スペクトル半径
A k v = λ k v {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{k}{\boldsymbol {v}}=\lambda ^{k}{\boldsymbol {v}}}
であるから、
0 = ( lim k → ∞ A k ) v = lim k → ∞ A k v {\displaystyle 0=(\lim _{k\to \infty }{\boldsymbol {A}}^{k}){\boldsymbol {v}}=\lim _{k\to \infty }{\boldsymbol {A}}^{k}{\boldsymbol {v}}}
ここで、v ≠ 0 であることより、
lim k → ∞ λ k = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0}
でなければならないが、これは、|λ| < 1 であることを意味する。これがすべての固有値 λ に対して成立しなければならないから、ρ(A) < 1 と結論づけることができる。
一方、ρ(A) < 1 が lim k → ∞ A k = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\boldsymbol {A}}^{k}=0} を導くことは以下のようにしてわかる。
複素行列のスペクトル半径と任意の行列ノルム ||·|| に関して、次式が成立する (Gelfand, 1941)。
ρ ( A ) = lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 / k . {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {A}})=\lim _{k\to \infty }\|{\boldsymbol {A}}^{k}\|^{1/k}.}
この定理は以下のようにして示される。 ε > 0 を任意の正の実数とする。このとき、
A ~ = ( ρ ( A ) + ε ) − 1 A . {\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {A}}}=(\rho ({\boldsymbol {A}})+\epsilon )^{-1}{\boldsymbol {A}}.}
について
ρ ( A ~ ) = ρ ( A ) ρ ( A ) + ε < 1 {\displaystyle \rho ({\tilde {\boldsymbol {A}}})={\frac {\rho ({\boldsymbol {A}})}{\rho ({\boldsymbol {A}})+\epsilon }}<1}
だから、#等比列の収束により、
lim k → ∞ A ~ k = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tilde {\boldsymbol {A}}}^{k}=0}
が成り立っている。したがって、ある自然数 N1 ∈ N が存在して、