ハンセン–ジャガナサン境界
この不等式の右辺を指してハンセン–ジャガナサン境界と呼ぶ。
ここで E t [ m t + 1 ] {\displaystyle E_{t}[m_{t+1}]} が0ではないと仮定すると、安全資産のグロスの利子率を R f , t + 1 {\displaystyle R_{\mathrm {f} ,t+1}} とした時、
R f , t + 1 = 1 E t [ m t + 1 ] {\displaystyle R_{\mathrm {f} ,t+1}={\frac {1}{E_{t}[m_{t+1}]}}}
であるので、ハンセン–ジャガナサン境界の両辺を ( E t [ m t + 1 ] ) 2 {\displaystyle {\Big (}E_{t}[m_{t+1}]{\Big )}^{2}} で割ることで次の表現が得られる。
V a r t ( m t + 1 ) ( E t [ m t + 1 ] ) 2 ≥ ( E t [ R t + 1 − R f , t + 1 1 ] ) ′ ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( E t [ R t + 1 − R f , t + 1 1 ] ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}{{\Big (}E_{t}[m_{t+1}]{\Big )}^{2}}}\geq {\Big (}E_{t}[R_{t+1}-R_{\mathrm {f} ,t+1}\mathbf {1} ]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}E_{t}[R_{t+1}-R_{\mathrm {f} ,t+1}\mathbf {1} ]{\Big )}}
となる。よって相関係数 C o r r t ( m t + 1 , R t + 1 ) {\displaystyle \mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{t+1})} が-1以上1以下であることに注意すれば、
V a r t ( m t + 1 ) = 1 ( C o r r t ( m t + 1 , R t + 1 ) ) 2 ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) 2 V a r t ( R t + 1 ) ≥ ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) 2 V a r t ( R t + 1 ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})={\frac {1}{{\Big (}\mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{t+1}){\Big )}^{2}}}{\frac {{\Big (}1-E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]{\Big )}^{2}}{\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})}}\geq {\frac {{\Big (}1-E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]{\Big )}^{2}}{\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})}}}
リスク資産が一つであるならば、そのグロスのトータルリターンを R t + 1 {\displaystyle R_{t+1}} として
1 = E t [ m t + 1 R t + 1 ] = E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] + C o v t ( m t + 1 , R t + 1 ) {\displaystyle 1=E_{t}[m_{t+1}R_{t+1}]=E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]+\mathrm {Cov} _{t}(m_{t+1},R_{t+1})} = E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] + V a r t ( m t + 1 ) V a r t ( R t + 1 ) C o r r t ( m t + 1 , R t + 1 ) {\displaystyle =E_{t}\left[m_{t+1}\right]E_{t}\left[R_{t+1}\right]+{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})}}{\sqrt {\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1})}}\mathrm {Corr} _{t}(m_{t+1},R_{t+1})}
この時、ハンセン–ジャガナサン距離 H J D {\displaystyle HJD} は以下のように定まる。
H J D = E t [ ( m t + 1 ∗ − m ^ t + 1 θ ) 2 ] = ( 1 − E t [ m t + 1 θ R t + 1 ] ) ′ ( E t [ R t + 1 R t + 1 ′ ] ) − 1 ( 1 − E t [ m t + 1 θ R t + 1 ] ) {\displaystyle HJD={\sqrt {E_{t}[(m_{t+1}^{*}-{\widehat {m}}_{t+1}^{\theta })^{2}]}}={\sqrt {{\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}^{\theta }R_{t+1}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}E_{t}[R_{t+1}R_{t+1}^{\prime }]{\Big )}^{-1}{\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}^{\theta }R_{t+1}]{\Big )}}}}
もし、あるパラメーター θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} において 1 = E t [ m t + 1 θ 0 R t + 1 ] {\displaystyle \mathbf {1} =E_{t}[m_{t+1}^{\theta _{0}}R_{t+1}]} となるのであれば、つまり、 m t + 1 θ 0 {\displaystyle m_{t+1}^{\theta _{0}}} が真の確率的割引ファクターであるのならば、 m t + 1 ∗ − m ^ t + 1 θ 0 = 0 {\displaystyle m_{t+1}^{*}-{\widehat {m}}_{t+1}^{\theta _{0}}=0} であるので、 H J D = 0 {\displaystyle HJD=0} が成り立つ。