有限可換群上の調和解析
エルミート空間 l(G) に属する元 a のフーリエ変換は
a ^ ( χ ) = g a χ = ∑ s χ ̄ ( s ) a ( s ) {\displaystyle {\hat {a}}(\chi )=ga_{\chi }=\sum _{s}{\bar {\chi }}(s)a(s)}
により定義される関数 ˆa : ˆG → C である。フーリエ変換 ˆ : l(G) → C は全単射であることが空間の次元比較とプランシュレルの定理からわかる。
群 G の部分群 H に対し、H の直交部分群 H とは H を核に含む指標からなる ˆG の部分群を表す。
同型定理から
H は商群 G/H の双対と同型である。
商群 ˆG/H は ˆH と同型である。
上の主張は単数群 C* の可除性より得られる完全列
0 → G / H ^ → G ^ → H ^ → 0 {\displaystyle 0\to {\widehat {G/H}}\to {\hat {G}}\to {\hat {H}}\to 0}
からもわかる。