円分体
m を 3 以上の整数として、円分体を K = Q ( ζ m ) {\displaystyle \textstyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{m})} とする。
(1) m が素数のとき
K の判別式は、 ( − 1 ) ( m − 1 ) / 2 m m − 2 {\displaystyle (-1)^{(m-1)/2}m^{m-2}} である。
(2) m = p h {\displaystyle m=p^{h}} (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき
K の判別式は、 ε p p h − 1 ( h ( p − 1 ) − 1 ) {\displaystyle \textstyle \varepsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)}} である。但し、
ε = { − 1 ( p = h = 2 , or p ≡ 3 ( mod 4 ) ) , + 1 ( p = 2 , h ≧ 3 , or p ≡ 1 ( mod 4 ) ) . {\displaystyle \varepsilon ={\begin{cases}-1&(p=h=2,{\mbox{ or }}p\equiv 3{\pmod {4}}),\\+1&(p=2,\,h\geqq 3,{\mbox{ or }}p\equiv 1{\pmod {4}}).\end{cases}}}