ニュートン法
を解いて、
x = x 0 − ∂ f ( x 0 ) − 1 f ( x 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}-\partial f(\mathbf {x} _{0})^{-1}f(\mathbf {x} _{0})}
となる。
コンピュータで計算を行う場合 ∂f(x0)f(x0) を直接求めることは困難なので、
∂ f ( x 0 ) r = f ( x 0 ) {\displaystyle \partial f(\mathbf {x} _{0})\mathbf {r} =f(\mathbf {x} _{0})}
という方程式をガウスの消去法などの解法によって線形方程式系を解き r を求め、x = x0 - r によって x を求める。
ここで求めた x はx0よりも f(x) = 0 の解に近いことが見込まれる。そこで、今求めた x を x1 として、再び同様の計算を繰り返す。計算を繰り返すことによって xn は f(x) = 0 の解に近づいていく。
逆行列を求めることを避けるために共役勾配法を用いることがある。
ニュートン法において微分の代わりに微分のq-類似(q-微分)を使う反復をq-ニュートン法という:
x n + 1 = x n − f ( x n ) D q ( x n ) . {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{D_{q}(x_{n})}}.}
q-ニュートン法に対する半局所収束定理がq-ニュートン-カントロビッチの定理である。