代数的スタック
代数的スタックの動機付けの例の1つは、亜群スキームである。 ( R , U , s , t , m ) {\displaystyle (R,U,s,t,m)} 固定スキーム上 S {\displaystyle S} 。たとえば、 ( μ n {\displaystyle \mu _{n}} は、1を根とする群スキーム)、 U = A S n {\displaystyle U=\mathbb {A} _{S}^{n}} 、 s = pr U {\displaystyle s={\text{pr}}_{U}} 射影、 t {\displaystyle t} は群作用である。
代数的スタックはファイバー化された圏
p : X → ( S c h / S ) f p p f {\displaystyle p:{\mathcal {X}}\to (\mathrm {Sch} /S)_{fppf}}
で以下の条件
X {\displaystyle {\mathcal {X}}} は亜群でファイバー化された圏である。
ファイバー化された圏の対角射 Δ : X → X × S X {\displaystyle \Delta :{\mathcal {X}}\to {\mathcal {X}}\times _{S}{\mathcal {X}}} は代数空間で表現可能である。
fppfスキーム U → S {\displaystyle U\to S} と対応するファイバー圏の1-射 U → X {\displaystyle {\mathcal {U}}\to {\mathcal {X}}} で全射かつ滑らかであるようなものが存在する。この射はアトラスと呼ばれる.