フランク＝タムの公式
( d E d x ) b > a = − c a 2 ∫ − ∞ ∞ B 3 ( t ) E 1 ( t ) d t {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} x}}\right)_{b>a}=-{\frac {ca}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }B_{3}(t)E_{1}(t)\mathrm {d} t}
となる。これを周波数の積分に改めることで
( d E d x ) b > a = − c a ∗ Re ( ∫ 0 ∞ B 3 ∗ ( ω ) E 1 ( ω ) d ω ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} x}}\right)_{b>a}=-ca*{\text{Re}}\left(\int _{0}^{\infty }B_{3}^{*}(\omega )E_{1}(\omega )\mathrm {d} \omega \right)}
となり、周波数の積分にすることで、原子半径に比べて十分長い波長の放射のみを考えることができる。つまり、|λa| ≫ 1 という仮定によりベッセル関数を漸近的に
E 1 ( ω ) → i z e ω c 2 ( 2 π ) 1 / 2 { 1 − 1 β 2 ε ( ω ) } e − λ b λ b {\displaystyle E_{1}(\omega )\rightarrow {\frac {ize\omega }{c^{2}}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left\{1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right\}{\frac {e^{-\lambda b}}{\sqrt {\lambda b}}}}
E 1 ( ω ) = − i z e ω v 2 2 π { 1 ε ( ω ) − β 2 } ∫ − ∞ ∞ d k 2 e i b k 2 ( λ 2 + k 2 2 ) 1 / 2 {\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {ize\omega }{v^{2}{\sqrt {2\pi }}}}\left\{{\frac {1}{\varepsilon (\omega )-\beta ^{2}}}\right\}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} k_{2}{\frac {e^{ibk_{2}}}{(\lambda ^{2}+k_{2}^{2})^{1/2}}}}
となる。最後の積分の結果はベッセル関数により
E 1 ( ω ) = − i z e ω v 2 ( 2 π ) 1 / 2 { 1 ε ( ω ) − β 2 } K 0 ( λ b ) {\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {ize\omega }{v^{2}}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left\{{\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right\}K_{0}(\lambda b)}
と与えられる。他の電場成分も同様な計算によってできる。それらの結果を書くと以下のようになる。