カオス理論
カオスの特徴は、平衡点に収束するわけでもなく、周期的軌道に漸近するわけでもなく、非周期的な軌道を取る点である。カオスが認識されるようになる以前は、非周期的な運動が発生するには、発生させる系自体も複雑なものだろうと考えられていたが、非常に簡単な決定論的な法則(力学系)からでも非周期運動が発生する点がカオスの特徴である。平衡点収束と周期的軌道以外にも力学系では準周期的軌道と呼ばれる軌道も存在し、非常に複雑で不規則的な軌道を取るが、初期値鋭敏性を持たないことからカオスには分類されない。カオスが非周期軌道を取ることの特性は非周期性(nonperiodicity)などと呼ばれる。非周期的であるかどうかは、パワースペクトルが幅のある連続的スペクトルを示すかどうかなどで評価される。
カオス理論誕生以前にも、カオスの性質の1つである初期値鋭敏性の存在について既に指摘されていた。ジェームズ・クラーク・マクスウェルが、1877年の著書「物質と運動」の冒頭中で、『「同じ原因は常に同じ結果を生み出す」という、よく引用される原則がある。もう一つの原則として、「似た原因は似た結果を生む」というものがある。多くの物理現象はこれを満たすような状態にあるが、小さな初期状態の違いがシステムの最終状態に非常に大きな変化をもたらす場合もある』と述べている。さらにマクスウェルは、続く注記の中で『気象現象は局所的な不安定性の限りない集まりに起因するような現象かもしれず、1つの有限な法則体系に全く従わないような現象かもしれない』と述べており、後にローレンツが指摘するような気象現象の不安定性を指摘している。
19世紀における一般的な非線形微分方程式の解法手法は、ウィリアム・ローワン・ハミルトン等の成果に代表される積分法(積分、代数変換の有限回の組み合わせ)による求解と、微小なずれを補正する摂動法である。この積分法による解が得られる系を、ジョゼフ・リウヴィルは可積分系と呼んだ。その条件は、保存量の数が方程式の数(自由度)と一致することであった。
カオス理論の始まりともされる系統的研究の最初のものとしては、アンリ・ポアンカレによる仕事が挙げられる。1880年代、ポアンカレは、三体問題の研究において、非周期的で、増加し続けないまたは固定点へ到達しない軌道があり得ることを発見した。1892年から1899年、ポアンカレは、三体問題では保存量が不足し積分法による解析解が得られないこと(ポアンカレの定理)を証明した(このような系を非可積分系と呼ぶ)。
二次方程式を用いた写像
X n + 1 = a X n ( 1 − X n ) : 0 ≤ a ≤ 4 , 0 ≤ X 0 ≤ 1 {\displaystyle X_{n+1}=aX_{n}(1-X_{n}):0\leq a\leq 4,\ 0\leq X_{0}\leq 1}
をロジスティック写像と呼ぶ。もともとロジスティック方程式という連続時間の微分方程式として、19世紀から知られていたが、写像として時間を離散的にすることで、極めて複雑な振舞いをすることが1976年、ロバート・メイによって明らかにされた。
ロジスティック写像は生物の個体数が世代を重ねることでどのように変動していくのかのモデルとして説明される。ここで a {\displaystyle a} (下図の横軸)が繁殖率、 X n {\displaystyle X_{n}} (下図の縦軸)が n {\displaystyle n} 世代目の個体数を表している。
a ≤ 3 {\displaystyle a\leq 3} のとき、個体数 X n {\displaystyle X_{n}} はある一定の値に収束する。
3 < a ≤ 3.56995 {\displaystyle 3<a\leq 3.