コーシーの凝集判定法
コーシーの凝集判定法は、次のより強い評価式から従う。
∑ n = 1 ∞ f ( n ) ≤ ∑ n = 0 ∞ 2 n f ( 2 n ) ≤ 2 ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}
(不等式は拡大実数におけるものと考える必要がある。)この証明の中核部分は、ニコル・オレームによる調和級数の発散性の証明に倣っている。
最初の不等式を示すため、元の級数を2の冪乗個ずつの項にくくり直す。くくられたそれぞれの和は、数列の非増加性より、最大値をとる最初の項の値で置き換えた和で上から抑えられる。