分数階微積分学
J α f = L − 1 { s − α ( L { f } ) ( s ) } {\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }({\mathcal {L}}\{f\})(s)\right\}}
が成り立つものと考える。例えば、
J α ( t k ) = L − 1 { Γ ( k + 1 ) s α + k + 1 } = Γ ( k + 1 ) Γ ( α + k + 1 ) t α + k {\displaystyle J^{\alpha }\left(t^{k}\right)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\Gamma (k+1) \over s^{\alpha +k+1}}\right\}={\Gamma (k+1) \over \Gamma (\alpha +k+1)}t^{\alpha +k}}
となることが期待される。実際に、畳み込み公式
L { f ∗ g } = ( L { f } ) ( L { g } ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}=({\mathcal {L}}\{f\})({\mathcal {L}}\{g\})}
が与えられれば(p(x) = x として)
このような理論の存在については、1832年からのリウヴィルの論文にその素地を見ることができる。函数の階数 a の分数階微分は今日ではしばしばフーリエ変換あるいはメリン変換といった積分変換の意味で定義される。重要なことは、点 x における分数階微分というものが「局所的」な概念であるのは、a が整数値をとる場合に限られるという点である。つまり、非整数階の場合には、函数 f の点 x における分数階微分が x の極近くでの f のグラフのみに依存して決まるということができない(整数階微分であればこれが言える)。然るに、分数階微分作用素の理論においてはある種の境界条件や函数についてのさらなる情報が関わってくることが想定される。喩えるならば、分数階微分はある種の周辺視野を要求するのである。