対称代数
ベクトル空間 V が与えられたとき、V 上の多項式函数の全体は対称代数の「双対」空間 S(V) であり、V 上で定義される多項式函数の V のベクトルにおける値の「評価」は、内積 (pairing) S(V) × V → K を通じて与えられる。
例えば、平面 K とその基底が与えられたとき、K 上の(斉)一次多項式函数の全体は、座標汎函数(英語版) x, y で生成される。これら座標汎函数は、たとえば
x ( 2 , 3 ) = 2 , y ( 2 , 3 ) = 3 {\displaystyle x(2,3)=2,y(2,3)=3}
のようにベクトルが与えられればその各座標を値として返す余ベクトル(双対ベクトル)である。高次の単項式は様々な対称冪の元であり、一般の多項式は対称代数の元になる。ベクトル空間に基底を定めない場合も同様だが、その場合得られるのは基底を定めない多項式環である。
一方、ベクトル空間上の対称代数自体は、V 「上の」多項式函数として解釈することはできない(S(V) と V の間に自然な内積は無いから、ベクトル空間の対称代数の元のその空間のベクトルにおける値を評価することはできない)が、v − vw + uv のようなベクトルをベクトル空間「内の」多項式だと解釈することはできる。