特異点解消
曲線の場合は非特異射影モデルは一意であったが、曲面は多くの異なる非特異射影モデルを持つ。しかしそれでも曲面は一意な最小解消を持ち、他のものはこれを介して分解する。高次元では最小解消が存在するとは限らない。
複素数体上の曲面の特異点解消を証明する試みとしては、Del Pezzo (1892), Levi (1899), Severi (1914), Chisini (1921), Albanese (1924) などがあった。しかし、これら過去の試みは全て不完全であり肝心なところが曖昧で誤りもあることを Zariski (1935, chapter I section 6) は指摘した。最初の厳密な証明は Walker (1935) でなされた。そして任意の標数0の体に対して代数的な証明が Zariski (1939) で与えられた。標数が0ではない曲面については Abhyankar (1956) が証明した。また、全ての2次元優秀スキーム(算術的曲面を全て含む)に対して特異点を解消できることが Lipman (1978) で証明された。
リーマンは複素代数曲線の関数体から滑らかなリーマン面を作った。これは特異点の解消を与えている。この方法は一般の体上でも、リーマン面の代わりに関数体の離散付値環の集合を使うことで一般化できる。
一度の操作で曲線の特異点を解消するもう一つの方法は曲線の関数体の付値環たちの空間を取る方法である。この空間から元の曲線と双有理な非特異射影曲線を作れる。
Kollár (2007, example 3.4.4, page 121) において、十分によい解消手順は直積操作と交換できることを期待できないことがわかる次の例が示されている。f : A→B を3次元アフィン空間における2次の円錐 B の原点でのブローアップとする。このとき、f × f : A×A→B×B はエタール局所的な解消手順から得ることはできない。これは、本質的にはこの例外軌跡が2つの交叉する成分を持つことによる。
一般に、n を代数多様体の次元とすると、曲線におけるアルバネーゼの方法と同様の方法で任意の代数多様体の特異点を位数が n! 以下の特異点に簡素化できる。曲面については、これにより特異点が位数2の場合に帰着させることができ、これは具体的に取り扱うに十分なほど簡単になっている。