環上の加群
抽象代数学における環上の加群(かぐん、英: module)とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数(スカラー)を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは(ベクトル空間がそうであるように)加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。
任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。
加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。
アルティン加群とは、その部分加群からなる任意の降鎖列が有限の長さで止まるような加群をいう。
しばしば、スカラーの作用を fr のような形に書くこともあり、もちろん fr(x) = rx なのだが、このように書くと f を R の各元 r を対応する作用素 fr へ移す写像とみることもできて、たとえば先ほどの加群の公理の最初の条件は fr が M 上の自己準同型となることを述べていて、残りの条件は f が R から自己準同型環 End(M) への環準同型となることを要請するものになっている。すなわち、環上の加群とは環作用を持つアーベル群のことである(群作用あるいは作用も参照)。この意味では、環上の加群の理論は群の(あるいは同じことだが群環の)ベクトル空間における作用を扱う群の表現論(線型表現論)の一般化である。
通常は演算を省略して、単に「左 R-加群 M」とか、係数環を明示するために RM のように記す。環の作用の向きだけ右からに変更して(つまり M × R → M の形のスカラー乗法があって、左加群の公理でスカラーを左に書いていたところを、スカラー r や s を x, y の右側に書くようにして)、同様に右 R-加群 M, MR が定義される。
両側加群 (bimodule)は、左加群でも右加群でもあってなおかつそれらの作用が可換となるようなものである。
Rが可換環ならば、左 R-加群と右 R-加群の概念は一致し、単に R-加群と呼ばれる。
忠実加群 M とは、R の 0 でない各元 r に対して r の M への作用が自明でない(すなわち、M の元 x で rx ≠ 0 となるものがある)ときに言う。これは M の零化域 (annihilator) が零イデアルであるときといっても同じである。