アルティン加群
1 2 Lam (2001), Proposition 1.21, p. 19.
例えば、有理数体 Q を自然に Z-Q 両側加群として考えよ。すると Q は左 Z-加群としてはアルティン的でないが、右 Q-加群としてはアルティン的である。
アルティン条件は両側加群の構造についても定義できる。アルティン両側加群 とは両側加群であって、その部分両側加群が降鎖条件を満たすようなものである。R-S 両側加群 M の部分両側加群は当然左 R-加群なので、もし M が左 R 加群としてアルティン的であれば、M は自動的にアルティン両側加群になる。しかしながら、両側アルティン加群が左または右アルティン加群でないことは、次の例で示すように、起こり得る。
例: 単純環が左アルティン的であることと右アルティン的であることは同値であり、このとき半単純環でもあることはよく知られている。R を右アルティン的でない単純環とすると、左アルティン環でもない。R を自然に R-R-両側加群と考えると、その部分両側加群はちょうど R のイデアルである。R は単純なのでそれは2つしかない。R と零イデアルである。したがって R は両側加群としてアルティン的であるが、左または右 R-加群としてはアルティン的でない。
{\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots } に対して ⟨ 1 / n 1 ⟩ ⊇ ⟨ 1 / n 2 ⟩ ⊇ ⟨ 1 / n 3 ⟩ ⊇ ⋯ {\displaystyle \langle 1/n_{1}\rangle \supseteq \langle 1/n_{2}\rangle \supseteq \langle 1/n_{3}\rangle \supseteq \cdots } という形をしている。包含関係 ⟨ 1 / n i + 1 ⟩ ⊆ ⟨ 1 / n i ⟩ {\displaystyle \langle 1/n_{i+1}\rangle \subseteq \langle 1/n_{i}\rangle } によって n i + 1 {\displaystyle n_{i+1}} は n i {\displaystyle n_{i}} を割り切らなければならないので、 n 1 , n 2 , n 3 , ... {\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},\ldots } は正整数の真の減少列である。それゆえ列は止まり、 Z ( p ∞ ) {\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })} はアルティン的である。
可換環上の任意の巡回アルティン加群はネーター加群でもあるが、非可換環上の巡回アルティン加群は長さが無限になり得る。このことは Hartley の記事で示されており、Hartley の記憶に捧げてPaul Cohn の記事でうまく要約されている。