コーエン・マコーレー環
ネーター環 A のイデアル I は、A/I の任意の素因子 P に対して ht(I) = ht(P) であるときに純 (unmixed) と呼ばれる。環 A に対して純性定理 (unmixedness theorem) が成り立つとは、イデアル I であって ht(I) 個の元で生成されるものがすべて純であることをいう。ネーター環が Cohen–Macaulay であることと純性定理が成り立つことは同値である。
局所環が Cohen–Macaulay であることとその完備化が Cohen–Macaulay であることは同値である。
環 R が Cohen–Macaulay であることと多項式環 R[x] が Cohen–Macaulay であることは同値である。
Cohen–Macaulay 環の商環は強鎖状環である。