一般化されたストークスの定理
γ: [a, b] → R を区分的に滑らかなジョルダン曲線とする。ジョルダン曲線定理によれば、γ は R を2つの部分、つまりコンパクトな部分と非コンパクトな部分に分割する。D を γ で囲まれたコンパクトな部分とし、ψ: D → R を滑らかな関数、S := ψ(D) とする。Γ を Γ(t) = ψ(γ(t))で定義される空間曲線とし、F を R の滑らかなベクトル場とすると、次が成り立つ:
∮ Γ F ⋅ d Γ = ∫∫ S ∇ × F ⋅ d S . {\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Gamma } =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}
この古典的なステートメントは一般的な定式化に対して、1形式をベクトル場と、2形式をその回転とみなした場合の特殊なケースである。
グリーンの定理は、上で引用した P, Q および R から、両辺の第3項の積分として直ちに示される。
マクスウェル方程式の4本の式のうち2本は3次元ベクトル場の回転を含み、それらの微分形と積分形はストークスの定理の特別な3次元(ベクトル解析)の場合に関連している。境界が移動するケースを回避するように注意する必要があり、時間偏微分はそのようなケースを除外するためにある。移動する境界が含まれる場合、積分と微分の交換により、以下の結果に含まれない境界運動に関連する項が導入される(積分記号の下の微分を参照)。