環 (数学)
任意の環はアーベル群の圏 Ab におけるモノイド対象である(Z-加群のテンソル積のもとでモノイド圏として考える)。環 R のアーベル群へのモノイド作用は単にR-加群である。簡単に言えば R-加群はベクトル空間の一般化である(体上のベクトル空間を考える代わりに、「環上のベクトル空間」とでもいうべきものを考えている)。
アーベル群 (A, +) とその自己準同型環 End(A) を考える。簡単に言えば End(A) は A 上の射の全体の成す集合であり、f と g が End(A) の元であるとき、それらの和と積は
で与えられる。+ の右辺における f(x) + g(x) は A における和であり、積は写像の合成である。これは任意のアーベル群に付随する環である。逆に、任意の環 (R, +, · ) が与えられるとき、乗法構造を忘れた (R, +) はアーベル群となる。
環とは、集合 R とその上の二つの二項演算、加法 +: R × R → R および乗法 ∗: R × R → R の組 (R,+,∗) で、「環の公理系」と呼ばれる以下の条件を満たすものを言う(環の公理系にはいくつか異なる流儀があるが、それについては後で触れる)。
整数の乗法においては、二整数 x, y の積が xy = 0 を満たすならば x = 0 または y = 0 が成り立つが、環 (Z4, +, ⋅) では必ずしもそれは成立せず、例えば 2 ⋅ 2 = 0 が各因数が 0 ではないにもかかわらず成り立つ。一般に、環 (R, +, ⋅) の非零元 a が (R, +, ⋅) における零因子であるとは、R の非零元 b で ab = 0 を満たすものが存在するときに言う。環 Z4 においては 2 が唯一の零因子である(なお、0 を零因子と扱うこともあることに注意)。 零因子を持たない可換環は整域と呼ばれる(後述)。故に整数全体の成す環 Z は整域であり、一方 Z4 は整域ではない環である。
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