付値体
自明な付値による付値体は離散位相による位相体と等しい。逆に離散位相による位相体は、自明な付値による付値体である。
実数体の付値として、絶対値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} を選ぶと、 ( R , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {R} ,\ |\cdot |)} は付値体となる。
複素数体の付値として、絶対値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} を選ぶと、 ( C , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {C} ,\ |\cdot |)} は付値体となる。
p を素数に対して、有理数体の付値として、p進付値 | ⋅ | p {\displaystyle |\cdot |_{p}} を選ぶと、 ( Q , | ⋅ | p ) {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {Q} ,\ |\cdot |_{p})} は付値体となる。
アルキメデス付値に対する完備体 K は、実数体または複素数体に同型である(オストロフスキーの定理)。
さらに、K のアルキメデス付値 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} による位相体とすると、K から実数体もしくは複素数体の中への同型写像 σ と、ある正数 ρ が存在して、
| α | = | σ ( α ) | ∞ ρ {\displaystyle |\alpha |=|\sigma (\alpha )|_{\infty }^{\rho }}
と表される。但し | ⋅ | ∞ {\displaystyle |\cdot |_{\infty }} は実数体もしくは複素数体の絶対値とする。
さらに τ を K から複素数体の中への同型写像としたとき、
K の完備化が実数体であるとき、 τ = σ {\displaystyle \tau =\sigma } である。
K の完備化が複素数体であるとき、 τ = σ {\displaystyle \tau =\sigma } または、 τ ( α ) = σ ( α ) ̄ {\displaystyle \scriptstyle \tau (\alpha )={\overline {\sigma (\alpha )}}} のいずれかである。
非アルキメデス付値体 ( K , | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} が完備であるとする。このとき、ヘンゼルの補題と呼ばれる非常に有用な命題が成立する。
ヘンゼルの補題
K の | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の付値環、付値イデアル、剰余体を R , m , F {\displaystyle \scriptstyle R,\ {\mathfrak {m}},\ F} とする。R 係数多項式 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} は、以下の条件を満たすとする:
f ( x ) ≢ 0 ( mod m ) {\displaystyle f(x)\not \equiv 0{\pmod {\mathfrak {m}}}}
互いに素である F 係数多項式 g ~ ( x ) , h ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {g}}(x),\ {\tilde {h}}(x)} が存在して、
f ( x ) ≡ g ~ ( x ) h ~ ( x ) ( mod m ) {\displaystyle f(x)\equiv {\tilde {g}}(x){\tilde {h}}(x){\pmod {\mathfrak {m}}}}