ナッシュの埋め込み定理
ナッシュの原論文に現れている技術的ステートメントは次のとおりである。M を与えられた m 次元リーマン多様体(解析的、もしくは、C級、3 ≤ k ≤ ∞)とすると、ある数 n(M がコンパクト多様体であれば n ≤ m (3m + 11) / 2, M が非コンパクト多様体であれば n ≤ m (m + 1)(3m + 11) / 2)と、単射関数 ƒ: M → R(また解析的もしくは C 級)が存在し、以下の条件を満たす。M のすべての点 p に対し、微分 dƒp は、接空間 TpM から R への線型写像であるが、これは TpM 上の与えられた内積と R の標準内積について次の意味で整合性をもつ。すなわち、TpM のすべてのベクトル u, v に対して
⟨ u , v ⟩ = d f p ( u ) ⋅ d f p ( v ) {\displaystyle \langle u,v\rangle =df_{p}(u)\cdot df_{p}(v)}
が成り立つ。これは、偏微分方程式の非決定系である。
ナッシュは、にロバート・ソロヴェイ (Robert M.