進化的安定戦略
a σ + b ξ = ( a p i + b q i ) i = 1 , ... , n {\displaystyle a\sigma +b\xi =(ap_{i}+bq_{i})_{i=1,\ldots ,n}}
により定義する。 a + b = 1 {\displaystyle a+b=1} であれば、混合戦略の線形結合 a σ + b ξ {\displaystyle a\sigma +b\xi } もまた、混合戦略である。
Eを利得関数とするとき、任意の混合戦略τ、σ、ξに対し、次が成立する事が簡単な計算により分かる:
E ( τ , a σ + b ξ ) = a E ( τ , σ ) + b E ( τ , ξ ) {\displaystyle E(\tau ,a\sigma +b\xi )=aE(\tau ,\sigma )+bE(\tau ,\xi )} ...(1)
により定義する。ここで [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} は0以上1以下の実数全体の集合である。このとき次が成立する:
定理G5(一般的なゲームの進化的安定性の簡便な特徴づけ) ― h σ ∗ , σ {\displaystyle h_{\sigma _{*},\sigma }} が ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} において(右方) ε {\displaystyle \varepsilon } -偏微分可能であり、しかも
∂ ∂ ε h σ ∗ , σ ( 0 ) ≠ 0 {\displaystyle {\partial \over \partial \varepsilon }h_{\sigma _{*},\sigma }(0)\neq 0}
であるとする。このとき、σ*が E {\displaystyle {\mathcal {E}}} に関してσより進化的安定である必要十分条件は以下の2条件が両方とも成立する事である:
(均衡条件) E ( σ ∗ , δ σ ∗ ) ≥ E ( σ , δ σ ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma _{*},\delta _{\sigma _{*}})\geq {\mathcal {E}}(\sigma ,\delta _{\sigma _{*}})}
これはすなわち t = 0 {\displaystyle t=0} に対し(Eq-RP4)が成立する事を意味し、当然 x ( t ) ≠ 1 {\displaystyle x(t)\neq 1} でもあるので、(Eq-RP5)より、 x ( 1 ) < x ( 0 ) < ε 0 {\displaystyle x(1)<x(0)<\varepsilon _{0}} が成立する。よって再び進化的安定性より(Eq-RP4)が成立し、 x ( 1 ) ≠ 1 {\displaystyle x(1)\neq 1} も成立するので(Eq-RP5)より、 x ( 2 ) < x ( 1 ) < x ( 0 ) < ε 0 {\displaystyle x(2)<x(1)<x(0)<\varepsilon _{0}} も成立する。以下同様に考える事で数学的帰納法により、 x ( t + 1 ) < x ( t ) {\displaystyle x(t+1)<x(t)} が任意のtに対して成立する事がわかる。すなわち x ( t ) {\displaystyle x(t)} は狭義単調減少である。
非負の単調減少列は収束するので、 x ( t ) {\displaystyle x(t)} はt→∞の極限 x ∞ {\displaystyle x_{\infty }} を持ち、 0 ≤ x ∞ < ε {\displaystyle 0\leq x_{\infty }<\varepsilon } である。
0 ≤ x ∞ < ε {\displaystyle 0\leq x_{\infty }<\varepsilon } である事から、再び進化的安定性より
行列ゲームにおける戦略空間Xは混合戦略全体の集合なので、戦略同士の線形和が定義できる。このように戦略空間X上に何らかの和の概念が定義できている場合、以下の概念を定式化できる:
定義G4(多型-単型同値性) ― 任意の個体戦略 τ {\displaystyle \tau } と任意の個体群戦略 ∑ i = 1 m ε i δ σ i {\displaystyle {\textstyle \sum _{i=1}^{m}\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}}} に対し、 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} が
E ( τ , ∑ i = 1 m ε i δ σ i ) = E ( τ , δ ∑ i = 1 m ε i σ i ) {\displaystyle {\mathcal {E}}\left(\tau ,\textstyle \sum _{i=1}^{m}\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}}\right)={\mathcal {E}}(\tau ,\delta _{\textstyle \sum _{i=1}^{m}\varepsilon _{i}\sigma _{i}})}
を満たすとき、 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} は多型-単型同値(polymorphic-monomorphic equivalent)であるという。
多型-単型同値性は行列ゲームでは明らかに成立する:
生物学 > 数理生物学、行動生態学 > 進化ゲーム理論 > 進化的安定戦略
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進化的安定戦略(しんかてきあんていせんりゃく、英: evolutionarily stable strategy、ESS)は、進化生物学およびゲーム理論の重要な概念で、ジョン・メイナード=スミスとジョージ・プライスによって1973年に提唱された。
これは、生物の母集団のとる、「侵略されない戦略」の概念を基礎としている。仮に突然変異で対立遺伝子が発生し、別の戦略を取って他の生物に働きかけようとしても、母集団を侵略することはできず、逆に自然淘汰で排除されてしまうような戦略である。メイナード=スミスらはこの概念によってゲーム理論の有効性を広く示し、行動生態学、経済学、心理学などに影響を与えた。
を満たすとき、 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} は個体戦略に関して線形である、もしくは左線形であるという。
これら2つの性質は行列ゲームの場合は明らかに満たされる。
多くのゲームにおいて、戦略空間Xは行列ゲームの場合と同様、何らかの混合戦略全体の空間であり、混合戦略 σ = ( p i ) i = 1 , ... , n {\displaystyle \sigma =(p_{i})_{i=1,\ldots ,n}} の利得は E ( σ , Π ) = ∑ i p i E ( i , Π ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\sigma ,\Pi )=\sum _{i}p_{i}{\mathcal {E}}(i,\Pi )} のように純粋戦略の利得の期待値として定義されるので、個体戦略に対する線形性は多くのゲームで成立する。
それに対し個体群戦略に対する線形性は満たさないゲームも多く、例えば以下の3つの状況では満たされない事が多い:
ゲームが1:1の闘争でないとき
(1:1の闘争であったとしても)同じ個体と複数回闘争しなければならないとき
取りうる戦略が連続量であるとき
2013年現在、「線形性が満たされないゲームに関する一般的な理論はまだ十分に発展しているとは言い難い」状況にあり、個別のゲームに応じた議論を行う必要がある。