ボルツマン方程式
ここで被積分関数は (ln x − ln y)(x − y) の形をしていて常に正または0であるから
d H d t ≤ 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} t}}\leq 0}
が結論される。これがボルツマンのH定理である。そして H はこの粒子系のエントロピー S と S = − kH と関係付けられるから(k はボルツマン定数)、これは粒子系のエントロピーが時間とともに増大するか一定値にとどまるだけで、減少することはないことを意味する。そしてさらに、それが一定値にとどまるためには全領域で f' f'1 = f f1 が成立することが必要となる。そのとき f はマクスウェル分布であることが示される。
なお、孤立系でなくても粒子の空間分布が一様な場合は r の積分を任意の有限領域に限定することにより、dH/dt に対し上記と同じ形の式が導かれ、同じ結論が得られる。しかし、空間的に非一様な分布の場合には余分な項が生じ、上の議論が成り立たない。これはその領域と隣接領域との間にエントロピーのやり取りが生ずるので、エントロピーの非減少は保証されないことを意味する。
H定理はボルツマンの時代から力学の可逆性との関係で活発な議論を巻き起こし、それがこの定理の物理的内容の理解を深めた。またその概念はその後、ボルツマン方程式を離れて広く論じられた。