連続体力学
と定義すると、
Ω = ∇ × r {\displaystyle \Omega =\nabla \times {\boldsymbol {r}}}
である。 Ωをこの変形の回転もしくは回転ベクトルという。
これらのテンソルは、変形を開始した時刻t0における位置xと現在の時刻tの関数であるので時間微分した量を計算できる:
が成立する。ここで v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})} は速度ベクトルである。
∂ v i ∂ x j {\displaystyle {\partial v_{i} \over \partial x_{j}}} を変形速度テンソル(deformation rate tensor)、 1 2 ( ∂ v i ∂ x j + ∂ v j ∂ x i ) {\displaystyle {1 \over 2}\left({\partial v_{i} \over \partial x_{j}}+{\partial v_{j} \over \partial x_{i}}\right)} を歪み速度テンソル(stain rate tensor)、 ∇ × v {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {v}}} を渦度(vorticity)という。
さらに歪み速度テンソルの対角成分を伸縮歪み速度(elongation-contraction rate)、非対角成分をずれ歪み速度(shear stain rate)という。
(単位時間にVの境界に働く面積力による力積) = ∫ ∂ V ∑ i , j σ i , j n j e j d S {\displaystyle \int _{\partial V}\sum _{i,j}\sigma _{i,j}n_{j}{\boldsymbol {e}}_{j}\mathrm {d} S} = ∫ ∂ V t ( σ 1 ⋅ n , σ 2 ⋅ n , σ 3 ⋅ n ) d S {\displaystyle =\int _{\partial V}{}^{t}({\boldsymbol {\sigma }}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}},{\boldsymbol {\sigma }}_{2}\cdot {\boldsymbol {n}},{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\cdot {\boldsymbol {n}})\mathrm {d} S} = ∫ V t ( ∇ ⋅ σ 1 , ∇ ⋅ σ 2 , ∇ ⋅ σ 3 ) d V {\displaystyle =\int _{V}{}^{t}(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{1},\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{2},\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{3})\mathrm {d} V}
である。最後の等式は再びガウスの発散定理による。
Vの任意性より、最終的に連続体の運動方程式は以下のようになる:
i=1, 2, 3に対し、 ∂ ( ρ v i ) ∂ t = ∇ ⋅ ( ρ v i v ) + ρ K i + ∇ ⋅ σ i {\displaystyle {\partial (\rho v_{i}) \over \partial t}=\nabla \cdot (\rho v_{i}{\boldsymbol {v}})+\rho K_{i}+\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}_{i}}
なお、テンソル ε=(εij)ijに対し
div → ε = ( ∑ j ∂ ε i j ∂ x j ) i {\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {div} }}\varepsilon =(\sum _{j}{\partial \varepsilon _{ij} \over \partial x_{j}})_{i}}
と定義すると、上の方程式は
∂ ( ρ v ) ∂ t = div → ( ρ v ⊗ v ) + ρ K + div → σ {\displaystyle {\partial (\rho {\boldsymbol {v}}) \over \partial t}={\overrightarrow {\operatorname {div} }}(\rho {\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {v}})+\rho {\boldsymbol {K}}+{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma }
と書くこともできる。
上の運動方程式と連続の方程式(C1)を用いる事で、運動方程式の物質微分による以下の表現を得ることができる: