自由積
G = ⟨ x ∣ x 4 = 1 ⟩ {\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle }
であり、H が位数 5 の巡回群
H = ⟨ y ∣ y 5 = 1 ⟩ {\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle }
であれば、G ∗ H は無限群
G ∗ H = ⟨ x , y ∣ x 4 = y 5 = 1 ⟩ {\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle }
である。
自由群には元の間の関係はないから、自由群の自由積は常に自由群である。とくに、
F m ∗ F n ≅ F m + n {\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n}}
である、ただし Fn は n 個の生成元の自由群を表す。