フォン・ノイマンエントロピー
ρA, ρB が一般状態 ρAB を還元した密度行列とすると、
| S ( ρ A ) − S ( ρ B ) | ≤ S ( ρ A B ) ≤ S ( ρ A ) + S ( ρ B ) {\displaystyle \left|S(\rho _{A})-S(\rho _{B})\right|\leq S(\rho _{AB})\leq S(\rho _{A})+S(\rho _{B})}
が成り立つ。
この不等式の右辺は劣加法性として知られている。2つの不等式を組み合わせ、三角不等式としても知られている。これらの式は 1970年に、荒木不二洋とエリオット・H・リーブにより証明された。シャノンの理論において混合系のエントロピーは、いかなるその部分のエントロピーよりも低くなりえないが、量子理論ではそのようにはならず、つまり、 S(ρAB) = 0 であったり、 S(ρA) = S(ρB) > 0 であったりすることが可能である。
直感的には、これは次のように考えることができる。量子力学において、合併系のエントロピーは、成分は量子的にもつれている可能性があるので、その成分のエントロピーの和よりも小くすることができる。例えば、2つのスピン1/2のベル状態(英語版)(Bell state)を見ると明らかである。
| ψ ⟩ = | ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩ , {\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle ,}
フォン・ノイマンエントロピーは、強劣加法性(英語版)(strongly subadditive)も持っている。3つのヒルベルト空間 A, B, C が与えられると、
S ( ρ A B C ) + S ( ρ B ) ≤ S ( ρ A B ) + S ( ρ B C ) {\displaystyle S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})}
が成り立つ。これはより難しい定理で、エリオット・H・リーブとマリー・ベス・ルスカイ(Mary Beth Ruskai)により証明された。証明方法は、エリオット・リーブの行列不等式を使い、1973年に証明された。上の三角不等式の左辺を確立する証明テクニックを使い、強劣加法性が次の不等式と同値であることを示すことができる。
S ( ρ A ) + S ( ρ C ) ≤ S ( ρ A B ) + S ( ρ B C ) . {\displaystyle S(\rho _{A})+S(\rho _{C})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})\ .}
ここに、 ρAB などは、密度行列 ρABC を還元した密度行列である。この不等式の左辺へ通常の劣加法性を適用し、すべての A, B, C の置換を考えると、 ρABC に対する三角不等式を得る。3つの数 S(ρAB), S(ρBC), S(ρAC) のそれぞれは、他の 2つの和に等しいかまたは小さい。