ドリンフェルト加群
F を有限体を定数体とする代数関数体とし、F の素点 ∞ {\displaystyle \infty } を1つ固定する。F の元で ∞ {\displaystyle \infty } を除く全ての素点で正則なもの全体からなる環を A と置く。A はデデキント環で、F の中で( ∞ {\displaystyle \infty } から誘導される位相で)離散である。例えば、多項式環 F q [ t ] {\displaystyle F_{q}[t]} が A の例である。L を体、 ι : A → L {\displaystyle \iota :A\to L} を環準同型とする。
数学のドリンフェルト加群(ドリンフェルトかぐん、英: Drinfeld module)とは、有限体上の曲線上の関数からなる環上のある特殊な加群のことである。カーリッツ加群の一般化であり、楕円加群ともいう。これを使うと、虚数乗法論の類似理論を関数体上で構築することができる。ドリンフェルト加群の一種の一般化がシトゥーカ(英: shtuka, 仏: chtouca)であり、これはおおまかに言うと曲線上のベクトル束にその束の"フロベニウスねじり"と"改造"を結びつける付加構造を付与したものである。F 層、シュトゥカともいう。
ドリンフェルト加群はウラジーミル・ドリンフェルトによって考え出され、代数関数体の GL2 ついてのラングランズ予想をある特別な場合に証明するために使われた。関数体の場合、志村多様体のようなものは存在しなかったので、このようなことが可能であろうとは誰も想像していなかった。彼は後にシトゥーカを創案し、階数が2のシトゥーカを使って GL2 についてのラングランズ予想を完全に証明した。ローラン・ラフォルグは、階数 n のシトゥーカのモジュライ・スタック(英語版)を調べることにより、関数体の GLn についてのラングランズ予想を証明した。
シトゥーカは、「1つのコピー」を意味するロシア語の штука をカナ転写したものである。このロシア語は、「一切れ、もの、ひとかたまり」を意味するドイツ語の Stück に由来している。シトゥーカは、話者にとってよく知っているけど名前のないもの(あれ)を指すロシア語のスラングでもある。
L 上のドリンフェルト A 加群とは、環準同型 φ : A → L { τ } {\displaystyle \phi :A\to L\{\tau \}} であって、像が L には含まれず、 φ {\displaystyle \phi } と d : L { τ } → L , a 0 + a 1 τ + ⋯ ↦ a 0 {\displaystyle d:L\{\tau \}\to L,\,a_{0}+a_{1}\tau +\cdots \mapsto a_{0}} の合成が ι : A → L {\displaystyle \iota :A\to L} と一致するもののことをいう。
A の像が L に入らないという条件は自明な場合を除くための非退化条件であり、条件 d ∘ φ = ι {\displaystyle d\circ \phi =\iota } はドリンフェルト加群とは単に写像 ι {\displaystyle \iota } の変形であるという意味の条件である。
L{τ} は L の加法群の自己準同型からなると考えられるので、ドリンフェルト A 加群とは加法群 L への A の作用とみなすことができる。言い換えると、ドリンフェルト A 加群とは、A 加群であって加法群としては加法群 L であるもののことである。
関数体に対するラングランズ予想とは、(かなり単純化して言うと)GLn の尖点的保型表現全体とある種のガロア表現全体の間に全単射があるであろうという予想である。ドリンフェルトはドリンフェルト加群を使って特殊な場合にラングランズ予想を証明し、その後にドリンフェルト加群をシトゥーカに一般化することで GL2 の場合のラングランズ予想を完全に証明した。この予想を証明するにあたって難しいのはある性質を持つガロア表現を構築することであるが、ドリンフェルトは必要なガロア表現を階数2のシトゥーカのモジュライ空間の l 進コホモロジーの中に見つけることで構築した。
ドリンフェルトは階数 r のシトゥーカのモジュライ空間を使って GLr のラングランズ予想も同じように証明できるだろうと示唆した。これを実行するには膨大な量の技術的課題を克服せねばならない。何年もの努力のあとに、これはラフォルグによってなされた。