等差×等比数列
d = b = 1, a = 0, r = 1/2 で定まる算術幾何級数
は収束して S = 2 である。 この数列はコイントスにおいて「テイル」を得るまでの回数の期待値に対応している。k-回目のトスで初めてテイルを得る確率 Tk は、
で与えられる。したがってトス回数の期待値は
である。
求める和
に公比 r を掛けて
としてから、辺々引くことにより
を得る(最後の行、真ん中の項は幾何級数の公式を用いた)。最後に、両辺を (1 − r) で割れば所期の式を得る。