P進量子力学
この研究へ関連している数学は、ゲージ理論のことばでエレガントに定式化されている。特に、主バンドルとして知られている接空間の中の波動函数が研究されている。これは自己整合性を持つ定式化に役立つ。この場合は、イデール群バンドルが存在して、行列に値を持たせることができ、非可換な結果を得ることができる。
理科系の多くの上級生は、井戸型ポテンシャルや箱の中の粒子(英語版)(particle in a ring)に慣れていると思われる。しかし、ポテンシャルの井戸には他のタイプのものも存在する。例えば、フラクタルポテンシャルの井戸を考えることもできる。この種類のポテンシャルのシュレディンガー方程式に似た方程式の解は、幾度となく興味をもたれた。この難問を解くというチャレンジングであるばかりでなく、ICのマイクロチップスの設計時に起きる問題のような、同時に複雑なポテンシャルの近似を求めるために使うことができる。例えば、シュレディンガー方程式の研究をした人のひとりは、自己相似型のポテンシャルへ応用した。 リーマンの零点と素数列から構成されたポテンシャルを研究した研究者のグループもある。彼らは、リーマンの零点のフラクタル次元は D = 1.5 であり、素数のフラクタル次元は D = 1.8 であると見積もった。
多くの自然の研究は、プランク長で発生することへの疑問を扱う。そこでは、通常は現実に存在するようには思えないことが起きるが、ある意味では、実験装置や器具では識別できなくなり、そのような実験はできないとも言える。量子力学でのヒルベルト空間の定式化と宇宙の広大さを統一することは、手ごわい課題と言える。大半の研究者は、プランク長よりも小さな(領域の)幾何学やトポロジーは、通常の幾何学やトポロジーには関係する必要がないと考えた。一方、まさに花の色が原子から出現するように、通常の幾何学やトポロジーがプランク長よりも小さな領域の幾何学やトポロジーから出現すると考える者もいる。現在、この問題への多くのフレームワークが提案されていて、p-進解析はその中でいくつかの完成されたものを持つ妥当な候補である。
p-進解析を科学へ応用するもう一つの動機は、場の量子論の問題である発散は、やはり、課題として残っている。別のアプローチにより、繰り込みのようなエレガントではないテクニックは、必然的とはいえないのでは、とも思われている。