ダランベールの収束判定法
lim n → ∞ | 1 ( n + 1 ) 2 1 n 2 | = 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {1}{(n+1)^{2}}}\;}{\dfrac {1}{n^{2}}}}\right|=1}
である。最後に、
∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}}
は条件収束するが、
lim n → ∞ | ( − 1 ) n + 1 n + 1 ( − 1 ) n n | = 1 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {(-1)^{n+1}}{n+1}}\;}{\dfrac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1}
である。
ダランベールの判定法で収束判定出来るなら絶対収束なのでこの結果はある意味当然である。これは交代級数に関するライプニッツの定理ないしその一般化であるディリクレの収束判定法により条件収束性がわかる。
これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、
lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n → ∞ | n + 1 e n + 1 n e n | = lim n → ∞ | ( 1 + 1 n ) 1 e | = 1 e < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {n+1}{e^{n+1}}}\;}{\dfrac {n}{e^{n}}}}\right|\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\left(1+{\frac {1}{n}}\right){\frac {1}{e}}\right|\\&={\frac {1}{e}}<1\end{aligned}}}
1/eは1より小さいため、級数は収束する。