ラックス・ペア
このため ψ {\displaystyle \psi } をt、x の関数と考えて ψ ( t , x ) {\displaystyle \psi (t,x)} と表すことも有り得ることにする。
L(t) 、A(t) も、実際には x の関数でもあるので、同様に L(t,x) 、A(t,x) と表すことも、あるいは t も x も省略して L 、A と表すことも有り得ることにする。ラックス方程式の左辺で偏微分記号を用いているのは、時刻による微分であることをはっきりさせるためである。
また、 L と A は決定すべき未知関数 u(t,x) を内部に含み、u がある微分方程式を満たすことが、ラックス方程式が成立する条件となる。この場合、u についてのその微分方程式がラックス方程式で書き換えられたと呼ぶのである。
左辺の時刻微分について注意しておく。これは作用素の時刻微分であり、次のように定義される。
∂ L ( t ) ∂ t = lim h → 0 L ( t + h ) − L ( t ) h {\displaystyle {\frac {\partial L(t)}{\partial t}}=\lim _{h\to 0}{\frac {L(t+h)-L(t)}{h}}}
u が x のみの関数であれば、時刻と共に変動しないので、当然その時刻微分は 0 である。これと同様に、 ∂ ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}} あるいは ∂ n ∂ x n {\displaystyle {\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}} は時刻と共に変動しない作用素であり、その時刻微分は 0 である。
さて、 U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,t_{0})} を用いれば、 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} は、
ψ ( t ) = U ( t , t 0 ) ψ ( t 0 ) {\displaystyle \psi (t)=U(t,t_{0})\psi (t_{0})\ }
と表現される。実際これに L(t) を作用させれば、
L ( t ) ψ ( t ) = U ( t , t 0 ) L ( t 0 ) U ( t , t 0 ) − 1 U ( t , t 0 ) ψ ( t 0 ) {\displaystyle L(t)\psi (t)=U(t,t_{0})L(t_{0})U(t,t_{0})^{-1}U(t,t_{0})\psi (t_{0})\ } = U ( t , t 0 ) L ( t 0 ) ψ ( t 0 ) = U ( t , t 0 ) λ ( t 0 ) ψ ( t 0 ) {\displaystyle =U(t,t_{0})L(t_{0})\psi (t_{0})=U(t,t_{0})\lambda (t_{0})\psi (t_{0})\ } = λ ( t 0 ) ψ ( t ) {\displaystyle =\lambda (t_{0})\psi (t)\ }
( A L − L A ) ψ + L ∂ ψ ∂ t − λ ∂ ψ ∂ t = 0 {\displaystyle (AL-LA)\psi +L{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-\lambda {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=0}
λ(t) と A(t) が交換可能なことを利用して、さらに整理すれば、
( L − λ ) ( A − ∂ ∂ t ) ψ = 0 {\displaystyle (L-\lambda )(A-{\frac {\partial }{\partial t}})\psi =0}
従って、
∂ ψ ∂ t = A ψ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=A\psi }
であれば、 λ ( t ) {\displaystyle \lambda (t)} は時刻と共に変動しないことが分かる (ただしこれは十分条件であって必要条件ではないことを注意しておく)。 このような場合、行列 (または作用素) である L(t) は t の変動に関して等スペクトル的(英語版)であると表現される。