オイラーの公式
ここで (3) の両辺に、(cos x - i sin x) の複素共役 (cos x + i sin x) を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 sinx + cosx = 1 よりオイラーの公式が得られる。
e i x = cos  x + i sin  x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
証明 — 別の証明として、実変数 x の関数 f (x) を次のように定義する。
f (x) を x について微分すると以下のようになる。
f ′ ( x ) = ( cos  x + i sin  x ) ′ ⋅ e − i x + ( cos  x + i sin  x ) ⋅ ( e − i x ) ′ (Leibniz's rule) = ( − sin  x + i cos  x ) ⋅ e − i x − ( cos  x + i sin  x ) ⋅ i e − i x = ( − sin  x + i cos  x − i cos  x + sin  x ) ⋅ e − i x ( i 2 = − 1 ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=(\cos x+i\sin x)'\cdot e^{-ix}+(\cos x+i\sin x)\cdot (e^{-ix})'\qquad {\mbox{(Leibniz's rule)}}\\&=(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot ie^{-ix}\\&=(-\sin x+i\cos x-i\cos x+\sin x)\cdot e^{-ix}\qquad (i^{2}=-1)\\&=0.\end{aligned}}}
実関数としての指数関数 e, 三角関数 cos x, sin x をそれぞれマクローリン展開すると
となる。これらの冪級数の収束半径が ∞ であることは、ダランベールの収束判定法によって確認することができる。従ってこれらの級数は、変数 x を複素数全体に拡張することができ、広義一様収束する。つまりこれらの級数によって表される関数は整関数である。解析接続すると、一致の定理より、複素数全体での正則関数としての拡張は一意であり、この収束冪級数で表される。
ここで、 e の x を ix に置き換え、e の冪級数が絶対収束することより級数の項の順序は任意に交換可能であることを考慮すれば
e i x = ∑ n = 0 ∞ i n n ! x n = ∑ n = 0 ∞ i 2 n ( 2 n ) ! x 2 n + ∑ n = 0 ∞ i 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n + i ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = cos  x + i sin  x {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {i^{n}}{n!