オイラーの定理 (平面幾何学)
三角形の外接円の半径を R 、内接円の半径を r 、内心と外心の距離を d としたとき、以下の式が成り立つ。
d 2 = R ( R − 2 r ) {\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}
この式を変形すると R ≧ 2r が成り立つ。これはオイラーの不等式と呼ばれる。また、この式の両辺を 2 で割ることにより、九点円の半径が内接円の半径より大きいことが分かる。
3辺の長さを a, b, c として、オイラーはこの式を以下の形で提示している。
d 2 = a 2 b 2 c 2 16 S 2 − a b c a + b + c {\displaystyle d^{2}={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{16S^{2}}}-{\frac {abc}{a+b+c}}}
逆に、2円の半径が上記の関係を満たしている場合、2つの円を外接円と内接円とする三角形は無限に存在する。これはポンスレの閉形定理(en)の最も簡単な例である。