群のコホモロジー
1940年ごろ、ハインツ・ホップ(英語版)は2つの積演算について考えていた。リー群の上に2つの閉曲線があったとすると、リー群の積演算を使ってこの閉曲線同士を乗算することで閉曲面ができる。これが1つ目の積演算である。もう1つは負曲率の閉リーマン多様体上の2つの閉測地線に対して定義されるものである。この2つの閉曲線が定める基本群の元が可換であったとすると、これらによって「張られる」トーラスのような閉曲面を定めることができる。ホップは2つの閉曲線に対して定義されるこれら2種類の積を統一的に理解しようとした。そして、これらの積を定義するためにリー群やリーマン多様体の構造は不要であることに気づいた。背景にある原理は、1次のホモトピー群である基本群と2次のホモロジー群を関係付けるものであり、極めて一般的な状況で通じるものであった。そして1941年、次の公式
H 2 ( X ; Z ) h ( π 2 ( X ) ) ≅ R ∩ [ F , F ] [ F , R ] {\displaystyle {\frac {H_{2}(X;\mathbb {Z} )}{h(\pi _{2}(X))}}\cong {\frac {R\cap [F,F]}{[F,R]}}}
を発表した。ここで X は考えている空間、H2(X; Z) は2次の整数係数ホモロジー群、π2(X) は2次のホモトピー群、h はフレヴィッツ準同型、F と R は X の基本群 π1(X) を生成元と関係式で π1(X) ≅ F/R と表示したときの自由群と関係式、[・,・] は交換子で生成される群である。
ホモロジー H∗ とcoinvariants XG := X/G に対応する下付き
を入れ替える。
具体的にはホモロジー群 Hn(G, M) は次のように計算できる。まず自明な Z[G] 加群 Z の射影分解
F : ⋯ → F n → F n − 1 → ⋯ → F 0 → Z → 0 {\displaystyle F:\dotsb \to F_{n}\to F_{n-1}\to \dotsb \to F_{0}\to \mathbb {Z} \to 0}
からはじめる。共変関手 – ⊗Z[G] M を F の各項ごとに適用して鎖複体
F ⊗ Z [ G ] M : ⋯ → F n ⊗ Z [ G ] M → F n − 1 ⊗ Z [ G ] M → ⋯ → F 0 ⊗ Z [ G ] M → Z ⊗ Z [ G ] M {\displaystyle F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M:\dotsb \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \dotsb \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}
を得る。Hn(G, M) はこの鎖複体のホモロジー群 Hn(F ⊗Z[G] M) である。