ヤコビの公式
次の式は行列指数函数の行列式と跡を結びつける有用な関係式である。

この事実は対角行列に対して明らかであり、以下に一般化された証明を述べる。
任意の正則行列 A(t) に対し、連鎖律の部分で次のことを示した。
d d t det A ( t ) = det A ( t ) tr  ( A ( t ) − 1 d d t A ( t ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\det A(t)\;\operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)}
ここで A(t) = exp(tB) の場合を考えることで、次の式を得る。
d d t det e t B = tr  ( B ) det e t B {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det e^{tB}=\operatorname {tr} (B)\det e^{tB}}
この微分方程式を解くことで、求める結果が得られる。