指数積分
複素関数としての余弦積分は多価であるが、次のように複素対数関数と正則関数の和で表すことができる。
Ci  ( z ) = γ + log  z − Cin  ( z ) Cin  ( z ) = ∫ 0 z 1 − cos  t t d t {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ci} (z)&=\gamma +\log {z}-\operatorname {Cin} (z)\\\operatorname {Cin} (z)&=\int _{0}^{z}{\frac {1-\cos {t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t\end{aligned}}}
任意の複素数 z に対して次の関係が成り立つ。
Ein  ( ± i z ) = Cin  ( z ) ± i Si  ( z ) {\displaystyle \operatorname {Ein} (\pm iz)=\operatorname {Cin} (z)\pm i\operatorname {Si} (z)}
指数積分は以下のように一般化できる。
E n ( z ) = z n − 1 ∫ z ∞ e − t t n d t = ∫ 1 ∞ e − z t t n dt {\displaystyle E_{n}(z)=z^{n-1}\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t^{n}}}\,\operatorname {d} \!t=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-zt}}{t^{n}}}\,\operatorname {dt} \!}
これを n 次の指数積分と呼び、以下のように不完全ガンマ関数を用いて以下のように表せる。
E n ( x ) = x n − 1 Γ ( 1 − n , x ) {\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x)}
また、以下の式を Ei(z) と記すこともある。
E 1 ( z ) = ∫ z ∞ e − t t d t {\displaystyle E_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\operatorname {d} \!t}
このときは次のように分枝をとる。