軟化子
が得られる。これは B 1 / 2 = { x : | x | < 1 / 2 } {\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}} 上で 1 {\displaystyle 1} と等しく、台は B 3 / 2 = { x : | x | < 3 / 2 } {\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}} に含まれる滑らかな函数である。これは | x | {\displaystyle |x|} ≤ 1 / 2 {\displaystyle 1/2} および | y | {\displaystyle |y|} ≤ 1 / 2 {\displaystyle 1/2} であれば | x − y | {\displaystyle |x-y|} ≤ 1 {\displaystyle 1} であることから容易に分かる。したがって、 | x | {\displaystyle |x|} ≤ 1 / 2 {\displaystyle 1/2} に対し、
軟化子のすべての性質は、畳み込みの下での挙動と関連している:以下にそれらの性質を列挙する。証明は超函数に関する多くの著書に見られる。
↑ (Sobolev 1938)を参照。
↑ 隆起函数のように。
↑ (Giusti 1984, p. 11)を参照。
↑ 論文 (Friedrichs 1944) が出版されたのは、ローラン・シュヴァルツが自身の業績を広める数年前であった。
↑ 収束に関する位相は、明らかに、考えられているヒルベルト空間あるいはバナッハ空間である。
↑ (Friedrichs 1944, pp. 136–138) の性質 PI, PII, PIII およびそれらの帰結としての PIII0 を参照されたい。
1 2 これに関して Friedrichs (1944, pp. 132) では次のように述べられている:-"The main tool for the proof is a certain class of smoothing operators approximating unity, the "mollifiers".
↑ (Friedrichs 1944, p. 137) の paragraph 2, "Integral operators" を参照。
↑ (Hörmander 1990, p. 14) の lemma 1.2.3. を参照されたい:陰的な形状で定義される例として、t ∈ R に対する f(t) = exp(-1/t) をはじめに定義し、x ∈ R に対する f(x) = f (1-|x|) = exp(-1/(1-|x|)) を考慮するというものがある。
↑ 例えば (Hörmander 1990) を参照。
↑ この事実の証明は、(Hörmander 1990, p. 25) の Theorem 1.4.1. に見られる。
任意の超函数 T {\displaystyle T} に対し、実数 ε {\displaystyle \epsilon } を添え字とする畳み込みの族
T ε = T ∗ φ ε {\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}
を考える。ここで ∗ {\displaystyle \ast } は畳み込みを表す。これは滑らかな函数の族である。