多項定理
多項公式 (multinomial formula) とは、正整数 m, 非負整数 n に対して、m項和の任意の n-冪を展開すると
( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , ... , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\dotsb {x_{m}}^{k_{m}}}
となることを示すものである。ここで係数 (nk1, ..., km) は多項係数と呼ばれ、
( n k 1 , k 2 , ... , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}
となる。また、k1, k2, ..., km は非負整数であり、総和は k1 + k2 + ... + km = n となるもの全てに亘って取る。従って、展開式の各項の次数は n となる。また、x はここでは、二項定理の場合と同様に、(x が零のときも含めて恒等的に)1 と定義している。