順序対
十分性 明らか。 必要性 {a, {a, b}} = {c, {c, d}} を仮定すれば a は左辺に属すから、したがって右辺にも属する。集合の相等条件は属する元が全体として相等しいことであったから、a = c か a = {c, d} のうちのいずれか一方が成り立つ。 a = {c, d} ならば上と同様の理由で {a, b} が右辺に属するから {a, b} = c であるか {a, b} = {c, d} である。{a, b} = c ならば c は {c, d} = a に属し、a は c に属するが、これは {a, c} が「~の元である」という関係の下での最小元を持たないことになり、正則性の公理に矛盾する。{a, b} = {c, d} ならば a は a の元で、a = {c, d} = {a, b} から再び正則性に反する。ゆえに a = c でなければならない。 再びはじめに戻れば、{a, b} = c または {a, b} = {c, d} である。{a, b} = c かつ a = c とすれば c は c の元となり正則性に反する。ゆえに a = c かつ {a, b} = {c, d} であり、それゆえに { b } = { a , b } ∖ { a } = { c , d } ∖ { c } = { d } {\displaystyle \{b\}=\{a,b\}\smallsetminus \{a\}=\{c,d\}\smallsetminus \{c\}=\{d\}} したがって b = d を得る。
ヴァン・エジュノールはこの方法での単純化について "By giving a definition of the ordered pair of two elements in terms of class operations, the note reduced the theory of relations to that of classes"(クラス演算による二つの元の順序対の定義が与えられれば、そのようなクラスに対する関係の理論のノートが節約できる)と述べている。
↑ ヴァン・エジュノールは、結果として得られる順序対を表す集合は(それらが同じ型の元であるとき)「それらの元よりも 2 階高い型を持つ」ことを注意している。これを示すのに関連して、エジュノールは、特定の状況下で型が 1 か 0 に還元できることを述べている。
↑ ハウスドルフ版の定義とほぼ同じだが、0, 1 が a, b と異なるとは限らない
↑ shortの適格性の厳密な超数学的証明は こちら (opthreg)を参照。また Tourlakis (2003), Proposition III.10.1. も参照。
もう少し正確な取り扱いをするには、上で述べた「順序対の定義性質」を満たすものという役割が数学における順序対の意味の全てであると捉えることになる。そういう立場では、順序対とは順序対の定義性質を対応する公理とする原始概念(英語版)として扱うという見方ができる。1954年に出版されたブルバキの『集合論』("Theory of Sets") ではこのやり方が取られている。しかしこれは順序対の存在と定義性質の両方を公理的に仮定しなければならないのが難である。
順序対を厳密に取り扱う別な方法としては、集合論の文脈で形式的に定義してしまうというのがある。やり方はいくつかあるが、何れも存在と特徴付けを集合論の公理から証明可能という点で優位性がある。そういった定義のなかでもっともよく用いられるのがカシミール・クラトフスキーによるもの(後述)であり、その定義は1970年に出版されたブルバキ『集合論』の第二版で用いられた。順序対を直観的に導入する教科書でも、クラトフスキーによる厳密な定義に演習問題の中で言及するといったものも少なくない。