冪零元
この定義は特に正方行列に対して適用することができる。行列
A = ( 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}
は A = 0 なのでベキ零である。より多くの情報は冪零行列を見よ。
剰余環 Z/9Z において、3 の同値類は冪零である、なぜならば 3 は 9 を法として 0 と合同だからである。
(非可換)環 R の二元 a, b が ab = 0 を満たすとする。このとき元 c = ba は c = (ba) = b(ab)a = 0 なので冪零である。行列での例は(a, b に対して)
A = ( 0 1 0 1 ) , B = ( 0 1 0 0 ) . {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}
このとき AB = 0, BA = B である。
分解型四元数(英語版) の環は冪零元の 錐 を含む。
数学において、環 R の元 x はある正の整数 n が存在して x = 0 となるときに冪零元(べきれいげん、英: nilpotent element)という。
冪零 (nilpotent) という言葉は、ベンジャミン・パースによって、多元環の元のある冪が 0 になるという文脈で1870年頃に導入された。