完全関手
ホモロジー代数において、完全関手とは完全列を保存する関手のことをいう。完全関手は対象の表現にそのまま適用できるため便利である。ホモロジー代数の多くの研究は、完全関手にはならないがその不完全さを制御できる関手を扱うためのものである。
アーベル圏の全ての同値や双対は完全である。
もっとも基本的な例として、Hom関手は左完全である。すなわち、Aをアーベル圏とし、Aをその対象とするとき、FA(X) = HomA(A,X) はAからアーベル群の圏Abへの共変左完全関手を定める。この関手FAはAが射影的対象であるとき、またそのときに限り完全関手となる。関手GA(X) = HomA(X,A) は反変左完全関手であり、Aが入射的対象であるとき、またそのときに限り完全関手となる。
kを体、Vをk上の線形空間とし、V* = Homk(V,k) と書く。これはk線形空間の圏からそれ自身への反変完全関手となる。(完全性はkが入射的k加群であることと上のことから分かる。他の方法として、すべてのk線形空間の短完全列は分裂し、加法的関手は分裂系列を分裂系列にうつすことからも分かる)
Xを位相空間とし、X上のアーベル群の層を考える。各層Fに大域切断 F(X) を対応させる関手は左完全である。
Rを環とし、Tを右R加群とする。全てのR加群からなるアーベル圏からAbへの関手HTをR上のテンソル積で定める。すなわち、HT(X) = T ⊗ X とする。これは共変右完全関手であり、Tが平坦であるとき、またそのときのみ完全関手である。
AとBをアーベル圏とし、AからBへの関手を対象とする関手圏Bを考える。Aの対象Aが与えられたとき、Aにおける評価関手EA は B から B への関手であり、完全関手である。