ハミルトニアン
なお、ラグランジアンの全微分が、
d L = ∑ i { p i d q ̇ i + p ̇ i d q i } {\displaystyle dL=\sum _{i}\left\{p_{i}d{\dot {q}}_{i}+{\dot {p}}_{i}dq_{i}\right\}}
となることに着目すると
d H = ∑ i { d p i ⋅ q ̇ i + p i d q ̇ i } − d L = ∑ i { q ̇ i d p i − p ̇ i d q i } {\displaystyle dH=\sum _{i}\left\{dp_{i}\cdot {\dot {q}}_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i}\right\}-dL=\sum _{i}\left\{{\dot {q}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dq_{i}\right\}}
であり、この表式からハミルトンの正準方程式が導かれる。
対象とする系に対し、いろいろな座標系の取り方が可能である。例を挙げると、中心力場の問題では、極座標系で記述されることが多い。これはその方が問題を解く上で通常の直交座標系を使うより便利なためである。扱う系により、扱うのに適した座標系はまちまちとなる。
解析力学または古典力学においてハミルトニアン H とは、T を運動エネルギー、V をポテンシャルエネルギーとして、全エネルギー を
H = H ( q , p ; t ) = T + V {\displaystyle H=H(q,p;t)\,=T+V}
のように一般化座標 q 、一般化運動量 p によって表した関数のことである。但し t は時間とする。