ラマヌジャンの合同式
ラマヌジャンの合同式の証明の代表的な方法の一つは、母関数の議論に基づくものである。ラマヌジャン自身も1919年の論文で、5と7を法としたときの合同式の証明に母関数の方法を用いた。次の2つの式は、p(5n+4)と p(7n+5) の母関数の表示を直接与えている。
∑ n = 0 ∞ p ( 5 n + 4 ) q n = 5 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q 5 n ) 5 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) 6 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p(5n+4)q^{n}}=5{\frac {\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{5n})^{5}}}{\prod _{n=1}^{\infty }{(1-q^{n})^{6}}}}}
4=4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1のように、正の整数 n をいくつかの正の整数の和として表すことを整数分割という。分割の仕方の総数を分割数といい、p(n) と表す。例えば、p(4)=5である。分割数 p(n) は n が5m+4, 7m+5, 11m+6 (m=0,1,2,..) であるとき、それぞれ、5, 7, 11で割り切れる。すなわち、
p ( 5 m + 4 ) ≡ 0 ( mod 5 ) {\displaystyle p(5m+4)\equiv 0{\pmod {5}}}
p ( 7 m + 5 ) ≡ 0 ( mod 7 ) {\displaystyle p(7m+5)\equiv 0{\pmod {7}}}
p ( 11 m + 6 ) ≡ 0 ( mod 11 ) {\displaystyle p(11m+6)\equiv 0{\pmod {11}}}
が成り立つ。これらの関係式をラマヌジャンの合同式という。
イギリスの数学者で少佐でもあるパーシー・アレクサンダー・マクマホン(英語版)は n=200 までの分割数 p(n) を計算し、その表を作成した。