量子電磁力学
ディラック場についてのラグランジュの運動方程式を計算すると
i γ μ ∂ μ ψ i − m ψ i − e A μ Q i γ μ ψ i = 0 {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{i}-m\psi _{i}-eA_{\mu }Q_{i}\gamma ^{\mu }\psi _{i}=0}
となる。第3項を右辺へ移行して
i γ μ ∂ μ ψ i − m ψ i = e A μ Q i γ μ ψ i {\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{i}-m\psi _{i}=eA_{\mu }Q_{i}\gamma ^{\mu }\psi _{i}}
とすれば、左辺が通常のディラック方程式、右辺がディラック場と電磁場との相互作用項となる。
また4元電流密度は
j μ ( x ) = − δ S m a t t e r [ ψ , A ] δ A μ ( x ) = ∑ j e Q j ψ ̄ j γ μ ψ j {\displaystyle j^{\mu }(x)=-{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }[\psi ,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}=\sum _{j}eQ_{j}{\bar {\psi }}_{j}\gamma ^{\mu }\psi _{j}}
である。