ハウスドルフのパラドックス
x = sin  θ ( a cos  θ n − 1 + ... ) y = sin  θ ( b cos  θ n − 1 + ... ) z = c cos  θ n + ... {\displaystyle {\begin{array}{ccc}x&=&\sin \vartheta (a\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\y&=&\sin \vartheta (b\cos \vartheta ^{n-1}+\ldots )\\z&=&c\cos \vartheta ^{n}+\ldots \end{array}}}
であることが分かる.
α {\displaystyle \alpha } による t ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle ^{t}(0,0,1)} の変換結果のz座標は
z = ( 3 2 ) n − 1 cos  θ n + ⋯ {\displaystyle z=\left({\frac {3}{2}}\right)^{n-1}\cos \vartheta ^{n}+\cdots }
である。右辺は cos  θ {\displaystyle \cos \vartheta } の多項式であり、係数は代数的数である。 θ {\displaystyle \vartheta } を選んで、 cos  θ {\displaystyle \cos \vartheta } が超越数なるようにすれば、任意の n > 0 に対して、z ≠ 1 とすることができる。
α ≠ 1 {\displaystyle \alpha \neq 1} であることが示されれば、 β , γ , δ ≠ 1 {\displaystyle \beta ,\gamma ,\delta \neq 1} であることが分かる。
λ = cos  2 3 π = − 1 2 , μ = sin  2 3 π = 3 2 , {\displaystyle \lambda =\cos {\frac {2}{3}}\pi =-{\frac {1}{2}},\;\;\;\mu =\sin {\frac {2}{3}}\pi ={\frac {\sqrt {3}}{2}},} とすると、
( ψ ) { x ′ = x λ − y μ y ′ = x μ + y λ z ′ = z .