数学基礎論
19世紀末に、ゲオルク・カントルにより、集合が考えられた。集合にもとづいた数学の再整理は大きな成果を生み、数学において欠くべからざる道具となってきた。一方、バートランド・ラッセルは、素朴な集合の取り扱い(内包公理)により「自分自身を要素としない集合全体の”集まり”」も集合とされるが、左記の集合は、それ自身を要素としない時、その時に限り自身を要素とするという矛盾を引き起こすことをラッセルのパラドックスとして指摘した。ここに、数学の基礎付けの問題が発生した。
パラドックスをめぐる立場は、大きく論理主義、直観主義、形式主義の3つに分けられる。
論理主義は、数学を論理学の上に基礎づける立場で、フレーゲの独創的な仕事に始まる。実は、ラッセルのパラドックスはフレーゲによる論理体系の矛盾を指摘したものであったが、その後、ラッセルは『数学原理』によってラッセルのパラドックスも解決する。 しかし、そこに用いられた公理は、もはや論理的に自明とはいえず、本来の数学の基礎付けの目的を達成したとはいえないものとなった。
直観主義は、数学的な対象や真理が、精神活動によって直接とらえられるものとする立場で、ブラウワーが提唱した。彼は数学における構成的方法を重視したが、そのため排中律の無制限な使用が不当であると非難した。たとえば、「自然数の狭義減少数列は、かならずある項で最小値をとる」という定理は、「自然数の狭義減少数列で、どの項をとってもその先により小さい項をもつものがある」という前提から矛盾を導くことで証明されるが、一方、任意の自然数の狭義減少数列に対して、どの項が最小値となるか具体的に構成する方法があるわけではない。
『Encyclopedia Britannica(ブリタニカ百科事典)』:「要約 ... 数学基礎論とは、数学理論の本質および数学手法の範囲に対する科学的探究。数学基礎論は、論理的および哲学的な数学基礎に対する探究としてのユークリッド『原論』と共に始まった──突き詰めると、(ユークリッド幾何学であれ微積分学であれ)あらゆる体系の公理がその完全性と一貫性を保証できるかどうかである」。