シュリニヴァーサ・ラマヌジャン
ラマヌジャンが1729という数字を何故意識していたのか、没後90年以上よく分っていなかったが、21世紀に入って理由が判明した。
2013年、エモリー大学のケン・オノはアンドリュー・グランヴィル(英語版)と共にケンブリッジ大学が所蔵するラマヌジャンの遺稿を調査した際、インド帰国後の1919年に病床で記したノートの中に、1729の計算とそれにまつわる覚書があるのを発見した。オノとグランヴィルが驚いたことに、ラマヌジャンはその中で次数3である場合のフェルマーの最終定理の「反例に近い値」を無限個生成する式を与えていた。つまり、a + b = c + 1 または a + b = c − 1を満たす a, b, c を探すという問題に対する答である。1729は10 + 9 = 12 + 1としてこの計算の中に現れる。
オノはこの発見を持ち帰り、彼の指導院生であるSarah Trebat-Lederと共に精査した結果、この時ラマヌジャンは答を導出する過程で1729と楕円曲線から今日で言うK3曲面を構成していたことを発見した。これはアンドレ・ヴェイユによるK3曲面の再発見と命名に30年以上先行する仕事である。更にラマヌジャンのK3曲面はランク≧2の楕円曲線を無限個生成するという特別な性質を持っていた。
この逸話のため、1729は俗にハーディ・ラマヌジャン数やタクシー数などと呼ばれており、スタートレックやフューチュラマなどのSFや、ハッカー文化の文脈では「一見すると特に意味のない数」のような文脈でこの数が使われていることがある。ちなみに1729は、カーマイケル数でもある。
この逸話には続きがあり、ハーディが四乗数でも同様のものがあるのかを尋ねた所、ラマヌジャンは少し考えた後「あると思うが大きすぎて分からない」と答えたという。この直感は当たっており、実際、四乗数はそれより何桁も大きい数である。
635 318 657 = 134 + 133 = 158 + 59
補足:上記でいう立方数は自然数を3乗した数のことであり、整数(0は含まず)を3乗した数として負の数まで含め、また絶対値が違う組み合わせからなる値は91が最小(絶対値が最小)である。
91 = 6 + (−5) = 4 + 3
ラマヌジャンはその短い生涯の間に、独自に3,900近くの結果(ほとんどが恒等式と方程式)をまとめあげた。ラマヌジャン素数、ラマヌジャンθ関数、分割式、模擬θ関数など、彼の独創的で非常に型破りな結果は、全く新しい分野を開拓し、膨大な量の研究を促すことになった。彼の何千もの結果のうち、1, 2ダース分を除いて、すべてが正しいことが現在証明されている。
渡英後に発表した40編の論文の他には、渡英前の数学的発見を記したノートが3冊、帰国後に記された「失われたノートブック」が残っている。彼のノートには、発表された結果や未発表の結果がまとめられており、「新しい数学的アイデアの源」として、彼の死後数十年にわたって分析・研究されてきた。特に「失われたノートブック」には、晩年の発見が記されており、数学者たちの間で大きな話題となった。ただし、大学で系統的な数学教育を受けなかったため、彼は「証明」という概念を持っておらず、得た「定理」に関して彼なりの理由付けをするに留まっており、ラマヌジャンの業績は理解されにくかった。共同研究を行っていたハーディも、彼の直感性を損ねることを恐れて証明を押し付けることは避け、朝ラマヌジャンが持ってきた半ダースもの「定理」を1日かけて証明するという方法をとった。その後、多くの数学者の協力により、彼が26歳までに発見した定理に関して証明が行われた。