低次元トポロジー
エキゾチック R はユークリッド空間 R と同相であるが、微分同相ではない可微分多様体を言う。最初の例は、1980年代始めにマイケル・フリードマンにより、位相 4次元多様体についてのフリードマンの定理と滑らかな 4次元多様体についてのサイモン・ドナルドソンの定理を対比することで発見された 。R の微分同相ではない可微分構造(英語版)が非可算個存在する。このことは、最初にクリフォード・タウベス(英語版)により、 で示された。
球面上の微分同相ではない可微分構造(英語版)— 異種球面(英語版)— は存在が知られていたが、この構成により、そのような構造の存在が 4-球面のこの特別な場合のみ存在するのかどうかという問題は未解決である(2014年段階では)。4 以外の正の整数 n に対し、R 上には異種可微分構造が存在しない。言い換えると、n ≠ 4 ならば、R に同相な任意の滑らかな多様体は、R に微分同相である。
多くとも次元が 3 の低次元における方法により証明することのでき、少なくとも次元 5 以上の完全に高い次元の方法により証明できる多様体の基本定理がいくつかあるが、次元 4 でのみ、成立しない定理がある。これらの例をいくつか挙げる。
次元 4 よりも大きな次元で、カービー・ジーベンマン不変量は PL構造の存在への障害を与える。言い換えると、コンパクトな位相多様体は PL構造を持つことと、 H(M,Z/2Z) の中のカービー・ジーベンマン不変量が 0 となることとは同値である。次元 3 やそれ以下の次元では、すべての位相多様体は、本質的に一意な PL構造を持つ。次元 4 では、カービー・ジーベンマン不変量は 0 であるが PL構造を持たない多くの例がある。
4 以外の次元では、コンパクトな位相多様体は有限個の異なる PL構造や滑らかな構造しかもたない。4次元では、コンパクトな多様体は可算個の無限個の微分同相でない滑らかな構造を持つことができる。
次元 4 は、R が異種可微分構造を持つことのできる唯一の次元である。R は非可算個の異種可微分構造をもつ。異種 Rを参照。
滑らかなポアンカレ予想の解は、4 以外の次元ではすべて知られている(少なくとも次元 7 では正しくない、エキゾチック球面(英語版)を参照)。