クリフォード代数
クリフォード代数は物理学においてたくさんの重要な応用を持つ。物理学者は通常クリフォード代数を次の性質を持つディラック行列と呼ばれる行列 γ0, ..., γ3 によって生成された基底を持つ代数と考える。
γ i γ j + γ j γ i = 2 η i j {\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij}}
ただし η は符号 (1, 3) の二次形式の行列である。これらはちょうど(重要でない因子 2 を除いて)クリフォード代数 Cl1,3(R) の定義関係式であり、その複素化(英語版)は Cl1,3(R)C でありこれはクリフォード代数の分類によって複素 4次行列の代数に同型である。
ディラック行列は最初ポール・ディラックによって、電子に対する相対論の一階波動方程式を書き、クリフォード代数から複素行列への明示的な同型を与えようとしていた時に、書き下された。結果はディラック方程式を定義しディラック作用素を導入するために用いられた。クリフォード代数全体はディラック場双線型(英語版)の形式の場の量子論において現れる。
量子論を記述するためのクリフォード代数の使用は中でも Mario Schönbergによって、geometric calculus の言葉では David Hestenes と Basil Hiley と hierarchy of Clifford algebras の共同研究者によって、そして Elio Conte et al.によって進められてきた。
標数が 2 でないとき、V 上の二次形式 Q は Cl(V, Q) のすべての上の二次形式に拡張することができる(これも Q によって表記する)。1 つのそのような拡張の基底に依存しない定義は
Q ( x ) = ⟨ t x x ⟩ {\displaystyle Q(x)=\langle {}^{t}\!xx\rangle }
ただし ⟨ a ⟩ {\displaystyle \langle a\rangle } は a のスカラー部分(Z-次数付けにおいて次数 0 の部分)を表記する。
Q ( v 1 v 2 ⋯ v k ) = Q ( v 1 ) Q ( v 2 ) ⋯ Q ( v k ) {\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}
を示すことができる、ただし vi は V の元である – この恒等式は Cl(V, Q) の任意の元に対しては正しく「ない」。