自由リー環
特に,Lyndon word(英語版) に対応する自由リー環の基底が存在し,Lyndon basis と呼ばれる.(これは Chen–Fox–Lyndon basis あるいは Lyndon–Shirshov basis とも呼ばれ,本質的には Shirshov basis と同じである.)ある順序付けられた alphabet の Lyndon words からこの alphabet 上の自由リー環の基底への次のように定義される全単射 γ が存在する.
word w の長さが 1 ならば γ(w) = w である(自由リー環の生成元).
w の長さが 2 以上ならば,v の長さがなるべく長くなるように Lyndon words u, v をとって w=uv と書く ("standard factorization").このとき γ(w) = [γ(u), γ(v)] である.