ソボレフ空間
p = 2 のソボレフ空間はヒルベルト空間を成しフーリエ級数と関係することから特に重要で、H (= W) という記法が用いられる。
空間 H は係数が十分急減少であるようなフーリエ級数を用いて自然に定義できる。つまり
H k ( T ) = { f ∈ L 2 ( T ) : ∑ n = − ∞ ∞ ( 1 + n 2 + n 4 + ⋯ + n 2 k ) | f ^ ( n ) | 2 < ∞ } {\displaystyle H^{k}({\mathbb {T} })=\left\{f\in L^{2}({\mathbb {T} }):\sum _{n=-\infty }^{\infty }(1+n^{2}+n^{4}+\dotsb +n^{2k})|{\hat {f}}(n)|^{2}<\infty \right\}}
が成立する。ここで f は f のフーリエ級数である。上述の如く、同値なノルムとして
簡単な記述を持つほかのソボレフ空間としては、例えば開区間 (0, 1) 上で絶対連続な函数全体の成す空間 W(0, 1) や任意の区間 I 上でリプシッツ連続な函数全体の成す空間 W(I) などが挙げられる。 空間 W はすべて(ノルム付き)多元環となる。つまりこのソボレフ空間のふたつの函数の積は再びこの空間の元となる。このことは p が有限の場合には正しくない(例えば原点において |x| のように振舞う函数は L に属するが、そのような函数の積は L に属さない)。
Ω を R の開集合とし、1 ≤ p ≤ ∞ とする。函数が W(Ω) に属すならば、場合によっては測度 0 の集合上での値を変更して、その函数の R の座標方向に平行な殆ど全ての直線への制限が絶対連続であるようにすることができる。逆に、座標方向に平行な殆ど全ての直線への f の制限が絶対連続ならば、各点ごとの傾き ∇f が殆ど至る所存在し、f と |∇f| の両方が L(Ω) に属すとき f は W(Ω) に属す。特に、このときの f の弱偏微分と各点ごとの傾きは殆ど至る所一致する。
より強い結果として、これは p = ∞ においても正しい。W(Ω) に属する函数は測度 0 の集合上値を変更することにより局所リプシッツにできる。
が一般的である。これらはノルムとして同値であり、いずれのノルムに関しても W(D) はバナッハ空間となる。有限な p に対して、 W(D) は可分空間でもある。上述のように W(D) は H(D) という別記法を持つ。
分数階ソボレフ空間 H(R) ( s ≥ 0) は先に述べたのと同様にフーリエ変換を用いて
H s ( R n ) = { f : R n → R | ‖ f ‖ H s 2 = ∫ R n ( 1 + | ξ | 2 ) s | f ^ ( ξ ) | 2 d ξ < + ∞ } {\displaystyle H^{s}(\mathbf {R} ^{n})=\left\{f\colon \mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} \ {\bigg |}\ \|f\|_{H^{s}}^{2}=\int _{\mathbf {R} ^{n}}(1+|\xi |^{2})^{s}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi <+\infty \right\}}