余因子行列
A の固有多項式を
p ( s ) = det ( s I − A ) = ∑ i = 0 n p i s i ∈ R [ s ] {\displaystyle p(s)=\det(sI-A)=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s]}
とすると、 p の第一差商は、n − 1次対称式になる:
Δ p ( s , t ) = p ( s ) − p ( t ) s − t = ∑ 0 ≤ j + k < n p j + k + 1 s j t k ∈ R [ s , t ] {\displaystyle \Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\textstyle \sum \limits _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t]}
sI − A の余因子行列積は、ケイリー・ハミルトンの定理 p(A) = O より、
adj  ( s I − A ) = Δ p ( s I , A ) {\displaystyle \operatorname {adj} (sI-A)=\Delta p(sI,A)}
特に、A の レゾルベントは次の式で定義される:
R ( z ; A ) = ( z I − A ) − 1 {\displaystyle R(z;A)=(zI-A)^{-1}}
さらに上記の等式より、これは次の式に等しい:
R ( z ; A ) = Δ p ( z I , A ) p ( z ) {\displaystyle R(z;A)={\frac {\Delta p(zI,A)}{p(z)}}}
正則行列 A について、余因子行列の反復合成を取ることにより、r次余因子行列を考えることができる:
adj  ⋯ adj ⏟ k A = ( det A ) ( n − 1 ) k − ( − 1 ) k n A ( − 1 ) k {\displaystyle \underbrace {\operatorname {adj} \cdots \operatorname {adj} } _{k}\,A=(\det A)^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}A^{(-1)^{k}}}
det ( adj  ⋯ adj ⏟ k A ) = ( det A ) ( n − 1 ) k {\displaystyle \det(\underbrace {\operatorname {adj} \cdots \operatorname {adj} } _{k}\,A)=(\det A)^{(n-1)^{k}}}
例えば、
adj  adj  A = ( det A ) n − 2 A {\displaystyle \operatorname {adj} \operatorname {adj} A=(\det A)^{n-2}A}
det ( adj  adj  A ) = ( det A ) ( n − 1 ) 2 {\displaystyle \det(\operatorname {adj} \operatorname {adj} A)=(\det A)^{(n-1)^{2}}}
A の列ベクトル表示を
A = ( a 1 ⋯ a n ) {\displaystyle A=({\boldsymbol {a}}_{1}\ \cdots \ {\boldsymbol {a}}_{n})}
とし、b を n次列ベクトルとする。固定された 1 ≤ j ≤ n に対し、A の第 j列を b で置き換えた行列を次の記号で定義する:
( A ← j b ) = def ( a 1 ⋯ a j − 1 b a j + 1 ⋯ a n ) {\displaystyle (A{\stackrel {j}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}_{1}&\cdots &{\boldsymbol {a}}_{j-1}&{\boldsymbol {b}}&{\boldsymbol {a}}_{j+1}&\cdots &{\boldsymbol {a}}_{n}\end{pmatrix}}}
この行列の行列式を第j列に関して余因子展開し、それらを集めてできる列ベクトルは、積 adj(A)b に等しくなる:
( det ( A ← j b ) ) j = 1 n = adj  ( A ) b {\displaystyle \left(\det(A{\stackrel {j}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})\right)_{j=1}^{n}=\operatorname {adj} (A){\boldsymbol {b}}}
この等式は、具体的な結果を生む。線形方程式系
A x = b {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}
を考える。A を正則と仮定する。この方程式に左から adj(A) を掛け、det(A) (≠ 0) で割ると
x = 1 det A ( adj  A ) b {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\frac {1}{\det A}}(\operatorname {adj} A){\boldsymbol {b}}}
ここでクラメルの公式を適用すると、
x i = det ( A ← i b ) det A {\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A{\stackrel {i}{\leftarrow }}{\boldsymbol {b}})}{\det A}}}
ここで xi は x の第i成分である。