カラテオドリの存在定理
微分方程式
y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))\,}
および初期条件
y ( t 0 ) = y 0 , {\displaystyle y(t_{0})=y_{0},\,}
を考える。ここで関数 ƒ は長方形領域
R = { ( t , y ) ∈ R × R n : | t − t 0 | ≤ a , | y − y 0 | ≤ b } {\displaystyle R=\{(t,y)\in \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}\,:\,|t-t_{0}|\leq a,|y-y_{0}|\leq b\}}
上で定義されている。ペアノの存在定理は、もし ƒ が連続関数であるならば、この微分方程式は初期条件のある近傍において少なくとも一つの解を持つ、ということを保証している。 しかし、右辺が不連続であるような微分方程式を考える場合も当然あり得る。そのような例として
y ′ ( t ) = H ( t ) , y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y'(t)=H(t),\quad y(0)=0}
が挙げられる。ただし H は
H ( t ) = { 0 , if t ≤ 0 ; 1 , if t > 0 {\displaystyle H(t)={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\leq 0;\\1,&{\text{if }}t>0\end{cases}}}