折り紙公理
2本の直線l1, l2が与えられたとき、l1をl2に重ねるような折り方がある。
これはl1とl2がつくる角の二等分線を求めていることに等しい。p1とp2をl1上の任意の点とし、q1とq2をl2上の任意の点とする。更にuとvをそれぞれl1とl2の単位方向ベクトルとすると、以下のように表される。
u = ( p 2 − p 1 ) / | ( p 2 − p 1 ) | {\displaystyle {\boldsymbol {u}}=(p_{2}-p_{1})/\left|(p_{2}-p_{1})\right|}
v = ( q 2 − q 1 ) / | ( q 2 − q 1 ) | {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(q_{2}-q_{1})/\left|(q_{2}-q_{1})\right|}
2直線が平行でないならば、2直線の交点は以下のように表せる。
p i n t = p 1 + s i n t ⋅ u {\displaystyle p_{\mathrm {int} }=p_{1}+s_{\mathrm {int} }\cdot {\boldsymbol {u}}}
ここで
s i n t = − v ⊥ ⋅ ( p 1 − q 1 ) v ⊥ ⋅ u {\displaystyle s_{\mathrm {int} }=-{\frac {{\boldsymbol {v}}^{\perp }\cdot (p_{1}-q_{1})}{{\boldsymbol {v}}^{\perp }\cdot {\boldsymbol {u}}}}}