拡大実数
実函数の中には極限をとることで R まで連続的に延長することができるものもある。例えば指数函数 exp や自然対数 ln は exp(−∞) = 0, exp(+∞) = +∞ や ln(0) = −∞, ln(+∞) = +∞ として連続的に延長できる。
また実函数に対する不連続性の中には R を考えることで除くことができるようになるものもある。例えば、函数 f(x) = 1⁄x は f(0) = +∞ および f(+∞) = f(−∞) = 0 と置くことにより(連続性の定義にもよるが)連続にすることができる。一方、函数 1⁄x は x が左から 0 へ近づけば −∞ となり、右から 0 に近づけば +∞ となるから、連続にすることができない。
正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ とを区別できない実射影直線と比べれば、結果として実射影直線上では極限 ∞ を持つ函数が、片や補完数直線上では絶対値をとらなければ極限を持つようにならないという場合があり得る(例えば 函数 1/x の x = 0 における極限)。他方、
lim x → − ∞ f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{f(x)}} および lim x → + ∞ f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{f(x)}}
なる極限は実射影直線上では x = ∞ でのそれぞれ右側および左側極限に対応し、極限が存在するというためには両者が一致しなければならないから、指数函数 e や逆正接函数 arctan(x) は実射影直線上の x = ∞ において連続にすることはできない。