漸近展開
f ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi _{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
となる漸近展開を持ち、 f ′ ( x ) {\displaystyle \scriptstyle f'(x)\!} が漸近関数列 { φ n ′ ( x ) } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\varphi '_{n}(x)\}_{n\geq 0}} を用いて漸近展開することができるのであれば
f ′ ( x ) ∼ ∑ k = 0 ∞ a k φ k ′ ( x ) ( x → x 0 ) {\displaystyle f'(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\varphi '_{k}(x)\ \ \ (x\to x_{0})}
が成立する。
微分方程式
x 2 y ′′ + ( 3 x + 1 ) y ′ + y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+(3x+1)y'+y=0\!}
の解は
y ( x ) = ∫ 0 ∞ e − t 1 + x t d t {\displaystyle y(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+xt}}dt}
で与えられ、
y ( x ) ∼ ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! x n ( x → 0 ) {\displaystyle y(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}n!x^{n}\ \ \ \ (x\to 0)} 。
という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の x ≠ 0 {\displaystyle \scriptstyle x\neq 0} で収束しないが、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。
求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。