エルデシュ＝シュトラウス予想
古代エジプトのそれと同じように、整数 x、y、z が全て異なるという条件を付け加える研究者がいる一方で、それらが等しくてもかまわないとする研究者も存在する。n ≥ 3 の場合、同じ単位分数が含まれるような解はすべて相異なる項をもつものに変換できることが知られており、x、y、z が全て異なるかどうかは問題ではない。これは、2つの等しい単位分数が以下の2つの方法のどちらかによって置き換えることが可能だからである。
(得られる分数の分母が偶数か奇数かによって)この置き換えは、重複する分数がなくなるまで繰り返し実行できる。しかしながら、n = 2 の場合、4/2 = 1/2 + 1/2 + 1/1 およびそれを並びかえたもののみが解となる。
4/n 型の分数と同様に、すべての 5/n 型分数(n > 1)が3つの正単位分数の和として表せられるだろうと予想されている。一般化された予想では、任意の正なる k に対して、有限個の例外を除いたすべての分数 k/n が3つの正単位分数の和として表せられると主張している。5/n 型に対する予想はヴァツワフ・シェルピニスキが1956年に論文で提唱し、その後彼の弟子であるアンジェイ・シンツェル(ポーランド語版)によって完全な予想に発展した。
たとえ一般化された予想が任意の固定された値 k に対して偽であったとしても、1から N の間にある n に対して三項展開を持たないような k/n の数は N の函数として劣線形的にしか増大しない。特にエルデシュ=シュトラウス予想(k = 4 の場合)が偽だったとして、その反例の個数は劣線形的にしか増大しない。より強力に、任意の定数 k に対して、エジプト式分数で展開する際3以上の項が必要な n の個数は劣線形的にすぎない。一般化された予想の内容は展開不可能な分数の個数は劣線形的だけでなく有界であることと等しい。
n が奇数のとき、エジプト式分数に対する奇数貪欲法(英語版)からの類推で k/n = 1/x + 1/y + 1/z (x、y、z は相異なる正奇数)の解を求められる。この方程式の解は k = 3 の時常に存在することが知られている。