モジュラー形式
モジュラー形式論は、4つの段階を経て発展してきた。はじめは、19世紀前半の楕円函数論に繋がる部分である。その後フェリックス・クラインらによって、19世紀の終わりにかけて(一変数の)保型形式の概念が理解されるようになり、エーリッヒ・ヘッケによって1925年頃から、また1960年代に、数論からの需要、とくに(かつて「谷山・志村予想」と呼ばれた)モジュラー性定理の定式化において、モジュラー形式の深い関わりが明らかにされた。
体系的な用語としての「モジュラー形式」は、ヘッケによるものである。
前節の条件 2 はここでは、(モジュラー群の作用として)整数 a, b, c, d で ad − bc = 1 を満たすものに対する函数等式
f ( a z + b c z + d ) = ( c z + d ) k f ( z ) {\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}
となる。たとえば
f ( − 1 / z ) = F ( ⟨ 1 , − 1 / z ⟩ ) = z k F ( ⟨ z , − 1 ⟩ ) = z k F ( ⟨ 1 , z ⟩ ) = z k f ( z ) {\displaystyle f(-1/z)=F(\langle 1,-1/z\rangle )=z^{k}F(\langle z,-1\rangle )=z^{k}F(\langle 1,z\rangle )=z^{k}f(z)}
などである。
C の格子 Λ は C 上の楕円曲線 C/Λ を決定する。上で格子の集合上の函数とみなせることを説明したが、同じように楕円曲線の集合の上の函数ともみなすことができる。このようにして、モジュラー形式はモジュラー曲線の上の直線束の切断と考えることができる。たとえば、楕円曲線の j-不変量はモジュラー曲線の有理関数体の生成元である。
直線束の切断としての解釈は次のように説明できる。ベクトル空間 V にたいし射影空間 P(V) 上の函数を考える。V 上の函数 F で V の元 v ≠ 0 の成分の多項式であって、等式 F(cv) = F(v) を 0 でない任意のスカラー c についてみたすようなものを考えると、そのようなものは定数函数しか存在しない。条件をゆるめて多項式の代わりに分母をつけて有理函数を考えれば、F として同じ次数のふたつの斉次多項式の比とすることができる。あるいは F は多項式のままにしておいて、定数 c に関する条件を F(cv) = cF(v) と緩めれば、そのような函数は k 次の斉次多項式である。斉次多項式の全体は実際には P(V) 上の函数ではないのだから、P(V) の函数が記述する幾何学的な内容を、本当に斉次多項式が記述できるのかと考えるのは自然である。これは代数幾何学において層(この場合は直線束)の切断を考える事に相当する。これは、モジュラー形式についての状況とちょうど対応する話になっている。