カプラン＝マイヤー推定量
その生存関数 S ( t ) {\displaystyle S(t)} (寿命が t {\displaystyle t} より長くなる確率)の推定量は次の式で与えられる。
S ^ ( t ) = ∏ i : t i ≤ t ( 1 − d i n i ) , {\displaystyle {\widehat {S}}(t)=\prod \limits _{i:\ t_{i}\leq t}\left(1-{\frac {d_{i}}{n_{i}}}\right),}
ここに、 t i {\displaystyle t_{i}} は少なくとも1つのイベントが発生した時刻、 d i {\displaystyle d_{i}} は時刻 t i {\displaystyle t_{i}} で発生したイベントの数(たとえば、死亡)、そして n i {\displaystyle n_{i}} は時刻 t i {\displaystyle t_{i}} まで生存していることが分かっている(まだイベントが発生していないか、打ち切られていない)個体の数である。
このことは、 S ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {S}}(t)} を定義する積から、 d ( s ) = 0 {\displaystyle d(s)=0} の項をすべて除外できることを意味する。そして、 d ( s ) > 0 {\displaystyle d(s)>0} 、 d i = d ( t i ) {\displaystyle d_{i}=d(t_{i})} 、 n i = n ( t i ) {\displaystyle n_{i}=n(t_{i})} の時、 0 ≤ t 1 < t 2 < ⋯ < t m {\displaystyle 0\leq t_{1}<t_{2}<\dots <t_{m}} を時間 s {\displaystyle s} とすると、冒頭に述べたカプラン=マイヤー推定量の形、
S ^ ( t ) = ∏ i : t i ≤ t ( 1 − d i n i ) . {\displaystyle {\hat {S}}(t)=\prod _{i:t_{i}\leq t}\left(1-{\frac {d_{i}}{n_{i}}}\right).}
になる。
この推定量は、ナイーブ推定量とは対照的に、利用可能な情報をより効果的に利用していることがわかる。前述の特殊なケースでは、多くの初期イベントが記録されている場合、推定量は1未満の値を持つ多くの項を乗算するため、その結果、生存確率が大きくならないことを考慮に入れよ。
}
となる。
上記のナイーブ推定量の構築と同様の推論により、
q ^ ( s ) = 1 − | { 1 ≤ k ≤ n : c k ≥ s , τ ~ k = s } | | { 1 ≤ k ≤ n : c k ≥ s , τ ~ k ≥ s } | = 1 − | { 1 ≤ k ≤ n : τ ~ k = s } | | { 1 ≤ k ≤ n : τ ~ k ≥ s } | {\displaystyle {\hat {q}}(s)=1-{\frac {|\{1\leq k\leq n\,:\,c_{k}\geq s,{\tilde {\tau }}_{k}=s\}|}{|\{1\leq k\leq n\,:\,c_{k}\geq s,{\tilde {\tau }}_{k}\geq s\}|}}=1-{\frac {|\{1\leq k\leq n\,:\,{\tilde {\tau }}_{k}=s\}|}{|\{1\leq k\leq n\,:\,{\tilde {\tau }}_{k}\geq s\}|}}}
という推定量が得られる(「ハザード率」 Prob  ( τ = s | τ ≥ s ) {\displaystyle \operatorname {Prob} (\tau =s|\tau \geq s)} の定義において、分子と分母を別々に推定することを考えてみよ)。