配列表記
a→a→(b-1)→2<{a,b,1,2}<≒a→a→b→2 {a,b,1,2}とa→a→b→2の両者は矢印表記の段重ねの形にすると、a↑↑...↑↑aのb段重ねの形になるところは同じだが、末端は配列表記だとaとなるのに対し、チェーン表記だとaとなる。
a→b→c→2については、配列表記で次の近似・大小関係が成り立つ。
{a,c,1,2}<≒a→b→c→2<≒{a,c,1,2}
次に{a,b,2,2}とa→b→c→3であるが、配列表記では最後の2が3になるのではなく、3番目の1が2になることによってチェーンの...→3相当となる。
a→a→(b-1)→3<{a,b,2,2}<≒a→a→b→3
{a,c,2,2}<≒a→b→c→3<≒{a,c,2,2}
{a,b,c,2}のcを増やすことは、a→a→b→cのcを増やすことに相当する。
a→a→(b-1)→(c+1)<{a,b,c,2}<≒a→a→b→(c+1)
{a,c,d-1,2}<≒a→b→c→d<≒{a,c,d-1,2}
そして、4つ組配列表記の末尾の数が、チェーンの長さに対応する。
{a,b,1,3}<≒a→a→a→b→2
{a,b,c,3}<≒a→a→a→b→(c+1)
{a,b,c,d}<≒a→a→...(d+2変数)...→a→b→(c+1)
配列表記(はいれつひょうき、Array Notation)は、en:Jonathan Bowersが2002年に考案した巨大数の表記法の一つである。クヌースの矢印表記の拡張によるが、クヌースの矢印表記はおろか、コンウェイのチェーン表記やその拡張表記(ピーター・ハーフォードによる拡張チェーン表記・回転矢印表記)よりも効率的に数の大きさを爆発させることができるため、海外の巨大数論者の間ではチェーン表記レベルを超える巨大数の表記法の主流となっている。
配列表記では、波括弧の中に数字をコンマで区切り入れていく。すなわち、 { a , b , c , . . . } {\displaystyle \{a,b,c,...\}} という形式である。
={2,2,1,1,...,1}
={2,2}
=4
つまり、3番目の要素が1まで落ちた直後に2番目の要素が2になってしまい、そうすると3番目の要素が減っても値が変わらないため3番目の要素が1にまで落ちる。更に4番目、5番目の要素と1まで落ちていき、最終的には4となる。
非拡張配列表記では、数の大きさを評価するための重要度は、最も重要なのが変数の数であり、その次に重要なのが最も右側の変数の値で、左側に行くほど重要度が下がっていく。
非拡張配列表記は、多変数アッカーマン関数と同じくらいの強さである。配列表記と多変数アッカーマン関数の間の近似関係、及びその両者の特徴の比較についてはアッカーマン関数#多変数アッカーマン関数を参照。
この配列表記にも拡張表記が考案されており、その最終形態には2種類あり、1つはBEAF(ただし2021年現在、定義が数学的に意味を持つように定式化されているのはテトレーション配列まで)、もう1つはクリス・バードが開発したバードの配列表記と呼ばれるものである。
この配列表記は急増加関数で { x , . . . , x } ≈ f ω ω ( x ) {\displaystyle \{x,...,x\}\approx f_{\omega ^{\omega }}(x)} と近似できる。