P進周期環
環 R を射影系
O K ̄ / p O K ̄ ← ( ⋅ ) p O K ̄ / p O K ̄ ← ( ⋅ ) p O K ̄ / p O K ̄ ← ( ⋅ ) p ⋯ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} {\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} {\mathcal {O}}_{\bar {K}}/p{\mathcal {O}}_{\bar {K}}\xleftarrow {(\cdot )^{p}} \cdots }
の逆極限 R = lim← OK / pOK として定義する。つまり、R は集合としては OK / pOK の元の無限列 (a0, a1, a2, ...) であって an = apn+1 を満たすもの全体である。また、環の加法や乗法は成分ごとに定義されたものである。
W(R) を R を係数とするヴィット・ベクトルのなす環とする。W(R) から K の完備化 CK の整数環 OCK への写像 θ を
θ ( ( a 0 , a 1 , a 2 , ...