写像
一方、圏論の用語との整合性を重んじる文脈では、次のようになる。 集合 A, B の元の順序対からなる集合(すなわち二項関係)Gf が
全域性: x ∈ A ならば (x, y) ∈ Gf を満たす y ∈ B が存在する
右一意または関数的: (x, y1) ∈ Gf かつ (x, y2) ∈ Gf ならば y1 = y2
の二つをみたすとき、三つ組 f := (A, B, Gf) をこの関数関係 Gf から定まる A から B への写像と呼び、f: A → B で表す。またこのとき、(x, y) ∈ Gf であることを f(x) = y と書き、Gf = {(x, y) | y = f(x)} を写像 f のグラフと呼ぶ。二つの写像 (A, B, Gf) と (C, D, Gg) の相等は、三つ組としての相等をいう。特に、f, g がともに A から B への写像のとき、f と g が等しいというのは、この二つの写像のグラフGf と Gg とが A × B の集合として同一であるということ、すなわち
∀x∀y ( (x,y) ∈ Gf ⇔ (x,y) ∈ Gg)
2つの写像 f : A→B、 g : B→C が与えられたとする。そのとき、 A の元 a に C の元 g(f(a)) を対応させる A から C への写像が1つ得られる。その写像を f と g との合成写像(あるいは積)といい、 g∘f(または gf )で表す:
g∘f : A→C、 ∀a∈A ( (g∘f)(a) = g(f(a)) )。
写像 f : A→B、 g : B→C、 h : C→D が与えられたとき、
(h∘g)∘f = h∘(g∘f) (結合律)、
f∘IA = f、 IB∘f = f
が成り立つ。(なお、写像の合成について交換律は成り立たない)これらのことから、特に A からそれ自身への写像(A 上の変換)全体の集合は恒等写像を単位元とする非可換モノイドをなすことがわかる。
複数の集合と写像を一度に扱う必要があるとき、図式や系列と呼ばれる道具を用いると記述が簡素になる。ホモロジー代数や圏論の文脈ではよく用いられる。写像の図式とは、いくつかの集合を頂点とし、それらの集合間の写像を有向辺にもつようなグラフである。簡単な図式の例としては鎖 A 1 → f 1 A 2 → f 2 A 3 {\displaystyle A_{1}{\stackrel {f_{1}}{{}\to {}}}A_{2}{\stackrel {f_{2}}{{}\to {}}}A_{3}} や
写像の合成: 可換三角形
可換矩形
などを挙げることができる。任意の頂点から別の任意の頂点への写像が経路の取り方に依らないとき、図式は可換であるという。例えば h = g ∘ f のとき図式

は可換であり、逆もまた成り立つ。