普遍係数定理
よって E x t R ( R / ( x ) , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)} = C o k e r ( ( x ⋅ ) ∗ ) {\displaystyle =\mathrm {Coker} ((x\cdot )^{*})} ≈ N / ( x ) {\displaystyle \approx N/(x)} である。
5.は4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RとR/(xi)の直和で書ける。よって1.により、 E x t R ( M , K ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,K)} は E x t R ( R n , K ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R^{n},K)} と E x t R ( R / ( x i ) , K ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x_{i}),K)} の直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。
TorRの場合と同様、Mが有限生成R-加群であれば、これらの性質からExtRを具体的に計算できる。
可換環Rに対し、 C ∗ = ( C n , δ n ) n ∈ Z {\displaystyle C^{*}=(C^{n},\delta ^{n})_{n\in \mathbb {Z} }} で D ∗ := ( C − n , δ − n ) n ∈ Z {\displaystyle D_{*}:=(C^{-n},\delta ^{-n})_{n\in \mathbb {Z} }} がR上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい、
H n ( C ∗ ) := H n ( D ∗ ) {\displaystyle H^{n}(C^{*}):=H_{n}(D_{*})}
を C ∗ {\displaystyle C^{*}} のn次のコホモロジー加群という。