環上の射影直線
複素数平面における実数直線は射影化で円となり、メビウス変換によって他の実直線に写される(という議論は実際には実射影直線の複素射影直線への標準埋め込みに関して言う)。複素数体 C を実数体 R 上の多元環と見れば、この状況を体 F 上の多元環 A に対して一般化して考えることができる。P(F) の P(A) の中への標準埋め込みは
U F ( x , 1 ) ↦ U A ( x , 1 ) , U F ( 1 , 0 ) ↦ U A ( 1 , 0 ) {\displaystyle U_{F}(x,1)\mapsto U_{A}(x,1),\quad U_{F}(1,0)\mapsto U_{A}(1,0)}
で与えられる。これによる P(F) の埋め込み像を P(A) の任意の射影変換で写した像を鎖 (chain) と呼ぶ。鎖に四点が載るための必要十分条件は、それら四点の複比 F に属することである。カール・フォンシュタウト(英語版)はこの性質を自身の reeler Zug(実茎)論において顕わにした