両側加群
正整数 n と m に対し、実数を成分とする n × m 行列の集合 Mn,m(R) は R-S 両側加群である。ただし、R は n × n 行列の環 Mn(R) であり、S は m × m 行列の環 Mm(R) である。和と積は行列の和と積で考える。行列の高さと幅は積が定義されるように選んだのである。(n = m でない限り、)Mn,m(R) それ自身は環でないことに注意せよ。n × m 行列に別の n × m 行列をかけることは定義されていないからである。(rx)s = r(xs) という両側加群の重要な性質は、行列の積は結合的であるという主張である。
R が環であれば、R はそれ自身 R-両側加群であり、したがって R(R の n 個の直積)もそうである。
環 R の任意の両側イデアルは R-両側加群である。
可換環 R 上の任意の加群は自動的に両側加群である。例えば、もし M が左加群であれば、右からの積を左からの積と同じものとして定義できる。(しかしながら、すべての R-両側加群がこのようにして得られるわけではない。)
M が左 R-加群であれば、M は R-Z 両側加群である。ただし Z は有理整数環。同様に、右 R-加群は Z-R 両側加群であり、とくにアーベル群は Z-Z 両側加群と見なせる。
R が S の部分環であれば、S は R-両側加群であり、R-S 両側加群や S-R 両側加群でもある。