半単純加群
M が半単純で N が部分加群であれば、N と M/N も半単純である。
各 M i {\displaystyle M_{i}} が半単純加群であれば、構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikipedia.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): \bigoplus _{i}M_{i} もそうである。
加群 M が有限生成かつ半単純であることとアルティン的かつその根基が 0 であることは同値である。
数学、とくに加群論という抽象代数学の分野において、半単純加群(はんたんじゅんかぐん、英: semisimple module)または完全可約加群(かんぜんかやくかぐん、英: completely reducible module)はその既約部分加群から容易に理解できるようなタイプの加群である。自分自身の上で半単純加群であるような環はアルティン的半単純環として知られている。有限群の標数0の体上の群環のようないくつかの重要な環は半単純環である。アルティン環ははじめはその最大の半単純商を通じて理解される。アルティン的半単純環の構造はアルティン・ウェダーバーンの定理によってよく理解される。これはこれらの環を行列環の有限個の直積として表示するものである。
P {\displaystyle P} の補部分加群は既約であることを証明できる。
半単純加群の最も基本的な例は体上の加群、すなわちベクトル空間である。一方、整数環 Z は自身の上の半単純加群ではない。(理由は、例えば、アルティン環でないから。)
半単純(完全可約)であることは完全直可約(直既約部分加群の直和となること)よりも強い。
A を体 k 上の代数とする。このとき A 上の左加群 M が絶対半単純 (absolutely semisimple) であるとは、k の任意の体拡大 F に対して、 F ⊗ k M {\displaystyle F\otimes _{k}M} が F ⊗ k A {\displaystyle F\otimes _{k}A} 上の半単純加群であることをいう。
環 R 上の半単純加群 M はまた R から M のアーベル群自己準同型環の中への環準同型として考えることもできる。この準同型の像は半原始環であり、すべての半原始環はそのような像に同型である。
半単純加群の自己準同型環は半原始であるだけでなく、フォンノイマン正則でもある。