ルベーグ外測度
全体集合 R を区間の可算列によって被覆できる(なんとなれば R n ⊆ ⋃ j = 1 ∞ [ − j , j ] n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }[-j,j]^{n}} が成立することをみればよい)から、R の任意の部分集合 E が上記の基本集合の可算合併で被覆できることは明らかな事実である。そこで E のルベーグ外測度を
と定義する。ただし下限 inf は E を被覆する任意の基本集合列 Ij にわたってとるものとする。
これにより外測度 μ ∗ : 2 R n → R + ∪ { ∞ } = [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \mu ^{*}\colon 2^{\mathbb {R} ^{n}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{\infty \}=[0,\infty ]} が定まる。