ハメル次元
ベクトル空間 V の部分線型空間 W に対して dim(W) ≤ dim(V) が成り立つ。
二つの有限次元ベクトル空間が等しいことを示すのに、次の判定規準が利用できる。
V が有限次元ベクトル空間で W が V の部分線型空間とするとき、dim(W) = dim(V) ならば W = V が成り立つ。
R は標準的な基底 {e1, ..., en} を持つ。ただし ei は単位行列の第 i-列に対応する。従って R の次元は n である。
体 F 上の任意の二つのベクトル空間は、その次元が等しいならば互いに同型である。それらの基底の間の任意の全単射はベクトル空間の間の全単射な線型写像に一意的に拡張することができる。集合 B が与えられたとき、F 上の次元が(B の濃度) |B| であるようなベクトル空間を、次のように作ることができる。写像 f: B → F で、有限個の例外を除く B の各元 b に対して f(b) = 0 となるようなものの全体 F を取り、元ごとの和とスカラー倍によってこれらの写像の間の加法と F の元によるスカラー乗法を定めれば、それが初期の F-ベクトル空間である。
ベクトル空間の次元は、その恒等作用素のトレースとして特徴付けることもできる。例えば、
tr  id R 2 = tr  ( 1 0 0 1 ) = 1 + 1 = 2 {\displaystyle \operatorname {tr} \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} ({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}})=1+1=2}
はトレースの定義から明らかだが、一般化には有用である。
まず、これにより自然な意味での基底をもたないがトレースが定義できると言う場合にも次元の概念を定義することができるようになる。例えば代数 A が単位射 η: K → A および余単位射 ε: A → K を持つならば、合成射 ε ∘ η: K → K は「恒等変換のトレース」に対応するスカラー(一次元空間上の線型作用素)であり、これによって抽象代数に対する次元の概念を考えることができる。実用上は、双代数について(余単位射を次元で割った ε := (1/n)tr に正規化して)この合成射が恒等変換となることを要求することがある。この場合には正規化定数が次元に対応することになる。
また、無限次元空間上の作用素のトレースを定義することもできる。