エジプト式分数
大きめの奇素数 p (13, 17, 19, 29, ...) に対しては、恒等式 2/p = 1/A + 2A − p/Ap が用いられている。ここで、A は p/2 < A < p を満たし、約数を多く持つ数が選ばれる。2A − p/Ap について、分子が A のいくつかの約数の和に表すことができれば、約分して単位分数の和を得る。例えば、p = 37 に対して A = 24 とすると、2A − p = 11 = 3 + 8 で 3 と 8 は 24 の約数であるから、リンド・パピルスの展開 2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296 を得る。A を取り替えたり、約数の和に分解する方法を変えたりすると別の展開を得る。
実際、一度の手続きで分子は少なくとも 1 小さくなるので、a/b は多くとも a 個の単位分数の和で表せる。2人の名を取って、強欲算法は「フィボナッチ=シルベスターのアルゴリズム」とも呼ばれる。
フィボナッチ自身も注意したように、強欲算法はときに複雑な単位分数展開を与える。例えば、5/121 に強欲算法を適用すると、
5/121 = 1/25 + 1/757 + 1/763309 + 1/873960180913 + 1/1527612795642093418846225
となるが、ずっと簡潔な単位分数展開
5/121 = 1/33 + 1/121 + 1/363
を持つ。強欲算法は単純で分かりやすく、任意の分数が異なる単位分数の和で表せることの易しい証明も与えるが、このように複雑な展開になる場合もあるため、フィボナッチ自身は、最初の分解の後は他の方法を適用することを勧めている。
単位分数 1/n に強欲算法を適用すると、恒等式
1/n = 1/n + 1 + 1/n(n + 1)
を得る。これより、単位分数は2つの単位分数の和に表せるので、任意の分数は無数に多くの単位分数展開を持つ。
任意の分数に対し、項数や最大分母が最小の単位分数展開を総当たり法で見つけることはできるが、この問題が計算複雑性理論においてどの複雑性クラスに属するのか、例えば多項式時間で見つけられるかは知られていない。