準群
何らかの代数的構造が与えられたとき、恒等式は暗黙裡に全ての変数が全称量化され、全ての演算がその構造の適当な原始的演算である等式である。恒等式だけからなる公理系を満たす代数的構造のクラスはバラエティと呼ばれる。普遍代数学の多くの標準的な結果はバラエティについてのみ成り立つ。準群は左除法と右除法を原始的とするとバラエティをなす。
左準群 (Q, ∗, \) は (2, 2) 型の代数で以下の恒等式を満たすものである。
x \ (x ∗ y) = y
x ∗ (x \ y) = y
右準群 (Q, ∗, /) は (2, 2) 型の代数で以下の恒等式を満たすものである。
(y ∗ x) / x = y
(y / x) ∗ x = y
準群 (Q, ∗, \, /) は (2, 2, 2) 型の代数で上記4本の左準群および右準群の恒等式全てを満たすものである。
言い換えれば、同じ側で同じ元による乗法と除法を続けても、その順序によらず値は変わらない。
以上により、(Q, ∗) が先の節の定義における準群であるとき、(Q, ∗, \, /) は普遍代数学の意味での同じ準群である。逆も同様で、(Q, ∗, \, /) が普遍代数学の意味での準群であるとき、(Q, ∗) は最初の定義における準群である。