ヘルダー条件
α > 1/2 に対し、α–ヘルダー連続な弧によって連結される無限次元ヒルベルト空間 H の閉加法的部分群は、線型部分群である。1/2–ヘルダー連続な弧によって連結される H の閉加法的部分群には、線型部分群でないものもある。その一例として、ヒルベルト空間 L(R, R) の加法的部分群 L(R, Z) がある。
距離空間 X 上の任意の α–ヘルダー連続函数 f は、k-リプシッツな函数 fk の函数列 (fk) に対して、次を満たす意味でリプシッツ近似を許すものである:
‖ f − f k ‖ ∞ , X = O ( k − α 1 − α ) . {\displaystyle \|f-f_{k}\|_{\infty ,X}=O\left(k^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}\right).}
逆に、そのようなリプシッツ函数の列 (fk) は、ある α–ヘルダー連続な一様極限に収束する。
ノルム空間 E の部分集合 X 上の任意の α–ヘルダー函数 f は、全空間への一様連続拡張を許す。そのような拡張は同じ定数 C と同じ指数 α に関してヘルダー連続である。そのような拡張の内、最も大きいものは次である:
f ∗ ( x ) := inf y ∈ X { f ( y ) + C | x − y | α } . {\displaystyle f^{*}(x):=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+C|x-y|^{\alpha }\right\}.}
任意の α–ヘルダー函数 f の像のハウスドルフ次元は、高々 1/α である。
カントール函数は α ≤ log(2)/log(3) に対してヘルダー連続であるが、それより大きいものに対してはそのようにならない。前者の場合、定義における不等式は定数 C := 2 に対して成立する。
[0, 1] から正方形 [0, 1] の上へのペアノ曲線は、1/2–ヘルダー連続であるように構成することが出来る。α > 1/2 の場合、単位区間からその正方形への α– ヘルダー連続函数の像は、正方形全体を埋めることはない。
ブラウン運動のサンプルパスは、すべての α < 1/2 に対してほとんど確実に至る所、局所 α-ヘルダー連続である。
局所可積分で、その積分が適切な成長条件を満たす函数はヘルダー連続である。例えば、
u x , r = 1 | B r | ∫ B r ( x ) u ( y ) d y {\displaystyle u_{x,r}={\frac {1}{|B_{r}|}}\int _{B_{r}(x)}u(y)dy}
とし、u が
∫ B r ( x ) | u ( y ) − u x , r | 2 d y ≤ C r n + 2 α {\displaystyle \int _{B_{r}(x)}|u(y)-u_{x,r}|^{2}dy\leq Cr^{n+2\alpha }}
を満たすなら、u は指数 α のヘルダー連続である。
距離に関してある固定された割合で振動が減衰する函数は、その減衰率によって決定される指数に関してヘルダー連続である。例えば、ある函数 u(x) に対し、