フォック状態
以下の反交換関係を満たす生成消滅演算子を定義する。
{ c ^ , c ^ † } = 1 {\displaystyle \{{\hat {c}},{\hat {c}}^{\dagger }\}=1}
{ c ^ , c ^ } = { c ^ † , c ^ † } = 0 {\displaystyle \{{\hat {c}},{\hat {c}}\}=\{{\hat {c}}^{\dagger },{\hat {c}}^{\dagger }\}=0}
また数演算子とよばれるエルミート演算子を以下で定義する。
N ^ ≡ c ^ † c ^ {\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {c}}^{\dagger }{\hat {c}}}
この固有値方程式は、
N ^ | n ⟩ = n | n ⟩ {\displaystyle {\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle }
真空状態を以下で定義する。
c ^ | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle {\hat {c}}|0\rangle =0}
真空状態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } に生成演算子をくり返し作用させると、 { c ^ † , c ^ † } = 2 ( c ^ † ) 2 = 0 {\displaystyle \{{\hat {c}}^{\dagger },{\hat {c}}^{\dagger }\}=2({\hat {c}}^{\dagger })^{2}=0} より、
生成消滅演算子や数演算子の作用はボース粒子の場合と同じであるように見えるが、フェルミ粒子フォック状態の最大占有数から違いが生じる。 上述の2つのフェルミ粒子の例を拡張し、 次のように置換演算子のある特定の和を固有ケットのテンソル積に適用することで、 フェルミ粒子フォック状態 | n 1 , n 2 , ⋯ , n l , ⋯ ⟩ {\displaystyle |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{l},\cdots \rangle } が得られることをまず確かめておかなければならない。
| n 1 , n 2 , ⋯ , n l , ⋯ ⟩ = S − | i 1 , i 2 , ⋯ , i l , ⋯ ⟩ = 1 N !