代数幾何学と解析幾何学
代数多様体は、局所的には多項式の共通なゼロ点として定義され、複素数上の多項式は正則函数でもあるので、C 上の代数多様体は解析空間と解釈することもできる。同様に、多様体間の正規写像は解析空間の間の正則写像と解釈することができる。少し驚くべきことであるが、しばしば、解析的対象を代数的な方法で解釈することも可能である。
例えば、リーマン球面からリーマン球面自身への解析函数は、有理函数か、もしくは恒等的に無限大の函数であることが容易に証明できる(リウヴィルの定理の拡張として)。もしそのような函数 f が定数ではないとすると、f(z) が無限遠点となるような z の集合は孤立していて、リーマン球面はコンパクトであるから、高々有限個の z しか f(z) の値が無限大にならない。そのような z のあらゆる点でのローラン展開を考え、特異点を取り除くと、C 上に値を持つリーマン球面上の函数は、リウヴィルの定理により、定数函数しか残らない。このようにして f は有理函数となる。この事実は、代数多様体として、複素射影直線とリーマン球面との間には本質的な差異は存在しないことを示している。
言い換えると、代数多様体 X の連接層の圏と解析多様体 Xの圏は同値であり、同値性は F {\displaystyle {\mathcal {F}}} から F an {\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}} への写像により与えられる。(特に、 O X an {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}} 自身 が連接層であることは、岡の連接定理として知られている。)
もうひとつの重要なステートメントは、以下である。代数多様体 X 上の任意の連接層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に対し、準同型
ε q : H q ( X , F ) → H q ( X a n , F a n ) {\displaystyle \varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})}
は、すべての q について同型である。このことは、X 上の q次コホモロジー群と、X 上の q次コホモロジー群が同型であることを意味する。
この定理はより一般的な場合にも成り立つ。(詳しくは、以下のGAGAの公式ステートメントを参照。)この定理と証明は、周の定理、レフシェッツの原理や小平消滅定理のような多くの結果がある。
数学において、代数幾何学と解析幾何学(だいすうきかがくとかいせききかがく、フランス語: Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique、略称: GAGA)は密接な関係にある。代数幾何学は代数多様体を研究するのに対して、解析幾何学は複素多様体やより一般的に多変数の(複素)解析函数のゼロ点で局所的に定義された解析空間(英語版)を扱う。これら2つの深い関係は、代数的なテクニックを解析空間へ適用したり、逆に解析的テクニックを代数多様体へ適用したりする上で応用されている。