ペアノの公理
集合 N と定数 0 と関数 Sと集合Eに関する次の公理をペアノの公理という。
0 ∈ N
任意の n ∈ N について S(n) ∈ N
任意の n ∈ N について S(n) ≠ 0
任意の n, m ∈ N について n ≠ m ならば S(n) ≠ S(m)
任意の E ⊆ N について 0 ∈ E かつ任意の n ∈ N について n ∈ E → S(n) ∈ E ならば E = N
このとき N の元を自然数といい、自然数 n に対して自然数 S(n) をその後者 (successor)という。
第五公理は、数学的帰納法の原理である。
これらの公理は互いに独立であり、いずれも残りから導くことはできない。
ペアノの公理から 2 + 2 = 4 や 2 ⋅ 2 = 4 のような「定理」を証明するには 2 = S(S(0)) などの項を導入したり、加法 + や乗法 ⋅ の存在や性質を示したりする必要がある。たとえば Henle (1986, pp. 17, 18, 103, 104) を見よ。