可換環
などを見ればわかる。しかし同じ相似変換で同時対角化可能な行列の全体は可換環を成す。例えば、ある決まったノード集合に関する差分商行列全体は可換環である。
可換環 R が与えられたとき、R に係数を持つ変数 X の多項式全体 R[X] は多項式環と呼ばれる可換環を成す。多変数の場合も同様である。
V が何らかの位相空間、例えば R のある部分集合とするとき、V 上の実数値または複素数値の連続函数全体は可換環を成す。可微分函数全体や正則函数全体についても、それらの概念が定義されるならば(たとえば V が複素多様体のとき)同じことが言える。
可換環の内部構造はそのイデアルを考えることで決定される。可換環 R のイデアル I とは、空でない部分集合で、加法と環 R の任意の元による乗法に関して閉じているもの、即ち任意の r ∈ R, i, j ∈ I に対し ri および i + j がともに I に属することが要求される。R の任意の部分集合 F = {fj}j ∈ J(J は適当な添字集合)が与えられたとき、「F の生成するイデアル」とは F を含む最小のイデアル、あるいは同じことだが、有限線型結合
r1f1 + r2f2 + ... + rnfn
の全体として得られるイデアルをいう。一つの元で生成されるイデアルは主イデアルと呼ばれ、任意のイデアルが主イデアルであるような環を主イデアル環と呼ぶ。有理整数環 Z や体 k 上の多項式環 k[X] は主イデアル環の重要な例である。
任意の環は零イデアル {0} と環全体 R を自明なイデアルとして持つ。どのような真イデアル(つまり R でないイデアル)にも含まれることのないイデアルを極大イデアルという。イデアル m が極大であるための必要十分条件は剰余環 R/m が体となることである。(選択公理に同値な)ツォルンの補題によれば、任意の環が少なくとも一つの極大イデアルを持つことが示せる。
イデアルの定義というのは、環 R をイデアル I で「割って」別の環を作り出すためのものになっている。剰余環 R/I は I の剰余類全体の成す集合に
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I および (a + I)(b + I) = ab + I
で演算を入れたものである。例えば整数 n に対する剰余環 Z/nZ(Zn と書くこともある)は n を法とする整数全体の成す環で、合同算術の基盤を成す。