生存関数
生存のパラメトリック・モデルは、不可能または望ましくないかもしれない。このような状況で生存関数をモデル化する最も一般的な方法は、ノンパラメトリックなカプラン=マイヤー推定量である。
連続した故障の間の時間は、1, 3, 5, 7, 11, 11, 11, 12, 14, 14, 14, 16, 16, 20, 21, 23, 42, 47, 52, 62, 71, 71, 87, 90, 95, 120, 120, 225, 246, 261 時間である。平均故障間隔は 59.6 である。この平均値は、データに理論的な曲線を当てはめるために使用される。次の図は、故障間隔の分布を示している。グラフの下にある青い目盛りは、連続した故障の間の実際の時間である。
この故障時間の分布に、指数分布を表す曲線を重ねて示している。この例では、指数分布が故障時間の分布を近似している。指数曲線は、実際の故障時間に適合した理論上の分布である。この指数曲線は、λ(ラムダ)= 1/(平均故障間隔) = 1/59.6 = 0.0168 というパラメータで指定される。故障時間の分布は、時間が任意の正の値を取ることができる場合、確率密度関数(probability density function、PDF)と呼ばれる。方程式では、PDF を f(t) と表記する。時間が離散的な値(1日、2日、など)しか取れない場合、故障時間の分布は確率質量関数(probability mass function、PMF)と呼ばれる。
T を区間 [0,∞) 上の累積分布関数 F(t) を持つ連続確率変数とする。その生存関数(または信頼性関数)は次のとおりである。
S ( t ) = P ( { T > t } ) = ∫ t ∞ f ( u ) d u = 1 − F ( t ) . {\displaystyle S(t)=P(\{T>t\})=\int _{t}^{\infty }f(u)\,du=1-F(t).}