対の公理
任意の二つの元x,yに対し、xとyのみを要素とする集合zが存在する。すなわち、
∀ x ∀ y ∃ z ∀ w [ w ∈ z ⟺ ( w = x ∨ w = y ) ] . {\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists z\,\forall w\,[w\in z\iff (w=x\lor w=y)].}
あるいは、より弱い主張である
∀ x ∀ y ∃ z [ x ∈ z ∧ y ∈ z ] {\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists z\,\,[x\in z\land y\in z]}
が公理として採用される場合もある。 こちらは、zがxとyを含むことのみしか要請しないが、置換公理(あるいはもっと弱く分出公理)のもとでは集合
{ x , y } = { w ∈ z ∣ w = x ∨ w = y } {\displaystyle \{x,y\}=\{\,w\in z\mid w=x\lor w=y\,\}}
が存在するため上の定義と同等になる。