ハウスドルフのパラドックス
A ′ = { g x | g ∈ A , x ∈ M } B ′ = { g x | g ∈ B , x ∈ M } C ′ = { g x | g ∈ C , x ∈ M } {\displaystyle {\begin{array}{lcc}A'&=&\{gx\,|\,g\in A,\,x\in M\}\\B'&=&\{gx\,|\,g\in B,\,x\in M\}\\C'&=&\{gx\,|\,g\in C,\,x\in M\}\end{array}}}
A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A',B',C'} をA, B, Cと書き直すと P = A ∪ B ∪ C {\displaystyle P=A\cup B\cup C} であり、
φ A = B ∪ C , ψ A = B , ψ 2 A = C {\displaystyle \varphi A=B\cup C\;,\psi A=B,\;\psi ^{2}A=C}
であるから、 A , B , C , B ∪ C {\displaystyle A,B,C,B\cup C} は合同となる。よって定理は証明された。
ψ 2 φ n {\displaystyle \psi ^{2}\varphi _{n}} はC, A, Bに属するようにする。
このような手続きにより、Gは3つの集合に分けることが可能である(下図参照)。
A 1 φ ψ , φ ψ 2 , ψ 2 φ φ ψ φ ⋯ B φ , ψ φ ψ 2 φ , ψ φ ψ , ψ φ ψ 2 ⋯ C ψ 2 ψ φ ψ 2 φ ψ , ψ 2 φ ψ 2 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{c|c|ccc|ccccc|ccccc|l}A&1&&&&\varphi \psi &,&\varphi \psi ^{2}&,&\psi ^{2}\varphi &\varphi \psi \varphi &&&&&\cdots \\B&&\varphi &,&\psi &&&&&&\varphi \psi ^{2}\varphi &,&\psi \varphi \psi &,&\psi \varphi \psi ^{2}&\cdots \\C&&&&\psi ^{2}&&&&&\psi \varphi &&&\psi ^{2}\varphi \psi &,&\psi ^{2}\varphi \psi ^{2}&\cdots \end{array}}}
ハウスドルフのパラドックス(英: Hausdorff paradox)とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理(疑似パラドックス)である。
つまり、選択公理を仮定すると、球面 K の分割 K = Q ∪ A ∪ B ∪ C であって、A, B, C, B ∪ C は互いに合同であり、Q は可算集合となるようなものが存在する。
いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、K の有限加法的測度が 1 であるとすると、A の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。
この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。
また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ(バナフ)とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ=タルスキーのパラドックスを証明した。