一様収束
もし S が実数における区間(より一般に位相空間)ならば、関数 fn や f の連続性を考えることができる。次は一様収束に関する重要な結果である。
定理 区間 S 上の連続関数列 fn が関数 f に一様収束するならば、関数 f も S 上で連続である。
この定理の証明は " ε / 3 {\displaystyle \epsilon /3} trick" の典型例である:目的の不等式 ( < ε {\displaystyle <\epsilon } ) を証明するために、連続性や一様収束の定義から3つの不等式 ( < ε / 3 {\displaystyle <\epsilon /3} ) を導き、それらを三角不等式により組合せることで、求める不等式を得る。
連続関数列の各点収束極限は連続とは限らないので(右図)、この定理は重要である。
より精密にはこの定理は、一様連続関数列の一様収束極限は一様連続であると述べている。局所コンパクト空間において連続性は局所一様連続性と同値なので、連続関数列の一様収束極限は連続である。
複素平面の領域 S 上で定義された解析関数列の一様収束極限もまた S 上で解析的である。実数における区間上で定義された解析関数列の一様収束極限は微分可能とさえ限らないので、これは複素関数は実関数よりも良い振る舞いをすることを示している。
一様収束は超実数の設定において簡易化された定義を持つ。関数列 fn が f に一様収束するとは、f の定義域のすべての x と、すべての無限大超自然数 n に対して、f *n が f に無限に近いことをいう(一様連続性の類似の定義はmicrocontinuity(英語版)を参照)。
S を集合とし、各自然数 n に対し fn : S → R を実数値関数とする。関数列 (fn)n∈N が極限 f: S → R に一様収束するとは、任意の ε > 0 に対し、ある自然数 N が存在して、すべての x ∈ S とすべての n ≥ N に対して |fn(x) − f(x)| < ε が成り立つことである。
一様ノルム ‖ f ‖ ∞ = sup x ∈ S | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in S}|f(x)|} を考えると、fn が f に一様収束することと lim n → ∞ ‖ f n − f ‖ ∞ = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0} は同値である。
関数列 (fn)n∈N が f に局所一様収束するとは、距離空間 S のすべての点 x に対して、ある r > 0 が存在して、(fn) が B(x, r) ∩ S 上一様収束することをいう。