多重集合
( μ X = ) ∑ λ ∈ Λ μ A λ ≡ 1 {\displaystyle (\mu _{X}=)\sum _{\lambda \in \Lambda }\mu _{A_{\lambda }}\equiv 1}
となるように帰属率函数に制限を加えて考えることも多い。
各種問題の研究と解法に応じて様々に異なる多重集合の一般化が存在する:
Fuzzy multisets
Rough multisets
Real-valued multisets (in which multiplicity of an element can be any real number)
Hybrid sets
where multiplicity is any real-valued step function
Soft multisets
Soft fuzzy multisets
Named set (unification of all generalizations of sets)
多重集合は様々な応用を持つ。多重集合はそのより高度な厳密さが希求されたことの結果として、組合せ論における主要な構造となり、現代組合せ論は集合ではなく多重集合に対する理論として発展した。多重集合はデータベースにおいて重要な道具となった。例えば多重集合はデータベースシステムにおける重要な関係としてしばしば用いられる。多重集合は計算機科学においても重要な役割を務める。
他にも応用はある。例えば、リチャード・ラド(英語版)は多重集合を集合族の性質を調べる仕掛けとして用いた。ラドは「集合の概念はその各元がいくつ現れるかを考慮しないものだが、そうは言ってもこの手の情報はたびたび重要になる。多項式 f(x) の根全体の成す集合とか線型作用素のスペクトルとかを考えるだけでもそれは分かるだろう。」と書いている。
1 2 3 Knuth, Donald E. (1998). The Art of Computer Programming – Vol. 2: Seminumerical Algorithms (3rd edition ed.). Addison Wesley. pp. 694. ISBN 0201896842 クヌースは同書で、多重集合に対して提案された他の名前(例えば,リスト(list)、まとまり(bunch)、バッグ(bag)、堆積(heap)、標本(sample)、重みつき集合(weighted set)、コレクション(collection)、組(suite).など)も提示している。
1 2 Wayne D. Blizard (1991). “The development of multiset theory”. The Review of Modern Logic 1 (4): 319-352. https://projecteuclid.org/journals/modern-logic/volume-1/issue-4/The-development-of-multiset-theory/rml/1204834739.full 2022年2月12日閲覧。. 多重集合の歴史に関するサーベイ論文である。
↑ デーデキント; 河野伊三郎 (訳) (1967). 数について. 岩波書店. pp. 139. ISBN 4003392418
↑ Syropoulos, Apostolos (2001). C. S. Calude et al.. ed. “Mathematics of Multisets” (PDF).