矛盾
まず命題論理における矛盾の定義を述べる:命題Pに対して、「Pかつ¬P」を矛盾という。
矛盾を利用した論法に背理法がある。この論法では、「Xである」を示す場合に、まず「Xでない」という架空の設定を考える。そして「Xでない」という架空の設定のもと論理を進め、何らかの矛盾を導く。矛盾が起こったのだからそれは「絶対にありえない事」だという事になるので、最初の「Xでない」がおかしかったのだという事になり、結論として「Xである」を得るのである。
(数学的な意味での)矛盾の興味深い性質として、矛盾を含む体系においてはどんな命題を導くこともできる、というものがある(爆発律 principle of explosion, ECQ)。背理法は、
命題¬φを仮定して矛盾が導けたら命題φを推論できる
と定式化できる。考えている体系において何らかの矛盾が成立していたとすると、形式的な仮定「¬B」をおいても(これは全く使わずに)矛盾を導けるということになる。従ってBの二重否定¬¬Bが推論できることになり、二重否定は無視できる(排中律)ことから結局Bが推論できたことになる。ただし、古典論理ではない直観論理などでは排中律や背理法は成立しない。
『韓非子』難一篇に出てくる故事。「どんな盾も突き通す矛」と「どんな矛も防ぐ盾」を売っていた楚の男が、客から「その矛でその盾を突いたらどうなるのか」と問われ、返答できなかったという話から。もし矛が盾を突き通すならば、「どんな矛も防ぐ盾」は誤り。もし突き通せなければ「どんな盾も突き通す矛」は誤り。したがって、どちらを肯定しても男の説明は辻褄が合わない。
英語の contradiction や ドイツ語の Kontradiktionを「矛盾」と訳すのは、明治時代の井上哲次郎等著『哲学字彙』に由来する。ただし、「矛盾」という語彙はそれ以前から日本語にあった。翻訳語としての「矛盾」は中国語に逆輸入された。
英語の contradiction の語源は、ラテン語の contrādictiō ないし contrādīcō であり「反論」を意味した。英語の contradict は「矛盾する」のほか「~に反駁する(他動詞)」「反対の意見を述べる・反駁する(自動詞)」の意味も持つ。