交項級数
交代級数
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}}
は ln 2(=0.69314...)に収束することが知られているが、いっぽう各項の絶対値をとった級数
∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}
は調和級数としてよく知られた発散級数である。これは絶対収束が、級数が収束するための十分条件だが必要条件ではない(別な言い方をすれば、絶対収束は収束条件としては強すぎる)ことの例でもある。
実数項をもつ交代級数に対しては、収束判定法としてライプニッツによる「数列 {an} が単調減少で 0 に収束するならば級数 ∑ (−1)an は収束する」というものがある(項が単調増大の場合も全体に −1 を掛けることにより単調減少の場合に帰着されるので、この場合も合わせて簡単に「数列 {an} が単調に 0 に収束する」ときと述べることもできる)。実際、交代級数
∑ n = 0 ∞ a n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n | a n | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}|a_{n}|}
の項の絶対値が単調減少で 0 に収束する、すなわち
| a 0 | ≥ | a 1 | ≥ | a 2 | ≥ ⋯ → 0 {\displaystyle |a_{0}|\geq |a_{1}|\geq |a_{2}|\geq \cdots \to 0}