閉作用素
次のような微分作用素
A f = f ′ {\displaystyle Af=f'\,}
を考える。ただしバナッハ空間 X=Y を、区間 [a, b] 上のすべての連続関数からなる空間 C[a, b] であるとする。その定義域 D ( A ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(A)} が D ( A ) = C 1 [ a , b ] {\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=C^{1}[a,b]} であるとした時、A は有界ではないが閉作用素となる。( D ( A ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(A)} を、不連続な導関数も含むようなすべての微分可能関数からなる集合とすることも出来ることに注意されたい。このとき作用素 A は閉ではない)。
もし代わりに D ( A ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(A)} をすべての無限回微分可能関数からなる集合であるとしたら、A はもはや閉ではなく、しかし可閉である。その場合、閉包は C 1 [ a , b ] {\displaystyle C^{1}[a,b]} 上定義される A の拡張となる。