六角形
正六角形(せいろっかくけい)とは、各辺の長さがすべて等しく、内角も120゚と一定な六角形である。一辺をaとすれば周長は 6 a {\displaystyle 6a\,\!} であり、外接円の直径(対角長)は 2 a {\displaystyle 2a\,\!} であり、内接円の直径(対辺の距離)は 3 a {\displaystyle {\sqrt {3}}a\,\!} であり、面積は下記のとおりとなる。
A = 3 2 a 2 cot  π 6 = 3 3 2 a 2 ≃ 2.59808 a 2 . {\displaystyle A={\frac {3}{2}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{6}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\simeq 2.59808a^{2}.}
一辺の長さが1の正六角形は単位円に内接する。このとき、正六角形の周長は6であり、これは単位円の円周長より短い。単位円の直径は2であるので円周率(=円周長/直径)が 6/2 = 3 より大きいことの簡便な証明としてよく用いられる。古代より、この性質によって円周率が約3であることが知られていた。
合同な正六角形を規則正しく並べることによって平面を充填させることができる(平面充填形)。この構造はハチの巣などに見られ、頑丈な構造として工業的に用いられることもある(ハニカム構造)。
6つの正三角形を組み合わせて正六角形を作ることができる。これは正六角形の対角線のうち、中心を通る長い方の3本を引くことによっても見て取れ、正三角形も平面充填形であることがわかる。
また、点を正六角形の形に並べたとき、その点の総数にあたる数を六角数という。