バラエティ (普遍代数学)
同一のシグネチャをもつ代数的構造のあるクラスが与えられた時、準同型、部分代数、直積の概念を定義することができる。ガレット・バーコフは同一のシグネチャをもつ代数的構造のクラスは準同型像、部分代数、直積をとる操作で閉じているとき、またそのときに限ってバラエティとなることを証明した。この普遍代数学によって根本的に重要な結果はバーコフの定理あるいはHSP(準同型[homomorphism]、部分代数[subalgebra]、直積[product]の頭文字から)定理として知られている。
いくつかの等式集合を満足する代数はHSP操作によっては性質が損なわれないことが知られている。その逆、つまりHSP操作によって保存される代数が等式集合で表現できることの証明はさらに難しい。
バーコフの定理を用いることではじめに述べたことが証明できる。体の公理がいかなる等式集合でも表現できないこと、体の直積が体でないこと、すなわち体はバラエティを構成しないことなどだ。
代数のバラエティを多項式系の解集合を表す代数多様体と混同するべきではない。2つは形式的にかなり異なり共通してもつ概念はほとんどない。
代数のバラエティという用語は一般には普遍代数を指し、さらに双線型積を備えたベクトル空間など体上の多元環のような具体的な意味も含んでいる。