対数コーシー分布
μ {\displaystyle \mu } と σ {\displaystyle \sigma } は対応するコーシー分布の位置母数(英語版)と尺度母数である。著者によっては μ {\displaystyle \mu } と σ {\displaystyle \sigma } をそれぞれ対数コーシー分布の位置・尺度母数と定義することもある。
μ = 0 {\displaystyle \mu =0} かつ σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} のときは標準コーシー分布と対応して、確率密度関数は次のように簡略化される。
f ( x ; 0 , 1 ) = 1 π x ( 1 + ( ln  x ) 2 ) {\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi x(1+(\ln x)^{2})}}}
また、累積分布関数は
F ( x ; μ , σ ) = 1 2 + 1 π arctan  ( ln  x − μ σ ) {\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}
である。