ヤコビの二平方定理
である。以上により、
F ( 1 4 ) 2 π = ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ q 2 ( n 2 + m 2 ) = 1 + 4 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ∑ j = 1 ∞ q 2 j ( 2 k + 1 ) {\displaystyle {\frac {F\left({\tfrac {1}{4}}\right)}{2\pi }}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{2(n^{2}+m^{2})}=1+4\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{j=1}^{\infty }q^{2j(2k+1)}}
が得られ、 q 2 N {\displaystyle q^{2N}} の係数を比較することにより、
r 2 ( N ) = 4 ∑ 2 ∤ d ∣ N ( − 1 ) d − 1 2 {\displaystyle r_{2}(N)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }N}(-1)^{\frac {d-1}{2}}}
が得られる。
ヤコビの二平方定理(Jacobi's two square theorem)は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。
自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は
r 2 ( n ) = 4 ∑ 2 ∤ d ∣ n ( − 1 ) d − 1 2 {\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{2{\nmid }d{\mid }n}(-1)^{\frac {d-1}{2}}}
で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。