絶対連続
区間 I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } から距離空間 (X, d) への写像 f : I → X が絶対連続である (absolutely continuous) とは、次が成り立つことである: 任意の正の数 ε についてある正の数 δ が存在して、I の互いに素な部分区間 (xk, yk) の有限列が
∑ k | y k − x k | < δ {\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }
を満たすときに常に
∑ k d ( f ( y k ) , f ( x k ) ) < ε {\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\varepsilon }
が成り立つ。
絶対連続性の一般化として、写像 f : I → X の絶対 p-連続性が
d ( f ( s ) , f ( t ) ) ≤ ∫ s t m ( τ ) d τ ∀ [ s , t ] ⊆ I {\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau \quad \forall [s,t]\subseteq I}
となるような L p ( I ; R ) {\displaystyle L^{p}(I;\mathbb {R} )} 関数 m の存在すること、として定められる。