粒子フィルタ
w ^ k ( L ) = w k − 1 ( L ) p ( y k | x k ( L ) ) p ( x k ( L ) | x k − 1 ( L ) ) π ( x k ( L ) | x 0 : k − 1 ( L ) , y 0 : k ) {\displaystyle {\hat {w}}_{k}^{(L)}=w_{k-1}^{(L)}{\frac {p(y_{k}|x_{k}^{(L)})p(x_{k}^{(L)}|x_{k-1}^{(L)})}{\pi (x_{k}^{(L)}|x_{0:k-1}^{(L)},y_{0:k})}}}
このとき π ( x k ( L ) | x 0 : k − 1 ( L ) , y 0 : k ) = p ( x k ( L ) | x k − 1 ( L ) ) {\displaystyle \pi (x_{k}^{(L)}|x_{0:k-1}^{(L)},y_{0:k})=p(x_{k}^{(L)}|x_{k-1}^{(L)})} ならば更新式は
w ^ k ( L ) = w k − 1 ( L ) p ( y k | x k ( L ) ) , {\displaystyle {\hat {w}}_{k}^{(L)}=w_{k-1}^{(L)}p(y_{k}|x_{k}^{(L)}),}
のように簡単になる。
3) L = 1 , ... , P {\displaystyle L=1,\ldots ,P} について、正規化された重みを計算する。
粒子フィルタでは観測不可能な状態 x k {\displaystyle x_{k}} と観測値 y k {\displaystyle y_{k}} は以下のように表せるとする。
観測不可能な状態列 x 0 , x 1 , ... {\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots } は以下を満たす1階マルコフ過程。つまり x k {\displaystyle x_{k}} は x k − 1 {\displaystyle x_{k-1}} で決まる。ただし初期値 x 0 {\displaystyle x_{0}} の確率分布 p ( x 0 ) {\displaystyle p(x_{0})} を持つものとする。なお、これは2つ前 x k − 2 {\displaystyle x_{k-2}} の状態を使えないという意味ではなく、必要なら2つ前の状態も x k − 1 {\displaystyle x_{k-1}} に含めて使うという意味である。
x k | x k − 1 ∼ p x k | x k − 1 ( x | x k − 1 ) {\displaystyle x_{k}|x_{k-1}\sim p_{x_{k}|x_{k-1}}(x|x_{k-1})}
観測データ列 y 0 , y 1 , ... {\displaystyle y_{0},y_{1},\ldots } は x 0 , x 1 , .
粒子フィルタ(りゅうしフィルタ、英: particle filter)や逐次モンテカルロ法 (ちくじモンテカルロほう、英: sequential Monte Carlo; SMC)とは、シミュレーションに基づく複雑なモデルの推定法である。1993年1月に北川源四郎がモンテカルロフィルタの名称で、1993年4月にN.J. Gordonらがブートストラップフィルタの名称で同時期に同じものを発表した。
この手法はふつうベイズモデルを推定するのに用いられ、バッチ処理であるマルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC) の逐次 (オンライン) 版である。またこの手法は重点サンプリング法にも似たところがある。 うまく設計すると、粒子フィルタはMCMCよりも高速である。拡張カルマンフィルタや無香カルマンフィルタ (Unscented カルマンフィルタ) に比べて、サンプル点が十分多くなるとベイズ最適推定に近付くことからより高い精度の解が得られるので、これらの代わりに用いられることがある。また手法を組み合わせて、カルマンフィルタを粒子フィルタの提案分布として使うこともできる。