熱力学的状態方程式
が導かれる。すなわち、断熱かつ準静的に理想ゴムを伸長すると、ゴムの温度は上昇する。
偏微分の公式と K = a(L)T を使うと
( ∂ L ∂ T ) K = − ( ∂ K ∂ T ) L / ( ∂ K ∂ L ) T = − K T ( ∂ L ∂ K ) T {\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial T}}\right)_{K}=-\left({\frac {\partial K}{\partial T}}\right)_{L}/\left({\frac {\partial K}{\partial L}}\right)_{T}=-{\frac {K}{T}}\left({\frac {\partial L}{\partial K}}\right)_{T}}
が導かれる。ゴムが伸びきった状態でなければ引っ張る力が大きいほどゴムが伸びるので (∂L/∂K)T > 0 である。よって、張力を一定に保ったまま温度を上げるとゴムは縮む。ただし張力がゼロであれば、ゴムの長さは自然長のまま変化しない。
ゴムの張力を一定に保ったときの熱容量 CK は、CPとCVの差を求めたときと同様に考えると
C V = ( ∂ U ∂ T ) V {\displaystyle C_{V}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}}
であり、定圧過程では
C P = ( ∂ U ∂ T ) V + [ ( ∂ U ∂ V ) T + P ] ( ∂ V ∂ T ) P {\displaystyle C_{P}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}+\left[\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}+P\right]\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}}
である。
ここで熱力学的状態方程式
( ∂ U ∂ V ) T = T ( ∂ P ∂ T ) V − P {\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}-P}
を用いると、関係式
C P − C V = T ( ∂ P ∂ T ) V ( ∂ V ∂ T ) P {\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}}
が導かれる。この関係式は定積熱容量が定圧熱容量と状態方程式の偏微分係数から計算できることを示している。
T = V − n b n R [ P + a ( n V ) 2 ] {\displaystyle T={\frac {V-nb}{nR}}\left[P+a\left({\frac {n}{V}}\right)^{2}\right]}
および、これを先の式に代入して得られる方程式
T = V ( ∂ ∂ V V − n b n R [ P + a ( n V ) 2 ] ) P {\displaystyle T=V\left({\frac {\partial }{\partial V}}{\frac {V-nb}{nR}}\left[P+a\left({\frac {n}{V}}\right)^{2}\right]\right)_{P}}
を同時に満たす T として求めればよい。適当な代数計算によりこれら二つの方程式から V を消去すると
T inv = 2 a 9 b R ( 2 ± 1 − 3 b 2 a P ) 2 {\displaystyle T_{\text{inv}}={\frac {2a}{9bR}}\left(2\pm {\sqrt {1-{\frac {3b^{2}}{a}}P}}\right)^{2}}
となり、逆転温度 Tinv が圧力 P の関数として得られる。
得られた Tinv の式から、P < a/3b となる圧力においては逆転温度が二つあることが分かる。十分に高い温度では μJT < 0 なので、二つの逆転温度に挟まれた温度領域では μJT > 0 である。この温度領域では、ジュール=トムソン膨張により気体の温度が下がる。圧力が高くなるにつれて μJT > 0 となる温度範囲は狭まり、P > a/3b となる圧力においては逆転温度は存在しない。すなわち、ジュール=トムソン膨張により気体を冷却できる圧力には上限があることが分かる。