遅延ポテンシャル
本節では、前節のインパルス応答の式(式(2-2-1))に、球面座標変換を施し、さらに、空間の球対称性を考慮することで、式(2-2-1)を常微分方程式に帰着する。 本節では、ラプラシアンの球面座標変換は既知の事実としているため、実際に やっていることは、本記事微分作用素の球面座標変換の式(S3-2-1) の意味での”Φ関係”を適用したに過ぎないのだが 抽象的な座標変換では、途端に議論の道筋が見えにくくなることが多いため、本記事では、本過程を敢えて一つのステップに切り出すこととした。微分作用素の座標変換の例は例えば、 等の文献を参照のこと
本節の主結果は、以下の補題3に纏められる。
補題 3 (ヘルムホルツ方程式のインパルス応答の球面座標変換) x-y-z空間上のスカラー値関数G(x,y,z)が、式(2-2-1)の球対称解である必要充分条件は、 G(x,y,z)が、以下の式(2-3-1)を充すことである。
1 r ∂ 2 [ r G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) ] ∂ r 2 + k 2 G ( Φ ( r , θ , ρ ) , ω ) = δ 3 ( r ) {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}[rG(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )]}{\partial r^{2}}}+k^{2}G(\Phi (r,\theta ,\rho ),\omega )={\delta }^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-3-1)
i ( t , r ) = 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ i ^ ( r , ω ) exp  ( i ω t ) d ω {\displaystyle {\boldsymbol {i}}(t,{\boldsymbol {r}})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega } (2-1-5b)
を得る。式(2-1-5)を、 式(2-1-1)に代入することで、(ダランベールシアンから)時間成分を消去することを考える
まず、式(2-1-1) の左辺について検討する。 式(2-1-5a)の両辺に、式(2-1-1) の左辺、即ちダランベールシアン
◻ = − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 {\displaystyle \Box =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}} (2-1-6)
を作用させると、
= − a μ 0 ∫ s ∈ R 3 G a d v ( r − s ) i ^ ( s , ω ) ⋅ d s + b μ 0 ∫ s ∈ R 3 G r e t ( r − s ) i ^ ( s , ω ) ⋅ d s {\displaystyle =-a\mu _{0}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{G}_{\mathrm {adv} }({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+b\mu _{0}\int _{{\boldsymbol {s}}\in \mathbb {R} ^{3}}{G}_{\mathrm {ret} }({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}){\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {s}},\omega )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-5-9)
となる。従って、式(2-5-1)、式(2-5-2)のように A ^ a d v , A ^ r e t {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {adv} },{\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }} を定めると、
であり、これを全 s {\displaystyle {\boldsymbol {s}}} にわたって積分したものが、位置で r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} におけるベクトルポテンシャルで あると解されよう。
同様に、式(2-6-2)の遅延ポテンシャル A ^ r e t {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}_{\mathrm {ret} }}
i ( s , t r e t ) ⋅ d s {\displaystyle {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-7-3)
が、位置rに作り出す ベクトルポテンシャルが、
i ( s , t r e t ) | r − s | ⋅ d s {\displaystyle {\dfrac {{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {s}},{t}_{\mathrm {ret} })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}} (2-7-4)
ベクトル解析の公式のうち、特に、ベクトル場に代数演算を施したものに、微分作用素を作用させた場合に成り立つ公式について、本記事で用い、かつ、あまり本に載っていないものについて、簡潔にまとめる。例えば、藤本P64付近を参照のこと。
exp  ( − i k r ) δ ( r ) = δ ( r ) {\displaystyle \exp(-ikr)\delta (r)=\delta (r)} (2-4-19b)
である。従って、式(2-4-2)の左辺にDを作用させると、
D G a d v = δ 3 ( r ) {\displaystyle DG_{\mathrm {adv} }=\delta ^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-4-20a)
D G r e t = δ 3 ( r ) {\displaystyle DG_{\mathrm {ret} }=\delta ^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-4-20b)
D [ G ] = a D [ G a d v ] + b D [ G r e t ] = ( a + b ) δ 3 ( r ) {\displaystyle D[G]=aD[G_{\mathrm {adv} }]+bD[G_{\mathrm {ret} }]=(a+b)\delta ^{3}({\boldsymbol {r}})} (2-4-20c)
であることから、式(2-4-3)の係数条件が満たされれば、式(2-4-2)の G {\displaystyle G} は、 r = 0 {\displaystyle r=0} においても、球対称性を考慮したヘルムホルツ方程式の解であることが判った。
充分性については、常微分方程式の解の一意性より自明であろう。
一変数フーリエ変換の定義には、(係数のつけ方によって)諸派あるが、以下の式で定義する流儀が恐らく最もスタンダードであろう。変数tについての一変数スカラー値の関数f(t)に対し、
f ^ ( ω ) = 1 2 π ∫ t = − ∞ t = ∞ f ( t ) exp  ( − i ω t ) d t {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\int }_{t=-\infty }^{t=\infty }\ f(t)\exp {(-i\omega t)}\ dt} (S1-1)
を、fのフーリエ変換と言う。
この時、
f ( u ) = 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ f ^ ( ω ) exp  ( i ω u ) d ω {\displaystyle f(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\int }_{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }\ {\hat {f}}(\omega )\exp {(i\omega u)}\ d\omega } (S1-2)
が成り立つ。これを、フーリエ逆変換という。(尚、厳密に言えば上式はの=は「等しい」という意味ではなく、「至る所等しい」ことを意味する。)
∂ [ G a d v ] ∂ x = − 1 4 π r ( ∂ [ exp  ( i k r ) ] ∂ x ) + exp  ( i k r ) ∂ ∂ x [ − 1 4 π r ] {\displaystyle {\frac {\partial [{G}_{\mathrm {adv} }]}{\partial x}}={\frac {-1}{4\pi r}}\left({\frac {\partial [\exp(ikr)]}{\partial x}}\right)+\exp(ikr){\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]}
= − i k x exp  ( i k r ) 4 π r 2 + exp  ( i k r ) ∂ ∂ x [ − 1 4 π r ] {\displaystyle ={\frac {-ikx\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}+\exp(ikr){\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {-1}{4\pi r}}\right]} (2-4-12)
従って、
∂ 2 G a d v ∂ 2 x = ∂ ∂ x [ − i k x exp  ( i k r ) 4 π r 2 ] + ∂ ∂ x [ exp  ( i k r ) ∂ ∂ x [ 1 − 4 π r ] ] {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}{G}_{\mathrm {adv} }}{{\partial }^{2}x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {-ikx\exp(ikr)}{4\pi {r}^{2}}}\right]+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\exp(ikr){\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{-4\pi r}}\right]\right]}