ロジスティック写像
以上のように、生物の個体群動態論上では、ロジスティック写像は離散型増殖過程のモデルの一つである。ただし、生物の個体数のモデルとしてのロジスティック写像は、物理学の法則などとは異なり、直接的な実験結果や普遍的に成立する原理から導かれたものではない。導出過程の考え方にある程度の合理性はあるが、基本的には頭の中で考えられた「モデル」に留まる。ロジスティック写像を著名にしたメイも、論じているモデルが個体数の増減を正確に表現していると主張していたわけではない。生物個体群ダイナミクスの研究上も、歴史的に多用されてきたのは微分方程式による連続時間モデルであり、それら連続時間モデルの適用によって生物個体群ダイナミクスの理解を深めてきた。密度効果を考慮した離散時間個体群モデルとしても、個体数が負にならないリッカーモデルの方がより現実的と言える。
一般的に言えることとして、数理モデルは個体群ダイナミクスに関する重要な定性的情報を提供してくれることもあるが、実験的な裏付けがないのであれば、数理モデルから出てくる結果をあまり真剣に受け止めるべきではない。数理モデルの結論が生物学的研究結果から外れることがあっても、なおも数理モデルによる研究が有意義なのは、有用な対照となりうるからである。モデルの構成過程や設定、あるいはモデルが前提としていた生物学的な知見や仮説を見直すことにより、生物学的論点を提示できる可能性がある。生物個体数モデルとしてのロジスティック写像は単純過ぎて現実的ではないが、ロジスティック写像が示す結果は、環境からの不規則的な影響などに無関係に、個体群それ自体に内在するダイナミクスによって個体数の多様な変動が起こる可能性を示唆している。
f (x) > 1 を満たす x の区間を A0 とする。上記の通り、変数 xn が A0 に一旦入ると、マイナス無限大へ発散する。写像を1回適用すると A0 へ写る x も [0, 1] の中に存在している。この x の区間は2つに分かれており、それらをまとめて A1 とする。同じように、写像を1回適用すると A1 へ写る区間も4つ存在し、それらを A2 とする。以下同じように、n 回反復で A0 にたどり着く区間 An が 2 個存在する。 したがって、次のように [0, 1] から An を無限回取り除いた区間 Λ が、I の中に留まり続ける軌道の集まりである。
[0, 1] から An を取り除いていく作業は上述のカントール集合の構成過程に似ており、実際に Λ はカントール集合(閉で完全不連結で[0, 1] の完全部分集合)の形で [0, 1] の中に存在している。そしてさらに、Λ 上でロジスティック写像 fa>4 はカオス的である。
に一致する。
また、ロジスティック写像で現れた安定周期軌道の出現パターンにも普遍性がある。パラメータを c として、xn+1 = cf(xn) で表される単峰な写像では、2つの不動点が不安定であるようなあるパラメータ区間で様々な周期の安定周期軌道が出現し続け、その出現パターン(ある周期の安定周期軌道の出現回数と出現順序)は共通であることが知られている。つまり、この種の写像であれば、写像の具体的な形によらずに安定周期軌道の系列は同じとなる。ロジスティック写像の場合は 3 < a < 4 がそのパラメータ区間であったが、正弦写像 (4-1) では 0.71... < b < 1 が共通する安定周期軌道の系列が起きるパラメータ区間である。この普遍性のある安定周期軌道の系列はU系列と呼ばれる。
加えて、ロジスティック写像は区間 [0, 1] 上でシュワルツ微分が常に負であるという性質を持つ。ある (C 級の)写像 f のシュワルツ微分とは、
で定義される関数である。実際にロジスティック写像のシュワルツ微分を計算すると
となり、a および x の値に依らずにシュワルツ微分は負となる。[0, 1] を [0, 1] へ写す1次元写像が単峰で負のシュワルツ微分を持てば、存在する安定周期軌道は多くても1つであるといった性質が知られる。