直交群
直交群は有限体 Fq 上にも定義できる。ここで q は素数 p の冪である。
標数が 2 でない体上では、 直交群は偶数次元では二つのタイプ O(2n, q) と O(2n, q)になり、奇数次元では、一つのタイプ O(2n + 1, q)になる。
V を直交群 G が作用するベクトル空間とすると、直交する部分空間の直和として、以下のように書ける。
V = L 1 ⊕ L 2 ⊕ ⋯ ⊕ L m ⊕ W , {\displaystyle V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,}
ここで Li は双曲的直線で W は特異ベクトルを含まない。W が自明な部分空間 {0} のとき、G は + のタイプである。W が 1 次元のとき、G は奇数次元になる。W の次元が 2 のとき、G は − のタイプである。
とくに n = 1 である場合には、O(2, q) は位数 2(q − ε) の二面体群である。
O(n, q)の位数は、標数が2でないとき以下の式よって与えられる。
複素数体 C 上の直交群 O(n, C) および特殊直交群 SO(n, C) は、C 上 n(n − 1)/2 次元の複素リー群である(つまり、R 上のリー群としてみると、その2倍の次元である)。O(n, C) は二つの連結成分をもち、SO(n, C) は単位行列を含むほうの連結成分である。 n ≥ 2 ではこれらの群は非コンパクトである。
実数の場合と同じように、SO(n, C) は単連結でない。 n > 2 では SO(n, C) の基本群は位数 2 の巡回群であり、SO(2, C) の基本群は無限巡回群である。