熱核
lim t → 0 K ( t , x , y ) = δ ( x − y ) = δ x ( y ) {\displaystyle \lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (x-y)=\delta _{x}(y)}
で与えられる。ここで δ はディラックのデルタ関数で、この極限はシュワルツの超函数の意味での極限である。すなわち、コンパクトな台を持つなめらかなすべての函数 φ に対して
lim t → 0 ∫ R d K ( t , x , y ) φ ( y ) d y = φ ( x ) {\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x)}
が成り立つ。
R 内のより一般の領域 Ω について、上記のような陽的な定式化は一般に可能なものではない。次に述べる円板あるいは正方形領域の簡単な場合はそれぞれ、ベッセル函数とテータ函数を含むものである。しかし、熱核は(ディリクレ問題に対しては)任意の領域上で t > 0 に対して依然として存在し、滑らかである。実際、境界が十分正則であるような任意のリーマン多様体上で、そのような熱核は存在する。より正確に言うと、そのような一般の領域におけるディリクレ問題に対する熱核は、次の初期値境界値問題の解として与えられる。