倒立振子
倒立振子を安定化するための要点は定性的に三つのステップにまとめることができる。
もし傾き角 θ が右向きならば台車は右に加速する必要があり、逆もまたなりたつ。
軌条中心からの相対台車位置 x を安定させるには、ヌル角度(制御系がゼロにしようとする角度誤差)を位置で変調すればよい。具体的にはヌル角度を θ + kx とする。ただし、k は小さくとる。これにより、台車が軌条中心から外れているなら棒は中心に向けてわずかに傾こうとするので、台車は中心向きに加速する。軌条中心では棒が鉛直に立つことで安定となる。傾きセンサのオフセットや軌条の傾きなどの不安定要素は安定位置のオフセットとして表われる。さらにオフセットを追加すると位置制御ができる。
クレーンで荷を運ぶときのように、運動する支点に吊り下げられた非倒立振子の応答には振り子の角振動数 ωp = √g/l にピークがある。制御不能な振動を防ぐため、ωp に近い支点運動の周波数スペクトルを抑制する必要がある。倒立振子でも、安定化のために同じようなフィルタが必要となる。
ヌル角度変調戦略の結果として、位置フィードバックは正のフィードバックとなり、突然右に動くよう指令すると台車はまず左へ動いてから右へ傾いた振り子を再び平衡にするため右へと移動する。倒立振子の不安定性と、正の位置フィードバックによる不安定性との相互作用により系は安定となっており、これを数学的に解析することは興味深く奥の深い問題となっている。
振り子の支点が空間的に固定されている場合、運動方程式は非倒立振子(英語版)のものと同一となる。次に示す方程式は運動に抗する摩擦力がなく、棒は質量のない剛体と見做すことができ、平面内に運動が制限されているという仮定をおいた場合の運動方程式である。
θ ̈ − g l sin  θ = 0 {\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0}
ここで、··θ は角加速度を、g は重力加速度を、l は振り子の長さを、θ は平衡位置からの変位角を表わす。
片々足し合わせることにより角加速度項と重力項が同符号となるように変形することもできる。
θ ̈ = g l sin  θ {\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }
したがって、倒立振子は不安定平衡点からみた初期位置の方向に向かって、長さに反比例した加速度で遠ざかることがわかる。したがって、振り子は長い方が短い振り子よりも遅く落ちる。
トルクと慣性モーメントを用いた導出
質量 m の質点を、長さ l の質量のない剛体棒の支点と逆側に固定した構成の振り子を考える。
系の総トルクは慣性モーメントと角加速度をかけた値に等しくなる。