巨大過剰数
巨大過剰数でも優高度合成数でもある数は、
2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800, 321253732800, 6064949221531200, 791245405339403414400, 37188534050951960476800, 581442729886633902054768000(オンライン整数列大辞典の数列 A224078)
で、20個ある。
その最大の数は、27桁の数
581442729886633902054768000 = (2#) × 3# × 5# × 7# × 59#
である。
巨大過剰数で、高度合成数であるが優高度合成数でない数は、
160626866400, 9316358251200, 288807105787200, 2021649740510400, 224403121196654400, 9200527969062830400, 395622702669701707200, 1970992304700453905270400, 35468006523084668025340848000, 135483209545341953934626770390608000(オンライン整数列大辞典の数列 A304235)
で、32個ある。
不等式は、彼の仕事の後、Robinの不等式として知られている。Robinの不等式は、それが成り立たない場合でも、巨大過剰数 n で失敗することが知られている。したがって、リーマン予想は、実際には、巨大過剰数 n > 5040 ごとのRobinの不等式保持と同じである。
2001-2002年に、Lagariasは、対数の代わりに調和数を使用して、例外を必要としないRobinの主張の代替形式を示した。
σ ( n ) < H n + exp  ( H n ) log  ( H n ) {\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n})}
または、n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60の8個の例外を除いて、
σ ( n ) < exp  ( H n ) log  ( H n ) {\displaystyle \sigma (n)<\exp(H_{n})\log(H_{n})}