ノルム
数列(可算無限次元のベクトル)x = (xn)n=1,2,... に対しても、p-ノルムあるいは l-ノルム(lp-ノルム)
‖ x ‖ p := ( ∑ n = 1 ∞ | x i | p ) 1 / p {\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{p}:=\left(\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}
や、上限ノルム、∞-ノルム、l-ノルム(l∞-ノルム)
‖ x ‖ ∞ := sup n ∈ N { | x n | } {\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{\infty }:=\sup _{n\in \mathbb {N} }\{|x_{n}|\}}
などが定義される。また、関数を連続的な添字をもつ非可算無限次元のベクトルと見なせば、和を積分に置き換えて、高々可算な場合と同様に p-ノルムなどを考えることができる。集合 X 上で定義される関数 f(x) に対して p-ノルム(L-ノルム)は
‖ f ‖ p , X := ( ∫ X | f ( x ) | p d x ) 1 / p {\displaystyle \|f\|_{p,X}:=\left(\int _{X}|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}}
空間 X の与えられた二つのノルム‖•‖, ‖•‖′ に対し、これらノルムがそれぞれ定める X の位相が相等しいとき、これらのノルムは互いに同値であるという。これは適当な定数 C1, C2 > 0 で
C 1 ‖ x ‖ ≤ ‖ x ‖ ′ ≤ C 2 ‖ x ‖ {\displaystyle C_{1}\|x\|\leq \|x\|'\leq C_{2}\|x\|}
となるようなものが取れることと同値である。
V が有限次元ノルム空間ならば、V 上のノルムの同値類は唯一つである。