密度行列
密度行列の概念を導入する前準備として、簡単な数学的考察を行う。
系が純粋状態 | φ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } にあるとき、物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} を観測すると、観測値の期待値は
⟨ φ | A ^ | φ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |{\hat {A}}|\phi \rangle \,}
となる。これを変形すれば以下のようになる:
⟨ φ | A ^ | φ ⟩ = ∑ j ⟨ φ | ψ j ⟩ ⟨ ψ j | A ^ | φ ⟩ = ∑ j = k j , k ⟨ ψ j | A ^ | φ ⟩ ⟨ φ | ψ k ⟩ = t r ( A ^ | φ ⟩ ⟨ φ | ) {\displaystyle \langle \phi |{\hat {A}}|\phi \rangle =\sum _{j}\langle \phi |\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|{\hat {A}}|\phi \rangle =\sum _{\stackrel {j,k}{j=k}}\langle \psi _{j}|{\hat {A}}|\phi \rangle \langle \phi |\psi _{k}\rangle =\mathrm {tr} ({\hat {A}}|\phi \rangle \langle \phi |)}