スペクトル系列
H q I I ( M ⊗ Q ∙ ) = Tor q  ( N , M ) {\displaystyle H_{q}^{II}(M\otimes Q_{\bullet })=\operatorname {Tor} _{q}(N,M)}
が残っている。特に、 E p , q 2 {\displaystyle E_{p,q}^{2}} 項は、I スペクトル系列については q = 0 の直線部分を除き消え、II スペクトル系列については p = 0 の直線部分を除き消える。これから2番目シートでスペクトル系列は退化していることが分かり、したがって E 項は E 項と同型である:
Tor p  ( M , N ) ≅ E p ∞ = H p ( T ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}(M,N)\cong E_{p}^{\infty }=H_{p}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}
Tor q  ( N , M ) ≅ E q ∞ = H q ( T ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}(N,M)\cong E_{q}^{\infty }=H_{q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}
p と q が等しければ両式の右辺は等しいので、これで Tor の可換性が示せた。
Chow, Timothy Y. (2006). “You Could Have Invented Spectral Sequences”. Notices of the American Mathematical Society 53: 15–19. http://www.ams.org/notices/200601/fea-chow.pdf.
( C i , j I I ) p = { 0 if j < p C i , j if j ≥ p {\displaystyle (C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{if }}j\geq p\end{cases}}}
これを前節の例にあてはめスペクトル系列を作ってみよう。まず、全複体(total complex)T(C•,•) を、n 次の項が ⨁ i + j = n C i , j {\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}} であり、微分は d + d で定義された複体とする。d と d は反可換な微分であることから、これは複体になっている。Ci,j の2つのフィルトレーションから、この全複体の2つのフィルトレーション
T n ( C ∙ , ∙ ) p I = ⨁ i + j = n i > p − 1 C i , j {\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}}
T n ( C ∙ , ∙ ) p I I = ⨁ i + j = n j > p − 1 C i , j {\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}}
包含関係の鎖(chain)
Z 0 p , q ⊇ Z 1 p , q ⊇ Z 2 p , q ⊇ ⋯ ⊇ B 2 p , q ⊇ B 1 p , q ⊇ B 0 p , q {\displaystyle Z_{0}^{p,q}\supseteq Z_{1}^{p,q}\supseteq Z_{2}^{p,q}\supseteq \cdots \supseteq B_{2}^{p,q}\supseteq B_{1}^{p,q}\supseteq B_{0}^{p,q}}
を考える。下記のように置くと、何が起きるか考える。
Z ∞ p , q = ⋂ r = 0 ∞ Z r p , q {\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}}
B ∞ p , q = ⋃ r = 0 ∞ B r p , q {\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}}
E ∞ p , q = Z ∞ p , q B ∞ p , q + Z ∞ p + 1 , q − 1 {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {Z_{\infty }^{p,q}}{B_{\infty }^{p,q}+Z_{\infty }^{p+1,q-1}}}}
0 → E n , q − n ∞ → E n , q − n n → d E 0 , q − 1 n → E 0 , q − 1 ∞ → 0. {\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to E_{n,q-n}^{n}{\overset {d}{\to }}E_{0,q-1}^{n}\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.}
を得る。これをホモロジー群で書き直すと
0 → E n , q − n ∞ → H q − n ( F ) → d H q − 1 ( F ) → E 0 , q − 1 ∞ → 0 {\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F)\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0}
となる。これに出てくる2つの E ∞ {\displaystyle E^{\infty }} 項が何かを考える。 H = H ( E ) {\displaystyle H=H(E)} と置くと、 F 1 H q / F 0 H q = E 1 , q − 1 ∞ = 0 {\displaystyle F_{1}H_{q}/F_{0}H_{q}=E_{1,q-1}^{\infty }=0} などが成り立っているので、 E n , q − n ∞ = F n H q / F 0 H q {\displaystyle E_{n,q-n}^{\infty }=F_{n}H_{q}/F_{0}H_{q}} がわかる。
スペクトル系列の射 E → E' とは、定義により、写像 fr : Er → E'r の集まりであって、微分及び E 及び E' の r 番目と (r+1) 番目のシートのコホモロジーの間に与えられた同型写像と整合的であるものである。
ホッジ・ド・ラーム・スペクトル系列(英語版)
2重複体のスペクトル系列
F p − 2 H p / F p − 3 H p = E p − 2 , 2 ∞ = 0 {\displaystyle F_{p-2}H_{p}/F_{p-3}H_{p}=E_{p-2,2}^{\infty }=0} , F p − 3 H p / F p − 4 H p = 0 {\displaystyle F_{p-3}H_{p}/F_{p-4}H_{p}=0} などが成り立つので、 0 → E p − 1 , 1 ∞ → H p → E p , 0 ∞ → 0 {\displaystyle 0\to E_{p-1,1}^{\infty }\to H_{p}\to E_{p,0}^{\infty }\to 0} が成り立つ。これらを全てあわせると、完全系列
⋯ → H p + 1 → E p + 1 , 0 2 → d E p − 1 , 1 2 → H p → E p , 0 2 → d E p − 2 , 1 2 → H p − 1 → ... {\displaystyle \cdots \to H_{p+1}\to E_{p+1,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-1,1}^{2}\to H_{p}\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to H_{p-1}\to \dots }
が得られる。