オイラーのφ関数
1, 2, 3, 4, 5, 6 のうち 6 と互いに素なのは 1, 5 の 2個であるから、 φ(6) = 2 である。
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 のうち 7 以外は全て 7 と互いに素だから、φ(7) = 6 である。
1 から 20 までの値は以下の通りである。
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,...
もし n ≠ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 であれば 2.50637 のかわりに 2.5 とおくことができる。一般に任意の ε > 0 に対して
φ ( n ) > n 1 − ε {\displaystyle \varphi (n)>n^{1-\varepsilon }}
が十分大きな n に対して成り立つ。簡明な下界として φ ( n ) ≥ n 2 {\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}} がある。
σ(n) を約数関数とすると、n > 1 において、
6 n 2 π 2 < φ ( n ) σ ( n ) < n 2 {\displaystyle {\frac {6n^{2}}{\pi ^{2}}}<\varphi (n)\sigma (n)<n^{2}}
が成り立つ。
トーシェント関数の値域に含まれない自然数をノントーシェントという。
x が 1 より大きい奇数の時、x はノントーシェントである。また、偶数であるノントーシェントは無数に存在することが知られている。φ(n) = x となる n が存在するならば、それは少なくとも2つ存在するだろうと予想されているが、未だに証明されていない。一方、任意の k > 1 に対して、φ(n) = x となる n の個数がちょうど k 個であるような x は無数に存在することが知られている。