ランベルトの余弦則
一般的には、ある面の一点における発光強度は方向により異なる。ランベルト面においては、その分布は法線における照度のピーク値における余弦則により定義される。こうして、ランベルト面を前提として、全光束 F t o t {\displaystyle F_{tot}} 発光強度のピーク値 I m a x {\displaystyle I_{max}} を用いて、余弦則により
F t o t = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 2 π cos  ( θ ) I m a x sin  ( θ ) d  φ d  θ {\displaystyle F_{tot}=\int \limits _{0}^{\pi /2}\,\int \limits _{0}^{2\pi }\cos(\theta )I_{max}\,\sin(\theta )\,\operatorname {d} \phi \,\operatorname {d} \theta } = 2 π ⋅ I m a x ∫ 0 π / 2 cos  ( θ ) sin  ( θ ) d  θ {\displaystyle =2\pi \cdot I_{max}\int \limits _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,\operatorname {d} \theta } = 2 π ⋅ I m a x ∫ 0 π / 2 sin  ( 2 θ ) 2 d  θ {\displaystyle =2\pi \cdot I_{max}\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\,\operatorname {d} \theta }
よって
F t o t = π s r ⋅ I m a x {\displaystyle F_{tot}=\pi \,\mathrm {sr} \cdot I_{max}}
ここで、 sin  ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} は単位球に対するヤコビ行列の行列式であり、 I m a x {\displaystyle I_{max}} はステラジアンあたりの光束であることがわかる。 同様に、ピーク強度が 1 / ( π s r ) {\displaystyle 1/(\pi \,\mathrm {sr} )} の放射光束となる。 ランベルト面では、同じ要素 π s r {\displaystyle \pi \,\mathrm {sr} } が輝度と発行照度と関係し、放射強度は放射束と関連する。ラジアンとステラジアンは無次元数であり、"rad"と"sr"は明確化のため含まれている。
例: 100 cd/m(=100ニト、一般的なPC用モニター)の輝度を持つ面は、完全なランベルト面であれば、放射強度は314 lm/mとなる。面積が0.1 m(≒19インチのモニター)である場合、放射される光の総量すなわち光束は、31.4 lmとなる。