重複組合せ
E = {1, 2, ..., n} としても一般性を失わない。E に関する k-重複組合せを、a1 ≤ a2 ≤ ⋯ ≤ ak なる非減少 k-組と看做すとき、これは
b1 = a1 + 0, b2 = a2 + 1, ... , bk = ak + k – 1
証明 1 と同様に二通りに数える論法(フランス語版) による。
n 個の元からなる集合 E に関する k-重複組合せ H nk 個を(元の並びとして)全て書き出すと、その一覧には E の元が k × H nk 個現れることになる。E の元は対称的に現れるから、各々は k × H nk / n 回現れる。(1)
そこで E の元の一つを x と書いて、以下それが現れる回数を計算する。
全部で H nk 個ある重複組合せのうちで x を(一つでも)含むものの数は H nk–1 である。実際、x をひとつ取り除いた残りは(重複度込みで、順番を無視して)k – 1 個の元だが、それは(x は重複することができるから、選択肢からは除かれず)E の任意の元から選べる。x を少なくとも一つ含む重複組合せが H nk–1 個あるということは、x が少なくとも H nk–1 個は既に現れてることを保証する。(2)