Gδ集合
(X, ρ) を完備距離空間とするとき、部分集合 A ⊂ X について次は同値である。 A が X の Gδ-集合であること A 上の距離函数 σ で ρ|A(X の距離函数 ρ の A への制限)と(位相に関する意味で)同値であるようなものが存在して、(A, σ) がふたたび完備距離空間となること
Gδ-集合の重要な性質は、位相空間から距離空間への連続写像がその上で定義され得るということにある。厳密に言えば、そのような写像 f が連続となるような点全体の成す集合は G δ {\displaystyle G_{\delta }} -集合を成すということである。これは、点 p における連続性というのが Π02-式で定義されることによる。具体的に書けば、任意の正整数 n に対して p を含む開集合 U で任意の x, y ∈ U について d(x, y) < 1/n を満たすようなものが取れるが、一旦 n の値を固定して対応する部分集合 U が取れるような点 p の全体を考えるとそれ自身が(開集合の和として)開集合であり、ここで n に対して普遍量化子を附すことは得られた開集合たちの可算交叉をとることに対応するから、所期の結論を得る。実数直線においてはこの逆も成り立つ:
実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する(トマエ函数などを参照)が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。