リーマン多様体
M を n 次元可微分多様体とする。M 上のリーマン計量とは次のような(正定値)内積
g p : T p M × T p M ⟶ R , p ∈ M {\displaystyle g_{p}\colon T_{p}M\times T_{p}M\longrightarrow \mathbf {R} ,\qquad p\in M}
の族である。M 上のすべての可微分ベクトル場 X, Y に対して、
p ↦ g p ( X ( p ) , Y ( p ) ) {\displaystyle p\mapsto g_{p}(X(p),Y(p))}
は滑らかな関数 M → R を定義する。
言い換えると、リーマン計量 g は正定値(すなわちすべての接ベクトル X ≠ 0 に対して g(X, X) > 0 である)対称 (0, 2)-テンソルである。
n 個の実数値関数 x,x, ..., x によって与えられる、多様体 M 上の局所座標(英語版)系において、ベクトル場
{ ∂ ∂ x 1 , ... , ∂ ∂ x n } {\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dotsc ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right\}}