Lp空間
.. ) {\displaystyle (x_{n})+(y_{n}):=(x_{n}+y_{n}),\ {\text{i.e., }}(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},x_{n+1},\dotsc )+(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n},y_{n+1},\dotsc ):=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dotsc ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\dotsc )}
で定義され、スカラー倍は
λ ( x n ) := ( λ x n ) , i.e., λ ( x 1 , x 2 , ... , x n , x n + 1 , ... ) := ( λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n , λ x n + 1 , ... ) {\displaystyle \lambda (x_{n}):=(\lambda x_{n}),{\text{ i.e., }}\lambda (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},x_{n+1},\dotsc ):=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dotsc ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\dotsc )}
で定義される。
p-ノルムを
‖ f ‖ p ≤ μ ( S ) 1 p − 1 q ‖ f ‖ q {\displaystyle \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}\|f\|_{q}}
は、空間 L が L への連続的埋め込みであることを意味する。すなわち、恒等作用素は L から L への有界線型写像である。上の評価式に現れる定数は、恒等作用素 I : L(S, μ) → L(S, μ) の作用素ノルムがちょうど
‖ I ‖ q , p = μ ( S ) 1 p − 1 q {\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}}
であるという意味で、最適なものである。上の評価式の等号は、f = 1 がほとんど全ての [μ] で成り立つ時に成立する。
n-次元実数ベクトル空間 R 内のベクトル x ≔ (x1, x2, ..., xn) の長さは、通常、次のユークリッドノルム
で与えられる。
二つの点 x と y との間のユークリッド距離は、それらの間に引かれる直線の長さ ‖ x − y ‖ 2 {\textstyle \|x-y\|_{2}} である。しかし多くの場合、ユークリッド距離は与えられた空間における実際の距離を認識する上で不十分である。例えば、マンハッタンのタクシー運転手は彼らの目的地までの直線の長さよりも、互いに垂直あるいは平行な道路について考慮したマンハッタン距離を測るべきであろう。p-ノルムの類は、これらの例を一般化するものであり、数学や物理学、計算機科学などの多くの場面において応用されるものである。