優収束定理
が得られる。逆ファトゥの補題により(ここで上述の、|f-fn| が可積分関数 2g により支配されるという不等式が必要となる)、
lim sup n → ∞ ∫ S | f − f n | d μ ≤ ∫ S lim sup n → ∞ | f − f n | d μ = 0 , {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,}
が得られるが、これはその極限が存在し、消失すること、すなわち
lim n → ∞ ∫ S | f − f n | d μ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0}
を意味し、したがって定理の主張は示される。
もし定理の仮定が μ に関してほとんど至る所でのみ成立するものであれば、ある μ に関する空集合 N ∈ Σ が存在し、関数 ƒn1N は S 上の至る所でそれらの仮定を満たす。すると、 ƒ(x) は x ∈ S−N に対して ƒn(x) の各点収束極限であり、また x ∈ N に対して ƒ(x) = 0 であるため、ƒ は可測である。その積分の値は、μ に関する空集合 N には影響されない。
「g が可積分である」というステートメントはルベーグ積分の意味においてである。すなわち、 ∫ S | g | d μ < ∞ {\displaystyle \int _{S}|g|\,d\mu <\infty } となることである。
関数列の収束と g による支配という条件は、次の仮定の下で、(μ に関して)ほとんど至る所成立すれば良いという様に緩められる:測度空間 (S, Σ, μ) は完備であるか、あるいは、f はほとんど至る所で存在する各点極限とほとんど至る所一致する可測関数である。(これらの条件が必要である理由は、そうでないと零集合 N ∈ Σ の非可測部分集合(英語版)が存在して f が非可測となりうるからである)。
μ(S) < ∞ のとき、支配的な可積分関数 g が存在するという条件は、関数列 {fn} が一様可積分であるという条件に緩めることが出来る(ヴィタリの収束定理を参照)。