モース-ケリー集合論
{\displaystyle \forall a\,\forall s\,[(Ma\land \forall x\,[x\in s\leftrightarrow \exists y\,(x\in y\land y\in a)])\rightarrow Ms].}
無限: 以下の性質を持つ帰納的な集合 y が存在する: (i) 空集合 は y の要素である。 (ii) x が y の要素であれば、 x ∪ { x } {\displaystyle x\cup \{x\}} も y の要素である。
∃ y [ M y ∧ ∅ ∈ y ∧ ∀ z ( z ∈ y → ∃ x [ x ∈ y ∧ ∀ w ( w ∈ x ↔ [ w = z ∨ w ∈ z ] ) ] ) ] . {\displaystyle \exists y[My\land \varnothing \in y\land \forall z(z\in y\rightarrow \exists x[x\in y\land \forall w(w\in x\leftrightarrow [w=z\lor w\in z])])].}
冪集合の公理と和集合の公理における p と s は全称量化であり、存在量化でないことに注意せよ。これはクラス内包公理が p と s の存在を示すのに十分であるのと対称的である。冪集合の公理と和集合の公理からは、 p と s が真のクラスでないことだけがわかる。
上記の公理は以下の集合論とも共通する。
ZFC, NBG: 対、冪集合、和集合、無限
NBG, (量化変項が集合に制限されている場合の)ZFC: 外延性、基礎
NBG: サイズ制限
この節における公理と定義は、一部の詳細を除き、 Kelley (1955) の付録から採った。以下の説明文は彼のものではない。付録では 181 個の定理と定義を説明し、公理的集合論の第一級の現役数学者による簡略説明であることに注意して読むことができる。ケリーは、以下の 構築 に列挙されている内容を展開するために、必要に応じて徐々に公理を導入した。
表記法について、今日よく知られているものは定義しない。また、ケリーによる表記法で特殊なものは以下の通り:
ケリーはクラスの範囲の変数と集合の範囲の変数を区別しない。
domain f は range f は関数 f の定義域と値域を表す。この特殊性は以下で重視される。
ケリーの原始論理言語には { x : A ( x ) } {\displaystyle \{x:A(x)\}} (A(x) を満たすすべての集合 x のクラス) という形のクラス抽象(英語版)を含む。
定義: 任意の y に対して x ∈ y {\displaystyle x\in y} であるならば、 x は集合である(そして故に真のクラスではない)。
I. 外延性: 各 x と各 y に対して、「各 z に対して z ∈ y {\displaystyle z\in y} である場合かつその場合に限り z ∈ x {\displaystyle z\in x} である」場合、かつそのその場合に限り、x=yが成り立つ。
これは前述の 外延性 と同じである。I の範囲に集合だけでなく真のクラスを含む点を除いて、 I は ZFC における外延性の公理と同じになる。
II. クラス化(公理型):