黄金進法
非負の有理数は黄金進数表現として循環小数で表すことができる。実は、循環小数で表すことができるのは、通常の意味での有理数のみならず、Z[φ] の商体
Q ( φ ) = Q ( 5 ) := { a + b 5 ∣ a , b ∈ Q } {\displaystyle \mathbb {Q} (\phi )=\mathbb {Q} ({\sqrt {5}}):=\{a+b{\sqrt {5}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \}}
の元であり、またそれに限る。いくつか例を挙げる。
1/2 = 0.010 010 010 010...φ
1/3 = 0.00101000 00101000 00101000...φ
√5 = 10.1φ
2+(1/13)√5 = 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000...φ
Q(φ) の元の黄金進数表現が有限小数となることの証明は、通常の十進法の場合と同様である。実際、割り算を筆算で行った場合の余りの可能性は有限個しかないため、繰り返しのパターンが現れる。例えば、1/2 = 1/10.01φ = 100φ/1001φ の筆算は次のようになる。
ここに、引き算が少々難しいが、10000φ = 1100φ = 1011φ より 10000φ - 1001φ = 10φ であることを用いている。
逆に、黄金進数表現で循環小数であるものが Q(φ) の元に限ることを見るには、循環小数の意味するところが、公比がφの冪である等比級数であることに注意すればよい。