クニーズニク・ザモロドチコフ方程式
頂点代数を明確に使うことなしに、クニーズニク・ザモロドチコフ方程式を導くこともできる。r = 0, ±1 として、相関函数の中の項 Φ(vi, zi) を Lr を持つ交換子と置き換えることができる。この結果は、zi についての項として表すことができる。他方、Lr もセーガル・菅原公式により与えられる。
L 0 = ( k + h ) − 1 ∑ s [ 1 2 X s ( 0 ) 2 + ∑ m > 0 X s ( − m ) X s ( m ) ] L ± 1 = ( k + h ) − 1 ∑ s ∑ m ≥ 0 X s ( − m ± 1 ) X s ( m ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}&=(k+h)^{-1}\sum _{s}\left[{\frac {1}{2}}X_{s}(0)^{2}+\sum _{m>0}X_{s}(-m)X_{s}(m)\right]\\L_{\pm 1}&=(k+h)^{-1}\sum _{s}\sum _{m\geq 0}X_{s}(-m\pm 1)X_{s}(m)\end{aligned}}}
これらの Lr の公式を代入すると、結果として、交換公式
[ X ( m ) , Φ ( a , n ) ] = Φ ( X a , m + n ) . {\displaystyle [X(m),\Phi (a,n)]=\Phi (Xa,m+n).}
を使い、表現を簡素化することができる。