グロタンディーク群
体 k 上の有限次元ベクトル空間のアーベル圏では、2つのベクトル空間が同値であることと、それらが同じ次元であることは同値であり、従って、ベクトル空間 V に対し同値類は K 0 ( V e c t f i n ) {\displaystyle K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} })} の中で [ V ] = [ k dim ( V ) ] {\displaystyle [V]=[k^{{\mbox{dim}}(V)}]} である。さらに、完全系列
0 → k l → k m → k n → 0 {\displaystyle 0\to k^{l}\to k^{m}\to k^{n}\to 0}
に対して、m = l + n であるので、 [ k l + n ] = [ k l ] + [ k n ] = ( l + n ) [ k ] {\displaystyle [k^{l+n}]=[k^{l}]+[k^{n}]=(l+n)[k]}
となる。従って、 [ V ] = dim  ( V ) [ k ] {\displaystyle [V]=\operatorname {dim} (V)[k]} に対し、グロタンディーク群 K 0 ( V e c t f i n ) {\displaystyle K_{0}(\mathrm {Vect} _{\mathrm {fin} })} は Z と同型であり、[k] により生成される。