スピン構造
場の量子論において、電荷を帯びたスピノルは付随するスピン-束の切断であり、また特に、電荷を帯びないスピノルはスピン-構造を持たない空間の中には存在することができない。ある種の超重力理論においてこのことの例外が生じる(そこでは追加の相互作用が、他の場が三次のスティーフェル–ホイットニー類を打ち消す可能性を暗に含む)。
スピン構造の類似物として、スピン構造は向き付けられたリーマン多様体上で定義されるが、用いる群がスピン群、すなわち完全系列
1 → Z 2 → Spin C  ( n ) → SO  ( n ) × U ( 1 ) → 1 {\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times U(1)\to 1}
により定義される群 Spin(n) であるところが異なる。これを動機付けるために κ: Spin(n) → U(N) を複素スピノル表現と仮定する。U(N) の中心は、包含 i: U(1) → U(N) からくる対角元(つまり恒等写像のスカラー倍)から成る。ゆえに、準同型
κ × i : Spin  ( n ) × U ( 1 ) → U ( N ) {\displaystyle \kappa \times i\colon \operatorname {Spin} (n)\times U(1)\to U(N)}
が存在して、この準同型の核は必ず元 (-1, -1) を持ち、この元を法とする商をとると Spin(n) を得る。この群は、ねじれ積
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