ベクトル空間
ベクトル空間の概念について、特定の二つの場合を例にとって簡単に内容を説明する。
一般のベクトル空間は、ベクトルの間の乗法を持たない。二つのベクトルの乗法を定める双線型写像を付加的に備えたベクトル空間は、体上の多元環と言う。主な多元環は、何らかの幾何学的な対象の上の函数の空間から生じる。体に値をとる函数は、点ごとの乗法を持ち、それら函数の全体が多元環を成すのである。例えば、ストーン=ヴァイアシュトラスの定理は、バナッハ空間にも多元環にもなっているバナッハ環において成立する。
可換多元環は一変数または多変数の多項式環を使ってたくさん作れる。可換多元環の乗法は可換かつ結合的である。これらの環およびその剰余環は、それが代数幾何的対象上の函数の環となることから、代数幾何学の基礎を成している。
別の重要な例はリー環である。リー環の乗法(x, y の積を [x, y] と書く)は可換でも結合的でもないが、そうなることは制約条件
反対称性: [x, y] = −[y, x]
ヤコビの等式: [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
によって制限されている。リー環の例には、n-次正方行列全体の成すベクトル空間に、行列の交換子 [x, y] = xy − yx を積としたものや、R に交叉積を入れたものなどが含まれる。
テンソル代数 T(V) は任意のベクトル空間に積を導入して多元環を得るための形式的な方法である。
体 F 上のベクトル空間のもっとも簡単な例は体 F 自身(に、その標準的な加法と乗法を考えたもの)である。これはふつう F と書かれる数ベクトル空間 (英: coordinate space ) の n = 1 の場合である。この数ベクトル空間の元は n-組(長さ n の数列):
( a 1 , a 2 , ... , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})}
で、各 ai が F の元であるようなものである。 F = R かつ n = 2 の場合が上記の#導入節で論じたものとなる。
行列 (英: matrix ) は線型写像の情報を記述するのに有効な概念である。行列は、図のように、スカラーの矩形配列として書かれる。任意の m × n 行列 A は F から F への線型写像を
x = ( x 1 , x 2 , ... , x n ) ↦ ( ∑ j = 1 n a 1 j x j , ∑ j = 1 n a 2 j x j , ... , ∑ j = 1 n a m j x j ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})\mapsto {\biggl (}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\dotsc ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}{\biggr )}}
として生じる(∑ は総和を表す)。これはまた行列 A と座標ベクトル x との行列の積を用いて
x ↦ Ax
と書くこともできる。さらに言えば、V と W の基底を選ぶことで、任意の線型写像 f: V → W は同様の方法で行列によって一意的に表される。
正方行列 A の行列式 det (A) は、A に対応する線型写像が同型か否かを測るスカラーである(同型となるには、行列式の値が 0 でないことが必要かつ十分である)。n × n 実行列に対応する R の線型変換が向きを保つには、その行列式が正となることが必要十分である。
v ⊗ ( w 1 + w 2 ) = v ⊗ w 1 + v ⊗ w 2 {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\otimes ({\boldsymbol {w}}_{1}+{\boldsymbol {w}}_{2})={\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}_{1}+{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}_{2}}
なる規則で縛られている。
これらの規則は、写像 f: V × W → V ⊗ W; (v, w) ↦ v ⊗ w が双線型となることを保証するものである。テンソル積の普遍性とは
任意のベクトル空間 X と任意の双線型写像 g: V × W → X が与えられたとき、写像 u: V ⊗ W → X が一意的に存在して、上記の写像 f との合成 u ◦ f が g に等しくなるようにすることができる ( u(v ⊗ w) = g(v, w) )
というものである。テンソル積の普遍性は対象を、その対象からの、あるいはその対象への写像によって間接的に定義するという(進んだ抽象代数学ではよく用いられる)手法の一例である。
