三角関数
単位円上の点の座標の関数であることから、三角関数の間には多数の相互関係が存在する。
π cot  π z = lim N → ∞ ∑ n = − N N 1 z + n = 1 z + ∑ n = 1 ∞ 2 z z 2 − n 2 π tan  π z = − lim N → ∞ ∑ n = − N N 1 z + 1 / 2 + n = − ∑ n = 0 ∞ 2 z z 2 − ( n + 1 / 2 ) 2 π sin  π z = lim N → ∞ ∑ n = − N N ( − 1 ) n z + n = 1 z + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 2 z z 2 − n 2 π cos  π z = lim N → ∞ ∑ n = − N N ( − 1 ) n z + 1 / 2 + n = − ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) z 2 − ( n + 1 / 2 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\pi \cot \pi z&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z+n}}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-n^{2}}}\\\pi \tan \pi z&=-\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z+1/2+n}}=-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}-(n+1/2)^{2}}}\\{\frac {\pi }{\sin \pi z}}&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {(-1)^{n}}{z+n}}={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2z}{z^{2}-n^{2}}}\\{\frac {\pi }{\cos \pi z}}&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {(-1)^{n}}{z+1/2+n}}=-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)}{z^{2}-(n+1/2)^{2}}}\end{aligned}}}
三角関数は以下のように無限乗積として書ける。
sin  π z = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) cos  π z = ∏ n = 1 ∞ { 1 − z 2 ( n − 1 2 ) 2 } {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \pi z&=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }{\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}\\\cos \pi z&=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}\end{aligned}}}