分離多元環
ふつうは、部分環や(分離拡大の概念ような)環拡大の相対性質は、上にある環が部分環と性質を共有することを述べる定理の取り上げる役に立つ。例えば、半単純多元環 S の分離拡大多元環 R は R-半単純性を持つ(これは先の議論から従う)。
有名な Jans の定理「標数 p > 0 の体上の有限群環 A が有限表現型となるための必要十分条件は、そのシロー p-群が巡回群となることである」がある。この最も明瞭な証明は、この事実が p-群に対するものであることに留意して、それからこの群環がその指数が標数と互いに素なシロー p-部分群の群環 B の分離拡大であることに着目するものである。上記の分離性条件は任意の有限生成 A-加群 M が、その制限・誘導加群の適当な直和因子に同型となることを導く。しかし B が有限表現型を持つならば、制限加群は一意的に有限個の直既約加群の定数倍の直和となり、それが M が直和となる有限個の直既約加群成分を誘導する。したがって、A が有限表現型となるのは B がそうであるときに限る。逆は、任意の部分群環 B が群環 A の B-両側直和因子加群となることに注意して同様に示される。
K を体、G を有限群でその位数 |G| が K において可逆とする。このとき群環 K[G] は分離的 K 多元環である。その分離べき等元は
1/|G|∑g ∈ G g ⊗ g
で与えられる。(マシュケの定理も参照。)
K を体とする。K 上の結合多元環 A が分離的であるとは、すべての拡大体 L/K に対して多元環 A⊗KL が半単純であることをいう。
分離多元環の分類定理がある:分離多元環は有限次元可除環であって、その中心が K の有限次元分離拡大であるものの全行列多元環の有限積に同型である。とくに分離多元環は有限次元である。もし K が完全体——たとえば標数0、有限体、あるいは代数的閉体——ならば K のすべての拡大は分離的である。その結果、K が完全体ならば、分離多元環は有限次元可除環の全行列多元環の有限積に同型である。 つまり、K が完全体ならば、分離多元環と有限次元半単純多元環に違いはない(ウェダーバーンの定理も参照)。
分離多元環にはいくつかの同値な特徴づけがある。第一に、多元環 A が分離的である必要十分条件はその包絡多元環 A = A ⊗K A の元
p = ∑ni=1 xi ⊗ yi
が存在して、