クロス積
クロス積は、直積
a ∘ b = a b ⊺ = ( a i b j ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\circ {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}{\boldsymbol {b}}^{\intercal }=(a_{i}b_{j})}
を使って
a × b = a ∘ b − b ∘ a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}\circ {\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {b}}\circ {\boldsymbol {a}}\quad } (*)
と定義できる。ただしここで、反対称テンソルと擬ベクトルを等価
( x , y , z ) = ( 0 z − y − z 0 x y − x 0 ) {\displaystyle (x,y,z)={\begin{pmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{pmatrix}}}
としたが、これをホッジ作用素 ⋆ {\displaystyle \star } で写像として明示すると
これら以外の次元では、必要な対称性を持つ乗算が定義できないため(これはアドルフ・フルヴィッツによって証明された)、クロス積は定義できない。また、0次元では自明なことを確認できるにすぎず、1次元のクロス積は常に零ベクトルである。
行列式による定義を拡張して、n 次元ベクトル空間における n - 1 項演算としてのベクトル積が
( v , [ a 1 , ... , a n − 1 ] ) = det ⟨ v , a 1 , ... , a n − 1 ⟩ {\displaystyle ({\boldsymbol {v}},[{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}])=\det \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}\rangle }
を定義できる。 完全反対称行列を用いれば
[ a 1 , ... , a n − 1 ] i = ∑ j 1 , ... , j n − 1 ε i , j 1 , ... , j n − 1 a 1 j 1 ⋯ a n − 1 j n − 1 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}]_{i}=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n-1}}\epsilon _{i,j_{1},\ldots ,j_{n-1}}a_{1}^{j_{1}}\cdots a_{n-1}^{j_{n-1}}}
3次元のクロス積
( a 1 , a 2 , a 3 ) × ( b 1 , b 2 , b 3 ) = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 , a 3 b 1 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − a 2 b 1 ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})\times (b_{1},b_{2},b_{3})=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})}
は、4元数( a + b i + c j + d k {\displaystyle a+bi+cj+dk} )のベクトル成分( b i + c j + d k {\displaystyle bi+cj+dk} の部分)の乗算
( a 1 i + a 2 j + a 3 k ) ( b 1 i + b 2 j + b 3 k ) = − ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) + ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k {\displaystyle (a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k)(b_{1}i+b_{2}j+b_{3}k)=-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})i+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})j+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})k\,}
[ a , b , c ] = ( + a 2 b 3 c 4 + a 3 b 4 c 2 + a 4 b 2 c 3 − a 2 b 4 c 3 − a 3 b 2 c 4 − a 4 b 3 c 2 − a 3 b 4 c 1 − a 4 b 1 c 3 − a 1 b 3 c 4 + a 3 b 1 c 4 + a 4 b 3 c 1 + a 1 b 4 c 3 + a 4 b 1 c 2 + a 1 b 2 c 4 + a 2 b 4 c 1 − a 4 b 2 c 1 − a 1 b 4 c 2 − a 2 b 1 c 4 − a 1 b 2 c 3 − a 2 b 3 c 1 − a 3 b 1 c 2 + a 1 b 3 c 2 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 ) {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]={\begin{pmatrix}+a_{2}b_{3}c_{4}+a_{3}b_{4}c_{2}+a_{4}b_{2}c_{3}-a_{2}b_{4}c_{3}-a_{3}b_{2}c_{4}-a_{4}b_{3}c_{2}\\-a_{3}b_{4}c_{1}-a_{4}b_{1}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{4}+a_{3}b_{1}c_{4}+a_{4}b_{3}c_{1}+a_{1}b_{4}c_{3}\\+a_{4}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{4}+a_{2}b_{4}c_{1}-a_{4}b_{2}c_{1}-a_{1}b_{4}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{4}\\-a_{1}b_{2}c_{3}-a_{2}b_{3}c_{1}-a_{3}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{2}c_{1}\\\end{pmatrix}}}
となる。また、1次元では定数 1 となる。