モノイド
S の元 e が存在して、S の任意の元 a に対して e • a = a • e = a.
を満たすならば、組 (S, •, e) をモノイドという。まぎれの虞のない場合、対 (S, •) あるいは単に S のみでも表す。 二項演算の結果 a • b を a と b の積と呼ぶ。手短に述べれば、モノイドとは単位元を持つ半群のことである。モノイドに各元の可逆性を課せば、群が得られる。逆に任意の群はモノイドである。
二項演算の記号は省略されることが多く、たとえば先ほどの公理に現れる等式は (ab)c = a(bc), ea = ae = a と書かれる。本項でも明示する理由がない限り二項演算の記号を省略する。
与えられた代数系をモノイドにする操作や、既知のモノイドから新たなモノイドを作り出す操作がいくつか存在する。
集合 S とその上の二項演算 •: S × S → S が与えられ、以下の条件