ポリトープ
超多面体が同じ数の頂点とファセット・辺と稜・面と峰...を持ち、接続関係も同じであるならば、双対図形がもとの図形と相似になることが起こり得る。そのような超多面体は自己双対であるという。
よく知られた自己双対超多面体として以下を挙げることができる:
任意次元 n の正単体: シュレーフリ記号 {3}. 例えば正三角形 {3}, 正四面体 {3, 3}, 正五胞体 {3,3,3}.
二次元の任意の正多角形 (正二次元多面体)
三次元の標準形角柱、角錐柱(英語版)および四面欠損十二面体(英語版)、また無限正方形充填(英語版) {4, 4}.
四次元の正二十四胞体 {3,4,3}, また無限立方体ハニカム(英語版) {4,3,4}.
必ずしもすべての多様体が有限でない。超多面体を多様体の単体分割として理解する立場からは、超多面体を無限多様体に対しても拡張して考えることは可能である。そのような意味での超多面体は、平面分割、空間充填ハニカム、双曲型充填(英語版)によって可能で、それらは無限個の(余次元 1 の)面 (cell) を持つから無限面体(英語版)と呼ばれることがある。
これらの中には、その正則形として例えば非平面的正多面体(英語版)(面や頂点形状(英語版)が平面的でないという意味で非平面的)があり、ほかに例えば正無限角形(英語版)、正方形分割、立方体ハニカム、......の成す無限系列などが挙げられる。
星型多面体の発見とその他の少し変わった構成を許す立場からば、多面体を内部を無視して境界となる曲面として扱う視点が与えられる。それを踏襲して、p-次元空間における凸超多面体は、(p − 1)-次元球面による球面充填(英語版)と同じものと見なされる。あるいはほかの種類の充填として、楕円型(英語版)、平坦、円環体型の (p − 1)-次元曲面によるものもそれぞれ考えられる(楕円型充填(英語版)や穿孔多面体(多孔トーラス型多面体)などの項を参照)、多面体をその面が多角形となる曲面と見なせるのと同様に、多胞体をその胞(ファセット、三次元面)が多面体となる三次元超曲面として理解することができる。より高次の超多面体も同様である。
低次の超多面体を使ってより高次の超多面体を構成するという考え方は、次元を下げるほうにも拡張することがあり、例えば辺は点の対で囲まれた「一次元超多面体」であり、頂点は「零次元超多面体」である。このやり方は例えば抽象超多面体(英語版)の理論において利用できる。
数学の特定の分野では「ポリトープ」("polytope") や「ポリヘドロン」("polyhedron") がやや異なる意味で用いられる。すなわち、(本項に言う超多面体の意味で)任意次元の一般の対象を「ポリヘドロン」と呼び、「ポリトープ」は有界な「ポリヘドロン」の意味で用いられる。この用語法は、典型的には「ポリヘドロン」および「ポリトープ」が凸体(英語版)である場合に限って用いられる。この語法に則れば、凸「ポリヘドロン」は有限個の半空間の交わりに等しく、その辺によって定義される。対して、凸「ポリトープ」は有限個の点の凸包に等しく、それら頂点によって定義される。
1 2 3 4 Coxeter 1973.
↑ Richeson, S. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University
↑ Grünbaum 2003.
↑ Cromwell, Peter R. (1999), Polyhedra, Columbia University Press (ペーパーバック), ISBN 978-0521664059
↑ Nemhauser, George L.; Wolsey, Laurence A. (1999), Integer and Combinatorial Optimization, ISBN 978-0471359432 , Definition 2.2.
↑ Coxeter 1973, p. 127—The part of the polytope that lies in one of the hyperplanes is called a cell
1 2 3 宮崎興二『4次元図形百科』丸善出版、2020年、139頁。ISBN 978-4-621-30482-2。
↑ Wenninger, M.; Dual Models, CUP (1983).
超多面体の類似対応物となる構造が、複素数空間(あるいは複素ヒルベルト空間)C 内に存在する(この空間は実 n-次元のほかに虚 n-次元も併せ持っている)。複素正多面体(英語版)は配置(英語版)として扱うほうがより適切である