素数
オイラーの発見した式:
f(n) = n − n + 41
は、自然数 n が n < 41 で全て素数となる。これは、虚二次体 Q ( − 163 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})} の類数が 1 であることと関係している。一般に、0 ≤ n < p で多項式 f(n) = n − n + p が素数の値を取るとき、素数 p の値を「オイラーの幸運数」という。オイラーの幸運数は p = 2, 3, 5, 11, 17, 41 の6つのみであり、これらはすべてヘーグナー数と対応する。
ルビーの多項式:
f(n) = 36n − 810n + 2753
は n = 0, ..., 44 で全て素数となる。 同様に
103n − 3945n + 34891 (Ruby)
47n − 1701n + 10181 (Fung)
は n = 0, ..., 42 で全て素数となる。
36n − 2358n + 36809 (Willium)
は n = 0, ..., 44 で絶対値は全て素数となる。
高い次数での多項式はあまり知られていないが
n − 34n + 381n − 1511 (Goetgheluck)
2n − 45n + 331n − 3191 (Goetgheluck)
は n = 0, ..., 25 で絶対値は全て素数となる。 ただし n − 34n + 381n − 1511 の n = 9, 12, 13 で −107 を取るなど、同じ素数が何度も出現する場合がある。
現代の定義では 1 は素数ではない。歴史を通しても 1 を素数に含めない数学者が多数派であったが、20世紀初頭の環論の成熟まで定義は統一されていなかった。プラトンやアリストテレスを含むほとんどの古代ギリシアの哲学者は 1 を数とさえ見なさず、素数性の考察の対象としなかった。スペウシッポスは 1 を数と見なし素数としたが、当時としては異端であった。この時代には素数を奇数の一部分と考え、2 を素数に含めない数学者もいた(ただしユークリッドをはじめとする多数派は 2 を素数に含めている)。アラビアではおおむね古代ギリシアに倣って 1 は数でないとされた。中世からルネサンスにかけて、1 が数として扱われるようになり、1 を最初の素数とする数学者も現れた。18世紀半ば、ゴールドバッハはオイラーに宛てた書簡で 1 を素数に挙げている(ただしオイラー自身は 1 を素数とは考えていなかった)。19世紀にも少数派だが 1 を素数に含める数学者はかなりいた。ハーディの『A Course of Pure Mathematics』では、1933年に出版された第6版までは 1 を素数に含めているが、1938年の第7版から 2 を最小の素数とするよう改訂されている。
素数の逆数の和は(無限大に)発散する。この命題は『素数は無数に存在する』という命題を含んでいる(有限個ならば収束、すなわち発散しないはずである)が、それだけではなく素数の分布に関してより多くの情報を提供している。
この結果は最初にレオンハルト・オイラーによりゼータ関数を研究することでもたらされた。以下の証明はポール・エルデシュによる、より直接的で、また簡潔な証明である。素数が無数に存在することを証明に用いないため、その証明をも含んでいる。