円の面積
lim n → ∞ n r 2 sin  π n cos  π n = lim n → ∞ n r 2 sin  π n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }nr^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}}=\lim _{n\to \infty }nr^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}}
ここで、 n = π / x {\displaystyle n=\pi /x} とおけば、
lim n → ∞ n r 2 sin  π n = lim x → 0 π r 2 sin  x x {\displaystyle \lim _{n\to \infty }nr^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}=\lim _{x\to 0}\pi r^{2}{\frac {\sin x}{x}}}
さらに、 lim x → 0 sin  x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1} なので、
lim x → 0 π r 2 sin  x x = π r 2 {\displaystyle \lim _{x\to 0}\pi r^{2}{\frac {\sin x}{x}}=\pi r^{2}}
である。
lim n → ∞ ∑ k = 1 n r 2 − ξ k 2 ( x k − x k − 1 ) = lim n → ∞ ∑ k = 1 n r 2 − ( k r n ) 2 r n = r 2 lim n → ∞ ∑ k = 1 n 1 n 1 − ( k n ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {r^{2}-\xi _{k}^{2}}}(x_{k}-x_{k-1})&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {r^{2}-({\frac {kr}{n}})^{2}}}{\frac {r}{n}}\\&=r^{2}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}{\sqrt {1-({\frac {k}{n}})^{2}}}\\\end{aligned}}}
さらに、
lim n → ∞ ∑ k = 1 n 1 n 1 − ( k n ) 2 = π 4 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n}}{\sqrt {1-({\frac {k}{n}})^{2}}}={\frac {\pi }{4}}}
であるから、
S 4 = π r 2 4 {\displaystyle S_{4}={\frac {\pi r^{2}}{4}}}
となって、 S = π r 2 {\displaystyle S=\pi r^{2}} を得る。