ゲルファント＝レヴィタン＝マルチェンコ方程式
散乱データ{r (k ), cj, κj (j=1,...,N)}から定まる関数
F ( x ) = ∑ j = 1 N c j 2 e − κ j x + 1 2 π ∫ − ∞ ∞ r ( k ) e i k x d k {\displaystyle F(x)=\sum _{j=1}^{N}c_{j}^{\,2}e^{-\kappa _{j}x}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\!r(k)e^{ikx}dk}
に対し、
K ( x , y ) + F ( x + y ) + ∫ x ∞ K ( x , z ) F ( z + y ) d z = 0 ( x < y ) {\displaystyle K(x,y)+F(x+y)+\int _{x}^{\infty }\!K(x,z)F(z+y)dz=0\quad (x<y)}
で与えられる積分方程式をゲルファント=レヴィタン=マルチェンコ方程式、またはGLM方程式という。
このとき、散乱データに対応するポテンシャルu(x)は
u ( x ) = − 2 d d x K ( x , x ) = − { ∂ ∂ x K ( x , y ) | y = x + ∂ ∂ y K ( x , y ) | y = x } {\displaystyle u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x)=-\left\{{\frac {\partial }{\partial x}}K(x,y){\bigr |}_{y=x}+{\frac {\partial }{\partial y}}K(x,y){\bigr |}_{y=x}\right\}}
によって、求まる。