反転幾何学
既に述べたとおり、原点(あるいは 0)は円反転写像において特別な注意を要し、∞ または 1/0 で示される無限遠点が添加される。複素数を用いた方法では、逆数変換がはっきりした演算として表され、無限遠点の添加によってリーマン球面としばしば呼ばれる複素射影直線の概念が導かれる。この空間およびその上の変換群の、部分空間及び部分群は、ベルトラミ、ケイリー、クラインらによって双曲幾何の初期の模型を導入するのに利用された。そして、これらの平面幾何におけるロバチェフスキーおよびボヤイに端を発する様々なアイデアを反転幾何は含んでいる。さらにクラインは1872年に発表したエルランゲン目録と言われる声明で、この変換写像群と幾何学的現象とを同一視することにより、大きく事態を打開する。それ以降、多くの数学者は空間にその上の変換写像からなる群を合わせて考えたものに対して「幾何(学)」(geometry) の語を用いるようになった。この意味での幾何学における図形の有意な性質とは、この変換群に関する不変量 (invariant) のことである。
例えば、スモゴルチェフスキーはロバチェフスキー幾何学の創始以前に反転幾何学の様々な定理を展開している。
↑ Coxeter 1969, pp. 77–95, Chapter 6: Circles and Spheres.
↑ A.S. Smogorzhevsky (1982) Lobachevskian Geometry, Mir Publishers, Moscow
x 1 2 + ⋯ + x n 2 + 2 a 1 x 1 + ⋯ + 2 a n x n + 1 = 0 {\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+1=0}
は、単位球面と直交し、かつ単位球面の外側に中心を持つ。このような球面とその部分空間としてそれらを半球面に分離する超平面を合わせて考えたものは、双曲幾何学のポワンカレ円板模型に関する超曲面である。
単位球面に関する反転はそれに直交する球面を不変にするから、反転変換写像は単位円の内側の点を外側へ、外側の点を内側へ写す。従って、このことは一般の直交球面において成り立つのであって、特に単位球面に直交する一つの球面に関する反転は、単位球面を単位球面自身に、かつ単位球面の内部の点を単位球面の内部に写すとともに、直交球面の内側の点を外側へ写し、かつ外側の点を内側へ写すから、この反転変換によりポワンカレ円板模型の鏡映変換が(単位球面の分離半球の直径を通る鏡映も含めるならば)定まる。こうして得られる鏡映変換の全体は、円板模型の等距変換群を生成する、つまりこの模型上の等距変換は等角写像である。従って、この模型内の二曲線のなす角は双曲空間において二曲線の成す角と等しい。