モジュラー群
モジュラー群 Γ {\displaystyle \Gamma } は、ad − bc = 1 を満たす整数 a, b, c, dによって、
z ↦ a z + b c z + d {\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}
と表せる複素上半平面の一次分数変換の群である。群演算は写像の合成である。
この変換の群は、特殊射影線型群 PSL(2, Z) に同型である。PSL(2, Z)は整数上の 2-次元の特殊線型群 SL(2, Z) をその群の中心 {I, −I} で割った商である。言い換えると、PSL(2, Z) は、 ad − bc = 1 を満たす整数a, b, c, dによって
( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
と表される全ての行列で構成される。ただし、行列 A と -A は同一視する。群の演算は通常の行列の積である。
モジュラー群を PSL(2, Z) であると定義する著者がいる一方で、より大きな群である SL(2, Z) であると定義する者もいる。
数学的な関係より、+1または-1の行列式をもつ行列の群 GL(2, Z) を考えることを求めることもある。( SL(2, Z) はこの群の部分群である。)同様に、PGL(2, Z) は商群 GL(2,Z)/{I, −I} である。単位行列式を持つ 2 × 2 行列は、シンプレクティック行列であるので、SL(2, Z) = Sp(2, Z) は 2 × 2 行列のなすシンプレクティック群である。