経済成長の黄金律
すなわち均斉成長で利子率が成長率を上まわる。このことは、 ρ > ( 1 − θ ) a + n {\displaystyle \rho >(1-\theta )a+n} の仮定によって保証される。先に述べたように、この仮定が満たされないと家計効用が無限大に発散し家計の最適化問題を適切に設定できなくなる。
r > g {\displaystyle r>g} は新古典派成長モデルの均斉成長が黄金律 r = g {\displaystyle r=g} の水準に達しないことを意味する。このように新古典派成長モデルが黄金律に達しないことを修正黄金律という。また上記の式1 r = ρ + θ a {\displaystyle r=\rho +\theta a} を修正黄金律ということがある。これを変形黄金則と訳すこともある。
なお、1989年にオリヴィエ・ブランシャールとスタンレー・フィッシャーによって出版された『マクロ経済学講義』では修正黄金律の定義が少し異なっている。ブランシャールらは最適化問題の目的関数の定義で人口を乗じず、また技術進歩を考えない。すると、上記の式1は r = ρ + n {\displaystyle r=\rho +n} という形になる。ブランシャールらはこの数式、すなわち均斉成長で利子率が時間選好率と人口増加率の和で決定されるという数式を修正黄金律と呼んでいる。
U = A 0 1 − θ L 0 H ∫ 0 ∞ e − ( ρ + θ a − g ) t u ( c t ) d t {\displaystyle U={\frac {A_{0}^{1-\theta }L_{0}}{H}}\int _{0}^{\infty }e^{-(\rho +\theta a-g)t}u(c_{t})dt}
また次のように仮定する。
技術進歩を伴う割引の仮定: ρ > ( 1 − θ ) a + n {\displaystyle \rho >(1-\theta )a+n}
この条件を追加することで家計効用が無限大に発散しないことが保証される。この条件が満たされないと、家計効用が無限大になり家計の最大化問題が適切に設定されない。この仮定は本節の目的のために重要であり、後で再び登場する。
代表的な家計は、 r t {\displaystyle r_{t}} や w t {\displaystyle w_{t}} を所与と考える。家計の予算制約は、生涯にわたる消費の現在価値が、生涯にわたる労働所得の現在価値と、ゼロ時点の財産の和を超えないことである。割引因子を
δ t ≡ e − ∫ 0 t r s d s {\displaystyle \delta _{t}\equiv e^{-\int _{0}^{t}r_{s}ds}}
と定義すると、各家計の消費は C t / H {\displaystyle C_{t}/H} であり、労働所得は w t A t N t / H {\displaystyle w_{t}A_{t}N_{t}/H} であるので、家計の予算制約は次式のとおり表わされる。
Y t = C t + I t {\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}} ...生産物 Y t {\displaystyle Y_{t}} は消費 C t {\displaystyle C_{t}} にあてられるか投資 I t {\displaystyle I_{t}} にあてられる。
K t ̇ = I t − δ K t {\displaystyle {\dot {K_{t}}}=I_{t}-\delta K_{t}} ...資本 K t {\displaystyle K_{t}} は投資 I t {\displaystyle I_{t}} によって増えるが、一定の減耗率 δ {\displaystyle \delta } で減る。
以上3つの経済構造式を資本の微分方程式のかたちにまとめると次式を得る。
K t ̇ = F ( K t , A t L t ) − δ K t − C t {\displaystyle {\dot {K_{t}}}=F(K_{t},A_{t}L_{t})-{\delta }K_{t}-C_{t}}
外生変数である有効労働 A t L t {\displaystyle A_{t}L_{t}} で資本 K t {\displaystyle K_{t}} と消費 C t {\displaystyle C_{t}} を割って基準化し、それぞれを小文字 k t {\displaystyle k_{t}} と c t {\displaystyle c_{t}} であらわす。
各 t {\displaystyle t} 時点の c t {\displaystyle c_{t}} についての1階の条件は次のとおり(効用関数 u {\displaystyle u} の定義をつかう)。
e − ( ρ + θ a − g ) t c t − θ = λ δ t e g t {\displaystyle e^{-(\rho +\theta a-g)t}c_{t}^{-\theta }=\lambda \delta _{t}e^{gt}}
この式の対数をとって時間微分して整理すると次のオイラー方程式を得る(割引因子 δ t {\displaystyle \delta _{t}} の定義をつかう)。
c t ̇ / c t = ( r t − ρ − θ a ) θ − 1 {\displaystyle {\dot {c_{t}}}/{c_{t}}=(r_{t}-\rho -\theta a)\theta ^{-1}}
また、資本蓄積は次式で与えられる。
k t ̇ = f ( k t ) − ( g + δ ) k t − c t {\displaystyle {\dot {k_{t}}}=f(k_{t})-(g+{\delta })k_{t}-c_{t}}
以上をまとめると次の3つの式によりこの経済モデルは記述されることになる。