水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
(X1)、(X2)により定義される方程式は、重心系に書き直す事により、より簡単な式に還元できる。2つの粒子の重心
c = m 0 x 0 + m 1 x 1 m 0 + m 1 {\displaystyle {\boldsymbol {c}}={m_{0}{\boldsymbol {x}}_{0}+m_{1}{\boldsymbol {x}}_{1} \over m_{0}+m_{1}}}
と2つの粒子の位置の差
x = x 1 − x 0 {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{0}}
と換算質量
μ = m 0 m 1 m 0 + m 1 {\displaystyle \mu ={\frac {m_{0}m_{1}}{m_{0}+m_{1}}}}
を使うと、ハミルトニアン(X2)は
σ c ( H ^ x ) = ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \sigma _{c}({\hat {H}}_{\boldsymbol {x}})=(0,\infty )}
と点スペクトル
σ p ( H ^ x ) = { E n ∣ n = 1 , 2 , ... } {\displaystyle \sigma _{p}({\hat {H}}_{\boldsymbol {x}})=\left\{E_{n}\mid n=1,2,\ldots \right\}}
を持ち、 E n {\displaystyle E_{n}} に対する固有関数は(B3)、(B5)で書かれた関数で貼られるn次元空間である。
連続スペクトルに相当する部分は、物理的にいえば水素原子がイオン化している状態であり、したがって電子が陽子から逃れていってしまっている。なお、固有関数の和
∑ n , l , m a n , l , m ψ n , l , m ( r , θ , φ ) {\displaystyle \sum _{n,\ell ,m}a_{n,\ell ,m}\psi _{n,\ell ,m}(r,\theta ,\phi )} s.t. ∑ n , l , m a n , l , m 2 < ∞ {\displaystyle \sum _{n,\ell ,m}a_{n,\ell ,m}{}^{2}<\infty }
の形に書けるのは、ˆHxの負のスペクトルに対応するベクトルだけで、正のスペクトルに対応するベクトルはこの方法では表記できない。
..(W3)
であり、ˆLは軌道角運動量演算子の自乗である。(W1)のラプラシアンを極座標表示した上で(W1)に(B1)の波動関数を代入すると、(B1)がˆL/ħの固有値l(l+1)に対応する固有関数であった事から、
1 2 r ′ 2 ( Δ r ′ − l ( l + 1 ) + 2 r + 2 r 2 E ′ ) R ( r ′ ) P l | m | ( cos  θ ) e i m φ = 0 {\displaystyle {1 \over 2r'^{2}}\left(\Delta _{r'}-\ell (\ell +1)+2r+2r^{2}E'\right)R(r')P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\,e^{im\phi }=0}
すなわち
( Δ r ′ − l ( l + 1 ) + 2 r ′ + 2 r ′ 2 E ′ ) R ( r ) = 0 {\displaystyle \left(\Delta _{r'}-\ell (\ell +1)+2r'+2r'^{2}E'\right)R(r)=0}
束縛状態ではEは負の値しか取らないので、記号を簡単にするため