ヴィラソロ代数
最高ウェイト表現がユニタリであるとは、内積 ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} が正定値となるということである。 実数の固有値 h {\displaystyle h} , c {\displaystyle c} を持つ既約最高ウェイト表現がユニタリであるのは、 c ≥ 1 {\displaystyle c\geq 1} かつ h ≥ 0 {\displaystyle h\geq 0} である場合、若しくは 上の条件 h = h r , s {\displaystyle h=h_{r,s}} にさらに制限を加え c {\displaystyle c} が
c = 1 − 6 m ( m + 1 ) = 0 , 1 / 2 , 7 / 10 , 4 / 5 , 6 / 7 , 25 / 28 , ... {\displaystyle c=1-{6 \over m(m+1)}=0,\quad 1/2,\quad 7/10,\quad 4/5,\quad 6/7,\quad 25/28,\ldots }
(m = 2, 3, 4, ...) のいずれかの値をとり、かつ h が
h = h r , s ( c ) = ( ( m + 1 ) r − m s ) 2 − 1 4 m ( m + 1 ) {\displaystyle h=h_{r,s}(c)={((m+1)r-ms)^{2}-1 \over 4m(m+1)}}