構造的帰納法
標準的な数学的帰納法が整列原理に相当するように、構造的帰納法も整列原理に相当する。ある種の構造全体からなる集合が整礎な前順序を備えていたら、そのすべての空でない部分集合は極小元を持つ。(これは整礎関係の定義である。) いまの文脈においてこの性質が重要なのは、「証明しようとしている定理に反例があるなら、極小な反例が存在する」と推論できるからである。ここでさらに「極小な反例が存在するなら、より小さい反例がある」ことを示すことができれば、「極小な反例が極小でない」という矛盾が起こる。そして(背理法により)「反例の集合は空である」という結論が得られる。