原始元定理
例えば次のことはすぐに明らかではない。有理数体 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } に両方の多項式
x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2\ }
と
x 2 − 3 , {\displaystyle x^{2}-3,\ }
の根、それぞれ 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} と 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} としよう、を添加して、 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上4次(英語版)の体 K = Q ( 2 , 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} を得、拡大は単純で原始元 γ in K が存在して K = Q ( γ ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )} となる。実は次のことを確認できる。
γ = 2 + 3 {\displaystyle \gamma ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}
の冪 γ for 0 ≤ i ≤ 3 は 1, 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , and 2 3 = 6 {\displaystyle {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}={\sqrt {6}}} の整数係数の線型結合として書き下すことができる。