マクスウェルの方程式
また、一般の媒質の構成方程式は(E-B対応では)以下である。
D = ε 0 E + P H = μ 0 − 1 B − M {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {D}}&=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}\\{\boldsymbol {H}}&=\mu _{0}^{-1}{\boldsymbol {B}}-{\boldsymbol {M}}\end{aligned}}}
ε μ ν ρ σ j μ d x ν ∧ d x ρ ∧ d x σ = ρ c d x ∧ d y ∧ d z − j x c d t ∧ d y ∧ d z − j y c d t ∧ d z ∧ d x − j z c d t ∧ d x ∧ d y {\displaystyle {\begin{aligned}J^{*}&={\tfrac {1}{3!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }j^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }\wedge \mathrm {d} x^{\rho }\wedge \mathrm {d} x^{\sigma }\\&=\rho c\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{x}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{y}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-j_{z}\,c\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}}
を定義すれば、外微分の作用により運動方程式(2a,2b)に対応して
d H = J ∗ {\displaystyle \mathrm {d} H=J^{*}}
となる。
外微分の性質 ddξ=0 から(1a,1b)に対応する
d F = d d A = 0 {\displaystyle \mathrm {d} F=\mathrm {dd} A=0}
と、連続の方程式に対応する
d J ∗ = d d H = 0 {\displaystyle \mathrm {d} J^{*}=\mathrm {dd} H=0}
が得られる。
媒質の構成方程式は、それぞれ別の方法で定義された源場( D , H {\displaystyle {\boldsymbol {D}},~{\boldsymbol {H}}} )と力場( E , B {\displaystyle {\boldsymbol {E}},~{\boldsymbol {B}}} )を関連付ける方程式である。
マクスウェルの方程式は多様体理論における微分形式によって簡明に表現することができる。
まず電磁ポテンシャル A により、1次微分形式
A = A μ d x μ = φ d t − A x d x − A y d y − A z d z {\displaystyle A=A_{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }=\phi \,\mathrm {d} t-A_{x}\,\mathrm {d} x-A_{y}\,\mathrm {d} y-A_{z}\,\mathrm {d} z}
を導入する。これに外微分を作用させることで2次微分形式
F ≡ d A = 1 2 ( ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ) d x μ ∧ d x ν = 1 2 F μ ν d x μ ∧ d x ν = E x d t ∧ d x + E y d t ∧ d y + E z d t ∧ d z − B x d y ∧ d z − B y d z ∧ d x − B z d x ∧ d y {\displaystyle {\begin{aligned}F&\equiv \mathrm {d} A={\tfrac {1}{2}}(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })\,\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&={\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }\,\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=E_{x}\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+E_{y}\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+E_{z}\,\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z-B_{x}\,\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B_{y}\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-B_{z}\,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}}
磁場の時間変化があるところには巻いた電場があることを示している。導線の動きがない場合のファラデーの電磁誘導の法則に相当する。