一階偏微分方程式
{\displaystyle dx:dy:du=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}).\,}
この方向は、波動方程式に対する光線に対応する。この方向に沿って微分方程式を積分するために、p と q に対する増分はこの直線に沿ったものである必要がある。これは、PDE を微分することによって次のように得られる。
F x + F u p + F p p x + F q p y = 0 , {\displaystyle F_{x}+F_{u}p+F_{p}p_{x}+F_{q}p_{y}=0,\,}
F y + F u q + F p q x + F q q y = 0 , {\displaystyle F_{y}+F_{u}q+F_{p}q_{x}+F_{q}q_{y}=0,\,}
したがって ( x , y , u , p , q ) {\displaystyle (x,y,u,p,q)} 空間における直線の方向は、
d x : d y : d u : d p : d q = F p : F q : ( p F p + q F q ) : ( − F x − F u p ) : ( − F y − F u q ) {\displaystyle dx:dy:du:dp:dq=F_{p}:F_{q}:(pF_{p}+qF_{q}):(-F_{x}-F_{u}p):(-F_{y}-F_{u}q)\,}
である。これらの方程式の積分は、各点 ( x 0 , y 0 , u 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},u_{0})} でのコノイドを導く。すると PDE の一般解は、そのようなコノイドの包絡線によって得られる。