多項式の展開
指数関数のテイラー展開
e x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + ⋯ {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\dotsb }
の右辺の平方を上記の法則で「展開」すると、
( 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + ⋯ ) 2 = 1 + 2 x + 2 x 2 + 4 3 x 3 + ⋯ {\displaystyle {\biggl (}1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\dotsb {\biggr )}^{\!2}=1+2x+2x^{2}+{\frac {4}{3}}x^{3}+\dotsb }
となるが、この右辺は (e) すなわち e のテイラー展開に等しい。これらの冪級数は、x にいかなる複素数を代入しても収束するが、収束域が限られたものも存在する。例えば、
( 1 − x ) ( 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ ) = 1 {\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+x^{3}+\dotsb )=1}
であるが、1 + x + x + x + ⋯ は |x| < 1 の範囲でのみ収束する。表現を変えるならば、複素関数 1 + x + x + x + ⋯ の解析接続は 1/(1 − x) であり、これは x = 1 のみを1位の極に持ち、その他の点で正則である。
(a + b + c)(x + y) を展開すると、ax + ay + bx + by + cx + cy となる。展開の様子は次の表のように表せる。
× a b c x a x b x c x y a y b y c y {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &a&b&c\\\hline x&ax&bx&cx\\y&ay&by&cy\end{array}}}
展開したのち、さらに簡単にできる場合もある。例えば (a + b)(a − b) を展開する場合の表は
× a b a a 2 a b − b − a b − b 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &a&b\\\hline a&a^{2}&ab\\-b&-ab&-b^{2}\end{array}}}
であるが、ab と -ab が打ち消しあうため、a − b となる。通常はこのような計算も含めて「多項式の展開」と呼ぶ。数学教育においては、こういう場合の展開式、例えば次のような式を公式として教授することが多い。
(a + b)(a − b) = a − b
(a + b)(a − ab + b) = a + b
(a + b) = a + 2ab + b
右辺を左辺に変形することは因数分解であるから、これらは展開の公式であるとともに因数分解の公式ともみなせる。