多重ゼータ値
Z ( y x k 1 − 1 ⋯ y x k r − 1 ) = ζ ( k 1 , ... , k r ) {\displaystyle Z(yx^{k_{1}-1}\cdots yx^{k_{r}-1})=\zeta (k_{1},\ldots ,k_{r})}
を線形に拡張してできる写像 Z : H 0 → R {\displaystyle Z:{\mathfrak {H}}^{0}\to \mathbb {R} } を evalutation map という。
次の規則で H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{1}} 上に双線形な積 ∗ を導入する
w ∈ H 1 {\displaystyle w\in {\mathfrak {H}}^{1}} に対し 1 ∗ w = w ∗ 1 = w
正整数 k, l と w 1 , w 2 ∈ H 1 {\displaystyle w_{1},w_{2}\in {\mathfrak {H}}^{1}} に対し w1yx ∗ w2yx = (w1 ∗ w2yx)yx + (w1yx ∗ w2)yx + (w1 ∗ w2)yx
この積を調和積 (harmonic product) という。