シンプソンの公式
シンプソンの公式は、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} を二次関数 P ( x ) {\displaystyle P(x)} で近似することによって導かれる。ここで、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は f ( x ) {\displaystyle f(x)} の a, b, m における値をそれぞれとる[m は“中点”、すなわち a + b/2]。 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は、ラグランジュ補間によって、次の多項式( x {\displaystyle x} の二次式)になることが分かる。
P ( x ) = f ( a ) ( x − m ) ( x − b ) ( a − m ) ( a − b ) + f ( m ) ( x − a ) ( x − b ) ( m − a ) ( m − b ) + f ( b ) ( x − a ) ( x − m ) ( b − a ) ( b − m ) . {\displaystyle P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}
この多項式を範囲 [a, b] で積分すると、次のシンプソンの公式が得られる。
∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b P ( x ) d x = b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] .