メルテンスの定理
S ( x ) = ∑ p ≤ x log  p p , R ( x ) = S ( x ) − log  x {\displaystyle S(x)=\sum _{p\leq x}{\frac {\log p}{p}},R(x)=S(x)-\log x} とおく。第一定理より R ( x ) = O ( 1 ) {\displaystyle R(x)=O(1)} である。よって積分
∫ 2 x R ( t ) d t t log 2  t {\displaystyle \int _{2}^{x}{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}}
は x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } のとき収束する。したがって、アーベルの総和公式より