対称微分
対称微分は通常の平均値の定理に従わない。反例として、関数 f(x) = |x| の対称微分は像 {-1, 0, 1}であるが、関数 f に対する割線の傾きはより広い範囲で存在する。例えば、区間[-1, 2]において平均値の定理に従うと、(対称)微分の値が | 2 | − | − 1 | 2 − ( − 1 ) = 1 3 {\displaystyle {\frac {|2|-|-1|}{2-(-1)}}={\frac {1}{3}}} となる点が存在することになってしまう。
ロルの定理に類似した準ロルの定理と呼ばれる定理が1967年にC.E. Aullによって確立された。関数 f が閉区間[a, b]において連続で、開区間(a, b)において対称微分可能であり、さらに f(b) = f(a) = 0 が成り立つならば、開区間(a, b)において fs(x) ≥ 0 かつ fs(y) を満たすような2点 x, y が存在する。同じくAullによって確立された、この定理の踏み台となる補題は次のように述べている。関数 f が閉区間[a, b]において連続で、開区間(a, b)において対称微分可能であり、さらに f(b) > f(a) ならば、開区間(a, b)において対称微分が非負である点、つまり上記の記法に従えば fs(z) ≥ 0 となる点 z が存在する。