弱形式
∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d x = ∫ Ω f v d x . {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}
これは正しくポアソン方程式の弱形式と通常呼ばれるものである。ここで空間 V {\displaystyle V} を定義する必要がある。この空間は、この方程式を導けるものでなければならない。したがってこの空間における導函数は二乗可積分である必要がある。実際、ゼロ境界条件で、弱微分が L 2 ( Ω ) {\displaystyle L^{2}(\Omega )} に属す函数からなるソボレフ空間 H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )} を考えれば、目的は満たされる。
次のように記号を定めることで、一般的な形を得ることが出来る:
a ( u , v ) = ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d x {\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}
および
f ( v ) = ∫ Ω f v d x . {\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}