ハミルトン力学
を定義すれば、
d H = ∑ i ( ∂ H ∂ p i d p i + d q i ∂ H ∂ q i ) + ∂ H ∂ t d t = ∑ i ( q ̇ i d p i − d q i p ̇ i ) − ∂ L ∂ t d t {\displaystyle {\begin{aligned}dH&=\sum _{i}{\bigg (}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}dp_{i}+dq_{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\biggr )}+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt=\sum _{i}({\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-dq_{i}\,{\dot {p}}_{i})-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\end{aligned}}}
となり、
q ̇ i = ∂ H ∂ p i , p ̇ i = − ∂ H ∂ q i , ∂ H ∂ t = − ∂ L ∂ t {\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},~{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},~{\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}}
を得る。
∂ S [ p , q ] δ p i ( t ) = q ̇ i ( t ) − ∂ H ∂ p i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial S[p,q]}{\delta p_{i}(t)}}={\dot {q}}_{i}(t)-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}=0}
∂ S [ p , q ] δ q i ( t ) = − p ̇ i ( t ) − ∂ H ∂ q i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial S[p,q]}{\delta q_{i}(t)}}=-{\dot {p}}_{i}(t)-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}=0}
である。この運動方程式は正準方程式、或いはハミルトン方程式と呼ばれる。
ハミルトン形式において物理量は一般化座標、一般化運動量、および時間の関数 A ( p , q , t ) {\displaystyle A({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}},t)} として書かれる。物理量の時間微分は