ヴェイユコホモロジー
代数幾何学において、ヴェイユコホモロジー (Weil cohomology) あるいは ヴェイユコホモロジー論 (Weil cohomology theory) とは、代数的サイクルとコホモロジー群の関係性についてのある公理系を満たすコホモロジーのことを言う。名前はアンドレ・ヴェイユ (André Weil) にちなむ。周モチーフを通してヴェィユコホモロジーが分解するという意味で、周モチーフの圏が普遍ヴェイユコホモロジー論である限りは、ヴェィユコホモロジー論がモチーフの理論で重要な役割を演じる。しかしながら、周モチーフの圏はアーベル圏ではないので、ヴェィユコホモロジー論をもたらさないことにも注意する必要がある。
ポアンカレ双対性、つまり、非退化なペアリング H i ( X ) × H 2 n − i ( X ) → H 2 n ( X ) ≅ K {\displaystyle H^{i}(X)\times H^{2n-i}(X)\to H^{2n}(X)\cong K} が存在する。
標準的なキュネット(英語版)(Künneth)同型写像: H ∗ ( X ) ⊗ H ∗ ( Y ) → H ∗ ( X × Y ) {\displaystyle H^{*}(X)\otimes H^{*}(Y)\to H^{*}(X\times Y)} が存在する。
サイクル写像(cycle-map): γ X : Z i ( X ) → H 2 i ( X ) {\displaystyle \gamma _{X}\colon Z^{i}(X)\to H^{2i}(X)} の存在。ここに前者の群は余次元 i の代数的サイクルを意味し、函手 H に関してある整合性条件、キュネット同型と点 X に対しサイクル写像が包含写像 Z ⊂ K であること。
弱レフシェッツ公理 (weak Lefschetz axiom): 任意の滑らかな超平面切断(英語版)(hyperplane section) j: W ⊂ X (つまり、W = X ∩ H、H は周りの射影空間の中のある超平面) に対し、写像 j ∗ : H i ( X ) → H i ( W ) {\displaystyle j^{*}\colon H^{i}(X)\to H^{i}(W)} は i ≥ n − 2 に対し同型であり、i ≤ n − 1 に対し単射である。