ヘーグナー数
これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。
同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。
e π 19 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 010 ... e π 43 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 010 ... e π 67 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 000 061 ... e π 163 ≈ ( 5 x ) 3 − 6.000 000 000 000 000 034 ... {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6.
そして
e π 22 − 24 ≈ ( 6 + 4 2 ) 6 + .000 11 ... e π 37 + 24 ≈ ( 12 + 2 37 ) 6 − .000 0014 ... e π 58 − 24 ≈ ( 27 + 5 29 ) 6 − .000 000 0011 ... {\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx (6+4{\sqrt {2}})^{6}\quad +.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}{\color {red}+}\,24&\approx (12+2{\sqrt {37}})^{6}-.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx (27+5{\sqrt {29}})^{6}-.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}}
簡単に言えば、ヘーグナー数 d に対して j ( ( 1 + − d ) / 2 ) {\displaystyle j((1+{\sqrt {-d}})/2)} は整数であり、 e π d ≈ − j ( ( 1 + − d ) / 2 ) + 744 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j((1+{\sqrt {-d}})/2)+744} が q -展開によって示される。
もし τ {\displaystyle \tau } が二次無理数とすると、j-不変量は次数 | Cl ( Q ( τ ) ) | {\displaystyle |{\mbox{Cl}}(\mathbf {Q} (\tau ))|} の代数的整数であり、 Q ( τ ) {\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )} の類数と Q ( τ ) {\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )} が満たす最小(モニック整数)多項式は、「ヒルベルト類多項式 (Hilbert class polynomial)」と呼ばれる。 したがって、虚数の2次拡大体 Q ( τ ) {\displaystyle \mathbf {Q} (\tau )} の類数が 1 であれば(つまり d はヘーグナー数)、 j-不変量は整数となる。
フーリエ級数展開を q = exp  ( 2 π i τ ) {\displaystyle q=\exp(2\pi i\tau )} のローラン級数として表した j の q-展開は、最初の3項は以下のとおりである: