アーベル多様体
一般の体 k の上のアーベル多様体の同値な2つの定義は、共通に使われる。
k 上の連結な完備な代数群
k 上の連結な射影的な代数群
基礎体が複素数体のとき、これらの考えは前述の定義に一致する。すべての基礎体上で楕円曲線は次元 1 のアーベル多様体である。
1940年代にヴェイユは(任意の基礎体の上で)最初の定義である k は完備であることを使ったが、第二番目の定義である k が射影的であることを証明することができなかった。しかし、1948年に彼は完備代数群は射影空間へ埋め込むことが可能であることを証明した。一方、彼は1940年に言明していたのであるが、有限体上の代数曲線のリーマン予想の証明をするために、彼は抽象代数多様体(英語版)(abstract variety)の考え方を導入し、射影埋め込みなしで多様体を扱う代数幾何学の基礎を書き換えた。(Algebraic Geometryの歴史のセクションも参照)
数学において、特に代数幾何学や複素解析や数論では、アーベル多様体(アーベルたようたい、abelian variety)は、射影代数多様体であり、また正則函数(regular function)により定義することのできる群法則を持つ代数群でもある代数多様体を言う。アーベル多様体は、代数幾何の最も研究されている対象であり、同時に代数幾何学や数論やそれ以外の他の分野の研究の不可欠な道具である。
アーベル多様体は、任意の体に係数を持つ方程式により定義することができる。従って、多様体はその体の上で定義されると言う。歴史的には、最初研究されたアーベル多様体は複素数体上で定義された多様体であった。そのようなアーベル多様体はまさに複素射影空間へ埋め込むことができ複素トーラスであることが判明している。代数体上に定義されたアーベル多様体は、特別であり、数論の観点から重要である。環の局所化のテクニックは、数体上に定義されたアーベル多様体から有限体上や様々な局所体上に定義されたアーベル多様体を自然に導く。
アーベル多様体は代数多様体のヤコビ多様体(ピカール多様体のゼロ点の連結成分として)自然に現れてくる。アーベル多様体の群法則は必然的に可換となり、多様体は非特異となる。楕円曲線は1次元のアーベル多様体である。アーベル多様体は小平次元が0である。
19世紀の初頭、楕円函数の理論は楕円積分の理論に基礎を築くことに成功し、研究の方向性を明らかに指し示した。楕円積分の標準な形は、3次多項式や4次多項式の平方根を意味する。これらを高次の多項式へ置き換えたときに、いわば5次多項式に置き換えたときに、何が起きうるであろうか?
ニールス・アーベル(Niels Abel)とカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ(Carl Gustav Jakob Jacobi)の仕事の中で、答えは定式化され、これは 2変数複素函数を意味し、4つ独立した 周期 (つまり、周期ベクトル)を持つ。これが、次元 2 のアーベル多様体(アーベル曲面)の最初の見方を与える(これを種数 2の超楕円曲線のヤコビ多様体と呼ぶ)。