超越数
2次の無理数 ω > 0 {\displaystyle \scriptstyle \omega >0} と、相異なる代数的数 α 1 , ⋯ , α n ( 0 < | α i | < 1 ( i = 1 , ⋯ , n ) ) {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\cdots ,\ \alpha _{n}\ (0<|\alpha _{i}|<1\ (i=1,\cdots ,\ n))} に対して、 ∑ k = 1 ∞ [ h ω ] α 1 − k , ⋯ , ∑ k = 1 ∞ [ k ω ] α n − k {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }[h\omega ]{\alpha _{1}}^{-k},\cdots ,\ \sum \limits _{k=1}^{\infty }[k\omega ]{\alpha _{n}}^{-k}} は、代数的独立である。(マッサー (D. W. Masser))
相異なる 2 以上の整数 d 1 , ⋯ , d n {\displaystyle \scriptstyle d_{1},\cdots ,\ d_{n}} と、 0 < | α | < 1 {\displaystyle \scriptstyle 0<|\alpha |<1} である代数的数 α {\displaystyle \scriptstyle \alpha } に対して、 ∏ k = 0 ∞ ( 1 − α d 1 k ) , ⋯ , ∏ k = 0 ∞ ( 1 − α d n k ) {\displaystyle \scriptstyle \textstyle \prod \limits _{k=0}^{\infty }{\bigl (}1-\alpha ^{{d_{1}}^{k}}{\bigr )},\cdots ,\ \prod \limits _{k=0}^{\infty }{\bigl (}1-\alpha ^{{d_{n}}^{k}}{\bigr )}} は、代数的独立である。
注意: α 1 , α 2 , ⋯ , α n {\displaystyle \alpha _{1},\ \alpha _{2},\cdots ,\ \alpha _{n}} が代数的数のときは、リンデマン=ワイエルシュトラスの定理である。
この予想が解決すると、様々な数が代数的独立になることが知られている。例えば、以下の17個の数が代数的独立となる。
e , e π , e e , e i , π , π π , π e , π i , 2 π , 2 e , 2 i , log  π , log  2 , log  3 , log  log  2 , ( log  2 ) log  3 , 2 2 {\displaystyle e,\ e^{\pi },\ e^{e},\ e^{i},\ \pi ,\ \pi ^{\pi },\ \pi ^{e},\ \pi ^{i},\ 2^{\pi },\ 2^{e},\ 2^{i},\ \log \pi ,\ \log 2,\ \log 3,\ \log \log 2,\ (\log 2)^{\log 3},\ 2^{\sqrt {2}}}
注意:上記の数のうち、
e e , π π , π e , π i , 2 π , 2 e , log  π , log  log  2 , ( log  2 ) log  3 {\displaystyle e^{e},\ \pi ^{\pi },\ \pi ^{e},\ \pi ^{i},\ 2^{\pi },\ 2^{e},\ \log \pi ,\ \log \log 2,\ (\log 2)^{\log 3}}
は、それ自身が超越数であるかについても今のところ未解決である。
:⇔ w ( α ) = 0 , μ ( α ) = ∞ {\displaystyle :\Leftrightarrow w(\alpha )=0,\ \mu (\alpha )=\infty } 。
α {\displaystyle \alpha } は、S 数 (S-number) である。 :⇔ 0 < w ( α ) < ∞ , μ ( α ) = ∞ {\displaystyle :\Leftrightarrow 0<w(\alpha )<\infty ,\ \mu (\alpha )=\infty } 。
α {\displaystyle \alpha } は、T 数 (T-number) である。 :⇔ w ( α ) = ∞ , μ ( α ) = ∞ {\displaystyle :\Leftrightarrow w(\alpha )=\infty ,\ \mu (\alpha )=\infty } 。
α {\displaystyle \alpha } は、U 数 (U-number) である。 :⇔ w ( α ) = ∞ , μ ( α ) < ∞ {\displaystyle :\Leftrightarrow w(\alpha )=\infty ,\ \mu (\alpha )<\infty } 。
複数の超越数が代数的独立である例を挙げる。
α 1 , α 2 , ⋯ , α n {\displaystyle \alpha _{1},\ \alpha _{2},\cdots ,\ \alpha _{n}} を有理数体上線形独立な代数的数としたとき、 e α 1 , e α 2 , ⋯ , e α n {\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ e^{\alpha _{2}},\cdots ,\ e^{\alpha _{n}}} は、代数的独立である。(リンデマン、ワイエルシュトラス)
π , Γ ( 1 4 ) {\displaystyle \scriptstyle \pi ,\ \Gamma ({\tfrac {1}{4}})} 、および、 π , Γ ( 1 3 ) {\displaystyle \scriptstyle \pi ,\ \Gamma ({\tfrac {1}{3}})} は、それぞれ代数的独立である。(チュドノフスキー)
π , e π , Γ ( 1 4 ) {\displaystyle \scriptstyle \pi ,\ e^{\pi },\ \Gamma ({\tfrac {1}{4}})} は、代数的独立である。(ネステレンコ)
代数的数 α 1 , ⋯ , α n ( 0 < | α i | < 1 ( i = 1 , ⋯ , n ) ) {\displaystyle \scriptstyle \alpha _{1},\cdots ,\ \alpha _{n}\ (0<|\alpha _{i}|<1\ (i=1,\cdots ,\ n))} を、 α i α j {\displaystyle {\tfrac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}} が1の冪根ではないようにとったとき、 ∑ k = 1 ∞ α 1 − k !