割り箸 (手遊びゲーム)
割り箸の状態は4桁のコード[ABCD]で簡略的に表すことができる。AとBはターンプレイヤーの手(広げられた指の数の昇順)を表し、CとDはターンプレイヤーでないプレイヤーの手(広げられた指の数の昇順)を表す。単一で他と異なる状態が、誤って2つのコードで表されることがないように、各プレイヤーの手を指の昇順で表記することが重要である。例えば、[1032]というコードは許されず、[0123]と表記する必要がある。 それゆえ、公式ルール「ロールオーバー」においては、スタートの状態は[1111]であり、その次の状態は[1211]となる。また、[1211]の次の状態は[1212]か[1312]となる。各状態を4桁の数として扱う場合、最小の状態は[0000]であり、最大の状態は[4444]である。
この略記方法はより多くのプレイヤーがいるゲームに対しても容易に拡張できる。3人のプレイヤーがいるゲームでは、6桁の数によって表され(例. [111211])、左端から2桁ずつの数字の各ペアは、プレイヤー1人ずつを表し、各ペアはプレイヤーがいつ自分のターンを行うかに基づいて並べられている。左端のペアはまさに今ターンを行おうとしているプレイヤーの手を表し、中央のペアはその次にターンを行うプレイヤーの手を表す、などである。右端のペアは自分のターンが来るまでに最も待たなければならないプレイヤーの手を表す(通常、そのプレイヤーはターンを行ったばかりであるため)。
ロールオーバー量が1のゲームでは、値が1の手は値が0の手(すなわち死んだ手)になり、全ての手が開始時点で死ぬことになるため、これはとるに足らないゲームである。プレイヤーが1人以下でのゲームはゲームではなく、パズルやセルオートマトンである。
ロールオーバー量が2のゲームは、分割を行えず、ロールオーバーとカットオフルールが同じゲームとなるため、縮退している。また、手への攻撃はそのまま相手の手を殺すことになるため、プレイヤーが相手を攻撃したとき、相手のもつ生きている手の数は1つ減少する。ゲームにおける到達可能な状態は
p = 2 {\displaystyle p=2} のとき 2 h {\displaystyle 2h} 個
p ≥ 3 {\displaystyle p\geq 3} のとき ∑ k = 2 p h k ( p k ) {\displaystyle \sum _{k=2}^{p}h^{k}{p \choose k}} 個
存在する。また、 p = 2 {\displaystyle p=2} のとき、ゲームの長さは p h − 1 {\displaystyle ph-1} である。プレイヤー2人のゲーム(すなわち p = 2 {\displaystyle p=2} )では、任意の h {\displaystyle h} に対して先攻が勝利する、と強解決されている。この縮退したケースを「切り株」ルールを採用してプレイすると、「半分」ルールを採用した上で、ロールオーバー量が4、かつ各プレイヤーが全ての手で2本の指を広げた状態からスタートするようなゲームと等価なゲームとなる。