フーリエ変換
以下の表におけるフーリエ変換は (Campbell & Foster 1948), (Erdélyi 1954) あるいは (Kammler 2000) の付録に見つけることができる。
で定義される「0 の周りでの分散」(dispersion about zero) によって測ることにする。確率の言葉で言えば、これは |f(x)| の 0 の周りでの二次のモーメントである。
このとき不確定性原理は、関数 ƒ(x) が絶対連続で、関数 x·ƒ(x) および ƒ′(x) が自乗絶対可積分であるならば
D 0 ( f ) D 0 ( f ^ ) ≥ 1 16 π 2 {\displaystyle D_{0}(f)D_{0}({\hat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}
が成り立つことを述べる。等式が成立するのは
f ( x ) = C 1 e − π x 2 / σ 2 {\displaystyle f(x)=C_{1}\,e^{{-\pi x^{2}}/{\sigma ^{2}}}}
したがって、
f ^ ( ξ ) = σ C 1 e − π σ 2 ξ 2 {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}}
である場合に限る。ただし、定数 σ > 0 は任意であり、係数 C1 は ƒ を L-正規化する定数である。