外微分
任意のリーマン多様体上、標準的なベクトル解析の演算子は座標によらない (coordinate-free) 表記で次のように書くことができる:
grad  ( f ) = ∇ f = ( d f ) ♯ div  ( F ) = ∇ ⋅ F = ⋆  d ⋆  ( F ♭ ) curl  ( F ) = ∇ × F = [ ⋆  ( d F ♭ ) ] ♯ , Δ f = ∇ 2 f = ⋆  d ⋆  d f {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\operatorname {grad} (f)&{}=\nabla f&&{}=(\mathrm {d} f)^{\sharp }\\\operatorname {div} (F)&{}=\nabla \cdot F&&{}=\operatorname {\star } \mathrm {d} \operatorname {\star } (F^{\flat })\\\operatorname {curl} (F)&{}=\nabla \times F&&{}=[\operatorname {\star } (\mathrm {d} F^{\flat })]^{\sharp },\\\Delta f&{}=\nabla ^{2}f&&{}=\operatorname {\star } \mathrm {d} \operatorname {\star } \mathrm {d} f\end{alignedat}}}
R 上のベクトル場 V もまた対応する 1-形式
η V = v 1 d x 1 + v 2 d x 2 + ⋯ + v n d x n {\displaystyle \eta _{V}=v_{1}\,\mathrm {d} x^{1}+v_{2}\,\mathrm {d} x^{2}+\cdots +v_{n}\,\mathrm {d} x^{n}}
をもつ。局所的には、ηV は V とのドット積である。ある道に沿った ηV の積分はその道に沿って −V に逆らってされた仕事である。
n = 3 のとき、三次元空間において、1-形式 ηV の外微分は 2-形式
d η V = ω curl  ( V ) {\displaystyle \mathrm {d} \eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} (V)}}
である。