超現実数
具体的な構成から完全に離れて、超現実数に対する別なアプローチが Alling (1987) によって与えられた。これは構成法ではなく、超現実数を実現するどのような構成法もが満足する公理系の集合を与えるものである。実数の公理的構成(英語版)と極めて同様に、この公理系は同型を除いて一意な存在を保証するものである。
三つ組 ⟨No, <, b⟩ が超現実数系 (surreal number system) であるとは、以下の公理をすべて満足するときに言う:
< は No 上の全順序である;
b は No から順序数全体の成すクラスの上への写像である(この写像 b を No 上の「誕生日函数」と呼ぶ);
超現実数はそもそも囲碁の研究に動機づけられたものであり、定番ゲームと超現実数の間には様々な関連性がある。この節では便宜のために、数学的対象 {L | R} のことはゲーム (Game)、チェスや囲碁のような遊興のことは遊技 (game) と呼び分けることにする。
ここで考えたい遊技は以下のような性質を持つものである:
プレイヤー(試技者)は二人(便宜上 Left と Right とする)
決定論的(ゲームの各手番はランダム要素なしにプレイヤーのメイクする選択で完全に決まる)
(プレイヤーの隠し札や隠しマスのような)秘匿された情報はない
プレイヤーには交互に手番 (turn) が回ってくる(遊技によって、一回の手番に複数手 (move) を許すものも許さないものもある)
遊技の各取組(一番)は有限回の手数で終了しなければならない
プレイヤーに正規の指し手が何も残されていない状態になったら即座に取組は終了しそのプレイヤーの負けとなる
大抵の遊技にとって、初期盤面配置はどちらかのプレイヤーに大きな有利となることはないが、試技の進行の過程で一方のプレイヤーが勝利に近づくにつれて、盤面はそのプレイヤーに明らかに有利となっていく。遊技の分析のためには、ゲームを任意の盤面に結び付けるのが有効である。与えられた盤面の値がゲーム {L | R} であるとは、L は Left の単一手で達成可能な盤面の値全体の成す集合、R は Right の単一手で達成可能な盤面の値全体のなす集合となるように与えるものとする。
零ゲーム 0) は L, R がともに空集合となるゲームであるから、次の手を打つプレイヤーが即座に負けである。
超現実数の加法、符号反転(反数)および乗法は、形式 x ≔ {XL | XR}, y ≔ {YL | YR} に対して、以下のように再帰的に定義される。
数的な形式を同値類に分けるとき、その各々の同値類が「超現実数」である。形式における左集合と右集合は(形式ではなくその同値類としての)超現実数のなす宇宙からとることができる。