極位相
すなわち、次が成り立つ。
∀ A , B ∈ A ∃ C ∈ A A ∪ B ⊆ C , {\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {A}}\qquad \exists C\in {\mathcal {A}}\qquad A\cup B\subseteq C,}
A {\displaystyle {\mathcal {A}}} はスカラー倍について閉じている。すなわち、次が成り立つ。
∀ A ∈ A ∀ λ ∈ F λ ⋅ A ∈ A . {\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}}\qquad \forall \lambda \in {\mathbb {F} }\qquad \lambda \cdot A\in {\mathcal {A}}.}
このとき、次のセミノルム
‖ y ‖ A = sup x ∈ A | ⟨ x , y ⟩ | , A ∈ A , {\displaystyle \|y\|_{A}=\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |,\qquad A\in {\mathcal {A}},}
は Y {\displaystyle Y} 上のハウスドルフな局所凸位相を定義する。これを、集合族 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} によって生成される Y {\displaystyle Y} 上の極位相という。集合