4元電流密度
量子論的なフェルミ粒子の系は、ディラック場 ψ で記述される。質量が m の自由なフェルミ粒子の運動項は
S ψ [ ψ ] = ∫ [ i ψ ̄ γ μ ∂ μ ψ ( x ) − m ψ ̄ ψ ( x ) ] d 4 x {\displaystyle S_{\psi }[\psi ]=\int \left[i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi (x)-m{\bar {\psi }}\psi (x)\right]\,d^{4}x}
で与えられる。ここで γ はガンマ行列である。
フェルミ粒子と電磁場との相互作用は、ゲージ理論に基づいて、微分を共変微分へ置き換える最小結合の理論で記述される。 従って、フェルミ粒子の運動項と相互作用項は
S ψ [ ψ ] + S int [ ψ , A ] = ∫ [ i ψ ̄ γ μ ( ∂ μ − i e A μ Q ) ψ ( x ) − m ψ ̄ ψ ( x ) ] d 4 x {\displaystyle S_{\psi }[\psi ]+S_{\text{int}}[\psi ,A]=\int \left[i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(\partial _{\mu }-ieA_{\mu }Q)\psi (x)-m{\bar {\psi }}\psi (x)\right]\,d^{4}x}
の形となる。ここで e は電磁相互作用の結合定数である電気素量である。また、Q はディラック場 ψ の U(1)em の下での変換性を表すチャージである。
従って相互作用項は
S int [ ψ , A ] = e ∫ ψ ̄ Q γ μ ψ ( x ) A μ ( x ) d 4 x {\displaystyle S_{\text{int}}[\psi ,A]=e\int {\bar {\psi }}Q\gamma ^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)\,d^{4}x}
であり、4元電流密度は
j μ ( x ) = e ψ ̄ Q γ μ ψ ( x ) {\displaystyle j^{\mu }(x)=e{\bar {\psi }}Q\gamma ^{\mu }\psi (x)}
となる。
電荷の保存則を表す連続の方程式は、4元ベクトルの発散
∂ μ j μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}
の形で書かれる。
4元電流密度は電磁場の源(ソース)でありマクスウェルの方程式
∂ ν F ν μ = ∂ ν ∂ ν A μ − ∂ μ ∂ ν A ν = − μ 0 j μ {\displaystyle \partial _{\nu }F^{\nu \mu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }=-\mu _{0}j^{\mu }}
を満たす。ここで F は電磁場テンソル、A は電磁ポテンシャルである。また μ0 は磁気定数である。
また、4元電流密度は、電磁場からローレンツ力
f μ = j ν F ν μ {\displaystyle f_{\mu }=j^{\nu }F_{\nu \mu }}
を受ける。