境界要素法
とを同時に満たす解(ポテンシャル)u を求める問題である。ここで、Ωは領域であり、領域の境界Γは、ポテンシャルu が規定されている境界Γu と、フラックス q = ∂ u / ∂ n {\displaystyle q=\partial u/\partial n} が規定されている境界Γq からなり、 Γ u ∪ Γ q = Γ , Γ u ∩ Γ q = ∅ {\displaystyle \Gamma _{u}\cup \Gamma _{q}=\Gamma ,\Gamma _{u}\cap \Gamma _{q}=\emptyset } であるものとする。また、n は境界での外向き法線方向を示す。
上で示した支配方程式と関数u とをかけ合わせてΩに関する領域積分を考えると、u が真の解であれば支配方程式を満足するため、これを含む項を積分しても0となる。
∫ Ω ( ∂ 2 u ∂ x 1 2 ( x ) + ∂ 2 u ∂ x 2 2 ( x ) ) u ∗ ( x ) d Ω = 0 {\displaystyle \int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {x}})+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {x}})\right)u^{*}({\boldsymbol {x}})d\Omega =0}
具体的には、与えられた問題に対応する時間と空間に関する積分方程式(時間域積分方程式)を定式化の出発点とし、空間・時間双方を離散化した上で、当該の定式化の下での基本解と初期条件との領域積分(定式化の結果として残る積分項)が消滅するか、または境界積分に置換可能な場合に限り、時間発展問題の境界要素解析でも境界上の離散化だけで近似解が得られることになる。有限要素解析や差分計算の場合のように、時間方向の離散化を時間積分法で近似的に処理すると、解析における各時刻において現時刻での場の値と基本解とを含む領域積分が生じ、上述の特徴は失われてしまうことになる。
なお、境界要素法は、幾何学的非線形問題や材料非線形問題のように、領域内部で満たすことを求められる支配方程式や構成方程式そのものに非線形性がある場合でも近似解を得ることが可能ではある。しかし、定式化の取り扱いの中で領域積分が副次的に生じ、境界要素法の最大の利点である「境界上の離散化だけで近似解が得られる」点が失われてしまい、現在ではあまり用いられない。