平均値の定理
だから、ロルの定理より g ′ ( c ) = 0 {\displaystyle g'(c)=0} となるc ∈ (a, b)が存在し、
g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − r g ′ ( c ) = 0 g ′ ( c ) = f ′ ( c ) − r = 0 ⇒ f ′ ( c ) = r = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle {\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\end{aligned}}}
∴ f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( c ) {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)} となるc ∈ (a, b)が存在する。
↑ 英語転写すれば theorem of finite increments
g ( x ) = f ( x ) − r x {\displaystyle g(x)=f(x)-rx} ( r {\displaystyle r} は定数)とすると、関数 f {\displaystyle f} が閉区間[a, b]で連続で、開区間(a, b)で微分可能ならば関数 g {\displaystyle g} も同様となる。
このとき、 g ( a ) = g ( b ) {\displaystyle g(a)=g(b)} となるならば、
g ( a ) = g ( b ) ⟺ f ( a ) − r a = f ( b ) − r b ⟺ r ( b − a ) = f ( b ) − f ( a ) ⟺ r = f ( b ) − f ( a ) b − a . {\displaystyle {\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.\end{aligned}}}