滑らかな射
f {\displaystyle f} を次で定義されるスキームの射とする。
Spec C ( C [ x , y ] ( f = y 2 − x 3 − x − 1 ) ) → Spec ( C ) {\displaystyle {\text{Spec}}_{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}
ヤコビ行列の判定法を使うとこれが滑らかであることが示せる。ヤコビ行列
[ 3 x 2 − 1 , y ] {\displaystyle [3x^{2}-1,y]}
は点 ( 1 / 3 , 0 ) , ( − 1 / 3 , 0 ) {\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)} で0になるが、この点での多項式の値
f ( 1 / 3 , 0 ) = 1 − 1 3 − 1 3 3 f ( − 1 / 3 , 0 ) = 1 3 + 1 3 3 − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}}
は0ではなく、f で定義されるスキームの上に乗っていない。
滑らかなスキーム Y {\displaystyle Y} に対して、射影
Y × X → X {\displaystyle Y\times X\to X}
は滑らかな射である。