小行列式
ここで、I′, J′ はそれぞれ I, J の全体集合 {1, 2, ..., n} における補集合を表す。
また、 [ A ] I , J {\displaystyle [A]_{I,J}} は、A の小行列で行の添え字が I で列の添え字が J であるものの行列式を表す。つまり、 [ A ] I , J = det ( A i p , j q ) p , q = 1 , ⋯ , k {\displaystyle [A]_{I,J}=\det(A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\cdots ,k}} である。
単純な証明はウェッジ積を用いて与えることができる。実際、
[ A − 1 ] I , J ( e 1 ∧ ⋯ ∧ e n ) = ± ( A − 1 e j 1 ) ∧ ⋯ ∧ ( A − 1 e j k ) ∧ e i 1 ′ ∧ ⋯ ∧ e i n − k ′ {\displaystyle [A^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n})=\pm (A^{-1}e_{j_{1}})\wedge \cdots \wedge (A^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i'_{n-k}}}
である。