Ext関手
Ext関手は、計算に有益な便利な性質をいくつか持っている。
B が入射加群であるか、または、A が射影加群であれば、i > 0 に対して、ExtiR(A, B) = 0 である。
逆も成立する。すべての A に対して Ext1R(A, B) = 0 であれば、すべての A に対し ExtiR(A, B) = 0 で、かつ B は入射的である。すべての B に対し Ext1R(A, B) = 0 であれば、すべての B に対し ExtiR(A, B) = 0 でかつ A は射影的である。
Ext R n  ( ⨁ α A α , B ) ≅ ∏ α Ext R n  ( A α , B ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}\left(\bigoplus _{\alpha }A_{\alpha },B\right)\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A_{\alpha },B)}
Ext R n  ( A , ∏ β B β ) ≅ ∏ β Ext R n  ( A , B β ) {\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}\left(A,\prod _{\beta }B_{\beta }\right)\cong \prod _{\beta }\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B_{\beta })}
Ext関手の命名は、加群の拡大(extension)との関係で命名された。R-加群 A と B が与えられると、A の B による拡大は、R-加群の短完全系列
0 → B → E → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0}
である。2つの拡大
0 → B → E → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E\rightarrow A\rightarrow 0}
0 → B → E ′ → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow E^{\prime }\rightarrow A\rightarrow 0}