異時点間CAPM
d W k = W k ( ( 1 − ∑ i = 1 n w i k ) d P 0 P 0 + ∑ i = 1 n w i k d P i P i ) − c k d t = ( ( ∑ i = 1 n w i k ( α i − r ) + r ) W k − c k ) d t + W k ∑ i = 1 n w i k σ i d Z i {\displaystyle dW^{k}=W^{k}\left(\left(1-\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}\right){\frac {dP_{0}}{P_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}\right)-c^{k}dt=\left(\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}(\alpha _{i}-r)+r\right)W^{k}-c^{k}\right)dt+W^{k}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{k}\sigma _{i}dZ_{i}}
ここで c k {\displaystyle c^{k}} は投資家 k {\displaystyle k} の消費額を表す。
投資家 k {\displaystyle k} は次の時点 t {\displaystyle t} から T > t {\displaystyle T>t} までの期待効用最大化問題に直面しているとする。
V k ( t , W k , x 1 , ... , x S ) = max w 1 k , ...
異時点間CAPM(いじてんかんキャップエム、英: intertemporal CAPM, ICAPM)とは、金融資産の期待収益率のクロスセクション構造を記述するための理論。ICAPMとも言う。ロバート・マートンにより1973年に発表された。静学的なモデルであった資本資産価格モデルに動学的な構造を取り入れたモデルであり、資産価格モデルの類型の一つであるマルチファクターモデルの理論的基礎と見なされ、資産価格理論においては基本的な理論モデルの一つである。
よってこの仮定が満たされる時、ICAPMは以下のようなマルチファクターモデル(英: multi-factor model)としての表現を持つ。
α i − r = β i , M ( α M − r ) + ∑ s = 1 S β i , s ( α s − r ) {\displaystyle \alpha _{i}-r=\beta _{i,M}(\alpha _{M}-r)+\sum _{s=1}^{S}\beta _{i,s}(\alpha _{s}-r)}
このようなポートフォリオ s = 1 , ... , S {\displaystyle s=1,\dots ,S} を状態変数模倣ポートフォリオ(英: state-variable mimicking portfolio)と呼ぶ。
特に状態変数の数が一つで、その状態変数とある金融資産 n {\displaystyle n} の収益率が完全に相関するならば、任意の n {\displaystyle n} を除く金融資産 i {\displaystyle i} の瞬間的な期待収益率について次が成立する。
次に状態模倣ポートフォリオが存在すると仮定する。つまり、任意の s = 1 , ... , S {\displaystyle s=1,\dots ,S} について、あるポートフォリオ φ s {\displaystyle \phi _{s}} が存在して、
d X s = ( 1 − ∑ i = 1 n φ s , i ) d P 0 P 0 + ∑ i = 1 n φ s , i d P i P i {\displaystyle dX_{s}=\left(1-\sum _{i=1}^{n}\phi _{s,i}\right){\frac {dP_{0}}{P_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}\phi _{s,i}{\frac {dP_{i}}{P_{i}}}}
を満たすとする。ここで行列 Φ {\displaystyle \Phi } を
Φ = ( φ 1 , 1 ⋯ φ 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ φ S , 1 ⋯ φ S , n ) {\displaystyle \Phi =\left({\begin{array}{ccc}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{S,1}&\cdots &\phi _{S,n}\end{array}}\right)}