合成代数
基礎体 K を複素数体 C として二次形式 z をノルムに持つものと考えるとき、C 上の合成代数は C 自身、双複素数環、双四元数(英語版)環(これは複素 2次正方行列環 M(2, C) に同型)、双八元数環(複素八元数環)C ⊗ O の4種類である。
全行列環 M(2, C) は長く興味を持たれた対象で、最初はハミルトン (1853) が双四元数として言及し、後にはそれと同型な行列の形で(特にパウリ代数として)扱われる。
実数体上で平方函数 N(x) = x を考えたものは根源的な合成代数を成す。基礎体 K を実数体 R にとるならば、その上の合成代数は R の他は6種類しかない。2, 4, 8 の各次元において、合成代数は「分解型」と「多元体」の二種類が存在しており、それぞれ分解型複素数環(ノルム x − y)と複素数体(ノルム x + y)、分解型四元数(英語版)環と四元数体、分解型八元数環と八元数体と呼ばれる。