幾何学的不変式論
さらに、全ての多項式 f が V の中の与えられた G-作用の異なる軌道の上にあるような点のペア u と v で、同じ値を取ることがあるかも知れない。単純な例として、0 を除く複素数の乗法群 C があり、n-次元複素ベクトル空間 C 上にスカラーを掛けることにより作用している。 この場合には、全ての多項式不変量が定数であるが、作用には多くの異った軌道がある。0 ベクトルはそれ自身で軌道を形成し、任意の 0 でないベクトルに 0 でない複素数をかけることも軌道を形成するので、0 でない軌道は複素射影空間 CP の点によりパラメトライズされる。これが起きるとき、「不変式は軌道を分離しない」といい、代数 A は位相的な商空間 X/G を反映する。実際、この商空間は頻繁に非分離的となる。1893年に、ヒルベルトは不変式により 0 軌道から分離できない軌道を決定する条件を定式化し証明した。むしろ注目すべきは、抽象代数学の急速な発展を導いた彼の初期の不変式の仕事とは異なり、ヒルベルトの結果はあまり知られていなく、その後70年にわたりほとんど使われることはなかった。20世紀前半の不変式論の大きな発展は、不変式論の明確な計算に関連していて、同時に、幾何学というよりも代数の論理に従っていた。