グローバーのアルゴリズム
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{\omega }|s\rangle &=(I-2|\omega \rangle \langle \omega |)|s\rangle =|s\rangle -2|\omega \rangle \langle \omega |s\rangle =|s\rangle -{\tfrac {2}{\sqrt {N}}}|\omega \rangle ,\\U_{s}\left(|s\rangle -{\tfrac {2}{\sqrt {N}}}|\omega \rangle \right)&=\left(2|s\rangle \langle s|-I\right)\left(|s\rangle -{\tfrac {2}{\sqrt {N}}}|\omega \rangle \right)=2|s\rangle \langle s|s\rangle -|s\rangle -{\tfrac {4}{\sqrt {N}}}|s\rangle \langle s|\omega \rangle +{\tfrac {2}{\sqrt {N}}}|\omega \rangle \\&=2|s\rangle -|s\rangle -{\tfrac {4}{\sqrt {N}}}\cdot {\tfrac {1}{\sqrt {N}}}|s\rangle +{\tfrac {2}{\sqrt {N}}}|\omega \rangle \\&={\tfrac {N-4}{N}}|s\rangle +{\tfrac {2}{\sqrt {N}}}|\omega \rangle .\end{aligned}}}
分かりやすい例として、 N {\displaystyle N} が4で、条件を満たす(つまり f ( ω ) = 1 {\displaystyle f(\omega )=1} を満たす) ω {\displaystyle \omega } が一つしかない場合を考えてみると、 U s U w | s ⟩ = | ω ⟩ {\displaystyle U_{s}U_{w}|s\rangle =|\omega \rangle } となり、Grover iterator を一回作用させただけで目的の状態を得ることができることが分かる。