弱位相
弱位相における点列(もしくはより一般に有向点族)xnの収束を弱収束といい、
x n ⟶ w x {\displaystyle x_{n}{\overset {\text{w}}{{}\longrightarrow {}}}x}
x n ⟶ x {\displaystyle x_{n}\longrightarrow x} (弱)
x n ⇀ x {\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x}
w-lim n → ∞ x n = x {\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\text{w-lim}}}x_{n}=x}
等と表記する。
一方ノルム位相に対する収束(ノルム収束)は強収束とも呼ばれ、弱収束と区別するため
x n ⟶ s x {\displaystyle x_{n}{\overset {\text{s}}{{}\longrightarrow {}}}x}
x n ⟶ x {\displaystyle x_{n}\longrightarrow x} (強)
s-lim n → ∞ x n = x {\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\text{s-lim}}}x_{n}=x}
等と表記する。
ノルム空間Xの共役空間Xには、作用素ノルム
‖ α ‖ ∗ = sup x ∈ X ∖ { 0 } | α ( x ) | | x | {\displaystyle \|\alpha \|_{*}=\sup _{x\in X\setminus \{0\}}{|\alpha (x)| \over |x|}}
が定義でき、このノルムからノルム位相が定まる。またX自身も作用素ノルムに関してノルム空間であることからXには弱位相も入り、定義よりこれはXの共役空間(二重共役空間)Xに属する写像を全て連続にする最弱の位相である。
さらにXには下記の*弱位相も入る:
定義 (*弱位相) ― XをK上のノルム空間、Xをその共役空間とする。x ∈ Xに対し、写像μxを
μ x : α ∈ X ∗ ↦ α ( x ) ∈ K {\displaystyle \mu _{x}~:~\alpha \in X^{*}\mapsto \alpha (x)\in K}
により定義する。
このとき関数の族 ( μ x ) x ∈ X {\displaystyle (\mu _{x})_{x\in X}} を全て連続にする最弱の位相をXの*弱位相(英: weak-* topology)もしくは汎弱位相という。
{ μ x | x ∈ X } ⊂ X ∗ ∗ {\displaystyle \{\mu _{x}|x\in X\}\subset X^{**}} である事が知られているので、以下が従う: