直積集合
有限集合 A, B の直積 A × B の濃度は、|A × B| = |A| ⋅ |B| で与えられる。これは、数え上げに関する積の原理から導くことができる。
一例として、
A = {0, 1, 2, 3} (3以下の自然数の集合)
B = {1, 3} (3以下の奇数の集合)
このとき、|A| = 4, |B| = 2, A × B = {(0,1), (0,3), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3)} であって、実際に |A × B| = 8 = 4 × 2 = |A|⋅|B| であることが確認できる。
同様にして
|A×B×C| = |A|⋅|B|⋅|C|, |A×B×C×D| = |A|⋅|B|⋅|C|⋅|D|, ...
濃度の積の意味で |∏Aλ| = ∏|Aλ|
が成り立つ。特にデカルト冪について、
任意の自然数 n に対して |A| = |A|
が言え、あるいは一般に
|∏λ∈Λ A| = |A| = |A|
が濃度の冪の意味で成り立つ。