超球面
∫ 0 π sin n − j − 1  ( φ j ) C s ( ( n − j − 1 ) / 2 ) ( cos  φ j ) C s ′ ( ( n − j − 1 ) / 2 ) ( cos  φ j ) d φ j = π 2 3 − n + j Γ ( s + n − j − 1 ) s ! ( 2 s + n − j − 1 ) Γ 2 ( ( n − j − 1 ) / 2 ) δ s , s ′ {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}(\phi _{j})C_{s}^{((n-j-1)/2)}(\cos \phi _{j})C_{s'}^{((n-j-1)/2)}(\cos \phi _{j})\,d\phi _{j}\\[6pt]&={\frac {\pi 2^{3-n+j}\Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}((n-j-1)/2)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}
の積であり、角度 j = n − 1 に対して球面調和関数と一致して e である。
n 次元球面によって囲まれる有界領域は (n + 1) 次元球体 (n-ball) と呼ばれる。(n + 1) 次元球は n 次元球面を含めば閉集合であり、含まなければ開集合である。
具体例:
一次元球体は通常は線分と呼ばれる。零次元球面を成す二点を結ぶ線分という意味で零次元球面の内部と理解することができる。
二次元球体は通常は円板と呼ばれ、円周(一次元球面)の囲む領域になっている。
三次元球体は単に球体と言えば普通はこれのことで、通常の球面(二次元球面)の内部である。
四次元球体は三次元球面の内部である、etc.