ヘッケ作用素
( T k ( m ) f ) ( z ) := m k − 1 ∑ a d = m ∑ b = 0 d − 1 d − k f ( a z + b d ) = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ d | ( m , n ) d k − 1 a ( m n d 2 , f ) ) q n = σ k − 1 ( m ) a ( 0 , f ) + ∑ n = 1 ∞ ( ∑ d | ( m , n ) d k − 1 a ( m n d 2 , f ) ) q n , {\displaystyle {\begin{aligned}(T_{k}(m)f)(z)&:=m^{k-1}\sum _{ad=m}\sum _{b=0}^{d-1}d^{-k}f\left({\frac {az+b}{d}}\right)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n}\\&=\sigma _{k-1}(m)a(0,f)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n},\end{aligned}}}
によって定義される。 ただし、 σ k ( n ) := ∑ d | n d k {\displaystyle \sigma _{k}(n):=\sum _{d|n}d^{k}} 、また、 a ( n , f ) {\displaystyle a(n,f)} は 正則保型形式 f {\displaystyle f} のフーリエ係数である。
f = ∑ n = 0 ∞ a ( n , f ) q n . {\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a(n,f)q^{n}.}