コンパクト空間
位相空間がコンパクト(英: compact, /kəmˈpækt/)であるとは、後述する所定の性質を満たす「性質の良い」空間であり、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上の有界閉集合の性質を抽象化したもの。
「完閉」という訳語もあるが、ほとんど使われていない。
位相空間Xの部分集合Yに対し、YのXにおける閉包がコンパクトであるときYはXで相対コンパクト(英: relatively compact)であるという。
なおブルバキなどでは、本項でいうコンパクトを準コンパクト(英: quasi-compact)、準コンパクトでハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトと定義することもある。
距離空間Xが全有界であるとは任意の ε > 0 に対し、X を半径 ε の有限個の開球で被覆する事ができる事を指す:
定義 (全有界性) ― 距離空間Xが全有界(ぜんゆうかい、英: totally bounded)もしくはプレコンパクト(英: precompact)であるとは任意の ε > 0 に対し、Xの有限部分集合 F ⊂ X {\displaystyle F\subset X} が存在し、
X = ⋃ x ∈ F B ε ( x ) {\displaystyle X=\bigcup _{x\in F}B_{\varepsilon }(x)}
となる事を指す。(ここで B ε ( x ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)} は点xのε-近傍 B ε ( x ) = { y ∈ X ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}} を表す。)
全有界性は以下のようにも特徴づけられる事が知られている:
定理2 ― 距離空間Xが全有界である必要十分条件は以下を満たす事である: X上の任意の点列に対しある部分列が存在し、その部分列はコーシー列である。
ノルムから位相を入れたベクトル空間(ノルム空間)に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う:
命題 ― R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上のノルム空間Vの閉単位球がコンパクトである必要十分条件はVが有限次元である事である。
この定理を具体例を通して説明すると、例えばl空間
l 2 = { x = ( x n ) n ∈ N ∣ ∑ n x n 2 < ∞ } {\displaystyle \ell ^{2}=\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mid \sum _{n}x_{n}{}^{2}<\infty \}}
にlノルム
‖ x ‖ = ( ∑ n ∈ N x n 2 ) 1 2 {\displaystyle \|x\|=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}{}^{2}\right)^{1 \over 2}}
から定まる距離を入れた空間の閉単位球
B = { x ∈ l 2 ∣ ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle B=\{x\in \ell ^{2}\mid \|x\|\leq 1\}}
擬距離化可能空間においてコンパクト性は以下のようにも特徴づける事ができる:
定理 (Niemytzki-Tychonovの定理) ― Xを擬距離化可能な位相空間とするこのときXがコンパクトである必要十分条件は、X上の任意の擬距離d(でその擬距離の定める位相がXの位相と一致するもの)に対し、擬距離空間 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} が完備である事である。