線型位相空間
位相体 K 上の線型空間 E で、線型空間としてのベクトル和とスカラー積が連続写像になっているものは線型位相空間とよばれる。すなわち、E は加法
E × E → E ; ( u , v ) ↦ u + v {\displaystyle E\times E\to E;\ (u,v)\mapsto u+v}
に関して位相アーベル群になっており、さらに定数倍写像
K × E → E ; ( r , v ) ↦ r v {\displaystyle K\times E\to E;\ (r,v)\mapsto rv}
が2変数の写像として連続になっている。係数体 K を明示して位相 K-線型空間などと呼ぶこともある。とくに係数の位相体が実数体である線型位相空間を実線型位相空間、複素数体である線型位相空間を複素線型位相空間という。
S の拡大 r.S (r ∈ R) たちが E をおおっているならば S は E を併呑 (absorbent) するという。
という条件を考えることができる。様々な具体的な関数空間に対し、0 近傍系としてこれらの条件を満たすような集合たちからなるものをとることができる。
均衡かつ併呑な凸閉集合を樽という。樽は必ず 0 を含む。 E 上の正実数値写像で、劣加法性 p(x + y) ≤ p(x) + p(y) をもち、スケーリングと両立している p(λx) = |λ|p(x) ものは半ノルムとよばれる。下半連続半ノルム p が与えられたとき、p(x) ≤ 1 によって指定される集合は樽となる。逆に、樽 S が与えられたとき、
p(x) =inf{r ≥ 0 | x ∈ r.S}
によって定められる E から R への写像(ミンコフスキー汎関数)は下半連続半ノルムになる。
0 の近傍の基本系が樽の部分集合族から取れる線型位相空間を局所凸空間という。更に,全ての樽が 0 の近傍となる空間を樽型空間という。局所凸空間の位相は半ノルムの族 (pi)i によって指定されることになる。このような空間に対してハーン・バナッハの定理がなりたち、連続な汎関数が十分に多くあることが示される。