母関数
数学において、母関数(ぼかんすう、英: generating function; 生成関数)は、(自然数で添字付けられた)数列 {an} に関する情報を内包した係数を持つ、形式的冪級数である。母関数は、一般線型回帰問題の解決のためにド・モアブルによって1730年に初めて用いられた。複数の自然数で添字付けられる数の配列(多重数列)の情報を取り込んだ多変数冪級数を同様に考えることもできる。
母関数には、通常型母関数 (ordinary generating function)、指数型母関数 (exponential generating function)、ランベルト級数 (Lambert series)、ベル級数 (Bell series)、ディリクレ級数 (Dirichlet series) など様々なものがある。これらについては定義と例を後述する。原理的にはあらゆる列についてそれぞれの種類の母関数が存在する(ただし、ランベルト級数とディリクレ型は添字を 1 から始めることが必要)が、扱い易さについてはそれぞれの種類で相当異なるかもしれない。どの母関数が最も有効かは、その列の性質と解くべき問題の詳細に依存する。
母関数は次のような用途に使われる。
漸化式で与えられた数列に対して、その一般項の閉じた形の式を求める。たとえば、フィボナッチ数列などについてこれを考えることができる。
数列に対して、それが満たす漸化式を求める。母関数の形から漸化式をある程度予想できる。
数列の間に成立する関係を求める。二つの数列の母関数が似た形であれば、列自体にもなんらかの関係があるかもしれない。
数列の漸近的な挙動を調べる。これには複素関数論の知識が用いられる。
数列の間で満たされる関係式(恒等式)を求める。オイラーの分割恒等式はその一例である。
組合せ論における数え上げ問題を解いて、それらの解を結びつける。ルーク多項式(英語版)は組合せ論における応用例である。
無限和を評価する。