負の二項分布
k 回の失敗までに、r 回以下の成功が起こる確率。これは最初の k + r {\textstyle k+r} 回の試行のうち r {\textstyle r} 回以下が成功することと同値なため、二項分布に帰着する。二項分布 B ( n , p ) {\textstyle B(n,p)} の累積分布関数は正規化された不完全ベータ関数を使い I 1 − p ( n − k , k + 1 ) {\textstyle I_{1-p}(n-k,k+1)} と書けるので
F ( k ; r , p ) = Pr ( X N B ( r , p ) ≤ k ) = Pr ( X B ( k + r , p ) ≤ k ) = I 1 − p ( r , k + 1 ) = 1 − I p ( k + 1 , r ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(k;r,p)&=\Pr(X_{NB(r,p)}\leq k)\\&=\Pr(X_{B(k+r,p)}\leq k)\\&=I_{1-p}(r,k+1)\\&=1-I_{p}(k+1,r)\end{aligned}}}
上記のように3つの意味があるので、ここでは最初の意味に絞って解説する。最初の意味では、負の二項分布とは、おのおのの試行で成功する確率が p である独立なベルヌーイ試行を続けて行ったとき、k 回の失敗をするまでに成功する回数の分布であった。