ループ代数
g を複素リー環とし,C(S) を円周多様体 S 上の滑らかな(複素)関数の代数とする.このとき,g と C(S) のテンソル積
g ⊗ C ∞ ( S 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1})}
は,リーブラケットが
[ g 1 ⊗ f 1 , g 2 ⊗ f 2 ] = [ g 1 , g 2 ] ⊗ f 1 f 2 {\displaystyle [g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}}
で与えられる無限次元リー環である.ここで g1 と g2 は g の元で,f1 と f2 は C(S) の元である.
これは S の各点に g を乗せた g の無限個のコピーの直積に対応するものではない,なぜならば滑らかさの制約があるからである.そうではなく,S から g への滑らかな関数,言い換えると,g 内の滑らかな径数付けられたループと考えることができる.これがループ代数の名前の由来である.
なお,部分代数
g ⊗ C [ t , t − 1 ] {\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} [t,t^{-1}]}
もループ代数と呼ばれる.