代数方程式
1 変数の代数方程式とは、移項して整理すれば
∑ k = 0 n a k x k = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}
(各 ai は(変数 x に無関係な)定数)の形に表される方程式のことである。このとき、左辺の多項式の次数を以ってこの代数方程式の次数とする。すなわち an ≠ 0 のとき n 次方程式であるという。
一次方程式 ax + b = 0 (a ≠ 0)
二次方程式 ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)
三次方程式 ax + bx + cx + d = 0 (a ≠ 0)
四次方程式 ax + bx + cx + dx + e = 0 (a ≠ 0)
五次以上の代数方程式は(その係数が一般的である場合には)「代数的に解けない」、すなわち方程式の係数が任意に与えられたときに係数から四則と冪根操作の組み合わせで解を表す公式は作れないことが良く知られている。(アーベル-ルフィニの定理)(ただし考えている体は有限体ではないとする)。
この操作を、解の候補が予め与えた誤差以内に収まると判定されたならば、解の候補を解の一つとみなし、減次 (deflation) を行い次の方程式を求め、再びニュートン法を施す。(収束してしかも重根でなければ)二次収束することが解っており、数値解法としては早い。ただし、重根に対する収束性の悪さ、初期値によっては収束しない場合も有り得ること、複素数の場合の処理の煩わしさなどがあり、直接ニュートン法で解くという局面は少ない。
複素数の扱いということではベアストウ法(ベアストウとヒッチコックの方法)という解法がある。これは、二次式の因数を取り出して減次することを繰り返して分解を行う操作をコンセプトとするが,2次の因子を決めるための反復は2変数2連立のニュートン法に帰着させているのでやはり,収束は初期値の選択に依存する。