空和
数学における空和(くうわ、英: empty sum)または零項和 (nullary sum) は、(被加数の)項数が零であるような和を言う。規約として、「数からなる任意の空和は(和をとる際のいかなる条件が空に退化したものであっても)0 に等しい」と取り決める。例えば、
∑ 1 ≤ n ≤ 0 n = 0 , ∑ 1 ≤ i < j ≤ 1 2 i 3 j = 0 {\displaystyle \sum _{1\leq n\leq 0}n=0,\quad \sum _{1\leq i<j\leq 1}2^{i}3^{j}=0}
である。
数列 a1, a2, a3, ... に対して、最初の m-項の和を
s m = ∑ i = 1 m a i = a 1 + ⋯ + a m {\displaystyle s_{m}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}+\dotsb +a_{m}}
と書く。このとき
s m = a m + s m − 1 {\displaystyle s_{m}=a_{m}+s_{m-1}}