函数等式
数学、特に解析的整数論における函数等式(かんすうとうしき、functional equation)は、数論的な L-函数が持っていることを期待される特徴的性質のひとつであり、(未だ多く推測的な内容を含むけれども)「函数等式斯くあるべし」という精巧な理論が存在する。
例えばリーマンゼータ函数は、複素数 s と 1 − s における値の関係を示す函数等式をもつ。ただし、この文脈で扱う全ての場合においてリーマンゼータ函数 ζ(s) は、そもそもの無限級数としての定義から、解析接続を用いて一意的に定義域を拡張して得られる解析函数として扱われる。つまり(慣習に従って)s の実部を σ で表せば、リーマンゼータの函数等式は「σ > 1 の領域(定義級数が収斂する範囲)と σ < 0 の領域」の関係を述べると共に、「臨界帯」(critical strip) と呼ばれる 0 < σ < 1 の帯状領域からそれ自身へ直線 σ = 1/2 に対して鏡映的な関係をも示すものである。したがって、ガウス平面全域におけるリーマンゼータの研究において函数等式の利用は基本的である。
リーマンゼータの函数等式は
Z ( s ) = Z ( 1 − s ) {\displaystyle \mathrm {Z} (s)=Z(1-s)}
という簡単な形をしている。ここで Ζ は ζ にガンマ函数から得られるガンマ因子 (gamma-factor) を掛けたものである。したがってこれはリーマンゼータのオイラー積に(無限素点に対応する)「余分な」因子が含まれるものとして読むことができる。まったく同じ形の函数等式を数体 K のデデキントゼータ函数(に K の埋め込み、代数の言葉で言えば K とある総実体 (totally real number field) とのテンソル積、のみに依存する適当なガンマ因子を掛けたもの)も満たす。