アルティンのL-函数
アルティンのL-函数 L(ρ,s) は L(ρ*, 1 − s) との函数等式を満たす。ここで ρ* は ρ の複素共役表現(反傾表現)を表すとする。さらに詳しくは、L を Λ(ρ, s) へと置き換える。ここに Λ はL-函数にあるガンマ要素をかけた函数である.絶対値 1 のある複素数 W(ρ) をもつ有理型函数の等式
Λ(ρ, s) = W(ρ)Λ(ρ*, 1 − s)
が成り立つ。W(ρ) がアルティンのルートナンバーである。これは 2つの性質に関して深く研究されている。第一の性質は、ラングランズとドリーニュにより確立されたラングランズ・ドリーニュの局所定数(英語版)(Langlands–Deligne local constant)への分解である。これは保型表現との関係を予想するために重要である。また、ρ と ρ* が同値表現(equivalent representation)である場合は、まさに函数等式が両辺で同じになる。代数的に言うと、このことは ρ が実表現(英語版)(real representation)もしくは四元数表現(英語版)(quaternionic representation)の場合である。従って、アルティンの根の数は +1 かまたは −1 である。符号がどうなるかという問題は、ガロア加群の理論に繋がっている(Perlis 2001)。
アルティンの L-函数 (Artin L-function) は、代数体の有限次拡大のガロア群 G の線型表現 ρ に付随するディリクレ級数である。1923年にエミール・アルティンにより、彼の類体論の研究において導入されたが、以下に述べるアルティン予想という基本的な性質に関する予想は未だに証明されていない。このアルティン予想は非可換類体論の枠組みの中で解決可能であると考えられている。