チコノフの定理
つまり、Λ の任意の元 λ に対して、P (λ) が真であれば P ′(λ) も真であり、P ′(λ) が真であれば P (λ) も真である。
(5) P (λ) → P ′(λ) の証明
P (λ) が真であれば Uλ を Xλ と置いても、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で ( ∏ ρ < λ U ρ ) × X λ × ( ∏ λ < σ X σ ) {\displaystyle (\prod _{\rho <\lambda }U_{\rho })\times X_{\lambda }\times (\prod _{\lambda <\sigma }X_{\sigma })} を被覆するものは存在しない。従って P ′(λ) は真である。
(6) P ′(λ) → P (λ) の証明
(6.1) ある λ について P ′(λ) が真であるが、P (λ) は偽であると仮定する。P (λ) は偽であるとは、どのように x : Λλ → ⋃ ρ ∈ Λ λ {\displaystyle \bigcup _{\rho \in \Lambda _{\lambda }}} Xρ 、xρ ∈ Xρ を選んだとしても、xρ を含む Xρ の開集合 Uρ が存在して、ある W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で ( ∏ ρ ≤ λ U ρ ) × ( ∏ λ < σ X σ ) {\displaystyle (\prod _{\rho \leq \lambda }U_{\rho })\times (\prod _{\lambda <\sigma }X_{\sigma })} を被覆するものが存在することを意味する。
(1) 直積空間 X の開集合族 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} が次の仮定を満たすとすれば、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} は X を被覆しない、つまり命題 2 が満たされることを示す。
仮定 : W {\displaystyle {\mathcal {W}}} のいかなる有限部分集合も X を被覆しない。
(2) 整列可能定理により Λ には整列順序 "≤" が定義されているものとする。Λ は "≤" に関して最小元を持つ (これを λ0 とする)。X = ∏ λ ∈ Λ {\displaystyle \prod _{\lambda \in \Lambda }} Xλ の直積は整列順序で行われるものとする。従って、無限直積の先頭の空間は Xλ0 となる。
(3) Λ の元 λ に応じて真偽が決まる2つの命題関数 P (λ) および P ′(λ) を次のように定義する。
P (λ) : Λλ = { ρ | ρ ≤ λ ∧ ρ ∈ Λ } と置く。次のような x : Λλ → ⋃ ρ ∈ Λ λ {\displaystyle \bigcup _{\rho \in \Lambda _{\lambda }}} Xρ が存在する( x (ρ) を xρ と書くことにする)。全ての ρ ∈ Λλ について、xρ ∈ Xρ であり、Xρ の任意の開集合 Uρ が xρ を含めば、 W {\displaystyle {\mathcal {W}}} の有限部分集合で ( ∏ ρ ≤ λ U ρ ) × ( ∏ λ < σ X σ ) {\displaystyle (\prod _{\rho \leq \lambda }U_{\rho })\times (\prod _{\lambda <\sigma }X_{\sigma })} を被覆するものは存在しない。