凸共役性
アフィン函数
f ( x ) = ⟨ a , x ⟩ − b , a ∈ R n , b ∈ R {\displaystyle f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b,\,a\in \mathbb {R} ^{n},b\in \mathbb {R} }
の凸共役は
f ⋆ ( x ∗ ) = { b , x ∗ = a + ∞ , x ∗ ≠ a . {\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}}
である。冪函数
f ( x ) = 1 p | x | p , 1 < p < ∞ {\displaystyle f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},\,1<p<\infty }
の凸共役は
f ⋆ ( x ∗ ) = 1 q | x ∗ | q , 1 < q < ∞ {\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},\,1<q<\infty }
である。ここで 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} である。
ある γ > 0 {\displaystyle \gamma >0} に対し、 g ( x ) = α + β x + γ ⋅ f ( λ x + δ ) {\displaystyle \,g(x)=\alpha +\beta x+\gamma \cdot f(\lambda x+\delta )} であるなら、次が成り立つ。
g ⋆ ( x ⋆ ) = − α − δ x ⋆ − β λ + γ ⋅ f ⋆ ( x ⋆ − β λ γ ) . {\displaystyle g^{\star }(x^{\star })=-\alpha -\delta {\frac {x^{\star }-\beta }{\lambda }}+\gamma \cdot f^{\star }\left({\frac {x^{\star }-\beta }{\lambda \gamma }}\right).}
さらにパラメータ α が追加される場合は、次が成り立つ。
f α ( x ) = − f α ( x ~ ) . {\displaystyle f_{\alpha }(x)=-f_{\alpha }({\tilde {x}}).}
ここで x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} は最大化引数であるように選ばれる。