反応拡散系
∂ t u = d u 2 ∇ 2 u + f ( u ) − σ v , τ ∂ t v = d v 2 ∇ 2 v + u − v {\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+u-v\end{aligned}}}
である。ここで ƒ(u) = λu − u − κ は活動電位がどのように神経を移動するかを表している 。また du、dv、τ、σ および λ は正定数である。
活性因子・抑制因子系にパラメータの変化が施されたとき、均質な基底状態が安定であるような条件から、それが線型不安定であるような条件へと移ることがある。その対応する分岐は、支配的な波数 k = 0 を備える大域的な振動均質状態へのホップ分岐であるか、支配的な有限の波数を備える大域的なパターン状態へのチューリング分岐のいずれかであり得る。空間二次元における後者の分岐は、通常、ストライプや六角形のパターンを導くものである。
亜臨界チューリング分岐:フィッツフュー=南雲型の二成分反応拡散系におけるノイズの多い初期状態からの六角形パターンの形成。
t = 0のノイズの多い初期状態。
t = 10の系状態。
t = 100のほとんど収束した状態。
フィッツフュー=南雲の例に対し、そのチューリング分岐およびホップ分岐のための線型安定領域の境界を作る中立安定曲線は、次式で与えられる。
∂ t u = − δ L δ u {\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}}
としても書かれ、したがってこれは次式で与えられる「自由エネルギー」 L {\displaystyle {\mathfrak {L}}} の永続的な減少を意味するからである。
L = ∫ − ∞ ∞ [ D 2 ( ∂ x u ) 2 − V ( u ) ] d x {\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left[{\frac {D}{2}}(\partial _{x}u)^{2}-V(u)\right]{\text{d}}x}
ここで V(u) は R(u)=dV(u)/du であるようなポテンシャルを表す。
一つ以上の定常同次解を備える系において、典型的な解は、その同次状態をつなぐ進行波として与えられる。そのような解は、その形状を変えずに一定の速度で移動し、u(x, t) = û(ξ) と記述される。ここで ξ = x − ct であり c はその進行波の速度を表す。ここで、進行波は一般的に安定な構造を備えるが、非単調な定常解(例えば、前進と反前進のペアで構成される局所化された領域)は不安定であることに注意することである。