パウリ行列
パウリ行列 σk (k = 1, 2, 3) のトレース (Tr) は 0 となり、行列式 (det) は −1 となる。
Tr  ( σ k ) = 0 det ( σ k ) = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} (\sigma _{k})&=0\\\det(\sigma _{k})&=-1\end{aligned}}}
2次単位行列 σ0 = I を含めた場合、
Tr  ( σ 0 ) = 2 det ( σ 0 ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} (\sigma _{0})&=2\\\det(\sigma _{0})&=1\end{aligned}}}
である。
単位行列を含めたパウリ行列 σμ (μ = 0, 1, 2, 3) について、
Tr  ( σ μ σ ν ) = 2 δ μ ν ( μ , ν = 0 , 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{\mu }\sigma _{\nu })=2\delta _{\mu \nu }\quad (\mu ,\nu =0,1,2,3)}
が成り立つ。よって、複素2次正方行列空間 Mat(2,C) において、単位行列を含めたパウリ行列はヒルベルト=シュミット内積(英語版) ⟨A, B⟩ = Tr(AB) について、直交する。
パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 σ (μ= 0, 1, 2, 3) は反交換関係
{ γ μ , γ ν } = γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 g μ ν I {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I}
を満たすものとして定義される。ただし、I は単位元であり、g (μ, ν = 0, 1, 2, 3) は4次元時空のミンコフスキー計量 g = (g) = diag(+1, −1, −1, −1) である。このとき、2次単位行列 I2 とパウリ行列により、4次正方行列