底に関する指数函数
任意の真に正な実数 a, b と任意の実数 x, y に対し: a x = exp  ( x ln  ( a ) ) = e x ln  ( a ) , a x = b x log b  ( a ) , a x y = ( a x ) y {\displaystyle a^{x}=\exp(x\ln(a))=e^{x\ln(a)},\quad a^{x}=b^{x\log _{b}(a)},\quad a^{xy}=(a^{x})^{y}} が成り立つ。
写像 expa: x ↦ a は (R, +) から (R×+ , ×) へのアーベル群の準同型である: a x + y = a x a y , a 0 = 1 , 1 a x = a − x . {\displaystyle a^{x+y}=a^{x}a^{y},\quad a^{0}=1,\quad {\frac {1}{a^{x}}}=a^{-x}.}
これら準同型 expa の全体は、a ↦ expa を通じて (R×+ , ×) に群同型: a x b x = ( a b ) x , 1 x = 1 , 1 a x = ( 1 a ) x , a 1 = a . {\displaystyle a^{x}b^{x}=(ab)^{x},\quad 1^{x}=1,\quad {\frac {1}{a^{x}}}=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x},\quad a^{1}=a.} したがって、(R, +) にも同型である(一径数群(フランス語版))。
↑ ライプニッツは例えば a とはどのような値かということを明確にできなくとも、記号 a を躊躇なく用いた。