古典電磁気学の共変定式
電磁場の力学変数である4元ポテンシャル A に共役な運動量として、構成方程式
∂ L ∂ ( ∂ ν A μ ) = G μ ν ( x ) = 1 Z 0 F μ ν ( x ) + P μ ν ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}=G^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{Z_{0}}}F^{\mu \nu }(x)+P^{\mu \nu }(x)}
が導かれた。これを用いて運動方程式を変形すれば
D ν F ν μ ( x ) = − Z 0 c J μ ( x ) − Z 0 D ν P ν μ ( x ) = − Z 0 c [ J μ ( x ) + J b μ ( x ) ] {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\nu }F^{\nu \mu }(x)=-{\frac {Z_{0}}{c}}J^{\mu }(x)-Z_{0}{\mathcal {D}}_{\nu }P^{\nu \mu }(x)=-{\frac {Z_{0}}{c}}\left[J^{\mu }(x)+J_{\text{b}}^{\mu }(x)\right]}
電磁応力 - エネルギーテンソルは、運動量4元ベクトルの流束密度と解釈することができ、全体の応力 - エネルギーテンソルに対する電磁場の寄与である反変対称テンソルである。
T α β = ( ε 0 E 2 / 2 + B 2 / 2 μ 0 S x / c S y / c S z / c S x / c − σ x x − σ x y − σ x z S y / c − σ y x − σ y y − σ y z S z / c − σ z x − σ z y − σ z z ) , {\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\epsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,,}
ε0は真空の誘電率、μ0は真空の透磁率。ポインティング・ベクトルは
S = 1 μ 0 E × B {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }
と表され、マクスウェルの応力テンソルは以下で与えられる。
マクスウェル方程式を用いると、(上で定義された)電磁応力 - エネルギーテンソルは次の微分方程式を満たし、 これを電磁テンソルと電流4元テンソルと関係づけることがわかる。
T α β , β + F α β J β = 0 {\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0}
もしくは
η α ν T ν β , β + F α β J β = 0 , {\displaystyle \eta _{\alpha \nu }{T^{\nu \beta }}_{,\beta }+F_{\alpha \beta }J^{\beta }=0,}
これは電磁相互作用による線形運動量とエネルギー保存を表す。
p ̇ i μ ( λ ) = − q i X ̇ i ν ( λ ) F ν μ ( X i ) {\displaystyle {\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )=-q_{i}{\dot {X}}_{i}^{\nu }(\lambda )\,F_{\nu \mu }(X_{i})}
が得られる。
運動の媒介変数 λ として時刻 t を選べば、空間成分に対して
d p d t = q i E ( X i , t ) + q d X i d t × B ( X i , t ) {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=q_{i}{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {X}}_{i},t)+q{\frac {d{\boldsymbol {X}}_{i}}{dt}}\times {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {X}}_{i},t)}
となり、ローレンツ力を再現する。なお、時間成分は
d E d t = q i d X i d t ⋅ E ( X i , t ) {\displaystyle {\frac {dE}{dt}}=q_{i}{\frac {d{\boldsymbol {X}}_{i}}{dt}}\cdot {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {X}}_{i},t)}
であり、ローレンツ力(クーロン力)による仕事率を与える。
電磁場を作り出す源となる電荷密度 ρ と電流密度 j は、相対論的な時空において4元ベクトル
J μ ( x ) = ( c ρ , j ) {\displaystyle J^{\mu }(x)=(c\rho ,{\boldsymbol {j}})}
として振舞う。
自由空間においては分極が存在せず運動方程式が
D ν F ν μ ( x ) = − Z 0 c J μ ( x ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\nu }F^{\nu \mu }(x)=-{\frac {Z_{0}}{c}}J^{\mu }(x)}
となる。 平坦な時空において標準座標を用いた場合は共変微分が通常の偏微分に置き換えられて
∂ ν F ν μ ( x ) = − Z 0 c J μ ( x ) {\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }(x)=-{\frac {Z_{0}}{c}}J^{\mu }(x)}
である。これとビアンキ恒等式を用いれば
誘電体や磁性体などの媒質における、電場や磁場に対する応答を表す誘電分極 P と磁化 M は、2階反対称テンソル
P μ ν ( x ) = ( P , − M / c ) {\displaystyle P^{\mu \nu }(x)=({\boldsymbol {P}},-{\boldsymbol {M}}/c)}
として振舞う。
電磁場強度 F および G との間に構成方程式
G μ ν ( x ) = 1 Z 0 F μ ν ( x ) + P μ ν ( x ) {\displaystyle G^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{Z_{0}}}F^{\mu \nu }(x)+P^{\mu \nu }(x)}
を満たす。