交代多重線型形式
交代多重線型形式のテンソル積は一般にはもはや交代的とはいえない。しかし、テンソル積に任意の置換を施して、置換の符号を重みとして足し合わせることにより、多重余ベクトルの楔積(ウェッジ積)または外積(交代積)∧ が定義できる。すなわち f ∈ A k ( V ) , g ∈ A l ( V ) {\textstyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V),g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)} に対して f ∧ g ∈ A k + l ( V ) {\textstyle f\wedge g\in {\mathcal {A}}^{k+\ell }(V)} が
で与えられる。ここで右辺の和は k + l 元集合上の置換すべてに亙ってとる。この楔積は双線型、結合的で、さらに反交換的( f ∈ A k ( V ) , g ∈ A l ( V ) {\textstyle f\in {\mathcal {A}}^{k}(V),g\in {\mathcal {A}}^{\ell }(V)} ならば f ∧ g = ( − 1 ) k l g ∧ f {\textstyle f\wedge g=(-1)^{k\ell }g\wedge f} )である。