固有振動
d x d t = A ω cos  ( ω t + φ ) {\displaystyle {dx \over dt}=A\omega \,\cos(\omega t+\phi )}
d 2 x d t 2 = − A ω 2 sin  ( ω t + φ ) = − ω 2 x {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-A\omega ^{2}\,\sin(\omega t+\phi )=-\omega ^{2}x} ... (1-5)
(1-2)と(1-5)から
− m ω 2 x = − k x {\displaystyle -m\omega ^{2}x=-kx} ... (1-6)
(1-6)式で m ω 2 = k {\displaystyle m\omega ^{2}=k} を満足していれば解であることがいえる。
.. (3-3)
線分 δ s {\displaystyle \delta s} の質量は ρ δ s {\displaystyle \rho \delta s} であるから[ニュートンの運動方程式は
T ∂ 2 y ∂ x 2 δ x = ρ δ s ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle T{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}\delta x=\rho \delta s{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}}
δyが小さいから δ s ≈ δ x {\displaystyle \delta s\approx \delta x} ,さらに v {\displaystyle v} = T ρ {\displaystyle {\sqrt {T \over \rho }}} とおくと
∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}} ... (3-4)
の波動方程式を得る。