ライプニッツの公式
これを計算すると以下のようになる。
b n = { 4 n π n = 2 k + 1 ( k ∈ N ) 0 n = 2 k {\displaystyle b_{n}={\begin{cases}{\dfrac {4}{n\pi }}&\quad n=2k+1\quad (k\in \mathbb {N} )\\0&\quad n=2k\\\end{cases}}}
したがって方形波のフーリエ級数は
f ( x ) = 4 π ( sin  x + 1 3 sin  3 x + 1 5 sin  5 x + ⋯ ) {\displaystyle f(x)={\frac {4}{\pi }}\left(\sin x+{\frac {1}{3}}\sin 3x+{\frac {1}{5}}\sin 5x+\dotsb \right)}
となり、f(x) は x = π/2 において連続であるから、両辺に x = π/2 を代入すると
1 = 4 π ( 1 − 1 3 + 1 5 − ⋯ ) {\displaystyle 1={\frac {4}{\pi }}\left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\dotsb \right)}
であるのでライプニッツの公式が得られる。