カルマンフィルター
そして、観測値 z k {\displaystyle {\boldsymbol {z}}_{k}} と真の値の関係を代入。
P k | k = c o v ( x k − ( x ^ k | k − 1 + K k ( H k x k + v k − H k x ^ k | k − 1 ) ) ) {\displaystyle P_{k|k}=\mathrm {cov} ({\boldsymbol {x}}_{k}-({\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}+K_{k}(H_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}+{\boldsymbol {v}}_{k}-H_{k}{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1})))}
変形して、
P k | k = c o v ( ( I − K k H k ) ( x k − x ^ k | k − 1 ) − K k v k ) {\displaystyle P_{k|k}=\mathrm {cov} ((\mathrm {I} -K_{k}H_{k})({\boldsymbol {x}}_{k}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1})-K_{k}{\boldsymbol {v}}_{k})}
観測誤差 vk は、他の項と相関がないから、
P k | k = c o v ( ( I − K k H k ) ( x k − x ^ k | k − 1 ) ) + c o v ( K k v k ) {\displaystyle P_{k|k}=\mathrm {cov} ((\mathrm {I} -K_{k}H_{k})({\boldsymbol {x}}_{k}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1}))+\mathrm {cov} (K_{k}{\boldsymbol {v}}_{k})}
ここに、 E {\displaystyle \mathrm {E} } は、期待値。また、共分散は、推定値の誤差共分散である。
P k | k = c o v ( x k − x ^ k | k ) {\displaystyle P_{k|k}=\mathrm {cov} ({\boldsymbol {x}}_{k}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k})}
P k | k − 1 = c o v ( x k − x ^ k | k − 1 ) {\displaystyle P_{k|k-1}=\mathrm {cov} ({\boldsymbol {x}}_{k}-{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k|k-1})}
S k = c o v ( e k ) {\displaystyle S_{k}=\mathrm {cov} ({\boldsymbol {e}}_{k})}
これは、時変 (time-variant) な行列 F k {\displaystyle F_{k}} , G k {\displaystyle G_{k}} , H k {\displaystyle H_{k}} , Q k {\displaystyle Q_{k}} , R k {\displaystyle R_{k}} によって特徴付けられる線形方程式として、以下で与えられる。これが状態方程式である。
時刻 k {\displaystyle k} における真のシステムの状態は、1ステップ前の時刻 ( k − 1 ) {\displaystyle (k-1)} の状態をもとに、次のように表現される。
x k = F k x k − 1 + u k + G k w k {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k}=F_{k}{\boldsymbol {x}}_{k-1}+{\boldsymbol {u}}_{k}+G_{k}{\boldsymbol {w}}_{k}}
ここに、
F k {\displaystyle F_{k}} は、システムの時間遷移に関する線形モデル。
u k {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{k}} は制御入力。
G k {\displaystyle G_{k}} は時間遷移に関する雑音 (process noise) モデルの行列で、 w k {\displaystyle {\boldsymbol {w}}_{k}} はその雑音で、共分散行列 Q k {\displaystyle Q_{k}} かつ零平均の多変数正規分布に従う。
非線形性の強いとき、拡張カルマンフィルターの性能は悪い。理由は平均値だけが非線形性に反映されるからである。unscented カルマンフィルターは、シグマ点とよばれる代表点を平均値の回りで用いて、推定値の共分散を計算する。こうすることにより、真の平均と共分散により近い値が得られることがモンテカルロ法や、テイラー展開によって示される。しかも解析的にヤコビアンを計算する必要がなくなるという利点がある。これは複雑なモデルでは有利である。
予測
拡張カルマンフィルターと同様、 unscented カルマンフィルターの予測手続きは更新手続きと別であり、更新手続きに線形カルマンフィルターや拡張カルマンフィルターを用いたり、その逆を行うことも可能である。推定値と共分散には、予測ノイズの平均と共分散項が加えられる。
x k − 1 | k − 1 a = [ x ^ k − 1 | k − 1 T E ( w k T ) ] T {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{k-1|k-1}^{a}=[{\hat {\boldsymbol {x}}}_{k-1|k-1}^{\textrm {T}}\quad \mathrm {E} ({\boldsymbol {w}}_{k}^{\textrm {T}})\ ]^{\textrm {T}}}