ハンセン–ジャガナサン境界
ハンセン–ジャガナサン距離は
H J D = min m t + 1 E t [ ( m t + 1 θ − m t + 1 ) 2 ] {\displaystyle HJD=\min _{m_{t+1}}{\sqrt {E_{t}[(m_{t+1}^{\theta }-m_{t+1})^{2}]}}} subject to E t [ m t + 1 R t + 1 ] = 1 {\displaystyle {\mbox{subject to }}E_{t}[m_{t+1}R_{t+1}]=\mathbf {1} }
という形で表現でき、 E t [ m t + 1 R t + 1 ] = 1 {\displaystyle E_{t}[m_{t+1}R_{t+1}]=\mathbf {1} } を満たす m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} の中で m t + 1 θ {\displaystyle m_{t+1}^{\theta }} と最も近いものと m t + 1 θ {\displaystyle m_{t+1}^{\theta }} との距離を表している。
V a r t ( m t + 1 ∗ ) = ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) ′ ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1}^{*})={\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}}
となる。よって
V a r t ( m t + 1 ) ≥ ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) ′ ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})\geq {\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}}
が得られる。