遅延ポテンシャル
このとき、式(2-3-2)の左辺と右辺の意味は、それぞれ、
左辺「Lを、 h ∘ Φ {\displaystyle h\circ \Phi } に作用させたもの」
右辺「『Dをhに作用させることによって得られたD[h]』と、Φを合成したもの」
という意味である。
同様に、例えば、Xが、x-y-z空間上で定義されたベクトル場であったとするとき、x-y-z空間上の微分作用素Dと、r-θ-ρ空間上の微分作用素Lとの間に式(2-3-2)の意味でΦ関係があったとする。即ち、
L [ X ∘ Φ ] = ( Δ [ X ] ) ∘ Φ {\displaystyle L[{\boldsymbol {X}}\circ \Phi ]=(\Delta [{\boldsymbol {X}}])\circ \Phi } 式(S3-2-1’)
が成り立ったとする。このとき、Lは、x-y-z空間上で定義されたベクトル場X=X (x,y,z)に対しては、直接的に作用することはできない。
しかし、前記XとΦとの合成関数は、「r-θ-ρ上で定義されたベクトル場」であるため、Lは、 Xには、作用できる。 このとき、式(2-3-2’)の左辺と右辺の意味は、それぞれ、
左辺:Lを、 X ∘ Φ {\displaystyle {\boldsymbol {X}}\circ \Phi } に作用させたもの
右辺:『DをXに作用させることによって得られたD[X]』と、Φを合成したもの
という意味である。
が判る。式(S4-3-4)の右辺をさらに計算することを考える。
| R | ≠ 0 {\displaystyle |{\mathfrak {R}}|\neq 0} において、積の微分及び、後述の式(S4-3-6)を考えると、
∂ ∂ x [ x | R | 3 ] = 1 | R | 3 + x ∂ ∂ x [ 1 | R | 3 ] {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{\frac {x}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}\right]={\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}+x{\frac {\partial }{\partial {x}}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}\right]} = 1 | R | 3 − 3 x 2 | R | 5 {\displaystyle ={\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|^{3}}}-{\frac {3{x}^{2}}{|{\mathfrak {R}}|^{5}}}} (S4-3-5a)
= k 2 x 2 exp  ( i k r ) 4 π r 3 + exp  ( i k r ) ∂ 2 ∂ x 2 [ 1 4 π r ] − i k exp  ( i k r ) 4 π r 2 + 3 i k x 2 exp  ( i k r ) 4 π r 3 {\displaystyle ={\frac {{k}^{2}{x}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}+\exp(ikr){\frac {{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi r}}\right]-{\frac {ik\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}+{\frac {3ik{x}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}} (2-4-13)
同様に、
∂ 2 G a d v ∂ 2 y = k 2 y 2 exp  ( i k r ) 4 π r 3 + exp  ( i k r ) ∂ 2 ∂ y 2 [ − 1 4 π r ] − i k exp  ( i k r ) 4 π r 2 + 3 i k y 2 exp  ( i k r ) 4 π r 3 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}{G}_{\mathrm {adv} }}{{\partial }^{2}y}}={\frac {{k}^{2}{y}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}+\exp(ikr){\frac {{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}}}\left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]-{\frac {ik\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}+{\frac {3ik{y}^{2}\exp(ikr)}{4\pi {r}^{3}}}} (2-4-14)
一方、位置 s {\displaystyle {\boldsymbol {s}}} における電流素片の影響は球対称、すなわち試験電荷(試験電流)の位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} と、電流素片との距離 | r − s | {\displaystyle |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|} のみに依存するため、Gの、θ方向、 ρ {\displaystyle \rho } 方向の偏微分は、いずれも0であらねばならない。従って、
L [ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] = ∂ 2 [ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] ∂ r 2 + 2 r ∂ [ G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] ∂ r {\displaystyle L[G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]={\frac {\partial ^{2}[G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial [G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]}{\partial r}}} (2-3-7)
が成り立つ。
さらに、積の微分の公式を考慮すると、
式(2-6-5)の、 A ^ r e t {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }} にフーリエ逆変換をすると、
A r e t ( t , r ) = μ 0 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ ( ∫ s ∈ R 3 exp  ( − i k | r − s | ) i ^ ( s , ω ) 4 π | r − s | ⋅ d s ) exp  ( i ω t ) d ω {\displaystyle {\boldsymbol {A}}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {t,{\boldsymbol {r}}}})={\frac {{\mu }_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }\left(\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {\exp(-ik|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )}{4\pi |{\boldsymbol {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\right)\exp(i\omega t)\ d\omega } (2-6-6a)
