ガウスの補題 (数論)
初等整数論のどんな教科書も補題の証明を書いている。フェルマーの小定理の最も簡単な証明(英語版)の1つを想起させるかなり簡単な証明 は、積
Z = a ⋅ 2 a ⋅ 3 a ⋅ ⋯ ⋅ p − 1 2 a {\displaystyle Z=a\cdot 2a\cdot 3a\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}a}
を p で割った余りを2つの異なる方法で計算することにより得られる。まず、
Z = a ( p − 1 ) / 2 ( 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ p − 1 2 ) {\displaystyle Z=a^{(p-1)/2}\left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}\right)}
である。次に、x が p で割った 0 でない余りのとき、x の“絶対値”を次のように定義する:
| x | = { x if 1 ≤ x ≤ p − 1 2 , p − x if p + 1 2 ≤ x ≤ p − 1. {\displaystyle |x|={\begin{cases}x&{\text{if }}1\leq x\leq {\frac {p-1}{2}},\\p-x&{\text{if }}{\frac {p+1}{2}}\leq x\leq p-1.\end{cases}}}