複素指数函数
オイラーの公式を踏まえて、次の式で定義できる:
複素数の直交座標表示 z = x + yi に対して
exp  ( x + i y ) := e x ( cos  ( y ) + i sin  ( y ) ) {\displaystyle \exp(x+iy):=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))}
これら2つの定義が同値であることを確かめるには、
オイラーの公式:exp(iy) = cos(y) + i sin(y)(y は実数)
指数法則:e = e e
を証明すればよい。
複素変数への拡張は他にも方法があり、マクローリン展開を用いずに微分の自己再帰性と初期条件だけを与えた正則函数を考えても同じ結論を得ることができる。