多項式環
多項式環は主イデアル環であるから、このイデアルも単項生成であって、多項式 p ∈ K[X] で L ≃ K [ X ] / ( p ) {\textstyle L\simeq K[X]/(p)} となるものが存在する。特に重要な応用は、大きいほうの環 L が体の場合である。このとき多項式 p は既約多項式でなければならない。反対に、原始元定理によれば体の任意の有限次分離拡大 L/K は単一の元 θ ∈ L によって生成することができ、上述の理論により体 L は多項式環 K[X] の既約多項式 p の生成する単項イデアルによる商として具体的な記述が与えられる。実例として、複素数体 C は実数体 R に i + 1 = 0 を満たす i を唯一つ付け加えて得られる。それに応じ、多項式 X + 1 は R 上既約であって C ≃ R [ X ] / ( X 2 + 1 ) {\textstyle \mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)} という同型が成立する。