整関数
整函数 f が種数 p であるとは、ラゲールによれば、それが f ( z ) = e Q ( z ) P ( z ) {\textstyle f(z)=e^{Q(z)}P(z)} または f ( z ) = z s e Q ( z ) ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z a n ) e ( z a n + z 2 2 a n 2 + ⋯ + z p p a n p ) {\textstyle f(z)=z^{s}e^{Q(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)e^{({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {z^{2}}{2a_{n}^{2}}}+\dots +{\frac {z^{p}}{pa_{n}^{p}}})}} の形に書けて、かつ p − 1 に対しては同様の形に書けない場合であることを言う。ただし、Q は次数が高々 p の多項式であり、P は任意の多項式であり、無限積はヴァイヤシュトラスの積であるとする。
収束冪数を上から抑える最小の整数も函数の「種数」と呼ばれる。
種数はラゲールの公式によって決定できる:
f(s) ≔ ∑∞n=0 ans は整函数とする。数列 |a0|, |a1|r, |a2|r, ... はある番号以降は単調に減少して、r に依らず 0 に収束する。したがって、各 r に対しほかの全ての項以上の値を持つ項が存在するから、その値を B(r), その値をとる(複数あるならば最大の)項番号を μ(r) と書けば、B(r) は r に関して単調増大で無限大に発散し、コーシーの不等式により B(r) < M(r) が成り立つから
有限増大度整函数の増大度 ρ の定義とフラグメン–リンデレーフの原理の示唆するところにより、ひとつの半直線上の増大はその近傍にある直線上のそれに影響されるのだから、函数
を調べることには意義がある。この函数 h(θ) をフラグメン–リンデレーフの指示函数と呼ぶ。この函数は周期が 2π の周期函数で、実数値以外に −∞ または +∞ も値として取りうる。これに関して
f は増大度 ρ の整函数で、h(θ) は上記の指示函数とする。h が閉区間 [a, b] 上有限ならば、任意の ε0 に対し r0 = r0(ε) が存在して、r > r0 ならば必ず
が (a, b) の任意の小区間に関して一様に成り立つ。
が言える。したがって同じ仮定のもとで
h(θ) > 0 となる任意の小区間は π/ρ より大きい長さを持ち、h(θ) < 0 となる任意の小区間の長さは π/ρ 以下である。さらに言えば、h(θ) < 0 となる任意の小区間は h(θ) = 0 なる点と h(θ) > 0 となる任意の区間から得られる。
「整函数が可算集合上でとる値から一意に決定されることが保証される条件はあるか」という問いは自然である。集合をこのように制限しない場合には、この問いはアプリオリに否決されるものと思われ、実際成り立たないことが示せる。この種の問いにおいて、カールソンの結果は tout un pan de recherche に起源を持つ。それは以下のように述べられる:
整函数の増大度に制約を設けないならば、その整函数は集積点を持たない集合(例えば整数全体の成す集合)U 上の任意に固定した値をとることができる。言い換えれば、(an)n∈N が触値(フランス語版)を持たない複素数値の単射数列で、(zn)n∈Nを任意の値を持つ複素数列とすれば、整函数 f が存在して f(an) = zn (∀n ∈ N) とできる。
この結果は、ラグランジュ補間の類似であり、ヴァイヤシュトラスの因数分解定理およびミッタク=レフラーの定理の帰結である。さらに言えば、そのような函数二つの差は U 上で消えている整函数となり、以下の段落の定理を適用することができる。