アティヤ＝ボットの不動点定理
古典的な結果において、滑らかな写像
f:M → M
の不動点の正確な貢献を数えるための整数であるレフシェッツ数に代わるものを見つけることがアイデアである。直感的に言うと、不動点とは、M×M における f のグラフと対角線(恒等写像のグラフ)との交点であり、レフシェッツ数は交点数である。アティヤ=ボットの定理は、左辺が大域的位相幾何学的(ホモロジー的)計算の結果で、右辺は f の不動点での局所的な貢献の和であるような方程式である。
M×M の余次元(英語版)を数えることで、f のグラフと対角線に対する横断性の仮定は、不動点の集合が必ず 0 次元であることを保証するものであることが分かる。すると M を閉多様体と仮定することにより、交点の集合が有限で、期待される方程式の右辺の和も有限となる。各 j に対し、ベクトル Ej の楕円型複体、すなわち
φj:f Ej → Ej
からの束写像(英語版)で、断面上で導かれる写像がその楕円型複体の自己準同型 T であるようなものに関連して、さらなるデータが必要となる。