再生核ヒルベルト空間
今 x ∈ X {\displaystyle x\in X} について、 K {\displaystyle K} が G {\displaystyle G} と H {\displaystyle H} の再生核であるから、
f ( x ) = ⟨ K x , f ⟩ G = ⟨ K x , f H ⟩ G + ⟨ K x , f H ⊥ ⟩ G = ⟨ K x , f H ⟩ G = ⟨ K x , f H ⟩ H = f H ( x ) , {\displaystyle f(x)=\langle K_{x},f\rangle _{G}=\langle K_{x},f_{H}\rangle _{G}+\langle K_{x},f_{H^{\bot }}\rangle _{G}=\langle K_{x},f_{H}\rangle _{G}=\langle K_{x},f_{H}\rangle _{H}=f_{H}(x),}
が成り立つ。 K x {\displaystyle K_{x}} は H {\displaystyle H} に属するから G {\displaystyle G} での f H ⊥ {\displaystyle f_{H^{\bot }}} との内積が0となる事実を使った。上の式から G {\displaystyle G} で f = f H {\displaystyle f=f_{H}} が成り立ち、証明完了となる。
関数解析学(数学の一分野)において、再生核ヒルベルト空間(RKHS)(さいせいかくヒルベルトくうかん、英: reproducing kernel hilbert space)は、点評価が連続線形汎函数であるような関数から成るヒルベルト空間である。点評価が連続線形であるとは、大雑把に言えば、RKHSに属する関数 f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} がノルムとして近い( ‖ f − g ‖ {\textstyle \Vert f-g\Vert } が小さい)とき、 f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} は各点でも近い( | f ( x ) − g ( x ) | {\displaystyle |f(x)-g(x)|} が任意の x {\displaystyle x} で小さい)ということである。逆は必ずしも成り立つ必要は無い。例えば、ノルムを一様ノルムとしたとき関数列 sin n  ( x ) {\displaystyle \sin ^{n}(x)} は各点収束するが一様収束しない。(ただし、一様ノルムは極化恒等式を満たさないためにいかなる内積からも誘導されないから、これは反例ではない。