ウォリス積分
スターリングの公式:
lim n → ∞ n ! n ( e n ) n = 2 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}={\sqrt {2\pi }}}
はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し a n := n ! n ( e n ) n {\displaystyle a_{n}:={\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}} とおくと、
lim n → ∞ a 2 n a n 2 = 1 2 lim n → ∞ n 4 n ( 2 n n ) = 2 π ( 2 π ) 2 = 1 2 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{2n}}{{a_{n}}^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {\sqrt {2\pi }}{({\sqrt {2\pi }})^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}
より
lim n → ∞ n 4 n ( 2 n n ) = 1 π {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}
が得られる。
ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。
またカタラン数 C n = 1 n + 1 ( 2 n n ) {\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}} にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる:
C n ∼ 4 n n 3 / 2 π {\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}}