群作用
モノイドの集合への作用(モノイド作用)を、群作用と同じ二つの公理によって定義することができる。しかし、この場合は作用素が全単射となり同値関係を定めるというようなことは期待できない。
集合への作用を考える代わりに、群やモノイドの適当な圏の対象への作用を考えることもできる。これはある圏の対象 X からはじめて、X への作用を X の自己準同型全体の成すモノイドへのモノイド準同型として定めたものである。対象 X が台となる集合を持つならば、既に述べた各種の定義や結果はこの場合でも有効である。例えば、ベクトル空間の圏を考えることにより、この方法で群の表現が得られる。
群 G をすべての射が可逆な単一対象圏とみなせば、群作用とは G から集合の圏 Set への函手、群の表現はベクトル空間の圏への函手に他ならない。同様に、G-集合の間の射は群作用函手の間の自然変換である。このアナロジーとして、亜群の作用を亜群から集合の圏あるいはもっと別の圏への函手として定義することができる。
圏の言葉を使わずとも、集合 X への群の作用を、それが誘導する X の冪集合 2 への作用を調べることによって拡張することもできる。これは例えば、24元集合上の巨大なマシュー群の作用や、有限幾何学のある種の模型の対称性を調べることなどに対して有用である。
より詳しく、 Ggx = gGxg が成立する。このように、互いに共軛な固定部分群を持つ点は、同じ軌道型 (orbit-type) を持つという。
軌道・固定群定理に近い関係のある結果にバーンサイドの補題
| X / G | = 1 | G | ∑ g ∈ G | X g | {\displaystyle \left|X/G\right|={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\left|X^{g}\right|}
がある。ここで X は g によって固定される X の元全体の成す集合である。この結果は主に G と X が有限であるときに用いられ、軌道の総数は群の元ごとの不動点の数の平均に等しいことを示すものと解釈される。
有限 G-集合の形式差 (formal difference) 全体の成す集合は、非交和を加法、直積を乗法として、バーンサイド環と呼ばれる環を成す。
X の G-不変元 (invariant element) とは、G の全ての元に対して常に gx = x となるような X の元 x のことをいう。X の G-不変元の全体を X で表して、X の G-不変部分集合と呼ぶ。X が G-加群であるときは、X は G の X に係数を持つ 0-次群コホモロジー群であり、高次のコホモロジー群は G-不変部分集合をとる函手の導来函手となる。