熱核
数学の特に熱伝導や拡散の研究に現れる熱核(ねつかく、英: heat kernel)とは、ある適切な境界条件を課された特定の領域上での熱方程式(Heat equation)に対する基本解である。ラプラス作用素のスペクトルの研究においても重要な道具の一つであり、したがって数理物理学の分野を通して有用な概念である。熱核は、境界がある特定の温度(通常はゼロ)に固定された領域内のある点に単位熱源が時間 t = 0 に置かれた際の、その領域全体での温度変化を表現するものである。
次のような d-次元ユークリッド空間 R の熱核が、最も有名である。
K ( t , x , y ) = 1 ( 4 π t ) d / 2 e − | x − y | 2 / 4 t . {\displaystyle K(t,x,y)={\frac {1}{(4\pi t)^{d/2}}}e^{-|x-y|^{2}/4t}.\,}
これは、すべての t > 0 および x,y ∈ R に対して、次の熱方程式
∂ K ∂ t ( t , x , y ) = Δ x K ( t , x , y ) {\displaystyle {\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\,}
の解となる。ただし初期条件は