確率変数
X を標準正規分布に従う確率変数であるとすると、その確率密度は下記の通りである。
f X ( x ) = 1 2 π e − x 2 / 2 {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}}
確率変数 Y = X を考えると、上記の式を変数変換して確率密度を下記のように表すことができる。
f Y ( y ) = ∑ i f X ( g i − 1 ( y ) ) | d g i − 1 ( y ) d y | {\displaystyle f_{Y}(y)=\sum _{i}f_{X}(g_{i}^{-1}(y))\left|{\frac {dg_{i}^{-1}(y)}{dy}}\right|}
この場合、Y の値は2つの X(正の値と負の値)に対応するので、変換は単調写像ではない。しかし、関数が対称であるので、両半分をそれぞれ変形することができる。すなわち、
このような確率分布は常に分布関数で捉えることができる。
F X ( x ) = P  ( X ≤ x ) {\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}
加えて確率密度関数 p X {\displaystyle p_{X}} を使える場合も多い。測度論的には確率変数 X は、Ω 上での P の測定から R {\displaystyle \mathbb {R} } 上での p X {\displaystyle p_{X}} の測定に「押し進める」もの、といえる。根底にある確率空間 Ω は確率変数の存在を保証するツールであり、しばしば変数を構成し、同一確率空間内の2つ以上の変数の同時分布における相関・依存や独立性の基礎となる。実際は、空間 Ω 全体に1つの変数を置き、数直線 R {\displaystyle \mathbb {R} } 全体で1つの変数とする。つまり、その変数が確率変数に代わって確率分布する。
像が非可算個である時、X は連続型確率変数と呼ばれ、確率分布 PX が絶対連続ならば確率密度関数が存在し、確率変数が E ∈ E {\displaystyle E\in {\mathcal {E}}} (例えば区間)に属する確率が確率密度関数の E 上のルベーグ積分で表される。
注意すべき点は、絶対連続のとき連続確率分布であるため、確率変数がある値をとる確率は全て 0 になるということである。確率分布が連続でも絶対連続とは限らない。混合分布(英語版)がその例である。そのような確率変数は確率密度関数または確率質量関数で記述できない。
あらゆる確率分布は累積分布関数で記述できる。分布関数とは、x に確率変数が x 以下である確率を対応される関数のことである。
確率変数が可測関数として可積分ならば、期待値が存在する。
確率変数(かくりつへんすう、英: random variable, aleatory variable, stochastic variable)とは、統計学の確率論において、起こりうることがらに割り当てている値(ふつうは実数や整数)を取る変数。各事象は確率をもち、その比重に応じて確率変数はランダムに値をとる。
確率変数は離散型確率変数(りさんがたかくりつへんすう、英: discrete random variable)と連続型確率変数(れんぞくがたかくりつへんすう、英: continuous random variable)に分けられる。離散型確率変数の場合の確率分布は確率質量関数で表される。連続型確率変数の場合の確率分布は、確率測度が絶対連続ならば確率密度関数で表される。
確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} において、標本空間 Ω の大きさが連続体濃度の場合、確率変数とは、Ω 上で定義された実数値関数で、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 可測であるものといえる。確率変数値をとる Ω の部分集合が事象であり従って確率をもつために「 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 可測」は必要になる。