ハートレー変換
数学の分野におけるハートレー変換(ハートレーへんかん、英語: Hartley transform)は、フーリエ変換と非常に関係の深い、実数値関数を実数値関数へと写す積分変換である。1942年、ラルフ・ハートレーによりフーリエ変換の代替的なものとして提唱され、多くの知られているフーリエ関連変換(英語版)の内の一つとなった。フーリエ変換と比較して、ハートレー変換には実関数を実関数へと変換し、逆変換がそれ自身となるという長所がある。
1983年、ロナルド・ブレイスウェル(英語版)によりこの変換の離散版である離散ハートレー変換(英語版)が考案された。
二次元のハートレー変換は、光学フーリエ変換(英語版)と同様なあるアナログ光学処理によって計算される。その利点として、複素フェーズよりも振幅と符号のみが必要とされる、ということが提唱されている。しかし、光学ハートレー変換は未だ広く利用されてはいないようである。
この変換は、積分核の選び方において従来のフーリエ変換 F ( ω ) = F { f ( t ) } ( ω ) {\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}(\omega )} とは異なるものである。フーリエ変換においては、指数関数核: exp  ( − i ω t ) = cos  ( ω t ) − i sin  ( ω t ) {\displaystyle \exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t)} が用いられていた。ここで i は虚数単位である。
それら二つの変換は密接に関連している。特に、フーリエ変換は(正規化の系数として 1 / 2 π {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}} を用いる時)、
F ( ω ) = H ( ω ) + H ( − ω ) 2 − i H ( ω ) − H ( − ω ) 2 {\displaystyle F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{2}}}