消散作用素
簡単な有限次元の例として、通常のドット積を伴う n-次元ユークリッド空間 R を考える。R 上で定義される、恒等作用素にマイナスをかけるような作用素を A とする。このとき、
x ⋅ A x = x ⋅ ( − x ) = − ‖ x ‖ 2 ≤ 0 {\displaystyle x\cdot Ax=x\cdot (-x)=-\|x\|^{2}\leq 0}
が成立するため、A は消散作用素である。
通常内積を伴う空間 H = L([0, 1]; R) を考える。Au = u′ とし、その定義域 D(A) は、ソボレフ空間 H([0, 1]; R) に含まれる関数 u で u(1) = 0 を満たすようなものからなる集合と等しいものとする。このとき、D(A) は H = L([0, 1]; R) において稠密である。さらに、部分積分法を用いることで、D(A) 内のすべての u に対して
⟨ u , A u ⟩ = ∫ 0 1 u ( x ) u ′ ( x ) d x = − 1 2 u ( 0 ) 2 ≤ 0 {\displaystyle \langle u,Au\rangle =\int _{0}^{1}u(x)u'(x)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}u(0)^{2}\leq 0}