エネルギー保存の法則
W ( t 1 , t 2 ) = ∫ t 1 t 2 F ( r ( t ) , t ) ⋅ d r ( t ) = ∫ t 1 t 2 { − ∇ V ( r ( t ) ) + f ( t ) } ⋅ d r ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}W(t_{1},t_{2})&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t),t)\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left\{-\nabla V({\boldsymbol {r}}(t))+{\boldsymbol {f}}(t)\right\}\cdot d{\boldsymbol {r}}(t)\end{aligned}}}
と r ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)} についての線積分で表される。ここで中黒 '・' はベクトルの内積を意味する。線積分を時間についての積分に直せば、