QR分解
である。
今、
Q 1 A = [ 14 21 − 14 0 − 49 − 14 0 168 − 77 ] {\displaystyle Q_{1}A={\begin{bmatrix}14&21&-14\\0&-49&-14\\0&168&-77\end{bmatrix}}}
を見てみると、すでにほぼ三角行列である。あとは(3, 2)要素をゼロにするだけでよい。
(1, 1)における小行列を取り、同じプロセスを
A ′ = M 11 = [ − 49 − 14 168 − 77 ] {\displaystyle A'=M_{11}={\begin{bmatrix}-49&-14\\168&-77\end{bmatrix}}}
に再び適用する。
先述のメソッドと同様にして、このプロセスの次のステップが正しく動作するために、1で直和を取ることにより、ハウスホルダー変換
Q 2 = [ 1 0 0 0 − 7 / 25 24 / 25 0 24 / 25 7 / 25 ] {\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-7/25&24/25\\0&24/25&7/25\end{bmatrix}}}
を得る。
今、
G 1 = [ cos  ( θ ) 0 − sin  ( θ ) 0 1 0 sin  ( θ ) 0 cos  ( θ ) ] ≈ [ 0.94868 0 − 0.31622 0 1 0 0.31622 0 0.94868 ] {\displaystyle {\begin{aligned}G_{1}&={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&0&-\sin(\theta )\\0&1&0\\\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\\&\approx {\begin{bmatrix}0.94868&0&-0.31622\\0&1&0\\0.31622&0&0.94868\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
ここで G 1 A {\displaystyle G_{1}A} の結果は a 31 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{31}} 要素がゼロである。
G 1 A ≈ [ 12.64911 − 55.97231 16.76007 6 167 − 68 0 6.64078 − 37.6311 ] {\displaystyle G_{1}A\approx {\begin{bmatrix}12.
Q x = [ α 0 ⋯ 0 ] T {\displaystyle Q{\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}\alpha &0&\cdots &0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}\ }
これによりm×n行列Aを上三角の形に漸次変換できる。まず、xの最初の列を選んで得られるハウスホルダー行列Q1にAを乗算する。この結果、行列Q1Aは左の列が(最初の行を除き)ゼロになる。
Q 1 A = [ α 1 ⋆ ... ⋆ 0 ⋮ A ′ 0 ] {\displaystyle Q_{1}A={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\star &\dots &\star \\0&&&\\\vdots &&A'&\\0&&&\end{bmatrix}}}
この操作をA′ (Q1Aから最初の列と最初の行を除いたもの)に繰り返すと、ハウスホルダー行列Q′2が得られる。Q′2はQ1より小さいということに注意すること。A′の代わりにQ1Aで計算したいため、A′を左上に拡張し、ひとつの1を埋める必要がある。つまり、一般的には
Q k = [ I k − 1 0 0 Q k ′ ] {\displaystyle Q_{k}={\begin{bmatrix}I_{k-1}&0\\0&Q_{k}'\end{bmatrix}}}
とする。
行列の逆行列を直接求めるのに比べ、QR分解を利用した逆問題の解法は、条件数が減少していることからも分かるように、数値的に安定している。
次元が m × n {\displaystyle m\times n} で階数が m {\displaystyle m} であるような行列 A {\displaystyle A} に対して、劣決定( m < n {\displaystyle m<n} )線形問題 A x = b {\displaystyle Ax=b} を解くためには、まず A {\displaystyle A} の転置行列のQR分解 A T = Q R {\displaystyle A^{\textsf {T}}=QR} を求める。ただし、Qは直交行列(つまり、 Q T = Q − 1 {\displaystyle Q^{\textsf {T}}=Q^{-1}} )であり、Rは R = [ R 1 0 ] {\displaystyle R={\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}} という特殊な形である。ここで、 R 1 {\displaystyle R_{1}} は m × m {\displaystyle m\times m} 正方右三角行列、零行列は ( n − m ) × m {\displaystyle (n-m)\times m} 次元である。