窓関数
exponential window。
減衰積分をおこなうとき、暗黙のうちにこの窓関数を使っている。コンパクト・サポートでないので、実際に使うときは適当な区間の外を0にする。左右非対称なので、エコー検出など、時間非対称な問題に使う。
w ( x ) = exp  x T , if x ≤ 0 {\displaystyle w(x)=\exp {\frac {x}{T}},\ {\mbox{if }}x\leq 0}
w ( x ) = { 1 , if a ≤ x ≤ b 0 , otherwise {\displaystyle w(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}a\leq x\leq b\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
の積 ( w f ) ( x ) = w ( x ) f ( x ) {\displaystyle (wf)(x)=w(x)f(x)\,} を求め、そのフーリエ変換 F ( w f ) {\displaystyle {\mathfrak {F}}(wf)} を、 F f {\displaystyle {\mathfrak {F}}f} の代わりに得ていることになる。 このとき掛け合わせた関数 w ( x ) {\displaystyle w(x)\,} が窓関数である。
ここで定義した窓関数 w ( x ) {\displaystyle w(x)\,} (矩形窓という)でなくても、有限区間外が0で区間内が有界な関数ならば、窓関数として使える。 そこで、さまざまな窓関数が考案されている。 実際、上の矩形窓はあまり性能がよくない。それは、 x = a , b {\displaystyle x=a,b\,} にいちじるしい不連続があるからである。 実際に使われる窓関数のほとんどは、両端が滑らかに小さくなり区間外の0につながる、山形の関数である。