共有知識
C φ ⇔ ⋀ i = 1 n E n φ , n = 1 , 2 , ... {\displaystyle C\varphi \Leftrightarrow \bigwedge _{i=1}^{n}E^{n}\varphi ,\;n=1,2,\ldots }
で定義することができる。
しかしここにはまだ問題が残っている。認識論理の言語はふつう有限的 (finitary) であるが、上の定義では共有知識を式の無限個の連言によって定めており、したがってこれはこの言語における論理式になっていない。この問題を克服するため「不動点」(fixed-point) としての共有知識の定義が与えられる。直観的に、共有知識は「方程式」 E G ( φ ∧ C G φ ) {\displaystyle E_{G}(\varphi \wedge C_{G}\varphi )} の不動点とみなせる。こうして、 E G ( ψ ∧ C G φ ) {\displaystyle E_{G}(\psi \wedge C_{G}\varphi )} を含意する式 ψ {\displaystyle \psi } を見つけることができ、そこから極限において、 φ {\displaystyle \varphi } の共有知識を推論することができる。
この「構文論的」な特徴づけには、いわゆる「クリプキ構造」を通して意味論的な内容が与えられる。クリプキ構造は、
状態 (ないし可能世界) の集合 S,