ポアンカレの補題
ω 2 = − y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y {\displaystyle \omega _{2}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} x+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} y}
は、外微分を考えると
d ω 2 = 0 {\displaystyle d\omega _{2}=0\,}
が成り立つから、ω2 は閉形式である。しかしながら、考える領域はポアンカレの補題の条件を満たしておらず、ω2 が完全形式であることは保証されない。R から x 軸を除いた領域 R∖{x = 0} で定義される0次微分形式
η 2 = arctan  y x {\displaystyle \eta _{2}=\arctan {\frac {y}{x}}}
について、
d η 2 = − y x 2 + y 2 d x + x x 2 + y 2 d y {\displaystyle \mathrm {d} \eta _{2}={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} x+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} y}
であり、局所的には ω2 と一致するが、η2 は R∖(0, 0) では定義されない。