籌算
算盤上ではアラビア数字のようなゼロ記号は用いられず、升目を空白にすることで数0および位取りのための0を表した。右図に表された算木数字「873190783」では、1000の位が空白となっている。記号「〇」をゼロの意味で用いる習慣は宋・元のころに始まった。南宋時代に書かれた『数書九章』が記号「〇」を用いた最古の文献記録である。
籌算は加法原理と親和性が高い。アラビア数字と異なり、算木数字の各桁を表している棒は加法性を持っている。加算を行うには棒を機械的に動かすだけでよく、1桁の数の加法を暗記する必要はない。これがアラビア数字体系との最大の差異である。たとえば、アラビア数字「1」および「2」を機械的な操作によって「3」へと変換することはできない。
籌算による 3748 + 289 = 4037 の計算手順を以下に示す。
この過程により、被加数の棒の配置は適切に変更され、加数からは棒が消えてしまう。
賈憲は以下の形式を持つ単純な4次方程式をホーナー法によって解く方法を考案した。
x 4 = a {\displaystyle x^{4}=a}
南宋の数学者秦九韶は賈憲のホーナー法を発展させ、10次までの代数方程式を解いた。秦の著書『数書九章』第六巻問二で提示された方程式
− x 4 + 15245 x 2 − 6262506.25 = 0 {\displaystyle -x^{4}+15245x^{2}-6262506.25=0}
から解
x = 20 1298025 2362256 {\displaystyle x=20{\frac {1298025}{2362256}}}
を求めるアルゴリズムを右のアニメーションに示す。この方程式は、算盤上に以下の表のように置かれた算木の配置から構成したものである。