ヒルベルト立方体
ヒルベルト立方体は可算個の区間 [ 0 , 1 / n ] ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) {\displaystyle [0,1/n]\ (n=1,2,3,\ldots )} の直積に ω {\displaystyle \omega } 位相を入れたものとして定義される。すなわち、可算無限次元の直方体であって、各々の直交する辺の長さが 1 / n {\displaystyle 1/n} であるようなものである。
ヒルベルト立方体は単位閉区間の可算無限個のコピーの直積に同相である。換言すれば、これと可算無限次元の単位立方体とは位相的に区別できない。
ヒルベルト立方体の点 { a n } ( 0 ≤ a n ≤ 1 / n ) {\displaystyle \{a_{n}\}\ (0\leq a_{n}\leq 1/n)} に対して h : { a n } ↦ { n ⋅ a n } {\displaystyle h:\{a_{n}\}\mapsto \{n\cdot a_{n}\}} とすれば、これはヒルベルト立方体と可算無限次元の単位立方体との間の同相を与える。