一般カッツ・ムーディ代数
対称化カルタン行列とは(無限次でもよい)正方行列 (cij) であって以下を満たすものである:
c i j = c j i ; {\displaystyle c_{ij}=c_{ji};}
i ≠ j のとき c i j ≤ 0 ; {\displaystyle c_{ij}\leq 0;}
cij > 0 のとき 2 c i j / c i i {\displaystyle 2c_{ij}/c_{ii}} は整数.
与えられた対称化カルタン行列を持つ普遍一般カッツ・ムーディ代数は生成元 ei, fi, hi と以下の関係式によって定義される:
[ e i , f j ] = δ i j h i ; {\displaystyle [e_{i},f_{j}]=\delta _{ij}h_{i};}
[ h i , e j ] = c i j e j , [ h i , f j ] = − c i j f j ; {\displaystyle [h_{i},e_{j}]=c_{ij}e_{j},\;[h_{i},f_{j}]=-c_{ij}f_{j};}
cii > 0 のとき, [ e i , [ e i , ... , [ e i , e j ] ] ] = [ f i , [ f i , ...