自然変換
因子団によって定まる群の拡大は1対1対応ではないが、同値な群の拡大を定める因子団の集合は Fact(G, H) 上の剰余類をなし、結果として群の拡大たちの群 Ext(G, H) を Fact(G, H) のある商群として与える。
以下、H はある自由群 F の商群 H = F/R とする。前段と同様に、h ∊ H に対して代表元 u0(h) ∊ F を選び、それによって定まる H の R における因子団を f0 で表す。このとき、準同型 θ: R → G に対して
とすると、fθ は H の G における因子団である。この対応はさらに、Hom(R, G) から Ext(G, H) への群準同型をなす。
いま、自由群の間の準同型 T: F' → F は T(R') ⊂ R を満たすとする。このとき、T は H' = F'/R' から H = F/R への準同型を誘導して、さらにこれは準同型 T*e: Ext(G, H) → Hom(G, H') を導く。また、T の事前合成 θ ↦ θ ∘ T {\textstyle \theta \mapsto \theta \circ T} は準同型 T*h: Hom(R, G) → Hom(R', G) を定める。
以上の設定の下で、θ ↦ fθ が定める因子団の対応 η: Hom(R, G) → Ext(G, H) および η': Hom(R', G) → Ext(G, H') は
を満たす。この意味で η は自然な対応である。