静磁場
B M ( r ) = μ 0 4 π ∫ s ∈ R 3 ( i M ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) d 3 s + μ 0 4 π ∫ s ∈ ∂ Ω ( K M ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle \mathbf {B} _{M}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}\left({\frac {{\boldsymbol {i}}_{M}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)d^{3}\mathbf {s} \ +\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }\left({\frac {\mathbf {K} _{M}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|} (2-4-10)
が、判る。この見方は、特に、磁化が一様な場合(より一般にはrot[M]=0)といった特殊な場合に、特に威力を発揮する。
今、体積磁荷密度と、表面磁荷密度を、
ρ M := − div r  [ M ] {\displaystyle {\rho }_{M}:=-\operatorname {div} _{\mathbf {r} }[\mathbf {M} ]} (体積磁荷密度) (2-3-10)
σ M :=< M | n ∂ Ω > {\displaystyle {\sigma }_{M}:=<\mathbf {M} \ |\ \mathbf {n} _{\partial \Omega }>} (表面磁荷密度) (2-3-11)
により定めると、
φ M ( r ) = ∫ s ∈ Ω ρ M ( s ) | r − s | d 3 Ω + ∫ s ∈ ∂ Ω σ M ( s ) | r − s | | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle {\phi }_{M}(\mathbf {r} )={\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }{\frac {{\rho }_{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ {d}^{3}\Omega \ +{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }{\frac {{\sigma }_{M}(\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|} (2-3-12)
を得る。
1 2 < ν ( s ) ( rot s  [ A ( s ) + δ A ( s ) ] ) | ( rot s  [ A ( s ) + δ A ( s ) ] ) > − < i f c ( s ) | A ( s ) + δ A ( s ) > {\displaystyle {\frac {1}{2}}<\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )+\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )+\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )])>\ -<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \mathbf {A} (\mathbf {s} )+\delta \mathbf {A} (\mathbf {s} )>} (3-5-3)
一方、F[A]は、以下の被積分関数を、全空間でsについて積分したものである。
1 2 < ν ( s ) ( rot s  [ A ( s ) ] ) | ( rot s  [ A ( s ) ] ) > − < i f c ( s ) | A ( s ) > {\displaystyle {\frac {1}{2}}<\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])>\ -<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \mathbf {A} (\mathbf {s} )>} (3-5-4)
したがって、δFは、以下の(3-5-5)を、全空間でsについて積分したものである。
定義は、以下の通りである。 ∫ s ∈ S X ( s ) d 2 S := ∫ ( u 1 , u 2 ) ∈ I ⟨ X ( φ ( u 1 , u 2 ) ) | ( ∂ φ ∂ u 1 × ∂ φ ∂ u 2 ) ⟩ d u 1 d u 2 {\displaystyle {\int }_{\mathbf {s} \in S}\mathbf {X} (\mathbf {s} )\ {d}^{2}S:={\int }_{({u}_{1},{u}_{2})\in I}\langle \mathbf {X} (\varphi ({u}_{1},{u}_{2}))\ |\ \left({\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{1}}}\times {\frac {\partial \varphi }{\partial {u}_{2}}}\right)\rangle \ d{u}_{1}d{u}_{2}}
前節の前提条件において、 全系の磁気ベクトルポテンシャル A tot {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{tot}}} は、以下の汎関数Fの停留関数となることが判る。
F [ A ] := ∫ s ∈ R 3 1 2 < H ( s ) | B ( s ) > − < i f c ( s ) | A tot ( s ) > d s = ∫ s ∈ R 3 1 2 < ν ( s ) ( rot s  [ A ( s ) ] ) | ( rot s  [ A ( s ) ] ) > − < i f c ( s ) | A ( s ) > d s (3-5-1) {\displaystyle {\begin{aligned}F[\mathbf {A} ]&:={\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{2}}<\ \mathbf {H} (\mathbf {s} )\ |\ \mathbf {B} (\mathbf {s} )>-<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \mathbf {A} _{\text{tot}}(\mathbf {s} )>\ d\mathbf {s} \\&={\int }_{\mathbf {s} \in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {1}{2}}<\ {\nu }(\mathbf {s} )(\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])\ |\ (\operatorname {rot} _{\mathbf {s} }[\mathbf {A} (\mathbf {s} )])>-<\ {\boldsymbol {i}}_{fc}(\mathbf {s} )|\ \mathbf {A} (\mathbf {s} )>\ d\mathbf {s} \qquad {\text{(3-5-1)}}\end{aligned}}}
静磁場の解析には、静磁場の解析には、やや高度なベクトル解析の知識 (例えば 藤本参照) が要求される。同じ式変形が何度も繰り返されるのを避ける目的から、 一般的な知識は既知とする立場から、本記事の内容理解に必要と思われる事柄に限り、簡単に説明する。 が要求される。同じ式変形が何度も繰り返されるのを避ける目的から、 一般的な知識は既知とする立場から、本記事の内容理解に必要と思われる事柄に限り、簡単に説明する。
rot r  [ ( i ( s ) × ( r − s ) | r − s | 3 ) ] = 4 π ( div r  [ ( r − s ) | r − s | 3 ] ) i ( s ) = 4 π δ 3 ( r − s ) i ( s ) (1-6) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rot} _{\mathbf {r} }\left[\left({\frac {{\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right)\right]&=4\pi \left(\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\right]\right){\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\\&=4\pi {\delta }^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {s} ){\boldsymbol {i}}(\mathbf {s} )\qquad {\text{(1-6)}}\end{aligned}}}
従って、