メビウス変換
( f 4 ∘ f 3 ∘ f 2 ∘ f 1 ) ( z ) = f ( z ) = a z + b c z + d {\displaystyle (f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1})(z)=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
はメビウス変換を与える。このようにメビウス変換を分解することで、メビウス変換のもつ多くの性質を浮き彫りにすることができる。メビウス逆変換の存在とその明示的な表示式は、この分解における単純な変換の逆変換を考えば、それらの合成を行うことによって直ちに導かれる。要するに、変換 g1, g2, g3, g4 を、各 gi が上記 fi の逆変換とすると、それらの合成
( g 1 ∘ g 2 ∘ g 3 ∘ g 4 ) ( z ) = f − 1 ( z ) = d z − b − c z + a {\displaystyle (g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4})(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}
が、メビウス逆変換の式を与えるのである。
ρ = 0 の場合、不動点は反発的でも吸引的でもなく中立的であり、そのような変換は楕円型であるという。楕円型変換では任意の点が二つの不動点の周りをまわる円に沿って動く。一方の不動点が無限遠の場合は、これは一点の周りのアフィン回転を行うことと同値である。
任意の楕円型メビウス変換で生成される一径数部分群をとれば、この部分群の各変換が同じ二点を固定するような、連続変換が得られる。他の点はどれもリーマン球面上の二つの不動点の間でネストされた円の族に沿って流れる。一般に、二つの不動点は相異なる任意の二点を取ることができる。
このことは重要な物理学的解釈を持つ。観測者がある軸に関して角速度一定の回転をすることを想像し、二つの不動点を天球の北極と南極にとることにすれば、夜空の様子はちょうど二つの不動点 0, ∞ を共有する楕円型変換全体の成す一径数部分群によって記述されるのと同じ仕方で連続的に変換される。実数 α は観測者の一定な角速度に対応する。
次の二つの図は、楕円型メビウス変換のリーマン球面への効果(を平面へ立体投影したもの)を表したものである。
これらの図は単独のメビウス変換の効果を図示したものである。一径数部分群は、これを図によって示唆される円弧の族に沿って各点を「連続的に」動かすことで生成される。
恒等変換ではない任意のメビウス変換はリーマン球面上にふたつの不動点 γ1, γ2 を持つ。ただし、ここでふたつというのは重複度まで込めてふたつという意味である(つまり、抛物型変換についてはふたつの不動点が重なっているものと考える)。ふたつのうちの一方あるいは両方の不動点が無限遠にあってもよい。
メビウス変換が斜航型 (loxodromic) であるとは、 ( tr H ) 2 {\displaystyle ({\text{tr}}\,{\mathfrak {H}})^{2}} が [0, 4] に属さないときに言う。メビウス変換が斜航型となるための必要十分条件は、|λ| ≠ 1 となることである。
歴史的に、等角航路 (loxodrome) あるいは航程線 (rhumb line) に従った航行というのは一定の方角に航路をとることであった。この航跡は対数螺旋であり、斜航型メビウス変換がガウス平面に描く軌跡も同様である。変換の軌跡については後述。
この部分群は、同型 M ≅ P S L ( 2 , C ) {\displaystyle {\mathcal {M}}\cong {\mathit {PSL}}(2,\mathbb {C} )} を通じて、射影特殊ユニタリ群 PSU(2, C) に同型で、この群は 3-次元における回転全体の成す群である特殊直交群 SO(3) にも同型なので、メビウス群の極大コンパクト部分群をリーマン球面における回転全体の成す群として解釈することができる。任意の有限部分群は共軛変換でこの極大コンパクト部分群の中に写され、それゆえそれらの群はちょうど多面体群、三次元における点群に対応する。
メビウス変換からなる正二十面体群(英語版)はクラインによって (Klein 1888) において五次方程式の解析解を与えるために用いられた(現代的な解説が (Tóth 2012) にある)。
さて、メビウス変換の係数 a, b, c, d を ad − bc = 1 なる整数と仮定するならば、モジュラー群 PSL(2, Z) と呼ばれる PSL(2, R) の離散部分群で、ガウス平面上の格子および、楕円函数、楕円曲線の研究において重要な群を生じる。PSL(2, R) の離散部分群はフックス群として知られ、リーマン面の研究において重要である。
H ( β ; γ ) = ( 1 + γ β − β γ 2 β 1 − γ β ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}}
あるいは、γ = ∞ のときは
H ( β ; ∞ ) = ( 1 β 0 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}}
を得る。ここで、β は f の特性定数ではないことに注意すべきである(抛物型変換の特性定数は常に 1 である)。得られた式から、f′(γ) = 1 がわかる。