跡 (線型代数学)
これは即ち、交換子括弧のトレースが消える:
tr  ( [ A , B ] ) = 0 {\displaystyle \operatorname {tr} ([A,B])=0}
という意味に他ならない。跡写像の核はトレース 0 の行列からなるが、そのような行列はしばしば跡が無い (traceless, tracefree) と言い、それら行列は単純リー環 sln(k) を成す。sln は行列式 1 の行列の成す特殊線型群 SLn のリー環である。SLn に属する行列が体積を変えない変換であることに類比して、sln の元は無限小体積を変えない行列である。
実は gln の内部直和分解
g l n = s l n ⊕ k {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k}
が存在し、そのスカラー(行列)成分への射影はトレースを用いて
A ↦ 1 n tr  ( A ) ⋅ I {\displaystyle A\mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (A)\cdot I}
と書ける。きちんと述べるならば、(余単位射としての)跡写像に(単位射としての)「スカラーの包含」k → gln を合成して gln → gln を作れば、これはスカラー行列の成す部分リー環の上への写像で、それは n倍として作用する。
以下、X, Y は適当なサイズの正方行列とする。
行列のトレースは線型である: tr(X + Y) = tr(X) + tr(Y), tr(cX) = c tr(X) (c はスカラー).
tr(XY) = tr(YX).
これらの性質はトレースを以下の意味で普遍性を持つものとして特徴づける:
f(XY) = f(YX) を満たす線型汎函数は tr の定数倍に限る。