随伴関手
次に、関手Fから始めた場合では「Fがもっとも効率的な解となる問題は存在するのか?」という(曖昧な)質問が可能である。
FがG問題のもっとも効率的な解であるということは、ある意味では正確に、GがFが解となるもっとも難しい問題であることと同値となる。
これが随伴関手が対となって現れることの直観的な解釈であり、実際これは正しいが、普遍射を使った定義では自明ではない。随伴関手を用いた対称形の随伴の定義(FはGの左随伴であると言ってもよいし、GはFの右随伴であると言ってもよい)を使うことで、このことが明示的になるという利点がある。
随伴の列。関手π0を各圏にその連結成分を与える関手とすると、これは各集合に離散圏を割り当てる関手Dの左随伴である。さらに、Dは圏に対象集合を割り当てる対象関手Uの左随伴である。最後に、Uは各集合にindiscrete圏を割り当てる関手の左随伴である。
指数対象。デカルト閉圏において–×Aで定まる自己関手C → Cは右随伴–を持つ。
随伴は自然なやり方で合成できる。明示的に書くと、CとDとの間の随伴〈F, G, ε, η〉とDとEとの間の随伴〈F′, G′, ε′, η′〉が与えられたとき、関手
F ′ ∘ F : C ← E {\displaystyle F'\circ F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {E}}}
は関手
G ∘ G ′ : C → E . {\displaystyle G\circ G':{\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}.}
の左随伴である。さらに詳しく書くと、F′ FとG G′の間の随伴のunitとcounitは以下の合成で与えられる。
1 E → η G F → G η ′ F G G ′ F ′ F F ′ F G G ′ → F ′ ε G ′ F ′ G ′ → ε ′ 1 C . {\displaystyle {\begin{aligned}&1_{\mathcal {E}}{\xrightarrow {\eta }}GF{\xrightarrow {G\eta 'F}}GG'F'F\\&F'FGG'{\xrightarrow {F'\varepsilon G'}}F'G'{\xrightarrow {\varepsilon '}}1_{\mathcal {C}}.\end{aligned}}}
この新しい随伴は与えられた2つの随伴の合成と呼ばれる。
これにより、小さな圏を対象とし、随伴を射とする圏を作ることが出来る。
随伴のもっとも重要な性質は連続性である。左随伴を持つ全ての関手(つまり右随伴である関手)は連続である(つまり圏論での極限と可換である)。右随伴を持つ全ての関手(つまり左随伴である関手)は余連続である(つまり余極限と可換である)。
数学における多くの共通の構成は極限か余極限であるので、このことはたくさんの情報をもたらす。例えば。
対象の積に右随伴関手を適用した結果は像の積である
対象の余積に左随伴関手を適用した結果は像の余積である
全ての右随伴関手は左完全である
全ての左随伴関手は右完全である
全ての随伴〈F, G, ε, η〉はDにおける関連するモナド〈T, η, μ〉に持ち上げることができる。関手
T : D → D {\displaystyle T:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {D}}}
はT = GFで与えられる。モナドのunit
η : 1 D → T {\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to T}
は随伴のunit ηそのものである。乗法の変換
μ : T 2 → T {\displaystyle \mu :T^{2}\to T\,}
はμ = GεFで与えられる。双対的に、〈FG, ε, FηG〉はCにおけるコモナドを定める。
全てのモナドが随伴から作ることができる。実際、典型的なモナドは多くの随伴から上の方法を用いて構成されている。2つの構成Eilenberg–Moore algebraとクライスリ圏はモナドから随伴を構成する問題に対する、2つの両極端の解である。