特性類
分類空間はその名称が示す通り、与えられた底空間上のG-バンドルは、底空間から普遍G-バンドル ( P G , B G , π G ) {\displaystyle (PG,BG,\pi _{G})} への写像のホモトピークラスにより完全に分類される:
定理 (分類定理) ― Gを位相群とし、 ( P , B , π G ) {\displaystyle (P,B,\pi _{G})} を主G-バンドルとする。 さらにXを任意のCW複体とし、 [ X , B ] {\displaystyle [X,B]} をXからBへの連続写像のホモトピークラス全体の集合とし、 P G ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{G}(X)} をX上の主G-バンドルの同型類の集合とする。
このとき ( P , B , π G ) {\displaystyle (P,B,\pi _{G})} が普遍G-バンドルである必要十分条件は任意のCW複体Xに対し、
[ f ] ∈ [ X , B ] ↦ f ∗ ( P ) ∈ P G ( X ) {\displaystyle [f]\in [X,B]\mapsto f^{*}(P)\in {\mathcal {P}}_{G}(X)}
c i ( ξ C ) = w i ( ξ ) 2 {\displaystyle c_{i}(\xi _{\mathbb {C} })=w_{i}(\xi )^{2}} in H ∗ ( X ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})}
逆に複素ベクトルバンドル ω {\displaystyle \omega } から複素構造を忘れて(英語版)実ベクトルバンドルとみなしたものを ξ {\displaystyle \xi } の脱複素化(英: decomplexification、英: realification)と呼び、 ω R {\displaystyle \omega _{\mathbb {R} }} と書くと任意の非負整数iに対して以下が成立する事が知られている:
定理 ― 複素ベクトルバンドル ξ = ( π , X , E ) {\displaystyle \xi =(\pi ,X,E)} に対し、以下が成立する:
w 2 i ( ω C ) = c i ( ξ ) {\displaystyle w_{2i}(\omega _{\mathbb {C} })=c_{i}(\xi )} 、 w 2 i + 1 ( ω C ) ) = 0 {\displaystyle w_{2i+1}(\omega _{\mathbb {C} }))=0} in H ∗ ( X ; Z 2 ) {\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} _{2})}
2 c 2 j + 1 ( ξ C ) = 0 {\displaystyle 2c_{2j+1}(\xi _{\mathbb {C} })=0}
が成立する。
またチャーン類は整数係数のコホモロジーに属している事から、以下の系も従う:
系 ― ポントリャーギン類は整数係数コホモロジーに属する。すなわち任意のiに対し、
H ∗ ( B O ( n ) ; Z ) ↪ H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} )\hookrightarrow H^{*}(BO(n);\Lambda )}
の像に p i {\displaystyle p_{i}} は属している。
H ∗ ( B O ( n ) ; Z ) ↪ H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n);\mathbb {Z} )\hookrightarrow H^{*}(BO(n);\Lambda )} は単射ではない(位数2の元が0に移る為)が、この写像による p i {\displaystyle p_{i}} の逆像として ( − 1 ) j c 2 j ( E C ) {\displaystyle (-1)^{j}c_{2j}(E_{\mathbb {C} })} を選べば、 c 2 j ( E C ) {\displaystyle c_{2j}(E_{\mathbb {C} })} が整数係数のコホモロジーに属するというのが上記の定理の意味である。
特性類は、反変性を持ち、本質的にコホモロジー論的な現象である。ベクトル束の切断は空間上の函数の一種で、変更を必要とする切断の存在から反変性を導く。ホモロジー論やホモトピー論は空間への写像を基礎とする共変な理論であり、反変な理論であるコホモロジー論はその後に発見された。障害理論(英語版)(obstruction theory)の一部として特性類の理論が生まれた1930年代において、ホモロジー論の「双対」な理論を構築しようとする大きな理由として特性類の理論がある。曲率不変量に対する特性類のアプローチは、一般化されたガウス・ボネの定理を証明するための理論を作ることが目的であった。
特性類の基礎が確立した1950年ごろ、当時知られていた基本的な特性類(スティーフェル・ホイットニー類やチャーン類やポントリャーギン類)は、古典線型群や極大トーラス(maximal torus)の構造を反映していることが明らかとなった。さらには、グラスマン多様体(英語版)(Grassmannian)のシューベルトの計算(英語版)(Schubert calculus)や、代数幾何学のイタリア学派(英語版)(Italian school of algebraic geometry)の業績の中にすでにチャーン類により記述されるべきものが存在することがわかった。
このような経緯で、特性類の基本的な構造は次のように認識された。
n=2m+1とし、ワイル群 W = W ( S O ( n ) ) {\displaystyle W=W(SO(n))} を具体的に求めるため、実ベクトル空間として R n = ( R 2 ) m × R {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=(\mathbb {R} ^{2})^{m}\times \mathbb {R} } という同一視をし、Pσ、Ciをnが偶数の場合と同様に取る。さらに以下の行列を考える:
M: ( ( x i , y i ) i , z ) ∈ ( R 2 ) m × R {\displaystyle ((x_{i},y_{i})_{i},z)\in (\mathbb {R} ^{2})^{m}\times \mathbb {R} } に ( ( x i , y i ) i , − z ) {\displaystyle ((x_{i},y_{i})_{i},-z)} を対応させる写像。
