フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
フォン・ノイマンはツェルメロ集合論の問題点に対処し、解決策を与えた:
順序数の理論 問題点:ツェルメロ集合論に置換公理が不足しているため、カントールの順序数の理論をツェルメロ集合論内で展開できない。 解決策: フォン・ノイマンは ∈-で整列可能な集合を用いて順序数を定義することで、カントールの理論を復活させ、 そしてキーとなる定理、すなわちすべての順序付け可能な集合が順序数について順序同型(英語版)であるような順序数に関する定理を、置換公理を用いて証明した。 フレンケルとスコーレムとは対照的に、フォン・ノイマンは集合論における置換公理の重要性を強調していた:「実際、この公理なしに順序数の理論は不可能だと思う」
集合としては大きすぎるクラスを特定する基準 問題点:ツェルメロはそのような基準を示していなかった。ツェルメロ集合論では、パラドックスを引き起こす大きなクラスが排除されていたが、フレンケルとスコーレムが指摘したような、多くの集合が除外されていた。 解決策:フォン・ノイマンは基準を導入した:クラスが集合として大きすぎるのは、クラスからすべての集合のクラス V への全射が存在するときで、かつそのときに限る。フォン・ノイマンはこのような大きなクラスを元に持つ任意のクラスを許可しないことで、集合論的パラドックスを回避できることを知っていた。この制限と彼の基準を組み合わせることで、サイズ制限公理を得た: クラス C はどのクラスの元でもないのは、 C から V への全射が存在するとき、またそのときに限る。
, Z k ) {\displaystyle P(Z_{1},\dots ,Z_{k})} の定義論理式とする。 Δ ∈ P ( Γ 1 , ... , Γ k ) {\displaystyle \Delta \in P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})} を ψ P ( Δ , Γ 1 , ... , Γ k ) {\displaystyle \psi _{P}(\Delta ,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})} で置き換える。 P ( Γ 1 , ... , Γ k ) ∈ Δ {\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\in \Delta } を ∃ z i [ z i = P ( Γ 1 , ... , Γ k ) ∧ z i ∈ Δ ] {\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\land z_{i}\in \Delta ]} で置き換える。
外延性の公理を用いて、 Δ = Γ {\displaystyle \Delta =\Gamma } を ∀ z i ( z i ∈ Δ ⟺ z i ∈ Γ ) {\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma )} に変換する。
証明 —
すると、 O r d {\displaystyle Ord} は ∈ {\displaystyle \in } で整列された推移的集合となる。すなわち、定義から O r d {\displaystyle Ord} は順序数である。したがって、 O r d ∈ O r d {\displaystyle Ord\in Ord} であるが、これは O r d {\displaystyle Ord} が ∈ {\displaystyle \in } で整列されていることに矛盾する。したがって、 O r d {\displaystyle Ord} は集合ではない。集合ではないクラスを真のクラスと呼ぶため、 O r d {\displaystyle Ord} は真のクラスである。
真のクラスは集合などの作成に便利である。 大域選択公理と一般連続体仮説の相対的非矛盾性の証明において、ゲーデルは構成可能集合を作るのに真のクラスを用いた。ゲーデルはすべての順序数のクラス上の関数を構成した。すなわち、各順序数について、構成済の集合に対して集合を作る処理を適用することで構成可能集合を作った。構成可能集合はこの関数の像である。