コーシーの凝集判定法
この結果は容易に一般化できる。凝集判定法を反復して適用することで、 k = 1 , 2 , 3 , ... {\displaystyle k=1,2,3,\ldots } に対する一般化ベルトラン級数(generalized Bertrand series)
∑ n ≥ N 1 n ⋅ log  n ⋅ log  log  n ⋯ log ∘ ( k − 1 )  n ⋅ ( log ∘ k  n ) α ( N = ⌊ exp ∘ k  ( 0 ) ⌋ + 1 ) {\displaystyle \sum _{n\geq N}{\frac {1}{n\cdot \log n\cdot \log \log n\cdots \log ^{\circ (k-1)}n\cdot (\log ^{\circ k}n)^{\alpha }}}\quad \quad (N=\lfloor \exp ^{\circ k}(0)\rfloor +1)}
が α > 1 {\displaystyle \alpha >1} のときは収束し、 0 < α ≤ 1 {\displaystyle 0<\alpha \leq 1} のときは発散することを示すことができる。
変数変換 x → 2 x {\displaystyle \textstyle x\rightarrow 2^{x}} によって積分は log  2 ∫ 0 ∞ 2 x f ( 2 x ) d x {\displaystyle \displaystyle \log 2\,\int _{0}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x} と書き直せるが、この収束は級数 ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) {\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})} の収束と同値になる。