一般相対性理論における測地線
これらの三つの方程式を、自由落下する粒子の局所加速度を零とすることの代わりに、一般相対性理論における運動方程式の導出の出発点として用いることができる。ミンコフスキー計量テンソルが関わっているので、一般相対性理論において計量テンソルと呼ばれるものを導入する必要がある。計量テンソル g は対称で、自由落下の際には局所的にはミンコフスキー計量テンソルに帰着する。結果として、運動方程式は次のようになる。
d 2 x μ d s 2 = − Γ μ α β d x α d s d x β d s + q m F μ β d x α d s g α β {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{\mu } \over \mathrm {d} s^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{\mathrm {d} x^{\beta } \over \mathrm {d} s}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{g_{\alpha \beta }}}
ここで、次の条件を課した。
g α β d x α d s d x β d s = − 1 {\displaystyle {g_{\alpha \beta }}{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} s}{\mathrm {d} x^{\beta } \over \mathrm {d} s}=-1}
分配則を用いて、以下のように展開できる。
0 = ∫ ( d x μ d τ d x ν d τ δ g μ ν + g μ ν d δ x μ d τ d x ν d τ + g μ ν d x μ d τ d δ x ν d τ ) d τ = ∫ ( d x μ d τ d x ν d τ ∂ α g μ ν δ x α + 2 g μ ν d δ x μ d τ d x ν d τ ) d τ {\displaystyle 0=\int \left({\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\delta g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} \delta x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}+g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} \delta x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\right)\mathrm {d} \tau =\int \left({\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }+2g_{\mu \nu }{\frac {\mathrm {d} \delta x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}{\frac {\mathrm {d} x^{\nu }}{\mathrm {d} \tau }}\right)\mathrm {d} \tau }
ここまで、測地線の運動方程式はスカラーパラメータ s を用いて書かれていた。しかし、座標時 t ≡ x 0 {\displaystyle t\equiv x^{0}} を用いて書き下すことも可能である。(ここで三本線の等号は定義を表わす)。そうすると、測地線の運動方程式は次のように変形される。
d 2 x μ d t 2 = − Γ μ α β d x α d t d x β d t + Γ 0 α β d x α d t d x β d t d x μ d t {\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}x^{\mu } \over \mathrm {d} t^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} t}{\mathrm {d} x^{\beta } \over \mathrm {d} t}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{\mathrm {d} x^{\alpha } \over \mathrm {d} t}{\mathrm {d} x^{\beta } \over \mathrm {d} t}{\mathrm {d} x^{\mu } \over \mathrm {d} t}}