ユークリッド環
「ユークリッド函数」と言うかわりに「次数」、「賦値」、「ゲージ函数」、「ノルム」などといったような用語を用いているものも多い(特に名称を提示せず、単に条件を満たす写像/函数とだけ言っている場合も少なくないが)。
ユークリッド函数の定義として任意の整列集合に値を取ることを許して一般化する場合もある。このように条件を弱めても、ユークリッド性の最も重要な部分には何も影響しない。またユークリッド函数の定義域から零元 0R を抜かず R 全体で定義されることを仮定する文献もある。この場合、例えば一変数多項式環 K[X] に対して通常の次数函数 deg は(ユークリッド函数の値域を N とするとそのままでは使えないが)零多項式 0 の次数 deg(0) = −∞ を最小値として付与した N ∪ {−∞} に値をとるユークリッド函数にはなる。
条件 (EF1) を次のような形に書きなおすこともできる:
R の任意の非零元 b が生成する主イデアル I = (b) に対して、剰余環 R⁄I の零でない同値類は必ず f(r) < f(b) を満たす代表元 r を含む。
f の取りうる値は整列順序付けられているから、I に属さない元 r のうち、それが属する同値類において f(r) の値が最小となるものだけについて、必ず f(r) < f(b) が成り立っていることを示せば、この条件が満たされることが言える。この条件の下で確定されるユークリッド函数に対して (EF1) における q と r が効果的に決定できる方法が存在することは必要とされていないことに注意。