領域理論
領域理論は、情報の状態の構造をモデル化する純粋に定性的なアプローチである。 より多くの情報を含むものについて語ることはできても、付け加えられた情報の量は示されない。 しかし、与えられた情報の状態よりも、ある意味ではるかに単純な(はるかに不完全な)要素について語りたい場合もある。
例えば、ある冪集合上に部分集合の包含の自然な順序を与えたとき、無限集合であるような任意のベキ集合の要素は、その任意の有限の部分集合よりも「有用」である。 こうした関係をモデル化しようとするなら、まず領域の順序 ≤ から導かれる狭義の順序 < (厳密に小さい)について考えるかもしれない。 しかし、これは全順序の場合には有用な記号であっても、半順序集合の場合には多くのことを教えてはくれない。 いま一度、集合の包含順序を考えると、ある(無限集合かもしれない)集合は、それに 1 要素のみを加えただけの別の集合よりもそれだけで厳密に小さくなる。 これが「はるかに単純な」ものであるという概念を捉えているとは同意しにくいだろう。
より手の込んだアプローチは、いわゆる近似の順序、あるいはより示唆的に way-below relation と呼ばれるものを定めることである(way below は「ずっと下の」の意)。 要素 x が要素 y よりも way below であるとは、上限 sup D をもつ有向集合 D 各々に対して、y ≤ sup D ならば、各 D 中に要素 d が存在し、x ≤ d となることである。 このとき、x は y を近似するとも言い、x ≪ y と書く。
この節では、領域理論の核心となる概念と定義を与える。 理論の数学的な定式化を意味づけるため、上に述べた、領域についての「情報の順序」という直観的解釈に重点を置くことにしよう。 正確な形式的定義は各概念を扱った文献で知ることができる。 また、一般的な順序理論の定義の一覧は order theory glossary にある。 しかし、領域理論の最も重要な概念は以下で導入される。