ニュートンの恒等式
前述のように、ニュートンの公式を使用して、べき和により基本対称多項式を再帰的に表現できる。
e 1 = p 1 , e 2 = 1 2 p 1 2 − 1 2 p 2 = 1 2 ( p 1 2 − p 2 ) , e 3 = 1 6 p 1 3 − 1 2 p 1 p 2 + 1 3 p 3 = 1 6 ( p 1 3 − 3 p 1 p 2 + 2 p 3 ) , e 4 = 1 24 p 1 4 − 1 4 p 1 2 p 2 + 1 8 p 2 2 + 1 3 p 1 p 3 − 1 4 p 4 = 1 24 ( p 1 4 − 6 p 1 2 p 2 + 3 p 2 2 + 8 p 1 p 3 − 6 p 4 ) , ⋮ e n = ( − 1 ) n ∑ m 1 + 2 m 2 + ⋯ + n m n = n m 1 ≥ 0 , ... , m n ≥ 0 ∏ i = 1 n ( − p i ) m i m i !
xiを根を持つ多項式は、以下のように展開できる。
∏ i = 1 n ( x − x i ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k e k x n − k , {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\left(x-x_{i}\right)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}e_{k}x^{n-k},}
ここで、 e k ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle e_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})} は上で定義された対称多項式である。根のべき和を考えると
p k ( x 1 , ... , x n ) = ∑ i = 1 n x i k {\displaystyle p_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}
x 1 , ... , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} を根に持つ多項式の係数はべき和により次のように表すことができる。