シンプレクティック幾何学
シンプレクティック幾何学の歴史は、ハミルトンに始まる。ニュートンから始まる力学は、オイラー、ラグランジュによって変分法をもとにした解析力学へと洗練されていった。すなわち、ニュートンの運動方程式
m x i ̈ = F i {\displaystyle m{\ddot {x_{i}}}=F_{i}}
からオイラー=ラグランジュ方程式
d d t ( ∂ L ∂ q i ̇ ) − ∂ L ∂ q i = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}
への移行である。
オイラー・ラグランジュ方程式は、数学的には位置座標を変数とする配位空間の接バンドル上の方程式である。それに対して、ハミルトンによる力学の定式化、すなわち、ハミルトン形式は、運動方程式を配位空間の余接バンドル上の方程式
q i ̇ = ∂ H ∂ p i , p i ̇ = − ∂ H ∂ q i {\displaystyle {\dot {q_{i}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\,\,\,\,\,{\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}}
と見ることであった。
ウラジーミル・アーノルド (V. I. Arnold)
ミハイル・グロモフ (Mikhael L. Gromov)
ウィリアム・ローワン・ハミルトン (William R. Hamilton)
深谷賢治
アンドレアス・フレアー (Andreas Floer)
小野薫
この定理の証明には上のモジュライ空間のコンパクト性が必要になるが、一般にはフレアー方程式の解の無限列の極限でバブルと呼ばれる現象が生じ、コンパクト性が成り立たない。ただしシンプレクティック多様体の単調性であるとバブルが起きないので、モジュライ空間はコンパクトであるといえる。(正確には上のモジュライ空間のうまいコンパクト化を取ることが出来る。)このとき、張り合わせなどの議論を経て、上の定理が成立する。Hofer-Salamon, 小野はさらに半正でもバブルが起きず、上の定理が成立することを示した。
定義: 鎖複体 ( C F ∗ ( H , J ) , δ ) {\displaystyle (\mathrm {CF} _{\ast }(H,J),\delta )} のホモロジーをハミルトン系の(可縮な)周期軌道に対するフレアーホモロジーと呼び、 H F ∗ ( H , J ) {\displaystyle \mathrm {HF} _{\ast }(H,J)} と表す。
シンプレクティック多様体が単調である場合のアーノルド予想は、フレアーによる次の定理から直接従う。
定理(フレアー): フレアーホモロジー H F ∗ ( H , J ) {\displaystyle \mathrm {HF} _{\ast }(H,J)} はハミルトン関数 H {\displaystyle H} 、及び、概複素構造 J {\displaystyle J} に依らず、 M {\displaystyle M} のホモロジーに同型である。
( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} をシンプレクティック多様体とする。 H {\displaystyle H} 上の滑らかな関数の族 H = { H t } {\displaystyle H=\{H_{t}\}} で H t + 1 = H t {\displaystyle H_{t+1}=H_{t}} をとる。このとき、 H {\displaystyle H} に随伴するハミルトン力学系
x ̇ = X H t {\displaystyle {\dot {x}}=X_{H_{t}}}
が考えられる。1960年代、アーノルドはこのハミルトン力学系の1周期解の個数評価に関して次の予想を提出した。
Conjecture (Arnold) : 次の不等式が成立する:
# { x : R / Z → M | x ̇ = X H t } ≥ min { # C r ( F ) | F ∈ C ∞ ( M ) } {\displaystyle \#\{x:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to M\,|\,{\dot {x}}=X_{H_{t}}\}\geq \min\{\#Cr(F)\,|\,F\in C^{\infty }(M)\}}
ここで、 C r ( F ) {\displaystyle Cr(F)} は F {\displaystyle F} の臨界点集合を表す。もし、全ての周期解が非退化であるのならば、 # { x : R / Z → M | x ̇ = X H } ≥ ∑ k b k ( M ) {\displaystyle \,\#\{x:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to M\,|\,{\dot {x}}=X_{H}\}\geq \sum _{k}b_{k}(M)\,}