反応拡散系
q ~ k ( x , t ) = ( u ~ ( t ) v ~ ( t ) ) e i k ⋅ x {\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {q}}}_{\boldsymbol {k}}({\boldsymbol {x}},t)=\left({\begin{array}{c}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{array}}\right)e^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}
は次を満たすことが分かる。
( ∂ t u ~ k ( t ) ∂ t v ~ k ( t ) ) = − k 2 ( D u u ~ k ( t ) D v v ~ k ( t ) ) + R ′ ( u ~ k ( t ) v ~ k ( t ) ) . {\displaystyle \left({\begin{array}{c}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{array}}\right)=-k^{2}\left({\begin{array}{c}D_{u}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{array}}\right)+{\boldsymbol {R}}^{\prime }\left({\begin{array}{c}{\tilde {u}}_{\boldsymbol {k}}(t)\\{\tilde {v}}_{\boldsymbol {k}}(t)\end{array}}\right).
近年、反応拡散系はパターン形成(英語版)に対する基本的なモデルとして、多くの関心を集めている。上述のパターン(進行波、スパイラル、ターゲット、六角形、ストライプ、散逸ソリトン)は様々なタイプの反応拡散系において見られる。しかしそこには多くの矛盾、例えば、局所反応項においてそれらが見られるなど、が存在する。反応拡散過程は、生物学における形態形成と関連する過程に対する本質的な基盤であることも、述べられている 。そして、それは動物の毛皮や、皮膚の色素沈着に対しても関連付けられている。
反応拡散方程式のさらなる応用例は、生態の侵入や感染症の拡がり、腫瘍の成長や、傷の治癒などに見られる。反応拡散系が関心を集める別の理由には、それらが非線型偏微分方程式であるにもかかわらず、解析的な扱いがたびたび可能となることが挙げられる。