密度行列
任意の密度行列 ρ {\displaystyle \rho } に対し、フォン・ノイマンエントロピーは
0 ≤ S ( ρ ) ≤ ∞ {\displaystyle 0\leq S(\rho )\leq \infty }
を満たす。
また、S(ρ)=0となる必要十分条件は ρ {\displaystyle \rho } は純粋状態にある事である。したがってフォン・ノイマンエントロピーは純粋状態からの「ズレ」を表す量だと解釈できる。
フォン・ノイマンエントロピーは通常の観測(射影観測)を行った場合には、増加するかも知れないが、減少する事はない。しかしより一般的な観測をした場合には減少する場合がある。
量子相互作用を混合系の中で消去することにより、観測は「情報を減少させる」。—量子もつれ, einselection, や量子デコヒーレンスを参照。すなわち孤立していない系のフォン・ノイマンエントロピーを減少させる事はできるが、これは系の外部のフォン・ノイマンエントロピーを上昇させている場合のみであり、系の内外のフォン・ノイマンエントロピーは減少しない。熱力学の第二法則、熱力学と情報理論のエントロピー(英語版)(Entropy in thermodynamics and information theory)を参照。
ρ {\displaystyle \rho } が上述したように書ける必要十分条件は、以下の3つを満たす事が知られている:
ρ {\displaystyle \rho } は有界な自己共役作用素
ρ {\displaystyle \rho } は非負の作用素である。すなわち ⟨ ψ | ρ | ψ ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle \psi |\rho |\psi \rangle \geq 0} が状態空間上の任意の状態ベクトル | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } に対して成立する。
t r ( ρ ) = 1 {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho )=1}
よってこの3条件を満たす事を密度行列の定義としても良い。
なお、 t r ( ρ ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho )} は状態空間上の完全正規直交系 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、...を用いて
t r ( ρ ) = ∑ k ⟨ ψ k | ρ | ψ k ⟩ {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho )=\sum _{k}\langle \psi _{k}|\rho |\psi _{k}\rangle }
により定義される。この値は完全正規直交系の取り方に依存しない為、well-definedである。
本節の方法で定義した密度行列を前節の(M1)式の形で表す事を、密度行列のシャッテン分解という。
密度行列の全体の集合は凸集合である事が知られている。すなわち、 ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} 、 ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} を密度行列とし、uを0≦u≦1満たす実数とする時、 ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} 、 ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} の重ね合わせ
u ρ 1 + ( 1 − u ) ρ 2 {\displaystyle u\rho _{1}+(1-u)\rho _{2}}
も密度行列である。
また、この凸集合の「端っこ」にあるのは純粋状態である。すなわち ρ {\displaystyle \rho } が純粋状態である必要十分条件は、
ρ = u ρ 1 + ( 1 − u ) ρ 2 {\displaystyle \rho =u\rho _{1}+(1-u)\rho _{2}}
を満たす密度行列 ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} 、 ρ 2 ≠ ρ 1 {\displaystyle \rho _{2}\neq \rho _{1}} 、および実数0<u<1が存在しない事である。
密度行列は何らかの混合状態を表し、混合状態とは純粋状態の集合に何らかの確率分布を付与したものである。よってこの確率分布に対して情報理論におけるシャノンエントロピー(情報量)を定義することができ、これにボルツマン定数をかけたものを密度行列のフォン・ノイマンエントロピーという。本項ではまず、シャノンエントロピーの概念を復習し、これをベースにフォン・ノイマンエントロピーの概念を定義する。
またAが非負になるにはその固有値(や連続スペクトル)が全て非負になる場合だけなので、 E ( A ) ≥ 0 {\displaystyle E(A)\geq 0} が成立しなければならない(=条件(2))。
さらに関数 E ( A ) {\displaystyle E(A)} が以下の連続性を満たしている事を要請する:
(3) n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } のとき A n → A {\displaystyle A_{n}\to A} となる任意の自己共役作用素の列 { A n } n {\displaystyle \{A_{n}\}_{n}} に対し、 E ( A n ) → E ( A ) {\displaystyle E(A_{n})\to E(A)}
ここで E ( A n ) → E ( A ) {\displaystyle E(A_{n})\to E(A)} は実数としての収束であり、 A n → A {\displaystyle A_{n}\to A} はLノルムに関するweak-*収束である。
このとき次が成立する事が知られている:
定理 ― 有界な自己共役作用素Aに実数を対応させる線形汎関数 E : A ↦ R {\displaystyle E~:~A\mapsto \mathbf {R} } が(1)、(2)、(3)をすべて満たす必要十分条件は、
E ( A ) = t r ( ρ A ) {\displaystyle E(A)=\mathrm {tr} (\rho A)}
を満たす密度行列ρが存在する事である。しかもそのような密度行列は一意に定まる。