カーレマン行列
函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のカーレマン行列は次のように定義される。
M [ f ] j k = 1 k ! [ d k d x k ( f ( x ) ) j ] x = 0 , {\displaystyle M[f]_{jk}={\frac {1}{k!}}\left[{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(f(x))^{j}\right]_{x=0},}
したがって、次の(テイラー級数の)方程式が満たされる。
( f ( x ) ) j = ∑ k = 0 ∞ M [ f ] j k x k . {\displaystyle (f(x))^{j}=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{jk}x^{k}.}
例えば、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} を計算すると
f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ M [ f ] 1 , k x k {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }M[f]_{1,k}x^{k}}