超フィルター
(P, ≤) を順序集合とし F を P の部分集合とする。
この時、以下の3つの条件を満たすとき F をフィルターという。 F ≠ ∅。 任意の x, y ∈ F に対し、ある z ∈ F が存在して、z ≤ x かつ z ≤ y が成り立つ。 任意の x ∈ F, y∈ P について「x ≤ y ならば y ∈ F」が成り立つ。
更にフィルター F が P の真部分集合のとき真のフィルターという。極大な真のフィルターを超フィルターという。つまり
P 上の真のフィルター U が次を満たすとき超フィルターという。 U を部分集合に含む P 上の真のフィルター F は U 自身ただひとつ。
以下順序集合 P 上の超フィルター全体を Ult(P) と書く。
I を無限集合、U を I 上の自由な超フィルター、(Xi , di , bi)i∈I を I で添字付けられた基点付き距離空間の族とする。このとき超積 ∏i∈I Xi/U 上に同値関係
x ∼ y ⇔ st(d*(x, y)) = 0(ただし d* はもとの距離から定まる超積上の(超実数に値を持つ)距離、st は超実数の標準成分)
を定義したとき
lim U X i = { x ∈ ∏ i ∈ I X i / U : st  ( d ∗ ( x , b ∞ ) ) < ∞ } / ∼ {\displaystyle \lim _{U}X_{i}=\{x\in \prod _{i\in I}X_{i}/U:\operatorname {st} (d^{\ast }(x,b_{\infty }))<\infty \}/\sim }
を (Xi, di, bi)i∈I の U による超極限(英語版)(英: ultralimit)という(ただし、b∞ = (bi)i∈I であり、st ∘ d* を距離とする)。
特に基点付き距離空間 (X, d, b) に対し、(Xn, dn, bn) = (X, d/n, b)(ただし添字集合 I を自然数全体 N とする)としたとき、 lim U X n {\textstyle \lim _{U}X_{n}} を (X, d, b) の漸近錐(英語版)(英: asymptotic cone)という。
距離空間の超極限は完備距離空間
弧長距離空間(英: length metric space)の超極限は弧長距離空間
測地距離空間の超極限は測地距離空間