特性関数 (確率論)
特性関数 φX が積分可能なら、FX は絶対連続であり、X の確率密度関数は以下のように与えられる(X がスカラーの場合)。 f X ( x ) = F X ′ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e − i t x φ X ( t ) d t {\displaystyle f_{X}(x)=F_{X}'(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt}
多変量の場合の確率密度関数は、ルベーグ測度 λ に対する分布 μX のラドン=ニコディム微分として理解される。 f X ( x ) = d μ X d λ ( x ) = 1 ( 2 π ) n ∫ R n e − i ( t ⋅ x ) φ X ( t ) λ ( d t ) {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {d\mu _{X}}{d\lambda }}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i(t\cdot x)}\varphi _{X}(t)\lambda (dt)}
a が X について原子的ならば(1 変量の場合、これは FX の不連続点を意味する)、 F X ( a ) − F X ( a − 0 ) = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − T + T e − i t a φ X ( t ) d t {\displaystyle F_{X}(a)-F_{X}(a-0)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{+T}e^{-ita}\varphi _{X}(t)\,dt} , X がスカラー型確率変数の場合 μ X ( { a } ) = lim T 1 → ∞ ⋯ lim T n → ∞ ( ∏ k = 1 n 1 2 T k ) ∫ { − T ≤ t ≤ T } e − i ( t ⋅ x ) φ X ( t ) λ ( d t ) {\displaystyle \mu _{X}(\{a\})=\lim _{T_{1}\to \infty }\cdots \lim _{T_{n}\to \infty }\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{2T_{k}}}\right)\int \limits _{\{-T\leq t\leq T\}}e^{-i(t\cdot x)}\varphi _{X}(t)\lambda (dt)} , X がベクトル型確率変数の場合
累積分布関数 FX の特性関数を φX とし、2 つの点 a < b で定義される { x ∣ a < x < b } {\displaystyle \{x\mid a<x<b\}} が μX の連続性集合ならば(1 変量では、この条件は FX が a と b で連続なことと等価である)、 F X ( b ) − F X ( a ) = 1 2 π lim T → ∞ ∫ − T + T e − i t a − e − i t b i t φ X ( t ) d t , {\displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {e^{-ita}-e^{-itb}}{it}}\,\varphi _{X}(t)\,dt,} X がスカラーの場合
1 変量確率変数 X について、x が FX の連続点ならば、 F X ( x ) = 1 2 − 1 π ∫ 0 ∞ Im  [ e − i t x φ X ( t ) ] t d t {\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Im} [e^{-itx}\varphi _{X}(t)]}{t}}\,dt}