多変数多項式
同じ構造を定義するという意味で同値な、別の構成法は、一変数多項式のときの構成を(不定元の冪の列ではなく冪積の族に対して)「模倣」することからなる。これにより、多項式環の普遍性を鮮やかに示すことができる。
上記の定義からわかることとして:
多項式環 A[X1, ..., Xn] は(自然同型が存在するという意味において)構成に現れる不定元を添加する順番に依らず定まる。この環を A[(Xi)i∈{1,...,n}] と書いたり(不定元の添字の付け替えも含めて)順序付けられていない n 元集合 I を用いて A[(Xi)i∈I] と書いたりもする。
任意の部分集合 J ⊂ I に対して A[(Xj)j∈J] は A[(Xi)i∈I] の部分環となる。
これらの事実により、任意の集合 S(これは有限でなくても、さらに可算でさえなくてもよい)に対する多項式環 A[(Xs)s∈S] を定義することが可能であり、それは S の有限部分集合 I すべてに亘る A[(Xi)i∈I] の合併(厳密には帰納極限)として定まる。
いくつかの基本性質はこの定義から直ちに得られる:
多項式環 A[(Xs)s∈S] が整域となるための必要十分条件は A がそうであることである。
任意の部分集合 J ⊂ S に対し、多項式環 A[(Xs)s∈S] は A[(Xj)j∈J][(Xk)k∈S∖J] と同一視される。
S がその部分集合の(包含関係を順序として)成す鎖 F の合併に一致するならば A[(Xs)s∈S] は F に属する I すべてに亘る A[(Xi)i∈I] の合併に一致する。