ガウシアンビーム
円筒対称性のある場合、近軸波動方程式の自然な解はラゲール・ガウシアンモードを与える。このモードは、円筒座標系とラゲール多項式を用いて以下のように書ける。
u ( r , φ , z ) = C l p L G w ( z ) ( r 2 w ( z ) ) | l | exp  ( − r 2 w 2 ( z ) ) L p | l | ( 2 r 2 w 2 ( z ) ) exp  ( − i k r 2 2 R ( z ) ) exp  ( i l φ ) exp  [ i ( 2 p + | l | + 1 ) ζ ( z ) ] {\displaystyle {u}(r,\phi ,z)={\frac {C_{lp}^{\mathrm {LG} }}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{|l|}\exp \left(-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(il\phi )\exp \left[i(2p+|l|+1)\zeta (z)\right]}

ここで、 Llp は動径指数 p ≥ 0 、偏角指数 l の一般化ラゲール関数である。 CLGlp は適当な正規化因子、w(z), R(z), ζ(z) は前述のビームパラメータである。