補群
補群は、直積 および 半直積 の一般化である。 一般の補群に対応する積を Zappa–Szép 積(英語版) と呼ぶ。 H と K が非自明な場合 補群は、群 G を小さな部分群に分解する。
整数全体の加法群 G = ( Z , + ) {\displaystyle G=(\mathbb {Z} ,+)} を考える。任意の部分群を H {\displaystyle H} とし、その中から適当に元 a {\displaystyle a} を一つ取って固定する。すると、部分群の定義から a {\displaystyle a} の倍数 はすべて
n a := a + a + ⋯ + a ⏞ n t i m e s ∈ H {\displaystyle na:=\overbrace {a+a+\cdots +a} ^{ntimes}\in H} でなければならない。
もし二つの部分群 H と K があれば、その中から適当に一元ずつ a ∈ H , b ∈ K {\displaystyle a\in H,b\in K} を取り出せば a b ∈ H , b a ∈ K {\displaystyle ab\in H,ba\in K} であり、明らかに a b = b a {\displaystyle ab=ba} 。従って (H か K のいずれかが { 0 } {\displaystyle \{0\}} でない限り) 補群の条件に必要な H ∩ K = { 0 } {\displaystyle H\cap K=\{0\}} を満たすことは決してない。よって、 ( Z , + ) {\displaystyle (Z,+)} の (非自明な) 部分群には対応する補群は存在しない。