Smoothed Particle Hydrodynamics
SPH法は元来は単純な陽解法であり密度変動をともなう圧縮性流れ場のための手法であった。その後CFDソルバとして対象を広げ、非圧縮流れへの種々の拡張が試みられている。
特に、行列式ソルバを利用してポアソン式を反復解法で解き圧力場と同時に非圧縮速度場を得るタイプのものがISPHと呼ばれることがある。他に粒子移動を反復して速度場を非圧縮場に修正するPCISPH法がある。
ISPHと呼ばれるスキームの多くは、射影法を適用したものである。圧力勾配項と他の項とを分けて、速度発散ゼロの回転成分を取り出すという、差分法などでは古典的なアイディアを粒子法に適用したもの。粒子法の場合の最初の適用として1996年のMoving Particle Semi-implicit (MPS、MPS法)があり、その後、SPH空間離散化と組み合わせられた。
粒子法の場合は原則的に粒子移動後の粒子分布密度を元に移動前の速度を修正することになる。必然的に、いわゆる日本国内でフラクショナルステップ法と言われる、圧力のみ陰的に1ステップ先を見る方式となる。
ただし粒子法の速度発散と密度変動は定義が一通りではなく、粒子モデルに由来する変動が顕著に含まれるため、厳密に密度変動ゼロないしは速度発散ゼロを追求せず、ソースタームに0.3~0.7といった程度の緩和係数が乗じられることがある。また、非圧縮条件を近似的にでも満たすのは粒子移動前の速度場か移動後の粒子分布密度のどちらか一方だけとなるのが標準的である。
∇ φ ( x ) ≈ ∫ Ω { φ ( y ) − φ ( x ) } ∇ w h ( | x − y | ) d y ( 7 ) {\displaystyle \nabla \phi (x)\approx \int _{\Omega }\{\phi (y)-\phi (x)\}\nabla w_{h}(|x-y|)dy\qquad \qquad {\rm {(7)}}}
と積分式で近似できることから、(4)の近似を用い、すなわち差分の重ね合わせによる置き換えもある。
⟨ ∇ φ ( x ) ⟩ = ∑ i = 1 N m i ρ i { φ ( x i ) − φ ( x ) } ∇ w h ( | x − x i | ) ( 8 ) {\displaystyle \langle \nabla \phi (x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\{\phi (x_{i})-\phi (x)\}\nabla w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(8)}}}
拡散を表す微分作用素であるラプラシアン Δ {\displaystyle \Delta } は、
Δ φ ( x ) ≈ 2 ∫ Ω φ ( x ) − φ ( y ) | x − y | 2 ( x − y ) ⋅ ∇ w h ( | x − y | ) d y ( 9 ) {\displaystyle \Delta \phi (x)\approx 2\int _{\Omega }{\frac {\phi (x)-\phi (y)}{|x-y|^{2}}}(x-y)\cdot \nabla w_{h}(|x-y|)dy\qquad \qquad {\rm {(9)}}}