コルモゴロフの二級数定理
μ n = 0 {\displaystyle \mu _{n}=0} として一般性を失わない。 S N = ∑ n = 1 N X n {\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n}} とおくと、確率1で
lim sup N S N − lim inf N S N = 0 {\displaystyle \limsup _{N}S_{N}-\liminf _{N}S_{N}=0}
となることが次のようにしてわかる。
任意の m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } に対し
lim sup N → ∞ S N − lim inf N → ∞ S N = lim sup N → ∞ ( S N − S m ) − lim inf N → ∞ ( S N − S m ) ≤ 2 max k ∈ N | ∑ i = 1 k X m + i | {\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{N\to \infty }S_{N}-\liminf _{N\to \infty }S_{N}&=\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\\&\leq 2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\end{aligned}}}