アーベル多様体
従って、直線束のテンソル積により与えられる A 上の自然な群の作用が存在して、それをアーベル多様体にする。
この関連は次の意味において双対である。二重双対 A と A(ポアンカレバンドルを通して定義された)の間に自然な同型が存在するということと、この同型が反変函手的、つまり、同型がすべての射 f: A → B と双対射 f: B → A を整合性を持って関連付けているという意味においてである。アーベル多様体の n-トーションとその双対の n-トーションは、基底となる体の標数が素のときには、互いにポアンカレ双対である。一般に、- すべての n に対し - 双対アーベル多様体の n-トーション群スキーム(英語版)は、互いにカルティエ双対(英語版)(Cartier dual)である。これは楕円曲線のヴェイユペアリング(英語版)(Weil pairing)を一般化したものである。
同じ体の上の次元 m のアーベル多様体 A と次数 n のアーベル多様体 B の積は、次元 m+n のアーベル多様体である。より低い次元のアーベル多様体の積とはならないアーベル多様体に同種なアーベル多様体を単純(simple)であるという。すべてのアーベル多様体は単純アーベル多様体の積に同種である。