リーマン・ロッホの定理
代数幾何学での次元が 2 のときのそのような公式は、代数幾何学のイタリア学派(英語版)により基礎づけられ、曲面のリーマン・ロッホの定理が証明された(いくつかのバージョンがあり、最初のバージョンはマックス・ネター(英語版)よる)。
詳細は「曲面のリーマン・ロッホの定理」を参照
n-次元への一般化であるヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理は、フリードリッヒ・ヒルツェブルフにより、代数トポロジーの特性類の応用として発見され証明された。彼の仕事は小平邦彦の仕事に大きな影響を与えた。同時期に、ジャン・ピエール・セールは、現在では知られているようなセール双対性に一般的な形を与えた。
アレクサンドル・グロタンディークは、1957年に現在はグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理(英語版)(Grothendieck–Riemann–Roch theorem)として知られている遠大な一般化を行った。これにより、リーマン・ロッホの定理は1つの多様体についての定理ではなく、2つの多様体の間の射についての定理として一般化される。この証明の詳細は、1958年にボレルとセールにより出版された。後にグロタンディークらによって証明の簡略化と一般化がなされている。
そして、代数トポロジーにおいてもリーマン・ロッホの定理の一般化が発見された。これらの発展は、本質的には1950年から1960年の間にすべて推し進められた。その後、アティヤ=シンガーの指数定理が一般化の別の道を切り開いた。
以上の帰結として、連接層のオイラー標数はある程度計算が可能である。オイラー標数を定義する層コホモロジーの次元の交代和のうち、特定の次数の値のみを計算するためには、消滅定理のような追加の議論が必要となる。