時間微分
ニュートン力学やラグランジュ力学においては、基本変数として位置と、その時間微分である速度を用いる。速度を時間微分したものを加速度、さらに時間微分したものを躍度(加加速度)と呼ぶ。
ハミルトン力学においては、物理量 A ( t ) {\displaystyle A(t)} の時間微分は、ポアソン括弧[ ]を用いて、
d d t A ( t ) = [ A ( t ) , H ] + ∂ ∂ t A ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)=[A(t),H]+{\frac {\partial }{\partial t}}A(t)}
と表される。ここで H はハミルトニアンである。
量子力学においても、上記の物理量 A およびハミルトニアン H をエルミート作用素、ポアソン括弧を作用素の交換子を −h/2πi で割ったものに置き換えることで同様の時間発展方程式を与えることができる(h はプランク定数、i は虚数単位、π は円周率)。
d d t A ( t ) = − 2 π i h [ A ( t ) , H ] + ∂ ∂ t A ( t ) . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)=-{\frac {2\pi i}{h}}[A(t),H]+{\frac {\partial }{\partial t}}A(t).}
この方程式はしばしば換算プランク定数 ħ = h/2π を用いて