素元
可換環 R の元 p は次の性質を満たすとき素元であると言う。p は 0 でも単元でもなく、R のある元 a と b に対して p が ab を割り切るときにはいつでも、p が a を割り切るか p が b を割り切る。同じことだが、元 p が素元であることと p によって生成される単項イデアル (p) が 0 でない素イデアルであることは同値である。
素元に対する関心は算術の基本定理から来る。これはすべての 0 でない整数は本質的にはただ1つの方法で 1 か -1 に正の素数をいくつか掛けたものとして書くことができるというものである。これは一意分解整域の研究を導いた。これはたった今整数に対して述べたことを一般化したものである。
素元であるかどうかは元をどの環に属していると考えるかによって異なる。例えば 2 は Z において素元だが、ガウスの整数環 Z[i] においては素元ではない。2 = (1 + i)(1 − i) であって 2 は右辺のどの因子も割り切らないからだ。