AKS素数判定法
AKS素数判定法は、ある意味ではフェルマーテストの改良と見ることができる。
フェルマーの小定理の対偶である次のような命題を考える。
a {\displaystyle a} , n {\displaystyle n} が互いに素な自然数であるとする。 a n ≢ a ( mod n ) {\displaystyle a^{n}\ \not \equiv \ a{\pmod {n}}}
であるとき、 n {\displaystyle n} は合成数である。
フェルマーテストはこの十分条件によって確率的素数判定を行うものであったが、上は必要条件ではないので、合成数であるにもかかわらずそれを検出できない場合があった。特に、カーマイケル数と呼ばれる合成数が無限個存在し、これらはいかなる a {\displaystyle a} を用いても合成数であることを検出できない。
そこで、この条件を次のように改良する。
a {\displaystyle a} , n {\displaystyle n} が互いに素な自然数であるとする。 ( X + a ) n ≢ X n + a ( mod n ) {\displaystyle (X+a)^{n}\ \not \equiv \ X^{n}+a{\pmod {n}}}