Tonnetz
Tonnetz が最初に登場したのは、オイラーの1739年の『Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae』である。左の画像にあるオイラーのTonnetzは、完全5度と長3度との三和音の関係を示している。画像の上部はF、左下はC(Fの完全5度上)、右はA(Fの長3度上)である。この空間は、1858年にアーンスト・ナウマン(英語版)によって再発見され、1866年にアーサー・フォン・エッティンゲン(英語版)の論文によって広く知られることとなった。エッティンゲンと、有力な音楽学者フーゴー・リーマン (数学者ベルンハルト・リーマンと混同しないこと)は、和音間の和声運動と主音の調音を図示する空間の能力を探った。Tonnetzと同様の認識は、19世紀後半の多くのドイツの音楽理論家の作品に現れた。
エッティンゲンとリーマンは、純粋な間隔で構成される純正律で定義される図表上での関係性を考えた。Tonnetzの水平方向の行の一方は、無限に拡張された完全5度のシーケンスを形成できる(F - C - G - D - A - E - B - F♯ - C♯ - G♯ - D♯ - A♯ - E♯ - B♯ - F - C - G - 等)。Fから始まり、完全5度を12回繰り返した後、E♯に到達する。純正律の完全5度は、現代の一般的な調律システムである平均律で使用されている妥協的な5度よりもわずかに大きくなっている。