モチヴィック・コホモロジー
モチヴィック・コホモロジー(英: motivic cohomology)とは、代数多様体などのスキームの不変量のひとつである。モチーフに関係する一種のコホモロジーであり、代数的サイクルのチャウ環(英語版)を特別な場合として含んでいる。代数幾何学と数論における最も深い問題のいくつかはモチヴィック・コホモロジーを理解しようとする試みである。
とかける。
ベイリンソンによる予想のモダンな言い換えは、係数 R が有理数体のとき、DM(k; Q) のコンパクトな対象からなる部分圏はアーベル圏 MM(k) の有界導来圏、すなわち k 上の混合モチーフの圏に同値であろうというものになる。特にこの予想からモチヴィック・コホモロジー群は混合モチーフの圏におけるExt群と同一視できることが導かれる。この予想の証明はほとんど手つかずである。具体的に、ベイリンソンの予想は i < 0 に対して H(X,Q(j)) はゼロと予測する。これはベイリンソン・スレ(英語版)予想と呼ばれる予想であるが、これが知られているのはごく少数のケースだけである。
逆に、ベイリンソン・スレ予想の変種と、グロタンディークの標準予想とチャウ・モチーフについてのミュール(Murre)の予想をあわせると、DM(k; Q) の t 構造(英語版)の核(heart)としてアーベル圏 MM(k) の存在が導かれる。しかし、これだけでは MM(k) でのExt群とモチヴィック・コホモロジーを同一視できることまでは導かれない。
複素数体の部分体 k に対して、混合モチーフのアーベル圏の候補がノリにより定義された。もし圏 MM(k) が期待される性質を持つ(特に MM(k) から Q 上のベクトル空間の圏へのベッチ実現関手が忠実)ならば、それはノリの圏と同値でなければならない。