黄金比
指数関数を使うと次のように表すことができる。
φ = e i π 5 + e i − π 5 {\displaystyle \varphi =e^{\,i{\frac {\pi }{5}}}+e^{\,i{\frac {-\pi }{5}}}}
φ 2 = φ + 1 {\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1} すなわち、黄金数 φ の有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上の既約多項式は x − x − 1 である。 φ は無理数であり、
φ = 1 + 5 2 = 1.6180339887 ⋯ {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\cdots }
φ − 1 = φ − 1 = − 1 + 5 2 = 0.6180339887 ⋯ {\displaystyle \varphi ^{-1}=\varphi -1={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}=0.6180339887\cdots }
黄金長方形では、(長辺 - 短辺) : 短辺 = 短辺 : 長辺 が成り立つことを表した図。
黄金長方形から最大正方形を切り取っていった図(残った長方形も黄金長方形になる)。
黄金数 φ について、φ(φ − 1) = 1 を、面積で表した図。青線が、縦横の長さ 1, φ の黄金長方形2個を表し、右上にある赤色の網目部分が φ(φ − 1)、左下にある赤色の網目部分が 1 を表す。
黄金数 φ について、φ(φ − 1) = 1 を、面積で表した図。縦横の長さが 1, φ の黄金長方形(青線)において、斜線部分が等積となる。また、赤色の網目部分は √5φ = 1 + φ を表している。