ヒル球
G M 1 m ( r − a ) 2 = G M 2 m a 2 + m ( r − a ) ω 2 . {\displaystyle {\frac {GM_{1}m}{(r-a)^{2}}}={\frac {GM_{2}m}{a^{2}}}+m(r-a)\omega ^{2}.}
ここで G {\displaystyle G} は万有引力定数、 ω {\displaystyle \omega } は座標系の回転角速度である。座標系の回転角速度は天体2のケプラー角速度に等しいことから ω = G M 1 / r 3 {\textstyle \omega ={\sqrt {GM_{1}/r^{3}}}} と表せるので、これを用いて右辺を変形する。
G M 2 m a 2 + G M 1 m ( r − a ) r 3 = G M 2 m a 2 + G M 1 m r 2 − G M 1 m a r 3 . {\displaystyle {\frac {GM_{2}m}{a^{2}}}+{\frac {GM_{1}m(r-a)}{r^{3}}}={\frac {GM_{2}m}{a^{2}}}+{\frac {GM_{1}m}{r^{2}}}-{\frac {GM_{1}ma}{r^{3}}}.}
ヒル球は、その名の通り球状の空間である。このヒル球の半径はヒル半径、もしくは重力圏半径とも呼ばれる。
天体1の周りを天体2が公転している状況を考えよう。これらの質量をそれぞれ M 1 {\displaystyle M_{1}} と M 2 {\displaystyle M_{2}} ( M 1 > M 2 {\displaystyle M_{1}>M_{2}} )、2天体間の距離を r {\displaystyle r} とする。さらに、天体2の近傍に質量 m {\displaystyle m} ( m ≪ M 1 , M 2 {\displaystyle m\ll M_{1},M_{2}} )のテスト粒子を置き、その距離を a {\displaystyle a} とする( a / r ≪ 1 {\displaystyle a/r\ll 1} )。
ここで、テスト粒子が天体2のごく近傍に位置することから、これを天体2の公転運動と共回転する座標系に乗せる。このとき、テスト粒子が受ける力は、天体1からの重力、天体2からの重力、座標系の回転に伴う遠心力の3つとなる。ヒル球は天体2の重力が支配的となる領域であるため、たとえばその内縁境界では次のような力のつり合いが満たされる。