オイラーの式
オイラー多項式(Euler poynomial)
E n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) E k 2 k ( x − 1 2 ) n − k {\displaystyle E_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{n-k}}
オイラーの和公式 - オイラー=マクローリンの和の公式(Euler–Maclaurin summation formula)とも呼ばれる。
∑ j = 0 n − 1 f ( j ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + ∑ k = 1 m B k k ! ( f ( k − 1 ) ( n ) − f ( k − 1 ) ( 0 ) ) + R m {\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}f(j)=\int _{0}^{n}f(x)dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{m}}
オイラーの公式 (Euler's formula) - 指数関数と三角関数の関係式。
e i θ = cos  θ + i sin  θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }
オイラーの等式 (Euler's identity) - 上記の関係式で θ = π {\displaystyle \theta =\pi } のときに導かれる等式。
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
オイラー方程式 - 変分法による運動方程式。解析力学の基礎方程式でもあり、オイラー=ラグランジュ方程式 (Euler–Lagrange equation)とも呼ばれる。
∂ L ∂ q i − d d t ( ∂ L ∂ q ̇ i ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0}