ヘルムホルツ方程式
ヘルムホルツ方程式はしばしば、時間と空間の両方を含む偏微分方程式が関わる物理学の問題を扱うときに現れる。そうした偏微分方程式を扱うにあたって変数分離を行うことにより、時間によらない部分 としてヘルムホルツ方程式が出てくるのである。
例えば波動方程式
( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) u ( r , t ) = 0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u({\boldsymbol {r}},t)=0}
を考える。関数 u(r, t) を
u ( r , t ) = A ( r ) T ( t ) {\displaystyle u({\boldsymbol {r}},t)=A({\boldsymbol {r}})T(t)}
と変数分離し、これを波動方程式に代入し整理すると