類関数
この環に関する研究は G の連続表現に関係する(ピーター–ワイルの定理(英語版)を参照)。
この関係性は L(G) の中心を通じて示される。実際、直接計算により可測函数 f, g が自乗可積分ならば
f ∗ g ( s ) − g ∗ f ( s ) = ∫ G g ( t − 1 ) [ f ( s t ) − f ( t s ) ] d λ ( t ) {\displaystyle f*g(s)-g*f(s)=\int _{G}g(t^{-1})[f(st)-f(ts)]\,d\lambda (t)}
であり、また函数 f が L(G) の中心に入る必要十分条件は、任意の g ∊ L(G) に対して二つの畳み込み f ∗ g と g ∗ f が殆ど至る所一致することだが、これらは連続ゆえ至る所一致する。したがってこれは G の任意の u, v に対して f(uv) = f(vu) と同値である。
L(G) の中心は、G 上の自乗可積分かつ中心的な可測函数(の類)全体の成す閉部分空間である。
群 G 上の函数 f が中心的あるいは類函数であるとは、G の任意の元 s, t に対して
f ( s t s − 1 ) = f ( t ) {\displaystyle f(sts^{-1})=f(t)}
が成り立つときに言う。あるいは同じことだが、自然な全単射 (s, t) ↦ (u = st, v =s) を考えれば、任意の u, v に対して
f ( u v ) = f ( v u ) {\displaystyle f(uv)=f(vu)}
を満たすということもできる。