重力インスタントン
ユークリッド化されたターブ・ナット計量(英語版)は
d s 2 = 1 4 r + n r − n d r 2 + r − n r + n n 2 σ 3 2 + 1 4 ( r 2 − n 2 ) ( σ 1 2 + σ 2 2 ) {\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {r+n}{r-n}}dr^{2}+{\frac {r-n}{r+n}}n^{2}\sigma _{3}^{2}+{\frac {1}{4}}(r^{2}-n^{2})(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}
によって与えられる。
江口・ハンソン計量(英語版)は
d s 2 = ( 1 − a r 4 ) − 1 d r 2 + r 2 4 ( 1 − a r 4 ) σ 3 2 + r 2 4 ( σ 1 2 + σ 2 2 ) {\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)^{-1}dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)\sigma _{3}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}
のように表現される。ここで、座標の範囲は r ≥ a である。
この計量がいたるところ滑らか、つまりregularな計量であるためには、r → a, θ= 0, π のところで錐特異点(conical singularity)がないことである。この条件はパラメーター a がゼロかそうでないかで場合分けされ、
a = 0 のとき座標 ψ の周期が 4π
重力インスタントン(じゅうりょく - )とは、以下の3つの性質を持つ4次元リーマン多様体のことである。
リッチ平坦
自己双対(self-dual)なリーマン曲率テンソルをもつ
無限遠で局所的に平坦(asymptotically locally flat)である
(しかし実は、2. ならば 1. が言える。)
あるいは、もっと広い意味で、3. を満たしリッチ曲率が計量に比例している(いわゆる宇宙定数がある)ものを言う。
ヤン・ミルズ理論のインスタントンとの類似から、そう呼ばれる。ALE(Asymptotically Locally Euclidean)空間とも呼ばれる。