Montgomery curve
であるならば、直線の傾きを表す l {\displaystyle l} の値は、陰関数定理により、次の式で与えられます。
l = − ∂ f ∂ x / ∂ f ∂ y {\displaystyle l=-\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right/{\frac {\partial f}{\partial y}}}
よって、 l = 3 x 1 2 + 2 A x 1 + 1 2 B y 1 {\displaystyle l={\frac {3x_{1}^{2}+2Ax_{1}+1}{2By_{1}}}} であり、 P 3 = 2 P 1 {\displaystyle P_{3}=2P_{1}} の座標は
x 3 = B l 2 − A − x 1 − x 1 = B ( 3 x 1 2 + 2 A x 1 + 1 ) 2 ( 2 B y 1 ) 2 − A − x 1 − x 1 = ( x 1 2 − 1 ) 2 4 B y 1 2 = ( x 1 2 − 1 ) 2 4 x 1 ( x 1 2 + A x 1 + 1 ) y 3 = ( 2 x 1 + x 1 + A ) l − B l 3 − y 1 = ( 2 x 1 + x 1 + A ) ( 3 x 1 2 + 2 A x 1 + 1 ) 2 B y 1 − B ( 3 x 1 2 + 2 A x 1 + 1 ) 3 ( 2 B y 1 ) 3 − y 1 .
P 1 = ( 2 , 3 ) {\displaystyle P_{1}=(2,{\sqrt {3}})} を曲線 2 y 2 = x 3 − x 2 + x {\displaystyle 2y^{2}=x^{3}-x^{2}+x} 上の点とする。 ( X 1 : Z 1 ) {\displaystyle (X_{1}:Z_{1})} 座標では、 x 1 = X 1 / Z 1 {\displaystyle x_{1}=X_{1}/Z_{1}} より、 P 1 = ( 2 : 1 ) {\displaystyle P_{1}=(2:1)} となる。
よって
X X 1 = X 1 2 = 4 {\displaystyle XX_{1}=X_{1}^{2}=4\,}
X 2 = ( X X 1 − 1 ) 2 = 9 {\displaystyle X_{2}=(XX_{1}-1)^{2}=9\,}
Z 2 = 4 X 1 ( X X 1 + A X 1 + 1 ) = 24 {\displaystyle Z_{2}=4X_{1}(XX_{1}+AX_{1}+1)=24\,}
これにより、 P 2 = 2 P 1 {\displaystyle P_{2}=2P_{1}} である点は P 2 = ( X 2 : Z 2 ) = ( 9 : 24 ) {\displaystyle P_{2}=(X_{2}:Z_{2})=(9:24)} である。