音楽と数学
音程差となる81:80はシントニックコンマもしくはDidymusのコンマと呼ばれ、中全音律において重要なコンマとなっている。
平均律ではオクターヴは12の等しい半音階に分かれており、それぞれの半音階はその比が2の12乗根となっている。よって、半音階を12個上がることによりちょうど1オクターヴ上昇する。ギターなど、フレットを有する楽器では平均律が有用である。なぜならフレットが弦を等しく横断するからである。ヨーロッパの音楽の伝統において、平均律は鍵盤などの他の楽器よりも早く、リュートやギターを用いた音楽のために使用された。歴史の圧力により、12平均律は現代において西洋、そして非西洋の大部分の地域において支配的な音調体系となっている。
様々な等しい音程を使用して、平均律音階や楽器が作られてきた。19平均律は16世紀にギヨーム・コストレイ (英語版)により初めて提案、使用されたもので、19の等間隔なステップを用いる。19平均律は通常の12平均律よりも長三度や短三度においてより誤差が小さくより協和する。24個の等間隔なステップを用いる24平均律はアラブ音楽の音楽教育や音楽表記において広く用いられている。しかし、理論と実践においては、平均律が無理数の比率で表されるにもかかわらず、中東音楽の音調は有理数の比率で表される。
5限界調律(英語版)は純正律の最も一般的な形式であり、基本周波数の有理数倍音を用いた調律体系である。これは1619年に書かれたヨハネス・ケプラーの著書「宇宙の調和(英語版)」にて惑星の運動と関連して示された音階の一つである。同じ音階が1721年にスコットランドの数学者兼音楽理論家のアレクサンダー・マルコムにより、著書「Treatise of Musick: Speculative, Practical and Historical」において移調形式で与えられ、20世紀には音楽理論家のJose Wuerschmidtにより与えられた。この純正律の形式は北インドの音楽で使用されている。アメリカ合衆国の作曲家テリー・ライリーもまた、自著「Harp of New Albion」において逆形式の使用を行っている。純正律は和声進行がほとんどもしくはまったくない場合に優れた結果を与える。人声と他の楽器は常に純正音程へ引き寄せられる。しかし、2つの異なる全音の音程 (9:8と10:9) が与えられることで、純正律に調律された鍵盤楽器では移調ができなくなる。比率による音階の音の周波数は、主音の周波数に対し比を乗算を行うことで求められる。例として、主音A4(中央のCの上のA)を周波数440Hzとすると、純正に調律された五度 (E5)の周波数は440×(3:2) = 660Hzとなる。