リーマン積分
数学の実解析の分野において、リーマン積分(リーマンせきぶん、英: Riemann integral)とは、ベルンハルト・リーマンによる区間上の関数の積分の最初の厳密な定式化である。 リーマン積分の源流は、オイラーによる左リーマン和と右リーマン和を用いた逆微分による定積分の近似式にまで遡ることができる。 以後、ラクロワやポアソンを経て、コーシーによって微分とは独立に積分が定義できるようになり、リーマンによって現在の形に定式化された。 多くの関数や実際的な応用に対しては、リーマン積分は微分積分学の基本定理による計算や数値積分による近似計算が可能である。
リーマン積分は R の有界集合上の関数に対して定義されるが、積分範囲にある種の極限を考えることにより、広義リーマン積分が定義される。広義リーマン積分との対比で、通常のリーマン積分を狭義リーマン積分とも呼ぶ。
リーマン積分は積分の多くの性質を示すのに有効であるが、積分と極限との交換に関係する性質を示すには理論的困難を伴うなど、いくつかの技術的欠点がある。この為こうした欠点を補うべくリーマン–スティルチェス積分やルベーグ積分など積分概念の別の定式化方法も提案されている。
任意の ε > 0 に対して適当な点付き分割 (x0, ..., xn; t0, ..., tn−1) を選べば、その任意の細分 (y0, ..., ym; s0, ..., sm−1) に対して | ∑ i = 0 m − 1 f ( s i ) ( y i + 1 − y i ) − s | < ε {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-s\right|<\varepsilon } とすることができる。
を満たすことと定める。これらはいずれも最終的には、分割を細かくしていけば f のリーマン和がいくらでも s に近づくことを意味する。これはリーマン和をどれほどでも望むだけ近づけても成り立つから、すなわちリーマン和が s に収束することを言うものに他ならない。これらの定義は実際にはもっと一般の有向点族の概念の特別の場合になっている。
∫ f d x ≠ lim ∫ f n d x {\displaystyle \int f\,dx\neq \lim \int f_{n}\,dx}
が結論付けられる。これは、狭義のリーマン積分と極限との順序交換に対して最も重要な判定規準であった一様収束性による判定は、広義積分に対してはもはや成り立たないことを示している。そのせいで、広義リーマン積分は応用上の利用が難しいものとなっている。
もっと筋のよい方法は、リーマン積分を離れてルベーグ積分を考えることである。ルベーグ積分の定義は、それが一見してリーマン積分の一般化になっていることが明らかというようなものではない。しかし、狭義リーマン可積分可能な函数がルベーグ可積分であり、両者がともに定義される限りその積分値が一致することを証明するのはさほど困難なことではない。さらに言えば、有界区間上定義された函数 ƒ がリーマン可積分であるための必要十分条件は、函数 ƒ が有界かつその不連続点がルベーグ零集合を成すことである。
実は、リーマン積分を直接に一般化するヘンストック–クルツヴァイル積分がある。またリーマン積分の別な一般化が、リーマン和の定義における因子 xk+1 − xk を別なものに置き換える事で得られる。これは砕けた言い方をすれば積分区間に別な種類の長さを与えることにあたり、リーマン–スティルチェス積分はこのようなやり方の積分法のひとつである。