冪集合
S の部分集合 A とその指示関数 χ A {\displaystyle \chi _{A}} を対応づけることにより、冪集合 2 と S から {0, 1}への写像全体のなす集合 Map(S, {0, 1}) =: {0 ,1} が一対一に対応する。これは、S の元 a が部分集合 A に属するとき 1、属さないとき 0 をラベル付けすることで部分集合 A が特定できるということに対応する。したがって特に A の濃度 card(A) が有限の値 n であるとき冪集合 2 の濃度 card(2) は 2 = 2 に等しい。一般に、有限集合 E から有限集合 F への写像の総数は card(F) となり、このことは E から F への写像全体のなす集合を F と記す(無限集合の場合にも記号を流用する)ことの根拠の一つとなっている。そして、冪集合やその濃度の2の冪としての記法はこれの特別の場合にあたる。
冪集合の濃度は元の集合の濃度より常に大きい(カントールの定理)。有限集合のときにはこれは自明である。一般の場合は、カントールの対角線論法によって示される。