アフィン接続
最初の式は、接続の捩率を定義し、第二の式は曲率を定義する。
これらの表現は標構バンドルの全空間の上での微分 2-形式である。これらは水平で同変であるので、テンソル的な対象を定義する。これらは直接 TM 上の共変微分 ∇ より次のようにして導くことができる。
捩率は、式
T ∇ ( X , Y ) = ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] . {\displaystyle T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y].}
により与えられる。捩率が 0 であれば、接続は捩れのない、あるいは対称であると言う。
曲率は、
R X , Y ∇ Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle R_{X,Y}^{\nabla }Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}
で与えられる。
曲率も捩率も 0 であれば、接続は接バンドル上の大域切断の空間の前リー代数(英語版)を定義する。