天体力学
厳密には天体は球形ではなく、それに対応して天体の重力ポテンシャルには単極子項への補正が存在する(多重極展開(英語版))。これは特に地球を周回する人工衛星の軌道に最も大きな摂動として寄与するため、軌道力学では重力ポテンシャルの補正を考慮する必要がある。軸対称な天体の場合には、重力ポテンシャル Φ {\displaystyle \Phi } は、 M {\displaystyle M} を天体の質量、 R {\displaystyle R} を天体の半径、 J l {\displaystyle J_{l}} を質量分布に関する定数として、ルジャンドル多項式 P l {\displaystyle P_{l}} を用いて
Φ ( r , θ , φ ) = − G M r { 1 − ∑ l = 2 ∞ J l ( R r ) l P l ( cos  θ ) } {\displaystyle \Phi (r,\theta ,\varphi )=-{\frac {{\mathcal {G}}M}{r}}\left\{1-\sum _{l=2}^{\infty }J_{l}\left({\frac {R}{r}}\right)^{l}P_{l}(\cos \theta )\right\}}
と書ける。
上述のように、アイザック・ニュートンはプリンキピアにおいて惑星軌道が円錐曲線であるならば逆二乗則に従う中心力が作用していることを示したものの、逆に逆二乗則の重力を受けて運動する物体の軌道がどのようなものかという問題に対しては十分な回答を著述しなかった。この問題は1710年の Jakob Hermann の研究、そしてそれに続くヨハン・ベルヌーイの研究によって解決された。
1730年代にピエール・ルイ・モーペルテュイ (1698-1759) 率いる観測隊は地球が赤道付近で膨らんでいる扁球であることを証明した(フランス科学アカデミーによる測地遠征)。これにより地球の形状に関するジャック・カッシーニ (1677-1756) の測量が棄却され、それと対立していたニュートンの理論の正しさが明らかになった。この観測に参加していたアレクシス・クレローは地球の形状に関する1743年の著書 Théorie de la figure de la terre を出版した後に天体力学の研究を始め、1747年11月にパリで三体問題に関する口頭発表を行い、月の近地点移動を説明するためには万有引力の法則に逆三乗則に従う付加項が必要であると主張した(逆二乗則に補正を加えるというアイデアは John Keill にまで遡る)。
シャルル=ウジェーヌ・ドロネー (1816-1872) は1860年および1867年に二巻からなる La Théorie du mouvement de la lune を出版し、月の運動について論じた。その中でドロネーは Jacques Binet (1786-1856) が1841年に導入した変数をもとにドロネー変数として知られる正準変数を定義している。ただしドロネーの理論は級数の収束が遅く十分な精度を得るためには多大な計算を要するという難点があった。
ジョージ・ウィリアム・ヒル (1838-1914) は1870年代からドロネーの理論を発展させた。彼は月の軌道を楕円軌道ではなく三体問題の近似解である卵形の軌道として扱い、またそれまで天体力学ではあまり普及していなかった複素指数関数
e ± − 1 θ = cos  θ ± − 1 sin  θ {\displaystyle e^{\pm {\sqrt {-1}}\theta }=\cos \theta \pm {\sqrt {-1}}\sin \theta }
を全面的に採用した。アーネスト・ウィリアム・ブラウン (1866-1938) は1896年に An Introductory Treatise on the Lunar Theory を出版した後も月の理論についての研究を続け、1919年に月の天文表を完成させた。
I i j = ∫ ρ ( | x | 2 δ i j − x i x j ) d 3 x {\displaystyle I_{ij}=\int \rho (|\mathbf {x} |^{2}\delta _{ij}-x_{i}x_{j})d^{3}x}
である。しばしば座標系として慣性主軸を取り、そのとき慣性モーメントテンソルは主慣性モーメント A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} を固有値とする対角行列となる。
地球の自転軸は月と太陽および他の惑星による摂動を受け、複雑に変化する。このうち長周期での軸の移動を歳差 (英: precession)、より短周期での振動を章動 (英: nutation) と呼ぶ。歳差の周期は約2万6000年であり、春分点の移動をもたらす。章動のうちもっとも振幅の大きな成分は周期18.6年であり、月の昇交点がこの周期で移動していることによる。歳差および章動は木下宙によって1977年に精密な理論が構築された。
惑星形成理論は微惑星の集積として惑星が形成される過程を議論するものであり、微惑星の合体成長過程は天体力学と関係している。
月の満ち欠け(月相)は太陰暦および太陰太陽暦の基礎であり、月の運動は古くから記録されてきた。月の軌道は等速円運動ではなく、そこからのずれ(不等, 英: inequality)が存在する。月の軌道が楕円軌道であることによる不等が中心差(英語版) (英: equation of the center) であるが、これ以外に例えば太陽の摂動によって次のような不等が存在する。
出差(英語版) (英: evection): 遠地点または近地点が太陽の向きにあるとき、相対的に強い摂動を受ける効果。
二均差(英語版) (英: variation): 1朔望月の間に太陽の摂動によって地球の重力が実効的に変化する効果。
年差 (英: annual equation): 地球の離心率のために一年の間に太陽の摂動の強さが変化する効果。
これらの不等を説明し、精度よく月の運動を予測することは太陰運動論(英語版)または月運動論 (英: lunar theory) として古くから調べられてきた。
R i = k 2 ∑ j ≠ i m j ( 1 | r i − r j | − r i ⋅ r j | r j | 3 ) {\displaystyle R_{i}=k^{2}\sum _{j\neq i}m_{j}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}-{\frac {\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j}}{|\mathbf {r} _{j}|^{3}}}\right)}
を満足する。ここに m i {\displaystyle m_{i}} は惑星 i {\displaystyle i} の質量であり、摂動関数の第1項を直接項 (英: direct term)、第2項を間接項 (英: indirect term) と呼ぶ。
摂動関数 R {\displaystyle R} による接触軌道要素 σ j {\displaystyle \sigma _{j}} の時間変化はラグランジュの惑星方程式
∑ k = 1 6 [ σ j , σ k ] d σ k d t = ∂ R ∂ σ j ( j = 1 , 2 , ...
20世紀には観測技術の進展によって太陽系天体が多く発見され、またその理論も進展した。平山清次 (1874-1943) は1918年に小惑星の族の概念を導入した。クライド・トンボー (1906-1997) は1930年に冥王星を発見した(冥王星は2006年のIAU決議によって惑星から準惑星へと分類が変更された)。Mikhail Lidov (1926-1993) と古在由秀 (1928-2018) は1961年から62年に彗星が大きな離心率を獲得する機構を説明し得る古在メカニズムを提案した。ピーター・ゴールドレイク (1939-) とScott Tremaine (1950-) は1979年に環における羊飼い衛星の存在を理論的に予想した。