ホモロジー代数学
3つのチェイン複体 L ∙ , M ∙ , N ∙ {\displaystyle L_{\bullet },M_{\bullet },N_{\bullet }} とそれらの間の2つの射 f : L ∙ → M ∙ , g : M ∙ → N ∙ {\displaystyle f:L_{\bullet }\to M_{\bullet },g:M_{\bullet }\to N_{\bullet }} からなる三つ組みは次のようなとき exact triple あるいは複体の短完全列 (short exact sequence of complexes) と呼ばれ、
0 ⟶ L ∙ ⟶ f M ∙ ⟶ g N ∙ ⟶ 0 , {\displaystyle 0\longrightarrow L_{\bullet }{\stackrel {f}{\longrightarrow }}M_{\bullet }{\stackrel {g}{\longrightarrow }}N_{\bullet }\longrightarrow 0,}
と書かれる:任意の n に対して、列
0 ⟶ L n ⟶ f n M n ⟶ g n N n ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow L_{n}{\stackrel {f_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}{\stackrel {g_{n}}{\longrightarrow }}N_{n}\longrightarrow 0}
はアーベル群の短完全列である。定義によって、このことは fn は単射で、gn は全射で、 Im fn = Ker gn であることを意味する。
ホモロジー代数学は1800年代にトポロジーの1つの分野としてその最も基本的な形が研究され始めたが、Ext関手やTor関手のような対象の研究が独立した主題になるのは1940年代になってからであった。