ARCHモデル
1986年にロバート・エングルの弟子Tim Bollerslev(英語版)はARCHモデルを一般化したGARCHモデル(がーちモデル、英: Generalized ARCH model, GARCH model)を提案した。GARCHモデルでは、条件付ボラティリティ σ t {\displaystyle \sigma _{t}} は以下のように決定される。
σ t 2 = α 0 + α 1 u t − 1 2 + ⋯ + α q u t − q 2 + β 1 σ t − 1 2 + ⋯ + β p σ t − p 2 = α 0 + ∑ i = 1 q α i u t − i 2 + ∑ i = 1 p β i σ t − i 2 . {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}u_{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}u_{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}u_{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}.
}
すなわち、現在の条件付ボラティリティは p 期前までの条件付ボラティリティと q 期前までの平均からの乖離部分の2乗により決定される。Bollerslev も当該論文中の実証分析の節で述べているが、ARCHモデルを金融時系列データに適用すると分散の長期記憶性を再現する為に次数 q が大きくなる傾向があったが、GARCHモデルは比較的小さい次数(p = 1, q = 1)でも十分に分散の長期記憶性が再現されるので、ARCHモデルに比べると倹約的なモデルとなる。GARCHモデルにおいては u t 2 {\displaystyle u_{t}^{2}} は自己回帰移動平均モデルとして表され、その定常条件は
1 − ∑ i = 1 max { p , q } ( α i + β i ) z i = 0 {\displaystyle 1-\sum _{i=1}^{\max\{p,q\}}(\alpha _{i}+\beta _{i})z^{i}=0}
の全ての解の絶対値が1より大きくなることである。ただし α i = 0 , i > q {\displaystyle \alpha _{i}=0,\;i>q} かつ β i = 0 , i > p {\displaystyle \beta _{i}=0,\;i>p} である。