二個の平方数の和
も不動点を持つ。
対合とは ∀ a ∈ S , φ ( φ ( a ) ) = a {\displaystyle \forall {a}\in {S},\varphi (\varphi (a))=a} となる写像 φ {\displaystyle \varphi } のことである。 不動点とは φ ( e ) = e {\displaystyle \varphi (e)=e} となる元 e {\displaystyle e} のことであり、 必ず一個の不動点を持つというのは ( 1 , 1 , n ) ∈ S {\displaystyle (1,1,n)\in {S}} を意味している。 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} が素数であることを仮定して、 一文証明が主張する対合が実際に対合であること、そして ( 1 , 1 , n ) {\displaystyle (1,1,n)} の他に不動点が存在しないことの確認は読者に任せる。 唯一の不動点を除き集合 S {\displaystyle S} の元は対合によって対になるから、元の個数は奇数である。 従って、対合 ( x , y , z ) ↦ ( x , z , y ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)} によって対にならない元が存在する。 これは y = z {\displaystyle y=z} を意味し、ひいては x 2 + ( 2 y ) 2 = p {\displaystyle x^{2}+(2y)^{2}=p} を意味する。