数字根
合同式による定義は次の通りである。
dr  ( n ) = { 0 if n = 0 , 9 if n ≠ 0 , n ≡ 0 ( mod 9 ) , n m o d 9 if n ≢ 0 ( mod 9 ) . {\displaystyle \operatorname {dr} (n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\9&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\pmod {9}},\\n\ {\rm {mod}}\ 9&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\pmod {9}}.\end{cases}}}
または
dr ( n ) = 1 + ( ( n − 1 ) m o d 9 ) . {\displaystyle {\mbox{dr}}(n)=1\ +\ ((n-1)\ {\rm {mod}}\ 9).\ }
基数 b が異なる位取り記数法の数字根では、上記の式の 9 を b - 1 に置き換えればよい。
n {\displaystyle n} の各位の和(数字和)を求める関数を f ( n ) {\displaystyle f(n)} とする。 f ( n ) , f ( f ( n ) ) , f ( f ( f ( n ) ) ) , ⋯ {\displaystyle f(n),f(f(n)),f(f(f(n))),\dotsb } と計算していくと、最終的に定数値に収束する。この定数値( n {\displaystyle n} の数字根)を求める関数を f ∗ ( n ) {\displaystyle f^{*}(n)} とする。