ド・モルガンの法則
D を空でない任意の対象領域とする。任意の 1 変数の述語 F : D → { ⊥ , ⊤ } {\displaystyle F:D\to \{\bot ,\top \}} に対して
が成り立つ。これをド・モルガンの法則という。
D = { a 1 , a 2 , ⋯ , a n } {\displaystyle D=\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\}} (有限集合)である場合は、これは
と変形できる。
全否定や部分否定をどう言い換えるかという問題は(述語論理における)ド・モルガンの法則が扱う問題と本質的には同じである。
例えば x が本を表す変数として、「本 x が好きだ」という言明を A(x) と書くことにすると、肯定文「すべての本が好きだ」は「全ての x に対し A(x)」となる。
この文の部分否定「すべての本を好きだというわけではない」は「全ての x に対し A(x)」の否定であり、ド・モルガンの法則によって「ある x に対し ¬A(x)」、すなわち「好きでない本もある」となる。全否定の文「すべての本が嫌いだ」は「全ての x に対し ¬A(x)」と表せ、ド・モルガンの法則によって「ある x に対し A(x)」の否定、「好きな本はない」ということになる。