歪度
歪度の符号によって、正の歪みをもつ分布、負の歪みをもつ分布といわれる。
Z の 4 次モーメント E ( Z 4 ) − 3 {\displaystyle E(Z^{4})-3} は尖度 β2 と呼ばれる。分散が σ である正規分布ならば、平均値まわりの 4 次モーメント E ( Z 4 ) − 3 {\displaystyle E(Z^{4})-3} は 3 σ 4 − 3 {\displaystyle 3\sigma ^{4}-3} であり、標準正規確率変数では β 2 = 0 {\displaystyle \beta _{2}=0} である。正負を基準にして、 β 2 > 0 {\displaystyle \beta _{2}>0} の分布は急尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が厚い分布になる。一方、 β 2 < 0 {\displaystyle \beta _{2}<0} の分布は緩尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が薄い分布になる。
たとえば対数正規分布に従う確率変数の歪度は正であり、尖度は常に 3 より大きい。
確率分布の分布特性を示すためには、通常は期待値および分散が用いられる。さらに、分布型の差を示す指標の一つに 3 次モーメント(3 乗の期待値)と 4 次モーメント(4 乗の期待値)とがある。これらのモーメントは、平均値と分散の影響を除くように標準化される。[平均値は、位置尺度には依存しないが、スケール尺度(たとえば分散)に依存する。]
確率変数 X の期待値が μ、分散が σ のとき、標準化確率変数 Z = ( X − μ ) / σ {\displaystyle Z=(X-\mu )/\sigma } は期待値 0、分散 1 となり、平均と分散の影響は除去される。
Z の 3 次モーメント E ( Z 3 {\displaystyle E(Z^{3}} ) は歪度 β 1 1 / 2 {\displaystyle \beta _{1}^{1/2}} と呼ばれる。とくに標準正規確率変数の分布に歪みはなく、0 を中心として左右対称であるから歪度は 0 である。