テンソル場
理論物理学および周辺分野において、テンソル場の言葉で記述された微分方程式は、(テンソルの性質によって記述される)自然の幾何学的な、そして微分学に結び付けられる規約的な関係性の両方を表す、非常に一般な方法を与える。そのような方程式の定式化には新たな概念として共変微分を考える必要があった。これにより、ベクトル場に「沿った」テンソル場の変分を定式化することができるようになる。この絶対微分学(のちにテンソル解析と呼ばれるようになる)に端を発する概念は、接続の幾何学的概念を単離することとなる。
いま、 T ( M ) {\displaystyle {\mathcal {T}}(M)} の l 個のコピーと T ∗ ( M ) {\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}(M)} の k 個のコピーから C(M) への勝手な写像 T が与えられれば、これが M 上のテンソル場となるための必要十分条件は、それが C(M) 上多重線型となることである。従って、この種の多重線型性が暗に含む意味は、本当に点ごとに定義された対象(つまりテンソル場)を扱っているのであって、(たとえ一点における値を評価するときでも)ベクトル場と 1-形式の値すべてに同時に依存しているという函数としての扱いとは対照的であるという事実なのである。
この一般規則のよくある応用例は、レヴィ・チヴィタ接続で、これはベクトル場の対をベクトル場に写す滑らかなベクトル場の写像 ( X , Y ) ↦ ∇ X Y {\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y} であり、これは M 上のテンソル場として定義されてはいない。これは Y に関して R-線型にしかならない(完全な C(M)-線型性を満たす代わりに、「ライプニッツ則」 ∇ X ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y} ) を満たす)。そうは言っても、これがテンソル場でないことを差し引いても、これが成分に依らない幾何学的な対象として十分な価値のあるものである点は論を待たない。
数学、物理学および工学におけるテンソル場(テンソルば、英: tensor field)は、数学的な空間(典型的にはユークリッド空間や多様体)の各点にテンソルを割り当てるものである。テンソル場は微分幾何学、代数幾何学、一般相対論において用いられ、物質の応力および歪みの解析やその他物理科学および工学における様々な応用に供される。テンソルがスカラー(長さのような値を表す数値)やベクトル(空間内の幾何学的な矢印)の一般化であるのと同様に、テンソル場はスカラー場およびベクトル場(それぞれ空間の各点にスカラーおよびベクトルを割り当てる)の一般化になっている。
一口に「テンソル」と呼ばれている概念でも、実際の数学的構造は「テンソル場」であるという場合も多い。例えばリーマン曲率テンソルなど。