チャーン・サイモンズ理論
1940年代に陳省身とアンドレ・ヴェイユは滑らかな多様体 M の大域的な曲がり方の性質をド・ラームコホモロジーとして表すことを研究した(チャーン・ヴェイユ理論)。この理論は微分幾何学の特性類の重要なステップである。M 上の平坦主 G-束 P が与えられると、チャーン・ヴェイユ準同型と呼ばれる準同型が一意的に存在する。その準同型は、g(G のリー代数)上の G-随伴不変多項式の代数からド・ラームコホモロジー H ∗ ( M , R ) {\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} )} への準同型である。もし不変多項式が斉次多項式であれば、任意の閉形式 ω の k 形式は ω の随伴曲率形式 Ω の 2k 形式として具体的に書くことができる。
1974年、チャーンとジェームズ・シモンズは、次を満たす 2k − 1 形式 df(ω) を具体的に構成した。
d T f ( ω ) = f ( Ω k ) {\displaystyle dTf(\omega )=f(\Omega ^{k})} .
ここに T はチャーン・ヴェイユ準同型である。この微分形式をチャーン・サイモンズ形式という。もし df(ω) が閉形式であれば、M 上の 2k−1 次元サイクル C に沿って、上の式を積分することができる。