順序統計量
一様分布での結果の応用として、一般の分布の n 個の標本抽出における k 個目の順序統計量 X(k) の分布を考える。X(k) の累積分布関数 FX(k) に対し、 fX(k)が対応する確率密度関数とする。このとき、一様分布への変数変換
U ( k ) = F X ( k ) ( x ) {\displaystyle U_{(k)}=F_{X(k)}(x)}
を行い、fX(k) に前述の一様分布におけるfU(k) (u) の結果を代入すれば、次の確率密度関数が導かれる。
f X ( k ) ( x ) d x = n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! [ F X ( x ) ] k − 1 [ 1 − F X ( x ) ] n − k f X ( x ) d x {\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)~dx={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}f_{X}(x)~dx}
同様に2つの累積分布関数 FX(j)、FX(k) に対し、 fX(j)、fX(k)が対応する確率密度関数とする。このとき、一様分布への変数変換
U ( j ) = F X ( j ) ( x ) , U ( k ) = F X ( k ) ( y ) {\displaystyle U_{(j)}=F_{X(j)}(x),\quad U_{(k)}=F_{X(k)}(y)}
を行い、fX(i),X(j)に先ほどの一様分布における同時確率分布fU(i),U(j)(u, v)の結果を代入すれば、次式を得る。