ワイルの補題 (ラプラス方程式)
ワイルの補題を証明するために、適切な軟化子 φ ε {\displaystyle \phi _{\epsilon }} との函数 u {\displaystyle u} の畳み込みを考え、その軟化 u ε = φ ε ∗ u {\displaystyle u_{\epsilon }=\phi _{\epsilon }\ast u} がラプラス方程式を満たすことを示す。これは u ε {\displaystyle u_{\epsilon }} が平均値の性質を持つことを意味する。極限 ε → 0 {\displaystyle \epsilon \to 0} を取り、軟化子の性質を用いることで、 u {\displaystyle u} もまた平均値の性質を持つことが分かるが、このことはそれがラプラス方程式の滑らかな解であることを意味する。また別の証明では、ラプラシアンの基本解あるいは適切な楕円型のアプリオリ評価の滑らかさが利用される。