力学系
一般に力学系とは、以下の条件を満たす、時間 T、位相空間である多様体 M、写像 f によるタプルである。
t , s ∈ T , x ∈ M , f : T × M → M , f ( 0 , x ) = x , f ( s , f ( t , x ) ) = f ( t + s , x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&t,s\in T,~\mathbf {x} \in M,\\&\mathbf {f} :T\times M\to M,\\&\mathbf {f} (0,\mathbf {x} )=\mathbf {x} ,\\&\mathbf {f} (s,\mathbf {f} (t,\mathbf {x} ))=\mathbf {f} (t+s,\mathbf {x} ).\end{aligned}}}
力学系は、連続力学系と離散力学系に分類する事ができる。
t が実数全体で定義される力学系は連続力学系、あるいはフロー(流れ)と呼ばれる。連続力学系は一般に微分方程式で定義されることが多い。
例えば、関数 X 1(t ), X 2(t ), ..., X n(t ) を成分に持つような n 次元ベクトルを X(t )、t と X の関数である n 次元のベクトルを F(t, X) とし、X に対する連立微分方程式
d X d t = F ( t , X ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {X} }{dt}}=\mathbf {F} (t,\mathbf {X} )}
を考える。このとき、n 次元空間 (X 1, X 2, ..., X n ) が上述の微分方程式の相空間であり、f は f (X(s )) = X(s + t ) によって与えられる。
より抽象的には、微分方程式を与える係数行列 F は多様体上のベクトル場として与えられ、力学系 f はそのベクトル場の流れとして実現される。従って連続力学系は実数の加法群 R による多様体 M への可微分な作用だということになる。