スペクトル系列
E 0 , q 2 → E 0 , q 3 → ⋯ → E 0 , q r − 1 → E 0 , q r {\displaystyle E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}} .
が存在する。これもエッジ写像と呼ばれている。
転入(英語版)(transgression)とは、一部分だけで定義されている写像(より正確に言うと、部分対象から商への写像(英語版))
τ : E p , 0 2 → E 0 , p − 1 2 {\displaystyle \tau :E_{p,0}^{2}\to E_{0,p-1}^{2}}
で、合成 E p , 0 2 → E p , 0 p → d E 0 , p − 1 p → E 0 , p − 1 2 {\displaystyle E_{p,0}^{2}\to E_{p,0}^{p}{\overset {d}{\to }}E_{0,p-1}^{p}\to E_{0,p-1}^{2}} によって定義されるものである。ここで、最初と最後の写像はエッジ写像の逆写像である。
と書けるはずで、さらに関係式
B r p , q = d 0 p , q ( Z r − 1 p − r + 1 , q + r − 2 ) {\displaystyle B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2})}
を満たすはずである。このようになるためには、各 Er 上の微分 dr であって、それによるホモロジーが上記の Er+1 と同型になるものを見つけなければならない。その微分
d r p , q : E r p , q → E r p + r , q − r + 1 {\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}}
は、 C p + q {\displaystyle C^{p+q}} で定義されている元々の微分 d を部分対象 Z r p , q {\displaystyle Z_{r}^{p,q}} に制限することで得られる。
この微分が先程の性質を持つこと、すなわち Er のこの微分によるホモロジーが Er+1 となることは簡単に確かめられる。これで求めるスペクトル系列が得られた。残念なことに、この微分は明示的とは言い難い。この微分を決定するか、何かそれに代わる方法を見つけることが、スペクトル系列の適用を成功させるために必要なことの1つである。
スペクトル系列は様々な方法で作ることができる。代数的位相幾何学では、おそらく完全対による方法が最も一般的なものである。代数幾何学では、スペクトル系列は双対鎖複体のフィルトレーションから作られることが多い。