フロベニウス自己準同型
スキームのフロベニウス写像の定義方法にはいくつかの異なる方法がある。絶対フロベニウス写像は最も基本的である。しかし、絶対フロベニウス写像は、ベーススキームに注意を払わないので、相対的な状況下ではうまい振る舞いをしない。相対的状況下でフロベニウス写像が適用する方法は、いくつかの異なる方法があり、それぞれ有用である場合が異なっている。
有限体 Fp を考える。フェルマーの小定理により、Fp のすべての元 x は、x = x を満たす。同じことだが、多項式 X − X の根である。したがって、Fp の元は、この多項式の p 個の根を決定し、この多項式は次数 p なので、どんなに体を拡大しても p 個よりも多くの根を持つことはない。特に、K が Fp の代数拡大(代数的閉包、または他の有限体のような)であれば、 K のフロベニウス写像に関する不変体は Fp である。
R を標数 p > 0 の環とする。R が整域であれば、同じ理由でフロベニウス写像の不動点は素体の元である。しかしながら、R が整域でないと、X − X は p 個よりも多い根を持つかもしれない。たとえば、R = Fp × Fp のとき、このようなことが起きる。
同様の性質を有限体 F p e {\displaystyle \mathbf {F} _{p^{e}}} も持つ。
局所体の不分岐有限拡大 L/K が与えられると、フロベニウス自己準同型(Frobenius endomorphism)の概念が存在し、剰余体の対応する拡大の中のフロベニウス準同型を誘導する。
L/K を K の 整数環 OK を持つ局所体の不分岐拡大で、剰余体である最大イデアル φ を modulo とする K の整数が位数 q の有限体であるとする。Φ が φ 上にある L の素イデアルにならば、つまり、L/K が Φ を modulo として L の整数であるという定義により不分岐であるならば、L の剰余体は、K の剰余体を拡張である環 q の有限体となる。ここに f は、L/K の次数である。L の整数環 OL の元に対するフロベニウス写像を
s Φ ( x ) ≡ x q mod Φ {\displaystyle s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi }
となる L の自己同型 sΦ として定義する。