スカラー場の理論
古典場から量子場へ理論を移行する方法の1つが正準量子化である。場の古典論における力学変数は、場の量子論において、正準交換関係に従う場の演算子として置き換えられる。場の演算子をφ、共役運動量をπとして空間上の座標を x , y {\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}} とすると、同時刻での正準交換関係は以下のように要請される。
[ φ ( x ) , φ ( y ) ] = [ π ( x ) , π ( y ) ] = 0 , [ φ ( x ) , π ( y ) ] = i δ ( 3 ) ( x − y ) {\displaystyle [\phi ({\boldsymbol {x}}),\phi ({\boldsymbol {y}})]=[\pi ({\boldsymbol {x}}),\pi ({\boldsymbol {y}})]=0,\ \ \ \ [\phi ({\boldsymbol {x}}),\pi ({\boldsymbol {y}})]=i\delta ^{(3)}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}
さらに、自由スカラー場のハミルトニアンは以下のよう表記される。
H = ∫ d 3 x [ 1 2 π 2 + 1 2 ( ∇ φ ) 2 + 1 2 m 2 φ 2 ] {\displaystyle H=\int d^{3}x\left[{\frac {1}{2}}\pi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\nabla \phi )^{2}+{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]}
}}g_{n}\phi ^{n}\right]\end{aligned}}}
ここで、相互作用項の係数 gn は結合定数である。展開の因子 n! が導入されたのは、量子論においてファインマン・ダイアグラムの摂動展開を表す際に用いられるためである。上記のラグランジアン密度をオイラー=ラグランジュ方程式に代入して得られる運動方程式は以下のようになる。
∂ μ ∂ μ φ + m 2 φ + ∂ ∂ φ V ( φ ) = ∂ t 2 φ − ∇ 2 φ + m 2 φ + ∂ ∂ φ V ( φ ) = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi +m^{2}\phi +{\frac {\partial }{\partial \phi }}V(\phi )=\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi +{\frac {\partial }{\partial \phi }}V(\phi )=0}