レフシェッツ不動点定理
有限CW複体(CW complex)の恒等写像のレフシェッツ数は、各々の f ∗ {\displaystyle \scriptstyle f_{\ast }} を行列の恒等元と考え、トレース項は単純に適切なホモロジー群の次元と考えることにより、容易に計算することができる。このように恒等写像のレフシェッツ数は、空間のベッチ数の交代和に等しく、オイラー標数 χ(X) に等しい。よって、
Λ i d = χ ( X ) {\displaystyle \Lambda _{\mathrm {id} }=\chi (X)}
を得る。
X {\displaystyle X} を q {\displaystyle q} 個の元を持つ有限体 k {\displaystyle k} の上で定義された多様体とし、 X ̄ {\displaystyle {\bar {X}}} を k {\displaystyle k} の代数的閉体の上への X {\displaystyle X} のリフトとフロベニウス自己準同型(フロベニウスと呼ばれることもある)は、記号 F q {\displaystyle F_{q}} と書かれ、座標 x 1 , ... , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} を持つ点を座標 x 1 q , ... , x n q {\displaystyle x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}} をもつ点へ写す X ̄ {\displaystyle {\bar {X}}} 写像である(つまり、 F q {\displaystyle F_{q}} は幾何学的フロベニウスである)。このように F q {\displaystyle F_{q}} の不動点は、ちょうど k {\displaystyle k} に座標を持つ X {\displaystyle X} の点(これらの点を X ( k ) {\displaystyle X(k)} と書く)である。レフシェッツの跡公式はこの脈絡では、次の形となる。
# X ( k ) = ∑ i ( − 1 ) i t r  F q | H c i ( X ̄ , Q l ) .