ユークリッドの運動群
特殊ユークリッド群 SE(3) は古典力学における剛体の運動学で用いられる。剛体運動は実質的にこのユークリッド群における曲線と同じものである。物体 B が始点 t = 0 において適当な向きを持つものとし、各時刻における物体の向きはユークリッドの運動 f(t) に従って始点における向きから決まる(t = 0 において f(0) = I は恒等変換である)。 これはこの曲線が常に E(3) 内にあることを意味する(実は恒等変換 I から始めるとき、このような連続曲線は向きを保つ変換以外に到達することはあり得ないのである)。これは簡単な位相的理由からくるもので、これら変換の行列式が +1 から −1 に跳ぶことはないということである。
これらユークリッド群の部分群は位相群であるのみならずリー群を成し、その議論の中に解析学の概念を直ちに持ち込むことができる。