豊穣圏
モノイド圏 (M, ⊗, I, α, λ, ρ) に対して、豊饒圏(考えているモノイド圏を明示する場合には、M 上の豊饒圏、M-(豊饒)圏)C は、
C の対象全体の成す類 ob(C),
C の対象の任意の対 a, b ∈ ob(C) に対する「射の集まり」に相当する C(a, b) ∈ ob(M),
各対象 a ∈ ob(C) に付随する「恒等射」に相当する M 内の射 ida: I → C(a, a),
「射の合成」に相当する M 内の射 ∘abc: C(b, c) ⊗ C(a, b) → C(a, c) (a, b, c ∈ ob(C) で後述する三つの図式(結合律を表す五角形図式、左右の単位律を表す図式)を可換にするもの,
からなる。一つ目の図式は、「合成」の「結合律」を表すもので、通常の圏における合成の結合性を射圏 M における結合子(英語版) α が図式
を可換にすることに置き換える。
射圏 M が集合の圏でモノイド構造 (⊗, I, α, λ, ρ) がデカルト積と終対象となる一点集合の定める構造 (×, {•}, id, id, id) の場合には、各射対象 C(a, b) はその各元が C の「個々の射」となる集合(通常の圏の射集合)と考えられ、また ∘ は写像として連続する射の合成を定めるもの(通常の圏の射の合成)と捉えることができる。
既に述べたが、通常の圏は集合の直積をモノイド演算として備えた集合の圏 (Set, ×, {•}) で豊饒化された圏である。
2-圏(英語版)は小さい圏の圏 Cat にデカルト積によって定まるモノイド構造を入れたもので豊饒化された圏である。この場合、射の間の二次元の射 (2-cell) a → b およびそれらの垂直合成則は、通常の圏 C(a, b) における射およびその合成則である。
局所的に小さい圏(射対象が小さい集合となる圏)は小さい集合(英語版) が集合の直積をモノイド積として成すモノイド圏 (SmSet, ×) で豊饒化された圏である。
局所有限圏(英語版)は有限集合の圏が集合の直積に関して成すモノイド圏 (FinSet, ×) で豊饒化された圏を言う。
前順序集合(英語版)は、二つの対象を持ち恒等射でないただ一つの射を持つ圏 2 ≔ {FALSE, TRUE} で豊饒化された圏と考えることができる。ただし、その唯一の射を FALSE → TRUE とし、ブール値の連言をモノイド演算、TRUE をモノイド単位とする。すると射対象 2(a, b) は与えられた対象の順序対 (a, b) 上の特定の二項関係を単に拒否するか受容するかを意味するもので、この関係を表すより馴染みのある記法としては、これを a ≤ b と書くことができる。