線型写像
が成立するから、表現行列は QAfP に置き換わる。
適当な基底を固定して各線型写像 f: V → W に対応する行列を Af と書けば、
A f 1 + f 2 = A f 1 + A f 2 , A c f = c A f {\displaystyle A_{f_{1}+f_{2}}=A_{f_{1}}+A_{f_{2}},\quad A_{cf}=cA_{f}}
が成り立つから、特に K 上のベクトル空間 V, W の K 上次元がそれぞれ n, m であるとき、
H o m K ( V , W ) ≅ M a t ( m , n ; K ) {\displaystyle {\rm {Hom}}_{K}(V,W)\cong {\rm {Mat}}(m,n;K)}
というベクトル空間の同型が成り立つ。また、合成に関しても
A g ∘ f = A g A f {\displaystyle A_{g\circ f}=A_{g}A_{f}}
(右辺は行列の積)となるから、特に V = W のとき
End K  ( V ) ≅ Mat n  ( K ) {\displaystyle \operatorname {End} _{K}(V)\cong \operatorname {Mat} _{n}(K)}
は結合多元環の同型になる。これらの同型が成り立つことをもって、線型写像が行列によって表現されるという。
は f のそれぞれ階数 (rank), 退化次数 (nullity) と呼ばれ、有限次元のときには
dim  ( V ) = rk  ( f ) + nul  ( f ) {\displaystyle \dim(V)=\operatorname {rk} (f)+\operatorname {nul} (f)}
なる等式を満足する(階数退化次数定理)。
Coker  ( f ) := W / Im  ( f ) {\displaystyle \operatorname {Coker} (f):=W/\operatorname {Im} (f)}
は f の余核と呼ばれる。核および余核は線型写像 f のそれぞれ単射性および全射性からの「ずれ」を測るものと考えることができる。即ち、
f が単射であるための必要十分条件は Ker(f) = {0} となることであり、
f が全射であるための必要十分条件は Coker(f) = {0} となることである。
線型写像 f ∈ HomF(V, W) が全単射であるとき、 f は V から W への F-線型同型写像あるいは F 上の同型、F-同型であるという。また、ベクトル空間 V, W の間に線型同型が存在するとき、V と W はベクトル空間として同型であるという。