函数の全微分
∂ f ∂ y i ( p ) = d d t ( f ∘ γ i ( t ) ) | t = 0 = ∂ ∂ x i ( f ∘ y − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}(p)=\left.{\frac {d}{\mathit {dt}}}(f\circ \gamma _{i}(t))\right|_{t=0}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f\circ y^{-1})(0)}
と偏微分を得ることができる。先の例と同様に dy: TpM → R は写像 y: U → R の全微分とすれば、これは T∗pM の元であって、·γi(0) の双対基底を成し、上記は
d f ( p ) = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ y i ( p ) d y i {\displaystyle {\mathit {df}}(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}(p)\,{\mathit {dy}}^{i}}
と書ける。
接ベクトル v ∈ TpM を導分(ドイツ語版)(微分作用素)と見れば、df(p)(v) = v(f) を得る。