類体論
イデール類群 CK の任意の有限指数開部分群 N に対して一意に定まる有限次アーベル拡大 L/K が存在して N = NL/K(CL) が成り立つ。
相互法則と存在定理から、Gal(K/K) と、CK の有限指数開部分群についての副有限完備化は同型になる。そして K の有限次アーベル拡大とイデール類群 CK の有限指数開部分群の間に1対1の対応
{ K の有限次アーベル拡大 } ∋ L ↦ NL/KCL ∈ { CK の有限指数開部分群 }
が存在することがわかる。
考えている大域体 K が代数体の場合には、φK は全射であり、その核は単位元の連結成分 DK であるため、
C K / D K ≃ G a l ( K a b / K ) {\displaystyle C_{K}/D_{K}\simeq \mathrm {Gal} (K^{\mathrm {ab} }/K)}
であることが示される。そして、無限次アーベル拡大の場合に1対1対応
{ K の有限次とは限らないアーベル拡大 } ∋ L ↦ NL/KCL ∈ { CK の単位元の連結成分を含む閉部分群 }
が成り立つ。
考えている大域体 K が有限体上の1変数代数関数体の場合には、φK は全射とは限らないが、その像は稠密であり、単射である。
代数体 K の自明なモジュラス m = (1) を取り H = P(1) と置く。存在定理よりこれに対応するアーベル拡大 K′ が存在する。これを K 上のヒルベルト類体、または絶対類体(absolute class field)と呼ぶ。射類体の記号を使えば、これを K(1) と表すこともできる。もともとヒルベルトが存在を予想した「類体」は無限素点で何も条件をつけていないのでこの体とは異なる。しかし、現在ヒルベルト類体と呼ばれているものはここで定義したものである。
アルティン相互法則により次が成り立つ。
ヒルベルト類体のもとの代数体上のガロア群はイデアル類群と同型である。またその同型写像はアルティン写像により与えられる。
代数体のすべての素イデアルはヒルベルト類体において不分岐である。さらに、素イデアルが定めるイデアル類群の元の位数とヒルベルト類体における剰余次数は等しい。
ヒルベルト類体はすべての射類体に含まれる。代数体のすべてのイデアルはヒルベルト類体に延長すると単項イデアルになることが知られている(単項化定理(英語版))。