遅延ポテンシャル
遅延ポテンシャル は、真空におけるポテンシャル形式のマックスウェル方程式(英語版)(後述の式(1-2-4))の解の一つで、以下の式(1-1-1)で与えられる。本節では、必要に応じたいくつかの数学的補足 をしながら、遅延ポテンシャルについて論じる。
A r e t ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ i ( s , t r e t ) | r − s | ⋅ d s {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {r}},t)={\dfrac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\dfrac {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (1-1-1a)
G a d v ( x , y , z , ω ) := exp  ( i k r ) 4 π r {\displaystyle {G}_{\mathrm {adv} }(x,y,z,\omega ):={\frac {\exp(ikr)}{4\pi r}}} (2-4-4') G r e t ( x , y , z , ω ) := exp  ( − i k r ) 4 π r {\displaystyle {G}_{\mathrm {ret} }(x,y,z,\omega ):={\frac {\exp(-ikr)}{4\pi r}}} (2-4-5') 従って(同じ単位系でかかれた本であっても)本によってグリーン関数の符号が違ったりする。 しかし、最終的な結論においては、当然、どちらの流儀であっても同じ結論になる。
↑ 厳密にいうと、Gは、スカラー値関数ではなく、 L 2 {\displaystyle L^{2}} 空間の点というべきであろう。
∂ ∂ z r [ 1 | r − s | ] = − ( z r − z s ) | r − s | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {z}_{\boldsymbol {r}}}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {-({z}_{\boldsymbol {r}}-{z}_{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-2c)
grad r  [ 1 | r − s | ] = − ( r − s ) | r − s | 3 {\displaystyle \operatorname {grad} _{\boldsymbol {r}}\left[{\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\right]={\frac {-({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})}{{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}^{3}}}} (S4-1-2d)
が得られる。
である。上記の微分作用素Lは、 G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) {\displaystyle G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )} に対し、付録微分作用素の球面座標変換の式(S3-2-1) の意味での Φ {\displaystyle \Phi } 関係、即ち、
L [ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] = ( Δ [ G ] ) ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) {\displaystyle L[G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]=(\Delta [G])(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )} (2-3-5)
を充たすように作用するため、上記のヘルムホルツ方程式は、
( Δ [ G ] ) ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) + k 2 G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) = δ 3 ( r ) {\displaystyle (\Delta [G])(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )+{k}^{2}G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )={\delta }^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-3-6)
と変形される。
A ^ ( r , ω ) = 1 2 π ∫ t = − ∞ t = ∞ A ( t , r ) exp  ( − i ω t ) d t i ^ ( r , ω ) = 1 2 π ∫ t = − ∞ t = ∞ i ( t , r ) exp  ( − i ω t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{t=-\infty }^{t=\infty }{\boldsymbol {A}}(t,{\boldsymbol {r}})\exp(-\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} t\\&{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{t=-\infty }^{t=\infty }{\boldsymbol {i}}(t,{\boldsymbol {r}})\exp(-\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} t\end{aligned}}} (2-1-2)
とすると、任意の実数ωに対し、以下の式(2-1-3)が成り立つ。
D A ^ ( r , ω ) = − μ 0 i ^ ( r , ω ) {\displaystyle D{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )=-\mu _{0}{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )} (2-1-3)
但し、Dは、以下の式(2-1-4)で定まる x-y-z空間上の微分作用素である。
D = { ∇ 2 + ( ω 2 c 2 ) } {\displaystyle D=\left\{\nabla ^{2}+\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\right\}} (2-1-4)
= μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 1 | r − s | ( 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ exp  ( i ( ω t − k | r − s | ) ) i ^ ( s , ω ) d ω ) ⋅ d s {\displaystyle ={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{|{\boldsymbol {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}}|}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }\exp(i(\omega t-k|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|)){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\ d\omega \right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-6-6b)