ジョルダン標準形
上のとき、 a 1 , a 2 , ... , a r {\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}} は V' の基底であるが、この基底に関する f' の表現行列は A 1 , 1 + R A 2 , 1 {\displaystyle A_{1,1}+RA_{2,1}} である。
命題の証明は略するが、これを用いると上のジョルダン基底の存在証明は、同時に行列のジョルダン標準形と変換行列を求めるアルゴリズムにもなっている。
行列 A の相異なる固有値 λ1, ..., λs を求める
Ai = A − λi I とおく
rank Ai = rank Ai となる最小の自然数 ki を求める
Wi,j = im Ai ∩ ker Ai とおく
部分空間の増大列 Wi,ki−1 ⊂ ... ⊂ Wi,1 ⊂ Wi,0 = ker Ai に沿って ker Ai の基底 bi,1, ..., bi,ti を求める
bi,j ∈ Wi,di,j − Wi,di,j+1 となる自然数 di,j を求める
連立一次方程式 Ai xi,j = bi,j の解 xi,j を求める
ei,j = Ai xi,j とおく
Pi,j = [ei,di,j, ..., ei,1, ei,0] とおく
P = [P1,1, ..., P1,t1, ..., Ps,1, ..., Ps,ts] を出力