ベルヌーイの不等式
指数 r は任意の実数に拡張することができる。 x > −1 であるならば、
r ≤ 0 もしくは r ≥ 1 の場合:
( 1 + x ) r ≥ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx\!}
0 ≤ r ≤ 1 の場合:
( 1 + x ) r ≤ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx\!}
がそれぞれ成立する。
この一般化は微分法を用いて証明することができる。先述した厳しい条件の式は、x ≠ 0 かつ r ≠ 0, 1 であるときに成立する。