文脈自由言語
文脈自由言語は積集合において閉じていない。この証明は参考文献にある Sipser 97 の練習問題となっている。まず、2つの文脈自由言語 A = { a m b n c n ∣ m , n ≥ 0 } {\displaystyle A=\{a^{m}b^{n}c^{n}\mid m,n\geq 0\}} と B = { a n b n c m ∣ m , n ≥ 0 } {\displaystyle B=\{a^{n}b^{n}c^{m}\mid m,n\geq 0\}} を用意する。これらの積集合 A ∩ B = { a n b n c n ∣ n ≥ 0 } {\displaystyle A\cap B=\{a^{n}b^{n}c^{n}\mid n\geq 0\}} に対して文脈自由言語の反復補題を用いることで、それが文脈自由言語でないことを示すことができる。