ネイピア数
ネイピア数を定義するために用いられる指数関数や対数関数の性質・公式を挙げる。これらの式と e = exp 1 などを組み合わせることによって、ネイピア数が定義できる。
exp  x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle \exp x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}} これは関数 exp  x = e x {\displaystyle \exp x=e^{x}} をテイラー展開したものである。
d d x y ( x ) = y ( x ) , y ( 0 ) = 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}y(x)=y(x),\quad y(0)=1} という常微分方程式の初期値問題の解 y(x) によって exp x = y(x) が定義される。
∫ 1 x d t t = ln  x {\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=\ln x}
d d a x a | a = 0 = ln  x {\displaystyle \left.{\frac {d}{da}}x^{a}\right|_{a=0}=\ln x}