判別式
(対角成分に an が m個、b0 が n個)
この等式を f, f' に適用すると、
a n n − 1 ( n a n ) n ∏ i , j ( α i − β j ) {\displaystyle {a_{n}}^{n-1}(na_{n})^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})}
= | a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 | ⋯ ( 6 ) {\displaystyle ={\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}\quad \cdots \ (6)}
ここでは、文献に掲載されている方法により証明する。
(証明)
∏ i , j ( i < j ) ( α i − α j ) 2 {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}
= ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 ∏ i , j ( i ≠ j ) ( α i − α j ) {\displaystyle =(-1)^{n(n-1)/2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i\neq j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})}
= ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 ∏ i = 1 n ∏ j ( j ≠ i ) ( α i − α j ) ⋯ ( 1 ) {\displaystyle =(-1)^{n(n-1)/2}\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}\prod \limits _{j(j\neq i)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})\quad \cdots \ (1)}
f ( x ) = a n ∏ j = 1 n ( x − α j ) {\displaystyle f(x)=a_{n}\textstyle \prod \limits _{j=1}^{n}(x-\alpha _{j})}
f ′ ( x ) = a n ∑ k = 1 n ∏ j ( j ≠ k ) ( x − α j ) {\displaystyle f'(x)=a_{n}\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}\prod \limits _{j(j\neq k)}(x-\alpha _{j})}
(5), (6) より、
a n 2 n − 2 ∏ i , j ( i < j ) ( α i − α j ) 2 {\displaystyle {a_{n}}^{2n-2}\textstyle \prod \limits _{i,j(i<j)}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}
= ( − 1 ) n ( n − 1 ) / 2 a n | a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 ⋱ ⋱ ⋱ a n a n − 1 ⋯ ⋯ a 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ n a n ( n − 1 ) a n − 1 ⋯ 1 a 1 | ◼ {\displaystyle ={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}&&\\&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\&&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{0}\\na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}&&&\\&\ddots &\ddots &&\ddots &&\\&&\ddots &\ddots &&\ddots &\\&&&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&\cdots &1a_{1}\end{vmatrix}}\ \blacksquare }
標数 ≠ 2 の任意の体 K 上の二次形式 Q への substantive な一般化がある。標数 2 に対しては、対応する不変量は Arf invariant である。
二次形式 Q が与えられたとき、その判別式 (discriminant) または行列式 (determinant) は Q の対称行列 S の行列式である。
行列 A による変数の変換は対称形式の行列を A T S A {\displaystyle A^{T}SA} によって変え、この行列式は ( det A ) 2 det S {\displaystyle (\det A)^{2}\det S} なので、変数の変換の下で、判別式は 0 でない平方によって変化し、したがって判別式の類は K/(K) において well-defined である、すなわち、0 でない平方を除いて定まる。平方剰余も参照。
Less intrinsically, ヤコビによる定理によって、 K n {\displaystyle K^{n}} 上の二次形式は、変数の線型変換の後、
a 1 x 1 2 + ⋯ + a n x n 2 {\displaystyle a_{1}{x_{1}}^{2}+\cdots +a_{n}{x_{n}}^{2}}
として対角形式 (diagonal form) において表現できる。より正確には、V 上の二次形式は和
∑ i = 1 n a i L i 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}{L_{i}}^{2}}
として表現できる、ここで Li は独立な線型形式であり n は変数の数である(ai のいくつかは 0 でもよい)。すると判別式は ai の積であり、これは K/(K) における類として well-defined である。
K=R、実数体に対して、(R) は正の実数全体であり(任意の正数は 0 でない数の平方である)、したがって商 R/(R) は 3 つの元、正、0、負を持つ。これは符号(英語版) (n0, n+, n−) よりも粗い不変量である。ただし n0 は対角形式における 0 の数であり n± は ±1 の数である。すると判別式は形式が退化 ( n 0 > 0 {\displaystyle n_{0}>0} ) であれば 0 であり、そうでなければ負の係数の数のパリティである、 ( − 1 ) n − .
数学において、多項式の判別式(はんべつしき、英: discriminant)とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。
一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。