ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
特に、 dim  S ′ < dim  S {\displaystyle \operatorname {dim} ~S'<\operatorname {dim} ~S} が必ず得られる。したがって、次元についての帰納法により、 S ′ ⊆ S {\displaystyle S'\subseteq S\,} は F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} に対して共通の固有ベクトルを持つことを前もって議論することが可能であった。
定理 1: F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} 内のすべての作用素がコンパクトであるなら、それらは同時(ユニタリ)対角化可能である。
証明(定理 1): 包含関係によって半順序付けられる P = { A ⊆ H : A {\displaystyle \mathbb {P} =\{A\subseteq H:A\,} an orthonormal set of common eigen vectors for F } {\displaystyle {\mathcal {F}}\}\,} を考える。これは明らかにツォルンの性質を持つ。したがって Q を極大元としたとき、Q がヒルベルト空間 H の全体に対する基底であるなら、証明は完成される。もしそうでないなら、 S = ⟨ Q ⟩ ⊥ {\displaystyle S={\langle Q\rangle }^{\bot }\,} とすることで、これは F {\displaystyle {\mathcal {F}}\,} -不変な非自明閉部分空間であることが簡単に分かる。
ここで証明には行列の手法を直接使う必要が無かったことに注意されたい。それらの手法を使う別の証明も存在する。
上の定理を、すべての作用素が単にそれらの随伴作用素と可換である場合に拡張することも出来る。この場合、対角化における「直交」という語を取り除くこととなる。ワイル=ピーターによる表現から生じる作用素に対する、より弱い結果も存在する。G をある固定された局所コンパクトなハウスドルフ群とし、定数倍の不定性を除いて一意な G 上のハール測度に関する自乗可積分な可測関数の空間 H = L 2 ( G ) {\displaystyle H=L^{2}(G)\,} を定める。連続なシフト作用 G × H → H {\displaystyle G\times H\to H\,} を考える。ここで ( g f ) ( x ) = f ( g − 1 x ) {\displaystyle (gf)(x)=f(g^{-1}x)\,} とする。このとき、G がコンパクトであるなら H のある有限次元の既約な不変部分空間の可算直和への分解が唯一つ存在する(これは本質的には作用素の族 G ⊆ U ( H ) {\displaystyle G\subseteq U(H)\,} の対角化である)。G がコンパクトでないが、アーベルである場合には、対角化は達成されない。しかし、H の 1-次元不変部分空間への「連続な」分解が唯一つ存在する。
強作用素位相における有界作用素の列が Sn → S を満たし、T がコンパクトであるなら、SnT はノルムにおいて ST に収束する。例えば、標準基底 {en} を備えるヒルベルト空間 l(N) を考える。Pm を {e1 ... em} の線型包の上の正規直交射影とする。列 {Pm} は恒等作用素 I に強収束するが一様収束はしない。今 T を Ten = (1/n) · en と定義する。T はコンパクトであり、上述のように、一様作用素位相において PmT → I T = T が成立する。すなわち、すべての x に対して、
‖ P m T x − T x ‖ ≤ ( 1 m + 1 ) 2 ‖ x ‖ {\displaystyle \|P_{m}Tx-Tx\|\leq \left({\frac {1}{m+1}}\right)^{2}\|x\|}
が成立する。各 Pm は有限ランク作用素であることに注意されたい。同様の理由で、T がコンパクトであるなら、T はある有限ランク作用素の列の一様極限であることが示される。
コンパクト作用素のイデアルのノルム閉性により、逆も同様に成り立つ。
コンパクト作用素を法とする L(H) の商 C*-環は、カルキン環(英語版)と呼ばれ、そこにおいてはある作用素の性質をコンパクトな摂動に至るまで考えることが出来る。