結び目理論
高次元結び目とは高次元球面S一個の高次元・数空間Rもしくは高次元球面Sへの埋込みのこと。mはnより2以上大きい。 高次元絡み目とは高次元球面S複数個の高次元・数空間Rもしくは高次元球面Sへの埋込みのこと。 いずれもm=n+2の場合もm>n+2の場合も研究されている。 高次元結び目・絡み目の場合、1次元結び目・絡み目と違った興味深い現象も少なくなく、excitingな研究テーマの一つである。
もしある操作 X がどんな結び目にでも有限回施すことによってそれを自明な結び目にすることができるならば、操作 X は結び目解消操作 (unlinking or unknotting operation) と呼ばれる。局所変形などとは異なり、一般に結び目解消操作は切ったり貼ったり、一部を取り替えたりということが許されるが、多くの場合は同じ操作を同じ部分に二度施すと元に戻るような、逆を辿れる操作が好まれる。また、向き付けられた結び目・絡み目を考えているときには、向き付けと整合的であるような操作が適している。
逆を辿ることのできる結び目解消操作 X が与えられると、任意のふたつの結び目の間に X という変換操作に関してどの程度似ているかという距離が定められる。実際、どんな結び目でも有限回 X を施してやればほどくことができるのだから、一方の結び目を解く手順を逆に辿ってやれば X によって一方を他方に変換することができる。もちろん一般には、このように一方を他方に変換する手順は一通りに限らないが、距離はこのような変換手順すべてについて、そこで行う必要のある X の回数を考え、その回数の最小値として定められる。
交点数
交差交換(英語版) 結び目解消数(英語版) ゴルディアス距離 ゴルディアス複体
デルタ型結び目解消操作 デルタ型結び目解消数 デルタ型ゴルディアス距離