シューアの補題
G を複素数の行列群とすると、G は複素数を要素とする n 次正方行列のある集合であり、G は行列の積と行列の逆行列をとることに対し閉じている。さらに、G が既約であるとする。つまり、G の作用の下に不変な線型部分空間 V が O と空間全体以外には存在しないとする。言い換えると、
すべての g ∈ G に対し g V ⊆ V {\displaystyle gV\subseteq V} であれば、 V = 0 {\displaystyle V=0} か、または、 V = C n {\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}} である。
単独の表現の特別な場合では、シューアの補題は、次のことを意味する。A が n 次の複素数の行列で、G のすべての行列と可換(英語版)であるならば、A はスカラー行列である。G が既約でないならば、このことは成り立たない。たとえば、GL(n,C) の中の対角行列全体の部分群 D を取ると、D の中心は D であり、これはスカラー行列以外も含む。簡単な系として、アーベル群のすべて複素表現は 1 次元である。
シューアの補行列(Schur complement)も参照。