ヘッケ環
ヘッケ環 H はコクセター群 W の元で添字付けられる A 上の基底 {Tw} を持つ。特に H は自由 A-加群である。各 Tw は、w = s1s2 ... sn を w ∈ W の簡約表示とするとき、Tw = Ts1Ts2 ... Tsn で与えられる。
ヘッケ環におけるのこの基底を自然基底 (natural basis) と呼ぶ。 W の単位元 e は H の単位元 1 に対応する。つまり Te = 1 が成り立つ。
自然基底の元は「乗法的」である。つまり、コクセター群 W における長さ函数を l とし、l(yw) = l(y) + l(w) が成り立つとき、Tyw = TyTw が成立する。
自然基底の元は可逆である。例えば、Ts = qTs + (q − 1) が満たされる。
W が有限群で、係数環が複素数体 C であるとする。ジャック・ティッツは q を(1 の冪根からなる)明示的に与えられたリストにない任意の複素数に特殊化することで、結果として得られる有限次元の環が半単純であり、かつ(q = 1 の場合に対応する)複素群環 W に同型であることを示した。
もっと一般に、W が有限群で係数環 R が標数 0 の体であるとき、得られるヘッケ環は A 上の半単純な結合環である。ベンソンとカーチスの初期の結果を拡張して、ルスティックはスカラーを R[q] の商体まで拡張して、ヘッケ環と群環の間の明示的な同型写像を与えた。