ディリクレ級数
2つの形式的ディリクレ級数
f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s , g ( s ) = ∑ n = 1 ∞ b n n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},\ \ \ \ \ g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}}
の和を、
f ( s ) + g ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n + b n n s , {\displaystyle f(s)+g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}+b_{n}}{n^{s}}},}
積(畳み込み (faltung、convolution)またはディリクレ積 (Dirichlet product)という)を、
f ( s ) g ( s ) = ∑ n = 1 ∞ c n n s , c n = ∑ k | n , k ≥ 1 a k b n / k {\displaystyle f(s)g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n^{s}}},\ \ \ \ \ c_{n}=\!\!\!\sum _{k|n,\ k\geq 1}\!\!\!a_{k}b_{n/k}}
の収束軸を、 σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} とおくと、 0 ≤ σ a − σ c ≤ 1 {\displaystyle \scriptstyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq 1} が成立する。
さらに、上記右辺の 1 は最良である。つまり、 σ a = σ c + 1 {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}=\sigma _{c}+1} を満たすディリクレ級数が存在する。
この σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} を、絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。
絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。
ディリクレ級数
∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}