局所コンパクト空間
位相空間 X が局所コンパクトであるとは、任意の点 x ∈ X に対して、x の近傍 U でコンパクトなものが存在することである。
これと類似した以下の様な定義が採用されることもある。
0. 任意の点 x ∈ X に対して、x の近傍 U でコンパクトなものが存在する。
1. 任意の点 x ∈ X に対して、x の閉近傍 U でコンパクトなものが存在する。
2. 任意の点 x ∈ X に対して、x のコンパクトな近傍が x の近傍基をなす。
3. 任意の点 x ∈ X に対して、x のコンパクトな閉近傍が x の近傍基をなす。
ハウスドルフ空間ではこれらは全て同値になる。
(0) はここでの定義であり、この中で一番弱く (1)、(2)、(3) は (0) を含意している。 (3) はこの中で一番強く (0)、(1)、(2) を含意している。
無限集合に補有限位相を入れたものは (0)、(1)、(2) を満たすが (3) を満たさない。
有理数体 Q の一点コンパクト化(英語版)は (0)、(1) を満たすが (2)、(3) を満たさない。
自然数全体 N0 に「開 ⇔ 0を含む又は空」となる位相を入れた空間は (0)、(2) を満たすが (1)、(3) を満たさない。
前述の例の2つ目と3つ目の空間の直和は (0) を満たすが (1)、(2)、(3) を満たさない。
ユークリッド空間 R (特に実数直線 R) はハイネ・ボレルの被覆定理の帰結により局所コンパクトである。
位相多様体は、局所的な性質はユークリッド空間と同じであるから、やはり局所コンパクトである。この例には、長い直線のようなパラコンパクトでないようなものまで含まれる。
任意の離散空間は局所コンパクトかつハウスドルフである(これらはちょうど0次元多様体である)。コンパクトになるのはそれが有限集合の場合に限る。
局所コンパクト空間の任意の開集合あるいは閉集合は部分空間の位相でふたたび局所コンパクトになる。これにより、単位円板(これは開でも閉でもいい)など、ユークリッド空間の局所コンパクト部分空間の例がさまざまに得られる。
p-進数の空間 Qp は、カントール集合から一点を除いたものに同相ゆえ、局所コンパクトである。従って、局所コンパクト空間は古典的な解析学におけると同様に p-進解析においても有用である。