交換子
{\displaystyle [[x,y],z^{x}][[z,x],y^{z}][[y,z],x^{y}]=1.}
最後の 5 番目の式はホール–ヴィットの恒等式 (Hall–Witt identity) として知られるものである。これは環論的な意味での交換子に対するヤコビの恒等式(次節の環論における恒等関係式)の群論的な対応物である。
上記の x による a の共軛変換の定義は群論の研究者がよく使うものだが、
xax
を x による a の共軛変換の定義とする(この場合はしばしば a と書いたりする)こともよくあるので注意を要する。こちらの定義についても(適当に読み替えを行えば)上述の群論における恒等関係式と同様の関係式が成立する。
特定の部分群で割った剰余群を考えれば、広くさまざまな恒等式が成り立つようにできる。これは可解群や冪零群の研究においてとくに有用である。たとえば、任意の群において積の自乗は
( x y ) 2 = x 2 y 2 [ y , x ] [ [ y , x ] , y ] {\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y]}
が成り立つという意味でよく振舞う。したがって、導来部分群が群の中心に含まれる(中心的)ならば
( x y ) n = x n y n [ y , x ] ( n 2 ) {\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}}
という関係が成り立つ。