振り子
等時性の破れを主眼に置き、式の近似を用いない解法を考える。以下では d θ / d t = θ ̇ {\displaystyle d\theta /dt={\dot {\theta }}} と表記する。
エネルギー保存則より、
1 2 m ( l θ ̇ ) 2 + m g l ( 1 − cos  θ ) = m g l ( 1 − cos  θ 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}m(l{\dot {\theta }})^{2}+mgl(1-\cos \theta )=mgl(1-\cos \theta _{0})} .
ここで ω = g / l {\displaystyle \omega ={\sqrt {g/l}}} と置き上式を整理すると
θ ̇ 2 = 2 ω 2 ( cos  θ − cos  θ 0 ) {\displaystyle {\dot {\theta }}^{2}=2\omega ^{2}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)} .
さらに cos  θ = 1 − 2 sin 2  ( θ / 2 ) {\displaystyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}\left(\theta /2\right)} を用いると
θ ̇ = ± 2 ω sin 2  ( θ 0 / 2 ) − sin 2  ( θ / 2 ) {\displaystyle {\dot {\theta }}=\pm 2\omega {\sqrt {\sin ^{2}(\theta _{0}/2)-\sin ^{2}(\theta /2)}}} .