分解 (ホモロジー代数)
自由分解の古典的な例は局所環における正則列あるいは体上有限生成の次数付き代数における斉次正則列のコズュル複体(英語版)によって与えられる。
X を 非球面型空間(英語版) とする、すなわちその普遍被覆 E が可縮であるとする。すると E のすべての特異(あるいは単体(英語版))鎖複体は環 Z 上だけでなく群環 Z [π1(X)] 上加群 Z の自由分解である。
任意の単射(resp。 射影)分解は任意の左(resp。 右)完全関手に対して F 非輪状である。
非輪状分解の重要性は、(左完全関手の)導来関手 RiF(同様に右完全関手の導来関手 LiF)が F 非輪状分解のホモロジーから得られることにある:対象 M の非輪状分解 E ∗ {\displaystyle E_{*}} が与えられると、
R i F ( M ) = H i F ( E ∗ ) {\displaystyle R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*})}
が成り立つ、ただし右辺は複体 F ( E ∗ ) {\displaystyle F(E_{*})} の i 次ホモロジー対象である。
この状況は多くの状況に適用できる。例えば、可微分多様体 M 上の定数層(英語版) R に対して、滑らかな微分形式の層 C ∗ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)} によって分解できる: 0 → R ⊂ C 0 ( M ) → d C 1 ( M ) → d ⋯ → C dim M ( M ) → 0.