ウッドの記法
式”(2)”の係数行列 ( k 11 k 12 k 21 k 22 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}{k}_{11}&{k}_{12}\\{k}_{21}&{k}_{22}\\\end{matrix}}\right)} は、結晶軸同士の変換を完全に特徴付けている。そのため、この行列を用いてこの表面の並進対称性を 『この表面は ( k 11 k 12 k 21 k 22 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}{k}_{11}&{k}_{12}\\{k}_{21}&{k}_{22}\\\end{matrix}}\right)} 表面である』という言い方で記述する。この方法で結晶表面の 周期構造(並進対対称性)を表記するのが『行列による表記法』である。
参考までに、この行列は線形代数学でいうところの『基底の変換行列』(基底の取替え b 1 → , b 2 → ↦ c 1 → , c 2 → {\displaystyle {\vec {{b}_{1}}},{\vec {{b}_{2}}}\mapsto {\vec {{c}_{1}}},{\vec {{c}_{2}}}} )の行列)とは、異なった行列である。
ここでいう基底とは線形代数でいうところの基底である。この基底という言葉は英語のBasisという単語の訳だが、結晶学ではBasisとは、基本構造のことを指す。
"結晶軸の取り方"は標準化されていて、それ以外の取り方をしないので、行列による記法、ウッドの記法には共に曖昧さが無いことを先に説明した。 ここでは、 敢えて『結晶軸の取り方が標準化されていない』つまり、『結晶軸の取り方に任意性がある』場合、 言い換えれば、ウッドの記法や行列による記法の定義が結晶軸ではなく、基本並進ベクトルに基づいて定義されていたとした場合、 表記に本質的な曖昧さが生じることを 数学的に証明してみよう。
証明
c 1 → , c 2 → {\displaystyle {\vec {{c}_{1}}},{\vec {{c}_{2}}}} がある表面の理想表面の格子 L {\displaystyle {L}} の基本並進ベクトルとする。このとき d 1 → = c 1 → , d 2 → = c 2 → − c 1 → {\displaystyle {\vec {{d}_{1}}}={\vec {{c}_{1}}},{\vec {{d}_{2}}}={\vec {{c}_{2}}}-{\vec {{c}_{1}}}} も又同じ格子 L {\displaystyle {L}} の基本並進ベクトルである。