セルバーグゼータ函数
セルバーグゼータ函数(Selberg zeta-function)は、アトル・セルバーグAtle Selberg (1956) により導入された。有名なリーマンゼータ函数
ζ ( s ) = ∏ p ∈ P 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
の類似で、ここに P {\displaystyle \mathbb {P} } は素数の集合を表す。セルバーグゼータ函数は、素数の代わりに単純な閉測地線の長さを使う。 Γ {\displaystyle \Gamma } を SL(2,R) の部分群とすると、セルバーグゼータ函数は次のように定義される。
ζ Γ ( s ) = ∏ p ( 1 − N ( p ) − s ) − 1 , {\displaystyle \zeta _{\Gamma }(s)=\prod _{p}(1-N(p)^{-s})^{-1},}
あるいは、
Z Γ ( s ) = ∏ p ∏ n = 0 ∞ ( 1 − N ( p ) − s − n ) , {\displaystyle Z_{\Gamma }(s)=\prod _{p}\prod _{n=0}^{\infty }(1-N(p)^{-s-n}),}