正規作用素
正規作用素はそのスペクトル定理によって特徴づけられる。コンパクト正規作用素(特に有限次元線型空間上の正規作用素)はユニタリ対角化可能である。
有界作用素 T に対して以下の条件
T は正規。
T は正規。
任意の x に対して ǁTxǁ = ǁTxǁ が成り立つ。
T の自己随伴成分 T1 と反自己随伴成分 iT2 とが可換。
は何れも同値である。三つ目は等式を自乗して ǁTxǁ = ⟨T Tx, x⟩ = ⟨TTx, x⟩ = ǁTxǁ の形に見れば、四つ目は各成分が T1 = (T + T)/2, T2 = (T − T)i/2 で与えられるから、それぞれ正規性との同値性はあきらかである。
N が正規作用素ならば、N と N はその像と核が等しい。ゆえに、N の像が稠密となる必要十分条件は N が単射となることである。