線型汎函数
実数ベクトル空間 R におけるベクトルを縦ベクトル
x = ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}
で表すことにすると、任意の線型汎函数はこの座標系に関して
f ( x ) = a 1 x 1 + ⋯ + a n x n {\displaystyle f(x)=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}
の形の和に書くことができる。これはちょうど、横ベクトル (a1, ..., an) と縦ベクトル x との行列の積として
f ( x ) = ( a 1 ... a n ) ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle f(x)=(a_{1}\dots a_{n}){\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}
のようにも書くことができるという意味で f = (a1, ..., an) である。
V が位相線型空間であるとき、連続な線型汎函数全体の成す空間(連続的双対空間)をしばしば単に「双対空間」と呼ぶ。V がバナッハ空間ならば、V は位相線型空間となるから、その連続線型汎函数の全体は V の連続的双対になる。連続的双対と区別して、通常の双対空間であることを強調したいときにはこれを代数的双対という。有限次元ならば全ての汎函数が線型であるから連続的双対と代数的双対は一致するが、無限次元の場合には必ずしも一致しない。