ハイネ・カントールの定理
実数 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} を任意に取る。連続性より、各 x ∈ M {\displaystyle x\in M} に対して U x := f − 1 ( D N ( f ( x ) ; ε / 2 ) ) {\displaystyle U_{x}:=f^{-1}(D_{N}(f(x);\varepsilon /2))} は x {\displaystyle x} を含む M {\displaystyle M} の開集合である。ここで D {\displaystyle D} は開球を表す。 D M ( x ; 2 δ ) ⊆ U x {\displaystyle D_{M}(x;2\delta )\subseteq U_{x}} となるような D M ( x ; δ ) {\displaystyle D_{M}(x;\delta )} たちの全体は X {\displaystyle X} の開被覆を成す。 X {\displaystyle X} はコンパクトだから有限部分被覆 { D ( x i ; δ i ) ∣ i = 1 , ... , n } {\displaystyle \{D(x_{i};\delta _{i})\mid i=1,\ldots ,n\}} が取れる。 δ := min i δ i {\displaystyle \delta :=\min _{i}\delta _{i}} と置く。