ホモロジー (数学)
チェイン複体 ( d n : A n → A n − 1 ) {\displaystyle (d_{n}\colon A_{n}\rightarrow A_{n-1})} からチェイン複体 ( e n : B n → B n − 1 ) {\displaystyle (e_{n}\colon B_{n}\rightarrow B_{n-1})} への射を、準同型の列 f n : A n → B n {\displaystyle f_{n}\colon A_{n}\rightarrow B_{n}} であって任意の n に対して f n − 1 ∘ d n = e n ∘ f n {\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}} が成立するようなものとして定義する。このようにしてチェイン複体は圏をなす。n 次元ホモロジー群 Hn はチェイン複体の圏からアーベル群(あるいは加群)の圏への共変関手であるとみなせる。
チェイン複体が対象 X に共変的に依存するものとする(つまり、任意の射 X → Y は X のチェイン複体から Y のチェイン複体への射を誘導するものとする)。このとき、Hn は X が属している圏からアーベル群(あるいは加群)の圏への共変関手である。
ホモロジーとコホモロジーとのただひとつの違いは、コホモロジーにおいてはチェイン複体が X に反変的に依存するという点で、したがってホモロジー群(この文脈ではこれをコホモロジー群と呼んで H と表す)は X の属する圏からアーベル群あるいは加群の圏への反変関手となる。