アレフ数
任意の順序数 α に対して אα を定義するために、基数の後者演算を定義する必要がある。これは任意の濃度 ρ に対して次に大きい整列された濃度 ρ を割り当てる(選択公理が成り立てば、これは次に大きい濃度である)。
するとアレフ数を次のように定義できる。
א 0 = ω {\displaystyle \aleph _{0}=\omega }
א α + 1 = א α + {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}}
そして無限極限順序数 λ に対して、
א λ = ⋃ β < λ א β . {\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }.}
α 番目の無限始数は ωα と書かれる。 その濃度は אα と書かれる。始順序数を参照。
ZFC においてアレフ関数 א は順序数と無限濃度の間の全単射である。