群 (数学)
N を有限群 G の正規部分群とし、|N| と |G:N| が互いに素であるとき、G の部分群 C が存在して、G は N と C の半直積となる。
H 1 → H 1 × H 2 ; h ↦ ( h , 1 g ) , {\displaystyle H_{1}\to H_{1}\times H_{2};\ h\mapsto (h,1_{g}),}
H 2 → H 1 × H 2 ; h ↦ ( 1 g , h ) {\displaystyle H_{2}\to H_{1}\times H_{2};\ h\mapsto (1_{g},h)}
をそれぞれ同一視することで本質的に同じものであることがわかる。
群 H と群 N と準同型写像 f: H → Aut(N) が与えられているとき、直積集合 N × H 上に
( n 1 , h 1 ) ( n 2 , h 2 ) = ( n 1 f ( h 1 ) ( n 2 ) , h 1 h 2 ) {\displaystyle (n_{1},h_{1})(n_{2},h_{2})=(n_{1}f(h_{1})(n_{2}),h_{1}h_{2})}
で積を定めると群となる。これを H と N の f による半直積といい、
G = N ⋊ H {\displaystyle G=N\rtimes H}
で表す。なお、この群で N は正規部分群となる。群の拡大も参照。