多体波動関数
ただし1粒子の場合とは違い、 ψ ( r 1 , r 2 ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2})} は、2つの位置座標 r 1 {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1}} 、 r 2 {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{2}} を指定してはじめて1つの複素数が返ってくるような関数である。この返ってきた複素数値を、3次元空間のどこかに「住んでいる」という1粒子の波動関数やあるいは場のような考え方をすることはできない。このことは、3つ以上の粒子の場合でも同様である。そういう意味で、多粒子系を考えることで、量子力学の波動関数を「空間に実在する波」とはみなせないことが明確になる。
, r N ) = ψ α 1 ( r 1 ) ψ α 2 ( r 2 ) ... ψ α N ( r N ) {\displaystyle \Psi ({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})=\psi _{\alpha _{1}}({\boldsymbol {r}}_{1})\psi _{\alpha _{2}}({\boldsymbol {r}}_{2})\dots \psi _{\alpha _{N}}({\boldsymbol {r}}_{N})}
この波動関数 Ψ {\displaystyle \Psi } は確かにN粒子系の全ハミルトニアン ∑ i H ^ i {\displaystyle \sum _{i}{\hat {H}}_{i}} の固有関数になってはいるが、対称化・反対称化されていないために上述の同種なN粒子波動関数としての資格を有していない。よってこの波動関数に対称性・反対称性を持たせる必要がある。