電信方程式
電気伝導率σ、誘電率ε、透磁率μの導体中において、電場E(x,t )と磁場H(x,t )は、次の形の電信方程式を満たす。
μ ε ∂ 2 E ∂ t 2 − ∇ 2 E + μ σ ∂ E ∂ t = 0 {\displaystyle \mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} +\mu \sigma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0}
μ ε ∂ 2 H ∂ t 2 − ∇ 2 H + μ σ ∂ H ∂ t = 0 {\displaystyle \mu \varepsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {H} +\mu \sigma {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}=0}
空間変数x と時間変数t と実数値関数u (x, t )に対し、
∂ 2 u ∂ t 2 − ∂ 2 u ∂ x 2 + γ u = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\gamma u=0}
で与えられる双曲型の2階偏微分方程式を電信方程式という。特にγ=0である場合は、通常の波動方程式に相当する。
より一般的にn次元の空間変数x=(x1,...,xn) と時間変数t の実数値関数u (x, t )に対し、
∂ 2 u ∂ t 2 − ∇ 2 u + γ u = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}u+\gamma u=0}
で与えられる偏微分方程式も電信方程式という。但し、∇はn次元におけるラプラス作用素
∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 1 2 + ∂ 2 ∂ x 2 2 + ⋯ + ∂ 2 ∂ x n 2 {\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{\,2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{\,2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{\,2}}}}
である。