準群
準群 (Q, ∗) は、集合 Q と閉じた二項演算 ∗ からなるマグマで、ラテン方格性(Latin square property)に従うものである。この性質は、任意の a, b ∈ Q について、以下を満たす x, y ∈ Q がそれぞれ一意的に存在することである。
a ∗ x = b
y ∗ a = b
言い換えれば、積表(英語版)において各元が全ての行と列にそれぞれただ一回のみ出現することである。この性質はこの性質は有限準群の(そして、有限準群でもある有限群の)積表がラテン方格であることを保証する。x と y が一意的であるという要件は、このマグマが簡約可能であるという要件に置き換えられる
これらの等式の一意解は x = a \ b および y = b / a で表され、演算子 \ と / はそれぞれ左除法(英語版)、右除法(英語版)と呼ばれる。積表についていえば、前者の等式(左除法)は b が a 行 x 列成分として出現することを、後者の等式(右除法)は b が y 行 a 列成分として出現することを、それぞれ意味する。
空集合と空関数からなるマグマは準群の定義を満たすが、これを準群として認めるか否かは著者によって異なる。
有限準群の積表はラテン方格である。すなわち、n × n の表で、n 種類の異なる記号からなっている。さらに、各記号は、どの行、列においてもちょうど一回ずつ出現するような表である。
逆に、すべてのラテン方格は、様々な方法で準群の積表と見なすことができる。 境界行 (列ヘッダを含む行のこと) と境界列 (行ヘッダを含む列の事こと) は、それぞれ要素を任意の順序に並び替えることが出来る 。
ラテン方格で言えば、アイソトピー (α, β, γ) は、α は行の置換、β は列の置換、γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。
オートトピー (英: autotopy)) とは、 準群からそれ自身へのアイソトピーである。準群のすべてのオートトピーの集合は、自己同型#自己同型群 を部分群とする群を成す。
全ての準群は、あるループとアイソトピックである。
もし、ループがある群とアイソトピックであれば、それはその群と同型であり、従ってそのループ自身が群である。
一方、群とアイソトピックな準群は、必ずしも群とは限らない。
例えば、乗法を (x + y)/2 と定義した R 上のループは、加法群 (R, +) とアイソトピックであるが、それ自体は群では無い。
ブルック–マードック–豊田の定理(英語版) によれば、すべての中可換準群は、アーベル群とアイソトピックである。
準群には構造として同値な少なくとも2通りの形式的定義が存在する。一つ目はラテン方格性を満たす1個の二項演算を備えた集合として準群を定義し、二つ目は3個の原始的(英語版)演算の間の等式関係を与えることで普遍代数学的に準群を定義する。ただし、前者の定義では準同型像が必ずしも準群にならない。