スツルム＝リウヴィル型微分方程式
Sturm–Liouville 形式に変形することができる。
たとえば ベッセル方程式
x 2 y ′′ + x y ′ + ( x 2 − ν 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu ^{2})y=0}
は
( x y ′ ) ′ + x y = ν 2 x y {\displaystyle (xy')'+xy={\frac {\nu ^{2}}{x}}y}
とSturm–Liouville 形式に変形できる。
その他の例としては、
ルジャンドルの微分方程式
( ( 1 − x 2 ) y ′ ) ′ + ν ( ν + 1 ) y = 0 {\displaystyle \left((1-x^{2})y'\right)'+\nu (\nu +1)y=0}
エルミートの微分方程式
( e − x 2 y ′ ) ′ + 2 ν e − x 2 y = 0 {\displaystyle \left(\mathrm {e} ^{-x^{2}}y'\right)'+2\nu \mathrm {e} ^{-x^{2}}y=0}
ラゲールの微分方程式
( x e − x y ′ ) ′ + ν e − x y = 0 {\displaystyle \left(x\mathrm {e} ^{-x}y'\right)'+\nu \mathrm {e} ^{-x}y=0}
がある。
微分方程式(1)の左辺の形式をSturm–Liouville 形式 とか 自己随伴形式と呼ぶ。任意の形の2階の線形微分方程式
P ( x ) y ′′ + Q ( x ) y ′ + R ( x ) y = 0 {\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,}
は以下のように、
P ( x ) y ′′ + Q ( x ) y ′ + R ( x ) y = 0 exp  ( ∫ Q ( x ) P ( x ) d x ) ( y ′′ + Q ( x ) P ( x ) y ′ + R ( x ) P ( x ) y ) = 0 ( y ′ exp  ( ∫ Q ( x ) P ( x ) d x ) ) ′ + exp  ( ∫ Q ( x ) P ( x ) d x ) R ( x ) P ( x ) y = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y&=0\\\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,\mathrm {d} x\right)\left(y''+{\frac {Q(x)}{P(x)}}y'+{\frac {R(x)}{P(x)}}y\right)&=0\\\left(y'\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,\mathrm {d} x\right)\right)'+\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,\mathrm {d} x\right){\frac {R(x)}{P(x)}}y&=0\end{aligned}}}