分解 (ホモロジー代数)
数学のホモロジー代数において、分解(ぶんかい、英: resolution)(あるいは左分解 (left resolution); 双対の余分解 (coresolution) あるいは右分解 (right resolution))は加群(あるいはより一般に、アーベル圏の対象)の完全列であり、加群あるいはこの圏の対象の構造を特徴づける不変量を定義するために用いられる。通常通り射が右向きのときは、列は(左)分解については左側に無限で、右分解については右側に無限であるとされる。しかしながら、有限分解 (finite resolution) は列の対象の有限個だけが零でない分解である。そのようなものは通常、(左分解について)左端の対象あるいは(右分解について)右端の対象が零対象である有限完全列によって表される。
一般に、列の対象はなんらかの性質 P(例えば自由である)を持つよう制限される。したがって P 分解が語られる。とくに、任意の加群は自由分解、射影分解、平坦分解をもつ。それらはそれぞれ自由加群、射影加群、平坦加群からなる左分解である。同様に任意の加群は単射分解をもつ。これは単射加群からなる右分解である。
{\displaystyle 0\to R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\to }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\to }}\dots \to {\mathcal {C}}^{\dim \!M}(M)\to 0.} 層 C ∗ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)} は細層であり、大域切断関手 Γ : F ↦ F ( M ) {\displaystyle \Gamma \colon {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)} に関して非輪状であることが知られている。したがって、大域切断関手 Γ の導来関手である層係数コホモロジーは次のように計算される: H i  ( M , R ) = H i  ( C ∗ ( M ) ) . {\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\operatorname {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).}
同様に、ゴドマン分解(英語版)は大域切断関手に関して非輪状である。
M を体上次数が正の元によって生成される次数付き代数上の次数付き加群とする。すると M は、自由加群 Ei が di たちと ε が次数付き線型写像であるように次数付けられる自由分解を持つ。これらの次数付き自由分解の中で、極小自由分解 (minimal free resolution) は各 Ei の基底元の個数が極小であるようなものである。各 Ei の基底元の個数とそれらの次数は次数付き加群のすべての極小自由分解に対して同じである。
I が体上の多項式環における斉次イデアルであるとき、I によって定義される射影代数的集合(英語版)のカステルヌオヴォ・マンフォード正則性(英語版)は、I の極小自由分解における Ei の基底元の次数がすべて r − i よりも小さいような最小の整数 r である。