体積形式
すべての局所座標系(英語版)(coordinate atlas)の変換函数が正のヤコビ行列式をもつとすると、多様体は向き付け可能となる。そのような座標の選び方のうち、最大のものが M の向き付けを定義する。M 上の体積形式 ω は、ユークリッド体積形式 d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}} の正の値をかけたものへ ω を変換する局所座標系として、自然に向きを決める。
M 上の特別に選ばれた標構(英語版)(frames)も、体積形式は持っている。
ω ( X 1 , X 2 , ... , X n ) > 0 {\displaystyle \omega (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})>0}
であれば、接ベクトルの基底 (X1,...,Xn) が右手系である。
右手系のすべての標構の集まりは、正の行列式を持つ n 次元写像である一般線型群 GL(n) による群作用である。それらは、M の線型標構バンドル(英語版)(linear frame bundle)の主 GL(n) 部分バンドルを形成し、体積形式に付帯する向きは、M の標構バンドルから構造群 GL(n) をもつ部分バンドルへの標準的なリダクションを与える。