ポアソンランダム測度
もし μ ≡ 0 {\displaystyle \mu \equiv 0} ならば、 N ≡ 0 {\displaystyle N\equiv 0} とすれば1.-3.のすべての条件を満たす。そうでない場合、 μ {\displaystyle \mu } が有限測度(英語版)であるならば、パラメータ μ ( E ) {\displaystyle \mu (E)} のポアソン分布に従う確率変数 Z {\displaystyle Z} と、確率分布 μ μ ( E ) {\displaystyle {\frac {\mu }{\mu (E)}}} に従う独立な確率変数 X 1 , X 2 , ... {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots } を所与として
N ⋅ ( ω ) = ∑ i = 1 Z ( ω ) δ X i ( ω ) ( ⋅ ) {\displaystyle N_{\cdot }(\omega )=\sum \limits _{i=1}^{Z(\omega )}\delta _{X_{i}(\omega )}(\cdot )}
とすれば、 N {\displaystyle N} はポアソンランダム測度となる。ここで δ c ( A ) {\displaystyle \delta _{c}(A)} は c {\displaystyle c} に位置する退化分布である。有限測度でない場合は、 μ {\displaystyle \mu } が有限であるような E {\displaystyle E} の部分から構成された測度によって N {\displaystyle N} を得ることができる。