リプシッツ連続
指数函数は x → ∞ でいくらでも傾きがおおきくなるから、大域リプシッツ函数とはならないが、それにもかかわらず解析函数になる。 実数全体で定義された函数 f(x) = x はリプシッツでない(x → ∞ でいくらでも傾きが大きくなる)。しかしこれは局所リプシッツである。
さらに K が f の最小のリプシッツ定数とすれば、全微分 Df が存在する限り ‖ Df ‖ ≤ K が成立する。
可微分リプシッツ写像 f: U → R に対し、不等式 ‖ Df ‖∞,U ≤ K が f の最小リプシッツ定数 K について成り立つ。さらに、U が凸ならば等号が成り立つ。
二つの距離空間の間のリプシッツ連続写像の列 (fn) は、各 fn が適当な定数 K で抑えられるリプシッツ定数を持つものとする。fn が写像 f に一様収束するならば f もまた同じ定数 K で抑えられるリプシッツ定数を持つリプシッツ連続写像になる。特にここから、コンパクト距離空間上定義される実数値函数でリプシッツ定数が特定の値で抑えられるもの全体の成す集合が、連続函数全体の成すバナハ空間の閉凸部分集合となることが導かれる。しかし、「非有界」なリプシッツ定数を持つ函数列に対してはこの結果は成り立たない。実は、コンパクト距離空間上のリプシッツ函数全体の成す空間は連続函数全体の成すバナッハ空間において稠密である(ストーン–ヴァイヤストラスの定理からの初等的な帰結)。
任意のリプシッツ連続写像は一様連続であり、したがってより強い意味で(英語版)連続である。