ワイエルシュトラスの因数分解定理
n ∈ N 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} (非負の整数) に対し、ワイエルシュトラスの基本因子(elementary factors)と呼ばれる(主要因子(primary factors)とも呼ばれる) 整函数 E n ( z ) {\displaystyle E_{n}(z)} を次のように定義する。
E n ( z ) = ( 1 − z ) exp  ( h n ( z ) ) {\displaystyle E_{n}(z)=(1-z)\exp \left(h_{n}(z)\right)}
h n ( z ) = { 0 if n = 0 , z 1 1 + z 2 2 + ⋯ + z n n otherwise . . {\displaystyle h_{n}(z)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0,\\{\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\ .}
h n ( z ) = z 1 1 + z 2 2 + z 3 3 + ⋯ + z n n {\displaystyle h_{n}(z)={\tfrac {z^{1}}{1}}+{\tfrac {z^{2}}{2}}+{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots +{\tfrac {z^{n}}{n}}} という級数について、注目すべき点をいくつか述べておく。
複素解析において、ワイエルシュトラスの因数分解定理(ワイエルシュトラスのいんすうぶんかいていり、英: Weierstrass factorization theorem)とは、前もって与えられた集積点を持たない可算無限個の点のみを零点として持つ恒等的に 0 でない整函数が存在し、それは一次関数の無限積と零点を持たない整函数の積で表すことができることを示す定理である。
この定理と対になるのがミッタク=レフラーの定理であり、前もって与えられた集積点を持たない可算無限個の極を持つ有理型関数の存在を保証している。
この定理の名前はカール・ワイエルシュトラスに因んでいる。 混同の恐れのない限り、単にワイエルシュトラスの定理(ワイエルシュトラスのていり、英: Weierstrass theorem)とも呼ばれる。
定理は有理型函数へ拡張され、与えられた有理型函数を 3つの要素の積として考えることが可能になる。3つの要素とは、函数の極、函数の零点に依存するものと、これらに付帯する 0 でない正則函数である。
従って、定理の条件によって、無限和部分は収束し有限確定値を取る。 R {\displaystyle R} は任意に大きくできるので、任意の z {\displaystyle z} に対して、無限和部分の絶対値は有限確定値を取る。従って、無限和 ∑ n = 1 ∞ log  E p n ( z / a n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log E_{p_{n}}(z/a_{n})} は各零点 a n {\displaystyle a_{n}} でのみ負の無限大になり、複素平面のそれ以外の点では有限確定値を取る。
以上から 無限積 f ( z ) = ∏ n = 1 ∞ E p n ( z / a n ) {\displaystyle f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})} は各零点 a n {\displaystyle a_{n}} でのみ 0 となり、複素平面のそれ以外の点では 0 以外の有限確定値を取る。