階数・退化次数の定理
A を、r 個の線型独立な列を含む m × n 行列とする(すなわち、A の階数は r である)。以下では次を示す:
同次系 Ax = 0 に対して n − r 個の線型独立な解からなる集合が存在する
その他のすべての解は、それら n − r 個の解の線型結合で与えられる。
すなわち言い換えると、列ベクトルが A の零空間の基底を形成する、ある n × (n − r) 行列 X を、以下では作る。
一般性を失うことなく、A の初めの r 個の列が線型独立であると仮定できる。すると、r 個の線型独立な列ベクトルを含むある m × r 行列の A1 と、n − r 個の各列が A1 の列ベクトルの線型結合で与えられるある m × (n − r) 行列の A2 を用いて、A = [A1:A2] と書くことができる。このことは、ある r × (n − r) 行列 B に対して A2 = A1 B が成立することを意味し(階数因数分解を参照)、したがって A = [A1:A1B] である。
n − r 次単位行列 In − r に対し、
X := [ − B I n − r ] {\displaystyle X:={\begin{bmatrix}-B\\I_{n-r}\end{bmatrix}}}
とする。この X は
A X = [ A 1 : A 1 B ] [ − B I n − r ] = − A 1 B + A 1 B = O {\displaystyle AX=[A_{1}:A_{1}B]{\begin{bmatrix}-B\\I_{n-r}\end{bmatrix}}=-A_{1}B+A_{1}B=O}