アベル・プラナの和公式
f ( a ± i y ) {\displaystyle f(a\pm {iy})} を a {\displaystyle a} を中心としたテイラー級数に、 f ( b ± i y ) {\displaystyle f(b\pm {iy})} を b {\displaystyle b} を中心としたテイラー級数に展開すると、
∑ n = a b f ( n ) = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ f ( a + i y ) − f ( a − i y ) − f ( b + i y ) + f ( b − i y ) e 2 π y − 1 d y = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ f ( k ) ( a ) ( i y ) k − f ( k ) ( a ) ( − i y ) k − f ( k ) ( b ) ( i y ) k + f ( k ) ( b ) ( − i y ) k ( e 2 π y − 1 ) k ! d y = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + 2 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k f ( 2 k − 1 ) ( a ) − f ( 2 k − 1 ) ( b ) ( 2 k − 1 ) !