解析力学
運動は初期位置と初期運動量が決定する平面上で行われることになる。その平面上の直角座標系を x , y {\displaystyle x,y} 、極座標を r ( = x 2 + y 2 ) {\displaystyle r(={\sqrt {x^{2}+y^{2}}})} 、 θ ( = arctan  ( y x ) ) {\displaystyle \theta (=\arctan({\frac {y}{x}}))} とする。このとき、極座標系の運動方程式は、 l = m r 2 θ ̇ {\displaystyle l=mr^{2}{\dot {\theta }}} とすると
m r ̈ = − d ∂ r ( V + l 2 2 m r 2 ) {\displaystyle m{\ddot {r}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\partial r}}\left(V+{\frac {l^{2}}{2mr^{2}}}\right)} 、
l ̇ = 0 {\displaystyle {\dot {l}}=0}
となる。これは直角座標系におけるニュートンの運動方程式の形とは形式的に全く異なる(共変性を持たない)。
このニュートンの運動方程式の一般座標変換に対して共変性を持たないという欠点が解析力学の出発点である。つまり解析力学は一般座標について式の形を変えない運動方程式の表現をもたらすことになるが、その要求を満たすものの一つがオイラー=ラグランジュ方程式である。
∂ x ̇ ∂ q ̇ i = ∂ x ∂ q i , ∂ y ̇ ∂ q ̇ i = ∂ y ∂ q i ( i = 1 , 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial {\dot {x}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial x}{\partial q_{i}}},\;\;{\frac {\partial {\dot {y}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial y}{\partial q_{i}}}\;\;\;(i=1,2)}
ラグランジアン L に対して、直角座標 x, y でのオイラー=ラグランジュ方程式は
d d t ( ∂ L ∂ x ̇ ) − ∂ L ∂ x = 0 d d t ( ∂ L ∂ y ̇ ) − ∂ L ∂ y = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}&=0\\{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y}}&=0\end{aligned}}}
であるが、このとき i = 1, 2 のそれぞれについて