一次関数
係数は適当な体、あるいは整域 K にとるものとする。ふたつの一次関数 f(x) = ax + b, g(x) = cx + d に対して、それらの和 f + g を点ごとの値の和
( f + g ) ( x ) := f ( x ) + g ( x ) ( = ( a + c ) x + ( b + d ) ) {\displaystyle (f+g)(x):=f(x)+g(x)\ (=(a+c)x+(b+d))}
によって定めると、これは再び一次関数を与える。一次関数の全体は可換群を成すことを確かめるのは容易である。また、定数倍 λf を
( λ f ) ( x ) := λ ( f ( x ) ) ( = λ a x + λ b ) {\displaystyle (\lambda f)(x):=\lambda (f(x))\ (=\lambda ax+\lambda b)}
V n → V m ; x ↦ A x + b {\displaystyle V^{n}\to V^{m};\ x\mapsto Ax+b}
をアフィン写像という。特に、b = 0 のときかつそのときに限り、和とスカラー倍を保つ線型写像となる。
実数全体の成す体 R を任意の可換環 K で置き換えて
R n → R ; ( x 1 , ⋯ , x n ) ↦ a 1 x 1 + ⋯ + a n x n + b ( a i , b ∈ R ) {\displaystyle R^{n}\to R;\ (x_{1},\cdots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b\quad (a_{i},b\in R)}
を考えることもできるし、行列環 Mn やその部分環、あるいは一般線型群 GLn やその部分群を、一般の環 R や群 G で置き換え、ベクトル空間 V をそれらの環や群が作用する加群 M で置き換えれば、
M → M ; x ↦ A x + b ( A ∈ R , b ∈ M ) {\displaystyle M\to M;\ x\mapsto Ax+b\quad (A\in R,b\in M)}
のようなものを考えることもできる。このようなものはアフィン群あるいは俗に ax + b 群と呼ばれ、この群の上の調和解析は、ウェーブレット解析として知られる。
一次関数の表す直線の式 y = ax + b は、傾きと y-切片を与えることによって一意的に決定される「傾き・切片(標準)形」(slope-intercept form) であり、座標平面上で直線を表す式としては他に「点・傾き(標準)形」(point-slope form) である
y − y 0 = a ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=a(x-x_{0})}
(点 (x0, y0) を通る、ただ一つの傾き a の直線)や「一般形」(general form)
A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0}
(これ自体は二変数の一次方程式である)が挙げられる。詳細は平面における直線の標準形も参照。 一般形は平面上のあらゆる直線を表すだけの能力を持ち、これには x-軸に垂直(y-軸に平行)な直線 x = c なども含まれるが、この種の直線の傾きは定まらないため傾きを明示的に利用する標準形では表せないし、一次関数どころか関数でさえない。また、x-軸に平行な傾き 0 の直線は、定数関数に対応しているのであり、一次関数 y = ax + b の定義に a ≠ 0 を仮定するならば、これも一次関数では表せないことになる。