解析的整数論
ルジャンドルは数論に関する自身の著書の第二版 (1808) において、 A = 1 および B = −1.08366 を与え、より正確な予想をした。
カール・フリードリヒ・ガウスは同じ問題を考えた:ガウスがヨハン・フランツ・エンケへ宛てた1849年12月24日付の手紙によれば、1792年か1793年に、彼は自身の対数表に「a (= ∞) 以下の素数 a log  a {\displaystyle {\frac {a}{\log a}}} 」と短いメモを書いた(当時ガウスは15歳か16歳であった)。しかしガウスがこの予想を出すことはなかった。
1838年、ディリクレは(ガウスに伝えた級数と僅かに異なる形の)近似関数、対数積分 li(x) を考えついた。ルジャンドルとディリクレの公式どちらからも、前述の予想である π(x) と x / log x が漸近的に等しいことが導かれるが、商の代わりに差を考えるとディリクレの近似の方がかなり良いことが判明した。