二乗平均平方根
RMS  [ ∑ n c n sin  ω n t ] = 1 τ ∫ 0 τ ( ∑ n c n sin  ω n t ) 2 d t = 1 τ ∑ m , n ∫ 0 τ c m c n sin  ( ω m t ) sin  ( ω n t ) d t = 1 τ ∑ m , n ∫ 0 τ c m c n cos  ( ω m t − ω n t ) − cos  ( ω m t + ω n t ) 2 d t = 1 2 ∑ n ( c n ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RMS} \left[\sum _{n}c_{n}\sin \omega _{n}t\right]&={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\left(\sum _{n}c_{n}\sin \omega _{n}t\right)^{2}\,dt}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\sum _{m,n}\int _{0}^{\tau }c_{m}c_{n}\sin(\omega _{m}t)\sin(\omega _{n}t)\,dt}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{\tau }}\sum _{m,n}\int _{0}^{\tau }c_{m}c_{n}{\frac {\cos(\omega _{m}t-\omega _{n}t)-\cos(\omega _{m}t+\omega _{n}t)}{2}}\,dt}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{2}}\sum _{n}(c_{n})^{2}}}\end{aligned}}}
となる。非対角成分は積分すると 0 になる(直交)ので、対角成分の積分だけが残る。