超現実数
Kruskal の未出版の研究に基づき、(超限帰納法による)構成で、(e を底とする)実変数の指数函数 exp(x) の超現実数を引数とする拡張が Gonshor (1986) によって与えられた。
この三種にこのようなラベル付けをすることは、環の公理を満たすことを確認するうえで特別に重要である(これらはちょうど、加法単位元 0, 乗法単位元 1 および 1 の加法逆元 −1 を表すものとして、後で定義する超現実数の四則演算と整合する)。
任意の i < n に対して、Si で有効な任意の形式は Sn においても有効であるから、Si に属する任意の数は Sn にも(Si におけるそれらの数の表現の上位集合として)現れる(帰納ステップにおいて、Sn は一つ前の Sn−1 からではなく、それより前のすべての合併という形で構成されているから、この帰納的定義は n が極限順序数であるときにも意味を為すことに注意する)。Sn に属する数のうち、Si に属する適当な数の上位集合となっているようなものは、第 i-世代から「遺伝した」と言う。与えられた超現実数に対し、それが属する Sα の中で最小となる α のことを、その超現実数の誕生日と呼ぶ。例えば 0 の誕生日は 0 であり、−1 の誕生日は 1 である。
帰納ステップの繰り返し二回目では、以下のように順序付けられた同値類が得られる:
{ | −1} = { | −1, 0} = { | −1, 1} = { | −1, 0, 1}
< { | 0} = { | 0, 1}
< {−1 | 0} = {−1 | 0, 1}
< { | } = {−1 | } = { | 1} = {−1 | 1}
逆に、標準形の先頭項を分割して任意の超現実数を ( ω ∑ γ < δ t γ ω b γ ) ⋅ r ( 1 + ∑ α < β s α ω a α ) {\textstyle (\omega ^{\sum _{\gamma <\delta }t_{\gamma }\omega _{b_{\gamma }}})\cdot r(1+\sum _{\alpha <\beta }s_{\alpha }\omega _{a_{\alpha }})} (aα < 0) の形に持ち込んでやれば、各因数は上で既に与えたやり方で対数が計算できる形になっているから、それら対数の和が一般の対数となる。 (exp の場合と異なり)一般の log の帰納的定義は存在しないが、部分的にはそのような帰納的定義も与えられる。この方法では、(対数が指数函数の逆函数であるという事実を参照することなしに)陽に計算することができる。
指数函数は任意の有限冪函数よりもずっと大きい。 任意の正の無限大 x と有限な n に対して exp(x)/x は無限大である。 任意の整数 n と超現実数 x > n に対し exp(x) > x が成り立つ。この強い制約条件は実指数体に対する Ressayre の公理の一つになっている。
exp は実指数体に対する Ressayre の公理系をすべて満足する。 この指数函数を備えた超現実数の全体は、実指数体の初等拡大(英語版)になる。 順序イプシロン数 εβ に対し、εβ より小さい誕生日を持つ超現実数の全体は、指数について閉じた体を成し、同様に実指数体の初等拡大のひとつとなる。
Donald Knuth's original exposition: Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness, 1974, ISBN 0-201-03812-9. More information can be found at the book's official homepage.
An update of the classic 1976 book defining the surreal numbers, and exploring their connections to games: John Conway, On Numbers And Games, 2nd ed., 2001, ISBN 1-56881-127-6.
An update of the first part of the 1981 book that presented surreal numbers and the analysis of games to a broader audience: Berlekamp, Conway, and Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays, vol.