連分数
いま、a0 は整数、それ以外の an は正の整数であるような数列
a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , ... {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }
があるとき、数列 pn, qn を以下のように定める。
{ p 0 = 1 p 1 = a 0 p n = a n − 1 p n − 1 + p n − 2 ( n ≥ 2 ) { q 0 = 0 q 1 = 1 q n = a n − 1 q n − 1 + q n − 2 ( n ≥ 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}p_{0}=1\\p_{1}=a_{0}\\p_{n}=a_{n-1}p_{n-1}+p_{n-2}\ (n\geq 2)\end{cases}}\quad {\begin{cases}q_{0}=0\\q_{1}=1\\q_{n}=a_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2}\ (n\geq 2)\end{cases}}}
このとき、連分数は
[ a 0 ; a 1 , a 2 , ... , a n − 1 ] = a n − 1 p n − 1 + p n − 2 a n − 1 q n − 1 + q n − 2 = p n q n {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{n-1}]={\frac {a_{n-1}p_{n-1}+p_{n-2}}{a_{n-1}q_{n-1}+q_{n-2}}}={\frac {p_{n}}{q_{n}}}}