不確定性原理
このような限界が存在するはずだという元々の発見的議論がハイゼンベルクによって与えられたため、これはハイゼンベルクの原理という名前が付けられることもある。しかし後述するようにハイゼンベルク自身による不確定性原理の物理的説明は、今日の量子力学の知識からは正しいものではない。
今日の量子力学において、不確定性原理でいう観測は日常語のそれとは意味が異なる用語であり、測定装置のような古典的物体と量子系との間の任意の相互作用を意味する。したがって例えば、実験者が測定装置に表示された値を実際に見たかどうかといった事とは無関係に定義される。また不確定性とは、物理量を観測した時に得られる測定値の標準偏差を表す。
不確定性原理が顕在化する現象の例としては、原子(格子)の零点振動(このためヘリウムは、常圧下では絶対零度まで冷却しても固化しない)、その他量子的なゆらぎ(例:遍歴電子系におけるスピン揺らぎ)などが挙げられる。
よりψ0は P ^ ′ {\displaystyle {\hat {P}}'} の長さ1の固有関数であるので、 Δ ψ 0 P ^ ′ {\displaystyle \Delta _{\psi _{0}}{\hat {P}}'} は0になる:
Δ ψ 0 P ^ ′ = ‖ P ^ ′ ψ 0 − ⟨ ψ 0 , P ^ ′ ψ 0 ⟩ ψ 0 ‖ {\displaystyle \Delta _{\psi _{0}}{\hat {P}}'=\|{\hat {P}}'\psi _{0}-\langle \psi _{0},{\hat {P}}'\psi _{0}\rangle \psi _{0}\|} = ‖ i π ψ 0 − i π ⟨ ψ 0 , ψ 0 ⟩ ψ 0 ‖ = 0 {\displaystyle =\|i\pi \psi _{0}-i\pi \langle \psi _{0},\psi _{0}\rangle \psi _{0}\|=0}
一方明らかに
Δ ψ 0 Q ^ ′ < ∞ {\displaystyle \Delta _{\psi _{0}}{\hat {Q}}'<\infty }
なので、
Δ ψ 0 P ^ ′ Δ ψ 0 Q ^ ′ = 0 {\displaystyle \Delta _{\psi _{0}}{\hat {P}}'\Delta _{\psi _{0}}{\hat {Q}}'=0}
( Δ ψ A ^ ) 2 ( Δ ψ B ^ ) 2 = ‖ A ^ ′ ψ ‖ 2 ‖ B ^ ′ ψ ‖ 2 ≥ | ⟨ A ^ ′ ψ , B ^ ′ ψ ⟩ | 2 ≥ | I m ⟨ A ^ ′ ψ , B ^ ′ ψ ⟩ | 2 ≥ 1 4 | ⟨ A ^ ′ ψ , B ^ ′ ψ ⟩ − ⟨ B ^ ′ ψ , A ^ ′ ψ ⟩ | 2 {\displaystyle (\Delta _{\psi }{\hat {A}})^{2}(\Delta _{\psi }{\hat {B}})^{2}=\|{\hat {A}}'\psi \|^{2}\|{\hat {B}}'\psi \|^{2}\geq |\langle {\hat {A}}'\psi ,{\hat {B}}'\psi \rangle |^{2}\geq |\mathrm {Im} \langle {\hat {A}}'\psi ,{\hat {B}}'\psi \rangle |^{2}\geq {\frac {1}{4}}|\langle {\hat {A}}'\psi ,{\hat {B}}'\psi \rangle -\langle {\hat {B}}'\psi ,{\hat {A}}'\psi \rangle |^{2}}
A ^ ′ B ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {A}}'{\hat {B}}'\psi } 、 B ^ ′ A ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {B}}'{\hat {A}}'\psi } が定義可能であったので、
ISBN 4-12-100751-4。http://www.chuko.co.jp/shinsho/1985/01/100751.html。
古澤明『量子もつれとは何か 「不確定性原理」と複数の量子を扱う量子力学』講談社〈ブルーバックス B-1715〉、2011年2月。ISBN 978-4-06-257715-1。https://bookclub.kodansha.co.jp/product?item=0000194676。
宮下精二『量子スピン系 不確定性原理と秩序』岩波書店〈岩波講座 物理の世界 物質科学の展開 7〉、2006年10月。ISBN 4-00-011130-2。 オリジナルの2009年5月25日時点におけるアーカイブ。https://web.archive.org/web/20090525070920/http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/01/2/0111300.html。
伏見康治『確率論及統計論』河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204。
小澤正直は、(当初のハイゼンベルクの思考実験では混同されており、ボーアが指摘している)測定限界や測定することによる対象の擾乱や測定誤差と、量子自体の性質(不確定性関係)による量子ゆらぎを厳密に区別した式(小澤の不等式)を提案した。式の形は、ハイゼンベルクの式に補正項を付け加えた形になる。さらに、その式に従えば(従来のハイゼンベルクの式に従って信じられていた)「ハイゼンベルクの不確定性原理による測定の限界」を超えて、量子に対する精度の良い測定が可能であると、2003年1月に発表した(この結果につながった論争は、1980年代に、重力波検出装置の可能性と限界を巡って始まったものである)。オブサーバブル O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の測定の誤差(すなわち精度)を ε O {\displaystyle \epsilon _{\mathcal {O}}} 、測定過程による撹乱を η O {\displaystyle \eta _{\mathcal {O}}} 、量子ゆらぎを σ O {\displaystyle \sigma _{\mathcal {O}}} とすると以下の不等式が成り立つ。
