固有振動
k = − K {\displaystyle k={\sqrt {-K}}} から
X ( x ) = C 1 e i − K x + C 2 e − i − K x ( C 1 , C 2 {\displaystyle X(x)=C_{1}e^{i{\sqrt {-K}}x}+C_{2}e^{-i{\sqrt {-K}}x}\quad (C_{1},C_{2}} は定数)
オイラーの公式を適用すると
X ( x ) = C 1 ( cos  − K x + i sin  − K x ) + C 2 ( cos  − K x − i sin  − K x ) = C 3 cos  − K x + C 4 sin  − K x {\displaystyle X(x)=C_{1}(\cos {{\sqrt {-K}}x}+i\sin {{\sqrt {-K}}x})+C_{2}(\cos {{\sqrt {-K}}x}-i\sin {{\sqrt {-K}}x})=C_{3}\cos {{\sqrt {-K}}x}+C_{4}\sin {{\sqrt {-K}}x}}
( C 3 = C 1 + C 2 , C 4 = i C 1 − i C 2 {\displaystyle C_{3}=C_{1}+C_{2},C_{4}=iC_{1}-iC_{2}} はそれぞれ定数)
i)~iii)から
K=0のとき... X ( x ) = a x + b {\displaystyle X(x)=ax+b} ... (3-11)
K>0のとき...
断面積Sの円筒の中の空気の振動を考える。空気の密度をρ[g/m3]、空気のx軸方向の変位をy(x,t)とする。大気圧を P 0 {\displaystyle P_{0}} とすると、位置xにおける圧力は P 0 + δ P ( x , t ) {\displaystyle P_{0}+\delta P(x,t)} と表される。
この円筒の中のxとx+δxの微小部分について考える。空気が振動していないとき微小部分の体積はV=Sδxである。空気が振動したときの体積の変化は
δ V = S ( y ( x + δ x , t ) − y ( x , t ) ) {\displaystyle \delta V=S(y(x+\delta x,t)-y(x,t))} ... (4-1)
と表される。空気の体積と圧力の間には
δ P = − K δ V V {\displaystyle \delta P=-K{\delta V \over V}} ... (4-2)
の関係が成り立つ。ここでKは体積弾性率である。(4-1)を(4-2)に代入すると
δ P = − K S ( y ( x + δ x , t ) − y ( x , t ) ) S δ x {\displaystyle \delta P=-K{S(y(x+\delta x,t)-y(x,t)) \over S\delta x}}
δx→0で
δ P = − K ∂ y ( x , t ) ∂ x {\displaystyle \delta P=-K{\partial y(x,t) \over \partial x}} .
.. (4-13)
また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は
y ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ A n sin  ( 2 n − 1 ) π x 2 l sin  ( ω n t + φ n ) {\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} ... (4-14)
両端が開口の管の場合
ここでは開口で実際に生じる開口端補正を無視して解きすすめる。両端が開口で長さ l {\displaystyle l} の管について考えると、両端開口による条件は
∂ y ( 0 , t ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\partial y(0,t) \over \partial x}=0} and ∂ y ( l , t ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\partial y(l,t) \over \partial x}=0} ... (4-15)
である。(4-7)に条件(4-15)を与えると
X ( x ) = 0 {\displaystyle X(x)=0}