分解型八元数
分解型八元数は物理法則の記述に用いられる。例えば
(a) ディラック方程式(電子や陽子のような、スピン1/2の自由粒子の運動の方程式)は生の分解型八元数の算術で表すことができる。
(b) 超対称量子力学は octonionic extension を持つ。
スカラーである基底元を e0 として e i e j = − δ i j e 0 + ε i j k e k ( i , j , k = 1 , ⋯ , 7 ) {\displaystyle e_{i}e_{j}=-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k}\ (i,j,k=1,\cdots ,7)} および e i e 0 = e 0 e i = e i ; e 0 e 0 = e 0 {\displaystyle e_{i}e_{0}=e_{0}e_{i}=e_{i};\quad e_{0}e_{0}=e_{0}}
から導かれる。ここで、δij はクロネッカーのデルタ、εijk はエディントンのイプシロン(これが +1 の値を取るのは
(i, j, k) = (1, 2, 3), (1, 5, 4), (1, 7, 6), (2, 6, 4), (2, 5, 7), (3, 7, 4), (3, 6, 5)
のとき)である。
図の赤矢印は、矢印の向き(掛ける順番)を逆転することで符号が逆になることを指し示すものである(上記、分解型八元数の基底同士の乗積表において、右下四分の一の部分を確認せよ)。