バウムクーヘン積分
公式は次の通りである。xy-平面上での断面を y-軸上で回転させることで得られる三次元での体積について考える。断面が区間 [a, b] 上の正函数 f (x) で定義されているとする。このとき、体積の公式は
2 π ∫ a b x f ( x ) d x {\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx}
となる。
もし函数が y 座標にあり、回転軸が x-軸とすると公式は次のようになる。
2 π ∫ a b y f ( y ) d y {\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,dy}
もし函数が線 x = h にそって回転させるとすると、公式は
{ 2 π ∫ a b ( x − h ) f ( x ) d x , if h ≤ a < b 2 π ∫ a b ( h − x ) f ( x ) d x , if a < b ≤ h {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ a<b\leq h\end{cases}}}