ライプニッツの公式
この公式は単純な形をしているが、実際の円周率の計算に用いるには収束が非常に遅いために全く適していない。10進法での正確な値 (= 3.1415926535...) を10桁分計算するだけで100億回以上の計算を要するほどである。ちなみに最初の500万項の部分和を計算すると π の近似値として
3.1415924535897932384646433832795027841971693993873058...
が得られる。下線の引かれている桁だけ間違っているが、こういった誤差がいくらになるのか予想することは次の近似式で可能である。
π 4 − ∑ n = 0 N 2 ( − 1 ) n 2 n + 1 ∼ 1 2 ∑ m = 0 ∞ E 2 m N 2 m + 1 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}-\sum _{n=0}^{\tfrac {N}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\sim {\frac {1}{2}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}}
Ek はオイラー数、N は 4 で割り切れる自然数である。N に 10 の累乗数を代入すると、右辺の部分和からこの公式で求めた10進法表記での誤りが現れる桁の位置とその誤差を計算できる。