タングル
n-タングル (n-tangle)とは、交わらない n 本の(両端のある)曲線の 3次元球への適切な埋め込みのことである。各曲線の各端点は 3次元球の境界にあらかじめ指定された 2n 個の点のいずれかに写されなければならない。二つの n -タングルは、片方のタングルを他方に移す、境界を固定する全同位が存在するときに同値であるとする。タングルの理論は結び目理論の類似としてとらえられるが、閉曲線の代わりに端点が固定された紐を扱うというところが異なっている。
タングルはジョン・ホートン・コンウェイによって導入された。
なお,上の図で右端の, γ ′ {\displaystyle \gamma '} -タングルは, γ {\displaystyle \gamma } -タングルを変形したタングルである。
次に,一例として2重性並行表示と3-正則平面グラフの対応を図解する。 2重性並行表示には結び目84と結び目820を用いる。
なお,重み付き3-正則平面グラフとしての α {\displaystyle \alpha } -タングル, β {\displaystyle \beta } -タングル, γ {\displaystyle \gamma } -タングル, δ {\displaystyle \delta } -タングルを以下に図解する。
3交点から11交点までの結び目および絡み目の2重性並行表示と重み付き3-正則平面グラフが, The Knot Atlasに掲載されている。 また,別の報告で,3-正則平面グラフの全域木を用いて結び目を構成する方法の記述もある。