等時曲線
ニールス・アーベルは一般化された等時曲線問題(アーベルの力学問題)、すなわちある関数 T(y) が与えられたとき、ある点からの総降下時間がこの関数となるような曲線を求める問題に取り組んだ。等時曲線問題は、アーベルの力学問題において T(y) が定数関数である特殊例に相当する。
アーベルの解は、エネルギー保存の原理を基礎とする。質点は摩擦を受けないので熱として失われるエネルギーはなく、運動エネルギーと位置エネルギーの和はつねに出発点における位置エネルギーに等しい。運動エネルギーは 1/2mv と表わされ、質点は曲線に沿って動くよう拘束されているので、その速さは単純に ds/dt と書ける。ここで s は曲線に沿って測った距離である。同様に、初期高さ y0 から高さ y まで落ちたときの重力による位置エネルギーの増加は mg(y0 − y) であるから、以下を得る。
1 2 m ( d s d t ) 2 = m g ( y 0 − y ) d s d t = ± 2 g ( y 0 − y ) d t = ± d s 2 g ( y 0 − y ) d t = − 1 2 g ( y 0 − y ) d s d y d y {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}&=mg(y_{0}-y)\\{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}&=\pm {\sqrt {2g(y_{0}-y)}}\\\mathrm {d} t&=\pm {\frac {\mathrm {d} s}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\\\mathrm {d} t&=-{\frac {1}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} y}}\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}