ド・グアの定理
定義より U { 2 , 3 } {\displaystyle U_{\{2,3\}}} は U = △ A B C {\displaystyle U=\triangle ABC} の x 2 x 3 {\displaystyle x_{2}x_{3}} -平面への直交射影だから、O(原点), B, C を頂点とする △ O B C {\displaystyle \triangle OBC} である。同様に U { 1 , 3 } = △ A O C {\displaystyle U_{\{1,3\}}=\triangle AOC} , U { 1 , 2 } = △ A B O {\displaystyle U_{\{1,2\}}=\triangle ABO} なので、Conant–Beyerの定理は
vol 2 2 ( △ A B C ) = vol 2 2 ( △ O B C ) + vol 2 2 ( △ A O C ) + vol 2 2 ( △ A B O ) {\displaystyle {\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABC)={\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle OBC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle AOC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABO)}
となってド・グアの定理が得られる。
ド・グアの定理(ド・グアのていり、英: De Gua's theorem)はピタゴラスの定理の3次元版ともいえる定理であり、ジャン・ポール・ド・グア・ド・マルヴ(英語版、フランス語版)にちなんで命名された。日本では、四平方の定理と呼ばれることが多い。
三角錐に、3面が直交しあう頂点がある(立方体の頂点と同様)ならば、その頂点と向かい合う面の面積の平方は、残りの3つの各面の面積の平方の和に等しい。
A A B C 2 = A A B O 2 + A A C O 2 + A B C O 2 {\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}}