フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論
} を満たす n {\displaystyle n} -組の唯一のクラス E i , Y k , n = { ( x 1 , ... , x n ) : x i ∈ Y k } {\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}} を構成する。
Case a: φ {\displaystyle \phi } が x i ∈ Y k {\displaystyle x_{i}\in Y_{k}} ( i < n {\displaystyle i<n} )のとき、 V {\displaystyle V} の直積公理を Y k {\displaystyle Y_{k}} に適用してクラス P = Y k × V = { ( x i , x i + 1 ) : x i ∈ Y k } {\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i+1}):x_{i}\in Y_{k}\}} を得る。拡大の補題を P {\displaystyle P} に適用して E i , Y k , n = { ( x 1 , ... , x n ) : x i ∈ Y k } {\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}} を得る。
集合は、少なくとも 1 つのクラスに属するクラスである: ∃ C ( A ∈ C ) {\displaystyle \exists C(A\in C)} のとき、かつそのときに限り A {\displaystyle A} は集合である。 集合でないクラスは真のクラスと呼ぶ: ∀ C ( A ∉ C ) {\displaystyle \forall C(A\notin C)} のとき、かつそのときに限り A {\displaystyle A} は真のクラスである。 したがって、どのクラスも集合または真のクラスであり、両方同時に当てはまることはない。
ゲーデルは大文字の変数をクラス上の変数、小文字の変数を集合上の変数とした。 また、ゲーデルは、すべての集合からなるクラス上に定義された関数や関係を含む特定のクラスは、大文字から始まる名前で表した。本記事ではゲーデルのこの表記法に従う。すると以下のように書ける:
∃ x φ ( x ) {\displaystyle \exists x\,\phi (x)} 、 ∃ x ( ∃ C ( x ∈ C ) ∧ φ ( x ) ) {\displaystyle \exists x{\bigl (}\exists C(x\in C)\land \phi (x){\bigr )}} の代わりに。