作用 (物理学)
作用原理はさらに一般化することができる。例えば、作用は非局所作用(英語版)(英: nonlocal actions)を考慮すれば積分である必要はない。配位空間は、非可換幾何のような決まった特徴を持った関数空間である必要もない。しかし、これらの数学的な拡張に対して、実験に基づく物理的基礎は未だ確立されていない。
系が辿る実際の時間発展の経路は、作用の停留点(通常は最小点)に対応する。作用の停留点は作用積分に対する変分により与えられる。
作用には異なるいくつかの定義があり、それらは物理学で一般的に使われている。 よく使われる作用の定義は、ラグランジアンの時間積分として与えられる。しかし、場の作用に対しては、ラグランジアンではなくラグランジアン密度に対する積分として定義され、空間と時間の両方の積分として定義される。いくつかの特別な場合において、作用は時間をパラメターとした系の辿る経路に沿った積分に置き換えられる。例えば粒子系の時間発展に関して、作用積分はそれぞれの粒子が辿る経路に束縛されるため、作用積分は時間をパラメターとする粒子の軌跡の積分となる。
典型的な作用は、初期時刻 ti と終端時刻 tf の間で系が辿る経路に沿った時間積分として表現されるものである。
S = ∫ t i t f L d t {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{t_{\mathrm {i} }}^{t_{\mathrm {f} }}L\,\mathrm {d} t}
右辺の被積分関数 L はラグランジアンと呼ばれる。作用積分が well-defined であるためには、ラグランジアンに与えられる軌跡は時間と空間の両方について有界である必要がある。
全エネルギー E が保存される場合、ハミルトン・ヤコビ方程式は、一般化座標の関数と時間の関数の和の形に変数分離することができる。
S ( q 1 , ... , q N , t ) = W ( q 1 , ... , q N ) − E ⋅ t {\displaystyle S(q_{1},\dots ,q_{N},t)=W(q_{1},\dots ,q_{N})-E\cdot t}
時間に依存しない関数 W(q1, q2 ..., qN) をハミルトンの特性関数(ハミルトンのとくせいかんすう、英: Hamilton's characteristic function)と呼ぶ。
特性関数の物理的重要性は、時間に関する全微分から明らかにされる。
d W d t = ∂ W ∂ q i q ̇ i = p i q ̇ i {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=p_{i}{\dot {q}}_{i}}
特性関数の全微分を改めて積分すると
W ( q 1 , ... , q N ) = ∫ p i q ̇ i d t = ∫ p i d q i {\displaystyle W(q_{1},\dots ,q_{N})=\int p_{i}{\dot {q}}_{i}\,\mathrm {d} t=\int p_{i}\,\mathrm {d} q_{i}}
となり、特性関数が定数を除き簡約された作用に一致することが分かる。