楕円曲線
最も重要な結果は、全ての点が、有限個の点から出発する接線と割線の方法(the method of tangents and secants)により生成できるということである。より詳しくは、 モーデル・ヴェイユの定理が、群 E(Q) が有限生成アーベル群であることを示している。一般に、有理数体以外の代数体 K に対しても群 E(K) は有限生成アーベル群である。 従って、有限生成アーベル群の基本定理により、これは Z のコピーと有限巡回群の有限の直和である。
定理の証明は、2つの部分からなっていて、一つ目は、任意の整数 m > 1 に対し、商群 E(Q)/mE(Q) は有限であること(弱いモーデル・ヴェイユの定理)、二つ目は、有理点 E(Q) の上の高さ関数 h が上記のように定義されているとき、任意の定数より小さな高さを持つ点は E 上に有限個しか存在せず、また h(mP) はおよそ m の二乗に比例して増加するという性質である。
定理の証明は無限降下法の変形の一種で、E へのユークリッドの互除法の繰り返しの適用となっている。P ∈ E(Q) を曲線の有理点とし、P を 2P1 + Q1 と書くことにする。ここに Q1 は E(Q)/2E(Q) の P の固定された代表元である。すると P1 の高さは、P の高さのおよそ ⁄4 となる(より一般的には、任意の m > 1 である m を 2 の替わりとすると、⁄4 の替りに ⁄m となる)。同じように P1 を P1 = 2P2 + Q2 と書き、P2 を P2 = 2P3 + Q3 と書き、と繰り返していくと、最終的には P は、点 Qi と、高さが事前に選択したある定数より小さいような点の、整数係数の線型結合となる。
楕円曲線は任意の体 K 上で定義することができる。楕円曲線の公式な定義は、K 上で定義された点を持ち、種数 1 の K 上の非特異射影代数多様体ことを言う。
K の標数が 2 でも 3 でもなければ、全ての K 上の楕円曲線は、
y 2 = x 3 − p x − q {\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}
の形に書くことができる。ここに p と q は K の元で、多項式の右辺 x − px − q は二重点を持たない。標数が 2 や 3 であれば、さらに項を注意深く扱わねばならなく、標数 3 の場合は、最も一般的な方程式は、多項式の右辺が異なる根(記法は歴史的な理由を持っている)を持つような任意の定数 b2, b4, b6 に対し、
y 2 = 4 x 3 + b 2 x 2 + 2 b 4 ′′ x ′′ + b 6 {\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}''x''+b_{6}}
の形をしている。
標数 2 の場合は、以上のようなことな不可能で、最も一般的な方程式である
y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 {\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}