チェボタレフの密度定理
チェボタレフの密度定理から、代数体のガロア拡大を分類する問題は拡大での素イデアルの分解を記述する問題に帰着されることがわかる。具体的にいうと、代数体 K のガロア拡大 L は、この拡大で完全分解する K の素イデアルの集合によって一意的に決定されることがこの定理からわかる。また、K のほとんどすべての素イデアルが L で完全分解するならば、実際には L = K であることがわかる。
L を <(σ, τ)> に対応する部分体とすると L(ζ) = K(ζ) であり L(ζ)/L は円分拡大である。
円分拡大については密度定理は証明できていたとすると dinf (K(ζ)/L, {(σ, τ)}) は存在しその値は密度定理が主張するものと等しい。これから簡単な議論により dinf (K(ζ)/F, {(σ, τ)}) も存在しその値は 1/(#G・#H) に等しいことがわかる。先ほどの不等式において和を取る範囲を H から位数が n で割り切れる H の元の集合 Hn に狭めこの値を代入することにより不等式
d i n f ( K / F , { σ } ) ≥ # H n / ( # G ⋅ # H ) {\displaystyle d_{\mathrm {inf} }(K/F,\{\sigma \})\geq \#H_{n}/(\#G\cdot \#H)}
が得られる。#Hn/#H がいくらでも1に近くなるように素数 m が取れるので、これから
d i n f ( K / F , { σ } ) ≥ 1 / # G {\displaystyle d_{\mathrm {inf} }(K/F,\{\sigma \})\geq 1/\#G}
が成り立つことがわかった。この不等式が #G 個ある全ての σ について成り立つためにはこの不等式が等号で成り立たねばならない。よって密度定理が証明できた。以上が円分体交差法による証明である。
密度定理とは d(K/F, C) が存在し #C/#G に等しいという主張である。
アーベル拡大に対して密度定理を証明したいので K/F をアーベル拡大とし n := #G を拡大次数とする。ここで、やや唐突であるが、K の判別式を割らない素数 m を取る。そして ζ を1の m 乗根とする。判別式を割らないという仮定からガロア群 H := Gal(F(ζ)/F) は (Z/mZ) と同型であり Gal(K(ζ)/F) は G×H と同型である。
F の素イデアル p の G×H におけるフロベニウス元を (σ, τ) とすると、拡大 K/F における p のフロベニウス元は σ なので、dinf で d の定義で極限の代わりに下極限を取ったものを表すことにすると
d i n f ( K / F , { σ } ) ≥ ∑ τ ∈ H d i n f ( K ( ζ ) / F , { ( σ , τ ) } ) {\displaystyle d_{\mathrm {inf} }(K/F,\{\sigma \})\geq \textstyle \sum _{\tau \in H}d_{\mathrm {inf} }(K(\zeta )/F,\{(\sigma ,\tau )\})}
が成り立つ。
σ と τ を取って固定する。τ はその位数が n で割り切れるものを取ったとする。(σ, τ) で生成される部分群を <(σ, τ)> とすると、これと G×{1} の共通部分は単位元のみである。