ヒルベルト変換
数学および信号処理におけるヒルベルト変換(ヒルベルトへんかん、英: Hilbert transform)は、実変数関数 u(t) を別の実変数関数 H(u)(t) へ写すある特定の線型作用素を言う。具体的にこの作用素は 1⁄πt との畳み込み:
で与えられる。ただし、現れる広義積分はコーシー主値の意味でとる。このヒルベルト変換は周波数領域において特に単純な表現 —引数となる函数の各フーリエ成分に π/2(90°) の位相ずれ (phase shift) を生じさせる— を持つ。例えば、余弦函数 cos(ωt) (ω > 0) のヒルベルト変換は cos(ωt − π/2) となる。
信号処理におけるヒルベルト変換は、それが実数値信号 u(t) の解析的表現(英語版)を導くという点において重要である。具体的に、u のヒルベルト変換を v とすれば、v は u の調和共軛(英語版)となる。すなわち、v は実変数 t の函数であって、複素数値函数 u+iv がコーシー–リーマン方程式を満足するように複素上半平面まで延長可能となる。この設定でヒルベルト変換を最初に導入したのはダフィット・ヒルベルトで、解析函数に対するリーマン–ヒルベルト問題(英語版)の特別の場合を解決するためであった。