計量ベクトル空間
V の任意の二元 x, y に対して ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ が成り立つ。
斉次性と三角不等式は函数 ǁǁ が実際にノルムを成すことを示すものである。これにより V はノルム線型空間となり、従ってまた距離空間を成す。最も重要な内積空間は、この距離に関して完備距離空間となるもので、それらはヒルベルト空間と呼ばれる。任意の内積空間 V は、適当なヒルベルト空間の稠密な部分空間であり、このヒルベルト空間は V の完備化として、本質的に V によって一意に決定される。