逆数学
Theory of hyperarithmetic analysisの例として、 weak- Σ 1 1 -AC 0 {\displaystyle {\mbox{weak-}}\Sigma _{1}^{1}{\mbox{-AC}}_{0}\,} 、 Δ 1 1 -CA 0 {\displaystyle \Delta _{1}^{1}{\mbox{-CA}}_{0}\,} 、 Π 1 1 -SEP 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mbox{-SEP}}_{0}\,} 、 Σ 1 1 -AC 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}{\mbox{-AC}}_{0}\,} はTheory of hyperarithmetic analysisがあり、それぞれ ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} に弱 Σ 1 1 {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}\,} 選択公理、 Δ 1 1 {\displaystyle \Delta _{1}^{1}\,} 内包公理、 Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}\,} 分離公理、 Σ 1 1 {\displaystyle \Sigma _{1}^{1}\,} 選択公理を追加した公理系である。