フルヴィッツのゼータ函数
= a s = a {\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a} かつ a ∉ N {\displaystyle a\notin \mathbb {N} } かつ s ∈ N + {\displaystyle s\in \mathbb {N} ^{+}} のとき、
ζ ( s , a ) = a − s ⋅ s + 1 F s ( 1 , a 1 , a 2 , ... a s ; a 1 + 1 , a 2 + 1 , ... a s + 1 ; 1 ) {\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)} である。
メイジャーのG-函数(英語版)(Meijer G-function)
ζ ( s , a ) = G s + 1 , s + 1 1 , s + 1 ( − 1 | 0 , 1 − a , ... , 1 − a 0 , − a , ... , − a ) s ∈ N + . {\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.}
フルヴィッツのゼータ函数の変数 s での離散フーリエ変換は、ルジャンドルのχ函数 (Legendre chi function) である。
∫ 0 ∞ [ θ ( n , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = 2 π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) = 2 π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}
となる。ここの ζ はリーマンゼータ函数である。この後者の式は、リーマンによりもともと与えられたが、リーマンゼータ函数の函数等式であることに注意する。この z が整数であることとそうでないことの差異は、ヤコビのテータ函数が t → 0 {\displaystyle t\rightarrow 0} のときに z についてくし型関数(周期的デルタ函数)へ収束するという事実による。