レイリー・ジーンズの法則
レイリー・ジーンズの法則は、レイリー卿が1900年に最初に発表した。 レイリーは、1900年に『完全輻射の法則についての注意』と題する2ページの短い論文の中で、レイリー・ジーンズの公式の原型となる式を提案した。この中で、ヴィーンの公式が、長波長、高温の領域では温度が上昇しても u(λ,T) が一定の極限値に近づき、それ以上は増加しない問題を指摘した。レイリーは空気の振動である音との類似性から、振動数 ν と ν+dν の間にある輻射場の振動子のモード数が νdν に比例するとした。さらに振動子の各モードにマクスウェル=ボルツマンらによるエネルギー等分配則を適用することで
u ( ν , T ) d ν ∝ T ν 2 d ν {\displaystyle u(\nu ,T)d\nu \varpropto T\nu ^{2}d\nu }
もしくは波長で表した
u ( λ , T ) d λ ∝ T λ 4 d λ {\displaystyle u(\lambda ,T)d\lambda \varpropto {\frac {T}{\lambda ^{4}}}d\lambda }
という結果を得た。また、明確な根拠を示さずに指数因子を加えた
u ( λ , T ) d λ ∝ T λ 4 e − c λ T d λ {\displaystyle u(\lambda ,T)d\lambda \varpropto {\frac {T}{\lambda ^{4}}}e^{-{\frac {c}{\lambda T}}}d\lambda }
Q k ( t ) = ε 0 V ( A k e − i ω k t + A k ∗ e i ω k t ) P k ( t ) = Q ̇ k ( t ) = − i ω k ε 0 V ( A k e − i ω k t − A k ∗ e i ω k t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Q} _{\mathbf {k} }(t)&={\sqrt {\epsilon _{0}V}}(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{-i\omega _{k}t}+\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{i\omega _{k}t})\\\mathbf {P} _{\mathbf {k} }(t)&={\dot {\mathbf {Q} }}_{\mathbf {k} }(t)\\&=-i\omega _{\mathbf {k} }{\sqrt {\epsilon _{0}V}}(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{-i\omega _{k}t}-\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{i\omega _{k}t})\end{aligned}}}
で導入すると、U をこれらの正準変数で書き表したハミルトニアン H として
H = ∑ k H k = ∑ k 1 2 ( P k 2 ( t ) + ω k 2 Q k 2 ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}H&=\sum _{\mathbf {k} }H_{\mathbf {k} }\\&=\sum _{\mathbf {k} }{\frac {1}{2}}(\mathbf {P} _{\mathbf {k} }^{\,2}(t)+\omega _{k}^{\,2}\mathbf {Q} _{\mathbf {k} }^{\,2}(t))\end{aligned}}}
が得られる。Hk は調和振動子のハミルトニアンそのものである。
輻射場で満たされた空洞炉内が電荷や電流が存在しない真空であるとする。このとき、電場と磁場は波動方程式を満たし、これは電磁波の伝播を記述する。この電磁波は、波数ベクトル k と偏光の2つの自由度 γ=1,2 で特徴付けられるモードに展開できる。このとき、電磁波のエネルギーは無限個の正準座標{Qk,γ}と正準運動量{Pk,γ}の組を用いて、調和振動子の集まりとして表すことができる。
電場と磁場は、ベクトルポテンシャルによって、記述することができる。クーロンゲージの条件(divA=0)を適用するとベクトルポテンシャル A(r,t) は波動方程式を満たし、
A ( r , t ) = ∑ k ( A k e i ( k ⋅ r − ω k t ) + A k ∗ e − i ( k ⋅ r − ω k t ) ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{\mathbf {k} }(\mathbf {A} _{\mathbf {k} }e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)}+\mathbf {A} _{\mathbf {k} }^{\ast }e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega _{k}t)})}
と展開できる。但し、A(r,t) には周期境界条件を課したほか、
ω k = c | k | = c k {\displaystyle \omega _{k}=c|\mathbf {k} |=ck}
とした。
レイリー・ジーンズの法則(レイリー・ジーンズのほうそく、英: Rayleigh–Jeans Law)は、黒体輻射におけるエネルギー密度の理論式の1つである。レイリー・ジーンズの公式とも呼ばれ、イギリスの物理学者であるレイリー卿とジェームズ・ジーンズに因む。レイリー・ジーンズの公式は黒体から熱放射される電磁波、すなわち輻射場のある温度におけるエネルギー密度のスペクトル分布を与える。輻射場を一次元調和振動子の集まりとして扱い、古典統計力学を適用することで導かれる。この公式が適用できるのは長波長(低振動数)の限られたスペクトル領域のみであり、不完全な理論式である。全スペクトル領域で成り立つ完全な理論式は、量子論に基づくプランクの公式によって与えられる。しかしながら、レイリー・ジーンズの公式は古典物理学の限界を浮き彫りにし、輻射の理論や現代物理学の発展に重要な役割を果たした。