グレイシャー・キンケリンの定数
∫ 0 ∞ x ln  x e 2 π x − 1 d x = 1 2 ζ ′ ( − 1 ) = 1 24 − 1 2 ln  A {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}dx={\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A}
この定数の級数表現は、ヘルムート・ハッセにより与えられた、リーマンゼータ関数のための級数から生じる。
ln  A = 1 8 − 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + 1 ) 2 ln  ( k + 1 ) {\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)}
∑ k = 2 ∞ ln  k k 2 = − ζ ′ ( 2 ) = π 2 6 [ 12 ln  A − γ − ln  ( 2 π ) ] {\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta ^{\prime }(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]}
ここで、 γ {\displaystyle \gamma } はオイラーの定数である。後の式は、グレーシャーにより見つけられた以下の無限積を与える。
∏ k = 1 ∞ k 1 k 2 = ( A 12 2 π e γ ) π 2 6 . {\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k^{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}
以下は、この定数を含むいくつかの積分である。
∫ 0 1 / 2 ln  Γ ( x ) d x = 3 2 ln  A + 5 24 ln  2 + 1 4 ln  π {\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)dx={\frac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\frac {1}{4}}\ln \pi }