交代群
n > 1 とする。群 An は対称群 Sn の指数 2 の交換子群であり、n!/2 個の元を持つ。これは、符号準同型 sgn: Sn → {1, −1} の核である(置換の符号については置換 (数学)の項を参照)。 群 An が可換群となるのは、n ≤ 3 のときかつそのときに限る。また単純群となるのは n = 3 もしくは n ≥ 5 のときかつそのときに限る。A5 は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり、最小の非可解群である。
群 A4 はクラインの4元群 V を真の正規部分群として持つ。V は {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} であり、列 V → A4 → A3 (= C3) は完全である。ガロア理論によればこの写像、あるいはこれに対応する S4 → S3 に、四次方程式のフェラリの解法における(三次の)ラグランジュ分解方程式(分解方程式の根によって四次方程式を解くことができる)が対応している。