グロンウォールの不等式
ゼロを含む任意の自然数 n に対して
u ( t ) ≤ α ( t ) + ∫ [ a , t ) α ( s ) ∑ k = 0 n − 1 μ ⊗ k ( A k ( s , t ) ) μ ( d s ) + R n ( t ) {\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{[a,t)}\alpha (s)\sum _{k=0}^{n-1}\mu ^{\otimes k}(A_{k}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+R_{n}(t)}
が成立する。ここで残部は
R n ( t ) := ∫ [ a , t ) u ( s ) μ ⊗ n ( A n ( s , t ) ) μ ( d s ) , t ∈ I {\displaystyle R_{n}(t):=\int _{[a,t)}u(s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I}
とし
A n ( s , t ) = { ( s 1 , ... , s n ) ∈ I s , t n ∣ s 1 < s 2 < ⋯ < s n } , n ≥ 1 {\displaystyle A_{n}(s,t)=\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}\},\qquad n\geq 1}
は n-次元単体とし
μ ⊗ 0 ( A 0 ( s , t ) ) := 1 {\displaystyle \mu ^{\otimes 0}(A_{0}(s,t)):=1}
としている。
が得られる。これを仮定に現れた積分不等式に代入することにより、求めるグロンウォールの不等式が得られる。
(b) もし関数 α が非減少関数であるなら、(a) および不等式 α(s) ≤ α(t) が成立すること、および微分積分学の基本定理により
u ( t ) ≤ α ( t ) + ( − α ( t ) exp  ( ∫ s t β ( r ) d r ) ) | s = a s = t = α ( t ) exp  ( ∫ a t β ( r ) d r ) , t ∈ I {\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha (t)+{\biggl (}{-}\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha (t)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I\end{aligned}}}
が得られ、証明が完成される。