超限数
ツェルメロ=フレンケル集合論において連続体仮説は、証明も否定もできない。
P.Suppes や J.Rubin を含む一部の著者は、超限基数という用語を使用して、「無限基数」と同等ではない可能性がある状況でのデデキント無限集合の基数を指す。つまり可算選択公理が想定されていないか、成立することが知られていない状況においてこの定義を考えると、以下はすべて同等である。
m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を超限基数とすると、 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を基数とする集合 A {\displaystyle A} はデデキント無限集合である。
m + 1 = m . {\displaystyle {\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.}
א 0 ≤ m . {\displaystyle \aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.}
א 0 + n = m . {\displaystyle \aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.} であるなら n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} は基数である。
超限順序数と無限基数はどちらも自然数のみを一般化するが、超実数や超現実数を含む他の数体系は、実数の一般化を規定する。