直交行列
直交行列の行列式の値は ±1 である。実際、行列 A が直交行列なら行列式の性質から
det ( A ) 2 = det ( A ) det ( A ⊺ ) = det ( A A ⊺ ) = det ( E ) = 1 {\displaystyle \det(A)^{2}=\det(A)\det(A^{\intercal })=\det(AA^{\intercal })=\det(E)=1}
となる。逆は必ずしも真ではない。
ユニタリ行列である。従って対角化可能である。
n 次行列 A を n 個の列ベクトル(行ベクトル) v 1 , v 2 , . . . , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}} を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 AA=E は v 1 , v 2 , . . . , v n {\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}} が正規直交基底になる条件と同値である。
n 次の直交行列 A 、n 次の列ベクトル x が与えられた時、ノルムを ‖•‖ で表せば、 ‖Ax‖ = ‖x‖ である。したがって A の対応する作用素ノルムは ‖ A ‖ = 1 である。
2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。
( 0 1 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}