平滑化スプライン
{ x i , Y i : i = 1 , ... , n } {\displaystyle \{x_{i},Y_{i}:i=1,\dots ,n\}} を観測値とする。モデルは Y i = f ( x i ) + ε i {\displaystyle Y_{i}=f(x_{i})+\epsilon _{i}} で ε i {\displaystyle \epsilon _{i}} は平均0の独立なノイズ。下記を最小化する形で平滑化スプライン関数 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} を推定する。
∑ i = 1 n { Y i − f ^ ( x i ) } 2 + λ ∫ f ^ ′′ ( x ) 2 d x . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\{Y_{i}-{\hat {f}}(x_{i})\}^{2}+\lambda \int {\hat {f}}''(x)^{2}\,dx.}
注意点
λ ≥ 0 {\displaystyle \lambda \geq 0} は平滑化パラメータ。データの適合度と曲線の滑らかさのバランスを調整する。決め方の1つに、一般化交差検証で決める方法がある。
λ → 0 {\displaystyle \lambda \to 0} の時、スプライン補間に収束する。