擬微分作用素
定数係数の線型微分作用素 P ( D ) := ∑ α a α D α {\displaystyle P(D):=\sum \nolimits _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }}
が R 上のコンパクト台付き滑らかな函数 u に作用するものとする。この作用素は、フーリエ変換、表象 (symbol) と呼ばれる多項式函数 P ( ξ ) = ∑ α a α ξ α {\displaystyle P(\xi )=\sum \nolimits _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha }}
による単純な掛け算に、フーリエ逆変換という三者の合成として
なる形に書くことができる。
ここで、 α = ( α 1 , ... , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})} は多重指数, a α {\displaystyle a_{\alpha }} は複素数で
D α = ( − i ∂ 1 ) α 1 ⋯ ( − i ∂ n ) α n {\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}
は逐次偏微分、∂j は j-番目の変数に関する微分という意味である。定数 −i を掛けているのはフーリエ変換の計算の都合である。
p ( x , ξ ) = 1 + ∑ 1 ≤ j ≤ n ξ j 2 {\displaystyle p(x,\xi )={\sqrt {1+\sum _{1\leq j\leq n}\xi _{j}^{2}}}}
は S 1 , 0 1 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{1,0}^{1}} に属する。これを表象に持つ擬微分作用素は、
p ( x , D x ) = 1 − ∑ 1 ≤ j ≤ n ( ∂ ∂ x j ) 2 = 1 − Δ {\displaystyle p(x,D_{x})={\sqrt {1-\sum _{1\leq j\leq n}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}={\sqrt {1-\Delta }}}
である。これは 1 − Δ {\displaystyle 1-\Delta } の平方根に相当するものであり Λ {\displaystyle \Lambda } とも表される。 Λ {\displaystyle \Lambda } は偏微分方程式論でよく使われる。