三角関数の原始関数の一覧
本項は三角関数を含む式の原始関数の一覧である。式に指数関数を含むものは指数関数の原始関数の一覧を、さらに完全な原始関数の一覧は、原始関数の一覧を参照のこと。三角積分も参照のこととする。
以下の全ての記述において、a は0でない、実数とする。また、C は積分定数とする。
↑ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th Edition. Thomson: 2008
( n − 2 k ) ! cos  a x + ∑ k = 0 2 k + 1 ≤ n ( − 1 ) k x n − 1 − 2 k a 2 + 2 k n ! ( n − 2 k − 1 ) ! sin  a x ( n > 0 ) {\displaystyle \int x^{n}\sin ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\;\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k+1}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\sin ax\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫ − a 2 a 2 x 2 sin 2  n π x a d x = a 3 ( n 2 π 2 − 6 ) 24 n 2 π 2 ( n = 2 , 4 , 6... ) {\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;\mathrm {d} x={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(}}n=2,4,6...{\mbox{)}}\,\!}
∫ tan  a x d x = − 1 a ln  | cos  a x | + C = 1 a ln  | sec  a x | + C {\displaystyle \int \tan ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec ax|+C\,\!}
∫ tan n  a x d x = 1 a ( n − 1 ) tan n − 1  a x − ∫ tan n − 2  a x d x ( n ≠ 1 ) {\displaystyle \int \tan ^{n}ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫ d x q tan  a x + p = 1 p 2 + q 2 ( p x + q a ln  | q sin  a x + p cos  a x | ) + C ( p 2 + q 2 ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad {\mbox{(}}p^{2}+q^{2}\neq 0{\mbox{)}}\,\!}