実射影直線
P(R) 上の写像は射影変換 (homography, projectivity) と呼ばれる。これら自己同型は中心射影(英語版)あるいは平行射影(英語版)およびそれらの合成によって人為的に構成することができる。斉次座標系を用いれば、自己同型の全体は射影線型群 PGL(2, R) によって与えられる。これは実二次の正方行列を互いに定数倍のみ異なるもの同士で同一視したものによって得られる。
具体的には、PGL(2, R) の元は、x を射影直線上のアフィン座標とする一次分数変換
x ↦ a x + b c x + d ( a d − b c ≠ 0 ) {\displaystyle x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}\quad (ad-bc\neq 0)}
によって実現される。
実射影直線上の各点は、ふつう適当な同値関係に関する同値類として定義される。出発点は二次元の実線型空間 V で、V ∖ 0 上の二項関係 v ~ w を、適当な非零実数 t が存在して v = tw と書けることと定める。これが同値関係を定めることは線型空間の定義からほほ直ちにわかる。同値類は各ベクトルの張る直線から零ベクトルを除いたものになる。そうして、実射影直線 P(V) とはこの同値類全体の成す集合と定める。この集合において各同値類は単なる一点として考える(実射影直線上の「点」とはこの各同値類のことと定めると言ってもよい)。
V の基底を一つとれば、各ベクトルをその座標ベクトル(英語版)と同一視することにより、V は直積 R × R = R と同一視できて、上記の同値関係は (x, y) ~ (w, z) となることを非零実数 t が存在して (x, y) = (tw, tz) とできることと言い換えられる。この場合、射影直線 P(R) のことは P(R) あるいは RP と書くのが望ましい。