弱位相
[ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} 区間上の複素数値2乗可積分関数のなすヒルベルト空間 H = {\displaystyle H=} L([-π,π])を例に強収束と弱収束の違いを見る。なお、ヒルベルト空間は再帰的な事が知られているので、弱位相と*弱位相は同一である。
( φ n ) n ∈ Z {\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をL(-π,π)の完全正規直交基底とする。例えば
φ n ( x ) = 1 2 π e i n x {\displaystyle \varphi _{n}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{inx}}
とすると、 ( φ n ) n ∈ Z {\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} が完全正規直交基底になる事が知られている(フーリエ展開を参照)。
( φ n ) n ∈ Z {\displaystyle (\varphi _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} の正規直交性から、n≠mに対し
‖ φ n − φ m ‖ = 1 2 {\displaystyle \|\varphi _{n}-\varphi _{m}\|={1 \over {\sqrt {2}}}}
弱位相の概念は下記のように一般化できる:
定理 ― Kを R {\displaystyle \mathbb {R} } 、 C {\displaystyle \mathbb {C} } 、もしくはより一般に位相体とし、X、YをK上ベクトル空間とし、
b : X × Y → K {\displaystyle b~:~X\times Y\to K}
を双線型写像とする。このとき、
任意のy ∈ Yに対して、写像 x ∈ X ↦ b ( x , y ) {\displaystyle x\in X\mapsto b(x,y)} が連続になるX上の最弱の位相をXのbに関する弱位相という。
任意のx ∈ Xに対して、写像 y ∈ Y ↦ b ( x , y ) {\displaystyle y\in Y\mapsto b(x,y)} が連続になるY上の最弱の位相をYのbに関する弱位相という。
上記の定義でY = X、 b ( x , α ) = α ( x ) {\displaystyle b(x,\alpha )=\alpha (x)} とすれば、X、Xにはそれぞれ前の章で説明した意味での弱位相、*弱位相が入るので、上記の定義が前に述べた弱位相や*弱位相の定義の一般化になっている事がわかる。