除法
このような方程式を満たす整数 q, r は複数存在するが(たとえばある q, r に対して q − 1 と n + r の組は同様に上記の方程式を満たす)、剰余 r の取り得る値に制限を与えて一意に商 q と剰余 r の組を定めることができる。よく用いられる方法は剰余 r を除数 n より絶対値が小さな非負の数と定めることである。このような除法はユークリッド除法と呼ばれる。
m = qn + r かつ0 ≤ r < |n|
これは、感覚的には被除数から除数を引けるだけ引いた残りを剰余と定めているということである。こうして定められる剰余はしばしば「m の n を法とする剰余」「m の法 n に関する剰余 (英: residue modulo "n") 」などと言い表される。 剰余rが0でないことはしばしば「mはnで割り切れない」と表され、記号的に n ∤ m と表される。 ユークリッド除法による計算例は以下の通りである。以下では除数を 4, −4, 被除数を 22, −22 としている。
0 ≤ r < |n|
22 = 5 × 4 + 2:商 5, 剰余 2
22 = (−5) × (−4) + 2:商 −5, 剰余 2
−22 = (−6) × 4 + 2:商 −6, 剰余 2
−22 = 6 × (−4) + 2:商 6, 剰余 2
「割り切れない」という用語はしばしば「小数点以下が無限に続く」の意で不適切に用いられることがあるが、「割り切れない」からといってそうであるとは限らない(たとえば上記の例では、「22は4で割り切れない」が、その有理数除算における商は「5.5」であり小数第一位までで表すことが出来る)。