モース理論
微分可能多様体 M の上の実数に値を持つ滑らかな函数 f : M → R に対し、f の微分が 0 となるような点は、f の臨界点(critical points)と言われ、f による像は臨界値(英語版)(critical value)と言われる。臨界点 b で 2階偏微分の行列(ヘッセ行列)が非特異ならば、b を非退化な臨界点と言い、ヘッセ行列が特異であれば、b を退化した臨界点と言う。
R から R への函数
f ( x ) = a + b x + c x 2 + d x 3 + ⋯ {\displaystyle f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots }
は、b=0であれば、原点で臨界点を持つ。臨界点は c≠0(つまり、f は、a+cx+...の形)であれば非退化であり、c=0(つまり、f は、a+dx+...の形)であれば退化している。退化した臨界点の簡単な例が、原点で猿の鞍点(英語版)(monkey saddle)となることである。
f の非退化臨界点 b の臨界指数(index)は、ヘッセ行列が負定値であるような b での M の接空間の最大部分空間の次元である。このことは、直観的な考え方である指数は f の値が減少する方向の数に対応する。退化性と臨界点の指数とは、シルベスターの慣性法則が示しているように、使用する局所座標系の選択には依存しない。
説明のために、山のある図形 M を考える。函数 f : M → R を M 上の各々の点を高さへ写像するとすると、R の点である等位集合の逆像は単純に等位集合(等高線)となる。各々の等高線の連結成分は、点、単純な閉曲線、または、二重点(double point)となる。等高線である輪郭線は高次の点(三重点など)となるかもしれないが、しかしこれらは不安定であり、図形の少しの変形でなくすることができるかもしれない。輪郭線の二重点は、鞍点(saddle points)や経路である。鞍点は、図形の中の曲線で一つはある方向に伸びていて、他方は別な方向へ伸びている曲線で囲まれている点を言う。
この図形の上を水に浸されていると想像すると、水が高さ a へ到達すると水でひたされている領域は、f(−∞, a] あるいは、高さが a よりも低い点となる。水を増やすとこの領域がどのように変化するか考えてみよう。直感的には、a が臨界点(critical point)を超えない限り変化しないように思える。すなわち、f の勾配が 0 となる点である(この点での接空間からこの点への線型写像として作用している線型写像 f のヤコビ行列が最大ランクを持たない)。言い換えると、水が下記の点に達したとき以外は、変化しない。
(1) 水を図形に充填し始めたとき (basins)
(2) 水位が鞍点に達したとき(峠) (passes)