特殊相対性理論
F′ と F がローレンツ・ブースト(L4)式で移りあう為の必要十分条件は、
( E x ′ , B x ′ ) = ( E x , B x ) , ( E y ′ , B y ′ ) = γ ( E y − | v | B z , B y + | v | E z / c 2 ) , ( E z ′ , B z ′ ) = γ ( E z + | v | B y , B z − | v | E y / c 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(E'_{x},B'_{x})&=(E_{x},B_{x}),\\(E'_{y},B'_{y})&=\gamma (E_{y}-|{\boldsymbol {v}}|B_{z},B_{y}+|{\boldsymbol {v}}|E_{z}/c^{2}),\\(E'_{z},B'_{z})&=\gamma (E_{z}+|{\boldsymbol {v}}|B_{y},B_{z}-|{\boldsymbol {v}}|E_{y}/c^{2})\end{aligned}}}
が成立する事である事を簡単な計算で確認できる。ここで v は2つの慣性系の間の相対速度で、γ = 1 / √1 − (|v|/c) はローレンツ因子である。
非相対論的極限 v / c ≈ 0 では γ ≈ 1 なので、上述の条件式は、古典電磁気学で知られている慣性系間の変換公式
に一致する。
よって電磁テンソルはローレンツ変換に対して共変であると結論づけられる。
V を n 次元実ベクトル空間とし、
η : V × V → R {\displaystyle \eta \colon V\times V\to \mathbb {R} }
を V 上の対称二次形式とする。このとき、V の基底 e→1, ..., e→n と非負整数 p、q が存在し、
η ( ∑ μ a μ e → μ , ∑ ν b ν e → ν ) = a 1 b 1 + ⋯ + a p b p − a p + 1 b p + 1 − ⋯ − a p + q b p + q {\displaystyle \eta \left(\sum _{\mu }a^{\mu }{\vec {e}}_{\mu },\sum _{\nu }b^{\nu }{\vec {e}}_{\nu }\right)=a^{1}b^{1}+\cdots +a^{p}b^{p}-a^{p+1}b^{p+1}-\cdots -a^{p+q}b^{p+q}}
が成立する事が知られている。しかも p、q は (V, η) のみに依存し、基底 e→1, ..., e→n には依存しない(シルヴェスターの慣性法則)。
p = 1、q = n − 1 となる二次形式 η をミンコフスキー計量と呼び、組 (V, η) を n次元ミンコフスキー空間という。
特殊相対性理論で用いるのは、次元 n が4の場合なので、以下特に断りがない限り、n = 4とする。
固有時間について述べる前に、まず慣性系から見た時間についての公式を与える。
x→ を世界点とし、(e→0, e→1, e→2, e→3) を原点における慣性座標系とする。このとき、以下が成立する:
慣性座標系 (e→0, e→1, e→2, e→3) における x→ の起こる時刻は η(x→, e→0)である。
ただしここでいう「時間の長さ」は c 秒を1単位として数えた時間である。秒を単位とした時間の長さの場合は右辺を c で割る必要がある。
実際、(e→0, e→1, e→2, e→3) における成分表示を (ct, x, y, z) とすると、x→ の起こる時刻は x→ を時間軸方向へ射影したものに一致するが、x→ を時間軸方向へ射影した値は η(x→,e→0) である。
上記であつかった空間の3次元に時刻(1次元)を加えた4次元の時空間における点を世界点と呼ぶ。
ある慣性座標系から見て、ある時刻 t1 に、3次元空間上のある位置 x1 を光が通過したとする。その後、この光が時刻 t2 に位置 x2 まで伝播したとする。光速度は不変量 c であるので、これは
| x 1 − x 2 | | t 1 − t 2 | = c {\displaystyle {\frac {|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|}{|t_{1}-t_{2}|}}=c}
すなわち、
c 2 ( t 1 − t 2 ) 2 − | x 1 − x 2 | 2 = 0 {\displaystyle c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|^{2}=0}
である事を意味する。
世界点 1 と世界点 2 の間に定義される量
s 12 := c 2 ( t 1 − t 2 ) 2 − | x 1 − x 2 | 2 {\displaystyle s_{12}:={\sqrt {c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|^{2}}}}
