単純群
G を位数が素数の冪 p (p は素数、r は2以上の自然数)である巡回群とすれば、G の自明でない部分群 (G 自身および自明群 {e} 以外の部分群) の位数は p (s は 1 ≤ s < r である自然数) であり、これらの部分群をいかに直積で組み合わせても、位数が p の元 (G の生成元) を含むような群にはならない。従って、G はこれ以上直積に分解することはできないので直既約群であるが、明らかに自明でない正規部分群を持つので単純群ではない。