タンジェント数
タンジェント数は、ベルヌーイ数を用いて次のように書くことができる。
T 2 k − 1 = ( − 1 ) k ( 2 2 k − 4 2 k ) B 2 k 2 k , T 2 k = 0. {\displaystyle T_{2k-1}={\frac {(-1)^{k}\,(2^{2k}-4^{2k})\,B_{2k}}{2k}},\quad T_{2k}=0.}
この関係式に示すように、タンジェント数の偶数項は必ずゼロになる。 この関係式を得る導出過程で、タンジェント数の偶数項には、ベルヌーイ数の第3項以降の奇数項が含まれている。 しかも、タンジェント数の偶数項は、正接関数の変数が実数である条件に対して、虚数項を生成するため、正接関数が実関数である要請からタンジェント数の偶数項はゼロでなければならない。 その要請が、ベルヌーイ数の第3項以降の奇数項が必ずゼロとなる証明にもなっている。
ベルヌーイ数の漸近的性質から、以下に示すタンジェント数の漸近的性質が導かれる。
T 2 k − 1 ≃ ( 2 k ) ! k ( π 2 ) 2 k + 1 {\displaystyle T_{2k-1}\simeq {\frac {(2k)!}{k}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{\!2k+1}}
この漸近的性質から、正接関数 tan  z {\displaystyle \tan z} のテイラー展開が | z | < π / 2 {\displaystyle |z|<\pi /2} を収束半径とすることがわかる。