ガリレイ不変性
ニュートンの理論の公理には次のようなものがある:
ニュートンの法則が成り立つ絶対空間が存在する。慣性系とは、絶対空間に対して相対的に一様な運動をする基準系のことである。
すべての慣性系は共通の時間を共有する。
ガリレイ相対性理論は次のように示すことができる。2つの慣性系SとS'を考える。Sにおける物理的事象は、Sにおける位置座標r = (x, y, z)と時間tを持ち、S'における位置座標r' = (x' , y' , z' )と時間t'を持つ。上の2番目の公理によって、2つのフレームのクロックを同期させ、t = t' と仮定することができる。S'がSに対して速度vで相対的に一様運動しているとする。S'におけるr' (t)とSにおけるr(t)の関数によって位置が与えられる点物体を考える。
r ′ ( t ) = r ( t ) − v t . {\displaystyle r'(t)=r(t)-vt.\,}
粒子の速度は、位置の時間微分によって与えられる:
u ′ ( t ) = d d t r ′ ( t ) = d d t r ( t ) − v = u ( t ) − v . {\displaystyle u'(t)={\frac {d}{dt}}r'(t)={\frac {d}{dt}}r(t)-v=u(t)-v.}
もう一回の微分は、2つの基準系における加速度を与える:
a ′ ( t ) = d d t u ′ ( t ) = d d t u ( t ) − 0 = a ( t ) . {\displaystyle a'(t)={\frac {d}{dt}}u'(t)={\frac {d}{dt}}u(t)-0=a(t).}