部分リーマン多様体の接続と曲率
θ 1 ∧ ⋯ ∧ θ m = 1 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ ( 2 k − 1 ) K d V {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Pf} (\Omega )&={1 \over 2^{k}k!}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{m}}\mathrm {sgn} (\sigma )\Omega ^{\sigma (1)}{}_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge \Omega ^{\sigma (m-1)}{}_{\sigma (m)}\\&={1 \over 2^{k}k!}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{m}}\mathrm {sgn} (\sigma )\kappa _{\sigma (1)}\cdots \kappa _{\sigma (m)}\theta ^{\sigma (1)}\wedge \theta ^{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge \theta ^{\sigma (m-1)}\wedge \theta ^{\sigma (m)}\\&={\kappa _{1}\cdots \kappa _{m} \over 2^{k}k!}\cdot (2k)!\theta _{1}\wedge \cdots \wedge \theta _{m}\\&=1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2k-1)KdV\end{aligned}}}
となり定理が証明された。
なお、なぜパッフィアンという「行列式の平方根」がここで登場するか、という問いに対する答えるには、チャーン・ヴェイユ理論を必要とするため、本項では触れない。
定理 ― M ⊂ R m + 1 {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{m+1}} を R m + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}} のコンパクトで縁がない向き付け可能なC級m次元部分リーマン多様体とする。このとき、mが偶数であれば、
1 V o l ( S m ) ∫ M K d V = d e g ( G ) = χ ( M ) 2 {\displaystyle {1 \over \mathrm {Vol} (S^{m})}\int _{M}KdV=\mathrm {deg} (G)={\chi (M) \over 2}}
が成立する。ここでKはガウス曲率であり、 d e g ( G ) {\displaystyle \mathrm {deg} (G)} はガウス写像 G : M → S m {\displaystyle G~:~M\to S^{m}} の写像度であり、 V o l ( S m ) {\displaystyle \mathrm {Vol} (S^{m})} は単位球面Sのm次元体積であり、 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} はMのオイラー標数である。
1 V o l ( S m ) ∫ M K d V = d e g ( G ) {\displaystyle {1 \over \mathrm {Vol} (S^{m})}\int _{M}KdV=\mathrm {deg} (G)} はすでに示したので、 d e g ( G ) = χ ( M ) 2 {\displaystyle \mathrm {deg} (G)={\chi (M) \over 2}} のみを示す。
リッチの方程式(英: Ricci equation) g ( R ⊥ ( X , Y ) η , ζ ) = g ( R ̄ ( X , Y ) η , ζ ) − g ( [ S η , S ζ ] X , Y ) {\displaystyle g(R^{\bot }(X,Y)\eta ,\zeta )=g({\bar {R}}(X,Y)\eta ,\zeta )-g([S_{\eta },S_{\zeta }]X,Y)}
ここで ∇ ̄ X I I {\displaystyle {\bar {\nabla }}_{X}I\!\!I} は
I I ( X , Y , η ) := g ( I I ( X , Y ) , η ) {\displaystyle I\!\!I(X,Y,\eta ):=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )}
を T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ N ∗ M {\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes N^{*}M} の切断とみたときの共変微分であり、
[ S η , S ζ ] X := S η ( S ζ ( X ) ) − S ζ ( S η ( X ) ) {\displaystyle [S_{\eta },S_{\zeta }]X:=S_{\eta }(S_{\zeta }(X))-S_{\zeta }(S_{\eta }(X))}
である。