ホモロジー (数学)
1851年、ベルンハルト・リーマンは学位論文「複素一変数関数の一般論の基礎」の中で曲面の連結度(connectivity)というものを考えた。これは次のように定義される。まず、曲面の境界上の2点を結ぶ曲線を横断線と呼ぶことにする。曲面が円板のような形をしている場合には、横断線で曲面を切断すると曲面が2つに分かれる。どのような横断線で切断しても曲面が2つに分かれるとき、そのような曲面を単連結と呼ぶことにする(現代の定義とは異なる)。ある任意の曲面が n 本の横断線によって切断したとき m 個の単連結な領域に分割されるならば、その曲面の連結度を n − m と定義する。例えば円板の連結度は −1 であり、円板から小さな円板をくり抜いた円環の連結度は 0 である。
この論文では考えている幾何学的対象に境界が存在することを仮定している。そして横断線というツールを使って連結度という数字(位相的不変量)が定義されている。リーマンは切断のアイデアをカール・フリードリヒ・ガウスから学んだとエンリコ・ベッチに語っている。ガウスは位置の幾何学、つまり現在トポロジーと呼ばれている数学の一分野について自分の研究成果を発表することは無かった。
ホモロジー群の概念はエミー・ネーターにより見出された。ある伝承によれば、それは1926年、アクサンドロフとハインツ・ホップ(英語版)がレフシェッツ不動点定理の証明の難しい部分について研究していたときのことであったという。彼らがこれについてネーターと議論したとき、ベッチ数ではなくホモロジー群を考えその群の適当な自己準同型の跡を考えれば証明が分かりやすくなることを彼女が指摘したという。また別の伝承によれば、彼女はベッチ数とねじれ係数(torsion coefficients)はあるアーベル群の標準的な不変量と見るべきもので、そのアーベル群こそがホモロジー的連結度の概念的定式化のための適切なツールだと単に見抜いたとされている。他の説によれば、それは1925年のことであったという。彼女がドイツ数学会の年次報告で有限生成アーベル群の構造定理のベッチ数とねじれ係数への応用について言及し、そしてゲッティンゲンの講義においてホモロジーとは単にベッチ数やねじれ係数ではなくアーベル群なのだと指摘したという。
彼女は、研究の主眼はホモロジー群に置くべきだと強調したと伝えられている。今となっては何が真実か定かではないが、はっきりしていることは、ネーターが1925年に有限生成アーベル群の構造定理のベッチ数・ねじれ係数への応用について言及したこと、1932年のアレクサンドロフの本『位相幾何学の基礎概念』の中でホモロジー群が使われていること、1935年のアレクサンドロフとホップの共著『Topologie』の序文でネーターの助言に対して謝辞が述べられていることである。
また、これと独立に、レオポルト・ヴィートリスとヴァルター・マイヤーも1925年から28年にかけてホモロジー理論を発展させている。これより前の時代には、組合せ位相幾何学においてホモロジー類にあたるものはアーベル群をなすとは考えられていなかった。ホモロジー群の急速な普及により、用語が変更され、「組合せ位相幾何学」の立場から「代数的位相幾何学」への移行が起こった。