選点法
ここで、U は時間 tn での近似解である。したがって、正しく ux を近似することで、次の時刻での近似解がわかるようになる。
既知の数値 vj = U(xj) から空間上のグリッド関数 v = {vj} を定義し、周期的に拡張する。そして a(x)ux を次のように各選点で近似する。
a ( x j ) u x ( x j ) ≈ a ( x j ) ( D v ) j {\displaystyle a(x_{j})u_{x}(x_{j})\approx a(x_{j})(Dv)_{j}}
ここで、D は スペクトル微分作用素 (spectral differentiation operator) という線型作用素であり、以下のように定義される。
D v = F h − 1 ( i ξ F h ( v ) ) {\displaystyle Dv={\mathcal {F}}_{h}^{-1}(i\xi {\mathcal {F}}_{h}(v))}
ここで、 F h {\displaystyle {\mathcal {F}}_{h}} は半離散フーリエ変換 (semi-discrete Fourier transform) といい、以下のように定義される。