置換公理
しかし、内包によって完全に順序付けられていないため、これは順序数ではない。
大きな順序数ほど直接的には置換公理を使わなくなる。例えば、最小の非可算順序数 ω1 は、以下のように構築できる。分出公理と冪集合公理より、可算整列集合は P ( N × N ) {\displaystyle P({\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} })} の部分集合として存在する(A 上の関係は A × A {\displaystyle A\times A} の部分集合であるため、冪集合 P ( A × A ) {\displaystyle P(A\times A)} の元となる。それゆえ、関係の集合は P ( A × A ) {\displaystyle P(A\times A)} の部分集合となる)。各整列集合をその順序数で置き換えると可算順序数の集合 ω1 となり、これは非可算であることが示せる。この構築法では置換公理を2回使っている。まず各整列集合に順序数を割り当てるところで用い、そして整列集合をその順序数で置き換えるところで使っている。これはハルトークス数の結果の特別な場合であり、一般の場合も同様に証明できる。
上記のように、順序数をすべての整列集合へ割り当てるのにも置換公理が必要である。