付値
L が K の有限次拡大体であるとき、最大 [L : K] 個の互いに同値ではない vK の延長となる付値が存在する。より正確には次が成立する。
体 K に対する加法付値を v とする。L を K の有限次代数拡大体とし、w1, ... , wn を v の L への互いに同値ではない延長全体とする。v, wi それぞれの剰余体、値群をそれぞれ F, Fi, G, Gi とし、ei = #(Gi/G), fi = [Fi : F] とおくと、
∑ i = 1 n e i f i ≤ [ L : K ] {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}e_{i}f_{i}\leq [L:K]}
が成立する。 なお上式において、例えば v が離散付値であり L が K 上分離拡大であるならば、等号が成立する。
この定理に現れる ei, fi を wi の v に対する分岐指数、剰余次数(または相対次数)という。
ある i に対して ei = 1 となるとき、wi は不分岐であるといい、ei > 1 であるとき分岐するという。さらに fi = 1 となるとき、wi は完全分岐であるという。 特に g = 1 つまり、v の延長が同値なものを除いて w しか存在しないとき、w の v に対する分岐指数 e および剰余次数 f を、L の K に対する分岐指数および剰余次数(または相対次数)という。さらに L の剰余体が K の剰余体の分離拡大であるとき、e = 1, f = [L : K] であるならば拡大 L/K は不分岐、e = [L : K], f = 1 であるならば拡大 L/K は完全分岐であるという。
加法付値 v の付値環の Krull-次元を v の階数という。 つまり、加法付値 v の付値環 Rv 上の素イデアル p 1 , ... , p n {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,\ {\mathfrak {p}}_{n}} が存在して
R v ⊋ p 1 ⊋ ⋯ ⊋ p n ⊋ ( 0 ) {\displaystyle R_{v}\supsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\supsetneq \cdots \supsetneq {\mathfrak {p}}_{n}\supsetneq (0)}
が成立するような n の最大値を階数という。階数は必ずしも有限とは限らない。例えば、先に挙げた加法付値の例9. の階数は ∞ である。また、任意の正整数 n に対して、例8. の階数は n であり、自明な加法付値は 0 である。
自明ではない加法付値の階数は 1 以上であり、特に指数付値の階数は 1 である。より一般に、値群が実数の 0 ではない加法部分群と順序同型であるならば、階数は 1 であり、逆に階数が 1 である加法付値の値群は実数の加法部分群と順序同型である。
体 K の加法付値 v の階数は次の様に言い換えることができる。
階数とは、v の付値環を含む K と異なる K の部分環の個数である。
階数とは、v の値群を G とし、G の部分群 H で0 ≤ y ≤ x を満たす G の元 x, y に対し、x が H の元であれば、y も H の元であるという条件を満たすものの個数である。
体 K に対して | a | 0 = { 1 ( a ∈ K × ) 0 ( a = 0 ) {\displaystyle |a|_{0}={\begin{cases}1&(a\in K^{\times })\\0&(a=0)\end{cases}}} と定めれば、乗法付値となる。これを自明な付値という。つまり、任意の体 K に対して、乗法付値はひとつ以上存在する。
実数体または複素数体上の絶対値は乗法付値である。絶対値のことを他の乗法付値と区別するために |•|∞ と書かれることもある。
素数 p と 0 ではない有理数 a = p e b p f c ( e ≥ 0 , f ≥ 0 , ( b , c ) = 1 , ( b c , p ) = 1 ) {\displaystyle a={p^{e}b \over p^{f}c}\quad (e\geq 0,\ f\geq 0,\ (b,c)=1,\ (bc,\ p)=1)} に対して、|a|p = p で与えられる |•|p: Q → R は、有理数体上の乗法付値となる。