距離函数
三角不等式の最後の項は、 p ( x , y ) + p ( y , z ) {\displaystyle p(x,y)+p(y,z)} において y {\displaystyle y} の大きさ p ( y , y ) {\displaystyle p(y,y)} が重複して測られているので、それを補正するものと考えられる。p距離空間 X {\displaystyle X} には、開球
B ( x ; ε ) := { y ∈ X ∣ p ( x , y ) < p ( x , x ) + ε } {\displaystyle B(x;\varepsilon ):=\{y\in X\mid p(x,y)<p(x,x)+\varepsilon \}}
を近傍基とすることで、自然に位相を定めることができる。この誘導位相に関して X {\displaystyle X} はT0空間を成す。一方でT1分離公理は必ずしも満たさないことが知られている。すなわち X {\displaystyle X} は対称(R0)ではない。このことは、上の開球の定義において、 y ∈ B ( x ; ε ) {\displaystyle y\in B(x;\varepsilon )} と x ∈ B ( y ; ε ) {\displaystyle x\in B(y;\varepsilon )} が必ずしも同値とならないことに因る。
微分幾何学において用いられる計量テンソルは「無限小」距離函数と考えることができる。計量テンソルは適当な可微分性条件を備えた接空間上の内積として定義されるが、本項に言う意味での距離函数ではなく、積分して初めて距離函数が導かれる。計量テンソルを備えた多様体はリーマン多様体と呼ばれる。ここで内積の正定値性の要求を落とせば、同様に擬リーマン計量テンソルが得られ、積分して擬半距離が得られる。これらは相対論の幾何学的研究において用いられ、そこでは「不変距離」("invariant distance") とも呼ばれる。
いくつかの文献では、準距離 (quasimetric) 函数を対称性を除く全ての距離の公理を満足する函数として定義する。即ち、準距離の公理は
d(x, y) ≥ 0
d(x, y) = 0 ⇔ x = y
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
で与えられる。空間 X 上の準距離 d に対して、
d′(x, y) = ⁄2(d(x, y) + d(y, x))
とおいて得られる d′ は X 上の距離を成す。
準距離の概念は実生活の中にありふれている。例えば、山村からなる集合 X を考え、山村間の移動時間を d とすると、これは準距離になる(山を登って移動するのは下って移動するよりも時間が掛かる)。他にも、一方通行の路を含むようなマンハッタン距離空間を考えたとき、地点 A から地点 B へ行く経路の集合と地点 B から地点 A へ行く経路の集合が違うということがありうる。にもかかわらず数学で準距離を扱うことは希であり、その名称も標準的に定まったものと言うわけではない。
実数全体の成す集合 R 上の準距離の例が
d(x, y) = y − x if y ≥ x, and
d(x, y) = 1 otherwise.
とおくことによって得られる。この準距離から定められる位相空間はゾルゲンフライ直線である。
接頭修飾辞「擬」、「準」、「半」などは組み合わせて使うことができる。例えば 擬準距離 (これをしばしば片距離 (hemimetric) ともいう)は不可識別者同一の公理と対称性の公理を緩めて、単に三角不等式を満足するだけの前距離を意味するものになる。擬準距離空間において r-開球体の全体は開集合の基である。非常に基本的な擬準距離の例は、二点集合 {0,1} に前距離 d を d(0,1) = 1 および d(1,0) = 0 で入れたもので、得られる位相空間はシェルピンスキー空間になる。
拡大擬準距離を備えた集合はウィリアム・ローヴェアが「一般化距離空間」("generalized metric spaces") として研究した。圏論的な観点からは、拡大擬距離空間の全体や拡大擬準距離空間の全体は、対応する距離函数を通じて、距離空間の圏のなかで考えるとよく振る舞う。これらの圏では自由に積や余積をとったり商対象を構成したりできるが、ひとたび「拡大」という部分を落とすと有限積や有限余積しかとれなくなり、「擬」という部分を落とすと商が取れなくなる。アプローチ空間(英語版)はこれらの圏論的に良い性質を保持するような距離空間の一般化である。