ブローアップ (数学)
例えば、特異点解消のほとんどの方法は滑らかになるまで特異点でブローアップするというものである。さらに、これを使ってブローアップを双有理写像の不確定点を除去するために使うこともできる。
ブローアップは、まず射影空間のような空間上で座標を使って具体的にブローアップを定義し、次に埋め込みを使って他の空間でのブローアップを定義するという、外在的な方法で古くは定義されていた。このことは単項変換(monoidal transformation)といった古典的な用語に現れている。現代の代数幾何学ではブローアップは代数多様体上の内在的な操作として扱う。この観点ではブローアップとは部分代数多様体をカルティエ因子に変換する(圏論的な意味での)普遍的な操作である。
ブローアップは、爆発、単項変換(monoidal transformation; モノイダル変換とも)、局所2次変換(locally quadratic transformation)、dilatation, σ-process, ホップ写像(Hopf map)とも呼ばれる。ブローアップという言葉で、この幾何学的変換を施してできあがった空間を指すことも多い。
例外因子が無限遠直線になるようにブローアップを表示することもできる。実数体で考える。P が A ⊆ P の原点と仮定し、L を無限遠直線とする。A ∖ {0} 上での"逆写像" t を (x, y) を (x/(|x| + |y|), y/(|x| + |y|)) に送るものとして定める。t は単位円 S についての円に関する反転になっている。これは S を固定し、原点を通る直線を保ち、円の内側と外側を入れ替える。t は無限遠直線を原点に送ることで連続写像 P ∖ {0} → A に拡張できる。拡張したものも t で表すことにすると、これは原点でのブローアップになっている。 実際、P ∖ {0} から A × P への写像 f を [a:b:c] ∈ P ∖ {0} に対して f ([a:b:c]) = (c t(a, b), [b:a]) で定めれば、これは well-defined で、先に定義したブローアップとの同相が得られる。原点のファイバーにおける無限遠直線上の点は、原点を通る直線に対応している。
実数または複素数でのブローアップは連結和 A 2 # P 2 {\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}} として位相幾何学に表すこともできる。U を A から開単位円板をくり抜いたものとする。同様に、V を P のあるアフィンチャートの中の開単位円板をくり抜いたものとする。ここでは、{[a:b:1] ∈ P | |a| + |b| < 1} をくり抜いたものとする。