ジョルダン測度
ジョルダン内測度、ジョルダン外測度はユークリッド空間内の任意の集合に定義されるにも拘らず、ジョルダン内測度とジョルダン外測度が一致し(あるいは境界がジョルダン測度零で)なければならないという「可測条件」は、ジョルダン可測となる集合の種類を極めて制限することになる。
任意のコンパクト集合はジョルダン可測とは限らず、実際に例えば太いカントール集合はジョルダン可測でない。
同様に有界な開集合も必ずしもジョルダン可測とは限らない。例えば太いカントール集合の(区間の中での)補集合は可測でない。
有界集合がジョルダン可測となるための必要十分条件は、その定義函数がリーマン可積分となることである。
ルベーグ測度を μ {\displaystyle \mu } で表すことにすればユークリッド空間の有界集合 Aに対して以下が成り立つことが知られている
これにより、有界集合がジョルダン可測となるための必要十分条件はその境界がルベーグ測度零となることであることが従う(有界集合の境界はコンパクトであるから、さらに「境界がジョルダン測度零となること」と言い換えてもよい)。
またルベーグ内測度、ルベーグ外測度、を μ ∗ , μ ∗ {\displaystyle \mu _{*},\mu ^{*}} で表すことにすれば
が成り立つこともすぐに分かる。従ってジョルダン可測な有界集合はルベーグ可測である。しかし逆は成り立たない。
n次元ユークリッド空間 R で考える。初めに、左閉かつ右開な有界区間の直積集合
をとる(半開区間を考えるのは技術的理由からであって、後で述べるが必要ならば閉区間や開区間を用いてもよい)。このような集合は n次元(超)矩形、あるいは単に「矩形」と呼ぶ(あるいはまた、n次元(超)区間のような語も用いられる)。これら矩形に対して、そのジョルダン測度は、直積因子となる各区間の長さの積
で定義される。 次いで、矩形の有限合併として、基本集合 (simple set) あるいは矩形塊 (polyrectangle)
を考える。S のジョルダン測度として単純に個々の矩形の測度の和を割り当てることは、そのような S の表示はいくらでも矩形を重ねられ、全く一意ではないから、妥当でない。しかし都合の良いことに、任意の基本集合 S をどの二つも互いに交わらない矩形の有限族に書き直すことができて、それら交わりのない矩形のジョルダン測度の和として基本集合 S のジョルダン測度 m(S) を定義するならば、そのように定義した S のジョルダン測度が、S の矩形の有限合併としての表示の仕方に依らないことが証明できる(この書き換えの過程において、矩形を半開区間をもとに定義したことが利いてくる)。