有界型空間
X にマッキー位相 τ ( X , X ′ ) {\displaystyle \tau (X,X')} を入れるとき、X 上の任意の有界線型汎函数が連続である。
X は次の二つの条件をともに満たす: X は凸列型 (convex-sequential) または C-列型 (C-sequential) である、即ち X の任意の凸列型開集合が開となる。 X は点列界相 (sequentially-bornological) 空間または S-界相 (S-bornological) 空間である、即ち X の任意の凸かつ界呑部分集合が点列開になる(ただし、X の部分集合 A が点列開 (sequentially open) であるとは 0 を被覆する任意の列が A にほとんど含まれる (eventually belongs to) ことをいう。列型空間も参照のこと)。
任意の集合 X について、X 上の有界集合系あるいは界相有界型 (bornology) とは、X の部分集合族 B で、
B は X を被覆する: X = ⋃ B ; {\displaystyle \scriptstyle X=\bigcup \mathbf {B} ;}
B は包含関係に関して閉じている: A ∈ B かつ A′ ⊆ A, ならば A′ ∈ B;
B は有限合併に関して閉じている: B1, ..., Bn ∈ B, ならば ⋃ i = 1 n B i ∈ B {\displaystyle \scriptstyle \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}\in \mathbf {B} }
を満足するものをいう。このとき集合族 B の各元は X の有界集合と呼ばれ、対 (X, B) を界相付き集合 (bornological set) と言う。
有界集合系 B の有界基あるいは有界集合の基本系 (base of the bornology) とは B の部分集合 B0 で B の各元が B0 の元の部分集合となっているときに言う。