離散フーリエ変換
ここでuはx成分の周波数、vはy成分の周波数である。
2次元DFT は行列を用いて簡単に記述できる。
F = W f T W {\displaystyle F=Wf^{T}W}
ここで
F = [ F ( 0 , 0 ) F ( 1 , 0 ) ... F ( M − 1 , 0 ) F ( 0 , 1 ) F ( 1 , 1 ) ... F ( M − 1 , 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ F ( 0 , N − 1 ) F ( 1 , N − 1 ) ... F ( M − 1 , N − 1 ) ] {\displaystyle F={\begin{bmatrix}F(0,0)&F(1,0)&\ldots &F(M-1,0)\\F(0,1)&F(1,1)&\ldots &F(M-1,1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(0,N-1)&F(1,N-1)&\ldots &F(M-1,N-1)\end{bmatrix}}}
W = [ ω n 0 ⋅ 0 ω n 0 ⋅ 1 ... ω n 0 ⋅ ( N − 1 ) ω n 1 ⋅ 0 ω n 1 ⋅ 1 ... ω n 1 ⋅ ( N − 1 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ω n ( N − 1 ) ⋅ 0 ω n ( N − 1 ) ⋅ 1 ...
h ( t , x ) = exp  ( i 2 π t x / N ) {\displaystyle h(t,x)=\exp(i2\pi tx/N)} は内積
( f , g ) = ∑ n = 0 N − 1 f ( n ) ∗ g ( n ) {\displaystyle (f,g)=\sum _{n=0}^{N-1}{f(n)}^{*}g(n)}
に関し、 t , t ′ {\displaystyle t,t'} が整数のとき直交基底である。
( h ( t , x ) , h ( t ′ , x ) ) = ∑ n = 0 N − 1 exp  ( − i 2 π t n N ) exp  ( i 2 π t ′ n N ) = N δ t t ′ {\displaystyle (h(t,x),h(t',x))=\sum _{n=0}^{N-1}\exp \left(-i2\pi {\frac {tn}{N}}\right)\exp \left(i2\pi {\frac {t'n}{N}}\right)=N~\delta _{tt'}}
δ t t ′ {\displaystyle \delta _{tt'}} はクロネッカーのデルタ