谷山–志村予想
ヴェイユは志村から聞いた予想について考え、論文「関数等式によるディリクレ級数の決定について」を発表した。この論文で楕円曲線のゼータ関数とその十分多くの twist が関数等式を持つならばそれはモジュラー形式のメリン変換から得られることが証明された。
さらにこの論文の中で彼は、そのモジュラー形式のレベルは楕円曲線の導手でなければならないことも示唆した。これによって楕円曲線がモジュラーであるかどうか数値的に検証することができるようになった。
1966年の夏、ヴェイユはこのことをセールにコーヒーハウスで説明した。セールはそのときのことを鮮明に覚えているという。色々な事実が噛み合いはじめ、歯車が回り始めた。なぜ導手が1の楕円曲線が存在しないのか?それはモジュラー曲線 X0(1) の種数が0だからだ!セールは家に帰って小さな導手を持つ楕円曲線をチェックしてみた。導手 N が11未満の楕円曲線は無く、16の楕円曲線も無かった。このことはそのレベルのモジュラー曲線 X0(N) の種数が0であることと符号していた。数時間の内にセールは谷山・志村予想が正しいことを確信するに至った。
一方、ヴェイユはこの予想が成立するかどうかは依然疑わしいとこの論文に書いた。そしてこれについては「興味ある読者への演習問題としよう」という冗談でこの論文を締めくくった。
ヴェイユのこの研究によってこの予想は広く知られるようになった。谷山の問題のことは忘れられていたので、この論文の公表から10年間、この予想はヴェイユ予想と呼ばれることになる。