表現論
別なアプローチは、既約ではないすべてのユニタリ表現を考えることを意味している。これらは圏を構成し、淡中・クライン双対性(英語版)(Tannaka–Krein duality)は、ユニタリ表現のカテゴリからコンパクト群を再現する方法をもたらした。
群が可換でもコンパクトでもない場合に、アレクサンドル・グロタンディークが淡中・クライン双対性を線型代数群(linear algebraic group)と淡中圏の間の関係へ拡張したにもかかわらず、プランシュレルの定理やフーリエ変換に類似する一般論は知られていない。
調和解析は G 上の函数解析から G の等質空間(homogeneous space)上の函数へ拡張された。特に、この理論は対称空間(英語版)(symmetric space)に対して発展し、保型形式論をもたらした(以下に議論する)。
群の表現は、有限群の研究にとって非常に重要なツールである。有限群の表現は、有限群論を幾何学や結晶構造へ応用する中でも発生する。有限群の表現は、表現論の一般論の多くの面をもち、他の表現論の分野の方法やトピックスを反映している。
標数 0 の体上では、有限群 G の表現は、便利な性質を多く持つ。第一に、G の表現は半単純(完全可約)な性質を持ち、任意の G-表現 W の部分表現 V が G-不変な補完表現(compliment)を持つというマシュケの定理である。この定理を証明する方法は、W から V への射影 π を選び、次で定義される平均 πG と置き換えることである。
π G ( x ) = 1 | G | ∑ g ∈ G g ⋅ π ( g − 1 ⋅ x ) . {\displaystyle \pi _{G}(x)={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}g\cdot \pi (g^{-1}\cdot x).}
πG は同変であり、この写像の核が求めている補完表現である。
有限次元 G-表現は、指標理論(character theory)を使って理解することができる。表現 φ: G → GL(V) の指標は、次の式で定義される類函数 χφ: G → F である。
χ φ ( g ) = T r ( φ ( g ) ) .
V と W を F 上のベクトル空間とし、それぞれへの群 G の表現を φ と ψ とする。V から W への同変写像は、線型写像 α: V → W であり、G の任意の元 g と V の任意の元 v に対し、
α ( g ⋅ v ) = g ⋅ α ( v ) {\displaystyle \alpha (g\cdot v)=g\cdot \alpha (v)}
が成り立つ。このことを、写像 φ: G → GL(V) と ψ: G → GL(W) でいうと、G のすべての元 g に対し、
α ∘ φ ( g ) = ψ ( g ) ∘ α {\displaystyle \alpha \circ \phi (g)=\psi (g)\circ \alpha }
を意味する。
結合代数やリー代数の表現の同変写像も同様に定義される。α が可逆のときに、同型と呼ばれ、V と W(より詳細には、φ と ψ)は、同型表現(isomorphic representations)という。
同型表現は、すべての実際の目的に対し同一であり、表現される群や代数の同一な情報をもたらす。したがって、表現理論は同型を同一視して表現を分類する研究である。