Spike-triggered average
実際には、白色化STAを正則化する必要がある。というのも、白色化は刺激によって十分に探索されない刺激次元(刺激の分散が小さい軸 )上にあるノイズを増幅されてしまうためである。この問題に対する一般的な対応策はリッジ回帰である。正則化STAはリッジ回帰により次式で表される。
S T A r i d g e = T n s p ( X T X + λ I ) − 1 X T y , {\displaystyle \mathrm {STA} _{ridge}={\tfrac {T}{n_{sp}}}\left(X^{T}X+\lambda I\right)^{-1}X^{T}\mathbf {y} ,}
ここで I {\displaystyle I} は単位行列であり、 λ {\displaystyle \lambda } は正則化の程度を調節するリッジパラメータである。この計算は単純なベイズ的解釈ができる。 リッジ回帰は、恒等行列に比例する共分散を事前確率としてゼロ平均ガウス分布から独立して同一に分布しているとするSTA要素上に事前条件を置くことと同等である。リッジパラメーターはこの事前確率分布の分散の逆数として設定され、通常、交差検証や経験ベイズによりフィッティングされる。
時空間的刺激空間を x i {\displaystyle \mathbf {x_{i}} } とする。ここで、 i {\displaystyle i} はi番目の時間ビンを示し、 y i {\displaystyle y_{i}} はその時間ビン内に生じたスパイク数を示す。刺激は平均がゼロであると仮定される( E [ x ] = 0 {\displaystyle E[\mathbf {x} ]=0} )。もしそうでない場合は、各刺激ベクトルから平均値を引くことで変換できる。STAは次式で与えられる。
S T A = 1 n s p ∑ i = 1 T y i x i , {\displaystyle \mathrm {STA} ={\tfrac {1}{n_{sp}}}\sum _{i=1}^{T}y_{i}\mathbf {x_{i}} ,}
ここで、 n s p = ∑ y i {\displaystyle n_{sp}=\sum y_{i}} はスパイクの総数を表す。
次の条件を満たす場合、白色化STAは漸近的に有効推定量になる。
刺激分布 P ( x ) {\displaystyle P(\mathbf {x} )} がガウス分布である。
ニューロンの非線形応答関数が e x p ( x ) {\displaystyle exp(x)} のような指数関数である。
任意の刺激である場合、STAは一般的に一致性や最適性を持たない。 この場合でも一致性と最適性を満たすように、 最尤推定や相互情報量に基づく推定法 が開発されている。