凸関数
x は凸関数であるが、対数凸関数ではない。
x は x > 0 において凸関数であり、x < 0 において凹関数である。
指数関数 e は凸関数であり、狭義ではない対数凸関数である。
ガンマ関数 Γ(x ) は x > 0 において対数凸関数である。
絶対値関数 |x| は x = 0 で微分不可能であるが凸関数である。
区間 [0, 1] 上で、f(0) = f (1) = 1, 0 < x < 1 のとき f(x ) = 0 で定義された f は不連続であるが、凸関数である。
線形写像は狭義ではない凸関数であり、狭義ではない凹関数でもある。
アフィン写像は凸関数であり、凹関数でもある。
X をある実ベクトル空間内の凸集合として、f を f: X → R となる関数とする。
このとき f が凸であるとは次の条件を満たすことをいう。
∀ x 1 , x 2 ∈ X , ∀ t ∈ [ 0 , 1 ] : f ( t x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) ≤ t f ( x 1 ) + ( 1 − t ) f ( x 2 ) . {\displaystyle \forall \ x_{1},x_{2}\in X,\ \forall \ t\in [0,1]:\qquad f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}
また、f が狭義の凸であるとは次の条件を満たすことをいう。
∀ x 1 ≠ x 2 ∈ X , ∀ t ∈ ( 0 , 1 ) : f ( t x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) < t f ( x 1 ) + ( 1 − t ) f ( x 2 ) . {\displaystyle \forall x_{1}\neq x_{2}\in X,\forall t\in (0,1):\qquad f(tx_{1}+(1-t)x_{2})<tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}
関数 −f が(狭義の)凸であるとき、f は(狭義の)凹であるという。