オイラーの五角数定理
数学において、オイラーの五角数定理(オイラーのごかくすうていり、Euler's pentagonal number theorem)は次式が恒等式であることを主張する定理である。
( q ; q ) ∞ = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q n ( 3 n − 1 ) / 2 , | q | < 1. {\displaystyle (q;q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2},\quad |q|<1.}
( q ; q ) ∞ {\displaystyle (q;q)_{\infty }} はqポッホハマー記号である。具体的には以下の式を表す。
( 1 − x ) ( 1 − x 2 ) ( 1 − x 3 ) ⋯ = 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + x 22 + x 26 − ⋯ .