ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
数学では、ナビエ-ストークス方程式は、任意の大きさの抽象的なベクトル場の非線型偏微分方程式系である。物理学や工学では、連続体力学を使った非圧縮な気体、もしくは液体を主とした流体の運動のモデル化した方程式の系である。 方程式はニュートンの第二法則の主張であり、圧力や粘性ストレスや外の物体からの力の寄与の和として、粘性を持ったニュートン流体の中のこれらの場に沿ってモデル化された力を持っている。クレイ数学研究所によって提起されている問題の設定は、3次元の非圧縮で等質な液体に対してであり、以下で考える場合についてである。
v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)} を流体の速度の 3次元のベクトル場とし、 p ( x , t ) {\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)} を流体の圧力の場とする。 ナビエ-ストークス方程式は、
∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v = − ∇ p + ν Δ v + f ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}
外力 f ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {f} (x,t)} は同様に滑らかであることを前提とし、次の似たような不等式を満たす(ここでは、多重指数は同様に時間微分を意味する)。
全ての ( x , t ) ∈ R 3 × [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \qquad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )} に対し、 | ∂ α f ( x , t ) | ≤ C ( 1 + | x | + t ) K {\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f} (x,t)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert +t)^{K}}}\qquad } となる。
物理的に合理的条件のため、期待される解のタイプは | x | → ∞ {\displaystyle \vert x\vert \to \infty } ほどは増大度を持たない滑らかな函数とする。詳しくは、次の前提を設定する。