留数
単純閉曲線 γ の囲む有界領域 D の閉包を E とし、E 上で定義される有理型関数 f(z) は γ 上に極も零点も持たないとする。このとき、f(z) の D 内での零点と極は有限個である。重複度まで込めた零点の個数を n、極の個数を m とすると 1 2 π i ∮ γ d log  f ( z ) = n − m {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }d\!\log f(z)=n-m} が成り立つ。さらに一般に、重複度込みで零点が a1, a2, ..., an、極が b1, b2, ..., bm であるとすると、E 上の任意の正則関数 g(z) に対して 1 2 π i ∮ γ g ( z ) d log  f ( z ) = ∑ j = 1 n g ( a j ) − ∑ k = 1 m g ( b k ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }g(z)\,d\!\log f(z)=\sum _{j=1}^{n}g(a_{j})-\sum _{k=1}^{m}g(b_{k})} が成立する。
複素解析学における留数(りゅうすう、英: residue)は、孤立特異点を囲む経路に沿う有理型関数の複素線積分により得られる複素数である。