約数関数
p を素数とすると、p の約数は 1 と p の 2個のみであるから d(p) = 2, σ(p) = p + 1 となる。また、n を自然数とすると、p の約数は 1, p, p, ..., p の n + 1個なので d(p) = n + 1, σ(p) = (p − 1)/(p − 1) となる。
d(n) および σ(n) は n = 1 のとき最小値 1 をとる。d(n) = n の解は n = 1, 2 の 2 個のみであり、σ(n) = n の解や d(n) = σ(n) の解は n = 1 のみである。n ≥ 3 では 2 ≤ d(n) < n < σ(n) が成り立つ。
約数関数 σx(n) は乗法的関数(英: Multiplicative function)であるが、完全乗法的関数(英語版)ではない。
gcd ( a , b ) = 1 ⟹ σ x ( a b ) = σ x ( a ) σ x ( b ) . {\displaystyle \gcd(a,b)=1\Longrightarrow \sigma _{x}(ab)=\sigma _{x}(a)\sigma _{x}(b).}
n を素因数分解して以下の式の形で表す。
n = ∏ i = 1 r p i a i {\displaystyle n=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{r}{p_{i}}^{a_{i}}}