エンリケス・小平の分類
楕円曲面は、楕円ファイバーを持つ曲面である。楕円ファイバーとは、有限個のファイバーを除く全てのファーバーが種数 1 の滑らかな既約曲線であるような曲線 B への全射正則写像が存在する場合を言う。そのようなファイバーの生成ファイバーは、B の函数体上の種数 1 の曲線である。逆に、曲線の函数体上の種数 1 の曲線が与えられると、相対的極小モデルは楕円曲面となる。小平や他の研究者は、全ての楕円曲線を完全に記述した。特に、小平は、可能な特異ファイバーの完全な表を記述した。楕円曲面の理論は、離散付値環(例えば、p-進整数の環)とデデキント整域(例えば数体の整数環)による楕円曲線の固有な正則モデルの理論に似ている。
標数が 2 や 3 のとき、ほとんど全てのファイバーが単純なノードを持つ有理曲線であるような準楕円曲面(quasi-elliptic)が得られる。単純なノードは「退化した楕円曲線」である。
エンリケス曲面は、q = 0 で標準ラインバンドルが自明ではない複素曲面であるが、標準ラインバンドルを二乗すると自明となる。エンリケス曲面はみな、代数的(従ってケーラー的)である。それらは、K3曲面を位数 2 の群で割った商であり、その上の理論は代数的なK3曲面の理論に似ている。
不変量: Pn は n が偶数であれば 1 であり、n が奇数であれば 0 である。基本群は位数が 2 である。第二コホモロジー群 H(X, Z) は 10-次元の一意な偶のユニモジュラ格子(英語版)(unimodular lattice) II1,9 と符号 -8 と位数 2 の群の和に同型である。
ホッジダイアモンド:
マーク付きのエンリケス曲面は、連結な 10-次元の族を形成し、明確に記述される。
標数 2 のときは、特異エンリケス曲面や超特異エンリケス曲面と呼ばれるいくつかの余剰なエンリケス曲面の族が存在する。詳細は、エンリケス曲面を参照。