ケルビン・ストークスの定理
と定義する。
S を D の Hによる像集合とすると、Theorem 1より、明らかに以下が成り立つ。
∮ Γ F d Γ = ∫∫ S ∇ × F d S {\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,d\Gamma =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \,dS}
他方、F が層状ベクトル場との仮定から、
∮ Γ F d Γ = 0 {\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,d\Gamma =0}
も明白である。
従って、
∮ Γ F d Γ = ∑ i = 1 4 ∮ Γ i F d Γ {\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,d\Gamma =\sum _{i=1}^{4}\oint _{\Gamma _{i}}\mathbf {F} d\Gamma }
であるのだが、さらにHが Tubeler-Homotopy ([TLH3]をみたす)ので、
Γ 2 ( s ) = Γ 4 ( 1 − s ) = ⊖ Γ 4 ( s ) {\displaystyle \Gamma _{2}(s)={\Gamma }_{4}(1-s)=\ominus {\Gamma }_{4}(s)}
主定理の証明の最終段階である。
Second stepの結果と、Third stepの結果をグリーンの定理に代入すると、主定理が得られる。
本節では、ケルビンストークスの定理を、層状ベクトル場に適応することで、一つの定理を導き出す。この定理は、流体力学でヘルムホルツの定理この定理は、層状ベクトル場をよく特徴づけるが、ホモトピー論においても重要なものである。
Theorem 2-1 (Helmholtz's Theorem in Fluid Dynamics). 及び、 藤本を参照のこと U ⊆ R を開集合とし、 Fは、層状ベクトル場とする。 さらに、区分的滑らかな曲線c0, c1 : [0, 1] → U を考える。このとき2変数関数 H : [0, 1] × [0, 1] → U が、
[TLH0] H 区分的になめらか
[TLH1] H(t, 0) = c0(t) for all t ∈ [0, 1],
[TLH2] H(t, 1) = c1(t) for all t ∈ [0, 1],
[TLH3] H(0, s) = H(1, s) for all s ∈ [0, 1].
であるとき、以下が成り立つ。
P {\displaystyle {\textbf {P}}} を、以下のように定義する。但し、 P 1 ( u , v ) , P 2 ( u , v ) {\displaystyle {P}_{1}(u,v),{P}_{2}(u,v)} は、それぞれ、 P {\displaystyle {\textbf {P}}} の第一成分、第二成分である。
P 1 ( u , v ) = ⟨ F ( ψ ( u , v ) ) | ( ∂ ψ ∂ u ) ⟩ P 2 ( u , v ) = ⟨ F ( ψ ( u , v ) ) | ( ∂ ψ ∂ v ) ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}&{P}_{1}(u,v)=\left\langle \mathbf {F} (\psi (u,v))|\left({\frac {\partial \psi }{\partial u}}\right)\right\rangle \\&{P}_{2}(u,v)=\left\langle \mathbf {F} (\psi (u,v))|\left({\frac {\partial \psi }{\partial v}}\right)\right\rangle \end{aligned}}}
ここで、 ⟨ | ⟩ {\displaystyle \left\langle |\right\rangle } は R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の標準的な内積を意味する。
従って、以下の等式を得る。
∮ Γ F d Γ = ∮ γ ( F ∘ ψ ) d γ {\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\mathbf {F} d\Gamma ={\oint }_{\gamma }(\mathbf {F} \circ \psi )d\gamma }