ローレンツスカラー
<math> u </math>という4元ベクトルと<math> \mathbf{u}2 </math>という3元ベクトルを持つ第二の粒子を考えてみましょう。第二の粒子の静止フレームでは、<math> u </math>と<math> p </math>の内積は、第一の粒子のエネルギーに比例しています:
ここで、下付きの1は第一の粒子を示しています。 この関係は、第二の粒子の静止フレームで真実であるので、任意の参照フレームでも真実です。 <math> E_1 </math>は、第二の粒子のフレームでの第一の粒子のエネルギーであり、ローレンツスカラーです。したがって、
任意の慣性参照フレームで、<math>E_1</math>は依然として第二の粒子のフレームでの第一の粒子のエネルギーです。