帰納極限
Ai を長さiの有限数列全体からなる集合、fij (i≤j) を数列の後ろに0をj-i項付け加える写像とすると、その帰納極限は、有限項を除いて0であるような数列全体の集合となる。
集合 M の部分集合族 Mi は包含関係によって半順序集合となる。この族が直系となるならば、その帰納極限は単に和集合 ⋃ M i {\displaystyle \bigcup M_{i}} によって与えられる。同様のことは、ある群の部分群がなす直系や、ある環の部分環がなす直系についても成立する。
添字集合 I が有向集合で最大元 m を持つならば、そのような任意の直系の直極限はXm に同型であり、標準射 φm: Xm → X は同型となる。
p を素数とすると、群の族 Z/pZ および p を掛けることで誘導される準同型の族 Z/pZ → Z/pZ での組は帰納系を成す。この帰納系の帰納極限は、p の適当な冪を位数とするような 1 の冪根の全体からなる。これをプリューファー群 Z(p) という。
F を位相空間 X 上の C-値層とする。