ボレル総和
弱-ボレル総和(wB)とボレル総和(B)はどちらも正則な総和法である。すなわち、A(z) が通常の意味で収束するならば、弱-ボレル総和とボレル総和も同じ値に収束する:
A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k z k < ∞ ⇒ ∑ a k z k = A ( z ) ( wB , B ) . {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}<\infty \quad \Rightarrow \quad \sum a_{k}z^{k}=A(z)\qquad ({\textbf {wB}},{\textbf {B}}).}
ボレル総和(B)の正則性は積分と級数の順序を変更することで簡単に確認できる。これは絶対収束性により妥当であって、今 A(z) が z で収束すると仮定すれば、
A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k z k = ∑ k = 0 ∞ a k ( ∫ 0 ∞ e − t t k d t ) z k k !
lim t → ∞ e − t ∑ n = 0 ∞ 1 − z n + 1 1 − z t n n ! = lim t → ∞ e − t 1 − z ( e t − z e t z ) = 1 1 − z {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\to \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}\left(e^{t}-ze^{tz}\right)={\frac {1}{1-z}}}
となり、再び |z| < 1 に対して 1/(1 − z) に収束する。あるいは上記の定理の2によって、Re(z) < 1 において
lim t → ∞ e − t B ( A ) ( t z ) = lim t → ∞ e − t ( 1 − z ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}(A)(tz)=\lim _{t\to \infty }e^{-t(1-z)}=0}
が成立することからも示される。
形式的べき級数 A(z) がある z = z0 ∈ C でボレル総和可能であるとすれば、それはまた複素平面において原点 O と z0 を結ぶ線分 Oz0 上の任意の点でボレル総和可能である。さらに、線分 Oz0 を半径とする円盤上で解析的かつ θ ∈ [0, 1] を満たす任意の点 z = θz0 で
∑ a k z k = a ( z ) ( B ) {\displaystyle \sum a_{k}z^{k}=a(z)\qquad ({\textbf {B}})}
が成立するような関数 a(z) が存在する。
直ちに得られる結果として、ボレル和の収束領域はC上の星状領域になることがあげられる。この星状収束領域はボレルポリゴンと呼ばれ、級数 A(z) の特異点により決定される。
= ∫ 0 ∞ e − t ∑ k = 0 ∞ a k k ! ( t z ) k d t = ∫ 0 ∞ e − t B ( A ) ( t z ) d t {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}\,dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}(tz)^{k}\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}(A)(tz)\,dt}
と計算でき、最右辺は z における A(z) のボレル総和である。
弱-ボレル総和(wB)とボレル総和(B)の正則性から A(z) の解析接続が得られる。