ステレオ投影
前の節で定義された立体射影は、“南極” (0, 0, -1) を (0, 0) に、“赤道” を単位円に、南半球をその円の内側に、北半球をその円の外側に射影する。
この変換は N = (0, 0, 1) では定義されない。この点の小さい近傍は、平面の (0, 0) から遠く離れた部分集合に射影される。P を (0, 0, 1) に近づけるほど、像は (0, 0) より遠くなる。この性質により、一般に (0, 0, 1) は射影によって平面の無限遠点に写ると言われ、また球面は “無限遠点” を付け加えて平面を完備化しているといわれる。この事実が、射影幾何学や複素解析において有用である。単に位相的なレベルでは、それは球面が平面の一点コンパクト化に同相である様子を示している。
立体射影は等角写像、つまり曲線同士が互いに交わる角度を保存する(図参照)。しかし、面積は保存しない。一般に球面の領域の面積は平面に射影した面積に等しくない。XY-座標での面積要素は次のようになる:
単位円 X + Y = 1 では、面積の歪みは見られない。(0, 0) の近くでは4倍に歪められ、無限遠点の近くではいくらでも小さくなる。
角度と面積をともに保存する球面から平面への写像は存在しない。仮にあるとすれば、それは局所等長写像で、ガウス曲率を保存しているはずである。
となる。同様に、別の複素座標 ξ = X − iY を取れば
ξ = x − i y 1 + z , {\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}},}
( x , y , z ) = ( 2 R e  ( ξ ) 1 + ξ ̄ ξ , − 2 I m  ( ξ ) 1 + ξ ̄ ξ , 1 − ξ ̄ ξ 1 + ξ ̄ ξ ) {\displaystyle (x,y,z)=\left({\frac {2\operatorname {\Re e} (\xi )}{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {-2\operatorname {\Im m} (\xi )}{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {1-{\bar {\xi }}\xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }}\right)}
が南極から赤道面への立体射影を定義する。ζ-座標から ξ-座標への遷移写像は ζ = 1⁄ξ および ξ = 1⁄ζ で与えられ、ξ → ∞ のとき ζ → 0 であり、逆もまた然りである。これにより複素数に対するエレガントで有用な無限大の概念がえられ、これは実際に有理型函数の理論の全容をリーマン球面へ引き写すものになっている。単位球面上の標準リーマン計量はリーマン球面上のフビニ–スタディ計量に一致する。