一様コーシー列
数学において、ある集合 S から距離空間 M への函数列 { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} が一様コーシー(いちようコーシー、英: uniformly Cauchy)であるとは、次が成立することをいう:
すべての ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} に対して、ある N > 0 {\displaystyle N>0} が存在し、 m , n > N {\displaystyle m,n>N} であるならばすべての x ∈ S {\displaystyle x\in S} に対して d ( f n ( x ) , f m ( x ) ) < ε {\displaystyle d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon } が成立する。
また別の表現として、 m , n → ∞ {\displaystyle m,n\to \infty } に対して d u ( f n , f m ) → 0 {\displaystyle d_{u}(f_{n},f_{m})\to 0} というものがある。ここで d u {\displaystyle d_{u}} は二つの函数の間の一様距離で、次のように定義される:
d u ( f , g ) := sup x ∈ S d ( f ( x ) , g ( x ) ) . {\displaystyle d_{u}(f,g):=\sup _{x\in S}d(f(x),g(x)).}