ペロンの公式
{ a ( n ) } n {\displaystyle \{a(n)\}_{n}} を数論的関数(つまり複素数の列)とし、
g ( s ) := ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s , s ∈ C {\displaystyle g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}},\quad s\in \mathbb {C} }
を対応するディリクレ級数とする。実数 c > 0 {\displaystyle c>0} があって、この級数は半平面 { s | R e ( s ) > c } {\displaystyle \{s|\mathrm {Re} (s)>c\}} で一様収束するものとする。
実数 x > 0 {\displaystyle x>0} に対し
A ( x ) := ∑ 1 ≤ n ≤ x ′ a ( n ) {\displaystyle A(x):={\sum _{1\leq n\leq x}}'a(n)}
一般にディリクレのL-関数に対しては、
L ( s , χ ) = s ∫ 1 ∞ A ( x ) x s + 1 d x {\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}
ここで A ( x ) = ∑ 1 ≤ n ≤ x χ ( n ) {\displaystyle A(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\chi (n)} はディリクレ指標 χ ( n ) {\displaystyle \chi (n)} の和。
他にも、Mertens関数(英語版)(1から n までのメビウス関数の和)の値をリーマンゼータ関数の複素積分で表したり、チェビシェフ関数(フォン・マンゴルト関数の和)を含む積分値をリーマンゼータ関数を使った比で表示するといった応用がある。