上昇と下降
上昇定理と下降定理の通常のステートメントは環拡大 A⊆B に言及する:
(上昇) B が A の整拡大であれば上昇定理が成り立ち(したがって lying over property を満たし)、incomparability property を満たす。
(下降) B が A の整拡大で B が整域であり A がその分数体において整閉であれば、(上記に加えて)下降定理も成り立つ。
下降定理には別の十分条件がある。
A⊆B が可換環の平坦拡大(英語版)であれば、下降定理が成り立つ。
証明:p1⊆p2 を A の素イデアルとし q2 を B の素イデアルであって q2 ∩ A = p2 とする。q2 に含まれる B の素イデアル q1 が存在して q1 ∩ A = p1 であることを証明したい。A⊆B は環の平坦拡大であるから、Ap2⊆Bq2 は環の平坦拡大であることが従う。実は、Ap2⊆Bq2 は環の忠実平坦拡大である、なぜならば包含写像 Ap2 → Bq2 は局所射だからだ。それゆえ、スペクトルに誘導される写像 Spec(Bq2) → Spec(Ap2) は全射であり Ap2 の素イデアル p1Ap2 に contract する Bq2 の素イデアルが存在する。Bq2 のこの素イデアルの B への contraction は p1 に contract する q2 に含まれる B の素イデアル q1 である。証明が完了する。 Q.E.D.