オイラー数
オイラー数は、双曲線余割関数のテイラー展開における展開係数として定義される。 形式的には、テイラー級数:
sech z = 2 e z + e − z = ∑ k = 0 ∞ E k k ! z k {\displaystyle \operatorname {sech} \,z={\frac {2}{e^{z}+e^{-z}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{k}}{k!}}z^{k}}
における E k {\displaystyle E_{k}} がオイラー数である。 この数列は整数であり、奇数項がすべて 0、偶数項の符号が交互に切り替わることが特徴である。 双曲線余割関数の代わりに、三角関数の余割関数:
sec  z = ∑ k = 0 ∞ E ^ k k ! z k {\displaystyle \sec z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\hat {E}}_{k}}{k!}}z^{k}}
の展開係数 E ^ k {\displaystyle {\hat {E}}_{k}} (セカント数) をオイラー数と呼ぶこともある。 なお、 E ^ 2 k = ( − 1 ) k E 2 k {\displaystyle {\hat {E}}_{2k}=(-1)^{k}E_{2k}} の関係が成立し、必ず正の整数となる。