時間発展
}
これは次の性質を満たすユニタリ演算子である。
U ^ † ( t ) = U ^ − 1 ( t ) . {\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }(t)={\hat {U}}^{-1}(t).}
時間発展演算子が満たすべき方程式は、シュレーディンガー方程式より、
i ħ d d t U ^ ( t ) = H ^ ( t ) U ^ ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}{\hat {U}}(t)={\hat {H}}(t){\hat {U}}(t)}
である。ハミルトニアン H ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {H}}(t)} で表されるそれぞれの場合で、この式を初期条件 U ^ ( 0 ) = 1 ^ {\displaystyle {\hat {U}}(0)={\hat {1}}} として解くと、その場合の時間発展を表す時間発展演算子の具体的な形が得られる。