楕円
2つの焦点に、焦点間距離よりも長い1本の糸の両端をそれぞれ固定し、糸が張る状態で頂点に取り付けた筆記具を動かす。この他、楕円コンパス、楕円テンプレートなどを使って作図はできる。
また、内トロコイドの特殊な場合に楕円が描画される。
また n = f / ( 2 − f ) {\displaystyle n=f/(2-f)} とおき、二項係数を使って、次のようにも表現できる(Gauss-Kummer級数)。
C = 2 π a 1 + n ∑ i = 0 ∞ ( 1 / 2 i ) 2 n 2 i . {\displaystyle {\begin{aligned}C={\frac {2\pi a}{1+n}}\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {1/2}{i}}^{2}n^{2i}.\end{aligned}}}
計算機で計算する場合に有用な式としては、分母が 27 1024 ( a − b a + b ) 8 {\displaystyle {\tfrac {27}{1024}}\left({\tfrac {a-b}{a+b}}\right)^{8}} の率で消える式が次のように導出されている。
C = 8 π Q 5 / 4 ∑ n = 0 ∞ ( 1 12 ) n ( 5 12 ) n ( v 1 + n v 2 ) r n ( n ! ) 2 {\displaystyle C={\frac {8\pi }{Q^{5/4}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left({\tfrac {1}{12}}\right)_{n}\left({\tfrac {5}{12}}\right)_{n}\left(v_{1}+nv_{2}\right)r^{n}}{\left(n!\right)^{2}}}}