リーマンのクシー関数
単純な無限積展開は
Ξ ( s ) = Ξ ( 0 ) ∏ ρ ( 1 − s ρ ) , {\displaystyle \Xi (s)=\Xi (0)\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!}
ただし ρ は ξ の根を走る。
展開の収束を保証するには、積は零点の "matching pairs" 上でとられなければならない、すなわち ρ と 1 − ρ の形の零点のペアの因子は一緒にグループされなければならない。
クシー関数は級数展開
d d z log  ξ ( − z 1 − z ) = ∑ n = 0 ∞ λ n + 1 z n {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n}}
をもつ、ただし
λ n = 1 ( n − 1 ) ! d n d s n [ s n − 1 log  ξ ( s ) ] | s = 1 = ∑ ρ [ 1 − ( 1 − 1 ρ ) n ] {\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right]}
であり、この和はゼータ関数の非自明な零点 ρ を |Im(ρ)| の順番で渡る。
この展開は Li's criterion(英語版) においてとりわけ重要な役割を果たす。その主張は、リーマン予想はすべての正の n に対して λn > 0 であることと同値であるというものである。