スピン角運動量
E n , k = c ( k ) e n + ⋅ ⋯ ⋅ e n + ⏟ u + k ⋅ e n − ⋅ ⋯ ⋅ e n − ⏟ u − k = c ( k ) S ( e n + ⊗ ⋯ ⊗ e n + ⏟ u + k ⊗ e n − ⊗ ⋯ ⊗ e n − ⏟ u − k ) {\displaystyle E_{\mathbf {n} ,k}=c(k)\underbrace {e_{\mathbf {n} }^{+}\cdot ~\cdots ~\cdot e_{\mathbf {n} }^{+}} _{u+k}\cdot \underbrace {e_{\mathbf {n} }^{-}\cdot ~\cdots ~\cdot e_{\mathbf {n} }^{-}} _{u-k}=c(k){\mathcal {S}}(\underbrace {e_{\mathbf {n} }^{+}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{+}} _{u+k}\otimes \underbrace {e_{\mathbf {n} }^{-}\otimes \cdots \otimes e_{\mathbf {n} }^{-}} _{u-k})} ∈ W 1 / 2 ⊙ 2 u = W u {\displaystyle \in W_{1/2}{}^{\odot 2u}=W_{u}} ...(P1)
とする。
ここでc(k)は正規化定数
c ( k ) = ( 2 u ) ! ( u + k ) ! ( u − k ) ! {\displaystyle c(k)={\sqrt {(2u)! \over (u+k)!(u-k)!}}} ...(P2)
すると、
と定義されていた。
nを回転軸に持つ一粒子の全角運動量演算子 J ^ n {\displaystyle {\hat {J}}_{\mathbf {n} }} を
J ^ n = L ^ n ⊗ i d + i d ⊗ S ^ n ∈ { L 2 ( R 3 ) ⊗ V s {\displaystyle {\hat {J}}_{\mathbf {n} }={\hat {L}}_{\mathbf {n} }\otimes \mathrm {id} +\mathrm {id} \otimes {\hat {S}}_{\mathbf {n} }\in \{L^{2}(\mathbf {R} ^{3})\otimes V_{s}} 上の歪エルミート演算子 } {\displaystyle \}}
と定義すると、
J ^ n = i ħ ( λ ∗ ∘ ( Φ 3 ) ∗ ⊗ i d + i d ⊗ ( π s ) ∗ ) ( X n ) {\displaystyle {\hat {J}}_{\mathbf {n} }=i\hbar (\lambda _{*}\circ (\Phi _{3})_{*}\otimes \mathrm {id} +\mathrm {id} \otimes (\pi _{s})_{*})(X_{\mathsf {n}})}
と表記できる。 ( λ ∗ ∘ ( Φ 3 ) ∗ ⊗ i d + i d ⊗ ( π s ) ∗ ) {\displaystyle (\lambda _{*}\circ (\Phi _{3})_{*}\otimes \mathrm {id} +\mathrm {id} \otimes (\pi _{s})_{*})} は
σ 1 = ( 0 1 1 0 ) , σ 2 = ( 0 − i i 0 ) , σ 3 = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}} ...(L3)
により定義し、su(2)の元X1、X2、X3を
X 1 = − i 2 σ 1 = 1 2 ( 0 − i − i 0 ) , X 2 = − i 2 σ 1 = 1 2 ( 0 − 1 1 0 ) , X 3 = − i 2 σ 3 = 1 2 ( − i 0 0 i ) {\displaystyle X_{1}=-{i \over 2}\sigma _{1}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}},~~X_{2}=-{i \over 2}\sigma _{1}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},~~X_{3}=-{i \over 2}\sigma _{3}={1 \over 2}{\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}} ....(L4)
により定義すると、(L1)、(L2)より次が成立することがわかる。
[ S ^ x , S ^ y ] = ( i ħ ) 2 ( π s ) ∗ ( [ X 1 , X 2 ] ) = i ħ ⋅ i ħ ( π s ) ∗ ( X 3 ) = i ħ S ^ z [ S ^ y , S ^ z ] = ( i ħ ) 2 ( π s ) ∗ ( [ X 2 , X 3 ] ) = i ħ ⋅ i ħ ( π s ) ∗ ( X 1 ) = i ħ S ^ x [ S ^ z , S ^ x ] = ( i ħ ) 2 ( π s ) ∗ ( [ X 3 , X 1 ] ) = i ħ ⋅ i ħ ( π s ) ∗ ( X 2 ) = i ħ S ^ y {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {S}}_{x},{\hat {S}}_{y}\right]=(i\hbar )^{2}(\pi _{s})_{*}([X_{1},X_{2}])=i\hbar \cdot i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{3})=i\hbar {\hat {S}}_{z}\\\left[{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{z}\right]=(i\hbar )^{2}(\pi _{s})_{*}([X_{2},X_{3}])=i\hbar \cdot i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{1})=i\hbar {\hat {S}}_{x}\\\left[{\hat {S}}_{z},{\hat {S}}_{x}\right]=(i\hbar )^{2}(\pi _{s})_{*}([X_{3},X_{1}])=i\hbar \cdot i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{2})=i\hbar {\hat {S}}_{y}\end{aligned}}}
回転軸の変更
次に回転軸の異なるスピン角運動量の関係を見る。n、m∈Rを2つの単位ベクトルとし、nとmが回転行列Rにより、
nを3次元空間の単位ベクトルするとき、nを回転軸に持つ一粒子の軌道角運動量はSO(3)のユニタリ表現λが誘導する写像λ*と同型写像 ( Φ 3 ) ∗ : s p i n ( 3 ) → ∼ s o ( 3 ) {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}~:~{\mathsf {spin}}(3){\overset {\sim }{\to }}{\mathsf {so}}(3)} を用いて
L ^ n = i ħ λ ∗ ( F n ) = i ħ λ ∗ ∘ ( Φ 3 ) ∗ ( X n ) ∈ { L 2 ( R 3 ) {\displaystyle {\hat {L}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \lambda _{*}(F_{\mathsf {n}})=i\hbar \lambda _{*}\circ (\Phi _{3})_{*}(X_{\mathsf {n}})\in \{L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} 上のユニタリ演算子 } {\displaystyle \}}
と表記できる事が(J1)と(D2)から従う。ここで「 ∘ {\displaystyle \circ } 」は関数の合成である。一粒子のスピン角運動量も(F2)から
S ^ n = i ħ ⋅ ( π s ) ∗ ( X n ) ∈ { V s {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })\in \{V_{s}} 上の歪エルミート演算子 } {\displaystyle \}}