三角関数の公式の一覧
三角関数から求められる versine, coversine, haversine, exsecant などの各関数は、かつて測量などに用いられた。例えば haversine は球面上の2点の距離を求めるのに使用された。haversineを使用すると関数表の表をひく回数を減らすことができるからである。(参考:球面三角法) 今日ではコンピュータの発達により、これらの関数はほとんど使用されない。
versine と coversine は日本語では「正矢」「余矢」と呼ばれ、三角関数とともに八線表として1つの数表にまとめられていた。
一般に、 sin  ( n θ ) = 2 n − 1 ∏ k = 0 n − 1 sin  ( k π n + θ ) {\displaystyle \sin(n\theta )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}{\sin {\Bigl (}{\frac {k\pi }{n}}+\theta {\Bigr )}}} が成り立つ。
同様に、cosの3倍角の公式を加法定理で変形すると、 cos  3 x 4 = cos  x ⋅ ( cos 2  x − 3 4 ) {\displaystyle {\frac {\cos {3x}}{4}}=\cos {x}\cdot \left(\cos ^{2}{x}-{\frac {3}{4}}\right)} = cos  x ⋅ cos  ( 60 ∘ + x ) ⋅ cos  ( 60 ∘ − x ) {\displaystyle =\cos {x}\cdot \cos {(60^{\circ }+x)}\cdot \cos {(60^{\circ }-x)}} が成り立つ。
x = 10 ∘ {\displaystyle x=10^{\circ }} を入力すると、 cos  10 ∘ ⋅ cos  50 ∘ ⋅ cos  70 ∘ = cos  30 ∘ 4 = 3 8 {\displaystyle \cos {10^{\circ }}\cdot \cos {50^{\circ }}\cdot \cos {70^{\circ }}={\frac {\cos {30^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {3}}{8}}} となる。
x = 15 ∘ {\displaystyle x=15^{\circ }} を入力すると、 cos  15 ∘ ⋅ cos  45 ∘ ⋅ cos  75 ∘ = cos  45 ∘ 4 = 2 8 {\displaystyle \cos {15^{\circ }}\cdot \cos {45^{\circ }}\cdot \cos {75^{\circ }}={\frac {\cos {45^{\circ }}}{4}}={\frac {\sqrt {2}}{8}}} から、 cos  15 ∘ ⋅ cos  75 ∘ = 1 4 {\displaystyle \cos {15^{\circ }}\cdot \cos {75^{\circ }}={\frac {1}{4}}} となる。
x = 20 ∘ {\displaystyle x=20^{\circ }} を入力すると、 cos  20 ∘ ⋅ cos  40 ∘ ⋅ cos  80 ∘ = cos  60 ∘ 4 = 1 8 {\displaystyle \cos {20^{\circ }}\cdot \cos {40^{\circ }}\cdot \cos {80^{\circ }}={\frac {\cos {60^{\circ }}}{4}}={\frac {1}{8}}} となる。
一般に、
cos  2 n θ = ( − 1 ) n 2 2 n − 1 ∏ k = 0 2 n − 1 cos  ( 2 k + 1 4 n π + θ ) {\displaystyle \cos 2n\theta =(-1)^{n}2^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}{\cos {\Bigl (}{\frac {2k+1}{4n}}\pi +\theta {\Bigr )}}}
位相の違う正弦関数を以下のように合成することができる。
a sin  x + b sin  ( x + α ) = c sin  ( x + β ) {\displaystyle a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\,}
ここで c と β の値は以下の式で与えられる。
c = a 2 + b 2 + 2 a b cos  α , {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},\,}
β = arctan  ( b sin  α a + b cos  α ) + { 0 if a + b cos  α ≥ 0 , π if a + b cos  α < 0. {\displaystyle \beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a+b\cos \alpha \geq 0,\\\pi &{\text{if }}a+b\cos \alpha <0.\end{cases}}}