ハルナックの不等式
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R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} 内の一般の領域 Ω {\displaystyle \Omega } に対するハルナックの不等式は次のようなものである。 ω {\displaystyle \omega } は ω ̄ ⊂ Ω {\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega } を満たす有界領域とする。このとき、次を満たすある定数 C {\displaystyle C} が存在する。
sup x ∈ ω u ( x ) ≤ C inf x ∈ ω u ( x ) . {\displaystyle \sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u(x).}
ただし u ( x ) {\displaystyle u(x)} は任意の二回微分可能な非負の調和函数である。定数 C {\displaystyle C} は u {\displaystyle u} に独立であり、定義域にのみ依存する。
∂ u ∂ t − L u ≥ 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u\geq 0}
および
u ( t , x ) ≥ 0 {\displaystyle \quad u(t,x)\geq 0}
を満たす ( 0 , T ) × M {\displaystyle (0,T)\times {\mathcal {M}}} 内の解とする。
K {\displaystyle K} を M {\displaystyle {\mathcal {M}}} のコンパクトな部分空間とし、 τ ∈ ( 0 , T ) {\displaystyle \tau \in (0,T)} を選ぶ。このとき、 K {\displaystyle K} 、 τ {\displaystyle \tau } および L {\displaystyle {\mathcal {L}}} の係数にのみ依存するある定数 C > 0 {\displaystyle \quad C>0} が存在し、各 t ∈ ( τ , T ) {\displaystyle \quad t\in (\tau ,T)} に対して次が成立する。
sup K u ( t − τ , ⋅ ) ≤ C inf K u ( t , ⋅ ) . {\displaystyle \sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).\,}