導来圏
0 → X → I 0 → I 1 → ⋯ {\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots }
が構成できる。ここに、I* は単射対象である。このアイデアは一般化され、十分小さな n に対し X = 0 となる下に有界な双対鎖複体 X の分解を与える。上で注意したように、単射分解は一意的に定まらないが、任意の2つの分解が互いにホモトピー同値であり、ホモトピー圏では同型であるという事実がある。さらに、双対鎖複体の射は2つの与えられた単射分解の射へ一意的に拡張される。
これがホモトピー圏が再び重要な役割を果たす点である。 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の対象 X から A {\displaystyle {\mathcal {A}}} の(任意の)単射分解 I* への射は、函手
D + ( A ) → K + ( Inj  ( A ) ) {\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\operatorname {Inj} ({\mathcal {A}}))}
へ拡張される。
この函手が実際にはじめに述べた標準的局所化函手の制限の逆であることは、容易に分かる。
A {\displaystyle {\mathcal {A}}} をアーベル圏とする。導来圏 D ( A ) {\displaystyle D({\mathcal {A}})} はいくつかのステップを踏んで得られる。
基本となるのは、 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} における双対鎖複体
⋯ → X − 1 → d − 1 X 0 → d 0 X 1 → d 1 X 2 → ⋯ {\displaystyle \dotsb \rightarrow X^{-1}{\xrightarrow {d^{-1}}}X^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}X^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}X^{2}\rightarrow \dotsb }
の圏 Kom  ( A ) {\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})} である。この圏の対象が導来圏の対象となるが、射は異なる。
鎖ホモトピック(英語版)な射を同一視することにより、双対鎖複体のホモトピー圏(英語版) K ( A ) {\displaystyle K({\mathcal {A}})} を得る。