二項係数
5)^{k}e^{k}}{\sqrt {2\pi k}}}} と書くことができるので、
log  ( n k ) ≈ k ln  ( n k − 0.5 ) + k − 0.5 ln  ( 2 π k ) {\displaystyle \log {\binom {n}{k}}\approx k\ln({\frac {n}{k}}-0.5)+k-0.5\ln(2\pi k)}
を得る。より精度を望むならば、ln(n(n − 1)...(n − k + 1)) を積分で近似して
log  ( n k ) ≈ ( n + 0.5 ) ln  n + 0.5 n − k + 0.5 + k ln  n − k + 0.5 k − 0.5 ln  ( 2 π k ) {\displaystyle \log {\binom {n}{k}}\approx (n+0.5)\ln {\frac {n+0.5}{n-k+0.5}}+k\ln {\frac {n-k+0.5}{k}}-0.5\ln(2\pi k)}
となる。n = 20 かつ k = 10 に対して log(nk) ≈ 12.127 およびこれら近似式からそれぞれ近似値 12.312 および 12.133 を得る。
ガンマ函数の無限積表示に基づく無限積
n が合成数のとき、p を n を割り切る最小の素因数とし、k = n/p と置けば、0 < p < n かつ
( n p ) = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − p + 1 ) p ! = k ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − p + 1 ) ( p − 1 ) ! {\displaystyle {\binom {n}{p}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-p+1)}{p!}}={\frac {k(n-1)(n-2)\cdots (n-p+1)}{(p-1)!}}}
は n で割り切れない。仮に割り切れるとすると分子 k(n − 1)(n − 2) × ... × (n − p + 1) が n = k × p で割り切れることになり、それは (n − 1)(n − 2) × ... × (n − p + 1) が p で割り切れる場合しかありえないが、n は p で割り切れるのだから、p は n − 1, n − 2, ..., n − p + 1 を割り切らず、p は素数だから従って (n − 1)(n − 2) × ... × (n − p + 1) も割り切らず、それゆえ分子が n で割り切られることもない。
二項係数の定義(積による表示)は n が実数、k が整数の場合にも意味を持つ。特に n = 1/2 のとき任意の非負整数 k に対して
( 1 / 2 k ) = ( 2 k k ) ( − 1 ) k + 1 2 2 k ( 2 k − 1 ) {\displaystyle {\binom {1/2}{k}}={\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{2k}(2k-1)}}}
が成り立つ。これは二項級数展開 √1 + x = ∑k≥0 (1/2k)x に現れる。
任意の n に対して
( − n k ) = − n ⋅ − ( n + 1 ) ⋯ − ( n + k − 2 ) ⋅ − ( n + k − 1 ) k ! = ( − 1 ) k n ⋅ ( n + 1 ) ⋅ ( n + 2 ) ⋯ ( n + k − 1 ) k ! = ( − 1 ) k ( n + k − 1 k ) = ( − 1 ) k ( ( n k ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {-n}{k}}&={\frac {-n\cdot -(n+1)\dots -(n+k-2)\cdot -(n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}\;{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdots (n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}\\&=(-1)^{k}\left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)\end{aligned}}}
が成り立つ。特に、負の整数における二項係数は符号付多重集合係数である。n = −1 なる特別の場合には、これは ( − 1 ) k = ( − 1 k ) = ( ( − k k ) ) {\displaystyle (-1)^{k}={\tbinom {-1}{k}}={\big (}\!{\tbinom {-k}{k}}\!{\big )}} と簡単になる。