群論の用語
群の圏にいくつかの制限を設けてもう少し小さいものを考えることができる。特によく理解されている群のクラスはアーベル群(ニールス・アーベルに由来)あるいは可換群と呼ばれるものである。群 G が可換であるというのは
G の任意の元 a, b に対して a • b = b • a
が成立するということ、別な言い方をすれば交換子
[a, b] := abab
が常に単位元に等しいということである。アーベル群ではない群は非可換群であるという。もっと細かいクラスとして巡回群はただ一つの元で生成される群で、巡回群は整数全体の成す加法群 Z に同型(無限巡回群)かまたは整数全体に適当な自然数 n を法とする加法を入れた群 Z/nZ に同型(有限巡回群)である。任意の有限生成アーベル群は(有限および無限)巡回群の直積として表されるという有限生成アーベル群の構造定理が知られている。アーベル群全体の成す圏 Ab はアーベル圏を成す(実は、アーベル圏はアーベル群の圏を原型として定義される概念である)。この逆は、任意のアーベル圏は適当な環上の加群の圏に埋め込まれるというミッチェルの充満埋め込み定理として知られる。