ラマヌジャン・ピーターソン予想
{\displaystyle R(k-s)=(-1)^{k/2}R(s).}
このことは、1929年にウィルトン(Wilton)により証明された。この f と φ の対応は 1 対 1 である(a0=(-1)Ress=kR(s))。x > 0 に対して g(x)=f(ix)-a0 とすると、g(x) は次のメリン変換を通して R(s) と関係付けられる。
R ( s ) = ∫ 0 ∞ g ( x ) x s − 1 d x ⇔ g ( x ) = 1 2 π i ∫ R e s = σ 0 R ( s ) x − s d s . {\displaystyle R(s)=\int _{0}^{\infty }g(x)x^{s-1}dx\Leftrightarrow g(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{Re_{s=\sigma _{0}}}R(s)x^{-s}ds.}
この対応が、上の函数等式を満たすディリクレ級数を、SL(2,R) の離散部分群の保型形式に関連付ける。
k ≥ 3 である場合について、ハンス・ピーターソン(英語版)はモジュラー形式の空間のピーターソン計量(英語版)(ヴェイユ・ピーターソン計量(英語版)(Weil-Petersson metric)も参照)を導入した。