粒子崩壊
{\displaystyle d^{3}{\vec {p}}=|{\vec {p}}\,|^{2}\,d|{\vec {p}}\,|\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right).\,}
デルタ関数を用いて二体の最終状態について位相空間を d 3 p → 2 {\displaystyle d^{3}{\vec {p}}_{2}} および d | p → 1 | {\displaystyle d|{\vec {p}}_{1}|\,} で積分すると、崩壊粒子の静止系での崩壊率を次のように得ることができる
d Γ = S | M | 2 32 π 2 | p → 1 | M 2 d φ 1 d ( cos  θ 1 ) . {\displaystyle d\Gamma ={\frac {S\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}}{32\pi ^{2}}}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right).\,}
粒子崩壊はポアソン過程であり、それゆえ粒子が崩壊前に生存する時間tは時定数が粒子の速度に依存する指数分布によって与えられる:
P ( t ) = e − t / ( γ τ ) {\displaystyle P(t)=e^{-t/(\gamma \tau )}\,}
ここで
τ {\displaystyle \tau } は(静止)粒子の平均寿命で、 γ = 1 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} は粒子のローレンツ因子である。
一つの粒子が三つに崩壊する位相空間要素は次の通りである:
d Φ 3 = 1 ( 2 π ) 5 δ 4 ( P − p 1 − p 2 − p 3 ) d 3 p → 1 2 E 1 d 3 p → 2 2 E 2 d 3 p → 3 2 E 3 {\displaystyle d\Phi _{3}={\frac {1}{(2\pi )^{5}}}\delta ^{4}(P-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\frac {d^{3}{\vec {p}}_{1}}{2E_{1}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{2}}{2E_{2}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{3}}{2E_{3}}}\,}
ここで m は最終状態の区別できない粒子の集合の数、 k j {\displaystyle k_{j}\,} は 型jの粒子の数で、 ∑ j = 1 m k j = n {\displaystyle \sum _{j=1}^{m}k_{j}=n\,} である。
位相空間は次によって決定される
d Φ n ( P ; p 1 , p 2 , ... , p n ) = ( 2 π ) 4 δ 4 ( P − ∑ i = 1 n p i ) ( ∏ i = 1 n d 3 p → i ( 2 π ) 3 2 E i ) {\displaystyle d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=(2\pi )^{4}\delta ^{4}(P-\sum _{i=1}^{n}p_{i})\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\right)\,}
ここで δ 4 {\displaystyle \delta ^{4}\,} は四次元のディラックのデルタ関数、 p → i {\displaystyle {\vec {p}}_{i}\,} は粒子 iの(三元)運動量、 E i {\displaystyle E_{i}\,} は粒子 iのエネルギーである
規定された最終状態の全崩壊率を得るためには、位相空間に渡り積分する。
粒子が異なる最終状態への複数の崩壊分岐またはモードを持つとき、その全崩壊率は全ての分岐の崩壊率の総和を取ることによって得られる。各モードの分岐率はその崩壊率を全崩壊率で割った値で得られる。