リー環の拡大
任意の中心拡大は 2-コサイクル φ から来るから,任意の 2-コサイクルがコバウンダリであることを示せばよい.φ を g 上の 2-コサイクルとする.やるべきはこの 2-コサイクルを用いて φ = δf なる 1-コチェイン f を作り出すことである.
最初の段階は各 GG1 ∈ g に対して φ を用いて線型写像 ρG1: g → F を定義することである.しかし線型写像は g の元である.同型 ν を用いて φ を K のことばで書けば十分である.次に,導分であると判明する線型写像 d: g → g が定義される.すべての導分は内部だから,ある Gd ∈ g に対して d = adGd である.K と d による φ の表示が得られた.したがって,d が導分であることを信じて,次のようにおく: φ ( G 1 , G 2 ) ≡ ρ G 1 ( G 2 ) = K ( ν − 1 ( ρ G 1 ) , G 2 ) ≡ K ( d ( G 1 ) , G 2 ) = K ( a d G d ( G 1 ) , G 2 ) = K ( [ G d , G 1 ] , G 2 ) = K ( G d , [ G 1 , G 2 ] ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (G_{1},G_{2})&\equiv \rho _{G_{1}}(G_{2})=K(\nu ^{-1}(\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2})\\&=K(\mathrm {ad} _{G_{d}}(G_{1}),G_{2})=K([G_{d},G_{1}],G_{2})=K(G_{d},[G_{1},G_{2}]).\end{aligned}}}
f を f ( G ) = K ( G d , G ) {\displaystyle f(G)=K(G_{d},G)}
で定義された 1-コチェインとする.すると δ f ( G 1 , G 2 ) = f ( [ G 1 , G 2 ] ) = K ( G d , [ G 1 , G 2 ] ) = φ ( G 1 , G 2 ) {\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}])=K(G_{d},[G_{1},G_{2}])=\varphi (G_{1},G_{2})}
であり,φ はコバウンダリである.前の結果により,任意の中心拡大は自明である.
d が実際に導分であることを確かめるには,まず,それは ν が線型だから線型であることに注意して,次を計算する:
K ( d ( [ G 1 , G 2 ] ) , G 3 ) ) = φ ( [ G 1 , G 2 ] ) , G 3 ) ) = φ ( G 1 , [ G 2 , G 3 ] ) + φ ( G 2 , [ G 3 , G 1 ] ) = K ( d ( G 1 ) , [ G 2 , G 3 ] ) + K ( d ( G 1 ) , ( G 3 , G 1 ) ) = K ( [ d ( G 1 ) , G 2 ] , G 3 ) + K ( [ G 1 , d ( G 2 ) ] , G 3 ) ) = K ( [ d ( G 1 ) , G 2 ] + [ G 1 , d ( G 2 ) ] , G 3 ) .
定義性質は言い換えられる.リー環 e が g の h による拡大であるとは,
が完全であることをいう.ここで両端の 0 は(零ベクトル 0 のみからなる)零リー環を表し,写像は明らかなものである,つまり,ι は 0 を 0 に写し,σ は g のすべての元を 0 に写す.この定義では,i が単射で s が全射であることは自動的に従う.
g の h による拡大は一意とは限らない.e, e′ を2つの拡大とし,以下プライムは明らかな意味で用いる.このとき,リー環の同型 f: e → e′ であって
f ∘ i = i ′ , s ′ ∘ f = s {\displaystyle f\circ i=i',\quad s'\circ f=s}
なるものが存在するとき,拡大 e と e′ は同値な拡大であるといわれる.拡大の同値性は同値関係である.
