位相空間
( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束するとき、 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} の任意の部分有向点族もyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束する
( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束しないとき、 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} の部分有向点族 ( x λ γ ) γ ∈ Γ {\displaystyle (x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }} で ( x λ γ ) γ ∈ Γ {\displaystyle (x_{\lambda _{\gamma }})_{\gamma \in \Gamma }} のいかなる部分有向点族もyに C {\displaystyle {\mathcal {C}}} -収束しないものが存在する。
数学における位相空間(いそうくうかん、英語: topological space)とは、集合Xに位相(topology)と呼ばれる構造を付け加えたもので、この構造はX上に収束性の概念を定義するのに必要十分なものである。
位相空間の諸性質を研究する数学の分野を位相空間論と呼ぶ。
位相空間の概念の代表的な応用分野に位相幾何学がある。これは曲面をはじめとした幾何学的な空間(主に有限次元の多様体や単体的複体)の位相空間としての性質を探る分野である。前述のようにゴム膜のように連続変形しても位相空間としての構造は変わらないので、球面と楕円体は同じ空間であるが、トーラスは球面とは異なる位相空間である事が知られている。位相幾何学では、位相空間としての構造に着目して空間を分類したり、分類に必要な不変量(位相不変量)を定義したりする。
位相空間の概念は代数学や解析学でも有益である。例えば無限次元ベクトル空間を扱う関数解析学の理論を見通しよく展開するにはベクトル空間に位相を入れて位相空間の一般論を用いることが必須であるし(位相線型空間)、代数幾何学で用いられるザリスキ位相は、通常、距離から定めることのできないような位相である。
また、位相空間としての構造はその上で定義された様々な概念の制約条件として登場することがある。例えばリーマン面上の有理型関数のなす空間の次元は、リーマン面の位相構造によって制限を受ける(リーマン・ロッホの定理)。また三次元以上の二つの閉じた双曲多様体が距離空間として同型である必要十分条件は、位相空間として同型な事である(モストウの剛性定理)。
弱い/強いを位相の間の順序関係とみなすと、X上の位相の集合
{ O ∣ ( X , O ) {\displaystyle \{{\mathcal {O}}\mid (X,{\mathcal {O}})} は位相空間 } {\displaystyle \}}
は順序集合になる。 この順序集合は完備束であり、
sup λ ∈ Λ ( O λ ) = ( ⋃ λ ∈ Λ O λ {\displaystyle \sup _{\lambda \in \Lambda }({\mathcal {O}}_{\lambda })=(\bigcup _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {O}}_{\lambda }} が生成する位相)
inf λ ∈ Λ ( O λ ) = ⋂ λ ∈ Λ O λ {\displaystyle \inf _{\lambda \in \Lambda }({\mathcal {O}}_{\lambda })=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }{\mathcal {O}}_{\lambda }}
である。最も弱い位相は密着位相、最も強い位相は離散位相である。
一方解析学で頻繁に使われる、無限次元のベクトル空間の場合は、同一のベクトル空間上に複数の同値でないノルムが存在し、それらのノルムがそれぞれ異なる位相構造を定める事になる。例えば[0,1]区間から R {\displaystyle \mathbf {R} } への連続写像全体の集合
C ( [ 0 , 1 ] , R ) = { f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle C([0,1],\mathbf {R} )=\{f~:~[0,1]\to \mathbf {R} } , 連続 } {\displaystyle \}}
を写像の和と定数倍に関してベクトル空間とみなすと、各 p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} 対し、Lノルム
‖ f ‖ p = ∫ [ 0 , 1 ] | f ( x ) | p d x p {\displaystyle \|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\int _{[0,1]}|f(x)|^{p}\mathrm {d} x}}}
が定義できるが、これらはpが異なれば異なる位相を定め、実際Lノルムでは収束するのに別のLノルムでは収束しない例を作る事ができる。
近傍の定義は以下のとおりである:
定義 (近傍系、開近傍系) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、xをXの点とする。このとき、
x ∈ O
を満たす開集合をxの開近傍(かいきんぼう, 英: open neighborhood)という。 またX の部分集合Nが以下を満たすとき、Nはxの 近傍(きんぼう, 英: neighborhood)であるという
ある開集合O ⊂ Xが存在し、x ∈ O ⊂ N
点xの近傍全体の集合をxの近傍系といい、xの開近傍全体の集合をxの開近傍系という。
近傍系のことを近傍フィルター(英: neighborhood filter)ともいう。
まず始位相と双対的に終位相を定義する:
定義 (終位相) ― Xを集合とし、 { ( Y λ , O λ ) } λ ∈ Λ {\displaystyle \{(Y_{\lambda },{\mathcal {O}}_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }} を位相空間の族とし、写像
f λ : Y λ → X {\displaystyle f_{\lambda }~:~Y_{\lambda }\to X}
の族 ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} を考える。
このとき、全ての ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} を連続にする最強の位相をXの ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} 終位相(英語版)という。
終位相の特殊な場合として下記のものを定義できる。これらは逆像位相、部分位相、始位相、直積位相と双対的に定義したものである。以下でXは集合である: