中国の剰余定理
上記の定理は整数とその剰余に関するものであるが、これを一般の単位元を持つ環とそのイデアルに対するものに拡張することができる。すなわち:
R を単位元を持つ環とし、R の両側イデアル I1, I2, ..., Ik がどの二つも互いに素である(すなわち、i ≠ j ならば Ii + Ij = R が成立する)と仮定する。このとき、任意に与えられた a1, a2, ..., ak ∈ R に対して、
x ≡ a 1 ( mod I 1 ) , x ≡ a 2 ( mod I 2 ) , ⋮ x ≡ a k ( mod I k ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv a_{1}{\pmod {I_{1}}},\\x&\equiv a_{2}{\pmod {I_{2}}},\\&\vdots \\x&\equiv a_{k}{\pmod {I_{k}}}\end{aligned}}}
を満たす x ∈ R が、イデアル I = ⋂ i = 1 k I i {\displaystyle \textstyle I=\bigcap _{i=1}^{k}I_{i}} を法として一意的に存在する。言い換えると、自然な環準同型