共形変換
x μ → x ′ μ = x μ − b μ x 2 1 − 2 b ⋅ x + b 2 x 2 {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\prime \mu }={\frac {x^{\mu }-b^{\mu }x^{2}}{1-2b\cdot x+b^{2}x^{2}}}}
ここで、a、 Λ ν μ {\displaystyle \Lambda _{\ \nu }^{\mu }} 、λ、bは変換による任意のパラメータである。
特殊共形変換は、以下のように書き直すことができる。
x ′ μ x ′ 2 = x μ x 2 − b μ {\displaystyle {\frac {x^{\prime \mu }}{x^{\prime 2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-b^{\mu }}
この形式から、特殊共形変換は x μ → x μ / x 2 {\displaystyle x^{\mu }\to x^{\mu }/x^{2}} と座標変換し、パラメータbだけ並進させる変換を意味していることが分かる。