シュレーディンガー方程式
i ħ ∂ Ψ ∂ t ( r , t ) = − ħ 2 2 m ∇ 2 Ψ ( r , t ) + V ( r ) Ψ ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}({\boldsymbol {r}},t)=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\boldsymbol {r}},t)+V({\boldsymbol {r}})\Psi ({\boldsymbol {r}},t)}
これらの方程式から、粒子と波の二重性について次のような評価が与えられる。運動エネルギーT は運動量p の二乗に関係する。粒子の運動量が増えれば、運動エネルギーはより早く増加する。しかし波数k が増加するため、波長 λ が減少する。
p ⋅ p ∝ k ⋅ k ∝ T ∝ 1 λ 2 {\displaystyle {\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {p}}\propto {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {k}}\propto T\propto {\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}}
そして運動エネルギーは二次空間微分に比例するから、波の曲率の強さにも比例する。
T ^ = − ħ 2 2 m ∇ ⋅ ∇ ∝ ∇ 2 . {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \nabla \propto \nabla ^{2}\,.}
曲率が増えるごとに、波の振幅はより速く交互に正負を動き、波長を短くする。運動量と波長の逆比例の関係は粒子の持つエネルギーに整合し、すべての数式で、粒子のエネルギーは波と結び付けられる。
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t-t_{0})&=I+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t_{1})dt_{1}+\cdots \\&+\left({\frac {1}{i\hbar }}\right)^{n}{\frac {1}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}\cdots \int _{t_{0}}^{t}\operatorname {T} \left\{{\hat {H}}(t_{1})\cdots {\hat {H}}(t_{n})\right\}dt_{1}\cdots dt_{n}+\cdots \,.\end{aligned}}}
と書き換えられる。指数関数の級数展開からのアナロジーにより、記述の煩雑さを避けるため時間発展演算子は以下のように略記される。
U ^ ( t − t 0 ) = T  exp  ( 1 i ħ ∫ t 0 t H ^ ( t ′ ) d t ′ ) . {\displaystyle {\hat {U}}(t-t_{0})=\operatorname {T} \exp \left({\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t')dt'\right).}
特にハミルトニアンが時間に依存しない場合、時間発展演算子は単に演算子の指数関数となる。
U ^ ( t − t 0 ) = exp  ( ( t − t 0 ) i ħ H ^ ) .
{\displaystyle \psi _{E}(x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,x}+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,x}\,.}
一方、エネルギー固有値が負の場合 (E < 0)、自由粒子のシュレーディンガー方程式の解は指数解となる。
ψ − | E | ( x ) = C 1 e 2 m | E | / ħ 2 x + C 2 e − 2 m | E | / ħ 2 x . {\displaystyle \psi _{-|E|}(x)=C_{1}e^{{\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}\,x}+C_{2}e^{-{\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}\,x}\,.}
指数解は無限遠での発散などにより、物理的な要請を満たさないため、非物理的な解として扱われる。ただし、トンネル効果のように、部分的に波動関数が指数的な振る舞いをすることは許されている。
自由粒子のシュレーディンガー方程式は、例えば金属中の伝導電子の運動や、無限遠で平坦なポテンシャルを持つ系におけるポテンシャルの束縛を逃れた粒子の振る舞いを調べることなどに応用される。