作用 (数学)
数学における作用(さよう、英語: action,operation)は、代数系にその上の変換写像の集まりを代数的構造として考え合わせたもの。幾何学的には空間(俗な意味で言えば図形)の運動の様子とその原因となるものの構造を記述する概念である。
抽象群などの抽象的に与えられる代数的構造を、その作用を通して具体的な空間上の運動全体がつくる構造として表現することによって特徴付けるという手法に基づいて展開される数学の一分野は表現論と呼ばれる。
同種の算法族 R が構造を定める代数系 A, B とその間の準同型 f: A → B を考える。また、A, B が同じ作用域 Λ を持ち、Λ の作用が (πA, Λ, A), (πB, Λ, B) であたえられているとする。準同型 f が写像として
f ∘ π A ( λ ) = π B ( λ ) ∘ f {\displaystyle f\circ \pi _{A}(\lambda )=\pi _{B}(\lambda )\circ f}
を任意の λ に対して満たすならば、準同型 f: A → B は Λ の作用込みの準同型であるという。簡単に作用準同型とか Λ-準同型などとも呼ぶ。
Λ の作用が A, B ともに右から与えられているとき、A → B が Λ-準同型である条件は
f ( x π A ( λ ) ) = f ( x ) π B ( λ ) {\displaystyle f(x^{\pi _{A}(\lambda )})=f(x)^{\pi _{B}(\lambda )}}
を Λ の任意の元 λ と A の任意の元 x に対して満たすことであり、ともに左作用ならば
f ( π A ( λ ) x ) = π B ( λ ) f ( x ) {\displaystyle f(\pi _{A}(\lambda )x)=\pi _{B}(\lambda )f(x)}