対称行列
複素対角行列は U A U T = diag  ( r 1 e i θ 1 , r 2 e i θ 2 , ... , r n e i θ n ) {\displaystyle UAU^{\mathrm {T} }=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})} と表すことができ、適した行列は D = diag  ( e − i θ 1 / 2 , e − i θ 2 / 2 , ... , e − i θ n / 2 ) {\displaystyle D=\operatorname {diag} (e^{-i\theta _{1}/2},e^{-i\theta _{2}/2},\dots ,e^{-i\theta _{n}/2})} で与えられる。明らかに D U A U T D = diag  ( r 1 , r 2 , ... , r n ) {\displaystyle DUAU^{\mathrm {T} }D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})} は求める行列で、よって U ′ = D U {\displaystyle U'=DU} と置きなおせばいい。
各対角成分の平方は A A の固有値であり、A の特異値と一致する。
で成立する。ここで A が実行列ならば Q は(A の固有ベクトルを列ベクトルとする)実直交行列で、Λ は(対角線に A の固有値が並ぶ)実対角行列になる。直交性を見るために、x, y がそれぞれ相異なる固有値 λ1, λ2 に属する固有ベクトルとすれば
λ 1 ⟨ x , y ⟩ = ⟨ A x , y ⟩ = ⟨ x , A y ⟩ = λ 2 ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \lambda _{1}\langle x,y\rangle =\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle =\lambda _{2}\langle x,y\rangle }
ゆえ、⟨x, y⟩ ≠ 0 ならば λ1 = λ2 となり矛盾するから ⟨x, y⟩ = 0 である。