レイノルズの輸送定理
ここで、基準形状(変形なし形状)κ0 における微小体積dV と、変形形状κt における微小体積dv には体積変化率J を用いて次の関係が成り立つことを利用した。
d v = J d V {\displaystyle \mathrm {d} v=J\mathrm {d} V}
新しい積分領域である基準形状(変形なし形状)κ0 は時間に無関係な一定の領域となるので、体積変化率J が時間によって変化することに注意すると、微分を積分の中に入れることができ、次のように変形できる。
D D t ∫ κ 0 θ ( χ ( X , t ) , t ) J d V = ∫ κ 0 D D t ( θ ( χ ( X , t ) , t ) J ) d V = ∫ κ 0 ( D θ D t J + θ D J D t ) d V {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{0}}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}{\Bigl (}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J{\Bigr )}\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta {\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}\right)\mathrm {d} V}