ソボレフ空間
n-次元コンパクトリーマン多様体上のソボレフ空間 W を記述する。ここで k は任意の実数値を取りうるものとし、 1 ≤ p ≤ ∞ とする( p = ∞ に対するソボレフ空間 W はヘルダー空間 C として定義される。ここで k = n + α, 0 < α ≤ 1 である)。ソボレフ埋蔵定理の主張は、k ≥ m かつ k − n/p ≥ m − n/q ならば
W k , p ⊆ W m , q {\displaystyle W^{k,p}\subseteq W^{m,q}}
であり、この埋め込みは連続であるというものである。さらに k > m かつ k − n/p > m − n/q ならばこの埋め込みは完全連続となる(このことはしばしばコンドラコフの定理と呼ばれる)。W に属する函数は m より小さい階数において連続な導函数をもつから、定理は特にいくつかの導函数が連続となるようなソボレフ空間に関する条件を与えている。くだけた言い方をすれば、この埋め込みで次元ごとの導函数の L に関する評価は、1/p を重みとする有界性の評価に転換されるということを言っている。
R のように非コンパクト多様体に対しても埋蔵定理に類似の結果が存在する(Stein 1970)。
フーリエ展開の記述をそのまま一般化できるから p = 2 の場合が最も簡単である。ノルムは
‖ f ‖ s , 2 2 := ∑ ( 1 + n 2 ) s | f ^ ( n ) | 2 {\displaystyle \|f\|_{s,2}^{2}:=\sum (1+n^{2})^{s}|{\hat {f}}(n)|^{2}}
で定義され、ソボレフ空間 H はノルムが有限な函数全体の空間として定まる。