ディラックのデルタ関数
δ ( n − m ) ( x ) . ( m < n ) {\displaystyle x^{m}\delta ^{(n)}(x)={\begin{cases}0,&(m>n)\\(-1)^{m}\ m!\ \delta (x),&(m=n)\\(-1)^{m}{\dfrac {n!}{(n-m)!}}\delta ^{(n-m)}(x).&(m<n)\end{cases}}}
ここで n,m は非負の整数である。特に1階微分の場合は
x δ ′ ( x ) = − δ ( x ) {\displaystyle x\delta '(x)=-\delta (x)}
であるが、xf(x) = −δ(x) を満たす超関数 f(x) は α を任意定数として
f ( x ) = δ ′ ( x ) + α δ ( x ) {\displaystyle f(x)=\delta '(x)+\alpha \delta (x)}
である。