八元数
八元数の乗法は可換でなく:
e i e j = − e j e i ≠ e j e i , {\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\neq e_{j}e_{i},}
結合的でもない:
( e i e j ) e l = − e i ( e j e l ) ≠ e i ( e j e l ) . {\displaystyle (e_{i}e_{j})e_{l}=-e_{i}(e_{j}e_{l})\neq e_{i}(e_{j}e_{l}).}
が、弱い形の結合性を満たして交代代数になる。即ち、任意の二つの八元数が生成する部分多元環は結合的である。実際、O の任意の二元が生成する部分多元環は R, C, H のいずれかに同型であることが示せるが、これらは何れも結合的である。八元数は非結合的であるから、四元数のときのように行列表現をすることはできない。
八元数の全体 O がもう一つ R, C, H と共有する重要な性質として、ノルムが