主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
そのような因子は,もしあれば,列の最後に現れる.
直和は M によって一意的に決定されるが,分解を与える同型写像は一般には一意ではない.例えば R が実は体なら,現れるすべてのイデアルは 0 でなければならず,有限次元ベクトル空間の1次元部分空間の直和への分解を得る.そのような因子の個数すなわち空間の次元は固定されているが,(dim M > 1 なら)部分空間そのものを選ぶ自由性はたくさんある.
0でない di の元たちと,0 である di たちの個数を合わせると,加群の完全不変量となる.明示的には,これは不変量の集合が同じ任意の2つの加群が同型でなければならないことを意味する.
M の自由部分を分けて書くことを好む者もいる:
R f ⊕ ⨁ i R / ( d i ) = R f ⊕ R / ( d 1 ) ⊕ R / ( d 2 ) ⊕ ⋯ ⊕ R / ( d n − f ) {\displaystyle R^{f}\oplus \bigoplus _{i}R/(d_{i})=R^{f}\oplus R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n-f})}
ここで見えている di は 0 でなく,f はもとの列で 0 である di たちの個数である.