重み付き残差法
重み付き残差法(おもみつきざんさほう、英: Method of Weighted Residuals、MWR)とは微分方程式の境界値問題の近似解法の一つ。計算途中で発生する近似解と微分方程式の一般形により定義された残差に重み関数をかけて積分した重み付き残差を最小化することにより、より適切な解を得ようとする手法である。
有限要素法は本来、エネルギー原理の存在する構造力学の分野で開発され、発展してきた数値解析技術であるが、重み付き残差法による有限要素法の開発により、数値流体力学を始めとするエネルギー原理の存在しない非構造の問題の解析も可能となった。
ここで、 U ( x ) {\displaystyle U(x)} は u ( x ) {\displaystyle u(x)} の近似解で、 α k {\displaystyle \alpha _{k}} は未知のパラメータである。
この近似解 U ( x ) {\displaystyle U(x)} を上記微分方程式の一般形に代入すれば次の関係が得られる。
r ( U ) = L ( U ) − f = ∑ k = 1 N L ( ψ k ) α k − f i n Ω {\displaystyle r(U)=L(U)-f=\sum _{k=1}^{N}L(\psi _{k})\alpha _{k}-f\quad \mathrm {in} \;\Omega }
この関数 r {\displaystyle r} は残差と呼ばれており、 r ( U ) = 0 {\displaystyle r(U)=0} であれば U {\displaystyle U} は微分方程式の一般形の厳密解である。
この残差 r ( U ) {\displaystyle r(U)} に重み関数 χ i {\displaystyle \chi _{i}} を乗じて解析領域全体で積分した量を重み付き残差として定義し、これを零とすることを考えると、
⟨ χ i , r ( U ) ⟩ = 0 , i = 1 , 2 , ... , N {\displaystyle \langle \chi _{i},r(U)\rangle =0,\quad i=1,2,\dots ,N}