面積分
で与えられる。ここで、
∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t = ( ∂ ( y , z ) ∂ ( s , t ) , ∂ ( z , x ) ∂ ( s , t ) , ∂ ( x , y ) ∂ ( s , t ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (s,t)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (s,t)}}\right)}
は S に直交する面素である。
この 2-形式の面積分は、成分が (fx, fy, fz) であるようなベクトル場の面積分と同じものであることに注意。
と定義される。ただし、右辺の縦棒で挟まれた式は x(s, t) の二種類の偏微分同士の交叉積のノルム(大きさ(英語版))である。
例えば、一般の函数 z = f(x, y) で与えられる曲面の表面積を求めるなら、r = (x, y, z) として
A := ∫ S d S = ∫∫ T | ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y | d x d y {\displaystyle A:=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right|dx\,dy}
を計算することになる。このとき、
∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) , ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y)),\quad {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}