モーデル作用素
各素数 p {\displaystyle p} に対して、 モーデル作用素 T ( p ) {\displaystyle T(p)} は、ラマヌジャンが考察した関数 Δ ( z ) {\displaystyle \Delta (z)}
Δ ( z ) := q ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) 24 =: ∑ n = 1 ∞ τ ( n ) q n , q := exp  ( 2 π i z ) , z ∈ H := { ζ | I m ζ > 0 } , {\displaystyle \Delta (z):=q\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)^{24}=:\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)q^{n},\quad q:=\exp \left(2\pi iz\right),\quad z\in H:=\{\zeta |\mathrm {Im} \zeta >0\},}
に作用する作用素として、以下のように定義される 。
( T ( p ) Δ ) ( z ) := 1 p ∑ l = 0 p − 1 Δ ( z + l p ) + p 11 Δ ( p z ) . {\displaystyle (T(p)\Delta )(z):={\frac {1}{p}}\sum _{l=0}^{p-1}\Delta \left({\frac {z+l}{p}}\right)+p^{11}\Delta (pz).}