面積分
{ E := ( ∂ x ∂ u ) 2 + ( ∂ y ∂ u ) 2 + ( ∂ z ∂ u ) 2 F := ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v + ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v + ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v G := ( ∂ x ∂ v ) 2 + ( ∂ y ∂ v ) 2 + ( ∂ z ∂ v ) 2 {\displaystyle {\begin{cases}E:=\left({\dfrac {\partial x}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial u}}\right)^{2}\\[14pt]F:={\dfrac {\partial x}{\partial u}}{\dfrac {\partial x}{\partial v}}+{\dfrac {\partial y}{\partial u}}{\dfrac {\partial y}{\partial v}}+{\dfrac {\partial z}{\partial u}}{\dfrac {\partial z}{\partial v}}\\[14pt]G:=\left({\dfrac {\partial x}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial y}{\partial v}}\right)^{2}+\left({\dfrac {\partial z}{\partial v}}\right)^{2}\end{cases}}}
によって記述できて、面素 dσ はパラメータ u, v の取り方に依らない。
発散定理やその一般化であるストークスの定理のような、面積分に対する有用な結果が微分幾何学やベクトル解析を用いて、様々に得られる。