円の面積
デカルト座標の原点における半径 r の円の方程式 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} に対し、四分円 y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} ( 0 ≤ x ≤ r ) {\displaystyle (0\leq x\leq r)} の面積 S 4 {\displaystyle S_{4}} を考え、結果を4倍すれば円の面積が求まる。
アルキメデスによる証明から、命題1における円周の長さを c {\displaystyle c} 、半径を r {\displaystyle r} とすると、円の面積 S {\displaystyle S} は底辺が c {\displaystyle c} 、高さが r {\displaystyle r} の直角三角形の面積なので、
S = 1 2 c r {\displaystyle S={\frac {1}{2}}cr}
となる。 命題3における円周の長さ c {\displaystyle c} と直径の比を π {\displaystyle \pi } とすれば、直径は半径の2倍の 2 r {\displaystyle 2r} なので、
c = 2 π r {\displaystyle c=2\pi r}
であり、 c {\displaystyle c} を S {\displaystyle S} に代入すると、
S = 1 2 ( 2 π r ) r = π r 2 {\displaystyle S={\frac {1}{2}}(2\pi r)r=\pi r^{2}}
となり、円の面積の公式が得られる。
∫ r 2 − x 2 d x = 1 2 ( x r 2 − x 2 + r 2 arcsin  x r ) {\displaystyle \int {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}(x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}+r^{2}\arcsin {\frac {x}{r}})}
が得られるので、四分円の定積分は、
S 4 = ∫ 0 r r 2 − x 2 d x = [ 1 2 ( x r 2 − x 2 + r 2 arcsin  x r ) ] 0 r = π r 2 4 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{4}&=\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\\&=\left[{\frac {1}{2}}(x{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}+r^{2}\arcsin {\frac {x}{r}})\right]_{0}^{r}\\&={\frac {\pi r^{2}}{4}}\end{aligned}}}
である。したがって、全円の面積 S は S = 4 S 4 {\displaystyle S=4S_{4}} なので、
S = π r 2 {\displaystyle S=\pi r^{2}}
になる。
江戸時代初期に発行された算術書である吉田光由の『塵劫記』において、直径 d {\displaystyle d} の円の面積は、直径の自乗に「まるき法」を掛けて求める。ここで、まるき法は π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} に相当する値で、0.79 である。面積 S {\displaystyle S} で表せば、
S = 0.79 d 2 {\displaystyle S=0.79d^{2}}
である。
また、円周の長さ c {\displaystyle c} の円の面積は、円周の長さを「円きめくり法」で割り、直径 d {\displaystyle d} を求めてから上記の方法を使って円の面積を求める。ここで、円きめくり法は円周率に相当する値で、3.16 である。面積 S {\displaystyle S} で表せば、
S = 0.79 d 2 = 0.79 ( c 3.16 ) 2 {\displaystyle S=0.79d^{2}=0.79({\frac {c}{3.16}})^{2}}
である。