等時曲線
同様に、dx を dy で表わし、y を θ について解くことができる。
d y d x = tan  θ d x = cot  θ d y cot  θ d y = − g k 2 cos 2  θ d θ d y = − g k 2 sin  θ cos  θ d θ = − g 2 k 2 sin  2 θ d θ y = g 4 k 2 cos  2 θ + C y {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}&=\tan \theta \\\mathrm {d} x&=\cot \theta \,\mathrm {d} y\\\cot \theta \mathrm {d} y&=-{\frac {g}{k^{2}}}\cos ^{2}\theta \,\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} y&=-{\frac {g}{k^{2}}}\sin \theta \cos \theta \,\mathrm {d} \theta \\&=-{\frac {g}{2k^{2}}}\sin 2\theta \,\mathrm {d} \theta \\y&={\frac {g}{4k^{2}}}\cos 2\theta +C_{y}\end{aligned}}}
質点の位置を最下点からの弧長 s(t) を媒介変数として表示すると、 運動エネルギーは ·s に比例する。ポテンシャルエネルギーは高さ y(s) に比例する。曲線が等時曲線となるのは、ラグランジアンが単純調和振動子のものとなる条件、すなわち、高さが弧長の2乗に等しい時である。長さの単位を比例係数を1となるようにとると
y ( s ) = s 2 {\displaystyle y(s)=s^{2}}
と書ける。この関係を微分形式で書き下し、媒介変数を消去すると以下を得る。
d y = 2 s d s {\displaystyle \mathrm {d} y=2s\,\mathrm {d} s}
d y 2 = 4 s 2 d s 2 = 4 y ( d x 2 + d y 2 ) {\displaystyle \mathrm {d} y^{2}=4s^{2}\,\mathrm {d} s^{2}=4y\,(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2})}
これを解くため、 x を y で積分する。
d x d y = 1 − 4 y 2 y {\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} y}={{\sqrt {1-4y}} \over 2{\sqrt {y}}}}
等時曲線(とうじきょくせん)または等時降下曲線(とうじこうかきょくせん)とは、物体が一様重力場の下でその曲線に沿って摩擦なく滑り降りるとき、最下点に達するまでの時間が出発点に依存しなくなるような曲線をいう。英語では tautochrone または isochrone curve(ギリシャ語の接頭辞 tauto- 「同じ」、 iso-「等しい」、chrono-「時間の」から)と呼ばれる。この曲線はサイクロイドであり、また降下時間はサイクロイドの動円の半径を重力加速度で除したものの平方根に π を乗じたものとなる。また、等時曲線は全ての出発点について最速降下曲線と同一である。
ヤコブ・ベルヌーイは最速降下曲線問題を解析学を用いて解き、初めて積分の用語が用いられた論文 (Acta Eruditorum(英語版), 1690) において発表した。
ホイヘンスが等時曲線問題を詳しく研究する過程で、円軌道を描く振り子は厳密には等時性をもっておらず、したがって当時の振り子時計は振幅によって異なる時間を刻むことが明らかになった。正しい軌道を得たホイヘンスは、おもりを糸で吊し、糸の最上点の傍に障害物を設置しておもりに等時曲線を描かせることを試みた。これらの試みは多くの理由から実用的でなかった。まず、糸が曲がることにより摩擦が生じる。さらに、等時曲線から外れることよりも大きな誤差要因はいくつもあり、あまり改善に役立たない。その上、振り子の「円軌道誤差」は振幅が小さくなるにつれて減少するため、脱進機(英語版)の改善によりこの誤差は大きく低減できる。
その後、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュとレオンハルト・オイラーがこの問題を解析的に解いた。