群のコホモロジー
群のコホモロジーの構成と双対になる群のホモロジー(英: group homology)が次のように定義できる:G 加群 M が与えられたとき、DM を { gm − m | g ∈ G, m ∈ M} から生成される部分加群とする。M に対して、いわゆるcoinvariantsと呼ばれる商
M G := M / D M {\displaystyle M_{G}:=M/DM}
を与える対応は右完全関手である。その左導来関手
H n ( G , M ) {\displaystyle H_{n}(G,M)}
が群のホモロジーである。M に MG を対応させる反変関手は M を Z ⊗Z[G] M に送る関手と同型である。したがってTor関手を使って群のホモロジーの表示
H n ( G , M ) = Tor n Z [ G ]  ( Z , M ) {\displaystyle H_{n}(G,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}
を得ることもできる。ここでコホモロジー・ホモロジーにおける上付き・下付きの規約は群のinvariants・coinvariantsの規約と一致していることに注意せよ。つまり"co-"は
コホモロジー H とinvariants X に対応する上付き
よって ∂[x, y] = [y] − [xy] + [x] と定義すれば可換図式になる。
n = 3 の場合も同様に考えれば ∂[x, y, z] = [y, z] − [xy, z] + [x, yz] − [x, y] と定義すればよいことが分かる。
一般の場合には
∂ [ x 1 , ... , x n ] = [ x 2 , ... , x n ] + ∑ i = 1 n − 1 ( − 1 ) i [ x 1 , ... , x i x i + 1 , ... , x n ] + ( − 1 ) n [ x 1 , ... , x n − 1 ] {\displaystyle \partial [x_{1},\ldots ,x_{n}]=[x_{2},\ldots ,x_{n}]+\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i}[x_{1},\ldots ,x_{i}x_{i+1},\ldots ,x_{n}]+(-1)^{n}[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]}
と定義するとうまくいく。この ∂ により {Bn} は複体になるので、この複体のホモロジー群を取ることができる。また、この複体の Hom(・, Z) を取ると双対複体が得られ、これからコホモロジー群を得ることができる。このコホモロジー群は G が Z に自明に作用する場合に#双対鎖複体で定義したものと全く同じである。このようにして彼らは基本群 G から純代数的に複体を構成し、群の(コ)ホモロジー群の定義に到達した。そして κ が定める特異ホモロジー群から群のホモロジー群への準同型を調べることでホップの研究を一般化した。