自由粒子
[T09] Gerald Teschl (2009年4月1日). “Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrodinger Operators SECOND EDITION+”. ウィーン大学. 2017年9月13日閲覧。
[新井97] 新井朝雄 (1997/1/25). ヒルベルト空間と量子力学. 共立講座21正規の数学16. 共立出版
..(1')
ψ ^ ( p , 0 ) = ψ ^ 0 ( p ) {\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,0)={\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )} ...(2')
を得る。ここで ψ ^ 0 ( p ) {\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )} は ψ 0 ( p ) {\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {p} )} のフーリエ変換である。
(1')、(2')は容易に解くことができて、
ψ ^ ( p , t ) = e x p ( − i 2 m ħ | p | 2 t ) ψ ^ 0 ( p ) {\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)=\mathrm {exp} \left(-{i \over 2m\hbar }|\mathbf {p} |^{2}t\right){\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )}
である。
m r → ∞ 1 ( 2 π ) d / 2 ∫ B ( 0 , r ) e − i p x / ħ ψ ( x , t ) d x {\displaystyle {\underset {r\to \infty }{\mathrm {l.\!i.\!m} }}{1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{B(0,r)}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }
によりフーリエ変換を定義する。 ここでL極限l.i.mは以下のように定義される:
l . i . m r → ∞ F ( r ) = A ⟺ d e f lim r → ∞ ∫ R d | F ( r ) − A | 2 d r = 0. {\displaystyle {\underset {r\to \infty }{\mathrm {l.\!i.\!m} }}~F(r)=A{\overset {\mathrm {def} }{\iff }}\lim _{r\to \infty }\int _{\mathbf {R} ^{d}}|F(r)-A|^{2}\mathrm {d} r=0.}
なお、波動関数 ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)} がxに関して自乗可積分である事から、B(0,r)上での ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)} の絶対可積分性は保証されるので、B(0,r)上のフーリエ積分は意味を持つ。