バナッハ＝アラオグルの定理
上記の同一視を行った場合、 K V {\displaystyle K^{V}} の位相(直積位相)はF(V, K)の各点収束位相と一致する。
μ(B)のコンパクト性を示す為、 D x ⊂ K x {\displaystyle D_{x}\subset K_{x}} を
D x = { ξ ∈ K x ∣ | ξ | ≤ ‖ x ‖ V } {\displaystyle D_{x}=\{\xi \in K_{x}\mid |\xi |\leq \|x\|_{V}\}}
により定義し、
D V := ∏ x ∈ V D x {\displaystyle D^{V}:=\prod _{x\in V}D_{x}}
すると、定義より
μ ( B ∗ ) ⊂ D V ⊂ K V ≈ F ( V , K ) {\displaystyle \mu (B^{*})\subset D^{V}\subset K^{V}\approx F(V,K)}
である。DxはKx= R {\displaystyle \mathbb {R} } or C {\displaystyle \mathbb {C} } の閉単位球なのでコンパクトである。よってチコノフの定理より、 D V = ∏ x ∈ V D x {\displaystyle D^{V}=\prod _{x\in V}D_{x}} は F ( V , K ) {\displaystyle F(V,K)} のコンパクト部分集合である。 F ( V , K ) {\displaystyle F(V,K)} は明らかにハウスドルフなので、コンパクトな集合 D V {\displaystyle D^{V}} の部分集合μ(B)がコンパクトである必要十分条件はμ(B)が閉集合な事である。
が成立する。ここで
(1)は μ x {\displaystyle \mu _{x}} の定義から従う。
(2)は*弱位相が ( μ x ) x ∈ V {\displaystyle (\mu _{x})_{x\in V}} を全て連続にする最弱の位相である事から従う。
(3)は μ x {\displaystyle \mu _{x}} の定義、およびKにおける和や定数倍の連続性から従う。
よってα∞ ∈ B*が示され、定理が証明された。
可分なノルム空間Vの共役空間Vの閉単位球Bは*弱位相に関して距離化可能な事が知られており、距離化可能空間ではBのコンパクト性は点列コンパクト性と同値であるので、任意に点列 ( α n ) n ∈ N ⊂ B ∗ {\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset B^{*}} を選んで固定し、 ( α n ) n ∈ N {\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }} がB内に収束する部分列を持つ事を示せば良い。
Vは可分なので、Vの稠密部分集合 ( x i ) i ∈ N ⊂ V {\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset V} が存在する。
John B. Conway (1994). A course in functional analysis (2nd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5 See Chapter 5, section 3.
Peter B. Lax (2002). Functional Analysis. Wiley-Interscience. p. 120-121. ISBN 0-471-55604-1
↑ Rudin 1991, section 3.15.
↑ #Kelly pp.135-136.
↑ #Schlumprecht p.7.
1 2 3 #Semmes pp.15, 20-21
↑ #Heil p.361.
↑ Köthe 1969, Theorem (4) in §20.9.
↑ Meise & Vogt 1997, Theorem 23.5.