リー代数
乗法 * を持つ任意の結合代数 A に対し、リー代数 L(A) を構成できる。ベクトル空間としては、L(A) は A と同じである。L(A) の 2 つの元のリーブラケットは、A における交換子として定義される。すなわち
[ a , b ] = a ∗ b − b ∗ a . {\displaystyle [a,b]=a*b-b*a.}
A の乗法 * の結合性は、L(A) の交換子のヤコビ恒等式を意味する。例えば、体 F 上の n × n 行列の結合代数から、一般線型リー代数(英語版) g l n ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)} が生じる。結合代数 A をリー代数 L(A) の包絡代数 (enveloping algebra) と呼ぶ。全てのリー代数はこのようにして結合代数から作られたリー代数へ埋め込むことができる。普遍包絡代数を参照。
体の代わりに一般の可換環上で考えた任意のリー代数はリー環の例である。リー環とは言うものの、リー環は加法に関してリー群になるというわけではない。
任意の結合環は(加法はそのままで積を)括弧積と呼ばれる演算 [ x , y ] = x y − y x {\displaystyle [x,y]=xy-yx} に取り換えることによりリー環になる。
群論から生じるリー環の例を挙げよう。群 G とその上に交換子積 ( x , y ) = x − 1 y − 1 x y {\displaystyle (x,y)=x^{-1}y^{-1}xy} を考え、 G = G 0 ⊇ G 1 ⊇ G 2 ⊇ ⋯ ⊇ G n ⊇ ⋯ {\displaystyle G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots } を G の中心列とする(このとき、各 i, j について交換子部分群 ( G i , G j ) {\displaystyle (G_{i},G_{j})} は G i + j {\displaystyle G_{i+j}} に含まれる)。