結晶場理論
3d軌道が八面体対称(点群Oh)の結晶場中にある場合の分裂を考える。結晶場の対称性によってどのような分裂が起こるのかを、シュレーディンガー方程式を解かないで予測するには、点群の既約表現を用いるのが便利である。一般に波動関数は Ψ n , l , m ( r , θ , φ ) = R n , l ( r ) P l m ( cos  θ ) Φ m ( φ ) {\displaystyle \Psi _{n,l,m}(r,\theta ,\phi )=R_{n,l}(r)P_{lm}(\cos \theta )\Phi _{m}(\phi )} と変数分離でき、3d軌道の場合は次のような形を取る。
Ψ 3 , 2 , m ( r , θ , φ ) = R 3 , 2 ( r ) P 2 m ( cos  θ ) e i m φ 2 π {\displaystyle \Psi _{3,2,m}(r,\theta ,\phi )=R_{3,2}(r)P_{2m}(\cos \theta ){\frac {e^{im\phi }}{{\sqrt {2}}\pi }}}
まず点群Ohの部分群である点群Oについて調べる。点群Oの対称操作は回転ばかりだが、変化するのは φ {\displaystyle \phi } についての関数だけなので Φ m ( φ ) {\displaystyle \Phi _{m}(\phi )} だけ考えれば良い。mの5つの値に対応する関数 Φ m ( φ ) {\displaystyle \Phi _{m}(\phi )} に回転対称操作を行う。