リー環の指数写像
によって与えられる。この写像は純虚四元数の中の半径 R の 2 次元球面を { s ∈ S 3 ⊂ H : Re  ( s ) = cos  ( R ) } {\displaystyle \{s\in S^{3}\subset \mathbf {H} :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}} , R ≢ 0 ( mod 2 π ) {\displaystyle R\not \equiv 0{\pmod {2\pi }}} のとき半径 sin  ( R ) {\displaystyle \sin(R)} の 2 次元球面、にうつす(cf. パウリベクトルの指数関数(英語版)。)これを上の最初の例と比較せよ。
V を有限次元実ベクトル空間としそれを加法的なリー群と見る。すると V を 0 での接空間と同一視することで Lie  ( V ) = V {\displaystyle \operatorname {Lie} (V)=V} であり、指数写像
exp : Lie  ( V ) = V → V {\displaystyle \operatorname {exp} :\operatorname {Lie} (V)=V\to V}
は恒等写像である。
すべての点において局所微分同相とはなっていないのである。例えば、so(3) から SO(3) への写像は被覆写像でない。この不成立に関してはcut locus(英語版)も参照。
指数写像の像は常に G の単位成分(英語版)に入る。G がコンパクトなときには、指数写像は単位元成分への全射である。
一般に、指数写像は以下の場合に全射である: G は連結かつコンパクト、G は連結かつ冪零、 G = G L n ( C ) {\displaystyle G=GL_{n}(\mathbb {C} )} 。
連結だがコンパクトでない群 SL2(R) の指数写像の像は群全体ではない。その像は固有値が正か絶対値 1 の C-対角化可能な行列と固有値 1 の対角化可能でない三角化可能行列からなる。
写像 γ ( t ) = exp  ( t X ) {\displaystyle \gamma (t)=\exp(tX)} は X に伴う右左両方不変なベクトル場の単位元を通る積分曲線である。
X に伴う左不変ベクトル場 X L {\displaystyle X^{L}} の g ∈ G {\displaystyle g\in G} を通る積分曲線は g exp  ( t X ) {\displaystyle g\exp(tX)} によって与えられる。同様に、右不変ベクトル場 X R {\displaystyle X^{R}} の g を通る積分曲線は exp  ( t X ) g {\displaystyle \exp(tX)g} によって与えられる。