完備距離空間
距離空間の完備性は、完備な距離空間が完備でない距離空間に同相となり得るという意味で、距離的性質だが位相的性質ではないことに注意すべきである。これは点列のコーシー性が位相的性質でないことによる(収束性はもちろん位相的性質である)。例えば、実数直線(これは完備)R に同相な開区間 (0, 1) は完備でない。
位相空間論においては、位相空間に対して完備距離関数が誘導する位相がもともとの位相と一致するように取れるとき、その位相空間は完備距離化可能空間(英語版)と呼ぶ。完備距離化可能空間は、何らかの完備距離空間の開部分集合の可算個の交わりとして書くことのできる空間として特徴づけることができる。ベールの範疇定理の帰結は純位相的だから、これらの空間に対しても同様に定理が適用できる。
完備距離化可能空間はしばしば「位相的完備」(topologically complete) であると言われるが、位相的完備という言葉自体はもう少し広い意味合いで用いられる。実際、より広い位相空間のクラスである完備一様化可能空間(英語版)に対して位相的完備という言葉を用いる文献もある。
可分な完備距離空間に同相な位相空間はポーランド空間と呼ばれる。
一般の位相群に対してもコーシー列は定義できるから、距離構造や完備性の定義および空間の完備化の構成法も、群構造を使ったもので置き換えた変形版を考えることができる。これがよくみられる場面は位相線型空間の文脈だが、必要なのは連続な「減法」の存在のみである。この設定において、二点 x, y の間の距離は必ずしも距離関数 d を通じて実数 ε との比較 d(x, y) < ε で評価される必要は無く、0 の開近傍 N に対して差を通じて x − y ∈ N かどうかが評価できればよい。
これらの定義のよくある一般化は一様空間の文脈において見られ、そこでは互いの間の特定の「距離」というものはもはや考えることなく、近縁 (entourage) は点の対全体の成す集合になる。
また完備性の定義においてコーシー「列」としていたところをコーシー「ネット」やコーシー「フィルター」で置き換えてやることもできる。つまり、空間 X 内の任意のコーシーネット(コーシーフィルター)が極限を持つとき、X は完備であるというのである。あるいはさらに、完備距離空間の完備化を考えるのと同様に、任意の一様空間に対する完備化を構成することもできる。コーシーネットを考えることができる最も一般な状況がコーシー空間であり、そこでも一様空間同様に完備性や完備化を定義することができる。