近似法
を満足するもののことを言う。このとき
f ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ a n φ n ( x ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)}
と表記する。
漸近級数は一般には発散級数であってもよく、しかししばしばその有限項の和がもとの関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} をよく近似する。例えば関数
f ( x ) = x ∫ 0 ∞ e − t x + t d t {\displaystyle f(x)=x\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{x+t}}dt}
は x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } でスティルチェス級数を漸近展開として持つ。
f ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! x n {\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}}
f ( 10 ) {\displaystyle f(10)} の値はスティルチェス級数の第9項までの和により誤差 3.6 × 10 − 4 {\displaystyle 3.6\times 10^{-4}} で評価できる。ただしスティルチェス級数は発散級数であり、さらに多くの和を計算すると逆に誤差が増大する。
ただし、どの点で補間を行えばよいのかは関数 f {\displaystyle f} に依存する。ミニマックス近似多項式を求めるRemezのアルゴリズムが知られているものの、実際にそれを構成することは容易ではない。
実用的には関数の多項式近似にはチェビシェフ補間を用いることが多い。 n {\displaystyle n} 次のチェビシェフ補間とは、 T n + 1 ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)} の n + 1 {\displaystyle n+1} 個の零点における関数値をラグランジュ補間するものである。多項式近似におけるチェビシェフ多項式の有用性は次の定理によって示される。
n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} とする. 任意の実係数 n {\displaystyle n} 次モニック多項式 p ( x ) {\displaystyle p(x)} は
‖ p ‖ ≥ 2 1 − n {\displaystyle \|p\|\geq 2^{1-n}}
を満足する。等号成立は p ( x ) = 2 1 − n T n ( x ) {\displaystyle p(x)=2^{1-n}T_{n}(x)} のときである.
従って n {\displaystyle n} 次のモニック多項式のうち 0 を近似する最良のものがチェビシェフ補間であると言える。この性質のため、チェビシェフ補間ではルンゲ現象は発生しない。一般にはチェビシェフ補間がミニマックス近似多項式を与えるとは限らないものの、その良い近似を与えることが期待できる。