開写像定理 (複素解析)
f: U → C を定数でない正則関数とし,U を複素平面の領域とする.f(U) に属するすべての点が f(U) の内点であること,すなわち f(U) のすべての点が f(U) に含まれる近傍(開円板)を持つことを示さなければならない.
f(U) 内の任意の w0 を考える.すると U 内のある点 z0 が存在して w0 = f(z0) となる.U は開だから,ある d > 0 が存在して,z0 のまわりの半径 d の閉円板 B は U に完全に含まれる.関数 g(z) = f(z) − w0 を考える.z0 はその零点であることに注意.
g(z) は定数でない正則関数である.g の零点は一致の定理により孤立しており,必要ならば d を小さく取り直すことによって,g(z) は B 内に零点をただ1つしか持たないようにできる(がその重複度は 1 よりも大きいかもしれない).
B の境界は円周でありしたがってコンパクトで,またその上で |g(z)| は正値連続関数なので,最大値の定理により正の最小値 e の存在が保証される,つまり,e は B の境界上の z に対する |g(z)| の最小値であり,e > 0 である.