分岐点 (数学)
代数幾何学においては、分岐の概念を任意の代数曲線の間の写像に拡張することができる。ƒ: X → Y を代数曲線の射とする。Y 上で定義された有理函数を X 上の有理函数へ f で引き戻すことにより、函数体 K(Y) は K(X) の拡大体となる。ƒ の次数は、拡大次数 [K(X) : K(Y)] として定義され、この次数が有限ならば ƒ は有限であると言う。
以下 ƒ は有限と仮定する。各点 P ∈ X に対して、分岐指数 (ramification index) eP は以下のように定義される。Q = ƒ(P) かつ、t を P における局所一意化変数(英語版)とする。つまり t は Q の近傍でされる正則関数 (regular function) で、t(Q) = 0 かつその微分係数が非零である。t の ƒ による引き戻しは X 上の正則関数であり、このとき
e P = v P ( t ∘ f ) {\displaystyle e_{P}=v_{P}(t\circ f)}
が成り立つ。ここで vP は P における正則函数全体の成す局所環の賦値である。つまり eP は点 P における t ∘ f の零点の位数である。eP > 1 ならば ƒ は P において分岐する (ramify) と言い、Q を分岐値 (branch point) と呼ぶ。