解析接続
でのテイラー展開を考えることにより定義域を拡げていくことができる。この操作により定義域を拡げていけば 実部 Re(z) が 1 より小さい任意の z に関して、適当な無限級数をとればその値を定義できることが分かる。
さらに z = (1 + i)/2 における g(z) のテイラー展開
f 1 + i 2 ( z ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 + i ) n + 1 ( z − 1 + i 2 ) n {\displaystyle f_{1+i \over 2}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(1+i)^{n+1}\left(z-{1+i \over 2}\right)^{n}}
= 1 + i + 2 i ( z − 1 + i 2 ) − 2 ( 1 − i ) ( z − 1 + i 2 ) 2 − 4 ( z − 1 + i 2 ) 3 − ⋯ {\displaystyle =1+i+2i\left(z-{1+i \over 2}\right)-2(1-i)\left(z-{1+i \over 2}\right)^{2}-4\left(z-{1+i \over 2}\right)^{3}-\cdots }
を考えると収束半径は 1/√2 である。
等比級数とそれの解析接続を複素平面上で可視化したもの。左図の水色点はsを表しており、水色の円形領域は級数∑∞k=0 s の収束半径を示している。 右図の連結した黄線は、∑∞k=0 s の有限和∑nk=0 s において、n=0からn=20までの値をプロットし、それを繋いだものである。緑点は1/1−sを表している。 sが収束半径内にあるとき、有限和の値は1/(1-s)に吸い込まれる螺旋状に変化することがわかる。sが収束半径外にあるとき、有限和の値は中心を1/(1-s)として外側に広がる螺旋状に変化することがわかる。
※ 以下の説明においてi は虚数単位とする。
複素数 z を変数とし、無限級数によって定義される関数
f 0 ( z ) = ∑ n = 0 ∞ z n = 1 + z + z 2 + ⋯ {\displaystyle f_{0}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}=1+z+z^{2}+\cdots }
を考える。この関数は、収束半径が 1 であり
g ( z ) = 1 1 − z {\displaystyle g(z)={\frac {1}{1-z}}}
に収束する。すなわち |z| < 1 の時に g(z) に収束する。
しかしながら、 g(z) は z≠1 において定義され、 f0(z) と定義域が異なることが分かる。