オイラーの分割恒等式
例として 8 を分割することを考える。ここで P を「異なる数による分割」に現れる一つの偶数をその半分の二つの整数の和にする変換、U を「奇数のみの分割」に現れる同じ二つの整数を一つの偶数にする変換とすると
1 + ( 2 ) + 5 → P 1 + [ 1 + 1 ] + 5 → U 1 + 2 + 5 {\displaystyle 1+(2)+5{\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[1+1]+5{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+2+5}
1 + 3 + ( 4 ) → P 1 + [ ( 2 ) + ( 2 ) ] + 3 → P 1 + [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] + 3 → U 1 + ( ( 2 ) + ( 2 ) ) + 3 → U 1 + 3 + 4 {\displaystyle 1+3+(4){\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[(2)+(2)]+3{\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[1+1]+[1+1]+3{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+((2)+(2))+3{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+3+4}
1 + 7 → I 1 + 7 {\displaystyle 1+7{\xrightarrow {\quad I\quad }}1+7}