行列環
行列環 Mn(R) はランク n の自由 R-加群の自己準同型環と同一視できる、Mn(R) ≅ EndR(R)。行列の乗法の手順はこの自己準同型環における自己準同型の合成にさかのぼることができる。
可除環 D 上の環 Mn(D) はアルティン的単純環、半単純環の特別なタイプである。環 C F M I ( D ) {\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(D)} と R F M I ( D ) {\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)} は集合 I {\displaystyle I\,} が無限であれば単純でなくアルティンでない。しかしながら、それらはなお full linear ring である。
一般に、すべての半単純環は可除環上の全行列環、これは異なる可除環と異なるサイズをもつかもしれない、の有限直積に同型である。この分類はアルティン・ウェダーバーンの定理によって与えられる。
Mn(R) の両側イデアルと R の両側イデアルの間には一対一の対応がある。