基底 (線型代数学)
全域性二つのベクトル (1,1), (−1,2) が R を生成することを示すには、いま (a, b) を R の勝手な元として、 r ( 1 , 1 ) + s ( − 1 , 2 ) = ( a , b ) {\displaystyle r(1,1)+s(-1,2)=(a,b)} を満たす実数 r, s の存在を言えばよい。これは即ち、方程式系 { r − s = a r + 2 s = b {\displaystyle {\begin{cases}r-s=a\\r+2s=b\end{cases}}} が r, s について解けることに他ならない。辺々引いて s が、それを代入して r がそれぞれ { s = ( b − a ) / 3 r = ( b + 2 a ) / 3 {\displaystyle {\begin{cases}s=(b-a)/3\\r=(b+2a)/3\end{cases}}} と求められるから、これで全域性も示された。
逆に、順序基底 (vi)1≤i≤n が与えられているとき、
x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ⋯ + x n e n ↦ φ ( x ) := x 1 v 1 + x 2 v 2 + ⋯ + x n v n {\displaystyle x=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +x_{n}\mathbf {e} _{n}\mapsto \varphi (x):=x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+\cdots +x_{n}v_{n}}
で定まる φ: F → V が線型同型であることを見るのは難しくない。
これら二つの構成が互いに逆になっていることは明らかであるから、V の順序基底とF から V への線型同型との間に一対一対応があることがわかる。
順序基底 (vi) によって定まる線型同型 φ の逆写像は V に「座標系」を定める。即ち、ベクトル v ∈ V に対して φ(v) = (a1, a2,...,an) ∈ F であるならば、各成分 aj = aj(v) は v = a1(v) v1 + a2(v) v2 + ... + an(v) vn と書けるという意味で v の座標を与える。
ベクトル v を各成分 aj(v) へ写す各写像は、φ が線型ゆえ、V から F への線型写像になる。即ちこれらは線型汎函数であり、またこれらは V の双対空間の基底を成し、双対基底と呼ばれる。