閉測地線
リーマン多様体 (M,g) において閉測地線は、計量 g についての測地線であり、周期的であるような曲線 γ : R → M {\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow M} である。
閉測地線は、変分原理によって特徴付けられる。 Λ M {\displaystyle \Lambda M} を M 上の滑らかな 1-周期曲線の空間とするとき、周期 1 の閉測地線は、次式で定義されるエネルギー函数 E : Λ M → R {\displaystyle E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R} } の臨界点である。
E ( γ ) = ∫ 0 1 g γ ( t ) ( γ ̇ ( t ) , γ ̇ ( t ) ) d t . {\displaystyle E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.