量子状態
演算子形式では、物理量はエルミート演算子で表される。物理量 A {\displaystyle A\ } の測定値は測定ごとにバラつくが、得られる測定値はエルミート演算子 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}\ } の固有値 a 1 , a 2 , ... {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots } に限られると仮定する。そして、その確率分布 P ( a n ) {\displaystyle P(a_{n})} は定まっており、
P ( a ) = ‖ | a ⟩ ⟨ a | ψ ⟩ ‖ 2 = ⟨ a | ⟨ ψ | a ⟩ ⟨ a | ψ ⟩ | a ⟩ = | ⟨ a | ψ ⟩ | 2 = | ψ ( a ) | 2 {\displaystyle P(a)=\left\||a\rangle \langle a|\psi \rangle \right\|^{2}=\langle a|\langle \psi |a\rangle \langle a|\psi \rangle |a\rangle =|\langle a|\psi \rangle |^{2}=|\psi (a)|^{2}}
によって求められるとする(ボルンの規則)。
ただし、このベクトルのとり方については、上記の規格化条件さえ満たせばよく、 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } と e i θ | ψ ⟩ {\displaystyle e^{i\theta }|\psi \rangle } は、したがって一つの同じ純粋状態を表す。ここで、位相因子 e i θ {\displaystyle e^{i\theta }} はベクトル全体にかかっている限り物理的に意味を持たず、複数のベクトルの重ね合わせる際に位相差のみが意味を持つ。このような | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } を 状態ベクトル と呼ぶ。また特別に、ある物理量が確定値をとる状態を、固有状態といい、このとき状態ベクトルはその物理量(演算子)に対する固有ベクトルになっている。たとえば、状態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } がエネルギー固有値 E {\displaystyle E} のエネルギー固有状態(ハミルトニアン H {\displaystyle H} の固有ベクトル)であったときには、
H | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ {\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle }
と表す。