複素指数函数
任意の複素数 z に対して exp  ( z ) := ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \exp(z):=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {z^{n}}{n!}}}
これは整関数である。
x, y は実数として、z = x + yi = |z|e と書く。以下の性質は定義から直ちに確認できる:
y = 0 のとき明らかに exp(z) = exp(x) = e は実指数函数であり、したがって複素指数函数は実指数函数の複素変数への拡張である。また特に exp(0) = e = 1 が成り立つ。
周期性: 任意の複素数 z に対して exp(z + 2πi) = exp(z) が成り立つ。すなわち、複素指数函数は周期(実は基本周期)2πi を持つ周期函数である。一般に任意の整数 n に対して exp(z + 2nπi) = exp(z) が成り立つ。この周期性のために、逆函数となるべき対数函数の複素数への拡張は無限多価となる。
絶対値に関して、|exp(z)| = |e| および |exp(iy)| = 1 が成り立つ。すなわち、複素指数函数の絶対値は引数の実部のみによって決まり、引数の虚部の影響を受けない。また特に任意の z に対して exp(z) ≠ 0 が言える。
複素共役に関して、exp(z) = exp(z) が成り立つ。
さらに以下の性質は重要である:
指数法則:exp(z)⋅exp(w) = exp(z + w) が成り立つ。
複素指数函数はコーシー・リーマンの方程式を満たすから複素微分可能であって、d/dz exp(z) = exp(z) が成立する。
これらは三角函数の性質から導くこともできるし、級数による定義に対してコーシー積を直接計算しても示せる。あるいは実指数函数の対応する性質に解析接続の一般論を適用しても示せる。