ARCHモデル
よって y t {\displaystyle y_{t}} 自体は
y t = μ t + u t = μ t + σ t ε t {\displaystyle y_{t}=\mu _{t}+u_{t}=\mu _{t}+\sigma _{t}\varepsilon _{t}}
と表せる。ARCH(q)モデルの下で条件付ボラティリティ σ t {\displaystyle \sigma _{t}} は以下の式で決定される。
σ t 2 = α 0 + α 1 u t − 1 2 + ⋯ + α q u t − q 2 = α 0 + ∑ i = 1 q α i u t − i 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}u_{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}u_{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}u_{t-i}^{2}}
つまりARCH(q)モデルでは、q 期前までの平均からの乖離部分 u t − i {\displaystyle u_{t-i}} の2乗が条件付きボラティリティに影響を与えている。仮定から v t = u t 2 − E t − 1 [ u t 2 ] = u t 2 − σ t 2 {\displaystyle v_{t}=u_{t}^{2}-E_{t-1}[u_{t}^{2}]=u_{t}^{2}-\sigma _{t}^{2}} であるのでARCHモデルの決定式は