多項式函数 (初等数学)
x ≠ 2 で定義された有理函数 f(x) ≔ 2x + 3x − 5/x − 2 を簡約形にせよ。すなわち、任意の x ≠ 2 に対して f(x) = ax + b + c/x − 2 を満たす実数 a, b, c を求めよ。 g(x) ≔ ax + b + c/x − 2
とおいて通分すれば g(x) = ax + (b − 2a)x + c − 2b/x − 2.
二つの函数 f, g は分母が等しいから、両者が x ≠ 2 で一致するための必要十分条件は、両者の分子が x ≠ 2 で一致することである。これらの分子はともに二次の多項式で二点以上で一致しているから、両者の係数比較 { 2 = a 3 = b − 2 a − 5 = c − 2 b ⟺ { a = 2 b = 7 c = 9 {\displaystyle {\begin{cases}2=a\\3=b-2a\\-5=c-2b\end{cases}}\iff {\begin{cases}a=2\\b=7\\c=9\end{cases}}}
により f(x) = 2x + 7 + 9/x − 2 を得る。