ウィルソンループ
であり、ここに x {\displaystyle x\,} は、ループの単に起点と終点に対応する(ラインの起点と終点のみが寄与することに対し、間にあるゲージ変換は互いにキャンセルする)。たとえば、SU(2) ゲージに対し、 g ± 1 ( x ) ≡ exp  { ± i α j ( x ) σ j 2 } {\displaystyle g^{\pm 1}(x)\equiv \exp\{\pm i\alpha ^{j}(x){\frac {\sigma ^{j}}{2}}\}} となる。 α j ( x ) {\displaystyle \alpha ^{j}(x)} は x {\displaystyle x\,} の任意の実函数であり、 σ j {\displaystyle \sigma ^{j}} は 3つのパウリ行列(Pauli matrices)で、和は通常の繰り返しのインデックスを渡る和を意味する。
巡回置換(cyclic permutation)の下のトレースの不変性は、 W C {\displaystyle W_{C}} がゲージ変換の下で不変であることを保証する。トレースを取る量は、ゲージリー群の元で、ロレースは実際、無限に多い既約表現の指標に関して、この元の指標であることに注意する。
このことは、作用素 A μ d x μ {\displaystyle A_{\mu }\,dx^{\mu }} が「トレースクラス」(従って、純粋離散スペクトル)へ限定するべきではないが、一般には通常通りエルミート的(数学的には自己随伴)である。詳しいは、最終的に観測している量はこのトレースであるので、どのループ上のどの点を起点とするかは問題ではない。それらの点はすべて同一の値を与える。
実際、A を主 G-バンドル上の接続形式とみなすと、上の方程式は実際、リー群 G の元を与えるループを回る単位元の平行移動と理解すべきである。
経路順序べきは、物理で共通に使われる便利な記法であるが、数学的な作用素の公正な値を秘匿している。数学者は接続の順序べきを「接続のホロノミー」として選び、ウィルソンループが満たすべき平行移動の微分方程式として特徴付けるであろう。
T=0 では、クォークの閉じ込め、あるいはゲージ不変な量子場理論の閉じ込めを解くこと、すなわち、変数が値の増加する「領域」か、ループの「周り」で逆になるかに従って、ウィルソンループ変数が特徴付けられる(「領域の中の法則」か「半径の法則」としても知られる「周囲の法則」となるか)。
有限温度の QCD において、ウィルソンループの熱的期待値は、と閉じ込められたハドロン相と場の閉じ込めの解かれた状態、つまりクォークグルーオンプラズマとを識別する。