行列の乗法
まずは二つの行列を掛け合わせることを考える(任意個数への一般化は後述)。
n × m 行列 A と m × p 行列 B を
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 m a 21 a 22 ⋯ a 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n m ] , B = [ b 11 b 12 ⋯ b 1 p b 21 b 22 ⋯ b 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m p ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nm}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mp}\end{bmatrix}}}
このようにさまざまな乗法が定義できるという事情の中にあっても、しかし最も重要な行列の乗法は連立一次方程式やベクトルの一次変換に関するもので、応用数学や工学へも広く応用がある。これは通例、行列の積(ぎょうれつのせき、英: matrix product)と呼ばれるもので、A が n × m 行列で、B が m × p 行列ならば、それらの行列の積 AB が n × p 行列として与えられ、その成分は A の各行の m 個の成分がそれぞれ順番に B の各列の m 個の成分と掛け合わされる形で与えられる(後述)。
この通常の積は可換ではないが、結合的かつ行列の加法に対して分配的である。この行列の積に関する単位元(数において 1 を掛けることに相当するもの)は単位行列であり、正方行列は逆行列(数における逆数に相当)を持ち得る。行列の積に関して行列式は乗法的である。一次変換や行列群あるいは群の表現などの理論を考える上において行列の積は重要な演算となる。
行列のサイズが大きくなれば、二つあるいはそれ以上の行列の積の計算を定義に従って行うには、非常に膨大な時間が掛かるようになってしまうため、効果的に行列の積を計算できるアルゴリズムが考えられてきた。