開集合
一般の位相空間において、開集合としてはほとんど何でもありで、下敷きにする集合が同じであっても開集合族として選ぶものが異なれば、位相空間としては異なるものとなる。
集合 X とその上の部分集合族 τ に対し、τ が X 上の位相または開集合系であるとは、
全体集合 X と空集合は τ に属する: X ∈ τ , ∅ ∈ τ {\textstyle X\in \tau ,\,\emptyset \in \tau } .
τ に属する集合の任意の合併は τ に属する: { O i } i ∈ I ⊆ τ ⟹ ⋃ i ∈ I O i ∈ τ {\textstyle \{O_{i}\}_{i\in I}\subseteq \tau \implies \bigcup _{i\in I}O_{i}\in \tau } .
位相空間の部分集合は、開であるもの、閉であるもの、開かつ閉であるものもあるし、開でも閉でもないものもある。
例として、実数直線 R に通常の位相(ユークリッド位相)を入れたものを考える。これは以下のようなものである: 実数からなる任意の開区間 (a, b) は開集合であり、そのような区間からなる任意の合併もまた開集合である。例えば、そのような開区間の合併 (a, b)∪(c, d) は(両区間が交わっても交わらなくても)開集合になる。
任意の位相において、定義により、全体空間 X と空集合は開集合である。さらに言えば、全体集合の補集合は空集合で、これは開であるから、補集合が開となる X は定義により閉集合である。つまり、任意の位相において、全体空間は開であると同時に閉でもある(開かつ閉集合)。
開区間 I ≔ (0, 1) は、ユークリッド位相の開集合族に入っているから、開集合である。仮に I が開な補集合を持つならば I は閉集合ということになるが、実際にはそうではない。補集合は ∁I = (−∞, 0]∪[1, ∞) で、これは開区間の合併には書けないから、ユークリッド位相には入っていない。よって I は開だが閉でない集合の例になっている。
同様の議論で、閉区間 J ≔ [0, 1] は閉だが開でない。
最後に、半開区間 K ≔ [0, 1) もその補集合 ∁K = (−∞, 0)∪[1, ∞) もユークリッド位相には入らないから、K は開でも閉でもない。