レヴィ・チヴィタ接続
d S x , η d ε ( 0 ) = 0 {\displaystyle {dS_{x,\eta } \over d\varepsilon }(0)=0}
が成立するとき、曲線 x ( t ) {\displaystyle x(t)} は弧長積分の停留曲線もしくは( x ( t ) {\displaystyle x(t)} を曲線全体の空間上の「点」とみなし)停留点(英: critical point)という。
「停留曲線」は直観的には滑らかな曲線全体の空間での「微分」が0になるという事である。 変分法の一般論から次が成立する:
定理 ― 曲線 x ( t ) {\displaystyle x(t)} が弧長積分の停留曲線である必要十分条件は x ( t ) {\displaystyle x(t)} が下記の方程式(弧長積分に関するオイラー・ラグランジュ方程式)を満たす事である:
d d t ( ∂ L ∂ v l ( x ( t ) , d x d t ( t ) ) ) = ∂ L ∂ x l ( x ( t ) , d x d t ( t ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)\right)={\frac {\partial L}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)} for j = 1 , .
上では測地線が
L ( x , v ) := g x ( v , v ) {\displaystyle L(x,v):={\sqrt {g_{x}(v,v)}}}
S x , η ( ε ) := ∫ a b L ( x ε , η ( t ) , d x ε , η d t ( t ) ) d t {\displaystyle S_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}L(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t))dt}
に対して停留曲線になる事を示したが、エネルギー
L ̄ ( x , v ) := g x ( v , v ) 2 {\displaystyle {\bar {L}}(x,v):={g_{x}(v,v) \over 2}}
から得られる
S ̄ x , η ( ε ) := ∫ a b L ̄ ( x ε , η ( t ) , d x ε , η d t ( t ) ) d t {\displaystyle {\bar {S}}_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}{\bar {L}}(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t))dt}
に対しても停留曲線は測地線になっている事が知られている。
しかもこの事実はgが正定値や非退化でなくても成立する:
. Graduate Texts in Mathematics. 176. Springer. ISBN 978-0387983226
佐々木重夫『微分幾何学I』 13巻、岩波出版〈岩波講座 基礎数学〉、1977年8月。
Victor V. Prasolov Olga Sipacheva訳 (2022/2/11). Differential Geometry. Moscow Lectures. 8. Springer. ISBN 978-3030922481
Raffaele Rani. “On Parallel Transport and Curvature”. 2023年1月13日閲覧。
Manfredo P. do Carmo Francis Flaherty訳 (1994/2/24). Riemannian Geometry. Mathematics: Theory & Applications. Birkhauser Boston. ISBN 978-0817634902
Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Academic Press. ISBN 0-12-116052-1
Shishichi Kobayashi; Katsumi Nomizu (2009). Foundations of Differential Geometry Volume I.
測地線の局所的存在性から、点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} における接ベクトル空間TPMの原点の近傍 0 P ∈ U ⊂ T P M {\displaystyle 0_{P}\in U\subset T_{P}M} の任意の元 v ∈ U {\displaystyle v\in U} に対し、測地線 exp P  ( t v ) {\displaystyle \exp _{P}(tv)} が存在する。必要ならUを小さく取り直す事で写像
v ∈ U ↦ exp P  ( v ) ∈ M {\displaystyle v\in U\mapsto \exp _{P}(v)\in M}
が中への同型になるようにする事ができる。ベクトル空間TPMの開集合からMへの中への同型なので、 v ∈ U ↦ exp P  ( v ) ∈ M {\displaystyle v\in U\mapsto \exp _{P}(v)\in M} をMの点Pの周りの局所座標と見なす事ができる。この局所座標をMの点uにおける正規座標(英語版)(英: normal coordinate)という。
Mを R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分多様体とし、 c ( t ) {\displaystyle c(t)} をM上の曲線とし、さらに v ( t ) {\displaystyle v(t)} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上定義されたMのベクトル場とし(すなわち各時刻tに対し、 v ( t ) {\displaystyle v(t)} は v ( t ) ∈ T c ( t ) M {\displaystyle v(t)\in T_{c(t)}M} を満たすとし)、
∇ d t v ( t ) := P r c ( t ) ( d d t v c ( t ) ) {\displaystyle {\nabla \over dt}v(t):=\mathrm {Pr} _{c(t)}\left({d \over dt}v_{c(t)}\right)}
