LTIシステム理論
このシステムにディラックのデルタ関数を入力したとき、デルタ関数は理想的なインパルスであるため、LTI変換の結果がインパルス応答となる。これを式に表すと次のようになる。
( h ∗ δ ) ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) δ ( τ ) d τ = h ( t ) {\displaystyle (h*\delta )(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )\,\delta (\tau )\,d\tau =h(t)}
これにはデルタ関数のシフト属性を利用している。なお、ここで次が成り立つ。
h ( t ) = h ( t , 0 ) ( with t = t 1 − t 2 ) {\displaystyle h(t)=h(t,0)\ ({\mbox{with }}t=t_{1}-t_{2})}
従って h ( t ) {\displaystyle h(t)} はそのシステムのインパルス応答である。
インパルス応答を使うと、任意の入力に対する応答を求めることができる。再び δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)} のシフト属性を使い、任意の入力をデルタ関数群の重ね合わせとして表せる。
x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) δ ( t − τ ) d τ {\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )\,d\tau }
この入力をシステムに適用すると、次のようになる。
h ( t 1 , t 2 ) = h ( t 1 + τ , t 2 + τ ) ∀ τ ∈ R {\displaystyle h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}+\tau ,t_{2}+\tau )\qquad \forall \,\tau \in \mathbb {R} }
ここで、次のように設定する。
τ = − t 2 {\displaystyle \tau =-t_{2}\,}
すると、次のようになる。
h ( t 1 , t 2 ) = h ( t 1 − t 2 , 0 ) {\displaystyle h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0)\,}
h ( t 1 , t 2 ) {\displaystyle h(t_{1},t_{2})} の第二引数がゼロなら、通常それを簡潔さのために削除するので、上記の重ね合わせ積分はフィルタ設計でよく使われる畳み込み積分になる。
y ( t 1 ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t 1 − t 2 ) x ( t 2 ) d t 2 = ( h ∗ x ) ( t 1 ) {\displaystyle y(t_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }h(t_{1}-t_{2})\,x(t_{2})\,dt_{2}=(h*x)(t_{1})}
従って、この畳み込み積分は任意の入力関数についての線型時不変系の作用を表している。有限次元のアナログについては、巡回行列を参照されたい。
A { x ( t − τ ) } {\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}} = ∫ t − a t + a x ( λ − τ ) d λ {\displaystyle =\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )d\lambda } = ∫ ( t − τ ) − a ( t − τ ) + a x ( ξ ) d ξ {\displaystyle =\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )d\xi } = A { x } ( t − τ ) {\displaystyle ={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau )}
A {\displaystyle {\mathcal {A}}} は次のような畳み込みとして記述することもできる。
A { x ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ Π ( λ − t 2 a ) x ( λ ) d λ {\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )d\lambda }
なお Π ( t ) {\displaystyle \Pi (t)} は次のように定義される。
Π ( t ) = { 1 | t | < 1 / 2 0 | t | > 1 / 2 {\displaystyle \Pi (t)=\left\{{\begin{matrix}1&|t|<1/2\\0&|t|>1/2\end{matrix}}\right.}
∑ m = − ∞ ∞ h [ n − m ] z m {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}
畳み込みの交換律から、これを次のように変形できる。
∑ m = − ∞ ∞ h [ m ] z ( n − m ) {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}} = z n ∑ m = − ∞ ∞ h [ m ] z − m {\displaystyle \quad =z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}} = z n H ( z ) {\displaystyle \quad =z^{n}H(z)}
ここで
H ( z ) = ∑ m = − ∞ ∞ h [ m ] z − m {\displaystyle H(z)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}
はパラメータ s にのみ依存する。
従って、システムの応答は入力に定数 H ( z ) {\displaystyle H(z)} をかけたものと同じであるから、 z n {\displaystyle z^{n}} はLTIシステムの固有関数である。