リッカチの微分方程式
上述のように、リッカチの微分方程式は v = ψ x / ψ {\displaystyle v=\psi _{x}/\psi } によって2階の線形常微分方程式へ変換でき、
ψ x x − u ψ = 0 , {\displaystyle \psi _{xx}-u\psi =0,}
さらに、KdV方程式がガリレイ変換
x ′ = x − 6 λ t , t ′ = t , u ′ ( x ′ , t ′ ) = u ( x , t ) − λ , {\displaystyle x'=x-6\lambda t,\quad t'=t,\quad u'(x',t')=u(x,t)-\lambda ,}
の下で不変であることを用いると、定常シュレディンガー方程式
− ψ x x + u ψ = λ u , {\displaystyle -\psi _{xx}+u\psi =\lambda u,}
を得る。この式を出発点として、逆散乱法(固有値 λ {\displaystyle \lambda } は時間に依存しないと仮定し、 ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,t)} について散乱データ( x → − ∞ {\displaystyle x\rightarrow -\infty } での入力波と x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } での透過係数、 x → − ∞ {\displaystyle x\rightarrow -\infty } での反射係数)を与えて、そこからポテンシャル u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} の形を決定する問題を解く。)によってKdV方程式の初期値問題の解を求めることができる。
リッカチの微分方程式は、 X ( x ) {\displaystyle X(x)} が恒等的に 0 でなければ、変数変換
u ′ u = X ( x ) y , {\displaystyle {\frac {u'}{u}}=X(x)y,}
によって、 u {\displaystyle u} に関する2階線形常微分方程式
u ′′ + ( X 1 ( x ) − X ′ ( x ) X ( x ) ) u ′ + X ( x ) X 2 ( x ) u = 0 , {\displaystyle u''+\left(X_{1}(x)-{\frac {X'(x)}{X(x)}}\right)u'+X(x)X_{2}(x)u=0,}
へ変換できる。 また逆に、この u {\displaystyle u} に関する常微分方程式の独立な2解をそれぞれ u 1 ( x ) , u 2 ( x ) {\displaystyle u_{1}(x),u_{2}(x)} とする時、 それらの比 z ( x ) := u 1 ( x ) / u 2 ( x ) {\displaystyle z(x):=u_{1}(x)/u_{2}(x)} はリッカチの微分方程式を満足する。