母関数
数列の通常型母関数が有理式(2つの多項式の比)で表されるための必要十分条件は、その列が線型漸化式を持つことである。これは、上述の例を一般化したものである。
∑ n = 0 ∞ ( n + 2 2 ) x n = 1 ( 1 − x ) 3 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\tbinom {n+2}{2}}x^{n}={1 \over (1-x)^{3}}}
が得られる。また、
( n + 2 2 ) = 1 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 1 2 ( n 2 + 3 n + 2 ) {\displaystyle {\binom {n+2}{2}}={\frac {1}{2}}{(n+1)(n+2)}={\frac {1}{2}}(n^{2}+3n+2)}
であることに注意すれば、上述の数列の母関数の線型結合をとることにより、平方数の列 0, 1, 4, 9, 16, ... の通常型母関数を
G ( n 2 ; x ) = ∑ n = 0 ∞ n 2 x n = 2 ( 1 − x ) 3 − 3 ( 1 − x ) 2 + 1 1 − x = x ( x + 1 ) ( 1 − x ) 3 {\displaystyle G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={2 \over (1-x)^{3}}-{3 \over (1-x)^{2}}+{1 \over 1-x}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}}
と求めることができる。