エンリケス・小平の分類
複素数上の超楕円曲面は、2つの楕円曲線の積の自己同型群である有限群で割った商である。可能な有限群は Z/2Z, Z/2Z+Z/2Z, Z/3Z, Z/3Z+Z/3Z, Z/4Z, Z/4Z+Z/2Z, もしくは、Z/6Z であり、楕円曲面の 7つの族を形成する。標数 2, 3 の体の上では、非エタール群スキームによる商である余剰な族が存在する。詳しくは超楕円曲面を参照。
ホッジダイアモンド:
分類にはさほどは使われないコンパクト複素曲面の不変量が他にもある。これらの中には、因子の線型同値(英語版)(linear equivalence)を modulo とするピカール群 Pic(X) やそのピカール数 ρ のランクを持つネロン・セヴィリ群 NS(X) といった代数的不変量や、基本群 π1 や整数係数ホモロジー群やコホモロジー群といった位相不変量、サイバーグ・ウィッテン不変量やドナルドソン不変量といった基礎となる滑らかな 4-次元多様体の不変量がある。
種数 g の線織(ルールド)曲面は、ファイバーが直線 P であるような種数 g の曲線への滑らかな射を持つ。それらはみな代数的である。(種数 0 のルールド曲線はヒルツェブルフ曲面であり、有理曲面である。)全ての線織曲面は一意的な曲線 C が存在し、P×C へ双有理同値であるので、線織曲面の分類は双有理同値を同一視すると本質的には曲線の分類と同一となる。P×P と同型ではない線織曲面は、一意に線織構造 (P×P は 2つの線織構造)を持っている。
不変量: 多重種数はみな、0 である。
ホッジダイアモンド:
例: 任意の種数 > 0 の曲線と P の積
小平次元 −∞ の代数曲面は次のように分類される。q > 0 であれば、アルバネーゼ多様体への写像は射影直線であるファイバーを持つ。すると、(曲面を極小とすると、)曲面は線繊曲面となる。q = 0 であれば、アルバネーゼ多様体は一点となるので、議論とはならないが、しかし、この場合には、カステルヌオボーの定理は曲面が有理曲面であることを意味する。
非代数的曲面に対して、小平は曲面の余剰なクラスである VII型と呼ばれるクラスを見つけ出したが、このクラスは未だに良く理解されてはいない。