リアプノフ指数
リアプノフ次元は、James L. KaplanとJames A. Yorkeにより1979年に提案された。そのためカプラン・ヨーク次元(英: Kaplan–Yorke dimension)とも呼ばれ、記号 DKY とも記される。
上式で定義されるリアプノフ次元は、フラクタル次元の1つである容量次元の考え方をもとにして、次のように導入される。リアプノフ指数の総和は相空間内の k 次元の体積要素の体積変化率を与えるので、同様に部分和である ξj から、j 次元までの体積要素は拡大するが、j + 1 次元以上の体積要素は縮小することになる。そのため、アトラクタを収めるためには少なくとも j 次元は必要で、考えられるフラクタル次元の下限を与えている。一方で、j + 1 次元は考えられるフラクタル次元の上限といえる。k 次元相空間上の一辺が d の立方体は、時間発展により各辺 exp(λ1t), exp(λ2t), exp(λ3t),... の直方体に写像される。ここで、1辺の長さ ε が、
ε = d exp  ( λ j + 1 t ) {\displaystyle \epsilon =d\exp(\lambda _{j+1}t)}
と表すことができる。また、系が離散力学系の場合、 k 個の状態変数、常差分方程式から成る差分方程式系 x(t + 1) = f(x(t))が与えられる。同じく、差分方程式系 f が線形近似可能な場合、f のヤコビ行列を用いて、
δ ( t + 1 ) = J δ ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}(t+1)={\boldsymbol {J}}{\boldsymbol {\delta }}(t)}
と表すことができる。ここに、J は以下に示すようなヤコビ行列による線形写像で、軌道 x(t) に依存し、すなわち初期値 x(0)、時間 t に依存して変化する。
J = ( ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x k ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f k ∂ x 1 ⋯ ∂ f k ∂ x k ) {\displaystyle {\boldsymbol {J}}={\begin{pmatrix}{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{k}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\cfrac {\partial f_{k}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\cfrac {\partial f_{k}}{\partial x_{k}}}\end{pmatrix}}}