導来圏
スキーム上の連接層の理論において、非特異スキームという仮定なしにセール双対の理論をどこまで展開できるかという考えを推し進めると、単なる双対化層の代わりに層の複体を考える必要が出てくる。実際、考えているスキームが(非特異という条件を弱めた)コーエン・マコーレーであるという条件は、双対化層が存在するという条件と同値である。しかしこの条件は全く一般的ではない。グロタンディークが取っていた高い位置から俯瞰的に考える立場からすると、この状況は理論を再定式化する必要性を表していた。これに付随して、「正しい」テンソル積やHom関手は導来圏のレベルで存在するだろうというアイデアが現れ、さらにTor関手とExt関手はそれらの導来圏レベルの関手をより具体的に計算するためのツールのようなものとなった。
抽象度が高いにもかかわらず、特に層コホモロジーの設定での利便性により、導来圏はその後の数十年で受け入れられるようになった。おそらく、1980年頃、導来圏のことばで 1 よりも大きな次元でのリーマン・ヒルベルト対応(英語版)を定式化したことが、最も大きな前進であっただろう。佐藤スクールは導来圏の言葉を使い、D-加群の理論をこの言葉で記述した。
平行して発展した理論は、ホモトピー論でのスペクトル(英語版)の圏の理論である。スペクトルのホモトピー圏と環の導来圏は、双方とも三角圏(英語版)の例である。
言い換えると、導来圏における Hom(X, Y) は、X と Y の両方を単射分解した後ホモトピー圏で射を計算することにより計算することができ、このほうが理論的にはより容易となる。実際には Y の分解だけで十分であり、任意の双対鎖複体 X と任意の下に有界な単射的双対鎖複体 Y に対し、
Hom D ( A )  ( X , Y ) = Hom K ( A )  ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{D({\mathcal {A}})}(X,Y)=\operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}(X,Y)}
となる。
双対に、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} が十分射影対象を持つこと、つまり、すべての対象 X に対し、射影対象 P から X への全射が存在することを仮定すれば、単射分解の代わりに射影分解を使うこともできる。
この分解のテクニックに加えて、特別な場合に適用し、上に有界や下に有界の制限問題をエレガントに避ける同様な方法がある。Spaltenstein (1988) では、いわゆる K-単射分解や K-射影分解を使っている。May (2006) と(少し用語は異なっているが)Keller (1994) ではいわゆる胞体加群や準自由加群という用語が導入された。
さらに一般的には、定義を注意深い適用すると、完全圏(英語版)の導来圏を定義することもできる。