多角数定理
多角数定理(、英: polygonal number theorem)とは「すべての自然数は高々 m 個の m 角数の和である」という数論の定理である。
特に m = 3 の場合を(ガウスの)三角数定理、m = 4 の場合を(ラグランジュの)四平方定理という。
多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化された。三角数定理は1796年にガウスによって、四平方定理は1772年にラグランジュによってそれぞれ証明された。一般の多角数定理の証明は1813年にコーシーによって与えられている。
三平方和定理により
8 N + 3 = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y + 1 ) 2 + ( 2 z + 1 ) 2 {\displaystyle 8N+3=(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}+(2z+1)^{2}\,}
と表されるから
N = x ( x + 1 ) 2 + y ( y + 1 ) 2 + z ( z + 1 ) 2 {\displaystyle N={\frac {x(x+1)}{2}}+{\frac {y(y+1)}{2}}+{\frac {z(z+1)}{2}}}
となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々三個の三角数の和に表される。