特異点解消
最も簡単な特異点の不変量は重複度である。しかしこれはブローアップで減少するとは限らないので、より精妙な不変量を使って改善の程度を測る必要がある。
例えば、嘴点 y = x は原点で位数2の特異点を持つ。これを特異点でブローアップすると通常の尖点 y = x になるが、これもふたたび重複度2である。
この場合には特異点が改善されていることは定義多項式の次数が減少していることから明らかである。一般にはこうはならない。その例として、x + yz + z = 0 の原点の孤立特異点を考える。ブローアップすると特異点 x + yz + yz = 0 になる。どちらの特異点も重複度は2で、どちらも次数が2、3、4の単項式の和で定義されているので、この新しい特異点が良いものになっているかすぐには分からない。
アルバネーゼ(英語版)の方法は、十分に大きな次元(2倍すると曲線の次数を超える程度)の射影空間を張る曲線を取り、特異点からより小さな次元の射影空間へ射影を繰り返すという方法である。この方法を高次元代数多様体に拡張し、任意の n 次元代数多様体は重複度が n! 以下の特異点を持つ射影モデルを持つことを示せる。曲線の場合は n = 1 なので特異点は無くなる。