ゴルディングの不等式
このとき、ゴルディングの不等式が次のように成り立つ:定数 C > 0 と G ≥ 0 が存在して
B [ u , u ] + G ‖ u ‖ L 2 ( Ω ) 2 ≥ C ‖ u ‖ H k ( Ω ) 2 for all u ∈ H 0 k ( Ω ) {\displaystyle B[u,u]+G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}\geq C\|u\|_{H^{k}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{k}(\Omega )}
となる。ここに
B [ v , u ] = ∑ 0 ≤ | α | , | β | ≤ k ∫ Ω A α β ( x ) D α u ( x ) D β v ( x ) d x {\displaystyle B[v,u]=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}\int _{\Omega }A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\alpha }u(x)\mathrm {D} ^{\beta }v(x)\,\mathrm {d} x}
は作用素 L に関連する双線型形式である。
ラックス=ミルグラムの補題によると、双線型形式 B が H0(Ω) 上のノルムに関して連続かつ楕円型であるなら、各 f ∈ L(Ω) に対して唯一つの解 u が H0(Ω) 内に必ず存在することが分かる。ゴルディングの不等式の仮定は、ラプラス作用素に対して成立することは容易に分かるので、次を満たす定数 C と G ≥ 0 が存在する:
B [ u , u ] ≥ C ‖ u ‖ H 1 ( Ω ) 2 − G ‖ u ‖ L 2 ( Ω ) 2 for all u ∈ H 0 1 ( Ω ) . {\displaystyle B[u,u]\geq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}-G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ).}
ポアンカレ不等式を適用することで、この右辺の二つの項は組み合わされ、新たな定数 K > 0 によって次のように書き換えることが出来る:
B [ u , u ] ≥ K ‖ u ‖ H 1 ( Ω ) 2 for all u ∈ H 0 1 ( Ω ) . {\displaystyle B[u,u]\geq K\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ).}
これはまさしく B が楕円型であることを意味する。B の連続性はさらに容易に確かめられる。すなわち、コーシー=シュワルツの不等式と、ソボレフノルムは勾配の L ノルムによって統制される事実をシンプルに適用すればよい。