不確定性原理
よって
D o m ( P ^ ′ ) = { ψ ∣ ψ ( − 1 ) = ψ ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {Dom} ({\hat {P}}')=\{\psi \mid \psi (-1)=\psi (1)} を満たす[−1, 1]区間上の可微分関数 } {\displaystyle \}}
としてよい。(なお、 P ^ ′ {\displaystyle {\hat {P}}'} の自己共役性を示すには、「可微分」を弱微分の意味に解釈する必要があるが、本項の範囲を超えるので詳細は省略する)。
を満たしているとする。このとき、 [ A ^ , B ^ ] ψ := A ^ B ^ ψ − B ^ A ^ ψ {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi :={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi } が定義可能であり、以下の不等式(ロバートソンの不等式)が成立する:
( Δ ψ A ^ ) 2 ( Δ ψ B ^ ) 2 ≥ 1 4 | ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ ψ | 2 {\displaystyle (\Delta _{\psi }{\hat {A}})^{2}(\Delta _{\psi }{\hat {B}})^{2}\geq {\frac {1}{4}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle _{\psi }\right|^{2}}
証明は後述する。
と定義し、さらに A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} の ψ ∈ D o m ( A ^ ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} ({\hat {A}})} に対する不確定性を
Δ ψ A ^ := ‖ ( A ^ − ⟨ A ^ ⟩ ψ I ) ψ ‖ {\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {A}}:=\|({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }I)\psi \|}
により定義する。ここでIは単位行列である。 ⟨ A ^ ⟩ ψ {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }} と Δ ψ A ^ {\displaystyle \Delta _{\psi }{\hat {A}}} は物理的にはそれぞれ、状態 ψ {\displaystyle \psi } にある系で A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} を観測した時に得られる観測値の平均値と標準偏差である。
本節の証明は引用文献H13p243を参考にした。ψが定理の条件を満たす時 [ A ^ , B ^ ] ψ = A ^ B ^ ψ − B ^ A ^ ψ {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi } が定義可能であることは既に見たので、以下不等式が成り立つことの証明のみに注力する。記法を簡単にするため
A ^ ′ := A ^ − ⟨ A ^ ⟩ ψ I B ^ ′ := B ^ − ⟨ B ^ ⟩ ψ I {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}'&:={\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }I\\{\hat {B}}'&:={\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle _{\psi }I\end{aligned}}}
とする。