多項式函数
K が無限可換体の場合、K-係数多項式として等しいことと付随する多項式函数として等しいこととは同値である。すなわち、二つの多項式が(同じ次数で同じ係数列を持つという意味で)相等しいための必要十分条件は、それらが多項式函数として相等しいことである。より抽象的に述べれば、多項式 P = ∑r arX ∈ K[X] に付随する多項式函数 ~P: x ↦ ∑r arx ∈ K へ写す多元環準同型 P ↦ ~P は単射である。この場合には、多項式と多項式函数とを特段区別するには及ばない。
注意すべきは、K が有限体ならばこのような係数の同定はもはや可能でないことである。例えば K が二元体 Z/2Z のとき、多項式 X − X に付随する多項式函数は零値函数である。
零多項式 0(次数 −∞)の定める多項式函数は零函数である。
次数 0 の多項式函数を零次函数という。次数 0 の多項式は非零定数多項式ゆえ、零次函数は非零定数函数である。
次数 1 の多項式函数は一次函数である。略式では「高々一次」の意味で(つまり定数函数も含めて)「一次函数」と言う場合もある。
次数 2 の多項式函数は二次函数という。
次数 3 の多項式函数は三次函数という。
例えば多項式函数 f(x) = −7x + 2/3x − 5x + 3 は三次函数の例で、最高次係数は –7 および定数項は 3 である。