ワイエルシュトラスの因数分解定理
| z | < 1 {\displaystyle |z|<1} の場合、
1 1 − z = 1 + z 1 + z 2 + z 3 + ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{1-z}}=1+z^{1}+z^{2}+z^{3}+\cdots }
とテイラー展開可能である。この両辺を積分すると次のようになる。
∫ 1 1 − z d z = − log  ( 1 − z ) = z 1 1 + z 2 2 + z 3 3 + ⋯ {\displaystyle \int {\tfrac {1}{1-z}}\,dz=-\log(1-z)={\tfrac {z^{1}}{1}}+{\tfrac {z^{2}}{2}}+{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots }
これは h n ( z ) {\displaystyle h_{n}(z)} で n を無限大とした極限と考えられるので、 h ∞ ( z ) {\displaystyle h_{\infty }(z)} と表すことにする。言い換えれば、 h n ( z ) {\displaystyle h_{n}(z)} は h ∞ ( z ) {\displaystyle h_{\infty }(z)} を有限項で打ち切った形になっている。
有限和 ∑ n = 1 N ( log  ( 1 − z / a n ) + h p n ( z / a n ) ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}(\log(1-z/a_{n})+h_{p_{n}}(z/a_{n}))} は n ≤ N {\displaystyle n\leq N} である各零点 a n {\displaystyle a_{n}} で負の無限大になり、複素平面のそれ以外の点では有限確定値を取る。
一先ず | z | < R {\displaystyle |z|<R} として、 無限和部分の絶対値を考え、前節で示した補題を援用すると次のようになる。
| ∑ n = N + 1 ∞ log  E p n ( z / a n ) | = | ∑ n = N + 1 ∞ r p n ( z / a n ) | {\displaystyle |\sum _{n=N+1}^{\infty }\log E_{p_{n}}(z/a_{n})|=|\sum _{n=N+1}^{\infty }r_{p_{n}}(z/a_{n})|} < ∑ n = N + 1 ∞ | z / a n | p n + 1 p n + 1 1 1 − | z / a n | {\displaystyle <\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {|z/a_{n}|^{{p_{n}}+1}}{{p_{n}}+1}}{\frac {1}{1-|z/a_{n}|}}} < 1 1 − | R / a N + 1 | ∑ n = N + 1 ∞ | R / a N + 1 | p n + 1 p n + 1 {\displaystyle <{\frac {1}{1-|R/a_{N+1}|}}\sum _{n=N+1}^{\infty }{\frac {|R/a_{N+1}|^{p_{n}+1}}{p_{n}+1}}}