アインシュタイン・ヒルベルト作用
ヤコビの公式(Jacobi's formula)と呼ばれる行列式の微分規則は、次の式を導きだす。
δ g = δ det ( g μ ν ) = g g μ ν δ g μ ν {\displaystyle \,\!\delta g=\delta \det(g_{\mu \nu })=g\,g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}
そうでない場合は、 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }\!} が対角的になるよう座標を変換して、その後に主対角上の要素の積を変分する規則を適用する。
このことを使うと、
δ − g = − 1 2 − g δ g = 1 2 − g ( g μ ν δ g μ ν ) = − 1 2 − g ( g μ ν δ g μ ν ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\sqrt {-g}}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu })&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu })\,.\end{aligned}}}
作用から方程式を導出することにはいくつかの有用性がある。何よりもまず、同じように作用を用いて定式化することができるマクスウェルの電磁気理論のような他の古典場の理論と一般相対性理論との統一が容易となる。また、作用からの方程式の導出の過程で、計量と結合する物質場がソースの自然な候補として特定される。さらに、作用の対称性と関係するネーターの定理により保存量を見つけることが容易となる。
一般相対論において、作用は通常は計量と物質場の汎函数であると考え、接続はレヴィ・チヴィタ接続により与えられる。一般相対論のカルタン定式化(Cartan formalism)(パラティーニの定式化(Palatini formulation)とも言う)は、計量と接続が独立であると考え、それぞれを独立に変化させることで、半整数のスピンをもつフェルミオンの場を取り込むことを可能としている。
物質が存在するときのアインシュタイン方程式は、アインシュタイン・ヒルベルト作用に物質場の作用を加えることにより得られる。