スティルチェス定数
スティルチェス定数に次の上下界
| γ n | < 4 ( n − 1 ) ! π n , {\displaystyle |\gamma _{n}|<{\frac {4(n-1)!}{{\pi }^{n},}}}
が存在することは Berndt によって証明された。 n ≥ 10 {\displaystyle n\geq 10} に対するより強い上下界は、Matsuoka によって次のようなものが得られた。
| γ n | < 0.0001 e n log  log  n {\displaystyle |\gamma _{n}|<0.0001e^{n\log \log n}}
Knessl and Coffey は、n が大きい場合にスティルチェス定数を正確に近似する次の公式を与えた。v を
2 π exp  ( v tan  v ) = n cos  ( v ) v {\displaystyle 2\pi \exp(v\tan v)=n{\frac {\cos(v)}{v}}}
の一意な解で 0 < v < π / 2 {\displaystyle 0<v<\pi /2} を満たすものとし、 u = v tan  v {\displaystyle u=v\tan v} であるなら
γ n ∼ B n e n A cos  ( a n + b ) {\displaystyle \gamma _{n}\sim {\frac {B}{\sqrt {n}}}e^{nA}\cos(an+b)}
となる。ここで
数学におけるスティルチェス定数(スティルチェスていすう、英: Stieltjes constants)とは、リーマンゼータ関数
ζ ( s ) = 1 s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! γ n ( s − 1 ) n {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}}
のローラン級数展開に現れる定数 γ k {\displaystyle \gamma _{k}} のことを言う。第ゼロ番目の定数 γ 0 = γ = 0.577 ... {\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577\dots } はオイラー・マスケローニ定数として知られている。