自己同形数
n 2 − n ≡ ( 1 − 2 n ) a mod 10 2 k {\displaystyle n^{2}-n\equiv (1-2n)a\ {\bmod {10^{2k}}}}
両辺に 1 − 2 n {\displaystyle 1-2n} をかけると
( n 2 − n ) ( 1 − 2 n ) ≡ a + 4 a ( n 2 − n ) mod 10 2 k {\displaystyle (n^{2}-n)(1-2n)\equiv a+4a(n^{2}-n)\ {\bmod {10^{2k}}}}
a ≡ 0 mod 10 k {\displaystyle a\equiv 0\ {\bmod {10^{k}}}} 、 n 2 − n ≡ 0 mod 10 k {\displaystyle n^{2}-n\equiv 0\ {\bmod {10^{k}}}} より a ( n 2 − n ) ≡ 0 mod 10 2 k {\displaystyle a(n^{2}-n)\equiv 0\ {\bmod {10^{2k}}}} よって
( n 2 − n ) ( 1 − 2 n ) ≡ n ′ − n mod 10 2 k {\displaystyle (n^{2}-n)(1-2n)\equiv n'-n\ {\bmod {10^{2k}}}}
が成り立つ。これを整理するとはじめの式になる。
1 より大きな k に対応する2つの自己同形数がある。1つは末尾の位が5でもう1つは6である。 そしてそれらの数の1つは以下の形になっている。