生存分析
5 = coef/se(coef) = 0.662/0.265 となる。coef をその標準誤差で除すると zスコア が得られる。
p=0.013。性別の z=2.5 に対応する p値 はp=0.013 で、性別の関数として生存率に有意差があることを示している。
要約出力では、ハザード比の95%信頼区間の上限と下限も表示される。下側95%境界=1.15、上側95%境界=3.26。
最後に、モデルの全体的な有意性に関する3つの代替検定の p値 が出力される。
尤度比検定 = 6.15 on 1 df, p=0.0131
ワルド検定 = 6.24 on 1 df, p=0.0125
スコア(ログランク)検定 = 6.47 on 1 df, p=0.0110
これらの3つの検定は、漸近的に同等である。Nが十分に大きい場合、これらは同様の結果になる。Nが小さい場合、それらは多少異なる場合がある。最終行の「スコア(ログランク)検定」 は、ログランク検定の結果で、p=0.011 である。ログランク検定はCox PH回帰の特殊なケースなので、ログランク検定と同じ結果になる。尤度比検定は、サンプルサイズが小さいほど動作が優れているため、一般的にはこちらが好ましい。
生命表(life table)は、生存データを、事象の数と各事象の時点で生存している割合の観点から要約したものである。R言語を使用して作成されたamlデータの生命表を次に示す。
生命表は、イベントと各イベントの時点で生存している割合をまとめたものである。生命表の列は、次のように解釈する。
時間(time)は、事象が発生した時点を示す。
危険数(n.risk)は、時点 t の直前に危険にさらされている被験者の数である。「危険にさらされている」とは、被験者が時点 t 以前に事象を起こしておらず、かつ時点 t 以前または時点 t で打ち切られていないことを意味する。
事象数(n.event)は、時点 t で事象が発生した被験者の数である。
生存率(survival)は、カプラン=マイヤー積極限推定法(Kaplan–Meier product-limit estimate)を用いて決定された生存率である。
標準誤差(std.err)は、推定生存率の標準誤差である。カプラン=マイヤー積極限推定法の標準誤差は、Greenwoodの式を用いて計算され、危険数(表中のn.risk)、死亡数(表中のn.event)、生存率(表中のsurvival)に依存する。
lower 95% CI と upper 95% CI は、生存率の95%信頼区間の下限と上限である。
となり、期待余寿命は、
1 S ( t 0 ) ∫ 0 ∞ t f ( t 0 + t ) d t = 1 S ( t 0 ) ∫ t 0 ∞ S ( t ) d t , {\displaystyle {\frac {1}{S(t_{0})}}\int _{0}^{\infty }t\,f(t_{0}+t)\,dt={\frac {1}{S(t_{0})}}\int _{t_{0}}^{\infty }S(t)\,dt,}
となる。2番目の式は部分積分を用いて得られる。
t 0 = 0 {\displaystyle t_{0}=0} 、つまり出生時の場合、これは期待寿命まで減少する。
信頼性問題では、期待寿命を平均故障時間(mean time to failure、MTTF)と呼び、期待余寿命を平均残留寿命(mean residual lifetime)と呼ぶ。
ある個体が t 歳以降まで生存する確率を S(t) とすると、すべての個体の生存関数が同一であると仮定したとき、定義上、 n 人の新生児の初期集団から t 歳時点での生存者の期待数は n × S(t) となる。したがって、期待される生存者の割合は S(t) となる。異なる個体の生存が独立している場合、 t 歳の生存者数はパラメータ n と S(t) を持つ二項分布となり、生存者の割合の分散は S(t) × (1-S(t))/n となる。
特定の割合の生存者が残る年齢は、S(t) = q for t, という方程式を解くことで求めることができる。ここで、 q は当該分位数である。一般的には、 q = 1/2 となる寿命中央値や、 q = 0.90、q = 0.99 などの分位数に関心がある。
カプラン=マイヤー曲線とログランク検定は、予測変数がカテゴリー的(例:薬剤と偽薬)またはカテゴリー的に扱える少数の値(例:薬剤の投与量0、20、50、100 mg/日)をとる場合に最も有用である。一方、ログランク検定およびカプラン=マイヤー曲線は、遺伝子発現、白血球数、または年齢などの定量的予測変数では簡単に機能しない。定量的予測変数の場合、代替法としてCox比例ハザード回帰分析(Cox proportional hazards regression analysis、Cox PH)がある。Cox PHモデルは、{0,1} の指標またはダミー変数としてコード化されたカテゴリー的予測変数でも機能する。ログランク検定は、Cox PH分析の特殊なケースであり、Cox PHソフトウェアを使用して実行できる。