デデキントゼータ関数
が成立する。
さらに、 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} に対する、代数体 K の完全ゼータ関数を
Z K ( s ) = | D K | s / 2 2 − ( s − 1 ) r 2 π − n s / 2 Γ ( s / 2 ) r 1 Γ ( s ) r 2 ζ K ( s ) {\displaystyle Z_{K}(s)=|D_{K}|^{s/2}2^{-(s-1)r_{2}}\pi ^{-ns/2}\Gamma (s/2)^{r_{1}}\Gamma (s)^{r_{2}}\zeta _{K}(s)}
とおけば、関数等式
Z K ( 1 − s ) = Z K ( s ) {\displaystyle Z_{K}(1-s)=Z_{K}(s)}
を満たし、 C ∖ { 1 } {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} \setminus \{1\}} に解析接続できる。
デデキントゼータ関数のオイラー積表示により、素イデアルのノルムの値からデデキントゼータ関数を具体的に計算することができる。素イデアルのノルムは、有理素数の素イデアル分解の結果から求めることができるが、K が一般の代数体の場合、素イデアル分解が複雑であるので、具体的に計算することは大変難しい。 しかし、K が二次体または円分体であれば、素イデアル分解の様子がよく分かっているので、オイラー積を計算することができ、その結果、デデキントゼータ関数をディリクレのL関数を用いて表現することができることが知られている。
(1) K が二次体の場合
K の判別式を D とし、 χ D {\displaystyle \chi _{D}} を法 D に関するクロネッカー指標とすると、
ζ K ( s ) = ζ ( s ) L ( χ D , s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(\chi _{D},\ s)}
が成立する。
(2) K が円分体の場合