マーラー体積
ユークリッド空間の中の凸体は、内部が空でないコンパクトな凸集合として定義される。B がn-次元ユークリッド空間の中の中心対称な凸体であれば、偏極体(英語版)(polar body) B は、同じ空間の中でもうひとつの中心対称体となり、次の集合として定義される。
{ x ∣ x ⋅ y ≤ 1 for all y ∈ B } . {\displaystyle \left\{x\mid x\cdot y\leq 1{\text{ for all }}y\in B\right\}.}
B のマーラー体積は、B の体積と B の体積の積である。
T が線型変換であれば、 ( T B ) ∘ = ( T − 1 ) ∗ B ∘ {\displaystyle (TB)^{\circ }=(T^{-1})^{\ast }B^{\circ }} である。従って、T によって B の体積は det T {\displaystyle \det T} 倍変化し、B の体積は det ( T − 1 ) ∗ {\displaystyle \det(T^{-1})^{\ast }} 倍変化するので、B のマーラー測度全体は線型変換により保存される。