球函数に対するプランシュレルの定理
e およびその W による変換は L0 の同じ固有値に属する固有函数であるから、φλ に対する公式は、正ルートの非負整数係数線型結合全体の成す錐 Λ に関する摂動級数
f λ = e i λ − ρ ∑ μ ∈ Λ a μ ( λ ) e − μ , {\displaystyle f_{\lambda }=e^{i\lambda -\rho }\sum _{\mu \in \Lambda }a_{\mu }(\lambda )e^{-\mu },}
を用いて自然に見ることができ、fλ の W による変換として書ける。表式
coth  x − 1 = 2 ∑ m > 0 e − 2 m x {\displaystyle \coth x-1=2\sum _{m>0}e^{-2mx}}
から係数 aμ(λ) に対する漸化式が導かれる。特に係数は一意的に決まり、級数及びその導函数は W の基本領域 a + {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}} 上で絶対収斂する。注目すべきは、fλ が G/K 上の別の G-不変微分作用素の固有函数でもあり、何れも a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 上の W-不変微分作用素を導くことがわかることである。
ここから、φλ が fλ とその W による変換との線型結合
φ λ = ∑ s ∈ W c ( s λ ) f s λ {\displaystyle \varphi _{\lambda }=\sum _{s\in W}c(s\lambda )f_{s\lambda }}
が導かれる。
SL(2,C) の場合と同じく、ここから直ちに Cc(SL(2,R)/SO(2)) に属する fi に対するプランシュレルの公式
∫ H 2 f 1 f 2 ̄ d A = ∫ − ∞ ∞ f ~ 1 f ~ 2 ̄ λ π 2 tanh  ( π λ 2 ) d λ {\displaystyle \int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f_{1}{\overline {f_{2}}}\,dA=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}_{1}{\overline {{\tilde {f}}_{2}}}\,{\lambda \pi \over 2}\tanh({\pi \lambda \over 2})\,d\lambda }
が得られる。球函数 φλ はラプラス作用素
Δ 2 φ λ = ( λ 2 + 1 4 ) φ λ {\displaystyle \Delta _{2}\varphi _{\lambda }=(\lambda ^{2}+{1 \over 4})\varphi _{\lambda }}
の固有函数である。R 上のシュヴァルツ函数はハリッシュ=チャンドラ・シュヴァルツ函数の空間
S = { f ∣ sup t | ( 1 + t 2 ) N ( I + Δ ) M f ( t ) φ 0 ( t ) | < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\{f\mid \sup _{t}|(1+t^{2})^{N}(I+\Delta )^{M}f(t)\varphi _{0}(t)|<\infty \}}
複素特殊線型群 G = SL(2,C) は四元的上半平面
H 3 = { x + y i + t j ∣ t > 0 } {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{3}=\{x+yi+tj\mid t>0\}}
にメビウス変換として推移的に作用する。即ち、二次の複素正方行列が
g = ( a b c d ) , g ( w ) = ( a w + b ) ( c w + d ) − 1 {\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\quad g(w)=(aw+b)(cw+d)^{-1}}
として作用する。一点 j の固定部分群は極大コンパクト部分群 K = SU(2) であり、故に H 3 = G / K {\displaystyle {\mathfrak {H}}^{3}=G/K} が成り立つ。この上半平面には G-不変リーマン計量
d s 2 = r − 2 ( d x 2 + d y 2 + d r 2 ) {\displaystyle ds^{2}=r^{-2}(dx^{2}+dy^{2}+dr^{2})}
が入り、対応する体積要素 dV とラプラス作用素 Δ が
d V = r − 3 d x d y d r , Δ = − r 2 ( ∂ x 2 + ∂ y 2 + ∂ r 2 ) + r ∂ r {\displaystyle dV=r^{-3}\,dx\,dy\,dr,\quad \Delta =-r^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{r}^{2})+r\partial _{r}}