平坦射
このとき、大域切断の引き戻し写像 Γ ( Y , G ) → Γ ( X , f ∗ G ) {\displaystyle \Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)} は単射である。
h : S ′ → S {\displaystyle h\colon S'\to S} を平坦射とする。X と Y を S スキーム、 X ′ {\displaystyle X'} と Y ′ {\displaystyle Y'} をこれらの h による基底変換とする。
f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が準コンパクトかつ支配的ならば、基底変換 f ′ : X ′ → Y ′ {\displaystyle f'\colon X'\to Y'} も準コンパクトかつ支配的である。
h が忠実平坦なら、引き戻し写像 Hom S  ( X , Y ) → Hom S ′  ( X ′ , Y ′ ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Y)\to \operatorname {Hom} _{S'}(X',Y')} は単射である。
f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が準コンパクトかつ準分離的とする。Z を X の閉像とし、 j : Z → Y {\displaystyle j\colon Z\to Y} を標準的単射とする。このとき、基底変換で定義される閉部分スキーム j ′ : Z ′ → Y ′ {\displaystyle j'\colon Z'\to Y'} は X ′ {\displaystyle X'} の閉像である
f が平坦かつ X と Y がともに局所ネーターとする。X が x で正規なら、Y も f (x) で正規である。逆に、Y が f (x) で正規で、f (f (x)) が x で正規なら、X も x で正規である。
g : Y ′ → Y を忠実平坦な射とする。F を Y 上の準連接層とし、F ′ を F の Y ′ への引き戻しとする。このとき、F が Y 上平坦であることと F ′ が Y ′ 上平坦であることは同値である。
f が忠実平坦かつ準コンパクトとする。G を Y 上の準連接層、 F をこの X への引き戻しとする。このとき、F が有限型、有限表示、階数 n で局所自由となることと、G が対応する性質を持つことは同値である。
f : X → Y を S スキームの S 射とする。g : S ′ → S を忠実平坦かつ準コンパクトな射とし、X ′, Y ′, f ′ を g による基底変換とする。このとき、次に挙げる各性質 P に対して、f ′ が性質 P を持てば f も性質 P を持つ。
開
閉
準コンパクトかつその像の上への同相写像
同相写像
さらに、次に挙げる各性質 P に対して、f が性質 P を持つことと f ′ が性質 P を持つことは同値である。
普遍性を持つスキームの平坦射の例はヒルベルトスキームである。ヒルベルトスキームは平坦射の普遍族のパラメーター空間なので、すべての平坦射はあるヒルベルトスキームからの引き戻しである。つまり、 f : X → S {\displaystyle f\colon X\to S} を射影空間に閉部分スキームとして埋め込める平坦射とすると、 射 S → Hilb S {\displaystyle S\to {\text{Hilb}}_{S}} が存在して X はこの射による普遍族の引き戻しになる。 f {\displaystyle f} は平坦なのでファイバー f s : X s → s {\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\to s} はすべて同じヒルベルト多項式 Φ {\displaystyle \Phi } を持つので、上記のヒルベルトスキームを Hilb S Φ {\displaystyle {\text{Hilb}}_{S}^{\Phi }} で置き換えてもよい。
X の点 x で f が平坦とする。X が x で被約または正規なら、Y も f (x) でそれぞれ被約または正規である。逆に、f がさらに有限表示で f (y) が x で被約または正規なら、X も x でそれぞれ被約または正規である。
特に、f が忠実平坦で X が被約または正規であれば、Y はそれぞれ被約または正規である。f が忠実平坦かつ有限表示であれば、f のすべてのファイバーが被約または正規であることは X がそれぞれ被約または正規であることを意味する。
f が X の点 x で平坦とする。このとき、X が x で整または整閉であれば、Y も f (x) でそれぞれ整または整閉である。
f が忠実平坦とする。X が局所的に整で Y の基礎位相空間が局所ネーターならば、Y も局所的に整である。
f が忠実平坦かつ準コンパクトとする。X が局所ネーターなら、Y も局所ネーターである。
f が平坦かつ X と Y がともに局所ネーターとする。X が x で正則なら、Y も f (x) で正則である。逆に、Y が f (x) で正則で、f (f (x)) が x で正則なら、X も x で正則である。