ポワンカレの円板モデル
解析幾何学における基本的な構成は、与えられた二点を通る直線を求めることである。ポワンカレ円板模型において、平面直線は
x 2 + y 2 + a x + b y + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+1=0}
なる形の円弧の一部によって与えられる。この方程式は単位円に直交する円弧若しくは直径を表す式の一般形である。円板内の直径上にない二点 u, v が与えられたとき、この二点を通るような上記の形で表される円が計算できて、
x 2 + y 2 + u 2 ( v 1 2 + v 2 2 ) − v 2 ( u 1 2 + u 2 2 ) + u 2 − v 2 u 1 v 2 − u 2 v 1 x + v 1 ( u 1 2 + u 2 2 ) − u 1 ( v 1 2 + v 2 2 ) + v 1 − u 1 u 1 v 2 − u 2 v 1 y + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+{\frac {u_{2}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})-v_{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})+u_{2}-v_{2}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}x+{\frac {v_{1}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})-u_{1}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2})+v_{1}-u_{1}}{u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}}y+1=0}
u, v を通常のユークリッドノルムを備えた実 n-次元ベクトル空間 R の二つのベクトルで、そのノルムがともに 1 より小さいものとすると、
δ ( u , v ) = 2 ‖ u − v ‖ 2 ( 1 − ‖ u ‖ 2 ) ( 1 − ‖ v ‖ 2 ) {\displaystyle \delta (u,v)=2{\frac {\lVert u-v\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})(1-\lVert v\rVert ^{2})}}}
と置いて等距不変量が定義できる。ここで ǁ⋅ǁ は通常のユークリッドノルムである。故にこの距離函数は
d ( u , v ) = a r cosh  ( 1 + δ ( u , v ) ) {\displaystyle d(u,v)=\operatorname {ar\,\cosh } (1+\delta (u,v))}