行列力学
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle P={\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}{\begin{pmatrix}0&-1&0&0&\ldots \\1&0&-{\sqrt {2}}&0&\ldots \\0&{\sqrt {2}}&0&-{\sqrt {3}}&\ldots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\ldots \\\vdots &\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}}
がとれる。このX、P はハミルトニアンを次のように対角化する。
H ( x ( t ) , p ( t ) ) = H ( X , P ) = ħ ω 2 ( 1 0 0 0 ... 0 3 0 0 ... 0 0 5 0 ... 0 0 0 7 ... ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle H(x(t),p(t))=H(X,P)={\frac {\hbar \omega }{2}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0&\ldots \\0&3&0&0&\ldots \\0&0&5&0&\ldots \\0&0&0&7&\ldots \\\vdots &\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}}
すなわち、エネルギー固有値は
E n = ħ ω ( n + 1 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega {\biggr (}n+{\frac {1}{2}}{\biggr )}\quad (n=0,1,2,\cdots )}
となる。