放物型偏微分方程式
この方程式は、大雑把に言うと、ある与えられた点のある時間における温度は、その点の温度と、その周辺の点の温度の平均の差に比例して、上昇あるいは低下する、ということを意味している。 u x x {\displaystyle u_{xx}} は、調和関数の平均値の性質を満たす状態から、どのくらい温度が離れているか、ということを示す量となっている。
熱方程式の一般化は、次のように表される:
u t = − L u {\displaystyle u_{t}=-Lu\ }
ここで L {\displaystyle L} は二階の楕円型作用素である( L {\displaystyle L} はまた正作用素でなければならない。非正であるような場合については、下で述べられている)。このような系は、次の形式で表される方程式の中に含まれている:
∇ ⋅ ( a ( x ) ∇ u ( x ) ) + b ( x ) T ∇ u ( x ) + c u ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{T}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}
ただし、行列値関数 a ( x ) {\displaystyle a(x)} の核は次元 1 であるとする。