力学的エネルギー
− μ v ^ {\displaystyle -\mu {\hat {\boldsymbol {v}}}}
m v ̇ = − ∇ U + f {\displaystyle m{\dot {\boldsymbol {v}}}=-\nabla U+{\boldsymbol {f}}}
である。 この式の両辺に速度をかけると、
m v ̇ ⋅ v = − ( ∇ U ) ⋅ v + f ⋅ v d d t ( 1 2 m v 2 ) = − d U d t − f ( v ) v d d t E = − f ( v ) v {\displaystyle {\begin{aligned}m{\dot {\boldsymbol {v}}}\cdot {\boldsymbol {v}}&=-(\nabla U)\cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}\\{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)&=-{\frac {dU}{dt}}-f(v)v\\{\frac {d}{dt}}E&=-f(v)v\end{aligned}}}
力学的エネルギーの時間変化率は、 − f ( v ) v {\displaystyle -f(v)\,v} である。非保存力が仕事をすると、力学的エネルギーは必ず減少する。 非保存力により力学的エネルギーが減少することを散逸という。