が成り立つ。同様に、
∂ ∂ y [ 1 | R | ] = − y | R | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-y}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}} (S4-1-1b)
∂ ∂ z [ 1 | R | ] = − z | R | 3 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}\left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-z}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}} (S4-1-1c)
grad  [ 1 | R | ] = − R | R | 3 {\displaystyle \operatorname {grad} \left[{\frac {1}{|{\mathfrak {R}}|}}\right]={\frac {-{\mathfrak {R}}}{{|{\mathfrak {R}}|}^{3}}}} (S4-1-1d)
G ( Φ ( r , 0 , 0 ) , ω ) = a exp  ( i k r ) − 4 π r + b exp  ( − i k r ) − 4 π r {\displaystyle G(\Phi (r,0,0),\omega )=a{\frac {\exp(ikr)}{-4\pi r}}+b{\frac {\exp(-ikr)}{-4\pi r}}} (2-4-10)
であるが、さらに、Gは、球対称性を持つため、θ,ρに依存せず、従って、任意のr,θ,ρ,ωに対して、
G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) = a exp  ( i k r ) − 4 π r + b exp  ( − i k r ) − 4 π r {\displaystyle G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )=a{\frac {\exp(ikr)}{-4\pi r}}+b{\frac {\exp(-ikr)}{-4\pi r}}} (2-4-11)
が、r≠0において、球対称性を考慮したヘルムホルツ方程式の解だと判る。
(2)グリン関数の部 次に、式(2-4-11)が、r=0において、式(2-3-3)の解となるような条件が、式(2-4-3)で与えられることを示す。
まず、 G a d v {\displaystyle G_{\mathrm {adv} }} について考える。
Gadvの両辺にラプラシアンを作用させることを考える。
球面座標変換とは,以下の(S3-1-1)で定まる
( x y z ) = Φ ( r , θ , ρ ) = ( r sin  θ cos  ρ r sin  θ sin  ρ r cos  θ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=\Phi (r,\theta ,\rho )={\begin{pmatrix}r\sin \theta \cos \rho \\r\sin \theta \sin \rho \\r\cos \theta \end{pmatrix}}} (S3-1-2)
r-θ-ρ空間内に定義域を持ち、x-y-z空間に値を取る、多変数ベクトル値関数のことである。
球面座標変換の像空間について考える。Iをr -θ-ρ空間内の、
I = [ 0 , r ] × [ 0 , 2 π ] × [ 0 , 2 π ] {\displaystyle I=[0,r]\times [0,2\pi ]\times [0,2\pi ]} (S3-1-4)
で定まる(中身の詰まった)直方体としたとき、前記のΦは、は、r-θ-ρ空間内の直方体Iを、 x-y-z空間内の半径rの(中身の詰まった)球
Ball ( r ) {\displaystyle {\text{Ball}}(r)} (S3-1-4)
に移す変換である。ここで、[0,r]等はみな閉区間を表し、×は、ここでは直積を表すものとする。
◻ A = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 A ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) d ω + 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∇ 2 A ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( ω 2 c 2 ) A ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) d ω + 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∇ 2 A ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ { ( ω 2 c 2 ) A ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) + ∇ 2 A ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) } d ω {\displaystyle {\begin{aligned}\Box {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega +{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\nabla ^{2}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega \\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right){\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega +{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\nabla ^{2}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega \\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\left\{\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right){\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)+\nabla ^{2}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\right\}\mathrm {d} \omega \end{aligned}}} (2-1-8)