付値
体 K の加法付値 v に対して、Rv = {a ∈ K | v(a) ≥ 0} は賦値 v に対する付値環と呼ばれる環を成す。このとき、 m v = { a ∈ K ∣ v ( a ) > 0 } {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}=\{a\in K\mid v(a)>0\}} は、Rv のイデアルであり、賦値 v に対する付値イデアルと呼ばれる。 付値イデアルは付値環に含まれる唯一の極大イデアルであるので、 R v / m v {\displaystyle R_{v}/{\mathfrak {m}}_{v}} は体となる。この体のことを v に関する剰余体または剰余類体という。さらに、{a ∈ K | v(a) = 0} は乗法群となり、これを賦値環の単数群という。
1 を含む環 R に対して、 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} を 1 を含まない R の素イデアルとする。R の元 a に対して v ( a ) = { 0 ( a ∉ p ) ∞ ( a ∈ p ) {\displaystyle v(a)={\begin{cases}0&(a\notin {\mathfrak {p}})\\\infty &(a\in {\mathfrak {p}})\end{cases}}} と定めれば、R の加法付値となる。従って、1 を含む任意の環に対して、加法付値が一つ以上存在する。
体 K に対して、上記の例を適用することにより v ( a ) = { 0 ( a ∈ K × ) ∞ ( a = 0 ) {\displaystyle v(a)={\begin{cases}0&(a\in K^{\times })\\\infty &(a=0)\end{cases}}} は K の加法付値となる。これを K の自明な加法付値という。
素数 p と 0 ではない有理数 a に対して、 a = p e b p f c ( e ≥ 0 , f ≥ 0 , ( b , c ) = 1 , ( b c , p ) = 1 ) {\displaystyle a={\frac {p^{e}b}{p^{f}c}}\quad (e\geq 0,\,f\geq 0,\,(b,c)=1,\,(bc,\ p)=1)} と表したとき、 v ( a ) = { e − f ( a ∈ K × ) ∞ ( a = 0 ) {\displaystyle v(a)={\begin{cases}e-f&(a\in K^{\times })\\\infty &(a=0)\end{cases}}} で定義すると、v は有理数体の加法付値となる。
付値(ふち、英: valuation、賦値、附値とも)とは、単位元 1 を持つ環 R と順序加群(英語版) G に対して、以下の3条件を満たす写像 v: R → G ∪ {∞} である。
v(1) = 0, v(0) = ∞ である。
任意の R の元 x, y に対して、v(xy) = v(x) + v(y) が成り立つ。
任意の R の元 x, y に対して、v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) が成り立つ。
但し、∞ は G には属さない元で、G の任意の元 a に対して
a < ∞ , {\displaystyle a<\infty ,}
a + ∞ = ∞ , {\displaystyle a+\infty =\infty ,}
∞ + ∞ = ∞ {\displaystyle \infty +\infty =\infty }
を満たすものとする。上記定義を満たす付値のことを R の 加法付値または一般付値ともいう。さらに G が実数体の加法部分群であるとき指数付値という。
特に R が体であるとき、 v ( R ∖ { 0 } ) {\displaystyle v(R\smallsetminus \{0\})} は G の加法部分群となり、これを v の値群という。