特性関数 (確率論)
標本データに累積分布関数をあてはめるとき、特性関数を使うことができる。確率密度関数の閉形式が使えないため最尤法が適用しにくい場合、安定分布の当てはめも含め、特性関数を使ったあてはめが有効である。この場合の推定手順は、データから計算された経験的な特性関数と理論的な特性関数をマッチさせるという方法である。Paulson, Holcomb & Leitch 1975 と Heathcote 1977 は、そのような推定手順の理論的背景を提供している。さらに、Yu 2004 では、最尤法の適用が難しい場合に、経験的な特性関数を時系列モデルに適合させるという応用を解説している。
スカラーの確率変数 X について、その特性関数は、e の期待値として定義される。ここで i は虚数単位、t ∈ R は特性関数の引数である。
φ X : R → C ; φ X ( t ) = E  [ e i t X ] = ∫ − ∞ ∞ e i t x d F X ( x ) ( = ∫ − ∞ ∞ e i t x f X ( x ) d x ) {\displaystyle \varphi _{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {C} ;\quad \varphi _{X}(t)=\operatorname {\mathbb {E} } [e^{itX}]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF_{X}(x)\qquad \left(=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx\right)}
ここで FX は X の累積分布関数、積分はリーマン=スティルチェス型である。確率変数 X に確率密度関数 fX がある場合、その特性関数は確率密度関数のフーリエ変換であり、上記の括弧内の式が対応する。
なお、特性関数の定義に出現する定数は一般的なフーリエ変換のものとは異なる。
φ X + Y ( t ) = E ( e i t ( X + Y ) ) = E ( e i t X e i t Y ) = E ( e i t X ) E ( e i t Y ) = φ X ( t ) φ Y ( t ) {\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)}
X と Y の独立性は、3 つ目の式と 4 つ目の式が等しいことを示すのに必要となる。
もう一つの興味深い例として、ai = 1/n の場合、Sn は標本平均となる。この場合 X で平均を表し、
φ X ̄ ( t ) = ( φ X ( t / n ) ) n {\displaystyle \varphi _{\overline {X}}(t)=\left(\varphi _{X}(t/n)\right)^{n}}
となる。