素因数分解
環 R の元を既約元の積に表すことを既約元分解、素元の積に表すことを素元分解という。既約元分解が一意であるような環を素元分解整域もしくは一意分解環という(任意の元が素元の積に表せるなら、その表し方は一意である)。有理整数全体の成す環 Z や体上の多項式環 K[x] などは素元分解整域である(高校数学でいう多項式の“因数分解”とは、通常有理数体 Q 上の一変数多項式環における素元分解のことである)。これらの環はユークリッド整域にもなっているが、一般にユークリッド整域は単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は素元分解整域になる。
素元分解整域でない例として有理数体 Q に方程式 x + 5 = 0 の根を添加した代数体 Q(√−5) の整数環 Z[√−5] で 6 を既約分解することを考えてみる。整数 Z の範囲では 2 × 3(と同値なもの)のみであるが、Z[√−5] の範囲では
6 = 2 × 3 = (1 + √−5)(1 − √−5)
と本質的に異なる2通りに既約分解される。したがって Z[√−5] は素元分解整域ではない。しかし、イデアルとしては (2), (3) や (1 ± √−5) はさらに分解できて、素イデアルの積としては一意に
(6) = (2, 1 + √−5)(3, 1 + √−5)(3, 1 − √−5)
と分解される。一般に、代数体の整数環はデデキント環であり、素イデアルの積に一意的に分解する。
このような考察はクンマーの理想数の理論に始まると考えられる。クンマー以降、デデキントのイデアル論などを経て代数的整数論の基盤となっている。