3人の子供の年齢のパズル
なぜなら、 P 0 {\displaystyle P_{0}} を既知の項とするとき、 P 0 < q {\displaystyle P_{0}<q} となる任意の素数に対し P := q 3 P 0 {\displaystyle P:=q^{3}P_{0}} もまたこの数列に並ぶからである。これは、 P 0 {\displaystyle P_{0}} を積とする自然数の三つ組に素因数 q , q , q {\displaystyle q,q,q} を割り振るあらゆる方法(三つ組のうち1つに q 3 {\displaystyle q^{3}} を掛ける、1つに q 2 {\displaystyle q^{2}} を掛けもう1つに q {\displaystyle q} を掛ける、等)をリストアップしたとき、和も一致するのは「元々和が等しかったものどうしに ( q , q , q ) {\displaystyle (q,q,q)} を掛け合わせたもの」に限られる(素因数に着目した比較を行えばよい)ことからわかる。
ここでは積 P {\displaystyle P} が72と36の場合について述べたが、他の自然数であっても問題を成り立たせる(一意的な解が存在するようにする)ことはできる。例えば、 P = 51597 {\displaystyle P=51597} を積とするような自然数の三つ組は48通りあるが、それらのうち和も一致するようなものは (13,63,63)と(21,27,91)、(7,63,117)と(13,27,147)、(1,189,273)と(9,13,441) の3ペアである。よって問題の解は (21歳,27歳,91歳) と定まる。
このような P {\displaystyle P} を小さいほうから並べると 36,72,225,288,... となり、この数列は無限に続く。