増分定理
実函数 y = f(x) は x において微分可能とする(以下、f および x は固定する)。Δx が無限小超実数であるとき、Δx に対する y の増分を Δy ≔ f(x + Δx) − f(x) とすれば、Δx に対して適当な無限小 ε が存在して Δ y = f ′ ( x ) Δ x + ε Δ x {\displaystyle {\mathit {\Delta y}}=f'(x){\mathit {\Delta x}}+\varepsilon {\mathit {\Delta x}}} が成り立つようにできる。
ここで Δx ≠ 0 であるならば、両辺を Δx で割って
と書くことができるから、これは商 Δy⁄Δx が微分係数 f′(x) に無限に近いこと(Δy⁄Δx ≈ f′(x))を述べるものとみることができる。特に f′(x) は標準実数であるから、f′(x) は商 Δy⁄Δx の 標準成分(英語版)である: f′(x) = st(Δy⁄Δx)。