逆函数定理
逆関数定理は重要な結果であるから数々の証明が与えられてきた。教科書で最もよくみられる証明は収縮写像の原理(バナッハの不動点定理とも呼ばれる)に依っている。(この定理は常微分方程式の解の存在と一意性の証明における重要な段階としても使うことができる。)この定理は無限次元(バナッハ空間)の場合にも適用するから、逆関数定理の無限次元版(下の#一般化を参照)の証明に使われる道具である。
別の証明(有限次元のみで有効)として、コンパクト集合上の関数に対する最大値の定理を重要な道具として用いるものがある。また別の証明として、ニュートン法を用いるものがあり、この利点は定理のeffective(英語版)なバージョンが得られることである。つまり、関数の微分の大きさの上界が与えられると、関数が可逆な近傍の大きさの評価を得ることができる。
一変数関数に対しての逆関数定理は次のようになる。
逆関数定理 (一変数の場合) ― C 級関数 f の点 a における微分係数が0でないとき、f は a の近傍で可逆となり、この逆関数 f もまた C 級となる。このとき f は次の式を満たす。
( 1 ) ( f − 1 ) ′ ( f ( a ) ) = 1 f ′ ( a ) {\displaystyle (1)\qquad \left(f^{-1}\right)'{\Bigl (}f(a){\Bigr )}={\frac {1}{f'(a)}}}
多変数関数に対しての逆関数定理は次のようになる。
逆関数定理 (多変数の場合) ― U ⊂ R を開集合、F : U → R を C 級関数とすると、F の点 p ∈ U におけるヤコビ行列 JF (p) が正則であるとき、F は p の近傍で可逆となり、この逆関数 F もまた C 級となる。
このとき F は次の式を満たす。ここで [ A ] − 1 {\displaystyle [A]^{-1}} は A の逆行列、 J F ( p ) {\displaystyle J_{F}(p)} は F の点 p におけるヤコビ行列である。
( 2 ) J F − 1 ( F ( p ) ) = [ J F ( p ) ] − 1 {\displaystyle (2)\qquad J_{F^{-1}}{\Bigl (}F(p){\Bigr )}={\Bigl [}J_{F}(p){\Bigr ]}^{-1}}
式(2)は次の連鎖律の式から導くこともできる。ここで G, H はそれぞれ H (p), p において全微分を持つ関数である。