ヒルベルト・サミュエル関数
χ M I ( n − 1 ) = χ M ′ I ( n − 1 ) + χ M ′′ I ( n − 1 ) − l ( ( I n M ∩ M ′ ) / I n M ′ ) {\displaystyle \chi _{M}^{I}(n-1)=\chi _{M'}^{I}(n-1)+\chi _{M''}^{I}(n-1)-\ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')} .
右辺第三項はアルティン・リースによって評価できる。実際、補題によって、大きい n とある k に対して、
I n M ∩ M ′ = I n − k ( ( I k M ) ∩ M ′ ) ⊂ I n − k M ′ . {\displaystyle I^{n}M\cap M'=I^{n-k}((I^{k}M)\cap M')\subset I^{n-k}M'.}
したがって、
l ( ( I n M ∩ M ′ ) / I n M ′ ) ≤ χ M ′ I ( n − 1 ) − χ M ′ I ( n − k − 1 ) {\displaystyle \ell ((I^{n}M\cap M')/I^{n}M')\leq \chi _{M'}^{I}(n-1)-\chi _{M'}^{I}(n-k-1)} .
これは望んだ次数の制限を与える。