実閉体
F が順序体ならば、F の実閉包と呼ばれる代数拡大体 K が存在して、K は実閉体かつ F の順序の延長となる適当な順序に関して順序体となり、かつそのような K は F 上自明となる体の同型を除いて一意である。
例えば、有理数全体の成す順序体の実閉包は実代数的数体 Ralg である。
順序体 (F,P) と F のガロワ拡大 E に対し、E の部分体 M と P の延長となる M 上の順序 Q からなる拡大順序体 (M, Q) で包含関係に関して極大なものが(ツォルンの補題を適用することにより)存在する。この順序体 (M, Q)(あるいは短く M)は (F, P)(あるいは短く F)の E における(相対)実閉包と呼ぶ。M がちょうど F に一致するとき、(F,P) は E に対して実閉であるという。また E が F の代数閉包のとき、E における F の相対実閉包は、実際に上で述べたところの F の実閉包となる。
F が単に体である(体の演算と両立する順序の存在も仮定しないし、F が順序付け可能とも仮定しない)ときでも、やはり F は実閉包(それはもはや体ではないかもしれない)を持ち、それは実閉環(英語版)として得られる。例えば、二次体 Q(√2) の実閉包は、実閉環 Ralg × Ralg である(Ralg のコピーが二つあるのは、Q(√2) の二つの順序付けに対応している)。他方、Q(√2) を R の部分順序体と考えるときの、その実閉包はふたたび Ralg となる。
与えられた体 F が実閉体であるとは、以下のたがいに同値な条件の何れか、したがって全部を満足するときに言う:
F は実数の全体と初等同値(英語版)である。別な言い方をすれば、実数体と同じ一階の性質を持つこと、つまり一階言語で書ける任意の文が F において真となるための必要十分条件はそれが実数体において真となることである。(代数型 (signature) の選択は重要でない)
F 上の全順序が存在して F は順序体となり、かつその順序に関する F の任意の正元が F 内に平方根を持つこと、および任意の奇数次 F-係数多項式が少なくとも一つの根を F 内に持つことが真である。
F は実体であって、任意の奇数次 F-係数多項式が F 内に少なくと一つの根を持ち、かつ各 a ∈ F に対して適当な b ∈ F が存在して a = b または a = −b が成り立つ。
F は代数閉でないがその代数閉包は有限次拡大として得られる。
F は代数閉でないが拡大体 F(√−1) は代数閉である。
F の順序付けで F の真の代数拡大上の如何なる順序付けにも延長することができないものが存在する。
F は実体であって、かつその真の代数拡大で形式的に実となる体は存在しない。(すなわち、そのような体は代数閉包において形式的に実という性質に関して極大なものである)
F 上の適当な順序付けが存在して F は順序体となり、かつその順序に関する意味で F 上の次数 ≥ 0 なる任意の多項式に対して中間値の定理が満足される。
F は実閉環(英語版)である。
順序体に対するアルティン–シュライヤーの定理は、1926年にエミール・アルティンおよびオットー・シュライヤー(英語版)が証明したことに名を因む。