リー群
例えばリー群を G で表しているのなら、そのリー環は g や g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} で表す。 また Lie(G) などとして付随するリー環を表すこともある。
リー群に付随するリー環は有限次元で、とくに元のリー群と同じ次元を持つ。リー群 G に付随するリー環 g は局所同型の違いを除いて一意に定まる。ここで、二つのリー群が「局所同型」であるとは、単位元の適当な近傍を選ぶと、その上で同型対応がとれることをいう。リー群に対する問題は、対応するリー環に対する問題を先に解決し、その結果を用いることによって(通常は簡単に)解決されるということがよくある。例えば、単純リー群の分類問題は対応するリー環の分類をまず済ませることによって解決される。
左不変ベクトル場を用いる代わりに右不変ベクトル場を用いても、単位元における接空間 Te にリー環の構造を入れることができるが、この場合も左不変ベクトル場を用いたと同じリー環が定まる。これは、リー群 G 上で逆元をとる写像を考えると、それを移行して右不変ベクトル場と左不変ベクトル場が対応付けられ、特に接空間 Te 上では −1 を乗じる操作として作用することから従う。
接空間 Te 上のリー環構造は次のように記述することもできる: 直積リー群 G × G 上の交換子作用素
(x, y) → xyxy
は (e, e) を e に写すので、その微分は Te 上の双線型作用素を引き起こす。この双線型作用素は実際には零写像なのだが、接空間との厳密な同一視の元で、二階微分はリー括弧積の公理を満たす作用素を引き起こし、それは左不変ベクトル場を用いて定義される場合のちょうど二倍に等しい。
G, H をリー群(実なら双方とも実、複素なら双方とも複素)とする。写像 f: G → H がリー群の準同型であるとは、f は抽象群としての群準同型であって、かつ f が解析的であるときにいう。ただし、f が「解析的」であるという条件を「連続」であるという条件に弱めても定義としては同値になることが示せる。文脈上リー群の準同型であると明らかなときは単に準同型とよぶ。リー群準同型の合成はまたリー群準同型である。全ての実リー群のなす類、あるいは全ての複素リー群のなす類に、それぞれの意味でのリー群準同型を射と見なしてリー群の圏ができる。二つのリー群が同型であるとは、その間に全単射なリー群準同型で、その逆写像もまたリー群準同型になるようなものが存在することをいう。同型なリー群同士を区別する必要は実用上はなく、それらは単に元の表し方が異なるだけだと考えられる。
リー群の準同型 f: G → H は付随するリー環たちの間の準同型
L i e ( f ) : L i e ( G ) → L i e ( H ) {\displaystyle \mathrm {Lie} (f)\colon \mathrm {Lie} (G)\to \mathrm {Lie} (H)}
G を台集合とする実リー群とは、G には実数体上有限次元かつ可微分な実多様体の構造が定められていて、G はまた群の構造を持ち、さらにその群の演算である乗法および逆元を取る操作が多様体としての G 上の写像として可微分であるもののことである。このような構造が入っているという前提の下で、通常は「G はリー群である」というように台を表す記号を使ってリー群を表す。また、実数(実多様体)を複素数(複素多様体)にとりかえて複素リー群の概念が定まる。
圏論の言葉を使うとリー群の定義が簡潔になる:リー群とは可微分多様体の圏の群対象のことである。この圏論に基づく定義は重要である。なぜなら、この定義表現を介して、リー群の概念をSupergroup_(physics)へと一般化することが可能になるからである。圏論の視点を用いることで、リー群に対して別のタイプの一般化を考えることができる。リー亜群(Lie groupoids)のことである。これは、条件を付加した可微分多様体の圏の亜群対象のことである。
複素数体 C 上の二次特殊線型群 SL(2, C) などは複素リー群の例である。