準フロベニウス環
説明のためにはまず準フロベニウス環を定義するのが易しいだろう。各タイプの環の以下の特徴づけにおいて、環の多くの性質が明らかにされる。
環 R が準フロベニウス (quasi-Frobenius) であるとは、R が以下の同値な条件のうちの1つを満たすことをいう:
R は片側ネーター的かつ片側自己移入的である。
R は片側アルティン的かつ片側自己移入的。
射影的なすべての右(あるいはすべての左)R 加群は移入的でもある。
移入的なすべての右(あるいはすべての左)R 加群は射影的でもある。
フロベニウス環 (Frobenius ring) R とは以下の同値な条件のうちの1つを満たす環のことである。J = J(R) を R のジャコブソン根基とする。
R は準フロベニウスかつ右 R 加群として半単純成分 (socle) s o c ( R R ) ≅ R / J {\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})\cong R/J}
R は準フロベニウスかつ左 R 加群として s o c ( R R ) ≅ R / J {\displaystyle \mathrm {soc} (_{R}R)\cong R/J}