リアプノフ関数
リアプノフ安定な平衡点、漸近的に安定な平衡点についての定義はリアプノフ安定の項を参照のこと。
x ̇ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)\,}
を原点に平衡点を持つ自励系とし、 V {\displaystyle V\ } を原点についてのリアプノフ候補関数とする。
もし、 0 {\displaystyle 0} のある近傍 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} で V {\displaystyle V\ } が 局所的に正値関数であり、さらに V ̇ {\displaystyle {\dot {V}}} が局所的に負値関数であれば、つまり
V ̇ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\dot {V}}(0)=0}
V ̇ ( x ) < 0 ∀ x ∈ B ∖ { 0 } {\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}}
であれば、その平衡点は漸近安定である。