ヘーラクレイダイ
神託は災厄の原因は予言者の殺害にあり、殺害者を追放することで清めとし、3つ眼の男を帰還の案内人とすることを告げた。そこでテーメノスは殺害者ヒッポテースを追放し、3つ眼の男を探すと、片眼の馬に乗ったオクシュロスという男に出会った。この男はゴルゲー(ヘーラクレースの妻デーイアネイラの姉妹)の子孫で、殺人の罪でアイトーリアからエーリスに逃亡していた。テーメノスはオクシュロスが予言の男だと考え、ペロポネーソス半島へ案内を依頼した。
オクシュロスはコリントス地峡を通って陸路から帰還するのではなく、海を渡ってペロポネーソス半島に帰還することを勧め、海を渡るのに適したアイトーリアのモリュクリオンに案内した。ヘーラクレイダイはオクシュロスがエーリスを欲していることを知り、案内の返礼に、帰還を果たすことができたなら彼にエーリスを与えることを約束した。その後、オクシュロスの案内でペロポネーソス半島に帰還を果たすと、ティーサメノスとの戦いに勝利し、殺したとも、追放したともいわれる。後者の説によればヘーラクレイダイは、ラケダイモーンとアルゴスを支配していたティーサメノスと、メッセニア地方を支配していたネーレウスの子孫を追放したとされ、ティーサメノスはアカイア地方へ、ネーレウスの子孫はアテーナイへ去ったという。その後、テーメノスと、アリストデーモスの2子プロクレース、エウリュステネース、そしてクレスポンテースはどの土地を得るかをくじを引いて決め、テーメノスはアルゴスを、プロクレースとエウリュステネースはラケダイモーンを、クレスポンテースはメッセニアを得た。