最速降下曲線
簡単のために粒子(またはビーム)が座標(0,0)から離れているとして、最大速度が高さD で得られると考える。
v m a x = 2 g D {\displaystyle v_{\mathrm {max} }={\sqrt {2gD}}} .
すべての軌道上の位置で軌道の傾き角度θは(x,y)座標では次のように表される:
sin  θ = d x d x 2 + d y 2 {\displaystyle \sin {\theta }={\frac {dx}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}} .
この式を前の式に代入し項を整理しなおすと次の式が結果として得られる:
( d y d x ) 2 = D y − 1 {\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {D}{y}}-1} .
ここで半径rのサイクロイドの微分方程式は
( d y d x ) 2 = 2 r y − 1 {\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1} .
である。比較すると、結果の式は半径 r = D / 2 {\displaystyle r=D/2} の円が作る反対のサイクロイドの微分方程式である。