アナログ信号処理
システムの挙動は数学的にモデル化でき、時間領域では h(t) として表され、周波数領域では H(s) で表される。ここで、s は s=a+ib または電気工学的には s=a+jb という形式の複素数である(電気工学では電流を "i" で表すことが多いので、虚数単位には "j" を使う)。システムへの入力信号は x(t) または X(s) で表すことが多く、出力信号は y(t) または Y(s) で表すことが多い。
インパルス(ディラックのデルタ関数)とは、原点を中心として無限の振幅を持ち、その幅が無限に小さい信号と定義される。インパルスは、あらゆる可能な周波数の正弦波の無限和と見ることもできる。この定義は実世界では扱いにくいので、技術的には原点では 1 でそれ以外の時点では 0 の信号とされる。インパルスは delta(t) で表される。インパルスをシステムに入力したときのシステムの出力をインパルス応答という。インパルス入力にはあらゆる周波数の成分が含まれているため、インパルス応答はシステムの定義とされる。
ラプラス変換はフーリエ変換を拡張したものである。 j ω {\displaystyle j\omega } で表される直線だけを扱うフーリエ変換と異なり、ラプラス変換では複素平面全体に変換するため、任意のシステムや信号を変換可能である。主な違いは、ラプラス変換にはその変換が妥当であるような収束領域が存在する点が挙げられる。すなわち、周波数領域の信号には複数の時間領域の信号が対応する可能性があり、その変換で正しい時間信号は収束領域によって決定される。収束領域に j ω {\displaystyle j\omega } 軸が含まれる場合、その部分はラプラス変換と同じになる。ラプラス変換は次のように表される。
X ( s ) = ∫ 0 ∞ x ( t ) e − s t d t {\displaystyle X(s)=\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt}
また、逆ラプラス変換は次のように表される。 c {\displaystyle c} は実数である。
x ( t ) = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ X ( s ) e s t d s {\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi j}}\int _{c-j\infty }^{c+j\infty }X(s)e^{st}\,ds}