テイラーの定理
を満たす点 ξ∈(a,x) が存在する。F の導関数を計算すると、
F ′ ( t ) = f ′ ( t ) + ( f ′′ ( t ) ( x − t ) − f ′ ( t ) ) + ( f ( 3 ) ( t ) 2 ! ( x − t ) 2 − f ( 2 ) ( t ) 1 ! ( x − t ) ) + ⋯ ⋯ + ( f ( k + 1 ) ( t ) k ! ( x − t ) k − f ( k ) ( t ) ( k − 1 ) ! ( x − t ) k − 1 ) = f ( k + 1 ) ( t ) k ! ( x − t ) k {\displaystyle {\begin{aligned}F'(t)={}&f'(t)+{\big (}f''(t)(x-t)-f'(t){\big )}+\left({\frac {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{\frac {f^{(2)}(t)}{1!
を満たし、x < a のときも同様の評価が成り立つ。これはラグランジュの剰余の単純な帰結である。とくに、ある r > 0 で区間 I = (a−r, a+r) 上
| f ( k + 1 ) ( x ) | ≤ M {\displaystyle |f^{(k+1)}(x)|\leq M}
ならば、すべての x ∈ (a−r, a+r) に対して
| R k + 1 ( x ) | ≤ M | x − a | k + 1 ( k + 1 ) ! ≤ M r k + 1 ( k + 1 ) ! {\displaystyle |R_{k+1}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}}
である。第二の不等式は一様評価と呼ばれる。区間 (a−r, a+r) 上すべての x に対して一様に成り立つからである。