イデアルの根基
可換環 R のイデアル I の根基は、Rad(I) または I {\displaystyle {\sqrt {I}}} と表記され、
I = { r ∈ R ∣ r n ∈ I for some positive integer n } {\displaystyle {\sqrt {I}}=\{r\in R\mid r^{n}\in I{\text{ for some positive integer }}n\}}
と定義される。
直感的には、I の根基は I の元のあらゆるベキ根を取ることで得られると考えられる。同じことだが、I の根基はベキ零元からなるイデアル(冪零イデアルと呼ばれる)の R / I {\displaystyle R/I} における逆像である。後者は I {\displaystyle {\sqrt {I}}} はそれ自身イデアルであり、 I を含むことを示している。
I の根基が有限生成ならば、 I {\displaystyle {\sqrt {I}}} を何乗かすると I に含まれる。とくに、I と J がネーター環のイデアルであれば、I と J が同じ根基をもつことと、I が J のあるベキを含み J が I のあるベキを含むことは同値である。
イデアル I が自分自身の根基と一致すれば、I は根基イデアルまたは半素イデアルと呼ばれる。