根体
P が体 K 上の n-次既約多項式ならば、同型の違いを除いてただ一つ P の根体 K[X]/(P(X)) が存在(フランス語版)する。さらに言えば、これは拡大次数 n の拡大体であって、P の根を含む K の任意の拡大体が、根体を中間拡大体として含む。
ここに、多項式 P の既約性は、多項式の根を含む最小の拡大体の一意性を言うために必要である。実際、K 上の次数の相異なる二つの既約多項式の積に対し、その各既約因子の根を添加する拡大は、上で述べたように K 上相異なる拡大次数を持つ拡大体を定めるから、それらは互いに同型でない。次数が同じである場合も同型でないことは起こりうる。例えば、多項式 P(X) = X – X – 2 = (X + 1)(X – 2) は Q 上で P の根を含む二つの次数最小の拡大体 Q[i] および Q[√2] を持ち、これらは互いに同型でない。