リミットサイクル
実数直線 R 上の1次元自律系の微分方程式系では、周期解は存在し得ない。2次元自律系あるいは1次元非自律系以上から周期解が現れるようになる。また、リミットサイクルは非線形の系のみで起こる現象である。線形の系ではリミットサイクルは起こらない。
流れに沿って相空間の体積が変化しない系を保存系と呼び、体積が零に漸近する系を散逸系と呼ぶ。散逸系の場合にリミットサイクルが存在する。周期軌道が散逸系で存在する場合、それらの周期軌道の大抵はリミットサイクルであると推定される。系が勾配系である場合も、リミットサイクルは存在しない。
以下、変数の時間微分 d/dt を変数の上部に · を付けて表す(ニュートンの記法)。もし、系を2次元自律系
x ̇ = f ( x , y ) , y ̇ = g ( x , y ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,\ y),\\{\dot {y}}&=g(x,\ y)\end{aligned}}}
に限定すれば、閉軌道およびリミットサイクルの有無が判別できる定理がいくつかある。ポアンカレ・ベンディクソンの定理により、平衡点を含まない有界な軌道の極限集合は閉軌道である。
言い換えると、d(φ(t, X0), C) を点 φ (t, X0) と集合 C の内の φ (t, X0) に最も近い点のあいだの距離として定義するとき、
lim t → ∞ d ( φ ( t , X 0 ) , C ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }d(\phi (t,X_{0}),C)=0}
または
lim t → − ∞ d ( φ ( t , X 0 ) , C ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to -\infty }d(\phi (t,X_{0}),C)=0}
となる C と X0 ∉ C が存在するとき、C はリミットサイクルと呼ばれる。
リミットサイクル型の振動を示す系をリミットサイクル振動子などとも呼ぶ。「リミット」は極限集合を意味し、リミットサイクルは極限閉軌道、極限周期軌道、極限サイクルなどとも呼ばれる。極限集合とは軌道が収束する先を意味し、とくに収束先が1点である場合だけでなく閉軌道のような例も含めて定義したものである。
極限集合には t → ∞ 方向の ω 極限集合と t → −∞ 方向の α 極限集合の2つがある。極限集合を用いてリミットサイクルを定義すると次のようになる。ある初期値 X0 の軌道は閉軌道ではないとする。