キュムラント
多変数のキュムラントは、確率変数X1,..., Xnが二つ以上の互いに独立な組に分かれるとすると、それらのなかで独立な変数にまたがるキュムラントは常に0になるという重要な性質を有する。
⟨ X j 1 ⋯ X j k ⟩ c = 0 {\displaystyle \langle X_{j_{1}}\dotsb X_{j_{k}}\rangle _{\mathrm {c} }=0} (独立な組に分けられる場合)
実際、確率変数が例えば、(X1,..., Xm)、(Xm+1,..., Xn)と二つの独立な組に分かれるとすると、モーメント母関数はその性質から二つの積に分解される。
M ( s 1 , ... , s n ) = M ( s 1 , ... , s m ) M ( s m + 1 , ... , s n ) {\displaystyle M(s_{1},\dots ,s_{n})=M(s_{1},\dots ,s_{m})M(s_{m+1},\dots ,s_{n})}
従って、キュムラント母関数は
log  M ( s 1 , ... , s n ) = log  M ( s 1 , ... , s m ) + log  M ( s m + 1 , ... , s n ) {\displaystyle \log {M(s_{1},\dots ,s_{n})}=\log {M(s_{1},\dots ,s_{m})}+\log {M(s_{m+1},\dots ,s_{n})}}
となり、左辺の級数展開において、二つの組にまたがる変数の積の項は現れず、対応するキュムラントは0となる。二つ以上の互いに独立な組に分かれる場合も同様である。