外接円
共円奇数角形の全ての角の角度が等しくなるための必要十分条件は、それが正多角形となることである。共円偶数角形の全ての角の角度が等しくなるための必要十分条件は、辺の長さが交互に等しい(つまり、各辺に対しそれに隣接する二つの辺同士の長さが互いに等しい)ことである。
辺の長さと面積がすべて有理数となるような共円五角形はロビンスの五角形(英語版)と呼ばれ、知られているすべての場合で対角線もすべて長さが有理数である。
偶数 n に対する任意の共円 n-角形について、その角を交互に二つの組に分けるとき、それぞれの組に属する角の和をとればそれらは互いに等しい(「奇数番目の角の和」=「偶数番目の角の和」)。このことは n = 4 の場合から数学的帰納法で証明することができる。帰納のステップでは、一つの辺に新たな三つの辺に取り換えて、もとの辺と加えた三辺が同じ条件を満たす四辺形を成すようにできることに注意する(そのとき、得られた四辺形の交互の角は、もともとの n-角形の交互の角の和にそれぞれ加えられるが、それら和が互いに等しいことは変わらない)。
一つの n-角形 X が円 C に内接し、別の n 角形 Y が先の n-角形 X の各頂点で接するように円 C に外接しているものとする。このとき円 C 上の任意の点 P から多角形 X の各辺に引いた垂線の長さの総乗は P から多角形 Y の各辺に引いた垂線の長さの総乗に等しい。