アレクサンドロフ拡大
集合として X* ≔ X ∪ {∞} とし、X の任意の開集合 U および X の任意のコンパクト閉集合 C に対する V ≔ (X ∖ C) ∪ {∞} の全体を開集合系とする位相を与えて X* を位相空間にする。ただし、X ∖ C は差集合である。V が {∞} の開近傍であり、したがって {∞} の任意の開被覆が X* のコンパクト部分集合 C を除く全ての点を含むことから、X* がコンパクトであることが導かれる。包含写像 c: X ↪ X* を X のアレクサンドロフ拡大と呼ぶ。
既にみたように、以下のような性質が満たされる:
写像 c は連続開写像であり、X は X* の開集合として埋め込まれる;
空間 X* はコンパクトである;
像 c(X) は X が非コンパクトのとき X* において稠密;
空間 X* がハウスドルフとなるための必要十分条件は X が局所コンパクトハウスドルフとなることである。