ディオファントス近似
基本的な問題としては、任意の無理数 α に対して、
| x − y α | < 1 y {\displaystyle |x-y\alpha |<{\frac {1}{y}}}
となるような整数 x, y を求めることが挙げられる。ディリクレのディオファントス近似定理により、上式を満足する x と y は無数に存在する。不等式は
| x y − α | < 1 y 2 {\displaystyle \left|{\frac {x}{y}}-\alpha \right|<{\frac {1}{y^{2}}}}
と書き直すことができることから、「任意の無理数 α に対して、誤差が 1/y 以下であるような、近似有理数 x/y を求める」と言い換えることができる。
円周率 π を小数点以下3桁まで十進数表記するとすれば 3.141 である。これを分数で表記すれば 3141/1000 であり、
| 3141 / 1000 − π | < 1 / 1000 {\displaystyle |3141/1000-\pi |<1/1000}
が成立するので誤差を1/1000以下に出来る。しかしディオファントス近似は、より小さい分母によって、より良い近似ができる可能性を示唆するものである。
実際
| 355 / 113 − π | < 0.00000027 < 1 / 1000000 {\displaystyle |355/113-\pi |<0.00000027<1/1000000}
である。したがって、ディオファントス近似は無理数を有理数で近似する、より良い近似方法の存在を示しているとも言える。
ディオファントス近似の不等式を満たす x, y が無限にあることの証明は鳩の巣原理を使って証明可能である。