非有界作用素
B1 および B2 をバナッハ空間とする。非有界作用素(あるいは単純に、作用素)T : B1 → B2 とは、B1 の線型部分空間 D(T) (すなわち、T の定義域)から空間 B2 への線型写像 T のことである。有界線型作用素の場合とは異なり、ここでは T は全空間 B1 上で定義されない場合も考慮する。二つの作用素が等しいとは、それらが共通の定義域を持ち、その定義域上で同一のものであることを意味する。
作用素 T に対して、もしそのグラフ Γ(T) が閉集合であるなら、T は閉であると言われるここで、グラフ Γ(T) は直和 B1 ⊕ B2 の線型部分空間で、ベクトル x をT の定義域内で動かして得られる対 (x, Tx) 全てからなる集合である。一般に直和上の(l和ノルムの)グラフへの制限はグラフノルムと呼ばれるが、Tが閉作用素であるということはグラフノルムを用いて次のように表すことができる: 作用素 T が閉であることと、その定義域 D(T) がノルム
‖ x ‖ T = ‖ x ‖ 2 + ‖ T x ‖ 2 . {\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}\ .}
について完備空間であることは同値な条件である。
この場合、 T ̄ = T ∗ ∗ {\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}} および ( T ̄ ) ∗ = T ∗ {\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}} が成り立つ。すべての対称作用素は、可閉である。
もし S が稠密に定義されており、T が S の拡張であるなら、S は T の拡張となる。
対称作用素は、それ自身を除いてもし対称な拡張が存在しないのなら、最大対称と呼ばれる。すべての自己共役作用素は、最大対称であるが、その逆は成立しない。
閉包が自己共役であるような作用素は、本質的自己共役と呼ばれる。ある作用素が本質的自己共役であるための必要十分条件は、それがただ一つの自己共役な拡張を持つことである。作用素には一つよりも多くの自己共役な拡張が存在する可能性があり、連続濃度の相異なる自己共役拡張が存在することさえある。稠密に定義された対称作用素 T が本質的自己共役であるための必要十分条件は、作用素 T – i, および T + i が両方とも稠密な値域を持つことである。
T を稠密に定義された作用素とする。「T が S" の拡張である」という関係を S ⊂ T と表す( Γ(S) ⊆ Γ(T) に対してよく用いられる省略記号である)。次が成立する。
もし T が対称であるなら、T ⊂ T ⊂ T である。
もし T が閉かつ対称であるなら、T = T ⊂ T である。
もし T が自己共役であるなら、T = T = Tである。
もし T が本質的自己共役であるなら、T ⊂ T = Tである。