ウェーブレット
このような包含と直交の関係より,2組の恒等式
h n = ⟨ φ 0 , 0 , φ 1 , n ⟩ {\displaystyle h_{n}=\langle \phi _{0,0},\,\phi _{1,n}\rangle }
φ ( t ) = 2 ∑ n ∈ Z h n φ ( 2 t − n ) {\displaystyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }h_{n}\phi (2t-n)}
と
g n = ⟨ ψ 0 , 0 , φ 1 , n ⟩ {\displaystyle g_{n}=\langle \psi _{0,0},\,\phi _{1,n}\rangle }
ψ ( t ) = 2 ∑ n ∈ Z g n φ ( 2 t − n ) {\displaystyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }g_{n}\phi (2t-n)}
を満たす系列 h = { h n } n ∈ Z {\displaystyle h=\{h_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }} と g = { g n } n ∈ Z {\displaystyle g=\{g_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }} が存在することになる。
2番目の恒等式はファーザーウェーブレット φ {\displaystyle \phi } の洗練条件(英語版)と呼ばれる。これらの恒等関係は高速ウェーブレット変換(英語版)アルゴリズムの土台となっている。
ウェーブレット(英: wavelet)やマザーウェーブレット(英: mother wavelet)とは、数学において、局在する波、つまり、有限の長さの波もしくは速やかに減衰する波の事。ファーザーウェーブレット(英: father wavelet)とは、多重解像度解析にて使われる、マザーウェーブレット関数とセットで使われるスケーリング関数の事。waveletはwave(波)とlet(小さい)の合成語である。
ウェーブレット変換・ウェーブレット解析とは、ウェーブレットを用いて変換・解析する事。信号表現は入力信号に合致するようなウェーブレット波形の拡大縮小(スケーリング)・平行移動(シフト)により行われる。より正確には、この信号表現はウェーブレット系列と呼ばれ、これは2乗可積分関数のヒルベルト空間における完全正規直交系の基底関数集合(正規直交基底)を用いた線形基底展開である。