ミラー対称性 (弦理論)
どのようにしてトーラスが複素平面の中の平行四辺形の対辺を同一視すると得ることができるかを見てみる。特別に単純例は、複素数 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} と ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} それぞれが実軸と虚軸にある場合である。この場合には、 ω 1 = R 1 {\displaystyle \omega _{1}=R_{1}} および ω 2 = i R 2 {\displaystyle \omega _{2}=iR_{2}} と書くことができる。ここに R 1 {\displaystyle R_{1}} と R 2 {\displaystyle R_{2}} は実数である。上記の議論のようにして得られたトーラス上の複素構造は、数値 τ = i R 2 / R 1 {\displaystyle \tau =iR_{2}/R_{1}} により特徴づけられる。
どのようにトーラスのシンプレクティック構造が面積要素により決定されるかを、すでに説明した。平行四辺形上の座標 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} を、複素数により張られる平行四辺形の各々の辺が長さ 1 を持つように選ぶことができる。すると、このトーラスの面積要素は R 1 R 2 d x d y {\displaystyle R_{1}R_{2}dxdy} であり、単位正方形上で積分し R 1 R 2 {\displaystyle R_{1}R_{2}} となる。