極限 (圏論)
Fの極限は(まぎらわしいが)逆極限、射影極限、有向極限と呼ばれる。
J = 1のとき、すなわち、ひとつの対象とひとつの射からなる圏であるとき、形がJの図式は本質的にはCのひとつの対象Xのことである。対象Xへの錐はたんにXを余ドメインとする射である。射f : Y → Xが図式Xの極限であるのは、fが同型射のときであり、またそのときに限る。より一般的に、Jが始対象iを持つ圏であるとき、形がJである任意の図式は極限をもち、それはF(i)に同型な対象のことである。このような同型はFへの普遍錐を一意に定める。
位相的な極限。関数の極限はフィルター極限の特別な場合であり、圏論的な極限とは次のような関係がある。Xを位相空間とし、FはX上のフィルターの集合とし、x ∈ Xを点とし、V(x) ∈ Fをxの近傍フィルターとし、A ∈ Fをひとつのフィルターとし、 F x , A = { G ∈ F ∣ V ( x ) ∪ A ⊂ G } {\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}} をxに収束するAより細かいフィルターの集合とする。フィルターの集合FにはA ⊆ Bにたいして射A → Bを与えることで、圏の構造を持たせることができる。入射 I x , A : F x , A → F {\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F} は以下の同値性をもつ関手となる。
xがAの位相的な極限であるのは、Aが I x , A {\displaystyle I_{x,A}} の圏論的な極限であるときであり、またそのときに限る