ニュートン法
前節では解の存在を仮定した上で初期値 x 0 {\displaystyle x_{0}} を解の十分近くに選ぶことを要求した。これに対して、解の存在を仮定せず、初期値 x 0 {\displaystyle x_{0}} がある条件を満たすときに解の存在と反復の収束を示す定理を半局所収束定理(semi-local convergence theorem)という。1次元の場合での半局所収束定理はコーシーによって1829年に示され、 n {\displaystyle n} 次元ユークリッド空間での場合はファインによって1916年に示された。その後、バナッハ空間での半局所収束定理がカントロヴィチによって1948年に示され、現代ではニュートン=カントロヴィチの定理と呼ばれている。この定理にはいくつかの変種が知られており、(Ortega & Rheinboldt 1970)にまとめられている。
簡易ニュートン法に対する半局所収束定理の条件をより容易に評価するために開発された簡易ニュートン法の変種がクラフチック(Krawczyk)法である。
上式を、次のような離散力学系として考える。
x n + 1 = g ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=g(x_{n})} , ただし g ( x ) = x − f ( x ) f ′ ( x ) {\displaystyle g(x)=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}}
この力学系において、 f ( x ∗ ) = 0 {\displaystyle f(x^{*})=0} となる x ∗ {\displaystyle x^{*}} は明らかに固定点である。
したがって | g ′ ( x ∗ ) | < 1 {\displaystyle |g'(x^{*})|<1} 、つまり x ∗ {\displaystyle x^{*}} が沈点(アトラクター、安定固定点)であり、 与えられた初期条件 x 0 {\displaystyle x_{0}} が、このアトラクターの吸引領域に属していれば x n {\displaystyle x_{n}} の ω {\displaystyle \omega } -極限( n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } )は f ( x ∗ ) = 0 {\displaystyle f(x^{*})=0} となる x ∗ {\displaystyle x^{*}} に収束する。