交点数 (代数幾何学)
3つ組 (P, Q, p) を K[x, y] の中の多項式のペア P と Q と、K の中の点 p とする。この 3つ組に対して、数 Ip(P, Q) を対応させる、以下の性質を満たす対応が一意的に存在し、p での P と Q の交叉多重度と呼ばれる。
I p ( P , Q ) = I p ( Q , P ) . {\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P).\,}
I p ( P , Q ) {\displaystyle I_{p}(P,Q)} が無限大であることと、P と Q が p でゼロとなる共通要素を持つこととは同値
I p ( P , Q ) {\displaystyle I_{p}(P,Q)} がゼロであることと、P(p) もしくは Q(p) がゼロでない(つまり、点 p はどちらかの曲線には属さない)こととは同値
p = (a, b) のとき、 I p ( x − a , y − b ) = 1 {\displaystyle I_{p}(x-a,y-b)=1}
I p ( P , Q 1 Q 2 ) = I p ( P , Q 1 ) + I p ( P , Q 2 ) {\displaystyle I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})}
x-軸と放物線
y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}\ }
の交点を考える。すると、
P = y {\displaystyle P=y\ }
で
Q = y − x 2 {\displaystyle Q=y-x^{2}\ }
とすると、
I p ( P , Q ) = I p ( y , y − x 2 ) = I p ( y , x 2 ) = I p ( y , x ) + I p ( y , x ) = 1 + 1 = 2 {\displaystyle I_{p}(P,Q)=I_{p}(y,y-x^{2})=I_{p}(y,x^{2})=I_{p}(y,x)+I_{p}(y,x)=1+1=2\,}
となる。このように、交点数は 2 である。これは通常型接線である。