Δ集合環
集合環 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} 上で定義された測度を、 R {\displaystyle {\mathcal {R}}} が生成する σ-加法族にまで延長することを述べた古典的なカラテオドリの拡張定理の示すところによれば、この構成で得られる測度は有限測度ではなく、測度無限大の部分集合を考慮せねばならないということになる。σ-有限な測度から構成を始めるならば、別な拡張法もある。これは A {\displaystyle {\mathcal {A}}} によって生成される(σ-集合代数ではなく)δ-集合環を与える拡張定理として述べることができる。この状況では測度の定義に値として +∞ を導入することが許される。
集合 X 上の δ-集合環 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} が与えられたとき、X の部分集合 A が D {\displaystyle {\mathcal {D}}} に関して局所可測 (locally measurable) であるとは、
D {\displaystyle {\mathcal {D}}} の任意の元 E に対し E ∩ A ∈ D {\displaystyle E\cap A\in {\mathcal {D}}}
となることを言う。 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} に関する局所可測部分集合全体の成す族は σ-加法族である。 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 上の有限測度 μ が与えられたとき、 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} に関する局所可測集合 A に対して
μ ( A ) = sup { μ ( B ) ∣ B ∈ D and B ⊂ A } {\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (B)\mid B\in {\mathcal {D}}{\text{ and }}B\subset A\}}
と定めることにより、μ を D {\displaystyle {\mathcal {D}}} に関する局所可測集合全体の成す σ-加法族上の測度に延長することができる。