円柱座標変換
まず、式(5-3-3)を示す。
x -y 平面上の曲線c (t ) を、
c ( t ) = ( r 0 cos  t r 0 sin  t ) {\displaystyle c(t)=\left({\begin{matrix}{{r}_{0}}\cos t\\{{r}_{0}}\sin t\\\end{matrix}}\right)} (5-3-5)
とする。また、変数z を固定して考えることで、x -y 平面上の二次元ベクトル場
A ( x , y ) = ( a ( x , y ) b ( x , y ) ) = ( − X y ( x , y , z ) X x ( x , y , z ) ) {\displaystyle \mathbf {A} \left(x,y\right)=\left({\begin{matrix}a\left(x,y\right)\\b\left(x,y\right)\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}-{{X}_{y}}(x,y,z)\\{{X}_{x}}(x,y,z)\\\end{matrix}}\right)} (5-3-6)
を考える。また、平面曲線と、二次元ベクトル場に対しては、(5-3-6)に対するグリーンの定理:
を円柱座標変換すると
...
以下、証明を行う。(grad f )(Φ(r , θ, ζ)) と、Nr (r , θ, ζ) の内積を取ると、
} (8-2-3)
のように定義すると、
v ( t ) = v r ( t ) N r ( c ( t ) ) + v θ ( t ) N θ ( c ( t ) ) + c z ( t ) N z ( t ) {\displaystyle \mathbf {v} (t)={{v}_{r}}(t){{\mathbf {N} }_{r}}(c(t))+{{v}_{\theta }}(t){{\mathbf {N} }_{\theta }}(c(t))+{{c}_{z}}(t){{\mathbf {N} }_{z}}(t)} (8-2-4)
である。また、以下が成立する。
{ v r ( t ) = ( d r / d t ) ( t ) v θ ( t ) = r ( t ) ⋅ ( ( d θ / d t ) ( t ) ) v z ( t ) = ( d z / d t ) ( t ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{v}_{r}(t)=(dr/dt)(t)\\{v}_{\theta }(t)=r(t)\cdot ((d\theta /dt)(t))\\{v}_{z}(t)=(dz/dt)(t)\\\end{array}}\right.} (8-2-4)