アルティン・リースの補題
必要な概念や表記が準備されてしまえば、補題は R が「ネーター的」であるという事実から直ちに従う。
任意の環 R および R のイデアル I に対して、 b l I R = ⨁ n = 0 ∞ I n {\displaystyle \textstyle \mathrm {bl} _{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}} とおく(blow-up のbl)。部分加群の減少列 M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ M 2 ⊃ ⋯ {\displaystyle M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots } が I-フィルター(I-filtration)であるとは、 I M n ⊂ M n + 1 {\displaystyle IM_{n}\subset M_{n+1}} が成り立つときにいう。さらに、それが安定(stable)であるとは、十分大きい n に対して I M n = M n + 1 {\displaystyle IM_{n}=M_{n+1}} であるときにいう。M に I-フィルターが与えられているとき、 b l I M = ⨁ n = 0 ∞ M n {\displaystyle \textstyle \mathrm {bl} _{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}} とおく。これは b l I R {\displaystyle \mathrm {bl} _{I}R} 上の次数加群である。
さて、M を R-加群とし、有限生成 R-加群による I-フィルター M i {\displaystyle M_{i}} が与えられているとする。