共動距離と固有距離
多くの教科書では、共動距離に記号 χ {\displaystyle \chi } が使用されている。ただし、これは座標距離と区別する必要がある。FLRW (フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量)宇宙で一般的に使用される共動座標系では、計量は次の形式になる(球面宇宙の半周のみで機能する縮小円周極座標)。
d s 2 = − c 2 d τ 2 = − c 2 d t 2 + a ( t ) 2 ( d r 2 1 − κ r 2 + r 2 ( d θ 2 + sin 2  θ d φ 2 ) ) . {\displaystyle ds^{2}=-c^{2}\,d\tau ^{2}=-c^{2}\,dt^{2}+a(t)^{2}\left({\frac {dr^{2}}{1-\kappa r^{2}}}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)\right).}
この場合、共動座標距離 r {\displaystyle r} と χ {\displaystyle \chi } は次のような関係となる:
一般相対性理論では、任意の座標を使用して物理法則を定式化できるが、座標の選択によっては、より自然で扱いやすいものがある。共動座標は、そのような自然な座標選択の一例である。これは、宇宙を等方であると認識する観測者に一定の空間座標値を割り当てる。このような観測者はハッブル流に沿って移動するため、「共動」観測者とよばれる。
共動観測者は、宇宙マイクロ波背景放射を含む宇宙が等方性を持つと認識できる唯一の観測者である。共動しない観測者には、空の領域が体系的に青方偏移または赤方偏移して見えるだろう。したがって、等方性、特に宇宙マイクロ波背景放射の等方性は、共動座標系と呼ばれる特別なローカル座標系を定義する。そして局所的な共動フレームに対する観測者の相対的な速度を観測者の固有速度とよぶ。
銀河などの大きな物質の塊のほとんどはほぼ共動しているため、その固有の(重力による)速度は、比較的近い銀河の観測者から見たハッブル流の速度と比べて小さい。