レゾルベント
第一および第二レゾルベント方程式(あるいはレゾルベント恒等式)は計算に有用である。z, w を線型作用素 A のレゾルベント集合 ρ(A) の元とすると、(z − w)I = (zI − A) − (wI − A) の逆元を取ることにより、第一レゾルベント方程式
R ( w , A ) − R ( z , A ) = ( z − w ) R ( z , A ) R ( w , A ) = ( z − w ) R ( w , A ) R ( z , A ) {\displaystyle R(w,A)-R(z,A)=(z-w)R(z,A)R(w,A)=(z-w)R(w,A)R(z,A)}
が得られる(Dunford & Schwartz 1988, p.567 Lemma 6)。また z を ρ(A) ∩ ρ(B) の元として、A − B = (zI − B) − (zI − A) の逆元を考えることにより、第二レゾルベント方程式
R ( z , A ) − R ( z , B ) = R ( z , A ) ( A − B ) R ( z , B ) {\displaystyle R(z,A)-R(z,B)=R(z,A)(A-B)R(z,B)}
を得る。