複素共役
上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。
z ̄ ̄ = z {\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z} (対合)
| z | = | z ̄ | {\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|}
z z ̄ = | z | 2 {\displaystyle z{\overline {z}}=|z|^{2}}
z + z ̄ = 2 Re  z {\displaystyle z+{\overline {z}}=2\,\operatorname {Re} z}
z − z ̄ = 2 i Im  z {\displaystyle z-{\overline {z}}=2i\,\operatorname {Im} z}
1 z = z ̄ | z | 2 ( z ≠ 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\ (z\neq 0)} 逆数は、絶対値と共役で表せる。