条件付き独立
σ ( X ) {\displaystyle \sigma (X)} の全ての R {\displaystyle R} と σ ( Y ) {\displaystyle \sigma (Y)} の全ての B {\displaystyle B} に対して上の式が成立するとき、σ代数 Σ {\displaystyle \Sigma } の下で 2つの確率変数 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} は条件付き独立である。
確率変数 W {\displaystyle W} の下で 2つの確率変数 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} が条件付き独立であるのは、 W {\displaystyle W} による σ代数 σ ( W ) {\displaystyle \sigma (W)} の下で X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} が独立している場合であり、次のように表現する。
X ⊥ ⊥ Y ∣ W {\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\mid W}
W {\displaystyle W} が可算集合のとき、 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} が以下の形式の事象に対して条件付き独立であることと等価である。
W = w {\displaystyle W=w}
3つ以上の事象や3つ以上の確率変数の条件付き独立性も同様に定義される。
n o t Y {\displaystyle \mathrm {not} \,{\color {gold}Y}} を条件として R {\displaystyle \color {red}R} と B {\displaystyle \color {blue}B} は条件付き独立ではない(次式)。
Pr ( R , B ∣ not Y ) ≠ Pr ( R ∣ not Y ) Pr ( B ∣ n o t Y ) {\displaystyle \Pr({\color {red}R},{\color {blue}B}\mid {\text{not }}{\color {gold}Y})\neq \Pr({\color {red}R}\mid {\text{not }}{\color {gold}Y})\Pr({\color {blue}B}\mid \mathrm {not} \,{\color {gold}Y})}
ここで、 x = ( x 1 , ... , x l ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{l})^{\top }} 、 y = ( y 1 , ... , y m ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{m})^{\top }} 、 z = ( z 1 , ... , z n ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {z} =(z_{1},\dots ,z_{n})^{\top }} であり、条件付き累積分布は次のように定義される。
F X , Y ∣ Z = z ( x , y ) = Pr ( X 1 ≤ x 1 , ... , X l ≤ x l , Y 1 ≤ y 1 , ... , Y m ≤ y m ∣ Z 1 = z 1 , ... , Z n = z n ) F X ∣ Z = z ( x ) = Pr ( X 1 ≤ x 1 , ... , X l ≤ x l ∣ Z 1 = z 1 , ...