ガウス曲率
K = [ F z ( F x x F z − 2 F x F x z ) + F x 2 F z z ] [ F z ( F y y F z − 2 F y F y z ) + F y 2 F z z ] − [ F z ( − F x F y z + F x y F z − F x z F y ) + F x F y F z z ] 2 F z 2 ( F x 2 + F y 2 + F z 2 ) 2 {\displaystyle K={\frac {[F_{z}(F_{xx}F_{z}-2F_{x}F_{xz})+F_{x}^{2}F_{zz}][F_{z}(F_{yy}F_{z}-2F_{y}F_{yz})+F_{y}^{2}F_{zz}]-[F_{z}(-F_{x}F_{yz}+F_{xy}F_{z}-F_{xz}F_{y})+F_{x}F_{y}F_{zz}]^{2}}{F_{z}^{2}(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2})^{2}}}}
である。
ユークリッド計量と共形な計量を持つ曲面は、従って、F = 0 であり E = G = e である曲面のガウス曲率は、(Δ を通常のラプラス作用素として)
K = − 1 2 e σ Δ σ , {\displaystyle K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma ,}
と表すことができる。
ガウス曲率は、測地線円の周囲と平面内の円との極限での差異である。