剰余
a を整数、d を0でない整数とすると、式 a = qd + r(0 ≤ r < |d|)を満たすただ一組の整数 q および r が存在する。ここで q は「商」、r は「剰余」とそれぞれ呼ばれる。
(この結果の証明は en:Euclidean division を参照。どのように剰余を計算するかのアルゴリズムについては除算 (デジタル)を参照。)
上で定義されたような剰余は「最小正剰余」あるいは単に「剰余」と呼ばれる。整数 a は d の倍数か、(q を正として)q⋅d と (q + 1)d の間にある数のどちらかである。
いくつかの場合、a ができる限り d の整数倍になるようにすると便利である。このとき、いくつかの整数 k に対して
a = k⋅d + s(ただし |s| ≤ |d/2|)
となる。
この場合、s は「最小絶対剰余」と呼ばれる。商および剰余と同様に、d = 2n かつ s = ± n の場合を除き、k と s は一意に定まる。例外の場合、
a = k⋅d + n = (k + 1)d − n
となる。 固有の剰余はいくつかの条件(例えば s は正に限る)などの条件を付け加えた場合に得られる。