ハミルトン–ヤコビ方程式
1 2 m ( d S z d z ) 2 + U z ( z ) + 1 2 m ( σ 2 + τ 2 ) [ ( d S σ d σ ) 2 + ( d S τ d τ ) 2 + 2 m U σ ( σ ) + 2 m U τ ( τ ) ] = E {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2mU_{\sigma }(\sigma )+2mU_{\tau }(\tau )\right]=E}
最初の常微分方程式
1 2 m ( d S z d z ) 2 + U z ( z ) = Γ z {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}
を分離し、変形して両辺に分母を掛けると以下の簡約されたハミルトン–ヤコビ方程式が得られる。
物理学においてハミルトン–ヤコビ方程式(ハミルトン–ヤコビほうていしき、英語: Hamilton–Jacobi equation)とは古典力学の再定式化であり、ニュートンの運動方程式、ラグランジュ力学、ハミルトン力学などの他の定式化と同値である。ハミルトン–ヤコビ方程式は力学系において保存される量を探し出す場合に特に便利であり、それはたとえ力学の問題それ自身が完全には解けない場合にでさえも可能である。
ハミルトン–ヤコビ方程式はまた、粒子の運動が波として表現される唯一の力学の定式化である。この視点から、ハミルトン–ヤコビ方程式は理論物理学の長らくの目標(少なくとも18世紀、ヨハン・ベルヌーイ以来)である、光の伝播と粒子の運動との類似性を見出す試みを達成したと見ることも出来る。力学系から得られる波動方程式は以下に示すとおり、シュレーディンガー方程式と、完全にではないがよく似ている。ハミルトン–ヤコビ方程式はこのような理由で、最も量子力学に近い古典力学の扱いであると考えられている。
完全に分離された解 S = S r ( r ) + S θ ( θ ) + S φ ( φ ) − E t {\displaystyle S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et} をハミルトン–ヤコビ方程式に代入すると以下が得られる。
1 2 m ( d S r d r ) 2 + U r ( r ) + 1 2 m r 2 [ ( d S θ d θ ) 2 + 2 m U θ ( θ ) ] + 1 2 m r 2 sin 2  θ [ ( d S φ d φ ) 2 + 2 m U φ ( φ ) ] = E {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E}
最初の項で δ q k ( t 1 ) = 0 {\displaystyle \delta q_{k}(t_{1})=0} とし、 δ q k ( t 2 ) {\displaystyle \delta q_{k}(t_{2})} を簡単に δ q k {\displaystyle \delta q_{k}} と書く。 ∂ L / ∂ q ̇ k {\displaystyle \partial L/\partial {\dot {q}}_{k}} を p k {\displaystyle p_{k}} と置き換え、最終的に
δ S = ∑ i = 1 N p k δ q k {\displaystyle \delta S=\sum _{i=1}^{N}p_{k}\delta q_{k}} .
が得られる。この関係から、座標によるハミルトンの主関数 S ( { q i } ; t ) {\displaystyle S(\{q_{i}\};t)} の偏微分は、対応する運動量に等しいことが示された。Q.E.D.
同様に、一般化座標は下記のように、運動量の微分として得られる。式を逆に解いて、系の発展を得ることが出来る。すなわち、一般化座標が時間の関数として得られる。始状態での位置と速度は、 S {\displaystyle S} の積分の中で定数として現れ、それらは全エネルギー、角運動量、ラプラス–ルンゲ–レンツのベクトル(英語版)などの保存量(運動の積分)に対応する。