ファウルハーバーの公式
はじめのいくつかのベルヌーイ数は B0 = 1, B1 = 1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = −1/30 であるから、例えば
S 4 ( n ) = ( n + B ) 5 − B 5 5 = n 5 B 0 + 5 n 4 B 1 + 10 n 3 B 2 + 10 n 2 B 3 + 5 n B 4 5 = 1 5 ( n 5 + 5 2 n 4 + 5 3 n 3 − 1 6 n ) {\displaystyle {\begin{aligned}S_{4}(n)&={\frac {(n+B)^{5}-B^{5}}{5}}={\frac {n^{5}B_{0}+5n^{4}B_{1}+10n^{3}B_{2}+10n^{2}B_{3}+5nB_{4}}{5}}\\&={\frac {1}{5}}\left(n^{5}+{\frac {5}{2}}n^{4}+{\frac {5}{3}}n^{3}-{\frac {1}{6}}n\right)\end{aligned}}}
などと計算される。同様にして、6乗和までは以下のようになる。
ベルヌーイ数を定義するには複数の方法があるが、ここでは
B 0 = 1 , ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( k + 1 i ) B i = 0 ( k = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle B_{0}=1,\quad \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{k+1 \choose i}B_{i}=0\quad (k=1,2,\cdots )}
によって帰納的にベルヌーイ数 Bj (j = 0, 1, 2, ...) を定める。ここに、
( n m ) = n ! ( n − m ) ! m ! {\displaystyle {n \choose m}={\frac {n!}{(n-m)!\,m!}}}
は二項係数である。
このとき、
S k ( n ) = 1 k + 1 ∑ j = 0 k ( k + 1 j ) B j n k + 1 − j ( k = 0 , 1 , ⋯ ) {\displaystyle S_{k}(n)={\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{k+1 \choose j}B_{j}n^{k+1-j}\quad (k=0,1,\cdots )}
が成り立つ。特に、Sk(n) を n の多項式で表したときの、最高次の項は n/(k + 1)、一次の項は Bkn、定数項は 0 である。