多角数定理
である。4a - b = x + y + z を固定して x + y + z が最大となるのは x = y = z のときであるから
x + y + z ≤ 3 ( 4 a − b 2 ) < 4 ( b 2 + 2 b + 4 ) − 3 b 2 = b + 4 {\displaystyle x+y+z\leq {\sqrt {3(4a-b^{2})}}<{\sqrt {4(b^{2}+2b+4)-3b^{2}}}=b+4}
b − x − y − z > − 4 {\displaystyle b-x-y-z>-4\,}
w4 は整数であるから
w 4 = b − x − y − z 4 ≥ 0 {\displaystyle w_{4}={\frac {b-x-y-z}{4}}\geq 0}
x ≥ y ≥ |z| により
w 1 ≥ w 2 ≥ w 3 ≥ w 4 ≥ 0 {\displaystyle {w_{1}}\geq {w_{2}}\geq {w_{3}}\geq {w_{4}}\geq {0}}
である。