佐久間＝服部方程式
この積分により不完全多重対数関数(英語版)が生成されるが、この関数によりこの方程式は扱いにくくなる。標準的な数値処理では指数の幾何級数の不完全積分を展開する。
∫ 0 λ 2 c 1 λ 5 [ exp  ( c 2 λ T ) − 1 ] d λ = c 1 ( T c 2 ) 4 ∫ c 2 / ( λ 2 T ) ∞ x 3 exp  ( x ) − 1 d x {\displaystyle \int _{0}^{\lambda _{2}}{\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}[\exp({\frac {c_{2}}{\lambda T}})-1]}}d\lambda =c_{1}({\frac {T}{c_{2}}})^{4}\int _{c_{2}/(\lambda _{2}T)}^{\infty }{\frac {x^{3}}{\exp(x)-1}}dx}
( λ = c 2 / ( x T ) {\displaystyle \lambda =c_{2}/(xT)} , d λ = − c 2 / ( x 2 T ) d x {\displaystyle d\lambda =-c_{2}/(x^{2}T)dx} の置換をしている。)すると、