Mは明らかに位数2の元であり、しかもCiと可換である。そして埋め込み μ : S O ( 2 ) m ↪ S O ( n ) {\displaystyle \mu ~:~SO(2)^{m}\hookrightarrow SO(n)} の定義からMによる共役は S O ( 2 ) m {\displaystyle SO(2)^{m}} 上恒等写像になる。
nが偶数の場合と同様の議論により、ワイル群の任意の元は C 1 , ... , C m , M {\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{m},M} の偶数個の積とPσとの積により書ける事がわかるが、Mに着目するとさらに簡単な表現も得られる。
Λの定義からこれは | B μ Λ ∗ | {\displaystyle |B\mu {}_{\Lambda }^{*}|} がΛ内で逆数を持つことを意味しており、よって B μ Λ ∗ {\displaystyle B\mu {}_{\Lambda }^{*}} は逆行列を持つ。したがって(6)は同型写像である。
以上の事からSO(n)のワイル群W=W(SO(n))の具体的な形と
H ∗ ( B S O ( 2 ) m , Z ) W ⊗ Λ ⊂ H ∗ ( B S O ( 2 ) m , Z ) ≈ Λ [ γ 1 , ... , γ m ] {\displaystyle H^{*}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )^{W}\otimes \Lambda \subset H^{*}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )\approx \Lambda [\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m}]}
の具体的な形を決定すれば H ∗ ( B S O ( n ) , Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n),\Lambda )} の具体的な形が決定できる事になる。
チャーン多項式は以下の性質を満たす。なお文献によっては以下の性質をチャーン類の公理として入れているものもあるが、実は他の公理から従うので、公理に入れる必要はない。
命題 ― CW複体X上の自明な直線バンドルεと任意のベクトルバンドルηに対して以下が成立する:
c ( ε , t ) = 1 {\displaystyle c(\epsilon ,t)=1}
安定性(英: stability): c ( η ⊕ ε , t ) = c ( η , t ) {\displaystyle c(\eta \oplus \epsilon ,t)=c(\eta ,t)}
後者の性質は前者の性質とホイットニー和の公式から従う。また前者に関しては次元公理から c ( ε , t ) = 1 + c 1 ( ε ) t {\displaystyle c(\epsilon ,t)=1+c_{1}(\epsilon )t} とかけるので、 c 1 ( ε ) = 0 {\displaystyle c_{1}(\epsilon )=0} のみ示せば良い。
, b m , − b m ) X k {\displaystyle \sum _{k=1}^{2m}\sigma _{k}(b_{1},-b_{1},\ldots ,b_{m},-b_{m})X^{k}} = ( 1 + b 1 X ) ( 1 − b 1 X ) ⋯ ( 1 + b m X ) ( 1 − b m X ) {\displaystyle =(1+b_{1}X)(1-b_{1}X)\cdots (1+b_{m}X)(1-b_{m}X)} = ( 1 − b 1 2 X 2 ) ⋯ ( 1 − b m 2 X 2 ) {\displaystyle =(1-b_{1}{}^{2}X^{2})\cdots (1-b_{m}{}^{2}X^{2})} = ∑ j = 1 m ( − 1 ) j σ j ( b 1 2 , ... , b m 2 ) X 2 j {\displaystyle =\sum _{j=1}^{m}(-1)^{j}\sigma _{j}(b_{1}{}^{2},\ldots ,b_{m}{}^{2})X^{2j}}
が成立する。両辺の次数を比較する事により、
σ k ( b 1 , − b 1 , ... , b m , − b m ) = { ( − 1 ) j σ j ( b 1 2 , ... , b m 2 ) if k = 2 j 0 if k = 2 j + 1 {\displaystyle \sigma _{k}(b_{1},-b_{1},\ldots ,b_{m},-b_{m})={\begin{cases}(-1)^{j}\sigma _{j}(b_{1}{}^{2},\ldots ,b_{m}{}^{2})&{\text{if }}k=2j\\0&{\text{if }}k=2j+1\end{cases}}}
詳細は後回しにし、先に結論を述べる。
定理 ( H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BSO(n);\Lambda )} 、 H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda )} の構造) ― B ι ∗ {\displaystyle B\iota ^{*}} 、 B μ ∗ {\displaystyle B\mu ^{*}} は単射であり、 γ 1 2 , ... , γ m 2 {\displaystyle \gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2}} の基本対称式を
p j ( n ) := σ j ( γ 1 2 , ... , γ m 2 ) {\displaystyle p_{j}^{(n)}:=\sigma _{j}(\gamma _{1}{}^{2},\ldots ,\gamma _{m}{}^{2})}
とし、
e ( n ) := γ 1 ⋯ γ m {\displaystyle e^{(n)}:=\gamma _{1}\cdots \gamma _{m}}
とするとき、以下が成立する:
H ∗ ( B S O ( n ) ; Λ ) → ∼ B μ ∗ { Λ [ p 1 ( n ) , ... , p m ( n ) ] if n = 2 m + 1 Λ [ p 1 ( n ) , ...