軌道力学
軌道は円錐曲線であるため、所与の角度の天体までの距離の公式は、極座標系での曲線の公式と一致し、次のようになる。
r = p 1 + e cos  θ {\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \theta }}}
μ = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})\,}
p = h 2 / μ {\displaystyle p=h^{2}/\mu \,}
ここで、μは標準重力パラメータ、Gは重力定数、m1とm2は天体1と天体2の質量、hは天体1に対する天体2質量当たりの角モーメントである。パラメータθは、真近点角、pは半通径、eは軌道離心率として知られる値であり、全て6つの軌道要素から導くことができる。
⋯ , ε ≠ 1 {\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{1400}}x^{5}+{\frac {1}{25200}}x^{7}+{\frac {43}{17248000}}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}\cdots \ |\ x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\epsilon =1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-\epsilon }}M-{\frac {\epsilon }{(1-\epsilon )^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\epsilon ^{3}+54\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\epsilon ^{4}+4131\epsilon ^{3}+243\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}\cdots ,&\epsilon \neq 1\end{cases}}}