リー代数の表現
g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} を標数 0 の体上の有限次元リー代数とし、 h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} を部分代数とする。 U ( h ) {\displaystyle U({\mathfrak {h}})} は U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} 上へ右から作用しているとすると、任意の h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} -加群 W に対し、左 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} -加群 U ( g ) ⊗ U ( h ) W {\displaystyle U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {h}})}W} を構成することができ、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群として Ind h g  W {\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}W} と書かれ、W により誘導された g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群という。この表現は、以下のような普遍的な性質を持ち、実際、この普遍的性質により特徴付けることもできる。
リー代数の表現の最も重要な応用のひとつは、実簡約リー群の表現論である。 π {\displaystyle \pi } を連結な実半単純線型リー群 G のヒルベルト空間上の表現とすると、2つの自然な作用をもつ。ひとつは、複素化された g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} であり、もうひとつは、連結極大コンパクト部分群(英語版)(maximal compact subgroup) K である。 π {\displaystyle \pi } の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -加群構造は、代数的なホモロジカルな方法を適用することができ、特に、 K {\displaystyle K} -加群構造は調和解析を適用でき、そこで連結コンパクト半単純リー群と同じ方法を使うことができる。