スペクトル分解 (関数解析学)
数学の関数解析学の分野において、あるバナッハ空間 X {\displaystyle X} (関数解析学における基本概念の一つ)上の線型作用素 T {\displaystyle T} のスペクトルは、作用素 T − λ {\displaystyle T-\lambda } が X {\displaystyle X} 上に有界な逆作用素を持たないようなすべてのスカラー λ {\displaystyle \lambda } で構成される。そのようなスペクトルは、通常以下の三つの部分に分解(ぶんかい、英: decomposition)される:
点スペクトル(point spectrum): T {\displaystyle T} の固有値で構成される;
連続スペクトル(continuous spectrum):固有値ではないが、 T − λ {\displaystyle T-\lambda } の値域を空間内の稠密な真部分集合にするようなスカラーで構成される;
剰余スペクトル(residual spectrum):そのスペクトル内のその他すべてのスカラーで構成される。
この分解は微分方程式の研究において意義深いものであり、理学や工学の多分野に亘って応用されているものである。量子力学における有名な例では、励起状態にある水素原子によって放射される光の離散スペクトル(英語版)と連続帯の説明に、この概念が用いられる。
T ∗ ( x 1 , x 2 , x 3 , ... ) = ( 0 , x 1 , x 2 , ... ) . {\displaystyle T^{*}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots ).}
これは等長作用素である。|λ| < 1 を満たすような λ ∈ C に対して、
x = ( 1 , λ , λ 2 , ... ) ∈ l p {\displaystyle x=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots )\in l^{p}}
であり、T x = λ x が成り立つ。したがって、T の点スペクトルは開単位円板を含むこととなる。回帰性と上述の定理を思い起こせば、開単位円板は T* の剰余スペクトルに含まれると結論付けることが出来る。
有界作用素のスペクトルは閉である。このことは、単位円 { |λ| = 1 } ⊂ C が σ(T) 内にあることを意味する。また、T* は固有値を持たない。すなわち、σp(T*) は空集合である。ふたたび l の回帰性と上述の定理により、σr(T) も空集合であることが分かる。
特別な場合として S が自然数の集合であり μ が数え上げ測度であるような場合を考える。このとき対応する L(μ) は l と表記される。この空間は、
∑ n ≥ 0 | x n | p < ∞ {\displaystyle \sum _{n\geq 0}|x_{n}|^{p}<\infty }
を満たすような複素数の列 {xn} より構成される。1 < p < ∞ に対して、空間 l は回帰的となる。左シフト作用素 T : l → l を
T ( x 1 , x 2 , x 3 , ... ) = ( x 2 , x 3 , x 4 , ... ) {\displaystyle T(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\dots )}
で定義する。この T は、作用素ノルムが 1 であるような部分等長作用素である。したがってスペクトル σ(T) は複素平面の閉単位円板に含まれる。
このとき T* は、1/p + 1/q = 1 を満たすような q に対する空間 l 上の右シフト(あるいは片側シフト)で、次のように与えられる: