冪等行列
b = c {\displaystyle b=c} のとき、行列 ( a b b 1 − a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}} は a 2 + b 2 = a {\displaystyle a^{2}+b^{2}=a} 、よって a が二次方程式
a 2 − a + b 2 = 0 , ( a − 1 2 ) 2 + b 2 = 1 4 {\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0,\quad \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}}
を満たすならば冪等である。この方程式は中心 (1/2, 0)、半径 1/2 の円を表す。角度 θ を用いて書けば、行列
A = 1 2 ( 1 − cos  θ sin  θ sin  θ 1 + cos  θ ) {\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}
は冪等である。
b = c {\displaystyle b=c} は必要条件ではなく、 a 2 + b c = a {\displaystyle a^{2}+bc=a} である任意の行列
( a b c 1 − a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}
は冪等である。