計量経済学
2値系列を階級別に、階級が高くなるほど一定の漸近線に近づいていく累積密度曲線 (logit curve) を推定したモデルである。例えば年収に対する車所有割合といった二値系列をこのモデルで推計するため、アンケート分析に用いられることが多い。
古典的計量分析においては、パラメーターがt分布に従うと仮定して、信頼区間を計算する。また有意水準を設定することにより、仮説検定を行うことになる。通常、有意水準は5%に設定されることが多い(これは経験則のようなものであり、合理的根拠は全く存在しない)。
このことは、検定力(英語版)の計算可能性と関係がある。統計的仮説検定には第一種の過誤 (type I error) と第二種の過誤 (type II error) とがあるが、分析者がコントロールできるのは後者だけである。5%という値が意味しているのは、100回のうち5回は間違った判断をすることを許容していることになる。
ところでベイジアンでは、検定力という概念は存在しない。これは検定方法に理由がある。古典的計量分析におけるネイマン=ピアソン型の仮説検定では、上に述べたように有意水準(何%の間違いを許容するか)を設定する必要がある。
厳密には、誤差項が正規分布にしたがっていない場合、t検定を用いることは理論的に不可能である。ここで理論的と書いたのは、大標本においては中心極限定理によりt検定を用いることが保証されるからである(ただし、分散が存在しない場合は正規分布に分布収束しない)。
正規性の検定には、古くからコルモゴロフ・スミルノフ検定が用いられており、これは現在でも改めてその有用性が評価されている。他にはJarque and Beraによる検定統計量もある。いずれも χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} 分布に従う統計量である。
標準的仮定が崩れた場合として以上のような対処法がある訳だが、漸近理論を重視する近年の計量では、最初から標準的仮定が崩れた世界を想定し、推定を行っている。「説明変数との相関」が存在しないことが確信できる場合は、White修正やNewey-West修正し、確信できない場合は操作変数法に頼るのが最近の流れである。操作変数法の場合にも、White修正やNewey-West修正を行い頑健な分析を行うのが一般的である。このような流れの背景には、漸近理論を重視し、推定量の効率性について軽視する計量経済学の流れがある。上記にあるような対処法は、標準的仮定を満たす世界を作ろうとする努力といえるが、その努力の理由はOLS推定量が最良線形不偏推定量(Best Linear Unbiased Estimator; BLUE)になるからである。すなわち、OLS推定量の効率性を得たいのである。漸近理論重視の計量経済学では、効率性と正しく仮説検定を行えることのトレードオフで、後者を重視している。よって、標準的仮定を満たす世界を作ろうとする努力は、最近ではそもそも行われていない。
推定量の導出
実証分析は、多くの場合回帰分析を通じて行われる。回帰式の推定方法には様々なものがあり、最も基本的なものがOLS (Ordinary Least Squares)、最小二乗法である。被説明変数 Y i {\displaystyle Y_{i}} を説明変数 X i {\displaystyle X_{i}} で表す回帰方程式、
Y i = b X i + a + u i {\displaystyle Y_{i}=bX_{i}+a+u_{i}}
を設定して、被説明変数の測定値と(説明変数の測定値および回帰式を用いて求めた)被説明変数の推定値の差(これを残差と呼ぶ)の二乗和を最小にする係数を求める。
実績値 Y i {\displaystyle Y_{i}} および推定値 Y ^ i = b ^ X i + a ^ {\displaystyle {\hat {Y}}_{i}={\hat {b}}X_{i}+{\hat {a}}} との残差 U = Y i − Y ^ i {\displaystyle U=Y_{i}-{\hat {Y}}_{i}} の二乗和
最後に得られるのが最小二乗推定量 b ^ {\displaystyle {\hat {b}}} と a ^ {\displaystyle {\hat {a}}} である。
誤差項についての標準的仮定
系列無相関
分散均一性
説明変数との無相関
正規性
のうち、1-3を満たすとき、ガウス=マルコフの定理が成立する(4は不要であることに注意せよ)。
ガウス=マルコフの定理は、上記1-3の仮定のもとで最小二乗推定量は最良線形不偏推定量 (Best Linear Unbiased Estimator) であること、つまり線形かつ不偏な推定量の中で最も望ましい性質(分散最小化・有効性)を持っていることを保証する。
また、多次式、指数、対数、ロジスティック方程式は、変数を1次に変形した回帰方程式で表せる。
単係数の有意性
最後に、単回帰分析によって得られた最小二乗推定量の棄却可否は、最小二乗推定量が定数項と説明変数の数の和を自由度とするt分布に従うことから、t検定によって検定される。帰無仮説で係数を0とするt値が高いほど有意である確率、つまりモデルが棄却される確率であるP値が低くなる。
統計的仮説検定の論理を厳密に辿るなれば、この検定では係数が0か否かを検定しているに過ぎず、たとえ帰無仮説を採択できなくなったとしても、それが係数が他の特定の値であることを支持している訳ではない。対立仮説の設定いかんにより、片側検定・両側検定の違いはあっても、検定していることは0かどうかということだけである。
ベイジアン計量経済学は、常にベイズの定理を適用し、条件付確率を用いた議論を行うという点で一貫性を有している。しかしながら、少しでも分布が複雑になってしまうと、事後分布を解析的に導出することが不可能になるケースが多い。また、仮に導出できたとしても、今度は数値計算が難しくなってしまうという問題がある。このため、これまで計量経済学においてベイズ分析は少なかった。
ところが1990年代に入り、主に統計物理学の分野で発展してきたマルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC method: Markov Chain Monte Carlo method) が導入されたことにより、統計分析におけるベイズ分析の適用が爆発的に普及することとなった。また、Zellner,A. (1971)以来、テキストブックも出てこなかったが、ここ数年で次々とベイジアン計量経済学の教科書が出版されるようになった。また、マクロ経済学の実証分析におけるベイズ分析の需要も相俟って、計量経済学において必要不可欠な分析装置となりつつある。
以下ではMCMCの基本的な考え方を述べることとしたい。以下では、マルコフ連鎖の基本的内容については既知のものとする。