本質的上限と本質的下限
{x ∈ X | f(x) > a}
が測度 0 の集合に含まれることを言う。すなわち、X 内のほとんどすべての x に対して f(x) ≤ a が成立することを言う。すると、最小の上界として f の上限が定義されるように、本質的上限は、最小の本質的上界として定義される。
より正式に言うと、f の本質的上限 ess sup f は、その本質的上界の集合 {a ∈ R } が空でないときには
ess sup f = inf {a ∈ R | μ({x | f(x) > a}) = 0}
で定義され、空であるときには ess sup f = ∞ で定義される。
全く同様に、本質的下限は最大の本質的下界として定義される。すなわち、本質的下界の集合が空でないときには
ess inf f = sup {b ∈ R | μ({x | f(x) < b}) = 0}
で定義され、空であるときには ess inf f = −∞ で定義される。