完全数
N > 10 である。 これは1991年に示されたを約20年ぶりに改良したものである。
N は少なくとも10個の相異なる素因数を持つ。 これは2015年に発表されたものであるが、「9個以上」を示した2006年の結果を改良したものである。「7個」の場合は1972年までにカール・ポメランスによって示され、「8個」の場合は1980年ごろに Cheinと Hagisによってほぼ同時に示されており、その後多くの数学者の努力にもかかわらず、26年もの間「9個」の場合は示されなかった。
N が 3 で割り切れない場合は、少なくとも12個の素因数を持つ。3 でも 5 でも割り切れない場合は15個以上の、3 でも 5 でも 7 でも割り切れない場合は27個以上の相異なる素因数を持つ。
N は重複も数えて少なくとも101個の素因数を持つ。
N は 10 より大きい素因数を持つ。 これは2006年に発表されたものであるが、より古い下界としては2003年の 10や、1998年の 10などがある。
N の2番目に大きな素因数は 10 より大きい。
N の3番目に大きな素因数は 100 より大きい。
N は 10 より大きい素数冪因数を持つ。
小川洋子の小説『博士の愛した数式』(2003年)では登場人物の「博士」が阪神タイガースの江夏豊投手のファンであったことの理由として江夏の背番号が28であったことを挙げ、その際に完全数の説明がなされている。
日本プロ野球で初めて完全試合が達成されたのは月・日とも完全数の1950年6月28日だった。
偶数の完全数は無数に存在するか、つまり Mp = 2 − 1 が素数となる素数 p は無数に存在するかどうかは未解決である。