熱的残存粒子
時刻 x f ≲ 1 {\displaystyle x_{f}\lesssim 1} にこの粒子が脱結合したとすると、それ以降 Y ( x ) = n χ ( x ) / s ( x ) {\displaystyle Y(x)=n_{\chi }(x)/s(x)} は近似的に保存する(これを「凍結 (freeze out)」と表現する)。そこで現在の宇宙での値と脱結合の瞬間での値を等置する。
n χ ( x f ) s ( x f ) = n χ 0 s 0 {\displaystyle {\frac {n_{\chi }(x_{f})}{s(x_{f})}}={\frac {n_{\chi 0}}{s_{0}}}}
相対論的な粒子の数密度の表式 n χ = g χ ′ ζ ( 3 ) k B 3 π 2 ħ 3 c 3 T 3 {\displaystyle n_{\chi }=g'_{\chi }{\frac {\zeta (3)k_{\mathrm {B} }^{3}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}} およびエントロピー密度の表式 s ( x ) = g ∗ S ( x ) 2 π 2 k B 4 45 ħ 3 c 3 T 3 {\displaystyle s(x)=g_{*S}(x){\frac {2\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{4}}{45\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}} を代入すると、左辺の値は Y f := 45 ζ ( 3 ) 2 π 4 k B g χ ′ g ∗ S ( x f ) {\displaystyle Y_{f}:={\frac {45\zeta (3)}{2\pi ^{4}k_{\mathrm {B} }}}{\frac {g'_{\chi }}{g_{*S}(x_{f})}}} と評価される。
と表示できる。この場合の最終的な粒子 χ {\displaystyle \chi } の存在量は Y {\displaystyle Y} に関する方程式を数値的に解くことによって求められる。
しばしば ⟨ σ v ⟩ {\displaystyle \langle \sigma v\rangle } が温度のべき乗の依存性を持つと仮定される: ⟨ σ v ⟩ ∝ T n {\displaystyle \langle \sigma v\rangle \propto T^{n}} 。この場合、定数 λ {\displaystyle \lambda } を
λ := s H ⟨ σ v ⟩ | x = 1 {\displaystyle \lambda :=\left.{\frac {s}{H}}\langle \sigma v\rangle \right|_{x=1}}
により定義すると、 Y {\displaystyle Y} に関する方程式は
d Y d x = − λ x n + 2 [ Y 2 − Y E Q 2 ] {\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=-{\frac {\lambda }{x^{n+2}}}\left[Y^{2}-Y_{\mathrm {EQ} }^{2}\right]}
なお右辺の ⟨ σ v ⟩ {\displaystyle \langle \sigma v\rangle } は対消滅断面積と速度の積を熱平均したものであり、 n χ E Q {\displaystyle n_{\chi }^{\mathrm {EQ} }} は熱平衡時の数密度
n χ E Q = g χ ∫ 1 e β ε p ∓ 1 d 3 p ( 2 π ħ ) 3 = g χ ζ ( 3 ) k B 3 π 2 ħ 3 c 3 T 3 × 1 2 ζ ( 3 ) ∫ 0 ∞ y 2 exp  x 2 + y 2 ∓ 1 d y {\displaystyle n_{\chi }^{\mathrm {EQ} }=g_{\chi }\int {\frac {1}{e^{\beta \varepsilon _{\mathbf {p} }}\mp 1}}{\frac {d^{3}p}{(2\pi \hbar )^{3}}}=g_{\chi }{\frac {\zeta (3)k_{\mathrm {B} }^{3}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}\times {\frac {1}{2\zeta (3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2}}{\exp {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\mp 1}}dy}
である。