ベクトル解析
1パラメーター変換をもちいると、発散divを幾何学的に意味づける事ができる。 Φu(x' )を成分で y1(x' ), y2(x' ), y3(x' ), と書くことにすると、体積要素はヤコビアンを用いて
d  y 1 d  y 2 d  y 3 = | d  Φ u d  x | d  x 1 d  x 2 d  x 3 {\displaystyle \operatorname {d} y_{1}\operatorname {d} y_{2}\operatorname {d} y_{3}=\left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|\operatorname {d} x_{1}\operatorname {d} x_{2}\operatorname {d} x_{3}}
という関係式を満たす。すなわち、 Φuは点xにおいて微小体積を体積比
| d  Φ u d  x | {\displaystyle \left|{\operatorname {d} \Phi _{u} \over \operatorname {d} \mathbf {x} }\right|}
で変換する写像である。
ヤコビの公式より、
線積分の特殊なケースとして
∫ C d  s {\displaystyle \int _{C}\operatorname {d} s}
を考えると、曲線Cの長さ(弧長)に一致する事が知られている。
厳密な証明は弧長の項目にゆずるが、直観的には以下の理由による。Cを x ( u ) = ( x 1 ( u ) , x 2 ( u ) , x 3 ( u ) ) {\displaystyle \mathbf {x} (u)=(x_{1}(u),x_{2}(u),x_{3}(u))} 、u∈[a,b] と向きをはじめとする保つようにパラメトライズし、[a,b]を長さΔuの微小区間に分けると、Cの長さはおよそ
∑ i ‖ x ( ( i + 1 ) Δ u ) − x ( i Δ u ) ‖ {\displaystyle \sum _{i}\|\mathbf {x} ((i+1)\Delta u)-\mathbf {x} (i\Delta u)\|} ∑ i ‖ Δ x / Δ u ‖ Δ u {\displaystyle \sum _{i}\|\Delta \mathbf {x} /\Delta u\|\Delta u}
なので、Δuを0に近づけると、線積分
∫ ‖ d  x d  u ‖ d  u {\displaystyle \int \left\|{\operatorname {d} \mathbf {x} \over \operatorname {d} u}\right\|\operatorname {d} u}
に一致する。従って上述の線積分で弧長を求める事ができる。