ホッジ理論
M {\displaystyle M} をコンパクトなリーマン多様体とすると、 H d R k ( M ) {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)} の各々の同値類はちょうどひとつだけ調和形式を含む。すなわち、与えられた閉形式の同値類の任意の元 ω は次の形に書くことができる。
ω = d α + γ {\displaystyle \omega =d\alpha +\gamma \,}
ここに α {\displaystyle \alpha } はある微分形式で、γ は調和形式、つまり Δγ = 0 である。
コンパクトで連結なリーマン多様体の上の任意の調和函数は定数である。したがって、特別に注目すべき元は多様体の全てのコホモロジー同値な形式の最大値(最小値)であると理解することができる。例えば、2-トーラス上では、定数の1-形式は、(同じ長さで)同じ方向を揃って向いた「毛」のようなものと考えることができる。この場合には、2つのコホモロジー的に異なった方向があり、他はすべてこれらの線型結合である。特に、このことは2-トーラスの 1 次ベッチ数は 2 であることを意味する。