和分差分学
下降階乗に関しては単純な規則が存在する。任意の整数 m に対して
x m _ = x ! ( x − m ) ! = { x ( x − 1 ) ⋯ ( x − m + 1 ) ⏞ m factors for m ≥ 0 1 ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x − m ) ⏟ | m | factors for m < 0 {\displaystyle x^{\underline {m}}={\frac {x!}{(x-m)!}}={\begin{cases}\overbrace {x(x-1)\dotsb (x-m+1)} ^{m{\text{ factors}}}&{\text{for }}m\geq 0\\[5pt]\underbrace {\frac {1}{(x+1)(x+2)\dotsb (x-m)}} _{|m|{\text{ factors}}}&{\text{for }}m<0\end{cases}}}
と書くことにすれば、和分差分学における振る舞いを