リンドハード理論
次に静止極限( ω + i δ → 0 {\displaystyle \omega +i\delta \to 0} )を考える。リンドハード公式は次のようになる。
ε ( q , 0 ) = 1 − V q ∑ k f k − q − f k E k − q − E k {\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}} .
上述の式を分母と分子に代入すると、
ε ( q , 0 ) = 1 − V q ∑ k , i − q i ∂ f ∂ k i − ħ 2 k → ⋅ q → m = 1 − V q ∑ k , i q i ∂ f ∂ k i ħ 2 k → ⋅ q → m {\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}
熱平衡でのフェルミ-ディラックキャリア分布を仮定すると、