代数曲線
よって f は無限大を含むすべての値を一度ずつとるので、f は C と射影直線の1対1対応を与える。
具体的に、F 上 n 次元の有理曲線は、一つの助変数 t によって定義された n 本の有理函数からなるという意味において、(孤立した例外点を除いて)パラメータ付けすることができる。分母を払って、これらの有理函数を射影空間内の n + 1 本の多項式函数にすることができる。一つの例が有理正規曲線(英語版)である。
F 上定義された F-有理点を持つ任意の円錐曲線は有理曲線である。これは有理点を通る傾き t の直線を描くことによりパラメータ付けすることができ、交線は平面二次曲線になる。これは F-有理係数の多項式と一つの F-有理根をあたえるから、ほかの根もまた F-有理根(つまり F に属する)である。
例えば、楕円 x + xy + y = 1 は (−1, 0) を有理点に持つ。(−1,0) から傾き t の直線 y = t(x + 1) を描いて、楕円の方程式に代入し、因数分解して x について解けば
x = 1 − t 2 1 + t + t 2 {\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}}
を得る。従って方程式から y は
y = t ( x + 1 ) = t ( t + 2 ) 1 + t + t 2 {\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}}
ユークリッド平面内の代数曲線とは、二元多項式方程式 p(x, y) = 0 の解を座標に持つ点全体からなる集合を言う。「y が x の函数として陽 (explicit) に定義される」ときの函数のグラフとして曲線が得られる場合と対照して、この方程式はしばしばこの曲線の陰伏方程式(あるいはこの方程式がこの曲線を陰 (implicit) に定義する)といわれる(陰函数の項も参照)。
そのような陰伏的に与えられた曲線に対して、最初の問題は曲線の形を決定して曲線を描くことである。これらの問題は、さまざまな x に対して容易に計算できない y については、函数のグラフとして陽に得られる場合と比べて容易ではない。定義方程式が多項式であるという事実は、曲線がこれら問題を解決する手助けとなるある種の構造的性質を持つということを意味する。
任意の代数曲線は、有限個の滑らかで単調な弧(これをこの曲線の枝あるいは分枝 (branches) と呼ぶ)を適当な点(分点、あるいは「特徴点」("remarkable point") と呼ぶ)で結んだものに一意的に分解することができる。ここに、「単調で滑らかな弧」とは x-軸内の開区間上で定義された単調かつ滑らかな函数のグラフとなるものである。