ガトー微分
u ∈ U と u + h を結ぶ線分がまったく U に含まれると仮定する。F が C-級ならば F ( u + h ) = F ( u ) + d F ( u ; h ) + 1 2 ! d 2 F ( u ; h ) + ⋯ + 1 ( k − 1 ) ! d k − 1 F ( u ; h ) + R k {\displaystyle F(u+h)=F(u)+dF(u;h)+{\frac {1}{2!}}d^{2}F(u;h)+\dots +{\frac {1}{(k-1)!}}d^{k-1}F(u;h)+R_{k}} が成り立つ。ただし剰余項は R k ( u ; h ) = 1 ( k − 1 ) ! ∫ 0 1 ( 1 − t ) k − 1 d k F ( u + t h ; h ) d t {\displaystyle R_{k}(u;h)={\frac {1}{(k-1)!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k-1}d^{k}F(u+th;h)\,dt} で与えられる。
などが成立する。
任意の u ∈ U , x ∈ X に対して d ( G ∘ F ) ( u ; x ) = d G ( F ( u ) ; d F ( u ; x ) ) {\displaystyle d(G\circ F)(u;x)=dG(F(u);dF(u;x))} が成り立つ。