ホモロジー代数学
関手 G(A)=HomR(A,B) を使って別の定義が与えられる。固定された加群 B に対し、これは反変左完全関手であり、したがって右導来関手 RG ももっており、
Ext R n  ( A , B ) = ( R n G ) ( A ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A)}
と定義できる。これは任意の射影分解
⋯ → P 1 → P 0 → A → 0 , {\displaystyle \dots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,}
を選び、
0 → Hom R  ( P 0 , B ) → Hom R  ( P 1 , B ) → ... {\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \dots }
を計算して双対的に続けることによって計算できる。すると (RG)(A) はこの複体のホモロジーである。HomR(A,B) が除かれていることに再び注意する。
これらの2つの構成は同型な結果をもたらすことがわかり、したがって Ext 関手を計算するのにどちらを使ってもよい。
ジグザグ補題と呼ばれることもある、ホモロジー代数学の最も基本的な定理の1つによると、この場合、ホモロジーの長完全列
... ⟶ H n ( L ) ⟶ H n ( f ) H n ( M ) ⟶ H n ( g ) H n ( N ) ⟶ δ n H n − 1 ( L ) ⟶ H n − 1 ( f ) H n − 1 ( M ) ⟶ ... {\displaystyle \ldots \longrightarrow H_{n}(L){\stackrel {H_{n}(f)}{\longrightarrow }}H_{n}(M){\stackrel {H_{n}(g)}{\longrightarrow }}H_{n}(N){\stackrel {\delta _{n}}{\longrightarrow }}H_{n-1}(L){\stackrel {H_{n-1}(f)}{\longrightarrow }}H_{n-1}(M)\longrightarrow \ldots }
が存在する。L, M, N のホモロジー群は循環的に互いに従い、δn は f と g によって決定されるある準同型であり、連結準同型 (connecting homomorphism) と呼ばれる。この定理を位相幾何学的に表現すれば、マイヤー・ヴィートリス完全系列や相対ホモロジー(英語版)の長完全列が現れる。