積分法
1 5 ( 1 5 − 0 ) + 2 5 ( 2 5 − 1 5 ) + ⋯ + 5 5 ( 5 5 − 4 5 ) ≒ 0.7497 {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\fallingdotseq 0.7497}
のように得られることになる。一方、各短冊の左上の端点を各曲線の小片の高さ 0 、√1/5 ... に合わせた場合の、それらの矩形の面積の和は同様の計算で近似値が 0.5497 となる。
関数 f の値に隣り合う分点の差を掛けたものを無限個足し合わせることになる点に注意すれば、分点の数をどんどん多くしていくのは容易である。そうして分点がどんどん近くなるような刻み幅にしていくとしてもそれは真の値になることはない。
5つの小区間を12に増やせば面積の近似値は前者の右上の端点を用いる計算の場合 0.7036 、後者の左上の端点を用いる計算の場合 0.6203 となりその差分はより小さいものが得られる。鍵となる考え方は、分点の差に関数値を掛けて「無限個」足し合わせるということを、無限に細かい(あるいは無限小の)刻み幅に関数値を掛けた足し合わせに読み替えることである。
「実際の積分計算」に対しては、ニュートンとライプニッツによる微分積分学の基本定理(微分と積分の基本的なつながりを示す定理)が利用される。
無限区間における積分(無限積分)、無限大に発散する点を含む区間における積分(異常積分、improper integral)など。極限により定まる。
∫ a ∞ f ( x ) d x := lim r → ∞ ∫ a r f ( x ) d x , ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x := lim s → − ∞ r → ∞ ∫ s r f ( x ) d x , ∫ 0 1 d x x 2 := lim ε → + 0 ∫ ε 1 d x x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)dx&:=\lim _{r\to \infty }\int _{a}^{r}f(x)dx,\\\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx&:=\lim _{s\to -\infty \atop r\to \infty }\int _{s}^{r}f(x)dx,\\\int _{0}^{1}{dx \over x^{2}}&:=\lim _{\varepsilon \to +0}\int _{\varepsilon }^{1}{dx \over x^{2}}.\end{aligned}}}
これらの極限値が有限値に定まるとき、広義リーマン積分可能であるという。一方、広義リーマン積分可能でなくとも極限のとりかたを限定するとき極限値が有限確定に存在することがある。たとえば
リーマン積分は広い範囲の関数や応用上重要な状況(および理論的に興味深い状況)では定義されないことも多い。例えば、鉄骨の密度を積分してその質量を得ることはリーマン積分で容易に求められるが、その上に静止している鉄球にまでは適応することができない。これが動機となって、より広い範囲の関数を積分することのできる新しい定義が生み出された(Rudin 1987)。特にルベーグ積分は、重み付き和の重み付けの方に注目することによってきわめて柔軟な性質を持つに至った。
ルベーグ積分の定義は測度 μ を考えることから始まる。最も単純な場合は、区間 A = [a, b] のルベーグ測度 μ(A) を区間の幅 μ(A) ≔ b − a で定義するもので、従ってルベーグ積分は、(狭義)リーマン積分と(両者が存在する限りは)一致する。より複雑な場合には、連続性も持たず、区間とは全く類似点の無いような、高度に断片化した様々な集合も測度を測ることができる。
このような柔軟性を十分に引き出すために、ルベーグ積分は重み付き和に対してリーマン積分とは「逆」なアプローチをとる。Folland (1984, p. 56)に言わせると、「 f のリーマン積分を計算するには領域 [a, b] を小区間に分割する」が、一方ルベーグ積分は「実質的に f の値域を分割する」ものである。
よくある仕方では、まず可測集合 A の指示関数の積分の定義を
積分は実用上の様々な状況に現れる。水泳プールが矩形状で、底面が平坦かつその長さ幅および深さが分かっているなら、プールに張ることのできる水の体積やプールの表面積やプールの縁の長さを容易に求めることができる。しかし、プールが卵形(楕円形)の丸い底面を持つ場合には、そういった量はどれも積分を用いる必要を生じる。実用上はこういった自明な例では近似法を用いれば十分であるかもしれないが、例えば(任意の領域の)精密工学ではそれらの要素の厳密値そのものが要求されることになる。
手始めに、x = 0 から x = 1 までの間で f (x) = √x によって与えられる曲線 y = f (x) を考え、
x = 0 から x = 1 までの区間において f の下にある領域の面積はいくらか
という問いを立てて、この(未知の)面積を f の積分と呼んで
∫ 0 1 x d x {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,{\rm {d}}x}
で書き表す。最初の近似として、各辺が x = 0 から x = 1 までと y = f (0) = 0 および y = f (1) = 1 で張られるような単位正方形を考えると、その面積はちょうど 1 である。実際には積分の真の値はこれよりも小さい。近似矩形の幅を減らせばよりよい結果が得られるはずであるから、近似のための分点を 1/5 、2/5 ... と 1 までに亘ってとり、区間を横断的に5つの短冊に分け、各短冊の右上の端点を各曲線の小片の高さ √1/5 、√2/5 ... に合わせていくと、それらの矩形の面積の和をとることで、所期の積分の先ほどよりもよい近似値が