ボレル集合
以下は、ボレル空間に関する数あるクラトフスキーの定理のうちの一つである。ボレル空間というのは、はっきり決まった完全加法族を備えた集合の別名であり、用語を流用してその完全加法族に属する元を、このボレル空間のボレル集合と呼ぶ。ボレル空間の全体は、ボレル空間の間のボレル可測写像を射として圏を成す。ここに、写像 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} がボレル可測であるというのは、 Y {\displaystyle Y} の任意のボレル部分集合 B {\displaystyle B} に対して逆像 f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} が X {\displaystyle X} においてボレルとなることをいう。
という性質を持つような無理数全てからなる集合を A とすると、この A はボレルでない。実は、A は解析集合であり、また解析集合全体の成す集合族において完全 (complete) である。更なる詳細は記述集合論の項目および Kechris (1995)(特に Exercise (27.2); p. 209, Definition (22.9); p. 169, Exercise (3.4)(ii); p. 14)を参照。
非ボレル集合のもう一つの例は、無限パリティ函数(英語版)
f : { 0 , 1 } ω → { 0 , 1 } {\displaystyle f\colon \{0,1\}^{\omega }\to \{0,1\}}
に関する逆像 f(0) である。ただし、これが非ボレルであることの証明に選択公理を用いるので、構成的な例ではない。