固有振動
∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 + k 2 X ( x ) = 0 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}+k^{2}X(x)=0} ... (3-10)
と表される。ここで X ( x ) = e α x {\displaystyle X(x)=e^{\alpha x}} とおくと、 ∂ 2 X ( x ) ∂ x 2 = α 2 e α x {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}X(x)}{\partial x^{2}}}={\alpha }^{2}e^{\alpha x}} なので(3-10)は ( α 2 + k 2 ) X ( x ) = 0 {\displaystyle ({\alpha }^{2}+k^{2})X(x)=0} と書きかえられる。X(x)は任意の関数であるから α 2 + k 2 = 0 {\displaystyle {\alpha }^{2}+k^{2}=0} を考える。つまり α = ± i k {\displaystyle \alpha =\pm ik} である。したがって解は X ( x ) = e i k x {\displaystyle X(x)=e^{ikx}} と X ( x ) = e − i k x {\displaystyle X(x)=e^{-ikx}} であり、またその線形結合の X ( x ) = C 1 e i k x + C 2 e − i k x {\displaystyle X(x)=C_{1}e^{ikx}+C_{2}e^{-ikx}} も解である。
ρ ∂ 2 y ∂ t 2 = − δ P ( x + δ x , t ) − δ P ( x , t ) δ x {\displaystyle \rho {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}=-{\delta P(x+\delta x,t)-\delta P(x,t) \over \delta x}}
x→0で
ρ ∂ 2 y ∂ t 2 = − ∂ δ P ( x , t ) ∂ x {\displaystyle \rho {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial \delta P(x,t)}{\partial x}}} ... (4-5)
(4-3),(4-5)より
ρ ∂ 2 y ∂ t 2 = K ∂ 2 y ∂ x 2 {\displaystyle \rho {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}=K{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}}
v {\displaystyle v} = K ρ {\displaystyle {\sqrt {K \over \rho }}} とおくと
∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}} ... (4-6)
の波動方程式を得る。