多重解像度解析
最初に入力信号列から x [ k ] {\displaystyle x[k]} を計算しないといけないが、ハールウェーブレットや Bior2.2 双直交ウェーブレットの場合は、入力信号の解像度と同じ解像度のスケーリング関数を使えば、 x [ k ] {\displaystyle x[k]} = 入力信号列になり、特に計算は不要となる。
信号は、インパルス応答が g {\displaystyle g} であるローパスフィルタと、同じく h {\displaystyle h} であるハイパスフィルタを利用して分解される。得られた出力は、ハイパスフィルタから得たものを詳細係数(detail coefficients)、ローパスフィルタから得たものを近似係数(approximation coefficients)とよぶ。これら2つのフィルタは互いに密接な関係があり、直交ミラーフィルタとして知られたものである。
y l o w [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] g [ 2 n − k ] {\displaystyle y_{\mathrm {low} }[n]=\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }{x[k]g[2n-k]}}
条件3は条件1の全ての空間がスケール変換で得られる事を意味する。条件4は平行移動に対して空間が普遍であることを意味する。
閉部分空間の集まりが条件1〜5'を満たすときには、いつでも正規直交ウェーブレット ψ j , k ( x ) = 2 j / 2 ψ ( 2 j x − k ) {\displaystyle \psi _{j,k}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)} による L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} )} の基底 { ψ j , k : j , k ∈ Z } {\displaystyle \left\{\psi _{j,k}:j,k\in \mathbf {Z} \right\}} が存在し、 P j + 1 f = P j f + ∑ k ∈ Z ⟨ f , ψ j , k ⟩ ψ j , k {\displaystyle P_{j+1}f=P_{j}f+\sum _{k\in \mathbf {Z} }\left\langle f,\psi _{j,k}\right\rangle \psi _{j,k}} が成立する。