本質的スペクトル
本質的スペクトルは常に閉集合であり、スペクトルの部分集合である。T は自己共役であるため、そのスペクトルは実軸上に含まれる。
本質的スペクトルは、コンパクトな摂動に対して不変である。すなわち、K を X 上のコンパクト作用素としたとき、T の本質的スペクトルと、T + K の本質的スペクトルは一致する。この事実は、なぜ本質的スペクトルと呼ばれるかという問いに答えるものである。もともと、ワイル (1910) はある微分作用素の本質的スペクトルを、境界条件に依存しないスペクトルとして定義していた。
本質的スペクトルに対する「ワイルの条件」とは、次のようなものである。はじめに、ある数 λ が T のスペクトルに属するための必要十分条件は、||ψk|| = 1 および
lim k → ∞ ‖ T ψ k − λ ψ k ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|T\psi _{k}-\lambda \psi _{k}\right\|=0}
を満たすようなある列 {ψk} が存在することであるとされる。さらにその λ が本質的スペクトルであるとは、上の条件を満たすような列が存在するが、それは収束する部分列を含まないことを言う。例えば、 { ψ k } {\displaystyle \{\psi _{k}\}} が正規直交列である場合などが考えられ、そのような列は特異列(singular sequence)と呼ばれる。