ゴルディングの不等式
Ω を n-次元ユークリッド空間内の有界な開領域とし、H(Ω) を k-階弱微分可能で弱微分が L に属するような函数 u : Ω → R のソボレフ空間とする。Ω は k-拡張性を満たす、すなわち、ある有界線型作用素 E : H(Ω) → H(R) が存在して H(Ω) 内のすべての u に対して (Eu)|Ω = u が成立するものとする。
L を偶数次 2k の線型偏微分作用素で、次の発散形式で表されるものとする:
( L u ) ( x ) = ∑ 0 ≤ | α | , | β | ≤ k ( − 1 ) | α | D α ( A α β ( x ) D β u ( x ) ) . {\displaystyle (Lu)(x)=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\mathrm {D} ^{\alpha }\left(A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\beta }u(x)\right).}
さらに L は一様楕円型、すなわちある定数 θ > 0 が存在して次が成り立つとする。