電磁波
電磁波は上述の議論により、物質がない場所では伝播はするが、もともと振動がない場合には発生しない。つまり、物質との相互作用として電荷や電流を組み込むことで電磁波が発生する。電磁波の発生機構を議論する場合、ポテンシャル形式の方が見通しが立ちやすいため、ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルを用いて4元形式で議論することが一般的である。4元形式で議論した場合、マクスウェル方程式はローレンツゲージを適用することで
( 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 ) A μ = j μ {\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)A^{\mu }=j^{\mu }}
が得られ、これに対する解として遅延グリーン関数を用いて解くことができる。しかし実際上はそれは難しいため、電荷・電流について多極展開することで多極モーメントからの放射を見たり、点電荷を加速度運動させる場合を考えて制動放射を計算する。
電場の波動方程式は、電磁誘導則の式について両辺の回転を取り:
∇ × ( ∇ × E → ) = − ∇ × ∂ B → ∂ t {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=-\nabla \times {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}
さらに電荷0および電流0の条件を加えることで導出可能である(誘電率や透磁率を変化させることで事実上同じ式に行き着く場合もあり、そのような場合には定数を異なる値にすることで同様に議論できる)。
前式の左辺は
∇ × ( ∇ × E → ) = ∇ ( ∇ ⋅ E → ) − ∇ 2 E → {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times {\vec {E}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {E}})-\nabla ^{2}{\vec {E}}}
と変形できる。さらに電荷0すなわち ∇ ⋅ E → = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=0} であるため − ∇ 2 E → {\displaystyle -\nabla ^{2}{\vec {E}}} が残る。
日本の公正取引委員会は、電磁波によるネズミ撃退器について、効果が認められないとして排除命令を出したことがある。
アメリカ軍は、電磁波を利用した非致死性兵器の研究を行っている(詳細はアクティブ・ディナイアル・システムを参照)。