J-不変量
さらに注目すべきは、q の正のべき乗の項のフーリエ係数がムーンシャイン加群(英語版)(moonshine module)と呼ばれるモンスター群の無限次元次数付き代数表現の次数部の次元であることである。特に、q の係数は、ムーシャイン加群の次数 n の次元となっている。第一の例はグライス代数(英語版)(Griess algebra)であり、この代数は次元 196,884 で、項196884q に対応している。この驚くべき観察がムーンシャイン理論の出発点であった。
ムーンシャイン予想の研究は、ジョン・ホートン・コンウェイとシモン・ノートン(英語版)(Simon P. Norton)により種数 0 のモジュラ函数を見つけることに発展した。ジョン・G・トンプソンは、
q − 1 + O ( q ) {\displaystyle q^{-1}+{O}(q)}
という形式に正規化される種数 0 のモジュラ函数が、有限個しか存在しないことを証明した。
c = θ 4 ( 0 ; q ) = θ 01 ( 0 ; τ ) {\displaystyle c=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )}
ここに θ m {\displaystyle \theta _{m}} と θ n {\displaystyle \vartheta _{n}} は記法を変えたものとした。すると、ヴァイエルシュトラス定数 g2, g3 とデデキントのエータ函数 η(τ) に対して、
g 2 ( τ ) = 2 3 π 4 ( a 8 + b 8 + c 8 ) {\displaystyle g_{2}(\tau )={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)}
g 3 ( τ ) = 4 27 π 6 ( a 8 + b 8 + c 8 ) 3 − 54 ( a b c ) 8 2 {\displaystyle g_{3}(\tau )={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {(a^{8}+b^{8}+c^{8})^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}}
q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }} (ノーム)と定義し直すと、ヤコビのテータ函数
θ ( 0 ; τ ) = θ 00 ( 0 ; τ ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( e π i τ ) n 2 = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 {\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}
から指標付きテータ函数を導くことができる。次のように置くこととする。
a = θ 2 ( 0 ; q ) = θ 10 ( 0 ; τ ) {\displaystyle a=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )}
b = θ 3 ( 0 ; q ) = θ 00 ( 0 ; τ ) {\displaystyle b=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )}