冪零群
冪零群の名称は、それが任意の元による「随伴作用」が冪零となることによる。つまり、冪零度 n の冪零群に対して、その元 g の定める作用
が g, x に依らずn 回反復合成で自明となる(ここで、[g, x] ≔ gxgx は g, x の交換子である)。
これは冪零群を定義可能な特徴づけとはなっていない。実際、(既にみたように冪零度 n の)随伴作用素 adg 全体の成す群は n-次エンゲル群(英語版)と呼ばれ、一般には冪零群でない。位数有限ならば冪零であることが示され、有限生成ならば冪零であろうと予想されている。
アーベル群はちょうど、そのような群で随伴作用が冪零でも自明でもないもの(1-次エンゲル群)になっている。