カリーのパラドックス
数理論理学的には自己言及文を含まなくとも、素朴集合論では次の集合 X から任意の論理式 Y を証明できる。
X = d e f { x | ( x ∈ x ) → Y } . {\displaystyle X\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left\{x|(x\in x)\to Y\right\}.}
証明は以下の通り。
1. ( X ∈ X ) ⟺ ( ( X ∈ X ) → Y ) definition of X 2. ( X ∈ X ) → ( ( X ∈ X ) → Y ) from 1 3. ( X ∈ X ) → Y from 2, contraction 4. ( ( X ∈ X ) → Y ) → ( X ∈ X ) from 1 5. X ∈ X from 3 and 4, modus ponens 6. Y from 3 and 5, modus ponens {\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{1.}}&(X\in X)\iff ((X\in X)\to Y)&{\mbox{definition of X}}\\{\mbox{2.