アトラクター
A にある近傍 B が存在し、全ての x ∈ B と k ∈ Z について f(x) ∈ B である。 全ての x ∈ B について、k → ∞ のとき f(x) → A である。
さらに、吸引集合と流れの組 (A, φ) あるいは吸引集合と写像の組 (A, f) が以下のように位相的推移性を満たすとき、A をアトラクターと呼ぶ。
連続力学系の場合: A の任意の部分開集合 U, V に対し、全ての x ∈ U が φ(t, x) ∈ V を満たす t ∈ R が存在する。
離散力学系の場合: A の任意の部分開集合 U, V に対し、全ての x ∈ U が f(x) ∈ V を満たす k ∈ Z が存在する。
力学系の位相的推移性あるいは推移性とは、簡単に言えば、軌道がその領域内をくまなく動き回ることを意味する。松葉 2011、Hirsch, Smale & Devaney 2007、久保・矢野 2018 も位相的推移性をアトラクターの条件に課している。小室 2005 でも稠密な軌道の存在という形でアトラクターを定義付けている。Strogatz 2015 や Falconer 2006 では、位相的推移性の代わりに A が極小集合であること、すなわち A の全ての真部分集合が吸引集合の条件を満たさないことをアトラクターの定義としている。
ヨーク、津田 一郎(監訳)、星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏(訳)、2012c、『カオス 第3巻 力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06540-2 [原著]Kathleen T. Alligood; Tim D. Sauer; James A. Yorke (1997). Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Springer-Verlag New York
合原 一幸・黒崎 政男・高橋 純、1999、『哲学者クロサキと工学者アイハラの神はカオスに宿りたもう』初版、アスキー ISBN 4-7561-3133-6
Kenneth Falconer、服部 久美子・村井 浄信(訳)、2006、『フラクタル幾何学』、共立出版〈新しい解析学の流れ〉 ISBN 4-320-01801-X [原著]Kenneth Falconer (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.). John Wiley & Sons
小室 元政、2005、『基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ』新版、サイエンス社 ISBN 4-7819-1118-8
久保 泉・矢野 公一、2018、『力学系』オンデマンド版、岩波書店 ISBN 978-4-00-730742-3
松葉 育雄、2011、『力学系カオス』第1版、森北出版 ISBN 978-4-627-15451-3
早間 慧、2002、『カオス力学の基礎』改訂2版、現代数学社 ISBN 4-7687-0282-1
時間遅れ τ と埋め込み次元 m を適切に選択すれば、時系列データを生んだ元の相空間のアトラクターの性質が、時間遅れ座標系によって作られるアトラクターに引き継がれる。
数学的には、いくつかの仮定のもとで、この時系列データから時間遅れ座標系への変換が埋め込みであることは、ターケンスの埋め込み定理およびそれを拡張させた定理によって保証されている。ここで埋め込みとは、滑らかな多様体 M と滑らかな写像 F: M → R が与えられたとき、F: M → F(M) が微分同相写像で、かつ全ての p ∈ M において微分 dF(p): TpM → TF(p))R が1対1であることを指す。ただし、時系列解析分野では、この変換を使った手法自体を埋め込みと呼んだりもする。変換が埋め込みであることによって元のアトラクターのフラクタル次元が保存され、リアプノフ指数の推定も可能となる。ターケンスの埋め込み定理は、ホイットニーの埋め込み定理を力学系の観測問題用に1変数時系列から時間遅れ座標系への変換を扱う形にフロリス・ターケンスが拡張したもので、ターケンスの埋め込み定理以降、時系列データからの再構成に関する研究が一気に進展した。ターケンスの埋め込み定理では、元となるアトラクターが写像 f のもとで不変でかつ整数次元 d のコンパクト多様体に対して、埋め込み次元が m > 2d を満たせば成立する。ターケンスの後にティム・サウアーらによって、ボックスカウント次元 dB を持ったコンパクト部分集合についても、いくつかの追加条件付きだが m > 2dB で同種の定理が成り立つことが証明されている。
ストレンジアトラクターは、初期値鋭敏性を持つために少なくとも1つのリアプノフ指数が正である。軌道接線方向はリアプノフ指数 0 である。残りのリアプノフ指数は負であり、さらに相空間の体積要素が縮小していくという散逸系の特性にしたがって、全てのリアプノフ指数の和は負になる。
以上のような各アトラクターに対する指標・特性をまとめると、以下の表のようになる。