リース函数
この領域上では、 Γ ( s + 1 ) ζ ( − 2 s ) = M ( R i e s z ( z ) ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}={\mathbf {M} }({\rm {Riesz}}(z))} が成り立つ。
するとメリン逆変換により、リース函数を式
R i e s z ( z ) = ∫ c − i ∞ c + i ∞ Γ ( s + 1 ) ζ ( − 2 s ) z − s d s {\displaystyle {\rm {Riesz}}(z)=\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}z^{-s}ds}
で表すことが出来る。ここで c は -1 と -1/2 の間の値である。リーマン予想が真であるなら、この積分の直線を -1/4 よりも小さい任意の値へと移動することが出来る。したがってリース函数の成長率の 4 乗根と、リーマン予想との同値性が分かる。
J. garcia(脚注を参照)は、ボレル和(英語版)を使うことで f ( x ) {\displaystyle f(x)} に関する次の積分表現を得た。
exp  ( − x ) − 1 = ∫ 0 ∞ f ( t ) t ρ ( x / t ) d t {\displaystyle \exp(-x)-1=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\rho ({\sqrt {x/t}})dt}
ここで ρ ( x ) = x − ⌊ x ⌋ {\displaystyle \rho (x)=x-\lfloor x\rfloor } は 'x' の小数部分である。