直交曲線座標
通常の直交曲線座標の他に、いくつかのやや珍しい直交曲線座標を以下に表に示す。 Interval notation is used for compactness in the coordinates column.
ここで、大きな記号Π(πの大文字)は、総乗を示す。即ち、すべてのスケールファクターの積はヤコビ行列式に等しいことを意味している。
例として、3次元のq = 定数で定まる面 S {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}} 上のベクトル値関数Fの面積分は次のようになる。
∫ S F ⋅ d A = ∫ S F ⋅ n ^ d A = ∫ S F ⋅ e ^ 1 d A = ∫ S F 1 h 2 h 3 h 1 d q 2 d q 3 {\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}}
ただし、F/h1は、Fの、この表面に垂直な成分である。
数学において、直交曲線座標(ちょっこうきょくせんざひょう)、直交座標(ちょっこうざひょう、英: orthogonal coordinates)とは、座標超曲面同士が互いに直交するようなd個の座標q = (q, q, ..., q)の組として定義される(注:上付き添え字は指数ではなく添え字 (Einstein notation) を意味する)。ある座標qに対する座標超曲面とは、qが定数となる超曲面(場合によっては曲線、曲面)のことである。たとえば、3次元のデカルト座標系 (x, y, z) では「x = 定数」、「y = 定数」、「z = 定数」は座標超曲面であるが、これらが互いに直角に交るので、直交座標系である。直交曲線座標は曲線座標の特殊な例である。