Feature Hashing
2番目のハッシュ関数であるξを使って特徴値の符号を決定するとき、出力の配列のそれぞれの列の平均の期待値は0になる。なぜなら、ξはいくつかの衝突を回避するからある。例えば2つの符号特徴量f1とf2が互いに衝突し、それ以外の特徴量とは衝突していないとする。このときξに対して何も前提条件が無いとすると、右の表で示すような同じ確率を持つ4つの場合がある。
この例では、衝突が回避される確率は50%である。多値ハッシュ関数を使えばより衝突のリスクを回避することができる。
さらに、もしφがハッシュ関数 ξのHashing Trickによって実現された変換だとすると(つまり、φ(x)が標本xに対して作られた特徴ベクトルだとすると)、ハッシュ後の空間におけるベクトルの内積は不偏である:
E [ ⟨ φ ( x ) , φ ( x ′ ) ⟩ ] = ⟨ x , x ′ ⟩ {\displaystyle \mathbb {E} [\langle \varphi (x),\varphi (x')\rangle ]=\langle x,x'\rangle }
ここで期待値はハッシュ関数φについて計算されている。 ⟨ φ ( x ) , φ ( x ′ ) ⟩ {\displaystyle \langle \varphi (x),\varphi (x')\rangle } が半正定値のカーネルであることが確かめられる。