テイラーの定理
関数 f(x) = e を区間 [−1, 1] 上で誤差が 10 を超えないように近似したいとしよう。この例で我々は指数関数の次の性質しか知らないとしよう:
( ∗ ) e 0 = 1 , d d x e x = e x , e x > 0 , x ∈ R . {\displaystyle (*)\qquad e^{0}=1,\qquad {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},\qquad e^{x}>0,\qquad x\in \mathbb {R} .}
これらの性質から次のことが従う。すべての k に対して f(x) = e であり、とくに、f(0) = 1 である。したがって f の 0 における k 次のテイラー多項式とそのラグランジュの剰余項は
P k ( x ) = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x k k ! , R k + 1 ( x ) = e ξ ( k + 1 ) ! x k + 1 {\displaystyle P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k+1}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1}}
によって与えられる、ただし ξ は 0 と x の間のある数である。
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x_{1}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial ^{2}x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial ^{2}x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial ^{2}x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial ^{3}x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}}