応力
det  ( σ − λ I ) = | ( σ x − λ ) τ x y τ z x τ x y ( σ y − λ ) τ y z τ z x τ y z ( σ z − λ ) | = 0 {\displaystyle \operatorname {det} (\sigma -\lambda I)={\begin{vmatrix}(\sigma _{x}-\lambda )&\tau _{xy}&\tau _{zx}\\\tau _{xy}&(\sigma _{y}-\lambda )&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{yz}&(\sigma _{z}-\lambda )\end{vmatrix}}=0}
上式を展開したλに関する3次方程式の根が主応力となる。実際に上式を展開すると、
単位体積あたりのせん断ひずみエネルギーが限界を越えると、材料が破壊されるという説である。ともいう。全ひずみエネルギーから静ひずみエネルギーを差し引いたせん断ひずみエネルギー U を評価基準とする。
U = 1 + ν 6 E ( ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ 1 ) 2 ) {\displaystyle U={\frac {1+\nu }{6E}}((\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2})}
ここで、νはポアソン比、E はヤング率である。
せん断ひずみエネルギーに比例する相当応力をMisesの相当応力σMisesとよび、主応力を用いて以下の式で表される。
σ M i s e s 2 = ( σ 1 − σ 2 ) 2 + ( σ 2 − σ 3 ) 2 + ( σ 3 − σ 1 ) 2 2 {\displaystyle \sigma _{\mathrm {Mises} }^{2}={\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}
降伏条件は以下の通り。
σ M i s e s ≥ σ Y {\displaystyle \sigma _{\mathrm {Mises} }\geq \sigma _{\mathrm {Y} }}
せん断ひずみエネルギー説は鋼材などの延性材料に比較的良く当てはまる。