ボーアの原子模型
量子数 n → ∞ の極限を考えると
lim n → ∞ E n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }E_{n}=0}
lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }
である。電子の軌道半径が無限大の状態とは、電子が束縛を逃れた状態であり、すなわちイオン化された状態である。水素原子の第一イオン化エネルギーは基底状態から量子数 n → ∞ の状態への遷移エネルギーであり
E b ( H ) = 0 − E 1 = h c R ∞ ≈ 13.6 eV {\displaystyle E_{\text{b}}({\text{H}})=0-E_{1}=hcR_{\infty }\approx 13.6\ {\text{eV}}}
となる。
電磁気学によると、電荷を帯びた粒子が円運動をしたとき、円運動の周期の逆数に等しい振動数の電磁波を放出してエネルギーを失ってしまう。そのため、正の電荷を帯びた原子核の周りを負の電荷を持った電子が同心円状の軌道を周回しているという太陽系型原子模型や土星型原子模型では、電子はエネルギーを失って原子核に引き寄せられてしまい、現実に原子が安定的に存在することと矛盾する。一方で、分光学における原子の発光スペクトルの研究により、原子の発する光は特定の複数の振動数のみに限られ、各振動数の間には一定の法則(リッツの結合法則)が成り立つことが知られていた。
それらの疑問点を説明するため、1913年にコペンハーゲン大学のニールス・ボーアは「原子および分子の構成について」という3部作の論文の第1論文の中で、次のような仮説に基づく、新たな原子模型を提示した。
電子は特定の離散的なエネルギー状態(エネルギー準位)に属し、対応する軌道を運動する。この状態を定常状態という。定常状態では、電子は電磁波を放出することなく、古典力学にしたがって運動することができる。
エネルギー準位と対応する軌道は、量子条件が満たされるもののみが選択される。
電子はある定常状態から別の定常状態へ、瞬間的に移行することがある。これを状態の遷移という。そのときに放射(吸収)される光の振動数は振動数条件を満たす。
ボーアの示した模型は、なぜ円運動する電子がエネルギーを失わないか、という点を説明するものではないが、ボーアの量子条件という大胆な仮説によりそれを一旦棚上げして、スペクトルの法則性に合致した説明を与えるものであった。