ベーテ・サルピータ方程式
ベーテ・サルピータ方程式の導出の出発点は、二つの粒子(もしくは4点)の運動量空間上のダイソン方程式
G = S 1 S 2 + S 1 S 2 K 12 G {\displaystyle G=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\,G}
である。G は二粒子グリーン関数 ⟨ Ω | φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 | Ω ⟩ {\displaystyle \langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}\,\phi _{3}\,\phi _{4}|\Omega \rangle } 、S は自由プロパゲーター、K は相互作用カーネルであり、二粒子間の可能な全ての相互作用が含まれる。重要なステップは、ここで束縛状態がグリーン関数の極として現れるという仮定である。二つの粒子が会合して質量 M の束縛状態を成し、この状態で自由に伝播した後、解離し二つの構成粒子にもどると仮定する。ここで、ベーテ・サルピータ波動関数 Ψ = ⟨ Ω | φ 1 φ 2 | ψ ⟩ {\displaystyle \Psi =\langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}|\psi \rangle } を導入する。これは二つの構成粒子 φ i {\displaystyle \phi _{i}} から束縛状態 ψ {\displaystyle \psi } への遷移振幅であり、これを用いてグリーン関数を極の近傍で次のように近似できる。
G ≈ Ψ Ψ ̄ P 2 − M 2 , {\displaystyle G\approx {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}},}
どんな斉次方程式もそうであるように、ベーテ・サルピータ方程式の解は定数倍の任意性を持つ。この係数は特定の正規化条件により決定される。ベーテ・サルピータ振幅の場合、確率保存条件(量子力学における波動関数の正規化条件と類似している)を要求することが多く、この条件は次の等式で表される。
2 P μ = Γ ̄ ( ∂ ∂ P μ ( S 1 ⊗ S 2 ) − S 1 S 2 ( ∂ ∂ P μ K ) S 1 S 2 ) Γ {\displaystyle 2P_{\mu }={\bar {\Gamma }}\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\left(S_{1}\otimes S_{2}\right)-S_{1}S_{2}\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}K\right)S_{1}S_{2}\right)\Gamma }
束縛状態の電荷とエネルギー運動量テンソルを正規化した場合も同じ式が得られる。ラダー近似の下では相互作用カーネルはベーテ・サルピータ振幅の総運動量に依存しないので、上の条件式の第二項は消える。
ここで K は系の総運動量である。この運動量が等式 P = M(四元運動量 Pμ = (E/c, p→) の二乗ノルム P = PμP)を満たすところ、つまりアインシュタインのエネルギー運動量関係(英語版)が満たされるところに、4点グリーン関数は極を持つ。この近似式を上記のダイソン方程式に代入し、総運動量 P をエネルギー運動量関係を満たすよう決めると、両辺に極が現われる。
Ψ Ψ ̄ P 2 − M 2 = S 1 S 2 + S 1 S 2 K 12 Ψ Ψ ̄ P 2 − M 2 {\displaystyle {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}{\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}}
残余を比較すると、次の式を得る。
Ψ = S 1 S 2 K 12 Ψ {\displaystyle \Psi =S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\Psi }
これは既に、ベーテ・サルピータ波動関数を用いて書き下したベーテ・サルピータ方程式になっている。上記の形式の方程式を得るには、ベーテ・サルピータ振幅 Γ
Ψ = S 1 S 2 Γ {\displaystyle \Psi =S_{1}\,S_{2}\,\Gamma }
を導入して
Γ = K 12 S 1 S 2 Γ {\displaystyle \Gamma =K_{12}\,S_{1}\,S_{2}\,\Gamma }
を得る。この式は上記の方程式を明示的に運動量に依存する形式で書き下したものである。