量子力学の数学的定式化
∫ R d χ ( x ) ψ ( x ) d x = ⟨ χ , ψ ⟩ {\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\chi (x)\psi (x)\mathrm {d} x=\langle \chi ,\psi \rangle } = ⟨ φ , M f ( ψ ) ⟩ = ∫ R d f ( x ) φ ( x ) ψ ( x ) d x {\displaystyle =\langle \phi ,M_{f}(\psi )\rangle =\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\phi (x)\psi (x)\mathrm {d} x}
である。 ψ ∈ D o m ( M f ) {\displaystyle \psi \in \mathrm {Dom} (M_{f})} の任意性より、これは χ ( x ) = f ( x ) φ ( x ) {\displaystyle \chi (x)=f(x)\phi (x)} a.eを意味する。χの自乗可積分性とDom(Mf)の定義より、 φ ∈ D o m ( M f ) {\displaystyle \phi \in \mathrm {Dom} (M_{f})} である。よってDom(Mf)=Dom(Mf)であり、掛け算作用素Mjは自己共役作用素である。
ψ , χ ∈ S ( R d ) {\displaystyle \psi ,\chi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} に対し、超関数の時と同様
T ψ ( χ ) := ∫ R d ψ ( x ) χ ( x ) d x {\displaystyle T_{\psi }(\chi ):=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\psi (x)\chi (x)\mathrm {d} x}
と定義する事で、シュワルツ関数 ψ ∈ S ( R d ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} に緩増加超関数Tψを対応させることができる。
定理 ― 写像
ψ ∈ S ( R d ) ↦ T ψ ∈ S ′ ( R d ) {\displaystyle \psi \in {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})\mapsto T_{\psi }\in {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} ^{d})}
は単射かつ連続で、しかもその像は値域において稠密である。
を満たす自己共役作用素AXが存在する(ここで左辺のexpは前述の通りリー環の元にリー群の元を対応させる写像、右辺のexpは自己共役作用素に1パラメータ変換を対応させる写像)。よって g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元に自己共役作用素を対応させる写像
π : X ∈ g ↦ A X {\displaystyle \pi ~:~X\in {\mathfrak {g}}\mapsto A_{X}}
が定義可能である。
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素Hをハミルトニアンとして固定し、
U t = e x p ( − i t ħ H ) {\displaystyle U_{t}=\mathrm {exp} \left(-{it \over \hbar }H\right)}
とすると、強連続1パラメータユニタリ変換群に関するネーターの定理から、以下の3つは同値である:
任意の s ∈ R {\displaystyle s\in \mathbf {R} } に対し V − s H V s = H {\displaystyle V_{-s}HV_{s}=H}
任意の t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbf {R} } に対し U − t π ( X ) U t = π ( X ) {\displaystyle U_{-t}\pi (X)U_{t}=\pi (X)}
任意の s , t ∈ R {\displaystyle s,t\in \mathbf {R} } に対し U t V s = V s U t {\displaystyle U_{t}V_{s}=V_{s}U_{t}}
次が成立する事を簡単な計算で確かめることができる:
定理 ― フーリエ変換とフーリエ逆変換は S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} 上定義可能である。しかもこれらの変換は S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} 上の全単射であり、フーリエ変換とフーリエ逆変換は逆写像の関係にある
またこれらの変換は連続である:
定理 ― S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の元の列{ψn}が S ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} ^{d})} の元ψに収束するなら、 F ( ψ n ) → F ( ψ ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(\psi _{n})\to {\mathcal {F}}(\psi )} と F ∗ ( ψ n ) → F ∗ ( ψ ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}(\psi _{n})\to {\mathcal {F}}^{*}(\psi )} が成立する。
Xを測度空間とする。量子力学の文脈ではXは R d {\displaystyle \mathbf {R} ^{d}} の可測部分集合である事が多い。X上の可測関数ψで
∫ X | ψ ( x ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{X}|\psi (x)|^{2}\mathrm {d} x<\infty }
となるものを考え、こうした関数全体の集合に
ψ ∼ φ ⟺ d e f ψ ( x ) = φ ( x ) {\displaystyle \psi \sim \varphi {\overset {def}{\iff }}\psi (x)=\varphi (x)} a.e.
