ポアソン多様体
多様体 M がポアソン多様体(ポアソンたようたい、英: Poisson Manifold)であるとは、M 上の C 級関数全体のなすベクトル空間を C(M) と表すとき、次の性質を満たす写像 { ⋅ , ⋅ } : C ∞ ( M ) × C ∞ ( M ) → C ∞ ( M ) {\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}\colon C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)} が存在することをいう。
{ ⋅ , ⋅ } {\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}} は、 R {\displaystyle \mathbb {R} } -双線形形式である。
{ f , g } = − { g , f } {\displaystyle \,\{f,g\}=-\{g,f\}\,}
( q 1 , ⋯ , q n , p 1 , ⋯ , p n ) {\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})} をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、
{ f , g } = ∑ i = 1 n ( ∂ f ∂ p i ∂ g ∂ q i − ∂ f ∂ q i ∂ g ∂ p i ) {\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)}
と書ける。