リーマンゼータ関数
ζ ( − 2 n ) = 2 − 2 n π − 2 n − 1 sin  ( − n π ) Γ ( 1 + 2 n ) ζ ( 1 + 2 n ) {\displaystyle \zeta (-2n)=2^{-2n}\,\pi ^{\!-2n-1}\sin(-n\pi )\,\Gamma \!(1+2n)\zeta (1+2n)}
sin (−nπ) = 0 であり他の因子は有限値なので ζ(−2n) = 0 である。したがって −2n はゼータ関数の零点である。
次のように修正されたゼータ関数(これは実質的にリーマンによって導入され、完備化されたゼータ関数と呼ばれる)
ξ ( s ) = π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) {\displaystyle \xi (s)=\pi ^{\!-s/2}\,\,\Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\,\zeta (s)}
は s と 1 − s に関する以下のような対称的な関数等式を持つ:
ξ ( s ) = ξ ( 1 − s ) {\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)}
(リーマンのクシー関数も参照。)
また、次のような重積分でも表記できる。
}
ここで ψ ( x ) := ∑ n = 1 ∞ e − n 2 π x {\displaystyle \psi (x):=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}} とおくと
ζ ( s ) = π s 2 Γ ( s 2 ) ∫ 0 ∞ x s 2 ψ ( x ) d x x {\displaystyle \zeta (s)={\pi ^{s \over 2} \over \Gamma ({s \over 2})}\int \limits _{0}^{\infty }x^{\frac {s}{2}}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}}
となる。ここで f ( x ) = e − π x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-\pi x^{2}}} とおくと、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} はフーリエ変換に対し不変である。 f ^ ( y ) = e − π y 2 {\displaystyle {\hat {f}}(y)=e^{-\pi y^{2}}}
また、フーリエ変換の定数倍の公式より、 g ( x ) = f ( a x ) {\displaystyle g(x)=f(ax)} のフーリエ変換は g ^ ( x ) = 1 | a | f ( x a ) {\displaystyle {\hat {g}}(x)={\frac {1}{|a|}}f\left({\frac {x}{a}}\right)} である。
Γ ( 1 − s 2 ) Γ ( s 2 ) = Γ ( 1 − s 2 ) Γ ( 1 − s 2 ) Γ ( s 2 ) Γ ( 1 − s 2 ) = 2 s π 1 2 Γ ( 1 − s ) ⋅ sin  ( π s 2 ) π = 2 s π − 1 2 sin  ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)}}=2^{s}\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma (1-s)\cdot {\frac {\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}{\pi }}=2^{s}\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)}
よって
ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin  ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\,\pi ^{s-1}\,\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)}