ニュートンの不等式
ニュートンの不等式(ニュートンのふとうしき、英: Newton's inequalities)は、数学における対称式に関する不等式で、アイザックニュートンの名をとって命名された。n個の実数 a1, a2, ..., an に対し、これの k次対称式を ek とおく。次に、次の式で与えられる基本対称平均
S k = e k ( n k ) {\displaystyle S_{k}={\frac {e_{k}}{\binom {n}{k}}}}
は、次の不等式を満たす。ただし、 ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} は二項係数である。
S k − 1 S k + 1 ≤ S k 2 . {\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leq {S_{k}}^{2}.}
等号成立の必要十分条件は、a1, a2, ..., an が非負でかつすべて互いに等しいとき。
S1 は算術平均であり、Sn は幾何平均の n乗である。