体上の多元環
体 K 上の非結合代数あるいは分配多元環とは、K-線型空間 A とその上の K-双線型写像 A × A → A の組を言う。ここで「非結合的」というのは、結合性を仮定しないという意味であって、結合的であることを排除しない。即ち、「非可換」が「必ずしも可換でない」の意味であるのと同様に、ここでの非結合的」は「必ずしも結合的でない」の意味である。
以下、個別の項目において詳述する:
八元数環
リー代数
ジョルダン代数(英語版)
交代代数
柔軟代数(英語版)
冪結合多元環(英語版)
数学において体上の代数あるいは多元環(たげんかん、英: algebra)とは、双線型な乗法を備えた線型空間である(ゆえに「線型環」ともいう)。すなわちベクトル空間とその上の乗法と呼ばれる二項演算——つまり二つのベクトルから第三のベクトルを作り出す操作——とからなり、乗法がベクトル空間の構造と(分配律などの)適当な意味で両立するような代数的構造である。したがって、体上の多元環は、加法と乗法および体の元によるスカラー倍とを演算として備えた集合である。
定義における係数の体を可換環に取り換えることにより、体上の多元環の一般化として環上の多元環の概念を得ることもできる。
文献によっては、単に「多元環」(あるいは「代数」)と言えば単位的結合多元環を指すこともあるが、本項ではそのような制約は課さない。
複素数体上の二次元、三次元、および四次元の単型結合多元環(線型環)はエドゥアルト・シュトゥーディ(英語版)によって、同型を除く完全な分類が知られている。
二次元の多元環は二種類で、何れの多元環も単位元 1 ともう一つの元 a の二つの基底元の複素係数線型結合からなる。単位元の定義から
1 ⋅ 1 = 1 , 1 ⋅ a = a , a ⋅ 1 = a {\displaystyle 1\cdot 1=1,\quad 1\cdot a=a,\quad a\cdot 1=a}
は確定しているから、残るは a を特定すれば決まり、
a 2 = 1 {\displaystyle a^{2}=1}
a 2 = 0 {\displaystyle a^{2}=0}
の二種である。
三次元の多元環は五種類で、各多元環は単位元 1 とほかに a, b 二つの基底元の複素係数線型結合からなる。単位元の定義を勘案すれば、各々の多元環は以下のように特定できる。