Z変換
∑ n = − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − s t f ( t ) δ ( t − n T ) d t {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\delta (t-nT)dt}
t = n T {\displaystyle t=nT} において δ ( 0 ) {\displaystyle \delta (0)} になるので、
∑ n = − ∞ ∞ e − s ( n T ) f ( n T ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-s(nT)}f(nT)}
これを、 z = e s T , x n = f ( n T ) {\displaystyle z=e^{sT},x_{n}=f(nT)} と見れば、Z変換の定義式と一致する。
なお、Z変換の級数は一般には発散することがある。収束するzの領域(収束領域,Region of Convergence)を以下のように書ける:
ROC = { z : | ∑ n = − ∞ ∞ x n z − n | < ∞ } {\displaystyle {\mbox{ROC}}=\left\{z:\left\vert \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}z^{-n}\right\vert <\infty \right\}}
厳密にはこの収束領域内においてのX(z)を、xnのZ変換と定義する。
二次元Z変換の収束領域の定義は類似する:
ROC = { ( z 1 , z 2 ) : | ∑ n 1 = − ∞ ∞ ∑ n 2 = − ∞ ∞ x ( n 1 , n 2 ) z 1 − n 1 z 2 − n 2 | < ∞ } {\displaystyle {\mbox{ROC}}=\left\{(z_{1},z_{2}):\left\vert \sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }x(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}\right\vert <\infty \right\}}