円錐曲線
次の式を考える
x 2 a 2 − k + y 2 b 2 − k = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-k}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-k}}=1\quad } 1
ただし、a > 0 , b > 0 , k ≠ b , k < a である。
この式は楕円の式そして双曲線の式に似ている。この式は、
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad } 2 に対して
k の値により次の曲線になる。
k < 0 のとき、2の外側の楕円
0 < k < b のとき、2の内側の楕円
b < k < a のとき、双曲線
になり、焦点は ( ± a 2 − b 2 , 0 {\displaystyle \pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0} ) になる。
上の3つの場合に置いて、楕円と双曲線はともに円錐曲線であり、かつ焦点が同じなので、1は共焦点有心円錐曲線族という。