球面調和関数
原点に対する点対称操作で符号が替わらない(偶関数)かあるいは符号が逆になる(奇関数)かに依って、球面調和関数に対する「パリティ」が定義される。原点を不動点とする点対称操作は PΨ(r→) = Ψ(−r→) と表わせる。立体角で表わせば、{θ, φ} を {π − θ, π + φ} に置き換える操作になる。ルジャンドル陪多項式(Associated Legendre polynomials)はパリティとして (−1) を、指数関数は (−1) を与えるので、両者を併せると球面調和関数のパリティは(mには依らずに) (−1) となる。
Y l m ( θ , φ ) → Y l m ( π − θ , π + φ ) = ( − 1 ) l Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )\;\rightarrow \;Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\phi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}
このことは、高次元に一般化した場合にも成り立つ。l 次の球面調和関数に点対称操作を施した場合、符号の変化は (−1) となる。 (これは調和多項式が次数の偶・奇に併せて空間反転で偶関数・奇関数であること、球面調和函数が調和多項式の球面上への制限であることからも容易に理解できる。)