差分の差分法
以下のモデルを考える。
y i s t = γ s + λ t + δ D s t + ε i s t {\displaystyle y_{ist}~=~\gamma _{s}+\lambda _{t}+\delta D_{st}+\epsilon _{ist}}
ここで y i s t {\displaystyle y_{ist}} は個人 i {\displaystyle i} が s {\displaystyle s} と t {\displaystyle t} を所与とした下での被説明変数である。 s {\displaystyle s} と t {\displaystyle t} の次元は例えば国と時間を表している。 γ s {\displaystyle \gamma _{s}} と λ t {\displaystyle \lambda _{t}} は s {\displaystyle s} と t {\displaystyle t} のそれぞれの垂直的な切片である。 D s t {\displaystyle D_{st}} は処置状態を示すダミー変数であり、 δ {\displaystyle \delta } は処置効果、 ε i s t {\displaystyle \epsilon _{ist}} は誤差項である。
ここで
y ̄ s t = 1 n ∑ i = 1 n y i s t {\displaystyle {\overline {y}}_{st}~=~{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{ist}} ,
差分の差分法では2時点、もしくはそれ以上の時点で計測されたデータを必要する。図の例において、処置群は線Pで表現され対照群は線Sで表現されている。どちらのグループも処理を受ける前(つまり独立変数もしくは説明変数)の時点1における成果変数(非説明変数)が計測され、点 P1 と S1 で表されている。処置群は処置を受け、両方のグループはその後の時点2において再び測定される。時点2における処置群と対照群の差(つまり、P2 と S2 の差)は処置の効果を説明できない。なぜならば、処置群と対照群は時点1において同じ点から出発したわけではないからである。差分の差分法はそれゆえに二つのグループ間の成果の変数の"普通の"差(もしどちらのグループも処置を受けなかった場合の差)を計測する。その差は点線Qで表される(P1 から Q への傾きは S1 から S2 への傾きと同じである)。処置効果は観測された成果変数と"普通の"成果変数の差(P2 と Q の差)である。