超越数
(マーラー)
0 < | α | < 1 {\displaystyle \scriptstyle 0<|\alpha |<1} である代数的数 α {\displaystyle \scriptstyle \alpha } に対する、 ∏ k = 0 ∞ ( 1 − α k ) {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{k=0}^{\infty }(1-\alpha ^{k})} 。(ネステレンコ)
σ k ( n ) ( k = 1 , 3 , 5 ) {\displaystyle \sigma _{k}(n)\ (\scriptstyle k=1,\ 3,\ 5)} を約数関数とする。 0 < | α | < 1 {\displaystyle \scriptstyle 0<|\alpha |<1} である代数的数 α {\displaystyle \scriptstyle \alpha } に対する、 ∑ n = 1 ∞ σ k ( n ) α n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\sigma _{k}(n)\alpha ^{n}} 。(ネステレンコ)
(5) 逆数和からなる級数が超越数となる例
| a | ≥ 2 {\displaystyle \scriptstyle |a|\geq 2} を満たす整数 a {\displaystyle a} に対する、 ∑ k = 0 ∞ 1 a 2 k + 1 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{a^{2^{k}}+1}}} 。
代数学の標準的な記号 Q [ x ] {\displaystyle \mathbb {Q} [x]} で有理数係数多項式全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って A と書けば、超越数全体の集合は
C ∖ A = { a ∈ C ∣ 0 ≠ ∀ p ( x ) ∈ Q [ x ] , p ( a ) ≠ 0 } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus A=\{a\in \mathbb {C} \mid 0\neq \forall p(x)\in \mathbb {Q} [x],\;p(a)\neq 0\}}
となる( C {\displaystyle \mathbb {C} } は複素数、 ∖ {\displaystyle \setminus } は差集合、 C ∖ A {\displaystyle \mathbb {C} \setminus A} は「複素数のうち代数的数以外の数の集合」)。
なお、本稿では log を自然対数とする。
このとき、 0 ≤ w ( α ) ≤ ∞ {\displaystyle \scriptstyle 0\leq w(\alpha )\leq \infty } が成立する。
また、 μ ( α ) = inf { n | w n ( α ) = ∞ } {\displaystyle \scriptstyle \mu (\alpha )=\inf\{n|w_{n}(\alpha )=\infty \}} とする。ただし、 w ( α ) < ∞ {\displaystyle \scriptstyle w(\alpha )<\infty } の場合、 μ ( α ) = ∞ {\displaystyle \scriptstyle \mu (\alpha )=\infty } とする。
この w ( α ) , μ ( α ) {\displaystyle \scriptstyle w(\alpha ),\ \mu (\alpha )} を用いて、マーラーは、複素数を以下のように分類した。これをマーラーの分類 (Mahler's classification) と呼ぶ。
α {\displaystyle \alpha } は、A 数 (A-number) である。