ロピタルの定理
ロピタルの定理は通常の方法では求めることが困難な極限問題に対しても強力な手法であるが、それが常に簡単とは限らない。次の例を考えてみよう。
lim | x | → ∞ x sin  1 x . {\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }x\sin {\frac {1}{x}}.}
この極限はロピタルの定理を用いると、
lim | x | → ∞ x sin  1 x = lim | x | → ∞ sin  1 x 1 / x = lim | x | → ∞ − x − 2 cos  1 x − x − 2 = lim | x | → ∞ cos  1 x = cos  ( lim | x | → ∞ 1 x ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{|x|\to \infty }x\sin {\frac {1}{x}}&=\lim _{|x|\to \infty }{\frac {\sin {\frac {1}{x}}}{1/x}}\\&=\lim _{|x|\to \infty }{\frac {-x^{-2}\cos {\frac {1}{x}}}{-x^{-2}}}\\&=\lim _{|x|\to \infty }\cos {\frac {1}{x}}\\&=\cos {\left(\lim _{|x|\to \infty }{\frac {1}{x}}\right)}\\&=1\end{aligned}}}
本定理はスイスの数学者、ヨハン・ベルヌーイによって発見されたものであるとされている (ロピタルの定理論争を参照)。本定理の名称としては、欧州で最初の微分学書である Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (西暦1696年, 直訳: 曲線の理解のための無限小の解析) を出版し、その中で本定理を広く世に知らしめた17世紀のフランスの数学者、ギヨーム・ド・ロピタルの名を冠してロピタルの定理と呼ばれることが通例である。ベルヌーイとロピタルとの間には契約があってロピタルは命名権のためにいくらかの対価を与えたということである。ロピタルの死後にベルヌーイが自分こそが定理の発見者であると暴露した。
極限、
lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
が存在するという条件はこの定理において外すことの出来ない重要な仮定である。
例えば、 f(x) = x + sin(x) と g(x) = x に対して、
lim x → ∞ f ′ ( x ) g ′ ( x ) = lim x → ∞ 1 + cos  x 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1+\cos x}{1}}}
となりこの極限は存在しない。従ってこの場合ロピタルの定理の適用は出来ないがしかし次のように、求めたい極限はしっかり存在していることが確認できる。
lim x → ∞ f ( x ) g ( x ) = lim x → ∞ ( 1 + sin  x x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {\sin x}{x}}\right)=1}