0.999...
1/3 を小数表示すると、小数点以下の位は全て 3 であることを利用する。1/3 は 1 ÷ 3 の商であり、割り算の筆算により、循環小数 0.333... となる。ここで 3 は無限に続く。この小数点以下の各位は 3 倍するといずれも 9 となることから、有限小数のときと同様に各位への一斉な掛け算が可能とみなせば、無限小数 0.333... を 3 倍すると0.999... に等しい。一方、1/3 × 3 = 1 である。従って 0.999... = 1 である。同様な別証明として、1/9 = 0.111... の両辺に 9 を掛けることでもできる。
0.333 ... = 1 3 3 × 0.333 ... = 3 × 1 3 ∴ 0.999 ... = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}0.333\dots &={\frac {1}{3}}\\3\times 0.333\dots &=3\times {\frac {1}{3}}\\\therefore 0.999\dots &=1\end{aligned}}}
以上の2つの証明で用いた、無数の桁に対する位ごとの操作(つまり、掛け算や引き算)を一斉に行う(つまり...の部分に行う)ことは、厳密性に欠け、その正当性が明らかではない。有限小数に関しては、この過程は実数の計算法則にのみ依存している。この操作が無限小数にも適用できることを証明するためには、次節 #解析的な証明 に述べる実解析の手法を必要とする。
日本の数学教育においては、高校数学の数学Iで循環小数の足し算・引き算・10倍が公理として採用されているため、上記の代数的な操作は高校数学の範囲内では正しい証明とされる。
0.999... という小数点以下の位に無数の 9 を加えていくという定義自体が解析的である。これが 1 に等しいことを厳密に証明するには、実解析の手法を必要とする。0.999... という無限小数を正確にとらえるには、小数部分の位が無数に並ぶことを明確に定義し直すことが必要となる。