分数イデアル
~I によって分数イデアル I を含むすべての単項分数イデアルの共通部分を表記する。同じことだが、
I ~ = ( R : ( R : I ) ) {\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I))}
である、ただし上記のように
( R : I ) = { x ∈ K : x I ⊆ R } {\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}}
である。~I = I であれば I は 因子的 (divisorial) であると言う。言い換えると、因子的イデアルは分数単項イデアルのある空でない集合の 0 でない共通部分である。I が因子的で J が分数イデアルであれば、(I : J) は因子的である。
R を局所クルル整域(例えばネーター整閉局所整域)とする。すると R が離散付値環であることと R の極大イデアルが 因子的であることは同値である。
因子的イデアルについて昇鎖条件を満たすような整域は森整域(英語版)と呼ばれる。