ローレンツ変換
ローレンツ変換は、ある慣性系 S における空間および時間座標(あるいは任意の 4元ベクトル)を、x-軸に沿った S に対する相対速度 v で移動する別の慣性系 S′ へ変換する際に使用される群作用である。原点 (0, 0, 0, 0) を共有する、S における時空座標 (t, x, y, z) と S′ における時空座標 (t′, x′, y′, z′) で記述される事象の座標系は、以下のローレンツ変換によって関連づけられる。
t ′ = γ ( t − v x c 2 ) {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)} x ′ = γ ( x − v t ) {\displaystyle x'=\gamma (x-vt)\,} y ′ = y {\displaystyle y'=y\,} z ′ = z {\displaystyle z'=z\,}
上式で
γ ≡ 1 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}
はローレンツ因子と呼ばれ、c は真空中の光速度を表す。
で定義される恒等変換 I、空間反転(パリティ変換) P、時間反転 T、空間時間反転 PT が存在する。
L+, L−, L−, L+ はそれぞれ、恒等変換 I 、空間反転 P、時間反転 T、空間時間反転 PT を含む。
I ∈ L + ↑ , P ∈ L − ↑ , T ∈ L − ↓ , P T ∈ L + ↓ {\displaystyle I\in L_{+}^{\uparrow },\,\,P\in L_{-}^{\uparrow },\,\,T\in L_{-}^{\downarrow },\,\,PT\in L_{+}^{\downarrow }}
これらの変換により、L+, L−, L+, L− は次のように結び付けられる。
L + ↑ = P L − ↑ L + ↑ = T L − ↓ L + ↑ = P T L + ↓ {\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}^{\uparrow }&=PL_{-}^{\uparrow }\\L_{+}^{\uparrow }&=TL_{-}^{\downarrow }\\L_{+}^{\uparrow }&=PTL_{+}^{\downarrow }\end{aligned}}}
[ c t ′ x ′ y ′ z ′ ] = [ cosh  θ − sinh  θ 0 0 − sinh  θ cosh  θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ c t x y z ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh {\theta }&-\sinh {\theta }&0&0\\-\sinh {\theta }&\cosh {\theta }&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}
[ w ′ x ′ y ′ z ′ ] = [ cos  ( i θ ) − sin  ( i θ ) 0 0 sin  ( i θ ) cos  ( i θ ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] [ w x y z ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {(i\theta )}&-\sin {(i\theta )}&0&0\\\sin {(i\theta )}&\cos {(i\theta )}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}}