漸化式
方程式 ( x 2 + 3 x − 4 ) y ′′′ − ( 3 x + 1 ) y ′′ + 2 y = 0 {\displaystyle (x^{2}+3x-4)y'''-(3x+1)y''+2y=0} のテイラー級数解の係数の満たす漸化式は n ( n − 1 ) f ( n + 1 ) + 3 n f ( n + 2 ) − 4 f ( n + 3 ) − 3 n f ( n + 1 ) − f ( n + 2 ) + 2 f ( n ) = 0 {\displaystyle n(n-1)f(n+1)+3nf(n+2)-4f(n+3)-3nf(n+1)-f(n+2)+2f(n)=0} で与えられる。整理すると、 − 4 f ( n + 3 ) + 2 n f ( n + 2 ) + n ( n − 4 ) f ( n + 1 ) + 2 f ( n ) = 0 {\displaystyle -4f(n+3)+2nf(n+2)+n(n-4)f(n+1)+2f(n)=0} となる。この例は非常に簡単に解くことができるふつうのクラスの微分方程式でも、冪級数解を用いた解法ではなんとも扱いづらいものとなってしまうことがあることを示すものとなっている。
微分方程式 a y ′′ + b y ′ + c y = 0 {\displaystyle ay''+by'+cy=0}
y = e を解に持つ。この微分方程式をテイラー係数の満たす漸化式に書き換えれば
となる。e の n-階導函数の点 x = 0 における値が a であることをみるのは易しい。