一意分解環
a, b を整数として a + b − 5 {\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}} の形に書ける複素数全体の成す二次の整数環(英語版) Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} で 6 は 6 = 2 ⋅ 3 = ( 1 + − 5 ) ( 1 − − 5 ) {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})} のふた通りに分解される。この環における単元は 1, −1 のみであり、2, 3 および 1 ± − 5 {\displaystyle 1\pm {\sqrt {-5}}} は同伴ではないので、このふた通りの分解は実際に異なる分解である。これらの4つの因子がいずれも既約元となることは、それほど明らかではないとしても、それを示すことは難しくない。代数的整数も参照。
多項式環の剰余環は殆どが UFD にならない。例えば R を可換環とするとき、R[X, Y, Z, W]/(XY − ZW) は UFD ではない。二段階に分けてそれを示そう。 まず、X, Y, Z, W は何れも既約元であることを示す。多項式の次数を使って R[X, Y, Z, W]/(XY − ZW) を次数環と見なすとき、X は 1-次であるから、X がふたつの零元でも単元でもない元の積に書けるとすれば、そのふたつの因子は 1-次の元 αX + βY + γZ + δW と 0-次の元 r でなければならない。