ユークリッドの互除法
整数 m, n の最大公約数 (英: Greatest Common Divisor) を gcd(m,n) と表すときに、(拡張された)ユークリッドの互除法を用いて、mx + ny = gcd(m, n) の解となる整数 x, y の組を見つけることができる。上の例の場合、m = 1071, n = 1029 のとき、
1071 = 1 × 1029 + 42
1029 = 24 × 42 + 21
42 = 2 × 21
であるから、gcd(1071, 1029) = 21 であり、
21 = 1029 − 24 × 42
= 1029 − 24 × (1071 − 1 × 1029)
= −24 × 1071 + 25 × 1029
となるので、x = −24, y = 25 である。
特に、m, n が互いに素(最大公約数が 1)である場合、mx + ny = 1 の整数解を (x, y) とすると、mx + ny = c は任意の整数 c に対して整数解 (cx, cy) をもつことが分かる。
一般に、 m = r 0 , n = r 1 {\displaystyle m=r_{0},n=r_{1}} において、ユークリッドの互除法の各過程を繰り返して
r 0 = k 0 r 1 + r 2 ( 0 < r 2 < r 1 ) {\displaystyle r_{0}=k_{0}r_{1}+r_{2}\ \ (0<r_{2}<r_{1})}
r 1 = k 1 r 2 + r 3 ( 0 < r 3 < r 2 ) {\displaystyle r_{1}=k_{1}r_{2}+r_{3}\ \ (0<r_{3}<r_{2})}