パーマネント (数学)
線型代数学における正方行列のパーマネント(英: Permanent)は、行列式 (determinant) によく似た行列変数の函数(英語版)である。パーマネントは、行列式と同様に、行列の成分を変数とする多項式である。Permutation(置換)と determinant(行列式)を合成したカバン語をもじったものである。英単語の「Permanent」から永久式または恒久式と訳されたこともある。中国語の名称は積和式。
パーマネントと行列式はともに、より一般の行列函数イマナントの特別の場合である。
.. 1 1 0 0 ... 1 1 1 0 ... 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 1 1 ... 0 ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k 2 n 2 n − k ( 2 n − k k ) ( n − k ) ! {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {perm} (J-I-I')&=\operatorname {perm} \!{\begin{pmatrix}0&0&1&\dots &1\\1&0&0&\dots &1\\1&1&0&\dots &1\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&1&\dots &0\end{pmatrix}}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\dfrac {2n}{2n-k}}{\dbinom {2n-k}{k}}(n-k)!\end{aligned}}}
で与えられる。ただし、I' は (i, i + 1)成分および (n, 1)成分のみが非零である (0, 1)-行列とする。