義務論理
M , w ⊨ p ⟺ w ∈ V ( p ) {\displaystyle {\mathcal {M}},w\vDash p\iff w\in V(p)}
M , w ⊨ φ ∧ ψ ⟺ M , w ⊨ φ {\displaystyle {\mathcal {M}},w\vDash \varphi \land \psi \iff {\mathcal {M}},w\vDash \varphi } かつ M , w ⊨ ψ {\displaystyle {\mathcal {M}},w\vDash \psi }
M , w ⊨ φ ∨ ψ ⟺ M , w ⊨ φ {\displaystyle {\mathcal {M}},w\vDash \varphi \lor \psi \iff {\mathcal {M}},w\vDash \varphi } または M , w ⊨ ψ {\displaystyle {\mathcal {M}},w\vDash \psi }
M , w ⊨ φ → ψ ⟺ M , w ⊨ φ {\displaystyle {\mathcal {M}},w\vDash \varphi \to \psi \iff {\mathcal {M}},w\vDash \varphi } ならば M , w ⊨ ψ {\displaystyle {\mathcal {M}},w\vDash \psi }
チザムのパラドックスは、義務違反時の義務(contrary-to-duty obligation, CTD obligation)に関するパラドックスである。直観的には、以下の四つの命題がすべて成り立っているような状況は、論理的に可能な状況であるように思われる。
ジョーンズは隣人を助けに行くべきである。
ジョーンズは、隣人を助けに行くのであれば、助けに行くと隣人に伝える、というふうであるべきである。
ジョーンズは、隣人を助けに行かないのであれば、助けに行くと隣人に伝えるべきではない。
ジョーンズは隣人を助けに行かない。
これらを標準義務論理によって表現するとそれぞれ以下のようになる。
O g {\displaystyle Og}
O ( g → t ) {\displaystyle O(g\to t)}
¬ g → O ¬ t {\displaystyle \lnot g\to O\lnot t}
¬ g {\displaystyle \lnot g}
しかし、この四つの論理式の集合は矛盾している。このことは次のように考えると分かる。一つめの式と二つめの式から O t {\displaystyle Ot} が論理的に導ける一方で、三つめの式と四つめの式から O ¬ t {\displaystyle O\lnot t} が導ける。しかし O t {\displaystyle Ot} と O ¬ t {\displaystyle O\lnot t} は両立し得ない。
「A が B を必要とする」とは、「A ならば B である」が義務的である場合だけを意味する。
無条件に義務的であるなら、義務的である。
無条件に義務的であることは、自身の否定を必要としない。
彼はこれらの原則を公理として以下のように定式化した。
I. ((A f B) & (B → C)) → (A f C)
II. ((A f B) & (A f C)) → (A f (B & C))
III. (A f B) ↔ !(A → B)
IV. ∃U !U
V. ¬(U f ∩)
これら公理から Mally は 35 の定理を導出したが、その多くは Mally が認めているように奇妙なものとなった。カール・メンガーは定理として !A ↔ A (「A が真である」と「Aであるべき」が同値)が導かれることを示し、! の導入に問題があるとした。メンガー以降、Mally の体系は哲学者からは見向きもされなくなった。Gert Lokhorst は Mally の35の定理とメンガーの定理の証明をスタンフォード哲学百科事典に Mally's Deontic Logic として列挙した。
1. あなたが人を殺すなら、あなたは慈悲深く殺さねばならない。
2. あなたは人を殺した。
1, 2よりよってあなたは慈悲深く殺さねばならない。
一見妥当そうな論法だが、文脈を無視して結論の「あなたは慈悲深く殺さねばならない」だけ見ると慈悲深い殺人を推奨しているように読めてしまう。
この問題に対処するため、二項義務論理(dyadic deontic logic)が構築された。これには以下のような二項義務作用素が定義されている。
O ( A ∣ B ) {\displaystyle O(A\mid B)} は、「B が与えられたとき、A は義務的である」を意味する。
P ( A ∣ B ) {\displaystyle P(A\mid B)} は、「B が与えられたとき、A は権利的である」を意味する。
この記法は条件付き確率を基にしている。二項義務論理は標準義務論理の問題をいくつか解決するが、問題が全くないわけではない。