ヴィタリ集合
V の構成から、平行移動による集合 V k = V + q k = { v + q k : v ∈ V } {\displaystyle V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}} , k = 1, 2, ... はそれぞれ互いに交わらない。さらに、 [ 0 , 1 ] ⫅ ⨄ k V k ⫅ [ − 1 , 2 ] {\displaystyle [0,1]\subseteqq \biguplus _{k}V_{k}\subseteqq [-1,2]} である。ここで、ルベーグ測度のσ-加法性を使うと:
1 ≦ ∑ k = 1 ∞ λ ( V k ) ≦ 3. {\displaystyle 1\leqq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leqq 3.}
である。ルベーグ測度は平行移動について不変なので λ ( V k ) = λ ( V ) {\displaystyle \lambda (V_{k})=\lambda (V)} である。ゆえに、
1 ≦ ∑ k = 1 ∞ λ ( V ) ≦ 3. {\displaystyle 1\leqq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leqq 3.}
であるが、これは不可能である。一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。すなわち V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない。