散乱理論
散乱現象を理論的に扱う方法には2つの方法が考えられる。
例として、ホースから出た水が散乱体にぶつかって四方八方に飛び散るような散乱現象を考える。
第一の方法では、水を出しっぱなしにして全体の状況が定常的になったとき、この散乱の様子を撮影した1枚の写真として全体像を考察する。この方法では、一体もしくは二体の弾性散乱(散乱前後でエネルギーが不変である散乱)のみ扱う事ができる。この方法では定常状態のシュレディンガー方程式を、散乱を表す境界条件のもとで解くことで、散乱状態を求める。
これはハミルトニアンの固有値・固有ベクトルを求める問題とは異なることに注意しなければならない。入射粒子のエネルギーは実験者によって指定されるため、弾性散乱では散乱状態のエネルギー固有値Eはすでに指定されており、それに対応するエネルギー固有状態を求めるのである。つまり自由粒子(入射状態)の満たしているエネルギー固有関係を境界条件として微分方程式を解く。
更に、
⟨ k + q | T | k ⟩ = ∑ l , m T l Y l m ( k + q ) Y l m ( k ) {\displaystyle \langle \mathbf {k} +\mathbf {q} |T|\mathbf {k} \rangle =\sum _{l,m}T_{l}Y_{lm}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )Y_{lm}(\mathbf {k} )}
より、これから、
T l = − 1 k 0 e i δ l sin  δ l = − 1 κ e i δ l sin  δ l {\displaystyle T_{l}=-{1 \over {k_{0}}}e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}=-{1 \over {\kappa }}e^{i\delta _{l}}\sin \delta _{l}}
を得る。これが角運動量表示でのT行列と位相差(フェーズシフト)との関係。k0はκの記号で表されることが多い。 以上は、孤立したポテンシャル下での散乱であるが、実際は多数存在するポテンシャルの存在下で、多数の粒子(電子など)が何度も散乱される(多重散乱)。これを理論的に取り扱うのが多重散乱理論である。