球面
解析幾何学において、(x0, y0, z0) を中心とする半径 r の球面(ユークリッド球面)は
を満たす点 (x, y, z) 全体の軌跡である。 a, b, c, d, e は実数で a ≠ 0 なるものとし、
と書けば、上記の方程式は
の形になる。一般にこの形の方程式(x, y, z の係数が等しく、xy, yz, zx の項を持たない三変数二次多項式方程式)が与えられたならば、以下の何れか一つのみが成り立つ:
ρ < 0 のときは、この方程式に解となる実点は存在せず、虚球 (imaginary sphere) の方程式と呼ぶ。
ρ = 0 のとき、方程式 f(x, y, z) = 0 は中心となる一点 P0 ≔ (x0, y0, z0) のみを解とし、点球 (point sphere) の方程式と言う。
ρ > 0 のときには、f(x, y, z) = 0 は P0 を中心とする半径 r ≔ √ρ の球面の方程式となる(上のふたつと対照する場合、実球 (real sphere) の方程式と言う)。
位相幾何学では、n + 1 次元(位相)球体の境界に同相な空間として n-次元(位相)球面は定義される。これは n-次元ユークリッド球面(通常の n-次元球面)に同相となるが、必ずしも距離付けられない。
零次元位相球面は、離散位相の入った点の対である。
一次元位相球面は、同相の違いを除いて円周である。たとえば、任意の結び目は一次元位相球面となる。
二次元位相球面は、同相の違いを除いて通常の球面である。例えば、任意の楕円体は二次元位相球面となる。
n-次元位相球面もまた S と書かれる。位相球面は境界のないコンパクト位相多様体の例になっている。必ずしも可微分多様体(滑らかな多様体)ではないが、滑らかな場合であってもユークリッド球面に微分同相とは限らない。
ハイネ–ボレルの被覆定理により n-次元ユークリッド球面がコンパクトであることが分かる。実際、球面は連続函数 ‖ x ‖ による一点集合の逆像であるから閉集合であり、また S は有界である。
驚嘆すべきことに、三次元空間内において自己交叉することを許せば、通常の球面を一切の切れ目を入れることなく裏返すことができる。この一連の方法は 球の裏返し(英語版) (sphere eversion) と呼ばれる。