ガブリエルのラッパ
に注意する。したがって、上限 sup{f(x) | x ≥ t0} が有限となる t0 が存在する。ここに f は連続ゆえ M = sup{f(x) | x ≥ 1} は有限でなければならず、それにより f が [1,∞) で有界であることが導かれる。最後に体積
V = ∫ 1 ∞ f ( x ) ⋅ π f ( x ) d x ⩽ ∫ 1 ∞ M 2 ⋅ 2 π f ( x ) d x ⩽ M 2 ⋅ ∫ 1 ∞ 2 π f ( x ) 1 + f ′ ( x ) 2 d x = M 2 ⋅ A {\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{1}^{\infty }f(x)\cdot \pi f(x)\,{\mathit {dx}}\\[3pt]&\leqslant \int _{1}^{\infty }{M \over 2}\cdot 2\pi f(x)\,{\mathit {dx}}\leqslant {M \over 2}\cdot \int _{1}^{\infty }2\pi f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,{\mathit {dx}}\\[3pt]&={M \over 2}\cdot A\end{aligned}}}
に注意する。以上により面積 A が有限ならば、体積 V もまた有限でなければならない。