半双線型形式
エルミート形式あるいは対称半双線型形式とは、半双線型形式 h: V × V → C であって
h ( w , z ) = h ( z , w ) ̄ {\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}}
を満たすものを言う。C 上の標準エルミート形式(「物理学」の規約、第一変数に関して反線型で第二引数に関して線型、に従うもの)は、
⟨ w , z ⟩ = ∑ i = 1 n w ̄ i z i {\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\bar {w}}_{i}z_{i}}
で与えられる。より一般に、任意の複素ヒルベルト空間上の内積はエルミート形式である。
エルミート形式を備えたベクトル空間 (V,h) をエルミート空間と言う。
V が有限次元空間のとき、V の任意の基底 {ei} に関して、エルミート形式 h はエルミート行列 H によって
h ( w , z ) = w ̄ T H z {\displaystyle h(w,z)={\bar {\mathbf {w} }}^{T}H\mathbf {z} }
と表現される。ただし、w, z はこの基底に関して w, z を表現するベクトルであり、行列 H = (hij) の成分は hij = h(ei, ej) で与えられる。
エルミート形式に付随する二次形式 Q(z) = h(z,z) は常に実である。実際には、半双線型形式がエルミートであることと、それに付随する二次形式が任意の z ∈ V に対して実となることが同値であることが示せる。