係数励振
ここで、l0:平均腕長さ、a:腕長さ変動振幅、ω:腕長さ変動の角周波数である。 これを上記の運動方程式に代入して、かつ、 a ≪ l 0 {\displaystyle a\ll l_{0}} として 1 / ( 1 + a / l 0 ) ≈ 1 − a / l 0 {\displaystyle 1/(1+a/l_{0})\approx 1-a/l_{0}} を利用すれば、以下の運動方程式を得ることができる。
θ ̈ + 2 ω ( a cos  ω t l 0 − a 2 2 l 0 2 sin  2 ω t ) θ ̇ + g l 0 ( 1 − a l 0 sin  ω t ) θ = 0 {\displaystyle {\ddot {\theta }}+2\omega \left({\frac {a\cos {\omega t}}{l_{0}}}-{\frac {a^{2}}{2l_{0}^{2}}}\sin {2\omega t}\right){\dot {\theta }}+{\frac {g}{l_{0}}}\left(1-{\frac {a}{l_{0}}}\sin {\omega t}\right)\theta =0}
さらに、 a ≪ l 0 {\displaystyle a\ll l_{0}} より ( a / l 0 ) 2 ≈ 0 {\displaystyle (a/l_{0})^{2}\approx 0} として簡単化すれば、
係数励振のメカニズムを利用した身近な例としては、遊具のブランコの1人乗りの揺らし方がある。(詳細は#ブランコの係数励振を参照)
電気回路の例としては、パラメトロンがある。これは、回路のインダクタンスを周期変化させて係数励振振動を生み出すものである。初期条件の差による逆位相の係数励振振動を合わせてを生みだし、2種類の振動を論理素子として利用する。
係数励振が害をもたらす事例としては、鉄道車両におけるパンタグラフの架線からの離線現象、フック形軸継手の不安定ねじり振動などがある。
古くからの係数励振の実験としては、1831年のマイケル・ファラデーによるファラデー波の実験や、1859年のメルデ(Franz Emile Melde)による音叉と弦の実験などが知られている。