ガウス曲率
ガウスのTheorema Egregiumは、曲面のガウス曲率が曲面自身の上の長さを測ることから決定することができることを述べた定理である。実際、第一基本形式(first fundamental form)の考え方の全体として理解され、第一基本形式とその一階と二階の偏微分として表される。同値なことであるが、R の中の曲面の第二基本形式(second fundamental form)の行列式はそのように表現することができる。この定理の注目すべき驚異の点は、R の中の曲面 S のガウス曲率の「定義」が、曲面の空間内の位置に依存しているにもかかわらず、最終的な結果であるガウス曲率自体は、周囲の空間を何ら参照することなしに、曲面の内在的な計量(intrinsic metric)を決定することである。つまり、これは曲面自体が持っている本質的な性質である。特に、ガウス曲率は、曲面の等長な変形の下に不変である。
現代の微分幾何学において 曲面は 2次元微分可能多様体(differentiable manifold)であると、抽象的にみなす。