GNS表現
議論を簡単にするため、 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} が単位元 I {\displaystyle I} を持つとすると、 Ω φ = ξ I {\displaystyle \Omega _{\varphi }=\xi _{I}} で定義される元は、 ⟨ Ω φ , π φ ( A ) Ω φ ⟩ = ⟨ ξ I , ξ A ⟩ = ω ( A ) {\displaystyle \langle \Omega _{\varphi },\pi _{\varphi }(A)\Omega _{\varphi }\rangle =\langle \xi _{I},\xi _{A}\rangle =\omega (A)} を満たすともに、 π φ ( A ) Ω φ ̄ = A / N ̄ = H φ {\displaystyle {\overline {\pi _{\varphi }({\mathfrak {A}})\Omega _{\varphi }}}={\overline {{\mathfrak {A}}/{\mathfrak {N}}}}={\mathcal {H}}_{\varphi }} であり、巡回ベクトルとなる。
GNS表現を応用することで、C*-代数の基本構造定理である「任意のC*-代数 A {\displaystyle {\mathfrak {A}}} はあるヒルベルト空間 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の有界作用素のなす具体的なC*-代数 B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})} と等距離*-同型である」というゲルファント=ナイマルクの定理を導くことができる。 E A {\displaystyle E_{\mathfrak {A}}} を状態全体からなる集合としたときに、GNS表現の族 { ( H φ , π φ ) } φ ∈ E A {\displaystyle \{({\mathcal {H}}_{\varphi },\pi _{\varphi })\}_{\varphi \in E_{\mathfrak {A}}}} から直和表現