正準変換
P = − ∂ W 1 ∂ Q = 1 2 m ω q 2 1 sin 2  Q {\displaystyle P=-{\frac {\partial W_{1}}{\partial Q}}={\frac {1}{2}}m\omega q^{2}{\frac {1}{\sin ^{2}{Q}}}}
の関係が成り立つ。
また、新しいハミルトニアンは、
K ( Q , P ) = H ( q , p ) = ω P {\displaystyle K(Q,P)=H(q,p)=\omega P}
とPだけの関数となる。すなわち、Qは循環座標である。この場合、QとPの時間発展は、
Q ( t ) = ω t + β {\displaystyle Q(t)=\omega t+\beta }
P ( t ) = E ω = c o n s t . {\displaystyle P(t)={\frac {E}{\omega }}=\operatorname {const.} }
と簡単な形で求まる。但し、βは任意の定数、Eは保存量である系のエネルギーである。
ハミルトン形式の解析力学において、正準変換(せいじゅんへんかん、英: canonical transformation)とは、正準変数を新たなハミルトンの運動方程式を満たす新しい正準変数に写す変数変換。正準変換の下では、正準変数である一般化座標と一般化運動量は互いに混ざり合うことができ、等価な役割を果たす。また、正準変換はポアソン括弧を不変に保つ性質を持つ。幾何学的な観点からは、相空間をシンプレクティック多様体として見做した場合、基本 2形式を保つシンプレクティック同相写像に対応する。