弱形式
V = R n {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} と A : V → V {\displaystyle A:V\to V} を線型写像とする。このとき、方程式
A u = f {\displaystyle Au=f}
の弱形式は、すべての v ∈ V {\displaystyle v\in V} に対して次の方程式を満たす u ∈ V {\displaystyle u\in V} を見つけることとなる。
⟨ A u , v ⟩ = ⟨ f , v ⟩ {\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle \,}
ここで ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は内積を表す。
A {\displaystyle A} は線型写像なので、基底ベクトルに対して調べれば十分である。すると
⟨ A u , e i ⟩ = ⟨ f , e i ⟩ i = 1 , ...