不動点定理
バナッハの不動点定理は、反復合成写像が不動点を持つことを保証するために満たすべき条件に関する一般的な判定法を与える。一方、ブラウワーの不動点定理は構成的な方法ではなく、「n-次元ユークリッド空間における閉単位球からそれ自身への連続関数は必ず不動点をもつ」ことを述べる が、どのように不動点を求めればよいかについて何も言及しない(スペルナーの補題(英語版)も参照)。
たとえば、余弦関数 cos は区間 [−1, 1] において連続な [−1, 1] への函数であるから、不動点を持たねばならない。グラフを書けば明らかに、余弦曲線 y = cos(x) は直線 y = x と交わり、そこに不動点を持つ。この不動点は、数値的にはおよそ x = 0.73908513321516... である。
代数的位相幾何学におけるレフシェッツの不動点定理(およびニールセンの不動点定理)は、ある意味で「不動点の個数を数える方法」を示すものであるため重要である。これらは、バナッハ空間や他のさらに抽象的な空間への一般化が数多く知られており、偏微分方程式論に応用されている。詳しくは無限次元空間における不動点定理を参照されたい。
このほか、コラージュ定理(英語版)はフラクタル圧縮の分野における定理であり、多くの画像に対して、ある比較的小さな式で表される関数が存在して「どんな初期値の画像から始めても、その関数を繰り返し適用すれば、急速に目的の画像に収束する」ようにできることが証明するものである。