測度の緊密性
通常のボレル位相を備える実数直線 R を考える。δx をディラック測度、すなわち R 内の点 x における単位質量とする。次のような全体
M 1 := { δ n | n ∈ N } {\displaystyle M_{1}:=\{\delta _{n}|n\in \mathbb {N} \}}
は緊密ではない。なぜならばR 内のコンパクト部分集合は必ず閉かつ有界で、その有界性のためにそのような任意の集合は、十分大きな n に対して δn-測度ゼロとなる。一方、次のような全体
M 2 := { δ 1 / n | n ∈ N } {\displaystyle M_{2}:=\{\delta _{1/n}|n\in \mathbb {N} \}}
は緊密である。実際、コンパクトな区間 [0, 1] が任意の η > 0 に対する Kη としての役割を担う。一般に、R 上のディラックデルタ測度の全体が緊密であるための必要十分条件は、それらの台の全体が有界であることである。