畳み込み級数
) = λ e − λ t − e − λ t ∑ u = 1 x − 1 ( λ u t u − 1 ( u − 1 ) ! − λ u + 1 t u u ! ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\[6pt]&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\[6pt]&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}}
であり、この和はほとんどが打ち消しあって、
f ( t ) = λ x t x − 1 e − λ t x ! {\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{x!}}}
だけが残る。