加群のテンソル積
環 R、右 R-加群 MR、左 R-加群 RN、アーベル群 Z に対して、M × N から Z への双線型写像 (bilinear map) あるいは平衡積 (balanced product) とは関数 φ: M × N → Z であってすべての m, m′ ∈ M、n, n′ ∈ N、r ∈ R に対して次の3条件が成り立つものである:
φ(m + m′, n) = φ(m, n) + φ(m′, n)
φ(m, n + n′) = φ(m, n) + φ(m, n′)
φ(m · r, n) = φ(m, r · n).
M × N から Z へのすべての双線型写像の集合は Bilin(M, N; Z) で表記される。
最後の性質はベクトル空間に対する定義とわずかに異なる。これは必要である;なぜならば Z はアーベル群であるとしか仮定されていないなので r · φ(m, n) は意味をなさない。
双線型写像 φ, ψ に対し演算を pointwise に定義すると φ + ψ は双線型写像であり −φ も双線型写像である。これは集合 Bilin(M, N; Z) をアーベル群にする。単位元は零写像である。
固定された M と N に対し、写像 Z ↦ Bilin(M, N; Z) はアーベル群の圏から集合の圏への関手である。射の部分は群準同型 g : Z → W を関数 φ ↦ g ∘ φ に写す — これは Bilin(M, N; Z) から Bilin(M, N; W) へ行く — ことで与えられる。