累積的階層
場合によって、 W α + 1 ⊆ P ( W α ) {\displaystyle W_{\alpha +1}\subseteq {\mathcal {P}}(W_{\alpha })} であることや、 W 0 ≠ ∅ {\displaystyle W_{0}\neq \emptyset } であることを条件に入れることもある。
累積的階層をなしている W = ⋃ α ∈ O n W α {\textstyle W=\bigcup _{\alpha \in \mathrm {On} }W_{\alpha }} の和はしばしば集合論のモデルになる。
単純に"累積的階層"と言った場合、フォン・ノイマン宇宙の累積的階層 V α {\displaystyle \mathrm {V} _{\alpha }} を指すことが多い。これは V α + 1 = P ( W α ) {\displaystyle \mathrm {V} _{\alpha +1}={\mathcal {P}}(W_{\alpha })} で定めるものであり Zermelo (1930) で導入された。