ユニモジュラ行列
G {\displaystyle G} はどのような 2-dicycle も含まない有向グラフであるとし、 P {\displaystyle P} は G {\displaystyle G} 内のすべての dipaths の集合であるとし、 A {\displaystyle A} は P {\displaystyle P} に対する V ( G ) {\displaystyle V(G)} の 0-1 接続行列であるとする。このとき、 A {\displaystyle A} が全ユニモジュラ行列であるための必要十分条件は、 G {\displaystyle G} 内の任意の方向へのすべての単閉路が、前方と後方への交互の弧を含むことである。
7. 0-( ± {\displaystyle \pm } 1) 成分のある行列が、各列においてその成分が上から下へ非減少(すなわち、すべての -1 は一番上にあり、その次に 0 があり、一番下には 1 があるという具合)であると仮定する。このとき、Fujishige は、この行列が全ユニモジュラ行列であるための必要十分条件は、そのすべての 2 × 2 部分行列の行列式が 0 , ± 1 {\displaystyle 0,\pm 1} であることであることを証明した。
8. Seymour (1980) は、ここで非公式的に述べた全ユニモジュラ行列のすべての特徴について証明した。Seymour の定理では、ある行列が全ユニモジュラ行列であるための必要十分条件は、それがあるネットワーク行列の自然な組み合わせであり、ある 5 × 5 全ユニモジュラ行列のコピーであること、ということが述べられている。