背理法
[ ¬ P ] ⊥ P {\displaystyle {\cfrac {\displaystyle {[\neg P] \atop \bot }}{P}}}
否定の導入と狭義の背理法をあわせて広義の背理法ということもある。 一般的に、背理法と言った場合は広義の背理法を指す。否定の導入により、¬P から矛盾が導けた場合、¬¬P を結論できるが、いわゆる古典論理では推論規則として二重否定の除去が認められているため、結局 P が結論できることになる。排中律や二重否定の除去が成り立たない直観論理では、狭義の背理法による証明は成立しないが、否定の導入や、¬¬¬P から ¬P を結論することは、認められる。
背理法を使って証明される有名な定理には、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} が無理数であること、素数が無限に存在すること、中間値の定理,ハイネ・カントールの定理などがある。
しかし例えば、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} が無理数である(すなわち有理数でない)ことの証明は、狭義の背理法ではなく否定の導入によって証明することができる。