最尤推定
こんどは上の例での箱に入っているコインの数は無限であると仮定する。それぞれがすべての可能な 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} の値をとるとする。するとすべての可能な 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} の値に対して次の尤度関数を最大化しなければならない:
L ( p ) = f D ( observe 49 HEADS out of 80 ∣ p ) = ( 80 49 ) p 49 ( 1 − p ) 31 {\displaystyle {\begin{matrix}L(p)&=&f_{D}({\mbox{observe 49 HEADS out of 80}}\mid p)={\binom {80}{49}}p^{49}(1-p)^{31}\\\end{matrix}}}
この関数を最大化するには p {\displaystyle p} に関して微分しその値を0にすればよい:
0 = d d p ( ( 80 49 ) p 49 ( 1 − p ) 31 ) ∝ 49 p 48 ( 1 − p ) 31 − 31 p 49 ( 1 − p ) 30 = p 48 ( 1 − p ) 30 [ 49 ( 1 − p ) − 31 p ] {\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{\frac {d}{dp}}\left({\binom {80}{49}}p^{49}(1-p)^{31}\right)\\&&\\&\propto &49p^{48}(1-p)^{31}-31p^{49}(1-p)^{30}\\&&\\&=&p^{48}(1-p)^{30}\left[49(1-p)-31p\right]\\\end{matrix}}}