斉次座標環
V は多様体 (variety) と仮定されているから既約代数的集合であるから、イデアル I は素イデアルであるように選べて、R は整域である。同じ定義は一般の斉次イデアルに対して使えるが、このとき得られる座標環は 0 でない冪零元や他の零因子を含むかもしれない。スキーム論の観点から、これらのケースを Proj construction の手段によって同じ足場の上で扱うことができる。
斉次イデアル I と多様体の間の対応はすべての Xi で生成されたイデアル J を含まないイデアルに対して全単射である。すべての斉次座標が射影空間のある点で消えることができるわけではないから J は空集合に対応する。この対応はヒルベルトの零点定理として知られている。
ホモロジー代数の手法の代数幾何学への応用において、多項式環上の次数加群と考えて R の自由分解を適用することは(現代の用語は異なるが)ヒルベルト以来の伝統である。これはsyzygy(英語版)、すなわちイデアル I の生成元の間の関係についての情報をもたらす。古典的な観点では、そのような生成元は単に V を定義するために書き下す方程式である。V が超曲面であれば 1 つの方程式だけが必要で、完全交叉(英語版) (complete intersection) に対しては方程式の数を余次元にとれる。しかし一般の射影多様体はそんなに透明な定義方程式集合をもたない。例えば標準曲線やアーベル多様体を定義する方程式(英語版)の、詳細な研究はこれらのケースを扱う系統的な技術の幾何学的な興味を示す。主題はまた古典的な形式での除去理論(英語版)からも出る。そこでは I を法とした還元がアルゴリズム的過程になることになっている(今では実際的応用でグレブナー基底によって扱われる)。
一般的な理由のために K[X0, X1, X2, ..., XN] 上の次数加群としての R の自由分解が存在する。分解が極小 (minimal) であるとは、分解における自由加群の各加群の射
φ:Fi → Fi − 1
における像が JFi − 1 にあるということである。