コンパクト作用素のスペクトル理論
λ を中心とするレゾルベント写像のローラン級数より、次が分かる。
E ( λ ) ( λ − C ) ν = ( λ − C ) ν E ( λ ) = 0. {\displaystyle E(\lambda )(\lambda -C)^{\nu }=(\lambda -C)^{\nu }E(\lambda )=0.}
したがって Y = Ker(λ − C) である。
E(λ) は E(λ) = E(λ) を満たす。したがってそれらは実際、射影作用素あるいはスペクトル射影である。定義よりそれらは C と可換である。さらに λ ≠ μ なら E(λ)E(μ) = 0 である。
λ がゼロでない固有値なら、X(λ) = E(λ)X とする。すると X(λ) は有限次元の不変部分空間、すなわち λ の一般化固有空間となる。
X(0) を、E(λ) の核の共通部分とする。すると X(0) は C について不変な閉部分空間であり、C の X(0) への制限はスペクトル {0} を持つコンパクト作用素である。