光線行列解析
は光線行列のトレースであり、また
det  ( M ) = A D − B C = 1 {\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {M} )=AD-BC=1}
は光線行列の行列式である。ここで、安定性パラメータ
g = d e f tr  ( M ) 2 = 1 − d 2 f {\displaystyle g\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\operatorname {tr} (\mathbf {M} ) \over 2}=1-{d \over 2f}}
を導入すると、固有方程式は、
λ 2 − 2 g λ + 1 = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0}
二次方程式の解の公式より、固有値は、
λ ± = g ± g 2 − 1 {\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}\,}
ここで、N 回繰り返し要素を通過した後の光線を考える。
[ x N θ N ] = λ N [ x 0 θ 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{0}\\\theta _{0}\end{bmatrix}}}