誤差関数
同様に、偶数の n {\displaystyle n} についての E n {\displaystyle E_{n}} も n ! {\displaystyle n!} で割ると互いに似たものになる(完全に一致する事は無い)。 n > 0 {\displaystyle n>0} での全ての一般化された誤差関数の x {\displaystyle x} が正のときのグラフは互いに似ている。
これらの一般化された誤差関数も x > 0 の場合にガンマ関数と不完全ガンマ関数を使って次のように表せる。
E n ( x ) = Γ ( n ) ( Γ ( 1 n ) − Γ ( 1 n , x n ) ) π , x > 0 {\displaystyle E_{n}\left(x\right)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0}
従って、誤差関数は不完全ガンマ関数を使って次のように表せる。
erf  ( x ) = 1 − Γ ( 1 2 , x 2 ) π {\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}}