並進演算子 (量子力学)
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}})&={\hat {T}}({\boldsymbol {x}})\psi ({\boldsymbol {r}})\\&=\exp \left(-{\frac {i{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}}}{\hbar }}\right)\psi ({\boldsymbol {r}})\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}})^{n}\right)\psi ({\boldsymbol {r}})\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})^{n}\right)\psi ({\boldsymbol {r}})\\&=\psi ({\boldsymbol {r}})-{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\psi ({\boldsymbol {r}})+{\frac {1}{2!}}({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }})^{2}\psi ({\boldsymbol {r}})-\dots \end{aligned}}}
よってもし関数が複素平面のある領域において解析的であれば、すべての並進演算子は予想された関数の並進を生成する。
よって ˆH の固有状態は全ての T ^ R {\displaystyle {\hat {T}}_{\boldsymbol {R}}} の同時固有状態に選ぶことができる。
H ^ ψ = E ψ {\displaystyle {\hat {H}}\psi ={\mathcal {E}}\psi }
T ^ R ψ = c ( R ) ψ {\displaystyle {\hat {T}}_{\boldsymbol {R}}\psi =c({\boldsymbol {R}})\psi }
並進演算子の固有値 c(R) は、次の条件とつながっている。
T ^ R 1 T ^ R 2 = T ^ R 2 T ^ R 1 = T ^ R 1 + R 2 {\displaystyle {\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{1}}{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{2}}={\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{2}}{\hat {T}}_{{\boldsymbol {R}}_{1}}={\hat {T}}_{\boldsymbol {R_{1}+R_{2}}}}
つまり、