数演算子
生成消滅演算子を以下の交換関係を満たす演算子として定義する。
[ a ^ , a ^ † ] = 1 {\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1}
数演算子は以下のように定義される。
N ^ ≡ a ^ † a ^ {\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}
固有ベクトルに生成演算子が作用すると、
a ^ † | N ⟩ = N + 1 | N + 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|N\rangle ={\sqrt {N+1}}|N+1\rangle }
となる。真空状態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } に生成演算子N回作用させた場合は、
( a ^ † ) N | 0 ⟩ = N ! | N ⟩ {\displaystyle ({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle ={\sqrt {N!}}|N\rangle }
よって、
| N ⟩ = 1 N ! ( a ^ † ) N | 0 ⟩ {\displaystyle |N\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle }