環の局所化
主に可換環論と代数幾何学において生じる以下の二つの局所化のクラスは、環のスペクトル Spec(R) のザリスキー位相に関する開集合上の函数環を構成するのに用いられる。
集合 S は与えられた元 r の冪全体からなるとする。このときの局所化は、函数 r が零でないようなザリスキー開集合 Ur ⊂ Spec(R)(このような形の集合は「主ザリスキー開集合」と呼ばれる)への制限に対応する。例えば R = K[X] が多項式環で r = X とすれば、局所化によってローラン多項式環 K[X, X] が得られる。この場合、局所化は埋め込み U ⊂ A に対応する。ただし A はアフィン直線であり、U は 0 の補集合であるようなザリスキー開集合である。
集合 S を R の与えられた素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} の補集合とすると、 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} が素イデアルであることから S は積閉集合となる。この場合、「素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} による局所化」と呼ぶのが普通である。局所化に対応するのは、素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} によって定まる既約ザリスキー閉集合 V ( p ) {\displaystyle V({\mathfrak {p}})} の Spec(R) における補集合 U への制限である。