パウリ行列
量子力学において、パウリ行列はスピン 1/2 の角運動量演算子の表現に現れる。角運動量演算子 J1, J2, J3 は交換関係
[ J 1 , J 2 ] = i ħ J 3 , [ J 2 , J 3 ] = i ħ J 1 , [ J 3 , J 1 ] = i ħ J 2 {\displaystyle [J_{1},J_{2}]=i\hbar J_{3},\,[J_{2},J_{3}]=i\hbar J_{1},\,[J_{3},J_{1}]=i\hbar J_{2}}
を満たす。ただし、ħ = h/2π はディラック定数である。エディントンのイプシロン εijk を用いれば、この関係式は
[ J i , J j ] = i ħ ∑ k = 1 3 ε i j k J k {\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \textstyle \sum \limits _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}J_{k}}
と表すことができる。ここで、
パウリ行列により、四元数の2次正方行列表現を与えることができる。
e k = − i σ k ( k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle e_{k}=-i\sigma _{k}\quad (k=1,2,3)}
を導入すると、関係式
e 1 2 = e 2 2 = e 3 2 = − I {\displaystyle {e_{1}}^{2}={e_{2}}^{2}={e_{3}}^{2}=-I}
e 1 e 2 = − e 2 e 1 = e 3 , e 2 e 3 = − e 3 e 2 = e 1 , e 3 e 1 = − e 1 e 3 = e 2 {\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}=e_{3},\,e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2}=e_{1},\,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3}=e_{2}}
を満たす。これは四元数の基底元 i, j, k が満たす関係式
i 2 = j 2 = k 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}
i j = − j i = k , j k = − k j = i , k i = − i k = j {\displaystyle ij=-ji=k,\,jk=-kj=i,\,ki=-ik=j}
と対応する。