留数
解析函数 f(z) はその孤立特異点 z = a の周りでローラン展開
f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n ( z − a ) n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}}
を持つ。これは、γ を含み z = a を中心とする適当な円環領域上で一様収束するから、γ 上項別積分可能で
∮ γ f ( z ) d z = ∑ n = − ∞ ∞ a n ∮ γ ( z − a ) n d z {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z){\mathit {dz}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}\oint _{\gamma }(z-a)^{n}{\mathit {dz}}}
となるが、コーシーの積分定理によりほとんどの項は消えて
a − 1 = Res z = a f ( z ) {\displaystyle a_{-1}=\operatorname {Res} \limits _{z=a}\,f(z)}
となることがわかる。同様に、無限遠点 z = ∞ における留数は、g(ζ) := f(1/ζ) の ζ に関するローラン展開が
余接関数を使った関数 π cot(πz) は、全ての整数 n が1位の極であり、留数はいずれも 1 である(これらが特異点の全てである)。このことを利用して、
∑ n = − ∞ ∞ f ( n ) {\displaystyle \displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)}
のような無限和の計算ができる。
例えば f(z) = z ととる。N を整数とし、ΓN を正方形 [−N − 1/2, N + 1/2] × [−N − 1/2, N + 1/2] の周に反時計回りに向きを付けた閉路とする。
留数定理により、
1 2 π i ∫ Γ N f ( z ) π cot  ( π z ) d z = Res z = 0  f ( z ) π cot  ( π z ) + ∑ n = − N n ≠ 0 N n − 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}f(z)\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.