時間反転対称性
i ħ ∂ | ψ ′ ⟩ ∂ t ′ = H ′ | ψ ′ ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial |\psi '\rangle }{\partial t'}}=H'|\psi '\rangle }
⇔ i ħ ∂ T | ψ ⟩ ∂ ( − t ) = T H T † T | ψ ⟩ {\displaystyle \Leftrightarrow i\hbar {\frac {\partial T|\psi \rangle }{\partial (-t)}}=THT^{\dagger }T|\psi \rangle }
⇔ − i ħ ∂ | ψ ⟩ ∂ t = H | ψ ⟩ {\displaystyle \Leftrightarrow -i\hbar {\frac {\partial |\psi \rangle }{\partial t}}=H|\psi \rangle }
となって元の系の方程式とは符号が異なってしまう。であるから、時間反転演算子 T {\displaystyle T} はアンチユニタリ演算子でなければならない。