オルバースのパラドックス
ハリソンは、背景限界として λ ≈ 10 光年という値を与えており、これは宇宙の大きさよりおよそ13桁上、すなわち10兆倍の大きさである。
上式から逆に、星の輝く宇宙が地球から背景限界の k 倍の距離まで広がっていると想定すれば、そのとき夜空が星に覆われている割合 α は α = 1 − β(kλ) = 1 − e と求められることになる。上のハリソンが示す値では k は10兆分の1となるように非常に小さいと考えられるので、指数関数の近似として e ≈ 1 + x (x ≈ 0) を取れば、これはおおよそ、
α ≈ k {\displaystyle \alpha \approx k}
を意味する。この近似は星の重なりを無視した場合に相当している。結局、背景限界と実際の観測可能な距離との比がほぼ宇宙の星と暗闇の比に等しくなる。この結果は上述のケルヴィンが得た結果に他ならず、これは重なりを無視して一定の割合で背景が減少する場合であることを考えるなら直観的にも理解できる。このことからパラドックスを逆に考えるなら、我々が実際に見る夜空の暗闇の背景の割合だけ、宇宙は背景限界よりも手前までしか見えていないことになる。この α ≈ k は太陽の輝きが覆った空と、星空の明るさとの比とも等しい。すなわち、星が一様に分布し、星の絶対的な明るさが平均的に我々の太陽と等しいとするなら、太陽表面で感じるであろう灼熱の明るさと、実際我々が見る夜空のおぼろげな星明り全体の明るさとの比が、背景限界の距離と星が輝く限界までの距離の比にほぼ等しくなる。
恒星の大きさを考慮するとき、宇宙がある程度の大きさをもてば恒星の表面で埋め尽くされていくことになる。夜空が星によって埋め尽くされるのにおよそ必要となる距離は上述のように背景限界または背景限界距離と呼ばれる。これは粒子が気体などの中を分子と衝突せずに進める平均距離として知られる平均自由行程の概念と本質的に同等のものであり、以下のように見積もることができる。
地球を中心として半径 r に広がる微小な厚み dr を持つ球殻を考える。上述のように、そこに含まれる星が空を覆う割合は球殻の大きさ r によらないはずである。簡単のため、恒星が単位体積あたり n 個の割合で一様に存在するとし、星がすべて断面積 σ(星の半径を a とすれば σ = πa)を持つとする。球殻に含まれる星の単位面積あたりの数は、n に厚み dr を乗じて ndr と期待される。このとき球殻の全表面積に対するそこに含まれた星の表面の割合とは、単位面積当たりの星の表面積の総和に他ならず、これは星ひとつあたりの断面積 σ をさらに乗じて nσdr となる。実際これは r に関係しない。ここで長さの次元を持つ量として
λ = 1 n σ {\displaystyle \lambda ={\frac {1}{n\sigma }}}
と置けば、こうした球殻の星は dr/λ という一定の割合で空を覆っていくと期待される。
このとき星が互いに関係なく分布するなら、星は距離に関してこの一定の割合で背景を覆い隠し、背景が指数関数的に少なくなっていくはずである。