共役類
数学、とくに群論において、任意の群は共役類(きょうやくるい、英: conjugacy class)に分割できる。同じ共役類の元は多くの性質を共有し、非アーベル群の共役類の研究はそれらの構造の多くの重要な特徴を明らかにする。
例えば、対称群において、type (3)(2) (3-cycle と 2-cycle) の元の平方は type (3) の元であり、それゆえ (3) の power-up 類の 1 つは類 (3)(2) である。類 (6) は別の類である。
群 G の位数が奇数ならば |G| ≡ k(G) (mod 16) が成り立つ (W. Burnside)。
有限群 H, K に対して k(H × K) = k(H) × k(K) が成り立つ。
有限群 G とその部分群 H に対して [G : H] k(H) ≤ k(G) ≤ [G : H] k(H) が成り立つ。
自然数 h が与えられたとき、k(G) = h となる有限群 G は同型を除いて高々有限個しかない (E. Landau, 1903)。
線形群 G ≤ GLn(C) が有限群であるのは共役類の数 k(G) が有限であることが必要十分である (W. Burnside)。
非自明な有限 p-群 P(つまり位数 p の群、ただし p は素数で n > 0)を考えよう。類等式を使うと
「すべての非自明な有限 p-群は非自明な中心をもつ」
ことが証明できる。
証明:P の任意の共役類の元の数は P の位数を割らなければならない。よって中心に含まれていない各共役類 Ci の元の数もまたあるベキ p(ただし 0 < ki < n)であることが従う。すると類等式から p = |P| = |Z(P)| + ∑i p となる。ゆえに p は |Z(P)| も割らなければならず、したがって |Z(P)| > 1 であることがわかる。