相対論的力学
φ ̇ = { H tot , P e } = { e , P e } ⋅ χ + { b , P e } ⋅ φ ≈ − χ {\displaystyle {\dot {\phi }}=\{H_{\text{tot}},P_{e}\}=\{e,P_{e}\}\cdot \chi +\{b,P_{e}\}\cdot \phi \approx -\chi }
であり、拘束条件が常に満たされるためには、新たに二次拘束条件として χ = − φ ̇ ≈ 0 {\displaystyle \chi =-{\dot {\phi }}\approx 0} が課される。この拘束条件は質量殻条件である。 新たな拘束関数の導関数は
χ ̇ = { H tot , χ } = { b , χ } ⋅ φ ≈ 0 {\displaystyle {\dot {\chi }}=\{H_{\text{tot}},\chi \}=\{b,\chi \}\cdot \phi \approx 0}
であり、これ以上の二次拘束条件は課されない。
ニュートン力学において粒子の運動は、時刻 t を媒介変数とする粒子の位置の関数 x = r(t) として表される。つまり、粒子の運動を表すことは時々刻々の位置を追うことである。 相対論においては時間が空間とともに4元ベクトルとして振る舞うので、運動のパラメータとして時間を用いると、ローレンツ変換の下での共変性が明白ではなくなる。すなわち、相対論において時間は運動を記述する自然なパラメータではなくなる。そもそも相対論には自然なパラメータが存在せず、パラメータの付替えの下で相対論は不変である。なお、明白なローレンツ共変性を犠牲にすれば、時間を運動のパラメータとして選ぶこともできる。
適当な運動のパラメータを λ として、粒子の位置を
x = X ( λ ) {\displaystyle x=X(\lambda )}
で表す。
パラメータの付替え λ → λ' = f(λ) が適当である条件として、旧いパラメータ λ の増加に伴って、新たなパラメータ λ' も単調に増加する必要があり
d λ ′ d λ = f ̇ ( λ ) ≥ 0 {\displaystyle {\frac {d\lambda '}{d\lambda }}={\dot {f}}(\lambda )\geq 0}
である。特に、光速 c を用い、時間 t = X/c を運動のパラメータとして選ぶことができるので
d t d λ = 1 c X ̇ 0 ( λ ) ≥ 0 {\displaystyle {\frac {dt}{d\lambda }}={\frac {1}{c}}{\dot {X}}^{0}(\lambda )\geq 0}
である。
ニュートン力学においては、位置の時間導関数として速度が定義された。 相対論においては自然なパラメータが存在しないため、導関数 X ̇ {\displaystyle {\dot {X}}} は物理的意味を持たない。 すなわちパラメータの付替えに対して、導関数は連鎖律により
X ̇ ( λ ) = d X d λ → d X d λ ′ = d X d λ / d λ ′ d λ {\displaystyle {\dot {X}}(\lambda )={\frac {dX}{d\lambda }}\to {\frac {dX}{d\lambda '}}={\frac {dX}{d\lambda }}{\bigg /}{\frac {d\lambda '}{d\lambda }}}
と変化するので、dλ'/dλ の分だけ変化する。 この変化を相殺するように、4元速度は
U μ ( λ ) = c X ̇ μ ( λ ) − X ̇ ν X ̇ ν {\displaystyle U^{\mu }(\lambda )={\frac {c{\dot {X}}^{\mu }(\lambda )}{\sqrt {-{\dot {X}}^{\nu }{\dot {X}}_{\nu }}}}}
で定義される。定義から明らかに UUμ = −c である。