テンソル場
テンソル場の概念の現代数学的な表示は二段階の概念に分けることができる。
「(多様体 M に値を取る)パラメータに依存するベクトル空間」の自然な概念として、ベクトル束の概念がある。例えば、「一つの角に依存する一次元ベクトル空間」というのはメビウスの帯や円柱のようなものになる。多様体 M 上のベクトル束 V が与えられたとき、対応する場の概念はベクトル束の切断(英: section)と呼ばれる。これは m が M 上を動くとき、m におけるベクトル空間上のベクトル vm ∈ Vm を一つずつ選ぶものである。
テンソル積の概念は基底の選び方に依らないから、M 上の二つのベクトル束のテンソル積を取ることは各点におけるテンソル積の単純な繰り返しである。接束(接空間全体の成す束)から始めて、テンソルの成分に依らない扱い(英語版)で用いた論法を全体に繰り返し適用すればよい。これはまた導入において述べたとおり座標系に依存しない。
これによって、つまりテンソル束の切断として、テンソル場の定義を与えることができる。(テンソル束ではないようなベクトル束は存在する。例えばメビウスの帯)。この方法は全てを内在的な方法で行うことができるから、従ってこれは幾何学的な内容を保証するものになっている。