N体シミュレーション
太陽系における惑星の運動、原始惑星系円盤における微惑星の集積過程、球状星団の構造の力学的な進化、宇宙の大規模構造の形成といった問題は、系を構成する要素(惑星や恒星、暗黒物質など)が互いに重力相互作用を及ぼし合うものである。その進化を定量的に求めることは天文学および宇宙物理学の多くの分野で重要であるが、それは解析的な手法では困難であり、数値シミュレーションに頼らざるを得ない。 N {\displaystyle N} 体シミュレーションはこのような系の数値シミュレーション手法のひとつであり、系を構成する要素を多数の( N {\displaystyle N} 個の)粒子とみなし、それらの粒子が互いにニュートン重力を及ぼし合うものとモデル化するものである。
典型的な N {\displaystyle N} 体シミュレーションでは、 i = 1 , 2 , ⋯ , N {\displaystyle i=1,2,\cdots ,N} 番目の粒子(質量 m i {\displaystyle m_{i}} ) の運動方程式は
m i d 2 r i d t 2 = − ∑ j ≠ i G m i m j r i − r j | r i − r j | 3 {\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=-\sum _{j\neq i}Gm_{i}m_{j}{\frac {\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}}{\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|^{3}}}}
GRAPEは杉本大一郎、牧野淳一郎らによって東京大学で開発された N {\displaystyle N} 体シミュレーション専用計算機であり、重力相互作用の計算をパイプラインとして物理的に実装することにより効率的に計算を進めるものである。現在も国立天文台などで運用されている。
また GPUの活用(GPGPU)も進められている。
無限に広い計算領域を実現することは不可能であるため、宇宙論的シミュレーションでは周期境界条件が採用される。通常、計算領域は立方体であり、その一片の長さを L {\displaystyle L} とするとき、座標 x {\displaystyle x} と x ± L {\displaystyle x\pm L} の点は同一視される。
周期境界条件のもとでは隣接する立方体に自らの構造のコピーが存在するため、それが及ぼす重力を考慮する必要がある。これは分子動力学法においてクーロン電場に対して開発されたエバルトの方法を適用することで可能であり、付近のボックスからの重力は直接計算し、遠方のボックスからの重力をフーリエ級数の形で取り入れることにより効率的に精度よく計算される。例えば、座標原点にある質量 m {\displaystyle m} の質点がつくる(規格化された)重力ポテンシャルは、周期境界条件のもとで