不変測度
実数直線 R 上で、通常のボレル集合族を考える。各 a ∈ R に対して平行移動変換: T a ( x ) = x + a {\displaystyle T_{a}(x)=x+a} をとれば、一次元ルベーグ測度 λ は Ta-不変測度である。したがって特に、平行移動変換からなる任意の変換族 T に対して λ は T-不変であって、ルベーグ測度 λ は平行移動不変であるという。
より一般に、n-次元ユークリッド空間 R に通常のボレル集合族を考えるとき、その上の n-次元ルベーグ測度 λ は、ユークリッド空間の任意の等長変換について不変である。そのような変換 T: R → R は、 T ( x ) = A x + b ( A ∈ O ( n ) , b ∈ R n ) {\displaystyle T(x)=Ax+b\quad (A\in O(n),b\in \mathbb {R} ^{n})} と書ける。ここに、O(n) は直交群(つまり A は n × n 直交行列である。
可測空間 (X, Σ) 上の可測変換 f に対し、(X, Σ) 上測度 μ が f の下で不変または短く f-不変であるとは、
μ ( f − 1 ( A ) ) = μ ( A ) ( ∀ A ∈ Σ ) {\displaystyle \mu (f^{-1}(A))=\mu (A)\quad (\forall A\in \Sigma )}
が成立することを言う。これは、押し出し測度(英語版)を用いれば、f∗(μ) = μ とも書ける。さらに、可測変換のあつまり T に対し、測度 μ が T-不変であるとは、任意の f ∈ T に対し μ が f-不変となるときに言う。T が何等かのモノイド(変換モノイド)となっている場合も少なくない。
X 上の f-不変測度(通常は確率測度)全体の成す集合を、しばしば Mf(X) と表す。エルゴード測度の集合 Ef(X) は、Mf(X) の部分集合である。さらに、二つの不変測度の任意の凸結合はまた不変であり、したがって Mf(X) は凸集合を成す。Ef(X) は Mf(X) の極点からなる。可測変換のあつまり T に対する T-不変測度の空間を同様に MT(X) などで表す。