様相論理
様相論理には様々な公理系が考えられており、どのような公理系が妥当なのかはそれ自体が論争の的である。二つの様相演算子のあいだにド・モルガンの法則的な関係が成立することは、どの公理系でも共通している。 ◻ {\displaystyle \Box } は必然性演算子、 ◊ {\displaystyle \Diamond } は可能性演算子である。
◻ p ↔ ¬ ◊ ¬ p {\displaystyle \Box p\leftrightarrow \neg \Diamond \neg p}
◊ p ↔ ¬ ◻ ¬ p {\displaystyle \Diamond p\leftrightarrow \neg \Box \neg p}
即ち、「必然的に真」は「偽である可能性がない」と同等であり、「真である可能性がある」は「必然的に偽であるわけではない」と同等である。様相論理としての最低限の定義 ◊ p = ¬ ◻ ¬ p {\displaystyle \Diamond p=\neg \Box \neg p} のみを満たす最小の公理系としては、E という公理系が知られている。
これは古典命題論理に以下の推論規則を加えたものである。
推論規則 : φ ↔ ψ {\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi } が成り立つならば、 ◻ φ ↔ ◻ ψ {\displaystyle \Box \varphi \leftrightarrow \Box \psi } も成り立つ。
この公理系 E より「強い」すべての公理系は、Classical な公理系と呼ばれる。
しかしながら、真と認めるべきかどうか直感的に明らかでない論理式も多く作ることができる。例えば「必然的に真ならば必然的に「必然的に真」である」と言えるのかどうか、即ち ◻ p → ◻ ◻ p {\displaystyle \Box p\rightarrow \Box \Box p} が成り立つのかどうかははっきりしない。こういった定理を認めるか否かによって、様々な公理系が生まれる。
必然化規則を満たす公理系(Normal な公理系)の中で、最も「小さな」公理系として知られているのは、クリプキによる K という公理系である。K の公理系に更に公理を付け加えることにより、様々な様相論理が得られる。