虚数乗法
まずはじめに、虚数乗法をもつ格子の例を見る。複素数体 C の部分群としてはガウス整数環 Z[i] という格子を考える。 この格子は C の n 倍写像で保たれるのみならず、i 倍でも保たれるという対称性をもつ。
虚数乗法を持つ楕円曲線の例は
である。ここで θ {\displaystyle \theta } は任意の非零複素数である。 そのようなトーラスは自己同型環としてガウス整数を持つ。対応する曲線はすべて次の形に書かれることが知られている。
この曲線は、位数 4 の自己同型を持ち、この自己同型、
はヴァイエルシュトラスの楕円函数にたいする i の作用に対応している。
より一般に、楕円函数 f {\displaystyle f} の 2つの独立な周期を ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} とするとき,虚二次体 K {\displaystyle K} に含まれる任意の数 λ {\displaystyle \lambda } に対して、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} と f ( λ z ) {\displaystyle f(\lambda z)} との間に代数的な関係式が存在するとき、楕円函数(楕円曲線)は虚数乗法を持つという。 (注:この箇所の日本語翻訳ははしょられており、英語版の対応箇所を参照されたい。)