ストーン双対性
ストーン双対性は、任意のsober空間X に対し p t ∘ Ω ( X ) {\displaystyle \mathrm {pt} \circ \Omega (X)} がX と「自然に」同型になり、さらに任意の空間的完備ハイティング代数F に対し、 Ω ∘ p t ( F ) {\displaystyle \Omega \circ \mathrm {pt} (F)} がF と「自然に」同型になる事を意味する。「自然に」という言葉の意味は圏論でいう「自然同値」の概念によって精緻化されるが、ここではその説明を省く。詳細は自然変換の項目を参照。
定理(ストーン双対性) ― p t ∘ Ω {\displaystyle \mathrm {pt} \circ \Omega } はSob上の恒等写像と自然同値であり、 Ω ∘ p t {\displaystyle \Omega \circ \mathrm {pt} } はSFrm上の恒等写像と自然同値である。
sober性を満たすとは限らない位相空間X であっても Y = p t ∘ Ω ( X ) {\displaystyle Y=\mathrm {pt} \circ \Omega (X)} は必ずsober性を満たす。したがってY はX の「sober化」とみなせる。
ストーン双対性の特殊な場合として、以下の定理が従う: