線型回帰数列
行列 A の特性多項式は
P ( X ) = X p − ∑ i = 0 p − 1 a i X i {\displaystyle P(X)=X^{p}-\sum _{i=0}^{p-1}a_{i}X^{i}}
で、これは (Rp) を満たす数列 (un)n∈N の特性多項式に他ならない。
数列 (un)n∈N を vn = un+1 を満たす数列 (vn)n∈N に対応させる変換 f は線型写像であることに注意しよう。数列 u = (un)n∈N が (Rp) を満たすという条件は、P(f)u = 0 と書き直せるから、空間 ERp は線型写像 P(f) の核に一致する。多項式 P が K で可約なとき(K = C のときは常にそうだが)、k 個の根 r1, r2, ..., rk と k 個の冪指数 α1, α2, ..., αk を用いて
P = ∏ i = 1 k ( X − r i ) α i {\displaystyle P=\prod _{i=1}^{k}(X-r_{i})^{\alpha _{i}}}