部分積分
ガンマ関数はワイエルシュトラスの乗積表示:
1 Γ ( z ) := z e γ z ∏ m = 1 ∞ ( 1 + z m ) e − z / m , γ := lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − log  n ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}:=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m},\quad \gamma :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)}
を用いて定義することもできる( γ {\displaystyle \gamma } はオイラーの定数である)。
無限乗積による定義と広義積分による定義が同値であることは部分積分を繰り返すことで示される。
(積の微分法則の一般化も参照のこと)
3つの関数 u ( x ) {\textstyle u(x)} 、 v ( x ) {\textstyle v(x)} 、 w ( x ) {\textstyle w(x)} の積の微分法則に対して積分を行うと、同様に以下のような結果を得る。
∫ a b u v d w = u v w − ∫ a b u w d v − ∫ a b v w d u {\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw=uvw-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du}
一般的に n {\textstyle n} 個の関数の積の場合は、