単振動
同じく複素指数関数を用いた形式として、
x = C 1 e i ω t + C 2 e − i ω t {\displaystyle x=C_{1}e^{i\omega t}+C_{2}e^{-i\omega t}}
という形でも単振動を表す。ここで、C1 と C2 は互いに複素共役な複素数の定数である。この形式では、虚部が自然に打ち消されるようになっており、実部や虚部を取るといった特段の操作は必要ない。この形式は実数の三角関数の式とあくまでも同一であり、表し方が違うだけである。余弦関数と正弦関数の和による表現
x = B 1 cos  ω t + B 2 sin  ω t {\displaystyle x=B_{1}\cos \omega t+B_{2}\sin \omega t}
と比較すると、B1, B2, C1 と C2 の定数の間には次のような関係がある。
B 1 = C 1 + C 2 {\displaystyle B_{1}=C_{1}+C_{2}}
B 2 = i ( C 1 − C 2 ) {\displaystyle B_{2}=i(C_{1}-C_{2})}
B1 と B2 は実数であるから、C1 + C2 は実数に、C1 − C2 は純虚数になる必要がある。この制約から、C1 と C2 を共役複素数とする必要性が理解できる。
単振動する x の変化速度と変化加速度も三角関数で与えられる。cos 形式の x を t で微分すると、次のような速度 dx/dt が得られる。
d x d t = − ω A sin  ( ω t + φ ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-\omega A\sin(\omega t+\phi )}
この式をもう一度 t で微分すると、次のような加速度 dx/dt が得られる。
d 2 x d t 2 = − ω 2 A cos  ( ω t + φ ) {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}A\cos(\omega t+\phi )}
したがって、速度と加速度は元の x と同じ角振動数の振動である。一方で、速度の振幅は元の x の ω 倍、加速度の振幅は元の x の ω 倍となっている。上式を正符号の余弦関数に書き換えれば、