クラマース・ハイゼンベルグの分散式
光に対する原子の応答が、光の振動数に応じて変わることを分散というが、その応答は原子の分極率に集約されているので、歴史的には分極率を導き出す理論を分散理論という。19世紀の末に展開された古典的なドルーデの理論およびそれを前期量子論的に解釈しなおしたR. Ladenburgの公式は、実験との一致を見る限り十分だったけれども、励起準位にある原子に対してはボーアの対応原理の要求を満たさない。クラマースは励起準位からの光の放出を「負の吸収」として加えることによって、分極率に対する正しい公式を提出した。それを前期量子論の最後の技法であるボルンの対応則を用いて基礎づけたのが、クラマースとハイゼンベルクの仕事である。
クラマースとハイゼンベルクは分散式を古典的に導いたが、後にディラックによって量子論的に証明された。またPlaczek(英語版)は、ある条件下ではこの分散式が分子の分極率テンソルで近似的に表わされることを示した。これをPlaczek近似という。
d σ d Ω = ω i ω f 4 c 4 | ∑ s { ⟨ f | ε f Q | s ⟩ ⟨ s | ε i Q | i ⟩ E i − E s + ħ ω i + ⟨ f | ε i Q | s ⟩ ⟨ s | ε f Q | i ⟩ E i − E s + ħ ω f } | 2 {\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {\omega _{i}\omega _{f}^{4}}{c^{4}}}{\bigg |}\sum _{s}{\bigg \{}{\frac {\langle f|\mathbf {\varepsilon } _{f}\mathbf {Q} |s\rangle \langle s|\mathbf {\varepsilon } _{i}\mathbf {Q} |i\rangle }{E_{i}-E_{s}+\hbar \omega _{i}}}+{\frac {\langle f|\mathbf {\varepsilon } _{i}\mathbf {Q} |s\rangle \langle s|\mathbf {\varepsilon } _{f}\mathbf {Q} |i\rangle }{E_{i}-E_{s}+\hbar \omega _{f}}}{\bigg \}}{\bigg |}^{2}}
ここで i {\displaystyle i} 、 s {\displaystyle s} 、 f {\displaystyle f} はそれぞれ始状態、中間状態、終状態を表し、 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } は原子の双極子モーメントである。