結び目理論
しかし、肝心の群の分類が容易ではないためこれを不変量として用いることはほとんどないようである。主に使われる不変量はアレクサンダー多項式などの多項式不変量や、結び目解消数 (unknotting number) などである。
なお、Haken による正則曲面 (normal surface) の理論により、任意に与えられた 2 個の結び目が同値であるか否かを判定するアルゴリズムが存在することが知られている。
近年では DNA やタンパク質の異性体の構造などの研究や統計力学・場の量子論にも関連して注目されている。
結び目は3次元多様体の形状を調べることにも利用できる。同様のことを次元を上げて一般化して考えようとすると、4次元空間では1次元の閉多様体である結び目はほどけてしまって役に立たないが、2次元の多様体である閉曲面を使ってやれば目的を果たすことができる。これを4次元結び目理論、曲面結び目理論などと呼んで結び目理論に含めることもある。
結び目を切ったり貼ったりしている間に絡み目が現れることがあり、結び目のみを研究の対象とする場合でも絡み目を合わせて考えるほうが自然であることも多い。
絡み目の定義を少し変形拡張した概念が幾つか提唱され、特に以下のものは活発に研究されている。
組み紐----領域 R 2 × [ 0 , 1 ] {\displaystyle R^{2}\times [0,1]} に複数本の「ひも」 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} を(高さに関して)臨界点を持たないように埋め込んだもの。群構造をもつので代数的な視点からの研究が多い。
空間グラフ----S の代わりにグラフを埋め込んだもの。
タングル----境界つき三次元多様体に一般のコンパクト一次元多様体を埋め込んだもの。圏構造を持つ。
仮想結び目----結び目の組み合わせ的な表示であるガウス図を考察対象としたもの。ガウス図上では交点と認識されないが、三次元空間への実現で交差として描かざるを得ない「仮想的交差」を持つ。
結び目・絡み目の成分が多辺形となっているとき、その結び目・絡み目は折線状(polygonal)であるという。また、結び目・絡み目が折れ線状に表せるとき、その結び目・絡み目は馴れた結び目・絡み目(tame knot/link)または順な結び目・絡み目であるといい、そうでないときは野性的な結び目・絡み目(wild knot/link)であるという。結び目理論では、通常は野性的な結び目・絡み目は除外して考えるため、一般的な結び目の表などに記載されているものはすべて馴れた結び目である。結び目を定義した際に使った連続写像 K に対して微分可能という条件をつけておけば自動的に野性的な結び目を排除することができる。
結び目の不変量で、特に「多項式」となっているものを多項式不変量という。多項式不変量の最初の例は、1928年にアレキサンダーが構成したアレクサンダー多項式である。これは絡み目の補空間の基本群から定義できる。その後、コンウェイによるアレクサンダー多項式のスケイン関係式による再定式化(アレキサンダーコンウェイ多項式)を経て、1984年にジョーンズによって全く新しい多項式不変量ジョーンズ多項式が発見された。これは長らく唯一であった多項式不変量に新たな種類を付け加えたのみならず、統計力学や量子場の理論、量子不変量、量子群など他の分野との関連の膨大な研究を生み出すことになった。さらにその後アレキサンダー多項式、ジョーンズ多項式をそれぞれ特殊な場合に含むホンフリー多項式が発見され、これらの他にも幾つかの多項式不変量が知られている。
しかし、上に挙げたどの多項式不変量も完全に結び目を分類することはできない。つまり同じ多項式の値を持つ異なる結び目が存在するのである。スケイン関係式を満たすどんな多項式不変量も、完全には結び目を分類できないかどうかなどについてはまだわかっていない。