ヘロンの三角形
s − b = m ( m n − k 2 ) {\displaystyle s-b=m(mn-k^{2})\,}
s − c = ( m + n ) k 2 {\displaystyle s-c=(m+n)k^{2}\,}
m, n, k は以下の条件を満たす整数である。
gcd ( m , n , k ) = 1 {\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}
m n > k 2 ≥ m 2 n / ( 2 m + n ) {\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}
m ≥ n ≥ 1 {\displaystyle m\geq n\geq 1}
上の条件を満たさない m, n, k を用いてもヘロンの三角形になるが、これは小さいヘロン三角形を拡大したものになる。例えば m = 36, n = 4, k = 3 とすると、a = 5220, b = 900, c = 5400 という三角形ができる。これは、5, 29, 30 という三角形と相似である。
辺の長さが整数である正三角形の面積は無理数となるので、全ての正三角形はヘロンの三角形ではない。3辺の長さが公差1の等差数列をなす「正三角形に近い」ヘロンの三角形は無限に存在する(オンライン整数列大辞典の数列 A003500)。以下に最初のいくつかを示す。
中央の値 n は、前の n を4倍してもう1つ前の n を引いたものになっている(52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, etc.)。漸化式で表すと以下のようになる。
n t = 4 n t − 1 − n t − 2 {\displaystyle n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}}
この数列はリュカ数列の一種であり、 n = ( 2 + 3 ) t + ( 2 − 3 ) t {\displaystyle n=(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}} と表すこともできる。