くりこみ群
場の理論で g {\displaystyle g} を頂点関数などに選び、 x {\displaystyle x} をくりこみ点 μ 2 {\displaystyle \mu ^{2}} に選んだ場合、 g {\displaystyle g} の x {\displaystyle x} 依存性は、いくつかの関数 f i {\displaystyle f_{i}} を通して現れる。よって、このときのくりこみ群方程式は、
x ∂ ∂ x G ( x , f 1 , ... , f n ) − ∑ i = 1 n β i ∂ ∂ f i G ( x , f 1 , ... , f n ) = 0 , {\displaystyle x{\frac {\partial }{\partial x}}G(x,f_{1},\dots ,f_{n})-\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}{\frac {\partial }{\partial f_{i}}}G(x,f_{1},\dots ,f_{n})=0,}
ベータ関数は
β i ( f 1 , ... , f n ) := ∂ ∂ t f i | t = 1 , {\displaystyle \beta _{i}(f_{1},\dots ,f_{n}):=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}f_{i}\right|_{t=1},}
となる。
今、変換 ( x , g ) ⟶ ( x / t , G ( t , g ) ) {\displaystyle \;(x,g)\longrightarrow (x/t,G(t,g))\;} を
R t ( x g ) = ( x / t G ( t , g ) ) {\displaystyle R_{t}{\begin{pmatrix}x\\g\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x/t\\G(t,g)\end{pmatrix}}}
と書き、関係式
R s R t = R t s {\displaystyle R_{s}R_{t}=R_{ts}}
を満足しているものと仮定する。このとき、単位元は R 1 {\displaystyle R_{1}} であり、任意の R s , R t {\displaystyle R_{s},R_{t}} に対して R t R s = R s R t {\displaystyle R_{t}R_{s}=R_{s}R_{t}} が分かるので、集合 { R t | t > 0 } {\displaystyle \{R_{t}|t>0\}} は、可換半群をなすことが分かる。この { R t | t > 0 } {\displaystyle \{R_{t}|t>0\}} を「くりこみ変換」と呼ぶ。
くりこみ群方程式とは、端的にいえば、理論のパラメータのスケール変換に対して物理量がどのように応答するかを記述する偏微分方程式のことである。
くりこみ変換の関係式を、 G ( t , g ) {\displaystyle G(t,g)} の言葉で書くと、
G ( t s , g ) = G ( s , G ( t , g ) ) , {\displaystyle G(ts,g)=G(s,G(t,g)),}
と表現できる。これは、関数等式としての「くりこみ群方程式」である。このままでは扱いにくいので、普通は G ( t , g ) {\displaystyle G(t,g)} の微分可能性を仮定し、偏微分方程式の形に直す。そのためには、 x = s t {\displaystyle x=st} とおいて、上式の両辺を t {\displaystyle t} で微分して t = 1 {\displaystyle t=1} とおけばよい。得られる式は
x ∂ ∂ x G ( x , g ) − β ( g ) ∂ ∂ g G ( x , g ) = 0 , {\displaystyle x{\frac {\partial }{\partial x}}G(x,g)-\beta (g){\frac {\partial }{\partial g}}G(x,g)=0,}