ゲージ理論
このセクションの残りは、古典理論や量子場理論とラグランジアンを使うことに慣れている必要がある。
このセクションで定義するものは、ゲージ群、ゲージ場、相互作用ラグランジアン、ゲージボゾンである。
次の説明は、局所ゲージ不変性が大域対称性の性質から始め、どのようにして発見的に動機付けられることが可能かか、また、どのようにして元は相互作用のないの間に相互作用を導くかを説明する。
質量 m をもつ相互作用を持たない n 個の実数のスカラー場の集まりを考える。この系は、各々のスカラー場 φ i {\displaystyle \varphi _{i}} の作用の和である作用により記述される。
S = ∫ d 4 x ∑ i = 1 n [ 1 2 ∂ μ φ i ∂ μ φ i − 1 2 m 2 φ i 2 ] . {\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi _{i}\partial ^{\mu }\varphi _{i}-{\frac {1}{2}}m^{2}\varphi _{i}^{2}\right]\ .}
ラグランジアン密度は、場のベクトル
Φ = ( φ 1 , φ 2 , ... , φ n ) T {\displaystyle \ \Phi =(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n})^{T}}
を導入することにより、
1970年代になって、マイケル・アティヤは古典的ヤン=ミルズ方程式の数学的解決法の研究を始めた。1983年、アティヤの学生サイモン・ドナルドソンは滑らかな4次元微分可能多様体の分類では、位相同型の違いを除いた分類とは異なっていることを示す方向の研究を進めた。マイケル・フリードマンは、ドナルドソンの研究成果を用いて、エキゾチック R の存在、すなわち、4次元ユークリッド空間とは異なるエキゾチックな微分構造(英語版)(Differential structure)が存在することを示した。このことは、ゲージ理論自体が持つ基礎物理学における成功とは独立して、数学的構造に対するゲージ理論への関心を呼び起こした。1994年、エドワード・ウィッテンおよびネーサン・サイバーグは、超対称性に基づいたゲージ理論的テクニックを発見した。ここでの方法はあるトポロジー的不変性の計算を可能とする方法でもある。これら、ゲージ理論からの数学への貢献は、この分野の新たな関心として注目されている。
ゲージ理論および場の量子論の歴史に関するより詳細な資料はPickeringの書籍を参照のこと。
ゲージ理論は、普通、微分幾何学の言葉で議論される。数学的には、ゲージは主バンドルの(局所)切断を選ぶことである。ゲージ変換とは、まさにそのような 2つの切断の間の変換のことである。
ゲージ理論は(第一に高エネルギー物理学者たちにより主要に研究された)接続の研究により支配されるにもかかわらず、接続のアイデアは一般にはゲージ理論の中心ではない。実際、一般的なゲージ理論は、ゲージ変換のアフィン表現(英語版)(affine representation)(つまり、アフィン加群が、ある性質を満たすジェットバンドル(英語版)(jet bundle)の切断として分類されることを示している。(物理学者は第一種のゲージ変換と呼んでいる)点での共変変換であるような表現が存在して、(物理学者が第二種のゲージ変換と呼んでいるアフィン表現)接続形式としての変換と BF理論の B場のようなより一般的な表現である。さらに一般的な非線型表現(英語版)(nonlinear representations)もあるが、極度に複雑である。未だ、非線型シグマモデルは非線型に変換するので、これへの応用がある。
主バンドル P のファイバーバンドルの構造群がリー群であれば、P の切断はゲージ変換群の主等質空間(英語版)(principal homogeneous space)を形成する。