エルデシュ＝シュトラウス予想
例えば、貪欲法によって n が4を法として1と合同でない場合、4/n は高々3項で展開できることが知られているため、4を法として1と合同な場合についてのみ検証すれば良い。この予想の解決に向けた取り組みの一つとして、より多くの合同算術上の特徴を調べ、研究者がより少ない試行でより高い限界まで探索できるようにすることが挙げられる。
4/n 問題の相異なる解の数(n の函数と考える)も研究者によって n が小さい場合について調べられており、それによれば n が大きくなるにつれてやや不規則な増大を見せる。n = 3 の場合から数え始めると、分母が互いに異なる解の数は
1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A073101)
となる。たとえ n がより大きい場合であっても、解の数が比較的少なくなることがある。例えば n = 73 の時、わずか7個の解しか存在しない。
有理数を単位分数の和に展開したものをエジプト式分数と呼ぶ。この表記法は、分数を現代的な a/b(分子 a および分母 b)という形式ではなく、単位分数の和で表したエジプト数学に由来する。エジプト人は、リンド数学パピルス分数表(英語版)などのような、単位分数に2をかけた数(現代的な表記では 2/n となる)に対応するエジプト式分数の表を作成していた。これらの表において、ほとんどの展開は2つか3つの項を用いていた。当時のエジプト数学では分数の展開項がすべて異なることが求められており、自明な展開 2/n = 1/n + 1/n が認められていなかったため、このような表が必要とされた。この(すべての項が異なるという)条件はしばしばエルデシュ=シュトラウス予想にも付け加えられるが、n > 2 において、同じ単位分数が含まれるような 4/n = 1/x + 1/y + 1/z の解はすべて相異なる項をもつものに変換できることが知られており(下記を参照せよ)、そのような条件付けは深い意味を持たない。
エジプト人は必ずしもできるだけ少ない項数の展開を求めなかったものの、後世の数学者たちは展開に必要な最小項数に興味を持った。a/b で表される分数は高々 a 個の項の展開をもつから、2/n は高々2個、3/n は高々3個、4/n は高々4個の項を持つ。2/n は絶対に2個の項が必要であるが、3/n は2項で表現できる場合と3項が必要な場合が存在する。しかしながら、4/n の場合においては、すべての n に対して3項のみで展開できるのか、あるいは4項が必要な n が存在するのかは知られておらず、これがエルデシュ=シュトラウス予想の内容となっている。