熱力学的状態方程式
ある熱力学系に微小熱量 d′Q を準静的に加えて、系の内部エネルギー、体積、温度がそれぞれ dU、dV、dT だけ変化したとする。このとき、体積変化に伴う仕事以外の仕事を系がしなかったなら、熱力学第一法則より
d ′ Q = d U + P d V {\displaystyle \mathrm {d} 'Q=\mathrm {d} U+P\mathrm {d} V}
が成り立つ。内部エネルギーを T と V の関数と考えれば、dU は
d U = ( ∂ U ∂ T ) V d T + ( ∂ U ∂ V ) T d V {\displaystyle \mathrm {d} U=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}\mathrm {d} V}
で与えられるので、これを d′Q = dU + PdV に代入すると d′Q は
d ′ Q = ( ∂ U ∂ T ) V d T + [ ( ∂ U ∂ V ) T + P ] d V {\displaystyle \mathrm {d} 'Q=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}\mathrm {d} T+\left[\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}+P\right]\mathrm {d} V}
と表される。熱容量 C は d′Q/dT で定義されるので、定積過程では