特異ホモロジー
と定義することで拡張できる、ただし σ i : Δ n → X {\displaystyle \sigma _{i}:\Delta ^{n}\to X} は特異単体で ∑ i a i σ i {\displaystyle \sum _{i}a_{i}\sigma _{i}\,} は特異 n-チェイン、すなわち、 C n ( X ) {\displaystyle C_{n}(X)} の元。このことは C n {\displaystyle C_{n}} は位相空間の圏からアーベル群の圏への関手
C n : T o p → A b {\displaystyle C_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }
であることを示している。
バウンダリ作用素は連続写像と交換するので、 ∂ n f ∗ = f ∗ ∂ n {\displaystyle \partial _{n}f_{*}=f_{*}\partial _{n}} 。これによってチェイン複体全体を関手として扱うことができる。とくに、このことは写像 X ↦ H n ( X ) {\displaystyle X\mapsto H_{n}(X)} が位相空間の圏からアーベル群の圏への関手
H n : T o p → A b {\displaystyle H_{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab} }
であることを示している。ホモトピーの公理によって H n {\displaystyle H_{n}} はまた関手であり、ホモロジー関手と呼ばれ、hTop, 商ホモトピー圏(英語版)、に作用する。