ミクシンスキーの演算子法
また、台が下に有界な局所可積分函数の空間 L1loc(−∞,∞) を基にしても、その商体として同じ体 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} が得られる。代数 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} の元を負の部分では 0 となるものとして延長すれば、各函数は L1loc(−∞,∞) に入る。
商体がもとの代数を含む(最小の)体となることで、演算子の体による畳み込み代数への作用を、商体における積を考えることによって定められるかを問題にすることができる。
L ↷ C : L × C → C ( ⊂ L ) ; ( φ , f ) ↦ φ f . {\displaystyle {\mathcal {L}}\curvearrowright {\mathcal {C}}\colon {\mathcal {L}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}(\subset {\mathcal {L}});\;(\varphi ,f)\mapsto \varphi f.}
特に、φ = l ∗ s(i, j は自然数)に対する結果が確定するならば、微分積分学を展開するのにはさし当たって十分である。このような意味で、単位元 δ はディラックのデルタ函数を実現したものと理解される。
ヘヴィサイドの演算子法はラプラス変換を用いて部分的に正当化することができるが、
lim β → ∞ ∫ 0 β e − λ s f ( λ ) d λ ( f ∈ C ) {\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }\int _{0}^{\beta }e^{-\lambda s}f(\lambda )d\lambda \quad (f\in {\mathcal {C}})}
は演算子の極限の意味で常に存在するから、通常の意味でのラプラス変換をもつ f のラプラス変換によって正当化することのできる演算子法の関係式は、ミクシンスキーの方法によってもそのまま正当化できる。例えば、