魔方陣
下図で、A,B,C,D,E には 1,2,3,4,5 を F,G,H,I,J には 0,5,10,15,20を、任意の順に割り当てることで、魔方陣が作れる。
(先にAに3、Fに10を割り当て済みのパターンでは、 残り4種類の数字の配置が自由)
[ A B C D E C D E A B E A B C D B C D E A D E A B C ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B&C&D&E\\C&D&E&A&B\\E&A&B&C&D\\B&C&D&E&A\\D&E&A&B&C\\\end{bmatrix}}} + [ F G H I J I J F G H G H I J F J F G H I H I J F G ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}F&G&H&I&J\\I&J&F&G&H\\G&H&I&J&F\\J&F&G&H&I\\H&I&J&F&G\\\end{bmatrix}}}
[ B C D E 3 C D E 3 B D E 3 B C E 3 B C D 3 B C D E ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}B&C&D&E&3\\C&D&E&3&B\\D&E&3&B&C\\E&3&B&C&D\\3&B&C&D&E\\\end{bmatrix}}} + [ 10 G H I J J 10 G H I I J 10 G H H I J 10 G G H I J 10 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}10&G&H&I&J\\J&10&G&H&I\\I&J&10&G&H\\H&I&J&10&G\\G&H&I&J&10\\\end{bmatrix}}}
[ ╲ 63 62 ╱ ╲ 59 58 ╱ 56 ╲ ╱ 53 52 ╲ ╱ 49 48 ╱ ╲ 45 44 ╱ ╲ 41 ╱ 39 38 ╲ ╱ 35 34 ╲ ╲ 31 30 ╱ ╲ 27 26 ╱ 24 ╲ ╱ 21 20 ╲ ╱ 17 16 ╱ ╲ 13 12 ╱ ╲ 9 ╱ 7 6 ╲ ╱ 3 2 ╲ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\diagdown &63&62&\diagup &\diagdown &59&58&\diagup \\56&\diagdown &\diagup &53&52&\diagdown &\diagup &49\\48&\diagup &\diagdown &45&44&\diagup &\diagdown &41\\\diagup &39&38&\diagdown &\diagup &35&34&\diagdown \\\diagdown &31&30&\diagup &\diagdown &27&26&\diagup \\24&\diagdown &\diagup &21&20&\diagdown &\diagup &17\\16&\diagup &\diagdown &13&12&\diagup &\diagdown &9\\\diagup &7&6&\diagdown &\diagup &3&2&\diagdown \\\end{bmatrix}}} [ 1 63 62 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&63&62&4&5&59&58&8\\56&10&11&53&52&14&15&49\\48&18&19&45&44&22&23&41\\25&39&38&28&29&35&34&32\\33&31&30&36&37&27&26&40\\24&42&43&21&20&46&47&17\\16&50&51&13&12&54&55&9\\57&7&6&60&61&3&2&64\\\end{bmatrix}}}
4×4の魔方陣は全部で880通り存在する。4×4の魔方陣では、1行と4行を交換し、さらに1列と4列を交換すると別の4×4の魔方陣ができる。同様にして、2行と3行、2列と3列を交換するとまた別の4×4の魔方陣ができる。1行と2行、3行と4行、1列と2列、3列と4列を交換すると外枠の四角と内枠の四角が交換された別の4×4の魔方陣ができる。右の図は、アルブレヒト・デューラーが描いたメランコリアIの中にある魔方陣を拡大したものである。
一例を示す。 [ 1 2 15 16 13 14 3 4 12 7 10 5 8 11 6 9 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&15&16\\13&14&3&4\\12&7&10&5\\8&11&6&9\\\end{bmatrix}}}