超積
超実数全体の成す集合は、実数体を各自然数ごとに一つコピーを作って、それらの超積(自然数の集合を添字集合とする超冪)をとったものである(この場合、超フィルターは自然数全体の集合上でその補有限集合をすべて含むものをとっている)。超実数の集合における順序は、実数全体の集合における順序の拡張として与えられる。例えば、数列 ω は一般項が ωi ≔ i で与えられるものとすると、その同値類として表現される超実数は任意の実数よりも大きい。
同様の類似対応物として、超準整数や超準複素数(英語版)などが、対応する構造の超冪をとることにより与えられる。
関係が超積上に引き写されることの例として、数列 ψ が一般項 ψi ≔ 2i で与えられるものとすれば、ψi > ωi = i (∀i) から ψi の属する同値類は ωi の属する同値類よりも大きく、したがって ψi に対応する超実数は ωi に対応する超実数よりも大きな無限大数と考えることができる。しかし、χi ≔ i (i ≠ 7) かつ χ7 ≔ 8 とすると、ω と χ が一致する添字全体の成す集合は任意の超フィルターに属する(ω と χ は殆ど至る所一致する)から、ω と χ は同じ同値類に属する。
巨大基数論における標準的な構成は、集合論的宇宙全体の、注意深く適切に選ばれた超フィルター U に関する超積をとる。この超フィルター U の性質は超積の(高階の)性質に強く影響する。例えば、U が σ-完備ならば、超積はふたたび整礎となる(原型例は可測基数(英語版)の項を見よ)。
R が構造 M 上の単項関係とし、M の超冪を作る。集合 S ≔ {x ∈ M | Rx} は超冪の中に対応する *S を持ち、S に関する一階の式は *S に対しても有効となる。例えば、M が実数体で Rx は x が有理数であるとき真とするとき、M において「任意の有理数の対 x, y に対して有理数でない z が存在して、x < z < y とできる」が成立するが、この性質は適当な形式言語における一階の式に直せるから、ウォシュの定理により、*S も同じ性質を持つ。つまり、超実数体の部分集合で有理数と一階の性質が同じである「超有理数」の概念がこれによって定まったということになる。
それでもなお、実数の持つアルキメデス性(無限個の条件 x > 1, x > 1 + 1, x > 1 + 1 + 1, ... を同時に満たす実数 x は存在しない)を考えれば、これは一階の性質として述べることはできないから、ウォシュの定理は適用できない。実は、超実数に対してアルキメデス性は偽となる(上で述べた数 ω の構成がそれを示している)。