バナッハ空間
V が無限次元ならば、連続でない線型写像が存在し、従ってそれは有界でないから、K への線型写像全体の成す空間 V はバナッハでない(V は V′ との区別のために代数的双対とも呼ばれる)。代数的双対空間 V を使っても弱位相を誘導することができるが、(V′ ⊆ V)これは連続的双対から誘導されるものよりも細かいものになる。
V から V′′(双対の双対; 二重双対空間)への自然な写像 F が
F ( x ) ( f ) := f ( x ) ∈ K , ( x ∈ V , f ∈ V ′ ) {\displaystyle F(x)(f):=f(x)\in \mathbb {K} ,\quad (x\in V,\,f\in V')}
で定義される。F(x) は V′ から K への写像であるから、これは確かに V′′ の元であり、従って写像 F: x → F(x) は V → V′′ なる写像を定めていることがわかる。ハーン・バナッハの定理の帰結として、この写像は単射かつ等距変換である。さらにこれが全射でもあるときにはバナッハ空間 V は回帰的 (reflexive; 再帰的、反射的)であると言う。反射的空間は幾何学的に重要な性質を多く持つ。バナッハ空間が反射的であるための必要十分条件は、その双対空間が反射的となることであり、これはまた、その単位球体が弱位相に関してコンパクトとなることと同値である。
例えば l は 1 < p < ∞ なるとき反射的であるが、l および l は反射的でない。p < ∞ のとき、l の双対は l になる。ただし p と q とは 1/p + 1/q = 1 なる関係にあるものとする。詳細は L-空間の項目を見よ。
バナッハ空間の完備性とベールの範疇定理の帰結として、無限次元バナッハ空間のハメル基底は非可算となることがわかる。