冪乗
冪の肩に書かれる数のことを冪指数と呼ぶが、冪指数を意味する用語として、英語ではしばしば exponent と index が同義語として用いられる。この用語選定は18世紀、19世紀を通じて極めて曖昧で個人の嗜好に委ねられていた。しかし、ガウスは、その著書 Disquisitiones Arithmeticae において通常の冪指数と数論的な指数を峻別する必要性から exponens は通常の冪指数、index は数論的な指数を表すものとして明確に区別し使い分けて解説に使用しており、この使い分けはディリクレ、デデキント、ヒルベルトを通じて数論の世界での標準となった。
もとをたどれば、1544年にミハエル・スティーフェルがラテン語: "exponens" を造語し、対して1586年にラザルス・シェーナーが数学者ペトルス・ラムスの書籍への補注としてラテン語: "index" を(スティーフェルが exponens と呼んだものと同じものを指す意味で)用いたのがそれぞれの語源と考えられる。exponent と index はこれらの英語翻訳であり、例えば index はサミュエル・ジーク(英語版)が1696年に導入した。
exponent と index の微妙な使い分けと併用の時代はここから始まり、その併用のされ方は国と時代だけでなく個人によっても異なった。イギリスは当初 index が優勢であり、これは聖バーソロミューの大虐殺で殉死したラムスの著作がプロテスタント諸国で非常に人気を集めたからだとの指摘がある。
冪指数が整数であるような冪演算は抽象代数学における極めて一般の構造に対して定義することができる。
集合 X は乗法的に書かれた冪結合的(英語版)二項演算を持つもの:
( x i x j ) x k = x i ( x j x k ) ( ∀ x ∈ X ) {\displaystyle (x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})\quad (\forall x\in X)}
とするとき、任意の x ∈ X と任意の自然数 n に対して冪 x は、x の n 個のコピーの積を表すものとして
x 1 = x x n = x n − 1 x ( n > 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{1}&=x\\x^{n}&=x^{n-1}x\quad (n>1)\end{aligned}}}
のように帰納的に定義される。これは以下のような性質
x m + n = x m x n ( x m ) n = x m n {\displaystyle {\begin{aligned}x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\end{aligned}}}
指数 n の二進表記を n とし、n の最下位桁を n[0]、最上位桁を n[m]、最下位から数えて k 桁目を n[k] と表記する。
結果値 v := 1 とし、
k := m とする(最上位)。
v := v * v
n[k] が 1 ならば v := v * a とする。
k := k − 1
k ≧ 0 なら 3. に戻る。
この方式では、4. における乗数が常に a なので、下位桁から計算する方式に比べて乗数の桁数が小さくなり、計算時間がかからない。これは特に、レジスタに入りきらないような巨大な自然数を扱う場合に顕著となる。ただし(RSA暗号のように)冪乗の剰余を計算する場合であって法の大きさが a と同程度ならば、この効果はない。
また 4. における乗数が常に a なので、あらかじめ a が定数(2 や 10 など、またはディフィー・ヘルマン鍵共有の生成元 g など)であることがわかっている場合には、4. の乗算を最適化をすることができる。
巨大な自然数の汎用的な冪算ルーチン(a が小さい可能性が高い)や、a が小さかったり定数であることがわかっている場合、冪乗の剰余を計算する場合であってモンゴメリー演算を用いず別途剰余を計算する場合、数を保持するコストが高い場合など、指数を二進表記するコスト以上の効率が得られる場合に選択される。
添字付けられた変数を考えるとき、その変数の添字を上付きにする場合があり、それはあたかも冪であるかのような印象を受けるかもしれないが混同するべきではない。これは特にテンソル解析においてベクトル場の座標表示などで現れる。あるいはまた数列の列のような、既にそれ自身添字付けられているような量に対してさらに添字付けを行う場合にもしばしば用いられる。