上極限と下極限
数列の場合と同様にして、集合の列 (An) にも上極限と下極限が定義される。
lim ̄ n → ∞  A n = ⋂ n ∈ N ⋃ k ≥ n A k {\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }\bigcup _{k\geq n}A_{k}}
lim _ n → ∞  A n = ⋃ n ∈ N ⋂ k ≥ n A k {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\bigcap _{k\geq n}A_{k}}
集合の列の場合は上極限と下極限が一致するときに集合の列は収束するといい、
lim n → ∞ A n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}
と書くことがある。これらは集合のかわりに集合の定義関数の列を考えれば、数列の場合の定義と一致する。
集合列の上極限と下極限は確率論でよく使われる。確率論においては列として事象の列(An)を考える。例えば、サイコロを無限回振るという試行を行いn回目のサイコロの目が1であるという事象をAnと呼ぶことにする。この事象の列の上極限・下極限
lim ̄ n → ∞  A n , lim _ n → ∞  A n {\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }A_{n},\quad \varliminf _{n\to \infty }A_{n}}
もまた事象になる。この事象の意味は