カントールの対角線論法
なお上の補題は φ {\displaystyle \phi } の値域 Z {\displaystyle Z} が {0,1} ではない場合にも一般化でき、 σ : Z → X {\displaystyle \sigma :Z\rightarrow X} を σ ( z ) = z {\displaystyle \sigma (z)=z} となる z ∈ Z {\displaystyle z\in Z} が存在しない写像とし、 g ( x ) = σ ∘ φ x ( x ) {\displaystyle g(x)=\sigma \circ \phi _{x}(x)} とすると、 φ x 0 = g {\displaystyle \phi _{x_{0}}=g} となる x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} は存在しない。
べき集合2は、Xから{0,1}への関数全体の集合と自然に同一視できることがよく知られているが、「関数による表現」の対角線論法と「集合による表現」の対角線論法はこの同一視を通して同値である事が証明できる。実際、ψを「集合による表現」で登場した関数とするとき、ψ(x)∈2はXから{0,1}への関数とみなせる。関数ψ(x)によるy∈Xの像をψ(x)(y)と書き、関数φ: X×X→{0,1}を、φ(x,y)=ψ(x)(y)として「関数による表現」の補題を使うことで、「集合による表現」の補題を証明できる。(逆もまた真。)