モジュライ空間
興味深い幾何学的な対象は、自然な自己同型を数多く持っている場合が多い。特に、この場合は詳細モジュライ空間の存在が不可能となる。(直感的には、L がある幾何学対象であるとして、自明な族 L × [0,1] は非自明な自己同型 L × {0} を L × {1} を同一視することで S 上のツイストした族となる。そこで詳細なモジュライ空間 X が存在したとすると、写像 S → X は定数であってはならないが、自明性により任意の固有な開集合の上では定数である必要がある。)従って、荒いモジュライしか得ることができない。しかしながら、このアプローチは空間の存在が保障されていないので理想的というわけではなく、存在するときは特異な状態であることがよくあるので、モジュライ空間が分類する対象の非自明な族についての詳細を誤ることになる。
より込み入ったアプローチは、同型を覚えておくことで、分類をより細分化することである。詳しくいうと、任意の基底 B 上で B 上の族の射)としてとる族の間の同型のみを B に付帯する射とするカテゴリを考えることができる。
彼のアイデアは、分類された種類の対象から始め、それの変形理論(英語版)(deformation theory)を研究する。このことは、最初無限小(infinitesimal)を構成し、それから予備表現可能定理(prorepresentability theorem)を示し、これらを形式スキーム(英語版)(formal scheme)の基底の上の対象へ写像する。次にアレクサンドル・グロタンディーク(Alexandre Grothendieck)のグロタンディークの存在定理(英語版)が完備局所環である基底の上の求めていた対象をもたらす。この対象は、アルティンの近似定理(英語版)(Artin's approximation theorem)を通し、有限生成環上の対象により近似できる。この後者の環のスペクトルは、求めているモジュライ空間のある種の座標チャートとみなすことができる。これらのチャートを互いに貼り合わせて、空間を覆うことができるが、スペクトルの合併からモジュライ空間への写像は、一般には、多 対 1 の写像となる。従って、前者の上に同値関係を定義する。本質的にはもし両者が互いに同型な対象であれば 2点は同値である。これがスキームと同値関係をもたらし、いつもスキームとなるとは限らないが、代数的空間(英語版)(実際は、注意深くすると、代数的スタック)を与える。