常微分方程式の数値解法
N {\displaystyle N} 個の変数 y = ( y 1 , ⋯ , y N ) ∈ R N {\displaystyle y=(y_{1},\cdots ,y_{N})\in \mathbb {R} ^{N}} に関する1階常微分方程式、すなわち [ t 0 , b ] × R N {\displaystyle [t_{0},b]\times \mathbb {R} ^{N}} (またはその開集合)で定義されたベクトル値連続関数 f ( t , y ) = ( f 1 ( t , y ) , ⋯ , f N ( t , y ) ) {\displaystyle f(t,y)=(f_{1}(t,y),\cdots ,f_{N}(t,y))} により定まる次の方程式
d y d t = f ( t , y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y)}
について考える。
例として、電気回路の研究から導かれたファン・デル・ポール振動子について考える。その運動方程式は
d 2 x d t 2 − μ ( 1 − x 2 ) d x d t + x = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\mu (1-x^{2}){\frac {dx}{dt}}+x=0}
であり、これは2階の常微分方程式であるものの、 v = d x / d t {\displaystyle v=dx/dt} とおくと
d x d t = v , d v d t = − x + μ ( 1 − x 2 ) v {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v,\ \ {\frac {dv}{dt}}=-x+\mu (1-x^{2})v}
という上述の形に帰着できる。