完全環
右あるいは左アルティン環や半準素環は右かつ左完全環であることが知られている。
以下は(Bass により)右完全だが左完全でない局所環の例である。F を体とし、F 上の無限次行列からなるある環を考える。
N×N で添え字づけられた成分をもつ無限次行列であって対角線より上には有限個しか零でないようなものがないもの全体の集合をとり、この集合を J と表記する。また、対角線上にすべて 1 が並んだ行列 I {\displaystyle I\,} をとり、集合 R = { f ⋅ I + j ∣ f ∈ F , j ∈ J } {\displaystyle R=\{f\cdot I+j\mid f\in F,j\in J\}\,}
を作る。R は単位元をもつ環であり、そのジャコブソン根基は J であることを示すことができる。さらに、R/J は体なので、R は局所環であり、R は右完全だが左完全ではない。 (Lam 2001, pp. 345–346)