ランダウ＝リフシッツ＝ギルバート方程式
LL方程式の減衰項はラーモア歳差運動のトルクに比例している。しかし、実際に磁性体中で起こる減衰では、磁化ベクトルが時間変化しているため、その減衰運動もまた時間に依存しているはずである。1955年、ギルバートはLL方程式における減衰項を磁化の時間微分に比例する項に置き換えた。
d M d t = − γ M × H e f f + α M s M × d M d t {\displaystyle {\frac {d{\textbf {M}}}{dt}}=-\gamma {\textbf {M}}\times {\textbf {H}}_{\mathrm {eff} }+{\frac {\alpha }{M_{s}}}{\textbf {M}}\times {\frac {d{\textbf {M}}}{dt}}}
これがランダウ=リフシッツ=ギルバート方程式(LLG方程式)である。ここで、α>0はギルバート減衰定数と呼ばれ、減衰運動の強さを決定する無次元量である。
LL方程式との違いを見るために、LLG方程式の両辺について磁化ベクトルMとのクロス積をとり、式を整理すると、
磁化の動力学についての最初のモデルは、1935年にランダウとリフシッツによって導入された。このモデルは磁場の存在による磁化の歳差運動を表す運動方程式で、磁場の異方性や量子力学的な効果は有効磁場として現象論的に導入される。
ランダウとリフシッツが提案したのは、磁化ベクトルMに対する以下の式である。
d M d t = − γ M × H e f f − λ M × ( M × H e f f ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {M} }{dt}}=-\gamma \mathbf {M} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-\lambda \mathbf {M} \times \left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }\right)}
この式は一般に、ランダウ=リフシッツ方程式(LL方程式)と呼ばれる。ここで、γは電子の磁気回転比、有効磁場Heffは外部磁場と内部磁場に量子力学的な補正を加えた磁場である。