キャップ積
X を位相空間とし R を係数環とする。キャップ積は特異ホモロジー及びコホモロジー上の双線型写像
⌢ : H p ( X ; R ) × H q ( X ; R ) → H p − q ( X ; R ) {\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}
であって以下のように定義される。特異チェイン σ : Δ p → X {\displaystyle \sigma :\Delta \ ^{p}\rightarrow \ X} と特異コチェイン ψ ∈ C q ( X ; R ) {\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)} に対し
σ ⌢ ψ = ψ ( σ | [ v 0 , ... , v q ] ) σ | [ v q , ... , v p ] {\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}}
とする。ここで、表記 σ | [ v 0 , ... , v q ] {\displaystyle \sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}} は単体写像 σ {\displaystyle \sigma } の底のベクトルによって張られる面への制限を表す。単体(英語版)を参照。
ψ ( σ ⌢ φ ) = ( φ ⌣ ψ ) ( σ ) {\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )}
ただし
σ : Δ p + q → X {\displaystyle \sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X} , ψ ∈ C q ( X ; R ) {\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)} and φ ∈ C p ( X ; R ) . {\displaystyle \varphi \in C^{p}(X;R).}
最後の式の面白い結果として、 H ∗ ( X ; R ) {\displaystyle H_{\ast }(X;R)} は右 H ∗ ( X ; R ) {\displaystyle H^{\ast }(X;R)} 加群になる。