一元体
そうすれば積 Z ×F1 Z を構成することができて Z に対するリーマン予想が有限体上の代数曲線に対するヴェイユの方法で証明することが望めるはずである。
さらに別な角度から、ディオファントス方程式を複素幾何学の道具立てを使って研究するアラケロフ幾何学に由来する F1 のアイデアがある。この理論には、有限体と複素数との間の複雑な比較対応が含まれる。ここでの F1 の存在は記述的な理由で有用である。
1993年にユーリ・マニンはゼータ函数についての講義シリーズで、彼の F1 上の代数幾何学の展開を提示している。マニンの示唆するところによれば、F1 上の代数多様体に付随するゼータ函数は非常に単純な記述を持ち、F1 のグロタンディーク群は球のホモトピー群に関係があるだろうというのである。これに示唆を受けて何人かの数学者たちが F1 に注意を向けることとなり、2000年に Zhu は F1 として F2 で和について 1 + 1 = 1(≠ 0) で置き換えたものを提案した。あるいは Deitmar は、F1 は環の構造から加法を忘れて乗法について注目したもの(吸収元 0 付きのモノイド)として得られるべきものであると示唆している。Toën と Vaquié は相対スキームに関するハキムの定理を構築し、対称モノイド圏を用いて F1 を定義した。ほかにも、Durov は可換代数的モナドとして、また、Soulé は複素数体上の多元環とある種の環の圏からの函手を用いて、Borger は有限体や整数環からdescentを用いて、F1 を構成している。
近いところでは、アラン・コンヌとその共同研究者たちが F1 を非可換幾何学に結び付けている。