ペンローズ・タイル
一種類の十角形タイルが二種類の領域において重なることを許すと、その十角形タイルによってペンローズ・タイリングと等価なカバリング(被覆。重なりのないタイリングと区別するためにこう呼ぶ)を構成できることを、ドイツの数学者ペトラ・グムメルトが1996年に示した。その十角形タイルは色つきパッチで修飾されており、カバリング則で許される重なりは、その色つきパッチが一致するものだけである。その十角形タイルをカイトとダートに適切に分解すると、カバリングはペンローズP2タイリングに変換される。同じように、十角形タイルに太菱形を描き込むことによりP3タイリングが得られる。残りの空間は細菱形で埋められることになる。
カバリングは準結晶の成長に対する現実的なモデルであると考えられている。ポール・スタインハートによれば、結晶を構成する単位胞に対応して重なる十角形は準結晶を構成する「準単位胞」であり、カバリング則によってある種の原子クラスタの密度が最大化される。カバリングの非周期性によってブロッホの定理が成立しないため、例えば電気的性質のような物理的性質に関する理論的研究が困難になる。しかし準結晶のスペクトルは誤り制御によって計算できる。
別の方法として、(図の緑および赤の曲線のように)円弧パターンを用いてタイルの配置を制限する方法がある。この方法では、2つのタイルが1つの辺を共有するときに、これらの円弧が連続するように配置しなければならない。
これらのマッチング規則により、あるタイルの配置は確定することになる。たとえば、ダートの凹頂点は必ず2つのカイトが接合して埋めることになる。その図形はコンウェイの命名により「エース」と呼ばれている(図参照)。エースの形状はカイトを大きくしたタイルであるが、カイトと同じようにタイリングするわけではない。同じように、2つのカイトが短辺で接して形成される凹頂点は、必ず2つのダートが接合して埋めることになる(図の「デュース」)。実際、1つの頂点において接するタイルの組み合わせ図形の個数は7つだけである。これらの図形のうち2つ(「スター」および「サン」)は5回の二面体対称性を持つ。それ以外の図形は1つの鏡映軸を持っている。これらの頂点図形のうちエースとサンを除く全ての頂点図形は、追加されるタイルの配置を決定してしまう。
B {\displaystyle \mathrm {B} } タイルはこれらの A {\displaystyle \mathrm {A} } タイルと以下の2つの方法で関係づけられる:
B S {\displaystyle \mathrm {B_{S}} } が A L {\displaystyle \mathrm {A_{L}} } と同じ大きさであるとすると、 B L {\displaystyle \mathrm {B_{L}} } は A S {\displaystyle \mathrm {A_{S}} } を φ {\displaystyle \varphi } 倍に拡大した φ A S {\displaystyle \varphi \mathrm {A_{S}} } であり辺の長さは ( φ , φ , φ 2 = 1 + φ ) {\displaystyle (\varphi ,\varphi ,\varphi ^{2}=1+\varphi )} である。この B L {\displaystyle \mathrm {B_{L}} } は長さ1の辺を共有する1つの A L {\displaystyle \mathrm {A_{L}} } と1つの A S {\displaystyle \mathrm {A_{S}} } とに分解できる。