部分圏
C を圏とする.C の部分圏 S は以下によって与えられる:
C の対象の部分類 ob(S),
C の射の部分類 hom(S),
であって以下を満たす
ob(S) の任意の X に対し,恒等射 idX は hom(S) に属す,
hom(S) の任意の射 f: X → Y に対し,始域 X と終域 Y はともに ob(S)に属す,
hom(S) の任意の射の対 f, g に対し,合成 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} が定義されるときにはいつでも hom(S) に属する.
これらの条件は S 自身が圏であることを保証する.対象の集まりは ob(S) であり,射の集まりは hom(S) であり,恒等射と合成は C におけるものと同じである.対象と射を自身に写す明らかな忠実関手 I: S → C が存在し,包含関手 (inclusion functor) と呼ばれる.
S を圏 C の部分圏とする.S が C の充満部分圏 (full subcategory) であるとは,S の各対象の対 X, Y に対し,
Hom S  ( X , Y ) = Hom C  ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)}
となることをいう.充満部分圏は S の対象の間のすべての射を含むものである.C の対象の任意の集まり A に対し,対象が A であるような C の充満部分圏が一意的に存在する.