モーデルの定理
有理数 x について高さ H(x) を次のように定義する。x = m/n (n, m ∈ Z で、n と m は互いに素)と既約分数で表示したとき
H ( x ) = max { | n | , | m | } {\displaystyle H(x)=\max\{\left|n\right|,\left|m\right|\}}
また P ∈ E(Q), P ≠ O に対して H(P) を P の x 座標の高さとし、H(O) = 1 と定義する。
このとき次の2つの条件を満たす正数 C が存在することが知られている。
(1) E(Q) に属するすべての P に対して C ⋅ H ( 2 P ) ≥ H ( P ) 4 {\displaystyle C\cdot H(2P)\geq H(P)^{4}}
(2) E(Q) に属するすべての P, Q に対して C ⋅ H ( P ) ⋅ H ( Q ) ≥ m i n { H ( P + Q ) , H ( P − Q ) } {\displaystyle C\cdot H(P)\cdot H(Q)\geq min\{H(P+Q),H(P-Q)\}}
いま f を E(Q) から E(Q)/2E(Q) の上への自然な準同型