ガロワ加群
古典的な代数的整数論において、L を体 K のガロワ拡大とし、G を対応するガロワ群とする。このとき L の整数環 OL を OK [G]-加群と考えることができ、その構造がどのようなものであるかを問うことができる。正規基底定理によって L はランク 1 の自由 K [G]-加群であることが分かっているという点で、これは数論的問題である。同じことが整数に対しても正しければ、それは正規整基底の存在、すなわち、α∈OL であってその G による共役元(英語版)が OK 上の OL の自由基底を与えるようなものの存在と同値である。これは K が有理数体 Q であるときでさえ(あるいはもしかすると、このときに特に)面白い問題である。
例えば、 L = Q ( − 3 ) {\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})\,\!} のとき、正規整基底は存在するだろうか?ζ = exp(2πi / 3) として L = Q(ζ) であることから分かるように、答えは肯定的である。
K を代数体とする。エミール・アルティン (Emil Artin) は、今ではアルティン表現 (Artin representation) と呼ばれる、K の絶対ガロワ群 GK のガロワ表現のクラスを導入した。これは複素ベクトル空間上 GK の連続な有限次元線型表現である。アルティンはこれらの表現を研究することでアルティンの相互法則や現在アルティン予想と呼ばれる予想の定式化に至った。アルチィン予想はアルティンの L-関数の正則性に関する予想である。
GK 上の射有限位相と複素ベクトル空間上の通常の(ユークリッド)位相との非協調性のために、アルティン表現の像は必ず有限である。
K を局所体とする。E を標数 0 の体とする。WK(あるいは単に K)の E 上のヴェイユ・ドリーニュ表現 (Weil–Deligne representation) は、以下のものからなる対 (r, N ) である。
連続な群準同型 r : W K → Aut E  ( V ) , {\displaystyle r\colon W_{K}\to \operatorname {Aut} _{E}(V),} ただし V は離散位相を持った E 上の有限次元ベクトル空間;
冪零自己準同型 N : V → V {\displaystyle N\colon V\to V} であって、すべての w ∈ WK に対して r ( w ) N r ( w ) − 1 = ‖ w ‖ N {\displaystyle r(w)Nr(w)^{-1}=\|w\|N} であるようなもの。
これらの表現は K のヴェイユ・ドリーニュ群(英語版)の E 上の表現と同じである。
K の剰余体の標数が l と異なるとき、グロタンディークの l-進モノドロミー定理は、WK の(Ql 上の) l-進表現と、WK の Ql 上の(あるいは同じことだが C 上の)ヴェイユ・ドリーニュ表現の間の全単射を確立する。後者の表現は、r の連続性は V の離散位相に関してのみであるから状況をより代数的な感じにするという素敵な性質を持っている。