随伴関手
自由対象は全て忘却関手の左随伴の例となる。ここで忘却関手は代数的対象をその台集合に写す。これらの代数的な自由関手に対しても、上記の自由群に詳細に記述したものと同様のことが一般に成り立つ。
"adjunct"と"adjunction"と"adjoint"というように、二つの異なる語根が使われる(例えば、この記事の英語版)。Oxford shorter English dictionaryによると、"adjunct"はラテン語由来であり、"adjoint"はフランス語由来である。
Mac Lane 著 Categories for the working mathematician 第4章 "Adjoints" においては、次のように使われているのが確認できる。
φ : hom C  ( F Y , X ) ≅ hom D  ( Y , G X ) {\displaystyle \varphi \colon \operatorname {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)\cong \operatorname {hom} _{\mathcal {D}}(Y,GX)}
The hom-set bijection φ {\displaystyle \varphi } is an "adjunction".
If f {\displaystyle f} an arrow in hom C  ( F Y , X ) {\displaystyle \operatorname {hom} _{\mathcal {C}}(FY,X)} , φ f {\displaystyle \varphi f} is the right "adjunct" of f {\displaystyle f} (p. 81).
The functor F {\displaystyle F} is left "adjoint" for G {\displaystyle G} .
圏CとDの間のhom集合の随伴は2つの関手 F : C ← D と G : C → D および、自然同型
Φ : h o m C ( F − , − ) → h o m D ( − , G − ) {\displaystyle \Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)}
のことをいう。これはCの各対象XとDの各対象Yで添え字付けられた全単射の族
Φ Y , X : h o m C ( F Y , X ) → h o m D ( Y , G X ) {\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{D}(Y,GX)} .
を定める。
このとき、 FはGの左随伴であり GはFの右随伴であるという。