メビウス変換
リーマン球面上の相異なるみっつの点 z1, z2, z3 とさらに別の相異なるみっつの点 w1, w2, w3 が与えられたとき、zi をそれぞれ wi (i = 1, 2, 3) に写すメビウス変換 f(z) はただひとつ存在する(別な言いかたをすれば、メビウス群のリーマン球面への作用は鋭 3-重推移的である)。このように与えられた点集合からメビウス変換 f(z) を決定する方法がいくつか存在する。
メビウス変換をその不動点を用いた正規形 (normal form) と呼ばれる形に表すこともある。まずは相異なるふたつの不動点をもつ非抛物型の場合を考えよう。
X = [ x 0 + x 1 x 2 + i x 3 x 2 − i x 3 x 0 − x 1 ] {\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}}
を対応させれば、この行列 X の行列式は二次形式 Q(x0, x1, x2, x3) に等しい。このような行列全体の成す空間には、特殊線型群 SL(2, C) がその各元 A に対して
X ↦ A X A ∗ {\displaystyle X\mapsto AXA^{*}}
となるものとして作用する。det A = 1 であるから、SL(2, C) のこの作用は X の行列式を保つ。ゆえに、X の行列式と二次形式 Q との同一視を通して、SL(2, C) の各元はローレンツ変換として作用している。次元的な理由で SL(2,C) は SO(1, 3) の近傍を被覆するが、SL(2, C) は連結ゆえ、制限ローレンツ群 SO(1, 3) の全体を被覆する。さらにいえば、上で与えた作用の核が {±I} なる部分群ならば、商をとることで群の同型
P S L ( 2 , C ) ≅ S O + ( 1 , 3 ) {\displaystyle {\mathit {PSL}}(2,\mathbb {C} )\cong {\mathit {SO}}^{+}(1,3)}
が得られる。(x0, x1, x2, x3) がヌル、つまり行列 X の行列式が 0 であり、したがって複素二次元のベクトル ξ とその複素共軛によって
X = ξ ξ ̄ T = ξ ξ ∗ {\displaystyle X=\xi {\bar {\xi }}^{T}=\xi \xi ^{*}}
が z1, z2, z3 をそれぞれ 0, 1, ∞ にそれぞれ写すことを確かめることは難しくない(zi の何れかが ∞ であるときは、それが ziなら上の式で全部の成分を先に zi で割っておいて zi → ∞ なる極限をとったものを H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}_{1}} として考える)。
同様に行列 H 2 {\displaystyle {\mathfrak {H}}_{2}} を w1, w2, w3 をそれぞれ 0, 1, ∞ に写すようにとり、行列
H = H 2 − 1 H 1 {\displaystyle {\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}_{2}^{-1}{\mathfrak {H}}_{1}}
を考えれば、z1, z2, z3 をそれぞれ w1, w2, w3 に写すメビウス変換が得られる。
複比 (Cross-ratio) はメビウス変換で不変である。すなわち、メビウス変換が相異なる4つの点 z1, z2, z3, z4 を相異なる4つの点 w1, w2, w3, w4 にそれぞれ移すならば
( z 1 − z 3 ) ( z 2 − z 4 ) ( z 2 − z 3 ) ( z 1 − z 4 ) = ( w 1 − w 3 ) ( w 2 − w 4 ) ( w 2 − w 3 ) ( w 1 − w 4 ) {\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}}
が成立する。z1, z2, z3, z4 のうちの一点が無限遠点ならば、複比は自然な極限をとったものとして定義する。たとえば z1, z2, z3, ∞ の複比は
( z 1 − z 3 ) ( z 2 − z 3 ) {\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}}
である。
メビウス変換の一般形は、a, b, c, d を ad − bc ≠ 0 を満たす任意の複素数として
f ( z ) = a z + b c z + d {\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
で与えられる(ad = bc ならば、上記の有理函数は定数であって、メビウス変換とはみなされない)。c ≠ 0 の場合、これは
f ( − d c ) = ∞ , f ( ∞ ) = a c {\displaystyle f\!\left({-d \over c}\right)=\infty ,\quad f(\infty )={a \over c}}
と定義することにより、リーマン球面全体まで拡張される。また、c = 0 ならば
f ( ∞ ) = ∞ {\displaystyle f(\infty )=\infty }
と定義すれば、f(z) はリーマン球面からそれ自身への全単射な正則函数となる。
メビウス変換全体の成す集合は写像の合成に関して群を成す。上記の定義からメビウス函数の合成も反転も正則となり、この群には複素多様体の構造が与えられる。すなわち、メビウス群は複素リー群である。メビウス群は通例、リーマン球面の自己同型群と看做して A u t ( C ^ ) {\displaystyle \mathrm {Aut} ({\hat {\mathbb {C} }})} と書かれる。