リース＝フィッシャーの定理
が成立するという定理がある。さらに A が H の正規直交基底で、x が任意のベクトルなら、級数
∑ y ∈ A ⟨ x , y ⟩ y {\displaystyle \sum _{y\in A}\langle x,y\rangle \,y}
が x に可換収束(あるいは無条件収束)する。これは、すべての ε > 0 に対して、ある有限集合 B0 が A 内に存在し、
‖ x − ∑ y ∈ B ⟨ x , y ⟩ y ‖ < ε {\displaystyle \left\|x-\sum _{y\in B}\langle x,y\rangle y\right\|<\varepsilon }
が B0 を含むすべての有限集合 B に対して成立することと同値である。さらに、集合 A についての以下の条件は同値である:
集合 A は H の正規直交基底。
すべてのベクトル x ∈ H に対して次が成立する。
‖ x ‖ 2 = ∑ y ∈ A | ⟨ x , y ⟩ | 2 . {\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{y\in A}|\langle x,y\rangle |^{2}.}
また別の結果として、L(あるいはより一般に L, 0 < p ≤ ∞)が完備という定理のことも、しばしばリース=フィッシャーの定理と呼ばれる。
Riesz (1907, p. 616) のメモでは、次の結果が述べられていた(ただし記号 L([a, b]) は1907年には用いられていなかったので、その点に関しては近年の記法に直してある)。
{φn } を L([a, b]) 内のある正規直交系とし、{an } をある実数列とする。級数 ∑ a n 2 {\displaystyle \sum a_{n}^{2}} が収束するための必要十分条件は、すべての n に対して次を満たす函数 f が存在することである: ∫ a b f ( x ) φ n ( x ) d x = a n . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi _{n}(x)\,\mathrm {d} x=a_{n}.}
今日においてこのリースの結果は、ヒルベルト空間内の直交ベクトルの級数に関する基本的な事実の特殊例と見なされる。
リースのメモは1907年の3月に公開された。同年の5月の Fischer (1907, p. 1023) のメモでは、L([a, b]) 内のコーシー列は L([a, b]) 内のある函数 f へ L-ノルムに関して収束するという定理が(ほとんど近年と変わらない言葉で)明らかに示された。このメモで、コーシー列は「平均収束列」(sequences converging in the mean)と呼ばれ、L([a, b]) は Ω と表されていた。