ベクトルの共変性と反変性
また、成分表示では次のように書ける。
v i [ f ′ ] = ∑ j a ~ j i v j [ f ] {\displaystyle v^{i}[{\boldsymbol {f}}']=\sum _{j}{\tilde {a}}_{j}^{i}v^{j}[{\boldsymbol {f}}]}
ここで係数 ãj は A の逆行列の i, j 成分である。
ベクトル v の成分は基底を変換する行列 A の逆行列によって変換されるため、ベクトルの成分は基底の変換に対して反変である (transform contravariantly) という。
変換 A によって結び付けられる基底とベクトルの組は、矢印を使った図で次のようにラフに表現される。反対向きの矢印は反変変換を示す:
f ⟶ f ′ v [ f ] ⟵ v [ f ′ ] {\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\boldsymbol {f}}&\longrightarrow &{\boldsymbol {f}}'\\{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}]&\longleftarrow &{\boldsymbol {v}}[{\boldsymbol {f}}']\end{array}}}