斜体 (数学)
斜体とは、以下の条件を満たす加法と乗法と呼ばれる 2 つの二項演算によって定まる代数的構造のことである。以下、台集合 K に加法 "+" と乗法 "×" が定められているとし、乗法の結果(積) a × b は ab と略記する。
K は加法に関してアーベル群である: a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a + (b + c) = (a + b) + c が成り立つ。 a + 0K = 0K + a = a が K の元 a の取り方に依らずに満たされる零元と呼ばれる特別な元 0K が存在する。 a が K の元ならばそれに対して a + (−a) = (−a) + a = 0K を満たす、マイナス元と呼ばれる元 −a が常に存在する。 交換法則が成り立つ。つまり K のどんな元 a, b についても、 a + b = b + a となる。
K は乗法に関してモノイドであって、0 以外の元が群をなす: a, b, c を K の任意の元とするとき、結合法則 a(bc) = (ab)c が成り立つ。 a1K = 1Ka = a が K の零元 0K でない元 a の取り方に依らずに満たされる単位元と呼ばれる特別な元 1K が存在する。 a が零元 0K でない K の元ならばそれに対して aa = aa = 1K を満たす、逆元と呼ばれる元 a が常に存在する。
乗法は加法に対して分配的である: a, b, c を K の任意の元とするとき、a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc が成り立つ。