分離超平面定理
分離超平面定理(ぶんりちょうへいめんていり、英: separating hyperplane theorem, hyperplane separation theorem)は n 次元ユークリッド空間上の互いに素な凸集合に関する幾何学における 2 つの定理を指す。
一つ目の定理は、互いに素な凸集合の両方が閉集合であってかつ少なくともいずれか 1 つの凸集合がコンパクト集合である場合、2 つの閉凸集合の間に 1 つの超平面が存在でき、また閉凸集合の間に 2 つの平行な超平面を隙間を作って置くことができることを示す。
二つ目の定理は、互いに素な凸集合があり両者が開集合である場合、2 つの開凸集合の間に 1 つの超平面をはさむことができるが、2 つの開凸集合の間には必ずしも隙間が存在するわけではないことを示す(従って第一の定理と異なり、複数の超平面を重ねずに挟むことができない状況が存在する)。
分離超平面に対して直交する軸を分離軸 (separating axis) と呼ぶ。これは、2 つの凸体(英語版)の分離軸への直交写像が互いに素であることによる。
分離超平面定理はヘルマン・ミンコフスキーの寄与によって発見された。ハーン=バナッハの分離定理はミンコフスキーの結果を線型位相空間へ一般化したものである。
関連する結果として支持超平面定理(英語版)がある。マージン最大化超平面 (maximum-margin hyperplane) は空間上にある点の集まりを 2 つのクラスタに分離する超平面の中で、両者のクラスタからの距離が等しいようなものである。このとき、それぞれのクラスタと分離超平面の間のマージンは最大化される。この事実はサポートベクターマシンなどに応用される。