ド・ラームコホモロジー
Ω で M 上の k 形式の芽の層を表すとする(Ω を M の上の C 級函数を表すとする)。ポアンカレの補題によって、次は層の完全系列となる。
0 → R → Ω 0 → d Ω 1 → d Ω 2 → d ⋯ → d Ω m → 0. {\displaystyle 0\to \mathbf {R} \to \Omega ^{0}\,{\xrightarrow {d}}\,\Omega ^{1}\,{\xrightarrow {d}}\,\Omega ^{2}\,{\xrightarrow {d}}\dots {\xrightarrow {d}}\,\Omega ^{m}\to 0.}
上記の系列は短完全列へと分解する。
0 → d Ω k − 1 → i n c l Ω k → d d Ω k → 0. {\displaystyle 0\to d\Omega ^{k-1}\,{\xrightarrow {\mathrm {incl} }}\,\Omega ^{k}\,{\xrightarrow {d}}\,d\Omega ^{k}\to 0.}
これらの各々の短完全系列は、コホモロジーの長完全系列を引き起こす。
多様体上の C 級函数の層は1の分割を持っているので、i > 0 にたいし層係数コホモロジー H(M, Ω) は 0 であり、コホモロジーの長完全系列から H(M, dΩ) = H(M, dΩ) となる。これを繰り返す事で主張の同型がえられる。