Tor関手
}
R が可換で r ∈ R が零因子でなければ、
T o r 1 R ( R / ( r ) , B ) = { b ∈ B : r b = 0 } {\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}}
であり、ここから用語 Tor (すなわち Torsion) が来ている。捩れ部分群参照。
すべての n ≥ 2 に対して、TorZn(A, B) = 0 である。理由:自由アーベル群の部分群は自由アーベル群なので、すべてのアーベル群 A は長さ1の自由分解をもつから。なのでこの重要な特別な場合には、n ≥ 2 の Tor 関手は消える。さらに、 f : A → A で"k 倍写像"を表すと TorZ1(Z/kZ, A) = Ker(f) である。
さらに、すべての自由加群は長さ0の自由分解をもつので、上記の議論から、F が自由 R-加群であれば、すべての n ≥ 1 に対して TorRn(F, B) = 0。
Tor 関手はフィルター余極限(英語版)と任意の直和を保つ。