BCH符号
前節と同様、 G F ( q m ) {\displaystyle GF(q^{m})} の1のn乗根を α {\displaystyle \alpha } とし、全ての i {\displaystyle i} について α i {\displaystyle \alpha ^{i}} の G F ( q ) {\displaystyle GF(q)} 上の原始多項式を m i ( x ) {\displaystyle m_{i}(x)} とする。BCH符号の生成多項式は、最小公倍数 g ( x ) = l c m ( m c ( x ) , ... , m c + d − 2 ( x ) ) {\displaystyle g(x)={\rm {lcm}}(m_{c}(x),\ldots ,m_{c+d-2}(x))} で定義される。
単純化した例と同様に n = q m − 1 {\displaystyle n=q^{m}-1} を条件にすると、 g c d ( n , q ) {\displaystyle {\rm {gcd}}(n,q)} は自動的に1となり、 n {\displaystyle n} を法とした q {\displaystyle q} の位数は自動的に m {\displaystyle m} となる。従って、単純化した定義は一般的定義の特殊ケースになっている。
BCH符号は、有限体上の特定の生成多項式を使った多項式符号である。また、同時に巡回符号でもある。
Λ ( x ) {\displaystyle \Lambda (x)} 多項式が得られると、チェンサーチのアルゴリズムを使って Λ ( x ) = ( α i x + 1 ) ( α j x + 1 ) ⋯ ( α k x + 1 ) {\displaystyle \Lambda (x)=(\alpha ^{i}x+1)(\alpha ^{j}x+1)\cdots (\alpha ^{k}x+1)} の根を求めることができる。 α {\displaystyle \alpha } の次数が受信した符号語の誤り発生位置に対応する。そのため、誤り位置多項式と呼ばれている。