境界層
y < 5-10の、壁面に非常に近い領域では、U = y が成り立つ。
境界層について連続の式とナビエ-ストークス方程式の各項のオーダーを検討すると、次の、流れの方向に対する運動方程式を得ることが出来る。この式を境界層方程式(boundary layer equations)という。
u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = U ∂ U ∂ x + ν ∂ 2 u ∂ y 2 {\displaystyle u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=U{\frac {\partial U}{\partial x}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}}
ただしU は主流速度、ν は動粘性係数である。この方程式の境界条件は、壁面 (y = 0) での粘着条件と境界層外部 (y = δ) での主流速度との一致:
u = v = 0 ( y = 0 ) , u = U ( y = δ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&u=v=0\quad (y=0),\\&u=U\quad (y=\delta )\end{aligned}}}
である。境界層内の速度分布が相似であると仮定すれば、無次元速度u /U はy /δ のみの関数として表すことができる。
また、圧力P に関しては
∂ P ∂ y = 0 {\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}=0}
すなわち、境界層内の圧力は、外側の圧力に等しいことが導かれる。
流速が遅くなった分だけ境界層がせり出したと考える厚さ。99%境界層厚さの約1/3の大きさである。
境界層の厚さ δ は流れの主流方向の代表長さを l、流れのレイノルズ数を Rel とすると
δ l = O ( R e l − 1 2 ) {\displaystyle {\frac {\delta }{l}}=O(Re_{l}^{-{\frac {1}{2}}})}
のオーダーで評価される。すなわち高レイノルズ数流れに対して境界層は薄くなる。また壁面摩擦係数 cf のオーダーも
c f := τ w ρ u 2 / 2 = O ( R e l − 1 2 ) {\displaystyle c_{f}:={\frac {\tau _{w}}{\rho u^{2}/2}}=O(Re_{l}^{-{\frac {1}{2}}})}
であり、レイノルズ数の増大とともに減少する。ここで τw は壁面せん断力、ρ は流体密度、u は境界層外縁の速度である。