微分
関数 f(x) が x = a において微分可能ならば、 f(x) は x = a で必ず連続である。
一方で、関数がある一点で連続だったとしても、そこで微分可能でないことがある。
絶対値関数 f(x) = |x| は x = 0 において連続だが、この点で微分可能でない。h > 0 のときは (0, 0), (h, f(h)) を通る割線の傾きは 1 だが、h < 0 のときは −1 である。この例では、グラフは x = 0 においてカスプ(尖点)をもつという言い方をする。
関数 f(x) = x は x = 0 において連続だが、この点で微分可能でない。(0, 0), (h, f(h)) を通る割線の傾きは、h → 0 のとき正の無限大に発散するからである。この例は、グラフが滑らかにつながっているからといって微分可能とはかぎらないことを示している。
実用上現れる関数の大半は、ほとんど至るところで微分可能である。微分積分学の歴史(英語版)の初期には、多くの数学者は連続関数はほとんど至るところで微分可能であると考えていた。この仮定は緩やかな条件、たとえば単調性やリプシッツ連続性などのもとでは確かに満たされる。しかし1872年にヴァイアシュトラスは、至るところ連続だが、至るところ微分不可能な関数の例を与えた(ワイエルシュトラス関数)。1931年にバナフは、連続関数全体のなす空間において、少なくとも1点で微分可能な関数全体のなす集合が痩せている(meager)ことを示した。くだけた言い方をすれば、ほとんどあらゆる連続関数がすべての点で微分不可能なのである。
微分は解析学分野(特に微分積分学分野)の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導函数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。
一変数函数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点における函数のグラフの接線の傾きである。これは導函数がその入力値の近くでその函数の最適線型近似を記述するものであることを意味する。そのような理由で、微分係数はしばしば「瞬間の変化率」として記述される。瞬間の変化率は独立変数に依存する従属変数である。
微分は実多変数函数(英語版)にも拡張できる。この一般化において、導函数はそのグラフが(適当な変換の後)もとの函数のグラフを最適線型近似する線型変換と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値函数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。
導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算(英: differentiation)と言い、その逆の過程(原始函数を求めること)を反微分という。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である。
u, v が微分可能な x の函数で、a, b が x に無関係な定数のとき
線型性: ( a u + b v ) ′ = a u ′ + b v ′ . {\displaystyle (au+bv)'=au'+bv'.}
ライプニッツの法則: ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ , {\displaystyle (uv)'=u'v+uv',} d ( u 1 u 2 ⋯ u n ) d x = ∑ i = 1 n u 1 ⋯ u i − 1 d u i d x u i + 1 ⋯ u n = d u 1 d x u 2 u 3 ⋯ u n + u 1 d u 2 d x u 3 ⋯ u n + ⋯ + u 1 u 2 ⋯ u n − 1 d u n d x , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(u_{1}u_{2}\cdots u_{n})}{\mathit {dx}}}&=\sum _{i=1}^{n}u_{1}\cdots u_{i-1}{\frac {du_{i}}{\mathit {dx}}}u_{i+1}\cdots u_{n}\\&={\frac {du_{1}}{\mathit {dx}}}u_{2}u_{3}\cdots u_{n}+u_{1}{\frac {du_{2}}{\mathit {dx}}}u_{3}\cdots u_{n}+\cdots +u_{1}u_{2}\cdots u_{n-1}{\frac {du_{n}}{\mathit {dx}}},\end{aligned}}} d n ( u v ) d x n = ∑ i = 0 n ( n i ) u ( n − i ) v ( i ) .
点 a において全微分係数が存在するならば、a における f の任意の偏微分および方向微分が存在する。即ち、任意の v に対して f ′(a)v が f の a における v-方向への方向微分になる。f を座標成分函数を用いて f = (f1, f2, ..., fm) と書けば、全微分係数は、偏微分を用いて行列として表すことができる。この行列
f ′ ( a ) = Jac a = ( ∂ f i ∂ x j ) i j {\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}}
は f の a におけるヤコビ行列と呼ばれる。全微分係数 f ′(a) が存在することは、すべての偏微分が存在することよりも真に強い条件であるが、偏微分が全て存在して連続ならば全微分は存在し、それはヤコビ行列によって与えられ、a に関して連続的に変化する。
全微分係数の定義は一変数の場合も含むものになっている。f が実一変数の実数値函数であるとき、全微分係数の存在する必要十分条件は通常の微分係数が存在することである。ヤコビ行列は微分係数 f ′(x) を唯一の成分とする 1 × 1 行列であり、この行列は f(a + h) ≈ f(a) + f ′(a)h なる近似性質を持つ。変数を取り替える(英語版)違いを除いて、これは函数 x ↦ f(a) + f ′(a)(x − a) が f の a における最適線型近似であることを述べるものである。
微分可能な関数 f(x) について、導関数 f′(x) が正の値をとる区間では、f(x) の値は単調増加する(より詳しくいえば、狭義単調増加する)。導関数 f′(x) が負の値をとる区間では f(x) の値は単調減少する。導関数 f′(x) の値がつねに 0 であるような区間では、関数 f(x) の値は一定である。