指数関数
底がネイピア数 e、すなわち
lim h → 0 e h − 1 h = 1 {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1}
である指数関数 e の導関数は e 自身となる。
d d x e x = lim h → 0 e x + h − e x h = e x lim h → 0 e h − 1 h = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,e^{x}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}}
解析学においてはこの性質を満たす関数として指数関数を定義する。つまり、指数関数 exp(x) とは、
exp  ( 0 ) = 1 {\displaystyle \exp(0)=1}