ヒルベルト空間
で入れたヒルベルト空間 L(ΩE,μ) のユニタリ変換になる。
フォンノイマンの平均エルゴード定理の主張は次のようなものである。
Ut がヒルベルト空間 H 上のユニタリ作用素からなる(強連続)一径数半群で、P を Ut の同時不動点全体の成す集合{x∈H | Utx = x for all t > 0} の上への直交射影とすると P x = lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T U t x d t {\displaystyle Px=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}x\,dt} が成り立つ。
エルゴード系では、時間発展の固定集合は定数関数のみから成るので、先のエルゴード定理から任意の f ∈ L(ΩE,μ) に対し
L 2 - lim T → ∞ 1 T ∫ 0 T f ( T t w ) d t = ∫ Ω E f ( y ) d μ ( y ) {\displaystyle {\underset {T\to \infty }{L^{2}\!{\text{-}}\!\lim {}}}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(T_{t}w)\,dt=\int _{\Omega _{E}}f(y)\,d\mu (y)}
となることが従う。つまり、観測可能な f の長期平均は、そのエネルギー面に亘ってとった期待値に等しい。
ツォルンの補題の帰結として、「任意の」ヒルベルト空間が少なくとも一つの正規直交基底を持つことが分かる。さらに、一つの空間ではどの二つの正規直交基底も必ず同じ濃度を持つことが示されるので、その濃度をしてその空間のヒルベルト次元と呼ぶ 例えば、B 上の自乗総和可能数列の空間 l(B) は B で添字づけられる正規直交基底を持つから、そのヒルベルト次元は B の濃度(これは有限な整数かもしれないし、可算あるいは非可算の基数であるかもしれない)である。
パーセヴァルの等式の帰結として、{ek}k ∈ B が H の正規直交基底ならば、Φ(x) := (⟨x, ek⟩)k∈B で定まる写像 Φ: H → l(B) はヒルベルト空間の等距同型、即ち、全単射な線型写像であって、H の各元 x, y に対して
⟨ Φ ( x ) , Φ ( y ) ⟩ l 2 ( B ) = ⟨ x , y ⟩ H {\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle _{\ell ^{2}(B)}=\langle x,y\rangle _{H}}
を満たすことがわかる。B の濃度は H のヒルベルト次元に等しい。従って、任意のヒルベルト空間は、適当な集合 B に対する数列空間 l(B) に等距同型である。
}
を満足する。
このドット積のように、上記三つの性質を満足するベクトルの二項演算を(実)内積と呼び、そのような内積を備えたベクトル空間は(実)内積空間と呼ばれる。任意の有限次元内積空間は、ヒルベルト空間でもある。ユークリッド幾何学に関わるドット積の基本的な特徴というのは、ベクトルの長さ(ノルム) ‖ x ‖ {\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|} と二つのベクトル x , y {\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}} の間の角度 θ {\displaystyle \theta } の両方が
x ⋅ y = ‖ x ‖ ‖ y ‖ cos  θ {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {y}}=\|{\boldsymbol {x}}\|\,\|{\boldsymbol {y}}\|\,\cos \theta }
なる式が成立するという意味でドット積と関連付けられることである。 ユークリッド空間における多変数微分積分学は極限が計算できること、および極限の存在を結論付ける有用な判定法を持つことに支えられている。
この場合、H は Vi たちの内部直和であると言われる。(内部でも外部でも)直和には、i-番目の直和因子 Hi の上への直交射影 Ei の族が伴う。これらの直交射影はどれも有界・自己随伴かつ冪等な作用素であって、直交性条件
E i E j = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle E_{i}E_{j}=0\quad (i\neq j)}
が成り立つ。
ヒルベルト空間 H 上の自己随伴コンパクト作用素に対するスペクトル論によれば、H は或る作用素の固有空間の直交直和に分解され、またその作用素はその固有空間への射影の直和として明示的に表される。ヒルベルト空間の直和は、(素粒子を変数にもつ系のフォック空間など)量子力学においても用いられ、そこでは直和の各成分たるヒルベルト空間と量子力学系の余剰自由度とが対応する。表現論におけるピーター・ワイルの定理(英語版)によれば、ヒルベルト空間上で定義されるコンパクト群のユニタリ表現は必ず有限次元表現の直和に分解されることが保証される。
数学におけるヒルベルト空間(ヒルベルトくうかん、英: Hilbert space)は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間(内積空間)になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている(極限が十分に存在することが保証されている)ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。
ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リースらによって始められた。ヒルベルト空間の概念は、偏微分方程式論、量子力学、フーリエ解析(信号処理や熱伝導などへの応用も含む)、熱力学の研究の数学的基礎を成すエルゴード理論などの理論において欠くべからざる道具になっている。これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、フォン・ノイマンである。ヒルベルト空間を用いる方法の成功は、関数解析学の実りある時代のさきがけとなった。
L([0, 1]) の二つのコピーのヒルベルトテンソル積は、正方形 [0, 1] 上の自乗可積分関数の空間 L([0, 1]) に等距かつ線型に同型である。この同型で単純テンソル f1 ⊗ f2 は
( s , t ) ↦ f 1 ( s ) f 2 ( t ) {\displaystyle (s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)}
なる正方形上の関数に写される。
この例は以下のような意味で典型的である。即ち、各単純テンソル積 x1 ⊗ x2 には(連続的)双対 H1 から H2 への 1-階作用素
x ∗ ∈ H 1 ∗ → x ∗ ( x 1 ) x 2 {\displaystyle x^{*}\in H_{1}^{*}\to x^{*}(x_{1})\,x_{2}}
が対応し、この単純テンソル上定義された写像を拡張して、H1 ⊗ H2 と H1 から H2 への有限階作用素全体の成す空間とを同一視する線型同型が得られる。これを拡張して、ヒルベルトテンソル積 H 1 ⊗ ^ H 2 {\displaystyle H_{1}{\hat {{}\otimes {}}}H_{2}} は H1 から H2 へのヒルベルト=シュミット作用素全体の成すヒルベルト空間 HS(H1, H2) に等距線型同型になることがわかる。
複素解析や調和解析で用いられるハーディ空間は、その元が複素領域上の正則関数となっているような関数空間の一種である。U をガウス平面上の単位円板とすると、ハーディ空間 H(U) は U 上の正則関数 f で、その平均 M r ( f ) = 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( r e i θ ) | 2 d θ {\displaystyle M_{r}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta } がまた r < 1 で抑えられるようなもの全体の成す空間として定義される。このハーディ空間上のノルムは ‖ f ‖ 2 = lim r → 1 M r ( f ) {\displaystyle \|f\|_{2}=\lim _{r\to 1}{\sqrt {M_{r}(f)}}} で与えられる。この円板上のハーディ空間はフーリエ級数と関係があり、正則関数 f が H(U) に属するための必要十分条件は、 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n z n , ( ∑ n = 0 ∞ | a n | 2 < ∞ ) {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\qquad \left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty \right)} なる形に書けることである。従って、空間 H(U) は、単位円板上の L-関数で、負の周波数に対するフーリエ係数が消えているようなもの全体からなる。
| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}
(ただし等号成立は x, y の線型従属性と同値)からの帰結である。
このようにして定義される距離関数に関して、任意の内積空間は距離空間となる。内積空間のことを前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ぶこともある。距離空間として完備であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。完備性は、H 内の列に対するコーシーの判定法(英語版)の形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間 H が完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で H 内の元に収束することである。完備性は、次のような条件
ベクトル項級数 ∑∞k=0 uk が ∑ k = 0 ∞ ‖ u k ‖ < ∞ {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty } なる意味で絶対収束するならば、もとの級数は(部分和が H の元に収束するという意味で) H において収束する。
によっても特徴付けることができる。
完備なノルム空間であるという点で、定義によりヒルベルト空間はバナッハ空間でもある。これらは位相線型空間であり、開集合や閉集合といった位相的概念を定めることができる。特に重要になるのが、ヒルベルト空間の閉部分空間の概念である。完備距離空間の閉部分集合は(そこへ距離を制限すれば)それ自身完備距離空間となるから、ヒルベルト空間の閉部分空間は(そこへ内積を制限するとき)それ自身ヒルベルト空間をなす。