本質的上限と本質的下限
数学における本質的上限(ほんしつてきじょうげん、英: essential supremum)と本質的下限(ほんしつてきかげん、英: essential infimum)の概念は、上限と下限の概念と関連するものであるが、測度論においては前者の方がより意義深いものとなる。なぜならば測度論においては、ある集合のすべての元に対しては有効ではないが、ほとんどすべての元に対して、すなわち測度 0 の集合に含まれないすべての元に対して有効となるような議論が行われるからである。
(X, Σ, μ) を測度空間とし、f: X → R を必ずしも可測ではない X 上の実数値函数とする。ある実数 a が f の上界であるとは、X 内のすべての x に対して f(x) ≤ a が成立すること、すなわち、集合
{x ∈ X | f(x) > a}
が空であることを言う。それと比べて、a が本質的上界であるとは、集合