リウヴィル数
リウヴィル数(リウヴィルすう、Liouville number)とは、以下の定義を満たす実数 α のことである:任意の正整数 n に対して、
0 < | α − p q | < 1 q n {\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}
を満たす有理数 p/q (q > 1) が少なくとも一つ存在する。
例えば、
l = ∑ k = 1 ∞ 10 − k ! = 0.110001 000000 000000 000001 000000 000000 000000 ... {\displaystyle l=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001\,000000\,000000\,000001\,000000\,000000\,000000\ldots } (オンライン整数列大辞典の数列 A012245)
はリウヴィル数である。この数は、超越数であることが証明された初めての数である(ジョゼフ・リウヴィル、1844年)。特にこの数の場合、1が小数点以下、自然数の階乗の桁数に出現する(1!=1桁目、2!=2桁目、3!=6桁目、4!=24桁目、......)。
有理数 α が 0 < |α| < 1 を満たし、整数からなる単調増加列 {ak}k ≥ 1 が ak+1/ak → ∞ (k → ∞) を満たすとき、
∑ k = 1 ∞ α a k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\alpha ^{a_{k}}}
はリウヴィル数である。