位相空間
xのε-近傍の事を、ε-球(ε-ball)、ε-開球(ε-open ball)、あるいは単に開球(open ball)ともいう。
上記のように定義した O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} が位相の定義を満たす事を示すために、まず開集合を別の形で書き換える:
命題 (距離から定まる開集合の特徴づけ) ― 距離空間(X ,d )が定める位相を O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} とし、OをXの部分集合とする。このとき、以下の3条件は同値である:
Oは O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} の開集合である
任意のx ∈ Oに対し、ある ε x > 0 {\displaystyle \varepsilon _{x}>0} が存在し、 O = ⋃ x ∈ O B ε x ( x ) {\displaystyle O=\bigcup _{x\in O}B_{\varepsilon _{x}}(x)} が成立する。
Oは(有限または無限個の)開球の和集合として書ける。
位相空間となる代表的な空間としては、ユークリッド空間をはじめとした距離空間がある。距離空間は必ず位相空間になるが、逆は必ずしも正しくない。すなわち、距離構造は位相的構造よりも遥かに多くの情報を持った強い概念であり、距離空間としては異なっても位相空間としては同一の空間になることもある。
例えばp≧1を固定して実数空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上にl距離
d p ( x , y ) = ( x 1 − y 1 ) p + ⋯ ( x n − y n ) p p {\displaystyle d_{p}(x,y)={\sqrt[{p}]{(x_{1}-y_{1})^{p}+\cdots (x_{n}-y_{n})^{p}}}}
部分位相の開集合系は、 { O ∩ X ∣ O ∈ O } {\displaystyle \{O\cap X\mid O\in {\mathcal {O}}\}} に一致する。
直積位相は { ∏ λ ∈ Λ O λ | O λ ∈ O λ {\displaystyle {\Bigg \{}\prod _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\ {\Bigg |}\ O_{\lambda }\in {\mathcal {O}}_{\lambda }} , 有限個のλを除いて O λ = X λ } {\displaystyle O_{\lambda }=X_{\lambda }{\Bigg \}}} を開基とする。
上述の定理の直積位相の箇所に関して、Λが有限集合のときは、「有限個のλを除いて...」という条件がいらなくなるので簡単であるが、Λが無限集合のときは注意が必要である。例えば R 1 , R 2 , ... {\displaystyle \mathbb {R} _{1},\mathbb {R} _{2},\ldots } を R {\displaystyle \mathbb {R} } の(可算)無限個のコピーとし、 U 1 , U 2 , ... {\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots } を U = ( 0 , 1 ) {\displaystyle U=(0,1)} の無限個のコピーとするとき、直積
∏ i ∈ N U i {\displaystyle \prod _{i\in \mathbb {N} }U_{i}}
有向点族の収束概念を用いると、閉包の概念を収束によって捉え直す事ができるようになる:
定理 (有向点族による特徴づけ) ― Aを位相空間Xの任意の部分集合とき、以下が成立する:
Aは閉集合である⇔A上の有向点族(xλ)λ∈Λでa∈Xに収束するものがあれば、a∈Aである。
点aがAの閉包に含まれる⇔A上のある有向点族(xλ)λ∈Λが存在し、(xλ)λ∈Λはaに収束する。
点aがAの集積点である⇔ A ∖ { a } {\displaystyle A\setminus \{a\}} 上のある有向点族(xλ)λ∈Λが存在し、(xλ)λ∈Λはaに収束する。
上の定理の閉集合に関する部分は以下のように非常に簡単に示せる。他のものの証明も同様である:
(⇒) a ∈ A ̄ {\displaystyle a\in {\bar {A}}} である事は以下と同値である:
a の任意の近傍U に対し、 U ∩ A ≠ ∅ {\displaystyle U\cap A\neq \emptyset } ...(1)
これはU ∩ A に少なくとも一つ元が存在する事を意味するので、そのような元をx U とすると x U ∈ U ∩ A ⊂ A {\displaystyle x_{U}\in U\cap A\subset A} である事から ( x U ) U ∈ V a {\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {V}}_{a}}} はA 上にある。
実際、任意の自然数n > 0に対し、1/n-球 B 1 / n ( x ) {\displaystyle B_{1/n}(x)} は定義より開集合であるが、
⋂ n ∈ N B 1 / n ( x ) = { x } {\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }B_{1/n}(x)=\{x\}}
は開集合ではない。
上述のように集合X 上の距離構造に1つの位相構造が対応するが、この対応関係は一般には「単射」ではなく、異なる距離構造が同一の位相構造を定める事も多い。実際、次の命題が成立する:
命題 ― (X ,d )を距離空間とし、f : X → Xを連続な全単射で逆写像も連続なものとする。このとき、
d ′ ( x , y ) = d ( f ( x ) , f ( y ) ) {\displaystyle d'(x,y)=d(f(x),f(y))}
と定義すると、dとd'はX上に同一の位相構造を定める。
なお、上記の命題における「連続」の概念は距離空間における連続の事であるが、本稿では後で位相空間上の連続性を定義し、位相空間としての連続性の概念と距離空間としての連続性の概念が一致する事を見る。
上述の命題は、距離空間を連続変形しても位相構造が変わらない事を意味する。したがって連続変形に対して不変な性質を研究する位相幾何学にとって基礎的である。
すでに述べたように位相空間の概念を定義する主な動機の一つは、距離空間上で定義される諸概念をより一般の空間でも定義する事である。この意味において距離空間は最も基本的な位相空間の例であるので、本節では距離構造が位相構造を定める事を見る:
定理・定義 (距離から定まる位相) ― (X ,d )を距離空間とし、実数 ε > 0 と x ∈ X に対し、xのε-近傍(ε-neighborhood) B ε ( x ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)} を
B ε ( x ) := { y ∈ X ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle B_{\varepsilon }(x):=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}}
と定義するとき、
O d = { O ⊂ X ∣ ∀ x ∈ O ∃ ε > 0 : B ε ( x ) ⊂ O } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}=\{O\subset X\mid \forall x\in O\exists \varepsilon >0~~:~~B_{\varepsilon }(x)\subset O\}}
は開集合系の公理を満たす。 O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} を距離 d により定まる X の開集合系、もしくはd により定まる X の位相構造といい、 ( X , O d ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{d})} を(X ,d )により定まる位相空間という。