ゼロの偶奇性
ゼロが偶数であるという事実と、偶数と奇数の交替性という事実があれば、すべての他の自然数の偶奇性を決定するためには十分である。この考え方は、「すべての偶数の自然数の集合」を次のように帰納的に定義することで定式化できる。
0は偶数。
(n + 1) が偶数であることとnが偶数でないことは同値。
この定義は0と後者関数の存在という、自然数の最小の基礎のみ利用しているという概念的な有利さを持つ。そのため、それはen:Logical frameworkやIsabelle theorem proverのような計算機による論理システムに役に立つ。 この定義においては、ゼロの偶数性は、定理ではなく公理であり、従って、「0は偶数である」は、偶数の自然数が一つのモデルになるようなペアノ公理系における公理の一つとして解釈される。
計算幾何学における古典的なポリゴンの点テストは上の考えの応用である。
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どうやら、偶奇性の情報は、素数やら2の冪のような関連する数の性質のクラスターとともに記憶から呼び出されているらしい。 2の冪の数列と、偶数の列2, 4, 6, 8, ...は両方共、それらのメンバーが偶数の原型であるような、よく目立つ精神的カテゴリーである。ゼロはこれらのリストのどちらにも属していない、だから反応が遅いのである。
繰り返された実験では、命数形式での数の名前、文字による表示、および鏡文字などを使い、多様な年齢、国籍、言語などを持つ被験者に対してゼロでの遅れが示された。 Dehaeneのグループは、ある異なる要素を見出した。それは数学の専門知識である。これらの試験の一つでは、高等師範学校の学生が二つのグループに分けられた:文学専攻と数学、物理、生物専攻である。0での遅れは「本質的に文学専攻群に見られる」。そして実際、「試験の前に、ある文学専攻の対象者は0が偶数か奇数か確信が無く、数学的定義の復習をしなければならなかった」。
馴染みに対するこの強力な依存性は、精神的計算仮説をさらに不利にする 。 この結果は又、グループとして偶数と奇数が比較されるような実験においてゼロを含むことは不適切であるということを示唆している。ある研究で述べられていたように「大部分の研究者は、0が典型的な偶数ではなく、精神的な数直線の一部として研究されるべきではない、ということに同意しているようだ」
ある点があるポリゴンの中にあるかどうかを判定するためには、無限遠からその点に直線を引き、ポリゴンの境界とその直線が交わる回数を数える。その交差数が偶数であることと、その点がポリゴンの外側にあることは同値である。このアルゴリズムが有効なのは、直線が決してポリゴンと交わらないならばその交差数はゼロ、すなわち偶数であり、その点は外側にあるという事実による。その直線がポリゴンと交わるたびに、交差数は偶数と奇数を交代し、その点も内部と外部の間を交代する。
グラフ理論において、2部グラフとは、それぞれの頂点が2種類に色分けされ、隣接する頂点は異なる色を持つようなグラフである。ある連結グラフが奇数の閉路を持たなければ、基点vを選び、各頂点をvからの距離が偶数か奇数かによって白と黒に塗分けることにより、2部グラフを構成できる。ここで、vからそれ自身への距離は0であり、0は偶数だから、基点自身は距離1であるような隣接点とは異なる色になる。
ゼロ要素の集合は、余りの要素がない。そこで0は偶数である。 (右図参照)
他にも、偶数性の具体的な定義が存在する。集合の要素が二つの等しい大きさのグループに区切れるならば、その要素数は偶数である。この定義は最初のそれと同値である。この定義でも先の定義と同様に、空集合はそれぞれゼロ要素を持つ二つのグループにわけることができるからゼロは偶数である。
数はまた、数直線上の点としても視覚化できる。偶数と奇数がそれぞれ区別され、特に負の数が導入されれば、それらのパターンが明瞭になる。
偶数と奇数は交互に現れる。任意の偶数から始めて二つずつ、上から、あるいは下から数えることにより他の偶数に到達できる。この方法で任意の偶数から0に到達でき、また0から任意の偶数に到達できる。ここで0を例外扱いして飛ばすべき理由はない。
積を導入し、算術表現を使うことで、偶奇性はより公式的な方法でアプローチできる。すべての整数は(2 × □) + 0か、(2 × □) + 1のどちらかである。この形式的な数は前者が偶数、後者が奇数である。例えば、1は1=(2 × 0) + 1だから奇数であり、0は0 = (2 × 0) + 0だから偶数である。これを表にまとめてみれば、上の数直線の絵による説明が補強される。