シャープ・レシオ
S p = E [ R p ] − r f V a r ( R p ) = β p m V a r ( R p ) ( E [ R m ] − r f ) = C o v ( R p , R m ) V a r ( R m ) V a r ( R p ) ( E [ R m ] − r f ) = ρ p m E [ R m ] − r f V a r ( R m ) = ρ p m S m {\displaystyle S_{p}={\frac {E[R_{p}]-r_{\mathrm {f} }}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{p})}}}={\frac {\beta _{p\mathrm {m} }}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{p})}}}{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}={\frac {\mathrm {Cov} (R_{p},R_{\mathrm {m} })}{\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} }){\sqrt {\mathrm {Var} (R_{p})}}}}{\Big (}E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }{\Big )}=\rho _{p\mathrm {m} }{\frac {E[R_{\mathrm {m} }]-r_{\mathrm {f} }}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{\mathrm {m} })}}}=\rho _{p\mathrm {m} }S_{\mathrm {m} }}
シャープ・レシオの欠点として、リスクプレミアムが負の時にその意味が明瞭ではなくなることがある。例えば同じリスクプレミアムを実現するポートフォリオ A , B {\displaystyle A,B} を考える。ポートフォリオ A , B {\displaystyle A,B} の収益率をそれぞれ R A , R B {\displaystyle R_{A},R_{B}} とすると、そのシャープ・レシオ S A , S B {\displaystyle S_{A},S_{B}} は
S A = E [ R A ] − r f V a r ( R A ) , S B = E [ R B ] − r f V a r ( R B ) {\displaystyle S_{A}={\frac {E[R_{A}]-r_{\mathrm {f} }}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{A})}}},\quad S_{B}={\frac {E[R_{B}]-r_{\mathrm {f} }}{\sqrt {\mathrm {Var} (R_{B})}}}}
となる。ここで、ポートフォリオ A , B {\displaystyle A,B} のリスクプレミアムが負であるとする。つまり