ガウス求積
区間 [a, b] を分割すると、各部分区間のガウス評価点は元の区間での評価点とは一致せず(奇数の場合の0を除く)、従って、新たに評価点を求める必要がある。ガウス=クロンロッド求積法は、ガウス求積法の n 個の点に n + 1 個の点を追加し、求積法としての次数を 2n + 1 にするものである。これにより、低次の近似で使う関数値を高次の近似の計算に再利用できる。通常のガウス求積法とクロンロッドの拡張による近似の差分が誤差の見積もりによく利用される。
この場合、wi は f(x) によらず一意的に定まる。この方法を n 次のガウス・ルジャンドル (Gauss–Legendre) 公式と呼び、通常はガウス求積またはガウスの数値積分公式と言えばこの方法を指している。
f(x) が 2n − 1次を超える多項式関数の場合、または多項式関数でない場合には、上記の公式は厳密には成立しないが、f(x) が 2n − 1 次以下の多項式関数で精度よく近似できる場合には、上記の公式を f(x) に対して適用することにより、その [−1, 1] における定積分値を精度よく得ることが期待できる。それ以外のたとえば、特異点のある関数の積分にはこの公式をそのまま適用することはできないが、被積分関数を f(x) = W(x) g(x) と表すことができて、g(x) が多項式で近似できて、W(x) が既知の関数(重み関数、通常は正値関数)であれば、それに対応する適切な離散的重み wi を使って次のように表せる。
∫ − 1 1 f ( x ) d x = ∫ − 1 1 W ( x ) g ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n w i g ( x i ) . {\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)\,dx=\int _{-1}^{1}W(x)g(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}g(x_{i}).
一般的な区間 [a, b] についての積分は、ガウス求積法を適用する前にその区間を標準区間 [−1, 1] に変更する必要がある。この区間変更は以下のように線型変換で行う。
∫ a b f ( x ) d x = b − a 2 ∫ − 1 1 f ( b − a 2 x + a + b 2 ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{2}}\int _{-1}^{1}f\left({\frac {b-a}{2}}x+{\frac {a+b}{2}}\right)\,dx.}
ガウス求積法を適用すると、以下で積分の近似値が得られる。
b − a 2 ∑ i = 1 n w i f ( b − a 2 x i + a + b 2 ) . {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}f\left({\frac {b-a}{2}}x_{i}+{\frac {a+b}{2}}\right).}