振動準位
既約表現の指標表を見て、遷移モーメントがその点群において属する既約表現と同じであれば赤外光を吸収する。つまり指標表のx、y、zが属する既約表現と同じであれば、その既約表現で表される振動は赤外線を吸収する。
古典論から量子論に移るには、古典論のハミルトニアンに含まれる位置xを位置演算子 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} に、運動量pを運動量演算子 − i ħ ∂ ∂ x {\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}} に置き換えればよい(正準量子化)。
H ^ = − ħ 2 2 μ d 2 d x 2 + 1 2 k x ^ 2 {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}}
この量子的なハミルトニアンの固有値問題を解くと、固有エネルギーは次のように得られる。
E n = ħ ω ( v + 1 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(v+{\frac {1}{2}}\right)\qquad (n=0,1,2,...)}
ただし ω = k / μ {\displaystyle \omega ={\sqrt {k/\mu }}} 。ここでv は振動の量子数と呼ばれる。分子振動を調和振動で近似すると、その量子的なエネルギーはv について等間隔なエネルギー準位となる。