絶対値
基本的な性質として、任意の実数 a, b について
非負性: |a| ≥ 0.
非退化性: a = 0 のとき、且つそのときに限って、|a| = 0.
偶性: |−a| = |a|.
劣加法性: |a + b| ≤ |a| + |b|.
などが成立する。
これは距離函数が満たす性質と対応する(後述)。
また、
冪等性: | |a| | = |a|.
乗法性: |ab| = |a|⋅|b|.
などの性質が成り立つ。
実数の絶対値に関して、
| a | ≤ b ⟺ − b ≤ a ≤ b {\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}
| a | ≥ b ⟺ a ≤ − b ∨ b ≤ a {\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\lor b\leq a}
は、絶対値を含む不等式を扱うのに有用である。
例えば、|x - 3| ≤ 9 ⇔ −9 ≤ x − 3 ≤ 9 ⇔ −6 ≤ x ≤ 12 などとできる。
は sign(x)(あるいは本質的にヘヴィサイドの階段関数)であり、定義可能な範囲 R ∖ {0} における連続函数であるが、x = 0 における値をどのように定めるとしても R 全体で連続な函数へ延長することは出来ない。
x = 0 における |x| の劣微分係数は、区間 [−1,1] である。
|x| の x に関する二階導函数は x = 0 を除く至る所存在して零に等しい(x = 0 では存在しない)。しかし超函数微分の意味での二階導函数はディラックデルタの二倍に等しい。
また絶対値函数は任意区間で可積分であり、その原始函数が
∫ | x | d x = 1 2 x | x | + C = 1 2 x 2 sgn  x + C {\displaystyle \int |x|\,dx={\frac {1}{2}}x|x|+C={\frac {1}{2}}x^{2}\operatorname {sgn} x+C}
で与えられることも右辺を微分することにより直ちに確かめられる。
1806年にジャン゠ロベール・アルガン(英語版)が導入した用語 module は、フランス語で「測る単位」を意味する言葉で、特に複素数の絶対値を表すためのものであった。それは対応するラテン語の modulus として1866年に英語にも借用翻訳されている。absolute value が本項に言う意味で用いられたのは、少なくとも1806年にフランス語でおよび1857年に英語で見られる。両側を縦棒で括る記法 |x| はカール・ヴァイアシュトラスが1841年に導入した。絶対値を表すほかの名称には numerical value(数値)や magnitude(大きさ)などが挙げられる。プログラム言語や計算機ソフトでは x の絶対値を abs(x) のような函数記法で表すことが一般に行われる。
縦棒で括る記法は他の数学的文脈でもいくつも用いられる(例えば、集合を縦棒で括ればその集合の濃度を表し、行列に用いれば行列式を表す)。したがって、縦棒が絶対値を表すためのものか判断するには、その引数が絶対値の概念が定義される代数的対象(例えば、実数や複素数や四元数などのノルム多元体)かどうかに注意が払われなければならない。絶対値とよく似て非なる概念に縦棒記法が使われる例として、R のベクトルに対するユークリッドノルムおよび上限ノルムなどが挙げられるが、これらについては二重縦棒と下付き添字を用いた記法(それぞれ ‖ • ‖2 および ‖ • ‖∞)を用いるのがより一般的で紛れも少ない。