ベイズ推定
1968年5月、アメリカの原子力潜水艦スコーピオンが大西洋で行方不明となった。この時捜索と並行して用いられた手法は次のものであった。まず海図上を多数のグリッドに分割してそこに潜水艦が沈んでいる事前確率を経験に基づいて割り振っておき、確率の高い所を捜索し、捜索の結果そこに見付からなかったら全体の確率を改訂する。また確率の高いところを捜索し、これを繰り返して絞り込みを行う。この方法で潜水艦は発見された。
ある領域に潜水艦が沈んでいる確率を p とし、実際にそこにあるという条件でそれが発見される確率をq としよう。その領域を捜索した結果、発見されなければ、潜水艦がそこに沈んでいる事後確率は
p ′ = p ( 1 − q ) ( 1 − p ) + p ( 1 − q ) {\displaystyle p'={\frac {p(1-q)}{(1-p)+p(1-q)}}}
となる。それ以外の領域については残りの確率 1 - p を、事前確率に比例する形で割り振る。
3つの扉のうち1つだけに賞品が入っていて、回答者はそれを当てたら賞品がもらえる。ただし扉は次のように2段階で選ぶことができる。
まず回答者は3つの扉からどれか1つを選ぶ。
次に、答を知っている司会者が、選んでいない扉で賞品の入っていない扉1つを開けてみせる。ただし、回答者が当たりの扉を選んでいる場合は、残りの扉からランダムに1つを選んで開けるとする。このあと回答者は扉を1回選び直してもよい。
2で扉を換えるのと換えないのと、どちらが当たる確率が高いか?
1の段階では、選んだ扉(A としよう)に賞品がある確率(回答者にとっての事前確率)は 1/3 で、賞品がない(つまり選んでないどちらかの扉に賞品がある)確率は 2/3。2の段階で司会者から示された扉を B、残りの扉を C としよう。この段階で、1で選んでいない扉の選択肢は2個から1個に絞られた(1で選んだ扉に関しては変わりない)ので、Cが当たりとなる事後確率は 2/3(Aの確率は 1/3 のまま)。だから、2の段階でもう1つの扉を選び直した方が当たる確率が高い。1で選んだかどうかは主観的なもので確率に関係ないのではないか?という気がするが、実際は扉 A を選んだと表明することで司会者の行動に影響を与えているのである。潜水艦の例では、確率が高いとして選んだ領域から捜索している点で違う。
P(A), P(C) を、それぞれ A, C が当たりである事前確率とし、P(B | A), P(B | C) を、それぞれ A, C が当たりである場合に司会者が B を開ける確率とする。
このとき、B が開いたという前提で、C が当たりである事後確率 P(C | B) は
P ( C | B ) = P ( B | C ) P ( C ) P ( B | A ) P ( A ) + P ( B | C ) P ( C ) = 1 × 1 3 1 2 × 1 3 + 1 × 1 3 = 2 3 {\displaystyle P(C|B)={\frac {P(B|C)P(C)}{P(B|A)P(A)+P(B|C)P(C)}}={\frac {1\times {\frac {1}{3}}}{{\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}+1\times {\frac {1}{3}}}}={\frac {2}{3}}}
と求まる。
なお、Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率P(B | A) を1/2とせずそのままの形にしておくと、上の式は 1/(P(B | A) + 1) となる。すなわち、Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率P(B | A)が0から1まで変化すると、B が開いたという前提で、C が当たりである事後確率P(C | B) は1から1/2まで変化するのである。してみると、Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率P(B | A)が1/2である場合に限って、上の式でC が当たりである事後確率P(C | B) が2/3となることが分かる。 従って、モンティ・ホール問題では、「ただし、回答者が当たりの扉を選んでいる場合は、残りの扉からランダムに1つを選んで開けるとする。」という条件が最も重要であることに留意すべきである。