粗空間
集合 X に対し、 P ( X × X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X\times X)} は包含関係に関して最大のcoarse構造となる(これは X 自身を有界にする唯一のcoarse構造)。同様に P ( Δ X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Delta _{X})} は包含関係に関して最小のcoarse連結となる。
集合 X に対し、{E ⊆ X × X : E ∖ ΔX が有限集合} は包含関係に関して最小のcoarse連結なcoarse構造となる。
ハウスドルフ空間 X に対し、 { Δ X ∪ K × K : K ⊆ X , K {\displaystyle \{\Delta _{X}\cup K\times K:K\subseteq X,K} は相対コンパクト集合 } {\displaystyle \}} は有界性と相対コンパクト性が一致するような最小のcoarse構造の基本近傍系となっている。
上述の条件 4 によって、基本近縁系 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} が与えられれば粗構造 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} は ( B {\displaystyle {\mathcal {B}}} の元を含むような X × X {\displaystyle X\times X} の部分集合全体のなす集合族として) 一意的に定まる。任意の粗構造は、対称かつ対角線を含む近縁からなる基本近縁系を持つ。
代表的な粗構造として、距離空間 を考えよう。距離空間 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} に対し、 Δ r := { ( x , y ) ∈ X × X : d ( x , y ) ≤ r } {\displaystyle \Delta _{r}:=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq r\}} からなる集合族 { Δ r : r > 0 } {\displaystyle \{\Delta _{r}:r>0\}} は、 X {\displaystyle X} の標準的な粗構造(有界粗構造)に関する基本近縁系をなす。このとき、 x ∈ X {\displaystyle x\in X} の Δ r {\displaystyle \Delta _{r}} -近傍とは x {\displaystyle x} を中心とした半径 r {\displaystyle r} の閉球のことである。