ギブズ現象
非常に滑らかな関数では、そのフーリエ係数は非常に急速に減衰する(そして、フーリエ級数は非常に急速に収束する)。これに対し、不連続関数では、フーリエ係数の減衰は非常に緩やかである(従って、フーリエ級数の収束は非常に緩慢である)。例えば、不連続である上記の矩形波のフーリエ係数 1, 1/3, 1/5, ... は、絶対収束級数ではない調和級数程度の速さでしか減衰しない。実際、上記のフーリエ級数は、変数x のほとんど全ての値で、条件収束するだけであることが分っている。このことは、ギブス現象が何故起こるのかということの一端を説明する。それは、絶対収束するフーリエ係数を有するフーリエ級数は、ワイエルシュトラスの判定法により一様収束するから、上述のような振動を起こすことはありえないからである。同じ理由で、不連続関数は、絶対収束するフーリエ係数を持つのは不可能である。何故なら、もしそうした関数が存在したとしたら、それは、連続関数列の一様極限になるので、連続関数でなければならなくなり、矛盾が生じるからである。
実際上は、ギブズ現象による問題は、フェイエール総和法またはリース総和法 (Riesz summation) 等のフーリエ級数の総和法における平滑化を行ったり、シグマ近似(英語版)を行ったりするなら、改善できる。また、フーリエ変換の代わりに、ウェーブレット変換を用いるなら、ギブズ現象は発生しなくなる。