ノイマン境界条件
∂ y ∂ n ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ ∂ Ω . {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial {\boldsymbol {n}}}}(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega .}
ここで n は境界 ∂Ω への法線ベクトルを表し、f は与えられたスカラー関数である。
上式の左辺に現れる法線微分(英語版)は
∂ y ∂ n ( x ) = ∇ y ( x ) ⋅ n ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial {\boldsymbol {n}}}}(x)=\nabla y(x)\cdot {\boldsymbol {n}}(x)}
で定義される。すなわち勾配と法線ベクトルの内積である。
熱伝導の問題において、定義域の境界から熱の出入りが全く無いという状況に出くわすことはよくある(すなわち、定義域は完全に断熱されている)。これは、法線微分がゼロであるようなノイマン境界条件に対応する。
ノイマン境界条件の他にも多くの境界条件が存在する。例えば、コーシー境界条件や、ノイマンとディリクレの条件が組み合わされた混合境界条件などがある。