有界変動函数
同じ記号は u が C-級(つまり連続かつ微分可能であって、導函数も連続)のときにも用いられ、この場合には実際に u の(真の)勾配の絶対値の積分になっている。
このとき、有界変動函数全体の成す空間は B V ( Ω ) = { u ∈ L 1 ( Ω ) : V ( u , Ω ) < + ∞ } {\displaystyle BV(\Omega )=\{u\in L^{1}(\Omega )\colon V(u,\Omega )<+\infty \}} と定義することができる。
この二つの定義が同値であることは以下のようにしてわかる。V(u, Ω) < +∞ ならば
したがって φ ↦ ∫Ωu(x)divφ(x)dx は空間 C 1c (Ω, R) 上の連続線型汎函数を定める。C 1c (Ω, R ⊂ C(Ω, R) は線型部分空間であるから、ハーン–バナッハの定理により、先ほどの連続線型汎函数は C(Ω, R) の全体まで連続かつ線型に延長できる。従って、この連続線型汎函数はリース–マルコフの定理(英語版)によりラドン測度を定義する。
二つのボレル可測函数(英語版) f, g: Ω → R が存在して ∫ Ω | f | d H n + ∫ Ω | g | d H n − 1 < + ∞ {\displaystyle \int _{\Omega }\vert f\vert dH^{n}+\int _{\Omega }\vert g\vert dH^{n-1}<+\infty } を満たす。
Ω に含まれるコンパクト台を持つ任意の連続的微分可能ベクトル値函数 φ, すなわち任意の φ ∈ C 1c (Ω, R) に対して、等式 ∫ Ω u div  φ d H n = ∫ Ω ⟨ φ , f ⟩ d H n + ∫ Ω ⟨ φ , g ⟩ d H n − 1 {\displaystyle \int _{\Omega }u\operatorname {div} \phi \,dH^{n}=\int _{\Omega }\langle \phi ,f\rangle dH^{n}+\int _{\Omega }\langle \phi ,g\rangle dH^{n-1}} が成り立つ。
ここで H は α-次元ハウスドルフ測度(英語版)である。
特殊有界変動函数の性質の詳細は参考文献節に挙げられた文献を参照、特に論文 (De Giorgi 1992) には有用な参考文献が挙げられている。