算術級数定理
Q ( s ) = ( 1 − q q s ) L ( s , χ 0 ) = ∑ n = 1 ∞ χ 0 ( n ) n s − ∑ m = 1 ∞ q χ 0 ( m ) ( q m ) s = ∑ n = 1 ∞ b n n s {\displaystyle Q(s)=\left(1-{\frac {q}{q^{s}}}\right)L(s,\chi _{0})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{0}(n)}{n^{s}}}-\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {q\chi _{0}(m)}{(qm)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}}
b n = { χ 0 ( n ) − q χ 0 ( n / q ) q | n χ 0 ( n ) otherwise {\displaystyle b_{n}={\begin{cases}\chi _{0}(n)-q\chi _{0}(n/q)&q|n\\\chi _{0}(n)&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
とすると | ∑ b n | ≤ q φ ( d ) {\displaystyle \left|\sum {b_{n}}\right|{\leq }q\varphi (d)} であるから、 Q ( s ) {\displaystyle Q(s)} は R s > 0 {\displaystyle \Re {s}>0} で一様収束して正則である。従って、