ピタゴラスの定理
この定理には数百通りもの異なる証明がある。
∠C = 90° のとき、斜辺AB を直径とする円O を描くことができる。
このとき点C から直径AB に下ろした垂線の足を H とし、△CHO に対して三平方の定理を証明する。OA = OB = OC = c, CH = a, OH = b とする。
△AHC ∽ △BHC なので、
HA : HC = HC : HB
(OA − OH) : HC = HC : (OB + OH)
(c − b) : a = a : (c + b)
c − b = a
∴ a + b = c ◾️
もしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。
sin 2  θ = ( e i θ − e − i θ 2 i ) 2 = e 2 i θ + e − 2 i θ − 2 − 4 = 1 − cos  2 θ 2 , cos 2  θ = ( e i θ + e − i θ 2 ) 2 = e 2 i θ + e − 2 i θ + 2 4 = 1 + cos  2 θ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\theta &=\left({\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\right)^{2}\\&={\frac {e^{2i\theta }+e^{-2i\theta }-2}{-4}}\\&={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\ ,\\\cos ^{2}\theta &=\left({\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {e^{2i\theta }+e^{-2i\theta }+2}{4}}\\&={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\ .\end{aligned}}}