ベクトル空間の双対系
ベクトル空間 V とその代数的双対空間 V* は双線型形式
⟨ x , f ⟩ := f ( x ) ( x ∈ V , f ∈ V ∗ ) {\displaystyle \langle x,f\rangle :=f(x)\qquad (x\in V,f\in V^{*})}
に関して双対対を成す。これによって定まる標準内積 (canonical pairing) ⟨⟩: V × V* → K を自然対 (natural pairing) とも呼ぶ。
局所凸位相線型空間 E とその位相的双対空間(連続的双対空間)E′ は双線型形式
⟨ x , f ⟩ := f ( x ) ( x ∈ E , f ∈ E ′ ) {\displaystyle \langle x,f\rangle :=f(x)\qquad (x\in E,f\in E')}