ライデマイスター移動
ライデマイスター移動Iを行うと、射影図の交点数やひねり数が1増減する。IIではひねり数は変化せず、交点数が2増減する。IIIの場合は、交点数もひねり数も変化しない。(よってライデマイスター移動 I がライデマイスター移動 II, III と独立であることがすぐにわかる。)
2つの結び目(絡み目)の射影図が同値な結び目(絡み目)の射影図であるための必要十分条件は、それらが有限回のライデマイスター移動(と平面上での同位変形)の繰り返しで移りあうことである。つまり、結び目(絡み目)は、その射影図を「有限回のライデマイスター移動で移りあう」という同値関係で割ることによって定義できる。このことをライデマイスターの定理といい、1926年に証明された。このため、結び目(絡み目)の射影図に対してライデマイスター移動によって変化しないような量を定めると、それは結び目(絡み目)の不変量となる。
右図のような変形をライデマイスター移動I'と定義することがある。ライデマイスター移動I'は、IIとIIIの繰り返しで実現することができ、この操作では交点数は2増減するが、通常のライデマイスター移動Iと違ってひねり数は変化しない。