エクイティプレミアムパズル
この数式の左辺が保険に加入した場合の期待効用で、右辺が加入しなかった場合の期待効用である。また γ {\displaystyle \gamma } が相対的リスク回避度である。相対的リスク回避度を50としてこれを解くと、 z = 94.3 {\displaystyle z=94.3} となる。つまり、この消費者は保険料が94万3千円以下ならば保険に加入する。よってこの消費者は確率50%で所得が400万円か600万円になるというリスクを回避する為に、500-94.3 = 405万7千円の確実な所得を選ぶのである。この例から分かるように、相対的リスク回避度が50となるようなリスクに対する選好は通常考えられるようなリスク選好から逸脱している。
ただし、 c t {\displaystyle c_{t}} は時点 t {\displaystyle t} における消費額であり、 q e , t , q b , t {\displaystyle q_{e,t},q_{b,t}} は時点 t {\displaystyle t} における株式と国債の保有量、 p e , t , p b , t {\displaystyle p_{e,t},p_{b,t}} は時点 t {\displaystyle t} における株式と国債の価格、 d e , t {\displaystyle d_{e,t}} は時点 t {\displaystyle t} における株式の配当である。 0 < β < 1 {\displaystyle 0<\beta <1} は効用の主観的割引率で、 E 0 {\displaystyle E_{0}} は期待値のオペレーターである。効用関数が時間について加法分離的とは、期待効用関数が各 t {\displaystyle t} 時点での効用 β t u ( c t ) {\displaystyle \beta ^{t}u(c_{t})} の総和で表されていることを意味する。CRRA型効用関数を仮定しているので、 u {\displaystyle u} の関数形は
u ( c ) = { c 1 − γ 1 − γ γ ≠ 1 log  ( c ) γ = 1 {\displaystyle u(c)={\begin{cases}{\frac {c^{1-\gamma }}{1-\gamma }}&\gamma \neq 1\\\log(c)&\gamma =1\end{cases}}}