コンパクト開位相
位相空間 X から位相空間 Y への連続写像全体の集合を C(X, Y) とし、さらに K ⊂ X, O ⊂ Y に対し、W(K, O) を
W ( K , O ) = { f ∈ C ( X , Y ) ∣ f ( K ) ⊂ O } {\displaystyle W(K,O)=\{f\in C(X,Y)\mid f(K)\subset O\}}
により定義する。
{W(K, O) | K は X のコンパクトな部分集合、O は Y の開集合}
を準開基とする位相をC(X, Y ) 上のコンパクト開位相という。
またコンパクト開位相を C(X, Y ) の部分集合 H に制限したものを H 上のコンパクト開位相と呼ぶ。
定理 ― X を位相空間、Y を距離空間(あるいはより一般に一様空間)とする。 このとき C(X, Y ) の列(あるいはより一般にネット) ( f n ) n {\displaystyle (f_{n})_{n}} が f ∈ C(X, Y) にコンパクト開位相で収束する必要十分条件は ( f n ) n {\displaystyle (f_{n})_{n}} が f に以下の意味で収束(コンパクト収束という)する事である:
X の任意のコンパクト部分集合 K に対し、 ( f n | K ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}|_{K})_{n\in \mathbb {N} }} は f | K {\displaystyle f|_{K}} に一様収束する。
特に、X にさらなる条件をおいた場合、コンパクト開位相の収束概念は以下に一致する
X が局所コンパクトであれば以下の意味での収束概念(局所一様収束という)と一致する:任意の x ∈ X に対しx のある開近傍 V が存在し、 ( f n | V ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n}|_{V})_{n\in \mathbb {N} }} は f | V {\displaystyle f|_{V}} に一様収束する。
X がコンパクトであれば一様収束と一致する