部分和分
以下の三条件 部分和 BN が N によらず有界数列を成す。 ∑ n = 0 ∞ | a n + 1 − a n | < ∞ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|<\infty } . (従って ∑ n = N M − 1 | a n + 1 − a n | → 0 ( as N → ∞ ) {\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|\to 0({\text{ as }}N\to \infty )} lim a n = 0 {\displaystyle \lim a_{n}=0}
がすべて満たされるならば SN = ∑Nn=0 anbn は収束する。
何れの場合においても、収束値 S = ∑∞n=0 anbn は
| S | = | ∑ n = 0 ∞ a n b n | ≤ B ∑ n = 0 ∞ | a n + 1 − a n | {\displaystyle |S|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq B\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|}
なる評価を得る。ただし、B は部分和 BN = ∑Nn=0 bn の成す列の(N に依らない)上界とする。
実際に上記の判定法が成り立つことを見よう。