モジュラー形式の保型因子
重さ k の保型因子 (automorphic factor of weight k) とは
ν : Γ × H → C {\displaystyle \nu \colon \Gamma \times {\mathfrak {H}}\to \mathbb {C} }
なる函数 ν で、以下に掲げる四つの性質を満足するものを言う。ここで H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} は上半平面、C はガウス平面をそれぞれ表し、また Γ は例えばフックス群のような SL(2, R) の部分群である。したがって、Γ の元 γ は二行二列の行列として
γ = ( a b c d ) {\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
のように書くことができる。ただし、a, b, c, d は全て実数で、ad − bc = 1 を満たすものとする。
保型因子 ν が満足すべき条件とは、
Γ の元 γ を固定したとき、函数 ν(γ, z) は z に関して H {\displaystyle {\mathfrak {H}}} 上の正則函数である。