解析的トーション
1960年にミルナーは多様体のトーション不変量の双対関係を発見し、結び目の(ツイストした)アレクサンダー多項式が、S における結び目補空間のライデマイスタートーションであることを示した(Milnor 1962)。各々の q に対し、ポアンカレの双対性 P o {\displaystyle P_{o}} は、
P o : det ( H q ( M ) ) ⟶ ∼ ( det ( H n − q ( M ) ) ) − 1 {\displaystyle P_{o}:\det(H_{q}(M)){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}(\det(H_{n-q}(M)))^{-1}}
を導くので、
Δ ( t ) = ± t n Δ ( 1 / t ) {\displaystyle \Delta (t)=\pm t^{n}\Delta (1/t)}
を得る。結び目補空間の基本群の表現は、そこで中心的な役割を果たす。これが結び目理論とトーション不変量の関係を与え、また数論トポロジーへの動機ともなった。