アーベル・ヤコビ写像
x {\displaystyle x} を M {\displaystyle M} の普遍被覆 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} の点とする。 x {\displaystyle x} を M {\displaystyle M} の点と x 0 {\displaystyle x_{0}} からの経路 c {\displaystyle c} により表わす。経路 c {\displaystyle c} に沿って積分すると、 E {\displaystyle E} 上の線型形式 h → ∫ c h {\displaystyle h\to \int _{c}h} を得る。このようにして、写像 M ~ → E ∗ = H 1 ( M , R ) {\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbb {R} )} を得ることができ、この写像は、
A ̄ M : M ̄ → E ∗ , c ↦ ( h ↦ ∫ c h ) , {\displaystyle {\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*},\;\;c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right),} ともなっている。ここに、 M ̄ {\displaystyle {\overline {M}}} は普遍自由アーベル被覆である。
定義 M {\displaystyle M} のヤコビ多様体(ヤコビトーラス)は、
さらに、 φ = g ∘ f : π → Z b {\displaystyle \phi =g\circ f:\pi \to \mathbb {Z} ^{b}} を合成した準同型とする。
定義:多様体 M {\displaystyle M} の被覆 M ̄ {\displaystyle {\bar {M}}} に対応する部分群 K e r ( φ ) ⊂ π {\displaystyle \mathrm {Ker} (\phi )\subset \pi } を、普遍(もしくは、最大)自由アーベル群という。
ここで、M がリーマン計量を持っているとし、 E {\displaystyle E} を M {\displaystyle M} の調和 1-形式の空間とし、その双対 E ∗ {\displaystyle E^{*}} を標準的に H 1 ( M , R ) {\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {R} )} と同一視する。調和 1-形式を基点 x 0 ∈ M {\displaystyle x_{0}\in M} からの経路に沿って積分すると、円への写像 R / Z = S 1 {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}} を得る。
同様に、写像 M → H 1 ( M , R ) / H 1 ( M , Z ) R {\displaystyle M\to H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }} をコホモロジーの基底を選ぶことなしに定義するために、次のようにする。