半群
モノイドは単位的半群である。
部分半群は半群の部分集合であって、もとの半群の演算について閉じているようなものである。部分半群が群を成すならば、それをもとの半群の部分群と呼ぶ。
帯はその演算が冪等であるような半群である。
消約半群は左消約律「ab = ac ならば b = c」かつ右消約律「ba = ca ならば b = c」を満たす半群である。
半束はその演算が冪等かつ可換な半群である。
0-単純半群
変換半群は何らかの集合上の変換からなる、写像の合成を積とする半群である。任意の有限半群 S は高々 |S| + 1 個の状態をもつ(状態)集合 Q 上の変換半群として表現することができる。S の各元 x は Q をそれ自身に写す写像 x: Q → Q であり、列 xy は Q の各元 q に対して q(xy) = (qx)y と定義される。変換の列を作る操作は明らかに結合的演算で、ここでは写像の合成と等価である。