捩率テンソル
接バンドルの切断 (e1, ..., en) の局所基底の項として、捩率テンソルの成分 T c a b {\displaystyle T^{c}{}_{ab}} は、X=ei, Y=ej とし、係数の交換関係 γijek := [ei,ej] を導入することで導くことができる。すると、捩率テンソルの成分は、
T k i j := Γ k i j − Γ k j i − γ k i j , i , j , k = 1 , 2 , ... , n {\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n}
となる。
基底がホロノミー的(英語版)(holonomic)であれば、リーブラケットは 0 となる γ k i j = 0 {\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0} 。従って、 T k i j = 2 Γ k [ i j ] {\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}} となる。特に(以下にみるように)、測地線方程式が接続の対称部分を決定することに対し、捩率テンソルは反対称の部分を決定する。
は、捩率テンソルの標構成分であり、前の定義で与えられる。
ある可逆な行列値をとる函数 (gi) についての別な標構
e ~ i = e j g j i {\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\mathbf {e} _{j}g^{j}{}_{i}}
に対し、
Θ ~ i = ( g − 1 ) i j Θ j {\displaystyle {\tilde {\Theta }}^{i}=(g^{-1})^{i}{}_{j}\Theta ^{j}}
となるという意味で、 Θ がテンソル的に変換することを容易に示すことができる。言い換えると、Θ は (1,2) タイプの(ひとつの反変、ふたつの共変なインデックスをもつ)テンソルである。
代わって、ソルダー形式は、双対同型 End(TM) ≈ TM ⊗ TM の下に接バンドルの自己準同型の単位元に対応する M 上の TM に値をもつ 1-形式として、標構に独立な形であると特徴付けることができる。従って、捩れ 2-形式は、
Θ ∈ Hom ( ∧ 2 T M , T M ) {\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}(\wedge ^{2}TM,TM)}
の切断であり、
Θ = D θ , {\displaystyle \Theta =D\theta ,\,}
により与えられる。ここで、D は共変外微分(英語版)(exterior covariant derivative)である。(さらに詳しくは接続形式を参照。)