ガトー微分
が、変分法において自然に生じてくるが、しかしこの方法だと h および k のそれぞれに関して斉次になることを除けば、まともな性質が全く保証されない。DF(u){h, k} が h と k に関する対称双線型写像となること、およびその対称双線型写像が dF の極化形式(英語版)と一致すること、を保証する十分条件を持つことが望ましい。
例えば、以下のような十分条件が挙げられる (Hamilton 1982)。F は写像 DF: U × X → Y が積位相に関して連続であるという意味で C-級であるとし、さらに定義式 (3) の定める二次変分が DF: U × X × X → Y が連続となるという意味で連続と仮定する。このとき DF(u){h, k} は h, k に関して双線型かつ対称である。双線型性のおかげで、極化恒等式
D 2 F ( u ) { h , k } = 1 2 d 2 F ( u ; h + k ) − d 2 F ( u ; h ) − d 2 F ( u ; k ) {\displaystyle D^{2}F(u)\{h,k\}={\frac {1}{2}}d^{2}F(u;h+k)-d^{2}F(u;h)-d^{2}F(u;k)}
が満たされ、二次変分 DF(u) が二次微分係数 dF(u; −) に関連付けられる。同様のことが高階導函数に関しても成立する。
空間 X はユークリッド空間 R のルベーグ可測集合 Ω 上の自乗可積分函数全体の成すヒルベルト空間とする。F は F' = f なる実変数実数値函数で、u は Ω 上の実数値函数とするとき、汎函数 E: X → R を
E ( u ) = ∫ Ω F ( u ( x ) ) d x {\displaystyle E(u)=\int _{\Omega }F(u(x))dx}
で定めると、これはガトー導函数
d E ( u , ψ ) = ⟨ f ( u ) , ψ ⟩ {\displaystyle dE(u,\psi )=\langle f(u),\psi \rangle }
を持つ。実際、