単項イデアル整域
単項イデアル整域上の有限生成加群の構造に関する主要な結果は以下のようなものである。
R が単項イデアル整域で M 有限生成 R-加群であるならば、M は次のような巡回加群(単項生成加群)の有限個の直和に分解される。
M ≅ R / ( e 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ R / ( e r ) ⊕ R ⊕ ⋯ ⊕ R {\displaystyle M\cong R/(e_{1})\oplus \dotsb \oplus R/(e_{r})\oplus R\oplus \dotsb \oplus R}
ただし R ⊋ ( e 1 ) ⊇ ⋯ ⊇ ( e r ) ⊋ 0 {\displaystyle R\supsetneq (e_{1})\supseteq \dotsb \supseteq (e_{r})\supsetneq 0} である。特に有限生成直既約加群は R と同型か、ある既約元 p の正べき p が生成するイデアルによる商加群 R/(p) と同型である。
M が単項イデアル整域 R 上の自由加群ならば M の任意の部分加群もやはり自由である。しかしこれを任意の環上の加群に対して考えたものは一般には正しくない。例えば Z[X] のイデアル (2, X) を Z[X] 上の加群としての Z[X] の部分加群と見ると自由でない。