正十二面体
頂点 ( 0 , ε 2 φ , ε 3 φ − 1 ) {\displaystyle (0,\epsilon _{2}\phi ,\epsilon _{3}\phi ^{-1})} , ( − ε 2 ε 3 , ε 2 , ε 3 ) {\displaystyle (-\epsilon _{2}\epsilon _{3},\epsilon _{2},\epsilon _{3})} , ( − ε 2 ε 3 φ − 1 , 0 , ε 3 φ ) {\displaystyle (-\epsilon _{2}\epsilon _{3}\phi ^{-1},0,\epsilon _{3}\phi )} , ( ε 2 ε 3 φ − 1 , 0 , ε 3 φ ) {\displaystyle (\epsilon _{2}\epsilon _{3}\phi ^{-1},0,\epsilon _{3}\phi )} , ( ε 2 ε 3 , ε 2 , ε 3 ) {\displaystyle (\epsilon _{2}\epsilon _{3},\epsilon _{2},\epsilon _{3})} 、中心 φ + 2 5 ( 0 , ε 2 , ε 3 φ ) {\displaystyle {\frac {\phi +2}{5}}(0,\epsilon _{2},\epsilon _{3}\phi )} のxyz座標を偶置換した 12個
正十二面体を内接立方体から構成する方法がユークリッドの『原論』第13巻に記されている。一松信はこれを「立方体に屋根をかける」方法と呼んでいる。
これとは逆に、正十二面体を外接立方体から立方体の12の稜を一様に切稜して作る方法が、『多面体木工(増補版)』(佐藤郁郎・中川宏)によって示された。それは、正十二面体の投影図(辺心図)が、直交する3方向に現れることに基づいている。投影図は100ミリの立方体から切り取る部分の寸法を示しているが、これは黄金比にあたる。切り取る三角形の赤丸の角度が切稜の角度になる。約31.7度である。