二項型多項式列
任意の数列 { a1, a2, a3, ... } に対して
p n ( x ) = ∑ k = 1 n B n , k ( a 1 , ... , a n − k + 1 ) x k . {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.}
と置くとこの多項式列は二項型になる。ただし、Bn,k(a1, ..., an−k+1) はベル多項式とする。任意の n ≥ 1 に対して
p n ′ ( 0 ) = a n {\displaystyle p_{n}'(0)=a_{n}}
であることに注意せよ。本節における主結果を掲げる
ふたつの数列 an, bn (n = 0, 1, 2, ...) に対し、一種の畳み込み積を
( a ⋄ b ) n = ∑ j = 0 n ( n j ) a j b n − j {\displaystyle (a\diamond b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}a_{j}b_{n-j}}
で定義する。 a n k ⋄ {\displaystyle a_{n}^{k\diamond }} は畳み込み k-乗
a k ⋄ := a ⋄ ⋯ ⋄ a ⏟ k factors {\displaystyle a^{k\diamond }:=\underbrace {a\diamond \dotsb \diamond a} _{k{\text{ factors}}}}
の第 n-項を表すものとすると、a0 = 0 なる任意の数列 ai (i = 0, 1, 2, ...) に対し、p0(x) = 1 および
p n ( x ) = ∑ k = 1 n a n k ⋄ x k k ! ( n ≥ 1 ) {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\diamond }x^{k} \over k!}\quad (n\geq 1)}
で定義される多項式列は二項型であり、また任意の二項型多項式列はこの形で得られる(di Bucchianico 1997)。
二項型の定義に基づけば、二項定理の主張は「冪函数列 {x : n = 0, 1, 2, ...} は二項型多項式列を成す」ことと言い表せる。
降冪函数列 {(x)n = x(x − 1)(x − 2)⋯(x − n + 1) : n = 0, 1, 2, ...} は二項型の多項式列である(ただし、空積の規約により (x)0 = 1 と約束する)。
同様に昇冪函数列 {x = x(x + 1)(x + 2)⋯(x + n − 1) : n = 0, 1, 2, ...} は二項型の多項式列である。
アーベル多項式列 {pn(x) = x(x − an) : n = 0, 1, 2, ...} は二項型である。
トゥシャール多項式列 {pn(x) = ∑nk=1 S(n,k) x : n = 0, 1, 2, ...} は二項型である。ここで、係数 S(n, k) は「第二種スターリング数」(位数 n の集合を k-個の空でない部分集合の非交和に分割する方法の総数)である。