函数の全微分
f: R → R は可微分函数で、g: R → R, g(t) = (g1(t), ..., gn(t)) は滑らかな曲線とすると、合成函数の微分は
d d t ( f ∘ g ) ( t ) = [ d f ( g ( t ) ) ] ( g ′ ( t ) ) = ∇ f ( g ( t ) ) ⋅ g ′ ( t ) = grad  f ( g ( t ) ) ⋅ g ′ ( t ) = ∂ f ∂ x 1 ( g ( t ) ) g 1 ′ ( t ) + ⋯ + ∂ f ∂ x n ( g ( t ) ) g n ′ ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{\mathit {dt}}}(f\circ g)(t)&=[{\mathit {df}}(g(t))](g'(t))=\nabla f(g(t))\cdot g'(t)=\operatorname {grad} f(g(t))\cdot g'(t)\\&={\frac {\partial f}{\partial x^{1}}}(g(t))g_{1}'(t)+\dots +{\frac {\partial f}{\partial x^{n}}}(g(t))g_{n}'(t)\end{aligned}}}
と書ける。多様体の場合にも同様のことが成り立つ。
同様にして(成分ごとに考えて)ベクトル値函数の全微分も定義できる。可微分多様体間の可微分写像に対する一般化として微分写像が得られる。
函数解析学において全微分は、フレシェ微分によって容易に一般化することができる。変分法では変分導函数(ドイツ語版)と呼ばれる。