ランダム行列
英語: density distribution of spacing, gap distribution
異なる固有値の間隔に関する分布。 なかでも固有値を大きさ順に並べたときに連続する2つの固有値λの間隔 S = |λi+1 - λi| である最近接間隔分布 (英: nearest neighbor spacing distribution) についての研究が有名。以下、固有値の分布にはどのようなものがあるのか、そしてランダム行列がどのように関係するのかについて記述する。
対角成分に対して対称性が指定される場合
実対称行列 - 行列要素が実数で hj,k = hj,k エルミート行列 - 行列要素が複素数で hj,k = hj,k
群により対称性が指定される場合
対称性 (物理学)も参照のこと
群作用を用いて対称性を記述する場合がある。 例えばガウス型アンサンブルでは物理的な時間反転に対する不変性や空間回転に対する不変性などの条件に群の概念が用いられる。行列式としては UHU = H を満たすという条件が加わる。
三重対角行列のように対角要素と隣接する非対角要素以外はすべてゼロとするランダム行列
ただし、 b β = [ Γ ( β + 2 2 ) Γ ( β + 1 2 ) ] 2 , a β = 2 b β ( β + 1 ) / 2 Γ ( β + 1 2 ) = 2 [ Γ ( β + 2 2 ) ] β + 1 [ Γ ( β + 1 2 ) ] β + 2 {\displaystyle b_{\beta }=\left[{\frac {\Gamma ({\frac {\beta +2}{2}})}{\Gamma ({\frac {\beta +1}{2}})}}\right]^{2}\quad ,\quad a_{\beta }={\frac {2{b_{\beta }}^{(\beta +1)/2}}{\Gamma ({\frac {\beta +1}{2}})}}={\frac {2\left[\Gamma ({\frac {\beta +2}{2}})\right]^{\beta +1}}{\left[\Gamma ({\frac {\beta +1}{2}})\right]^{\beta +2}}}}