バナッハ空間
(Ω, μ) を測度空間とし、p を 1 以上の実数とするとき、Ω 上の p 乗可積分関数全体の集合 L(Ω, μ) は、 ‖ f ‖ p = ( ∫ Ω | f | p d μ ) 1 / p {\displaystyle \lVert f\rVert _{p}=\left(\int _{\Omega }|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}} で定まるノルムに関してバナッハ空間である。Ω が自然数全体の集合 N で、μ が数え上げ測度のとき、L(Ω, μ) は上で述べた l と一致する。
(Ω, μ) を測度空間とし、Ω 上の本質的に有界な関数、すなわちほとんどすべての x ∈ Ω に対して f(x) ≤ M となる M が x に依存せずに存在するような関数全体の集合 L(Ω, μ) は、上のような M の下限で定義されるノルムに関してバナッハ空間である。Ω が自然数全体の集合 N で、μ が数え上げ測度のとき、L(Ω, μ) は上で述べた l と一致する。
有界閉区間 I 上の実数値連続関数全体 C(I) は ‖ f ‖ = max x ∈ I | f ( x ) | {\displaystyle \lVert f\rVert =\max _{x\in I}|f(x)|} で定まるノルムに関してバナッハ空間である。
実ヒルベルト空間は内積から導かれるノルムに関してバナッハ空間となっている。