ハミルトン力学
となり、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和、すなわち、系の全エネルギーであることが分かる。 ハミルトニアンの時間微分は
H ̇ = ∂ H ∂ t {\displaystyle {\dot {H}}={\frac {\partial H}{\partial t}}}
であり、ハミルトニアンが陽に時間に依存しないときには全系のエネルギーが保存する。
なお、ハミルトニアンは一般化座標、一般化運動量、および時間の関数として書かれている量であり、引数が違えば大きさが同じであってもハミルトニアンではない。 ハミルトニアンの定義式内での一般化速度は、一般化運動量の定義式を逆に解いて一般化座標、一般化運動量、および時間の関数 q ̇ i ( p , q , t ) {\displaystyle {\dot {q}}_{i}(p,q,t)} として書かれている。
ラグランジアン L ( q i , q ̇ i , t ) {\displaystyle L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)} の全微分は
d L = ∑ i ( d q i ∂ L ∂ q i + d q ̇ i ∂ L ∂ q ̇ i ) + ∂ L ∂ t d t {\displaystyle dL=\sum _{i}{\biggl (}dq_{i}\,{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}+d{\dot {q}}_{i}\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\biggr )}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}
である。 一般化運動量は p i = ∂ L ∂ q ̇ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} で定義され、ラグランジュの運動方程式から p ̇ i = ∂ L ∂ q i {\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}} である。これを用いて先ほどの全微分を書き換えれば、