シムソンの定理
AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。
∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。 ∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある. ∠PAC<90度とする。
点A,P,N,Mは同一円周上にある。 A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから 直線BAに対してPとCは反対側にある。
∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから ∠PAM=∠PAC...1
直線BAに対してPとMは反対側にある。 Nは直線BA上の点だから 直線NAに対してPとMは反対側にあるから NとAは四角形APNMの対角点となるから ∠PAM+∠MNP=180度...2
点P,L,B,Nは同一円周上にある。 B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから 直線BAに対してPとCは反対側にある。
∠CBP>90度だから 直線BAに対してLとCは反対側にあるから 直線BAに対してLとPは同じ側にある。
Nは直線BA上の点だから 直線BNに対してLとPは同じ側にあるから BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから ∠PNL=∠PBL...3
∠CBP>90度だから (B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度. ∠PAC+∠CBP=180度だから ∠PBL=∠PAC...4
1,2,3,4から、∠MNP+∠PNL=180度。
幾何学におけるシムソンの定理とは、△ABC の外接円上の点 P から三角形の各辺 BC, CA, AB におろした垂線の足 L, N, M がすべて同一直線上にある(共線関係にある)という定理である。この直線のことをシムソン線(シムソンライン)と呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレスである。