対角化
定義式を成分で表示すると、
P − 1 A P = [ λ 1 0 ... 0 0 λ 2 ... 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ... λ n ] {\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}}
両辺に左から P を掛けると:
A P = P [ λ 1 0 ... 0 0 λ 2 ... 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ... λ n ] {\displaystyle AP=P{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}}
ここで、P を列ベクトル α → i {\displaystyle {\vec {\alpha }}_{i}} を並べて表記すると
P = [ α → 1 α → 2 ⋯ α → n ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\vec {\alpha }}_{1}&{\vec {\alpha }}_{2}&\cdots &{\vec {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}}
上式は、次のように書き直せる:
A α → i = λ i α → i ( i = 1 , 2 , ...
対角化(たいかくか、diagonalization)とは、正方行列を適当な線形変換によりもとの行列と相似な対角行列に変形することを言う。あるいは、ベクトル空間の線形写像に対し、空間の基底を取り替え、その作用が常にある方向(固有空間)へのスカラー倍(固有値)として現れるようにすること。対角化により変換において本質的には無駄な計算を省くことで計算量を大幅に減らすことができる。