正準変換
Gとして、ハミルトニアンH(q, p, t)をとれば、
δ q i = ε ∂ H ( q , p , t ) ∂ p i = ε q ̇ i {\displaystyle \delta q_{i}=\epsilon {\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial p_{i}}}=\epsilon {\dot {q}}_{i}}
δ q i = − ε ∂ H ( q , p , t ) ∂ q i = ε p ̇ i {\displaystyle \delta q_{i}=-\epsilon {\frac {\partial H(q,p,t)}{\partial q_{i}}}=\epsilon {\dot {p}}_{i}}
であるから、正準変換は
Q i = q i ( t ) + δ q i = q i ( t + ε ) {\displaystyle Q_{i}=q_{i}(t)+\delta q_{i}=q_{i}(t+\epsilon )}
P i = p i ( t ) + δ p i = p i ( t + ε ) {\displaystyle P_{i}=p_{i}(t)+\delta p_{i}=p_{i}(t+\epsilon )}
となる。すなわち、微小時間εにおける時間発展は、ハミルトニアンによる微小正準変換となる。有限時間での時間発展は、微小時間における時間発展を繰り返し合成することで得られる。正準変換の合成も正準変換であるため、(q, p)の時間発展は、正準変換の特別な例となっている。