シンプソンの公式
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}
シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、a と b の間にある ξ によって、次式で見積もれる(h の5次式)。
− h 5 90 f ( 4 ) ( ξ ) {\displaystyle -{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )}
ただし、h = (b − a)/2。さらに f ( x ) {\displaystyle f(x)} が2回微分可能で f ′′ {\displaystyle f''} が凸関数であるとき、定積分は次の下限と上限とで抑えられる。
( b − a ) f ( a + b 2 ) + 1 3 h 3 f ′′ ( a + b 2 ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] . {\displaystyle (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+{\frac {1}{3}}h^{3}f''\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}
. . , n ) {\displaystyle (i=0,...,n)} 、特に、 x 0 = a , {\displaystyle x_{0}=a,\ } x n = b {\displaystyle x_{n}=b} 。この式は、次のようにも書ける。
∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 [ f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + ⋯ + 4 f ( x n − 1 ) + f ( x n ) ] . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+\dotsb +4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}.}
合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で見積もることができる。
− h 4 180 ( b − a ) f ( 4 ) ( ξ ) . {\displaystyle -{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi ).}