畳み込み
二つの有界変動ボレル測度 μ と ν の畳み込みとは,
∫ R d f ( x ) d λ ( x ) = ∫ R d ∫ R d f ( x + y ) d μ ( x ) d ν ( y ) {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)d\lambda (x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x+y)\,d\mu (x)\,d\nu (y)}
で定義される測度 λ を言う. これは μ と ν を分布と見るとき, 前節にいう分布の畳み込みに一致する. また μ と ν がルベーグ測度に関して絶対連続であるとき, それらの密度函数の L-函数としての畳み込みとも一致する.
測度の畳み込みは, 測度の全変動(英語版)をノルムとして
‖ μ ∗ ν ‖ ≤ ‖ μ ‖ ‖ ν ‖ {\displaystyle \lVert \mu *\nu \rVert \leq \lVert \mu \rVert \,\lVert \nu \rVert }
を満たすという意味でのヤングの不等式が成立する. 有界変動測度の空間はバナッハ空間であるから, 測度の畳み込みは函数解析学の標準的な (分布の畳み込みに対しては適用できない) 方法で扱うことができる.
有限長信号の直線畳み込みは「範囲外が0埋めされた関数」と見なすことで通常の直線畳み込み演算を適用できる。しかし値が0と事前に確定している領域を実際に計算するのは無駄であり、実践的には有限区間に限って計算がおこなわれる。畳み込みは2つの関数を重ね合わせる演算であるため「0埋めした領域を畳み込んだ場合に出力扱いするか」にバリエーションが存在する。以下はその一例である。
valid: 両関数が非ゼロの領域のみ出力 (L=N-M+1)
full: 両関数が非ゼロでない限り出力 (L=N+M-1)
same: 中央部分を入力と同じ長さだけ出力 (L=N)
fullは「両側 M-1 ゼロパディング+valid直線畳み込み」と同義であり、sameは「両側 (M-1)/2 ゼロパディング+valid直線畳み込み」と同義である。
離散信号 f, g の畳み込み f ∗ g は以下のように定義される:
( f ∗ g ) ( m ) = ∑ n f ( n ) g ( m − n ) {\displaystyle (f*g)(m)=\sum _{n}{f(n)\,g(m-n)}}
すなわち積分のかわりに総和を使って同様に定義される。そのため畳み込み和・重畳和とも呼ばれる。
総和の範囲も関数の定義域に依存し、関数が有限区間でしか定義されていない場合は周期関数とみなして畳み込み演算が行われる。また定義域外の値を 0 と定義し直した関数での畳み込みがよく行われる。これを線形畳み込み(せんけいたたみこみ、英: linear convolution)あるいは直線畳み込み(ちょくせんたたみこみ)と呼ぶ。