を世界間隔もしくは世界距離と呼ぶことにする。
今、ここに一組の双子がおり、二人は慣性運動しながら次第に離れているとする。このとき兄から見ると、弟の時計は遅れてみえ、逆に弟から見ると兄の時計は遅れてみえる事が特殊相対性理論から帰結される。
これは一見奇妙に見えるため、時計のパラドックスと呼ばれることもあるが、実は特に矛盾している訳ではない。なぜなら慣性運動している二人は二度と出会うことがないので、もう一度再会してどちらの時計が遅れているのかを確認するすべはないからである。
19世紀後半になると、当時既に知られていた電磁気学に関するいくつかの基礎方程式群が、ジェームズ・クラーク・マクスウェルにより系統化され、マクスウェル方程式としてあらわされた。マクスウェル方程式の自由空間における解のひとつは電磁波である。この解が示す電磁波の伝播速度は、当時知られていた精度での光速度 c とよく一致した。このため、光と電磁波が同一のものと捉えられ、マクスウェル方程式は、電磁気学の基礎方程式であるのみならず、光の挙動を記述する支配方程式とみなされるようになった。
同時期において光学分野では、光の回折現象が知られていた。これを説明するために、光を波の伝播と見做す光の波動説が見出され、その支持が広まった。光の波動説では、光も空間を伝播する「もの」であるため、光が伝わる媒質であるエーテルなるものが宇宙に満たされているという仮説が、ホイヘンスにより提案された。
光の波動説およびエーテルを前提とした議論では、エーテルに対して静止している理想的な座標系においてマクスウェル方程式は実験事実をよく支持し、有用な基礎物理方程式とみなされた。その一方で、エーテルに対して運動する基準系から見た状況について、次第に関心が寄せられるようになっていった。
ニュートン力学の基礎方程式であるニュートンの運動方程式は、ガリレイ変換による座標変換のもとで本質的には形を変えない。しかし、電磁気学の基礎方程式であるマクスウェル方程式は、ガリレイ変換のもとで形式が本質的に変化してしまう。
本節では、電磁気学の基本的な概念や方程式を特殊相対性理論に合致する形に書き換える。
以下、慣性系
( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) , x 0 = c t {\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}),~x^{0}=ct}
を1つ固定し、この慣性系において電磁気学を記述する。詳細は省くが、本節の記述は、他の慣性系で電磁気学を記述したものとローレンツ変換で移りあう事を確認できるので、特殊相対性理論に合致している。
なお、本項では国際単位系を用いる場合に対して記述したが、Landau, Lifshitz (3rd ed.) (1971)などガウス単位系(英語版)を用いている書籍における定義とは光速度 c のかかる位置が違うなどの差があるので注意が必要である。
すでに運動量の概念を4元ベクトル化したので、力の概念を4元ベクトル化した4元力 f→ が定義できれば、 ニュートンによる質点の運動方程式 f = dp / dt をローレンツ変換に不変にした特殊相対性理論の運動方程式
f → = m d p → d t {\displaystyle {\vec {f}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}}
が定式化できる。
現在知られている4種類の力のうち、電磁気力、強い力、弱い力の3つは4元力として表現可能な事が知られている。このうち電磁気力を4元力として表現する方法は後の節で述べる。
一方、重力は特殊相対性理論の範囲で4元ベクトル化しようとしてもローレンツ変換に対して不変にならないためうまくいかない。重力を扱うには一般相対性理論が必要となる。
∴ a ( | V 12 | ) a ( | V 23 | ) = a ( | V 31 | ) {\displaystyle \therefore {\frac {a(|{\boldsymbol {V}}_{12}|)}{a(|{\boldsymbol {V}}_{23}|)}}=a(|{\boldsymbol {V}}_{31}|)}
が得られる。後者の左辺は V12, V23 の絶対値にのみ依存するのに対し、右辺のV31は V12, V23間の角度にも依存すると考えられるため、 a(|V|) はVによらず、定数であることがわかる。(ここで、ニュートン力学とは異なり、相対性理論ではガリレイ変換は成立せず、 V 31 ≠ − V 12 − V 23 {\displaystyle {\boldsymbol {V}}_{31}\neq -{\boldsymbol {V}}_{12}-{\boldsymbol {V}}_{23}} であることに注意せよ。)さらに、関係式から a(|V|) ≡ 1 が得られる。
