次元解析
M = ( ⋅ ρ D N Q P L M 1 0 0 0 1 1 T 0 0 − 1 − 1 − 2 − 3 L − 3 1 0 3 − 1 2 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cdot &\rho &D&N&Q&P&L\\{\mathsf {M}}&1&0&0&0&1&1\\{\mathsf {T}}&0&0&-1&-1&-2&-3\\{\mathsf {L}}&-3&1&0&3&-1&2\end{pmatrix}}}
であるため無次元数は null M = 3つ存在する。よく用いられるのはそれぞれ流量係数、圧力係数、出力係数と呼ばれる以下の3つである:
φ = Q N D 3 , ψ = P ρ N 2 D 2 , τ = L ρ N 3 D 5 {\displaystyle \phi ={\frac {Q}{ND^{3}}},\quad \psi ={\frac {P}{\rho N^{2}D^{2}}},\quad \tau ={\frac {L}{\rho N^{3}D^{5}}}}
無次元の関係式 f, g で表すと
ψ = f ( φ ) , τ = g ( φ ) {\displaystyle \psi =f(\phi ),\quad \tau =g(\phi )}
となる。
例としてばねにつないだ物体の振動運動について考える。水平面上に質量 m の物体をおき、垂直に立った壁と物体との間をばね定数 k のばねで結ぶ。ばねの自然長の状態から物体を x だけずらし、静かに手を離すと物体は振動運動を始める。このときの振動の周期(1振動にかかる時間)T を与える式を推測する。水平面との摩擦や空気抵抗は考えない。
式に含まれるであろう定数は、物体の質量 m、ばね定数 k、初期変位 x の3つである。長さの次元を L {\displaystyle {\mathsf {L}}} 、質量の次元を M {\displaystyle {\mathsf {M}}} 、時間の次元を T {\displaystyle {\mathsf {T}}} とすれば、それぞれの定数および周期 T の次元は [ m ] = M , [ k ] = M T − 2 , [ x ] = L , [ T ] = T {\displaystyle [m]={\mathsf {M}},[k]={\mathsf {MT}}^{-2},[x]={\mathsf {L}},[T]={\mathsf {T}}} である。