電磁ポテンシャル
で ( φ ′ , A ′ ) {\displaystyle (\phi ',{\boldsymbol {A}}')} を定義すると、これも条件式(M0)を満たす事を示す事が出来る。 逆に条件式 (M0) を満たす2つの組 ( φ , A ) {\displaystyle (\phi ,{\boldsymbol {A}})} 、 ( φ ′ , A ′ ) {\displaystyle (\phi ',{\boldsymbol {A}}')} に対して、関係式(G)を満たす関数 f ( t , x ) {\displaystyle f(t,{\boldsymbol {x}})} と定数Cが存在する事も示せる。 したがって関係式(G)はスカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルの選び方の自由度を完全に特徴づけている。
以上のようにスカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルは一意ではないので、さらに条件(ゲージ固定条件)を課す事で一意に定める事がある。
詳細については後述する。
電磁場が静的な場合には、それぞれの方程式から時間微分の項が消えるので方程式が簡単になる。
E = − ∇ φ {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \phi } : (M0-a)
∇ 2 φ = − ρ ε 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}} : (M2'-a)
B = ∇ × A {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}} : (M0-b)
− ∇ ( ∇ ⋅ A ) + ∇ 2 A = − μ 0 j {\displaystyle -\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {A}})+\nabla ^{2}{\boldsymbol {A}}=-\mu _{0}{\boldsymbol {j}}} : (M2'-b)
静的な場の方程式は、電場と磁場についてそれぞれ独立な式になる。
(M0-a)と(M2'-a)によって記述される系は静電気学の系そのものである。直ちに、静的な電磁場におけるスカラーポテンシャルφは電位と一致する事が分かる。ここでさらに、後述するゲージ変換によって
∇ ⋅ A = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {A}}=0}
と言う条件を付け加えると(M2'-b)は
電磁ポテンシャル(でんじポテンシャル)とは、電磁場を導くポテンシャルで、一対の電気スカラーポテンシャルと磁気ベクトルポテンシャルからなる。
物理学、特に電磁気学とその応用分野で使われる。アハラノフ=ボーム効果の検証結果から、磁気ベクトルポテンシャルについては物理量とみなされている。
似た概念に磁位ポテンシャルがある。
前述のようにスカラー・ポテンシャル、ベクトル・ポテンシャルの選び方は一意ではない。 実際、条件式(M0)を満たす関数の組 ( φ , A ) {\displaystyle (\phi ,{\boldsymbol {A}})} に対して、任意のスカラー値関数 f ( t , x ) {\displaystyle f(t,{\boldsymbol {x}})} により、
(G-a) : φ ′ = φ − ∂ f ∂ t {\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial f}{\partial t}}}
(G-b) : A ′ = A + ∇ f {\displaystyle {\boldsymbol {A}}'={\boldsymbol {A}}+\nabla f}