コホモロジー
コホモロジー群を定義する様々な方法がある(例えば特異コホモロジー、Čech コホモロジー(英語版)、Alexander–Spanier コホモロジー(英語版)、あるいは層係数コホモロジー)。これらはいくつかの奇妙な空間に対しては異なる答えを与えるが、それがすべて一致するような空間の大きなクラスが存在する。これは公理的に最も容易に理解される。Eilenberg–Steenrod の公理(英語版)として知られている性質のリストがあり、それらの性質を共有する任意の2つの構成は少なくとも例えばすべての有限CW複体において一致する。
公理の1つはいわゆる次元公理である。P がただ1つの点であれば、すべての n ≠ 0 に対して Hn(P) = 0 であり、H0(P) = Z である。次元 0 に任意のアーベル群 A を許すことによって少し一般化することができるが、非零次元において群は自明であることをなお主張する。これらの公理を満たす群の系は本質的に1つしかないことが再びわかる。これは H ∗ ( X ; A ) {\displaystyle H_{*}(X;A)} と表記される。