単体的ホモロジー
直接、計算することで∂ = 0を示すことができる。幾何学的に言えば、これは何かの境界には境界がないことを意味する。これはアーベル群
( C k , ∂ k ) {\displaystyle (C_{k},\partial _{k})}
が鎖複体を形成すると言うのと同じことであり、また、別の言い方をして、B kはZ kの中に含まれるとも表現できる。
例を挙げる。四面体を考え、その頂点にw,x,y,zという順序を与える。定義上、その境界はxyz-wyz + wxz-wxyで与えられる。境界の境界は次の式で与えられ、(yz-xz + xy)-(yz-wz + wy)+(xz-wz + wx)-(xy-wy + wx)実際に計算すると0になる((yz-xz + xy)-(yz-wz + wy)+(xz-wz + wx)-(xy-wy + wx)=0)。