双対ベクトル空間
V が有限次元のとき、V はその双対 V* とは同型であるが、それらの間に自然な同型は存在しない。V 上の任意の双線型形式 ⟨•,•⟩ は V から双対 V* への写像
v ↦ ⟨ v , ∙ ⟩ {\displaystyle v\mapsto \langle v,{\bullet }\rangle }
を与える。この右辺は 各 w ∈ V をスカラー ⟨v,w⟩ へ写す V 上の線型汎函数である。即ち、双線型形式は線型写像
Φ ⟨ ∙ , ∙ ⟩ : V → V ∗ ; [ Φ ⟨ ∙ , ∙ ⟩ ( v ) , w ] = ⟨ v , w ⟩ {\displaystyle \Phi _{\langle {\bullet },{\bullet }\rangle }\colon V\to V^{*};\;{\bigl [}\Phi _{\langle {\bullet },{\bullet }\rangle }(v),w{\bigr ]}=\langle v,w\rangle }
を定義するのである。もとの双線型形式が非退化ならば、この線型写像は V* の中への同型を与える。特に V が有限次元ならば V* の上への同型である。逆に、V から V* の部分集合(あるいは V* 全体)への任意の同型 Φ は、
( ⋃ i ∈ I A i ) ∘ = ⋂ i ∈ I A i ∘ {\displaystyle {\biggl (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\biggr )}^{\!\circ }=\bigcap _{i\in I}A_{i}^{\circ }}
が成り立つから、特に V の部分集合 A, B に対して
( A + B ) ∘ = A ∘ ∩ B ∘ {\displaystyle (A+B)^{\circ }=A^{\circ }\cap B^{\circ }}
となることを導く。
有限次元ベクトル空間 V とその部分空間 W に対し、二重双対の自然な同型 V ≡ V** による W の像を W と同一視するとき
W ∘ ∘ = W {\displaystyle W^{\circ \circ }=W}
が成り立つ。従って特に、零化域をとる操作は有限次元ベクトル空間の部分空間束上のガロワ対応を定める。
V の部分空間 W に対し、商空間 V/W はそれ自身ベクトル空間であり、その双対を考えることができる。第一同型定理によれば、汎函数 f: V → F が V/W 上の汎函数を誘導するのは W が f の核に含まれるとき、かつそのときに限るから、同型
( V / W ) ∗ ≅ W ∘ {\displaystyle (V/W)^{*}\cong W^{\circ }}
が導かれる。特に、V が二つの部分空間 A と B との直和に分解されるとき、V* は A と B の直和に分解される。