回転 (数学)
回転群は特定の一点の周りの回転全体の成すリー群 SO(n) を言う。この(共通の)不動点を回転の中心と呼び、普通はこれを原点と同一視する。回転群は(向きを保つ)運動(英語版)の成すより大きい群の一点固定部分群である。
一つの回転に関して:
回転(の)軸(英語版) (axis of rotation) とは、その回転の不動点全体の成す直線を言う。これは次元 n > 2 においてのみ存在する。
回転の面(英語版) (plane of rotation) とは、その回転の群作用の下で安定(不変)な平面(すなわち、回転不変面)を言う。回転軸と異なり、この平面上の各点それ自身はその回転の不動点でない。回転軸が存在するならば、回転軸と回転不変面とは互いに直交する(軸直交回転面)。
初等幾何学および線型代数学における回転(かいてん、英: rotation)は、平面あるいは空間において固定された一点の周りでの剛体の運動を記述する。回転は、不動点を持たない平行移動とは違うし、剛体を「裏返し」にしてしまう鏡映とも異なる。回転を含めたこれらの変換は等距変換、即ちこれらの変換の前後で二点間の距離を変えない。
回転を考える際には基準系を知ることが重要であり、全ての回転はある特定の基準系に対するものとして記述される。一般に、ある座標系に関する剛体の任意の直交変換に対し、その逆変換が存在して、それを基準系に施すと剛体はもとと同じ座標にいることになる。例えば二次元の座標上の1点を定めて剛体を置いた時、1点を軸として剛体を時計回りに回すことと、剛体を動かさず1点を軸として座標を反時計回りに回すことは等価である。
二次元の回転角を一般化する一つの方法として、三つの主軸の周りでの転回を与える三つの回転角を指定する方法がある。それらは個々にロール・ピッチ・ヨー角と一般には呼ばれているが、数学においてはより数学的な名前でオイラー角という。これらの角はジンバルやジョイスティックのような物理的系の数々のモデル化において優れており、容易に視覚化することもできるし、非常に簡潔に回転を記録することができる。しかしこの角の概念は計算には向いておらず、たとえ回転を組み合わせる単純な操作でさえも、計算を実行するのは手が掛かりすぎる。また、ある種の回転に対してはオイラー角が一意に決まらないというジンバルロックといった形でも弱点を持っている。