チェビシェフ関数
第二チェビシェフ関数は第一チェビシェフ関数を使って
ψ ( x ) = ∑ 1 ≤ n ≤ ln 2  x θ ( x 1 / n ) . {\displaystyle \psi (x)=\sum _{1\leq n\leq \ln _{2}x}\vartheta \left(x^{1/n}\right).}
と表される。したがって
| ψ ( x ) − θ ( x ) | = x + ( 1 + o ( 1 ) ) x 3 {\displaystyle |\psi (x)-\vartheta (x)|={\sqrt {x}}+(1+o(1)){\sqrt[{3}]{x}}}
により、 第一チェビシェフ関数と第二チェビシェフ関数の差は比較的小さいことが示される。チェビシェフ関数と素数計数関数 π(x) との間には、
π ( x ) = ∑ p ≤ x ln  p ∫ p x d t t ln 2  t + 1 ln  x ∑ p ≤ x ln  p = ∫ 2 x θ ( t ) d t t ln 2  t + θ ( x ) ln  x .