幾何化予想
まず、3-次元多様体の基本モデルへの分解は、埋め込まれている 2-次元球面に沿って 2つの成分へと切り開くことである。結果として現れる縁(edge)は 2-球面 (two spheres) であり、ここで各々を一つの 3-球体へ貼り合わせ、再び各々の成分が境界を持たないようにする。
この 2-球面に沿った分解を通し、既約な成分へと到達することができる。 このことは、全ての埋め込まれた 2-球面は、一つの 3-球体の縁であり、従って、さらに分解すると加えられていた S 3 {\displaystyle S^{3}} を次々と省略できることを意味する。既約成分への分解は、加えられる S 3 {\displaystyle S^{3}} や加える順序は一意に決まることを示すことができる。
S 2 × S 1 {\displaystyle S^{2}\times S^{1}} の形をした規約成分が有限群である基本群を持つと、この成分はこれ以上には分解されない.