アダマール行列
群の準同型 { 1 , − 1 , × } ↦ { 0 , 1 , ⊕ } {\displaystyle \{1,-1,\times \}\mapsto \{0,1,\oplus \}} によるアダマール行列の要素に対する写像を用いると、シルベスターによるアダマール行列を別の方法で生成することができる。まず、nビットの整数を列であるとみなし、これを昇順に並べた n × 2 n {\displaystyle n\times 2^{n}} 行列 F n {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{n}} を考える。このとき、 F n {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{n}} は次のように再帰的に定義できる。
F 1 = [ 0 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{1}={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}}
F n = [ 0 1 × 2 n − 1 1 1 × 2 n − 1 F n − 1 F n − 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{n}={\begin{bmatrix}0_{1\times 2^{n-1}}&1_{1\times 2^{n-1}}\\{\boldsymbol {F}}_{n-1}&{\boldsymbol {F}}_{n-1}\end{bmatrix}}}
アダマール行列(アダマールぎょうれつ、英: Hadamard matrix)とは、要素が 1 または −1 のいずれかであり、かつ各行が互いに直交である正方行列である。すなわち、アダマール行列の任意の2つの行は、互いに垂直なベクトルを表す。
この行列は、アダマール符号(あるいはその拡張としてのリード・マラー符号)による前方誤り訂正や、統計学における分散推定のための均衡反復複製 (BRR) 法などで直接的に用いられる。行列の名前は、フランスの数学者ジャック・アダマールに因んでいる。
数学の文献では、アダマール行列の一般化や特殊例が数多く研究されている。基本的な一般化の一つとして、weighing matrixが挙げられる。これは要素として0を許し、一方で全ての行および列における0以外の要素が行列内で共通の定数であることを要求するものである。
他の一般化として、複素アダマール行列がある。これは各要素が絶対値 1 の複素数であり、かつ H H = n I(H は H の随伴行列)を満たす行列である。複素アダマール行列は作用素環論や量子計算理論の研究から生まれたものである。この特殊例であるバトソン型複素アダマール行列は、要素が1のq乗根である複素アダマール行列である。複素アダマール行列という用語は、いくつかの文献では q = 4 の場合に限って用いられることがある。
実アダマール行列の特殊例としては、循環アダマール行列が挙げられる。これは最初の行のみ定義し、残りの行は直前の行を1つ循環シフトして得られるものである。1次と4次の循環アダマール行列は知られており、それ以外の次数では循環アダマール行列は存在しないという予想が示されている。
正則アダマール行列は、行和と列和がそれぞれ等しい実アダマール行列のことである。