ガンマ関数
極座標表示 ( − t ) = r e i θ {\displaystyle (-t)=re^{i\theta }} を用いると、実軸の上側に沿う部分は θ = − π {\displaystyle \theta =-\pi } で r = ∞ {\displaystyle r=\infty } から r = δ {\displaystyle r=\delta } まで、原点を回る部分は r = δ {\displaystyle r=\delta } で θ = − π {\displaystyle \theta =-\pi } から θ = π {\displaystyle \theta =\pi } まで、実軸の下側に沿う部分は θ = π {\displaystyle \theta =\pi } で r = δ {\displaystyle r=\delta } から r = ∞ {\displaystyle r=\infty } までとなる。
定義の積分表示と極限表示が一致することを示す。
G n ( z ) = ∫ 0 n t z − 1 ( 1 − t n ) n d t {\displaystyle G_{n}(z)=\int _{0}^{n}{t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}}{\rm {d}}t}
とすれば
lim n → ∞ ( 1 − t n ) n = e − t {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left(1-{\dfrac {t}{n}}\right)^{n}}=e^{-t}}
であるから直感的には
lim n → ∞ G n ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{G_{n}(z)}=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\rm {d}}t}
である。(厳密にははさみうちの原理によって証明される)t = nu の置換により
G n ( z ) = n z ∫ 0 1 u z − 1 ( 1 − u ) n d u {\displaystyle G_{n}(z)=n^{z}\int _{0}^{1}{u^{z-1}(1-u)^{n}}{\rm {d}}u}
となる.n を除く部分を gn(z) として
その留数は、
Res  ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,\,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}
である。
また、 1 / 2 {\displaystyle 1/2} に対するガンマ関数の値は、ガウス積分の結果に一致する。
Γ ( 1 2 ) = π . {\displaystyle \Gamma \!\left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.}
これより、自然数 n {\displaystyle n} に対して、
Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π , {\displaystyle \Gamma \!\left({\frac {1}{2}}+n\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }},}
が成立することがわかる。ここで ! ! {\displaystyle !!} は二重階乗を表す。この性質を利用して高次元の球の体積と表面積を求めることができる。また、
Γ ( 1 2 − n ) = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π . {\displaystyle \Gamma \!\left({\frac {1}{2}}-n\right)={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}.}
次の恒等式を相反公式(reflection formula)という。
Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = − z Γ ( z ) Γ ( − z ) = π sin  π z , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)=-z\Gamma (z)\Gamma (-z)={\frac {\pi }{\sin {{\pi }z}}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }
相補公式とも呼ばれる。 この恒等式はオイラーの乗積表示から得られる。
− z Γ ( z ) Γ ( − z ) = − z ( lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) ) ( lim n → ∞ n − z n ! ∏ k = 0 n ( − z + k ) ) = 1 z ∏ k = 1 ∞ k 2 k 2 − z 2 = π π z ∏ k = 1 ∞ k 2 − z 2 k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}-z\Gamma (z)\Gamma (-z)&=-z\left(\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(z+k)}}}\right)\left(\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{-z}n!}{\prod _{k=0}^{n}{(-z+k)}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-z^{2}}}\\&={\frac {\pi }{{\pi }z\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }\displaystyle {\frac {k^{2}-z^{2}}{k^{2}}}}}\\\end{aligned}}}
ベータ関数は以下のように表される。
B ( z 1 , z 2 ) = Γ ( z 1 ) Γ ( z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 ) = ∫ 0 1 t z 1 − 1 ( 1 − t ) z 2 − 1 d t {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt}
ここで z 1 = z 2 = z {\displaystyle z_{1}=z_{2}=z} とおくと、
Γ 2 ( z ) Γ ( 2 z ) = ∫ 0 1 t z − 1 ( 1 − t ) z − 1 d t {\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}=\int _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{z-1}\,dt}
t = 1 + x 2 {\displaystyle t={\frac {1+x}{2}}} とおくと
Γ 2 ( z ) Γ ( 2 z ) = 1 2 2 z − 1 ∫ − 1 1 ( 1 − x 2 ) z − 1 d x {\displaystyle {\frac {\Gamma ^{2}(z)}{\Gamma (2z)}}={\frac {1}{2^{2z-1}}}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{z-1}\,dx}
lim R z → + ∞ f ( z ) = lim R z → + ∞ n n z − 1 / 2 [ ∏ k = 0 n − 1 2 π z + k / n ( z + k / n e ) z + k / n ] ( 2 π ) ( n − 1 ) / 2 2 π n z ( n z e ) n z = lim R z → + ∞ z 1 / 2 [ ∏ k = 0 n − 1 z k / n − 1 / 2 ( 1 + k / n z ) z + k / n − 1 / 2 e − k / n ] = lim R z → + ∞ z 1 / 2 [ ∏ k = 0 n − 1 z k / n − 1 / 2 e k / n e − k / n ] = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\Re {z}\to +\infty }f(z)&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }{\frac {n^{nz-1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}{{\sqrt {\frac {2{\pi }}{z+k/n}}}\left({\frac {z+k/n}{e}}\right)^{z+k/n}}\right]}{(2\pi )^{(n-1)/2}{\sqrt {\frac {2{\pi }}{nz}}}\left({\frac {nz}{e}}\right)^{nz}}}\\&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }z^{1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}e^{-k/n}\right]\\&=\lim _{\Re {z}\to +\infty }z^{1/2}\left[\prod _{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}e^{k/n}e^{-k/n}\right]\\&=1\end{aligned}}}