モジュラー曲線
N を正整数、i を0もしくは1とする。Γi(N)⧵H には Yi(N)Z と書かれる Z 上のモデルが存在し次の性質を持っている。
Yi(N)Z はアフィン・スキームである。
Yi(N)Z は連結である。
Yi(N)Z は正規スキーム(英語版) である。
Y0(N)Z は、N を一回だけ割る素数 p において準安定である。
Yi(N)Z[N] は Z[N] 上滑らかである。
Z 上のスキームの圏から集合の圏への関手 M0(N)Z を、スキーム T に対して M0(N)Z(T) を T 上の楕円曲線 E とその位数 N の巡回部分群スキーム C の組 (E, C) の同型類の集合とすることにより定義する。Y0(N)Z はこの関手の粗モジュライである。特に、任意の代数閉体 k に対して Y0(N)Z(k) は k 上の楕円曲線 E とその位数 N の巡回部分群スキーム C の組 (E, C) の同型類と自然に一対一対応する。
Z 上のスキームの圏から集合の圏への関手 M1(N)Z を、スキーム T に対して M1(N)Z(T) を T 上の楕円曲線 E とその位数がちょうど N の切断 P:T → E の組 (E, P) の同型類の集合とすることにより定義する。