ヤコビ多様体
考えている曲線 C と k 上の任意の連結スキーム T に対して群 P0C (T) を
P0C(T) = {L ∈ Pic(C×T) | すべての t ∈ T に対して deg(Lt = 0)} / qPic(T)
で定義する。ここでスキーム S に対して Pic(S) はそのピカール群、C×T は C と T の Spec(k) 上のファイバー積、C×T 上の直線束 L と T の点 t に対して Lt は L を t 上のファイバーに制限したもの、deg は直線束の次数、q は C×T から第二成分への射影である。
このとき、k 上のあるアーベル多様体 J であって J(T) と P0C (T) が T に関して関手的に同型となるものが存在する。このアーベル多様体 J を C のヤコビ多様体(Jacobian variety)といい、記号 Jac(C) で表す。
曲線 C の k 有理点 P に対し、閉埋入(英語版) f: C → J であって C の k 有理点 Q に対して f(Q) = L (Q)⊗L (P) となるものがだた一つ存在する。これを 標準写像(canonical map)、またはアーベル・ヤコビ写像という。
この写像から微分形式の引き戻しにより定義される Γ(J, Ω1J) から Γ(C, Ω1C) への線型写像 ( f) は同型写像である。