多重ガンマ関数
を満たす。また、 R w > 0 {\displaystyle \Re w>0} において積分表示
log  Γ b ( w ) = ∫ 0 ∞ d t t [ e − w t − e − Q 2 t ( 1 − e − b t ) ( 1 − e − b − 1 t ) − ( Q 2 − w ) 2 2 e − t − Q 2 − w t ] . {\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {e^{-wt}-e^{-{\frac {Q}{2}}t}}{(1-e^{-bt})(1-e^{-b^{-1}t})}}-{\frac {\left({\frac {Q}{2}}-w\right)^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {{\frac {Q}{2}}-w}{t}}\right]\ .}
を満たす。 Γ b ( w ) {\displaystyle \Gamma _{b}(w)} から二つの関数を構成する:
S b ( w ) = Γ b ( w ) Γ b ( Q − w ) , Υ b ( w ) = 1 Γ b ( w ) Γ b ( Q − w ) . {\displaystyle S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Q-w)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w)={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Q-w)}}\ .
}
これは関係式
S b ( w + b ) = 2 sin  ( π b w ) S b ( w ) , Υ b ( w + b ) = Γ ( b w ) Γ ( 1 − b w ) b 1 − 2 b w Υ b ( w ) , {\displaystyle S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={\frac {\Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\ ,}
とこれらを b → b − 1 {\displaystyle b\to b^{-1}} とした別の関係式を満たす。また、 0 < R w < R Q {\displaystyle 0<\Re w<\Re Q} における積分表示も存在する:
log  S b ( w ) = ∫ 0 ∞ d t t [ sinh  ( Q 2 − w ) t 2 sinh  ( 1 2 b t ) sinh  ( 1 2 b − 1 t ) − Q − 2 w t ] , {\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {\sinh \left({\frac {Q}{2}}-w\right)t}{2\sinh \left({\frac {1}{2}}bt\right)\sinh \left({\frac {1}{2}}b^{-1}t\right)}}-{\frac {Q-2w}{t}}\right]\ ,}