ディニの定理
ε > 0 を任意にとる。任意の n について gn := f − fn とし、En を gn( x ) < ε となる x ∈ X 全体の集合とする。
En は開集合 (− ∞ , ε) の連続関数 gn による逆像なので開集合である。{ gn } は単調非増加なので、集合列 { En } は拡大列である。fn は f に各点収束するので、族 { En } は X の開被覆になる。
コンパクト性より有限細分がとれるが、En が拡大列だからその中で最大のものをとれば、EN = X となる自然数 N が存在することになる。よって n > N ならば任意の x ∈ X に対し |f( x ) − fn( x )| < ε である。これは一様収束を意味する。