等長写像
X が実ベクトル空間であるとき、線形な等長変換として直交変換が対応する。これは直交行列 T を用いて Tx と書くことができる。複素ベクトル空間では同様な写像にユニタリ変換(およびその行列表現としてのユニタリ行列)が対応する。
一般に、実ベクトル空間内の等長写像は直交行列 T とあるベクトル a を用いて Tx + a と書くことができる(アフィン変換)。このうち、|T| = 1であるものを特にユークリッドの運動と呼ぶ。これは "回転"・"平行移動" の二つを合成してできるものである。上述の通り、等長写像はユークリッド空間の図形の間の合同をもたらすが、さらに一般に、リーマン多様体の間の等長写像(各点の微分が等長写像になるというように定義される。詳しい方の加筆を求む!)はその構造をすべて保存する。このような等長写像は運動と呼ばれ、運動の全体はある群をなす。