ネイピア数
n → +∞ とした極限は、
lim n → + ∞ ( 1 + 1 n ) n = e {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e}
一般に、任意の実数 x に対して、
lim n → + ∞ ( 1 + x n ) n = e x {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}}
特に、x=-1 の場合、
lim n → + ∞ ( 1 − 1 n ) n = 1 e {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}}
が成り立つ。
底が e の指数関数 e の導関数と不定積分は
d d x e x = e x , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},}
∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C} (C は積分定数)
となる。また、底が e の対数関数 loge x(ln x あるいは(紛らわしくない場合)log x と書くことが多い)の導関数は
d d x ln  x = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}}