非可換環
ジャコブソンの稠密性定理 (Jacobson density theorem) は環 R 上の単純加群に関する定理である。
定理を使って任意の原始環をベクトル空間の線型変換の環の「稠密な」部分環と見ることができる。この定理は1945年に最初に文献に現れた。Nathan Jacobson(英語版) による有名な論文 "Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions" である。この定理は単純アルティン環の構造についてのアルティン・ウェダーバーンの定理の結論のある種の一般化と見ることができる。
よりフォーマルに、定理は以下のように述べることができる:
ジャコブソンの稠密性定理。 U を単純右 R-加群とし、D = End(UR) とし, X ⊂ U を D-線型独立な有限集合とする。A が U 上の D-線型変換であれば、ある r ∈ R が存在して、すべての x ∈ X に対して、A(x) = x • r となる。
可除環あるいは斜体とは、除法が可能な環である。つまり、0 でない任意の元 a が乗法逆元、すなわち a·x = x·a = 1 なる元 x を持つような、零環ではない環である。別の言い方をすれば、環が可除環であることと単元群が 0 でない元全体であることが同値である。
可除環が可換体と唯一異なるのは乗法が可換であると仮定されないということである。しかしながら、ウェダーバーンの小定理によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって有限体である。歴史的には、英語では可除環は field と呼ばれることもあり、一方可換体は “commutative field” と呼ばれた。日本語では、現在でも体は可換体を指すことも可除環を指すこともある。