ホモトピー
{\displaystyle \alpha \beta (t)={\begin{cases}\alpha (2t)&(0\leq t\leq {\frac {1}{2}}),\\\beta (2t-1)&({\frac {1}{2}}<t\leq 1).\end{cases}}}
また、向きを逆にすることで道の逆あるいは逆道が定まる: 道 α に対し、α の逆道 α とは、
α(t) = α(1 − t)
で定められる。
位相空間 X 内の 1 点 p を固定し、p を基点とする閉道の全体 Ω(X, p) を考えると、これは道の積に関して閉じている。これを道ホモトピー型が同じという関係で割って得られる商集合 π1(X, p) には演算
[α][β] := [αβ], [α] := [α]
が定義できる。π1(X, p) はこの演算によって群をなし、X の p を基点とする基本群(きほんぐん、fundamental group)あるいは 1 次元ホモトピー群もしくは Poincaré 群とよばれる。
位相空間の間の連続写像 f: X → Y は道の間の対応 α → fα によって基本群の間の準同形写像 f*: π1(X, p) → π1(Y, fp) を導く。この誘導された準同形写像は f のホモトピー型にしかよらない。
単純な場合として、1 次元の位相空間からの連続写像のホモトピーを説明しよう。
まず、線分の厳密な抽象化である、道(みち、path)という概念を定義する。I を R の閉区間 [0, 1] とし、X を位相空間とする。I から X への連続写像 α を X 内の道といい、α(0) を始点、α(1) を終点という。
写像 α の像は X 上の連続曲線となるが、道という用語が表すのは写像 α のことであり、その像である曲線のことではない。道の定義では α の単射性は求められていないため、像である曲線が同じ点を 2 回以上通ってもよい。極端な話、閉区間 I の各点を 1 点に写したものも「道」であり、これは定値道と呼ばれる。始点と終点が一致する道は閉道(へいどう、closed path)あるいはループ (loop) という。閉道の始点のことを(それは終点といっても同じものだが)基点 (base point) という。基点以外に自分自身と交わる点を持たない閉道はサイクルと呼ばれることがある。
連続関数 H: [0, 1] × [0, 1] → X が、X 内の 2 つの道 α, β に対して
H(0, t) = α(t) かつ H(1, t) = β(t)
を満たすとき、写像 H を道 α, β の間のホモトピー (homotopy) あるいはホモトピー写像という。