ガウスの消去法
次の n 元m連立一次方程式を考察する。右側にある行列がその拡大係数行列である。
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m ] {\displaystyle {\begin{aligned}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\&\qquad \vdots \\&a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}\qquad \left[{\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right]}
この時点で、与えられた連立一次方程式が解を持つ必要条件が c r + 1 = 0 {\displaystyle c_{r+1}=0} であることが分かり、これは十分条件でもある。実際、 c r + 1 = 0 {\displaystyle c_{r+1}=0} とすると、上記の形の解が逆に得られていることは明らかである。より現実的な解法としては、未知数が k 個定まった時点で残り k + 1 個の未知数を含む式が解けるため、 x 1 {\displaystyle x_{1}} から x r {\displaystyle x_{r}} までの全ての変数を孤立させる必要はない。 これを行列の言葉で言えば、拡大係数行列を行簡約階段形にまで変形せずに途中で止めてしまう方がより現実的であるということになる。つまり、拡大係数行列が次の形の行階段形に変形された時点で、それ以上の簡約化を止めるのである。このとき、対応する連立一次方程式がその右の形に表せる: