静水圧平衡
ある体積を持つ運動していない流体を考えると、ニュートンの運動の法則によりこの流体に働く正味の力は 0 である。すなわち、流体に上向きに働く力は下向きに働く力と大きさが等しくなければならない。
ここで流体を数多くの微小な立方体の体積要素(流体素片)に分割して考える。この一つの体積要素について考えることで、流体全体に何が起こるかを理解することができる。
この流体素片には3つの力が働いている。流体素片の上面(面積 A)に対してより上層にある流体からかかる圧力を Ptop とすると、上面に働く力 Ftop は圧力の定義から次のようになる。
F t o p = P t o p ⋅ A {\displaystyle F_{\rm {top}}=P_{\rm {top}}\cdot A}
同様に、流体素片の下側から押し上げる圧力 Pbottom による力 Fbottom は以下のようになる。
F b o t t o m = − P b o t t o m ⋅ A {\displaystyle F_{\rm {bottom}}=-P_{\rm {bottom}}\cdot A}
ここでは鉛直下向きを正の方向にとっているため、右辺に負の符号が付く。
最後に、流体素片自身の重量によって下向きの力が働く。
天体物理学では、恒星の内部の任意の層は外側に膨張しようとする気体の熱運動による圧力と、より上層の物質の重量が気体を内側に収縮させようとする重力とが釣り合っている。この釣り合いを静水圧平衡と呼ぶ。恒星は風船に似ている。風船の内部では気体の圧力によって外向きの力が働く一方、風船のゴムによって圧力にちょうど拮抗するだけの内向きの力が働いている。恒星の場合は恒星自身の重力が内向きの収縮力の源となっている。等方的な重力場によって収縮を受けると、恒星は最もコンパクトな形、すなわち球になる。
恒星など、ガスからなる天体内部の静水圧平衡は、密度を ρ、天体の中心からの距離を r 、圧力を P、万有引力定数をG、r より内側にある部分の質量をM(r)とすると、
d P d r = − G M ( r ) ρ r 2 {\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-G{M(r)\rho \over r^{2}}}
と表せる。
なお、恒星が球体になるのは恒星の自己重力のみが働く理想的な場合のみであることに注意する必要がある。