準有限射
f を射とすると、以下が成り立つ。
f が準有限なら、被約スキームの間に誘導された射 fred も準有限である。
f が閉埋入(英語版)なら f は準有限である。
X がネーターで f がはめ込み(immersion)なら f は準有限である。
射 g : Y → Z に対し、g ∘ f が準有限で、さらに以下のいずれかが満たされるなら、f は準有限である。 g は分離射 X はネーター X ×Z Y は局所ネーター
準有限性は基底変換で保たれる。準有限射の合成やファイバー積は準有限である。f が点 x で不分岐なら、f は x で準有限である。逆に、f が x で準有限で、ファイバー f(f(x)) での x の局所環 O f − 1 ( f ( x ) ) , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{f^{-1}(f(x)),x}} が体でしかも κ(f(x)) の有限次分離拡大になっているなら、f は x で不分岐である。
有限射は準有限である。局所的に有限表示な準有限固有射は有限である。実は、射が有限であるのは固有かつ準有限のとき、かつそのときに限る(ドリーニュ)。
一般化されたザリスキの主定理(英語版)(Zariski's main theorem)とは次の主張である。Y を準コンパクトかつ準分離的、f を準有限かつ分離的かつ有限表示とする。このとき、f は X ↪ X ′ → Y {\displaystyle X\hookrightarrow X'\to Y} と分解する。ここで、最初の射は開埋入で、次の射は有限射である。つまり、X は Y 上有限なスキームの開集合である。