スペクトル (関数解析学)
T がコンパクト作用素ならば、任意のスペクトルの非零要素 λ は固有値であることが示せる。言い換えると、そのような作用素のスペクトルは固有値の概念の一般化として定義され、通常の固有値と 0 からなる。
X がヒルベルト空間で、かつ T が正規作用素ならば、スペクトル定理は、正規有限次元作用素(例えばエルミート行列など)に関する対角化定理となる。
xn をベクトル
1 n ( ... , 0 , 1 , λ , λ 2 , ... , λ n − 1 , 0 , ... ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots ,\lambda ^{n-1},0,\dots )}
とすると、すべての n について ||xn|| = 1 となるが、
‖ T x n − λ − 1 x n ‖ = 2 n → 0 {\displaystyle \|Tx_{n}-\lambda ^{-1}x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0}
である。
T はユニタリ演算子なので、スペクトルは単位円上に分布する。したがって、T の近似点スペクトルはそのスペクトルの全体となる。これはより一般的な作用素のクラスについても成り立つ。
ユニタリ演算子は正規作用素である。スペクトル定理により、ヒルベルト空間上の有界な作用素は、乗法作用素であって、かつその場合に限り、正規となる。一般に、有界な乗法演算子の近似点スペクトルは、そのスペクトルとなることが示される。
T が有界でない場合、近似点スペクトルの定義は若干異なる。連続性は、もはや任意の固有値が近似固有値であることの証明には使えない。したがって、T の近似点スペクトルは、固有値と近似固有値の和集合として定義される。
有界作用素 T のスペクトル σ(T) は、常にコンパクトであって、かつ空でない。もしスペクトルが空ならば、レゾルベント作用素
R ( λ ) = ( λ I − T ) − 1 {\displaystyle R(\lambda )=(\lambda I-T)^{-1}}
が複素平面上のすべての点で定義され、かつ有界である。しかし、レゾルベント関数 R は領域上で正則であることが示せる。ベクトル値に関するリウヴィルの定理により、この関数は定数であり、かつ無限遠で 0 であるので、すべての点で 0 となる。これは矛盾である。
スペクトルの有界性は、λ に関するノイマン級数展開から導かれる。スペクトル σ(T) は ‖ T ‖ で抑えられる。同様にしてスペクトルの有界性が示せるので、有界作用素のスペクトルはコンパクトである。
スペクトルの上界 ‖ T ‖ は、ある程度狭めることができる。T のスペクトル半径 r(T) とは、原点を中心とし、内部にスペクトル σ(T) を含むような複素平面上の最小な円の半径、すなわち、
r ( T ) = sup { | λ | : λ ∈ σ ( T ) } {\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}}
である。
スペクトル半径公式は、バナッハ環の任意の元 T に対して
r ( T ) = lim n → ∞ ‖ T n ‖ 1 / n {\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\|T^{n}\|^{1/n}}
が成り立つことを述べる。
作用素は下に有界であってもよいが、逆作用素を持たない。l(N) 上の前進シフト作用素は、そのようなものの一例である。シフト作用素は等長であるので、1 を下界として下に有界である。しかし、全射でないので逆作用素を持たない。T − λII が稠密な値域を持たないような λ の集合は、T の圧縮スペクトルと呼ばれる。
σ r ( T ) = σ c p ( T ) ∖ σ p ( T ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T)}
これらを用いると、σ(T) は次のように三つの集合の直和で表すことができる。これをスペクトル分解という。
σ ( T ) = σ p ( T ) ∪ σ c ( T ) ∪ σ r ( T ) {\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{p}(T)\cup \sigma _{c}(T)\cup \sigma _{r}(T)}
より一般的に言えば、T が下に有界でないならば、すなわち、すべての x ∈ X に関して ||Tx|| ≥ c||x|| が成り立つような c > 0 が存在しないならば、T は逆作用素を持たない。したがって、スペクトルは、T − λI が下に有界でないような近似固有値 λ の集合を含む。すなわち、これは
lim n → ∞ ‖ T x n − λ x n ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}
となるような単位ベクトル列 x1, x2, ... を持つ λ の集合である。この近似固有値の集合は、近似点スペクトルと呼ばれる。
T が有界ならば、リースの補題により、固有値は近似点スペクトルに含まれる。
例
T ( ⋯ , a − 1 , a ^ 0 , a 1 , ⋯ ) = ( ⋯ , a ^ − 1 , a 0 , a 1 , ⋯ ) {\displaystyle T(\cdots ,a_{-1},{\hat {a}}_{0},a_{1},\cdots )=(\cdots ,{\hat {a}}_{-1},a_{0},a_{1},\cdots )}
で定義される l(Z) 上の全単射シフト T を考える。ˆ は 0 番目の位置にあることを示す。直接計算により、T は固有値を持たないことが分かるが、|λ| = 1 となるすべての λ は近似固有値である。