周期進行波
ほとんどの数学的方程式に対して、周期進行波解を解析的に求めることは不可能であり、そのため数値計算を行う必要が生じる。そのような偏微分方程式に対し、x, t はそれぞれ(1次元の)空間と時間を表す変数とする。このとき、周期進行波は進行波変数 z = x − ct の関数となる。この形式の解を偏微分方程式に代入することで、周期進行波方程式として知られる常微分方程式系が得られる。周期進行波は、そのような方程式系のリミットサイクルに相当し、数値解析の基盤を与えるものである。標準的な計算手法は、周期進行波方程式に対する数値接続(英語版)である。始めに、定常状態をホップ分岐点に置く接続を行う。これが、数値接続によってフォローすることの出来る、周期進行波解の分岐(族)の始点である。いくつかの(珍しい)ケースでは、周期進行波解の分岐(族)の終点はいずれもホモクリニックな解であり、そのようなケースでは偏微分方程式の数値解のような外的な始点を用いる必要がある。
周期進行波の安定性は、そのスペクトルを計算することで、数値的に調べることが出来る。偏微分方程式の周期進行波のスペクトルはすべて本質的スペクトルであるという事実があるため、より簡単に調べることが出来る。考えられる数値的手法として、ヒルの方法や、スペクトルの数値接続などが挙げられる。後者の手法を採用する利点として、安定な波と不安定な波の間の媒介変数空間の境界を計算出来ることが挙げられる。
利用可能なデータと最も適合する結論は、いくつかの帯状の植生パターンは移動するが、他のものは移動しない、というものである。前者の分類に含まれるパターンは、周期進行波の形状を備えるものである。
振動的および励起的(英語版)化学反応において、進行帯は生じる。それらは1970年代にベロウソフ・ジャボチンスキー反応において観測され、当時の周期進行波に関する数学的研究に重要な動機を与えた。より近年の研究では、詳細なモデリングを介して、実験的に観測される帯と、周期進行波に関する数学理論を結びつける業績を得ている。
周期進行波は、太陽周期の一部として、太陽にも現れる。それらは太陽ダイナモによる太陽の磁場の生成の帰結として生じるものである。したがって、それらは太陽黒点と関係している。
流体力学において、対流パターンはしばしば周期進行波を含むものとなる。特殊な例には、二流体対流や、熱ワイヤー対流が含まれる。
周期進行波のパターンは、「印刷機の不安定性」にも現れる。それらにおいては、二つの回転する無原動体シリンダーの間の薄い溝が、オイルで満たされている。