コンツェビッチ不変量
次の式で定義される無限級数 Z (K) を結び目 K のコンツェビッチ積分、あるいはコンツェビッチ不変量という。
Z ( K ) = ∑ m = 0 ∞ 1 ( 2 π − 1 ) m ∫ − ∞ < t 1 < t 2 < ⋯ < t m < ∞ ∑ p ∈ P ( − 1 ) ♯ p ↓ D p ∧ i = 1 m d z i − d z i ′ z i − z i ′ {\displaystyle Z(K)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi {\sqrt {-1}})^{m}}}\int _{-\infty <t_{1}<t_{2}<\dots <t_{m}<\infty }\sum _{p\in P}(-1)^{\sharp p\downarrow }D_{p}\wedge _{i=1}^{m}{\frac {dz_{i}-dz_{i}^{\prime }}{z_{i}-z_{i}^{\prime }}}}
ここで C×{ ti } と K の共通部分から二点 zi と z' i を選んで組にする。このような組の列 {(zi , z' i)}i = 1,2,...,m 全てからなる集合が P。 #p↓ は p に現れる 2m 個の点のうち、そこで K が下向きになっているものの個数である。 Dp は p の各点 (zi , z' i ) の逆像から得られるコード図。
右辺に現れる微分形式は KZ方程式に由来するものである。KZ方程式は配置空間に平坦な接続を定め、配置空間内のループ(=組み紐)に沿った積分はループの微小変形で値を変えない。このことがコンツェビッチ積分が不変量であることに寄与している。
一価の頂点数と三価の頂点数の和の 1/2 によってヤコビ図の次数が定義される。これはヤコビ図をコード図に変形した際のコードの本数を表している。
タングルと同様に、上下方向への積み重ねを合成とし、並置をテンソル積としてモノイド圏をなす。 特に X {\displaystyle X} が線分 I {\displaystyle I} であるとき、 A ( X ) {\displaystyle A(X)} は可換代数をなす。また、 A ( S 1 ) {\displaystyle A(S^{1})} を連結和を積とする代数とみると A ( I ) {\displaystyle A(I)} と同型である。
次のウェイトシステムの節でも説明するように、ヤコビ図はリー代数から生成されるテンソル代数の表現を抽象化したものと見ることができる。これにより、ホップ代数の余積、余単位、対蹠によく似た操作を定めることができる。
結び目の有限型不変量とコード図は密接に関係し、S 上の m 次のコード図から特異結び目を構成することができる。実際、あるコードの両端が十分に近いところを通るような S の埋め込みのコピーを二つ用意し、片方を交差交換して残りのものと差をとると特異点ができるので、全てのコードに対しても同様の操作を行えばよい。このような特異結び目は複数存在するが、それらは m+1 次の特異結び目を法として同値である。即ち n 次の特異結び目から生成される空間を Kn と書くことにすると、Km/Km+1 の元を一意に定める。
次数 m の有限型不変量 v から m 次のヤコビ図に対するウェイトシステム Wv を構成することができ、一方ウェイトシステム W に対して、 W·Z の m 次の係数は m 次の有限型不変量である。コンツェビッチ不変量は m 次の有限型不変量の空間と m 次のヤコビ図に対するウェイトシステムの空間の間の同型対応を与える(実際には商空間の間の同型となる。)。
sl2 から定まるウェイトシステムからはジョーンズ多項式の係数、sln の場合はホンフリー多項式の係数が導かれる。