フィッシャー情報量
フィッシャー情報量(フィッシャーじょうほうりょう、英: Fisher information ) I X ( θ ) {\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}(\theta )} は、統計学や情報理論で登場する量で、確率変数 X {\displaystyle X} が母数 θ {\displaystyle \theta } に関して持つ「情報」の量を表す。統計学者のロナルド・フィッシャーに因んで名付けられた。
また ln  f ( x | θ ) {\displaystyle \ln f(x|\theta )} が二回微分可能で以下の標準化条件
∫ ∂ 2 ∂ θ 2 f ( X ; θ ) d x = 0 , {\displaystyle \int {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f(X;\theta )\,dx=0,}
を満たすなら、フィッシャー情報量は以下のように書き換えることができる。
I ( θ ) = − E [ ∂ 2 ∂ θ 2 ln  f ( X ; θ ) ] . {\displaystyle {\mathcal {I}}(\theta )=-\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln f(X;\theta )\right].}
このとき、フィッシャー情報量は、 f {\displaystyle f} の対数の θ {\displaystyle \theta } についての2次の導関数にマイナスを付けたものになる。フィッシャー情報量は、 θ {\displaystyle \theta } についての最尤推定量付近のサポート曲線の「鋭さ」としてもとらえることができる。例えば、「鈍い」(つまり、浅い最大値を持つ)サポート曲線は、2次の導関数として小さな値を持つため、フィッシャー情報量としても小さな値を持つことになるし、鋭いサポート曲線は、2次導関数として大きな値を持つため、フィッシャー情報量も大きな値になる。