多角形
単純多角形(閉曲線として単純な多角形)の場合には、内部は連結かつ開集合(つまり多角形の頂点および辺上の点はどれも含まない)である(自己交叉のある場合は、連結とは限らず辺上の点が内部に含まれるかどうかも場合による)。多角形の内部にある点はその多角形の内点と呼ばれる。 多角形およびその内部を併せた図形は(内部を含むことを明示したいときには)特に中身の詰まった多角形という。
外部: 中身の詰まった多角形を頂点、辺上の点、内点の全体からなる平面上の点集合と見たとき、その補集合。単純多角形の場合、多角形が分割する平面上の二つの領域のうち、内部でない(非有界となる)ほうで、頂点および辺はいずれも含まない。 単純閉曲線が平面を二つの領域に分け、一方が有界、他方が非有界となることはジョルダン曲線定理の項を参照。 多角形はその内部および外部の共通の境界になる。
面: 中身の詰まった多角形における2次元の要素(中身の詰まった多角形の全体と一致する)。多角形は中身の詰まった多角形の境界上でその面と接続する。一つの多角形に面はただ一つだけ接続しているが、自己交叉のある場合には面の連結成分が複数になりうる(各連結成分を個別の面とみなすことはできるが、その場合面の境界は必ずしも多角形の辺や頂点でない)。
多角形をその凸性あるいは凹性によって特徴付けることができる:
凸多角形: この多角形を横切る(辺や角に接することのない)任意の直線は、その多角形と境界においてちょうど二回交わる。その帰結として、凸多角形の内角は 180° より小さい。同じことだが、凸多角形の境界上に両端点を持つ任意の線分は、一方の端点から多角形の内点のみを通ってもう一方の端点に達する。
非凸多角形: その多角形の境界と二回以上交わる線分を見つけることができる。同じことだが、境界上の二点を結ぶ線分でその多角形の外側を通過するものが存在する。
単純多角形: その多角形の境界は自分自身と交わらない(閉曲線として単純)。任意の凸多角形は単純である。
凹多角形は、単純非凸多角形を言う。少なくとも一つの内角が 180° 以上である。
星状多角形(英語版): その多角形の内部の全てを少なくとも一点から辺と交わることなく見込むことができる。星状多角形は単純でなければならないが、凸の場合も凹の場合もあり得る。
自己交叉多角形(英語版): 多角形の境界が自身と交わる。
星型多角形: ある種の正則性を持つ自己交叉多角形。多角形が星型かつ星状となることができない。
多角形は古代より知られてきた。正多角形は古代ギリシアにおいて既に知られている。
また五芒星のような非凸正多角形(星型多角形)も早くも紀元前7世紀ごろ、アリストノトスのクラテール(カエレ(英語版)において発見され、現在カピトリーノ美術館に収蔵されている)に描かれている。
一般の非凸多角形の系統的研究として最初に知られたものは、14世紀にトーマス・ブラドワーディン(英語版)によって為された。
1952年にジェフリー・コリン・シェファード(英語版)は多角形の概念を複素平面C 上に一般化(各実次元に虚次元を一つづつ追加)したものとして複素多角形(英語版)の概念を導入した。
多角形の概念はいくつかの観点から一般化される。重要なものをいくつか挙げる:
球面多角形(英語版)は球面上の点を頂点に持ち、大円弧を辺とする閉路を言う。球面上では、平面では存在できない二つの角と二つの辺を持つ二角形(二辺形)が存在できる。球面多角形は地図学において重要であり、また一様多面体に関するワイソフ構成において重要である。
非平面多角形(英語版)は平面上に載っておらず、三次元以上の空間にジグザグにはみ出している。正多胞体のペトリー多角形がよく知られた例である。
無限辺形(英語版)は辺と角からなる無限列で、それらは両方向に無限に伸ばせるから、閉じているのではなくて端点が存在しない。
非平面無限辺形(英語版)は平面上に載っていない辺と角の無限列である。
複素多角形は、通常の多角形の配置(英語版)的対応物(複素化)で、複素二次元(実二次元+虚二次元)の複素平面 C 上に存在する。これはさらに、任意の複素次元における複素超多面体(英語版)の概念に一般化できる。
抽象多面体(英語版)は、(頂点、辺、面、などの)種々の部分とそれらの繋がり方を表現する代数的半順序集合として定義される。通常の実幾何学的多角形は、対応する抽象多角形の「実現」であると言う。写像の取り方に依存して、ここで述べた任意の一般化は実現が取れる。
多面体は面としての平面多角形に囲まれた三次元立体で、二次元における多角形の三次元版と考えられる。四次元あるいはそれ以上の次元において対応する図形は多胞体(あるいは超多面体)と呼ばれる。