連続 (数学)
各点連続よりも強い概念に一様連続性の概念がある。1変数実関数 f(x) についてこれは次のように定義される。
任意の正の数 ε に対して、正の数 δ が存在し、距離が δ 未満であるどんな数 x, y に対しても、f(x) と f(y) との差が ε より小さくなっているならば、f は一様連続であるという。つまり、区間 I ⊂ R で定義された f : I → R が I 上一様連続とは、
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 s.t. ∀ x , y ∈ I [ | x − y | < δ ⇒ | f ( x ) − f ( y ) | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,{}^{\exists }\delta >0\;{\text{s.t.}}\;{}^{\forall }x,y\in I\;[\ |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon ]}
ということである。定義より、ある関数が区間 I 上一様連続ならばそれは I 上連続でもある。一般的にこの逆は成り立たないが、区間 I が有界閉区間ならば逆も成り立つ(ハイネ・カントールの定理)。
この概念は距離空間の間の、あるいは一様空間の間の写像の一様連続性として抽象化される。有界閉区間上の関数に対する連続性と一様連続性の一致は、コンパクト空間が自然に一様空間の構造をもつということで説明される。