空間 (数学)
内積空間は、内積と呼ばれる特定の条件を満足する双線型形式(または半双線型形式)を備えた実または複素線型空間である。任意の内積空間はノルム空間であるが、逆にノルム空間が内積空間であるための必要十分条件は、中線定理が成立すること、あるいは同じことだがその単位球体が楕円体となることである。ベクトルの成す角は内積空間において一般に定義される。ヒルベルト空間は完備な内積空間として定義される(文献によってはヒルベルト空間として複素線型空間であることを要求するものもあるが、実ヒルベルト空間を考えるものもある)。多くの数列空間や函数空間が無限次元のヒルベルト空間を成す。ヒルベルト空間は量子論において非常に重要である。
n-次元実内積空間はどれも互いに同型である。n-次元ユークリッド空間は n-次元内積空間から原点を忘れたものということができる。
二つの基本的な空間として、線型空間(ベクトル空間とも)と位相空間が挙げられる。
線型空間は代数学的な性質のものである。(実数全体の成す体上で定義される)実線型空間、(複素数全体の成す体上で定義される)複素線型空間、あるいはもっと一般に任意の体上の線型空間などが考えられる。実数は複素数でもあるから、任意の複素線型空間は実線型空間でもある(後者は前者の台)。定義によって線型空間が与えられたとき、線型作用素は「直線」(および「平面」あるいは他の線型部分空間)、「平行線」、楕円(あるいは楕円体)などの概念を導く。しかし、「直交」(あるいは「垂直」)の概念を定義することはできないし、円を楕円の中の特別なものとして選び出すことなどはできない。線型空間の次元は線型独立なベクトルの数の最大値として、あるいは同じことだが空間全体を張るベクトルの数の最小値として定義される(それは有限かもしれないし無限かもしれない)。同じ体上の二つの線型空間が互いに同型となるための必要十分条件は、それらの次元が等しいことである。
位相空間は解析学的な性質を持つものである。定義により位相空間が与えられるとき、開集合を用いて連続函数・連続な道・連続写像、点列の収斂や極限、内部・境界・外部といったような概念を導くことができる。
これは、いくつかの公理によって束縛された根源的な未定義術語(「点」、「の間に」、「合同」など)を通じて、空間を記述するやり方である(綜合幾何学)。このような「ゼロから組み立てられた」定義は、その空間と他の空間との関係が明らかではないので、現在はあまり用いられない。現代的な三次元ユークリッド空間の定義はもっと代数的に、線型空間と二次形式を通じて与えられる。すなわち、三次元内積空間から原点を忘れて得られるアフィン空間が三次元ユークリッド空間である。
三次元射影空間も現在では古典的な公理による定義ではなく、四次元線型空間の一次元部分空間(つまり原点を通る直線)の全体が成す空間として定義される。
現在では、空間というものは、点として扱われる選ばれた数学的対象(例えば、別な空間上の写像や別の空間の部分空間、あるいは単に集合の元など)と、それらの点の間の選ばれた関係とからなるものと理解される。すなわち、空間とは単に数学的構造であるに過ぎない。ある構造を「空間」と呼ぶときは、そうでない場合よりも幾何学的な扱いが期待されるものと考えることができるが、これは常に正しいというわけではない。例えば、可微分多様体(滑らかな多様体)は可測空間よりもかなり幾何学的な対象だが、これを可微分空間や滑らかな空間と呼ぶことはない。