1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
一方で
B 3 + C 3 + ⋯ + Y 3 = 1 3 ( B + C + ⋯ + Y ) {\displaystyle {\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y)}
である。この方程式から前の方程式を減じると、
B + C + ⋯ + Z + Z 3 = 1 3 A {\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A}
となり、両辺に A を加えることで望んでいた結果が得られる。
今日では、アルキメデスの命題をより標準的に言うと次のようになる。級数 1 + 1/4 + 1/16 + ... の部分和は
1 + 1 4 + 1 4 2 + ⋯ + 1 4 n = 1 − ( 1 4 ) n + 1 1 − 1 4 {\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}}
である。これは両辺に 1 − 1/4 を掛けて、方程式の左辺の最初と最後以外の項が対になって消えることを見れば証明できる。任意の有限幾何級数に対して同様の証明ができる。