フィールツ・パウリ理論
なお、この質量項について、第2項 h 2 {\displaystyle h^{2}} の係数を第1項と同じ大きさ, 反対の符号に選ばなければければゴーストが生じることがFierz & Pauli (1939) によって指摘されている。Fierz-Pauli場の運動方程式は、この作用に対応するオイラー=ラグランジュ方程式として得られる
◻ h μ ν − ( ∂ μ ∂ ρ h ρ ν + ∂ ν ∂ ρ h ρ μ ) + η μ ν ∂ ρ ∂ σ h ρ σ + ∂ μ ∂ ν h − η μ ν ◻ h − m g 2 ( h μ ν − η μ ν h ) = 0 {\displaystyle \Box h_{\mu \nu }-(\partial _{\mu }\partial _{\rho }h^{\rho }{}_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\rho }h^{\rho }{}_{\mu })+\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\sigma }h^{\rho \sigma }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\eta _{\mu \nu }\Box h-m_{g}^{2}(h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }h)=0}
である。
物質場が存在する場合、一般相対論の場合と同様にFierz-Pauli場は物質場とそのエネルギー・運動量テンソル T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} を通じて結合する。
S m a t = κ ~ 2 ∫ d 4 x h μ ν T μ ν {\displaystyle S_{\mathrm {mat} }={\frac {\tilde {\kappa }}{2}}\int d^{4}x\,h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}
ここに κ ~ {\displaystyle {\tilde {\kappa }}} は結合定数である。対応して、Fierz-Pauli場の運動方程式には右辺に物質場に対応するソース項が生じることになる。
このとき、物質場に関するエネルギー・運動量保存則 ∂ μ T μ ν = 0 {\displaystyle \partial ^{\mu }T_{\mu \nu }=0} のために運動方程式からtransverse条件
∂ μ h μ ν − ∂ ν h = 0 {\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }-\partial _{\nu }h=0}
が得られるものの、場のトレース h {\displaystyle h} はゼロではなく、エネルギー・運動量テンソルからそれを代数的に定める関係式