以上二つのいずれを採用するにせよ、微小世界間隔はあらゆる慣性系間で保存されることになる(座標変換に関して不変)。したがって、このような微分の集積である有限の世界間隔についても、慣性系間の座標変換を経ても不変の保存量となる。
特殊相対性理論で用いる慣性座標系間の変換則は、非相対論的極限 (v / c → 0) においてガリレイ変換に漸近する(ここで v は2つの慣性座標系間の速度で、c は真空中の光速度である)。そのため、この条件下では、ガリレイ変換のもとで不変のニュートン力学との齟齬はないことが示されている。
なお、これら指導原理や諸要請の他にも、従来の物理学から継承される「空間の等質性」や「空間の等方性」といった暗黙の前提は、特殊相対性理論においても基礎とされている。
運動している質点がミンコフスキー空間内に描く軌跡を世界線と言う。今、世界線が原点を通る直線となる質点の運動があるとし、その直線の(4元)方向ベクトルを u→ とする(長さは問わない)。
この質点の運動を慣性座標系 e→0、e→1、e→2、e→3 にいる観測者 A が原点で眺めるとする。この慣性座標系における u→ の成分表示を (ct, x, y, z) とすると、3次元ベクトル (x/t, y/t, z/t) は A から見た質点の速度ベクトルであると解釈できる。
次に u→ の速度を光速と比較してみる。u→ の速度が光を下回る必要十分条件は、√x + y + z / t < c となることであるので、これを書き換えると、(ct) − x − y − z > 0 となる。ミンコフスキー計量の定義より、この式は η(u→, u→) > 0 と慣性座標系によらない形で表現できる。従って、η(u→, u→) > 0 であれば、どの慣性系から見ても光速度を下回り、逆に η(u→,u→) < 0 であれば どの慣性系から見ても光速度を上回る。
前述のように η(u→, u→) の正負によって、u→ を時間的もしくは空間的と呼ぶので、まとめると以下が結論づけられる:
方向ベクトル u→ が時間的 ⇔ 質点はどの慣性系から見ても光速を下回る
方向ベクトル u→ が空間的 ⇔ 質点はどの慣性系から見ても光速を上回る
方向ベクトル u→ が光的 ⇔ 質点はどの慣性系から見ても光速と等しい
最後のものは光速度不変の原理からの直接の帰結でもある。
なお、上の議論では、質点の世界線が直線である事を仮定したが、そうでない場合も原点での接線を u→ として同様の議論をする事で同じ結論が得られる。
以上の議論では変数 r で世界線 C をパラメトライズしたが、物理学的に自然な値である秒を単位とした固有時 τ そのものを使って、x→ = x→(τ) とパラメトライズするのが一般的である。このようにパラメトライズしたとき、質点 x→ の4元速度(英語版) u→ と4元加速度(英語版) a→ を以下のように定義する:
u → := d x → d τ {\displaystyle {\vec {u}}:={\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} \tau }}} 、 a → := d 2 x → d τ 2 . {\displaystyle {\vec {a}}:={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}.}
すなわち、x→ のミンコフスキー空間上の位置の変化率を固有時間 τ で測ったものが4元速度で、4元速度の変化率を τ で測ったものが4元加速度である。
4元速度のミンコフスキー・ノルムは
原点Oを通る観測者から見た慣性座標系を一つ固定すると、前述のようにその慣性座標系における二つの位置ベクトル間のミンコフスキー内積は
と書ける。このような座標系で、
e → 0 := ( 1 0 0 0 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{0}:={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}} 、 e → 1 := ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{1}:={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}} 、 e → 2 := ( 0 0 1 0 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{2}:={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}} 、 e → 3 := ( 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{3}:={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}