微細構造 (原子物理学)
E n ( 1 ) = ⟨ ψ 0 | H ′ | ψ 0 ⟩ = − 1 8 m 3 c 2 ⟨ ψ 0 | p 4 | ψ 0 ⟩ = − 1 8 m 3 c 2 ⟨ ψ 0 | p 2 p 2 | ψ 0 ⟩ {\displaystyle E_{n}^{(1)}=\langle \psi ^{0}\vert H'\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{4}\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle }
ここで ψ 0 {\displaystyle \psi ^{0}} は無摂動の波動関数である。これと無摂動のハミルトニアン H 0 = p 2 2 m + V {\displaystyle H^{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V} およびエネルギー準位 E n {\displaystyle E_{n}} の間に成り立つシュレーディンガー方程式 H 0 | ψ 0 ⟩ = E n | ψ 0 ⟩ {\displaystyle H^{0}\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle } から、
p 2 | ψ 0 ⟩ = 2 m ( E n − V ) | ψ 0 ⟩ {\displaystyle p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle =2m(E_{n}-V)\vert \psi ^{0}\rangle }
を得る。この結果を先の1次のエネルギー補正量に用いて、