タウバーの定理
∑ anは∑∞n=0 an=lを満たす実数の級数とする。このとき、アーベルの定理によれば、f(x)= ∑∞n=0 anxを収束半径1のベキ級数とすると、f(x)はx → 1 −でf(x) →lを満たす。また、クロネッカーによる定理によれば、n → ∞で 1/n∑∞k=0 kak→0が成り立つ。 一方でアーベルの定理の逆は必ずしも成り立たない。すなわち、f(x)= ∑∞n=0 anxを収束半径1のベキ級数としたときに、f(x)がx → 1 −でf(x) →lという条件を満たす、言い換えればアーベル総和可能であっても、∑∞n=0 anはlに収束するとは限らない。例えば、 an=(−1)とすると、f(x)= ∑∞n=0 anx=1/1+xはlimx → 1 − f(x)=1/2であるが、∑∞n=0(-1)は収束しない。また、クロネッカーによる定理の逆についても同様であり、n → ∞で1/n∑∞k=0 kak→0という条件が満たされても、∑∞n=0 anは収束するとは限らない。しかしながら、タウバーの定理はアーベルの定理とクロネッカーによる定理の結果が同時に満たされているならば、逆に∑∞n=0 an=lが成り立つことを保証する。
タウバーの定理における条件(T0)または(T'0)はアーベル総和可能でアーベル総和の値がlとなる級数が通常の意味でlに収束する条件を与えている。より一般的に、総和法において、値lに総和可能な級数が(T0)や(T'0)のようにlに収束する条件をタウバー型条件と呼び、タウバー型条件を与える定理をタウバー型定理と呼ぶ。
タウバーの定理における条件(T'0)はランダウの記号を用いると、
(T'0) a n = o ( 1 n ) {\displaystyle a_{n}=o{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}}
と表すことができる。1911年にJ. E. リトルウッドはこれをさらに弱い条件
(T1) a n = O ( 1 n ) {\displaystyle a_{n}=O{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}}
と置き換えることができることを示した。
さらにG. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはこの条件を弱め、定数Cが存在し
(T2) n a n ≥ − C ( n = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle na_{n}\geq -C\quad (n=1,2,\cdots )}
とすることができることを示した。