平行軸の定理
I S = ∫ V ρ ( r ) ( r − R + d ) ⋅ ( r − R + d ) d V = ∫ V ρ ( r ) ( r − R ) ⋅ ( r − R ) d V + 2 d ⋅ ( ∫ V ρ ( r ) ( r − R ) d V ) + ( ∫ V ρ ( r ) d V ) d ⋅ d {\displaystyle {\begin{aligned}I_{S}&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\,dV\\&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV+2\mathbf {d} \cdot \left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} \end{aligned}}}
となる。最初の項は IR、2番目の項は質量中心の定義により0、最後の項は物体に総質量 M にベクトル d の大きさの2乗をかけたものである。したがって
I S = I R + M d 2 {\displaystyle I_{S}=I_{R}+Md^{2}}
となる。これは平行軸の定理として知られているものである。
{\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].}
この式を展開すると
[ I S ] = ( − ∑ i = 1 n m i [ r i − R ] [ r i − R ] ) + ( − ∑ i = 1 n m i [ r i − R ] ) [ d ] + [ d ] ( − ∑ i = 1 n m i [ r i − R ] ) + ( − ∑ i = 1 n m i ) [ d ] [ d ] {\displaystyle [I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d]}
が得られる。最初の項は質量中心に対する慣性行列 [IR] である。第2項、第3項は質量中心 R の定義により0となる。つまり
∑ i = 1 n m i ( r i − R ) = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=0}
である。最後の項は系の総質量 M に d から作られる歪対称行列 [d] の2乗をかけたものである。
結果、平行軸の定理は
[ I S ] = [ I R ] − M [ d ] 2 {\displaystyle [I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2}}
となる。