数理論理学
数理論理学の中心では形式論理体系を用いて表現された数学の概念を取り扱う。それらの体系は、多くの細部の差異はあるが、固定した形式言語で記述されるという共通の性質がある。命題論理と一階述語論理の体系は今日では最も広く研究されている。それは数学基礎論への応用可能性とそれらの望ましい証明論的な性質の故である。より強い古典論理、例えば二階述語論理や無限論理もまた直観主義論理とともに研究されている。
エルンスト・ツェルメロ(1904)は任意の集合が整列可能であることの証明を与えた。この結果はゲオルク・カントールには得ることができなかったものである。ツェルメロはその証明を完成させるために選択公理を導入した。これは数学者と集合論の先駆者達の間の激しい論戦と研究を引き起こすことになる。即座に浴びた批判から、ツェルメロは自身の結果の第2の解説を出版した(Zermelo 1908a)。この論文はツェルメロの証明に対する批判に直接対処するものであり、これによって数学界において選択公理が広く受け入れられることになった。
選択公理に関する疑念は最近の素朴集合論におけるパラドックスの発見により強化された。集合論のパラドックスについて初めて述べたのはチェザーレ・ブラリ・フォルティ(1897)である:ブラリ=フォルティのパラドックスは全ての順序数からなる集まりが集合を成さないことを示す。その直後に、バートランド・ラッセルは1901年にラッセルのパラドックスを、ジュール・リシャール(1905)はリシャールのパラドックスを発見した。
ツェルメロ(1908b)は集合論に対する最初の公理化を与えた。
19世紀中頃、ユークリッドの幾何学の公理の欠陥が世に知られるようになった (Katz 1998, p. 774)。1826年にニコライ・ロバチェフスキーによって確立された平行線公準の独立性 (Lobachevsky 1840) に加え、数学者達は、ユークリッドが明らかと考えていた幾つかの定理が、実際にはユークリッドの公理からは証明できないことを発見した。それらの中には、直線は少なくとも二点を含むという定理や、同じ半径を持ち中心が半径と同じ距離だけ離れている二つの円は交わらねばならないという定理がある。ヒルベルト (1899) はパッシュの先行研究 (1882) のもとに、完全な幾何学の公理(英語版)の集合を開発した。幾何学の公理化の成功はヒルベルトに他の数学の分野(自然数や数直線など)の完全な公理化を探求するよう動機付けた。これが20世紀前半の主要な研究領域となることが分かる。