指標理論
指標は類関数である、つまり、各共役類上で一定の値を取る。より精密には、与えられた群 G の体 K への既約指標の集合はすべての類関数 G → K のなす K ベクトル空間の基底をなす。
同型な表現は同じ指標を持つ。標数 0 の代数閉体上では、半単純表現が同型であることと同じ指標を持つことは同値である。
表現が部分表現の直和ならば、対応する指標はそれら部分表現の指標の和である。
有限群 G の指標を部分群 H に制限したものは、H の指標である。
任意の指標の値 χ(g) は n 個の 1 の m 乗根の和である、ただし n は指標 χ を持つ表現の次数(つまり付随するベクトル空間の次元)であり、m は g の位数である。特に、F = C のとき、指標の値は代数的整数である。
F = C で χ が既約のとき、
[ G : C G ( x ) ] χ ( x ) χ ( 1 ) {\displaystyle [G:C_{G}(x)]{\frac {\chi (x)}{\chi (1)}}}
はすべての x ∈ G に対して代数的整数である。
F が代数閉体で標数 char(F) が G の位数を割り切らないとき、G の既約指標の個数は G の共役類の個数に等しい。さらに、この場合、既約指標の次数は G の位数の約数である(F = C ならさらに [G : Z(G)] をも割る)。