斉次函数
一般に一次函数(例えば函数 f(x) = x + 5)は乗法的に拡大縮小しない。
実線型空間に関する特別の場合に、上で述べたような斉次性の代わりに、正斉次性 (positive homogeneity) の概念がしばしば重要な役割を果たす。函数 ƒ: V ∖ {0} → R が正値斉 k -次であるとは
f ( α x ) = α k f ( x ) {\displaystyle f(\alpha x)=\alpha ^{k}f(x)}
を任意の正数 α > 0 に対して満たすことをいう。ここで k は任意の複素数としてよい。R ∖ {0} 上の(零写像でない)正斉 k-次連続函数は、Re{k} > 0 を満たすとき、かつそのときに限り R まで連続的に延長できる。
正斉次函数はオイラーの斉次函数定理によって特徴づけられる。函数 ƒ: R ∖ {0} → R は連続的微分可能であるものとすると、 ƒ が k-次の正斉次性を持つための必要十分条件は
x ⋅ ∇ f ( x ) = k f ( x ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}
を満たすことである。この結果は、方程式 ƒ(αy) = αƒ(y) の両辺を α に関して同時に微分し、連鎖律を適用することにより得られる。逆もまた積分により成立が確かめられる。
この帰結として、ƒ: R → R が可微分かつ斉 k-次であるものとすると、各一階偏導函数 ∂f/∂xi は次数 k − 1 の斉次性を持つ。このことは、作用素 x · ∇ と偏微分との交換性により、先のオイラーの定理から得られる。