体上の多元環
実数全体 R を一次元ベクトル空間と見ると、乗法と両立するから、自分自身の上の一次元多元環になる。先ほどは複素数の全体が実数体 R 上の二次元ベクトル空間で、さらに R 上の二次元多元環となることを見た。これらはともに、任意の非零ベクトルが逆元を持つ。同様にして三次元の実ベクトル空間で、任意の非零元が逆元を持つようなもの(多元体)はあるかと問うのは自然なことであるが、答えは否定的である(ノルム多元体を参照)。
実三次元の(多元体)は存在しないが、1843年にハミルトンにより定義された四元数の全体には乗法だけでなく除法も定義できる。これは今日では実四次元の多元体の例として有名である。任意の四元数を (a, b, c, d) = a + bi + cj + dk のように書くことができる。複素数の場合と異なり、四元数の全体は非可換多元環の例を与える(例えば ij = k だが ji = −k である)。する(注:近年は体の定義として加法と乗法について可換であることを課すのが普通となり、四元数のような非可換の乗法を持つ環の場合には除法が定義できても「体(field)」であるとは云わずに「斜体(skew field)」と称して体には含めなくなってきている。)
四元数のほかにも、体上の多元環の簡単な例として超複素数系がいくつか得られる。