波束
これを二乗したものである確率密度は、次のようにガウス波束であることがわかる。
| ψ ( x , t ) | 2 = 1 a π 1 1 + ( ħ t / m a 2 ) 2 exp  [ − [ x − ( ħ k / m ) t ] 2 a 2 [ 1 + ( ħ t / m a 2 ) 2 ] ] {\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}={\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt {1+(\hbar t/ma^{2})^{2}}}}\exp \left[-{\frac {[x-(\hbar k/m)t]^{2}}{a^{2}[1+(\hbar t/ma^{2})^{2}]}}\right]}
このガウス関数は x = ħk/mt で極大となるため、群速度 v = ħk/m で移動する波束であることがわかる。
また時刻 t = t でのガウス波束の幅は a′ = a √1 + (ħt/ma) であるため、時間とともに波束の幅は広がっていき、最終的には空間中に広がることがわかる。たとえば、電子の波束が最初はオングストロームの領域、すなわち 10 m に局在していた場合、波束の幅はおよそ 10 s で倍になる。明らかに、粒子の波束は自由空間を非常に早く広がっていく。たとえば 1 ms 後では、幅は 1 km 程度に増加する。