二元数
数学における二元数(にげんすう、英: binarion)とは、2次元の多元数、すなわち実数体上2次元の単位的結合多元環の元のことである。各二元数 x は適当な基底 {1, u} の実数係数の線型結合 x = a + bu (a, b ∈ R) の形に表される。
多元環における積は双線型であるから、2つの二元数 x = a + bu, y = c + du に対して
x y = ( a + b u ) ( c + d u ) = a c + ( a d + b c ) u + b d u 2 {\displaystyle xy=(a+bu)(c+du)=ac+(ad+bc)u+bdu^{2}}
これが再び二元数となる(つまり乗法について閉じている)ためには、u の平方が再び {1, u} の線型結合に書けることが必要かつ十分である。
以下の3つは実二次元の単位的多元環である:
複素数体:標準基底 {1, i}, i = −1.
分解型複素数環:標準基底 {1, j}, j = +1.
二重数環:標準基底 {1, ε}, ε = 0.
実は二元数は本質的にこの3種しかないことが示される。