数列
階乗冪函数の差分商を計算すれば Δx/Δx = nx であり、この意味で階乗冪は冪函数 x の離散版である。
与えられた数列 (an) に対し、階差数列が (an) となるような数列 (sn) をしばしば数列 (an) の不定和分と呼び、(Δan) などで表す:
Δ s n = a n ⟺ s n = Δ − 1 a n . {\displaystyle \Delta s_{n}=a_{n}\iff s_{n}=\Delta ^{-1}a_{n}.}
このような数列が与えられたとき、ak ≔ sk+1 − sk を k = 0, ..., n について片々加えることにより
S n =: ∑ k = 0 n a k = s n + 1 − s 0 {\displaystyle S_{n}=:\sum _{k=0}^{n}a_{k}=s_{n+1}-s_{0}}
が成立する。すなわち、不定和分 sn は(定数列を加える差を除き)実質的に数列の第 n 部分和 Sn を与えるものである。もっと一般に、函数 f(x) の不定和分 Δf(x) が
Δ − 1 f ( x + 1 ) − Δ − 1 f ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \Delta ^{-1}f(x+1)-\Delta ^{-1}f(x)=f(x)}
となるものとして定義され、
∑ k = 0 n − 1 f ( x + k ) = Δ − 1 f ( x + n ) − Δ − 1 f ( x ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(x+k)=\Delta ^{-1}f(x+n)-\Delta ^{-1}f(x)}