バラエティ (普遍代数学)
..)各公理 v = w {\displaystyle v=w} と公理の変数に対する A {\displaystyle A} の要素 v {\displaystyle v} と w {\displaystyle w} を定義する木。任意の理論 T {\displaystyle T} が構成する代数のクラスを T {\displaystyle T} の代数のバラエティを呼ぶ。
ただし、最終的にこの代数のクラスよりも重要になるのは代数が構成する圏とそれらの間の同型である。理論 T {\displaystyle T} の2つの代数 A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} が与えられた時、準同型とは関数 f : A → B {\displaystyle f:A\to B} であって f ( o A ( a 1 , ... , a n ) ) = o B ( f ( a 1 ) , ... , f ( a n ) ) {\displaystyle f(o_{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=o_{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{n}))} を全てのアリティ n {\displaystyle n} の演算 o {\displaystyle o} について満たすもののことである。
すべての半群がなすクラスはシグネチャ(2)の代数のバラエティを形成し、半群は1つの二項演算を備える。結合法則を定める等式は
x ( y z ) = ( x y ) z {\displaystyle x(yz)=(xy)z}
である。
群のなすクラスはシグネチャ(2,0,1)のなす代数のバラエティを形成し、3つの演算はそれぞれ乗算(2項)、単位元(定数)と逆元(単項)である。よく知られる結合法則、単位元、逆元の公理は等式集合
x ( y z ) = ( x y ) z {\displaystyle x(yz)=(xy)z}
1 x = x 1 = x {\displaystyle 1x=x1=x}
x x − 1 = x − 1 x = 1 {\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}