シュワルツ超函数
2.5) を参照)。同様の方法で、U 上の任意の確率測度 μ はテスト函数 φ における値が ∫ φdμ で与えられる D′(U) の元を定める。先ほどと同じように、慣習的に記号を濫用して、確率測度 μ とテスト函数 φ との内積を ⟨μ φ⟩ と記す。反対に、本質的にはリースの表現定理により、非負函数上非負な任意の超函数は(正値の)確率測度からこのようにして得られる。
テスト函数はそれ自身局所可積分であり、それゆえに超函数を定める。それらは、D′(U) の任意の超函数 S に対して D(U) の元の列 (φn) で D′(U) の位相に関して
⟨ φ n , ψ ⟩ → ⟨ S , ψ ⟩ {\displaystyle \langle \varphi _{n},\psi \rangle \to \langle S,\psi \rangle }
が任意の ψ ∈ D(U) について成り立つようなものが存在するという意味で、D′(U) の中で稠密である。このことは、弱位相に関する初等的な事実により D′(U) に弱-* 位相を考えたものの双対が D(U) であるから、ハーン・バナッハの定理より直ちに従う (Rudin 1991, Theorem 3.10)。畳み込みを用いた議論によりもっと直接的に証明することもできる。
コンパクト台を持つ滑らかな函数のうえに定義される作用や演算の多くが、シュワルツ超函数に対しても定義される。一般に、
T : D ( U ) → D ( U ) {\displaystyle T\colon D(U)\to D(U)}
がベクトル空間の間の線型写像で、弱-∗ 位相に関して連続ならば、極限を取ることによりこれを
T : D ′ ( U ) → D ′ ( U ) {\displaystyle T\colon D'(U)\to D'(U)}
なる写像まで延長することができる(このことは一様連続性を持つことを仮定すればもっと一般の非線型写像についても正しい)。
しかし実用上は転置写像(あるいは随伴作用素)として超函数に対する演算を定義するほうが手っ取り早い (Strichartz 1994, §2.3; Trèves 1967)。連続線型作用素 T: D(U) → D(U) に対してその随伴 T: D(U) → D(U) とは、任意の φ, ψ ∈ D(U) に対して
⟨ T φ , ψ ⟩ = ⟨ φ , T ∗ ψ ⟩ {\displaystyle \langle T\varphi ,\psi \rangle =\langle \varphi ,T^{*}\psi \rangle }
を満たす作用素のことである。このような作用素 T が存在して連続ならば、もとの作用素 T は
T f ( ψ ) = f ( T ∗ ψ ) {\displaystyle Tf(\psi )=f(T^{*}\psi )}
とおくことにより超函数に対する作用素に延長される。