整関数
整函数の増大度は、以下の公式 ρ f = lim sup n → ∞ n ln  n ln  1 / | a n | {\displaystyle \rho _{f}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{\ln 1/|a_{n}|}}} によって求まり、また整函数の型は公式 σ f = 1 ρ e lim sup n → ∞ n | a n | ρ / n {\displaystyle \sigma _{f}={\frac {1}{\rho e}}\limsup _{n\to \infty }n|a_{n}|^{\rho /n}} によって決定できる
円周上の最大値と整級数展開の係数には関係があることを見たが、同様の関係がたとえば函数の実部のみに関してどのようになるかを問うことができる。この関係は一般にはボレル-カラテオドリの補題(フランス語版)によって与えられる。それもまた導函数の評価を考えるものである:
増大度 ρ < 1/2 かつ精密増大度 ρ(r) の整函数 f に対して、ε > 0 は任意として、不等式 ln  | f ( s ) | > ( cos  ( π ρ ) − ε ) r ρ ( r ) {\textstyle \ln |f(s)|>(\cos(\pi \rho )-\epsilon )r^{\rho (r)}} が、無限大に発散する半直線に沿って分布する無限個の円上で成り立つ。したがって、それらの円上で ln  | f ( s ) | > ( cos  ( π ρ ) − ε ) ln  M ( r ) {\displaystyle \ln |f(s)|>(\cos(\pi \rho )-\epsilon )\ln M(r)} である。
いま、整函数が二つの値 a, b の決定路を持つとすれば、それら二つの決定路に挟まれた領域に ∞ の決定路が存在するか、あるいは a = b であって二つの決定路に挟まれた無限大へ向かう任意の経路が a(したがって b)の決定路となる。
ダンジョワは有限増大度 ρ の整函数は高々 2ρ 個の漸近値を持つと予想した。この予想はアールフォルスの定理(英語版)となった。
したがって、0 から無限大を結ぶ異なる漸近値を導く直線が ρ 本よりも多く存在することは不可能である。結果としてそのような二直線のなす角は π/ρ 以上である。
を満たすとき、f の精密増大度 (precise order) L が定義される。(※校正意見、精密増大度 L の定義が不明である。)
エミール・ボレルは、自身の整函数の研究において、整函数の増大度を
と与えることにより、整函数の通常増大 (regular growth) を定義した。定義により、これは上増大度と下増大度が一致するときのその値であり、函数の通常増大とはそのような増大度を持つという意味で言う。
整函数 f が増大度 ρ となるための必要十分条件は、その通常増大が十分大きな n と任意の ε > 0 に対して | a n | 1 / n < n − 1 / ρ + ε {\textstyle |a_{n}|^{1/n}<n^{-1/{\rho +\epsilon }}} を満たし、かつ整数列 np が存在して
および | a n p | 1 / n p > n p − 1 / ρ + ε p {\textstyle |a_{n_{p}}|^{1/n_{p}}>n_{p}^{-1/{\rho +\epsilon _{p}}}} が lim n → ∞ ε p = 0 {\textstyle \lim _{n\to \infty }\epsilon _{p}=0} とともに成り立つことである。