量子力学の数学的定式化
フォン・ノイマンの一意性定理は、量子力学に重要なリー群であるハイゼンベルク群を用いる事でより簡潔に表現できる。
T : H 1 → H 2 {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} を稠密に定義された線形作用素とする。ベクトル ψ ∈ H 2 {\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}_{2}} に対し、以下の性質を満たす ψ ′ ∈ H 1 {\displaystyle \psi '\in {\mathcal {H}}_{1}} を考える:
任意の φ ∈ D o m ( T ) {\displaystyle \phi \in \mathrm {Dom} (T)} に対し、 ⟨ ψ ′ , φ ⟩ = ⟨ ψ , T ( φ ) ⟩ {\displaystyle \langle \psi ',\phi \rangle =\langle \psi ,T(\phi )\rangle }
このような ψ ′ {\displaystyle \psi '} は常に存在するとは限らないが、存在すれば一意である事を示せる。そこで共役作用素を以下のように定義する:
定義 (共役作用素) ―
D o m ( T ∗ ) = { ψ ∈ H 2 : {\displaystyle \mathrm {Dom} (T^{*})=\{~\psi \in {\mathcal {H}}_{2}~:~} 上述の性質を満たす ψ ′ {\displaystyle \psi '} が存在する } {\displaystyle \}}
U t := e x p ( i t A ) {\displaystyle U_{t}:=\mathrm {exp} (itA)}
が成立する。
以上の事から、写像 A ↦ { e x p ( i t A ) } t ∈ R {\displaystyle A\mapsto \{\mathrm {exp} (itA)\}_{t\in \mathbf {R} }} により、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素に強連続1パラメータ変換を対応させる事ができ、逆に { U t } t ∈ R {\displaystyle \{U_{t}\}_{t\in \mathbf {R} }} に対してその無限小生成元対応させる事で、強連続1パラメータ変換に自己共役作用素を対応させる事ができる。両者は逆写像の関係になっており、自己共役作用素と強連続1パラメータ変換は1対1に対応する:
A ( ψ ) = lim t → 0 1 i e x p ( i t A ) ( ψ ) − ψ t {\displaystyle A(\psi )=\lim _{t\to 0}{1 \over i}{\mathrm {exp} (itA)(\psi )-\psi \over t}}
位置作用素
X = x {\displaystyle X=x}
と T ∈ S ′ ( R ) {\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} )} に対し、
X ′ ( T ) : ψ ∈ S ( R ) ↦ ⟨ T , X ( ψ ) ⟩ ∈ C {\displaystyle X'(T)~:~\psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )\mapsto \langle T,X(\psi )\rangle \in \mathbf {C} }
とすると、 X ′ {\displaystyle X'} の一般化固有値λ対する一般化固有ベクトル T λ {\displaystyle T_{\lambda }} は
λ ⟨ T λ , ψ ⟩ = ⟨ X ′ ( T λ ) , ψ ⟩ = ⟨ T λ , X ( ψ ) ⟩ = ⟨ T λ , x ψ ⟩ = ⟨ x T λ , ψ ⟩ {\displaystyle \lambda \langle T_{\lambda },\psi \rangle =\langle X'(T_{\lambda }),\psi \rangle =\langle T_{\lambda },X(\psi )\rangle =\langle T_{\lambda },x\psi \rangle =\langle xT_{\lambda },\psi \rangle }
を満たすので、
λ T λ = x T λ {\displaystyle \lambda T_{\lambda }=xT_{\lambda }}
デルタ関数の定数倍
ヒルベルト空間の概念を定義するため、まずは複素計量ベクトル空間を定義する:
定義 (複素計量ベクトル空間) ― H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を複素ベクトル空間とする。任意の φ , ψ , χ ∈ H {\displaystyle \varphi ,\psi ,\chi \in {\mathcal {H}}} に対して以下の性質を満たす二項演算子 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → C {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ~:~{\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}\to \mathbf {C} } を H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の内積もしくは計量という:
(共役対称性) ⟨ φ , ψ ⟩ = ⟨ ψ , φ ⟩ ̄ . {\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle ={\overline {\langle \psi ,\varphi \rangle }}.}
