弾性曲線方程式
一般的に、ある曲線 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} という曲線に対して、その曲率半径 ρ {\displaystyle \rho } には
1 ρ = ± y ′′ ( 1 + ( y ′ ) 2 ) 3 / 2 {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}=\pm {\frac {y''}{\left(1+(y')^{2}\right)^{3/2}}}}
という関係がある。
ここで y {\displaystyle y} をはりのたわみとすれば、 d y / d x = tan  θ {\displaystyle dy/dx=\tan \theta } ( θ {\displaystyle \theta } はたわみ角)となるが、微小変位の仮定(びしょうへんいのかてい)により、たわみ角は十分に小さく、 tan  θ ≪ 1 {\displaystyle \tan \theta \ll 1} となるため、微小変位の仮定を用いると、曲率半径とたわみには
1 ρ = ± d 2 y d x 2 {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}=\pm {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}
という関係が得られる。