コープランド–エルデシュ定数
1946年に、コープランドとエルデシュは、この数が十進正規数であることを示した。これより、無理数であること、すなわち循環しない小数であることも分かる。ハーディとライトの『数論入門』には、コープランド-エルデシュ定数が無理数であることの直接の証明として、算術級数定理を用いたものと、ベルトランの仮説を用いたものが紹介されている。以下、定数が有理数と仮定し、循環節の長さを s として矛盾を導く。
算術級数定理より、初項 1 で公差 10 の算術級数を考えると、0 が s 桁以上連続する素数は無数に存在する。これは明らかに仮定に反する。
ベルトランの仮説より、5 × 10 と 10 の間に素数が存在するから、任意の自然数 n に対して n 桁の素数が存在する。s > 1の場合 、十分大きな m > 1 に対して ms 桁の素数が定数の循環部分に現れるはずであるが、仮定よりその素数は s 桁毎の繰り返しとなる。