収束級数
すべての自然数の逆数和は発散する。(調和級数)
1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n → ∞ {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\to \infty }
すべての自然数の逆数の交代和(各項の符号が交代的に入れ替わる級数)はln2に収束する。(2の自然対数)
1 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 n = ln  2 {\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}=\ln 2}
すべての正の奇数の逆数の交代和は収束し、 π / 4 {\displaystyle \pi /4} に等しい。(ライプニッツの公式)
厳密に言えば、級数が「通常の意味で」収束するとは、定数 l が存在して、任意の正の数 ε > 0 に対して十分大きな整数 N = Nε をうまくとれば、n ≥ N なる任意の整数 n に対して
| S n − l | ≤ ε {\displaystyle |S_{n}-l|\leq \varepsilon }
を満たすことをいう。収束しない級数は発散するという。