リッチテンソル
リーマン幾何学及び一般相対性理論において、擬リーマン多様体 (M, g) のトレースなしリッチテンソル (trace-free Ricci tensor) は次のように定義される。
Z = Ric − S n g {\displaystyle Z=\operatorname {Ric} -{\frac {S}{n}}g}
ここで Ric はリッチテンソル、S はスカラー曲率、g は計量テンソル、n は M の次元である。この量の名前は、トレースが自動的に零になることに由来する。
Z a b g a b = 0 {\displaystyle Z_{ab}g^{ab}=\,0}
n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} の場合、トレースなしリッチテンソルは次の場合にのみ恒等的に零となる。
Ric = λ g {\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}
ここで λ は何らかの定数とする。数学的には、これが (M, g) がアインシュタイン多様体となる条件である。物理的には、この式は (M, g) が宇宙定数つきの真空アインシュタイン方程式の解であることを意味する。