ベート数
}
そして ZF において、任意の濃度 κ と順序数 α、β に対して
ב β ( ב α ( κ ) ) = ב α + β ( κ ) . {\displaystyle \beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).}
したがって、ur-element(英語版)のないZermelo–Fraenkel 集合論において、選択公理はあってもなくても、任意の濃度 κ と μ に対して、等式
ב β ( κ ) = ב β ( μ ) {\displaystyle \beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )}
がすべての十分大きい順序数 β に対して成り立つ(つまり、ある順序数 α が存在して、すべての順序数 β ≥ α に対して等式が成り立つ)。
これは ur-element をもつ Zermelo–Fraenkel 集合論においても選択公理はあってもなくても、ur-element が pure set(推移閉包が ur-element を全く含まないような集合)と等濃な集合をなすと仮定すれば、成り立つ。選択公理を仮定すれば、ur-element からなる任意の集合はある pure set と等濃である。