アーベル群の圏
アーベル群の圏 Ab の零対象は、単位元のみからなる自明群 {0} が与える。
アーベル群の圏 Ab の単型射は単準同型であり、全型射は全準同型、同型射は双射準同型である。
アーベル群の圏 Ab は群の圏 Grp の充満部分圏である。両者の主な違いは、Ab において二つの準同型 f, g の「和」f + g が定義され、 ( f + g ) ( x + y ) = f ( x + y ) + g ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + g ( x ) + g ( y ) = f ( x ) + g ( x ) + f ( y ) + g ( y ) = ( f + g ) ( x ) + ( f + g ) ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x+y)=f(x+y)+g(x+y)&=f(x)+f(y)+g(x)+g(y)\\&=f(x)+g(x)+f(y)+g(y)=(f+g)(x)+(f+g)(y)\end{aligned}}} によってそれが再び群準同型となることである。ここで第三の等号において群が可換であるという仮定が用いられている。