幾何ブラウン運動
次の確率微分方程式にしたがう確率過程 S t {\displaystyle S_{t}} を幾何ブラウン運動という。
d S t = μ S t d t + σ S t d B t {\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dB_{t}}
ここで、
dSt は増分。例:金融商品の価格の変化。
dBt はブラウン運動(ウィーナー過程)の増分。
μ は(現在の St に対する割合であらわした)ドリフト。金融の場合は期待収益率。
σ は(現在の St に対する割合であらわした)ボラティリティ。
μ S t d t {\displaystyle \mu S_{t}\,dt} はドリフト項と呼ばれ決定論的なトレンドを表現し、 σ S t d B t {\displaystyle \sigma S_{t}\,dB_{t}} は予測不可能な出来事を表現している。 σ = 0 {\displaystyle \sigma =0} の場合は、 S t = S 0 e μ t {\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{\mu t}} である。
上記の確率微分方程式は伊藤の公式をもちいて次のように書き換えることができる。
d log  S t = ( μ − σ 2 2 ) d t + σ d B t {\displaystyle d\log {S_{t}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\,dt+\sigma \,dB_{t}}