半周長
余接定理は、半分の角度の余接(コタンジェント)を半周長と3辺の長さと内接円の半径から求める定理である。
角の二等分線の長さは以下の式で求めることができる。
t a = 2 b c s ( s − a ) b + c {\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}
直角三角形において、斜辺に接する傍接円の半径は半周長に等しい。また、半周長は外接円の半径の2倍と内接円の半径の和に等しい。直角三角形の直角を挟む2辺の長さを a, b とすると、面積は ( s − a ) ( s − b ) {\displaystyle (s-a)(s-b)} となる。
単位球において、3辺の長さが a, b, c である球面三角形の球過量 E はリュイリエの公式によって以下のように表すことができる。
E = 4 tan − 1  tan  s 2 tan  s − a 2 tan  s − b 2 tan  s − c 2 {\displaystyle E=4\tan ^{-1}{\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}}}