完備化 (環論)
E を部分群の減少フィルター
E = F 0 E ⊃ F 1 E ⊃ F 2 E ⊃ ⋯ {\displaystyle E=F^{0}{E}\supset F^{1}{E}\supset F^{2}{E}\supset \cdots \,}
をもったアーベル群として、(このフィルターに関する)完備化を逆極限
E ^ = lim ←  ( E / F n E ) {\displaystyle {\hat {E}}=\varprojlim (E/F^{n}{E})\,}
として定義する。
これは再びアーベル群である。通常 E は 加法的な アーベル群である。E がフィルターと両立する付加的な代数的構造をもっていれば、例えば E がフィルター付き環(英語版)、フィルター付き加群、フィルター付きベクトル空間であれば、その完備化は、フィルターによって決定される位相において再び完備である同じ構造をもった対象である。この構成は可換環にも非可換環にも適用できる。期待される通り、完備位相環が得られる。