リース＝ソリンの定理
したがって、包含関係に関する次の系が得られる:
系 L ∩ L ⊂ L ⊂ L + L.
実際、加法的和集合 L + L 上で定義される作用素を扱うことはしばしばある。例えば、リーマン=ルベーグの補題(英語版)によると、フーリエ変換は L(R) を L(R) に写す有界作用素であり、プランシュレルの定理によるとフーリエ変換は L(R) からそれ自身への有界作用素である。したがってフーリエ変換 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は、次のように定めることで (L + L) (R) へと拡張することが出来る:
F ( f 1 + f 2 ) = F L 1 ( f 1 ) + F L 2 ( f 2 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1}+f_{2})={\mathcal {F}}_{L^{1}}(f_{1})+{\mathcal {F}}_{L^{2}}(f_{2})}
ただし f1 ∈ L(R) および f2 ∈ L(R) である。したがって、そのような作用素の振る舞いを「補間部分空間」L 上で調べることは自然な成り行きとなる。
そのため、元の例に戻り、加法的和集合 L + L 上のフーリエ変換は同じ作用素の二つの具体化の和を取る事で得られることに注意されたい。すなわち
F L 1 : L 1 ( R d ) → L ∞ ( R d ) , {\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}:L^{1}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{\infty }(\mathbf {R} ^{d}),}
F L 2 : L 2 ( R d ) → L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}:L^{2}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}
が成立する。これらは実際、部分空間 (L ∩ L) (R) 上で一致するという意味で「同一の」作用素である。その共通部分には単函数が含まれるため、その作用素は L(R) および L(R) の両空間において稠密である。稠密に定義された連続函数は一意な拡張を許すため、 F L 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}} および F L 2 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}} は「同一」と考えることに問題はない。
したがって、加法的和集合 L + L 上の作用素を研究する問題は、本質的には二つの自然な空間 L および L から二つの目的空間 L および L への有界作用素を研究する問題に帰着される。そのような作用素は加法的和集合の空間 L + L を L + L に写すため、それらの作用素は補間空間 L を対応する補間空間 L に写すものであると期待することは自然である。