階差機関
各カラムの初期値は、N次多項式の場合数表上の先頭N個の値を別の手段で計算し、そこからバックトラッキングのように通常の階差機関の動作とは逆向きに階差を計算していく。
カラム 1 0 {\displaystyle 1_{0}} には、対象となる関数の始点の値 f ( 0 ) {\displaystyle f(0)} を設定する。カラム 2 0 {\displaystyle 2_{0}} には f ( 1 ) {\displaystyle f(1)} と f ( 0 ) {\displaystyle f(0)} の差分を設定する......といったように続く。
計算対象の関数が次のように表される多項式だとする。
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 {\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,}
それによって階差機関は動作する。
p(5) を求めてみよう。それには上の表の一番下の斜めのマスに入っている数値群を使用する。まず、右端のカラムの定数値4を使い、それを下の空いているマスにコピーする。次に隣のカラムの一番下の値11にその4を加え、15を得る。さらに隣のカラムの一番下の値22にその15を加える。従って p(5) は 22+15 = 37 となる。p(6) を計算するには p(5) を求める際に得られた各カラムの最新の値を使い、同様に計算すればよい。つまり、15に4を加えて19、37に19を加えて56となる。これが p(6) の値である。
必要な範囲をxの増分により必要な間隔で続けられ、好きなだけ値を求めることができる。差分機関はただ加算が出来ればよいので、多項式の値が乗算を使用せずに得られる。この例ではループするたびに2つの値を覚えておく必要がある(左のカラムと中央のカラムの一番下の値)。N次多項式の表を作るにはN個の数値を保持する機構が必要である。
バベッジの階差機関二号機は1991年に完成したが、8個の数値を31桁保持することが出来るようになっており、7次多項式の数表を作成する能力がある。ショイツの作った最も大規模なものでも 4つの15桁の数値までしか保持できなかった。