無理回転
力学系の数学理論において、無理回転(むりかいてん、英: irrational rotation)とは、次の写像のことを言う:
T θ : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] , T θ ( x ) ≜ x + θ mod 1. {\displaystyle T_{\theta }:[0,1]\rightarrow [0,1],\quad T_{\theta }(x)\triangleq x+\theta \mod 1.}
但し θ は無理数である。円を R/Z、あるいは境界が貼り合わされる区間 [0, 1] と見なすと、この写像は全回転に対する割合 θ(すなわち、2πθ ラジアンのある角)による円の回転を表すことになる。θ は無理数であるので、この回転は円周群において無限の位数を持ち、写像 Tθ は周期軌道を持たない。
上の代わりに、無理回転は乗法を用いて次の写像のように表すことも出来る:
T θ : S 1 → S 1 , T θ ( x ) = x e 2 π i θ {\displaystyle T_{\theta }:S^{1}\to S^{1},\quad \quad \quad T_{\theta }(x)=xe^{2\pi i\theta }}
これら加法と乗法の記法の間にある関係は、群同型