ランダウ反磁性
ルドルフ・パイエルスは強結合のブロッホ電子(周期的なポテンシャル下の自由電子)の場合についてランダウの理論を拡張した。
特に単純なバンド構造をした金属では、パイエルスの求めた磁化率は単純なランダウ=パイエルス公式 (Landau-Peierls formula)
χ L P = − e 2 k F 12 π 2 m ∗ c 2 {\displaystyle \chi _{\rm {LP}}=-{\frac {e^{2}k_{F}}{12\pi ^{2}m^{\ast }c^{2}}}}
によって表すことができる。ここで m ∗ {\displaystyle m^{\ast }} は電子の有効質量である。
ランダウやパイエルスが求めた磁化率は特定の条件におけるものであり、更に異なる条件やより一般化された磁化率はWilsonやAdamsなど、多くの研究者によって求められている。しかしそれらの多くに共通することは、実際の金属では電子状態が複雑であるため、磁化率の計算は複雑になってしまうということである。
ここで
n = k F 3 / 3 π 2 {\displaystyle n=k_{F}^{3}/3\pi ^{2}} は電子密度(単位体積あたりの電子の数)
μ B = e ħ / 2 m c {\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2mc} はボーア磁子
F E = ħ 2 k F 2 / 2 m {\displaystyle F_{E}=\hbar ^{2}k_{F}^{2}/2m} はフェルミエネルギー
k F {\displaystyle k_{F}} はフェルミ波数。
これはパウリ常磁性磁化率の − 1 / 3 {\displaystyle -1/3} 倍の値である。これは理想的な自由電子気体の場合の磁化率であるが、実際の金属では電子状態が複雑であるため、磁化率もこれほど単純な式では表せない。