特異値分解
行列 U と V はユニタリ行列だから、U の列ベクトル u1, ..., um は、体 K 上の正規直交基底を成し、V の列ベクトル v1, ...,vn は、体 K 上の正規直交基底を成す。
ベクトル x を Mx に写す線形変換(線型写像) T : K n → K m {\displaystyle T\colon K^{n}\to K^{m}} は、これらの正規直交基底を用いて簡単な形に表される。すなわち、 T ( v i ) = σ i u i {\displaystyle T(v_{i})=\sigma _{i}u_{i}} , ここで i = 1, ..., min(m, n) に対しては σi は Σ の i 番目の対角成分、i > min(m, n) に対し T(vi) = 0。
このことから、特異値分解定理の幾何的な意味は以下のように説明できる。線型写像 T : K n → K m {\displaystyle T\colon K^{n}\to K^{m}} に対し、次のような性質を持つ正規直交基底 K と K が存在する。ここに、T は K の i 番目の基底ベクトルを K の i 番目の基底ベクトルについて σi 倍したものに写す。σi は負でない数。つまり、これらの基底を用いて、写像 T は、負でない数を成分に持つ対角行列で表される。