ラックス・ペア
λ ( t ) {\displaystyle \lambda (t)} 、 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} をそれぞれ時刻 t における L(t) の1つの固有値、およびその固有値を持つ固有ベクトルの1つとすれば L ( t ) ψ ( t ) = λ ( t ) ψ ( t ) {\displaystyle L(t)\psi (t)=\lambda (t)\psi (t)} である。少々天下り的ではあるが、この λ ( t ) {\displaystyle \lambda (t)} が時刻と共に変動しない条件を考えてみる。まずこの式の両辺を時刻 t で偏微分すれば、
∂ L ∂ t ψ + L ∂ ψ ∂ t = ∂ λ ∂ t ψ + λ ∂ ψ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}\psi +L{\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\partial \lambda }{\partial t}}\psi +\lambda {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}
である。 ∂ L ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}} をラックス方程式を用いて書き換え、さらに ∂ λ ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial t}}=0} とすれば、
L(t) 、A(t) は、 H {\displaystyle \mathbb {H} } のスカラー体の上の任意の時刻関数 (これを λ ( t ) {\displaystyle \lambda (t)} とする) と交換する。つまり、
[ A ( t ) , λ ( t ) ] = [ L ( t ) , λ ( t ) ] = 0 {\displaystyle [A(t),\lambda (t)]=[L(t),\lambda (t)]=0\ }
である。これは L(t) 、A(t) が時刻微分作用素 ∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}} をその内部に含んでいないことを意味する (これが、L(t) 、A(t) は H {\displaystyle \mathbb {H} } に作用するという表現の暗黙的な意味である。 ∂ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}} は H {\displaystyle \mathbb {H} } への作用素ではなく、 I × H {\displaystyle \mathbb {I} \times \mathbb {H} } への作用素である)。
ラックス方程式の形式は不変のままで L 、A の形式を変えることにより、未知関数 u が満たすべき微分方程式を様々な形式に変化させることができる。下記の例のように、ラックス方程式から導かれる微分方程式は大抵の場合、非線形偏微分方程式となる。
ラックス・ペア (英: Lax pair)は、数学の可積分系の理論における用語であり、ある微分方程式 (時刻発展型偏微分方程式) がラックス方程式を用いて書き換え可能な場合に、その中で使われる時刻に依存する作用素の対を指す。このような場合、元の微分方程式は、そのラックス・ペアを持つと表現される。これらはアメリカ合衆国の数学者であるピーター・ラックスによって連続媒体中の解を論ずるために導入された。時刻発展型偏微分方程式をラックス方程式で書き換えることにより、逆散乱法(英語版)を用いて微分方程式の解を求めることができるようになる。この方法により、従来の方法では解くことができなかった多数の非線形時刻発展型偏微分方程式の厳密解が得られており、それらは、ほとんどの場合ソリトン解を持つことが知られている。
I は単位行列を表す。このような U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,t_{0})} は常に存在することが証明でき、特に任意の時刻 t 1 {\displaystyle t_{1}} 、 t 2 {\displaystyle t_{2}} で、 A ( t 1 ) {\displaystyle A(t_{1})} と A ( t 2 ) {\displaystyle A(t_{2})} が可換であれば、
U ( t , t 0 ) = e ∫ t 0 t A ( τ ) d τ {\displaystyle U(t,t_{0})=e^{\int _{t_{0}}^{t}A(\tau )d\tau }}
である。また t 1 {\displaystyle t_{1}} を任意の時刻として、
U ( t , t 1 ) U ( t 1 , t 0 ) = U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0})=U(t,t_{0})\ }
という関係が常に成り立つ。従って、
U ( t , t 0 ) − 1 = U ( t 0 , t ) {\displaystyle U(t,t_{0})^{-1}=U(t_{0},t)\ }
である。なお、もし A(t) が歪エルミートであれば、 U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,t_{0})} はユニタリとなることを注意しておく。