コンパクト作用素のスペクトル理論
( C − I ) y n − ( C − I ) y m − y m ∈ Y n + 1 {\displaystyle (C-I)y_{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\in Y_{n+1}}
であることに注意すれば、||Cyn − Cym|| > 1⁄2 となる。これは矛盾であるため、λ は固有値でなければならない。
ii) { Yn = Ker(λi − A)} は、閉部分空間の増加列である。定理では、この列はどこかで止まることが主張されている。逆に、止まらない、すなわちすべての n に対して真の包含関係 Ker(λi − A) ⊂ Ker(λi − A) が成り立つものと仮定する。補題1より、単位ベクトルの列 {yn}n ≥ 2 で yn ∈ Yn かつ d(yn, Yn − 1) > 1⁄2 を満たすものが存在する。前述の証明と同様に、C のコンパクト性より {C yn} は必ずノルム収束する部分列を含む。しかし n < m に対して
‖ C y n − C y m ‖ = ‖ ( C − I ) y n + y n − ( C − I ) y m − y m ‖ {\displaystyle \|Cy_{n}-Cy_{m}\|=\|(C-I)y_{n}+y_{n}-(C-I)y_{m}-y_{m}\|}
であるため、
上述の定理では λ ≠ 0 に対する作用素 λ − C のいくつかの性質が示されていた。証明においては、一般性を失うことなく λ = 1 とすることが出来る。したがって、恒等作用素 I に対する I − C を考える。証明には次の二つの補題が必要となる。
補題1(リースの補題) X をバナッハ空間とし、Y ⊂ X, Y ≠ X をその閉部分空間とする。すべての ε > 0 に対して、||x|| = 1 であるような x ∈ X で次を満たすものが存在する。
1 − ε ≤ d ( x , Y ) ≤ 1 {\displaystyle 1-\varepsilon \leq d(x,Y)\leq 1}
ここで d(x, Y) は x から Y への距離である。
この補題は定理の証明の過程で繰り返し利用される。X がヒルベルト空間の場合、この補題は自明であることに注意されたい。
補題2 C がコンパクトなら、Ran(I − C) は閉である。
証明:考えているノルムにおいて (I − C)xn → y を仮定する。{xn} が有界なら、C のコンパクト性より C xnk がノルム収束するようなある部分列 xnk が存在する。
数学の函数解析学の分野におけるコンパクト作用素のスペクトル理論(コンパクトさようそのスペクトルりろん、英: spectral theory of compact operators)は、リース・フリジェシュによって初めて構築された。コンパクト作用素は有界集合を相対コンパクト集合に写すバナッハ空間上の線型作用素である。ヒルベルト空間 H の場合、コンパクト作用素は一様作用素位相における有限ランクの作用素の閉包である。一般に無限次元空間上の作用素は、有限次元の場合、すなわち行列の場合では現れない性質を示す。コンパクト作用素は、一般の作用素から期待される以上に行列との共通点を多く持つという点において価値がある。特に、コンパクト作用素のスペクトル性は正方行列のそれと似ている。
この記事では、初めに行列の場合の対応する結果をまとめた後、コンパクト作用素のスペクトル性について議論する。読者は、殆どの内容が一つ一つ行列の場合に対応することに気付くであろう。