アレクサンドロフ拡大
位相空間 X からコンパクトハウスドルフ空間 Y への埋め込み c: X ↪ Y で稠密な像を持ち、埋め込み像の補集合 (remainder) が一点: {∞} = Y ∖ c(X) となるならば、c(X) はコンパクトハウスドルフ空間において開、したがって局所コンパクトハウスドルフであるから、それに同相な原像 X も局所コンパクトである。さらに言えば、X がコンパクトならば c(X) は Y において閉であり、したがって稠密でない。よって、一点コンパクト化ができる空間は、コンパクトでなく、局所コンパクトかつハウスルドルフであることが必要十分である。さらに言えば、そのような一点コンパクト化において各 x ∈ X の基本近傍系の像は c(x) ∈ c(X) の基本近傍系を与え、また(コンパクトハウスドルフ空間の部分集合がコンパクトとなるための必要十分条件はそれが閉であることだから)∞ の開近傍はちょうど X の補コンパクト部分集合の c による像に ∞ を添加して得られる集合でなければならない。
特にアレクサンドルフ拡大 c: X → X* が X のコンパクト化となるための必要十分条件は X がコンパクトでない局所コンパクトハウスドルフ空間となることであり、この場合を特に一点コンパクト化あるいはアレクサンドルフコンパクト化と呼ぶ。
上で述べたように、一点を付け加える任意のコンパクト化はアレクサンドロフコンパクト化(に同型)でなければならない。また、X がコンパクトでない任意のチホノフ空間とするとき、その任意のコンパクト化の同値類全体の成す集合 C(X) 上の自然な半順序のもと、任意の極小元はアレクサンドロフ拡大と同値になる。したがって、コンパクトでないチホノフ空間が極小コンパクト化を持つための必要十分条件が、それが局所コンパクトであることである。