ウィグナーのD行列
本項で用いたオイラー角の規約では、αはlongitudinal angle、βはcolatitudinal angle(球面極座標系における極角)である。これが分子物理学においてz-y-z規約がよく用いられる理由の一つである。ウィグナーのD行列の時間反転特性からただちに次がいえる。
( Y l m ) ∗ = ( − 1 ) m Y l − m {\displaystyle \left(Y_{\ell }^{m}\right)^{*}=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}}
スピン加重球面調和関数(英語版)との間には、より一般化された関係式がなりたつ。
D m s l ( α , β , − γ ) = ( − 1 ) s 4 π 2 l + 1 s Y l m ( β , α ) e i s γ {\displaystyle D_{ms}^{\ell }(\alpha ,\beta ,-\gamma )=(-1)^{s}{\sqrt {\frac {4\pi }{2{\ell }+1}}}{}_{s}Y_{\ell }^{m}(\beta ,\alpha )e^{is\gamma }}
d m ′ , m j ( π ) = ( − 1 ) j − m δ m ′ , − m d m ′ , m j ( π − β ) = ( − 1 ) j + m ′ d m ′ , − m j ( β ) d m ′ , m j ( π + β ) = ( − 1 ) j − m d m ′ , − m j ( β ) d m ′ , m j ( 2 π + β ) = ( − 1 ) 2 j d m ′ , m j ( β ) d m ′ , m j ( − β ) = d m , m ′ j ( β ) = ( − 1 ) m ′ − m d m ′ , m j ( β ) {\displaystyle {\begin{aligned}d_{m',m}^{j}(\pi )&=(-1)^{j-m}\delta _{m',-m}\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi -\beta )&=(-1)^{j+m'}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi +\beta )&=(-1)^{j-m}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(2\pi +\beta )&=(-1)^{2j}d_{m',m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(-\beta )&=d_{m,m'}^{j}(\beta )=(-1)^{m'-m}d_{m',m}^{j}(\beta )\end{aligned}}}