判別式
二次方程式
f(x) = ax + bx + c = 0
の解には、判別式 Δ が含まれる:
x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a = − b ± Δ 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}}
係数 a, b, c が実数の場合:
Δ > 0 のとき、f(x) = 0 は異なる 2 個の実数解をもつ。
Δ = 0 のとき、f(x) = 0 は 1 個の重複する実数解をもつ。 重解は x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
Δ < 0 のとき、f(x) = 0 は1組の共役虚数解をもつ。 虚数解は x = − b ± i − Δ 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}}
(対角成分に an が (n − 1)個、1a1 が n個)
(注)
(注1)左辺の「 ∏ i , j ( i < j ) ( α i − α j ) 2 {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}} 」は、α1, ..., αn の差積の平方であり、ヴァンデルモンドの行列式として表すことができる。
(注2)この行列式は、第1列が an で割り切れるため、右辺は an−1, ..., a0 の (2n − 2)次斉次多項式である。
(注3)この行列式の部分は f と f' の終結式 (resultant) であり、記号で Res  ( f , f ′ ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,f')} と表される。
である。
より高次の方程式に対しても、判別式は定義され、係数たちの多項式であるが、その式は非常に長大なものになる。五次方程式の判別式は 59 の項を持ち、六次方程式の判別式は 246 の項を持ち、項の個数は次数によって指数的に増加する。
(具体的な高次方程式の判別式を最初の定義式に基づいて求めようとすると、長大な係数の多項式になり、計算すると時間がかかる。判別式を終結式の形で表し、そこでの係数の値で表された行列式を計算するのが良い。あるいは係数全体にごく少数の変数だけが含まれている場合にも、終結式を用いて計算をするのが良い。)
四次までの代数方程式に対しては、判別式は解の公式に現れるため、判別式の定義とは、解の公式の一部と誤解されがちである。しかし五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない(アーベル-ルフィニの定理)が、判別式は常に定義される。
定義から、判別式の値が 0 であるのは、重根(すなわち重複度が 2以上の根)が存在することと同値である。
実数係数の代数方程式の実数解の個数は、二次方程式では、判別式の符号が正か零か負かにより2個、1個(重複度2)、0個と判別できるが、三次の場合にはそれぞれ3個、2個(片方は重複度2)あるいは1個(重複度3),1個となる。
このように三次以上では、判別式以外にも指標となる式が必要となる。
判別式の概念は、方程式の係数が複素数体に含まれていない場合にも適用できる。係数が整域 R に属していれば定義され、この場合に判別式は R の元である。特に、整数係数多項式の判別式は常に整数である。この性質は数論において広く用いられる。