コーシー・リーマンの方程式
z = x + iyとすると、複素関数 f(z) = zは z 平面上の全ての点で微分可能である。
f ( z ) = ( x + i y ) 2 = x 2 − y 2 + 2 i x y {\displaystyle f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}
このとき、f(z) の実部 u と虚部 v は
u ( x , y ) = x 2 − y 2 , v ( x , y ) = 2 x y . {\displaystyle u(x,y)=x^{2}-y^{2},\ \ v(x,y)=2xy.}
偏導関数は次のようになる。
∂ u ∂ x = 2 x , ∂ u ∂ y = − 2 y , ∂ v ∂ x = 2 y , ∂ v ∂ y = 2 x . {\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}=2x,\ \ {\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-2y,\ \ {\dfrac {\partial v}{\partial x}}=2y,\ \ {\dfrac {\partial v}{\partial y}}=2x.