体積予想
複素数化を使い、Murakami et al. (2002)は、式 (1) を、
lim N → ∞ 2 π log  | ⟨ K ⟩ N | N = vol  ( S 3 ∖ K ) + C S ( S 3 ∖ K ) {\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log |\langle K\rangle _{N}|}{N}}=\operatorname {vol} (S^{3}\backslash K)+\ CS(S^{3}\backslash K)} (3)
へ書き換えた。ここに C S ( S 3 ∖ K ) {\displaystyle CS(S^{3}\backslash K)} はチャーン・サイモンズ不変量と呼ばれる。彼らは、複素数化された色付きジョーンズ多項式とチャーン・サイモンズ理論との間に明確な関係があることを、数学的な観点から示した。
結び目理論という数学の分野では、体積予想(volume conjecture)は、次のように結び目の量子不変量と結び目補空間の双曲幾何学とを関係付ける予想である。
O で自明な結び目を表すとする。任意の結び目 K に対し、 ⟨ K ⟩ N {\displaystyle \langle K\rangle _{N}} で K {\displaystyle K} のカシャエフ(Kashaev)不変量を表す。カシャエフの不変量は、 K {\displaystyle K} の N {\displaystyle N} -色付きジョーンズ多項式 J K , N ( q ) {\displaystyle J_{K,N}(q)} の評価式
⟨ K ⟩ N = lim q → e 2 π i / N J K , N ( q ) J O , N ( q ) . {\displaystyle \langle K\rangle _{N}=\lim _{q\to e^{2\pi i/N}}{\frac {J_{K,N}(q)}{J_{O,N}(q)}}.} (1)
と一致する。体積予想は、
lim N → ∞ 2 π log  | ⟨ K ⟩ N | N = vol  ( K ) , {\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {2\pi \log |\langle K\rangle _{N}|}{N}}=\operatorname {vol} (K),\,} (2)
という予想である。ここに、vol(K) は 3次元球面の中の K の補空間の双曲体積である。