カーネル密度推定
確率密度関数 ƒ の L リスク関数を R ( f , f ^ ( x ) ) {\displaystyle R(f,{\hat {f}}(x))} とする。確率密度関数 ƒ とカーネル関数 K に関する弱い仮定から次が得られる。
R ( f , f ^ ( x ) ) ≈ 1 4 σ k 4 h 4 ∫ ( f ′′ ( x ) ) 2 d x + ∫ K 2 ( x ) d x n h where σ K 2 = ∫ x 2 K ( x ) d x {\displaystyle R(f,{\hat {f}}(x))\approx {\frac {1}{4}}\sigma _{k}^{4}h^{4}\int (f''(x))^{2}\,dx+{\frac {\int K^{2}(x)\,dx}{nh}}\quad {\text{ where }}\quad \sigma _{K}^{2}=\int x^{2}K(x)\,dx}
理論的リスク関数を最小化することで、最適なバンド幅は以下のように示される。