物質微分
応用で重要なのは速度の物質微分すなわち加速度である。定常流、つまり、速度の時間変化がない流れでも、流体粒子の加速度は0とは限らない。定常流でも、流線に沿って速度の大きさは変化しうるし、流線に沿って速度の方向が変わる(流線が曲がる)こともありうる。これを式に表すと、
D v D t = ∂ ∂ s ( v 2 2 ) e s − v 2 R e r {\displaystyle {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}} \over \mathrm {D} t}={\partial \over \partial s}\left({v^{2} \over 2}\right){\boldsymbol {e}}_{s}-{v^{2} \over R}{\boldsymbol {e}}_{r}}
ただし、 s {\displaystyle s} は流線上のある点からの道のり、 r {\displaystyle r} は瞬間的な曲率中心からの距離、 R {\displaystyle R} は流線の曲率半径、 e s {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{s}} は接線方向の単位ベクトル、 e r {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r}} は半径方向の単位ベクトルを表す。

加速度の流線方向の成分は流線にそった速さの変化率に対応し、加速度の法線方向の成分は流線が曲がることによる向心加速度に対応する。
移流項における ∇ φ {\displaystyle \nabla \varphi } は スカラー量の勾配であるが、対流項における ∇ A {\displaystyle \nabla {\boldsymbol {A}}} はベクトル量の共変微分である。ベクトル量の対流項 v ⋅ ∇ A {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}} を ( v ⋅ grad ) A {\displaystyle ({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\boldsymbol {A}}} と記述することがあるが、この表示はデカルト座標系でしか等価でないことに注意すべきである(スカラー量の対流項 v ⋅ ∇ φ {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \varphi } については ( v ⋅ grad ) φ {\displaystyle ({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} )\varphi } と等価である)。