底に関する指数函数
a ≠ 1 は真に正の実数とすると、底 a に対する対数函数 loga: R×+ → R は全単射である。底 a に対する指数函数 expa とは、その逆函数を言う: y = exp a  ( x ) ( x ∈ R ) : ⟺ def x = log a  ( y ) ( y ∈ ] 0 , + ∞ [ ) . {\displaystyle y=\exp _{a}(x)\quad (x\in \mathbb {R} ):\!\!\!\!{\stackrel {\text{def}}{{}\iff {}}}x=\log _{a}(y)\quad (y\in ]0,+\infty [).}
対数函数は、連続で、積を和に写し、a において値 1 をとるから、その逆函数は、連続で、和を積に写し、1 において値 a をとることが分かる。
実解析における底 a の指数函数(しすうかんすう、英: exponential of base a)expa は、実数 x を実数 a へ写す函数である。これが実函数として意味を持つのは a が真に正の実数であるときに限る。これは自然数全体で定義された n を a へ写す函数の、実数全体を定義域とする拡張である。したがってこれを、幾何数列の連続版と見ることができる。自然指数函数と自然対数函数を用いれば、 exp a  ( x ) = a x = e x ln  ( a ) {\displaystyle \exp _{a}(x)=a^{x}=e^{x\ln(a)}} と書くことができる。a を底とする指数函数を、1 において値 a をとり、和を積に変換する、R 上で定義された唯一の連続函数として定義することもできる。a ≠ 1 に対し、底 a の対数函数の逆函数であり、その意味でこれらを逆対数函数(真数函数)と呼ぶこともある。a = e のとき、自然指数・自然対数に対応する。自然指数函数は、自身の導函数に比例し、0 において値 1 をとる唯一の R 上の可微分函数である。
これらは母集団の大きさに比例する増大率を持つ物理的・生物学的現象のモデルとして用いることができる。
より一般に、適当なスカラー倍 N⋅a も含めた意味で指数函数と呼ぶ場合もあるが、本項ではそのような意味では用いない。