と定義する。ここでPrはMの点c(t)における R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 内の接平面(と自然に同一視可能なTc(t)M)への射影である。またX、YをM上のベクトル場とするとき、
∇ X Y | P := ∇ d t Y exp  ( t X ) ( P ) {\displaystyle \nabla _{X}Y|_{P}:={\nabla \over dt}Y_{\exp(tX)(P)}}
と定義する。ここで exp  ( t X ) ( P ) {\displaystyle \exp(tX)(P)} は時刻0に点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} を通るXの積分曲線である。
M上の関数 f : M → R {\displaystyle f~:~M\to \mathbb {R} } に対し、fの勾配を以下のように定義する。
定理・定義 ―
( d f ) ♯ = ( ∇ f ) ♯ = g i j ∂ f ∂ x i ∂ ∂ x j {\displaystyle (df)^{\sharp }=(\nabla f)^{\sharp }=g^{ij}{\partial f \over \partial x^{i}}{\partial \over \partial x^{j}}}
が成立する。この値を g r a d f {\displaystyle \mathrm {grad} f} と書き、fの勾配(英: gradient)という。
ここでdfはfの外微分であり、「 ♯ {\displaystyle {}^{\sharp }} 」は計量gによるTMとTMの同型写像であり、 ∇ f {\displaystyle \nabla f} は関数の ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} -テンソルとみなしてテンソル場の共変微分 ∇ X f = X f {\displaystyle \nabla _{X}f=Xf} を考え、前節のように ∇ f {\displaystyle \nabla f} を定義したものである。
∂ g k l ∂ x j + ∂ g l j ∂ x k − ∂ g j k ∂ x l = 2 ⟨ ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k , ∂ y → ∂ x l ⟩ {\displaystyle {\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}=2\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\,\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle }
よって Γ j k i {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}} の定義と(C)より、
a j k i = Γ j k i {\displaystyle a_{jk}^{i}=\Gamma _{jk}^{i}}
が結論付けられる。よって(A)、(B)、(C)から
( ∂ g k l ∂ x j ∂ g j k ∂ x l ∂ g l j ∂ x k ) = ( 1 1 0 0 1 1 1 0 1 ) ( ⟨ ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k , ∂ y → ∂ x l ⟩ ⟨ ∂ 2 y → ∂ x l ∂ x j , ∂ y → ∂ x k ⟩ ⟨ ∂ 2 y → ∂ x k ∂ x l , ∂ y → ∂ x j ⟩ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}\\{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\\{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle \\\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{\ell }\partial x^{j}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}\right\rangle \\\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{k}\partial x^{\ell }},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{j}}\right\rangle \end{pmatrix}}}
である。これを解いて、
∂ g i l ∂ x j d x i d s d x j d s + g i l d 2 x i d s 2 = 1 2 ∂ g j k ∂ x l d x j d s d x k d s {\displaystyle {\partial g_{i\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{i} \over ds}{dx^{j} \over ds}+g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}={1 \over 2}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}}
左辺第一項の添字のiをkに代えて整理する事で、
g i l d 2 x i d s 2 + 1 2 ( 2 ∂ g k l ∂ x j − ∂ g j k ∂ x l ) d x j d s d x k d s = 0 {\displaystyle g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{1 \over 2}\left({2\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0}
よって、
d 2 x i d s 2 + g i l 2 ( 2 ∂ g k l ∂ x j − ∂ g j k ∂ x l ) d x j d s d x k d s = 0 {\displaystyle {d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{g^{i\ell } \over 2}\left({2\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0}
