ラプラシアン行列
λ i = v i T L v i = v i T M T M v i = ( M v i ) T ( M v i ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{i}&=\mathbf {v} _{i}^{\textsf {T}}L\mathbf {v} _{i}\\&=\mathbf {v} _{i}^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}M\mathbf {v} _{i}\\&=\left(M\mathbf {v} _{i}\right)^{\textsf {T}}\left(M\mathbf {v} _{i}\right)\\\end{aligned}}}
λ i {\textstyle \lambda _{i}} はベクトル M v i {\textstyle M\mathbf {v} _{i}} とそれ自身の内積として書くことができるため、これは λ i ≥ 0 {\textstyle \lambda _{i}\geq 0} であり、したがって L {\textstyle L} の固有値は全て非負であることを示す。