アルティン相互法則
従って、 F r o b p {\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}} もしくは ( L / K p ) {\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)} と書かれる Gal(L/K) のフロベニウス元を剰余体のガロア群のフロベニウス元のもちあげとして標準的に定義することができる。Δ で L/K の相対判別式(英語版)(relative discriminant)表すとする。L/K のアルティン記号(あるいは、アルティン写像、大域相互写像)は、上のフロベニウス元の定義を線型に拡張したものとして素イデアルと Δ の分数イデアル群 I K Δ {\displaystyle I_{K}^{\Delta }} の上に定義される。
( L / K ⋅ ) : I K Δ ⟶ G a l ( L / K ) ∏ i = 1 m p i n i ↦ ∏ i = 1 m ( L / K p i ) n i . {\displaystyle {\begin{matrix}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):&I_{K}^{\Delta }&\longrightarrow &\mathrm {Gal} (L/K)\\&\displaystyle {\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}}&\mapsto &\displaystyle {\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}.}\end{matrix}}}