線型代数群
Un で k 上 GLn に含まれる対角成分がすべて 1 である上三角行列からなる群とする。体 k 上の群スキーム(例えば線型代数群)は、ある n に対して Un のある閉部分群スキームと同型であるとき、べき単 unipotent であるという。Un がべき零であることは簡単に確かめられる。よって、任意のべき単群スキームはべき零である。
体 k 上の線型代数群 G がべき単である必要十分条件は G ( k ̄ ) {\displaystyle G({\bar {k}})} のすべての元がべき単であることである。
GLn に含まれる上三角行列からなる群 Bn は半直積
B n = T n ⋉ U n {\displaystyle \mathbf {B} _{n}=\mathbf {T} _{n}\ltimes \mathbf {U} _{n}}
である。ここで Tn は diagonal torus (Gm) である。より一般に、連結で可解な線型代数群はトーラスとべき単群の半直積 T ⋉ U である。
完全体(例えば、代数的閉体) k 上滑らかで連結なべき単群は、すべての商群が加法群 Ga と同型である組成列を持つ。
↑ Borel 1991a, Theorem 11.1.
↑ Milne 2017, Theorems 7.18 and 8.43.
↑ Borel 1991a, Corollary 11.2.
↑ Milne 2017, Definition 6.46.
↑ Bröcker & tom Dieck 1985, pp. 151ff., section III.8.
↑ Conrad 2014, section D.3.
↑ Conrad 2014, after Proposition 5.1.17.
↑ Conrad 2014, Proposition 5.4.1.
↑ Springer 1998, 9.6.2 and 10.1.1.
↑ Milne 2017, Lemma 19.16.
↑ Milne 2017, Theorem 22.2.
↑ Renner, Lex (2006), Linear Algebraic Monoids, Springer .
↑ Milne (2017), Theorem 14.37.
↑ Deligne & Milne (1982), Corollary II.2.7.
↑ Deligne & Milne (1982), Remark II.2.28.