バーゼル問題
1644年にピエトロ・メンゴリ(イタリア語版、ドイツ語版)が「平方数の逆数全ての和は収束するか?仮に収束するとしてそれは幾らの数値に収束するか?」という問題を提起した。この問題は何人もの数学者が解決に挑み、中でもヤコブ・ベルヌーイは1689年にこの問題について取り組んだものの解決には至らなかった。
ベルヌーイに学んだレオンハルト・オイラーは、1735年にこの問題を平方数に限らず、自然数の偶数乗の逆数和について一般化した形式で解決した。ベルンハルト・リーマンはそのアイディアを取り入れることでゼータ関数を定義し、その性質を調べることに繋がった(1859年の論文「与えられた数より小さい素数の個数について」)。
平方数の逆数和は
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = lim n → ∞ ( 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 n 2 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)}