分解体
上記の通り、剰余環 Ki+1 := Ki[X]/(f(X)) は f(X) が既約であるとき体を成す。この体の元は、cj ∈ Ki および α = π(X) として、
c n − 1 α n − 1 + c n − 2 α n − 2 + ⋯ + c 1 α + c 0 {\displaystyle c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}}
なる形に表すことができる(Ki+1 を Ki 上のベクトル空間と見れば、α の冪 α (0 ≤ j ≤ n−1) がその基底を与えるということ)。
つまり Ki+1 の各元は α の次数高々 n の多項式と看做すことができる。Ki+1 の加法は多項式の加法によって、乗法は f(X) を法とする多項式の乗法で与えられる。すなわち、g(α), h(α) ∈ Ki+1 の積 g(α)h(α) = r(α) は、Ki[X] において g(X)h(X) を f(X) で割った剰余 r(X) によって与えられる。
剰余 r(X) は多項式の長除法によって計算することができるが、もっと直接的な簡約規則によっても r(α) = g(α)h(α) を直接計算することもできる。まず f(X) は体上の多項式であるから、それが最高次係数 1
f ( X ) = X n + b n − 1 X n − 1 + ⋯ + b 1 X + b 0 {\displaystyle f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}}
と仮定して一般性を失わない。