実数空間
R の標準位相、ユークリッド位相あるいは通常の位相と呼ばれる位相は、定義節に言うように単に直積集合と見ただけでは出てくる構造ではない。これはユークリッド距離の誘導する自然な位相(英語版)に一致する。すなわち R の部分集合が開であるとは、その部分集合の各点においてその点を中心とする適当な開球体をその部分集合が必ず含むことをいう。R は位相線型空間でもあり、線型構造と両立することのできる(非自明な)位相はただ一つ存在する。
R の位相次元は n である。 R の位相に関する表面的でない重要な結果の一つがブラウワーの領域不変性(英語版)である。R の部分集合(に部分空間の位相を入れたもの)で R の別の開部分集合に同相となるものは、それ自身が開である。ここから直ちに R と R は m ≠ n のとき同相でないことが帰結される(これは直観的には明らかだが証明するのは難しい)。
位相次元が異なるにも拘らず、および素朴な予測に反して、低次元の数空間を R の上に連続的に写すことができる。連続的(だが滑らかでない)空間充填曲線(R の像)が可能である。