空積
デカルト積の一般の定義を考えよう:
∏ i ∈ I X i = { g : I → ⋃ i ∈ I X i ∣ ∀ i , g ( i ) ∈ X i } . {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\{g\colon I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\mid \forall i,\ g(i)\in X_{i}\}.}
添字集合 I が空ならば、そのような g は空写像 f∅ ただ一つである。これは ∅ × ∅ の部分集合で写像 ∅ → ∅ を定める唯一のものであり、(∅ × ∅ が持つ唯一の部分集合としての)空部分集合 ∅ である:
∏ ∅ = { f ∅ : ∅ → ∅ } = { ∅ } . {\displaystyle \prod _{\varnothing }{}=\{f_{\varnothing }:\varnothing \to \varnothing \}=\{\varnothing \}.}
したがって、零個の集合のデカルト積の濃度は 1 である。
より馴染みのあるであろう順序組の解釈の下では、
∏ ∅ = { ( ) } , {\displaystyle \prod _{\varnothing }{}=\{()\},}
つまり、空リストを含む一元集合である。両方の表現において空積は濃度 1 を持つことに注意しよう。