リュカ–レーマー・テストの証明
}
両辺に ( 1 + 3 ) ( Q + 1 2 ) {\displaystyle (1+{\sqrt {3}})\left({\frac {Q+1}{2}}\right)} を掛けて、
( 1 + 3 ) Q + 1 ( Q + 1 2 ) ≡ − Q − 1 ( mod Q ) . {\displaystyle (1+{\sqrt {3}})^{Q+1}\left({\frac {Q+1}{2}}\right)\equiv {-Q-1}{\pmod {Q}}.}
この式は ( 1 + 3 ) 2 = 4 + 2 3 = 2 ω {\displaystyle (1+{\sqrt {3}})^{2}=4+2{\sqrt {3}}=2\omega } を利用して、
( Q + 1 ) 2 Q − 1 2 ω Q + 1 2 ≡ 2 Q − 1 2 ω Q + 1 2 ( mod Q ) ≡ − 1 ( mod Q ) {\displaystyle (Q+1)2^{\frac {Q-1}{2}}\omega ^{\frac {Q+1}{2}}\equiv 2^{\frac {Q-1}{2}}\omega ^{\frac {Q+1}{2}}{\pmod {Q}}\equiv {-1}{\pmod {Q}}}
とも書ける。