偏微分方程式
拡散方程式は与えられた領域において時間とともに変化する場を記述する放物型偏微分方程式で、
u t = k ∇ 2 ψ = k ( ψ x x + ψ y y + ψ z z ) {\displaystyle u_{t}=k\nabla ^{2}\psi =k(\psi _{xx}+\psi _{yy}+\psi _{zz})}
によって与えられる。ψはたとえば温度場(熱伝導方程式)や、物質の濃度場(フィックの法則)などを表す。定数 k は物質の熱伝導性や拡散係数などを示している。解は時間の増加とともに大体均一に分布するように変化し、t→∞で調和関数に近づく。
以下では未知関数 ψ の変数 x に関する偏微分を ψx のように表す:
ψ x := ∂ ψ ∂ x , {\displaystyle \psi _{x}:={\partial \psi \over \partial x},}
ψ x y := ∂ 2 ψ ∂ y ∂ x . {\displaystyle \psi _{xy}:={\partial ^{2}\psi \over \partial y\,\partial x}.}
また、特別な記述がない限り、変数は時間 t と3次元空間 (x, y, z) とするが、数学的には一般の次元に拡張できる。