ホモロジカルミラー対称性予想
少しの例しかこの予想を数学者は証明できていない。コンツェビッチがセミナーで、ホモロジカルミラー対称性予想を、楕円曲線の場合にはテータ函数を使うことで証明できるであろうと指摘した。この指摘に従い、アレクサンダー・ポリスチュック(英語版)とエリック・ザスロフ(英語版)は、楕円曲線についてのこの予想の証明をした。深谷賢治は、アーベル多様体についてのこの予想を証明する要素のいくつかを確立した。後日、コンツェヴィッチとヤン・ソイベルマン(英語版)は、SYZ予想からのアイデアを使い、アフィン多様体 (微分幾何学)(英語版)(affine manifold)上の非特異なトーラスバンドル(英語版)についての予想の大半を証明した。2003年に、ポール・ザイデル(英語版)は、四次曲面(英語版)の場合の予想を証明した。Hausel & Thaddeus (2002)は、SYZ予想の素描を、ヒッチン系とラングランズ双対性の脈絡で説明した。