ミンコフスキー汎関数
X を、スカラーの体(基礎体)K による位相を備えない線型空間とする。φ ∈ X′ を、X の代数的双対とする。すなわち、φ: X → K は X 上の線型汎関数である。a > 0 を固定し、集合 K を
K = { x ∈ X : | φ ( x ) | ≤ a } {\displaystyle K=\{x\in X:|\varphi (x)|\leq a\}}
によって定める。ふたたび、関数
p ( x ) = inf { r > 0 : x ∈ r K } {\displaystyle p(x)=\inf \left\{r>0:x\in rK\right\}}
を定める。すると、
p ( x ) = 1 a | φ ( x ) | {\displaystyle p(x)={\frac {1}{a}}|\varphi (x)|}
が成立する。この関数 p(x) もミンコフスキー汎関数の特別な例である。
K の凸性は関数 pK の劣加法性を意味する、ということは次のような簡単な幾何的な議論によって示される: 便宜的に pK(x) = pK(y) = r を仮定する。すると、任意の ε > 0 に対して x, y ∈ (r + ε) K = K′ となる。K が凸であるという仮定により、 K' もまた凸であることが分かる。したがって、1⁄2 x + 1⁄2 y は K' に含まれる。ミンコフスキー汎関数 pK の定義により、
p K ( 1 2 x + 1 2 y ) ≤ r + ε = 1 2 p K ( x ) + 1 2 p K ( y ) + ε {\displaystyle p_{K}\left({\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{2}}y\right)\leq r+\epsilon ={\frac {1}{2}}p_{K}(x)+{\frac {1}{2}}p_{K}(y)+\epsilon }
が得られるが、この左辺は 1⁄2 pK(x + y) であるため、
p K ( x + y ) ≤ p K ( x ) + p K ( y ) + ε ∀ ε > 0 {\displaystyle p_{K}(x+y)\leq p_{K}(x)+p_{K}(y)+\epsilon \quad \forall \epsilon >0}
が得られる。これが劣加法性に関する求める不等式である。一般の pK(x) > pK(y) の場合については、簡単な修正を加えることで分かる。
注意 集合 {r > 0: x ∈ r K} が空でないという元々の仮定の下で K が凸であるということは、K が吸収的集合であることを意味する。