可解群
群の可解性は多くの操作によって保存される。
Gが可解群であり、全射準同型G→Hが存在する場合、Hも可解群である。第一同型定理より同値であるが、Gが可解群でNがGの正規部分群であれば、商群G/Nは可解群である。
上の性質は次のように拡張できる: Gが可解群であるのは、NとG/Nがともに可解群であるとき、およびその時に限る。
G が可解群であり、HがGの部分群であるとき、Hは可解群である。
GとHが可解群であるとき、直積G × Hは可解群である。
可解性は群の拡大によっても保存される。
HとG/Hが可解群であれば、Gは可解群である。特に、NとHが可解群であれば、NとHの半直積も可解群である。
可解性は輪積(リース積)によっても保存される。
GとHが可解群であり、XがG-集合である場合、Xに関するGとHのリース積は可解群である。
任意の正の整数Nに対して、derived lengthが高々Nの可解群すべての集合は群全体の成す等式クラス(英語版)の部分等式クラスであり、準同型の像、部分代数、直積をとる操作によって閉じている。有界でない長さの導来列を持つ可解群の直積は可解群ではないので、すべての可解群からなるクラスは等式クラスではない。