グラハム数
つまり例えば、x↑x↑x = x↑(x↑x) である。例を挙げると次のようになる。
3 ↑↑ 2 = 3 3 = 27 3 ↑↑ 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7625597484987 3 ↑↑ 4 = 3 3 3 3 = 3 7625597484987 ≈ 1.258 × 10 3638334640024 3 ↑↑ 5 = 3 3 3 3 3 = 3 3 7625597484987 ≈ 3 1.258 × 10 3638334640024 ≈ 10 6.0022 × 10 3638334640023 {\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow 2=&3^{3}=27\\3\uparrow \uparrow 3=&3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987\\3\uparrow \uparrow 4=&3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}\\\approx &1.258\times 10^{3638334640024}\\3\uparrow \uparrow 5=&3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}\\\approx &3^{1.258\times 10^{3638334640024}}\\\approx &10^{6.0022\times 10^{3638334640023}}\end{aligned}}}
同様に「↑↑↑」を次のように再帰的に定義する。
3 ↑ G 63 ( 4 ) − 1 3 ↑ G 63 ( 4 ) − 2 ⋯ 3 ↑ 5 3 ↑ 4 3 ↑ 3 3 ↑ 2 27 ↑ 9 {\displaystyle 3\uparrow ^{G^{63}(4)-1}3\uparrow ^{G^{63}(4)-2}\cdots 3\uparrow ^{5}3\uparrow ^{4}3\uparrow ^{3}3\uparrow ^{2}27\uparrow 9} ,
3 ↑ G 63 ( 4 ) − 1 3 ↑ G 63 ( 4 ) − 2 ⋯ 3 ↑ 5 3 ↑ 4 3 ↑ 3 3 ↑ 2 3 ↑ 1 27 {\displaystyle 3\uparrow ^{G^{63}(4)-1}3\uparrow ^{G^{63}(4)-2}\cdots 3\uparrow ^{5}3\uparrow ^{4}3\uparrow ^{3}3\uparrow ^{2}3\uparrow ^{1}27} ,
3 ↑ G 63 ( 4 ) − 1 3 ↑ G 63 ( 4 ) − 2 ⋯ 3 ↑ 5 3 ↑ 4 3 ↑ 3 3 ↑ 2 3 27 {\displaystyle 3\uparrow ^{G^{63}(4)-1}3\uparrow ^{G^{63}(4)-2}\cdots 3\uparrow ^{5}3\uparrow ^{4}3\uparrow ^{3}3\uparrow ^{2}3^{27}} ,