リーマンの写像定理
滑らかな境界をもった単連結な有界領域の場合は、リーマンの写像函数とその全ての微分は、連続性により領域の閉包へと拡張される。これは、平面的領域のソボレフ空間の定理(英語版)、あるいは、古典的ポテンシャル論(英語版)に従うディリクレの境界値問題の正規な性質を使い証明することができる。リーマン写像定理を証明するもう一つの方法は、核函数(英語版)(kernel function)を使う方法 や、ベルトラミ方程式(英語版)(Beltrami equation)を使う方法である。
U と U の中の点 z0 が与えられたとすると、U を 単位円板へ z0 を 0 へ移すような函数 f を構成したい。これをスケッチするために、リーマンが行ったように、U は有界で境界が滑らかと仮定しよう。また、
f ( z ) = ( z − z 0 ) e g ( z ) {\displaystyle f(z)=(z-z_{0})e^{g(z)}}
と書くこととする。ここに g = u + iv は、実部が u で虚部が v であるような正則函数(を定義するために)とおく。すると、明らかに、z0 は f の唯一のゼロ点である。全ての z ∈ ∂U に対して、|f(z)| = 1 を要求すると、境界上では
u ( z ) = − log  | z − z 0 | {\displaystyle u(z)=-\log |z-z_{0}|}
が必要となる。u は正則函数の実部であるので、u が必然的に調和函数となり、すなわち、ラプラス方程式を満たす。
従って、問題は次のようになる。全ての U の上で定義され、与えられた境界をもつ実数に値をもつ調和函数 u は存在するであろうか?これへの肯定的な回答はディリクレの原理で与えられる。一度 u の存在が確立すると、正則函数 g のコーシー・リーマンの関係式より、v を見つけることができる(この議論は U が単連結であるという前提に依存する)。一度、u と v が構成されると、結果として現れる函数 f が実際に全て要求された性質を満たすことをチェックする必要がある。