アルティンのL-函数
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アルティンのL-函数 L ( ρ , s ) {\displaystyle L(\rho ,s)} は、これらのオイラー因子をすべての素イデアル p について無限積をとったものである。アルティンの相互法則によれば、G がアーベル群のときこれらの L-函数は第二の記述を持つ(K が有理数体のときはディリクレのL-函数として、一般にはヘッケのL-函数として)。非アーベル群 G とその表現にたいしアルティン L-函数はあらたな対象である。
ひとつの応用として、有理数体上のガロア拡大の場合のように、デデキントゼータ函数の分解を与えることがある。既約表現へ正則表現を分解することに応じ、そのようなゼータ函数は、G の各々の既約表現に対応するアルティンのL-函数の積へと分解する。例えば、最も単純な例として、G が3文字の対称群の場合を考える。G が次数 2 の既約表現を持っているので、その表現のアルティンのL-函数は二次となり、考えている代数体のデデキントのゼータ函数を、(自明表現に対する)リーマンのゼータ函数と符号表現に対するディリクレの L {\displaystyle L} -函数への分解を起こす。