アーベル圏
東北ジャーナルにおける論文 (Grothendieck 1957) においてグロタンディークはアーベル圏 A が満たすべき四つの公理(とその双対)について記している。これらの公理は今日においても広く用いられている。具体的には
AB3) A の対象からなる任意の集合 {Ai} に対して余積 ∗Ai が A の対象として存在する(すなわち A は余完備である)。
AB4) A は AB3) を満たし、かつ圏論的単射(モノ射)の族の余積は再び圏論的単射となる。
AB5) A は AB3) を満たし、かつ完全列のフィルター付けられた余極限は再び完全になる。
および、これらの双対
AB3*) A の対象からなる任意の集合 {Ai} に対して積 PAi が A の対象として存在する(すなわち A は完備である)。
AB4*) A は AB3*) を満足し、かつ圏論的全射(エピ射)の族の積は再び圏論的全射となる。
AB5*) A は AB3*) を満足し、かつ完全列のフィルター付けられた極限は再び完全である。
公理 AB1) および AB2) は加法圏をアーベル圏とするための公理となっている。具体的には、
AB1) 任意の射が核と余核を持つ。
AB2) 任意の射 f に対して余像 coim f から像 im f への標準射が同型になる。
グロタンディークはさらに AB6) と AB6*) と呼ばれる公理も与えている。