射影平面
逆に N ≥ 2 に対するこの形のスタイナー系が射影平面となることが証明できる。
位数 N の互いに直交するラテン方格の総数は高々 N − 1 である。これが N − 1 となりうる必要十分条件は、その位数の射影平面が存在することである。
一方、射影平面の分類は全然終わっていない。いくつかの結果を位数の順に以下に示す。
2 : 全て PG(2,2) に同型
3 : 全て PG(2,3) に同型
4 : 全て PG(2,4) に同型
5 : 全て PG(2,5) に同型
6 : この位数の射影平面は存在しない(オイラーの士官36人の問題(英語版)として、タリーにより示された)。
7 : 全て PG(2,7) に同型
8 : 全て PG(2,8) に同型
9 : PG(2,9) および三種類の異なる(同型でない)非デザルグ平面
10 : この位数の射影平面は存在しない(計算機による膨大な計算の結果として証明された)。
11 : すくなくとも PG(2,11) が挙げられる。他は知られていないが可能性はある。
12 : この位数の射影平面は存在しないと予想されているが証明はされていない。