安定性理論
f: R → R を、不動点 a を備える連続的微分可能関数とする(すなわち、f(a) = a)。その関数 f を反復することによって得られる以下の力学系について考える:
x n + 1 = f ( x n ) , n = 0 , 1 , 2 , ... . {\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\quad n=0,1,2,\ldots .}
不動点 a は、f の a における微分の絶対値が厳密に 1 より小さいときに安定となり、厳密に 1 より大きいときに不安定となる。これは、点 a の近くで関数 f が傾き f(a) の線型近似
f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)}
を持つことによる。すなわち、この式から
x n + 1 − a x n − a = f ( x n ) − f ( a ) x n − a ≈ f ′ ( a ) ( x n − a ) x n − a = f ′ ( a ) {\displaystyle {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}={\frac {f(x_{n})-f(a)}{x_{n}-a}}\approx {\frac {f'(a)(x_{n}-a)}{x_{n}-a}}=f'(a)}