ピックの定理
ピックの定理(-ていり、Pick's theorem)は等間隔に点が存在する平面上にある多角形の面積を求める公式である。この場合の多角形の頂点は全て右図のように、最も近い点同士の間隔を1とする正方格子点(等間隔に配置されている点)上にあり、内部に穴は開いていないものとする。多角形の内部にある格子点の個数を i、辺上にある格子点の個数を b とするとこの種の多角形の面積 S は以下の式で求められる。
S = i + 1 2 b − 1 {\displaystyle S=i+{\frac {1}{2}}b-1}
例えば図の六角形なら内部にある点が i = 39 個、辺上にある点が b = 14 個なので S = 39 + 14/2 − 1 = 45 と簡単に計算できる。
この定理は 1899 年に ゲオルグ・アレクサンダー・ピックによって初めて示され、エルハート多項式により三次元以上に拡張して一般化することができる。
同公式はまた、多面体上の図形に対して一般化することもできる。
日本の義務教育ではこの公式は学習しないことが多い。
上に述べたこの定理は、単純な多角形、つまり単一の図形であり穴が開いていないものにのみ適用可能であることに注意されたい。
より一般的な多角形に対しては、同公式の − 1 を − χ(P) で置き換える必要がある。 ここに χ(P) は、多角形 P のオイラー標数である。