一様ノルム
始域 X が有限でないならば、空間 M(X, Y) の上限ノルムに関する有界閉集合は必ずしもコンパクトでない。
始域 X が有限でないならば、空間 M(X, Y) のノルムで上限ノルムと位相的に同値でないようなものが存在する。
終域 Y が実数全体の成すノルム空間 R のとき、M(X, R) に属する関数には点ごとの和に加えて点ごとの積も定義されるが、上限ノルムはこの積に関して劣乗法的、すなわち ‖ f g ‖ ∞ ≤ ‖ f ‖ ∞ ‖ g ‖ ∞ {\displaystyle \lVert fg\rVert _{\infty }\leq \lVert f\rVert _{\infty }\,\lVert g\rVert _{\infty }} を満たす。即ち、この積と上限ノルムに関して M(X, Y) はバナッハ代数を成す。
コンパクト空間上の複素連続関数は、一様ノルムに関してC*-環を成す。