ボゴリューボフ変換
( b ^ 1 , new b ^ 2 , new † ) ≡ U θ ( b ^ 1 b ^ 2 † ) U θ † = ( cos  θ − sin  θ sin  θ cos  θ ) ( b ^ 1 b ^ 2 † ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\hat {b}}_{1,{\text{new}}}\\{\hat {b}}_{2,{\text{new}}}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}\equiv U_{\theta }{\begin{pmatrix}{\hat {b}}_{1}\\{\hat {b}}_{2}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}U_{\theta }^{\dagger }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {b}}_{1}\\{\hat {b}}_{2}^{\dagger }\\\end{pmatrix}}}
この行列の行列式が1であること( cos 2  θ + sin 2  θ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1} )から、 U θ {\displaystyle U_{\theta }} がユニタリー演算子であることがわかり、また新しい生成消滅演算子がフェルミ粒子の交換関係を満たすことが保障される。
ボース粒子の場合と同様にハミルトニアンをユニタリー変換でき、ボゴリューボフ変換された基底状態 | θ ⟩ = U θ | 0 ⟩ {\displaystyle |\theta \rangle =U_{\theta }|0\rangle } は、以下を満たす。