凸最適化
凸最適化(とつさいてきか)とは最適化問題の分野のひとつで、凸集合上の凸関数の最小化問題である。 凸最小化問題は一般的な最適化問題よりも簡単に最適化が可能であり、局所的な最小値が大域的な最小値と一致する性質をもつ。
実ベクトル空間 X {\displaystyle X} 上の実数値凸関数
f : X → R {\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }
が X {\displaystyle X} の凸部分集合 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 上で定義される。
凸最適化問題とは f ( x ) {\displaystyle f(x)} の最小値となる X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 上の点 x ∗ {\displaystyle x^{\ast }} を見つけることである。
すなわち x ∗ {\displaystyle x^{\ast }} は
f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) {\displaystyle f(x^{\ast })\leq f(x)} for all x ∈ X {\displaystyle x\in {\mathcal {X}}} .
である。
凸最適化問題において以下の命題は真である。
極小値が存在すれば大域的最小値である
すべての(大域的)最小値の集合は凸である
強凸関数であり関数が最小値を持てば、一意に決まる
ヒルベルト射影理論、分離超平面理論、Farkasの補題などの関数解析(ヒルベルト空間上の)とも関係している。