静磁場
を得る。
今、新たな場 H M {\displaystyle \mathbf {H} _{M}} を、
H M ( r ) := 1 4 π ∫ s ∈ Ω grad r  [ ⟨ M ( s ) | ( r − s ) ⟩ | r − s | 3 ] d 3 s {\displaystyle \mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} ):={\frac {1}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {grad} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\rangle }{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}\right]\ {d}^{3}{s}} (2-2-9)
と定義すると 、
B M ( r ) = μ 0 ( H M ( r ) + M ( r ) ) {\displaystyle \mathbf {B} _{M}(\mathbf {r} )={\mu }_{0}(\mathbf {H} _{M}(\mathbf {r} )+\mathbf {M} (\mathbf {r} ))} (2-2-10)
本記事では、絶対値による面積分の場合は、 | d 2 S | {\displaystyle \ |{d}^{2}S|} のように、面素に絶対値記号をつけることにする。
右辺は、 ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle ({u}_{1},{u}_{2})} についてのベクトル値関数 X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) | ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 | {\displaystyle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ \left|{\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right|}
を、成分ごとに区間I上で重積分したものを意味する。即ち、絶対値による面積分は「関数の面積分を各成分ごとにやる」というのと同じ意味である。
従って、
⟨ M ( s ) | ( r − s ) ⟩ | r − s | 3 = div s  [ M ( s ) | r − s | ] − div s  [ M ] | r − s | {\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} )|(\mathbf {r} -\mathbf {s} )\rangle }{{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}^{3}}}=\operatorname {div} _{s}\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]-{\frac {\operatorname {div} _{\mathbf {s} }[\mathbf {M} ]}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}} (2-3-3)
今、スカラー値関数 φ M {\displaystyle {\phi }_{M}} を、
式(1-2),式(1-3)より、
H i ( r ) = 1 4 π ∫ s ∈ R 3 ( i ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) d 3 s {\displaystyle \mathbf {H} _{\boldsymbol {i}}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}\left({\frac {{\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)d^{3}\mathbf {s} } (1-4)
である。これに、回転微分を作用させると、
rot r  [ H i ] = i {\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {r} }[\mathbf {H} _{\boldsymbol {i}}]={\boldsymbol {i}}} (1-5)
が得られる。実際、ベクトル解析の公式より、