全有界空間
距離空間 ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} が全有界(totally bounded)であるための必要十分条件は、全ての実数 ε > 0 {\displaystyle \epsilon >0} に対して、 M {\displaystyle M} 内に半径 ε > 0 {\displaystyle \epsilon >0} の開球(英語版)の有限個の集まりでその合併が M {\displaystyle M} を覆う様なものが存在することである。また同値であるが、距離空間 M {\displaystyle M} が全有界であるための必要十分条件は、全ての ε > 0 {\displaystyle \epsilon >0} に対して、各元の半径が高々 ε {\displaystyle \epsilon } であるような有限被覆が存在することである。これは有限 ε-ネット(英語版)の存在と同値である。
全有界空間は(有限個の有界集合の合併は有界なので)有界である。しかしその逆は一般には成り立たない。例えば、離散距離を備える無限集合は有界であるが、全有界ではない。
M をユークリッド空間とし、d をユークリッド距離とするとき、(部分空間位相を伴う)部分集合が全有界であるための必要十分条件は、それが有界であることである。