対数微分
与えられたような公式はより広く適用できる。例えば f(z) が有理型関数であれば、f が零点でも極でもないすべての複素数値 z において意味をなす。さらに、零点や極において対数導関数は n ≠ 0 を整数として特別な場合
z
の言葉で容易に分析できる方法で振る舞う。このとき対数導関数は
n/z;
であり次の一般的な結論を描くことができる。有理型関数 f に対して、f の対数微分の特異点はすべて一位の極であり、位数 n の零点から留数 n、位数 n の極から留数 −n。偏角の原理を見よ。この情報は周回積分でしばしば利用される。
ネヴァンリンナ理論(英語版)の分野において、重要な補題は次のことを述べている。対数導関数の proximity function はもとの関数の Nevanlinna characteristic に関して小さい、例えば m ( r , h ′ / h ) = S ( r , h ) = o ( T ( r , h ) ) {\displaystyle m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))} 。
対数導関数のアイデアは一階の微分方程式の積分因子手法と密接に関係している。作用素の言葉では、
D = d / d x {\displaystyle D=d/dx}
と書き M はある与えられた関数 G(x) による積の作用素を表す。すると
M − 1 D M {\displaystyle M^{-1}DM}
は(積の法則によって)
D + M ∗ {\displaystyle D+M^{*}}
と書くことができる、ただし M ∗ {\displaystyle M^{*}} は今対数微分
G ′ / G {\displaystyle G'/G}
による積作用素を表す。実際的には
D + F = L {\displaystyle D+F=L}
のような演算子が与えられ、f は与えられ関数 h について方程式
L ( h ) = f {\displaystyle L(h)=f}
を解きたい。するとこれは
G ′ / G = F {\displaystyle G'/G=F}
を解くことに帰着する。これは解として F の任意の不定積分によって
exp  ( ∫ F ) {\displaystyle \exp \left(\int F\right)}
をもつ。