階乗
ハイパー階乗(hyperfactorial)は、以下で定義される。
H ( n ) = ∏ k = 1 n k k = 1 1 ⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋯ ( n − 1 ) n − 1 ⋅ n n {\displaystyle H(n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}\cdot n^{n}}
これはとても大きくなっていく。最初のいくつかの値はつぎの通りである。
1, 4, 108, 27648, 86400000, ......
ハイパー階乗は定義域を複素数にまで拡張できる。それはK函数と呼ばれ、以下で定義される。
K ( z ) = ( 2 π ) ( − z + 1 ) / 2 exp  [ ( z 2 ) + ∫ 0 z − 1 ln  ( t ! ) d t ] . {\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right].}
自然数nに対し、次が成り立つ。
K ( n + 1 ) = 1 1 2 2 3 3 4 4 ⋯ n n . {\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\,4^{4}\,\cdots n^{n}.}
ブロカールの問題とは、
n ! + 1 = m 2 {\displaystyle n!+1=m^{2}}
を満たす n, m は存在するか、という問題である。2015年9月現在、これを満たす (n, m) の組は
(4, 5), (5, 11), (7, 71)
しか見つかっていない。ABC予想が真であれば、解は有限個しかないことが、Marius Overholt により示されている。
階乗の類似として、二重階乗 n!! は自然数 n に対し一つ飛ばしに積を取る。二重階乗 n!! は階乗 n! の二回反復合成 (n!)! とは異なる。
( 2 n ) ! ! = ( 2 n ) ( 2 n − 2 ) ⋯ ( 2 ) = 2 n n ! {\displaystyle (2n)!!=(2n)(2n-2)\cdots (2)=2^{n}n!}
( 2 n + 1 ) ! ! = ( 2 n + 1 ) ( 2 n − 1 ) ⋯ ( 1 ) = ( 2 n + 1 ) ! ( 2 n ) ! ! {\displaystyle (2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)\cdots (1)={\frac {(2n+1)!}{(2n)!!}}}
奇数 n = 1, 3, 5, 7, ... に対する二重階乗の最初の方の値は
1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, ..., (A001147)
偶数 n = 0, 2, 4, 6, 8, ...