ハーディ階層
以下の定義はウェイナーのものに基づく。順序数 α ≦ ε0 に対して、自然数上の関数 h α : N → N {\displaystyle h_{\alpha }\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} } を次のように定義する:
h 0 ( n ) = n h β + 1 ( n ) = h β ( n + 1 ) h α ( n ) = h α [ n ] ( n ) if α is a limit ordinal. {\displaystyle {\begin{aligned}h_{0}(n)&=n\\h_{\beta +1}(n)&=h_{\beta }(n+1)\\h_{\alpha }(n)&=h_{\alpha [n]}(n)&{\textrm {if}}\ \alpha \ {\textrm {is}}\ {\textrm {a}}\ {\textrm {limit}}\ {\textrm {ordinal.}}\end{aligned}}}
ただし、極限順序数 α (≦ ε0) と自然数 n に対して α[n] とは以下で定義される順序数である: