フェンシェルの双対性定理
X と Y をバナッハ空間とし、 f : X → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} と g : Y → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle g:Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} を凸函数とし、 A : X → Y {\displaystyle A:X\to Y} を有界線型作用素とする。このとき、フェンシェルの問題とは
p ∗ = inf x ∈ X { f ( x ) + g ( A x ) } {\displaystyle p^{*}=\inf _{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}}
d ∗ = sup y ∗ ∈ Y ∗ { − f ∗ ( A ∗ y ∗ ) − g ∗ ( − y ∗ ) } {\displaystyle d^{*}=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}}
が弱双対性を満たす、すなわち p ∗ ≥ d ∗ {\displaystyle p^{*}\geq d^{*}} が成立することを言う。ここで f ∗ , g ∗ {\displaystyle f^{*},g^{*}} はそれぞれ f,g の凸共役であり、 A ∗ {\displaystyle A^{*}} は共役作用素であることに注意されたい。