ガウス＝ザイデル法
x 2 ( k + 1 ) = ( b 2 − a 21 x 1 ( k + 1 ) − a 23 x 3 ( k ) ) / a 22 {\displaystyle x_{2}^{(k+1)}=(b_{2}-a_{21}x_{1}^{(k+1)}-a_{23}x_{3}^{(k)})/a_{22}}
x 3 ( k + 1 ) = ( b 3 − a 31 x 1 ( k + 1 ) − a 32 x 2 ( k + 1 ) ) / a 33 {\displaystyle x_{3}^{(k+1)}=(b_{3}-a_{31}x_{1}^{(k+1)}-a_{32}x_{2}^{(k+1)})/a_{33}}
という反復を繰り返していく。 ここで、2番目の式で x 1 ( k + 1 ) {\displaystyle x_{1}^{(k+1)}} が使われていることに注意する。 次々に新しい x i ( k + 1 ) {\displaystyle x_{i}^{(k+1)}} を求めては、次の式で使われる。 このために、ガウス=ザイデル法は、このままでは並列計算できないので、 上記の反復式の右辺の x i ( k + 1 ) {\displaystyle x_{i}^{(k+1)}} の代わりに x i ( k ) {\displaystyle x_{i}^{(k)}} を使う、 すなわち、新しい x → ( k + 1 ) {\displaystyle {\vec {x}}^{(k+1)}} を別の場所に記憶しておいて、 一斉に x → {\displaystyle {\vec {x}}} を更新するヤコビ法を使用する。
ヤコビ法は、直列計算ではガウス=ザイデル法よりも遅いが、容易に並列計算できる。