時間周波数解析
単純な例として、フーリエ変換の4回周期性、およびフーリエ変換を2回適用すると方向が逆転することは、フーリエ変換を時間・周波数平面上の90°回転であると考えることにより、4回フーリエ変換を適用すると元に戻ること、および2回適用すると180°回転、すなわち元の向きと逆になることが容易に理解できる。
時間周波数解析を行う実用的な動機付けとしては、古典的なフーリエ解析(英語版)は信号が無限に続くこと、もしくは周期的であることを前提とするが、実用上得られる信号の多くは短い期間しか持続せず、かつ持続期間中に大きく変化することが挙げられる。たとえば、古典的な楽器は無限に続く正弦波を出すことはなく、弾いた瞬間に始まり徐々に減衰するような信号を出す。このような信号は古典的な手法では上手く表現することができず、時間周波数解析を行う動機となる。
時間周波数解析の最も基本的な形として短時間フーリエ変換(STFT)が挙げられるが、他にもウェーブレット変換を始めとしたより洗練された手法が開発されている。
電磁波は2×1行列の形に表わすことができる。
[ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
これは時間周波数平面と似ている。自由空間を伝播する電磁波にはフレネル回折が起こる。これは2×1行列
[ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
にパラメータ行列
[ a b c d ] = [ 1 λ z 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}}
(ここで z は伝播距離を、λ は波長を表わす)のLCTを作用させることで表現できる。電磁波が球面レンズ通過もしくは円盤により反射されるとき、パラメータ行列はそれぞれ以下のようになる。
時間周波数解析に関する初期の業績として、ハール・アルフレッドのハールウェーブレット(1909)が挙げられる。しかし、これは信号処理にあまり適用されることはなかった。より影響の大きい業績としてガーボル・デーネシュによる初期のウェーブレットと言えるGabor atom (1947)や短時間フーリエ変換を修正したガボール変換が挙げられる。ジャン・ビレ(フランス語版、英語版)信号処理の文脈に導入したウィグナー・ビレ分布(1948)も基盤的業績として挙げられる。
特に1930年代および1940年代には、初期の時間周波数解析が量子力学と歩調を合わせて開発された。ウィグナーはウィグナー・ビレ分布を1932年に量子力学の分野で開発し、ガーボルは量子力学の影響を受けていた。これは位置・運動量平面と時間・周波数平面との間の数学的共通性を反映している。たとえば、量子力学におけるハイゼンベルグの不確定性原理は時間周波数解析におけるガボール限界に相当し、これらはどちらも究極的にはシンプレクティック構造を反映したものである。