カーライル円
このカーライル円を使って、点 (p1, 0) および 点 (p2, 0) を作図することができる。定義より、 p1 と p2 は以下の式を満たす
p1 = 2 cos(2π/5), p2 = 2 cos(4π/5).
これを使うことで P1, P2, P3, P4 を作図することができる。
カーライル円を使った正五角形の作図法の詳細は以下のとおりである。
中心 O の円 C を描く。この円はこれから書く五角形の外接円となる。
円の中心を通る直線を引く。これを水平線と呼ぶことにする。この直線と円 C の交点のひとつを B とおく。
O を通り、水平線に垂直な直線を引く。この直線と円 C の交点のひとつを A とおく。
OB の中点 M をとる。
M を中心とし A を通る円 D を描く。水平線と円の二つの交点のうち、円 C の内部にある点を W, 外部にある点を V とおく。
半径の長さが OA, 中心が W の円 E を描く。この円 E と 円 C の交点をとると、これが五角形の二つの頂点となる。(この操作では OW の垂直二等分線と円 C の交点を求めている)
半径の長さが OA, 中心が V の円 F を描く。この円 F と 円 C の交点をとると、これが五角形の二つの頂点となる。
残りのもうひとつの頂点は、水平線と円 C の交点として与えられる。