余弦定理
c = a + b − 2ab cos γ
が成り立つ。これらの式が成り立つという命題を余弦定理、あるいは第二余弦定理という。
余弦定理は 1つの内角の大きさとそれをはさむ 2辺の長さが分かっていれば、対辺(残りの辺)の長さが決まるという定理である。このことは三角形の合同条件に対応している。逆に 3辺の長さが分かっていれば
cos  α = b 2 + c 2 − a 2 2 b c {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}
と余弦について解くことによって内角の大きさを知ることができる。
第二余弦定理において、特に α = π/2 の場合は、cos α = 0 なので、ピタゴラスの定理
a = b + c
などが導かれる。すなわち、第二余弦定理は、「一般の三角形に対するピタゴラスの定理」といえる。
第二余弦定理は、三平方の定理を利用すれば、三角法の定理(正弦定理や第一余弦定理など)を使わずに導出することができる。ただし垂線を引くので △ABC の 1つの内角と 90度の大小関係で場合分けする必要がある。
△ABC において、γ ≤ π/2 の場合、B から直線AC に下ろした垂線の足を H とすると、BH = a sin γ, CH = a cos γ, AH = AC − CH = b − a cos γ であり、△ABH に三平方の定理を使えば
c 2 = ( b − a cos  γ ) 2 + ( a sin  γ ) 2 = b 2 − 2 a b cos  γ + a 2 ( cos 2  γ + sin 2  γ ) = a 2 + b 2 − 2 a b cos  γ {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=\left(b-a\cos \gamma \right)^{2}+\left(a\sin \gamma \right)^{2}\\&=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\left(\cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma \right)\\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}}
となる。
γ が鈍角の場合は、「CH = −a cos γ」となるが、「AH = b − a cos γ」となることに変わりはなく、この場合も上記の式が導出される。
ユークリッド原論第2巻命題13では、鋭角三角形に対する第二余弦定理が示されている。
△ABC において、A から BC に下ろした垂線の足を H とし、p = BH, q = HC, h = AH とする。
第2巻命題7で示されている
a 2 + p 2 = 2 a p + q 2 {\displaystyle a^{2}+p^{2}=2ap+q^{2}}
という関係を使うことで
a 2 + ( p 2 + h 2 ) = 2 a p + ( q 2 + h 2 ) {\displaystyle a^{2}+\left(p^{2}+h^{2}\right)=2ap+\left(q^{2}+h^{2}\right)}
△ABH と △ACH にピタゴラスの定理を使って
a 2 + c 2 = 2 a p + b 2 {\displaystyle a^{2}+c^{2}=2ap+b^{2}}
となる。
余弦関数を用いた表現では p = c cos β である。