確率密度関数
確率変数 X の確率密度関数が fX(x) である時、別変数の確率密度関数 Y = g(X) を計算することができる。(多くの場合は必要ないが。)これは「変数変換」と呼ばれ、実際面では既知の(一様分布等)乱数生成器から任意の形の fg(X) = fY を導き出すことができる。
関数 g が単調写像である時、その結果得られる確率密度関数は
f Y ( y ) = | d d y ( g − 1 ( y ) ) | ⋅ f X ( g − 1 ( y ) ) {\displaystyle f_{Y}(y)=\left|{\frac {d}{dy}}(g^{-1}(y))\right|\cdot f_{X}(g^{-1}(y))}
である。ここで g は逆写像である。
このことは微分範囲に含まれる確率が変数変換後も不変であることからも分かる。つまり、
| f Y ( y ) d y | = | f X ( x ) d x | , {\displaystyle \left|f_{Y}(y)\,dy\right|=\left|f_{X}(x)\,dx\right|,}
または