逆写像
したがって集合族 (f −1 ({y}))y ∈ Y (これは f による X の類別でもある)に対して選択関数 φ : (f −1 ({y}))y ∈ Y → X が定義できる。このとき、 h(y) = φ(f −1 ({y})) は Y から X への写像となっており、 f(h(y)) = y となることから h は f の右逆写像である。∎
左逆写像にも右逆写像にもなっている逆写像は一意でなければならない。同様に、g が f の左逆写像のとき、g は f の右逆写像である場合もあるし、そうでない場合もある。また h が f の右逆写像であるときも、h は必ずしも左逆写像でなくてよい。例えば f: R → [0, ∞) が R の各元 x に対してその平方を与える函数 f(x) = x とし、g: [0, ∞) → R を各 x ∈ [0, ∞) に対して正の平方根を与える函数 g(x) = √x とすると、[0, ∞) のどの元 x に対しても f(g(x)) = x が成り立つ。つまり、g は f の右逆函数である。しかし、例えば g(f(−1)) = 1 ≠ −1 であるから、g は f の左逆函数にはなっていない。
実一変数実数値の連続函数 f が一対一(したがって可逆)となるために必要十分な条件は、それが狭義単調となる(極値を持たない)ことである。たとえば、函数
f ( x ) = x 3 + x {\displaystyle f(x)=x^{3}+x}
は可逆である。これが単調増大であることはその導函数 f'(x) = 3x + 1 が常に正値であることからわかる。
実一変数実数値函数が可微分ならば、その逆函数 f −1 も f'(x) ≠ 0 である限り可微分で、その導函数は逆函数定理により
d d y ( f − 1 ( y ) ) = 1 f ′ ( f − 1 ( y ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dy}}(f^{-1}(y))={\frac {1}{f'(f^{-1}(y))}}}
で与えられる。これは x = f −1 (y) とおくと
d x d y = 1 d y / d x {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}}
と表すことができる。これは連鎖律から導くことができる。
逆函数定理は多変数函数に対しても一般化することができる。特に、多変数可微分函数 f: R → R は、点 p における f の函数行列が可逆である限り、点 p の近傍で可逆である。この場合、点 f(p) における f −1 の函数行列は p における f の函数行列の逆行列である。
既に述べた定義は集合論および初等解析学によく馴染むものである。進んだ数学では
f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y}
と書いて 「f は集合 X の元を集合 Y の元に写す写像である」ことを表す。出元である X を f の始域といい、行先の Y を f の終域という。f の終域は f の値域を部分集合として含み、また終域は f の定義の一部とみなされる。
終域を気にする立場では、写像 f: X → Y の逆写像は始域 Y と終域 X を持つ必要がある。逆写像が Y の全域で定義されるためには、Y の全ての元が写像 f の値域に入っていなければならない。このような性質を持つ写像は上への写像 (onto function) または全射 (surjection) という。ゆえに、終域を持つ写像が可逆となる必要十分条件は、それが一対一かつ上への写像となることである。そのような写像は、一対一対応 (one-to-one correspondence) または全単射 (bijection) といい、Y の各元 y にちょうど一つの元 x ∈ X が対応するという性質を持つ。