ツェルメロ集合論
論文の導入部で、集合論分野のまさに存在こそが「特定の矛盾や『二律背反』によって脅かされているように見える。その矛盾は、どうやらわれわれの思考を必然的に支配するような集合論の原理であり、そしてそれに対して完全に満足できる解決策はまだ見つかっていない」と述べられている。ツェルメロは当然「ラッセルの二律背反」にも言及している。
ツェルメロはゲオルク・カントールやリヒャルト・デーデキントのもとの理論をいかにして、数個の定義と7つの原理・公理まで減らせるかを示したいと述べていた。また、その公理が無矛盾であると証明できていないと述べていた。
非構成主義者による無矛盾性の主張は以下のとおりである。以下のように、順序数 0, 1, 2, ...,ω, ω+1, ω+2,..., ω·2 の1つである α に対して Vα を定義する:
V0 は空集合である。
M 0 {\displaystyle M_{0}} が M 0 {\displaystyle M_{0}} に含まれるならば、 M 0 {\displaystyle M_{0}} は x が x (つまり M 0 {\displaystyle M_{0}} 自身)に含まれるような要素 x を含むが、これは M 0 {\displaystyle M_{0}} の定義( x ∉ x {\displaystyle x\notin x} )に矛盾する。
M 0 {\displaystyle M_{0}} が M 0 {\displaystyle M_{0}} に含まれず、かつ M 0 {\displaystyle M_{0}} を M の要素と仮定すると、 M 0 {\displaystyle M_{0}} は定義 x ∉ x {\displaystyle x\notin x} を満足する M の要素であるため M 0 {\displaystyle M_{0}} に含まれるが、これは矛盾である。
ゆえに、 M 0 {\displaystyle M_{0}} が M {\displaystyle M} に含まれるという仮定は誤りであり、定理が証明される。したがって普遍領域 B のすべての対象を同一の一つの集合の要素にすることはできない。「考える限り、これによってラッセルの二律背反を解消できる。」
この議論には「領域 B」が何かを指している問題が残っており、そこから真のクラスという考え方が導かれる。
ツェルメロは、自身の公理系の公理 III で上記の矛盾を解消できるとコメントした。これは、カントールによるもとの定義とは以下のように異なる。
集合は任意の論理的に定義可能な概念では独立的に定義できない。集合は上記と同じやり方で構成されなければならない。例えば、集合は冪集合から構成できる。もしくは、すでに「所与」の集合の部分集合として分離できる。ツェルメロが言うには、これで「すべての集合の集合」や「すべての順序数の集合」といった矛盾を起こす概念を排除できる。
ツェルメロは以下の定理によってラッセルのパラドックスを解消している:「すべての集合 M {\displaystyle M} は少なくとも1つ、 M {\displaystyle M} の要素でない部分集合 M 0 {\displaystyle M_{0}} を持つ。」 M 0 {\displaystyle M_{0}} を、公理 III より「 x ∉ x {\displaystyle x\notin x} 」 という性質で分離された M {\displaystyle M} の部分集合とする。すると M 0 {\displaystyle M_{0}} は M {\displaystyle M} に含まれない。ここで