自然数
自然数全体の成す集合は普通 Natural number の頭文字をとって N または N {\displaystyle \mathbb {N} } と表される。
0 を含むかどうかの曖昧さを避けるために、正の整数(0 を含まない)を次のように表すこともある:
N ( N + {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} ) または N+ ( N + {\displaystyle \mathbb {N} _{+}} )
Z ( Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} ) または Z+ ( Z + {\displaystyle \mathbb {Z} _{+}} ) または Z> 0 ( Z > 0 {\displaystyle \mathbb {Z} _{>0}} )
また、非負整数(0 を含む)を表すのに、次の記法が使われることもある:
N ( N 0 {\displaystyle \mathbb {N} ^{0}} ) または N0 ( N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} )
Z0 ( Z 0 + {\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}} ) または Z≥ 0 ( Z ≥ 0 {\displaystyle \mathbb {Z} _{\geq 0}} )
Z ( Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} ) または Z+ ( Z + {\displaystyle \mathbb {Z} _{+}} ) はこちらの意味でも使われる
古代ギリシアの数学者エウクレイデスが編纂した『原論』の第7巻の冒頭で数の定義がなされている。
単位とは存在するもののおのおのがそれによって 1 とよばれるものである。
数とは単位から成る多である。
これは定規とコンパスによる作図で数を定義したものと解釈できる。すなわち、任意に与えた線分の長さを単位として 1 を定義する。そして、その線分を延長した直線上で単位を半径とする長さをコンパスで測り、その直線上でその単位を半径とする円との交点を作図し、その円の直径を 2 と定義する。同様にその直線上で円の直径に半径を繋いだ線分を作図し、その線分の長さを 3 と定義する。したがって、1 は数ではなく単位であり、2, 3, 4, ...が数になるため、古代ギリシア人は 1 を数として認識しなかったと言える。
1世紀頃、無名のインド人によって、初めて 0 を使った完全な位取り記数法が発明された。彼はソロバンとよく似たビーズ玉計算機で計算していたとき、数のない桁を 0 で書いて、ビーズ玉計算機上の各桁の数をそのまま並べて書き表すと、計算結果を素早く書き残せることに気づいた。この 0 は、インド人の言葉で空(から)の意味を表す「スーニャ」と呼ばれた。こうしてできた記数法は、数の記録と計算に一大革命をもたらす大発明となった。
a+c=b となる自然数 c が存在するとき、またそのときに限って、 a ≤ b と書いて自然数に対する全順序を定義する。この順序は自然数の演算に対して次の性質を満たす。
任意の自然数 a, b, c に対して a ≤ b ならば a + c ≤ b + c ac ≤ bc
順序に関して自然数が持つ重要な性質の一つは、それが整列集合であるということ、つまり自然数を要素とする空でない任意の集合は必ず最小元を持つということである。