リー微分
リー微分は、微分形式に対しても定義することができる。この文脈でのリー微分は外微分と近い関係にあり、リー微分と外微分はともに異なる方法で一つの同じ微分概念を捉える試みであると考えられる。この違いは反微分 (antiderivation) あるいは同じことだが内部積 (interior product) の概念を導入することで埋めることができ、いくつかの恒等式の組としてこれらの関係を抽出することができる。
M を多様体、X を M 上のベクトル場とする。ω ∈ ∧(M) を M 上の k + 1 次微分形式とする。ω に対し、X による内部積 iXω は
( i X ω ) ( X 1 , ... , X k ) = ( k + 1 ) ω ( X , X 1 , ... , X k ) {\displaystyle (i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(k+1)\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})}
によって定義される。このとき、iX は
i X : ⋀ k + 1 ( M ) → ⋀ k ( M ) {\displaystyle i_{X}\colon \bigwedge \nolimits ^{k+1}(M)\to \bigwedge \nolimits ^{k}(M)}
なる、∧-反微分になる。つまり iX は線型かつウェッジ積 ∧ に対して
L Y f = Y ( f ) = ∇ Y f . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)=\nabla _{Y}f.}
もっと一般に、多様体 M 上の (p, q)-階可微分テンソル場 T と可微分ベクトル場(つまり接束 TM の可微分切断)Y が与えられたとき、テンソル場 T のベクトル場 Y に沿った微分が定義される。
φ: M × R → M をベクトル場 Y のベクトルフローが誘導する M 上の局所微分同相全体のなす 1-径数部分半群とし、φt(p) := φ(p, t) と記す。つまり十分小さな t に対する φt はいずれも M のある近傍から別のある近傍への微分同相になっており、またとくに φ0 は恒等写像(これは微分同相写像のひとつ)である。このとき、テンソル場 T のリー微分は、各点 p において
( L Y T ) p = d d t | t = 0 ( ( φ t ) ∗ T φ − t ( p ) ) {\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}T)_{p}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left((\phi _{t})_{*}T_{\phi _{-t}(p)}\right)} .
と置くことによって定義される。ここで (φt)* は微分同相 φt に沿った押し出し (pushforward) である。別な言葉で言えば、テンソル場 T とベクトル場 Y によって与えられる微分同相の無限小生成作用素が与えられたとき、テンソル場 T のベクトル場 Y に沿うリー微分というのは、Y が与える無限小微分同相下における T の無限小変化のことに他ならない。
これは解析的な定義であるが代数的な定義を与えることもできる。テンソル場のリー微分の代数的な定義は以下の 4 つの公理に従って与えられる: