虚数単位
i n = { 1 if n ≡ 0 ( mod 4 ) i if n ≡ 1 ( mod 4 ) − 1 if n ≡ 2 ( mod 4 ) − i if n ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle i^{\,n}={\begin{cases}1&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {4}}\\i&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 2{\pmod {4}}\\-i&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}
虚数単位 i は、C 上の作用としては複素数平面上での原点中心の 90° 回転に当たる。
n を整数、e をネイピア数とする。
このとき、ij = k とおくと、k も虚数単位である。すなわち k = −1 を満たす。この i, j, k をそのまま虚数単位とすることもできるが、複素数体の場合に −i を i と置き直しても同じ構造であるのと同じように、四元数体 H においても、虚数単位を取り直すことができる。すなわち、R の正規直交基底を一組選び、
f : R 3 → H ( ( a , b , c ) ↦ a i + b j + c k ) {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {H} \quad ((a,b,c)\mapsto ai+bj+ck)}
によって写した像を新たに i, j, k とおいて虚数単位としてもよい。基底を左手系に取ると ij = −k となってしまうので、数学的な必然性はないが、慣習として右手系が選ばれる。
つまり虚数単位は、複素数・四元数の範囲を、実数部分と虚数部分に分けた時の、後者の方の基本単位である。八元数・十六元数はさらに多くの虚数単位を持つ。