固有状態熱化仮説
小さな格子系での様々な数値的な研究から、熱化が期待される相互作用系について固有状態熱化仮説 (ETH) の予測が恐らく正しいことが確認されている。 同様に、可積分系について ETH に従わない傾向があることが確認されている。
また、強く励起されたエネルギー固有状態の性質に関するいくつかの仮定の下、解析的な結果が得られている。スレドニキの1994年の ETH の論文では特に、断熱壁に囲まれた量子剛体球気体の例が研究されている。剛体球気体は古典的なカオスを示す系としてよく知られている。 充分高いエネルギーを持つ状態について、ベリー予想(Berry's conjecture)によれば、剛体球気体のエネルギー固有状態の波動関数はランダムな位相と正規分布した振幅を持つ平面波の重ね合わせとして振る舞う(厳密な設定に関してはスレドニキの論文を参照)。
以上の仮定の下、粒子数が充分大きい熱力学極限において、個々の区別できる粒子に対する運動量の分布関数はマクスウェル=ボルツマン分布に等しくなる:
f M B ( p , T α ) = ( 2 π m k T ) − 3 / 2 e − p 2 / 2 m k T α . {\displaystyle f_{\rm {MB}}\left(\mathbf {p} ,T_{\alpha }\right)=\left(2\pi mkT\right)^{-3/2}e^{-\mathbf {p} ^{2}/2mkT_{\alpha }}.}
エネルギー固有状態を基底とすれば、この演算子の行列要素は次のように書ける:
A α β ≡ ⟨ E α | A ^ | E β ⟩ . {\displaystyle A_{\alpha \beta }\equiv \langle E_{\alpha }|{\hat {A}}|E_{\beta }\rangle .}
物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の初期状態における期待値が、対象とするエネルギースケールにおけるミクロカノニカルアンサンブルから予測した値から大きく離れているとする(初期状態は互いに充分近い準位のエネルギー固有状態の重ね合わせであると仮定する)。 固有状態熱化仮説(ETH)は、以下の条件を満たす任意の初期状態について、物理量 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の期待値がミクロカノニカルアンサンブルによる予測値へ向かって時間とともに収束し、以後その値の周りをわずかにゆらぎ続けることを主張する:
対角成分 A α α {\displaystyle A_{\alpha \alpha }} はエネルギーの関数として滑らかに変化し、隣接する対角成分との差 A α + 1 , α + 1 − A α , α {\displaystyle A_{\alpha +1,\alpha +1}-A_{\alpha ,\alpha }} は系のサイズに従って指数関数的に小さくなる