フィボナッチ数
Fm が偶数となるのは m が 3 の倍数となるときと一致する。 Fm が 5 の倍数となるのは m が 5 の倍数となるときと一致する。 p が 2 でも 5 でもない素数のとき、m = p − (5/p) とおくと p は Fm を割り切る。ここで ( / ) はルジャンドル記号である。
フィボナッチ数の累和や累積について以下の式が成り立つ。
F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Fn+2 − 1
F1 + F3 + F5 + ... + F2n−1 = F2n
F2 + F4 + F6 + ... + F2n = F2n+1 − 1
F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Fn Fn+1
Fn−1 Fn+1 − Fn = (−1)
また、次の関係式が知られている。
∑ k = 1 ∞ F k n k = n n 2 − n − 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {F_{k}}{n^{k}}}={\frac {n}{n^{2}-n-1}}}
フィボナッチ数のうち平方数であるのは F1 = F2 = 1, F12 = 144 のみ (Cohn 1964)、立方数であるのは F1 = F2 = 1, F6 = 8 のみ (London and Finkelstein 1969)である。フィボナッチ数のうち累乗数であるのはこれしかない (Bugeaud, Mignotte, Siksek 2006)。(オンライン整数列大辞典の数列 A227875)
フィボナッチ数で素数であるのは 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, .