超フィルター
数学において、超フィルター(ちょうフィルター、英: ultrafilter)または極大フィルター(きょくだいフィルター、英: maximal filter)とは順序集合上で定義されたフィルターの中で極大なものをいう。特にブール代数上では超フィルターは素フィルター(英語版)に一致する。 超フィルターは位相空間論や集合論における最も基本的な概念の一つであり、また多くの分野に応用を持っている。 冪集合は包含関係で自然に順序集合となる。 集合 X の冪集合 P(X) 上の超フィルターは単に X 上の超フィルターとも呼ばれる。X 上の超フィルターは X 上ですべての集合に対して定義された非自明な二値有限加法的測度と同一視することが出来る。この時 X 上の集合は測度の意味で殆ど全体(測度が 1)か殆ど元を含まない(測度が 0)のいずれかに分けられる。
組合せ論の中で特に大きい分野の一つであるラムゼー理論の中心的定理、ラムゼーの定理 はある集合上に与えられた一件無秩序な構造にたいし、十分大きく等質な部分集合が取れることを表している。以下のラムゼーフィルターはこの大きさを表すものとみなすことが出来る。 以下 X を無限集合 U を X 上の自由な超フィルターとする。このとき
U がラムゼーとは、X の二元集合上の関数 f: [X] → {0, 1} が与えられたとき、「ある A ∈ U が存在して、[A] ⊆ f({0}) または [A] ⊆ f{1})」となること。
U が κ-一様選抜的(英: uniformly selective)とは、X の任意の κ の分割 P が与えられたとき、「Q⊆ P が存在して |Q| < κ かつ ⋃ Q ∈ U {\textstyle \bigcup Q\in U} であるかさもなくば、ある A ∈ U が存在して、任意の B ∈ P に対し、|B ∩ A| = 1」となること。
U がP-点 とは、X の任意の可算分割 P が与えられたとき、「P ∩ U ≠ ∅ であるかさもなくば、ある A ∈ U が存在して、任意の B ∈ P に対し、|B ∩ A| < ∞」となること。
無限基数 κ とフィルター U について V ⊂ U , | V | < κ {\textstyle V\subset U,|V|<\kappa } ならば ⋂ V ∈ U {\textstyle \bigcap V\in U} が成立するとき、U は κ-完備(κ-英: complete)だという。ω1-完備のことを σ-完備ともよぶ。 U ∈ Ult(X ) について以下2つの条件は互いに同値(フィルターは常に ω-完備なことに注意)。
U は κ-完備。
V ⊆ P ( X ) , ⋃ V ∈ U , | V | < κ {\textstyle V\subseteq \mathbf {P} (X),\bigcup V\in U,|V|<\kappa } ならば V ∩ U ≠ ∅ {\textstyle V\cap U\neq \varnothing }
ω1-完備のことを σ-完備または可算完備とも言う。