ケーリー＝ディクソンの構成法
各元はその共役元との積
( a , b ) ∗ ( a , b ) = ( a ∗ , − b ) ( a , b ) = ( a ∗ a + b ∗ b , b a ∗ − b a ∗ ) = ( | a | 2 + | b | 2 , 0 ) {\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(a^{*},-b)(a,b)=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})=(|a|^{2}+|b|^{2},0)}
が非負の実数になる。前と同様、共役は各順序対についてノルムと逆元を与える。上で述べたような意味において、このような順序対の全体は、どことなく実数のような代数を与える。これが、1843年にハミルトンの見つけた四元数である。
四元数は2つの独立した複素数からなるので、実数体上の4次元ベクトル空間をなす。
しかし、四元数の乗法は実数の乗法と完全に同じではなく、可換でない。つまり、四元数 p, q に対して、pq = qp は一般には真でない。
複素数は、実数 a, b の順序対 (a, b) として書くことができて、成分ごとの加法と
( a , b ) ( c , d ) := ( a c − b d , a d + b c ) {\displaystyle (a,b)(c,d):=(ac-bd,ad+bc)}
で定義される乗法とを持つ。第二成分が零であるような複素数は実数に対応する(複素数 (a, 0) は、実数 a である)。
もう一つ、複素数上に定義される重要な演算に共役がある。(a, b) の共役 (a, b) は
( a , b ) ∗ := ( a , − b ) {\displaystyle (a,b)^{*}:=(a,-b)}
で与えられる。この共役は
( a , b ) ∗ ( a , b ) = ( a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(a^{2}+b^{2},0)}