多変数の微分
次に R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} の標準座標系を定義する。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に対し、
r j ( x ) = ⟨ x | e j ⟩ {\displaystyle {\textit {r}}_{j}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} \ |\ \mathbf {e} _{j}\rangle } (1-6)
とし、これを R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の第 j 座標関数という。ここで ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } は内積を表す。つまり、
r j ( ( x 1 ⋮ x n ) ) = x j {\displaystyle {\textit {r}}_{j}\left(\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\right)=x_{j}} (1-7)
である。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 標準座標系とは、 r 1 , r 2 , ⋯ , r n {\displaystyle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}} の組 ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle } のことである。
は、 s {\displaystyle s} についての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、 U [ A , p ] {\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}} を、点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と、 実数 U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} を対応させる多変数スカラー値関数
U [ A , p ] ( x ) {\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )} = U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.={{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} (6-3-6)
とする。以降、点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} は、変数とみなす。
n 次元実数ベクトル空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} とは、集合としては
R n = { ( x 1 ⋮ x n ) | x 1 , ⋯ , x n ∈ R } {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}x_{1},\cdots ,{{x}_{n}}\in \mathbb {R} \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.} (1-2)
である。つまり n 個の実数 x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle {{x}_{1}}\ ,\ \cdots \ ,\ {{x}_{n}}} を用いて
(1-6) の各成分、つまり ∂ [ a ] f i | [ p ] {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}} は、それぞれ、(1-15) に示す t についての一変数スカラー値関数
f i ∘ l [ a , p ] ( t ) = f i ( t a + p ) {\displaystyle f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=f_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )} (1-15)
を、t = 0 において(一変数スカラー値意味で)微分したものである。つまり、
なので、 f 1 , ⋯ , f m {\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{m}} すべてが p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能であれば、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} も微分可能で、
∂ [ a ] f | [ p ] = ( ∂ [ a ] f 1 | [ p ] ⋮ ∂ [ a ] f m | [ p ] ) {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}}=\left({\begin{matrix}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{1}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\vdots \\{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{m}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)} (1-14)
が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。
d ( f i ∘ l [ a , p ] ) d t | t = s = ( J f i ) l [ a , p ] ( l [ a , p ] ) s {\displaystyle {{\left.{\frac {d({{f}_{i}}{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{dt}}\right|}_{t=s}}={{(J{{f}_{i}})}_{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}}{{\left({{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}\right)}_{s}}} = ( ∂ f i ∂ x 1 | [ l [ a , p ] ] , ⋯ , ∂ f i ∂ x n | [ l [ a , p ] ] ) {\displaystyle =\left({{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{1}}}}\right|}_{[{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}]}},\cdots ,{{\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{n}}}}\right|}_{[{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}]}}\right)} s a {\displaystyle s{\textbf {a}}} = ∑ i = 1 m s a j ∂ f i ∂ x j | [ s a + b ] {\displaystyle ={{\sum \limits _{i=1}^{m}{s{{a}_{j}}\left.{\frac {\partial {{f}_{i}}}{\partial {{x}_{j}}}}\right|}}_{[s\mathbf {a} +\mathbf {b} ]}}} (3-24)
ここで“ ⋅ {\displaystyle \cdot } ”とは、行列としての積である。
■証明 f {\displaystyle {\textbf {f}}} を点 p {\displaystyle {\textbf {p}}} で一次展開し、 g {\displaystyle {\textbf {g}}} を点 f ( p ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {p} )} で(2-16)同様に一次展開すると、
f ( x ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )} = ( J f ) [ p ] ⋅ ( x − p ) + f ( p ) + o [ f , p ] ( x ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )} (3-8)
g ( y ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {y} )} = ( J g ) [ f ( p ) ] ⋅ ( y − f ( p ) ) + g ( f ( p ) ) + o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) {\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))} (3-9)