楕円積分
k = 0 {\displaystyle k=0} の場合は逆三角関数に、 k = 1 {\displaystyle k=1} の場合は逆双曲線関数になる。
!}{(2n-1)(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\pi /2}{\sin ^{2n}\theta }d\theta }\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {\pi }{2}}}\\&={\frac {\pi }{2}}\left(1-\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}}\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}}\\\end{aligned}}}
となる。ただし、 ( − 1 ) ! ! = 1 {\displaystyle (-1)!!=1} と定義する。