グロタンディーク宇宙
U の元によって添え字付られた U の元の和集合は U の元となる、ゆえに cλ の総数は U の元の濃度となる。それゆえに c(U) よりも小さい。基礎の公理を避けることによって、それ自身を含む集合はなくなり、c(U) が |U| と等しいことを示すことができる。(この公理を仮定しない場合の反例はブルバキの論文を参照。)
強到達不能基数 κ が存在するとする。集合 S は任意の列 sn ∈ {\displaystyle \in } ... ∈ {\displaystyle \in } s0 ∈ {\displaystyle \in } S に対し |sn| < κ となるとき、型 κ であると呼ぶことにしよう。(S 自身は空列に対応している。) すると、型 κ である集合全体の集合 u(κ) は濃度 κ のグロタンディーク宇宙となる。(この証明は長くなるため、詳細は参考文献のブルバキの論文を参照。)
巨大基数の公理 (C) から宇宙の公理 (U) が導かれることを示すため集合 x を選ぶ。x0 = x かつすべての n に対して xn+1 = ⋃ {\displaystyle \bigcup } xn を xn の元の和集合とする。y = ⋃ n {\displaystyle \bigcup _{n}} xn とおく。