ラッセルのパラドックス
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なお、ラッセルのパラドックスでは論理式 x ∉ x {\displaystyle x\notin x} に内包性公理を適用することによってパラドキシカルな集合を構成している。これは論理式 x ∈ x {\displaystyle x\in x} の否定である。ZFC集合論では x ∈ x {\displaystyle x\in x} のように循環的な帰属関係を持つ集合の存在は正則性公理によって否定される。もっとも正則性公理がラッセルのパラドックスを排除しているわけではない。何故なら公理を追加しても証明できる論理式は減らないからである。さらに反基礎公理と呼ばれる循環的な集合の存在を積極的に保証する公理を置く集合論の体系も存在しており、この体系の無矛盾性はZFC集合論の無矛盾性から相対的に導かれる。ただしある種の循環性を制限することによって無矛盾性を確保しようという試みは存在しており、例えば後述する単純型理論はその典型的な例である。
ツェルメロ「集合論の基礎に関する研究」発表。公理的集合論の始まり。
フレーゲ『算術の基本法則』出版。
公理的集合論によって何をもって集合とするかについての形式的な整備が進められ、素朴(だが超越的)な R {\displaystyle R} の構成を許容しない体系が構築された。
公理的集合論ではまず集合論を形式化する。次にいかなる形の集合が存在するかを公理によって規定する。 例えば素朴集合論では、上のような集合の存在を保証するために次の内包公理を置いた:
任意の性質 P ( x ) {\displaystyle P(x)} に対して、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} を満たす元 x {\displaystyle x} の集合 { x | P ( x ) } {\displaystyle \{x|P(x)\}} が存在する
しかしながら、内包公理からは、上述のとおり、
R = { x | x ∉ x } {\displaystyle R=\{x|x\notin x\}}
が構成でき、パラドックスが発生する。 したがって、集合論の公理は通常の数学を集合論の上で展開するために十分なだけの集合の存在を保証しつつ、パラドックスを発生させる集合は構成できないように慎重に設定する必要がある。