弾性衝突
エネルギーの式と運動量の式の両辺を2乗し、エネルギーの式から運動量の式を減算すると、 cosh 2  ( s ) − sinh 2  ( s ) = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}(s)-\sinh ^{2}(s)=1} であるから以下の式を得る。
2 m 1 m 2 ( cosh  ( s 1 ) cosh  ( s 2 ) − sinh  ( s 2 ) sinh  ( s 1 ) ) = 2 m 1 m 2 ( cosh  ( s 3 ) cosh  ( s 4 ) − sinh  ( s 4 ) sinh  ( s 3 ) ) {\displaystyle 2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{1})\cosh(s_{2})-\sinh(s_{2})\sinh(s_{1}))=2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{3})\cosh(s_{4})-\sinh(s_{4})\sinh(s_{3}))}
非ゼロの質量に対しては、双曲線関数の式 cosh(a − b) = cosh(a) cosh(b) − sinh(b) sinh(a),を用いると、以下の式を得る。
cosh  ( s 1 − s 2 ) = cosh  ( s 3 − s 4 ) {\displaystyle \cosh(s_{1}-s_{2})=\cosh(s_{3}-s_{4})}
cosh  ( s ) {\displaystyle \cosh(s)} は偶関数であるから、以下の2つの解を得る。
s 1 − s 2 = s 3 − s 4 {\displaystyle s_{1}-s_{2}=s_{3}-s_{4}}
v 2 / c = tanh  ( s 2 ) = e s 2 − e − s 2 e s 2 + e − s 2 {\displaystyle v_{2}/c=\tanh(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}}
前の解を代入し、 e s 3 = c + u 1 c − u 1 {\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}} と e s 4 = c + u 2 c − u 2 {\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}}} と置き換えると、 Z = ( 1 − u 1 2 / c 2 ) ( 1 − u 2 2 / c 2 ) {\textstyle Z={\sqrt {\left(1-u_{1}^{2}/c^{2}\right)\left(1-u_{2}^{2}/c^{2}\right)}}} という代入を行うと、以下の式を得る。
m 1 u 1 2 + m 2 u 2 2 = m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2 {\displaystyle m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\,\!}
( m 2 u 2 ) 2 2 m 1 + ( m 2 u 2 ) 2 2 m 2 = ( m 2 v 2 ) 2 2 m 1 + ( m 2 v 2 ) 2 2 m 2 {\displaystyle {\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\,\!}
( m 1 + m 2 ) ( m 2 u 2 ) 2 = ( m 1 + m 2 ) ( m 2 v 2 ) 2 {\displaystyle (m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\,\!}
u 2 = − v 2 {\displaystyle u_{2}=-v_{2}\,\!}