射影多様体
C 上のアーベル多様体 A に付随する複素多様体はコンパクト複素リー群である.これらは
C g / L {\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}
の形であることを示すことができ,複素トーラス(英語版)とも呼ばれる.ここで g はトーラスの次元であり L は格子である(周期格子とも呼ばれる).
上述の一意化定理により,任意の1次元トーラスは1次元アーベル多様体すなわち楕円曲線から生じる.実際,L に付随するワイエルシュトラスの楕円関数 ℘ {\displaystyle \wp } はある微分方程式を満たし,その結果それは closed immersion を定義する:
C / L → P 2 , L ↦ ( 0 : 0 : 1 ) , z ↦ ( 1 : ℘ ( z ) : ℘ ′ ( z ) ) . {\displaystyle \mathbb {C} /L\to \mathbf {P} ^{2},L\mapsto (0:0:1),z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z)).}
p 進類似,p 進一意化(英語版)定理がある.
高次元に対しては,複素アーベル多様体と複素トーラスの概念は異なる:polarized(英語版) 複素トーラスだけがアーベル多様体から来る.
(さらに,正規化(英語版)により,この射影多様体は正規とできる.)
射影多様体のいくつかの性質は完備性から従う.例えば,
Γ ( X , O X ) = k {\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=k}
が k 上の任意の射影多様体 X に対して成り立つ.この事実はリュービルの定理(連結コンパクト複素多様体上の任意の正則関数は定数である)の代数類似である.実は,複素射影多様体上の複素解析幾何と代数幾何の間には以下に説明されるようにはるかに大きな類似が成り立つ.
準射影多様体は,定義により,射影多様体の開部分多様体である多様体である.この多様体のクラスはアフィン多様体を含む.アフィン多様体はほとんど決して完備(あるいは射影的)ではない.実際,アフィン多様体の射影部分多様体の次元は 0 でなければならない.なぜならば,射影多様体上の大域的に正則な関数は定数のみだからである.
射影多様体の顕著な性質の1つは,層コホモロジーの有限性である.滑らかな射影多様体に対して,セール双対性はポワンカレ双対性の類似と見なせる.それはまた射影曲線,すなわち次元(英語版) 1 の射影多様体に対するリーマン・ロッホの定理を導く.射影曲線の理論は特に豊かで,曲線の種数(英語版)による分類を含む.高次元の射影多様体の分類問題は自然に射影多様体のモジュライの構成を導く.ヒルベルトスキームは所定のヒルベルト多項式をもつ P の閉部分スキームをパラメトライズする.ヒルベルトスキームは,グラスマン多様体は特別な場合であるが,それ自身射影スキームでもある.幾何学的不変式論は別のアプローチを提供する.古典的なアプローチはタイヒミュラー空間や周多様体(英語版)を含む.
古典にさかのぼる特に豊かな理論が,複素射影多様体,すなわち X を定義する多項式が複素係数を持つ場合にある.大まかには,GAGA の原理により,射影複素解析空間(あるいは多様体)の幾何学は射影複素多様体の幾何学と等しい.例えば,X 上の正則ベクトル束(より一般に連接解析的層)の理論は,代数的ベクトル束の理論と一致する.Chow の定理により,射影空間の部分集合が正則関数の族の零点集合であることと斉次多項式の零点集合であることは同値である.複素射影多様体に対する解析的な手法と代数的な手法の組合せはホッジ理論のような分野に通じる.