光線行列解析
焦点距離 f の薄レンズを通過するビームを考える。光線行列は、
[ A B C D ] = [ 1 0 − 1 / f 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}}
したがって、
q 2 = A q 1 + B C q 1 + D = q 1 − q 1 f + 1 {\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}}
1 q 2 = − q 1 f + 1 q 1 = 1 q 1 − 1 f {\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}}
1/q の実部のみが変化している。すなわち、曲率半径の逆数は 1/f だけ減少しているが、ビーム径は薄レンズの両側で変化しない。
光学要素の組み合わせを記述するには、各要素を表す光線行列を掛け合わせて、複合光学系を表す光線行列を得れば良い。例えば、長さ d の自由空間の後に焦点距離 f のレンズがある場合には、
L S = [ 1 0 − 1 f 1 ] [ 1 d 0 1 ] = [ 1 d − 1 f 1 − d f ] {\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}}
行列の積は交換可能でないので、この行列はレンズの後に自由空間がある場合の光線行列と一致しない。
S L = [ 1 d 0 1 ] [ 1 0 − 1 f 1 ] = [ 1 − d f d − 1 f 1 ] {\displaystyle \mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}}
光線行列解析(こうせんぎょうれつかいせき、英 : ray transfer matrix analysis)は、レーザー等の光学系の設計に用いられる光線追跡手法の一種である。ABCD行列解析とも呼ばれる。これは、光学系を光線行列により記述し、光線を表すベクトルにこの行列を乗算することで、系内を進む光線を追跡する手法である。加速器物理学においても、粒子加速器中の磁界を進む粒子を追跡するため、同様の解析手法が用いられる。
以下で述べる手法は、近軸近似を用いている。すなわち、すべての光線は光軸に対して小さな角度で進み、また光軸の近くにあることを仮定している。
例えば、2つの面の間が自由空間であれば、光線行列は以下で与えられる。
S = [ 1 d 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}
d は光軸に沿って測った面間の距離である。光線追跡の方程式は以下のようになる。
[ x 2 θ 2 ] = S [ x 1 θ 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}
よって、入射光線と出射光線の間の関係は、
[ x 2 = x 1 + d θ 1 θ 2 = θ 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}&=&x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&=&\theta _{1}\end{bmatrix}}}
他の簡単な例として、薄レンズがある。光線行列は以下で与えられる。
L = [ 1 0 − 1 f 1 ] {\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}}
f はレンズの焦点距離である。