ゼノンのパラドックス
第四の議論は、競走場において、一列の等しい物塊の傍を、反対方向に、一方は競走場の終点から、他方はその折返し点から、等しい速さで運動する二列の等しい物塊にかんするものである。この議論では、ゼノンは、半分の時間がその二倍の時間に等しいという結論になると思っている。ところで、この論過は、等しい大きさのものが自分と等しい大きさのものの傍を等しい速さで移動するさいには、後者が運動していても、静止していても、要する時間は等しいと考えているところにある。しかし、これは偽りである。
「例えば」として、アリストテレスが以下に続ける文章は、解釈を加えたうえで、補わなければ意味が通らない。「列ΑΑ」と2物塊(或いは線分)で説明されているが、ここでは3ブロックに変え、事態を表す。
第一図 A:競技場、B:右方向へ移動するブロック列RQP、Γ:左方向へ移動するブロック列XYZとして、初期状態は、ΒとΓの先頭PとXがΑの中間ブロックに並ぶ。
第二図 B、Γそれぞれが移動を開始し、次のように、Βの先頭PがAの右端に、Γの先頭XがΑの左端に並んだとする。
このとき、B、Γそれぞれは、Aに対しては1ブロック分しか移動していないが、互いには2ブロック分移動している。この事態をゼノンは次のように説明している、とアリストテレスは言う。
ΓはBの傍らを2ブロック分移動したのに対し、BはAの傍らを1ブロック分しか移動していない。したがって、Bの要した時間は、Γの半分である。しかるに、BとΓは共にAの終端に達しているのだから、Bの要した時間は、Γの要した時間に等しいはずである。すなわち、半分の時間はその二倍の時間に等しい、ということになる。
級数による「解決」或いはラッセルの言う無限数の導入によるという数学的な捉え方に対して、いくつかの疑問が提出される。マックス・ブラック等は、スーパータスク・無限作業の問題を提出する。トムソンのランプなど、無限の作業が完了したとすると説明の付かない事態が出来する。二分法に於いて、前進型で目的点に到着するケースにあたる無限数列Z={0,1/2,3/4,7/8,...}は、上限が1である。Zの各数に順にオンオフを対応させるとすると、上限1において到着するというならば、その時それはオンなのかオフなのか。どちらでもあり得ない、とジェームズ・F・トムソン(英語版)は言う。この例が、スーパータスクの自己矛盾性を証明しているか否かは、見解が分かれる。
ポール・ベナセラフは、スーパータスク自己矛盾論者を、現代のエレア派と名付ける。「無限作業の完了」が、何を指しているかというところに難点があるとする。無限数列Zの各項に規定された関係が、上限においても規定されるとは論理的には言えない。
粟(黍とも訳される)の一粒とその1万分の1の粒は落ちるとき音はしない。しかし、1万粒の粟の塊は落ちると音がする。そうであるなら、1万分の1の粒の1万倍である一粒も音がしなければならない。
アリストテレスは、時間が「不可分割的な今から成るのではない」としてゼノンを否定する一方、「今においては運動も静止もありえない」として、疑似的な論議と見ている風もある。数学的に見れば、瞬間においては運動も静止もないと見ることも可能であるが、同時に、運動方程式は瞬間における速度を示し得るのであって、言葉の定義の問題に過ぎない。しかし、前者の否定は成り立たない。時間が瞬間より成るとしても、運動は否定され得ない。時間が連続体であれば、時間が瞬間=点よりなり、矢が瞬間=点においては静止しているとしたとしても、動くことは出来る。近代解析学においては、ゼノンの結論は否定されるが、アリストテレスの論議も否定される。