作用素ノルム
空間 H を実あるいは複素ヒルベルト空間であるとする。もし作用素 A: H → H が有界線形作用素であるなら
‖ A ‖ op = ‖ A ∗ ‖ op {\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\|A^{*}\|_{\text{op}}}
および
‖ A ∗ A ‖ op = ‖ A ‖ op 2 {\displaystyle \|A^{*}A\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}}
が成立する。ここで A* は作用素 A の共役作用素を表す(それは標準内積を持つユークリッドヒルベルト空間における、行列 A の共役転置行列に対応する)。
一般に、作用素 A のスペクトル半径 ρ(A) は、作用素ノルム ‖ A ‖op により上から抑えられる。すなわち
ρ ( A ) ≤ ‖ A ‖ op {\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{\text{op}}}
が成り立つ。ここで常に等号が成立するわけではないことを見るには、有限次元の場合で行列のジョルダン標準形について考えればよい。
作用素ノルムは実際に、V から W への有界作用素全体の成す空間上のノルムとなる。すなわち、A, B は有界、α は任意のスカラーとして
‖ A ‖ op ≥ 0 , [ ‖ A ‖ op = 0 ⟺ A = 0 ] , {\displaystyle \|A\|_{\text{op}}\geq 0,\quad [\|A\|_{\text{op}}=0\iff A=0],}
‖ a A ‖ op = | a | ‖ A ‖ op , {\displaystyle \|aA\|_{\text{op}}=|a|\|A\|_{\text{op}},}
‖ A + B ‖ op ≤ ‖ A ‖ op + ‖ B ‖ op {\displaystyle \|A+B\|_{\text{op}}\leq \|A\|_{\text{op}}+\|B\|_{\text{op}}}
が成立する。
作用素ノルムの定義より、次の不等式がただちに得られる: