ハーン–バナッハの定理
φ ( x ) ≤ N ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \varphi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U}
が成立するようなものとする。このとき、φ には全空間 V へのある線形拡張 ψ: V → R が存在する。すなわち、次を満たすような線形汎関数 ψ が存在する:
ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U}
および
ψ ( x ) ≤ N ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle \psi (x)\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.}
(Rudin 1991, Th. 3.2)