CR多様体
具体例として,ハイゼンベルク群(Heisenberg group)の作用素 ∂ ̄ b {\displaystyle {\overline {\partial }}_{b}} を考察してみよう.通常のハイゼンベルク群 C n × R {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R} } について,その上の左不変な正則ベクトル場
L j := ∂ ∂ z j + i z ̄ j ∂ ∂ t ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle L_{j}:={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+i{\overline {z}}_{j}{\frac {\partial }{\partial t}}(j=1,2,\dotsm ,n)}
を考える.ここで, ( z 1 , z 2 , ⋯ , z n ) ∈ C n , t ∈ R {\displaystyle (z_{1},z_{2},\dotsm ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} } とする.このとき,関数 u {\displaystyle u} について,
M {\displaystyle M} が超曲面型の CR 多様体で単一の函数 F = 0 {\displaystyle F=0} で定義されているとする.このとき, M {\displaystyle M} のレヴィ形式(エフゲニオ・エリア・レヴィ(英語版)(Eugenio Elia Levi)の名に因む)とは、エルミート 2-形式
h = i ∂ ∂ ̄ F | L {\displaystyle h=i\partial {\bar {\partial }}F|_{L}}
のことを指す.レヴィ形式は L {\displaystyle L} 上の計量を定める. M {\displaystyle M} は, h {\displaystyle h} が正定値であるとき,強擬凸(strictly pseudoconvex)と呼ばれ, h {\displaystyle h} が半正定値のときは擬凸(pseudoconvex)と呼ばれる.CR多様体の理論の解析的な存在性と一意性の結果の多くは,レヴィ形式の強擬凸性によるものである.
この命名は擬凸領域の研究から来ている: M {\displaystyle M} が C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 内の(強)擬凸領域の境界であることと,CR多様体として(強)擬凸であることは同値である.