サドルノード分岐
力学系には連続力学系と離散力学系があるが、どちらの種類の力学系でもサドルノード分岐と見なされる分岐が存在する。力学系の分岐には、固定点(連続力学系では平衡点ともいう)の近傍の振る舞いが変化する局所的分岐と、1つの固定点の近傍に限定されない大局的な振る舞いが変化する大域的分岐がある。サドルノード分岐は局所的分岐の主な例の一つで、1次元以上の系で起こり得る。多次元相空間で起こる場合でもサドルノード分岐による振る舞いの変化はある1次元部分空間上に制限されており、中心多様体の理論によって1次元ベクトル場または1次元写像の分析に帰着できる。
サドルノード分岐は、力学系で固定点の生成と消滅が起こる基本的なメカニズムである。固定点が存在しない状態からパラメータを変化させていくと、あるパラメータで1つの固定点が出現する。さらにパラメータを変化させていくと、その固定点は2つの固定点に分かれ、1つの固定点は安定な固定点(源点)として、もう一つの固定点は不安定な固定点(沈点)として、互いに離れていく。あるいは、パラメータを逆方向に変化させると、源点と沈点が近づき、あるパラメータで衝突し、対消滅するという様相を示す。このような分岐をサドルノード分岐と呼ぶ。この名称は、2次元以上で起こるサドルノード分岐では源点がサドル(鞍状点)に対応し、沈点がノード(安定結節点)に対応することに由来する。
サドルノード分岐は非双曲型固定点で起こる分岐であり、連続力学系では分岐点でヤコビ行列が固有値 0 を1つ持ち、離散力学系では分岐点でヤコビ行列が固有値 1 を1つ持つ。このような分岐は連続力学系ではゼロ固有値分岐と呼ばれ、サドルノード分岐はその一種である。