アーベル多様体の数論
ガウス(Carl Friedrich Gauss)の時代以来(彼はレムニスケート函数の場合を知っていた)、余剰な自己同型、もしくはより一般的に自己準同型を持つ A が特別な役目を果たすことが知られていた。環 End(A) のことばで、CMアーベル多様体は多くのアーベル多様体の種類の中より抽出された。CMアーベル多様体はその数論では特別な位置をもち、それらの L-函数は、より一般的な保型表現を必要とするというよりも、調和解析の必要としているポントリャーギン双対の全てというほうがむしろ好ましい。このことは、ガロア加群としてのテイト加群の理解を反映している。このことは、予想されている代数幾何学(ホッジ予想、テイト予想)のことばを、一層難しくしている。これらの問題は、特別な状況を一層一般的な状況を求めている。
楕円曲線の場合は、クロネッカーの青春の夢(Kronecker Jugendtraum)は、クロネッカーの提唱したプログラムであり、CMタイプの楕円曲線を使い虚二次体の明確な類体論を構成する。1の冪根を拡張するような方法で、有理数体を拡張を可能とする方法である。これを一般化するが、しかし、ある意味では明確な情報が不足している(複素多変数の典型の場合のように)。