整関数
番号 μ(r) は r の単調非減少函数で、r とともに無限大に発散する。
三つの函数 B(r), M(r), μ(r) の間には、二つの不等式
が成立する。さらにこの不等式から、
有限増大度の整函数に対して、二つの函数 ln B(r), ln M(r) は漸近的に等しい。
が言える。すると μ(r) に関して
有限増大度 ρ および精密増大度 ρ(r) を持つ完全正則整函数に対し、μ(r) ≈ ρ⋅r となる
ことを得る。一般に公式
が成り立つ。
最大絶対値の自然対数函数 ln Mf(r) は、ln r の凸函数である。
開集合 U 上で定数でない解析函数 f に対し、f(U) もまた開集合である。
これは孤立零点の原理によっても示せる。
複素解析における整函数(せいかんすう、英: entire function)は、複素数平面の全域で定義される正則函数を言う。そのような函数の例として、特に複素指数函数や多項式函数およびそれらの和、積、合成を用いた組合せとしての三角函数および双曲線函数などを挙げることができる。
二つの整函数の商として有理型函数が与えられる。
解析函数論の特定の場合として考えれば「整函数の基本理論」は一般論からの単に帰結であり、それは本質的に複素関数論の初歩(しばしばヴァイヤシュトラスの因数分解定理によって詳しく調べられる)である。しかしその研究は、19世紀半ばごろのコーシー, ラゲール(英語版), ヴァイヤシュトラスらから始まり、ボレル, アダマール, モンテル(英語版), ピカール, ヴァリロン(英語版), ブルメンタール(英語版)ら(そしてネヴァンリンナを忘れることはできない)によって著しく豊かに推し進められ、いまや堂々たる理論となった。
整函数の理論は、整函数をその増大度によって分類しようとするものであり、整函数のテイラー係数と増大度の間の関係、取りうる零点と整函数の振る舞いの間の関係、整函数とその導函数の間の関係を特定する。
整函数の理論におけるこれらの側面は、有理型函数に対するものに拡張される。
整函数 f が種数 n であるための必要十分条件は |s| を無限大に飛ばす極限で s n f ′ ( s ) f ( s ) {\textstyle s^{n}{\frac {f'(s)}{f(s)}}} が一様に 0 に収束することである。
種数の概念に注意深くなりすぎる必要はない。リンデレーフは函数
は増大度 1 かつ種数 0 だが、f(z) − 1 は種数 1 となることを示した。同様に f(z) + f(−z) は種数 1 だが f′(z) は種数 0 となる。しかしヴァリロンは以下の定理を証明した: