開平法
例:√4225 = 65
与えられた √x (x > 0) に対し、10 の位 ak (k ≤ n) を求める:
x = ∑ k ≤ n 10 k a k = 10 n a n + 10 n − 1 a n − 1 + ⋯ + 10 2 a 2 + 10 a 1 + a 0 + 10 − 1 a − 1 + 10 − 2 a − 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}&=\textstyle \sum \limits _{k\leq n}10^{k}a_{k}\\&=10^{n}a_{n}+10^{n-1}a_{n-1}+\cdots +10^{2}a_{2}+10a_{1}+a_{0}+10^{-1}a_{-1}+10^{-2}a_{-2}+\cdots \end{aligned}}}
x の首位を an とする。つまり、n は √x < 10 を満たす最小の k とする。また便宜上 ak = 0 (k > n) とする。
√x の 10 の位より上(かみ)の位 pm は分かっているとし、10 の位 am を求めるとする。すなわち
p m = ∑ k = m + 1 n 10 k − m − 1 a k = 10 n − m − 1 a n + 10 n − m − 2 a n − 1 + ⋯ + 10 a m + 2 + a m + 1 {\displaystyle p_{m}=\textstyle \sum \limits _{k=m+1}^{n}10^{k-m-1}a_{k}=10^{n-m-1}a_{n}+10^{n-m-2}a_{n-1}+\cdots +10a_{m+2}+a_{m+1}}