ラングランズ双対
ラングランズ予想は、非常に大まかには、G が局所体、あるいは大域体上の簡約代数群であれば、G の「良い」表現とガロア群(ヴェイユ群)から G のラングランズ双対群への準同型との間に対応が存在するという予想である。この予想のもう少し一般的な予想としては、ラングランズ函手性(Langlands functoriality)であり、ラングランズ函手性とは、大まかには言うと、(よい振る舞いをする)ラングランズ双対群との準同型が与えられると、対応する群の「よい」表現の間に写像が誘導されるはずであるという性質である。
この理論を明らかとするために、L-群の L-準同型の概念を他方でも定義せねばならない。すなわち、L-群は圏を構成していなければいけなく、従って、函手性が意味を持つ。複素リー群上の定義は期待通りであるが、L-準同型はヴェイユ群の上でなければならない。