RC回路
静電容量 C {\displaystyle C} (ファラド)のコンデンサのインピーダンス Z C {\displaystyle Z_{C}} (オーム)は次の式で表される。
Z C = 1 s C {\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}}}
角周波数 s {\displaystyle s} は一般に複素数であり、次のように記述される。
s = σ + j ω {\displaystyle s\ =\ \sigma +j\omega }
ここで
j = − 1 {\displaystyle j={\sqrt {-1}}} (虚数単位)
σ {\displaystyle \sigma } は指数減少定数(ラジアン/秒)
ω {\displaystyle \omega } は正弦波角周波数(ラジアン/秒)
これらの式はコンデンサに電荷が蓄積されるときのコンデンサと抵抗器にかかる電圧を意味する。コンデンサが放電するときは式が全く逆になる。これは、 C = Q / V {\displaystyle C=Q/V} と V = I R {\displaystyle V=IR} という関係(オームの法則)を使って電荷と電流で書き換えることもできる。
図に示されている通り、コンデンサにかかる電圧は時間経過とともに V に近づき、抵抗器にかかる電圧は 0 に近づいていく。これは、コンデンサが時間とともに電圧供給によって電荷を蓄えていき、最終的に完全に電荷を蓄えたときに開回路になるという直観的理解とも一致する。
これらの式は、直列RC回路に時定数があることを示し、それを一般に τ = R C {\displaystyle \tau =RC} と表す。 τ {\displaystyle \tau } はコンデンサにかかる電圧 V C {\displaystyle V_{C}} が V ( 1 − 1 / e ) {\displaystyle V(1-1/e)} まで上がるのにかかる時間、および抵抗器にかかる電圧 V R {\displaystyle V_{R}} が V ( 1 / e ) {\displaystyle V(1/e)} まで下がるのにかかる時間に対応している。
増減率は τ {\displaystyle \tau } 当たり ( 1 − 1 e ) {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{e}}\right)} である。
各部品にかかる電圧のインパルス応答は、それぞれの伝達関数の逆ラプラス変換である。これは、入力電圧がインパルス(ディラックのデルタ関数)の時の回路の応答(出力)を表している。
コンデンサの電圧におけるインパルス応答は次の通り。
h C ( t ) = 1 R C e − t / R C u ( t ) = 1 τ e − t / τ u ( t ) {\displaystyle h_{C}(t)={1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}
ここで u ( t ) {\displaystyle u(t)} はヘヴィサイドの階段関数であり、
τ = R C {\displaystyle \tau \ =\ RC}
は、時定数である。
同様に、抵抗器の電圧のインパルス応答は次の通りである。
h R ( t ) = δ ( t ) − 1 R C e − t / R C u ( t ) = δ ( t ) − 1 τ e − t / τ u ( t ) {\displaystyle h_{R}(t)=\delta (t)-{1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)}
ここで δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)} はディラックのデルタ関数である。
本節ではネイピア数 e に関する知識を前提としている。
最も直接的に時間領域のふるまいを調べるには、上掲の V C {\displaystyle V_{C}} と V R {\displaystyle V_{R}} の式にラプラス変換を施せばよい。これにより実質的に j ω → s {\displaystyle j\omega \to s} という変換がなされる。ステップ入力( t = 0 {\displaystyle t=0} 以前には V i n = 0 {\displaystyle V_{in}=0} で、その後 V i n = V {\displaystyle V_{in}=V} となる入力)を与えると、
V i n ( s ) = V 1 s {\displaystyle V_{in}(s)=V{\frac {1}{s}}} V C ( s ) = V 1 1 + s R C 1 s {\displaystyle V_{C}(s)=V{\frac {1}{1+sRC}}{\frac {1}{s}}} V R ( s ) = V s R C 1 + s R C 1 s {\displaystyle V_{R}(s)=V{\frac {sRC}{1+sRC}}{\frac {1}{s}}}
となる。
部分分数分解と逆ラプラス変換により、次が得られる。
V C ( t ) = V ( 1 − e − t / R C ) {\displaystyle \,\!V_{C}(t)=V\left(1-e^{-t/RC}\right)} V R ( t ) = V e − t / R C {\displaystyle \,\!V_{R}(t)=Ve^{-t/RC}}