射影作用素
直線の上への直交射影の場合が最も簡単であろう。直線上の単位ベクトル u をとれば、当該の射影は
P u = u u ⊤ {\displaystyle P_{u}=uu^{\top }}
で与えられる。この作用素は u を変えないし、また u に直交する全てのベクトルを零化する。このことは、u を含むどんな直線の上への射影についても正しい。これを見るのに簡単な方法は、勝手なベクトル x を直線上の成分(つまり射影されたベクトルを考える)とそれに垂直な成分との和
x := x ∥ + x ⊥ {\displaystyle x:=x_{\parallel }+x_{\perp }}
と考えることである。これに射影を施せば、平行なベクトル同士の内積と垂直なベクトル同士の内積の性質から
P u x = u u ⊤ x ∥ + u u ⊤ x ⊥ = u | x ∥ | + u 0 = x ∥ {\displaystyle P_{u}x=uu^{\top }x_{\parallel }+uu^{\top }x_{\perp }=u|x_{\parallel }|+u0=x_{\parallel }}
を得る。
この等式は任意次元の部分空間の上への直交射影にも拡張することができる。u1, ..., uk を部分空間 U の正規直交基底とし、各列ベクトルが u1, ..., uk になっている k-次正方行列を A と書けば、所期の射影が
P A = A A ⊤ {\displaystyle P_{A}=AA^{\top }}