運動論的方程式
時刻 t に (x, v) にあった粒子は時刻 t + dt には (x′, v′) に移る。ここで x′ = x + vdt, v′ = v + (F/m)dt、そして微小体積要素 dxdv は dx′dv′ へ移行する。
粒子間の衝突がない場合は、粒子とともに動く体積要素内の粒子数は変化しないので、f(x′, v′, t + dt)dx′dv′ − f(x, v, t)dxdv = 0 が成り立つ。すなわち、
f ( x + v d t , v + F m d t , t + d t ) d x ′ d v ′ − f ( x , v , t ) d x d v = 0 {\displaystyle f({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {v}}\mathrm {d} t,{\boldsymbol {v}}+{\frac {\boldsymbol {F}}{m}}\mathrm {d} t,t+\mathrm {d} t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x'}}\,\mathrm {d} {\boldsymbol {v'}}-f({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}},t)\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\,\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}=0}