多元環の表現
別の重要で基本的な例のクラスは多項式代数,自由可換代数の表現である――これらは可換代数とその幾何学的片割れである代数幾何における中心的な研究対象をなす.体 K 上の k 不定元の多項式代数の表現は具体的には K ベクトル空間に k 個の可換な作用素を考えたものであり,しばしば K[T1, ..., Tk] と記され,抽象代数 K[x1, ..., xk] の表現 xi ↦ Ti を意味する.
そのような表現についての基本的な結果は,代数閉体上,表現行列が同時三角化可能であることである.
一変数の多項式代数の表現の場合でさえ興味がある――これは K[T] と記され,有限次元ベクトル空間上の1つの線型作用素の構造を理解するのに使われる.具体的には,PID上の有限生成加群の構造定理をこの代数に適用すると,系としてジョルダン標準形のような行列の様々な標準形を得る.
非可換幾何学へのあるアプローチでは,自由非可換代数(可換でない変数の多項式たち)が類似の役割を果たすが,解析ははるかに難しい.