ネーターの定理
となる。また、
d q ε i d ε | ε = 0 = − q ̇ i T ( t ) + Q i ( q ( t ) , t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q_{\epsilon }^{i}}{\mathrm {d} \epsilon }}{\bigg |}_{\epsilon =0}=-{\dot {q}}^{i}T(t)+Q^{i}(q(t),t)}
から、
d S ε d ε | ε = 0 = [ ( L − ∂ L ∂ q ̇ i q ̇ i ) T ( t ) + ∂ L ∂ q ̇ i Q i ( q ( t ) , t ) ] t I t F = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S_{\epsilon }}{\mathrm {d} \epsilon }}{\bigg |}_{\epsilon =0}={\biggl [}{\Bigl (}L-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}{\dot {q}}^{i}{\Bigr )}T(t)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}Q^{i}(q(t),t){\biggr ]}_{t_{I}}^{t_{F}}=0}
となる。この T ν μ {\displaystyle T_{\nu }^{\mu }} はエネルギー・運動量テンソルである。 保存則は
∂ μ T ν μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0}
であり、エネルギーと運動量の保存則を表している。 対応するネーターチャージ
P ν = ∫ d 3 x T ν 0 {\displaystyle P_{\nu }=\int \mathrm {d} ^{3}x\,T_{\nu }^{0}}
はエネルギー並びに運動量であり、時空の併進の生成子
[ P μ , φ i ( x ) ] = i ∂ μ φ i ( x ) {\displaystyle [P_{\mu },\phi _{i}(x)]=i\partial _{\mu }\phi _{i}(x)}
となる。