ベルヌーイ数
tan  z = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( 2 2 k − 4 2 k ) B 2 k ( 2 k ) ! z 2 k − 1 . {\displaystyle \tan z=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,(2^{2k}-4^{2k})\,B_{2k}}{(2k)!}}z^{2k-1}.}
この関係式は、tan z = cot z − 2cot 2z を利用して余接関数のローラン級数展開を変形すれば導出できる。 なお、この級数の収束半径は |z| < π/2 である。この正接関数のローラン級数展開の展開係数による数列はタンジェント数と呼ばれる。 一方、余割関数 (cosecant) は次のようにローラン級数展開される。
csc  z = 1 sin  z = 1 z + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ( 2 − 2 2 k ) B 2 k ( 2 k ) ! z 2 k − 1 . {\displaystyle \csc z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {1}{z}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,(2-2^{2k})\,B_{2k}}{(2k)!}}z^{2k-1}.}
この関係式は、csc 2z = tan z + cot z/2 を利用すれば導出できる。 なお、この級数の収束半径は |z| < π である。