ゴールドバッハ・オイラーの定理
{\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+...}
を導き、この両辺を(2)式から引けば
H ∞ − 1 − 1 2 = 1 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 10 + . . . {\displaystyle H_{\infty }-1-{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+...}
このような操作を繰り返すと右辺の1以外の項は全て消えて以下のようになる。
H ∞ − 1 − 1 2 − 1 4 − 1 5 − 1 6 − 1 9 − . . . = 1 {\displaystyle H_{\infty }-1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{9}}-...=1}
(2)式と左辺が等しくなるように移項すると
H ∞ − 1 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 9 + . . . ( 3 ) {\displaystyle H_{\infty }-1=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}+...\quad (3)}
右辺の項の分母には累乗数より1だけ小さな数は現れないことに注意。