次元論 (代数学)
m − 1 ≤ dim  ( R / p 1 ) ≤ d ( R / p 1 ) ≤ d ( D ) − 1 ≤ d ( R ) − 1 {\displaystyle m-1\leq \operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(D)-1\leq d(R)-1}
である。主張が従う。 dim  R ≥ δ ( R ) {\displaystyle \operatorname {dim} R\geq \delta (R)} を示すことが残っている。正確には、次のことを示す。
補題: R は、任意の i に対して ( x 1 , ... , x i ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{i})} を含む任意の素イデアルの高さは ≥ i {\displaystyle \geq i} であるような元 x 1 , ... , x s {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}} を含む。
(注意:このとき ( x 1 , ... , x s ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{s})} は m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -準素である。)証明は省略する。例えば、Atiyah–MacDonald に証明がある。しかし証明は個人でもできる。アイデアは prime avoidance を使うことだ。