ディラックのデルタ関数
これは、σ → 0 とすることで、関数族 φσ が汎関数としてデルタ関数に近づくことを意味する。したがって、デルタ関数はある意味で正規分布の密度関数の極限と見なすことができて、
lim σ → 0 1 2 π σ exp ( − x 2 2 σ 2 ) = δ ( x ) {\displaystyle \lim _{\sigma \to 0}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,\sigma }}\exp \!\left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)=\delta (x)}
と表現される。デルタ関数の表現に正規分布を用いたが、このことから、デルタ関数は正規分布の一種であると考えることが可能である。デルタ関数は、特殊な確率分布の表現に有用である。
ディラック関数は以下のようにして定まるディラック測度(英: Dirac measure)δ0 の非形式的な密度関数だと解釈することができる。実直線のボレル部分集合 A に対して、A が 0 を含む場合 δ0(A) = 1、そうでない場合 δ0(A) = 0 とすると、δ0 は σ-加法性を持っている。この測度に関する有界ボレル関数の積分は
∫ f ( x ) d δ 0 ( x ) = f ( 0 ) {\displaystyle \int f(x)d\delta _{0}(x)=f(0)}
であり、形式的に dδ0(x) = δ(x)dx が成り立っている。
f ( x ) = F − 1 [ f ^ ] = 1 2 π ∫ f ^ ( k ) e i k x d k {\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}^{-1}[{\hat {f}}]={\frac {1}{2\pi }}\int {\hat {f}}(k)\,e^{ikx}dk}
は、以下の関係式により正当化される。
F − 1 ∘ F [ f ] = 1 2 π ∫ [ ∫ f ( y ) e − i k y d y ] e i k x d k = ∫ f ( y ) [ 1 2 π ∫ e i k ( x − y ) d k ] d y = ∫ f ( y ) δ ( x − y ) d y = f ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\circ {\mathcal {F}}[f]={\frac {1}{2\pi }}\int {\bigg [}\int f(y)\,e^{-iky}dy{\bigg ]}e^{ikx}dk=\int f(y){\bigg [}{\frac {1}{2\pi }}\int e^{ik(x-y)}dk{\bigg ]}dy=\int f(y)\,\delta (x-y)\,dy=f(x)}