確率質量関数
離散型確率変数 X の確率質量関数は 2 つのより一般的な測度論的構成の特別な場合と見ることができる。すなわち、数え上げ測度に関して、X の確率分布と X の確率密度関数である。以下詳述する。
( A , A , P ) {\displaystyle (A,{\mathcal {A}},P)} を確率空間とし、 ( B , B ) {\displaystyle (B,{\mathcal {B}})} をそのσ-代数が離散的な(したがって特に B の一元集合を含む)可測空間とする。この設定において、確率変数 X : A → B {\displaystyle X:A\to B} は像が可算集合であれば離散的である。pushforward measure(英語版) X ∗ ( P ) {\displaystyle X_{*}(P)} —この文脈では X の分布 (distribution) と呼ばれる—は B 上の確率測度であって、一元集合へのその制限は、各 b ∈ B に対して f X ( b ) = P ( X − 1 ( b ) ) = [ X ∗ ( P ) ] ( { b } ) {\displaystyle f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=[X_{*}(P)](\{b\})} であるから、確率質量関数 f X : B → R {\displaystyle f_{X}:B\to \mathbb {R} } を誘導する。