偏角の原理
複素解析において、偏角の原理(へんかくのげんり、英: argument principle)(あるいはコーシーの偏角の原理 (Cauchy's argument principle))は有理型関数の零点と極の個数の差を関数の対数微分の周回積分と結びつける。
具体的には、f(z) がある閉じた経路 C 上および内側で有理型関数で、f が C 上に零点も極ももたなければ、
∮ C f ′ ( z ) f ( z ) d z = 2 π i ( N − P ) {\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi i(N-P)}
ただし N と P はそれぞれ経路 C の内側の f(z) の零点と極の個数を各零点と極をそれぞれ重複度と位数をこめて数えたものを表す。
周回積分 ∮ C f ′ ( z ) f ( z ) d z {\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz} を2通りに解釈できる:
z が C を一周するときの f(z) の偏角の総変化量として。これは定理の名前を説明する。これは次から従う。
d d z log  ( f ( z ) ) = f ′ ( z ) f ( z ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}}
と、偏角と対数の間の関係。
2πi 掛ける原点の周りの道 f(C) の回転数として。これは代入 w = f(z) によって説明される:
∮ C f ′ ( z ) f ( z ) d z = ∮ f ( C ) 1 w d w {\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw}
}
例えば、f が多項式で単純閉曲線 C の内部に零点 z1, ..., zp をもち g(z) = z であれば
1 2 π i ∮ C z k f ′ ( z ) f ( z ) d z = z 1 k + z 2 k + ⋯ + z p k , {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\dots +z_{p}^{k},}
は f の根の power sum symmetric polynomial(英語版) である。
別の結果は、複素積分
∮ C f ( z ) g ′ ( z ) g ( z ) d z {\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz}
を g と f の適切な選択に対して計算すれば、離散和とその積分の間の関係を表す Abel–Plana formula(英語版):
∑ n = 0 ∞ f ( n ) − ∫ 0 ∞ f ( x ) d x = f ( 0 ) / 2 + i ∫ 0 ∞ f ( i t ) − f ( − i t ) e 2 π t − 1 d t . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}
定理のこのステートメントは閉経路 C が単純であること、すなわち自己交叉がないことと、反時計回りに向き付けられていることを仮定している。
より一般に、f(z) が複素平面の開集合 Ω 上の有理型関数で C が Ω 内の閉曲線で f のすべての零点と極を避け Ω の内側の点に可縮であるとする。各点 z ∈ Ω に対し、n(C, z) を z のまわりの C の回転数とする。このとき
∮ C f ′ ( z ) f ( z ) d z = 2 π i ( ∑ a n ( C , a ) − ∑ b n ( C , b ) ) {\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi i\left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right)}
ただし最初の和は重複度も数えて f のすべての零点 a を渡り、二番目の和は位数も数えて f の極 b を渡る。