池田写像
非線形誘電体の飽和効果を考慮に入れ、オリジナルの池田写像に修正を施した以下の形で使用される事が多い。
z n + 1 = A + B z n e i K / ( | z n | 2 + 1 ) + C {\displaystyle z_{n+1}=A+Bz_{n}e^{iK/(|z_{n}|^{2}+1)+C}}
上記を実2次元平面に描く場合、
x n + 1 = 1 + u ( x n cos  t n − y n sin  t n ) , {\displaystyle x_{n+1}=1+u(x_{n}\cos t_{n}-y_{n}\sin t_{n}),\,}
y n + 1 = u ( x n sin  t n + y n cos  t n ) , {\displaystyle y_{n+1}=u(x_{n}\sin t_{n}+y_{n}\cos t_{n}),\,}
となる。ここで、uはパラメータであり、
t n = 0.4 − 6 1 + x n 2 + y n 2 . {\displaystyle t_{n}=0.4-{\frac {6}{1+x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}.}
である。幾つかの値のuでは、この系はカオスな振る舞いを示す。
以下の図は、 u {\displaystyle u} の値を変化させた時の200個のランダムな点の動きを表したものである。各々の図の左上にある画像はアトラクターの形成過程を示し、右上の画像は中心部を拡大した画像となっている。