多項式の次数
しかし、多項式が標準形の多項式の「積」に書かれている時には、積の次数は各因子の次数の総和として計算できるから、必ずしも展開・整理は要しない。
多項式の次数の日本語名称は、一貫して次数の値に接尾辞「-次」をつける。英語名称は、いくつかの例外はあるが基本的にラテン語の序数詞に形容詞を作る接尾辞の -ic を付けて表す。次数と不定元の数はきちんと区別されるべきであって、こちらには接尾辞「-元」あるいは「-変数」を付ける(英語名称ではラテン語配分数詞(英語版)に接尾辞 -ary が付く)。例えば x + xy + y のような二つの不定元に関する次数 2 の多項式は「二元二次」("binary quadratic") であると言い、二元 (binary) が不定元の数が 2 であることを、二次 (quadratic) 次数が 2 であることを言い表している。もう一つ、項の数も明示するなら「-項式」(英語名称では ラテン配分数詞に接尾辞 -nomial)を付ける。単項式 (monomial), 二項式 (binomial) あるいは三項式 (trinomial) など。つまり、例えば x + y は「二元二次二項式」("binary quadratic binomial") である。
以下しばらくは一元多項式に関して述べる。
↑ “Names of Polynomials” (1997年11月25日). 2012年2月5日閲覧。
↑ Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)
↑ Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, f ( x ) = a 0 {\displaystyle f(x)=a_{0}} : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value a 0 {\displaystyle a_{0}} ." (p. 23)
↑ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)
環 R が与えられたとき、多項式環 R[x] は R に係数をとる、不定元 x に関する多項式全体の成す集合である。R が体であるような特別の場合には、多項式環 R[x] は主イデアル整域であり、より重要なことにユークリッド整域を成す。
ここで、体上の多項式に対する次数函数は、ユークリッド整域における「ノルム」の満たすべき性質をすべて満たす。つまり、二つの多項式 f(x), g(x) が与えられたとき、それらの積 f(x)g(x) の次数は f, g 個々の次数を超えなければならない。実はより強く
deg(f(x)g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x))
が成り立つ。体を成さない環上の次数函数ではいけない理由の説明として以下のような例を考えよう。R = Z/4Z は整数の法 4 に関する合同類環とする。この環が体ではない(さらに整域ですらない)ことは 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4) を見れば明らか。ここで f(x) = g(x) = 2x + 1 ととれば f(x)g(x) = 4x + 4x + 1 = 1 ゆえ deg(f⋅g) = 0 であり、これは f, g の何れの次数(どちらも次数 1)よりも大きくない。
ユークリッド整域の「ノルム」函数はその環の零元に対しては定義されないから、零多項式 f(x) = 0 の次数はユークリッド整域の「ノルム」の規則に従う意味でも定義されないと考えることができる。