超実数
超実数体 *R の有限な元全体 F は局所環(実は付値環)であり、その唯一の極大イデアル S は無限小元全体によって与えられ、剰余体 F/S は実数体 R に同型になる。従って環準同型 st: F → R で ker(st) = S かつ、各値 st(x) (x ∈ F) は x − st(x) ∈ S となる唯一の標準実数となるものの存在が言える。言い方を変えれば、任意の有限超準実数 x は、ただ一つの標準実数 st(x) に(それらの差 x − st(x) が無限小となるという意味で)「極めて近い」のである。この標準実数 st(x) を x の標準部分(英語版) と言い、概念的には x に最も近い実数を意味するものである。この函数 st は順序を保つ環準同型であり、従って代数学的にも順序論的にもよく振る舞う。
st は順序を保つが、同調写像ではない。すなわち x ≤ y ⇒ st(x) ≤ st(y) だが、x < y は st(x) < st(y) を導かない。
x, y がともに有限超準実数ならば st(x + y) = st(x) + st(y) および st(xy) = st(x)st(y) が成り立つ。
x が有限かつ無限小でないならば st(1/x) = 1/st(x) が成り立つ。
x が標準実数となるための必要十分条件は st(x) = x を満たすことである。
函数 st は、この有限超実数体 F 上の順序位相(英語版)に関して連続である(実は st は局所定数函数になる)。