算術級数定理
であるから、 log  λ ( s 0 ) {\displaystyle \log \lambda (s_{0})} が発散するためには log  λ ( R s 0 ) {\displaystyle \log \lambda (\Re {s_{0}})} が発散しなければならない。しかし、 R s 0 {\displaystyle \Re {s_{0}}} は収束円の内部にあるから log  λ ( R s 0 ) {\displaystyle \log \lambda (\Re {s_{0}})} は収束する。従って、 I s 0 = 0 {\displaystyle \Im {s_{0}}=0} である。 ∀ k , c k ≥ 0 {\displaystyle \forall {k},c_{k}\geq 0} であるから、級数が収束するかぎり、実軸上では log  λ ( s ) ≥ 0 {\displaystyle \log \lambda (s)\geq 0} であり、 λ ( s ) ≥ 1 {\displaystyle \lambda (s)\geq 1} である。従って、 λ ( s 0 ) {\displaystyle \lambda (s_{0})} は極でなければならず、そのためには s 0 = 1 {\displaystyle s_{0}=1} であり、 L ( 1 , χ 0 ) = ∞ {\displaystyle L(1,\chi _{0})=\infty } であり、且つ、他は全て L ( 1 , χ ) ≠ 0 {\displaystyle L(1,\chi )\neq 0} でなければならない。