自由積
G と H が群であるとき、G と H の語(英語版)とは
s 1 s 2 ⋯ s n {\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}
の形の積である。ここで各 si は G か H の元である。そのような語は以下の操作により縮約できる:
(G あるいは H の)単位元を取りのぞく。
G の2つの元により g1g2 となっている部分はそれを G における積で置き換える。H についても同様。
縮約されたすべての語は G の元と H の元が交互に並ぶ積である。例えば、
g 1 h 1 g 2 h 2 ⋯ g k h k . {\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}
自由積 (free product) G ∗ H は、元が G と H の縮約された語であって、積は連結して縮約したものとする群である。
例えば、G が無限巡回群 ⟨x⟩ で、H が無限巡回群 ⟨y⟩ であれば、G ∗ H のすべての元は、x のベキと y のベキが交互に並ぶ積である。この場合、G ∗ H は x と y によって生成された自由群に同型である。