剰余類環
もうひとつ、法 4 に関する剰余類を考えよう。Z/4Z = {0, 1, 2, 3} は
0 = { ... , − 4 ; 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , ... } {\displaystyle \mathbf {0} =\{\ldots ,-4;0,4,8,12,16,\ldots \}}
1 = { ... , − 3 ; 1 , 5 , 9 , 13 , 17 , ... } {\displaystyle \mathbf {1} =\{\ldots ,-3;1,5,9,13,17,\ldots \}}
2 = { ... , − 2 ; 2 , 6 , 10 , 14 , 18 , ... } {\displaystyle \mathbf {2} =\{\ldots ,-2;2,6,10,14,18,\ldots \}}
3 = { ... , − 1 ; 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , ... } {\displaystyle \mathbf {3} =\{\ldots ,-1;3,7,11,15,19,\ldots \}}
で与えられる。この剰余類の乗法では 2 × 2 = 0 となり、2 は零因子である。したがって、Z/4Z ∖ {0} は乗法について閉じていない。このことから、代数系 (Z/4Z, +, ×) は(4 を法とする剰余類環として)可換環を成すのみで、零因子が乗法逆元を持たないため体にはならない(位数 4 の有限体 F4 は存在するにもかかわらず、である)。