モーメント (確率論)
n 次のキュムラントは、n 次以下のモーメントで表すことができる。
c 1 = m 1 c 2 = m 2 − m 1 2 c 3 = m 3 − 3 m 1 m 2 + 2 m 1 3 c 4 = m 4 − 4 m 3 m 1 − 3 m 2 2 + 12 m 2 m 1 2 − 6 m 1 4 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=m_{1}\\c_{2}&=m_{2}-{m_{1}}^{2}\\c_{3}&=m_{3}-3m_{1}m_{2}+2{m_{1}}^{3}\\c_{4}&=m_{4}-4m_{3}m_{1}-3{m_{2}}^{2}+12m_{2}{m_{1}}^{2}-6{m_{1}}^{4}\\&\vdots \end{aligned}}}
逆に、n 次のモーメントは、n 次以下のキュムラントで表すことができる。
m 1 = c 1 m 2 = c 2 + c 1 2 m 3 = c 3 + 3 c 1 c 2 + c 1 3 m 4 = c 4 + 3 c 2 2 + 4 c 1 c 3 + 6 c 1 2 c 2 + c 1 4 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=c_{1}\\m_{2}&=c_{2}+{c_{1}}^{2}\\m_{3}&=c_{3}+3c_{1}c_{2}+{c_{1}}^{3}\\m_{4}&=c_{4}+3{c_{2}}^{2}+4c_{1}c_{3}+6{c_{1}}^{2}c_{2}+{c_{1}}^{4}\\&\vdots \end{aligned}}}