汎函数行列式
有限次元ユークリッド空間 V 上の正定値の自己共役作用素 S では、次が成立する。
1 det S = ∫ V e − π ⟨ x , S x ⟩ d x {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}=\int _{V}e^{-\pi \langle x,Sx\rangle }\,dx}
問題は無限次元の空間上の作用素 S の汎函数行列式にどのようにして意味を与えるかという問題である。量子場理論で普通使う一つのアプローチは、閉区間上の連続した経路から函数空間がなるとして、形式的に次の積分を計算しようとする。
∫ V e − π ⟨ φ , S φ ⟩ D φ {\displaystyle \int _{V}e^{-\pi \langle \phi ,S\phi \rangle }\,{\mathcal {D}}\phi }
ここに V は函数空間で ⟨ − , − ⟩ {\displaystyle \langle -,-\rangle } は L 内積、 D φ {\displaystyle {\mathcal {D}}\phi } はウィナー測度(英語版)である。S の基本前提として作用素が自己共役であり、L空間上で完全系をなす固有函数 f1, f2, f3... に対応して、離散的なスペクトル λ1, λ2, λ3... を持つとする。