ケイシーの定理
以下の証明は Zacharias に帰せられる。円 O i {\displaystyle \,O_{i}} の半径を R i {\displaystyle \,R_{i}} と表し、円 O {\displaystyle \,O} との内接点を K i {\displaystyle \,K_{i}} とする。各円の中心を同じ記号 O , O i {\displaystyle \,O,O_{i}} で表すことにする。 ピタゴラスの定理より、
t i j 2 = O i O j ̄ 2 − ( R i − R j ) 2 {\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}
この長さを点 K i , K j {\displaystyle \,K_{i},K_{j}} を用いて表したい。余弦定理を三角形 O i O O j {\displaystyle \,O_{i}OO_{j}} に用いると
O i O j ̄ 2 = O O i ̄ 2 + O O j ̄ 2 − 2 O O i ̄ ⋅ O O j ̄ ⋅ cos  ∠ O i O O j {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}}