状態空間 (制御理論)
可観測性(observability)とは、システムの外部出力を観測することでシステムの内部状態を推測可能かどうかの尺度である。システムの可観測性と可制御性は数学的な双対である。
連続時不変状態空間モデルが観測可能(observable)であるとは、次が成り立つ場合である。
rank  [ C C A . . . C A n − 1 ] = n {\displaystyle \operatorname {rank} {\begin{bmatrix}C\\CA\\...\\CA^{n-1}\end{bmatrix}}=n}
なお、Rankとは行列内の線形独立な列の数である。
a k = 1 k t r Q k − 1 = − 1 n − k t r ( A Q k ) = − 1 n − k t r ( Q k A ) {\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {1}{k}}\mathrm {tr} \mathbf {Q} _{k-1}\\&=-{\frac {1}{n-k}}\mathrm {tr} (\mathbf {AQ} _{k})=-{\frac {1}{n-k}}\mathrm {tr} (\mathbf {Q} _{k}\mathbf {A} )\end{aligned}}} Q k − 1 = Q k A + a k I = A Q k + a k I ( k = n − 1 , n − 2 , ⋯ , 2 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {Q} _{k-1}=\mathbf {Q} _{k}\mathbf {A} +a_{k}\mathbf {I} =\mathbf {A} \mathbf {Q} _{k}+a_{k}\mathbf {I} \qquad \qquad (k=n-1,n-2,\cdots ,2,1)} a 0 = − 1 n t r ( A Q 0 ) = − 1 n t r ( Q 0 A ) {\displaystyle a_{0}=-{\frac {1}{n}}\mathrm {tr} (\mathbf {AQ} _{0})=-{\frac {1}{n}}\mathrm {tr} (\mathbf {Q} _{0}\mathbf {A} )}
または
0 = Q 0 A + a 0 I = A Q 0 + a 0 I {\displaystyle \mathbf {0} =\mathbf {Q} _{0}\mathbf {A} +a_{0}\mathbf {I} =\mathbf {AQ} _{0}+a_{0}\mathbf {I} }
最後の等式は、前の演算の精度を検査することができる。
この伝達関数から、次の可制御実現が得られる。
x ̇ ( t ) = [ − 2 − 1 1 0 ] x ( t ) + [ 1 0 ] u ( t ) {\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-2&-1\\1&0\\\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}
y ( t ) = [ 1 2 ] x ( t ) + [ 1 ] u ( t ) {\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}
出力が入力に直接依存している点に注意されたい。これは伝達関数の G ( ∞ ) {\displaystyle {\textbf {G}}(\infty )} 定数部分によるものである。
p {\displaystyle p} 個の入力変数、 q {\displaystyle q} 個の出力変数、 n {\displaystyle n} 個の状態変数の状態空間表現の一般形は次のようになる。
x ̇ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)} y ( t ) = C ( t ) x ( t ) + D ( t ) u ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)}
ここで、
厳密にプロパー(strictly proper)な伝達関数は、次のようにして容易に状態空間に変換可能である。
伝達関数を展開して分子と分母の全ての係数を明らかにする。これは、次のような形式になる。
G ( s ) = n 1 s 3 + n 2 s 2 + n 3 s + n 4 s 4 + d 1 s 3 + d 2 s 2 + d 3 s + d 4 {\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\frac {n_{1}s^{3}+n_{2}s^{2}+n_{3}s+n_{4}}{s^{4}+d_{1}s^{3}+d_{2}s^{2}+d_{3}s+d_{4}}}}
これらの係数を以下のように直接に状態空間モデルに挿入できる。
x ̇ ( t ) = [ − d 1 − d 2 − d 3 − d 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ] x ( t ) + [ 1 0 0 0 ] u ( t ) {\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}(t)={\begin{bmatrix}-d_{1}&-d_{2}&-d_{3}&-d_{4}\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)+{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\end{bmatrix}}{\textbf {u}}(t)}
y ( t ) = [ n 1 n 2 n 3 n 4 ] x ( t ) {\displaystyle {\textbf {y}}(t)={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}&n_{4}\end{bmatrix}}{\textbf {x}}(t)}