ムーア・ペンローズ逆行列
これは、適度に悪条件の行列であっても、 A i {\displaystyle A_{i}} が二次収束の領域に入る前に長い時間がかかるためである。ただし、 A 0 {\displaystyle A_{0}} がすでにムーア・ペンローズ逆行列に近く、 A 0 A = ( A 0 A ) ∗ {\displaystyle A_{0}A=\left(A_{0}A\right)^{*}} ならば、 例えば A 0 := ( A ∗ A + δ I ) − 1 A ∗ {\displaystyle A_{0}:=\left(A^{*}A+\delta I\right)^{-1}A^{*}} ならば、収束は高速である(二次)。
A {\displaystyle A} が 正規行列、つまり、共役転置が可換であれば、その擬似逆行列は、それを対角化し、すべての非ゼロ固有値をそれらの逆数に、ゼロ固有値をゼロに写すことで計算できる。当然、 A {\displaystyle A} が転置について可換であるとは、それがその擬似逆行列で可換であることを意味します。
これは、列フルランクまたは行フルランクの特殊なケースである(上記で扱った)。 A ∈ k m × n {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n}} が正規直交列( A ∗ A = I n {\displaystyle A^{*}A=I_{n}} )または正規直交行( A A ∗ = I m {\displaystyle AA^{*}=I_{m}} )を持つならば、以下の式が成り立つ:
以下は ( A B ) + = B + A + {\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}} の十分条件である(このうちのいずれか一つを満たせば十分である):
A が正規直交列を持つ(このとき A ∗ A = A + A = I n {\displaystyle A^{*}A=A^{+}A=I_{n}} )
B が正規直交行を持つ(このとき B B ∗ = B B + = I n {\displaystyle BB^{*}=BB^{+}=I_{n}} )
A の列が線型独立であり( A + A = I n {\displaystyle A^{+}A=I_{n}} )、かつ B の行が線型独立である( B B + = I n {\displaystyle BB^{+}=I_{n}} )
B = A ∗ {\displaystyle B=A^{*}}
B = A + {\displaystyle B=A^{+}}
以下は ( A B ) + = B + A + {\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}} の必要条件である:
( A + A ) ( B B + ) = ( B B + ) ( A + A ) {\displaystyle (A^{+}A)(BB^{+})=(BB^{+})(A^{+}A)}
最後の十分条件から以下の式が導かれる。
注意:等式 ( A B ) + = B + A + {\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}} は一般には成り立たない。反例は以下の通り:
(分母は 5 = 1 2 + 2 2 {\displaystyle 5=1^{2}+2^{2}} 。)
A = ( 1 1 1 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}} について、 A + = ( 1 4 1 4 1 4 1 4 ) {\displaystyle A^{+}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}} 。
A = ( 1 0 0 1 0 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&1\end{pmatrix}}} について、疑似逆行列は A + = ( 1 0 0 0 1 2 1 2 ) {\displaystyle A^{+}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}} である。 この行列について、左逆行列が存在し、ゆえに A + {\displaystyle A^{+}} と一致する。実際、 A + A = ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle A^{+}A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}} である。