クラメルの公式
例えば、次の線型方程式系
を考える。この方程式系の拡大係数行列は
である。クラメルの法則により、系の解は
と求められる。ここで、縦棒は行列式を表す標準的な記号法に従ったものである。
方程式系が、不能 (incompatible) であるとは解が存在しないことを言う。また不定 (indeterminate) であるとは、二つ以上の解を持つことを言う。線型方程式の場合(基礎体が無限体であるとすると)、それが不定な系ならば一つ以上の変数が任意の値を取り得るから、解は無数に存在する。
クラメルの法則は係数行列の行列式が 0 でない場合にしか適用できないから、2 × 2 の系で行列式の値に基づく不能や不定の場合とは相容れない。
3 × 3 あるいはより高次の系に対して、係数行列の行列式が 0 のときに言えるのは
(クラメルの公式の)分子になっている行列式のどれか一つでも 0 でないならば、系は不能である。
ということだけである。逆は正しくなく、系が不能であっても全ての行列式が 0 になる場合がある。例えば x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3 がそのような系である。
線型方程式系
あるいは行列記法で
を考え、ad − bc ≠ 0 と仮定すると、x および y はクラメルの法則で計算できて
を得る。三次の場合も同様で、線型方程式系
あるいは
に対して、 x, y, z は
で求められる。