素イデアル
素イデアル P ∈ Spec(R) が R 加群 M のある元 x ∈ M の零化イデアル ann(x) と一致するとき、P を M の素因子 (英: prime divisor) または伴う素イデアル(英: associated prime ideal)という。M の随伴素因子がなす集合を AssR(M) あるいは Ass(M) と表す。AssR(M) の(包含関係について)極小な素イデアルを孤立素因子といい、これら以外の素因子を非孤立あるいは埋め込まれた素因子という。R がネーター環のとき、随伴素因子は非正則元や加群の台とも関連があり、準素分解で重要な概念である。
R {\displaystyle R} を環、 P {\displaystyle P} をその素イデアルとすると、集合 S = R ∖ P {\displaystyle S=R\setminus P} は積閉集合となる。 S {\displaystyle S} による R {\displaystyle R} の局所化 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} を R P {\displaystyle R_{P}} と書く。これは P R P {\displaystyle PR_{P}} を極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 R P / P R P {\displaystyle R_{P}/PR_{P}} を κ ( P ) {\displaystyle \kappa (P)} などと書くこともある。
素イデアル(英: prime ideal)は、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数(素元)の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された。整数環(一般にデデキント環(英語版))のすべてのゼロでない(整)イデアルは、素イデアルの有限個の積として(順序を除いて)一意的に書ける(イデアル論の基本定理)。スキームの理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。