バナッハ環
任意の x ∈ A に対し
σ ( x ) = σ ( x ^ ) {\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}
が成立する。ここで ˆx は x のゲルファント表現(英語版)、すなわち ˆx(χ) = χ(x) で与えられる Δ(A) から C への連続関数である。上述の式において、ˆx のスペクトルは、コンパクト空間 Δ(A) 上の複素連続関数の環 C(Δ(A)) の元としてのスペクトルである。明らかに
σ ( x ^ ) = { χ ( x ) : χ ∈ Δ ( A ) } {\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}}
が成立する。環として、単位的可換バナッハ環が半単純(すなわち、ジャコブソン根基がゼロ)であるための必要十分条件は、そのゲルファント表現が自明な核を持つことである。そのような環の重要な一例は、可換な C*-環である。実際、A が可換な単位的 C*-環であるなら、ゲルファント表現 A と C(Δ(A)) の間の等長 ∗-同型となる。