積測度
2つの測度空間が与えられたとき、それらの直積空間上の唯一つの極大積測度 μmax で次の性質を満たすものが存在する:ある可測集合 A に対して μmax(A) が有限であるなら、任意の積測度 μ に対して μmax(A) = μ(A) が成立する。特に、任意の可測集合に関するその測度の値は、他の任意の積測度の値を下回ることはない。これはホップの拡張定理によって作られる測度である。
A, S を可測集合とするとき、μmin(S) = supA⊂S, μmax(A) finite μmax(A) で与えられる唯一つの極小積測度 μmin が存在する。
ここで直積空間が複数の積測度を持つ例を考える。X はルベーグ測度を伴う単位区間、Y は数え上げ測度を伴う単位区間とし、すべての集合は可測であるとしたとき、直積空間 X×Y を考える。このとき、極小積測度に対しては、ある集合の測度はその水平部分の測度の和となるが、一方、極大積測度に対しては、A×Bの形式の可算集合の和集合に含まれていない限り、無限大となる。ここで、Aはルベーグの測定値0、またはBのいずれかが単一点である。(この場合、測度は有限または無限となるだろう。)特に、極小積測度に対してはその対角部分は測度 0 となるが、極大積測度に対しては無限大となる。