テューキーの補題
選択公理から「任意のベクトル空間は基底を持つ」が従うことが知られているが、これはテューキーの補題を経由して以下のように証明される。まず、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を線形独立なベクトルの集合からなる集合族とすると、これはFinite characterを持つ。なぜなら、 A {\displaystyle A} を線形独立なベクトルの集合とすると、当然その部分集合も線形独立であり、逆にもし集合 A {\displaystyle A} の任意の有限部分が線形独立なら、(線形独立性は有限個のベクトル間の関係だから) A {\displaystyle A} も線形独立な集合となるからである。よって、テューキーの補題より、包含関係に関して極大である線形独立なベクトルの集合 B {\displaystyle B} が存在する。 B {\displaystyle B} が基底であることは、もし B {\displaystyle B} の元の線形結合で表せないベクトルが存在したとすると、それをBに加えればBより大きい線形独立なベクトルの集合が得られてしまうことからわかる。