ホール部分群
素数からなる任意の集合 π に対してホール π-部分群を持つ任意の有限群は可解である。これは、シローの定理が任意のホール部分群の存在を導くから、位数が素数 p, q に対する pq の形に書ける任意の群が可解であることを述べるバーンサイドの定理の一般化である。これはバーンサイドの定理の別証明を与えるものではない(バーンサイドの定理の証明にこのホールの定理の逆が用いられるから)。
有限群 G の任意の正規ホール部分群 H は補群を持つ。すなわち、G の適当な部分群 K が存在して、H との交わりが自明、かつ HK = G とできる(ゆえに G は H と K の半直積)。これはシューア–ツァッセンハウスの定理(英語版)である。
Hall (1928) は G が有限可解群で π が素数からなる任意の集合とするとき、G がホール π-部分群を持ち、任意の二つのホール π-部分群が互いに共軛となることを示した。さらに言えば、π に属する素数の積を位数に持つ任意の部分群は、適当なホール π-部分群に含まれる。この結果は、シローの定理のホール部分群に対する一般化と考えることができるが、前述の例にあるとおり群が可解でない場合にはそのような一般化はできない。
ホール部分群の存在性は、任意の有限可解群は基本アーベル正規部分群を持つという事実を用いて、G の位数に関する帰納法で示せる。より精確には、G が π-分離的なる限り A が π-群または π′-群となるような極小の正規部分群 A を固定するとき、帰納法により、G の A を含む部分群 H が存在して、H/A が G/A のホール π-部分群となるようなものが存在する。A が π-群ならば H は G のホール π-部分群である。他方、A が π′-群ならば、シューア–ツァッセンハウスの定理(英語版)により A は H の補群を持ち、それが G のホール π-部分群になる。