ARCHモデル
Lawrence R. Glosten, Ravi Jagannathan(英語版), David E. Runkle によって1993年に提案されたGJR GARCHモデルは以下のようにボラティリティが決定する。
σ t 2 = ω + α u t − 1 2 + β σ t − 1 2 + γ u t − 1 2 I t − 1 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha u_{t-1}^{2}+\beta \sigma _{t-1}^{2}+\gamma u_{t-1}^{2}I_{t-1}}
ただし、 I t − 1 {\displaystyle I_{t-1}} は u t − 1 {\displaystyle u_{t-1}} が負ならば1、正ならば0を取る変数である。株価収益率などが持つ、下落局面でボラティリティがより増加するレバレッジ効果を捉えるためのモデルである。
Daniel B. Nelson が1991年に提案したExponential GARCH(p,q)モデル(EGRACH(p,q)モデル)は以下のようにボラティリティが決定する。
log  σ t 2 = ω + ∑ i = 1 p β i log  σ t − i 2 + ∑ i = 1 q ( α i ε t − i + γ i ( | ε t − i | − E [ | ε t − i | ] ) ) {\displaystyle \log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}\log \sigma _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{q}{\Big (}\alpha _{i}\varepsilon _{t-i}+\gamma _{i}{\Big (}|\varepsilon _{t-i}|-E[|\varepsilon _{t-i}|]{\Big )}{\Big )}}
EGARCHモデルにおいては通常のGARCHモデルと異なり、 u t − i {\displaystyle u_{t-i}} ではなく、それを σ t − i {\displaystyle \sigma _{t-i}} で割った ε t − i {\displaystyle \varepsilon _{t-i}} がボラティリティに影響を与える。条件付き分散の対数に対してモデル化が行われているため、通常のGARCHモデルに比べると非負性や定常性のための制約が緩くなるという利点がある。