カビボ・小林・益川行列
小林と益川は3世代以上のクォーク対があるとCP対称性の破れを説明できることを発見し、カビボ行列にもう1世代のクォーク対を加えて 3行3列とした CKM行列を提唱した。
上系列クォークの質量固有状態 u,c,t と対を成す状態をそれぞれ d',s',b' とし、下系列クォークの質量固有状態を d,s,b とすると,
[ d ′ s ′ b ′ ] = [ V u d V u s V u b V c d V c s V c b V t d V t s V t b ] [ d s b ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{ud}&V_{us}&V_{ub}\\V_{cd}&V_{cs}&V_{cb}\\V_{td}&V_{ts}&V_{tb}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\\\end{bmatrix}}}
と書くことができる。この V がCKM行列である。現在知られている行列の各成分の絶対値は以下の通り。
[ | V u d | | V u s | | V u b | | V c d | | V c s | | V c b | | V t d | | V t s | | V t b | ] = [ 0.97428 ± 0.00015 0.2253 ± 0.0007 0.00347 − 0.00012 + 0.00016 0.2252 ± 0.
2257}{0.97419}}\rightarrow \theta _{\mathrm {c} }=~13.04^{\circ }}
となる。 |Vud| と |Vus| の和は 1 になるはずであるが、実際には 0.99999 にしかならない。これはトップクォークの存在を考慮していなかったためであるが(トップクォークを考慮すれば |Vut| = 0.00001 となり、総和は 1 である)、当時の実験精度ではトップクォークの存在を予言するには至らなかった。
1974年にチャームクォークが発見されると、ダウンクォークやストレンジクォークがチャームクォークにも崩壊することが確認され、以下のベクトル方程式が追加された。
| s ′ ⟩ = V c d | d ⟩ + V c s | s ⟩ {\displaystyle |s^{\prime }\rangle =V_{cd}|d\rangle +V_{cs}|s\rangle }
カビボ角の表記では
| s ′ ⟩ = − sin  θ c | d ⟩ + cos  θ c | s ⟩ {\displaystyle |s^{\prime }\rangle =-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}|d\rangle +\cos {\theta _{\mathrm {c} }}|s\rangle }
である。これらを行列で表すと