自由代数
これはなぜ R⟨X1, ..., Xn⟩ の元が「変数」(あるいは「不定元」X1, ..., Xn の「非可換多項式」としばしば呼ばれるのかを説明する;元 a i 1 , i 2 , . . . , i k {\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}} はこれらの多項式の「係数」と呼ばれ、R 代数 R⟨X1, ..., Xn⟩ は「R 上の n 不定元の非可換多項式環」と呼ばれる。本当の多項式環とは異なり、変数たちは可換ではないことに注意。例えば X1X2 は X2X1 と等しくない。
より一般に、任意の生成元の集合 E 上の自由代数 R⟨E⟩ を構成することができる。環は Z 代数と見なすことができるから、E 上の自由環 (free ring) は自由代数 Z⟨E⟩ として定義できる。
体上では n 不定元の自由代数は n 次元ベクトル空間上のテンソル代数として構成できる。より一般の係数環に対しては、n 生成元の自由加群を取ることで同じ構成ができる。
E 上の自由代数の構成は本来関手的であり、適切な普遍性を満たす。自由代数関手は R 代数の圏から集合の圏への忘却関手の左随伴である。
可除環上の自由代数は自由イデアル環(英語版)である。