ヘルダー平均
ヘルダー平均は次の性質をもつ:
引数 x1, ... , xn の最小値と最大値の間にある。 min ( x 1 , ... , x n ) ≤ M p ( x 1 , ... , x n ) ≤ max ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})}
引数に対して対称である。つまり引数を並べ替えてもその値を変えない。引数の置換演算子を P とすると次式で表される: M p ( x 1 , ... , x n ) = M p ( P ( x 1 , ... , x n ) ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}
他の平均と同様、引数 x1, ... , xn に対して斉次である。つまり b を正の実数として次式が成り立つ: M p ( b x 1 , ...
ただし ∑ w i = 1 {\displaystyle \sum w_{i}=1} )に対して重み付きヘルダー平均は次で定義される:
M p ( x 1 , ... , x n ) := ( ∑ i = 1 n w i x i p ) 1 / p M 0 ( x 1 , ... , x n ) := ∏ i = 1 n x i w i {\displaystyle {\begin{aligned}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})&:=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}
重みを考えない平均は、すべての重みを wi = 1/n としたものに相当する。