測度保存力学系
ある点 x ∈ X は、その点の軌道が測度に従って一様に分布されるとき、生成点(generic point)と呼ばれる。
力学系 ( X , B , T , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )} を考え、X の可測な k 個の互いに素な分割を Q = {Q1, ..., Qk} とする。ある点 x ∈ X が与えられたとき、それは明らかにある Qi にのみ属することになる。同様に、反復された点 Tx もそのような分割のどれか一つにのみ属することになる。そのような分割 Q に関する x の記号名(symbolic name)は、次を満たす自然数の列 {an} のことを言う:
T n x ∈ Q a n . {\displaystyle T^{n}x\in Q_{a_{n}}.\,}
ある分割に関する記号名の集合は、その力学系の記号力学(英語版)と呼ばれる。分割 Q は、μ についてほとんど全ての点 x が一意な記号名を持つとき、生成素(generator)あるいは生成分割(generating partition)と呼ばれる。
最後に、力学系 ( X , B , T , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )} のコルモゴロフ=シナイ(Kolmogorov-Sinai)あるいは計量(metric)あるいは測度論的エントロピー(measure-theoretic entropy)は、次で定義される:
h μ ( T ) = sup Q h μ ( T , Q ) . {\displaystyle h_{\mu }(T)=\sup _{Q}h_{\mu }(T,Q).\,}
ここで上限はすべての有限個の可測な分割について取られる。1959年のヤコフ・シナイの定理では、上限は実際には生成素であるような分割について得られることが示された。したがって例えば、ほとんど全ての実数は一意な二進展開を持つため、ベルヌーイ過程のエントロピーは log 2 である。すなわち、単位区間を区間 [0, 1/2) と [1/2, 1] に区分することが出来る。すべての実数 x は 1/2 より小さいかそうでないかのいずれかであるので、2x の小数部分についても同様のことが成り立つ。
空間 X がコンパクトで位相を備えるものであるか、計量空間であるなら、位相的エントロピーも同様に定義することが出来る。