二次曲面 (射影幾何学)
射影幾何学における二次曲面(にじきょくめん、英: quadric)とは、何らかの二次形式の斉次座標系における零点集合として与えられるような射影空間内の点集合を言う。これはまた、射影幾何学における双対性を考えれば、双対超平面上の点全体の成す集合としても定義できる。
が成り立つので、先の条件によって P 内の二次曲面が定義されるという主張は正当である。
P として実射影平面や複素射影平面を取るときの射影二次超曲面は、特に(射影)二次曲線や(射影)円錐曲線と呼ばれる。また P が三次元の実射影空間や複素射影空間であるときを特に(射影)二次曲面と呼ぶ場合もあるが、射影二次超曲面全般を指す意味で射影二次曲面と呼ぶことも多い。
一般に、K が実数体であれば、射影二次超曲面は n-次元射影空間 P の ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -次元部分多様体になる。例外は、ある特別な性質を持つ二次形式に対応する退化二次曲面である。例えば、F が(任意のベクトル v を零化する)零形式 (trivial form, null form) のときは対応する射影二次超曲面は P 全体になり、また F が定符号二次形式(つまり至る所正値もしくは至る所負値)ならば対応する射影二次超曲面は空になり、あるいは F が二つの非自明な一次形式の積に分解されるときには対応する射影二次超曲面は二つの超平面の合併になる、といった具合である。文献によっては、「二次曲面」の中にこれら特別の場合の一部または全てを含めないこともある。
より正確に、V を体 K に係数を持つ ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -次元ベクトル空間とし、F を V 上の二次形式、P を V に対応する n-次元射影空間
P := { [ v ] ∣ v ∈ V ∖ { 0 } } {\displaystyle P:=\{[v]\mid v\in V\setminus \{0\}\}}
とする(ここで [ v ] {\displaystyle [v]} はベクトル v の非零定数倍として得られるベクトル全体の成す集合)とき、二次形式 F によって定められる K 上の(射影)二次超曲面とは
F ( v ) = 0 {\displaystyle F(v)=0}
を満たす P 内の点 [ v ] {\displaystyle [v]} 全体の成す集合として定義される。注意すべき点として、
[ u ] = [ v ] ⟹ u = k v ( ∃ k ∈ K ) {\displaystyle [u]=[v]\implies u=kv\quad (\exists k\in K)}
かつ、二次形式の定義から
F ( k v ) = k 2 F ( v ) {\displaystyle F(kv)=k^{2}F(v)}