冪等
環における冪等元とは、環の乗法に関して冪等であるような元のことと定義される。環の冪等元全体からなる集合の半順序を次のように定義することができる。すなわち、e と f が冪等な元であるとき、ef = fe = e となるときかつそのときに限って e ≤ f が成り立つと定めるのである。この順序では 0 が最小な冪等元であり、1 が最大の冪等元となる。
環 R において e が冪等であるとき、eRe も e を乗法単位元とする環になる。もとの環 R が単位元 1R を持つ場合でも、e ≠ 1R ならば単位元が異なるため単位的環としての部分環にはなっていない。
2つの冪等元 e と f は ef = fe = 0 が成り立つとき直交するという。この場合、e + f も冪等であり、e ≤ e + f かつ f ≤ e + f である。
環 R で e が冪等であるとき、f = 1 − e と置けば f と e は直交する(e が冪等なので ee = e であるから、ef = fe = 0 となる)。
R の冪等元 e が R の中心に属すとき、つまり R 内の全ての x について ex = xe が成り立つとき、e は中心的 (central) あるいは中心冪等元であるという。この場合、Re は e を乗法単位元とする環である。