カッツ・ムーディ代数
数学において、カッツ・ムーディ(・リー)代数(英: Kac–Moody algebra)とは、一般カルタン行列を用いて生成元と関係式によって定義できる、通常は無限次元の、リー代数である。独立に発見したヴィクトル・カッツとロバート・ムーディ(英語版)に因んで名づけられている。カッツ・ムーディ・リー環は有限次元半単純リー環の一般化であり、ルート系、既約表現、旗多様体との関連といった、リー環の構造に関係した多くの性質は、カッツ・ムーディ・リー環において自然な類似を持つ。
カッツ・ムーディ・リー環の中でもアフィン・リー環と呼ばれるクラスが、数学や理論物理学、特に共形場理論や完全可解模型(英語版)の理論において、特に重要である。カッツは、組合せ論的な恒等式であるマクドナルド恒等式の、アフィン・リー環の表現論に基づいたエレガントな証明を発見した。Howard Garland と James Lepowsky(英語版) はロジャーズ・ラマヌジャン恒等式が類似の方法で導出できることを証明した。
h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} はカッツ・ムーディ・リー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に対するカルタン部分環の類似である。
x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} が g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元であって、ある λ ∈ h ∗ ∖ { 0 } {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}} に対して
∀ h ∈ h , [ h , x ] = λ ( h ) x {\displaystyle \forall h\in {\mathfrak {h}},\,[h,x]=\lambda (h)x}
を満たすならば、x をルートベクトルと呼び、 λ {\displaystyle \lambda } を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のルートと呼ぶ。(慣習により零汎関数はルートとは考えない。) g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のすべてのルートの集合をしばしば Δ {\displaystyle \Delta } で、あるいはときどき R {\displaystyle R} で記す。