位置空間と運動量空間
これらを代入し、変形すると
d [ L − ∑ i = 1 n ( q i p ̇ i + q ̇ i p i ) ] = − ∑ i = 1 n ( q ̇ i d p i + q i d p ̇ i ) + ∂ L ∂ t d t . {\displaystyle d\left[L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\right]=-\sum _{i=1}^{n}({\dot {q}}_{i}dp_{i}+q_{i}d{\dot {p}}_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}
ここで、運動量空間でのラグランジアン L′ の全微分が次のように書けるとする。
d L ′ = ∑ i = 1 n ( ∂ L ′ ∂ p i d p i + ∂ L ′ ∂ p ̇ i d p ̇ i ) + ∂ L ′ ∂ t d t {\displaystyle dL'=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}d{\dot {p}}_{i}\right)+{\frac {\partial L'}{\partial t}}dt}
この2つの式を比較すると、運動量空間でのラグランジアン L′ と、L′ から導出される一般化座標はそれぞれ次のようになる。
L ′ = L − ∑ i = 1 n ( q i p ̇ i + q ̇ i p i ) , − q ̇ i = ∂ L ′ ∂ p i , − q i = ∂ L ′ ∂ p ̇ i . {\displaystyle L'=L-\sum _{i=1}^{n}(q_{i}{\dot {p}}_{i}+{\dot {q}}_{i}p_{i})\,,\quad -{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,,\quad -q_{i}={\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}\,.}
最後の2つの式を合わせると、運動量空間でのオイラー=ラグランジュ方程式が得られる。
d d t ∂ L ′ ∂ p ̇ i = ∂ L ′ ∂ p i . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {p}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial p_{i}}}\,.}
ルジャンドル変換の利点は、元々の関数と新しい関数の関係とそれらの変数が得られることである。座標形式と運動量形式の方程式はどちらも同等であり、系のダイナミクスについて同じ情報を含んでいる。この形式は、運動量や角運動量でラグランジアンが表されていても使えるため便利である。