シュレーディンガー場
デルタ相互作用の特殊な場合である、 V ( x 1 , x 2 ) = λ δ ( x 1 − x 2 ) {\displaystyle V(x_{1},x_{2})=\lambda \delta (x_{1}-x_{2})} を満たすケースは広く研究されており、 非線形シュレディンガー方程式として知られている。相互作用は常に2つの粒子が同じ位置にあるときに発生するため、非線形シュレディンガー方程式を導く作用は局所的である。
S = ∫ x ψ † ( i ∂ ∂ t + ∇ 2 2 m ) ψ + λ ∫ x ψ † ψ † ψ ψ {\displaystyle S=\int _{x}\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi +\lambda \int _{x}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi }
相互作用の強さ λ {\displaystyle \lambda } は 2より大きい次元での繰り込みが必要であり、2次元では対数発散が生ずる。 どの次元でも、べき乗則の発散があっても、理論は明確に定義される。 粒子がフェルミオンの場合、相互作用はない。
2つの「非相対論的」場 A ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {A}}(x)} 、 B ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {B}}(x)} は次のように定義する。
a ^ ( x ) = e − i m c 2 t / ħ 2 m c 2 A ^ ( x ) , b ^ ( x ) = e − i m c 2 t / ħ 2 m c 2 B ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {a}}(x)={\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {A}}(x),\quad {\hat {b}}(x)={\frac {e^{-imc^{2}t/\hbar }}{\sqrt {2mc^{2}}}}{\hat {B}}(x)} 、
静止質量に加えて、相対論的尺度であるラグランジアン密度の痕跡により、急速に位相が振動する成分を除外する操作を考えることで L = ( ħ c ) 2 ∂ μ φ ∂ μ φ † − ( m c 2 ) 2 φ φ † {\displaystyle L=(\hbar c)^{2}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi ^{\dagger }-(mc^{2})^{2}\phi \phi ^{\dagger }} は以下のようになる。
L = ( ħ c ) 2 ( ∂ μ a ^ ∂ μ a ^ † + ∂ μ b ^ ∂ μ b ^ † + .