多重積分
n > 1 として、(右)「半開」n-次元超矩形領域(あるいは一次元の場合のアナロジーで単に区間とも呼ぶ)T を
T = [ a 1 , b 1 ) × [ a 2 , b 2 ) × ⋯ × [ a n , b n ) ⊆ R n {\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
で定義し、各区間 [aj, bj) を互いに交わらない左閉右半開小区間 ijα の有限族 Ij に分割すれば、半開小矩形の有限族 C が
C = I 1 × I 2 × ⋯ × I n {\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}
によって得られ、これが半開超矩形 T の分割が得られる。すなわち、小矩形領域 Ck はどの二つも互いに素で、それらの和集合が T に一致する。
半開矩形領域 T 上で定義される函数 f: T → R と、上述のような T の分割 C が
T = C 1 ∪ C 2 ∪ ⋯ ∪ C m {\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}
inf x ∈ D f ( x ) ≤ 1 vol ( D ) ∫ D f ( x ) d x ≤ sup x ∈ D f ( x ) . {\displaystyle \inf _{\mathbf {x} \in D}f(\mathbf {x} )\leq {\frac {1}{{\text{vol}}(D)}}\int _{D}f(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \leq \sup _{\mathbf {x} \in D}f(\mathbf {x} ).}
一変数函数の積分が持つ多くの性質(たとえば線型性、領域の加法性、単調性など)は、重積分に対しても成立する。また、積分順序の変更に関する重要な性質として、フビニの定理としてよく知られる、ある種の条件下で重積分の値が積分順序に依らないというものがある。
ただし、これが極限の取り方に依らず一定の値を有することは証明を要する。
一般に正にも負にもなる函数 f については、それを正部分 f と負部分 f に分解して、絶対変動 |f| = f + f が広義積分可能(つまり、正部分と負部分がともに広義積分可能)である場合には、
∫ D f ( x ) d x = ∫ D f + ( x ) d x − ∫ D f − ( x ) d x {\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d\mathbf {x} =\int _{D}f^{+}(\mathbf {x} )d\mathbf {x} -\int _{D}f^{-}(\mathbf {x} )d\mathbf {x} }
が広義積分可能であると定めればよい。
考えているのがルベーグ積分であるなら、今扱ったような(絶対可積分の)場合はもともとルベーグ積分の扱う範囲に含まれるので、改めて広義積分を考える必要はない。しかしそれ以外の場合については、一変数の場合と同様に、広義リーマン積分としては定義できるけれどもルベーグ積分は定義されないということが起こりうる(ただし、既に述べたように条件可積分であるような広義リーマン積分は容易に扱えない)。