フーリエ積分作用素
フーリエ積分作用素を研究する動機の一つとして、波動作用素についての初期値問題に対する解作用素が挙げられる。実際、次のような問題を考える:
1 c 2 ∂ 2 u ∂ t 2 ( t , x ) = Δ u ( t , x ) for ( t , x ) ∈ R + × R n {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}(t,x)=\Delta u(t,x)\quad {\text{for }}(t,x)\in \mathbb {R} ^{+}\!\times \mathbb {R} ^{n}}
および
u ( 0 , x ) = 0 , ∂ u ∂ t ( 0 , x ) = f ( x ) , for f ∈ S ′ ( R n ) . {\displaystyle u(0,x)=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}(0,x)=f(x),\quad {\text{for }}f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}).}
この問題の解は、次のように与えられる:
u ( t , x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ e i ( ⟨ x , ξ ⟩ + c t | ξ | ) 2 i | ξ | f ^ ( ξ ) d ξ − 1 ( 2 π ) n ∫ e i ( ⟨ x , ξ ⟩ − c t | ξ | ) 2 i | ξ | f ^ ( ξ ) d ξ .