ブローアップ (数学)
ブローアップを最大限に一般化するために、X をスキーム、 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} を X 上のイデアルの連接層とする。X の I {\displaystyle {\mathcal {I}}} についてのブローアップとは、スキーム X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} と射
π : X ~ → X {\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}
であって、 π − 1 I ⋅ O X ~ {\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}} は可逆層であり、任意の射 f : Y → X で f − 1 I ⋅ O Y {\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}} が可逆層だとすると、 f は π を介して一意に分解する、という普遍性で特徴付けられるものをいう。
次で定義されるスキーム
X ~ = P r o j ⨁ n = 0 ∞ I n {\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}
はこの性質を持つ。これがブローアップの構成方法である。ここで、Proj は次数付き環上の Proj構成(英語版)である。
しかし Q = P のときは、直線 l {\displaystyle \ell } は P を通る任意の直線でよい。これらの直線全体は P を通る向き全体の空間に対応し P と同型である。この P は例外因子(英語版)(exceptional divisor)と呼ばれる。定義から、これは射影化された P での法空間(英語版)(normal space)である。P は点なので法空間は接ベクトル空間と一致する。したがって例外因子は射影化された P での接ベクトル空間と同型である。
ブローアップ上での座標を得るために、結合対応の方程式を求める。P に斉次座標(英語版) [X0:X1:X2] を与え、これでの点 P の座標を [P0:P1:P2] と書く。射影双対性(英語版)により G(1, 2) は P と同型なので、これに斉次座標 [L0:L1:L2] を与えることができる。 l 0 = [ L 0 : L 1 : L 2 ] {\displaystyle \ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]} に対応する直線は X0L0 + X1L1 + X2L2 = 0 を満たすすべての [X0:X1:X2] の集合である。したがって、ブローアップは次の式
X = { ( [ X 0 : X 1 : X 2 ] , [ L 0 : L 1 : L 2 ] ) ∣ P 0 L 0 + P 1 L 1 + P 2 L 2 = 0 , X 0 L 0 + X 1 L 1 + X 2 L 2 = 0 } ⊆ P 2 × P 2 {\displaystyle X=\{([X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}])\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0\}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}}