0.999...
ゼノンのパラドックス、とりわけアキレウスと亀のパラドックスは、見かけ上のパラドックス 0.999... = 1 を連想させる。アキレウスのパラドックスは数学的にモデル化され、0.999... と同じように等比数列を用いて解決される。しかしながら、この数学的な取り扱いがゼノンが探求していた潜在的な形而上の問題に対処しているかどうかは明らかでない。ただし、無限和の値(ここでは有限小数の無限和としての無限小数)は、部分和の極限(限りなく近づいていくが、決して到達しない点)によって定義されているので、この方法では、パラドックスを解決したことにはならない、という論議がある(総和、循環小数、循環論法を参照)。この点に留意すれば、0.999... = 1 であると言う帰結は、極限によって無限小数の値を定義した結果であり、必ずしも自明なことではない(その意味では前述の「第1の等式を信じることと、第2の等式を信じないことの矛盾に直面すると、今度は第1の等式を疑い始める」という態度は、一定の数学的なセンスのある姿勢だと見ることもできる)。そもそも無限に存在する値を全て足し合わせることができるのか、と言う問いは未解決であり(現代数学では定義として処理されている。公理的集合論を参照)、0.999... = 1 やゼノンのパラドックスと言った話題がそのことを想起させてくれる恰好の題材であることは確かであろう。
0 による除算は 0.999...
インターネットの登場に伴い、0.999... = 1 に関する論争は教育現場だけでなく、ニュースグループや電子掲示板など、普段はあまり数学に関係のない場所でも話題となることがある。ニュースグループ sci.math では、0.999... に関する議論は「流行のスポーツ」であり、それは FAQ で回答された問題の一つである。その FAQ は 1/3 を用いる方法、10倍する方法、極限を用いる方法を簡潔に扱い、さらには同様にコーシー列にも言及している。
アメリカの新聞 Chicago Reader のコラム The Straight Dope の2003年版では、誤った概念に関して言及しつつ、1/3 や極限を通して 0.999... について次のように議論している。
「我々の中の類人猿的要素が、『0.999... は実際に数 を表しているのではなく、過程 を表している。一つの数を見つけるために我々はその過程を途中で断ち切らなければならない。その時点において 0.999...
.. の元になっている。よって、0.999... と 1 とは全く同じ有理数をすべて元として含み、これらは集合として等しい。つまり 0.999... = 1 であるというわけである。
デデキント切断による実数の定義は、1872年にリヒャルト・デーデキントによって初めて発表された。上記の、実数をそれぞれの小数展開に帰着させる方法は、フレッド・リッチマン (Fred Richman) によって雑誌 Mathematics Magazine に投稿された "Is 0.999... = 1?" という解説論文による説明である。この論文は大学の数学教師とその生徒向けに書かれている。リッチマンは、有理数の任意の稠密な部分集合における切断を考えても同様な結果をもたらすことを指摘している。その中で彼は、分母が 10 の冪である分数全体の成す稠密部分集合を用いて、0.999... = 1 の証明をより直接的に与えている。また、x < 1 となる x は切断を有するが、x ≤ 1 となる x は切断をもたないことも指摘し、「これは 0.999... と 1 が異なってしまうことを排除するものである。......実数の伝統的な定義の中に、等式 0.999... = 1 は最初から組み込まれている」と評した。リッチマンは、この手順に修正を加えることで、0.999... ≠ 1 となる別の構造を導いている。
小数展開の一般的な定義としては、おそらく級数(無限数列の総和)として定義することである。つまり
a 0 . a 1 a 2 a 3 ⋯ = a 0 + a 1 ( 1 10 ) + a 2 ( 1 10 ) 2 + a 3 ( 1 10 ) 3 + ⋯ {\displaystyle a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots =a_{0}+a_{1}\left({\frac {1}{10}}\right)+a_{2}\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+a_{3}\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots }
と表される。
ここで、0.999... の小数部分の計算には等比級数の公式:
|r| < 1 のとき a + a r + a r 2 + ⋯ = a 1 − r {\displaystyle a+ar+ar^{2}+\cdots ={\frac {a}{1-r}}}
を適用することが可能である。
0.999... は、上式の左辺で初項 a = 9/10, 公比 r = 1/10 としたものであるから、この公式より
0.999 ⋯ = 9 ( 1 10 ) + 9 ( 1 10 ) 2 + 9 ( 1 10 ) 3 + ⋯ = 9 ( 1 10 ) 1 − 1 10 = 1 {\displaystyle 0.999\cdots =9\left({\frac {1}{10}}\right)+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1}
実数を構成するもう一つの方法は、実数の切断に比べれば間接的にではあるがやはり有理数の順序を用いるものである。まず、2つの有理数 x と y に対して、距離 d(x, y) を絶対値 |x − y| で定義する(z の絶対値 |z| とは z と −z の小さくない方と定義され、非負である)。そして実数全体というものを、この距離 d に関する有理数のコーシー列全体を以下で定義する同値類で割ったものとして定義するのである(実数の完備性も参照のこと)。ここで、有理数列(つまり自然数から有理数への写像){xn} がコーシー列であるとは、
任意の正の数 ε に対して、番号 N が存在し、N より大きいすべての m, n に対して |xm − xn| < ε
が成り立つ(つまり、番号が十分先なら隣接2項間の距離が限りなく小さくなる)ことと定義される。
2つのコーシー列 {xn}と {yn} が同値であることを、xn − yn が 0 に収束することと定める。小数 a0.a1a2a3... に対して、各位以降を順に切り捨てていくことにより得られる数列は有理数のコーシー列を定めるので、このコーシー列が、この小数展開の表している実数の真の値と定められることになる。
この性質より 0.999... = 1 を証明するためにしなければならないことは、有理数のコーシー列
{ x n } := { 1 , 1 , 1 , 1 , ⋯ } {\displaystyle \{x_{n}\}:=\{1,1,1,1,\cdots \}}