スカラー (数学)
スカラー全体の成す集合が体を成すという条件を緩和して、単に環を成すことだけを課す(つまり、他とw場スカラーの間に除法が定義されなくともよい)ことによって得られる、ベクトル空間を一般化した代数構造を環上の加群あるいは単に加群と呼ぶ。
この場合においても、「スカラー」による対象へのスカラー倍は定義される。例えば環 R の直積空間 R の元としてのベクトルの全体は、R に成分を持つ n-次正方行列をスカラーとして、加群を成す。別な例として、多様体論における多様体の接束の切断全体の成す空間は、その多様体上の函数環上の加群となる。
↑ 有理数体から平方根を添加する操作を繰り返して得られる体の帰納極限(同じことだが、0 と 1 から有限回の四則演算と平方根を取る操作を施して得られるような数の全体)。作図可能数体の部分体になる。例えば ,
「スカラー」の語は梯子を意味するラテン語 "scalaris" の形容詞形 "scala" に由来する(スケールの語と同根)。数学で初めて「スカラー」の語が使用されたのはフランソワ・ヴィエトの In artem analyticen isagoge (1591) の、
「形を保ったまま一方を他方へ比例的に増大または減少させる大きさをスカラー項と呼ぶ」
という趣旨の一節においてである。オックスフォード英語辞典を引くと、英語でこの用語を用いた記録に残る最初は1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンが四元数に実部について言及した一節、
The algebraically real part may receive, according to the question in which it occurs, all values contained on the one scale of progression of numbers from negative to positive infinity; we shall call it therefore the scalar part.
であるという。
ベクトル空間はベクトルの集合、スカラーの集合、およびスカラー k とベクトル v から別のベクトル kv を作るスカラー倍によって定義される。例えば数ベクトル空間においてスカラー倍は
k ( v 1 , v 2 , ... , v n ) := ( k v 1 , k v 2 , ... , k v n ) {\displaystyle k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}):=(kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})}
で定義される。また例えば写像の成す線型空間では kƒ は x ↦ k(ƒ(x)) を満たす写像として定義される。
スカラーの集合は任意の体を取ることができて、例えば有理数体、代数体、実数体、複素数体などの他に有限体を考えることもできる。