写像の合成
数学において写像あるいは函数の合成(ごうせい、英: composition)とは、ある写像を施した結果に再び別の写像を施すことである。
たとえば、時刻 t における飛行機の高度を h(t) とし、高度 x における酸素濃度を c(x) で表せば、この二つの函数の合成函数 (c ∘ h)(t) = c(h(t)) が時刻 t における飛行機周辺の酸素濃度を記述するものとなる。
二つの写像 f と g が互いに可換であるとは、
g ∘ f = f ∘ g ( ⟺ ( g ∘ f ) ( x ) = ( f ∘ g ) ( x ) for any x ) {\displaystyle g\circ f=f\circ g\quad (\iff (g\circ f)(x)=(f\circ g)(x){\text{ for any }}x)}
を満たすことをいう。一般には写像の合成は可換ではなく(少なくとも f: X → Y かつ g: Y → X といったような形の写像になっておらず f ; g か g ; f の何れかが定義できないとか、X = Y といったような条件がないとこれらふたつの合成写像の値を等しいかどうか考えることすらできないといったような可能性があるのは明らかである)、合成の可換性は特定の写像の間でのみ、特殊な事情の下でしか成立しない特別な性質である。たとえば、f(x) = |x| を実数の絶対値をとる函数、g(x) = x + 3 とすれば、実数からなる半開区間 X = [0, ∞) := {x ∈ R : x ≥ 0} 上の函数として、
( g ∘ f ) ( x ) = | x | + 3 = | x + 3 | = ( f ∘ g ) ( x ) for any x ≥ 0 {\displaystyle (g\circ f)(x)=|x|+3=|x+3|=(f\circ g)(x){\text{ for any }}x\geq 0}