義務論理
前者の直観的な意味は、 O ( A → B ) → ( O A → O B ) {\displaystyle O(A\rightarrow B)\rightarrow (OA\rightarrow OB)} を同値な命題 ( O ( A → B ) ∧ O A ) → O B {\displaystyle (O(A\rightarrow B)\wedge OA)\rightarrow OB} に置き換えると理解しやすい。これは例えば、「『慈悲深い人は寄付する』が成り立つべきだ」と「慈悲深くあるべきだ」から「寄付すべきだ」を導く論法に相当する。
また、許可演算子 P と禁止演算子 F は、各々、義務演算子を用いて次のように定義される。
P A := ¬ O ¬ A {\displaystyle PA:=\lnot O\lnot A}
F A := O ¬ A {\displaystyle FA:=O\lnot A}
FA は、「A であってはならない」という意味である。
M , w ⊨ ¬ φ ⟺ M , w ⊭ φ {\displaystyle {\mathcal {M}},w\vDash \lnot \varphi \iff {\mathcal {M}},w\not \vDash \varphi }
M , w ⊨ O φ ⟺ w R w ′ {\displaystyle {\mathcal {M}},w\vDash O\varphi \iff wRw'} となる任意の w ′ {\displaystyle w'} に対して M , w ′ ⊨ φ {\displaystyle {\mathcal {M}},w'\vDash \varphi }
この意味論によって意図されているのは、可能世界という概念装置に基づいて義務概念を分析することである。
w R w ′ {\displaystyle wRw'} の直観的な意味は、「 w {\displaystyle w} から見て、 w ′ {\displaystyle w'} は義務論的に完全な世界(倫理的に理想的な世界、deontically perfect world)である」というものである。したがって、この可能世界意味論によれば、「現実世界において、Aであるべきだ」という文の直観的な意味は、「現実世界から見て義務論的に完全な世界のいずれにおいても、Aである」というものであることになる。同様に、「現実世界において、Aであってもよい」という文の直観的な意味は、「現実世界から見て義務論的に完全な世界のうち少なくとも一つの世界では、Aが成り立っている」というものである。
義務論理(英: deontic logic)は、義務や権利などの概念を扱う論理学の一分野である。規範論理とも。典型的な記法としては、OA(A は義務的である、A であるべきだ)と PA(A は許されている、A でもよい)がある。deontic という言葉は古代ギリシャ語の déon(拘束されているもの、適切なもの)を語源とする。