単葉関数
g {\displaystyle g} は ∂ U {\displaystyle \partial U} 上で零点を持たず、また ∂ U {\displaystyle \partial U} はコンパクトであるため、 0 < | α | < min z ∈ ∂ U | g ( z ) | {\displaystyle 0<|\alpha |<\min _{z\in \partial U}|g(z)|} を満たす複素数 α {\displaystyle \alpha } を任意に選べば、ルーシェの定理から U における g ( z ) {\displaystyle g(z)} と h ( z ) = g ( z ) + α {\displaystyle h(z)=g(z)+\alpha } の位数を含めた零点の個数はともに n {\displaystyle n} となる。
h {\displaystyle h} について、 h ( z 0 ) = α ≠ 0 {\displaystyle h(z_{0})=\alpha \neq 0} であり、 h ′ ( z ) = f ′ ( z ) {\displaystyle h'(z)=f'(z)} は U で z 0 {\displaystyle z_{0}} 以外に零点を持たないので、 U における h {\displaystyle h} の零点の位数は1である(重根を持たない)。したがって h {\displaystyle h} はUで位数1の相異なる零点を n ( ≥ 2 ) {\displaystyle n(\geq 2)} 個持つことになる。