反応速度式
s z j = 1 {\displaystyle s_{zj}=1} がある1つの z {\displaystyle z} について成り立つ。
t=0での濃度が上と異なる場合、上式のような簡略化は使えず、微分方程式を解くことが必要になる。しかし、その微分方程式は解くことができ、その解は以下のように一般化したものとなる。
[ A ] = [ A ] 0 1 k f + k b ( k b + k f e − ( k f + k b ) t ) + [ B ] 0 k b k f + k b ( 1 − e − ( k f + k b ) t ) {\displaystyle \left[{\ce {A}}\right]=\left[{\ce {A}}\right]_{0}{\frac {1}{k_{f}+k_{b}}}\left(k_{b}+k_{f}e^{-\left(k_{f}+k_{b}\right)t}\right)+\left[{\ce {B}}\right]_{0}{\frac {k_{b}}{k_{f}+k_{b}}}\left(1-e^{-\left(k_{f}+k_{b}\right)t}\right)}
だから
k f + k b = k b [ A ] 0 x e {\displaystyle k_{f}+k_{b}={k_{b}{\frac {{\ce {[A]_0}}}{x_{e}}}}}
よって反応速度は
d x d t = k b [ A ] 0 x e ( x e − x ) {\displaystyle \ {\frac {dx}{dt}}={\frac {k_{b}[{\ce {A}}]_{0}}{x_{e}}}(x_{e}-x)}
つまり、
ln  ( [ A ] 0 − [ A ] e [ A ] t − [ A ] e ) = ( k f + k b ) t {\displaystyle \ln \left({\frac {[{\ce {A}}]_{0}-[{\ce {A}}]_{e}}{[{\ce {A}}]_{t}-[{\ce {A}}]_{e}}}\right)=(k_{f}+k_{b})t}
という結果になる。
ここで、k1はAとBが反応する反応の速度定数、k2はXとYが反応する反応の速度定数である。
k1、k2と反応の平衡定数(K) は以下のような関係式を満たす。ただし平衡状態では反応速度r=0である。
k 1 [ A ] s [ B ] t = k 2 [ X ] u [ Y ] v {\displaystyle {k_{1}[{\ce {A}}]^{s}[{\ce {B}}]^{t}=k_{2}[{\ce {X}}]^{u}[{\ce {Y}}]^{v}}\,}
K = [ X ] u [ Y ] v [ A ] s [ B ] t = k 1 k 2 {\displaystyle K={\frac {[{\ce {X}}]^{u}[{\ce {Y}}]^{v}}{[{\ce {A}}]^{s}[{\ce {B}}]^{t}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}}