ゾンマーフェルト展開
I 1 = τ ∫ 0 ∞ H ( μ − τ x ) d x − τ ∫ 0 ∞ H ( μ − τ x ) e x + 1 d x {\displaystyle I_{1}=\tau \int _{0}^{\infty }H(\mu -\tau x)\,\mathrm {d} x-\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu -\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,}
変数変換 − τ d x = d ε {\displaystyle -\tau \mathrm {d} x=\mathrm {d} \varepsilon } により I 1 {\displaystyle I_{1}} の第一項を元の変数に戻し、 I = I 1 + I 2 {\displaystyle I=I_{1}+I_{2}} により次を得る。
I = ∫ − ∞ μ H ( ε ) d ε + τ ∫ 0 ∞ H ( μ + τ x ) − H ( μ − τ x ) e x + 1 d x {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)-H(\mu -\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,}