テイラー展開
ここで一般には関数 f が無限回微分可能であってもそのテイラー級数が x ≠ a で収束するとは限らず、たとえ収束しても一致するとは限らないことに注意が必要である。一致するかどうかは、テイラーの定理における剰余項 Rn が 0 に収束するかどうかによって判定できる;ここで剰余項 Rn は、ある c ∈ (a, x) が存在して、
R n ( x ) = f ( n ) ( c ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle R_{n}(x)={f^{(n)}(c) \over n!}(x-a)^{n}}
と書ける。または積分を用いて、次のように表せる。
R n ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( n ) ( t ) d t {\displaystyle R_{n}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f^{(n)}(t)\,\mathrm {d} t}
また、この剰余項を評価することで関数の近似値を精度保証つきで数値的に求めることもできる(テイラーの定理#例を参照)。
特に a = 0 における以下のような展開
∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}
をマクローリン展開(マクローリンてんかい、英: Maclaurin expansion; 名称は数学者コリン・マクローリンに由来する)と呼ぶ。
テイラー展開は一変数関数のみならず、多変数関数にも適用できる。d 変数関数 f のテイラー展開は以下の式である。
f ( x 1 , ... , x d ) = ∑ n 1 = 0 ∞ ∑ n 2 = 0 ∞ ⋯ ∑ n d = 0 ∞ ( x 1 − a 1 ) n 1 ⋯ ( x d − a d ) n d n 1 ! ⋯ n d ! ( ∂ n 1 + ⋯ + n d f ∂ x 1 n 1 ⋯ ∂ x d n d ) ( a 1 , ... , a d ) . {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\dots ,a_{d}).\!}
多重指数記法を用いれば、d 変数関数 f (x) のテイラー展開は次式で表現される。