生存分析
打ち切り(censoring)とは、事象が観察されないデータ欠損問題の一つであり、採用されたすべての被験者が関心のある事象を経験する前に研究を終了した場合や、被験者が事象を経験する前に研究を離れたなどの理由で、事象までの時間が観察されない。生存分析では、打ち切りは一般的である。
真の事象時間 T の下限 l のみが T > l となるように分かっている場合、これは右側打ち切り(right censoring)と呼ばれる。右側打ち切りは、たとえば、生年月日がわかっていても、追跡調査が中止(英語版)されたときや研究が終了したときに、まだ生きている被験者に対して起こる。右側打ち切りのデータは通常見られる。
被験者が研究に参加する前に関心のある事象がすでに起こっていて、それがいつ起こったかがわからない場合、そのデータは左側打ち切り(left-censored)と呼ばれる。事象が2つの観察または検査の間に起こったとしか言えない場合、これは区間打ち切り(interval censoring)である。
左側打ち切りは、たとえば、永久歯の萌出分布を推定することを目的とした歯科研究の開始前に、永久歯がすでに萌出している場合に起こる。同じ研究において、永久歯が今回の検査では口腔内に存在しているが、前回の検査ではまだ存在していない場合、萌出時間は区間打ち切りであう。区間打ち切りは、HIV/AIDS研究でよく行われる。
この例では、Dalgaard第14章の黒色腫データセット(メラノーマ・データセット)を使用する。
データはRパッケージのISwRに含まれている。Rを使用したCox比例ハザード回帰で、次の図で示すような結果が得られる。
このCox回帰の結果は、次のように解釈される。
性別(Sex)は、数値ベクトル(1: 女性、2: 男性)としてコード化される。CoxモデルのR要約は、第1群に対する第2群の相対的なハザード比(hazard ratio、HR)、つまり男性対女性を示している。
coef = 0.662 は、男性対女性のハザード比の推定対数である。
exp(coef) = 1.94 = exp(0.662)。ハザード比の対数(coef = 0.662)は、exp(coef) を使用してハザード比に変換される。Coxモデルの要約では、第1群に対する第2群のハザード比、つまり男性対女性のハザード比が示される。推定されたハザード比は1.94で、このデータでは、男性の方が女性よりも命の危険が高い(生存率が低い)ことを示している。
se(coef) = 0.265 は、対数ハザード比の標準誤差(standard error)である。
z = 2.
{\displaystyle S(t)=\Pr(T>t)=\int _{t}^{\infty }f(u)\,du=1-F(t).}
同様に、生存事象密度関数(survival event density function)は次のように定義できる。
s ( t ) = S ′ ( t ) = d d t S ( t ) = d d t ∫ t ∞ f ( u ) d u = d d t [ 1 − F ( t ) ] = − f ( t ) . {\displaystyle s(t)=S'(t)={\frac {d}{dt}}S(t)={\frac {d}{dt}}\int _{t}^{\infty }f(u)\,du={\frac {d}{dt}}[1-F(t)]=-f(t).}
統計物理学などの他の分野では、生存事象密度関数は初通過時間密度(英語版)(first passage time density)と呼ばれている。
この例では、R言語の「survival」パッケージの急性骨髄性白血病生存データセット「aml」を使用している。このデータセットはMiller(1997)の研究からのもので、標準的な化学療法のコースをさらに延長(維持)すべきかどうかが問題となっている。
生存時間でソートしたamlデータセットを図に示す。
観察(observation)は、被験者の観察ごとに付与した通し番号。
時間は、生存時間または打ち切り時間である変数「time」によって示される。
事象(aml癌の再発)は、変数「status」で示される。0 = 事象なし(打ち切り)、1 = 事象あり(再発)
治療群: 変数「x」は、維持化学療法が行われたかどうかを示す。
最後の観察(observation 11)は、161週目で打ち切られている。打ち切りは、その患者に事象がなかった(aml癌の再発がなかった)ことを示している。別の被験者である観察3(observation 3)は、13週目で打ち切られた(status=0の表示)。この被験者は13週間しか研究に参加しておらず、その13週間の間にaml癌は再発しなかった。この患者は、研究の終了間際に登録されたために、13週間しか観察できなかったかもしれない。または、この患者は研究の初期に登録されたが、追跡調査を受けなかったか、研究を辞退したのかもしれない。この表では、他の被験者が16週、28週、45週で打ち切られたことを示している(status=0の観察17、6、9)。残りの被験者は全て、研究に参加している間に事象(aml癌の再発)を経験した。関心のある問題は、維持療法を受けた患者が、維持療法を受けていない患者に比べて再発が遅くなるかどうかである。