ザリスキー接空間
体の間の射は単射だから,g から誘導される剰余体の全射は同型である.すると余接空間の間の射 k が g から誘導され,次で与えられる:
m P / m P 2 ≅ ( m f − 1 P / I ) / ( ( m f − 1 P 2 + I ) / I ) ≅ m f − 1 P / ( m f − 1 P 2 + I ) ≅ ( m f − 1 P / m f − 1 P 2 ) / K e r ( k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}&\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)\\&\cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)\\&\cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).\end{aligned}}}
これは全射だから,転置 k ∗ : T P ( Y ) → T f − 1 P ( X ) {\displaystyle k^{*}\colon T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)} は単射である.