確率過程
まず、時間のように一次元的なパラメタによって変化する確率変数を考えよう。
確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} ・可測空間 (S, Σ)・全順序集合 T が与えられたとする。
時刻 T で添字つけられる状態空間 S に値をとる確率過程 Xt とは
X : Ω × T → S {\displaystyle X\colon \Omega \times T\to S}
であり、すべての t ∈ T に対してXt がΩ 上の確率変数となるものである。換言すれば、ある確率空間で定義された確率変数の族
{ X ( ω , t ) | t ∈ T } {\displaystyle \{X(\omega ,t)|t\in T\}}
が確率過程である。
普通、T としては離散時間 T = {1, 2, 3, ...} や連続時間 T = [0, ∞) を考え、状態空間 S としてはユークリッド空間 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} や整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } を考える。