バナッハの不動点定理
つづいて近年 Journal of Fixed Point Theory and its Applications に掲載されたより簡単な証明を紹介する(参考文献を参照)。
三角不等式より、X 内のすべての x, y に対して、次が成り立つ。
d ( x , y ) ≤ d ( x , T ( x ) ) + d ( T ( x ) , T ( y ) ) + d ( T ( y ) , y ) ≤ d ( x , T ( x ) ) + q d ( x , y ) + d ( T ( y ) , y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}d(x,y)&\leq d(x,T(x))+d(T(x),T(y))+d(T(y),y)\\&\leq d(x,T(x))+qd(x,y)+d(T(y),y).\end{aligned}}}
これを d(x, y) について解くことで、次の「基本縮小不等式」(Fundamental Contraction Inequality)が得られる。
d ( x , y ) ≤ d ( T ( x ) , x ) + d ( T ( y ) , y ) 1 − q . {\displaystyle d(x,y)\leq {\frac {d(T(x),x)+d(T(y),y)}{1-q}}.}