ストーン＝ワイエルシュトラスの定理
ストーン・ワイエルシュトラスの定理は以下のように述べられる。
X をコンパクトハウスドルフ空間とし、A を C(X,R)の部分環であって 0 でない定数関数を含むものとせよ。そのとき、A が X の点を分離することと、Aが C(X,R)で稠密であることとは同値である。
C(X,R)の部分環A に対し、Aの任意の元が連続になるような最も粗い位相をX上に考えると、上の条件はこの位相がハウスドルフ位相になることと言い換えられる。したがって、ストーンが述べていることだが、この位相が X の元々の位相に一致することと、定数関数を含む部分環 A の稠密性とは同値になる。
Xとして閉区間 [a,b]をとるとき、多項式関数のなす環は定数関数を含んでかつ X の点を分離するので、ストーン・ワイエルシュトラスの定理はワイエルシュトラスの近似定理の拡張になっている。