外積代数
ベクトル空間 V 上の外積代数 ⋀(V) はテンソル代数 T(V) を x ⊗ x (x ∈ V) の形の元で生成される両側イデアル I で割った商多元環(英語版)として定義される。これを記号的に
⋀ ( V ) := T ( V ) / I {\displaystyle \textstyle \bigwedge (V):=T(V)/I}
と表せば、⋀(V) の 2 元の楔積 ∧ は
α ∧ β = α ⊗ β ( mod I ) {\displaystyle \alpha \wedge \beta =\alpha \otimes \beta {\pmod {I}}}
で与えられる。
外積代数は、フェルミオンと超対称性に関する物理理論において基本的な役割を演じる、超代数(英語版)の原型的な例である。物理学的な議論はグラスマン数を見よ。ほかのいくつかの関連する概念の物理学への応用は超空間(英語版)や超群(英語版)を参照。
で与えられる。このテンソルの成分はちょうどテンソル積 s ⊗ t の成分の交代部分になっており、添字に角括弧をつけて
( t ⊗ ^  s ) i 1 ... i r + p = t [ i 1 ... i r s i r + 1 ... i r + p ] {\displaystyle (t\operatorname {\widehat {\otimes }} s)^{i_{1}\dots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\dots i_{r}}s^{i_{r+1}\dots i_{r+p}]}}
と表す。
内部積も添字記法で書くことができる。
t = t i 0 i 1 ... i r − 1 {\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\dots i_{r-1}}}
を階数 r の反対称テンソルとすると、α ∈ V に対して iα t は階数 r − 1 の交代テンソルで
( i α t ) i 1 ... i r − 1 = r ∑ j = 0 n α j t j i 1 ... i r − 1 {\displaystyle (i_{\alpha }t)^{i_{1}\dots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\dots i_{r-1}}}
によって与えられる。n は V の次元である。
この係数が正負の値を取りうることは、直感的には、v, w に、それらの定義する平行四辺形の辺として時計回りあるいは反時計回りの向きがつけられることを意味する。このような面積のことを平行四辺形の「符号つき面積」という。符号つき面積の絶対値は通常の意味での面積であり、符号はその向きを与えている。
この係数が符号つき面積となったことは偶然ではない。符号つき面積を代数的構造として公理化しようとすれば、必然的に外積と結びつくことが比較的簡単に確かめられる。詳しく言えば、v と w によって決まる平行四辺形の符号つき面積を A(v, w) と表すことにすれば、A は下に挙げる性質を満たさなくてはならない。
任意の実数 a と b について、A(av, bw) = abA(v, w) が成り立つ。なぜならば、どちらかの辺の長さを変えれば、それに応じて面積も変わる。また、どちらかの辺の向きを変えれば、平行四辺形の向きは変わる。
A(v, v) = 0 である。なぜならば、v が決める退化した平行四辺形(すなわち、線分)の面積は 0 である。
A(w, v) = −A(v, w) である。なぜならば、v と w の役割を交換すれば平行四辺形の向きは逆転する。
A(v + aw, w) = A(v, w) である。なぜならば、w の定数倍を v に足すという作用は底辺の長さも高さも変えず、したがって面積を保つ。
A(e1, e2) = 1 である。なぜならば、単位正方形の面積は 1 である。
最後の条件を除くと、楔積はこの面積の性質と同様の性質を満たす。ある意味で、楔積は面積の最後の性質を一般化し、適当に選んだ「標準的な」平行四辺形と比較することを許容したものであるといえる。言い換えれば、2 次元の外積は面積の「基底に依存しない」定式化である。
で与えられる。ここに和は文字 {1, ..., r} の置換全体の成す対称群を亘る。これを線型性と斉次性を使ってテンソル空間 T(V) 全体まで拡張したものも同じく "Alt" で表す。Alt の像 Alt(T(V)) を交代テンソル代数 (alternating tensor algebra) と呼び、A(V) で表す。これは T(V) の部分線型空間で、T(V) から次数付きベクトル空間の構造が遺伝する。これにより結合的な次数付き乗法が
t ⊗ ^  s = Alt  ( t ⊗ s ) {\displaystyle t\operatorname {\widehat {\otimes }} s=\operatorname {Alt} (t\otimes s)}
によって誘導される。しかしこれはテンソル積とは異なる乗法であって、Alt の核がちょうど両側イデアル I に一致して(K は標数 0 だと仮定している)、自然な同型
A ( V ) ≅ ⋀ ( V ) {\displaystyle \textstyle A(V)\cong \bigwedge (V)}
が存在する。
与えられた可換環 R と R-加群 M に対して、上でやったようにテンソル代数 T(M) の適当な商として外積代数 ⋀(M) を定義することができる。それは類似の普遍性を満足するだろう。⋀(M) の多くの性質は M が射影加群であることを要求する。有限次元性が用いられるところでは、M を有限生成かつ射影的とすることが必要である。もっと一般の設定への一般化は (Bourbaki 1989) に見つかる。
位相幾何学などでベクトル束の外積代数を考えることがしばしばある。セール–スワンの定理により、有限次元ベクトル束の外積代数の代数的性質と有限生成射影加群の外積代数のそれとの間には本質的な違いはない。もっと一般に外積代数は加群の層に対して定義できる。