位相的場の理論
1988年、アティヤは当時考えられていた位相的量子場の新しい例を書いた論文を提出した。(Atiyah 1988) この中には、いくつかの新しい位相的不変量と新しい考え方がのべられている。それらは、キャッソン不変量やドナルドソン不変量やグロモフの理論(英語版)、フレアーホモロジーやジョーンズ-ウィッテン理論である。
d = 0 の場合には、空間 Σ {\displaystyle \Sigma } は有限個の点からなる。一つの点には、ベクトル空間 V = Z ( p o i n t ) {\displaystyle V=Z(point)} が結び付いていて、n-個の点には n 重のテンソル積 : V ⊗ n = V ⊗ V ⊗ ⋯ ⊗ V {\displaystyle V^{\otimes n}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} が結びつている。対称群 S n {\displaystyle S_{n}} は V ⊗ n {\displaystyle V^{\otimes n}} 上に作用する。量子論のヒルベルト空間を得る標準的な方法は、古典的なシンプレクティック多様体 (もしくは相空間) を与え、それを量子化する。対称群 S n {\displaystyle S_{n}} をコンパクトリー群 G {\displaystyle G} へ拡張し、直線束からできるシンプレクティック構造の「可積分」な軌道を考えると、量子化は G {\displaystyle G} の V {\displaystyle V} 上への既約表現を導く。
(3) Z {\displaystyle Z} は 乗法的(multiplicative)である.
さらに、アティヤは2つの公理(4)と(5)をこれらに加えた。
(4) d 次元の空な多様体について Z ( φ ) = Λ {\displaystyle Z(\phi )=\Lambda } とし、(d+1) 次元の空な多様体については Z ( φ ) = 1 {\displaystyle Z(\phi )=1} とする。
もしも閉じた多様体 M {\displaystyle M} 対し Z ( M ) {\displaystyle Z(M)} を M {\displaystyle M} の数値的不変量とみなすと、境界を持つ多様体に対し Z ( M ) ∈ Z ( ∂ M ) {\displaystyle Z(M)\in Z(\partial M)} を「相対的」不変量と考えることができる。 f : Σ × I → Σ × I {\displaystyle f:\Sigma \times I\rightarrow \Sigma \times I} を微分同相を保つ向きづけで、 Σ × I {\displaystyle \Sigma \times I} の端を f {\displaystyle f} により同一視する。これが多様体 Σ f {\displaystyle \Sigma _{f}} を与え、この公理は