接続 (ベクトル束)
e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} をMの開集合U上で定義された局所的な基底とするとき、 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} に関する曲率形式を以下のように定義する:
定義 (曲率形式) ― X、Yに行列 Ω ( X , Y ) {\displaystyle \Omega (X,Y)} を対応させる行列値の2-形式 Ω = ( Ω i j ) i j {\displaystyle \Omega =(\Omega ^{i}{}_{j})_{ij}} を
( R ( X , Y ) e 1 , ... , R ( X , Y ) e n ) = ( e 1 , ... , e n ) Ω ( X , Y ) {\displaystyle (R(X,Y)e_{1},\ldots ,R(X,Y)e_{n})=(e_{1},\ldots ,e_{n})\Omega (X,Y)}
により定義し、 Ω i j {\displaystyle \Omega ^{i}{}_{j}} を局所的な基底 e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} に関する ∇ {\displaystyle \nabla } の曲率形式(英: curvature form)という。
この現象をホロノミー(英語版)(英: holonomy)という。
φ a , b {\displaystyle \varphi _{a,b}} の定義より、 φ a , b {\displaystyle \varphi _{a,b}} は E P ( a ) {\displaystyle E_{P(a)}} から E P ( b ) {\displaystyle E_{P(b)}} への写像であるとみなせるが、この写像は以下を満たす:
定理 ― φ a , b : E P ( a ) → E P ( b ) {\displaystyle \varphi _{a,b}~:~E_{P(a)}\to E_{P(b)}} は線形同型である。
よって平行移動により、(接続や計量が定義されていない)多様体Mでは本来無関係のはずの E P ( a ) {\displaystyle E_{P(a)}} と E P ( b ) {\displaystyle E_{P(b)}} がつながって(connect)、 E P ( a ) {\displaystyle E_{P(a)}} の元と E P ( b ) {\displaystyle E_{P(b)}} の元を比較する事ができるようになる。接続(connection)という名称は、ここから来ている。
定理 (ホロノミーによる曲率の特徴づけ) ― 次が成立する:
Φ Y − t ∘ Φ X − t ∘ Φ Y t ∘ Φ X t ( e ) = e − t 2 R ( X , Y ) | π ( e ) e + o ( t 2 ) {\displaystyle \Phi _{Y}^{-t}\circ \Phi _{X}^{-t}\circ \Phi _{Y}^{t}\circ \Phi _{X}^{t}(e)=e-t^{2}R(X,Y)|_{\pi (e)}e+o(t^{2})}
すなわち、曲率 R ( X , Y ) {\displaystyle R(X,Y)} は、
R ( X , Y ) | π ( e ) e = − lim t → 0 Φ Y − t ∘ Φ X − t ∘ Φ Y t ∘ Φ X t ( e ) − e t 2 {\displaystyle R(X,Y)|_{\pi (e)}e=-\lim _{t\to 0}{\Phi _{Y}^{-t}\circ \Phi _{X}^{-t}\circ \Phi _{Y}^{t}\circ \Phi _{X}^{t}(e)-e \over t^{2}}}
により特徴づけられる。よって直観的には曲率 R ( X , Y ) {\displaystyle R(X,Y)} は(X、Yが可換になるように拡張した場合に)X、Yが定める平行移動の非可換度合いを表している。
これまで共変微分の概念を用いる事で平行移動の概念を定義してきたが、逆に平行移動の概念を用いて共変微分を特徴づけることができる:
定理 (共変微分の平行移動による特徴づけ) ― 多様体M上の曲線 P ( t ) {\displaystyle P(t)} とMのベクトルバンドルEの P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿った切断 s ( t ) ∈ E P ( t ) {\displaystyle s(t)\in E_{P(t)}} を考えるとき、 P ( t ) {\displaystyle P(t)} に沿った平行移動を φ a , t {\displaystyle \varphi _{a,t}} とすると、以下が成立する:
∇ s d t ( a ) {\displaystyle {\nabla s \over dt}(a)} = d d t φ a , t − 1 ( s ( t ) ) | t = a {\displaystyle =\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}}
ここで d d t φ a , t − 1 ( s ( t ) ) {\displaystyle {d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))} はベクトル空間 E P ( a ) {\displaystyle E_{P(a)}} における微分 d d t φ a , t − 1 ( s ( t ) ) = lim t → a φ a , t − 1 ( s ( t ) ) − s ( a ) t {\displaystyle {d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))=\lim _{t\to a}{\tfrac {\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))-s(a)}{t}}} である。