(線形性) ∀ a , b ∈ C {\displaystyle \forall a,b\in \mathbf {C} } に対し、 ⟨ χ , a ψ + b φ ⟩ = a ⟨ χ , ψ ⟩ + b ⟨ χ , φ ⟩ {\displaystyle \langle \chi ,a\psi +b\varphi \rangle =a\langle \chi ,\psi \rangle +b\langle \chi ,\varphi \rangle }
ディラックがデルタ関数を量子力学に導入したそもそもの動機は、デルタ関数を位置作用素に対する「固有ベクトル」とみなすというものであった。すなわち、第j方向の位置作用素
M x j ( ψ ) = x j ψ ( x ) {\displaystyle M_{x_{j}}(\psi )=x_{j}\psi (x)}
に形式的に
δ a ( x ) = δ ( x − a ) {\displaystyle \delta _{a}(x)=\delta (x-a)}
を代入すると、この関数はa以外で0になる事から、
M x j ( δ a ) = x j δ ( x − a ) = a j δ ( x − a ) {\displaystyle M_{x_{j}}(\delta _{a})=x_{j}\delta (x-a)=a_{j}\delta (x-a)}
であり、したがってδaは M x j {\displaystyle M_{x_{j}}} の「固有値」ajに対応する「固有ベクトル」であるとみなせるのである。
本節では共役ベクトル空間の概念を定義することでディラックのブラベクトル、ケットベクトルの概念を数学的に定式化し、さらにリースの表現定理を導入することで、ブラベクトルの概念を別の角度から再定式化する。
オブザーバブルは状態空間の全域で定義されているとは限らないが、状態空間の稠密部分集合上では定義が可能である。そこでまず、稠密に定義された作用素の概念を導入する。
定義 (稠密に定義された作用素) ― H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} 、 H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} をヒルベルト空間とする。 H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} の部分集合Dom(T)で定義された線形作用素 T : D o m ( T ) → H 2 {\displaystyle T~:~\mathrm {Dom} (T)\to {\mathcal {H}}_{2}} が H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} で稠密に定義されているとは、Dom(T)が H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} の稠密部分集合である事をいい、以下のように書き表す。
T : H 1 → H 2 {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} (稠密に定義されている)
紛れがなければ H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} 上稠密に定義された作用素を単に
T : H 1 → H 2 {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}}
と書く
本節では、ポテンシャルが時間に依存しない場合に対する系の時間発展について述べる。
既に述べたように作用素が有界である事はその作用素が連続である事を意味している為、有界性はヒルベルト空間上の作用素の最も自然な概念の一つである。しかし量子力学で用いられる作用素の多くは有界ではないし、しかも H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の部分領域でしか定義できない。この原因は、量子力学で用いられる作用素の多くが微分を用いて定義されており、微分作用素が有界でもなければ H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 全域で定義できるわけでもない事にある。
幸運な事に、これら量子力学で用いる作用素は「稠密に定義された可閉作用素」という、比較的扱いやすいクラスに属している事が知られている。そこで本節では、まず「稠密に定義された」という概念と「可閉」という概念を定式化する。
次に本節では、この「稠密に定義された可閉作用素」の概念をベースとして、量子力学におけるオブザーバブルの概念を定式化する。すなわち、稠密に定義された可閉作用素の共役作用素の概念を定式化し、共役作用素の概念を用いて自己共役作用素の概念を定式化し、最後に量子力学におけるオブザーバブルの概念を自己共役作用素により定式化する。
スペクトル測度によるスペクトル分解定理は直積分によるスペクトル定理から容易に従う。実際、直積分によるスペクトル定理から H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は直積分 ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A {\displaystyle \int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}} として表現できるので、B⊂σ(A)に対してμ(B)を ∫ σ ( A ) ⊕ H λ d μ A → ∫ B ⊕ H λ d μ A , s ( λ ) ↦ χ B ( λ ) s ( λ ) {\displaystyle \int _{\sigma (A)}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A}\to \int _{B}^{\oplus }{\mathcal {H}}_{\lambda }\mathrm {d} \mu _{A},~~s(\lambda )\mapsto \chi _{B}(\lambda )s(\lambda )} とすればよい。ここでχBはBの特性関数である。