オストログラドスキーの定理
次のラグランジアンにより記述される系について考える。
L = 1 2 q ̈ 2 {\displaystyle L={\frac {1}{2}}{\ddot {q}}^{2}}
この系の運動方程式は d 4 q d t 4 = 0 {\displaystyle {\frac {d^{4}q}{dt^{4}}}=0} という4階微分方程式である。この系はラグランジュ未定乗数 λ {\displaystyle \lambda } を導入することにより、座標 ( q , Q , λ ) {\displaystyle (q,Q,\lambda )} で記述される次のラグランジアンへと書き換えられる。
L = 1 2 Q ̇ 2 − λ ( Q − q ̇ ) {\displaystyle L={\frac {1}{2}}{\dot {Q}}^{2}-\lambda (Q-{\dot {q}})}
これを正準形式へと書き換えることを考える。 q {\displaystyle q} , Q {\displaystyle Q} , λ {\displaystyle \lambda } に対応する正準運動量をそれぞれ p {\displaystyle p} , P {\displaystyle P} , Λ {\displaystyle \Lambda } とすると