中可換マグマ
ブルック–マードック–豊田の定理 (Bruck–Murdoch-Toyoda theorem) は以下のように中可換準群を特徴付けるものである。アーベル群 A と互いに可換な二つの自己準同型(英語版) φ, ψ が与えられたとき、A 上の演算 ∗ を、A の適当な元 c をとって
x ∗ y = φ(x) + ψ(y) + c
と定める。この演算のもとで A が中可換準群を成すことを確かめるのは難しくない。ブルック–豊田の定理は、任意の中可換準群がこの形で得られる(すなわち、適当なアーベル群からこの仕方で作った準群に同型となる)ことを述べるものである。特に任意の中可換準群はアーベル群に同位(英語版)である。
この結果は Murdoch (1941), Toyoda (1941) が独立に発見し、Bruck (1944) が再発見した。