勾配 (ベクトル解析)
f が可微分であるとき、点 x における勾配とベクトル v とのドット積 (∇f)x ⋅ v は x における f の v 方向への方向微分を与える。従ってこの場合、f の勾配は f のすべての等位集合と直交する。例えば、三次元空間における等位面は F(x, y, z) = c なる形の方程式で定義され、そして F の勾配はこの面の法線族となる。
より一般に、リーマン多様体に埋め込まれた任意の超曲面は F(P) = 0(ただし dF は至る所零でない)の形の方程式に表すことができて、F の勾配はこの超曲面の法線族になる。
一点 P において関数 f を考えるとき、この点 P を通る曲面を描き、この曲面上の各点で関数が同じ値を取るものとすれば、この曲面は「等位面」と呼ばれる。
で与えられる。ここに X は、この座標チャートにおける X の第 j 成分を表す。
故にこの勾配の局所形は
∇ f = g i k ∂ f ∂ x k ∂ ∂ x i {\displaystyle \nabla f=g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}
となる。M = R の場合を一般化して、関数の勾配と外微分とを
( ∂ X f ) ( x ) = d f x ( X x ) {\displaystyle (\partial _{X}f)(x)=df_{x}(X_{x})}
によって関係づけることができる。より細かく言えば、勾配ベクトル場 ∇f は微分一次形式 df と g の定める上げ同型(英語版)(シャープ)
♯ = ♯ g : T ∗ M → T M {\displaystyle \sharp =\sharp ^{g}\colon T^{*}M\to TM}
を用いて対応付けられる。R 上の関数の勾配と外微分との間の関係は、この計量がドット積の与える平坦計量である特別の場合である。