表面準位
金属表面の準位の基本的な特性を導出するために使われる単純なモデルは、同じ原子の半無限的な周期的連鎖である。このモデルにおいては、連鎖の終わりは表面を表し、ここでポテンシャルはステップ関数の形で真空の値V0に達する(図1)。結晶内では、ポテンシャルは格子の周期性aで周期的であると推定される。ショックレー準位は、1次元の単一電子シュレーディンガー方程式の解として見いだされる。
[ − ħ 2 2 m d 2 d z 2 + V ( z ) ] Ψ ( z ) = E Ψ ( z ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+V(z)\right]\Psi (z)&=&E\Psi (z),\end{aligned}}}
周期的ポテンシャルは
V ( z ) = { P δ ( z + l a ) , for z < 0 V 0 , for z > 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}V(z)=\left\{{\begin{array}{cc}P\delta (z+la),&{\textrm {for}}\quad z<0\\V_{0},&{\textrm {for}}\quad z>0\end{array}}\right.,\end{aligned}}}
ここでlは整数、Pは規格化因子。解は2つの範囲z<0とz>0で独立に求める必要がある。