ディラック・スピノル
ここで
φ {\displaystyle \phi } は任意の2成分スピノル
σ → {\displaystyle {\vec {\sigma }}} はパウリ行列
E p → {\displaystyle E_{\vec {p}}} は正の平方根 E p → = + m 2 + p → 2 {\displaystyle E_{\vec {p}}=+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}
自然単位系において、m がp に追加されたりm が p / {\displaystyle {p\!\!\!/}} に追加される場合、m は通常単位系でのmcを意味する。m がEに追加される場合、m は通常単位系でのmc を意味する。m が ∂ μ {\displaystyle \partial _{\mu }} や ∇ {\displaystyle \nabla } に追加される場合、それは通常単位系での m c / ħ {\displaystyle mc/\hbar } (逆コンプトン波長と呼ばれる)を意味する。
明らかに、次の様になる:
u ( p , 1 ) = E + m [ 1 0 p 3 E + m p 1 + i p 2 E + m ] a n d u ( p , 2 ) = E + m [ 0 1 p 1 − i p 2 E + m − p 3 E + m ] {\displaystyle u(\mathbf {p} ,1)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}1\\0\\{\dfrac {p_{3}}{E+m}}\\{\dfrac {p_{1}+ip_{2}}{E+m}}\end{bmatrix}}\quad \mathrm {and} \quad u(\mathbf {p} ,2)={\sqrt {E+m}}{\begin{bmatrix}0\\1\\{\dfrac {p_{1}-ip_{2}}{E+m}}\\{\dfrac {-p_{3}}{E+m}}\\\end{bmatrix}}}
p x ≡ p μ x μ ≡ E t − p → ⋅ x → {\displaystyle px\equiv p_{\mu }x^{\mu }\equiv Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}} ,
p μ = { ± m 2 + p → 2 , p → } {\displaystyle p^{\mu }=\left\{\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},{\vec {p}}\right\}} は平面波の4元波数ベクトルであり、ここでの p → {\displaystyle {\vec {p}}} は任意である。
x μ {\displaystyle x^{\mu }} は与えられた慣性系にある4座標である。
正周波数の解にとってのディラックスピノルは次のように書き表すこともできる。
ω p → = [ φ σ → ⋅ p → E p → + m φ ] , {\displaystyle \omega _{\vec {p}}={\begin{bmatrix}\phi \\{\dfrac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}},}