ホッジ構造
ヴェイユ予想を基礎として、1960年代にはジャン=ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)は特異点をもつ(可約かもしれない)完備ではない代数多様体でさえも、'仮想ベッチ数'を持つはずであることに気づいた。詳しくは、任意の代数多様体 X に多項式 PX(t) を対応させることができ、次の性質を持つことが可能であることに気づいた。
X {\displaystyle X} が非特異で射影的(もしくは完備)であれば、
P X ( t ) = ∑ rank ( H n ( X ) ) t n {\displaystyle P_{X}(t)=\sum {\text{rank}}(H^{n}(X))t^{n}}
となる。
Y {\displaystyle Y} が X {\displaystyle X} の閉じた代数的部分集合で U = X ∖ Y {\displaystyle U=X\setminus Y} であれば、
ホッジフィルトレーションでは、これらの条件は次を意味する。
Q ( F p , F n − p + 1 ) = 0 , Q ( C φ , φ ̄ ) > 0 for φ ≠ 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}}
ここに C は、H 上のヴェイユ作用素で H 上の C=i で与えられる。
もう一つのホッジ構造の定義は、複素ベクトル空間の上の Z-次数と周回群(circle group) U(1)の作用との間の同値性から定義することができる。この定義では、複素数 C の乗法群の作用は、2-次元の実代数的トーラスとみなすことができ、H の上に与えられる。この作用は、実数 a が a として作用するという性質を持つ。部分空間 H は、z ∈ C が z p z ̄ q {\displaystyle z^{p}{\overline {z}}^{q}} による乗法として作用する部分空間となる。
ホッジ予想
ホッジ理論
ホッジ・テイト構造(英語版) ホッジ構造の p-進での類似物
対数的微分形式