正規直交系
詳細は「直交多項式」を参照
正弦関数の列
sin  π t π , sin  2 π t π , sin  3 π t π , ... {\displaystyle {\frac {\sin {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {3\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\dots }
からなる { sin(nπt)/√π }n=1,2,... は、L([−π,π]) で正規直交系をなすが、完全系ではない。実際、偶関数は { sin(nπt)/√π }n=1,2,... では展開できない。
内積 ⟨•, •⟩ を有するベクトル空間 V {\displaystyle V} (内積空間)において、ベクトル x ∈ V {\displaystyle x\in V} の集合 { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} が互いに直交する、すなわち内積について
⟨ x m , x n ⟩ = 0 ( m ≠ n ) {\displaystyle \langle x_{m},x_{n}\rangle =0\quad (m\neq n)}
が成り立つとき、 { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} は直交系(英: orthogonal system)であるという。