十二進法
十二進法:(194)12 ÷ 3 = 71.4
1/3バク(※「バク」はマヤ数詞で四百。十進換算:400 ÷ 3) 二十進法:(100)20 ÷ 3 = 6D.6D6D... 十二進法:(294)12 ÷ 3 = B1.4
2と3を除く演算の例
5を除数とする演算を割り切る条件は、被除数の約数に5が含まれることが条件になる。
(3×7) ÷ 3(十進法の場合 63 ÷ 27) 十二進法:53 ÷ 23 = 2.4 十六進法:3F ÷ 1B = 1.5555... 二十進法:33 ÷ 17 = 2.6D6D...
(3×7) ÷ (2×3×5)(十進法の場合 63 ÷ 30) 十二進法:53 ÷ 26 = 2.124972497... 十六進法:3F ÷ 1E = 2.1999... 二十進法:33 ÷ 1A = 2.2
十二進法で循環節が長くなる例として、5(1/21)が20(10)桁、7(1/41)が42(10)桁が挙げられる。逆に、十進法では22(10)桁、二十進法では55(10)桁、六進法や十八進法でも110(10)桁になるB(1/A1)は、十二進法では僅B(12)桁=11(10)桁になる。
この他にも、ヤード・ポンド法は十二進法が主流であり、長さの 1 フィート = 12 インチ = 144 ライン = 1728 ポイントである。同じく、1 トロイポンド = 12 トロイオンス = 144 スカラプル = 1728 シードである。プラモデルの縮尺に 1/144 (= 12) が多いのも、12 フィートすなわち 144 インチを逆数にしたサイズが由来である。
また、ローマ帝国の数詞や単位は十進法が通例であったが、アス (as) 通貨は異例で十二進法を想定した単位を設定した。アス通貨の下部単位として、1/2 アスのセミス (semis)、1/3 アスのトリエンス (triens)、2/3 アスのベス (bes)、1/4 アスのクォドランス (quadrans)、3/4 アスのドドランス (dodrans)、1/6 アスのセクスタンス (sextans)、1/12 アスのウンシア (uncia)、5/12 アスのクインクンクス (quincunx) が使用されており、中でも semis は「半」を意味する接頭辞 "semi-" の語源にもなっている。しかし、1/144 アス (= 1/12 ウンシア) や 12 アス (= 144 ウンシア) の単位は設定されず、1/24 アスのセミウンシア (semiuncia) と 2 アス (= 24 ウンシア)のドゥポンディウス (dupondius) のみであった。
01235... となって1235(6)=311(10)の倍数五桁が循環する。これに対して、十二進法は「10 - 1」がB(十進法の11)で5の倍数ではないので、1/5の循環小数は 0.2497...で四桁になり、これに最も近い37(10)の倍数は 2494(12)(=31104(6)=4144(10)=(37×7×16)(10)となる。
そして、5 = (m/21)12の小数は、循環節が「05915 343A0 B62A6 8781B」の二十桁と長く、先頭五桁が05915となるが、これは十進法に直すと9953 (= 311×32 + 1)(10))となる。十二進法における5の循環節は 4×5 となり、5が四桁、5が二十桁、5が百桁になる。逆に、六進法では 5 = 0.01235...で五桁、十八進法でも5 = 0.0CH5...で四桁となる。
以下の表に、十二進数で表記した十二の累乗数と、それを六進数(底が二の三倍)、十進数(底が二の五倍)、二十進数(底が四の五倍)に換算した数値を掲載する。万や億との対比を判り易くするため、桁は四つごとに区切る。
十二進数は「3の倍数」かつ「4の倍数」進数であるが、桁上がりの速さは、「3の倍数」の六進数よりは「4の倍数」の二十進数に近い。3乗への桁上がりでは、六進数とは8倍の差{1000(12) = 12000(6) = 1728(10)}だが、二十進数とは5倍の差{5000(12) = 11C0(20) = 8640(10)}になる。4乗への桁上がりでも、六進数とは24(6)倍=16(10)倍の差{10000(12) = 240000(6) = 20736(10)}、十進数とは2倍の差{10000(12) = 20736(10)}、二十進数とは8倍の差{80000(12) = 10EE8(20) = 165888(10)}、十八進数とも5倍の差{50900(12) = 10000(18) = 104976(10)}である。
また、十二の累乗数と二十の累乗数を対比すると、十二の六乗と二十の五乗が最も接近する{両者とも(300万)10前後。10A3A28(12) = 100000(20) = 3200000(10)}。十二の累乗数と十八の累乗数も同じく、十二の六乗と十八の五乗が最も接近する{両者とも(200万)10前後。771600(12) = 100000(18) = 1889568(10)}。
他の段は、3の倍数を掛けると、一の位が3, 6, 9, 0のどれかになる。
他の段は、4の倍数を掛けると、一の位が4, 8, 0のどれかになる。
末尾となるB(十一)の段は、一の位と十二の位の和がBになる。
10-2となるA(十)の段は、一の位は2ずつ減る。一の位はA→8→6→4→2→0の順に変化する。
5の段は、偶数を掛けると、一の位の数は2ずつ減る。そして、4の倍数を掛けると、一の位は8→4→0の順に変化する。
7の段は、偶数を掛けると、十二の位は一の位の数の半分になる(例:(12)12=(14)10)。そして、4の倍数を掛けると、一の位は4→8→0の順に変化する。