多重根号
代数学における多重根号(たじゅうこんごう)の式は、少なくとも一つの根号(平方根号や立方根号など)の中に無理式を含む無理式をいう。例を挙げると
8 + 3 2 {\displaystyle {\sqrt {8+3{\sqrt {2}}\ }}}
また、正五角形を議論する際には、以下の多重根号の式が登場する。
↑ 厳密には「根号」(radical sign) は冪根 (radical) を表すために用いる記号のことを言うのであって、記号でなく「根号が入れ子になった式」(英: nested radical) そのものを「多重根号」と呼ぶのは甚だ不適当であるが、慣用的に式そのものを「多重根号」と呼ぶことがあるようにも思われる。少なくとも「多重根号の式」のように呼ぶならば取り立てて齟齬はないはずである
↑ ここでは「無理式」 (irrational expression) を慣用に従って「根号の中に変数を含む代数式」の意味で用いる。「無理式」の語義「有理式でない代数式」を厳密にとれば本項で扱うべき式以外のものをも含むから、そうでないことを明確にするならば根式 (英: radical expression) を用いるほうがより適切と思われる。
↑ 明らかに 1 + 4 n = 1 + 4 x + 4 x 2 = ( 2 x + 1 ) 2 {\displaystyle 1+4n=1+4x+4x^{2}=(2x+1)^{2}} だから − 1 + 1 + 4 n 2 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {1+4n}}}{2}}}