稠密集合
距離空間の稠密集合には、別な定義の仕方もある。X の位相が距離によって誘導されるものであるとき、X の部分集合 A の閉包 A は A および A 内の極限点全体の成す集合との和
A ̄ = A ∪ { lim n a n ; a n ∈ A ∀ n ≥ 0 } {\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \{\ \lim _{n}a_{n};\ a_{n}\in A\ \ \forall \ n\geq 0\ \}}
で与えられる。このとき、A が X において稠密であるとは A = X を満たすことをいう。ここで、
A ⊂ { lim n a n ; a n ∈ A ∀ n ≥ 0 } {\displaystyle A\subset \{\ \lim _{n}a_{n};\ a_{n}\in A\ \ \forall \ n\geq 0\ \}}
であることに注意。
{Un} を完備距離空間 X の稠密開集合列とすると、
⋂ n = 1 ∞ U n {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}
もまた X において稠密である。この事実は、ベールの範疇定理の同値な表現の一つである。