ポントリャーギン類
M 上の実ベクトルバンドル E が与えられると、その k-次ポントリャーギン類(Pontryagin class) pk(E) は、
pk(E) = pk(E, Z) = (−1) c2k(E ⊗ C) ∈ H(M, Z)
として定義される。ここに
c2k(E ⊗ C) は、E の複素化(英語版)(complexification) E ⊗ C = E ⊕ iE の2k-次チャーン類である。
H(M, Z) は M の整数係数の 4k-次コホモロジー群である。
有理ポントリャーギン類 pk(E, Q) は、H(M, Q) の中の pk(E) の像、有理係数の M 上の 4k-次コホモロジー群として定義される。