対数平均
対数平均は指数関数を用いた面積として解釈することもできる。
M lm ( x , y ) = ∫ 0 1 x 1 − t y t d t = y − x ln  y − ln  x . {\displaystyle M_{\text{lm}}(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t={\frac {y-x}{\ln {y}-\ln {x}}}.}
この解釈により対数平均がもついくつかの基本的な特性を簡単に導出できる。指数関数は単調であるため、長さ 1 の区間での積分は x, y によって制限される。積分演算子の斉次性も対数平均に反映され、
M lm ( c x , c y ) = c M lm ( x , y ) {\displaystyle M_{\text{lm}}(cx,cy)=cM_{\text{lm}}(x,y)}
となる。
以下のように、他にも対数平均を導く有用な積分表現がある。
1 M lm ( x , y ) = ∫ 0 1 d t t x + ( 1 − t ) y {\displaystyle {1 \over M_{\text{lm}}(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}}
1 M lm ( x , y ) = ∫ 0 ∞ d t ( t + x ) ( t + y ) {\displaystyle {1 \over M_{\text{lm}}(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}}
が成り立つ。この式を ξ について解くことで上式は導かれる。
たとえば n = 2 のとき、3変数 x, y, z の対数平均は以下となる。
M MV ( x , y , z ) = ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) 2 { ( y − z ) ln  x + ( z − x ) ln  y + ( x − y ) ln  z } {\displaystyle M_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left\{\left(y-z\right)\ln {x}+\left(z-x\right)\ln {y}+\left(x-y\right)\ln {z}\right\}}}}}