凸集合
ミンコフスキー和は、凸包を取る操作に関して以下の命題が示す通りよく振舞う。
S1, S2 を実ベクトル空間の部分集合とすると、それらのミンコフスキー和の凸包は、凸包のミンコフスキー和
Conv(S1 + S2) = Conv(S1) + Conv(S2)
である。
この結果は、有限個の空でない集合の集まりに対して、より一般的に成り立つ。
Conv  ( ∑ n S n ) = ∑ n Conv  ( S n ) . {\displaystyle \operatorname {Conv} {\Big (}\sum _{n}S_{n}{\Bigr )}=\sum _{n}\operatorname {Conv} (S_{n}).}
数学的な言い方をすれば、ミンコフスキー和と凸包を作る操作は、可換な操作である
実線型空間において、二つの空でない集合 S1, S2 のミンコフスキー和 S1 + S2 は、加えられる各集合の元ごとの和の集合
S 1 + S 2 = { x 1 + x 2 : x 1 ∈ S 1 , x 2 ∈ S 2 } {\displaystyle S_{1}+S_{2}=\{x_{1}+x_{2}:x_{1}\in S_{1},\,x_{2}\in S_{2}\}}
として定義される。より一般に、空でない部分集合の有限族 Sn のミンコフスキー和は、同様に元ごとの和をとって
∑ n S n := { ∑ n x n : x n ∈ S n } {\displaystyle \sum _{n}S_{n}:={\Bigl \{}\sum _{n}x_{n}:x_{n}\in S_{n}{\Bigr \}}}
で与えられる。ミンコフスキー和に関して、零ベクトルのみからなる集合 {0} は特に重要である: 空でない任意の部分集合 S に対して
S + {0} = S;
代数の言葉で言えば {0} は(空でない集合族上の)ミンコフスキー和の単位元である。
閉凸集合は、その極限点をすべて自身に含むような凸集合である。これらは、閉半空間(英語版)(超平面の片側に位置する空間内の点の集合)たちの交わりとして特徴付けることができる。
今述べたことのうち、そのよう交わりに書けるものが凸であり、それらが閉集合であるということは明らかである。その逆(つまり、任意の凸集合がそのような交わりとして表されること)を言うには、「閉凸集合 C とその外点 P が与えられたとき、C を含み P を含まない閉半空間 H が存在する」という形の支持超平面定理(英語版)が必要になる。この支持超平面定理は、函数解析学におけるハーン・バナッハの定理の特別な場合である。