離散測度
離散測度の概念は、より一般的な測度空間に拡張することが出来る。ある測度空間 ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} とその上の二つの測度 μ {\displaystyle \mu } および ν {\displaystyle \nu } が与えられたとき、 μ {\displaystyle \mu } が ν {\displaystyle \nu } に関して離散的であるとは、 X {\displaystyle X} の高々可算な部分集合で次を満たすものが存在することを言う。
S {\displaystyle S} 内のすべての s {\displaystyle s} に対する単元集合 { s } {\displaystyle \{s\}} は可測(これは S {\displaystyle S} 内の任意の部分集合が可測であることを意味する)
ν ( S ) = 0 {\displaystyle \nu (S)=0\,}
μ ( X ∖ S ) = 0. {\displaystyle \mu (X\backslash S)=0.\,}
初めの二つの条件は、 ν {\displaystyle \nu } がルベーグ測度であるとき実数直線の高々可算な部分集合に対しては常に満たされることに注意されたい。したがって上述の定義では、これら二つの条件は必要ではない。