ルジャンドル多項式
が得られる。ただし、ǁPn(x)ǁ は閉区間 [−1, 1] 上のノルム
‖ P n ( x ) ‖ = ∫ − 1 1 ( P n ( x ) ) 2 d x = 2 2 n + 1 {\displaystyle \|P_{n}(x)\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}(P_{n}(x))^{2}\,\mathrm {d} x}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}}
である。ボネの漸化式から帰納的に陽な表現
P n ( x ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) 2 ( 1 + x 2 ) n − k ( 1 − x 2 ) k {\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}^{2}\left({\frac {1+x}{2}}\right)^{n-k}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}}
が得られる。ルジャンドル多項式に対するアスキー-ギャスパーの不等式(英語版)は
∑ j = 0 n P j ( x ) ≥ 0 ( x ≥ − 1 ) {\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\qquad (x\geq -1)}
を導く。
と書くことができる。観測点 P の半径 r が a より大きければ、電位はルジャンドル多項式を用いて
Φ ( r , θ ) ∝ 1 r ∑ k = 0 ∞ ( a r ) k P k ( cos  θ ) {\displaystyle \Phi (r,\theta )\propto {\frac {1}{r}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a}{r}}\right)^{k}P_{k}(\cos \theta )}
と展開することができる。ここでは η = a/r < 1 および x = cosθ と置いた。この展開は通常の多重極展開を行うのに用いられる。
逆に、観測点 P の半径 r が a より小さいならば、電位を上記のようにルジャンドル多項式展開することはできるが、a と r とは入れ替わる。この展開は内部多重極展開 (interior multipole expansion) の基本となる。