特性曲線法
x i ̇ d p i − p i ̇ d x i = d x i d s d p i d s d s − d p i d s d x i d s d s = 0. {\displaystyle {\dot {x_{i}}}dp_{i}-{\dot {p_{i}}}dx_{i}={\frac {dx_{i}}{ds}}{\frac {dp_{i}}{ds}}ds-{\frac {dp_{i}}{ds}}{\frac {dx_{i}}{ds}}ds=0.}
だから式(7)が成立する。
λ をある定数として λ×(5)+(7)/dsを 作ると次の式(8)となる。
式(8)はその点を通る任意の特性曲線 xi (s)に対して成り立つ。特性曲線 xi(s)が任意に変わると、dxi/dsおよびdpi/dsはそれに応じて変わってしまう変数である。それでも式(8)が成り立つためには、dxi/dsおよびdpi/dsの係数は 0 でなければならない。よって
λ ( F x i + F u p i ) + p ̇ i = 0 , λ F p i − x ̇ i = 0 , . {\displaystyle \quad \lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i})+{\dot {p}}_{i}=0,\quad \lambda F_{p_{i}}-{\dot {x}}_{i}=0,.}
X を可微分多様体とし、P を次数 k の線型微分作用素
P : C ∞ ( X ) → C ∞ ( X ) {\displaystyle P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)}
とする。局所座標系 x においては
P = ∑ | α | ≤ k P α ( x ) ∂ ∂ x α {\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}}
とする。ここで α は多重指数である。P の主表象は σP と表され、これはそれらの局所座標系において定義される余接束 TX に関する次の函数である。
σ P ( x , ξ ) = ∑ | α | = k P α ( x ) ξ α {\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }}