接続 (ベクトル束)
定義 (捩率テンソル) ―
T ∇ ( X , Y ) := ∇ X Y − ∇ Y X − [ X , Y ] {\displaystyle T_{\nabla }(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}
を捩率テンソルという。
捩率テンソルの詳細は後の節で述べる。
リーマン幾何学の基本定理から、レヴィ-チヴィタ接続とは、(唯一の)捩れなしの計量アフィン接続として特徴づけられる。
ライプニッツ則を用いると、以下を示す事ができる:
定理 ― 接続 ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} はsに関して局所演算子である。
sがMの開集合U上で0であるとする。任意に P ∈ U {\displaystyle P\in U} をfixし、Pの近傍 V P ⊂ U {\displaystyle V_{P}\subset U} と C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} 級関数 φ {\displaystyle \varphi } で、
φ ( Q ) = { 0 if Q ∈ V P 1 if Q ∉ U {\displaystyle \varphi (Q)={\begin{cases}0&{\text{ if }}Q\in V_{P}\\1&{\text{ if }}Q\notin U\end{cases}}}
実は次の事実が知られている:
定理 ― ∇ {\displaystyle \nabla } を可微分多様体M上のアフィン接続とし、PをMの点とする。このとき、TPMにおけるOの近傍Uが存在し、Uを多様体としてみたとき、 ∇ {\displaystyle \nabla } が定める指数写像
exp P  : U ⊂ T P M → M {\displaystyle \exp _{P}~:~U\subset T_{P}M\to M}
は中への微分位相同型である。
よって V := exp  ( U ) {\displaystyle V:=\exp(U)} とすると、VはPの近傍で、
exp P  − 1 : V ⊂ M → U ⊂ T P M ≈ R m {\displaystyle \exp _{P}{}^{-1}~:~V\subset M\to U\subset T_{P}M\approx \mathbb {R} ^{m}}
はPの周りの座標近傍とみなせる。この座標近傍をPの周りの正規座標(英語版)(英: normal coordinate)という。
定義 ― f ∗ ( E ) {\displaystyle f^{*}(E)} の接続 f ∗ ( ∇ ) {\displaystyle f^{*}(\nabla )} をそのVへの制限 f ∗ ( ∇ ) V {\displaystyle f^{*}(\nabla )^{V}} が
f ∗ ( ∇ ) V s = ( d s i + s j f ∗ ( ω i j ) ) e i {\displaystyle f^{*}(\nabla )^{V}s=(ds^{i}+s^{j}f^{*}(\omega ^{i}{}_{j}))e_{i}}
となるように定義し、 ∇ {\displaystyle \nabla } のfによる引き戻し(英: pull back)、fによって f ∗ ( E ) {\displaystyle f^{*}(E)} に誘導された接続(英: induced connection)という。
f ∗ ( ∇ ) {\displaystyle f^{*}(\nabla )} がwell-definedな事の証明は省略する。接続係数を使えば、
f ∗ ( ∇ ) Y V s = ( Y k ∂ s i ∂ y k + Y k s j ∂ x l ∂ y k Γ l j i ) e i {\displaystyle f^{*}(\nabla )_{Y}^{V}s=(Y^{k}{\partial s^{i} \over \partial y^{k}}+Y^{k}s^{j}{\partial x^{\ell } \over \partial y^{k}}\Gamma _{\ell j}^{i})e_{i}}
Mが弧状連結であればPによらず H o l 0 ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)} が同型である事も同様に示せるので、Pを略して単に H o l 0 ( E , ∇ ) {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla )} とも書く。
定義から明らかなように、 H o l ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)} 、 H o l 0 ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)} はEP上の線形同型全体のなすリー群 G L ( E P ) {\displaystyle \mathrm {GL} (E_{P})} の部分群である。実は次が成立する事が知られている:
定理 ― H o l ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)} は G L ( E P ) {\displaystyle \mathrm {GL} (E_{P})} の(閉とは限らない)部分リー群である。
また H o l 0 ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)} は H o l ( E , ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)} の(閉とは限らない)弧状連結なリー部分群である。
∇ {\displaystyle \nabla } が捩れなし ⟺ {\displaystyle \iff } M上の任意の1-形式ηとM上の任意のベクトル場X、Yに対し、 d η ( X , Y ) = ⟨ η , ∇ X Y ⟩ − ⟨ η , ∇ Y X ⟩ {\displaystyle d\eta (X,Y)=\langle \eta ,\nabla _{X}Y\rangle -\langle \eta ,\nabla _{Y}X\rangle }
⟨ η , T ∇ ( X , Y ) ⟩ = ⟨ η , ∇ X Y ⟩ − ⟨ η , ∇ Y X ⟩ − d η ( X , Y ) {\displaystyle \langle \eta ,T_{\nabla }(X,Y)\rangle =\langle \eta ,\nabla _{X}Y\rangle -\langle \eta ,\nabla _{Y}X\rangle -d\eta (X,Y)}
であることから従う。
すなわち ∇ {\displaystyle \nabla } が捩れなしである事は、 ∇ {\displaystyle \nabla } が外微分と「両立」する事と同値である。
多様体M上の2つのベクトルバンドルE1、E2があり、E1、E2にはそれぞれ接続 ∇ 1 {\displaystyle \nabla ^{1}} 、 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} が定義されているとする。このとき、 E 1 ⊕ E 2 {\displaystyle E_{1}\oplus E_{2}} 上に

により、接続が定義できる。また E 1 ⊗ E 2 {\displaystyle E_{1}\otimes E_{2}} 上に

により、接続が定義できる。