交換子部分群
四次交代群 A4 の交換子部分群はクラインの四元群である。
対称群 Sn の交換子部分群は交代群 An である。
一般線形群 GLn(C) の交換子部分群は特殊線形群 SLn(C) である。
四元数群 Q = ⟨ − 1 , i , j , k ∣ ( − 1 ) 2 = 1 , i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 ⟩ {\displaystyle Q=\langle \,-1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\,\rangle } の交換子部分群は [Q, Q] = {1, −1} である。
弧状連結位相空間 X の基本群 π1(X) の交換子部分群は、整係数一次特異ホモロジー群 H1(X; Z) の上への自然な準同型の核である。言い換えると、π1(X) のアーベル化は H1(X; Z) に自然に同型である。
群 G とその正規部分群 N に対し、剰余群 G/N がアーベル群となる必要十分条件は N が交換子部分群 [G, G] を含むことである。
剰余群 G/[G, G] は群 G のアーベル化と呼ばれるアーベル群である。また剰余群としてアーベル化を得ることを、G をアーベル化すると言う。G のアーベル化は G や Gab と書かれるのが普通である。
標準的な全射 π: G → G には有用な圏論的解釈がある。つまり π は