集合函数
inf i ∈ N f ( A i ) = 0 ( if f ( A 1 ) < ∞ ∧ ⋂ j ∈ N A j = ∅ ) . {\displaystyle \inf _{i\in \mathbb {N} }f(A_{i})=0\quad ({\text{if }}f(A_{1})<\infty \land \bigcap _{j\in \mathbb {N} }A_{j}=\emptyset ).}
f ( A ) = 0 ∧ B ⊆ A ⟹ B ∈ C . {\displaystyle f(A)=0\land B\subseteq A\implies B\in {\mathcal {C}}.}
空でない集合 X とその部分集合族 C ⊆ P(X) に対し、写像
f : C → W {\displaystyle f\colon {\mathcal {C}}\to W}
を(W-値の)集合函数と呼ぶ(∅ ∈ C なるときはしばしば f(∅) = 0 を仮定する)。ただし、終域 W はふつう非負アフィン拡張実数の全体 W = R ∪ {+∞} = [0,+∞] と取って非負拡張実数値集合函数を考え、これをしばしば単に集合函数と呼ぶ。他によく用いられるのは
W = R ∪ {−∞} または W = R ∪ {+∞} ととる(拡張)実数値集合函数(符号付測度を参照)、
W = C と取った複素数値集合函数(複素測度も参照)
などがある。
f ( A ) < ∞ ( ∀ A ∈ C ) . {\displaystyle f(A)<\infty \quad (\forall A\in {\mathcal {C}}).}