ブラック–ショールズ方程式
ここで自国通貨建て通貨オプションを自国債券と外国債券からなる自己資金充足的なポートフォリオで複製することを考える。つまり
C ( Q t , t ) = a t B t + b t Q t B t f {\displaystyle C(Q_{t},t)=a_{t}B_{t}+b_{t}Q_{t}B_{t}^{f}}
である自己資金充足的なポートフォリオ (a, b) を考える。すると、前節と同様の議論から無裁定ならば次の偏微分方程式が成立しなくてはならない。
r C = ∂ C ∂ t + 1 2 σ 2 Q t 2 ∂ 2 C ∂ Q t 2 + ( r − r f ) Q t ∂ C ∂ Q t {\displaystyle rC={\frac {\,\partial C\,}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}Q_{t}^{2}{\frac {\,\partial ^{2}C\,}{\partial Q_{t}^{2}}}+(r-r_{f})Q_{t}{\frac {\partial C}{\,\partial Q_{t}\,}}}
この式は配当込みの株式を原資産としたブラック-ショールズ方程式における配当利回りを外国金利に置き換えただけの式なので、その解も配当利回りを外国金利に置き換えるだけでよいことが分かる。つまり通貨オプションの理論価格は配当込みの株式オプションの理論価格と同じ形をすることが分かる。
P ( S t , t ) = − S t N ( − d 1 ) + K e − r ( T − t ) N ( − d 2 ) {\displaystyle P(S_{t},t)=-S_{t}N(-d_{1})+Ke^{-r(T-t)}N(-d_{2})}
となる。関数や変数の定義はコールオプションの場合と同様である。ここで同一の原資産、満期、行使価格であるヨーロピアンコールオプションとプットオプションをコールオプションについては1単位買い、プットオプションについては1単位売ることを考える。そのようなポートフォリオの価値額は
C ( S t , t ) − P ( S t , t ) = S t − K e − r ( T − t ) {\displaystyle C(S_{t},t)-P(S_{t},t)=S_{t}-Ke^{-r(T-t)}}
となる。つまり0時点において株式を1単位買い、債券を Ke / B0 単位空売りし、満期までそれを保有し続けるポートフォリオの価値額と常に一致する。この関係をプットコールパリティ(英: put-call parity)と言う。より一般的には、T 期を満期とした額面が1円の債券の t 時点での価格がB ( t, T ) = e で表されることから