シュレーディンガー場
これは独立した調和振動子の集合体に対する位置運動量経路積分とみることができる。
等価性を見るには、作用を実部と虚部に分解できることに注意して以下のようにすればよい。
S = ∫ t ∑ i 2 ψ r d ψ i d t − E i ( ψ r 2 + ψ i 2 ) {\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}2\psi _{r}{d\psi _{i} \over dt}-E_{i}(\psi _{r}^{2}+\psi _{i}^{2})}
それぞれを独立に積分する。 ψ r {\displaystyle \psi _{r}} に対して積分を取ることで作用は以下のように記述できる。
S = ∫ t ∑ i 1 E i ( d ψ i d t ) 2 − E i ψ i 2 {\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}{1 \over E_{i}}\left({d\psi _{i} \over dt}\right)^{2}-E_{i}\psi _{i}^{2}}
ただし、 ψ i {\displaystyle \scriptstyle \psi _{i}} を リスケールして、 E i {\displaystyle E_{i}} 周期の調和振動子とした作用である。
相互作用の場の方程式は、シュレディンガー方程式の非線形で非局所的なバージョンである。 ペアワイズ相互作用の場合:
i ∂ ∂ t ψ = − ∇ 2 2 m ψ + ( ∫ y V ( x , y ) ψ † ( y ) ψ ( y ) ) ψ ( x ) . {\displaystyle i{\partial \over \partial t}\psi =-{\nabla ^{2} \over 2m}\psi +\left(\int _{y}V(x,y)\psi ^{\dagger }(y)\psi (y)\right)\psi (x).\,}
.. ) − ( m c 2 ) 2 ( a ^ a ^ † + b ^ b ^ † + ... ) = 1 2 m c 2 [ ( ħ c ) 2 ( − i m c ħ A ^ + ∂ 0 A ^ ) ( i m c ħ A ^ † + ∂ 0 A ^ † ) − ( ħ c ) 2 ∂ x A ^ ∂ x A ^ † + ( A ⇒ B ) + ... − ( m c 2 ) 2 ( A ^ A ^ † + B ^ B ^ † + ... ) ] = ħ 2 2 m [ i m c ħ ( ∂ 0 A ^ A ^ † − A ^ ∂ 0 A ^ † ) + ∂ μ A ^ ∂ μ A ^ † + ( A ⇒ B ) + ...
ここで、デルタ関数は、体積が無限か有限かに応じて、 ディラックデルタ関数またはクロネッカーデルタのいずれかである。
これによって交換関係は演算子を完全に決定するものとなる。空間体積が有限の場合、運動量は離散的であるため、一致する運動量を理解するための概念的な障害はありません。 離散運動量基底では、基底状態は次のとおりである。
| n 1 , n 2 , . . . n k ⟩ {\displaystyle |n_{1},n_{2},...n_{k}\rangle \,}
ここで、nは各運動量をもつ粒子の数である。 フェルミオンとエニオンの場合、任意の運動量での粒子の数は常に0または1である。 オペレーター ψ k {\displaystyle \scriptstyle \psi _{k}} は相互作用に関係なく、状態間に調和振動子でのそれに似たマトリックス要素がある:
ψ † ( k ) | . . , n k , ... ⟩ = n k + 1 | . . . , n k + 1 , ... ⟩ {\displaystyle \psi ^{\dagger }(k)|..,n_{k},\ldots \rangle ={\sqrt {n_{k}+1}}\,|...,n_{k}+1,\ldots \rangle }
ψ ( k ) | . . . , n k , ... ⟩ = n k | . . . , n k − 1 , ...