電磁場テンソル
媒質中での電磁場を表す電束密度 D と磁場の強度 H は、電磁場の強度と同様に二階のテンソル G によって相対論的な形式で記述される。 それぞれの成分は具体的には
( G 01 , G 02 , G 03 ) = ( D x , D y , D z ) {\displaystyle (G^{01},G^{02},G^{03})=(D_{x},D_{y},D_{z})}
( G 23 , G 31 , G 12 ) = ( H x / c , H y / c , H z / c ) {\displaystyle (G^{23},G^{31},G^{12})=(H_{x}/c,H_{y}/c,H_{z}/c)}
である。このテンソル G はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。 サブ電磁テンソル G は電磁場の強度 F と
G μ ν = 1 Z 0 F μ ν + P μ ν = 1 c μ 0 F μ ν + P μ ν {\displaystyle G^{\mu \nu }={\frac {1}{Z_{0}}}F^{\mu \nu }+P^{\mu \nu }={\frac {1}{c\mu _{0}}}F^{\mu \nu }+P^{\mu \nu }}
で関係付けられる。ここで P は分極テンソルであり、その成分は誘電分極 P と磁化 M である。 具体的には
( P 01 , P 02 , P 03 ) = ( P x , P y , P z ) {\displaystyle (P^{01},P^{02},P^{03})=(P_{x},P_{y},P_{z})}
電磁場テンソルは荷電粒子に作用するローレンツ力を相対論的に記述する際に現れる。 相対論的な粒子の位置を X = (ct, r) で表すとき、電荷 q を帯びた荷電粒子に作用するローレンツ力は
p ̇ μ = − q X ̇ ν F ν μ ( X ) {\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }=-q{\dot {X}}^{\nu }F_{\nu \mu }(X)}
となる。 ここで p は粒子の4元運動量である。ドットは運動のパラメータによる微分である。
媒質中の運動方程式は
∂ μ G μ ν = − 1 c j ν {\displaystyle \partial _{\mu }G^{\mu \nu }=-{\frac {1}{c}}\,j^{\nu }}
と表される。 成分ごとにそれぞれ
∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho }
∇ × H − ∂ D ∂ t = j {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}={\boldsymbol {j}}}
である。