KdV方程式
de Vries) とは適度に振幅の小さい浅水波を記述する方程式として、KdV方程式を導いた。この方程式は孤立波を含む永久波解を持っていた。但し、彼らの研究は注目を浴びることなく、長い間、忘れ去られていた。
70年後、KdV方程式はザブスキー(英語版)とクルスカル(英語版)による、非線形格子におけるエネルギー伝播の問題(フェルミ・パスタ・ウラムの問題)の研究過程で再発見された。1965年、彼らは非線形格子の連続体モデルの数値計算において、不思議な現象を見い出した。一つは、余弦波で与えた初期状態がいくつかの孤立波に分裂する現象であり、もう一つは二つの孤立波の伝播において、速度が速い孤立波が速度が遅い孤立波を追い越す形で衝突してもそれぞれの波形が壊れず、そのまま伝播する現象である。彼らはこうした粒子性を有する波動現象を、孤立波 (solitary wave) と粒子を表す接尾語 -on を合わせ、ソリトン (soliton) と名付けた。このザブスキーとクルスカルによる研究を契機に、こうした可積分系の性質は注目を集め、その後の研究活発化と理論の発展につながった。
一つの孤立波を表す1ソリトン解は次の形で与えられる。
u ( x , t ) = 2 κ 2 sech 2  κ ( x − c t + δ ) = 2 ∂ 2 ∂ x 2 log  ( 1 + e 2 κ ( x − c t + δ ) ) ( c = 4 κ 2 ) {\displaystyle u(x,t)=2\kappa ^{2}\operatorname {sech} ^{2}\kappa (x-ct+\delta )=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log {(1+e^{2\kappa (x-ct+\delta )})}\quad (c=4\kappa ^{2})}
ここで、sech は sech(x) = 2/e + e で与えられる双曲線正割関数を表す。この解は u(x, t) = u(x − ct) という関数形を有しており、sech で表される一つのピークを持つ孤立波が形を保ったまま、速度 c で伝播する状況に対応している。また、振幅値 2κ は速度 c = 4κ に比例しており、波の高さ(振幅)が高いほど、速く伝播する性質を持つ。