メルテンスの定理
が示せる。 ( s − 1 ) ζ ( s ) → 1 ( s → 1 + 0 ) {\displaystyle (s-1)\zeta (s)\rightarrow 1(s\rightarrow 1+0)} より
g ( 1 ) = lim s → 1 + 0 g ( s ) = lim s → 1 + 0 ( h ( s ) + log  ζ ( s ) ) = b − γ {\displaystyle g(1)=\lim _{s\rightarrow 1+0}g(s)=\lim _{s\rightarrow 1+0}(h(s)+\log \zeta (s))=b-\gamma }
つまり
∑ p ≤ x log  ( 1 − 1 p ) = − γ + b − P ( x ) + o ( 1 ) {\displaystyle \sum _{p\leq x}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=-\gamma +b-P(x)+o(1)}
である。再び第二定理を用いて
∑ p ≤ x log  ( 1 − 1 p ) = − γ − log  log  n + o ( 1 ) {\displaystyle \sum _{p\leq x}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=-\gamma -\log \log n+o(1)}
が得られ、第三定理が示される。