クリロフ＝ボゴリューボフの定理
X をポーランド空間とし、 P t , t ≥ 0 , {\displaystyle P_{t},t\geq 0,} を X 上の時間同次なマルコフ半群についての移動確率とする。すなわち、
Pr [ X t ∈ A | X 0 = x ] = P t ( x , A ) {\displaystyle \Pr[X_{t}\in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A)}
が成立する。
定理(クリロフ=ボゴリュボフ). ある点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} に対して、確率測度の族 { Pt(x, ·) | t > 0 } が一様に緊密となり、半群 (Pt) がフェラーの性質(英語版)を満たすなら、(Pt) に対して少なくとも一つの不変測度が存在する。すなわち、X 上の確率測度 μ で
( P t ) ∗ ( μ ) = μ for all t > 0 {\displaystyle (P_{t})_{\ast }(\mu )=\mu {\mbox{ for all }}t>0}
を満たすようなものが存在する。