広義積分
積分の理論には複数のものが存在する。微積分計算の立場からは、(特に指定がなければ)積分記号の意味として普通はリーマン積分の理論が仮定される。しかし広義積分を扱う際には、基礎となっている積分理論の区別が必要となることがある。
この積分
∫ 0 ∞ d x 1 + x 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}}
は、次のように解釈できる:
lim b → ∞ ∫ 0 b d x 1 + x 2 = lim b → ∞ arctan  b = π 2 {\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}}}
しかし一般にはそう解釈する必然性はない。例えば集合 (0,∞) 上でのルベーグ積分としても解釈できる。とは言うものの、「有限区間上での定積分の極限」という解釈は便利である(便利なのは値の計算だけかもしれないが)。
普通の積分と良く似た記法を使うことが多い。しかし同じ広義積分に対する記法には以下のような種類がある:
∫ a ∞ f ( x ) d x := lim t → ∞ ∫ a t f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\,dx\,}
∫ − ∞ b f ( x ) d x := lim t → − ∞ ∫ t b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to -\infty }\int _{t}^{b}f(x)\,dx\,}
∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x := lim t → − ∞ ∫ t a f ( x ) d x + lim t → ∞ ∫ a t f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\,:=\lim _{t\to -\infty }\int _{t}^{a}f(x)\,dx\,+\lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\,dx\,}