広田の方法
可積分系の代表的な例であるKdV方程式で、広田の方法を説明する。KdV方程式
u t + 6 u u x + u x x x = 0 {\displaystyle u_{t}+6uu_{x}+u_{xxx}=0\,}
において、
u = 2 ∂ 2 ∂ x 2 log  f {\displaystyle u=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {f}\,}
なる変数変換をすると、
D x ( D t + D x 3 ) f ⋅ f = 0 {\displaystyle D_{x}(D_{t}+D_{x}^{\,3})f\cdot f=0}
なる双線形形式の方程式に帰着される。ここで f を
f = 1 + ε f 1 + ε 2 f 2 + ⋯ {\displaystyle f=1+\epsilon f_{1}+\epsilon ^{2}f_{2}+\cdots \,}
と ε によるべき級数で展開する。これを双線形形式の方程式に代入し、各べき ε のオーダー毎にまとめると、