極限
数学においては、数列など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての極限(きょくげん、英: limit)がしばしば考察される。直感的には、数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという。収束せず正の無限大、負の無限大、振動することを発散するという。
極限を表す記号として、lim (英語: limit, リミット、ラテン語: limes)という記号が一般的に用いられる。例えば次のように使う:
lim n → ∞ x n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}
lim x → 0 sin  x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
数列が収束しないとき、その数列は発散するという。特に、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 an が限りなく大きくなることを、数列 {an} は正の無限大に発散するといい、
lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }
または
a n → ∞ ( n → ∞ ) {\displaystyle a_{n}\to \infty \;(n\to \infty )}
のように表す。イプシロン-エヌ論法では、数列の正の無限大への発散は、
∀ K > 0 , ∃ n 0 ∈ N ; ∀ n ∈ N [ n > n 0 ⟹ a n > K ] {\displaystyle \forall K>0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ;\forall n\in \mathbb {N} \;{\bigg [}n>n_{0}\Longrightarrow a_{n}>K{\bigg ]}}
のように定式化される。
また、番号 n を限りなく大きくしていくとき、数列の項の値 an が限りなく小さくなることを、数列 {an} は負の無限大に発散するといい、