松原振動数
極限 β → ∞ {\displaystyle \beta \rightarrow \infty } での松原振動数の和は、虚数振動数の虚軸についての積分に等しい
1 β ∑ i ω = ∫ − i ∞ i ∞ d ( i ω ) 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega }=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi }}}
いくつかの積分は収束しない。 それらは振動数カットオフ Ω {\displaystyle \Omega } を導入し、 Ω → ∞ {\displaystyle \Omega \rightarrow \infty } の極限をとる前に積分から発散部分( Ω {\displaystyle \Omega } -依存)を差し引いて繰り込む必要がある。 例えば自由エネルギーは、対数の積分によって得られる。
η lim Ω → ∞ [ ∫ − i Ω i Ω d ( i ω ) 2 π ( ln  ( − i ω + ξ ) − π ξ 2 Ω ) − Ω π ( ln  Ω − 1 ) ] = { 0 ξ ≥ 0 , − η ξ ξ < 0 , {\displaystyle \eta \lim _{\Omega \rightarrow \infty }\left[\int _{-i\Omega }^{i\Omega }{\frac {\mathrm {d} (i\omega )}{2\pi }}\left(\ln(-i\omega +\xi )-{\frac {\pi \xi }{2\Omega }}\right)-{\frac {\Omega }{\pi }}(\ln \Omega -1)\right]=\left\{{\begin{array}{cc}0&\xi \geq 0,\\-\eta \xi &\xi <0,\end{array}}\right.
n B ( a + b ) − n B ( a − b ) = 2 n B ′ ( a ) b + ⋯ , {\displaystyle n_{B}(a+b)-n_{B}(a-b)=2n_{B}^{\prime }(a)b+\cdots ,}
n F ( a + b ) − n F ( a − b ) = 2 n F ′ ( a ) b + ⋯ . {\displaystyle n_{F}(a+b)-n_{F}(a-b)=2n_{F}^{\prime }(a)b+\cdots .}