理想数
理想数そのものは直接定義されず、円分整数に「理想因子が含まれるかどうか」だけが定義される。この定義を述べる。
λ を奇素数、α を 1 の λ 乗根とする。現代の慣例とは記号の使い方が異なるが、Kummer (1851) はこのように記号を使っている。以下もクンマーの記号の使い方にあわせる。
q を λ とは異なる素数とする。f を q ≡ 1 mod λ となる最小の正整数とする。f は λ − 1 を割り切るので e := (λ − 1)/f と置くとこれは正整数である。整数 γ を λ を法としての原始根とする。つまり γ が定める (Z/λZ) での剰余類がこの巡回群の生成元となるようなものとする。
ηi = ∑ f − 1j = 0 α と置く。これはガウス周期(英語版)と呼ばれている。0番目は η = η0 と略記する。クンマーはガウス周期の整数による一次結合全体 Zη+Zη1+...+Zηe − 1 が環になることを示した。これにより Zη+Zη1+...+Zηe − 1 と Z[η, η1, ..., ηe − 1] は等しいので、この環は後者の記号で表すことにする。当時「環」という概念は無かったので、クンマーはこれを「周期の有理整関数は周期の一次結合として表示できる」と言い表している。