ケプラー方程式
もう1つの方法は、ベッセル関数による展開の方法である。この方法は e {\displaystyle e} が大きい場合でも適用可能である。
ケプラーの方程式は、以下の並進で不変であるという特徴を持っている 。
( M , E ) → ( M + 2 π , E + 2 π ) . {\displaystyle (M,E)\rightarrow (M+2\pi ,E+2\pi ).}
また、 E = M + e sin  E {\displaystyle E=M+e\sin E} であるから、これを逐次代入すると
e sin  E = e sin  ( M + e sin  E ) = e sin  ( M + e sin  ( M + e sin  E ) ) = ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}e\sin E&=e\sin(M+e\sin E)\\&=e\sin(M+e\sin(M+e\sin E))\\&=\cdots ,\end{aligned}}}
により、 e sin  E {\displaystyle e\sin E} は M {\displaystyle M} の周期関数で、かつ M {\displaystyle M} の奇関数であることがわかる 。 したがって、 e sin  E {\displaystyle e\sin E} を M {\displaystyle M} によって以下のようにフーリエ展開できる。
e sin  E = ∑ n = 1 ∞ A n sin  n M .
{\displaystyle e\sin E=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin nM.}
フーリエ係数 A n {\displaystyle A_{n}} はフーリエ展開の一般論により、
A n = 2 π ∫ 0 π d M e sin  E sin  n M , {\displaystyle A_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }dMe\sin E\sin nM,}
で与えられる。上式の右辺は
− 2 n π ∫ d M e sin  E d d M cos  n M , {\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}\int dMe\sin E{\frac {d}{dM}}\cos nM,}
と変形できるから、部分積分して
− 2 n π [ e sin  E cos  n M ] M = 0 M = π + 2 n π ∫ 0 π d M e d sin  E d M ⋅ cos  n M {\displaystyle -{\frac {2}{n\pi }}{\Big [}e\sin E\cos nM{\Big ]}_{M=0}^{M=\pi }+{\frac {2}{n\pi }}\int _{0}^{\pi }dM{\frac {ed\sin E}{dM}}\cdot \cos nM}
である。第1項の表面項は消えることと、第2項に元のケプラーの方程式を代入して、