ポテンシャル
式(1)について、F は力なので、これに関しての質量 m の質点(簡単のため1質点を想定)の運動方程式は、
F = m d 2 r d t 2 = − ∇ V {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}} \over {\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V}
となる。dr /dt は質点の加速度である。真中と右辺にそれぞれ dr /dt をかけ、時間 t で積分すると次の式を得る。
1 2 m ( d r d t ) 2 + V ( r ) = c o n s t a n t {\displaystyle {1 \over 2}m\left({\mathrm {d} {\boldsymbol {r}} \over {\mathrm {d} t}}\right)^{2}+V({\boldsymbol {r}})=\mathrm {constant} }
これは、
力の作用する範囲内で質点が、位置AからBへ運動する間になす仕事 WA-B は、
W A − B = V A − V B {\displaystyle W_{\mathrm {A-B} }\,=V_{\mathrm {A} }-V_{\mathrm {B} }}
となる。VA は位置Aでのポテンシャル、VB は位置Bでのポテンシャルである。この結果は、質点の動いた経路に依らない。どのような経路を通るかに関わらず、なした仕事がどの経路でも等しい場合、この時に質点に働く力を保存力(conservative force)と言う。また、保存力のみが作用する場(力場)を保存力場(conservative force field)と言う。また保存力では、質点が位置Aから出発して位置Aに戻る経路(閉じた経路)の場合、質点のなした仕事は、途中の通った道筋に関係なくゼロとなる。
このように(スカラー)ポテンシャルによる力は保存力となる。また、逆に保存力は必ずポテンシャルを伴うことが言える。