微分同相写像
モデル例。 U, V が R の連結開部分集合であって V は単連結なとき、可微分写像 f : U → V が微分同相写像 (diffeomorphism) であるとは、それが固有写像であり微分 Dfx : R → R が各点 x ∈ U において全単射であるということである。
Remark 1. 関数 f が(その微分が各点で全単射という条件だけのもとでは)大域的に可逆であるためには V が単連結であることは本質的である。例えば、複素平方関数の「実化」
{ f : R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } → R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ( x , y ) ↦ ( x 2 − y 2 , 2 x y ) {\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy)\end{cases}}}
を考えよう。すると f は全射であり
det D f x = 4 ( x 2 + y 2 ) ≠ 0 {\displaystyle \det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0}
を満たすので Dfx は各点で全単射だが f は可逆でない、なぜなら単射でないからだ、例えば f(1,0) = (1,0) = f(−1,0)。
Remark 2. (微分可能関数に対して)各点での微分
M を第二可算かつハウスドルフな可微分多様体とする。M の微分同相写像群 (diffeomorphism group) は M から自身へのすべての C 微分同相写像の群であり、Diff(M) あるいは r がわかっているときには Diff(M) と表記される。これは(M が 0 次元でなければ)局所コンパクトでないという意味で「大きい」群である。
多様体 M の部分集合 X と多様体 N の部分集合 Y が与えられると、関数 f: X → Y は次のとき滑らか (smooth) であると言われる。すべての p ∈ X に対して p のある近傍 U ⊂ M と滑らかな関数 g: U → N が存在して制限が一致する g | U ∩ X = f | U ∩ X {\displaystyle g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}} (g は f の拡張であることに注意)。全単射、滑らか、かつ逆関数も滑らかなとき、f は微分同相写像 (diffeomorphism) であると言う。