自由アーベル群
任意のアーベル群 A が与えられると、つねに自由アーベル群 F と F から A への全射群準同型が存在する。与えられた群 A への全射を構成する 1 つの方法は F = Z ( A ) {\displaystyle F=\mathbb {Z} ^{(A)}} をA から整数全体への 0 でないのが有限個の関数の集合として表現される A 上の自由アーベル群とすることである。このとき全射は A の元の形式和としての F の元の表現から定義できる:
f = ∑ { x ∣ f ( x ) ≠ 0 } f ( x ) e x ↦ ∑ { x ∣ f ( x ) ≠ 0 } f ( x ) x , {\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}\mapsto \sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)x,}
ただし最初の和は F においてで、二番目の和は A においてである。この構成は普遍性の例と見ることができる: この全射は関数 e x ↦ x {\displaystyle e_{x}\mapsto x} を拡張する唯一の群準同型である。
F と A が上記のとき、F から A への全射の核 G はまた自由アーベルである、なぜなら F の部分群(単位元に写される元からなる部分群)だからだ。それゆえ、これらの群は短完全列
0 → G → F → A → 0
をなす、ここで F と G はともに自由アーベルであり A は商群 F/G に同型である。これは A の自由分解である。さらに、選択公理を仮定すると、自由アーベル群はちょうどアーベル群の圏において射影対象である。
与えられた集合 B に対して群 Z ( B ) {\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}} が定義できる。ここに Z は、B 上で定義された有限台を持つ整数値函数全体の成す集合であり(上付き添字のパーレンは、すべての函数を含む Z と異なり、台が有限な函数のみを含むということを指し示すために付けられている)、そのような二つの函数 f, g に対して函数 f + g を、その各点での値が f, g 各々のその点における値の和として与えられるもの(つまり、(f + g)(x) ≔ f(x) + g(x) (∀x ∈ B))とすれば、この点ごとの加法演算によって Z ( B ) {\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}} にアーベル群の構造が与えられる。
与えられた集合 B の各元 x を Z ( B ) {\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}} の元 ex に、 e x ( y ) = { 1 ( y = x ) 0 ( y ≠ x ) e_{x}(y)={\begin{cases}1&(y=x)\\0&(y\neq x)\end{cases}} によって対応付ければ、 Z ( B ) {\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}} のすべての関数 f は