マーラー測度
多変数のマーラー測度は、一変数のマーラー測度の上記 3つの性質を持っている。( m ( P ) = log  M ( P ) {\displaystyle m(P)=\log {M(P)}} もマーラー測度と呼ぶ。)
ある場合には、多変数のマーラー測度はゼータ函数やL-函数の特殊値と関係を持つことが示されている。たとえば、1981年、クリス・スミス(Chris Smyth)は、次の式を証明した。
m ( 1 + x + y ) = 3 3 4 π L ( χ − 3 , 2 ) {\displaystyle m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2)}
ここに、 L ( χ − 3 , s ) {\displaystyle L(\chi _{-3},s)} はディリクレのL-函数であり、また
m ( 1 + x + y + z ) = 7 2 π 2 ζ ( 3 ) {\displaystyle m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)} ,
ここに、 ζ {\displaystyle \zeta } はリーマンゼータ函数である。この公式では、2変数、および 3変数の多項式のマーラー測度が、それぞれ、二重対数函数(英語版)(dilogarithm)や三重対数函数 (trilogarithm) と関連付けられる。
, 0 ) and ∑ j = 1 N s j r j = 0 } {\displaystyle q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}}
と定義する。ここに H ( s ) = max { | s j | : 1 ≤ j ≤ N } {\displaystyle H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}} である。すると
Theorem (Lawton) : Q ( z 1 , ... , z N ) {\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})} を複素数係数の N 変数の多項式とすると、極限
lim q ( r ) → ∞ M ( Q r ) = M ( Q ) {\displaystyle \lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)}
を定義できる(たとえ条件 r i ≥ 0 {\displaystyle r_{i}\geq 0} を緩めても成立する)。
L n := { m ( P ( z 1 , ... , z n ) : P ∈ Z [ z ] } , {\displaystyle L_{n}:=\{m(P(z_{1},\dots ,z_{n}):P\in \mathbb {Z} [z]\}\ ,}
が定義され、集合 L = ⋃ n = 1 ∞ L n {\displaystyle \mathbb {L} =\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}} をその極限とする。また彼は、集合 L {\displaystyle \mathbb {L} } が閉であることも予想した。このことは、レーマーの予想の単純な証明を与えるのではあるが、なんら下界が明白ではない。上記、スミス(Smyth)の結果は L 1 ⫋ L 2 {\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}} であることを示唆していて、彼は
L 1 ⫋ L 2 ⫋ ⋯ {\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq \ \cdots }
であることも予想しているが、知られる限りでは、現在、この予想は未解決である。(ロートンの極限定理は、レーマー予想の肯定的な条件付き証明の中では、最も一般的である。)