剰余
多項式のユークリッド除法は整数のユークリッド除法とよく似ており、多項式剰余が導かれる。その存在は次の定理に基づく。ある体(特に実数あるいは複素数)上で定義された一変数多項式 a(x) および b(x)(b(x) は非零多項式)が与えられたとき、
deg  ( r ( x ) ) < deg  ( b ( x ) ) {\displaystyle \deg(r(x))<\deg(b(x))}
であるような式
a ( x ) = b ( x ) q ( x ) + r ( x ) {\displaystyle a(x)=b(x)q(x)+r(x)}
を満たす2つの多項式 q(x)(商)および r(x)(剰余)が存在する。ただし「deg(...)」は多項式の次数を表す(値が常に0となるような定数多項式の次数は負と定義できることから、この次数条件は剰余に関して常に成り立つ)。さらに、それぞれの関係から q(x) および r(x) は一意に定まる。
ユークリッドの整数除法との違いとして、次数条件が剰余 r の境界(非負かつ分母より小さい、このことによって r の一意性が保たれる)に置き換わることがあげられる。整数除法と多項式の除法の類似性から、ユークリッド除法が成立するもっとも一般的な代数学的条件の追求が促されている。このような定理が存在する環をユークリッド整域と呼ぶが、この一般性では商および剰余の一意性は保証されていない。
多項式の除法から剰余の定理(多項式 f(x) を x − k で割るとき、その剰余は定数 r = f(k) となる)と呼ばれる結果が導かれる。特に、r = f(k) = 0ならば、f(x)はx − kを因数に持つ(因数定理)。
a および d が浮動小数点数で、かつ d がゼロでない時、a は d によって剰余なしで割り切れ、その商は別の浮動小数点数となる。しかしながら、商を整数値に制限するとき、剰余の概念が必要となる。a = qd + r(ただし 0 ≤ r < |d|)を満たすような唯一つの整数商 q および浮動小数点数剰余 r が存在することを示せる。
上記のような、剰余の概念を浮動小数点数へ拡張することは数学の理論上重要ではない。しかしながら、多くのプログラミング言語はこの定義を実装している(剰余演算を参照)。