フェルミエネルギー
d {\displaystyle d} 次元の体積積分を使うと、状態密度は、
g ( E ) = d j ∫ d d k → ( 2 π ) d / V δ ( E − E 0 − ħ 2 k → 2 2 m ) = V d m d / 2 ( E − E 0 ) d / 2 − 1 ( 2 π ) d / 2 Γ ( d / 2 + 1 ) ħ d d j 2 {\displaystyle g(E)=d_{j}\int {\frac {d^{d}{\vec {k}}}{(2\pi )^{d}/V}}\delta \left(E-E_{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}^{2}}{2m}}\right)=V{\frac {d\,m^{d/2}(E-E_{0})^{d/2-1}}{(2\pi )^{d/2}\ \Gamma (d/2+1)\hbar ^{d}}}{\frac {d_{j}}{2}}}
粒子数を求めることにより、フェルミエネルギーを抽出できる。
n = ∫ E 0 E 0 + E F g ( E ) d E {\displaystyle n=\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{\mathrm {F} }}g(E)\,dE}
よって
E F = 2 π ħ 2 m ( 1 d j Γ ( d 2 + 1 ) n ) 2 / d {\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m}}\left({\frac {1}{d_{j}}}\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)n\right)^{2/d}}
ここで d j {\displaystyle d_{j}} は内部ヒルベルト空間の次元であり、スピン 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} の場合は2である。