半連続
関数は x0 において上半連続かつ下半連続であるとき、その点において連続であり、かつ連続となるのはそのときに限る。従って、半連続性を連続性の証明に利用できる。
2つの実数値関数 f と g が共に x0 で上半連続ならば、f + g もまた上半連続である。もしどちらの関数も非負であるなら、積関数 fg もまた x0 において上半連続である。
上半連続関数fに対し、−fは下半連続関数となる。また、正の上半連続関数fに対し、1/fは下半連続関数となる。
C がコンパクト空間(例えば有界閉区間 [a, b])で、f: C → [−∞, ∞) が上半連続ならば、f は C 上で最大値をとる。(−∞, ∞]-値下半連続関数と最小値についても同様のことが言える(証明は最大値最小値定理を参照)。
空でない集合 I で添字付けられた函数の族 fi: X → [−∞, ∞] が全ての添字 i について下半連続関数であり、f が fi たちの点ごとの上限、すなわち