分数次フーリエ変換
( F α 1 F α 2 ) F α 3 = F α 1 ( F α 2 F α 3 ) {\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}\right)}
パーセバルの定理:
∫ f ∗ ( u ) g ( u ) d u = ∫ f α ∗ ( u ) g α ( u ) d u {\displaystyle \int f^{*}(u)g(u)du=\int f_{\alpha }^{*}(u)g_{\alpha }(u)du}
この性質はユニタリ性と類似している。エネルギーもしくはノルム保存が特殊例である。
時間反転:
F α P = P F α {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {P}}={\mathcal {P}}{\mathcal {F}}_{\alpha }} F α [ f ( − u ) ] = f α ( − u ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f(-u)]=f_{\alpha }(-u)}
シフトされた関数の変換:
シフト演算子と位相シフト演算子をそれぞれ以下のように定義する。