ルンゲ・グロスの定理
∂ k + 2 ∂ t k + 2 ( ρ ( r , t ) − ρ ′ ( r , t ) ) | t = t 0 = − ∇ ⋅ ∂ k + 1 ∂ t k + 1 ( j ( r , t ) − j ′ ( r , t ) ) | t = t 0 = − ∇ ⋅ [ ρ ( r , t 0 ) ∇ ∂ k ∂ t k ( v ( r , t ) − v ′ ( r , t ) ) | t = t 0 ] = − ∇ ⋅ [ ρ ( r , t 0 ) ∇ u k ( r ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial ^{k+2}}{\partial t^{k+2}}}(\rho ({\boldsymbol {r}},t)-\rho '({\boldsymbol {r}},t))\right|_{t=t_{0}}&=-\nabla \cdot \left.{\frac {\partial ^{k+1}}{\partial t^{k+1}}}{\big (}{\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)-{\boldsymbol {j}}'({\boldsymbol {r}},t){\big )}\right|_{t=t_{0}}\\&=-\nabla \cdot \left[\rho ({\boldsymbol {r}},t_{0})\nabla \left.{\frac {\partial ^{k}}{\partial t^{k}}}{\big (}v({\boldsymbol {r}},t)-v'({\boldsymbol {r}},t){\big )}\right|_{t=t_{0}}\right]\\&=-\nabla \cdot [\rho ({\boldsymbol {r}},t_{0})\nabla u_{k}({\boldsymbol {r}})]\end{aligned}}}
したがって、上式の左辺が非零になるような k が存在するならば2つの密度分布は異るといえる。左辺が消えないことは、背理法を用いて示すことができる。期待する結果の否定、すなわちすべての k に対して
最後の行から、2つのスカラーポテンシャルが、t0 において空間に依存しない関数以上の差異を持つならば、それらの生成する確率流束は t0 の後に無限小だけ異なることがわかる。2つのポテンシャルが t0 においては同一である場合も、uk(r) ￼≠￼ 0 を満たす k が必ず存在するので、ハイゼンベルク方程式を繰り返し適用した下式
i k + 1 ∂ k + 1 ∂ t k + 1 ( j ( r , t ) − j ′ ( r , t ) ) | t = t 0 = i ρ ( r , t ) ∇ i k ∂ k ∂ t k ( v ( r , t ) − v ′ ( r , t ) ) | t = t 0 {\displaystyle i^{k+1}\left.{\frac {\partial ^{k+1}}{\partial t^{k+1}}}{\big (}{\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {r}},t)-{\boldsymbol {j}}'({\boldsymbol {r}},t){\big )}\right|_{t=t_{0}}=i\rho ({\boldsymbol {r}},t)\nabla i^{k}\left.{\frac {\partial ^{k}}{\partial t^{k}}}{\big (}v({\boldsymbol {r}},t)-v'({\boldsymbol {r}},t){\big )}\right|_{t=t_{0}}}
から、確率流束が t0 の後で無限小だけ異ることが保証される。