正則行列
n 次正則行列 A、B について次が成り立つ。
|A| = |A|
(A) = A
(AB) = BA
A の余因子行列を ~A とおくと A = |A| ~A
n 次正方行列 N が冪零行列ならば I − N は正則で、逆行列は I + N + ... + N である
A の転置 A も正則行列で (A) = (A)(これを A と書くこともある)
A のエルミート共役 A も正則行列で (A) = (A)(これを A と書くこともある)
正則行列(せいそくぎょうれつ、英: regular matrix)、非特異行列(ひとくいぎょうれつ、英: non-singular matrix)あるいは可逆行列(かぎゃくぎょうれつ、英: invertible matrix)とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。この逆元を、元の正方行列の逆行列という。例えば、複素数体上の二次正方行列
A = [ a b c d ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
が正則行列であるのは ad − bc ≠ 0 が成立するとき、かつ、そのときに限る。このとき逆行列は
A − 1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}
で与えられる。
ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群は線形代数群あるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。