直既約加群
すべての単純加群は直既約である。上の2つ目の例で示されているように逆は一般には成り立たない。
加群の自己準同型環を見ることで、加群が直既約かどうかわかる。自己準同型環が0でも1でもない冪等元をもたないことと同値である。(f が M のそのような冪等自己準同型であれば、M は ker(f) と im(f) の直和である。)
長さ有限の加群が直既約であることとその自己準同型環が局所環であることは同値である。長さ有限の直既約加群の自己準同型についてのより多くの情報はフィッティングの補題によって提供される。
長さ有限の状況において、直既約加群への分解はクルル・シュミットの定理によって特に役立つ。すべての長さ有限の加群は有限個の直既約加群の直和として書け、この分解は本質的に一意(直和成分が順番と同型を除いて一意という意味)である。