単位行列Iが H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の全域で定義されている事を利用すると、ψの条件 ψ ∈ D o m ( A ^ ) ∩ D o m ( B ^ ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {A}})\cap \mathrm {Dom} ({\hat {B}})} 、 B ^ ψ ∈ D o m ( A ^ ) {\displaystyle {\hat {B}}\psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {A}})} 、 A ^ ψ ∈ D o m ( B ^ ) {\displaystyle {\hat {A}}\psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {B}})} より、
A ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {A}}'\psi } 、 B ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {B}}'\psi } 、 A ^ ′ B ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {A}}'{\hat {B}}'\psi } 、 B ^ ′ A ^ ′ ψ {\displaystyle {\hat {B}}'{\hat {A}}'\psi }
がいずれも定義可能である事が簡単な議論で分る。
コーシー・シュワルツの不等式により、
不確定性原理を定式化する準備として、オブザーバブルの定義域に関して述べる。後でみるように、不確定性原理を厳密に定式化する際、オブザーバブルの定義域に関して細心の注意を払わないと、反例がつくれてしまうからである。
まず運動量作用素と位置作用素の定義域に関して調べる。定義から分かるように、運動量作用素は波動関数が微分可能な場合しか定義できないが、自乗可積分関数の中には微分可能でないものもあるので、運動量作用素は状態空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の全域では定義できず、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の部分空間でのみ定義された作用素である。また位置作用素に関しても、 Q ^ j ψ ( x ) = x j ψ ( x ) {\displaystyle {\hat {Q}}_{j}\psi (x)=x_{j}\psi (x)} が常に自乗可積分関数になるわけではないので、 Q ^ j ψ ( x ) = x j ψ ( x ) {\displaystyle {\hat {Q}}_{j}\psi (x)=x_{j}\psi (x)} が自乗可積分関数になるような ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} に対してしか位置作用素を定義できない(そうしないと Q ^ j {\displaystyle {\hat {Q}}_{j}} の値域が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} からはみ出してしまうので、 Q ^ j {\displaystyle {\hat {Q}}_{j}} が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素にならない)。
1次元空間 R {\displaystyle \mathbf {R} } 上の自乗可積分関数に対する通常の位置作用素 Q ^ {\displaystyle {\hat {Q}}} 、運動量作用素 P ^ {\displaystyle {\hat {P}}} と区別するため、[−1, 1]上の自乗可積分関数に対する位置作用素と運動量作用素をそれぞれ Q ^ ′ {\displaystyle {\hat {Q}}'} 、 P ^ ′ {\displaystyle {\hat {P}}'} と書くことにする。すなわち
Q ^ ′ ψ ( x ) = x j ψ ( x ) P ^ ′ ψ ( x ) = − i ħ d d x ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {Q}}'\psi (x)&=x_{j}\psi (x)\\{\hat {P}}'\psi (x)&=-i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\psi (x)\end{aligned}}}
である事は通常の Q ^ {\displaystyle {\hat {Q}}} 、 P ^ {\displaystyle {\hat {P}}} と変わらないが、 Q ^ {\displaystyle {\hat {Q}}} 、 P ^ {\displaystyle {\hat {P}}} の場合と違い、ψはR全体で定義された関数ではなく、区間[−1, 1]でのみ定義された関数である。