相対論的力学
として測地線の方程式が導かれる。従って、曲がった時空における慣性力、あるいは重力の4元力は
K μ ( λ ) = − m Γ ρ ν μ ( X ) U ρ U ν ( λ ) {\displaystyle K^{\mu }(\lambda )=-m\varGamma _{\rho \nu }^{\mu }(X)U^{\rho }U^{\nu }(\lambda )}
となる。ここで Γ は接続係数
Γ ρ ν μ ( x ) = 1 2 g μ σ [ ∂ ρ g ν σ ( x ) + ∂ ν g ρ σ ( x ) − ∂ σ g ρ ν ( x ) ] {\displaystyle \varGamma _{\rho \nu }^{\mu }(x)={\frac {1}{2}}g^{\mu \sigma }\left[\partial _{\rho }g_{\nu \sigma }(x)+\partial _{\nu }g_{\rho \sigma }(x)-\partial _{\sigma }g_{\rho \nu }(x)\right]}
である。
となる。ここで F はベクトル場の強度
F μ ν ( x ) = ∂ μ A ν ( x ) − ∂ ν A μ ( x ) {\displaystyle F_{\mu \nu }(x)=\partial _{\mu }A_{\nu }(x)-\partial _{\nu }A_{\mu }(x)}
であり、電磁場の場合は電磁場テンソルに相当する。
曲がった時空での運動方程式は
p ̇ μ ( λ ) + e − 1 Γ ρ ν μ ( X ) X ̇ ρ X ̇ ν ( λ ) = q F μ ν ( X ) X ̇ ν ( λ ) {\displaystyle {\dot {p}}^{\mu }(\lambda )+e^{-1}\varGamma _{\rho \nu }^{\mu }(X){\dot {X}}^{\rho }{\dot {X}}^{\nu }(\lambda )=qF^{\mu }{}_{\nu }(X){\dot {X}}^{\nu }(\lambda )}
となる。テンソル添字は時空の計量を用いて
F μ ν ( x ) = g μ ρ ( x ) F ρ ν ( x ) {\displaystyle F^{\mu }{}_{\nu }(x)=g^{\mu \rho }(x)\,F_{\rho \nu }(x)}
により上げ下げされる。
δ S [ X , e ] δ X μ ( λ ) = e − 1 2 ∂ μ g ρ ν ( X ) X ̇ ρ X ̇ ν ( λ ) − P ̇ μ ( λ ) = − e − 1 Γ μ ρ ν ( X ) X ̇ ρ X ̇ ν ( λ ) − g μ ν ( X ) p ̇ ν ( λ ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta S[X,e]}{\delta X^{\mu }(\lambda )}}&={\frac {e^{-1}}{2}}\partial _{\mu }g_{\rho \nu }(X){\dot {X}}^{\rho }{\dot {X}}^{\nu }(\lambda )-{\dot {P}}_{\mu }(\lambda )\\&=-e^{-1}\varGamma _{\mu \rho \nu }(X){\dot {X}}^{\rho }{\dot {X}}^{\nu }(\lambda )-g_{\mu \nu }(X)\,{\dot {p}}^{\nu }(\lambda )\\&=0\\\end{aligned}}}
p ̇ μ ( λ ) + e − 1 Γ ρ ν μ ( X ) X ̇ ρ X ̇ ν ( λ ) = 0 {\displaystyle {\dot {p}}^{\mu }(\lambda )+e^{-1}\varGamma _{\rho \nu }^{\mu }(X){\dot {X}}^{\rho }{\dot {X}}^{\nu }(\lambda )=0}