三次元球面
三次元球面はコンパクトで連結かつ単連結な境界のない三次元多様体である。これが意味するところは、広い意味で言えば、三次元球面上のどのようなループ(循環路)も、三次元球面の面上を離れることなく連続的に一点に縮めることができるということである。かのポワンカレ予想(2003年にグレゴリー・ペレルマンが証明した)は、上記の性質を満たす三次元多様体は(同相の違いを除いて)三次元球面だけであることを述べるものである。
三次元球面は三次元ユークリッド空間 R の一点コンパクト化に同相である。一般に、三次元球面に同相な任意の位相空間を三次元位相球面 (topological 3-sphere) と呼ぶ。
三次元球面のホモロジー群は、0 次および 3 次が無限巡回群 Z でそれ以外はすべて {0} である: