デュアメルの原理
より一般に、次の非同次の定数係数偏微分方程式を考える。
P ( ∂ t , D x ) u ( t , x ) = F ( t , x ) {\displaystyle P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)\,}
ただし
D x = 1 i ∂ ∂ x {\displaystyle D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,}
とする。以下に示す方法で、この非同次方程式の解はある同次方程式の解へと書き下すことが出来る。すべての手順は形式的に行われるが、解が well-defined となるための必要な設定は無視している。
はじめに、x についてフーリエ変換を行うことで、
P ( ∂ t , ξ ) u ^ ( t , ξ ) = F ^ ( t , ξ ) {\displaystyle P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi )}
が得られる。 P ( ∂ t , ξ ) {\displaystyle P(\partial _{t},\xi )} は t に関する m 階の方程式である。