状態密度
ここで ω 0 = k F / m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k_{F}/m}}} は振動子周波数、m は原子の質量、kF は原子間に働く力の力定数、a は原子間距離である。力定数が小さく、k ≪ π / a が満たされるような値である場合は分散関係は線形となる。
E = ħ ω 0 k a {\displaystyle E=\hbar \omega _{0}ka}
k ≈ π / a の場合は以下のようになる。
E = 2 ħ ω 0 | cos  ( π / 2 − k a / 2 ) | {\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}|\cos(\pi /2-ka/2)|}
変数変換 q = k − π/a を施して q が小さくなるとき、分散関係は以下のように書ける。
E = 2 ħ ω 0 [ 1 − ( q a / 2 ) 2 ] {\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}[1-(qa/2)^{2}]}
ここで言及した二つの例は次のように書ける。
E = E 0 + c k k p {\displaystyle E=E_{0}+c_{k}k^{p}}
この種の分散関係はエネルギーが波数ベクトルの長さのみに依存し、向きに依存しないため等方的な分散関係といえる。このとき逆に、波数ベクトルの大きさはエネルギーを用いて以下のように書ける。
k = ( E − E 0 c k ) 1 / p {\displaystyle k=\left({\frac {E-E_{0}}{c_{k}}}\right)^{1/p}}
また、k よりも小さい波数ベクトルを含む n 次元 k 空間上の体積は次のように書ける。
Ω n ( k ) = c n k n {\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}}
したがって、等方的分散関係から、被占有状態の体積は以下のように書ける。