双対グラフ
例えばサイクルはカットの双対であり、全域木は全域木の補集合の双対である。単純グラフ(平行エッジ(英語版)または自己ループなし )の双対は3辺連結グラフである。
グラフの双対性は、迷路や排水盆地の構造を説明するのに便利である。双対グラフは、コンピュータビジョン、計算幾何学、メッシュ生成、および集積回路の設計にも適用されてきた。
サイクルの平面埋め込みは、ジョルダン曲線の定理により、平面をサイクルの内側と外側の2つの面のみに分割する。しかしながら、これら2つの領域は、複数の異なる辺によって分離されているため、閉路グラフの双対は、2つの頂点(2つの面に対応する)が、複数のエッジに接続されたマルチグラフとなる。このようなグラフはダイポールグラフ(英語版)と呼ばれる。
シュタイニッツの定理(英語版)によると、すべての多面体グラフ(3次元凸ポリトープの頂点と辺によって形成されるグラフ)は平面で3頂点接続である必要があり、3頂点接続の平面グラフはすべて凸多面体に対応させることができる。すべての3次元凸多面体には双対多面体をもつ。双対多面体は、元の多面体のすべての面に頂点を持ち、2つの面が辺に共有されるとき、対応する2つの頂点の間に辺をもつ。
有限要素法におけるメッシュ生成でも同じ双対性を使うことができる。ボロノイ図の各面の点をより均等に離間した位置に移動させるロイドのアルゴリズム(英語版)は、ボロノイ図の双対であるドローネ三角形分割によって得られた有限要素メッシュを平滑化する方法として一般的に使用される。この方法は、三角形のサイズと形状をより均一にすることでメッシュを改善することができる。
CMOS回路の論理合成において、合成されるべき関数はブール代数における式として表される。それからこの式は2つの直並列マルチグラフに変換される。これらのグラフは回路図として解釈することができ、グラフのエッジは関数への入力によってゲートされたトランジスタを表す。一方の回路は関数自体を計算し、もう一方の回路はその補数を計算する。2つの回路のうちの1つは、式の論理積と論理和をそれぞれグラフの直列と並列の合成に変換することによって導き出される。一方の回路はこの構造を逆にして、式の論理積と論理和をグラフの並列と直列の合成に変換する。これら2つの回路は、入力を出力に接続するエッジを追加すれば、互いに双対の関係にある。
グラフ理論におけるその使用と共に、平面グラフの双対性は、数学的および計算的研究の他のいくつかの分野において用途を有する。
地理情報システムでは 、フローネットワーク(河川や河川のシステム内で水がどのように流れるかを示すネットワークなど)は、分水界を表をすセルラーネットワークと双対である。この双対性は、適切な規模のグリッドグラフ上の全域木としてフローネットワークをモデル化することで、分水界を双対全域木としてモデル化することができることを意味する。
コンピュータビジョンでは 、デジタル画像はそれぞれが独自の色を持っている小さな正方形のピクセルに分割される。この正方形への細分化の双対グラフは、ピクセルごとに頂点を持ち、辺を共有するピクセルのペアに対応する辺を持つ。これは、類似色が連結した領域へのピクセルのクラスタリングなどの用途に役立つ。
計算幾何学において、ボロノイ図とドローネ三角形分割との間の双対性は、ボロノイ図を構築するための任意のアルゴリズムが直ちにドロネー三角形分割のためのアルゴリズムに変換されうることを意味する。