実二次正方行列
a + d = 0 ならばこれは対角行列となるから、上記の可換部分環を成す m を求めるに際して d = −a を仮定することができる。
mm = −I となるとき、bc = −1 − aa であり、この方程式は助変数 (a, b, c) の空間上の双曲放物面を記述するものである。またこのような m は虚数単位の役割を果たすから、この場合の Pm は通常の複素数体に同型である。
mm = +I となるとき、m は対合行列(英語版)であるという。このとき bc = +1 − aa であり、これもまた双曲放物面を与える方程式である。任意の冪等行列は、この種の適当な m に対する Pm に属す。またこの場合の Pm は分解型複素数環に環同型である。
mm = 0 すなわち複零となるとき、これは b, c の何れか一方のみが零かつ他方が非零である場合に生じる。この場合の可換部分環 Pm は二重数平面のコピーを含む。
M(2, R) に適当な基底変換を施せば、この平面部分環族は、I と −I が双曲面のように対称な形をとる分解型四元数(英語版)の平面部分環族に書きなおすことができる。