シルベスター方程式
複素数成分行列 A , B , C {\displaystyle A,B,C} (サイズはそれぞれ n × n , m × m , n × m {\displaystyle n\!\times \!n,m\!\times \!m,n\!\times \!m} )が与えられたとき、次の2つの n + m 次正方行列
[ A C 0 B ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}} , [ A 0 0 B ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}}
が互いに相似なのはどのようなときか問うことができる。この必要十分条件は AX − XB = C を満たす行列 X、言い換えるとシルベスター方程式の解が存在することである。これはロスの除去法則(Roth's removal rule)として知られている。
次のことは簡単に確認できる:もし AX − XB = C であれば、
[ I n X 0 I m ] [ A C 0 B ] [ I n − X 0 I m ] = [ A 0 0 B ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}}
ロスの除去法則はバナッハ空間上の無限階有界作用素へ一般化することはできない。