ポアンカレ・ベンディクソンの定理
ポアンカレ・ベンディクソンの定理とは、次のような主張である。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理 ― 平面 R 上の C 級流れ φ(t, x) について、ある点 x ∈ R の正の半軌道 O+(x) が有界のとき、x のω極限集合 ω(x) が平衡点を含まなければ、ω(x) は周期軌道である。
定理では O+(x) ではなく、ω(x) がコンパクトと仮定してもよい。また、R ではなく、球面 S や円筒 S × R 上の流れと仮定してもよい。定理は x のα極限集合についても同様に成り立つ。すなわち、ω(x) または α(x) がコンパクトで平衡点を含まなければ、ω(x) または α(x) は周期軌道である。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、相空間が平面、球面、円筒である流れ(ベクトル場)では成立するが、同じ2次元多様体でも トーラス T のような種数が正の曲面では成立しない。また、相空間が3次元以上でも成立しない。2次元ベクトル場が非自励系で与えられるときにも、実質的に相空間は3次元なので成立しない。定理が成立する根本的な理由は、ジョルダンの閉曲線定理として知られる、自己交差しない連続な閉曲線は平面を2つの領域に分けるという事実にあり、トーラスや3次元の相空間ではこれが成立しないため、ポアンカレ・ベンディクソンの定理もまた成立しない。