射影空間
射影空間 KPn の斉次座標 [x0 : x1 : ... : xn] に対して、方程式
a0x0 + a1x1 + ... + anxn = 0
はその解となる点の定数倍も解となるため、KPn の閉集合を定める。(a0, a1, ..., an) が 0-ベクトルでなければこれは真の閉集合である。これを射影空間の超平面という。KPn の超平面は KPn−1 と同型(あるいは同相)である。
上述の一次方程式は、係数 (a0, a1, ..., an) を定数倍しても解集合は不変である。従って、KPn の超平面は比 [a0 : a1 : ... : an] と1対1に対応している。KPn の超平面全体をパラメータ付けする空間はこの対応で KPn と同一視できる。これを双対射影空間 (dual projective space) という。
同様の理由で、射影空間 KPn の点 p = [a0 : a1 : ... : an] に方程式 a0y0 + a1y1 + anyn = 0 で定まる K の n 次元部分ベクトル空間 Vpを対応させる対応は1対1の対応である。
射影空間 KPn はアフィン空間 U0: x0 ≠ 0 と超平面 H: x0 = 0 の交わりのない和に書かれる。U は K と同一視され、H はひとつ次元の低い射影空間 KPn−1 と同一視されるので、この分解を帰納的に繰り返す事で
K P n = K n ⨿ K n − 1 ⨿ ⋯ ⨿ K 1 ⨿ { p t } {\displaystyle KP_{n}=K^{n}\amalg K^{n-1}\amalg \cdots \amalg K^{1}\amalg \{pt\}}
なる非交和分解を得る。K が R(もしくは C)の場合は、K は n 次元開球体 Dn(もしくは 2n 次元開球体 D2n)と同相であるのでこれはCW複体への分割
K P n = e n ∪ e n − 1 ∪ ⋯ ∪ e 1 ∪ e 0 {\displaystyle KP_{n}=e^{n}\cup e^{n-1}\cup \cdots \cup e^{1}\cup e^{0}}
を与える。この胞体分割に付随するホモロジー複体を用いてホモロジー群が計算できる。K = C の場合には、奇数次の胞体が存在しない事から直ちに
H i ( C P n , Z ) = { Z i ≡ 0 (mod 2) , 0 ≤ i ≤ 2 n 0 otherwise {\displaystyle H_{i}(\mathbb {C} P_{n},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &i\equiv 0\;{\mbox{(mod 2)}},\;0\leq i\leq 2n\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}