階冪
たとえば 6$ は約 5×10桁の値になる。
1以下の階冪の逆数の総和は、以下の超越数である。
∑ n = 1 ∞ 1 n $ = 1 1 + 1 2 1 + 1 3 2 1 + 1 4 3 2 1 + 1 5 4 3 2 1 + 1 6 5 4 3 2 1 + ... = 1.611114925808376736 11111111 ... 11111111 ⏟ 183213 272243682859 ... {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\$}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{3^{2^{1}}}}+{\frac {1}{4^{3^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}+\ldots =1.611114925808376736\underbrace {11111111\ldots 11111111} _{183213}272243682859\ldots }
この総和はリウヴィル数であるため超越数である。
テトレーションと同様、階冪関数の引数の実数及び複素数への拡張は現在認められていない。この点はガンマ関数として拡張された階乗関数やK関数として拡張されたハイパー階乗とは異なる。ただし、1の帯幅で定義されていれば、拡張することは可能である。