分数
2つの分数 a/b と c/d の割り算は被除数 a/b と除数の逆数 d/c の掛け算に等しい:
a b ÷ c d = a b ⋅ d c = a d b c . {\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}\,.}
同様に分数 a/b と数 c の割り算は以下のようになる:
a b ÷ c = a b ⋅ 1 c = a b c c ÷ a b = c 1 ⋅ b a = b c a . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}\div c={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{c}}&={\frac {a}{bc}}\\c\div {\frac {a}{b}}={\frac {c}{1}}\cdot {\frac {b}{a}}&={\frac {bc}{a}}\,.\end{aligned}}}
その場合、2つの等しい分数について、それらの分子の和と分母の和からなる分数もまた等しいことが言える:
a b = c d ⟹ a b = a + c b + d = c d . {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\implies {\frac {a}{b}}={\frac {a+c}{b+d}}={\frac {c}{d}}\,.}
この性質は加比の理()と呼ばれる。
分数 a/b は幾何学的に平面上の直交座標系の原点を通る直線の傾きと見なせ、分子と分母はその直線上の点 (x, y) = (b, a) に対応する。分数 a + c/b + d は原点から生えた2つのベクトル A→ = (b, a), B→ = (d, c) の和 (b + d, a + c) の傾き、すなわち線分 A→, B→ のなす平行四辺形の原点を共有する対角線の傾きに対応する。 1つ目の不等式 c/d − a/b ≥ 0 は分数に対応した直線の傾きの大小関係を表し、2つ目の不等式 bc − ad ≥ 0 はベクトル積 A→ × B→ の向きが正であること、すなわち A→, B→ のなす平行四辺形が A→ から見て左側(反時計回りの向き)に作図されることを表す。
以下の形式の数の表示を連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)という。
a 0 + b 1 a 1 + b 2 a 2 + b 3 a 3 + ⋯ {\displaystyle a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+\cdots }}}}}}}
連分数は分母が数と分数の和として再帰的に表された分数である。通常、分子 bi および要素 ai の範囲は正の整数に限られる。特に分子 bi がすべて 1 の連分数を正則連分数または単純連分数と呼ぶ。
連分数に含まれる要素 ai の個数が n + 1 個の連分数を特に n 階の連分数と呼ぶ。連分数の階数は有限の場合も無限の場合もあり得る。