折り紙公理
2点p1, p2と1本の直線l1が与えられたとき、p1をl1上に重ね、p2を通る折り方がある。
これは、p2を中心としてp1を通るような円と直線l1との交点を求め、その交点にp1を重ねる折り方である。一般に、直線と円との交点の個数は0, 1, 2個の場合があり、それに応じて、この公理による折り方がなかったり、1通りだったり、2通りあったりする。
直線上の2点(x1, y1), (x2, y2)がわかっている場合、直線は媒介変数によって以下で表される。
x = x 1 + s ( x 2 − x 1 ) {\displaystyle x=x_{1}+s(x_{2}-x_{1})}
y = y 1 + s ( y 2 − y 1 ) {\displaystyle y=y_{1}+s(y_{2}-y_{1})}
中心が p 2 = ( x c , y c ) {\displaystyle p_{2}=(x_{c},y_{c})} で半径 r = | p 1 − p 2 | {\displaystyle r=\left|p_{1}-p_{2}\right|} の円を定義する。この円の方程式は以下である。
( x − x c ) 2 + ( y − y c ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}}
直線と円との交点を決定するために、円の方程式中のx, yを前述の直線の方程式で置き換え、以下を得る。