指数型分布族
正規分布、指数分布、 対数正規分布、ガンマ分布、カイ二乗分布、ベータ分布、ディリクレ分布、ベルヌーイ分布、カテゴリカル分布、ポアソン分布、幾何分布、逆ガウス分布、フォン・ミーゼス分布、フォンミーゼス-フィッシャー分布はすべて指数型分布族に属する。
単一の確率変数に対する指数型分布族は、複数の確率変数に対する指数型分布族に拡張できる。
複数の確率変数を次のように記述すると、
x = ( x 1 , x 2 , ... , x k ) . {\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{k}\right).}
指数型分布族の確率分布は次のように記述される。
f X ( x ∣ θ ) = h ( x ) exp  ( ∑ i = 1 s η i ( θ ) ⋅ T i ( x ) − A ( θ ) ) {\displaystyle f_{X}(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\theta }})=h(\mathbf {x} )\exp \left(\sum _{i=1}^{s}\eta _{i}({\boldsymbol {\theta }})\cdot T_{i}(\mathbf {x} )-A({\boldsymbol {\theta }})\right)}
またはもっとコンパクトな形で