−1
−1 は最大の負の整数であり、絶対値が最小の負の整数である。
−1 をかけると反数になる。つまり、a × (−1) = −a となる。このような場合 a × −1 とは書かないのが一般的である(−1 × a という形はよい)。
−1 を2乗すると 1になる。よって −1 は 1 の平方根のうちのひとつである。一般に −1 を偶数乗すると 1 になる: (−1) = 1. よって −1 は全ての n > 0 に対し 1 の 2n 乗根(のひとつ)である。
一般の環において −1 を2乗すると 1 になることは、以下のように示される。0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ (−1 + 1) であり、これを分配法則にしたがって展開すると
0 = ( ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ) + ( ( − 1 ) ⋅ 1 ) = ( ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ) − 1 {\displaystyle 0=((-1)\cdot (-1))+((-1)\cdot 1)=((-1)\cdot (-1))-1}
となる。よって ((−1) ⋅ (−1)) = 1 である。
−1 の平方根のうち一つを虚数単位と呼び i = √−1 と書く。−1 の平方根は i と −i の二つである。i = (−i ) = −1.