列 (数学)
定義を述べる前にその背後にある直観を説明する。「A,B,C」という列は、1番目、2番目、3番目にそれぞれA,B,Cという項がある。したがってこの列から1、2、3にそれぞれA,B,Cを対応させる関数を作る事ができる。逆に1、2、3にそれぞれA,B,Cを対応させる関数があればそこから「A,B,C」という列を復元するのは容易である。この事から「列」という概念は自然数に項を対応させる関数と実質的に同義である事がわかる。そこで数学ではそのような関数を列の定義とする。
すなわち集合 S に値を取る項数n の有限列とは、 {1, 2, ..., n} から S への写像
a : {1, 2, ..., n} → S
のことである。
同様に、S に値を取る無限列とは、自然数全体のなす集合 N = { 1 , 2 , 3 , ... } {\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}} から S への写像
a : N → S {\displaystyle a\colon \mathbb {N} \to S}
である。
(有限または無限)列a に対し、自然数i の写像a による像 a(i) は添字記法にしたがって ai などと記されるのが通例である。(計算機科学では配列の記号を流用してa [i]とも書く。)
列a はその項を明示して(a1, a2, ...
有限列のなかには、何の項も含まない空の列 (null or empty sequence) ( ) も含める。また、整数全体のなす集合からある集合への写像を
(..., a−2, a−1, a0, a1, a2, ...)
のように書いて、両側無限列あるいは双方向無限列 (doubly or bi-infinite sequence) と呼ぶ。 これは、負の整数で添字付けられた列を正の整数で添字付けられた列に接いだものと考えることができることによる名称である。
ある与えられた列 (an)n の部分列(ぶぶんれつ、subsequence)(aik)k とは、残った要素がもとの数列における相対的な序列を保つ i.e.
i : N → N ; k ↦ i k , ( k 1 < k 2 ⇒ i k 1 < i k 2 ) , {\displaystyle i\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} ;\ k\mapsto i_{k},\quad (k_{1}<k_{2}\Rightarrow i_{k_{1}}<i_{k_{2}}),}
ようにして、与えられた列からいくつかの要素を取り去ることによって得られる列
a ′ : N → S ; k ↦ a i k {\displaystyle a'\colon \mathbb {N} \to S;\ k\mapsto a_{i_{k}}}
のことである。