グリーンの恒等式
∇ ( P ⋅ Q ) = ( P ⋅ ∇ ) Q + ( Q ⋅ ∇ ) P + P × ∇ × Q + Q × ∇ × P , {\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} ,}
これは、ベクトル成分について書くと次のようになる。
∇ ( P ⋅ Q ) = ∇ ∑ m p m q m = ∑ m p m ∇ q m + ∑ m q m ∇ p m . {\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\nabla \sum _{m}p_{m}q_{m}=\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}.}
この結果は、負の符号を除いて、ベクトル形式で表すことを所望していたものと似たものである。各項の微分作用素は、あるベクトル( p m {\displaystyle p_{m}} )あるいはもう一方( q m {\displaystyle q_{m}} )のいずれかに対して作用するため、各項は次のように表される:
φ と ψ のいずれもが U ⊂ R 上で二階連続的微分可能であり、ε が一階連続的微分可能であるなら、F = ψε∇φ − φε∇ψ とすることで次が得られる:
∫ U [ ψ ∇ ⋅ ( ε ∇ φ ) − φ ∇ ⋅ ( ε ∇ ψ ) ] d V = ∮ ∂ U ε ( ψ ∂ φ ∂ n − φ ∂ ψ ∂ n ) d S . {\displaystyle \int _{U}\left[\psi \nabla \cdot \left(\epsilon \nabla \varphi \right)-\varphi \nabla \cdot \left(\epsilon \nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\epsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.}
U ⊂ R 上すべてで ε = 1 であるような特別な場合は、次が得られる: