バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
この L-関数はリーマンのゼータ関数と二元二次形式に対して定義されるディリクレの L-級数に類似である。それはハッセ・ヴェイユの L-関数の特別な場合である。
L(E, s) の自然な定義は複素平面で Re(s) > 3/2 である s の値に対してしか収束しない。ヘルムート・ハッセ (Helmut Hasse) は L(E, s) を解析接続によって複素平面全体に拡張できると予想した。この予想はまず虚数乗法を持つ楕円曲線に対して Deuring (1941) によって証明された。その後、モジュラー性定理の帰結として、Q 上のすべての楕円曲線に対して正しいことが証明された。
一般の楕円曲線上の有理点を見つけることは難しい問題である。与えられた素数 p を法として楕円曲線上の点を見つけることは概念的には直截である、なぜならばチェックすべき可能性は有限個しかないからである。しかしながら、大きい素数に対しては、計算量は膨大である。