スティーフェル・ホイットニー類
次元 n の多様体上で考えると、全次数 n のスティーフェル・ホイットニー類の任意の積は、与えられた Z/2Z の元を与える多様体の Z/2Z-基本類(fundamental class)、ベクトルバンドルのスティーフェル・ホイットニー数(Stiefel–Whitney number)とペアとすることができる。たとえば、多様体の次元を 3 とすると、3つの線型独立な w 1 3 , w 1 w 2 , w 3 {\displaystyle w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}} により与えられるスティーフェル・ホイットニー数が存在する。一般に、多様体の次元が n であれば、独立なスティーフェル・ホイットニー数の数は、n の分割数となる。
滑らかな多様体の接バンドルのスティーフェル・ホイットニー数を、多様体のスティーフェル・ホイットニー数を呼ぶ。
エドゥアルト・シュティーフェル (Eduard Stiefel) とハスラー・ホイットニー(Hassler Whitney)により X の i-スケルトンに限定したベクトル束 E のいたるところで線形独立な n − i + 1 個の切断を構成するための障害類(英語版)(obstruction class) の2を法とした還元として発見したことから、スティーフェル・ホイットニー類 wi(E) との名前がついている。ここに n はベクトル束 F → E → X のファイバーの次元を表す。
詳しくは、X をCW-複体(英語版)(CW complex)とすると、ホイットニーは、ツイストした係数を持つ X の i-番目の胞体コホモロジー群の中の類 Wi(E) を定義した。次元 (n − i + 1) のスティーフェル多様体(英語版)の (i-1)-番目のホモトピー群である係数系は、E の線形独立なベクトルである。ホイットニーは、Wi(E) = 0 であることと、X の i-スケルトンへ制限したときに E が n − i + 1) 個の線型独立な切断を持つことが同値であることを証明した。
このセクションでは、分類空間の考え方を使う構成を述べる。
任意のベクトル場 V に対し、Grn(V) で V の n 次元線型部分の空間であるグラスマン多様体(英語版)(Grassmannian)を表し、無限グラスマン多様体を
G r n = G r n ( R ∞ ) {\displaystyle Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbf {R} ^{\infty })}
で表す。この空間は、自然束(英語版) (tautological bundle) γ n → G r n {\displaystyle \gamma ^{n}\to Gr_{n}} の構造が入る。この自然束は、ランク n のベクトル束であり、点 W ∈ G r n ( V ) {\displaystyle W\in Gr_{n}(V)} でのファイバーが Ẃ により表現される部分空間であるようなファイバー V の自明束の部分束として定義できる。