一般化された複素構造
⟨ X + ξ , Y + η ⟩ = 1 2 ( ξ ( Y ) + η ( X ) ) = 1 2 ( ε ( Y , X ) + ε ( X , Y ) ) = 0 {\displaystyle \langle X+\xi ,Y+\eta \rangle ={\frac {1}{2}}(\xi (Y)+\eta (X))={\frac {1}{2}}(\epsilon (Y,X)+\epsilon (X,Y))=0}
が成立するので、L(E, ε) はイソトロピックになる。さらに L(E, ε) は最大となる。なぜならば、E の選択する複素次元は dim(E) であり、ε は E の補空間の上に限定されないからである。この空間の複素次元は、n − dim(E) である。このようにして、全複素次元は n となる. グァルティエリはすべての最大イソトロピック部分バンドルが、ある E と ε が存在し L (E,ε) となることを証明した。
標準バンドルは M 上の複素微分形式のバンドル ΛT ⊗ {\displaystyle \otimes } C の複素次元1の部分バンドルである。ガンマ行列が微分形式とスピノルの間の同型を定義することを思い起こすと、特に偶数と奇数の微分形式は、ワイルスピノルの2つのカイラリティの間の写像である。ベクトルは内積により与えられる微分形式の上へ作用する。1-形式はウェッジ積により微分形式に作用する。このように、バンドル (T ⊕ {\displaystyle \oplus } T) ⊗ {\displaystyle \otimes } C の切断は、微分形式の上へ作用する。この作用は、スピノルのクリフォード代数の表現である。
スピノルがクリフォード代数の生成の半分によりゼロとなるときに、ピュアスピノルと言う。スピノルはバンドル ΛT の切断で、クリフォード代数の生成子はバンドル (T ⊕ {\displaystyle \oplus } T) ⊗ {\displaystyle \otimes } C のファイバーである。