デュアメルの原理
で与えられるということを述べたものである。ただし Pƒ は次の問題の解である。
{ u t − L u = 0 ( x , t ) ∈ D × ( s , ∞ ) u | ∂ D = 0 u ( x , s ) = f ( x , s ) x ∈ D . {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}-Lu=0&(x,t)\in D\times (s,\infty )\\u|_{\partial D}=0&\\u(x,s)=f(x,s)&x\in D.\end{cases}}}
デュアメルの原理は(ベクトル値函数 u を伴う)線型システムに対しても同様に適用される。またデュアメルの原理は、波動方程式に現れるような高次の t 微分に対する一般化も与える(下記参照)。この原理の正当性は、同次問題を適切な函数空間の上で解くことが出来るか、またその解は積分が well-defined となるような良いパラメータ依存性を示すものであるか、という点に依存する。u および f に関する正しい解析的条件は、その適用される場面に依存するものである。
となる。ただし g は初期の熱分布である。この熱方程式に対応する非同次の問題は
{ u t ( x , t ) − Δ u ( x , t ) = f ( x , t ) ( x , t ) ∈ R n × ( 0 , ∞ ) u ( x , 0 ) = 0 x ∈ R n {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-\Delta u(x,t)=f(x,t)&(x,t)\in \mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&x\in \mathbf {R} ^{n}\end{cases}}}
のように表される。ここで ƒ(x,t)dt は各点に加えられる外的な熱エネルギーである。直感的に、この非同次問題は、各時間 t = t0 ごとに考えられる同次問題を集めたものと考えられるであろう。線型性により、その同次問題の解を時間 t0 毎に足し上げる(積分する)ことで、求めたい非同次問題の解を得ることが出来る。この考えがデュアメルの原理の本質である。