球充填
f {\displaystyle f} はそれ自身およびフーリエ変換 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} がどちらも原点で1となるように構築される。さらに、充填の中央にある球の外では f {\displaystyle f} が負となる一方、 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} は常に正となるようにすることで、原点以外のすべての格子点で f {\displaystyle f} および f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} がゼロになることを示せる。その上で f {\displaystyle f} に関するポアソン和公式を用い、想定される最適格子の密度をほかのあらゆる格子の密度と比較する。査読論文の中ではないが、ピーター・サルナックはこの証明を「驚くほど簡潔」と評し、「論文の冒頭を読むだけで証明が正しいと分かるだろう」と述べた。
高次元に関する別のアプローチとして、最密充填の密度の下界を漸近的に求めようとする研究がある。現在までに得られた最大の成果は、n 次元ではある数 c について cn2 以上の密度を持つ格子が存在するというものである。
球を稠密に配置しようとすると、3個の球を互いに接するように配置して、4つ目をその凹みに配置することになる。このようにして作られる配置は、5個目の球までは上述した正規配置のいずれかと一致する。しかし、6個目の球を配置するといかなる正規配置とも一致しなくなる。さらにこの手順を続けることで、圧縮に対して安定なランダム稠密配置を構築できる可能性がある。
球を1つずつ無作為に追加していって圧縮すると、一般にそれ以上圧縮できない「非正規」充填もしくは「ジャミング」充填配置に行きつく。非正規充填の充填密度は約64%となる。2008年の研究では、63.4%が密度の上限であることが解析的に予想されている。1次元や2次元では事情が異なり、1次元球(線分)または2次元球(円盤)を圧縮すると正規充填が生じる。