超球の体積
体積公式はガウス積分を用いることにより直接証明することができる。関数 f ( x 1 , ... , x n ) = exp  ( − 1 2 ∑ i = 1 n x i 2 ) {\textstyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\exp(-{\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2})} を考えると、この関数は回転不変かつ各々一変数の函数の積になっている。これが積に書けるという事実とガウス積分の公式を適用して
が得られる。ここで dV は n-次元体積要素である。回転不変性を用いれば、同じ積分を球座標に関して
と計算できる。ここで S(r) は半径 r の (n − 1)-次元球面であり、dA は表面積要素(すなわち (n − 1)-次元体積要素)である。球面の表面積は、球体の体積に関するのと同様の比例関係を満足する。すなわち An−1(r) を半径 r の(n − 1)-次元球面の表面積とすれば
が成り立つ。上記の積分にこれを適用すると
なる式を得る。置換 t = r/2 を適用すれば、この式は
と変形でき、これはガンマ関数の n/2 における値である。 二つの積分を併せれば
が示される。この式から半径 R の n-次元球体の体積を導出するには、半径 r (0 ≤ r ≤ R) の球面の表面積を積分し、関数等式 zΓ(z) = Γ(z + 1) を適用すればよい。そうして
が得られる。
n=2k+1の場合は、
V 2 k + 1 ( R ) {\displaystyle V_{2k+1}(R)} = π k π ( k + 1 2 ) ! R 2 k + 1 {\displaystyle ={\pi ^{k}{\sqrt {\pi }} \over \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)!}R^{2k+1}} = 2 ( 2 π ) k ( 2 k + 1 ) ! ! R 2 k + 1 {\displaystyle ={\frac {2(2\pi )^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}} = 2 ( 2 π ) k 1 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ ( 2 k + 1 ) R 2 k + 1 {\displaystyle ={2(2\pi )^{k} \over 1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2k+1)}R^{2k+1}}
2k!=2・4・...・2kである事を用いると、
V 2 k + 1 ( R ) {\displaystyle V_{2k+1}(R)} = 2 ( k ! ) ( 4 π ) k ( 2 k + 1 ) ! R 2 k + 1 {\displaystyle ={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}}
とも表記できる。