中心はすべてと可換だから,この場合 h ≅ im i = ker s は可換である.
g の中心拡大 e が与えられると,g 上の 2-コサイクルを構成できる.e を g の h による中心拡大とする.l を g から e への線型写像であって s ∘ l = Idg という性質を持つもの,すなわち s のセクションとする.このセクションを用いて ε: g × g → e を次で定義する:
ε ( G 1 , G 2 ) = l ( [ G 1 , G 2 ] ) − [ l ( G 1 ) , l ( G 2 ) ] , G 1 , G 2 ∈ g . {\displaystyle \epsilon (G_{1},G_{2})=l([G_{1},G_{2}])-[l(G_{1}),l(G_{2})],\quad G_{1},G_{2}\in {\mathfrak {g}}.}
写像 ε は ε ( G 1 , [ G 2 , G 3 ] ) + ε ( G 2 , [ G 3 , G 1 ] ) + ε ( G 3 , [ G 1 , G 2 ] ) = 0 ∈ e {\displaystyle \epsilon (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\epsilon (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\epsilon (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0\in {\mathfrak {e}}}
{\displaystyle [T_{a}^{m},T_{b}^{n}]=i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{m+n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C.}
Define using elements of g,
J a ( x ) = ħ L ∑ n = − ∞ ∞ e 2 π i n x L T a − n , x ∈ R . {\displaystyle J_{a}(x)={\frac {\hbar }{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},x\in \mathbb {R} .}
One notes that
J a ( x + L ) = J a ( x ) {\displaystyle J_{a}(x+L)=J_{a}(x)}
so that it is defined on a circle. Now compute the commutator,
[ J a ( x ) , J b ( y ) ] = ( ħ L ) 2 [ ∑ n = − ∞ ∞ e 2 π i n x L T a − n , ∑ m = − ∞ ∞ e 2 π i m y L T b − m ] = ( ħ L ) 2 ∑ m , n = − ∞ ∞ e 2 π i n x L e 2 π i m y L [ T a − n , T b − m ] .
↑ オットー・シュライアー (1901– 1929) は群の拡大の理論の開拓者である.彼の豊富な研究論文とともにレクチャーノートは死後 Einführung in die analytische Geometrie und Algebra (Vol I 1931, Vol II 1935) の名で(Emanuel Sperner(英語版)により編集され)出版された.後に1951年に英語に Introduction to Modern Algebra and Matrix Theory において翻訳された.さらなる文献は MacTutor 2015 を参照.
↑ ヤコビ恒等式が成り立つことを示すには,one writes everything out, uses the fact that the underlying Lie algebras have a Lie product satisfying the Jacobi identity, and that δ[X, Y] = [δ(X), Y] + [X, δ(Y)].
1 2 Roughly, the whole Lie algebra is multiplied by i, there is an i occurring in the definition of the structure constants and the exponent in the exponential map (Lie theory) acquires a factor of (minus) i.
∂ P μ τ ∂ τ + ∂ P μ σ ∂ σ = 0 , P μ τ = − T 0 c ( X ̇ ⋅ X ′ ) X μ ′ − ( X ′ ) 2 X ̇ μ ( X ̇ ⋅ X ′ ) 2 − ( X ̇ ) 2 ( X ′ ) 2 , P μ σ = − T 0 c ( X ̇ ⋅ X ′ ) X μ ′ − ( X ̇ ) 2 X μ ′ ( X ̇ ⋅ X ′ ) 2 − ( X ̇ ) 2 ( X ′ ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }}{\partial \tau }}+{\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }}{\partial \sigma }}=0,\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }&=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-(X')^{2}{\dot {X}}_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}},\\{\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }&=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-({\dot {X}})^{2}X'_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}}.\end{aligned}}}
リー環の拡大は短完全列を用いて定式化される.短完全列とは,長さ3の完全列
であって,i が単射で,s が全射で,ker s = im i なるものである.完全列のこれらの性質から,h(の像)が e のイデアルであることが従う.さらに,
g ≅ e / Im  i = e / Ker  s {\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {e}}/\operatorname {Im} i={\mathfrak {e}}/\operatorname {Ker} s}
であるが,g が e の部分環に同型であるとは限らない.この構成は群の拡大という密接に関連した概念における類似の構成を反映している.
同じ体上のリー環に対して完全列 (1) が成り立っているとき,e は g の h による拡大であるという.
