パウリ行列
パウリ行列は順時固有ローレンツ群 L+ とその普遍被覆群である2次特殊線形群 SL(2, C) を対応づけるのに用いられる。ローレンツ群 L = O(3, 1) は一般線形群 GL(4, R) の元 Λ で4次元時空のミンコフスキー計量 g = (gμν) = diag(+1 ,−1, −1, −1) (μ, ν = 0, 1, 2, 3) に対し、ΛgΛ = g を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。
L = { Λ ∈ G L ( 4 , R ) | Λ T g Λ = g } {\displaystyle L=\{\Lambda \in GL(4,\mathbb {R} )|\,\Lambda ^{T}g\Lambda =g\}}
一方、順時固有ローレンツ群 L+ = SO(3, 1) はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から
L + ↑ = { Λ ∈ L | Λ 00 ≥ 1 , det Λ = 1 } {\displaystyle L_{+}^{\uparrow }=\{\Lambda \in L|\,\Lambda _{00}\geq 1,\det {\Lambda }=1\}}
として、定義される。ここで4元ベクトル x = (x, x, x, x) に対し、パウリ行列 σ0 = I, σ→ = (σ1, σ2, σ3) により、2次正方行列
γ 0 = [ I 2 0 0 − I 2 ] , γ j = [ 0 σ j − σ j 0 ] ( j = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{bmatrix}},\,\gamma ^{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\end{bmatrix}}\quad (j=1,2,3)}
を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4次正方行列表現である。
γ 0 = σ 3 ⊗ I 2 , γ j = i σ 2 ⊗ σ j ( j = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma _{3}\otimes I_{2},\,\gamma ^{j}=i\sigma _{2}\otimes \sigma _{j}\quad (j=1,2,3)}
パウリ行列の交換関係と反交換関係は一般的に
[ σ i , σ j ] = σ i σ j − σ j σ i = 2 i ∑ k = 1 3 ε i j k σ k , { σ i , σ j } = σ i σ j + σ j σ i = 2 δ i j I {\displaystyle {\begin{aligned}[][\sigma _{i},\sigma _{j}]&=\sigma _{i}\sigma _{j}-\sigma _{j}\sigma _{i}=2i\textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\sigma _{k},\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}I\end{aligned}}}
となる。