行列式
が成立しており、さらに交代性によって
| a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = − | a 12 a 11 a 13 a 22 a 21 a 23 a 32 a 31 a 33 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}\,=\,-\,{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{11}&a_{13}\\a_{22}&a_{21}&a_{23}\\a_{32}&a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}}
も成り立っている。特に、どれか二つの列が全く同一の成分を持つような行列の行列式は 0 である。
A の行列式と、A の転置行列の行列式は等しい。これによって、行列式が列に関してある性質を持てば、行に関しても同様の性質を持つことが分かる。つまり、上記の性質は全て行に対するものにも書き直せる。
二つの行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積に等しい:A, B を n次正方行列とするとき、|A|⋅|B| = |AB| である。これより特に行列式が基底の取り替えによって不変であることが従う。
西洋で行列式が考えられるようになったのは16世紀であり、これは19世紀に導入された行列そのものよりも遥かに昔に導入されていたことになる。また、数を表の形に並べたものや、現在ガウス(・ジョルダン)消去法と呼ばれているアルゴリズムは最も古くには中国の数学者たちによって考えられていたことにも注意する必要がある。
n次正方行列 A ≔ (aij) に対し、(i, j)余因子を (j, i)成分に持つ行列
A ~ := [ Δ 11 Δ 21 ⋯ Δ n 1 Δ 12 Δ 22 ⋯ Δ n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Δ 1 n Δ 2 n ⋯ Δ n n ] {\displaystyle {\tilde {A}}:={\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{21}&\cdots &\Delta _{n1}\\\Delta _{12}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{1n}&\Delta _{2n}&\cdots &\Delta _{nn}\end{bmatrix}}}
を A の余因子行列という。余因子行列については、余因子展開を逆に用いると
A ~ A = A A ~ = det ( A ) E n {\displaystyle {\tilde {A}}A=A{\tilde {A}}=\det(A)E_{n}}
となることが確かめられる。ただし、En は n次単位行列である。またここから、A の行列式 det(A) が 0 でない場合には
2 次あるいは 3 次の正方行列については、左上から右下へ向かう方向に「+」、右上から左下へ向かう方向に「−」の符号を付けて積を取りそれらの和を取ると行列式が求められる。これを「サラスの方法(英語版)」または「サラス展開」、「たすきがけの法」と言う。n 次正方行列に対して、サラスの方法で取り出せる項の数は高々 2n であり、一般には行列式の総項数 n! に比べてはるかに少ないため、4次以上の正方行列にはこの方法は使えない。
三角行列の行列式は、主対角成分の総乗をとることで求まる。三角行列の主対角成分には固有値が並ぶから、行列式の値は固有値の総乗である。このことは、基底の取替えによる行列の三角化可能性と行列式の乗法性によって、一般の正方行列に対しても正しい。つまり、与えられた行列の行列式の値は、その行列の固有値の総乗に等しい。
行列式は多項式であり、微分が可能である。余因子展開の式から、A の行列式 det(A) の微分として次の関係が成り立つ。
∂ det ( A ) ∂ a i j = Δ i j {\displaystyle {\frac {\partial \det(A)}{\partial a_{ij}}}=\Delta _{ij}}
d det ( A ) = ∑ i , j = 1 n Δ i j d a i j = tr  ( A ~ d A ) = det ( A ) tr  ( A − 1 d A ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \det(A)&=\sum _{i,j=1}^{n}\Delta _{ij}\,\mathrm {d} a_{ij}\\&=\operatorname {tr} ({\tilde {A}}\,\mathrm {d} A)\\&=\det(A)\operatorname {tr} (A^{-1}\,\mathrm {d} A)\end{aligned}}}