歪エルミート行列
歪エルミート行列(わいえるみーとぎょうれつ、英語: Skew-Hermitian matrix)あるいは反エルミート行列(はんえるみーとぎょうれつ、英語: Anti-Hermitian matrix)とは、自身のエルミート共役(=随伴)が自身に負号をつけたものに等しいような複素正方行列のことである。つまり、n 次正方行列 A に対し、そのエルミート共役を A で表すとき、A が歪エルミートならば、以下の条件を満たす。
A ∗ = − A {\displaystyle A^{*}=-A}
行列 A の成分をあらわに書けば、これは次のようにも表せる。
( A ∗ ) i j = A j i ̄ = − A i j ( 1 ≤ i , j ≤ n ) {\displaystyle {\left(A^{*}\right)}_{ij}={\overline {A_{ji}}}=-A_{ij}\quad \left(1\leq i,j\leq n\right)\ }
n 次歪エルミート行列の集合はリー代数をなし、 u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)} と表される。
歪エルミート行列と似た定義を持つ行列として、エルミート行列がある。エルミート行列は自身と自身のエルミート共役が等しい。
H ∗ = H {\displaystyle H^{*}=H}
歪エルミート行列はエルミート行列と同じく、正規行列の特別な場合であり、−1 をユニタリ行列 U と見なせば、以下の正規行列の定義を満たしている。
A ∗ = A U {\displaystyle A^{*}=AU}