疲労限度
.. (13)
ここで、σw : 単独曲げによる両振り疲労限度、τw : 単独ねじりによる両振りせん断応力疲労限度、σa、τa : 曲げ、ねじり組合せ応力下の疲労限度。
同じく同位相曲げ・ねじり組合せ応力疲労限度予測式として、延性平滑材については(12)式と同一、脆性平滑材あるいは延性切欠き材については次式による、Goughの式が提案されている。
( τ a τ w ) 2 + ( σ a σ w ) 2 ( k − 1 ) + ( σ a σ w ) 2 ( 2 − k ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {\tau _{a}}{\tau _{w}}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{a}}{\sigma _{w}}}\right)^{2}(k-1)+\left({\frac {\sigma _{a}}{\sigma _{w}}}\right)^{2}(2-k)=1} ... (14)
また次式のようなFindleyの式もある。
( σ a σ w ) k + ( τ a τ w ) 2 = 1 {\displaystyle \left({\frac {\sigma _{a}}{\sigma _{w}}}\right)^{k}+\left({\frac {\tau _{a}}{\tau _{w}}}\right)^{2}=1} .
σ a = σ w ( 1 − σ m / σ T ) {\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{w}\left(1-\sigma _{m}/\sigma _{T}\right)} ... (11)
ここで、σw : 両振り引張圧縮疲労限度、σa : 応力振幅(疲労限度)、σm : 平均応力、σB : 引張強さ、σY : 降伏応力、σT : 真破断応力。
(8)式のGoodman線図は修正Goodman線図とも呼ばれる。最初にGoodmanにより提案された線図では、当時の認識に基づき、線図における σw は引張強さσB の1/3とされていた。その後、鉄鋼材料で σw を σBの1/3とするのは安全側に過小評価し過ぎているという指摘があり、σw は実際に試験などで得られる両振り引張圧縮疲労限度を使用するように修正がされた。このような修正後のGoodman線図であること明確にする意味で、修正Goodman線図とも呼ばれる。