ビアンキ分類
3-次元ビアンキ空間はそれぞれ、次の性質を満たす 3つのキリングベクトル ξ i ( a ) {\displaystyle \xi _{i}^{(a)}} の集合をもつ。
( ∂ ξ i ( c ) ∂ x k − ∂ ξ k ( c ) ∂ x i ) ξ ( a ) i ξ ( b ) k = C a b c {\displaystyle \left({\frac {\partial \xi _{i}^{(c)}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \xi _{k}^{(c)}}{\partial x^{i}}}\right)\xi _{(a)}^{i}\xi _{(b)}^{k}=C_{\ ab}^{c}}
ここに、 C a b c {\displaystyle C_{\ ab}^{c}} は群の「構造定数」で、低い 2つのインデックスで定数のオーダー 3のテンソル反対称テンソルである。3-次元ビアンキ空間 C a b c {\displaystyle C_{\ ab}^{c}} は、関係式