楕円有理関数
R 4 ( ξ , x ) = R 2 ( R 2 ( ξ , ξ ) , R 2 ( ξ , x ) ) = ( 1 + t ) ( 1 + t ) 2 x 4 − 2 ( 1 + t ) ( 1 + t ) x 2 + 1 ( 1 + t ) ( 1 − t ) 2 x 4 − 2 ( 1 + t ) ( 1 − t ) x 2 + 1 {\displaystyle R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}}
R 6 ( ξ , x ) = R 3 ( R 2 ( ξ , ξ ) , R 2 ( ξ , x ) ) {\displaystyle R_{6}(\xi ,x)=R_{3}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))\,} etc.
n=5 や n = 2 i 3 j {\displaystyle n=2^{i}\,3^{j}} の形をしたより多くの楕円有理関数についてはLutovac (2001, § 13) を参照のこと。
対応する弁別係数は:
この式で, c d ( x , k ) {\displaystyle cd(x,k)} は母数が k {\displaystyle k} の ヤコビの楕円余弦関数であり, c d − 1 ( x , k ) {\displaystyle cd^{-1}(x,k)} はその逆関数、 K ( k ) {\displaystyle K(k)} は 母数が k {\displaystyle k} の第一種完全楕円積分を表わす。
L n = R n ( ξ , ξ ) {\displaystyle L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )} は 弁別係数と呼ばれ、 ξ ≤ | x | {\displaystyle \xi \leq |x|} における | R n ( ξ , x ) | {\displaystyle |R_{n}(\xi ,x)|} の最小値に等しい。
この表示がn次の有理関数であるためには, K ′ ( k ) ≡ K ( 1 − k 2 ) {\displaystyle K'(k)\equiv K({\sqrt {1-k^{2}}})} とするとき、条件 K ′ ( 1 / L n ) / K ( 1 / L n ) = n K ′ ( 1 / ξ ) / K ( 1 / ξ ) {\displaystyle K'(1/L_{n})/K(1/L_{n})=nK'(1/\xi )/K(1/\xi )} の成立が必要である。 つまり,nを与えたとき, ξ {\displaystyle \xi } と L n {\displaystyle L_{n}} の間には関係がある。