行列指数関数
冪零行列 N は適当な正整数 q に対して N = 0 を満たす。N乗 e は指数函数の定義級数から直接に
e N = I + N + 1 2 N 2 + 1 6 N 3 + ⋯ + 1 ( q − 1 ) ! N q − 1 {\displaystyle e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}}
と計算できる(級数は有限項で終わる)。
線型代数学における行列の指数関数(ぎょうれつのしすうかんすう、英語: matrix exponential; 行列乗)は、正方行列に対して定義される行列値関数で、通常の(実または複素変数の)指数関数に対応するものである。より抽象的には、行列リー群とその行列リー代数の間の対応関係(指数写像)を行列の指数函数が記述する。
n次 実または複素正方行列 X の指数関数 e または exp(X) は、冪級数
e X = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! X k {\displaystyle e^{X}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dfrac {1}{k!}}X^{k}}
で定義される n次正方行列である。この級数は任意の X に対して収束するから、行列 X の指数関数は well-defined である。
X が 1次正方行列のとき、X乗 e は 1次正方行列であり、その唯一の成分は X の唯一の成分に対する通常の指数関数に一致する。これらはしばしば同一視される。この意味において行列の指数函数は、通常の指数函数の一般化である。