ラグランジュ補間
k + 1 個のデータ点集合 ( x 0 , y 0 ) , ... , ( x j , y j ) , ... , ( x k , y k ) {\textstyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})} はどの二つの xj も同じでないとする。これらのデータのラグランジュ型の補間多項式とは、ラグランジュ基底多項式
の線型結合
を言う。
まず最初の仮定により x j − x m ≠ 0 {\textstyle x_{j}-x_{m}\neq 0} であるから、この式は常に矛盾なく定まる。 x i = x j {\textstyle x_{i}=x_{j}} かつ y i ≠ y j {\displaystyle y_{i}\neq y_{j}} となるような対を許さない理由は、必要な補間多項式 L ( y i = L ( x i ) {\textstyle y_{i}=L(x_{i})} ) が存在しないからである(各引数 xi に対する値は一つでなければならない)。