トモグラフィー
実測された p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} から、今度は μ ( x , y ) {\displaystyle \mu (x,y)} を復元することを考える。この復元操作は、数学的に、 以下の2ステップで行われる。
ラドン逆変換のステップ(1)
p ~ ( r , θ ) = ∫ s = − ∞ s = ∞ p ( s , θ ) exp  ( i s r ) d s {\displaystyle {\tilde {p}}(r,\theta )={\int }_{s=-\infty }^{s=\infty }p(s,\theta )\exp(isr)ds}
を計算する。
ラドン逆変換のステップ(2)
μ ( x , y ) = 1 4 π 2 ∫ r = 0 r = ∞ ∫ θ = 0 θ = 2 π p ~ ( r , θ ) exp  ( i < ( r cos  θ , − r sin  θ ) | ( x , y ) > ) r d r d θ {\displaystyle {\mu }(x,y)={\frac {1}{4{\pi }^{2}}}{\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\tilde {p}}(r,\theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta }
を計算する。
上記2ステップの計算を実施することを、ラドン逆変換という。
l [ θ , s ] ( t ) = t [ − sin  θ cos  θ ] + [ s cos  θ s sin  θ ] {\displaystyle {l}_{[\theta ,s]}(t)=t{\begin{bmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}s\cos \theta \\s\sin \theta \\\end{bmatrix}}}
さらに、光線 l [ θ , s ] ( t ) {\displaystyle {l}_{[\theta ,s]}(t)} による吸光量を、 p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} と書くと、
p ( s , θ ) = − ∫ − ∞ ∞ μ ( s cos  θ − t sin  θ , s sin  θ + t cos  θ ) d t {\displaystyle p(s,\theta )=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu (s\cos \theta -t\sin \theta ,s\sin \theta +t\cos \theta )\,dt}
が成り立つ。
以上から、x軸に対し、角度θをなす平行光束による透過像(一次元透過像)のプロファイルが、ラドン変換によって与えられることが判った。この、 p ( s , θ ) {\displaystyle p(s,\theta )} が、CT撮影により測定される測定データである。
pdf
↑ 工藤博幸、逐次近似法を用いたCT画像再構成法の考え方と驚異 Medical Imaging Technology. 2005年 23巻 1号 p.23-, doi:10.11409/mit.23.23
↑ 国際電気通信基礎技術研究所による特開平05-012438
↑ および、立命館大学講義ノート (新エネルギー・産業技術総合開発機構)即効型地域新生コンソーシアム研究開発 柔軟変形物ハンドリング用ビジョンチップの研究開発報告書
↑ MATLAB解説記事より
↑ (PDF) 高速コーンビーム3次元X線CT, http://www.nedo.go.jp/content/100088286.pdf
↑ 中性子断層撮影法の基礎
↑ 東大地震研:浅間山の 内部構造再現 素粒子使い立体的に, オリジナルの2012年5月27日時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20120527231227/http://mainichi.jp/photo/news/20100309k0000e040076000c.html 毎日新聞(2010年3月9日)
↑ Muon scans confirm complete reactor meltdown at Fukushima, http://www.extremetech.com/extreme/201706-muon-scans-confirm-complete-reactor-meltdown-at-fukushima-reactor-1
↑ Muon scans confirm complete reactor meltdown at Fukushima Reactor #1, http://themillenniumreport.
上式の右辺に、以下の変数変換: ξ ( r , θ ) = [ u ( r , θ ) v ( r , θ ) ] = r [ cos  θ − sin  θ ] {\displaystyle \xi (r,\theta )={\begin{bmatrix}u(r,\theta )\\v(r,\theta )\end{bmatrix}}=r{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \end{bmatrix}}}
を施すと、 積分の変数変換の公式から、
∫ r = 0 r = ∞ ∫ θ = 0 θ = 2 π μ ^ ( r cos  θ , − r sin  θ ) exp  ( i < ( r cos  θ , − r sin  θ ) | ( x , y ) > ) r d r d θ {\displaystyle {\int }_{r=0}^{r=\infty }{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\hat {\mu }}(r\cos \theta ,-r\sin \theta )\exp(i<(r\cos \theta ,-r\sin \theta )|(x,y)>)rdrd\theta }
= ∫ u = − ∞ u = ∞ ∫ v = − ∞ v = ∞ μ ^ ( u , v ) exp  ( i < ( u , v ) | ( x , y ) > ) d u d v {\displaystyle ={\int }_{u=-\infty }^{u=\infty }{\int }_{v=-\infty }^{v=\infty }{\hat {\mu }}(u,v)\exp(i<(u,v)|(x,y)>)dudv}