一階述語論理
例えば、 ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } ; は言語に含まれず、 ( φ ⇔ ψ ) {\displaystyle (\phi \Leftrightarrow \psi )} は [ ( φ ⇒ ψ ) ∧ ( ψ ⇒ φ ) ] {\displaystyle [(\phi \Rightarrow \psi )\land (\psi \Rightarrow \phi )]} を表すものとして定義される場合もある。上の論理記号すべてを用いて表現される命題は、例えば ¬ {\displaystyle \lnot } 、 ∨ {\displaystyle \lor } 、 ∃ {\displaystyle \exists } や ¬ {\displaystyle \lnot } 、 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 、 ∀ {\displaystyle \forall } だけを用いても十分に表現できることが知られている。
文献によっては、 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } の代わりに ⊃ {\displaystyle \supset } ; を用い、 ∀ {\displaystyle \forall } の代わりに Π {\displaystyle \Pi } ; を用いている場合がある。
同一性関係を一階述語論理の一部とみなす場合もある。その場合、等号は必ず言語に含まれることになる。