カー解
以下では、カー計量のボイヤー・リンキスト座標による表現でよく用いられる3つの正規直行基底 { e 0 , e 1 , e 2 , e 3 } {\displaystyle \{e^{0},e^{1},e^{2},e^{3}\}} を与える。つまり、計量は
d s 2 = − ( e 0 ) 2 + ( e 1 ) 2 + ( e 2 ) 2 + ( e 3 ) 2 {\displaystyle ds^{2}=-(e^{0})^{2}+(e^{1})^{2}+(e^{2})^{2}+(e^{3})^{2}}
のように表される。また、その双対ベクトル { X 0 , X 1 , X 2 , X 3 } {\displaystyle \{X_{0},X_{1},X_{2},X_{3}\}} は e μ ( X ν ) = δ ν μ {\displaystyle e^{\mu }(X_{\nu })=\delta _{\nu }^{\mu }} により定義される。
d t {\displaystyle dt} について平方完成された表式
d s 2 = − G Σ ( d t + A G a sin 2  θ d φ ) 2 + Σ ( d r 2 Δ + d θ 2 + Δ G sin 2  θ d φ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}=-{\frac {G}{\Sigma }}\left(dt+{\frac {A}{G}}a\sin ^{2}\theta d\phi \right)^{2}+\Sigma \left({\frac {dr^{2}}{\Delta }}+d\theta ^{2}+{\frac {\Delta }{G}}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\end{aligned}}}
ここで、 Σ {\displaystyle \Sigma } や Δ {\displaystyle \Delta } は上で定義されているものと同じ、 A {\displaystyle A} および G {\displaystyle G} は
A = 2 m r , G = Δ − a 2 sin 2  θ {\displaystyle A=2mr\,,\quad G=\Delta -a^{2}\sin ^{2}\theta \,}
で定義された関数である。この表式において、 Δ ( r ) {\displaystyle \Delta (r)} 、 A ( r ) {\displaystyle A(r)} および Σ ( r , θ ) {\displaystyle \Sigma (r,\theta )} を未知関数としたものをアインシュタイン方程式の厳密解の仮定として利用することがある。また、カー・ブラックホール時空に隠れている S L ( 2 , R ) × S L ( 2 , R ) {\displaystyle SL(2,R)\times SL(2,R)} 対称性を顕わに見える形で取り出してくる場合にも、この表式が利用される。これは、カー・ブラックホール時空の「差し引かれた幾何(Subtracted Geometry)」と言われる。
{\displaystyle ds^{2}{\big |}_{r=r_{\pm },\,t={\textrm {const.}}}} は、
d s 2 | r = r ± , t = const. = Σ ± d θ 2 + 4 M 2 r ± 2 sin 2  θ Σ ± d φ 2 {\displaystyle ds^{2}{\big |}_{r=r_{\pm },\,t={\textrm {const.}}}=\Sigma _{\pm }d\theta ^{2}+{\frac {4M^{2}r_{\pm }^{2}\sin ^{2}\theta }{\Sigma _{\pm }}}d\phi ^{2}}
となるから、事象の地平面は球対称でなく、扁平した楕円面となっている。回転が大きくなると扁平は大きくなる。事象の地平面 r = r ± {\displaystyle r=r_{\pm }} の面積は、
A ± = ∫ 0 2 π ∫ 0 π g θ θ g φ φ | r = r ± , t = const. d θ d φ = 8 π M r ± {\displaystyle A_{\pm }=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\sqrt {g_{\theta \theta }g_{\phi \phi }}}{\big |}_{r=r_{\pm },\,t={\textrm {const.}}}d\theta d\phi =8\pi Mr_{\pm }}
となる。