部分リーマン多様体の接続と曲率
オイラー形式を定義するため、「パッフィアン」を定義する。これは後述するように行列式の平方根に相当する。
定理・定義 (パッフィアン) ― mを正の偶数とし、Vをm次元の向きづけられた実ベクトル空間とし、 e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} をVの正規直行基底でVの向きと同じ向きのものとし、歪対称二次形式
α = ∑ i > j a i j e i ∧ e j {\displaystyle \alpha =\sum _{i>j}a^{ij}e_{i}\wedge e_{j}}
に対し、
α ∧ ⋯ ∧ α ⏞ m / 2 = 1 ( m / 2 ) ! P f ( α ) e 1 ∧ ⋯ ∧ e m {\displaystyle \overbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } ^{m/2}={1 \over (m/2)!}\mathrm {Pf} (\alpha )e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{m}}
となる実数 P f ( α ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (\alpha )} が一意に存在する。 しかも P f ( α ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (\alpha )} はVと同じ向きの正規直交基底 e 1 , ...
が成立する。ここで I n t N {\displaystyle \mathrm {Int} N} はNの内部である。
そこでNに対してホップによる以下の定理を用いる:
定理 (ホップの指数定理(Hopf's Index Theorem)) ― R m + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}} のコンパクトなm+1次元部分多様体 N ⊂ R m + 1 {\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{m+1}} 上のベクトル場Xで、非退化な孤立零点しか持たず、さらにXがNの境界∂N上Nの外側を向いているものとすると、Xの零点の指数の総和は∂Nのガウス写像の写像度に等しい。
x 1 , ... , x n ∈ N {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in N} をXの零点とし、これらの零点のε-近傍を B 1 , ... , B n {\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}} とし、さらに S i := ∂ B i {\displaystyle S_{i}:=\partial B_{i}} ( i = 1 , ... , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} )とする。εを十分小さく取る事で、 B i ∩ B j = ∅ {\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\emptyset } for i ≠ j {\displaystyle i\neq j} としてよい。
Mが連結ではない場合は連結成分毎に定理を証明すれば良いので、一般性を失わずMは連結であると仮定する。このとき、m+1次元多様体 N ⊂ R m + 1 {\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{m+1}} で ∂ N = M {\displaystyle \partial N=M} となるものが存在する事が下記の定理により保証される:
定理 (ジョルダン・ブラウワーの定理) ― M ⊂ R m + 1 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{m+1}} を R m + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}} の縁のないコンパクトで連結なC級のm次元部分多様体とする。このときコンパクトで連結なm+1次元多様体 N ⊂ R m + 1 {\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{m+1}} とコンパクトでない連結な領域 L ⊂ R m + 1 {\displaystyle L\subset \mathbb {R} ^{m+1}} が存在し、
∂ N = M {\displaystyle \partial N=M} 、 R m + 1 ∖ M = L ⊔ I n t N {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}\setminus M=L\sqcup \mathrm {Int} N} 、
前節では M ⊂ M ̄ c {\displaystyle M\subset {\bar {M}}_{c}} が偶数次元でしかも余次元が1のとき、ガウス曲率がMの内在的な量である事を示した。
本節の目的は M ̄ c = R m + 1 {\displaystyle {\bar {M}}_{c}=\mathbb {R} ^{m+1}} の場合に、ガウス曲率をMに内在的な量で具体的に書きあらわす事にある。そのために導入するのがオイラー形式である。オイラー形式は偶数次元のリーマン多様体M上で曲率テンソルを用いて定義される。そしてMが余次元1で R m + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}} に埋め込まれているときは、オイラー形式はガウス曲率の定数倍に一致する。
本節の内容は後でガウス・ボンネの定理を記述するときに重要となる。「オイラー形式」という名称も、ガウス・ボンネの定理からこの値がオイラー標数と関係づけられる事に由来する。
これらの基本類を包含写像
S 1 ∪ ⋯ S n ∪ M ↪ N {\displaystyle S_{1}\cup \cdots S_{n}\cup M\hookrightarrow N}
により H m ( N ) {\displaystyle H_{m}(N)} に写すと、
[ M ] − [ S 1 ] − ⋯ − [ S n ] + = [ ∂ N ] = 0 in H m ( N ) {\displaystyle [M]-[S_{1}]-\cdots -[S_{n}]+=[\partial N]=0~~{\text{in}}~~H_{m}(N)}
が成立する。なお、ここで [ S i ] {\displaystyle [S_{i}]} の符号が負なのは、Biの向き付けを S i = ∂ B i {\displaystyle S_{i}=\partial B_{i}} によりBiから入れているからである。 よって
S 1 ∪ ⋯ S n ∪ M ↪ N → η S m {\displaystyle S_{1}\cup \cdots S_{n}\cup M\hookrightarrow N{\overset {\eta }{\to }}S^{m}}
がホモロジー群に誘導する写像を考えると、
本節では、偶数次元リーマン多様体Mが余次元1でユークリッド空間に埋め込まれているときは、ガウス曲率とオイラー形式は定数倍を除いて一致する事を見る:
定理 (ガウス曲率のオイラー形式による表記) ― mを偶数とし、 M ⊂ R m + 1 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{m+1}} をm次元リーマン多様体Mの余次元1の埋め込みとする。このとき以下が成立する:
e u ( Ω ) = ( 2 k − 1 ) ! ! K d V {\displaystyle \mathrm {eu} (\Omega )=(2k-1)!!KdV}
ここで e u ( Ω ) {\displaystyle \mathrm {eu} (\Omega )} はMのオイラー形式であり、KはMのガウス曲率であり、 ( 2 k − 1 ) ! ! {\displaystyle (2k-1)!!} は二重階乗 ( 2 k − 1 ) ! ! = 1 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ ( 2 k − 1 ) {\displaystyle (2k-1)!!=1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2k-1)} であり、 dVはMの体積要素である。
e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} をそれぞれ主曲率κ1、...、κmに対応する主方向とし、 θ 1 , .
を点Pにおける第i平均曲率(英: i-th mean curvature)という。特に、
K := H m = d e t I I η = κ 1 ⋯ κ m {\displaystyle K:=H_{m}=\mathrm {det} \mathrm {I\!I} _{\eta }=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}}
を点PにおけるMのガウス曲率(英: Gausian curvature)もしくはガウス・クロネッカー曲率(英: Gauss Kronecker curvature)といい、
H := H 1 = 1 n t r I I η = κ 1 + ⋯ + κ m n {\displaystyle H:=H_{1}={1 \over n}\mathrm {tr} \mathrm {I\!I} _{\eta }={\kappa _{1}+\cdots +\kappa _{m} \over n}}
を点PにおけるMの平均曲率(英: mean curvature)という。
なお、ガウス曲率の事を全曲率(英: total curvature)という事もあるが、「全曲率」という言葉は測地線曲率の曲線全体に対する積分値を指す場合もあるので注意が必要である。
上記の定義についていくつか補足を述べる。第一に、単位法ベクトルηの向きを反転させると、主曲率の符号が反転してしまう。このためMや M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} が向き付け可能なときは、TM×ηの向きが M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} の向きと一致するという規約を授けてηの向きを固定する事が多い。