コヒーレント状態
量子力学や量子光学においてコヒーレント状態(コヒーレントじょうたい)とは、古典的なコヒーレント光に最も近い量子状態のこと。
消滅演算子はエルミート演算子ではない。その固有状態であるコヒーレント状態は、異なる α {\displaystyle \alpha } の状態間では直交しない(ただし α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } の差が大きいときに近似的に直交する)。
⟨ β | α ⟩ = exp  [ − 1 2 ( | α | 2 + | β | 2 ) + β ∗ α ] {\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =\exp {\bigg [}-{\frac {1}{2}}(|\alpha |^{2}+|\beta |^{2})+\beta ^{*}\alpha {\bigg ]}}
しかし以下のような完全系をなす。
1 π ∫ | α ⟩ ⟨ α | d 2 α = 1 {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha =1}
このような性質を過剰完全性という。
コヒーレント状態は、光子の消滅演算子の固有状態となっている。つまりコヒーレント状態から光子を1個消滅させても、量子状態が変化しない。
a ^ | α ⟩ = α | α ⟩ {\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle }
コヒーレント状態の光子数を測定したとき、測定値が n {\displaystyle n} 個となる確率は P n = | ⟨ n | α ⟩ | 2 {\displaystyle P_{n}=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}} で与えられる。 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } は光子数状態、光子数確定状態、フォック状態などと呼ばれる。これを計算すると、ポアソン分布になっていることがわかる。
P n = | ⟨ n | α ⟩ | 2 = ( | α | 2 ) n n ! exp  [ − | α | 2 ] {\displaystyle P_{n}=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {(|\alpha |^{2})^{n}}{n!}}\exp[-|\alpha |^{2}]}
| n ⟩ = 1 n !