台 (測度論)
数学の分野で、ある可測な位相空間 (X, Borel(X)) 上の測度 μ の台(だい、英: support)とは、その空間 X のどこでその測度が「生きている」かということに関する厳密な概念である。しばしば位相的台(topological support)やスペクトル(spectrum)と呼ばれることもある。そのような台は、すべての点のすべての近傍が正の測度を持つような、X の最大の(閉)部分集合で定義される。
ある可測空間 (X, Σ) 上の(非負の)測度 μ は実際、函数 μ : Σ → [0, +∞] と表すことが出来る。したがって、通常の台の定義に従えば、μ の台は次のような σ-代数 Σ の部分集合となる。
s u p p ( μ ) := { A ∈ Σ ∣ μ ( A ) > 0 } ̄ . {\displaystyle \mathrm {supp} (\mu ):={\overline {\{A\in \Sigma \mid \mu (A)>0\}}}.}
しかし、この定義にはいくらか不十分な点がある。実際、Σ 上の位相すら与えられていないのである。今我々が本当に知りたいことは、空間 X 内のどこにおいて測度 μ が非ゼロとなるかということである。次のような二つの例を考えよう。
実数直線 R 上のルベーグ測度 λ を考える。λ が実数直線全体で「生きている」ことは明らかである。
ある点 p ∈ R に関するディラック測度 δp を考える。再び直感的に、測度 δp は点 p において「生きており」、その他のどこにおいても生きてはいないことが分かる。
以上の二つの例を考慮すれば、以下に述べる定義の候補はいずれも却下されることが分かり、次の節で述べる定義が採用される。