自己同型
ある種の圏、特に群、環、リー代数では、自己同型を「内部自己同型」と「外部自己同型」の 2種類に分けることができる。
群の場合、内部自己同型(inner automorphism)は、その群の元による共役作用である。群 G の各元 a に対し、a による共役とは φ a ( g ) = a g a − 1 {\displaystyle \varphi _{a}(g)=aga^{-1}} (もしくは、aga 、使い道により異なる)により与えられる作用 φa : G → G のことである。a による共役が群の自己同型であることは容易に分かる。内部自己同型全体は Aut(G) の正規部分群を成し、これを Inn(G) で表す。これをグルサの補題(英語版)(Goursat's lemma)という。
これ以外の自己同型を外部自己同型(英語版)(outer automorphism)と呼ぶ。商群 Aut(G) / Inn(G) を普通、Out(G) で表す。この群の非自明な元は、外部自己同型を含む剰余類である。
a が可逆元であれば、任意の単位元を持つ環や体上の代数においても同様の定義が成り立つ。リー代数に対しては、定義は少し異なる。