有効自由度 (宇宙論)
宇宙膨張の速度を決定するフリードマン方程式は、 H = a ̇ / a {\displaystyle H={\dot {a}}/a} をハッブルパラメータとして
H 2 = 8 π G 3 ρ {\displaystyle H^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho }
と書かれる。それ故に、輻射優勢期においてはこの方程式は、プランク質量 m P l = c ħ / G {\displaystyle m_{\mathrm {Pl} }={\sqrt {c\hbar /G}}} を用いて
H = 4 π 3 45 g ∗ ( T ) k B 2 T 2 m P l c 2 ħ {\displaystyle H={\sqrt {{\frac {4\pi ^{3}}{45}}g_{*}(T)}}{\frac {k_{\mathrm {B} }^{2}T^{2}}{m_{\mathrm {Pl} }c^{2}\hbar }}}
と書き直せる。
一方、上のエントロピー保存の式を時刻 t {\displaystyle t} で対数微分することで、ハッブルパラメータ H {\displaystyle H} を
H = − ( 1 + 1 3 d ln  g ∗ S d ln  T ) T ̇ T {\displaystyle H=-\left(1+{\frac {1}{3}}{\frac {d\ln g_{*S}}{d\ln T}}\right){\frac {\dot {T}}{T}}}
という形に表示できる。
となる。ただし係数 g a ′ {\displaystyle g'_{a}} は、ボース粒子の場合 g a {\displaystyle g_{a}} , フェルミ粒子の場合 7 8 g a {\displaystyle {\frac {7}{8}}g_{a}} である。一方、粒子が非相対論的であるとき G ∓ ( β m a c 2 ) {\displaystyle G_{\mp }(\beta m_{a}c^{2})} は指数関数的に小さくなり、有効自由度への寄与が脱落する。
宇宙の全エネルギー密度 ρ c 2 {\displaystyle \rho c^{2}} はすべての粒子種のエネルギー密度の総和 ρ c 2 = ∑ a ρ a c 2 {\displaystyle \rho c^{2}=\sum _{a}\rho _{a}c^{2}} である。輻射優勢期においては、非相対論的な粒子種の総和への寄与は無視できるため、相対論的な成分のみの和に帰着する。そのとき、相対論的な成分のエネルギー密度は T 4 {\displaystyle T^{4}} に比例するため、全エネルギー密度 ρ c 2 {\displaystyle \rho c^{2}} を
ρ c 2 = g ∗ ( T ) π 2 k B 4 30 ħ 3 c 3 T 4 {\displaystyle \rho c^{2}=g_{*}(T){\frac {\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{4}}{30\hbar ^{3}c^{3}}}T^{4}}
粒子種 a {\displaystyle a} が熱平衡にあるとき、そのエントロピー密度 s a {\displaystyle s_{a}} は次の積分
s a = g a 2 π 2 k B 4 45 ħ 3 c 3 T 3 × F ∓ ( β m a c 2 ) {\displaystyle s_{a}=g_{a}{\frac {2\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{4}}{45\hbar ^{3}c^{3}}}T^{3}\times F_{\mp }(\beta m_{a}c^{2})} F ∓ ( y ) = 15 π 4 ∫ 0 ∞ x 2 ( x 2 + 3 4 y 2 ) x 2 + y 2 d x exp  x 2 + y 2 ∓ 1 {\displaystyle F_{\mp }(y)={\frac {15}{\pi ^{4}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}\left(x^{2}+{\frac {3}{4}}y^{2}\right)}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\frac {dx}{\exp {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\mp 1}}}
で与えられるため、エネルギー密度 ρ c 2 {\displaystyle \rho c^{2}} と同様に、輻射優勢期における宇宙のエントロピー密度 s = ∑ a s a {\displaystyle s=\sum _{a}s_{a}} を次の形