非圧縮性
J = det ( F ) = | 1 + H 11 H 12 H 13 H 21 1 + H 22 H 23 H 31 H 32 1 + H 33 | = 1 + H 11 + H 22 + H 33 + H ( 2 ) + H ( 3 ) {\displaystyle J=\det(F)={\begin{vmatrix}1+H_{11}&H_{12}&H_{13}\\H_{21}&1+H_{22}&H_{23}\\H_{31}&H_{32}&1+H_{33}\end{vmatrix}}=1+H_{11}+H_{22}+H_{33}+H^{(2)}+H^{(3)}}
ここで、 H ( 2 ) {\displaystyle H^{(2)}} および H ( 3 ) {\displaystyle H^{(3)}} は変位勾配の2次の項と3次の項を表す。非圧縮性であることから、 J = 1 {\displaystyle J=1} とすると、結局次の式を得る。
H 11 + H 22 + H 33 + H ( 2 ) + H ( 3 ) = 0 {\displaystyle H_{11}+H_{22}+H_{33}+H^{(2)}+H^{(3)}=0}
微小変形を考えると、 H ( 2 ) {\displaystyle H^{(2)}} と H ( 3 ) {\displaystyle H^{(3)}} が無視でき、
さらに体積変化率 J {\displaystyle J} と変形勾配テンソル F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} に次の関係があることを利用する。
J = d v d V = det ( F ) {\displaystyle J={\frac {dv}{dV}}=\det({\boldsymbol {F}})}
ここで、 d v {\displaystyle dv} は変形形状 κ t {\displaystyle \kappa _{t}} 内の微小六面体要素の体積を表し、 d V {\displaystyle dV} は基準形状(変形なし形状) κ 0 {\displaystyle \kappa _{0}} 内の微小六面体要素の体積を表す。非圧縮性とは上記の体積変化率 J {\displaystyle J} が1であることに等しい、すなわち次のように定式化できる。
J = det ( F ) = 1 {\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=1}