接続 (微分幾何学)
{ Ω c ( L i f t ( v u ) , L i f t ( w u ) ) | x ∈ M , v , w ∈ T u M , c {\displaystyle \{\Omega _{c}(\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))|x\in M,v,w\in T_{u}M,c} はxからx0までつなぐM上の曲線 } {\displaystyle \}}
を含む最小の(C-位相に関する)閉部分線形空間 を
h o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})}
と書くとき、 h o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} は X ( E x 0 ) {\displaystyle {\mathfrak {X}}(E_{x_{0}})} の部分リー代数になっている。
h o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} をホロノミーリー代数(英: holonomy Lie algebra)という。
実は以下の定理が成立する。なお、以下の定理は主バンドルに対するAmbrose–Singerの定理を任意のファイバーバンドルに一般化したものである:
定理 (Ambrose-Singerの定理の一般化) ― ホロノミーリー代数 h o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} が有限次元であれば、以下が成立する:
微分幾何学において接続(せつぞく、英: connection)とは、多様体のファイバーバンドル上に平行移動の概念を定義する事ができる数学的構造である。ただし数学的な取り扱いを容易にするため、平行移動の概念で直接的に接続を定義するのではなく、実質的に等価な別概念を用いて接続を定義する。
接続概念はゲージ理論やチャーン・ヴェイユ理論で用いられる。特にチャーン・ヴェイユ理論の特殊ケースとして、曲面に関する古典的なガウス・ボンネの定理を一般の偶数次元多様体に拡張するのに役立つ。
接続は元々はクリストッフェル並びにレヴィ-チヴィタ、リッチによってリーマン多様体上に導入された概念(レヴィ-チヴィタ接続)であるが、一般のベクトルバンドル上の接続(Koszul接続)や主バンドルの接続(主接続)にも拡張され、さらに一般のファイバーバンドルの接続へと拡張された。ただし実際に研究が進んでいるのは、ベクトルバンドルとその主バンドルに対する接続概念である。
以下、本項では特に断りがない限り、多様体、関数、バンドル等は全てC級の場合を考える。よって紛れがなければ「C級」を省略して単に多様体、関数、バンドル等という。また特に断りがない限りベクトル空間は実数体上のものを考える。
, f n ) {\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{n})} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} から R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} への線形写像fと自然に同一視し、各 u ∈ M {\displaystyle u\in M} に対し、 R n → f E x → φ α { u } × R n ≈ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}{\overset {f}{\to }}E_{x}{\overset {\varphi _{\alpha }}{\to }}\{u\}\times \mathbb {R} ^{n}\approx \mathbb {R} ^{n}} がGに属する事を持ってG-フレームを定義しているが、この定義は本項で述べたものと同値である。
↑ #Wendl3の定義は若干曖昧で単に「十分短い曲線」(sufficiently short path)に沿った平行移動がGと両立する自明化(G-compatible connection) v → g ( t ) v {\displaystyle v\to g(t)v} for g ( t ) ∈ G {\displaystyle g(t)\in G} を持つとしか言っていないが、局所自明化可能な領域内の曲線がこのように書ければ十分なので、ここではそのように定義した。