対称群
対称群のシロー部分群は p-群の重要な例をあたえる。特別な場合には、以下のようにより容易に記述することができる。
p-次対称群のシロー p-部分群は、単に p-次巡回置換で生成される巡回部分群であり、そのような部分群は (p − 1)!/p −1 = (p − 2)! 個存在することが、単に生成元を数えることによってわかる。したがってその正規化部分群は位数 p(p − 1) であり、(特に p = 5 のとき)フロベニウス群(英語版) Fp(p−1) や、アフィン一般線型群 AGL(1, p) としても知られる。
また、p-次対称群のシロー p-部分群は、位数 p のふたつの巡回群の輪積である。例えば p = 3 のとき、S9 のシロー 3-部分群は a = (1, 4, 7)(2, 5, 8)(3, 6, 9) および x = (1, 2, 3), y = (4, 5, 6), z = (7, 8, 9) で生成され、シロー 3-部分群の任意の元は
a i x j y k z l ( 0 ≤ i , j , k , l ≤ 2 ) {\displaystyle a^{i}x^{j}y^{k}z^{l}\quad (0\leq i,j,k,l\leq 2)}
↑ 日本数学会 編『岩波数学事典』(第4版)岩波書店、2007年。ISBN 978-4000803090。
↑ (Dixon & Mortimer 1996, p. 268)