VIX指数
Q ( K i ) {\displaystyle Q(K_{i})} は行使価格 K i {\displaystyle K_{i}} 、満期 T {\displaystyle T} のオプション価格のビットアスクスプレッドの中点となる。ただし、 K i < K 0 {\displaystyle K_{i}<K_{0}} ならばプットオプション、 K i > K 0 {\displaystyle K_{i}>K_{0}} ならばコールオプションの価格が用いられている。
第2項は補正としての意味合いが強く、VIX指数の理論的なバックグラウンドを理解する上で重要なのは第1項の総和である。そこで第2項は無視して、第1項について考えてみる。第1項は積分を離散化したもので、あらゆる水準の行使価格でのオプションが市場で取引可能であるとすれば、次の積分形式での表示が可能である。
σ 2 = 2 T ( ∫ 0 F e R T P ( K , T ) K 2 d K + ∫ F ∞ e R T C ( K , T ) K 2 d K ) {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2}{T}}\left(\int _{0}^{F}e^{RT}{\frac {P(K,T)}{K^{2}}}dK+\int _{F}^{\infty }e^{RT}{\frac {C(K,T)}{K^{2}}}dK\right)}
理論的にはVIX指数は満期までのS&P 500のボラティリティの平均値の期待値として解釈される。満期を T {\displaystyle T} としたVIX指数は以下の式で算出される。
V I X T = 100 × σ , {\displaystyle VIX_{T}=100\times \sigma ,}
σ 2 = 2 T ∑ i e R T Q ( K i ) K i 2 Δ K i − 1 T [ F − K 0 K 0 ] 2 {\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {2}{T}}\sum _{i}e^{RT}{\frac {Q(K_{i})}{K_{i}^{2}}}\Delta K_{i}-{\frac {1}{T}}\left[{\frac {F-K_{0}}{K_{0}}}\right]^{2}}
ここで R {\displaystyle R} は金利であり、 F {\displaystyle F} は満期を T {\displaystyle T} とするオプションのインデックス価格に対して望ましいレベルの先渡価格のインデックスである。 K i {\displaystyle K_{i}} はオプションの行使価格の水準を表しており、行使価格の小さい方から昇順で番号付けられていて、 K 0 {\displaystyle K_{0}} が F {\displaystyle F} を下回る最も大きな行使価格の値となるようになっている。 Δ K i {\displaystyle \Delta K_{i}} は K i + 1 {\displaystyle K_{i+1}} と K i − 1 {\displaystyle K_{i-1}} の差分の2分の1 ( K i + 1 − K i − 1 ) / 2 {\displaystyle (K_{i+1}-K_{i-1})/2} である。