カラビ・ヤウ多様体
エンリケス曲面は、リッチ平坦な複素多様体の例になる。エンリケス曲面の標準バンドルは自明ではないが、第二の条件に従うと、カラビ・ヤウ多様体の例となる。しかし第一の条件ではカラビ・ヤウ多様体の例にはならない。 エンリケス曲面の二重被覆は、どちらの定義も満たすカラビ・ヤウ多様体である(事実、K3曲面がその例となる)。
上記の様々な条件の同値性を証明するときに最も難しい箇所は、リッチ計量の存在を証明する部分である。このことはカラビ予想のヤウによる証明から従う。つまり、第一実チャーン類がゼロとなるコンパクトなケーラー多様体は、リッチ計量がゼロである同じ類のケーラー計量を持つことを意味する(ケーラー計量の類はケーラー計量に結び付いている2-形式のコホモロジー類である)。 カラビはそのような計量が唯一であることを示した。
カラビ・ヤウ多様体の定義には、他にも等価ではない多くのものがある。以下に、それらの間の主な差異を示す:
第一チャーン類が、整係数の類としてがゼロとなるのか、それとも実係数の類としてゼロになるのか。
大半の定義は、カラビ・ヤウ多様体がコンパクトな場合であるが、非コンパクトな場合にも通用する定義もある。非コンパクトな多様体への一般化の中では、差異となっている ( Ω ∧ Ω ̄ − ω n / n ! ) {\displaystyle (\Omega \wedge {\bar {\Omega }}-\omega ^{n}/n!)} が漸近的にゼロに近づく必要がある。