リース平均
すべての n {\displaystyle n} に対して a n = 1 {\displaystyle a_{n}=1} の場合を考える。このとき
∑ n ≤ λ ( 1 − n λ ) δ = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ Γ ( 1 + δ ) Γ ( s ) Γ ( 1 + δ + s ) ζ ( s ) λ s d s = λ 1 + δ + ∑ n b n λ − n {\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}}
となる。ここで c > 1 {\displaystyle c>1} であり、 Γ ( s ) {\displaystyle \Gamma (s)} はガンマ函数、 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} はリーマンゼータ函数である。
数学におけるリース平均(リースへいきん、英: Riesz mean)とは、ある級数に関する項の平均のことを言う。1911年、リース・マルツェルによってチェザロ平均を改善するものとして導入された。ボホナー=リース平均(英語版)や強リース平均(strong-Riesz mean)とは異なる。
∑ n ≤ λ ( 1 − n λ ) δ Λ ( n ) = − 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ Γ ( 1 + δ ) Γ ( s ) Γ ( 1 + δ + s ) ζ ′ ( s ) ζ ( s ) λ s d s = λ 1 + δ + ∑ ρ Γ ( 1 + δ ) Γ ( ρ ) Γ ( 1 + δ + ρ ) + ∑ n c n λ − n {\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}}
となる。ここで再び c > 1 であり、ρ についての和はリーマンゼータ函数の零点についての和を意味し、
∑ n c n λ − n {\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}
は λ > 1 に対して収束する。
ここで現れる積分はネアルン=ライス積分に似たものである。非常に大雑把に言うと、それらはペロンの公式によって関連付けられる。