カピッツァ・ディラック効果
第1種ベッセル関数の恒等式を用いると、 e i α cos  ( β ) = ∑ n = − ∞ ∞ i n J n ( α ) e i n β {\displaystyle e^{i\alpha \cos(\beta )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(\alpha )e^{in\beta }} , 上の波動関数は以下のようになる。
2 n ħ k {\displaystyle 2n\hbar k} 運動量状態は確率 P n = J n 2 ( θ ) {\displaystyle P_{n}=J_{n}^{2}(\theta )} n = 0 , ± 1 , ± 2 , ... {\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots } でポピュレートされており、パルス領域(相互作用の継続時間と振幅)は θ = ω rec 2 τ / 2 δ = ω rec ( 2 ) τ {\displaystyle \theta =\omega _{\text{rec}}^{2}\tau /2\delta =\omega _{\text{rec}}^{(2)}\tau } である。よって、回折された粒子の横方向のRMS運動量はパルス領域に線形比例する。 p rms = ∑ n = − ∞ ∞ ( n ħ k ) 2 P n = 2 θ ħ k . {\displaystyle p_{\text{rms}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(n\hbar k)^{2}P_{n}={\sqrt {2}}\theta \hbar k.}