P-群
中心に含まれる任意の部分群は正規ゆえ、先の結果から p -群の任意の極小正規部分群は中心 Z に含まれ、その位数は p となる。実際、有限 p -群のソークルは位数 p の中心元全体からなる Z の部分群になる。
G が p-群ならば G/Z もまた p-群であり、したがってその中心もまた自明でない。G/Z の中心の G における原像は、二次の中心と呼ばれ、以下同様に繰り返して昇中心列(英語版)が定義される。ソークルに関して先に述べたことを一般化すれば、位数 p の有限 p-群は 0 ≤ i ≤ n なる各 i に対して位数 p の正規部分群を含み、また位数 p の任意の正規部分群は i-次の中心 Zi に含まれる。ある正規部分群が Zi に含まれないならば、その正規部分群と Zi+1 との交わりの位数は p 以上である。
位数が p で割れる任意の有限群 G はコーシーの定理から得られる位数 p の元が生成する非自明な p-群を含む。また G はシロー p-部分群と呼ばれる可能な限り最大の p-群を含む。すなわち |G| = pm かつ p は m を割らないとすれば G は位数 p の部分群 P を含む。シロー p-部分群は一つではないが全て互いに共役であり、G の任意の p-部分群は必ずいずれかのシロー p-部分群に含まれる。
p = 2 かつ n = 2 のとき W(n) は位数 8 の二面体群であるから、ある意味で W(n) は n = 2 のときには二面体群の一般の素数 p への一般化を与えていると理解することができる。しかしこれをより大きな n についての類推とするのは相当でない。それよりはもっと位数 2 の二面体群と類似の群の族が知られているが、それは W(n) よりは構成に手順を要する。まず ζ を 1 の原始 p-乗根となる複素数として、それが生成する円分整数環 Z[ζ] および 1−ζ の生成する素イデアル P を考える。また G を z を生成元とする位数 p の巡回群とする。z が ζ を掛ける操作として作用するときの Z[ζ] と G との半直積 E(p) を作れば、冪 P はいずれも E(p) の正規部分群であり、また所期の群の族が E(p, n) = E(p)/P で与えられる。この群 E(p, n) は位数 p かつ冪零度 n であるから、冪零度最大の p-群である。特に p = 2 のとき E(2, n) は位数 2 の二面体群になる。奇素数 p に対して W(2) と E(p, p) はともに冪零度最大の非正則群で位数は p だが、これらは互いに同型ではない。