時間依存ハートリー＝フォック方程式
以上において用いた変分方程式
δ ⟨ Ψ ( t ) | i ħ ∂ ∂ t − H ^ | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle \delta \left\langle \Psi (t)\left|i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}-{\hat {H}}\right|\Psi (t)\right\rangle }
が TDHF 方程式と呼ばれることもあるが、数値計算において変分方程式を解くのはあまり簡単ではないためか、しばしば別の方程式が用いられる。
A 個の粒子を含む系に対するハミルトニアン
H ^ = − ∑ i ħ 2 2 m ∇ i 2 + ∑ i ≠ j v ( r i , r j ) {\displaystyle {\hat {H}}=-\sum _{i}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i\neq j}v(\mathbf {r} _{i},\mathbf {r} _{j})}
とスレイター行列式(Λ は反対称化演算子)
Ψ ( r 1 , ⋯ , r A , t ) = Λ ∏ n = 1 A ψ n ( r n , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\cdots ,\mathbf {r} _{A},t)=\Lambda \prod _{n=1}^{A}\psi _{n}(\mathbf {r} _{n},t)}
を用いて、作用