メビウスの反転公式
1 ∗ 1 = σ 0 = d = τ , {\displaystyle 1*1=\sigma _{0}=\operatorname {d} =\tau ,} ただし d = τ {\displaystyle \operatorname {d} =\tau } は n の約数の個数(約数関数参照)
これらのリストのいずれも、両方向に無限に伸びる。メビウスの反転公式によって逆向きに行くことができる。
例として、 φ {\displaystyle \varphi } で始まる列は:
f n = { μ ∗ ... ∗ μ ⏟ − n factors ∗ φ if n < 0 φ if n = 0 φ ∗ 1 ∗ ... ∗ 1 ⏟ n factors if n > 0 {\displaystyle f_{n}={\begin{cases}\underbrace {\mu *\ldots *\mu } _{-n{\text{ factors}}}*\varphi &{\text{if }}n<0\\\varphi &{\text{if }}n=0\\\varphi *\underbrace {1*\ldots *1} _{n{\text{ factors}}}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}
生成される列は、対応するディリクレ級数を考えることによってより容易に理解できるかもしれない。各変換はリーマンのゼータ関数を掛けることに対応する。
古典的なバージョンは次のようなものである。g と f が、すべての正の整数 n に対して
g ( n ) = ∑ d ∣ n f ( d ) {\displaystyle g(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)}
を満たす数論的関数であれば、すべての正の整数 n に対して
f ( n ) = ∑ d ∣ n μ ( d ) g ( n / d ) {\displaystyle f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g(n/d)}
が成り立つ。ここで μ はメビウス関数であり、和は n のすべての正の約数 d を渡る。要するに、もとの f (n) は g (n) が与えられると反転公式を用いて決定することができる。2つの数列は互いのメビウス変換 (Möbius transform) と呼ばれる。
公式は f と g が正の整数から(Z-加群と見た)アーベル群への関数であるときにも正しい。
メビウスの変換公式は任意のアーベル群に対して適用できるから、群の演算が加法的に書かれているか乗法的に書かれているかは関係ない。乗法的な場合反転公式は次のようになる。
F ( n ) = ∏ d ∣ n f ( d ) {\displaystyle F(n)=\prod _{d\mid n}f(d)}
ならば
f ( n ) = ∏ d ∣ n F ( n / d ) μ ( d ) {\displaystyle f(n)=\prod _{d\mid n}F(n/d)^{\mu (d)}\,}