ラプラス作用素
関数 f の grad と div を外微分から定義する方法では
grad  f = ( d f ) ♯ , div  X = δ X ♭ {\displaystyle \operatorname {grad} f=(df)^{\sharp },\quad \operatorname {div} X=\delta X^{\flat }}
である。ここで「♭」、「#」はリーマン計量によって定義される接ベクトル空間から余接ベクトル空間への同型写像とその逆写像であり、δ は余微分であり、ホッジ双対を使ってδα ≔ (−1)∗d∗αにより定義される。ここで i は微分形式の次数であり、m は M の次元である。これを自然に拡張して微分形式 α に対し、
Δ H α := ( d δ + δ d ) α {\displaystyle \Delta ^{H}\alpha :=(d\delta +\delta d)\alpha }
と定義し、∆ をホッジ・ラプラシアン(英: Hodge Laplacian)という。なお α が α が 0-形式、すなわち M 上の関数の場合は dδα は 0 になるので、ホッジ・ラプラシアンは grad と div を合成である δdα に一致する。
ラプラス作用素のスペクトルは、対応する固有函数 f が
− Δ f = λ f {\displaystyle -\Delta f=\lambda f}
を満たすようにできる固有値 −λ の全てからなる。上の式はヘルムホルツ方程式と呼ばれるものである。 Ω を R の有界領域とすれば、ラプラス作用素の固有函数全体はヒルベルト空間 L(Ω) の正規直交基底を成す。この結果は本質的にはコンパクト自己随伴作用素に関するスペクトル定理をラプラス作用素の逆作用素(これはポワンカレ不等式およびレリッヒ=コンドラショフの定理によってコンパクト)に適用することにより従う。固有函数が無限回微分可能函数であることも示せる。この結果はより一般に、任意の境界付きコンパクトリーマン多様体上のラプラス=ベルトラム作用素について成り立ち、また実際に有界領域上滑らかな係数を持つ任意の楕円型作用素に対するディリクレ固有値問題についても正しい。Ω が超球面であるときの、ラプラス作用素の固有函数は球面調和函数と呼ばれる。
ラプラシアンを適当な仕方によって非ユークリッド空間に一般化することができて、それには楕円型、双曲型、超双曲型などが可能である。
ミンコフスキー空間におけるラプラス作用素はダランベール作用素(ダランベルシアン)
⧠ = 1/c∂/∂t − ∂/∂x − ∂/∂y − ∂/∂z
となる。これは考える空間上の等長写像群 (en:Isometry group) のもとで不変な微分作用素であるという意味においてラプラス作用素の一般化となるものであり、時間不変函数へ制限する限りにおいてはラプラス作用素に帰着される。ここでは計量の符号を作用素の空間成分に関して負符号を許すようにしてあることに注意(高エネルギー素粒子物理学ではこう仮定するのが普通)。ダランベール作用素は波動方程式に現れる微分作用素であるという理由で波動作用素と呼ばれることもある。これはまたクライン=ゴルドン方程式(質量の無い場合には波動方程式に帰着される)の成分でもある。
計量における余分な因子 c は、物理学において空間と時間を異なる単位で測っている場合に必要となるものである(例えば同様のことは x-方向をメートルで y-方向をセンチメートルで測ったりするような場合にも出てくる)。実際、理論物理学では方程式を簡単にする目的で、自然単位系などの単位系のもと c = 1 として扱うのがふつうである。