フォードの円
フォードの円(円板)の面積、オイラーのトーシェント関数 φ {\displaystyle \varphi } 、リーマンゼータ関数 ζ {\displaystyle \zeta } 、アペリーの定数 ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} の間には繋がりがある。フォードの円全体:
{ C [ p , q ] : 0 < p q ≤ 1 , ( p , q ) = 1 } {\displaystyle \left\{C[p,q]:0<{\frac {p}{q}}\leq 1,\,(p,q)=1\right\}}
は、どの2つも交わらないので、総面積は 1 よりも小さい。ゆえにフォードの円の総面積は収束し、その総面積は
A = ∑ q ≥ 1 ∑ ( p , q ) = 1 1 ≤ p ≤ q π ( 1 2 q 2 ) 2 {\displaystyle A=\sum _{q\geq 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p\leq q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}}
である。この式を単純化することで次の式を得る。
フォードの円は、互いに外接しており、基準線 (y = 0) は半径が無限大の円と考えられる。互いに接する円の体系は、アポロニウスの問題やアポロニウスのギャスケットなどに名が残るペルガのアポロニウスによって研究された。17世紀にはルネ・デカルトが、互いに接する円の半径の逆数間の関係に関するものであるデカルトの定理を発見した。
フォードの円は日本の和算の算額にも登場する。このうち代表的な問題として、1824年の群馬県の算額にて出題されたものが挙げられる。この問題は共通の接線を持ち互いに外接する3つの円に関するものである。この問題は2つの外接する円が与えられているとき、その2つの円と共通外接線の中に外接する小さな円の大きさを答えよというものであった。この問題の答えはフォードの円に等しい。
1 r middle A = 1 r left A + 1 r right A . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r_{\text{middle}}{\vphantom {A}}}}}={\frac {1}{\sqrt {r_{\text{left}}{\vphantom {A}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {r_{\text{right}}{\vphantom {A}}}}}.}
フォードの円は1938年にフォードの円について言及したアメリカの数学者レスター・フォード(英語版)の名前に因んで名づけられた。