一様加群
抽象代数学において、加群は、任意の2つの0でない部分加群の共通部分が0でないときにユニフォーム加群 (uniform module) と呼ばれる。このことは M のすべての0でない部分加群が本質部分加群であると言っても同じである。環はそれ自身の上の右(左)加群としてユニフォームであるときに右(左)ユニフォーム環 (right (left) uniform ring) と呼ばれる。
Alfred Goldie(英語版) はユニフォーム加群の概念を加群の次元のはかりかたを構成するために使った。今では加群のユニフォーム次元 (uniform dimension)(あるいは Goldie 次元 (Goldie dimension) として知られている。ユニフォーム次元はベクトル空間の次元の概念の側面をすべてではないがいくつか一般化する。有限ユニフォーム次元はどの環が半単純環において右整環(right order)であるかを特徴づけるゴルディーの定理(英語版)を含むいくつかの定理のための鍵となる仮定だった。有限ユニフォーム次元の加群はアルティン加群とネーター加群の両方を一般化する。
文献によってはユニフォーム次元はまた単に加群の次元 (dimension of a module) あるいは加群のランク (rank of a module) とも呼ばれる。ユニフォーム次元はこれも Goldie によるが関連した概念である加群の被約ランク(英語版)と混同してはならない。
環のユニフォーム次元が左右で異なることはあり得る(下記参照)。
N が M の部分加群であれば、u.dim(N) ≤ u.dim(M) であり、等号が成立するのはちょうど N が M の本質部分加群であるときである。とくに、M とその移入包絡 E(M) はつねに同じユニフォーム次元をもつ。次のこともまた正しい。u.dim(M) = n であることと E(M) は n 個の直既約移入加群の直和であることは同値である。
u.dim(M) = ∞ と M が 0 でない部分加群の無限直和を含むことが同値であることを示すことができる。したがって M がネーターあるいはアルティンであれば、M のユニフォーム次元は有限である。M が有限の組成長 k をもてば、u.dim(M) ≤ k であり、等号成立はちょうど M が半単純加群のときである(Lam 1999)。
標準的な結果は右ネーター整域は右オール整域(英語版) (Ore domain) であるというものである。実は、この結果を Goldie による別の定理から導くことができる。その定理は、以下の3つの条件が整域 D に対して同値であるというものである。
D は右オール
u.dim(DD) = 1
u.dim(DD) < ∞