バナッハ極限
L I M ( x ) = L I M ( S x ) {\displaystyle \mathrm {LIM} (x)=\mathrm {LIM} (Sx)} で S {\displaystyle S} は ( S x ) n = x n + 1 {\displaystyle (Sx)_{n}=x_{n+1}} で定義されるシフト作用素である;
lim inf n → ∞ x n ≤ L I M ( x ) ≤ lim sup n → ∞ x n {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \mathrm {LIM} (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}}
最後の条件より L I M {\displaystyle \mathrm {LIM} } は線形汎関数 lim n → ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }} の延長であることが分かる。
言い換えれば、バナッハ極限は通常の極限の線形性を保った拡張であって、シフト不変かつ正なものである。しかしながら2つのバナッハ極限が一致しない数列が存在する。バナッハ極限はこの場合には一意に決まらないということができる。
バナッハ極限の存在は通常ハーン=バナッハの定理(解析学的な方法)または超フィルター(この方法は集合論的な説明でより頻繁に見られる)を用いる。これらの証明は選択公理の使用が必要である(つまり実効的な証明ではない)。