複素数
z n ̄ = ( z ̄ ) n {\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}} (n は整数)
z ̄ ̄ = z {\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z} (対合)
|z| = |z|
zz = |z| 0 以外の複素数の逆数は、絶対値と共役で表せる: 1 z = z ̄ | z | 2 ( z ≠ 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\ (z\neq 0)}
z + z = 2 Re z
z − z = 2i Im z
代数方程式の解について、次が成り立つ:
「実係数多項式 P(x) が虚数根 α をもつならば、α も P(x) の虚数根である」
つまり、
実係数多項式 P(x) について、P(α) = 0 ⇔ P(α) = 0
(1746年、ダランベール)
このことは、複素共役変換が環準同型であることから容易に示せる。
複素数とは実数体上の、実数単位 1, 虚数単位 i の線形結合であるが、これに新たな単位を有限個加えて可換体(通常の四則演算ができる数の体系)を作ることはできない。実数体 R から拡張して C を得る過程はケーリー=ディクソンの構成法と呼ばれる。この過程を推し進めると、より高次元の四元数体 H, 八元数体 O が得られる。これらの、実数体上の線形空間としての次元はそれぞれ 4, 8 である。この文脈において複素数は「二元数」(binarions) とも呼ばれる。
注意すべき点として、実数体にケーリー=ディクソンの構成を施したことにより、順序に関する性質が失われていることである。より高次元へ進めば実数や複素数に関してよく知られた性質が失われていくことになる。四元数は唯一の非可換体であり(つまり、ある二つの四元数 x, y に対して x·y ≠ y·x となる)、八元数では(非可換なばかりでなく)乗法に関する結合法則も失われる(つまり、ある八元数 x, y, z に対して (x⋅y)⋅z ≠ x⋅(y⋅z) となる)。一般に、実数体 R 上のノルム多元体は、同型による違いを除いて、実数体 R, 複素数体 C, 四元数体 H, 八元数体 O の4種類しかない(フルヴィッツの定理(英語版))。ケーリー=ディクソン構成の次の段階で得られる十六元数環ではこの構造は無くなってしまう。
複素指数函数 exp z あるいは e は級数
exp  z := ∑ n = 0 ∞ z n n ! = 1 + z + z 2 2 + z 3 6 + ⋯ {\displaystyle \exp z:=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {z^{n}}{n!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+\cdots }
で定義される。この級数の収束半径は ∞ であるから、複素指数函数は C 上正則(整関数)である。
任意の実数 φ に対して次の等式が成り立つ:
exp  i φ = cos  φ + i sin  φ {\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi } (オイラーの公式)
一般の複素変数 z に拡張した余弦函数 cos z, 正弦函数 sin z は次の式で定義できる:
cos  z = e i z + e − i z 2 sin  z = e i z − e − i z 2 i {\displaystyle {\begin{aligned}\cos z&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\\sin z&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\end{aligned}}}
余弦函数、正弦函数は整関数である。整関数であるような拡張の仕方は、一致の定理より一意である。
cosh, sinh などの双曲線函数も、同様に複素指数函数により定義できる。