ヴァイエルシュトラスの楕円函数
と書ける。
また、加法公式
℘ ( z + y ) = 1 4 { ℘ ′ ( z ) − ℘ ′ ( y ) ℘ ( z ) − ℘ ( y ) } 2 − ℘ ( z ) − ℘ ( y ) {\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y)}
および、2z が周期でない限りにおいて倍数公式
℘ ( 2 z ) = 1 4 { ℘ ′′ ( z ) ℘ ′ ( z ) } 2 − 2 ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z)}
が成り立つ。
ペー函数の満たすいくつかの性質を以下に示す。
| ℘ ( z ) ℘ ′ ( z ) 1 ℘ ( y ) ℘ ′ ( y ) 1 ℘ ( z + y ) − ℘ ′ ( z + y ) 1 | = 0. {\displaystyle {\begin{vmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{vmatrix}}=0.}
これの対称版は u + v + w = 0 として
| ℘ ( u ) ℘ ′ ( u ) 1 ℘ ( v ) ℘ ′ ( v ) 1 ℘ ( w ) ℘ ′ ( w ) 1 | = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{vmatrix}}=0}