リー代数の随伴表現
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をリー代数とする。 x ∈ g {\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}} に対し a d x : g → g {\displaystyle ad_{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} を
a d x ( y ) = [ x , y ] {\displaystyle ad_{x}(y)=[x,y]}
によって定める。このとき a d x {\displaystyle ad_{x}} は線型変換であり、リー代数からベクトル空間へ準同型
a d : g → g l ( g ) , x ↦ a d x {\displaystyle ad:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad x\mapsto ad_{x}}
をリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の随伴表現という。