ハウスホルダー変換
ハウスホルダー行列 P は以下のような性質を満たす:
P はエルミート: P = P ∗ {\textstyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {P}}^{*}} ,
P はユニタリ: P − 1 = P ∗ {\textstyle {\boldsymbol {P}}^{-1}={\boldsymbol {P}}^{*}} ,
P は対合的(英語版): P 2 = I {\textstyle {\boldsymbol {P}}^{2}={\boldsymbol {I}}} 。
ハウスホルダー行列の固有値は ±1 である。これを見るために、u が鏡映を定めるベクトル v に直交するならば Pu = u であることに注意する。すなわち、1 は重複度 n − 1 の固有値である(v に直交する線型独立なベクトルは n − 1 本ある)。同様に、Pv = −v であり、したがって −1 は重複度 1 の固有ベクトルとなる。
ハウスホルダー鏡映の行列式は −1 である。これは行列式が固有値の総乗に等しいことに注意すれば、前条より出る(1⋅(−1) = −1)