素数階乗
5# 以上の素数階乗数は全て一の位が 0 であり、十の位は 1,3,7,9 のいずれかに限られる。
素数が無数に存在することの証明に用いられることがある。
証明:最大の素数の存在を仮定し、それを pmax とおくと、pmax# + 1 は pmax 以下の素数で割り切れない。仮定より pmax# + 1 未満の素数は以上で全てなので pmax# + 1 は 1 と自分自身以外の因数を持たないことが言える。したがって pmax# + 1 は素数でなければならないことになるが、これは pmax を最大の素数とした仮定に反する。したがって最大の素数は存在しない。(証明終)
実際には、素数 p に対する p# + 1 は素数であることもあれば、合成数であることもある。素数である例としては 11# + 1 = 2311 などが、合成数である例としては 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 などがある。いずれにせよ、p# + 1 の素因子は全て p よりも大きい。
全ての高度合成数は素数階乗数の累乗数の積で表される。
720 = 2 × 6 × 30