不連続線型写像
例えば、アンリ・ジョルジュ・ガルニールは、所謂「夢の空間」("dream spaces", その上で定義されるノルム空間に値を取る任意の線型写像が連続となる位相線型空間)の探索において、ZF+DC+BP(従属選択公理は弱い形の選択公理であり、ベールの性質は強い選択公理の否定である)がガルニール-ライトの閉グラフ定理を証明する公理系として採用している。この閉グラフ定理は、(他にもいろいろあるが)F-空間から位相線型空間への任意の線型写像が連続となることを述べるものである。もっと強烈な構成主義では、(適当な枠組みにおいて解釈すると)任意の写像が連続となることを主張するCeĭtinの定理がある。こういった立場を取る職業数学者は極めて少数派である。
選択公理を持たない集合論では不連続線型写像が存在しなくても矛盾は起こらないのだから、結論としては選択公理の必要性を取り除くことは可能でないということになる。系として、至る所導函数が定義できないような不連続作用素が構成可能である。
ノルム空間上の不連続線型写像の存在性についての論法は、任意の距離化可能位相線型空間、特に任意のフレシェ空間に対して一般化することができるが、任意の汎函数が連続となる無限次元局所凸位相線型空間というものが存在する。他方、任意の局所凸空間に適用できるハーン-バナッハの定理は、多くの連続線型汎函数が存在して、双対空間が十分に大きいことを保証する。実は、任意の凸集合に対し、そのミンコフスキー汎函数は連続線型汎函数に対応する。 結論として、凸集合が少ない空間は汎函数も少なく、最悪の場合には零汎函数以外に汎函数を全く持たないこともあり得る。0 < p < 1 に対する L-空間 L(R, dx) の場合がそうで、この空間は非凸である。ここでは実数直線上のルベーグ測度 dx を考えていることに注意せよ、そうでない場合に 0 < p < 1 なる L-空間が非自明な双対空間を持つことがある。
もう一つの同様の例として、単位区間上の実数値可測函数全体の成す空間に準ノルム
‖ f ‖ = ∫ I | f ( x ) | 1 + | f ( x ) | d x {\displaystyle \|f\|=\int _{I}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}dx}
を与えたものは、自明な双対空間を持つ非局所凸空間である。
もっと一般の空間を想定することもできる。例えば、完備可分距離位相群の間の準同型写像の存在性は非構成的に示すことができる。