ギブズ現象
sinc 関数は連続だから、この近似は N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } の時、実際の積分値に近付いていく。従って、次が得られる。
lim N → ∞ S N f ( 2 π 2 N ) = 1 2 ∫ 0 π sinc  ( t ) d t = π 4 + π 2 ⋅ 0.089490 ... {\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots }
これは、本セクション冒頭で示された通りのものである。同様の計算で次が得られる。
lim N → ∞ S N f ( − 2 π 2 N ) = − 1 2 ∫ 0 π sinc  ( t ) d t = − π 4 − π 2 ⋅ 0.089490 ... {\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(-{\frac {2\pi }{2N}}\right)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }\operatorname {sinc} (t)\ dt=-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}\cdot 0.089490\dots }
089490\dots \end{aligned}}}
及び
lim N → ∞ S N f ( x 0 ) = f ( x 0 − ) + f ( x 0 + ) 2 {\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0})={\frac {f(x_{0}^{-})+f(x_{0}^{+})}{2}}}
より一般的には、xN が N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } の時にx0 に収束する任意の実数列であるとし、また跳びa が正であるとすると、次のようになる。
lim sup N → ∞ S N f ( x N ) ≤ f ( x 0 + ) + a ⋅ 0.089490 ... lim inf N → ∞ S N f ( x N ) ≥ f ( x 0 − ) − a ⋅ 0.089490 ... {\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})&\leq f(x_{0}^{+})+a\cdot 0.089490\dots \\\liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})&\geq f(x_{0}^{-})-a\cdot 0.089490\dots \end{aligned}}}
跳びa が負である場合には、上の2つの不等式において、上極限と下極限とを交換し、そして ≤ 記号と ≥ 記号とを交換する必要がある。