結合法則
}
が、これらの積を得る演算が結合的ならば、一般化された結合法則の述べるに従い、これらすべてが同じ値の積であることが結論される。となれば(これらの式から括弧をすべて取り払った式に既に別の意味が施されているのでない限り)この積において括弧は「不要」のものと考えることができて、この積を紛れの虞なく
と書くことができる。
このような繰り返しの積において、因子となる元の数が増えるにしたがって、釣り合いのとれた括弧の挿入の仕方の総数は急速に増加するけれども、演算が結合的ならばそれらの区別もやはり必要がなくなる。
結合的だからといって単純に括弧を取り去ってはいけない例として、双条件(英語版) ↔ を挙げよう。↔ は結合的であって A ↔ (B ↔ C) は (A ↔ B) ↔ C に同値であるが、A ↔ B ↔ C はふつうは A ↔ B かつ B ↔ C の意味であって先のふたつとは同値でない。
{\displaystyle {\begin{array}{l}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\\(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\end{array}}\qquad (\forall A,B,C).}
適当な集合 M に対する M 上の自己写像(写像 M → M)全体の成す集合 S ≔ Mについて、S 上で定義された合成演算 ∘ は結合的である: ( f ∘ g ) ∘ h = f ∘ ( g ∘ h ) = f ∘ g ∘ h ( ∀ f , g , h ∈ S ) . {\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad (\forall f,g,h\in S).}
少し一般に、四つの集合 M, N, P, Q とそれらの間の写像 h: M → N, g: N → P, f: P → Q についてやはり ( f ∘ g ) ∘ h = f ∘ ( g ∘ h ) = f ∘ g ∘ h {\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h} が成り立つ。要するに写像の合成は常に結合的である。
三元集合 {A, B, C} に演算を以下の乗積表に従って定めたものは結合的である(かつ可換でない):
通常の行列の積は結合的である。行列は線型写像を表現し、行列の積は線型写像の合成に対応するから、合成について既に見たことから行列の積の結合性は直ちに得られる。
結合的演算の例をいくつか挙げる:
文字列の連接: 三つの文字列 "hello", " ", "world" の連接を計算するのに、最初の二つをつないで "hello ") を得てから三つ目の "world" をつなぐのと、後の二つをつないで " world" を得てから一つ目の "hello" をつなぐのと、二種類の仕方があるがこれらは同じ結果になる。ゆえに文字列の連接は結合的である(が可換ではない)。
算術における実数の加法および乗法は結合的である。すなわち ( x + y ) + z = x + ( y + z ) = x + y + z ( x y ) z = x ( y z ) = x y z ( ∀ x , y , z ∈ R ) {\displaystyle {\begin{array}{l}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\\(xy)z=x(yz)=xyz\end{array}}\qquad (\forall x,y,z\in \mathbb {R} )} が成立する。この結合性により、グループ化を表す括弧は曖昧さを生むことなく除去できる。
右自明演算 x ∗ y = x(第二の引数の如何に依らず、第一の引数を返す)は結合的だが可換でない。同様に左自明演算 x ∘ y = y(第一引数の如何に依らず、第二引数を返す)は結合的であり可換でない。
複素数および四元数の加法および乗法。八元数は加法は結合的だが乗法は結合的でない。
( ( P ∧ Q ) ∧ R ) ↔ ( P ∧ ( Q ∧ R ) ) {\displaystyle ((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))}
( P ∧ ( Q ∧ R ) ) ↔ ( ( P ∧ Q ) ∧ R ) {\displaystyle (P\land (Q\land R))\leftrightarrow ((P\land Q)\land R)}
↑ “Matrix product associativity”. Khan Academy. 2016年6月5日閲覧。
↑ Moore and Parker
↑ Copi and Cohen
↑ Hurley
↑
↑ George Mark Bergman: Order of arithmetic operations
↑ Education Place: The Order of Operations
↑ Khan Academy: The Order of Operations, timestamp 5m40s
↑ Virginia Department of Education: Using Order of Operations and Exploring Properties, section 9
↑ Bronstein: de:Taschenbuch der Mathematik, pages 115-120, chapter: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3
↑ Exponentiation Associativity and Standard Math Notation Codeplea. 23 Aug 2016. Retrieved 20 Sep 2016.
↑ http://msdn.microsoft.com/en-us/library/vstudio/zh100ckf.aspx