ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理
X を曲面とし、D を X 上の因子として直線束 E = O(D) のオイラー数を計算する。E のチャーン指標は ch(E) = 1+ D + D/2 である。また X のトッド類は td(X) = 1 - K/2 + (K + c2(X))/12 となる。ここで K は X の標準因子で c2(X) は X の接束の第2チャーン類をあらわす。このときヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理は、
χ ( O ( D ) ) = 1 2 D ( D − K ) + 1 12 ( K 2 + c 2 ( X ) ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))={\frac {1}{2}}D(D-K)+{\frac {1}{12}}(K^{2}+c_{2}(X))}
である。ここで D = 0 とすると、ネターの公式
χ ( O ) = 1 12 ( K 2 + c 2 ( X ) ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {O}})={\frac {1}{12}}(K^{2}+c_{2}(X))}
を得る事ができ、上の式は
χ ( O ( D ) ) = χ ( O ) + 1 2 D ( D − K ) {\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}(D))=\chi ({\mathcal {O}})+{\frac {1}{2}}D(D-K)}
と書く事もできる。