交代行列
交代行列の全体は、直交群 O(n) の単位元における接空間を成す。この意味で、交代行列を無限小回転 (infinitesimal rotation) と考えることができる。別な言い方をすれば、交代行列全体の成すベクトル空間はリー群 O(n) に付随するリー環 o(n) に一致する。この空間におけるリー括弧積は交換子
[ A , B ] = A B − B A {\displaystyle [A,B]=AB-BA}
で与えられる。2つの交代行列から得られる交換子が再び交代行列となることを確かめるのは難しくない。
交代行列 A の指数函数
R = exp  ( A ) = ∑ n = 0 ∞ A n n ! {\displaystyle R=\exp(A)=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {A^{n}}{n!}}}
は直交行列である。リー環の指数写像の像は常に対応するリー群の単位元を含む連結成分に含まれる。リー群 O(n) の場合にはこの連結成分は行列式が 1 の直交群全体の成す特殊直交群 SO(n) である。ゆえに R = exp(A) の行列式は +1 であり、行列式が 1 の直交行列はすべて交代行列の指数函数として書けることが分かる。
1 2 3 本項において(何も言わなければ)、係数体の標数 は 2 でない (1 + 1 ≠ 0) と仮定する。標数が 2 のとき、任意のスカラーは自身を反数として持つので、任意の歪対称行列は対称行列の概念に一致する。歪対称行列に付随する双線型形式は歪対称形式であり、標数 2 のときは対称形式になる。一方、付随する双線型形式が交代形式であるような行列を「交代行列」と呼べば、標数 2 のとき「交代行列」は歪対称(=対称)行列と異なる。
↑ 標数が 2 の体上では 1⁄2-倍写像が定義されないから、対称成分・歪対称成分ともこれでは定義できない。以下は標数が 2 でない任意の体上で成り立つ議論であることに注意せよ。