クラメール・ラオの限界
∫ R ∂ f ( x ; θ ) ∂ θ d x = ∂ ∂ θ ∫ R f ( x ; θ ) d x = ∂ ∂ θ ( 1 ) = 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{\frac {\partial f(x;\theta )}{\partial \theta }}\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}(1)=0}
であることを用いた)
と変形でき、クラメール・ラオの不等式は次のようにも書ける。
Var  ( θ ^ ) ≥ 1 I ( θ ) = 1 − E  [ ∂ 2 ∂ θ 2 ln  f ( X ; θ ) ] {\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {1}{I(\theta )}}={\frac {1}{-\operatorname {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(X;\theta )\right]}}}
こちらの公式の方が下限を評価するのにより有用な場合がある。
母数 θ {\displaystyle \theta } の推定量 θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} に b ( θ ) = E  [ θ ^ ] − θ {\displaystyle b(\theta )=\operatorname {E} [{\hat {\theta }}]-\theta } だけの偏りがあるとする。
ψ ( θ ) = b ( θ ) + θ {\displaystyle \psi (\theta )=b(\theta )+\theta } と置いて前項の結果を使うと、
Var  ( θ ^ ) ≥ [ 1 + b ′ ( θ ) ] 2 I ( θ ) {\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\theta }})\geq {\frac {[1+b'(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}}
不偏のときの不等式は、 b ( θ ) = 0 {\displaystyle b(\theta )=0} とした特別な場合である。
分散を小さくすることだけを考えるなら、定数関数となる「推定量」をとれば、分散はゼロである。しかし上記の式から、推定量の平均二乗誤差には
E  [ ( θ ^ − θ ) 2 ] ≥ [ 1 + b ′ ( θ ) ] 2 I ( θ ) + b ( θ ) 2 {\displaystyle \operatorname {E} \left[({\hat {\theta }}-\theta )^{2}\right]\geq {\frac {[1+b'(\theta )]^{2}}{I(\theta )}}+b(\theta )^{2}}