バナッハ＝タルスキーのパラドックス
A 3 = S ( b ) M {\displaystyle \displaystyle A_{3}=S(b)M}
A 4 = S ( b − 1 ) M {\displaystyle \displaystyle A_{4}=S(b^{-1})M}
ここで
B = ⋃ i = 1 ∞ a − i M {\displaystyle B=\bigcup _{i=1}^{\infty }a^{-i}M}
である。
今、球面は4つの部分集合に分割されている。以下のように、これらのうち2つの集合を回転させることで最初の2倍の球面を得ることが出来る。
a A 2 = A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 {\displaystyle aA_{2}=A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}}
b A 4 = A 1 ∪ A 2 ∪ A 4 {\displaystyle bA_{4}=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{4}}
したがって
A 1 ∪ a A 2 = S 2 {\displaystyle A_{1}\cup aA_{2}=S^{2}}
および
A 3 ∪ b A 4 = S 2 {\displaystyle A_{3}\cup bA_{4}=S^{2}}