加法的多項式
例に挙げた τ np (x) たちの任意の k-係数線型結合が、再び加法的多項式となることを見るのは容易い。そこでそれら以外に加法的多項式が存在するかは意味のある問いであるが、実は加法的多項式はそれらに限る。
加法的多項式 P(x), M(x) に対して、点ごとの和 P(x) + M(x) および合成 P(M(x)) が加法的となることが確かめられる。それにより、加法的多項式の全体がこの和と合成に関して環を成すことが従う。この環を k{τp} と書くことにする。この環は k が p-元体 Fp = Z/pZ でない限り可換でない。実際、加法的多項式 ax および x を取るとき、これらが合成に関して可換であるためには (ax) = ax から a − a = 0 でなければならない。a が Fp の元ならばこの方程式の根となれるが、さもなくば等式は成り立たない。