拡大行列
( A ∣ B ) = [ 1 2 3 0 3 4 7 2 6 5 9 11 ] {\displaystyle (A\mid B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&2&3&0\\3&4&7&2\\6&5&9&11\end{array}}\right]}
が得られる。ここで係数行列の階数は 3 であり、拡大係数行列の階数と等しく、したがって系には少なくとも一つの解が存在することに注意されたい。さらに、その階数は未知関数の数と等しいために、解は一意的である。
その解を得るために、拡大係数行列の左側の部分を単位行列へと変換する行基本変形を行うことで
[ 1 0 0 4 0 1 0 1 0 0 1 − 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&4\\0&1&0&1\\0&0&1&-2\\\end{array}}\right]}
が得られる。すなわち、(x, y, z) = (4, 1, -2) が求める系の解である。