シャープレイ値
R {\displaystyle R\,\!} とはプレイヤーの配列である。 P i R {\displaystyle P_{i}^{R}\,\!} は、配列 R {\displaystyle R\,\!} でプレイヤー i {\displaystyle i\,\!} の前に並んでいる N {\displaystyle N\,\!} のプレイヤーの集合である。
ここで、下表にプレイヤー1が配列に参加することによる寄与分を示す。
よって、
φ 1 ( v ) = 1 3 ! ⋅ 1 = 1 6 {\displaystyle \phi _{1}(v)={\frac {1}{3!}}\cdot 1={\frac {1}{6}}\,\!}
が得られる。対称性の議論によって、プレイヤー2はプレイヤー1と対称なプレイヤー(同様の寄与をもたらすプレイヤー)であるから、
φ 2 ( v ) = φ 1 ( v ) = 1 6 {\displaystyle \phi _{2}(v)=\phi _{1}(v)={\frac {1}{6}}\,\!}
である。シャープレイ値は全体合理性を満たし、全てのプレイヤーのシャープレイ値の総和は1になるので、
φ 3 ( v ) = 1 − φ 1 ( v ) − φ 2 ( v ) = 4 6 = 2 3 {\displaystyle \phi _{3}(v)=1-\phi _{1}(v)-\phi _{2}(v)={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}\,}
が得られる。
シャープレイ値は,全員が協働するとしたときに,総報酬をプレイヤーに分配する方法の一つである。 この分配は,以下に示す条件を満足する唯一の分配案であるという意味で「公正な」分配である。 プレイヤー i {\displaystyle i} は上記の定義に基づく特性関数 v {\displaystyle v} のもとで、
φ i ( v ) = ∑ S ⊆ N ∖ { i } | S | ! ( n − | S | − 1 ) ! n ! ( v ( S ∪ { i } ) − v ( S ) ) {\displaystyle \phi _{i}(v)=\sum _{S\subseteq N\setminus \{i\}}{\frac {|S|!\;(n-|S|-1)!}{n!}}(v(S\cup \{i\})-v(S))}
という配分を得る。 ここで、 n {\displaystyle n} はプレイヤーの総数であり、 足し合わせの範囲は N {\displaystyle N} の部分集合 S {\displaystyle S} のうち プレイヤー i {\displaystyle i} を含まないものすべてである。 本式は、プレイヤーがひとりずつ提携に加わり、その寄与分 v ( S ∪ { i } ) − v ( S ) {\displaystyle v(S\cup \{i\})-v(S)} を公正な報酬として要求するときの プレイヤー i {\displaystyle i} の取り分を、 提携に参加する順序を変えたすべての順列について考え、平均したものである。
シャープレイ値(シャープレイち、英: Shapley value)とは、ゲーム理論において協力によって得られた利得を各プレイヤーへ公正に 分配する方法の一案である。1953年の論文でこの概念を提示したロイド・シャープレーに由来する名称である。
加法性: 2つの特性関数 v {\displaystyle v} と w {\displaystyle w} によって作った提携ゲームの和 v + w {\displaystyle v+w} において,各プレイヤーの報酬はそれぞれの提携ゲームで得られる報酬の和と一致する。
φ i ( v + w ) = φ i ( v ) + φ i ( w ) {\displaystyle \phi _{i}(v+w)=\phi _{i}(v)+\phi _{i}(w)}
これが N {\displaystyle N} の全てのプレイヤーについてそれぞれ成り立つ。
5. ナルプレイヤーに関する性質: ナルプレイヤー i に対して報酬を与えない。 ここで、プレイヤー i {\displaystyle i} がナルプレイヤーであるとは、 i {\displaystyle i} が N {\displaystyle N} の i {\displaystyle i} を含まない全ての部分集合 S {\displaystyle S} について、 v ( S ∪ { i } ) = v ( S ) {\displaystyle v(S\cup \{i\})=v(S)} を満たすことを言う。
実際のところ,プレイヤー集合 N {\displaystyle N} と 各提携に対する利得の値 v ( S ) {\displaystyle v(S)} を決める特性関数が与えられたとき, シャープレイ値ベクトルは、全ての優加法的なゲーム(superadditive games)のクラスにおいて、上に挙げた特性2,3,4,5の4つの全ての特性を満たす唯一のベクトルである。