断熱定理
ハミルトニアンが時間に依存しない場合、エネルギーが E n {\displaystyle E_{n}} と表され、初期状態が対応する固有状態 | ψ n ⟩ {\displaystyle |\psi _{n}\rangle } である場合、時刻tでの状態 | Ψ n ( t ) ⟩ {\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle } は
| Ψ n ( t ) ⟩ = exp  ( − i E n t / ħ ) | ψ n ⟩ {\displaystyle |\Psi _{n}(t)\rangle =\exp(-iE_{n}t/\hbar )|\psi _{n}\rangle }
と記述できる。ハミルトニアンが時間に依存する場合、時刻ごとに対応するハミルトニアンが異なるわけだが、ハミルトニアンがエルミート演算子であることは変わらないので、いずれの時刻においてもスペクトル分解が可能であり、そのような、各時刻tでのハミルトニアンと対応する固有値と固有状態について、
H ^ ( t ) | ψ ( t ) ⟩ = E n ( t ) | ψ n ( t ) ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}(t)|\psi (t)\rangle =E_{n}(t)|\psi _{n}(t)\rangle } ... (i)
と表しておくことにする。エルミート演算子の固有ベクトルに対しては、正規直交性
⟨ ψ n ( t ) | ψ m ( t ) ⟩ = δ n m {\displaystyle \langle \psi _{n}(t)|\psi _{m}(t)\rangle =\delta _{nm}} .
n ≠ m {\displaystyle n\neq m} の場合、(viii)式の左から ⟨ ψ m | {\displaystyle \langle \psi _{m}|} を掛けることによって、
⟨ ψ m | H ̇ | ψ n ⟩ = ( E n − E m ) ⟨ ψ m | ψ m ̇ ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{m}|{\dot {H}}|\psi _{n}\rangle =(E_{n}-E_{m})\langle \psi _{m}|{\dot {\psi _{m}}}\rangle } ... (ix)
を得られる。また、(vii)式に(iv)式の結果を用いることによって、
c ̇ m ( t ) = − c m ⟨ ψ m | ψ m ̇ ⟩ − ∑ n ≠ m c n ⟨ ψ m | H ̇ | ψ n ⟩ E n − E m exp  ( − i / ħ ∫ 0 t [ E n ( t ′ ) − E m ( t ′ ) ] d t ′ ) {\displaystyle {\dot {c}}_{m}(t)=-c_{m}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi _{m}}}\rangle -\sum _{n\neq m}c_{n}{\langle \psi _{m}|{\dot {H}}|\psi _{n}\rangle \over {E_{n}-E_{m}}}\exp(-i/\hbar \int _{0}^{t}[E_{n}(t')-E_{m}(t')]dt')}
という関係を得ることができる。