アフィン空間
二つの部分空間 S1, S2 が与えられて、V(S1) ⊂ V(S2) が成り立つならば、S1 は S2 に平行であるといい、S1 ∥ S2 のように表す。
定義から S1 ∥ S2 ならば dimK(V(S1)) ≤ dimK(V(S2)) であって、部分空間が平行であるという関係は推移律 S1 ∥ S2 かつ S2 ∥ S3 ならば S1 ∥ S3 を満たす。
一方で、対称律 S1 ∥ S2 ならば S2 ∥ S1 は一般には成立しない。例えば空間内の点から、ある平面に対して平行になるように直線を引くことは出来るが、ある直線に対して平行になるように平面を描くことはできない(仮に、描いた平面に対して元の直線が平行であるような状況を想定しても、そのような平面は無数に存在し一つに定まることはない)。
任意のアフィン空間は、ある射影空間の部分アフィン空間である。たとえば、アフィン平面は任意の射影平面から一つの直線(とその直線上のすべての点)を取り除くことで得られ、逆にアフィン平面に「無限遠直線」(無限遠直線上の点は直線の(平行移動による)同値類に対応する)を加えた閉包として射影平面を構築することができる。さらに、射影空間における(無限遠点の全体を集合として保つ)射影変換はアフィン空間におけるアフィン変換を引き起こし、逆に任意のアフィン変換は射影変換に一意的に拡張することができる。つまり、アフィン変換の全体は射影変換全体の成す集合の部分集合となっている。このような変換でよく知られたものとして、(射影直線あるいはリーマン球面上の射影変換である)メビウス変換が(複素平面上の変換として)アフィン変換を引き起こすのは、それが無限遠点を動かさないときであり、かつそのときに限る。
しかし、射影空間は「与えられた特定の点を通る」直線の全体として定義されるものであり(ベクトル空間には原点が内在構造として存在するが)アフィン空間にはそのような特別の点は存在しないため、(ベクトル空間の射影化は行えても)アフィン空間の射影化を考えることはできない。したがって射影空間を(ベクトル空間の商ベクトル空間として考えたように)自然にアフィン空間の商アフィン空間として定義することはできない。アフィン空間の点の中からひとつ基点を選び、それを原点とすればアフィン空間はベクトル空間となるから、このベクトル空間に対する射影化を行うことはできるが、この選択はアフィン空間のどの点をとっても構わないため、(圏論的な意味で)自然ではない。
台集合 A を実数全体の集合 R の n 個の単なる直積集合としての R とし、ベクトル空間 V をデカルト座標をあたえる標準内積に関する計量ベクトル空間としての R としたとき、アフィン空間 (R, R) を n-次元ユークリッド空間という。このとき、定義節に掲げたアフィン空間の構造を定める三条件をユークリッド空間のワイルの公理と呼ぶ。
ユークリッドの幾何学で記述される図形の性質というものは、その図形の絶対的な位置には関わりのないものである。したがってこのような図形の属するユークリッド空間は、アフィン空間に長さや角度という計量を加えたものになっている。また、このような計量は、内積によってもたらされる構造である。