縮閉線
縮閉線 E の曲率は、それを弧長変数 σ で二回微分することにより求まる。まず dσ/ds = |dR/ds| であるから、(1) 式から d E d σ = d E d s / d σ d s = ± N {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} \sigma }}={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} s}}{\bigg /}{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} s}}=\pm {\boldsymbol {N}}} がわかる。ただし符号は dR/ds と同じになるようにとる。
( cos  φ , sin  φ ) = ( x ′ , y ′ ) ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 1 / 2 , R = 1 / k = ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 x ′ y ′′ − x ′′ y ′ {\displaystyle (\cos \varphi ,\sin \varphi )={\frac {(x',y')}{(x'^{2}+y'^{2})^{1/2}}},\quad R=1/k={\frac {(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}{x'y''-x''y'}}}
から R と φ を消去すれば、媒介変数表示として
{ X [ x , y ] = x − y ′ x ′ 2 + y ′ 2 x ′ y ′′ − x ′′ y ′ Y [ x , y ] = y + x ′ x ′ 2 + y ′ 2 x ′ y ′′ − x ′′ y ′ {\displaystyle {\begin{cases}X[x,y]=x-y'{\dfrac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}\\[10pt]Y[x,y]=y+x'{\dfrac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}\end{cases}}}
が得られる。
γ(s) の曲率半径の大きさは、その点において曲線を最もよく二次近似する円、つまりその点で曲線と二次の接触をもつような円(すなわち接触円)の半径に一致する。曲率半径の符号は、その接点における曲線と同じ向きに進むように媒介変数をとれば、接触円がどちらの向きに動くかを指し示すものとなる(接触円は、正ならば反時計回り、負ならば時計回りに動く)。
曲率の中心は接触円の中心をいう。曲率の中心はもちろん γ(s) の法線上の、γ(s) からの距離が R(s) のところに位置する(どちら側にあるかは曲率 k の符号で決まる)。記号で表せば、曲率中心の位置する点は
E ( s ) = γ ( s ) + R ( s ) N ( s ) = γ ( s ) + 1 k ( s ) N ( s ) {\displaystyle E(s)=\gamma (s)+R(s){\boldsymbol {N}}(s)=\gamma (s)+{\frac {1}{k(s)}}{\boldsymbol {N}}(s)}
である。s が変化すれば、曲率の中心はこの等式で表される平面曲線を描く。それが曲線 γ の縮閉線である。