陰計算
1930年代および1940年代にベルはこの種の umbral な論法を論理的に厳密なものにしようと試みたが成功しなかった。組合せ論学者のリオーダン(英語版)は1960年代に出版された著作 Combinatorial Identities でこの手の手法を広く用いた。
別の組合せ論学者ロタは、
L ( y n ) = B n ( 0 ) = B n {\displaystyle L(y^{n})=B_{n}(0)=B_{n}}
で定義される、y を変数とする多項式の上に作用する線型汎函数 L を考えれば謎が氷解することを指摘した。これとベルヌイ多項式の定義および L の線型性により
B n ( x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B n − k x k = ∑ k = 0 n ( n k ) L ( y n − k ) x k = L ( ∑ k = 0 n ( n k ) y n − k x k ) = L ( ( y + x ) n ) {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L(y^{n-k})x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}\right)=L((y+x)^{n})}
となるから、Bn(x) の現れる場所を L((y + x)) で置き換えることができる。
ここでいう umbral calculus とは、自然数で添字付けられた数列に関する等式を「添字を冪が如く扱う」ことによって導出するという、表記法に対する指示を与える方法論をいう。これを文字通り受け取れば非常に馬鹿げた内容なのであるが、これが殊の外うまく行くのである。つまり、umbral calculus で得られた等式はより複雑な(論理的に無理なく文字通りに取ることのできる)方法によってもきちんと導出することができる。
そのような例にはベルヌイ多項式が挙げられる。ひとまず二項係数に関して、通常の二項展開
( y + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) y n − k x k {\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}}
を想起しよう。これと並行してベルヌイ多項式に関する以下の関係式
B n ( y + x ) = ∑ k = 0 n ( n k ) B n − k ( y ) x k {\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}}
が著しく似た見た目であることが見て取れる。あるいはまた、通常の冪の微分法則