ラーモア反磁性
∇ × A = H , A = 1 2 ( H × r ) = 1 2 ( − H y , H x , 0 ) {\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {H} ,\quad \mathbf {A} ={1 \over 2}(\mathbf {H} \times \mathbf {r} )={1 \over 2}(-Hy,Hx,0)}
となる。よってこのハミルトニアンは
H = p 2 2 m + V ( r ) − μ B ( l z + g s z ) H + e 2 H 2 8 m c 2 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p^{2}}{2m}}+V(r)-\mu _{\mathrm {B} }(l_{z}+gs_{z})H+{\frac {e^{2}H^{2}}{8mc^{2}}}(x^{2}+y^{2})}
となる。
このうち、前の2項は磁場に依存しない項であり磁性に寄与しない。磁場によるエネルギーは基底状態をg、励起状態をeとして
E H = ⟨ g | H | g ⟩ − ∑ e ≠ g | ⟨ e | H | g ⟩ | 2 E e − E g {\displaystyle E_{H}=\langle g|{\mathcal {H}}|g\rangle -\sum _{e\neq g}{\frac {{\bigl |}\langle e|{\mathcal {H}}|g\rangle {\bigr |}^{2}}{E_{e}-E_{g}}}}
以上より、全磁化は
M = − N Z e 2 B 4 m ⟨ ρ 2 ⟩ {\displaystyle M=-{\frac {NZe^{2}B}{4m}}\langle \rho ^{2}\rangle }
となり、磁化率が求まる。
χ = M H = − μ 0 N Z e 2 4 m ⟨ ρ 2 ⟩ {\displaystyle \chi ={M \over H}=-{\frac {\mu _{0}NZe^{2}}{4m}}\langle \rho ^{2}\rangle }
ここで N {\displaystyle N} は原子数である。
電子の軌道半径の2乗平均 ⟨ r 2 ⟩ = ⟨ x 2 ⟩ + ⟨ y 2 ⟩ + ⟨ z 2 ⟩ = 3 2 ⟨ ρ 2 ⟩ {\displaystyle \langle r^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle +\langle y^{2}\rangle +\langle z^{2}\rangle ={3 \over 2}\langle \rho ^{2}\rangle } を用いて表すと以下となる。
χ = − μ 0 N Z e 2 6 m ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle \chi =-{\frac {\mu _{0}NZe^{2}}{6m}}\langle r^{2}\rangle }