五十一角形
正五十一角形においては、中心角と外角は7.058...°で、内角は172.941...°となる。一辺の長さが a の正五十一角形の面積 S は
S = 51 4 a 2 cot  π 51 ≃ 206.71914 a 2 {\displaystyle S={\frac {51}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{51}}\simeq 206.71914a^{2}}
cos  ( 2 π / 51 ) {\displaystyle \cos(2\pi /51)} を有理数と平方根で表すことが可能である。
正五十一角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形の一つである。
正五十一角形がコンパスと定規で作図できることは1796年にカール・フリードリヒ・ガウスが正十七角形がコンパスと定規で作図できることを発見したと同時に証明されたことになる。これは任意の三角関数において、その変数としての角が 2π/51 radのとき、関数の値が有理数と平方根の組み合わせのみで表現できることを意味する。