リー代数の表現
体 k 上の任意のリー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に対し、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の普遍包絡代数と呼ばれるある環を関連させることができる。(PBW定理に従うと、)構成は普遍的で結論的には、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の表現は、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の普遍包絡代数の代数表現(英語版)(algebra representation)と 1 対 1 に対応する。この構成は次のようになる。 T をベクトル空間 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のテンソル代数とする。定義により、 T = ⊕ n = 0 ∞ ⊗ 1 n g {\displaystyle T=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes _{1}^{n}{\mathfrak {g}}} とこの積は、 ⊗ {\displaystyle \otimes } で与えられる。
誘導表現は、制限と可換である。 h ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}} を部分代数、 n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} を h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} に含まれる g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のイデアルとする。 g 1 = g / n {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}} とし、 h 1 = h / n {\displaystyle {\mathfrak {h}}_{1}={\mathfrak {h}}/{\mathfrak {n}}} とすると、 Ind h g ∘ Res h ≃ Res g ∘ Ind h 1 g 1 {\displaystyle \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h}}^{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Res} _{\mathfrak {h}}\simeq \operatorname {Res} _{\mathfrak {g}}\circ \operatorname {Ind} _{\mathfrak {h_{1}}}^{\mathfrak {g_{1}}}} である。
U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} を元 [ x , y ] − x ⊗ y + y ⊗ x {\displaystyle [x,y]-x\otimes y+y\otimes x} により生成されるイデアルで割った商環 とする。 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} は体 k 上の結合代数であるので、交換子 [ x , y ] = x y − y x {\displaystyle [x,y]=xy-yx} ( ⊗ {\displaystyle \otimes } を省略して記載した)を通してリー代数とすることができる。リー代数には T → U ( g ) {\displaystyle T\to U({\mathfrak {g}})} をひとつのピースの次数を制限することにより標準的な射 g → U ( g ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})} が存在する。PBW定理(英語版)(PBW theorem)は、標準的な射は実際、単射であることを意味している。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} がアーベル的ならば、 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} はベクトル空間 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の対称代数となる。