フレシェ空間
任意のバナッハ空間は、ノルムが平行移動不変距離を導き、ノルムの導く距離に関して完備であるから、フレシェ空間である。
無限階微分可能関数 ƒ: [0,1] → R 全体の成すベクトル空間 C([0, 1]) は、非負整数 k で添字づけられる半ノルム族 ‖ f ‖ k = sup { | f ( k ) ( x ) | : x ∈ [ 0 , 1 ] } {\displaystyle \|f\|_{k}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [0,1]\}} によってフレシェ空間になる。ただし、ƒ は ƒ の k-階導関数で ƒ = ƒ とする。このフレシェ空間において、関数列 (ƒn) が C([0, 1]) の元 ƒ に収束する必要十分条件は、各非負整数 k に対して関数列 (f(k)n) が ƒ に一様収束することである。
無限階微分可能関数 ƒ: R → R 全体の成すベクトル空間 C(R) は、非負整数 k, n ≥ 0 で添字づけられる半ノルム族 ‖ f ‖ k , n = sup { | f ( k ) ( x ) | : x ∈ [ − n , n ] } {\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}} に関してフレシェ空間を成す。
m-回連続的微分可能関数 ƒ: R → R 全体の成すベクトル空間 C(R) は、非負整数 n ≥ 0 および k = 0, ...,m で添字づけられる半ノルム族 ‖ f ‖ k , n = sup { | f ( k ) ( x ) | : x ∈ [ − n , n ] } {\displaystyle \|f\|_{k,n}=\sup\{|f^{(k)}(x)|:x\in [-n,n]\}} によってフレシェ空間になる。