半線型写像
K = C, V = C および標準基底 e1, ..., en に対して、写像 f: V → V を f ( ∑ i = 1 n z i e i ) := ∑ i = 1 n z ̄ i e i {\displaystyle f{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}{\Bigr )}:=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}} で定義すれば、f は(複素共軛をとる体の自己同型に関して)半線型となるが、これは線型ではない。
標数 p の冪 q を位数とする有限体(ガロワ体)K = GF(q) に対し、フロベニウス準同型 θ(l ≔ l) をとる(これが体の自己同型であるという事実は、幼稚な二項定理(英語版)としても知られる)。K 上のベクトル空間 V, W の間の任意の線型写像 f: V → W に対し、 f ~ ( ∑ i = 1 n l i e i ) := f ( ∑ i = 1 n l i θ e i ) {\displaystyle {\widetilde {f}}\!{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}l_{i}e_{i}{\Bigr )}:=f{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}l_{i}^{\theta }e_{i}{\Bigr )}} と置くことにより、θ-半線型写像を得ることができる。
実際には任意の線型写像からこのような方法によって半線型写像を作ることができる。これはこの後に述べる一般に成り立つ事実の一部である。
これは一般線型群 GL(V) の類似であり、かつその拡大である。
(GL の G を対応する Γ で置き換えて ΓL としたように)行列群の頭のラテン文字をギリシャ文字で置き換える同様の記法が、ほかの種類の行列群(線型代数群)の類似となる半線型群(厳密には行列群と体の同型の成すガロワ群との半直積)に対しても同様に用いられる。また例えば、行列群から作られる射影行列群の一種である射影特殊ユニタリ群(英語版) PSU に対応する半線型群は PΣU で表される。しかし、これらの一般化された半線型群は必ずしもうまく定義されるとは限らないことに注意すべきである。Bray, Holt & Roney-Dougal (2009) によれば、同型な古典群 G, H (⊂ SL)に対して、同型でない半線型拡大が存在し得る。半直積のレベルで言えば、これはガロワ群の与えられた抽象群に対する作用の仕方が異なるということに対応する。拡大が一意でないならば、半線型拡大はちょうど二種類存在する。例えば、対称群の半線型拡大は一意に定まるが、SU(n,q) は n が偶数で q が奇数のとき、PSU と同じように二種類の半線型拡大を持つ。