コンウェイの兵隊
φ 2 = 1 − φ {\displaystyle {\varphi ^{2}=1-\varphi }} (両辺に φ {\displaystyle {\varphi }} を乗ずる)
φ 3 = φ − φ 2 {\displaystyle {\varphi ^{3}=\varphi -\varphi ^{2}}}
φ 4 = φ 2 − φ 3 {\displaystyle {\varphi ^{4}=\varphi ^{2}-\varphi ^{3}}}
と出来る(以降同様)。 この右辺を足し合わせると1以外の項は打ち消し合うため、
∑ n = 2 ∞ φ n = 1 {\displaystyle {\sum _{n=2}^{\infty }\varphi ^{n}=1}}
となる。一方で、左辺は等比級数であるため、
∑ k = 2 ∞ φ k = 1 1 − φ − φ − 1 = 1 {\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }\varphi ^{k}={\frac {1}{1-\varphi }}-\varphi -1=1}
である。