組成列
群の組成列の定義は次のとおりである。群 G が相異なる部分群の有限列
G = G n ⊋ ⋯ ⊋ G 0 = 1 {\displaystyle G=G_{n}\supsetneq \cdots \supsetneq G_{0}=1}
を持ち、各添字 1 ≤ i ≤ n について Gi−1 は Gi の正規部分群であり (Gi ⊵ Gi−1)、剰余群 Gi/Gi−1 が単純群であるとき、この部分群の有限列 (Gi)0≤i≤n を組成列と呼び、剰余群の列 (Gi−1/Gi)1 ≤i≤n を剰余因子群または組成因子と呼ぶ。また、部分群の個数 n を組成列の長さと呼ぶ。
上の定義においては、群 G の各部分群 Gi は、G の正規部分群であること (G ⊵ Gi) は要求されていない。この要求を満たす場合、(Gi)0≤i≤n を主組成列と呼び、G の直積分解を考える上では、こちらの方がより本質的である (クルル・レマク・シュミットの定理参照)。
群 G が有限個の単純群の直積に分解可能な場合、G は完全可約群または半単純群であるという。上の定義から明らかなように、剰余因子群は単純群であり、G が完全可約群であれば、剰余因子群の直積に分解される。
例えば、G を 7元体 Z7 の乗法群 Z7 = {1,2,3,4,5,6} と置けば、G は位数6の巡回群であり、2つの自明でない正規部分群 N1 = {1,2,4}、N2 = {1,6} を持つ。