フレドホルム行列式
a d ( X ) ⋅ Y = X Y − Y X {\displaystyle {\rm {ad}}(X)\cdot Y=XY-YX}
である。イスラエル・ゴーベルグ(英語版)とマーク・クライン(英語版)は、F が G への微分可能関数であるとき、f = det F は C* への微分可能写像で、
f − 1 f ̇ = T r F − 1 F ̇ {\displaystyle f^{-1}{\dot {f}}={\rm {Tr}}F^{-1}{\dot {F}}}
が成立することを証明した。この結果は、ジョエル・ピンカスとウィリアム・ヘルトンおよびロジャー・ハウ(英語版)によって、A と B が有界作用素で、その交換子 AB -BA がトレースクラスであるなら、
d e t e A e B e − A e − B = exp  T r ( A B − B A ) {\displaystyle {\rm {det}}\,e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp {\rm {Tr}}(AB-BA)}
が成立することの証明に用いられた。
Tr  K = ∫ K ( x , x ) d x {\displaystyle \operatorname {Tr} K=\int K(x,x)\,dx}
および
Tr  Λ 2 ( K ) = 1 2 ! ∫∫ K ( x , x ) K ( y , y ) − K ( x , y ) K ( y , x ) d x d y {\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{2}(K)={\frac {1}{2!}}\iint K(x,x)K(y,y)-K(x,y)K(y,x)\,dxdy}
および、より一般的に Tr  K n = 1 n ! ∫ ⋯ ∫ det K ( x i , x j ) | 1 ≤ i , j ≤ n d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \operatorname {Tr} K^{n}={\frac {1}{n!}}\int \cdots \int \det K(x_{i},x_{j})|_{1\leq i,j\leq n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}} で与えられる。これらの核はトレースクラスあるいは核作用素であるため、そのようなトレースは well-defined である。