係数環の変更
R 加群 M と S 加群 N を考える.準同型 u ∈ Hom R ( M , N ) {\displaystyle u\in {\text{Hom}}_{R}(M,N)} , ただし N は係数制限によって R 加群と見なす,が与えられたとき,Fu: SM → N を合成
S M = S ⊗ R M → id S ⊗ u S ⊗ R N → N {\displaystyle _{S}M=S\otimes _{R}M{\xrightarrow {{\text{id}}_{S}\otimes u}}S\otimes _{R}N\to N} ,
と定義する,ただし最後の写像は s ⊗ n ↦ s n {\displaystyle s\otimes n\mapsto sn} である.この Fu は S 準同型であり,したがって F : Hom R ( M , N ) → Hom S ( S M , N ) {\displaystyle F\colon {\text{Hom}}_{R}(M,N)\to {\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)} は well-defined で,(アーベル群の)準同型である.
応用
この一般化は体の研究に対してさえ有用である――特に,体に付随する多くの代数的対象はそれら自身は体ではなく表現論のように体上の代数のような環である.ベクトル空間上の係数を拡大できるのと同様に,群環上の係数も拡張でき,したがって群環上の加群すなわち群の表現の係数も拡張できる.特に有用なのは既約表現が係数拡大でどう変わるかを関係づけることである――例えば,平面の 90° の回転によって得られる位数4の巡回群の表現は既約な2次元の実表現であるが,複素数に係数拡大すると,2つの1次元の複素表現に分裂する.これはこの作用素の特性多項式 x + 1 が実数では2次の既約多項式であるが複素数では2つの1次式に分解することに対応する――実固有値は持たないが,2つの複素固有値を持つ.
R と S がともに単位元を持つとき,逆写像 G : Hom S ( S M , N ) → Hom R ( M , N ) {\displaystyle G:{\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)\to {\text{Hom}}_{R}(M,N)} があり,それは以下のように定義される. v ∈ Hom S ( S M , N ) {\displaystyle v\in {\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)} とする.すると Gv は合成
M → R ⊗ R M → f ⊗ id M S ⊗ R M → v N {\displaystyle M\to R\otimes _{R}M{\xrightarrow {f\otimes {\text{id}}_{M}}}S\otimes _{R}M{\xrightarrow {v}}N}
である,ただし最初の写像は標準的な(英語版)同型 m ↦ 1 ⊗ m {\displaystyle m\mapsto 1\otimes m} である.
この構成は群 Hom S ( S M , N ) {\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(_{S}M,N)} と Hom R ( M , N ) {\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(M,N)} が同型であることを示している.実はこの同型は準同型 f のみに依っており,したがって関手的である.圏論のことばでは,係数拡大関手は係数制限関手の左随伴である.
http://mathoverflow.net/questions/1534/induction-and-coinduction-of-representations