バーンサイドの定理
シローの定理より、G には位数 p の部分群 S が存在する。S は非自明な p-群だから、その中心 Z(S) は非自明である。そこで単位元でない g ∈ Z ( S ) {\displaystyle g\in Z(S)} がとれる。
g と共役な元の個数は共役作用についての固定部分群 Gg の指数 [G : Gg] に等しく、それは S の指数 q を割り切る。なぜなら S は Gg の部分群だからである。
よって共役な元の個数は q の形に書ける。さらに g は単位元でなかったから G において中心的でなく、整数 d は正である。
以下、群 G の複素数体 C 上の一般線型群における表現を考察する。