オイラー標数
ホモロジー群は位相不変量であるため、オイラー標数も位相不変量である。閉曲面の分類定理により、向き付け可能な連結閉曲面においてはオイラー標数は位相同型に関する完全不変量になっている。
有限CW複体 K に含まれる n 次元単体の個数を qn とすると、
χ ( K ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q n {\displaystyle \chi (K)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q_{n}}
である。つまり、この場合はホモロジー群を計算しないで含まれている単体さえわかればオイラー標数を計算できる。特に K が有限連結グラフである場合、 頂点の数を V = q0, 辺の数を E = q1 としてオイラー標数は χ ( K ) = V − E {\displaystyle \chi (K)=V-E} と書ける。もしグラフ K が閉路をもたないならば χ ( K ) = 1 {\displaystyle \chi (K)=1} である。また K が多面体である場合、頂点の数を V = q0, 辺の数を E = q1, 面の数を F = q2 としてオイラー標数は
χ ( K ) = V − E + F {\displaystyle \chi (K)=V-E+F}
と書ける。凸多面体ならばこれは常に 2 に等しく、これをオイラーの多面体定理という。
まず、多面体の頂点や辺の関係は平面グラフに落とし込むことができることに着目する。これは次のようにして可能である。まず多面体の面の一つを取り除き、空いた穴を広げて残りの面を平面に近づけていく。こうしてできたグラフの外側の領域を最初に取り除いた面と対応させれば、多面体の頂点と辺の関係を持つ平面グラフが得られる。 次に、平面グラフの全域木とその双対を考える。グラフの全域木とはグラフのすべての頂点を接続し、なおかつ閉路を含まないようなグラフである。また、双対グラフとは、元となるグラフの面に対応する頂点をもち、元グラフの面どうしを繋ぐ辺に対応する辺をもつグラフである。全域木の双対は、元グラフの双対のうち、全域木に含まれない辺に対応する辺を含むグラフである。全域木の双対は元グラフの双対の全域木となることは、以下のようにしてわかる。
いま、平面グラフGとその双対G*を考える。Gの全域木Sに対し、GのうちS に含まれないグラフを~Sとする。また、G*のうち~Sに対応するグラフを~S*とする。Sは閉路を持たないため、Gの各々の面を囲む辺のうち、少なくとも1つは~Sに含まれる。このことを双対の世界で言い直すと、G*の各頂点は必ず~S*がもつ辺により連結されるということになる。