ポアンカレの定理
という形に表示される。係数 S m {\displaystyle S_{\mathbf {m} }} は、例えば摂動の1次では摂動ハミルトニアン H 1 {\displaystyle H_{1}} のフーリエ級数表示
H 1 ( J , θ ) = ∑ m ∈ Z n h m ( J ) e i m ⋅ θ {\displaystyle H_{1}(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})=\sum _{\mathbf {m} \in \mathbb {Z} ^{n}}h_{\mathbf {m} }(\mathbf {J} )e^{i\mathbf {m} \cdot {\boldsymbol {\theta }}}}
に現れる係数 h m {\displaystyle h_{\mathbf {m} }} に等しい。ところが一般に | m ⋅ ω ( J ) | {\displaystyle |\mathbf {m} \cdot {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {J} )|} は整数ベクトル m {\displaystyle \mathbf {m} } を適切に選べば任意に小さな値を取ることができ、特に ω ( J ) {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {J} )} が通約可能(英語版)な場合にはあるゼロでない m {\displaystyle \mathbf {m} } に対して
また1892年に出版された著書 Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste の第一巻で詳しい証明を与えた。なおポアンカレはこのコンペティションでメダルを獲得しているが、メダル獲得が決定した最初の研究成果には深刻な誤りがあり、それを受けて最終的な研究報告は大きく修正されているが、修正前の成果に既に本定理は含まれている。
ポアンカレの定理は原理的に求積不可能な物理系の存在を知らしめ、運動方程式の解を求めるというそれまでの力学の中心的な研究手法から、より定性的な方向の研究を促した。ポアンカレはその後の研究の中で周期解の存在に関連して現在位相幾何学として知られる考え方を導入し、またジョージ・デビット・バーコフらによって受け継がれることになる力学系の理論を創始した。