付値環
さらに一般的に、任意の全順序アーベル群 Γ が与えられたとき、値群 Γ をもつ付値環 D が存在する(下のセクションを見よ)。
付値環のイデアル全体は全順序集合をなすという事実から、付値環は局所整域であり、付値環のすべての有限生成イデアルは単項である(すなわち付値環はベズー整域である)と結論できる。実は次のことがクルルによる定理である。整域が付値環であることと局所ベズー整域であることは同値である。またこのことから付値環がネーター的であることと単項イデアル整域であることが同値であることがしたがう。この場合、それは体であるかまたはちょうど1つの 0 でない極大イデアルをもつ。そのような付値環は離散付値環と呼ばれる。(慣習によって、体は離散付値環ではない。)
値群は整数のなす加法群と同型であるときに離散的(discrete)と呼ばれる。そして、付値環が離散的な値群をもつことと離散付値環であることは同値である。
ごくまれに、付値環(valuation ring)は2つ目か3つ目の条件を満たすが必ずしも整域でないような環を指すことがある。このタイプの環に対するより一般的な用語は "単列環(英語版)"である。