リンデマンの定理
α1, ..., αn が相異なる代数的数であるとき、e, ..., e は Q 上一次独立である(e はネイピア数)。すなわち、
c 1 e α 1 + ⋯ + c n e α n = 0 {\displaystyle c_{1}e^{\alpha _{1}}+\cdots +c_{n}e^{\alpha _{n}}=0}
を満たす代数的数の組 (c1, ..., cn) は (0, ..., 0) のみである。
同値な命題として、次のように定式化されることもある。α1, ..., αn が Q 上一次独立な代数的数であるとき、e, ..., e は Q 上代数的独立である。
この定理より、いくつかの特別な数が超越数であることが直ちに従う。まず、系において α = 1 とすると、ネイピア数 e は超越数であることが分かる。
円周率 π が超越数であることは、次のようにして従う。π が代数的数であると仮定すると、iπ も代数的数であるから、系より e は超越数である。しかし、オイラーの公式より e = −1 であるから、これは矛盾である。したがって、π は超越数である。
0 でも 1 でもない代数的数 β に対して、log β は超越数である。これを見るために、log β が代数的数と仮定すると β = e は系により超越数でなければならず、不合理。
0 でない代数的数 θ に対して、sin θ は超越数である。もしそうでなければ、γ := 2i sin θ は代数的数であり、オイラーの公式より 2i sin θ = e − e であるから、γ − e + e = 0 となる。これは、定理において n = 3, α1 = 0, α2 = iθ, α3 = −iθ として得られる結果に矛盾する。よって、sin θ は超越数である。同様にして、 cos  θ = e i θ + e − i θ 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}} も超越数であることが分かる。