グロス＝コブリッツの公式
グロス=コブリッツの公式とは、ガウス和 τ を p-進ガンマ関数 Γp によって表現した次の式のことを言う。
τ q ( r ) = − π s p ( r ) ∏ 0 ≤ i < f Γ p ( r ( i ) / ( q − 1 ) ) . {\displaystyle \tau _{q}(r)=-\pi ^{s_{p}(r)}\prod _{0\leq i<f}\Gamma _{p}(r^{(i)}/(q-1)).}
但し記号は次のようなものとする。
q は素数 p のべき p。
r は 0 ≤ r < q − 1 を満たす整数。
r は r の p-進展開の i-回反復ドワークシフト(Dwork's shift)
sp(r) は r の p-進展開における各位の数の和。
τ は次のガウス和。
τ q ( r ) = ∑ a q − 1 = 1 a − r ζ π Tr ( a ) . {\displaystyle \tau _{q}(r)=\sum _{a^{q-1}=1}a^{-r}\zeta _{\pi }^{{\text{Tr}}(a)}.}
ただしこの和は拡大 Qp(π) 内の 1 の冪根について取られる。
Γp は p 進ガンマ関数。
π は π = −p を満たすもの。
ζπ は π を法として 1+π と合同な、1 の p 乗根。