基本解
微分作用素 L を
L = ∂ 2 ∂ x 2 {\displaystyle L={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}
として、微分方程式 Lf = sin(x) を考える。この基本解は LF = δ(x), つまり
∂ 2 ∂ x 2 F ( x ) = δ ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}F(x)=\delta (x)}
を解くことによって得られる。ヘヴィサイド函数 H に対して
∂ ∂ x H ( x ) = δ ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}H(x)=\delta (x)}
が成立することはよく知られているから、両辺を積分して
∂ ∂ x F ( x ) = H ( x ) + C {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}F(x)=H(x)+C}
となる(ここで C は積分定数である)。便宜的に、ここでは C = − 1/2 ととる。
∂ ∂ x F ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}F(x)} を積分して、新たな積分定数をゼロとすることで、
F ( x ) = x H ( x ) − 1 2 x = 1 2 | x | {\displaystyle F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}|x|}
が得られる。