ジョルダン曲線定理
ジョルダン曲線定理は高次元への拡張版が存在する。
X を n 次元球面 S から n + 1 次元ユークリッド空間 R への単射連続写像とする。このとき、X の像の補集合は二つの互いに素な連結成分からなり、二つの連結成分の一方は有界(内部)で他方は非有界(外部)で、X は両成分の共通の境界である。
ジョルダン曲線定理にはジョルダン=シェーンフリースの定理 (Jordan-Schönflies theorem) と呼ばれる一般化も存在する。これは、平面上のいかなるジョルダン曲線も平面上の同相写像に拡張可能であるというものである。これはジョルダン曲線定理よりも非常に強い内容である。この定理の高次元版は偽であり、よく知られた反例としてアレクサンダーの角付き球面がある。角付き球面の補集合の非有界成分は単連結ではなく、そのため角球面の写像を R の全体にまで拡張することはできない。