楕円曲線
ヘッセ曲線(英語版)(Hessian curve)
エドワーズ曲線(英語版)
曲線のひねり(英語版)
ひねられたヘッセ曲線(英語版)
ひねられたエドワーズ曲線(英語版)
二重向き付けドッチェ・イカート・コーヘル曲線(英語版)
三重向き付けドッチェ・イカート・コーヘル曲線(英語版)
ヤコビ曲線(英語版)
モンゴメリ曲線
係数体の標数が 2 や 3 のとき、上の式は全ての非特異三次曲線(英語版)を表せるほど一般ではない(詳細な定義は以下を参照)。
Pが重根を持たない三次多項式として、y = P(x) とすると、種数 1 の非特異平面曲線を得るので、これは楕円曲線である。Pが次数 4 で無平方(英語版)とすると、これも種数 1 の平面曲線となるが、しかし、単位元を自然に選び出すことができない。さらに一般的には、単位元として働く有理点を少なくとも一つ持つような種数 1 の代数曲線を楕円曲線と呼ぶ。例えば、三次元射影空間へ埋め込まれた二つの二次曲面の交叉は楕円曲線である。
楕円関数論を使い、複素数上で定義された楕円曲線はトーラスの複素射影平面(英語版)への埋め込みに対応することを示すことができる。トーラスもアーベル群で、実はこの対応は群同型かつ位相的に同相にもなっている。したがって、位相的には複素楕円曲線はトーラスである。
楕円曲線は、数論で特に重要で、現在研究されている主要な分野の一つである。例えば、アンドリュー・ワイルズにより(リチャード・テイラーの支援を得て)証明されたフェルマーの最終定理で重要な役割を持っている(モジュラー性定理とフェルマーの最終定理への応用を参照)。また、楕円曲線は、楕円暗号(ECC) や素因数分解への応用が見つかっている。
楕円曲線は、楕円ではないことに注意すべきである。「楕円」ということばの由来については楕円積分、楕円関数を参照。
このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。
一次元のアーベル多様体
三次の平面代数曲線で、有理点を持つもの
複素数を加法群とみて、二重周期を持つ格子で割った商空間(複素数体上のみ、複素数上の楕円曲線)
と定めると、 φは E(R) から R/Λ への群同型を定める。そこで、E(K) の生成元を P 1 , P 2 , ... , P r {\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots ,P_{r}} とおくと K-有理点 P = m 1 P 1 + m 2 P 2 + ⋯ + m r P r + T ∈ E ( K ) {\displaystyle P=m_{1}P_{1}+m_{2}P_{2}+\cdots +m_{r}P_{r}+T\in E(K)} (Tは有限位数の点)に対し
φ ( P ) ≡ φ ( m 1 P 1 + m 2 P 2 + ⋯ + m r P r + T ) ≡ m 1 φ ( P 1 ) + m 2 φ ( P 2 ) + ⋯ + m r φ ( P r ) + φ ( T ) ( mod Λ ) {\displaystyle \phi (P)\equiv \phi (m_{1}P_{1}+m_{2}P_{2}+\cdots +m_{r}P_{r}+T)\equiv m_{1}\phi (P_{1})+m_{2}\phi (P_{2})+\cdots +m_{r}\phi (P_{r})+\phi (T){\pmod {\Lambda }}}