時不変系
系が時不変かどうかを判定する例を示すため、次の2つの系を考える。
系 A: y ( t ) = t ⋅ x ( t ) {\displaystyle y(t)=t\cdot x(t)}
系 B: y ( t ) = 10 ⋅ x ( t ) {\displaystyle y(t)=10\cdot x(t)}
系 A は x ( t ) {\displaystyle x(t)} と y ( t ) {\displaystyle y(t)} 以外の部分で明示的に t に依存しているので、時変である。一方系 B は明示的に t に依存していないので、時不変である。
従って T 1 {\displaystyle \mathbb {T} _{1}} は入力ベクトルを 1 だけ進める作用素である。
ここで、系を作用素 H {\displaystyle \mathbb {H} } で表す。この系が時不変であるのは、この作用素とシフト作用素の間で交換法則が成り立つ場合である。すなわち、
∀ r T r H = H T r {\displaystyle \forall r\ \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}}
系の方程式が次のようであるとする。
y ~ = H x ~ {\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}}
この系が時不変であるとは、系の作用素 H {\displaystyle \mathbb {H} } を x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} に適用してからシフト作用素 T r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}} を適用した場合と、シフト作用素 T r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}} を適用してから系の作用素 H {\displaystyle \mathbb {H} } を適用した場合で、結果が等価となる場合である。