ザイフェルト–ファン・カンペンの定理
群の表示
π 1 ( U , w ) = ⟨ u 1 , ⋯ , u k ∣ α 1 , ⋯ , α l ⟩ π 1 ( V , w ) = ⟨ v 1 , ⋯ , v m ∣ β 1 , ⋯ , β n ⟩ π 1 ( U ∩ V , w ) = ⟨ w 1 , ⋯ , w p ∣ γ 1 , ⋯ , γ q ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(U,w)&=\langle u_{1},\cdots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,w)&=\langle v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \beta _{1},\cdots ,\beta _{n}\rangle \\\pi _{1}(U\cap V,w)&=\langle w_{1},\cdots ,w_{p}\mid \gamma _{1},\cdots ,\gamma _{q}\rangle \end{aligned}}}
が与えられたならば、その融合積は次のように表示できる。
ファン・カンペンの定理はより簡単な空間に分解できるような位相空間の基本群の計算に利用できる。例として球 S 2 {\displaystyle S^{2}} を考えよう。開集合 A = S 2 ∖ { n } {\displaystyle A=S^{2}\setminus \{n\}} と B = S 2 ∖ { s } {\displaystyle B=S^{2}\setminus \{s\}} を選ぶ。ここで n と s はそれぞれ北極と南極を表す。すると、A, B および A ∩ B は弧状連結な開集合であることが分かる。よって、A ∩ B から A と B への包含と、A と B から S 2 {\displaystyle S^{2}} への包含からなる可換図式が存在すること、および、それに対応する各々の部分空間の基本群の間の準同型からなる図式が存在することが分かる。ファン・カンペンの定理を適用することによって
π 1 ( S 2 ) = π 1 ( A ) ⋅ π 1 ( B ) / ker  ( Φ ) {\displaystyle \pi _{1}(S^{2})=\pi _{1}(A)\cdot \pi _{1}(B)/\ker(\Phi )}
という結果を得る。しかし、A と B はどちらも R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} (これは単連結)に同相であるから、A と B はともに自明な基本群を持つ。このことから明らかに、 S 2 {\displaystyle S^{2}} の基本群は自明である。