軌道 (力学系)
ただし、t が取り得る値は φt (x0) が定義されている範囲に限られる。O(x0) は「x0 を通る軌道」と呼ばれる。軌道の記号には、O(x0 の他に、O(x0) 、C(x0) 、γ(x0) 、Γ(x0) 、Orb(x0) などの表記がある。
群論の言葉では軌道は次のように定義される。上記を満たす写像 φ を、群 G の集合 X への作用という。この作用 φ について、X 上の2点 x0, y が適当な t を選びさえすれば φt (x0) = y という関係を満たすとき、x0, y は同値関係 x0 ∼ y にあると定義する。この同値関係によって X を分ける同値類が軌道 O(x0) である。
時間 G が整数 Z のときの力学系を離散力学系と呼び、G が実数 R のときを連続力学系と呼ぶ。相空間上のどの点も初期値となりうるので、相空間は何かしらの軌道によって完全に埋め尽くされる。力学系理論の主目的は、系の軌道の性質・振る舞いを調べることにある。特に力学系理論の場合、時間が正または負の無限大に発散するときの漸近的振る舞いを問題とする。軌道同士の相互関係や、系に摂動が加わったときに起こる軌道全体の構造の変化なども力学系理論の題目である。
一方、f が可逆で逆写像 f を持つとき、f は恒等写像だとして、k < 0 についても写像の反復 f が定義できる。それによって、x0, f (x0), f (x0), ... という点列が定義でき、O−(x0) などのように表す。
O − ( x 0 ) = { f n ( x 0 ) ∣ n = 0 , − 1 , − 2 , ... } {\displaystyle O_{-}(x_{0})=\{f^{n}(x_{0})\mid n=0,-1,-2,\ldots \}}
逆写像によって定まる点列 O−(x0) は後方軌道や負の半軌道と呼ばれる。正の半軌道と負の半軌道を足し合わせた集合
O ( x 0 ) = { f n ( x 0 ) ∣ n ∈ Z } = { ... , f − 2 ( x 0 ) , f − 1 ( x 0 ) , x 0 , f ( x 0 ) , f 2 ( x 0 ) , ... } = { ... , x − 2 , x − 1 , x 0 , x 1 , x 2 , ... } {\displaystyle {\begin{aligned}O(x_{0})&=\{f^{n}(x_{0})\mid n\in \mathbb {Z} \}\\&=\{\ldots ,\ f^{-2}(x_{0}),\ f^{-1}(x_{0}),\ x_{0},\ f(x_{0}),\ f^{2}(x_{0}),\ \ldots \}\\&=\{\ldots ,\ x_{-2},\ x_{-1},\ x_{0},\ x_{1},\ x_{2},\ \ldots \}\\\end{aligned}}}
を軌道や全軌道と呼ぶ。