大正準集団
一粒子のエネルギー固有値 εj をもつ固有状態jについて、ボゾンの場合、粒子数 nj は 0 以上の全ての整数値をとりうるので大分配関数は、
Ξ ( j ) ( β , μ ) = ∑ n j = 0 ∞ e − β ( ε j − μ ) n j = 1 1 − e − β ( ε j − μ ) {\displaystyle \Xi ^{(j)}(\beta ,\mu )=\sum _{n_{j}=0}^{\infty }e^{-\beta (\epsilon _{j}-\mu )n_{j}}={\frac {1}{1-e^{-\beta (\epsilon _{j}-\mu )}}}}
となる。これから固有状態jの粒子数(占有数)の期待値を計算する。これはマクロな観測量では無いが、期待値を求めておくと量子理想気体などの解析に便利である。結果は、
N i ( β , μ ) = 1 Ξ ( β , μ ) ∑ ω N i ( ω ) e − β E ( ω ) + β ∑ i μ i N i ( ω ) = 1 β ∂ ∂ μ i ln  Ξ ( β , μ ) {\displaystyle N_{i}(\beta ,{\boldsymbol {\mu }})={\frac {1}{\Xi (\beta ,{\boldsymbol {\mu }})}}\sum _{\omega }N_{i}(\omega )e^{-\beta E(\omega )+\beta \sum _{i}\mu _{i}N_{i}(\omega )}={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial \mu _{i}}}\ln \Xi (\beta ,{\boldsymbol {\mu }})}
となり、エネルギーは