3乗剰余の相互法則
3乗剰余記号はルジャンドル記号と同様の性質を持っている。
α ≡ β mod π {\displaystyle \alpha \equiv \beta {\bmod {\pi }}} ならば ( α π ) 3 = ( β π ) 3 . {\displaystyle \left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.}
( α β π ) 3 = ( α π ) 3 ( β π ) 3 . {\displaystyle \left({\tfrac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{3}=\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\left({\tfrac {\beta }{\pi }}\right)_{3}.}
( α π ) 3 ̄ = ( α ̄ π ̄ ) 3 , {\displaystyle {\overline {\left({\tfrac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}}}=\left({\tfrac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}\right)_{3},} ここで、バーは複素共役を示す。
}
x {\displaystyle {\mathit {x}}} を x 2 ≡ -3 ( mod q ) {\displaystyle {\mathit {x}}^{2}\equiv {\text{-3}}{\pmod {q}}} の解とする。このとき x ≡ ± L ′ 3 M ′ mod q , {\displaystyle x\equiv \pm {\frac {L'}{3M'}}{\bmod {q}},} :
これにより [ q p ] 3 = 1 ⟺ [ L + 3 M x 2 p q ] 3 = 1 ⟺ [ L + 3 M x L − 3 M x q ] 3 = 1 [ q p ] 3 = 1 ⟹ [ L M ′ + L ′ M L M ′ − L ′ M q ] 3 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {{\frac {L+3Mx}{2}}p}{q}}\right]_{3}=1\quad \Longleftrightarrow \quad \left[{\frac {\frac {L+3Mx}{L-3Mx}}{q}}\right]_{3}=1\\\left[{\frac {q}{p}}\right]_{3}=1\quad &\Longrightarrow \quad \left[{\frac {\frac {LM'+L'M}{LM'-L'M}}{q}}\right]_{3}=1\end{aligned}}}
Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} でこれらの素数は分解すると言う 。それらの因数分解は次の式で与えられる。
p = N ( π ) = N ( π ̄ ) = π π ̄ . {\displaystyle p=N(\pi )=N({\overline {\pi }})=\pi {\overline {\pi }}.}
例えば 7 = ( 3 + ω ) ( 2 − ω ) . {\displaystyle 7=(3+\omega )(2-\omega ).}
3と互いに素な元が、通常の整数と ( 1 − ω ) 2 {\displaystyle (1-\omega )^{2}} を法として合同である場合、その数は1次。 これはmod3で ± 2 {\displaystyle \pm 2} と合同だと言うのと同じです。 gcd ( N ( λ ) , 3 ) = 1 {\displaystyle \gcd(N(\lambda ),3)=1} のとき、 λ , ω λ , {\displaystyle \lambda ,\omega \lambda ,} または ω 2 λ {\displaystyle \omega ^{2}\lambda } の一つは素元である。さらに、2つの共役な素数の積は1次であり、1次の数の共役も1次である。