K自明集合
実は、その集合はpromptly simpleに取ることもできる。証明のアイディアはprompt simple集合を作る際の要求
P S e : | W e | = ∞ ⇒ ∃ s ∃ x [ x ∈ W e , s ∖ W e , s − 1 ∧ x ∈ A s ] {\displaystyle PS_{e}:|W_{e}|=\infty \Rightarrow \exists s\exists x[x\in W_{e,s}\backslash W_{e,s-1}\wedge x\in A_{s}]}
を満たしながら、コストを小さくするというものである。ただしコスト関数は以下の極限条件を満たす必要がある。
lim x sup s > x c ( x , s ) = 0 {\displaystyle \lim _{x}\sup _{s>x}c(x,s)=0}
つまり、xが増えるにしたがって、sがステージを走るときのxのコストの上限が0に収束する。例えば、標準コスト関数はこの性質を満たす。構成の本質的なアイディアとしては、prompt simple集合を作る要求を満たすために、Aに数字を入れる前に、コストが十分小さくなるまで待つというものである。計算可能な枚挙 ⟨ A s : s ∈ ω ⟩ {\displaystyle \langle A_{s}:s\in \omega \rangle } を以下のように定義しよう。まず、 A 0 = ∅ {\displaystyle A_{0}=\emptyset } 。