ウィグナー分布
∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ t n W x ( t , f ) d t d f = ∫ − ∞ ∞ t n | x ( t ) | 2 d t ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f n W x ( t , f ) d t d f = ∫ − ∞ ∞ f n | X ( f ) | 2 d f {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}|x(t)|^{2}\,dt\\\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}|X(f)|^{2}\,df\end{aligned}}}
If y ( t ) = e i 2 π f 0 t x ( t ) then W y ( t , f ) = W x ( t , f − f 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=e^{i2\pi f_{0}t}x(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t,f-f_{0})\end{aligned}}}