ビリアル定理
で、pi は粒子 i の運動量、ri は粒子 i の位置座標、Fi は粒子 i に働く力、mi は粒子 i の質量である。〈·〉 は物理量の平均操作(ここでは長時間平均)を意味する。
粒子 i に働く力 Fi が、系全体のポテンシャルエネルギー V = V(r1, ..., rN) を用いて Fi = −∇ri V(r1, ..., ri, ..., rN) と表せるならば、ビリアル定理は、
⟨ K ⟩ = 1 2 ∑ i = 1 N ⟨ ∇ r i V ⋅ r i ⟩ {\displaystyle \left\langle K\right\rangle ={1 \over 2}\sum _{i=1}^{N}\left\langle \nabla _{\mathbf {r} _{i}}V\cdot \mathbf {r} _{i}\right\rangle }
という形で表せる。
ポテンシャルエネルギー V が中心力ポテンシャルで、粒子間の距離のn + 1乗に比例する形
V ( r ) = a r n + 1 ( r = | r | ) {\displaystyle V(\mathbf {r} )=ar^{n+1}\quad (r=|\mathbf {r} |)}
で表せる(ここでべき指数は力の法則が r n {\displaystyle r^{n}} になるように選んだ)ならば、