内部自己同型
抽象代数学において、内部自己同型写像 (ないぶじこどうけいしゃぞう、英: inner automorphism) は、ある操作をして、次に別の操作をして、次に最初の操作の逆をするような写像である。
記号では、 f − 1 ∘ g ∘ f ( X ) {\displaystyle f^{-1}\circ g\circ f(X)} のように書ける。
環 R と単元 u ∈ R が与えられると、写像 ƒ(x) = uxu は R の環自己同型である。この形の環自己同型を R の内部自己同型 (inner automorphism) と呼ぶ。R の内部自己同型全体は R の自己同型群の正規部分群をなす。
最初の行動と後に続くその逆の行動は、全体として得る結果を変えることもあれば(「傘をさして、雨の中を歩いて、傘をとじる」というのは単に「雨の中を歩く」のとは異なる結果になる)、変えないこともある(「左手の手袋を外し、右手の手袋を外し、左手の手袋をつける」のは「右手の手袋のみを外す」のと同じ結果になる)。
より正確には、群 G の内部自己同型写像
ƒ: G → G
は、G の任意の元 x に対し
ƒ(x) = axa
によって定義される写像である。
ここで a は G の与えられた固定された元であり、群の元の作用は右に起こると考える(なのでこれを読むとすれば「a かける x かける a」ということになる)。
元 x を一つ固定して考えるとき、元 axa を x の a による共軛 (conjugate) (あるいは axa は a によって x と共軛である)と言い、x から axa を得る操作 x ↦ axa を x の a による共役変換 (conjugation) または相似変換 (similarity transformation) と呼ぶ。
また適当な a によって axa の形に書けるような元を総称して x の共軛元 (conjugate element) と呼ぶ。
1 つの元による共役が別の 1 つの元を変えない場合(上の「手袋」の場合)と共役によって新しい元が得られる場合(「傘」の場合)を区別することはしばしば興味の対象となる。
事実、
{{{1}}}
と言うことと
{{{1}}}
と言うことは同値である。
したがって、恒等写像でない内部自己同型の存在と個数は、群における交換法則の成り立たなさを測るようなものである。