ダイソン級数
一方、相互作用描像での状態ベクトルに作用する物理量の演算子 O ^ I ( t ) {\displaystyle {\hat {O}}_{\mathrm {I} }(t)} は、シュレディンガー描像での演算子を O S {\displaystyle O_{S}} とすると、
O ^ I ( t ) = e i H ^ 0 t / ħ O ^ S e − i H ^ 0 t / ħ {\displaystyle {\hat {O}}_{\mathrm {I} }(t)=e^{i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }{\hat {O}}_{\mathrm {S} }e^{-i{\hat {H}}_{0}t/\hbar }}
で与えられる。
時刻 t 0 {\displaystyle t_{0}} から時刻 t {\displaystyle t} への状態ベクトルの時間発展を与える時間発展演算子は、相互作用描像では
| ψ I ( t ) ⟩ = U ^ ( t , t 0 ) | ψ I ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{\mathrm {I} }(t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi _{\mathrm {I} }(t_{0})\rangle }
を満たすユニタリ演算子 U ^ ( t , t 0 ) {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})} として、定義される。このとき、 U ^ ( t , t 0 ) {\displaystyle {\hat {U}}(t,t_{0})} は相互作用項 V ^ {\displaystyle {\hat {V}}} の相互作用表示 V ^ I ( t ) {\displaystyle {\hat {V}}_{\mathrm {I} }(t)} を用いて