分配函数 (場の量子論)
母函数 Z [ J ] {\displaystyle Z[J]} は、上の経路積分を計算するために、任意函数 J {\displaystyle J} (この脈絡では「カレント」(current)と呼ばれる)を使い、計算することができる。
(4-次元での)定義より、
Z [ J ] = ∫ D φ exp  { i ħ [ S [ φ ] + ∫ d 4 x J ( x ) φ ( x ) ) ] } {\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left\{{\frac {i}{\hbar }}\left[S[\phi ]+\int d^{4}xJ(x)\phi (x))\right]\right\}}
を得て、n-点相関函数 G n ( x 1 , . . . , , x n ) {\displaystyle G_{n}(x_{1},...,,x_{n})} の汎函数の微分を使い、この函数は次のように理解することができる。
G n ( x 1 , . . . , x n ) = ( − i ħ ) n 1 Z [ 0 ] ∂ n Z ∂ J ( x 1 ) ⋯ ∂ J ( x n ) | J = 0 . {\displaystyle G_{n}(x_{1},...,x_{n})=(-i\hbar )^{n}{\frac {1}{Z[0]}}\left.{\frac {\partial ^{n}Z}{\partial J(x_{1})\cdots \partial J(x_{n})}}\right|_{J=0}\ .}