周期点
相空間を M とし、(離散)力学系を定める写像を f : M → M とする。相空間上の点 x ∈ M に対する写像 f の n 回反復合成を f () で表す。ある x について
f k ( x ) = x {\displaystyle f^{k}(x)=x}
を満たす自然数 k が存在するとき、x を周期点と呼ぶ。周期点の例として、写像 f (x) = x − 1 を考える。ここで R を実数とし、x ∈ R である。この写像では、f (0) = −1 でさらに f (−1) = 0 なので、x = 0, −1 は周期点である。
上式を満たす最小の自然数 k は周期と呼ばれる。あるいは、上式を満たす全ての自然数 k を周期と呼び、最小の k は最小周期などと呼び分ける流儀もある。すなわち上式に加えて
f n ( x ) ≠ x ( 1 ≤ n < k ) {\displaystyle f^{n}(x)\neq x\ (1\leq n<k)}
を満たす k が周期または最小周期である。以下では特に断りない限り周期と呼ぶ。
周期 k の周期点は、略して k 周期点などと呼ばれる。特に k = 1 の周期点、すなわち
f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x}
1次元写像の周期点 p が吸引的または反発的であるとき、すなわち
| ( f k ) ′ ( p ) | ≠ 1 {\displaystyle \left|(f^{k})^{\prime }(p)\right\vert \neq 1}
を満たすとき、p は双曲型であるという。また、
| ( f k ) ′ ( p ) | = 1 {\displaystyle \left|(f^{k})^{\prime }(p)\right\vert =1}
の場合は、p は中立的あるいは非双曲型であるという。
これらの概念は多次元数空間や複素数上の写像に拡張される。m 次元写像 f : R → R の場合は、周期点 p ∈ R における反復合成 f のヤコビ行列 Df (p) のすべての固有値の絶対値が 1 よりも小さいときに p は吸引周期点で、Df (p) のすべての固有値の絶対値が 1 よりも大きいときに p は反発周期点である。多次元写像では1次元写像と異なり、Df (p) のいくつかの固有値の絶対値が 1 よりも小さく、残りの固有値の絶対値が 1 よりも大きい場合があり、このような周期点 p を鞍点やサドルなどという。
例えば、x, y ∈ R を変数とする2次元写像
f ( x , y ) = ( 0.43 − x 2 + 0.4 y , x ) {\displaystyle f(x,y)=(0.43-x^{2}+0.4y,\ x)}
は、(0.7, −0.