Atan2
atan2  ( y 1 , x 1 ) ± atan2  ( y 2 , x 2 ) = atan2  ( y 1 , x 1 ) + atan2  ( ± y 2 , x 2 ) by (1) = Arg  ( x 1 + i y 1 ) + Arg  ( x 2 ± i y 2 ) by (2) = Arg  e i ( Arg  ( x 1 + i y 1 ) + Arg  ( x 2 ± i y 2 ) ) by (3) = Arg  ( e i Arg  ( x 1 + i y 1 ) e i Arg  ( x 2 ± i y 2 ) ) = Arg  ( ( x 1 + i y 1 ) ( x 2 ± i y 2 ) ) by (4) = Arg  ( x 1 x 2 ∓ y 1 y 2 + i ( y 1 x 2 ± y 2 x 1 ) ) = atan2  ( y 1 x 2 ± y 2 x 1 , x 1 x 2 ∓ y 1 y 2 ) by (2) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {atan2} (y_{1},x_{1})\pm \operatorname {atan2} (y_{2},x_{2})&{}=\operatorname {atan2} (y_{1},x_{1})+\operatorname {atan2} (\pm y_{2},x_{2})&{\text{by (1)}}\\&{}=\operatorname {Arg} (x_{1}+iy_{1})+\operatorname {Arg} (x_{2}\pm iy_{2})&{\text{by (2)}}\\&{}=\operatorname {Arg} e^{i(\operatorname {Arg} (x_{1}+iy_{1})+\operatorname {Arg} (x_{2}\pm iy_{2}))}&{\text{by (3)}}\\&{}=\operatorname {Arg} (e^{i\operatorname {Arg} (x_{1}+iy_{1})}e^{i\operatorname {Arg} (x_{2}\pm iy_{2})})\\&{}=\operatorname {Arg} ((x_{1}+iy_{1})(x_{2}\pm iy_{2}))&{\text{by (4)}}\\&{}=\operatorname {Arg} (x_{1}x_{2}\mp y_{1}y_{2}+i(y_{1}x_{2}\pm y_{2}x_{1}))\\&{}=\operatorname {atan2} (y_{1}x_{2}\pm y_{2}x_{1},x_{1}x_{2}\mp y_{1}y_{2})&{\text{by (2)}}\end{aligned}}}
例として、 x 0 = 3 2 {\displaystyle x_{0}={\frac {\sqrt {3}}{2}}} で y 0 = 1 2 {\displaystyle y_{0}={\frac {1}{2}}} の場合、東-反時計回りの場合には a t a n 2 ( y 0 , x 0 ) ⋅ 180 π = 30 ∘ {\displaystyle \mathrm {atan2} (y_{0},x_{0})\cdot {\frac {180}{\pi }}=30^{\circ }} 、北-時計回りでは a t a n 2 ( x 0 , y 0 ) ⋅ 180 π = 60 ∘ {\displaystyle \mathrm {atan2} (x_{0},y_{0})\cdot {\frac {180}{\pi }}=60^{\circ }} 南-時計回り a t a n 2 ( − x 0 , − y 0 ) ⋅ 180 π = − 120 ∘ {\displaystyle \mathrm {atan2} (-x_{0},-y_{0})\cdot {\frac {180}{\pi }}=-120^{\circ }} のようになる。
x/y成分の符号の変更と位置の転換は結果として8つの a t a n 2 {\displaystyle \mathrm {atan2} } の定義が可能となる。それらは時計回り・反時計回りの4つの方角・東西南北を始点とする。
関数 atan2 は、負の x 軸に沿って不連続であるが、角度を連続的に定義できないという事実を反映して、この導関数は原点を除いて連続的に定義される。これは、角度の微小な(そして実際には局所的な)変化が原点を除くすべての場所で定義できるという事実を反映している。この導関数をパスに沿って積分するとパス全体の角度が全体的に変化し、閉ループで積分すると回転数が得られる。
微分幾何学の言語では、この導関数は1-形式であり、閉である(導関数が0である)が、完全ではない(0-形式の導関数、つまり関数ではない)。実際、1点を除いた平面(Punctured Plane)の1次のド・ラームコホモロジーを生成する。これはそのような形式の最も基本的な例であり、微分幾何学の基本である。
atan2 の偏導関数には三角関数が含まれていないため、三角関数の評価にコストがかかる可能性がある多くのアプリケーション(例:組み込みシステム)で特に役立つ。
{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if }}x>0,\\2\arctan \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{y}}\right)&{\text{if }}x\leq 0{\text{ and }}y\neq 0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}
注意:
これにより、範囲 (−π, π] の結果が生成される。
上記のように、偏角の主値 atan2(y, x) は、三角法によって arctan(y/x) に関連付けることができる。 導出は次のようになる:
(x, y) = (r cos θ, r sin θ) のとき tan(θ/2) = y / (r + x) となる。その結果、次式が成立する。 atan2 ( y , x ) = θ = 2 θ / 2 = 2 arctan  y x 2 + y 2 + x . {\displaystyle {\text{atan2}}(y,x)=\theta =2\,\theta /2=2\arctan {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}.}
問題の領域は √x + y + x ≠ 0 であることに注意。