局所可積分函数
定義1. Ω をユークリッド空間 R 内のある開集合とし、f : Ω → C をルベーグ可測函数とする。Ω 上の f が次を満たすとき、局所可積分と呼ばれる。
∫ K | f | d x < + ∞ . {\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty .}
ただし K は Ω の任意のコンパクト部分集合であり、したがって f はそのような全てのコンパクト集合上で有限となる。そのような函数の集合は L1,loc(Ω) と記述される:
L 1 , l o c ( Ω ) = { f : Ω → C measurable | f | K ∈ L 1 ( K ) ∀ K ⊂ Ω , K compact } . {\displaystyle L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}\,{\big |}\,f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}}.}
ここで f |K は f の集合 K への制限である。局所可積分函数の古典的な定義は測度論的および位相空間論的な概念のみを含むものであり、ある位相的な測度空間 (X, Σ, μ) 上の複素数値函数へと抽象的に拡張されるものであった。しかし、そのような函数の最も基本的な応用はユークリッド空間上の超函数に対するものであったので、以下の定義および節ではその重要な場合について明らかな形で扱う。