岩澤理論
岩澤理論はワイルズによるフェルマーの最終定理の解決に貢献している。証明発表後に致命的な誤りが見つかった後、岩澤理論とコリヴァギン=フラッハ法を使うことにより修正することができたと説明されることもあるが、フェルマーの最終定理を解決した論文の導入部においてワイルズは次のようにも述べている。
次の仮定のもとで証明の概略を見る。
(*) 素数 p の上にある F の素イデアルは唯一つで、さらにその素イデアルは F∞/F で完全分岐する
証明は、まずイデアル類群の極限をとることからはじまる。2つの正整数 m ≦ n があったとき、代数体の有限次拡大 Fn/Fm のノルム写像からイデアル類群の準同型 Am ← An ができる。これによる逆極限 lim← An を X と書き、F∞/F の岩澤加群という。岩澤の独自性は、「無限大に飛ばす」という新しい着想にあった。
岩澤加群 X がわかれば An もわかる。実際、Γ=Gal(F∞/F) の元 γ0 を Zp の乗法単位元1に対応する元(位相的生成元といっても同じこと)とすると An = X/(γp0 − 1)X が成り立つことがわかる。
岩澤加群 X の構造は、これを完備群環上の加群とみることによって調べられる。An は有限 p 群なので自然に Zp の元の乗算が定義でき、またガロア群 Γ/Γn が作用しているので、その極限の X には完備群環 Λ ≔ Zp⟦Γ⟧ = lim← Zp[Γ/Γn] の作用が定義できる。この環 Λ は、実は Zp 係数の形式的べき級数環 Zp⟦T⟧ と T + 1 ↔ γ0 によって同型であることが示される(位相的生成元の取り方に依存するので、標準的ではない)。Λ や Zp⟦T⟧ は岩澤代数(英語版)と呼ばれている。岩澤代数は岩澤理論において中心的な役割を演ずる。
もしこれが正しければ、Q(ζp) の最大実部分体の類数も p で割れないので A+n は0ということになる。
次に、Gal(F/Q) でイデアル類群が分解される様子を見るため、典型的な例として F = Q(ζp) で F∞ = ∪n ≧ 0 Q(ζp) の場合を考える(p は奇素数とする)。Δ = Gal(F/Q) と置き、ω: Δ → Z×p を Δ の任意の元 σ に対して ζσp = ζω(σ)p が成り立つ唯一の準同型とする。Δ は Fn のイデアル類群の p 成分 An に自然に作用し An = ⊕p − 2k = 0 A(i)n と分解できる。ここで A(i)n は σa = ω(σ)a が成り立つ An の元たちからなる部分群である。これを ω 成分(ω-part)という。ω 成分に対しても岩澤類数公式が成り立ち、これらの成分に対する岩澤不変量を λ, μ, ν とすると F∞/F の岩澤不変量は λ = ∑i λ などと分解できる。偶数の i に対する ω 成分は A に含まれるので、ヴァンディバー予想が正しければこの成分は0である。部分的な結果として、栗原将人によって Ap − 30 は0であることが証明されている。岩澤主予想は、奇数の i に対する ω 成分に関する予想である。なお、このような分解はもっと一般の状況でも可能であるが、 Δ の指標の値が必ずしも Z×p に入らないので、係数拡大が必要となる。