概型
可換環 R を研究するときに可換環論において R 加群が中心的なのと同様に、構造層 OX を持つスキーム X の研究において OX 加群が中心的である。(OX 加群の定義については局所環付き空間を参照。)OX 加群の圏はアーベル圏である。特に重要なのは X 上の連接層であり、これは X のアフィン部分上の有限生成な(通常の)加群から生じるものである。X 上の連接層の圏もまたアーベル圏である。
スキーム X の構造層 OX の切断は正則函数と呼ばれ、これは X の各開集合 U 上で定義される。OX の可逆部分層は、O ∗X と書かれるが、乗法について可逆な正則関数の芽のみからなる。ほとんどの場合、層 K X {\displaystyle K_{X}} は X {\displaystyle X} のアフィン開集合 S p e c ( A ) {\displaystyle Spec(A)} 上で A {\displaystyle A} の全商環 Q ( A ) {\displaystyle Q(A)} を対応させることで得られる。
多様体ではないこれらスキーム(単純に多様体から構成することができないスキーム)の出現は、古典的なことばで提出可能であった問題に対しても、この問題の新しい基礎付けが緩やかに受け入れられていった。
ピエール・ドリーニュ (Pierre Deligne) やデヴィッド・マンフォード (David Mumford) やミハイル・アルティン (Michael Artin) による、本来はモジュライ問題である代数的空間(英語版)や代数的スタックでのその後の仕事により、さらに現代代数幾何学の幾何学的柔軟性を拡大していった。グロタンディークは、スキームの一般化として、環付きトポスのあるタイプを提唱し、環付きトポスの次に彼が提唱した相対スキーム(英語版)は、M.ハキム (M. Hakim) により開発された。最近の高次代数スタック(英語版)やホモトピックな導来代数幾何学は、さらに幾何学的直感の到達範囲を拡大する必要があり、ホモトピー理論に近い精神を代数幾何学へもたらす。