調和数 (発散列)
から簡単な操作で得られる。調和数を補間する函数は、実はディガンマ関数 ψ(x) をつかって
ψ ( s + 1 ) + γ = ∫ 0 1 1 − x s 1 − x d x {\displaystyle \psi (s+1)+\gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx}
と書ける(γ はオイラー-マスケローニ定数)。この積分の過程を繰り返せば
H s , 2 = − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k ( s k ) H k {\displaystyle H_{s,2}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}H_{k}}
を得る。
調和数についてのオイラーの積分公式は次の積分等式
∫ a 1 1 − x s 1 − x d x = − ∑ k = 1 ∞ 1 k ( s k ) ( a − 1 ) k {\displaystyle \int _{a}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{s \choose k}(a-1)^{k}}
から従うが、この式は s を一般の複素数としても(二項係数を適切に拡張すれば)成り立つ。a = 0 とすれば、この公式から調和数を補間して複素平面へ拡張した函数の積分表示と級数表示が両方得られる。この積分等式自体はニュートン級数(ニュートンの一般二項定理)
∑ k = 0 ∞ ( s k ) ( − x ) k = ( 1 − x ) s {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{s \choose k}(-x)^{k}=(1-x)^{s}}