ボーム解釈
ボームは自身のアイデアをさらに発展させ、それを因果律的解釈と呼んだが、「因果律的」という言葉が「決定論的」と同じように受け取れるため、存在論的解釈とのちに改めた。この理論はHileyとの共著にまとめられた形のものである。これはVigierやHileyらの協力のもと、ボームが発展させた考えに基づいている。ボームは、この理論がもはや決定論的なものではないと認識していた(同著には確率論的な理論が含まれる)。
ここで次の2つの実関数 R ( x , t ) {\displaystyle R({\boldsymbol {x}},t)} および S ( x , t ) {\displaystyle S({\boldsymbol {x}},t)} を用いては導関数 ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}},t)} を次のように変数分離する:
ψ ( x , t ) = R ( x , t ) e i S ( x , t ) / ħ . {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {x}},t)=R({\boldsymbol {x}},t)e^{iS({\boldsymbol {x}},t)/\hbar }.}
すると、シュレディンガー方程式は R ( x , t ) {\displaystyle R({\boldsymbol {x}},t)} と S ( x , t ) {\displaystyle S({\boldsymbol {x}},t)} についての次の連立方程式に書き直せる:
∂ R ( x , t ) ∂ t = − 1 2 m [ R ( x , t ) ∇ 2 S ( x , t ) + 2 ∇ R ( x , t ) ⋅ ∇ S ( x , t ) ] ∂ S ( x , t ) ∂ t = − [ V + 1 2 m ( ∇ S ( x , t ) ) 2 − ħ 2 2 m ∇ 2 R ( x , t ) R ( x , t ) ] .