ケルビン・ストークスの定理
任意の連続なループと、任意の1点の間に連続なホモトピー(tube-like-homotopy)が存在する。
任意の区分的滑らかなループと、任意の1点の間に区分的滑らかなホモトピー(tube-like-homotopy)が存在する。
しかし上記の2命題の間のギャップはとてつもなく大きく、これを埋めるには微分トポロジーに関する高度な知識が必要となる。しかし、事実として、ある程度素性の良い空間においては、この2つの命題は等価である。このギャップが気になるものは、例えば以下のリソースを参照するとよい。
Whitney Approximation Theorem ( page 136あるいは、) (及び、その適用法 page 421).
より一般的な問題としては、ポントリャーギン (see Theorems 7 and 8)を参照のこと。
Lemma 2-2と、上記の事実から、以下の定理が導出される。
Theorem 2-2. 開集合U ⊆ Rは、単連結とする。定義域をUとする 層状ベクトル場Fと、区分的に滑らかな曲線 c : [0, 1] → U に対し、以下が成り立つ。
∫ c 0 F d c 0 = 0 {\displaystyle \int _{c_{0}}\mathbf {F} dc_{0}=0}
この定理より、
単連結空間では保存力場に逆らった物体の移動に伴う仕事は、経路に依存しないことが保障される。