円周率の無理性の証明
c_{m}}{n!}}=m(m-1)\cdot \cdot \cdot (n+1)c_{m}}
なので、整数である。 それゆえ、任意のmに対して f ( m ) ( 0 ) {\displaystyle f^{(m)}(0)} は整数である。 したがって G(0) は整数である。
f(x)=f(1-x)なので両辺を微分することにより
f ′ ( x ) = − f ′ ( 1 − x ) {\displaystyle f'(x)=-f'(1-x)}
f ′′ ( x ) = f ′′ ( 1 − x ) {\displaystyle f''(x)=f''(1-x)}
⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle \cdot \cdot \cdot }
である。一般に
f ( m ) ( x ) = f ( m ) ( 1 − x ) {\displaystyle f^{(m)}(x)=f^{(m)}(1-x)}
のとき
f ( m + 1 ) ( x ) = − f ( m + 1 ) ( 1 − x ) {\displaystyle f^{(m+1)}(x)=-f^{(m+1)}(1-x)}
f ( m + 2 ) ( x ) = f ( m + 2 ) ( 1 − x ) {\displaystyle f^{(m+2)}(x)=f^{(m+2)}(1-x)} .
すなわち
1 1 3 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots }
が無理数であることを示した(アペリーの定理を参照)。この値は、リーマンゼータ函数
ζ ( s ) = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
の s = 3 における値 ζ(3) である。同様の手法で、彼は全ての平方数の逆数和
1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }
すなわち ζ(2) も無理数であることを示した。この極限は π 2 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} に等しい、という事実をすでにレオンハルト・オイラーが示していたので(バーゼル問題を参照)、これはルジャンドルが示したことと同値である。すなわち、アペリーの証明は π が無理数であることの別証明になっている。
I 0 = J 0 = 1 − cos  r , K 0 = r 2 − 2 − 2 cos  r , L 0 = 3 K 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}&=J_{0}=1-\cos r,\\K_{0}&=r^{2}-2-2\cos r,\\L_{0}&=3K_{0},\\\end{aligned}}}
である。各積分を1回ずつ部分積分することにより、n > 0 に対して次の漸化式を得る。
I n = 4 L n − 1 − 2 r 2 J n − 1 , J n = ( 4 n + 1 ) I n − 2 r 2 K n − 1 , K n = − ( 4 n + 2 ) J n + 2 r 2 L n − 1 , L n = ( 4 n + 3 ) K n + 2 n r 2 I n − 2 r 4 K n − 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=4L_{n-1}-2r^{2}J_{n-1},\\J_{n}&=(4n+1)I_{n}-2r^{2}K_{n-1},\\K_{n}&=-(4n+2)J_{n}+2r^{2}L_{n-1},\\L_{n}&=(4n+3)K_{n}+2nr^{2}I_{n}-2r^{4}K_{n-1}.\\\end{aligned}}}
これらより、I n , J n , K n , L n は、すべて
u n ( R ) + v n ( R ) cos  r {\displaystyle {\begin{aligned}u_{n}(R)+v_{n}(R)\cos r\end{aligned}}}
の形になる。