関数の微分
微分積分学における関数の微分(かんすうのびぶん、英: differential of a function)とは、直感的には変数の無限小増分に対する関数の増分であり、独立変数を変化させた時の関数値の変化の主要部(英語版)を表す。具体的には、実変数関数 y = f(x) が与えられた時、y の微分 (differential) dy は次のように定義される。
d y = f ′ ( x ) d x {\displaystyle dy=f'(x)\,dx}
あるいは以下のように表記することも出来る。
d f ( x ) = f ′ ( x ) d x {\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}
ここで f ' (x) はf のx に関する導関数、またdx はx とは別の変数である(即ちdy はx とdx の関数ということになる)。
導関数を以下のように書くことも出来る。これは導関数を微分の商(微分商)の形として表記するライプニッツ流の表記に合致するものである。
d y = d y d x d x {\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}
変数 dy と dx の正確な意味は、各分野における文脈と、要求される数学的な厳密さの程度により変わりうる。微分幾何学においては特定の微分形式としての重要性を持ち、解析学においては関数の値の変化量に対する線型近似と見なすことが出来る。物理学的な文脈においてはしばしば、変数 dx と dy を微小な(無限小)変化量として規定することがある。
独立変数 x に関する一変数関数 y = f(x) の2階の微分は以下の様に表される
d 2 y = d ( d y ) = d ( f ′ ( x ) d x ) = f ′′ ( x ) ( d x ) 2 {\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)\,(dx)^{2}}
より高階の場合について一般化すると、
d n y = f ( n ) ( x ) ( d x ) n {\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}}
これは以下の形に書くことにより、高階導関数のライプニッツ表記に合致するものである。
f ( n ) ( x ) = d n f d x n . {\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}
変数 x 自体が他の変数に依存する関数である時は、 x の高階の微分も式に含まれるため、上記よりも複雑な形となる。2階、3階の場合の例を挙げる。
d 2 y = f ′′ ( x ) ( d x ) 2 + f ′ ( x ) d 2 x d 3 y = f ′′′ ( x ) ( d x ) 3 + 3 f ′′ ( x ) d x d 2 x + f ′ ( x ) d 3 x {\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}}