パスカルの三角形
パスカルの三角形(パスカルのさんかくけい、英: Pascal's triangle)は、二項展開における係数を三角形状に並べたものである。ブレーズ・パスカル(1623年 - 1662年)の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。
この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。まず最上段に 1 を配置する。それより下の段は両端には 1 を、それ以外の位置には右上の数と左上の数の和を配置する。例えば、5段目の左から2番目には、左上の 1 と右上の 3 の合計である 4 が入る。このようにして数を並べると、上から n 段目、左から k 番目の数は、二項係数
( n − 1 k − 1 ) = n − 1 C k − 1 {\displaystyle {n-1 \choose k-1}={}_{n-1}\mathrm {C} _{k-1}}
に等しい。これは、パスカルによって示された以下の式に基づいている。
負でない整数 n ≥ k に対して
( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) {\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}
( n 0 ) = ( n n ) = 1 {\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}
が成り立つ。
例えば5段目の4から始め 4, 10, 6, 1 の4つの数字(右の図で四角で囲まれているもの)を拾うと、その合計は 21 となり、これはフィボナッチ数である。同様に、5段目の1から始めて 1, 10, 15, 7, 1 の5つの数字(右の図の網がかかったもの)の合計は 34 となる。
また、m 段目のそれぞれの数字の合計は、2 となる。例えば、5段目に出現する数字の合計は 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 であり、この値は 2 に等しい。これは、2 = (1 + 1) を二項展開することで容易に示すことができる。1段目から m 段目までの数字の総計は 2 − 1 となる。
m 段目にあるそれぞれの数を2乗して足すと、2m − 1 段目の中央の数になる。例えば、5段目では 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 70 となり、9段目の中央の数に一致する。これは、以下の式に基づいている。
∑ k = 0 n ( n k ) 2 = ( 2 n n ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}}
奇数段目の中央の数字からその2つ隣の数を引くと、カタラン数になる。例えば、7段目の中央の20からその2つ横の 6 を引くと 20 − 6 = 14 であり、これは4番目のカタラン数に等しい。
ある段の端から2番目の数 p が素数のとき、その段の両端以外の数字は p の倍数となる。
さらに、パスカルの三角形を作成し、各数の倍数に色を付けると、右のような模様ができる。