エバネッセント場
z方向に進む 3 {\displaystyle 3} 次元空間における電磁波を考えたとき、マクスウェルの方程式および波動方程式により電場は次のように求まる。
E ( r , t ) = E exp  ( i k x x + i k y y + i k z z − i ω t ) {\displaystyle E({\boldsymbol {r}},t)=E\exp(ik_{x}x+ik_{y}y+ik_{z}z-i\omega t)}
この式のkx, ky, kzはそれぞれ各軸方向における波数ベクトルである。
この波数ベクトルにおいて、光(平面波)の分散関係より、
ω 2 / c 2 = k x 2 + k y 2 + k z 2 {\displaystyle \omega ^{2}/c^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}
が成り立つ。
ω 2 / c 2 < k x 2 + k y 2 {\displaystyle \omega ^{2}/c^{2}<k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}
であれば、kzは
k z = ± i k x 2 + k y 2 − ω 2 / c 2 {\displaystyle k_{z}=\pm i{\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}-\omega ^{2}/c^{2}}}}
となる。先に挙げた電磁波の式に代入すると、複号が正のとき電場はzに対して指数関数的に減衰することがわかる。これをエバネッセント波と呼ぶ。