二面体群
R k = ( cos  2 π k n − sin  2 π k n sin  2 π k n cos  2 π k n ) , S k = ( cos  2 π k n sin  2 π k n sin  2 π k n − cos  2 π k n ) {\displaystyle R_{k}={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}},\quad S_{k}={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}}
(k = 0, 1, ..., n - 1) の 2n 個の行列からなる。Rk は反時計回りに 2πk/n だけの回転を表す回転行列、Sk は x 軸と πk/n の角度を成す直線に関する対称移動を表す行列である。
このとき、これらの間の合成は以下の公式で与えられる。
R i R j = R i + j , R i S j = S i + j , S i R j = S i − j , S i S j = R i − j {\displaystyle R_{i}\,R_{j}=R_{i+j},\quad R_{i}\,S_{j}=S_{i+j},\quad S_{i}\,R_{j}=S_{i-j},\quad S_{i}\,S_{j}=R_{i-j}}
ただし、添え字の足し算と引き算は n を法とする合同算術を意味するものとする。
また、n ≥ 2 のとき、隣り合う軸に関するふたつの鏡映 S0, S1 の組み合わせで全ての変換を得ることもできる。実際、
R k = ( S 1 S 0 ) k , S k = ( S 1 S 0 ) k S 0 {\displaystyle R_{k}=(S_{1}S_{0})^{k},\quad S_{k}=(S_{1}S_{0})^{k}S_{0}}
である。ふたつの変換 S0, S1 の間には
( S 1 S 0 ) n = i d {\displaystyle (S_{1}S_{0})^{n}=\mathrm {id} }
という関係がある。
例えば n = 2 の場合、R は 180°の回転、S は x 軸に関する対称移動を意味する。D2 を構成する4つの変換は、id, R, S, RS である。
D2 はクラインの四元群と同型である。アーベル群であるので、変換の順番を逆にしても結果は変わらない。
Dn の位数が 4 より大きいときはアーベル群ではない。すなわち、n > 2 のとき、一般には変換の順序を逆にすると結果が変わる。
Dn は2次直交群 O(2) の部分群と見なすこともできるし(実際 O(2) の有限部分群は巡回群と二面体群に限る)、3次特殊直交群 SO(3) の部分群と見なすこともできる。鏡映も3次元空間における回転と見なすことができるからである。この考えでは、正多角形は3次元空間において裏表の区別のある図形である。「二面体群」とはこの文脈からの用語であり、四面体群、六面体群などと同様に正多面体群の一種である。
二面体群を定義するには、いくつかの方法がある。
グラフ理論の用語を用いれば、n 個の頂点を持つサイクルの自己同型全体のなす群である。これは、「正多角形を不変とする合同変換全体」という元の考えとほぼ同等であり、n ≥ 3 の場合のみ通用する定義である。
抽象的な群の定義として、
D n = ⟨ r , s ∣ r n = s 2 = 1 , s r s = r − 1 ⟩ {\displaystyle D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=s^{2}=1,\ srs=r^{-1}\rangle }
あるいは
D n = ⟨ x , y ∣ x 2 = y 2 = ( x y ) n = 1 ⟩ {\displaystyle D_{n}=\langle x,y\mid x^{2}=y^{2}=(xy)^{n}=1\rangle }
がある。例えば前者は、3つの関係を満たす r, s が生成する群を意味し、r はひとつの回転、s はひとつの鏡映に対応する。後者は二面体群が位数2のふたつの元がなす群であることを意味するが、逆にそのような(有限)群は二面体群に限る。後者の定義はまた、二面体群がコクセター図形 に対応するコクセター群であることも意味する。
位数 n の巡回群 Zn と位数 2 の巡回群 Z2 の半直積 Z n ⋊ φ Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\rtimes _{\phi }\mathbb {Z} _{2}} としても定義される。ただし、φ(0) は Zn 上の恒等写像、φ(1) は逆元を取る写像とする。この定義と半直積の性質により、Dn は位数 n の巡回群を正規部分群として持つ。
n ≥ 3 のとき、正多角形の頂点に番号を付けておけば、Dn の元は自然に n 個の番号の置換と見なせる。よって、Dn は対称群 Sn の部分群である。両者の位数を比較すれば明らかなように、D3 は S3 と一致し、n ≥ 4 の場合は Dn は Sn の真の部分群である。
n ≥ 3 のときの Dn の性質は、n の偶奇によって若干異なる面がある。例えばその中心は、n が奇数のときは単位元のみからなるが、n が偶数のときは単位元と 180°の回転の2つからなる。実際、180°度の回転は、行列表示で単位行列の -1 倍であるから、任意の変換と可換であることは明らかである。なお、n = 1, 2 のときは、Dn はアーベル群であるから、中心は自分自身である。
p が素数のとき、位数が 2p である群は巡回群と二面体群に限る。n が奇数のとき、D2n は Dn と Z2 の直積に同型である。
n の約数 m に対して、Dn の部分群としてひとつの巡回群 Zm と n/m 個の Dm が取れる。よって、Dn の部分群の総数は、約数関数を用いて d(n) + σ(n) と表せる。ここに、d(n) は n の約数の個数、σ(n) は n の約数の和である。