乗算作用素
区間 [−1, 3] 上の複素数値自乗可積分函数からなるヒルベルト空間 X=L[−1, 3] を考える。次の作用素を定義する。
T ( φ ) ( x ) = x 2 φ ( x ) {\displaystyle T(\varphi )(x)=x^{2}\varphi (x)\quad }
ここで φ は X 内の任意の函数である。これは自己共役な有界線型作用素で、その作用素ノルムは 9 である。そのスペクトルは区間 [0, 9] となる(これは [−1, 3] 上で定義される函数 x→ x の値域に等しい)。実際、任意の複素数 λ に対して、作用素 T-λ は
( T − λ ) ( φ ) ( x ) = ( x 2 − λ ) φ ( x ) {\displaystyle (T-\lambda )(\varphi )(x)=(x^{2}-\lambda )\varphi (x)\quad }
で与えられ、これが可逆であるための必要十分条件は λ が [0, 9] 内に含まれることである。そしてそのような逆写像は
( T − λ ) − 1 ( φ ) ( x ) = 1 x 2 − λ φ ( x ) {\displaystyle (T-\lambda )^{-1}(\varphi )(x)={\frac {1}{x^{2}-\lambda }}\varphi (x)\quad }
で与えられ、これもまた別の乗算作用素となる。
以上の議論は、任意の L 空間上の乗算作用素のノルムとスペクトルを特徴付ける上で容易に一般化することが出来る。