分数次フーリエ変換
しかし、信号処理の分野において広く認知されるようになったのは、1993年前後にいくつかのグループにより独立に再導入されてからであった。その時から、分数次フーリエ領域に帯域制限された信号にシャノンの標本化定理を拡張するという興味が巻き起こった。
全く異なる「分数次フーリエ変換」の意味がベイリーとシュヴァルツトラウバーにより、本質的にはz変換の別名として、特に離散フーリエ変換を周波数空間で分数量だけシフトして(入力に線形チャープを乗じて)一部の周波数点(スペクトルの一部分だけ)において評価したものに相当する変換を指す用語として導入された(このような変換はブルーシュタインのFFTアルゴリズム(英語版)により効率的に評価することができる)。しかし、この用語はほとんどの技術的文献では使われなくなり、FRFTに取ってかわられた。以降ではFRFTについて説明する。
さらに言えば、次のような関係もある。 F 2 = P P [ f ( u ) ] = f ( − u ) F 3 = F − 1 = ( F ) − 1 F 4 = F 0 = I F i = F j i ≡ j mod 4 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}}&&{\mathcal {P}}[f(u)]=f(-u)\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}=({\mathcal {F}})^{-1}\\{\mathcal {F}}^{4}&={\mathcal {F}}^{0}={\mathcal {I}}\\{\mathcal {F}}^{i}&={\mathcal {F}}^{j}&&i\equiv j\mod 4\end{aligned}}}
逆変換:
( F α ) − 1 = F − α {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }}
可換性:
F α 1 F α 2 = F α 2 F α 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}}
結合法則