数列の極限
ある N よりも大きい全ての n について an ≤ bn ならば、 lim n → ∞ a n ≤ lim n → ∞ b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}
(はさみうちの原理)すべての n > N に対して an ≤ bn ≤ cn であり、かつ lim n → ∞ a n = lim n → ∞ c n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L} であるならば、 lim n → ∞ b n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=L}
数列が有界かつ単調であれば、収束する。
数列が収束することと任意の部分列が収束することは同値である。
これらの性質は面倒な正式の定義を直接用いる必要なしに極限を証明するのに広く用いられる。ひとたび 1/n → 0 が証明されれば、上の性質を用いて、 a b + c n → a b {\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}} (ただし b ≠ 0)を示すのが容易になる。
後の仕事では、ニュートンは (x + o) の二項展開を考え、極限を取る(o → 0 とする)ことによって線型化した。
18世紀には、オイラーのような数学者はいくつかの発散級数の和を求めることに正しい瞬間で止めることによって成功した;彼らは極限が存在するかどうかはそれが計算できる限りそれほど注意を払わなかった。世紀の終わりに、ラグランジュは彼の Théorie des fonctions analytiques (1797) で厳密さの欠如が解析学のさらなる発展を阻害すると述べた。ガウスは超幾何級数の彼の研究 (1813) において初めてどのような条件下で級数が極限に収束するかを厳密に研究した。
極限の現代的な定義(任意の ε に対して、ある N が存在して、......)はベルナルト・ボルツァーノ (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, little noticed at the time) とカール・ワイエルシュトラスによって1870年代に与えられた。