双曲型トーラス自己同型写像
さらに、整数係数行列 A の行列式が det A = ±1 であるとすれば、A は逆行列を持ち、その逆行列 A も整数行列となる。2 × 2 行列 A の場合、この条件は det A = ad − bc = ±1 という条件となる。A による LA の逆写像は、LA(x) = Ax であり、LA によっても上記と同様にトーラス上の写像を導入できる。よって、A が整数行列でなおかつ det A = ±1 であれば、写像 fA は可微分同相写像である。
R および T は加法 (x, y) + (x′, y′)= (x + x′, y + y′) によってリー群の構造を持つ。トーラスから自分自身への写像 fA : T → T は、fA(x + x′) = fA(x) + fA(x′) という性質を持ち、なおかつ同相写像であることから、fA は T のリー群としての自己同型写像を成す。このような fA をトーラス自己同型、トーラス自己同型写像、トーラス上の自己同型写像などと呼ぶ。
R 上の線型写像が絶対値 1 の固有値を持たないとき、その線型写像あるいは係数行列 A は双曲型であるという。すなわち、係数行列 A の全ての固有値の絶対値が 1 ではないときに双曲型である。2 × 2 行列 A の場合、固有値は固有方程式 k − (a + d)k + det A = 0 の解 k1, k2 より求められる。 A が双曲型であるようなトーラス自己同型写像 fA を、双曲型トーラス自己同型、双曲型トーラス自己同型写像、トーラス上の双曲型自己同型写像などと呼ぶ。
以上は2トーラス上での導入だが、一般の n 次元トーラス T 上の双曲型自己同型写像を同様に定義することもできる。
まず、2次元トーラス T を導入する。幾何学的には、 T は、平面上の正方形 [0, 1] × [−1, 1] の上辺と下辺と同一視し、さらに右辺と左辺を同一視して構成できる。代数的には、実数の組 (x, y) と (x′, y′) に対して x − x′ と y − y′ が整数のときに (x, y) ∼ (x′, y′) であるという同値関係 ∼ を定義したときの同値類全体が2次元トーラスでもある。
次に R 上の点を T 上の点に写す自然な射影 π : R → T を導入する。x = (x, y) ∈ R の同値類を [x] で表すと、 π は
という連続写像である。ここで は転置の記号で、x は列ベクトルとする。
そして、平面 R 上の線型写像 LA : R → R を導入する。すなわち、LA は平面上の点 x を変数として 2 × 2 の定数係数行列 A によって
と定義される。
ここで、A の成分が全て整数だとすると、LA は Z を Z に写す。すなわち、LA(Z) = Z が成り立つ。したがって、n, m ∈ Z としたときに、
と A ( x + n y + m ) {\displaystyle A{\begin{pmatrix}x+n\\y+m\end{pmatrix}}}
をそれぞれ π : R → T でトーラス上に射影した点は、
という関係が成り立つ。そのため整数係数行列 A を持つ平面上の写像 LA により、fA := π ∘ LA で定義されるトーラス上の写像 fA : T → T が矛盾なく導入できる。
写像 fA はヤコビ行列が A であるような微分可能な写像である。