射影多様体
χ ( F ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i dim  H i ( X , F ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {dim} H^{i}(X,{\mathcal {F}})}
は(射影的な X に対して)well-defined な整数である.すると, χ ( F ( n ) ) = P ( n ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(n))=P(n)} がある有理数体上の多項式 P に対して成り立つことを示すことができる.この手続きを構造層 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} に適用して,X のヒルベルト多項式が復元される.特に,X が既約で次元が r ならば,X の数論的種数は
( − 1 ) r ( χ ( O X ) − 1 ) {\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)}
で与えられ,これは明らかに内在的,すなわち埋め込みに依らない.
次数 d の超曲面の数論的種数は P n {\displaystyle \mathbf {P} ^{n}} において ( d − 1 n ) {\displaystyle {\binom {d-1}{n}}} である.特に,P 内の次数 d の滑らかな曲線の数論的種数は (d − 1)(d − 2)/2 である.これが種数公式(英語版)である.
ホッジ理論,ホッジ予想,テイト予想
定義により,多様体が完備(英語版)であるとは,k 上固有であるときをいう.The valuative criterion of properness(英語版) expresses the intuition that in a proper variety, there are no points "missing".
完備多様体と射影多様体の間には密接な関係がある:一方には,射影空間はしたがって任意の射影多様体は完備である.逆は一般には正しくない.しかしながら:
滑らかな曲線(英語版) C が射影的であることと完備(英語版)であることは同値である.これは C を k 上の関数体 k(C) の離散付値環の集合たちと同一視することによって証明される.この集合はザリスキー–リーマン空間(英語版)と呼ばれる自然なザリスキー位相を持つ.
チャウの補題(英語版)は,任意の完備多様体 X に対し,射影多様体 Z と双有理射 Z → X が存在すると述べている.
1次元の射影スキームは射影曲線と呼ばれる.射影曲線の理論の多くは滑らかな射影曲線についてである,なぜならば曲線の特異点は,正則関数環の整閉包を局所的にとる正規化(英語版)によって解消できるからである.滑らかな射影曲線が同型であることとそれらの関数体が同型であることは同値である.Fp(t) の有限拡大の研究,あるいは同じことであるが Fp 上の滑らかな射影曲線の研究は,代数的整数論の重要な分野である.
種数 1 の滑らかな射影曲線は楕円曲線と呼ばれる.リーマン・ロッホの定理の結果として,そのような曲線は P 内の閉部分多様体として埋め込むことができる.一般に,任意の(滑らかな)射影曲線は P に埋め込むことができる.逆に,P 内の次数 3 の任意の滑らかな閉曲線は種数公式(英語版)によって種数 1 をもちしたがって楕円曲線である.
種数 2 以上の滑らかな完備曲線は,次数 2 の有限射 C → P が存在するとき,超楕円曲線と呼ばれる.