リー微分
本項ではベクトル場に沿う微分形式の微分として通常のリー微分を定義した。その一般化の一つとして、ナイエンハイス (Albert Nijenhuis) によるものだが、反変テンソル場に沿った微分形式のリー微分を許すというものがある。もう少し詳しく言えば、反変テンソル場 K と p-次微分形式 α に対して、これらの内部積 iKα が定義できることを用い、ナイエンハイス-リー微分は内部積と外微分の反交換子
L K α = d i K α + i K d α {\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}\alpha =di_{K}\alpha +i_{K}d\alpha }
として定義される。ナイエンハイス-リー微分は、「通常の意味ではもはや微分ではない」という注意すべき例外事項のあることを除いて、通常のリー微分におけるそれと同様のさまざまな代数的性質を満足する。
x を座標系とする。(r, s)-型のテンソル場 T {\displaystyle T} に対して、 X {\displaystyle X} に沿ったリー微分は
( L X T ) a 1 ... a r b 1 ... b s = X c ( ∇ c T a 1 ... a r b 1 ... b s ) − ( ∇ c X a 1 ) T c ... a r b 1 ... b s − ... − ( ∇ c X a r ) T a 1 ... c b 1 ... b s + ( ∇ b 1 X c ) T a 1 ... a r c ... b s + ... + ( ∇ b s X c ) T a 1 ... a r b 1 ...
リー微分のさまざまな一般化は微分幾何学において重要な役割を果たす。
.. ) − T ( α 1 , L Y α 2 , ... , X 1 , X 1 , ... ) − ⋯ {\displaystyle {}-T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha ^{1},\alpha ^{2},\ldots ,X_{1},X_{1},\ldots )-T(\alpha ^{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha ^{2},\ldots ,X_{1},X_{1},\ldots )-\cdots } − T ( α 1 , α 2 , ... , L Y X 1 , X 2 , ... ) − T ( α 1 , α 2 , ... , X 1 , L Y X 2 , ... ) − ⋯ {\displaystyle {}-T(\alpha ^{1},\alpha ^{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha ^{1},\alpha ^{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\cdots }
によって T の Y に沿うリー微分を定義するということになる。
さて、ここで述べた解析的および代数的な二つの定義は互いに等価である。このことは、押し出しと微分法に対するライプニッツ則の性質を用いることで証明することができる。