部分環
環 (R, +, ∗, 0, 1) の部分環とは、R の部分集合 S で環構造を保存するものを言う。即ち (S, +, ∗, 0, 1) は環であり S ⊆ R を満足する。同じことだが、加法群 (R, +, 0) の部分群かつ乗法モノイド (R, ∗, 1) の部分モノイドとなるものということもできる。
整数環 Z およびその剰余類環 Z/nZ は、それ自身以外の(単位元を共有する)部分環を持たない。
任意の環は、適当な非負整数 n に対する環 Z/nZ に同型な、最小の部分環をただ一つ持つ。ただし、この場合整数環 Z は n = 0 に対応するものとする(Z は Z/0Z に同型)。
部分環判定法(英語版)は、任意の環 R に対して、R の部分集合が部分環となるのはそれが R の加法単位元を含み、かつ減法と乗法に関して閉じている場合に限ることを述べる。
例として、整数環 Z は、実数体 R の部分環であり、また多項式環 Z[X] の部分環でもある。