Kan拡張
3つの圏
A , B , C {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} }
および二つの関手
X : A → C , F : A → B {\displaystyle X\colon \mathbf {A} \to \mathbf {C} ,F\colon \mathbf {A} \to \mathbf {B} } ,
が与えられたとき、 F {\displaystyle F} に沿った X {\displaystyle X} のカン拡張は「左」カン拡張と「右」カン拡張の2種類がある。
どちらも、次の図式の破線で書かれた関手と2-セル η {\displaystyle \eta } を見つけることに相当する。
形式的には、 X {\displaystyle X} の F {\displaystyle F} に沿った右カン拡張とは関手 R : B → C {\displaystyle R\colon \mathbf {B} \to \mathbf {C} } と自然変換 η : R F → X {\displaystyle \eta \colon RF\to X} で余普遍性をもつもののことをいう。
(ここで、 σ F {\displaystyle \sigma _{F}} は各 a ∈ A {\displaystyle a\in \mathbf {A} } に対して、コンポーネント σ F ( a ) = σ ( F a ) : L F ( a ) → M F ( a ) {\displaystyle \sigma _{F}(a)=\sigma (Fa)\colon LF(a)\to MF(a)} を持つ自然変換である)
そして関手Lはしばしば Lan F  X {\displaystyle \operatorname {Lan} _{F}X} と書かれる。すべての普遍的構成と同様に、カン拡張も同型を除いて一意に定まる。左カン拡張の場合に関して言えば、もし L , M {\displaystyle L,M} のふたつが X {\displaystyle X} の F {\displaystyle F} に沿った左カン拡張で、 ε , α {\displaystyle \epsilon ,\alpha } が上記の自然変換だとするとき、図式を可換にするような関手の同型 σ : L → M {\displaystyle \sigma \colon L\to M} が一意に存在するのである。右カン拡張の場合も同様である。