バーンサイド問題
初期の研究はいずれも、問題の肯定的解決を期待させるものであった。
例えば、exponentが4であるような有限生成群は必ず有限群となる。Alexei Kostrikin(英語版)は1958年、与えられた個数の生成元をもち、exponentが与えられた素数であるような有限群について位数最大のものが存在する事を証明し、制限されたバーンサイド問題の部分的解決に成功した。(その後、1989年にEfim Zelmanov(英語版)によって、制限されたバーンサイド問題は完全に(肯定的に)解決された。)シューアは1911年、任意の有限生成なねじれ群であって、複素数体上の一般線型群の部分群と同型であるような群は有限群である事を示した。この事実は、彼がJordan–Schurの定理(英語版)を証明する際に用いられた。
これらの研究から得られる直感に反し、バーンサイド問題は否定的に解決された。
1964年、Golod(英語版)とシャハレビッチは元の位数が有界にはならないものの、どの元も有限位数を持ち有限生成であるような無限群(オリジナルのバーンサイド問題の反例)を構成した(Golod–Shafarevich theorem(英語版)も参照せよ)。