さてリー対応を利用しよう.写像 Φg: H → H, g ∈ G はそれぞれ,リー環のレベルで,写像 Ψg: h → h を誘導する.この写像は
によって計算される.例えば,G と H がともに大きい群 E の部分群であり,Φg = ghg であるとき,
であり,Ψ を E の h 上の随伴作用 Ad を G に制限したものと認識する.さて Ψ: G → Aut h [ ⊂ GL(h) if h is finite-dimensional] は準同型であり,もう1度リー対応に訴え,一意的なリー環準同型 ψ: g → Lie(Aut h) = Der h ⊂ gl(h) が存在する.この写像は(形式的には)
で与えられ,例えば,Ψ = Ad ならば,(形式的には)
である,ただし Ad と随伴作用 ad とのここ(英語版)で厳密に証明されている関係が使われている.
Because of the continuum of operators, and because of the delta functions, it is desirable to express these relations instead in terms of the quantized versions of the Virasoro modes, the Virasoro operators. These are calculated to satisfy
[ α m I , α n J ] = m η I J δ m + n , 0 {\displaystyle [\alpha _{m}^{I},\alpha _{n}^{J}]=m\eta ^{IJ}\delta _{m+n,0}}
They are interpreted as creation and annihilation operators acting on Hilbert space, increasing or decreasing the quantum of their respective modes. If the index is negative, the operator is a creation operator, otherwise it is an annihilation operator. (If it is zero, it is proportional to the total momentum operator.
η 0 n ′ = φ ′ ( d 0 , d n ) = φ ( d 0 , d n ) + δ f ( [ d 0 , d n ] ) = φ ( d 0 , d n ) − n η 0 n n = 0 {\displaystyle \eta '_{0n}=\varphi '(d_{0},d_{n})=\varphi (d_{0},d_{n})+\delta f([d_{0},d_{n}])=\varphi (d_{0},d_{n})-n{\frac {\eta ^{0n}}{n}}=0}
であるので,前のと同値なこの 2-コサイクルにより,
[ d 0 + μ C , d m + ν C ] φ ′ = − m d m {\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi '}=-md_{m}}
が成り立つ.この新しい 2-コサイクルにより(プライムは外して)条件は
( n + p ) η m p = ( n − p ) η m + p , 0 = 0 {\displaystyle (n+p)\eta _{mp}=(n-p)\eta _{m+p,0}=0}
となり,したがって
η m p = a ( m ) δ m . − p , a ( − m ) = − a ( m ) {\displaystyle \eta _{mp}=a(m)\delta _{m.-p},\quad a(-m)=-a(m)}
である,ただし最後の条件はリーブラケットの反対称性による.
ある 2-コサイクルは 1-コチェインから得ることができる.g 上の 1-コチェインは単に線型写像 f: g → F である.すべてのそのような写像の集合は C(g, F) と書かれ,もちろん(少なくとも有限次元の場合には)C(g, F) ≅ g* である.1-コチェイン f を用いて,2-コサイクル δf が
δ f ( G 1 , G 2 ) = f ( [ G 1 , G 2 ] ) {\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}])}
によって定義できる.交代性は直ちに分かり,2-コサイクルのヤコビ律は(通常どおり)それを書き出して材料の定義と性質(ここでは g 上のヤコビ律と f の線型性)を用いて示される.線型写像
δ: C(g, F) → Z(g, F)
は(ここでは C(g, F) に制限されているが)コバウンダリ作用素と呼ばれる.
C(g, F) の δ による像を B(g, F) と書く.商
H 2 ( g , F ) = Z 2 ( g , F ) / B 2 ( g , F ) {\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )=Z^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )/B^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )}
は g の第二コホモロジー群と呼ばれる.H(g, F) の元は 2-コサイクルの同値類であり,二つの 2-コサイクル φ1, φ2 が同値なコサイクルであるとは,それらの差が 2-コバウンダリであること,すなわち φ1 = φ2 + δf となる f ∈ C(g, F) があることをいう.同値な 2-コサイクルはコホモロガス (cohomologous) と呼ばれる.φ ∈ Z(g, F) の同値類は [φ] ∈ H と書かれる.
これらの概念はいくつかの方向に一般化される.各記事を参照.