半単純加群
環が(左)半単純であるとは、それがそれ自身の上の左加群として半単純であることをいう。驚くべきことに、左半単純環は右半単純でもあり、逆も同様である。左右の区別はしたがって不要であり、半単純環についてあいまいさなく話すことができる。
半単純環はホモロジー代数の言葉で特徴づけることができる。すなわち、環 R が半単純であることと左(または右)R-加群の任意の短完全列が分裂することは同値である。とくに、半単純環上の任意の加群は移入加群かつ射影加群である。射影加群は平坦加群なので、半単純環はフォン・ノイマン正則環である。
半単純環は代数学者にとってかなり興味深い。例えば、環 R が半単純であれば、すべての R-加群は自動的に半単純である。さらに、すべての単純(左)R-加群は R の極小左イデアルに同型である。すなわち、R は左Kasch環である。
半単純環はアルティン環かつネーター環である。上記の性質から、環が半単純であることとアルティン環でありジャコブソン根基が 0 であることは同値である。
アルティン的半単純環が体を含めば、半単純多元環と呼ばれる。
その用語にもかかわらず、単純環は半単純環であるとは限らないことに注意すべきである。問題は環が大きすぎるかもしれないことだ。つまり、(左/右)アルティンでないかもしれない。実は、R が単純環であって極小左/右イデアルをもてば、R は半単純である。
単純だが半単純でない環の古典的な例はワイル代数である。例えば Q⟨x, y⟩/(xy − yx − 1) は単純非可換整域である。これらやたくさんの他の素敵な例はもっと詳細にいくつかの非可換環論のテキストで議論されている。例えば Lam の本の chapter 3 では非アルティン単純環として書かれている。ワイル代数の加群論は半単純環のそれよりもよく研究されていてかなり異なる。