正則局所環
ネーター局所環が正則であることとその完備化が正則であることは同値である。
正則局所環は一意分解整域である。
A が局所環ならば形式的冪級数環 A[[X]] は正則局所環である。
以下ではクルル次元のことを単に次元と呼ぶ。
すべての体は0次元の正則局所環であり、0次元の正則局所環は体である。
すべての離散付値環は1次元の正則局所環であり、1次元の正則局所環は離散付値環である。特に k が体で X を不定元とするとき形式的冪級数環 k[[X]] は1次元の正則局所環である。
より一般に k が体で X1, ..., Xd を不定元とするとき形式的冪級数環 k[[X1, ..., Xd]] は d 次元の正則局所環である。
p を有理素数とすれば、p進整数環は離散付値環ゆえ正則局所環であり、体を含まない。
Z を整数環とし X を不定元とすると局所化 Z[[X]](2, X) は2次元正則局所環で体を含まない。
コーエンの構造定理(英語版)により完備な等標数の d 次元正則局所環で体を含むものはある体上の形式的冪級数環である。