パンルヴェ方程式
さらに Painlevé (1900, 1902) では、先の50の「標準形」のうちの44個は既知の関数を用いて解けるという意味で削減できることが判明し、解として新たな特殊関数の導入を必要とする方程式として残ったのはわずかに6個であった(実はパンルヴェの成果にはいくつか計算間違いがあり、のちに弟子のガンビエとフックスによって修正されている)。以後長らくの間、これら6個の方程式が一般の値のパラメータに対してこれ以上簡約不能であるか(特殊な値のパラメータについては、方程式が簡約化されてしまう場合もある。後述)ということが物議を醸す未解決問題であったが、最終的には Nishioka (1988) および Hiroshi Umemura (1989) によって解決を見た。これら6つの非線型二階方程式はパンルヴェ方程式と呼ばれ、それらの解はパンルヴェ超越関数と呼ばれる。
パンルヴェが見逃していた最も一般の形の第六方程式は、1905年に(ラザルス・フックスの息子)リチャード・フックスによって、モノドロミーを保つ変形のもとで P 上に4つの正常特異点をもつ二階のフックス型方程式の特異性によって満たされる微分方程式として発見された。これは Gambier (1910) でパンルヴェ方程式のリストに加えられている。
Chazy (1910, 1911) ではパンルヴェの成果をより高階の方程式に対して拡張する試みがなされ、パンルヴェ性を満たす三階方程式がいくつか発見されている。