非可算集合
非可算集合の例として最も知られているものは実数全体の集合 R であろう。その非可算性はカントールの対角線論法により証明される。対角線論法はその他の集合(例えば、自然数からなる無限列全体の集合、自然数からなる集合全体からなる集合族)の非可算性を証明するのにも応用される。R の濃度をしばしば連続体濃度と呼び c や 2 א 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} または ב 1 {\displaystyle \beth _{1}} (beth-one) で表す。
カントール集合 は R の非可算部分集合である。カントール集合はフラクタル構造を持ち、ハウスドルフ次元が0より大で1未満である(R は1次元である)。この集合は次の事実の例となっている: R の部分集合でハウスドルフ次元が0より真に大きいものは必ず非可算集合である。
R から R への関数全体の集合も非可算であるが、これは連続体濃度よりもさらに「非可算」である。この集合の濃度は ב 2 {\displaystyle \beth _{2}} (beth-two) で、 ב 1 {\displaystyle \beth _{1}} よりも大きいのである。