パデ近似
s n ( z | 3 ) ≈ − ( 9851629 / 283609260 ) z 5 − ( 572744 / 4726821 ) z 3 + z 1 + ( 859490 / 1575607 ) z 2 − ( 5922035 / 56721852 ) z 4 + ( 62531591 / 2977897230 ) z 6 {\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-(9851629/283609260)z^{5}-(572744/4726821)z^{3}+z}{1+(859490/1575607)z^{2}-(5922035/56721852)z^{4}+(62531591/2977897230)z^{6}}}}
発散級数の再足し上げ(resummation)、すなわち
∑ z = 1 ∞ f ( z ) {\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z)}
を調べるには、パデまたは単に有理ゼータ関数を次のように導入すると便利である。
ζ R ( s ) = ∑ z = 1 ∞ R ( z ) z s , {\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}
ここで、
R ( x ) = [ m / n ] f ( x ) {\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)\,}
は関数f(x)の次数 (m,n) のパデ近似である。 s = 0での ゼータ正則化値は、発散級数の和と見なされる。
このパデゼータ関数の関数方程式は次のとおりである。
∑ j = 0 n a j ζ R ( s − j ) = ∑ j = 0 m b j ζ 0 ( s − j ) , {\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),}
ここで、a jとb jはパデ近似の係数である。下付き文字「0」は、パデが次数[0/0]であることを意味する。したがって、この場合リーマンゼータ関数となる。