リー・トロッター積公式
A, B を同じ次数の任意の複素正方行列とすると、次の関係が成り立つ。
e A e B = e ( A + B ) + O ( ‖ A ‖ ‖ B ‖ ) . {\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{(A+B)}+O(\|A\|\|B\|).}
ただし、 O ( ⋅ ) {\displaystyle O(\cdot )} はランダウの記号(ただし、行列値に拡張している)である。
補題の証明は省略する。
補題から n を自然数として任意の行列 A, B に対して次の式が成り立つ。
e A / n e B / n = e ( A + B ) / n + O ( ‖ A / n ‖ ‖ B / n ‖ ) = e ( A + B ) / n + O ( ‖ A ‖ ‖ B ‖ / n 2 ) . {\displaystyle e^{A/n}e^{B/n}=e^{(A+B)/n}+O(\|A/n\|\|B/n\|)=e^{(A+B)/n}+O(\|A\|\|B\|/n^{2}).
リー・トロッター積公式は、通常の指数関数における次の規則の拡張である。
e x + y = e x e y . {\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}.}
この式は、x, y が任意の実数または複素数の場合に成立する。x, y を行列 A, B で置き変え、指数関数を行列指数関数で置き変えると、この規則が成立するためには、一般に A と B が可換である必要がある。しかし、リー・トロッター積公式は、A と B が可換でなくても一般に成立する。
この公式は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(英語版)の自明な系である。
より一般的には、A, B を行列に限定せず、任意のノルム空間 V 上の有限なノルムを持つ線形作用素としても、この公式は成立する。ただし、上記の行列についてのノルムは、次で定義されるノルム空間 V 上の線形作用素 A のノルム ||A|| に置き換えるものとする。
‖ A ‖ = sup x ∈ V ‖ A x ‖ ‖ x ‖ . {\displaystyle \|A\|=\sup _{x\in V}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}.}
この定義では、ノルム空間 V 上の恒等写像 I のノルムは 1 である。