代数幾何学用語一覧
可換環の代わりに(commutative)ring spectraを使う代数幾何学。導来代数幾何学参照。
"滑らか"の古風な言い方。滑らかなスキーム(英語版)におけるのと同様。
「ザリスキー接空間」参照。
正規多様体の間の射 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} がクレパント射(英語版)であるとは、 f ∗ ω Y = ω X {\displaystyle f^{*}\omega _{Y}=\omega _{X}} が成り立つこと。
1. 可換環 R {\displaystyle R} が被約とは、非零なベキ零元を持たない、つまりベキ零根基が零イデアルである ( 0 ) = ( 0 ) {\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)} こと。 R {\displaystyle R} が被約とは Spec  ( R ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (R)} が被約スキームであること、と言い換えることもできる。
2. スキーム X が被約とは、その茎 O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} が被約環であること。X が被約とは、各開部分集合 U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} に対して O X ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)} が被約環であること、つまり X {\displaystyle X} は非零なベキ零切断を持たないこととも言い換えられる。
滑らかな曲線 C 上の因子 D が特殊(英語版)とは、特殊指数と呼ばれる数値 h 0 ( O ( K − D ) ) {\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(K-D))} が正であること。
ルロン数(英語版)参照。
群スキーム G の作用(英語版)によるスキーム X のGIT商(英語版)。
ファノ多様体とは、滑らかな射影多様体 X であって反標準層 ω X − 1 {\displaystyle \omega _{X}^{-1}} が豊富であるもの。
斉次座標環の一般化。「コックス環(英語版)」参照。
代数幾何原論(EGA)は、代数多様体の一般化であるスキームの概念を用いて代数幾何学の基礎を構築しようとした、未完に終わった試みである。Séminaire de géométrie algébrique では EGA で扱われなかったものが取り上げられている。代数幾何学の標準的な参考文献の1つ。
有理整数環 Z の Spec のコンパクト化上の代数幾何学。アラケロフ幾何(英語版)参照。
射 f : X → Y が支配的とは、像 f(X) が稠密であること。アフィンスキームの射 Spec A → Spec B が稠密であることと、対応する写像 B → A の核が B のベキ零根基に含まれることは同値。
クォートスキーム(英語版)は、射影スキーム上の局所自由層の商をパラメトライズする。
が成り立つというもの。ここで、 π ! = ∑ i ( − 1 ) i R i π ∗ {\displaystyle \pi _{!}=\sum _{i}(-1)^{i}R^{i}\pi _{*}} 、 ch {\displaystyle \operatorname {ch} } はチャーン指標、 td {\displaystyle \operatorname {td} } は接束のトッド類、 π ∗ {\displaystyle \pi _{*}} は(複素数体上であれば)ファイバー方向の積分(英語版)である。基底 S が点、X が種数 g の滑らかな曲線、E が直線束 L であれば、左辺はオイラー標数になり、右辺は π ∗ ( e c 1 ( L ) ( 1 − c 1 ( T ∗ X ) / 2 ) ) = deg  ( L ) − g + 1 {\displaystyle \pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=\operatorname {deg} (L)-g+1} となる。
体 k 上のスキーム X の性質が"幾何学的(英語版)"とは、任意の体の拡大 E / k {\displaystyle E/k} についての X E = X × Spec  k Spec  E {\displaystyle X_{E}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} E}} で成り立つこと。
代数多様体からアフィン直線への射。
射が固有とは、分離的かつ絶対閉(任意のファイバー積が閉写像であること)かつ有限型であること。射影的射は固有である。しかし逆は一般には正しくない。「完備多様体(英語版)」も参照。固有射の深い性質の1つはシュタイン分解(英語版)の存在である。つまり、ある中間的なスキームが存在して、このスキームへの連結ファイバーを持つ射と有限射に分解できる。
1. 多様体の射は局所的に多項式
2. スキームの射は局所環付き空間としての射
3. スタックの(S スキームの圏上の)射 f : F → G {\displaystyle f:F\to G} とは、 P G ∘ f = P F {\displaystyle P_{G}\circ f=P_{F}} となる関手のこと。ここで P F , P G {\displaystyle P_{F},P_{G}} は基底の圏への構造写像。
トーリック多様体の古い言い方。