多変数の微分
∂ [ a ] f i | [ p ] = d ( f i ∘ l [ a , p ] ) d t | t = 0 = d f i ( t a + x 0 ) d t | t = 0 {\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={\left.{\frac {d(f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]})}{dt}}\right|}_{t=0}={\left.{\frac {df_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {x} _{0})}{dt}}\right|}_{t=0}} (1-16)
である。但し、 l [ a , p ] {\displaystyle l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}} は、
l [ a , p ] ( t ) = t a + p {\displaystyle l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=t\mathbf {a} +\mathbf {p} } (1-17)
で定まる R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の直線である。 また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。
s ( x − p ) + p ∈ D {\displaystyle s(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {p} \in {\textbf {D}}} (6-3-2)
であることを意味する。
p {\displaystyle {\textbf {p}}} は固定されているものとする。また、
x {\displaystyle {\textbf {x}}} = ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle =\left({\begin{matrix}{{x}_{1}}\\\vdots \\{{x}_{n}}\\\end{matrix}}\right)} (6-3-3)
も固定されていると考える。
式(6-1-1)の、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された1行n列の行列値関数 A {\displaystyle A} に対し、 U [ A , p ] | x {\displaystyle {{\left.{{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}\right|}_{\mathbf {x} }}} を
このとき「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の D {\displaystyle {\textbf {D}}} における導関数 f ′ {\displaystyle {{\mathbf {f} }^{'}}} 」とは、「 D {\displaystyle {\textbf {D}}} の点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と x {\displaystyle {\textbf {x}}} における微分 ( J f ) [ x ] {\displaystyle {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {x} ]}}} を対応させる行列値の関数」である。つまり、
f ′ ( x ) = {\displaystyle {\mathbf {f} }'(\mathbf {x} )=} ( J f ) [ x ] {\displaystyle {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {x} ]}}} (4-4)
である。 f ′ {\displaystyle {{\mathbf {f} }'}} のことを J f {\displaystyle J\mathbf {f} } や、 T f {\displaystyle T\mathbf {f} } と書くこともある。 尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、 d f {\displaystyle d{\textbf {f}}} は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。
また、(4-5)から、直ちに「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能」ならば、「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、任意の a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能」である。
(6-1-1)の A {\displaystyle A} に対し、作用積分 U [ A , p ] {\displaystyle {{U}_{[A,\mathbf {p} ]}}} を定義する。
p = ( p 1 ⋮ p n ) {\displaystyle \mathbf {p} =\left({\begin{matrix}{{p}_{1}}\\\vdots \\{{p}_{n}}\\\end{matrix}}\right)} (6-3-1)
を R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の点とする。また、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を、 R n {\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}} の開集合とし、さらに D {\displaystyle {\textbf {D}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} を中心に星型とする。
D {\displaystyle {\textbf {D}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} を中心に星型とは、任意の D {\displaystyle {\textbf {D}}} の点 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と、任意の s ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle s\in [0,1]} に対し、