中線定理
中線定理は、内積を有するベクトル空間(計量ベクトル空間)の一般的性質としてとらえることができる。内積空間 V において、ノルムから導かれる内積 ⟨⋅, ⋅⟩:
‖ x ‖ := ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle }}}
を与えると、任意の元 x, y ∈ V について、次の中線定理が成り立つ:
‖ x + y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 = 2 ( ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2 ) {\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {y}}\|^{2}+\|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}\|^{2}=2(\|{\boldsymbol {x}}\|^{2}+\|{\boldsymbol {y}}\|^{2})}
このように、計量ベクトル空間において、内積から導かれるノルムについて中線定理が成り立つが、逆に十分条件でもあることが、フォン・ノイマンおよびパスクアル・ヨルダンによって示されている。すなわち、内積が定義されていないノルム空間において、ノルムが中線定理を満たすならば、そのノルムを導く内積が存在する。
実際、中線定理が成り立つならば、実数体 R 上のノルム空間の元 x, y に対して、
定理をスチュワートの定理の特別な場合と考えて証明するか、または計量ベクトル空間におけるベクトルを使用することで証明することができる。