固有状態熱化仮説
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E α {\displaystyle E_{\alpha }} が不整合であっても、期待値の長時間平均は以下の対角項の和として与えられ、
⟨ A ^ ⟩ t ≈ t → ∞ ∑ α | c α | 2 A α α , {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{t}{\overset {t\to \infty }{\approx }}\sum _{\alpha }\vert c_{\alpha }\vert ^{2}A_{\alpha \alpha },}
期待値は恒久的に初期状態の知識を係数 c α {\displaystyle c_{\alpha }} の形で保持し続ける。
したがって原理上は、任意の初期状態を出発点とする孤立量子系が熱力学的平衡状態に近しい、ごく少数の物理量さえあれば系の振る舞いを予測できるような状態へ緩和するかどうかは未解決の問題である。 しかし、低温原子気体に関する様々な実験において、実験系は非常に良い近似で環境から孤立していると見なせ、幅広いクラスの初期状態から実際に系が熱的緩和することが観測されている。 固有状態熱化仮説の主たる目的は、この実験的に示されている、平衡統計力学の孤立量子系への適用の妥当性に説明を果たすことである。
オブザーバブルの期待値は、複製された量子状態のアンサンブルに対して繰り返し測定を行った結果の平均値を表している。そのため、期待値を主な対象として扱ったものの、それがどの程度まで物理的に関連のある量を表しているかは明らかではない。 量子ゆらぎにより、オブザーバブルの期待値は通常、孤立系に対する一つの測定結果と一致しない。しかし、ETH を満たすオブザーバブルについて、その期待値に対する量子ゆらぎは典型的に、伝統的なミクロカノニカルアンサンブルから予測される熱ゆらぎと同程度の大きさになることが示されている。 このことは、ETH が孤立量子系の熱化の要因となる基礎的なメカニズムであるという考えを裏付けている。
このことから、有用性において ETH は些末なもののように見えるかもしれない。しかし、重要なことは前述のように構成した演算子は物理的な意味を持たないということである。 このような行列を構成したとして、実際の実験において測定されるオブザーバブルに対応するか、物理的に興味のある量に類似しているかは明確ではない。系のヒルベルト空間上の任意のエルミート演算子は、物理的に測定可能な量に必ずしも対応しない。
典型的には、ETH は少数の粒子のみを含むようなオブザーバブルに対して成り立つと予想されている。 例として粒子気体中の与えられた運動量の占有や、粒子の格子系の特定サイトの占有などが挙げられる。 ETH はこれらのように単純な少数多体の演算子に対して通常適用されるが、 これらのオブザーバブルは局所性を必ずしも必要としない点は注意すべきである。 例えば、前述の運動量の占有を表す数演算子は局所的な量になっていない。
伝統的な統計力学の予測に反し、孤立した非可積分系において熱平衡化しない例も興味深い対象である。多体局在(英語版)を示す無秩序系はこのような熱平衡化しない可積分系の候補であり、励起状態が基底状態に非常に近い熱力学特性を持つ可能性を持っている。 完全に孤立し、静的な無秩序性を持たない非可積分系について、系が熱平衡化しない例が存在するかは未解決である。一つの興味深い可能性として quantum disentangled liquid の実現が挙げられる。 また、すべての固有状態が熱平衡化する系において ETH に従うかも未解決である。