陰函数定理
二変数函数 f を f(x, y) = x + y − 1 と定めると、単位円をその等高線 f(x, y) = 0 として表すことができる。ところが各 −1 < x < 1 に対して y は相異なる二つの値(具体的には ±√1 − x)をとるので、単位円の全体を一変数函数 y = g(x) のグラフとして表すことはできない。
しかしながら、単位円の一部であれば一変数函数のグラフとして表すことができることがある。たとえば
g + ( x ) = + 1 − x 2 ( − 1 < x < 1 ) {\displaystyle g_{+}(x)=+{\sqrt {1-x^{2}}}\qquad (-1<x<1)}
とすれば、y = g+(x) のグラフは単位円の上半分と一致する。同様に
g − ( x ) = − 1 − x 2 ( − 1 < x < 1 ) {\displaystyle g_{-}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\qquad (-1<x<1)}
とすれば、y = g−(x) のグラフは単位円の下半分と一致する。
単位円に対する g±(x) のような陰函数が存在し、かつ十分に滑らかであることを、明示的な式を書き下せない状況下でさえ保証する一般的な命題が陰函数定理である。
, h m ( x 1 , ... , x m ) − x m ′ ) {\displaystyle f(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots x_{m})=(h_{1}(x_{1},\ldots x_{m})-x'_{1},\ldots ,h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{m})}
と置くことにより、f = 0 なる関係を持つ。ここに f の適当な点 (a, b) = (x'1, ..., x'm, x1, ..., xm) におけるヤコビ行列は
D f ( a , b ) = ( − 1 ⋯ 0 ∂ h 1 ∂ x 1 ( b ) ⋯ ∂ h 1 ∂ x m ( b ) ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ − 1 ∂ h m ∂ x 1 ( b ) ⋯ ∂ h m ∂ x m ( b ) ) = ( − 1 m ∣ J ) {\displaystyle Df(a,b)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}-1&\cdots &0&{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1&{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{array}}\right)=(-1_{m}\mid J)}
開集合 Ω ⊂ R 上の連続微分可能な函数 f: Ω → R をとる。始域 Ω を直積集合 R × R の部分集合と見做して、この直積に属する元を (x, y) = (x1, ..., xn, y1, ..., ym) と書く。そのような函数 f が与えられたところから始めて、最終的に函数 g: R → R でそのグラフ (x, g(x)) が f(x, y) の零点集合と一致するようなものを見つけることを考える。
既に述べたとおり、そのようなことは常に可能というわけではない。そこで f(x, y) の零点 (a, b) = (a1, ..., an, b1, ..., bm) を固定し、その近くで目的に合う g を見つけることに視点を移す。すなわち、U × V ⊂ Ω を満たす点 a の開近傍 U と点 b の開近傍 V、および函数 g: U → V の三つ組 U, V, g で、 g のグラフが U × V 上で関係 f = 0 を満足するもの、式で書けば U × V 内の各点 (x, y) で
f ( x , y ) = 0 ⟺ y = g ( x ) {\displaystyle f(x,y)=0\iff y=g(x)}
を満足するものを求めたい。
陰函数定理を述べるためには、f = (f1, ..., fm) のヤコビ行列(函数行列)が必要である。それは f のすべての偏微分によって形作られる行列で、(a, b) における値は