ガロアの逆問題
n = 3に対しては、p = 7 で取ることができる。このとき Gal(Q(μ)/Q) は位数6の巡回群である。このガロア群の μ を μ に移す元を η とすると、これは生成元になっている。位数2の部分群 H = {1, η} に興味がある。元 α = μ + η(μ) を考える。作り方から α は H の作用で不変であり、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上の共役は
α = η(α) = μ + μ
β = η(α) = μ + μ
γ = η(α) = μ + μ
の3つである。
下記の恒等式
1 + μ + μ + ⋯ + μ = 0,
を使って、
α + β + γ = −1
αβ + βγ + γα = −2
αβγ = 1
となることがわかる。
したがって α は多項式
(x − α)(x − β)(x − γ) = x + x − 2x − 1,
の根であり、この多項式の Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上のガロア群は Z/3Z である。
( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n n ( n − 1 ) n − 1 t n − 1 ( 1 − t ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n n ( n − 1 ) n − 1 t n − 1 ( 1 − 1 1 + ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 ( n − 1 ) u 2 ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n n ( n − 1 ) n − 1 t n − 1 ( ( 1 + ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 ( n − 1 ) u 2 ) − 1 1 + ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 ( n − 1 ) u 2 ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n n ( n − 1 ) n − 1 t n − 1 ( ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 ( n − 1 ) u 2 1 + ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 ( n − 1 ) u 2 ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n n ( n − 1 ) n − 1 t n − 1 ( t ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 ( n − 1 ) u 2 ) = n n ( n − 1 ) n t n u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n}(n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{aligned}}}
となる。
n が偶数であれば、これは完全平方である。
再び、ヒルベルトの既約性定理により、ガロア群が交代群となるような特殊化が無限に多く存在することが示された。
( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n n ( n − 1 ) n − 1 t n − 1 ( 1 − t ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n n ( n − 1 ) n − 1 t n − 1 ( 1 − ( 1 − ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n u 2 ) ) = ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n n ( n − 1 ) n − 1 t n − 1 ( ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 n u 2 ) = n n + 1 ( n − 1 ) n − 1 t n − 1 u 2 {\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}\end{aligned}}}
となる。
n が奇数であれば、これは完全平方である。