素数定数
ρが無理数であることは背理法を用いて容易に証明できる。
ρ の2進展開での k 桁目をr_kとする。ρが合成数とすると任意の自然数 i に対して、r_n = r_{n+ik}が N < n、に対して成立する正の整数 N と k が存在する。 素数は無限に存在するため、N < p なる素数が存在し、定義によりr_p = 1である。前述の通り、任意の i に対して r_p = r_{p+ik}である。i=pを考えると、添字は素因数分解されるため、1< k+1 に対して r_{p+ik} = r_{p+pk} = r_{p(k+1)} = 0 である。したがって、r_p ≠ r_{p(k+1)}となり、矛盾するため、ρは無理数である。