バナッハの不動点定理
ε > 0 を任意とする。q ∈ [0, 1) であることより、十分大きな N ∈ N に対して次が成り立つ。
q N < ε ( 1 − q ) d ( x 1 , x 0 ) . {\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}
したがって m, n を十分大きな数とすれば、次が得られる。
d ( x m , x n ) ≤ q n d ( x 1 , x 0 ) ( 1 1 − q ) < ( ε ( 1 − q ) d ( x 1 , x 0 ) ) d ( x 1 , x 0 ) ( 1 1 − q ) = ε . {\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .