代数的K理論
K 2 ( Q ) = ( Z / 4 ) ∗ × ∏ p odd prime ( Z / p ) ∗ {\displaystyle K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\times \prod _{p{\text{ odd prime}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\ }
であることを証明し、平方剰余の相互法則のガウス(Gauss)による第一証明に従うことを注意した。
非アルキメデス的局所体に対し、群 K2(F) は位数 m の有限巡回群の直和であり、いわば、可除群(divisible group) K2(F) である。
K2(Z) = Z/2,を得る。数体の整数環に対し、一般的に K2 は有限である。
さらに、n が 4 で割り切れれば、K2(Z/n) = Z/2 であり、そうでない場合は 0 であることが分かる。
体 F 上の中心的単純代数 A の場合には、被約ノルムが行列式の一般化 K1(A) → F を与え、SK1(A) はその核として定義することができる。ワンの定理(Wang's theorem)は、A が素数の次数を持つと、SK1(A) が自明になるという定理であり、これは平方因子をもたない次数へ一般化することができる。Shianghao Wangも、SK1(A) が数体上の任意の中心的単純代数 A に対して自明であることを示したが、しかしプラトノフ(Platonov)は SK1(A) が非自明となるような、次数が素数の二乗である代数の例を与えた。
高次 K-群の受け入れられている定義は、Quillen (1973) により与えられ、その後数年の間に、いくつかの整合性をもたない定義が示唆された。プログラムの目的は、K(R) や K(R,I) の定義を分類空間の項で定義することを見つけ、その結果、R ⇒ K(R) と (R,I) ⇒ K(R,I) が空間のホモトピー圏(英語版)(homotopy category)への函手となり、相対 K-群の長完全系列がホモトピーの長完全系列(long exact homotopy sequence)として、ファイバー構造(英語版)(fibration) K(R,I) → K(R) → K(R/I) をもたらす。
キレン(Quillen)は、2つの構成を与え、ひとつは「プラス構成(plus-construction)」でもうひとつは「Q-構成(Q-construction)」であり、後者は結局、異なる方法で変形される。2つの構成は、同一の K-群を構成する。
は、有限生成射影 A-加群 M を自由 A p {\displaystyle A_{\mathfrak {p}}} -加群 M p {\displaystyle M_{\mathfrak {p}}} のランクへ写す写像である(局所環上の有限生成射影加群は自由加群であるので、この加群は実際、自由加群である)。この部分群 K ~ 0 ( A ) {\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)} は A の縮退した 0 番目の K-理論として知られている。
B を単位元のない環とすると、K0 の定義を次のように拡張することができる。環 A を、アーベル群 B⊕Z に積構造を (x,n)×(y,m)=(xy+ny+mx,nm) で入れたものとして定義する。 A の単位元は (0,1) である。このとき 短完全系列 0 → B → A → Z → 0 が得られるが、K0(B) を対応する写像 K0(A) → K0(Z) = Zの核として定義する。
I を A のイデアルとし、次のように、「ダブル」をデカルト積 A × A の部分環と定義する。
D ( A , I ) = { ( x , y ) ∈ A × A : x − y ∈ I } . {\displaystyle D(A,I)=\{(x,y)\in A\times A:x-y\in I\}\ .}
相対的 K-群(relative K-group)は、「ダブル」を用いて
K 0 ( A , I ) = ker  ( K 0 ( D ( A , I ) ) → K 0 ( A ) ) {\displaystyle K_{0}(A,I)=\ker \left({K_{0}(D(A,I))\rightarrow K_{0}(A)}\right)}
で定義される。ここに写像は第一因子の射影により引き起こされた写像である。
相対的 K0(A,I) は I を恒等元を持たない環とみなしたときの K0(I) と同型である。A からの独立性はホモロジーの切除定理(英語版)(Excision theorem)の類似である。