準調和近似
ここで、Nは項の総数、 Θ k , i ( V ) = ħ ω k , i ( V ) / k B {\textstyle \Theta _{{\boldsymbol {k}},i}(V)=\hbar \omega _{{\boldsymbol {k}},i}(V)/k_{B}} は波数ベクトルkにおけるi番目のフォノンの体積Vの条件下での特性温度、 n k , i ( T , V ) {\textstyle n_{{\boldsymbol {k}},i}(T,V)} は温度Tおよび体積Vにおける(k, i)-フォノンの数である。慣例のとおり、 ħ {\textstyle \hbar } は換算プランク定数およびkBはボルツマン定数である。Uvibの初項はフォノン系の零点エネルギーであり、熱膨張に零点熱圧力として貢献する。
熱膨張係数αVはV(P, T)から以下のように得られる。
α V = 1 V ( ∂ V ∂ T ) P {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}}