逆関数法
X を生成させたい確率分布に従う確率変数とし、 F(x) =Pr{X ≤ x}をその累積分布関数とする。y=F(x) が連続な単調増加関数であれば、逆関数 F(y) が存在する。U を[0,1)上の一様分布に従う確率変数とすると、
X := F − 1 ( U ) {\displaystyle X:=F^{-1}(U)}
は累積分布関数 F(x) をもつ確率分布に従う確率変数となる。実際、これは
P r { F − 1 ( U ) ≤ x } = P r { U ≤ F ( x ) } = F ( x ) {\displaystyle \mathrm {Pr} \{F^{-1}(U)\leq x\}=\mathrm {Pr} \{U\leq F(x)\}=F(x)}
であることから確認できる。
一般に F(x) は右連続な単調非減少関数であり、通常の意味での逆関数が存在するとは限らないが、その逆関数 F(y) を
F − 1 ( y ) := inf { x | F ( x ) ≥ y } , 0 ≤ y ≤ 1 {\displaystyle F^{-1}(y):=\inf {\{x|F(x)\geq y\}},\quad 0\leq y\leq 1}
で定義すれば、同様な結果が得られる。このように、一様分布に従う確率変数 U と累積分布関数の逆関数 F(y) から所望の分布に従う確率変数 X=F(U) を生成させる方法を逆関数法という。逆関数法は、原理的には連続分布、離散分布に適用可能であるが、必ずしも逆関数が容易にも求まるとは限らず、また高速な乱数生成が得られるとは限らない。