擬凸性
複素一次元において、すべての開領域は擬凸である。したがって擬凸性の概念は、より高次元の場合においてより有意義となる。
∇ ρ ( p ) w = ∑ i = 1 n ∂ ρ ( p ) ∂ z j w j = 0 {\displaystyle \nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0}
を満たすような w に対して、
∑ i , j = 1 n ∂ 2 ρ ( p ) ∂ z i ∂ z j ̄ w i w j ̄ ≥ 0 {\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0}
が成立することである。
G の境界が C 級でないなら、次の近似的な結果が有用となる。
命題1 G が擬凸であるなら、境界が C 級(滑らか)で、G 内で相対コンパクトであるような有界強レヴィ擬凸領域 Gk ⊂ G で
G = ⋃ k = 1 ∞ G k {\displaystyle G=\bigcup _{k=1}^{\infty }G_{k}}
を満たすものが存在する。
この命題がなぜ成立するかと言うと、定義におけるような φ に対して、実際に C エグゾースチョン函数 (exhaustion function) を得ることが出来るからである。