パラコンパクト空間
すべてのコンパクト空間はパラコンパクトである。
すべての正則リンデレーフ空間はパラコンパクトである。とくに、すべての局所コンパクトハウスドルフ第二可算空間はパラコンパクトである。
ゾルゲンフライ直線(英語版)は、コンパクト、局所コンパクト、第二可算、距離化可能のいずれでもないが、パラコンパクトである。
すべてのCW複体はパラコンパクトである。
(Theorem of A. H. Stone(英語版)) すべての距離空間はパラコンパクトである。初期の証明は幾分難解であったが、初等的な証明が M. E. Rudin によって発見された。距離空間が非可分の場合は、定理を満たすような細分の存在証明に選択公理を必要とする。ZFも従属選択公理つきZFも十分でないことが証明されている。
パラコンパクトでない空間の例には次のようなものがある。
最も有名な反例は長い直線であり、これはパラコンパクトでない位相多様体である。(長い直線は局所コンパクトであるが、第二可算でない。)
別の反例は無限(英語版)個の離散空間の非可算個のコピーの積である。particular point topology(英語版) が入っている任意の無限集合はパラコンパクトでない; 実はメタコンパクト(英語版)ですらない。
プリューファー多様体(英語版)は非パラコンパクトな面である。
bagpipe theorem(英語版)は非コンパクト面の 2 個の同型類があることを示している。
パラコンパクト性は次の点でコンパクト性に似ている:
パラコンパクト空間のすべての閉部分集合はパラコンパクトである。
すべてのパラコンパクトハウスドルフ空間は正規である。
それは次の点で異なる:
ハウスドルフ空間のパラコンパクト部分集合は閉であるとは限らない。実は、距離空間に対して、すべての部分集合はパラコンパクトである。
パラコンパクト空間の積はパラコンパクトであるとは限らない。下極限位相における実数直線 R の平方(英語版)はこれの古典的な例である。
補題 1 の証明 — V {\displaystyle {\mathcal {V}}} を O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の有限個の集合としか交わらず閉包が O {\displaystyle {\mathcal {O}}} のある集合に含まれるような開集合の集まりとする。これが開細分を与えることを演習として確認できる、なぜならばパラコンパクトハウスドルフ空間は正則であり、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}\,} は局所有限であるからである。今 V {\displaystyle {\mathcal {V}}\,} を局所有限開細分で置き換える。この細分における各集合はもとの被覆を特徴づけたのと同じ性質を持つことを容易に確認できる。
Now we define W U = ⋃ { A ∈ V : A ̄ ⊆ U } {\displaystyle W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,} . We have that each W U ̄ ⊆ U {\displaystyle {\bar {W_{U}}}\subseteq U\,} ; for otherwise: suppose there is x ∈ W U ̄ ∖ U {\displaystyle x\in {\bar {W_{U}}}\setminus U} .