疫学における区画モデル
病気にかかる確率は時間的に一定ではないことはよく知られている。風邪ウイルスといった季節性のある病気もあり、これらは冬季に流行しやすくなる。麻疹、おたふくかぜ、風疹などの小児の病気では、学校暦との相関関係が強く、学校が休みの間はかかる確率が激減する。
結果として、多くの疾患では、周期的に(季節的に)変化する接触率
F = β ( t ) I N , β ( t + T ) = β ( t ) {\displaystyle F=\beta (t){\frac {I}{N}},\quad \beta (t+T)=\beta (t)}
を持つ感染力を考慮する必要がある(周期Tは1年に等しい)。
したがって、モデルは
d S d t = μ N − μ S − β ( t ) I N S d I d t = β ( t ) I N S − ( γ + μ ) I {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta (t){\frac {I}{N}}S\\[8pt]{\frac {dI}{dt}}&=\beta (t){\frac {I}{N}}S-(\gamma +\mu )I\end{aligned}}}
となる(回復の動態は簡単に R = N − S − I {\displaystyle R=N-S-I} となる)。
モデルを完全に明確に記述するためには、矢印を区画間の遷移速度でラベル付けするべきである。SとIの間では、遷移速度をd(S/N)/dt = -βSI/Nと仮定する。ここで、Nは総人口、βは時間当たりの1人当たりの平均接触数に感受性保持者と感染者の間の接触における病気の伝播確率を乗じたもの、SI/Nは感受性保持者と感染者の間の接触のうち、感受性保持者が感染することになる接触の割合である(これは数学的には、分子間のランダムな衝突が化学反応を引き起こし、分率が2つの反応物の濃度に比例するという化学の質量作用の法則に似ている)。
IとRの間では、遷移速度は感染個体数に比例すると仮定し、これをγIとする。これは、任意の時間間隔dtにおいて感染個体が回復する確率が単純にγdtであると仮定していることと等価である。ある個体が平均的な時間間隔Dで感染している場合、γ = 1/Dとなる。これは、個人が感染状態にある時間の長さが指数分布を持つランダム変数であるという仮定と等価である。この「古典的」SIRモデルは、I-R遷移速度のためにより複雑で現実的な分布(例えば、アーラン分布)を使用することによって修正することができる。
感染区画からの除去(隔離)がない特別な場合 (γ=0) では、SIRモデルは、すべての個体が最終的に感染するロジスティック解を持つ非常に単純なSIモデルに簡約される。
現代社会は、「合理的な」免除、すなわち、感染からの知覚されるリスクとワクチンから損害を受けることによるリスクを「合理的」に比較した結果として、子供に予防接種受けさせないという家族の決断に直面している。この行動が本当に合理的であるかどうか、すなわち、それが等しく病気の根絶をもたらすことができるかどうかを評価するため、単に予防接種率が感染者数の増加関数
P = P ( I ) , P ′ ( I ) > 0 {\displaystyle P=P(I),\quad P'(I)>0}
であると仮定することができる。
このような場合、根絶条件は
P ( 0 ) ≥ P ∗ {\displaystyle P(0)\geq P^{*}}
となる。すなわち、ベースライン予防接種率は、免除の場合は満たされない、「強制接種」の閾値以上でなければならない。このように、「合理的」な免除は、ワクチン接種率が高いために発生率が低い現状のみに基づいており、接種率の低下による将来の感染症再燃を考慮していないため、近視眼的である可能性がある。
風邪やインフルエンザなどの感染症の中には、長期的な免疫が得られないものがある。このような感染症は、感染から回復しても免疫力が得られず、再び感受性となる。
モデルは
d S d t = − β S I N + γ I d I d t = β S I N − γ I {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-{\frac {\beta SI}{N}}+\gamma I\\[6pt]{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I\end{aligned}}}
である。
ここで留意すべきは、総人口をNで表わすと、
d S d t + d I d t = 0 ⇒ S ( t ) + I ( t ) = N {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}=0\Rightarrow S(t)+I(t)=N}
が成り立つことである。すると、
d I d t = ( β − γ ) I − β N I 2 {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=(\beta -\gamma )I-{\frac {\beta }{N}}I^{2}}
となる。すなわち、感染の動態はロジスティック関数で支配されている。
2014年は、Harkoと共著者らは、SIRモデルの厳密な解析解を導出した。人口動態が設定されていない場合、 S ( u ) = S ( t ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(t)} などは、
t = N β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ N β , {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}
に関して、次のような時間パラメータ化に対応する。
S ( u ) = S ( 0 ) u {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}
I ( u ) = N − R ( u ) − S ( u ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N-{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)}
R ( u ) = R ( 0 ) − ρ ln  ( u ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(u)=R(0)-\rho \ln(u)}
初期条件は
t = N β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ N β {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{u^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }}}
伝染病(例えばインフルエンザ)の動態は、出生と死亡の動態よりもはるかに速いことが多いため、単純な区画モデルでは出生と死亡が省略されることが多い。先に述べたいわゆる人口動態(出生および死亡)を考慮しないSIRシステムは以下の一組の常微分方程式で表わすことができる。
d S d t = − β I S N , d I d t = β I S N − γ I , d R d t = γ I . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta IS}{N}},\\[6pt]&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta IS}{N}}-\gamma I,\\[6pt]&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I.\end{aligned}}}
上式において、 S {\displaystyle S} は感受性集団のストック、 I {\displaystyle I} は感染集団のストック、 R {\displaystyle R} は隔離集団のストック(死亡または回復による)、そして N {\displaystyle N} はこれら3つの和である。
このモデルは、ウィリアム・オグルヴィ・カーマックとアンダーソン・グレイ・マッケンドリックによって、現在カーマック・マッケンドリック理論と呼ばれているものの特別な場合として初めて提案されたものであり、マッケンドリックがロナルド・ロスと共に行った研究に続いて行われた。
感受性保持者の初期割合を s 0 = S ( 0 ) / N {\displaystyle s_{0}=S(0)/N} 、極限 t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } における感受性保持者および隔離者の割合をそれぞれ s ∞ = S ( ∞ ) / N {\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N} および r ∞ = R ( ∞ ) / N {\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N} と書くと。
s ∞ = 1 − r ∞ = s 0 e − R 0 ( r ∞ − r 0 ) {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}
となる(ここで留意すべきは、感染区画はこの極限において空になる点である)。この超越方程式(英語版)はランベルトW関数の観点において解を持つ、すなわち
s ∞ = 1 − r ∞ = − R 0 − 1 W ( − s 0 R 0 e − R 0 ( 1 − r 0 ) ) {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=-R_{0}^{-1}\,W(-s_{0}R_{0}e^{-R_{0}(1-r_{0})})}
となる。これは、エピデミックの終わりには、 s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0} でない限り、集団のすべての個体が隔離されたわけではないので、一部は感受性のままであることを示している。