部分写像
部分写像 f に対し f(x) が定義される値 x 全体の成す集合(上記の X')を f の定義域と呼び、D(f) や Def(f) のように表すのが典型的である。これに対し集合 X は f の始域(あるいは圏論においては「域」とも)呼ばれる。英語等では両者とも単に f の domain と呼ぶことがあるので注意が必要である(定義域を明確に domain of definition と呼ぶ流儀もあるが)。同様に codomain が f の像(値域)と終域(圏論では余域とも)の何れかの意味で用いられる。
始域 X, 終域 Y の部分写像を f: X ⇸ Y のように縦棒付き矢印であらわすことがある。あるいは
f : X ⇝ Y , f : ⊆ X → Y , f : X → p Y , f : X ↣ Y {\displaystyle f\colon X\rightsquigarrow Y,\quad f\colon {}_{\subseteq }X\to Y,\quad f\colon X{\underset {p}{{}\to {}}}Y,\quad f\colon X\rightarrowtail Y}
普遍代数学において偏代数(英語版)は部分写像となっているような演算(偏演算)を許す代数系の一般化である。例えば体は、零除算が定義されないから除法が真に偏演算である。
与えられた台集合 X 上の部分写像全体の成す集合は、X 上の全部分変換半群と呼ばれる正則半群(英語版)を成し、典型的には P T X {\displaystyle {\mathcal {PT}}_{X}} のように表される。また X 上の部分全単射全体の成す集合は対称逆半群(英語版)を成す。