二次形式
ゆえに初めから A は対称であると仮定して考えてよい。さらにこのとき、対称行列 A は対応する二次形式によって一意的に定まる。同値変換 T をもつ二次形式 φ, ψ に対して、φ に付随する対称行列 A と ψ に付随する対称行列 B との間には
B = t T A T {\displaystyle B={}^{t\!}TAT}
なる関係が成立する。二次形式 q に付随する双線型形式 (associated bilinear form) は
b q ( x , y ) = 1 2 ( q ( x + y ) − q ( x ) − q ( y ) ) = t x A y = t y A x {\displaystyle b_{q}(x,y)={\frac {1}{2}}{\bigl (}q(x+y)-q(x)-q(y){\bigr )}={}^{t\!}xAy={}^{t\!}yAx}
で与えられる。すなわち、bq は係数行列 A を持つ K 上の対称双線型形式である。逆に、任意の対称双線型形式 b に対して二次形式 q が
q ( x ) = b ( x , x ) {\displaystyle q(x)=b(x,x)}
と置くことによって定まる。これらの操作は互いに逆の関係にある。この帰結として、標数 2 でない体上では、対称双線型形式についての理論と二次形式についての理論は本質的に同じものであると見ることができる。
q ( x , y , z ) = a x 2 + b y 2 + c z 2 + d x y + e x z + f y z {\displaystyle q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz}
という形をしている。ここで、a から f まではこの二次形式の係数である。一般の二次函数 ax + bx + c は斉次形でないため、二次形式の例とはならないことに注意。
二次形式論およびその研究手法は(実数、複素数、有理数、整数などといった)二次形式の係数のもつ性質に大きく依存する。線型代数学や解析幾何学および二次形式の応用の大部分では係数は実または複素数である。二次形式の代数的理論においてはその係数はなんらかの体であり、二次形式の算術理論においては係数はある種の可換環である(有理整数環 Z や p-進整数環 Zp がよく用いられる)。二元二次形式は数論において広く研究されており、とくに二次体の理論、連分数、モジュラー形式論などに現れる。n-変数の整係数二次形式は代数的位相幾何学に重要な応用を持つ。
斉次座標を用いれば、0 でない (n + 1)-元二次形式は n-次元射影空間内の (n − 1)-次元二次曲面を定める。
変数変換が(必ずしも直交でない)正則行列によって与えられるならば係数 λi を 0, 1, −1 の何れかにすることができる。シルベスターの慣性法則 によれば 1 および −1 の数は(どんな対角化によっても変わらないという意味で)二次形式の不変量である(1 の数を p, −1 の数を q とするとき、組 (p, q) を二次形式の符号数 (signature) という)。
すべての λi が同じ符号を持つ場合は特に重要で、すべて 1 となるとき二次形式は正定値 (positive definite) であるといい、すべて −1 のとき負定値 (negative definite) であるという。λi が 1 も −1 も含むとき、不定値であるという。また、0 となる項が存在しないとき、二次形式は非退化 (nondegenerate) であるといい、これには正定値、負定値、不定値の場合が含まれうる。あるいは同じことだが、非退化二次形式とはその付随する対称双線型形式が非退化であるものをいう。符号数 (p, q) をもつ不定値で非退化な二次形式をもつ実ベクトル空間は、しばしば R と表され、特に物理学における時空の理論などで用いられる(ミンコフスキー空間の項などを参照せよ)。
以下、これらの結果を異なるやり方で再定式化しよう。
q を n-次元実ベクトル空間上で定義される二次形式とする。V の基底をえらび、A をその基底に関する二次形式 q の係数行列とする。