リッチテンソル
一般相対性理論において、リッチ曲率はアインシュタイン方程式の鍵となる項であり、重要な役割を果たす。
リッチフロー方程式にもリッチ曲率はあらわれる。時間依存するリーマン計量はある方向にリッチ計量の符号を反転した量だけ変形する。この連立偏微分方程式は熱拡散方程式の非線形な類似物であり、1980年代初頭にリチャード・ハミルトンにより初めて導入された。熱は定温の平衡状態に達するまで拡散しつづけるものであるから、リッチフローも多様体のリッチ曲率が定数になるような平衡幾何を実現することが期待される。近年のグリゴリー・ペレルマンによるこの主題への貢献により、三次元においてはこのプログラムによりコンパクト三次元多様体が1970年代のウィリアム・サーストンによる幾何化予想に沿って完全に分類されることが示され、それによりポアンカレ予想が肯定的に証明された。
ケーラー多様体においては、リッチ曲率はその多様体の第一チャーン類をねじれを除いて決定する。しかし、一般のリーマン多様体においては類似する位相幾何学的解釈が無い。