コルモゴロフ空間
ノルムがまず歴史的に定義されていた一方で、半ノルムの定義というのはノルムの非-T0 版の一種としてうまく定式化されたものである。一般に、位相空間の「性質」と「構造」の双方に対してその 非-T0 版を考えることができるが、まずはハウスドルフであるという性質を例にとって「性質」の場合について述べる。ハウスドルフであるという性質に対して新たな性質を、位相空間 X がその新たな性質を満足するというのを、コルモゴロフ商 KQ(X) がハウスドルフであることと定義することができる。今作ったこの性質は(あまり有名ではないものの)顕著な概念で、この場合 X は前正則と呼ばれる位相空間である(別にもっと直接的な前正則性の定義もあるのだが)。他方、「構造」の場合について距離構造を例にとって述べれば、位相空間 X 上の新たな構造を例えば簡単に KQ(X) 上の距離函数となるものとして入れることができる。今得られた構造もまた顕著な構造で、これは X 上の擬距離函数を定める(これもやはりもっと直接的な定義がある概念である)。
コルモゴロフ商を考えるこのやり方だと、考えたい性質や構造から T0-性の要求を自然に取り除ける。T0 であるような空間は一般には容易に調べられるものであるし、この方法で T0 でないことを許した構造の全体像をつかむことも容易化することができる。つまり、T0 の要求はコルモゴロフ商の概念を用いて自由につけたり外したりできるということである。