ルベーグ積分
ルベーグ積分においては零集合の上でのみ異なる値をとる関数を区別しない。 正確に言うと、関数 f と g がほとんど至るところ等しいとは
μ ( { x : f ( x ) ≠ g ( x ) } ) = 0 {\displaystyle \mu (\{x:f(x)\neq g(x)\})=0}
をみたすことであり、
f = g a.e. {\displaystyle f=g\quad {\text{a.e.}}}
と書く。
非負値可測関数 ( ∞ {\displaystyle \infty } を関数値として許す) f と g がほとんど至るところ等しいならば ∫ E f d μ = ∫ E g d μ . {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}g\,d\mu .}
可測関数 ( ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } を関数値として許す) f と g がほとんど至るところ等しいならば、f が可積分であることと g が可積分であることは同値であり、積分の値は等しい。
ルベーグ積分は以下の性質を持っている。