物理数学
この偏微分方程式の解として積分方程式 φ ( r ) = ∫ G ( r , r ′ ) ρ ( r ′ ) d 3 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=\int G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )\rho (\mathbf {r'} )d^{3}\mathbf {r'} } を仮定し、ポアソン方程式に代入すると次の方程式を得る。
∫ d 3 r ′ [ − Δ G ( r , r ′ ) ] ρ ( r ′ ) = ρ ( r ) {\displaystyle \int d^{3}\mathbf {r'} [-\Delta G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )]\rho (\mathbf {r'} )=\rho (\mathbf {r} )}
ここでΔ関数の性質から直ちに次の式を得る。
Δ G ( r , r ′ ) = − δ ( r − r ′ ) {\displaystyle \Delta G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )=-\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}
このような方程式の解 G ( r , r ′ ) {\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )} をグリーン関数と呼ぶ。