完全方陣
6×6の完全方陣が存在しないことは以下のように証明できる。10以上の(4n+2)×(4n+2)の完全方陣においても同様の方法で証明ができる。
6×6の完全方陣が存在したとする。定和を C とおく。C=111であり、この数は奇数である。
上の左側2つの図の○の場所の合計はそれぞれ 3C である。よって、右の(○の数の合計)+(◎の数の合計の2倍)=6C である。右の図の○は3本の独立した汎対角線でもあるため、○の合計は3C である。整理すると、(◎の数の合計)×2=3C だが、3C=333=奇数なので矛盾する。
よって6×6の完全方陣は存在しない。
この証明には、「入っている数字が連続数→定和が奇数」ということを前提にしている。入る数字が連続数でなければ定和が偶数になることもあるのでこの場合には完全方陣を作ることができる。
通常の魔方陣は、縦列・横列及び対角線上の数の和が一定の値(定和)となる。完全方陣はそれに加え、対角線を平行移動させた列(以下「汎対角線」と呼ぶ)の和も定和になる。
上の魔方陣は完全方陣の一例である。
左上から右下へ向かう対角線とそれに平行な汎対角線の和: 1+11+16+6 = 8+2+9+15 = 13+7+4+10 = 12+14+5+3 = 34
左下から右上へ向かう対角線とそれに平行な汎対角線の和: 12+2+5+15 = 1+7+16+10 = 8+14+9+3 = 13+11+4+6 = 34
完全方陣はその性質より、端の列を反対側に移しても完全方陣となる。例えば上の図で、最上段の 1 14 4 15 を最下段に移動させても対角線及び汎対角線の和は定和に等しい。
n×n の完全方陣では、縦横の列・対角線・汎対角線で最低 4n組の n個の数字の和が定和になるが、他にも定和となる組み合わせが存在する。4×4の完全方陣では、任意の小正方形の4隅の和が定和になるなど、52組の4数の和が定和となる。5×5の完全方陣では、ある数字とそれに接する4個の数字の和が定和になる。