ルンゲ＝クッタ法
数値分析における安定性は、それぞれ異なる定義が複数存在する。ルンゲ=クッタ法の安定性を反映できる概念は、主に以下の二つである。
そうでないものを 陰的ルンゲ゠クッタ法 (IRK、英: implicit Runge–Kutta methods) と呼ぶ。
近似値 yn を yn+1 から計算するときに発生する誤差の大きさが O ( h p + 1 ) {\displaystyle O(h^{p+1})} のとき、そのルンゲ゠クッタ公式は p 次精度を持つといい、p を次数 (または位数) と呼ぶ。p 次のルンゲ゠クッタ公式は、誤差の大きさの条件に誤差の表式を代入し、係数の条件を求めることによって得られる。例えば、2段の陽的方法が2次精度を持つための係数に対する条件は、 b 1 + b 2 = 1 {\displaystyle b_{1}+b_{2}=1} , b 2 c 2 = 1 / 2 {\displaystyle b_{2}c_{2}=1/2} , かつ b 2 a 21 = 1 / 2 {\displaystyle b_{2}a_{21}=1/2} である。この条件を満たす範囲内で様々な方法を考え得る。
これらの係数を分かりやすく表記する方法として、以下のような形式のブッチャー配列 (Butcher tableau) が知られている:
一番単純な陰的ルンゲ=クッタ法は、後退オイラー法
y n + 1 = y n + h f ( t n + 1 , y n + 1 ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1})}
である。対応するブッチャー配列も単純に以下の通りである。
1 1 1 {\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}
他の例として、台形公式と呼ばれる方法は以下の公式で与えられる。
y n + 1 = y n + 1 2 h ( f ( t n , y n ) + f ( t n + 1 , y n + 1 ) ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\frac {1}{2}}h(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}))}
対応する配列は以下の通りである。
0 0 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}}
その対応は、 y n + 1 = y n + 1 2 k 1 + 1 2 k 2 {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{\frac {1}{2}}k_{1}+{\frac {1}{2}}k_{2}} を覚えてて、公式を以下のように書き換えると明らかになる。