水素分子イオン
水素分子イオンの結合は、結合次数が0.5の1電子共有結合として記述される。基底状態エネルギーは-0.597ハートリーである。
エネルギー期待値が停留値を持つことは、各係数についての偏微分が0であることと同じである。よって次の条件式を得る。
{ ( H A A − E ) c A + ( H A B − S A B E ) c B = 0 ( H A B − S A B E ) c A + ( H A B − E ) c B = 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\bigl (}H_{AA}-E{\bigr )}c_{A}+{\bigl (}H_{AB}-S_{AB}E{\bigr )}c_{B}=0\\{\bigl (}H_{AB}-S_{AB}E{\bigr )}c_{A}+{\bigl (}H_{AB}-E{\bigr )}c_{B}=0\end{cases}}}
また、 c A = c B = 0 {\displaystyle c_{A}=c_{B}=0} という物理的に意味を成さない解になってはいけない。なぜならばこのとき分子軌道関数は0となり、電子が存在しないことになってしまうからである。よって次の永年方程式を得る。
| H A A − E H A B − S A B E H A B − S A B E H B B − E | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}H_{AA}-E&H_{AB}-S_{AB}E\\H_{AB}-S_{AB}E&H_{BB}-E\end{vmatrix}}=0}