オルバースのパラドックス
肉眼において視細胞は小さな単一の光源として6等星より暗い星の光を感知できないが、ここでは、星団や天の川のように集団となった光における星々の数と明るさの打ち消しあいの関係はまだ認識されていない。
地動説に賛同しその惑星の運動を解明した著名な天文学者ヨハネス・ケプラーは、一方で神秘主義的な考えに固執し「恒星天」の考えを堅持した。ケプラーにとって、ディッグズやジョルダーノ・ブルーノ、あるいはウィリアム・ギルバートらによって広まりつつあった無限の宇宙という考えは、太陽の特権的地位をおとしめるものであった。1611年にガリレオの『星界の報告』を讃えた手紙の中で、ケプラーはこの夜空の暗闇の問題に言及している。そこにおいて、夜空の暗さこそ宇宙が有限であることを証明する証拠のひとつとされた。その論証においてケプラーは星々が太陽と同じ性質のものなら「すべての星々を全部一緒にしても、最も近いところにすら大層ほの暗い光しか送ってこないのはなぜだろうか」と問うている。ケプラーはこれに自ら答えて、宇宙には全天を覆うほどの星が元々存在しておらず、ガリレオが望遠鏡によって発見した暗い数多くの星々は、遠くにあるのではなく他の星と同じ距離だが太陽よりもずっと小さく弱々しくしか輝いていないのだとみなした。
実際、距離 r までの星によって覆われていない空の背景の割合を β(r) で表すなら、距離 r, 厚み dr の球殻は新たに全体の β(r)dr/λ だけの割合を覆うと期待されるので、その微小な変化量は dβ(r) = −β(r)dr/λ である。β(0) = 1 であるから、β(r) は r とともに減少する指数関数、
β ( r ) = e − r λ {\displaystyle \beta (r)=e^{-{\frac {r}{\lambda }}}}
で表される。ここで λ は、これらの仮定のもとで空が星に覆われる割合の指数関数的な変化を特徴付ける距離であり、地上から空を見上げたとき視線が星の表面に至るまでの距離の平均値となる。この文脈では背景限界と呼ばれるが、これは星と星の光における平均自由行程に他ならない。
太陽系近傍の星の密度を参考に、概算値として n = 10 個/m ≈ 0.01 個/光年(およそ一辺5光年の立方体に1つ)、恒星の断面積を σ = 10 m(太陽の2倍弱の半径)とするなら、背景限界 λ は λ = 10 m ≈ 10 光年程となる。この例は18世紀のシェゾーの得た値に近く、現在の知識では実際に観測できる宇宙の大きさよりもおよそ5桁ほど大きい。加えて、実際の宇宙は銀河系や銀河団に星が密集し、その間には星のない空隙が広がるので、実際の背景限界はこの見積もりよりはるかに大きくなる。