松原振動数
ボース分布関数とフェルミ分布関数は、フェルミオン振動数による変数のシフトの下で変質する。
n η ( i ω m + ξ ) = − n − η ( ξ ) {\displaystyle n_{\eta }(i\omega _{m}+\xi )=-n_{-\eta }(\xi )}
しかしボソン振動数によるシフトでは違いは生じない。
ボソン
1 β ∑ i ω n ln  ( β ( − i ω n + ξ ) ) = 1 β ln  ( 1 − e − β ξ ) , {\displaystyle {\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{n}}\ln(\beta (-i\omega _{n}+\xi ))={\frac {1}{\beta }}\ln(1-e^{-\beta \xi }),}
フェルミオン
− 1 β ∑ i ω m ln  ( β ( − i ω m + ξ ) ) = − 1 β ln  ( 1 + e − β ξ ) . {\displaystyle -{\frac {1}{\beta }}\sum _{i\omega _{m}}\ln(\beta (-i\omega _{m}+\xi ))=-{\frac {1}{\beta }}\ln(1+e^{-\beta \xi }).}