位相体
局所コンパクトである離散ではない位相体は完備であったが、今度は、局所コンパクトではない位相体の完備化を考える。
位相体 K を位相環とみなすことにより、K の完備な位相環 K ^ {\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\!K}}} が同型を除いて一意的に得ることができるが、 K ^ {\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\!K}}} は、一般には体にならず、たとえ体であったとしても位相体であるとは限らない。また位相体であっても乗法に対して完備になるとは限らない。 K は乗法群であるので、K の完備化 K′ が得られるが、これが体もしくは加法に対して完備な位相体になるとは限らない。
例えば、素数 p に対して、 U p {\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}} を p 進付値によって得られる距離に対する有理数体の距離位相としたとき、相異なる素数 p, q に対して、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} を U p ∪ U q {\displaystyle {\mathcal {U}}_{p}\cup {\mathcal {U}}_{q}} の有限個の元の共通部分全体からなる集合とすれば、 ( Q , U ) {\displaystyle (\mathbb {Q} ,\ {\mathcal {U}})} は位相体であるが、完備化は Qp × Qq と同相であり、体ではない。
↑ 注意:この項では、例として挙げた具体的な場合を除いて、体の乗法の可換性は必ずしも仮定していない。つまり体を可換体もしくは斜体の総称として使用している。
↑ 空ではない集合 A, B に対して、A + B := {x + y | x ∈ A, y ∈ B, A · B := {xy | x ∈ A, y ∈ B}, A := {x | x ≠ 0} と定義する。特に一元集合 A = {a} でに対しては括弧を略して、a + B, aB などと記述する(B が一元集合である場合も同様)。