0.999...
このそれぞれの小数記録表示が表す実数が等しいことを証明するには、直接的には極限を用いてなされるが、順序の議論を続ける別の構成方法もある。
直接的な方法としては区間縮小法が挙げられる。この原理によれば、閉区間の減少列が与えられ、その幅が 0 に収束するとき、それらの区間の共通部分はただ1つの実数からなる1点集合であることが、実数の連続性より証明される。したがって x = a0.a1a2a3... は [a0, a0 + 1], [a0.a1, a0.a1 + 0.1], ... のすべてに属する唯一の実数であると定義される。したがって 0.999... は [0, 1], [0.9, 1], [0.99, 1], ... のすべてに属する唯一の実数である。一方、実数 1 はこれらすべての区間に属するので 0.999... = 1 となる。
区間縮小法は、実数の連続性のうちのより直観的であると思われる上限の存在に基づいている。この事実を直接用いると、a0.a1a2a3... を近似値の集合 {a0, a0.a1, a0.a1a2, ...} の上限として定義することができる。増加列の上限の存在定理は実数の連続性として区間縮小法と同値であることが示せるので、再び 0.999... = 1 を得る。トム・アポストルは次のように結論付けた。
「実数が異なる2つの小数表示を持つ可能性があるという事実は、単に、実数からなる異なる2つの集合の上限・下限が等しくなる可能性があるという事実の裏返しに過ぎない。」
実数は標準的な数体系であるが、"0.999..." という無数桁の表記がある実数を表すだろうと、人類は自然に考えている。ウィリアム・ティモシー・ガワーズは Mathematics: A Very Short Introduction で、等式 0.999... = 1 を結論することも同様に『慣習』であると述べている。すなわち、
「しかしながら、それは決して恣意的な慣習ではない。なぜなら、それを受け入れなければ、一風変わった新しい対象を発明するか、または算術のよく知られた規則のいくつかを諦めるかのどちらかが強制されるからである。」
標準的な数体系である実数体に対して、通常と異なる方法で数を構成し、0.999... という表記が意味を持つ、実数とは別の数体系を定義することができる。そのような数体系においては本項冒頭辺りの節で示した証明などはその体系における記述として解釈し直さなければならず、またそういった体系において(上記の証明が正しいとする根拠を失ったり、誤りであると示されたりして)0.