α : Γ ( E 1 ) → Γ ( E 2 ) {\displaystyle \alpha ~:~\Gamma (E_{1})\to \Gamma (E_{2})}
を考える。
定義 ―
α ( a s + b s ′ ) = a α ( s ) + b α ( s ′ ) {\displaystyle \alpha (as+bs')=a\alpha (s)+b\alpha (s')} for ∀ a , b ∈ R {\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} } 、 ∀ s , s ′ ∈ Γ ( E 1 ) {\displaystyle \forall s,s'\in \Gamma (E_{1})}
を満たすとき、αは R {\displaystyle \mathbb {R} } -線形であるという。また
α ( f s + g s ′ ) = f α ( s ) + g α ( s ′ ) {\displaystyle \alpha (fs+gs')=f\alpha (s)+g\alpha (s')} for ∀ f , g ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle \forall f,g\in C^{\infty }(M)} 、 ∀ s , s ′ ∈ Γ ( E 1 ) {\displaystyle \forall s,s'\in \Gamma (E_{1})}
T ∇ ( X , Y ) = T j k i X j Y k ∂ ∂ x i {\displaystyle T_{\nabla }(X,Y)=T_{jk}^{i}X^{j}Y^{k}{\partial \over \partial x^{i}}}
と書くとき、次が成立する:
定理 ― 任意のi、j、kに対し、
T j k i = Γ j k i − Γ k j i {\displaystyle T_{jk}^{i}=\Gamma _{jk}^{i}-\Gamma _{kj}^{i}}
よって捩率テンソルが恒等的に0になる接続、すなわち捩れなし(英: torsion-free)の場合、Γijkはj、kに対して対象なテンソルになる。このため捩れなしの接続の事を対称(英: symmetric)な接続ともいう。
外微分dに対し、次が成立する:
定理 ― ∇ {\displaystyle \nabla } を多様体Mの接バンドルTM上の接続とするとき、
{d \over dt}(s^{i}(t)\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(t)))\right|_{t=a}=\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}}
となり定理が証明された。
上記の定理を用いると、共変微分の成分表示に意味を持たせる事ができる。これをみるため x : U ⊂ M → R m {\displaystyle x~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}} をMを局所座標とし、xを成分で x = ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{m})} とあらわし、さらに e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} をU上定義されたEの局所的な基底とすると、
∇ s d t ( a ) {\displaystyle {\nabla s \over dt}(a)} = d d t φ a , t − 1 ( s ( t ) ) | t = a {\displaystyle =\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}} = d d t s i ( t ) φ a , t − 1 ( e i ( x ( t ) ) ) | t = a {\displaystyle =\left.
これまで本項では共変微分∇を用いて接続概念を考察してきたが、 実はむしろωから接続概念を定義したほうが、数学的に有利である事が示唆される。その理由は2つある。
第一に、リーマン多様体であれば∇から定義される曲率テンソルを使って記述できた恒等式、例えば(第二)構造方程式や(第二)ビアンキ恒等式は、一般のベクトルバンドルではωを使わないと記述できない(曲率の章を参照)。
第二に、接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式ωと強く関係しており、ベクトルバンドル E → M {\displaystyle E\to M} の底空間Mの曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って定義された局所的な基底 ( e 1 ( t ) , ... , e m ( t ) ) {\displaystyle (e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))} をtで微分したものが接続形式 ω ( d c d t ( 0 ) ) {\displaystyle \omega ({\tfrac {dc}{dt}}(0))} に一致する。
よって特に∇がEの計量と両立する接続の場合、∇による平行移動は回転変換、すなわち S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} の元なので、その微分である接続形式ωは S O ( n ) {\displaystyle SO(n)} のリー代数 s o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)} の元、すなわち歪対称行列である。