随伴公式 (代数幾何学)
制限写像 ω X ⊗ O ( D ) → ω D {\displaystyle \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)\to \omega _{D}} はポアンカレの留数(Poincaré residue)と呼ばれる。X が複素多様体の場合は、切断上で、ポアンカレの留数は次のように表現できる。函数 f が零点集合 D 上の開集合を固定すると、U 上の O ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(D)} の任意の切断が s/f として書くことができる。ここに s は U 上の正則函数である。η を ω X {\displaystyle \omega _{X}} の U 上の切断とすると、ポアンカレの留数は、写像
η ⊗ s f ↦ s ∂ η ∂ f | f = 0 {\displaystyle \eta \otimes {\frac {s}{f}}\mapsto s{\frac {\partial \eta }{\partial f}}{\bigg |}_{f=0}}
であり、すなわち、体積形式 η へベクトル場 ∂/∂f を適用することで構成され、従って、正則函数 s による掛け算となる。ある i に対し、 ∂f/∂zi ≠ 0 となるような U の局所座標 z1, ..., zn が存在すると、この式は