二項定理
から三倍角公式
cos  ( 3 x ) = cos 3  x − 3 cos  x sin 2  x , sin  ( 3 x ) = 3 cos 2  x sin  x − sin 3  x {\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x,\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x}
を得る。
一般に
cos  ( n x ) = ∑ k : even ( − 1 ) k 2 ( n k ) cos n − k  x sin k  x , sin  ( n x ) = ∑ k : odd ( − 1 ) k − 1 2 ( n k ) cos n − k  x sin k  x {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\textstyle \sum \limits _{k{\text{: even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{\dbinom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x,\\\sin(nx)&=\textstyle \sum \limits _{k{\text{: odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{\dbinom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x\end{aligned}}}
となる。
(1999年5月8日). “Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle” (mailing list email). Archives of Historia Matematica. 2007年4月13日閲覧。
↑ 『シュティーフェル』 - コトバンク
1 2 3 Kline, Morris (1972). History of mathematical thought. Oxford University Press. p. 273
↑ Bourbaki, N. J. Meldrum訳 (1998-11-18). Elements of the History of Mathematics Paperback. ISBN 978-3540647676
↑ 『二項定理の意味と係数を求める例題・2通りの証明』 - 高校数学の美しい物語
↑ Binôme de Newton : démonstration par récurrence. - YouTube
↑ Binôme de Newton : approche par dénombrement. - YouTube
↑ E.ハイラー、G.ヴァンナー 『解析教程(上)』p.29 シュプリンガー・ジャパン
↑ Seely, Robert T. (1973). Calculus of One and Several Variables. Glenview: Scott, Foresman. ISBN 0-673-07779-9
( x + y ) n + 1 = ( x + y ) ( x + y ) n = ( x + y ) ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = x ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k + y ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x ( n + 1 ) − k y k + ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k + 1 = ∑ k = 0 n + 1 ( n k ) x ( n + 1 ) − k y k + ∑ k = 0 n + 1 ( n k − 1 ) x ( n + 1 ) − k y k ( ∵ ( n n + 1 ) = ( n − 1 ) = 0 ) = ∑ k = 0 n + 1 [ ( n k ) + ( n k − 1 ) ] x ( n + 1 ) − k y k {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)~\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=x\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+y\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k+1}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n}{k-1}}x^{(n+1)-k}y^{k}\\\left(\because {\binom {n}{n+1}}={\binom {n}{-1}}=0\right)\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}\left\lbrack {\dbinom {n}{k}}+{\dbinom {n}{k-1}}\right\rbrack x^{(n+1)-k}y^{k}\end{aligned}}}