全射
写像が双射(全単射)となるのは、それが単射かつ全射となることと同値である。
函数を(よくやるように)そのグラフと同一視して考えるとき、単射性とは異なり、全射性を函数のグラフのみから読み取ることはできない。全射性は函数自体の性質というよりは函数と余域との関係性と見るべきものである。
数学において、写像が全射的(ぜんしゃてき、英: surjective, onto)であるとは、その終域となる集合の元はどれもその写像の像として得られることを言う。即ち、集合 X から集合 Y への写像 f について、Y の各元 y に対し f(x) = y となるような X の元 x が(一般には複数あってもよいが)対応させられるとき、写像 f は全射 (surjection, onto mapping/function) であるという。全写(あるいは全写像)とも書く。
全射(および単射、双射)の語は20世紀フランスの数学結社ブルバキ(1935年以降『数学原論』シリーズを刊行している)により導入されたものである。接頭辞 sur- はフランス語で「上の」を意味し、写像の始域が終域全体をすっぽり覆い尽くすように写し込まれるイメージを反映したものになっている。sur, in, bi, jection いずれもラテン語源である。
包除原理の応用として、有限集合 X から Y への全射の数は
n ! S ( m , n ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( n − k ) m {\displaystyle n!S(m,n)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(n-k)^{m}}
により与えられる。ここで m, n は有限集合 X, Y の濃度であり、S(m, n) は第二種スターリング数である。