ブラック–ショールズ方程式
Γ := ∂ 2 C ∂ S t 2 = 1 σ S t T − t 1 2 π e x p { − 1 2 d 1 2 } {\displaystyle \Gamma :={\frac {\partial ^{2}C}{\partial S_{t}^{2}}}={\dfrac {1}{\sigma S_{t}{\sqrt {T-t}}}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {exp} \left\{-{\frac {1}{2}}d_{1}^{2}\right\}}
ρ := ∂ C ∂ r = ( T − t ) K e − r ( T − t ) N ( d 2 ) {\displaystyle \rho :={\frac {\partial C}{\partial r}}=(T-t)Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})}
ただ、ブラックはこの方程式について考察を深める中で、株式の期待リターンにワラントの価値は依存しないこと、つまりワラントの価値を決定する上で重要なのは株式全体のリスク(ボラティリティ)であることに気付いている。
また、時を同じくして1969年ごろにマサチューセッツ工科大学(MIT)に所属していたマイロン・ショールズとブラックは知り合い、ショールズの紹介によりブラックはMITに職場を移した。そこからブラックとショールズの共同研究が始まり、ワラントの研究から転じたオプションの評価式についての研究は急速に進展した。
同時期にオプション評価式の研究に取り組んでいたマートンとの議論はブラックとショールズの研究に大きな影響を与えている。両者の関係は共同関係であり、またライバル関係であったとブラックは述べている。そのような中でブラックとショールズは伊藤清らにより創始された確率微分方程式の理論とマートンとの議論によってもたらされた複製ポートフォリオの概念を用いて導出されたブラック–ショールズ方程式の解を見出すことに成功した。ブラックとショールズは1970年の夏に開かれたカンファレンスでコーポレートファイナンスにおいてのブラック–ショールズ方程式の応用についての研究成果を発表したが、マートンは寝坊してしまい、ブラックとショールズの発表を聞くことが出来なかった。