解析的トーション
(M , g ) を向きづけ可能な n 次元リーマン多様体とし、 ρ : π ( M ) → G L  ( E ) {\displaystyle \rho :\pi (M)\rightarrow \mathop {GL} (E)} を N 次元実ベクトル空間上への M の基本群の表現とすると、Eq の平坦性のために、ド・ラーム複体
Λ 0 ⟶ d 0 Λ 1 ⟶ d 1 ⋯ ⟶ d n − 1 Λ n {\displaystyle \Lambda ^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{n}}
と、形式的な随伴作用素 dp および δp を定義できる。さらに通常のようにp -形式上のラプラシアン
Δ p = δ p d p + d p − 1 δ p − 1 . {\displaystyle \Delta _{p}=\delta _{p}d_{p}+d_{p-1}\delta _{p-1}.}
を得る。∂M = 0 を仮定すると、ラプラシアンは対称的で半正値な楕円作用素で、点スペクトル
0 ≤ λ 0 ≤ λ 1 ≤ ⋯ → ∞ {\displaystyle 0\leq \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \rightarrow \infty }
ライデマイスタートーション(英: Reidemeister torsion)またはRトーション、ライデマイスター・フランツトーションとは、クルト・ライデマイスター(英語版)が三次元多様体(英語版)に対して導入した多様体の位相不変量である (Reidemeister 1935)。さらに、ヴォルフガング・フランツ(ドイツ語版)とジョルジュ・ド・ラームによってより高次元の場合へと一般化された (Franz 1935, de Rham 1936)。
ライデマイスタートーションに対し、その解析的類似としてダニエル・バリル・レイ(ドイツ語版)とイサドール・シンガーが導入したのが解析的トーション(英: analytic torsion)またはレイ・シンガートーションであり、こちらはリーマン多様体の位相不変量である (Ray and Singer 1971, 1973a, 1973b)。
X を基本群 π := π1(X ) と普遍被覆 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} を持つ有限で連結なCW複体とし、 U {\displaystyle U} を有限次元の直交な π {\displaystyle \pi } -表現とする。さらに全ての n に対し、
H n π ( X ; U ) := H n ( U ⊗ Z [ π ] C ∗ ( X ~ ) ) = 0 {\displaystyle H_{n}^{\pi }(X;U):=H_{n}(U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}}))=0}
とする。 C ∗ ( X ~ ) {\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})} についての胞体の基底と U についての直交 R -基底を固定すると、 D ∗ := U ⊗ Z [ π ] C ∗ ( X ~ ) {\displaystyle D_{*}:=U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}})} は R -鎖体に有限で自由な基底を持ち可縮となる。