J-不変量
j-不変量の逆函数は、超幾何函数 2F1 で表すこともできる(ピカール・フックス方程式(英語版)(Picard–Fuchs equation)も参照)。与えられた数値 N に対して 式 j(τ) = N を τ について解くためには、少なくとも 4つの方法が知られている。
方法 1: モジュララムダ函数(英語版)(modular lambda function) λ の6次式を解く方法。
j ( τ ) = 256 ( 1 − λ ( 1 − λ ) ) 3 ( λ ( 1 − λ ) ) 2 . {\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}.}
x = λ(1−λ) とすると 6次式は x の 3次式となる。すると、λ の 6つの値のどれに対しても、
τ = i 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 , 1 , 1 − λ ) 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 , 1 , λ ) {\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1,1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1,\lambda \right)}}}
となる。
方法 2: γ の 4次式を解く方法。
j ( τ ) = 27 ( 1 + 8 γ ) 3 γ ( 1 − γ ) 3 .
J ( 5 i + 2 4 ) = ( 1 − 9 ( 1 + 5 ) 38 2 41 2 ( 7485 − 762 2 + 1479 5 − 3072 10 − 5 4 ( 178 − 2221 2 + 3148 5 − 1289 10 ) ) 2 ) 3 J ( 10 i + 1 2 ) = ( 1 − 9 ( 1 + 5 ) 38 2 41 2 ( 7485 − 762 2 + 1479 5 − 3072 10 + 5 4 ( 178 − 2221 2 + 3148 5 − 1289 10 ) ) 2 ) 3 J ( 5 i 4 ) = ( 1 + 9 ( 1 + 5 ) 38 2 41 2 ( 7485 + 762 2 + 1479 5 + 3072 10 − 5 4 ( 178 + 2221 2 + 3148 5 + 1289 10 ) ) 2 ) 3 J ( 20 i ) = ( 1 + 9 ( 1 + 5 ) 38 2 41 2 ( 7485 + 762 2 + 1479 5 + 3072 10 + 5 4 ( 178 + 2221 2 + 3148 5 + 1289 10 ) ) 2 ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}J\left({\tfrac {5i+2}{4}}\right)&=\left(1-{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485-762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}-3072{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(178-2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}-1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {10i+1}{2}}\right)&=\left(1-{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485-762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}-3072{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(178-2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}-1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{4}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485+762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}+3072{\sqrt {10}}-{\sqrt[{4}]{5}}\left(178+2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}+1289{\sqrt {10}}\right){\Big )}^{2}\right)^{3}\\J(20i)&=\left(1+{\tfrac {9\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{38}}{2^{41}{\sqrt {2}}}}{\Bigl (}7485+762{\sqrt {2}}+1479{\sqrt {5}}+3072{\sqrt {10}}+{\sqrt[{4}]{5}}\left(178+2221{\sqrt {2}}+3148{\sqrt {5}}+1289{\sqrt {10}}\right){\Bigr )}^{2}\right)^{3}\end{aligned}}}
と定義すると、この格子はヴァイエルシュトラスの楕円函数を通して、y = 4x − g2x - g3 で定義された C 上の楕円曲線に対応する。このとき、j-不変量は、
j ( τ ) = 1728 g 2 3 Δ {\displaystyle j(\tau )=1728\,{\frac {g_{2}^{3}}{\Delta }}}
と定義される。ここにモジュラー判別式(modular discriminant) Δ は
Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}
である。
Δ はウェイト 12 のモジュラー形式であることと、g2 はウェイト 4 のモジュラー形式であるのでその3乗はウェイト 12 であることを示すことができる。したがって、 j がこれらの商であることから j はウェイト 0 のモジュラ函数であり、特に、SL(2, Z) の作用の下に不変な有理型函数 H → C である。以下に説明するように j は全射であり、このことは C 上の楕円曲線の同型類と複素数の間の全単射を与えることを意味する。
これ以前に示したすべての値は実数である。