アペリーの定理
数学において、アペリーの定理 (Apéry's theorem) は、アペリーの定数 ζ(3) が無理数であるという、数論の結果である。つまり、数
ζ ( 3 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 = 1 1 3 + 1 2 3 + 1 3 3 + ⋯ = 1.2020569 ... {\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\dotsb =1.2020569\ldots }
は p と q を整数として分数 p/q の形に書くことはできない。
リーマンのゼータ関数の偶数 2n (n > 0) における特殊値はベルヌーイ数を用いて表すことができ、したがって無理数であることが分かるのだが、奇数 2n + 1 (n > 0) において一般に有理数であるのか無理数であるのかは、無理数であると予想されてはいるが、未解決のままである。
1978年にフランスの数学者ロジェ・アペリーが、周囲が全く予期しないうちに、この事実の証明を発表した。アペリーの証明は、一箇所手計算ではできないところが含まれているといわれており、またその方法が未だに他の ζ の奇数値に対して一般化できないこともあり、非常に謎めいたものとなっている。後にフリッツ・ボイカーズ(英語版)のルジャンドル多項式を使った証明やユーリイ・ネステレンコ(英語版)の証明などが発表されている。
アペリーはフランス人数学者で、当時隆盛を誇っていたブルバキとは独立にこの方法を開拓した。