函数の全微分
M = R において任意の 1-形式 A = f dx を考えるとき、次元の関係から必ず dA = 0 が成立する。従って R において可積分条件が成り立ち、適当な可微分函数 F が存在して dF = A, 即ち F' = f が成立する。これは一変数の場合の微分積分学の基本定理に他ならない。
各全微分 A = df は 1-形式である。即ち
A ( p ) = ∑ i = 1 n a i ( p ) d x i {\displaystyle A(p)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}(p)\,{\mathit {dx}}^{i}}
と表示できる。微分形式の解析学においてカルタン微分 dA は 2-形式
d A ( p ) = ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n [ ∂ a j ∂ x i ( p ) − ∂ a i ∂ x j ( p ) ] d x i ∧ d x j {\displaystyle {\mathit {dA}}(p)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\left[{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}(p)-{\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}(p)\right]{\mathit {dx}}^{i}\wedge {\mathit {dx}}^{j}}
である。A が実際に C-級函数 f の全微分 df であるとき、即ち ai = ∂f⁄∂xi のとき二階微分の対称性により
d A ( p ) = ∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n [ ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ( p ) − ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i ( p ) ] d x i ∧ d x j = 0 {\displaystyle {\mathit {dA}}(p)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}\left[{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(p)-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}(p)\right]{\mathit {dx}}^{i}\wedge {\mathit {dx}}^{j}=0}