静磁場
前節同様に、強制電流ifcと磁化Mの両方が既知とし、これら以外に磁束密度の原因となるものがないとした場合 について考える。式(3-1-1)のBtotに対し、新たな場Htotを、
H tot ( r ) := B tot ( r ) μ 0 − M ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{\text{tot}}(\mathbf {r} ):={\frac {\mathbf {B} _{\text{tot}}(\mathbf {r} )}{{\mu }_{0}}}-\mathbf {M} (\mathbf {r} )} (3-2-1)
と定める。式(3-2-1)は、所謂”B=μ0(H+M)”に他ならない。
さらに、強制電流 i f c {\displaystyle {\boldsymbol {i}}_{fc}} が作る磁束密度 B f c ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{fc}(\mathbf {r} )} は、式(1-2)に より、(周辺の物質の有無にかかわらず)定まるが、式(1-3)に倣い 「強制電流 i f c {\displaystyle {\boldsymbol {i}}_{fc}} が作る磁場 H f c ( r ) {\displaystyle \mathbf {H} _{fc}(\mathbf {r} )} 」を、
従って、
φ M ( r ) = − ∫ s ∈ Ω div s  [ M ( s ) | r − s | ] d 3 Ω + ∫ s ∈ ∂ Ω ⟨ M ( s ) | n ∂ Ω ⟩ | r − s | | d 2 ( ∂ Ω ) | {\displaystyle {\phi }_{M}(\mathbf {r} )=-{\int }_{\mathbf {s} \in \Omega }\operatorname {div} _{s}\left[{\frac {\mathbf {M} (\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\right]\ {d}^{3}\Omega \ +{\int }_{\mathbf {s} \in \partial \Omega }{\frac {\langle \mathbf {M} (\mathbf {s} )|\mathbf {n} _{\partial \Omega }\rangle }{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |}}\ |{d}^{2}(\partial \Omega )|} (2-3-8)
ここで、 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } は、領域 Ω {\displaystyle \Omega } の境界面を意味する。 また、 n ∂ Ω {\displaystyle \mathbf {n} _{\partial \Omega }} は、 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } の法線ベクトルを意味する。
原点(r=0)を除いて、
div r  [ r | r | ] = 3 | r | 3 − 3 | r | 2 | r | 5 = 0 {\displaystyle \operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right]={\frac {3}{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {3{|\mathbf {r} |}^{2}}{{|\mathbf {r} |}^{5}}}=0}
であり、原点(r=0)を中心とする、球体BLに対し、ガウスの発散定理を用いると、 ∫ r ∈ B L div r  [ r | r | ] d 3 r = 4 π {\displaystyle {\int }_{\mathbf {r} \in BL}\operatorname {div} _{\mathbf {r} }\left[{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\right]\ d^{3}r=4\pi }