バナッハ・マズール・ゲーム
どんな集合 X {\displaystyle X} が P 2 {\displaystyle P_{2}} を必勝にしうるかという問題はごく自然なものである。もちろん、 X {\displaystyle X} が空だったら P 2 {\displaystyle P_{2}} は明らかに必勝である。なので、 P 2 {\displaystyle P_{2}} が winning strategy を持つことを保証するために X {\displaystyle X} はどれだけ"小さ"ければよいか、補集合がどれだけ"大き"ければよいかといった非公式的な概念を考えているものと捉えることができる。
winning strategiesに関する証明の例を挙げておく。
事実: X {\displaystyle X} が可算で、 Y {\displaystyle Y} がT1で、 Y {\displaystyle Y} が孤立点を持たないなら、 P 2 {\displaystyle P_{2}} がwinning strategyを持つ。
証明: X {\displaystyle X} の要素を x 1 , x 2 , ⋯ {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots } と番号付けしておく。 W 1 {\displaystyle W_{1}} が P 1 {\displaystyle P_{1}} に選ばれたとする。 U 1 {\displaystyle U_{1}} を W 1 {\displaystyle W_{1}} の空でない内部とする。