自然変換
集合 X, Y に対して、集合の直積 X × Y とはそれぞれの要素を成分に持つ順序対からなる集合 { ( x , y ) ∣ x ∈ X , y ∈ Y } {\textstyle \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}} である。ここで、3つの集合 X, Y, Z に対して、(X × Y) × Z と X × (Y × Z) の2つの集合を考える。2つの集合は明らかに順序対のつけ方を変えただけのものであるため、同型
を得る。この同型はさらに、X, Y, Z のそれぞれに対して自然である。すなわち、写像 ξ : X → X', η : Y → Y', ζ : Z → Z' に対して等式 α X ′ , Y ′ , Z ′ ∘ ( ( ξ × η ) × ζ ) = ( ξ × ( η × ζ ) ) ∘ α X , Y , Z {\textstyle \alpha _{X',Y',Z'}\circ ((\xi \times \eta )\times \zeta )=(\xi \times (\eta \times \zeta ))\circ \alpha _{X,Y,Z}} が成り立つ。このことは位相空間の圏 Top、群の圏 Grp、小さい圏の圏 Cat など、直積を持つ圏一般に成立する。
補元 ¬a を持つ分配束 (B, ≤, 0, 1, ∧, ∨, ¬) をブール代数という。二点集合 2 = {0, 1} に適切な演算を入れたものは最小のブール代数の構成となる。ブール代数の準同型 f : A → B とは写像 f : A → B であって、各演算の結果を保つものをいう。
ブール代数 (B, ≤, 0, 1, ∧, ∨, ¬) のウルトラフィルターとは、B の真部分集合 U ⊂ B であって、
空でない (特に、1 を含む)
ミート ∧ について閉じている (x, y ∈ U ならば x ∧ y ∈ U である)
x ∈ U の上方集合(英語: upper set)は U の部分をなす (x ∈ U かつ x ≤ y ならば y ∈ U である)
U は極大である (上記3条件を満たす U ⊂ U' が存在するならば、U' = B である)
を満たすものである。このとき、B のウルトラフィルターは B から 2 への準同型と1対1対応する。
ブール代数とその間の準同型からなる圏を BA で表す。
このとき、対応 B ↦ H o m B A  ( B , 2 ) {\textstyle B\mapsto \mathop {\mathrm {Hom} _{\mathbf {BA} }} (B,2)} は BA から集合の圏への反変関手 H o m B A  ( _ , 2 ) : B A o p → S e t {\textstyle \mathop {\mathrm {Hom} _{\mathbf {BA} }} (\_,2):\mathbf {BA} ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} } を構成する。他方、ブール代数の準同型 h : A → B と B のウルトラフィルター U に対して、逆像 hU ⊂ A は A のウルトラフィルターであるため、これによって写像 Ult(h): Ult(B) → Ult(A) を得る (Ult(B) で B のウルトラフィルターの集合を表す)。これは BA から Set への反変関手であり、さらに同型 U l t  ( B ) ≅ H o m B A  ( B , 2 ) {\textstyle \mathop {\mathrm {Ult} } (B)\cong \mathop {\mathrm {Hom} _{\mathbf {BA} }} (B,2)} は B について自然となる。