中心極限定理
以下の定理はLindeberg (1922) による。
期待値 μ と分散 σ を持つ独立同分布 ("i.i.d.") に従う確率変数列 X1, X2, ... に対し S n := ∑ k = 1 n X k {\displaystyle \textstyle S_{n}:=\sum _{k=1}^{n}X_{k}} とおくと、
P ( S n − n μ n σ ≤ α ) → 1 2 π ∫ − ∞ α e − x 2 / 2 d x ( n → ∞ ) . {\displaystyle P\left({\frac {S_{n}-n\mu }{{\sqrt {n}}\sigma }}\leq \alpha \right)\to {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\alpha }e^{-x^{2}/2}dx\qquad (n\to \infty ).}
つまり、独立同分布に従う確率変数列の部分和を標準化すると、期待値 0, 分散 1 の正規分布 N(0, 1) に分布収束する。
従って、n が十分大きいとき近似的に、部分和 Sn = X1 + ... + Xn は平均 nμ, 分散 nσ の正規分布 N(nμ, nσ) に収束し、標本平均 X ̄ n = ( X 1 + ⋯ + X n ) / n {\displaystyle {\bar {X}}_{n}=(X_{1}+\dotsb +X_{n})/n} は平均 μ, 分散 σ/n の正規分布 N(μ, σ/n) に従う。