リアプノフ方程式
制御理論における離散的リアプノフ方程式(りさんてきリアプノフほうていしき、英: discrete Lyapunov equation)は次の形の方程式である。
A X A H − X + Q = 0 {\displaystyle AXA^{H}-X+Q=0}
ここで Q {\displaystyle Q} はエルミート行列、 A H {\displaystyle A^{H}} は A {\displaystyle A} の随伴行列。
連続的リアプノフ方程式(continuous Lyapunov equation)は次の形の方程式である: A X + X A H + Q = 0 {\displaystyle AX+XA^{H}+Q=0}
リアプノフ方程式は、安定性解析や最適制御といった、制御理論の多くの分野で現れる。本方程式や関連する方程式の名称はロシアの数学者アレクサンドル・リャプノフにちなんでいる。
再びクロネッカー積とvec作用素の記法を用いると、行列方程式
( I n ⊗ A + A ̄ ⊗ I n ) vec  X = − vec  Q {\displaystyle (I_{n}\otimes A+{\bar {A}}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=-\operatorname {vec} Q}
が得られる。ただし A ̄ {\displaystyle {\bar {A}}} は行列 A {\displaystyle A} の各要素を複素共役で置き換えた行列である。
離散時間の場合と同様に、 A {\displaystyle A} が安定的であれば、解 X {\displaystyle X} は
X = ∫ 0 ∞ e A τ Q e A H τ d τ {\displaystyle X=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{A\,\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\,\tau }d\tau }
と書ける。
比較のために1次元の場合を考えてみると、これは単に 2 a x = − q {\displaystyle 2\,a\,x=-q} の解が x = − q 2 a = ∫ 0 ∞ q e 2 a τ d τ {\displaystyle x={\tfrac {-q}{2\,a}}=\int _{0}^{\infty }q\,\mathrm {e} ^{2\,a\,\tau }d\tau } であると言っているのと同じことである。