捩れ部分群
A t o r ≅ ⨁ p A [ p ∞ ] . {\displaystyle A_{tor}\cong \bigoplus _{p}A[p^{\infty }].\;}
A が有限アーベル群のとき、 A [ p ∞ ] {\displaystyle A[p^{\infty }]} は唯一の A のシロー p-部分群と一致する。これは A / A [ p ∞ ] {\displaystyle A/A[p^{\infty }]} でコーシーの定理 (群論)を考えればすぐにわかる。
A の各 p-冪捩れ部分群は fully characteristic subgroup である。より強く、アーベル群の間の任意の準同型は各 p-冪捩れ部分群を対応する p-ベキ捩れ部分群の中に送る。
各素数 p に対して、これはすべての群をその p 冪捩れ部分群に送りすべての準同型をその p-捩れ部分群に制限するアーベル群の圏から p-冪捩れ群の圏への関手を提供する。これらの関手の捩れ群への制限のすべての素数の集合にわたる積は、捩れ群の圏から p-捩れ群の圏のすべての素数に渡る積への忠実関手である。ある意味、これは p-捩れ群を孤立して研究することで一般の捩れ群についてすべてわかるということを意味する。