エルミート多項式
ここで C {\displaystyle C} は原点を囲む反時計回りの経路である。
陽に表せば
H n ( x ) = n ! ∑ m = 0 ⌊ n / 2 ⌋ ( − 1 ) m m ! ( n − 2 m ) ! ( 2 x ) n − 2 m {\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}}
である。ここで ⌊ ⋅ ⌋ {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor } は床関数である。 最初の幾つかを挙げると、
H 0 ( x ) = 1 H 1 ( x ) = 2 x H 2 ( x ) = 4 x 2 − 2 H 3 ( x ) = 8 x 3 − 12 x H 4 ( x ) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 H 5 ( x ) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x {\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1\\H_{1}(x)&=2x\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x\end{aligned}}}
エルミート多項式は量子化された調和振動子の波動関数の一部としてその姿を現す。 また、正規関数のフーリエ共役関数もまた正規関数であることを示す。