ポアソン分布
ポアソン分布の最頻値は、λ 以下で最大の整数である。
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}=e^{-\lambda }.}
ここで p = λ / n とすると、
lim n → ∞ P ( X = k ) = lim n → ∞ ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k = lim n → ∞ n ! ( n − k ) ! k ! ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k = lim n → ∞ ( n n ) ( n − 1 n ) ( n − 2 n ) ⋯ ( n − k + 1 n ) ⏟ ( λ k k ! ) ⏟ ( 1 − λ n ) n ⏟ ( 1 − λ n ) − k ⏟ . {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X=k)&=\lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!