剰余環
明らかに、R が可換環ならば剰余環 R/I もそうである。しかし、逆は一般には正しくない。
R から R/I への自然射影 π の核は I である。環準同型の核は常に両側イデアルであるから、任意の両側イデアルを何らかの環準同型の核になるものとして扱うことができる。
環準同型とその核、および剰余環の間にある密接な関係を以下のように述べることができる。
剰余環 R/I 上で定義される環準同型を考えることと、R 上で定義される環準同型で、I 上消えている(自明である、すなわち常に零元にうつる)ものを考えることとは本質的に同じである。
R ↘ f π ↓ S ↗ g R / I {\displaystyle {\begin{matrix}R&&\\&\searrow {}^{f}&\\{}^{\pi }\downarrow &&S\\&\nearrow {}_{g}&\\R/I&&\end{matrix}}}
より具体的に書けば、R の両側イデアル I と環準同型 f: R → S で ker(f) が I を含むものが与えられたとき、環準同型 g: R/I → S で gπ = f を満たすようなものがただひとつ存在する。すなわち写像 g が R の任意の元 a に対して g([a]) = f(a) とおくことによって矛盾無く定まる。実際、このような普遍性を持つものとして、剰余環および自然な射影を「定義」することもできる。
上記の帰結として、
任意の環準同型 f: R → S は剰余環 R/ker(f) と像 im(f) の間の環同型を誘導する(準同型定理を参照)
という基本的な主張を得る。