準同型
体 K 上のベクトル空間 V とは、加法と呼ばれる二項演算 + とスカラー倍と呼ばれる単項演算族 {αk: V → V}k∈K (αk(v) := kv for v ∈ V) を演算として持つ代数系 (V, +, 0, −·, {αk}k∈K) である(ここで、0 は加法に関する単位元(零元)であり, −· は加法に関する逆元(マイナス元)を与える単項演算であるが、加法に関して V は群となるのでこれを略して (V, +, {αk}k∈K) と考えてもよい)。また、スカラー倍の全体からなる単項演算族は体 K から V の加法群としての自己準同型環 End(V) への単位的環としての準同型像として得られるものである。
二つのベクトル空間 (V, +, {αk}k∈K), (W, +′, {βk}k∈K) (βk: W → W; βk(w) := kw for k ∈ W) の間の準同型 f: V → W は
f ( v 1 + v 2 ) = f ( v 1 ) + ′ f ( v 2 ) ( v 1 , v 2 ∈ V ) , {\displaystyle f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+'f(v_{2})\quad (v_{1},\,v_{2}\in V),}
f ( k v ) = f ( α k ( v ) ) = β k ( f ( v ) ) = k f ( v ) ( v ∈ V ) {\displaystyle f(kv)=f(\alpha _{k}(v))=\beta _{k}(f(v))=kf(v)\quad (v\in V)}
を満たすものである。ベクトル空間(あるいはもっと一般の環上の加群)の間の準同型写像のことを通常は、線型写像と呼ぶ。
代数系 (A, R) に対し、始域と終域が同じ A である準同型写像 f: A → A は A 上の自己準同型(じこじゅんどうけい、endomorphism)であると言い、さらに f が同型写像であるときには A 上の自己同型(じこどうけい、automorphism)と呼ばれる。 A 上の自己同型の全体 Aut(A) は写像の合成を二項演算と考えれば、恒等写像 idA を単位元とし、逆写像を逆元とする群を成す。これを A 上の自己同型群と呼ぶ。
また、G が群であるとき、G 上の自己準同型 f, g に対し、f(x)g(y) = g(y)f(x) がどんな x, y ∈ G に対しても成り立つなら f と g は加法可能であると言い、(f + g)(x) := f(x)g(x) (x ∈ G) と置く。特に、G がアーベル群なら G 上の自己準同型の全体 End(G) で加法が定義され、さらに写像の合成を積として End(G) は環となる。これを G 上の自己準同型環という。
準同型写像とは、同類の二つの代数系(二つのベクトル空間や、二つの群など)の間の写像で、演算の構造を保つものを言う。
すなわち、同類の二つ代数系の集合 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} で、 ⋅ {\displaystyle \cdot } を二つの系の演算(簡単のためここでは二項演算とする。)とすると、その間の準同型写像 f : A → B {\displaystyle f:A\to B} とは、任意の A {\displaystyle A} の要素 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} について、
f ( x ⋅ y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) {\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}
が成立する写像のことである。
より一般的に、 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} に定義された演算 μ {\displaystyle \mu } の引数が k {\displaystyle k} 個ならば、準同型写像 f : A → B {\displaystyle f:A\to B} は、 A {\displaystyle A} の任意の要素 a 1 , . . .