漸近展開
f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} を何回でも微分可能な関数としたとき、 f ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f(x)\!} のラプラス変換
F ( x ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − x t d t {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-xt}dt}
の漸近展開は、
F ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) 1 x n + 1 ( x → ∞ ) {\displaystyle F(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0){\frac {1}{x^{n+1}}}\ \ \ \ (x\to \infty )}
で与えられる。