被覆空間
各々のファイバーの上での Aut(p) の作用は、自由である。この作用があるファイバー上で推移的であれば、すべてのファイバー上で推移的であり、この場合を被覆は正規(regular)や正則(normal)、ガロア的と呼ばれる。全てのそのような正規な被覆は、主 G-バンドルであり、G = Aut(p) は離散位相群と考えられる。
全ての普遍被覆 p : D → X は正規であり、被覆変換群は基本群 π1(X) に同型である。
上記の p(z) = z の例 p : C → C は、正規被覆であり、被覆変換は 1の n-乗根による乗法であり、従って、被覆変換群は巡回群 Cn に同型である。
他の例として、上記の p(z) = z の例 p : C* → C* も正規被覆であり、変換群の階層を持っている。実際、Cx! は、1 ≤ x ≤ y ≤ n に対し Cy! の部分群である。
X がさらに別な構造をもつ場合、普遍被覆も、通常その構造を引き継ぐ。
X が多様体ならば、普遍被覆 D も多様体である。
X がリーマン面ならば、普遍被覆 D もリーマン面で、p は正則写像である。
X がローレンツ多様体(つまり、符号数 (p,1) の計量を有する擬リーマン多様体)ならば、普遍被覆 D もローレンツ多様体である。さらに、p(U) を、共通部分をもたない開集合の和集合で、各々の開集合が p により U と可微分同相とする。X が時間的(timelike)閉曲線を含むとき、X は時間的複連結である(いかなる時間的閉曲線も、任意の点と時間的にホモトープとなることができず、どの点も因果的に上手く振舞えないからである)。従って、そのような空間の(可微分)普遍被覆は時間的単連結(英語版)(timelike simply connected)である(時間的閉曲線を含まない)。
X がリー群ならば(上記二つの例と同様)、D もリー群であり、p はリー群の準同型である。この場合、普遍被覆は普遍被覆群とも呼ばれる。普遍被覆群は、表現論と量子力学に重要な応用を持つ。普遍被覆群の通常の群表現 (D) は、元の(古典)群の射影表現(英語版)(projective representation) (X) だからである。
普遍被覆は、解析接続が自然にできる領域として、解析函数論で初めて登場した。