角度
2つの辺のなす角度は、2辺を幾何ベクトルと見なし、2つのベクトルの内積(ないせき、英: inner product)を用いることで計算できる。この方法は言い換えれば、余弦定理を利用して角度を得る方法である。一般の角度を計算するには三角関数の値を求め、その値を逆三角関数に与えることで角度を得る。
それぞれのベクトルを u→, v→ とすると、それらの大きさ |u→|, |v→| は対応する辺の長さを表している。ベクトル u→, v→ の内積 u→ · v→ は、
u → ⋅ v → = | u → | | v → | cos  θ {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=|{\vec {u}}||{\vec {v}}|\cos \theta }
と表すことができ、θ は2辺のなす劣角の大きさと見なせる。内積 u→ · v→ およびそれぞれのベクトルの絶対値 |u→|, |v→| が分かっているなら、cos θ を求めることができ、これを利用して角度 θ を得ることができる。
cos  θ = u → ⋅ v → | u → | | v → | {\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {u}}||{\vec {v}}|}}}
により、余弦関数 cos θ が得られれば、その逆関数である逆余弦関数を利用して、
arccos  ( cos  θ ) = θ {\displaystyle \arccos \left(\cos \theta \right)=\theta }
鋭角に対し、合わせて直角となる角あるいは角度をその角の余角(よかく、英: complementary angle, co-angle)という。
したがって、角度 θ {\displaystyle \theta } に対して余角は π 2 − θ {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\theta } の値となる。 ・ 余弦関数では、 cos  θ = sin  ( π 2 − θ ) {\displaystyle \cos \theta =\sin({\frac {\pi }{2}}-\theta )} 。
2つの滑らかな曲線が交わるとき、その交点におけるそれぞれの接線同士がなす角を、これらの曲線のなす角という。
勾配については、水平方向の単位長さに対する垂直方向の長さ(高さ)によって角度を示す方法がある。水平方向に対する垂直方向の長さの割合によって示す方法が道路や鉄道の勾配についてよく行われており、道路については百分率パーセント (%)、鉄道については千分率パーミル (‰) がよく用いられる。例えば「10パーセントの勾配」とは水平方向に100メートル進むと10メートル上昇(または下降)する勾配を示す。45° は100% (1000‰) の勾配になる。尺貫法では、水平方向1尺に対する高さを寸で表したもので勾配を示していた。すなわち、45° の勾配は「10寸」となる。
1つの定まった値の角度を伴う角とは、平面 α 上の 1 点 O とそれから出る2つの半直線とそれらにより平面 α が分割されて生じる2つの領域の一方 α1 からなる図形と定義できる。ただし後述のように、この定義は数学における主要な定義とは微妙に異なる。
2つの半直線が共有する端点 O を角の頂点、ある角の頂点から出る2つの半直線を角の辺という。
頂点 O から出る2つの半直線のなす領域 α1 上の、頂点との距離が r 以下の点のみを含む領域を取り出すと、この領域は頂点 O を中心とする半径 r の扇形となる。この扇形の大きさは有限であり、相似な図形の性質から、扇形の弧の長さは半径 r に比例することが知られている。従って、扇形は半径と弧の長さを特定できれば形を完全に特徴づけられるから、半径と弧長を利用して、半径 r を一定に保って弧長を変えた場合に、弧長に比例する量として角度を定義することができる。この場合、弧の長さと半径は比例関係にあるから、単純にその比例係数として角度を定義することができる。すなわち、半径 r, 角度 φ の扇形の弧長が半径 r と角度 φ の積 rφ に等しくなるように角度を定義する。
角度 × 半径 = 弧長
この角度の定義は、直接的に半径と弧長の比を用いて表すこともできる。
角度 ≔ 弧長/半径
または
角度 : 1 = 弧長 : 半径
角度を固定すれば、半径と弧長の比は一定であり、同じ角度を持つ扇形はすべて互いに相似である。従って、はじめに与えた頂点 O を挟む2つの半直線がなす領域 α1 に対しても扇形と同様に角度を与えることができる。
}
従って、3辺の長さが分かっているなら、それらを用いて角度を計算することができる。
θ = arccos  ( | u → | 2 + | v → | 2 − | w → | 2 2 | u → | | v → | ) . {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {|{\vec {u}}|^{2}+|{\vec {v}}|^{2}-|{\vec {w}}|^{2}}{2|{\vec {u}}||{\vec {v}}|}}\right).}
内積 u→ · v→ が 0 の場合については、上述の式から直接角度を求めることはできない。しかし、その場合は一般の場合より簡単に角度を求めることができる。
u → ⋅ v → = 0 {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0}
より、2つのベクトルの大きさがいずれも 0 でない場合には、
cos  θ = 0 {\displaystyle \cos \theta =0}
となる。角度 θ を 0 ≤ θ ≤ π の範囲に限れば、この条件を満たす角度は、
θ = π 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}
に限られる。これは、0 でない大きさを持つ2つのベクトルの内積が 0 になる場合、それらが直交していることを示す。ベクトルを図形の辺と見なせば、これは2つの辺のなす角が直角になることに対応する。