射影加群
一般の加群 P に対して表現可能関手 Hom(P, –) は左完全である。 つまり任意の短完全列
0 → N → M → K → 0 {\displaystyle 0\to N\to M\to K\to 0}
に対して
0 → Hom  ( P , N ) → Hom  ( P , M ) → Hom  ( P , K ) {\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} (P,N)\to \operatorname {Hom} (P,M)\to \operatorname {Hom} (P,K)}
は完全である。 この関手 Hom(P, –) が完全となる、つまり
0 → Hom  ( P , N ) → Hom  ( P , M ) → Hom  ( P , K ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} (P,N)\to \operatorname {Hom} (P,M)\to \operatorname {Hom} (P,K)\to 0}
が完全となる加群 P のことを射影加群と呼ぶ。
加群 M に対し、各 Pi が射影加群であるような次の完全列
⋯ → P n + 1 → d n + 1 P n → ⋯ → P 1 → d 1 P 0 → d 0 M → 0 {\displaystyle \cdots \to P_{n+1}{\overset {d_{n+1}}{\to }}P_{n}\to \cdots \to P_{1}{\overset {d_{1}}{\to }}P_{0}{\overset {d_{0}}{\to }}M\to 0}
を M の射影分解という。特にすべての i ≥ 0 に対して Pi → Im di が射影被覆となるときは極小射影分解という。任意の加群には自由分解(上記で射影加群を自由加群に置き換えたもの)が存在し、したがって射影分解も存在する。すべての i > n に対し Pi = 0 であるような射影分解を長さ n の射影分解という。