ストリッカーツ評価
小川卓克『非線型発展方程式の実解析的方法』(丸善出版、2013年).
堤誉志雄『偏微分方程式論 基礎から展開へ』(培風館、2004年).
N.Bez, Y.Hong, S.Lee, S.Nakamura, Y.Sawano『滑らかさを加味した直交ストリッカーツ評価』(数理解析研究所講究録、2019年). https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/254981/1/2143-18.pdf
空間2次元の場合の端点指数 ( d , p , q ) = ( 2 , 2 , ∞ ) {\displaystyle (d,p,q)=(2,2,\infty )} は除かれていた。しかし、次のように右辺のノルム(=抑えるノルム)を弱めることで、同様の評価が成り立つ:
‖ e i t Δ u 0 ‖ L 2 ( R t ; X ) ≤ C 1 ‖ u 0 ‖ L 2 ( R 2 ) , {\displaystyle \|e^{it\Delta }u_{0}\|_{L^{2}(\mathbb {R} _{t};X)}\leq C_{1}\|u_{0}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})},}
‖ ∫ R e − i τ Δ u ( τ ) d τ ‖ L 2 ( R 2 ) ≤ C 1 ‖ u ‖ L 2 ( R t ; X ′ ) , {\displaystyle {\Big \|}\int _{\mathbb {R} }e^{-i\tau \Delta }u(\tau )d\tau {\Big \|}_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C_{1}\|u\|_{L^{2}(\mathbb {R} _{t};X')},}
‖ ∫ 0 t e i ( t − τ ) Δ u ( τ ) d τ ‖ L 2 ( R t ; X ) ≤ C 1 ‖ u ‖ L p 1 ′ ( R t ; L q 1 ′ ( R x d ) ) .
{\displaystyle {\Big \|}\int _{0}^{t}e^{i(t-\tau )\Delta }u(\tau )d\tau {\Big \|}_{L^{2}(\mathbb {R} _{t};X)}\leq C_{1}\|u\|_{L^{p_{1}'}(\mathbb {R} _{t};L^{q_{1}'}(\mathbb {R} _{x}^{d}))}.}
ここで、 ‖ f ‖ X := ‖ f ( r θ ) ‖ L r ∞ L θ 2 , ‖ f ‖ X ′ := ‖ f ( r θ ) ‖ L r 1 L θ 2 {\displaystyle \|f\|_{X}:=\|f(r\theta )\|_{L_{r}^{\infty }L_{\theta }^{2}},\|f\|_{X'}:=\|f(r\theta )\|_{L_{r}^{1}L_{\theta }^{2}}} である。また、 ( p 1 , q 1 ) {\displaystyle (p_{1},q_{1})} は許容指数対である。特に、 u 0 {\displaystyle u_{0}} が球対称関数のとき、 X = L ∞ ( R d ) {\displaystyle X=L^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})} であることに注意せよ。