箱の中の気体
その他の熱力学的パラメータは、質量のある粒子の場合と同じように導出される。 たとえば振動数分布関数を積分し、Nについて解くと粒子数が得られる。
N = 16 π V c 3 h 3 β 3 L i 3 ( e μ / k T ) {\displaystyle N={\frac {16\,\pi V}{c^{3}h^{3}\beta ^{3}}}\,\mathrm {Li} _{3}\left(e^{\mu /kT}\right)}
最も一般的な質量のないボース気体は黒体における光子気体である。 黒体の空洞を箱と考えると、光子は壁によって断続的に吸収・再放出される。 この場合、光子の数は保存されない。 ボース=アインシュタイン統計の導出において粒子数の制限が取り除かれると、これは化学ポテンシャル(μ)が0である状況と実質的に同じである。 さらに光子は2つのスピン状態をもつので、fの値は2である。 このときエネルギースペクトル密度は、
これは重要な量である。なぜならΛが粒子間距離 ( V / N ) {\displaystyle (V/N)} のオーダーのときは、量子的な効果が支配し始め、気体はマクスウェル=ボルツマン気体とは見なせなくなるからである。
質量のない粒子では
d g E = ( V f Λ 3 ) 1 2 β 3 E 2 d E P E d E = 1 N ( V f Λ 3 ) 1 2 β 3 E 2 Φ ( E ) d E {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dg_{E}&=\quad \ \left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~\beta ^{3}E^{2}~dE\\P_{E}~dE&={\frac {1}{N}}\left({\frac {Vf}{\Lambda ^{3}}}\right){\frac {1}{2}}~{\frac {\beta ^{3}E^{2}}{\Phi (E)}}~dE\\\end{alignedat}}}
ここでのΛは質量のない粒子の熱的波長である。
Λ = c h β 2 π 1 / 3 {\displaystyle \Lambda ={\frac {ch\beta }{2\,\pi ^{1/3}}}}