シフト作用素
ジャン・デルサルトは一般化シフト作用素(generalised shift operator。一般化置換作用素とも呼ばれる)の概念を導入した。またその概念は、ボリス・レヴィタン(英語版)によって発展された。
ある集合 X から C への関数の空間 C 上の作用素の族 {L}x ∈ X は、次の性質を満たすとき一般化シフト作用素の族(family of generalised shift operators)と呼ばれる。
結合性:(Rf)(x) = (Lf)(y) とする。このとき LR = RL が成立する。
L が恒等作用素となるようなある e ∈ X が存在する。
この場合、集合 X はハイパー群(英語版)と呼ばれる。
↑ Weisstein, Eric W. "Shift Operator". mathworld.wolfram.com (英語).
1 2 Marchenko 2006, pp. 145–162, The generalized shift, transformation operators, and inverse problems.
↑ Jordan 1965.
↑ Millionshchikov 2001.
↑ Levitan & Litvinov 2001.
↑ Bredikhina 2001.
シフト作用素 T (t ∈ R) は、R 上の関数 f を、次のような平行移動 ft に写す。
f t ( x ) = f ( x + t ) . {\displaystyle f_{t}(x)=f(x+t)~.}
線型作用素 T の簡単な微分 ⁄dx に関する実践的な表現は、ラグランジュによって次のように与えられた。
T t = e t d d x , {\displaystyle T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,}
これは t についての形式的なテイラー展開として解釈出来、単項式 x 上での作用は二項定理によって明らかで、したがって x についてのすべての級数の上でも明らかである。