二階述語論理
二階述語論理の意味論は、個々の文の意味を確立するものである。一階述語論理では単一の標準の意味論しかなかったが、二階述語論理では2種類の意味論 standard semantics と Henkin semantics がある。どちらの意味論でも、一階述語論理の範囲内の意味論(一階の量化、論理和や論理積など)は一階述語論理と同じである。異なるのは、二階の変項への量化の解釈である。
standard semantics では、その種の集合や関数すべてに対しての量化と捉える。従って、一階の変項のドメインが明確化されれば、全ての量化の意味が固定される。これにより、二階述語論理の表現能力がもたらされる。
Henkin semantics では、二階の変項にはそれぞれの種ごとにドメインがあり、その種の集合や関数全体の真部分集合の場合がある。 ヘンキン(1950) がこの意味論を定義し、一階述語論理で成り立つゲーデルの完全性定理とコンパクト性定理が、Henkin semantics と組み合わせた二階述語論理でも成り立つことを証明した。これは Henkin semantics が多種の一階述語論理とほぼ等価であるためである。Henkin semantics を伴った二階述語論理は、一階述語論理と同等の表現能力しかない。Henkin semantics は主に二階算術の研究で使われている。