一様収束
微分の場合と同様に、積分と極限の交換をしたいことがある。リーマン積分に対しては、一様収束を仮定すればよい:
定理 コンパクトな区間 I 上で定義されたリーマン可積分関数列 fn が極限 f に一様収束するならば、f もリーマン可積分であり ∫ I f ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ I f n ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{I}f(x)\,dx=\lim \limits _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}(x)\,dx} が成り立つ。
系として、特にコンパクトな区間 I 上で定義されたリーマン可積分関数列 fn に対して、部分和が級数 f = ∑ n = 1 ∞ f n {\displaystyle \textstyle f=\sum \limits _{n=1}^{\infty }f_{n}} に一様収束しているならば ∫ I f ( x ) d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ I f n ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{I}f(x)\,dx=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\int _{I}f_{n}(x)\,dx} と項別積分できる。
すべての一様収束列はコンパクト収束である。
すべての局所一様収束列はコンパクト収束である。
局所コンパクト空間に対して局所一様収束とコンパクト収束は同値である。
距離空間上の連続関数の列は、終域の距離空間が完備であれば、一様収束であることと一様コーシー列であることは同値である。