微分法
接線の傾きを知るという意味で言えば、微分係数の概念は旧く古代ギリシアのエウクレイデス (c. 300 BC), アルキメデス (c. 287–212 BC), ペルガのアポロニウス (c. 262–190 BC) ら幾何学者たちには馴染みのものであった。またアルキメデスは無限小を用いる方法も導入しているが、それは微分や接線に関してではなくて主に面積や体積に対してである(アルキメデスの『方法論』の項を参照)。
変化率の研究に無限小を利用することは、インドの数学において恐らく紀元前500年くらい頃には見つけることができる。天文学者で数学者のアリヤバータ (476–550) は月の運行の研究に無限小を用いた。変化率の計算に無限小を用いる手法はバースカラ2世 (1114–1185) によって飛躍的に推し進められた。実際、ロルの定理などの微分法における重要な概念がその研究結果には含まれていると言われている。ペルシアの数学者シャラフ・アル゠ディン・アル゠ツシ(英語版) (1135–1213) は三次多項式の微分係数を初めて求めて、微分法における重要な足跡を残した。その「方程式に関する研究論文」では、導函数や曲線の最大と最小など、正の解を持たない三次方程式を解くための微分法に関する概念が展開されている。
現代的な微分積分学は、アイザック・ニュートン (1643–1727) およびゴットフリート・ライプニッツ (1646–1716) の両者が独立に創始したというのが通例である。
導函数は与えられた点において可能な函数の最適線型近似を与えるが、それはもとの函数とは非常に異なることもある。この近似を改善する一つの方法は、二次の近似をとることである。それはつまり、実数値函数 f(x) の点 x0 における線型化が一次の多項式函数 a + b(x − x0) であるのに対し、より良い近似が二次多項式 a + b(x − x0) + c(x − x0) を考えることで得られるかもしれないということである。三次多項式 a + b(x − x0) + c(x − x0) + d(x − x0) なら更によいかもしれないし、この考えはより高次の多項式に対しても推し進めることができる。これらの多項式の各々に対して、可能な限りの近似を実現する係数 a, b, c, d の最適な選び方があるはずである。
x0 の近傍において、a として可能な最適の選択は常に f(x0) であり、b に対して可能な最適の選択は常に f'(x0) である。