有限幾何学
正整数 n {\displaystyle n} が、 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} または 4 k + 2 {\displaystyle 4k+2} の形であって、かつ2つの整数の平方和に等しくないならば、位数 n {\displaystyle n} の有限平面は存在しない。
素数の冪ではなく、Bruck–Ryserの定理の前提も満たさないような最小の整数は10である。 10 = 4 ⋅ 2 + 2 {\displaystyle 10=4\cdot 2+2} だが、 10 = 1 2 + 3 2 {\displaystyle 10=1^{2}+3^{2}} だからである。
位数10の有限平面が存在しないことは、1989年に計算機を利用して証明された。
Bruck–Ryserの定理が適用できないような次に小さい数は12である。
有限幾何学(ゆうげんきかがく)とは有限個の点から構成される幾何学の体系である。例えばユークリッド幾何学は有限幾何学でない。ユークリッド空間における「線」は無限に多くの(実際は実数と同じ濃度の)「点」を含むからである。 ユークリッド幾何は任意の次元で存在することと同様に、有限幾何も任意の(有限)次元で存在する。ただし、ユークリッド幾何とは異なり、有限幾何の場合は同じ次元でも各種の異なった(幾何学的)構造が存在し得る。