ティッツ系
以下の公理を満たす4つ組 (G, B, N, S) をティッツ系という。ただし G は群、B と N はその部分群であり、S は N/(B ∩ N) の部分集合である。
集合 B ∪ N は G を生成し、T = B ∩ N は N の正規部分群である。
集合 S は群 W = N/T を生成し、S の元の位数は 2 である。
s ∈ S, w ∈ W ならば sBw ⊂ BwB ∪ BswB が成り立つ。
s ∈ S ならば s B s ⊄ B {\displaystyle sBs\not \subset B} が成り立つ。
B を G の(狭義の)ボレル部分群、T を G のカルタン部分群、W を G のワイル群と呼び、W の生成系 S は W の優生成系あるいはルート系と呼ばれる。また、S の元はルートあるいは鏡映という。(W, S) はコクセター系を成し、特に生成系 S の位数をティッツ系の階数と呼ぶ。
(G, B, N, S) がティッツ系ならば、W のルート系 S は (G, B, N)によって一意に決定される。そのため群 G はBN対あるいは (B, N)-対を持つともいう。
定義における B は一般線型群 GLn(K) の上半三角行列全体の成す群の類似であり、同じく T は正則対角行列の、N は T の正規化群のそれぞれ類似対応物である。