回転体
円板法(円板分割法)では回転体を回転軸に垂直にスライスし、軸に平行に積分する。
曲線 f(x), g(x) と直線 x = a, x = b の囲む面積を x-軸の周りに回転させてできる回転体の体積は
V = π ∫ a b | f ( x ) 2 − g ( x ) 2 | d x {\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\vert f(x)^{2}-g(x)^{2}\vert \,dx}
で与えられる。g(x) = 0 ならば
V = π ∫ a b f ( x ) 2 d x {\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx}
と簡約することができる。
この方法を視覚化するには、y において外に f(y), 内に g(y) の水平に伸びた薄い矩形を y-軸の周りに回転させてみればよい。回転させたものは外径 R = f(y), 内径 r = g(y) の環帯(あるいは g(y) = 0 のときは円板)で、環帯の面積は π(R − r) で与えられる。故に、各無限小円板の体積は πf(y)dy となり、これら体積のリーマン和の極限は上記の積分であることが理解される。