極限 (圏論)
全ての共変表現可能関手(英語版) C → Set は極限を保存する(一方、余極限を保存するとは限らない)。特に連続である。
忘却関手(英語版) U : Grp → Setは全ての小さな極限とフィルター余極限を創出する(そして保存する)。しかしながら、Uは余積を保存しない。これは代数的な忘却関手に典型的に起きる状況である。
自由関手(英語版) F : Set → Grp (これは集合SにS上の自由群を割り当てる)は忘却関手 U の左随伴であり、そのため連続である。このことはふたつの自由群GとHの自由積がGとHの生成集合の非交和で生成される自由群であることを説明できる。
包含関手 Ab → Grp は極限を創出するが余積は保存しない(ふたつの可換群の余積は直和である)。
忘却関手 Top → Set は一意に極限と余極限を持ち上げるがどちらも創出しない。
Metc を連続関数を射とする距離空間の圏とする。忘却関手 Metc → Set は有限極限を持ち上げるが、一意には持ち上げない。
圏Cにおける極限や余極限はHom関手によって集合の圏Setにおける極限と関連付けることができる。このことは、部分的には、共変Hom関手Hom(N, –) : C → SetがCにおける極限を保存することから導かれる。双対性により、反変Hom関手は余極限を極限に写す。
図式F : J → CがCに極限 lim F を持つとすると、標準同型(英語版)
H o m ( N , l i m F ) ≅ l i m H o m ( N , F − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (N,\mathrm {lim} F)\cong \mathrm {lim} \,\mathrm {Hom} (N,F-)}
が存在し、変数Nに関して自然である。ここで、関手Hom(N, F–)はHom関手Hom(N, –)とFの合成である。この同型は極限錐の選び方から一意に決まる。
上の関係を使うことで、CにおけるFの極限を定義することが可能である。まず、関手Hom(N, F–)の極限はNからFへのすべての錐の集合
l i m H o m ( N , F − ) = C o n e ( N , F ) .