多変数多項式
任意の可換 A-多元環 B と B の元の族 (bs)s∈S が与えられたとき、一意的な A-多元環準同型 φ: A[(Xs)s∈S] → B が存在して、 φ ( X s ) = b s ( ∀ s ∈ S ) {\displaystyle \varphi (X_{s})=b_{s}\quad (\forall s\in S)} が成り立つ。
一変数多項式に関するいくつかの定義は一般化される:
単項式とは、A の各元と MS の各元との積を言う。このとき A の元をこの単項式の係数と呼ぶ。 単項式の次数は MS の元に現れる不定元の冪指数の和を言う。
非零多項式の次数は、この多項式に現れる単項式の次数のうち最大のものを言う。(零多項式の次数は負の無限大とする。)
定数多項式は零多項式または零次多項式である。
多項式の定数項は零次の単項式の係数である。
他方、例えば「モニック多項式」や「最高次単項式」のような概念はもはや意味を為さない。
整域上の多項式環では、一変数の場合と同様に、二つの非零多項式の積の次数は各多項式の次数の和に等しい。
A が可換体のとき、多項式環 A[X] はユークリッド環であった。これは多変数の場合には拡張されない。例えば、二変数多項式環 A[X, Y]は、X, Y の生成するイデアル (X, Y) が主イデアルでないから、主環でない(したがってユークリッド環にはならない)。
したがってより弱い性質を見る必要がある。一変数の場合において、次数の概念はヒルベルトの基定理「A がネーター環ならば多項式環 A[X] もそうである」を確立することを可能にする。 A[X1, ...,Xn] の帰納的定義から、直ちに以下を得る:
n 変数の A-係数多項式環 A[X1, ..., Xn] は n に関して帰納的に定義される :
0 個の不定元に関する A-係数多項式環とは、単に A それ自身のこととする。
n > 1 に対し、A[X1, ..., Xn] は、係数環 B がひとつ前のステップで構成済みの多項式環 A[X1, ..., Xn–1] となっている多項式環 B[Xn] である。
定義により、(帰納的に)直ちにわかることは A[X1, ..., Xn] は
可換環であり、整域となるための必要十分条件は A がそうであることである。
A を部分環として含み、したがって A-多元環となる。
A-加群として自由であり、その標準基底は単項式 X k11 ⋯X knn (各 ki は非負整数)の全体で与えられる。
上記の帰納的定義をより具体的に書けば、A[X1, ..., Xn] の元は
なる形の有限和に書けて、さらに各 Pj は
なる有限和に書けるということになる。あるいは、m 個の d0, ..., dm の上界を d として、Pj および A に属する係数のリストを適当に 0 で埋めれば、
と多少簡単に書けて、最終的に n 変数多項式は
なる形をしている。