中間値の定理
#概要に述べた一般化された定理について証明する。必要な事実は
連結空間の連続像は連結である
ということだけである(この事実はここでは認めて話を進めることにする)。
連結空間 S 上の実連続関数 f : S → R による像 f (S) は実数直線 R の連結部分集合である。S の2点 x1, x2 における値を f (x1) = α, f (x2) = β とすると、α ∈ f (S) および β ∈ f (S) である。ここで、α < β とすると α < γ < β である実数 γ は必ず f (S) に含まれることを背理法によって示そう。すなわち、以下では α < γ < β である実数 γ であって f (S) に含まれないものが存在すると仮定して矛盾を導く。
背理法のためにおいた仮定から、R の開集合 (−∞, γ) と (γ, ∞) は
f (S) ⊂ (−∞, γ) ∪ (γ, ∞) = R ∖ {γ}
f (S) ∩ (−∞, γ) ∩ (γ, ∞) = ∅
α ∈ f (S) ∩ (−∞, γ) ≠ ∅
β ∈ f (S) ∩ (γ, ∞) ≠ ∅
を満たすため、f (S) は連結集合の定義を満たさない。これは f (S) が連結であるという事実に矛盾する。
したがって、仮定が成り立つことはなく、α < γ < β である実数 γ は必ず f (S) に含まれる。ゆえに、f (x) = γ となる点 x ∈ S が必ず存在する。[証明終]