直交ミラーフィルタ
この関係を満たすフィルタとしてハールフィルタ(Haar filter) H 0 ( z ) = ( 1 + z − 1 ) / 2 {\displaystyle H_{0}(z)=(1+z^{-1})/{\sqrt {2}}} がある。この式を代入すると、以下の式が成り立ち、1 サンプルの遅延で元の信号を完全再構成できることが分かる。
1 2 ( 1 + 2 z − 1 + z − 2 ) − 1 2 ( 1 − 2 z − 1 + z − 2 ) = 2 z − 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+2z^{-1}+z^{-2}\right)-{\frac {1}{2}}\left(1-2z^{-1}+z^{-2}\right)=2z^{-1}\,}
より特性の優れた高次のFIRフィルタは完全再構成を行うための条件を満たすことができないことが分かっており、近似的に条件を満たすようフィルタを構成する。このような方法でも適切な設計により周波数特性の変動を非常な小さな値(±0.0015dB程度)に抑えることができる 。このようなフィルタは疑似QMF(Pseudo QMF)と呼ばれる。 また、IIRフィルタでは完全再構成が可能な特性の優れたフィルタを構成できる。
様々な信号の符号化を行う際など、信号を複数の周波数に分割して処理を行うことは多い。このような場合、入力信号をフィルタを使って複数の周波数成分に分解し、各成分をダウンサンプリングして処理を行う。元の信号の復元には、各信号をアップサンプリングした後に再度フィルタで必要な周波数成分のみを取り出して合成する。
このような場合、フィルタの不完全な周波数特性のため、サンプリング時に隣り合う周波数成分による折り返し雑音が発生し、最終的な信号は元の信号と異なるものになる。例えば、オーディオ信号の符号化の場合には再生された音の歪みとして現れる。
直交ミラーフィルタは、フィルタバンクを構成する各フィルタの特性に折り返し雑音のキャンセルを行うような制限を設けたもので、折り返し雑音が全く発生しない。 また、入力と全く同じ信号を完全再構成することも可能である。
H 1 ( z ) = z − ( L − 1 ) H 0 ( − z − 1 ) {\displaystyle H_{1}(z)=z^{-(L-1)}H_{0}(-z^{-1})\,}
また、時間領域での各フィルタの関係は以下の式で表現される。
h 1 [ n ] = ( − 1 ) n h 0 [ L − 1 − n ] {\displaystyle h_{1}[n]=(-1)^{n}h_{0}[L-1-n]\,}
g 0 [ n ] = h 0 [ L − 1 − n ] {\displaystyle g_{0}[n]=h_{0}[L-1-n]\,}
g 1 [ n ] = − ( − 1 ) n h 0 [ n ] = − h 1 [ L − 1 − n ] {\displaystyle g_{1}[n]=-(-1)^{n}h_{0}[n]=-h_{1}[L-1-n]\,}
合成フィルタのインパルス応答は解析フィルタのインパルス応答を逆順に時間反転したものとなる。