マグマ (数学)
マグマ (magma)
準群 (quasigroup)
半群 (semigroup)
ループ (loop)
モノイド (monoid)
群 (group)
可除性 (divisibility)
結合性 (associativity)
単位元をもつ (identity)
可逆性 (invertibility)
一般には、マグマをそのままマグマとして調べるということはまずあり得ず、代わりに(部分的なクラスに分けるために)マグマの二項演算に適当な公理を課した、いくつかの別な種類の代数系として調べることになる。よく知られたクラスの、特別な名前が付いている代数系としては
準群: 空でないマグマで除法が常にできるもの。
ループ: 単位元を持つ準群。単位的準群。
半群: 演算が結合的なマグマ。
モノイド: 単位元をもつ半群。単位的半群。
群: 逆元を持つモノイド。
アーベル群: 演算が可換な群。
といったようなものを挙げることができる。もちろん、特別な呼び方はなくとも、可換マグマや可換モノイドといったような代数系のクラスもしばしば扱われる。
マグマ (M, μ) と台集合 M 上の同値関係 ∼ が与えられているとき、同値関係 ∼ がマグマ合同であるとは
x ∼ y , u ∼ v ⟹ μ ( x , u ) ∼ μ ( y , v ) {\displaystyle x\sim y,\,u\sim v\Longrightarrow \mu (x,u)\sim \mu (y,v)}
が任意の x, y, u, v ∈ M に対して成り立つという意味でマグマ演算 μ と両立することをいう。∼ がマグマ合同であるとき、∼ による合同類の全体
M / ∼ := { [ x ] ∣ x ∈ M } ( [ x ] := { z ∈ M ∣ x ∼ z } ) {\displaystyle M/{\sim }:=\{[x]\mid x\in M\}\quad ([x]:=\{z\in M\mid x\sim z\})}
に二項演算 μ' が
μ ′ ( [ x ] , [ u ] ) := [ μ ( x , u ) ] {\displaystyle \mu '([x],[u]):=[\mu (x,u)]}
とおくことにより矛盾なく定まり、(M/∼, μ') は再びマグマを成す。これをマグマ M のマグマ合同 ∼ による剰余マグマ(residue class magma)、商マグマ(quotient magma)、因子マグマ(factor magma)などと呼ぶ。