行列要素
群 G の、ベクトル空間 V 上の線型表現 ρ の行列要素とは、群 G 上で定義された
fv, η(g) ≔ η(ρ(g)v)
の形の写像 fv, η を言う。 ここで、v は V のベクトル、η は V 上の連続線型汎函数で、g は G の任意の元である。行列要素は G 上で定義され、スカラー値をとる函数となる。
V がヒルベルト空間ならば、リースの表現定理により、任意の行列要素は内積を用いて、適当なベクトル v, w に対する
fv, w(g) = ⟨w, ρ(g)v⟩
なる形に書くことができる。
V が有限次元の場合、v と w を標準基底からとれば実際に、行列要素は行列の特定の成分を与える函数として与えられる。