行列指数関数
固定されたエルミート行列 H について、関数
f ( A ) = tr exp  ( H + log  A ) {\displaystyle f(A)=\operatorname {tr} \,\exp \left(H+\log A\right)}
は正定値行列錐上の凹関数である。
A, H がエルミートであるとき、次の不等式が成り立つ。
tr  exp  ( A + H ) ≤ tr  ( exp  ( A ) exp  ( H ) ) . {\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+H)\leq \operatorname {tr} (\exp(A)\exp(H)).}
ここで可換性は要求されないことに注意する。
ゴールデン–トンプソン不等式を 3つの行列に対するものに拡張できないことを示す反例が知られている。そもそもエルミート行列 A, B, C に対して tr(exp(A)exp(B)exp(C)) が実になること自体が保証されないのだが、次に示すリーブの定理(エリオット・リーブに因む)はある意味でそのような保証を与える: