ワイル群
Φ のルートによって定義される超平面を除くことによって、ユークリッド空間は有限個の開集合に分かれ、それらはワイルの部屋 (Weyl chamber) と呼ばれる。これらはワイル群の作用によって置換され、この作用が単純推移的であることは定理である。とくに、ワイル chamber の個数はワイル群の位数に等しい。任意の非零ベクトル v はユークリッド空間を v に直交する超平面 v を境界とする2つの半空間 v と v に分ける。v があるワイル chamber に属するときには、どのルートも v に入らないので、すべてのルートは v あるいは v に入り、α が一方に入っていれば −α は他方に入る。したがって Φ := Φ∩v は Φ のルートたちのちょうど半分からなる。もちろん Φ は v に依るが、v が同じワイル chamber にいるときには変わらない。選択 Φ に関するルート系の底 (base) は Φ の単純ルート (simple root)、すなわち Φ の2つのルートの和として書けないようなルート、の全体の集合である。したがって、ワイル chamber、集合 Φ、底は各1つが他を決定し、ワイル群はいずれにも単純推移的に作用する。以下の図はルート系 A2 の6つのワイル chambers、v の選択、(点線で示された)超平面 v、正ルート α, β, γ を示している。この場合の底は {α, γ} である。
B は G のボレル部分群、すなわち極大連結可解部分群とし、極大分裂トーラス T = T0 を B に入るようにとるとき、ブリュア分解
G = ⋃ w ∈ W B w B {\displaystyle G=\bigcup _{w\in W}BwB}
が得られる。これにより旗多様体 G/B のシューベルト胞体への分解が生じる(グラスマン多様体(英語版)参照)。
この群のハッセ図の構造は、幾何学的には、この多様体(というかこの群の実型および複素型の)コホモロジー(それはポワンカレ双対性に制約される)に関係する。したがって、ワイル群の代数的性質は多様体の位相空間論的な性質に対応する。例えば。ポワンカレ双対により次元 k の胞体と次元 n − k の胞体の間に対応がつく(ここに n は多様体の次元)。最小(つまり零)次元胞体はワイル群の単位元に対応し、双対的に最大次元胞体は最長元(英語版)に対応する。