フォノン
フォノンは振動そのものを量子化したものであり、質量を持たない。一方で運動量は持っており p = ħ k {\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} } で表される。ただしフォノンの運動量は、一様な空間にある粒子の運動量とは性質が異なる。ネーターの定理によると運動量は系の並進対称性から導出されるため、この違いは並進対称性の違いに由来する。一様な空間は連続的な並進対称性を持つが、結晶では離散的な並進対称性を持っている。この離散的な並進対称性から導かれる(広義の)運動量は、通常の運動量とは区別して結晶運動量と呼ばれる。この違いにより、たとえば運動量保存則は、フォノンの運動量だけでなく結晶の逆格子ベクトルも含まれた形となる。
フォノンによる弾性的中性子散乱では、エネルギーとともに運動量も保存される。非弾性中性子散乱では中性子の入射角と散乱角、およびエネルギー変化を調べることでフォノンの波数と各周波数が求まる。
一般的な結果から、
∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k ′ Q k Q k ′ ∑ l e i a l ( k + k ′ ) e i a m k ′ = ∑ k Q k Q − k e i a m k ∑ l p l 2 = ∑ k Π k Π − k {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}
位置エネルギー項は
1 2 m ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k Q − k ( 2 − e i k a − e − i k a ) = 1 2 ∑ k m ω k 2 Q k Q − k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}