マックス・プランク
黒体放射の式からエントロピーを計算するには、式(8)および熱力学の式
∂ S ∂ U = 1 T {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial U}}={\frac {1}{T}}} (15)
を使えばよく、結果は、
a h S = ( 1 + U h ν ) log  ( 1 + U h ν ) − U h ν log  U h ν {\displaystyle {\frac {a}{h}}S=\left(1+{\frac {U}{h\nu }}\right)\log \left(1+{\frac {U}{h\nu }}\right)-{\frac {U}{h\nu }}\log {\frac {U}{h\nu }}} (16)
となる。
式(14)と式(16)を比較することにより、
ε = h ν {\displaystyle \epsilon =h\nu } (17)
が得られる。
また、同じく式(14)と式(16)を比較することにより、 k = h / a {\displaystyle k=h/a} である。この定数 k {\displaystyle k} はボルツマンの名からボルツマン定数と呼ばれている。しかし、ボルツマン自身は k {\displaystyle k} という符号を使っていなかった。ボルツマン定数の意味するところを初めて明らかにしたのはプランクである。プランクは h {\displaystyle h} と k {\displaystyle k} の値を求め、そこから電子の電荷 e {\displaystyle e} やアボガドロ定数の値を、現在知られている値と近い値で導き出している。
しかしこれらの論文は、当時の物理学者にほとんど影響を与えなかった。キルヒホフからは誤りを指摘され、ヘルムホルツは論文を読もうともしなかった。プランクはクラウジウスに読んでもらおうとしたが、それも叶わなかった。さらに、すでにウィラード・ギブズがプランクと同様の研究内容を発表していることが後になって分かり、プランクは落胆した。
ともあれ教授の資格は得られたプランクであったが、教授職の空きがなく、しばらくは無給の私講師として親の元で暮らしていた。当時プランクは級友の妹で銀行家の娘のマリー・メルクと交際していたが、収入が無いなかでの結婚に踏み切れないでいた。しかし1885年、キール大学からの招聘を受け、キール大学の員外教授となった。この人事には、元々キール大学で教えていて大学内に友人のいた父親の影響もあったと推測されている。
1887年、29歳のプランクはマリー・メルクと結婚した。2人の間には長男カール、双子の長女と次女であるエンマとグレーテ、そして次男エルヴィンの2男2女をもうけた。
計算後に ε {\displaystyle \epsilon } →0とすれば、エネルギーを連続量とした場合の結果が得られる。
N個の振動子にエネルギーが分配される方法が何通りあるかは、P個の要素をN個の振動子に分配される場合の数となる(ただし、エネルギー及び振動子は互いに区別されない)。したがって、 W {\displaystyle W} は
W = ( N + P − 1 ) ! ( N − 1 ) ! P ! {\displaystyle W={\frac {(N+P-1)!}{(N-1)!P!}}} (12)
である。
式(10)と式(12)を利用することにより、振動子1個当たりのエントロピー S {\displaystyle S} は、
S = k N log  ( N + P − 1 ) ! ( N − 1 ) ! P ! {\displaystyle S={\frac {k}{N}}\log {\frac {(N+P-1)!}{(N-1)!P!}}} (13)
これを、スターリングの公式と式(11)を使って計算すると、
S = k [ ( 1 + U ε ) log  ( 1 + U ε ) − U ε log  U ε ] {\displaystyle S=k\left[\left(1+{\frac {U}{\epsilon }}\right)\log \left(1+{\frac {U}{\epsilon }}\right)-{\frac {U}{\epsilon }}\log {\frac {U}{\epsilon }}\right]} (14)
となる。こうして、統計力学を用いてエントロピーを計算することができた。
この結果を、プランク自身による黒体放射の式から計算したエントロピーと比較する。
1858年4月23日、当時ホルシュタイン公国に属していた港町キールに生まれた。。父のヴィルヘルム・プランクは法学者、母親のエンマはグライフスヴァルト出身で、牧師の家系である。エンマはヴィルヘルムにとって2人目の妻であり、2人の間には5人の子が生まれた。マックスは4番目の子である。さらにヴィルヘルムと先妻との間に2人の子があり、一家は9人で暮らしていた。
1867年、ヴィルヘルムはミュンヘン大学に招かれ、それに伴い一家はミュンヘンに引っ越した。当時9歳のマックスは、ミュンヘンのマクシミリアン・ギムナジウムのラテン語学級に転校した。少年時代のマックスは、叔母やいとこらと音楽会や山登りをするなどして過ごした。学校では品行方正で行儀よく勉強熱心であったため教師からの評判は良く、同級生の間でも人気だった。成績も優れていたが、天才と言えるほどの飛び抜けたものではなかった。物理学の分野ではエネルギー保存則について興味を示した。