冪乗
自然数 n と任意の集合 A に対して、式 A はしばしば A の元からなる順序 n-組全体の成す集合を表すのに用いられる。これは A は集合 {0, 1, 2, ..., n−1} から集合 A への写像全体の成す集合であると言っても同じことである(n-組 (a0, a1, a2, ..., an−1) は i を ai へ送る写像を表す)。
無限基数 κ と集合 A に対しても、記号 A は濃度 κ の集合から A への写像全体の成す集合を表すのに用いられる。基数の冪との区別のために A と書くこともある。
複素数 z に対して、函数 exp を級数
exp  ( z ) := ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \exp(z):=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{n!}}}
で定義する。この級数は任意の複素数 z に対して収束する。特に exp(1) ≕ e は自然対数の底に等しく、任意の実数 x に対して exp(x) = e(右辺は実数 e の実数 x 乗の意)である(したがって任意の複素数に対して e ≔ exp(z) とも書かれる)。z ≔ x + iy (x, y は実数)と表すと、
exp  ( x + i y ) = e x ( cos  y + i sin  y ) = exp  ( x ) cis  ( y ) {\displaystyle \exp(x+iy)=e^{x}(\cos y+i\sin y)=\exp(x)\operatorname {cis} (y)}
が成り立つ(cis は純虚指数函数)。特に e = cos(y) + i⋅sin(y) はオイラーの公式と呼ばれる関係式である。
さらに、この関数の「逆関数」を log と書けば、一般の複素数 w ≠ 0 に対して
w z := e z log  w {\displaystyle w^{z}:=e^{z\log w}}
と定義される。log が多価関数なので、一般には値が 1 つには定まらない。ただし、w = e の場合には、上の冪級数で定義したほうの意味で用いるのが普通である。
自然数 m に対し、x の m 乗根すなわち m 乗して x になるような数 y がただ一つあるならば、その y を x とし、自然数または整数 n に対し
x = (x)
と定めることによって、x を底とする冪乗の指数を有理数の範囲まで拡張することができる。 このとき、指数法則と呼ばれる下の関係式が成り立つ。
x = x × x
x = (x)
ここで、r と s は、冪が定義できる範囲の有理数である。つまり、x が逆元をもたないなら自然数、逆元はもつが冪根をもたないなら整数、m 乗根をもつが逆元をもたないならば m を分母とする正の有理数、逆元も m 乗根ももつならば m を分母とする有理数である。
しかし歴史的経緯により、三角函数の場合には、函数の略号に正の冪指数を添えたときは函数の値に対して冪を取ることを意味する一方で、−1 を冪指数としたときは逆函数を意味するという特別な文法が適用される。つまり、 sin x は (sin x) を括弧を用いずに略記する方法に過ぎない一方、sin x は逆正弦函数 arcsin x を意味するのである。三角函数の逆数函数は(例えば 1/(sin x) = (sin x) = csc x のように)それぞれ固有の名前と略号が与えられているから、三角函数の逆数の略記法は無用である。同様の規約は対数函数にも適用され、log x はふつう (log x) の意味であって log log x の意味でない。