ロピタルの定理
となるが、 cos 関数が連続であるので極限操作を cos 関数の内側に移動することが有効である。この極限を計算するための他の方法は変数の置換である。y = 1/x とする。|x| が無限大に近づくにつれて y は 0 に近づく。従って、
lim | x | → ∞ x sin  1 x = lim y → 0 sin  y y = 1. {\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }x\sin {\frac {1}{x}}=\lim _{y\to 0}{\frac {\sin y}{y}}=1.}
である。最後の極限はロピタルの定理を用いて計算することもできるが、それを用いなくても 0 における sin 関数の微分の定義と同様の手法でも可能である。
この極限を計算するさらに他の方法は、テイラー展開を用いることである。
lim | x | → ∞ x sin  1 x = lim | x | → ∞ x ( 1 x − 1 3 ! x 3 + 1 5 !