ファン・ホーベ特異点
N粒子サイトからなる1次元格子を考える。 各粒子サイト間の距離はaで、全長はL = Naとする。 ここで、この1次元の箱の中に定在波があると仮定するのではなく、周期的境界条件を用いるのが便利である。
k = 2 π λ = n 2 π L {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}=n{\frac {2\pi }{L}}}
ここで λ {\displaystyle \lambda } は波長、nは整数である。 正の整数は前進する波、負の整数は後進する波を表す。
この格子中の波動の波長は最短で2aであり、このとき最大の波数 k m a x = π / a {\displaystyle k_{max}=\pi /a} となり、|n|は最大値 n m a x = L / 2 a {\displaystyle n_{max}=L/2a} となる。 状態密度g(k)dkを、波数ベクトルがkからk+dkである定在波の数として定義する。
g ( k ) d k = d n = L 2 π d k {\displaystyle g(k)dk=dn={\frac {L}{2\pi }}\,dk}
3次元に拡張すると、箱の中の状態密度は、
g ( k → ) d 3 k = d 3 n = L 3 ( 2 π ) 3 d 3 k {\displaystyle g({\vec {k}})d^{3}k=d^{3}n={\frac {L^{3}}{(2\pi )^{3}}}\,d^{3}k}