モルプランク定数
コイルの動く速さと重力加速度は、レーザー干渉計などを用いれば、十分な精度で測ることができる。秤量モード時の電流を測るにはオームの法則を使う。抵抗値が R の抵抗器を回路に入れてその抵抗にかかる電圧を V1 とすると、電流値は I1 = V1/R で与えられる。したがって I1V2 を正確に測るには、電圧と電気抵抗が正確に測れればよい。電圧は、ジョセフソン効果を利用した電圧標準と比較して測る。電気抵抗は、量子ホール効果を利用した電気抵抗標準と比較して測る。
ジョセフソン素子にマイクロ波を照射すると、マイクロ波の周波数 f に比例する電圧 V が発生する。
V = n h 2 e f {\displaystyle V=n{\frac {h}{2e}}f}
ここで n は整数、h はプランク定数、e は電気素量である。n は整数なので不確かさはない。プランク定数と電気素量の正確な値が分かっていれば、マイクロ波周波数 f を正確に測ることにより、電圧 V の正確な値が求まる。
量子ホール効果により発生する電気抵抗(記号 RHall)は次式で与えられる。
R Hall = h i e 2 {\displaystyle R_{\text{Hall}}={\frac {h}{ie^{2}}}}
ここで i は素子にかける磁場の大きさで決まる整数であり、不確かさはない。秤量モードで用いる抵抗器として、この電気抵抗標準で校正したものを使う。校正係数を b とすれば R = bRHall と書ける。プランク定数と電気素量の正確な値が分かっていれば、入念な校正により電気抵抗 R の正確な値が求まる。
以上のことから I1V2 の値は次式で与えられる。
I 1 V 2 = V 1 V 2 R = h i n 1 n 2 f 1 f 2 4 b {\displaystyle I_{1}V_{2}={\frac {V_{1}V_{2}}{R}}=h{\frac {in_{1}n_{2}f_{1}f_{2}}{4b}}}
したがって分銅の質量を求める式は最終的に、
M = h ⋅ i n 1 n 2 4 b ⋅ f 1 f 2 g u {\displaystyle M=h\cdot {\frac {in_{1}n_{2}}{4b}}\cdot {\frac {f_{1}f_{2}}{gu}}}
となる。電気計測により質量を測る装置であるにもかかわらず、質量を求める式には電気的な量が一切含まれていないのが、ワット天秤の特徴である。質量を測るには、周波数(単位 Hz)、重力加速度(単位 m/s)、速さ(単位 m/s)を測ればよい。これらの単位はメートルと秒で表すことができる。そして、単位 kg・m/s で表したプランク定数の数値が定められていれば、分銅の質量をキログラムの単位で求めることができる。
逆に分銅の質量が既知の場合、上の式はプランク定数を測定するのに使える。すなわち、
h = M ⋅ 4 b i n 1 n 2 ⋅ g u f 1 f 2 {\displaystyle h=M\cdot {\frac {4b}{in_{1}n_{2}}}\cdot {\frac {gu}{f_{1}f_{2}}}}
であるので、国際キログラム原器に紐付けられた分銅を使うと、ワット天秤でプランク定数を精密に測定することができる。
アボガドロ国際プロジェクト(および産業技術総合研究所)は、2015年から2017年にかけてアボガドロ定数の実験値を4つ報告した。プランク定数についてもキッブルバランス法で求めた実験値が、米国標準技術研究所(2015年と2017年)、カナダ国立研究機構(英語版)(2017年)、フランス計量研究所(フランス語版)(2017年)から報告された。
2017年当時のモルプランク定数のCODATA推奨値は、
NAh = 3.9903127110(18)×10 J s mol
である。括弧内の数値は標準不確かさを示す。この値とX線結晶密度法で測定した NA の値から関係式 h = NAh/NA を使って計算したプランク定数を、キッブルバランス法により求められた値とともに表に示す。測定原理がまったく異なるふたつの方法で求めたプランク定数の値は、よく一致している。