四元数
を、渡っていたブルーム橋(英語版)の石に刻みつけた。
次の日ハミルトンは、友人でフェロー数学者であったジョン・グレイヴスへ宛てて、彼の発見へと至る一連の道筋をしたためた書簡を記している。この書簡は後に London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. xxv (1844), pp.489-95.で公表されている。この中でハミルトンは、
と述べている。ハミルトンは、これらの乗法規則を備えた四つ組を quaternion と呼び、残りの人生の大半をその研究と教育にささげた。ハミルトンによる取り扱い(英語版)は、四元数の代数的性質を強調する現代的なアプローチよりも幾何学的なものである。ハミルトンは "quaternionists" の学校を設立し、数々の本で四元数の普及を図った。最後にして最長の本が Elements of Quaternions(『四元数原論』)で800 ページにも及ぶ(出版されたのは彼の死後少ししてからである)。
ハミルトンの死後も弟子のテイトが四元数の振興を続けた。同時に、ダブリンでは四元数が試験の必須題目になっていた。物理学と幾何学の主題においては、今日ではベクトルを用いて記述するような空間の運動エネルギーやマクスウェルの方程式などが、まったく四元数の言葉で記述されていた。四元数やほかの超複素数系を専ら研究するプロの研究機関である四元数学会(英語版)さえ存在した。
1880年代の半ばごろから、ギブス、ヘヴィサイド、ヘルムホルツらの創始したベクトル解析によって四元数は取って代わられるようになる。
四元数についてのより個人的な見解をジョアキム・ランベック(英語版)が1995年に書いている。エッセイ If Hamilton had prevailed: quaternions in physics(「もしハミルトンが勝利していたら:物理学における四元数」)には "My own interest as a graduate student was raised by the inspiring book by Silberstein"(院生としての私の興味はシルバースタインの本に刺激を受けて生じた)とある。ランベックは He concluded by stating "I firmly believe that quaternions can supply a shortcut for pure mathematicians who wish to familiarize themselves with certain aspects of theoretical physics."(「私は四元数が、理論物理学のある種の側面に習熟しようと望む純粋数学者へ、近道を与えるものと堅く信じる」)と述べることによって結論を下している。
2007年、アレキサンダー・エフレモフとその共同研究者は、四元数空間幾何がヤン・ミルズ場と近しい関係にあることを示し、ダフィン・ケマー・ペティアウ方程式(英語版)とクライン-ゴルドン方程式への関連性を指摘した。
( a b c d − b a − d c − c d a − b − d − c b a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c&d\\-b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{pmatrix}}}
= a ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) + b ( 0 1 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 1 0 ) + c ( 0 0 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 ) + d ( 0 0 0 1 0 0 − 1 0 0 1 0 0 − 1 0 0 0 ) {\displaystyle =a{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}+d{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}}
で表される。この表現では、四元数の共軛は対応する行列の転置に対応する。また、四元数のノルムの四乗は対応する行列の行列式に等しい。複素数は、行列を 2 × 2 のブロックに分けたときの区分対角行列に対応する。
数学における四元数(しげんすう、英: quaternion)とは、複素数を拡張した数体系であり、虚数単位 i, j, k を用いて
a + bi + cj + dk
と表せる数のことである。ここで、a, b, c, d は実数であり、虚数単位 i, j, k は以下の関係を満たす。
i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}
このとき 1, i, j, k は実数体上線型独立である。
四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいて三次元での回転の計算(英語版)でも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。
四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、3次元空間の力学に応用された。
四元数の特徴は、積について非可換であることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。