楕円型作用素
本記事の前部での楕円性の定義は「強楕円性」であることに注意するのは重要である。ここに ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} は内積である。 ξ {\displaystyle \xi } はコベクトル場あるいは一次形式であるが、 v {\displaystyle v} は D {\displaystyle D} が作用するベクトル束の成分であることに注意されたい。
強楕円型作用素の典型的な例は、ラプラシアン(あるいはその -1 倍。これは慣習によって異なる)である。 D {\displaystyle D} は強楕円性のためには偶数次である必要があり、オプションですらある必要があることは容易に分かる。そうでない場合は、 ξ {\displaystyle \xi } とその -1 倍を同時に考慮すればよい。一方、ディラック作用素(英語版)のような一階の弱楕円型作用素が、ラプラシアンのような強楕円型作用素となるためには、自乗をすればよい。弱楕円型作用素の合成は、弱楕円型である。
弱楕円性はフレドホルムの交代定理やシャウダー評価(英語版)、アティヤ=シンガーの指数定理に対しては十分強いものである。一方、最大値原理に対しては強楕円性が必要となり、その固有値が離散的であるためには、極限点が ∞ のみである必要がある。