ウィグナー結晶
遷移金属2カルコゲン化物などの層状ファンデルワールス物質のいくつかは本質的にrsが大きな値をとり、2次元における理論ウィグナー結晶限界rs = 31~38を超える。大きなrsの原因は、1つにはpolaronic band narrowingを引き起こす強い電子フォノン相互作用による運動エネルギーの抑制に帰され、また1つには低温におけるキャリア密度の低さに帰される。このような物質、たとえば1T-TaS2では電荷密度波(charge density wave, CDW)状態はまばらに占有された√13×√13超格子をもち、rs = 70~100を示し、より伝統的な電荷密度波というよりもウィグナー結晶という用語でより良く説明されるかもしれない。この観点は理論モデルと走査型トンネル顕微鏡による系統的な計測の両方により支持されている。したがって、いわゆるCDW系におけるウィグナー結晶超格子はクーロン相互作用により局在化された秩序電子状態の初めての直接観測と考えることができる。
φ ( r ) = e 4 π ε 0 ( 3 a − 4 r 2 a 3 ) {\displaystyle \varphi (r)={\frac {e}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {3}{a}}-{\frac {4r^{2}}{a^{3}}}\right)}
ここでε0は真空誘電率である。−eφ(r)を調和振動子のエネルギーと比較すると、次の式が得られる。
1 2 m e ω 2 = e 2 π ε 0 a 3 {\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{e}\omega ^{2}={\frac {e^{2}}{\pi \epsilon _{0}a^{3}}}}
また、上式を量子調和振動子近似下の変位の二乗平均平方根の式に代入すると下式を得る。
⟨ r 2 ⟩ a = 3 8 ( 1 r s ) 1 / 4 {\displaystyle {\frac {\sqrt {\langle r^{2}\rangle }}{a}}={\sqrt {\frac {3}{8}}}\left({\frac {1}{r_{s}}}\right)^{1/4}}
そしてリンデマンの融解則から、ウィグナー結晶が安定であるためにはrs > 40を見たす必要があるといえる。量子モンテカルロシミュレーションによれば、一様電子ガスは実際には3次元ではrs = 106、2次元ではrs = 31でウィグナー結晶へ相転移する。
高温における古典系では温度単位の平均粒子間相互作用 G = e 2 / k B T a {\displaystyle G=e^{2}/k_{B}Ta} がパラメータとして用いられる。ウィグナー相転移は3次元ではG = 170、2次元ではG = 125で起こる。白色矮星の内部では、鉄などのイオンがウィグナー結晶を形成していると信じられている。