核型空間
この節では核型空間のよく知られた定義のいくつかを挙げる.以下の定義はすべて同値である.核型空間の定義にフレシェ空間であるという条件を付け加えて,もっと限定的な定義をする人もいることに注意. (これは位相が半ノルムの可算族により与えられて完備であることを意味する.)
まず背景となる事項から始めよう.局所凸位相ベクトル空間 V は半ノルムの族により定まる位相を持つ.任意の半ノルムに対し,その単位球は0の対称な閉凸近傍であり,逆に0の任意の対称な閉凸近傍はある半ノルムの単位球である. (複素ベクトル空間に対しては,「対称」という条件は「均衡」に置き換えられる.)
p を V 上の半ノルムとするとき,V を半ノルム p で完備化したバナッハ空間を Vp と書くことにする. V から Vp には自然な写像が存在する (単射であるとは限らない).
q を別の半ノルムで,p よりも大きいものとするとき,Vq から Vp への自然な写像であって,自然な写像 V → Vp を V → Vq → Vp のように分解するものが存在する.これはつねに連続である.空間 V が核型であるとは,これが核作用素になるというより強い条件を満たすことである. 核作用素であるという条件は微妙であり,詳しいことは関連記事を参照されたい.