対称双線型形式
標数が 2 でない体 K の上のベクトル空間 V 上で定義される、自明な根基を持つ対称双線型形式 b に対し、V の部分空間全体の成す集合 D(V) からそれ自身への写像
α : D ( V ) → D ( V ) , W ↦ W ⊥ {\displaystyle \alpha \colon D(V)\to D(V),\;W\mapsto W^{\perp }}
を定義することができる。この写像は射影空間 PG(W) 上の直交極性 (orthogonal polarity) である。逆に、すべての直交極性はこの方法により得られる、自明な根基を持つ二つの対称双線型形式が同じ極性を持つための必要十分条件は、それらがスカラー倍の違いを除いて一致することである。
有限次元ベクトル空間 V の基底 E = {e1, ..., en} をひとつ固定する。このとき V 上の双線型形式 b に対して n 次正方行列 B = (bij) を
b i j = b ( e i , e j ) {\displaystyle b_{ij}=b(e_{i},e_{j})}
で定義する。これを双線型形式 b の基底 E に関する表現行列という。表現行列 B は、双線型形式 b が対称であるとき、かつそのときに限り対称行列である。ベクトル u = ∑ ni = 1 ui ei, v = ∑ nj = 1 vj ej ∈ V に対して値 b(u, v) は表現行列 B を用いて
b ( u , v ) = [ u 1 , ... , u n ] B [ v 1 ⋮ v n ] {\displaystyle b(u,v)=[u_{1},\dotsc ,u_{n}]B{\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}}
と表される。逆に(対称)行列 B が与えられると(対称)双線型形式 b が上の関係式から定まる。
新たな基底 E′ = {e′1, ..., e′n} をとり、基底の変換行列 S = (sij) が e′j = ∑ ni = 1 sij ei で与えられているとする。このとき、 双線型形式 b の基底 E′ に関する表現行列 B′ は
B ′ = S ⊤ B S {\displaystyle B'=S^{\top }\!BS}
で与えられる。