因子 (代数幾何学)
有効なカルティエ因子 D = { ( U i , g i ) } i {\displaystyle {\mathcal {D}}=\{(U_{i},g_{i})\}_{i}} に対して、 V ∩ U i = V ( g i ) {\displaystyle V\cap U_{i}=V(g_{i})} (giを含む素イデアル全体のなす閉集合)で定まる X の閉部分集合 V を D {\displaystyle {\mathcal {D}}} の台 (support) といい、 supp D {\displaystyle {\mbox{supp }}{\mathcal {D}}} で表す。任意のカルティエ因子 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} は2つの有効なカルティエ因子 D 1 , D 2 {\displaystyle {\mathcal {D}}_{1},{\mathcal {D}}_{2}} の差 D = D 1 − D 2 {\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}_{1}-{\mathcal {D}}_{2}} として一通りにかけるので、その台を supp D = supp D 1 ∪ supp D 2 {\displaystyle {\mbox{supp }}{\mathcal {D}}={\mbox{supp }}{\mathcal {D}}_{1}\cup {\mbox{supp }}{\mathcal {D}}_{2}} で定める。
が成り立つ。また、 D によらない整数 g が存在し、つねに
l ( D ) ≥ deg  ( D ) + 1 − g {\displaystyle l(D)\geq \deg(D)+1-g}
が成り立つ。このような性質を満たす最小の整数 g は C の種数と一致する。
局所助変数(英語版) t に対し、有理型1形式 ω = f dt ≠ 0 の因子 (ω) を (ω) = (f) で定義する。この因子は局所助変数の取り方によらずに定まる。大域的な有理型1形式の因子を標準因子 (canonical divisor) と呼ぶ。任意の有理型1形式の因子は線型同値なので、標準因子は線型同値を除いて一意に定まる(よって、標準因子と呼ぶ)。
標準因子 K をとると、任意の因子 D に対し
l ( D ) − l ( K − D ) = deg  ( D ) + 1 − g {\displaystyle l(D)-l(K-D)=\deg(D)+1-g}
が成り立つ(代数曲線に対するリーマン–ロッホの定理)。
たとえば、この仮定は X が体 k 上固有 (proper) であればつねに満足される。このとき、Λ ⊂ | D | はともに有限次元の射影空間となる。X の点 p に対して、 Λ p = { E ∈ Λ ∣ p ∈ E } {\displaystyle \Lambda _{p}=\{E\in \Lambda \mid p\in E\}} を対応させる対応を考えると、一般の位置にある p に対しては Λp は Λ の超平面になるので、有理写像
φ Λ : X − → Λ ∨ {\displaystyle \varphi _{\Lambda }:X-\to \Lambda ^{\vee }}
が定まる。
X の点 p が有理写像 φ Λ {\displaystyle \varphi _{\Lambda }} の不確定点(写像が定義できない点)であることは、Λ に属する任意の有効因子が点 p を通ることと同値である。そこで、Λ の基点(base point、 あるいは固定点; fixed point ともいう)のなす部分集合 Bs Λ を
Bs Λ = { p ∈ X ∣ ∀ E ∈ Λ p ∈ E } = ⋂ E ∈ Λ E {\displaystyle {\mbox{Bs}}\Lambda =\{p\in X\mid \forall E\in \Lambda \quad p\in E\}=\bigcap _{E\in \Lambda }E}
で定めると、これは X の閉集合になる。