クリストッフェル記号
クリストッフェル記号はアインシュタインの一般相対論において頻繁に用いられる。一般相対論は時空を、レヴィ-チヴィタ接続を備えた、湾曲した 4-次元ローレンツ多様体によって表現する。(物体の存在によって時空の形状を決定するという)アインシュタインの場の方程式はリッチテンソルを含み、クリストッフェル記号を計算することが本質的である。一旦形状が決定されたならば、粒子と光線の軌跡は(クリストッフェル記号が陽に現れる)測地的方程式を解くことによって計算できる。
n 次元リーマン多様体の基本計量テンソル gij は n × nの正方行列であると見なせることからその行列式 g
g = det ( g i j ) = | g 11 g 12 ⋯ g 21 g 22 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ | {\displaystyle g=\det(g_{ij})=\left|{\begin{array}{ccc}g_{11}&g_{12}&\cdots \\g_{21}&g_{22}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}\right|}
を定義することができる。ここで、gij の余因子行列を Gij とし、g を x で偏微分すると
∂ g ∂ x k = ∂ g ∂ g i j ∂ g i j ∂ x k = G i j ∂ g i j ∂ x k {\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=G_{ij}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}}