比例ハザードモデル
ベースライン・ハザードが特定の形に従うと仮定する理由がある場合、Coxモデルを特殊化することができる。この場合、ベースライン・ハザード λ 0 ( t ) {\displaystyle \lambda _{0}(t)} は与えられた関数で置き換えられる。たとえば、ハザード関数をワイブル・ハザード関数と仮定すると、「ワイブル比例ハザードモデル」(Weibull proportional hazards model)となる。
ちなみに、ワイブル・ベースライン・ハザードを使用することは、モデルが比例ハザードモデルと加速故障時間モデル(英語版)の両方を満足する唯一の状況である。
一般用語のパラメトリック比例ハザードモデル(parametric proportional hazards models)は、ハザード関数が指定されている比例ハザードモデルを説明するために使用できる。対照的に、Cox比例ハザードモデル(Cox proportional hazards model)はセミパラメトリック・モデル(英語版)と呼ばれることもある。
一部の著者は、基礎となるハザード関数を指定している場合でも、(パラメトリック比例ハザードモデルでなく)Cox比例ハザードモデルという用語を使用して、この分野全体がデイヴィッド・コックスに負っている恩義を認めている。
「Cox回帰モデル」(Cox regression model)(比例ハザードを除く)という用語は、時間依存因子を含むようにCoxモデルを拡張したものを表すために使われることがある。しかし、Cox比例ハザードモデルはそれ自体が回帰モデルとして記述できるため、この使い方は潜在的に曖昧である。
比例ハザードモデル(ひれいハザードモデル、英: proportional hazards models)は、統計学における生存モデルの一種である。生存モデルは、ある事象が発生する前の経過時間を、その時間量に関連する可能性がある1つまたは複数の共変量(英語版)に関連づけるものである。比例ハザードモデルでは、共変量の単位増加による固有の効果は、ハザード率に対して乗法的に作用する。たとえば、ある薬を服用すると、脳卒中発症のハザード率が半分になったり、製造部品の構成材料を変更すると、故障のハザード率が2倍になったりする。加速故障時間モデル(英語版)などの他の種類の生存モデルは、比例ハザードを示さない。加速故障時間モデルは、ある事象の生物学的または機械的な生活史が加速(または減速)される状況を記述する。
これは部分尤度(偏尤度とも)(英語版)であり、時間経過によるハザードの変化をモデル化することなく、共変量の影響を推定することができる。
被験者を統計的に互いに独立であるかのように扱うと、実現したすべての事象の同時確率は、事象の発生を Ci = 1 で示すと、次のような部分尤度となる。
L ( β ) = ∏ i : C i = 1 L i ( β ) {\displaystyle L(\beta )=\prod _{i:C_{i}=1}L_{i}(\beta )}
これに対応する対数部分尤度は、
l ( β ) = ∑ i : C i = 1 ( X i ⋅ β − log  ∑ j : Y j ≥ Y i θ j ) {\displaystyle \ell (\beta )=\sum _{i:C_{i}=1}\left(X_{i}\cdot \beta -\log \sum _{j:Y_{j}\geq Y_{i}}\theta _{j}\right)}
である。
この関数は β 上で最大化され、モデルパラメータの最大部分尤度推定量を生成することができる。
部分スコア関数(英語版)は、
l ′ ( β ) = ∑ i : C i = 1 ( X i − ∑ j : Y j ≥ Y i θ j X j ∑ j : Y j ≥ Y i θ j ) {\displaystyle \ell ^{\prime }(\beta )=\sum _{i:C_{i}=1}\left(X_{i}-{\frac {\sum _{j:Y_{j}\geq Y_{i}}\theta _{j}X_{j}}{\sum _{j:Y_{j}\geq Y_{i}}\theta _{j}}}\right)}