階差数列
階乗冪の階差は再び階乗冪となる。m を与えられた整数とし、一般項が
k ⟨ m ⟩ = { k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ ( k − m + 1 ) ( m > 0 ) 1 ( m = 0 ) 1 / k ( k + 1 ) ( k + 2 ) ⋯ ( k + | m | − 1 ) ( m < 0 ) {\displaystyle k^{\langle m\rangle }={\begin{cases}k(k-1)(k-2)\cdots (k-m+1)&(m>0)\\1&(m=0)\\1/k(k+1)(k+2)\cdots (k+|m|-1)&(m<0)\end{cases}}}
で定義される数列 (k)k を考えれば
Δ k ⟨ m ⟩ Δ k = m k ⟨ m − 1 ⟩ {\displaystyle {\frac {\;\Delta k^{\langle m\rangle }\!\!\!\!\!}{\,\Delta k}}=mk^{\langle m-1\rangle }}
が成り立つことは簡単な計算でわかる(分母は Δk ≡ 1 だから書いても書かなくても同じだが)。