合同数
1983年、タネル(en:Jerrold B. Tunnell)は完全な解決ではないにしても、合同数問題における革新的な定理を発表した。その内容は次の通りである。n は平方因子をもたない自然数とし、整数 An、Bn、Cn、Dn を以下で定義する。
A n = # { x , y , z ∈ Z | n = 2 x 2 + y 2 + 32 z 2 } B n = # { x , y , z ∈ Z | n = 2 x 2 + y 2 + 8 z 2 } C n = # { x , y , z ∈ Z | n = 8 x 2 + 2 y 2 + 64 z 2 } D n = # { x , y , z ∈ Z | n = 8 x 2 + 2 y 2 + 16 z 2 } {\displaystyle {\begin{matrix}A_{n}&=&\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \,|\,n=2x^{2}+y^{2}+32z^{2}\}\\B_{n}&=&\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \,|\,n=2x^{2}+y^{2}+8z^{2}\}\\C_{n}&=&\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \,|\,n=8x^{2}+2y^{2}+64z^{2}\}\\D_{n}&=&\#\{x,y,z\in \mathbb {Z} \,|\,n=8x^{2}+2y^{2}+16z^{2}\}\\\end{matrix}}}