作用素論
スペクトル定理は線型作用素や行列に関する無数の結果の総称である。広義のスペクトル定理は、作用素や行列が対角化可能である(即ち適当な基底の下で対角行列に表せること)ための条件を提示するものをいう。この対角化可能の概念は直接には有限次元空間に対するものだが、無限次元空間上の作用素に対しては少々の修正を要する。一般に、スペクトル定理はもっとも単純な場合として乗算作用素によって形作ることのできる線型作用素のクラスを同定するものである。より抽象的には、スペクトル定理は可換 C-環に関する主張ということができる。歴史的背景はスペクトル論の項を参照。
スペクトル定理が適用できるような作用素の例としては、自己随伴作用素やより一般にヒルベルト空間上の正規作用素などが挙げられる。
スペクトル定理はまた、作用素の作用する台となるベクトル空間に関する(スペクトル分解、固有分解(固有値分解)などと呼ばれる)標準分解 (canonical decomposition) をも提示する。
A = U ( A ∗ A ) 1 2 {\displaystyle A=U(A^{*}A)^{\frac {1}{2}}}
となる。U は Ker(A) ⊂ Ker(U) のとき一意である(B = B = (AA) とすると Ker(A) = Ker(AA) = Ker(B) = Ker(B) に注意)。P として (AA) をとれば極分解 A = UP を得る。同様の論法が、正作用素 P' および U' が部分等距として A = P'U' を示すのにも有効であることを確認せよ。
H が有限次元のときには U はユニタリ作用素に延長できるが、これは一般には成り立たない(上述)。その代りに極分解は特異値分解の作用素版を用いて示すことができる。
連続汎函数計算(英語版)の性質により、極分解における絶対値 |A| は A の生成する C-環に属する。偏極部 U に対しても、同様だがより弱い主張が成立し、偏極部 U は A の生成するフォンノイマン環に属する。A が可逆ならば U は絶対値同様に A の生成する C-環に属する。