アインシュタインテンソル
G α β = g γ μ [ g γ [ β , μ ] α + g α [ μ , β ] γ − 1 2 g α β g ε σ ( g ε [ μ , σ ] γ + g γ [ σ , μ ] ε ) ] = g γ μ ( δ α ε δ β σ − 1 2 g ε σ g α β ) ( g ε [ μ , σ ] γ + g γ [ σ , μ ] ε ) , {\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }{\bigl [}g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }){\bigr ]}\\&=g^{\gamma \mu }(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta })(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }),\end{aligned}}}
ここで、角括弧は慣例的に括弧付き添字に関する反対称性を表す。つまり
g α [ β , γ ] ε = 1 2 ( g α β , γ ε − g α γ , β ε ) {\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon })}
である。