ランチョス法
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第 k {\displaystyle k} 行目の式に左から u k T {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{k}{}^{\rm {T}}} を乗じると、直交性より以下のように α k {\displaystyle \alpha _{k}} が求められる。
α k = u k T A u k {\displaystyle \alpha _{k}={\boldsymbol {u}}_{k}{}^{\rm {T}}A{\boldsymbol {u}}_{k}}
また、 u k − 1 , u k {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{k-1},{\boldsymbol {u}}_{k}{}} がすでに求められているとすると、 u k + 1 {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{k+1}} はつぎのように計算することができる。 まず v k + 1 = β k u k + 1 {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k+1}=\beta _{k}{\boldsymbol {u}}_{k+1}} を
v k + 1 = A u k − β k − 1 u k − 1 − α k u k {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k+1}=A{\boldsymbol {u}}_{k}-\beta _{k-1}{\boldsymbol {u}}_{k-1}-\alpha _{k}{\boldsymbol {u}}_{k}}