フーリエ変換の応用
{\displaystyle y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{2\pi i\xi x+0}\,d\xi .}
また、
∂ y ( x , 0 ) ∂ t = ∫ { s + ( ξ ) − s − ( ξ ) } 2 π i ξ e 2 π i ξ x + 0 d ξ . {\displaystyle {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}2\pi i\xi e^{2\pi i\xi x+0}\,d\xi .}
これまでのように、x のこれらの関数に変数 x について1変数フーリエ変換を適用すると、2つの未知の超関数 s±(これは境界条件が L または L の場合、通常の関数)についての2つの方程式が得られる。
計算の観点における欠点は、境界条件のフーリエ変換をまず計算し、これらから解を集めて作り、フーリエ逆変換を計算しなければならないことである。閉じた形式の定式化は、幾何学的な対称性が抽出できる場合を除いて稀である。積分の振動特性により収束を遅くなり、評価を難しくするため、数値的な計算は難しい。実用的な計算は、他の方法が用いられることが多い。
20世紀にはこれらの方法は多項式係数をもつ全ての線形偏微分方程式に拡張され、フーリエ変換の概念をフーリエ積分作用素に拡張することでいくつかの非線形方程式にも拡張された。
熱伝導方程式の場合、この2つの境界条件の片方だけが要求される(通常は1つ目)。しかし波動方程式の場合、1つ目の境界条件を満たす解 y はまだ無限に多く存在する。しかし両方の条件を課すと、可能な解は1つだけとなる。
この解を直接求めるよりも、解のフーリエ変換 ˆy を求める方が簡単である。なぜならフーリエ変換によって微分は変数による掛け算になり、もともとの関数についての偏微分方程式は、フーリエ変換された関数についての双対変数の多項式関数による掛け算になるからである。ˆy が決定された後は、フーリエ逆変換によって y が得られる。
フーリエの方法は以下に示す。まず次の形をした関数は波動方程式を満たす。
cos  ( 2 π ξ ( x ± t ) ) or sin  ( 2 π ξ ( x ± t ) ) . {\displaystyle \cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\mbox{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}.}
これらは基本解と呼ばれる。
2段階目として積分