中間値の定理
直感的には、平面上に異なる2点をとり、この2点を結ぶ連続な曲線を描く。そしてこの2点の位置関係が互いに反対側になるように直線を引いたとき、その曲線と直線とがどこかで必ず交点を持つ、ということに相当している。
ある種自明のように思われるが、これは実数の閉区間が連結であり、その連続像が再び閉区間したがって連結となること(一般に連結な位相空間の連続写像による像はやはり連結である)から成り立つ定理である。
なお、「任意の閉区間が連結である」ことと「実数の連続性が成立する」ことは同値であり(例えば、有理数体上では[a, b]は連結でない)、中間値の定理自体も結局は実数の連続性と同値である。
中間値の定理のある種の逆、つまり任意の中間値をとる関数は連続である、は成り立たないことがダルブーにより示されている。
また、より一般に、連結空間上の実数値連続関数について以下のことが成り立ち、これも中間値の定理と呼ばれる。
中間値の定理 ― 連結空間 S 上で定義された実連続関数 f : S → R の、S の2点 x1, x2 における値を f (x1) = α, f (x2) = β とすると、α < γ < β を満たす任意の実数 γ について f (x) = γ を満たす点 x ∈ S が存在する。
この連結空間 S を実数の有界閉区間 [a, b] に、2点 x1, x2 をその両端点 a, b に限定すると冒頭に述べた主張が得られる。