反ド・ジッター空間
定曲率の多様体は、正の定曲率の表面である、2次元の球体の表面の場合とほぼ同じである。平らな(ユークリッドの)平面は、零の定曲率の表面であり、双曲平面は負の定曲率の表面である。
アインシュタインの一般相対性理論は、時空間を対等な立場に置いているので、空間と時間をバラバラであるとみなす代わりに、統一された時空の幾何学とみなしている。定曲率の時空の事例は、ド・ジッター空間(正)とミンコフスキー空間(零)と反ド・ジッター空間(負)である。それ自体は、それらは、それぞれが正、零または負の宇宙定数の空宇宙(英語版)におけるアインシュタイン方程式の厳密解である。
反ド・ジッター空間はどんな次元の宇宙にも一般化する。より高次元では、AdS/CFT対応における役割として知られている。そして、AdS/CFT対応は、弦が1次元を追加した反ド・ジッター空間に存在している弦理論における、ある次元数(例えば4次元)における(電磁気学や弱い力、強い力のような)量子力学の力を記述することが可能だと示唆している。
A d S n {\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}} はグローバル座標において、以下のようにパラメータ ( τ , ρ , θ , φ 1 , ⋯ , φ n − 3 ) {\displaystyle (\tau ,\rho ,\theta ,\varphi _{1},\cdots ,\varphi _{n-3})} で表現できる:
{ X 1 = α cosh  ρ cos  τ X 2 = α cosh  ρ sin  τ X i = α sinh  ρ x ^ i ∑ i x ^ i 2 = 1 {\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cosh \rho \cos \tau \\X_{2}=\alpha \cosh \rho \sin \tau \\X_{i}=\alpha \sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1\end{cases}}}
ここで x ^ i {\displaystyle {\hat {x}}_{i}} は S n − 2 {\displaystyle S^{n-2}} 球面のパラメータである。すなわち、 x ^ 1 = sin  θ sin  φ 1 ... sin  φ n − 3 {\displaystyle {\hat {x}}_{1}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\dots \sin \varphi _{n-3}} , x ^ 2 = sin  θ sin  φ 1 .