次元 (数学)
ベクトル空間の次元はその空間の基底ベクトルの数(つまり、その空間の任意のベクトルを指定するのに必要な座標の数)である。この基底の濃度としての次元の概念は、他の次元の概念と峻別する目的で、線型次元などとも呼ばれる。
任意の正規空間 X に対し、X のルベーグ被覆次元が n であるとは、n が次の条件を満足する最小の整数であることをいう。
任意の開被覆が、各開集合が n + 1 よりも多くの元を含まないような開細分(すなわち、各開集合がもとの被覆の開集合の部分集合として得られるような別の開被覆)を持つ。
このとき、dim X = n と表す。X が多様体ならば、ここで定義した意味の次元と、既に述べた意味での次元は一致する。また、条件を満たすような整数 n が存在しないならば、X の次元は無限であるといい、dim X = ∞ と書く。さらに、X が −1-次元となることもある(dim X = −1 というのは X が空集合であるという意味である)。この被覆次元の定義は、定義における「開集合」のところを「機能的開集合」("functionally open") に単に取り替えることにより、正規空間から任意のチコノフ空間へ対象のクラスを拡張することができる。
可換環のクルル次元はその素イデアルの鎖の最大の長さである。長さ n の鎖とは、包含によって並べられた素イデアルの列 P 0 ⊊ P 1 ⊊ ... ⊊ P n {\displaystyle {\mathcal {P}}_{0}\subsetneq {\mathcal {P}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathcal {P}}_{n}} である。クルル次元は代数多様体の次元と強く関わっている。部分多様体と多様体上の多項式の環の素イデアルの間には自然な対応があるからである。
体上の多元環に対して、ベクトル空間としての次元が有限であることとクルル次元が 0 であることは同値である。