バナッハ＝アラオグルの定理
Xの任意の開被覆 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に対し、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} のある有限部分集合 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} が存在し、 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} はXを被覆する。ここでXの開被覆 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} とは、Xの開集合の族で ∪ O ∈ S O = X {\displaystyle \cup _{O\in {\mathcal {S}}}O=X} を満たすものを指す。
ノルム位相に対してはリースの補題から直接的に次の事実が従う:
命題 ― R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上のノルム空間Vの閉単位球がノルム位相に関してコンパクトである必要十分条件はVが有限次元である事である。
したがって無限次元の場合、Vの閉単位球はノルム位相に関してコンパクトではない。
ブルバキ=アラオグルの定理(Bourbaki-Alaoglu theorem)は、ニコラ・ブルバキによる局所凸位相ベクトル空間上の双対位相へのバナッハ=アラオグルの定理の一般化である。
定理 (ブルバキ=アラオグルの定理) ― 連続双対 X ' を持つ分離された局所凸空間 X が与えられたとき、X 内の任意の近傍 U の極 U は、X ' 上の弱位相 σ(X ',X) においてコンパクトである。
ノルム線型空間の場合、近傍の極はその双対空間において閉かつノルム有界である。例えば、単位球の極はその双対において閉単位球である。したがって、ノルム位相空間(したがってバナッハ空間)に対して、ブルバキ=アラオグルの定理はバナッハ=アラオグルの定理と同値である。
X 内の任意の x に対し、
D x = { z ∈ C : | z | ≤ ‖ x ‖ } , {\displaystyle D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq \|x\|\},}
と
D = Π x ∈ X D x {\displaystyle D=\Pi _{x\in X}D_{x}}
を定める。
以上の事からBのコンパクト性を示すには、μ(B)が D V ⊂ F ( V , K ) {\displaystyle D^{V}\subset F(V,K)} で閉集合な事を示せば良い。これを示すためにμ(B)と D V {\displaystyle D^{V}} の関係を調べる。 D V {\displaystyle D^{V}} を(線形とは限らない)写像の集合 F ( V , K ) {\displaystyle F(V,K)} の部分集合とみなしたとき、
ν ∈ D V = ∏ x ∈ V D x ⟺ ∀ x ∈ V : | ν ( x ) | ≤ ‖ x ‖ V ⟺ sup x ∈ V ∖ { 0 } | ν ( x ) | ‖ x ‖ V ≤ 1 and ν ( 0 ) = 0 {\displaystyle \nu \in D^{V}=\prod _{x\in V}D_{x}\iff \forall x\in V~:~|\nu (x)|\leq \|x\|_{V}\iff \sup _{x\in V\setminus \{0\}}{|\nu (x)| \over \|x\|_{V}}\leq 1{\text{ and }}\nu (0)=0}
なので、作用素ノルム ‖ ⋅ ‖ V ∗ {\displaystyle \|\cdot \|_{V^{*}}} の定義より、
μ ( B ∗ ) = { ν ∈ D V | ν {\displaystyle \mu (B^{*})={\bigg \{}\nu \in D^{V}{\bigg |}\nu } は線形 } {\displaystyle {\bigg \}}}