和分差分学
よく知られた連続的な微分法は
D f ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle Df(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
で定義される微分作用素 D に基づくのに対し、離散的な差分法は
Δ f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}
で定義される差分作用素 Δ に基づく。
逆演算は、連続的な微分積分学における不定積分に対応するものとして、離散的な不定和分 ∑f(x) が差分作用素に対して
g ( x ) = Δ f ( x ) ⟺ ∑ g ( x ) δ x = f ( x ) + C {\displaystyle g(x)=\Delta f(x)\iff \sum g(x)\,\delta x=f(x)+C}
連続的な微分積分学における積の微分法則に対応する、差分に関する積の法則が
Δ ( u ( x ) v ( x ) ) = u ( x ) Δ v ( x ) + v ( x + 1 ) Δ u ( x ) {\displaystyle \Delta (u(x)v(x))=u(x)\Delta v(x)+v(x+1)\Delta u(x)}
なる形で成り立つ。シフト作用素 E を Ef(x) := f(x + 1) で定めれば、短く
Δ ( u v ) = u Δ v + E v Δ u {\displaystyle \Delta (uv)=u\Delta v+Ev\Delta u}
と書くこともできる。これを逆に用いて、連続的な部分積分に対応する部分和分の式
∑ u Δ v = u v − ∑ E v Δ u {\displaystyle \sum u\,\Delta v=uv-\sum Ev\,\Delta u}
が得られる。