ヒルベルト空間
フーリエ解析の基本目的の一つは、関数を付随するフーリエ級数、即ち与えられた基底関数族の(必ずしも有限とは限らない)線型結合に分解することである。区間 [0, 1] 上の関数 f に付随する古典フーリエ級数とは
∑ n = − ∞ ∞ a n e 2 π i n θ ( a n := ∫ 0 1 f ( θ ) e − 2 π i n θ d θ ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }\quad (a_{n}:=\int _{0}^{1}f(\theta )e^{-2\pi in\theta }\,d\theta )}
なる形の級数である。
鋸歯状波関数に対するフーリエ級数の最初の数項を足し上げた例を図に示す。鋸歯状波関数の波長を λ とすると、(基本波、つまり n = 1 を除いて)それよりも短い波長 λ/n(n は整数)をもつ正弦波が基底関数である。全ての基底関数が鋸歯状波の折れるところで交わり(結点)を持つが、基本波を除く全ての基底関数はそれ以外にも結点を持つ。鋸歯の周りでの基底関数の部分和の振動はギブズ現象と呼ばれるものである。
古典フーリエ級数論の特徴的な問題の一つに「関数 f のフーリエ級数がもとの関数に収束する(ことが仮にあったとする)ならば、それはどのような意味においての収束であるか」を問う問題がある。
関数を三角関数系に分解することは不適当だが、例えば直交多項式系やウェーブレットおよび高次元において球面調和関数へ展開することが適当であるような状況はたくさんある。
例えば、en を L[0,1] の任意の正規直交基底関数系とすると、与えられた L[0,1] の関数は有限線型結合
f ( x ) ≈ f n ( x ) = a 1 e 1 ( x ) + a 2 e 2 ( x ) + ⋯ + a n e n ( x ) {\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)}
で近似することができる。右辺の係数 {aj} は、差の大きさ ‖ƒ − ƒn‖ をできるだけ小さくするように定める。幾何学的には、最適近似は {ej} の線型結合全体の成す部分空間の上への ƒ の直交射影であり、
a j = ∫ 0 1 e j ( x ) ̄ f ( x ) d x {\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,dx}
によって計算することができる。これが ‖ƒ − ƒn‖ を最小化することはベッセルの不等式とパーセヴァルの公式からの帰結である。
H {\displaystyle H} がヒルベルト空間であるとは、 H {\displaystyle H} は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言う。ここで、 H {\displaystyle H} が複素内積空間であるというのは、 H {\displaystyle H} は複素線型空間であって、その上に内積、即ち x , y ∈ H {\displaystyle x,y\in H} に ⟨ x , y ⟩ ∈ C {\displaystyle \langle x,y\rangle \in \mathbb {C} } を対応させる写像であって、条件
⟨ y , x ⟩ {\displaystyle \langle y,x\rangle } は ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle } の複素共役である: ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ̄ ∀ x , y ∈ H . {\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\quad \forall \ x,y\in H.}
⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は第一引数に関して線型である: ⟨ a x 1 + b x 2 , y ⟩ = a ⟨ x 1 , y ⟩ + b ⟨ x 2 , y ⟩ ∀ x 1 , x 2 ∈ H , ∀ a , b ∈ C .