グロモフ・ハウスドルフ収束
X , Y が距離空間のとき 1 2 | d i a ( Y ) − d i a ( X ) | ≤ D H ( X , Y ) ≤ m a x { d i a ( X ) , d i a ( Y ) } {\displaystyle {\frac {1}{2}}|{\rm {dia}}(Y)-{\rm {dia}}(X)|\leq D_{\rm {H}}(X,Y)\leq {\rm {max}}\{{\rm {dia}}(X),{\rm {dia}}(Y)\}} 。
X , Y がコンパクトな距離空間のとき DH(X ,Y ) = 0 ⇔ X = Y。
全てのコンパクトな距離空間の等長同型類にグロモフ・ハウスドルフ距離を入れた空間をグロモフ・ハウスドルフ空間という。 グロモフ・ハウスドルフ空間は完備で可分であり測地的でさえあるが、一般に固有ではなく、どのような部分空間がコンパクト(ないし全有界)になるかは重要な問題である。このことに関する一例が後述のグロモフのコンパクト性定理により与えられる。