四重積 (ベクトル解析)
( x y z ) = 1 det ( a b c ) ( det ( r b c ) det ( a r c ) det ( a b r ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={1 \over \det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})}{\begin{pmatrix}\det({\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {r}}~{\boldsymbol {c}})\\\det({\boldsymbol {a}}~{\boldsymbol {b}}~{\boldsymbol {r}})\end{pmatrix}}}
と同じである。
なお、
( a × b ) × ( a × c ) = [ a , b , c ] a {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {c}})=[{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]{\boldsymbol {a}}}
が先の公式の特別な場合として導かれるが、この等式は以下のように導くこともできる。
a と b で作られる平面と、 a と c で作られる平面との交線は a に平行であることは自明である。また、a と b と c が一次従属 ([a, b, c ]=0) すなわち共面であるとき、2つの平面は平行なので左辺は0になる。このことから、右辺は [a, b, c ]a の定数倍であることが導かれる。右手系の正規直交基底を代入することで比例定数が1であることがわかるので、等式が得られる。