作用・角変数
このとき、リウヴィル=アーノルドの定理は、各積分 F i {\displaystyle F_{i}} が値 f i {\displaystyle f_{i}} を取る超曲面 ⋂ i = 1 n F i − 1 ( f i ) {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}F_{i}^{-1}(f_{i})} が連結かつコンパクトであるならば、この曲面はトーラス T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} と同相であること(Arnoldトーラスと呼ばれる)、そしてArnoldトーラスを含む近傍で定義された正準変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} が存在しハミルトニアン H {\displaystyle H} が J {\displaystyle \mathbf {J} } だけの関数になることを主張する。この定理により保証される正準変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} が作用・角変数である。