超関数
簡単な例は N 上の多項式スケール
s = { a m : N → R , n ↦ n m ; m ∈ Z } {\displaystyle s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\,n\mapsto n^{m};\;m\in \mathbb {Z} \}}
を用いて得られる。このとき、任意の半ノルム代数 (E, P) に対して、商空間
G s ( E , P ) = { f ∈ E N ∣ ∀ p ∈ P , ∃ m ∈ Z : p ( f n ) = o ( n m ) } { f ∈ E N ∣ ∀ p ∈ P , ∀ m ∈ Z : p ( f n ) = o ( n m ) } {\displaystyle G_{s}(E,P)={\frac {\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}{\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}}}
が構成できる。特に、(E, P) = (C, |•|) であるとき、コロンボの超複素数が得られる(これは「無限大」および「無限小」を含んで、なおも厳密な四則演算が展開できるようなもので、超実数とよく似ている)。また、 (E, P) = (C(R), {pk}) のときは(ただし、pk は、k-階以下の全ての導関数についての、半径 k の球体上での値の上限)、コロンボの単純化代数が得られる。
一般に超関数論と言われる理論には、たとえばヤン・ミクシンスキーによる「畳み込み商」を用いた演算子法なども含まれる。これは畳み込みの代数が整域を成すような関数環の商体を用いる方法である。あるいは、佐藤超関数の理論も挙げられる。これは解析関数の境界値として層の理論を用いて定義される。