部分積分
部分積分は機械的に積分を求められる方法ではなく、むしろある程度の試行錯誤を要する場合がある。基本的な方針は、ある一つの関数が与えられた時に、それを部分積分公式に当てはめて変形した場合に出現する積分項がもとの積分よりも計算が容易になるように、その関数を2つの関数の積 u ( x ) v ( x ) {\textstyle u(x)v(x)} に分割するというものである。下記の式は良い分割の方法を探すのに役立つであろう。
∫ u v d x = u ∫ v d x − ∫ ( u ′ ∫ v d x ) d x {\displaystyle \int uv\,dx=u\int v\,dx-\int \left(u'\int v\,dx\right)\,dx\!}
右辺で u は微分されて、逆に v は積分されていることに注意。即ち、微分された時に単純な形になる関数を u {\textstyle u} に、また積分された時に単純な形になる関数を v {\textstyle v} に選択するのが良いことが分かる。簡単な例として以下の積分を考えてみると、
∫ ln  x x 2 d x {\displaystyle \int {\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx\!}
∫ Ω F i j G p j , p d Ω = ∫ Γ n p F i j G p j d Γ − ∫ Ω G p j F i j , p d Ω {\displaystyle \int _{\Omega }F_{ij}\,G_{pj,p}\,d\Omega =\int _{\Gamma }n_{p}\,F_{ij}\,G_{pj}\,d\Gamma -\int _{\Omega }G_{pj}\,F_{ij,p}\,d\Omega \,}
即ち
∫ Ω F ⋅ ( ∇ ⋅ G ) d Ω = ∫ Γ n ⋅ ( G ⋅ F T ) d Γ − ∫ Ω ( ∇ F ) : G T d Ω {\displaystyle \int _{\Omega }{\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {G}})\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \cdot ({\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T})\,d\Gamma -\int _{\Omega }({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {F}}):{\boldsymbol {G}}^{T}\,d\Omega \,}
となる。
I = ∫ x cos  x d x {\displaystyle I=\int x\cos x\,dx\,}
この積分を計算するには、
u = x ⇒ d u = d x {\displaystyle u=x\Rightarrow du=dx}
d v = cos  x d x ⇒ v = sin  x {\displaystyle dv=\cos x\,dx\Rightarrow v=\sin x}
とすると、
∫ x cos  ( x ) d x = ∫ u d v = u v − ∫ v d u = x sin  x − ∫ sin  x d x = x sin  x + cos  x + C , {\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\,dv\\&=uv-\int v\,du\\&=x\sin x-\int \sin x\,dx\\&=x\sin x+\cos x+C,\end{aligned}}\!}
ここで C {\textstyle C} は積分定数である。
下記の式における x {\textstyle x} のより高位の累乗では、
∫ x n e x d x , ∫ x n sin  x d x , ∫ x n cos  x d x {\displaystyle \int x^{n}e^{x}\,dx,\,\int x^{n}\sin x\,dx,\,\int x^{n}\cos x\,dx\,}
部分積分を繰り返し使って同様に計算出来る。1回部分積分を適用する度に x {\textstyle x} の指数が1ずつ下がる。
d d x ( ∏ i = 1 n u i ( x ) ) = ∑ j = 1 n ∏ i ≠ j n u i ( x ) d u j ( x ) d x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)=\sum _{j=1}^{n}\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x){\frac {du_{j}(x)}{dx}}}
即ち、
[ ∏ i = 1 n u i ( x ) ] a b = ∑ j = 1 n ∫ a b ∏ i ≠ j n u i ( x ) d u j ( x ) {\displaystyle {\Bigl [}\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x){\Bigr ]}_{a}^{b}=\sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x)\,du_{j}(x)}
ここで右辺の積は、同じ項で微分を取った関数を除く全ての関数の積を取るものとする。
不定積分の場合であれば、同様に以下の関係式が成り立つ。
∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx\!}
またはより簡潔に
∫ u d v = u v − ∫ v d u . {\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\!}
と表記される。ここで d u {\textstyle du} と d v {\textstyle dv} は x {\textstyle x} の関数 u {\textstyle u} 、 v {\textstyle v} の微分、即ち
d u = u ′ ( x ) d x , d v = v ′ ( x ) d x {\displaystyle du=u'(x)dx,\quad dv=v'(x)dx}
である。