ピタゴラスの定理
三角関数の加法定理は、三平方の定理を使わないで証明できる。本定理を使わないで証明した、三角関数の加法定理を使うと、
cos 2  θ + sin 2  θ = cos  θ cos  θ + sin  θ sin  θ = cos  ( θ − θ ) = cos  0 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &=\cos \theta \cos \theta +\sin \theta \sin \theta \\&=\cos(\theta -\theta )\\&=\cos 0=1\end{aligned}}}
または
sin 2  θ + cos 2  θ = sin  θ cos  ( π 2 − θ ) + cos  θ sin  ( π 2 − θ ) = sin  π 2 = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =\sin \theta \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+\cos \theta \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin {\frac {\pi }{2}}=1}
B'C' = a, A'C' = b,∠C' = π/2 である直角三角形 A'B'C' において、A'B' = c' とすれば、ピタゴラスの定理より
が成り立つ。 一方、仮定から △ABC において
が成り立っている。(1), (2) より
c 2 = c ′ 2 {\displaystyle c^{2}=c'\,^{2}}
c > 0, c' > 0 より
c = c ′ {\displaystyle c=c'}
したがって、3辺相等から
△ ABC ≡ △ A ′ B ′ C ′ {\displaystyle \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{A}}'{\text{B}}'{\text{C}}'}
∴ ∠C = ∠C' = π/2。ゆえに △ABC は ∠C = π/2 の直角三角形である。
任意の z ∈ C に対し
sin 2  i z + cos 2  i z = ( i sinh  z ) 2 + cosh 2  z = cosh 2  z − sinh 2  z = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}iz+\cos ^{2}iz&=(i\sinh z)^{2}+\cosh ^{2}z\\&=\cosh ^{2}z-\sinh ^{2}z\\&=1\end{aligned}}}
である。よって任意の θ ∈ C に対して
sin 2  θ + cos 2  θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}
が成り立つ。
あとはこれまでと同様にして
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
が得られる。