多変量正規分布
, E  [ X k ] ) , {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]=(\operatorname {E} [X_{1}],\operatorname {E} [X_{2}],\ldots ,\operatorname {E} [X_{k}]),}
であり、 k × k {\displaystyle k\times k} 分散共分散行列は
Σ i , j := E  [ ( X i − μ i ) ( X j − μ j ) ] = Cov  [ X i , X j ] {\displaystyle \Sigma _{i,j}:=\operatorname {E} [(X_{i}-\mu _{i})(X_{j}-\mu _{j})]=\operatorname {Cov} [X_{i},X_{j}]}
(ただし 1 ≤ i , j ≤ k {\displaystyle 1\leq i,j\leq k} )である。分散共分散行列の逆行列は精度行列(precision matrix)と呼ばれ、 Q = Σ − 1 {\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}} と記す。
多変量正規分布が非退化であるとは、共分散行列 Σ {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}} が正定値であることである。この場合、分布は次の形の確率密度関数を持つ。
ここで x {\displaystyle {\mathbf {x} }} は実 k 次元列ベクトルで、 | Σ | ≡ det Σ {\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|\equiv \det {\boldsymbol {\Sigma }}} は Σ {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}} の行列式である。 Σ {\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}} が 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} 行列(つまり単一の実数)である場合、この式は1変量正規分布の確率密度関数に帰着する。
複素正規分布(英語版)の場合はこれとはわずかに違った形のものになる。