平面曲線
I 上の可微分曲線 α(t) = (φ(t), ψ(t)) と区間 [a, b] ⊂ I に対し、曲線の α(a) から α(b) までの弧長とは
で与えられる 弧長は媒介変数の取り換えに関して不変である。すなわち、β(s) ≔ α(t(s)) (t: J → I; s ↦ t ≔ t(s)) を媒介変数の取り換えとすれば、
が成り立つ。 曲線が y = f(x) と陽に与えられれば、x′ = 1 かつ df/dx = dy/dx となるから、弧長を
と書くことができる。 媒介変数の取り方として数学および幾何学的研究および応用において重要と考えられるものの一つに、平面極座標が挙げられる。曲線の極座標表示が r ≔ r(θ) (c ≤ θ ≤ d) で与えられれば、直交座標系における θ に関する媒介変数表示は
で与えられ、これらの微分は
となるから、さらに弧長は
と書ける。