代数体
K の整基底 { ω 1 , ... , ω n } {\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\ \omega _{n}\}} に対して、以下の形の行列式を考える。
Δ ( ω 1 , ... , ω n ) = | ω 1 ( 1 ) ω 2 ( 1 ) ⋯ ω n ( 1 ) ω 1 ( 2 ) ω 2 ( 2 ) ⋯ ω n ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ω 1 ( n ) ω 2 ( n ) ⋯ ω n ( n ) | {\displaystyle \Delta (\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})={\begin{vmatrix}\omega _{1}^{(1)}&\omega _{2}^{(1)}&\cdots &\omega _{n}^{(1)}\\\omega _{1}^{(2)}&\omega _{2}^{(2)}&\cdots &\omega _{n}^{(2)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\omega _{1}^{(n)}&\omega _{2}^{(n)}&\cdots &\omega _{n}^{(n)}\end{vmatrix}}} 。
, r 1 + r 2 {\displaystyle j=1,\ldots ,r_{1}+r_{2}} に対して、正規付値 | ⋅ | j {\displaystyle |\cdot |_{j}} に同値な K の乗法付値全体の集合を v ∞ j {\displaystyle v_{\infty }^{j}} とおいたとき、 v ∞ 1 , ... , v ∞ r 1 + r 2 {\displaystyle v_{\infty }^{1},\ldots ,v_{\infty }^{r_{1}+r_{2}}} を無限素点 (infinite prime/infinite place)または無限素因子という。特に、 v ∞ 1 , ... , v ∞ r 1 {\displaystyle v_{\infty }^{1},\ldots ,v_{\infty }^{r_{1}}} を実素点 (real prime/real place)、実無限素点または実素因子といい、 v ∞ r 1 + 1 , ... , v ∞ r 1 + r 2 {\displaystyle v_{\infty }^{r_{1}+1},\ldots ,v_{\infty }^{r_{1}+r_{2}}} を複素素点 (complex prime/complex place)、複素無限素点または虚素因子という。
ディリクレの単数定理 (Dirichlet's unit theorem)。代数体 K の次数を n とし、 r 1 , 2 r 2 {\displaystyle r_{1},\ 2r_{2}} を、K の実共役体、虚共役体の個数とする。このとき、K の単数群 E K {\displaystyle E_{K}} は 以下の性質を持つ r 1 + r 2 {\displaystyle r_{1}+r_{2}} 個の生成元 ρ , η 1 , ... , η r 1 + r 2 − 1 {\displaystyle \rho ,\ \eta _{1},\ldots ,\ \eta _{r_{1}+r_{2}-1}} を持つ。
ある正整数 m が存在して、 ρ m = 1 {\displaystyle \rho ^{m}=1} 。
η 1 , ... , η r 1 + r 2 − 1 {\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\ \eta _{r_{1}+r_{2}-1}} は乗法的独立である。つまり、 η 1 e 1 ⋯ η r 1 + r 2 − 1 e r 1 + r 2 − 1 = 1 {\displaystyle \eta _{1}^{e_{1}}\cdots \eta _{r_{1}+r_{2}-1}^{e_{r_{1}+r_{2}-1}}=1} ならば、 e 1 = ⋯ = e r 1 + r 2 − 1 = 0 {\displaystyle e_{1}=\cdots =e_{r_{1}+r_{2}-1}=0} である。