プロトキン限界
2進数の符号 C {\displaystyle C} の符号語の長さが n {\displaystyle n} 、すなわち F 2 n {\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}} の部分集合であるとする。 C {\displaystyle C} における最小ハミング距離を d {\displaystyle d} とすると、次が成り立つ。
d = min x , y ∈ C , x ≠ y d ( x , y ) {\displaystyle d=\min _{x,y\in C,x\neq y}d(x,y)}
ここで d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)} は x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} のハミング距離である。符号語の長さが n {\displaystyle n} で最小ハミング距離が d {\displaystyle d} のときの可能な最大符号語数を A 2 ( n , d ) {\displaystyle A_{2}(n,d)} とする。
定理 (プロトキン限界):
d {\displaystyle d} が偶数で 2 d > n {\displaystyle 2d>n} の場合、