三重積 (ベクトル解析)
とおけ、
( a × b ) × c = λ { ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a } {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=\lambda \left\{({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\right\}}
と書ける。ただし、λ は a, b, c に依存するスカラーである。
ここで (a×b)×c および (a・c)b - (b・c)a は共に a, b, c それぞれに対して線形なので、 λ は定数でなければいけない。更に a=ex, b=ey, c=ex を代入すると、λ = 1が得られる。
よって
( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}}
が導かれた。
ビネ・コーシーの恒等式
三重積(さんじゅうせき)とは3次元ユークリッド空間における3つのベクトルの積であり、ベクトル解析におけるスカラー三重積とベクトル三重積の総称である。
a × ( b × c ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})} の x成分を展開する。
{ a × ( b × c ) } x = a y ( b × c ) z − a z ( b × c ) y = a y ( b x c y − b y c x ) − a z ( b z c x − b x c z ) = ( a y b x c y + a z b x c z ) − ( a y b y c x + a z b z c x ) = b x ( a x c x + a y c y + a z c z ) − c x ( a x b x + a y b y + a z b z ) = { b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) } x {\displaystyle {\begin{aligned}\{{\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}_{x}&=a_{y}({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})_{z}-a_{z}({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})_{y}\\&=a_{y}(b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x})-a_{z}(b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z})\\&=(a_{y}b_{x}c_{y}+a_{z}b_{x}c_{z})-(a_{y}b_{y}c_{x}+a_{z}b_{z}c_{x})\\&=b_{x}(a_{x}c_{x}+a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z})-c_{x}(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})\\&=\{{\boldsymbol {b}}\,({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})-{\boldsymbol {c}}\,({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\}_{x}\end{aligned}}}