ハイゼンベルク描像
シュレーディンガー描像において、ˆA を可観測量である(線形なエルミート演算子である)とすると、ˆA のある状態 |ψ⟩ における期待値は下のように求められる。
⟨ A ^ ⟩ t = ⟨ ψ ( t ) | A ^ | ψ ( t ) ⟩ . {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{t}=\langle \psi (t)|{\hat {A}}|\psi (t)\rangle .}
また、シュレーディンガー方程式の形式解
| ψ ( t ) ⟩ = e − i H ^ t / ħ | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle }
を用いれば、物理量の期待値は、
⟨ A ^ ⟩ t = ⟨ ψ ( 0 ) | e i H ^ t / ħ A ^ e − i H ^ t / ħ | ψ ( 0 ) ⟩ . {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle .}
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\hat {A}}(t)&={\frac {i}{\hbar }}He^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }+\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)_{\text{classical}}+{\frac {i}{\hbar }}e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}(-{\hat {H}})e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\\&={\frac {i}{\hbar }}e^{i{\hat {H}}t/\hbar }({\hat {H}}{\hat {A}}-{\hat {A}}{\hat {H}})e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }+\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)_{\text{classical}}\\&={\frac {i}{\hbar }}({\hat {H}}{\hat {A}}(t)-{\hat {A}}(t){\hat {H}})+\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)_{\text{classical}}\\&={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}(t)]+\left({\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right)_{\text{classical}}.\end{aligned}}}