アフィン写像
アフィン空間 (A, V(A)), (B, V(B)) に対し、写像 f: A → B と f が引き起こす線型写像 V(f): V(A) → V(B) の組 (f, V(f)) をアフィン写像という。ここで f が V(f) を引き起こすとは、f と V(f) との間に条件
任意の a ∈ V(A) に対し、 a = P Q → ( P , Q ∈ A ) ⇒ V ( f ) ( a ) = f ( P ) f ( Q ) → {\displaystyle a={\overrightarrow {\mathrm {PQ} }}\quad (\mathrm {P} ,\mathrm {Q} \in A)\Rightarrow V(f)(a)={\overrightarrow {f(\mathrm {P} )f(\mathrm {Q} )}}} が成り立つ。
任意の P ∈ A, a ∈ V に対し、f(P + a) = f(P) + V(f)(a) が成り立つ。ただし、"+ a", "+ V(f)(a)" はそれぞれ、A, B における平行移動を表す。
が満たされることをいう。このアフィン写像を f × V(f): (A, V(A)) → (B, V(B)) あるいは単に f: A → B で表す。
原点を固定して A = O + V(A), B = O′ + V(B) とみるとき、アフィン写像 f: A → B は具体的に A の点 P に対して