体積要素
ユークリッド空間においては、体積要素はデカルト座標に沿った微分の積により与えられる。
d V = d x d y d z {\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}
他の座標系においては、x = x(u1, u2, u3), y = y(u1, u2, u3), z = z(u1, u2, u3) とするとヤコビ行列を用いて体積要素を以下のように計算できる。
d V = | ∂ ( x , y , z ) ∂ ( u 1 , u 2 , u 3 ) | d u 1 d u 2 d u 3 {\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}
たとえば、球面座標系では
x = ρ cos  θ sin  φ y = ρ sin  θ sin  φ z = ρ cos  φ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}
であるからヤコビアンは
det g ~ = det g ( det F ) 2 {\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g(\det F)^{2}}
以上から、体積要素が向きを保存する座標変換の下に不変であることがわかる。
二次元においては、体積は面積である。部分集合 B ⊂ U の面積は次のように積分で得られる。
Area ( B ) = ∫∫ B det g d u 1 d u 2 = ∫∫ B det g | det F | d v 1 d v 2 = ∫∫ B det g ~ d v 1 d v 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;|\det F|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\end{aligned}}}
したがって、どちらの座標系においても体積要素は同一の形式を持ち、すなわち座標変換で不変に保たれる。
以上の議論に二次元特有のものは一切ないので、任意の次元について成り立つ。