三十七角形
λ 1 = ( 2 cos  2 π 37 + 2 cos  12 π 37 ) + ( 2 cos  20 π 37 + 2 cos  28 π 37 ) + ( 2 cos  16 π 37 + 2 cos  22 π 37 ) = u 1 + u 2 + u 3 λ 2 = ( 2 cos  4 π 37 + 2 cos  24 π 37 ) + ( 2 cos  30 π 37 + 2 cos  32 π 37 ) + ( 2 cos  18 π 37 + 2 cos  34 π 37 ) = v 1 + v 2 + v 3 λ 3 = ( 2 cos  10 π 37 + 2 cos  14 π 37 ) + ( 2 cos  6 π 37 + 2 cos  36 π 37 ) + ( 2 cos  8 π 37 + 2 cos  26 π 37 ) = w 1 + w 2 + w 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\left(2\cos {\frac {2\pi }{37}}+2\cos {\frac {12\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {20\pi }{37}}+2\cos {\frac {28\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {16\pi }{37}}+2\cos {\frac {22\pi }{37}}\right)=u_{1}+u_{2}+u_{3}\\\lambda _{2}=&\left(2\cos {\frac {4\pi }{37}}+2\cos {\frac {24\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {30\pi }{37}}+2\cos {\frac {32\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {18\pi }{37}}+2\cos {\frac {34\pi }{37}}\right)=v_{1}+v_{2}+v_{3}\\\lambda _{3}=&\left(2\cos {\frac {10\pi }{37}}+2\cos {\frac {14\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {6\pi }{37}}+2\cos {\frac {36\pi }{37}}\right)+\left(2\cos {\frac {8\pi }{37}}+2\cos {\frac {26\pi }{37}}\right)=w_{1}+w_{2}+w_{3}\\\end{aligned}}}
u 1 = λ 1 3 + 2 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 3 111 − 4 λ 1 − 9 λ 2 62 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 + i 27 ( 1092 − 253 λ 1 − 205 λ 2 ) 62 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 3 + 2 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 3 111 − 4 λ 1 − 9 λ 2 62 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 − i 27 ( 1092 − 253 λ 1 − 205 λ 2 ) 62 11 − 2 λ 1 − 2 λ 2 3 {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}={\frac {\lambda _{1}}{3}}+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{1}-9\lambda _{2}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}+i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{1}-205\lambda _{2})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}}}\\+{\frac {2{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}{3}}{\sqrt[{3}]{{\frac {111-4\lambda _{1}-9\lambda _{2}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}-i{\frac {\sqrt {27(1092-253\lambda _{1}-205\lambda _{2})}}{62{\sqrt {11-2\lambda _{1}-2\lambda _{2}}}}}}}\end{aligned}}}
正三十七角形においては、中心角と外角は9.729...°で、内角は170.27...°となる。一辺の長さが a の正三十七角形の面積 S は
S = 37 4 a 2 cot  π 37 ≃ 108.67963 a 2 {\displaystyle S={\frac {37}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{37}}\simeq 108.67963a^{2}}
cos  ( 2 π / 37 ) {\displaystyle \cos(2\pi /37)} を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式→三次方程式(2つ)→二次方程式と解く必要がある。
以下には、中間結果(三次方程式を1回解いた際の関係式)を示す。