球面調和関数
n 次元空間 R の単位球面 S を (P1) のように定義し、dS を S 上の面素とし、S 上定義された2つの球面調和関数 f, g の内積を
により定義する。なお、面素 dS は球面座標 (r, θ1, ..., θn − 1) を
x j = { r sin  θ 1 ⋯ sin  θ j − 1 cos  θ j if 1 ≤ j ≤ n − 1 r sin  θ 1 ⋯ sin  θ n if j = n {\displaystyle x_{j}={\begin{cases}r\sin \theta _{1}\cdots \sin \theta _{j-1}\cos \theta _{j}&{\text{if }}1\leq j\leq n-1\\r\sin \theta _{1}\cdots \sin \theta _{n}&{\text{if }}j=n\end{cases}}}
を用いて
d S = ∏ j = 1 n − 1 sin j − 1  θ j d θ 1 ⋯ d θ n − 1 {\displaystyle \mathrm {d} S=\prod _{j=1}^{n-1}\sin ^{j-1}\theta _{j}\,\mathrm {d} \theta _{1}\cdots \mathrm {d} \theta _{n-1}}
と書ける。特に 3 次元空間の場合は球面座標 (r, θ, φ) に対し、
d S = sin  θ d θ d φ {\displaystyle \mathrm {d} S=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
である。
R を実数全体の集合とし、C を複素数全体の集合とし、n 個の実数からなる組の集合を R とし、R の元を (x1, ..., xn) ∈ R と書き表すことにする。
R 上の複素数値関数
φ: R → C
が2階微分可能なとき、Δφ を
Δ φ = ∑ i = 1 n ∂ 2 ∂ x i 2 φ {\displaystyle \Delta \phi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}{}^{2}}}\phi }
と定義し、Δ をラプラス作用素という。さらに R 上の(複素数値の)多項式 p(x1, ..., xn) で
Δp = 0
を満たすものを調和多項式(英語版)という。なおラプラス作用素は回転行列 R に対し、
Δp(R(x)) = R(Δp(x))
を満たすので、調和多項式の定義は座標系のとり方に依存しない。
調和多項式 p が k 次の斉次多項式であるとき、p を単位球面
に制限した制限写像
Y = p | S n − 1 : S n − 1 → C {\displaystyle Y=p|_{S^{n-1}}\colon S^{n-1}\to \mathbf {C} }
を k 次の球面調和関数という。
(n 次元空間 R における)k 次の球面調和関数全体の集合を Hk とすると、Hk は C 上のベクトル空間であり、
である。
l z Y l m = m ħ Y l m {\displaystyle \ell _{z}Y_{\ell }^{m}=m\hbar Y_{\ell }^{m}}
となる。また、上昇下降演算子 l+, l− を球面調和関数に作用させると
l + Y l m = ħ ( l − m ) ( l + m + 1 ) Y l m + 1 {\displaystyle \ell _{+}Y_{\ell }^{m}=\hbar {\sqrt {(\ell -m)(\ell +m+1)}}\,Y_{\ell }^{m+1}}
l − Y l m = ħ ( l + m ) ( l − m + 1 ) Y l m − 1 {\displaystyle \ell _{-}Y_{\ell }^{m}=\hbar {\sqrt {(\ell +m)(\ell -m+1)}}\,Y_{\ell }^{m-1}}
l + Y l l = 0 , l − Y l − l = 0 {\displaystyle \ell _{+}Y_{\ell }^{\ell }=0,\quad \ell _{-}Y_{\ell }^{-\ell }=0}
となる。