応力
せん断応力成分がゼロとなるように座標系を取ったときの垂直応力を主応力 (principal stress) と呼ぶ。その座標系の基底ベクトルを応力テンソルの主軸あるいは主応力軸と呼ぶ。さらに主軸に垂直な面を主面あるいは主応力面と呼ぶ。各点での主軸の方向(主方向)を連ねていくと、物体の中には互いに直交する曲線群を描くことができる。これを主応力線という。なお、真応力テンソル(コーシー応力テンソル)は対称テンソルであるため、ある応力状態を表す真応力テンソルに対して、せん断応力が見掛け上現れず主応力のみが垂直応力として現れる主軸が必ず一組存在する。
せん断応力がゼロとなるときの垂直応力が主応力であるが、同時に主応力はあらゆる座標系の中で垂直応力が最大、最小となる値を示している。3つの主応力をσ1 ≥ σ2 ≥ σ3 の関係となるようにとったとき、最大の主応力σ1 を最大主応力 、最小となる主応力σ3 を最小主応力 、これら2つに直交する主応力σ2 を中間主応力 と呼び、ある座標系での応力状態 ( σ x , σ y , σ z , τ x y , τ y z , τ z x ) {\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z},\tau _{xy},\tau _{yz},\tau _{zx})} が与えられているとき、主応力は以下の関係から求められる。
延性材料が降伏するときすべりが観察されることに着目し、最大せん断応力が降伏を決定するという説を最大せん断応力説、またはトレスカの応力説と呼ぶ。このときに用いられる相当応力をトレスカ応力とよび、最大せん断応力を記号 τmax 、トレスカ応力をσTrescaで表すと、主応力とは次式に示す関係がある。
τ m a x = 1 2 ( m a x | σ i − σ j | ) , σ T r e s c a = 2 τ m a x {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {max} }&={\frac {1}{2}}(\mathrm {max} |\sigma _{i}-\sigma _{j}|),\\\sigma _{\mathrm {Tresca} }&=2\tau _{\mathrm {max} }\end{aligned}}}
降伏条件は以下の通り。
σ T r e s c a ≥ σ Y {\displaystyle \sigma _{\mathrm {Tresca} }\geq \sigma _{\mathrm {Y} }}
最大せん断応力説も延性材料に当てはまることが多い。また、σTresca ≥ σ1, σTresca ≥ σMises であり、上記2説に対して安全側であることから評価基準として利用されることがある。
σ 22 ′ = a 21 2 σ 11 + a 22 2 σ 22 + a 23 2 σ 33 + 2 a 21 a 22 σ 12 + 2 a 21 a 23 σ 13 + 2 a 22 a 23 σ 23 {\displaystyle \sigma _{22}'=a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23}}
σ 33 ′ = a 31 2 σ 11 + a 32 2 σ 22 + a 33 2 σ 33 + 2 a 31 a 32 σ 12 + 2 a 31 a 33 σ 13 + 2 a 32 a 33 σ 23 {\displaystyle \sigma _{33}'=a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23}}
σ 12 ′ = a 11 a 21 σ 11 + a 12 a 22 σ 22 + a 13 a 23 σ 33 + ( a 11 a 22 + a 12 a 21 ) σ 12 + ( a 12 a 23 + a 13 a 22 ) σ 23 + ( a 11 a 23 + a 13 a 21 ) σ 13 {\displaystyle \sigma _{12}'=a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13}}
一方、せん断応力は、力の作用面の法線の向きと力の作用方向とが一致しない応力成分であり、 σ x y , σ y x , σ y z , σ z y , σ z x , σ x z {\displaystyle \sigma _{xy},\;\sigma _{yx},\;\sigma _{yz},\;\sigma _{zy},\;\sigma _{zx},\;\sigma _{xz}} の6つが該当する。なお、微小変形の力学においては、せん断応力を記号τで表すことがある。この場合の応力テンソルの表記は以下のようになる。
σ = ( σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{pmatrix}}}
σ 13 ′ = a 11 a 31 σ 11 + a 12 a 32 σ 22 + a 13 a 33 σ 33 + ( a 11 a 32 + a 12 a 31 ) σ 12 + ( a 12 a 33 + a 13 a 32 ) σ 23 + ( a 11 a 33 + a 13 a 31 ) σ 13 {\displaystyle \sigma _{13}'=a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}}
平面応力状態での応力変換式は以下の通りである。
σ 11 ′ = a 11 2 σ 11 + a 12 2 σ 22 + 2 a 11 a 12 σ 12 {\displaystyle \sigma _{11}'=a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}}
σ 22 ′ = a 21 2 σ 11 + a 22 2 σ 22 + 2 a 21 a 22 σ 12 {\displaystyle \sigma _{22}'=a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}}
σ 12 ′ = a 11 a 21 σ 11 + a 12 a 22 σ 22 + ( a 11 a 22 + a 12 a 21 ) σ 12 {\displaystyle \sigma _{12}'=a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}}