有限幾何学
P-6: すべての点が同一直線上にある、ということはない。
P-7: すべての点が同一平面上にある、ということはない。
P-8: S 3 {\displaystyle S_{3}} が3-空間なら、すべての点は S 3 {\displaystyle S_{3}} 上にある
これらの公理が満たされるような多くの異なった有限射影3-空間が存在する。
図1の3-空間はそのような空間の一つであり、この空間における全ての点、直線、平面は公理P-1からP-8を満たしている。 これはまた、体 Z 2 {\displaystyle Z_{2}} 上の最小の3次元射影空間でもある。 この射影空間は15点、35直線、15平面を持ち、15平面のそれぞれは7点と7直線を含む。各面は幾何学的にファノ平面に同型である。すべての点は7直線に含まれ、全ての直線は3点を含む。加えて、二つの異なった点はただ一つの直線と、ただ一つの直線を交わりとするような二つの平面に含まれる。 1892年に、ジーノ・ファノはそのような有限幾何、--すなわち15点、35直線、15平面を持ち、各平面が7点と7直線を含むような3次元幾何--について初めて研究した。
有限射影平面のもっとも簡単な例は、7点と7直線を持ち、各点が3直線の上にあり、各直線が3点を含むようなものである。この特殊な有限射影平面は、ファノ平面とも呼ばれる。 この平面から任意の一つの直線とその直線が含む点を取り除くと、位数2のアフィン平面になる。このためファノ平面は、位数2の射影平面と呼ばれる。 一般的に位数nの射影平面は n 2 + n + 1 {\displaystyle n^{2}+n+1} の点および直線を持ち、各直線は n + 1 {\displaystyle n+1} 個の点を含み、各点は n + 1 {\displaystyle n+1} 本の直線に含まれる。
ファノ平面の7個の点の置換(それは全部で7!種類ある)で、同一直線上にある点の組が同一直線上に移されるようなものは群をなし、この平面の対称性と呼ばれる。この位数168の対称性の群は、PSL(2,7) = PSL(3,2),および一般線形群 GL(3,2)と同型である。
少なくとも3次元以上の空間においては、 k ≥ 3 {\displaystyle k\geq 3} ならば公理的に構成されるすべての射影空間はある斜体上の k {\displaystyle k} 次元射影空間 P G ( k , q ) {\displaystyle PG(k,q)} に同型である、というヴェブレン・ヤングの定理が証明されているため、有限「平面」幾何と、それより高い次元の有限幾何の間には重要な違いがある。 一般的な高次元の有限空間に関する議論は、たとえば(Hirschfeld 1998)を参照のこと