局所コンパクト空間
後の節において述べるとおり、ハウスドルフ空間が局所コンパクトならば、それは必ずチホノフ(英語版) である(チホノフでないハウスドルフ空間の例については該当の項を参照のこと)が、逆に局所コンパクトでないようなチホノフ空間の例は存在する。
有理数の空間 Q(に R の通常の位相からの相対位相を入れたもの)は、その任意のコンパクト部分集合が内点を持たないから、それをコンパクト近傍として持つ点も存在しない。
座標平面 R の部分空間 {(0, 0)} ∪ {(x, y) | x > 0} は原点がコンパクト近傍を持たない。
実数全体の成す集合 R に 下極限位相(英語版) または 上極限位相(英語版) を入れたもの(片側極限の研究に有用)。
無限次元ヒルベルト空間のような、任意のT0な(従ってハウスドルフな)無限次元位相線型空間。
前二者は局所コンパクト空間の部分集合が必ずしも局所コンパクトではないことを示すもので、開または閉な部分集合を考えて前節での例と対照的である。後者は前節のユークリッド空間との対照であり、これははっきりと、ハウスドルフ位相線型空間が局所コンパクトであるための必要十分条件はそれが有限次元(つまりユークリッド空間の場合)であることであると述べられる。あるいはまた、コンパクト空間の例としてのヒルベルト立方体との対比と見れば、この超立方体がヒルベルト空間のどの点の近傍ともならないことから、矛盾しない。
局所コンパクトハウスドルフ空間 Y の部分空間 X が局所コンパクトであるための必要十分条件は、X が Y の二つの閉部分集合の(集合論的)差に書けること、つまり、 X の閉部分集合と開部分集合の共通部分になることである。その系として、局所コンパクトハウスドルフ空間の稠密部分集合 X が局所コンパクトであるための必要十分条件は、X が Y の開部分集合となることである。さらに言えば、「任意」のハウスドルフ空間 Y の部分空間 X が局所コンパクトならばやはり Y の二つの閉部分集合の差には書けるが、この場合逆は成り立たない。
局所コンパクトハウスドルフ空間の商空間はコンパクト生成(英語版) (compactly generated) である。逆に、任意のコンパクト生成ハウスドルフ空間は、ある局所コンパクトハウスドルフ空間の商として得られる。
局所コンパクト空間においては、局所一様収斂とコンパクト収斂の概念は一致する。