マートンのポートフォリオ問題
φ ( t ) = e − ρ t ( e ρ γ t + ν ( 1 − γ ) γ ( T − t ) + γ ( 1 − e − ρ − ν ( 1 − γ ) γ ( T − t ) ) ρ − ν ( 1 − γ ) ) γ {\displaystyle \phi (t)=e^{-\rho t}\left(e^{{\frac {\rho }{\gamma }}t+{\frac {\nu (1-\gamma )}{\gamma }}(T-t)}+{\frac {\gamma (1-e^{-{\frac {\rho -\nu (1-\gamma )}{\gamma }}(T-t)})}{\rho -\nu (1-\gamma )}}\right)^{\gamma }}
である。よって最適な消費額は
c t = ( e ρ γ t + ν ( 1 − γ ) γ ( T − t ) + γ ( 1 − e − ρ − ν ( 1 − γ ) γ ( T − t ) ) ρ − ν ( 1 − γ ) ) − 1 x {\displaystyle c_{t}=\left(e^{{\frac {\rho }{\gamma }}t+{\frac {\nu (1-\gamma )}{\gamma }}(T-t)}+{\frac {\gamma (1-e^{-{\frac {\rho -\nu (1-\gamma )}{\gamma }}(T-t)})}{\rho -\nu (1-\gamma )}}\right)^{-1}x}
となり最適な投資比率は
α t = μ − r σ 2 γ {\displaystyle \alpha _{t}={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}\gamma }}}
である。
この項では有限期間の問題を考えたが、無限期間の問題や、より一般的な効用関数の場合の問題についてもマートンは考察している。
以下ではMerton & (1971)の記述に基づく。 時点 t {\displaystyle t} における株式の価格を S t {\displaystyle S_{t}} 、債券の価格を B t {\displaystyle B_{t}} とする。株式価格は以下の確率微分方程式に従うとする。
d S t = μ S t d t + σ S t d W t {\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}}
ここで μ {\displaystyle \mu } と σ > 0 {\displaystyle \sigma >0} は定数のパラメーターであり、 W t {\displaystyle W_{t}} はブラウン運動である。つまり株式価格は幾何ブラウン運動に従う。債券価格は次のように表されるとする。
B t = B 0 exp  { r t } {\displaystyle B_{t}=B_{0}\exp\{rt\}}
ここで r {\displaystyle r} は時間を通じて一定の安全利子率である。よってブラック=ショールズモデルと同様の設定になっている。
さらに投資家の時点 t {\displaystyle t} における資産額を X t {\displaystyle X_{t}} で表す。