セルバーグクラス
リーマンゼータ函数がそうであるように、S の元 F はガンマ要素 γ(s) の極から発生する自明なゼロ点を持つ。他のゼロ点は F の非自明なゼロ点と呼ばれる。これらは全て、ある帯状領域 1 − A ≤ Re(s) ≤ A に位置する。F の非自明なゼロ点で 0 ≤ Im(s) ≤ T にあるものの数を NF(T) で表すとする。セルバーグは
N F ( T ) = d F T log  ( T + C ) 2 π + O ( log  T ) . {\displaystyle N_{F}(T)=d_{F}{\frac {T\log(T+C)}{2\pi }}+O(\log T).}
であることを示した。ここに dF は F の次数(あるいは次元)と呼ばれる。これは、
d F = 2 ∑ i = 1 k ω i {\displaystyle d_{F}=2\sum _{i=1}^{k}\omega _{i}}
によりあたえられる。
F = 1 は、その次数が 1 より小さな 唯一のS の函数である。
F と G がセルバーグクラスであれば、それらの積はセルバーグクラスであり
d F G = d F + d G . {\displaystyle d_{FG}=d_{F}+d_{G}.}
が成り立つ。S の函数 F ≠ 1 は、Fi が S に属すような F = F1F2 と記述できるならいつでも F = F1 もしくは、F = F2 であるとき、函数が原始的'であるという。dF = 1 ならば、F は原始的である。すべての S の函数 F ≠ 1 は原始的な函数で記述できるである。次に示すセルバーグの予想は、原始函数への分解が一意的であることを意味する。
原始的函数の例として、リーマンゼータ函数や原始的なディリクレ指標を持つディリクレのL-函数がある。下記の予想 1 と 2 を前提とすると、ラマヌジャン予想を満たす既約なカスプ的な保型表現のL-函数は、原始的である。