ナッシュ均衡
この組み合わせ (A1, B2) が支配戦略均衡となる。
Pa、Pb が (A1, B2) という戦略をとった場合、Paは戦略を変更して A2 をとれば利得が 2 から 1 へ減少してしまうため、戦略を変更する誘因を持たない。同様に Pb も、戦略を変更して B1 をとれば利得が 4 から 2 へ減少してしまうため、戦略を変更する誘因を持たない。従ってこの例では支配戦略均衡はナッシュ均衡である。
なお、Pa、Pb が (A2, B1) という戦略をとった場合の利得は (4, 6) となり、ナッシュ均衡における利得と比べて Pa、Pb ともにより大きな利得を得ることができる。この場合、Pa がより大きな 5 の利得を得るため A1 に戦略を変更する誘因を持つため、ナッシュ均衡ではない。すなわち、このゲームは囚人のジレンマゲームである。また、(A1, B2) から (A2, B1) への戦略変更は、パレート改善であり、ナッシュ均衡 (A1, B2) はパレート効率的ではない。
混合戦略ゲームとは、参加者が行動を確率的に選ぶような戦略をとることでナッシュ均衡に到達する非協力ゲームのことである。このようなゲームでは純粋戦略ナッシュ均衡が必ずしも存在せず、ナッシュ均衡は各参加者の行動確率の組として表される。有限の(=プレーヤーの数と各プレーヤーの戦略の数が有限の)混合戦略ゲームでは少なくとも1つのナッシュ均衡が存在することはナッシュの定理で証明されている(ナッシュは、この証明を角谷の不動点定理を応用することによって得た)。
以下では具体例を用いて混合戦略ナッシュ均衡を求めてみる。2人のプレイヤー Pa と Pb はそれぞれ2つの戦略から1つを選択するが、相手がどの戦略を選択するかはわからないため、各プレイヤーが確率的に相手の行動を予測する。すなわち Pa は相手 (Pb) が確率 q で B1 を選択し、Pb は相手 (Pa) が確率 p で A1 を選択すると予想しているとする。
この表のゲームにおいて Pa の得る利得の期待値は:
A1を選択:1 × q + 0 × (1 − q)
A2を選択:0 × q + 2 × (1 − q)
一方、 Pb の得る利得の期待値は:
B1を選択:2 × p + 0 × (1 − p)
B2を選択:0 × p + 1 × (1 − p)
ここで最適反応をとるとは相手の行動確率に関して期待利得がより大きな戦略を選ぶことであるから、以下のように各プレイヤーの行動をまとめることができる。
なお、p=1/3, q=2/3 のときはそれぞれ期待利得が相手の行動に関して無差別なので、平面上に各軸を行動確率(pとq)として各プレイヤーの最適反応をグラフで表わすことができる(これを均衡経路という)。混合戦略ナッシュ均衡とはこの図における均衡経路の交点であり、従って混合戦略ナッシュ均衡において Pa は (1/3, 2/3) を選択し、Pb は (2/3, 1/3) を選択する。
ここで分析したゲームは一般的に両性の争い(英語版)と呼ばれるものである。