一様コーシー列
S から M への函数列 {fn} が「各点毎に」コーシーであるとは、各 x ∈ S に対して列 {fn(x)} が M 内のコーシー列であることをいう。これは一様コーシーよりも弱い条件である。
一般に、列は、各点毎にコーシーであっても各点毎に収束するとは限らず、また一様コーシーであっても一様収束するとは限らない。しかし、距離空間 M が完備であるなら、各点毎にコーシーであるような任意の列は、S から M へのある函数に各点毎に収束する。また同様に、任意の一様コーシー列はそのような函数に一様収束する。
一様コーシー性は、S が只の集合ではなく位相空間であり、M が完備距離空間である場合にも頻繁に用いられる。次の定理が成り立つ:
S を位相空間とし、M を完備距離空間とする。このとき、連続函数 fn : S → M からなる任意の一様コーシー列は、唯一つの連続函数 f : S → M に一様収束する。