一様可積分性
次のような結果がある。
上の一つ目の定義は、次のような極限を用いることで書き換えられる:
lim K → ∞ sup X ∈ C E ( | X | | | X | ≥ K ) = 0. {\displaystyle \lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}E(|X|||X|\geq K)=0.}
確率変数 X n , n = 1 , 2 , ... {\displaystyle X_{n},\ n=1,2,\ldots } の列を考える。 X n ( ω ) = n , ∀ ω ∈ ( 0 , 1 n ) , X n ( ω ) = 0 otherwise {\displaystyle X_{n}(\omega )=n,\ \forall \omega \in \left(0,{\frac {1}{n}}\right),\ X_{n}(\omega )=0{\text{ otherwise}}} と定義する。すべての n に対して E ( | X n | ) = 1 {\displaystyle E(|X_{n}|)=1} であるため、明らかに X n ∈ L 1 {\displaystyle X_{n}\in \mathbb {L} ^{1}} である。
一様可積分性(いちようかせきぶんせい、英: uniform integrability)とは、数学の実解析、関数解析学および測度論の分野における重要な概念で、ルベーグ可積分性の概念を拡張し、条件付き期待値やマルチンゲールの理論の発展のために重要な役割を担うものである。確率変数の収束において、この性質は、確率の意味において収束する確率変数が L p {\displaystyle \mathbb {L} ^{p}} の意味において収束するための必要十分条件を与える。