コンパクト空間
R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上の有限次元ベクトル空間(あるいはより一般に有限次元の完備リーマン多様体)の部分集合Xがコンパクトである必要十分条件は、Xが有界閉集合である事である。それに対し無限次元ベクトル空間の場合は有界閉集合であってもコンパクトにならない場合がある。前述のように距離空間においてはコンパクト性は全有界かつ完備な事と同値だが、無限次元のベクトル空間の場合は全有界ではない有界閉集合が存在するからである。
なお、 R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上のノルム空間Vの閉単位球がコンパクトである必要十分条件はVが有限次元である事である(リースの補題から直接従う)。ただし以上の議論はVにノルムから定まる位相を入れた場合の話であり、それ以外の位相を入れた場合はこの限りではない。例えばVの双対空間Vに*弱位相を入れた場合、Vの閉単位球は(たとえVが無限次元であっても)コンパクトである(バナッハ・アラオグルの定理)。
距離空間においてはコンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事をユークリッド空間に適用すると、以下の系が従う:
系 ― 有限次元のユークリッド空間(あるいはより一般に完備リーマン多様体)の部分集合 A がコンパクトである必要十分条件は A が有界閉集合である事である。
より正確に言うと有限次元のユークリッド空間や完備リーマン多様体の部分集合に対しては、有界性と全有界性が同値であり、完備性と閉集合である事が同値である。これらの事実は簡単に証明できる。