ヘンゼルの補題
逆に、a を Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} の平方数で p で割り切れないものとすると、 これは0ではない法 p での平方剰余である。a が法 p でゼロではない平方剰余かどうかは平方剰余の相互法則で簡単に判定できるので、これで(奇素数 p に対する)p 進数が p 進平方根を持つかどうかを決定する実用的な方法が得られたことになる。p = 2 の場合にも、一般化されたヘンゼルの補題を用いることでこの方法を拡張することができる(17の2進平方根の例を後で見る)。
以上の議論をもっと具体的に理解するために、7進整数環の中で"2の平方根"、つまり方程式 x 2 − 2 = 0 {\displaystyle x^{2}-2=0} の解を見つけてみよう。この方程式の法7での解の1つは3(もう1つの解は4)なので、 r 1 = 3 {\displaystyle r_{1}=3} としよう。ヘンゼルの補題における r 2 {\displaystyle r_{2}} の計算式に現れる各種の数値は
f ( r 1 ) = 3 2 − 2 = 7 f ( r 1 ) / p 1 = 7 / 7 = 1 f ′ ( r 1 ) = 2 r 1 = 6 {\displaystyle {\begin{aligned}f(r_{1})&=3^{2}-2=7\\f(r_{1})/p^{1}&=7/7=1\\f'(r_{1})&=2r_{1}=6\end{aligned}}}
となる。これらの式から、次の式
t f ′ ( r 1 ) ≡ − ( f ( r 1 ) / p k ) mod p {\displaystyle tf'(r_{1})\equiv -(f(r_{1})/p^{k}){\bmod {p}}}
f ( s ) = ∑ n = 0 N c n ( t p k ) n = f ( r ) + t p k f ′ ( r ) + ∑ n = 2 N c n t n p k n = f ( r ) + t p k f ′ ( r ) + p 2 k t 2 g ( t ) g ( t ) ∈ Z [ t ] = z p k + t p k f ′ ( r ) + p 2 k t 2 g ( t ) f ( r ) ≡ 0 mod p k = ( z + t f ′ ( r ) ) p k + p 2 k t 2 g ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\left(tp^{k}\right)^{n}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+\sum _{n=2}^{N}c_{n}t^{n}p^{kn}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&g(t)\in \mathbb {Z} [t]\\&=zp^{k}+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\\&=(z+tf'(r))p^{k}+p^{2k}t^{2}g(t)\end{aligned}}}
と計算できる。 m ⩽ k {\displaystyle m\leqslant k} としていたので、
記号 R、I、h、 α {\displaystyle \alpha } は前節と同じとする。h が
h ≡ α f g ( mod I ) {\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I}}}
と、 deg  f 0 + deg  g 0 = deg  h {\displaystyle \deg f_{0}+\deg g_{0}=\deg h} となる互いに素な多項式(前述の意味で)に因数分解できたとする。1次持ち上げを k = 1 , 2 , ... , n − 1 ... {\displaystyle k=1,2,\ldots ,n-1\ldots } に適用して、多項式 δ f {\displaystyle \delta _{f}} と δ g {\displaystyle \delta _{g}} であって deg  δ f < deg  f {\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f} かつ deg  δ g < deg  g {\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g} かつ次の式
h ≡ α ( f + δ f ) ( g + δ g ) ( mod I ) n {\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){{\pmod {I}}^{n}}}
を満たすものの存在がわかる。この多項式 δ f {\displaystyle \delta _{f}} と δ g {\displaystyle \delta _{g}} は法 I n {\displaystyle I^{n}} で一意に定まる。