 0=2\left\langle K\right\rangle +\left\langle \sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{i}\right\rangle }
つまり、ビリアル定理
を得る。 次に、ポテンシャルエネルギー V が中心力ポテンシャルで、粒子間の距離の n + 1 乗 (r) に比例する形、すなわち、系のポテンシャル V が各粒子対の相互作用の和
によって書き表される場合、粒子 i に働く力 Fi は、以下のように書ける。
ここで、
は、粒子 j から粒子 i に働く力である。これを、ビリアル定理の右辺に代入すると、以下のようになる。
和は i = 1, ..., N; j = 1, ..., N、i ≠ j の2重の和である。 この和を i > j と i < j に分け、
∑ i ≠ j r i ⋅ F j i = ∑ i > j r i ⋅ F j i + ∑ i < j r i ⋅ F j i {\displaystyle \sum _{i\neq j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}=\sum _{i>j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}+\sum _{i<j}\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {F} _{ji}}