正接定理
この定理の証明は、正弦定理から始まる。
d = a sin  α = b sin  β {\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}
と置く。変形すると
a = d sin  α {\displaystyle a=d\sin \alpha } および b = d sin  β {\displaystyle b=d\sin \beta }
となる。
定理の左辺に代入する。
a − b a + b = d sin  α − d sin  β d sin  α + d sin  β = sin  α − sin  β sin  α + sin  β . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}
ここで、以下の和積公式を使用する。
sin  α ± sin  β = 2 sin  α ± β 2 cos  α ∓ β 2 {\displaystyle \sin {\alpha }\pm \sin {\beta }=2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}
最終的に以下のようになる。