イデアル (環論)
いくつか異なる流儀がある。
任意の環 R において {0} および R はイデアルになる。R が可除環または体ならば、そのイデアルはこれらのみである。イデアル R は単位イデアル (unit ideal )、イデアル {0} は零イデアル (zero ideal ) と呼ばれ、これらは自明なイデアル (trivial ideal ) と総称される。イデアル I が真のイデアル (proper ideal ) とはそれが R の真の部分集合となること、つまり R と異なるイデアルとなることを言う。
正規部分群が群準同型の核となることとまったく同じように、イデアルを準同型の核として捉えることができる。R の空でない部分集合 A について A が R のイデアルとなる必要十分条件はそれが適当な環準同型の核となることである。 A が R の右イデアルとなる必要十分条件はそれが右 R –加群 RR から別の適当な右 R –加群への適当な加群準同型の核となることである。 A が R の左イデアルとなる必要十分条件はそれが左 R –加群 RR から別の適当な左 R –加群への適当な加群準同型の核となることである。
剰余類とイデアルとの間の関係は、乗法と加法を剰余環へ写せることとして理解することができる。
環が単位元を持つとき、イデアルが真のイデアルとなる必要十分条件は、それが単位元を含まないこと、従って任意の単元を含まないことである。