多重集合
WMP '00 Proceedings of the Workshop on Multiset Processing: Mathematical, Multiset Processing, Mathematical, Computer Science, and Molecular Computing Points of View (Springer-Verlag): 347–358. ISBN 3-540-43063-6. http://citeseerx.ksu.edu.sa/viewdoc/summary?doi=10.1.1.58.5406 2010年11月26日閲覧。.
↑ Hein, James L. (2003). Discrete mathematics. Jones & Bartlett Publishers. pp. 29–30. ISBN 0-7637-2210-3
↑ Cristian S. Calude, Gheorghe Păun, Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa, Multiset Processing: Mathematical, Computer Science, and Molecular Computing Points of View Springer Verlag 2001, ISBN 3-540-43063-6 S. 105
↑ Blizard, Wayne D (1989). “Multiset theory”. Notre Dame Journal of Formal Logic 30 (1): 36–66. doi:10.1305/ndjfl/1093634995. http://projecteuclid.
指示関数が集合を定義するのと同様に、多重集合は重複度関数によって定義されると考えることができる(指示函数を「集合の定義函数」と呼ぶことがあるのと同様に、重複度函数を「多重集合の定義函数」と呼ぶことがある)。特に、多重集合の和、積、対称差などの重複度関数は、集合の指示関数が満たすのと同様の算術
m A ∩ B ( x ) = min { m A ( x ) , m B ( x ) } ( =: ( m A ∧ m B ) ( x ) ) , {\displaystyle m_{A\cap B}(x)=\min\{m_{A}(x),m_{B}(x)\}(=:(m_{A}\wedge m_{B})(x)),}
m A ∪ B ( x ) = max { m A ( x ) , m B ( x ) } ( =: ( m A ∨ m B ) ( x ) ) , {\displaystyle m_{A\cup B}(x)=\max\{m_{A}(x),m_{B}(x)\}(=:(m_{A}\vee m_{B})(x)),}
m A △ B ( x ) = | m A ( x ) − m B ( x ) | {\displaystyle m_{A\triangle B}(x)=|m_{A}(x)-m_{B}(x)|}
に従う。
集合と多重集合の峻別のために、集合のように 波括弧 {,}で囲む代わりに、二重波括弧 {{,}} ( { { , } } {\textstyle \{\!\!\{,\}\!\!\}} ) や角括弧 [,] あるいは中抜き波括弧 ⦃,⦄( { | , | } {\textstyle \{\!\vert ,\vert \!\}} ). などで囲むこともある。
集合と多重集合と順序対(あるいは組)は例えば次のような点で差異が認められる。a ≠ b として、
順序対: (a, a, b) と (a, b, a) とは順序三つ組として異なる(各成分の現れる順番を変えてはいけない)。これらはもちろん (a, b) とも異なる。
多重集合: ⦃a, a, b⦄ と ⦃a, b, a⦄ は多重集合として一致する(元の現れる順番は関係無い)が、⦃a, a, b⦄ と ⦃a, b⦄ は多重集合として異なる(重複度が異なるなら多重集合としては異なる)。
集合: {a, a, b} と {a, b, a} と {a, b} はいずれも同じ集合である(元の現れる順番は関係なく、また同じ元は何度現われてもひとつあることと同じ)。
建前上は基本的に集合のみを扱い多重集合を扱わないというような(しばしば初等的な)文脈でも、「重複度を込めて」という注釈とともに一時的に多重集合が扱われることがある。