単純リー群
第二に、リー環はリー群 G の単位元を含む成分の単連結(普遍)被覆 G* を一意的に決定するだけである。G*が実際は単純群でない、例えば非自明な中心を持つことは、ある。したがって G の基本群(可換群:リー群はH空間(英語版)である)を計算することによって大域的なトポロジーについて心配しなくてはならない。これはエリ・カルタンによってなされた。
例として、偶数次元の特殊直交群を考えよう。中心に単位行列でない −I があり、それらは実際は単純群ではない。そして二重スピン被覆を持ち、単連結でもない。上の記法で G* と G の「間」にある。