三角錐数
三角錐数(さんかくすいすう、triangular pyramidal number)は球を右図のように三角錐の形にならべたとき、そこに含まれる球の総数にあたる自然数である。つまり三角数を1から小さい順に足した数のことである。四面体数(しめんたいすう、tetrahedral number)ともいう。
例: 1, 4 (=1+3), 10 (=1+3+6), 20 (=1+3+6+10), 35 (=1+3+6+10+15)
n 番目の三角錐数 Tn は1から n 番目の三角数 n(n + 1)/2 までの和に等しいので
T n = ∑ k = 1 n k ( k + 1 ) 2 = 1 2 ( n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + n ( n + 1 ) 2 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6 {\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+{\frac {n(n+1)}{2}}\right)\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}\\\end{aligned}}}
また組み合わせの記号を用いると T n = n + 2 C 3 {\displaystyle T_{n}={}_{n+2}{\rm {C}}_{3}\,} となる。
三角錐数を小さい順に列記すると
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A292)。