双線型形式
ノルム線型空間の上の双線型形式は、全ての u, v ∈ V に対して、 B ( u , v ) ≤ C ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\leq C\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|} が成立するような定数 C が存在するとき、有界(bounded)であるという。
ノルム線型空間の上の双線型形式が楕円的(elliptic)、もしくは強圧的(英語版)であるとは、全ての u ∈ V に対して、 B ( u , u ) ≥ c ‖ u ‖ 2 {\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )\geq c\|\mathbf {u} \|^{2}} となるような定数 c > 0 が存在する場合を言う。
V ≅ F は n-次元ベクトル空間で {e1, ..., en} がその基底を与えるものとする。n × n 行列 A は A = (B(ei, ej)) で定義され、ベクトル v, w をこの基底に関して表す n × 1 行列をそれぞれ x, y であるとすれば
B ( v , w ) = x T A y = ∑ i , j = 1 n a i j x i y j {\displaystyle B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=x^{\mathrm {T} }Ay=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}}
が成り立つ。別な基底 {f1, ..., fn} を取るとき、正則線型変換 S ∈ GL(n; F) が存在して
[f1, ..., fn] = [e1, ..., en]S
と書けるから、同じ双線型形式のこの基底に関する行列表現は、SAS により与えられる。
ここに黒丸 • は、得られる線型汎函数の引数が入る場所を示すプレースホルダである。
V が有限次元ベクトル空間である場合には、B1 または B2 のいずれか一方が同型ならば、両者とも同型となり、このとき双線型形式 B は非退化であると言う。より具体的に、有限次元ベクトル空間上の双線型形式 B が非退化であるとは、
B ( x , y ) = 0 ( ∀ y ∈ V ) ⟹ x = 0 , {\displaystyle B(x,y)=0\,(\forall y\in V)\implies x=0,}
B ( x , y ) = 0 ( ∀ x ∈ V ) ⟹ y = 0 {\displaystyle B(x,y)=0\,(\forall x\in V)\implies y=0}
がともに成立することを言う。
可換環 R の上の加群 M の場合にこれと対応する概念として、双線型形式 B: M × M → R がユニモジュラー (unimodular) であるとは、誘導される写像 B1, B2: M → M* := Hom(M,R) が同型であるときに言う。可換環上の有限階数加群が与えられたとき、誘導された写像が単射(上の意味で非退化)だがユニモジュラーでないという場合が起こり得る。