連続一様分布
一様分布する確率変数の任意の固定長の区間での確率は、その区間が分布の台に含まれる限りにおいて、その区間自体の位置とは独立である(ただし、区間の長さには依存する)。
これを示すため、X ≈ U(0, b) で [x, x + d] が [0, b] の部分区間であり、定数 d > 0 とすると、
P ( X ∈ [ x , x + d ] ) = ∫ x x + d d y b − a = d b − a {\displaystyle P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}}
となり、x とは独立となる。この事実から「一様」分布と名付けられた。
n ≥ 2 のとき、区間 [0, 1] 上の一様分布の n 番目のキュムラントは b n n {\displaystyle {\frac {b_{n}}{n}}} であり、ここで bn は n 番目のベルヌーイ数である。