リンドラー座標
t = arctanh  ( s x 0 ) , − x 0 < s < x 0 x = x 0 2 − s 2 , − x 0 < s < x 0 y = y 0 z = z 0 {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\operatorname {arctanh} \left({\frac {s}{x_{0}}}\right),\;-x_{0}<s<x_{0}\\x&={\sqrt {x_{0}^{2}-s^{2}}},\;-x_{0}<s<x_{0}\\y&=y_{0}\\z&=z_{0}\end{aligned}}}
ここで、 s {\displaystyle \scriptstyle s} はこのミンコフスキー観測者の固有時間である。この観測者の履歴の一部しかリンドラーチャートには描かれないことに注意されたい。このことはリンドラーチャートが測地完全(英語版)ではないことを明示している。時間的測地線は有限の固有時間のうちにリンドラーチャートの範囲外に出てしまえるのである。もちろん、我々はリンドラーチャートは測地完全である元のデカルトチャートの一部分しか覆わないので、リンドラーチャートが測地完全ではありえないことは当然のことである。
上図には、 x 0 = 1 {\displaystyle \scriptstyle x_{0}\;=\;1} の場合を、 s ∈ { − 1 2 , 0 , 1 2 } {\displaystyle \scriptstyle s\,\in \,\left\{-{\frac {1}{2}},\;0,\;{\frac {1}{2}}\right\}} における(縮尺を併せかつ適切にブーストされた)光円錐と共に描いてある。
別の基準系を導入してみよう。ミンコフスキーチャートにおける自然な選択は、以下のようなものである。
f → 0 = ∂ T , f → 1 = ∂ X , f → 2 = ∂ Y , f → 3 = ∂ Z {\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T},\;{\vec {f}}_{1}=\partial _{X},\;{\vec {f}}_{2}=\partial _{Y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{Z}}
これらのベクトル場を上述の変換で変換すると、(リンドラーのくさびの範囲内で)リンドラーチャート上ではこの基準系は以下のようになることがわかる。
f → 0 = 1 x cosh  ( t ) ∂ t − sinh  ( t ) ∂ x f → 1 = − 1 x sinh  ( t ) ∂ t + cosh  ( t ) ∂ x f → 2 = ∂ y , f → 3 = ∂ z {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {f}}_{0}&={\frac {1}{x}}\cosh(t)\,\partial _{t}-\sinh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{1}&=-{\frac {1}{x}}\sinh(t)\,\partial _{t}+\cosh(t)\,\partial _{x}\\{\vec {f}}_{2}&=\partial _{y},\;{\vec {f}}_{3}=\partial _{z}\end{aligned}}}
相対論的物理において、リンドラー座標チャート (Rindler coordinate chart) は平坦な時空、すなわちミンコフスキー真空を表現するために重要かつ有用な座標チャート(英語版)である。リンドラー座標系は、ミンコフスキー空間内を一様加速度運動している基準系を記述する。特殊相対性理論によれば、一様な加速度を受ける粒子は双曲線運動(英語版)を行う。このような各粒子が静止して見えるのがリンドラー基準系である。
リンドラーチャートという名前は、この座標チャートの使用を普及させたウォルフガング・リンドラー(英語版)に由来する。ただし、アルバート・アインシュタインとネイサン・ローゼンの1935年の論文に既に使われていた概念である。