原始多項式
全ての最小多項式は既約であるから,原始多項式は既約である.
原始多項式の定数項の係数は非零でなければならない.そうでないと,多項式 x で割り切れてしまう. GF(2)においては,x + 1 は原始多項式であるが,それ以外の全ての原始多項式は奇数個の項を持つ.なぜなら,偶数個の項を持つ多項式は,mod 2 では必ず多項式 (x + 1) で割り切れてしまう(すなわち x= 1 を根として持つ).
p が素数であるとき,GF(p) 上の m 次の既約多項式 F(x) が原始多項式であるための条件は, x - 1 がF(x) で割り切れるような 最小の正整数 n が n = p -1であることである.
GF(p) 上の m 次の原始多項式は,ちょうど φ(p - 1)/m 個存在する.ただし,φ はオイラーのφ関数である.
m 次の原始多項式は,GF(p) において m 個の異なる根を持ち,全ての根の位数は p - 1である.すなわち,α が根であるならば,α = 1 かつ 全ての i = 1, 2, ... ,p - 2 においてα ≠ 1 が成り立つ.
GF(p) における原始元 α が,m 次の原始多項式 F(x) の根であるならば,この多項式は F(x) = (x - α)(x - α)(x - α)...(x - α) で書き表せる.