レヴナー微分方程式
0 ≤ t ≤ ∞ に対し、U(t) を原点 0 を含む C の開いた単連結な部分集合の族で、
U ( s ) ⊊ U ( t ) {\displaystyle U(s)\subsetneq U(t)}
を満たすとする。s < t のとき
U ( t ) = ⋃ s < t U ( s ) {\displaystyle U(t)=\bigcup _{s<t}U(s)}
であり、
U ( ∞ ) = C {\displaystyle U(\infty )={\mathbb {C} }}
とすると、 s n ↑ t {\displaystyle s_{n}\uparrow t} であれば、 カラテオドリの核定理(英語版)(Carathéodory kernel theorem)の意味で、
U ( s n ) → U ( t ) {\displaystyle U(s_{n})\rightarrow U(t)}
である。
D で C 内の単位円板を表すとすると、この定理は、リーマンの写像定理に従った一意に定まる単葉な写像 ft(z) は、
κ を決定するためには、写像 φ s , t {\displaystyle \varphi _{s,t}} は、単位円板から、内部の点を境界へ押しやるようなジョルダン曲線の弧を持つ単位円板の中への写像へ移すことに注意する。境界に触れている点は s と独立であり、[0,∞) から単位円への連続函数 λ(t) を定義する。κ(t) は λ(t) の複素共役、(もしくは、逆数)で、
κ ( t ) = λ ( t ) − 1 {\displaystyle \displaystyle {\kappa (t)=\lambda (t)^{-1}}}
である。
同じことであるが、カラテオドリの共形写像定理 (Carathéodory's theorem) により、ft は閉円板への連続的に拡張され、しばしば駆動函数(driving function)と呼ばれる λ(t) は、
f t ( λ ( t ) ) = c ( t ) {\displaystyle \displaystyle {f_{t}(\lambda (t))=c(t)}}
として特徴づけられる。
全ての連続函数 κ がスリット写像から来るわけではないが、クファレフ(Kufarev)は κ が連続的な微分を持つときに、このことが成り立つことを示した。