リー環の指数写像
= I + X + 1 2 X 2 + 1 6 X 3 + ⋯ {\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\dotsb }
(ここで I {\displaystyle I} は単位行列である)。
G がコンパクトであれば、左及び右移動で不変なリーマン計量を持ち、指数写像はこのリーマン計量の指数写像(英語版)である。
リー群とリー環の対応(英語版)もまた定義を与える: g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元 X に対し、 t ↦ exp  ( t X ) {\displaystyle t\mapsto \exp(tX)} はリー環準同型 t ↦ t X {\displaystyle t\mapsto tX} に対応する唯一のリー群準同型である。(注: Lie  ( R ) = R {\displaystyle \operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=\mathbb {R} } )