代数関数
代数的な観点から、複素数は極めて自然に代数関数の研究に入ってくる。まず、代数学の基本定理によって、複素数全体は代数閉体である。したがって多項式関係 p(y, x) = 0 は、y が複素数値を取ってよいとして、各点 x において y について少なくとも 1 つの解(そして一般に x についての p の次数を超えない個数の解)を持つことを保証される。したがって、代数関数の領域を処理する問題は安全に最小化することができる。
さらに、最終的には実の代数関数に興味があったとしても、複素数に頼らずに和、積、商、n 乗根を取ることによって関数を表す手段は存在しないかもしれない(casus irreducibilis 参照)。例えば、方程式
y 3 − x y + 1 = 0 {\displaystyle y^{3}-xy+1=0\,}
によって決定される代数関数を考えよう。三次方程式の解の公式(英語版)を用いて次を得る:
y = − 2 x − 108 + 12 81 − 12 x 3 3 + − 108 + 12 81 − 12 x 3 3 6 . {\displaystyle y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.