ポワンカレ計量
ポアンカレ上半平面はポアンカレ円板上にメビウス変換
w = e i φ z − z 0 z − z ̄ 0 {\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\bar {z}}_{0}}}}
によって等角的に写すことができる。ここで w は、上半平面上の点 z に対応する単位円板上の点である。この写像において、定数 z0 は上半平面上の任意の点とすることができる(この点が単位円板の中心に写る)。実軸 Im z =0 は単位円板の周 |w| = 1 に写る。また、実定数 φ は任意に決まった量だけ円板を回転させるために用いられる。
虚数単位 i を円板の中心に、0 を円板の最下点に写す標準写像(標準座標系)は
w = i z + 1 z + i {\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}}
で与えられる。