コーンの不等式
Ω を開で連結な n-次元ユークリッド空間 R(n ≥ 2)の部分集合とする。ソボレフ空間 H(Ω) を、Ω 上のベクトル場 v = (v, ..., v) であって、自身および自身の1階弱微分がいずれもL(Ω) 空間に属するもの全体と定める。第 i 成分による偏微分を ∂i と記すこととし、H(Ω) におけるノルムを次式で定める。
‖ v ‖ H 1 ( Ω ) := ( ∫ Ω ∑ i = 1 n | v i ( x ) | 2 d x + ∫ Ω ∑ i , j = 1 n | ∂ j v i ( x ) | 2 d x ) 1 / 2 {\displaystyle \|v\|_{H^{1}(\Omega )}:=\left(\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}|v^{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }\sum _{i,j=1}^{n}|\partial _{j}v^{i}(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{1/2}}
このとき、Ω のコーン定数(Korn constant)として知られる定数 C ≥ 0 が存在して、任意の v ∈ H(Ω) に対して
を満たす。ここで e は
e i j v = 1 2 ( ∂ i v j + ∂ j v i ) {\displaystyle e_{ij}v={\frac {1}{2}}(\partial _{i}v^{j}+\partial _{j}v^{i})}
で与えられる対称化勾配(symmetrized gradient)を表す。不等式 (1) はコーンの不等式として知られる。