双対 (圏論)
射 f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} がモノ射であるとは f ∘ g = f ∘ h {\displaystyle f\circ g=f\circ h} ならば g = h {\displaystyle g=h} であることをいう.双対を取れば, g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f} ならば g = h {\displaystyle g=h} というステートメントを得る.射 f : B → A {\displaystyle f\colon B\to A} に対しこれはちょうど f がエピ射であるということである.つまり,モノ射であるという性質はエピ射であるという性質の双対である.
双対性を適用して,これは,ある圏 C における射がモノ射であることと反対圏 C においてそれを逆向きにした射がエピ射であることが同値であることを意味する.
半順序の不等式の向きを逆にして例が作れる.つまり X が集合で ≤ が半順序関係のとき,新しい半順序関係 ≤new を次で定義できる:
x ≤new y ⇔ y ≤ x.
順序についてのこの例は実際に例である,なぜならば半順序は Hom(A, B) が高々1つの元を持つある種の圏と対応するからである.論理学に適用すれば,否定の非常に一般的な記述に見える(つまり,証明が逆向きに進む).例えば,束の逆を取れば,結びと交わりの役割が入れ替わることがわかる.これはド・モルガンの法則あるいは束に適用した双対性(英語版)の抽象的な形である.
極限と余極限は双対概念である.
ファイブレーション(英語版)とコファイブレーション(英語版)は代数トポロジーとホモトピー論における双対概念の例である.この文脈では,双対性はしばしば Eckmann–Hilton 双対性(英語版)と呼ばれる.