円周率の歴史
[値] 村松茂清が『算俎』を著し、円に内接する正 2 角形 (2 ≤ n ≤ 15) の辺の長さから π ≒ 3.1415 92648 77769 88692 48 とし、小数点以下7桁まで正しい値を求めた。ファン・コーレンなどの計算には遠く及ばないものの、近似値として単に 3.16 という値を示すのみであった『塵劫記』や、中国などを通じて入ってくる算書に頼り切ってきたそれ以前の和算から一歩を踏み出し、日本で初めて数学的な方法で円周率を計算し発表した和算家が村松である。和算において、円周率をはじめとする円に関する研究は「円理」と呼ばれ、一定の発展を見せたが、例えば外接多角形との「はさみうち」によって何桁目まで正しいかを論証する、といったような基本的な数学的発展さえわずかであったのが「和算の限界」であった(円周率#和算における円周率の取り扱い)。
arctan  x = x − x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ {\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }
この級数は、しばらくしてヨーロッパでもジェームズ・グレゴリーとゴットフリート・ライプニッツにより再発見され、一般的にはグレゴリー級数、もしくはライプニッツ級数などと呼ばれる。
[値] (10?) 一説によると、マーダヴァは上式から直ちに得られる等式、 π = 12 ( 1 − 1 3 ⋅ 3 1 + 1 5 ⋅ 3 2 − 1 7 ⋅ 3 3 + ⋯ ) {\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\,{\biggl (}1-{\frac {1}{3\cdot 3^{1}}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots {\biggr )}}
の21項を計算し、π ≈ 3.14159 26535 9 を得たという。これは小数点以下10桁目まで正しい(12桁目を四捨五入した11桁の近似値としては全11桁が正しいが、11桁目「8」は未確定)。
[法] カール・ストーマー(英語版)は公式 π 4 = 6 arctan  1 8 + 2 arctan  1 57 + arctan  1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}}
を発見する。
[学][値] 既に、古代エジプトでは、円周と直径の比の値と、円の面積と半径の平方の比の値が等しいことは知られていた。神官アハメスが書き残したリンド・パピルスには、円積問題の古典的な解法の一つが記されており、円の直径からその 1/9 を引いた長さを一辺とする正方形の面積と、元の円の面積が等しいとしている。これは、円周率を近似的に256/81 = 3.160493827...とみなすことに相当し、それなりに精度の高い近似値であったが普及はしなかった。リンド・パピルスはアハメスによって写されたものであり、内容自体はさらに紀元前1800年頃にまで遡ると考えられている。
[値] オランダのアドリアン・アンソニス(英語版)が 333/106 < π < 377/120 と評価し、両端の平均に近い値として 355/113 を得た。これは、約3.14159 292 である。
[値] (9) フランソワ・ビエタが、円に内接・外接する正393,216角形の周の長さから 3.14159 26535 < π < 3.14159 26537 という評価をした。ビエタはさらに、無限乗積 x 1 = 1 2 , x n + 1 = 1 + x n 2 {\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {1}{2}}},\quad x_{n+1}={\sqrt {\frac {1+x_{n}}{2}}}} 2 π = ∏ n = 1 ∞ x n {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}
を示し π の計算を試みた。
[値] 呉の王蕃は 142/45 を用いた。約3.1555 である。
[学] フランスの科学アカデミーが、ギリシアの三大作図問題と永久機関についての論文審査を拒否する決議をした。