ジャコブソン根基
(証明:組成因子 T u / T u − 1 {\displaystyle T_{u}/T_{u-1}} は単純右 R-加群なので、J(R) の任意の元を右から掛けるとこれらの因子は消える。言い換えると、 ( T u / T u − 1 ) ⋅ J ( R ) = 0 {\displaystyle \left(T_{u}/T_{u-1}\right)\cdot J\left(R\right)=0} であり、これから T u ⋅ J ( R ) ⊆ T u − 1 {\displaystyle T_{u}\cdot J\left(R\right)\subseteq T_{u-1}} である。したがって、i についての帰納法で、(次が意味をもつような)すべての非負整数 i と u は T u ⋅ ( J ( R ) ) i ⊆ T u − i {\displaystyle T_{u}\cdot \left(J\left(R\right)\right)^{i}\subseteq T_{u-i}} を満たすことが示される。これを u = i = k として適用すれば、結果が得られる。)しかしながら、一般にはジャコブソン根基は環の冪零元のみからなるとは限らないことに注意せよ。
R が可換で、体か Z 上の代数として有限生成であれば、J(R) は R の冪零根基と等しい。
(単位的)環のジャコブソン根基はその最大の余剰右(同値であるが、左)イデアルである。
単位元をもたない環 R に対しては R = J(R) であることも可能だが、J(R/J(R)) = {0} という式はなお成り立つ。以下は単位元をもたない環に対しての J(R) の同値な特徴づけである。
left quasiregularity の概念は次のように一般化できる。R のある元 c が存在して c + a − ca = 0 となるときに R の元 a を left generalized quasiregular と呼ぶ。すると J(R) は R のすべての元 r に対して ra が left generalized quasiregular であるようなすべての元 a からなる。この定義は単位元をもつ環に対してのもとの quasiregular の定義と一致することが確かめられる。
単位元をもたない環に対して、左単純加群 M の定義は R•M ≠ 0 という条件を加えることで修正される。この修正をしたうえで、J(R) は単純左 R-加群のすべての零化イデアルの共通部分、あるいは単純左 R-加群が存在しないときは単に R として定義できる。単位元をもたない環で単純加群をもたないものは確かに存在する。このとき R = J(R) であり、環は radical ring と呼ばれる。generalized quasiregular を使った根基の特徴づけによって、次のことが明らかである。J(R) が零でない環があれば、J(R) は単位元をもたない環と考えて radical ring である。
数学、より詳しくは抽象代数学の一分野である環論において、環 R のジャコブソン根基あるいはヤコブソン根基(英: Jacobson radical)とは、すべての単純右 R-加群を零化する R の元からなるイデアルである。定義において「右」の代わりに「左」としても同じイデアルが得られるので、この概念は左右対称である。環のジャコブソン根基をよく J(R) あるいは rad(R) と表すが、他の環の根基との混乱を避けるため、この記事では前者の表記を使う。ジャコブソン根基はジャコブソン(英語版)にちなんで名づけられた。彼は初めてそれを任意の環について(Jacobson 1945)で研究した人である。
環のジャコブソン根基には内在的な特徴づけが数多くあり、そのいくつかは単位元をもたない環に対する定義としても採用することができる。加群の根基はジャコブソン根基の定義を加群を含むように拡張する。ジャコブソン根基は多くの環や加群の理論の結果、例えば中山の補題において、際立った役割を果たす。
J(R) はすべての元が右準正則 (right quasiregular) という性質をもつ R の右イデアルで極大な唯一のものである。 あるいは、直前の文において「右」を「左」で置き換えることができる。ジャコブソン根基のこの特徴づけは計算にも直感の助けにも役立つ。さらに、この特徴づけは環上の加群を研究するときにも役立つ。中山の補題はたぶんこれの最もよく知られた例だろう。J(R) のすべての元は quasiregular であるが、すべての quasiregular な元が J(R) の元であるわけではない。
すべての quasiregular element が J(R) に入っているわけではないが、y が J(R) に入っていることと、R のすべての元 x に対して xy が left quasiregular であることが同値であることを示すことができる。
J ( R ) {\displaystyle J(R)} は 1 + R x R {\displaystyle 1+RxR} のすべての元が単元であるようなすべての元 x ∈ R {\displaystyle x\in R} からなる集合である。 J ( R ) = { x ∈ R ∣ 1 + R x R ⊂ R × } {\displaystyle J(R)=\{\,x\in R\mid 1+RxR\subset R^{\times }\,\}}