多体波動関数
ここで N {\displaystyle {\mathcal {N}}} は規格化定数であり、和 ∑ π ∈ S N {\displaystyle \sum _{\pi \in S_{N}}} はN!個の置換 π {\displaystyle \pi } 全てについての和を表す。これは ψ α j ( r i ) {\displaystyle \psi _{\alpha _{j}}({\boldsymbol {r}}_{i})} をi 行j 列行列要素にもつN×N行列 U {\displaystyle U} のパーマネント (数学) Ψ B = N perm  U {\displaystyle \Psi _{B}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U} である。
ボース粒子の場合、次のような対称化演算子 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} によって多体波動関数は対称化される。
Ψ B ( r 1 , r 2 , ... , r N ) = N S Ψ ( r 1 , r 2 , ... , r N ) = N ∑ π ∈ S N ψ α 1 ( r π ( 1 ) ) ψ α 2 ( r π ( 2 ) ) ... ψ α N ( r π ( N ) ) {\displaystyle \Psi _{B}({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi ({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{1}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (1)})\psi _{\alpha _{2}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (2)})\dots \psi _{\alpha _{N}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (N)})}
フェルミ粒子の場合、次のような反対称化演算子 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} によって多体波動関数が反対称化される。
Ψ F ( r 1 , r 2 , ... , r N ) = N A Ψ ( r 1 , r 2 , ... , r N ) = N ∑ π ∈ S N ( − 1 ) π ψ α 1 ( r π ( 1 ) ) ψ α 2 ( r π ( 2 ) ) ... ψ α N ( r π ( N ) ) {\displaystyle \Psi _{F}({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi ({\boldsymbol {r}}_{1},{\boldsymbol {r}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{1}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (1)})\psi _{\alpha _{2}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (2)})\dots \psi _{\alpha _{N}}({\boldsymbol {r}}_{\pi (N)})}
( − 1 ) π ≡ ( − 1 ) n {\displaystyle (-1)^{\pi }\equiv (-1)^{n}}
置換 π {\displaystyle \pi } を決めても、互換の個数 n {\displaystyle n} は一通りには決まらない。それでも ( − 1 ) n {\displaystyle (-1)^{n}} は一通りに決まる。パリティが ( − 1 ) π = 1 {\displaystyle (-1)^{\pi }=1} となるような置換のことを偶置換、 ( − 1 ) π = − 1 {\displaystyle (-1)^{\pi }=-1} となる置換のことを奇置換という。
これらを用いると、N粒子波動関数の対称性・反対称性は次のように表せる。
Ψ B ( r 1 , r 2 , ... , r N ) = Ψ B ( r π ( 1 ) , r π ( 2 ) , ...
波動関数の対称性を簡単に表すために、数学における置換を導入する。1からNの数字を並べたもの { 1 , 2 , ... , N } {\displaystyle \{1,2,\dots ,N\}} を並べ替える操作 π {\displaystyle \pi } を、N次の置換と呼ぶ。
{ 1 , 2 , ... , N } → { π ( 1 ) , π ( 2 ) , ... , π ( N ) } {\displaystyle \{1,2,\dots ,N\}\to \{\pi (1),\pi (2),\dots ,\pi (N)\}}
置換は一対一写像であり、全部でN!通りある。これらの集まりは群をなし、N体の置換群(または対称群) S N {\displaystyle S_{N}} と呼ぶ。 置換の中でも、単に2つの数字を入れ替えるだけの操作を互換という。
ある置換 π {\displaystyle \pi } が n {\displaystyle n} 個の互換の組み合わせで書けるとき、置換 π {\displaystyle \pi } の符号(またはパリティ) ( − 1 ) π {\displaystyle (-1)^{\pi }} を次のように定義する。