パンシェルル微分
直接的な計算により、そのパンシェルル微分は D′ = idK[x] = 1(右辺の 1 は 1 倍する乗算作用素)となり、数学的帰納法により
( D n ) ′ = ( d n d x n ) ′ = n D n − 1 {\displaystyle (D^{n})'=\left({{d^{n}} \over {dx^{n}}}\right)'=nD^{n-1}}
に一般化できる。このことから、微分作用素 ∂ = ∑ anD のパンシュレル微分
∂ ′ = ∑ n a n d n − 1 d x n − 1 = ∑ n a n D n − 1 {\displaystyle \partial '=\sum na_{n}{{d^{n-1}} \over {dx^{n-1}}}=\sum na_{n}D^{n-1}}
もまた微分作用素であることが分かり、したがってパンシェルル微分は微分作用素全体の成す環 diff(K[x]) 上の微分子になる。
シフト作用素 Sh(f)(x) = f(x + h) はテイラー展開
S h = ∑ n = 0 h n n !