線型代数群
任意の体 k に関して、G のボレル部分群 B は k の代数的閉包 k ̄ {\displaystyle {\bar {k}}} 上で B k ̄ {\displaystyle B_{\bar {k}}} が G k ̄ {\displaystyle G_{\bar {k}}} のボレル部分群である k 上の部分群と定義される。したがって G は k 上ではボレル部分群を持たないこともある。
G の閉部分群スキーム H に関して、商空間 G/H は k 上滑らかな準射影的スキームである。連結群 G の滑らかな部分群 P は G/P が k 上射影的(あるいは k 上固有的)であるとき放物型(英語版) parabolic という。ボレル部分群 B の重要な性質として、 G/B は旗多様体 flag variety と呼ばれる射影多様体になる。つまり、ボレル部分群は放物型部分群である。より精密には、代数的閉体 k に関して、ボレル部分群は G の極小放物型部分群に他ならない。逆に、ボレル部分群を含む任意の部分群は放物型である。したがって、固定したボレル群を含む G の線型代数部分群をすべて列挙することで、G の放物型部分群を G(k) 共役を除いてすべて列挙することができる。例えば、k 上の部分群 P ⊂ GL3 で上三角行列からなるボレル部分群 B3 を含むものは
このとき x ↦ x で定義される準同型 f: Gm → Gm は抽象群としての同型 k* → k* を誘導するが、f は代数群としての同型ではない(なぜなら x は正則関数ではないから)。群スキームの言葉を用いると、f が同型でないより明快な理由がある:f は全射であるが、非自明な核 μp(1の p 乗根からなる群スキーム)を持つ。このような問題は標数ゼロのときには生じなかった。実際、標数ゼロの体 k 上の有限型群スキームは k 上滑らかである。体 k 上の有限型群スキームが k 上滑らかである必要十分条件はそれが絶対被約 geometrically reduced、つまり k ̄ {\displaystyle {\bar {k}}} を k の代数的閉包としたとき底変換(英語版) base change G k ̄ {\displaystyle G_{\bar {k}}} が被約(英語版)であることである。
アフィン・スキーム X はその正則関数のなす環 O ( X ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(X)} により決定されるので、体 k 上のアフィン群スキーム G もその環 O ( G ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(G)} と(G の積と逆に由来する)ホップ代数構造により決定される。これは k 上のアフィン群スキームの圏と k 上の可換ホップ代数の圏の間の(矢印を反対にする)圏同値を与える。例えば、乗法群 Gm = GL1 に対応するホップ代数はローラン多項式環 k[x, x] であり、余積は x ↦ x ⊗ x で与えられる。
を含む。群 Gm = GL1 は乗法群 multiplicative group と呼ばれる。すなわち、群 Gm(k) は体 k のゼロでない元が乗法に関して成す群 k* である。加法群 additive group Ga——Ga(k) = k(加法に関して)——も行列群として表すことができる:例えば GL2 の
[ 1 ∗ 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}}
という形の行列から成る部分群 U2 として。
乗法群と加法群という、この二つの基本的な可換線型代数群は(代数群としての)線型表現に関して非常に異なった振る舞いをする。乗法群 Gm のすべての表現は既約表現の直和である。(それらの既約表現はすべて1次元で、ある整数 n によって x ↦ x という形で表される。)対照的に、加法群 Ga の唯一の既約表現は自明表現である。したがって、すべての Ga の表現は自明表現による拡大の反復であり、(表現が自明なときを除いて)それらの直和ではない。線型代数群の構造定理は線型代数群をこれら二つの基本的な群と(後述する)その一般化であるトーラスとべき単群の観点から分析する。
簡約群が重要である理由のひとつは表現論に由来する。べき単群が持つ任意の既約表現は自明である。より一般に、線型代数群 G をべき単群 U の簡約群 R による拡大
1 → U → G → R → 1 {\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1}
として書いたとき、G が持つ任意の既約表現は R を経由 factors through する。この事実は焦点を簡約群の表現論へと絞り込む。(ここで言う表現とは、G の〈代数群としての〉表現である。したがって、体 k 上の群 G に関して、表現とは k ベクトル空間であり、G の作用は正則関数で与えられている。それは重要である一方、実簡約群 G に対して群 G(R) の連続表現を分類する問題〔あるいは他の体上における類似〕とは異なる。)
シュヴァレーは体 k 上の分裂簡約群が持つ既約表現は有限次元であり、支配的ウェイト(英語版)により径数付けられることを示した。これはコンパクト連結リー群の表現論や複素半単純リー代数の表現論で起きていたことと同様である。