方程式
一般解はその名前から「方程式の解のすべてを表現したもの 」と誤解されることが多いが、一般解だけでは表現できない解が存在することがある。この一般解で表されない解を特異解 (singular solution) と言う。
有名な例としては、クレローの方程式
y = x ⋅ d y d x − ( d y d x ) 2 {\displaystyle y=x\cdot {\frac {dy}{dx}}-\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}
は、一般解
y = C x − C 2 {\displaystyle y=Cx-C^{2}}
の他に特異解
y = x 2 4 {\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4}}}
を持つ。
両辺を多項式 (polynomial) とする等式によって表された方程式を代数方程式と言う。多項式 p(·) によって与えられる変数の組 (x, y, z,...) を未知数とする方程式
p ( x , y , z , ... ) = 0 {\displaystyle p(x,y,z,\dots )=0}
の解 (x, y, z,...) のことを p の根 (root) または零点 (zero) とも言う。代数方程式はさらに、一次方程式、二次方程式といったように、多項式の次数 (degree) d により d 次方程式 (d-ic equation, d th degree equation) に分類される。
四次以下の一変数代数方程式は多項式の係数に関する四則演算と根号を用いて解を表すことができる。代数方程式の解のようすを調べる研究は、群の概念の導入など、ガロア理論を始めとする19世紀の代数学の発展の大きな原動力の1つとなった。
歴史上の数学の発展において様々な代数方定式の解を求める試みはそれまでになかった新しい数の体系を生み出してきている。その最も古い例として、古代ギリシアにおける無理数の発見をもたらした、正方形の辺と対角線の比 x に関する方程式
x 2 − 2 = 0 {\displaystyle x^{2}-2=0}
が挙げられる。さらに、三次方程式
x 3 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{3}+px+q=0}
の実数解表示を与えるカルダノの公式
x = − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 {\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}}
は複素数の発見につながった。また、量子力学における粒子の位置と運動量の間に成り立つ正準交換関係
p q − q p = i ħ {\displaystyle pq-qp=i\hbar }
は系の状態を通常の数(C 数、classical number)の組でなく作用素で与える範例をもたらした。