楕円曲面
楕円曲面、もしくは楕円ファイバーの(位数m中心pの)対数変換は、ベース空間の点pでの多重度1のファイバーを多重度mのファイバーへ変換する。逆も可能なので、高い多重度のファイバーは多重度1へ全て変換することができ、全ての多重なファイバーを省くことができる。
対数変換は非常に荒々しく使うことができ、小平次元を変えたり、代数曲面を非代数曲面へ変換することもできる。
例: L を C の格子 Z+iZ とし、E を楕円曲線 C/L とすると、E×C から C への射影写像は、楕円ファイバーである。0 上のファイバーを多重度 2 のファイバーへどのように置き換えるかを示す。
(c,s) を (c+1/2, −s) へ写す位数 2 の E×C 上の自己同型が存在する。この群作用による E×C の商空間を X とする。(c,s) から s と写すことで X を C 上のファイバー空間とする。X から 0 上のファイバーを引いた空間から E×C から 0 上のファイバーを引いた空間へのファイバー構造を、(c,s) から (c-log(s)/2πi,s) により定義する。(0 上の 2つのファイバーは楕円曲線には同型ではないので、ファイバー空間 X は確かに C 上の全てでファイバー空間 E×C と同型ではない。
ファイバー空間 X は 0 上で多重度 2 のファイバーを持っていて、そうでないところでは E×C のように見える。このことを、X は 0 を中心とした E×C への位数 2 の対数変換を適用することによって得ることができるという。