リッチテンソル
この式は計量の行列式の自乗根を展開すれば得られる。
したがって、リッチ曲率 Ric(ξ, ξ) がベクトル ξ の向きに正であるならば、ξ の周りの小円錐に収まる初速度をもって p から発し、強収束する短測地線の族が掃く M 上の円錐領域の体積と、ユークリッド空間における対応する円錐領域の体積を比べると、小さな球面楔形(英語版)の表面積が対応するユークリッド空間上の扇形の面積よりも小さいのと同様、後者が小さくなる。類似して、リッチ曲率がベクトル ξ 方向に負であるならば、多様体上のそのような円錐領域の体積はユークリッド空間におけるものよりも大きくなる。
本質的には、リッチ曲率は曲率の ξ を含む平面にわたる平均である。従って、元は円形(もしくは球形)断面をもって発せられた円錐が、楕円(もしくは楕円体)に歪められるとき、それぞれの主軸に沿った歪みが打ち消しあって体積変化がなくなることがありうる。このような場合、リッチ曲率は ξ に沿って零となる。よって、物理学への応用の文脈でいえば、非零の断面曲率があることは、必ずしもそこに局所的に質量が存在することを意味しない。もし、最初は円形断面を持っていた世界線の円錐が後に楕円になるならば、これは別の場所にある質量の潮汐効果によるものである。
リッチテンソルは任意のアフィン接続へ一般化でき、射影幾何(パラメトライズされない測地線に関連する幾何学)において特に重要な役割を果す不変量である (Nomizu & Sasaki 1994)。 ∇ {\displaystyle \nabla } と書くこととすると、曲率テンソル R は任意のベクトル場 X, Y, Z に対して次のように定義される (1, 3) テンソルである。
R ( X , Y ) Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [ X , Y ] Z {\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}
リッチテンソルは次のようにトレースで定義される。
ric  ( X , Y ) = tr  ( Z ↦ R ( Z , X ) Y ) {\displaystyle \operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} (Z\mapsto R(Z,X)Y)}
この、より一般の場合では、リッチテンソルは局所的に接続の平行体積形式があるときにのみ対称となる。