ディオファントス方程式
2変数の一般的判定法も未知である(種数1の場合、および y = f (x) の形の方程式については原理的には判定可能である)。また、有理数範囲での一般的判定方法が存在するかどうかも未知である。
1900年に提示された「ヒルベルトの23の問題」の第10問題が「ディオファントス方程式の一般的で有限的な可解性判定方法をもとめよ」であったが、これは1970年にロシアの数学者ユーリ・マチャセビッチによって否定的に解決された。(→計算可能性理論)この証明の副産物として、再帰的に枚挙可能な任意の整数の集合(たとえば素数の集合)には、その要素を整数解とするディオファントス方程式が、かならず存在することが証明されている。日本の廣瀬健はマチャセビッチと同時期に独立に部分的解決をしていたとされる。
2変数2次方程式a x + b y + c = 0 の整数解の存在判定問題はNP完全問題であることが証明されている。(→計算複雑性理論)