連続体仮説
正則基数の冪集合の基数に関してはイーストンの定理によって整合性が証明されたわけであるが、特異基数の冪集合の基数は未だにはっきりとわかっていない。 その原因の1つは、シルバーの定理が示している通り、特異基数の冪集合の濃度がそれより小さい正則基数の濃度に大きく影響されるからである。
この分野で重要な結果としてはマギドーの定理が挙げられる。
連続体仮説(れんぞくたいかせつ、Continuum hypothesis, CH)とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということが明確に証明されている。
自然数より真に大きく、実数より真に小さいサイズの集合がない、ということを連続体仮説は述べている。もう少し正確には連続体仮説は「自然数を含むような任意の実数の部分集合は、実数との間に全単射が存在するか、自然数との間に全単射が存在するかのいずれかである」とも言い表せる。
自然数の全体を N と書き、そこにふくまれる自然数の個数(濃度)を可算濃度 א 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (アレフ・ヌル)と呼ぶ(「可算」とは「数えられる」の意。可付番濃度とも言う)。また、実数の全体を R と書き、そこに含まれる実数の個数を連続体濃度 א {\displaystyle \aleph } と書く。さらに集合 M の濃度を card M で表すことにすれば、連続体仮説は
א 0 < card Ω < א {\displaystyle \aleph _{0}<{\mbox{card}}\,\Omega <\aleph }
なる集合 Ω が存在しないという主張であると言い表される。また N の冪集合の濃度
P ( א 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(\aleph _{0})}
については、これが連続体濃度に等しいということが証明されているから、アレフ数の概念を用いると連続体仮説は、公理系 ZFC (詳細は公理的集合論を参照)のもとで
P ( א 0 ) = א 1 = א {\displaystyle {\mathfrak {P}}(\aleph _{0})=\aleph _{1}=\aleph }
が成立すること、と言い表すこともできる。