ヒルベルト＝シュミット作用素
数学の分野におけるヒルベルト=シュミット作用素(ヒルベルト=シュミットさようそ、英: Hilbert–Schmidt operator)とは、ダフィット・ヒルベルトとエルハルト・シュミットの名にちなむ、ヒルベルト空間上の有界線型作用素で、次のような有限のヒルベルト=シュミットノルムを備えるもののことを言う:
‖ A ‖ H S 2 = Tr  | ( A ∗ A ) | := ∑ i ‖ A e i ‖ 2 . {\displaystyle \|A\|_{\mathrm {HS} }^{2}=\operatorname {Tr} |(A^{*}A)|:=\sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}.}
ここで ‖ ‖ {\displaystyle \|\ \|} は H のノルムを表し、 { e i : i ∈ I } {\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}} は添字集合 I {\displaystyle I} についての H の正規直交基底を表す。この添字集合は必ずしも可算でなくても良いことに注意されたい。この定義は、基底の選び方に依存しないため、
‖ A ‖ H S 2 = ∑ i , j | A i , j | 2 = ‖ A ‖ 2 2 {\displaystyle \|A\|_{\mathrm {HS} }^{2}=\sum _{i,j}|A_{i,j}|^{2}=\|A\|_{2}^{2}}
が成り立つ。ここで A i , j = ⟨ e i , A e j ⟩ {\displaystyle A_{i,j}=\langle e_{i},Ae_{j}\rangle } であり、 ‖ A ‖ 2 {\displaystyle \|A\|_{2}} は A {\displaystyle A} のシャッテンノルムを表す。