双極座標系
双極座標系は一部の3次元直交座標の基底を成す。
双円筒座標系(英語版)は双極座標系を z 軸方向に平行移動することで得られる。z 軸は平面に対して上下方向の軸である。
双球座標系は双極座標系を x 軸で回転させることで得られる。x 軸は焦点を結ぶ軸である。
トロイダル座標系(英語版)は双極座標系を y 軸で回転させることで得られる。y 軸は焦点を分ける軸である。
定数 σ の曲線は非同心円に対応している。
x 2 + ( y − a cot  σ ) 2 = a 2 sin 2  σ {\displaystyle x^{2}+\left(y-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}
これは2つの焦点に交わる。 定数 σ の円の中心は y軸上に存在する。正の σ の円は x 軸上部に中心があるが、負の σ の円の中心は x 軸下部に存在する。 |σ| が大きくなると、円の半径は小さくなり、円の中心は原点 (0, 0) に近づく。|σ| = π のときに原点に達する。
定数 τ {\displaystyle \tau } の曲線は異なる半径の交差しない円となる。
y 2 + ( x − a coth  τ ) 2 = a 2 sinh 2  τ {\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}
これは焦点を囲むが、同心ではない。定数 τ の円の中心は x 軸上に存在する。正の τ の円は平面の右側 (x > 0) に存在するが、負の τ の円は平面の左側 (x < 0) に存在する。τ = 0 の曲線は y 軸 (x = 0) に等しい。τ が大きくなると、円の半径は小さくなり、円の中心が焦点に近づく。