リース函数
{\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {\rm {Riesz(x)}}{x}}+x\left(-{\frac {90}{\pi ^{4}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)\right).}
マレク・ウォルフは において、リーマン予想を想定しながら、十分大きな x に対して次の式を示している:
R i e s z ( x ) = c o n s t × x 1 / 4 sin  ( φ − 1 2 γ 1 log  ( x ) ) . {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=const\times x^{1/4}\sin \left(\phi -{\frac {1}{2}}\gamma _{1}\log(x)\right).}
ここで γ 1 = 14.13472514... {\displaystyle \gamma _{1}=14.13472514...} はゼータ函数のはじめの非自明なゼロ点の虚部である。また c o n s t = 7.7750627... × 10 − 5 {\displaystyle const=7.7750627...\times 10^{-5}} および φ = − 0.54916... = ( − 31 , 46447 ∘ ) {\displaystyle \phi =-0.54916...=(-31,46447^{\circ })} である。これは Herbert Wilf によって 1964 年に証明された リース函数のゼロ点と一致する。