群の直積
群 G {\displaystyle G} と H {\displaystyle H} の直積 G × H {\displaystyle G\times H} は、 { ( g , 1 H ) ∣ g ∈ G } {\displaystyle \{(g,1_{H})\mid g\in G\}} と { ( 1 G , h ) ∣ h ∈ H } {\displaystyle \{(1_{G},h)\mid h\in H\}} を正規部分群として含む(ただし 1 G , 1 H {\displaystyle 1_{G},\ 1_{H}} はそれぞれの単位元)。これらはそれぞれ G, H と同型である。
一般に、群の族 { G i } i ∈ I {\textstyle \{G_{i}\}_{i\in I}} が与えられると、その直積集合の元 ( g i ) {\textstyle (g_{i})} , ( g i ′ ) {\textstyle (g_{i}^{\prime })} に対して、
によって演算を定義したものが群 { G i } {\displaystyle \{G_{i}\}} の直積である。