積分曲線
M を C 級,r ≥ 2 のバナッハ多様体(英語版)とする.通常通り,TM で M の接束を表す.自然な射影を πM: TM → M は
π M : ( x , v ) ↦ x {\displaystyle \pi _{M}:(x,v)\mapsto x}
で与えられる.M 上のベクトル場は接束 TM の切断,すなわち,多様体 M の各点にその点での M の接ベクトルを割り当てる写像である.X を C 級の M 上のベクトル場とし,p ∈ M とする.時間 t0 で p を通る X の積分曲線とは,次のような C 級曲線 α: J → M である:t0 を含む実数直線 R の開区間 J 上で定義されていて,
α ( t 0 ) = p ; {\displaystyle \alpha (t_{0})=p;\,}
α ′ ( t ) = X ( α ( t ) ) for all t ∈ J {\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha (t)){\text{ for all }}t\in J}
を満たす.