円周率の無理性の証明
{ a n x n − ( n 1 ) a n − 1 b x n + 1 + ( n 2 ) a n − 2 b 2 x n + 2 − ⋯ + ( − 1 ) n b n x 2 n } {\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{n!}}\left\{a^{n}x^{n}-{\binom {n}{1}}a^{n-1}bx^{n+1}+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}x^{n+2}-\cdots +(-1)^{n}b^{n}x^{2n}\right\}}
fn(x) に x = 0 を代入することを考える。
k < n のときは、fn(x) の各項は全て1次以上だから、fn(0) = 0。
n ≤ k ≤ 2n のときは、x = 0 を代入する際に、1次以上の項は同様に 0 となるため、定数項のみが残り、
f n ( k ) ( 0 ) = 1 n ! { ( − 1 ) k − n ( n k − n ) a 2 n − k b k − n x k } ( k ) = ( − 1 ) k − n k ! n ! ( n k − n ) a 2 n − k b k − n {\displaystyle f_{n}^{(k)}(0)={\frac {1}{n!}}\left\{(-1)^{k-n}{\binom {n}{k-n}}a^{2n-k}b^{k-n}x^{k}\right\}^{(k)}=(-1)^{k-n}{\frac {k!}{n!}}{\binom {n}{k-n}}a^{2n-k}b^{k-n}}
となる。
n ≤ k ≤ 2n より k ! n ! {\displaystyle {\frac {k!}{n!}}} , a, b は整数であるから、fn(0) は整数である。
ゆえに、fn(0) の和・差である Fn(0) は整数である。
補題 2:Fn(π) = Fn(0)