合成代数
平方和の合成則に関する言及は古くからいくつか存在している。ディオファントスは、今日ではブラーマグプタ–フィボナッチの公式と呼ばれる、二つの平方数の和を含む式について記しているが、これは複素数のユークリッドノルムが複素数の積に関して持つ乗法性と見れば事態をはっきりさせることができる。オイラーは1748年に四平方和の公式を論じたが、それは後にハミルトンが四元数の成す四次元多元環を構成することに通じている。1848年にテッサリン(英語版)が述べられたことで双複素数に初めて光が当てられた。
1818年ごろデンマークの学者フェルディナンド・デゲンが示した八平方和の公式(英語版)は、後に八元数体の元のノルムに関連付けられた。
八元数体は、歴史的にはケイリー数全体の成す代数系として、初めて知られた非結合多元環である。ケイリー数は二次形式の合成可能性に関する数論的問題の文脈で生じた。この数論的問題は、ある種の代数系(すなわち合成代数)に関する問題に読み替えることができる。
1919年にディクソンは、それまでの成果を取り纏めてフルヴィッツの平方和公式(英語版)の研究を深化させ、二重化の方法を示して四元数からケイリー数を得た。ディクソンは新たな虚数単位 e を導入して、二つの四元数 q, Q に対してケイリー数を q + Qe と書き表した。四元数の共軛を ' で表せば、二つのケイリー数の積は