接ベクトル空間
は関数行列(ヤコビ行列)である。それぞれの接ベクトルは p や q の周辺の様子を表しているが、 p の周辺が f によってどのように q の周辺にうつされているのか?を表現しているのが、この関数行列 Jf である。
こうして
( d f ) p : T p ( M ) → T q ( N ) {\displaystyle (df)_{p}\colon T_{p}(M)\to T_{q}(N)}
という対応ができ、この (df)p を
f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N}
の p における微分という。つまり、微分というのは接ベクトル空間から接ベクトル空間への線型写像のことであり、微分を用いることによって写像は局所的には線型代数学的な扱いが可能になる。
(df)p の行列としての表示 Jf の階数を f の p における階数(rank) といい、 rankp(f) と書くと
rank p  ( f ) ≤ min  ( a , b ) {\displaystyle \operatorname {rank} _{p}(f)\leq \operatorname {min} (a,b)}
である。