シャピロの不等式
ゆえに S 4 ≥ 4 2 {\displaystyle S_{4}\geq {\frac {4}{2}}} 。
n {\displaystyle n} を自然数、 x 1 , x 2 , ... , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} を非負の実数で、
x i + x i + 1 > 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) {\displaystyle x_{i}+x_{i+1}>0\quad (i=1,2,\dots ,n)}
であるとする。ただし、 x n + 1 = x 1 , x n + 2 = x 2 {\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}} とする。このとき、
n {\displaystyle n} が 12 {\displaystyle 12} 以下の偶数
n {\displaystyle n} が 23 {\displaystyle 23} 以下の奇数
のいずれかであれば、次の不等式が成り立つ。
∑ i = 1 n x i x i + 1 + x i + 2 ≥ n 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}}
より大きな n {\displaystyle n} に対しては不等式は成り立たないが、厳密な下限 γ n 2 {\displaystyle \gamma {\frac {n}{2}}} が存在する。ここで γ ≈ 0.9891 ... {\displaystyle \gamma \approx 0.9891\dots } 。