正準量子化
正準量子化とは、量子力学的な系を扱う際に、古典力学から量子力学での対応則を構成する手法である。その具体的な手続きは、以下のようにまとめられる。
正準量子化(せいじゅんりょうしか、英: canonical quantization)とは、古典力学的な理論から量子力学的な理論を推測する手法(量子化)の一種である。具体的には、ハミルトン力学(ハミルトン形式の古典力学)での正準変数を、正準交換関係をみたすようなエルミート演算子に置き換える。この方法では、ハミルトン力学におけるポアソン括弧が、量子力学での交換関係に対応している。正準量子化により、古典力学では可換であった力学量(c-数、cはclassicalを表す)のなす代数は、量子力学では非可換な力学量(q-数、qはquantumを表す)のなす代数に移行する。
1次元の量子系を考え、波動関数の状態空間として、座標表示したものを選ぶ。すなわち、座標xと時間tの関数 ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,\,t)} のうち、自乗可積分なもの(座標表示の波動関数)全体が、系のヒルベルト空間をなす。ここで、座標 x {\displaystyle \,x} と正準共役運動量 p x {\displaystyle \,p_{x}} を、
x ^ ψ ( x , t ) = x ψ ( x , t ) {\displaystyle {\hat {x}}\psi (x,t)=x\psi (x,t)} p ^ x ψ ( x , t ) = − i ħ ∂ ∂ x ψ ( x , t ) {\displaystyle {\hat {p}}_{x}\psi (x,t)=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial {}x}}\psi (x,t)}
で定義される演算子 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 、 p ^ x {\displaystyle {\hat {p}}_{x}} で置き換える。このとき、
[ x ^ , p ^ x ] ψ ( x , t ) = i ħ ψ ( x , t ) {\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]\psi (x,t)=i\hbar \psi (x,t)}