双曲線
双曲線は、主軸を座標軸とする直角座標系において、次の方程式により表すことができる。
x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} (*)
この場合、焦点の座標は
F ( − a 2 + b 2 , 0 ) , F ′ ( + a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle F(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)\ ,\ F'(+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)}
と書ける。このとき、2焦点 F, F' から双曲線上の点 P への距離の差 |PF - PF'| は 2a となる。原点を双曲線の中心といい、2点(±a, 0) を双曲線の頂点という。
双曲線上の点 P と焦点 F との距離 PF と点 P から準線 x = a 2 a 2 + b 2 {\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} までの距離の比は一定であり、比の値は離心率 e = a 2 + b 2 a {\displaystyle e={\tfrac {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}{a}}} に等しい。