様相論理
J・C・C・マッキンゼーは1941年に代数的方法を用いてルイスの S2 と S4 の体系の決定可能性を証明した。
様相論理に対しての意味論は様々な形で考えられてきたが、1963年にソール・クリプキにより提唱されたクリプキ意味論(可能世界意味論とも)は、様々な様相論理の体系に対して完全性定理が成り立つことが示され、様相論理を飛躍的に前進させた。
様相論理から派生した論理体系としては、従来の演算子に代わり、それぞれ過去・未来の到達可能性を示す様相演算子P・Fを導入する時相論理や、従来の様相演算子 ◻ {\displaystyle \Box } 、 ◊ {\displaystyle \Diamond } にラベル付けを施した動的論理などがある。これらは認知現象の解析や計算機科学への応用など、目的に応じて様々に考案され、適用されている。
様相論理の意味論としてはソール・クリプキによって与えられたクリプキ意味論と呼ばれる体系があり、それと関係するよく知られたアイディアとして可能世界論がある。上で見た公理系のバリエーションは、可能世界のあいだの二項関係として定義される到達可能性の概念によって捉えることができる。なお、可能世界という概念をどう解釈すべきかを巡っては、哲学上の議論も盛んである。
命題様相論理の意味論の概要は以下の通りである。
Wを空でない集合とする。これは個々の可能世界全体の集合を表していると考えられる。次にW上の二項関係Rを考える。つまり R ⊆ W 2 {\displaystyle R\subseteq W^{2}} である。また ⟨ w , w ′ ⟩ ∈ R {\displaystyle \langle w,w'\rangle \in R} を w R w ′ {\displaystyle _{w}R_{w'}} と表す。RはW上の到達関係と呼ばれ、様相演算子の付いた論理式の真偽に影響する。またPVを命題変数全体の集合とし、このPVと先に定義したWに対し、関数Vを
V : P V → 2 W {\displaystyle V:PV\rightarrow 2^{W}}
として定義する( 2 W {\displaystyle 2^{W}} はWの冪集合、すなわち部分集合全体の集合である)。これは、ある原子命題について、それが真である可能世界の集合を与える解釈である。すなわち、可能世界wにおいて原子命題pが真であることを w ∈ V ( p ) {\displaystyle w\in V(p)} として表す。