積の微分法則
積の法則の発見者はゴットフリート・ライプニッツであると言われる。ライプニッツは無限小(微分)を用いてこれを示した。
その内容は、u(x), v(x) を x を変数とする二つの可微分函数とするとき、積 uv に対応する無限小は
d ( u ⋅ v ) = ( u + d u ) ⋅ ( v + d v ) − u ⋅ v = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v {\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\end{aligned}}}
で与えられるはずだが、項 du⋅dv は(du および dv に比べて)「無視できる」(高位の無限小)ことから、ライプニッツは
f = uv に対して u と v がともに x の正値函数であるならば、
ln  f = ln  ( u ⋅ v ) = ln  u + ln  v {\displaystyle \ln f=\ln(u\cdot v)=\ln u+\ln v}
ゆえ、両辺を微分して
1 f d f d x = 1 u d u d x + 1 v d v d x {\displaystyle {1 \over f}{df \over dx}={1 \over u}{du \over dx}+{1 \over v}{dv \over dx}}
となるから、左辺には f, 右辺には uv を掛けると(もちろん f = uv なのだから)
d f d x = v d u d x + u d v d x {\displaystyle {df \over dx}=v{du \over dx}+u{dv \over dx}}
を得る。微分可能な u, v は連続でなければならないから、正値性に関する仮定は一般性を落とすものでないことに注意せよ。