微分作用素
一変数と同様に、Θ の固有空間は、斉次多項式全体の成す空間である。
よくある数学の記法に従えば、微分作用素の引数は作用素自身の右側に書くのが通常であるが、別の記法を用いることもある。作用素を作用素の左側にある函数、作用素の右側にある函数に施した結果や、両側に施した結果の差を、以下のような矢印で記す:
f ∂ x ← g = g ⋅ ∂ x f {\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}
f ∂ x → g = f ⋅ ∂ x g {\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}
f ∂ x ↔ g = f ⋅ ∂ x g − g ⋅ ∂ x f . {\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}
そのような、双方向の矢印記法は、量子力学の確率流束(英語版)を記述することによく使われる。
同じ構成法は、偏微分に対しても持ち込むことができる。異なる変数に関する微分演算は、可換な作用素を定める(二階微分の対称性の項を参照)。