微分形式
リーマン計量は多様体上の各点での接ベクトルの大きさを定めるものであり、局所的に線素の「長さ」を定めていることになる。ガウスが曲面論で示したように、このような局所的な情報から、多様体全体の形や大きさをかなりの程度知ることができる。
交代微分形式の方は、テンソル積の代わりに外積代数の積としての記号 ∧ を用い
∑ a i j d x i ∧ d x j {\displaystyle \sum a_{ij}\,\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{j}}
の形に書かれる。交代微分形式は、向きの与えられた幾何学的な量を表している。
d x i ∧ d x j = − d x j ∧ d x i {\displaystyle \mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{j}=-\mathrm {d} x_{j}\wedge \mathrm {d} x_{i}}
という関係式を満たし {dxk} の並ぶ順序の入れ替えに応じて符号が変わる(対称微分形式では符号は変わらない)。こういった符号の反転を内包させることによって積分する変数の「向き」を捉えられることになる。したがって微分形式の積分として得られる面積や体積などの量にも符号が導入され、負の面積や負の体積といったものも現れるが、そうすることによって重積分における座標変換の公式などが、非常に簡明に計算できるようになる。
さらに交代微分形式の微分からド・ラーム・コホモロジーが得られ、解析的な計算によって多様体全体の形を調べることができる。
特に何の指定も無い場合、(高次元の)微分形式というと、交代微分形式の方を指すことが多い。この項目でも交代微分形式を中心に扱う。
のように表示できる。係数の fi(p) などは、 p0 のまわりの点 p に関する実数値関数である。これらが C 級で、そのことを強調したい場合には微分 0 形式の時のように C 級微分 1 形式のようにいう。
領域 D 上の微分 1 形式と ∧ を用いて構成される共変テンソル場
ξ = ∑ f i 1 , ... , i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \xi =\sum f_{i_{1},\dotsc ,i_{k}}\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}}
はD 上の k 次微分形式、あるいは、微分 k 形式などとよばれる。係数となる f は、それぞれ D 上の C 級関数である。この時の k を微分形式 ξ の次数という。D 上の微分 k 形式がなす空間は Ω(D) と書かれる。k の値に関係なく、これらをまとめて微分形式、あるいは、外微分形式などという。
M の点 p におけるk 次微分形式 ξ の値
ξ p = ∑ f i 1 , ...