ニュートン法
とおき、f(x) = 0 の解を求めることを考える。
f ′ ( x ) = 2 x {\displaystyle f'(x)=2x\,}
であるので、(1) の式は
x n + 1 = x n − x n 2 − 2 2 x n = 1 2 ( x n + 2 x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{2}-2}{2x_{n}}}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {2}{x_{n}}}\right)}
と書き表せる。たとえば x0 = 2 とおくと、この数列は 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} に収束するが、その収束の仕方は
x0 = 2
x1 = 1.5
x2 = 1.416666...
x3 = 1.4142156862745...
x4 = 1.4142135623746899... (下線部は 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} と一致する部分)
となる。
また、x0 = −1 とおくと、この数列は − 2 {\displaystyle -{\sqrt {2}}} に収束する。