グリーンの恒等式
Q ⋅ [ ∇ ( ∇ ⋅ P ) ] − P ⋅ [ ∇ ( ∇ ⋅ Q ) ] , {\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right],}
は発散によって書くことは出来ない。もう一方の場合は、二重ベクトルを導入する手法で、二価グリーン函数が必要となる。ここで示すものはそれらの問題を避けるものである。
グリーンの第二恒等式におけるスカラー場は、ベクトル場のデカルト成分であると考える。すなわち
P = ∑ m p m e ^ m , Q = ∑ m q m e ^ m {\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{m}p_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m},\qquad \mathbf {Q} =\sum _{m}q_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}}
とする。各成分に対する方程式を足し上げることで、次が得られる。
∑ m [ p m Δ q m − q m Δ p m ] = ∑ m ∇ ⋅ ( p m ∇ q m − q m ∇ p m ) . {\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\Delta q_{m}-q_{m}\Delta p_{m}\right]=\sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right).