群の直積
g ∈ G , ( g ′ , h ′ ) ∈ G × H {\displaystyle g\in G,\ (g^{\prime },h^{\prime })\in G\times H} とすると,次の等式が成り立つ。
h ∈ H {\displaystyle h\in H} についても同様である。よって,主張が従う.
群 G, H, K に対し、次の同型が成り立つ。 ( G × H ) × K ≅ G × ( H × K ) ≅ G × H × K {\displaystyle (G\times H)\times K\cong G\times (H\times K)\cong G\times H\times K}
(普遍性)群 Gi (i ∈ I) が与えられているとする。πj : Πi ∈ I Gi → Gj (j ∈ I) を自然な射影とする。このとき任意の群 H と任意の群準同型写像 fj : H → Gj (j ∈ I) に対して、一意的な準同型 φ : H → Πi ∈ I Gi が存在して、fj = πj∘φ (j ∈ I) が成り立つ。つまり群の直積は群のなす圏の直積である。