層 (数学)
組 ( X , T ) {\displaystyle (X,T)} を X {\displaystyle X} が集合、 T {\displaystyle T} が X {\displaystyle X} の開集合系である位相空間とする。X 上の(集合の)前層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} とは、次の条件を満たす X {\displaystyle X} の開集合から集合への対応規則である。
X {\displaystyle X} の開集合 U ∈ T {\displaystyle U\in T} に対して集合 F ( U ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(U)} が定まる。
開集合の包含関係 U ⊂ V {\displaystyle U\subset V} に応じて制限写像(せいげんしゃぞう、restriction map)と呼ばれる写像
ρ U V : F ( V ) → F ( U ) {\displaystyle \rho _{U}^{V}\colon {\mathcal {F}}(V)\to {\mathcal {F}}(U)}
(ρ VU を ρU, V のように記すこともある)が定まり、さらに次の条件を満たす。
ρ U U = i d U {\displaystyle \rho _{U}^{U}=\mathrm {id} _{U}} (ここで、 i d U : F ( U ) → F ( U ) {\displaystyle \mathrm {id} _{U}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(U)} は恒等写像である)。