レーヴェンハイム–スコーレムの定理
理論はその理論を生成する一連の公理で指定されたり、構造を与えてその構造を満足する文で理論を構成したりすることが多い。
シグネチャ σ があるとき、σ の構造 M とは、σ にある記号群の具体的な解釈である。それには、基盤となる集合(それ自体もしばしば "M" で表される)とσの関数記号および関係記号の解釈が含まれる。M におけるσの定数記号の解釈は、単に M の元である。より一般化すれば、n引数の関数記号 f の解釈は、M から M への関数である。同様に関係記号 R の解釈は M 上の n項関係であり、すなわち M の部分集合である。
σ構造 M の部分構造 (substructure) は、σの全ての関数の解釈の下で閉じた(つまり、σの全定数記号の解釈を含む)M の部分集合 N を取り、関係記号の解釈を N に制限することで得られる。初等部分構造 (elementary substructure) はその非常に特殊な場合であり、元の構造と全く同じ一階の文を満たす。(このときNはMの初等的拡張(elementary extension)という。)