順序統計量
f X ( j ) , X ( k ) ( x , y ) d x d y = n ! [ F X ( x ) ] j − 1 ( j − 1 ) ! [ F X ( y ) − F X ( x ) ] k − 1 − j ( k − 1 − j ) ! [ 1 − F X ( y ) ] n − k ( n − k ) ! f X ( x ) f X ( y ) d x d y {\displaystyle f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x,y)~dx~dy=n!{\frac {[F_{X}(x)]^{j-1}}{(j-1)!}}{\frac {[F_{X}(y)-F_{X}(x)]^{k-1-j}}{(k-1-j)!}}{\frac {[1-F_{X}(y)]^{n-k}}{(n-k)!}}f_{X}(x)f_{X}(y)~dx~dy}
同様に高次の場合について考えれば、次式を得る。
f X ( 1 ) , ... , X ( n ) ( x 1 , ... , x n ) d x 1 ⋯ d x n = n ! f X ( x 1 ) ⋯ f X ( x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle f_{X_{(1)},\dots ,X_{(n)}}(x_{1},\dots ,x_{n})~dx_{1}\dotsb dx_{n}=n!f_{X}(x_{1})\dotsb f_{X}(x_{n})~dx_{1}\dotsb dx_{n}}
但し、x1 < x2 < ... < xnとする。
同様にして、より高次の同時分布も導くことができる。おそらく意外なことに、n 次の同時分布は次のような定数になる:
f U ( 1 ) , U ( 2 ) , ... , U ( n ) ( u 1 , u 2 , ... , u n ) d u 1 ⋯ d u n = n ! d u 1 ⋯ d u n . {\displaystyle f_{U_{(1)},U_{(2)},\dots ,U_{(n)}}(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})~du_{1}\dotsb du_{n}=n!~du_{1}\dotsb du_{n}.}
この一つの解釈として、「順序のない標本は確率密度 1 を持ち、同じ順序統計量の列に対応する n! 個の異なる順列を持つ標本が存在する」ことが考えられる。これは、領域 0< u1 < ... < un < 1 の体積が 1 / n! に等しいことと関係がある。
}
探索的データ解析での類似の重要な統計量である四分位数は順序統計量に関係している。
標本の中央値(第2四分位点)は順序統計量となる場合もあるし、そうでない場合もある。これのは、標本の大きさ n {\displaystyle n} が奇数であった場合だけ唯一の中央値が存在するからである。正確に言えば、 n = 2 m + 1 {\displaystyle n=2m+1} となる整数 m {\displaystyle m} があるとき、中央値 X ( m + 1 ) {\displaystyle X_{(m+1)}} は順序統計量である。一方、 n {\displaystyle n} が偶数の場合は n = 2 m {\displaystyle n=2m} となるので、中央値の候補は X ( m ) {\displaystyle X_{(m)}} と X ( m + 1 ) {\displaystyle X_{(m+1)}} の2つとなり、中央値はこれらの関数(一般に平均)で表されるため、順序統計量とは言えない。同様の注意はあらゆる標本分位点を求める際にも必要となる。
同様に、i < j であるとき、2つの順序統計量 Ui < Uj の同時確率密度関数は次のようになることが示せる。
f U ( i ) , U ( j ) ( u , v ) d u d v = n ! u i − 1 ( i − 1 ) ! ( v − u ) j − i − 1 ( j − i − 1 ) ! ( 1 − v ) n − j ( n − j ) ! d u d v {\displaystyle f_{U_{(i)},U_{(j)}}(u,v)~du~dv=n!{\frac {u^{i-1}}{(i-1)!}}{\frac {(v-u)^{j-i-1}}{(j-i-1)!}}{\frac {(1-v)^{n-j}}{(n-j)!}}~du~dv}
これは(O (du dv) までの項において)、区間 (0, u), (u, u + du), (u + du, v), (v, v + dv), (v + dv, 1) に落ちる標本要素の数が、各々 i − 1, 1, j − 1 − i, 1, n − j 個となる確率に等しい。
累積分布関数 F X ( k ) ( x ) = P ( X ( k ) ≤ x ) {\displaystyle F_{X_{(k)}}(x)=P\left(X_{(k)}\leq x\right)} において、確率値P( ) 内の事象は『n 個中少なくとも k 個の Xi が x 以下』 = 『x 以下の値がn 回の試行中 k 回以上発生する』を意味することから
F X ( k ) ( x ) = ∑ j = k n ( n j ) P ( X ≤ x ) j ( 1 − P ( X ≤ x ) ) n − j = ∑ j = k n ( n j ) F ( x ) j ( 1 − F ( x ) ) n − j {\displaystyle {\begin{aligned}F_{X_{(k)}}(x)&=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}P(X\leq x)^{j}(1-P(X\leq x))^{n-j}\\&=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}F(x)^{j}(1-F(x))^{n-j}\end{aligned}}}
が成り立つ。
確率密度関数と累積分布関数の関係に注意すれば、