Cramer-Shoup暗号
CramerとShoupによって示された安全性の正確な定義は、適応的選択暗号文攻撃に対する識別不可能性 (IND-CCA2) である。 これは公開鍵暗号の安全性としては現時点で最も強力な定義である。 この定義においては、攻撃者は「復号オラクル」を利用できるが、これは問い合わされたいかなる暗号文でもその暗号方式の秘密鍵を用いて復号できる神託機械である。 「適応的」とは、攻撃者が攻撃対象とする暗号文を知る前にも後にも復号オラクルを利用可能である、ということを意味する。ただし攻撃対象である暗号文をそのまま復号オラクルに問い合わせることは禁止されている。 これより弱い安全性の定義として、適応的でない選択暗号文攻撃 に対する識別不可能性(IND-CCA1)があるが、こちらの場合は攻撃対象となる暗号文を知る前に限り復号オラクルを利用できる。
こうした攻撃者に対しては、普及している多くの暗号方式が安全でないのは有名な話だったが、暗号方式の設計者は、そのような攻撃は非現実的であり理論的興味に過ぎないと長年考えていた。 ところがこの風潮は1990年代後半より変わり始めた。