ベイズの定理
ベイズ統計学では、事象の確率という考え方を採用し、必ずしも頻度には基づかない確率を「確率」として見なす。
またベイズの定理を用い、事前確率及び尤度を仮定した下で事後確率を与える、という相対的なメカニズムを主張している。したがって事後確率の計算結果の信憑性や有用性は、事前分布と尤度の設定にかかっており、慎重を期すことが必要である。これはベイズ統計学が、不確実性を含む問題を人によって異なる確率を用いて定式化することを許容する主観確率 (subjective probability) という立場をとっていることによる。この立場はまだ解析対象となっていない新たな問題へのアプローチを可能にするという利点がある一方で、確率の決め方について客観性に欠けるという批判もある(客観確率)。
ある薬物の検査が感度99%かつ特異度99%だとしよう——つまり検査によって薬物の使用者のうち99%が陽性となり、非使用者のうち99%が陰性となると仮定する。さらに社会の0.5%が薬物使用者であるとする。無作為に選ばれた個人がこの検査で陽性だったとき、薬物使用者である確率はいくつか?ベイズの定理(と全確率の公式(英語版))から
P ( U ∣ + ) = P ( + ∣ U ) P ( U ) P ( + ) = P ( + ∣ U ) P ( U ) P ( + ∣ U ) P ( U ) + P ( + ∣ U ̄ ) P ( U ̄ ) = 0.99 × 0.005 0.99 × 0.005 + 0.01 × 0.995 ≈ 0.332 {\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{U}}\mid {\text{+}})&={\frac {P({\text{+}}\mid {\text{U}})\,P({\text{U}})}{P(+)}}\\&={\frac {P({\text{+}}\mid {\text{U}})\,P({\text{U}})}{P({\text{+}}\mid {\text{U}})\,P({\text{U}})+P({\text{+}}\mid {\overline {\text{U}}})\,P({\overline {\text{U}}})}}\\&={\frac {0.
ベイズの定理は数学的には次の式で表される:
ここで、 A {\displaystyle A} そして B {\displaystyle B} は事象であり、 P ( B ) ≠ 0 {\displaystyle P(B)\neq 0} である。
P ( A ∣ B ) {\displaystyle P(A\mid B)} は条件付き確率であり、 B {\displaystyle B} が真であるとき事象 A {\displaystyle A} が発生する確率である。 B {\displaystyle B} が与えられたときの A {\displaystyle A} の事後確率ともいう。
P ( B ∣ A ) {\displaystyle P(B\mid A)} もまた条件付き確率でもあり、 A {\displaystyle A} が 真である場合に B {\displaystyle B} が発生する確率である。