ハムサンドイッチの定理
ハムサンドイッチの定理は、ボルサック・ウラムの定理(英語版)を用いることによって、以下に述べる手順で証明される。この証明は、ステインハウスや他の研究者によって与えられたものであり、n = 3 の場合はステファン・バナフに従う。
今、2等分しようとしている n 個の物体を A1, A2, ..., An と表す。n 次元ユークリッド空間 R に埋め込まれている、原点を中心とする n − 1 次元単位球面を S と表す。その球面 S の表面上の任意の点 p に対して、原点から p への法線ベクトルに直交する(必ずしも 0 を中心としない)有向アフィン超平面の連続体を、そのベクトルの指す方向である各超平面の「正の方向」によって定義することができる。
中間値の定理により、そのような超平面のすべての族には、有界な物体 An を2等分するような超平面が少なくとも1つ含まれている。すなわち、一つの極端な場合には、そのような「正の方向」に含まれるような An の体積は全くなく、またもう一方の極端な場合には、An のすべての体積がそのような「正の方向」に含まれるため、その中間には必ずちょうど半分の An の体積が「正の方向」に含まれるような場合が存在する、ということである。
もしもその族にそのような超平面が1つ以上含まれているのなら、An が2等分される各 translations の間隔の中点を選ぶことにより、唯一つだけ超平面を決めることができる。
この定理は、f(s,x) = s0 + s1x1 + ... + snxn とすることによって標準的なハムサンドイッチの定理を一般化するものである。
二つ目の形式化は次のようなものである:正測度の X の任意の部分集合において線型独立であるような、X の n + 1 個の任意の可測関数 f0, f1, ..., fn に対して、ある線型結合 f = a0f0 + a1f1 + ... + anfn が存在し、X を f(x) < 0 と f(x) > 0 へ2等分するようなその表面 f(x) = 0 は、X1, X2, ..., Xn の各外測度を同時に2等分する。この定理は、f0(x) = 1 とし、また各 i > 0 に対して fi(x) を x の i 番目の座標とすることによって、標準的なハムサンドイッチの定理を一般化するものである。