実数値関数
X を任意の集合とする。F(X, R) を X から R への関数全体の集合で表すものとする。R は可換体であるので、F(X, R) はベクトル空間であり、実数上の結合多元環は、以下のように定義できる。
ベクトル和: f + g: x ↦ f(x) + g(x)
加法単位元: 0: x ↦ 0
スカラーとの積: cf: x ↦ cf(x), c ∈ R
各点ごとの積: fg: x ↦ f(x)g(x)
また、R は順序集合であることから、F(X, R) には以下のような半順序が入る。
f ≤ g ⟺ ∀ x : f ( x ) ≤ g ( x ) . {\displaystyle \ f\leq g\iff \forall x\colon f(x)\leq g(x).}
これによって、F(X, R) は半順序環(英語版)とある。