ディガンマ関数
ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示
1 Γ ( z ) = lim n → ∞ z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) n z n ! {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {z(z+1)\cdots (z+n)}{n^{z}n!}}}
を対数微分することで、ディガンマ関数における
ψ ( z ) = lim n → ∞ { ln  n − 1 z − ∑ k = 1 n 1 z + k } {\displaystyle \psi (z)=\lim _{n\to \infty }\left\{\ln {n}-{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z+k}}\right\}}
という表示を得る。特に z = 1 {\displaystyle z=1} とすれば、次の特殊値
ψ ( 1 ) = lim n → ∞ { ln  n − ∑ k = 1 n 1 k } = − γ {\displaystyle \psi (1)=\lim _{n\to \infty }\left\{\ln {n}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right\}=-\gamma }
ψ ( z + 1 ) = ln  z − 1 2 z − ∫ 0 ∞ ( 1 2 coth  ( s 2 ) − 1 s ) e − z s d s {\displaystyle \psi (z+1)=\ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{2}}\operatorname {coth} \left({\dfrac {s}{2}}\right)-{\frac {1}{s}}{\biggr )}e^{-zs}\mathrm {d} s}
但し、 coth  ( s 2 ) {\displaystyle \coth \left({\frac {s}{2}}\right)} は双曲線余接関数を表す。
また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。
ψ ( y ) − ψ ( x ) = ∫ 0 1 u x − 1 − u y − 1 1 − u d u {\displaystyle \psi (y)-\psi (x)=\int _{0}^{1}{\frac {u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u}}\mathrm {d} u}