被覆空間
被覆は局所同相であるので、n-次元位相多様体の被覆は n-次元多様体である。(被覆空間が第二可算であることは、多様体の基本群がいつも可算であるという事実より証明することができる。)しかし、n-次元多様体で覆われた空間は、非ハウスドルフ空間かもしれない。例えば、C を原点を取り去った平面とし、X を全ての点 (x, y) を (2x, y/2) で同一視する。p : C → X が商写像とすると、f(x, y) = (2x, y/2) で生成される C への Z の作用は固有不連続(英語版)(properly discontinuous)であるので、被覆である。点 p(1, 0) と p(0, 1) は X の中では切り離されるような近傍を持たない。
微分可能多様体の任意の被覆空間は、p (問題の被覆写像)を局所微分同相、つまり、ランク(英語版)(rank)へ変えるような自然な微分構造を持っているかもしれない。
p1 : C1 → X と p2 : C2 → X が 2 つの被覆だとする。 (p1, C1) と (p2, C2) は、ある同相写像 p21 : C2 → C1 が存在し、p2 = p1op21 のとき、同値であると言う。これは同値関係である。被覆の同値類は、共役類に対応する。p21 が同相写像でなく被覆の場合には、 (p2, C2) は (p1, C1) を支配する(dominate)と言う。ここに、p2 = p1op21 である。
⋯ → ∂ C n ( T ) → ∂ C n − 1 ( T ) → ∂ ⋯ → ∂ C 0 ( T ) → ε Z {\displaystyle \cdots {\overset {\partial }{\to }}C_{n}(T){\overset {\partial }{\to }}C_{n-1}(T){\overset {\partial }{\to }}\cdots {\overset {\partial }{\to }}C_{0}(T){\overset {\varepsilon }{\to }}\mathbf {Z} }
は、Z の自由 ZG-分解(free ZG-resolution)である(ここの Z は、自明な ZG-加群構造を持ち、すべての g ∈ G とすべての m ∈ Z に対し gm = m となる)。この分解は任意の係数を持つ G の群コホモロジー(group cohomology)の計算に使うことができる。
群の分解を計算したりホモロジー代数の別の計算をするグラハム・エリス(Graham Ellis)の方法は、J. Symbolic Comp. の彼の論文や以下にあげるウェブページに示されているように、普遍被覆の収縮するホモトピーとして、同時に帰納的に K(G) の普遍被覆を構成する方法である。この後者が、計算可能な方法を与えている。