数学的帰納法
a を A の任意の元とする。x < a を満たす A の全ての元 x について P(x) が真ならば、P(a) も真である。
ただし、"<" は a < b ⇔ ( a ≤ b ∧ a ≠ b) で定義される二項関係とする。
A を全体集合とする。A の各元 a に対して A(a) = { x∈A | x < a } とし、A1 = { x∈A | P(x) } とする。そのとき、超限帰納法の条件は
と同値である。また、補集合に関する法則から (1) は
と同値である。これらの条件が満たされているという前提の下で、A1 = A すなわち A1 = ∅ が成り立つことを示せばよい。
いま、A1 ≠ ∅ と仮定して矛盾を導く。背理法の仮定と整列集合の定義より、min A1 = a が存在する。この a について、最小元の定義より A(a)∩A1 = ∅ が成り立つので、(2) より a ∈ A1 もまた成り立つ。しかし、これは a ∈ A1 であることに反する。(証明終)