量子状態
任意の | φ ⟩ ∈ H {\displaystyle |\phi \rangle \in {\mathcal {H}}} に対し、 0 ≤ ⟨ φ | ρ ^ | φ ⟩ {\displaystyle 0\leq \langle \phi |{\hat {\rho }}|\phi \rangle } (ヒルベルト空間上のすべての状態ベクトルについて、それとそれに密度演算子を作用させた状態との内積は負にならない:確率はゼロまたは正)
T r { ρ } = 1 {\displaystyle \mathrm {Tr} \{\mathbf {\rho } \}=1} (密度行列のトレース(対角和)は1になる:全事象の起こる確率は1)
T r { ρ 2 } = ∑ k p k 2 ≤ 1 {\displaystyle \mathrm {Tr} \{\mathbf {\rho } ^{2}\}=\sum _{k}p_{k}^{2}\leq 1} (密度行列の二乗のトレースは1以下になる。特に、等号が成り立つ場合、純粋状態を表す)