群の表現
量子力学におけるハミルトニアン H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} が、ある変換群 G で不変であるとすると、1つのエネルギー固有値 E に属するハミルトニアン H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} の固有空間は群 G のユニタリ表現の表現空間になっている。したがって群 G の既約なユニタリ表現を知ることで、ハミルトニアン H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} の固有状態を分類することができる。これが原子や分子の状態や素粒子の分類に群論が有力な道具となる理由である。
有限群 G の部分群 H, K を取り、その両側剰余類分解を
G = ∐ t ∈ H ∖ G / K H t K {\displaystyle G=\coprod _{t\in H\backslash G/K}HtK}
とする。このとき FH 加群 W について FK 加群として次の同型が成り立つ。
( W G ) K ≅ ⨁ t ∈ H ∖ G / K ( W H t ∩ K t ) K {\displaystyle (W^{G})_{K}\cong \bigoplus _{t\in H\backslash G/K}(W_{H^{t}\cap K}^{t})^{K}}
ここで W は FH 加群で、線形空間としては W と同型であり、W の元を(形式的に)w と表したとき、その作用は wh = (wh) で定める。この FH 加群 W は W の共役加群と呼ばれることがある。
有限群 G の部分群 H を取り、剰余類分解の完全代表系 t1, ..., tm をひとつ固定する。
G = t 1 H ⨿ ⋯ ⨿ t m H . {\displaystyle G=t_{1}H\amalg \dotsb \amalg t_{m}H.}
体 F 上の表現 T: H → GLn(F) の誘導表現(英語版) T: G → GLnm(F) とは次で定義される群 G の表現のことである。
T ( g ) = [ T ( t i − 1 g t j ) ] 1 ≤ i , j ≤ m {\displaystyle T(g)={\begin{bmatrix}T(t_{i}^{-1}gt_{j})\end{bmatrix}}_{1\leq i,j\leq m}}
ただし x ∉ H {\displaystyle x\not \in H} のときは T(x) = 0 とする。誘導表現は剰余類分解の代表系の取り方に依存しない。
誘導表現 T の次数は表現 T の次数の |G : H| 倍である。また自明な部分群の自明な表現の誘導表現は群 G の正則表現を与える。
部分群 H の表現加群を U としたとき誘導表現から定まる群 G の表現加群のことを誘導加群といい、U, U↑ あるいは IndGH U で表す。代数のテンソル積を使って U = U ⊗FHFG と定義しても同型な表現加群が定義できる。