平方因子をもたない整数
{\displaystyle Q(x)=\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}\mu (d)\left\lfloor {\frac {x}{d^{2}}}\right\rfloor =\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}{\frac {x\mu (d)}{d^{2}}}+O(\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}1)=x\sum _{d\leq {\sqrt {x}}}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O({\sqrt {x}})=x\sum _{d}{\frac {\mu (d)}{d^{2}}}+O\left(x\sum _{d>{\sqrt {x}}}{\frac {1}{d^{2}}}+{\sqrt {x}}\right)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O({\sqrt {x}}).}
となるからである。 Ivan Matveyevich Vinogradov、M.N. Korobov、Hans-Egon Richert によるリーマンゼータ関数の最大の知られている零点のない領域を利用することによって、誤差項の最大サイズは Arnold Walfiszによって減らされていて、ある正の定数 c に対して
Q ( x ) = 6 x π 2 + O ( x 1 / 2 exp  ( − c ( log  x ) 3 / 5 ( log  log  x ) 1 / 5 ) ) .
無平方数のディリクレ母関数は
ζ ( s ) ζ ( 2 s ) = ∑ n = 1 ∞ | μ ( n ) | n s {\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}}
(ここで ζ(s) はリーマンゼータ関数)で与えられる。このことはオイラー積
ζ ( s ) ζ ( 2 s ) = ∏ p ( 1 − p − 2 s ) ( 1 − p − s ) = ∏ p ( 1 + p − s ) {\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s})}
から容易に確かめられる。