クロス積
[ a , b ] 2 = ( e 2 , [ a , b ] ) = | 0 a 1 b 1 1 a 2 b 2 0 a 3 b 3 | = a 3 b 1 − a 1 b 3 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{2}=({\boldsymbol {e}}_{2},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}0&a_{1}&b_{1}\\1&a_{2}&b_{2}\\0&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}}
[ a , b ] 3 = ( e 3 , [ a , b ] ) = | 0 a 1 b 1 0 a 2 b 2 1 a 3 b 3 | = a 1 b 2 − a 2 b 1 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]_{3}=({\boldsymbol {e}}_{3},[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}])={\begin{vmatrix}0&a_{1}&b_{1}\\0&a_{2}&b_{2}\\1&a_{3}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}
あるいは
ベクトル三重積: a × ( b × c ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})}
ベクトル a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} とベクトル ( b × c ) {\displaystyle ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})} の外積であるから、これはベクトルである。そのx 成分は