凸包
逆に、そのような凸結合全体の成す集合はそれ自身 X を含む凸集合ゆえ X を含む凸集合全ての交わりを含むから、これら二つの定式化が同じ集合を与えていることが知れる。
実は、凸包に関するカラテオドリの定理によれば、X が N-次元線型空間の部分集合であるとき、凸包を求めるには上記定義において高々 N + 1 個の点の凸結合を考えれば十分である。従って特に、平面上の三点以上を含む集合の凸包は X に属する点の任意の三つ組から得られる三角形全てに亙る合併に一致し、同様により一般の N-次元空間における凸包は X に属する高々 N + 1 点を頂点として定まる単体全てに亙る合併に一致する。
X の凸包が閉集合となるとき(よくあるのが例えば X が有限集合やもっと一般にコンパクト集合のとき)、それは X を含む閉半空間全ての交わりと一致する。このとき、超平面分離定理は、凸包に属さない各点が半空間によって凸包と分離されることを保証する。しかし、このようなやり方で表すことのできない凸集合および凸包が存在する。例えばその一つは、その境界に一点しか含まない開半平面によって与えられる。
より抽象的に言えば、凸包をとる作用素 Conv() は閉包作用素を特徴づける三性質:
凸包を求める問題の実用的な応用としては、パターン認識・画像処理・統計学・地理情報システム・抽象解釈による静的コード解析などがある。あるいはまた、点集合の幅や径を計算する回転キャリパー法のような、ほかの計算幾何学的アルゴリズムの構成部材としても重要な役割を提供する。