四角錐数
n番目の四角錐数は 1 から n 番目の平方数 n までの和に等しいので
∑ k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
で表される。これは以下のように証明される。まず n 番目の三角数を Tn 、n 番目の四角錐数を Sn とすると、
S 1 T 1 = 1 1 = 3 3 , S 2 T 2 = 5 3 , S 3 T 3 = 14 6 = 7 3 , S 4 T 4 = 30 10 = 9 3 , . . . , S n T n = 2 n + 1 3 {\displaystyle {\frac {S_{1}}{T_{1}}}={\frac {1}{1}}={\frac {3}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{2}}{T_{2}}}={\frac {5}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{3}}{T_{3}}}={\frac {14}{6}}={\frac {7}{3}}\ ,\quad {\frac {S_{4}}{T_{4}}}={\frac {30}{10}}={\frac {9}{3}}\ ,\ ...\quad ,{\frac {S_{n}}{T_{n}}}={\frac {2n+1}{3}}}
となるので、