有限アーベル群の構造定理
上記の分解において、G の冪数は a1 に等しく、また G の位数は積 a1⋯ak に等しい。したがって、有限アーベル群の位数がその冪数以下となれば、それは巡回群である。特に、可換体の乗法群の任意の有限部分群は巡回群になる。
二つの有限アーベル群が同型となるのは、各位数の元の数がそれら二つの群において一致するときである。実際、このデータから単因子が求められる。「アーベル」であるという条件を欠かすことはできない: 例えば、任意の奇素数 p に対し、位数 p かつ冪数 p の群がふたつ存在する。それはアーベル群 (Zp) と Fp 上のハイゼンベルク群である。
任意の準同型 ρ : H → Z / e Z {\textstyle \rho \colon H\to \mathbb {Z} /e\mathbb {Z} } は準同型 ρ ′ : Z / m Z → Z / e Z {\textstyle \rho '\colon \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /e\mathbb {Z} } に延長できる。
Z/mZ は Z/eZ の部分群に同型であるから、一般性を失うことなく m = e と仮定してよい。d を H の位数とすれば、 d ρ ( H ) = ρ ( d H ) = ρ ( 0 ) = 0 {\textstyle d\rho (H)=\rho (dH)=\rho (0)=0} ゆえ ρ(H) ⊂ H である。したがって H 上で ρ は適当な整数を掛ける操作に他ならないから、ρ′ としては Z/eZ 上で同じ整数を掛ける準同型を取ればよい。
定理の証明 — G の位数 n に関する帰納法により示す。