グランディ級数
現代の数学では、無限級数の和はその部分和によって与えられる数列の極限として、その極限が存在する場合に限り定義される。グランディ級数の部分和の数列は 1, 0, 1, 0, ... であり、これはどのような数にも近づくことはない(2 つの集積点を 0 と 1 に持つにも拘らず)。従ってグランディ級数は発散する。
このことは、一見して無害な、独立な項の並べ替えなどの級数の操作が、級数が絶対収束しない限りは無効であり、絶対収束しない級数に対してそのような操作をすると、与えられる和が変わってしまうことを示している。 更に、グランディ級数は各項を並べ替えることで、集積点の間隔を、0 や 1 だけでなく、2 やそれより大きな連続する整数に持たせることができる。たとえば、級数
1 + 1 + 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − ⋯ {\displaystyle 1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-\cdots }
(最初の 5 つの項は +1、後の項は 2 つの −1 と +1 が交代で現れる)はグランディ級数の項を並べ替えたものであり、 この級数に対応する値は元の級数から高々 4 だけ離れた点にある。級数の集積点は 3, 4, 5 である。