行列
[ a b 0 0 c d 0 0 x y 1 0 z w 0 1 ] ⋅ [ n 0 m 0 q 1 p 0 ] = [ A 0 X E 2 ] ⋅ [ N 0 Q [ 1 0 ] ] = [ A N + 0 0 + 0 X N + E 2 Q 0 + E 2 [ 1 0 ] ] {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\begin{array}{cc|cc}a&b&0&0\\c&d&0&0\\\hline x&y&1&0\\z&w&0&1\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{c|c}n&0\\m&0\\\hline q&1\\p&0\end{array}}\right]&={\begin{bmatrix}A&0\\X&E_{2}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}N&0\\Q&\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}AN+0&0+0\\XN+E_{2}Q&0+E_{2}\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]\end{bmatrix}}\end{aligned}}}
である。ここで E2 は二次の単位行列、右辺の 0 は全ての成分が 0R(基礎環 R の零元)であるような適当なサイズの行列である。
m × n 行列 A から線型写像 R → R が各ベクトル x ∈ R を行列としての積 Ax ∈ R へ写すものとして定まる。逆に、各線型写像 f: R → R を生じる m × n 行列 A は一意的に決まる。陽に書けば、A の (i, j)-成分は、f(ej) の第 i-成分である。ただし ej = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) は第 j-成分だけが 1 で他が全部 0 の単位ベクトルである。
このとき、行列 A は線型写像 f を表現すると言い、A を f の変換行列または表現行列と呼ぶ。
例えば 2 × 2 行列
A = [ a c b d ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}
は、単位正方形を (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), (c, d) を頂点とする平行四辺形に写すものと見做すことができる。この平行四辺形は、単位正方形の頂点を成す四つの(列)ベクトル (00), (10), (11), (01) の各々に A を掛けることによって得られる。
この行列と線型写像との間の一対一対応のもとで、行列の乗法は写像の合成に対応する: 上記の A と f に加えて、k × m 行列 B が別の線型写像 g: R → R を表現するものならば、合成 g ∘ f は行列の積 BA で表現される。実際、
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x
である。最後の等号は行列の積の結合性による。
行列は二重に添字づけられた族であり、添字の各対 (i, j) に成分 aij を割り当てる二変数写像
A : { 1 , ... , m } × { 1 , ... , n } → K ; ( i , j ) ↦ a i j {\displaystyle A\colon \{1,\ldots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}\to K;\quad (i,j)\mapsto a_{ij}}
である。例えば添字の対 (1, 2) には写像の値として a12 が割り当てられる。値 aij は行列の i-行 j-列成分であるといい、m および n はそれぞれ行および列の数を意味する。写像としての行列の定義と行列が表す線型写像とを混同してはならない。
K に成分を持つ m × n 行列の全体は、したがって配置集合
map  ( { 1 , ... , m } × { 1 , ... , n } , K ) = K { 1 , ... , m } × { 1 , ... n } {\displaystyle \operatorname {map} (\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots ,n\},K)=K^{\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots n\}}}
であり、省略形として K(あるいはやや稀だが K)や M(m×n; K) などと書くことの一つの根拠になる。
行の数と列の数が一致するような行列は正方行列と呼ばれる。
ただ一つの列を持つ行列は列ベクトル、ただ一つの行を持つ行列は行ベクトルと呼ばれる。K のベクトルは、文脈によって行ベクトル空間 K または列ベクトル空間 K の元を表すのにも用いられる。
行列の一般化の方向性はいくつか異なるものが存在する。抽象代数学では行列の成分をもっと一般の(可換とは限らない)体や環としたものを用いるし、線型代数学は線型写像の概念を機軸に行列の性質を体系化したものである。また行や列の数を無限に増やした行列というものを考えることもできる。他の拡張としてテンソルは、(行列が矩形状あるいは二次元の数の配列と見ることができるのに対して)数の配列を高次化したものと見ることもできるし、ベクトルの双対や数列として実現することもできるものである。適当な制約条件を満足する行列の集まりは、行列群あるいは線型代数群などと呼ばれる群を成す。