最大絶対値の原理
背理法による。 D 内のある点 z0 で |f(z)| が最大値を取るものと仮定する。r を正の実数とし、Dr = {z : | z − z0 | < r } 、 Cr = {z : | z − z0 | = r } とする。つまり Cr は z0 を中心とする半径 r の円、Dr はその内側の領域である。r の値を適当に小さく選べば、 Dr + Cr ⊂ D とできる。
コーシーの積分公式により Dr 内の任意の点 z で、
f ( z ) = 1 2 π i ∮ C r f ( ζ ) ζ − z d ζ {\displaystyle f(z)={\frac {1}{2{\pi }i}}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}d\zeta }
が成り立つ。 Cr 上での |f(z)| の最大値を M とすれば、
| f ( z 0 ) | = | 1 2 π i ∮ C r f ( ζ ) ( ζ − z 0 ) d ζ | {\displaystyle \left|f(z_{0})\right|=\left|{\frac {1}{2{\pi }i}}\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z_{0})}}d\zeta \right|}