ポール・エルデシュ
2015年現在、約11,000人の数学者が2以下のエルデシュ数を持っている。エルデシュ数が少ない数学者が死に、その人物との共同研究ができなくなることで、長い時間スケールで見ると必然的に数学者全体のエルデシュ数は増加する傾向にある。アメリカ数学協会は、Mathematical Reviewsカタログに記載されている全ての数学者のエルデシュ数を決定する無料のオンラインツールを提供している。
エルデシュ数は、エルデシュ数2を持つ解析学者のキャスパー・ゴフマン Casper Goffman) によって最初に定義された可能性が最も高い。ゴフマンは、1969年に"And what is your Erdős number?"(そしてあなたのエルデシュ数は?)というタイトルで、エルデシュの多岐にわたる共同作業についての記事を書いている。
ジェラルド・グロスマン (Jerry Grossman) は、野球選手のハンク・アーロンはエルデシュ数1を持つと主張している。アーロンとエルデシュが同じ日にエモリー大学で名誉学位を授与されたとき、カール・ポメランスの求めで2人が同じ野球ボールにサインしたからである。幼児、馬、何人かの俳優のエルデシュ数も提案されている。
彼のキャリアを通して、エルデシュは未解決問題を解決した者に対して賞金を贈った。その額は、現在の数学的思考(彼と他者の両方)の範囲外だと彼が感じた問題に対する25ドルから、攻撃が困難で数学的にも重要な問題については数千ドルに及んだ。賞金の対象となる問題の公式かつ包括的な一覧はないが、千以上の未解決問題があると考えられている。エルデシュの死後も賞金の提供は引き続き行われており、ロナルド・グラハムが(非公式な)管理者となっている。問題を解決した者は、エルデシュが生前に署名したオリジナルの小切手(換金のできない単なる記念品)か、グラハムによる換金可能な小切手のいずれかを受け取ることができる。
数学的に最も重要であると考えられる問題は、等差数列に関するエルデシュ予想(英語版)である。
これが真であれば、数論における他のいくつかの未解決問題が解決することになる(素数の列に任意の長さの等差数列が含まれているという、この予想の主な包含は、グリーン・タオの定理とは独立に証明されている)。この問題を解決すると支払われる金額は、現在、5000ドルである。
エルデシュ賞の最もよく知られた問題は、3N+1問題とも呼ばれるコラッツ予想である。エルデシュは、解決した人に500ドルを提供すると申し出た。