上極限と下極限
有限個の例外を除いた残りすべてのnに対して、Anが起きるという事象。サイコロの場合は、無限回サイコロを投げたら、1以外の目は有限回しか出ず残りはすべて1の目が出るという事象である。
事象列の上極限と下極限も事象であるから、確率を計算することができる。サイコロの場合は上に書いたことから直感的には
P ( lim ̄ n → ∞  A n ) = 1 {\displaystyle P(\varlimsup _{n\to \infty }A_{n})=1}
P ( lim _ n → ∞  A n ) = 0 {\displaystyle P(\varliminf _{n\to \infty }A_{n})=0}
となりそうだが、定義に従って計算するのは難しい。この確率が 0 または 1 になる簡単な十分条件を与えるのが、ボレル–カンテリの補題である。