シンプレクティック多様体
まず、多様体 M 上のシンプレクティック形式とは、非退化な閉 2-微分形式 ω のことをいう。ここで ω が非退化であるというのは、任意の p ∈ M において、全ての Y ∈ TpM に対して、ω(X,Y) = 0を満たすような零でない接ベクトル場 X ∈ TpM が存在しないことである。また ω の歪対称性(微分 2-形式の条件の一つ)とは、全ての p ∈ M において、任意の X,Y ∈ TpM に対して ω(X,Y) = −ω(Y,X) を満たすことでする。奇数次の反対称行列が決して正則にならないという事実を思い起こすと、シンプレクティック形式 ω が微分 2-形式であるということは、その交代性により M の次元が偶数でなければならないことが従う。また ω が閉形式であるということは、ω の外微分 dω が恒等的に零になるという意味である。
シンプレクティック多様体とは、多様体 M とその上のシンプレクティック形式 ω との対 (M,ω) のことを言い、多様体 M の上にシンプレクティック形式 ω を指定することを「多様体 M にシンプレクティック構造を与える」と言い表す。