2電子原子
ここで、r1は1つの電子の位置(r1 = |r1|はその大きさ)、r2はもう1つの電子の位置(r2 = |r2|はその大きさ)であり、r12 = |r12|は、以下で与えられる、これらの間の距離の大きさである。
| r 12 | = | r 2 − r 1 | {\displaystyle |\mathbf {r} _{12}|=|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|\,\!}
μは、質量Mの原子核に対する電子の2体換算質量である。
μ = m e M m e + M {\displaystyle \mu ={\frac {m_{e}M}{m_{e}+M}}\,\!}
また、Zは、元素の原子番号である(量子数ではない)。
2つのラプラス作用素の交差項
1 M ∇ 1 ⋅ ∇ 2 {\displaystyle {\frac {1}{M}}\nabla _{1}\cdot \nabla _{2}\,\!}
は、mass polarization termとして知られ、原子核の動きが原因で生じる。
波動関数は、2つの電子の位置の関数である。
ψ = ψ ( r 1 , r 2 ) {\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}
この方程式には、解析解はない。
中性のヘリウム原子(He, Z = 2)、陰性の水素陰イオン(H, Z = 1)、陽性のリチウムイオン(Li, Z = 3)では、以下のようになるより詳細なシュレディンガー方程式の導出はこちらを参照。
E ψ = − ħ 2 [ 1 2 μ ( ∇ 1 2 + ∇ 2 2 ) + 1 M ∇ 1 ⋅ ∇ 2 ] ψ + e 2 4 π ε 0 [ 1 r 12 − Z ( 1 r 1 + 1 r 2 ) ] ψ {\displaystyle E\psi =-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{2\mu }}\left(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{M}}\nabla _{1}\cdot \nabla _{2}\right]\psi +{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{r_{12}}}-Z\left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}\right)\right]\psi }