対称テンソル
数学における対称テンソル(たいしょうテンソル、英: symmetric tensor)は、その次数(英語版) r に関して、任意の r-次置換の作用に関して不変なテンソルを言う。
より具体的には、テンソルを多重線型写像 T と見るならば、その引数となるベクトルの任意の置換 σ について
T ( v 1 , v 2 , ... , v r ) = T ( v σ 1 , v σ 2 , ... , v σ r ) {\displaystyle T(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})}
を満たすもの、あるいは座標を用いて成分で表すならば
T i 1 i 2 ... i r = T i σ 1 i σ 2 ... i σ r {\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}}
を満たすものである。
有限次元ベクトル空間 V 上のr-次対称テンソル全体の成す空間は、V 上の r-次斉次多項式全体の成す空間の双対に自然同型になる。標数 0 の体上では、対称テンソル全体の成す次数付きベクトル空間は V 上の対称代数に自然に同一視される。関連する概念として、反対称テンソルや交代形式がある。対称テンソルは工学、物理学、数学において広く生じる。