代数多様体
零点定理によれば、イデアル I が 1 を含む、すなわち多項式環全体にならない限り V(I) は空集合にならない。このことから
I ( V ( I ) ) = I {\displaystyle I(V(I))={\sqrt {I}}}
がわかる(体上有限生成環の理論参照)。従って、アフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} の代数的集合は根基イデアル I、すなわち I = I {\displaystyle {\sqrt {I}}=I} を満たすイデアル I と1対1の対応にある。このことからアフィン代数多様体は多項式環の素イデアルと1対1に対応している事がわかる。
アフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} 上で定義された「代数的な関数」として相応しいものが多項式であると考えると、アフィン代数的集合 V 上の関数は剰余環 A(V) = k[x1, ..., xn]/I(V) の元と思える。この環 A(V) をアフィン代数的集合 V の座標環 (coordinate ring) といい、その元を V 上の正則関数 (regular function) と呼ぶ。V が代数多様体、すなわち既約な代数的集合であれば I(V) は素イデアルであるので、A(V) は体 k 上有限生成な整域になる。従って、アフィン代数多様体は、体上有限生成な整域と1対1の対応関係にある。
I ( S ) = { f ∈ k [ x 1 , ... , x n ] ∣ f ( a 1 , ... , a n ) = 0 , ∀ ( a 1 , ... , a n ) ∈ S } {\displaystyle I(S)=\{f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(a_{1},\ldots ,a_{n})=0,\quad \forall (a_{1},\ldots ,a_{n})\in S\}}
は多項式環のイデアルになる。代数的集合 V に対しては、自明な理由により V(I(V)) = V が成り立つ。一方、イデアル I に対して I(V(I)) は一般に I より大きなイデアルになる。ヒルベルトの零点定理 (Nullstellensatz) によれば、代数的閉体 k 上の多項式環の任意の極大イデアル m は、アフィン空間の点 p = (a1, ..., an) を用いて
m = ( x 1 − a 1 , ... , x n − a n ) = I ( { p } ) {\displaystyle m=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n})=I(\{p\})}
の形に書ける。すなわち、代数的閉体上の多項式環の極大イデアルは、アフィン空間上の点全体と1対1に対応している。
幾何学の対象にとって次元の概念は非常に重要であるが、代数多様体の次元の定義は、多様体論の場合と比べるといくぶん考察を要する。
最も簡単に代数多様体の次元を定義するには次のようにすれば良い。すなわち、X を代数多様体とするとき、X の次元 (dimension) dim X を、その関数体 k(X) の k 上の超越次数 として定義する。すなわち、
dim  X = trans. deg k k ( X ) . {\displaystyle \dim X={\mbox{trans. deg}}_{k}\,k(X).}
これが直感的な次元の概念と一致することは次のように説明できる:k(X) の超越次元が n であるとき、k(X) は、n 変数の有理関数体 k(x1, ..., xn) の有限次代数拡大である。有理関数体 k(x1, ..., xn) はアフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} の関数体と同型である。有限次拡大 k ( A k n ) ⊂ k ( X ) {\displaystyle k(\mathbb {A} _{k}^{n})\subset k(X)} は、 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} の「一般の点」での逆像が有限個の点となるような (generically finite) 有理写像 X → A k n {\displaystyle X\to \mathbb {A} _{k}^{n}} と対応しているので、X と A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} の次元は一致すべきであるが、 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} の次元は当然 n であるべきだ。
射影代数多様体 X = Vh(F) に対して、その関数体 k(X) を、環
A 0 = k [ x 1 , ... , x n ] / ( F 0 ( 1 , x 1 , ... , x n ) , ... , F r ( 1 , x 1 , ... , x n ) ) {\displaystyle A_{0}=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(F_{0}(1,x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,F_{r}(1,x_{1},\ldots ,x_{n}))}
の商体として定義すると代数関数の場合の適切な一般化になっている。
ここで、 P C 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}} に、方程式 x 0 2 − x 1 2 − x 2 2 = 0 {\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0} が定める射影代数多様体を X とすると、その関数体 C(X) は C ( x 1 ) [ x 2 ] / ( x 1 2 + x 2 2 − 1 ) {\displaystyle \mathbb {C} (x_{1})[x_{2}]/(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1)} となる。これは対応