ワイル群
T = T0 が極大トーラスである(したがってそれがそれ自身の中心化に等しい: Z ( T 0 ) = T 0 {\displaystyle Z(T_{0})=T_{0}} )とき、得られる商 N/Z = N/T は G のワイル群 (the Weyl group of G) と呼ばれ、W(G) と書かれる。商集合は極大トーラスの取り方に依るが、極大トーラスは共役だから得られる群は全て(G の内部自己同型により)同型であることに注意。
G がコンパクトかつ連結ならば、G のワイル群はそのリー環のワイル群に同型である。
例えば、一般線型群 GL に対し、極大トーラスの1つは可逆対角行列全体のなす部分群 D であり、その正規化群は一般置換行列(置換行列の形をした行列だが '1' の代わりに任意の 0 でない数でよい)たちであり、ワイル群は対称群である。この場合商写像 N → N/T は(置換行列たちを経由して)分裂するので、正規化群 N はトーラスとワイル群の半直積であり、ワイル群は G の部分群として表せる。一般にはこのようになるわけではない、つまり、商は必ずしも分裂せず、正規化群 N は W と Z の半直積とは限らず、ワイル群は G の部分群として実現できるわけではない。
ワイル群は鏡映によって生成されるから有限鏡映群の例である;抽象的な群としてはしたがって有限コクセター群(英語版)であり、コクセター・ディンキン図形(英語版)によって分類することができる。
具体的には、コクセター群であることはワイル群が次のような特別な種類の表示を持つことを意味する。各生成元 xi が位数2で、xi 以外の関係式は (xixj) の形である。生成元は単純ルートで与えられる鏡映であり、mij はルート i と j のなす角度が 90°, 120°, 135°, 150° であるのに応じて、すなわちディンキン図形においてそれらがつながっていない、一本線でつながっている、二重線でつながっている、三重線でつながっている、に応じて、2, 3, 4, 6 である。
ワイル群はこの表示によるブリュア順序(英語版)と長さ関数(英語版)をもつ。ワイル群の元の長さ(英語版)はこれらの標準的な生成元でその元を表す最短の word の長さである。コクセター群の最長元(英語版)が一意的に存在し、ブリュア順序で単位元の反対である。