ベイジアンゲーム
利得関数は戦略プロファイルとタイププロファイルの2変数関数である。プレーヤーが利得関数 U ( x , y ) {\displaystyle U(x,y)} をもち、そのタイプが t {\displaystyle t} であるならば、このプレーヤーが受けとる利得は U ( x ∗ , t ) {\displaystyle U(x^{*},t)} となる。ここに x ∗ {\displaystyle x^{*}} はゲームでとられる戦略プロファイル (戦略の組)。
そのようなゲームの形式的な定義は次のようになるだろう:
ゲームは G = ⟨ N , Ω , ⟨ A i , u i , T i , τ i , p i , C i ⟩ i ∈ N ⟩ {\displaystyle G=\langle N,\Omega ,\langle A_{i},u_{i},T_{i},\tau _{i},p_{i},C_{i}\rangle _{i\in N}\rangle } で定められる。ここに、
N {\displaystyle N} はプレーヤーの集合;
Ω {\displaystyle \Omega } は自然の状態の集合、たとえばカードゲームではカードの任意の並び順;
A i {\displaystyle A_{i}} はプレーヤー i {\displaystyle i} の行動集合で、 A = A 1 × A 2 × ⋯ × A N {\displaystyle A=A_{1}\times A_{2}\times \cdots \times A_{N}} とする;
T i {\displaystyle T_{i}} はプレーヤー i {\displaystyle i} のタイプ集合で、関数 τ i : Ω → T i {\displaystyle \tau _{i}:\Omega \to T_{i}} によって決定される。自然の各状態について、ゲームでプレーヤーは異なるタイプをもつ。プレーヤーたちの帰結はタイプを決定するものである。同じ帰結をもつプレーヤーは同じタイプに属する;
C i ⊆ A i × T i {\displaystyle C_{i}\subseteq A_{i}\times T_{i}} は、プレーヤー i {\displaystyle i} の T i {\displaystyle T_{i}} に属するタイプがとりうる行動を定める;
u i : Ω × A → R {\displaystyle u_{i}:\Omega \times A\to R} はプレーヤー i {\displaystyle i} の利得関数。より形式的には、 L = { ( ω , a 1 , ...
完全ベイズ均衡とは、戦略プロファイルと信念の体系であって、戦略が信念の体系を所与として逐次合理的であり、信念の体系が戦略プロファイルを所与として到達しうるすべての部分で整合的であるものをいう。
「到達しうるすべての部分で」という句を明記することは必要である。なぜならば、戦略プロファイルを所与としたときある情報集合は到達不可能かもしれないが、そのときにはその集合のなかの点について確率を計算するさいにベイズルールを用いることができないからである。このような情報集合は均衡経路外 (off the equilibrium path) といわれ、どんな信念も割りあてうる。より強い整合性の概念では、経路外の情報集合についても「合理的」であるようにさらなる制約が課される。