部分和分
定和分に関する公式を少し違った形に書くことができる。即ち、部分和分の公式を繰り返し適用することにより、
∑ k = 0 n f k g k = f 0 ∑ k = 0 n g k + ∑ j = 0 n − 1 ( f j + 1 − f j ) ∑ k = j + 1 n g k = f n ∑ k = 0 n g k − ∑ j = 0 n − 1 ( f j + 1 − f j ) ∑ k = 0 j g k , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=f_{0}\sum _{k=0}^{n}g_{k}+\sum _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j})\sum _{k=j+1}^{n}g_{k}\\&=f_{n}\sum _{k=0}^{n}g_{k}-\sum _{j=0}^{n-1}\left(f_{j+1}-f_{j}\right)\sum _{k=0}^{j}g_{k},\end{aligned}}}
あるいはより一般に、
∑ k = 0 n f k g k = ∑ i = 0 M − 1 f 0 ( i ) G i ( i + 1 ) + ∑ j = 0 n − M f j ( M ) G j + M ( M ) = = ∑ i = 0 M − 1 ( − 1 ) i f n − i ( i ) G ~ n − i ( i + 1 ) + ( − 1 ) M ∑ j = 0 n − M f j ( M ) G ~ j ( M ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=\sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}+\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M)}=\\&=\sum _{i=0}^{M-1}\left(-1\right)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}+\left(-1\right)^{M}\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}{\tilde {G}}_{j}^{(M)}\end{aligned}}}
が成り立つ(M = 1 とすると先の式)。ここで補助的に用いた数列 f(M)j はニュートン級数(英語版)
f j ( M ) := ∑ k = 0 M ( − 1 ) M − k ( M k ) f j + k , {\displaystyle f_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{M}\left(-1\right)^{M-k}{M \choose k}f_{j+k},}
∫ a b f ( x ) d g ( x ) = [ f ( x ) g ( x ) ] a b − ∫ a b g ( x ) d f ( x ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=[f(x)\,g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}g(x)\,df(x)}
は境界条件をさておけば、左辺の積分記号下で掛けられた二つの函数が、右辺の積分記号下では一方は積分され (つまり dg は g に) 他方は微分される (つまり f は df に) という形になっている。アーベルの級数変形法でも同様に、左辺の掛けられた二つの数列のうち、右辺では一方が総和され (つまり bn が Bn に) 他方は差分される (つまり an が an+1 − an に)。前進差分作用素 Δ を用いて書けば上式は
∑ n = 0 N a n Δ B n = a N B N − ∑ n = 0 N − 1 B n Δ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}\Delta B_{n}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}\Delta a_{n}}
となり、部分積分との類似性は見易い。
なお、アーベルの級数変形法を応用する場面ではほとんどの場合において級数の収束性を問題にすることになるが、ここで述べた変形法自体は純代数的なものであり、従って「数列」の成分を任意の体の元としてもそのまま成り立つ。あるいは一方をベクトル空間におけるベクトル列とし、他方をそのベクトル空間の係数体に成分を持つスカラー列としたような場合などでも有効である。