球函数に対するプランシュレルの定理
g t ⋅ A = ( a cosh  2 t + y sinh  2 t + b x + i ( y cosh  2 t + a sinh  2 t ) x − i ( y cosh  2 t + a sinh  2 t ) a cosh  2 t + y sinh  2 t − b ) {\displaystyle g_{t}\cdot A={\begin{pmatrix}a\cosh 2t+y\sinh 2t+b&x+i(y\cosh 2t+a\sinh 2t)\\x-i(y\cosh 2t+a\sinh 2t)&a\cosh 2t+y\sinh 2t-b\end{pmatrix}}}
が成り立つ。故に双曲面 a 2 = 1 + b 2 + x 2 + y 2 {\displaystyle a^{2}=1+b^{2}+x^{2}+y^{2}} の上で gt は y-座標および a しか動かさない。同様に、SO(2) の作用を、a と y を変えずに座標 (b, x) の上の回転として入れる。y = 0 の正値実行列全体の成す空間 H は単位行列の SL(2,R)-軌道と同一視することができる。座標 (b,x,y) ∈ H および (b,x) ∈ H を取れば、体積要素および面素がそれぞれ
d V = ( 1 + r 2 ) − 1 / 2 d b d x d y , d A = ( 1 + r 2 ) − 1 / 2 d b d x {\displaystyle dV=(1+r^{2})^{-1/2}\,db\,dx\,dy,\quad dA=(1+r^{2})^{-1/2}\,db\,dx}
で与えられる。ただし各式の r はそれぞれ b + x + y あるいは b + x と等しいものとする。
である。f = MF が成り立つならば、G 上の F の球反転公式は G0 上の f に対して
f ( g ) = ∫ a + ∗ f ~ ( λ ) φ λ ( g ) 2 d i m A ⋅ | b ( λ ) | ⋅ | d ( 2 λ ) | 2 d λ {\displaystyle f(g)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(g)\,\,2^{{\rm {dim}}\,A}\cdot |b(\lambda )|\cdot |d(2\lambda )|^{2}\,d\lambda }
が成り立つことを含意する。実際、
f ( g ) = M ∗ F ( g ) = ∫ a + ∗ F ~ ( 2 λ ) M ∗ Φ 2 λ ( g ) 2 d i m A | d ( 2 λ ) | 2 d λ = ∫ a + ∗ f ~ ( λ ) φ λ ( g ) b ( λ ) 2 d i m A | d ( 2 λ ) | 2 d λ .
G は中心が有限な非コンパクト連結実編単純リー群で、そのリー環を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} とする。また、極大コンパクト部分群 K がカルタン対合 σ の不動点部分群として与えられるものとする。 g ± {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm }} を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} における σ の ±1-固有空間とすると、 k = g + {\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {g}}_{+}} は K のリー環であり、and p = g − {\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {g}}_{-}} と合わせてカルタン分解
g = k + p , G = exp  p ⋅ K {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}+{\mathfrak {p}},\quad G=\exp {\mathfrak {p}}\cdot K}
が与えられる。 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} を p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} の極大可換部分環とし、 a ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}} の元 α に対し
g α = { X ∈ g : [ H , X ] = α ( H ) X ( H ∈ a ) } {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{X\in {\mathfrak {g}}:[H,X]=\alpha (H)X\,\,(H\in {\mathfrak {a}})\}}
{\displaystyle f(g)=M^{*}F(g)=\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {F}}(2\lambda )M^{*}\Phi _{2\lambda }(g)2^{{\rm {dim}}\,A}|d(2\lambda )|^{2}\,d\lambda =\int _{{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}{\tilde {f}}(\lambda )\varphi _{\lambda }(g)\,\,b(\lambda )2^{{\rm {dim}}\,A}|d(2\lambda )|^{2}\,d\lambda .}
である。SL(2, R) に対する Godement (1957) の計算を一般化する、b(λ) の積分の直接計算は、Flensted-Jensen (1978) では未解決問題のまま残されていた。b(λ) に対する明示的な積公式の一つは、先の Harish-Chandra (1966) によるプランシュレル測度の決定から知られており、
b ( λ ) = C ⋅ d ( 2 λ ) − 1 ⋅ ∏ α > 0 tanh  π ( α , λ ) ( α , α ) {\displaystyle b(\lambda )=C\cdot d(2\lambda )^{-1}\cdot \prod _{\alpha >0}\tanh {\pi (\alpha ,\lambda ) \over (\alpha ,\alpha )}}
で与えられる。 ただし α は a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} のルート系の正ルートすべてを亘るものとし、C は正規化定数でガンマ函数の積の商として与えられる。
球函数 φλ は G の球主系列の行列要素と同一視することができる。M が K における A の中心化群のとき、これは MAN の A の上への準同型と指標 λ との合成によって与えられる B = MAN の指標から誘導される G のユニタリ表現 πλ として定義される。この誘導表現は、G 上の函数 f で
f ( g b ) = Δ ( b ) 1 / 2 λ ( b ) f ( g ) ( b ∈ B ) {\displaystyle f(gb)=\Delta (b)^{1/2}\lambda (b)f(g)\quad (b\in B)}
を満たすものに対し、
π ( g ) f ( x ) = f ( g − 1 x ) {\displaystyle \pi (g)f(x)=f(g^{-1}x)}
で作用が定義されるものである。ただし、
‖ f ‖ 2 = ∫ K | f ( k ) | 2 d k < ∞ {\displaystyle \|f\|^{2}=\int _{K}|f(k)|^{2}\,dk<\infty }
とする。このような函数 f は L(K / M) に属する函数と同一視され、指標は
χ λ ( g ) = ( π ( g ) 1 , 1 ) {\displaystyle \chi _{\lambda }(g)=(\pi (g)1,1)}
となる。
Kostant (1969) の示すところによれば、球主系列表現は既約で、そのような二つの表現 πλ, πμ がユニタリ同値となることと、A のワイル群の適当な元 σ に対して μ = σ(λ) となることとが同値になる。