自己回帰移動平均モデル
X t {\displaystyle X_{t}} の別の表現方法として、最初の式で X t − 1 {\displaystyle X_{t-1}} を c + φ X t − 2 + ε t − 1 {\displaystyle c+\varphi X_{t-2}+\varepsilon _{t-1}} に置き換える方法がある。これを再帰的に N回繰り返すと次の式になる。
X t = c ∑ k = 0 N − 1 φ k + φ N X φ − N + ∑ k = 0 N − 1 φ k ε t − k . {\displaystyle X_{t}=c\sum _{k=0}^{N-1}\varphi ^{k}+\varphi ^{N}X_{\varphi -N}+\sum _{k=0}^{N-1}\varphi ^{k}\varepsilon _{t-k}.}
N が無限大に近づくと、 φ N {\displaystyle \varphi ^{N}} はゼロに近づき、最終的に次の式が得られる。
X t = c 1 − φ + ∑ k = 0 ∞ φ k ε t − k {\displaystyle X_{t}={\frac {c}{1-\varphi }}+\sum _{k=0}^{\infty }\varphi ^{k}\varepsilon _{t-k}}