ディリクレベータ関数
ディリクレベータ関数に整数を代入したものをディリクレベータ関数の特殊値という。級数による定義において、たとえば s = 1 を代入すると、
β ( 1 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ = π 4 {\displaystyle \beta (1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}
のように値が求まり、これはよく知られたライプニッツの公式と一致する。さらに、この他にも値を代入すれば、
β ( 0 ) = 1 2 {\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}}}
β ( 1 ) = π 4 = 0.78539 81633 97448 ... {\displaystyle \beta (1)={\frac {\pi }{4}}=0.78539\,81633\,97448\ldots }
β ( 2 ) = G = 0.