ガウス整数
このアイデアは、一見して一般のフェルマー方程式
a + b = c (n ≥ 3)
に適用できるかのように思われる。実際、n が奇数のとき、ζ を 1 の原始 n 乗根とすると、左辺が一次式の積に分解されて
(a + b)(a + bζ)(a + bζ)...(a + bζ) = c
となる。よって、この場合は円分体の整数環
Z [ ζ ] := { a 0 + a 1 ζ + a 2 ζ 2 + ⋯ + a n − 1 ζ n − 1 ∣ a i ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]:=\{a_{0}+a_{1}\zeta +a_{2}\zeta ^{2}+\cdots +a_{n-1}\zeta ^{n-1}\mid a_{i}\in \mathbb {Z} \}}
を考えることになる。1847年、ガブリエル・ラメはこの方針でフェルマーの最終定理を証明したと宣言した。しかし、 Z [ ζ ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]} で素因数分解の一意性が成り立つと(無意識に)勘違いしていたこと、単数を決定していなかったことなどから、その証明は不完全なものであった。しかし、全く意味が無かったわけではなく、クンマーやデデキントらによるイデアル論の研究を刺激し、代数的整数論の発展を促したという一面がある。