球冠
r 2 = ( r − h ) 2 + a 2 = r 2 + h 2 − 2 r h + a 2 , {\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}\,,}
つまり
r = a 2 + h 2 2 h . {\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}\,.}
となる。 これを式に代入すると
V = π h 2 3 ( 3 a 2 + 3 h 2 2 h − h ) = 1 6 π h ( 3 a 2 + h 2 ) , {\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}\left({\frac {3a^{2}+3h^{2}}{2h}}-h\right)={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})\,,}
A = 2 π ( a 2 + h 2 ) 2 h h = π ( a 2 + h 2 ) . {\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})\,.}
となる。
Press) 次の式が導出されていた。 A = A n p n − 2 ( q ) , V = C n p n ( q ) {\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q)} , where q = 1 − h / r ( 0 ≤ q ≤ 1 ) , p n ( q ) = ( 1 − G n ( q ) / G n ( 1 ) ) / 2 {\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2} ,
G n ( q ) = ∫ 0 q ( 1 − t 2 ) ( n − 1 ) / 2 d t {\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt} .
奇数 n = 2 k + 1 : {\displaystyle n=2k+1:} に対しては
G n ( q ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( k i ) q 2 i + 1 2 i + 1 {\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}} .
よって表面積の式は
A = 2 π ∫ 0 h 2 r x − x 2 r 2 2 r x − x 2 d x = 2 π ∫ 0 h r d x = 2 π r [ x ] 0 h = 2 π r h {\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}
となる。体積は
V = π ∫ 0 h f ( x ) 2 d x = π ∫ 0 h ( 2 r x − x 2 ) d x = π [ r x 2 − 1 3 x 3 ] 0 h = π h 2 3 ( 3 r − h ) {\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}
となる。