シンプレクティック幾何学
ポアソン構造 { ∙ , ∙ } {\displaystyle \{\bullet ,\bullet \}} によって、 C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} はポアソン環になる。そのポアソン環 C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} の形式的べき級数環を
A [ [ ν ] ] = { ∑ n = 0 ∞ f n ν n | f n ∈ C ∞ ( M ) } {\displaystyle {\mathcal {A}}[[\nu ]]=\left\{\left.\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\nu ^{n}\,\right|\,f_{n}\in C^{\infty }(M)\right\}}
と書くことにする。 ν {\displaystyle \nu } は形式的なパラメータである。変形量子化とは、形式的べき級数環 A [ [ ν ] ] {\displaystyle {\mathcal {A}}[[\nu ]]} に以下の性質を満たす積 ∗ {\displaystyle *} を導入することである。
ν ∗ f = f ∗ ν , f ∈ A [ [ ν ] ] . {\displaystyle \nu *f=f*\nu ,\,\,\,\,f\in {\mathcal {A}}[[\nu ]].}
f ∗ g = f g + ν { f , g } + O ( ν 2 ) , f , g ∈ A [ [ ν ] ] . {\displaystyle f*g=fg+\nu \{f,g\}+O(\nu ^{2}),\,\,\,\,f,g\in {\mathcal {A}}[[\nu ]].}