ヴァイエルシュトラスの楕円函数
原点の近傍を除き、℘ のローラン級数展開は
℘ ( z ; ω 1 , ω 2 ) = z − 2 + 1 20 g 2 z 2 + 1 28 g 3 z 4 + O ( z 6 ) {\displaystyle \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=z^{-2}+{\frac {1}{20}}g_{2}z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}z^{4}+O(z^{6})}
で与えられる。ただし、
g 2 = 60 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m ω 1 + n ω 2 ) − 4 , {\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4},}
g 3 = 140 ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) ( m ω 1 + n ω 2 ) − 6 {\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}}
である。これらの数値 g2, g3 はペー函数の不変量 (invariant) と呼ばれる。係数 60 および 140 の後ろにある和はアイゼンシュタイン級数の最初の二つで、これらは Im(τ)>0 なる τ = ω2/ω1 の函数 G4(τ) および G6(τ) としてそれぞれを見做せばモジュラー形式を成すことがわかる。
ここで、g2 および g3 はそれぞれ次数 −4 および −6 の斉次函数である。
e 3 ( τ ) = 1 3 π 2 ( θ 10 4 ( 0 ; τ ) − θ 01 4 ( 0 ; τ ) ) {\displaystyle e_{3}(\tau )={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}(\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )-\vartheta _{01}^{4}(0;\tau ))}
と表すことができる。
g 2 = − 4 ( e 1 e 2 + e 2 e 3 + e 3 e 1 ) , g 3 = 4 e 1 e 2 e 3 {\displaystyle g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{2}e_{3}+e_{3}e_{1}),\quad g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}}
だからこれらもテータ函数を用いて書ける。ペー函数もテータ函数を用いて
℘ ( z ; τ ) = π 2 θ 2 ( 0 ; τ ) θ 10 2 ( 0 ; τ ) θ 01 2 ( z ; τ ) θ 11 2 ( z ; τ ) + e 2 ( τ ) {\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}+e_{2}(\tau )}
ω1 = 1 のときには、ω2 を慣習的に τ と書き、また、上で述べた理論の多くはより簡単な形になる。上半平面の元 τ を一つ固定すると、τ の虚部は正であり、ヴァイエルシュトラスの ℘-函数は
℘ ( z ; τ ) = 1 z 2 + ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) 1 ( z + m + n τ ) 2 − 1 ( m + n τ ) 2 {\displaystyle \wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{1 \over (z+m+n\tau )^{2}}-{1 \over (m+n\tau )^{2}}}
で定義される。和は原点を除く格子 {m + nτ : m, n ∈ Z} の全ての点に亙って取る。ここでは、τ を固定して、 ℘ を z の函数と見ているが、z を固定して τ を動かせば、楕円モジュラー函数の面積が導かれる。