アイゼンシュタインの既約判定法
P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}
を整数係数の多項式とする。ある素数 p が存在して、整数 a0, a1, ..., an が
i ≠ n の場合は ai は p で割り切れる
an は p で割り切れない
a0 は p で割り切れない
を満たすならば、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は有理数体 Q {\displaystyle {\mathbb {Q} }} 上で既約である。
上の定理の係数環 Z {\displaystyle Z} は一意分解環にまで一般化できる。即ち以下が成り立つ。証明は全く同様である。