円周率
2022年10月の時点で、π は小数点以下100兆桁まで計算されている。そして、分かっている限りでは 0 から 9 までの数字がランダムに現れているようには見えるが、それが乱数列といえるかどうかははっきりとは分かっていない。たとえば π が正規数であるかどうかも分かっていない。正規数であれば π の10進表示において、各桁を順に取り出して得られる数列:
3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, ...
には、0 から 9 が均等に現れるはずだが分かっておらず、それどころか、0 から 9 がそれぞれ無数に現れるのかどうかすら分かっていない。もし仮に正規数でないとすれば、乱数列でもないということになる。
5兆桁までの数字の出現回数は以下の通りである。全てほぼ等しく(約0.0005%の違いに収まる)、最も多いのは 8 で、最も少ないのは 6 である。
0:4999億9897万6328回
1:4999億9996万6055回
2:5000億0070万5108回
3:5000億0015万1332回
4:5000億0026万8680回
5:4999億9949万4448回
6:4999億9893万6471回
7:5000億0000万4756回
8:5000億0121万8003回
9:5000億0027万8819回
ISBN 978-4320018341。
『円周率が歩んだ道』上野健爾、岩波書店〈岩波現代全書〉、2013年6月19日。ISBN 978-4000291040。
『円周率 ―歴史と数理―』中村滋、共立出版、2013年11月23日。ISBN 978-4320110625。
Pi: A Source Book (3rd ed.). Lennart Berggren; Jonathan Borwein; Peter Borwein (2004-8-9). シュプリンガー. ISBN 978-0387205717
Pi: The Next Generation: A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation (1st ed.). David H. Bailey; Jonathan M. Borwein (2016-8-5). シュプリンガー. ISBN 978-3319323756
平面幾何学において、円周率 π は、円の周長の直径に対する比率として定義される。すなわち、円の周長を C, 直径を d としたとき、
π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}
である。全ての円は互いに相似なので、この比率は円の大きさに依らず一定である。
ところが、この定義は円の周長を用いているため、曲線の長さを最初に定義していない解析学などの分野では、π が現れる際に問題となることがある。この場合、円の周長に言及せず、解析学などにおける性質の一つを π の定義とすることが多い。この際の π の定義の一般なものとして、三角関数 cos x が 0 を取るような x > 0 の最小値の2倍とするもの、級数による定義、定積分による定義などがある。後述の#円周率に関する式も参照。
(各定数と、その素因数分解: C0 = 640320 = 2 × 3 × 5 × 23 × 29, C1 = 13591409 = 13 × 1045493, C2 = 545140134 = 2 × 3 × 7 × 11 × 19 × 127 × 163.)
1 π = 12 C 2 C 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 6 n ) ! ( C 0 + C 1 n ) ( 3 n ) ! ( n ! ) 3 C 2 n {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{C_{2}{\sqrt {C_{2}}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(6n)!(C_{0}+C_{1}n)}{(3n)!(n!)^{3}C_{2}^{n}}}} (Peter Borwein(英語版), Jonathan Borwein(英語版))
(各定数の値: C0 = 1657145277365+212175710912√61, C1 = 107578229802750+3773980892672√61, C2 = 1249638720+159999840√61.)
David Bailey, Peter Borwein, およびサイモン・プラウフによるもの(ベイリー=ボールウェイン=プラウフの公式・俗称 "BBP")、Adamchik と Wagon によるもの、Fabrice Bellard によるもの等については、あまりに高度なため割愛する。
円周の直径に対する比率は円の大きさに依らず一定であり、それは 3 より少し大きいことは古代エジプトやバビロニア、インド、ギリシアの幾何学者たちにはすでに知られていた。また、古代インドやギリシアの数学者たちの間では半径 r の円板の面積が πr であることも知られていた。さらに、アルキメデスは正96角形を用いて半径 r の球の体積が 4/3πr であることや、この球の表面積が 4πr(その球の大円による切り口の面積の4倍)であることを導き出した。中国では 263年に魏の劉徽が3072角形を使用し3.14159と計算し、5世紀に祖沖之は祖沖之が十尺もの直径の円を使用して3.14159 26<π<3.14159 27 と 求め、以後1000年これ以上正確な計算はなされなかった。祖の計算が正確であったことは、1300年頃に趙友欽が16384辺の内接多角形により確かめた。