ワイルの指標公式
自明な1次元表現という特別な場合には指標は 1 であり,したがってワイルの指標公式はワイルの分母公式 (Weyl denominator formula) となる:
∑ w ∈ W ε ( w ) e w ( ρ ) = e ρ ∏ α ∈ Δ + ( 1 − e − α ) . {\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )}=e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}
特殊ユニタリ群に対しては,これはヴァンデルモンドの行列式に対する次の式と同値である:
∑ σ ∈ S n sgn  ( σ ) X 1 σ ( 1 ) − 1 ⋯ X n σ ( n ) − 1 = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( X j − X i ) . {\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}).}