次数付き環
そのような環に対して、生成元を斉次にとることができる。
分解の任意の因子 A i {\displaystyle A_{i}} の元は次数 i の斉次元(homogeneous elements)と呼ばれる。 イデアルや他の部分集合 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} ⊂ A が斉次(せいじ、homogeneous)であるとは次を満たすことである。任意の元 a ∈ a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} に対して、すべての ai を斉次元として a=a1+a2+...+an であるときに、すべての ai が a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} の元である。与えられた a に対し、これらの斉次元は一意的に定義され、a の斉次部分(homogeneous parts)と呼ばれる。 I が A の斉次イデアルであれば、 A / I {\displaystyle A/I} も次数付き環であり、次の分解をもつ。
A / I = ⨁ i ∈ N 0 ( A i + I ) / I {\displaystyle A/I=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}(A_{i}+I)/I}
任意の(次数付きでない)環 A は A0 = A および i > 0 に対して Ai = 0 とすることによって次数付きにできる。これは A の自明な次数化(trivial gradation)と呼ばれる。
いくつかの次数付き環(または多元環)は反交換(英語版)構造をもつ。この概念は、次数化のモノイドの、2元からなる体 Z/2Z の加法的モノイドへの準同型を要求する。具体的には、signed monoid は対 (Γ, ε) からなる。ただし Γ はモノイドであり ε : Γ → Z/2Z は加法的モノイドの準同型である。反交換 Γ-次数環(anticommutative Γ-graded ring)は Γ によって次数付けされた環 A であって次を満たす。
すべての斉次元 x と y に対して、 x y = ( − 1 ) ε ( deg  x ) ε ( deg  y ) y x {\displaystyle xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x)\,\varepsilon (\deg y)}yx}