斜交行列
すべての斜交行列は可逆であり、逆行列は下式で与えられる。
M = ΩMΩ
また、2 つの斜交行列の積はまた斜交行列になる。 これにより、すべての斜交行列全体の集合は、群の構造を持つ。 この群には、多様体としての構造が自然に入り、それにより、この群は、斜交群(シンプレクティック群ともいう)と呼ばれる(実または複素)リー群になる。 斜交群は、 n(2n + 1) 次元である。
定義から直ちに、斜交行列の行列式が ±1 であることがわかる。 実際は、行列式は常に +1 である。 これは、パフィアン(英: Pfaffian)と以下の恒等式を使うことにより確認できる。
Pf(MΩM) = det(M)Pf(Ω)
MΩM = Ω かつ Pf(Ω) ≠ 0 だから、 det(M) = 1 を得る。
Ω として標準的なものを取り、M は
M = [ A B C D ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}
の形をした 2n×2n の行列だとする。ここに、A、B、C、D は n×n 行列である。 M が斜交行列になる必要十分条件は、以下のすべてと同値である。
AD − CB = In AC = CA BD = DB
n = 1 のときは、これらの条件は単一の条件 det(M) = 1 に単純化される。 つまり、2×2 行列は、行列式が 1 のときに斜交行列となる。