ジャコブソン環
可換環 R に対して以下の条件は同値である。
R はジャコブソン環である。
R のすべての素イデアルは極大イデアルの共通部分である。
すべての根基イデアルは極大イデアルの共通部分である。
すべてのゴールドマンイデアルは極大である。
R の素イデアルによるすべての商環のジャコブソン根基は 0 である。
すべての商環において、冪零根基はジャコブソン根基に等しい。
体であるような R 上のすべての有限生成代数は R-加群として有限生成である(ザリスキの補題(英語版))
R の素イデアル P であって R/P が (R/P)[x] が体であるような元 x をもつようなものはすべて極大素イデアルである。
R のスペクトルはジャコブソン空間 (Jacobson space) である、つまりすべての閉部分集合はその中の閉点全体の集合の閉包である。
(ネーター環 R に対して): R は R/P が 1 次元半局所環であるような素イデアル P をもたない。