キリング形式
ただし ck はリー環の構造係数である。添え字 k は行列 ad(ei)ad(ej) の列の添え字として、添え字 n は行の添え字として機能する。トレースを取ることは k = n として和を取ることだから、
B i j = 1 I a d c i m n c j n m {\displaystyle B^{ij}={\frac {1}{I_{ad}}}{c^{im}}_{n}{c^{jn}}_{m}}
と書くことができる。キリング形式は構造定数から構成できる最も単純な2階テンソルである。
上の添え字の付いた定義において、上と下の添え字(共変と反変の添え字)に注意する。多くの場合において、キリング形式は多様体上の計量テンソルとして使うことができ、このとき区別がテンソルの変換性質のために重要になるからである。リー環が標数 0 の体上の半単純リー環であれば、キリング形式は非退化であり、したがって添え字を上げ下げするのに計量テンソルとして使うことができる。この場合、すべての上の添え字の構造定数が完全反対称となるような g の基底を選ぶことが必ずできる。
いくつかのリー環 g に対するキリング形式(X, Y ∈ g):