可分空間
ω1はその順序位相に関する位相空間(順序数空間)として可分でない。
有界実数列全体の成すバナッハ空間 l は上限ノルムに関して可分でない。同じことはルベーグ空間 L でも成り立つ。
有界変動函数全体の成すバナッハ空間は可分でない。にもかかわらず、この空間は数学、物理学、工学において重要な応用を持つことは特筆すべきである。
可分空間の部分空間は必ずしも可分でない(ゾルゲンフライ平面やムーア平面を参照)が、可分空間の任意の開部分空間は可分である (Willard 1970, Th 16.4b)。また、可分距離空間の任意の部分集合はやはり可分になる。
実は、任意の位相空間は、自身と同じ濃度の可分空間の部分空間にすることができる。そのような空間は、高々可算個の点を付け加えることによって構成できる (Sierpinski 1952, p. 49)。
可分空間上の実数値連続函数全体の成す集合の濃度は連続体濃度 c 以下であることが、そのような連続函数が稠密部分集合上の値で決まることから従う。
上の性質から、以下のように簡潔に言える。X が非可算閉離散部分群を持つ可分空間ならば、X は正規には成りえない。このことから、ゾルゲンフライ平面が正規でないことが分かる。
コンパクトハウスドルフ空間 X に対し、次は同値である。 X は第二可算である。 X 上の実数値連続函数全体の成す空間 C(X; R) は上限ノルムに関して可分である。 X は距離化可能である。
可分性は、その一部あるいはそれ自身が、位相空間の濃度に対する制約となることはない。実際、任意の集合は密着位相を入れて可分空間(かつ第二可算、準コンパクト、連結)となる。密着位相が「困る」のは分離性が乏しすぎることである(密着空間のコルモゴロフ商は一点空間になる)。
第一可算可分ハウスドルフ空間(特に可分距離空間)の濃度は、高々連続体濃度 c である。このような空間においては、閉包は点列の極限のみによって定まり、また任意の点列は高々一つしか極限を持たない。従って、可算稠密部分集合に値を持つ収斂点列全体の成す集合から X の点全体への全射が存在する。
可分ハウスドルフ空間の濃度は高々 2 である(c は連続体濃度)。この場合の閉包はフィルターの極限の言葉で特徴付けられる。Y を X の部分集合で z が X の点ならば、z が Y の閉包に属する必要十分条件は Y の部分集合から成るフィルター基 B で z に収斂するものが存在することである。