バナッハ・マズール・ゲーム
このとき、以下のことが成り立つ。
P 2 ↑ M B ( X , Y , W ) {\displaystyle P_{2}\uparrow MB(X,Y,W)} であるのは X {\displaystyle X} が Y {\displaystyle Y} において 第一類 (集合が第一類とか meager であるとは、それが nowhere-dense な集合の可算和として得られること。)であるとき、かつそのときのみである。
Y {\displaystyle Y} が完備距離空間であるとすると、 P 1 ↑ M S ( X , Y , W ) {\displaystyle P_{1}\uparrow MS(X,Y,W)} であるのは、 Y {\displaystyle Y} の空でないある開部分集合の中に X {\displaystyle X} がresidual(なんらかのmeager setの補集合であること)であるとき、かつそのときのみである。
X {\displaystyle X} が Y {\displaystyle Y} でBaire propertyを持つとき、 M B ( X , Y , W ) {\displaystyle MB(X,Y,W)} はdeterminedである。
P 2 {\displaystyle P_{2}} のいかなるwinning strategy(必勝戦略)も、stationaryなwinning strategyとして実現できる。
事実: Y {\displaystyle Y} を位相空間とし、 W {\displaystyle W} を Y {\displaystyle Y} の部分集合の族で最初に挙げてある、ゲームをするために必要な二つの性質を満たすものとし、 X {\displaystyle X} は Y {\displaystyle Y} の部分集合とする。 P 2 {\displaystyle P_{2}} がwinning strategyを持つのは X {\displaystyle X} がmeagreであるとき、かつそのときのみである。
ただし、 X {\displaystyle X} がmeagreでないからといって、 P 1 {\displaystyle P_{1}} がwinning strategyを持つと言えるわけではないことに注意。プレイヤーのいずれもwinning strategyを持っていないことだってありうる。: Y {\displaystyle Y} が [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} であって、 W {\displaystyle W} が閉区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} から成り立っているとする。このとき、target set X {\displaystyle X} がBaire Propertyを持つなら、ゲームがdeterminedである。選択公理の下では、 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} の部分集合でバナッハ・マズール・ゲームをdeterminedにしないものがある。