実射影直線
対 (x, y) の属する同値類は、伝統的に [x : y] と書かれ、このコロン ":" は y ≠ 0 なるときの比 x : y が同じ同値類に属する全ての対において同じ値であることを想起させる。点 P が同値類 [x : y] であるとき、代表元 (x, y) を点 P の射影座標(英語版)対とも呼ぶ
P(V) が同値関係を通じて定義されたのに伴い、V から P(V) への標準射影が位相(商位相)を定め、射影直線上に可微分構造(英語版)が定まる。しかし、同値類が有限でないという事実は、この可微分構造を定義することを難しくする。これらのことは V をユークリッドベクトル空間と看做せば解決できる。R の場合に、単位ベクトル全体の成す円周(単位円)は x + y = 1 を満足する座標を持つベクトル全体の成す集合である。単位円は各同値類とちょうど対極にある二点で交わるから、v ~ w は v = w または v = −w なるときと定めて得られる単位円上の同値関係で単位円を割った商空間として射影直線を理解することができる。