極大トーラス
したがってワイル群は N(T) のcomponent group(英語版)に等しい。
T の正規化群は閉であり、したがってワイル群は有限である。
T の2元が共役であることとそれらが W の元によって共役であることは同値である。すなわち、G の共役類はワイル軌道において T と交わる。
G における共役類全体の空間は軌道空間 T/W に同相であり、f が共役作用の下で不変な G 上の連続関数であれば、ワイルの積分公式 (Weyl integration formula) が成り立つ:
∫ G f ( g ) d g = | W | − 1 ∫ T f ( t ) | Δ ( t ) | 2 d t , {\displaystyle \displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}f(t)|\Delta (t)|^{2}\,dt,}}
ただし Δ はワイルの分母公式によって与えられる。
ユニタリ群 U(n) は極大トーラスとしてすべての対角行列からなる部分群を持つ。つまり、
T = { d i a g ( e i θ 1 , e i θ 2 , ... , e i θ n ) : ∀ j , θ j ∈ R } . {\displaystyle T=\left\{\mathrm {diag} (e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\dots ,e^{i\theta _{n}}):\forall j,\theta _{j}\in \mathbb {R} \right\}.}
T は明らかに n 個の円の直積に同型であり、ユニタリ群 U(n) は階数 n を持つ。特殊ユニタリ群 SU(n) ⊂ U(n) の極大トーラスはちょうど T と SU(n) の共通部分であり、次元 n − 1 のトーラスである。
特殊直交群(英語版) SO(2n) の極大トーラス(の1つ)はどの2つも互いに直交する2次元平面 n 個の同時的回転すべてからなる集合によって与えられる。これは作用は余った方向を固定するとして群 SO(2n+1) の極大トーラスでもある。したがって SO(2n) と SO(2n+1) はどちらも階数 n を持つ。例えば、回転群 SO(3)(英語版) において、極大トーラスはある固定した軸のまわりの回転たちによって与えられる。
シンプレクティック群 Sp(n) は階数 n を持つ。極大トーラスは成分がすべて H のある固定された複素部分代数にあるようなすべての対角行列からなる集合によって与えられる。