時不変系
シフト作用素を T r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}} と表す。ここで、 r {\displaystyle r} はベクトルの添え字群がシフトされるべき量である。例えば、"advance-by-1" 系
x ( t + 1 ) = δ ( t + 1 ) ∗ x ( t ) {\displaystyle x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)}
は、ここでの抽象的記法では次のようになる。
x ~ 1 = T 1 x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}}
ここで、 x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} は次の式で与えられる関数である。
∀ t ∈ R x ~ = x ( t ) {\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}=x(t)}
シフトされた出力となる系は次のようになる。
∀ t ∈ R x ~ 1 = x ( t + 1 ) {\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)}