クロネッカー積
グラフの隣接行列のクロネッカー積はグラフのテンソル積の隣接行列になる。また、グラフの隣接行列のクロネッカー和は直積グラフの隣接行列である。
n-次正方行列 A, m-次正方行列 B および k-次単位行列 Ik に対して、クロネッカー和と呼ばれる演算 ⊕ を
A ⊕ B = A ⊗ I m + I n ⊗ B {\displaystyle A\oplus B=A\otimes I_{m}+I_{n}\otimes B}
で定義する(これは行列の直和とは異なるものであることに注意)。この演算はリー環のテンソル積に関係がある。
行列の指数函数に関する公式
e A ⊕ B = e A ⊗ e B {\displaystyle e^{A\oplus B}=e^{A}\otimes e^{B}}
はある種の連続時間マルコフ過程の数値的評価において有用である 。物理学においても、相互作用しない形の集まりを考えるとき、クロネッカー和が自然に現れる。H をそのような系の i-番目のハミルトニアンとすれば、系の集まり全体のハミルトニアンは
H T o t = ⨁ i H i {\displaystyle H_{\mathrm {Tot} }=\bigoplus _{i}H^{i}}
で与えられる。
上記の混合積性質から、A ⊗ B が正則行列となるための必要十分条件は A と B がともに正則となることであって、実際に逆元を
( A ⊗ B ) − 1 = A − 1 ⊗ B − 1 {\displaystyle (A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}}
と書くことができる。