昇降演算子
昇降演算子の別の応用として、量子力学的な調和振動子がある。質量m、角振動数ωの1次元調和振動子に対し、そのハミルトニアンは
H = m ω 2 x ^ 2 2 + p ^ 2 2 m {\displaystyle H={\frac {m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}}{2}}+{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}}
で与えられる。ここでˆx は位置演算子、ˆpは運動量演算子であり、次の正準交換関係を満たす。
[ x ^ , p ^ ] = i ħ {\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }
昇演算子 a と降演算子 a を次のように定義する。
a = m ω 2 ħ ( x ^ + i m ω p ^ ) a † = m ω 2 ħ ( x ^ − i m ω p ^ ) {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}