ザイフェルト–ファン・カンペンの定理
すると X {\displaystyle X} は弧状連結であり、 j 1 {\displaystyle j_{1}} と j 2 {\displaystyle j_{2}} は可換なプッシュアウト(英語版)図式を成す:
自然な射 k {\displaystyle k} は同型である。つまり X {\displaystyle X} の基本群は U 1 {\displaystyle U_{1}} と U 2 {\displaystyle U_{2}} の基本群の自由積を π 1 ( U 1 ∩ U 2 , x 0 ) {\displaystyle \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})} で融合したものにほかならない。
通常、包含によって誘導される射は単射ではなく、この言明のより精密なバージョンは群のプッシュアウト(英語版)の言葉を用いて書かれる。
いまやファン・カンペンの定理を適用するに十分な情報を得た。生成元はループ { A 1 , B 1 , ⋯ , A n , B n } {\displaystyle \{A_{1},B_{1},\cdots ,A_{n},B_{n}\}} であり(A は単連結であるから生成元を持たないことが帰結する)、そしてちょうどひとつの関係式
A 1 B 1 A 1 − 1 B 1 − 1 A 2 B 2 A 2 − 1 B 2 − 1 ⋯ A n B n A n − 1 B n − 1 = 1 {\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1}
がある。この生成元と関係式とを用いて、この群は
⟨ A 1 , B 1 , ⋯ , A n , B n ∣ A 1 B 1 A 1 − 1 B 1 − 1 ⋯ A n B n A n − 1 B n − 1 ⟩ {\displaystyle \langle A_{1},B_{1},\cdots ,A_{n},B_{n}\mid A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\rangle }
と記述できる。