生存関数
指数型生存関数における重要な仮定とは、危険率(hazard rate)が一定ということである。上記の例では、毎年死亡する男性の割合は10%で一定であり、これは危険率が定数であることを意味する。危険率が定数であるという仮定は、適切でないこともある。たとえば、ほとんどの生物では、死亡のリスクは中年期よりも老年期の方が大きく、つまり危険率は時間とともに増加するということである。また、乳がんのように、5年後に再発するリスクが低くなる疾患もある。これはつまり、危険率が時間とともに減少するということである。ワイブル分布は、指数分布を拡張して、危険率を定数にできるのはもちろん、増加、または減少するようにすることができる
指数型生存分布では、個人の年齢や機器の使用期間とは無関係に、どのタイミングでも死亡(故障)の確率は同じである。これはつまり、指数生存分布が無記憶性を持つということである。対象の生存期間は、その時点での死亡(故障)確率に影響しない。この指数関数は、部品が故障する際に交換されるようなシステムの寿命に適したモデルとなろう。また、短期における生体の生存のモデリングにも使い勝手が良いが、長期にわたる生体の生存のモデリングには適さないであろう。Efron and Hastie(p.134)では、「もし人間の寿命が指数分布に従っていると仮定すると、老人も若者もない。単に、運が良いか悪いかそれだけである」と述べている。
空調設備が好例であるが、生存期間の分布は、指数分布のような関数を使って高い精度で近似できる場合がある。生存分析では、指数分布、ワイブル分布、ガンマ分布、正規分布、対数正規分布、対数ロジスティック分布などといった分布が一般的に使用される。これらの分布は、パラメータによって定義される。たとえば,正規(ガウス)分布は、2つのパラメータ、つまり平均と標準偏差によって定義される。パラメータによって定義される生存関数は、パラメトリックであるという。
上記の4つの生存関数のグラフでは、生存関数の形状が特定の確率分布によって定義されている。生存関数1は指数分布、2はワイブル分布、3は対数ロジスティック分布、4は別のワイブル分布によって定義されている。