クレローの方程式
後二式は dp = dq = 0 の意味だから、ux = a、uy = b とおくと、
u = ax + by + f(a,b) ... (1)
である。 よって、a、b を積分定数と解すれば、(1) が完全解となる。
完全解の平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は特異解を与える。 実際、(1) を a、b で偏微分した関係式
x + fa(a,b) = y + fb(a,b) = 0
と (1) から a、b を消去できる場合には、解が得られる。
また、任意関数 g により、完全解の平面族の積分定数に関係 b = g(a) を与えたとき、その平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は一般解を与える。 実際、(1) に b = g(a) を代入した式を a で微分した関係式
x + g’(a)y + fa(a,g(a)) + fb(a,g(a))g’(a) = 0
と (1) から a を消去できる場合には、解が得られる。