二項演算
1つまたは複数の二項演算に結合律、可換律あるいは分配律などといった条件が成立するかどうかを考えることで、二項演算やそれらの関係を分類することができる。
台集合 A {\displaystyle A} とその上の二項演算 μ {\displaystyle \mu } がなす組 ( A , μ ) {\displaystyle (A,\mu )} をマグマという。マグマが持つ二項演算に課せられた条件に基づいて半群や環、アーベル群など、様々な代数的構造が見いだされる。
α b ( a ) = b μ  a {\displaystyle \alpha _{b}(a)=b\mathop {\,\mu \,} a}
を満たす A 上の単項演算
α b : A → A ; a ↦ b μ  a {\displaystyle \alpha _{b}\colon A\to A;\ a\mapsto b\mathop {\,\mu \,} a}
が得られるので、外部二項演算 μ を A 上の単項演算の族 {αb}b∈B と見なすことができる。これは、これらの単項演算が A の内部での演算になっているので、代数系の構造論を考える立場からは自然な見方である。なお一般の場合として、集合 A, B, C に対し 2 変数の写像
f : A × B → C {\displaystyle f\colon A\times B\to C}
を形式にこだわらずに二項演算とか積などと呼ぶ場合もある。この立場では例えばベクトルの内積などが二項演算の仲間に含まれる。