ハルトークスの拡張定理
を考える。
定理 Hartogs (1906): H ε {\displaystyle H_{\varepsilon }} 上の任意の正則函数 f {\displaystyle f} は Δ 2 {\displaystyle \Delta ^{2}} へ解析接続される。すなわち、 Δ 2 {\displaystyle \Delta ^{2}} 上の正則函数 F {\displaystyle F} が存在し、 H ε {\displaystyle H_{\varepsilon }} 上で F = f {\displaystyle F=f} となる。
実際、コーシーの積分公式を使い、拡張された函数 F {\displaystyle F} 得ることができる。すべての正則函数は多重円板へ解析接続できて、多重円板はもとの正則函数が定義された領域よりも真に広くなる。このような現象は、一変数では決して起きない現象である。
元々の証明は1906年にフリードリヒ・ハルトークスにより与えられ、コーシーの積分公式を多変数複素函数に適用して証明された。現在は、通常、ボホナー・マルティエリ・コッペルマンの公式(英語版)(Bochner–Martinelli–Koppelman formula)か、コンパクトな台を持つ非同次コーシー・リーマンの方程式の解に依拠して証明される。コーシー・リーマンの方程式によるアプローチは、レオン・エーレンプライス(英語版)(Leon Ehrenpreis)が論文 (Ehrenpreis 1961) で導入した。もうひとつの非常に単純な証明は、ガエターノ・フィチェーラ(英語版)(Gaetano Fichera)が論文 (Fichera 1957) で、多変数正則函数のディリクレ問題の解とCR関数に関連した概念を用いて与えた。後に、彼はこの定理を論文 (Fichera 1983) で偏微分方程式のあるクラスへ拡張し、さらにこのアイデアは、その後ギウリアーノ・バラッティ(Giuliano Bratti)により大きく拡張された。また、金子晃らの偏微分作用素の日本での研究も、この分野に大きく寄与している。彼らのアプローチは、エーレンプライスの基本原理(英語版)(Ehrenpreis' fundamental principle)を使うものである。