遺伝環
半単純環は同値な定義によって左右とも遺伝的であることが容易にわかる。すべての左右のイデアルは R の直和成分であり、したがって射影的である。同様に、フォン・ノイマン正則環において、すべての有限生成な左右のイデアルは R の直和成分であるので、フォン・ノイマン正則環は左右半遺伝的である。
非可換整域 R の任意の 0 でない元 x に対し、写像 r ↦ x r {\displaystyle r\mapsto xr} によって R ≅ x R {\displaystyle R\cong xR} である。したがって、任意の非可換整域において、単項右イデアルは自由ゆえ射影的である。これは非可換整域は右 Rickart 環(英語版) であるという事実を反映している。R が右ベズー整域であれば有限生成右イデアルは単項イデアルであるので R のすべての有限生成右イデアルは射影的であるということが従い、したがって R は右半遺伝環である。最後に、R が単項右イデアル整域であれば、すべての右イデアルは射影的であり R は右遺伝的である。
可換遺伝整域はデデキント整域と呼ばれる。可換半遺伝整域はプリューファー整域と呼ばれる。
(左)遺伝環の重要な例は箙の道代数である。これは道代数上の加群に対し長さ 1 の標準分解が存在することの帰結である。