畳み込み級数
差分法のテクニックは便利だが、落とし穴もある。
0 = ∑ n = 1 ∞ 0 = ∑ n = 1 ∞ ( 1 − 1 ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 + 1 ) = 1 {\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{\infty }0=\sum _{n=1}^{\infty }(1-1)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1+1)=1}
とするのは正しくない、個々の項が 0 に収斂でもしない限り、項を括りなおすのは有効ではないからである(グランディ級数の項を見よ)。こういった間違いを避けるには、まず N 項までの和を求めておいてから、そのあと N を無限大に飛ばした極限を計算する。
∑ n = 1 N 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 N ( 1 n − 1 n + 1 ) = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ + ( 1 N − 1 N + 1 ) = 1 + ( − 1 2 + 1 2 ) + ( − 1 3 + 1 3 ) + ⋯ + ( − 1 N + 1 N ) − 1 N + 1 = 1 − 1 N + 1 → 1 a s N → ∞ .