導来圏
ここに、Cone(f) は f の写像錐(英語版)である。特に、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中の短完全系列 0 → X → Y → Z → 0 に対し、三角形 X → Y → Z → X[1] は、 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} の完全三角形である。ヴェルディエは、シフト X[1] の定義を、射 X → 0 の写像錐であることとして説明した。
A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の対象を次数 0 に集中された双対鎖複体とみなすと、導来圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} は A {\displaystyle {\mathcal {A}}} を充満部分圏にもつ。さらに興味深いことに、導来圏の射は、Ext群の全情報を含んでいる。すべての対象 X, Y とすべての整数 j について、
Hom D ( A )  ( X , Y [ j ] ) = Ext A j  ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])=\operatorname {Ext} _{\mathcal {A}}^{j}(X,Y)}
を得る。