ラマヌジャン・ピーターソン予想
Re  ( α ) = Re  ( β ) = p 11 / 2 . {\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )=\operatorname {Re} (\beta )=p^{11/2}.}
すなわち、上記の二次方程式の根の実部は、p となり、リーマン予想と似た形となる。ここから、全てのτ(n)について、任意の ε > 0 に対してO(n) という少しだけ弱い予想が導かれる。
1917年、ルイス・モーデル (Louis J. Mordell) は、今日ヘッケ作用素として知られる複素解析的な技法を導入し、最初の 2つの関係式を証明した。三番目の関係式はDeligne (1974) でヴェイユ予想の証明の系として証明されたが、系であることを示すのは微妙な問題で、全く明らかではなかった。その部分は久賀道郎の仕事であり、佐藤幹夫、志村五郎、伊原康隆らも貢献し、Deligne (1968) がそれを応用したものである。この関係性の存在によって、エタール・コホモロジー理論による結果が得られつつあった1960年代後半において、いくつかの深い研究が触発された。
この予想の名称は彼の名前にちなんでいる。ピーターソン計量の下に、モジュラー形式の空間上にカスプ形式の空間とその直交空間として直交性を定義でき、それらは有限次元を持つ。さらに、リーマン・ロッホの定理を用いて、正則モジュラー形式の空間の次元を具体的に計算できる。(モジュラー形式の空間の次元を参照)
Deligne (1971)は、アイヒラー・志村同型を用いてラマヌジャン予想をヴェイユ予想に帰着し、後に証明した。より一般化されたラマヌジャン・ピーターソン予想は、重さkの指数 (k − 1)/2 を持つ同様の定式化を採るが、合同部分群(英語版)(congruence subgroup)の楕円モジュラー形式の理論における正則カスプ形式を扱う。これらの結果も同じくヴェイユ予想の系として得られるが、 k = 1である場合は例外であり、これはDeligne & Serre (1974)の結果である。
マース形式に対するラマヌジャン・ピーターソン予想は、2016年現在未解決である。これは正則である場合はうまく機能したドリーニュの方法が、実解析的な場合は機能しないことによる。