ハイゼンベルク群
と表すことができる。
H(Z) は H(R) の離散部分群であり、任意の元は
x = [ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ] , y = [ 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ] , z = [ 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle x={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad y={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad z={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
とおけば xyz と表せることがわかる。また z = yxyx が成り立つので H(Z) は x と y の2元から生成される。
H(Z/pZ) は一般線型群 GL3(Z/pZ) のシロー p 部分群で、位数は p である。p が奇素数のとき、すべての元 g は g = 1 を満たす。