ビオ・サバールの法則
以下のようにしてもビオ・サバールの法則からアンペールの法則が成り立つことを示すことができる。
閉回路C1上の点Pから回路C2を俯瞰する立体角を Ω とする。ここで回路C1上を点Pから微小距離 ds だけ移動した点をP′とすると、点P′から回路C2を俯瞰する立体角Ω+dΩ は、−ds だけ平行移動された回路を俯瞰する立体角と等しい。
このとき、回路上の微小長さ ds′ と平行移動した微小距離 −ds によって作られる面の面素ベクトル dS は
d S = d s ′ × ( − d s ) = d s × d s ′ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times (-\mathrm {d} {\boldsymbol {s}})=\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\times \mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}}
であるが、点Pから回路上の微小長さ ds′ へ向かうベクトルを r とすると、点Pから面素 dS を見る立体角は
d S ⋅ r r 3 = ( d s × d s ′ ) ⋅ r r 3 = ( d s ′ × r ) r 3 ⋅ d s {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}={\frac {(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\times \mathrm {d} {\boldsymbol {s'}})\cdot {\boldsymbol {r}}}{r^{3}}}={\frac {(\mathrm {d} {\boldsymbol {s'}}\times {\boldsymbol {r}})}{r^{3}}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}