外積代数
V を有限 n-次元とすると、内部積はベクトル空間の自然な同型
⋀ k ( V ∗ ) ⊗ ⋀ n ( V ) → ⋀ n − k ( V ) {\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{k}(V^{*})\otimes \bigwedge ^{n}(V)\to \bigwedge ^{n-k}(V)}
を誘導する。幾何学的な設定で、(一次元ベクトル空間である)最高次外冪 ⋀(V) のゼロでない元はしばしば体積要素と(あるいは多少紛らわしい用語だが orientation form とも)呼ばれる。体積要素 σ に関して上記の同型は
α ∈ ⋀ k ( V ∗ ) ↦ i α σ ∈ ⋀ n − k ( V ) {\displaystyle \textstyle \alpha \in \bigwedge ^{k}(V^{*})\mapsto i_{\alpha }\sigma \in \bigwedge ^{n-k}(V)}
によって明示的に与えられる。体積要素に加えて、ベクトル空間 V が V と V を同一視する内積を備えているならば、得られる同型
ベクトル空間の短完全列
0 → U → V → W → 0 {\displaystyle 0\to U\to V\to W\to 0}
に対し、
0 → ⋀ 1 ( U ) ∧ ⋀ ( V ) → ⋀ ( V ) → ⋀ ( W ) → 0 {\displaystyle \textstyle 0\to \bigwedge ^{1}(U)\wedge \bigwedge (V)\to \bigwedge (V)\to \bigwedge (W)\to 0}
は次数付き線型空間の完全列である。もちろん
0 → ⋀ ( U ) → ⋀ ( V ) {\displaystyle \textstyle 0\to \bigwedge (U)\to \bigwedge (V)}
も完全である。
Δ ( x 1 ∧ x 2 ) = 1 ⊗ ( x 1 ∧ x 2 ) + x 1 ⊗ x 2 − x 2 ⊗ x 1 + ( x 1 ∧ x 2 ) ⊗ 1 {\displaystyle \Delta (x_{1}\wedge x_{2})=1\otimes (x_{1}\wedge x_{2})+x_{1}\otimes x_{2}-x_{2}\otimes x_{1}+(x_{1}\wedge x_{2})\otimes 1}
のようである。これを線型に拡張して外積代数全体で定義される演算を得る。余積の言葉で言えば、双対空間上の楔積はちょうど余積の次数つき双対
( α ∧ β ) ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x k ) = ( α ⊗ β ) ( Δ ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x k ) ) {\displaystyle (\alpha \wedge \beta )(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k})=(\alpha \otimes \beta )(\Delta (x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{k}))}
である。ここで右辺におけるテンソル積は線型写像としてのそれである(両立しない斉次次数の元については 0 で拡張する。もっとはっきり言えば α ∧ β = ε ∘ (α ⊗ β) ∘ Δ と定める。ここで ε は以下で定義する余単位射である)。
余単位射 (counit) は準同型 ε: ⋀(V ) → K で引数の 0-次成分を返すものである。余積および余単位射は楔積とともに外積代数に双代数の構造を定める。
⋀(V) の分解可能 k-ベクトルは V の重み付き k-次元部分空間に対応する。特に V の k-次元部分空間のグラスマン多様体 Grk(V) は自然に射影空間 P(⋀(V)) のある代数多様体と同一視される。これをプリュッカー埋め込み(英語版)という。
外積代数(がいせきだいすう、独: äußere Algebra、英: exterior algebra)は、ヘルマン・グラスマンによって導入された代数。グラスマンに因みグラスマン代数(独: Graßmann-Algebra、英: Grassmann algebra)とも呼ばれる。
以下、特に断らない限り外国語表記はドイツ語、英語の順に記す。
V を体 K 上のベクトル空間とする。形式張らずに言えば、⋀(V) における乗法は文字を分配法則、結合法則と恒等式 v ∧ v = 0 (v ∈ V) に従って操作することによって行われる。厳密には ⋀(V) は乗法がそれらの法則を満足する多元環の中で、「もっとも一般」なものである。それは V を含み交代的な乗法を持つ任意の単位的結合 K-代数は ⋀(V) の準同型像として得られるという意味である。言い換えれば、外積代数は以下の普遍性を持つ。