変換幾何学
変換幾何学の探求は、日常生活で目にする鏡像対称性を調べることからしばしば始まる。ここで生じている変換は直線あるいは軸に対する鏡映(鏡像変換、線対称変換)というものである。二つの鏡映変換の合成は、軸が交わるとき回転、軸が平行なとき平行移動となるから、これで平面合同変換(英語版)はわかったということになる。実例として、垂直線に関する鏡映および水平線から45°傾いた直線に関する鏡映を考えよう。この二つの変換の合成は、一方が反時計回りの90°回転となるが、逆順で合成すれば時計回りの45°回転となる。このような結果からは、変換の幾何学が非可換な操作を含んでいることを見つけることが読み取れる。
線対称変換の面白い応用には、任意の三角形における面積1/7三角形(英語版)の存在証明への利用がある。
低学齢に導入するほかの変換としては、点に関する拡大縮小(英語版) (dilation) がある。より広範な反転幾何学を展開するのは、しかし「円に関する反転」がそれほど直感に訴えるものでないため、義務教育レベルの変換幾何では普通は扱われない。
具体的な対称性の群(英語版)に関する経験は抽象群論に譲るとして、複素数・超複素数や行列の計算を具体的に行うことは変換幾何学の一つの表れとして考えることができる。 こうした変換幾何への習熟は、古典的な綜合幾何学の対照となるもう一つの観点をもたらすものである。