リーマン予想
関数等式を偏角の原理と合わせて考えれば虚部が 0 と T の間にあるゼータ関数の零点の個数は s = 1/2 + iT に対して次で与えられる:
N ( T ) = 1 π A r g  ( ξ ( s ) ) = 1 π Arg  ( Γ ( s 2 ) π − s 2 ζ ( s ) s ( s − 1 ) 2 ) . {\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \left(\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s){\frac {s(s-1)}{2}}\right).}
ここに偏角は、偏角 0 の ∞ + iT から出発し、直線 Im s =T に沿って連続的に変化させることで定義される。これは大きいがよく分かっている項
リーマン予想はゼータ関数の零点が準結晶をなすことを意味する、つまり discrete support をもつ distribution でありそのフーリエ変換も discrete support をもつ。Dyson (2009) は1次元の準結晶を分類する、あるいは少なくとも研究することによって、リーマン予想を証明しようとすることを提案した。
リーマン予想を証明したと発表した数学者もいるが、正しい解答として受け入れられたものは2019年9月現在存在しない。Watkins (2007) はいくつかの正しくない解答をリストしており、より多くの正しくない解答は頻繁に発表されている。
例えば2004年には、ルイ・ド・ブランジュが証明に成功したと発表したが後に否定された。2018年には、マイケル・アティヤが微細構造定数の導出の副産物としてリーマン予想を証明したと発表したが、多くの専門家は懐疑的に見ている。この論文は王立協会が発行する科学誌に投稿され、専門家らにより検証が進められていたものの、発表から数ヶ月を経て著者は死去、論文は撤回となった。