巨大基数
基数が「巨大基数的性質」を持つための必要条件の一つは、そのような基数の存在がZFCと矛盾することが知られておらず、かつ、ZFC の無矛盾性を仮定した場合に ZFC + 「そのような基数は存在しない」という主張が無矛盾であることである。
これが単なる慣習的な決まり事なのか、それとも何か本質的な意味があるのかは、諸学派の間で議論の的となっている(後述の動機および認識論的状況を参照)。
巨大基数公理とは、巨大基数的性質を持った何かしらの基数が一つ(または多数)存在すると述べる公理である。
集合論学者の間では、既知の巨大基数公理はZFCと無矛盾だと概ね信じられている。これらの巨大基数公理を仮定するとZFCの無矛盾性を証明できる。このため、ゲーデルの第二不完全性定理により、(ZFCが無矛盾だとして)「ZFC+巨大基数公理」の無矛盾性をZFCの中で証明することはできない。
巨大基数的性質とは何かということに関しては、一般に合意された正確な定義というものは存在しないが、巨大基数的性質の一覧に載っているものが巨大基数であることは本質的に誰もが同意している。