接続形式
Ω i j = d ( Γ q i j θ q ) + ( Γ p k j θ p ) ∧ ( Γ q i k θ q ) = θ p ∧ θ q ( ∂ p Γ q i j + Γ p k j Γ q i k ) ) = 1 2 θ p ∧ θ q R p q i j {\displaystyle {\begin{array}{ll}\Omega _{i}^{j}&=d(\Gamma _{qi}^{j}\theta ^{q})+(\Gamma _{pk}^{j}\theta ^{p})\wedge (\Gamma _{qi}^{k}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma _{qi}^{j}+\Gamma _{pk}^{j}\Gamma _{qi}^{k})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}}
を得る。ここに R はリーマン曲率テンソルである。
レヴィ・チヴィタ接続は、捩れのない接ベクトルバンドルの中の一意に決まる計量接続(英語版)(metric connection)として特徴づけられる。捩れを記述するために、ベクトルバンドル E が接バンドルであることに注意する。E は標準接合形式(標準 1-形式と呼ばれることもある)をもっていて、接空間の自己同型に対応する Hom(TM,TM) = TM ⊗ TM の切断 θ である。標構 e の中では、標準 1-形式(solder form)は θ = Σi ei ⊗ θ である。繰り返しではあるが、θ は双対基底である。
接続の捩れは Θ = Dθ であり、
Θ i ( e ) = d θ i + ∑ j ω j i ( e ) ∧ θ j {\displaystyle \Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}}
により標準 1-形式(solder form)の標構成分の項で表現される。再び簡単のために、e をホロノミックとすると、この表現は
Θ i = Γ k j i θ k ∧ θ j {\displaystyle \Theta ^{i}=\Gamma _{kj}^{i}\theta ^{k}\wedge \theta ^{j}} ,
となる。この式がゼロとなることと、Γkj が小さなインデックスで対称的であることとは同値である。