既約表現
J を回転の生成系、K を励起の生成系としたとき、D(K) と D(J) の既約表現はローレンツ群のスピン表現を作ることに使うことができる。なぜならば、量子力学のスピン行列と関係しているからである。このことから相対論的波動方程式(英語版)を導出することができる。
表現が直可約 (decomposable) であるとは、その表現の任意の行列を対角化する相似行列 P による相似変換
D ( a ) ↦ P − 1 D ( a ) P {\displaystyle D(a)\mapsto P^{-1}D(a)P}
によって表現の各行列が同じパターンの対角ブロックに写されることを言う(各ブロックが互いに独立な群の表現を与える)。表現行列 D(a) と PD(a)P は同値な表現であるという。表現行列が k 個の行列の直和(英語版)
D ( a ) = ( D ( 1 ) ( a ) 0 ⋯ 0 0 D ( 2 ) ( a ) ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ D ( k ) ( a ) ) = D ( 1 ) ( a ) ⊕ D ( 2 ) ( a ) ⊕ ⋯ ⊕ D ( k ) ( a ) {\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)}