初期値問題
α = 1 , β = 2 , γ = y ( 0 ) − 1 {\displaystyle \alpha =1,\beta =2,\gamma =y(0)-1}
より
Y ( s ) = 1 s + 2 s 2 + y ( 0 ) − 1 s + 3 , y ( 0 ) = 3 {\displaystyle Y(s)={\frac {1}{s}}+{\frac {2}{s^{2}}}+{\frac {y(0)-1}{s+3}},\qquad y(0)=3}
と展開されるから、これに逆ラプラス変換を行うと、解は
y ( t ) = 2 e − 3 t + 2 t + 1 {\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1\,}
となる。実際、この解は
y ′ + 3 y = d d t ( 2 e − 3 t + 2 t + 1 ) + 3 ( 2 e − 3 t + 2 t + 1 ) = ( − 6 e − 3 t + 2 ) + ( 6 e − 3 t + 6 t + 3 ) = 6 t + 5 {\displaystyle {\begin{aligned}y'+3y&={\frac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5\end{aligned}}}
より、もとの微分方程式を満たす。
などとなるので、帰納的に
y n ( x ) = 4 ∑ k = 0 n 1 k !
数学者の岡村博は、初期値問題の解が一意となるための必要十分条件を得た。この条件は、システムに対するリアプノフ関数が存在することを必要とする。
いくつかの場合では、関数 f はC級やリプシッツ連続ですらなく、解の局所的な一意存在性を保証するための一般的な結果が適用されないことがある。しかし、ペアノの存在定理は、関数 f が単なる連続関数であっても、解の時間に関する局所存在性が保証されることを示している。ただしここで問題となるのは、解の一意性の保証はされていない、ということである。この結果は参考文献 Coddington & Levinson (1955, Theorem 1.3)あるいは Robinson (2001, Theorem 2.6)などで見られる。より一般的な結果として、関数 f が不連続である場合の解の存在を扱ったカラテオドリの存在定理が挙げられる。