一般ディリクレ級数
↑ α が有限の値でない場合でも、この不等式は成立する。しかし、絶対収束する点が存在するかは、この不等式からでは分からない。
↑ σ c , σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c},\ \sigma _{a}} が有限の値でなくても、この不等式は成り立つ。
一般ディリクレ級数(いっぱんでぃりくれきゅうすう、英: general Dirichlet series)とは、
複素数列 { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} 、無限大に発散する狭義の単調増加列 { λ n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\lambda _{n}\}_{n\geq 0}} および複素数 s に対して、
∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。
ε、 δ、T を任意の正数とする。
収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} が有限の値である一般ディリクレ級数
f ( s ) = ∑ n ≤ x a n e − λ n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n\leq x}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}
に対して、 σ ≥ σ c + ε , T < t < T + 2 δ log  T {\displaystyle \scriptstyle \sigma \geq \sigma _{c}+\varepsilon ,\ T<t<T+2\delta \log T} を満たす複素数 s = σ + i t {\displaystyle s=\sigma +it} のうち、 f ( s ) = 0 {\displaystyle f(s)=0} を満たすものの個数を N ( T ) {\displaystyle N(T)} とおくと、 N ( T ) {\displaystyle N(T)} は有限の値であり、
lim sup T → ∞ N ( T ) log 2  T ≤ δ ε {\displaystyle \limsup _{T\to \infty }{\frac {N(T)}{\log ^{2}T}}\leq {\frac {\delta }{\varepsilon }}}
が成立する。