巡回畳み込み
同様に、周期 N の離散シーケンスに対して、関数 h と x の巡回畳み込みを次のように書くことが出来る:
( x N ∗ h ) [ n ] = d e f ∑ m = − ∞ ∞ h [ m ] ⋅ x N [ n − m ] = ∑ m = − ∞ ∞ ( h [ m ] ⋅ ∑ k = − ∞ ∞ x [ n − m − k N ] ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(x_{N}*h)[n]\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\cdot x_{N}[n-m]\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(h[m]\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-m-kN]\right).\end{aligned}}}
これは行列の乗法に対応し、その積分変換の核は巡回行列である。