K関数
形式的には、K関数は
K ( z ) = ( 2 π ) ( − z + 1 ) / 2 exp  [ ( z 2 ) + ∫ 0 z − 1 ln  ( t ! ) d t ] {\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right]}
のように定義される。これは、閉じた式としても表せ、
K ( z ) = exp  [ ζ ′ ( − 1 , z ) − ζ ′ ( − 1 ) ] {\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]}
となる。ここで、ζ'(z)はリーマンゼータ関数の一階導関数、ζ(a,z)はフルヴィッツのゼータ関数で、
ζ ′ ( a , z ) = d e f [ d ζ ( s , z ) d s ] s = a {\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}}
である。また、ポリガンマ関数を用いた別の式もある。