連鎖律
f ∘ g の a における微分が存在することを示しその値を決定するためには、上の積の x が a に行くときの極限が存在することを示しその値を決定するだけでよい。
これをするために、積の極限はその因子の極限が存在すれば存在することを思い出そう。これが起こるとき、これら 2つの因子の積の極限は因子の極限の積に等しくなる。2つの因子は Q(g(x)) と (g(x) − g(a)) / (x − a) である。後者は g の a における微分商であり、仮定により g は a において微分可能であるので、x が a に向かうときのその極限は存在し g′(a) に等しい。
Q(g(x)) を調べることが残っている。Q は f が定義されているときにはいつでも定義されている。さらに、仮定により f は g(a) において微分可能なので、Q は g(a) において連続である。g は a において微分可能であるから a において連続であり、それゆえ Q ∘ g は a において連続である。したがって x が a に行くときのその極限は存在し、 Q(g(a)) に等しく、それは f′(g(a)) である。
これで両方の因子の極限が存在しそれらはそれぞれ f′(g(a)) と g′(a) に等しいことが示された。したがって f ∘ g の a における微分は存在し f′(g(a))g′(a) に等しい。