移流拡散方程式
1次元で、係数c , D が定数の移流拡散方程式
∂ φ ∂ t + c ∂ φ ∂ x = D ∂ 2 φ ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+c{\frac {\partial \phi }{\partial x}}=D{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}}
については、ラプラス変換を利用して解析解を求めることができる。ここで、境界条件として次の単位ステップ関数を仮定する:
φ ( t , 0 ) = U 0 ( t ) = { 0 ( t < 0 ) 1 ( t ≥ 0 ) {\displaystyle \phi (t,0)=U_{0}(t)={\begin{cases}0&(t<0)\\1&(t\geq 0)\end{cases}}}
lim x → ∞ φ ( t , x ) < ∞ ( t ≥ 0 ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\phi (t,x)<\infty \quad (t\geq 0)}
また、初期条件としては次を仮定する: