ハーディ空間
ここでは例として、Ω = [0, 1] とし、任意の n ≥ 0 に対して長さ 2 の 2 個の区間への [0, 1] の二次項分割によって生成される有限体を Σn とする。[0, 1] 上の函数 f が、ハールシステム (hk) 上の展開
f = ∑ c k h k , {\displaystyle f=\sum c_{k}h_{k},}
によって表されるなら、f のマルチンゲール-H ノルムは自乗函数の L ノルム
∫ 0 1 ( ∑ | c k h k ( x ) | 2 ) 1 2 d x {\displaystyle \int _{0}^{1}{\Bigl (}\sum |c_{k}h_{k}(x)|^{2}{\Bigr )}^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x}
によって与えられる。この空間はしばしば H(δ) と表記され、単位円上で古典的実 H 空間と同型となる(Müller 2005)。ハールシステムは、H(δ) に対する無条件基底(英語版)である。