レトラクト (位相幾何学)
X を位相空間とし,A を X の部分空間とする.このとき連続写像
r: X → A
がレトラクション (retraction) であるとは,r の A への制限が A 上の恒等写像であること,つまりすべての a ∈ A に対して r(a) = a であるときにいう.同じことであるが,
ι : A ↪ X {\displaystyle \iota \colon A\hookrightarrow X}
によって包含写像を表せば,レトラクションとは連続写像 r であって
r ∘ ι = id A {\displaystyle r\circ \iota =\operatorname {id} _{A}}
なるもの,つまり, r の包含との合成が A の恒等写像であるものをいう.定義により,レトラクションは X から A の全射であることに注意.部分空間 A はそのようなレトラクションが存在するときに X のレトラクト (retract) と呼ばれる.例えば,任意の空でない空間は明らかな方法で点にレトラクトする(定値写像がレトラクションとなる).X がハウスドルフならば,A は X の閉集合でなければならない.
r: X → A がレトラクションならば,合成 ι∘r は X から X への冪等連続写像である.逆に,任意の冪等連続写像 s: X → X が与えられると,終域の制限によって s の像の上へのレトラクションを得る.