四次方程式
ジョゼフ=ルイ・ラグランジュは、既に知られていた三次方程式や四次方程式の解法を、いろいろな視点から詳しく調べ上げた。ここで述べるのは、ラグランジュによるフェラーリの方法の解釈であり、現代的に言えば対称群を用いた方法である。
フェラーリの方法において、四次方程式は
y + p y + q y + r = 0
の形に変形される。この方程式の 4 つの解を r0, r1, r2, r3 とする。三次分解式を解くことで四次方程式は、 2 つの二次方程式
y 2 + p + u 2 = ± u ( y − q 2 u ) {\displaystyle y^{2}+{\frac {p+u}{2}}=\pm {\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)}
に分解することができた。
y 2 + p + u 2 = u ( y − q 2 u ) {\displaystyle y^{2}+{\frac {p+u}{2}}={\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)}
は、元の四次方程式の 4 つの解のうちの 2 つを解とするが、これをとりあえず r0, r1 の 2 つとしたとき、
y 2 + p + u 2 = − u ( y − q 2 u ) {\displaystyle y^{2}+{\frac {p+u}{2}}=-{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)}
s1 = (r0 + r2) (r1 + r3)
s2 = (r0 + r3) (r1 + r2)
の 3 通りとなる。
例えば、互換 σ0,1 を作用させると、
σ0,1 s0 = s0
σ&0,1 s1 = s2
σ0,1 s2 = s1
となる。
一般に、互換 σm,n は s0, s1, s2 の並べ替えしかしないため s0, s1, s2 に関する基本対称式
s0 + s1 + s2
s0 s1 + s1 s2 + s2 s0
s0 s1 s2
は、互換 σm,n によって不変であり、 r0, r1, r2, r3 の基本対称式で書けることになる。
すなわち s0, s1, s2 の基本対称式は、最初に考えた四次方程式の係数 p, q, r で書ける。
以上のことから
u = − (r0 + r1) (r2 + r3)
は、根の並べ方によって 3 つの値 − s0, − s1, − s2 をとり、これらを解とする方程式
(u + s0) (u + s1) (u + s2) = 0
の左辺は u についての多項式として展開すると、その係数が p, q, r の多項式として書ける式である。この u に関する三次方程式こそ、フェラーリの方法で三次分解方程式として求められた方程式に他ならない。