ガウシアンビーム
ここで m は整数、 p ≥ −|m| は実数、 Γ(x) はガンマ関数、1F1(a, b; x) は合流型超幾何関数である。
超幾何ガウシアン (英: hypergeometric-Gaussian, HyGG) モードの部分集合として、ベッセル・ガウシアンモード、修正指数ガウシアンモード、修正ラゲール・ガウシアンモードがある。
超幾何ガウシアンモードは過完備基底系を成し、直交基底系ではない。このモードは全体としては複雑な分布を持つが、瞳面 (Z = 0) においては非常に単純な分布を示す。
u ( ρ , φ , 0 ) ∝ ρ p + | m | e − ρ 2 + i m φ {\displaystyle u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{p+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }}
エルミート・ガウシアンモードは共振器が回転対称でなく、水平方向と鉛直方向が同等でない場合の出力レーザーの記述に便利である。上に定義した複素パラメータ q を用いると、 x-面内の振幅分布は以下の関数に比例する。
u n ( x , z ) = ( 2 π ) 1 / 4 ( 1 2 n n ! w 0 ) 1 / 2 ( q 0 q ( z ) ) 1 / 2 [ q 0 q 0 ∗ q ∗ ( z ) q ( z ) ] n / 2 H n ( 2 x w ( z ) ) exp  [ − i k x 2 2 q ( z ) ] {\displaystyle {u}_{n}(x,z)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/4}\left({\frac {1}{2^{n}n!w_{0}}}\right)^{1/2}\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{1/2}\left[{\frac {{q}_{0}}{{q}_{0}^{\ast }}}{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right]^{n/2}H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\exp \left[-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right]}
u ( x , y , z ) = u ( x , z ) u ( y , z ) {\displaystyle {u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z)}
ここで、
u ( x , z ) = 1 q x ( z ) exp  ( − i k x 2 2 q x ( z ) ) {\displaystyle {u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right)}
u ( y , z ) = 1 q y ( z ) exp  ( − i k y 2 2 q y ( z ) ) {\displaystyle {u}(y,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{y}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}\right)}
qx(z), qy(z) はそれぞれ x, y 方向の複素ビームパラメータである。
通常の円対称(英語版)の場合、 qx(z) = qx(z) = q が成り立ち、 x + y = r とすれば下の式を得る。
u ( r , z ) = 1 q ( z ) exp  ( − i k r 2 2 q ( z ) ) {\displaystyle {u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right)}
ガウシアンビームは近軸近似の下であり得る無数のモードのうちの一つにすぎない。これらの互いに直交するモードもレーザービームのモデリングに用いられる。一般に、基底系が完全であれば、その線形結合をとることによってあらゆる実際のレーザービームを記述することができる。レーザーの設計によって、どのモードがそのレーザービームのモデルに適しているかが決まる。出力されるレーザーがある一つの高次モードによりよく近似されることもありうる。 多くのレーザー系はビームの伝播方向に直交する面での反転対称性をもつため、エルミート・ガウシアンモードが特によく用いられる。
ビームウェストからレイリー範囲 zR だけ離れた点ではビーム幅 w は以下のように与えられる。
w ( ± z R ) = 2 w 0 {\displaystyle w(\pm z_{\mathrm {R} })={\sqrt {2}}w_{0}}
この二つの点の間の距離は「共焦点パラメータ」もしくはビームの「焦点深度」と呼ばれる。
b = 2 z R = 2 π w 0 2 λ {\displaystyle b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}}
ガウシアンビームはTEMモード(英語版)の一つである。このモードの複素電場強度の数学的表式は近軸ヘルムホルツ方程式を解くことで得られ、以下のような表式を得る。
E ( r , z ) = E 0 w 0 w ( z ) exp  ( − r 2 w ( z ) 2 − i k z − i k r 2 2 R ( z ) + i ζ ( z ) ) {\displaystyle E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)}
ここに、変数は以下のように定義する。
r はビームの中心軸からの距離
z はビーム径の最も収束している点(ビームウェスト)からの中心軸方向の距離
i は虚数単位 (i = -1)
k = 2π/λ は波数(単位はラジアン毎メートル)
E0 = |E(0,0)|
w(z) はスポットサイズ(電界強度および放射照度が中心軸上の値からそれぞれ 1/e および 1/e になる半径)