谷山–志村予想
(谷山 豊)
問題12を谷山・志村予想の端緒・原型と考える人もいる。足立は、問題13を「モデュラー曲線でパラメトライズされる楕円曲線を特徴づけよ」という問題だと解釈したうえで、これは問題12と同値であるとし、これらの問題を谷山・志村予想の原型としている。
一方、志村は、谷山の問題をこの予想の起源と見ることもできるかもしれないが、『記憶の切繪図』(筑摩書房、2008年)のなかで「有理数体上の楕円曲線はモジュラー関数で一意化される」という命題を「私の予想」と呼んでおり、谷山が1955年に提案した問題とは無関係だとしている。志村は
ここで「有理数体上の楕円曲線はモジュラー関数で一意化される」という私の予想について説明しておこう。これは一九六四年九月頃に私がふたりの数学者に話したもので、その事はよく知られている。この予想はその三十数年後に証明されて、今では定理になっている。 ところで、これに関係ある言明を谷山豊がしているが、その意味と上記の私の言ったこととの関係を完全に理解している人は数学者も含めてほとんどいないのではないかと思われるので、その事を詳しく説明しよう。また私の口からはっきり言ってほしいと思っている人も多いであろう。
(中略)
私はこの問題に関する限り谷山と議論したことはない。はじめに書いたように私は私流の理論をひとりで構築していたから、彼のこの言明には全く重きをおいていなかった。
1960年代の前半、モジュラーな楕円曲線は有理数体上定義された楕円曲線のうちのほんの一部に過ぎないと広く思い込まれていた。ただ一人の例外は志村であった。
1964年、プリンストン高等学術研究所で催されたあるパーティーでのことだった。セールが志村のところにやってきて、「あなたのモジュラー曲線についての研究結果はそんなにいいものではない、なぜなら有理数体上定義された任意の楕円曲線に対して適用できるものではないのだから」と言ったという。志村はセールに「そのような曲線(有理数体上定義された任意の楕円曲線のこと)はすべてモジュラー曲線のヤコビ多様体の商になると思っている」と返答したという。数日後、ヴェイユが志村のところにやってきて、本当にそんなことを言ったのか、と尋ねた。志村は「ええ。もっともらしいとは思いませんか?」と返答したという。
ヴェイユは1979年に出版されたヴェイユ全集のコメントの中でこのような会話があったことを肯定している。そしてこの予想について考えたあと、後述する1967年の論文を公表した。
一方セールは、このような会話があったことは十分に考えられるが、本当にあったかどうかはわからない、という。もし志村がすべての楕円曲線がモジュラーであることの根拠を少しでも述べていたら印象に残り覚えていただろうが、そうではなかったので(本当にこのような会話があったとしても)記憶に残らなかったのだろう、と言っている。