リーマン積分
f が殆ど至る所連続ならば、有界閉区間 I の任意の分割に対して、まずその分割を二つの区間族 C, D に分け、D が全ての不連続点を含み、C には不連続点が含まれないようにする。直観的には、D は「幅」を任意に小さく、他方 C は「高さ」を任意に小さくすることができる。これをきちんと書けば、任意の正の数 ε に対し D の適当な再分割で、長さの総計が高々 ε であるような区間族が全ての不連続点を含むようなものが取れる。従って、D 上の上ダルブー和と下ダルブー和の差は ε(M − m) で抑えられる(但し、m および M はそれぞれ f の下限および上限)。ここで、函数の有界性、およびコンパクト集合上でジョルダン測度が 0 であることとルベーグ測度が 0 であることが同値になる(従って有限分割が使える)ことを用いた。残りの C の上では函数は有界閉区間上の連続函数で、従って一様連続になるから、分割 C の再分割で、その各区間上で f が高々 ε しか変化しないようなものが取れる。従って上ダルブー和と下ダルブー和の差は高々 ε|I| である(ここでコンパクト性を用いた)。
これは不合理ゆえ、次は
∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = lim a → − ∞ lim b → ∞ ∫ a b f ( t ) d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(t)\,dt}
を検討する。このように定義するならば、先ほどの例にとった f の値は +∞ になる。これは先に極限 b → ∞ を取ることによるもので、順番を逆にすれば −∞ を得ることになる。これもやはり不合理であるから、(任意の有限区間での)積分が存在して、それが極限を取る順番に依らずに同じ値を得ることを、積分の定義として要求することになる。それでもなお、広義リーマン積分はもはや一様収束極限と両立しないから、狭義のリーマン積分と全く同じというわけには行かない。例えば (0, n) 上で ƒn(x) = n かつ、それ以外では至る所 0 となるような函数を考えると、任意の n に対して
∫ f n d x = 1 {\displaystyle \int f_{n}\,dx=1}
だが、ƒn は一様に 0 に収束するから、ƒ ≔ lim ƒn の積分値は 0 であって、
以上から、差の合計 ε((M − m) + |I|) ≕ Kε は ε の定数倍で、これはいくらでも小さくすることができるから、この函数がリーマン可積分であることがわかる。
有界集合の指示函数がリーマン可積分であるための必要十分条件は、その集合がジョルダン可測となることである。
閉区間 I 上の実数値単調函数は、不連続点集合が可算(つまりルベーグ測度が 0)であるから、リーマン可積分である。
閉区間 I 上の実数値函数がリーマン可積分ならば、ルベーグ可積分でもある。つまり、リーマン可積分性はルベーグ可積分性よりも「強い」(つまり満たすことが難しい)条件である。
{fn} を閉区間 I 上の一様収束列で、その極限を f とするとき、すべての fn がリーマン可積分であるならば f もまたリーマン可積分で
∫ I f d x = ∫ I ( lim n → ∞ f n ) d x = lim n → ∞ ∫ I f n d x {\displaystyle \int _{I}f\,dx=\int _{I}(\lim _{n\to \infty }f_{n})dx=\lim _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}\,dx}
が成立する。しかし、(点ごとの収束が単調なときの)ルベーグの単調収束定理は成り立たない。
a i = x i , 0 < x i , 1 < ⋯ < x i , m i = b i {\displaystyle a_{i}=x_{i,0}<x_{i,1}<\cdots <x_{i,m_{i}}=b_{i}}
を満たす実数の組 {xi,j} が存在し、Ji,j ≔ [xi,j, xi,j+1] とするとき、D は
J 1 , j 1 × ⋯ × J n , j n {\displaystyle J_{1,j_{1}}\times \cdots \times J_{n,j_{n}}}
の形に書ける区間全体の集合である。
さらに組 ξ = { ξ J } J ∈ D {\displaystyle \xi =\{\xi _{J}\}_{J\in D}} で「任意の J ∈ D に対し ξJ ∈ J」を満たすものを D の代表系 といい、I の分割 D とその代表系 ξ の組 (D, ξ) を I の点付き分割という。