フェンシェルの双対性定理
この双対問題に対する摂動函数は F ( x , y ) = f ( x ) + g ( A x − y ) {\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Ax-y)} で与えられる。
f,g および A は次のいずれかを満たす。
f と g は下半連続で、 0 ∈ core  ( dom  g − A dom  f ) {\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {dom} g-A\operatorname {dom} f)} 。ここで core {\displaystyle \operatorname {core} } は代数的内部であり、 dom  h {\displaystyle \operatorname {dom} h} はある函数 h に対する集合 { z : h ( z ) < + ∞ } {\displaystyle \{z:h(z)<+\infty \}} である。
A dom  f ∩ cont  g ≠ ∅ {\displaystyle A\operatorname {dom} f\cap \operatorname {cont} g\neq \emptyset } 。ここで cont {\displaystyle \operatorname {cont} } は函数が連続であるような点である。
このとき強双対性が成立する。すなわち p ∗ = d ∗ {\displaystyle p^{*}=d^{*}} となる。 d ∗ ∈ R {\displaystyle d^{*}\in \mathbb {R} } であるなら、順序集合が達成される。
数学においてフェンシェルの双対性定理(フェンシェルのそうついせいていり、英: Fenchel's duality theorem)は、ウェルナー・フェンシェル(英語版)の名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。
ƒ を R 上の真凸函数とし、g を R を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、
min x ( f ( x ) − g ( x ) ) = max p ( g ⋆ ( p ) − f ⋆ ( p ) ) {\displaystyle \min _{x}(f(x)-g(x))=\max _{p}(g_{\star }(p)-f^{\star }(p))\,}
が成り立つ。ここで ƒ は ƒ の凸共役(フェンシェル=ルジャンドル変換とも呼ばれる)であり、g * は g の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。