確率変数
ここでは観測値を実数とする。 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} が確率空間である。下記の場合、実測値空間として、関数 X : Ω → R {\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} } を実数確率変数とする。
{ ω : X ( ω ) ≤ r } ∈ M ∀ r ∈ R . {\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}\in {\mathcal {M}}\qquad \forall r\in \mathbb {R} .}
この定義は上記の特別な場合である。集合 { ( − ∞ , r ] : r ∈ R } {\displaystyle \{(-\infty ,r]:r\in \mathbb {R} \}} が実数空間内にボレル完全加法族を成し、それが集合の可測性を示す十分条件だからである。 これで { ω : X ( ω ) ≤ r } = X − 1 ( ( − ∞ , r ] ) {\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq r\}=X^{-1}((-\infty ,r])} を用いて生成する集合の可測性が証明される。
確率変数 X : Ω → E {\displaystyle X:\Omega \to E} は、標本空間(起こりうることがらの集まり)Ω の元に数 E を対応させる可測関数である(Ω, E はそれぞれ可測空間)(#測度論的定義も参照)。E は通常 R {\displaystyle \mathbb {R} } または N {\displaystyle \mathbb {N} } (や Z {\displaystyle \mathbb {Z} } )である。そうでない場合は確率要素として考察する(#概念の拡張参照)。
X の値として、測定値や観測値(例えば、様々な人々の身長など)だけでなく、指示関数値(例えば、ある回数コイントスをしたときの表が出た回数)を採用することが多い。
X の像(値域)が高々可算個である時、X は離散型確率変数と呼ばれ、その分布(離散確率分布)は確率変数値の確率の全てを表したものとして確率質量関数で記述できる。