単振動
という形で表される微分方程式は単振動の方程式と呼ばれ、その一般解は単振動となる。dx/dt = v と表すとき、単振動の系は次のようなハミルトニアン H を持つため、系はハミルトン系としての特性を持つ。
H = ω 2 2 x 2 + 1 2 v 2 {\displaystyle H={\frac {\omega ^{2}}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}v^{2}}
すなわち、
{ d x d t = ∂ H ∂ v d v d t = − ∂ H ∂ x {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}={\dfrac {\partial H}{\partial v}}\\{\dfrac {dv}{dt}}=-{\dfrac {\partial H}{\partial x}}\end{cases}}}
が満たされ、dH/dt が常に 0 より H の値は時間に対して不変である。物理的な系では、ハミルトニアン H は系が持つエネルギーに相当し、H が時間不変であることは単振動がエネルギーを保存しながら運動していることを意味する。
物理学で現れるその他の単振動の例には、振り子、電気回路のLC回路、2原子分子の熱振動などがある。一般的に、保存力を受ける系で、そのポテンシャルエネルギーの極小点近傍で振動していれば、その運動は調和振動子に近似できる。
A = A 1 2 + A 1 2 + 2 A 1 A 2 cos  ( φ 1 − φ 2 ) {\displaystyle A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{1}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\phi _{1}-\phi _{2})}}}
α = tan − 1  ( A 1 sin  φ 1 + A 2 sin  φ 2 A 1 cos  φ 1 + A 2 cos  φ 2 ) {\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}\left({\frac {A_{1}\sin \phi _{1}+A_{2}\sin \phi _{2}}{A_{1}\cos \phi _{1}+A_{2}\cos \phi _{2}}}\right)}
2つの単振動の角振動数が異なるときは、重ね合わされた振動は複雑な形となり、もはや単振動ではなくなる。2つの単振動の角振動数の比 ω2/ω1 あるいは ω1/ω2 が有理数ならば、重ね合わされた振動は、複雑だがある周期を持った振動である。一方、角振動数の比が無理数ならば、重ね合わされた振動には周期が存在せず、同一波形が繰り返されることのない振動になる。2つの単振動の角振動数の比が近い (ω1 ≈ ω2) 場合は、うなりと呼ばれる振動波形になる。
同一方向の重ね合わせの例(赤点線と青点線が元の単振動、黒実線が合成後の振動)
ω1 = ω2(同一値、単振動)
ω2/ω1 = √2(無理数、無周期運動)
ω2/ω1 = 1.5(有理数、周期運動)
ω2/ω1 = 1.1(近い値、うなり)