主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理
これは特別な場合として R = K が体のときに有限次元ベクトル空間の分類を含んでいる.体は非自明なイデアルを持たないから,すべての有限生成ベクトル空間は自由である.
R = Z と取ることで,有限生成アーベル群の基本定理を得る.
T を K 上の有限次元ベクトル空間 V 上の線型作用素とする.R として K 係数の T の多項式の代数 K[T] を取ると,T についての構造の情報を得る.V は K[T] 上の有限生成加群として見ることができる.最後の単因子は最小多項式であり,単因子すべての積は特性多項式である.K[T]/p(T) の標準的な行列形と合わせて,これは様々な標準形を生み出す:
単因子と同伴行列からフロベニウス標準形(有理標準形とも)を得る.
準素分解と同伴行列から準素有理標準形(英語版)を得る.
準素分解とジョルダンブロックからジョルダンの標準形を得る(代数閉体上でのみ成り立つ).
体 F 上のベクトル空間が有限生成集合を持つとき,その中から有限の n 個のベクトルからなる基底を取り出すことができ,空間は F に同型となる.F を主イデアル整域 R に一般化したときに対応する主張は,R 上の有限生成加群が基底を持つとは限らないから,もはや成り立たない.しかしながら,そのような加群はなお,有限な n に対するある加群 R の商に同型である(これを見るには,R の標準基底を加群の生成元に送る射を構成し,その核による商を取れば十分である.)生成集合の取り方を変えることで,実は加群を特に単純な部分加群によってある R の商として記述することができ,これが構造定理である.
主イデアル整域上の有限生成加群の構造定理は通常以下の2つの形で現れる.