解析力学
直角座標系 x , y {\displaystyle x,y} において、質点の質量を m {\displaystyle m} 、ポテンシャル関数を V ( x , y ) {\displaystyle V(x,y)} とすると、運動方程式は、
m x ̈ = − ∂ V ∂ x , {\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}},} m y ̈ = − ∂ V ∂ y {\displaystyle m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}}
と書くことができる。これはニュートンの運動方程式をそのまま表しているため見やすく、また座標系を回転してもその式の形状を変えないという性質(共変性;covariant)を持つが、直角座標系が常に便利というわけではない。例えば中心力場における運動の解析では極座標系の方が適しており、また場合によっては運動座標系で考えなくてはならないときもある。このような新しい座標変数は総称として一般化座標(generalized coordinates)と呼ぶ。
一般座標系を用いる場合、直角座標系のニュートンの運動方程式から一般座標系の運動方程式への変換などが要求されることになる。しかし、ニュートンの運動方程式はこのような一般座標系への変換に対しては一般に共変的ではないため、式の形が変わってしまう。
例として、ポテンシャル V ( r ) {\displaystyle V(r)} で表される中心力場における質量 m の質点の運動を考える。