ロトカ・ヴォルテラの競争方程式
重定南奈子、日本数理生物学会(編)、1993、「第1章 数理生態学」、『生命・生物科学の数理』、岩波書店〈岩波講座 応用数学 4 [対象 8]〉 ISBN 4-00-010514-0 pp. 1–26
日本数理生物学会(編)、瀬野裕美(責任編集)、2008、『「数」の数理生物学』初版、共立出版〈シリーズ 数理生物学要論 巻1〉 ISBN 978-4-320-05675-6
ジェームス・D・マレー、三村昌泰(総監修)、瀬野裕美・河内一樹・中口悦史・三浦岳(監修)、勝瀬一登・吉田雄紀・青木修一郎・宮嶋望・半田剛久・山下博司(訳)、2014、『マレー数理生物学入門』初版、丸善出版 ISBN 978-4-621-08674-2
巌佐庸、1990、『数理生物学入門―生物社会のダイナミックスを探る』初版、HBJ出版局 ISBN 4-8337-6011-8
寺本英、川崎廣吉・重定南奈子・中島久男・東正彦・山村則男(編)、1997、『数理生態学』初版、朝倉書店 ISBN 4-254-17100-5
モデルを導出する過程には様々なものがあるが、典型的にはロトカ・ヴォルテラの競争方程式はロジスティック方程式の拡張として導入できる。簡単な状況から始めるために、2種ではなく、他の種と生物間相互作用を持たない1種のみが環境内に存在する場合を考える。種が1つであっても、各個体は限られた資源(食料や生息場所)を競い合う。そのため、個体数が増えるほど個体数増加は落ち着いていき、ある程度の個体数で飽和すると考えられる。それを簡潔に表したのがロジスティック方程式で
d N d t = r N ( 1 − N K ) {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN\left({1-{\frac {N}{K}}}\right)}
という常微分方程式で表される。ここで、t は時間、N は個体数、dN/dt は N の時間微分で個体数増加率を示す。r は内的自然増加率と呼ばれる、K は環境収容力と呼ばれる正の定数である。右辺の (1 − N/K) が個体数が増えるほど個体数増加率を抑える効果を与えている。
ここにもう一種が加わり、元からいた種と限られた資源を巡って競争する状況が考えられる。それぞれの種を「種1」「種2」と呼ぶとする。種1の存在は、種2の繁殖を阻害する。種1にとっても、種2の存在は繁殖を邪魔する。このように、競争関係にある2つの種が存在するとき、お互いの存在がそれぞれの個体数増殖に相互にマイナスの影響を与える。