超実数
超実数は、公理的にまたは構成志向的な方法のいずれかによって発展されうる。 公理的アプローチの本質は、次を主張することである:
少なくともひとつの無限小数の存在
移行原理の正当性。
以下のサブセクションでは、さらに構成的なアプローチの概要を与える。非単項超フィルターと呼ばれる集合論的対象が与えられれば、超実数を構成することができる。しかし、非単項超フィルターそれ自体は明示的には構成されない(Kanovei と Shelahは、恐ろしく複雑な方法という代償をはらって、明示的な構成法を与えた)。
関数 y(x) の導関数は dy⁄dx ではなく、dy⁄dx の標準部として定義される。
例えば、f (x) = x の導関数 f'(x) を求めるには、dx を無限小超実数として
f ′ ( x ) = st  ( f ( x + d x ) − f ( x ) d x ) = st  ( x 2 + 2 x ⋅ d x + d x 2 − x 2 d x ) = st  ( 2 x ⋅ d x + d x 2 d x ) = st  ( 2 x + d x ) = 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+dx^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+dx^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x\end{aligned}}}