フレドホルム行列式
は Λ k H {\displaystyle \Lambda ^{k}H} の正規直交基底となる。
A を H 上の有界作用素とするなら、A は Λ k H {\displaystyle \Lambda ^{k}H} 上の有界作用素 Λ k ( A ) {\displaystyle \Lambda ^{k}(A)} を
Λ k ( A ) v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v k = A v 1 ∧ A v 2 ∧ ⋯ ∧ A v k {\displaystyle \Lambda ^{k}(A)v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=Av_{1}\wedge Av_{2}\wedge \cdots \wedge Av_{k}}
として functorially に定義する。
A がトレースクラスであるなら、
‖ Λ k ( A ) ‖ 1 ≤ ‖ A ‖ 1 k / k ! . {\displaystyle \|\Lambda ^{k}(A)\|_{1}\leq \|A\|_{1}^{k}/k!.}
によって Λ k {\displaystyle \Lambda ^{k}} (A) もトレースクラスとなる。このことから、
d e t ( I + A ) = ∑ k = 0 ∞ T r Λ k ( A ) {\displaystyle {\rm {det}}\,(I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }{\rm {Tr}}\Lambda ^{k}(A)}
として定義されるフレドホルム行列式には、意味があることが分かる。
この節では、フレドホルム行列式のある非公式な定義を紹介する。以下のフレドホルム行列式が与えられる状況において、より望ましい定義のためには、いくつかの点が well-defined であったり、収束したりすることについて証明することが求められる。以下で現れる核 K は様々なヒルベルト空間やバナッハ空間上で定義され得るものであるため、それらはつまらない練習問題という訳ではない。
フレドホルム行列式は
det ( I − λ K ) = [ ∑ n = 0 ∞ ( − λ ) n Tr  K n ] = exp  ( ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 Tr  A n n z n ) {\displaystyle \det(I-\lambda K)=\left[\sum _{n=0}^{\infty }(-\lambda )^{n}\operatorname {Tr} K^{n}\right]=\exp {(\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\operatorname {Tr} A^{n}}{n}}z^{n}})}
のように定義され得る。但し、K は積分作用素である。その作用素のトレースは