微分
実数を拡大して超実数 R (⊃ R) の体系の中で考えるとき、実函数 y = f(x) の実点 x における微分係数は(f の超実数への自然延長をやはり f と書くとき)、無限小 ∆x に対して ∆y = f(x+ ∆x) - f(x) とすれば、Δy の Δx に関する商 ∆y/∆x の標準部(英語版) を考えることで定義することができる。ここで、上記の差分商の標準部が無限小 ∆x の取り方に依らずに定まるとき、すなわち
∃ ! m ∈ R , ∀ Δ x ( Δ x ∈ monad  ( 0 ) ∧ Δ x ≠ 0 ) , m = st ( f ( a + Δ x ) − f ( a ) Δ x ) {\displaystyle \exists !m\in \mathbb {R} ,\forall {\mathit {\Delta x}}({\mathit {\Delta x}}\in \operatorname {monad} (0)\land {\mathit {\Delta x}}\neq 0),\;m=\operatorname {st} \!\left({\frac {f(a+{\mathit {\Delta x}})-f(a)}{\mathit {\Delta x}}}\right)}
が成り立つとき、この実数 m を実函数 f の a における微分係数と呼ぶ。
偏微分を繰り返して行うことにより得られる微分係数のことを高階の偏微分係数という。これは微分の階数について帰納的に定義される。
たとえば f(x1, ..., xn) の点 a = (a1, ..., an) における2階偏微分係数
∂ 2 f ∂ x j 1 ∂ x j 2 ( a ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}}}(a)}
は次のように定義される。前提として、導関数 ∂f/∂xj2 が存在するものとする。この仮定のもとで、 ∂f/∂xj2 が点 a において xj1 に関して偏微分可能ならば、その偏微分係数のことを上記の記号で表すのである。∂f/∂xj2 があらゆる点 a において xj1 に関して偏微分可能であるとき、点 a に上記の2階偏微分係数を対応づける関数のことを、
∂ 2 f ∂ x j 1 ∂ x j 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}}}}
と書いて2階偏導関数とよぶ。同様のことを繰り返して、一般の k 階偏微分係数
f が R の開集合から R への函数ならば、f の方向微分は、その点における f の選択した方向への最適線型近似を与える。しかし、 n > 1 のときは、位置方向への方向微分だけでは f の挙動を完全に捉えることはできない。全微分は、全ての方向を一度にまとめて考えることで函数の挙動を完全にとらえるものである。
f の a における全微分係数(あるいは単に全微分)は
lim h → 0 ‖ f ( a + h ) − f ( a ) − f ′ ( a ) h ‖ ‖ h ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} \rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0}
を満たす唯一の線型写像 f ′(a): R → R と定義される。