ベル多項式
次の和
B n ( κ 1 , ... , κ n ) = ∑ k = 1 n B n , k ( κ 1 , ... , κ n − k + 1 ) {\displaystyle B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})}
は、初めの n 個のキュムラントが κ1, ..., κn であるような確率分布の n 次モーメントである。言い換えると、n 次モーメントとは初めの n 個のキュムラントによって評価される n 次完全ベル多項式である。
ベル多項式を用いることで、ファー・ディ・ブルーノの公式(英語版)は次のように書き表すことができる。
d n d x n f ( g ( x ) ) = ∑ k = 1 n f ( k ) ( g ( x ) ) B n , k ( g ′ ( x ) , g ′′ ( x ) , ... , g ( n − k + 1 ) ( x ) ) . {\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}
同様に、冪級数版のファー・ディ・ブルーノの公式も、ベル多項式を用いて次のように表すことができる。今
f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n n ! x n a n d g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ b n n ! x n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!