ブレイド群
ブレイド関係式より、a = b であることが従う後者の積を c で表すことにすると、c が B3 の中心の中に含まれることを意味するブレイド関係式
σ 1 c σ 1 − 1 = σ 2 c σ 2 − 1 = c {\displaystyle \sigma _{1}c\sigma _{1}^{-1}=\sigma _{2}c\sigma _{2}^{-1}=c}
を得ることが分る。C を c により生成された B3 の部分群とすると、C ⊂ Z(B3) であるので、この群は正規部分群であり、商群 B3/C をとることができる。B3/C ≅ PSL(2, Z) であることが分り、この同型は明確な形で表すことができる。剰余類 σ1C と σ2C は次のように写像される。
σ 1 C ↦ R = [ 1 1 0 1 ] σ 2 C ↦ L − 1 = [ 1 0 − 1 1 ] {\displaystyle \sigma _{1}C\mapsto R={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\qquad \sigma _{2}C\mapsto L^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}}
ブレイド群は1925年にエミール・アルティン(Emil Artin)により明示的に導入された。、しかし(1974年にウィルヘルム・マグナス(英語版)(Wilhelm Magnus)が指摘しているように)暗にではあるが、ブレイドは、1891年のアドルフ・フルヴィッツ(Adolf Hurwitz)のモノドロミーの論文の中に現れていた。実際、マグナスは、フルヴィッツはブレイド群を配置空間の基本群として解釈していて(組みひも理論を参照)、1962年にラルフ・フォックス(英語版)(Ralph Fox)とレー・ノイヴィルス(英語版)(Lee Neuwirth)により再発見されるまで、この見方をもたらす解釈は失われていた。