ホモトピー群
Eckmann–Hilton argument(英語版)を参照。)さらに、基本群と同様、弧状連結な空間に対しては基点をどこに取ろうとも同型な πn が生じる(Allen Hatcher Algebraic topology section 4.1 参照)。
基点を省略することでホモトピー群の定義を単純化しようとすることは心をそそるが、これは単連結でない空間に対しては、弧状連結空間に対してさえも、通常うまくいかない。球面から弧状連結空間への写像のホモトピー類全体の集合は、ホモトピー群ではなく、本質的にはホモトピー群上の基本群の軌道の集合であり、一般には自然な群構造を持たない。
空間の n 次元立方体とフィルター付き空間の高次ホモトピー亜群を定義することによって解決策は見つかっている。これらはそれぞれ相対ホモトピー群と n 進ホモトピー群に関係している。すると高次のホモトピーのファン・カンペンの定理によってホモトピー群やさらにはホモトピー型についても新しい情報を手に入れることができる。さらなる背景や文献は、"Higher dimensional group theory" および下の参考文献を参照。
A を X の部分空間として、対 (X, A) に対し、相対ホモトピー群 πn(X, A) もある。そのような群の元は境界 S を A の中に写す based map D → X のホモトピー類である。2つの写像 f, g が homotopic relative to A とは、各 p ∈ S と t ∈ [0, 1] に対して元 F(p, t) が A に入るような基点を保つホモトピー F: D × [0,1] → X によってホモトープであることをいう。通常のホモトピー群は A が基点という特別な場合である。
これらの群は n ≥ 3 に対して可換であるが、n = 2 に対して bottom group π1(A) の crossed module(英語版)の top group をなす。
相対ホモトピー群の長完全列がある。