ドゥーブのマルチンゲール不等式
離散時間マルチンゲールに対するドゥーブの不等式からコルモゴロフの不等式(英語版)が導出できる。
X1, X2, ... を実数値の独立確率変数列で、いずれも期待値が 0 であるとすると
E [ X 1 + ⋯ + X n + X n + 1 | X 1 , ... , X n ] = X 1 + ⋯ + X n + E [ X n + 1 | X 1 , ... , X n ] = X 1 + ⋯ + X n , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} \left[X_{1}+\dots +X_{n}+X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}\right]&=X_{1}+\dots +X_{n}+\mathbf {E} \left[X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}\right]\\&=X_{1}+\cdots +X_{n},\end{aligned}}}