汎函数行列式
det S ∝ ( ∫ V D φ e − ⟨ φ , S φ ⟩ ) − 2 . {\displaystyle \det S\propto \left(\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi ,S\phi \rangle }\right)^{-2}\,.}
この経路積分は、ある発散する乗数因子の差を除いたときのみ、うまく定義できる。この厳密な意味を与えるために、他の汎函数行列式で割る必要があり、見せかけの定数の打ち消しがなされる。
現在は、これらが表現上は2つの異なる汎函数行列式で、一方は量子場理論に由来を持つもので、他方はスペクトル理論に由来を持つものである。どちらも正規化の一種で、物理で普通に行われる定義は、2つの行列式を単に比較することができるということを意味しているが、数学ではゼータ函数が使われる。Osgood, Phillips & Sarnak (1988) は、量子場理論で定式化された2つの汎函数行列式が、ゼータ函数正規化によって得られた結果に一致するということを示した。