自由代数
アルファベット {X1, ..., Xn} 上の語全体は R⟨X1, ..., Xn⟩ の基底をなすから、R⟨X1, ..., Xn⟩ の任意の元が次の形に一意的に書けることは明らかである:
∑ i 1 , i 2 , ⋯ , i k ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } a i 1 , i 2 , ⋯ , i k X i 1 X i 2 ⋯ X i k , {\displaystyle \sum \limits _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}\in \left\lbrace 1,2,\cdots ,n\right\rbrace }a_{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},}
ただし a i 1 , i 2 , . . . , i k {\displaystyle a_{i_{1},i_{2},...,i_{k}}} は R の元で、これらの元のうち有限個を除くすべては 0 である。