シュールの不等式
不等式は x, y, z について対称なので、x ≥ y ≥ z としても一般性を失わない。すると、示すべき不等式は
( x − y ) [ x t ( x − z ) − y t ( y − z ) ] + z t ( x − z ) ( y − z ) ≥ 0 {\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0}
と変形できるが、左辺の各項は明らかに非負である。
この証明により、シュールの不等式は次のように一般化できる。a, b, c を非負実数として、x ≥ y ≥ z かつ a ≥ b ≥ c であるとき、
a ( x − y ) ( x − z ) + b ( y − z ) ( y − x ) + c ( z − x ) ( z − y ) ≥ 0 {\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0}
が成り立つ。