アロンシャイン木
ケーニヒの木に関する補題によると、 א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -アロンシャイン木は存在しない。
( א 1 {\displaystyle \aleph _{1}} -)アロンシャイン木の存在性はアロンシャイン本人によって証明された。
א 2 {\displaystyle \aleph _{2}} -アロンシャイン木の存在は決定不能である。もっと正確に言うと、CHは א 2 {\displaystyle \aleph _{2}} -アロンシャイン木の存在を導く。一方CHを仮定しないとき、ミッチェルとシルヴァーは א 2 {\displaystyle \aleph _{2}} -アロンシャイン木が存在しないことは無矛盾であることを示している(この無矛盾性は弱コンパクト基数の存在性に関連する)。
イェンセンは構成可能性公理V=Lが全ての後続型無限基数κがκ-ススリン木(すなわちκ-アロンシャイン木)を持つことを導くことを示した。
Cummings & Foreman (1998)では(巨大基数公理を使って) 1以外の全ての有限のn について א n {\displaystyle \aleph _{n}} -アロンシャイン木が存在しないことは無矛盾であることが示されている。
κが弱コンパクト基数ならκ-アロンシャイン木は存在しない。逆に、κが強到達不能基数でκ-アロンシャイン木が存在しないとき、κは弱コンパクト基数である。