楕円曲線のハッセの定理
楕円曲線のハッセの定理(英語: Hasse's theorem on elliptic curves)は、ハッセの境界とも呼ばれ、有限体上の楕円曲線の持つ点の数の、上と下からの評価を与える。
位数 q の有限体上の楕円曲線 E の点の数が N であるとき、ヘルムート・ハッセ(Helmut Hasse)の結果は、その個数が
| N − ( q + 1 ) | ≤ 2 q {\displaystyle |N-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}}
であることを示している。つまり、この解釈は、N が q + 1 (これは同じ体の上の射影直線(projective line)の点の数である)と異なっていれば、この差「エラー項」は、絶対値が q {\displaystyle {\sqrt {q}}} である2つの複素数の和である。
この結果は、エミール・アルティン(Emil Artin)により彼の論文で元々予想されたものである。これは1933年にハッセ(Hasse)により証明され、証明は一連の論文で出版された。
ハッセの定理は、E の局所ゼータ函数の根の絶対値の決定と同値である。この形で、楕円曲線に付随する函数体のリーマン予想との類似を理解することができる。