有理数
集合論の形式により、整数全体 Z から有理数全体 Q を構成することができる。まず整数の順序対 (a, b) で b ≠ 0 であるものの全体 E = Z ×(Z − {0}) を考える。ここで E 上の関係 ∼ を
( a , b ) ∼ ( c , d ) ⟺ a d − b c = 0 ( a , b , c , d ∈ Z , b ≠ 0 , d ≠ 0 ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\iff ad-bc=0\quad (a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,b\neq 0,d\neq 0)}
によって定めると、関係 ∼ は同値関係となる。 商集合 E/∼ を改めて Q と記して、Q における対 (a, b) の属する同値類を a/b と記すことにすると、この表記は一意ではなく、異なる代表元 (c, d) について
a b = c d ⟺ a d − b c = 0 {\displaystyle {a \over b}={c \over d}\iff ad-bc=0}
となる。このとき、Q における加法および乗法を前節で述べたように
Q = { a b ∣ a ∈ N , b ∈ Z , b ≠ 0 } = { a b ∣ a ∈ Z , b ∈ N } {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {N} ,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\right\}=\left\{{a \over b}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {N} \right\}}
が成り立つ)。またこれにより、減法 "−" および除法 "÷"が
a b − c d = a b + ( − c d ) = a d − b c b d , a b ÷ c d = a b × ( c d ) − 1 = a d b c {\displaystyle {a \over b}-{c \over d}={a \over b}+\left(-{c \over d}\right)={ad-bc \over bd},\quad {a \over b}\div {c \over d}={a \over b}\times \left({c \over d}\right)^{-1}={ad \over bc}}
と定まる。故に、有理数全体 Q は四則演算について閉じている、体と呼ばれる代数系の一つであり、その中で最も身近な例の一つである。