アイゼンシュタイン整数
アイゼンシュタイン整数環は素元分解整域である。すなわち、大雑把に述べると
「任意のアイゼンシュタイン整数はアイゼンシュタイン素数の積として一意に表すことができる」
ただし、この「一意」は適切に解釈されなければならず、順序を入れ替えただけの分解や、アイゼンシュタイン素数が同伴の違いしかないものは同一視する。
実際、アイゼンシュタイン整数環はユークリッド整域であり、よって一般の環論より単項イデアル整域、さらには素元分解整域であることが従う。Z[ω] がノルムに関してユークリッド整域であるとは、次の命題が成り立つことを意味する。
任意のアイゼンシュタイン整数 α, β (≠ 0) に対して α = βγ + δ かつ N(δ) < N(β) を満たすアイゼンシュタイン整数 γ, δ が存在する。
実際、複素数平面において α/β に最も近いアイゼンシュタイン整数 γ を取ると
| α β − γ | ≤ 1 3 < 1 {\displaystyle \left|{\frac {\alpha }{\beta }}-\gamma \right|\leq {\frac {1}{\sqrt {3}}}<1}
(中辺は一辺の長さが 1 の正三角形の重心から頂点への距離)であることから、N(α − βγ) < N(β) となるので、δ = α − βγ とおけばよい。