一様空間
距離空間においてはコンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事が知られているが、これは一様空間においても成立する。
これを見るためにまず一様空間における全有界性を定義する:
定義・定理 (一様空間における全有界性) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} と一致するものとする。
このとき以下の条件は全て同値である。これらの条件の少なくとも1つ(したがって全て)を満たすとき、 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} は全有界(英: totally bounded)もしくはプレコンパクト(英: precompact)であるという。
本節では集合Xから一様空間 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} への写像全体の集合F(X,Y)に一様構造が入る事を見る。この一様構造がF(X,Y)に定める位相におけるネットの収束をネットの一様収束という。本節では一様収束のいくつかの関連概念をまとめて扱うため、Xの部分集合の集合 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} を考え、「 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元に関する一様収束」という概念を導入する。具体的には S {\displaystyle {\mathcal {S}}} として以下の3種類を考える:
S = { X } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X\}}
S = { X {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X} の一点集合 } {\displaystyle \}}
S = { X {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{X} のコンパクトな部分集合 } {\displaystyle \}}
最後のものに関してはXに位相構造が入っている事を仮定している。通常の一様収束は最初のものであり、2番目は各点収束、3番目はコンパクト収束である。
可算個の擬距離の集合から定まる一様構造は擬距離化可能である:
定理 ― Xを集合とし、 D = { d i ∣ i ∈ N } {\displaystyle D=\{d_{i}\mid i\in \mathbb {N} \}} を集合X上の可算個の擬距離の集合とし、 U D {\displaystyle {\mathcal {U}}_{D}} をDにより定まる一様構造とする。このとき、X上の擬距離を
d ( x , y ) = ∑ i ∈ N 2 − i arctan  ( d i ( x , y ) ) {\displaystyle d(x,y)=\sum _{i\in \mathbb {N} }2^{-i}\arctan(d_{i}(x,y))}
と定義すると、 U D {\displaystyle {\mathcal {U}}_{D}} はdにより定まる一様構造と一致する
2021年4月23日閲覧。
“A. Uniformities and Uniform Completion” (pdf). Hans Jürgen Borchers, Rathindra Nath Sen. 2021年4月27日閲覧。 ※下記文献の無料公開部分:Hans Jürgen Borchers, Rathindra Nath Sen. “Mathematical Implications of Einstein-Weyl Causality”. 2021年4月27日閲覧。
Bhowmik Subrata, Tripura University (2014年6月). “INTRODUCTION TO UNIFORM SPACES” (pdf). RESEARCH GATE. doi:10.13140/RG.2.1.3743.8967. 2021年4月27日閲覧。
Hans-Peter A. Künzi (2005年5月7日). “An Introduction to the Theory of Quasi-uniform Spaces” (pdf). 2021年4月29日閲覧。
φ ( x ) = { 1 if x = z 0 if x ∈ F {\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=z\\0&{\text{if }}x\in F\end{cases}}}
を満たすものが存在する事をいう。
完全正則でない位相空間は一様化可能ではないが、「準一様化」は可能である。なお下記の定理において「準一様構造の定める位相」は「一様構造が定める位相」と同様に定義する。
定理 (任意の位相空間は準一様化可能) ― 任意の位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} に対し、Xの準一様構造 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} で Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} が定める位相が O {\displaystyle {\mathcal {O}}} に一致するものが必ず存在する。
一様連続性を擬距離の集合を使う事で特徴づける事もできる。この特徴づけにより、上述の一様連続性の定義は義距離空間における一様連続性の定義の自然な一般化になっている事が確認できる。
定理 (一様連続性の特徴づけ) ― X、Yを集合とし、D、EをそれぞれX、Y上で定義された擬距離の集合とし、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 、 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} をそれぞれD、EがX、Y上に定める一様構造とする。
このとき写像 f : X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} に対して以下は同値である:
f : ( X , U ) → ( Y , V ) {\displaystyle f~:~(X,{\mathcal {U}})\to (Y,{\mathcal {V}})} は一様連続
X × X上の任意のネット ( x λ , x λ ′ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda },x'_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} に対し、
D ( x λ , x λ ′ ) → 0 ⇒ E ( f ( x λ ) , f ( x λ ′ ) ) → 0 {\displaystyle D(x_{\lambda },x'_{\lambda })\to 0\Rightarrow E(f(x_{\lambda }),f(x'_{\lambda }))\to 0}
定理・定義 (コーシーネット) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} と一致するものとし、さらに ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} をX上のネットとする。このとき以下の条件は全て同値であり、以下の条件の少なくとも一つ(したがって全て)を満たすとき、ネット ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} はコーシーネットであるという:
任意の近縁 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、あるλ0∈Λが存在し、 λ , τ ≥ λ 0 {\displaystyle \lambda ,\tau \geq \lambda _{0}} を満たす全てのλ, τ∈Λに対し、 ( x λ , x τ ) ∈ U {\displaystyle (x_{\lambda },x_{\tau })\in U}
上記の定理は特に可算個の擬距離空間の直積を考える場合に重要である。直積 P = ∏ i ∈ N X i {\displaystyle P=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i}} には直積一様構造が定まるが、上の定理からこの一様構造が擬距離から定まる事がわかる。実際、Xi上の擬距離diとXiへの射影πiの合成によりP上の擬距離 d i ′ ( x , y ) := d i ( π i ( x ) , π i ( x ) ) {\displaystyle d'_{i}(x,y):=d_{i}(\pi _{i}(x),\pi _{i}(x))} を定義して、これら可算個の擬距離から上の定理のように1つの擬距離dを定めると、P上の直積一様構造がdの定める一様構造と一致することがわかる。