エネルギー
粒子の持つエネルギーを一般化して、1 つの力学系に対してエネルギーを定義できる。 運動エネルギーに関しては、各粒子が持つ運動エネルギーの和が系の運動エネルギーに対応する。
K ( p 1 , ... , p N ) = ∑ i = 1 N | p i | 2 2 m i . {\displaystyle K({\boldsymbol {p}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {p}}_{N})=\sum _{i=1}^{N}{\frac {|{\boldsymbol {p}}_{i}|^{2}\!\!}{2m_{i}}}.}
ここで N は系の粒子数であり、pi は i 番目の粒子の運動量、mi は i 番目の粒子の質量である。 位置エネルギーは、各粒子の位置を変数とする関数として定義される。多くの場合、位置エネルギーは 1 体のポテンシャルと 2 体のポテンシャルを用いて、
Φ ( r 1 , ...
量子力学において、物理量や可観測量は通常の実数を用いては必ずしも表現できず、演算子を用いて表現される。系の力学的なエネルギーは、古典論における解析力学と同様に系全体のハミルトニアンによって表されるが、量子力学ではハミルトニアンは状態ベクトルに作用する演算子となる。測定によって得られる値は、そのハミルトニアンの固有状態に対応した固有値として与えられる。ある系について、エネルギーを測定できる限りにおいて、エネルギー固有値は実数に限られるため、系全体のハミルトニアンはエルミート演算子でなければならない。
非相対論的な量子力学では、正準交換関係を通じて運動量を演算子に置き換えることで、運動エネルギーは、
K ( p ) → K ^ ( p ^ ) = p ^ 2 2 m {\displaystyle K({\boldsymbol {p}})\to {\hat {K}}({\hat {\boldsymbol {p}}})={\frac {{\hat {\boldsymbol {p}}}^{2}\!\!}{2m}}}
と定義される。ここで ˆK は運動エネルギー演算子、ˆp は運動量演算子である。運動エネルギーを表す文字としてはしばしば K や T が用いられる。
位置エネルギーも同様に位置演算子の関数に置き換えられる。
V ( r ) → V ^ ( r ^ ) .