円 (数学)
複素数平面を用いれば、平面上の円は複素数を用いても記述できる。中心が c で半径が r の円の方程式は、複素数の絶対値を用いて
と書ける。これは本質的に円のベクトル方程式と同じものである(複素数平面における複素数の加法および実数倍は、成分表示された平面ベクトルの加法および実数倍と同一であり、複素数の絶対値はユークリッドノルムと同一視できる)。極形式を考えれば、|z − c| = r という条件は、z − c = r⋅exp(iθ) (θ は任意) と同値であることがわかる(これは上記の媒介変数表示に対応する)。 複素数の積に関して |z| = z⋅z が成り立つことに注意すれば、この方程式は実数 p, q および複素数 g を用いて
の形に書ける( p := 1 , g := − c ̄ , q := r 2 − | c | 2 {\displaystyle p:=1,\,g:=-{\overline {c}},\,q:=r^{2}-|c|^{2}} )。この形の方程式は、円だけでなく一般には一般化された円(英語版)を表すものである(一般化された円とは、通常の円となるか、さもなくば直線である)。
極方程式も極形式を用いれば複素数で記述できる。
三角形の
それぞれの頂点から対辺に下ろした垂線の足(3つ)
辺の中点(3つ)
頂点と垂心を結んだ線分の中点(3つ)
は全て同一円上にある。この円のことを九点円と呼ぶ。