環 (数学)
さらに言えば、R の各元 r に対して、右または左から r を掛けるという操作が分配的であることは、それがアーベル群 (R, +) 上に群の準同型(圏 Ab における射)となるという意味になる。A = (R, +) とかくことにして、A の自己同型を考えれば、それは R における右または左からの乗法と「可換」である。言い換えれば EndR(A) を A 上の射全体の成す環とし、その元を m とすれば m(rx) = rm(x) という性質が成り立つ。これは R の任意の元 r に対して、r の右乗法による A の射が定まると見ることもできる。R の各元にこうして得られる A の射を対応させることで R から EndR(A) への写像が定まり、これは実は環の同型を与える。この意味で、任意の環はあるアーベル X-群の自己準同型環と見なすことができる(ここで X-群というのはX を作用域に持つ群の意味である。要するに、環の最も一般的な形は、あるアーベル X-群の自己準同型環であるということになる。
[ x , [ y , z ] ] + [ y , [ z , x ] ] + [ z , [ x , y ] ] = 0 {\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}
History of ring theory at the MacTutor Archive
Birkhoff, G. and Mac Lane, S. A Survey of Modern Algebra, 5th ed. New York: Macmillian, 1996
Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. Handbook of Mathematics, 4th ed. New York: Springer-Verlag, 2004. ISBN 3-540-43491-7
Faith, Carl, Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra. Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society, Providence, RI, 1999. xxxiv+422 pp. ISBN 0-8218-0993-8
Itô, K. (Ed.).
[ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ] , {\displaystyle [x+y,z]=[x,z]+[y,z],}
[ z , x + y ] = [ z , x ] + [ z , y ] , {\displaystyle [z,x+y]=[z,x]+[z,y],}