単調写像
部分集合 I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} } で定義された関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} を考える。
等号の成り立つ場合の扱いは書籍によりさまざまで、統一が取れていない。
特に、定義域全体で増加/減少である関数を、増加関数/減少関数という。増加関数と減少関数をまとめて単調関数という。
関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が常に可微分な場合、単調性の概念は f ( x ) {\displaystyle f(x)} の導関数 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} によって特徴づける事ができる。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が広義増加になるのは f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} が常に非負な事と同値であり、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が広義減少になるのは f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} が常に非正な事と同値である。 更に f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} の零点が存在しない場合、狭義の単調性が言える。
同様に、引数 x が大きくなるにつれて関数値 f(x) が常に小さくなることを減少(げんしょう、英: decreasing )または単調減少 (たんちょうげんしょう、英: monotonically decreasing function)といい、そのような性質を持つ関数を減少関数(げんしょうかんすう、英: decreasing function )または単調減少関数 (たんちょうげんしょうかんすう、英: monotonically decreasing function)と呼ぶ。ある関数が増加または減少する性質をまとめて単調性(たんちょうせい、英: monotonicity)と呼ぶ。単調性を満たす写像を単調写像と呼ぶ。
連続な増加関数 f(x) を縦軸、その引数 x を横軸にとったグラフ上の曲線は常に右上りで、右下がりになっている部分がない。逆に減少関数の場合には、常に右下がりであり右上がりの部分がない。