置換の符号
置換のこのような互換の積への分解は一意ではないけれども、分解に現れる互換の総数の偶奇は置換ごとに一定しているので、この方法で置換の符号は矛盾なく定まる。
さらに置換 σ ∈ Sn の符号を定義する他の方法としては差積 Δ(x1, ..., xn) への自然な作用を介して
sgn  ( σ ) = ∏ i < j x σ ( i ) − x σ ( j ) ∏ i < j x i − x j {\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )={\frac {\prod _{i<j}x_{\sigma (i)}-x_{\sigma (j)}}{\prod _{i<j}x_{i}-x_{j}}}}
によって定義することもできる。類似した符号の表示としては
sgn  ( σ ) = ∏ i < j σ ( i ) − σ ( j ) ∏ i < j i − j {\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )={\frac {\prod _{i<j}\sigma (i)-\sigma (j)}{\prod _{i<j}i-j}}}
もある。
(実際に置換 σ ∈ Sn の符号 sgn(σ) を得るには、σ が互いに素な q 個の巡回置換の積へ分解されているとき、 (−1) を計算するのが効率的である。ここで n − q は置換 σ を積として表すのに必要となる互換の最小数と一致する。)