リーマン予想
リーマンは素数の分布に関する研究を行っている際にオイラーが研究していた以下の級数をゼータ関数と名づけ、解析接続を用いて複素数全体への拡張を行った。
ゼータ関数を次のように定義する(複素数 s の実部が 1 より大きいとき、この級数は絶対収束する)。
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ . {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots .}
1859年にリーマンは自身の論文の中で、複素数全体 (s ≠ 1) へゼータ関数を拡張した場合、
ζ(s) の自明でない零点 s は、全て実部が 1/2 の直線上に存在する。
と予想した。ここに、自明な零点とは負の偶数 (−2, −4, −6, ...) のことである。自明でない零点は 0 < Re s < 1 の範囲にしか存在しないことが知られており(下記の歴史を参照)、この範囲を臨界帯という。
なお素数定理はリーマン予想と同値な近似公式からの帰結であるが、素数定理自体はリーマン予想が真であるという仮定がなくとも証明できる。
リーマン予想に同値な多くの主張が発見されているが、これまでのところそれらがリーマン予想を証明する(あるいは反証する)のに大きな進展をもたらしたことはない。いくつかの典型的な例は以下のようである。(他に約数関数(英語版) σ(n) に関するものがある。)
Riesz の判定法は Riesz (1916) によって与えられた、以下の主張である:
− ∑ k = 1 ∞ ( − x ) k ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) = O ( x 1 4 + ε ) {\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\varepsilon }\right)}
がすべての ε > 0 に対して成り立つこととリーマン予想が成り立つことは同値である。
Nyman (1950) はリーマン予想が真であることと次が同値であることを示した:
f ( x ) = ∑ ν = 1 n c ν ρ ( θ ν x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)}
の形の関数全体のなす空間、ただし ρ(z) は z の小数部分で、0 ≤ θν ≤ 1 で、
∑ ν = 1 n c ν θ ν = 0 , {\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0,}
リーマンの素数公式は、与えられた数よりも小さい素数の個数を、リーマンのゼータ関数の零点を渡る和で表すものであり、予想される位置の周りでの素数の振動の大きさがゼータ関数の零点の実部によって制御されることを述べている。特に、素数定理における誤差項は、零点の位置に密接に関係している。例えば、β が零点の実部の上界であれば、差 π(x) − Li(x) は error bound O(x log(x)) を持つ。1/2 ≤ β ≤ 1 であることが既に知られている。
Von Koch (1901) はリーマン予想が素数定理の誤差に対する「最良の」上界を導くことを示した。Schoenfeld (1976) による,Koch の結果の正確なバージョンによれば、リーマン予想から
| π ( x ) − Li  ( x ) | < 1 8 π x log  ( x ) , for all x ≥ 2657 {\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\log(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 2657}
いくつかの応用は ディリクレの L 級数や数体のゼータ関数のためにただのリーマン予想ではなく一般リーマン予想を用いる。リーマンゼータ関数の多くの基本的な性質はすべてのディレクレ L 級数に容易に一般化できるので、リーマンゼータ関数に対するリーマン予想を証明する手法がディレクレ L 級数に対する一般リーマン予想に対してもうまくいくというのはもっともらしい。一般リーマン予想を用いて初めに証明されたいくつかの結果は、後にそれを用いない無条件の証明が与えられたが、これらは通常はるかに難しい。以下のリストにある結果の多くは Conrad (2010) から取られている。
1913年、グロンウォールは一般リーマン予想が類数1の虚二次体の Gauss のリストが完全であることを導くことを示した。しかし後に、Baker, Stark および Heegner が、一般リーマン予想を用いないこれの無条件の証明を与えた。
1917年、ハーディとリトルウッドは、一般リーマン予想は
lim x → 1 − ∑ p > 2 ( − 1 ) ( p + 1 ) / 2 x p = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty }