ラドン測度
以下、X は局所コンパクトな位相空間を表すものとする。X 上のコンパクト台付き実数値連続関数の全体はベクトル空間 K(X) を成し、これに自然な局所凸位相を入れることができる。実際、K(X) は台がコンパクト集合 K に含まれる連続関数の成す部分空間 K(X, K) の合併であって、各空間 K(X, K) は一様収束の位相が入ってバナッハ空間になるが、位相空間の合併というのは位相空間の帰納極限の特別な場合であって、然るに空間 K(X) は空間族 K(X, K) から誘導される帰納極限位相が入るのである。
測度 m が X 上のラドン測度ならば、写像
I : f ↦ ∫ f d m {\displaystyle I\colon f\mapsto \int f\,dm}
は K(X) から R への連続な正値線型写像になる。ここで、正値性というのは f が非負値関数である限りにおいて I(f) ≥ 0 となることを意味し、また連続性は上記の帰納極限位相に関して言うが、次の条件
X の任意のコンパクト部分集合 K に対し、定数 MK が存在して、X 上の実数値連続関数 f でその台が K に含まれるようなもの全てに対して | I ( f ) | ≤ M K sup x ∈ X | f ( x ) | {\displaystyle |I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|} とすることができる。
下敷きとなる測度空間が局所コンパクト空間であるとき、ラドン測度はコンパクト台付き連続写像全体の成す空間上の連続線型汎関数の言葉で定義することができる。これにより、測度と積分の理論を関数解析学を用いて展開することができる。これはブルバキ(Bourbaki 2004)および一定数の文献に見られるやり方である。