ヤコビの虚数変換式
分子の n {\displaystyle n} が奇数の項は正負で打ち消しあうから偶数の n {\displaystyle n} を 2 n {\displaystyle 2n} に改める。
θ 3 ( 1 ± 2 m 2 − 1 ± 2 n 2 τ , − 1 τ ) = 0 {\displaystyle \vartheta _{3}\left({\frac {1\pm {2m}}{2}}-{\frac {1\pm {2n}}{2\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=0}
であるから、 f ( v , τ ) {\displaystyle f(v,\tau )} は v {\displaystyle v} の関数として複素平面全体で有界である。したがって、リウヴィルの定理により v {\displaystyle v} には依存しない。