ネイピア数
ネイピア数と呼ばれる自然対数の底
e = 2.718281828459045...
には以下のような語呂合わせで記憶する方法が知られている。
となる。したがってまた
∫ d x x = ln  x + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C}
である。
e は無理数である(ネイピア数の無理性の証明、オイラー、1744年)だけでなく超越数でもある(シャルル・エルミート、1873年)。
指数関数の解析接続によって一般の複素数を指数とした e の冪乗 e が定義されるが、特に純虚数を指数とする冪はオイラーの公式として知られる関係式
e i x = cos  x + i sin  x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
を満たす。この式の特別な場合として x = π(π は円周率)を代入して得られるオイラーの等式
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} または e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1}
において前者はネイピアの数を含む5つの基本的な数学定数 e, i, π, 0, 1 の間の、後者は e, i, π, −1 の間の直観的には全く明らかではない関係を記述するものである。
ネイピア数は以下の規則的な連分数展開を持つ:
e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]
特に 11/4 = 2.75, 19/7 = 2.714..., ... などは e の近似値である。