類数公式
K を Q のガロア拡大とすると、アルティンのL-函数の理論を ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} へ適用する。これはリーマンゼータ函数の一つの因数を持ち、留数が 1 の極を持ち、商が s = 1 で正則になる。すなわち、類数公式の右辺が左辺である
∏ L ( 1 , ρ ) dim  ρ {\displaystyle \prod L(1,\rho )^{\dim \rho }}
に等しいとみなすことができる。ρ は次元 dim(ρ) の Gal(K/Q) の既約な非自明複素線型表現の類のすべてをわたる。これは、正則表現の標準的な分解に従うものである。
類数公式の証明のアイデアは、K = Q(i) のときが一番理解しやすい。この場合には、K の整数環はガウス整数環である。
基本的な計算で、デデキントのゼータ函数の s = 1 での留数は、デデキントのゼータ函数のディリクレ級数表現における係数の平均値である。ディリクレ級数の n 番目の係数は、本質的に n を非負な整数の二乗の和として表現する方法(整数の順序対)の数である。したがって、デデキントのゼータ函数の s = 1 での留数は、表現の数の平均値を計算することで求めることができる。これは、ガウスの円の問題(英語版)(Gauss circle problem)の記事にあるように、原点を中心とする四分円の中に入る格子点の数を近似することで計算でき、留数は π/4 となる。
K が任意の虚二次体の場合は、これと非常に似た証明となる。
一般の場合は、ディリクレ単数定理によって、K の整数環の単数群は無限群である。それにもかかわらず、実埋め込みと複素埋め込み (classical theory of real and complex embeddings) という古典的な理論を使うことで留数の計算を格子点の数え上げ問題に還元することができ、格子点の数を領域の体積で近似できるため、証明が可能である。