二次体
Siegel) により、類数の増大度について、以下の様な結果が得られた。
lim | D K | → ∞ log  h K log  | D K | = 1 {\displaystyle \lim _{|D_{K}|\to \infty }{\frac {\log h_{K}}{\log {\sqrt {|D_{K}|}}}}=1} 。
予想 2 について。
現在でも、この予想が成立するか否かは不明である。もっと一般に、類数が 1 である代数体が無限に存在するかも分かっていない。
予想 3 について。
1973年に、ザギエ (D. Zagier) とグロス (B. Gross) によって、予想が成り立つことが証明された。
予想 4 について。
この予想は、まず、ヘーグナー (K. Heegner) によって、この予想が成立することが証明されたが、彼の証明には、不備があり、その誤りが訂正されたのは1968年である。そのため、この予想を最初に証明したのは、ベイカー (A. Baker) とスターク (H. M. Stark) であるとされる。(1966年の証明)
その後、類数が 2 である虚二次体 がベイカーとスタークにより解決され、現在までに、類数が100以下の虚二次体が決定している。
h K = − 1 2 log  ε 0 ∑ a = 1 d − 1 χ ( a ) log  sin  a π d {\displaystyle h_{K}=-{\frac {1}{2\log \varepsilon _{0}}}\sum _{a=1}^{d-1}\chi (a)\log \sin {\frac {a\pi }{d}}} .
K が虚二次体のとき
h K = − w 2 d ∑ a = 1 d − 1 χ ( a ) a {\displaystyle h_{K}=-{\frac {w}{2d}}\sum _{a=1}^{d-1}\chi (a)a} .
但し、ε0 は、K の基本単数、d = |D|、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数とする。
これらの式を総称してディリクレの類数公式という。
類数を表す式は、他にも、デデキントのゼータ関数の s = 1 {\displaystyle s=1} での留数で表現するものも知られている。
ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} を、二次体 K のデデキントのゼータ関数とすると、以下の式が成立する。
κ h K = Res s = 1  ζ K ( s ) {\displaystyle \kappa h_{K}=\operatorname {Res} _{s=1}\zeta _{K}(s)} 。
但し、κ は、上記、ディリクレの類数公式で与えられた κ である。