ガウスの連分数
tan の展開はランベルトとアドリアン=マリ・ルジャンドルによって円周率の無理性の証明に用いられた。
ベッセル関数 J ν {\displaystyle J_{\nu }} は次のように表示できる。
J ν ( z ) = ( 1 2 z ) ν Γ ( ν + 1 ) 0 F 1 ( ν + 1 ; − z 2 4 ) {\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}})}
これより、
J ν ( z ) J ν − 1 ( z ) = z 2 ν − z 2 2 ( ν + 1 ) − z 2 2 ( ν + 2 ) − z 2 2 ( ν + 3 ) − ⋱ {\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}}
これらの等式は全ての複素数 z に対し成り立つ。
2 F 1 ( 0 , b ; c ; z ) = 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1} であるから、a を 0 と置き、c + 1 を c で置き換えると次の単純化された特別な連分数が得られる。
2 F 1 ( 1 , b ; c ; z ) = 1 1 + − b z c + ( b − c ) z ( c + 1 ) + − c ( b + 1 ) z ( c + 2 ) + 2 ( b − c − 1 ) z ( c + 3 ) + − ( c + 1 ) ( b + 2 ) z ( c + 4 ) + ⋱ {\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}