D-加群
そしてこれと似たものとして、C 上の正則函数の環 O ( C n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbf {C} ^{n})} (n 個の複素変数の関数からなる空間)がある。
x を複素変数、ai(x) を多項式として、微分作用素 P = an(x) ∂ + ... + a1(x) ∂ + a0(x), が与えられると、商加群 M = A1(C)/A1(C)P は微分方程式
P f = 0,
の解の空間と密接に関係する。ここに f は、いわば、C の正則函数である。この方程式の解からなるベクトル空間は、D-加群の準同型の空間 H o m ( M , O ( C ) ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))} により与えられる。
ワイル代数は(左と右の)ネター環であることを示すことができる。さらに、ワイル代数は単純である、つまり、両側のイデアルがゼロイデアルか、環全体である。これらの性質は、D-加群の研究をより管理しやすくする。幸い、ヒルベルト多項式や多重度や加群の長さといった標準的な可換代数からの記法が D-加群の上にある。さらに詳しくは、ベルンシュタインフィルトレーション(Bernstein filtration)は、DX が、(多重指数記法を使い) |α|+|β| ≤ p であるような微分作用素 x∂ の K-線型結合からなるフィルトレーション(英語版) FAn(K) である。付随する次数付き環は、2n 個の変数の多項式環に同型であると見ることができる。特に、この環は可換である。
有限生成な D-加群 M は、いわゆる「良い」フィルトレーション FM を持ち、このフィルトレーションは FAn(K) と整合性を持ち、アルティン・リースの補題の状況と本質的には平行である。ヒルベルト多項式は、大きな n に対する函数
n ↦ dimK FM
に一致する数値多項式(英語版)と定義することができる。An(K)-加群 M の次元 d(M) は、ヒルベルト多項式の次数であると定義される。この次数は、ベルンシュタインの不等式
n ≤ d(M) ≤ 2n.
により有界である。
次元が可能な限り最小な n である加群をホロノミックと呼ぶ。
A1(K)-加群 M = A1(K)/A1(K)P (上記参照)は、任意の 0 でない微分作用素 P に対してホロノミックである。ただし、単純な高次元ワイル代数は成立しない。