応答関数
入力と出力の関係が線形性を持つなら、すなわち重ね合わせができるなら、任意の入力に対する出力は応答関数を用いて表すことができる。これを線形応答理論と呼ぶ。
インパルス応答関数 φ(t)がわかっているとき、入力 x(t) に対する出力 y(t) は次の畳み込みで表せる。
y ( t ) = ∫ − ∞ t φ ( t − s ) x ( s ) d s {\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}\phi (t-s)x(s)ds}
ステップ応答関数 ψ(t) の場合は、右辺が
∫ − ∞ t ψ ( t − s ) d x d s d s {\displaystyle \int _{-\infty }^{t}\psi (t-s){\frac {dx}{ds}}ds}
となる。
周波数応答関数を Φ(ω) (一般に複素数)、入力 x のフーリエ変換を X(ω) とすると、出力のフーリエ変換は
Y ( ω ) = Φ ( ω ) X ( ω ) {\displaystyle Y(\omega )=\Phi (\omega )X(\omega )}
となる。