帰納次元
ここではルベーグ被覆次元を dim で表すと、任意の位相空間 X に対して
dim X = 0 ⟺ Ind X = 0 {\displaystyle {\text{dim}}\,X=0\iff {\text{Ind}}\,X=0}
が成立する。
ウリゾーンの定理によれば、X が可算基を持つ正規空間ならば
dim X = Ind X = ind X {\displaystyle {\text{dim}}\,X={\text{Ind}}\,X={\text{ind}}\,X}
が成立する。このような空間 X はちょうど、可分かつ距離化可能である(ウリゾーンの距離化可能定理)。そして、ネーベリング=ポントリャーギンの定理によれば、そのような空間が有限な次元を持つことは、それが適当な次元のユークリッド空間に通常の位相を入れたものに同相となることによって特徴付けられる。メンガー=ネーベリングの定理 (1932) によれば、 X がコンパクト可分距離空間で次元 n を持つならば、X は 2n + 1 次元のユークリッド空間に部分空間として埋め込める(ゲオルク・ネーベリングはカール・メンガーの弟子で、ネーベリング空間と呼ばれる、少なくとも n + 1 個の座標が無理数であるような点からなる R の部分空間を導入した。