電磁ポテンシャル
電磁場は電磁ポテンシャルの一階の微分方程式で定義されるため、電磁ポテンシャルには不定性が生じる。この不定性によりポテンシャルを変化させる操作はゲージ変換と呼ばれる。
電磁場をラグランジュ形式で記述する際のラグランジアンは電磁場ではなく電磁ポテンシャルを用いて書かれる。電磁ポテンシャルは、電磁場より基本的な量として扱われる。
古典電磁気学では、観測にかかる本質的な物理量は電場や磁場であって、ベクトルポテンシャルやスカラーポテンシャルは便宜的に導入された道具に過ぎないとも考えられている。またゲージ変換も理論の不定性を増すだけの余分な性質のように言われることもある。しかし電荷が光速移動する際のローレンツ不変性を説明するためにはポテンシャル場の介在の上で電磁場を捉える必要がある。また量子力学などの領域でも、電場や磁場よりも電磁ポテンシャルの方が本質的な物理量である。電磁ポテンシャルが物理量であることの顕著な表れ方がアハラノフ=ボーム効果である。またゲージ変換は、荷電粒子と電磁場との相互作用の形を一意的に決定しているために便利である。
電磁場テンソルにより、拘束条件(M1)は
∂ ρ F μ ν + ∂ μ F ν ρ + ∂ ν F ρ μ = 0 {\displaystyle \partial _{\rho }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \rho }+\partial _{\nu }F_{\rho \mu }=0}
となる。
同様に、電磁場の運動方程式(M2)および式(M2')は
∂ ν F ν μ = − μ 0 j μ {\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=-\mu _{0}j^{\mu }}
∂ ν ∂ ν A μ − ∂ μ ( ∂ ν A ν ) = − μ 0 j μ {\displaystyle \partial _{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }(\partial _{\nu }A^{\nu })=-\mu _{0}j^{\mu }}
となる。
なんらかのスカラー場 u ( x ) {\displaystyle u(x)} を定義し、その微分を、電磁ポテンシャルに付け加えてみる
A μ ( x ) ↦ A μ ′ ( x ) = A μ ( x ) − ∂ μ u ( x ) {\displaystyle A_{\mu }(x)\mapsto A'_{\mu }(x)=A_{\mu }(x)-\partial _{\mu }u(x)}
この変化によって電磁場は変化しない。 実際に電磁場の定義式に代入すると、
F μ ν ↦ F μ ν ′ = ∂ μ A ν ′ − ∂ ν A μ ′ = ∂ μ ( A ν − ∂ ν u ) − ∂ ν ( A μ − ∂ μ u ) = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle {\begin{aligned}F_{\mu \nu }\mapsto F'_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }A'_{\nu }-\partial _{\nu }A'_{\mu }\\&=\partial _{\mu }(A_{\nu }-\partial _{\nu }u)-\partial _{\nu }(A_{\mu }-\partial _{\mu }u)\\&=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\end{aligned}}}