リース函数
リース函数は、メリン変換を介してリーマンゼータ函数と関連付けられる。今
M ( R i e s z ( z ) ) = ∫ 0 ∞ R i e s z ( z ) z s d z z {\displaystyle {\mathbf {M} }({\rm {Riesz}}(z))=\int _{0}^{\infty }{\rm {Riesz(z)}}z^{s}{\frac {dz}{z}}}
とすれば、 R ( s ) > − 1 {\displaystyle \Re (s)>-1} のときに
∫ 0 1 R i e s z ( z ) z s d z z {\displaystyle \int _{0}^{1}{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}
は収束し、一方 R ( s ) < − 1 2 {\displaystyle \Re (s)<-{\frac {1}{2}}} であれば成長条件により
∫ 1 ∞ R i e s z ( z ) z s d z z {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}
は収束することが分かる。これを組み合わせることで、リース函数のメリン変換は帯状領域 − 1 < R ( s ) < − 1 2 {\displaystyle -1<\Re (s)<-{\frac {1}{2}}} の上で定義されることが分かる。
}}=x\exp(-x)}
に近付く。実際、リースは次の式を示していた: ∑ n = 1 ∞ R i e s z ( x / n 2 ) = x exp  ( − x ) {\displaystyle \ {\sum _{n=1}^{\infty }{\rm {Riesz(x/n^{2})=x\exp(-x)}}}} 。
収束加速法に対するクンマーの方法を使うことで、収束率の改善された
R i e s z ( x ) = x exp  ( − x ) − ∑ k = 1 ∞ ( ζ ( 2 k ) − 1 ) ( ( − 1 ) k + 1 ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) ) x k {\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\exp(-x)-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\zeta (2k)-1\right)\left({\frac {(-1)^{k+1}}{(k-1)!\zeta (2k)}}\right)x^{k}}
が得られる。
この手順を続けることで、収束に関するより良い性質を備える、リース函数に対する新たな級数を得ることが出来る:
R i e s z ( x ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ( k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k ( k − 1 ) !