単調収束定理
この定理は上述の定理を一般化したものであり、いくつか存在する単調収束定理の中でおそらく最も重要なものである。ベッポ・レヴィ(英語版)の定理としても知られている。
実際、そうでないならば、 c − ε {\displaystyle c-\varepsilon } は { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} の上界となるが、これは c {\displaystyle c} が sup n { a n } {\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}} であることに反する。このとき、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} は増加であるため、 ∀ n > N , | c − a n | = c − a n ≤ c − a N < ε {\displaystyle \forall n>N,|c-a_{n}|=c-a_{n}\leq c-a_{N}<\varepsilon } が成り立つことから、定義により、 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} の極限は sup n { a n } {\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}} であることが分かる。