ガウス・ボンネの定理
この理論はベクトルバンドルの曲率を特性類と結びつけるもので、この理論を使うことでチャーン・ガウス・ボンネの定理は「ファイバーの次元が偶数の計量ベクトルバンドルのオイラー形式が表すド・ラームコホモロジー類はオイラー類に等しい」という形に一般化される。接バンドルに対するこの定理が前述のチャーン・ガウス・ボンネの定理に一致する。
なおガウス・ボンネの定理の奇数次元への一般化は、自明なものになってしまい、チャーンは奇数次元の場合はオイラー形式が恒等的に0になってしまう事を示している。奇数次元閉多様体のオイラー標数が常に0になるので、以上のことから奇数次元のガウス・ボンネの定理は「0の積分は0」というものになってしまう。
チャーン・ガウス・ボンネの定理の非常に広汎な一般化としてアティヤ・シンガーの指数定理があり、この定理はチャーン・ガウス・ボンネの定理のみならず、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理やヒルツェブルフの符号数定理(英語版)の一般化にもなっている。
ガウス・ボンネの定理にはいくつかの組み合わせ論的な類似が成り立つ。 M {\displaystyle M} を有限な 2次元擬多様体(英語版)(pseudo-manifold)とし、 χ ( v ) {\displaystyle \chi (v)} を頂点 v {\displaystyle v} を持つ三角形の数とすると、
∑ v ∈ i n t M ( 6 − χ ( v ) ) + ∑ v ∈ ∂ M ( 3 − χ ( v ) ) = 6 χ ( M ) {\displaystyle \sum _{v\in {\mathrm {int} }{M}}(6-\chi (v))+\sum _{v\in \partial M}(3-\chi (v))=6\chi (M)}
が成り立つ。ここに最初の和は M {\displaystyle M} の内部の頂点を渡り、第二の和は境界上の頂点の和をとり、 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} は M {\displaystyle M} のオイラー標数を表す。