ディラック場
ワイル表示ではカイラリティは
γ 5 = ( − 1 0 0 1 ) {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}-\mathbf {1} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {1} \\\end{pmatrix}}}
となる。つまり、スピノルの上2成分が左手型成分、下2成分が右手型成分となる。 ディラック・スピノルをカイラリティーで分けた2成分スピノルをワイル・スピノルと呼ぶ。
ψ = ( ξ η ̄ ) {\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\xi \\{\bar {\eta }}\\\end{pmatrix}}} .
ψ はディラック・スピノル(4成分)、ξ, η はワイル・スピノル(2成分)。
ディラック方程式をワイルスピノルで書けば、
i ∂ η ̄ ∂ t + i σ ⋅ ∇ η ̄ − m ξ = 0 {\displaystyle i{\frac {\partial {\bar {\eta }}}{\partial t}}+i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \nabla {\bar {\eta }}-m\xi =0}
4次元時空において、ガンマ行列により
γ 5 ≡ i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 {\displaystyle \gamma _{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}
で定義される行列 γ5 は
( γ 5 ) † = γ 5 , ( γ 5 ) 2 = 1 , { γ μ , γ 5 } = 0 {\displaystyle (\gamma _{5})^{\dagger }=\gamma _{5},~(\gamma _{5})^{2}=1,~\{\gamma ^{\mu },\gamma _{5}\}=0}
の性質を持つ。γ5 はカイラリティーと呼ばれる。 γ5 は固有値 ±1 をもち、固有値 +1 の部分空間は左手型成分(left-handed, LH)、−1 の部分空間は右手成分(right-handed, RH)と呼ばれる。射影演算子を
P L ≡ 1 − γ 5 2 , P R ≡ 1 + γ 5 2 {\displaystyle P_{L}\equiv {\frac {1-\gamma _{5}}{2}},~P_{R}\equiv {\frac {1+\gamma _{5}}{2}}}