接続 (ファイバー束)
本節では主バンドルの接続に関する諸概念を接続形式を使って表現する。
VOLUME TWO (Second Edition ed.). Publish or Perish, Incorporated. ISBN 978-0914098805
Michael Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. VOLUME FIVE (Third Edition ed.). Publish or Perish, Incorporated. ISBN 978-0914098744
小林昭七『接続の微分幾何とゲージ理論』裳華房、1989年5月15日。ISBN 978-4785310585。
Marcelo Epstein (2014/7/15). Differential Geometry: Basic Notions and Physical Examples. Mathematical Engineering. Springer. ISBN 978-3319069197
Gijs M. Tuynman. Supermanifolds and Supergroups: Basic Theory. Mathematics and Its Applications. 570. Springer. ISBN 978-9048166329
Stephen Bruce Sontz (2015/4/27). Principal Bundles: The Classical Case. Universitext. Springer. ISBN 978-3-319-14765-9
Timothy E. Goldberg. “WHAT IS A CONNECTION, AND WHAT IS IT GOOD FOR?
Ω ( L i f t ( v u ) , L i f t ( w u ) ) ∈ V E = T E u {\displaystyle \Omega (\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))\in VE=TE_{u}}
を定義でき、これは E u {\displaystyle E_{u}} 上のベクトル場とみなせる。さらに u 0 ∈ M {\displaystyle u_{0}\in M} をfixし、uから u 0 {\displaystyle u_{0}} までつなぐ曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って Ω ( L i f t ( v u ) , L i f t ( w u ) ) {\displaystyle \Omega (\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))} を平行移動したものを Ω c ( L i f t ( v u ) , L i f t ( w u ) ) {\displaystyle \Omega _{c}(\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))} と書く。
定理・定義 ― E u 0 {\displaystyle E_{u_{0}}} 上のベクトル場全体の集合 X ( E u 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(E_{u_{0}})} をリー括弧(英語版)に関する「無限次元リー代数」とみなしたとき、
定理 ― π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} をG-主バンドルとし、ωをP上定義された微分形式のなめらかな場とする。さらに各 x 0 ∈ M {\displaystyle x_{0}\in M} に対し、 ι x 0 : G → ∼ P x 0 {\displaystyle \iota _{x_{0}}~:~G{\overset {\sim }{\to }}P_{x_{0}}} を自然な同一視とする。 このとき、以下の2つは同値である:
ωは接続形式の定義の1つ目の条件をみたす。すなわち、任意の A ∈ g {\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}} 、 p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、 ω p ( A _ p ) = A {\displaystyle \omega _{p}({\underline {A}}_{p})=A}
任意の x 0 ∈ M {\displaystyle x_{0}\in M} に対し、 ι x 0 ∗ ( ω ) = μ {\displaystyle \iota _{x_{0}}{}^{*}(\omega )=\mu }
ここでμはモーレー・カルタン形式である。
以上のことから、接続形式とは、各ファイバー上ではモーレー・カルタン形式に一致し、しかもGの作用との両立性 ( R g ) ∗ ω p = ( A d g − 1 ) ω p {\displaystyle (R_{g})^{*}\omega _{p}=(\mathrm {Ad} g^{-1})\omega _{p}} をみたすものとして特徴づけられる。
ホロノミー群 G := H o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle G:=\mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} は h o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} をリー代数として持つリー群である。
あるG-主バンドル π ′ : P → M {\displaystyle \pi '~:~P\to M} 、およびGのファイバー E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} への作用が一意に存在し、 π ′ : P → M {\displaystyle \pi '~:~P\to M} と E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} へのG作用を使って作った E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} バンドルは π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} と同型である。
主バンドル π ′ : P → M {\displaystyle \pi '~:~P\to M} には主バンドルとしての接続(詳細次章)が一意に存在し、この接続が上述の E x 0 {\displaystyle E_{x_{0}}} バンドルに誘導する接続は π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} との接続と同一である。
本節ではジェットバンドル(英語版)の概念を用いる事でファイバーバンドルの接続を特徴づける。
これまで通り π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を接続 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} が定義されたファイバーバンドルとする。さらに U ∈ R 2 {\displaystyle U\in \mathbb {R} ^{2}} を R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の原点Oの開近とし、Uの元を成分で ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x^{1},x^{2})} と表し、 φ : U → M {\displaystyle \varphi ~:~U\to M} を埋め込みとし、 i = 1 , 2 {\displaystyle i=1,2} に対し、
∂ ^ i := φ ∗ ( ∂ i ) {\displaystyle {\hat {\partial }}_{i}:=\varphi _{*}(\partial _{i})} 、 ∂ i ∗ := L i f t ( ∂ ^ i ) {\displaystyle \partial _{i}^{*}:=\mathrm {Lift} ({\hat {\partial }}_{i})}
とする。
H e := { d e d t ( 0 ) | e ( t ) = ( e 1 ( t ) , ... , e n ( t ) ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{e}:=\{{\tfrac {de}{dt}}(0)|e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t))} は時刻0にeを通り、しかも ∇ e d t ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\tfrac {\nabla e}{dt}}(0)=0} となる切断 } {\displaystyle \}}
を水平部分空間とする F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} の主接続が与えられる。なお、この主接続の接続形式ωは F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} の局所自明化 π − 1 ( U ) ≈ U × G {\displaystyle \pi ^{-1}(U)\approx U\times G} 、∇の接続形式 ω ^ e {\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}} 、Gのモーレー・カルタン形式μを用いて
ω ( u , g ) = A d ( g − 1 ) ω ^ ( u , i d ) + μ g {\displaystyle \omega _{(u,g)}=\mathrm {Ad} (g^{-1}){\hat {\omega }}_{(u,\mathrm {id} )}+\mu _{g}}
と書ける。ここでidはGの単位元である。
このため同伴バンドル
T P × T G T F → M {\displaystyle TP\times _{TG}TF\to M}
を考える事ができる。しかも
T ( P × F ) ≈ T P × T F → T P × T G T F {\displaystyle T(P\times F)\approx TP\times TF\to TP\times _{TG}TF}
が同型
T ( P × G F ) ≈ T P × T G T F {\displaystyle T(P\times _{G}F)\approx TP\times _{TG}TF}
を誘導することも示す事ができる。
定義 (誘導された接続の別定義) ― G-主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} の接続 { H p } p ∈ P {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}} の垂直射影Vpを使って
L i f t e ( ∂ ∂ x k ) = ∂ ∂ x k − Γ i k ( e ) ∂ ∂ y i {\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}\left({\partial \over \partial x^{k}}\right)={\partial \over \partial x^{k}}-\Gamma ^{i}{}_{k}(e){\partial \over \partial y^{i}}}
と書く。
定理 ― 記号を上述のように取る。このとき曲率は
Ω i k l = ∂ Γ l i ∂ x k − ∂ Γ i k ∂ x l + ∂ Γ i k ∂ y s Γ s l − ∂ Γ i l ∂ y s Γ s k {\displaystyle \Omega ^{i}{}_{k\ell }={\partial \Gamma _{\ell }{}^{i} \over \partial x^{k}}-{\partial \Gamma ^{i}{}_{k} \over \partial x^{\ell }}+{\partial \Gamma ^{i}{}_{k} \over \partial y^{s}}\Gamma ^{s}{}_{\ell }-{\partial \Gamma ^{i}{}_{\ell } \over \partial y^{s}}\Gamma ^{s}{}_{k}}
と成分表示できる。
{ Ω c ( L i f t ( v u ) , L i f t ( w u ) ) | x ∈ M , v , w ∈ T u M , c {\displaystyle \{\Omega _{c}(\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))|x\in M,v,w\in T_{u}M,c} はxからx0までつなぐM上の曲線 } {\displaystyle \}}
を含む最小の(C-位相に関する)閉部分線形空間 を
h o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})}
と書くとき、 h o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} は X ( E x 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(E_{x_{0}})} の部分リー代数になっている。
h o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} をホロノミーリー代数(英: holonomy Lie algebra)という。
実は以下の定理が成立する。なお、以下の定理は主バンドルに対するAmbrose–Singerの定理を任意のファイバーバンドルに一般化したものである:
定理 (Ambrose-Singerの定理の一般化) ― ホロノミーリー代数 h o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} が有限次元であれば、以下が成立する:
クリストッフェル形式を使うと曲率が以下のように書ける:
定理 ― 上述の記号の元、曲率Ωは局所座標 π − 1 ( V ) → ∼ U × F {\displaystyle \pi ^{-1}(V){\overset {\sim }{\to }}U\times F} において以下を満たす:
Ω = d Γ + 1 2 [ Γ , Γ ] {\displaystyle \Omega =d\Gamma +{1 \over 2}[\Gamma ,\Gamma ]}
ここで [ Γ , Γ ] ( ξ , ζ ) := [ Γ ( ξ ) , Γ ( ζ ) ] {\displaystyle [\Gamma ,\Gamma ](\xi ,\zeta ):=[\Gamma (\xi ),\Gamma (\zeta )]} であり、 [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} はリー括弧である。
上述の定理はあくまで局所座標で成立するものに過ぎないが、後述する主バンドルの接続の場合は局所座標ではなく手バンドル自身の上で同種の定理が成り立つことを後で示す。