中身の詰まったトーラス
値 r < R を任意にとり固定して考えるとき、ソリッド・トーラスは半径 R の円周からの距離 a ≤ r なる点全体の成す集合である。したがってそれは、半径 r の円板を、その円と交わらずその円の属する平面上に載っている軸の周りに、回転半径 R がもとの円板の半径より大きくなるように、回転させて得られる。
ゆえにその行列式は det ( J f ) = a ( a cos  p + R ) {\displaystyle \det(J_{f})=a(a\cos p+R)} であり、この行列式の値は法ベクトルのノルムに等しい。すなわち、ソリッドトーラスの体積は
V = ∫ V d V = ∫ Γ det ( J f ) d Γ = ∫ 0 2 π d t ∫ 0 2 π d p ∫ 0 r d a ( R a + a 2 cos  p ) = 2 π 2 r 2 R {\displaystyle V=\int _{V}dV=\int _{\Gamma }\det(J_{f})d\Gamma =\int _{0}^{2\pi }dt\int _{0}^{2\pi }dp\int _{0}^{r}da~(Ra+a^{2}\cos p)=2\pi ^{2}r^{2}R}
と計算される。