ハウスドルフ次元
上記のように定義された s 次元ハウスドルフ外測度 H (X) を、X を固定して s の関数として見る。s < t を満たす任意の s と t について、δ 被覆は、
∑ i = 1 ∞ | U i | t = ∑ i = 1 ∞ | U i | t − s | U i | s ≤ δ t − s | U i | s {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\vert U_{i}\right\vert ^{t}=\sum _{i=1}^{\infty }\left\vert U_{i}\right\vert ^{t-s}\left\vert U_{i}\right\vert ^{s}\leq \delta ^{t-s}\left\vert U_{i}\right\vert ^{s}}
を満たすので、
H δ t ( X ) ≤ δ t − s H δ s ( X ) {\displaystyle H_{\delta }^{t}(X)\leq \delta ^{t-s}H_{\delta }^{s}(X)}
という関係が成り立つ。よって、δ → 0 である H (X) は s の単調減少関数である。
さらに、上の関係により、H (X) < ∞ であるならば H (X) = 0 である。また、H (X) > 0 であるならば、H (X) = ∞ である。
次元を定義したい図形として、n-次元ユークリッド空間 R 上の空ではない部分集合 X を考える。ユークリッド空間に限定せずに、一般の距離空間でもよい。X 上の 2 点 x, y のユークリッド距離を d(x, y) で表す。集合 X の直径を次で定義する。
| X | = sup { d ( x , y ) | x , y ∈ X } {\displaystyle \left\vert X\right\vert =\sup\{d(x,y)\ |\ x,y\in X\}}
ここで sup は上限を意味し、d(x, y) は x と y のユークリッド距離である。単純に言えば、直径とは集合 X の中のもっとも離れた2点間の距離を意味している。
ある X が与えられたとき、それに対する可算個の集合族 {Ui} による被覆を考える。ただし、{Ui} それぞれの直径は、ある正の実数 δ 以下とする。このような {Ui} を δ 被覆と呼ぶ。すなわち、
X ⊂ ⋃ i = 1 ∞ U i {\displaystyle X\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}} かつ | U i | ≤ δ {\displaystyle \left\vert U_{i}\right\vert \leq \delta }
である。{Ui} は有限個でもよい。
さらに、各々の Ui の直径を正の実数 s で冪乗したものの総和 ∑∞i = 1|Ui| を取る。そして、δ と s の値を固定し、X に対して可能なあらゆる δ 被覆 {Ui} を考えた場合の ∑∞i = 1|Ui| の下限を取る。これを