有限アーベル群
1824年にノルウェーの数学者ニールス・アーベルは、自費でわずか6頁の五次の一般方程式の解法に関する研究を著した。これはある置換の集合の可換性が重要なることを明らかにするものであった。こんにち可換群にアーベルの名を関するのはこの発見に依拠するのである。
エヴァリスト・ガロワも同じ問題に取り組み、1831年に初めて「形式群」(groupe formel) の語を用いた。この論文は後にジョゼフ・リウヴィルによって出版されている。19世紀後半、有限群の研究が本質的に表れて初めてガロワ理論が構築されていくことになる。
形式群の概念の形成には多くの年月が必要とされたにもかかわらず、クロネッカーはその公理化における一人の役者である。1870年にはこんにち用いられるのと同値な有限アーベル群の定義が与えられている。一般の定義はハインリッヒ・ヴェーバー(英語版)による。
1853年にレオポルト・クロネッカーは有理数体の有限拡大で可換なガロワ群を持つものは円分拡大の部分体であることを述べた。こんにちクロネッカー–ヴェーバーの定理と呼ばれるこの定理の、クロネッカーによる証明は誤っており、リヒャルト・デデキント、ハインリッヒ・ヴェーバーを経て最終的にダフィット・ヒルベルトが厳密な証明を与えた。この流れにおいてクロネッカーは、1870年の論文において(こんにちではクロネッカーの名を関する)有限アーベル群の構造定理を証明した一人に数えられる。
“Mémoire sur les facteurs irréductibles de l'expression x – 1” (フランス語). J. Math. Pures Appl.. 1 19: 177-192.
↑ Weber, Heinrich (1886 et 1887). “Theorie der Abel'schen Zahlkörper” (ドイツ語). Acta Mathematica (Acta Math.) VIII et IX.
↑ Hilbert, David (1896) (ドイツ語). Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper. Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Gottingen.
↑ Frobenius; Stickelberger (1879). “Ueber Gruppen von vertauschbaren Elementen” (ドイツ語). J. reine angew. Math.: 217-262. https://eudml.org/doc/148395. .
↑ Suite A000688 de l'OEIS.
↑ Jean-Jacques Risler および Pascal Boyer, Algèbre pour la Licence 3 : Groupes, anneaux, corps, Dunod, 2006 (lire en ligne), p. 45.