リッチフロー
多様体がユークリッド空間、あるいはより一般的にリッチ平坦であれば、リッチフローは計量不変とする。逆に、リッチフローにより不変な計量は、リッチ平坦である。
多様体が(普通の計量を持つ)球面であれば、リッチフローは有限時間内に一点へ多様体を収縮させる。球面が n 次元の半径 1 であれば、時間 t 後に、計量は (1 −2t(n − 1)) 倍となるので、多様体は時間 1/2(n − 1) 後に収縮する。より一般的に、多様体がアインシュタイン多様体(リッチフローが定数 × 計量である多様体)であれば、正の曲率の場合はリッチフローはこの多様体を一点に収縮させ、曲率が 0 であれば多様体を不変とし、負の曲率であれば膨張させる。
コンパクトアインシュタイン多様体では、計量が正規化されたリッチフローの下に不変である。逆に、任意の正規化されたリッチフローにより不変な計量はアインシュタイン計量である。