アインシュタイン方程式
g j i ∇ a R k j i a + g j i ∇ j R k i − g j i ∇ k R j i = ∇ a ( g j i R k j i a ) + ∇ j ( g j i R k i ) − ∇ k ( g j i R j i ) = 0 {\displaystyle g^{ji}\nabla _{a}R_{kji}{}^{a}+g^{ji}\nabla _{j}R_{ki}-g^{ji}\nabla _{k}R_{ji}=\nabla _{a}\left(g^{ji}R_{kji}{}^{a}\right)+\nabla _{j}\left(g^{ji}R_{ki}\right)-\nabla _{k}\left(g^{ji}R_{ji}\right)=0}
となる。ここで上式の各項について
g j i R k j i a = g j i R k j i f g f a = g j i R j k f i g f a = R k f g f a = R k a {\displaystyle g^{ji}R_{kji}{}^{a}=g^{ji}R_{kjif}g^{fa}=g^{ji}R_{jkfi}g^{fa}=R_{kf}g^{fa}=R_{k}{}^{a}}
g j i R j i = R {\displaystyle g^{ji}R_{ji}=R}
となることから、上式から