ブリュア分解
群 G を代数閉体に成分を持つ n-次正則行列全体の成す一般線型群 GLn とする(これは簡約代数群である)と、ワイル群 W は(置換行列を代表元として)n 文字の対称群 Sn に同型である。この場合、ボレル部分群 B として正則上半三角行列全体のなす群をとることができて、ブリュア分解は任意の正則行列 A が
U1PU2 (U1, U2 ∈ B(上半三角)かつ P は置換行列)
という積の形に分解されるという意味になる。これを逆に P = U−11AU−12 の形に書けば、これは任意の正則行列が行または列の基本変形(ただし、i > j のとき i-番目の行を別の j-番目の行に加える、i < j のとき i 番目の列を j-番目の列に加えるという操作のみ)によって置換行列に移るという意味になる。行基本変形の繰り返しが U−11 に対応し、列基本変形の繰り返しがU−12 に対応する。
行列式が 1 の n-次正則行列全体の成す特殊線型群 SLn は半単純代数群ゆえ簡約である。この場合、W はやはり対称群 Sn に同型であるが、置換行列の行列式は対応する置換の符号に一致するから、奇置換に対応する SLn の元は、対応する置換行列の非零成分の一つを 1 から −1 に取り替える必要がある。この場合のボレル部分群 B は行列式が 1 の上半三角行列全体の成す群であり、ブリュア分解の意味を GLn の場合と同様に解釈することができる。