超準解析
微分積分学の歴史(英語版)は、流率法(英語版)あるいは無限小数の意味および論理的妥当性に関する哲学的論争を孕んでいる。これらの論争の標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。超準解析(英: nonstandard analysis)は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった。無限小解析(infinitesimal analysis)という言葉で超準解析を意味することもある。
超準解析は1960年代に数学者アブラハム・ロビンソンによって創始せられた。 彼は次のように記述している:
[...] 無限に小さいあるいは無限小の量という概念は我々の直観に自然に訴えかけるように見える。何れにせよ、無限小の使用は、微分学・積分学の黎明期において、広く普及した。
数学教育への応用として、H・ジェローム・キースラー(英語版)はElementary Calculus: An Infinitesimal Approachを著した。 これは超準微分積分学(英語版)をカバーし、無限小元を含む超実数を用いた微分・積分計算を構築した。これらの超準解析の応用は有限超実数 r {\displaystyle r} の標準部の存在に拠っている。 r {\displaystyle r} の標準部分 s t ( r ) {\displaystyle \mathrm {st} (r)} は r {\displaystyle r} に無限に近い標準実数である。キースラーが用いた視覚化の装置のひとつは、無限に近い点を区別する為の、無限拡大率を持つ仮想的な顕微鏡である。キースラーの本は現在絶版であるが、彼のウェブサイトから無料で利用できる(下記の参考文献を参照)。
しかしながら、超準解析の真の寄与は、超準集合論の新たな拡張された言語を用いた概念や定理の中にある。新たな応用のうちには、確率、流体力学、測度論、滑らかでない解析や調和解析などへの新しいアプローチがある。
実数たちの上部構造は沢山の数学的構造を含む:例えば全ての可分距離空間や距離化可能位相線型空間の同型なコピーを含む。実質的には、解析学者が興味を持つ全ての数学が V ( R ) {\displaystyle V(\mathbb {R} )} の中で展開できる。一般に、ある一群の数学的対象 X 0 , X 1 , ... {\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots } について議論したいならば、それらの和集合の上部構造を考えればよい。
超準解析の道具立ては集合 ∗ R {\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} } と写像 ∗ : V ( R ) → V ( ∗ R ) {\displaystyle \ast \colon V(\mathbb {R} )\to V({}^{\ast }\mathbb {R} )} で幾つかの追加の性質を満たすものである。それらの原理を定式化するために、最初に幾つかの定義を述べる。
論理式が有界であるとは、その論理式に現れるどの量化子も、それぞれある集合上に制限されていること、すなわち、次の何れかの形をしているときにいう:
∀ x ∈ A , Φ ( x , α 1 , ...