フックの法則
3次元の応力が働いている状態では、81個の弾性係数をもつ4階の弾性係数テンソル ( c i j k l {\displaystyle c_{ijkl}} )、応力テンソル ( σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}} )、ひずみテンソル( ε k l {\displaystyle \varepsilon _{kl}} 、またはグリーンのひずみテンソル)が定義され、以下の関係をもつ。
σ i j = ∑ k l c i j k l ⋅ ε k l {\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}}
弾性係数テンソルは81個の弾性係数をもっているが、応力テンソル、ひずみテンソル、剛性テンソルの対称性により、異方性を示す物質でも21個の弾性係数のみが独立である。
応力は圧力の単位で表され、ひずみは無次元量である時、 c i j k l {\displaystyle c_{ijkl}} の成分も圧力の単位で表される。
大ひずみに関しての一般化としては、ネオ・フック固体 (neo-Hookean solid) やムーニー=リブリン固体 (Mooney-Rivlin solid) によって与えられる。
ε 11 = 1 E ( σ 11 − ν ( σ 22 + σ 33 ) ) ε 22 = 1 E ( σ 22 − ν ( σ 11 + σ 33 ) ) ε 33 = 1 E ( σ 33 − ν ( σ 11 + σ 22 ) ) ε 12 = σ 12 G ε 13 = σ 13 G ε 23 = σ 23 G {\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon _{11}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33})\right)\\&\varepsilon _{22}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33})\right)\\&\varepsilon _{33}={\frac {1}{E}}\left(\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22})\right)\\&\varepsilon _{12}={\frac {\sigma _{12}}{G}}\\&\varepsilon _{13}={\frac {\sigma _{13}}{G}}\\&\varepsilon _{23}={\frac {\sigma _{23}}{G}}\end{aligned}}}
と表すことができる。ここで E {\displaystyle E} はヤング率であり ν {\displaystyle \nu } はポアソン比である。
また、釣り合いの位置 (x = 0) が最もエネルギーが低いため、ばねはポテンシャルエネルギーを小さくするように釣り合いの位置へと戻ろうとする。これはポテンシャルエネルギーのグラフの上を、重力によるポテンシャルを最小にするようにボールが転がり落ちることに似ている。
もし質量mの物体がこのようなばねに繋がれている場合、その系は調和振動子となる。この系は以下の式で与えられる基本周波数で振動する。
ω = k m {\displaystyle \omega ={\sqrt {k \over m}}} [ラジアン毎秒](角振動数)
または
f = 1 2 π k m {\displaystyle f={1 \over 2\pi }{\sqrt {k \over m}}} [ヘルツ]
ここで f {\displaystyle f} は周波数よって ω = 2 π f {\displaystyle \omega ={2\pi f}} である。
様々な格子のばね定数などについては後述する。