ポアンカレ・ベンディクソンの定理
この単調点列の結論として、一般的に ω(x) と Σ との交点は η ∈ ω(x) のみであることが補題として証明される。主張の逆を取って η1 ≠ η2 かつ η1, η2 ∈ ω(x) という2点の存在を仮定すると、単調点列との矛盾が導かれ、背理法により主張が正しいことが確かめられる。
次に、ω(x) 上の任意の点 η の極限集合 ω(η) が ω(x)と一致することを証明する。これも背理法で考える。主張の逆が成立すると、差集合 ω(x) ∖ ω(η) が存在することになる。この前提と、極限集合は閉で有界な軌道の極限集合は連結である性質を利用して議論すると、ω(x) 上のある点で横断線と複数交わるという、上記の補題と矛盾した結論が得られる。
最後に、η から出発する軌道 O+(η) が周期軌道であることを証明する。η ∈ ω(x) = ω(η) であるので、O+(η) はある無限点列 で η 自身に収束する。η の近傍 V に含まれる点列上の1点 φ(tk, η) をとると、ある時間 τk 経過後に Σ を通過する。よって、φ(tk + τk, η) が Σ と交わるわけだが、極限集合は不変であるという性質から φ(tk + τk, η) は O+(η) 上の点であると同時に ω(x) の上の点でもある。上記の補題より Σ 上でω(x) と交わるのは1点でなければならないので、φ(tk + τk, η) = η が満たされるので、O(η) は tk + τk を周期とする周期軌道である。よって O(η) = ω(η) = ω(x) は周期軌道である。(証明終わり)
M が高次元の場合への拡張もいくつか調べられている。しかし、R の境界上の全てのベクトルが内側を向いているような有界領域に平衡点または周期軌道のいずれかが必ず存在するか、といったような疑問は未決である。
一般化の方向性として、ポアンカレ・ベンディクソンの定理を時間 T が正の向きのみに限られるような力学系、すなわち T = R+ = [0, ∞) で定義される流れ φ(t, x0): R+ × M → M で考えることもある。このような φ は半流や半力学系と呼ばれ、過去の方向に解けない非可逆過程を記述する非線形偏微分方程式で重要となる。ポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明過程では T = R = (−∞, ∞) で解が一意に存在することが前提としており、半流の場合への拡張は単純にはいかない。横断線(横断弧)の半流用の拡張や、R または S 上の半流について x ∈ ω(x) ならば x は平衡点または周期点であることの証明などが得られている。
ポアンカレとベンディクソンの議論では極限集合が平衡点を無限に含む場合を想定していなかったが、平衡点を無限に含む極限集合についてポアンカレ・ベンディクソンの定理を一般化することも調べられている。
よって以下では O+(x) は周期軌道ではないとする。
この η は極限点なので、その定義より η に収束する無限点列が選び出せる。よって、O+(x) は U を無限回通過し、Σ を通過した後には再び U に戻って来て Σ を通過しなければならない。O+(x) が Σ を通過するときの1つの交点を ζ1 とし、次に Σ を通過する交点を ζ2 とする。このとき、平面上には線分 ζ1ζ2 と O+(x) に沿って ζ1 から ζ2 まで引かれる弧 γ で構成される閉曲線ができる。この閉曲線を Γ とする。ジョルダンの閉曲線定理からR は Γ の内側の領域 Gi と Γ の外側の領域 Go に分けられる。上述のように、この定理が平面では成立するという点が、ポアンカレ・ベンディクソンの定理の成立の本質的理由といえる。
Σ の性質より、線分 ζ1ζ2 を通過する軌道は全て Gi から Go へ向かうか、全て Go から Gi へ向かうかのどちらかとなる。また、微分方程式の解の一意性から γ を横切る軌道は存在しない。どちらの場合でも同じように議論できるが、以下では線分 ζ1ζ2 を通過する軌道は Go から Gi へ向かうとする。すると、全ての t > 0 について φ(t, ζ2) ∈ Gi である。よって、ζ2 の次に O+(x) が Σ に交わる交点を ζ3 とすれば、ζ3 は ζ2 を境にしてζ1 の反対側に存在する。一般化すると、これは tn−1 < tn < tn+1 であれば、Σ 上で φ(tn, x) は常に φ(tn−1, x) と φ(tn+1, x) の間にあることを意味し、このことを点列が Σ に沿って単調と言ったり、単調点列で Σ に交わると言ったりする。