シムソンの定理
2 d = b + c − b c + 1. {\displaystyle 2d=b+c-bc+1.}
同様にして、 2 e = c + a − c a + 1 , 2 f = a + b − a b + 1. {\displaystyle 2e=c+a-ca+1,\ \ 2f=a+b-ab+1.}
次に ( e − d ) ( f ̄ − d ̄ ) − ( e ̄ − d ̄ ) ( f − d ) {\displaystyle (e-d)({\bar {f}}-{\bar {d}})-({\bar {e}}-{\bar {d}})(f-d)} を求めると、
4 ( ( e − d ) ( f ̄ − d ̄ ) − ( e ̄ − d ̄ ) ( f − d ) ) = ( ( a ̄ b − a b ̄ ) ( | c | 2 − 1 ) + ( b ̄ c − b c ̄ ) ( | a | 2 − 1 ) + ( a c ̄ − c a ̄ ) ( | b | 2 − 1 ) + a ( | c | 2 − | b | 2 ) + b ( | a | 2 − | c | 2 ) + c ( | b | 2 − | a | 2 ) + a ̄ ( | b | 2 − | c | 2 ) + b ̄ ( | c | 2 − | a | 2 ) + c ̄ ( | a | 2 − | b | 2 ) ) .
三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線はPから対辺に下ろした垂線になる。またPを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は辺の1つと一致する。
Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とする。Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線が成す角は、POP'の半分に等しい。特にPとP'が直径の両端にあるとき、2本のシムソン線は垂直に交わる。このときの交点は九点円上にある。
三角形のABCの垂心をHとする。Pに対するシムソン線は、PHの中点を通る。
共通の外接円を持つ2つの三角形があったとき、Pに対する2本のシムソン線が成す角はPによらず一定の値をとる。
シムソン線による包絡線はデルトイド(内サイクロイドの一種)となる。このデルトイドをスタイナーのデルトイドという。