三角測量
今日では三角測量は、測量、航海、計量学、位置天文学、両眼視(英語版)、モデルロケット、兵器の照準といった多目的に使用されている。
三角形を利用して距離を測定するのは古代に遡る。紀元前6世紀の古代ギリシアの哲学者タレスは、ピラミッドの影の長さを測り、また同時刻における自分自身の影の長さを測って、自分の身長との比から相似な三角形を使ってピラミッドの高さを測定していた。また崖の上から沖に見える船までの距離を、横方向にある既知の滝までの見通し水平距離を測り、これを崖全体の高さまで拡大することにより測定していた。こうした方法は古代エジプト人にも知られていた。これより1000年ほど古いリンド数学パピルスに出てくる問題57番では、傾きを距離と高さの比で定義しており、今日の勾配の逆数に当たる。傾きと角度は、後のアラブのアリダードの前身である、ギリシア人がディオプトラ(英語版)と呼ぶ測定棒で測った。この器具を使って離れたところから距離を測定する方法についてのこの時代の詳細な説明は、アレクサンドリアのヘロンによる「ディオプトラ」にあり、これはアラブでは翻訳されて残ったが、ヨーロッパにおいては失われてしまった。中国では、裴秀が正確な地図作りの6原則の5番目として「直角と鋭角を測る」を挙げており、これは正確に距離を測るために必要なことであった。
三角関数の公式 tan  α = sin  α cos  α {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}} および sin  ( α + β ) = sin  α cos  β + cos  α sin  β {\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta } を適用すれば、これは
d = sin  α sin  β sin  ( α + β ) l {\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell }
と等しい。これより、観測点から未知の点までの距離を求めることは容易であり、すべての座標も得られることになる。
器具の改良と精度の向上により、ピカールは地球の半径をかなり正確に測定した最初の人物となった。18世紀を通じて有名なカッシーニ家の人間によりこの仕事はさらに進められた。1683年から1718年までの間、ジョヴァンニ・カッシーニとその息子ジャック・カッシーニはパリ子午線をダンケルクからペルピニャンまで測量した。1733年から1740年まで、ジャックとその息子セザール・カッシーニ(英語版)は子午線弧の再測量を含む全国土の最初の三角測量を行い、1745年に正確な原理に基づく初めてのフランスの地図を出版した。
この時点までに三角測量の技術は、地域的な地図作りに対しては十分確立された。しかし他の国が全国土に渡る地図を作るための詳細な三角網の測量を始めるのは18世紀も末になってからであった。
イギリス陸地測量部(英語版)(オードナンス・サーベイ)は1783年にグレートブリテン島の基本となる三角測量を開始したが、完了したのは1853年のことになった。1801年に開始されたインド大三角測量では、エベレストやその他のヒマラヤ山脈の山々を三角測量し地図を作った。ナポレオン帝政下のフランスでは、ジャン・トランショ(ドイツ語版)によって1801年にフランスの三角網がドイツのラインラントまで拡大され、1815年以降になってプロイセン王国の将軍カール・フォン・ミュフリンク(ドイツ語版)によって完成された。
この時期、有名な数学者カール・フリードリヒ・ガウスによって三角測量には優れた改良が加えられ他の方法を凌駕することとなった。