ヤコビ和
χ {\displaystyle \chi } がルジャンドル記号である時は、 J ( χ , χ ) = − χ ( − 1 ) = − ( − 1 ) ( p + 1 ) / 2 {\displaystyle J(\chi ,\chi )=-\chi (-1)=-(-1)^{(p+1)/2}} となる。一般にヤコビ和の値は、対角形式(英語版)の局所ゼータ関数との関連で現れる。ルジャンドル記号に関するヤコビ和の結果は、p 個の元からなる有限体上の射影直線である円錐断面上の点の数 p + 1 に対する公式を導く。1949年のアンドレ・ヴェイユの論文は、この議論に再び多くの注目を集めるものであった。実際、20世紀後半のハッセ=ダベンポートの関係により、ガウス和の冪の性質は再び現代的な話題となっている。
一般のヤコビ和による対角超曲面に対して局所ゼータ関数を記述できる可能性を指摘するとともに、Weil (1952) はヤコビ和のヘッケ指標としての性質を示した。 これはアーベル多様体の虚数乗法が確立されるとともに、重要な概念となった。問題におけるヘッケ指標は、例えばフェルマー曲線(英語版)のハッセ・ヴェイユのゼータ函数を表現する際に必要となるものであった。それらの指標の導手については、Weil によって未解決問題とされていたが、後の研究によってそれらは決定された。