メリン変換
数学におけるメリン変換(メリンへんかん、英: Mellin transform)とは、両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。
この変換の名はフィンランドの数学者ヒャルマル・メリン(英語版)の名にちなむ。
局所可積分な関数 f のメリン変換は
{ M f } ( s ) = φ ( s ) = ∫ 0 ∞ x s − 1 f ( x ) d x {\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx}
により定義される。 任意の小さな正の数 ε {\displaystyle \epsilon } に対して、 x → + 0 {\displaystyle x\to +0} のとき f ( x ) = O ( x − a − ε ) {\displaystyle f(x)=O(x^{-a-\epsilon })} 、 x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } のとき f ( x ) = O ( x − b + ε ) {\displaystyle f(x)=O(x^{-b+\epsilon })} と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。