偏微分
一般の場合、u = f(x1, x2, ..., xn) の変数 xi (1 ≤ i ≤ n) に関する偏微分または偏導関数とは、R のある領域 D の各点において極限
lim Δ x i → 0 f ( x 1 , ... , x i + Δ x i , ... , x n ) − f ( x 1 , ... , x i , ... , x n ) Δ x i {\displaystyle \lim _{\Delta x_{i}\to 0}{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{i}+\Delta x_{i},\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})}{\Delta x_{i}}}}
が存在するとき、その極限として得られる D 上の関数のことをいい
∂ f ∂ x = f x = ∂ x f = u x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f=u_{x}}
などであらわす。他に使われている変数を明示するときは
( ∂ f ∂ x ) y , z , ∂ x f ( x , y , z ) , u x | x 1 , x 2 , ... , x n {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z},\quad \partial _{x}f(x,y,z),\quad u_{x}|_{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}}
などの記法が使われる