コレスキー分解
である( 注.ここで bi bi は、行列の積 )。
以上が、i 回目のステップである。これにより、A から A が計算出来たことになる。n を A の次数として、このステップを n 回繰り返すと A = Inとなりコレスキー分解は終了する。
A ( 1 ) = L 1 L 2 ⋯ L n A ( n + 1 ) L n ∗ ⋯ L 2 ∗ L 1 ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{(1)}={\boldsymbol {L}}_{1}{\boldsymbol {L}}_{2}\dotsb {\boldsymbol {L}}_{n}{\boldsymbol {A}}^{(n+1)}{\boldsymbol {L}}_{n}^{*}\dotsb {\boldsymbol {L}}_{2}^{*}{\boldsymbol {L}}_{1}^{*}}
であり、
L := L 1 L 2 ⋯ L n {\displaystyle {\boldsymbol {L}}:={\boldsymbol {L}}_{1}{\boldsymbol {L}}_{2}\dotsb {\boldsymbol {L}}_{n}}
と置くと、(これが最終的に求める L である。)
A = L L ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {L}}{\boldsymbol {L}}^{*}}
であることが確認できる。
不完全コレスキー分解とは、係数が(通常は疎な)対称行列 A {\displaystyle A} の連立1次方程式を解くのに際して、修正コレスキー分解であれば行列 A を
A = L D L ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {LDL}}^{*}}
と分解するところを、分解途中と分解後の前進後退代入の計算量を減らすためおよび行列 L {\displaystyle L} の非零要素を格納する記憶の量を抑えるために、なるべく行列 L の非零要素数を抑えて、
A = L D L ∗ + N {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {LDL}}^{*}+{\boldsymbol {N}}}
の形に分解する手法である。ここで、行列 N は分解の残差と呼ばれる。
共役勾配法(傾斜法)などの反復法による連立1次方程式の解法において前処理の1つとして利用されることがある。