テータ関数
次の恒等式はランデンの公式 (Landen's formula) という。
θ 4 ( 0 , 2 τ ) θ 4 ( 2 v , 2 τ ) = θ 3 ( v , τ ) θ 4 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{4}(0,2\tau )\vartheta _{4}(2v,2\tau )=\vartheta _{3}(v,\tau )\vartheta _{4}(v,\tau )}
θ 4 ( 0 , 2 τ ) θ 1 ( 2 v , 2 τ ) = θ 2 ( v , τ ) θ 1 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{4}(0,2\tau )\vartheta _{1}(2v,2\tau )=\vartheta _{2}(v,\tau )\vartheta _{1}(v,\tau )}
第一式の右辺を展開すれば
である。同様に
θ 3 ( v ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ e 2 π i v ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ e − 2 π i v ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + 2 e ( 2 m − 1 ) π i τ cos  2 π v + e 2 ( 2 m − 1 ) π i τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}(v;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+2e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\cos {2{\pi }v}+e^{2(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)}\\\end{aligned}}}
v = 0 のときのテータ関数の値をテータ定数(英: theta constant)あるいはテータ零値(独: Thetanullwerte)という。これは定数といいながら実は τ の関数である。
θ 2 = θ 2 ( 0 ; τ ) = 2 e π i τ / 4 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + e 2 m π i τ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{2}=\vartheta _{2}(0;\tau )&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}
θ 3 = θ 3 ( 0 ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{3}=\vartheta _{3}(0;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}
テータ関数の間で次の恒等式が成立する。
θ 3 ( v + 1 2 , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + 2 π i n ( v + 1 / 2 ) = θ 4 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}\left(v+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }n^{2}+2\pi {in}(v+1/2)}=\vartheta _{4}(v,\tau )}
θ 2 ( v + 1 2 , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 / 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 / 2 ) ( v + 1 / 2 ) = − θ 1 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{2}\left(v+{\frac {1}{2}},\tau \right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {i\tau }(n+1/2)^{2}+2\pi {i(n+1/2)}(v+1/2)}=-\vartheta _{1}(v,\tau )}
θ 1 ′ = [ d d v θ 1 ( v ; τ ) ] v = 0 = 2 e π i τ / 4 π cos  ( 0 ) ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) 3 + 2 e π i τ / 4 sin  ( 0 ) d d v ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − e 2 m π i τ e 2 π i v ) ( 1 − e 2 m π i τ e − 2 π i v ) = 2 π e π i τ / 4 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{1}'&=\left[{\frac {d}{dv}}\vartheta _{1}(v;\tau )\right]_{v=0}\\&=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\pi \cos(0)\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{3}}+2e^{{\pi }i{\tau }/4}\sin(0){\frac {d}{dv}}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}\\&=2{\pi }e^{{\pi }i{\tau }/4}\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)^{3}}\\\end{aligned}}}
c = π θ 2 θ 3 θ 4 / θ 1 ′ {\displaystyle c=\pi \vartheta _{2}\vartheta _{3}\vartheta _{4}/\vartheta _{1}'} とすると
その場合は θ 1 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{1}(v,\tau )} , θ 2 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{2}(v,\tau )} , θ 3 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}(v,\tau )} の定義は変わらず、 θ 0 ( v , τ ) := θ 4 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{0}(v,\tau ):=\vartheta _{4}(v,\tau )} で定義される。 文脈から v あるいは τ が明らかな場合は θ i ( v ) {\displaystyle \vartheta _{i}(v)} あるいは θ i ( τ ) {\displaystyle \vartheta _{i}(\tau )} と書き、更に θ i = θ i ( 0 , τ ) {\displaystyle \vartheta _{i}=\vartheta _{i}(0,\tau )} と書く。Mathematica では、 π v {\displaystyle \pi v} のことを v と書いている。
これにより
ヤコビのテータ関数は狭義の意味では次の関数のことを指す。
Θ ( u ) := ( 2 k ′ K π ) 1 / 2 exp  ( ∫ 0 u d t Z ( t ) ) , Θ 1 ( u ) := Θ ( u + K ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Theta (u)&:=\left({\frac {2k'K}{\pi }}\right)^{1/2}\exp \left(\int _{0}^{u}\mathrm {d} t~Z(t)\right),\\\Theta _{1}(u)&:=\Theta (u+K).\end{aligned}}}
ただし、 k ′ := 1 − k 2 {\displaystyle k':={\sqrt {1-k^{2}\,}}} は補母数、 K = K ( k ) {\displaystyle K=K(k)} は 第1種完全楕円積分、 Z ( u ) {\displaystyle Z(u)} はヤコビのツェータ関数
θ 4 = θ 4 ( 0 ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}=\vartheta _{4}(0;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi }i{\tau }}\right)^{2}}\\\end{aligned}}}
θ 1 = θ 1 ( 0 ; τ ) = 0 {\displaystyle \vartheta _{1}=\vartheta _{1}(0;\tau )=0} であるから、代わりに導関数を用いる。