フレドホルムの交代定理
各 λ ∈ R に対し、λ は K の固有値であるか、作用素 K - λ が X からそれ自身への全単射である。
境界値問題に対して、次の二つの内容を述べる。λ ≠ 0 とする。このとき次のいずれかが成り立つ:
(A) λ は K の固有値 ⇔ (L + μ0) h = λh のある解 h ∈ dom(L) が存在 ⇔ -μ0+λ は L の固有値
(B) 作用素 K - λ : X → X は全単射 ⇔ (K - λ) (L + μ0) = Id - λ (L + μ0) : dom(L) → X は全単射 ⇔ L + μ0 - λ : dom(L) → X は全単射
-μ0+λ を λ で置き換え、λ = -μ0 の場合を別に扱うことで、この結果は次の楕円型境界値問題に対するフレドホルムの交代定理につながる:
各 λ ∈ R に対し、同次方程式 (L - λ) u = 0 は自明解を持つか、非同次方程式 (L - λ) u = f は与えられた各データ f ∈ X に対して一意な解 u ∈ dom(L) を持つ。
この後者の函数 u は、上述の境界値問題 (*)-(**) の解である。これは上述の (1)-(2) で主張されたような二者択一の内容である。コンパクト作用素のスペクトル理論より、可解性が失われるような λ の集合は R の離散部分集合(L の固有値)であることが分かる。このような固有値は、方程式の可解性を妨げる resonances であると考えられる。