多重劣調和函数
多重劣調和函数の理論の主要な幾何的応用は、1942年に岡潔によって(特別な場合に)証明された有名な定理に見られる。
連続函数 f : M → R {\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }} は、原像 f − 1 ( ] − ∞ , c ] ) {\displaystyle f^{-1}(]-\infty ,c])} がすべての c ∈ R {\displaystyle c\in {\mathbb {R} }} に対してコンパクトであるとき、階位函数 (exhaustion function) と呼ばれる。多重劣調和函数 f が強多重劣調和的(strongly plurisubharmonic)であるとは、M 上のあるケーラー形式 ω {\displaystyle \omega } に対して、 − 1 ( ∂ ∂ ̄ f − ω ) {\displaystyle {\sqrt {-1}}(\partial {\bar {\partial }}f-\omega )} が正形式であることを言う。
岡の定理: M は、滑らかな強多重劣調和階位函数を持つ複素多様体とする。このとき、M はシュタイン多様体である。逆に、任意のシュタイン多様体はそのような函数を持つ。
複素解析において、多重劣調和函数は擬凸領域や正則領域、シュタイン多様体を表現するために用いられる。