連結空間
ただし C {\displaystyle {\mathcal {C}}} は X の閉集合系とする:
X は連結である。
X を2つの互いに素な空でない閉集合の和として書くことはできない。
X の開かつ閉な部分集合は X と空集合のみである: Y ∈ O ∩ C ⟹ Y = X or Y = ∅ . {\displaystyle Y\in {\mathcal {O}}\cap {\mathcal {C}}\implies Y=X{\text{ or }}Y=\varnothing .}
境界を持たない部分集合は空集合と全体集合 X のほかに無い: Y ⊂ X , ∂ Y = ∅ ⇒ Y = X or Y = ∅ . {\displaystyle Y\subset X,\ \partial Y=\varnothing \Rightarrow Y=X{\text{ or }}Y=\varnothing .}
X を2つの空でない分離集合(どちらも他方の閉包と交わりを持たない集合)の和として書くことは出来ない。
X から {0, 1} への任意の連続写像は定値写像である、ただし {0, 1} は離散位相を入れた二点空間とする。