グラハム数
x ↑↑↑ 1 = x {\displaystyle x\uparrow \uparrow \uparrow 1=x}
x ↑↑↑ y = x ↑↑ { x ↑↑↑ ( y − 1 ) } {\displaystyle x\uparrow \uparrow \uparrow y=x\uparrow \uparrow \left\{x\uparrow \uparrow \uparrow (y-1)\right\}}
つまり、
x ↑↑↑ y = x ↑↑ x ↑↑ ⋯ ↑↑ x ⏟ y copies of x {\displaystyle x\uparrow \uparrow \uparrow y=\underbrace {x\uparrow \uparrow x\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow x} _{y{\text{ copies of }}x}}
である。
一般の場合も同様に、「↑...(n 本)...↑」=「↑」を次のように定義する。
x ↑ n 1 = x {\displaystyle x\uparrow ^{n}1=x}
x ↑ n y = x ↑ n − 1 { x ↑ n ( y − 1 ) } {\displaystyle x\uparrow ^{n}y=x\uparrow ^{n-1}\left\{x\uparrow ^{n}\left(y-1\right)\right\}}
グラハムとロートシルトは1971年に、より小さい上限として小グラハム数 (Little Graham) を示した。この数は関数 F(n) を
F ( n ) = 2 ↑ n 3 = 2 ↑ ⋯ ↑ ⏟ n 3 = 2 → 3 → n {\displaystyle F(n)=2\uparrow ^{n}3=2\underbrace {\uparrow \cdots \uparrow } _{n}3=2\rightarrow 3\rightarrow n}
と定義したときの
03112 ] {\displaystyle {10}^{{10}^{{10}^{{10}^{{10}^{1.1}}}}}\approx {10}^{{10}^{{10}^{3883775501690}}}\approx {10}^{{10}^{{10}^{{10}^{{3}^{2.3}}}}}\approx {10}^{{10}^{{3}^{{3}^{{3}^{3}}}}}\approx 3\uparrow ^{2}6\in \left[\left(3\uparrow \right)^{5}2.89997,\left(3\uparrow \right)^{6}1.03112\right]} であり、これもグラハム数はおろかG(3) ともとても比較にならない。
レオナルド・サスキンドは宇宙の直径を 10 10 10 122 {\displaystyle 10^{10^{10^{122}}}} と推定しているが、この値をbとすると、bもaと同様に桁数が大きすぎて単位が考慮されていない。しかし、1辺がbヨタパーセクの立方体に1辺が1プランク長の立方体が隙間なく詰め込まれ、それらの立方体がa千年紀に渡って1プランク時間ごとに1種類の文字を生成し、作業完了時点で完全に重複する文字が1種類も存在しない場合ですら、生成された文字をc種類とし、c-1を表現する文字をc個並べた数をdとした場合、dはグラハム数はおろかG(3) ともとても比較にならない。