調和関数
函数(あるいはより一般にシュヴァルツ超函数)がラプラス方程式 Δf = 0 の弱解(シュヴァルツ超函数の意味での解)となるとき弱調和(英語版)であるという。
弱調和函数は殆ど至る所真の調和函数に一致し、特に滑らかである。弱調和超函数とは、真の調和函数に同伴するシュヴァルツ超函数のことであり、従ってこれもまた滑らかである。これラプラス方程式に関するワイルの補題という。
このほかにもラプラス方程式の弱バージョンで有用なものがたくさんある。そういったものの一つはディリクレの原理で、これはソボレフ空間 H(Ω) に属する調和函数をディリクレエネルギー積分
J ( u ) := ∫ Ω | ∇ u | 2 d x {\displaystyle J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx}
を局所変分に関して最小化するものとして表現する。すなわち、調和函数 u ∈ H(Ω) は、任意の v ∈ C∞c(Ω) に対して(あるいは同じことだが v ∈ H10(Ω) に対して J(u) ≤ J(u + v) を満たす。
を満たすが、これをベクトル解析の言葉で書き直せば grad u(x, y) = (∂y, −∂x)v(x, y) となり、この湧き出し div grad u(x, y) = Δ u(x, y) はゼロなので、関数 u(x, y) は 2 次元のラプラス方程式を満たす調和関数であることが分かる。同様の方法でまた v(x, y) も調和関数であることが導かれる。すなわち、正則な複素関数の実部と虚部は実調和関数となる。
逆に、2 つの実調和関数がコーシー・リーマンの関係式を満たすとき、それらは共役であるといい、共役な実調和関数の対u(x, y), v(x, y) が与えられると、z = x + iy を変数とする正則関数f(z) = u(x, y) + iv(x, y) が得られる。単連結領域上の実調和関数は共役調和関数を持つ(すなわち正則関数の実部あるいは虚部である)。
調和関数の平均値の性質は、最大値(最小値)に強い制約を課すため、調和関数は領域の境界で最大値(最小値)をとる。正確には、U を R の有界な開集合とし、φ が U 上の調和関数で、φ を境界に連続に拡張できるならば、
max U ̄ φ = max ∂ U φ {\displaystyle \max _{\overline {U}}\phi =\max _{\partial U}\phi }
が成り立つ。この性質を調和関数の最大値原理と呼ぶ。U が連結開集合である場合に、 max U φ {\displaystyle \max _{U}\phi } が存在すれば、φは定数関数となる。この性質を調和関数の強最大値原理と呼ぶ。
最大値原理の直接的な応用としては、ポアソン方程式の境界値問題における解の一意性の証明がある。R の有界な開集合U とその境界 ∂U において、f ∈ C(U)とg ∈ C(∂U)を与え、ポアソン方程式の境界値問題を考える。この境界値問題の二つの解に対し、差を取ったものは調和関数であり、最大値原理より、その最大値、最小値はゼロとなる。すなわち、二つの解は一致する。