接続 (ファイバー束)
V ( x , a ) ( ξ x , η a ) = ( 0 , Γ a ( ξ x ) + η a ) ∈ T x U × T a F {\displaystyle V_{(x,a)}(\xi _{x},\eta _{a})=(0,\Gamma _{a}(\xi _{x})+\eta _{a})\in T_{x}U\times T_{a}F}
と書ける Γ a ( ξ x ) ∈ T a F {\displaystyle \Gamma _{a}(\xi _{x})\in T_{a}F} が存在する。
Fの点aに Γ a ( ξ x ) ∈ T a F {\displaystyle \Gamma _{a}(\xi _{x})\in T_{a}F} を対応させるF上のベクトル場を Γ ( ξ x ) {\displaystyle \Gamma (\xi _{x})} と書く。
Γ {\displaystyle \Gamma } はξxにF上のベクトル場の集合 X ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(F)} の元を対応させる X ( F ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(F)} 値1-形式とみなせるので、 Γ {\displaystyle \Gamma } を接続 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} の座標近傍 U × F {\displaystyle U\times F} に関するクリストッフェル形式(英: Christoffel form)という。
ファイバーバンドルの接続のことをエーレスマン接続(英: Ehresmann conection)と呼ぶ場合があるが、主バンドルに対する接続の事を「エーレスマン接続」と読んでいる書籍もあるので注意が必要である。なお主バンドル上においても両者の概念は同値ではなく、ファイバーバンドルの接続のうち構造群の作用に関して不変なものを主バンドルの接続と呼ぶ。
両者の区別のため、一般のファイバーバンドルの接続を一般の接続(英: general connection)、主バンドルの接続を主接続(英: principal connection)と呼ぶ場合がある。
またファイバーバンドルの接続のうち、完備なもののみを「エーレスマン接続」と呼ぶ場合もある。なおエーレスマン自身による定義では完備性を仮定していた。
ファイバーバンドル π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続とはEの各点eに V e ∩ H e = { 0 } {\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}\cap {\mathcal {H}}_{e}=\{0\}} を満たす H e ⊂ T e E {\displaystyle {\mathcal {H}}_{e}\subset T_{e}E} を定めるものであったので、上述の議論から、これはEの各点eに s π ( e ) = e {\displaystyle s_{\pi (e)}=e} を満たすジェット j u 1 s {\displaystyle j_{u}^{1}s} を定める事に等しく、Eの各点にそのようなジェットを定める行為は
j u 1 s ∈ J 1 E ↦ s u ∈ E {\displaystyle j_{u}^{1}s\in J^{1}E\mapsto s_{u}\in E}
の切断を定める行為に等しい。よって π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続概念を以下のように定式化できる:
定理 (ジェットバンドルを使った接続概念の定式化) ― π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} をファイバーバンドルとし、JEを π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の1次のジェットバンドルとする。このとき、
J 1 E → E {\displaystyle J^{1}E\to E}
の切断を π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} の接続という。
「切断」という「水平部分空間」よりも数学的に扱いやすい対象によって接続を定義できる点でこの定義は有益である。
本節ではまず共変微分を天下り的に定義し、次に平行移動の概念を用いて共変微分の概念の意味付けを行う。
まずKoszul接続の定義を復習する:
定義 (Koszul接続) ― π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を実ベクトルバンドルとし、 X ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)} をM上のベクトル場全体の集合とし、 Γ ( E ) {\displaystyle \Gamma (E)} をEの切断の集合とする。
関数
∇ : ( X , s ) ∈ X ( M ) × Γ ( E ) ↦ ∇ X s ∈ Γ ( E ) {\displaystyle \nabla ~:~(X,s)\in {\mathfrak {X}}(M)\times \Gamma (E)\mapsto \nabla _{X}s\in \Gamma (E)}
で以下の性質を満たすものをE上のKoszul接続(英: Koszul connection)あるいは単に接続(英: connection)といい、 ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} を接続 ∇ {\displaystyle \nabla } が定めるsのX方向の共変微分という:
とし、各点pにωpを対応させるP上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 値1-形式の場ωを接続形式(英: connection form)という。ここで A p 1 ( P ; g ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}^{1}(P;{\mathfrak {g}})} はP上の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 値1-形式全体の集合である。
以上の議論から明らかに垂直射影からωが定まり、逆にωから垂直射影が定まるのでωによって接続概念を定式化できる:
定義・定理 (接続形式) ― Mを多様体、Gをリー群とし、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} をGのリー代数とし、さらに P {\displaystyle P} をM上のG-主バンドルとする。 P {\displaystyle P} 上定義された g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} -値の1-形式のC級の場
π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を接続 { V e } e ∈ E {\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}} が定義されたファイバーバンドルとし、 f : N → M {\displaystyle f~:~N\to M} を多様体NからMへのなめらかな写像とすると、ファイバーバンドルの引き戻し
f ∗ E → f ~ E ↓ π ′ ↻ ↓ π N → f M {\displaystyle {\begin{array}{ccc}f^{*}E&{\overset {\tilde {f}}{\to }}&E\\\downarrow \pi '&\circlearrowright &\downarrow \pi \\N&{\overset {f}{\to }}&M\end{array}}}
が定義できる。
定義 ― fE上の点 e ∈ f ∗ E {\displaystyle e\in f^{*}E} に対し、垂直射影V'eを合成関数
T e f ∗ E ⟶ f ~ ∗ T f ~ ( e ) E ⟶ V f ~ ( e ) V f ~ ( e ) ⟶ f ~ ∗ − 1 V e ′ {\displaystyle T_{e}f^{*}E{\overset {{\tilde {f}}_{*}}{\longrightarrow }}T_{{\tilde {f}}(e)}E{\overset {V_{{\tilde {f}}(e)}}{\longrightarrow }}{\mathcal {V}}_{{\tilde {f}}(e)}{\overset {{\tilde {f}}_{*}{}^{-1}}{\longrightarrow }}{\mathcal {V}}'_{e}}
上では回転群 S O ( m ) {\displaystyle \mathrm {SO} (m)} の場合を説明したが、 G L n ( C ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )} (を自然に G L 2 n ( R ) {\displaystyle \mathrm {GL} _{2n}(\mathbb {R} )} の部分群とみなしたもの)や U n ( C ) {\displaystyle \mathrm {U} _{n}(\mathbb {C} )} 、物理学で重要なシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。
こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。後で説明する、リー群の主バンドルに対する接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。
そこで本項では、まずベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の両方を包括する概念であるファイバーバンドルの接続概念を導入する。この概念は「そもそも平行移動とは何か」を直接的に定式化したもので、この概念それ自身が接続形式の言葉で記述されるわけではない。
そして次にファイバーバンドルの接続概念を用いて主バンドルの接続概念を定義すると同時に、主バンドルの接続を接続形式の言葉で再定式化する。そして構造群を持つファイバーバンドルにその主バンドルから接続を誘導する方法を説明する。そして最後にベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の接続形式の言葉で記述する。