電気双極子
F ( x ) = − ∫ K ( x − y ) p ⋅ grad  δ 3 ( y − r ) d 3 y = − ∫ p ⋅ grad  K ( x − y ) δ 3 ( y − r ) d 3 y − ∮ ( p ⋅ n ) K ( x − y ) δ 3 ( y − r ) d S = − p ⋅ grad  K ( x − r ) + (boundary term) {\displaystyle {\begin{aligned}F({\boldsymbol {x}})&=-\int K({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})\,{\boldsymbol {p}}\cdot \operatorname {grad} \delta ^{3}({\boldsymbol {y}}-{\boldsymbol {r}})\,d^{3}y\\&=-\int {\boldsymbol {p}}\cdot \operatorname {grad} K({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})\,\delta ^{3}({\boldsymbol {y}}-{\boldsymbol {r}})\,d^{3}y-\oint ({\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {n}})\,K({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})\,\delta ^{3}({\boldsymbol {y}}-{\boldsymbol {r}})\,dS\\&=-{\boldsymbol {p}}\cdot \operatorname {grad} K({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})+{\text{(boundary term)}}\\\end{aligned}}}
となり、双極子が有限の領域に分布しているならば境界項はなくなり
電気双極子(でんきそうきょくし、英語: electric dipole)とは、大きさの等しい正負の電荷が無限小の間隔で対となって存在する状態のことである。正負の電荷 ±q の位置を r± としたとき、電気双極子は位置の差 δ = r+ − r− が無限小の極限として表され、その強さは
p = lim δ → 0 { q r + − q r − } = lim δ → 0 q δ {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\lim _{\delta \to 0}{\big \{}q\,{\boldsymbol {r}}_{+}-q\,{\boldsymbol {r}}_{-}{\big \}}=\lim _{\delta \to 0}q\,{\boldsymbol {\delta }}}
で表される。
となる。
電荷分布が全体として中性のとき、すなわち
Q = ∫ ρ ( y ) d 3 y = 0 {\displaystyle Q=\int \rho ({\boldsymbol {y}})\,d^{3}y=0}
であるとき、電気双極モーメントは
p ( x ) = ∫ y ρ ( y ) d 3 y {\displaystyle {\boldsymbol {p}}({\boldsymbol {x}})=\int {\boldsymbol {y}}\,\rho ({\boldsymbol {y}})\,d^{3}y}
となり、位置 x に依らない一定のベクトルとなる。 特に電気双極子による場合
p ( x ) = ∑ i p i {\displaystyle {\boldsymbol {p}}({\boldsymbol {x}})=\sum _{i}{\boldsymbol {p}}_{i}}
である。
電気双極モーメントは原点付近に局在する電荷分布を近似する多重極展開における第一近似であり、電荷の総和がゼロの場合に、電気双極子の総和で近似されることを意味している。