2の平方根
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} の有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上の既約多項式 P(x) = x − 2 を用いる。P(x) は有理根をもつと仮定する。それを x = p/q(p, q を互いに素な整数)と表すと、有理根定理より、p は定数項 −2 の約数、q は最高次係数 1 の約数である。ゆえに P(x) の根 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は整数または無理数である。2 は平方数でないから、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は整数ではない。ゆえに、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は無理数である。■
この証明は 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} に限らず一般化して、平方数でない自然数の平方根の無理性を示すことにも使える。
背理法(無限降下法)を用いた証明を以下に示す。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} が有理数であると仮定すると、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は既約分数で表すことができる。すなわち、互いに素である(公約数を 1 以外に持たない)整数 M, N を用いて
と表せる。(1) の両辺を2乗し分母を払うと
(2) から M は偶数であり、ここから M は偶数であることを示すことができる。したがって M は整数 m を用いて以下のように表すことができる。
(3) を (2) の式に代入して整理すると以下の関係を得る。
(4) より N は偶数なので、N も偶数である。以上より、m, n ともに偶数であることが示されたが、これは m, n が互いに素であるという仮定に矛盾する。ゆえに、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は無理数であることが示された。■
無限降下法を意識した証明だと、m, n が M, N と同様に偶数であるといえ、(1) の右辺が何回でも 2 で約分できることになり、矛盾となる。
バビロニアの粘土板 YBC 7289(紀元前2000 - 1650年頃)に、2 の平方根の近似が六十進法で 4 桁の精度で与えられている。
1 + 24 60 + 51 60 2 + 10 60 3 = 1.41421 296 ̄ {\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}}
これは十進法では 6 桁の近似精度である。古い時代のうちで精度の高い近似としてほかに、古代インドの数学者によるものが知られており、シュルバ・スートラ(紀元前800 - 200年頃)では、2 の平方根が「基準の長さ (= 1) からその三分の一だけ増やし、さらにこの三分の一のそのまた四分の一から、この四分の一の三十四分の一だけ取り去ったものを加える 」として与えられている。これはつまり、
1 + 1 3 + 1 3 ⋅ 4 − 1 3 ⋅ 4 ⋅ 34 = 577 408 ≈ 1.