進化的安定戦略
が成立し、しかも(Eq-R1)から
N ̇ ( t ) N ( t ) = ∑ j N ̇ j ( t ) N ( t ) = ∑ j f j ( p ( t ) ) p j ( t ) {\displaystyle {{\dot {N}}(t) \over N(t)}=\sum _{j}{{\dot {N}}_{j}(t) \over N(t)}=\sum _{j}f_{j}(\mathbf {p} (t))p_{j}(t)}
でもあるので、以下の連続レプリケーター方程式が成立する:
ここで
f ̄ ( p ( t ) ) = ∑ j p j ( t ) f j ( p ( t ) ) {\displaystyle {\bar {f}}(\mathbf {p} (t))=\sum _{j}p_{j}(t)f_{j}(\mathbf {p} (t))}
である。なお、適切な条件下では離散レプリケーター方程式の極限として連続レプリケーター方程式が得られる事が知られている。
定理R6(進化ゲーム理論のフォーク定理) ― A = ( a i j ) i , j {\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j}} を n × n {\displaystyle n\times n} の行列とし、利得関数が
E ( i , j ) = a i j {\displaystyle E(i,j)=a_{ij}}
で定義される行列ゲームを考え、さらにAを用いて(Eq-R2)のように定義される連続レプリケーター方程式を考え、さらに p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} を Δ n {\displaystyle \Delta _{n}} の元とする。このとき
p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} が行列ゲームのナッシュ均衡点であれば p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} は停留点である
p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} が行列ゲームの狭義ナッシュ均衡点であれば p 0 {\displaystyle \mathbf {p} _{0}} は漸近的安定点である
1972年:ジョン・メイナード=スミスが自著「On Evolution」のエッセイで進化的安定性にふれる
1973年:メイナード=スミスとジョージ・プライスが進化的安定性を提唱した論文がネイチャーに載る
1974年:メイナード=スミスによるより長い論文がJournal of Theoretical Biologyに載る
1982年:メイナード=スミスが自著「Evolution and the Theory of Games」で更に詳しく説明
∑ i = 1 m ε i δ ( σ i , τ i ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\varepsilon _{i}\delta _{(\sigma _{i},\tau _{i})}}
と書けるものを指す。ゲームは非対称であるので、利得関数も自分が立場0にいるときと立場1にいるときで異なる。自分が立場 k = 0 , 1 {\displaystyle k=0,1} にいるときの利得関数を
E k ( ξ , ∑ i = 1 m ε i δ σ i ) {\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}(\xi ,\textstyle \sum _{i=1}^{m}\varepsilon _{i}\delta _{\sigma _{i}})}
と書く。ここでξはXkの元であり、 σ 1 , ... , σ m {\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}} は X 1 − k {\displaystyle X_{1-k}} の元である。非対称なゲームは組
( ( X 0 , E 0 ) , ( X 1 , E 1 ) ) {\displaystyle ((X_{0},{\mathcal {E}}_{0}),(X_{1},{\mathcal {E}}_{1}))}
により定義される。
進化的安定性はゲーム理論の概念に基づいて定式化することができる。そこで本節では、必要なゲーム理論の概念を導入し、次節で進化的安定性を定式化する。
進化的安定性を定義するには、まず個々の個体の利得をゲーム理論的に定義する必要がある。ゲーム理論において利得はほかの個体とゲームを行ったときに得られる実数値として定義され、得られる利得は自分が取った戦略と対戦相手がとった戦略の結果として決まる。
すなわち、純粋戦略i を取る個体P が、純粋戦略 j を取る別の個体Qとゲームを行ったとき、個体Pは利得と呼ばれる実数値
E ( i , j ) {\displaystyle E(i,j)}
を獲得する。そしてi、jに E ( i , j ) {\displaystyle E(i,j)} を対応させる関数Eを個体Pに関する利得関数と呼ぶ。
利得関数はゲームが始まる前の段階で、外界の状況等により事前に定まっており、個々の個体が変えることはできない。個々の個体にできるのは、与えられた利得関数から得られる利得を最大化するよう自身の戦略を選ぶことだけである。
5で述べたように実際の生物では2つの個体の立場が非対称なゲームも起こりうるが、進化ゲーム理論では2つの個体が対称な場合のみに対して進化的安定性を定義し、非対称なゲームには対称化を施す事により対称なゲームに対する進化的安定性の概念を利用する。例えば「オス」と「メス」という2つの立場がある状況では、個体が受精した際「オス」か「メス」かをランダムに選べる事を考慮する事により、全ての個体が「オス」になる可能性も「メス」になる可能性もある対称なゲームとして定式化する。
そこで本章では以下、対称なゲームに対する進化的安定性のみを議論するものとし、非対称なゲームに対する進化的安定性は後の章で議論するものとする。