決定性公理
無限論理のいくつものバージョンが20世紀の終わりに提案されている。決定性公理を信じる理由の一つは、それが無限論理によって次のように書けることである: ∀ G ⊆ S e q ( S ) : {\displaystyle \forall G\subseteq Seq(S):}
∀ a ∈ S : ∃ a ′ ∈ S : ∀ b ∈ S : ∃ b ′ ∈ S : ∀ c ∈ S : ∃ c ′ ∈ S . . . : ( a , a ′ , b , b ′ , c , c ′ . . . ) ∈ G {\displaystyle \forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\in G} OR
選択公理の仮定のもとで、決定性公理の反例を構成することができる。証明を以下に記す。
まず、ω-game (長さ ω のゲーム) G において戦略とは、「構成されている有限列に対して次の手番で何を続けるか」という動きのルールのことである。戦略の概念自体は winning set が何であるかに関係なく、定義することができる。選択公理のもとで、戦略全体の集合は連続体濃度をもつ。 集合 S1 をプレイヤー I が採用しうる戦略全ての集合とし、S1 = {s1(α) : α < 2 }と整列する。集合 S2 をプレイヤー II について同様に定義し、S2 = {s2(α) : α < 2 }とする。
ここから超限再帰によって決定的でない集合 A = {A(α) : α < 2 } を構成していく。つまり、A をプレイヤー I の winning set とするゲームを考えると必勝戦略が無いようにしようということである。同時に、A の構成の補助のために B = {B(α) : α < 2 }を A と交わらないように構成していく。:
α < 2 とし、{A(β) : β < α}と{B(β) : β < α}まで構成されているとする。
B(α)をプレイヤー I が s1(α) に従ってゲームで構成できうる列のうち、{A(β) : β < α}に属さないものとする。これは可能である。というのも、プレイヤー II の動きの選び方の濃度は連続体濃度であって、この時点までにできている A の濃度より大きいからである。