ヘロンの三角形
a 2 + d 2 = e 2 {\displaystyle a^{2}+d^{2}=e^{2}}
上の式から下の式を引いて変形する。
b 2 − d 2 = c 2 − e 2 {\displaystyle b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}}
⇒ ( b − d ) ( b + d ) = c 2 − e 2 {\displaystyle \Rightarrow (b-d)(b+d)=c^{2}-e^{2}}
⇒ b − d = c 2 − e 2 b + d {\displaystyle \Rightarrow b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}}
c, e, b + d は整数なので b - d も有理数となる。
b = ( b + d ) + ( b − d ) 2 {\displaystyle b={\frac {(b+d)+(b-d)}{2}}}
d = ( b + d ) − ( b − d ) 2 {\displaystyle d={\frac {(b+d)-(b-d)}{2}}}
なので、b, d も有理数となる。