複比
(z, z2; z3, z4)は(f(z), 1; 0, ∞)に等しくなければならず、これはf(z)に等しいため、次の式が得られる。
f ( z ) = ( z , z 2 ; z 3 , z 4 ) . {\displaystyle f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).}
複比の不変性の別の説明は、直線の射影変換の群が平行移動、相似性、乗法的反転によって生成されるという事実に基づいている。差zj − zkは、基礎体Fの定数aに対する平行移動、
z ↦ z + a {\displaystyle z\mapsto z+a}
の下で不変である。また、分割比はFの非ゼロ定数bに対する相似変換、
z ↦ b z {\displaystyle z\mapsto bz}
の下で不変である。したがって、複比はアフィン変換の下で不変である。
well-definedな反転マッピング
T : z ↦ z − 1 , {\displaystyle T:z\mapsto z^{-1},}
を得るために、アフィン線は、射影線P(F) を形成する ∞ で示される無限遠の点によって拡張される必要がある。各アフィン写像 f : F → F は、点を無限遠に固定するP(F) のそれ自体への写像に一意に拡張できる。写像Tは 0 と ∞ を交換する。射影群はTによって生成され、アフィン写像はP(F) に拡張される。 F = C 、すなわち複素平面の場合、これはメビウス群になる。複比もTの下で不変であるため、P(F)のそれ自体への射影写像の下で不変である。
複素数点をベクトル x → n = [ R ( z n ) , I ( z n ) ] T {\displaystyle {\overrightarrow {x}}_{n}=[\Re (z_{n}),\Im (z_{n})]^{\rm {T}}} として書き、 x n m = x n − x m {\displaystyle x_{nm}=x_{n}-x_{m}} と定義し、 a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} の内積を ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} と表記するとき、複比の実部は次の式で与えられます。
C 1 = ( x 12 , x 14 ) ( x 23 , x 34 ) − ( x 12 , x 34 ) ( x 14 , x 23 ) + ( x 12 , x 23 ) ( x 14 , x 34 ) | x 23 | 2 | x 14 | 2 {\displaystyle C_{1}={\frac {(x_{12},x_{14})(x_{23},x_{34})-(x_{12},x_{34})(x_{14},x_{23})+(x_{12},x_{23})(x_{14},x_{34})}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}