弧長
を得る。これは y = f (x) のグラフの x = a から x = b までの弧長を与えている。
例として、曲線が
{ y = t 5 , x = t 3 {\displaystyle {\begin{cases}y=t^{5},\\x=t^{3}\end{cases}}}
で与えられているものとし、さらに t が −1 から 1 までの値をとるものとすると、弧長を表す積分は
∫ − 1 1 ( 3 t 2 ) 2 + ( 5 t 4 ) 2 d t = ∫ − 1 1 9 t 4 + 25 t 8 d t ≈ 2.9053418626 ⋯ {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {(3t^{2})^{2}+(5t^{4})^{2}}}\,dt=\int _{-1}^{1}{\sqrt {9t^{4}+25t^{8}}}\,dt\approx 2.9053418626\cdots }
となる。数値計算をすれば、この弧長が 2.905 にかなり近いことがわかる。超幾何函数を用いて表せば、
2 2 F 1 ( − 1 2 , 3 4 ; 7 4 ; − 25 9 ) {\displaystyle 2\,{}_{2}F_{1}\!\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}};{\frac {7}{4}};-{\frac {25}{9}}\right)}
になる。
数学において、複雑な形状の曲線(弧状線分)の弧長(こちょう、英: arc length)を決定する問題は、曲線の求長 (rectification) とも呼ばれ、特定の曲線に対する求長法は歴史的に様々なものが考えられてきたが、無限小解析の到来とともに曲線に依らない一般論が導かれ、いくつかの場合にはそこから閉じた形の式(英語版)が得られる。
平面内の曲線は、曲線上の有限個の点を線分で結んで得られる折線で近似することができる。各線分の長さは、ユークリッド空間におけるピタゴラスの定理などから直接に求まるので、近似折線の総延長はそれらの線分の長さの総和として決定することができる。
考えている曲線がはじめから折線なのでなければ、用いる線分の長さを短くして数を増やすことによって、よりその曲線に近い形の折線近似が得られる。そうやってよりよい近似折線を次々につくっていくと、その長さは減ることはなく、場合によっては無制限に増加し続ける可能性もある。しかし、殊滑らかな曲線に限っては、それは線分の長さを無限に小さくする極限で必ず一定の極限値へ収斂する。このように、ある種の曲線に対しては、任意の近似折線の長さの上界に最小値 L が存在する。そのとき、その曲線は有限長であるといい、値 L をその曲線の弧長と呼ぶのである。
数学史の大半の時期においては、偉大な思想家ですらも、特異な弧の長さを計算することは不可能と考えられた。窄出法(積尽法)と呼ばれる独自の方法を用いて、曲線に囲まれる領域の面積を求めた先駆者であったアルキメデスでさえも、直線が持つのと同様の確かな長さを曲線が持つことが可能であるとはほとんど信じていなかった。しばしば微分積分学の起源と考えられるこの分野が開拓される最初の足掛かりは、近似法を用いることであった。人々は、曲線に内接する多角形を考え、その辺の長さを曲線の幾分精密な長さを知るために計算するということを始めるのである。線分の数を増やして各線分の長さを記述することによって、どんどん精密な近似を得ることができた。特に、円に内接する多角形の辺の数を増やすことによって、円周率 π の近似値が求められた。