複素対数函数
log z の複数の枝を貼り合わせて一つの函数 log: C* → C を得ることは、二つの相異なる枝がそれらの両方が定義される点においてさえ異なる値をとり得ることにより、不可能である。例えば C ∖ R≤0 上で定義され、虚部 θ が (−π, π) に入る主枝 Log z と、C ∖ R≤0 上で定義され、虚部 θ が (0, 2π) に入る枝 L(z) とは、上半平面では一致するが下半平面では一致しないから、これらの枝の定義域を「上半平面のコピーに沿ってだけ」貼り合わせることには意味を持たせることができる。貼り合わせで得られる領域は連結だが下半平面のコピーは二つ持つ。これら二つのコピーを二階建ての駐車場に譬えると、Log の階の下半平面から L の階の下半平面まで、0 を反時計回りに360°周って行くことができる。それには、Log の階で初めて正の実軸をまたいだときに共有された上半平面に入り、L の階の負の実軸をまたいで L の階の下半平面に入るのである。
同様の貼り合わせを、虚部 θ が (π, 3π) に入る枝、(2π, 4π) に入る枝、...... に対して、あるいは別方向の、虚部 θ が (−2π, 0) に入る枝、(−3π, −π) に入る枝、...... とどんどん続けることができる。そうして最終的に得られる連結な曲面は、先ほどの駐車場の喩えで言えば、上にも下にも無限に伸びる無数の階が螺旋状に連なった駐車場になる。この曲面を複素対数函数 log z に付随するリーマン面 R と呼ぶ。
対数のリーマン面 R 上の点は、複素数 z とその偏角の取り得る値 θ との対 (z, θ) と考えることができる。これにより R は C × R ≈ R に埋め込める。
↑ このことを、複素指数函数は各非零複素数 z に z の対数となる複素数全体の成す集合を対応させる多価函数を「逆函数」に持つと解釈することもできる
↑ 特に計算機言語では atan2(y, x) とも書いて、これは x > 0 では arctan(y/x) に一致するが、任意の (x, y) ≠ (0, 0) に対して修正された値をとる。
↑ 実際にはこれは主値 Log z の制限になる。そのことは、主値との差を微分して 1 における値を比べればわかる。
↑ 厳密にいえば、各円上の点から負の実軸上の点は除くか、そこでは主値を用いるかしなければならない。
↑ リーマン面を R と書いたり、その上の対数を logR と書くのはここだけのローカルな記号であって、一般に使用されるものではない
複素対数函数は複素数の複素数乗を定義するのに必要である。具体的に、複素数 a, b (a ≠ 0) に対し、対数主値を用いて a ≔ e と定義する。Log a を a の別の対数に取り換えて a の別の値を得る。