ケイリー・ハミルトンの定理
p A ( A ) = ( A − λ 1 I ) ⋯ ( A − λ n I ) = ( P B P − 1 − λ 1 I ) ⋯ ( P B P − 1 − λ n I ) = P { ( B − λ 1 I ) ⋯ ( B − λ n I ) } P − 1 ⋯ ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p_{A}(A)&=(A-\lambda _{1}I)\cdots (A-\lambda _{n}I)\\&=(PBP^{-1}-\lambda _{1}I)\cdots (PBP^{-1}-\lambda _{n}I)\\&=P\{(B-\lambda _{1}I)\cdots (B-\lambda _{n}I)\}P^{-1}\ \cdots \ (1)\\\end{aligned}}}
ここで p B ( B ) = ( B − λ 1 I ) ⋯ ( B − λ n I ) {\displaystyle p_{B}(B)=(B-\lambda _{1}I)\cdots (B-\lambda _{n}I)} を計算する。
C k := B − λ k I ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle C_{k}:=B-\lambda _{k}I\ (k=1,2,\cdots ,n)} とおく。Ck は上三角行列で、(k, k) 成分は 0 である。
C 1 C 2 {\displaystyle C_{1}C_{2}} を計算すると、
まず、前節の証明に現れる式によって示唆される「行列係数の多項式」という概念について正当化しておく。これには非可換環係数の多項式というある意味普通ではないものを考えることになるので、入念に注意を払う必要が出てくる。通常の多項式で正当化されることが、今の定では適用できないということが多々起こる。
著しい点として、通常の可換環係数の多項式に対する算術は、多項式を多項式函数と同一視して函数としての(点ごとの)演算を雛形とすることができるが、非可換環係数ではそれは可能ではない(実は、非可換環上での場合には、乗法のもとで閉じる多項式函数の明らかな概念は存在しない)。それゆえ、行列係数の変数 t に関する多項式を考えるときには、変数 t は係数環の任意の値を取りうる「未知数」と考えてはいけなくて、いくつかの決まったルールに従う形式的な記号としての「不定元」として扱うべきである。特に t に特定の値を代入しようというのは危険である。
( f + g ) ( x ) = ∑ i ( f i + g i ) x i = ∑ i f i x i + ∑ i g i x i = f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle (f+g)(x)=\sum _{i}\left(f_{i}+g_{i}\right)x^{i}=\sum _{i}f_{i}x^{i}+\sum _{i}g_{i}x^{i}=f(x)+g(x)}
適当な環 R(例えば実数体 R や複素数体 C)に成分を持つ n次正方行列環を M(n, R) と書き、その一つの元として行列 A をとる。
ev A : ( R [ A ] ) [ t ] → R [ A ] {\displaystyle \operatorname {ev} _{A}\colon (R[A])[t]\to R[A]}
は環準同型となり第二の証明と同じく所期の p ( A ) = 0 ⋅ ev A  ( B ) = 0 {\displaystyle p(A)=0\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=0} を与える。
定理を証明することに加えて、上記の論法では B の係数 Bi は A に関する多項式であることまで分かる(これに対して、第二の証明からはそれらは A の中心化環 Z に入ることしか分からない。一般に Z は R[A] より大きな部分環であり、可換とも限らない)。特に定数項 B0 = adj(−A) が R[A] に入る。A は勝手な正方行列でよかったのだから、これにより adj(A) が常に A の多項式に書ける(係数は A ごとに変わる)ことが保証される。
実は最初の証明で求めた等式により順番に B n − 1 , ⋯ , B 1 , B 0 {\displaystyle B_{n-1},\cdots ,B_{1},B_{0}} を A の多項式として表すことができ、任意の n次正方行列に対して有効な恒等式
これらを行列のベクトルへの左乗 M(n, End(V)) × V → V の形に書いて V における一つの等式の n 個の成分と解釈することができる(行列のベクトルへの積は、個々の成分が ψ ∈ End(V) および v ∈ V の間では ψ(v) という形で「掛け合わされる」ということを除けば通常通りに定義できる)。そうして、上記は一つの等式
φ I n ⋅ E = A tr ⋅ E {\displaystyle \varphi I_{n}\cdot E=A^{\operatorname {tr} }\cdot E}
の形にまとめられる。ここに、E ∈ V は第i成分が ei となる元(というより、V の基底ベクトル e1, ..., en をこの順で列ベクトルにもつ行列)で、右肩の tr は行列の転置。整理すれば
( φ I n − A tr ) ⋅ E = 0 ∈ V n {\displaystyle (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E=0\in V^{n}}
の形に書ける。左辺に現れた行列は φIn − A の転置と理解すれば、この行列の(M(n, R[φ]) の元としての)行列式もまた p(φ) に等しい。さてこの等式から p(φ) = 0 ∈ End(V) を導くためには、φIn − A の(行列環 M(n, R[φ]) における)余因子行列の転置 (adjugate matrix) を左から掛ければよい。これは