C*-環
局所コンパクト空間 Ω とその上の全測度 1 の正則ボレル測度 μ からは C0(Ω) の作用するヒルベルト空間 L2(Ω, μ) と C0(Ω) 上の状態 φμ(f) = ∫ f dμ が得られるし、ヒルベルト空間 H 上の C*-環 A の状態を AH 内の単位的ベクトルから得ることができるが、これらのヒルベルト空間 L2(Ω, μ) や AH とそれぞれへの環の作用は、環と状態 φμ や φξ についての情報のみから復元することができる。実際、C*-環 A 上の状態 φ が与えられたとき、ベクトル空間としての A は内積 (x, y) = φ(y*x) によって前ヒルベルト空間となっており、さらに A の元を左からかける操作は内積から定まるノルムについて連続になっている。従ってこの前ヒルベルト空間を完備化したヒルベルト空間 Aφ 上に A を表現することができる。これを状態 φ に関するGelfand-Naimark-Segal表現(GNS表現)とよぶ。この表現について A の元 a は少なくとも作用素ノルム √φ(a*a) を持っている。従って、どんな C*-環も十分に多くの状態を持っていることを示せばGelfand-Naimarkの定理が得られることになる。
C*-環 A に対し、その双対の双対 A** は W*-環の構造を持っている。これは A の普遍包絡環とよばれる。A のヒルベルト空間 H 上への表現 π: A → B(H) が与えられたとき π(A) の生成するフォン・ノイマン環π(A)′′ を考えることができるが、このとき A** から π(A)′′ の上への正規準同形が存在する。別の言い方をすれば π(A)′′ が A** に作用素の弱位相で閉じたイデアルとして含まれている。
同様にして局所コンパクトハウスドルフ空間 Ω 上の無限遠で消える複素数値連続関数のなす関数空間 C0(Ω) = {f ∈ C(Ω); 任意の ε > 0 に対して |f(s)| ≥ ε となる s ∈ Ω のなす集合はコンパクト} (例えば実直線 R 上の lim|t|→∞f(t) = 0 であるような関数たち)を考えると、上の例と同様のノルムと対合によって C0(Ω) は(Ω がコンパクトでないときには単位元をもたない)可換な C*-環となる。