半単純環
多元環の概念の研究の歴史はもともと線型代数学と群論の関係のそれと関係が深い。ジェームス・シルベスター (James Sylvester) と アーサー・ケイリー (Arthur Cayley) は1850年に行列の概念を発展させた。この概念は多くの結果をもたらし、そのうちの1つは概念の起源である。これは群、特に、ガロワ群と、新しい方向である行列群の研究を具体化することができる。はじめは有限の場合だけが研究されていたが、明らかに新しい構造が現れ、それは今では群同型によって生成された自己準同型の多元環と考えられている。
カミーユ・ジョルダン (Camille Jordan) は、ケイリーとともに時代の大専門家であったが、それを集中的に利用した。1869年、ジョルダン・ヘルダーの定理の名前で知られる有限群の分解列の存在が証明された。そのような列の一意性は20年後オットー・ヘルダー (Otto Hölder) によって証明される。
任意の半単純環は有限個の単純アルティン環の直積として(順序の違いを除いて)一意的に書けるので、半単純環の分類は単純アルティン環の分類に帰着する。単純アルティン環は同型の違いを除いてちょうど Mn(D)(n 次全行列環)の形をしている。ただし n > 0 で D は体。よって次のように言える。
アルティン・ウェダーバーンの定理。A を環とする。以下は同値である。
A は半単純である。
A は Mn1(D1) × ... × Mnp(Dp) と同型である。ただし n1, ..., np > 0 は整数で D1, ..., Dp は(可換とは限らない)体である。
A は EndD1(E1) × ... × EndDp(Ep) と同型である。ただし D1, ..., Dp は体で E1, ..., Ep はそれぞれ D1, ..., Dp 上の0でない有限次元ベクトル空間である。