概複素構造
複素多様体はすべて概複素多様体である。局所正則座標 z μ = x μ + i y μ {\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }} において、次の写像を定義できるからである。
J ∂ ∂ x μ = ∂ ∂ y μ J ∂ ∂ y μ = − ∂ ∂ x μ {\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}
(ここで π/2 は反時計まわりの回転とする) あるいは、
J ∂ ∂ z μ = i ∂ ∂ z μ J ∂ ∂ z ̄ μ = − i ∂ ∂ z ̄ μ . {\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}
この写像が概複素構造を定義することは容易にチェックできる。
数学における多様体の概複素構造(がいふくそこうぞう、almost complex structure)は、多様体の各点での接ベクトル空間が(滑らかな)複素構造を持つことを言う。1つの多様体に対して複数の概複素構造が入る場合がある。また、複素解析的多様体は必ず概複素構造をもつ一方で、概複素構造を持ちながら複素解析的多様体とならないものが存在する。概複素多様体はシンプレクティック幾何学に重要な応用を持つ。
この概念は、1940年代のチャールズ・エーレスマン(英語版)(Charles Ehresmann)とハインツ・ホップ(英語版)(Heinz Hopf)による。