テトレーション
(微分可能性についての)二次近似は次のように与えられる。
x a ≈ { log a  ( x + 1 a ) x ≤ − 1 1 + 2 ln  ( a ) 1 + ln  ( a ) x − 1 − ln  ( a ) 1 + ln  ( a ) x 2 − 1 < x ≤ 0 a ( x − 1 a ) 0 < x {\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1+\ln(a)}}x-{\frac {1-\ln(a)}{1+\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}
これは任意の x > 0 について微分可能であるが二階微分可能でない。a = e のときこれは一次近似に等しくなる。
三次近似および高次への一般化は次のように与えられる。
0の0乗が単純には定義できないため、 0 は直接定義できないが、極限が
lim x → 0 + n x = { 1 n ∈ 2 Z 0 n ∈ 2 Z + 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0+}{}^{n}x={\begin{cases}1&n\in 2\mathbb {Z} \\0&n\in 2\mathbb {Z} +1\end{cases}}}
と収束するため、
n 0 = { 1 n ∈ 2 Z 0 n ∈ 2 Z + 1 {\displaystyle {}^{n}0={\begin{cases}1&n\in 2\mathbb {Z} \\0&n\in 2\mathbb {Z} +1\end{cases}}}
と定義する。(ここで、2Z、2Z+1 はそれぞれ偶数、奇数の集合を表す。)
なお、ここで 0 が一意に決まらないにもかかわらず 0 (= 0) が定義できるのは、 a の a と b が等しいという条件下で極限を取ったからである。