シローの定理
それぞれなんらかの意味で極大な部分群の集まりというのは群論においてよくある。ここで驚くべき結果は、Sylp(G) の場合には、すべての元が実は互いに同型で、可能な最大の位数を持っているということである: |G| = pm, n > 0 で、p が m を割り切らなければ、任意のシロー p-部分群 P の位数は |P| = p である。つまり、P は p-群であり gcd(|G : P|, p) = 1 である。これらの性質は G の構造をさらに分析するために利用することができる。
以下の定理は最初ルードヴィヒ・シローによって1872年に提出及び証明され、Mathematische Annalen 誌に掲載された。
シローの定理1 ― 有限群 G の位数の任意の素因数 p(重複度 n)に対し、位数 p の G のシロー p 部分群が存在する。
定理1の次の弱いバージョンは最初オーギュスタン゠ルイ・コーシーによって1845年に証明され、コーシーの定理として知られている。
数学、特に有限群論におけるシローの定理 (英: Sylow theorems) は、ノルウェーの数学者ルートヴィヒ・シロー (Ludwig Sylow) (1872) にちなんで名づけられた一連の定理。与えられた有限群について、その特定位数の部分群の存在とそれらの個数に関する詳細な情報を与える。有限群論の基本的な定理であり、特に有限単純群の分類において重要な応用を持つ。
与えられた素数 p に対して、群 G のシロー p-部分群(英: Sylow p-subgroup)あるいは p-シロー部分群(英: p-Sylow subgroup)とは、G の極大 p-部分群、つまり位数が p の冪であるような部分群(p-群)であり、G の他のどんな p-部分群の真部分群にもなっていないようなものをいう。G のすべてのシロー p 部分群からなる集合を Sylp(G) と書くことがある。
シローの定理はラグランジュの定理の部分的な逆を主張する。ラグランジュの定理は、任意の有限群 G に対して G の部分群の位数(元の個数)は G の位数を割り切るというものだが、シローの定理は、有限群 G の位数の任意の素因数 p に対して、G のシロー p 部分群が常に存在することを主張する。また、n を有限群 G の位数における p の重複度とすると、 G のシロー p 部分群の位数は p となり、逆に位数 p の任意の G の部分群はシロー p 部分群となる。与えられた素数 p に対して、群のシロー p-部分群は互いに共役であり、シロー p-部分群の個数 np は r を適当な整数 r ≧ 0 として np = 1 + rp と表される。