ソボレフ不等式
数学の解析学の分野には、ソボレフ空間のノルムを含むノルムに関して、ソボレフ不等式(ソボレフふとうしき、英: Sobolev inequality)の類が存在する。それらは、ある種のソボレフ空間の間の包含関係を与えるソボレフ埋蔵定理(Sobolev embedding theorem)や、わずかに強い条件の下でいくつかのソボレフ空間は別のものにコンパクトに埋め込まれることを示すレリッヒ=コンドラショフの定理を証明するために用いられる。セルゲイ・ソボレフの名にちなむ。
この場合、u ∈ L(U) である。但し
1 q := 1 p − k n {\displaystyle {\frac {1}{q}}:={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}}
である。さらに次の評価が成り立つ。
‖ u ‖ L q ( U ) ≤ C ‖ u ‖ W k , p ( U ) {\displaystyle \|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}}
この定数 C は k, p, n と U にのみ依存する。