順序集合
単に「実数体上の位相」といった場合、前述の順序位相を指すがその他の位相を考えることも(主に反例として用いるために)できる。
実数体 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上の上極限位相とは
( a , b ] = { x ∈ R : a < x ≤ b } {\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} ~:~a<x\leq b\}}
全体の集合を開基とする位相のことであり、同様に R {\displaystyle \mathbb {R} } 上の下極限位相(英語版)とは逆向きの半開区間
[ a , b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b } {\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} ~:~a\leq x<b\}}
全体の集合を開基とする位相のことである。
実数体に下極限位相を入れた空間はしばし R l {\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }} と書かれ、ゾルゲンフライ直線と呼ばれる。またゾルゲンフライ直線2つの直積 R l × R l {\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }} はゾルゲンフライ平面(英語版)と呼ばれる。
前順序、半順序、全順序を順に定義するために、まず以下の性質を考える。ここで P は集合であり、「≤」を P 上で定義された二項関係とする。
反射律:P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。
推移律:P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c が成り立つ。
反対称律:P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b が成り立つ。
全順序律:P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b または b ≤ a が成り立つ。
「≤」が全順序律を満たさない場合、「a ≤ b」でも「b ≤ a」でもないときがある。このとき a と b は比較不能 (incomparable) であるという。
(P, ≤) を順序集合とするとき、P 上の二項関係「 ≼ {\displaystyle \preccurlyeq } 」を
a ≼ b ⟺ b ≤ a {\displaystyle a\preccurlyeq b\iff b\leq a}
と定義する(すなわち「 ≼ {\displaystyle \preccurlyeq } 」は「≤」の逆順序を順序と見なしたものである)。すると、「 ≼ {\displaystyle \preccurlyeq } 」も P 上の順序になっていることが容易に分かる。 ( P , ≼ ) {\displaystyle (P,\preccurlyeq )} を (P, ≤) の双対順序集合という。
双対順序集合はその定義 ( P , ≼ ) {\displaystyle (P,\preccurlyeq )} よりもとの順序集合 (P, ≤) とは"大小が逆転"している。したがって (P, ≤) における上限、極大元、最大元(定義は後述)は ( P , ≼ ) {\displaystyle (P,\preccurlyeq )} ではそれぞれ下限、極小元、最小元に対応している。
(半順序関係の総数)n 個の元からなる集合上の半順序の総数(狭義半順序の総数も同じ)は 1, 1, 3, 19, 219, 4231, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A001035)。同型を除いた総数は 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A000112)。
(線型順序拡大)半順序集合 P の全順序集合への埋め込みを線型順序拡大(英語版) (linear extension) という。任意の半順序は全順序に拡張することができる(順序拡大原理(英語版))。計算機科学において(有向非循環グラフの到達可能性(英語版)順序として表現される)半順序の線型拡張を求めるアルゴリズムは位相ソート (topological sorting) と呼ばれる。