胡蝶定理
形式的な証明を以下に述べる。
XX', XX'' をそれぞれ X から AM, DM に下ろした垂線とし、同様に YY', YY'' をそれぞれ Y から BM, CM に下ろした垂線とする。
∠MX'X = ∠MY'Y = 90° かつ ∠X'MX = ∠Y'MY (対頂角)であるから △MXX' と △MYY' は相似。従って次式が成り立つ。
M X M Y = X X ′ Y Y ′ {\displaystyle \mathrm {{MX \over MY}={XX' \over YY'}} }
同様に △MXX'' と △MYY'' も相似であるので、次式が成り立つ。
M X M Y = X X ′′ Y Y ′′ {\displaystyle \mathrm {{MX \over MY}={XX'' \over YY''}} }
∠AX'X = ∠CY''Y = 90° かつ ∠XAX' = ∠YCY'' (円周角の定理) であるから △AXX' と △CYY'' は相似。従って次式が成り立つ。
X X ′ Y Y ′′ = A X C Y {\displaystyle \mathrm {{XX' \over YY''}={AX \over CY}} }