ヤコビ多様体
リーマン面 X {\displaystyle X} のヤコビアン J a c ( X ) {\displaystyle \mathrm {Jac} \left(X\right)} を以下のように定義する。
J a c ( X ) := Ω h o l 1 ( X ) ∨ / H 1 ( X , Z ) . {\displaystyle \mathrm {Jac} \left(X\right):=\Omega _{hol}^{1}\left(X\right)^{\vee }/H_{1}\left(X,\mathbb {Z} \right).}
ただし、 Ω h o l 1 ( X ) {\displaystyle \Omega _{hol}^{1}\left(X\right)} を X {\displaystyle X} 上で定義された正則1形式のなす複素ベクトル空間。 Ω h o l 1 ( X ) ∨ {\displaystyle \Omega _{hol}^{1}\left(X\right)^{\vee }} は、その双対空間、 H 1 ( X , Z ) {\displaystyle H_{1}\left(X,\mathbb {Z} \right)} は、 X {\displaystyle X} 上の1次のホモロジー群である。 Ω h o l 1 ( X ) ∨ {\displaystyle \Omega _{hol}^{1}\left(X\right)^{\vee }} の元は次のように明示的に表せる