階乗
マンジュル・バルガヴァは階乗を一般のデデキント環上で定義し、いくつかの古典的な問題を解決するために用いた。それらの階乗は整数ではなく、イデアルとなる。
階乗を含む公式は数学の多くの分野に現れるけれども、階乗のおおもとの出自は組合せ論にある。相異なる n 個の対象の順列(k-順列)の総数は n! 通りである。
階乗はしばしば「順番を無視する」という事実を反映するものとして分母に現れる。古典的な例としては n 個の元から k 個の元を選ぶ組合せ(k-組合せ)の総数が挙げられる。このような組合せは順列から得ることができる。実際、k-順列の総数
n k _ = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) {\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}
において、順番のみが違う(k-組合せでは違いが無視される)k-順列が k ! 通りずつ存在するから、k-組合せの総数は
n k _ k ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 1 {\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}}
となる。この数は、二項冪 (1 + X) における X の係数となることから、二項係数 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} とも呼ばれる。
素数階乗 (Primorial) n# は最初の n-個の素数の総乗
n # = ∏ i = 1 n p i {\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{n}p_{i}}
である。オンライン整数列大辞典の数列 A002110。
これは、素数が無限に存在するという命題の証明に用いられることがある。