ホップ代数
すべての a ∈ H に対して S ( a ( 1 ) ) a ( 2 ) S ( a ( 3 ) ) = S ( a ) . {\displaystyle S(a_{(1)})a_{(2)}S(a_{(3)})=S(a).}
Δ(1) = 1 ⊗ 1 ならこれらの条件はホップ代数の対合射の2つの通常の条件となることに注意.
公理は部分的には H 加群の圏がrigid monoidal category(英語版) であるように選ばれている.unit H-module は上で述べた separable algebra H である.
例えば,有限亜群代数は弱ホップ代数である.特に,[n] の i と j の間に可逆な矢印 eij と eji の1つのペアがある [n] 上の亜群代数は n × n 行列の代数 H に同型である.この H 上の弱ホップ代数構造は余積 Δ(eij) = eij ⊗ eij, 余単位射 ε(eij) = 1, 対合射 S(eij) = eji によって与えられる.separable subalgebras H と H は一致し,中心的でない可換代数(対角行列の部分代数)である.
弱ホップ代数への早期の理論的貢献は や に見つかる.