複素線積分
次に注意:
∮ C f ( z ) d z = ∫ − a a f ( z ) d z + ∫ Arc f ( z ) d z {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz}
したがって
∫ − a a f ( z ) d z = ∮ C f ( z ) d z − ∫ Arc f ( z ) d z . {\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz.}
さらに次が成り立つ:
f ( z ) = 1 ( z 2 + 1 ) 2 = 1 ( z + i ) 2 ( z − i ) 2 . {\displaystyle f(z)={1 \over (z^{2}+1)^{2}}={1 \over (z+i)^{2}(z-i)^{2}}.}
閉曲線の囲む領域内に二位の極 i があるため、コーシーの積分公式を用いて、
∮ C f ( z ) d z = 2 π i d d z ( 1 ( z + i ) 2 ) | z = i = 2 π i ( − 2 ( z + i ) 3 ) | z = i = π 2 . {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i{\frac {d}{dz}}\left({1 \over (z+i)^{2}}\right){\Bigg |}_{z=i}=2\pi i\left({\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right){\Bigg |}_{z=i}={\frac {\pi }{2}}.
∮ C 1 1 + 3 ( 1 2 ( z + 1 z ) ) 2 d z i z = ∮ C 1 1 + 3 4 ( z + 1 z ) 2 1 i z d z = ∮ C − i z + 3 4 z ( z + 1 z ) 2 d z = − i ∮ C 1 z + 3 4 z ( z 2 + 2 + 1 z 2 ) d z = − i ∮ C 1 z + 3 4 ( z 3 + 2 z + 1 z ) d z = − i ∮ C 1 3 4 z 3 + 5 2 z + 3 4 z d z = − i ∮ C 4 3 z 3 + 10 z + 3 z d z = − 4 i ∮ C 1 3 z 3 + 10 z + 3 z d z = − 4 i ∮ C z 3 z 4 + 10 z 2 + 3 d z = − 4 i ∮ C z 3 ( z + 3 i ) ( z − 3 i ) ( z + i 3 ) ( z − i 3 ) d z = − 4 3 i ∮ C z ( z + 3 i ) ( z − 3 i ) ( z + i 3 ) ( z − i 3 ) d z .
リーマン積分の複素変数の関数への一般化は実数からの関数に対する定義との完全な類似でなされる。向き付けられた滑らかな曲線 γ の分割は γ 上の有限個の順序付けられた点の集合と定義される。その曲線上の積分は分割の点での関数値の有限和の極限である。極限は分割の連続する2点の(複素平面での)距離(分割の幅)の最大値が 0 に行くようにとる。
関数の積分表現 (integral representation) とは路に沿う積分を含む関数の表示である。様々な積分表現が多くの特殊関数に対して知られている。積分表現は理論的な理由で重要となり得る。例えば解析接続や関数等式やときには数値評価を与える。
例えば、リーマンのゼータ関数 ζ(s) のディリクレ級数を用いたもともとの定義
∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
は Re(s) > 1 に対してのみ有効である。しかし
ζ ( s ) = − Γ ( 1 − s ) 2 π i ∫ H ( − t ) s − 1 e t − 1 d t {\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{H}{\frac {(-t)^{s-1}}{e^{t}-1}}dt}
(ただし積分はハンケルの積分路(英語版) H 上する)はすべての複素数 s に対して有効である。