無限降下法
フェルマーは、無限降下法をしばしば「私の方法」と呼び、この方法によって数々の命題を証明したと主張した。彼は詳しい証明をほとんど残していないが、『算術』への45番目の書き込みにおいて、唯一完全に近い証明を残している。ここで彼が証明したことは、「三辺の長さが有理数である直角三角形の面積は平方数にならない」という定理であり、言い換えると「1 は合同数ではない」ということである。この証明中に、不定方程式 x - y = z が非自明な整数解を持たないこと(これよりフェルマーの最終定理の n = 4 の場合が導かれる)を、無限降下法によって示している。
フェルマーはまた、友人カルカヴィへの手紙の中で、「4 で割って 1 余る素数が二個の平方数の和で表せる」という命題を「直角三角形の基本定理」と呼び、この命題を無限降下法で示したと述べた。フェルマーの語る証明の概略はおおよそ次の通りである。
もし、4 で割って 1 余る素数のうち、二個の平方数の和で書けないものがあるとすると、それより小さいもので、同じ性質を持つものを構成することができる。この構成法により、次々に小さなものを得ることができる。これは矛盾である。
無限降下法は、典型的には「解が存在しない」などの否定的命題の証明に用いられるが、このように肯定的命題にも用いられる。
フェルマー以後も、無限降下法の考えはしばしば用いられている。たとえば、楕円曲線の有理点のなす群が有限生成アーベル群であることを主張するモーデルの定理の証明には、有理点の高さに関する、無限降下法と似た議論が用いられる。