アーラン分布
Sn をパラメータ λ および n のアーラン分布に従う連続確率変数とし、N(t) をパラメータ λt(ただし t > 0)のポアソン分布に従う離散確率変数とすると、両者の間には
P ( S n ≤ t ) = P ( N ( t ) ≥ n ) {\displaystyle P(S_{n}\leq t)=P(N(t)\geq n)}
なる関係が成立する。これはアーラン分布の累積分布関数の形から明らかであるが、指数分布を用いた説明も可能である。すなわち、互いに独立で同一の指数分布に従う時間間隔で生起する事象列を観測するとき、Sn は n 回目の事象が生起した時点であり、N(t) は時点 t までに生起した事象の数を意味する。「n 回目の事象が生起した時点が t 以前である」という事象は、「時点 t までに少なくとも n 回の事象が起きている」という事象と等しいため、この等式が成立する。