総和
有限個の数を加えるためには 2 つの数を加えるという操作を帰納的に繰り返せばよく、加法については交換法則が成り立つので、このとき数を加える順序は気にする必要もない。一方で、無限個の数を加えるということはそれほど自明な操作ではない。18世紀以前には、無限個の和に対しても有限和と同じように、加える順序について放漫に扱われる傾向にあり、奇妙な矛盾を結果として導いてしまうこともたびたびあったようである。
無限和についての正しい取り扱いは、ディリクレ、リーマン、コーシーといった数学者によって極限の概念が整備される19世紀を待たなければならなかった。
無限数列の級数
∑ i = 1 ∞ x i {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}
に対して、
∑ i = 1 ∞ | x i | {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left|x_{i}\right|}
が収束する場合、この級数は絶対収束する (converge absolutely) という。絶対収束していれば、級数は収束する。
絶対収束していないが収束する場合、この級数は条件収束する (converge conditionally) という。
注意すべきこととして、有限和に対しては和の順序を変えても結果は変わらないのに対して、無限和の場合には順序を変えると結果が変わってしまうことがあり得る。正確に述べると φ を自然数の集合 N 上の置換とするとき、
∑ i = 1 ∞ x φ ( i ) ≠ ∑ i = 1 ∞ x i {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }x_{\phi (i)}\neq \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}
となることが起こり得る。
ただし、級数が絶対収束しているならば(有限和の場合と同じく)和の順序を変えても結果は変わらないので、収束性を調べる場合に絶対収束はとても重要な性質の一つになる。