オイラー類
スティーフェル・ホイットニー類は、向き付けを無視したオイラー類とみなすこともできる。
複素ランク d の複素ベクトルバンドル V は実ランク 2d の向き付けられた実ベクトルバンドルとみなすことができる。複素ベクトルバンドルの最高次数のチャーン類 cd(V) は、実バンドルのオイラー類 e(E) に等しい。
ホットニー和 E ⊕ E は、ランク r の複素ベクトルバンドルである E の複素化 E ⊗ C に同型である。オイラー類と比較すると、
e ( E ) ∪ e ( E ) = e ( E ⊕ E ) = e ( E ⊗ C ) = c r ( E ⊗ C ) ∈ H 2 r ( X , Z ) {\displaystyle e(E)\cup e(E)=e(E\oplus E)=e(E\otimes \mathbf {C} )=c_{r}(E\otimes \mathbf {C} )\in H^{2r}(X,\mathbf {Z} )}
であることが分かる。
他の特性類とは異なり、安定ホモトピー論(英語版)(stable homotopy theory)の意味で、オイラー類は不安定である。不安定を具体的にいうと、このことは 1 が自明バンドルとすると、e(V ⊕ 1) ≠ e(V) となることを意味し、安定はこれらが等しいことを意味する。実際、自明バンドルを加えることは、明白な切断を加えることであり、つまり、自明な成分上に定数を与え、他は 0 で、e(V ⊕ 1) = 0 とすることである。
さらに具体的には、k-次元バンドルのオイラー類を表す分類空間 BSO(k) は不安定類であり、包含写像 BSO(k) → BSO(k+1) で BSO(k+1) の引き戻しではなくなる。直感的いうと、「次元の独立に整合性が定義されて」はいないことになる。
直感的には、オイラー類は次数がバンドル(多様体上であれば接バンドル)の次元に独立な類であることが分かる。
オイラー類 e(E) は、次のように構成された整数係数コホモロジー群
H r ( X ; Z ) {\displaystyle H^{r}(X;\mathbf {Z} )}
の元である。E の向き付けは、零元 F0 の補集合 F ∖ F {\displaystyle F\setminus F} の相対(英語版)(relative)であるそれぞれのファイバー F のコホモロジー
H r ( F , F ∖ F 0 ; Z ) {\displaystyle H^{r}(F,F\setminus F_{0};\mathbf {Z} )}
の生成子を連続的に選択することに相当する。トム同型(英語版)(Thom isomorphism)より、このコホモロジーは、零切断の補集合 E ∖ E {\displaystyle E\setminus E} に相対な E のコホモロジーの中の向き付け類(orientation class)