正軸体
特にことわらない限り、辺の長さが a の n (≥ 2) 次元正軸体について述べる。
超体積は
2 n n ! a n {\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}^{n}}{n!}}a^{n}}
超表面積は
2 n n ( n − 1 ) ! 2 n − 1 a n − 1 {\displaystyle {\frac {2^{n}{\sqrt {n}}}{(n-1)!{\sqrt {2^{n-1}}}}}a^{n-1}}
である。
ファセット(n - 1 次元面)は n - 1 次元正単体である。したがって一般に、 m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元正単体である。例えば正十六胞体(4次元正軸体)の面(2次元面)は正三角形(2次元正単体)、胞(3次元面)は正四面体(3次元正単体)である。また m 次元面の超体積は、正単体の超体積の公式より、
m + 1 m ! 2 m a m {\displaystyle {\frac {\sqrt {m+1}}{m!{\sqrt {2^{m}}}}}a^{m}}
である。
対角線の長さは、作図法より
2 a {\displaystyle {\sqrt {2}}a\,}
で、全て直交する。
m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面の個数は
2 m + 1 n C m + 1 {\displaystyle 2^{m+1}{}_{n}\operatorname {C} _{m+1}}
である。