リウヴィルの定理 (解析学)
リウヴィルの定理は、複素バナッハ空間の有界線形作用素のスペクトル集合が空集合でないことを示すのに適用される。
Xを{0}でない複素バナッハ空間とし、AをX上の有界線形作用素とすると、そのスペクトル集合σ(A)は空ではない。実際、σ(A)=øとすると、補集合であるレゾルベント集合ρ(A)はC全体となる。このとき、すべてのλ ∈ Cに対して、レゾルベント作用素R(A,λ)は、λについて作用素ノルムでの極限の意味で正則となる。よって、任意のx ∈ Xとf ∈ Xに対し、f(R(A,λ)x)はC上の有界な整関数となる。リウヴィルの定理より、これは定数関数であり、さらにはゼロとなる。したがって、X={0}となり、矛盾する。
このリウヴィルの定理を用いた証明はイズライル・ゲルファントによって、与えられた。