ギブズ現象
f : R → R {\displaystyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }} を、ある実数L > 0 を周期とする区分的連続微分可能な周期関数とする。ある点x0 において、関数f の左極限f (x0 ) と右極限f (x0 ) とが、ゼロでない「跳び」a だけ食い違っているものとする。つまり:
f ( x 0 + ) − f ( x 0 − ) = a ≠ 0 {\displaystyle f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=a\neq 0}
正整数N ≥ 1 の各々に対して、SN f を、フーリエ級数のN 次部分和とする。つまり:
S N f ( x ) := ∑ − N ≤ n ≤ N f ^ ( n ) e 2 π i n x / L = 1 2 a 0 + ∑ n = 1 N a n cos  ( 2 π n x / L ) + b n sin  ( 2 π n x / L ) {\displaystyle S_{N}f(x):=\sum _{-N\leq n\leq N}{\hat {f}}(n)e^{2\pi inx/L}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos(2\pi nx/L)+b_{n}\sin(2\pi nx/L)}
ここで、フーリエ係数 f ^ ( n ) , a n , b n {\displaystyle {\hat {f}}(n),a_{n},b_{n}} は、次の通常通りの式で与えられたものである。