ユークリッド・オイラーの定理
偶数の完全数 N が素数 2 − 1 を用いて N = 2(2 − 1) と表せることは、以下のように証明される。
偶数は素因数に 2 を含むので、ある自然数 n ≥ 2 と正の奇数 m を用いて N = 2m と表せる。
2 と m は互いに素であるから σ(N) = σ(2) σ(m) = (2 − 1) σ(m) である。
また、N は完全数であるので σ(N) = 2N である。
2.と3.より σ(N) = 2N = (2 − 1) σ(m) である。
4. を変形して σ(m) = 2N/2 − 1 = 2m/2 − 1 = m + m/2 − 1 となる。
m も σ(m) も自然数なので、d = m/2 − 1 は自然数であって、しかも m を自然数 2 − 1 で割って得られるので m の約数でもある。
1 が必ず m の約数であるから、仮に d ≠ 1 とすると σ(m) ≥ m + d + 1 > m + d となって5.に矛盾する。そのため d = 1 である。
d = 1 であるので、5.より σ(m) = m + 1 であり、m = 2 − 1 は素数であって、N = 2(2 − 1) が成り立つ。
2 − 1 が素数ならば偶数 N = 2(2 − 1) が完全数であることは、以下のように証明される。
2 − 1 が素数となるとき n ≥ 2 であるから 2 − 1 ≥ 3 であり、2 と 2 − 1 は互いに素であるので、σ(N) = σ(2) σ(2 − 1) である。
σ(2) = 1 + 2 + 2 + ⋯ + 2 = 2 − 1 である。
2 − 1 は素数なので σ(2 − 1) = (2 − 1) + 1 = 2
以上より、σ(N) = σ(2) σ(2 − 1) = (2 − 1) ⋅ 2 = 2N なので N = 2(2 − 1) は完全数である。