集合値函数
集合 X から集合 Y への集合値写像 F : X ⇉ Y とは、X の各要素 x に Y の部分集合 F(x) ⊂ Y (空集合であってもよい) を対応付ける作用である。F : X ↝ Y と表すこともある。以下では特に X と Y がともに距離空間の場合について、基本的な定義と性質について説明する。第一レベルの箇条書きが定義、第二レベルの箇条書きが性質である。
集合値写像 F のグラフ (graph) とは、積空間の部分集合 Graph(F) := {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F(x)} である。グラフが空集合でないとき、F は非自明 (nontrivial) であるという。
x における F の像 (image) または値 (value)とは、F(x) のことである。任意の x について像が非空であるならば、F は狭義 (strict) の集合値写像であるという。
定義域 (domain) とは、像が非空である x の集合 Dom(F) := {x ∈ X | F(x) ≠ ∅} である。
F の像 (image) とは、全ての x についての F(x) の和集合 Im(F) := ⋃x∈X F(x) である。
F の逆写像 (inverse) F とは、Y から X への集合値写像であって、x ∈ F(y) ⇔ y ∈ F(x) ⇔ (x, y) ∈ Graph(F) を満たすものである。 F の定義域、F の像、Graph(F) の空間 X への射影、の三者は一致し、また同様に、F の像、F の定義域、Graph(F) の空間 Y への射影、の三者は一致する。