ファトゥの補題
数学の分野におけるファトゥの補題(ファトゥのほだい、英: Fatou's lemma)とは、ある関数列の下極限の(ルベーグ積分の意味での)積分と、積分の下極限とを関係付ける不等式についての補題である。ピエール・ファトゥの名にちなむ。
ファトゥの補題は、ファトゥ・ルベーグの定理(英語版)や、ルベーグの優収束定理の証明に使うことが出来る。
( 1 − ε ) ∫ A k φ d μ ≥ ( 1 − ε ) ∫ E φ d μ − ∫ A − A k φ d μ {\displaystyle (1-\epsilon )\int _{A_{k}}\varphi \,d\mu \geq (1-\epsilon )\int _{E}\varphi \,d\mu -\int _{A-A_{k}}\varphi \,d\mu }
が得られる。これらの不等式を組み合わせることで
∫ E f k d μ ≥ ( 1 − ε ) ∫ E φ d μ − ∫ A − A k φ d μ ≥ ∫ E φ d μ − ε ( ∫ E φ d μ + M ) {\displaystyle \int _{E}f_{k}\,d\mu \geq (1-\epsilon )\int _{E}\varphi \,d\mu -\int _{A-A_{k}}\varphi \,d\mu \geq \int _{E}\varphi \,d\mu -\epsilon \left(\int _{E}\varphi \,d\mu +M\right)}
が得られる。したがって、ε を 0 とし、n についての下極限を取ることで、
lim inf n → ∞ ∫ E f n d μ ≥ ∫ E φ d μ {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{E}f_{n}\,d\mu \geq \int _{E}\varphi \,d\mu }
が得られ、証明は完成される。
単調収束定理を用いた証明
すべての自然数 k に対して、各点毎に関数