群ホップ代数
群 G および体 k に対し、G の k 上の群ホップ代数 kG(または k[G])は、集合として(あるいはベクトル空間として)、G を基底とする k 係数の自由線型空間であり、線型環として畳み込みと呼ばれる乗法が G の群演算を線型に拡張したもの(特に G の単位元が乗法単位元)として定義される。さらに kG に余可換ホップ代数の構造を入れるには、余乗法 Δ、余単位 ε および対蹠射 S を、それぞれ G 上の写像
Δ ( x ) = x ⊗ x ; {\displaystyle \Delta (x)=x\otimes x;}
ε ( x ) = 1 k ; {\displaystyle \epsilon (x)=1_{k};}
S ( x ) = x − 1 . {\displaystyle S(x)=x^{-1}.}
を線型に拡張することによって定義すればよい。
この群ホップ代数 kG がホップ代数となるために必要な公理系を満たすことを確かめるのは容易である。このとき、kG の群的元(すなわち a ∈ kG であって Δ(a) = a ⊗ a かつ ε(a) = 1 となるもの)の全体 G(kG) がちょうど G に一致することに注意せよ。