リーマン和
となる。 f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} は [ 1 , 2 ] {\displaystyle [1,2]} で単調減少函数なので、左リーマン和と右リーマン和の間で
∑ k = 1 n 1 x k − 1 Δ x k ≥ ∑ k = 1 n 1 ξ k Δ x k ≥ ∑ k = 1 n 1 x k Δ x k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k-1}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\xi _{k}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}\Delta x_{k}}
の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } の極限で収束するので、
∫ 1 2 1 x d x = lim n → ∞ n ( 2 1 n − 1 ) = lim n → ∞ n ( 1 − 2 − 1 n ) {\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}
が得られる。
等比数列 x k = 2 k n ( k = 0 , 1 , 2 , ... , n ) {\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)} をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、
∑ k = 1 n x k − 1 2 Δ x k = ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 n ) 2 ( 2 k n − 2 k − 1 n ) = 7 2 2 n + 2 1 n + 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k-1}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{\frac {2}{n}}+2^{\frac {1}{n}}+1}}}
∑ k = 1 n x k 2 Δ x k = ∑ k = 1 n ( 2 k n ) 2 ( 2 k n − 2 k − 1 n ) = 7 2 − 2 n + 2 − 1 n + 1 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{-{\frac {2}{n}}}+2^{-{\frac {1}{n}}}+1}}}