有限差分
一般化された有限差分は μ = (μ0, ..., μN) を係数列として
Δ h μ [ f ] ( x ) = ∑ k = 0 N μ k f ( x + k h ) {\displaystyle \Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh)}
と定義されるのが普通である。さらに右辺の和を無限級数に取り換えた一般化として無限差分 (infinite difference) が定義される。別な一般化としては、係数 μk が x に依存することを許して μk = μk(x) とすることで、重み付き有限差分 (weighted finite difference) が考えられる。あるいはまた、歩み h が x に依存する (h = h(x)) とすることも考えられる。そのような一般化は別種の連続度(英語版)を構成するのに有用である。
一般化有限差分の全体は多項式環 R[Th] と見ることができる。ここから差分環が考えられる。
差分作用素は半順序集合上のメビウス反転作用素に一般化される。
畳み込み表現: 接合環の方法論を通じて差分作用素やほかのメビウス反転作用素はメビウス函数と呼ばれる半順序集合上の函数 μ との畳み込みとして表される。差分作用素に対するメビウス函数 μ は数列 (1, −1, 0, 0, 0, ...) である。
多変数の場合にも有限差分は考えることができる。それらは多変数の偏微分に対応するものである。
中心差分による偏微分近似をいくつか挙げれば
f x ( x , y ) ≈ f ( x + h , y ) − f ( x − h , y ) 2 h , {\displaystyle f_{x}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}},}
f y ( x , y ) ≈ f ( x , y + k ) − f ( x , y − k ) 2 k , {\displaystyle f_{y}(x,y)\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}},}
f x x ( x , y ) ≈ f ( x + h , y ) − 2 f ( x , y ) + f ( x − h , y ) h 2 , {\displaystyle f_{xx}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}},}
d n f d x n ( x ) = Δ h n [ f ] ( x ) h n + O ( h ) = ∇ h n [ f ] ( x ) h n + O ( h ) = δ h n [ f ] ( x ) h n + O ( h 2 ) {\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h^{2})}
となる。高階微分はより良い近似を構成するためにも利用できる。上で述べたように、一階差分近似は h のオーダーの項を除いて一階微分を近似するものであるが、高階微分を組み合わせた
Δ h [ f ] ( x ) − 1 2 Δ h 2 [ f ] ( x ) h = − f ( x + 2 h ) − 4 f ( x + h ) + 3 f ( x ) 2 h {\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}}
は f'(x) と h のオーダーの項しか違わない。これを示すには、先述のようにテイラー級数展開してもよいし、後述のように有限差分の汎函数計算を用いてもよい。
必要ならば、前進・後退・中心差分を混合して任意の点を有限差分の中心にすることができる。