閉測地線
通常の円形リーマン計量を伴う単位球面 S n ⊂ R n + 1 {\displaystyle S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}} 上のすべての大圏は、閉測地線の一例である。すべての測地線が閉測地線であるような多様体は、数学関連の文献において綿密に調べられてきた。基本群がねじれを持たないようなコンパクト双曲曲面上で、閉測地線は、その曲面のフックス群(英語版)の元の非自明な共役類と一対一対応を持つ。
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γ {\displaystyle \gamma } が周期 p の閉測地線であるなら、再びパラメータ化された曲線 t ↦ γ ( p t ) {\displaystyle t\mapsto \gamma (pt)} は周期 1 の閉測地線であり、したがって E の臨界点である。 γ {\displaystyle \gamma } が E の臨界点であるなら、各 m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } に対して γ m ( t ) := γ ( m t ) {\displaystyle \gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)} で定義される曲線 γ m {\displaystyle \gamma ^{m}} も E の臨界点である。したがって、M 上のすべての閉測地線はエネルギー E の臨界点からなる無限列を生成する。