キーペルト双曲線
キーペルト点は、以下の手順で作図される点である。
三角形 ABC に対し、∠xBC = ∠xCB = θ となる点 x をとる。 θが正の時は x は BC に対し A と逆側に取る。θ が負の時は x は BC に対し A と同じ側に取る。
同様に y, z をとる。
Ax, By, Cz の交点 N がキーペルト点である。
キーペルト点の軌跡がキーペルト双曲線となる。
3線が1点で交わることは以下のように証明できる。
Ax と BC が交わる点を D とする。
BD : DC = △ABx : △ACx = AB sin(B + θ) : AC sin(C + θ)
同様に By とCA の交点を E, Cz と AB の交点を F とすると CE : EA = BC sin(C + θ) : AB sin(A + θ), AF : FB = AC sin(A + θ) : BC sin(B + θ).
チェバの定理の逆より AD, BE, CF は1点で交わる。