基底 (位相空間論)
B が X の開基ならば、位数が |B′| = w(X) となるような開基 B′ ⊆ B が存在する。
N が x ∈ X の近傍基ならば、位数が |N′| = χ(x, X) を満たす近傍基 N′ ⊆ N が存在する。
f: X → Y を連続写像とすると、nw(Y) ≤ w(X) が成り立つ。これは単に、X の各開基 B に対して Y-ネットワーク fB := {f(U) : U ∈ B} を考えればよい。
(X, τ) がハウスドルフならば、より弱いハウスドルフ位相 (X, τ′) で w(X, τ′) ≤ nw(X, τ) となるものが取れる。より強く、X がさらにコンパクトならば τ′ = τ と取れて、最初の事実と合わせて nw(X) = w(X) を得る。
f: X → Y がコンパクト距離化可能空間からハウスドルフ空間への連続な全射ならば Y はコンパクト距離化可能である。
最後に挙げた事実は、像 f(X) はコンパクトハウスドルフ、従って nw(f(X) = w(f(X)) ≤ w(X) ≤ א0 となること(コンパクト距離化可能空間は第二可算である必要がある)と、コンパクトハウスドルフ空間が距離化可能であるのはちょうどそれが第二可算であるときであるという事実とから従う。 (このことを応用して、例えば、ハウスドルフ空間における任意の道 (path) はコンパクト距離化可能であることなどがわかる)。
空間の位相を記述することについては、閉集合も開集合と同等の能力を有する。それゆえに、位相空間の閉集合に対しても、開基と双対的な基底の概念というものが存在する。与えられた位相空間 X に対し、X の閉集合の基底(閉集合基、閉基)とは、閉集合族 F で、任意の閉集合 A が F の元の交わりとなるようなものを言う。
言い換えれば、与えられた閉集合族 F が閉基を成すのは、各閉集合 A と A に属さぬ各点 x に対し、A を含み x を含まぬような F の元が存在するときである。
F が X の閉基であるための必要十分条件が「F の元の補集合全体からなる族が X の開基となること」であることを確かめるのは容易である。
F を X の閉基とすると
∩F = ∅