スターク予想
スタークの主予想は、様々な特別な場合について証明されている。その特別な場合とは、L-函数を定義する指標が有理数のみとなる場合である。基礎体が有理数体もしくは虚二次体の場合を除き、アーベル的なスターク予想は証明されてはいない。代数多様体の函数体では多くの進展が見られる。
Manin (2004)は、スターク予想をアラン・コンヌの非可換幾何へ関連付ける。マーニンの手法はスターク予想を研究する概念的なフレームワークを提供するが、現時点でこの手法が実際にスターク予想の証明を与えるかどうかは不明である。
スターク予想を正確に述べるための記号を準備する。k を(有限次)代数体、K を k の有限次ガロア拡大、G をそのガロア群とする。 S∞ を k の無限素点すべての集合、S を S∞ を含む素点の集合とする。
複素数体 C の部分環 A と Z 加群 M に対してテンソル積 A⊗ZM を AM と略記する。