ロンバーグ積分
台形公式による値 T ( h ) {\displaystyle T(h)} と真の定積分の値の差は O ( h 2 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{2})} であるが、オイラー・マクローリンの和公式(オイラーの和公式)によりそれをより詳しく評価することができる。すなわち、 f {\displaystyle f} が C 2 m + 2 {\displaystyle C^{2m+2}} -級関数であるならば
T ( h ) = τ 0 + τ 1 h 2 + τ 2 h 4 + ⋯ + τ m h 2 m + α m + 1 ( h ) h 2 m + 2 {\displaystyle T(h)=\tau _{0}+\tau _{1}h^{2}+\tau _{2}h^{4}+\cdots +\tau _{m}h^{2m}+\alpha _{m+1}(h)h^{2m+2}}
が成立する。ここに B 2 k {\displaystyle B_{2k}} はベルヌーイ数 であり、 ξ ( h ) {\displaystyle \xi (h)} は a < ξ ( h ) < b {\displaystyle a<\xi (h)<b} を満足するある数である。それ故に台形公式を h {\displaystyle h} に関する漸近級数と見るとき、誤差項としては h {\displaystyle h} の偶数次の項だけが現れる。そこで複数の h {\displaystyle h} について台形公式を適用し、それらの結果について誤差項を打ち消すようにリチャードソンの補外を行うことで、より精度の高い定積分の評価が得られる。これがロンバーグ積分である。