交換子
交換子についての関係式は群論における重要な道具である。以下、a は x による a の共軛変換(共軛元) xax を表す。
x y = x [ x , y ] . {\displaystyle x^{y}=x[x,y].}
[ y , x ] = [ x , y ] − 1 . {\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}
[ x y , z ] = [ x , z ] y [ y , z ] {\displaystyle [xy,z]=[x,z]^{y}[y,z]} かつ [ x , y z ] = [ x , z ] [ x , y ] z . {\displaystyle [x,yz]=[x,z][x,y]^{z}.}
[ x , y − 1 ] = [ y , x ] y − 1 {\displaystyle [x,y^{-1}]=[y,x]^{y^{-1}}} かつ [ x − 1 , y ] = [ y , x ] x − 1 . {\displaystyle [x^{-1},y]=[y,x]^{x^{-1}}.}
[ [ x , y − 1 ] , z ] y [ [ y , z − 1 ] , x ] z [ [ z , x − 1 ] , y ] x = 1 {\displaystyle [[x,y^{-1}],z]^{y}[[y,z^{-1}],x]^{z}[[z,x^{-1}],y]^{x}=1} かつ [ [ x , y ] , z x ] [ [ z , x ] , y z ] [ [ y , z ] , x y ] = 1.