群の中心
G の中心はつねに G の部分群となる。実際、
Z(G) は G の単位元 e を含む: e の定義から任意の g ∈ G について eg = g = ge ゆえ中心 Z(G) の定義から e ∈ Z(G) である。
Z(G) は積について閉じている: x, y がともに中心 Z(G) の元ならば、任意の g ∈ G に対して (xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy) ゆえに xy も Z(G) の元である。
Z(G) は逆元について閉じている:x が中心 Z(G) の元ならば gx = xg で、これに左右からひとつずつ x を掛けることにより xg = gx が得られるから x ∈ Z(G) である。