多重散乱理論
となる。 h l + {\displaystyle h_{l}^{+}} は球ハンケル関数、YLは球面調和関数である。尚、形式解は次のようにも表される。
T n n ′ L L ′ ( κ ) = { [ τ − 1 ( κ ) − B ( κ ) ] − 1 } n n ′ L L ′ {\displaystyle T_{nn'}^{LL'}(\kappa )=\{[\tau ^{-1}(\kappa )-B(\kappa )]^{-1}\}_{nn'}^{LL'}}
この形式解から、状態密度をD(E)の表式を得ることができる。この時、上式左辺を T n n ′ L L ′ ( κ ) = T ( κ ) {\displaystyle T_{nn'}^{LL'}(\kappa )=T(\kappa )} と略して表示。
ここでポテンシャルが全て同じであると考える。そして総散乱行列Tを次のように分解する。
T = ∑ n , n ′ T n n ′ {\displaystyle T=\,\sum _{n,n'}T_{nn'}}
分解されたTnn'は、
T n n ′ = t n δ n n ′ + t n G 0 ∑ m ≠ n T m n ′ {\displaystyle T_{nn'}=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}T_{mn'}}
となる。G0は自由電子のグリーン関数とする( G ~ → G 0 {\displaystyle {\tilde {G}}\to G_{0}} )。これにより、厳密な形式解を得ることができる。Tnn'は更に、
T n n ′ = t n δ n n ′ + t n G 0 ∑ m ≠ n ( t m δ m n ′ + t m G 0 ∑ p ≠ m T p n ′ ) = t n δ n n ′ + t n G 0 t n ′ + t n G 0 ∑ m ≠ n t m G 0 t n ′ + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}T_{nn'}&=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}(t_{m}\delta _{mn'}+t_{m}G_{0}\sum _{p\neq m}T_{pn'})\\&=t_{n}\delta _{nn'}+t_{n}G_{0}t_{n'}+t_{n}G_{0}\sum _{m\neq n}t_{m}G_{0}t_{n'}+\cdots \end{aligned}}}
v ( z ) = ∑ n [ V n − V ~ n ( z ) ] = ∑ n v n ( z ) {\displaystyle v(z)=\sum _{n}[V_{n}-{\tilde {V}}_{n}(z)]=\sum _{n}v_{n}(z)}
更に、この系におけるグリーン関数をG(z)とすると、G(z)は、
G ( z ) = 1 z − H ~ − v = 1 ( z − H ~ ) ( 1 − v z − H ~ ) {\displaystyle G(z)={\frac {1}{z-{\tilde {H}}-v}}={\frac {1}{(z-{\tilde {H}})\left(1-{\frac {v}{z-{\tilde {H}}}}\right)}}}
であり、
G ~ = 1 z − H ~ {\displaystyle {\tilde {G}}={\frac {1}{z-{\tilde {H}}}}}
とし、非周期ポテンシャル部分vに関して展開すると、
G ( z ) = G ~ { 1 + v G ~ + v G ~ v G ~ + ⋯ } = G ~ + G ~ T G ~ {\displaystyle G(z)={\tilde {G}}\{1+v{\tilde {G}}+v{\tilde {G}}v{\tilde {G}}+\cdots \}={\tilde {G}}+{\tilde {G}}T{\tilde {G}}}
T = v + v G ~ v + v G ~ v G ~ v + ⋯ {\displaystyle T=v+v{\tilde {G}}v+v{\tilde {G}}v{\tilde {G}}v+\cdots }