スピン構造
Haefliger (1956) は、向き付けられたリーマン多様体 (M, g) 上のスピン構造の存在に対する必要十分条件を発見した。スピン構造を持つことに対する障害となるのは、H(M, Z2) のある種の元 [k] である。スピン構造に対して、その類 [k] は M の二次のスティーフェル–ホイットニー類 w2(M) ∈ H(M, Z2) である。従って、スピン構造が存在するための必要十分条件は、M の二次スティーフェル–ホイットニー類 w2(M) ∈ H(M, Z2) が消えていることである。
四次元以下の任意の向き付けられた滑らかな多様体は、スピン-多様体である。
任意の概複素多様体はスピン-多様体である。
任意のスピン多様体はスピン-多様体である。
スピン構造が存在するとき、多様体上の互いに同値でないスピン構造の全体は、H(M, Z2)(これは、普遍係数定理により H1(M, Z2) と同型)の元全体と(標準的でない)一対一対応を持つ。より精確に述べれば、スピン構造の同型類全体の成す空間は、H(M, Z2) 上のアフィン空間である。
直観的には、M 上の各非自明サイクルに対して、スピン構造は SO(N)-束の切断がループを囲むとき被覆面を切り替えるか否かの二者択一に対応する。w2 が消えているとき、これらの選択は二次元骨格(英語版) (2-骨格) へ拡張でき、それゆえ(障害理論(英語版)により)自動的に M 全体の上まで拡張できる。素粒子物理学においてこのことは、各ループを周るフェルミオンに対する周期的または反周期的境界条件の選択に対応する。