コンパクト作用素
以下、X, Y, Z, W はバナッハ空間であるとし、B(X, Y) を X から Y への有界作用素全体が作用素ノルムに関して成すバナッハ空間、K(X, Y) を X から Y へのコンパクト作用素全体の成す空間、B(X) = B(X, X), K(X) = K(X, X), idX は X 上の恒等作用素とする。
K(X, Y) は B(X, Y) の閉部分空間である。Tn (n ∈ N) をバナッハ空間から別のバナッハ空間へのコンパクト作用素の列とし、 Tn が作用素ノルムに関して T へ収束するものと仮定すると、T は再びコンパクトである。
作用素の合成に関して B ( Y , Z ) ∘ K ( X , Y ) ∘ B ( W , X ) ⊆ K ( W , Z ) {\displaystyle \mathrm {B} (Y,Z)\circ \mathrm {K} (X,Y)\circ \mathrm {B} (W,X)\subseteq \mathrm {K} (W,Z)} が成立する。特に K(X) は B(X) の両側作用素イデアルを成す。
idX は X が有限次元であるとき、かつそのときに限りコンパクトである。
任意の T ∈ K(X) に対し idX − T は指数 0 のフレドホルム作用素である。特に、im(idX − T) は閉である。これはコンパクト作用素のスペクトル特性の発展において本質的である。この性質と、M, N がバナッハ空間の部分空間で、M が閉、N が有限次元のとき M + N もまた閉となるという事実との類似性を指摘するものもいる。