ファン・ホーベ特異点
ここで d k x ′ d k y ′ {\displaystyle dk'_{x}\,dk'_{y}} 項は、定E面の面積要素である。 g ( E ) {\displaystyle g(E)} の式は、分散関係 E ( k → ) {\displaystyle E({\vec {k}})} が極値となる k {\displaystyle k} 点でDOSの被積分関数が発散することを意味している。 ファン・ホーベ特異点はこれらの k {\displaystyle k} 点でのDOS関数で起こる性質である。
詳細な解析によると、3次元空間ではバンド構造が極大か、極小か、または鞍点かに依存して4種類のファン・ホーベ特異点がある。 3次元ではDOSの微分が発散してもDOS自身は発散しない。 関数g(E)は平方根特異性(図を参照)をもつ傾向にある。 自由電子のフェルミ面では、
E = ħ 2 k 2 / 2 m {\displaystyle E=\hbar ^{2}k^{2}/2m}
| ∇ → E | = ħ 2 k / m = ħ 2 E m {\displaystyle |{\vec {\nabla }}E|=\hbar ^{2}k/m=\hbar {\sqrt {\frac {2E}{m}}}} .
2次元でのDOSは鞍点で対数的に発散し、1次元でのDOSは ∇ → E {\displaystyle {\vec {\nabla }}E} がゼロとなるところで無限となる。
ファン・ホーベ特異点とは結晶の状態密度(DOS)でみられる特異点(滑らかでない点)のこと。
ファン・ホーベ特異点が生じる波数ベクトルは、ブリルアンゾーンの臨界点と呼ばれる。 3次元結晶の場合、ファン・ホーベ特異点はキンクとなり、そこでは状態密度が微分可能でなくなる。 ファン・ホーベ特異点の最も一般的な応用は、光吸収スペクトルの解析である。
ファン・ホーベ特異点は、1953年にベルギーの物理学者レオン・ファン・ホーベがフォノンの状態密度について最初に取り扱った。