射影作用素
例えば、三次元空間 R の点 (x, y, z) を点 (x, y, 0) へ写す写像は xy-平面の上への射影である。この写像は行列
P = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}
によって表現される。実際、この行列 P の任意のベクトルへの作用は
P [ x y z ] = [ x y 0 ] {\displaystyle P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}}
となり、これが射影を定めること(つまり P = P を満たすこと)は
P 2 [ x y z ] = P [ x y 0 ] = [ x y 0 ] {\displaystyle P^{2}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}}
なる計算によって確かめられる。