自然数
友愛数(親和数とも言う)とは、異なる2つの自然数の組で、自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような数のことである。220と284、1184と1210などが例として挙げられる。
自然数がどんなものかは子供でも簡単に理解できるが、その定義は簡単ではない。自然数を初めに厳密に定義可能な公理として提示されたものにペアノの公理があり(1891年、ジュゼッペ・ペアノ)、以下のように自然数を定義することができる。
自然数 1 が存在する。
任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する(suc(a) は a + 1 の "意味")。
異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。(ある種の単射性)
1 はいかなる自然数の後者でもない(1 より前の自然数は存在しない)。
1 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
最後の公理は、数学的帰納法を正当化するものである。また、上の公理に現れる数字は 1 だけであり、自然数 1 からすべての自然数が作り出されることを意味している。一方、この公理の "1" を "0" に置き換えれば、自然数 0, 1, 2, 3, ... を作り出せる。
ただし、ペアノの原典においては上とは少し違った形式で公理系が述べられており、ペアノ自身は自然数そのものを定義しようとしたわけではなかった。