モンティ・ホール問題
最初に自分がハズレを引いていれば、2回目はドアを変えれば確実に当たりが出る(残りのハズレが除外されているため)。 最初に当たりを引いているケースは1つしかないが、ハズレを引いているケースは2つあるので、変えるほうが得である。
(4) モンティは景品のあるドアを知っている。どちらを開けるかコイントスで決めるが、選んだドアが景品の場合はもう片方のドアに変更する。
このルールは結局ドアの選び方に変化はないので、解答は「開けるドアを変更する」である。
モンティがBのドアを選ぶ確率は、上表から(1+r)/3であり、その場合にCのドアに景品がある条件付確率PX|Y(C|B)は1/(1+r)、Aのドアに景品がある条件付確率PX|Y(C|B)はr/(1+r)であるから、Cのドアに景品がある確率のほうが大きいか、または等しい(r=1 の場合)。
モンティがCのドアを選ぶ確率は、上表から(2-r)/3であり、その場合にBのドアに景品がある条件付確率PX|Y(B|C)は1/(2-r)、Aのドアに景品がある条件付確率PX|Y(A|C)は(1-r)/(2-r)であるから、Bのドアに景品がある確率のほうが大きいか、または等しい(r=0 の場合)。
結局、モンティがBまたはCのどちらのドアを選んだ場合でも、プレーヤーがAとは別の残りのドアを選んだ方が、選択をAのドアのまま変えない場合より景品を得る確率は高いか等しくなる。
プレーヤーがAのドアからBまたはCのドアに選択を変更した場合に景品を得られる確率は、(1+r)/3×1/(1+r)+(2-r)/3×1/(2-/r)=1/3+1/3=2/3であり、これはrの値に関係なく成立することが分かる。
つまり、モンティがドアの選択について、どのような傾向を持っているかという情報を、プレーヤーが持っているか、いないかにかかわらず、プレーヤーはドアの選択を変更する戦略をとる方が、景品を得る確率は高くなり、その場合に景品を得られる確率は、r の値に関係なく2/3であることが分かる。