ハイゼンベルク描像
よってハイゼンベルク描像において、状態は時間によらず常に |ψ(0)⟩ であると定義し、物理量を表す演算子を次のように定義すれば、シュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像とでは、物理量の期待値 |ψ(t)⟩ は等しくなる。つまりシュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像は時間発展について等価な理論になる。
A ^ ( t ) := e i H ^ t / ħ A ^ e − i H ^ t / ħ . {\displaystyle {\hat {A}}(t):=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {A}}e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }.}
すると ˆA(t) の時間依存性は、
d d t A ^ ( t ) = i ħ H e i H ^ t / ħ A ^ e − i H ^ t / ħ + ( ∂ A ^ ∂ t ) classical + i ħ e i H ^ t / ħ A ^ ( − H ^ ) e − i H ^ t / ħ = i ħ e i H ^ t / ħ ( H ^ A ^ − A ^ H ^ ) e − i H ^ t / ħ + ( ∂ A ^ ∂ t ) classical = i ħ ( H ^ A ^ ( t ) − A ^ ( t ) H ^ ) + ( ∂ A ^ ∂ t ) classical = i ħ [ H ^ , A ^ ( t ) ] + ( ∂ A ^ ∂ t ) classical .