ルジャンドルのカイ関数
数学において、ルジャンドルのカイ関数(Legendre chi function)とは、テイラー展開が以下により与えられた、ディリクレ級数でもある特殊関数である。
χ ν ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ν . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}
上の式は多重対数関数のディリクレ級数と似ている。事実、以下のような多重対数関数を用いた表現が可能である。
χ ν ( z ) = 1 2 [ Li ν  ( z ) − Li ν  ( − z ) ] . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].}
フルヴィッツのゼータ関数 ζ ( s , q ) {\displaystyle \zeta (s,q)} の変数sでの離散フーリエ変換は、ルジャンドルのカイ関数である。
ルジャンドルカイ関数は、レルヒのゼータ関数(英語版)の特殊なケースである。そのため、次の式でも与えられる。
χ ν ( z ) = 2 − ν z Φ ( z 2 , ν , 1 / 2 ) . {\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2).\,}