矛盾許容論理
古典論理や直観主義論理では、矛盾からはあらゆることが導かれる。この奇妙な特徴を爆発律(英語版)などと呼び、形式的には次のように表される:
A , ¬ A ⊢ B {\displaystyle A,\neg A\vdash B}
ここで ⊢ {\displaystyle \vdash } は論理的帰結関係を意味する。従って体系に1つの矛盾が存在した場合、その体系は自明である。つまり、あらゆる文が定理となる。矛盾許容論理では、この爆発律を採用しない。結果として、矛盾許容論理は他の論理体系とは異なり、矛盾を含む「自明でない」体系を扱うことができる。
矛盾許容論理には問題もある。爆発律を排除したため、以下の3つの非常に基本的な原理のうち少なくとも1つを採用できなくなる:
これらのうちどれを排除すべきかが研究され、現在では選言三段論法を排除するのが一般的である。真矛盾主義の立場では、選言三段論法が正しくないというのは正当である。A と ¬A が共に真で、B が偽であるとする。A v B は A が真なので全体として真である。従って、前提となる A v B と ¬A は共に真だが、結論となる B は真ではない。
同様に以下の3つの原理も爆発律に依存しているため、少なくとも1つを排除しなければならない:
「背理法」と「構造規則」の排除が試みられてきた。「二重否定の排除」の排除も行われているが、それは別の理由からである。二重否定の排除だけをなくしても、矛盾から全ての否定命題を証明可能である。
矛盾許容論理は古典論理よりも弱く、妥当とみなす推論の数が少ない。矛盾許容論理は、古典論理で妥当とみなされる推論のすべてを妥当とみなすわけではないため、古典論理の拡張とはなり得ない。この点で、矛盾許容論理は古典論理よりも「保守的」あるいは「慎重」と言える。