半群
半群 (S, ∗) の部分集合 A, B が与えられたとき、A ∗ B (あるいは単に AB) で表される S の部分集合を
A B := { a b ∣ a ∈ A , b ∈ B } {\displaystyle AB:=\{ab\mid a\in A,\,b\in B\}}
と定める。この記法を用いれば、半群 S の部分集合 A について
A が S の部分半群 (subsemigroup) であるとは、AA ⊂ A であることを言う。
A が S の右イデアル (right ideal) であるとは、AS ⊂ A であることを言う。
A が S の左イデアル (left ideal) であるとは、SA ⊂ A であることを言う。
A が左イデアルかつ右イデアルであるとき、A を両側イデアル (two-sided ideal) あるいは単にイデアル (ideal) と言う。
半群 S の部分半群からなる族の交わりは再び S の部分半群となる。すなわち、S の部分半群の全体は完備束を成す。
極小イデアル(包含関係に関して極小なイデアル)を持たない半群の例は、正の整数全体が加法に関して成す半群 N である。可換半群の極小イデアルは(存在するならば)群を成す。
元をそれが生成する主イデアルの言葉で特徴付ける、五つの同値関係からなるグリーンの関係式(英語版)は半群のイデアルや関連する構造概念を調べる重要な道具である。
したがって、任意の空でない周期的半群は少なくともひとつの冪等元を含む。
半群の部分半群は、それ自身が群を成すならば部分群と呼ばれる。半群の部分群と半群の冪等元の間には近しい関係が存在する。半群の各部分群はちょうど一つの冪等元を含み、それはつまり部分群の単位元である。逆に、半群の各冪等元 e に対し、e を含む極大部分群が唯一つ存在する。半群の各極大部分群は必ずこのやり方で得ることができ、したがって半群の極大部分群と冪等元との間に一対一対応がとれる。ここでの、極大部分群は群論における標準的な語法とは異なる。
位数有限の場合にはさらにいろいろなことが言える。例えば、任意の空でない有限半群は、周期的で、極小イデアルを持ち、少なくとも一つの冪等元を持つ。さらなる有限半群の構造についての議論はKrohn-Rhodes理論(英語版)の項を参照せよ。