無矛盾歴史
非同質歴史(inhomogeneous history)は、同質歴史では表現できない複数時間の命題である。例えば、2つの同質歴史の論理OR H i ∨ H j {\displaystyle H_{i}\lor H_{j}} である。
これらの命題は全ての可能性を含むあらゆる質問に対応することができる。例えば、「電子が左のスリットを通過した」、「電子が右のスリットを通過した」、「電子がどちらのスリットも通過しなかった」という3つの命題が考えられる。理論の目的の1つは「私の鍵はどこにあるのか?」などの一貫性のある古典的な質問を示すことである。この場合、それぞれ小さな空間領域で鍵の位置を指定する多数の命題を使うと考えられる。
それぞれの単時間命題 P i , j {\displaystyle P_{i,j}} は系のヒルベルト空間に作用する射影作用素 P ^ i , j {\displaystyle {\hat {P}}_{i,j}} で表すことができる(作用素であることを表すためハットを用いる)。そして、単時間の射影作用素の時間順の積により同質歴史を表すのが有用である。これはChristopher Ishamにより開発された歴史射影作用素(history projection operator, HPO)形式であり、自然に歴史命題の論理構造をエンコードする。