単項イデアル環
しかし R / P i a i {\displaystyle R/P_{i}^{a_{i}}} は離散付値環 R P i {\displaystyle R_{P_{i}}} の商 R P i / P i a i R P i {\displaystyle R_{P_{i}}/P_{i}^{a_{i}}R_{P_{i}}} に同型であり、主環の商であるので、主環である。
5. k を有限体とし A = k [ x , y ] {\displaystyle A=k[x,y]} , m = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle {\mathfrak {m}}=\langle x,y\rangle } , R = A / m 2 {\displaystyle R=A/{\mathfrak {m}}^{2}} とおく。このとき R は主環でない有限局所環である。
6. X を有限集合とする。このとき ( P ( X ) , Δ , ∩ ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\Delta ,\cap )} は単位元をもつ可換主イデアル環をなす。ただし Δ {\displaystyle \Delta } は対称差を表し P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} は X の冪集合を表す。X が少なくとも 2 つの元をもてば、環はまた零因子をもつ。I がイデアルであれば、 I = ( ⋃ I ) {\displaystyle I=(\bigcup I)} である。X を無限集合とすれば、環は主環でない。例えば、X の有限部分集合で生成されるイデアルを考えよ。
R が右単項イデアル環であれば、それは確かに右ネーター環である、なぜならばすべての右イデアルは有限生成だからだ。それは右ベズー環でもある、なぜならばすべての有限生成右イデアルは単項だからだ。それにまた、単項右イデアル環はちょうど右ベズーかつ右ネーターな環であることは明らかである。
単項右イデアル環は有限直積で閉じている。 R = ∏ i = 1 n R i {\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}} であれば、R の各右イデアルは A = ∏ i = 1 n A i {\displaystyle A=\prod _{i=1}^{n}A_{i}} の形である、ただし各 A i {\displaystyle A_{i}} は Ri の右イデアルである。すべての Ri が単項右イデアル環であれば、Ai=xiRi であり、 ( x 1 , ... , x n ) R = A {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})R=A} であることがわかる。それほどさらに努力しなくても右ベズー環もまた有限個の直積で閉じていることが証明できる。
単項右イデアル環と右ベズー環はまた商についても閉じている、つまり、I が単項右イデアル環 R の真のイデアルであれば、商環 R/I もまた単項右イデアル環である。これは環の同型定理からただちに従う。
上記のすべての性質は左でも同様に成り立つ。