ミンコフスキー汎関数
上の例では、与えられた(複素あるいは実)線型空間 X およびその部分集合 K に対し、対応するミンコフスキー汎関数
p K : X → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle p_{K}\colon X\to [0,\infty )}
を
p K ( x ) = inf { r > 0 : x ∈ r K } {\displaystyle p_{K}(x)=\inf\{r>0:x\in rK\}}
によって定義することが出来ると示唆していた。このような関数はしばしば K {\displaystyle K} の計測関数(gauge)と呼ばれる。
この定義では、非明示的に 0 ∈ K および、集合 {r > 0: x ∈ r K} が空でないことが仮定されている。pK が半ノルムの性質を備えるためには、K にさらなる追加条件が必要となる。それは次のようなものである:
K は凸である(これは pK の劣加法性を意味する)。
K は均衡である。すなわち、すべての |α| ≤ 1 に対して αK ⊂ K が成立する(これは pK の同次性を意味する)。
これらの条件を満たす集合 K は、絶対凸と呼ばれる。