フェルミエネルギー
よって電子回路中の2点 A, B 間の測定される電圧差 VA − VB は、フェルミ準位で対応する化学ポテンシャル差 μA − μB と次の式で厳密に関係づけられる。
V A − V B = μ A − μ B − e {\displaystyle V_{\mathrm {A} }-V_{\mathrm {B} }={\frac {\mu _{\mathrm {A} }-\mu _{\mathrm {B} }}{-e}}}
ここで e は電気素量。
上記の議論から、電子は単純な経路が与えられたとき μ が高い点(低電圧)から低い点(高電圧)に移動することがわかる。この電子の流れは、低い μ を(帯電またはその他の反発効果により)増加させ、同様に高い μ を低下させる。その結果、2つの物質の μ は同じ値に落ち着く。このことは、次の電子回路の平衡状態に関する重要な事実を与える。
熱力学的平衡にある電子回路において、接続された全ての部分は一定のフェルミ準位を持つ
このことは、平衡状態では(電圧計で測定される)2点間の電圧はゼロであることも意味している。ここでの熱力学的平衡は、回路が内部で接続されており、バッテリーやその他の電源を含んでおらず、温度の変動も無い必要があることに注意。
E n → = E 0 + ħ 2 π 2 2 m L 2 | n → | 2 {\displaystyle E_{\vec {n}}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|{\vec {n}}|^{2}\,}
をもつn空間の点に対応する。 | n → | 2 {\displaystyle |{\vec {n}}|^{2}} は通常のユークリッド長さの二乗 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) 2 {\displaystyle ({\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}})^{2}} を表す。 エネルギーがEF + E0以下の状態の数は、 EF + E0が正であるn空間の領域での半径 | n → F | {\displaystyle |{\vec {n}}_{F}|} の球の中にある状態の数に等しい。 基底状態におけるこの数は、系のフェルミ粒子の数に等しい。
N = 2 × 1 8 × 4 3 π n F 3 {\displaystyle N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{F}^{3}\,}
2つのスピン状態があるため因子2がつき、全てのnが正である領域には球の1/8だけがあるため、因子1/8がつく。 よって
n F = ( 3 N π ) 1 / 3 {\displaystyle n_{\mathrm {F} }=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}}
よってフェルミエネルギーは次式で与えられる。