Club集合
κ {\displaystyle \kappa \,} を共終数 λ {\displaystyle \lambda \,} の極限順序数とする。ある α < λ {\displaystyle \alpha <\lambda \,} に対して、列 ⟨ C ξ : ξ < α ⟩ {\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,} が κ {\displaystyle \kappa \,} のclub集合の列であったとする。このとき、 ⋂ ξ < α C ξ {\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,} もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。
β 0 < κ {\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,} を任意にとる。ある n < ω {\displaystyle n<\omega } に対して β n {\displaystyle \beta _{n}} が存在するとき、 C ξ {\displaystyle C_{\xi }\,} から β n + 1 ξ > β n {\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,} となるように、 β n + 1 ξ {\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }} をとる。