射影空間
この節では体 K は複素数体 C であるとする。C ∖ {\displaystyle \setminus } {0} 上の (1,1)-型式
ω ~ = − 1 2 ∂ ∂ ̄ log  ( z 0 z ̄ 0 + ⋯ + z n z ̄ n ) {\displaystyle {\tilde {\omega }}={\frac {\sqrt {-1}}{2}}\partial {\bar {\partial }}\log(z_{0}{\bar {z}}_{0}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n})}
は C の作用で不変であるので、CPn 上の (1,1)-型式 ω を誘導する。点 [1 : 0 : ... : 0] のまわりの局所座標 [1 : w1 : ... : wn] でこれを展開して wi = 0 を代入すると
射影空間 KPn の点 p = [a0 : a1 : ... : an] は、アフィン空間 K 内で、原点と点 (a0, a1, ..., an) を結ぶ直線 lp と1対1に対応している。従って、射影空間は K 内の原点を通る直線(あるいは1次元の部分ベクトル空間)をパラメータ付けする空間(モジュライ空間)と見なせる。このモジュライ論的観点からは、射影空間はグラスマン多様体や旗多様体の特別な場合と見なせる。
積空間 K × KPn の閉部分空間 O ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)} を結合関係 (incidence correspondence)
O ( − 1 ) = { ( a , p ) ∈ K n + 1 × K P n ∣ a ∈ l p } {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)=\{(a,p)\in K^{n+1}\times KP_{n}\mid a\in l_{p}\}}
で定めると、第2射影から誘導される射 O ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)} → KPn によって O ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)} は直線束になる。この直線束を普遍直線束 (universal line bundle) と呼ぶ。