ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
このように部分列をとる操作を、もとの点列から n 回繰り返せば終了し、得られたものもやはりもとの点列の部分列で、どの座標成分の成す数列もそれぞれ収束するから、この部分点列自身も収束する。
縮小区間列(英語版)を用いた別証明もある。有界点列 (xn) から始めて
[1] (xn) は有界であるから、下界 s および上界 S が取れる。
[2] 縮小区間列の最初の区間 I1 として [s, S] をとる。
[3] I1 を等分して二つの小区間を作る。
[4] 得られた小区間のうち、(xn) の点を無限に含む方を縮小区間列の第二の区間 I2 とする(両方とも無限個含むならば、どちらを選んでもよい。もとの点列は無限列であるから、少なくとも一つの小区間が必ず無限に含むことに注意する)。
[5] 同様に I2 も等分割する。
[6] 同様に (xn) の点を無限に含む方を縮小区間列の第三の区間 I3 とする。
[7] 以下同様に無限回繰り返すと、所期の縮小区間列を得る。
ここで、得られた縮小区間列の長さは、各段階で半分になるから、長さの極限は 0 である。したがって、すべての小区間 In に属する点 x がただ一つ存在する。いま x が (xn) の集積点であることを示す:
x の近傍 U をとる。小区間の長さは 0 に収束するから、適当な小区間 IN で U に全く含まれるものが取れる。先の構成により、IN は (xn) の点を無限に含み、IN ⊆ U であるから、U もまた (xn) の点を無限に含む。ゆえに、x は (xn) の集積点である。
したがって、(xn) の部分列で x に収束するものが存在する。