数学の哲学
数学の哲学(すうがくのてつがく、英: philosophy of mathematics)は、哲学(科学哲学)の一分野で、数学を条件付けている哲学的前提や哲学的基礎、そして数学の哲学的意味を研究するものである。
数理哲学(すうりてつがく、英: mathematical philosophy)という用語が、しばしば「数学の哲学」と同義語として使われる。しかしながら、「数理哲学」は、別の意味を少なくとも二つ持っている。一つは、例えばスコラ学の神学者の仕事やライプニッツやスピノザの体系が目標にしていたような、美学、倫理学、論理学、形而上学、神学といった哲学的主題を、その主張するところでは、より正確かつ厳密な形へと形式化するプロジェクトを意味する。さらに、個々の数学の実践者や、考えかたの似た現場の数学者の共同体が日頃抱いているものの考え方(=哲学)を意味する。
社会構築主義では、数学の基礎の探求は失敗せざるを得ないし、無駄かつ無意味であるとして拒絶されることもある。社会科学者によっては、人種差別やエスノセントリズムの影響を受けているとする説もある。これらの考え方の中にはポストモダニズムに近いものもある。
社会構築主義への寄与はイムレ・ラカトシュやトマス・ティモチコ (Thomas Tymoczko) によって行われてきたが、両者を社会構築主義者と呼んでよいかは異論もある。もっと最近ではポール・エルネストが社会構築主義的な数学の哲学を明白に定式化している。ポール・エルデシュの仕事が全体として社会構築主義を進歩させたと考える者もいる(ただし本人は社会構築主義を否定している)。エルデシュ数などを通じて、「数学が社会的活動である」ということの研究へと人々を促したという点で、エルデシュの広範な寄与は唯一無二のものだからである。ルーベン・ハーシュもまた社会的な数学観を奨励し、それを「人文主義的」(humanistic) アプローチと呼んだ。これはアルヴィン・ホワイトのアプローチに似ているが、細部は異なる。ハーシュと共著を記したフィリップ・J・デイヴィスもまた社会構築主義的な数学観に賛同していることを表明している。
社会構築主義アプローチへの批判は、それが些事にばかり執着し、数学が人間の営みであるという当たり前の説を基礎にしているということである。厳密でない推測や実験や考察をしてからでなければ厳密な証明はできないという指摘は正しいが、それは自明のことであって、誰も否定しようとはしない。
形式主義とは、数学的言明はいくつかの記号列の操作ルールの帰結についての言明とみなしてよいと考えるものである。例えば、ユークリッド幾何学という「ゲーム」(つまり、「公理」という名のいくつかの記号列と、与えられた記号列から新しい記号列を生成する「推理規則」からなるものとみなすということ)において、ピタゴラスの定理が成立する(すなわち、ピタゴラスの定理に対応する記号列を生成できる)ということは証明可能である。形式主義によるなら、数学的真理とは、数とか集合とか三角形といったものについての真理ではない。実のところ、なにものかに「ついての」真理などでは全くない。
別の種類の形式主義はしばしば演繹主義(英: deductivism)という名前で知られている。演繹主義によれば、ピタゴラスの定理は絶対的な真理ではなく、相対的な真理である。「もし」ゲームの規則が真になるような仕方で文字列に意味が与えられるなら、「そのとき」定理を真と認めなくてはいけない。あるいはむしろ、それに与えられた解釈が真なる言明であるとしなければならない。他のすべての数学的言明についても同じことが真とされる。それゆえ、形式主義では、数学は意味のない記号ゲームにすぎないと考える必要はない。ゲームの規則が妥当するなんらかの解釈が存在するということが通常期待されているからである(この立場を構造主義と比較せよ)。しかし、形式主義によって現場の数学者たちは仕事を続けることができるし、いくつかの問題を哲学者や自然科学者に委ねることができる。多くの形式主義者は、どんな公理系を研究すべきかは、実際上、自然科学や他の数学領域の要求によって示唆されると言うであろう。