方正積分
実数値函数 φ: [a, b] → R が階段函数であるとは、区間 [a, b] の適当な有限分割
Π = { a = t 0 < t 1 < ⋯ < t k = b } {\displaystyle \Pi =\{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=b\}}
が存在して、Π の各開区間 (ti, ti+1) 上で φ が定数となることであった。この各区間上での値を ci ∈ R と書くとき、階段函数 φ の積分は
∫ a b φ ( t ) d t := ∑ i = 0 k − 1 c i | t i + 1 − t i | {\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi (t)\,{\mathit {dt}}:=\sum _{i=0}^{k-1}c_{i}|t_{i+1}-t_{i}|}
として定義される。この定義が分割の取り方に依らないこと、すなわち Π1 が [a, b] の別の分割であって Π1 の各開区間上 φ が定数となるならば、φ の積分の値は Π1 に対するものと Π に対するものとで同じになることが証明できる。