調和数列
調和数列とは、一般項 hn が a を初項とし定数 d を用いて
h n = 1 a + ( n − 1 ) d {\displaystyle h_{n}={\frac {1}{a+(n-1)d}}}
と表せる数列 {hn} のことである。ここで −1/d は自然数でないとする。このとき、a は初項である。各項は隣接する2項の調和平均になっている(調和中項)。調和数列の極限は 0 である。例としては、
12 , 6 , 4 , 3 , 12 5 , 2 , ... , 12 n , ... {\displaystyle 12,\,6,\,4,\,3,\,{\frac {12}{5}},\,2,\dots ,{\frac {12}{n}},\dots }
10 , 30 , − 30 , − 10 , − 6 , − 30 7 , ... , 30 5 − 2 n , ... {\displaystyle 10,\,30,\,-30,\,-10,\,-6,\,-{\frac {30}{7}},\dots ,{\frac {30}{5-2n}},\dots }
などが挙げられる。
n 番目の項と m 番目の項の関係を表す漸化式は
h n = h m 1 + ( n − m ) d {\displaystyle h_{n}={\frac {h_{m}}{1+(n-m)d}}}
である。
この数列の隣接2項間漸化式は
1 h n + 1 = 1 h n + d h 1 ( n ≥ 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{h_{n+1}}}={\frac {1}{h_{n}}}+{\frac {d}{h_{1}}}\quad (n\geq 1)}
である。