4元運動量
相対論的な粒子の古典力学をラグランジュ形式で記述するとき、ニュートン的な場合と同様に、座標の微分 X ̇ {\displaystyle {\dot {X}}} によるラグランジュ関数の偏微係数として共役な運動量が
P μ = ∂ L ∂ X ̇ μ {\displaystyle P_{\mu }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {X}}^{\mu }}}}
により定義される。共役運動量の時間成分は時間に共役な力学的エネルギーである。
例えば電磁場と相互作用する粒子では共役運動量が
P μ = ∂ L ∂ X ̇ μ = p μ + q A μ ( X ) {\displaystyle P_{\mu }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {X}}^{\mu }}}=p_{\mu }+qA_{\mu }(X)}
となり、自由粒子の運動量に4元ポテンシャル A が加えられた形となる。時間成分が運動エネルギーと静電エネルギー(ポテンシャルエネルギー)の和として表される力学的エネルギーであることが確認される。