ヘルダー条件
ヘルダー条件を満たす函数からなるヘルダー空間は、偏微分方程式の解法に関連して函数解析学の分野や、力学系の分野において基本的な概念である。あるユークリッド空間の開部分集合 Ω と非負の整数 k ≥ 0 に対するヘルダー空間 C(Ω) は、Ω 上高々 k 階までの連続な導函数を持ち、k 階偏導函数が 0 < α ≤ 1 を満たす指数 α に対してヘルダー連続であるような函数からなる。この空間は局所凸位相線型空間である。ヘルダー係数
| f | C 0 , α = sup x ≠ y ∈ Ω | f ( x ) − f ( y ) | | x − y | α , {\displaystyle |f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x\neq y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}},}
が有限であるなら、函数 f は「Ω において指数 α で一様ヘルダー連続」と言われる。この場合、ヘルダー係数は半ノルムを与える。ヘルダー係数が単純に Ω のコンパクトな部分集合上で有界であるだけなら、函数 f は「Ω において指数 α で局所ヘルダー連続」と言われる。
函数 f と、その高々 k 階までの導函数が Ω の閉包上で有界であるなら、ヘルダー空間 C k , α ( Ω ̄ ) {\displaystyle C^{k,\alpha }({\overline {\Omega }})} には次のノルムが与えられる。