ベルヌーイの不等式
r = 0 のとき、
( 1 + x ) 0 ≥ 1 + 0 x {\displaystyle (1+x)^{0}\geq 1+0x\,}
となり、これは 1 ≥ 1 なので与式は成立する。
次に、r = k の場合に与式が成立すると仮定する。
( 1 + x ) k ≥ 1 + k x . {\displaystyle (1+x)^{k}\geq 1+kx.\,}
この両辺に ( 1 + x ) をかければ、( 1 + x ) ≥ 0 なので
( 1 + x ) ( 1 + x ) k ≥ ( 1 + x ) ( 1 + k x ) ⟺ ( 1 + x ) k + 1 ≥ 1 + k x + x + k x 2 ⟺ ( 1 + x ) k + 1 ≥ 1 + ( k + 1 ) x + k x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad (1+x)(1+x)^{k}\geq (1+x)(1+kx)\quad \\&\iff (1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2}\\&\iff (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x+kx^{2}.\end{aligned}}}
となる。右辺 = 1 + (k + 1)x + kx ≥ 1 + (k + 1)x である(kx ≥ 0 なので)。したがって、 (1 + x) ≥ 1 + (k + 1)x となり、 r = k + 1 の場合でも与式が成立することが示され、数学的帰納法により全ての rに対して成立することが示された。