ツィッターベヴェーグンク
さて、pk とHは両方とも時間依存的であるため、上記の方程式は位置演算子の陽な時間依存性を見つけるために容易に2回積分することできる。
まず、
α k ( t ) = ( α k ( 0 ) − c p k H − 1 ) e − 2 i H t ħ + c p k H − 1 {\displaystyle \alpha _{k}(t)=\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}+cp_{k}H^{-1}}
そして、
x k ( t ) = x k ( 0 ) + c 2 p k H − 1 t + 1 2 i ħ c H − 1 ( α k ( 0 ) − c p k H − 1 ) ( e − 2 i H t ħ − 1 ) {\displaystyle x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{\tfrac {1}{2}}i\hbar cH^{-1}\left(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1}\right)\left(e^{-{\frac {2iHt}{\hbar }}}-1\right)}
となる。
得られた式は、初期位置、時間に比例した運動、コンプトン波長に等しい振幅を持つ振動項からなる。振動項がいわゆるツィッターベヴェーグンクである。