分岐点 (数学)
通常は、分岐指数は 1 だが、分岐指数が 1 でないとき、定義により、P は分岐点で Q は分岐値である。
Y がちょうどリーマン球面で、点 Q が Y の有限部分にあるならば、特別な座標系を選ぶことは必要でなく、分岐指数をコーシーの積分公式から明示的に計算することができる。γ を P の周りをまわる X 内の閉曲線(多少変形してもよい)とすると、f の P における分岐指数は積分
e P = 1 2 π i ∫ γ f ′ ( z ) f ( z ) − f ( P ) d z {\displaystyle e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}}\,dz}
で与えられる。この積分の値 eP は点 Q の周りでの f(γ) の巻き数に等しい。すでに述べたように、eP > 1 のとき P は分岐点で Q は分岐値である。
g は中心点 z0 を除いた穴あき円板上で定義される大域解析関数とする。このとき、g が超越分岐点 (transcendental branch point) を持つとは、z0 が g の真性特異点であり、各函数要素が z0 を囲む適当な単純閉曲線上を一周して解析接続すると相異なる函数要素となるときにいう。超越分岐点の例として、適当な整数 k > 1 に対する多価函数 g(z) = exp (z) の原点が挙げられる。このとき、原点を回る閉路に対するモノドロミー群は有限群である(つまり、閉路を k 周する解析接続で函数はもとに戻る)。
これと対照に、点 z0 が対数分岐点 (logarithmic branch point) であるとは、z0 の周りで 0 でない巻き数を持つ曲線に沿った解析接続でもとの函数要素を得ることが不可能であるときに言う。この名称は、この現象の典型例が複素対数函数の原点における分岐点であることによるものである。原点の周りの単純閉曲線を反時計方向に一周すると複素対数関数は 2πi だけ増え、巻き数が w の閉曲線ならば 2πi⋅w だけ増える。このモノドロミー群は無限巡回群 Z である。
超越分岐点および対数分岐点は値の分岐に関する概念である。この両者に対して、付随するリーマン面は分岐点それ自身の被覆に解析的に延長することはできないから、点の分岐 (ramification) に対応する概念は存在しない。したがって、そのような被覆は常に不分岐 (unramified) である。