フビニの定理
数学においてフビニの定理(フビニのていり、英: Fubini's theorem)とは、Guido Fubini (1907) によって導入された、逐次積分による二重積分の計算が可能となるための条件に関する一結果である。すなわち、次のような計算が可能となる。
∫ X ( ∫ Y f ( x , y ) d y ) d x = ∫ Y ( ∫ X f ( x , y ) d x ) d y = ∫ X × Y f ( x , y ) d ( x , y ) . {\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}
この結果、積分の順序(英語版)は逐次積分において変えることが可能となる。フビニの定理は、ある二変数函数が可積分であれば、上記のような二回の繰り返しの積分は等しいことを意味する。Leonida Tonelli (1909) によって導入されたトネリの定理(Tonelli's theorem)も同様のものであるが、その定理が適用される函数は可積分ではなくとも非負であればよい。
X はルベーグ可測集合とルベーグ測度を伴う単位区間とし、Y は数え上げ測度を伴う単位区間でそのすべての部分集合は可測であるものとする。したがって Y は σ-有限ではない。f が X×Y の対角についての特性函数であるなら、f の X に沿った積分は Y 上の函数 0 となるが、Y に沿った積分は X 上の函数 1 となる。したがって二つの逐次積分の値は異なるものとなる。このことは、積測度がどのように選ばれたとしても、σ-有限でない空間に対してはトネリの定理は成立しないことを意味する。その測度はいずれも分解可能であり、トネリの定理は(σ-有限測度よりもやや一般的である)分解可能測度に対しては成立しないことが示される。
X は第一非可算順序数で、可測集合が(測度 0 で)可算であるか、可算個の(測度 1 の)補集合であるような有限測度を伴うものとする。X×X の(非可測な)部分集合 E を x<y を満たすペア (x,y) で与えると、それはすべての水平直線上で可算であり、すべての垂直直線上に可算個の補集合を持つ。f を E の特性函数とすると、f の二種類の逐次積分が定義され、それらは 1 と 0 という異なる値を取る。この函数 f は非可測であるため、これはトネリの定理が非可測函数に対して成立しない例となる。