アインシュタイン・ヒルベルト作用
{\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }.}
ここで、2つの接続の差異 δ Γ ν μ ρ {\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \mu }^{\rho }} はテンソルであり、従って、この共変微分を次のように計算することができる。
∇ λ ( δ Γ ν μ ρ ) = ∂ λ ( δ Γ ν μ ρ ) + Γ σ λ ρ δ Γ ν μ σ − Γ ν λ σ δ Γ σ μ ρ − Γ μ λ σ δ Γ ν σ ρ .