4元ベクトル
4元ベクトルの内積は、計量テンソル g μν を用いて、次のように定義される。
A ⋅ B = g μ ν A μ B ν = A ν B ν = A μ B μ {\displaystyle A\cdot B=g_{\mu \nu }A^{\mu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }}
この内積はローレンツ変換に対して不変となる。このような量をローレンツ不変量という。
4元ベクトルの二乗は、内積の定義に計量テンソルが入っているため、通常のユークリッド空間における内積とは異なり、負の値をとり得る。 ミンコフスキー計量の符号を (-, +, +, +) にとれば以下のようになる。
A 2 = A ⋅ A = − ( A 0 ) 2 + ( A 1 ) 2 + ( A 2 ) 2 + ( A 3 ) 2 = − ( A 0 ) 2 + | A | 2 .