P進ホッジ理論
テイトをはじめとする多くの数学者の貢献ののち、この予想はゲルト・ファルティングスによって80年代後半に証明された。
p 進体 K 上の良い還元を持つアーベル多様体 X に対して、 アレクサンドル・グロタンディークはテイトの定理を次のように再定式化した。すなわち、X の特殊ファイバーの クリスタリン・コホモロジー H(X/W(k)) ⊗ Qp (フロベニウス自己準同型の作用と(K をテンソルしたときの)ホッジ・フィルトレーション付き)と、 p 進エタール・コホモロジー H(X,Qp) (K のガロア群の作用付き)は、同じだけの情報を持つ、と。この2つのコホモロジーは X の p 可除群(英語版)を同種を除いて決定するだけの情報を持っている。グロタンディークは p 進体上の良い還元を持つ全ての代数多様体に対して p 進エタール・コホモロジーからクリスタリン・コホモロジーを得る直接的な方法と、その逆の方法があるはずだと予想した。グロタンディークが予想したこの関係は神秘関手(ミステリアス関手とも呼ばれる)として知られるようになった。
ホッジ・テイト予想を、ド・ラーム・コホモロジーに随伴する次数つきの対象からド・ラーム・コホモロジーそのものに対する予想に改善するために、フォンテーヌはフィルターつき(英語版) の環 BdR であって、随伴する次数つき代数が BHT となるものを作り出した。そして、K 上の固有かつ滑らかなスキーム X に対して、GK 作用とフィルター付きのベクトル空間としての同型
Rep c r i s  ( K ) ⊊ Rep s t  ( K ) ⊊ Rep d R  ( K ) ⊊ Rep H T  ( K ) ⊊ Rep Q p  ( K ) {\displaystyle \operatorname {Rep} _{\mathrm {cris} }(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{st}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{dR}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{HT}(K)\subsetneq \operatorname {Rep} _{\mathbf {Q} _{p}}(K)}
図中の部分圏はその右側の部分圏に真に含まれる充満部分圏であり、左から順番に、クリスタリン表現、準安定表現、ド・ラム表現、ホッジ・テイト表現、全ての p 進表現の圏と呼ばれる。これらに加えて、潜在的クリスタリン表現の圏 Reppcris(K) と潜在的準安定表現の圏 Reppst(K) が考察の対象となる。後者は前者を真に含み、前者は一般に Repcris(K) を真に含む。さらに、 Reppst(K) は一般に Repst(K) を真に含み、RepdR(K) に含まれる。K の剰余体が有限体であれば Reppst(K) = RepdR(K) が成り立つ。このことは p 進モノドロミー定理と呼ばれている。