フィンスラー多様体
Hopf-Rinowの定理(英語版)により、(M, F) 上には長さを最小化する曲線が (少なくとも十分に近い近傍で) 常に存在する。 長さを最小化する曲線は正の値で再パラメータ化して測地線にすることが常にでき、どの測地線も E[γ] に対してオイラー・ラグランジュ方程式を満たさなければならない。F の強い凸性を仮定すると、積分曲線の一意性により、任意の (x, v) ∈ TM∖{0} に対して γ(0) = x および γ′(0) = v を満たす最大の測地線 γ が一意に存在する。
F が強い凸性をもつなら、測地線 γ: [0, b] → M は、γ に沿って γ(0) に共役する最初の点 γ(s) まで、近くの曲線間で長さを最小化し、リーマン多様体の場合のように、t > s の場合、γの近くにγ(0) から γ(t) までのより短い曲線が常に存在する。