群の拡大
群の直積が拡大になっていることはすぐに判る。G および Q がアーベル群であると仮定すると、Q の与えられた(アーベル)群 N による拡大の同型類全体の成す集合は、実は群の構造を持ち、Ext函手を使えば Ext1Z(Q, N) に同型である。他にもいくつか一般の拡大のクラスが知られているが、可能な全ての拡大を扱うような理論は存在していない。群の拡大はふつうは拡大問題と呼称される難しい問題である。
いくつか例を考えよう。G = H × K とおくと G は H および K 双方の拡大である。もっと一般に、G が K と H との半直積 G = K ⋊ H ならば G は H の K による拡大である。同様に輪積による積を考えれば拡大の更なる例が得られる。
自明な拡大とは拡大
1 → K → G → H → 1 {\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}
であって拡大
1 → K → K × H → H → 1 {\displaystyle 1\to K\to K\times H\to H\to 1}
に同値なものを言う。ここで左の射は K × H の K-成分への埋め込み、右の射は H-成分への射影である。