二重メルセンヌ数
二重メルセンヌ数であり、かつ素数である数は二重メルセンヌ素数と呼ばれる。メルセンヌ数 Mp は p が素数である場合のみ素数となるため(証明はメルセンヌ数参照)、二重メルセンヌ素数 M M p {\displaystyle M_{M_{p}}} は Mp それ自体がメルセンヌ素数となる場合のみ素数となる。Mp が素数となるpの最初の値において、p = 2, 3, 5, 7のとき M M p {\displaystyle M_{M_{p}}} は素数となり、p = 13, 17, 19および31のときの M M p {\displaystyle M_{M_{p}}} の陽因数が見つかっている。
次の二重メルセンヌ素数の最小の候補は、 M M 61 {\displaystyle M_{M_{61}}} = 2 − 1である。この数はおよそ1.695×10であるため、現在知られている素数判定法で扱うには大きすぎる。4×10より小さい素因数はない。現在知られている4つ以外に二重メルセンヌ素数はおそらくないと考えられている。
M M p {\displaystyle M_{M_{p}}} (pはn番目の素数)の素因数は以下の通り
7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... (次は4×10より大きい) オンライン整数列大辞典の数列 A263686