外微分
に書かれるから、その外微分の定義は単純形式の場合を線型に拡張することによって与えられる。i が多重添え字 I の成分の 1 つであるときにはいつでも dx ∧ dx = 0 であることに注意しよう(ウェッジ積を参照)。
この局所座標系による定義は前節の公理による定義から従う。実際、単純形式 φ ≔ f dx に対し、前節で述べた性質を適用すれば d(f dx) = df ∧ dx + f d(dx) で第二項 = 0 だから dφ = df ∧ dx = ∑ni=1∂f/∂xdx ∧ dx を得る。
結果を一般の場合に直截に書けば、k-形式 ω の外微分は
d ω := ∑ I ∑ i = 1 n ∂ f I ∂ x i d x i ∧ d x I {\displaystyle \mathrm {d} \omega :=\sum _{I}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{I}}
と定義される。