四次函数
A program demonstrating various analytic solutions to the quartic was provided in Graphics Gems Book V. However, none of the three algorithms implemented are unconditionally stable. In an updated version of the paper, which compares the 3 algorithms from the original paper and 2 others, it is demonstrated that computationally stable solutions exist only for 4 of the possible 16 sign combinations of the quartic coefficients.
↑ http://www.acm.org/pubs/tog/GraphicsGems/gems.html#gemsv
↑ http://www-staff.it.uts.edu.au/~don/pubs/solving.html
重根の存在を調べる四次式の判別式は、定義通り根の差積の平方(にヴィエタの公式を代入したもの)として計算すると、16個の項をもつかなり複雑な式となる。したがって、数値計算する上では簡潔な行列式としてまとまる判別式の終結式による表現が有用である。すなわち、
Q ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e {\displaystyle Q(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}
の判別式 DQ は
D Q = − R e s ( Q , Q ′ ) = − | a b c d e 0 0 0 a b c d e 0 0 0 a b c d e 4 a 3 b 2 c d 0 0 0 0 4 a 3 b 2 c d 0 0 0 0 4 a 3 b 2 c d 0 0 0 0 4 a 3 b 2 c d | {\displaystyle D_{Q}=-\mathrm {Res} (Q,Q')=-{\begin{vmatrix}a&b&c&d&e&0&0\\0&a&b&c&d&e&0\\0&0&a&b&c&d&e\\4a&3b&2c&d&0&0&0\\0&4a&3b&2c&d&0&0\\0&0&4a&3b&2c&d&0\\0&0&0&4a&3b&2c&d\end{vmatrix}}}
となる。
四次函数のグラフの概形は、最高次係数の正負、重根・三重根・四重根の有無、導函数の零点の有無、導函数の重根・三重根の有無などにより分類することができる。