マチンの公式
π 4 = 2 arctan  1 2 − arctan  1 7 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}}
ハットン(Charles Hutton,1737 - 1823)による式(1776年)
π 4 = 3 arctan  1 4 + arctan  5 99 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=3\arctan {\frac {1}{4}}+\arctan {\frac {5}{99}}}
π 4 = 2 arctan  1 3 + arctan  1 7 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}}
下の式は、1779年にオイラーも独立に再発見している。
はライプニッツの公式と呼ばれ、見た目は綺麗な公式であるものの、収束が非常に遅いことで知られる。しかしながら、x を十分小さく取れば見た目の綺麗さは多少損なわれるが、それなりに速く収束する級数を得ることができる。実際、エイブラハム・シャープは x = 1/√3 を用い、円周率を小数点以下71桁まで計算した。
ジョン・マチンは、さらに収束性をよくするために逆正接関数 arctan x の関係式を考え、これをグレゴリー級数と結び付けることにより、非常に収束速度が速い級数を得た。さらに、この公式を発見したマチン自身も円周率を100桁まで求めることに成功した。マチンの公式や、似たような arctan x を用いた公式は、1970年代に算術幾何平均などが用いられるようになるまでは円周率の計算に用いられ計算競争に貢献した。その後しばらくは新しいアルゴリズムによる円周率の計算が続いたが、2002年に金田康正によって高野喜久雄の公式が用いられ円周率を1兆2411億桁まで計算するという記録に結び付いた。
桁数の欄は実際の円周率の値と一致している小数点以下の桁数である。参考までに末尾に π の値も載せた。
未知の円周率を計算するときには、誤差を評価し、有効な桁数を調べなければならないが、ここでは既に知られている円周率の値と比べて、一致することを確認するだけにとどめる。
d(m) は 4(m + 1) 個の項の足し算または引き算によって計算されるので、m = 10 のときは 44 項の和や差を計算していることになる。ここで普通のグレゴリー級数を用いた場合の値を見てみると
x = 1 のときのグレゴリー級数
π = 4 arctan  1 = 4 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 {\displaystyle \pi =4\arctan 1=4\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}
は、非常に収束が遅く、n = 50 までで打ち切って計算してみると
4 ∑ n = 0 50 ( − 1 ) n 2 n + 1 = 3.1611 ⋯ {\displaystyle 4\sum _{n=0}^{50}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=3.1611\cdots }
となり小数点以下 1 桁までしか円周率と一致していない。
シャープの用いた x = 1/√3 の場合のグレゴリー級数