級数
任意の集合 I と位相アーベル群 X に対して、I で添字付けられた X の元の族 a: I → X を考える。F を I の有限部分集合全体の成す部分集合族とすると、F は集合の包含関係に関する半順序集合として、交わりと結びをもつ有向集合となることに注意する。このとき、族 a の和 S は極限
S = ∑ i ∈ I a i = lim { ∑ i ∈ A a i | A ∈ F } {\displaystyle S=\sum _{i\in I}a_{i}=\lim {\Big \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,{\big |}A\in \mathbf {F} {\Bigr \}}}
として定義される。このとき、和が有限確定ならば族 a は無条件総和可能 (英: unconditionally summable) であるという。「和 S が有限部分和の極限である」というのは、X における 0 の任意の近傍 V に対して I の有限部分集合 A0 をうまく選べば
S − ∑ i ∈ A a i ∈ V ( ∀ A ⊃ A 0 ) {\displaystyle S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V\quad (\forall A\supset A_{0})}
となるようにできることをいう。F は全順序集合ではないから、これは「部分和の数列の極限」というのとは異なり、有向点族(ネット)の極限と考えなければならない。
位相アーベル群 X における単位元 0 の任意の近傍 W に対し、V − V ⊂ W を満たすより小さな近傍 V が存在する。
正項級数を
S := ∑ m = 0 ∞ a m {\displaystyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}}
と定めてその部分和を
S n := ∑ m = 0 n a m {\displaystyle S_{n}:=\sum _{m=0}^{n}a_{m}}
とする。このとき、
1 > a n + 2 a n + 1 > a n + 3 a n + 2 > ⋯ {\displaystyle 1>{\frac {a_{n+2}}{a_{n+1}}}>{\frac {a_{n+3}}{a_{n+2}}}>\cdots }
が成り立つとき、公比の最大値を用いて打切り誤差を
| S − S n | = | ∑ m = n + 1 ∞ a m | ≤ a n + 1 1 − a n + 2 / a n + 1 = a n + 1 2 a n + 1 − a n + 2 {\displaystyle |S-S_{n}|=\left|\sum _{m=n+1}^{\infty }a_{m}\right|\leq {\frac {a_{n+1}}{1-a_{n+2}/a_{n+1}}}={\frac {{a_{n+1}}^{2}}{a_{n+1}-a_{n+2}}}}
と評価できる。