リース・マルツェル
1920年代のリースの解析的な業績の一部においては、函数解析学の手法が用いられていた。
1920年代の早期、リースはモーメント問題(英語版)の研究を行い、リースの拡張定理を証明することである作用素論的手法を導入した(その定理は後のハーン-バナッハの定理と密接に関連するものであった)。
その後リースは、ヒルベルト変換はLp(1 < p < ∞)における有界作用素であることを示すためのある補間定理を発見した。その定理の彼の指導学生オロフ・ソリン(英語版)による一般化は、今日リース=ソリンの定理として知られている。
リースはまた、アンドレイ・コルモゴロフとは独立に、現在「Lp におけるコルモゴルフ=リースのコンパクト性の指標」として知られている次の内容を証明した:部分集合 K ⊂Lp(R) がプレコンパクトであるための必要十分条件は、以下の三つの条件が成立していることである:(a) K は有界;(b) 任意の ε > 0 に対してある R > 0 が存在し
∫ | x | > R | f ( x ) | p d x < ε p {\displaystyle \int _{|x|>R}|f(x)|^{p}dx<\epsilon ^{p}\,}
がすべての f ∈ K に対して成立する;(c) 任意の ε > 0 に対してある ρ > 0 が存在し
∫ R n | f ( x + y ) − f ( x ) | p d x < ε p {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x+y)-f(x)|^{p}dx<\epsilon ^{p}\,}
が、|y| < ρ を満たすすべての y ∈ R とすべての f ∈ K に対して成立する。