スレーター積分
配位子場理論において、次の値をスレーター積分 (またはスレーター-コンドンのパラメータ) という。
F k ( d , d ) = ∫ 0 ∞ r 1 2 d r 1 ∫ 0 ∞ r 2 2 d r 2 R 32 2 ( r 1 ) R 32 2 ( r 2 ) r < k r > k + 1 {\displaystyle F^{k}(d,d)=\int _{0}^{\infty }r_{1}^{2}dr_{1}\int _{0}^{\infty }r_{2}^{2}dr_{2}R_{32}^{2}(r_{1})R_{32}^{2}(r_{2}){\frac {r_{<}^{k}}{r_{>}^{k+1}}}}
ここで R n l ( r ) {\displaystyle R_{nl}(r)} は波動関数の動径部分である。
原子構造の量子論とこの積分の関係についてジョン・クラーク・スレイターは3つの球面調和関数の積の積分を係数cとして定義した。この係数はウィグナーの3jm記号
c k ( l , m , l ′ , m ′ ) = ∫ d 2 Ω Y l m ( Ω ) ∗ Y l ′ m ′ ( Ω ) Y k m − m ′ ( Ω ) {\displaystyle c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')=\int d^{2}\Omega \ Y_{\ell }^{m}(\Omega )^{*}Y_{\ell '}^{m'}(\Omega )Y_{k}^{m-m'}(\Omega )}
この積分はクーロン演算子と交換演算子が必要となる、原子のハートリー-フォック方程式の計算に必要である。
二つの球面調和関数の積はこの積分によって書くことができる。
Y l m Y l ′ m ′ = ∑ l ′′ A ^ l ′′ ( l , m , l ′ , m ′ , ) Y l ′′ m + m ′ , {\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}{\hat {A}}^{\ell ''}(\ell ,m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}