冪級数
関数が冪級数として与えられると、それは収束領域の内部で微分可能である。それは極めて容易に微分および積分ができる。各項ごとに扱えばよい:
f ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n n ( x − c ) n − 1 = ∑ n = 0 ∞ a n + 1 ( n + 1 ) ( x − c ) n {\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}} ∫ f ( x ) d x = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n + 1 n + 1 + k = ∑ n = 1 ∞ a n − 1 ( x − c ) n n + k . {\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}
(ただしここでkは不定積分の積分定数を表している)
これら項別に微分あるいは積分して得られた級数はどちらももとの級数と同じ収束半径を持つ。
冪級数は変数 x がある値のときには収束し、別の値のときには発散するかもしれない。(x − c) の冪によるすべての冪級数 f(x) は x = c において収束する。(正しい値 f(c) = a0 を得るには数式 0 を 1 と解釈しなければならない。)c が唯一の収束点でなければ、必ず 0 < r ≤ ∞ なるある数 r が存在して、級数は |x − c| < r のときにはいつでも収束し、|x − c| > r のときにはいつでも発散する。この数 r をその冪級数の収束半径 (radius of convergence) と呼ぶ。一般に収束半径は次で与えられる:
r = lim inf n → ∞ | a n | − 1 n , {\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}},}
あるいは同じことだが
r − 1 = lim sup n → ∞ | a n | 1 n . {\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.