ロジスティック写像
ロジスティック写像(ロジスティックしゃぞう、英語: logistic map)とは、xn+1 = axn(1 − xn) という2次関数の差分方程式(漸化式)で定められた離散力学系である。ロジスティックマップや離散型ロジスティック方程式(英語: discrete logistic equation)とも呼ばれる。単純な2次関数の式でありながら、驚くような複雑な振る舞いを生み出すことで知られる。
ロジスティック写像の a はパラメータと呼ばれる定数、x が変数で、適当に a の値を決め、最初の x0 を決めて計算すると、x0, x1, x2, ... という数列が得られる。この数列を力学系分野では軌道と呼び、軌道は a にどのような値を与えるかによって変化する。パラメータ a を変化させると、ロジスティック写像の軌道は、一つの値へ落ち着いたり、いくつかの値を周期的に繰り返したり、カオスと呼ばれる非周期的変動を示したりと様々に変化する。
ロジスティック写像を生物の個体数を表すモデルとして見る立場からは、変数 xn は1世代目、2世代目...
自然数 n に対して、fa=4(x) のグラフは 2 個の山と 2 − 1 個の谷が存在する曲線となり、しかもそれら全ての山と谷は 0 と 1 に接する状態になる。したがって、対角線とグラフの交点の数は 2 個あり、f (x) の不動点は 2 個存在する。この 2 個の不動点には n 周期点も必ず含まれているので、fa=4 (x) では任意のn 周期軌道が存在する。このように、a = 4 のとき [0, 1] 上には周期点が無限に存在しているが、それら周期点は全て不安定である。また、区間 [0, 1] という非可算無限の集合に対してそれら周期点の数は可算無限であり、ほとんど全ての初期値から始まる軌道は周期軌道とはならずに非周期軌道となる。
カオスの重要性の一つに、決定論的性質と確率論的性質の二重性がある。力学系は決定論的な過程だが、変数が取る範囲を適当に粗視化すると確率的な過程と区別ができなくなる。a = 4 のロジスティック写像の場合であれば、あらゆるコイン投げの結果をロジスティック写像の軌道で記述できる。このことを詳述すると次のとおりである。
1/2 の確率で表裏が出るコイン投げを想定し、何回もコイン投げを続ける。表が出たときを 0、裏が出たときを 1 とすれば、表裏表表裏...
すると、この周期倍化分岐のカスケードの中では、k 番目の分岐点で安定な 2 周期点が発生する。k 番目の分岐点 a を ak と表すとする。このとき、k → ∞ で ak は次のような値に収束することが知られている。
さらに、ak の減少の割合の極限は次式で示すような定数値となることが知られている。
この δ の値は、数理物理学者のミッチェル・ファイゲンバウムにより発見されたことからファイゲンバウム定数と呼ばれる。a∞ はファイゲンバウム点と呼ばれる。周期倍化カスケードの過程では、f と f は適当なスケール変換によって局所的に全く一致する性質を持つ。この自己相似性を利用した繰り込みと呼ばれる手法により、ファイゲンバウム定数は求められる。以上のようなロジスティック写像が周期倍化カスケードの過程で見せる性質は、後述のように、より広いクラスの写像でも普遍的に現れる。
あるパラメータに対して軌道が落ち着く最終的な振る舞いを一望するには、近似的な分岐図である軌道図が有用である。この図では、分岐図と同じように横軸にパラメータ a を取り、縦軸に変数 x を取る。コンピュータなどを使い、パラメータを決めて、例えば500回反復計算を行う。そして、計算結果の最初の100回を無視して残りの400回の結果のみを図示する。これによって、初期の過渡的な振る舞いは無視でき、軌道の漸近的な挙動が残る。
パラメータが a∞ を超えてからも、振る舞いのパラメータ a への依存の仕方は単純ではない。a > a∞ のカオス領域には、多くの精巧な数学的構造が潜んでいる。この領域では、ずっとカオスが続くというわけではなく、安定な周期軌道も再び現れる。a∞ < a ≤ 4 での振る舞いは、大きく分けると以下の2種類に分かれる。
安定な周期点。この場合、リアプノフ指数は負を示す。
非周期的軌道。この場合、リアプノフ指数は正を示す。
a∞ < a ≤ 4 の中に存在する安定周期点の領域は周期窓あるいは単に窓と呼ばれる。カオス領域を軌道図で見ると、非周期的軌道の領域は無数の点でできた雲のような見た目を示し、その雲に囲まれて点在する空白部分が窓である。
各窓では、a∞ = 3.56994... よりも前で起きた周期倍化分岐のカスケードが再び起きる。ただし、それらの周期は前のような 2 の安定周期軌道ではなく、3×2 や 5×2 のような新しい安定周期軌道が生成される。最初は p 周期で、そこから周期倍化カスケードが起こる窓は周期 p の窓などと呼ばれる。例えば、周期3の窓は 3.8284 < a < 3.8415 辺りの領域に存在しており、この領域内では 3, 6, 12, 24, ..., 3×2, ... という風に周期が倍化していく。
窓の領域では、カオスは消えておらず背後に存在している。
その後1970年初頭に、数理生物学者のロバート・メイが、生態学の問題に取り組む過程で式 (1-2) のモデルに出会う。メイはロジスティック方程式の離散時間化から式 (1-2) すなわちロジスティック写像を導入した。ロジスティック写像の振る舞いを数理的に解析し、メイは1973年や1974年にその成果を発表した。ロジスティック写像の数値実験が行われ、パラメータ a による振る舞いの変化が調べられた。1976年には、”Simple mathematical models with very complicated dynamics”(参考訳:極めて複雑な振る舞いを有する単純な数理モデル)と題した論文を Nature から発表した。
1976年の論文はレビュー論文で、ロジスティック写像を題材にしながら、単純な非線形関数でも周期倍化分岐カスケードやカオスのような非常に複雑な振る舞いが起こることについて強調し、注意を促す内容であった。特にこの論文は、メイの数理生物学者としての地位、研究結果の明快さ、そして何よりも単純な放物線の式が驚くべき複雑な振る舞いを生み出すという衝撃的な内容によって、大きな反響を巻き起こして科学界へと受け入れられた。このようなメイの研究を経て、ロジスティック写像は多くの研究者をカオス研究へ惹きつけ、カオス研究の流れを改めて再スタートさせたと評されるほど著名な数理モデルとなった。