局所体
局所体 K の有限次代数拡大体 L は局所体であり、K の離散付値は L に同値なものを除いて一意的に延長される。従って、K の離散付値は K の代数閉包 K ̄ {\displaystyle \scriptstyle {\bar {K}}} まで一意的に延長される。しかし、 K ̄ {\displaystyle \scriptstyle {\bar {K}}} は完備ではないので局所体ではないが、 K ̄ {\displaystyle \scriptstyle {\bar {K}}} の完備化 K ̄ ^ {\displaystyle \scriptstyle {\hat {\bar {K}}}} を考えれば局所体となる。
この項では、局所体の有限次代数拡大体の性質について述べる。
K を局所体とすると、任意の正整数 n に対して、K の n 次の代数拡大体 L で K の不分岐拡大となるものが同型を除いて唯1つ存在する。さらに F K , F L {\displaystyle \scriptstyle F_{K},\ F_{L}} を、それぞれ K, L の付値環とすると、
Gal  ( L / K ) ≃ Gal  ( F L / F K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)\simeq \operatorname {Gal} (F_{L}/F_{K})}
が成立し、 Gal  ( L / K ) {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Gal} (L/K)} は位数 n の巡回群となる。