ワッサースタイン計量
で定義される。ここで Γ(μ, ν) は第一変数と第二変数にそれぞれ周辺分布μとνを備えるM × M上のすべての測度の系を表す。集合 Γ(μ, ν) はμとνのすべてのカップリングからなる集合とも呼ばれる。
上述の距離は通常 Wp(μ, ν) ("Wasserstein"という綴りより)、あるいは lp(μ, ν) ("Vasershtein"という綴りより)の記号によって表される。この記事の残りの部分ではWpを使用する。
ワッサースタイン計量には、次のような同値な定義も存在する。
W p ( μ , ν ) p = inf E [ d ( X , Y ) p ] . {\displaystyle W_{p}(\mu ,\nu )^{p}=\inf \mathbf {E} {\big [}d(X,Y)^{p}{\big ]}.}
ここで E[Z] は確率変数Zの期待値を表し、下限はそれぞれ周辺分布μ とνを備える確率変数XとYのすべての結合分布に対して取られる。