モジュラー表現論
群環 K[G] の各ブロック B に対して、ブラウアーはその不足群と呼ばれるある種の p-部分群を対応させた(ここで p は K の標数である)。きちんと述べれば、B の不足群とは、G の p-部分群 D で、部分群 DCG(D) に対して B のブラウアー対応(英語版)が存在するようなもののうち最大のものをいう。
一つのブロックに関する不足群は、共軛を除いて一意であり、ブロックの構造に強く影響する。例えば、不足群が自明ならば、そのブロックはただ一つの単純加群、ただ一つの通常指標を含み、関係する標数 p と素な位数を持つ元の上で通常既約指標とブラウアー既約指標の値が一致して、この単純加群は射影的になる。他に極端な例として、K の標数が p のとき有限群 G のシロー p-部分群は K[G] の主ブロックの不足群と一致する
ブロックの不足群の位数は、表現論に関係する多くの算術的特徴付けを持つ。これはブロックのカルタン行列の最大の不変因子であり、重複度 1 で現れる。また、ブロックの不足群の指数を割り切る p -冪は、そのブロックに属する各既約加群の次元を割る p-冪の最大公約数に一致し、またこれはこのブロックに属する各通常既約指標の次数を割る p-冪の最大公約数とも一致する。
ブロックの不足群と指標理論との間の他の関係性としては、ブラウアーの得た「与えられたブロックの不足群の元 g の p-成分が共軛を持たないならば、そのブロックの任意の既約指標は g において消える」というものがある。これはブラウアーの第二主定理の数多ある帰結の中の一つである。
通常表現論においては、任意の直既約加群は既約であり従って任意の加群が射影的となる。しかし、標数が群の位数を割るような単純加群が射影的となるのは希である。実際、単純加群が射影的ならば、それはその単純加群が自身のブロックに属する場合に限り、従ってそれは台となる線型空間の自己準同型多元環である全行列環と同型にならねばならない。この場合、そのブロックは「不足数 0」を持つという。一般に、射影加群の構造は決定が困難である。
有限群の群環については、直既約射影加群(の同型類)は単純加群(の同型類)と一対一に対応する。各直既約射影加群の座(あるいは底)は単純(かつ最大元に同型)であり、先の全単射によって互いに同型でない直既約射影加群は、その座も互いに同型にならない。(正則表現と見た)群環の直和因子としての直既約射影加群の重複度は、その座の次元に一致する(標数 0 の十分大きな体に対しては、各単純加群が正則表現の直和因子としての次元に等しい重複度で現れるという事実が、これにより回復される)。
正標数 p の任意の直既約射影加群は(従ってまた、任意の射影加群は)標数 0 の加群に持ち上げることができる。上述した剰余体 K を持つ環 R を用いて、G の単位元を K[G] の互いに直交する(必ずしも中心的でない)原始冪等元の和として分解することができて、任意の直既約射影 K[G]-加群はこの分解に現れる適当な原始冪等元 e に対する e.K[G] に同型である。冪等元 e を R[G] のある冪等元 E に持ち上げると、左加群 E.R[G] は e.K[G] に同型な法 p-還元を持つ。