内点法
主双対内点法のアイディアは単純で、制約付き非線型最適化問題にも応用が可能である。ここでは単純のために制約式が全て不等式で与えられる非線型最適化問題について考える。
最小化: f ( x ) {\displaystyle f(x)}
条件: c ( x ) ≥ 0 , x ∈ R n , c ( x ) ∈ R m ( 1 ) {\displaystyle c(x)\geq 0,x\in \mathbb {R} ^{n},c(x)\in \mathbb {R} ^{m}~~~~(1)}
この最適化問題の対数バリア関数は次のようになる。
B ( x , μ ) = f ( x ) − μ ∑ i = 1 m ln  ( c i ( x ) ) ( 2 ) {\displaystyle B(x,\mu )=f(x)-\mu \sum _{i=1}^{m}\ln(c_{i}(x))~~~~(2)}
ここで μ {\displaystyle \mu } は正のスカラーで、時に「バリア・パラメータ」とも呼ばれる。この μ {\displaystyle \mu } が0に収束していくと、 B ( x , μ ) {\displaystyle B(x,\mu )} が最適解に収束していく。
前述のバリア関数の勾配は