状態密度
微視的構造に対して状態密度を計算すると、次元が減るにつれて電子の分布が変化することがわかる。特定のエネルギー領域において量子ワイヤー(英語版)の DOS は、バルク半導体の DOS に比べて実際に高くなり、量子ドットの DOS は特定のエネルギーに量子化される。
N n ( k ) = d Ω n ( k ) d k = n c n k ( n − 1 ) {\displaystyle N_{n}(k)={\frac {\mathrm {d} \Omega _{n}(k)}{\mathrm {d} k}}=n\,c_{n}\,k^{(n-1)}}
これを一次元、二次元、三次元の場合に明示的に書き下すと次のようになる。
N 1 ( k ) = 2 {\displaystyle N_{1}(k)=2}
N 2 ( k ) = 2 π k {\displaystyle N_{2}(k)=2\pi k}
N 3 ( k ) = 4 π k 2 {\displaystyle N_{3}(k)=4\pi k^{2}}
一つの状態は波長 λJ の粒子を含むことができる程度に大きい。波長と波数 k との間の関係式は以下のようになる。
k = 2 π λ {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}
長さ λ の量子系は粒子を閉じ込める系の大きさ L に依存する。最後に、状態密度 N に係数 s/Vk をかける。ここで、s はスピンや偏極などの物理現象に起因する内部自由度である。このような物理現象が無い場合は s=1 となる。Vk は波数空間上の、ある k よりも小さい波数ベクトルを全て含む体積である。