フレネ・セレの公式
フレネ・セレの公式 (ふれねせれのこうしき、英: Frenet–Serret formulas) は、3次元ユークリッド空間内 R 内の連続で微分可能な曲線上を動く粒子の運動学的性質、あるいは、曲線自身の幾何学的性質を記述するベクトル解析の概念の一つである。
この公式は、曲線に対する接線方向 (tangent)・主法線方向 (normal)・従法線方向 (binormal)を指す3つの単位ベクトルの組{T, N, B }からなるフレネ・セレ標構とその微分との間の線形関係について記述したものであり、二人のフランス人数学者ジャン・フレデリック・フルネ(英語版) (Jean Frédéric Frenet, 1847) とジョゼフ・アルフレッド・セレ(英語版) (Joseph Alfred Serret, 1851) によって独立に発見された。
フレネ・セレ基底を構成する単位接ベクトル T ・単位主法線ベクトル N ・単位従法線ベクトル B は次のように定義される。
T は曲線に接する単位ベクトルで、運動の方向を向いている。
N は T を曲線の弧長で微分し、その大きさで割ったものである。
B は T と N のベクトル積である。
フレネ・セレの公式は
d T d s = κ N d N d s = − κ T + τ B d B d s = − τ N {\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {T}}}{\mathrm {d} s}}&=&&\kappa {\boldsymbol {N}}&\\&&&&\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {N}}}{\mathrm {d} s}}&=&-\kappa {\boldsymbol {T}}&&+\,\tau {\boldsymbol {B}}\\&&&&\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {B}}}{\mathrm {d} s}}&=&&-\tau {\boldsymbol {N}}&\end{matrix}}}