クンマー理論
また Hom c  ( Gal  ( L / K ) , μ n ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{c}}(\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})} は Gal  ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} にクルル位相を入れた位相群から μ n {\displaystyle \mu _{n}} に離散位相を入れた位相群への連続群準同型全体のなす群である。 (群の演算は各点での掛け算で与えられる。) この群に離散位相を入れたものは Gal  ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} のポントリャーギン双対とみなすこともできる ( μ n {\displaystyle \mu _{n}} を円周群の部分群とみなせば)。もし拡大 L/K が有限次拡大であれば、 Gal  ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} は有限離散群であり、同型
Δ ≅ Hom  ( Gal  ( L / K ) , μ n ) ≅ Gal  ( L / K ) , {\displaystyle \Delta \cong \operatorname {Hom} (\operatorname {Gal} (L/K),\mu _{n})\cong \operatorname {Gal} (L/K),}
が得られる。ここで、最後の同型は自然ではない。