ガロア理論の基本定理
となり、g が √3 と −√3 を入れ替えるとすると、
g ( ( a + b 2 ) + ( c + d 2 ) 3 ) = ( a + b 2 ) − ( c + d 2 ) 3 = a + b 2 − c 3 − d 6 {\displaystyle g\left((a+b{\sqrt {2}})+(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}\right)=(a+b{\sqrt {2}})-(c+d{\sqrt {2}}){\sqrt {3}}=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}}
となる。これらは明らかに K の自己同型である。何も変えない恒等写像である自己同型 1 も存在し、f と g の合成も存在し、それらの両方の冪根の符号を変える。
( f g ) ( ( a + b 2 ) + ( c + d 2 ) 3 ) = ( a − b 2 ) − ( c − d 2 ) 3 = a − b 2 − c 3 + d 6 .