スカラー曲率
と書き表すことができる。ただし
Ric = R i j d x i ⊗ d x j {\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}}
である。座標系と計量テンソルが与えられたとき、スカラー曲率は
S = g a b ( Γ a b , c c − Γ a c , b c + Γ a b c Γ c d d − Γ a c d Γ b d c ) {\displaystyle S=g^{ab}(\Gamma _{ab,c}^{c}-\Gamma _{ac,b}^{c}+\Gamma _{ab}^{c}\Gamma _{cd}^{d}-\Gamma _{ac}^{d}\Gamma _{bd}^{c})}
のように表示できる。ここで Γbc は計量のクリストッフェル記号である。
任意のアフィン接続に対して自然に定義されるリーマン曲率テンソルやリッチテンソルとは異なり、スカラー曲率は(その定義がまさに計量と不可分な方法で与えられたことを思えば)完全にリーマン幾何学の領域に特有の概念であることが分かる。