ペロン＝フロベニウスの定理
いま A を、非負かつ既約な n × n 行列とし、その周期は h で、スペクトル半径は ρ(A) = r でそれぞれ表されるものとする。このとき、次の主張が成立する。
行列 A のスペクトル半径である正の実数 r は、A の固有値(ペロン=フロベニウス固有値と呼ばれる)である。
このペロン=フロベニウス固有値 r は単純(重複が無い)である。よって r に対応する右および左の各固有空間は、一次元である。
A は、固有値 r に対応する左固有ベクトル v を持ち、その成分はすべて正の実数にとれる。
同様に、A は固有値 r に対応する右固有ベクトル w を持ち、その成分はすべて正の実数にとれる。
すべての成分が正の実数である固有ベクトルは、(定数倍を乗じる違いを無視すれば)固有値 r に対応する上述のものだけである。
行列 A は、絶対値が r と等しい複素固有値をちょうど h 個(h は行列の周期)持つ。それらはそれぞれ、特性多項式の単純根であり、r に 1のh乗根を乗じたものとして与えられる。
ω = 2 π {\displaystyle 2\pi } /h とする。このとき行列 A は行列 e i ω {\displaystyle e^{i\omega }} A と相似で、したがって A のスペクトル(固有値の分布)は e i ω {\displaystyle e^{i\omega }} の乗算に対して不変である(その乗算は、偏角 ω による複素平面上の回転に対応する)。
ペロン=フロベニウスの定理は、有限マルコフ連鎖の理論においても自然に利用されている(その理論においては、連鎖の遷移行列に関して形成される定常分布への、既約な有限マルコフ連鎖の収束についての行列理論的な同値性が見られる。例えば、有限タイプのサブシフト(英語版)を参照されたい)。