ネーター環
可換環 A の素イデアル P に対して、真の減少列
P = P 0 ⊋ P 1 ⊋ ⋯ ⊋ P r {\displaystyle P=P_{0}\supsetneq P_{1}\supsetneq \cdots \supsetneq P_{r}}
の長さを r と定める。P で始まる素イデアルの真の減少列の長さの最大値を P の高さ (height) といい、ht P で表す。また、A の素とは限らないイデアル I に対しては、その高さ ht I を I を含む素イデアルの高さの最小値と定める。A がネーター環であるならば、クルルの主イデアル定理 (Krull's principal ideal theorem)によって任意の素イデアルの高さは有限である。ネーター環 A のクルル次元(Krull dimension)を、P が A の素イデアル全体を動くときの ht P の最大値と定義する。ネーター環の次元は、A の素イデアルの真の上昇列の長さ(これは、ネーター環の定義から有限)の最大値と一致する。ネーター環のクルル次元は常に有限になるとは限らない。
R を関係 yx = y = 0 をもった元 x と y で生成される Z-代数とすると、これは左ネーター環だが右ネーター環でない。証明。 R = Z [ x ] ⊕ Z [ x ] y {\displaystyle R=\mathbb {Z} [x]\oplus \mathbb {Z} [x]y} と直和分解し、 Z [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x]} は部分環であるがヒルベルトの基底定理(後述)よりネーター環なので、R はネーター環 Z [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x]} 上左加群として有限生成なのでネーター加群、したがって R 上でもネーター加群、すなわち左ネーター環である。また、仮に R が右ネーター環であるとすると、R のイデアル I = Z [ x ] y {\displaystyle I=\mathbb {Z} [x]y} は有限生成右 R 加群であり、x と y は I に右から自明に作用するので、 I は有限生成アーベル群となる。これは
I = Z y ⊕ Z x y ⊕ Z x 2 y ⊕ ⋯ {\displaystyle I=\mathbb {Z} y\oplus \mathbb {Z} xy\oplus \mathbb {Z} x^{2}y\oplus \dotsb }
に矛盾する。したがって R は右ネーター環でない。