集合の代数学
次の命題は、部分集合に半順序が成り立つことを示している。
命題 6: 集合 A、B、C について次が成り立つ。
反射律: A ⊆ A {\displaystyle A\subseteq A}
反対称律: A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} かつ B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} であることと A = B {\displaystyle A=B} は等価
推移律: A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} で、かつ B ⊆ C {\displaystyle B\subseteq C} であるなら、 A ⊆ C {\displaystyle A\subseteq C} が成り立つ。
次の命題は、任意の集合 S とその冪集合に包含関係の順序性、上限と下限があり、分配法則と相補性の規則からブール代数が導かれることを示している。
命題 7: 集合 A、B、C が集合 S の部分集合であるとき、以下が成り立つ。
下限と上限の存在: ∅ ⊆ A ⊆ S {\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}
結びの存在: A ⊆ A ∪ B {\displaystyle A\subseteq A\cup B} A ⊆ C {\displaystyle A\subseteq C} で、かつ B ⊆ C {\displaystyle B\subseteq C} なら、 A ∪ B ⊆ C {\displaystyle A\cup B\subseteq C} が成り立つ。