シェファー列
シェファー列すべてからなる集合は、以下のように定義される陰合成(umbral composition)を演算として群を成す。ふたつの多項式列 { pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...... }, { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...... } が
p n ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k x k , q n ( x ) = ∑ k = 0 n b n , k x k {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},\quad q_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}}
で与えられるとき、これらの陰合成 p ∘ q は、その第 n-項が多項式
( p n ∘ q ) ( x ) = ∑ k = 0 n a n , k q k ( x ) = ∑ 0 ≤ k ≤ l ≤ n a n , k b k , l x l {\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leq k\leq \ell \leq n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell }}
で与えられる多項式列のことを言う(ここで pn にだけ下付き添字 n を付け、q の方には添字を付けていないのは、右辺の和において pn は第 n-項の多項式の係数しか考えない一方、q の方は(一つの項だけではなくて)全ての項を考えるからである)。
この群の中立元は、標準単項式基底