リーマンゼータ関数の特殊値
ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 ( 2 π ) 2 n B 2 n 2 ( 2 n ) ! {\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}\,(2\pi )^{2n}\,B_{2n}}{2\,(2n)!}}}
が成り立つことも示した。ただし、ここで B2n は 2n 番目のベルヌーイ数である。
正の偶数に対する特殊値の証明 — 余接関数の指数関数による定義から、
π z cot  π z = i π z e i π z + e − i π z e i π z − e − i π z {\displaystyle \pi z\cot \pi z=i\pi z\,{\frac {e^{i\pi z}+e^{-i\pi z}}{e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}}}}
である。ただし、ここで i は虚数単位である。ここで右辺は、
i π z e i π z + e − i π z e i π z − e − i π z = i π z 2 i π z e 2 i π z − 1 {\displaystyle i\pi z\,{\frac {e^{i\pi z}+e^{-i\pi z}}{e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}}}=i\pi z\,{\frac {2i\pi z}{e^{2i\pi z}-1}}}
であり、ベルヌーイ数の定義から、
π z cot  π z = i π z + ∑ n = 0 ∞ ( 2 i π z ) n B n n ! {\displaystyle \pi z\cot \pi z=i\pi z+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2i\pi z)^{n}\,B_{n}}{n!