中村ナンバー
(Austen-Smith and Banks (1999), Lemma 3.2 を参照)以下では N = { 1 , ... , n } {\displaystyle N=\{1,\ldots ,n\}} (有限集合)、 W {\displaystyle W} は単調でプロパーとする.
W {\displaystyle W} が拒否権プレーヤーなしの強いシンプルゲームなら、 ν ( W ) = 3 {\displaystyle \nu (W)=3} である。
W {\displaystyle W} が過半数ゲーム(半分を超える個人を含む提携を勝利提携とするシンプルゲーム)なら、 n ≠ 4 {\displaystyle n\neq 4} のケースでは ν ( W ) = 3 {\displaystyle \nu (W)=3} となり、 n = 4 {\displaystyle n=4} のケースでは ν ( W ) = 4 {\displaystyle \nu (W)=4} となる。
W {\displaystyle W} が q {\displaystyle q} -ルール(すなわち q {\displaystyle q} 人以上の個人を含む提携を勝利提携とするシンプルゲーム)で、 n / 2 < q < n {\displaystyle n/2<q<n} のとき、 ν ( W ) = [ n / ( n − q ) ] {\displaystyle \nu (W)=[n/(n-q)]} となる。ただし [ x ] {\displaystyle [x]} は x {\displaystyle x} 以上の最小の整数。
中村ナンバーの正確な定義を与える前に、中村ナンバーを付与することのできる意思決定ルールの例を挙げる。 個人1, 2, 3, 4, 5 からなる「多数決ルール」では、多数派となる個人の集合全てを含む集合
{ { 1 , 2 , 3 } , { 1 , 2 , 4 } , { 1 , 2 , 5 } , { 1 , 3 , 4 } , { 1 , 3 , 5 } , { 1 , 4 , 5 } , { 2 , 3 , 4 } , { 2 , 3 , 5 } , { 2 , 4 , 5 } , { 3 , 4 , 5 } , {\displaystyle \{\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,2,5\},\{1,3,4\},\{1,3,5\},\{1,4,5\},\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{2,4,5\},\{3,4,5\},} { 1 , 2 , 3 , 4 } , { 1 , 2 , 3 , 5 } , { 1 , 2 , 4 , 5 } , { 1 , 3 , 4 , 5 } , { 2 , 3 , 4 , 5 } , { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } } {\displaystyle \{1,2,3,4\},\{1,2,3,5\},\{1,2,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\},\{1,2,3,4,5\}\}}
が考えられる。このような集合(シンプルゲーム)が中村ナンバーを与えることのできる対象である。