非有界作用素
数学の、特に関数解析や作用素論の分野における非有界作用素(ひゆうかいさようそ、英語: unbounded operator)は、位相線型空間のあいだの線型写像で不連続であること・全体では定義されていないことを許したようなものである。幾何学における微分作用素や量子力学における非有界オブザーバブルなどを扱うための抽象的な基礎付けをあたえるのに用いられる。
ここで「非有界作用素」という語は誤解を招く恐れがある。実際に意味するところは、
「非有界」は、「必ずしも有界ではない」という意味で解釈される;
「作用素」は、「線型作用素」と解釈される(これは「有界作用素」の場合と同様);
作用素の定義域は線型部分空間であり、必ずしも全空間ではない(これは「有界作用素」の場合と異なる);
定義域は必ずしも閉ではない; それはしばしば(常にではないが)稠密であると仮定される;
有界作用素の特別な場合において、定義域は通常、全空間であると仮定される;
という点に注意されたい。
有界作用素の場合と異なり、非有界作用素は個々の作用素が異なった定義域を持ちうるため、非有界作用素同士の和や合成がいつでも意味を持つわけではない。
「作用素」という語はしばしば「有界線型作用素」を意味するが、この記事の文脈では「非有界作用素」を表すこととする(ここで上述の注意点に留意されたい)。以下の解説では主にバナッハ空間やヒルベルト空間の間の非有界作用素について説明するが、ほとんどの構成を適切な形に修正してより一般的な位相ベクトル空間へと一般化することができる。
H をヒルベルト空間、y ∈ Hとするとき、 y ∗ ( x ) = ⟨ x ∣ y ⟩ H , ( x ∈ H ) {\displaystyle y^{*}(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H)} とおく。このとき、 J y ∗ = y {\displaystyle Jy^{*}=y} によって与えられる反線型の同型 J : H ∗ → H {\displaystyle J:H^{*}\to H} を考える。この同型を用いて、転置 T は共役 T と、次のように関係付けられる:
T ∗ = J 1 T ′ J 2 − 1 {\displaystyle T^{*}=J_{1}T'J_{2}^{-1}}
ここで J j : H j ∗ → H j {\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}} である(有限次元の場合、これは行列の随伴が共役転置であることと対応する)。この等式は転置によって共役の定義を与えていることに注意されたい。