マートンのポートフォリオ問題
c t = e − ρ γ t ( V x ) − 1 / γ , α t = − V x V x x x μ − r σ 2 {\displaystyle c_{t}=e^{-{\frac {\rho }{\gamma }}t}(V_{x})^{-1/\gamma },\quad \alpha _{t}=-{\frac {V_{x}}{V_{xx}x}}{\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}}}}
となる。ただし、
V x = ∂ V ( t , x ) ∂ x , V x x = ∂ 2 V ( t , x ) ∂ x 2 {\displaystyle V_{x}={\frac {\partial V(t,x)}{\partial x}},\quad V_{xx}={\frac {\partial ^{2}V(t,x)}{\partial x^{2}}}}
である。ここで γ ≠ 1 {\displaystyle \gamma \neq 1} であり、価値関数が微分可能な関数 φ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} を用いて V ( t , x ) = φ ( t ) u ( x ) {\displaystyle V(t,x)=\phi (t)u(x)} と表されるとすると、最大値問題の解は
c t = e − ρ γ t ( φ ( t ) ) − 1 / γ x , α t = μ − r σ 2 γ {\displaystyle c_{t}=e^{-{\frac {\rho }{\gamma }}t}(\phi (t))^{-1/\gamma }x,\quad \alpha _{t}={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}\gamma }}}