馬蹄形写像
馬蹄形写像(ばていけいしゃぞう、英語: horseshoe map)とは、伸ばして折り曲げる変形で定義される、2次元上の力学系である。馬蹄形力学系や馬蹄写像などとも呼ぶ。スティーブ・スメールが最初に作った写像で、強制振動型のファン・デル・ポール方程式が示す複雑な振る舞いを考察するために考案した。非線形力学系におけるカオスが生みだされる一般的なメカニズムを表している。写像のサドル点が安定多様体と不安定多様体が横断的に交わるホモクリニック点を持つとき、馬蹄が存在する。
不変集合 Λ 上の点 p は時間発展(写像の反復)に従ってどのような振る舞いをするのかに注目する。そのために記号力学系を用いる。H と V の積でできる小さな正方形領域に番号を振っていく。上記で行っていたように、S の左側を 0、右側を 1 で表すとする。S の下側は 0、上側は 1 で表す。例えば、H0101 ∈ S は h, h で左側に写り、h, h で右側に写る点の集合である。V100 ∈ S は h, h で下側に写り、h で上側に写る点の集合である。反復のたびに H には添え字の右側に値を加えていくが、V には添え字の左側に値を加えていくとする。例えば、H0101 と V100 の積でできる領域は、100⋅0101 という番号で表すことができる。ここで、点 ⋅ は初期点を意味する。このような 0 と 1 の番号列で、馬蹄形写像 h による点 p ∈ Λ の時間発展の挙動を表すことができる。この番号列を旅程と呼ぶ。
以上のような番号振りによって、Λ 上の点 p を、その旅程へ対応させる写像
ρ ( p ) = ( ⋯ s − 2 s − 1 ⋅ s 0 s 1 s 2 ⋯ ) {\displaystyle \rho (p)=(\cdots s_{-2}s_{-1}\cdot s_{0}s_{1}s_{2}\cdots )}
を定義できる。ここで、si は 0 または 1 である。ρ は、一対一対応で全ての p を一意な旅程へ対応付けることができる。