バナッハ＝アラオグルの定理
なお、V上の作用素ノルム ‖ ⋅ ‖ V ∗ {\displaystyle \|\cdot \|_{V^{*}}} はVにノルム位相(=ノルムが定める距離から定まる位相)を定めるが、バナッハ=アラオグルの定理はノルム位相ではなく以下で述べる*弱位相に関する定理である:
定義 (*弱位相) ― V上の*弱位相とはx ∈ Vに対し、
μ x : α ∈ V ∗ ↦ α ( x ) ∈ K {\displaystyle \mu _{x}\colon \alpha \in V^{*}\mapsto \alpha (x)\in K}
とするとき、μxが全て連続になるV上の最弱の位相の事である。
最後に位相空間のコンパクト性は以下のように定義される:
定義・定理 (位相空間のコンパクト性) ― 位相空間Xに関して以下の2条件は同値であり、これら2条件の少なくとも一方(したがって両方)を満たすときXはコンパクトであるという。
X上の任意の有向点族 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} のある部分有向点族 ( x λ γ ) γ ∈ Γ {\displaystyle (x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }} とx∈Xが存在し、 ( x λ γ ) γ ∈ Γ {\displaystyle (x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }} はx∈Xに収束する
これに対し、Vの閉単位球は*弱位相に関してはコンパクトになるというのがバナッハ・アラオグルの定理の主張である:
定理 (バナッハ=アラオグルの定理) ― Kを R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } とする。このときK上のノルム空間 ( V , ‖ ⋅ ‖ V ) {\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})} の共役空間 ( V ∗ , ‖ ⋅ ‖ V ∗ ) {\displaystyle (V^{*},\|\cdot \|_{V^{*}})} に*弱位相を入れると、Vの閉単位球は
B ∗ = { α ∈ V ∗ ∣ ‖ α ‖ V ∗ ≤ 1 } {\displaystyle B^{*}=\{\alpha \in V^{*}\mid \|\alpha \|_{V^{*}}\leq 1\}}
はコンパクトである。
この定理はチコノフの定理に基づいて非構成的に示せる。なおノルム空間Vが(ノルム位相に関して)可分な場合には、可分なノルム空間の共役空間の閉単位球が*弱位相に関して距離化可能である事を利用してより直接的にに証明可能である。
各x ∈ Vに対しKxをKのコピーとするとき、V上の*弱位相は
α ∈ V ∗ ↦ α ( x ) ∈ K x {\displaystyle \alpha \in V^{*}\mapsto \alpha (x)\in K_{x}}
を全て連続になるV上の最弱の位相であるので、
K V := ∏ x ∈ V K x {\displaystyle K^{V}:=\prod _{x\in V}K_{x}}
以下、ベクトル空間の係数体Kは R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } であるとする。
Vは(Vが完備であるかどうかによらず)必ず完備なので、これにより ( α n m ( x ) ) m ∈ N {\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }} の収束性が従う。
そこでε>0とx ∈ Vを任意に固定すると、 ( x i ) i ∈ N {\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }} はVの稠密性より、
‖ x − x i ‖ ≤ ε {\displaystyle \|x-x_{i}\|\leq \varepsilon }
を満たすxiが存在する。よって任意のm、 l ∈ N {\displaystyle \ell \in \mathbb {N} } に対し、