テンソル空間
テンソルのテンソル積と呼ばれる乗法
T s r ( V ) ⊗ K T s ′ r ′ ( V ) → T s + s ′ r + r ′ ( V ) {\displaystyle T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V)}
は、両因子に現れる V の元を一纏めにまとめなおすことで定義される。例えば、V の元 v, v' と双対空間の元 f に対して
( v ⊗ f ) ⊗ ( v ′ ) = ( v ⊗ v ′ ) ⊗ f {\displaystyle (v\otimes f)\otimes (v')=(v\otimes v')\otimes f}
のようにする。
V の基底とそれに対応する V の双対基底をとれば、T rs (V) は自然な基底を持つから、この基底に関するテンソルのテンソル積の成分を計算することができる。例えば F, G はそれぞれ階数 m, n の共変テンソル(つまり、F ∈ T 0m (V), G ∈ T 0n (V))とすれば、これらのテンソル積の成分は
( F ⊗ G ) i 1 i 2 ... i m + n = F i 1 i 2 .