弦の場の理論
⟨ Σ | Ψ 1 ∗ Ψ 2 ⟩ = ⟨ Σ , Ψ 1 , Ψ 2 ⟩ . {\displaystyle \langle \Sigma |\Psi _{1}*\Psi _{2}\rangle =\langle \Sigma ,\Psi _{1},\Psi _{2}\rangle \ .}
∗ {\displaystyle *} -積と3次の頂点は、(下記の)いくつかの性質を満たす( Ψ i {\displaystyle \Psi _{i}} を一般的なゴースト数を持つ場としてよい)。
サイクル性(Cyclicity) : ⟨ Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 ⟩ = ( − 1 ) g n ( Ψ 3 ) ∗ ( g n ( Ψ 2 ) + g n ( Ψ 1 ) ) ⟨ Ψ 3 , Ψ 1 , Ψ 2 ⟩ {\displaystyle \langle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3}\rangle =(-1)^{gn(\Psi _{3})*(gn(\Psi _{2})+gn(\Psi _{1}))}\langle \Psi _{3},\Psi _{1},\Psi _{2}\rangle }
開弦の場の全く異なった超対称的作用がナタン・バーコヴィッツにより構成されている。構成された形は、
S = 1 2 ⟨ e − Φ Q B e Φ | e − Φ η 0 e Φ ⟩ − 1 2 ∫ 0 1 d t ⟨ e − Φ ^ ∂ t e Φ ^ | { e − Φ ^ Q B e Φ ^ , e − Φ ^ η 0 e Φ ^ } ⟩ {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\langle e^{-\Phi }Q_{B}e^{\Phi }|e^{-\Phi }\eta _{0}e^{\Phi }\rangle -{\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}dt\langle e^{-{\hat {\Phi }}}\partial _{t}e^{\hat {\Phi }}|\{e^{-{\hat {\Phi }}}Q_{B}e^{\hat {\Phi }},e^{-{\hat {\Phi }}}\eta _{0}e^{\hat {\Phi }}\}\rangle }
の形をしていて、積の全てが反交換子 { , } {\displaystyle \{,\}} を含む *-積を使い構成されており、 Φ ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {\Phi }}(t)} は Φ ^ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\hat {\Phi }}(0)=0} でかつ Φ ^ ( 1 ) = Φ {\displaystyle {\hat {\Phi }}(1)=\Phi } である任意の弦の場である。
弦の場の理論は、
位相的弦理論や 非可換幾何学や 低次元の弦理論
にも応用を持っている。
弦の場の理論は、第二量子化される弦のタイプに依存して多くの多様性を持っている。開弦の場の理論 は開弦の振幅を記述し、閉弦の場の理論 は閉弦の場の理論を記述し、開、閉弦の場の理論 開弦と閉弦の双方の場の理論を意味する。
加えて、元々の自由弦の理論でワールドシートの微分同相と共形変換をどのように固定するかに依存して、結果として現れる弦の場の理論は、非常に異なったものとなりうる。光錐ゲージ理論(英語版)(light cone gauge)を使うと、光錐弦の場の理論 を得る。一方、BRST量子化(英語版)(BRST quantization)を使うと 共変な弦の場の理論 を得る。これらをハイブリッドにした弦の場の理論もあり、共変光錐な弦の場の理論 と呼ばれ、光錐ゲージ固定とBRSTゲージ固定を行う弦の場の理論を使う。
弦の場の理論の最終的な形は、背景独立な開弦の場の理論 と呼ばれ、全く別の形態を取る。ワールドシートの弦理論を第二量子化することに替わり、2-次元の場の量子論の空間を第二量子化する。
光錐の弦の場の理論はスタンレイ・マンデルスタム(英語版)(Stanley Mandelstam)により導入され、マンデルスタムやマイケル・グリーン(Michael Green)やジョン・シュワルツ(John Schwarz)やラース・ブリンク(Lars Brink)により開発された。 光錐の弦の第二量子化の明らかな記述は、ミチオ・カク(Michio Kaku)と吉川・圭二(英語版)(Keiji Kikkawa)により与えられた。
光錐の弦の場の理論は構成された最初の弦の場の理論であり、光錐ゲージの弦の散乱の単純さを基礎としている。例えば、ボゾン閉弦(英語版)(bosonic closed string)の場合には、ワールドシートの散乱図形は自然にファインマン図形のような形をなり、下図のように一つのプロパゲーターの2つの成分から作られる。
さらに、結合と分岐のための2つの頂点は、3つのプロパゲーターを貼り合わせを使うことができて、下図のようになる。