ベクトル束
空間 X 上のベクトル束(ベクトルバンドル)とは、X の各点 x にベクトル空間 V(x) を対応させた(というよりは「貼り付けた」("attach"))とき、それらが「うまく貼り合わされて」もとの X と同種の空間(例えば、位相空間、多様体、代数多様体等)を成すようなものである(「バンドル」は一まとめに束ねたものの意)。
最も単純な例は、貼り合せるベクトル空間の族が一定の(つまり固定したベクトル空間 V により、すべての x ∈ X に対し V(x) = V となる)場合である。このとき、各点 x ∈ X に対応する V の複写の全体が貼り合わされて X 上のベクトル束 X × V ができる。この様なベクトル束は自明であると言われる。
より複雑(かつ原型的)な例の一つのクラスは、滑らかな多様体(可微分多様体)の接束である。これは多様体 M の各点 x ∈ M に、その点での接空間 TxM を付随させたものである。接束は一般には自明束ではない。たとえば、二次元球面の接束は毛玉の定理(英語版)により自明ではない。一般に、多様体の接束が自明となることを「多様体は平行化可能 (parallelizable) である」と言い表す。
ベクトル束は殆ど常に局所的に自明である必要があるが、これはベクトル束が、ベクトル空間をファイバーとするファイバー束(ファイバーバンドル)であることを意味する。また、ベクトル空間として実数体または複素数体上のベクトル空間を考えるのが普通であり、そのようなベクトル束は、それぞれ実ベクトル束または複素ベクトル束と呼ばれる。複素ベクトル束を、付加構造を備えた実ベクトル束として見ることもできる。以下では、位相空間の圏における実ベクトル束に焦点を絞って議論する。
g U V : U ∩ V → GL  ( k ) {\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k)}
がとれる。このような写像を(U, V のとり方に依らず総称して)ベクトル束の遷移写像もしくは推移写像 (transition function) または座標変換 (coordinate transformation) という。
座標変換の全体は任意の U, V, W についてその局所自明化上で
g U U ( x ) = I , g U V ( x ) g V W ( x ) g W U ( x ) = I {\displaystyle g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I}
を満たすという意味で チェック・コサイクル(英語版) を成す。したがって、組 (E, X, π, R) はファイバー束を定める。このとき、座標変換 gUV の与える付加情報は、ファイバーの構造群が GL(k) であり、ファイバーへの作用が GL(k) の通常の作用として与えられることを示すものである。
逆に、ファイバー束 (E, X, π, R) がファイバー R 上に GL(k) の通常の作用によるコサイクル作用 (cocycle action) を持つならば、対応するベクトル束が存在する。このことを以ってベクトル束の定義とすることもある。