有限生成アーベル群
整数全体の成す加法群 ( Z , + ) {\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)} は有限生成アーベル群である。
n を法とする整数の合同類の成す加法群 ( Z n , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+)} は有限生成アーベル群である。
有限個の有限生成アーベル群の任意の群の直和は再び有限生成アーベル群である。
すべての格子 (群)は有限生成自由アーベル群をなす。
(同型を除いて)他の例は存在しない。とくに、有理数全体の群 ( Q , + ) {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)} は有限生成でない: x 1 , ... , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} を有理数として、すべての分母と互いに素な自然数 k {\displaystyle k} をとると、 1 / k {\displaystyle 1/k} は x 1 , ... , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} によって生成できない。0 でない有理数全体の群 ( Q ∗ , ⋅ ) {\displaystyle \left(\mathbb {Q} ^{*},\cdot \right)} もまた有限生成でない。
基本定理を別の言い方をすると、有限生成アーベル群はそれぞれが同型を除いて一意であるような有限ランクの自由アーベル群と有限アーベル群の直和である。有限アーベル群はちょうど G の捩れ部分群である。G のランクは G の torsion-free 部分のランクとして定義される。これはちょうど上の公式の数 n である。
基本定理の系は、すべてのねじれのない(英語版)有限生成アーベル群は自由アーベル群であるというものである。有限生成の条件はここで本質的である: Q {\displaystyle \mathbb {Q} } はねじれがないが自由アーベルでない。
有限生成アーベル群のすべての部分群と商群は再び有限生成アーベル群である。群準同型とともに有限生成アーベル群は、アーベル群の圏のセール部分圏であるアーベル圏をなす。