レピュニット
現在、Rn で n = 2, 19, 23, 317, 1031, 49081 の場合に素数となることが証明されている。しかし桁数が大きい確率的素数 (PRP, probable prime) は素数判定が困難であり、例えば2022年3月に素数であることが証明された R49081 は、1999年に H. Dubner が確率的素数として発見してから P. Underwood によって素数判定されるまで23年を要した。
2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している。同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した。
2021年4月20日、S. Batalov と R. Propper は n=5794777 を、同年5月8日に n=8177207 を PRP であると発表した。発表時点ではそれぞれが知られている最大の PRP であった。
(オンライン整数列大辞典の数列 A004023)
レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: Repunit) とは 1, 11, 111, 1111, ... のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである。
10進法におけるn桁のレピュニットは R n = 10 n − 1 9 {\displaystyle R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}} の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、Rn は素数となる。2進法におけるn桁のレピュニットはメルセンヌ数 ( M n = 2 n − 1 ) {\displaystyle (M_{n}=2^{n}-1)} である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数、英: Repunit prime)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。