スピン角運動量
以上の準備の元、スピン角運動量を定義する。
π : S p i n ( 3 ) → U ( V s ) {\displaystyle \pi ~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (V_{s})}
を Spin(3)=SU(2) の Vs上の既約ユニタリ表現とする(そのようなユニタリ表現の存在性と(同型を除いた)一意性は定理3で保証される)。なお s=1/2 に対するVs、πs は(H1)、(H2)にすでに記載した。それ以外のsに対するVs、πs は次節以降に後述する。
さらに
Φ 3 : S p i n ( 3 ) → S O ( 3 ) {\displaystyle \Phi _{3}~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {SO} (3)}
を(C1)式で述べた、Spin(3) から SO(3)への 2:1 写像とする(この写像の具体的な形は(E1)式を参照)。これらの写像を図にすると以下のとおりである。ここで記号「 G ↷ V {\displaystyle G{}^{\curvearrowright }V} 」はGがベクトル空間V上の行列群である事を意味する(すなわちGはVに作用する)。
クレブシュ–ゴルダン係数
Wu、Wvをそれぞれ2u+1次元、2v+1次元の複素計量ベクトル空間とし、
D u : S p i n ( 3 ) → U ( W u ) {\displaystyle D^{u}~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (W_{u})}
D v : S p i n ( 3 ) → U ( W v ) {\displaystyle D^{v}~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (W_{v})}
を既約ユニタリ表現としても
D u ⊗ D v : S p i n ( 3 ) → U ( W u ) ⊗ U ( W v ) ⊂ U ( W u ⊗ W v ) {\displaystyle D^{u}\otimes D^{v}~:~\mathrm {Spin} (3)\to \mathrm {U} (W_{u})\otimes \mathrm {U} (W_{v})\subset \mathrm {U} (W_{u}\otimes W_{v})}
は既約ユニタリ表現になるとは限らない。しかし適切に基底を取り替えれば、以下の事実が成り立つ事が知られている:
W u ⊗ W v ≃ ⨁ w = | u − v | u + v W w {\displaystyle W_{u}\otimes W_{v}\simeq \bigoplus _{w=|u-v|}^{u+v}W_{w}}
D u ⊗ D v ≃ ⨁ w = | u − v | u + v D w {\displaystyle D^{u}\otimes D^{v}\simeq \bigoplus _{w=|u-v|}^{u+v}D^{w}}
前の節で述べたように、su(2) は3次元の計量ベクトル空間なので、Rと同一視できる。U ∈ Spin(3) = SU(2)と Y ∈ s u ( 2 ) ≃ R 3 {\displaystyle Y\in {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}} に対し、UYUも s u ( 2 ) ≃ R 3 {\displaystyle {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}} の元である事が簡単な計算からわかる。しかも線形写像Φ3(U)を
Φ 3 ( U ) : Y ∈ s u ( 2 ) ≃ R 3 ↦ U Y U − 1 ∈ s u ( 2 ) ≃ R 3 {\displaystyle \Phi _{3}(U)~:~Y\in {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}\mapsto UYU^{-1}\in {\mathsf {su}}(2)\simeq \mathbf {R} ^{3}}
を満たすように取ると、ライプニッツルールと(N1)より
( D u ) ∗ ( X n ) = {\displaystyle (D^{u})_{*}(X_{\mathbf {n} })=} d  D u ( U ( t ) ) d  t | t = 0 = d d  t D 1 / 2 ⊗ ⋯ ⊗ D 1 / 2 ( U ( t ) ) | t = 0 {\displaystyle \left.{\operatorname {d} D^{u}(U(t)) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}=\left.{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}D^{1/2}\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U(t))\right|_{t=0}} = ∑ j = 1 2 u D 1 / 2 ( U ( t ) ) | t = 0 ⊗ ⋯ ⊗ d  D 1 / 2 ( U ( t ) ) d  t | t = 0 ∨ j ⊗ ⋯ ⊗ D 1 / 2 ( U ( t ) ) | t = 0 {\displaystyle =\sum _{j=1}^{2u}D^{1/2}(U(t))|_{t=0}\otimes \cdots \otimes {\overset {\overset {j}{\vee }}{\left.{\operatorname {d} D^{1/2}(U(t)) \over \operatorname {d} t}\right|_{t=0}}}\otimes \cdots \otimes D^{1/2}(U(t))|_{t=0}} = ∑ j = 1 2 u I ⊗ ⋯ ⊗ ( D 1 / 2 ) ∗ ( X n ) ∨ j ⊗ ⋯ ⊗ I {\displaystyle =\sum _{j=1}^{2u}I\otimes \cdots \otimes {\overset {\overset {j}{\vee }}{(D^{1/2})_{*}(X_{\mathbf {n} })}}\otimes \cdots \otimes I}
スピン量子数sが1/2である場合、スピノール空間は(H1)より
V 1 / 2 = C 2 {\displaystyle V_{1/2}=\mathbf {C} ^{2}}
であり、単位ベクトル n = (x, y, z) ∈ Rを回転軸に持つスピン角運動量演算子は、(H2)、(L6)、(F1)、(F2)より、
S ^ n = i ħ ⋅ ( π s ) ∗ ( X n ) = i ħ ⋅ i d ( − i 2 ( x σ 1 + y σ 2 + z σ 3 ) ) = ħ 2 ( x σ 1 + y σ 2 + z σ 3 ) {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar \cdot (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })=i\hbar \cdot \mathrm {id} (-{i \over 2}(x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3}))={\hbar \over 2}(x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3})}
である。よって特に、