加群のテンソル積
{\displaystyle {\tilde {f}}\circ \otimes =f.}
すべての普遍性のように、上の性質はテンソル積を同型を除いて一意的に定義する:任意の対象と双線型写像で同じ性質をもつものは M ⊗R N と ⊗ に同型である。定義は M ⊗R N の存在を保証しない。構成は下を見よ。
テンソル積は関手 Z → BilinR(M,N;Z) の表現対象(英語版)としても定義できる。これは上で与えられた普遍写像性質と同値である。
厳密に言えば、テンソルを作るのに使われる環は示されるべきである:たいていの加群はいくつかの異なる環上のあるいは同じ環でも加群の元への環の作用が異なる加群と見ることができる。例えば、R ⊗R R と R ⊗Z R は互いに全く異なることを証明できる。しかしながら実際上は環が文脈から明らかなときには環を表す下の添え字は省略されることがある。