異時点間CAPM
また σ P P w {\displaystyle \sigma _{PP}w} は d W / W {\displaystyle dW/W} と d P / P {\displaystyle dP/P} の瞬間的な共分散を表す。よって上のベクトルについての方程式を要素ごとに見れば、
E [ d P i P i − r d t ] = γ t C o v ( d P i P i , d W W ) − V W X V W C o v ( d P i P i , d X ) {\displaystyle E\left[{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}-rdt\right]=\gamma _{t}\mathrm {Cov} \left({\frac {dP_{i}}{P_{i}}},{\frac {dW}{W}}\right)-{\frac {V_{WX}}{V_{W}}}\mathrm {Cov} \left({\frac {dP_{i}}{P_{i}}},dX\right)}
という共分散についての式としてICAPMを解釈することが出来る。
α i − r = σ i ( ρ i , M − ρ i , n ρ n , M ) σ M ( 1 − ρ M , n 2 ) ( α M − r ) + σ i ( ρ i , n − ρ i , M ρ n , M ) σ n ( 1 − ρ M , n 2 ) ( α n − r ) {\displaystyle \alpha _{i}-r={\frac {\sigma _{i}(\rho _{i,M}-\rho _{i,n}\rho _{n,M})}{\sigma _{M}(1-\rho _{M,n}^{2})}}(\alpha _{M}-r)+{\frac {\sigma _{i}(\rho _{i,n}-\rho _{i,M}\rho _{n,M})}{\sigma _{n}(1-\rho _{M,n}^{2})}}(\alpha _{n}-r)}
ここで σ i , σ n , σ M {\displaystyle \sigma _{i},\sigma _{n},\sigma _{M}} はそれぞれ資産 i , n {\displaystyle i,n} と市場ポートフォリオの収益率の瞬間的な標準偏差であり、 ρ i , n , ρ i , M , ρ n , M {\displaystyle \rho _{i,n},\rho _{i,M},\rho _{n,M}} は収益率の瞬間的な相関係数を表している。
ここで Q s {\displaystyle Q_{s}} はブラウン運動で異なる s {\displaystyle s} や Z i , i = 1 , ... , n {\displaystyle Z_{i},i=1,\dots ,n} と相関することを許容する。つまり、状態変数 X s {\displaystyle X_{s}} と資産 i {\displaystyle i} のリターンの瞬間的な共分散は、 Q s {\displaystyle Q_{s}} と Z i {\displaystyle Z_{i}} の瞬間的な相関係数を η s , i {\displaystyle \eta _{s,i}} とすると
σ s , i := ⟨ d X s , d P i P i ⟩ d t = g s σ i η s , i {\displaystyle \sigma _{s,i}:={\frac {{\Big \langle }dX_{s},{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}{\Big \rangle }}{dt}}=g_{s}\sigma _{i}\eta _{s,i}}
となる。同様にして状態変数 X s {\displaystyle X_{s}} と X s ′ {\displaystyle X_{s^{\prime }}} の瞬間的な共分散は σ s , s ′ = g s g s ′ ν s , s ′ {\displaystyle \sigma _{s,s^{\prime }}=g_{s}g_{s^{\prime }}\nu _{s,s^{\prime }}} となる。
, w n k , c k E t , x [ ∫ t T u ( c k ( s ) , s ) d s + B ( W k ( T ) , T ) ] {\displaystyle V^{k}(t,W^{k},x_{1},\dots ,x_{S})=\max _{w_{1}^{k},\dots ,w_{n}^{k},c^{k}}E_{t,x}\left[\int _{t}^{T}u(c^{k}(s),s)ds+B(W^{k}(T),T)\right]} subject to d W k = ( ( ∑ i = 1 n w i k ( α i − r ) + r ) W k − c k ) d t + W k ∑ i = 1 n w i k σ i d Z i , {\displaystyle {\mbox{subject to }}dW^{k}=\left(\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}(\alpha _{i}-r)+r\right)W^{k}-c^{k}\right)dt+W^{k}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}\sigma _{i}dZ_{i},} d X s = f s d t + g s d Q s , s = 1 , ... , S {\displaystyle dX_{s}=f_{s}dt+g_{s}dQ_{s},s=1,\dots ,S} W k ( t ) = W k , X s ( t ) = x s , s = 1 , ... , S {\displaystyle W^{k}(t)=W^{k},X_{s}(t)=x_{s},s=1,\dots ,S}
ただし、 c k ( s ) {\displaystyle c^{k}(s)} は s {\displaystyle s} 時点における c k {\displaystyle c^{k}} の値を指す。 W k ( T ) , W k ( t ) , X s ( t ) {\displaystyle W^{k}(T),W^{k}(t),X_{s}(t)} も同様である。