合同ゼータ関数
有限体 F = Fq が与えられたとき、自然数 k = 1, 2, ... に対し、拡大次数が [ Fk : F ] = k である体 Fk = Fq が同型を除き一意に存在する。F 上の多項式からなる方程式系、あるいは、代数多様体 V が与えられると、Fk における解の数 Nk を数えることができ、その生成母関数
G ( t ) = N 1 t + N 2 t 2 / 2 + N 3 t 3 / 3 + ⋯ {\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\dotsb }
を作ることができる。
局所ゼータ関数 Z(t) の定義は、log Z が G に等しくなるようにする。つまり、
Z ( t ) = exp  ( G ( t ) ) {\displaystyle Z(t)=\exp(G(t))}
とする。
G(0) = 0 だから Z(0) = 1 である。また、Z(t) はア・プリオリに形式的冪級数である。
Z(t) の対数微分
Z ′ ( t ) / Z ( t ) {\displaystyle Z'(t)/Z(t)}
は、生成母関数 G(t) の微分
G ′ ( t ) = N 1 + N 2 t 1 + N 3 t 2 + ⋯ {\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\dotsb }
に等しい。