ケーラー微分
この構成が前の構成と同値であることを見るために、I は Σ s i ⊗ t i ↦ Σ s i . t i ⊗ 1 {\displaystyle \Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}.t_{i}\otimes 1} によって与えられる射影 S ⊗ R S → S ⊗ R R {\displaystyle S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R} の核であることに注意しよう。したがって:
S ⊗ R S ≡ I ⊕ S ⊗ R R . {\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv \,\,{}I\,{}\oplus S\otimes _{R}R.\,}
すると S ⊗ R S / S ⊗ R R {\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R} は、 Σ s i ⊗ t i ↦ Σ s i ⊗ t i − Σ s i . t i ⊗ 1 {\displaystyle \Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\otimes t_{i}-\Sigma s_{i}.t_{i}\otimes 1} によって与えられるcomplementary projectionによって誘導される写像によって、I と同一視できる。
したがってこの写像は I を S の元 s に対して形式的な生成元 ds で生成された S 加群と同一視し、上で与えられた最初の2つの関係に従う(二番目の関係は d が R-線型であると要求することで強くなる)。最後の関係によって 0 に設定される元はちょうど I の I に写る。
アイデアは エーリッヒ・ケーラー によって1930年代に導入された。それは、少し後になって、複素数上の幾何から手法を適用する必要と微分積分学の手法の自由な使用に続いて、そのような手法が利用できない文脈に、可換環論と代数幾何において標準として適用された。
R と S を可換環とし φ:R → S を環準同型とする。重要な例は R が体で S が R 上単位的代数(例えばアフィン多様体の座標環)に対してである。
S 上の R-線型導分は R-加群の射 d : S → M {\displaystyle \mathrm {d} \colon S\to M} であって R がその核に入りライプニッツ則 d ( f g ) = f d g + g d f {\displaystyle \mathrm {d} (fg)=f\mathrm {\,} \mathrm {d} g+g\,\mathrm {d} f} を満たす。ケーラー微分の加群は他のすべてを分解する R-線型導分 d : S → Ω S / R {\displaystyle \mathrm {d} \colon S\to \Omega _{S/R}} として定義される。