微分作用素
Ω を R の中の領域とし、P を Ω 上の微分作用素とすると、P の随伴作用素は、同様な方法で双対性により L(Ω) が定義される。すべての滑らかな L 函数 f, g について、
⟨ f , P ∗ g ⟩ L 2 ( Ω ) = ⟨ P f , g ⟩ L 2 ( Ω ) {\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}}
が成り立つ。滑らかな函数は L の中で稠密であるので、これは L の稠密な部分集合上の随伴作用素を定義する。P は稠密に定義された作用素である。
与えられた線型微分作用素
T u = ∑ k = 0 n a k ( x ) D k u {\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}
に対し、その随伴作用素とは
⟨ T u , v ⟩ = ⟨ u , T ∗ v ⟩ {\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }
を満たす作用素 T* を言う。ここに、記号 ⟨,⟩ はスカラー積または内積である。つまり、この定義はスカラー積の定義のしかたに依存する。
ここに、非負の整数の列 α = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})} は多重指数と呼ばれ、 | α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}} は長さと呼ばれ、 a α ( x ) {\displaystyle a_{\alpha }(x)} は n-次元空間内の開領域上の函数であり、 D α = D α 1 D α 2 ⋯ D α n {\displaystyle D^{\alpha }=D^{\alpha _{1}}D^{\alpha _{2}}\cdots D^{\alpha _{n}}} である。上記は、函数としての微分であるが、シュヴァルツ超函数や佐藤超函数の意味での微分としたり、またもとにする微分演算も D j = − i ∂ ∂ x j {\textstyle D_{j}=-i{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}} や時折 D j = ∂ ∂ x j {\textstyle D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}} と選ぶこともある。