アーベル群
集合 G に二項演算("*" と書くことにする)が定義されていて、以下の条件
結合法則: a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c {\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c} .
単位元の存在: ∃ 1 ; a ∗ 1 = 1 ∗ a = a {\displaystyle \exists 1;\ a*1=1*a=a} .
逆元の存在: ∀ a , ∃ a − 1 ; a ∗ a − 1 = a − 1 ∗ a = 1 {\displaystyle \forall a,\exists a^{-1};\ a*a^{-1}=a^{-1}*a=1} .
交換法則: a ∗ b = b ∗ a {\displaystyle a*b=b*a} .
(ただし、a, b, c は G の任意の元)を全て満たすとき、G と演算 "*" の組 (G, *) をアーベル群という。考えている演算があきらかなときは省略して単に G をアーベル群と呼ぶ。
アーベル群ではしばしば演算子を "+" と記す。
このとき単位元を零元と呼んで 0 などで表し、逆元も −a のように負符号を用いて表してマイナス元あるいは反数ともよぶ。また、a + (−b) は a − b と書かれ、a から b を引くという減法が定義される。このような記法を加法的な記法と呼び、対して先に述べたような通常の群でよく使われる記法を乗法的な記法ということがある。アーベル群の定義を加法的に記せば
結合法則: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} .
零元の存在: ∃ 0 ; a + 0 = 0 + a = a {\displaystyle \exists 0;\ a+0=0+a=a} .
マイナス元の存在: ∀ a , ∃ − a ; a + ( − a ) = ( − a ) + a = 0 {\displaystyle \forall a,\exists -a;\ a+(-a)=(-a)+a=0} .
交換法則: a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} .
のようになる。