可微分多様体
リーマン多様体とは接空間に微分可能なような内積を入れた可微分多様体である。内積構造はリーマン計量と呼ばれる対称2階テンソルの形式で与えられる。この計量はベクトルと余ベクトルを相互変換するために、そして階数4のリーマン曲率テンソルを定義するために、使うことができる。リーマン多様体には、長さ、体積、角度の概念がある。任意の可微分多様体にはリーマン構造を与えることができる。
擬リーマン多様体はリーマン多様体の変種で、計量テンソルが(正定値とは対照的に)不定値符号を持つことも許したものである。符号 (3, 1) の擬リーマン多様体は一般相対論において重要である。すべての可微分多様体に擬リーマン構造を与えられるわけではない。位相幾何学的な制限があるのである。
フィンスラー多様体はリーマン多様体の一般化で、内積をベクトルノルムに置き換えたものである。長さは定義できるが、角度は定義できない。
Algebraic and Geometric Surgery. Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press. ISBN 0-19-850924-3
Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1901). Die Methoden des absoluten Differentialkalkuls
Ricci-Curbastro, Gregorio (1888). Delle derivazioni covarianti e controvarianti e del loro uso nella analisi applicata (Italian).
Riemann, Bernhard (1867). “Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (幾何学の基礎をなす仮説について)”. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13. Available online at Trinity College Dublin
Sela, Zlil (1995). “The isomorphism problem for hyperbolic groups. I”.
言い換えると、チャートの定義域が重なっているところでは、各チャートによって定義された座標はアトラスのすべてのチャートによって定義された座標に関して微分可能であることが要求される。様々なチャートによって定義された座標を互いに結びつける写像を変換関数 (transition map/遷移写像/座標変換) と呼ぶ。
微分可能性は文脈によって連続微分可能、k 回微分可能、滑らか、正則といった異なる意味を持つ。さらに、抽象的な空間にそのような可微分構造を誘導できることによって微分可能性の定義を大域的な座標系なしの空間に拡張することができる。微分構造によって大域的に微分可能な接空間、微分可能な関数、微分可能なテンソル場やベクトル場を定義することができる。可微分多様体は物理においても非常に重要である。特別な種類の可微分多様体は古典力学、一般相対論、ヤン・ミルズ理論といった物理理論の基礎をなす。可微分多様体に対して微積分を展開することが可能である。これによってexterior calculus(外微分法/外微分学)のような数学的機構が導かれる。可微分多様体上の微積分の研究は微分幾何学と呼ばれる。