ビジービーバー
Σ(n) と S(n) の正確な値が判明しているのは n < 5 である場合に限られる。5-状態ビジービーバーについては、現時点で知られている優勝候補は 4,098 個の 1 を 47,176,870 ステップで出力するが(Heiner Marxen と Jurgen Buntrock、1989年)、他に約40個の非正則な振る舞いをするチューリングマシンが残されている。これらは停止しないと信じられているが、停止しないことの証明がいまだ得られていない。6-状態ビジービーバーの現時点における候補は 10 を超える 1 を 10 を超えるステップにて出力する(Pavel Kropitz、2010年)。前述したように、これらのビジービーバーはすべて2-記号チューリングマシンである。
Milton Greenは、1964年の論文 "A Lower Bound on Rado's Sigma Function for Binary Turing Machines" の中で、ある種のマシンの集合を構成し次のことを示した。
結果: ≈7.412 × 10 ステップにて ≈3.515 × 10個の "1" を出力。