フィボナッチ多項式
L 6 ( x ) = x 6 + 6 x 4 + 9 x 2 + 2. {\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,}
フィボナッチ数およびリュカ数は、それぞれの多項式において x = 1 とすることで得られる。ペル数は Fn に対し x = 2 とすることで得られる。Fn の次数は n − 1 で、Ln の次数は n である。これらの多項式列の通常母関数は次のようになる:
∑ n = 0 ∞ F n ( x ) t n = t 1 − x t − t 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}}
∑ n = 0 ∞ L n ( x ) t n = 2 − x t 1 − x t − t 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}
これらの多項式列は、リュカ数列を使うことで次のように表現することが出来る:
F n ( x ) = U n ( x , − 1 ) , {\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,}
L n ( x ) = V n ( x , − 1 ) . {\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,}