分解型複素数
分解型複素数は行列を用いて簡単に表示できる。分解型複素数 z = x + jy は、対応
z ↦ ( x y y x ) {\displaystyle z\mapsto {\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}}
により行列で表示できる。分解型複素数の加法と乗法は行列の加法と乗法によって与えられる。z の絶対値は対応する行列の行列式の値として得られる。分解型複素共軛は両側から次の行列
C = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle C={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
を掛けることに対応する。任意の実数 a に対し、双曲角 a の双曲的回転は行列
( cosh  a sinh  a sinh  a cosh  a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}}
を掛けることに対応する。分解型複素平面の対角基底は、z = x + jy を順序対 (x, y) で表し、写像
↑ これらが冪等とは e⋅e = e および e*⋅e* = e* が満たされることであった
↑ 加法と乗法は成分ごとのそれで定義する。
↑ 注意:著者によってはクリフォード代数における符号を逆にしているものがあるので、その場合は正定値と負定値を入れ替えて読む必要がある
分解型複素数(ぶんかいがたふくそすう、英語: split-complex number; 分裂複素数)とは、数学において、2つの実数 x, y と j = +1 を満たす実数でない量を用いて z = x + yj と表せる数のことである。
分解型複素数と通常の複素数の最も大きな幾何学的な違いは、通常の複素数の乗法が R における通常の自乗ユークリッドノルム x + y に従う一方、分解型複素数の乗法が自乗ミンコフスキーノルム x − y に従うことである。
代数的には、分解型複素数は(通常の複素数には無い)非自明な(つまり、0 でも 1 でもない)冪等元を含むという興味深い性質を持つ。また、全ての分解型複素数が成す集合は体にはならないが、その代わりに環を成す。
分解型複素数には他の呼び名がたくさんある(#別称を参照)。「分解型」(split) というのは、(p, p)-型の(計量二次形式の)符号数が「分解型符号数」(split signature) と呼ばれることからきている。つまり、分解型複素数は分解型符号数 (1, 1) を持つ複素数の類似である。