勾配 (ベクトル解析)
関数の勾配を勾配場と呼ぶ。連続勾配場は常に保存場で、任意の積分路に沿った線積分は積分路の端点にのみ依存して決まり、その値は勾配定理(線積分に対する微分積分学の基本定理)で求められる。逆に連続保存ベクトル場は必ずある関数の勾配場として得られる。
ユークリッド空間 R から R への関数 f の、任意の点 x0 ∈ R における勾配は、x0 における f の最適線型近似を特徴づけるものである。即ち、線型近似式は x0 にほど近い x に対して
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + ( ∇ f ) x 0 ⋅ ( x − x 0 ) {\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+(\nabla f)_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})}
で与えられる。ここで (∇ f )x0 は x0 における f の勾配であり、中黒は R におけるドット積である。この式は f の x0 における多変数テイラー級数展開の最初の 2 項をとったものと同値である。