ゴムロープの上のアリ
任意の時刻 t > 0 {\displaystyle t>0} でのアリの位置を y ( t ) {\displaystyle y(t)} とする。また、ロープの伸長速度、アリのロープに対する相対速度は時間に依存してもよいこととし、それらを α ( t ) {\displaystyle \alpha (t)} , v ( t ) {\displaystyle v(t)} とおく。ロープが時刻0から伸びた距離は L ( t ) := ∫ 0 t v ( s ) d s {\displaystyle L(t):=\int _{0}^{t}v(s)\,ds} である。位置 x = X {\displaystyle x=X} におけるロープ自体の伸長速度は、原点からの距離に比例するため v ( t ) X c + L ( t ) {\displaystyle {\frac {v(t)X}{c+L(t)}}} と表せる。
以上の設定で、次の微分方程式が成り立つ。
y ′ ( t ) = α ( t ) + v ( t ) y ( t ) c + L ( t ) {\displaystyle y'(t)=\alpha (t)+{\frac {v(t)\,y(t)}{c+L(t)}}}
元のパズルでは α {\displaystyle \alpha } , v {\displaystyle v} が一定値だから、
y ′ ( t ) = α + v y ( t ) c + v t {\displaystyle y'(t)=\alpha +{\frac {v\,y(t)}{c+vt}}}