ブラーマグプタの公式
四角形 ABCD があるとする。辺の長さを AB = a, BC = b, CD = c, DA = d とし、s を当該四角形の半周長とする。
このとき、四角形 ABCD が円に内接する、すなわち頂点の A, B, C, D が円の円周上にあるとするならば、四角形 ABCD の面積 S は S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} と等しい。この等式をブラーマグプタの公式という。
三角形を四角形の特別な場合と見て a = 0 とし、この定理の条件の円を三角形の外接円と考えればヘロンの公式が得られる。
さらにこの四角形 ABCD が円に外接するとき、いわゆる双心四角形の面積 S は
S = √abcd
と表せる。内接円を持つ四角形の性質とブラーマグプタの公式を利用して得られる簡潔な公式である。
さらに一般化して円に内接しない四角形の面積を求める公式も知られている。四角形 ABCD の対角の和、たとえば ∠ABC + ∠CDA の半分を t とすると
S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d cos 2  t {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}t}}}
が成り立つ。この公式をブレートシュナイダーの公式と呼ぶ。もし、四角形 ABCD が円に内接するならば、対角の和は 180° となるから t = 90° であり cos t = 0 となるため、ブラーマグプタの公式が得られる。