ポリトープ
超多面体は、頂点・辺・面・胞などの相異なる各次元の要素から構成される。これら要素の名称に全ての著者が従う完全な統一名称というものは確立されていない。例えば「面」を余次元 1(つまり (n − 1)-次元)の要素の意味で用いる(その意味で任意の超多面体は「多『面』体」である)文献もあれば、二次元の要素を特に表すのに用いる文献もある。j-次元の要素はしばしば j-次元面 (j-face, j-facet) と呼ばれる。(n − 2)-次元の要素を「稜」(ridge) と呼ぶ文献もあれば、「辺」と呼ぶ文献もある。また、コクセターは cell(「胞」)を (n − 1)-次元要素の意味で用いた(のでその意味では任意の超多面体は「多『胞』体」である)。
本項における語法は大体以下の表に従っている:
ひとつの n-次元超多面体は (n − 1)-次元面(ファセット)に囲まれる領域である。
とかくする間に、フランスの数学者ポワンカレが、多様体の区分的分割(例えば、CW複体)としての超多面体の位相的概念を推し進めた。1967年にブランコ・グレンバウム(英語版)は多大な影響を与えた著書 Convex Polytopesを出版している。
1952年にシェファードは、複素空間(各実次元に各ひとつの虚次元が付随する)における複素超多面体(英語版)へ概念を一般化した。その理論はコクセターによりさらに推し進められた。
複素多面体、非凸性、双対性、その他の現象によって生じた概念的問題は、グレンバウムらを頂点、辺、面などが満たす抽象組合せ論的性質のより一般な研究へと駆り立てた。それに関係する考え方は、超多面体の種々の次元の各面同士の間の接続関係 (incidence, connection) によって調べられる接続複体の概念である。そうした発展を経て、それら面からなる半順序集合としての抽象多面体(英語版)の理論へ十分に結実した。McMullen & Schulte は2002年に著書 Abstract Regular Polytopes を出版している。
四次元あるいはそれ以上の次元における一様超多面体(英語版)の数え上げは、凸の場合も非凸の場合も、未解決の問題として残されている。
現代において、超多面体および関連する概念は多様な分野において多くの重要な応用を持ち、それらはコンピュータグラフィック、数理最適化、サーチエンジン、宇宙論、量子力学ほか様々な分野において見つけられる。2013年には、理論物理学に関するある種に計算において構成を簡単化するものとして振幅多面体(英語版)が発見された。