広義の記数法
底を K とした K進法の上で R を D で割る手順を説明する。 記数法によって決まる、一桁の商を示す二変数関数 QK が分かっているとし、 十分に大きな整数 n をとり、次の計算を行う。
商は K進法で cncn-1...c0 となり、 余りは r-1 となる。 ただし記数法によっては、 0.XXX... の形で表記できる範囲がフラクタルを描くため QK が作れなくなり、除算が不可能となる。 またこの操作をさらに続けると、循環小数が商として得られる。
Q(r, d) の例を次に示す。
十進法
d≦0 または r<0 または 10d≦r は禁止で、 0≦r<d ならば Q(r, d)=0 d≦r<2d ならば Q(r, d)=1 2d≦r<3d ならば Q(r, d)=2 ...... 8d≦r<9d ならば Q(r, d)=8 9d≦r<10d ならば Q(r, d)=9 となる。
上にある除法の節の QK を利用し、次の計算を行う。 変換前の十進数を R とする。
これにより、 R は K進法で c0.c1c2c3... と表記できる。
各用語の詳しい定義を紹介する。
0 を含む連続した整数の集合 z をとり、その元を位(あるいは桁)と呼ぶ。 特定の位をさしたいときには、0番位や 1番位と単位をつけることにする。 そして、任意の n∈z に対して空でない実数の有限集合 mn をとり、 その元を n番位の仮数と呼ぶ。そして、任意の n∈z に対して実数 Kn を定め、 この Kn を n番位の重み(あるいは意味)と呼び、 Kn+1/Kn を n番位の底(あるいは基数)と呼ぶ。 これらをもとに数を表す方法を記数法(あるいは位取り記数法)という ( mn の元や Kn は複素数でもよい)。 この z, mn, Kn による記数法をK進法(あるいは K進記数法)とする。