量子力学の数学的定式化
ヒルベルト空間 H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} 、 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} に対し、全単射線形写像 Φ : H 1 → H 2 {\displaystyle \Phi ~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} で
⟨ Φ ( ψ ) , Φ ( χ ) ⟩ = ⟨ ψ , χ ⟩ {\displaystyle \langle \Phi (\psi ),\Phi (\chi )\rangle =\langle \psi ,\chi \rangle }
が全ての ψ , χ ∈ H 1 {\displaystyle \psi ,\chi \in {\mathcal {H}}_{1}} に対して成立するものが存在するとき、 H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} と H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} は同型であるという。
明らかに次が成立する:
命題 ―
Tは自己共役作用素⇒Tは対称作用素⇒Tはエルミート作用素
しかし逆向きは一般には成り立たない。与えられた作用素が自己共役かどうかを決定する問題を自己共役性の問題といい、それだけで一冊の本が書けるほど難しい問題である。
自己共役作用素とその関連概念に対し以下が知られている:
定理 ―
Tは本質的に自己共役作用素なら、Tの閉包 T ̄ {\displaystyle {\bar {T}}} は自己共役であり、しかもTの拡大で自己共役なものは T ̄ {\displaystyle {\bar {T}}} に限る
Tがエルミート作用素なら、共役作用素TをDom(T)上で定義でき、しかもをDom(T)上でT=Tである。 ...(B1)
Tが対称作用素⇒Tは可閉作用素 ...(B2)
Tが自己共役作用素⇒Tは閉作用素
Tが対称作用素⇒ T ̄ = T ∗ ∗ {\displaystyle {\bar {T}}=T^{**}} かつ T ̄ ∗ = T ∗ ̄ {\displaystyle {\bar {T}}^{*}={\overline {T^{*}}}}
上記定理の性質3はTが可閉作用素である必要十分条件はTが稠密に定義されることと性質2から従う。
S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の元ψ、χに対し、プランシュレルの定理
∫ R d F ( ψ ) ( ξ ) F ∗ ( χ ) ( ξ ) d ξ {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}{\mathcal {F}}(\psi )(\xi ){\mathcal {F}}^{*}(\chi )(\xi )\mathrm {d} \xi } = ∫ R d ψ ( x ) χ ( x ) ∗ d x {\displaystyle =\int _{\mathbf {R} ^{d}}\psi (x)\chi (x)^{*}\mathrm {d} x}
が成り立つので、 φ ( x ) = F ( χ ) ( x ) {\displaystyle \varphi (x)={\mathcal {F}}(\chi )(x)} とする事で、
∫ R d F ( ψ ) ( ξ ) φ ( ξ ) d ξ {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}{\mathcal {F}}(\psi )(\xi )\varphi (\xi )\mathrm {d} \xi } = ∫ R d ψ ( x ) F ( φ ) ( x ) d x {\displaystyle =\int _{\mathbf {R} ^{d}}\psi (x){\mathcal {F}}(\varphi )(x)\mathrm {d} x}
となる事が分かる。これを参考にして緩増加超関数Tのフーリエ変換を以下のように定義する:
∫ R f ( λ ) d μ ψ = ⟨ ψ , F f ψ ⟩ {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }f(\lambda )\mathrm {d} \mu _{\psi }=\langle \psi ,F_{f}\psi \rangle } for ∀ ψ ∈ D o m ( F f ) {\displaystyle \forall \psi \in \mathrm {Dom} (F_{f})} 、
D o m ( F f ) = { ψ ∈ H : ∫ R | f ( λ ) | 2 d μ ψ < ∞ } {\displaystyle \mathrm {Dom} (F_{f})=\{\psi \in {\mathcal {H}}~:~\int _{\mathbf {R} }|f(\lambda )|^{2}\mathrm {d} \mu _{\psi }<\infty \}}
と書ける。
この線形作用素Ffを
F f = ∫ R f ( λ ) d μ {\displaystyle F_{f}=\int _{\mathbf {R} }f(\lambda )\mathrm {d} \mu }
と表記し、スペクトル測度μによるfの作用素値積分(operator-valued integral)という。
なお任意の可測関数fに対しDom(Ff)は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で稠密であることが知られているので、作用素値積分は H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上稠密に定義された線形作用素である。またfが実数値可測関数の場合は作用素値積分は必ず自己共役作用素になる事も知られている。
以上の準備のもと、スペクトル定理を定式化する:
なお、ハイゼンベルク群のニタリ表現の事をシュレディンガー表現という。
一方、フォン・ノイマンの一意性定理の結論部分は、このユニタリ表現が同型を除いて一意であり、その唯一のユニタリ表現による Q → j , P → k {\displaystyle {\vec {Q}}_{j},~{\vec {P}}_{k}} の像がそれぞれ
まとめると、以下の結論が得られる:
定理 ― 強連続なシュレディンガー表現
Π : H d → U ( H ) {\displaystyle \Pi ~:~\mathbf {H} _{d}\to {\mathcal {U}}({\mathcal {H}})}
で
Π ( I → ) = i ħ I {\displaystyle \Pi ({\vec {I}})=i\hbar I}
を満たすものは、同型を除いて1つしか存在しない。必要ならΠを同型なものと取り替えると、
Q j := Π ( Q → j ) , P j := Π ( P → j ) {\displaystyle Q_{j}:=\Pi ({\vec {Q}}_{j}),\quad P_{j}:=\Pi ({\vec {P}}_{j})}
が成立する。ここで Q j {\displaystyle Q_{j}} 、 P j {\displaystyle P_{j}} はそれぞれ位置作用素、運動量作用素である。
特に D o m ( T ) = H 1 {\displaystyle \mathrm {Dom} (T)={\mathcal {H}}_{1}} が成立しているとき、Tは H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} の全域で定義されているという。
稠密に定義された作用素に対し以下の拡大の概念を定義できる:
定義 (稠密に定義された線形作用素の拡大) ― 稠密に定義された2つの線形作用素 S , T : H 1 → H 2 {\displaystyle S,T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} が、 Dom(S) ⊂ Dom(T) かつT|Dom(S) = Sを満たすとき、TはSの拡大であるといい、以下のように書き表す:
