KMS状態
特に、τ だけ時刻を進める作用素 A の変換は次式の作用素を与える。
α τ ( A ) = d e f e i H τ A e − i H τ {\displaystyle \alpha _{\tau }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{iH\tau }Ae^{-iH\tau }}
内部対称性「回転」を持つ時間発展の組み合わせは、さらに一般的に次の式を与える。
α τ μ ( A ) = d e f e i ( H − μ N ) τ A e − i ( H − μ N ) τ {\displaystyle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{i\left(H-\mu N\right)\tau }Ae^{-i\left(H-\mu N\right)\tau }}
代数的な計算を少し行うと、期待値
⟨ α τ μ ( A ) B ⟩ β , μ = T r [ ρ α τ μ ( A ) B ] = T r [ ρ B α τ + i β μ ( A ) ] = ⟨ B α τ + i β μ ( A ) ⟩ β , μ {\displaystyle \langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\rangle _{\beta ,\mu }=\mathrm {Tr} \left[\rho \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right]=\mathrm {Tr} \left[\rho B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right]=\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\rangle _{\beta ,\mu }}