アダマール変換
H 2 = 1 2 ( 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 ) H 3 = 1 2 3 / 2 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 1 1 − 1 − 1 1 1 1 1 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 − 1 1 − 1 − 1 1 − 1 1 1 1 − 1 − 1 − 1 − 1 1 1 1 − 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}={\frac {1}{2}}&{\begin{pmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{pmatrix}}\\H_{3}={\frac {1}{2^{3/2}}}&{\begin{pmatrix}{\begin{array}{rrrrrrrr}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\end{array}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
アダマール行列の行はウォルシュ関数である。
H ( 1 2 | 0 ⟩ − 1 2 | 1 ⟩ ) = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) − 1 2 ( | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) = | 1 ⟩ {\displaystyle H\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )-{\frac {1}{2}}(|0\rangle -|1\rangle )=|1\rangle }
0または1のqubitにアダマールゲートを1回適用すると(上の最初の二つの式)、0と1が等しい確率で観測されるような量子ビットが生成される。これは、例えば表と裏が出る確率が同様に確からしいコインを投げるようなものである。しかし、もしアダマールゲートが2回続けて適用された場合(上の3番目と4番目の式)、最終的な状態は初期状態に等しくなる。
ケット | 0 ⟩ = [ 1 0 ] {\displaystyle |0\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}} であり、ケット | 1 ⟩ = [ 0 1 ] {\displaystyle |1\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}} である。
( H n ) j + 1 , k + 1 = 1 2 n / 2 ( − 1 ) j ⋅ k {\displaystyle \left(H_{n}\right)_{j+1,k+1}={\frac {1}{2^{n/2}}}(-1)^{{\boldsymbol {j}}\cdot {\boldsymbol {k}}}}
と定義することもできる。ただし j ⋅ k {\displaystyle {\boldsymbol {j}}\cdot {\boldsymbol {k}}} は数 j と k の二進表現のビットごとの内積(すなわちビット単位AND演算のハミング重み)である。j を二進数の桁 ji(0 もしくは 1)で
j = ∑ i = 0 n − 1 j i 2 i = j n − 1 2 n − 1 + j n − 2 2 n − 2 + ⋯ + j 1 2 + j 0 {\displaystyle j=\sum _{i=0}^{n-1}j_{i}2^{i}=j_{n-1}2^{n-1}+j_{n-2}2^{n-2}+\dots +j_{1}2+j_{0}}
と表記すると
j ⋅ k = ∑ i = 0 n − 1 j i k i {\displaystyle {\boldsymbol {j}}\cdot {\boldsymbol {k}}=\sum _{i=0}^{n-1}j_{i}k_{i}}