動吸振器
インパクトダンパ(impact damper)とは、制振対象に衝突体を入れた容器を取り付け、さらに容器内の振動方向に隙間を設けることで、対象物振動時に衝突が発生して対象物の振動を抑制するものである。原理的には、対象物の運動量を衝突により補助質量体へ移動させて対象物の運動を抑制し、移った補助質量体の運動量は摩擦などで散逸させる仕組みを取る。補助質量体である衝突体には多数の球体など利用する場合が多い。
動力付き自動車模型のミニ四駆では、コースアップダウンセクション通過によるジャンプから着地時の車体の上下動安定を目的とした「マスダンパー」と呼ばれる改造部品がある。構造的には補助質量体との衝突を原理とするインパクトダンパに近い。
ζ a o p t = 3 μ 8 ( 1 + μ ) + ζ m 60 + 63 μ + 16 μ 2 − 2 ( 3 + 2 μ ) 2 ( 2 + μ ) ( 9 + 4 μ ) 8 ( 1 + μ ) ( 2 + μ ) ( 9 + 4 μ ) + ζ m 2 b 1 ( A + B ) 2 + μ + b 2 ( A − B ) μ 32 ( 1 + μ ) ( 9 + 4 μ ) μ ( 2 + μ ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\zeta _{a\ opt}=&{\sqrt {\frac {3\mu }{8(1+\mu )}}}+\zeta _{m}{\frac {60+63\mu +16\mu ^{2}-2(3+2\mu ){\sqrt {2(2+\mu )(9+4\mu )}}}{8(1+\mu )(2+\mu )(9+4\mu )}}\\&+\zeta _{m}^{2}{\frac {b_{1}(A+B){\sqrt {2+\mu }}+b_{2}(A-B){\sqrt {\mu }}}{32(1+\mu )(9+4\mu ){\sqrt {\mu (2+\mu )}}}}\\\end{alignedat}}}
A = 3 ( 2 + μ ) − μ ( 2 + μ ) {\displaystyle A={\sqrt {3(2+\mu )-{\sqrt {\mu (2+\mu )}}}}}
B = 3 ( 2 + μ ) + μ ( 2 + μ ) {\displaystyle B={\sqrt {3(2+\mu )+{\sqrt {\mu (2+\mu )}}}}}
ただし、
b 0 = 52 + 41 μ + 8 μ 2 {\displaystyle b_{0}=52+41\mu +8\mu ^{2}}
b 1 = − 1296 + 2124 μ + 6509 μ 2 + 5024 μ 3 + 1616 μ 4 + 192 μ 5 {\displaystyle b_{1}=-1296+2124\mu +6509\mu ^{2}+5024\mu ^{3}+1616\mu ^{4}+192\mu ^{5}}
今、従系(動吸振器)の減衰特性を変化させていくことにより、主系の変位倍率がそれに連れてどのように変化するかに注目する。主系と従系の質量比μ、主系と従系の単体固有角振動数比αを固定し、従系の減衰比ζaを変化させて変位倍率Xm/xstの変化を見ると、ある2つの主系単体固有角振動数と加振力振動数の比βの値で、ζaに無関係にXm/xstの値が定まる2つの点(P、Q)がある。これらの点を定点(fixed point)と呼ぶ。βの代わりにΩ/ωaの値で変化を見たときも同様である。
減衰の無い動吸振器では、加振力の振動数と動吸振器の単体固有角振動数が一致または狭い範囲で近くないと効果を発揮できないので、減衰を付与することで幅広い範囲で振動(振幅倍率)を抑えるようにしたい。上記の定点が存在する性質を利用して動吸振器特性の最適化を図るのが、動吸振器の定点理論である。定点理論は、1932年のエーリッヒ・ハンカム (Erich Hahnkamm)の研究に始まり、1946年にJ・E・ブロック(J. E. Brock)によってほぼ完成された。振幅倍率の共振曲線が全体的に低く抑えられるような曲線になればよいので、次の2つの条件を満たせば、そのような曲線が得られることが予想される。
共振曲線で、2つの定点が同じ値を取る。
共振曲線で、2つの定点が極大値を取る。
後者の操作は定点を共振点と一致させることと同義でもある。具体的には、主系と従系の質量比μより以下のような最適値が求まる。
減衰の無いモデルの動吸振器では、加振力の振動数と動吸振器の単体固有角振動数が一致または狭い範囲で近くないと効果を発揮できない。減衰のある動吸振器では、比較的広い範囲に加振力の振動数が変動する場合でも、主系の振動を吸収することが可能となる。1909年にフラームにより考案された動吸振器は減衰が無い単純なものであった。その後に研究が進み、1928年、J・オーモンドロイド(J. Ormondroyd)とデン・ハートッグ(en:Jacob Pieter Den Hartog)により減衰付きの動吸振器の基礎理論が与えられた。
ばねkmで支えられた質量mmからなる主系(制振対象)に、ばねka、減衰器caと質量maからなる従系(動吸振器)が取り付けられたモデルを考える。減衰器がないモデルと同様に、各質点の変位をx、時刻をtとおくと、この運動方程式は以下のようになる。
m m x ̈ m + k m x m + c a ( x ̇ m − x ̇ a ) + k a ( x m − x a ) = f 0 e i Ω t {\displaystyle m_{m}{\ddot {x}}_{m}+k_{m}x_{m}+c_{a}({\dot {x}}_{m}-{\dot {x}}_{a})+k_{a}(x_{m}-x_{a})=f_{0}e^{i\Omega t}}