フレシェ微分
函数 f: U ⊂ V → W が x ∈ U においてガトー微分可能であるとは、f が x において任意の方向へ沿った方向微分を持つときに言う。これはつまり、任意に選んだ h ∈ V に対して函数 g: V → W で
g ( h ) = lim t → 0 f ( x + t h ) − f ( x ) t {\displaystyle g(h)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+th)-f(x)}{t}}}
を満たすものが存在するという意味である。ただし、t は V に付随する係数体から取ったものである(ふつう t は実数である)。f が x においてフレシェ微分可能ならば、f は x においてガトー微分可能かつ g は線型作用素 A = Df(x) とちょうど一致する。しかし、任意のガトー可微分函数は必ずしもフレシェ微分可能でない。
例えば、
f ( x , y ) = { x 3 x 2 + y 2 if ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 if ( x , y ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\dfrac {x^{3}}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\mbox{ if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}
で定義される実二変数実数値函数 f は (0, 0) において連続かつガトー微分可能で、その導函数は
一点で微分可能な函数はその点で連続である。
フレシェ微分を取る操作は、次の意味で線型演算である。二つの写像 f, g: V → W は x において微分可能で、r, s が二つのスカラー(実数もしくは複素数)ならば、rf + sg は x において微分可能で D(rf + sg)(x) = rDf(x) + sDg(x) を満たす。
この文脈では連鎖律も同じく有効である。f: U → Y が点 x ∈ U において微分可能かつ g: Y → W が点 y = f(x) において微分可能ならば、それらの合成 g ∘ f は点 x において微分可能、かつその導函数は各導函数の合成
D ( g ∘ f ) ( x ) = D g ( f ( x ) ) ∘ D f ( x ) {\displaystyle D(g\circ f)(x)=Dg(f(x))\circ Df(x)}
になる。