ムアイヤドゥッディーン・ウルディー
この小円上の点Ce'は、赤い実線の軌道をとる。これは、黒い実線で描かれたプトレマイオスのエカント(点E)を備えた離心円(中心は点Cd)に極めて近い。
やや遅れてトゥースィーも、かなり以前から取り組んでいた別の機構(トゥースィーの対円)を用いて、同様の性質をもったモデルを完成させる。トゥスィーの用いた円の組み合わせはウルディーとは異なるものの、完全に同じ運動を表現する。ただし、円に透明な実在する球体をあてがっていた当時としては、両者は物理的に異なるとされた。
ウルディーは、プトレマイオスの理論の中で、際立って複雑だった月と水星のモデル(両者は同じ機構を用いる)についても代案を示すが、彼の代案はプトレマイオスのモデルの振る舞いとはあまり一致しない。ウルディーは、プトレマイオスのモデルにも十分な証明がないとして自説を擁護するが、後続にはあまり受け入れられていない。
一方、金星と外惑星の黄経のモデルは、同様の路線をとる研究者に引き継がれる。遅れてマラーガ天文台に加わったシーラーズィーは、トゥースィーとウルディー双方のモデルを比較検討し、自らも様々なモデルを試みたが、最終的にはウルディーのモデルを採用する。14世紀ダマスカスのイブン・シャーティルは、ウルディーのモデルと『アルマゲスト』III.3の定理を組み合わせ、離心円を除去した。