トランスクリティカル分岐
離散力学系におけるトランスクリティカル分岐の標準形は、次の1次元写像で与えられる。
x ↦ f ( x , μ ) = x + μ x ∓ x 2 {\displaystyle x\mapsto f(x,\mu )=x+\mu x\mp x^{2}}
連続力学系と同じく、ここでは、右辺第3項の符号が負である場合を考える。この写像の固定点(不動点)とは、
f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x}
を満たす点 x である。連続力学系と同じく固定点を x で表すと、離散力学系の標準形の固定点は x = 0 および x = μ である。x-y 平面で考えると、y = f(x) の曲線が y = x の直線と交わる箇所が固定点である。μ を変化させると、f(x) の曲線は以下の図のように変化する。
パラメータ μ と固定点 x の変化は次のようになっている。
μ < 0 かつ |μ| ≪ 1 では、x = μ は不安定固定点、x = 0 は安定固定点である。μ を増加させていくと、x = μ は 0 へ近づいていく。
μ = 0 では、2つの固定点が衝突、一致して、固定点は x = 0 のみとなる。
μ > 0 かつ |μ| ≪ 1 では、再び固定点は2つになり、今度は x = μ が安定固定点、x = 0 が不安定固定点になる。
離散力学系の標準形の分岐図は、連続力学系と同じ形である。
を満たす点 x のことで、固定点では系は定常状態にある。固定点を x で表すとすれば、トランスクリティカル分岐の標準形の固定点は、x = 0 と x = μ の2つである。x-y 平面で考えると、y = f(x) の曲線が x 軸と交わる箇所が固定点である。μ を変化させると、f(x) の曲線は以下の図のように変化する。
パラメータ μ と固定点 x の変化を整理すると次のようになっている。
μ < 0 では、x = μ は不安定固定点、x = 0 は安定平衡点である。μ を増加させていくと、x = μ は 0 へ近づいていく。
μ = 0 では、2つの固定点が衝突、一致して、固定点は x = 0 のみとなる。
μ > 0 では、再び固定点は2つになり、今度は x = μ が安定固定点、x = 0 が不安定固定点になる。
パラメータ μ を独立変数とみなし、μ-x 平面で固定点の様子を描いたものを分岐図という。トランスクリティカル分岐の標準形の分岐図は、以下の図のようになる。