ケーニヒの定理 (集合論)
選択公理は"任意の空でない集合の直積は空でない"という命題とも言える。 I の要素i に対し Biを空でない集合、Ai = {}とする。 ケーニヒの定理から、:
∀ i ∈ I ( { } < B i ) {\displaystyle \forall i\in I(\{\}<B_{i})} ならば { } < ∏ i ∈ I B i . {\displaystyle \{\}<\prod _{i\in I}B_{i}.}
となる。すなわち、与えられた空でない集合Biの直積は空集合の和より大きい濃度を持ち、空でないから、これは選択公理の主張に他ならない。 つまり、ケーニヒの定理から選択公理が導かれる。ケーニヒの定理からの帰結について議論するときは暗黙の内に、選択公理を仮定することになる。