条件付き確率分布
連続確率変数で連続確率分布の場合、条件付き確率密度関数(conditional probability density function)は f X ( x ) > 0 {\displaystyle f_{X}(x)>0} の時に以下のように定義する。
f Y ( y ∣ X = x ) = f X , Y ( x , y ) f X ( x ) {\displaystyle f_{Y}(y\mid X=x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}
f X , Y ( x , y ) {\displaystyle f_{X,Y}(x,y)} は X と Y の同時分布で、 f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} は周辺分布である。
X と Y の確率密度関数は以下の関係が成立する。
f Y ( y ∣ X = x ) f X ( x ) = f X , Y ( x , y ) = f X ( x ∣ Y = y ) f Y ( y ) {\displaystyle f_{Y}(y\mid X=x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x\mid Y=y)f_{Y}(y)}
連続確率分布の条件付き分布の概念は見た目よりも直観的では無い。 f X ( x ) = 0 {\displaystyle f_{X}(x)=0} の時、ボレル-コルモゴロフのパラドックス(英語版)は座標変換に対して確率密度関数が必ずしも不変では無いことを示している。