ガンマ関数
次の恒等式をガウスの乗法公式(multiplication formula)という。
Γ ( n z ) = n n z − 1 / 2 ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 ∏ k = 0 n − 1 Γ ( z + k n ) {\displaystyle \Gamma (nz)={\frac {n^{nz-1/2}}{(2\pi )^{(n-1)/2}}}\prod _{k=0}^{n-1}{\Gamma {\left(z+{\frac {k}{n}}\right)}}}
故に、任意に大きな自然数 m {\displaystyle m} について f ( z + m ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+m)=f(z)} が成立する。スターリングの公式により
次の恒等式をルジャンドルの倍数公式と呼ぶ。これはガウスの乗法公式の特別な場合である。
Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)}