角速度
r ′ = r + O ( Δ t ) {\displaystyle r'=r+O(\Delta t)}
sin  φ = ω Δ t + O ( Δ t 2 ) {\displaystyle \sin \phi =\omega \Delta t+O(\Delta t^{2})}
であることから、ベクトル積に関する恒等式 r × r ≡ 0を用いれば
| r × v | Δ t + O ( Δ t 2 ) = r 2 ω Δ t + O ( Δ t 2 ) {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|\Delta t+O(\Delta t^{2})=r^{2}\omega \Delta t+O(\Delta t^{2})}
が得られ、上式両辺における Δt の1次の項を比較して
| r × v | = r 2 ω {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|=r^{2}\omega }
が導かれる。回転角 φ = ωΔt の向きを回転軸の方向(すなわち右ねじの進む方向)に一致するように定めると、定義式が導かれる。
↑ 物理学などの文献においては、文脈上紛れがない限り、単に「次元」と呼ばれる。
↑ 速度の次元は長さ L に時間 T の逆数を掛けた L⋅T である。
↑ z軸周りの回転運動を表わす角速度はz軸成分しかもたないため、真にベクトルであるならばx-z面を鏡映面とする鏡映反転により不変に保たれるはずであるが、鏡映反転により回転運動の方向は反転されるため、z軸成分の符号が反転する。
↑ より高次元の空間を含む n 次元空間に対して統一的に使える方法としては、自由度 1/2n(n − 1) の二階反対称テンソルとして表わす方法がある。