円周率
さらに、π は超越数である。つまり、有理数係数の代数方程式の解にはならない。これは1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンによって証明された(リンデマンの定理)。これより、整数から四則演算と冪根をとる操作だけを有限回組み合わせてもけっして π の値をとることはできないことが分かる。
π が超越数であることより、古代ギリシアの三大作図問題の内の一つである「円積問題」(与えられた長さを半径とする円と等積の正方形を定規とコンパスを有限回用いて作図すること)が不可能であることが従う。
ζ ( 2 ) = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}} (1735年:オイラー、バーゼル問題、ゼータ関数)
ζ ( 4 ) = 1 1 4 + 1 2 4 + 1 3 4 + 1 4 4 + ⋯ = π 4 90 {\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n − 1 2 2 n − 1 B 2 n ( 2 n ) ! π 2 n ( n ∈ N ) {\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n-1}2^{2n-1}B_{2n}}{(2n)!}}\pi ^{2n}\ (n\in \mathbb {N} )} (Bn はベルヌーイ数)
Γ ( 1 2 ) = ( − 1 2 ) ! = π {\displaystyle \Gamma {\biggl (}{\frac {1}{2}}{\biggr )}={\biggl (}-{\frac {1}{2}}{\biggr )}!={\sqrt {\pi }}} (ガンマ関数)