抽象添字記法
一般の同次テンソルは、V と V のコピーのテンソル積の元
V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }}
である。
このテンソル積の各々の要素を上にあるラテン文字は、上は V に共変な位置を示し、下は V に反変な位置を示したラベル付けを行う。このように積を、
V a V b V c V d V e {\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}\,}
と書く、あるいは、単純に、
V a b c d e . {\displaystyle {{{V^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}.}
と書く。
最後の 2つの表し方は最初に書いたことと同じ対象を表していることが重要である。このタイプのテンソルを同じような種類の記法でも書くことができる。たとえば、次のような記法もある。
h a b c d e ∈ V a b c d e = V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗ . {\displaystyle {{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}\in {{{V^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}=V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }.}
単純なベクトル空間上のテンソル積へは、モノイダル写像(英語版)(braiding maps)が存在する。ブレイド写像の例として、
τ ( 12 ) : V ⊗ V → V ⊗ V {\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}
は、2つのテンソル要素を交換する(従って、それらの単独のテンソル上の作用は、 τ ( 12 ) ( v ⊗ w ) = w ⊗ v {\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v} ) により与えられる。一般には、ブレイド写像は、対称群の元と 1:1 に対応し、テンソル要素の置換として作用する。ここに、 τ σ {\displaystyle \tau _{\sigma }} により置換 σ {\displaystyle \sigma } に付随したブレイド写像を表す(共通部分を持たない巡回置換(cyclic permutation)の積としての表現)。
ブレイド写像は、微分幾何学で、たとえば、ビアンキ恒等式を表すために重要である。