P r c ( 0 ) ( ∂ 2 y → ∂ x j ∂ x k ( x ( t ) ) ) {\displaystyle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))\right)} = a j k i ( t ) ∂ y → ∂ x i ( x ( t ) ) {\displaystyle =a_{jk}^{i}(t){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}(x(t))} ...(B)
と書いて係数の a j k i ( t ) {\displaystyle a_{jk}^{i}(t)} を決定すればよい。以下記号を簡単にするため「 a j k i ( t ) {\displaystyle a_{jk}^{i}(t)} 」を単に「 a j k i {\displaystyle a_{jk}^{i}} 」と書き、偏微分から「 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 」を省略する。すると、
上記の定理より、必要ならリーマン計量gを 1 | c | {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {|c|}}}} 倍する事で、任意の定曲率空間は、曲率が0、1、もしくは-1の定曲率空間と「相似」である事がわかる。 曲率が0、1、-1の定曲率空間については以下の事実が知られている:
定理 ― 曲率cのm次元定曲率空間 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} が連結かつ単連結であり、しかも距離空間として完備であるとする。 このとき、次が成立する:
c = 1 {\displaystyle c=1} であれば、 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} はm次元ユークリッド空間とリーマン多様体として同型である。
c = 0 {\displaystyle c=0} であれば、 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} はm次元球面とリーマン多様体として同型である。
c = − 1 {\displaystyle c=-1} であれば、 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} はm次元双曲空間(英語版)とリーマン多様体として同型である。
よって被覆空間の一般論から以下の系が従う:
系 ― 曲率が0、1、もしくは-1の連結かつ完備なm次元定曲率空間は、それぞれm次元ユークリッド空間、m次元球面、もしくはm次元双曲空間を普遍被覆空間に持つ。
( e 1 , ... , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} を接バンドル T M {\displaystyle TM} の局所的な基底とし、X、YをM上のベクトル場とし、 Y = Y j e j {\displaystyle Y=Y^{j}e_{j}} とすると、レヴィ-チヴィタ接続の定義から
∇ X Y = X ( Y j ) e j + Y j ∇ X e j {\displaystyle \nabla _{X}Y=X(Y^{j})e_{j}+Y^{j}\nabla _{X}e_{j}}
である。この式は、共変微分 ∇ X Y = ∇ X ( Y j e j ) {\displaystyle \nabla _{X}Y=\nabla _{X}(Y^{j}e_{j})} にライプニッツ則を適用して成分部分の微分 X ( Y j ) e j {\displaystyle X(Y^{j})e_{j}} と基底部分の微分 Y j ∇ X e j {\displaystyle Y^{j}\nabla _{X}e_{j}} の和として表現したものと解釈できる。
そこで以下のような定義をする:
定義 (接続形式) ― 行列 ω ( X ) {\displaystyle \omega (X)} を
( ∇ X e 1 , ... , ∇ X e m ) = ( e 1 , ... , e m ) ω ( X ) {\displaystyle (\nabla _{X}e_{1},\ldots ,\nabla _{X}e_{m})=(e_{1},\ldots ,e_{m})\omega (X)}
( M , g ) {\displaystyle (M,g)} はリーマン多様体なので、Mの接ベクトル空間と余接ベクトル空間は自然に同一視できる。この同型写像を
X ∈ T M ↦ ∼ X ♭ ∈ T ∗ M {\displaystyle X\in TM{\overset {\sim }{\mapsto }}X^{\flat }\in T^{*}M}
α ∈ T ∗ M ↦ ∼ α ♯ ∈ T M {\displaystyle \alpha \in T^{*}M{\overset {\sim }{\mapsto }}\alpha ^{\sharp }\in TM}
と書くことにする(Musical isomorphism)。
定義 ― M上の1-形式αの共変微分を以下のように定義する:
∇ X α := ( ∇ X α ♯ ) ♭ {\displaystyle \nabla _{X}\alpha :=(\nabla _{X}\alpha ^{\sharp })^{\flat }}
ここでXはM上のベクトル場である。するとM上のベクトル場Yに対しライプニッツ則
X ( α ( Y ) ) = ( ∇ X α ) ( Y ) + α ( ∇ X Y ) {\displaystyle X(\alpha (Y))=(\nabla _{X}\alpha )(Y)+\alpha (\nabla _{X}Y)}
が成り立ち、局所座標 ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} で書けば、
である。一方右辺は
∂ L ∂ x l ( x ( t ) , d x d t ( t ) ) = 1 2 g ( x ̇ , x ̇ ) ∂ g j k ∂ x l x ̇ j x ̇ k = 1 2 ∂ g j k ∂ x l d x j d s d x k d s d s d t {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={1 \over 2{\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}={1 \over 2}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}{ds \over dt}}
である。よって両辺を見比べることで、