重力ポテンシャル
球対称な質量分布 ρ = ρ ( r ) {\displaystyle \rho =\rho (r)} のもとでは、重力ポテンシャル Φ {\displaystyle \Phi } もやはり球対称性を持ち動径 r {\displaystyle r} だけの関数となる。このとき重力ポテンシャルに関するポアソン方程式は、ラプラシアンの球座標表示の公式により
1 r 2 d d r ( r 2 d Φ d r ) = 4 π G ρ {\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d\Phi }{dr}}\right)=4\pi G\rho }
と書き直せる。これはただちに積分できて、重力加速度 g = − ∂ r Φ {\displaystyle g=-\partial _{r}\Phi } および重力ポテンシャル Φ {\displaystyle \Phi } が
g ( r ) = − G M ( r ) r 2 , Φ ( r ) = − ∫ r ∞ G M ( r ′ ) r ′ 2 d r ′ {\displaystyle g(r)=-{\frac {GM(r)}{r^{2}}},\ \ \Phi (r)=-\int _{r}^{\infty }{\frac {GM(r')}{r'^{2}}}dr'}
と求まる。
一般相対論では重力場は計量テンソルにより表される。重力場が弱く、かつ重力源の速度が光速より十分遅い極限で一般相対論はニュートン重力を再現し、計量テンソルと重力ポテンシャルは
d s 2 = − ( 1 + 2 Φ c 2 ) c 2 d t 2 + ( 1 − 2 Φ c 2 ) ( d x 2 + d y 2 + d z 2 ) {\displaystyle ds^{2}=-\left(1+{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\right)(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}
という関係で結ばれる。この結果、一般相対論において重力ポテンシャルは時間の遅れや重力赤方偏移、重力レンズといった効果を引き起こす。