ベル数
( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} は二項係数で、組み合わせの記号を使えば n C k {\displaystyle {}_{n}{\text{C}}_{k}} に等しい。ここから以下の式が導かれる。
B n = 1 e ∑ k = 0 ∞ k n k ! {\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dfrac {k^{n}}{k!}}}
また素数 p に対して次式が成り立つ。
B p + n ≡ B n + B n + 1 ( mod p ) {\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\ {\pmod {p}}}
上の漸化式より、ベル数の指数型母関数 B(x) > 0 は微分方程式 B ′(x) = eB(x), B(0) = 1 を満たすので、変数分離法より
B ( x ) = ∑ n = 0 ∞ B n x n n ! = e e x − 1 {\displaystyle B(x)=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }B_{n}{\dfrac {x^{n}}{n!}}=e^{e^{x}-1}}
となることも導ける。