商群
N の剰余類は与えられた行列式を持つ行列全体の集合であり、したがって G/N は非零実数のなす乗法群に同型である。群 N は特殊線型群 SL(3) と呼ばれる。
アーベル群 Z4 = Z/4Z(すなわち 4 を法とする加法をもつ集合 {0, 1, 2, 3})とその部分群 {0, 2} を考える。商群 Z4/{0, 2} は {{0, 2}, {1, 3}} である。これの群の単位元は {0, 2} であり、群の演算は {0, 2} + {1, 3} = {1, 3} などとなる。部分群 {0, 2} と商群 {{0, 2}, {1, 3}} はともに Z2 に同型である。
乗法群 G = Z n 2 ∗ {\displaystyle G=\mathbf {Z} _{n^{2}}^{*}} を考える。n 乗剰余の集合 N は Z n ∗ {\displaystyle \mathbf {Z} _{n}^{*}} に同型な乗法的部分群である。このとき N は G で正規であり、商群 G/N は剰余類 N, (1+n)N, (1+n)N, ..., (1+n)N である。Paillier暗号は G のランダムな元の剰余類を n の因数分解を知らずに決定することは難しいという予想に基づいている。