トレミーの不等式
ユークリッド幾何学において、トレミーの不等式(トレミーのふとうしき)とは、平面または高次元空間内の4点により決まる6つの距離についての不等式。4つの任意の点 A, B, C, D について、次の不等式が成り立つことを示す。
A B ̄ ⋅ C D ̄ + B C ̄ ⋅ D A ̄ ≥ A C ̄ ⋅ B D ̄ . {\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}
その名はギリシャの天文学者、数学者であるトレミーに因む。
4つの点は3つの異なる方法(反転を区別せずに数えている)で順番をつけて3つの異なる四辺形を作ることができる。それぞれの対辺の積の和は少なくとも対角線の積と同じ大きさである。よって不等式の3つの積の項はいずれかを不等式の右側に加えるように並べ替えることができるため、四辺形の任意の1つの対辺または対角線の3つの積は三角不等式に従う必要がある。
特別な場合として、4つの点が円上に並んでいる場合は不等式が等式になる(トレミーの定理)。他の場合では、4つの点が同一直線上にあるとき等式が成り立つ。この不等式はユークリッド空間から任意の距離空間に一般化されない。これが成り立つ空間は「プトレマイオス空間」と呼ばれる。これには内積空間、アダマール空間、プトレマイオスグラフ上の最短経路距離が含まれる。