固有関数
2つの演算子が交換するならば、それらは同一の固有関数を持つ(同時固有関数)。そしてそれらに対応した物理量は同時測定可能である。
例えば、観測される位置 x {\displaystyle \left.x\right.} , 運動量 p {\displaystyle \left.p\right.} に対応した演算子 x ^ , p ^ {\displaystyle {\hat {x}},{\hat {p}}} は交換しないため、物体の位置と運動量は同時に測定する事が出来ない(不確定性関係)。実験的には、「物体の位置を正確に計ろうとするとその物体の運動量を変化させてしまい、また運動量を正確に計ろうとすると物体の位置を変化させてしまう。結果的に位置と運動量を同時に測定する事は出来なくなる」事に対応する。これは実験技術の問題ではなく、原理的に同時測定不可能である。
この時、波動関数には何が起こっているかを説明する。物体の位置を正確に計ろうとする実験とは、演算子 x ^ {\displaystyle \left.{\hat {x}}\right.} に対する固有値を測定する事であり、その測定された瞬間の波動関数は位置 x ^ {\displaystyle \left.{\hat {x}}\right.} の固有関数である。
x ^ Ψ = x Ψ {\displaystyle \left.{\hat {x}}\Psi =x\Psi \right.}
しかしその関数は運動量 p ^ {\displaystyle \left.{\hat {p}}\right.} の固有関数ではない。
p ^ Ψ ≠ p Ψ {\displaystyle \left.{\hat {p}}\Psi \neq p\Psi \right.