フルヴィッツのゼータ函数
θ ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta (z,\tau )} をヤコビのテータ函数とすると、
∫ 0 ∞ [ θ ( z , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) [ ζ ( 1 − s , z ) + ζ ( 1 − s , 1 − z ) ] {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]}
が、 R s > 0 {\displaystyle \Re \,s>0} となる複素数 sと、整数を除く複素数 z に対して成立する。z = n が整数の場合は、この式が単純化できて、