ボゴリューボフ変換
b ^ i , n e w | θ ⟩ = U θ b ^ i U θ † | θ ⟩ = 0 {\displaystyle {\hat {b}}_{i,new}|\theta \rangle =U_{\theta }{\hat {b}}_{i}U_{\theta }^{\dagger }|\theta \rangle =0}
この基底状態をフォック状態を使って具体的に表すと、
| θ ⟩ = cos  θ exp  ( b ^ 1 † b ^ 2 † tan  θ ) | 0 ⟩ = cos  θ | 0 ⟩ + sin  θ | 1 ⟩ 1 ⊗ | 1 ⟩ 2 {\displaystyle |\theta \rangle =\cos \theta \exp({\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}^{\dagger }\tan \theta )|0\rangle =\cos \theta |0\rangle +\sin \theta |1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}}
ボース粒子のときと同様に粒子対が生成されているが、パウリの排他原理のため1つの粒子対しか生成されていない。
同じ振動数を持つ2つの調和振動子の系を考える。この系のハミルトニアンは次のように与えられる。
H ^ = H ^ 1 + H ^ 2 H ^ i = p ^ i 2 2 m + ω 2 x ^ i 2 2 = ħ ω ( a ^ i † a ^ i + 1 ) ( i = 1 , 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {H}}_{1}+{\hat {H}}_{2}\\{\hat {H}}_{i}&={\frac {{\hat {p}}_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {\omega ^{2}{\hat {x}}_{i}^{2}}{2}}=\hbar \omega ({\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}+1)\quad (i=1,2)\end{aligned}}}
この系の基底状態(真空状態)は、それぞれの調和振動子の基底状態の直積で与えられる(フォック状態)。
| 0 ⟩ = | 0 ⟩ 1 ⊗ | 0 ⟩ 2 {\displaystyle |0\rangle =|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}}
ここで次のユニタリー演算子 U θ {\displaystyle U_{\theta }} を導入する。
スクイーズ変換のことをボゴリューボフ変換と呼ぶ場合もあるため、注意が必要である。