モーレー・カルタンの微分形式
Maurer–Cartan 形式はカルタンの動標構の理論で重要な役割を果している。この場合には、Maurer–Cartan 形式を G の閉部分群に関する等質空間上の 1次微分形式と見なすことになる。つまり、H が G の閉部分群であるとき、G は商空間 G/H 上の H-主束と見なすことができる。このとき Maurer–Cartan 形式はカルタン接続の条件を満たしている。Maurer–Cartan 方程式はこのカルタン接続の曲率が消えていることを表している。主束の接続の言葉に直すと、これは G/H 上の G-主束 G ×H G 上に誘導される接続形式
T [ g , k ] G × H G → g , [ R g X , L k Y ] ↦ X + Y {\displaystyle T_{[g,k]}G\times _{H}G\rightarrow {\mathfrak {g}},[R_{g}X,L_{k}Y]\mapsto X+Y}
の曲率が 0 であるということになる。
動標構の理論で考察される対象の一つに、等質空間 G/H の (局所的な) 構造がある。多様体 M の開集合 U 上で写像 sU: U → G が、V 上で sV: V → G が定義され、それらの共通部分上ではある H の元 hU V によって