円分指標
p を素数、 GQ を有理数体の絶対ガロア群とする。
ζn を1の原始p乗根とする。 g∈ GQ は ζn を別の1の原始p乗根に送る。
g ( ζ ) = ζ n a g , n {\displaystyle g(\zeta )=\zeta _{n}^{a_{g,n}}}
ただしag,n ∈ (Z/p). これにより定まる群準同型
χ p n ̄ : G Q → Z / p n Z × {\displaystyle {\bar {\chi _{p^{n}}}}:G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} ^{\times }}
を法p 円分指標という。
ここでgを固定した状況下で、 n を動かすと系列 ag,n は 系列 (Z/p)の逆極限、すなわちZpの元をなす。
このようにして定まる群準同型
χ p : G Q → Z p × {\displaystyle \chi _{p}:G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathbf {Z} _{p}^{\times }}
をp-進 円分指標という。
ここで χ p {\displaystyle \chi _{p}} は連続写像でもある。
Therefore, the p-adic cyclotomic character sends g to the system (ag,n)n, thus encoding the action of g on all p-power roots of unity.