同値類
数学において,ある集合 S の元が(同値関係として定式化される)同値の概念を持つとき,集合 S を同値類(どうちるい,英: equivalence class)たちに自然に分割できる.これらの同値類は,元 a と b が同じ同値類に属するのは a と b が同値であるとき,かつそのときに限るものとして構成される.
フォーマルには,集合 S と S 上の同値関係 ∼ が与えられたとき,元 a の S における同値類は,a に同値な元全体の集合
{ x ∈ S ∣ x ∼ a } {\displaystyle \{x\in S\mid x\sim a\}}
である.「同値関係」の定義から同値類は S の分割をなす.この分割,同値類たちの集合,を S の ∼ による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び,S/∼ と表記する.
集合 S が(群演算や位相のような)構造を持ち,同値関係 ∼ がこの構造と適切に両立するように定義されているとき,商集合はしばしばもとの集合から類似の構造を引き継ぐ.例としては,線型代数学における商空間,位相空間論における商空間,商群(英語版),等質空間,商環,商モノイド(英語版),商圏(英語版)など.