上記具体例に加えて、与えられたベクトル空間から別のベクトル空間を得る標準的な線型代数学的構成がいくつか存在する。それらは以下に述べる定義に加えて普遍性と呼ばれる、線型空間 X を X から他の任意の線型空間への線型写像によって特定することができるという性質によっても特徴づけられる。
周期函数をフーリエ級数を成す三角函数の和に分解することは物理学や工学においてよく用いられる手法である。台となるベクトル空間は、ふつうはヒルベルト空間 L(0, 2π) であり、函数族 sin mx および cos mx (m は整数) が正規直交基底を与える。L-函数 f のフーリエ展開は
a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ [ a m cos  ( m x ) + b m sin  ( m x ) ] {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{m=1}^{\infty }{\bigl [}a_{m}\cos(mx)+b_{m}\sin(mx){\bigr ]}}
である。係数 am, bm は f のフーリエ係数と呼ばれ、公式
a m = 1 π ∫ 0 2 π f ( t ) cos  ( m t ) d t , b m = 1 π ∫ 0 2 π f ( t ) sin  ( m t ) d t {\displaystyle a_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\cos(mt)dt,\quad b_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\sin(mt)dt}
で求められる。
物理学の言葉で言えば、函数は正弦波の重ね合せとして表され、その係数は函数の周波数スペクトルについての情報を与えるということになる。複素型のフーリエ級数も広く用いられる。
収束性の問題は、ベクトル空間 V に両立する位相(近さを記述することを可能にする構造)を入れることによって扱われる。。 ここでいう「両立」とは、加法とスカラー乗法がともに連続写像となるという意味で、大雑把に言えば、x, y ∈ V と a ∈ F が限られた範囲の中にあれば、x + y と ax も限られた範囲に留まるということである。スカラーについてこの議論がきちんと意味を持つようにするためには、この文脈において体 F にも位相が定められていなければならない。よく用いられるのが実数体や複素数体である。
このような位相線型空間ではベクトル項級数を考えることができて、V の元からなる列 (fi)i ∈ N の無限和
∑ i = 0 ∞ f i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f_{i}}
とは、対応する有限部分和の極限を表すものである。例えば fi が、ある(実または複素)函数空間に属する函数であるとすると、この場合の級数は函数項級数と呼ばれる。函数項級数の収束の様態(英語版)は、函数空間に課された位相に依存する。そのような様態の中でも各点収束と一様収束の二つは特に際立った例である。
ある種の無限級数の極限の存在を保証する方法の一つは、考える空間を任意のコーシー列が収束するようなものに限って考えることである。そのようなベクトル空間は完備であるという。大まかに言えば、ベクトル空間が完備というのは必要な極限をすべて含むということである。例えば単位区間 [0, 1] 上の多項式函数全体の成すベクトル空間に一様収束位相を入れたものは完備でない。これは [0, 1] 上の任意の連続函数が、多項式函数列で一様に近似することができるというヴァイアシュトラスの近似定理による。
バナフの導入したバナッハ空間とは、完備ノルム空間のことである。一つの例として、 l p {\displaystyle \ell ^{p}} (1 ≤ p ≤ ∞) は、実数を成分とする無限次元ベクトル x = (x1, x2, ...) であって、p < ∞ に対して
| x | p := ( ∑ i | x i | p ) 1 / p {\displaystyle |{\boldsymbol {x}}|_{p}:={\biggl (}\sum _{i}|x_{i}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}
または p = ∞ に対して
| x | ∞ := sup i | x i | {\displaystyle |{\boldsymbol {x}}|_{\infty }:=\sup _{i}|x_{i}|}
で定義される p-ノルムが有限となるようなもの全体の成すベクトル空間である。無限次元空間 l p {\displaystyle \ell ^{p}} の位相は、異なる p に対しては同値でない。例えばベクトルの列 xn = (2, 2, ..., 2, 0, 0, ...), つまり各項が最初の 2-個の成分が 2 で残りはすべて 0 となるような無限次元ベクトルとなるようなベクトル列は p = ∞ のときは零ベクトルに収束するが、p = 1 のときはそうならない。