二重数
抽象代数学の言葉を使えば、二重数の全体は多項式環 R[X] を多項式 X の生成するイデアルで割って得られる剰余環
R[X]/(X)
として記述できる。この商における X の像が虚数単位 ε である。このように書けば、二重数の全体が標数 0 の可換環を成すことは明らかである。さらには、これによって多項式環から遺伝する乗法が、二重数の全体に実二次元の可換結合多元環の構造を与えることも分かる。この多元環は、虚数単位 ε が可逆元ではないから、体にも多元体にもならない。実は任意の非零純虚元が零因子になるのである(後述)。二元数全体の成す多元環は、R の外積代数 ∧R に同型である。