グレンジャー因果性
多変量グレンジャー因果性検定は通常、ベクトル自己回帰モデル(VAR)を時系列データに当てはめて行われる。特に、時間 t = 1 , ... , T {\displaystyle t=1,\ldots ,T} において X ( t ) ∈ R d × 1 {\displaystyle X(t)\in \mathbb {R} ^{d\times 1}} を d {\displaystyle d} 次元の多変量時系列とする。グレンジャー因果性は、 L {\displaystyle L} 個の時点に対するVARモデルで以下のように行われる。
X ( t ) = ∑ τ = 1 L A τ X ( t − τ ) + ε ( t ) , {\displaystyle X(t)=\sum _{\tau =1}^{L}A_{\tau }X(t-\tau )+\varepsilon (t),}
ここで、 ε ( t ) {\displaystyle \varepsilon (t)} はホワイトガウスランダムベクトルであり、 A τ {\displaystyle A_{\tau }} はそれぞれの τ {\displaystyle \tau } における行列である。 τ = 1 , ... , L {\displaystyle \tau =1,\ldots ,L} において要素 A τ ( j , i ) {\displaystyle A_{\tau }(j,i)} の1つ以上がゼロよりも(絶対値が)大幅に大きい場合には、時系列 X i {\displaystyle X_{i}} から別の時系列 X j {\displaystyle X_{j}} へグレンジャー因果性があるとされる。
上記の線形性に基づく方法は、平均でグレンジャー因果性を検定するのに適している。ただし、分散などのより高次なモーメントでグレンジャー因果性を検出することはできない。グレンジャー因果性のノンパラメトリック検定は、この問題に対処するように設計されている。これらの検定におけるグレンジャー因果性の定義は一般的なもので、線形自己回帰モデルなどのモデルを仮定しない。グレンジャー因果性のノンパラメトリック検定は、高次モーメントや非線形性などを含む、より優れたパラメトリックモデルを構築するための診断ツールとして使用することができる。
時系列が定常的である場合には、2つ(またはそれ以上)の変数の定常値を使用して検定が行われる。変数が非定常的である場合には、検定は1階(またはそれ以上)の階差を使用して行われる。含まれる過去の値の数は、通常、赤池情報量基準やシュヴァルツ情報量基準などの情報量基準を使用して選択される。回帰モデルにおいて、ある変数の過去の値は、(1)t検定において有意な場合や、(2)F検定において、その変数の過去の値と別の変数の過去の値が合同で説明力を追加する場合には、モデルに維持される。説明変数の過去の値が回帰モデルに残らない場合には、グレンジャー因果性がないという帰無仮説は棄却されない。
実際には、どちらの変数からもグレンジャー因果性がない場合や、2つの変数からそれぞれグレンジャー因果性がある場合も、見受けられる。