変数分離
また、微分方程式 (1) は任意の x, y, z について成り立つ。これより、それぞれの項が定数になることがわかる。すなわち
d X d x = c 1 , d Y d y = c 2 , d Z d z = c 3 ( 3 ) {\displaystyle {\frac {dX}{dx}}=c_{1},\quad {\frac {dY}{dy}}=c_{2},\quad {\frac {dZ}{dz}}=c_{3}\qquad \qquad (3)}
となる。定数 c1, c2, c3 は
c 1 + c 2 + c 3 = 0 ( 4 ) {\displaystyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=0\qquad \qquad (4)}
を満たす。(3) 式は3つの微分方程式のセットである。この場合、それぞれの微分方程式は単に積分するだけで解を得ることができて、答えは
F ( x , y , z ) = c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 ( 5 ) {\displaystyle F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}\qquad \qquad (5)}
となる。積分定数 c4 は初期条件によって定まる。
変数分離を用いて解ける2階非線形常微分方程式の例。
x d 2 y d x 2 + ( 1 + P ( y ) ) d y d x = 0. {\displaystyle x{\frac {\;d^{2}y\;}{dx^{2}}}+{\bigl (}1+P(y){\bigr )}{\frac {\;dy\;}{dx}}=0.}
この微分方程式は,このまま両辺を x で積分し,部分積分法を適用して整理すると,変数分離を用いて解くことができる。一般解は,
x = C 2 exp  ( ∫ d y C 1 − ∫ P ( y ) d y ) {\displaystyle x=C_{2}\exp {}{\Biggl (}\int {\frac {\;dy\;}{\;C_{1}-\displaystyle \int P(y)\,dy\;}}{\Biggr )}}
と表示される。ここに,P(y) は既知関数であり,C1, C2 は積分定数である。 ただし,C2 ≠ 0 とする。求積法で解ける微分方程式は,変数分離を用いることが多い。