離散フーリエ変換 (一般)
環として複素数体 F = C {\displaystyle F={\mathbb {C} }} を考えると、1の n {\displaystyle n} 乗根は複素平面上の単位円上にある。
α = e − 2 π i n {\displaystyle \alpha =e^{\frac {-2\pi i}{n}}}
と定義すれば、通常の離散フーリエ変換の式
f k = ∑ j = 0 n − 1 v j e − 2 π i n j k {\displaystyle f_{k}=\sum _{j=0}^{n-1}v_{j}e^{{\frac {-2\pi i}{n}}jk}}
が得られる。
正規化のため、逆方向の変換IDFT(式(3))では係数 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} がかかるが、複素数の離散フーリエ変換においては、係数 1 n {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}} を順方向の変換DFTと逆方向の変換IDFTの両方にかけることもある。この正規化方法だと、DFT行列はユニタリ行列となる。 ( n {\displaystyle {\sqrt {n}}} は、任意の体においては意味を持たないことに注意。)
同様に、逆離散フーリエ変換は
[ v 0 v 1 ⋮ v n − 1 ] = 1 n [ 1 1 1 ⋯ 1 1 α − 1 α − 2 ⋯ α − ( n − 1 ) 1 α − 2 α − 4 ⋯ α − 2 ( n − 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 α − ( n − 1 ) α − 2 ( n − 1 ) ⋯ α − ( n − 1 ) ( n − 1 ) ] [ f 0 f 1 ⋮ f n − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{bmatrix}}={\frac {1}{n}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha ^{-1}&\alpha ^{-2}&\cdots &\alpha ^{-(n-1)}\\1&\alpha ^{-2}&\alpha ^{-4}&\cdots &\alpha ^{-2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha ^{-(n-1)}&\alpha ^{-2(n-1)}&\cdots &\alpha ^{-(n-1)(n-1)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{0}\\f_{1}\\\vdots \\f_{n-1}\end{bmatrix}}}
と表せる。