臨界点 (数学)
一般に、x が変化するとき、x0 の片側には曲線の2つの分岐がありもう一方にはないからである。
これらの定義から、関数 f(x) が臨界値 y0 の臨界点 x0 を持つことと、(x0, y0) がそのグラフの x 軸に平行な射影の同じ臨界値 y0 の臨界点であることが同値であることが従う。
例えば、方程式 x + y − 1 = 0 の単位円の臨界点は y 軸に平行な射影に対して (0, 1) と (0, −1) であり、x 軸に平行な方向に対して (1, 0) と (−1, 0) である。円の上半分を関数 f ( x ) = 1 − x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}} のグラフと考えると、x = 0 が唯一の臨界点であり、臨界値は 1 である。y 軸に平行な射影に対する円の臨界点は f の微分が定義されない点とちょうど対応する。
著者によっては関数 f の臨界点をグラフがいずれかの軸に平行な射影に対する臨界点をもつような x 値と定義する。上の円の上半分の例では、この拡大された定義での臨界点は −1, 0, 1 である。そのような定義は、関数のグラフの他の曲線の定義の前に臨界点が定義され、多変数の関数が考えられていない(拡大した定義はこの場合に拡張しない)とき、初歩的な教科書にのみ通常現れる。
数学において、実(英語版)あるいは複素変数の可微分関数の臨界点(りんかいてん、英: critical point)あるいは停留点(英語版)(ていりゅうてん、英: stationary point)とは、微分が 0となる定義域内の任意の値である。実多変数の可微分関数(英語版)に対して、臨界点はすべての偏微分が 0 になるような定義域内の値である。関数の臨界点における値は臨界値(りんかいち、英: critical value)である。
この概念の興味は、関数が極値をとる点は臨界点であるという事実にある。
この定義は R と R の間の可微分写像に拡張し、臨界点はこの場合ヤコビ行列の階数が最大でない点である。さらに、可微分多様体の間の可微分写像にも同様に拡張される。この場合、臨界点は bifurcation point(英語版) とも呼ばれる。
特に、C が陰方程式 f(x, y) = 0 で定義される平面曲線のとき、y 軸に平行な x 軸への射影の臨界点は C の接線が y 軸に平行な点、つまり、 ∂ f ∂ y ( x , y ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0} なる点である。言い換えると、臨界点は陰関数定理が適用できない点である。
臨界点の概念により、コペルニクスの時代より前には解明されなかった天文学の現象の数学的記述ができる。惑星の軌道の停留点は天球上の惑星の軌道の点であって惑星の動きが他の方向に再出発する前に止まるように見える点である。これは、黄道円への軌道の射影の臨界点のために起こる。