最大値最小値定理
像集合 {y ∈ R : y = f(x), x ∈ [a,b]} は有界であるから、実数直線に関する上限性質により上限 M = supx∈[a,b](f(x)) を持つ。f(x) = M を実現する x が存在しないと仮定すると、区間 [a, b] 上で常に f(x) < M, 従って 1/(M − f(x)) は [a, b] で連続である。
しかし M は上限ゆえ、任意の正数 ε に対して適当な x ∈ [a, b] を選べば M − f(x) < ε とすることができるから、1/(M − f(x)) > 1/ε, 即ち 1/(M − f(x)) は有界でない。有界性定理により有界閉区間 [a, b] 上の連続函数は有界であるから、これは 1/(M − f(x)) が区間 [a, b] 上で連続であったことに矛盾する。従って、f(x) = M を満たす点 x ∈ [a, b] が存在しなければならない。