スペクトル分解 (関数解析学)
X* を X の双対空間とし、T* : X* → X* を T の共役作用素とするとき、σ(T) = σ(T*) が成立する。
定理 有界作用素 T に対して、 σcp(T) = σp(T*) が成立する。特に、σr(T) ⊂ σp(T*) ⊂ σr(T) ∪ σp(T) である。
証明 記号 <·, φ> で、 X* 内のある元を表すことにする。すなわち、x → <x, φ> はある有界線型汎函数 φ の作用を表すものとする。 Ran(T − λ) が X で稠密でないとする。するとハーン-バナッハの定理より、Ran(T − λ) 上で消失するようなある非ゼロの φ ∈ X* が存在する。すべての x ∈ X に対して、
⟨ ( T − λ ) x , φ ⟩ = ⟨ x , ( T ∗ − λ ) φ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle (T-\lambda )x,\varphi \rangle =\langle x,(T^{*}-{\lambda })\varphi \rangle =0}