フレシェ空間
実は、どんな有限次元の滑らかな多様体 M も同様のコンパクト部分集合の入れ子になった和に分解できる。リーマン計量 g があるならば、それが導く距離を d(x, y) とし、M の点 x を選んで、 K n = { y ∈ M | d ( x , y ) ≤ n } {\displaystyle K_{n}=\{y\in M|d(x,y)\leq n\}} とすればよい。M をコンパクト C-多様体、V を M 上のベクトル束とし、M 上定義された V の滑らかな切断全体の成す空間を C(M, V) で表す。接束 TM および束 V 上の(存在が保証された)リーマン計量および接続を選んで固定する。切断 s と、その j-階共変導関数 Ds に対して ‖ s ‖ n = ∑ j = 0 n sup x ∈ M | D j s | {\displaystyle \|s\|_{n}=\sum _{j=0}^{n}\sup _{x\in M}|D^{j}s|} (右辺の |⋅| は リーマン計量の導くノルム)と定めると、この半ノルム族に関してC(M, V) はフレシェ空間になる。
実数列空間 R は、数列の第 k-項の絶対値を k-番目の半ノルムとしてフレシェ空間になる。このフレシェ空間における収束は各項収束を意味する。
完備な平行移動不変距離を持つベクトル空間のすべてがフレシェ空間になるわけではない。例えば、p < 1 に対する L([0, 1]) は局所凸ではないのでフレシェ空間でない(F空間になる)。