ブラ-ケット記法
ディラックの説明によればケット |ψ⟩ の空間においてブラ ⟨φ| は線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。
ケット |ψ⟩ と、(位置表示の)波動関数 ψ(x) の関係は以下のように表される。
ψ ( x ) = ⟨ x | ψ ⟩ , | ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d x ψ ( x ) | x ⟩ {\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle ,\quad |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x\ \psi (x)\ |x\rangle }
ただし、位置を表す演算子 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} の固有値を x 、対応する固有ケットを |x⟩ とする; x ^ | x ⟩ = x | x ⟩ {\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle } 。