開口端補正
開口端補正の大きさはノズルの幾何学的構造によって異なる。開口端補正の値は実験的に求められるが、理論的に計算することも可能であり、グリーン関数やウィーナー・ホップの方法(英語版)を用いる手法が知られている。
両端にフランジがある円柱の場合の開口端補正は
l E ≈ 0.8242 a {\displaystyle l_{\mathrm {E} }\approx 0.8242a}
である。これはレイリー卿によって初めて求められた。一方フランジなし円筒形の気柱の開口端補正の大きさは、円筒の半径を a {\displaystyle a} として
l E = − a π ∫ 0 ∞ 1 z 2 ln  [ 2 K 1 ( z ) I 1 ( z ) ] d z ≈ 0.6127 a {\displaystyle l_{\mathrm {E} }=-{\frac {a}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}}}\ln[2K_{1}(z)I_{1}(z)]dz\approx 0.6127a}
により与えられる。ここに K 1 {\displaystyle K_{1}} および I 1 {\displaystyle I_{1}} は変形ベッセル関数である。この結果は1948年に Harold Levine およびジュリアン・シュウィンガーによって導かれた。
実験的にフランジなしの開口端補正の値を求める試みは20世紀前半まで継続的に行われた。1879年に Blaikley は 0.576 を、1910年に Boehm は 0.656 を、1930年代に Bate は 0.66 を報告している。1948年に Harold Levine およびジュリアン・シュウィンガーはフランジなし開口端補正の理論的表式を導出し、その値を数値的に評価することによって 0.6133 という結論を得た。なお1960年にYukichi Nomuraらは、シュウィンガーらの成果を受け、フランジありの開口端補正が
π 4 < l E < 8 π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}<l_{\mathrm {E} }<{\frac {8\pi }{3}}}
を満足することを示した。
1953年に Ingard はヘルムホルツ共鳴器の内側の開口端補正について研究し、共鳴器の首の大きさが胴体に比べて十分小さいとみなせない場合にはそれが外側の開口端補正とは一致しないことを見出した。