ガロアの逆問題
とも書け、f(x, 1/2) は
1 2 ( x − 1 ) ( 1 + 2 x + 2 x 2 + ⋯ + 2 x n − 1 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x-1)\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)}
と分解できる。
上式の2番目の項は、その相反多項式にアイゼンシュタインの既約判定法を適用することにより、既約であることがわかる。以上から、群 Gal(f(x, s)/Q(s)) は2重可移的(英語版)であることがわかった。
次にこのガロア群が互換を含むことを見る。定数倍による変数変換 (1 − n)x = ny を使うと
y n − { s ( 1 − n n ) n − 1 } y − { s ( 1 − n n ) n } {\displaystyle y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}}
となり、
t = s ( 1 − n ) n − 1 n n {\displaystyle t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}}}