平坦加群
A を環、M を右 A 加群とする。 A 加群からなる任意の短完全系列
0 → N 1 → N 2 → N 3 → 0 {\displaystyle 0\to N_{1}\to N_{2}\to N_{3}\to 0}
に対して、M とのテンソル積をとった系列
0 → M ⊗ A N 1 → M ⊗ A N 2 → M ⊗ A N 3 → 0 {\displaystyle 0\to M\otimes _{A}N_{1}\to M\otimes _{A}N_{2}\to M\otimes _{A}N_{3}\to 0}
が完全になるとき、M は A 上平坦である、または M は平坦 A 加群であるという。 M が左 A 加群のときも同様に定義される。
なお一般の加群 M に対しては、関手 M ⊗A – は右完全ゆえ
M ⊗ A N 1 → M ⊗ A N 2 → M ⊗ A N 3 → 0 {\displaystyle M\otimes _{A}N_{1}\to M\otimes _{A}N_{2}\to M\otimes _{A}N_{3}\to 0}
は完全系列となるが、左端の射が一般には単射にならない。
A 代数 B が平坦であるとは、B が A 加群として平坦であることをいう。