伊原のゼータ函数
伊原のゼータ函数はリーマンゼータ函数のオイラー積に類似な等式により、次の式で定義することができる。
1 ζ G ( u ) = ∏ p ( 1 − u L ( p ) ) . {\displaystyle {\frac {1}{\zeta _{G}(u)}}=\prod _{p}({1-u^{L(p)}})\ .}
この積はグラフ G = ( V , E ) {\displaystyle G=(V,E)} のすべての prime walk を渡る積、すなわち、
( u i , u ( i + 1 ) mod L ( p ) ) ∈ E ; u i ≠ u ( i + 2 ) mod L ( p ) {\displaystyle (u_{i},u_{(i+1){\bmod {L}}(p)})\in E~;\quad u_{i}\neq u_{(i+2){\bmod {L}}(p)~}}
であるような閉じたサイクル p = ( u 0 , ⋯ , u L ( p ) − 1 , u 0 ) {\displaystyle p=(u_{0},\cdots ,u_{L(p)-1},u_{0})} を渡る積として定義され、これらの式の中で使われる L ( p ) {\displaystyle L(p)} はサイクル p の長さである。このグラフ理論での定式化は砂田による。