メビウス関数
が確かめられる。最後から二つ目の等号は二項定理による。
また、μ(n) は 1 の原始 n 乗根の和である。すなわち
μ ( n ) = ∑ gcd ( k , n ) = 1 1 ≤ k ≤ n exp  ( 2 π k i / n ) {\displaystyle \mu (n)=\!\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\exp(2\pi ki/n)}
が成り立つ。n > 1 のとき 1 の n 乗根の和は 0 であるから、これは上の公式 (1) の別証明を与える。
より一般に、 f を乗法的な数論的関数とすると、
が成り立つ。
既に知っている素数で割れる自然数を数表から篩い落とすことで新たな素数を順次決定していく操作はエラトステネスの篩として知られている。ゆえに、知っている素数で割れない自然数全体の集合を指定する方法が与えられることと、このエラトステネスの篩にかけることとは等価である。
集合を指定する方法の一つは、その指示函数を与えることである。いま、p1 から pk が素数として決定されたものとし、そのような素数全部の積を P とする。また、自然数 n と P との最大公約数を (n, P) と表せば、n が決定済みの素数で割れることと、(n, P) > 1 となることとは同値である。このとき、十分大きな自然数 N を考え、N 以下の自然数 n のうち、決定済みの素数 p1, ..., pk で割れない自然数全体の集合を E とおくと、基本公式によって E の指示函数 χE は
χ E ( n ) = ∑ d ∣ ( n , P ) μ ( d ) {\displaystyle \chi _{E}(n)=\sum _{d\mid (n,P)}\mu (d)}
で与えられることがわかるから、これをエラトステネスの篩のメビウス函数を用いた表現と考えることができる(手続きとしては、χE(n) を計算することは知っている素数で順番に割っていくことに他ならないから、単に表現の仕方を変えただけである)。特に、χE(n) = 1 を満たす最小の n を pk+1 とすればこれは新しい素数であり、再び同様の手続きにしたがって次々に素数を決定することができる。