複素線積分
余談ではあるが、他の特異点 −i を囲む半円を取らなかったことについて疑問が生じ得る。正しい向きに動いて実軸に沿って積分するには、その積分路は時計回り、つまり負の方向にまわらなければならず、積分全体の符号が逆になる。
これは級数による留数の手法の使用に影響しない。
および
( 1 z 3 ( 3 − 1 z ) ) 1 4 = 1 z ( 3 z − 1 ) 1 4 = 1 z exp  ( π i 4 ) ( 1 − 3 z ) 1 4 {\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}\exp({\tfrac {\pi i}{4}})(1-3z)^{\frac {1}{4}}}
を得る。ここで、2番目の対数関数の枝について −1 = e であることを用いた。
更に二項展開から、
1 z exp  ( π i 4 ) ( 1 − ( 1 4 1 ) 3 z + ( 1 4 2 ) 3 2 z 2 − ( 1 4 3 ) 3 3 z 3 + ⋯ ) {\displaystyle {\frac {1}{z}}\exp({\tfrac {\pi i}{4}})\left(1-{{\frac {1}{4}} \choose 1}3z+{{\frac {1}{4}} \choose 2}3^{2}z^{2}-{{\frac {1}{4}} \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right)}
を得る。結論として、留数
− 4 3 i [ ∮ C 1 z ( z + 3 i ) ( z − 3 i ) ( z + i 3 ) z − i 3 d z + ∮ C 2 z ( z + 3 i ) ( z − 3 i ) ( z − i 3 ) z + i 3 d z ] = − 4 3 i [ 2 π i ( z ( z + 3 i ) ( z − 3 i ) ( z + i 3 ) ) | z = i 3 + 2 π i ( z ( z + 3 i ) ( z − 3 i ) ( z − i 3 ) ) | z = − i 3 ] = 8 π 3 [ i 3 ( i 3 + 3 i ) ( i 3 − 3 i ) ( i 3 + i 3 ) + − i 3 ( − i 3 + 3 i ) ( − i 3 − 3 i ) ( − i 3 − i 3 ) ] = 8 π 3 [ i 3 ( 4 3 i ) ( − 2 i 3 ) ( 2 3 i ) + − i 3 ( 2 3 i ) ( − 4 3 i ) ( − 2 3 i ) ] = 8 π 3 [ i 3 i ( 4 3 ) ( 2 3 ) ( 2 3 ) + − i 3 − i ( 2 3 ) ( 4 3 ) ( 2 3 ) ] = 8 π 3 [ 1 3 ( 4 3 ) ( 2 3 ) ( 2 3 ) + 1 3 ( 2 3 ) ( 4 3 ) ( 2 3 ) ] = 8 π 3 [ 1 3 16 3 3 + 1 3 16 3 3 ] = 8 π 3 [ 3 16 + 3 16 ] = π .