全微分
函数 f: R → R に対し、その点 p における微分係数とは、一般に
f ′ ( p ) = lim x → p f ( x ) − f ( p ) x − p = lim h → 0 f ( p + h ) − f ( p ) h ( h = x − p , x = p + h ) {\displaystyle f'(p)=\lim _{x\to p}{\frac {f(x)-f(p)}{x-p}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(p+h)-f(p)}{h}}\quad (h=x-p,\,x=p+h)}
なる極限として定義される。この形で定式化すると、h で割るということが多変数の F: R → R の場合にはできないから、もう少し違った形を探らねばならない。
微分係数 f'(p) は函数 y = f(x) のグラフ上の点 (p, f(p)) における接線の傾きであり、またその接線は
y = f ( p ) + f ′ ( p ) ( x − p ) {\displaystyle y=f(p)+f'(p)(x-p)}
で表され、これは一次函数(アフィン線型函数)
x ↦ f ( p ) + f ′ ( p ) ( x − p ) {\displaystyle x\mapsto f(p)+f'(p)(x-p)}
のグラフでもある。この函数は
f ( x ) = f ( p ) + f ′ ( p ) ( x − p ) + r ( x − p ) {\displaystyle f(x)=f(p)+f'(p)(x-p)+r(x-p)}