方向微分
}
性質:
f ( S ) = f 1 ( S ) + f 2 ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})} なら、 ∂ f ∂ S : T = ( ∂ f 1 ∂ S + ∂ f 2 ∂ S ) : T {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}} 。
f ( v ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})} を、ベクトル v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} に関する実数値関数とする。このとき、すべてのベクトル u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} に対して、方向 u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} への f ( v ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})} の v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} に関する(あるいは、 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} での)微分は、次のように定義される:
∂ f ∂ v ⋅ u = D f ( v ) [ u ] = [ d d α f ( v + α u ) ] α = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=Df({\boldsymbol {v}})[{\boldsymbol {u}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {v}}+\alpha ~{\boldsymbol {u}})\right]_{\alpha =0}.