微分位相幾何学
微分位相幾何学(びぶんいそうきかがく)もしくは微分トポロジー(英語:differential topology)は、多様体の微分可能構造に注目する幾何学の一分野。微分可能構造という位相のみでは決まらないものを扱うため純粋な位相幾何学として扱うのは難しい部分もあるが,位相が与えられている多様体の微分可能構造つまり微積分ができるような構造を調べるということで位相多様体を調べるもので,微分可能構造まで込めた多様体に距離や曲率を定めて研究を行う微分幾何学に比べ自由度は高いことから位相幾何学であるとされている。解析学や微分幾何学と位相幾何学の学際研究が非常に有益なことは初期から知られており、局所的な性質を扱う微分幾何学と大域的な性質を扱う位相幾何学の対照的な2分野による多様体の研究は双方の発展を促した。古くはフェリックス・クラインやアンリ・ポアンカレまで遡れ、現在微分位相幾何学と呼ばれているものはルネ・トムやジョン・ミルナーといった数学者によって創り出された。
微分トポロジーは多様体の微分可能構造を研究する幾何学である。微分幾何学の不変量である曲率並びにそれに基づく幾何構造は微積分によって定める。このとき多様体上での微分の基準(線型の定義)が微分可能構造である。微分位相幾何学では角度、大きさ、曲率といったものを考えない。これはトポロジーの最も特徴的な性質の1つだが、微分トポロジーは普通のトポロジーよりも自由度が小さい。位相的には同じだが微分可能構造が違う例はミルナーによって発見された異種7次元球面が最初である。7次元球面は28種類の異なる幾何構造を持つ。もっと顕著な例は4次元空間であり、これはドナルドソンによって本質的に異なる微分可能構造が無限にあることが示されている。別種の例として滑らかな微分構造を持たない位相多様体なども挙げられる。
トポロジーと微分トポロジーの間に顕著な例が現れるのは高次元の場合であり、例えば2次元の多様体は全て微分可能な多様体に同相変換可能であることがラドによって、3次元の多様体についてはモイーズとビングによって示されている。また、2次元多様体はただ1種類の自然な幾何構造を持つことがケーベとポアンカレによって示されている。