部分分数分解
また、g(x) がある多項式の冪になっているとき、それを g(x) = (g0(x)) と書けば、除法の原理より
f(x) = Q1(x)(g0(x)) + R1(x), deg R1 < (m − 1)deg g0
となる多項式 Q1(x), R1(x) がとれる。この R1(x) をさらに (g0(x)) で割り算すれば
R1(x) = Q2(x)(g0(x)) + R2(x), deg R2 < (m − 2)deg g0
となり、以下帰納的に
Ri−1(x) = Qi(x)(g0(x)) + Ri(x), deg Ri < (m − i)deg g0
となるものがとれるから、
f ( x ) g ( x ) = ∑ i = 1 m − 1 Q i ( x ) ( g 0 ( x ) ) i + R m − 1 ( x ) ( g 0 ( x ) ) m {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=\sum _{i=1}^{m-1}{\frac {Q_{i}(x)}{(g_{0}(x))^{i}}}+{\frac {R_{m-1}(x)}{(g_{0}(x))^{m}}}}
が成り立つ。特に、deg Qi ≤ deg Ri−1 − (m − i)deg g0 ≤ deg g0 となる。