フロベニウス自己準同型
数論的フロベニウスと幾何学的フロベニウス(英語版)(Arithmetic and geometric Frobenius)も参照
S-スキーム X の数論的フロベニウス写像(arithmetic Frobenius morphism)は、
F X / S a = 1 X × F S {\displaystyle F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}}
により定義される同型
F X / S a : X ( p ) → X × S S ≅ X {\displaystyle F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X}
である。すなわち、1X による FS のベースチェインジである。
繰り返すと、
R = A [ X 1 , ... , X n ] / ( f 1 , ... , f m ) , {\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),}
R ( p ) = A [ X 1 , ... , X n ] / ( f 1 , ... , f m ) ⊗ A A F , {\displaystyle R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},}
可換環論や体論では、フロベニウス自己準同型 (フロベニウス写像、英: Frobenius endomorphism, Frobenius map) (フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスの名前にちなむ)は、有限体を含む重要なクラスである素数の標数 p をもつ可換環の特別な自己準同型のことを言う。この自己準同型写像は、各元を p 乗する。ある文脈においては、自己同型となるが、一般にこれは正しくない。
S の絶対フロベニウス写像が F S − 1 {\displaystyle F_{S}^{-1}} を持ち可逆であるとする。 S F − 1 {\displaystyle S_{F^{-1}}} を S-スキーム F S − 1 : S → S {\displaystyle F_{S}^{-1}:S\to S} と書くと、 F S − 1 {\displaystyle F_{S}^{-1}} により X の拡張スカラーが存在する。
X ( 1 / p ) = X × S S F − 1 . {\displaystyle X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.}
もし、
R = A [ X 1 , ... , X n ] / ( f 1 , ... , f m ) {\displaystyle R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})}
であれば、 F S − 1 {\displaystyle F_{S}^{-1}} による拡張は
R ( 1 / p ) = A [ X 1 , ... , X n ] / ( f 1 , ... , f m ) ⊗ A A F − 1 . {\displaystyle R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.
∑ i ∑ α X α ⊗ a i α ↦ ∑ i ∑ α a i α X p α {\displaystyle \sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }}
により定義される準同型写像 R → R である。
相対的フロベニウス写像は、ベースチェインジと整合性を持ち、その意味は、X ×S S′ と (X ×S S′) との自然な同型の下で、
F X / S × 1 S ′ = F X × S S ′ / S ′ {\displaystyle F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}}
を得る。
相対的フロベニウス写像は、普遍的な同相写像である。X → S を開埋め込みとすると、恒等写像となる。X → S が OS のイデアル I により決まる閉埋め込みとすると、X はイデアル層 I より決定され、相対的フロベニウスは、増強された写像 OS/I → OS/I である。
X が S 上に不分岐であることと、FX/S が不分岐であること、FX/S が単射準同型(monomorphism)であることとは同値である。X が S 上でエタールであることと、FX/S がエタールであること、FX/S が同型であることとは同値である。