籌算
『九章算術』巻第八「方程」にはガウスの消去法に似た連立一次方程式の解法が述べられている。以下を例題とする。
(訳)上等の稲が3束、中等の稲が2束、下等の稲が1束あり、これらの実を合わせると39斗になる。それぞれ2束、3束、1束であれば34斗となり、1束、2束、3束であれば26斗となる。それぞれの稲1束当たりの実は何斗か?
代数的にはこの問題は三元連立方程式で表される。
3 x + 2 y + z = 39 2 x + 3 y + z = 34 x + 2 y + 3 z = 26 {\displaystyle {\begin{aligned}3x+2y+z&=39\\2x+3y+z&=34\\x+2y+3z&=26\\\end{aligned}}}
『九章算術』では、算盤上に4×3行列のような形式で並べた棒を数えることでこの問題を解いている。
アルゴリズムは以下の通りである。
右列の一番上の値を中列にかける。
中列の一番上の値が0になるまで、中列から右列を繰り返し引く。
同様の手順により、右列を用いて左列を縮約する。
縮約された中列を用いて、左列をさらに縮約する。その結果三角行列のような配置が得られる。
左列に作られた数から、下等の稲1束当たりの実は 99/36 = 23/4 斗と求められる。
この結果を用いれば、上等および中等の稲についてそれぞれ 91/4 斗、 41/4 斗の値を得るのは容易である。
『九章算術』にいう大広田術により、帯分数の乗算 31/3 × 52/5 = 18 を行う手順を以下に示す。
x − 2 y + 3 z − 4 w + 4 {\displaystyle x-2y+3z-4w+4}