拡大実数
今までの定義に従えば、拡張実数の全体 R は体にも環にもならない。それでも以下のような十分扱いやすい性質が成立する:
a + (b + c) および (a + b) + c は等しいかさもなくば両者とも無意味。
a + b および b + a は等しいかさもなくば両者とも無意味。
a × (b × c) および (a × b) × c は等しいかさもなくば両者とも無意味。
a × b および b × a は等しいかさもなくは両者とも無意味。
a × (b + c) および (a × b) + (a × c) は両者が定義される限り等しい。
a ≤ b であり a + c および b + c がともに定義されるならば a + c ≤ b + c が成り立つ。
a ≤ b かつ c > 0 であり a × c および b × c がともに定義されるならば a × c ≤ b × c が成り立つ。
一般に、現れる式がすべてきちんと定義される限りにおいて、R における四則演算の法則は R におけると同様にすべて成り立つ。
数学における拡大実数(かくだいじっすう、英: extended real number)あるいはより精確にアフィン拡大実数(affinely extended real number)は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系を言う。
新しく付け加えられた元(無限大、無限遠点)は(通常の)実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合、通常の実数は有限実数と呼んで区別する。
拡張実数の概念は、微分積分学や解析学(特に測度論と積分法)において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。(アフィン)拡張実数全体の成す集合 R ∪ {±∞} は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線(ほかんすうちょくせん、英: extended real line)と呼ばれ、R や [−∞, +∞] と書かれる。
文脈から明らかな場合には、正の無限大の記号 +∞ はしばしば単に ∞ と書かれる。