劣調和函数
u は複素平面内の領域 Ω 上で劣調和的、および h は Ω 上で調和的とする。h が Ω における u の調和優函数(harmonic majorant)であるとは、Ω において u ≤ h となることを言う。この不等式を u に対する増大度条件として見ることができる。
M をリーマン多様体とし、f: M → R を上半連続函数とする。任意の開部分集合 U ⊂ M および U 上の調和函数 f1 が境界上で f1 ≥ f を満たすならば、かならず U 全体においても不等式 f1 ≥ f が成立するとき、f は劣調和的であると言う。
この定義は前述の定義と同値である。したがって再び、二回連続的微分可能函数に対して、劣調和性は不等式 Δf ≥ 0 の成立と同値である。ただし Δ は通常のラプラシアンである。
複素数平面における閉単位円板 D(0, 1) を含む開集合 Ω 上で定義された劣調和非負連続函数 φ を考える。φ(を単位円板に制限したもの)の動径方向最大値函数(radial maximal function)とは、
( M φ ) ( e i θ ) = sup 0 ≤ r < 1 φ ( r e i θ ) {\displaystyle (M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\,\varphi (re^{i\theta })}
で定義される単位円周上の函数である。Pr をポアソン核とすると劣調和性により
0 ≤ φ ( r e i θ ) ≤ 1 2 π ∫ 0 2 π P r ( θ − t ) φ ( e i t ) d t , ( r < 1 ) {\displaystyle 0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -t)\varphi (e^{it})dt,\quad (r<1)}
が成り立つ。