アポロニウスの円束
円に関する反転(英語版)は平面上で定義された変換として、(一般化された)円をべつの円に写し、したがって円束をほかの円束に写すが、このとき束の種類は保たれる(楕円型円束の反転像はやはり楕円型であり、双曲型円束の反転像は双曲型、同様に抛物型の反転像は抛物型の円束を与える)。
アポロニウスのふたつの円束が垂直に交わる(直角を成す)ことは、円に関する反転を用いれば比較的見易い:
アポロニウス円束を、点 C を中心とする円に関して反転すると、点 D の反転像を中心とする同心円束に写る。それと同時に、共軛アポロニウス円束は D の反転像を基点とする直線束に写る。
したがって、この反転変換によって、Apollonian circles の定める双極座標系は極座標系に写ることになる。変換後のふたつの束が直交することは明らかであり、また反転は等角写像—すなわち変換の前後で角度を保つ変換—であるから、もとのふたつの円束も互いに直角に交わることがわかる。