群ホップ代数
ホップスマッシュ積ホップ代数 H と左ホップ H-加群代数に対し、それらのスマッシュ積代数 A # H とは、テンソル積線型空間 A ⊗ H に積を ( a ⊗ h ) ( b ⊗ k ) := a ( h ( 1 ) ⋅ b ) ⊗ h ( 2 ) k {\displaystyle (a\otimes h)(b\otimes k):=a(h_{(1)}\cdot b)\otimes h_{(2)}k} から定義したもので、この文脈では a ⊗ h ではなくて a # h と書く。ホップスマッシュ積の巡回ホモロジーはすでに計算されている。スマッシュ積 A # H のことを接合積(接合積ホップ代数)A ⋊ H とも呼ぶ。
上で定義した λ により明らかに F(X) は左ホップ kG-加群代数となる。特に A = F(X) および H = kG に対するスマッシュ積代数 A # kG(簡単に A # G とも書かれる)も定義できて、この場合のスマッシュ積は
( a #  g 1 ) ( b #  g 2 ) = a ( g 1 ⋅ b ) #  g 1 g 2 {\displaystyle (a\mathop {\#} g_{1})(b\mathop {\#} g_{2})=a(g_{1}\cdot b)\mathop {\#} g_{1}g_{2}}
のように書ける。