交叉理論
サイクルの交叉多重度の定義を導く原理は、ある意味では連続性にある。次のような基本的な例を考える。放物線 y = x と x-軸 y=0 の交叉は、 2·(0,0) である。理由は、もしサイクルの一つが動いたとすると(未定義な状態であるが)、ちょうど 2つの点である交叉があって、描いた位置にサイクルが近づくと、両方とも (0,0) にまとまる。(右の図は、y=-3 の放物線の交叉がないように見えることは、明らかに誤っているが、この理由は、単に実数解に限った描写をしているからである。)
最初に満足のいく交叉の定義をしたのは、ジャン・ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)である。周囲の多様体 X が滑らかである(もしくは、全ての局所環が正則局所環とする。さらに、V と W を 2つの(既約、被約かつ閉である)部分多様体で、交叉が固有であるとする。構成は局所的であるので、従って、X の座標環の中の 2つのイデアル I と J で(交叉)多様体が表せるかもしれない。Z を集合論的な交叉 V ∩ W の既約成分とし、z をその生成点(英語版)(generic point)とする。Z の交叉積 V · W の中の多重度は次によって定義される。
μ ( Z ; V , W ) := ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i length O X , z Tor O X , z i ( O X , z / I , O X , z / J ) {\displaystyle \mu (Z;V,W):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{X,z}}{\text{Tor}}_{{\mathcal {O}}_{X,z}}^{i}({\mathcal {O}}_{X,z}/I,{\mathcal {O}}_{X,z}/J)} ,
n が奇数の(従って、2n = 4k + 2 の)場合は、交叉形式は交代形式(英語版)(alternating form)である。これらはε-対称形式(英語版)として統一的に記述できる。ここに ε = ( − 1 ) n = ± 1 {\displaystyle (-1)^{n}=\pm 1} として、各々対称的と反(歪)対称的とする。ある条件の下では、この形式からε-二次形式(英語版)へ精密化することもできるが、そのようにするためには、接バンドルの枠付き多様体(英語版)(framing)のようなデータを加えなければならない。向き付けという条件を落とし、かわりに Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} 係数とすることも可能である。
これらの形式は、重要な位相不変量であり、例えば、マイケル・フリードマン(Michael Freedman)の定理は、単連結なコンパクトな 4次元多様体は(ほぼ)同相の下に交叉形式で決定されると言っている。 – 交叉形式を参照。
ポアンカレ双対により、このことを幾何学的に考える方法があることが判明している。可能であれば、n-次元部分多様体 A と B を a と b のポアンカレ双対として選択すると、 λ M {\displaystyle \lambda _{M}} (a, b) は、A と B の向き付け交叉数(英語版)となる。この交叉数は A と B の次元により、うまく定義できる。 以上が用語交叉形式を説明している。
数学では、交叉理論(intersection theory)(もしくは、交点理論)は、代数幾何学では代数多様体の上ので部分多様体の交叉についての分野で、 代数トポロジーではコホモロジー環の中の交叉の計算についての分野である。多様体の理論は古くからあり、曲線のベズーの定理や消去理論(英語版)(elimination theory)に起源を持つ。他方、トポロジー理論では、交叉理論はより手短に定義形式へたどり着く。