ケイリー・ハミルトンの定理
一般次数の n次正方行列 A = ( a i j ) i , j = 1 n {\displaystyle A=(a_{ij})_{i,j=1}^{n}} についてのケイリー・ハミルトンの定理の証明には、いくつかの方法がある。
e i θ ( n ^ ⋅ J ) = I 3 + i ( n ^ ⋅ J ) sin  θ + ( n ^ ⋅ J ) 2 ( cos  θ − 1 ) {\displaystyle e^{i\theta ({\hat {n}}\cdot \mathbf {J} )}=I_{3}+i({\hat {n}}\cdot \mathbf {J} )\sin \theta +({\hat {n}}\cdot \mathbf {J} )^{2}(\cos \theta -1)}
と書ける(これはロドリゲスの回転公式である)。記法については (rotation group SO(3)#A note on Lie algebra) を見よ。
後に下れば、ほかの群に対する表示も知られており、例えばローレンツ群 SO(3, 1), O(4, 2), SU(2, 2), GL(n, R)など。ここに O(4, 2) は時空の共形群(英語版) で SU(2, 2) はその単連結被覆(より精確には、O(4, 2) の連結成分 SO(4, 2) の単連結被覆)である。得られた多項式表示は、これら群の標準表現 (standard representation) に適用される。行列の冪を計算するために固有値に関するある種の知識が必要である。SU(2) の(したがって SO(3)) の)閉じた式は、近年にはすべての既約表現(例えば任意の spin)に対して得られている。