スペクトル定理
微分作用素のように、解析学に現れる多くの重要な線型作用素は非有界である。そのような非有界の場合の自己共役作用素に対するスペクトル定理も存在する。その例を考える上で、任意の定数係数微分作用素は、ある乗算作用素とユニタリ同値であることに注意されたい。実際、この同値性を備えるユニタリ作用素はフーリエ変換であり、乗算作用素はフーリエ乗数(英語版)の一種である。
一般に、自己共役作用素に対するスペクトル定理には、同値ないくつかの形式が存在する。
乗算作用素の形式におけるスペクトル定理 あるヒルベルト空間 H における各自己共役作用素 T に対し、H から空間 L(M, μ) への上への等長同型をなすあるユニタリ作用素が存在し、T はその空間 L(M, μ) において乗算作用素として表現される。
自己共役作用素 T が作用するヒルベルト空間 H は、T が各空間 Hi に制限されたとき単純なスペクトルを持つような、ヒルベルト空間 Hi の直和として表すことが出来ることもある。そのような分解は(ユニタリ同値性を除いて)「一意」であるように構成することが出来、そのようなものは「順序付きスペクトル表現」(ordered spectral representation)と呼ばれる。