ユークリッド空間
{ R ∈ S ∣ ∃ t ∈ [ 0 , 1 ] ( P R → = t ⋅ P Q → ) } {\displaystyle \{R\in S\mid {}^{\exists }t\in [0,1]({\overrightarrow {PR}}=t\cdot {\overrightarrow {PQ}})\}}
を P と Q を端点とする線分、あるいは線分 PQ などと呼ぶ。線分 PQ の長さ(あるいは大きさ)とは距離 d(P, Q) のことをいう。 また、シュワルツの不等式より、S の異なる3点 P, Q, R に対して、
cos  θ = ⟨ P Q → , P R → ⟩ ‖ P Q → ‖ ⋅ ‖ P R → ‖ {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle {\overrightarrow {PQ}},{\overrightarrow {PR}}\rangle }{\|{\overrightarrow {PQ}}\|\cdot \|{\overrightarrow {PR}}\|}}}
を満たす θ ∈ [0, π] がただ一つ存在するので、これを線分 PQ と線分 PR のなす角 ∠QPR と言う。
以上のように定義された直線、平面、線分、角度などの概念を用いることによって、ユークリッド空間の中でユークリッド幾何学を展開することができる。
非負整数 n に対して n-次元ユークリッド空間 E とは、空でない集合 S と n-次元実内積空間 V の組 (S, V) で、次をみたすものをいう:
各 P, Q ∈ S に対して、V のベクトル P Q → {\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}} が一つ定まっている。
任意の P, Q, R ∈ S に対して、 P Q → + Q R → = P R → {\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}} 。
任意の P ∈ S と任意の v ∈ V に対して、ただ一つ Q ∈ S が存在して、 v = P Q → {\displaystyle v={\overrightarrow {PQ}}} 。
ある非負整数 n に対する n-次元ユークリッド空間であるものを単にユークリッド空間と呼ぶ。
数空間 R の各点 x, y に対して x y → := y − x {\displaystyle {\overrightarrow {xy}}:=y-x} と定義すれば、R と(標準内積を持った内積空間としての)R の組 (R, R) はユークリッド空間の一つの例であり、これを n-次元の標準的ユークリッド空間と呼ぶ(記号の濫用で、これをやはり単に R で表す)。
(S, V) を n-次元ユークリッド空間とするとき、S の点 O と V の順序付けられた基底 B ≔ (e1, e2, ..., en) の組 (O; B) を (S, V) の座標系と呼び、点 O を座標系の原点と呼ぶ。