ジャイロベクトル空間
回転を前に書くか後に書くかに依存して、合成がB(u ⊕ {\displaystyle \oplus } v)かB(v ⊕ {\displaystyle \oplus } u)のどちらか一方を使って表されるという事実から、velocity composition paradoxが説明される。
2つのローレンツ変換 L(u,U), L(v,V) の合成をU,Vを含んだ形で書くと次のようになる。
L ( u , U ) L ( v , V ) = L ( u ⊕ U v , g y r [ u , U v ] U V ) {\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)}
ここで、ローレンツブーストは4×4行列で表すことができる。
sを正の定数、 (V,+,.) を実内積空間とする。 Vs={v ∈ V :|v|<s}とする。アインシュタインジャイロベクトル空間は(Vs, ⊕ {\displaystyle \oplus } )に次で定義されるスカラー倍を加えたものである: r ⊗ {\displaystyle \otimes } v = s tanh(r tanh(|v|/s))v/|v| (ただしr は任意の実数、v ∈ Vs、 v ≠ 0、r ⊗ {\displaystyle \otimes } 0 = 0 )。v ⊗ {\displaystyle \otimes } r = r ⊗ {\displaystyle \otimes } vと表記する。
このスカラー倍は一般には ⊕ {\displaystyle \oplus } に対して分配則が成り立たない(ジャイロベクトルがcolinearのときは成り立つ)。一方、ベクトル空間で成り立つような以下の性質はジャイロベクトル空間でも成り立つ。ここでnは正の整数、 r,r1,r2は実数、v ∈ Vsとする。
かつ
u ⊕ ( v ⊕ w ) = ( u ⊕ v ) ⊕ g y r [ u , v ] w {\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }
が成り立つ。ここで、"gyr"は Thomas precession をThomas gyrationというオペレータに抽象化したものであり、各 w に対して
g y r [ u , v ] w = ⊖ ( u ⊕ v ) ⊕ ( u ⊕ ( v ⊕ w ) ) {\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}
で与えられる。Thomas precessionは双曲幾何学において負のhyperbolic triangle defectとしての表現を持つ。