ホッジ予想
の積として表されるような微分形式によって表現されるコホモロジー類である(さらに詳しくはホッジ理論を参照のこと)。これらの調和函数を使う表現のウェッジ積をとることは、コホモロジーのでのカップ積に対応するので、カップ積はホッジ分解と整合性を持っている。
∪ : H p , q ( X ) × H p ′ , q ′ ( X ) → H p + p ′ , q + q ′ ( X ) . {\displaystyle \cup :H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).\,}
X はコンパクトな向き付け可能な多様体であるから、X は基本類を持っている。
Z を X の次元 k の複素部分多様体として、i : Z → X を埋め込み写像とする。タイプ (p, q) の微分形式 α を選択する。すると α を次式のように Z 上積分することができる。
∫ Z i ∗ α . {\displaystyle \int _{Z}i^{*}\alpha .}
この積分を計算するために、Z の上の点を選び、それを 0 とする。X の上の 0 の周りの局所座標 z1, ..., zn で Z がちょうど zk + 1 = .
ホッジ予想の最初の結果は Lefschetz (1924) によって提供された。実際、この論文はホッジ予想に先行していて、ホッジ予想の成立にいくつかの動機をもたらした。
定理 (レフシェッツ(1,1)-クラスの定理(英語版)) H(X, Z) ∩ H(X) の任意の元は、X 上の因子のコホモロジー類である。特に、H について、ホッジ予想が成立する。
層コホモロジーと指数完全系列を使うと、このことが非常に簡明に証明できる。(因子のコホモロジー類は第一チャーン類に等しいことが分かる。)レフシェッツの元々の証明は、ポアンカレ (Henri Poincaré) により導入された正規函数 (normal function) を使い、成し遂げられている。しかし、グリフィス横断性定理(英語版)は、このアプローチでは余次元が高い部分多様体に対しては、ホッジ予想を証明し得ないことを示している。
強レフシェッツ定理により、