コーシー積
二つの冪級数 ∑anx と ∑bnx のコーシー積はまた冪級数で、それを ∑cnx とする:
c n = ∑ k = 0 n a k b n − k . {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}
これら三つの冪級数の収束半径をそれぞれ Ra, Rb, Rc とすれば、これらは不等式
R c ≥ min ( R a , R b ) {\displaystyle R_{c}\geq \min(R_{a},R_{b})}
を満足する。実際、右辺の最小値よりも真に小さい絶対値を持つ複素数を考えれば、その点において二つの冪級数は絶対収束で、したがってそれらの積も絶対収束して、その値は二つの級数それぞれの和の積に等しい。よって、一つの開集合上で冪級数展開可能な二つの函数の積もまた、同じ開集合上で冪級数展開できる。
上の不等式は非常に緩い評価となり得る。例えば、二つの冪級数をひとつは収束半径 1 の ∑x と、もうひとつは多項式(だから収束半径 ∞)の 1 – x とした場合、これらのコーシー積は定数 1 に簡約されるから、収束半径 ∞ である。あるいは別の例で、√1 – x の冪級数展開の収束半径は 1 だが、それ自身とのコーシー積は多項式 1 – x であって、その収束半径は ∞ である。
二つの無限複素級数 ∑∞i=0 ai および ∑∞j=0 bj に対し、それらのコーシー積とは各項が離散畳み込みで与えられる級数 ( ∑ i = 0 ∞ a i ) ⋅ ( ∑ j = 0 ∞ b j ) = ∑ k = 0 ∞ ∑ l = 0 k a l b k − l {\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}} を言う。