ガウス＝クズミン＝ヴィルズィング作用素
ガウス=クズミン=ヴィルズィング作用素は、リーマンゼータ関数と関係している。ここでそのようなゼータ関数は
ζ ( s ) = 1 s − 1 − s ∫ 0 1 h ( x ) x s − 1 d x {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-s\int _{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx}
と書け、変数変換によって
ζ ( s ) = s s − 1 − s ∫ 0 1 x [ G x s − 1 ] d x {\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{0}^{1}x\left[Gx^{s-1}\right]\,dx}
と出来ることに注意されたい。
今
a n = t n − 1 2 ( n + 1 ) {\displaystyle a_{n}=t_{n}-{\frac {1}{2(n+1)}}}
とすれば、a0 = −0.0772156... や a1 = −0.00474863... のような値が得られる。これらの値は急速に小さくなるが、振動的である。これらの値のいくつかの陽的な和は計算することが出来る。それらは、スターリング数を係数とする多項式に下降階乗を表現し直し、解くことによって、スティルチェス定数に陽的な形で関連付けることが出来る。より一般に、リーマンゼータは多項式のシェファー列に関する展開として表現し直すことが出来る。
このようなリーマンゼータの展開は で調べられている。その係数は次のような形をもって、減少である。
( 2 n π ) 1 / 4 e − 4 π n cos  ( 4 π n − 5 π 8 ) + O ( e − 4 π n n 1 / 4 ) . {\displaystyle \left({\frac {2n}{\pi }}\right)^{1/4}e^{-{\sqrt {4\pi n}}}\cos \left({\sqrt {4\pi n}}-{\frac {5\pi }{8}}\right)+{\mathcal {O}}\left({\frac {e^{-{\sqrt {4\pi n}}}}{n^{1/4}}}\right).}
このようなことが従う原因の一つに、ガウス写像が連分数に対する切断シフト作用素として働くことが挙げられる。すなわち、
x = [ 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , ... ] {\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]\,}
をある数 0 < x < 1 の連分数表現とすれば、そのガウス写像は
h ( x ) = [ 0 ; a 2 , a 3 , ... ] {\displaystyle h(x)=[0;a_{2},a_{3},\dots ]\,}
となる。その他の固有値は数値的に計算することが出来る。次の固有値は λ1 = −0.3036630029... オンライン整数列大辞典の数列 A038517 で、その絶対値はガウス=クズミン=ヴィルズィング定数(Gauss–Kuzmin–Wirsing constant)として知られている。その他の固有関数の解析的な形状は知られていない。また固有値が無理数であるかどうかも知られていない。
ガウス=クズミン=ヴィルズィング作用素は、ガウス写像
h ( x ) = 1 / x − ⌊ 1 / x ⌋ {\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor \,}
の転送作用素である。この作用素は関数 f に対して
[ G f ] ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 ( x + n ) 2 f ( 1 x + n ) {\displaystyle [Gf](x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}}f\left({\frac {1}{x+n}}\right)}
のように作用する。そのゼロ番目の固有関数は
1 ln  2 1 1 + x {\displaystyle {\frac {1}{\ln 2}}\ {\frac {1}{1+x}}}
であり、これは固有値 1 に対応する。この固有関数は、与えられた整数がある連分数展開に現れる確率を表し、ガウス=クズミン分布として知られている。