部分群の指数
一般化すると、任意の正の整数 n に対して
| Z : n Z | = n {\displaystyle |\mathbf {Z} :n\mathbf {Z} |=n}
である。
N が G の正規部分群であれば、G における N の指数はまた商群 G / N の位数にも等しい、なぜならばこれは G における N の剰余類の集合における群構造の言葉で定義されるからである。
G が無限であれば、部分群 H の指数は一般には 0 でない基数になる。上の例が示すように、それは有限 - つまり、正の整数 - かもしれない。
G と H が有限群であれば、H の G における指数は 2 つの群の位数の商に等しい:
| G : H | = | G | | H | . {\displaystyle |G:H|={\frac {|G|}{|H|}}.}
これはラグランジュの定理であり、この場合商は必ず正の整数である。