四元数
H の基底 1, i, j, k を用いて H を四つ組の集合
H = { ( a , b , c , d ) ∣ a , b , c , d ∈ R } {\displaystyle \mathbb {H} =\{(a,b,c,d)\mid a,b,c,d\in \mathbb {R} \}}
として表すことができる。このとき基底元は
1 = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , i = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) , j = ( 0 , 0 , 1 , 0 ) , k = ( 0 , 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}1&=(1,0,0,0),\\i&=(0,1,0,0),\\j&=(0,0,1,0),\\k&=(0,0,0,1)\end{aligned}}}
であり、加法、乗法の定義式は
( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) + ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) = ( a 1 + a 2 , b 1 + b 2 , c 1 + c 2 , d 1 + d 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1},\,b_{1},\,c_{1},\,d_{1})+(a_{2},\,b_{2},\,c_{2},\,d_{2})\\&\quad =(a_{1}+a_{2},\,b_{1}+b_{2},\,c_{1}+c_{2},\,d_{1}+d_{2})\end{aligned}}}
P.R.ジラールのエッセイ The quaternion group and modern physics(「四元数群と現代物理学」)は、四元数の物理学における役割について論じている。それは現代代数学において "数々の物理的な共変性の群:SO(3)、ローレンツ群、一般相対性群、クリフォード代数 SU(2) および共形群などが容易く四元数群に関連付けられることを示している"。ジラールは群の表現論を議論し、結晶学に関するいくつかの空間群を表現することから始めて、続いて剛体運動の運動学、その後トーマス歳差(英語版)を含む特殊相対論のローレンツ群の表現に「複四元数」(complex quaternion)(双四元数(英語版))を用いている。ジラールはマクスウェルの方程式を四元数変数のポテンシャル函数を用いて一本の微分方程式に表したルドヴィク・シルバースタイン(英語版)をはじめとする5人の著者を引いている。一般相対性を考慮してルンゲ=レンツベクトルを表し、またクリフォード代数の例としてクリフォード複四元数(分解型双四元数(英語版))に言及した。最後にジラールは、複四元数の逆数を使って時空の共形写像について述べている。50にも及ぶ参考文献には、アレクサンダー・マクファーレン(英語版)および四元数学会におけるジラール自身の広報も含まれている。また、1999年にジラールはアインシュタインの一般相対性の方程式が如何にして四元数に直結するクリフォード代数を用いて定式化されるかを示している。
H の基底元 i, j, k に対して等式
i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}
は i, j, k の間の可能なすべての積を決定する。例えば − 1 = i j k {\displaystyle -1=ijk} の両辺に k を右から掛ければ
− k = i j k k = i j ( k 2 ) = i j ( − 1 ) , k = i j . {\displaystyle {\begin{aligned}-k&=ijkk=ij(k^{2})=ij(-1),\\k&=ij.\end{aligned}}}
を得る。他の積も同じようにして得られて、結局
i j = k , j i = − k , j k = i , k j = − i , k i = j , i k = − j , {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j,\end{alignedat}}}
が可能なすべての積を列挙したものとなる。これは左側の因子を列に、右側の因子を行にそれぞれ充てて、表の形にまとめることができる(乗積表)。
ノルムが 1 の四元数を単位四元数という。0 でない四元数 q に対して、そのノルムで割って得られる単位四元数
U  q = q ‖ q ‖ {\displaystyle \operatorname {\mathbf {U} } q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}}
を、q のベルソル(英語版)という。
任意の四元数 q は、その極分解(英語版)
q = ‖ q ‖ Uq
を持つ。
共軛とノルムにより、四元数の逆数(自身との積が 1 である数)が得られる:
q − 1 = q ∗ ‖ q ‖ 2 {\displaystyle q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}}
これにより、2つの四元数 p, q に対して、二種類の除法が定義される。即ち、それらの商は pq または qp のどちらかである。複素数(一般には可換体)の範囲と異なり、p/q と書くと q で左から割っているのか右から割っているのかが特定されないため紛らわしい。
( a 1 , b 1 , c 1 , d 1 ) ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) = ( a 1 a 2 − b 1 b 2 − c 1 c 2 − d 1 d 2 , a 1 b 2 + b 1 a 2 + c 1 d 2 − d 1 c 2 , a 1 c 2 − b 1 d 2 + c 1 a 2 + d 1 b 2 , a 1 d 2 + b 1 c 2 − c 1 b 2 + d 1 a 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},\,b_{1}&,\,c_{1},\,d_{1})(a_{2},\,b_{2},\,c_{2},\,d_{2})\\=(&a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2},\\&a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2},\\&a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2},\\&a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})\end{aligned}}}
で与えられる。
四元数体 H は「本質的に」唯一の(非自明な)中心的単純環である。これは実数体上の任意の中心的単純環は R または H の何れかにブラウアー同値(森田同値)であるという意味である。明確に述べれば、R のブラウアー群は、R および H をそれぞれの代表元とする二つの同値類からなる。ここで、ブラウアー群というのは中心的単純環全体の成す集合を、一方の中心的単純環が他方の中心的単純環の上の全行列環となるという同値関係で割って得られるものであった。アルティン・ウェダーバーンの定理(のウェダーバーンの部分)によって、任意の中心的単純環は何らかの斜体上の行列環となるから、従って四元数体が実数体上で唯一の非自明な多元体であることが分かる。
中心的単純環(体上の環であって、それ自身が体同様に非自明な両側イデアルを持たないという意味で単純環であり、かつその中心が基礎体に一致するもの)は、体の拡大の非可換版の類似物であり、一般の環の拡大よりも限定的である。四元数体が実数体上の(同値を除いて)唯一の非自明な中心的単純環であるという事実は、複素数体が実数体上の唯一の非自明な拡大体であることに比肩する。
( r 1 , v → 1 ) + ( r 2 , v → 2 ) = ( r 1 + r 2 , v → 1 + v → 2 ) {\displaystyle (r_{1},{\vec {v}}_{1})+(r_{2},{\vec {v}}_{2})=(r_{1}+r_{2},\;{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})}
( r 1 , v → 1 ) ( r 2 , v → 2 ) = ( r 1 r 2 − v → 1 ⋅ v → 2 , r 1 v → 2 + r 2 v → 1 + v → 1 × v → 2 ) {\displaystyle (r_{1},{\vec {v}}_{1})(r_{2},{\vec {v}}_{2})=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\;r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})}
となる。ここで "⋅" はベクトルのドット積、"×" はベクトルのクロス積である。特に、実部が 0 の四元数に対しては
( 0 , v → 1 ) ( 0 , v → 2 ) = ( − v → 1 ⋅ v → 2 , v → 1 × v → 2 ) {\displaystyle (0,{\vec {v}}_{1})(0,{\vec {v}}_{2})=(-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\;{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})}
が成り立つ。