接続 (微分幾何学)
83のRemarkより G L n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )} -主バンドル F G L n ( R ) ( E ) {\displaystyle F_{\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}(E)} 上の接続形式がG-主バンドル F G ( E ) {\displaystyle F_{G}(E)} にreduceする必要十分条件はωがGのリー代数に値を取る事であるので、上記の事実から従う。
↑ #Kobayashi-Nomizu-1 p.127.
1 2 #Wendl5 p.121.
↑ #Kolar p.77.
↑ #Tu p.49
↑ #Tu p.56,58
↑ #Wendl5 pp.119,121.
1 2 #Kolar pp.100-101.
↑ #Tu p.270
1 2 #森田 p.302.
↑ #小林 p.43.
↑ #小林 p.43.
↑ #Tu p.80
↑ #Wendl5 p.123.
↑ #Tu p.270.
1 2 3 4 5 6 #Kolar pp.82-83.
↑ Freeman 2011.
↑ 日本数学会編 2007.
↑ Christoffel 1869.
↑ Levi-Civita 1900.
↑ Levi-Civita 1916.
↑ Weyl 1918.
↑ Cartan 1926.
↑ Ehresmann 1950.
↑ Koszul 1950.
Mの曲線 c ( t ) = ( x 1 ( t ) , ... , x m ( t ) ) {\displaystyle c(t)=(x^{1}(t),\ldots ,x^{m}(t))} 上に切断 s ( t ) {\displaystyle s(t)} が定義されているとき、接続の成分表示の X = X i ∂ ∂ x i {\displaystyle X=X^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} を形式的に d c d t = d x i d t ∂ ∂ x i {\displaystyle {\tfrac {dc}{dt}}={\tfrac {dx^{i}}{dt}}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} に置き換えた
∇ d t s = ( d x j d t ∂ s i ∂ x j + d x j d t s k Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle {\nabla \over dt}s=\left({dx^{j} \over dt}{\partial s^{i} \over \partial x^{j}}+{dx^{j} \over dt}s^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}}
を、曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った共変微分という。この定義は基底の取り方によらずwell-definedである。
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をベクトルバンドルとし、Mの曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上定義されたM上のベクトル場 v ( t ) {\displaystyle v(t)} が
∇ d t v ( t ) = 0 {\displaystyle {\nabla \over dt}v(t)=0}
を恒等的に満たすとき、 v ( t ) {\displaystyle v(t)} は c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上平行であるという。また、 c ( t 0 ) {\displaystyle c(t_{0})} 上の接ベクトル w 0 ∈ T c ( t 0 ) M {\displaystyle w_{0}\in T_{c(t_{0})}M} と c ( t 1 ) {\displaystyle c(t_{1})} 上の接ベクトル w 1 ∈ T c ( t 1 ) M {\displaystyle w_{1}\in T_{c(t_{1})}M} に対し、 v ( t 0 ) = w 0 {\displaystyle v(t_{0})=w_{0}} 、 v ( t 1 ) = w 1 {\displaystyle v(t_{1})=w_{1}} を満たす c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上の平行なベクトル場 v ( t ) {\displaystyle v(t)} が存在するとき、 w 1 {\displaystyle w_{1}} は w 0 {\displaystyle w_{0}} を c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って平行移動(英: parallel transportation along c ( t ) {\displaystyle c(t)} )した接ベクトルであるという。
1 2 ここで Ω ( ξ , η ) {\displaystyle \Omega (\xi ,\eta )} が C ∞ ( E ) {\displaystyle C^{\infty }(E)} -線形であるとは、通常の線形性を満たすのみならず関数fに対して f ⋅ Ω ( ξ , η ) {\displaystyle f\cdot \Omega (\xi ,\eta )} = Ω ( f ⋅ ξ , η ) {\displaystyle =\Omega (f\cdot \xi ,\eta )} = Ω ( ξ , f ⋅ η ) {\displaystyle =\Omega (\xi ,f\cdot \eta )} を満たす事を指す。 C ∞ ( E ) {\displaystyle C^{\infty }(E)} -線形である事は、 Ω ( ξ , η ) {\displaystyle \Omega (\xi ,\eta )} の各点 e ∈ E {\displaystyle e\in E} における値がξ、ηの点eにおける値ξe、ηeのみで決まること、すなわちΩが各点における双線形写像のテンソル場とみなせる事と同値である事が知られている。
↑ #Kolarにおける曲率の定義はここに書いたものと符号が反対だが、#Kolar p.73.にあるように#Kolarの定義だと「通常の曲率と符号が反対」になるので、#Wendl5 p.121の方の符号を採用した。
↑ #Kolar p.100-101.のみ右辺第二項は 1 2 [ ω , ω ] ∧ = [ ω , ω ] {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]_{\wedge }=[\omega ,\omega ]} となっているが、これは#Kolarの間違いであると判断した。
ベクトルバンドルのKoszul接続から一般の接続概念が得られる事をすでに見たが、逆にベクトルバンドル上の(一般の)接続が定める共変微分がKoszul接続の公理を満たす条件は以下の通りである:
定理 (Koszul接続の条件) ― π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をベクトルバンドルとし、 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} を π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} のファイバーバンドルとしての接続する。さらに φ : V e → ~ E π ( e ) {\displaystyle \phi ~:~{\mathcal {V}}_{e}{\tilde {\to }}E_{\pi (e)}} を垂直部分空間 V e {\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}} と E π ( e ) {\displaystyle E_{\pi (e)}} の自然な同一視とする。
このとき以下の条件は同値である: