一般相対性理論における測地線
ここから少し計算することにより、次が得られる。
2 ( Γ λ μ ν x ̇ μ x ̇ ν + x ̈ λ ) = U λ d d s ln  | U ν U ν | {\displaystyle 2(\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda })=U^{\lambda }{\mathrm {d} \over \mathrm {d} s}\ln |U_{\nu }U^{\nu }|}
ここで、 U μ = x ̇ μ {\displaystyle U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }} とおいた。
パラメータ s をアフィンとなるように選ぶと、上式の右辺は消去できる( U ν U ν {\displaystyle U_{\nu }U^{\nu }} は定数であるため)。 最終的に、測地線方程式が以下のように得られる。
Γ λ μ ν x ̇ μ x ̇ ν + x ̈ λ = 0 {\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }=0}