S ⊂ T
有界作用素に関しては、次の重用な性質が知られている:
定理 (BLT定理) ― 稠密に定義された作用素 Tがその定義域において有界な線形作用素であれば、Tを全域に一意に拡張可能である。すなわち、全域で定義された T ̄ : H 1 → H 2 {\displaystyle {\bar {T}}~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} が一意に存在し、 T ̄ | D o m ( T ) = T {\displaystyle {\bar {T}}|_{\mathrm {Dom} (T)}=T} である
したがって有界作用素に限定すれば、稠密に定義されている事は全域で定義されている事と実質的な差がない。しかし量子力学で用いる作用その多くは有界ではないので、この定理を用いる事ができない。
Tを緩増加超関数とするとき、Tの定義域を S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の部分集合C∞0(R)に制限した
T | C 0 ∞ ( R d ) : C 0 ∞ ( R d ) → C {\displaystyle T|_{C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})}~:~C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})\to \mathbf {C} }
は超関数になる。よって制限写像により緩増加超関数全体の集合 S ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})} から超関数全体の集合 D ′ ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbf {R} ^{d})} への写像
λ ⟨ T λ , ψ ⟩ = ⟨ P ′ ( T λ ) , ψ ⟩ = ⟨ T λ , P ( ψ ) ⟩ = − i ħ ⟨ T λ , d d x ( ψ ) ⟩ = i ħ ⟨ d d x T λ , ψ ⟩ {\displaystyle \lambda \langle T_{\lambda },\psi \rangle =\langle P'(T_{\lambda }),\psi \rangle =\langle T_{\lambda },P(\psi )\rangle =-i\hbar \langle T_{\lambda },{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}(\psi )\rangle =i\hbar \langle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}T_{\lambda },\psi \rangle }
となる。よって
λ T λ = i ħ d d x T λ {\displaystyle \lambda T_{\lambda }=i\hbar {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}T_{\lambda }}
という微分方程式の解が T λ {\displaystyle T_{\lambda }} となる。したがって
スペクトルσ(A)に属するλのうち、A-λIが単射でないもの全体が点スペクトルσP(A)であった。それ以外のσ(A)の元、すなわちA-λIが単射ではあるが全射でないものは2つのタイプに分類できる。
定義 ― A-λIが単射であるが全射でなく、しかもその像
( A − λ I ) ( D o m ( A ) ) {\displaystyle (A-\lambda I)(\mathrm {Dom} (A))}
が値域 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で稠密になるλ全体の集合をσc(A)と書き、Aの連続スペクトルという。一方A-λIが単射であるが全射でなく、しかも ( A − λ I ) ( D o m ( A ) ) {\displaystyle (A-\lambda I)(\mathrm {Dom} (A))} が H {\displaystyle {\mathcal {H}}} で稠密ではないもの全体の集合をσr(A)と書き、Aの剰余スペクトルという。
λがAの剰余スペクトルもしくは連続スペクトルに属していれば、A-λIは単射であるので、A-λIの像 ( A − λ I ) ( D o m ( A ) ) {\displaystyle (A-\lambda I)(\mathrm {Dom} (A))} の上定義された逆写像 ( A − λ I ) − 1 {\displaystyle (A-\lambda I)^{-1}} を定義できる。
スペクトル測度の概念を厳密に定式化する。なお、スペクトル測度の概念それ自身は、Aのスペクトルとは無関係に定義する。スペクトル測度の概念がAのスペクトルと結びつくのは、後述するスペクトル定理においてである。 P ( H ) {\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {H}})} を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の元を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の閉部分線形空間に対応させる正射影作用素全体の集合とする。すなわち
P ∈ P ( H ) ⟺ ∃ V ⊂ H {\displaystyle P\in {\mathcal {P}}({\mathcal {H}})\iff \exists V\subset {\mathcal {H}}} (閉部分線形空間) s.t. P : φ = φ V + φ V ⊥ ∈ V ⊕ V ⊥ = H ↦ φ V ∈ V ⊂ H {\displaystyle P~:~\phi =\phi _{V}+\phi _{V}^{\bot }\in V\oplus V^{\bot }={\mathcal {H}}\mapsto \phi _{V}\in V\subset {\mathcal {H}}}
さらに B ( R ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbf {R} )} をR上のボレル加法族とする。直観的にはこのRは、自己共役作用素のスペクトルやレゾルベントの取りうる値の集合である。
作用素解析により、
U t := e x p ( i t H ) {\displaystyle U_{t}:=\mathrm {exp} (itH)}
と定義すると、Utはユニタリ変換であり、しかも準同型性を満たす。すなわち任意の s , t ∈ R {\displaystyle s,t\in \mathbf {R} } に対し、
U t U s = U t + s {\displaystyle U_{t}U_{s}=U_{t+s}}
が成立する事が知られている。さらにUtはtに関して強連続である。すなわち任意の ψ ∈ H {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}} と任意の t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbf {R} } に対し、
lim s → t ‖ U s ( ψ ) − U t ( ψ ) ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{s\to t}\|U_{s}(\psi )-U_{t}(\psi )\|=0}
である。
一般に H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上のユニタリ変換の族 { U t } t ∈ R {\displaystyle \{U_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} で準同型性と強連続性とを満たすものを強連続1パラメータユニタリ群という。