時間順序積
物理学において、時間順序積(じかんじゅんじょせき、英: time ordered product)もしくはT積(英: T- product)とは、量子力学や場の量子論で、演算子の積を時間の順序関係に応じて、並べ替えた積のこと。また、通常の積を時間順序に並べ替える作用素を時間順序作用素と呼ぶ。時間順序積は時間発展作用素の逐次積分による表現等に応用される。時間順序積の記法は物理学者フリーマン・ダイソンによって、場の理論におけるS行列の計算の際に導入された。
U ^ ( t , t 0 ) = I − i ħ ∫ t 0 t d t 1 H ^ ( t 1 ) + ( − i ħ ) 2 ∫ t 0 t d t 1 ∫ t 0 t 1 d t 2 H ^ ( t 1 ) H ^ ( t 2 ) + ( − i ħ ) 3 ∫ t 0 t d t 1 ∫ t 0 t 1 d t 2 ∫ t 0 t 2 d t 3 H ^ ( t 1 ) H ^ ( t 2 ) H ^ ( t 3 ) + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t,t_{0})=I-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}{\hat {H}}(t_{1})&+\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}{\hat {H}}(t_{1}){\hat {H}}(t_{2})\\&+\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{3}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\int _{t_{0}}^{t_{2}}dt_{3}{\hat {H}}(t_{1}){\hat {H}}(t_{2}){\hat {H}}(t_{3})+\dotsb \end{aligned}}}
で与えられる。ここで、異なる時間におけるハミルトニアンは必ずしも可換ではないため、積分の中の順序は前の時刻にある演算子ほど右側に位置するように保たれなくてはならない。