ケイリー＝アロンホルトの微分作用素
weight  D φ = weight  φ − 1 {\displaystyle \operatorname {weight} {\mathcal {D}}\varphi =\operatorname {weight} \varphi -1}
weight  Δ φ = weight  φ + 1 {\displaystyle \operatorname {weight} \Delta \varphi =\operatorname {weight} \varphi +1}
が成り立つ。
全ての項の次数が等しい多項式を同次多項式、全ての項の重さが等しい多項式を同重多項式という。同次同重多項式 φ ( ξ ) ∈ K [ ξ ] {\displaystyle \phi (\xi )\in K[\xi ]} に対し、その指数 ind  φ {\displaystyle \operatorname {ind} \phi } を
ind  φ = n deg  φ − 2 weight  φ {\displaystyle \operatorname {ind} \phi =n\operatorname {deg} \phi -2\operatorname {weight} \phi }
で定めると
H φ ( ξ ) = ind  φ ⋅ φ ( ξ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\phi (\xi )=\operatorname {ind} \phi \cdot \phi (\xi )}
が成り立つ。