スペクトル定理
スペクトル定理は、より一般の行列のクラスに対しても拡張できる。A をある有限次元内積空間の上の作用素とする。A が正規であるとは、A A = A A が成立することを言う。A が正規であるための必要十分条件は、それがユニタリ対角化可能であることである。すなわち、シュール分解によって A = U T U が得られる。ここで U はユニタリで、T は上三角である。A は正規であるので、T T = T T が成り立つ。したがって、正規な上三角行列は対角行列であることより、T は上三角である。この逆は自明である。
言い換えると、A が正規であるための必要十分条件は、次を満たすようなユニタリ行列 U が存在することである。
A = U D U ∗ {\displaystyle A=UDU^{*}\;}
ここで D は対角行列である。このとき、D の対角成分は A の固有値となる。また U の各列ベクトルは A の固有ベクトルで、それらは正規直交系をなす。エルミートの場合とは異なり、D の成分は必ずしも実数でなくてもよい。