方向微分
}
性質:
f ( v ) = f 1 ( v ) + f 2 ( v ) {\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {f}}_{1}({\boldsymbol {v}})+{\boldsymbol {f}}_{2}({\boldsymbol {v}})} なら、 ∂ f ∂ v ⋅ u = ( ∂ f 1 ∂ v + ∂ f 2 ∂ v ) ⋅ u {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {f}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {f}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\right)\cdot {\boldsymbol {u}}} 。
方向微分には、次のようないくつかの表記法がある:
∇ v f ( x ) ∼ ∂ f ( x ) ∂ v ∼ f v ′ ( x ) ∼ D v f ( x ) ∼ v ⋅ ∇ f ( x ) {\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}f({\boldsymbol {x}})\sim {\frac {\partial \,f({\boldsymbol {x}})}{\partial v}}\sim f'_{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}})\sim D_{\boldsymbol {v}}f({\boldsymbol {x}})\sim {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla f({\boldsymbol {x}})}
数学において、多変数微分可能関数のある与えられた点 x におけるある与えられたベクトル v に沿った方向微分(ほうこうびぶん、英: directional derivative)とは、直感的には、v によって特徴づけられた速度で x を通過する時の、その関数の即時的な変化率を意味する。したがって、他のすべての座標は定数として、ある一つの座標曲線(英語版)に沿った変化率を取るような、偏微分の概念を一般化するものである。
方向微分は、ガトー微分の特別な場合である。