巡回数
1/13 の循環節である 076923 は巡回数ではないが、1〜12倍したときに現れる数の並びは、以下の2グループに分けることができる。
076923 × 01 = 076923 076923 × 03 = 230769 076923 × 04 = 307692 076923 × 09 = 692307 076923 × 10 = 769230 076923 × 12 = 923076
076923 × 02 = 153846 076923 × 05 = 384615 076923 × 06 = 461538 076923 × 07 = 538461 076923 × 08 = 615384 076923 × 11 = 846153
012345679は合成数 81 の逆数の循環節である。これも巡回数に似た性質をもっている。
12345679 × 19 = 234567901
12345679 × 28 = 345679012
12345679 × 37 = 456790123
12345679 × 46 = 567901234
12345679 × 55 = 679012345
12345679 × 64 = 790123456
12345679 × 73 = 901234567
12345679 × 82 = 1012345678 → 012345679
12345679 × 91 = 1123456789 → 123456790
十進法以外においても巡回数を考えることができる。いくつか例を挙げる。
二進法における 0011(=3=(2-1)/5) は巡回数である。
0011 × 001 = 0011(=3)
0011 × 010 = 0110(=6)
0011 × 011 = 1001(=9)
0011 × 100 = 1100(=12)
0011 × 101 = 1111(=15)
五進法における 032412(=2232=(5-1)/7) は巡回数である。
032412 × 1 = 032412(=2232)
032412 × 2 = 120324(=4464)
032412 × 3 = 203241(=6696)
032412 × 4 = 241203(=8928)
032412 × 5 = 324120(=11160)
032412 × 6 = 412032(=13392)
032412 × 7 = 444444(=15624)
十二進法における 2497(=4147=(12-1)/5) は巡回数である。
2497 × 1 = 2497(=4147)
2497 × 2 = 4972(=8294)
2497 × 3 = 7249(=12441)
2497 × 4 = 9724(=16588)
2497 × 5 = BBBB(=20735)
底が平方数の場合、2桁以上の巡回数は存在しない。