シュニレルマン密度
r N k ( n ) > 0 ↔ n ∈ N G k , {\displaystyle r_{N}^{k}(n)>0\leftrightarrow n\in N{\mathfrak {G}}^{k},}
R N k ( n ) ≥ ( n N ) N k . {\displaystyle R_{N}^{k}(n)\geq \left({\frac {n}{N}}\right)^{\frac {N}{k}}.}
0 ≤ x 1 k + x 2 k + ⋯ + x N k ≤ n {\displaystyle 0\leq x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+\cdots +x_{N}^{k}\leq n} により定義される N {\displaystyle N} -次元の領域の体積は、大きさが n 1 / k {\displaystyle n^{1/k}} の超立方体の体積を最大として有界である。従って、 R N k ( n ) = ∑ i = 0 n r N k ( i ) = n N / k {\displaystyle R_{N}^{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}r_{N}^{k}(i)=n^{N/k}} である。ここで難しい部分は、この限界値が平均でもうまく機能することです。つまり、
補題.