P進周期環
数学の p 進周期環(ピーしんしゅうきかん、英: p-adic period rings)とは、p 進数体に関係するある一群の環の総称である。p 進ホッジ理論や p 進ガロア表現の理論、岩澤理論の研究に使われる。ジャン=マルク・フォンテーヌ(英語版)によって導入された。
Bst は GK 作用に関して閉じている Bcrys を含む BdR の部分環である。体の部分環なので整域である。
Bst は us と書かれる一つの元で Bcrys 上生成される。us は Bcrys 上超越的なので、Bst は Bcrys 上の一変数多項式環と同型な環である。us は K の素元 π の取り方によるので、Bst はこの素元の取り方に依存する環である。
Bst はフロベニウスと呼ばれる単射自己準同型 φ: Bst → Bst を持つ。フロベニウスの作用は Bcrys 上では Bcrys のフロベニウスと同じ。us には φ(us) = pus で作用する。フロベニウスは GK の作用と可換である。
Bst はモノドロミー作用素と呼ばれる Bcrys 上の導分(英語版) N を持つ。N は N(us) = 1 で定義され、GK の作用と可換である。
フロベニウスとモノドロミー作用素は関係式 Nφ = pφN を満たす。
BGKst = K0
BN=0st = Bcrys
Fil BdR ∩ BN=0, φ=1st = Qp
Bst は BdR への埋め込みを忘れれば K をその有限次拡大に置き換えても変わらず(モノドロミー作用素は分岐指数に応じて変わる)、K の素元 π の取り方にも依らない。
記号は前節と同じとする。π を K の素元として、s = (sn)n∈N を π の OK における p べき乗根の系、つまり s0 = π, spn+1 = sn を満たすような OK の元の列とする。s ≔ (sn mod p)n ∈ Nと置くと、これは R の元を定める。W(R) の元 [s] を s のタイヒミュラー代表元(英語版)とし、B+dR の元 us を
u s := log  ( π − 1 ⊗ [ s _ ] ) = ∑ n ≥ 1 ( − 1 ) n − 1 n − 1 ( π − 1 ⊗ [ s _ ] − 1 ) n {\displaystyle u_{s}:=\log(\pi ^{-1}\otimes [{\underline {s}}])=\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}n^{-1}(\pi ^{-1}\otimes [{\underline {s}}]-1)^{n}}
で定義する。右辺の級数は θ([s]) = π であることにより θ(π ⊗ [s]) = 1 が成り立つので B+dR で収束する。
Bst を Bcrys 上 us で生成される環として定義する。
Bcrys は GK 作用に関して閉じている BdR の部分環である。体の部分環なので整域である。
Bcrys は P0 と Qp(i) を含む(i は任意の整数)。
Bcrys は BdR の減少フィルトレーションから誘導される減少フィルトレーションを持つ。このフィルトレーションに関して griFil Bcrys = griFil BdR が任意の整数 i に対して成り立つ。これは形式的ローラン級数環 C⟦X⟧[X] と係数の絶対値が急減少するべき級数からなるその部分環との関係に似ている。
Bcrys はフロベニウスと呼ばれる単射自己準同型 φ: Bcrys → Bcrys を持つ。これは次の性質を持つ。 P0 のフロベニウスに関して半線型。 GK の作用と可換。 t ∈ Qp(1) ⊂ Bcrys に対して φ(t) = pt が成り立つ。 Fil BdR ∩ Bφ=1crys = Qp
BGKcrys = K0
Bcrys も K をその有限次拡大に置き換えても変わらない。