アベル・プラナの和公式
数学において、アベル・プラナの和公式(英: Abel–Plana summation formula)は留数の性質を巧みに用いて級数の和を与える公式である。
∑ n = ⌈ a ⌉ ⌊ b ⌋ f ( n ) = ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ ( f ( a + i y ) e 2 π y e − 2 π i a − 1 − f ( a − i y ) e 2 π y e 2 π i a − 1 − f ( b + i y ) e 2 π y e − 2 π i b − 1 + f ( b − i y ) e 2 π y e 2 π i b − 1 ) d y , ( a , b ∉ Z ) ∑ n = a b f ( n ) = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ f ( a + i y ) − f ( a − i y ) − f ( b + i y ) + f ( b − i y ) e 2 π y − 1 d y , ( a , b ∈ Z ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\left({\frac {f(a+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(a-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(b+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ib}-1}}+{\frac {f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ib}-1}}\right)dy,\qquad (a,b\not \in \mathbb {Z} )\\&\sum _{n=a}^{b}f(n)={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy,\qquad (a,b\in \mathbb {Z} )\\\end{aligned}}}
}{(2{\pi })^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\\&={\frac {(-1)^{k-1}B_{2k}}{4k}}\\\end{aligned}}}
であるから
∑ n = a b f ( n ) = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( b ) − f ( 2 k − 1 ) ( a ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}f(n)&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\\\end{aligned}}}
となり、オイラーの和公式を得る。なお、 B 2 k {\displaystyle B_{2k}} はベルヌーイ数である。
である。さて、
| 1 − i cot  π z | = | 1 + e π i z + e − π i z e π i z − e − π i z | = | 2 e π i z e − π i z ⋅ e − π i z e π i z − e − π i z | = | 2 e π i z e − π i z ⋅ e π e − π − e π | ≤ | 3 e 2 π i z | ( I z ≥ 1 ) | 1 + i cot  π z | = | 2 e − π i z e π i z ⋅ e π e − π − e π | ≤ | 3 e − 2 π i z | ( I z ≤ − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}\left|1-i\cot {{\pi }z}\right|&=\left|1+{\frac {e^{{\pi }iz}+e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}-e^{-{\pi }iz}}}\right|\\&=\left|{\frac {2e^{{\pi }iz}}{e^{-{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}-e^{-{\pi }iz}}}\right|\\&=\left|{\frac {2e^{{\pi }iz}}{e^{-{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{\pi }}{e^{-\pi }-e^{\pi }}}\right|\leq \left|3e^{2{\pi }iz}\right|\qquad (\Im {z}{\geq }1)\\\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}\left|1+i\cot {{\pi }z}\right|&=\left|{\frac {2e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{\pi }}{e^{-\pi }-e^{\pi }}}\right|\leq \left|3e^{-2{\pi }iz}\right|\qquad (\Im {z}{\leq }-1)\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}}