ベクトルポテンシャル
以下の定理は物理学的な意味づけに乏しいが、微分形式論の、ポアンカレの補題の証明において、よく使われる手法に基づいている。
定理(ホモトピー法によるベクトルポテンシャルの求め方)
p を、R の一点とする。M はR の領域であり、かつ、点p を中心に星形(英語版)とする。
また、X を、M 上で定義された3次元ベクトル場で、div X = 0 とする。
このとき、3次元ベクトル場 F (x ) を、
F ( x ) = ∫ 0 1 s ( ( x − p ) × ( X ( s x + ( 1 − s ) p ) ) d s {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}})=\int _{0}^{1}s(({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {p}})\times ({\boldsymbol {X}}(s{\boldsymbol {x}}+(1-s){\boldsymbol {p}}))\ ds}
とすると、F は、X のベクトルポテンシャルである。