リーマン幾何学
空間の大域的構造についての情報を導くために、次の定理はみな、空間のある局所的な振る舞いを前提とする(普通は曲率を使い定式化する)。大域的構造は、多様体のトポロジカルなタイプの情報と「充分大きな」距離での点の振る舞いについての情報を含んでいる。
メイヤーの定理(英語版)(Myers theorem) コンパクトなリーマン多様体が正のリッチ曲率を持つと、基本群は有限群となる。
分裂定理(英語版)(Splitting theorem) 完備 n-次元リーマン多様体は、非負なリッチ曲率と真っ直ぐな直線(各々の点の間の距離を極小化する測地線)を持つと、実直線と非負なリッチ曲率を持つ完備 (n-1)-次元リーマン多様体の積と等長である。
ビショップ・グロモフの不等式(英語版)(Bishop–Gromov inequality) 正のリッチ曲率を持つ完備 n-次元リーマン多様体の中の半径 r の球の体積は、多くともユークリッド空間の中の同一半径 r の球の体積しか持たない。
グロモフのコンパクト性定理(英語版)(Gromov's compactness theorem) 正のリッチ曲率と多くとも半径 D を持つすべてのリーマン多様体は、グロモフ・ハウスドルフ計量(Gromov-Hausdorff metric)でプレコンパクトである。