線型方程式系
x 0 + ker  f A := { x 0 + v ∈ V ∣ A v = 0 } {\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\ker f_{A}:=\{\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} \in V\mid A\mathbf {v} =\mathbf {0} \}}
で与えられる。これは ker A に随伴したアファイン空間であり、やはり方程式系の解空間と呼ばれる。随伴斉次方程式の基本解 x1, x2, ..., xn を用いれば
x 0 + c 1 x 1 + c 2 x 2 + ⋯ + c n x n {\displaystyle \mathbf {x} _{0}+c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {x} _{n}}
の形にすべての解を書くことができる。
線型方程式 A x = b の解が一意であることは、線型写像 fA が単射であることを意味し、これは ker A = {0} であることと同値である。する。またこれは、階数と退化次数の関係から、fA が非退化 (full rank) であるとも言い換えられる。またこのとき、さらに V, W の次元が同じならば、行列式 |A| は零でない。
数学において線型方程式系(せんけいほうていしきけい)とは、同時に成立する複数の線型方程式(一次方程式)の組のことである。線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。
複数の方程式の組み合わせを方程式系あるいは連立方程式と呼ぶことから、線型方程式系のことを一次方程式系、連立線型方程式、連立一次方程式などとも呼ぶこともある。
それぞれの方程式を、特定の変数について解いたときの値を等しいとして、変数を消去する方法。代入法の一種とも言える。