離散幾何学
離散群とは離散位相を備えた群のことであり、この位相により位相群となる。また、ある位相群の離散部分群とは相対位相が離散であるような部分群のことである。例えば、(通常の距離位相を伴う)整数 Z の加法群は実数 R の加法群の離散部分群となるが、有理数 Q の加法群はそうではない。
局所コンパクトな位相群における格子とは商位相空間が有限な不変測度を持つ離散部分群のことである。R の部分群の特別な場合については、これは通常の幾何的概念としての格子にあたるものであり、格子の代数的構造と全ての格子の全体の幾何に対しての理解が比較的進んでいる。1950年代から1970年代にわたって得られたボレル、ハリシュ=チャンドラ(英語版)、モストウ、玉河、M・S・ラグナサン(英語版)、マルグリス、ジマー(英語版)の深い結果は、種々の例を提示するとともに理論の多くを局所体上の冪零なリー群と半単純代数群(英語版)の設定に一般化した。1990年代にはバス(英語版)とルボツキ(英語版)が木格子の研究を創始し、現在も活発な研究分野である。
この領域のトピックには以下が含まれる。
反射群(英語版)
三角群(英語版)
位相幾何学に組合せ論の概念を用いた組合せ位相幾何学は、20世紀前半になると代数的位相幾何学へと発展した。
1978年、ラースロー・ロヴァースによるクネーザー予想の証明によって、組合せ論の問題を解くために代数的位相幾何学の手法が用いられるという逆の状況が生じ、新たな位相的組合せ論の研究が始まった。ロヴァースの証明に用いられたボルスク–ウラムの定理(英語版)はこの新しい分野において重要な役割を果たしているほか、多くの等価・類似の命題が存在し、公平分割問題の研究に用いられている。
この領域のトピックには以下が含まれる。
スペルナーの補題(英語版)
正則地図(英語版)