カラテオドリの拡張定理
Ω 上の集合環からなる族の任意個数(非可算でもよい)の共通部分は、再び Ω 上の集合環となる。
A を P ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )} の空でない部分集合としたとき、A を含むような最小の集合環として「A により生成される集合環 R(A)」を定義する。A により生成される集合環は、A を含むような集合環すべての共通部分と等しいことが分かる。
集合半環 S に対し、S の部分集合のすべての有限直和を含むような集合 R ( S ) = { A : A = ∐ i = 1 n A i , A i ∈ S } {\displaystyle R(S)=\{A:A=\coprod _{i=1}^{n}A_{i},A_{i}\in S\}} は S の生成する集合環になる(つまり、R(S) は単純に、S に属する集合からなる有限和すべてを含むような集合である)。