大直交性定理
大直交性定理を具体例に応用することで、以下の重要な結論が導かれる。
ある点群に可能な既約表現が全部でn個あったとする。この各規約表現の次元の2乗を既約表現全てにわたって加えたものは、その点群の次数(つまり要素の数、対称操作の数)に等しい。
ある既約表現について、その対象操作に対応する各表現行列の指標の2乗をすべての対称操作について加えたものは、その点群の次数に等しい。
1つの点群の2つの既約表現について、同じ対称操作に対応するそれぞれの表現行列の指標を作ったとき、その積をすべての対称操作について加えたものはゼロになる。言い換えれば、既約表現のすべての対称操作の表現行列の指標を成分とするベクトルは、違った既約表現間で直交する(単純指標の直交性)。
ある点群に可能な既約表現の数は、その類の数に等しい。
同じ類に属する表現行列の指標は等しい(相似変換の性質)。