オイラーの公式
}}x^{n}\\&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {i^{2n}}{(2n)!}}x^{2n}+\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {i^{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}+i\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&=\cos x+i\sin x\end{aligned}}}
が得られる。
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。例えば、三角関数の加法定理は、指数法則 ee = eに対応していることが分かる。
オイラーの公式により、三角関数を複素指数関数で表すことができる。余弦関数、正弦関数は
cos  z = e i z + e − i z 2 , sin  z = e i z − e − i z 2 i {\displaystyle {\begin{aligned}\cos z&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\\\sin z&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\end{aligned}}}
となる。
証明 —
| W | = | e i x cos  x + i sin  x i e i x − sin  x + i cos  x | = e i x ( − sin  x + i cos  x ) − e i x ( i cos  x − sin  x ) = 0 {\displaystyle |W|={\begin{vmatrix}e^{ix}&\cos x+i\sin x\\ie^{ix}&-\sin x+i\cos x\end{vmatrix}}=e^{ix}(-\sin x+i\cos x)-e^{ix}(i\cos x-\sin x)=0}
として cos x + i sin x と e が線型従属であることを確認する。 ここで、ある定数 C について
e i x = C ( cos  x + i sin  x ) {\displaystyle e^{ix}=C(\cos x+i\sin x)}
が成立する。ここで x = 0 を代入すると C = 1 となり
e i x = cos  x + i sin  x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
が得られる。