ベクトルの共変性と反変性
v = v i e i {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v^{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}
余ベクトルが基底に依存しないためには、余ベクトルの成分は基底の変換に対して、同じ余ベクトルとして表されるように、共に変化しなければならない。つまり、余ベクトルの変換は基底の変換と同じ行列によってなされる必要がある。余ベクトルの成分は共変であるという。共変ベクトルは、関数の勾配としてしばしば現れる。共変成分は下付き添字を用いて以下のように表される。
v = v i e i {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{i}{\boldsymbol {e}}^{i}}
物理学や幾何学においては、円筒座標や球座標などの曲線座標系(英語版)がしばしば用いられる。空間の各点でのベクトルに対する基底を自然なものに取ることと、ベクトルの共変性および反変性には深い関わりがあり、ベクトルの座標表示が座標系を移したときどのように変化するかということを理解する上で特に重要である。
covariant(共変)および contravariant(反変)という語はジェームス・ジョセフ・シルベスターによって1853年に代数的な不変式論(英語版)の研究のために導入された。 不変式論の文脈ではたとえば、斉次方程式は変数変換に対して反変である。多重線型代数におけるテンソルは共変でありかつ反変であり得る。多重線型代数における共変性および反変性は、圏論における関手に対する用法の特別な例である。
共変性と反変性は一般に、基底変換の下での座標ベクトル(英語版)の成分がどのように変換されるかによって構成される。 V をスカラー体 S 上の n 次元のベクトル空間とし、f = (X1,..., Xn) および f′ = (Y1,..., Yn) を V の基底とする。また f から f′ への基底変換は、n × n の正則行列 A の成分 aj について、次のように与えられる。
基底 f′ を構成するベクトル Yj はそれぞれ、基底 f を構成するベクトル Xi の線形結合となる。つまり、
Y j = ∑ i a j i X i {\displaystyle Y_{j}=\sum _{i}a_{j}^{i}X_{i}}