反転幾何学
円 k の中心 O を一つの頂点とする三角形 OAB を取り、A および B の k に関する反転点をそれぞれ A′ および B′ とすれば、 ∠ O A B = ∠ O B ′ A ′ and ∠ O B A = ∠ O A ′ B ′ {\displaystyle \angle \mathrm {OAB} =\angle \mathrm {OB'A'} {\text{ and }}\angle \mathrm {OBA} =\angle \mathrm {OA'B'} } が成り立つ。
基準円 k に直交する二円 p, q の二交点は、k に関する反転によって互いに入れ替わる。
二点 M, M′ が互いに基準円 k に関する反転点で、それぞれ曲線 m, m′ 上に載っていて、曲線 m, m′ も k に関する反転で互いに入れ替わるとすると、曲線 m および m′ の点 M および M′ における接線は、直線 MM′ に直交するか、さもなくば線分 MM′ を底辺とする二等辺三角形を成す。
反転変換によって角の大きさはそのまま保たれるが、有向角の向きは逆になる。