モチヴィック・コホモロジー
X を 体 k 上の有限型なスキームとする。代数幾何学の重要な目標の一つは、 X の全ての部分多様体について多くの情報を持っている X のチャウ群(英語版)を計算することである。X のチャウ群は、位相幾何学におけるボレル・ムーア・ホモロジー(英語版)が持っているような形式的な性質をいくつか持っているが、いくつかの性質が欠けている。例えば、X の閉部分スキーム Z に対して、局所化系列と呼ばれるチャウ群の完全系列
C H i ( Z ) → C H i ( X ) → C H i ( X − Z ) → 0 {\displaystyle CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0}
があるが、位相幾何学ではこれは長完全系列の一部である。
この問題はチャウ群を群の2重次数族である(ボレル・ムーア)モチヴィック・ホモロジー群(最初はブロック(英語版)により高次チャウ群(英語版)と呼ばれていた)に一般化することで解決された。すなわち、任意の体 k 上の有限型スキーム Xと整数 i と j に対して、アーベル群 Hi(X,Z(j)) が存在し、チャウ群はその一部
C H i ( X ) ≅ H 2 i ( X , Z ( i ) ) {\displaystyle CH_{i}(X)\cong H_{2i}(X,\mathbf {Z} (i))}