地球内部物理学
1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ S ∂ r ) + 1 r 2 sin  θ ∂ ∂ θ ( sin  θ ∂ S ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2  θ ∂ 2 S ∂ φ 2 = 1 c 2 ∂ 2 S ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial S}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial S}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial \phi ^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial t^{2}}}}
この波動方程式の解は以下のような球ベッセル関数で表される。
j l ( x ) = x l ( − 1 x d d x ) sin  x x {\displaystyle j_{l}(x)=x^{l}\left({\frac {-1}{x}}{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}\right){\frac {\sin x}{x}}}
巨大地震の発生などにより、数日間にわたって地球の自由震動が観測される。この震動モードは球面調和関数を用いて表現され、3つの基本モードがある。
バルーンモード - 半径が伸縮する
フットボールモード - 半径方向に回転楕円体状に歪む
捩れモード - 球の表面に平行なせん断運動を伴う
地球表面を伝わる表面波は原理的にこれらの震動モードの重ね合わせとして理解され、周期の長い表面波は地球震動として扱うほうが便利である。
地球の震動モードは球座標系を用いて解析され、均一で自転していない球状の液体の波動方程式は以下のようになる。
過去には和達ら、ハロルド・ジェフリーズおよびベノー・グーテンベルグにより P波および S波の深度に対する速度分布が求められた。Bullen(1936)は地殻をA層、マントルをB層, C層, D層、外核をE層, F層、内核をG層に分け、速度分布、密度分布を求めている。Jordan and Anderson(1974)も速度分布および密度分布を求めている。これらは何れも古典的方法によるものであった。
地球内部の密度、剛性率、圧力、地震波の伝播速度などの物性の分布を深さの関数として表現した地球モデルの一つにPREM (Preliminary Reference Earth Model)がある。
PREM作成には膨大な数の実体波の走時、自由震動の固有周波数、表面波の減衰などの結果が用いられた。このPREMは海洋と大陸のリソスフェアについて個別のモデルが求められているが、球対称から外れる不均質な分布を三次元的に表現するには至っていない。
マントル上部、モホロビチッチ不連続面における密度はρ = 3.4 × 10 kg m、グーテンベルク不連続面ではマントル底部の密度はρ = 5.6 × 10 kg m、外核上部の密度はρ = 9.9 × 10 kg m と推定されている。また地球中心部の密度はρ = 13.1 × 10 kg mであり、外核も 9.9-12.2 × 10 kg m と高密度となっているが、これを常圧における密度に換算すると 7.0 × 10 kg m となり、鉄-ニッケル合金から予想される密度よりやや小さくなる。これは軽元素の混入を示唆している。
またマントルは均質というわけではなく、深度220km、400km、670kmにそれぞれ不連続面が存在すると仮定され、これらの不連続面は橄欖岩質物質の高圧における相転移が原因とされる。しかし実際にはマントル物質は純粋なケイ酸マグネシウムから成るわけでなくPREMのモデルのようにシャープな不連続面ではなく、遷移帯と呼ばれる。
地球内部の高圧下では物質が高度に圧縮され、以下のような状態方程式が成立する。ここで P は圧力、 K0 は常圧における等温体積弾性率、ρは圧力Pにおける密度、ρ0 は常圧における非圧縮状態の密度である。この式は有限歪弾性論から導出される。
P = 3/2 K0 [(ρ/ρ0) - (ρ/ρ0)]