PSL(2, 7)
1 A 1 2 A 21 4 A 42 3 A 56 7 A 24 7 B 24 χ 1 1 1 1 1 1 1 χ 2 3 − 1 1 0 σ σ ̄ χ 3 3 − 1 1 0 σ ̄ σ χ 4 6 2 0 0 − 1 − 1 χ 5 7 − 1 − 1 1 0 0 χ 6 8 0 0 − 1 1 1 {\displaystyle {\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4}&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}}}
ただし σ = ( − 1 + i 7 ) / 2 {\displaystyle \sigma =(-1+i{\sqrt {7}})/2} とする。
PSL2(7)の位数は168=3×7×8なので、位数3,7,8のシロー部分群を持つ。素数位数の群は巡回群に限られるので、前者二つが巡回群であることは容易にわかる。共役類3A56の任意の要素はシロー3部分群を生成する。また、共役類7A24, 7B24の任意の要素はシロー7部分群を生成する。シロー2部分群は位数8の二面体群である。これは共役類2A21の任意の要素の中心化群として記述できる。GL3(2)としての実現では、シロー2部分群は上三角行列の全体と一致する。