双有理幾何学
多様体が単線織的(uniruled)とは、多様体が有理曲線により被覆されるときを言う。単線織多様体は極小モデルを持たないが、しかし、素晴らしい代替品がある。バーカー(Birkar)、カッシーニ(Cascini)、ハーコン(Hacon)、マッカナン(McKernan)は、全ての標数 0 の体の上の単線織多様体はファノファイバー空間に双有理であることを示した。 このことからファノファイバー空間と(最も興味のある空間である)ファノ多様体の双有理分類問題が導かれる。定義により、射影多様体 X がファノ多様体とは、反標準バンドル KX が豊富であることであり、ファノ多様体は射影空間に最も似ている代数多様体であると考えることができる。
次元が 2 のとき、代数的閉体上のすべてのファノ多様体(デル・ペッゾ曲面(英語版)として知られている)は有理的である。1970年代の大きな発見は、次元 3 のときで、有理的な多くのファノ多様体があることがわかった。特に、滑らかな 3次3次元多様体はClemens-Griffiths (1972)により有理的でないことが示され、滑らかな 4次元3次元多様体も Iskovskikh-Manin (1971)により有理的ではないことが示された。
にもかかわらず、ファノ多様体が有理的であることを正確に決定する問題は、解決には程遠い。例えば、n ≥ 4 のときには P の中の有理的でない滑らかな 3次超曲面が存在するかどうかがわかっていない。