円周率
次の数は超越数か? π ± e , π e , π e , π π , π e , π 2 , e π 2 {\displaystyle \pi \pm e,\,\pi e,\,{\frac {\pi }{e}},\,\pi ^{\pi },\,\pi ^{e},\,\pi ^{\sqrt {2}},\,e^{\pi ^{2}}}
π は正規数か?
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\\b_{n+1}&={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\\t_{n+1}&=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\\p_{n+1}&=2p_{n}.\end{aligned}}} π の算出:円周率 π は、an, bn, tn を用いて以下のように近似される。 π ≈ 1 4 t n ( a n + b n ) 2 {\displaystyle \pi \approx {\frac {1}{4t_{n}}}(a_{n}+b_{n})^{2}}
非常に収束が早く、金田康正が1995年に42億桁、2002年に1.24兆桁を計算したスーパー π に使われていた。
n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} (スターリングの近似。f (n) ∼ g(n) は lim n → ∞ f ( n ) g ( n ) = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1} を表す)
1 π = 2 2 99 2 ∑ n = 0 ∞ ( 26390 n + 1103 ) ⋅ ( 4 n ) ! ( 4 n 99 n ⋅ n ! ) 4 {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(26390n+1103)\cdot (4n)!
f ( x ) = 1 σ 2 π exp  [ − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ] {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp {\biggl [}-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}{\biggr ]}} (正規分布の確率密度関数)
幅 1 の無数の平行線の上から長さ 1/2 の針を落とすとき、その針が直線と共有点を持つ確率は 1/π である(ビュフォンの針)。
円という日常でもよく知られた図形についての単純な定義でありながら、小数部分が循環せずに無限に続くという不可思議さから、数学における概念の中で最もよく知られたものの一つである。
3月14日は円周率の日および数学の日である。小数点以下が「永遠に続く」という意味にあやかり、3月14日に結婚するカップルもいる。また、π (pi) とパイ (pie) は同音異義語であること、パイが円形であることから、アメリカ合衆国など複数の国で「パイの日」として祝われ、パイ焼きやパイ食のほか、数学に関係した活動が行われる。
7月22日は円周率近似値の日とされている(22/7 は円周率の近似値)。
1999年の学習指導要領の改訂により「小学校の算数で円周率は3で計算することになる」との噂が世間に広まったが、実際には必要に応じて3で計算することも可能にするための措置であった。
2012年8月14日、米国勢調査局が、米国の人口が円周率と同じ並びの3億1415万9265人に達したと発表した。アメリカには円周率の曲を作る人もいる。
組版処理ソフトウェア TeX のバージョン番号は、3.14, 3.141, 3.1415, ... というように、更新の度に円周率に近づいていくように一桁ずつ増やされる。
.. (オンライン整数列大辞典の数列 A000796)
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} (オイラーの等式)
∑ k = 0 n − 1 e i ⋅ 2 π k n = 0 {\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}e^{i\cdot {\frac {2\pi k}{n}}}=0} (n は 2 以上の整数)
後者はオイラーの等式の一般化であり、1 の n乗根の総和は 0 になることを示している。n = 2 とするとオイラーの等式になる。