ハミルトン–ヤコビ方程式
.. , α N − 1 , α N {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{N-1},\alpha _{N}} ただし P m = α m {\displaystyle P_{m}=\alpha _{m}} と書かれる。
ハミルトン–ヤコビ方程式は変換後のハミルトニアン K {\displaystyle K} に対する方程式として、
K ( Q , P , t ) = H ( q , p , t ) + ∂ S ∂ t = 0. {\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial S \over \partial t}=0.}
と導かれ、これは
H ( q , ∂ S ∂ q , t ) + ∂ S ∂ t = 0 , {\displaystyle H\left(\mathbf {q} ,{\partial S \over \partial \mathbf {q} },t\right)+{\partial S \over \partial t}=0,}
と、 p = ∂ S / ∂ q {\displaystyle \mathbf {p} =\partial S/\partial \mathbf {q} } とすれば同値である。
新しい一般化座標 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } も同様に定数であり、 β 1 , β 2 , .
∂ S ∂ t + 1 2 m { ( ∂ S ∂ x ) 2 + ( ∂ S ∂ y ) 2 + ( ∂ S ∂ z ) 2 } = 0 {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}+{\frac {1}{2m}}\left\{\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}\right\}=0}
球座標におけるハミルトニアンは以下のように書かれる。
H = 1 2 m [ p r 2 + p θ 2 r 2 + p φ 2 r 2 sin 2  θ ] + U ( r , θ , φ ) {\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi )}
ハミルトン–ヤコビ方程式が完全に分離可能なのは、 U {\displaystyle U} が同じような以下の形式を持つ場合である。
U ( r , θ , φ ) = U r ( r ) + U θ ( θ ) r 2 + U φ ( φ ) r 2 sin 2  θ . {\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.}
ここで U r ( r ) {\displaystyle U_{r}(r)} , U θ ( θ ) {\displaystyle U_{\theta }(\theta )} , U φ ( φ ) {\displaystyle U_{\phi }(\phi )} は任意の関数とする。
ハミルトン–ヤコビ方程式は単一の 、 N {\displaystyle N} 個の一般化座標 q 1 , ... , q N {\displaystyle q_{1},\dots ,q_{N}} と時間 t {\displaystyle t} の関数 S {\displaystyle S} に対する一階の偏微分方程式である。一般化運動量は S {\displaystyle S} の微分としてしか現れない。顕著な特徴であるが、 S {\displaystyle S} は古典的な作用に等しい。
比較として、ラグランジュ力学での同値なオイラー=ラグランジュ方程式にも、共役な運動量はやはり現れない。しかし、それは N {\displaystyle N} 個の系 をなす、一般化座標の時間発展に関する一般には二階の微分方程式である。別の比較として、ハミルトンの正準方程式は同じように 2 N {\displaystyle 2N} 個の、一般化座標とそれに共役な p 1 , ... , p N {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{N}} に対する一階の微分方程式の系である。
ハミルトン–ヤコビ方程式は、ハミルトンの原理の積分を最小化する問題と同値なので、ハミルトン–ヤコビ方程式は他の変分法の問題、あるいはさらに一般的な他の数学や物理学の領域、たとえば力学系、シンプレクティック幾何学、量子カオスの問題などにおいても便利である。例として、ハミルトン–ヤコビ方程式はリーマン多様体において測地線を求めるのに用いられるが、これはリーマン幾何学における重要な変分問題である。
この式は常微分方程式の積分によって解け、最初に φ {\displaystyle \phi } に関する方程式は以下のようになる。
( d S φ d φ ) 2 + 2 m U φ ( φ ) = Γ φ {\displaystyle \left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }}
ただし Γ φ {\displaystyle \Gamma _{\phi }} は運動の定数で、ハミルトン–ヤコビ方程式の φ {\displaystyle \phi } 依存性は以下のように消去された。
1 2 m ( d S r d r ) 2 + U r ( r ) + 1 2 m r 2 [ ( d S θ d θ ) 2 + 2 m U θ ( θ ) + Γ φ sin 2  θ ] = E {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {\Gamma _{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}\right]=E}