単体 (数学)
座標や一次独立性や非零の係数などに依らず、集合論の記号のみを用いて抽象単体を定義できる。
単体は頂点集合の凸包である
単体の面は頂点集合の部分集合を選ぶことと対応している
という性質から、
頂点集合を決めれば、単体はそれが含む全ての面とその包含関係まで込めて特定される
ことが理解される。もう少し正確には、単体が他の単体に面として含まれることを面関係 (face relation) と呼ぶことにすると、
ある単体の面全体の成す集合に面関係による順序を入れたものは、頂点集合の冪集合が包含関係に関して作る順序集合とみなすことができる
ということである。
なお、位相幾何学的には凸性はあまり意味を持たないが、各面を連続的に動かして移りあう図形を区別しないため、やはり頂点を決めれば(それらをあらゆる次元ですべて繋ぐことで)単体は一意的に決定され、上と同じことを考えることができる。重要なことは、単体を、それが含む面の全体を考えて、頂点集合の部分集合の族とみなすことである。
数学、とくに位相幾何学において、n 次元の単体(たんたい、英: simplex)とは、「r ≤ n ならばどの r + 1 個の点も r − 1 次元の超平面に同時に含まれることのない」ような n + 1 個の点からなる集合の凸包のことで、点・線分・三角形・四面体・五胞体といった基本的な図形の n 次元への一般化である。
全ての辺の長さが等しい時、正単体と言う。
単体は、頂点の位置さえ決めればそれのみによって一意的に決定される。さらに単体は単体的複体や鎖複体などの概念を与えるが、これらはさらに抽象化されて、幾何学を組合せ論的あるいは代数的に扱う道具となる。また逆に、抽象化された複体の概念から単体が定義される。