ファトゥ成分の分類
f が拡張複素平面で定義された有理関数
f = P ( z ) Q ( z ) {\displaystyle f={\frac {P(z)}{Q(z)}}}
で、(次数が 1 より大きい)非線型関数であり、
max ( deg  ( P ) , deg  ( Q ) ) ≥ 2 {\displaystyle \max(\deg(P),\,\deg(Q))\geq 2}
が成立するなら、ファトゥ集合の周期成分 U {\displaystyle U} に対して、次のいずれか唯一つが成立する:
U {\displaystyle U} は吸引周期点を含む;
U {\displaystyle U} は放物型である;
U {\displaystyle U} はジーゲル円板である;
U {\displaystyle U} エルマン環である。
この三つ目が成立するのは、f(z) が単位円板からそれ自身への上へのユークリッド回転と解析的に共役である場合のみであることが示される。また四つ目が成立するのは、f(z) があるアニュラスからそれ自身へのユークリッド回転と解析的に共役である場合のみであることが示される。