射影幾何学
射影幾何の公理化として、ある種の三項関係を仮定するものがある。三項関係 [ABC] は、(必ずしも異なるとは限らない)三点 A, B, C が共線である(同一直線上にある)ことを意味するものとなるように、次のような公理化を考えることができる。
C0: 任意の A, B に対して [ABA] が成り立つ。
C1: 二点 A, B が [ABC] および [ABD] を満たすならば [BDC] が成り立つ。
C2: 任意の二点 A, B に対して第三点 C で [ABC] を満たすものが存在する。
C3: 任意の二点 A, C と別の二点 B, D で [BCE] および [ADE] は満たすが [ABE] は満たさないとき、さらに別の点 F で [ACF] および [BDF] を満たすものが存在する。
相異なる二点 A, B が与えられれば、[ABC] を満たす点 C の全体として、直線 AB が定義される。公理 C0 および C1 からホワイトヘッドの公理 G2 が得られ、同様に公理 C2 から公理 G1 が、公理 C3 から公理 G3 が導ける。
このような仕方で捉えた直線の概念は平面やより高次元の部分空間の概念に一般化することができる。つまり部分空間 AB.
射影幾何学は円錐曲線の理論(これはユークリッド幾何学の範疇で既に非常によく調べられている)を全て含む。射影幾何で考えることの明らかな優位性としては、双曲線と楕円の区別を、双曲線は無限遠直線と交わるということのみで判断できるということ、そして放物線は無限遠直線に接するということで他と区別できることが挙げられる。円全体の成す族は複素座標を考えるだけで「無限円直線上の二点を通る円錐曲線」として見ることができる。座標というのは「総合幾何学」的ではないから、代わりに直線とその上の二点を固定して、研究の基本対象としてそれらに点を通る円錐曲線全体の成す「線型系」を考える。この手法は才能ある幾何学者にとって非常に魅力的であり、この分野はとことん調べつくされている。このような手法の例として、ベイカーによる複数巻に及ぶ論文がある。
様々な射影幾何が存在するが、それらは「離散」と「連続」の二つに大別することができる。離散射影幾何では、それが含む点の集合が「有限」の場合も無限の場合もありうるが、連続射影幾何には必ず無限に多くの点が隙間無く含まれていなければならない。
次元が 0 の射影幾何はただ一点のみからなり、次元 1 の射影幾何は少なくとも三点を含むただ一つの直線からなる。算術的演算の幾何学的構成からこれらの場合を導くことはできない。二次元の場合、デザルグの定理が成り立たないことで豊かな構造が存在する。