選択公理
濃度の小さい集合の直和より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。(実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。)
選択公理、もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
ハーン–バナッハの定理
ハウスドルフのパラドックス
バナッハ=タルスキーの定理
可算集合の可算個の和は可算である
任意の無限集合は可算集合を含む
ルベーグ非可測集合の存在
任意のフィルターは極大フィルターに拡大できる
全ての体には代数的閉包が存在する。