ジョルダン標準形
対角行列は次数が1のジョルダン細胞のみからなるジョルダン標準形である。
次の複素成分正方行列 A のジョルダン標準形は次のようになる。
A = [ 1 2 − 2 5 ] , P = [ 1 − 1 2 1 0 ] , P − 1 A P = [ 3 1 0 3 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\-2&5\end{bmatrix}},~P={\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}\\1&0\end{bmatrix}},~P^{-1}AP={\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}}}
また次で定めるベクトル u, v は Au = 3u と Av = 3v + u とを満たすので行列 A のジョルダン基底である。
u = [ 1 1 ] , v = [ − 1 2 0 ] {\displaystyle u={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},~v={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}\\0\end{bmatrix}}}
この行列 A の半単純成分 S と冪零成分 N への分解は次のようになる。