多冪数
多冪数を素因数分解すると、現れる指数は常に 1 より大きくなる。
2r + 3s(r, s は非負整数)は 1 より大きなすべての整数を表すから、多冪数は ab(a, b は自然数)の形に表される。また、b が平方因子をもたない整数という条件の下では、多冪数はこの形に一意的に表される。
多冪数の逆数の和は
∏ p ( 1 + 1 p ( p − 1 ) ) = ζ ( 2 ) ζ ( 3 ) ζ ( 6 ) = 315 2 π 4 ζ ( 3 ) {\displaystyle \prod _{p}(1+{\frac {1}{p(p-1)}})={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)} (p は全ての素数を走る)
に収束する。ここで ζ(s) はリーマンゼータ関数である(Golomb, 1970)。
k(x) を 1≤n≤x となる多冪数 n の個数とすると
c x 1 / 2 − 3 x 1 / 3 ≤ k ( x ) ≤ c x 1 / 2 , c = ζ ( 3 / 2 ) / ζ ( 3 ) = 2.