ガンマ関数
∫ C ( − t ) z − 1 e − t d t = ∫ ∞ δ ( r e − π i ) z − 1 e − r d r + ∫ − π π ( δ e i θ ) z − 1 e δ e i θ ( − i δ e i θ ) d θ + ∫ δ ∞ ( r e π i ) z − 1 e − r d r = ∫ ∞ δ r z − 1 e − π i ( z − 1 ) e − r d r − ∫ − π π i δ z e i θ z e δ e i θ d θ + ∫ δ ∞ r z − 1 e π i ( z − 1 ) e − r d r = ( − e − π i ( z − 1 ) + e π i ( z − 1 ) ) ∫ δ ∞ r z − 1 e − r d r − ∫ − π π i δ z e i θ z e δ e i θ d θ = − 2 i sin  π z ∫ δ ∞ r z − 1 e − r d r − ∫ − π π i δ z e i θ z e δ e i θ d θ {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t&=\int _{\infty }^{\delta }(re^{-{\pi }i})^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r+\int _{-\pi }^{\pi }({\delta }e^{i\theta })^{z-1}e^{{\delta }e^{i\theta }}(-i{\delta }e^{i\theta }){\rm {d}}\theta +\int _{\delta }^{\infty }(re^{{\pi }i})^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r\\&=\int _{\infty }^{\delta }r^{z-1}e^{-{\pi }i(z-1)}e^{-r}{\rm {d}}r-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}{\rm {d}}\theta +\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{{\pi }i(z-1)}e^{-r}{\rm {d}}r\\&=\left(-e^{-{\pi }i(z-1)}+e^{{\pi }i(z-1)}\right)\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}{\rm {d}}\theta \\&=-2i\sin {\pi }z\int _{\delta }^{\infty }r^{z-1}e^{-r}{\rm {d}}r-\int _{-\pi }^{\pi }i\delta ^{z}e^{i{\theta }z}e^{{\delta }e^{i\theta }}{\rm {d}}\theta \\\end{aligned}}}
0 {\displaystyle 0} または負の整数でない、かつ実部が正の任意の複素数 z {\displaystyle z} に対して、
Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t = [ − e − t t z ] 0 ∞ + z ∫ 0 ∞ e − t t z − 1 d t = z Γ ( z ) ( ∵ [ − e − t t z ] 0 ∞ = 0 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\rm {d}}t\\&={\Bigl [}-e^{-t}t^{z}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+z\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\,{\rm {d}}t\\&=z\Gamma (z)\qquad \left(\because {\Bigl [}-e^{-t}t^{z}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }=0\right)\!,\end{aligned}}}
となることから、 Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)} が成り立つ。またさらに、