力の平行四辺形
2つの力 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} と F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} は垂直で、 F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} の長さを a {\displaystyle a} 、 F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{2}} の長さを b {\displaystyle b} 、および F 1 ⊕ F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}} の長さを x {\displaystyle x} と仮定する。 G 1 := a 2 x 2 ( F 1 ⊕ F 2 ) {\displaystyle \mathbf {G} _{1}:={\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)} および G 2 := a x R ( F 2 ) {\displaystyle \mathbf {G} _{2}:={\tfrac {a}{x}}R(\mathbf {F} _{2})} として、 R {\displaystyle R} を F 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}} と F 1 ⊕ F 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}} の間の回転とすると G 1 = a x R ( F 1 ) {\displaystyle \mathbf {G_{1}} ={\tfrac {a}{x}}R\left(\mathbf {F} _{1}\right)} である。回転が不変の下では
を得る。
力をユークリッドベクトルもしくは R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。そのため、2つの力 F , G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} には、別の力 F ⊕ G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} が存在する。可換性を仮定する。これらは同時に加えられる力なので、順序は重要ではなく、 F ⊕ G = G ⊕ F {\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} =\mathbf {G} \oplus \mathbf {F} } である。
写像
を考える。 ⊕ {\displaystyle \oplus } が結合的であるならば、この写像は線形である。 e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} を e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} に、 e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} を e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} に写すため、恒等写像である必要もある。よって ⊕ {\displaystyle \oplus } は通常のベクトル加算演算子と同等でなければならない。