種数
連結な向き付け可能閉曲面Sの種数とは、その切断によって生じる多様体が連結のままとなるような単純な閉曲線に沿った切断の最大数を表す整数である。種数はその閉曲面のハンドルの数と等しい。これとは別にオイラー標数 χ を使って定義することもでき、種数を g としたとき、閉曲面では χ = 2 − 2g が成り立つ。b 個の境界成分を持つ曲面では、この式は χ = 2 − 2g − b となる。
またこのときSのベッチ数は2gであるから次が成り立つ;
H 1 ( S , Z ) = Z 2 g {\displaystyle H_{1}(S,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} ^{2g}}
例えば、
球面 S、円盤、環形はいずれも種数は0である。
トーラスの種数は1である。これは例えば取っ手のあるマグカップの表面に相当する。これに関連して「位相幾何学者とはドーナッツとマグカップを区別できない者である」というジョークがある。
向き付け閉曲面の種数
種数 0
種数 1
種数 2
種数 3