有効自由度 (宇宙論)
これをフリードマン方程式と比較することで、時刻 t {\displaystyle t} と温度 T {\displaystyle T} を結ぶ関係式
t = 45 4 π 3 m P l c 2 ħ ∫ T ∞ ( 1 + 1 3 d ln  g ∗ S d ln  T ) d T g ∗ ( T ) k B 2 T 3 {\displaystyle t={\sqrt {\frac {45}{4\pi ^{3}}}}m_{\mathrm {Pl} }c^{2}\hbar \int _{T}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{3}}{\frac {d\ln g_{*S}}{d\ln T}}\right){\frac {dT}{{\sqrt {g_{*}(T)}}k_{\mathrm {B} }^{2}T^{3}}}}
が導かれる。特に、有効自由度の温度変化が十分遅いと近似できるならば、積分の際にそれを温度 T {\displaystyle T} での値に置き換えることができ、時刻 t {\displaystyle t} を温度 T {\displaystyle T} の関数として
t = 2.420 g ∗ ( T ) ( k B T 1 M e V ) − 2 s e c {\displaystyle t={\frac {2.420}{\sqrt {g_{*}(T)}}}\left({\frac {k_{\mathrm {B} }T}{1\,\mathrm {MeV} }}\right)^{-2}\,\mathrm {sec} }
と表示できる。
粒子種 a {\displaystyle a} が温度 T {\displaystyle T} (逆温度 β = 1 / k B T {\displaystyle \beta =1/k_{\mathrm {B} }T} ) の熱平衡状態にあるとき、その運動量分布関数 f a ( p ) {\displaystyle f_{a}(\mathbf {p} )} は、その粒子の統計性に応じてボース・アインシュタイン分布またはフェルミ分布関数
f a ( p ) = g a e β ε p ∓ 1 , ε p = p 2 c 2 + m a 2 c 4 {\displaystyle f_{a}(\mathbf {p} )={\frac {g_{a}}{e^{\beta \varepsilon _{\mathbf {p} }}\mp 1}},\ \ \varepsilon _{\mathbf {p} }={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m_{a}^{2}c^{4}}}}
となる。ここに m a {\displaystyle m_{a}} , g a {\displaystyle g_{a}} は粒子種 a {\displaystyle a} の質量, 内部自由度であり、化学ポテンシャルはゼロであると仮定した。従って、そのエネルギー密度 ρ a c 2 {\displaystyle \rho _{a}c^{2}} は次の積分により計算される。