射影作用素
以下、本節において考えるベクトル空間はすべて有限次元であるものと仮定する(この場合、射影の連続性などを気にしなくともすむ)。
本項冒頭の導入文で述べたとおり、射影 P は冪等律すなわち P = P を満たすような線型変換である。
もととなるベクトル空間を W とする。W の部分線型空間 U および V が、それぞれ P の値域および零空間(核)であるものと仮定すると、基本的な性質として
P は U 上に恒等作用素 I として作用する。つまり、 ∀ x ∈ U , P x = x . {\displaystyle \forall x\in U,\quad Px=x.}
直和分解 W = U ⊕ V が成立する。すなわち、W の各ベクトル x は U の元 u と V の元 v を用いて x = u + v なる形に一意的に表される。これには u = P x , v = x − P x = ( I − P ) x {\displaystyle u=Px,\quad v=x-Px=(I-P)x} とすればよい。
などが成り立つことがわかる。射影の値域と核は互いに「相補的」なもので、P と Q = I − P も同じく「相補的」である。