標本化定理
扱いを容易にするために入力信号g(t)は振幅A、周波数 f a = ω a 2 π {\displaystyle f_{a}={\frac {\omega _{a}}{2\pi }}} の単一正弦波として次のように置く。
g ( t ) = A cos  ( ω a t + θ a ) = A 2 e j ( ω a t + θ a ) + A 2 e − j ( ω a t + θ a ) {\displaystyle g(t)=A\cos(\omega _{a}t+\theta _{a})={\frac {A}{2}}e^{j(\omega _{a}t+\theta _{a})}+{\frac {A}{2}}e^{-j(\omega _{a}t+\theta _{a})}}
これに対する出力信号p(t)は、上の式より
p ( t ) = A 2 T ∑ n = − ∞ ∞ e j { ( n ω 0 + ω a ) t + θ a } + A 2 T ∑ n = − ∞ ∞ e j { ( n ω 0 − ω a ) t − θ a } {\displaystyle p(t)={\frac {A}{2T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j\{(n\omega _{0}+\omega _{a})t+\theta _{a}\}}+{\frac {A}{2T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{j\{(n\omega _{0}-\omega _{a})t-\theta _{a}\}}}
となる。この式から周波数スペクトルの図を描き検討すると証明ができる。