リッシュのアルゴリズム
リッシュのアルゴリズムが不定積分を実行できる対象は初等関数すなわち、四則演算 (+, −, ×, ÷)、指数関数、そしてこれらの逆関数の組み合わせで得られる関数である。特に指数関数の逆関数として得られる対数関数や、複数回の乗算の逆関数として得られる有理数による冪も初等関数に含まれる。複素数の範囲で考えることで、三角関数も指数関数として扱うことができる。
ピエール=シモン・ラプラスは、被積分関数が有理関数である場合の不定積分を行うアルゴリズムを得ていた。すなわち有理関数の不定積分は、有理関数と、有理関数の対数関数の有限個の和で書けることを示した。このアルゴリズムは解析学の教科書にもしばしば載っているが、コンピュータ上に実装されたのは1960年代に入ってからである。
ジョゼフ・リウヴィルは、後にリッシュのアルゴリズムによって解決された問題を初めて厳密に定式化した。リウヴィルは解析学の手法により以下の定理を証明した。方程式 g′ = f に初等関数の解 g が存在すれば、n 個(有限個)の定数 αi と n + 1 個の初等関数 ui および v が存在し、f を
f = ∑ i = 1 n α i u i ′ u i + v ′ {\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\frac {u_{i}^{\prime }}{u_{i}}}+v^{\prime }}
の形に書き直せる。