ハウスドルフ次元
ハウスドルフ次元は、「次元」と呼ばれるものが当然満たすであろう次の基本的な性質を満たす。
A ⊂ B ⊂ R であれば、dimH(A) ≤ dimH(B) である
A ⊂ R が開集合であれば、常に dimH(A) = n である
A1, A2, A3, ... を可算個の集合列とすると、dimH(∪i Ai) = sup{dimH(Ai)} である
A が可算集合であれば、常に dimH(A) = 0 である
A が R 上の滑らかな m 次元多様体であれば、dimH(A) = m である
また、A ⊂ R に対して、s > n ならば H(A) = 0 なので、常に dimH(A) ≤ n である。
位相次元は同相写像に対して不変であることが一般的だが、ハウスドルフ次元はこの性質は持たない。しかし、写像 f : X → R がリプシッツ連続であれば、すなわち、ある正の定数 c が存在して任意の x, y ∈ X ⊂ R に対して
d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ c d ( x , y ) {\displaystyle d(f(x),\ f(y))\leq cd(x,\ y)}
を満たすならば
dim H  ( f ( X ) ) ≤ dim H  ( X ) {\displaystyle \dim _{H}(f(X))\leq \dim _{H}(X)}
が成り立つ。さらに f が双リプシッツであれば、すなわち、ある正の定数 c1 と c2 が存在して任意の x, y ∈ X に対して
c 1 d ( x , y ) ≤ d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ c 2 d ( x , y ) {\displaystyle c_{1}d(x,\ y)\leq d(f(x),\ f(y))\leq c_{2}d(x,\ y)}
R 上のブラウン運動の軌跡は、n ≥ 2 であれば n の値にかかわらず確率 1 でハウスドルフ次元 2 である。
ハウスドルフ次元が位相次元よりも大であることをフラクタルの定義とすると、直感的にはフラクタルに相応しいような図形がフラクタルにならない例もある。例えば、カントールの悪魔の階段や高木関数のグラフは、位相次元・ハウスドルフ次元ともに 1 である。連続曲線でありながら平面を充填するペアノ曲線も、位相次元・ハウスドルフ次元ともに 2 で一致する。こういった集合の存在が、フラクタルの定義に改善の余地がある理由の一つである。
ハウスドルフ次元の決定が数学上の未解決問題となっているものには、次のようなものがある。R 上の部分集合 K が有界閉で、全ての方向の長さ 1 の線分を含み、さらに n 次元ルベーグ測度が 0 のとき、K を n 次元掛谷集合と呼ぶ。n 次元掛谷集合のハウスドルフ次元は n であろうと予想されており、掛谷予想や掛谷問題と呼ばれる。2 次元掛谷集合のハウスドルフ次元は 2 であることは証明されたが、3 次元以上は未解決である。