質量とエネルギーの等価性
特殊相対性理論は、「物理法則は、すべての慣性系で同一である」という特殊相対性原理と、「真空中の光の速度は、すべての慣性系で等しい」という光速度一定の原理を満たすことを出発点として構築され、結果として、空間3次元と時間1次元を合わせて4次元時空として捉える力学である。運動量ベクトルは、第0成分にエネルギー成分を持つ4元運動量 p(または p)として扱われ、運動方程式は
d d τ p μ = F μ {\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}p^{\mu }=F^{\mu }}
と拡張される。4元運動量の保存則から、エネルギーは一般的に β = v/c として次のように表される。
E 2 = m 0 2 c 4 + p 2 c 2 = ( m 0 1 − β 2 ) 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=m_{0}^{2}c^{4}+{\boldsymbol {p}}^{2}c^{2}=\left({\frac {m_{0}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)^{2}c^{4}}
ただし m0 は静止質量である。物体が運動していない場合、つまり p = 0 の場合のエネルギーを表す式は、
E = m 0 c 2 {\displaystyle E=m_{0}c^{2}}
である。
物体が運動している場合、相対論効果を以下のように慣性質量の増加として解釈しうる。
m 1 = m 1 − β 2 {\displaystyle m_{1}={\frac {m}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}
したがって、物体が運動している場合にも
E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}}
が成り立つこれらの式は、全エネルギーに対する全質量が等価であることを意味するが、エネルギーの増減が運動による慣性質量の増減になるとは限らない。反応の前後で全質量の和が Δm だけ減るならば、それに相当する Δmc のエネルギーが運動、熱、あるいは位置エネルギーに転化されることになる。
なお、これは原子核反応に限ったものであるという誤解があるが、実際には原子核反応の観測により実証されたというのが正しい。質量とエネルギーが等価であることは、原子核反応に限った話ではなく、全ての場合において成り立つ。例えば、電磁相互作用の位置エネルギーに由来する化学反応では、反応の前後の質量差は無視できるほど小さい(全質量の 10 % 以下)が、強い相互作用の位置エネルギーに由来する原子核反応ではその効果が顕著に現れる(全質量の 0.1 - 1 % 程度)というだけの話である。水力発電のような重力の位置エネルギーに由来する場合であっても、質量とエネルギーの等価は成り立つ。
この関係式で、質量 1 kg をエネルギーに変換すると、光速度 c = 299792458 m/s であるから、次のようになる。
8.9875517873681764×10 J と等価