ラグランジュの定理 (群論)
{\displaystyle {\begin{aligned}G=&a_{1}b_{1}K\cup a_{1}b_{2}K\cup a_{1}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{1}b_{n}K\cup \\&a_{2}b_{1}K\cup a_{2}b_{2}K\cup a_{2}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{2}b_{n}K\cup \\&a_{3}b_{1}K\cup a_{3}b_{2}K\cup a_{3}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{3}b_{n}K\cup \\&\cdots \\&a_{m}b_{1}K\cup a_{m}b_{2}K\cup a_{m}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{m}b_{n}K.\end{aligned}}}
したがって、部分群 K の G における指数は [ G : K ] = m n {\displaystyle [G:K]=mn} になる。 よって、
[ G : K ] = [ G : H ] [ H : K ] . {\displaystyle [G:K]=[G:H][H:K].}
Q.E.D.
G ≥ H ≥ K のとき K = {e} (e は群 G の単位元)とおくと [G : {e}] = |G| および [H : {e}] = |H| が成り立つ。したがって、元々の等式 |G| = [G : H] |H| を得る。