超平面
いくつか異なる種類の超平面が、特定の目的に対して都合の良い性質を以て定義される。そのような特殊化のいくつかを以下に挙げる。
アフィン超平面はアフィン空間の余次元が 1 のアフィン部分空間である。
直交座標系に関して、アフィン超平面は
a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}
なる形(ただし少なくとも一つの ai が 0 でない)の単独の一次方程式を以て記述することができる。実超平面の場合(つまり各座標が実数であるような場合)には、この超平面は全空間をこの超平面の補集合の連結成分である二つの半空間に分離するが、その各半空間は、
a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n ≶ b {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\lessgtr b}
なる二つの不等式によって与えられる。
例として、直線は二次元空間における超平面であり、平面は三次元空間における超平面である。また三次元空間内の直線は超平面でなく、全空間を二つの成分に分けはしない(実際、三次元空間における直線の補集合は連結である)。
ユークリッド空間の任意の超平面はちょうど二つの単位法ベクトルを持つ。
アフィン超平面は、線型結合(斜格)決定木やパーセプトロンなどの多くの機械学習アルゴリズムにおいて決定境界を定めるのに用いられる。
ユークリッド空間の互いに平行でない二つの超平面の成す角とは、それらに対応する法ベクトルの成す角をいう。それら二つの超平面に付随する鏡映の積は、軸がそれら二つの超平面の交わりに含まれる余次元 2 の部分空間となるような回転変換で、その回転角はそれら超平面の成す角の二倍になる。