ランダム効果モデル
ランダム効果モデルは、異質性が時間の経過とともに一定であり、独立変数と相関していない場合に、観測されない異質性をコントロールするのに役立つ。この定数は、差分を取ることによって縦断的データから取り除くことができる。
個々の効果については、ランダム効果の仮定と固定効果の仮定という2つの仮定を立てることができる。ランダム効果の仮定とは、個々の観測されない異質性が独立変数と相関していないというものである。固定効果の仮定は、個々の効果が独立変数と相関しているというものである。
ランダム効果の仮定が成立するとき、変量効果推定量は固定効果モデルよりも効率的である。
S S B = n ∑ i = 1 m ( Y ̄ i , ∙ − Y ̄ ∙ , ∙ ) 2 {\displaystyle \mathrm {SSB} =n\sum _{i=1}^{m}({\overline {Y}}_{i,\bullet }-{\overline {Y}}_{\bullet ,\bullet })^{2}}
群内差の二乗和(squares due to differences within groups, SSW)および群間差の二乗和(squared due to differences between groups, SSB)は上記の通りであり、次の式が示される。
1 m ( n − 1 ) E ( S S W ) = σ 2 {\displaystyle {\frac {1}{m(n-1)}}\mathbb {E} (\mathrm {SSW} )=\sigma ^{2}}
1 ( m − 1 ) n E ( S S B ) = σ 2 n + τ 2 {\displaystyle {\frac {1}{(m-1)n}}\mathbb {E} (\mathrm {SSB} )={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\tau ^{2}}
これらの二乗平均期待値 expected mean squares は、分散成分 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} および τ 2 {\displaystyle \tau ^{2}} の推定に用いることができる。
τ 2 {\displaystyle \tau ^{2}} はクラス内相関係数 intraclass correlation coefficient とも呼ばれる。