射有限群
有限群は離散位相に関して射有限である。
p-進整数全体の成す加法群 Zp は射有限である(実際にはさらに射巡回的である)。この群は、n を全ての自然数を亘って動かすとき、有限群 Z/pZ とそれらの間の自然な射影 Z/pZ → Z/pZ (n ≥ m) が成す射影系の射影極限になっており、この群の射有限群としての位相はZp 上の p-進付値から定まる位相と一致する。
体の無限次拡大のガロア理論では、射有限なガロア群が自然に現れる。具体的に、L/K を(無限次元の)ガロア拡大とし、K の元を動かさない L 上の体自己同型全体の成す群 G = Gal(L/K) を考える。この無限ガロア群は、F が F/K が有限次ガロア拡大であるような L/K の中間体すべてを亘るとき、有限ガロア群 Gal(F/K) が成す射影系の逆極限である。この射影系における射は、F2 ⊆ F1 なるとき、制限準同型 Gal(F1/K) → Gal(F2/K) で与えられる。
射有限群の圏論的な意味での双対として、入射有限群 (ind-finite group) の概念が有限群の成す帰納系(順系)の帰納極限(直極限)となる群として定められる。事実としてこの条件は、任意の有限生成部分群が有限であるという条件に同値であり、通常は入射有限とは言わず、局所有限であるという。
ポントリャーギン双対を用いれば、可換な射有限群は局所有限な離散可換群の双対になっていることが見てとれる。後者の群はちょうど可換なねじれ群(任意の元がねじれ元であるような群)である。