表面準位
単原子線形鎖の表面準位の結果は、3次元結晶の場合に対して簡単に一般化することができる。表面格子は2次元で周期性があるため、ブロッホの定理は表面に平行な並進に対しても成り立つ必要がある。結果として、表面準位は表面に平行なk値 k | | = ( k x , k y ) {\displaystyle {\textbf {k}}_{||}=(k_{x},k_{y})} と1次元の表面準位を表す関数の積として書くことができる。
Ψ 0 ( r ) = ψ 0 ( z ) u k | | ( r | | ) e − i r | | ⋅ k | | {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{0}({\textbf {r}})&=&\psi _{0}(z)u_{{\textbf {k}}_{||}}({\textbf {r}}_{||})e^{-i{\textbf {r}}_{||}\cdot {\textbf {k}}_{||}}\end{aligned}}}
ブロッホの定理で述べられているように、完全に周期的なポテンシャル(結晶)である単一電子シュレーディンガー方程式の固有状態はブロッホ波である。
Ψ n k = e i k ⋅ r u n k ( r ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n{\boldsymbol {k}}}&=\mathrm {e} ^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}u_{n{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}}).\end{aligned}}}
ここで u n k ( r ) {\displaystyle u_{n{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}})} は結晶と同じ周期性を持つ関数であり、nはバンドインデックス、kは波数である。与えられたポテンシャルに許容される波数は、普通のボルン・フォン・カルマン周期境界条件を適用することで見つけられる。結晶の終端つまり表面の形成は、完全な周期性からの逸脱をはっきりと起こす。結果として周期的境界条件が表面に垂直な方向で放棄されると、電子の振る舞いはバルク内の振る舞いからは逸脱し、電子構造でいくらかの修正が予想される。
図1に示すように、1次元の結晶ポテンシャルの単純化したモデルを書くことができる。
きれいで秩序だった表面から生じる表面準位は通常、内的(intrinsic)と呼ばれる。これらには再構成された表面から生じる準位が含まれている。ここでは2次元の並進対称性により表面のk空間にバンド構造が生じる。
外的要因(extrinsic)の表面準位は通常、きれいで秩序だった表面に由来しない準位として定義される。extrinsicのカテゴリに入る表面は
表面の並進対称性が壊れている欠陥のある表面
吸着質のある表面
半導体酸化物もしくは半導体金属界面など2つの材料間の界面
固体相と液体相の界面
一般的に、extrinsicな表面準位は化学的、物理的、構造的特性から簡単に特徴づけることができない。
表面準位はエネルギー E s {\displaystyle E_{s}} と表面に平行な波動ベクトル k | | {\displaystyle {\textbf {k}}_{||}} により書かれるが、バルク準位は k | | {\displaystyle \mathbf {k} _{||}} と k ⊥ {\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }} 波数の両方により特徴づけられる。したがって表面の2次元ブリルアンゾーンでは、 k | | {\displaystyle \mathbf {k} _{||}} の各値に対して k ⊥ {\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }} のロッドがバルクの3次元ブリルアンゾーンに延びている。これらのロッドにより切られているバルクエネルギーバンドにより、結晶の深くまで進む準位が可能になる。よって、一般的には真の表面準位と表面共鳴は区別される。真の表面準位は、バルクエネルギーバンドで減衰しないエネルギーバンドにより特徴づけられる。これらは禁制エネルギーギャップにのみ存在するため、図3に示すように表面に局在する。表面とバルク準位が縮退するエネルギーでは、表面とバルク準位が混ざり合い表面共鳴を形成する。このような準位はブロッホ波同様バルクの奥まで伝播することができるが、表面近くでは振幅が増大する。
表面準位の分散を測定する実験技術は角度分解光電子分光(ARPES)もしくは角度分解紫外光電子分光法(ARUPS)である。