リーマン多様体
リーマン多様体において、測地的なコンパクト性やトポロジーのコンパクト性、距離のコンパクト性というのは同義であり、Hopf-Rinowの定理を示唆するものである。
{\displaystyle L(\alpha )=\int _{0}^{1}{\|\alpha '(t)\|\,\mathrm {d} t}.}
この式においてα(t)の[0, 1]上での連続性からL(α)がこの曲線の長さとして表される。多くの場合において、線形代数的な考え方を微分幾何に応用する場合、この滑らかさという考え方は非常に重要である。
R上の部分多様体がリーマン計量gを持つ場合、gは各々の接ベクトル空間におけるR上の内積から制限される。実際、ナッシュの埋め込み定理に従えば、全てのリーマン多様体は、このようにR上の内積を何らかの方法で多様体上に写すことで実される。ある滑らかな部分多様体上で、Rからの内積で距離が定義されるとすると、多様体上に等距離性が自然に導入される。この定義は理論的に不十分なところもあるが。リーマン幾何学を幾何学的な直感に基づいて理解しようとする場合には非常に役立つものである。