リーマンゼータ関数の特殊値
c n = ∑ k = 1 n − 1 ( − 1 ) k − 1 c n − k ( 2 k + 1 ) ! + ( − 1 ) n + 1 n ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k-1}\,c_{n-k}}{(2k+1)!}}+{\frac {(-1)^{n+1}\,n}{(2n+1)!}}}
なる漸化式が存在することがわかる。この漸化式は、ベルヌーイ数を効率的に求める漸化式に基づいている。また、特殊値の係数ではなく、ゼータ関数についての漸化式も存在する。余接関数の微分:
d d z cot  z = − 1 − cot 2  z {\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\cot z=-1-\cot ^{2}z}
およびその部分分数分解による表現:
cot  z = 1 z − 2 ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) z 2 n − 1 π 2 n {\displaystyle \cot z={\frac {1}{z}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)\,z^{2n-1}}{\pi ^{2n}}}}
を用いれば、
ζ ( 2 n ) = 2 2 n + 1 ∑ k = 1 n − 1 ζ ( 2 k ) ζ ( 2 n − 2 k ) {\displaystyle \zeta (2n)={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\,\zeta (2n-2k)}
が容易に導かれる。ただし、ここで n > 1 である。