シチャーマンのサイコロ
4面サイコロ2個と出目の和の確率分布が一致する4面サイコロには、{1,2,2,3}{1,3,3,5}があり得る。
8面サイコロ2個と出目の和の確率分布が一致する8面サイコロには、{1,2,2,3,3,4,4,5}{1,3,5,5,7,7,9,11}と{1,2,3,3,4,4,5,6}{1,2,5,5,6,6,9,10}と{1,2,2,3,5,6,6,7}{1,3,3,5,5,7,7,9}3種があり得る。
12面サイコロ2個と出目の和の確率分布が一致する12面サイコロには、{1,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,6}{1,4,5,7,8,9,10,11,12,14,15,18}と{1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7}{1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17}と{1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,8}{1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16}と{1,2,3,4,4,5,5,6,6,7,8,9}{1,2,3,7,7,8,8,9,9,13,14,15}と{1,2,2,3,3,4,7,8,8,9,9,10}{1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14}と{1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11}{1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13}と{1,2,3,3,4,5,7,8,9,9,10,11}{1,2,4,5,6,8,9,9,10,12,13}の7種があり得る。
但し、ここで母関数の係数は負である場合、2の面が-1個のような意味の無いサイコロとなってしまうことと、係数の総和が6でなければ6面ダイスではないことに注意する。そのため、2個の母関数p(x)に対して、p(0)=0とp(1)=6が条件となる。 そしてこの条件を満たす分割は一般的なサイコロを除き1通りしか存在せず、
x ( x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) = x + 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 {\displaystyle x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}}
と
x ( x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 − x + 1 ) 2 = x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 8 {\displaystyle x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}}
である。 そしてこの母関数はそれぞれ1組のサイコロの目{1,2,2,3,3,4} と {1,3,4,5,6,8}に対応する。これがシチャーマンのサイコロである。
円分多項式の因数分解を用いるため、素数面のサイコロに対してはシチャーマンのサイコロのような異なるパターンが存在しない。 この母関数を用いたサイコロの目の解析は、6面以外の'n'面サイコロにも一般化できる。