クライン体
まず、2次元円板 D と 単位閉区間 I の直積として円柱 D×I をつくる。D×Iに向きを与えると、その両端の円板(D×{0} と D×{1})にも自然に向きがつく。ここでD×{0} から D×{1} への同相写像を考え、それによって移りあう点を同一視して得られる商空間を考える。このとき向きを逆にする同相写像によって円板の貼り合せを行うとトーラス体が得られるが、向きを保存するような同相写像を使って貼り合せを行って得られる3次元多様体をクライン体という。
境界(S×I/{0}~{1})はクラインの壺である。
次元を1つ下げると、つまり2次元円板のかわりに1次元円板(単位閉区間)を使って考えると、円柱ではなく長方形の向かい合う辺同士を貼り合せていることになり、できあがる多様体はトーラス体/クライン体ではなくアニュラス/メビウスの帯となる。