ルベーグ測度
n-次元ユークリッド空間 R の n-次元ルベーグ測度 λ あるいは簡単に λ は次のような性質を持つ。
A を一次元区間の直積: I1 × I2 × ⋯ × In とする。このとき A はルベーグ可測で λ(A) = |I1|⋅|I2|⋯|In| である。ただしここで、|J| は区間 J の長さを意味している。
A をどの二つも互いに素な高々可算個のルベーグ可測集合の合併とするとき、A はルベーグ可測で λ(A) は、各集合の測度の和に等しい。
A がルベーグ可測ならば、A の補集合も可測である。
任意のルベーグ可測集合 A について λ(A) ≥ 0 である。
ルベーグ可測集合 A, B について、A ⊆ B ⇒ λ(A) ≤ λ(B) である。
可算個のルベーグ可測集合の和集合や共通部分は、ルベーグ可測である。
R の開集合や閉集合はルベーグ可測である。
λ(A) = 0 となるルベーグ可測集合 A (これを零集合という) について、A の部分集合はすべて零集合である。
A をルベーグ可測集合、x を R の元とする。x による A の平行移動を A + x ≔ {a + x | a ∈ A} と定義するとき、A + x はルベーグ可測で A と測度が同じである。