ポアンカレの回帰定理
ハミルトニアン H(q, p) が時間に陽に依存しない場合、エネルギー E は保存量であり、軌道 (q(t), p(t)) は
H ( q , p ) = E =: c o n s t . {\displaystyle H(q,p)=E=:\operatorname {const.} }
で与えられる相空間内の等エネルギー面 ΩE 内に留まることとなる。この等エネルギー面 ΩE 内の領域 A の面積は、
μ ( A ) = ∫ A d σ | | ∇ H ( q , p ) | | {\displaystyle \mu (A)=\int _{A}{\frac {d\sigma }{||\nabla H(q,p)||}}}
で与えられる。ここで、dσ は ΩE の面積要素、∇H(q, p) は勾配ベクトルである。すなわち、 ΩE(とその完全加法族F)に測度 μ が導入される。
ポアンカレの回帰定理では、ΩE の面積が有限であるという仮定
μ ( Ω E ) < + ∞ {\displaystyle \mu (\Omega _{E})<+\infty }
が置かれる。これは、一般化座標 q や正準運動量 pが無限に増大することがないという仮定に相当する。