線形多自由度系の振動
一方で、r = s、すなわち同じ次数同士の固有モードの場合は、上記の式でも左辺は 0 とはならず、ある定数となる。これらの定数を Mr と Kr と表せば、
と表される。固有モード ur は成分間の比だけを持ち、定まった値を持たないので、Mr と Kr の値もこの段階では定まらない。固有モードの絶対値が決まった後に、Mr と Kr の値も定まる。
定数 Mr と Kr は正の値であり、それぞれを(r 次の)モード質量およびモード剛性という。モード行列を使って式3.12と式3.13を表せば、
となる。モード質量とモード剛性は、同じ次数の固有角振動数 ωr と下記のような関係がある。
固有モードは比の関係を定めるベクトルであった。絶対的な大きさを持たない固有モードに大きさを定める方法として、次のような方法がある。
下記のように、式3.12の右辺 Mr の値が 1 となるように定める。ここで、ūr は、等式を満たすに大きさが決定された固有モードを意味している。 u ̄ r ⊤ M u ̄ r = 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}=1} (3.
解を得るために、x を複素数に拡張し、励振力 f を複素指数関数 fae の形で与えるとする。この場合、計算して解が得られた後に実部あるいは虚部を取ることで、実際の解が得られる。運動方程式5.1の右辺を 0 としたときのモード行列 U が、事前に求められているとする。モード座標への変換式3.21を運動方程式5.1へ適用して、左から U を掛け、式3.14と式3.15の対角化を適用する。すると、励振力を受ける不減衰系の運動方程式は
という独立・非連成の n 個の運動方程式に帰着する。ただし、右辺の Fr は次のような値である。
式5.6は線形1自由度系と同じなので、強制振動を表す特解は、
となる。式3.21を使ってモード座標を物理座標へ逆変換し、固有角振動数を使って整理すれば強制振動の解は次のようになる。
式5.9から分かることは、励振力の角振動数 Ω が系の固有角振動数 ω1, ω2, ..., ωn のどれかに近いとき、係数の極限が 0 となってその振動成分が極めて大きくなり、共振が起こるという点である。Ω が固有角振動数のいずれかに一致するとき、x の振幅は無限大に発散する。
系が比例粘性減衰系であれば、励振力を受ける場合でもモード座標変換によって独立した1自由度系に分解でき、大自由度の問題も扱いが容易になる。一般の運動方程式2.1に、レイリー減衰の式4.8およびモード座標への変換式3.21を代入する。左から転置した質量正規固有モードの正規モード行列 Ū を掛けて対角化する。さらに、2ζrωr = α + βωr という関係を用いれば、運動方程式は下記のような独立・非連成の n 個の方程式に帰着する。
励振力 f が fa cosΩt で与えられるとする。線形1自由度系と同様の解法によって、正規座標 qr の強制振動の解が下記のように求まる。
解を複素数で表現した場合は、
となり、物理座標の解は
となる。Ω/ωr は強制振動比などと呼ばれる。通常の固有モードの場合は次式となる。
24は非連成化されており、各式はそれぞれ独立している。そのため、一つ一つの式は1自由度系の不減衰自由振動と同じであるから、q の各解は以下のようになる。
ここで、cr と θr (r = 1, 2, ..., n) は初期条件で決まる定数で、cr が振幅、θr が初期位相を意味する。x の一般解は、式3.25を式3.21に代入して
と得られる。すなわち、n 自由度系における各自由度の自由振動は、n 個の調和振動の重ね合わせ(和)となっており、それら調和振動のそれぞれの振動数は 1 次から n 次までの固有角振動数となっている。固有モードは、対応する固有角振動数を持つ調和振動成分の各自由度間の振幅比を定めている。位相角を陽に表さずに、余弦関数と正弦関数の和
や、指数の正負が異なる複素指数関数の和
といった形で一般解を表すこともできる。ar, br, dr, gr も初期条件で決まる定数で、式3.27と式3.27は式3.26へ式変形可能な同値な式である。
以上のような、物理座標をモード座標へ変換し、固有モードの直交性を利用して多自由度系の問題を1自由度系の重ね合わせの問題に帰着させ、解析を行う手法をモード解析(特にモード重畳法)という。後述のように、モード解析は特に有限要素法へ適用することで有効性を発揮する。実物の振動特性を求める上でもモード解析の理論を適用することで各特性を同定でき、この手法は実験モード解析と呼ばれる。