自然対数
0 でない複素数 z を極座標表示して
z = r e
と書けたとする。対数関数は指数関数の逆関数なので
log z = ln r + iθ
ということになる(ln z と書くことはあまりない)が、この θ の選び方は一通りではなく 、2π の整数倍だけ異なる値を選ぶことができる。したがって、複素数の対数関数は多価正則関数である。
定義域を制限することによって、その定義域の上では正則な一価関数となるように θ の選び方を定めることができる。定義域は 0 を含まない単連結領域ならどれでもよいが、よく使われるのは複素平面から 0 と負の実数を除いた領域であり、変数の偏角を −π < θ < π の範囲にとる。このとき、r e ↦ ln r + iθ によって正則な一価関数が得られる。この関数を対数関数の主値と呼び、
Log z
と書く(Ln z と書くことはあまりない)。
複素対数関数は、実数での対数関数が満たす恒等式を満たすとは限らないので注意が必要である。例えば、Log e = z や Log (zw) = Log z + Log w は一般には成り立たない。
複素平面上での対数関数の主値
z = Re Log (x +iy)
z = | Im Log (x +iy) |
z = | Log (x +iy) |
これらを重ね合わせた図