アトラクター
※文献内の複数個所に亘って参照したものを特に示す。
S. ウィギンス、丹羽 敏雄(監訳)、今井 桂子・田中 茂・水谷 正大・森 真(訳)、2013、『非線形の力学系とカオス』新装版、丸善出版 ISBN 978-4-621-06435-1 [原著]S. Wigins (1990). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Springer-Verlag New York
池口 徹・山田 泰司・小室 元政、合原 一幸(編)、2000、『カオス時系列解析の基礎と応用』初版、産業図書 ISBN 978-4-7828-1010-1
ピエール・ベルゲジェ;イヴェ・ポモウ;クリスチャン・ビダル、相澤 洋二(訳)、1992、『カオスの中の秩序 ―乱流の理解へ向けて』、産業図書 ISBN 4-7828-0068-1 [原著]P. Bergé; Y. Pomeau; Ch. Vidal (1984). L'ordre dans le chaos: vers une approche déterministe de la turbulence. Hermann
井上 政義・秦 浩起、1999、『カオス科学の基礎と展開 ―複雑系の理解に向けて』初版、共立出版 ISBN 4-320-03323-X
徳永 隆治、1990、「カオスとフラクタル」、合原 一幸(編)『カオス ―カオス理論の基礎と応用』初版、サイエンス社〈Information & Computing 49〉 ISBN 4-7819-0592-7
あるアトラクターに引き付けられる全ての初期値の集合をベイスン(英語: basin of attraction または単に basin、表記揺れでベイスィン、ベイシンとも)と呼ぶ。他には、吸引域、吸引領域という呼び方があり、引力圏、吸引圏、吸引の鉢といった表現もある。英語の basin には鉢の意味があり、鉢の中に置かれた物が鉢の底へ向かって転がっていくイメージから命名されたと推測される。
数学的には、アトラクターの定義に出てくる近傍 B の内、様々な大きさが取り得る中で最大の B がベイスンである。あるアトラクターに対するベイスンは、そのアトラクター自体も含んでいる。また、アトラクターは散逸系の特性から体積が 0 だが、ベイスンの体積は 0 ではない。言い換えると、アトラクターに引き込まれる初期値の集合の測度は 0 ではない値を持つ。このことと極限集合の概念を使い、アトラクターを非零の測度の初期値を引き込む ω 極限集合と定義する流儀もある。
ベイスンからアトラクターに引き込まれるまでの系の振る舞いを過渡状態、過渡運動、トランジェント(英語: transient)などと呼ぶ。定義上は時間が無限に過ぎたときに軌道はアトラクターに引き込まれることになっているが、アトラクター周囲に達した後は軌道はアトラクター上と同じ振る舞いをするので、有限時間でアトラクターに引き込まれたと見なして実際上の問題はさほど起きない。
アトラクターすなわち閉曲線は周期軌道であるから、閉曲線上の2点は時間発展によって近づいたり離れたりしない。よって、周期アトラクターの閉曲線接線方向のリアプノフ指数は0であり、吸引的でも反発的もない。閉曲線に垂直な方向のズレは全て閉曲線に吸引されるので、閉曲線に垂直な全ての方向のリアプノフ指数は負である。
他には、アトラクター次元推定を行わずに、埋め込み次元が不足していることで生じる自己交差が解消される m 値を設定された指標を使って推定する手法もある。
一方の時間遅れ τ については、埋め込み定理上では任意でよく、値の設定に制限がない。しかし実際には τ が小さ過ぎると、変換後のデータの相関が高く成り過ぎて、再構成されたアトラクターの形状は細長くつぶれてしまう。あるいは τ が大き過ぎると、特にストレンジアトラクターでは軌道不安定性によって相関がほとんど無相関となり、再構成されたアトラクターは雑音のような煩雑な形になる。一つの方法は、アトラクターの平均的な周期の 1/2 から 1/10 程度の値に設定する方法がある。もう一つの方法は、時間遅れの値を増やしながら時系列データの自己相関関数を計算し、自己相関関数が最初の極小値あるいは 0 とみなせる値になったときの時間遅れを最適な τ の値とする方法がある。ただし、時間遅れの最適値の決定法については、これらも含めて様々な手法が提案されているが現在のところ優劣の結論は出ていない。
竹山 協三、1991、『カオス ―自然の乱れ方』、裳華房〈ポピュラー・サイエンス 58〉 ISBN 4-7853-8558-8
佐野 雅己、高安 秀樹(編)、2001、「カオスの構造とフラクタル」、『フラクタル科学』初版、朝倉書店 ISBN 4-254-10063-9
Robert L. Devaney、國府 寛司・石井 豊 ・新居 俊作・木坂 正史(新訂版訳)、後藤 憲一(訳)、2003、『カオス力学系入門』新訂版、共立出版 ISBN 4-320-01705-6 [原著]Robert L. Devaney (1989). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (Second ed.). Westview Press
上田 睆亮、2008、『カオス現象論』初版、コロナ社〈現代非線形科学シリーズ12〉 ISBN 978-4-339-02611-5
ジェイムズ・グリック、上田 睆亮(監修)、大貫 昌子(訳)、1991、『カオス ―新しい科学をつくる』、新潮社〈新潮文庫 ク-18-1〉 ISBN 4-10-236101-4 [原著]James Gleick (1987). Chaos: Making A New Science
Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人(訳)、2007、『力学系入門 原著第2版 ―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-01847-1 [原著]Morris Hirsch; Stephen Smale; Robert Devaney (2004).
1225 < a < 0.3675 のとき、吸引的不動点すなわち点アトラクターが存在する。
点アトラクターの物理的な典型例は、減衰を受ける振り子である。空気抵抗などの減衰を受けるとき、振り子は動きながらエネルギーを失い、最終的には静止する。振り子が速度に比例した減衰力を受けるとする。このとき、振り子の運動は次の2次元微分方程式系で表される。
x ̇ = y {\displaystyle {\dot {x}}=y}
y ̇ = − g l sin  x − c m l y {\displaystyle {\dot {y}}=-{\frac {g}{l}}\sin x-{\frac {c}{ml}}y}
ここで、x は振り子の角度、y は振り子の角速度、g は重力加速度、l は振り子の支点から重りまでの長さ、m は重りの質量、c は減衰係数である。g と l は正の定数であり、さらに c も正の定数とする。このとき、(x, y) = (π, 0)(ちょうど真上で倒立した状態)の条件を除き、全ての運動は(x, y) = (0, 0)(真下で停止した状態)に収束する。
微分方程式に独立変数 t を陽に含まない系を自励的という。R 上の自励的な1次元連続力学系で存在可能なアトラクターは、点アトラクターのみである。一方の離散力学系では軌道が連続的であるという制限がないので、1次元写像の段階から点アトラクター以外の種類のアトラクターが許容される。