Q二項定理
( 1 − z ) f ( a , z ; q ) = ( 1 − z ) ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n = ( 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n ) − z ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( ( a ; q ) n ( q ; q ) n z n − z ( a ; q ) n − 1 ( q ; q ) n − 1 z n − 1 ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a ; q ) n − 1 ( q ; q ) n ( ( 1 − a q n − 1 ) z n − ( 1 − q n ) z n ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a ; q ) n − 1 ( q ; q ) n ( ( 1 − a q n − 1 ) q n z n − a ( 1 − q n ) q n − 1 z n ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( q z ) n − a z ( a ; q ) n − 1 ( q ; q ) n − 1 ( q z ) n − 1 ) = ( 1 + ∑ n = 1 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( q z ) n ) − a z ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( q z ) n = ( 1 − a z ) ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n ( q z ) n = ( 1 − a z ) f ( a , q z ; q ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)f(a,z;q)&=(1-z)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\right)-z\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}z^{n}-z{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}}z^{n-1}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n}}}\left((1-aq^{n-1})z^{n}-(1-q^{n})z^{n}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n}}}\left((1-aq^{n-1})q^{n}z^{n}-a(1-q^{n})q^{n-1}z^{n}\right)\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}-az{\frac {(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}}(qz)^{n-1}\right)\\&=\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\right)-az\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\\&=(1-az)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}(qz)^{n}\\&=(1-az)f(a,qz;q)\end{aligned}}}