フレシェ＝コルモゴロフの定理
p ∈ [ 1 , ∞ ) {\displaystyle p\in [1,\infty )} とし、 B {\displaystyle B} を L p ( R n ) {\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})} 内の有界集合とする。
この部分集合 B が相対コンパクトであるための必要十分条件は、次の二つの性質が成り立つことである:
B 上で一様に lim r → ∞ ∫ | x | > r | f | p d x = 0 {\displaystyle \lim _{r\to \infty }\int _{|x|>r}\left|f\right|^{p}dx=0}
B 上で一様に lim a → 0 ‖ τ a f − f ‖ L p ( R n ) = 0 {\displaystyle \lim _{a\to 0}\Vert \tau _{a}f-f\Vert _{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=0}