ツェルメロ＝フレンケル集合論
空でないどの集合 x {\displaystyle x} も、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が素集合となる元 y {\displaystyle y} を含む。
∀ x [ ∃ a ( a ∈ x ) ⇒ ∃ y ( y ∈ x ∧ ¬ ∃ z ( z ∈ y ∧ z ∈ x ) ) ] . {\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}
現代的な表記方法では以下の通り: ∀ x ( x ≠ ∅ ⇒ ∃ y ( y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅ ) ) . {\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).}
これは(対の公理とともに)、たとえば、どの集合もそれ自体の元ではなく、どの集合も序数のランクを有することを意味する。
ZFCの公理には多くの同値な定式化が存在する。以下に示す公理は、 Kunen (1980) に従った。公理自体は一階述語論理の記号で表される。論理式に付随する説明は理解を助けるためのものである。
ZFCのどの定式化でも、少なくとも1つの集合が存在することが示される。 Kunenは以下に示す公理のほかに集合の存在を直接主張する公理を含めたが、存在を強調するためのものであり、公理系としては必須ではない。