順序集合
P を集合とし、≤ を P 上で定義された二項関係とする。
≤ が反射律と推移律を満たすとき、≤ を P 上の前順序(英語版) (preorder) または擬順序 (quasiorder) という。
≤ が前順序でありさらに反対称律を満たすとき、≤ を P 上の半順序 (partial order) という。
≤ が半順序でありさらに全順序律を満たすとき、≤ を P 上の全順序 (total order) という。
≤ が前順序であるとき (P, ≤) を前順序集合という。同様に ≤ が半順序なら (P, ≤) は半順序集合、全順序なら (P, ≤) は全順序集合という。また集合 P は (P, ≤) の台集合 (underlying set) あるいは台 (support) と呼ばれる。紛れがなければ ≤ を省略し、P を(いずれかの意味で)順序集合という。
順序集合 (P, ≤) に対し、≤ を台 P 上の順序関係ともいう。なお多くの数学の分野では半順序集合を主に扱うので、単に順序あるいは順序集合といった場合はそれぞれ半順序、半順序集合を意味する場合が多いが、分野によっては、主な対象が半順序集合でなく前順序集合や全順序集合である場合があり、そのような分野では前順序集合や全順序集合の意味で「順序集合」という言葉が用いられることがあるので注意が必要である。
空集合 ∅ {\displaystyle \emptyset } 、全体集合 R {\displaystyle \mathbb {R} }
スコット位相を入れた順序集合をスコット空間といい、スコット空間からスコット空間への連続写像をスコット連続 (Scott continuity) という。順序集合 P から順序集合Q への写像 f がスコット連続である必要十分条件は以下の性質が成り立つことであることが知られている:
P の任意の有向部分集合A に対し、A がP 内の上限を持てばf (A )もQ 内の上限を持ち、sup f (A) = f (sup A ) が成立する。
スコット連続な関数は順序を保つ。実際、x ≥ y ⇒ sup{x , y } = x であるので、上述した条件よりsup{f (x ), f (y )}が存在し、しかも sup{f (x ), f (y )} = f (sup{x , y }) = f (x ) となる。これはf (x ) ≥ f (y ) を意味する。
なお、スコット位相と下方位相のいずれよりも強い位相構造の中で最弱のものをローソン位相(英語版)という。