回転数 (数学)
回転数はしばしば数学の様々な分野において異なる方法で定義される。以下の定義のすべては上で与えられた定義と同値である。
xy 平面の曲線はパラメトリック方程式によって定義される:
x = x ( t ) and y = y ( t ) for 0 ≤ t ≤ 1. {\displaystyle x=x(t)\quad {\text{and}}\quad y=y(t)\qquad {\text{for }}0\leq t\leq 1.}
パラメータ t を時間と考えれば、これらの方程式は t = 0 と t = 1 の間の平面の対象の動きを特定する。この動きの道は関数 x(t) と y(t) が連続である限り曲線である。この曲線は対象の位置が t = 0 と t = 1 で同じならば閉じている。
そのような曲線の回転数 (winding number) を極座標系を使って定義できる。曲線は原点を通らないと仮定して、パラメトリック方程式を極形式に書きなおすことができる:
r = r ( t ) and θ = θ ( t ) for 0 ≤ t ≤ 1.