関数 (数学)
函数を書き表すために標準的な方法がいくつかある。
一般的によく知られる記法は、函数名と引数を明示する式を用いて函数を定義する、いわゆる函数記法である。しかし函数記法には、「函数それ自身」と「函数の値」の区別ができないという問題点がある。
函数はイタリック体の文字一つで表すか(例えば f, g, h, ... )、ローマン体の文字を複数用いて表す(例えば 三角関数: sin, 指数関数: exp, 対数関数: log, 対数積分: Li, li, 跡: tr, Sp など)。後者のローマン体は例えば函数名の省略形で函数を表記する際などに用いられる。 イタリック体でなくローマン体を函数に用いることで、通常イタリック体で表記される変数との混同を避けることができる。
関数を変数に取る関数はとくに汎関数 (functional) と呼ばれる。特にある集合上の関数の作るベクトル空間から係数体への線型写像を線型汎関数 (linear functional) という。文脈によっては単に汎関数といえば線型汎関数を指すこともある。たとえば積分
F ( f ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x {\displaystyle F(f)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx}
は可積分関数 f を変数と見なして様々に取り替えることによって汎関数 F を与える。積分は線型性を持つから、F は線型汎関数である。
有限個の変数の組を考えることも関数の一種であったから、汎関数
F ( f ) = F ( f ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)={\mathcal {F}}(f(x))}
例えば逆数函数 x ↦ 1/x は正の実数全体の成す集合上で連続(さらに微分可能)であるから、その原始函数で x = 1 において零となるもの(自然対数函数)は正の実数全体の成す集合上で微分可能である。
実函数 f がある区間上で単調となるのは、平均の変化率 f ( x ) − f ( y ) x − y {\textstyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}} の符号が、その区間内の点 x, y の選び方に依らず一定であるときである。その函数がその区間で微分可能ならば、その区間上で微分係数の符号が一定であるときに単調となる。実函数 f が区間 I において単調であるならば、f の逆函数が f(I) から I への函数として定まる。このような方法で、逆三角函数は三角函数が単調となる区間上で三角函数の逆函数として与えられる。あるいはまた、自然対数函数は正の実軸上で単調で値域は実数直線全体となるから、その逆函数である指数函数は実数全体から正の実数全体への全単射であることが分かる。
他にも多くの実函数が陰函数定理(逆函数は陰函数の特別の場合)から、あるいは微分方程式の解として、定義される。例えば正弦函数 sin や余弦函数 cos は線型微分方程式 y ′′ + y = 0 {\textstyle y''+y=0} の解として初期条件
から定まる。