エルンスト方程式
エルンスト方程式は完全可積分であり、ラックス表現を持つことやパンルヴェ性が示されている。特に、エルンストポテンシャル E = f + i b {\displaystyle {\mathcal {E}}=f+ib} から
J = 1 f ( 1 − b − b f 2 + b 2 ) {\displaystyle J={\frac {1}{f}}{\begin{pmatrix}1&-b\\-b&f^{2}+b^{2}\end{pmatrix}}}
という行列を導入するとき、エルンスト方程式はヤン方程式
∂ ρ ( ρ ( ∂ ρ ) J − 1 ) + ∂ z ( ρ ( ∂ z J ) J − 1 ) = 0 {\displaystyle \partial _{\rho }(\rho (\partial _{\rho })J^{-1})+\partial _{z}(\rho (\partial _{z}J)J^{-1})=0}
に書き換えられることから、エルンスト方程式は S L ( 2 , R ) {\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )} -シグマ模型と等価である。