ケイリーグラフ
このグラフは表示 D 4 = ⟨ b , c ∣ b 2 = c 2 = e , b c b c = c b c b ⟩ {\displaystyle D_{4}=\langle \,b,c\mid b^{2}=c^{2}=e,\ bcbc=cbcb\,\rangle }
に対応する。
ふたつの元 a と b を生成元とする自由群 F2 の生成集合 S = {a, a, b, b} に対応するケイリーグラフは本記事の冒頭に掲げられている。ここで e は単位元を表す。辺に沿った右への移動は a の右からの乗算で表され、辺に沿った上への移動は b の右からの乗算で表される。自由群は関係式を持たないので、ケイリーグラフは閉路を持たない。このケイリーグラフはバナッハ・タルスキーのパラドックスの証明における主要な要素である。
離散ハイゼンベルク群
{ ( 1 x z 0 1 y 0 0 1 ) : x , y , z ∈ Z } {\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\\\end{pmatrix}}:\ x,y,z\in \mathbb {Z} \right\}}
のケイリーグラフは右のように表される。生成元は成分 x, y, z における 1, 0, 0 の置換から与えられる三つの行列 X, Y, Z である。これらの生成元は図から読み取れる関係式 Z = XYXY, XZ = ZX, YZ = ZY を満たす。この群は非可換無限群で三次元空間で表すことができ、ケイリーグラフは四次元の volume growth を持つ。