クラメルの公式
クラメルの法則は微分幾何学における問題を解くのにもきわめて有効である。二つの方程式 F(x, y, u, v) = 0 および G(x, y, u, v) = 0 を考える。u と v とが独立変数のとき、x = X(u, v) と y = Y(u, v) が陰伏的に定まる。
∂x⁄∂u に対する方程式を求めることは、クラメルの法則の自明な応用である。
まず F, G, x, y それぞれの一階微分を計算する:
dx, dy を dF, dG に代入して
を得る。u, v は独立変数だから du, dv の係数は 0 でなければならない。故に係数に関する方程式を立てれば、
を得る。ここでクラメルの法則を使えば、
が得られる。これは二つの函数行列式
を使って書き表される公式である。同様の公式が ∂x⁄∂v, ∂y⁄∂u, ∂y⁄∂v からもそれぞれ導かれる。
クラメルの法則を利用して n 元線型方程式系を解こうとすれば、n + 1 個の行列式を計算しなければならない。このアルゴリズムにおいて算術演算の数は専ら行列式の計算から生じる。
クラメルの法則に現れる行列式をライプニッツの公式に従って計算すれば、(n − 1)·n! 回の掛け算と n − 1 回の足し算をすることになる。これは4本の方程式を持つ系の場合でも、360回の掛け算、4回の割り算、115回の足し算をすることを意味する。これは他の方法に比べて極めて多くの計算を要する。行列式の計算により効率的なアルゴリズムを用いたとしても、線型方程式をクラメルの法則で解こうとすれば、ガウス消去法などよりもずっと大きな計算量が必要になる。
n 元一次連立方程式に対して、毎秒 10 回浮動小数点演算可能 (100 Mflops) な性能の計算機で計算すると、計算時間は次の表のようになる:
カッツ, ヴィクター・J『カッツ 数学の歴史』上野健爾・三浦伸夫 監訳、共立出版、2005年6月。ISBN 978-4-320-01765-8。
斎藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学1〉、1966年3月。ISBN 978-4-13-062001-7。
佐武一郎「§4. 連立一次方程式(Cramerの解法)」『線型代数学』(新装版)裳華房、2015年6月。ISBN 978-4-7853-1316-6。
高木貞治「§47. 連立一次方程式の解,Cramerの公式」『代数学講義』(改訂新版)共立出版、1971年10月。ISBN 978-4-320-01000-0。
ボイヤー, カール・B 著、加賀美鉄雄・浦野由有 訳『数学の歴史』 4 17世紀後期から18世紀まで(新装版)、朝倉書店、2008年10月。ISBN 978-4-254-11804-9。