モース-ケリー集合論
この公理(または等価なもの)は ZFC や NBG に含まれる。 VIII は、無限帰納集合 y と空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } という、2つの集合が無条件に存在することを主張する。 ∅ {\displaystyle \varnothing } は、y の要素であるため、集合である。この時点までは、証明されていたものがすべてクラスであり、ケリーの集合の議論は完全に仮説であった。
構築: 自然数、N が集合であること、ペアノの公理、整数、有理数、実数。
定義: c が関数であり、かつ domain c の各要素 x について c ( x ) ∈ x {\displaystyle c(x)\in x} であるならば、c は選択関数である。
IX. 選択: 定義域が V − { ∅ } {\displaystyle V-\{\varnothing \}} である選択関数 c が存在する。
IX は前述のサイズ制限から導出される大域選択公理(英語版)に非常によく似ている。
構築: 選択公理と等価な命題。ZFC の場合、基数の構築のためにある種の選択公理が必要になる。
前述の公理において、すべての量化変項の範囲が集合に制限されている場合、III 以外の公理と公理型 IV は ZFC 公理となる。IV は ZFC で証明可能である。故にケリーによる MK の定義では、MK が ZFC と異なる点は、変項の範囲が真のクラスと集合である点とクラス化公理型がある点であることが明確になる。
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同じ外延性を持つ集合とクラスは同一になる。そのため、逆に見えるにも関わらずMKは2ソート理論ではない。
基礎: 空でない各クラス A は、少なくともその要素の1つとは互いに素である。
∀ A [ A ≠ ∅ → ∃ b ( b ∈ A ∧ ∀ c ( c ∈ b → c ∉ A ) ) ] . {\displaystyle \forall A[A\not =\varnothing \rightarrow \exists b(b\in A\land \forall c(c\in b\rightarrow c\not \in A))].}
クラス内包: φ(x) をMKの言語における任意の論理式とする。ここで x は自由変項、 Y は束縛変項である。 φ(x) は集合や真のクラスであるパラメータを含みうる。さらに結果的に、 φ(x) の中で量化された変項はクラスの変項であり、集合の変項ではない。これが、 MK が NBG と唯一異なる点である。 すると、 φ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} が真となるような集合 x のみからなる要素をもつクラス Y = { x ∣ φ ( x ) } {\displaystyle Y=\{x\mid \phi (x)\}} が存在する。形式的には、 Y が φ で自由変項でない場合は以下のようになる。
∀ W 1 . . . W n ∃ Y ∀ x [ x ∈ Y ↔ ( φ ( x , W 1 , . . . W n ) ∧ M x ) ] {\displaystyle \forall W_{1}...