GGH 暗号方式
1999年、Nguyen は国際会議 Crypto にて GGH 暗号方式には方式設計上の欠陥があることを示した。暗号文から平文の一部が漏れること、および、GGH暗号の復号問題が、一般の最近ベクトル問題よりも格段に容易な特別の最近ベクトル問題に帰着できることが示された。
L ⊂ R を、以下のような基底 B とその逆 B をもつ格子とする。
B = ( 7 0 0 3 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}7&0\\0&3\\\end{pmatrix}}} , B − 1 = ( 1 7 0 0 1 3 ) {\displaystyle B^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{7}}&0\\0&{\frac {1}{3}}\\\end{pmatrix}}}
くわえて、
U = ( 2 3 3 5 ) {\displaystyle U={\begin{pmatrix}2&3\\3&5\\\end{pmatrix}}} および
U − 1 = ( 5 − 3 − 3 2 ) {\displaystyle U^{-1}={\begin{pmatrix}5&-3\\-3&2\\\end{pmatrix}}}
とすると、以下を得る。