アーベル・ヤコビ写像
u : C → J ( C ) , u ( p ) = ( ∫ p 0 p ω 1 , ... , ∫ p 0 p ω g ) mod Λ . {\displaystyle u\colon C\to J(C),u(p)=\left(\int _{p_{0}}^{p}\omega _{1},\dots ,\int _{p_{0}}^{p}\omega _{g}\right){\bmod {\Lambda }}.}
を定義する。これは一見、 p 0 {\displaystyle p_{0}} から p {\displaystyle p} への経路と独立のように見えるが、任意のそのような経路は、 C {\displaystyle C} の中の閉ループを定義し、従って、 H 1 ( C , Z ) {\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} )} の元、従って、その上での積分は、 Λ {\displaystyle \Lambda } の元を与える。このように、差異は Λ {\displaystyle \Lambda } による商への道の中で消滅する。基点 p 0 {\displaystyle p_{0}} を変更により、写像を変更されるのみならず、トーラスの変換によっても変更される。
数学では、アーベル・ヤコビ写像(アーベル・ヤコビしゃぞう、Abel–Jacobi map)は、代数曲線とそのヤコビ多様体とを関連付ける代数幾何学で構成する写像である。リーマン幾何学では、多様体をヤコビトーラスへ写像するという、より一般的な構成の写像である。写像の名称は、2つの有効因子が線型同値(英語版)(linearly equivalent)であることと、アーベル・ヤコビ写像の下では 2つの因子が同一視できることと同値であるという定理が、アーベル・ヤコビの定理である。この定理の名称は、発見者であるアーベルとヤコビに因んでいる。