格子 (数学)
典型的な R の格子 Λ は
Λ = { ∑ i = 1 n a i v i | a i ∈ Z } {\displaystyle \Lambda =\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\;|\;a_{i}\in \mathbb {Z} \right\}}
という形に書くことができる。ただし {v1, ..., vn} は R の基底である。異なる基底が同じ格子を生成することはありうるが、ベクトル vi を並べた行列の行列式の絶対値は Λ に対して一意に決まり、それを d(Λ) で表す。格子を全空間 R の同一の多面体(格子の基本領域と呼ばれる n-次元平行多面体のコピー)による分割として見るならば、 d(Λ) はこの多面体の n-次元体積である。このことから、d(Λ) は、格子の余体積 (covolume) と呼ばれることもある。
より一般に、リー群 G の格子 Γ は、商 G/Γ が測度有限となるような離散的部分群である。ただし、測度は G 上のハール測度から内在的に定まる測度とする(この格子の定義は、左不変でも右不変でも、ハール測度の選び方によらない)。G/Γ がコンパクトなときは明らかにこの要件が満たされるが、それは十分条件であって必要条件ではない。なんとなれば、SL2(R) に含まれるモジュラー群の場合を見ればよい。この場合、モジュラー群は格子になっているが、商はコンパクトではない(尖点 (cusp) が存在する)。リー群に含まれる格子の存在については一般的な結果として述べることができる。
格子が一様または余コンパクトであるとは、G/Γ がコンパクトになることを言う。さもなくば格子は非一様である。