ウォード＝高橋恒等式
δ ε S = ∫ ( ∂ μ ε ) J μ d d x = − ∫ ε ∂ μ J μ d d x {\displaystyle \delta _{\epsilon }S=\int \left(\partial _{\mu }\epsilon \right)J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x=-\int \epsilon \partial _{\mu }J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x}
となる。
すると、ウォード=高橋恒等式は、
⟨ δ ε F ⟩ − i ∫ ε ⟨ F ∂ μ J μ ⟩ d d x = 0 {\displaystyle \langle \delta _{\epsilon }{\mathcal {F}}\rangle -i\int \epsilon \langle {\mathcal {F}}\partial _{\mu }J^{\mu }\rangle \mathrm {d} ^{d}x=0}
となる。この等式のネーターの連続方程式の QFT における類似物は ∂ μ J μ = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0} である。
ゲージ変換が実際のゲージ対称性に対応すると、