フレアーホモロジー
↑ コボルディズムのパンツ分解の積のことであり、位相的場の理論の公理的な取り扱いで重要な役割を果たします
↑ サイバーグ・ウィッテン・ゲージ理論(英語版)
↑ コーシー-リーマン方程式と擬正則曲線の定義式との関係は、古典的擬正則曲線のコーシー-リーマンの方程式との類似(Analogy with the classical Cauchy-Riemann equations)に、擬正則曲線(英語版)の記載がある。
↑ 英語版では、"Floer Homology"にリンクが張られてるが記載がないので、記載のある文献を上げる。
↑ 2次元平面上へ結び目を射影して、平面の上で格子を描き、格子との交点に符号を与えて、結び目不変量を求める組み合わせ的手法のこと
↑ クラスタホモロジーとは、ディスクが非局所的に余次元1でバブルになるので、代数的にモデリングすることが困難になる点を、モースフローを次のように拡張することで、克服する方法です。擬正則ディスクのモジュライ空間をラグランジュ部分多様体の上のモース函数を、負のグラジエントフローまで拡張すると、クラスタ化されたモジュライ空間ができます。これらをコンパクト化すると、次数付きの可換微分代数ができ、このホモロジーがクラスタホモロジーと呼ばれている。
↑ ゲージ理論。
↑ DG-圏は、Differentail Graded Categoryの訳語である。
↑ コンパクト化(compactification)の意味は、数学と物理(弦理論)では異なっている。ここでは、数学側の意味へリンクをはっている。物理側(特に弦理論)はコンパクト化 (物理学)である。
マキシム・コンツェビッチの提出したホモロジカルミラー対称性予想は、カラビ-ヤウ多様体 X {\displaystyle X} のラグランジュ部分多様体のフレアーホモロジーと、ミラーとなっているカラビ-ヤウ多様体の上の連接層の Ext群との間の同値性を予想する。この状況下では、フレアーホモロジーではなく、フレアーチェーン群が焦点化される。同様にパンツペアの積へ、擬正則的なn-面体を使い多重な複体に構成することができる。これらの複体は A ∞ {\displaystyle A_{\infty }} -関係を満たし、シンプレクティック多様体の中のすべての(障害のない)ラグランジュ部分多様体のカテゴリから、 A ∞ {\displaystyle A_{\infty }} -カテゴリへの写像がある。これは深谷圏(英語版)と呼ばれる。
さらに詳しくは、ラグラジアンというとき、次数付きであることとspin構造をデータとして加える必要がある。これらの構造を選んだラグラジアンは、元となっている物理へ敬意を表して、メンブレーン (M-理論)(英語版)と呼ばれる。ホモロジカルミラー対称性予想は、カラビ-ヤウ多様体 X {\displaystyle X} の深谷圏と、ミラーペアの連接層の導来圏のDG-圏(英語版)の間に、互いに森田同値があることを言っている。