Remezのアルゴリズム
. . + b n x i n + ( − 1 ) i E {\displaystyle b_{0}+b_{1}x_{i}+...+b_{n}x_{i}^{n}+(-1)^{i}E} と同じである。 i = n + 1 {\displaystyle i=n+1} とのときは
p ( x n + 1 ) = p 1 ( x n + 1 ) − p 2 ( x n + 1 ) ⋅ E = f ( x n + 1 ) − ( − 1 ) n + 1 E {\displaystyle p(x_{n+1})\ =\ p_{1}(x_{n+1})-p_{2}(x_{n+1})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{n+1})-(-1)^{n+1}E}
となり、 E {\displaystyle E} について以下の式を得ることができる。
E := p 1 ( x n + 1 ) − f ( x n + 1 ) p 2 ( x n + 1 ) + ( − 1 ) n . {\displaystyle E\ :=\ {\frac {p_{1}(x_{n+1})-f(x_{n+1})}{p_{2}(x_{n+1})+(-1)^{n}}}.}
上述の通り、分母の2項は同じ符号を持つため、 E {\displaystyle E} 及び p ( x ) ≡ b 0 + b 1 x + ... + b n x n {\displaystyle p(x)\equiv b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{n}x^{n}} 常に一意に定まる。
.. , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} )。したがって、 x n {\displaystyle x_{n}} と x n + 1 {\displaystyle x_{n+1}} の間に零点はなく、 p 2 ( x n ) {\displaystyle p_{2}(x_{n})} と p 2 ( x n + 1 ) {\displaystyle p_{2}(x_{n+1})} は ( − 1 ) n {\displaystyle (-1)^{n}} と同符号である。
線形結合 p ( x ) := p 1 ( x ) − p 2 ( x ) ⋅ E {\displaystyle p(x):=p_{1}(x)-p_{2}(x)\!\cdot \!E} は、 n {\displaystyle n} 次の多項式であり、
p ( x i ) = p 1 ( x i ) − p 2 ( x i ) ⋅ E = f ( x i ) − ( − 1 ) i E , i = 0 , ... , n . {\displaystyle p(x_{i})=p_{1}(x_{i})-p_{2}(x_{i})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{i})-(-1)^{i}E,\ \ \ \ i=0,\ldots ,n.}
と変形できる。
これは任意の E {\displaystyle E} に対して、 i = 0 , ... , n {\displaystyle i=0,\ldots ,n} において式 b 0 + b 1 x i + .