スターリングの近似
すべての正の整数に対して、
n ! = Π ( n ) = Γ ( n + 1 ) {\displaystyle n!=\Pi (n)=\Gamma (n+1)}
が成り立つ。ここで Γ はガンマ関数を表す。
しかしながら、パイ関数(英語版) Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)} は、階乗とは異なり、より広く、正でない整数を除いてすべての複素数に対して定義される。それにもかかわらず、スターリングの公式をなお適用することができる。Re z > 0 であれば
log  Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log  z − z + 1 2 log  2 π + 2 ∫ 0 ∞ arctan  ( t / z ) e 2 π t − 1 d t {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt}
が成り立つ。 部分積分を繰り返すことで次が得られる
log  Γ ( z ) ∼ ( z − 1 2 ) log  z − z + 1 2 log  2 π + ∑ n = 1 ∞ B 2 n 2 n ( 2 n − 1 ) z 2 n − 1 .
∫ − ε ε e − z { u − log  ( 1 + u ) } d u = ∫ − ε ε e − z ( u 2 2 − u 3 3 + O ( u 4 ) ) d u = ∫ − ε ε e − z u 2 2 e z ( u 3 3 + O ( u 4 ) ) d u = ∫ − ε ε e − z u 2 2 ( 1 + z u 3 3 + z O ( u 4 ) ) d u = ∫ − ε ε e − z u 2 2 ( 1 + z O ( u 4 ) ) d u {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left\{u-\log(1+u)\right\}}du&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-z\left({\tfrac {u^{2}}{2}}-{\tfrac {u^{3}}{3}}+O(u^{4})\right)}du=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}e^{z\left({\tfrac {u^{3}}{3}}+O(u^{4})\right)}du\\&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}\left(1+{\frac {zu^{3}}{3}}+zO(u^{4})\right)du\\&=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }e^{-{\tfrac {zu^{2}}{2}}}\left(1+zO(u^{4})\right)du\\\end{aligned}}}
ガンマ関数の(関数電卓などの)計算機向けの近似として次の式がある。
Γ ( z ) ∼ 2 π z ( z e z sinh  1 z + 1 810 z 6 ) z {\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}}
これは、次と同等である。
2 ln  Γ ( z ) ∼ ln  2 π − ln  z + z { 2 ln  z + ln  ( z sinh  1 z + 1 810 z 6 ) − 2 } {\displaystyle 2\ln \Gamma (z)\sim \ln 2\pi -\ln z+z\left\{2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right\}}
これらはスターリングの公式を組み替えて、その結果生じる冪級数と双曲線正弦関数のテイラー展開の間の合致を観察することで得られる。この近似は z の実数部が 8 以上のとき、小数点以下 8 桁を超える精度を持つ。