ポテンシャル論
調和函数の研究における有用な出発点であり、原理の構成を担うものとして、ラプラス方程式の対称性が考えられる。その語の対称性は通常の意味のものではないが、ラプラス方程式は線型であるという事実から理論を出発することが出来る。すなわち、ポテンシャル論の研究における根本的な研究対象は函数の線型空間である。このことは、後述の節での函数空間的手法を考える際に特に重要であることが示される。
通常の語の意味における対称性に関して言えば、 n {\displaystyle n} -次元ラプラス方程式の対称性は実際には n {\displaystyle n} -次元ユークリッド空間の共形対称性であるという定理から理論を始めることが出来る。この事実にはいくつかの意味がある。まず第一に、共形群あるいはその部分群(回転群あるいは平行移動群など)の既約表現の下で変換する調和函数を考えることが出来る。この考え方より、球面調和函数の解やフーリエ級数のような変数分離に依って生ずるラプラス方程式の解を計画的に得ることが出来る。