ベールの範疇定理
任意の局所コンパクトハウスドルフ空間はベール空間である。
このことの証明は主張 1 と同様で、コンパクト性からくる有限交叉性が鍵になる。
この二つの主張は一方が他方を含んでいるとかいうようなものでないことに注意すべきである。これは(有理数の全体に後述するような距離を入れたものや任意の無限次元バナッハ空間のように)局所コンパクトでない完備距離空間が存在することや、あるいは(例えば非自明なコンパクトハウスドルフ空間の非可算積空間や非可算フォート空間など函数解析学で用いられるいくつかの函数空間のように)距離化可能でない局所コンパクトハウスドルフ空間が存在することによる。詳細はSteen & Seebach (1995)を参照。