分散関係
固体におけるフォノンのモデルとして、2 種類の原子から構成される一次元の格子の振動を考える。このとき、この格子系の周期を 2a とし、2つの原子の質量を m1, m2、結合の定数を f とすると、分散関係は
ω 2 = f m μ ( 1 ± 1 − 4 m μ 2 m 1 m 2 sin 2  k a ) , 1 m μ = 1 m 1 + 1 m 2 {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {f}{m_{\mu }}}\left(1\pm {\sqrt {1-{\frac {4m_{\mu }^{\,2}}{m_{1}m_{2}}}\sin ^{2}{ka}}}\right),\quad {\frac {1}{m_{\mu }}}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}
となる。符号が − の場合が音響モードに対応し、+ の場合が光学モードに相当する。特に |q| → 0 としたときの長波長極限において、音響モードでは、
ω = 2 f m 1 + m 2 a | k | {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {2f}{m_{1}+m_{2}}}}a|k|}
光学モードでは
ω = 2 f m μ = 2 ( m 1 + m 2 ) f m 1 m 2 {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {2f}{m_{\mu }}}}={\sqrt {\frac {2(m_{1}+m_{2})f}{m_{1}m_{2}}}}}
となる。
深さが h である水の層において、重力と表面張力を考慮した水面波の分散関係は以下を満たす。
ω = | k | ( g k + σ k ρ ) tanh  k h {\displaystyle \omega =|k|{\sqrt {{\biggl (}{\frac {g}{k}}+{\frac {\sigma k}{\rho }}{\biggr )}\tanh {kh}}}}
ここで、g は重力加速度、σ は表面張力の強さ、ρ は水の密度である。