量子群
}
ただし、すべての正の整数 n に対し
k i = k α i , q i = q 1 2 ( α i , α i ) , [ 0 ] q i ! = 1 , [ n ] q i ! = ∏ m = 1 n [ m ] q i {\displaystyle k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})},[0]_{q_{i}}!=1,[n]_{q_{i}}!=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}}}
であり、
[ m ] q i = q i m − q i − m q i − q i − 1 {\displaystyle [m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}}
である。これらはそれぞれ q 階乗(通常の階乗の q 類似)と q 整数である。上の最後の2つの関係式は q セール関係式、セール関係式の変形、である。
q → 1 の極限において、これらの関係式は普遍包絡環 U(G) の関係式に近づく、ただし kλ → 1 および k λ − k − λ q − q − 1 → t λ {\displaystyle {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{q-q^{-1}}}\to t_{\lambda }} であり、ここにカルタン部分環の元 tλ はカルタン部分環のすべての元 h に対して (tλ, h) = λ(h) を満たす。
表現の1つの重要なタイプはウェイト表現であり、対応する加群はウェイト加群と呼ばれる。ウェイト加群はウェイトベクトルを基底に持つ加群である。ウェイトベクトルは 0 でないベクトル v であって、すべての λ に対して kλ ⋅ v = dλv となるものである。ここで dλ は各ウェイト λ に対する複素数であって、以下を満たす。
d0 = 1, すべてのウェイト λ, μ に対して、dλ dμ = dλ + μ.
ウェイト加群はすべての ei と fi の作用が局所冪零である(すなわち加群の任意のベクトル v に対して、ある正の整数 k(v に依存してよい)が存在して、すべての i に対して e i k . v = f i k . v = 0 {\displaystyle e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0} となる)とき、可積分であると呼ばれる。可積分な加群の場合には、ウェイトベクトルに付随する複素数 dλ は d λ = c λ q ( λ , ν ) {\displaystyle d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}} を満たす。ただし ν はウェイト格子の元で、cλ は次のような複素数である。
c 0 = 1 , {\displaystyle c_{0}=1,\,} すべてのウェイト λ, μ に対して、 c λ c μ = c λ + μ , {\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },} すべての i に対して、 c 2 α i = 1.