準同型
通常は (f, F): (A, R) → (B, S) を単に準同型 f: A → B と略記する。
重要なことは、A の演算と B の演算とが台集合上の写像 f のみで一対一に対応させることができるということである。これを、f は構造を保存 (structure preserving) する、構造と両立 (compatible with structure) する、構造と可換 (commute with structure) であるなどといい表す。これにより、A における演算が f で B に移されると考えることができる。特に、準同型写像 f: A → B が与えられたとき、その像 f(A) は B の部分代数系となる。このとき一般には、像 f(A) はもとの代数系 A からある程度 "つぶれている" ため、像 f(A) から直接にもとの代数系 A の様子を知ることは完全にはできないのであるが、この潰れ具合は準同型の核と呼ばれる同値関係によって推し量ることができ、それによってもとの代数系 A を復元することができる。一方、準同型 f が単射であれば A は B にその構造まで込めて埋め込まれる。ゆえに、単射な準同型をしばしば埋め込み(うめこみ、embedding)と呼ぶ。
位相群や順序体など、代数的構造以外に付加的な構造を持つ代数系において準同型写像と呼ぶべきものは、単に抽象代数系としての準同型になっているということだけではなく、付加された構造をも考慮したものをとるのが普通である。
たとえば位相空間の構造を持つならば準同型は連続写像である。同型写像に当たるものは全単射かつ両連続な写像であり、それは同相写像 (homeomorphism) あるいは位相同型写像 (homeomorphic isomorphism) と呼ばれる。同様に、順序構造が付加されている代数系の準同型は単調写像(順序を保つ写像・順序を逆にする写像)であり、同型写像は全単射な単調写像、順序同型(順序を保つ同型・順序を逆にする同型)と呼ばれる性質を持つものを言うのである。