補空間
ベクトル空間 V の部分空間 U に対して
W が U の補空間ならば、上記の如く V の各元 v は v = u + w となる u ∈ U, w ∈ W が一意的にとれる。このとき、PW: V → V; v = u + w ↦ u は像 im(PW) = U および核 ker(PW) = W を持つ射影である。
逆に、im(P) = U となる射影 P: V → V に対し、核 ker(P) は U の補空間である。
これにより、U の補空間全体の成す集合と像が U であるような V 上の射影全体の成す集合との間に一対一対応があることがわかる。U を像に持つ射影全体の成す空間はベクトル空間 Hom(V/U, U) (⊂ Hom(V, V)) 上のアフィン空間を成す。
体 K 上のベクトル空間 V とその部分空間 U が与えられているとき、V の部分空間 W が V における U の補空間であるとは、ふたつの条件
が満たされるときに言う。ここに {0} は零ベクトル空間で、和空間 U + W は
を表す。