囚人のジレンマ
ここまでは相手の行動を完全に観測できると想定した。現実には「相手に協調してもらったのに裏切られたと誤解する」「裏切られたのに気付かない」というように、他人の行動を不完全にしか観測できないことが多い。このような不完全観測のもとでの無期限繰り返し囚人のジレンマの理論は近年大きく発展している。
不完全観測のケースでは、相手の他のプレイヤーの行動を不完全ながら表すシグナルを観察できるものとし、誰もが観察できるシグナルがある場合を公的不完全観測、各人自分しか見られないシグナルを観察する場合を私的不完全観測という。
公的不完全観測のケースは比較的分析が容易である。完全観測下のトリガー戦略に似た戦略で協調が生まれる。フォーク定理は1994年にきわめて緩い条件のもとで証明された。
一方、私的不完全観測のケースは分析が困難で、いまだ研究途上にある。私的不完全観測では協調を生み出す戦略を見つけること自体が難問で、長い間ゲーム理論の未解決問題として有名であった。この難問に初めて答えが出たのは1997年のことで、きわめて高い精度で人の行動を私的観測できる場合の囚人のジレンマで協調を生み出す戦略が見つかった。また、各期の終わりに集まってコミュニケーションをとれる場合に限っていえば、1998年に一定の緩い条件のもとでフォーク定理が証明された。コミュニケーションを取れない場合については、相手が今までみてきたことを全く気にする必要のないような特殊な均衡をつくる信念不問アプローチが多くの成果を挙げている。2002年には信念不問アプローチにより囚人のジレンマの均衡を簡単につくる方法が発見され、本格研究が進展し始めた。そして2012年、ついに私的不完全観測下のフォーク定理がかなり緩い条件のもとで証明された。
以下にアクセルロッドの競技会に参加した戦略の例を記す。
まず囚人Aの立場では次のように考えるだろう。
囚人Bが「黙秘」を選んだ場合、自分 (=囚人A) の懲役は2年(「黙秘」を選んだ場合)か0年(「自白」を選んだ場合)だ。だから「自白」を選んで0年の懲役になる方が得だ。
囚人Bが「自白」を選んだ場合、自分 (=囚人A) の懲役は10年(「黙秘」を選んだ場合)か5年(「自白」を選んだ場合)だ。だからやはり「自白」を選んで5年の懲役になる方が得だ。
したがって、囚人Aにとっては,囚人Bがどのように行動するかにかかわらず自白することが最適な選択ということになる。これは囚人Bにとっても同じであるため、囚人Bも囚人Aと同じ考えによって自白することが最適な選択である。このような理由で2人の囚人A・Bは結果的に「互いに自白」という行動をとることとなる。
重要なのは、「囚人Bが自白してしまうのではないか」という懸念や恐怖から囚人Aは自白するわけではなく、囚人Bが黙秘しようが自白しようが囚人Aは合理的に自白する、という点である。
2人の囚人A・Bにとって「互いに黙秘」することがパレート最適であるにもかかわらず,2人の囚人A・Bがそれぞれ合理的に自白するという「互いに自白」という結果はナッシュ均衡ではあってもパレート最適ではない。
2人の囚人A・Bが「互いに黙秘」することを「協調」と言い換え,「どちらかが黙秘しているとして自分だけが自白して釈放してもらおう」とすることを「裏切り」と言い換えたとき,結果的に両者は「裏切り」を選択することとなる。