Lp空間
(S, Σ, μ) 上の可測関数の(同値類の)ベクトル空間は、L(S, Σ, μ) と表記される。定義より、それは全ての L を含み、測度収束の位相を備える。μ が確率測度であるとき(すなわち、μ(S) = 1 であるとき)、この種の収束は確率収束と呼ばれる。μ が有限であるとき、その表現はより簡単になる。
μ が (S, Σ) 上の有限測度であるなら、0 函数は測度収束に対して次の基本近傍系を許す:
V ε = { f : μ ( { x : | f ( x ) | > ε } ) < ε } , ε > 0. {\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\ \ \varepsilon >0.}
その位相は
d ( f , g ) = ∫ S φ ( | f ( x ) − g ( x ) | ) d μ ( x ) {\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)}
多様体上にも空間 L p ( M ) {\textstyle L^{p}(M)} を定義することが出来、それはその多様体の内的 L 空間と呼ばれる。定義の際には、多様体上の密度(英語版)を用いる。
1 < p < ∞ の場合、L(μ) の双対空間(すべての連続線型汎関数からなる空間)は、1/p + 1/q = 1 を満たすような q に対する L(μ) への自然な同型を持つ。それは g ∈ L(μ) を
κ p ( g ) : f ∈ L p ( μ ) ↦ ∫ f g d μ {\displaystyle \kappa _{p}(g)\colon f\in L^{p}(\mu )\mapsto \int fg\,d\mu }
で定義される汎関数 κp(g) ∈ L(μ) へと関連付ける。
ヘルダーの不等式より、κp(g) は well-defined であることと連続であることが従う。写像 κp は L(μ) から L(μ) への線型写像で、ヘルダーの不等式の例外的な場合により等長写像であることが分かる。また、任意の G ∈ L(μ) もこの方法で表現されること、すなわち κp は全射であることも、(例えばラドン=ニコディムの定理を用いて)証明することが出来る。κp は全射かつ等長なので、バナッハ空間の同型写像である。この(等長)同型性を念頭に置くと、L 「が」L の双対であると言うことは自然であろう。
1 < p < ∞ の場合、空間 L(μ) は回帰的である。κp を上述のような写像とし、κq を対応する L(μ) から L(μ)* の上への線型等長写像とする。L(μ) から L(μ)** への写像