群作用
ただし f(xe + g) では作用にならない。
絶対値が 1 の四元数全体は乗法群として R に作用する。そのような任意の四元数 z = cos  ( α / 2 ) + sin  ( α / 2 ) v ^ {\displaystyle z=\cos(\alpha /2)+\sin(\alpha /2){\hat {\mathbf {v} }}} に対して、写像 f(x) = zxz は v-軸に関して反時計回りに角 α の回転を与える(−z も同じ回転を与える)。
平面上の等長変換全体は平面画像や平面パターン全体の成す集合に作用する。これは、画像やパターンというものを(例えば、色の集合に値をとる位置の函数であるといったように)特定すればもう少し精密に定義ができる。
より一般に、全単射 g: V → V からなる群は、写像 x: V → W 全体からなる集合に (gx)(v) = x(g(v)) によって作用する(全体でなくこの群作用について閉じているような写像の集合に制限して考えてもいい)。従って、ある空間の全単射からなる群は、その空間に属する「物体」の集合への作用を誘導する。
X が別の位相空間 Y の正則被覆空間であるとき、デック変換群の X への作用は固有不連続かつ自由である。群 G の弧状連結位相空間 X への、任意の自由かつ固有不連続な作用は、このようにして得られる。商写像 X ↦ X/G は正則被覆写像であり、デック変換群は G の X への作用によって与えられる。さらに、X が単連結ならば X/G の基本群は G に同型である。これらの結果は (Brown 2006) で、適当な局所条件の下での、離散群のハウスドルフ空間への不連続作用の軌道空間の基本亜群や、空間の基本亜群の軌道亜群などを含む形に一般化されている。これにより、対称平方の基本群などが計算できるようになる。
群 G の局所コンパクト空間 X への作用が余コンパクト (cocompact) であるとは、X のコンパクト部分集合 A で GA = X となるようなものが存在するときに言う。完全不連続作用に対しては、余コンパクト性は商空間 X/G のコンパクト性に同値である。
G の X への作用が固有 (proper) であるとは、写像 G × X → X × X; (g, x) ↦ (gx, x) is a 固有写像 (proper map) であるときに言う。