冪等行列
行列 ( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} が冪等であるならば、
a = a 2 + b c {\displaystyle a=a^{2}+bc}
b = a b + b d {\displaystyle b=ab+bd} より b ( 1 − a − d ) = 0 {\displaystyle b(1-a-d)=0} , よって b = 0 {\displaystyle b=0} または d = 1 − a {\displaystyle d=1-a}
c = c a + c d {\displaystyle c=ca+cd} より c ( 1 − a − d ) = 0 {\displaystyle c(1-a-d)=0} , よって c = 0 {\displaystyle c=0} または d = 1 − a {\displaystyle d=1-a}
d = b c + d 2 {\displaystyle d=bc+d^{2}}
よって、実2次正方行列が冪等であるならば、行列が対角行列であるか、または行列の跡が 1 に等しい。対角行列であるとき、a および d はそれぞれ 1 または 0 のいずれかでなければならないことに注意する。