三角関数の公式の一覧
三角関数の逆関数を逆三角関数と言う。日本語においては逆正弦関数のように頭に「逆」を付けて呼ぶ。式中では sin のように右肩に "−1" を付けるか asin, arcsin のように "a" または "arc" を付ける。このarcは弧という意味がある。
この記事では逆関数として以下の表記を採用する:
三角関数は周期関数なので、逆関数は多価関数である。
逆関数の性質から以下が成り立つ:
sin  ( arcsin  x ) = x , {\displaystyle \sin(\arcsin x)=x,\!}
arcsin  ( sin  θ ) = θ for − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2. {\displaystyle \arcsin(\sin \theta )=\theta \quad {\text{for }}-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.}
このとき正接関数の和は以下の式で表される。
tan  ( θ 1 + ⋯ + θ n ) = e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ , {\displaystyle \tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},\!}
この e は、en まで使用する。
例
以下において、 i {\displaystyle i} は虚数単位とする。
e i x = cos  ( x ) + i sin  ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,} (オイラーの公式)
e − i x = cos  ( − x ) + i sin  ( − x ) = cos  ( x ) − i sin  ( x ) {\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos(x)-i\sin(x)}
e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1} (オイラーの等式)
cos  ( x ) = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;}
sin  ( x ) = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;}
tan  ( x ) = e i x − e − i x i ( e i x + e − i x ) = sin  ( x ) cos  ( x ) {\displaystyle \tan(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\;={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}
ek は前節同様正接関数の基本対称式とする。
sec  ( θ 1 + ⋯ + θ n ) = sec  θ 1 ⋯ sec  θ n e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ csc  ( θ 1 + ⋯ + θ n ) = sec  θ 1 ⋯ sec  θ n e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})&={\frac {\sec \theta _{1}\cdots \sec \theta _{n}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})&={\frac {\sec \theta _{1}\cdots \sec \theta _{n}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}
例