双極座標系
双極座標系(そうきょくざひょうけい、英語: Bipolar coordinates)はアポロニウスの円束を基底とした直交座標系である。紛らわしいことに、双極座標という言葉は二中心双極座標(英語版)に対しても使用される。また、双角座標系(英語版)という座標系もある。
「双極」という言葉は2つの特異点(焦点)を持つ他の曲線(楕円曲線、双曲線、カッシーニの卵形線等)を指して使われることもある。しかしながら、「双極座標」という言葉はこの項で述べるような座標系のことを指し、楕円座標系(英語版)のような他の曲線に関連した座標系には使われない。
双極座標系は2つの焦点 F1 と F2 を基底とする。右に掲載されている図で言えば、点 P の σ 座標は角 F1 P F2に等しく、 τ 座標は距離d1 とd2の比の自然対数に等しい。
τ = ln  d 1 d 2 {\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}
もし、直交座標系において、焦点が (−a, 0) と (a, 0) に取られれば、点 P の座標は
x = a sinh  τ cosh  τ − cos  σ , y = a sin  σ cosh  τ − cos  σ {\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\qquad y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}
座標 τ は − ∞ {\displaystyle -\infty } (F1に近い点に対する値)から ∞ {\displaystyle \infty } (F2に近い点に対する値)まで変化する。座標 σ はmod 2πと定義され、点 P が下半平面に位置する場合は鋭角F1 P F2 の負とすることにより、-π から π の範囲に取るのが最適である。