ハーン–バナッハの定理
この定理にはいくつかの重要な帰結が存在し、しばしばそれらも「ハーン–バナッハの定理」と呼ばれることがある。
V をノルム線型空間、U をその線形部分空間(必ずしも閉ではない)とし、作用素 φ: U → K は連続かつ線型であるとする。このとき、φ には連続かつ線型な拡張 ψ: V → K が存在し、そのノルムは φ と等しいものとなる(線型写像のノルムについては「バナッハ空間」を参照されたい)。これはすなわち、ノルム線型空間の圏において、空間 K は入射的対象であることを意味する。
V をノルム線型空間、U をその線型部分空間(必ずしも閉ではない)とし、z を、U の閉包に含まれないような V の元とする。このとき、すべての U の元 x に対しては ψ(x) = 0 であり、ψ(z) = 1 および ǁψǁ = 1 ⁄ dist(z, U) を満たすような連続線型作用素 ψ: V → K が存在する。
特に、ノルム線型空間 V の任意の元 z に対して、
ψ(z) = ǁzǁ かつ ǁψǁ ≤ 1 を満たすような連続線型作用素 ψ: V → K が必ず存在する。このことは、ノルム線型空間 V からその二重双対 V ′′ への自然な単射は等長写像であるということを意味する。