算術級数の素数定理
算術級数の素数定理が証明された後、 π d , a ( x ) {\displaystyle \pi _{d,a}(x)} の誤差項の改善が大きな課題となった。
イヴァン・ヴィノグラードフ(英語版)(1958年)は指数和の評価を用いて誤差項を O ( x exp  ( − c 1 ( log  x ) 3 / 5 ( log  log  x ) − 1 / 5 ) ) {\displaystyle O(x\exp(-c_{1}(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}))} に改善した。これが現在知られている最良の誤差項である。
一方、ゴールドバッハ予想などの数論上の問題の研究の過程で、dに対する依存の評価がより重要であると考えられるようになった。このときに問題となるのは L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} は χ が実指標のとき、 s > 1 − c / log  t {\displaystyle s>1-c/\log t} を満たす零点を持つ可能性を除外できないことである。ただし、正の実数 s に対して L ( s , χ ) = 0 {\displaystyle L(s,\chi )=0} となる事例はあるとしても1個しか存在しない。
ディリクレの類数公式から、任意の正の ε に対して ( L ( 1 , χ ) ) − 1 = O ( d 1 / 2 + ε ) {\displaystyle (L(1,\chi ))^{-1}=O(d^{1/2+\epsilon })} であることがわかり、これから L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} の実の零点 s は s < 1 − c / t 1 / 2 + ε {\displaystyle s<1-c/t^{1/2+\epsilon }} を満たすことが従う。