級数
自然数によって項が添字づけられている場合には絶対収束と条件収束との2つの収束性の概念を定義することができる。各項が絶対値(ノルム)の定義された体系に属する級数 ∑an は、有限個の項の絶対値を足して得られる正数列が有界である場合、
∑ i = 1 n | a i | < ∃ M ( ∀ n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}|<{}^{\exists }M\quad ({}^{\forall }n)}
その級数は絶対収束 (英: en:absolute convergence) していると言われる。最初の有限個の項の絶対値をそれぞれ足して得られる数の列がコーシー列になっているようなとき、およびそのときに限り絶対収束が成り立っている。
最初の有限個の項を足して得られる部分和の列が収束しているような級数 ∑an は条件収束 (英: en:conditional convergence) あるいは単に収束していると言われる。
s n = ∑ i = 1 n a i → ∃ s ( n → ∞ ) {\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\to {}^{\exists }s\quad (n\rightarrow \infty )}
絶対収束している級数は条件収束している。しばしば「絶対収束でない収束」の意味で単に「条件収束」と呼ぶことがある。条件収束級数の和の値は一般に数列の項の並びに依存して決まる。数列 {an} の項を任意に並べ替えてできる数列 {aσ(n)} の和が、置換 σ の取り方に依らずもとの数列の和に等しいとき、しばしば級数 ∑an は無条件収束 (英: en:unconditional convergence) しているといわれる。
実数を各項にもつ級数 ∑an は、 lim sup | a n | n < 1 {\displaystyle \limsup {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1} ならば絶対収束し、逆にこの量が1より大きければ発散する。