折鶴
一般には折鶴は正方形の紙から折ることが多いが、菱形や凧形の用紙などでも折ることができる。凧形の用紙から鶴を折ることは伏見康治により考案された。また正方形の紙から作る折り鶴であっても、鶴の頭と尾の部分の対称性を崩した鶴を折ることができる。この鶴は前川淳により考案された。このような折り鶴を変形折り鶴とよぶ。
変形折り鶴が折れる用紙の条件などはジャック・ジュスタン(Jacques Justin)、伏見康治、川崎敏和により研究された。川崎敏和による変形折り鶴の定理は以下の通りである。
4辺すべてに接する円(内接円)が描ける四辺形ならば必ず変形鶴がきれいに折れる。また変形鶴がきれいに折れる四辺形は必ず内接円を持つ。
折り鶴向きの四辺形すべてに対して前川鶴のような変形が行える。
折り鶴向きの四辺形は凹んでいても構わない。また三角形でもよい。
折り鶴向きの四辺形は開いても構わない。
1点から放射状に延びる4直線で紙を平坦に折り畳んだものを1直線で切ってから広げると折り鶴向きの四辺形がすべて得られる。