平行移動
平行移動は各点に定ベクトルを加える操作として解釈することや、座標系の原点をずらす操作として解釈することもできる。定ベクトル v に対して、v に対応する平行移動 Tv は、点 P(p) を v だけ動かす写像
Tv(p) = p + v
として働く。
平行移動は二つの図形の間の一対一対応や、ある平面から別の平面への写像とみることもできる。T が平行移動であるとき、部分集合 A の写像 T による像を、A の T による平行移動と呼ぶ。T が定ベクトル v に対応する平行移動 Tv であるとき、A の Tv による平行移動はしばしば A + v と書かれる。
平行移動を剛体運動として記述することもできる(平行移動の他には回転と鏡映)。n-次元ユークリッド空間において任意の平行移動は等距変換である。平行移動全体の成す集合は平行移動群 T(n) を成す。この群はもとの空間(の加法群)と同型であり、ユークリッド群 E(n) の正規部分群である。E(n) の T(n) による剰余群は直交群 O(n) に同型:
E(n)/T(n) ≅ O(n)
である。
ベクトル変数の写像 f(v) に作用する、定ベクトル δ に対応する平行移動作用素 Tδ は
T δ f ( v ) = f ( v + δ ) {\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } )}
で定義される作用素を言う。
平行移動は不動点を持たないアフィン変換である。一方、行列の積は必ず原点を固定する。 にも拘らず、ベクトル空間の平行移動を行列で表すことが、斉次座標系(英語版)を用いた回避方法によって一般に行われる。
例えば三次元の場合において、ベクトル w = (wx, wy, wz) は四成分の斉次座標 w = (wx, wy, wz, 1)で表せる。
各点を斉次座標で書いた斉次ベクトル p を、定ベクトル v だけ平行移動させるには、平行移動行列
T v = ( 1 0 0 v x 0 1 0 v y 0 0 1 v z 0 0 0 1 ) {\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{pmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
を掛ければよい。実際、以下に見るように掛けた結果