ワイル計量
また、 ∇ 2 = ∂ ρ ρ + 1 ρ ∂ ρ + ∂ z z {\displaystyle \nabla ^{2}=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\,\partial _{\rho }+\partial _{zz}} および ∇ = ∂ ρ e ^ ρ + ∂ z e ^ z {\displaystyle \nabla =\partial _{\rho }\,{\hat {e}}_{\rho }+\partial _{z}\,{\hat {e}}_{z}} はそれぞれラプラス演算子と勾配演算子である。 さらに、物質・幾何相互作用の意味で ψ = ψ(Φ) とし、漸近的平坦性を仮定すると式(7.a-e)から次の状態方程式が得られる。
特に、もっとも単純な真空の場合は Φ = 0 かつ Tab = 0 であり、式(7.a-7.e)は次のように簡約化される。
まず式(8.b)を解くことで ψ(ρ, z) が得られ、その上で式(8.c)および式(8.d)を解くことで γ(ρ, z) が得られる。実用上、R = 0 から帰結する式(8.a)は無矛盾性関係式もしくは可積分条件式としてしか働かない。
非線形ポアソン方程式(7.b)とは異り、式(8.b)は線形ラプラス方程式である。これはつまり、式(8.b)を満たす真空解を重ね合わせてもやはり式(8.b)の解であるということを意味する。この事実は広い応用を持っており、たとえば解析的にシュワルツシルトブラックホールを歪める(英語版)のに応用できる。
軸対称なラプラス演算子および勾配演算子を用いて式(7.a-7.e)および式(8.a-8.d)をコンパクトに書き下した。これは状態方程式(7.f)の導出に非常に有用である。論文では、式(7.
式(14)の形式の計量は、標準的な円筒・球面変換 (t, ρ, z, φ) = (t, rsinθ, rcosθ, φ) により直接式(16)に変換することはできない。なぜなら、 {t, r, θ, φ} は完全である一方 {t, ρ, z, φ} は不完全だからである。これが、式(1)において {t, ρ, z, φ} を円筒座標系ではなくワイルの正準座標と呼んだ理由である。しかし、これら二つの座標系の間には多くの共通点がある。たとえば、式(7)に表われるラプラシアン ∇ 2 := ∂ ρ ρ + 1 ρ ∂ ρ + ∂ z z {\displaystyle \nabla ^{2}:=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\rho }+\partial _{zz}} は円筒座標系における二次元幾何ラプラシアンに一致している。