運動量
物理学において、ベクトルで表される物理量とある原点に対する位置の外積をモーメントという。運動量のモーメントは、角運動量 (angular momentum) と呼ばれ、次のように定義される。
L := r × p . {\displaystyle {\boldsymbol {L}}:={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}.}
古典的な角運動量の大きさは、位置ベクトル r の大きさと、運動量 p の r に直交する成分の大きさの積として表される。2 つのベクトル r, p が載っている平面上の、2 つのベクトル r, p の間の角度を θ とすれば、角運動量の大きさは次のように表される。
| L | = | r | | p ⊥ | = | r | | p | sin  θ . {\displaystyle \left|{\boldsymbol {L}}\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}_{\perp }\right|=\left|{\boldsymbol {r}}\right|\left|{\boldsymbol {p}}\right|\sin \theta .}
解析力学においては、角運動量は角度に対応した一般化運動量として得られる。
角運動量は、ニュートンの運動方程式と同様な方程式、
d L d t = N {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}}
を満たす。ここで N ≔ r × F は物体に作用する力のモーメントである。
H ( q , p ) := max q ̇ ∈ D { q ̇ ⋅ p − L ( q , q ̇ ) } {\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}}):=\max _{{\dot {\boldsymbol {q}}}\in D}\left\{{\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right\}}
の右辺を最大化する ·q を考えると、ルジャンドル変換をする領域 D の中でラグランジアンが凸でありかつ充分滑らかなら、そのような ·q は以下の関係を満たす。
∂ ∂ q ̇ ( q ̇ ⋅ p − L ( q , q ̇ ) ) = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\dot {\boldsymbol {q}}}}}\left({\dot {\boldsymbol {q}}}\cdot {\boldsymbol {p}}-L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})\right)={\boldsymbol {0}}.}
これはすなわち、ハミルトニアンの変数 p が一般化運動量に等しいことを意味する。
時刻 t0 から t1 の間の物体の運動量の変化量を
Δ p ( t 0 ; t 1 ) := p ( t 1 ) − p ( t 0 ) = ∫ t 0 t 1 d p d t d t {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1}):={\boldsymbol {p}}(t_{1})-{\boldsymbol {p}}(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}\,dt}
とする。 この物体が時刻 t に力 F(t) を受けながら運動していたとすると、運動方程式から運動量の時間変化率 dp/dt は力 F(t) に等しいため、運動量の変化量 Δp は
Δ p ( t 0 ; t 1 ) = ∫ t 0 t 1 F ( t ) d t =: I {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {p}}(t_{0};t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {F}}(t)\,dt=:{\boldsymbol {I}}}
となり力 F(t) を時刻 t0 から t1 まで積分したものに等しい。 この力の時間積分 I は力積(impulse)と呼ばれ、運動量の変化量に等しい。
時間 Δt=t1−t0 で物体が受ける力の時間的な平均は
一般化座標として二次元極座標 x = (r, θ) を選ぶと、ラグランジアン及び r, θ に共役な運動量 pr, pθ はそれぞれ
L ( r , θ , r ̇ , θ ̇ ) = m 2 ( r ̇ 2 + r 2 θ ̇ 2 ) − U ( x ) {\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {r}},{\dot {\theta }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-U({\boldsymbol {x}})}
p r = ∂ L ∂ r ̇ = m r ̇ {\displaystyle p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}}
p θ = ∂ L ∂ θ ̇ = m r 2 θ ̇ {\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}}
となる。ここで、θ に共役な運動量は角運動量となっている。また r の共役運動量は動径方向への運動量を表している。