二重指数関数型数値積分公式
以下、いろいろな積分と、それに対応する二重指数関数型の変換を示す(森 (1998))。
∫ − 1 1 f ( x ) d x ⇒ x = tanh  ( π 2 sinh  t ) {\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)dx\Rightarrow x=\tanh \left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\sinh {t}\right)}
∫ 0 ∞ f ( x ) d x ⇒ x = exp  ( π 2 sinh  t ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)dx\Rightarrow x=\exp \left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\sinh {t}\right)}
∫ 0 ∞ f 1 ( x ) exp  ( − x ) d x ⇒ x = exp  ( t − exp  ( − t ) ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\exp(-x)dx\Rightarrow x=\exp \left(t-\exp(-t)\right)}
∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x ⇒ x = sinh  ( π 2 sinh  t ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx\Rightarrow x=\sinh \left(\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\sinh {t}\right)}