半単純環
半単純多元環の構造はますます中心的である。表現の場合において、それは任意のベクトル空間上ではなく自身の上の群の線型拡大の作用に対応する。別の分野に数学は自然にこの概念の使用をもたらす。ガロワ拡大は類似の構造を置き体論はこの対象の研究を仮定する。最後に、リーによって発展された連続群は半単純多元環の構造を持った接空間を各点に付ける。20世紀の始まりにはこの主題はこの概念を研究している様々な数学者で主要になった。多元環は加群の構造もまた持っているから加群の分解の定理を適用できる。
ウィリアム・バーンサイド (en:William Burnside) はフロベニウスのアプローチを直ちにつかんだ。線型群の下にある多元環の構造の重要性は逃げなかった。彼は1897年に有限群に関する彼の参考文献の初版で最初の結果を確立した。体が代数的に閉な場合有限次元ベクトル空間の自己準同型の集合は単純多元環である。その後初等的な例が解明された。
レオナード・ディクソン (Leonard Dickson) は1896年に任意の有限体上の線型群としてのガロワ群を PhD の論文を書いてしたがってジョルダンの結果を一般化した。
詳細な記事:dictionnaire entre les représentations d'un groupe et les K[G]-modules
マシュケの定理は有限群の表現論(英語版)における定理だが、有限群の群環の半単純性の言葉で解釈できる。
マシュケの定理。有限群 G の可換体 K 上の群環 K[G] は、K の標数が G の位数を割らないならば、半単純環である。
K[G]-単純加群は本質的に G の既約表現であり、これは(有限群 G について)正則表現の部分表現と同値なので、同型の違いを除いて有限個しかなく、それらはすべて有限次元である。
環の半単純性の概念は著者によって大きく異なり、すべてが同値ではないが、環がアルティン的(かつ単位的)と仮定すれば一般的なものは同値になる。ある著者は半原始環のことを半単純環という。またある著者は単純環の部分直積のことを半単純環という。また、「単位元をもたない」環に対する半単純性の概念もある。
半単純環の例をいくつか見よう。
零環は半単純である。
すべての(可換とは限らない)体は半単純環である。
単純環が半単純環であることとアルティン環であることは同値である。例えば、D が体で E が D 上のベクトル空間で次元 n が0でなく有限ならば、環 EndD E と Mn(D) は単純アルティン環なので半単純環である。
半単純環の反転環は半単純である。
有限個の半単純環(特に体)の直積は半単純である。例えば V が K-ベクトル空間 で φ が m 個の固有値によって対角化可能な V の 自己準同型であれば、φ で生成された K-多元環は K に同型であるので、半単純環である。
半単純環の両側イデアルによる剰余環は半単純である。
A を半単純環、M を有限型 A-加群とする。このとき A-加群 M の自己準同型環は半単純環である。
n を正の整数とする。剰余環 Z/(n) が半単純であるのは n が平方因子をもたないとき、かつそのときに限る。
f を体 K 上の定数でない一変数多項式とする。剰余環 K[X]/(f) が半単純であるのは f が平方因子をもたない(互いに素な既約多項式の積である)とき、かつそのときに限る。
A = A1 × ... × Ap を半単純環の単純アルティン環の直積への分解(これは因子の順序の違いを除いて一意)とする。このとき、単純 A-加群の同型類が p 個存在する。M が単純 A-加群であれば、唯一の 1 ≤ k ≤ p が存在して AkM ≠ {0} が成り立ち、このとき Ak-加群として M は単純である。
Di を体、Ei を Di 上0でない有限次元ベクトル空間とし、A = EndD1(E1) × ... × EndDp(Ep) とする(これは同型の違いを除いて一般性を失わない)。このとき各 Ei は ((f1, ..., fp), xi) ↦ fi(xi) によって A-加群であり、Ei は同型の違いを除いて唯一の単純 A-加群である。