複素数
実函数の場合と異なり、複素数 z に関する方程式
exp  z = w {\displaystyle \exp z=w}
は任意の非零複素数 w に対して無限個の複素数解を持つ。そのような解 z、すなわち w の複素対数函数 log w は
log  w = ln  | w | + i arg  w {\displaystyle \log w=\ln |w|+i\arg w}
と表すことができる。ただし、ln は実函数としての自然対数で、arg は上述の偏角である。この値は、偏角のときと同様に 2π の整数倍の差を除いて一意であるから、複素対数函数もまた多価函数である。主値としては、虚部 arg w を区間 (−π, π] にすることが多い。
数学における複素数(、英: complex number)とは、2つの実数 a, b と虚数単位 i = √−1 を用いて
z = a + bi
と表すことのできる数のことである。1, i は実数体上線型独立であり、複素数は、係数体を実数とする、1, i の線型結合である。実数体 R 上の二次拡大環の元であるため、二元数の一つである。
複素数全体からなる集合を、太字の C あるいは黒板太字で C と表す。C は可換体である。体論の観点からは、複素数体 C は、実数体 R に √−1 を添加して得られる拡大体である。代数学の基本定理により、複素数体は代数的閉体である。
複素数体はケーリー=ディクソン代数(四元数、八元数、十六元数など)の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。
複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数全体に通常の大小関係を入れることはできない。つまり、複素数体 C は順序体でない。
数学での分野、概念や構成において、考えている体構造が複素数体であるとき、それを、それらの概念等の名称に、多くは接頭辞「複素-」を付けることで反映させる。例えば、複素解析、複素行列、複素(係数)多項式、複素リー代数など。
なる形の任意の行列はその平方が単位行列の −1 倍、すなわち J = −I を満たすから、行列の集合
{ z = a I + b J : a , b ∈ R } {\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}
もまた C に同型となり、R 上に別の複素構造を与える。これは線型複素構造(英語版)の概念によって一般化することができる。
超複素数は R, C, H, O もさらに一般化するもので、例えば分解型複素数環は剰余環 R[x]/(x − 1) である(複素数は剰余環 R[x]/(x + 1) であった)。この環において方程式 a = 1 は4つの解を持つ。
実数体 R は有理数体 Q の通常の絶対値による距離に関する完備化である。Q 上の別の距離函数をとれば、任意の素数 p に対して p 進数体 Qp が導かれる(つまりこれは実数体 R の類似対応物である)。オストロフスキーの定理によれば、この R と Qp 以外に Q の非自明な完備化は存在しない。Qp の代数的閉包 Qp にもノルムは伸びるが、C の場合と異なり、そのノルムに関して Qp は完備にならない。Qp の完備化 Cp は再び代数的閉体であり、C の類似対応物として p-進複素数体と呼ぶ。
体 R, Qp およびそれらの有限次拡大体は、すべて局所体である。
( a − b b a ) = ( r cos  θ − r sin  θ r sin  θ r cos  θ ) = r ( cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \theta \\r\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}=r\,{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}
は角度 θ の回転行列のスカラー r 倍であり、これは複素数の積が R 上で原点を中心とする相似拡大(英語版)と回転の合成を引き起こすことに対応する。
複素数 z = a + bi の表現行列を A とすると、A の行列式
det A = a + b = |z|
は対応する複素数の絶対値の平方である。
複素数のこの行列表現はよく用いられる標準的なものだが、虚数単位 i に対応する行列 ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}})} を例えば ( 1 1 − 2 − 1 ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}1&1\\-2&-1\end{smallmatrix}})} に置き換えても、平方が単位行列の −1 倍であり、複素数の別の行列表現が無数に考えられる(後述、また実二次正方行列の項も参照)。
複素数 α = a + bi を、C 上の(左からの)作用と見ると、それに対応する R 上での一次変換の表現行列を考えることができる。
対応
a + b i ↔ ( a − b b a ) ( a , b ∈ R ) {\displaystyle a+bi\leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\quad (a,b\in \mathbb {R} )}
により、複素数は実二次正方行列で表現することができる。特に、実数単位 1, 虚数単位 i は
1 ↔ ( 1 0 0 1 ) , i ↔ ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle 1\leftrightarrow {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i\leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}
である。この対応により、複素数の加法および乗法は、この対応によって通常の行列の和(英語版)および行列の積に対応する。複素共役は行列の転置に対応している。
極形式表示を a + bi = r(cos θ + i sin θ) とすると、
実数 θ, 整数 n に対して、
(cos θ + i sin θ) = cos nθ + i sin nθ
が成り立つ(ド・モアブルの定理)。オイラーの公式より
(e) = e
(exp iθ) = exp inθ
と表現することもできる。n が整数でないとき一般には成り立たない。