線型回帰数列
一般項を求めるために、p-階回帰列を K に値をとる数列に読み替える。即ち、各数列 (un)n∈N ∈ ERp に対し、K-値数列 (Un)n∈N を
U n = ( u n , u n + 1 , ... , u n + p − 1 ) {\displaystyle U_{n}=(u_{n},u_{n+1},\ldots ,u_{n+p-1})}
によって与える。すると、(un)n∈N に対する漸化式 (Rp) は (Un)n∈N に対する一階の線型漸化式 Un+1 = AUn に帰着される。ただし A は
A = ( 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋮ 0 ⋯ ⋯ 0 1 a 0 a 1 ⋯ ⋯ a p − 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &0&1\\a_{0}&a_{1}&\cdots &\cdots &a_{p-1}\end{pmatrix}}}
なる行列(数列の特性多項式の同伴行列)である。故に数列 (Un)n∈N の一般項は Un = AU0 で与えられる。
これで問題は解決したようにも思えるが、現実的には A の冪 A, ... の計算が容易でないことがしばしばあり、むしろ直接に ERp の基底を求めたほうがよいこともある。