並進演算子 (量子力学)
ここまで ˆp を並進演算子から定義した。逆に、並進演算子を ˆp の関数として描くこともできる。並進演算子を N 分割し、その極限をとった無限小並進は ˆp で表すことができる。
T ^ ( x ) = lim N → ∞ [ T ^ ( x N ) ] N = lim N → ∞ [ 1 − i x ⋅ p ^ N ħ ] N {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})&=\lim _{N\to \infty }\left[{\hat {T}}\left({\frac {\boldsymbol {x}}{N}}\right)\right]^{N}\\&=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1-{\frac {i{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\hat {p}}}}{N\hbar }}\right]^{N}\end{aligned}}}
よって最終的に得られる表現は、
ここでexpは演算子の指数関数で、右辺はテイラー級数展開である。x が非常に小さなときは、次のように近似的に表せる。
量子力学ではハミルトニアンは系のエネルギーとダイナミクスを表す。以下で示すいくつかの状況では、系が並進してもハミルトニアンは不変となる。 この場合、対応する並進演算子は系について対称である。
数学的には、この状況は次のようなときに起こる。
T ^ ( x ) − 1 H ^ T ^ ( x ) = H ^ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})={\hat {H}}}
(大雑把に言うと、系を並進させた後にエネルギーの測定をし、並進によって元に戻すと、結局エネルギーを直接測定したことと同じである)。このことは交換子を用いて [ H ^ , T ^ ( x ) ] = 0 {\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})]=0} と書ける。すなわちハミルトニアンが並進演算子と交換する。