ルンゲ＝クッタ法
前述の通り、2段の陽的方法が2次精度を持つための係数に対する条件は、 b 1 + b 2 = 1 {\displaystyle b_{1}+b_{2}=1} , b 2 c 2 = 1 / 2 {\displaystyle b_{2}c_{2}=1/2} , かつ b 2 a 21 = 1 / 2 {\displaystyle b_{2}a_{21}=1/2} である。例として、それらの条件の導出を見てみよう。
一般的に2段陽的ルンゲ=クッタ法に対応する配列は以下の通りである(一貫性を用いて c 1 = 0 {\displaystyle c_{1}=0} がわかる)。
0 c 2 a 21 b 1 b 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&&\\c_{2}&a_{21}&\\\hline &b_{1}&b_{2}\\\end{array}}}
公式から k 2 = f ( t n + c 2 h , y n + h a 21 f ( t n , y n ) ) {\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+ha_{21}f(t_{n},y_{n}))} の f(tn,yn) に関するテイラー展開を考える
k 2 = f ( t n , y n ) + c 2 h f t ( t n , y n ) + h a 21 f ( t n , y n ) f y ( t n , y n ) + O ( h 2 ) {\displaystyle k_{2}=f(t_{n},y_{n})+c_{2}hf_{t}(t_{n},y_{n})+ha_{21}f(t_{n},y_{n})f_{y}(t_{n},y_{n})+O(h^{2})}