微分積分学
微分積分学の考え方の一部は、ギリシア、中国、インド、イラク、ペルシャ、日本にも存在していた。しかし、現代に通じる微分積分学は、17世紀のヨーロッパで、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツがそれぞれ独自に確立したものである。微分積分学は、曲線の下の面積を求める問題と動きを瞬間的に捉えるという問題を考えてきた先人の成果の上に成り立っている。
近代に入ると微分積分は弾道学において砲弾の速度や弾道曲線の計算に用いられるようになった。微分計算を行う機械式計算機の多くはこの目的のために作られてきた歴史があり、世界初のコンピューターもそうであった。また、大砲の強度計算や、火薬の爆発や挙動の計算にも微分積分は必須であり、火砲の歴史とは密接な関係がある。
微分法の用途としては、速度や加速度に関わる計算、曲線の接線の傾きの計算、最適化問題の計算などがある。積分法の用途としては、面積、体積、曲線の長さ、重心、仕事、圧力などの計算がある。さらに高度な応用として冪級数とフーリエ級数がある。微分積分学は、シャトルが宇宙ステーションとドッキングする際の軌道計算や、道路上の積雪量の計算などにも用いられている。
微分積分学は、宇宙や時間や運動の性質をより正確に理解するのにも有用である。微分積分学、特に極限と無限級数を使えば、それらのパラドックスを解決することができる。
紀元1000年ごろ、イスラムの数学者イブン・アル・ハイサムが等差数列の4乗(すなわち二重平方数)の総和の公式を導き出し、それを任意の整数の冪乗の和に一般化し、積分の基礎を築いた。11世紀の中国の博学者沈括は積分に使える充填公式を考案した。12世紀のインドの数学者バースカラ2世は極微の変化を表す微分法の先駆けとなる手法を考案し、ロルの定理の原始的形式も記述している。同じく12世紀のペルシア人数学者 Sharaf al-Dīn al-Tūsī は三次関数の微分法を発見し、微分学に重要な貢献をしている。14世紀インドのサンガマグラーマのマーダヴァ(Madhava of Sangamagrama)は自らが設立した数学と天文学の学校の学生達(ケーララ学派)と共にテイラー級数の特殊ケースを明らかにし、それを 『ユクティバーシャー』 (Yuktibhāṣā)という教科書に掲載した。