逆元
しかし, ムーア・ペンローズ擬逆行列は任意の行列に対して存在して、(左、右)逆元が存在する場合には擬逆行列はそれと一致する。
行列の逆元の例を挙げる。m < n なる m × n 行列として、2 × 3 行列
A = [ 1 2 3 4 5 6 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}}
を考えよう。サイズに関する仮定から右逆元
A right − 1 = A ⊺ ( A A ⊺ ) − 1 {\displaystyle A_{\text{right}}^{-1}=A^{\intercal }(AA^{\intercal })^{-1}}
が存在する。これを実際に計算すると、
x が実数なら、x は実数の加法に関する逆元(加法的逆元、反数) −x を必ず持つ。0 でない実数 x の乗法に関する逆元(乗法的逆元) 1⁄x は逆数と呼ばれる。これに対して、x = 0 は乗法的逆元を持たない元であるが、0 は 0 自身を唯一の準逆元として持つ。