鎖複体
双対鎖複体 ( A ∙ , d ∙ ) {\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })} はアーベル群、もしくは加群の列 ..., A, A, A, A, A, ... であり、準同型 d n : A n → A n + 1 {\displaystyle d^{n}\colon A^{n}\to A^{n+1}} により結ばれ、2つの連続する写像は、すべての n についてゼロ写像 : d n + 1 d n = 0 {\displaystyle d^{n+1}d^{n}=0} である。
⋯ → A − 2 → d − 2 A − 1 → d − 1 A 0 → d 0 A 1 → d 1 A 2 → ⋯ → A n − 1 → d n − 1 A n → d n A n + 1 → ⋯ . {\displaystyle \cdots \to A^{-2}{\xrightarrow {d^{-2}}}A^{-1}{\xrightarrow {d^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}A^{2}\to \cdots \to A^{n-1}{\xrightarrow {d^{n-1}}}A^{n}{\xrightarrow {d^{n}}}A^{n+1}\to \cdots .}
各々の A n {\displaystyle A_{n}} あるいは、 A n {\displaystyle A^{n}} の添え字 n {\displaystyle n} は、次数 (degree)、あるいは次元と呼ばれる。