という同値類を定義する。
定義 (L関数、L空間) ― 記号を上述のように定義し、
L 2 ( X ) := { ψ : X → C ∣ ∫ X | ψ ( x ) | 2 d x < ∞ } / ∼ {\displaystyle L^{2}(X):=\{\psi ~:~X\to \mathbf {C} \mid \int _{X}|\psi (x)|^{2}\mathrm {d} x<\infty \}/\sim }
本節では
H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}
の場合に対して、オブザーバブルの具体例を述べる。
本節では、関数 f: R → C のフーリエ変換
F ( f ) ( ξ ) := 1 ( 2 π ) d / 2 ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i x ξ d x {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)(\xi ):={1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-ix\xi }\,\mathrm {d} x}
とその逆変換に当たるフーリエ逆変換
F ∗ ( g ) ( x ) := 1 ( 2 π ) d / 2 ∫ − ∞ ∞ g ( ξ ) e i x ξ d x {\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}(g)(x):={1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{-\infty }^{\infty }g(\xi )\ e^{ix\xi }\,\mathrm {d} x}
量子力学では時刻tに依存するかもしれないポテンシャルと呼ばれる実数値局所可積分関数V(x,t)を固定し、シュレディンガー作用素と呼ばれる作用素
H = − ∑ j = 1 n ħ 2 m j ( ∂ 2 ∂ x j , 1 2 + ⋅ + ∂ 2 ∂ x j , l 2 ) + V ( x , t ) {\displaystyle H=-\sum _{j=1}^{n}{\hbar \over 2m_{j}}\left({\partial ^{2} \over \partial x_{j,1}{}^{2}}+\cdot +{\partial ^{2} \over \partial x_{j,\ell }{}^{2}}\right)+V(x,t)}
を考える。ここでmjは何らかの定数で、物理的にはj番目の粒子の質量を表す。またlは次元であり、物理学的なセッティングでは3である。各時刻tに対しシュレディンガー作用素は常に対称作用素であるが、本質的に自己共役であるか否かはポテンシャルによる。
定理 (時間非依存かつ一粒子のシュレディンガー作用素の自己共役性) ― 時間非依存かつ一粒子のシュレディンガー作用素
本節では以下、 A : H → H {\displaystyle A~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} を(稠密に定義された有界とは限らない)自己共役作用素とする。このときσ(A)は実数体Rの閉部分集合である事が知られている。またσ(A)の元は必ずしも点スペクトルではないため、 ( A − λ I ) ψ {\displaystyle (A-\lambda I)\psi } が0となるψ≠0が存在するとは限らないが、 ( A − λ I ) ψ {\displaystyle (A-\lambda I)\psi } をいくらでも0に近く取る事ができる:
定理 ― A : H → H {\displaystyle A~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} を(稠密に定義された有界とは限らない)自己共役作用素とする。
なおDの定義において、α1=...=αd=0の項 ψ 0 ( x ) ∂ 0 {\displaystyle \psi _{0}(x)\partial ^{0}} はψ0(x)倍する演算子とみなす。
本節の目標は、微分作用素Dのうち性質の良いものを H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} 上定義されたオブザーバブルとみなす事である。しかしそもそも偏微分 ∂ ∂ x j ψ ( x ) {\displaystyle {\partial \over \partial x_{j}}\psi (x)} は ψ ( x ) ∈ L 2 ( R d ) {\displaystyle \psi (x)\in L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} が可微分でなければそもそも定義できないので、単純にDを H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} の元に作用させることはできない。そこで以下の事実を用いる:
性質1より、以下本項ではTが本質的に自己共役な場合には、紛れがなければTと T ̄ {\displaystyle {\bar {T}}} を混用する。
自己共役作用素は必ず掛け算作用素として表現できる事が知られている:
定理 (掛け算作用素によるスペクトル定理) ― T : H → H {\displaystyle T~:~{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} を自己共役作用素とする。このときσ-有限(英語版)な可測空間(X,μ)とユニタリ作用素 U : H → ~ L 2 ( X , μ ) {\displaystyle U~:~{\mathcal {H}}{\tilde {\to }}L^{2}(X,\mu )} と可測な実数値関数 h : L 2 ( X , μ ) → R {\displaystyle h~:~L^{2}(X,\mu )\to \mathbf {R} } が存在し、TU:=UTUとすると以下が成立する:
T U ( ψ ) = h ( x ) ψ ( x ) ∀ ψ ∈ D o m ( T U ) {\displaystyle T_{U}(\psi )=h(x)\psi (x)~~\forall \psi \in \mathrm {Dom} (T_{U})}