内積
様々な空間に複数通りの内積が定義できる。一覧表で概要を、各節で詳細を説明する。
内積と最も関連性の高い一般化は、双線型性や共軛対称性はそのままに、正定値性に関する要請を弱めるものである。ベクトル空間 V とその上の半正定値半双線型形式 ⟨,⟩ に対して、写像
は意味を持ち、‖ x ‖ = 0 が x = 0 を導かないこと以外はノルムの性質をすべて満足する(このような汎函数は半ノルムと呼ばれる)。商線型空間 W = V/{x : ‖ x ‖ = 0} を考えると、半双線型形式 ⟨,⟩ は W 上の内積を誘導する。
このような内積空間の構成法は様々な場面で用いられ、特に重要な例はゲルファント=ナイマルク=シーガル構成法である。ほかにも任意の集合上の半正定値核函数(英語版)の表現などが例に挙げられる。