オイラー線
上の図の三角形において、
青の線の交点が垂心 H
橙色の線の交点が重心 G
緑の線の交点が外心 O
二点 O, H の中点が九点円の中心
これらの点を通る赤い線がオイラー線である。 重心 G は線分 OH を 1 : 2 の比率に内分する。 すなわち、外心 O ・重心 G ・垂心 H の間には常に、 O H → = 3 O G → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OH} }}=3{\overrightarrow {\mathrm {OG} }}} の関係が成り立っている。
点Pに対し、3つの三角形 PAB, PBC, PCA のオイラー線が1点で交わる条件は、「Pが外接円上かノイベルグ3次曲線上にある」である。これは、フランク・モーリー(英語版)とその息子によって証明された。以下に主な点と簡単な証明を示す。
オイラー線上にある外心・重心・垂心以外の重要な点をいくつか挙げる。