テンソル
テンソルを多次元配列として定義するやり方では、内在的な幾何学的対象であることから期待されるべき性質である基底の取り方に依らないことが、定義から明らかでないという欠点がある。テンソルの変換法則が実際に基底の取り方に依らないことは証明できることではあるが、しばしばより内在的な定義が取り上げられる。その一つが、テンソルを多重線型写像として定義することである。これによれば、(p, q)-型テンソル T は函数
T : V ∗ × ⋯ × V ∗ ⏟ p copies × V × ⋯ × V ⏟ q copies → R {\displaystyle T\colon \underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\to \mathbb {R} }
で、各引数に関して線型であるようなものとして定義される。ここで V は有限次元ベクトル空間で、V はその双対ベクトルからなる双対空間である。
(p, q)-型の多重線型写像 T を V の基底 {ej} とその V における標準的な双対基底 {ε} に対して施せば、
T j 1 ... j q i 1 ... i p ≡ T ( ε i 1 , ... , ε i p , e j 1 , ...
しかし、古典力学的には力と加速度の関係は一次変換で表されることがわかる。そのような関係は (1,1) 型のテンソルで説明される(つまり、このテンソルによってベクトルが別のベクトルに変換される)。テンソルは行列として表示することもでき、この行列をベクトルにかけることで線型変換が表現される。座標系の取り替えによってベクトルを表示する成分が変化するように、テンソルを表現する行列の成分も座標系の変換に応じて変化する。
工学では剛体や流体内の応力がテンソルによって説明される。実際のところ「テンソル」という言葉はラテン語の「延びる物」、つまり応力を発生するもの、という意味の言葉からきている。物体内の特定の面要素に特に注目して考えれば、面の一方の側にある物質が反対側に対して力をおよぼしていると考えられる。一般にはこの力は面に垂直な向きに働いてはおらず、面の向きに線形的に依存して決まるとしかいえない。したがってこれは(2,0)型のテンソル(正確に言えば、応力は位置によってかわるので、(2,0)型のテンソル場)によって記述される。
幾何におけるテンソルでは二次形式や曲率テンソルが有名である。物理学におけるテンソルにはエネルギー・運動量テンソル、慣性能率テンソルや極分解テンソルがある。