ラマヌジャンのタウ函数
f はウェイト k の integer newform でありフーリエ係数 a(n) は整数であるとする.次の問題を考える: f が虚数乗法をもたないとき,ほとんどすべての素数 p は a ( p ) ≠ 0 mod p {\displaystyle a(p)\neq 0{\bmod {p}}} という性質を持つことを証明せよ.実際,多くの素数はこの性質を持たなければならず,したがってそれらは ordinary と呼ばれる.ドリーニュとセールによってガロワ表現について大きな進展があり,p と互いに素な n に対して a(n) mod p が決定されたが,a(p) mod p の計算方法の手掛かりは得られていない.この点での唯一の定理はエルキースのモジュラー楕円曲線に対する有名な結果であり,それは確かに無限個の素数 p に対して a(p) = 0 でありしたがって 0 mod p であることを保証する.無限個の素数 p に対して a(p) ≠ 0 mod p なるウェイト > 2 の虚数乗法を持たない f の例は知られていない(ほとんどすべての p に対しては正しいのであるが).