接続 (ベクトル束)
Ω i j {\displaystyle \Omega ^{i}{}_{j}} を並べてできる行列 Ω = ( Ω i j ) i , j {\displaystyle \Omega =(\Omega ^{i}{}_{j})_{i,j}} を曲率行列(英: curvature matrix)という事もあるが、紛れがなければこの行列も曲率形式という。
さらに ( x 1 , ... , x m ) {\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})} をMの局所座標とし、
R ( ∂ ∂ x k , ∂ ∂ x l ) e j = R i j k l e i {\displaystyle R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}})e_{j}=R^{i}{}_{jk\ell }e_{i}}
と成分分解すると、
Ω i j ( X , Y ) = R i j k l X k Y l {\displaystyle \Omega ^{i}{}_{j}(X,Y)=R^{i}{}_{jk\ell }X^{k}Y^{\ell }}
が成立する。
, θ n ) {\displaystyle \theta ={}^{t}(\theta ^{1},\ldots ,\theta ^{n})} とする。
このとき、次が成立する:
定理 ― アフィン接続は次を満たす:
(カルタンの)第一構造方程式(英: (Cartan's) first structural equation): τ = d θ + ω ∧ θ {\displaystyle \tau =d\theta +\omega \wedge \theta }
ビアンキの第一恒等式(英: first Bianchi identity): d τ = Ω ∧ θ − ω ∧ τ {\displaystyle d\tau =\Omega \wedge \theta -\omega \wedge \tau }
ビアンキの第一および第二恒等式は以下のようにも書くことができる:
定理 ― M上のベクトル場X1、X2、X3に対し、以下が成立する:
ビアンキの第一恒等式: ∑ i ∈ Z 3 R ( X i , X i + 1 ) X i + 2 = ∑ i ∈ Z 3 T ( T ( X i , X i + 1 ) , X i + 2 ) + ( ∇ X i T ) ( X i + 1 , X i + 2 ) {\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}R(X_{i},X_{i+1})X_{i+2}=\sum _{i\in \mathbb {Z} _{3}}T(T(X_{i},X_{i+1}),X_{i+2})+(\nabla _{X_{i}}T)(X_{i+1},X_{i+2})}
本節では共変外微分の概念を導入し、この概念を用いて曲率概念を特徴づける。
なお、 φ a , t − 1 ( s ( t ) ) {\displaystyle \varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))} はtによらず E P ( a ) {\displaystyle E_{P(a)}} に属するので、 E P ( a ) {\displaystyle E_{P(a)}} 上の差や極限を考えることができる。
e 1 , ... , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} を E P ( a ) {\displaystyle E_{P(a)}} の基底とし、 e i ( t ) := φ a , t ( e i ) {\displaystyle e_{i}(t):=\varphi _{a,t}(e_{i})} (for i = 1 , ... , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} )とし、 s ( t ) = s i ( t ) e i ( t ) {\displaystyle s(t)=s^{i}(t)e_{i}(t)} と成分表示すると、
∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} はXに関して C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -線形
∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} はsに関して R {\displaystyle \mathbb {R} } -線形
∇ X ( f s ) = X ( f ) s + f ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}(fs)=X(f)s+f\nabla _{X}s} (ライプニッツ則)
Mの接ベクトルバンドルTMの接続の事を特にアフィン接続(英: affine connection)という。
ここでXはM上の任意のベクトル場であり、sはEの任意の切断であり、fはM上定義された任意の実数値可微分関数であり、 f X {\displaystyle fX} は点Pにおいて f ( P ) X P {\displaystyle f(P)X_{P}} となるベクトル場であり、 X ( f ) {\displaystyle X(f)} はfのX方向微分である。明らかにレヴィ-チヴィタ接続はアフィン接続である
なお、Koszul接続の事を線形接続(英: linear connection)と呼ぶ文献もあるが、この言葉をアフィン接続の意味で用いている文献や、接バンドルのフレームバンドル(英語版)上の接続の意味で用いている文献もあるので注意が必要である。
測地線方程式を成分で書くと、 P ( t ) = ( x 1 ( t ) , ... , x m ( t ) ) {\displaystyle P(t)=(x^{1}(t),\ldots ,x^{m}(t))} として
d 2 x i d t 2 + d x j d t d x k d t Γ j k i = 0 {\displaystyle {d^{2}x^{i} \over dt^{2}}+{dx^{j} \over dt}{dx^{k} \over dt}\Gamma _{jk}^{i}=0} for i = 1 , ... , m {\displaystyle i=1,\ldots ,m}
となる。ここで Γ j k i {\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}} は接続係数である。この式は常微分方程式であり、常微分方程式は局所的な解の存在一意性が言えるので、次が成立する事になる:
定理 (測地線の局所的な存在一意性) ― 任意の P ∈ M {\displaystyle P\in M} と任意の v ∈ T M P {\displaystyle v\in TM_{P}} に対し、ある ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} が存在し、測地線