二重数
先の構成法はもっと一般の状況に対して適用できる。つまり、可換環 R に対して R 上の二重数と言うものを、多項式環 R[X] をイデアル (X) で割って得られる剰余環として定義するのである。このとき X の属する剰余類は自乗して零に等しく、上記の元 ε に対応する。
このような環及びその一般化は、導分およびケーラー微分(純代数的な微分形式)の代数的理論において重要な役割を果たす。
任意の環 R 上で二重数 a + bε が単元を持つ(つまり、乗法的可逆元である)ための必要十分条件は、実部 a が R における単元となることである。このとき、a + bε の逆元は a − baε で与えられる。この帰結として、任意の体または任意の可換局所環上の二元数が必ず局所環を成すこと、およびその唯一の極大イデアルが ε の生成する主イデアルで与えられることが分かる。