レヴナー微分方程式
これらは、省略された無限遠点へ繋がっている有限個のジョルダン曲線の弧への単位円板からの共形写像である。密度はカラテオドリの核定理(英語版)(Carathéodory kernel theorem)を使い示すことができる。実際、任意の単葉函数 f(z) は、
g ( z ) = f ( r z ) / r {\displaystyle \displaystyle {g(z)=f(rz)/r}}
により、近似することができ、単位円を解析曲線へ写像する。曲線上の点は、ジョルダン曲線の弧により無限遠点へつなぐことができる。解析曲線の小さな部分を選択した点の一方へ押しやることにより得られる領域は、g(D) へ収束するので、これらの領域上への D からの対応する単葉写像は、コンパクトな集合上で g へ一様収束する。
スリット写像 f へレヴナー微分方程式を適用すると、有限個の点から ∞ 押しやられたジョルダン曲線の弧 c(t) は、[0,∞) によってパラメトライズすることができるので、小さな c([t,∞)) での D から C 上への単葉写像 ft は、連続な bn を持つ
f t ( z ) = e t ( z + b 2 ( t ) z 2 + b 3 ( t ) z 3 + ⋯ ) {\displaystyle \displaystyle {f_{t}(z)=e^{t}(z+b_{2}(t)z^{2}+b_{3}(t)z^{3}+\cdots )}}