超球の体積
定理 ― ユークリッド空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} における半径 R の n-次元超球体
B n ( R ) {\displaystyle B^{n}(R)} = { ( x 1 , ... , x n ) ∈ R n | x 1 2 + ⋯ + x n 2 ≤ R } {\displaystyle =\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}{}^{2}+\cdots +x_{n}{}^{2}\leq R\}}
の体積は以下のように表せる
V n ( R ) {\displaystyle V_{n}(R)} = π n / 2 ( n 2 ) ! R n {\displaystyle ={\frac {\pi ^{n/2}}{\left({\tfrac {n}{2}}\right)!}}R^{n}} = 2 ⌈ n / 2 ⌉ π ⌊ n / 2 ⌋ n ! ! R n {\displaystyle ={2^{\lceil n/2\rceil }\pi ^{\lfloor n/2\rfloor } \over n!!}R^{n}}
ここで ( n 2 ) ! {\displaystyle \left({\tfrac {n}{2}}\right)!} はオイラーのガンマ函数Γ(x)(階乗函数の非整数引数への一般化)により定義される
( n 2 ) ! {\displaystyle \left({\tfrac {n}{2}}\right)!
上記の公式に関して多くの証明が存在する。
n-次元球体の体積 V をその半径 R で表す代わりに、上記の公式を逆に解いて半径 R を体積 V の函数として表すこともできる:
R n ( V ) = ( n 2 ) ! π n / 2 V n {\displaystyle R_{n}(V)={\sqrt[{n}]{{\tfrac {\left({\tfrac {n}{2}}\right)!}{\pi ^{n/2}}}V}}} = n ! ! 2 ⌈ n / 2 ⌉ π ⌊ n / 2 ⌋ V n {\displaystyle ={\sqrt[{n}]{n!! \over 2^{\lceil n/2\rceil }\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }V}}} = { ( 2 k + 1 ) ! ! 2 ( 2 π ) k V 2 k + 1 if n = 2 k + 1 k ! π k V 2 k + 1 if n = 2 k {\displaystyle ={\begin{cases}{\sqrt[{2k+1}]{{\frac {(2k+1)!!}{2(2\pi )^{k}}}V}}&{\text{if }}n=2k+1\\{\sqrt[{2k+1}]{{\frac {k!}{\pi ^{k}}}V}}&{\text{if }}n=2k\end{cases}}}