証明 (数学)
証明を記述する際には、証明とそれ以外の部分をはっきりわけて可読性をあげるため、証明の始めと終わりを明確に示す習慣があり、特に初等中等教育などで初めて証明の記述を学ぶ者に対しては厳しく指導される。
始めや終わりを示す記号は書く人の好みによりさまざまであるが、証明の始めには「proof」「prf.」「pf.」「[証明]」「【証】」や、丸で囲んだ「∵」などが使われる。
証明の終わりには「Q.E.D.」「/証明終わり」「[証明終]」「【証終】」「(おわり)」「□」「■」「∥」や、スラッシュと重ねた「⌋」などが用いられる。学生のノートやレポートでは、中空の正方形をハッチングで塗ったものが使われることが多い。
一般に、一つの内容を一行に収め、上の行から順に下の行に移るに従って、論証が進むように書かれ、その理由や用いた定理を丸カッコ()でくくって書き添えることが多い。複数の行に書かれた内容を使って次の行が得られるときは、複数の行を中カッコ{、}でくくるか、行末に....〇の丸の中に数字を入れたタグを付け、次の行頭に「1,2より」などと、説明の流れを明らかにする文言を添える。
「素数は無限個存在する」という命題の証明は以下のようになされる。
証明 : 素数の個数は有限であると仮定する。すべての素数を掛け合わせた数に1を足したものはどの素数で割っても1余り、割り切れない。すなわちそれ自体が素数であるか、ここで想定した最大の素数よりも大きい素数でしか割り切れないことを意味する。いずれにしても、すべての素数以外に素数が存在することになり仮定と矛盾する。よって仮定は間違っており、素数は無限に存在することが示された。