代数的整数論
単数群の自由部分は K の無限素点を用いて研究できる。次の写像を考える:
L : K × → R r 1 + r 2 , L ( x ) = ( log  | x | v ) v , {\displaystyle L\colon K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}},\;L(x)=(\log |x|_{v})_{v},}
ただし v は K の無限素点を渡り、|·|v は v に付随する絶対値である。写像 L は K から実ベクトル空間への準同型である。O の像は x 1 + ⋯ + x r 1 + r 2 = 0 {\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0} によって定義された超平面を張る格子であることを示すことができる。この格子の余体積は数体の単数基準である。アデール環を用いて考えることで可能になる簡素化の1つは、この格子による商とイデアル類群をともに記述する単一の対象イデール類群が存在することである。
リヒャルト・デデキントのルジューヌ・ディリクレの研究の研究は、代数体とイデアルの彼の後の研究に彼を導いたものであった。1863年に彼は数論に関するルジューヌ・ディリクレの講義をVorlesungen über Zahlentheorie(英語版)(『整数論講義』)として出版した。この本について次のように書かれている。
"Although the book is assuredly based on Dirichlet's lectures, and although Dedekind himself referred to the book throughout his life as Dirichlet's, the book itself was entirely written by Dedekind, for the most part after Dirichlet's death." (Edwards 1983)
Vorlesungen の1879年と1894年の版は環論で基本的なイデアルの概念を導入する補遺を含んだ(環 (Ring) という単語は後にヒルベルトによって導入され、デデキントの仕事には現れない)。デデキントはイデアルを、数の集合の部分集合であって、整数係数の多項式方程式を満たす代数的整数からなるものとして定義した。概念はヒルベルトと特にエミー・ネーターの手によってさらなる発展がもたらされた。イデアルはフェルマーの最終定理を証明しようとしたエルンスト・エドゥアルト・クンマーの1843年の試みの一部として考案された理想数(英語版)を一般化する。