コーシー・ビネの公式
コーシー・ビネの公式を具体例で確認してみる。
(例1)m = 1, n = 3 の場合として、行列 A = ( 1 1 2 ) , B = ( 1 3 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}} を考える。 A B = ( 4 ) , det ( A B ) = 4 {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4\end{pmatrix}},\det(AB)=4} である。
S = { 1 } , { 2 } , { 3 } {\displaystyle S=\{1\},\{2\},\{3\}} であるから、
∑ S ⊂ [ n ] | S | = m det ( A S ) det ( B S ) = det ( 1 ) ⋅ det ( 1 ) + det ( 1 ) ⋅ det ( 3 ) + det ( 2 ) ⋅ det ( 0 ) = 4. {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\scriptstyle S\subset [n] \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B^{S})=\det(1)\cdot \det(1)+\det(1)\cdot \det(3)+\det(2)\cdot \det(0)=4.}
となる。
なお、 m = 2 の式はスカラー四重積に対するビネ・コーシーの恒等式、 m = 3 の式はスカラー三重積の積に対する公式であり、 m = 4 の式より四重積 (ベクトル解析) の公式
a , x {\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {x}}} などは3次元ベクトルとする。