加群のテンソル積
有理数 Q と n を法とした整数 Zn を考えよう。任意のアーベル群のように、両者は整数 Z 上の加群と考えることができる。B: Q × Zn → M を Z-双線型演算とする。このとき B(q, k) = B(q/n, nk) = B(q/n, 0) = 0 なのですべての双線型演算は恒等的に 0 である。したがって、 Q ⊗ Z Z n {\displaystyle {\mathbf {Q} }\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathbf {Z} }_{n}} を自明な加群と定義し ⊗ {\displaystyle \otimes } を零双線型関数とすれば、テンソル積の性質が満たされることがわかる。したがって、Q と Zn のテンソル積は {0} である。
アーベル群は Z-加群であり、アーベル群の理論を加群の理論に組み込むことができる。Z-加群のテンソル積はアーベル群のテンソル積 (tensor product of abelian groups) と呼ばれることもある。
一般に、 − ⊗ R − : M o d - R × R - M o d → A b {\displaystyle -\otimes _{R}-:\mathrm {Mod} {\mbox{-}}R\times R{\mbox{-}}\mathrm {Mod} \rightarrow \mathrm {Ab} } はインプットとして右と左 R-加群を受け付けアーベル群の圏のテンソル積にそれらを割り当てる双関手(英語版)である。
右 R 加群 M を固定することによって関手 M ⊗ R − : R - M o d → A b {\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\mbox{-}}\mathrm {Mod} \rightarrow \mathrm {Ab} } が生じ、対称的に左 R 加群 N を固定して関手 − ⊗ R N : M o d - R → A b {\displaystyle -\otimes _{R}N:\mathrm {Mod} {\mbox{-}}R\rightarrow \mathrm {Ab} } を作ることができる。