頂垂線 (三角形)
任意の三角形 ABC の頂垂線 AD 上の任意の点 E に対し
が成り立つ。
任意の三角形の三辺を a, b, c とそれぞれに対応する頂垂線の長さを ha, hb, hc と書けば、頂垂線の長さの逆数和の半分 H = ( h a − 1 + h b − 1 + h c − 1 ) / 2 {\textstyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2} に対して三角形の面積 Area は
を満足する。
任意の三角形を考え、その辺の長さを a, b, c, 対応する頂垂線の長さをそれぞれ ha, hb, hc とするとき、これら頂垂線の長さと内半径 r は
なる関係を持つ。
垂心 H, 重心 G, 外心 O, および九点円の中心 N はすべて同一直線上にあり、その直線はオイラー線と呼ばれる。九点円の中心は垂心と外心を結ぶオイラー線の中点の位置にあり(したがって O H = 2 N H {\textstyle OH=2NH} )、重心と外心の間の距離は重心と垂心との距離の半分に等しい( 2 O G = G H {\textstyle 2OG=GH} )。
垂心は内心 I との距離が、重心との距離より小さく( H I < H G {\textstyle HI<HG} )、また垂心は重心からの距離が内心よりも大きい( H G > I G {\textstyle HG>IG} )。
三角形の三辺の長さ a, b, c, 内半径 r および 外半径 R を用いて、以下が成立する:
O H 2 = R 2 − 8 R 2 cos  A cos  B cos  C = 9 R 2 − ( a 2 + b 2 + c 2 ) , {\textstyle OH^{2}=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),}
H I 2 = 2 r 2 − 4 R 2 cos  A cos  B cos  C . {\textstyle HI^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}