単位球面
これまでの定義は、選択した原点についての距離空間で直接的に一般化できる。しかし位相幾何学的な概念(内部、閉包、境界)をそのまま適用する必要はない。一部の距離空間では、単位球面が空の場合もある。
ノルム線型空間 V {\displaystyle V} でノルムが ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} のとき、開単位球 (open unit ball) は次のように表される。
{ x ∈ V : ‖ x ‖ < 1 } {\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}
これは下記の (V,||·||) における閉単位球 (closed unit ball) の内部 (interior) である。
{ x ∈ V : ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}
後者は前者の直和であり、その共通する境界が (V,||·||) における単位球面である。
{ x ∈ V : ‖ x ‖ = 1 } {\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}
単位球の形状は、どういうノルムを選択するかで大きく異なる。角のある形状になる場合もあり、例えば R にてノルム l∞ を採用すると [−1,1] のようになる。丸い球形は、ユークリッド距離で有限次元の場合に一般的なヒルベルト空間ノルムを採用した場合と理解できる。その境界がいわゆる単位球面となる。