線型汎函数
有限次元ベクトル空間 V 上の任意の非退化双線型形式は V から V への線型同型を引き起こす。具体的には、V 上の双線型形式を ⟨ , ⟩ で表せば(例えば、ユークリッド空間のベクトル v, w に対して ⟨v, w⟩ = v • w を点乗積とすると)、自然な同型
V → V ∗ : v ↦ v ∗ ( v ∗ ( w ) := ⟨ v , w ⟩ for ∀ w ∈ V ) {\displaystyle V\to V^{*}\colon v\mapsto v^{*}\quad (v^{*}(w):=\langle v,w\rangle {\text{ for }}\forall w\in V)}
が得られる。逆向きの同型は
V ∗ → V : f ↦ f ∗ ( ∃ 1 f ∗ s.t ⟨ f ∗ , w ⟩ = f ( w ) for ∀ w ∈ V ) {\displaystyle V^{*}\to V\colon f\mapsto f^{*}\quad (\exists _{1}f^{*}{\text{ s.t }}\langle f^{*},w\rangle =f(w){\text{ for }}\forall w\in V)}
で与えられる。ここで定義されたベクトル v* ∈ V* を v ∈ V の双対ベクトルと呼ぶ。
有限次元ヒルベルト空間においても、同様のことが成り立ち、リースの表現定理と呼ばれる。ただし、そのような同型 V → V* の値域は連続的双対をとるが、線型同型ではなく反線型同型である。