直線束
数学における直線束(ちょくせんそく、英: line bundle; 線束)は、空間の点から点へ動いていく直線の概念を表すものである。例えば、平面上の曲線は各点において接線を持つが、これらを束ねることによって接束が得られる。より厳密に、代数幾何学および微分位相幾何学における直線束は階数 1 のベクトル束として定義される。
直線束は空間の各点の上にファイバーと呼ばれる1次元のベクトル空間を連続的に指定することで与えられる。トポロジーの文脈においては、実または複素ベクトル空間を考えることが多い。実と複素ではベクトル空間の位相的性質が異なるため、どちらを考えるかによって直線束は根本的に異なる振る舞いをする。1次元のベクトル空間から原点を取り除くと1×1 正則行列全体のなす空間が得られるが、1×1 正則実行列全体の成す空間は(正および負の実数をそれぞれ一点に縮めた)離散二点空間(英語版)にホモトピー同値である一方、1×1 正則複素行列の空間のホモトピー型は円周である。
さて分類空間 BC2 は斉次座標(英語版)の無限列によって与えられる実射影空間 RPのホモトピー型とする。これは普遍実直線束を持ち、ホモトピー論の言葉で言えば CW-複体上の任意の実直線束が X から RP への分類写像を決定して、L が普遍束の引き戻しに束同型となるようにすることができる。この分類写像は、X の Z/2Z 係数の一次コホモロジーにおいて、 L のスティーフェル・ホイットニー類を RP の標準類から定義するのに用いることができる。
同様の方法により、複素射影空間 CP は普遍複素直線束を持つ。この場合、分類写像は一次のチャーン類を整係数コホモロジーH(X) において引き起こす。
これにはさらに四元数直線束(実四次元)の場合の類似概念を考えることもできる。これは、実四次次元コホモロジーにおいてポントリャーギン類を生じる。
この方法の基本的な場合は、直線束のみに依存する特性類の理論に対するものである。一般分裂原理(英語版)に従えば、これは(明示的でなくとも)理論の残りの部分を決定することができる。
複素多様体上の正則直線束に関する理論、および代数幾何学における可逆層に関する理論など、それぞれの分野における直線束の理論がよく構築されている。