対角化
v 1 = [ − 1 − 1 2 ] , v 2 = [ 0 0 1 ] , v 3 = [ − 1 0 2 ] {\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}},\quad v_{2}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},\quad v_{3}={\begin{bmatrix}-1\\0\\2\end{bmatrix}}}
固有ベクトルを並べた
P = [ − 1 0 − 1 − 1 0 0 2 1 2 ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{bmatrix}}}
の行列式は0でないため、これを使って対角化できる。
P − 1 A P = [ 0 − 1 0 2 0 1 − 1 1 0 ] [ 1 2 0 0 3 0 2 − 4 2 ] [ − 1 0 − 1 − 1 0 0 2 1 2 ] = [ 3 0 0 0 2 0 0 0 1 ] {\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}