本質的値域
ε は任意であったため、w は S に属し、したがって S は閉集合である。
f は本質的に有界であるため、g = |f| に対し、g(a, +infinity) が測度 0 となるようなある a が存在することに注意されたい。したがって、|w| > a を満たすようなある複素数 w と、集合 K = {complex numbers z | |z| > a} を定めれば、K に含まれるような w の p-近傍 Vp が存在する(K は開集合であるため)。今、g(a, +infinity) = f(K) であり、したがって f(K) は測度 0 となることに注意されたい。もし f(Vp) が正の測度を持つなら、f(Vp) は f(K) の部分集合であったため、f(K) も正の測度を持つこととなるが、これは矛盾である。したがって f(Vp) は測度 0 であり、w は S の元にはなり得ない。このことは、S が K の補集合の部分集合であることを意味し、したがって S は有界である。
定理の応用と追記
1. 函数の本質的値域は常に、半径がその函数の本質的上限と等しいような R 内の閉球に含まれることに注意されたい。
2. 直感的に言うと、本質的に有界な函数とは、測度 0 の集合(すなわち、測度論的な意味で「無視できる」集合)の上で非有界となるような函数である。一方、有界な函数とは空集合の上で非有界となるような函数である(この表現は数学的に正確ではないが、考え方の基本となる)。空集合は測度 0 であるため、すべての有界函数は本質的に有界であることが予想される。実際、この事実は前述の定理 1 で証明されている。
3. 定理 2 の証明は、非負の加法的測度は単調であるという事実に大きく依存していることに注意されたい。
この記事を通して、順序付けられた組み合わせ (X, μ) はある測度空間 X と非負の加法的測度 μ を表すものとする。
非負の加法的測度の一つの性質として、単調性が挙げられる。すなわち、A が B の部分集合であるなら、加法的測度 μ に対して μ(A) ≤ μ(B) が成立する。
f をある測度空間 (X, μ) から [0, ∞) への函数とし、集合 S = { x | μ(ƒ((x, ∞))) = 0 } を定める。このとき、f の本質的上限は集合 S の下限で定義される。S が空集合である場合、f の本質的上限は無限大であるものと定義される。
g := |f| の本質的上限が有限であるような函数 f は、本質的に有界と言われる。
すべての本質的に有界な函数からなるベクトル空間で、そのノルムはそれら各函数の本質的上限で与えられるようなものを考える。そのようなベクトル空間は、そのノルムによって導かれる距離に関して、完備距離空間を形成する。数学的に、このことは本質的に有界な函数の全体はバナッハ空間を形成することを意味する。このバナッハ空間はしばしば L(μ) と表記され、これは L 空間の一種である。