反応速度
t →∞で反応が平衡状態になるとAの正味の濃度変化は無くなるので、 d [ A ] e q d t = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} [\mathrm {A} ]_{eq}}{\mathrm {d} t}}=0} であり
k 1 [ A ] e q = k − 1 [ B ] e q {\displaystyle k_{1}[\mathrm {A} ]_{eq}=k_{-1}[\mathrm {B} ]_{eq}}
となる。[A]eqは平衡状態でのAの濃度、[B]eqは平衡状態でのBの濃度である。この式から
[ B ] e q [ A ] e q = k 1 k − 1 = K {\displaystyle {\frac {[\mathrm {B} ]_{eq}}{[\mathrm {A} ]_{eq}}}={\frac {k_{1}}{k_{-1}}}=K}
を導くことができ、このK を平衡定数と呼ぶ。この式は熱力学的な量である平衡定数と反応速度に関わる量である速度定数の関係を表す重要な式である。平衡定数と片方の速度定数が明らかであれば、計算によりもう片方の速度定数を求めることができる。
と変形する。両辺をそれぞれ[A]0から[A]、0からt の範囲で積分すると、
∫ [ A ] 0 [ A ] d [ A ] [ A ] 2 = − k 2 ∫ 0 t d t {\displaystyle \int _{[\mathrm {A} ]_{0}}^{[\mathrm {A} ]}{\frac {\mathrm {d[A]} }{[\mathrm {A} ]^{2}}}=-k_{2}\int _{0}^{t}{\mathrm {d} t}}
となる。1/xの積分は-1/x であることから、次の積分系速度式が得られる。
1 [ A ] | [ A ] 0 [ A ] = 1 [ A ] − 1 [ A ] 0 = k 2 t {\displaystyle {\frac {1}{[\mathrm {A} ]}}{\bigg |}_{[\mathrm {A} ]_{0}}^{[\mathrm {A} ]}={\frac {1}{[\mathrm {A} ]}}-{\frac {1}{[\mathrm {A} ]_{0}}}=k_{2}t}
1 [ A ] = k 2 t + 1 [ A ] 0 {\displaystyle {\frac {1}{[\mathrm {A} ]}}=k_{2}t+{\frac {1}{[\mathrm {A} ]_{0}}}}
より、1/[A]をt に対してプロットすると、傾きk2 、切片1/[A]0 の直線が得られる。
反応物が2種類の場合
反応物が2種類の2次反応は、次のような式になる。
A + B → C
この時Aが1次、Bが1次で合計2次の反応になる。
A→Bにおいて、Aの初濃度が[A]0のとき、時間t の後、x mol/dm3 (= [B]) が反応したとする 。すると[A]0 - x は時間t におけるAの濃度[A]に等しくなる。Bの生成速度dx /dt は[A]に比例するから、反応速度定数をk1 とすると
d x d t = k 1 ( [ A ] 0 − x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=k_{1}([\mathrm {A} ]_{0}-x)}
または
d [ A ] d t = − k 1 [ A ] {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} [\mathrm {A} ]}{\mathrm {d} t}}=-k_{1}[\mathrm {A} ]}
という式で表すことができる。この微分方程式を
d [ A ] [ A ] = − k 1 d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d[A]} }{[\mathrm {A} ]}}=-k_{1}\mathrm {d} t}
のように変形し、両辺をそれぞれ[A]0から[A]、0からt で積分すると、
∫ [ A ] 0 [ A ] d [ A ] [ A ] = − k 1 ∫ 0 t d t {\displaystyle \int _{[\mathrm {A} ]_{0}}^{[\mathrm {A} ]}{\frac {\mathrm {d[A]} }{[\mathrm {A} ]}}=-k_{1}\int _{0}^{t}{\mathrm {d} t}}