オイラー＝ロトカの方程式
A・J・ロトカは1911年に次のような人口動態の連続時間モデルを開発した。このモデルは、対象とする集団人口のうち女性のみを追跡する。
ある集団で年齢 a {\displaystyle a} 歳までの生存率を l ( a ) {\displaystyle \ell (a)} 、 a {\displaystyle a} 歳の母親1人が年間出生する娘の数、年齢別子孫出生率を b ( a ) {\displaystyle b(a)} とし、これらは世代にわたって安定で変化しないものとする。また、時刻 t {\displaystyle t} 年の集団全体での年間子孫(女性)出生数を B ( t ) {\displaystyle B(t)} とする。このとき、時刻 t {\displaystyle t} で年齢 a {\displaystyle a} の母親の数は B ( t − a ) l ( a ) {\displaystyle B(t-a)\ell (a)} であり、それに b ( a ) {\displaystyle b(a)} を掛けた値は彼女らが1年間で出生する子孫数となるので、その総和は集団全体の全子孫出生数 B ( t ) {\displaystyle B(t)} となる(ロトカの積分方程式または再生方程式)。
B ( t ) = ∫ 0 ω B ( t − a ) l ( a ) b ( a ) d a . {\displaystyle B(t)=\int _{0}^{\omega }B(t-a)\ell (a)b(a)\,da.}
ただし、 ω {\displaystyle \omega } はその集団の最高年齢である。