蛇行動
さらに、輪軸のヨーイング回転速度 ψ ̇ {\displaystyle {\dot {\psi }}} は、両側車輪の速度差と次のような関係がある。
ψ ̇ = − V R − V L 2 b {\displaystyle {\dot {\psi }}=-{\frac {V_{R}-V_{L}}{2b}}} ... (2)
ここで、 b {\displaystyle b} :中立位置での左右車輪接触点間隔の1/2(≒軌間の1/2)である。(2)式に(1)式を代入し、 ψ ̇ {\displaystyle {\dot {\psi }}} は次のように表すことができる。
ψ ̇ = − θ ̇ λ b y = − V λ r b y {\displaystyle {\dot {\psi }}=-{\frac {{\dot {\theta }}\lambda }{b}}y=-{\frac {V\lambda }{rb}}y} ... (3)
ここで、 V {\displaystyle V} :中立位置での車輪前進速度で、輪軸全体の前進速度でもある。 また、輪軸の左右変位速度 y ̇ {\displaystyle {\dot {y}}} とヨーイング角 ψ {\displaystyle \psi } は次のような関係がある。
y ̇ = V sin  ψ {\displaystyle {\dot {y}}=V\sin \psi } ... (4)
ψ {\displaystyle \psi } を微小として近似すると、
y ̇ ≒ V ψ {\displaystyle {\dot {y}}\fallingdotseq V\psi } ... (5)
(5)式の両辺を時間微分して(3)式を代入すると、次のような1輪軸の幾何学的蛇行動における左右変位の運動方程式が得られる。
y ̈ + V 2 λ r b y = 0 {\displaystyle {\ddot {y}}+V^{2}{\frac {\lambda }{rb}}y=0} ... (6)
(6)式は正弦波による振動を表すので、その固有角周波数 ω {\displaystyle \omega } は
ω = V λ r b {\displaystyle \omega =V{\sqrt {\frac {\lambda }{rb}}}} ... (7)
となり、輪軸の幾何学的蛇行動の波長 S 1 {\displaystyle S_{1}} は V {\displaystyle V} によらず一定となり、以下の式により表すことができる。
S 1 = 2 π b r λ {\displaystyle S_{1}=2\pi {\sqrt {\frac {br}{\lambda }}}} ... (8)
(8)式は1883年にクリンゲル(Klingel)によって初めて与えられた。波長が小さいほど振動が激しくなることから、「小さな車輪半径」「狭い軌間」「大きな踏面勾配」は蛇行動を増長させることがわかる。