調和微分形式
調和微分形式は明らかに複素解析に関係している.複素数 z を実部と虚部に分けて、それぞれを x と y とし、 z = x + iy とする.複素解析の観点から、 ω + iω* = (A − iB)(dx + i dy) となり、従って dz がゼロに近付くとき商 (ω + iω*)/dz は極限を取る。言い換えると、ω* は、微分(解析性)の概念に関連している。もうひとつの概念である虚数単位は、 (ω*)* = −ω である(まさに i = −1 と同じである)。
与えられた函数 f に対し、ω = df とする。つまり
ω = ( ∂ f ∂ x ) d x + ( ∂ f ∂ y ) d y {\displaystyle \omega ={\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial x}}{\biggr )}dx+{\biggl (}{\frac {\partial f}{\partial y}}{\biggr )}dy}
ここに ∂ は偏微分を表す。すると、