小平次元
代数幾何学では、小平次元 (Kodaira dimension)(標準次元 (canonical dimension) とも呼ばれる) κ(X) で射影多様体 X の標準モデル (canonical model) の大きさを測る。
イーゴル・シャファレビッチ(英語版)は、セミナー Shafarevich 1965 で、代数曲面のある数値的不変量を記号 κ として導入した。飯高茂(Shigeru Iitaka) は、Iitaka (1970)で、この数値的不変量を拡張し、高次元の多様体の小平次元を定義した(このときは標準次元の名称)。後日 Iitaka (1971) で、小平邦彦の名前にちなんで「小平次元」とした。
X を標数 0 の体の上の小平次元が非負の多様体とし、B を X の標準モデル B = Proj R(X, KX) とすると、B の次元は X の小平次元に等しい。自然な写像 X → B が存在して、ブローアップ(英語版)(blowing up)した X と B から得られる任意の射は、飯高ファイバー構造と呼ばれる。極小モデルとアバンダンス予想は、飯高ファイバー構造の一般のファイバーは、カラビ・ヤウ多様体であるように整形でき、特に小平次元 0 となるであろうことを意味している。さらに、有効な B 上の(一意ではないが) Q-因子 Δ が存在し、ペア (B, Δ) が川又対数端末(klt)、つまり、KB + Δ が豊富であり、X の標準環が (B, Δ) の標準環のある d > 0 倍の次数と同じである。 この意味で、X は一般型の (B, Δ) を底空間と小平次元 0 の多様体の族へ分解する。(注意することは、多様体 B 自身は一般型である必要はない。