再生核ヒルベルト空間
他に典型的な特徴写像の例としては、前の章の積分作用素に関連したもので、 F = l 2 {\displaystyle F=\ell ^{2}} 、 φ ( x ) = ( σ i φ i ( x ) ) i {\displaystyle \varphi (x)=({\sqrt {\sigma _{i}}}\varphi _{i}(x))_{i}} とするものもある。
核と特徴写像の間のこのような関係から、正定値関数( H {\displaystyle H} の内積としての再生核)の新しい理解の仕方が得られる。更に、各特徴写像から、正定値関数の定義を通してRKHSを自然に定義できる。
最後に、特徴写像から、RKHSの新しい観点を明らかにするような関数空間を構築できる。以下の線形空間を考える。
H φ = { f : X → R ∣ ∃ w ∈ F , f ( x ) = ⟨ w , φ ( x ) ⟩ F , ∀ x ∈ X } . {\displaystyle H_{\varphi }=\{f:X\to \mathbb {R} \mid \exists w\in F,f(x)=\langle w,\varphi (x)\rangle _{F},\forall {\text{ }}x\in X\}.}
ベルグマン空間 H 2 ( D ) {\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )} は、 D {\displaystyle \mathbb {D} } 上の二乗可積分な正則関数の空間である。 H 2 ( D ) {\displaystyle H^{2}(\mathbb {D} )} の再生核は
K ( x , y ) = 1 π 1 ( 1 − x y ̄ ) 2 {\displaystyle K(x,y)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-x{\overline {y}})^{2}}}}
であることが示せる。最後に、 L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} の要素であって帯域幅が 2 a {\displaystyle 2a} であるような帯域制限関数の空間は、再生核が
K ( x , y ) = sin  a ( x − y ) π ( x − y ) {\displaystyle K(x,y)={\frac {\sin a(x-y)}{\pi (x-y)}}}