オイラーの四平方恒等式
の形の恒等式(ただし c i {\displaystyle c_{i}} は a i {\displaystyle a_{i}} と b i {\displaystyle b_{i}} の双線型写像)は、n = {1, 2, 4, 8} に対してのみ可能である。しかしながら、より一般的なPfisterの定理(英語版)によって、 c i {\displaystyle c_{i}} を変数の1つの集合の単に有理関数とすれば(分母を許せば)、すべての n = 2 に対して可能である。四平方恒等式の別種は次のように与えられる。
( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 + b 4 2 ) = ( a 1 b 4 + a 2 b 3 + a 3 b 2 + a 4 b 1 ) 2 + ( a 1 b 3 − a 2 b 4 + a 3 b 1 − a 4 b 2 ) 2 + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 u 1 b 1 2 + b 2 2 − a 4 u 2 b 1 2 + b 2 2 ) 2 + ( a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 4 u 1 b 1 2 + b 2 2 − a 3 u 2 b 1 2 + b 2 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})\\=&(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}\\+&(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2})^{2}\\+&\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\\+&\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}}