フレドホルム核
B を任意のバナッハ空間とし、B をその双対空間、すなわち、B 上の有界線型汎函数からなる空間とする。テンソル積 B ∗ ⊗ B {\displaystyle B^{*}\otimes B} には、ノルム
‖ X ‖ π = inf ∑ { i } ‖ e i ∗ ‖ ‖ e i ‖ {\displaystyle \Vert X\Vert _{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_{i}^{*}\Vert \Vert e_{i}\Vert }
の下での完備化が存在する。但しここで、上式の下限は、すべての有限な表現
X = ∑ { i } e i ∗ e i ∈ B ∗ ⊗ B {\displaystyle X=\sum _{\{i\}}e_{i}^{*}e_{i}\in B^{*}\otimes B}
に関して取られるものとする。
そのようなノルムの下での完備化は、しばしば
B ∗ ⊗ ^ π B {\displaystyle B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B}
のように記述され、射影位相テンソル積(英語版)と呼ばれる。この空間の元が、フレドホルム核と呼ばれる。