射影多様体
として定義される. O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} が P Z n {\displaystyle \mathbf {P} _{\mathbf {Z} }^{n}} 上のセールの捩り層(英語版)であるとき, O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} で O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} の P S n {\displaystyle \mathbf {P} _{S}^{n}} への引き戻し(英語版)を表す.つまり,自然な写像 g : P S n → P Z n {\displaystyle g\colon \mathbf {P} _{S}^{n}\to \mathbf {P} _{\mathbf {Z} }^{n}} に対して O ( 1 ) = g ∗ ( O ( 1 ) ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))} である.
スキーム X → S が S 上射影的であるとは,閉埋め込み
X → P S n {\displaystyle X\to \mathbf {P} _{S}^{n}}
と S への射影の合成として分解するときをいう.
である.R が k [ x 0 , ... , x n ] {\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]} の斉次イデアル I による商であるとき,自然な全射は closed immersion(英語版)
Proj  R → P k n {\displaystyle \operatorname {Proj} R\to \mathbf {P} _{k}^{n}}
を誘導する.射影多様体と比べて,イデアル I が素イデアルであるという条件が落ちている.これによりはるかに柔軟な概念が得られる:1つには,位相空間 X = Proj  R {\displaystyle X=\operatorname {Proj} R} は複数の既約成分を持ち得る.さらに,X 上の冪零関数が存在し得る.
P k n {\displaystyle \mathbf {P} _{k}^{n}} の閉部分スキームは k [ x 0 , ... , x n ] {\displaystyle k[x_{0},\ldots ,x_{n}]} の斉次イデアル I で saturated(英語版) なもの,すなわち I : ( x 0 , ... , x n ) = I {\displaystyle I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I} なものと全単射に対応する.この事実は射影零点定理(英語版)の洗練版と考えることができる.
上記の座標に依らない類似を与えることができる.
射影多様体 X の別の重要な不変量は X のピカール群 Pic(X), X 上の直線束の同型類全体の集合,である.それは H 1 ( X , O X ∗ ) {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})} に同型であり,したがって(埋め込みに依らない)内在的な概念である.例えば,P のピカール群は次数写像により Z に同型である.写像 deg: Pic(X) → Z の核は,単に抽象アーベル群であるだけでなく,X のヤコビ多様体 Jac(X) と呼ばれる多様体があり,この点たちはその群に等しい.(滑らかな)曲線のヤコビ多様体は曲線の研究において重要な役割を果たす.例えば,楕円曲線 E のヤコビ多様体は E 自身である.種数 g の曲線 X に対して,Jac(X) の次元は g である.
ヤコビ多様体のような完備かつ群構造を持つ多様体は,ニールス・アーベルに敬意を表して,アーベル多様体と呼ばれる.GLn(k) のようなアファイン代数群とは大いに異なって,そのような群は必ず可換であり,それでそのような名前がついている.さらに,アーベル多様体は豊富な直線束をもち,したがって射影的である.一方,アーベルスキームは射影的とは限らない.アーベル多様体の例には楕円曲線やヤコビ多様体,K3曲面がある.
射影多様体には著しい性質が多いため,与えられた多様体が射影的であることを示す有効な判定法があることが望ましい.そのような判定法は非常に豊富な直線束の概念を用いて定式化できる.
X を環 A 上のスキームとする.射
φ : X → P A n = Proj  A [ x 0 , ... , x n ] {\displaystyle \phi \colon X\to \mathbf {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]}
があるとする.このとき,この写像に沿って,セールの捩り層(英語版) O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} は X 上の直線束 L にプルバックし,これは大域切断 φ ∗ ( x i ) {\displaystyle \phi ^{*}(x_{i})} によって生成される.逆に,大域切断 s 0 , . . . , s n {\displaystyle s_{0},...,s_{n}} によって生成される任意の直線束 L は,斉次座標で φ ( x ) = [ s 0 ( x ) : ⋯ : s n ( x ) ] {\displaystyle \phi (x)=[s_{0}(x):\dots :s_{n}(x)]} によって与えられる射