カジュダン–ルスティック多項式
y ≤ w のとき、Py, w(q) の定数項は 1 である。
y ≤ w かつ l ( w ) − l ( y ) {\displaystyle \ell (w)-\ell (y)} が 0, 1, 2 のいずれかであるなら、Py, w(q) = 1 である。
W を有限コクセター群とし、w0 をその最長元とすると、すべての y に対して Py, w0(q) = 1 である。
W を A1 型または A2 型(あるいはより一般に高々階数2の)コクセター群とする。このとき、y ≤ w ならば Py, w0(q) = 1 であり、それ以外はすべて 0 である。
W を A3 型のコクセター群とし、その生成系を S = {a, b, c} とし、a と c が可換であるとする。このとき、Pb, bacd(q) = 1 + q, Pac, acbca(q) = 1 + q であり、定数ではない多項式の例になっている。
階数の小さいコクセター群においては、カジュダン・ルスティック多項式は単純な形をしているが、階数が大きくなるとそうはいかなくなる。例えば、E8 の分解型において、最も複雑なカジュダン・ルスティック・ヴォーガン多項式(カジュダン・ルスティック多項式の変種)は次のような形をしている:
1978年春、カジュダンとルスティックは、代数群 G の冪単共役類の研究と関連して、G に付随するワイル群 W の表現を l 進コホモロジー群上に実現するシュプリンガー表現(英語版)を研究していた。彼らはこの表現の複素数体上での新しい実現を与えた。この表現には2つの自然な基底が存在し、その変換行列が本質的にはカジュダン・ルスティック多項式で与えられることになるが、彼らが実際にカジュダン・ルスティック多項式を構成した方法はもっと初等的な方法であった。それはコクセター群に付随するヘッケ環とその表現に対するある標準的な基底を構成することであった。
カジュダン・ルスティックは最初の論文で、これらの多項式はシューベルト多様体(英語版)における局所ポアンカレ双対性の破れと関係していることを指摘し、1980年の論文でこの観点をマーク・ゴレスキーとロバート・マクファーソンによる交叉コホモロジー(英語版)の概念を用いて説明した。さらに交叉コホモロジー群の次元を用いてこれらの基底の別の定義を与えた。
半単純リー環のある無限次元表現の圏に対するグロタンディーク群には、ヴァーマ加群(英語版)と既約加群から得られる2つの基底が存在する。カジュダン・ルスティックの得たシュプリンガー表現の2つの基底は、この類似であるように思われた。この類似性と、ワイル群の表現とリー環の展開環の原始イデアルとを結びつけるヤンツェンとヨゼフの仕事をもとに、彼らはカジュダン・ルスティック予想を定式化し、半単純リー環の表現論とカジュダン・ルスティック多項式を結びつけた。