平面における直線の標準形
直線の方程式の係数が特定の値をとるときは、方程式が何らかの意味で退化してしまうこともある。
方程式
y = b {\displaystyle y=b}
は一般形の方程式で A = 0, B = 1 とした特別の場合であり、また傾き・切片標準形で傾きを m = 0 とした特別の場合でもある。この直線のグラフは y-切片が b に等しいような水平線(x-軸に平行)である。b = 0 でない限り x-切片は存在せず、b = 0 でグラフが x-軸に一致するときは任意の実数が x-切片である。
方程式
x = a {\displaystyle x=a}
は一般形の方程式で A = 1, B = 0 とした特別の場合であり、このグラフは x-切片が a であるような鉛直線(y-軸に平行)である。この直線の傾きは定まらず、また a = 0 でないならば y-切片も存在しない。a = 0 のときは直線のグラフが y-軸に一致して、任意の実数が y-切片となる。
自明な方程式
直線の点・傾き標準形 (point–slope form) は、直線の傾き m と直線上の一点 (x1,y1) に対して、
y − y 1 = m ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
の形に表される方程式である。点・傾き標準形と傾き・切片標準形とは互いに簡単に書き換えられる。
点・傾き標準形は、直線上の二点間の y-座標の差 (y − y1) が x-座標の差 (x − x1) に比例する(比例定数は、直線の傾き m である)という事実を表しているものと見ることができる。