順序環
順序環は算術においてなじみ深い代数系である。整数全体の成す集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 、有理数全体の成す集合 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 、実数全体の成す集合 R {\displaystyle \mathbb {R} } はすべて通常の大小関係を順序として順序環となる (後ろの二つは順序体でもある)。それに対し複素数全体の成す集合 C {\displaystyle \mathbb {C} } はいかなる順序のもとでも順序環にはならない(虚数単位 i を0以上としても0以下としても矛盾が生じるため)。
0 と 1 との間に元を持たないような順序環を、離散順序環 (discrete ordered ring) と呼ぶ。整数全体の成す集合 Z などがその例であり、有理数全体の集合 Q や実数全体の集合 R はそうではない。
Rの任意の元 a, b, c に対し、
a ≤ b かつ 0 ≤ c ならば ac ≤ bc。この性質を順序環の定義に用いることもある。
|ab| = |a| |b|。
自明でない順序環は無限環である。
次の3つのうち、いずれか一つのみが成り立つ(英語版): a は正、−a は正、あるいは a = 0。この性質は順序環が加法に関してアーベル群かつ全順序群であることから導かれる。これより、 C {\displaystyle \mathbb {C} } が順序環にはならないことが従う。
順序環 R の正元の集合が乗法で閉じているならば、そのときに限り R は零因子を持たない。
任意の 0 でない元の2乗は正になる。実際、a ≠ 0 で a = b であるとすると、b ≠ 0 かつ a = (-b ) となる。上述の性質より b か −b のどちらかは正だから、定義の2番目の性質より a も正である。