確率変数の収束
limsup{ Ef(Xn) } ≤ Ef(X) がすべての上半連続かつ上に有界な関数 f に対して成立する;
liminf{ Ef(Xn) } ≥ Ef(X) がすべての下半連続かつ下に有界な関数 f に対して成立する;
limsup{ Pr(Xn ∈ C) } ≤ Pr(X ∈ C) がすべての閉集合 C に対して成立する;
liminf{ Pr(Xn ∈ U) } ≥ Pr(X ∈ U) がすべての開集合 U に対して成立する;
lim{ Pr(Xn ∈ A) } = Pr(X ∈ A) が、すべての確率変数 X の連続集合(英語版) A に対して成立する。
連続写像定理(英語版)によると、g(·) が連続関数であるとき、確率変数列 {Xn} が X に分布収束するなら、{g(Xn)} も g(X) へと分布収束することが分かる。
レヴィの連続性定理:確率変数列 {Xn} が X に分布収束するための必要十分条件は、それらに対応する特性関数の列 (φn) が X の特性関数 φ へと各点収束することである。
分布収束はレヴィ-プロホロフ計量によって距離化可能である。
スコロホッドの表現定理は、分布収束への自然な拡張である。
様々な収束の概念の間の包含関係を以下に記述する。それらは、矢の記号を使うことで、次のように表される:
→ L s ⇒ s > r ≥ 1 → L r ⇓ → a . s . ⇒ → p ⇒ → d {\displaystyle {\begin{matrix}{\xrightarrow {L^{s}}}&{\underset {s>r\geq 1}{\Rightarrow }}&{\xrightarrow {L^{r}}}&&\\&&\Downarrow &&\\{\xrightarrow {a.s.}}&\Rightarrow &{\xrightarrow {\ p\ }}&\Rightarrow &{\xrightarrow {\ d\ }}\end{matrix}}}
いくつかの特別な場合とともに、これらの性質を次のようにまとめる:
概収束は、確率収束を意味する: X n → a s X ⇒ X n → p X {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {as}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X}
確率収束は、概収束するような部分列 ( k n ) {\displaystyle (k_{n})} が存在することを意味する: X n → p X ⇒ X k n → a s X {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{k_{n}}\ {\xrightarrow {as}}\ X}