冪函数
複素変数を考える場合、任意の自然数 n に対してはガウス平面 C 上の函数 z ↦ z が定義できる。自然数冪函数の全体は C 上の多項式函数の構成や正則函数の冪級数展開に利用される。また負の整数 −n に対しても、非零複素数の集合 C* = C ∖ {0} = {z ∈ C | z ≠ 0} 上の函数 z ↦ z が定まる。
しかし a が実または複素数のとき、C* 上で一意な冪函数 z を定義することはできない。実際、そのようなものを定義するには、定義域を C* の開集合であって、その上で複素対数函数 L が定まるようなものへ制限する必要がある。そしてそのような開集合上で、冪函数は
f a ( z ) = z a := exp  ( a L ( z ) ) {\displaystyle f_{a}(z)=z^{a}:=\exp(aL(z))}
と定義される正則函数となる。