多様体
単位円
S = {(x1, x2) ∈ R | x1 + x2 = 1}
を考える。単位円は次の 4 つの開近傍で覆うことができる。
U1 = {(x1, x2) ∈ S | x1 > 0}
U1 = {(x1, x2) ∈ S | x1 < 0}
U2 = {(x1, x2) ∈ S | x2 > 0}
U2 = {(x1, x2) ∈ S | x2 < 0}
それぞれに局所座標系を次の様に定める。ただし I = ( − 1,1) とする。
φ1: U1 → I , φ1(x1, x2) = x2
φ1: U1 → I , φ1(x1, x2) = x2
φ2: U2 → I , φ2(x1, x2) = x1
φ2: U2 → I , φ2(x1, x2) = x1
そして座標近傍系を
T = {(U1,φ1), (U1,φ1), (U2,φ2), (U2,φ2)}
と取れば、(S,T) は 1 次元解析多様体になる。
m 次元単位球面
S = {(x1, ..., xm, xm+1) ∈ R | x1 + ... + xm + xm+1 = 1}
についても同じようにして 2(m+1)個の開近傍で覆うことができ、それぞれの開近傍は m 次元開球と同相であるので、局所座標系を定めることができ m 次元解析多様体になる。
この式の右辺は成分で表せば (φ1(p),φ2(p), ... ,φa(p), ψ1(p),ψ2(p), ... ,ψb(p)) のことであり、単に成分を並べたものと考えてよい。
このように座標近傍同士の直積によって座標近傍系 S3 = {(Uλ × Vτ, φλ × ψτ) | λ ∈ Λ , τ ∈ Τ} を定めたとき、 (M1 × M2, S3) は、 a + b 次元 C 級多様体になる。この (M1 × M2, S3) を (M1,S1) と (M2,S2) の積多様体 (product manifold) という。同様にして M1 × M2 × ... × Mm というような、 3 つ以上の多様体から作られる積多様体も定義できる。
直線と円周の直積 R × S を考えれば、直線を軸とした無限に伸びる円柱の側面を多様体と見ることもできるし、円周同士の直積 T = S × S を考えればトーラスを多様体とみることもできる。