エアリー関数
z 3 n ] − cos  ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π z 1 4 [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 11 6 ) Γ ( 2 n + 7 6 ) ( 3 4 ) 2 n + 1 2 π ( 2 n + 1 ) ! z 3 n + 3 / 2 ] B i ( − z ) ∼ cos  ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π z 1 4 [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 5 6 ) Γ ( 2 n + 1 6 ) ( 3 4 ) 2 n 2 π ( 2 n ) ! z 3 n ] + sin  ( 2 3 z 3 2 + π 4 ) π z 1 4 [ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Γ ( 2 n + 11 6 ) Γ ( 2 n + 7 6 ) ( 3 4 ) 2 n + 1 2 π ( 2 n + 1 ) ! z 3 n + 3 / 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-z)\sim &{}{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!
で与えられる。ここで Γ はガンマ関数である。これにより Ai(x) および Bi(x) のロンスキアンが 1/π となることが従う。
x が正のとき、Ai(x) は正値凸関数かつ指数関数的に零に減少し、Bi(x) は正値凸関数かつ零の周辺で限りなく小さい振幅を以って無限回振動する。x が負のとき、Ai(x), Bi(x) はともに零の周辺で限りなく小さくなる振幅を以って無限回振動する。これはエアリー関数に対する漸近公式(後述)によって保証される。
任意の変数に対するエアリー関数同士は、広義リーマン積分
∫ − ∞ ∞ Ai  ( t + x ) Ai  ( t + y ) d t = δ ( x − y ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (t+x)\operatorname {Ai} (t+y)\,{\mathit {dt}}=\delta (x-y)}
が成り立つという意味において互いに直交する。