安定性理論
が得られるが、これは最右辺の微分が、逐次反復の不動点 a に近付くかあるいは発散する割合を測る指標となっていることを意味する。その微分がちょうど 1 あるいは −1 である場合には、安定性を決定するためにより多くの情報が必要となる。
不動点 a を備える連続的微分可能な写像 f: R → R に対しても、その a におけるヤコビ行列 J = Ja(f) で表現される同様の指標が存在する。J のすべての固有値が、絶対値が 1 よりも厳密に小さい実あるいは複素数であるなら、a は安定な不動点である。一方、少なくとも一つの固有値の絶対値が 1 よりも厳密に大きいなら、a は不安定である。n=1 の場合と同様に、すべての固有値の絶対値が 1 である場合にはさらなる解析が必要となる。その場合にはヤコビ行列による判定では結論が出ない。滑らかな多様体の微分同相写像に対しても、より一般的な同様の指標が存在する。
微分方程式と力学系についての定性的理論の大部分が、解とその軌道の漸近挙動、すなわち、十分長い時間が経過した後にその系に何が起こるか、について扱っている。最も簡単な類の挙動は、平衡点や不動点、周期軌道などで表される。ある特定の軌道について様々なことが明らかにされているなら、その次の段階として、その初期条件にわずかな変化を加えたときに同様の軌道が導かれるかどうかという問題が生じることは自然である。安定性理論では、次のような問いが提起される:ある与えられた軌道に対して、その近くの軌道はずっと近くにとどまり続けるであろうか?また、より強い性質として、その軌道がその与えられた軌道へと収束するであろうか?前者のような状況では、その与えられた軌道は安定(stable)であると言われ、後者の状況では、漸近安定(asymptotically stable)あるいは吸収的(attracting)であると言われる。安定性とは、わずかな摂動に対して軌道があまりに大きく変化することはない、ということを意味する。また、その反対の状況として、十分近くの軌道がその与えられた軌道から離されるような状況も、同様に興味深いものである。一般的に、ある方向へと初期条件を摂動させた場合には軌道がその与えられた軌道へと漸近的に近付き、また別の方向へと摂動させた場合にはそれから離れる、というような結果が得られることが多い。