微分積分学の基本定理
与えられた関数fに対して、関数F(x)を以下のように定める。
閉区間[a, b]における任意の2数x1, x1 + Δxについて以下の式が成立する。
後者の等式は、積分の基本的な性質と面積の加法性による。
積分の平均値の定理によれば、
を満たす c ∈ [ x 1 , x 1 + Δ x ] {\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]} が存在する。
よって
極限 Δ x → 0 {\displaystyle \Delta x\to 0} をとると、 c ∈ [ x 1 , x 1 + Δ x ] {\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]} を踏まえて、
すなわち
導関数の定義、fの連続性、 はさみうちの原理による。