ワトソンの五重積
L = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) m q 2 m ( 3 m − 1 ) + n ( 3 n + 1 ) ( z 3 n − z − 3 n − 1 ) = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) m q 2 m ( 3 m − 1 ) + n ( 3 n + 1 ) z 3 n − ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) m q − 2 m ( − 3 m − 1 ) − n ( − 3 n + 1 ) z 3 n − 1 ( m , n ↦ − m , − n ) = ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) k − n q ( 3 n − 2 k ) ( 3 n + 1 − 2 k ) + 2 k 2 z 3 n − ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) k − n q ( 3 n − 1 − 2 k ) ( 3 n − 2 k ) + 2 k 2 z 3 n − 1 ( m ↦ k − n ) = ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) 3 n − k q ( 3 n − 2 k ) ( 3 n + 1 − 2 k ) + 2 k 2 z 3 n + ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) 3 n − 1 − k q ( 3 n − 1 − 2 k ) ( 3 n − 2 k ) + 2 k 2 z 3 n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}z^{3n}-\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{-2m(-3m-1)-n(-3n+1)}z^{3n-1}\qquad ({m,n}\mapsto {-m,-n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-n}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^{2}}z^{3n}-\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-n}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^{2}}z^{3n-1}\qquad (m\mapsto {k-n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-k}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^{2}}z^{3n}+\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-1-k}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^{2}}z^{3n-1}\\\end{aligned}}}