双対加群
R-加群Mの双対(R-)加群Mのさらに双対である、
M ∗ ∗ = H o m R ( M ∗ , R ) {\displaystyle M^{**}={\mathrm {Hom} }_{R}(M^{*},R)}
のことをMの二重双対加群(にじゅうそうついかぐん、英: double dual module)という。 これは、 「加群準同型の全体へと制限された写像空間 M⊂ R」からRへの 加群準同型全体のなす集合(に値ごとの演算でR-加群の構造を入れたもの) だから、
Mの元は、 加群準同型 f : M → R {\displaystyle f:M\to R} になにかしらの元 a ∈ R {\displaystyle a\in R} を対応させた写像で
φ : M ∗ ∋ f ↦ a ∈ R {\displaystyle \phi :M^{*}\ni f\mapsto a\in R}
という形をしている。そこで各 r ∈ R {\displaystyle r\in R} に対し、