リーマンゼータ関数の特殊値
ζ ( 20 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 20 = 173611 π 10 1531329465290625 {\displaystyle \zeta (20)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{20}}}={\frac {173611\pi ^{10}}{1531329465290625}}}
となる。またその近似値は、以下の表に示す通りである。
この表からもわかるように、ゼータ関数は s → ∞ の極限で ζ (s) → 1 である。すなわち、
lim s → ∞ ζ ( s ) = 1 {\displaystyle \lim _{s\to \infty }\zeta (s)=1}
である。また、自然数 n に対して、
a n ζ ( 2 n ) = π 2 n b n {\displaystyle a_{n}\,\zeta (2n)=\pi ^{2n}\,b_{n}}
を満たすように an と bn を定める。ただし、ここで an と bn は任意の自然数 n に対して常に自然数をとるものとする。すると、このとき an と bn の n = 1 から n = 20 までの挙動は以下の表に示す通りである。
さらに cn = bn/an と定めると、偶数に対する特殊値はより簡単に、
ζ ( 2 n ) = ∑ m = 1 ∞ 1 m 2 n = c n π 2 n {\displaystyle \zeta (2n)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}=c_{n}\,\pi ^{2n}}
とかくことができる。するとこのとき、
ζ ( 3 ) = 14 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 sinh  n π − 11 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 2 n π − 1 ) − 7 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 2 n π + 1 ) {\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh n\pi }}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\,(e^{2n\pi }-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\,(e^{2n\pi }+1)}}}
ζ ( 3 ) = 1 2 ∫ 0 ∞ x 2 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}
ζ ( 3 ) = 2 π 2 log  2 7 + 16 7 ∫ 0 π 2 x log  sin  x d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}\log 2}{7}}+{\frac {16}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log \sin x\,{\rm {d}}x}
1644年、イタリアのピエトロ・メンゴリ(イタリア語版、ドイツ語版)によって以下の問題が提起された。この問題は、解決に挑んだ数学者の多くがバーゼルの生まれであったことから、バーゼル問題と呼ばれる。
バーゼル問題 ― 以下の級数:
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }
は収束するか。収束するならばその値はいくつか。
バーゼル問題は、スイスのレオンハルト・オイラーによって初めて解決された。オイラーは、三角関数のテイラー級数およびその無限乗積の x の項の展開係数を比較することで、
− 1 3 ! = − 1 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 {\displaystyle -{\frac {1}{3!}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
となることから、
ζ ( 2 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
が成り立つことを示した。さらにオイラーの研究はバーゼル問題にとどまることはなく、より一般の場合の研究に努め、任意の自然数 n に対して、
ゼータ関数は複素解析に頻繁に登場する特殊関数であるが、解析的整数論においても重要な関数である。ゼータ関数は、実部が 1 より真に大きい複素数 s と自然数 n に対して、
ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + ⋯ {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
で定義される関数 ζ のことをいい、例えば s = 2 とすると、
ζ ( 2 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }
のような級数が提供される。特に、整数引数に対してゼータ関数がとる値についてはこの例も含めすべて実数値をもち、さらに数値計算に効率のよい公式が存在する。
}}}
となるので、ベルヌーイ数の特殊値を利用し、
π z cot  π z = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 2 i π z ) 2 n B 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \pi z\cot \pi z=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2i\pi z)^{2n}\,B_{2n}}{(2n)!}}}
一方、正弦関数の無限乗積の対数は、
log  sin  π z = log  π z + ∑ k = 1 ∞ log ( 1 − z 2 k 2 ) {\displaystyle \log \sin \pi z=\log \pi z+\sum _{k=1}^{\infty }\log \!{\biggl (}1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}{\biggr )}}
であり、両辺を微分して z を乗じると、
π z cot  π z = 1 − ∑ k = 1 ∞ 1 1 − z 2 / k 2 2 z 2 k 2 {\displaystyle \pi z\cot \pi z=1-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-z^{2}\!/k^{2}}}{\frac {2z^{2}}{k^{2}}}}
となるが、これをテイラー展開して整理すると、
π z cot  π z = 1 − 2 ∑ n = 1 ∞ ζ ( 2 n ) z 2 n {\displaystyle \pi z\cot \pi z=1-2\sum _{n=1}^{\infty }\zeta (2n)\,z^{2n}}
それぞれで導いた πz cot πz を比較して、