数学的対象
20世紀の変わり目頃に現れたカントールの仕事によってもたらされた観点は、全ての数学的対象は集合によって定義できるというものであった。{0,1} という集合は比較的明確な例である。表面的には、2 を法とする整数の群 Z2 もまた二つの要素を持った集合である。しかしそれは単に集合 {0,1} であるのではない。これは 2 を法とする和および反数の演算によって Z2 へ割り当てられた付加構造について言及していないからである。例えば、0 または 1 のどちらが加法単位元であるのかをわれわれはどのようにして知ればよいのか? この群を集合として体系化するためには、まず四つ組 ({0,1},+,−,0) として規定し、次に四つ組を集合として表すいくつかの慣習のうちの一つを使ってやれば集合として書けるから、あとは必然的に +, −, 0 を集合として規定すればよい。
このアプローチは、数学の存在論は実践や教育法の影響を受けるべきであるかどうかという根源的に哲学的な問いが生じる。数学者はそのような符号化についての研究は行わない、符号化は規範的でも実践的でもない。それらはどんな代数学の教科書にも現れないし、代数学の教程の学生も指導者もそのような符号化には全く精通していない。それゆえ、もし存在論が実践を反映するべきものであるならば、数学的対象はこの方法では集合へ還元できない。