プリューファー群
すべての素数 p に対するプリューファー p 群は部分群が包含によって全順序付けられている唯一の無限群である:
0 ⊂ ( 1 p Z ) / Z ⊂ ( 1 p 2 Z ) / Z ⊂ ( 1 p 3 Z ) / Z ⊂ ⋯ ⊂ Z ( p ∞ ) {\displaystyle 0\subset \left({1 \over p}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subset \left({1 \over p^{2}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subset \left({1 \over p^{3}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty })}
(ここで ( 1 p n Z ) / Z {\textstyle ({1 \over p^{n}}\mathbf {Z} )/\mathbf {Z} } は p 個の元を持つ Z(p) の巡回部分群である。位数が p を割り切るような Z(p) の元全体からなり、1 の p 乗根の集合に対応する。)この包含の列はプリューファー p 群を有限部分群の直極限として表現する。プリューファー p 群は極大部分群(英語版)をもたないから、自分自身がフラッティーニ部分群である。
部分群のこのリストが与えられると、プリューファー p 群が直既約である(真の部分群の直和として書けない)ことは明らかである。さらに次のことが正しい。