ガウス積分
被積分関数が偶関数ゆえ
∫ − ∞ ∞ exp  ( − x 2 ) d x = 2 ∫ 0 ∞ exp  ( − x 2 ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp(-x^{2})\,dx=2\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,dx}
が成り立ち、これに変数変換 x = t を行えばオイラー積分
2 ∫ 0 ∞ exp  ( − x 2 ) d x = 2 ∫ 0 ∞ 1 2 exp  ( − t ) t − 1 / 2 d t = Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{2})\,dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\exp(-t)\,t^{-1/2}\,dt=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}
が得られる。ここで Γ はガンマ関数。この式は、半整数値の階乗が √π の有理数倍となる理由を示している。より一般に、
∫ 0 ∞ exp  ( − a x b ) d x = 1 b a − 1 / b Γ ( 1 b ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\exp(-ax^{b})\,dx={\frac {1}{b}}a^{-1/b}\,\Gamma \left({\frac {1}{b}}\right)}
が成り立つ。