アルティン相互法則
大域相互法則のコホモロジー的な証明は、まず
( Gal  ( K sep / K ) , lim →  C L ) {\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})}
がアルティン・テイトの意味で類構造(英語版)を成すことを確かめることで達成される。そうすれば、
H ^ 0 ( Gal  ( L / K ) , C L ) ≃ H ^ − 2 ( Gal  ( L / K ) , Z ) {\displaystyle {\hat {H}}{}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}{}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} )}
が証明される。ここに H ^ i {\displaystyle {\hat {H}}{}^{i}} はテイトコホモロジー群(英語版)を表す。コホモロジー群の計算により θ が同型であることが確かめられる。