線型独立
別の方法は R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の n 個のベクトルが線型独立であることとベクトルをその列として取ることによって形成される行列の行列式が 0 でないことは同値であるという事実を用いる。
この場合、ベクトルによって形成される行列は
A = [ 1 − 3 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.\,\!}
列の線型結合を次のように書ける
A Λ = [ 1 − 3 1 2 ] [ λ 1 λ 2 ] . {\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.\,\!}
ある 0 でないベクトル Λ に対して AΛ = 0 かどうかに興味がある。これは A の行列式に依存し、それは
det A = 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ ( − 3 ) = 5 ≠ 0. {\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.\,\!}
行列式が 0 でないから、ベクトル (1, 1) と (−3, 2) は線型独立である。