量子群
S.L. Woronowicz(英語版) はコンパクト行列量子群を導入した。コンパクト行列量子群はその上の「連続関数」がC環の元によって与えられるような抽象的構造である。コンパクト行列量子群の幾何学は非可換幾何学の特別な場合である。
コンパクトハウスドルフ位相空間上の複素数値連続関数の全体は可換C環をなす。ゲルファントの定理(英語版)により、可換C環はあるコンパクトハウスドルフ位相空間上の複素数値連続関数のC環に同型であり、その位相空間はC環によって同相の違いを除いて一意的に決定される。
コンパクト位相群 G に対し、C環の準同型写像
Δ: C(G) → C(G) ⊗ C(G)
(ただし C(G) ⊗ C(G) はC環のテンソル積、つまり、C(G) と C(G) の代数的なテンソル積の完備化)であって、すべての f ∈ C(G) とすべての x, y ∈ G に対して Δ(f)(x, y) = f(xy)(ただしすべての f, g ∈ C(G) とすべての x, y ∈ G に対して (f ⊗ g)(x, y) = f(x)g(y))であるものが存在する。また、乗法的な線型写像
κ: C(G) → C(G)
であって、すべての f ∈ C(G) とすべての x ∈ G に対して κ(f)(x) = f(x) となるものが存在する。これは G が有限でない限り真に C(G) をホップ代数にはしない。一方、G の有限次元表現はホップ *-代数でもある C(G) の *-部分代数を生成するのに使うことができる。
具体的には、 g ↦ ( u i j ( g ) ) i , j {\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}} が G の n 次元表現であれば、すべての i, j に対して uij ∈ C(G) であり
Δ ( u i j ) = ∑ k u i k ⊗ u k j {\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}
である。すべての i, j に対する uij とすべての i, j に対する κ(uij) によって生成された * 代数はホップ * 代数であることが従う:余単位はすべての i, j に対して ε(uij) = δij(ただし δij はクロネッカーのデルタ)によって決定され、antipode は κ で、単位は
1 = ∑ k u 1 k κ ( u k 1 ) = ∑ k κ ( u 1 k ) u k 1 {\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}}
によって与えられる。
一般化として、コンパクト行列量子群は対 (C, fu) として定義される、ただし C は C 代数で、 u = ( u i j ) i , j = 1 , ... , n {\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}} は C の元を成分に持つ行列であって以下を満たす。
u の要素によって生成される C の * 部分代数 C0 は C において稠密である。
This quantum group was linked to a toy model of Planck scale physics implementing Born reciprocity when viewed as a deformation of the Heisenberg algebra of quantum mechanics. Also, starting with any compact real form of a semisimple Lie algebra g its complexification as a real Lie algebra of twice the dimension splits into g and a certain solvable Lie algebra (the Iwasawa decomposition), and this provides a canonical bicrossproduct quantum group associated to g. For su(2) one obtains a quantum group deformation of the Euclidean group E(3) of motions in 3 dimensions.
量子群の発見は全く予想されていなかった、というのも、長い間、コンパクト群や半単純リー環は「堅い」対象である、言い換えると、「変形」(deform) できないと思われていたからだ。量子群の背後にある思想の1つは、ある意味で同値だがより大きい構造、すなわち群環や普遍包絡環を考えれば、群あるいは包絡環は「変形」できる(変形すると群や包絡環ではなくなるが)ということである。正確には、変形は可換とも余可換とも限らないホップ代数の圏において達成される。変形した対象を、アラン・コンヌ (Alain Connes) の非可換幾何の意味での「非可換空間」上の関数の代数として考えることができる。しかしながら、この直観は、Leningrad School (Ludwig Faddeev, Leon Takhtajan, Evgenii Sklyanin, Nicolai Reshetikhin and Vladimir Korepin) と、Japanese School による関連した研究によって発展された、量子ヤン・バクスター方程式(英語版)と量子逆散乱法(英語版)の研究において、量子群の特定のクラスが有用性を既に証明された後に来た。量子群の第二の双クロス積(英語版)のクラスの背後にある直観は異なり、量子重力へのアプローチとして自己双対な対象の研究から来た。