発散定理
V を R において滑らか(ここでは C 級でよい)な境界 ∂V をもつ有界な領域(= 連結開集合)とし、F を V の閉包で定義されている滑らかなベクトル場とすると、
∫∫∫ V div  F d x d y d z = ∫∫ ∂ V F ⋅ n d S {\displaystyle \iiint _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {F}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iint _{\partial V}{\boldsymbol {F}}\!\cdot \!{\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S}
が成り立つ。ここで、n は V の外向き単位法ベクトルとする。なお、定理が成り立つためには ∂V が区分的に C 級であれば十分である。
この定理は div という演算が発散(あるいは湧出量)と呼ばれる所以でもある。右辺はベクトル場が領域 V の表面から流出する量であり、それが左辺の表す領域全体でのベクトル場の発散の値の積分に等しいことを表している。
この定理は、一般的なストークスの定理から導くことができる。