薄膜干渉
O P D = n 2 ( 2 d cos  ( θ 2 ) ) − 2 d tan  ( θ 2 ) n 2 sin  ( θ 2 ) = 2 n 2 d ( 1 − sin 2  ( θ 2 ) cos  ( θ 2 ) ) = 2 n 2 d cos  ( θ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}OPD&=n_{2}\left({\frac {2d}{\cos(\theta _{2})}}\right)-2d\tan(\theta _{2})n_{2}\sin(\theta _{2})\\&=2n_{2}d\left({\frac {1-\sin ^{2}(\theta _{2})}{\cos(\theta _{2})}}\right)\\&=2n_{2}d\cos {\big (}\theta _{2})\\\end{aligned}}}
光路差が光の波長 λ {\displaystyle \lambda } の整数倍であれば、干渉は強め合う。
2 n 2 d cos  ( θ 2 ) = m λ {\displaystyle 2n_{2}d\cos {\big (}\theta _{2})=m\lambda }
この条件は、反射により生じる可能性のある位相シフトを考慮して変更することができる。
反射光の干渉を表す式は次のようになる。
2 n c o a t i n g d cos  ( θ 2 ) = m λ {\displaystyle 2n_{\rm {coating}}d\cos {\big (}\theta _{2})=m\lambda } (反射波が弱め合う干渉をする場合)
2 n c o a t i n g d cos  ( θ 2 ) = ( m − 1 2 ) λ {\displaystyle 2n_{\rm {coating}}d\cos(\theta _{2})=\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\lambda } (反射波が弱め合う干渉をする場合)
光学的厚さ d n c o a t i n g {\displaystyle dn_{\rm {coating}}} が入射光の1/4波長に相当し、光が垂直に膜に入射する ( θ 2 = 0 ) {\displaystyle (\theta _{2}=0)} と、反射光は完全に位相がずれて弱め合う干渉をする。光の波長に合わせて層を重ねることでさらに反射を抑えることができる。
これらの膜において、透過光の干渉は完全に強め合う。
薄膜干渉による虹色は、自然界ではよく見られる現象であり、さまざまな動植物に見られる。この現象の最初の研究は、1665年にロバート・フックが行ったものであると言われている。『ミクログラフィア』において、フックはクジャクの羽の虹色は薄い板と空気の層が交互に重なっているために起こると提唱した。1704年、アイザック・ニュートンは著書『光学』の中でクジャクの羽の虹色は透明な層が薄いからであると述べている。1801年、トマス・ヤングが強め合う干渉と弱め合う干渉に初めて説明を与えた。ヤングの貢献は、1816年にオーギュスタン・ジャン・フレネルが光の波動理論を確立するまでほとんど知られていなかった。しかし、1870年代にジェームズ・クラーク・マクスウェルとハインリヒ・ヘルツが光の電磁的性質を説明するまで、虹色の説明はほとんどできなかった。1899年にファブリ・ペロー干渉計が発明されると、薄膜干渉のメカニズムがより大きいスケールで実証されるようになった。
初期の研究では、クジャクやコガネムシのような動物の虹色を、さまざまな角度から反射したときに光を変えることのある染料や顔料などの表面色の一種として説明しようとしていた。1919年、レイリー卿は、明るく変化する色は染料や顔料によるものではなく、微細構造(レイリーは「構造色」と呼んだ)によるものであると提案した。1923年、C. W. Masonはクジャクの羽の小羽枝は非常に薄い層でできていると述べた。これらの層のいくつかは色がついていたが、他の層は透明であった。