長さの収縮
磁力は、電子が原子核に対して相対的に運動しているときの相対論的収縮により生じる。通電線の横を運動する電荷にかかる磁力は、電子と陽子の相対論的運動の結果である。
1820年、アンドレ=マリ・アンペールは同じ方向の電流が流れる平行電線が互いに引き合うことを示した。電子にとっては、電線がわずかに収縮し反対側の電線の陽子が局所的に「密になる」。反対側の電線の電子も同じように運動しているので、(同じくらい)収縮しない。この結果、電子と陽子の間に見かけ上の局所的な不均衡が生じる。一方の電線で運動している電子は、もう一方の電線の余剰な電子に引き寄せられる。逆も考えられる。静止した電子の基準系に対して、電子は運動し収縮しており、同じ不均衡が生じる。電子のドリフト速度は時速1メートルのオーダーと比較的遅いが、電子と陽子の間の力は非常に大きいため、非常に遅い速度でも相対論的収縮が大きな影響を与える。
この効果は電流のない磁性粒子にも電流を電子スピンに置き換えて適用される。
幾何学的な考察を加えると、長さの収縮は三角法の現象とみなすことができ、Eにおける回転の前後に直方体を通る平行な切片に類似している(右の左半分の図参照)。これはEの直方体を押し上げるユークリッド的な類似である。しかし、後者の場合は押し上げられた直方体を動く板の世界スラブ(world slab)と解釈することができる。
画像: 左: 3次元ユークリッド空間Eで回転した直方体。断面は回転前よりも回転方向に長くなっている。右: ミンコフスキー時空(1つの空間次元が隠された)Eにある動く薄板の世界スラブで、押し上げられた直方体。押し上げられた方向の断面がその前よりも薄くなっている。いずれの場合も横方向は影響を受けず、直方体のそれぞれの隅で重なる3つの平面は相互に直交している(右はEの意味で、左はEの意味で)。
特殊相対性理論では、ポアンカレ変換はアフィン変換の1つであり、慣性運動の代わりの状態(および原点の選び方の違い)に対応するミンコフスキー時空上の代わりのデカルト座標図の間の変換として特徴づけられる。ローレンツ変換は線形変換である(原点を維持する)ポアンカレ変換である。ローレンツ変換は、ミンコフスキー幾何学では、ユークリッド幾何学で回転がする役割と同じ役割をする(ローレンツ群は時空の自己等長の等方群を形成する)。実際、特殊相対性理論は以下の表で示されるように、主にミンコフスキー時空の一種の非ユークリッド三角法を勉強することに帰着する。