角谷の不動点定理
すべての x に対して φ(x) が凸であるという条件は、定理が成立する上で本質的に重要である。
[0,1] 上で定義される次の函数を考える:
φ ( x ) = { 3 / 4 0 ≤ x < 0.5 { 3 / 4 , 1 / 4 } x = 0.5 1 / 4 0.5 < x ≤ 1 {\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}3/4&0\leq x<0.5\\\{3/4,1/4\}&x=0.5\\1/4&0.5<x\leq 1\\\end{cases}}}
この函数は不動点を持たない。この函数は、角谷の定理の凸性以外の条件をすべて満たすが、x = 0.5 において凸ではない。
角谷の不動点定理は、ゼロ和ゲームの理論におけるミニマックス定理を証明するために利用することが出来る。この応用は角谷の原著論文において具体的に議論されていた。
数学者ジョン・ナッシュは、ゲーム理論における主要な結果を証明するために角谷の不動点定理を利用した。平たく言うと、この定理は、任意のプレイヤー数で混合戦略のすべての有限ゲームにおいてナッシュ均衡が存在することを保証するものである。この業績により、彼は後にノーベル経済学賞を受賞した。
この場合、S はゲームの各プレイヤーによって選ばれる混合戦略(英語版)のタプルの集合である。函数 φ(x) は、x における他のプレイヤーの戦略に対する各プレイヤーの最善の反応のタプルである。同程度に良い反応が複数存在することもあり得るため、φ は単一の値ではなく集合値である。このとき、ゲームのナッシュ均衡は φ の不動点、すなわち各プレイヤーの戦略が他のプレイヤーの戦略に対する最善の反応となっているような戦略のタプルである。角谷の定理は、この不動点の存在を保証するものである。