1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
級数 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... は非常に単純な視覚的証明に適している。というのも正方形や三角形は、もとの図形と相似な4つの部分に分けて、各部分の面積がもとの 1/4 になるようにできるからである。
左側の図形において、大きい正方形の面積が 1 であるとすると、最も大きい黒い正方形の面積は (1/2) = 1/4 である。同様に、2番目に大きい黒い正方形の面積は 1/16 であり、3番目に大きい黒い正方形の面積は 1/64 である。したがって、すべての黒い正方形を足し合わせた面積は 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... であり、これはまたグレーの正方形や白の正方形を足し合わせた面積でもある。これらの3つの領域は単位正方形を覆っているので、図から次のことがわかる。
3 ( 1 4 + 1 4 2 + 1 4 3 + 1 4 4 + ⋯ ) = 1 {\displaystyle 3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1}