ベッセル関数
| z | → ∞ {\displaystyle |z|\to \infty } のときベッセル関数は以下の漸近形を持つ。
J ν ( z ) ∼ 2 π z cos  ( z − 2 ν + 1 4 π ) {\displaystyle J_{\nu }(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\cos \left(z-{\frac {2\nu +1}{4}}\pi \right)}
N ν ( z ) ∼ 2 π z sin  ( z − 2 ν + 1 4 π ) {\displaystyle N_{\nu }(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\sin \left(z-{\frac {2\nu +1}{4}}\pi \right)}
H ν ( 1 ) ( z ) ∼ 2 π z exp  { i ( z − 2 ν + 1 4 π ) } {\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\exp \left\{i\left(z-{\frac {2\nu +1}{4}}\pi \right)\right\}}
ベッセル関数(ベッセルかんすう、英: Bessel function)とは、最初にスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイによって定義され、フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルにちなんで名づけられた関数。円筒関数と呼ばれることもある。以下に示す、ベッセルの微分方程式における y ( x ) {\displaystyle y(x)} の特殊解の1つである。
x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − α 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}
上の式において、 α {\displaystyle \alpha } は、任意の実数である(次数と呼ばれる)。 α {\displaystyle \alpha } が整数 n {\displaystyle n} に等しい場合がとくに重要である。
α {\displaystyle \alpha } 及び − α {\displaystyle -\alpha } はともに同一の微分方程式を与えるが、慣例としてこれら2つの異なる次数に対して異なるベッセル関数が定義される(例えば、 α {\displaystyle \alpha } の関数としてなるべく滑らかになるようにベッセル関数を定義する、など)。
そもそもベッセル関数は、惑星の軌道運動に関するケプラー方程式をベッセルが解析的に解いた際に導入された。
H ν ( 2 ) ( z ) ∼ 2 π z exp  { − i ( z − 2 ν + 1 4 π ) } {\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\exp \left\{-i\left(z-{\frac {2\nu +1}{4}}\pi \right)\right\}}
j n ( z ) ∼ 1 z cos  ( z − n + 1 2 π ) {\displaystyle j_{n}(z)\sim {\frac {1}{z}}\cos \left(z-{\frac {n+1}{2}}\pi \right)}
n n ( z ) ∼ 1 z sin  ( z − n + 1 2 π ) {\displaystyle n_{n}(z)\sim {\frac {1}{z}}\sin \left(z-{\frac {n+1}{2}}\pi \right)}
h n ( 1 ) ( z ) ∼ ( − i ) n + 1 z e i z {\displaystyle h_{n}^{(1)}(z)\sim {\frac {(-i)^{n+1}}{z}}e^{iz}}
h n ( 2 ) ( z ) ∼ i n + 1 z e − i z {\displaystyle h_{n}^{(2)}(z)\sim {\frac {i^{n+1}}{z}}e^{-iz}}