ヘンゼルの補題
つまり、 R / I {\displaystyle R/I} の元を使って表されている対象があったとき、持ち上げとは対象の性質を保ったまま還元するとこの対象に等しくなるように R {\displaystyle R} (もしくはある k > 1 に対する R / I k {\displaystyle R/I^{k}} )の元に置き換えることをいう。
例えば、多項式 h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} が法 I で h ≡ f g ( mod I ) {\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}} と因数分解されているとき、この因数分解を法 I k {\displaystyle I^{k}} へ持ち上げるとは、多項式 f ′ , g ′ ∈ R [ X ] {\displaystyle f',g'\in R[X]} であって f ′ ≡ f ( mod I ) , {\textstyle f'\equiv f{\pmod {I}},} g ′ ≡ g ( mod I ) , {\textstyle g'\equiv g{\pmod {I}},} h ≡ f g ( mod I k ) {\textstyle h\equiv fg{\pmod {I^{k}}}} を満たすものを見つけることである。ヘンゼルの補題は、この因数分解の持ち上げが緩い条件のもとで常に可能であることを主張するものである。
帰納法の仮定をもう一度使うと
δ g − δ g ′ ≡ ( a f + b g ) ( δ g − δ g ′ ) ≡ g ( b ( δ g − δ g ′ ) − a ( δ f − δ f ′ ) ) ( mod I n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{g}-\delta '_{g}&\equiv (af+bg)(\delta _{g}-\delta '_{g})\\&\equiv g(b(\delta _{g}-\delta '_{g})-a(\delta _{f}-\delta '_{f})){\pmod {I^{n}}}\end{aligned}}}
となる。したがって、次数が deg  g {\displaystyle \deg g} 未満の多項式が法 I n {\displaystyle I^{n}} でモニック多項式 g ともう1つの多項式 w の積と合同になったことになる。これが起こり得るのは w ∈ I n R [ X ] {\displaystyle w\in I^{n}R[X]} の場合だけなので、これから δ g − δ g ′ ∈ I n R [ X ] {\displaystyle \delta _{g}-\delta '_{g}\in I^{n}R[X]} が得られる。同様に δ f − δ f ′ {\displaystyle \delta _{f}-\delta '_{f}} も I n R [ X ] {\displaystyle I^{n}R[X]} に含まれることが示せるので、これで一意性が証明できた。