ミナクシサンドラム–プレイジェルゼータ函数
M をコンパクトリーマン多様体で、固有値 0 = λ 0 ≤ λ 1 ≤ λ 2 ⋯ , {\displaystyle 0=\lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\cdots ,} を持っているとする.ここに固有値は多重度の分、各々の固有値を繰り返すものとする.N(λ) で値が λ よりも小さな固有値の数を表すとするとして、 ω n {\displaystyle \omega _{n}} で R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の中の単位ディスクの体積を表すとする.すると、
N ( λ ) ∼ ω n V o l ( M ) λ n / 2 ( 2 π ) n , {\displaystyle N(\lambda )\sim {\frac {\omega _{n}Vol(M)\lambda ^{n/2}}{(2\pi )^{n}}},}
が、λ → ∞ に対して成り立つ.加えて、k → ∞ に対しては、
( λ k ) n / 2 ∼ ( 2 π ) n k ω n V o l ( M ) . {\displaystyle (\lambda _{k})^{n/2}\sim {\frac {(2\pi )^{n}k}{\omega _{n}Vol(M)}}.}
が成り立つ.これはワイルの法則(英語版)(Weyl's formula)とも呼ばれ、ミナクシサンドラム-プレイジェルの漸近展開の精密化でもある.