ラマヌジャンの和公式
( a z ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ = ∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n = ∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n + k ( q ; q ) n + k z n + k = ( a ; q ) k ( q ; q ) k z k ∑ n = − ∞ ∞ ( a q k ; q ) n ( q 1 + k ; q ) n z n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n+k}}}z^{n+k}\\&={\frac {(a;q)_{k}}{(q;q)_{k}}}z^{k}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(aq^{k};q)_{n}}{(q^{1+k};q)_{n}}}z^{n}\\\end{aligned}}}
であるから