クリストッフェル記号
n次元微分多様体 M 上の各点近傍に定まる座標系を x (h = 1, 2, ..., n) とする。さらに各座標近傍内に基本計量テンソル
g i j ( x ) = g j i ( x ) {\displaystyle g_{ij}(x)=g_{ji}(x)}
が与えられているものとする。
なお以下においては、アインシュタインの和の規約を用いる。
リーマン幾何学において、クリストッフェル記号(クリストッフェルきごう、英: Christoffel symbols)またはクリストッフェルの三添字記号(クリストッフェルのさんそえじきごう、英: Christoffel three index symbols)とは、測地線の微分方程式を表すにあたってブルーノ・クリストッフェル (1829–1900) によって導入された記号を言う。
クリストッフェル記号には第一種記号 [ j k , a ] {\displaystyle \left[j\;k,a\right]} と第二種記号 { i j k } {\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}} の二種類があるが、基本的には第二種記号のことを意味する。
∇ j g i k = ∂ g i k ∂ x j − Γ j i a g a k − Γ j k a g i a = 0 {\displaystyle \nabla _{j}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}}-\Gamma _{ji}^{a}g_{ak}-\Gamma _{jk}^{a}g_{ia}=0}
であり、添字を並べ替え、補うことにより、上式を計量テンソルの関数として接続の記号について陽に解いて
Γ k j l = 1 2 g l m ( ∂ g m k ∂ x j + ∂ g m j ∂ x k − ∂ g k j ∂ x m ) = { l k j } {\displaystyle \Gamma _{kj}^{l}={\frac {1}{2}}g^{lm}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{mj}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kj}}{\partial x^{m}}}\right)=\left\{{{l} \atop {k\;j}}\right\}}
と、接続の記号としてクリストッフェル記号を導出することができる。