Z階数曲線
下図に 2次元における z値 について整数の座標群 0 ≤ x ≤ 7, 0 ≤ y ≤ 7 (10進数と2進数で表示)の範囲で図示する。2進数の相互配置的な並びに着目すると、2進数で表した座標値(=インデックス値)には2進数の z値 が含まれる。 z値 を数値的に昇順に繋げるとZ字型の曲線が生成される。2次元におけるZ値群は quadkey (意訳; 四つ子の鍵)とも呼ばれる。
座標のx値はZ値にモーサー-ドブリュン数列(英語: Moser–de Bruijn sequence)による2進数値群として0ビット目、2ビット目、4ビット目のように偶数ビット群に現れる:
2つのx値の和と差はビット単位演算により計算できる:
この性質から、現在の z値 の座標を右(x値を増加)、左(x値を減少)、下(y値を増加)、上(y値を減少)へオフセットした他の座標の z値を計算できる:
2つの2次元のZ値群に一般化すると:
解析学、計算機科学、数学的な関数など分野ごとに、 Z階数、 ルベーグ曲線、 モートン階数 あるいは モートン符号 などと呼ばれ、多次元のデータをその局所部位の部分データを保持したまま1次元に写像する手法である。本手法は 1966 年に ガイ・マクドナルド・モートン により発表された。この手法では多次元のデータに含まれるある点の部分データを、その点の座標値の2進符号化に現れる交互配置性を基に単純な計算による z値 として表す。一度、この階数によりデータを再配置すれば、2分木、B木、スキップリスト、ハッシュテーブルなどのあらゆる1次元のデータを扱う構造が適用可能となる。これは 4分木 の深度優先探索とも等価である。