補群
群 G を、複素数全体に演算を加法とした G := ( C , + ) {\displaystyle G:=(\mathbb {C} ,+)} とする。実数全体 H := R {\displaystyle H:=\mathbb {R} } は G の部分群である。ここで
K 1 := { b i | b ∈ R } {\displaystyle K_{1}:=\{bi|b\in \mathbb {R} \}} (i は虚数単位)、つまり純虚数全体の集合とする。まず K 1 {\displaystyle K_{1}} が G の部分群であることはすぐに確かめられる。 H ∩ K 1 = { 0 } {\displaystyle H\cap K_{1}=\{0\}} もすぐに分かるだろう。さらに、任意の複素数 c = a + b i ( a , b ∈ R ) {\displaystyle c=a+bi\quad (a,b\in \mathbb {R} )} に対して、 a ∈ H , b i ∈ K 1 {\displaystyle a\in H,bi\in K_{1}} であるから、 H K 1 = G {\displaystyle HK_{1}=G} も示される。