カラテオドリの拡張定理
与えられた集合 Ω に対し、その冪集合 P ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )} の部分集合 S で、次に述べる性質を満たすものを集合半環と定義する:
S は空集合を含む: ∅ ∈ S.
S は合併に関して閉じている: 任意の A, B ∈ S に対し、A∪B ∈ S が成立する。
S において差集合は有限非交和に書ける:任意の A, B ∈ S に対し、互いに素な集合列 Ki ∈ S (i = 1, 2, ..., n)で A ∖ B = ∐ i = 1 n K i {\displaystyle A\smallsetminus B=\coprod _{i=1}^{n}K_{i}} を満たすようなものが存在する。
同様な記号を用いて、Ω の冪集合の部分集合で次の性質を満たすものは集合環 R と呼ばれる:
R は空集合を含む: ∅ ∈ R
R は合併に関して閉じている: 任意の A, B ∈ Rに対し、A ∪ B ∈ R が成立する。
R は差に関して閉じている: 任意の A, B ∈ Rに対し、A ∖ B ∈ R が成立する。
したがって、Ω 上の任意の集合環は、集合半環でもある。
測度論に関する文献では、しばしば、次のような制限が追加される:
Ω は、S に含まれるある可算な集合族の直和である。