一般化されたストークスの定理
M を滑らかな多様体とする。M の(滑らかな)特異 k -シンプレックスは、R の標準単体から M への滑らかな写像で定義される。M の特異 k 鎖(英語版)の群 Ck(M, Z) は、M の特異な k 単体の集合上の自由アーベル群として定義される。これらの群は、境界写像 ∂ とともに鎖複体を定義する。対応するホモロジー(またはコホモロジー)群は、通常の特異ホモロジー群 Hk(M, Z)(または特異コホモロジー群 H(M, Z))と同型であり、M の滑らかな単体ではなく連続な単体を使用して定義される。
一方、外微分 d を接続写像として持つ微分形式は、ド・ラームコホモロジー群 HkdR(M, R) を定義する余鎖複体を形成する。
微分 k 形式は、R に引き戻すことにより、自然な方法で k 単体上で積分できる。 線形性を使って拡張すると、鎖をまたいで積分できる。これにより、k 形式の空間から特異な余鎖の k 番目の群 C(M, Z) 、Ck(M, Z)上の線形汎関数への線形写像が得られる。 言い換えれば、k 形式 ω は k 鎖上で
I ( ω ) ( c ) = ∮ c ω {\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega }
で汎関数を定義する。一般化されたストークスの定理によれば、これはド・ラームコホモロジーから実係数の特異ホモロジーへの鎖写像である。外微分 d は微分形式の ∂ の双対のように振る舞う。
これは 1形式の(二重化された)(1+1) 次元の場合である(ベクトル場に関するステートメントであるため、二重化されている)。この特殊ケースは多くの大学のベクトル解析入門コースでストークスの定理と呼ばれることが多く、物理学や工学で使用されている。 回転定理とも呼ばれる。
古典的なストークスの定理は、3次元ユークリッド空間の曲面 Σ 上のベクトル場の回転の面積分を、その境界上のベクトル場の線積分に関連付ける。これは一般化されたストークスの定理の特殊なケース (n = 2) であり、3次元ユークリッド空間の計量を使用してベクトル場は1形式とみなされる。線積分の経路曲線 ∂Σ は正の方向を向いている必要がある。つまり曲面の法線ベクトル n がこの記事の読者の方を向いている場合 ∂Σ は反時計回りを指す。
この定理の帰結の1つとして、回転がゼロのベクトル場に沿った曲線は閉曲線にすることができないことが言える。定理の公式は次のように書き直すことができる。
定理 ― F = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) が滑らかな表面 Σ を持つ領域で定義され、連続した1次偏導関数を持つと仮定する。そのとき
∫∫ Σ [ ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z d x + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y ] = ∮ ∂ Σ ( P d x + Q d y + R d z ) , {\displaystyle \iint _{\Sigma }\left[\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\mathrm {d} y\mathrm {d} z+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\mathrm {d} z\mathrm {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\right]=\oint _{\partial \Sigma }(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y+R\mathrm {d} z),}
ここで P, Q および R は F の成分であり、∂Σ は領域 Σ の境界。