単体的ホモロジー
Sのk次ホモロジー群Hkをアーベル群の商群(剰余群)として定義する。
H k ( S ) = Z k / B k . {\displaystyle H_{k}(S)=Z_{k}/B_{k}\,.}
したがって、ホモロジー群Hk(S)が0にならないのは、境界ではないk-サイクルがS上にある場合に限ることとなる。境界ではないk-サイクルは、k次元の穴に相当するので、ある意味で、単体的複体にk次元の穴の存在を意味する。たとえば、図に示されているように、内部のない2つの三角形が1辺で張り合わさっている単体的複体Sについて考える。各三角形のエッジは、サイクルを形成するように方向付けることができる。この単体的複体の作り方から言って、これらの2つのサイクルは境界ではない(すべての2チェーンがゼロであるため)。ホモロジー群H1(S)は、前記2サイクルを基底とするZと準同型であることを計算することができる。これにより、Sには2つの「1次元の穴」があるという曖昧な考えを数学的に正確に述べることができる。
穴の次元はさまざまである。 k次ホモロジー群のランクは
β k = rank  ( H k ( S ) ) {\displaystyle \beta _{k}=\operatorname {rank} (H_{k}(S))\,}
という数であり、Sのk次ベッチ数と呼ばれる。これによりSのk次元の穴の数の測ることができるようになる。