多項式函数
代数学における多項式函数(たこうしきかんすう、英: polynomial function)は、適当な可換環(多くの場合は可換体)K に係数を持つ多項式に付随して定まる
なる形の写像を言う。ただし、n は自然数で、an, an−1, ..., a1, a0 は f の係数と呼ばれる K の元である。これはまた、和の ∑-記法によって f: x ↦ ∑nr=0 arx のようにも書かれる。このような写像 f を K に係数を持つ多項式函数と呼ぶ。
ここでは定義を複雑にしないために多項式函数の定義域および終域 L については特に限定しないが、事実として L は K 上の単位的結合多元環の構造を持てば十分である。つまりそのような構造は多項式函数の定義に現れるすべての演算を持っている:
環 K の内部演算(フランス語版)としての加法および乗法によって、係数同士の和と積ができる。
環 K による外部演算(フランス語版)としてのスカラー乗法によって、K の元を L の元に掛けることができる。
L の内部演算としての乗法により、L の元としての x の冪を作ることができる。
L の内部演算としての加法により、akx なる形の L の元同士を加えることができる。
実用上は大抵、実変数実数値 (K = L = R) や複素変数複素数値 (K = L = C) となる特別の場合を扱うが、その場合は上記に現れるすべての乗法は一つの同じ演算である。
解析学で多項式函数を扱う場合には、連続性や可微分性などを議論の埒に入れることになるから、専ら実係数 (K = R) あるいは複素係数 (K = C) である。
非零多項式函数 f の次数とは ak が零でない最大の自然数 k をいう(ゆえに次数 n ならば an は必ず非零である)。零多項式の次数は −∞ であるものと約束する。
多項式函数の akx の形の各項は(次数 k の)単項式函数と言う。最高次単項式の係数は先頭係数または最高次係数と呼び、また a0 は定数項係数(零次係数)と呼ぶ。