局所連結空間
x ∈ X に対して、 y ≡ c x {\displaystyle y\equiv _{c}x} なるすべての点 y の集合 C x {\displaystyle C_{x}} は x の連結成分と呼ばれる。補題によって C x {\displaystyle C_{x}} は x を含む X の一意的な極大連結部分集合である。 C x {\displaystyle C_{x}} の閉包はまた x を含む連結部分集合であるから、 C x {\displaystyle C_{x}} は閉であることが従う。
X が有限個の連結成分しか持たなければ、各成分は閉集合の有限個の和集合の補集合であるから、開である。一般に、連結成分は開とは限らない、なぜなら、例えば、カントール空間のように離散でない完全不連結空間(すなわちすべての点 x に対して C x = { x } {\displaystyle C_{x}=\{x\}} )が存在するからである。然しながら、局所連結空間の連結成分はまた開であり、したがって開かつ閉集合である。局所連結空間 X はその相異なる連結成分の位相的非交和 ∐ C x {\displaystyle \coprod C_{x}} であることが従う。逆に、X のすべての開部分集合 U に対して U の連結成分が開であれば、X は連結集合の基底を持ちしたがって局所連結である。
同様に、x ∈ X に対して、 y ≡ p c x {\displaystyle y\equiv _{pc}x} なるすべての点 y の集合 P C x {\displaystyle PC_{x}} は x の道成分 (path component) と呼ばれる。