商の微分法則
具体的に g, h はともに可微分で h(x) ≠ 0 として f(x) = g(x)/h(x) と書けば、この商 f の微分は
で与えられる。
f(x) ≔ tan(x) = sin(x)/cos(x) の導函数を求めるのに商の法則が利用できる: d d x tan  x = d d x sin  x cos  x = ( d d x sin  x ) ( cos  x ) − ( sin  x ) ( d d x cos  x ) cos 2  x = cos 2  x + sin 2  x cos 2  x = 1 cos 2  x = sec 2  x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}{\frac {\sin x}{\cos x}}\\&={\frac {({\frac {d}{dx}}\sin x)(\cos x)-(\sin x)({\frac {d}{dx}}\cos x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}}