スティーフェル・ホイットニー類
スティーフェル・ホイットニー数はコボルディズム(cobordism)不変量であることが知られている。このことはレフ・ポントリャーギン(Lev Pontryagin)により証明され、B が滑らかなコンパクトな (n+1)–次元多様体で M と等しい境界を持っているとすると、M のスティーフェル・ホイットニー数は、すべて 0 となる。さらに、M のすべてのスティーフェル・ホイットニー数が 0 であれば、M はある滑らかなコンパクトな多様体の境界として実現することができることが、ルネ・トム(René Thom)により証明された。
手術理論(英語版)(surgery theory)におけるスティーフェル・ホイットニー数の重要性のひとつに、スティーフェル・ホイットニー数は (4k+1)-次元多様体 w 2 w 4 k − 1 {\displaystyle w_{2}w_{4k-1}} のド・ラーム不変量(英語版)(de Rham invariant)という定理がある。
i > rank(E) のときはいつでも、wi(E) = 0 である。
E がどこでも線型独立であるような s 1 , ... , s l {\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{\ell }} 切断を持っていると、 l {\displaystyle \ell } トップ次数のホイットニー類は 0 消滅し、 w k − l + 1 = ⋯ = w k = 0 {\displaystyle w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0} である。
第一スティーフェル・ホイットニー類が 0 であることと、バンドルが向き付け可能であることとは同値である。特に、多様体 M が向き付け可能であることと w1(TM) = 0 は同値である。
バンドルがスピン構造を持つことと、第一と第二スティーフェル・ホイットニー類がともに 0 であることとは同値である。
向き付け可能なバンドルに対し、第二スティーフェル・ホイットニー類は自然な射影 H(M, Z) → H(M, Z/2Z) の像の中にある(同じことであるが、いわゆる、第三整数係数のスティーフェル・ホイットニー類が 0 である)ことと、バンドルが spin構造を持つことは同値である。
滑らかな多様体 X のすべてのスティーフェル・ホイットニー数が 0 であることと、多様体が滑らかなコンパクトな多様体の(向きつけられていない)境界であることとは同値である。この条件は充分条件でもある。