有限生成群
任意のアーベル群は有理整数環 Z 上の加群と見ることができ、生成系 {x1, ..., xn} を持つ有限生成アーベル群 G は、その任意の元 x をそれら生成元の整係数線型結合
x = α1⋅x1 + α2⋅x2 + ⋯ + αn⋅xs
(α1, ..., αn は適当な整数)として書くことができる。
有限生成アーベル群の基本定理は、有限生成アーベル群が有限階の自由アーベル群と有限アーベル群の直和に分解できて、各直和因子が同型を除いて一意となることを述べるものである。