スターリングの近似
である。 スターリングの公式と比較して積分定数を求め
log  Γ ( z ) = 1 2 log  2 π − z + ( z − 1 2 ) log  z + 2 ∫ 0 ∞ arctan  ( t / z ) e 2 π t − 1 d t {\displaystyle \log \Gamma (z)={\frac {1}{2}}\log 2\pi -z+\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt}
真数に直して
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = 2 π z ( z e ) z e μ ( z ) , μ ( z ) = 2 ∫ 0 ∞ arctan  ( t / z ) e 2 π t − 1 d t , ( R z > 0 ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)={\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}e^{\mu (z)},\quad \mu (z)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}dt,\quad (\Re z>0)}
を得る。なお、ビネーの公式を元にして部分積分を繰り返すとスターリングの級数が得られる。
log  a n 2 π = ∑ m = n ∞ log  a m a m + 1 = ∑ k = 2 ∞ ( k − 1 ) ( − 1 ) k 2 k ( k + 1 ) ∑ m = n ∞ 1 m k = ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k 2 k ( k + 1 ) { 1 n k − 1 + O ( 1 n k ) } = 1 12 n + O ( 1 n 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {a_{n}}{\sqrt {2\pi }}}&=\sum _{m=n}^{\infty }\log {\frac {a_{m}}{a_{m+1}}}=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(k-1)(-1)^{k}}{2k(k+1)}}\sum _{m=n}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}\\&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k(k+1)}}\left\{{\frac {1}{n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)\right\}\\&={\frac {1}{12n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)\end{aligned}}}