イプシロン-デルタ論法
そこで、十分大きな N を取ると、N より大きい全ての番号 n に対し、an は b の ε近傍に入るということになる。ここで N は ε に依存する数である。
ε-δ論法では ε が小さくするにつれて δ を小さくとらなければならないが、ε-N論法では ε を小さくするにつれて N を大きくしなければならない。
例えば an = n + 1/n のとき N > 1/ε となるように N を取れば n > N という条件のもとで
| n + 1 n − 1 | = 1 n < 1 N < ε {\displaystyle \left|{\frac {n+1}{n}}-1\right|={\frac {1}{n}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon }
となるので
∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N s . t . ∀ n ∈ N [ n > N ⇒ | a n − 1 | < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }N\in \mathbb {N} \;\mathrm {s.t.} \;{}^{\forall }n\in \mathbb {N} \;[n>N\Rightarrow |a_{n}-1|<\varepsilon ]}
が成り立ち、数列 an は 1 に収束することが ε-N論法による定義に基づき示される。