リーマンゼータ関数
ζ ( s ) := ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
で定義される関数 ζ のことをいう。上記の級数は s の実部が 1 より真に大きい複素数のとき,すなわち Re s > 1 のときに収束する(なお s = 1 のとき調和級数となり発散する)が、解析接続によって s = 1 を一位の極とし、それ以外のすべての複素数において正則な有理型関数となる。
整数論に対するリーマンの仮定とその応用の重要性が際立っているため、リーマンゼータ関数に関連するトピックは依然として数学研究の中心分野として残っている。特に、エルンスト・リンデレーフ(英語版)、ジャック・アダマール、チャーリー・ジャン(英語版)、ゴットフレイ・ハーディ、ジョン・リトルウッド、アトル・セルバーグ、セルゲイ・ヴォロニン(ドイツ語版)、ブライアン・コーレイ(英語版)などの数学者により、リーマンゼータ関数は決定的な進歩を遂げた。