ポアソン括弧
ポアソン括弧は運動の保存量を見つける為に役立つ。実際 H を時間不変なハミルトニアンとし、(q(t),p(t)) を H に関する正準方程式の解とし、f を(時刻に依存しない)可微分な任意の関数とすれば、
d d t f ( q ( t ) , p ( t ) ) = ∂ f ∂ q q ̇ + ∂ f ∂ p p ̇ = ( 1 ) ∂ f ∂ q ∂ H ∂ p − ∂ f ∂ p ∂ H ∂ q = { f , H } ( q ( t ) , p ( t ) ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(q(t),p(t))={\frac {\partial f}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\dot {p}}{\underset {(1)}{=}}{\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{f,H\}(q(t),p(t))}