半連続
f ( x ) = sup i ∈ I f i ( x ) , x ∈ X {\displaystyle f(x)=\sup _{i\in I}f_{i}(x),\qquad x\in X}
で定義されるものとするとき、fは下半連続である。全ての fi が連続であったとしても、f は必ずしも連続ではない。実際に、一様空間(例えば距離空間)における全ての下半連続関数は連続函数列の上限として現れる。
あらゆる開集合の指示関数は下半連続である。閉集合の指示関数は上半連続である。
関数 f: R → R は、そのエピグラフ(グラフ上、またはグラフより上の点の集合)が閉集合である時にのみ下半連続となる。
位相空間 X について、関数 f: X → R が下半連続函数となることと、f が R 上のスコット位相(英語版) に関して連続であることとは同値である。