像 (数学)
写像 f: {1, 2, 3} → {a, b, c, d} を f ( 1 ) = f ( 2 ) = a , f ( 3 ) = c {\displaystyle f(1)=f(2)=a,\ f(3)=c} で定義されるものとする。部分集合 {2, 3} の f による像は f({2, 3}) = {a, c} となる。また、元 a の逆像は f({a}) = {1, 2} であり、{a, b} の逆像も同じく {1, 2} となる。{b, d} の逆像は空集合 {} になる。
写像 f: R → R を f(x) = x で定義されるものとする。部分集合 {-2, 3} の f による像は f({-2, 3}) = {4, 9} であり、写像 f の像は非負実数全体 R+ である。一方 {4, 9} の f による逆像は f({4, 9}) = {-3, -2, 2, 3} であり、また負の実数の平方根は実数の範囲には存在しないから、N = {n ∈ R | n < 0} の f による逆像は空集合である。
写像 f: R → R を f(x, y) = x + y で定義されるものとする。ファイバー f({a}) は(a > 0, a = 0, a < 0 に従ってそれぞれ)原点を中心とする同心円、原点、空集合になる。
M が可微分多様体で π: TM → M が接束 TM から M への標準射影ならば、点 x ∈ M 上の π に関するファイバーは x における接空間 Tx(M) である。これはファイバー束の例にもなっている。
x が X の元ならば、f(x) = y を元 x の写像 f による像という。
これは x に写像 f を施した値や、引数 x に対する f の出力などとも呼ばれる。