子供のデッサン
原始的な子供のデッサンと思えるものは、1856年のウィリアム・ローワン・ハミルトンの二十面体算(英語版)に見ることができる。現代の言葉で言えば、これは20面体グラフ上のハミルトン路である。
現代から見ても、はっきり子供のデッサンとベールイ関数と思えるものが、Felix Klein (1879) で使われている。クラインはこの図式を Linienzüge(ドイツ語の Linienzug の複数形で、線の跡、多角形を意味する)と呼んだ。現代の記法では、0の逆像を黒点、1の逆像を白点で表すところ、彼は0の逆像を白い丸で表し、1の逆像を '+' で表していた。彼はこれらの図式を、リーマン球面からそれ自身へのモノドロミー群 PSL(2,11) を持つ11重被覆を作るために使った(Klein 1878–1879a, 1878–1879b)。これは、彼の以前のクライン4次曲線(英語版)に関する研究、モノドロミー PSL(2,7) を持つ7重被覆の作成に続くものだった。これらの研究は5次方程式の幾何学と群 A5 ≅ PSL(2,5) の研究に関連したもので、有名な著書『正20面体と5次方程式』(1884/88)にまとめられている。はるか後になって、これら3つの群からこの方法で作られた3つの曲面は、三位一体(英語版)の現象を通じて密接に関係することが示されている。
デッサンに含まれる頂点には、グラフ理論の意味での次数(接続している辺の数のこと)が定義できる。これはベールイ関数の臨界点としての次数に等しい。前述の例だと、全ての白点の次数は2である。デッサンは、全ての白点が2つの辺を持つとき整(clean)と呼ばれ、それに対応するベールイ関数は純(pure)と呼ばれる。整デッサンは、白点を除去して、代わりにその白点の端点となっている黒点を辺で結ぶことにより、より単純な埋め込みグラフとして描くことができる。先ほどのデッサンの場合だと、黒点2つを頂点とし、それを結ぶ1つの辺と、1つの黒点の自己閉路をもう1つの辺とするグラフになる。整デッサンの場合には黒点のみ描き白点はグラフから除くのが普通である。白点を除いたグラフから、辺の中央に白点を描くことで、元のデッサンを完全に復元できる。
このようにして、曲面に埋め込まれた任意のグラフで面が円板と同相なもの(位相幾何学的な地図)は、グラフの頂点を黒点とし、全ての辺の中央に白点を置くことで、デッサンになる。