ゲルファント＝ナイマルクの定理
このとき、C(X) は単位元として定数関数 f ≡ 1 を持つ可換な単位的なC*環となる。
また、非可換なC*環の例としては、ヒルベルト空間 H 上の有界作用素のなす代数 B(H) が挙げられる。ここで、ノルムは作用素ノルム ‖ T ‖ = sup ξ ∈ H , ‖ ξ ‖ = 1 ‖ T ξ ‖ {\displaystyle \textstyle \|T\|=\sup _{\xi \in H,\,\|\xi \|=1}\|T\xi \|} で与えられ、対合は内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ に対し、 ⟨ T ∗ ξ , η ⟩ = ⟨ ξ , T η ⟩ {\displaystyle \langle T^{\ast }\xi ,\eta \rangle =\langle \xi ,T\eta \rangle } を満たす随伴作用素 T* により定義される。
二つのゲルファント=ナイマルクの定理は、抽象的に定義されたC*環の構造がこれらの例に分類できることを述べている。