アルキメデスの性質
局所体の理論におけるアルキメデス性は以下のように定義される。Kを絶対値を持つ体、つまりKの元 x に対し正の数 |x| が、四則演算が連続になるように与えられているとする。このとき、0でない任意の元 x についてある自然数 n が存在して
| x + ⋯ + x ⏟ n | > 1 {\displaystyle |\underbrace {x+\cdots +x} _{n}|>1}
となるとき、Kはアルキメデス的であると言われる。
この概念は古代ギリシャの数学者・物理学者であったシラクサのアルキメデスにちなんでいる。アルキメデスの性質はユークリッドの原論第5巻の定義4に現れる:
アルキメデスはこのことをクニドスのエウドクソスに帰しているため、エウドクソスの定理またはエウドクソスの公理としても知られている。
アルキメデスは求積法などに関する物理的な考察の際にもちいた直感的な議論において無限小の量を論じたことはあったが、それらを数学的に厳密な対象として認めることはなかった。en:Archimedes_Palimpsest
近現代の数学におけるアルキメデスの公理の定式化に、ヒルベルトによる幾何の公理系に含まれる公理 V-I.
A1を任意に選ばれた点AとBのあいだの直線上の任意の点とせよ。点A2, A3, A4, ... を、A1がAとA2の間に、A2がA1とA3の間に、A3がA2とA4の間になるように選べ。さらに、線分AA1, A1A2, A2A3, A3A4が互いに等しいとせよ。そのとき、この点列のうちで特定のAnについてBがAとAnの間に位置するようなものがある。
がある。
有理数体にp進距離を入れたものや、その完備化であるp進体はノルム付き体としてアルキメデス的でない。実際、これらの体系においては自然数のなす部分集合は0を中心とする単位球に含まれている。