水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
後はR(r′)を決定するだけである。R(r′)を決定するには(B1)を(Y2)のハミルトニアンに入れてシュレディンガー方程式(Y1)を解けば良い。(A1)を式変形すると、
( 1 2 Δ x ′ + 1 | x ′ | + E ′ ) ψ = 0 {\displaystyle \left({1 \over 2}\Delta _{{\boldsymbol {x}}'}+{1 \over |{\boldsymbol {x}}'|}+E'\right)\psi =0} ...(W1)
である。ラプラシアンを球面座標(r′,θ,φ)で書き表し、動径方向と球面方向にわけると、
Δ x ′ = 1 r ′ 2 ( Δ r ′ + Δ S ) {\displaystyle \Delta _{{\boldsymbol {x}}'}={1 \over r'^{2}}(\Delta _{r'}+\Delta _{S})} ...(W2)
と書ける。ここで
Δ r ′ = ∂ ∂ r ′ ( r ′ 2 ∂ ∂ r ′ ) {\displaystyle \Delta _{r'}={\frac {\partial }{\partial r'}}\left(r'^{2}{\frac {\partial }{\partial r'}}\right)} 、 Δ S = − 1 ħ 2 L 2 ^ {\displaystyle \Delta _{S}=-{1 \over \hbar ^{2}}{\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}} .
{ 0 ≤ l ≤ n − 1 | m | ≤ l {\displaystyle {\begin{cases}0\leq \ell \leq n-1\\|m|\leq \ell \end{cases}}} ...(B3)
に対してのみ存在し、そのときのR(r)はラゲールの陪関数
R n , l ( ρ ) = exp  ( − ρ ) ρ l L n + l 2 l + 1 ( 2 ρ ) {\displaystyle R_{n,\ell }(\rho )=\exp \left(-\rho \right)\rho ^{\ell }L_{n+\ell }^{2\ell +1}\left(2\rho \right)} ×規格化定数 ...(B4)
に一致する。ここで
ρ = r ′ n {\displaystyle \rho ={r' \over n}} 、
L k m ( ρ ) = d m d  ρ m e ρ d k d  ρ k ( e − ρ ρ k ) {\displaystyle L_{k}^{m}(\rho )={\frac {\operatorname {d} ^{m}}{\operatorname {d} \rho ^{m}}}e^{\rho }{\frac {\operatorname {d} ^{k}}{\operatorname {d} \rho ^{k}}}(e^{-\rho }\rho ^{k})}
である。
水素原子の波動関数のl = 0~3における角因子は以下のようになる。ここでΘ(θ)、Φ(φ)はそれぞれ、動径方向の関数
Y ( θ , φ ) = P l | m | ( cos  θ ) e i m φ {\displaystyle Y(\theta ,\varphi )=P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\,e^{im\varphi }}
の右辺の積の第一成分と第二成分を規格化したものである。なお、Φ(φ)の指数関数の虚数部分はオイラーの公式により一対のΦ(φ)関数の一次結合で書き換えられる。
原子番号Zの水素様原子の動径関数は以下のようになる。
特に、陽子の質量m0が電子の質量m1より遥かに重いと仮定した場合の水素原子の系におけるa0、Eaは
Q = e 2 4 π ε 0 {\displaystyle Q={e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}}}
μ = m 1 ( 1 + m 1 m 0 ) ≈ m 1 {\displaystyle \mu =m_{1}\left(1+{m_{1} \over m_{0}}\right)\approx m_{1}}
より、
a 0 = 4 π ε 0 ħ 2 m 1 e 2 {\displaystyle a_{0}={4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2} \over m_{1}e^{2}}} 、 E a = m 1 e 4 16 π 2 ε 0 2 ħ 4 {\displaystyle E_{a}={m_{1}e^{4} \over 16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}\hbar ^{4}}}
である。ここでeは電気素量である。この場合のa0をボーア半径といい、Eaを基準としたエネルギーの単位をハートリーという。