アポロニウスの問題
| c 1 − c 2 | 2 = ( r 1 + r 2 ) 2 {\displaystyle |\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}|^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}}
ゆえ中心間の距離は半径の和に等しい。
以上の事から、アポロニウスの問題をリー幾何においてリー二次曲線上の直交ベクトルを求める問題として定式化しなおすことができる。具体的に言えば、リー二次曲線上のベクトルで、なおかつ与円に対応するベクトル X1, X2, X3 とも直交するもの、すなわち
( X sol ∣ X sol ) = ( X sol ∣ X 1 ) = ( X sol ∣ X 2 ) = ( X sol ∣ X 3 ) = 0 {\displaystyle (X_{\text{sol}}\mid X_{\text{sol}})=(X_{\text{sol}}\mid X_{1})=(X_{\text{sol}}\mid X_{2})=(X_{\text{sol}}\mid X_{3})=0}
を満足する解ベクトル Xsol を決定する問題である。
このように言い換えることによって、線型独立ですべて直交するベクトルの最大の個数に関する線型代数の定理を援用できるというメリットがある。これによって、解の最大数を数える別の方法を得ることができ、また、定理をさらに高次元な空間に拡張することができる。
アポロニウスの問題は、また、3つの「与えられた点」への距離の差が3つの既知の値と等しいような1つ(もしくはそれ以上)の点を特定する問題であると再定義することができる。ここで、半径 rs である解円と、半径がそれぞれr1, r2, r3 である3つの与円を考える。もし、解円がこれら3つすべての与円と外部で接するのであれば、それぞれ、解円の中心と3つの与円の中心の距離はそれぞれ次に等しい。d1 = r1 + rs、そしてd2 = r2 + rs、およびd3 = r3 + rs である。このため、これら距離における差は、例えばd1 − d2 = r1 − r2のように、みな一定である。これらはただ、既知の与円の半径にのみ依存し、解円の半径 rsには依存せず、解円の半径の影響は除かれる。このアポロニウスの問題の再定義では、「距離の差」を対応する「距離の和」へと変えることによって、内接の解円(円の中心間の距離が半径の差に等しい)に一般化することができ、また、「距離の差」を対応する「距離の和」へと変えることによって、解円の半径を rs とすると、その影響を同じように除くことができる。この中心間の距離に関する再定義は、アイザック・ニュートンとアドリアン・ファン・ルーメン(英語版)が考案した以下の解法を考える際や、双曲線測位(Hyperbolic positioning)において、また既知の3点の距離の差から位置を特定する三辺測量において有用である。例えば、LORANのようなナビゲーションシステムは固定された3点から送られた信号の到達時間の差から受信者の位置を特定する(送信機からの受信者の距離の差に対応している)。
アポロニウスの問題は3つの与えられた円にθの角度で交わるすべての円を描く問題、または3つの与えられた円に3つの指定された角度θ1, θ2, θ3で交わるすべての円を描く問題に拡張することができる。このとき、通常のアポロニウスの問題はすべての与えられた円に対する交わりの角度がθの特殊な場合となる。別のアポロニウスの問題の一般化はこの拡張の双対であり、すなわち、3つの与えられた円から3つの指定された接線距離の円を描くものである。
アポロニウスの問題は平面上から球面、またはその他の二次曲面に拡張することができる。球面に関しては、アポロニウスの問題は球面上に与えられた3つの円(球冠の境界線)に接する円をすべて描く問題となる。この球面上の問題はステレオ投影を用いることで対応する平面上の問題に置き換えることができる。平面上の問題に解を描くことができれば、それに対応する球面上の問題もステレオ投影を反転することで解を得ることができる。より一般的には、任意の二次曲面と4つの平面の交わりによる4つの正接曲線の問題だと考えることができる。これはシャルル・デュパン(英語版)によって初めて検討された。
アポロニウスの問題を繰り返し解き内接円を求め続けることによって、互いに接する円の隙間を任意の粒度で埋めることができ、アポロニウスのギャスケット、ライプニッツパッキング、またはアポロニウスパッキングと呼ばれるものを形成する。このギャスケットはフラクタルであり、自己相似で、正確な値はわかっていないが、およそ1.3である次元 d を持つ。正則曲線もしくは有限長の曲線(d = 1)よりも高く、平面(d = 2)よりは低い。
“Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections”. American Journal of Undergraduate Research 3: 15–25. http://www.ajur.uni.edu/v3n1/Gisch%20and%20Ribando.pdf.
Pappus, Alexandrinus (1933). Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique. Paris. OCLC 67245614 Trans., introd., and notes by Paul Ver Eecke. (フランス語)
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アポロニウスの問題を応用した主なものとしては、アイザック・ニュートンによるもので、3点以上の点の距離の「差」から位置を特定する双曲線測位(英語版)がある。例えば、3つの同期された送信機から送られた信号の受信時間の差から、ある船の自身の位置を特定することができる。アポロニウスの問題の解法は第二次世界大戦で、3点の異なる場所での銃声の到達時間の差から、銃声を発した大砲の位置を特定するのに使用された。また、双曲線測位はデッカ航法とLORANの技術に採用されている。同様に、飛行機に搭載されているトランスポンダーが発する信号を4つの受信ステーションが受取ることで、その到達時間の差から飛行機の位置を特定することができる。このようなマルチラテレーション(英語版)の問題はアポロニウスの問題の3次元への一般化に等しく、グローバル・ポジショニング・システム(GPS)にも応用されている(英語版のGPS#幾何学的解釈も参照)。また、これは鳥やクジラ等の鳴き声を発する動物の位置を特定するのにも使用されている。