固有射
すると、持上げの問題は次の可換図式
Spec ( Frac ( O C , p ) ) → X ↓ ↓ Spec ( O C , p ) → Y {\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})&\rightarrow &Y\end{matrix}}}
の持上げの問題になるが、これが固有性の付値判定法における状況であった。スキーム Spec ( Frac ( O C , p ) ) {\displaystyle {\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))} は p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} のまわりの閉点 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} を除いた局所円板と思える。
閉じたコンパクト多様体の類似物でなぜ固有性の付値判定法が成り立つのか直感的に理解するために、反例を見てみよう。 X = P 1 − { x } {\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}-\{x\}} 、 Y = Spec ( C ) {\displaystyle Y={\text{Spec}}(\mathbb {C} )} として、 Spec ( C [ t , t − 1 ] ) = A 1 − { 0 } {\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])=\mathbb {A} ^{1}-\{0\}} を X {\displaystyle X} の { x } {\displaystyle \{x\}} まわりのアフィン・チャートとする。自然に定義される次の図式
Spec ( C ( ( t ) ) ) → Spec ( C [ t , t − 1 ] ) ↓ ↓ Spec ( C [ [ t ] ] ) → Spec ( C ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} )\end{matrix}}}