リー環の拡大
以下に中心拡大と 2-コサイクルに関するいくつかの結果を述べる.
}
Now insert a complete set of states, |n⟩
⟨ 0 | F H F | ⟩ = ∑ m n ⟨ 0 | F | m ⟩ ⟨ m | H | n ⟩ ⟨ n | F | 0 ⟩ = ∑ m n ⟨ 0 | F | m ⟩ E n δ m n ⟨ n | F | 0 ⟩ ) ∑ n ≠ 0 | ⟨ 0 | F | n ⟩ | 2 E n > 0 ⟹ C i ( x , y ) ≠ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|FHF|\rangle &=\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle \langle m|H|n\rangle \langle n|F|0\rangle \\&=\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle E_{n}\delta _{mn}\langle n|F|0\rangle )\sum _{n\neq 0}|\langle 0|F|n\rangle |^{2}E_{n}>0&\implies C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0.\end{aligned}}}
Here hermiticity of F and the fact that not all matrix elements of F between the vacuum state and the states from a complete set can be zero.
定理:構造定数がすべての添え字について反対称な基底がそんざいすることと,リー環が単純コンパクトリー環と u(1) リー環の直和であることは同値である.これは g 上の実正定値計量 g であって不変性条件
g α β C β γ δ = − g γ β C β α δ {\displaystyle g_{\alpha \beta }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-g_{\gamma \beta }{C^{\beta }}_{\alpha \delta }}
を任意の基底について満たすものが存在することと同値である.この最後の条件は場の量子論において非可換ゲージ理論の物理的理由のため必要である.したがって,単純リー環のコンパクト形上の Cartan catalog(sl(n, C) → su(n) など)を用いて,可能なゲージ理論の無限リストを作ることができる.1つのそのようなゲージ理論は標準模型の U(1) × SU(2) × SU(3) ゲージ理論でありそのリー環は u(1) ⊕ su(2) ⊕ su(3) である.
0 ↪ ι h ↪ i e ↠ s g ↠ σ 0 {\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}
が普遍とは,任意の他の中心拡大
0 ↪ ι h ′ ↪ i ′ e ′ ↠ s ′ g ↠ σ 0 {\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}'\;{\overset {i'}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}'\;{\overset {s'}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}
に対して,準同型 Ψ, Φ が存在して,図式
が可換になること,すなわち i′ ∘ Ψ = Φ ∘ i, s′ ∘ Φ = s となることをいう.
拡大を適切に議論するためには,リー環の定義性質を超えた構造が必要である.これらについての基本的な事実がクイック・リファレンスのためここに集められている.
[ J a 0 ( t , x ) , J b 0 ( t , y ) ] = i δ ( x − y ) C a b c J c 0 ( c t , x ) [ Q a , Q b ] = i Q a b c Q c [ Q a , J b μ ( t , x ) ] = i C a b c J c μ ( t , x ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{0}(t,\mathbf {y} )]&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ){C_{ab}}^{c}J_{c}^{0}(ct,\mathbf {x} )\\{}[Q_{a},Q_{b}]&=i{Q_{ab}}^{c}Q_{c}\\{}[Q_{a},J_{b}^{\mu }(t,\mathbf {x} )]&=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{\mu }(t,\mathbf {x} ),\end{aligned}}}
where the speed of light and the reduced Planck's constant have been set to unity. The last commutation relation does not follow from the postulated commutation relations (these are fixed only for π, not for π, π, π), except for μ = 0 For μ = 1, 2, 3 the Lorentz transformation behavior is used to deduce the conclusion. The next commutator to consider is
これらの選択により,系の前提が満たされる.
φ ( P ( λ ) ⊗ G 1 ) , Q ( λ ) ⊗ G 2 ) ) = L ( λ d P d λ ⊗ G 1 , Q ( λ ) ⊗ G 2 ) {\displaystyle \varphi (P(\lambda )\otimes G_{1}),Q(\lambda )\otimes G_{2}))=L(\lambda {\frac {dP}{d\lambda }}\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})}
で定義される 2-コサイクル φ が g の中心拡大
e = g ⊕ C C {\displaystyle {\mathfrak {e}}={\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} C}
を定義するために最後に雇われ,そのリーブラケットは
[ P ( λ ) ⊗ G 1 + μ C , Q ( λ ) ⊗ G 2 + ν C ] = P ( λ ) Q ( λ ) ⊗ [ G 1 , G 2 ] + φ ( P ( λ ) ⊗ G 1 , Q ( λ ) ⊗ G 2 ) C {\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1}+\mu C,Q(\lambda )\otimes G_{2}+\nu C]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}]+\varphi (P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})C}