コンパクト群
任意のコンパクトリー群 G が与えられたとき、その単位元成分(英語版) G0 を取ることができ、それは連結である。商群 G/G0 は連結成分の群 π0(G) であり、これは G がコンパクトだから有限でなければならない。したがって有限拡大
1 → G 0 → G → π 0 ( G ) → 1 {\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1\,}
がある。さてすべてのコンパクト連結リー群 G0 は有限被覆
1 → A → G ~ 0 → G 0 → 1 {\displaystyle 1\to A\to {\tilde {G}}_{0}\to G_{0}\to 1\,}
を持つ。ただし A ⊂ Z ( G ~ 0 ) {\displaystyle A\subset Z({\tilde {G}}_{0})} は有限アーベル群であり、 G 0 ~ {\displaystyle {\tilde {G_{0}}}} はトーラスとコンパクト連結単連結リー群 K の積である:
G ~ 0 ≅ T m × K . {\displaystyle {\tilde {G}}_{0}\cong \mathbb {T} ^{m}\times K.}
最後に、すべてのコンパクト連結単連結リー群 K はコンパクト連結単連結単純リー群 Ki であってそれぞれが以下のいずれかただ1つと同型であるようなものの積である。:
Sp(n), n ≥ 1
SU(n), n ≥ 3
Spin(n), n ≥ 7
G2(英語版), F4(英語版), E6(英語版), E7(英語版), E8(英語版)