逆三角関数
逆三角関数は、直角三角形において、辺の長さから鋭角を求めるときに有用である。例えば sin の直角三角形による定義を思い出すと
θ = arcsin  opposite hypotenuse {\displaystyle \theta =\arcsin {\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}}
が従う。しばしば、斜辺 (hypotenuse) は未知であり arcsin や arccos を使う前に、ピタゴラスの定理:a + b = h(h は斜辺の長さ)を使って計算される必要がある。逆正接関数はこの状況で重宝する、なぜなら斜辺の長さは必要ないからだ。
θ = arctan  opposite adjacent . {\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}.}
例えば、7 メートル行くと 3 メートル下がる屋根を考えよう。この屋根は水平線と角度 θ をなす。このとき θ は次のように計算できる:
θ = arctan  opposite adjacent = arctan  rise run = arctan  3 7 ≈ 23.2 ∘ . {\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}=\arctan {\frac {\text{rise}}{\text{run}}}=\arctan {\frac {3}{7}}\approx 23.2^{\circ }.}
それはまた複素数 x + iy の偏角の主値にも等しい。
この関数はタンジェント半角公式(英語版)を用いて次のようにも定義できる:x > 0 あるいは y ≠ 0 ならば
atan2  ( y , x ) = 2 arctan  y x 2 + y 2 + x {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}}
しかしながらこれは x ≤ 0 かつ y = 0 が与えられると成り立たないので、計算機で用いる定義としては適切ではない。
上の引数の順序 (y, x) は最も一般的のようであり、特にC言語のようなISO規格において用いられるが、少数の著者は逆の慣習 (x, y) を用いているため、注意が必要である。これらのバリエーションは atan2 に詳しい。
x, y 共に 0 の場合、インテルの CPU の FPATAN 命令、Javaプラットフォーム、.NET Framework などは下記ルールに従っている。
atan2(+0, +0) = +0
atan2(+0, −0) = +π
atan2(−0, +0) = −0
atan2(−0, −0) = −π
x が実数である場合のみ、以下の関係が成り立つ:
d d x arcsec  x = 1 | x | x 2 − 1 ; | x | > 1 d d x arccsc  x = − 1 | x | x 2 − 1 ; | x | > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}}
導出例:θ = arcsin x であれば:
d arcsin  x d x = d θ d sin  θ = d θ cos  θ d θ = 1 cos  θ = 1 1 − sin 2  θ = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d\arcsin x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {d\theta }{\cos \theta \,d\theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
多くの応用において方程式 x = tan y の解 y は与えられた値 −∞ < η < ∞ にできるだけ近い値を取るべきである。適切な解はパラメータ修正逆正接関数
y = arctan η  x := arctan  x + π ⋅ rni  η − arctan  x π {\displaystyle y=\arctan _{\eta }x:=\arctan x+\pi \cdot \operatorname {rni} {\frac {\eta -\arctan x}{\pi }}}
によって得られる。丸め関数 rni {\displaystyle \operatorname {rni} } は引数に最も近い整数を与える (round to the nearest integer)。