カラテオドリの定理 (凸包)
∑ j = 1 k μ j x j = 0 {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\mu _{j}\mathbf {x} _{j}=\mathbf {0} }
∑ j = 1 k μ j = 0 {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}\mu _{j}=0}
となり、この μj のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ μj > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 α に対して
x = ∑ j = 1 k λ j x j − α ∑ j = 1 k μ j x j = ∑ j = 1 k ( λ j − α μ j ) x j {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{k}\lambda _{j}\mathbf {x} _{j}-\alpha \sum _{j=1}^{k}\mu _{j}\mathbf {x} _{j}=\sum _{j=1}^{k}(\lambda _{j}-\alpha \mu _{j})\mathbf {x} _{j}}
が成り立つ。特に、等号は α が次のように定義されたときに成り立つ。
α := min 1 ≤ j ≤ k { λ j μ j : μ j > 0 } = λ i μ i .