モジュラー形式
ほかによくある一般化としては、ウェイト k が整数で無い場合を許すとか、函数等式に ε(a, b, c, d) なる因子で |ε(a, b, c, d)| = 1 となるようなものが現れるのを許して
f ( a z + b c z + d ) = ε ( a , b , c , d ) ( c z + d ) k f ( z ) . {\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}
とするなどである。ここで ε(a, b, c, d)(cz + d) の形の函数はモジュラー形式の保型因子として知られる。
保型因子を許せば、デデキントのイータ関数のような函数もウェイト 1/2 のモジュラー形式として理論の範疇に入る。そして例えば、χ が N を法とする ディリクレ指標とすれば、ウェイト k でレベル N のディリクレ指標 χ を指標としてもつモジュラー形式とは、上半平面上で正則な函数 f で任意の
( a b c d ) ∈ Γ 0 ( N ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)}
と上半平面上の点 z について
重さ k のモジュラー形式は複素数全体の成す集合 C における格子 Λ の集合上の函数 F で条件
格子 ⟨α, z⟩ が定数 α と変数 z で生成されるならば、F(Λ) は z の解析函数である。
α が 0 でない複素数で、αΛ を Λ の各元に α を掛けることによって得られる格子とするとき、F(αΛ) = αF(Λ) を満たす。
F(Λ) の絶対値は、 Λ の 0 でない最小の元の 0 からの距離が有界である限りにおいて、有界である。
をみたすものとして考えることができる。k = 0 のとき、条件 2 は F が格子の相似類にしか依らないことを言っている。条件 3 をみたす重さ 0 のモジュラー形式は定数関数のみである。条件 3 を外して、函数が極を持つことを許せば、荷重 0 の場合の例としてモジュラー函数と呼ばれるものを考 えることができる。
このように定めたモジュラー形式 F を複素一変数の函数に変換するのは簡単で、z = x + iy で y > 0 かつ f(z) = F(⟨1, z⟩) とすればよい(y = 0 とすると 1 と z が格子を生成できないので、y が正である場合にのみに限って考える)。
f ( a z + b c z + d ) = χ ( d ) ( c z + d ) k f ( z ) {\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)(cz+d)^{k}f(z)}
を満足し、かつ任意のカスプ上で正則となるものをいう。これが任意のカスプ上で消えているなばらカスプ形式と呼ぶのは同様である。
デテキント・イータ函数は、
η ( z ) = q 1 / 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) , q = e 2 π i z {\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\ q=e^{2\pi iz}}
と定義され、モジュラー判別式(英語版) Δ(z) = η(z) はウェイト 12 のモジュラー形式である。この 24 という数は、次元 24 をもつリーチ格子(英語版) に関係する。有名なラマヌジャン予想は、任意の素数 p に対して q の係数は、絶対値 2p 以下であることを主張し、ピエール・ドリーニュによってヴェイユ予想に関する研究の結果より、解決された。
二番目と三番目の例はモジュラー形式と数論での、二次形式による整数の表現や分割函数のような古典的な問題との関連に手がかりを与える。ヘッケ作用素の理論は、モジュラー形式と数論との極めて重大な概念的つながりを提供し、また、モジュラー形式論と表現論との関連も与える。
と定義される。また k を正整数 として、重さ k の、レベル (level) N (あるいはレベル群 Γ0(N))を持つモジュラー形式 (modular form) とは上半平面上で正則な函数 f であって、任意の
( a b c d ) ∈ Γ 0 ( N ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)}
と上半平面上の任意の点 z に対して
f ( a z + b c z + d ) = ( c z + d ) k f ( z ) {\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}
を満たし、かつカスプ上で f が有理型となるようなものをいう。ここに「カスプにおいて有理型」であるとは、虚軸の正部分に沿った z → i ∞ なる極限においてモジュラー形式が有理型であることをいう。
f(z + 1) = f(z) すなわち、モジュラー形式が周期 1 を持つ周期函数であり、したがってフーリエ級数展開を持つことに注意。