マンガレリの等式
t-区間 [a, b] 上の二階線型微分方程式系 ( p i ( t ) x i ′ ) ′ + q i ( t ) x i = 0 , x i ( a ) = 1 , x i ′ ( a ) = R i {\displaystyle (p_{i}(t)x_{i}^{\prime })^{\prime }+q_{i}(t)x_{i}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{i}(a)=1,\,\,x_{i}^{\prime }(a)=R_{i}\,} の n {\displaystyle n} 個の解を考える。ただし i = 1 , 2 , ... , n {\displaystyle i=1,2,\ldots ,n} である。 Δ {\displaystyle \Delta } は前進差分を表す作用素、すなわち Δ x i = x i + 1 − x i {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}} で与えられる作用素とする。二次の差分作用素は、この一次の作用素を Δ 2 ( x i ) = Δ ( Δ x i ) = x i + 2 − 2 x i + 1 + x i {\displaystyle \Delta ^{2}(x_{i})=\Delta (\Delta x_{i})=x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i}} のように繰り返すことで得られ、より高次の差分についても同様に定義される。
以下では簡単のために独立変数 t を省略し、(a, b] 上では x i ( t ) ≠ 0 {\displaystyle x_{i}(t)\neq 0} が成立するものとする。