特性関数 (確率論)
例えば書籍によっては φX(t) = E[e] と定義しており、これは本質的にはパラメータの変更である。他にも、確率測度 p の特性関数を ˆp、確率密度関数 f に対応する特性関数を ˆf と表すこともある。
特性関数の記法は、多変量の確率変数やさらに複雑な確率要素に一般化される。特性関数の引数は確率変数 X が値を持つ空間の連続的双対空間に常に属する。主な場合における定義を以下に示す。
X が k-次元の確率ベクトルの場合、t ∈ R について、 φ X ( t ) = E  [ e i t ′ X ] , {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {\mathbb {E} } [e^{it'X}],}
X がk × p-次元の確率行列の場合、t ∈ R について、 φ X ( t ) = E  [ e i tr  ( t ′ X ) ] , {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {\mathbb {E} } [e^{i\operatorname {tr} (t'X)}],}
H2n は、2n-次のエルミート多項式を意味する。
ポリアの定理 (Pólya's theorem):φ が実数値の連続関数で以下の条件を満たす場合、 φ(0) = 1, φ は偶関数, φ は t > 0 について凸関数, φ(∞) = 0,
φ(t) は絶対連続で対称な分布の特性関数である。
有限または可算な個数の特性関数の凸線型結合 ∑ n a n φ n ( t ) {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}(t)} (ただし、 a n ≥ 0 , ∑ n a n = 1 {\displaystyle \scriptstyle a_{n}\geq 0,\ \sum _{n}a_{n}=1} )も特性関数である。
有限個の特性関数の積 ∏ n φ n ( t ) {\displaystyle \scriptstyle \prod _{n}\varphi _{n}(t)} も特性関数である。原点で連続な関数に収束するなら、無限個の積でも成り立つ。
φ が特性関数、α がある実数としたとき、φ, Re[φ], |φ|, φ(αt) も全て特性関数である。