球函数に対するプランシュレルの定理
数学における球函数に対するプランシュレルの定理(プランシュレンのていり、英: Plancherel theorem for spherical functions)は半単純リー群の表現論における重要な結果で、最終形はハリッシュ=チャンドラによる。この定理は、古典調和解析に属する実数の加法群の表現論におけるプランシュレルの公式およびフーリエ変転公式の、非可換調和解析における自然な一般化であり、微分方程式論とも同様に近しい相互関係を持つ。
「球函数に対するプランシュレルの定理」は、半単純リー群に対する一般のプランシュレルの定理(これもハリッシュ=チャンドラが示した)の、帯球函数に対する特別の場合である。プランシュレルの定理は、対応付けられた対称空間 X 上のラプラス作用素に対する球対称函数 (radial function) の固有函数展開を与えるものであり、また L(X) 上の正則表現の、既約表現への直積分分解をも与えるものである。双曲空間の場合には、これらの展開はメーラー、ワイル、フォックによる既知の結果として知られていた。
主要な参考文献として、網羅的な教科書 Helgason (1984) にこの主題に関する話題がほとんど全て載っている。
任意の複素半単純リー群あるいは奇数 N に対するローレンツ群 SO(N, 1) は通常のフーリエ変換に帰着して直接的に扱うことができる。それ以外の実ローレンツ群は、フレンステッド-イェンゼンの降下法により、他の実階数 1 の半単純リー群と同様に演繹することができる。フレンステッド-イェンゼンの降下法は、実半単純リー環が複素半単純リー環の正規実型である場合を扱う際にも適用できる。SL(N, C) の正規実型でもある SL(N, R) に対する特別の場合は Jorgenson & Lang (2001) が詳しく扱っている。
Flensted-Jensen (1978) のやり方は、勝手な実階数を持つ実半単純リー群の広汎なクラスに対して適用できて、 a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}} 上のプランシュレル測度の明示的な積公式を、後述するようなハリッシュ=チャンドラの c-函数による球函数 φλ の展開を用いることなしに導出することができる。 これは一般性という点では(ハリッシュ=チャンドラよりは)弱いけれども、このクラスの群に対するプランシュレルの定理へのより簡明な手法を与えてくれる。
と定まる。上辺平面 H 3 {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{3}} の各点は、SU(2) の元 k を用いて k(ej) と書くことができて、t は符号の違いを除いて決まる。またこのラプラス作用素 Δ は、SU(2)-不変函数の上で
Δ = − ∂ t 2 − 2 coth  t ∂ t {\displaystyle \Delta =-\partial _{t}^{2}-2\coth t\partial _{t}}
なる形に書くことができて、実数値助変数 t の函数と見做すことができる。SU(2)-不変函数の積分は
∫ f d V = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) sinh 2  t d t {\displaystyle \int fdV=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sinh ^{2}t\,dt}
で与えられる。自乗可積分 SU(2)-不変函数の空間と L(R) とを、ユニタリ変換 Uf(t) = f(t) sinh t で同一視すると、Δ は作用素
U ∗ Δ U = − d 2 d t 2 + 1 {\displaystyle U^{*}\Delta U=-{d^{2} \over dt^{2}}+1}
に写される。ここで R に対するプランシュレルの定理およびフーリエ反転公式を用いれば、任意の SU(2)-不変函数 f は球函数
Φ λ ( t ) = sin  λ t λ sinh  t {\displaystyle \Phi _{\lambda }(t)={\sin \lambda t \over \lambda \sinh t}}