時間反転対称性
初期状態と終状態を反転する変換下での物理的現象の不変性が物理学でしばしば考察の対象となる。時間反転演算子を T とすれば
T H T † = H {\displaystyle THT^{\dagger }=H}
T e − i H ( t f − t i ) T † = e i H ( t f − t i ) ∗ {\displaystyle Te^{-iH(t_{f}-t_{i})}T^{\dagger }=e^{iH(t_{f}-t_{i})*}}
となる。
初期状態 |φi⟩ から 終状態 |φf⟩ へ時間発展するある物理現象を考えた場合に、行列要素が
⟨ φ f | e − i H ( t f − t i ) | φ i ⟩ {\displaystyle \langle \phi _{f}|e^{-iH(t_{f}-t_{i})}|\phi _{i}\rangle }
となる。これは
⟨ φ i | T † e − i H ( t f − t i ) T | φ f ⟩ {\displaystyle \langle \phi _{i}|T^{\dagger }e^{-iH(t_{f}-t_{i})}T|\phi _{f}\rangle }
すなわち T|φf⟩ から T|φi⟩ への時間発展という物理現象についての行列要素と等しい。