数理論理学
一階述語論理の他にも多くの論理体系が考えられている。それらのうちには無限の長さの証明や論理式を許す無限論理や、意味論に集合論の一部分を直接含むような高階述語論理も含まれる。
最もよく調べられている無限論理は L ω 1 , ω {\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }} である。この論理においては、一階述語論理のように量化子の入れ子の深さは有限(つまり深さ ω {\displaystyle \omega } 未満)だけを許すが、論理式は有限または可算無限(つまり長さ ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 未満)の連言や選言をその内に含むことを許す。すると、例えば、ある対象が自然数であるという性質を L ω 1 , ω {\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }} の論理式によって次のように書ける:
( x = 0 ) ∨ ( x = 1 ) ∨ ( x = 2 ) ∨ ⋯ .