ホッジ理論
をとり、L を L の随伴として楕円型作用素 Δ = LL + LL を定義すると、ド・ラームコホモロジーのときと同様に、調和切断全体の成すベクトル空間
H = { e ∈ E ∙ ∣ Δ e = 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}=\{e\in {\mathcal {E}}^{\bullet }\mid \Delta e=0\}}
を考えることができる。
ここで、 H : E ∙ → H {\displaystyle H\colon {\mathcal {E}}^{\bullet }\to {\mathcal {H}}} を直交射影とし、G を Δ に対するグリーン作用素とすると、ホッジの定理は以下の事を主張する。
H および G は矛盾なく定義される。
Id = H + ΔG = H + GΔ.
LG = GL, LG = GL.
この複体のコホモロジーは調和切断の空間と自然同型 H ( E j ) ≅ H ( E j ) {\displaystyle H(E_{j})\cong {\mathcal {H}}(E_{j})} である。これは各コホモロジー類は調和な代表元を一意に持つことを意味する。
数学におけるホッジ理論(ホッジりろん、英: Hodge theory )とは可微分多様体 M 上の微分形式に関する理論である。特に、M 上のリーマン計量に付随する(一般化された)ラプラス作用素に関する偏微分方程式論をもちいて得られる M 上の実係数コホモロジー群の性質のことをいう。
1930年代にウィリアム・ホッジによってド・ラームコホモロジーの拡張として開発され、3つのレベルで大きな応用を持っている。
リーマン多様体
ケーラー多様体
複素射影多様体の代数幾何学、より広くはモチーフ
はじめ、M が閉多様体(つまり、境界を持たないコンパクトな多様体)の場合に研究された。その後、上記の3つのレベルでホッジ理論は以降の研究に大きな影響を与えた。たとば小平邦彦によって研究された(日本で、さらにプリンストンでヘルマン・ワイルの影響の下で)。
ホッジ理論の(ホッジによる)もともとの定式化は、ド・ラーム複体に対するものである。M はコンパクトで向き付け可能な多様体で滑らかな計量 g を持つものとし、Ω(M) は M 上の k-次の微分形式の空間とする。これにたいし微分作用素の成す系列
0 → Ω 0 ( M ) → d 0 Ω 1 ( M ) → d 1 ⋯ → d n − 1 Ω n ( M ) → d n 0 {\displaystyle 0\rightarrow \Omega ^{0}(M){\xrightarrow {d_{0}}}\Omega ^{1}(M){\xrightarrow {d_{1}}}\cdots {\xrightarrow {d_{n-1}}}\Omega ^{n}(M){\xrightarrow {d_{n}}}0}
はド・ラーム複体と呼ばれる。ここに、dk は Ω(M) 上の外微分を表す。このとき、ド・ラームコホモロジーとは
H k ( M ) = ker  d k / im  d k − 1 {\displaystyle H^{k}(M)=\ker d_{k}/\operatorname {im} d_{k-1}}
で定義されるベクトル空間の系列のことである。余微分と呼ばれる外微分 d の形式的な随伴 δ を以下のように定義することができる。⟨ , ⟩ を計量の誘導する Ω(M) 上の内積として、任意の α ∈ Ω(M), β ∈ Ω(M) に対して、
実ホッジ構造とは、実ベクトル空間 W とに対し、W の複素化(英語版)である W = W ⊗ C の次数付き空間 W への直和分解であって、W の複素共役が W を入れ替える作用となるもの。ここで "p"+"q"="k" とし、この"k"をウェイト k とよぶ。
非特異な複素射影多様体 V の実数係数の特異コホモロジー群はホッジ構造を持つことがわかる。 H k ( V ) {\displaystyle H^{k}(V)} は複素部分空間 H への分解を持つ。 それぞれの次元を h p , q = dim  H p , q {\displaystyle h^{p,q}=\dim H^{p,q}} とかき h p , q {\displaystyle h^{p,q}} をホッジ数と言う。 ベッチ数 bk = dim H (V) は
b k = ∑ p + q = k h p , q , {\displaystyle b_{k}=\sum _{p+q=k}h^{p,q},\,}
をみたす。また h=hであることもわかり、とくに k が奇数の場合に bkが偶数であることがしたがう。