ビアンキ分類
C a b c = ε a b d n c d − δ a c a b + δ b c a a {\displaystyle C_{\ ab}^{c}=\varepsilon _{abd}n^{cd}-\delta _{a}^{c}a_{b}+\delta _{b}^{c}a_{a}}
で与えられ、ここに ε a b d {\displaystyle \varepsilon _{abd}} はレヴィ・チビタ記号であり、 δ a c {\displaystyle \delta _{a}^{c}} はクロネッカーのデルタで、ベクトル a a = ( a , 0 , 0 ) {\displaystyle a_{a}=(a,0,0)} と 対角テンソル n c d {\displaystyle n^{cd}} は次の表により記述される。 n ( i ) {\displaystyle n^{(i)}} は n c d {\displaystyle n^{cd}} の i-番目の固有値を与え、パラメータ a はすべての正の実数を渡る。
単連結群は自明な中心と実数とオーダー 2 の群の積である外部自己同型群を持っている。行列 M は 2つの同じ固有値を持つが、半単純ではない。
V型: 可解であるがユニモジュラではない。 [y, z] = 0, [x, y] = y, [x, z] = z である。(VI型のひとつの極限であり、双方の固有値が等しい。)単連結群は自明な中心と行列式が +1 か -1 の GL2(R) の元である外部自己同型群を持っている。行列 M は 2つの同じ固有値を持ち、半単純である。
VI型: 可解であるが、ユニモジュラではない。無限個の族。R と R の半直積で、そこでは行列 M は非零な和をもつ異なる複数個の実固有値を持つ。単連結群は自明な中心と非零な実数と位数 2 の群の積である外部自己同型群を持つ。
VI0型: 可解でユニモジュラ。このリー代数は、R と R の半直積で、R では行列 M が非零の複数の実固有値で和が 0 の固有値を持つ。この型は、2-次元ミンコフスキー空間の等長群のリー代数。単連結群は自明な中心と正の実数と位数 8 の二面体群の席である外部自己同型群の積である。
VII型: 可解でありユニモジュラではない。無限個の族。R と R の半直積。そこでは行列 M は実数でも純虚数でもない固有値を持つ。単連結群は自明な中心と非零の実数である外部自己同型群を持つ。