八乗数
八乗数(はちじょうすう)は、ある数を8乗してできた数である。n番目の自然数の八乗数はn = n × n × n × n × n × n × n × nであり、n番目の七乗数のn倍、n番目の四乗数の平方である。最初のいくつかの非負整数の八乗数は0, 1, 256, 6561, 65536, 390625, 1679616, 5764801, 16777216, 43046721, 100000000, 214358881, 429981696, 815730721, 1475789056, 2562890625, 4294967296, 6975757441, 11019960576, 16983563041, 25600000000, 37822859361, 54875873536, 78310985281, 110075314176, ... オンライン整数列大辞典の数列 A001016である。
ロバート・レコードの考案したゼンジゼンジゼンジック(英語版)では、八乗数は「ゼンジゼンジゼンジック」と呼ばれた。
八次の代数方程式が八次方程式 a x 8 + b x 7 + c x 6 + d x 5 + e x 4 + f x 3 + g x 2 + h x + k = 0 {\displaystyle ax^{8}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}+fx^{3}+gx^{2}+hx+k=0} である。
八乗数8個の和で表せる既知の最小の八乗数は 1409 8 = 1324 8 + 1190 8 + 1088 8 + 748 8 + 524 8 + 478 8 + 223 8 + 90 8 {\displaystyle 1409^{8}=1324^{8}+1190^{8}+1088^{8}+748^{8}+524^{8}+478^{8}+223^{8}+90^{8}} である。
また、正整数の八乗数の逆数の和は ζ ( 8 ) = 1 1 8 + 1 2 8 + 1 3 8 + ⋯ = π 8 9450 = 1.00407 ... {\displaystyle \zeta (8)={\frac {1}{1^{8}}}+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407\dots } (A013666)となる。これはより一般的なベルヌーイ数の文脈における正偶数のリーマンゼータ関数の評価の説明の例となる。 ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! {\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}