量子力学
量子力学における基本的な要請とその数理的な表現について以下に述べる(これについては、フォン・ノイマン『量子力学の数学的基礎』以外にも、伏見康治が電子ファイルを公開している「確率論及統計論」で整理されている)。
シュレーディンガー方程式やハイゼンベルクの運動方程式によって量子力学的な問題を取り扱う場合においては、物理量は作用素(さようそ、英: operator)として扱われる。量子力学の個々の問題は、その基本方程式の解として得られる状態によって特徴付けられ、理解される。ここでは、測定され得る物理量の具体的な振る舞いは、対応する物理量の作用素をある状態に作用させることによって知ることができる。作用素は演算子とも呼ばれ、演算子によって記述される量子力学の様式は演算子形式と呼ばれる。作用素および状態が持つ一般的な性質は、それらが満たすべき物理的な要請によって与えられる。
量子力学においては、ある物理量の値が確定した状態をまず考える。このとき、その物理量に対する固有状態(こゆうじょうたい、英: eigenstate)と呼ぶ。固有状態は、物理量を表す作用素の固有関数(こゆうかんすう、英: eigenfunction)あるいは固有ベクトルとして記述される。
量子力学では対象を状態の重ね合わせとして記述し、観測によって一つの状態がある確率で実現する。この枠組みは、それ以前までに育まれていた客観的実在を想定する決定論的記述を見直す契機となり、量子力学の解釈問題が重要なテーマとなった。閉じた系を扱う標準的な解釈では、量子力学は古典物理学とは異なり、対象とする量子系の外部に観測者(英: observer)を必要とする理論構成となっている。ここでは、観測者は人でも装置でもよく、量子系と観測者の境界は任意に設定できる。
コペンハーゲン解釈においては、観測が行われると、状態を記述する波動関数が一つの状態に収縮する。上記の標準解釈では、観測という行為がいつどのように量子系に影響を与えて、その状態が実現したのかについては定義されない。