代数的数
有理数体に有限個の代数的数を添加した体は、ある 1 つの代数的数を有理数体に添加した体に等しいので、有理数体の有限次拡大体(このような体のことを代数体という)となる。
逆に、任意の代数体は、有理数体に代数的数を添加した体に同型であるので、代数的数を、代数体の元のこととして定義することもできる。
これらのことから、任意の有理数に対して、加法、乗法、および、累乗根をとる操作を有限回適用することにより、代数的数をいくらでも生成することができる。
問題は、この逆、任意の代数的数は、これらの演算を用いて表現することが可能であるか否かであるが、まず 4 次以下の代数的数は、有限個の有理数を元にして、有限回の加法、乗法、および、累乗根を用いて表現することができる(代数的方程式の解法を参照)。
しかしながら、5 次以上の代数的数は、必ずしも、これらの演算を用いて表現することはできず、たとえば x − x − 1 = 0 の根は、有限個の有理数を基に、加法、乗法、および、累乗根を有限回用いて表現することはできない(ガロア理論を参照)。