対称群
群に関する基本的な問題としてその共役類の分類が挙げられるが、対称群 Sn における共役類は Sn の n への自然な作用に関する軌道の形によって分類される。実際、σ と τ が Sn の元ならば σ と τστ は同じ軌道の形を持っており、逆に σ と υ が同じ軌道の形を持つならば適当な τ ∈ Sn について υ = τστ となっている。これはすなわち、任意の置換を互いに素な巡回置換の積として表したとき、現れる巡回置換の長さが重複度を込めて一致しているような置換は同じ共軛類に入り、またその逆も成り立つということである。たとえば、n = 3 で
σ: 1 → 2, 2 → 1, 3 → 3,
τ: 1 → 2, 2 → 3, 3 → 1
のとき、σ の軌道は {1, 2}, {3} (σ = (1 2)(3)) であり、一方 τστ の軌道は {1}, {2, 3} (τστ = (1)(2 3)) で、どちらも一つの元からなる軌道を一つと二つの元からなる軌道を一つ持っている。
このように、軌道の形(Sn の元の互いに素な巡回置換の積としての表示)は各自然数 k に対して k 個の元を持つような軌道(長さ k の巡回置換)の数 mk がいくつかを指定することで決定される。
有限対称群の極大部分群(英語版)は、非推移的 (intransitive)・非原始的 (imprimitive)・原始的 (primitive) の三種類のクラスに分けられる。非推移的極大部分群はちょうど Sym(k) × Sym(n − k) (1 ≤ k < n/2) の形をした部分群である。非原始的極大部分群はちょうど Sym(k) ≀ Sym(n/k) の形をしている(ただし、2 ≤ k ≤ n/2 は n の真の約数で、"≀" は非原始的に作用する輪積を表す)。原始的極大部分群は同じように表すのは難しいが、オナン–スコットの定理(英語版)と有限単純群の分類定理の助けを借りるならば、(Liebeck, Praeger & Saxl 1987) にこの型の極大部分群の十分わかりやすい記述がある。