ルベーグの密度定理
d ( x ) = lim ε → 0 d ε ( x ) {\displaystyle d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)}
が存在してそれが 1 に等しいと主張する。
言い換えると、いかなる可測集合 A に対しても、R のほとんど至るところで A の密度は 0 か 1 である。それにもかかわらず、「μ(A) > 0 かつ μ(R ∖ A) > 0 ならば、そこで密度が 0 でも 1 でもないような R の点が常に存在する」という奇妙な事実が成立する。
密度定理の例として平面上の正方形を考えると、正方形の内点ではその点での密度は 1、辺上の点では 1/2、角の点では 1/4 である。平面上の点で密度が 0 でも 1 でもない点全体の成す集合(もちろん正方形の境界のこと)は空ではないが、(零集合になるという意味で)無視できる。
ルベーグの密度定理は、ルベーグの微分定理の特殊な場合である。