双曲型偏微分方程式
x → ∈ R d {\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}} とし、 s {\displaystyle s} 個の未知関数 u → = ( u 1 , ... , u s ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})} , u → = u → ( x → , t ) {\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)} に対して、次の一階偏微分方程式系を考える:
( ∗ ) ∂ u → ∂ t + ∑ j = 1 d ∂ ∂ x j f j → ( u → ) = 0. {\displaystyle (*)\quad {\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f^{j}}}({\vec {u}})=0.}
ここで f j → ∈ C 1 ( R s , R s ) , j = 1 , ... , d {\displaystyle {\vec {f^{j}}}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s}),j=1,\ldots ,d} は連続的微分可能な関数であり、一般的には非線型である。
今、各 f j → {\displaystyle {\vec {f^{j}}}} に対して、 s × s {\displaystyle s\times s} 行列