ネーターの定理
複素場を考えて場の位相を変える変換を考える。
φ i ( x ) → φ i ( x ) − i e ε φ i ( x ) , φ ̄ i ( x ) → φ ̄ i ( x ) + i e ε φ ̄ i ( x ) {\displaystyle \phi _{i}(x)\to \phi _{i}(x)-ie\epsilon \phi _{i}(x),~{\bar {\phi }}_{i}(x)\to {\bar {\phi }}_{i}(x)+ie\epsilon {\bar {\phi }}_{i}(x)}
このとき、ネーターカレントは
j μ = i e ( φ ̄ i ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ̄ i ) − ∂ L ∂ ( ∂ μ φ i ) φ i ) {\displaystyle j^{\mu }=ie\left({\bar {\phi }}_{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }{\bar {\phi }}_{i})}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\phi _{i}\right)}
となる。これは4元電流密度である。保存則は
∂ μ j μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0}
であり、電荷の保存則を表している。 対応するネーターチャージ
Q = ∫ d 3 x j 0 {\displaystyle Q=\int \mathrm {d} ^{3}x\,j^{0}}
は電荷である。