ルート系
性質3より,整数性条件は次のように述べても同値である:β とその鏡映 σα(β) との差は α の整数倍である.性質4によって定義される演算
⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : Φ × Φ → Z {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }
は内積ではないことに注意.対称であるとは限らず,第一変数についてのみ線型である.
ルート系 Φ の階数 (rank) は V の次元である.
2つのルート系は,それらの張るユークリッド空間を共通のユークリッド空間の互いに直交する部分空間と見ることで,つなげることができる.そのような結合から生じないルート系は既約 (irreducible) といわれる.例えば右に描かれているルート系 A2, B2, G2 は既約である.
2つのルート系 (E1, Φ1) と (E2, Φ2) が同型 (isomorphic) であるとは,可逆な線型変換 E1 → E2 であって,Φ1 と Φ2 に送り,ルートの各対に対して,数 ⟨x, y⟩ が保たれるものが存在することをいう.
ルート系 Φ のルートに直交する超平面による鏡映によって生成される V の等長変換の群
W = ⟨ σ α ∣ α ∈ Φ ⟩ {\displaystyle W=\langle \,\sigma _{\alpha }\mid \alpha \in \Phi \,\rangle }
を Φ のワイル群と呼ぶ.ワイル群は有限集合 Φ に忠実に作用するから,必ず有限群である.
ルート系 Φ のルート格子 (root lattice) とは,Φ で生成される V の部分 Z 加群である.それは V の格子である.
正ルート全体の集合は α ≤ β を β − α が単純ルートの非負線型結合であることとして自然に順序付けられる.この半順序集合は
deg  ( ∑ α ∈ Δ λ α α ) = ∑ α ∈ Δ λ α {\displaystyle \operatorname {deg} {\biggl (}\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }\alpha {\biggr )}=\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }}
によって次数付けられ(英語版),多くの注目すべき組合せ論的性質を持つ.その1つはこの半順序集合から対応するワイル群の基本不変式の次数を決定できることである.ハッセグラフはルート半順序集合の順序の可視化である.