作用 (数学)
台集合が A である代数系の上の作用素(さようそ、operator)とは、集合 A 上の変換 θ: A → A のことである。文字の集合 Ω を与え、Ω の異なる文字が同じ作用素を与えることも許して、Ω から代数系 A 上の作用素族(これをここでは仮に Trans(A) と記す)への写像
σ : Ω → T r a n s ( A ) ; ω ↦ σ ( ω ) {\displaystyle \sigma \colon \Omega \to \mathrm {Trans} (A);\ \omega \mapsto \sigma (\omega )}
を与えたとき、集合 Ω は代数系 A に作用 (act, operate) する、代数系 A に集合 Ω の作用が定められるという。またこのとき、A を Ω-代数系、Ω の表現空間などと呼び、Ω を A の作用域(さよういき、operation domain)あるいは作用団と呼ぶ。
作用域 Ω, 写像 σ, 表現空間 A の組 (σ, Ω, A) を Ω の A への作用 (action) あるいは A における Ω の表現(ひょうげん、representation)と呼び、誤解のおそれの無い場合は単に写像 σ で表す。また文字 ω が作用 σ によって A に定める作用素 σ(ω) は、しばしば(作用 σ を省略して)もとの文字と同じく ω で表される。