直交多項式
実数直線上定義された非減少函数 α が任意に与えられたとき、函数 f の α に関するルベーグ–スティルチェス積分
∫ f ( x ) d α ( x ) {\displaystyle \int f(x)\;d\alpha (x)}
が定義できる。この積分が任意の多項式に対して有限であるとき、多項式の対 f, g に対して内積
⟨ f , g ⟩ = ∫ f ( x ) g ( x ) d α ( x ) {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\;d\alpha (x)}
が定義される。この演算は多項式全体の成すベクトル空間上の半正定値内積であり、α が無限個の増加点を持つならば正定値になる。この内積に関して通常の仕方で直交性が定義できる(つまり二つの多項式が直交するとはそれらの内積が零であることをいう)。
このとき多項式列 (Pn)∞n=0 (deg(Pn) = n) が直交系であるとは、m ≠ n のとき常に関係式
⟨ P m , P n ⟩ = 0 {\displaystyle \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0}
を満たすことを言う。即ち直交多項式列は単項式列 1, x, x, ... に与えられた内積に関するグラム–シュミットの直交化を施して得られる。