フロベニウス多様体
積 * の結合性は、局所ポテンシャル Φ の次の二階偏微分方程式と同値である。
Φ , a b e g e f Φ , c d f = Φ , a d e g e f Φ , b c f {\displaystyle \Phi _{,abe}g^{ef}\Phi _{,cdf}=\Phi _{,ade}g^{ef}\Phi _{,bcf}\,}
ここにアインシュタインの記法は、Φ,a が函数 Φ の偏微分をすべて平坦であるとする座標ベクトル場 ∂/∂x により表した。g は計量の逆の係数である。
従って、方程式は結合方程式、あるいは、ウィッテン・ダイグラーフ・ヴァーリンデ・ヴァーリンデ方程式(Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde (WDVV) equation)と呼ばれる。
g ( X ∗ Y , Z ) = g ( X , Y ∗ Z ) . {\displaystyle g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z).\,}
を要求する。このことは合成 g∘ A が対称 3-テンソルであることを意味する。特に、定数の積を持つ線型フロベニウス多様体 (M, g, *) はフロベニウス代数であることを意味する。
(g, T, A) が与えられると、局所ポテンシャル Φ は局所滑らかな函数で、すべてのベクトル場 X, Y, と Z に対し、
g ( A ( X , Y ) , Z ) = X [ Y [ Z [ Φ ] ] ] {\displaystyle g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi ]]]}
を満たす。
現在は、フロベニウス多様体 (M, g, *) は、いたるところで局所ポテンシャルを持ち、結合的である対称 3-テンソルを持つ平坦リーマン多様体 (M, g) である。