分離多元環
数学において分離多元環(ぶんりたげんかん、英: separable algebra)とは半単純多元環の一種であり、体の分離拡大を結合多元環へ一般化した概念である。
∑ni=1 xi yi = 1A と ap = pa (∀ a ∈ A)
を満たすことである。そのような元 p は p = p を満たすので分離べき等元(英: separability idempotent)と呼ばれる。
第二に、多元環 A が分離的である必要十分条件は通常の方法で左 A 加群と見たとき射影的であることである。
第三に、多元環 A が分離的である必要十分条件は通常の(しかしあまり標準的ではない)方法で右 A 加群と見たとき平坦であることである。詳細は Aguiar (2000) を参照。
分離多元環が強分離的(英: strongly separable)であるとは、「対称な」分離べき等元
e = ∑ni=1 xi ⊗ yi = ∑ni=1 yi ⊗ xi
が存在するこという。多元環が強分離的である必要十分条件はそのtrace formが非退化であることであり、したがって多元環はフロベニウス多元環の一種になる。