自動定理証明
第二次世界大戦後、第一世代のコンピュータが登場。1954年、マーチン・デービス(英語版)がプリンストン高等研究所にて真空管コンピュータJOHNNIAC(英語版)上にプレスブルガーのアルゴリズムを実装した。デービスによれば「2つの偶数の総和も偶数であることを証明するという大きな成果があった」という。さらに野心的な試みとして Logic Theorist がある。これはアレン・ニューウェルとハーバート・サイモンとクリフ・ショーが開発したもので、『プリンキピア・マテマティカ』の命題論理を対象とした推論システムだった。こちらもJOHANNIAC上で動作し、命題論理の少数の公理と推論規則(モーダスポネンス、命題変数の置換など)から証明を構築した。ヒューリスティックによる誘導を使っており、『プリンキピア・マテマティカ』の52の定理のうち38の証明に成功した。
Logic Theoristのヒューリスティックとは人間の数学者のエミュレートを試みることであり、妥当な定理すべてについて証明できることを保証できなかった。対照的に、より体系的なアルゴリズムで(少なくとも理論上は)一階述語論理の完全性を達成できている。初期の手法ではエルブランとスコーレムの成果に基づき、一階述語論理の論理式を複数の命題論理の論理式に変換していた。そして、いくつかの技法で命題論理式の充足不可能性をチェックする。ギルモアのアルゴリズムは加法標準形に変換することで充足可能性を判定しやすくしていた。
産業分野での応用例としては、LSIの設計とその検証が挙げられ、モデル的手法とともに使われている。Pentium FDIV バグ 以来、FPUの設計は極めて厳密に行われている。AMDやインテルはプロセッサの設計検証に自動定理証明を使っている。
使用する論理によって、論理式の妥当性の判定は自明なものから不可能なものまで様々である。命題論理の多くの問題では、定理は決定可能だがco-NP完全問題であり、汎用的な証明には指数時間アルゴリズムしかないと考えられている。一階述語論理では、完全性定理より妥当な論理式は証明可能であり、その逆も成り立つから、妥当な論理式の全体は再帰的に枚挙可能である。したがって、妥当な論理式の証明を機械的に探索することはできる。
妥当でない文、すなわち与えられた定理から意味論的に導かれない式は認識可能とは限らない。さらにゲーデルの不完全性定理によれば、ある程度の算術を含む無矛盾な体系は本質的不完全であり、本質的不完全な体系は本質的決定不可能であるから、とくに決定不可能である。そのような場合、一階述語論理の定理証明機は証明探索の完了に失敗する(停止しない)可能性がある。このような理論上の制限はあるが、実用的な定理証明機は様々な難しい問題の証明をすることができる。