バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
Breuil et al. (2001) は、Wiles (1995) の研究を拡張して、有理数体上定義されたすべての楕円曲線はモジュラーであることを証明した。これは結果 2 と 3 を有理数体上のすべての楕円曲線に拡張し、Q 上のすべての楕円曲線の L-関数は s = 1 において定義されることを証明する。
Bhargava & Shankar (2015) は、Q 上の楕円曲線のモーデル・ヴェイユ群の平均ランクは上から 7/6 で抑えられることを証明した。これを、Nekovář (2009) と Dokchitser & Dokchitser (2010) の p-parity theorem と、Skinner & Urban (2014)による GL(2) に対する岩澤理論の主予想の証明と合わせて、彼らは、Q 上の楕円曲線の positive proportion は analytic rank が 0 であり、従って、Kolyvagin (1989) によって、バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想を満たすことを結論する。
ランクが 1 よりも大きい曲線に対しては、予想が正しいことの広範囲に渡る数値的な証拠があるが、全く何も証明されていない。