パーマネント (数学)
パーマネントと行列式の間の関係として、「 perm ( s 1 , s 2 , ... , s n )  ( A ) {\displaystyle \operatorname {perm} ^{(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n})}(A)} は 1 det ( I − X A ) {\displaystyle {\frac {1}{\det(I-XA)}}} における x 1 s 1 x 2 s 2 ⋯ x n s n {\displaystyle {x_{1}}^{s_{1}}{x_{2}}^{s_{2}}\cdots {x_{n}}^{s_{n}}} の係数に等しい」が成り立つ。ただし、I は n次単位行列で、X は対角成分が (x1, x2, ..., xn) である対角行列とする。
Van der Waerden (1926) はn次二重確率行列の中で最小のパーマネントは n!/n で、それは全ての成分が 1/n に等しい行列によって達成されると予想した。この予想の証明は、(B. Gyires 1980) および (G. P. Egorychev 1980, 1981) および (D. I. Falikman 1981)として出版された。Egorychev の証明はアレクサンドロフ–フェンケル不等式(英語版)の一つの応用である。この業績により Egorychev と Falikman はファルカーソン賞を1982年に受賞している。