テンソル代数
しかし以下のような複雑な形の余乗法
Δ ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m ) = ∑ p = 0 m ∑ σ ∈ S h p , m − p ( x σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ x σ ( p ) ) ⊗ ( x σ ( p + 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ x σ ( m ) ) {\displaystyle \Delta (x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=\sum _{p=0}^{m}\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{p,m-p}}\left(x_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes x_{\sigma (p)}\right)\otimes \left(x_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes x_{\sigma (m)}\right)}
を入れれば双代数になる。ただし後ろの和は(p, m − p)-シャッフル(英語版)すべてに亙ってとる。
さらに、対蹠射 S を
S ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m ) = ( − 1 ) m x m ⊗ ⋯ ⊗ x 1 {\displaystyle S(x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=(-1)^{m}x_{m}\otimes \dots \otimes x_{1}}
を T(V) 全体まで線型に延長することによって与えれば、テンソル代数はホップ代数を成す。