アルクィン数
最初の3つの0を除いたアルクィン数列は、
1 ( 1 − x 2 ) ( 1 − x 3 ) ( 1 − x 4 ) = 1 + x 2 + x 3 + 2 x 4 + x 5 + 3 x 6 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=1+x^{2}+x^{3}+2x^{4}+x^{5}+3x^{6}+\cdots }
の係数に一致する。この数列の方を単に「アルクィン数列」と呼ぶこともある。
また、閉形式では n 番目の(0を除かない場合 n + 3 番目)アルクィン数は
1 288 ( 6 n 2 + 54 n + 107 + ( − 1 ) n ( 18 n + 81 + 64 cos  ( 1 3 π n ) ) + 36 ( cos  ( 1 2 π n ) − sin  ( 1 2 π n ) ) ) {\displaystyle {\frac {1}{288}}\left(6n^{2}+54n+107+(-1)^{n}\left(18n+81+64\cos \left({\frac {1}{3}}\pi n\right)\right)+36\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\pi n\right)-\sin \left({\frac {1}{2}}\pi n\right)\right)\right)}
である。