ラグランジアン (場の理論)
j μ = ( ρ , j ) {\displaystyle j^{\mu }=(\rho ,\mathbf {j} )\quad } と A μ = ( − φ , A ) {\displaystyle \quad A_{\mu }=(-\phi ,\mathbf {A} )}
になる。すると、相互作用項は
− ρ φ + j ⋅ A = j μ A μ {\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu }A_{\mu }}
と書くことができる。さらに、場 E と B を電磁テンソル F μ ν {\displaystyle F_{\mu \nu }} で表すと、このテンソルは、
F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}
と定義することができる。ラグランジアン密度の最後の二項は
ε 0 2 E 2 − 1 2 μ 0 B 2 = − 1 4 μ 0 F μ ν F μ ν = − 1 4 μ 0 F μ ν F ρ σ η μ ρ η ν σ {\displaystyle {\epsilon _{0} \over 2}{E}^{2}-{1 \over {2\mu _{0}}}{B}^{2}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F_{\rho \sigma }\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }}
, x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\dots ,x)} を M の上で積分したものとする。つまり、
∀ φ ∈ C , S [ φ ] ≡ ∫ M L ( φ ( x ) , ∂ φ ( x ) , ∂ ∂ φ ( x ) , ... , x ) d n x {\displaystyle \forall \varphi \in {\mathcal {C}},\;{\mathcal {S}}[\varphi ]\equiv \int _{M}{\mathcal {L}}{\big (}\varphi (x),\partial \varphi (x),\partial \partial \varphi (x),\dots ,x{\big )}\mathrm {d} ^{n}x}
である。
以下では、ラグランジアンは場の値とその一階微分にのみ依存し、それより高階の微分には依存しないことを前提とする。
φ {\displaystyle \varphi } の境界における値を特定する境界条件が与えられた場合に、 M がコンパクトつまりx → ∞ のとき φ {\displaystyle \varphi } がある一定の極限に収束する(この条件により部分積分が上手く行く)ときには、 関数 φ {\displaystyle \varphi } からなる C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の部分空間であって S の φ {\displaystyle \varphi } における全ての汎関数微分が0になり φ {\displaystyle \varphi } が所与の境界条件を満たすものは、オンシェルの解の部分空間である。