ネイピア数の無理性の証明
e = a/b を満たす自然数 a, b が存在すると仮定すると b! ⋅ e は以下のように展開される。
b ! ⋅ e = ( b ! + b ! 1 ! + b ! 2 ! + b ! 3 ! + ⋯ + b ! b ! ) + { b ! ( b + 1 ) ! + b ! ( b + 2 ) ! + b ! ( b + 3 ) ! + ⋯ } . {\displaystyle {\begin{aligned}b!\cdot e&=\left(b!+{\frac {b!}{1!}}+{\frac {b!}{2!}}+{\frac {b!}{3!}}+\cdots +{\frac {b!}{b!}}\right)\\&\qquad +\left\{{\frac {b!}{(b+1)!}}+{\frac {b!}{(b+2)!}}+{\frac {b!}{(b+3)!}}+\cdots \right\}.\end{aligned}}}
左辺は b ! ⋅ e = b ! ⋅ a b = a ( b − 1 ) ! {\displaystyle b!\cdot e=b!\cdot {\frac {a}{b}}=a(b-1)!} であるから自然数である。右辺は ( ) 内の b! から b!/b! までの項は全て自然数であるが、{ } 内の b!/(b + 1)!
ネイピア数の無理性の証明(ねいぴあすうのむりせいのしょうめい)は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数 e は 2 < e < 3 を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、e が有理数であると仮定して矛盾を導く。e が無理数であることの証明は、円周率 π が無理数であることの証明よりずっと易しい。π の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。
e を底とする指数関数 e は以下のようにテイラー展開される。
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
x = 1 を代入すると
e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots }
以下、これを e の定義として無理数であることを証明する。