曲線の特異点
c0 + 2mc1 + mc2 = 0 が m について実解をもたなければ、すなわち c0c2 − c1 > 0 ならば、原点は孤立点(英語版)と呼ばれる。実平面において原点は曲線の(位相的な)孤立点であるが、しかしながら複素曲線と考えられたときは原点は孤立しておらず c0 + 2mc1 + mc2 = 0 の 2 つの複素解に対応する 2 つの虚接線をもつ。このとき関数 f は原点において極値をもつ。
c0 + 2mc1 + mc2 = 0 が m について重複度 2 の1つの解をもてば、つまり c0c2 − c1 = 0 ならば、原点は尖点(カスプ)と呼ばれる。このとき曲線は原点において向きを変え尖った点をつくる。曲線は原点において 2 つの一致する接線と考えることのできる 1 つの接線をもつ。
c0 + 2mc1 + mc2 = 0 が m について 2 つの実解をもてば、すなわち c0c2 − c1 < 0 ならば、原点は結節点と呼ばれる。このとき曲線は原点において自分自身と交わり c0 + 2mc1 + mc2 = 0 の 2 つの解に対応して 2 つの異なる接線をもつ。関数 f はこのとき原点において鞍点をもつ。