基本群
f : X → Y を連続写像とし、x0 ∈ X と y0 ∈ Y は f(x0) = y0 とすると、基点 を x0 とする X の任意のループは、f と 組み合わせて y0 を基点とする Y のループを構成することができる。この操作は、ホモトピー同値関係およびループの合成と整合性を持っている。得られる群準同型は、誘導された準同型写像(英語版)と呼ばれ、π(f) と書く。あるいはより一般的には、
f ∗ : π 1 ( X , x 0 ) → π 1 ( Y , y 0 ) . {\displaystyle f_{*}:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0}).}
とも書かれる。この連続写像から群準同型への写像は、恒等写像および写像の結合と整合性を持っている。言い換えると、(この準同型は、)点付き空間の圏から群の圏への関手である。
この関手は、基点と相対的にホモトピックである写像を区別することはできないことが分かる。f, g : X → Y が連続写像で、f(x0) = g(x0) = y0 であり、f と g は {x0} と相対的にホモトピックであれば、f∗ = g∗ となる。結局、2つのホモトピー同値な弧状連結空間は同型な基本群を持つ。
X ≃ Y ⟹ π 1 ( X , x 0 ) ≅ π 1 ( Y , y 0 ) .