井戸型ポテンシャル
を透過率と呼び、
| r | 2 = ( k ′ 2 − k 2 ) ( 2 − ( e 4 m + e − 4 m ) ) 2 ( k ′ 4 + 6 k ′ 2 k 2 + k 4 ) − ( k ′ 2 − k 2 ) 2 ( e 4 m + e − 4 m ) {\displaystyle |r|^{2}={\frac {\left(k'^{2}-k^{2}\right)\left(2-\left(e^{4m}+e^{-4m}\right)\right)}{2\left(k'^{4}+6k'^{2}k^{2}+k^{4}\right)-\left(k'^{2}-k^{2}\right)^{2}\left(e^{4m}+e^{-4m}\right)}}} (19)
を反射率と呼ぶ。
透過率と反射率の間には、和が1になるという性質がある。 つまり、粒子は必ずポテンシャルの壁を透過するか、壁で反射するのであり、急に消えたりなどその二通り以外の振舞い方はしないということである。
粒子が完全に反射・透過する時の条件
透過率が0(粒子が完全に反射)となる条件は、k'=0またはk=0、すなわちE=V0のときである。 また、反射率が0(粒子が完全に透過)となる条件は、k'-k=0または2-(e+e )=0、すなわちV0=0か、kL=nπのときである。 kL=nπのとき、粒子はポテンシャルの壁で反射せず、完全に透過する。これを共鳴散乱という。
ψ ( x ) = { C 1 e i k ′ x + D 1 e − i k ′ x ( x < − L / 2 ) A e i k ′ x + B e − i k ′ x ( − L / 2 < x < L / 2 ) C 2 e i k ′ x + D 2 e − i k ′ x ( L / 2 < x ) {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}C_{1}e^{ik'x}+D_{1}e^{-ik'x}&(x<-L/2)\\Ae^{ik'x}+Be^{-ik'x}&(-L/2<x<L/2)\\C_{2}e^{ik'x}+D_{2}e^{-ik'x}&(L/2<x)\end{cases}}} (12)
となる。(A,B,C1,D1,C2,D2は任意の定数)
いま、 x < − L / 2 {\displaystyle x<-L/2} の領域からx軸の正の向きに進む波(入射波)を考える。 これは、式(11)の第一式の第一項にあたるが、振幅は任意なので、C1=1とする。 また、 x > L / 2 {\displaystyle x>L/2} で負の向きに進む波はないとすると、D2=0となる。 D1=r ,C2=tとおいて整理すると、
ψ ( x ) = { e i k ′ x + r e − i k ′ x ( x < − L / 2 ) A e i k ′ x + B e − i k ′ x ( − L / 2 < x < L / 2 ) t e i k ′ x ( L / 2 < x ) {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}e^{ik'x}+re^{-ik'x}&(x<-L/2)\\Ae^{ik'x}+Be^{-ik'x}&(-L/2<x<L/2)\\te^{ik'x}&(L/2<x)\end{cases}}} (13)