射影幾何学
..XY は、点 Z が部分空間 AB...X を動くときの任意の直線 YZ 上にある点全体の成す部分空間として、帰納的に定義することができる。このとき、共線性の概念は「独立性」の概念に一般化される。すなわち、点の集合 {A, B, ..., Z} が独立であるとは、{A, B, ..., Z} が部分空間 AB...Z の最小の生成系となっていることを言い、[AB...Z] で表す。
射影幾何の公理系は、空間の次元における極限を仮定する公理を用いても与えられる。最小次元は、要求された数の元からなる独立系が存在するかどうかを見ることによって決定することができる。最小次元の判定条件は以下のような形に述べることができる。
L1: 射影空間が少なくとも一点を持つならば、その空間の次元は 0 以上である。
L2: 射影空間が少なくとも相異なる二点(従って少なくとも一つの直線)を持つならば、その空間の次元は 1 以上である。
L3: 射影空間が少なくとも三つの共線でない点(あるいは二直線、もしくは一つの直線とその直線上に無い一点)を持つならば、その空間の次元は 2 以上である。
L4: 射影空間が少なくとも四つの共面でない点(同一平面上に無い点)を持つならば、その空間の次元は 3 以上である。
これにより、初等幾何学の概念を射影幾何学へ持ち込むことができる。これもやはり、透視図において鉄道の線路が地平線において交わるといったような直観を基礎に持つ概念である。二次元における射影幾何の基本的な内容に関しては射影平面の項へ譲る。
こういった考え方は古くからあったものだが、射影幾何学として発展するのは主に19世紀のことである。多くの研究が取りまとめられ、射影幾何学は当時の幾何学の最も代表的な分野となった。ここでいう射影幾何学は、座標系(斉次座標系)の各成分が複素数となる複素射影空間についての理論である。そしていくつかのより抽象的な数学の系譜(例えば不変式論、代数幾何学イタリア学派、あるいは古典群の研究へつながるフェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムなど)が射影幾何学を礎として打ち立てられていった。これらの主題に関わった多くの研究者は、肩書きとしては総合幾何学 (synthetic geometry) に属する研究者である。他にも、射影幾何学の公理的研究から生まれた研究分野として有限幾何学がある。
射影幾何学自体も現在では多くの研究分野へ細分化が進んでおり、主なものとしては、射影代数幾何学(射影代数多様体の研究)と射影微分幾何学(射影変換に関する微分不変量の研究)の二つを挙げることができるだろう。
この双対原理はジャン=ヴィクトル・ポンスレも独立に発見している。
双対性を示すには、問題にしている次元に対する公理系の双対版となる各命題が真であることを示すだけで十分である。故に、三次元射影空間に対しては、(1*) 各点は相異なる三平面の上にある、(2*) 任意の二平面はただ一つの直線で交わる、(3*) 二平面 P, Q の交わりと別の二平面 R, S の交わりとが共面であるならば、P と R との交わりと Q と S との交わりも共面である(ただし、平面 P と S は Q と R と異なるものとする)の三つを示す必要がある。
実用上、双対原理を使えば二つの幾何学的構成の間の「双対対応」を構築することができるようになる。そのようなものの中で最もよく知られたものは、円錐曲線(二次元の場合)あるいは二次曲面(三次元の場合)における二つの図形の両極性もしくは相互関係である。ありふれた例が、双対多面体を得るための同心球における対称多面体の相互関係に見つかる。