フォック状態
各モードで考えると、モード i {\displaystyle i} のハミルトニアン H ^ i {\displaystyle {\hat {H}}_{i}} の固有状態は、粒子数演算子 N ^ i {\displaystyle {\hat {N}}_{i}} の固有状態にもなっている(厳密にはさらに位相因子を選択しなければならない)。
ここで粒子的な解釈を行うことで、 N ^ i {\displaystyle {\hat {N}}_{i}} の固有状態に対応する固有値 n i {\displaystyle n_{i}} は、モード i {\displaystyle i} のハミルトニアン H ^ i {\displaystyle {\hat {H}}_{i}} の n {\displaystyle n} 番目の固有状態 | ψ n ⟩ {\displaystyle |\psi _{n}\rangle } における粒子数を与える。
| | i 1 ⟩ 1 ⋯ | i 1 ⟩ N ⋮ ⋱ ⋮ | i N ⟩ 1 ⋯ | i N ⟩ N | {\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle =S_{-}|i_{1},i_{2},\cdots ,i_{l},\cdots \rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}|i_{1}\rangle _{1}&\cdots &|i_{1}\rangle _{N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\|i_{N}\rangle _{1}&\cdots &|i_{N}\rangle _{N}\end{vmatrix}}}
この行列式はスレーター行列式と呼ばれる。 もし1粒子状態でも同じものがあればスレーター行列式の2つの行は同じであり、行列式は0になる。 これは2つの同種フェルミ粒子が同じ状態を占めないことをあらわしている。 よっていかなる単一状態の占有数も0または1のどちらかである。 フェルミ粒子フォック状態に関連する固有値 N ^ l {\displaystyle {\hat {N}}_{l}} は0または1である。
フェルミ粒子の数演算子は次のように与えられる。
N ^ l = c ^ l † c ^ l {\displaystyle {\hat {N}}_{l}={\hat {c}}_{l}^{\dagger }{\hat {c}}_{l}}
これがフェルミ粒子フォック状態に作用すると、
N ^ l | n 1 , n 2 , ⋯ , n l , ⋯ ⟩ = n l | n 1 , n 2 , ⋯ , n l , ⋯ ⟩ {\displaystyle {\hat {N}}_{l}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle =n_{l}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle }