テンソル空間
数学におけるテンソルの座標に依らない(英語版)現代的な取扱いは、テンソル空間(テンソルくうかん、英: tensor space)と呼ばれる抽象代数学的な対象の元として、ある種の多重線型性によって表される。よく知られたテンソルの古典的な性質の数々はそれらの定義から導かれ、テンソルに対する操作に関する規則は線型代数学から多重線型代数学への理論の拡張をもたらす。
このような座標に依らない記述法は、テンソルが自然に現れる抽象代数学およびホモロジー代数においても重々用いられる。
一方、物理学において慣例的に用いられる座標に基づくテンソルの添字表記法は、テンソル空間の元 Ξ を、台となるベクトル空間 V の基底とその双対空間 V の双対基底を用いて
Ξ = ∑ ξ i j ... k l ... ( e k ⊗ e l ⊗ ⋯ ) ⊗ ( f i ⊗ f k ⊗ ⋯ ) {\displaystyle \Xi =\sum \xi _{ij\ldots }^{kl\ldots }(e_{k}\otimes e_{l}\otimes \cdots )\otimes (f^{i}\otimes f^{k}\otimes \cdots )}
と展開するときの、スカラー成分
ξ i j ... k l ... {\displaystyle \xi _{ij\ldots }^{kl\ldots }}
として理解することができる(擬テンソルなどはこの構成に含まれず一般テンソル空間を考える必要がある)。