ノルム
ノルム空間 V のノルム p = ‖•‖ に対し、2変数の実数値関数 dp : V × V → R を
d p ( x , y ) = ‖ x − y ‖ {\displaystyle d_{p}(x,y)=\lVert x-y\rVert }
で定めて、dp をノルム ‖•‖ の定めるまたは誘導する距離という。dp が V の距離函数を定めることはノルムの定義から直ちに分かる。距離空間 (V, dp) の位相をノルム ‖•‖ の定めるまたは誘導する位相という。
空間 X にノルムが与えられたとき、ノルムが 1 である元の全体をしばしば単位球面 (unit sphere) または二次元の場合は特に単位円 (unit circle) と呼ぶ。ノルムの定める位相とはノルムに関する開単位球面の和に表される集合を開集合とするような位相のことである。
ノルム空間 V における線型演算はノルムが V に誘導する位相に関して連続であり、ノルム空間 V は位相線型空間を成す。位相線型空間 (V, T) に対し、V に適当なノルム p が存在して p から誘導される位相 Tp がもとの位相 T に等しいとき、位相線型空間 V はノルム付け可能またはノルム化可能 (normable) であるという。
解析学において、ノルム (英: norm, 独: Norm) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。
ものによっては絶対値や賦値(附値、付値)と呼ばれることもある。また、体の拡大におけるノルムや、多元環に対する被約ノルムと本質的に同じものである。