アーベルの総和公式
調和級数 ∑ 1 ≤ n ≤ x 1 n {\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}{\frac {1}{n}}} について、 a n = 1 ( n = 1 , 2 , ⋯ ) , f ( t ) = 1 t {\displaystyle a_{n}=1(n=1,2,\cdots ),f(t)={\frac {1}{t}}} とおくと A ( x ) = ⌊ x ⌋ {\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor } より
∑ n = 1 x 1 n = ⌊ x ⌋ x + ∫ 1 x ⌊ t ⌋ t 2 d t = log  x + 1 − { x } x − ∫ 1 x { t } t 2 d t {\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor t\rfloor }{t^{2}}}dt=\log x+1-{\frac {\{x\}}{x}}-\int _{1}^{x}{\frac {\{t\}}{t^{2}}}dt}
が成り立つ。このことから
∑ n = 1 x 1 n = log  x + γ + O ( 1 x ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}=\log x+\gamma +O\left({\frac {1}{x}}\right)}
となる定数 γ が存在することが分かる。この定数 γ はオイラーの定数といわれる。