代数的K理論
この定義はハイマン・バス(英語版)(Hyman Bass)により与えられた。K1(A) は無限一般線形群(英語版)(infinite general linear group)のアーベル化である。
K 1 ( A ) = GL  ( A ) ab = GL  ( A ) / [ GL  ( A ) , GL  ( A ) ] {\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}
ここに、
GL  ( A ) = colim  GL  ( n , A ) {\displaystyle \operatorname {GL} (A)=\operatorname {colim} \operatorname {GL} (n,A)}
は左上へのブロック行列としての埋め込み GL(n) → GL(n + 1) の帰納極限であり、[GL(A), GL(A)] はそれの交換子部分群である。 [GL(A), GL(A)] はホワイトヘッドの補題(英語版)(Whitehead's lemma)により、基本行列(対角成分が全て1で、0でない非対角成分をただひとつ持つ行列)から生成される群 E(A) = [GL(A), GL(A)] と一致する。実際、群 GL(A)/E(A) はホワイトヘッドにより最初に定義され、研究され、環 A のホワイトヘッド群(Whitehead group)と呼ばれる。