代数学の基本定理
F ( t ) {\displaystyle F(t)} は t {\displaystyle t} の次数が t k {\displaystyle t^{k}} より高次の項しかないため、 t {\displaystyle t} が十分小さければ | A 0 ( 1 − t k ) + F ( t ) | {\displaystyle |A_{0}(1-t^{k})+F(t)|} の内 F ( t ) {\displaystyle F(t)} を無視できる、すなわち t {\displaystyle t} が十分に小さいとき | A 0 ( 1 − t k ) + F ( t ) | < | A 0 | {\displaystyle |A_{0}(1-t^{k})+F(t)|<|A_{0}|} となる。
つまり f ( x c + ε ) < f ( x c ) {\displaystyle f(x_{c}+\epsilon )<f(x_{c})} となるが、これは x c {\displaystyle x_{c}} の定義に矛盾。
よって仮定が偽なので c = 0 {\displaystyle c=0} となり、因数定理より、 f ( x ) = ( x − x c ) p ( x ) {\displaystyle f(x)=(x-x_{c})p(x)} と置くことができる。この時 x c {\displaystyle x_{c}} は f ( x ) {\displaystyle f(x)} の根となっている。
以上の操作を繰り返すことで、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は n {\displaystyle n} 個の根を持つことがわかる。
証明終わり