方法 (アルキメデスの著書)
円錐の体積は底面の面積に高さをかけて、それに1/3をかけたものである。円錐の底面は半径2の円であり、面積は 4 π {\displaystyle 4\pi } である。高さは2であるため体積は 8 π / 3 {\displaystyle 8\pi /3} となる。円柱の体積から円錐の体積を引き算すると球の体積となる。
V S = 4 π − 8 3 π = 4 3 π . {\displaystyle V_{S}=4\pi -{8 \over 3}\pi ={4 \over 3}\pi .}
球の体積が半径に依存していることはスケーリングから明らかであるが、当時はそれを厳密にするのは簡単なことではなかった。この方法では球の体積のおなじみの公式が得られる。アルキメデスは寸法を線形にスケーリングすることで、簡単に体積の結果を回転楕円体に拡大した。
アルキメデスの議論は上記の議論とほぼ同じであるが、円柱の半径はもっと大きかったため、円錐と円柱は支点からより長い距離で吊り下げられていた。アルキメデスはこの議論を自身の最大の成果と考え、自身の墓石に均衡状態にある球、円錐、円柱の図を刻むようお願いしていた。