ハールウェーブレット
整数 n, k に対して、下記のように多重解像度解析のためのスケーリング関数 φ n , k {\displaystyle \phi _{n,k}} が定義できる。
φ n , k ( t ) = 2 n / 2 φ ( 2 n t − k ) , t ∈ R . {\displaystyle \phi _{n,k}(t)=2^{n/2}\phi (2^{n}t-k),\quad t\in \mathbf {R} .}
下記の性質を持つ。
∫ R φ n , k ( t ) d t = 2 − n / 2 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\phi _{n,k}(t)\,dt=2^{-n/2}}
‖ φ n , k ‖ L 2 ( R ) 2 = ∫ R φ n , k ( t ) 2 d t = 1 {\displaystyle \quad \|\phi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbf {R} )}^{2}=\int _{\mathbf {R} }\phi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1}
同じ解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。