ヘロンの公式
△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺 BC に下ろした垂線 AH の長さを h とする。
この時△ABC の面積を S とすると h は、
1 2 a h = S {\displaystyle {{\text{1}} \over {\text{2}}}ah=S}
なので、
h = 2 S a {\displaystyle h={2S \over a}} (1)
と表せる。
適当な符号で、
± CH ± BH = a {\displaystyle \pm {\text{CH}}\pm {\text{BH}}=a} (2)
は自明であり、
(±は鈍角三角形と鋭角三角形の場合分けを省くためである。)
ピタゴラスの定理より、
CH = b 2 − h 2 {\displaystyle {\text{CH}}={\sqrt {b^{2}-h^{2}}}} (3)
BH = c 2 − h 2 {\displaystyle {\text{BH}}={\sqrt {c^{2}-h^{2}}}} (4)
と表せるので、(3)(4)の式に(1)を代入し、(2)の式に(3)(4)を代入すると、