正則ベクトル束
複素微分幾何の文脈では,複素多様体 X のピカール群 Pic(X) は,正則直線束の同型類の群であって,積はテンソル積,逆元は双対である.それは消えない正則関数の層の一次コホモロジー群 H 1 ( X , O X ∗ ) {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})} として定義することもできる.
E を正則ベクトル束とする.局所切断 s: U → E|U が正則 (holomorphic) であるとは,それが U の各点の近傍においてある(同値だが任意の)自明化において正則であることをいう.
この条件は局所的である,つまり正則切断たちは X 上の層をなす.この層は O ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(E)} と書かれることがある.そのような層は必ずベクトル束と同じ階数の局所自由である.E が自明な直線束 C _ {\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }}} であるとき,この層は複素多様体 X の構造層 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} と一致する.