ユニタリ表現
解析的なベクトルは、Roe Goodman によって拡張された Edward Nelson(英語版) の古典的な議論によって、稠密である、なぜならば、G の普遍包絡環における楕円型微分作用素 D に対応する熱作用素 e の像に入っているベクトルは解析的だからである。滑らかなあるいは解析的なベクトルは稠密な部分空間をなすだけではない。それらはスペクトル理論の意味でリー代数の元に対応する非有界歪随伴作用素に対して共通の核をなす。
2つのユニタリ表現 π1: G → U(H1), π2: G → U(H2) がユニタリ同値であるとは、ユニタリ変換 A: H1 → H2 が存在して、すべての g ∈ G に対して、 A ∘ π 1 ( g ) = π 2 ( g ) ∘ A {\displaystyle A\circ \pi _{1}(g)=\pi _{2}(g)\circ A} となることをいう。これが成り立つとき、A を表現 (π1, H1), (π2, H2) に対する絡作用素(英語版)という。