不変集合
不変集合の構造を決定することは、力学系研究の中心的なテーマの一つである。不変集合 S の中から出発する軌道は決して S から出ないが、同時に不変集合 S の外から出発する軌道も決して S に入ることはない。このような不変集合の特性によって、ある力学系をその不変集合ごとに分けて、それぞれを独立した力学系として扱うことができる。それぞれの不変集合ごとの力学系を調べていけば、元の力学系全体の構造を理解することができる。このようなアプローチを可能にする点が、力学系理論における不変集合の重要性の一つである。
相空間 M を位相空間とする。このとき、不変集合 S ⊂ M の内部 Int(S)、外部 Ext(S)、閉包 Cl(S)、境界 Bd(S) は、いずれも不変集合である。ある不変集合が存在すればそれを含める閉包が必ず存在し、しかもその閉包自身も不変集合なので、この不変な閉集合を特に閉不変集合という。ある閉不変集合 S の部分集合の内、閉不変集合であるのが空集合と S 自身のみであるとき、S を極小集合という。S が極小集合であれば、S 内の全ての軌道は S の中で稠密である。