正弦・余弦変換
フーリエ正弦変換は、奇関数に対して連続フーリエ変換を行う際に自然に生じる。上述のような一般的なフーリエ変換において、もし f(t) が奇関数であるなら、積 f(t)cosωt も奇関数となる一方で、積 f(t)sinωt は偶関数となる。その積分区間が原点について対称(すなわち -∞ から +∞ まで)であるため、一つ目の積分はゼロとなり、二つ目の積分は
F ( ω ) = − i 2 π ∫ 0 ∞ f ( t ) sin ω t d t {\displaystyle F(\omega )=-i\,{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt}
と簡略化される。これがすなわち奇関数 f(t) に対するフーリエ正弦変換である。その変換された関数 F(ω) もまた奇関数であることは明らかであり、一般的な逆フーリエ変換(英語版)の解析と同様に、第二正弦変換
f ( t ) = i 2 π ∫ 0 ∞ F ( ω ) sin ω t d ω {\displaystyle f(t)=i\,{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }F(\omega )\sin \,{\omega t}\,d\omega }
を得ることが出来る。一般的な連続フーリエ変換に関する議論と同様に、変換の数値的な因数はそれらの積によってのみ一意に定められる。したがって、虚数単位 i および -i は除外することが出来、より一般的な形でのフーリエ正弦変換は
F ( ω ) = 2 π ∫ 0 ∞ f ( t ) sin ω t d t {\displaystyle F(\omega )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt}
および
f ( t ) = 2 π ∫ 0 ∞ F ( ω ) sin ω t d ω {\displaystyle f(t)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }F(\omega )\sin \,{\omega t}\,d\omega }
となる。