中山の補題
m を極大イデアルとする局所環 R 上の有限生成加群 M という特別なケースにおいて、商 M/mM は体 R/m 上のベクトル空間である。このとき主張 4 は M/mM の基底は M の極小生成集合に持ちあがることを意味する。逆に、M のすべての極小生成集合はこのようにして得られ、任意の2つのそのような生成集合は R に成分をもつ可逆行列によって関連付けられている。
この形において、中山の補題は具体的な幾何学的重要性を帯びる。局所環は幾何学において点における関数の芽として生じる。局所環上の有限生成加群はきわめて頻繁にベクトル束の断面の芽として生じる。点よりもむしろ芽のレベルで研究するとき、有限次元ベクトル束の概念は連接層の概念に取って代わられる。インフォーマルには、中山の補題は連接層をなおある意味でベクトル束から来ているとみなすことができると言っている。正確には、F を任意のスキーム X 上の OX-加群の連接層とする。点 p ∈ X における F の茎、これは Fp と表記されるが、局所環 Op 上の加群である。p における F のファイバーは ベクトル空間 F(p) = Fp/mpFp である、ただし mp は Op の極大イデアル。中山の補題によってファイバー F(p) の基底は Fp の極小生成集合に持ちあがる。つまり:
点における連接層 F のファイバーの任意の基底は局所断面の極小基底から来ている。