シュタイナーの内接楕円
シュタイナーの内接楕円の中心は、元の三角形の重心である。重心を中心とする唯一の内接楕円である。
シュタイナーの内接楕円の面積は、内接楕円の中で最も大きい。その面積は元の三角形の面積の π 3 3 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}} 倍である 。 これは同じ三角形のシュタイナー楕円の1/4にあたる。
三角形に内接する二次曲線のうち、2辺以上の中点に接するのはシュタイナーの内接楕円のみである。
シュタイナーの内接楕円は中点三角形のシュタイナー楕円である。
シュタイナーの内接楕円の長軸と短軸の長さは以下の式で表される。
1 6 a 2 + b 2 + c 2 ± 2 Z , {\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}
ただし Z は以下の式で与えられる。
Z = a 4 + b 4 + c 4 − a 2 b 2 − b 2 c 2 − c 2 a 2 . {\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}
複素数平面において、三角形の3つの頂点の座標を零点にもつような3次式を考えたとき、シュタイナーの内接楕円の焦点の座標はその3次式の導関数の零点となる。(マーデンの定理(英語版))