整数の合同
Z では常に正当であるにも拘らず、合同類環 Z/nZ では必ずしも正当化されない操作の一つに、簡約(消約)がある。
実際、等式 2a = 4 を Z で考えれば明らかに両辺を 2 で簡約して a = 2 が得られるが、法 6 で考えれば 2a = 4 は 2a を 6 で割った剰余が 4 であるということだから、a は 3 で割った剰余が 2 に等しいような類である。そのような a は 6 で割った剰余類の中では類 2 または類 5 が満たす。従って、2×2 ≡ 2×5 だがそれを簡約した 2 ≡ 5 は成立しない。
同様に、整数の演算では常に成り立っているのに Z/nZ 上では必ずしも成り立たない性質として、零積性質(英語版)「積が 0 に等しいならばいずれかの数が 0 に等しい」というものがある。
実際、法 6 で 2 × 3 ≡ 0 だが 2 も 3 も 0 でない。つまり、環 Z/6Z は整域でない。
こういった理由により、乗法を含む方程式を解くのは少々厄介である。
方程式 x + 2 = 1 を Z/6Z 上で考えるなら、両辺に同じ量 4 を加えて x = 5 とすればよい (2 + 4 ≡ 0 [6] に注意);