有限変形理論
変形と未変形の座標系を重ね合わせるのが一般的で、その結果 b = 0 {\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!} となり、方向余弦はクロネッカーのデルタとなる、すなわち、
したがって、物質座標(変形していない)では、変位は次のように表すことができる:
また、空間座標(変形している)では、変位は次のように表すことができる:
空間的な速度勾配が時間的に一定であれば、上式を正確に解くと次のようになる;
assuming F = 1 {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {1} } at t = 0 {\displaystyle t=0} . 上記の行列の指数を計算する方法はいくつかある。
連続体力学でよく使われる関連量として、変形率テンソルとスピンテンソルがあり、それぞれ次のように定義される:
変形率テンソルは線要素の伸び率を与え、スピンテンソルは運動の回転率または渦度を示す。
有限ひずみを含む解析では、変形勾配の逆数の材料時間微分(基準形状を固定したまま)が必要になることがよくある。 この微分は
F − 1 ⋅ d x = d X {\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}\cdot d\mathbf {x} =d\mathbf {X} } and noting that X ̇ = 0 {\displaystyle {\dot {\mathbf {X} }}=0} の物質的時間微分を取ることによって、上記の関係を検証することができる。
この分解は、未変形の配置における線要素 d X {\displaystyle d\mathbf {X} } の変形が、変形された配置における d x {\displaystyle d\mathbf {x} } に写像されることを意味する。即ち. d x = F d X {\displaystyle d\mathbf {x} =\mathbf {F} \,d\mathbf {X} \,\!} という結果は、 要素を、なんらかの U {\displaystyle \mathbf {U} \,\!} でUによって、まず伸ばすという方法で得られ得る、つまり まず、 d x ′ = U d X {\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {U} \,d\mathbf {X} \,\!} という変換を行い、 次に、回転 R {\displaystyle \mathbf {R} \,\!} 、即ち d x ′ = R d x {\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {x} \,\!} を行う; 等価な方法として、まず剛体回転 R {\displaystyle \mathbf {R} } 、つまり d x ′ = R d X {\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {R} \,d\mathbf {X} \,\!} を行い、次に、 V {\displaystyle \mathbf {V} \,\!} による伸長、つまり d x ′ = V d x {\displaystyle d\mathbf {x} '=\mathbf {V} \,d\mathbf {x} } を行う方法もある(図3を参照).
物体の変位は、剛体変位と変形の2つの要素から構成される。
剛体変位は、形状や大きさを変えずに、並進(物理)や回転を組み合わせた変位である。
変形は、初期状態(変形していない状態; κ 0 ( B ) {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})} )から現在の状態(変形した状態; κ t ( B ) {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})} )へ形状や大きさが変化することを意味する(Figure 1)。
連続体の配置の変化は 変位場 によって記述することができる。変位場とは、物体中のすべての粒子の変位ベクトルを集めたベクトル場であり、変形後の配置と変形前の配置を関連づける。任意の2つの粒子間の距離は、変形が起こった場合にのみ変化する。変形を伴わない変位は剛体変位と呼ばれる。
物質座標で表すと( u {\displaystyle \mathbf {u} } を、 X {\displaystyle \mathbf {X} } の関数として表すと)、変位場は次のようになる;
ここで、 b ( t ) {\displaystyle \mathbf {b} (t)} は剛体の並進を表す変位ベクトルである。
変位ベクトルの物質座標に対する偏微分から物質変形勾配テンソル(material displacement gradient tensor) ∇ X u {\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!} 、以下のように求まる;
ここで F {\displaystyle F} は変形勾配テンソル(deformation gradient tensor)である。
変数jでラベルされた粒子の変位は次のように表すことができる; 変形前の配置 P j {\displaystyle P_{j}} と変形後の配置 p j {\displaystyle p_{j}} における粒子の位置を結ぶベクトルをdisplacement vectorと呼ぶことにする。
P j {\displaystyle P_{j}} の代わりに X {\displaystyle \mathbf {X} } を、 p j {\displaystyle p_{j}} の代わりに x {\displaystyle \mathbf {x} } を、いずれも座標系の原点から各点までのベクトルとして用いると、変位ベクトルのラグランジュ記述となる。即ち、
ここで、 e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} は、空間座標系(lab-frame)をなす正規直交基底である。
F = [ cos  θ sin  θ 0 − sin  θ cos  θ 0 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}} B = C = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = 1 {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\mathbf {1} }
もし3つの異なる主伸び率(principal stretches) λ i {\displaystyle \lambda _{i}\,\!} がある場合、 C {\displaystyle \mathbf {C} } および B {\displaystyle \mathbf {B} } の固有分解(スペクトル分解)は以下のように表される。
さらに、
以下のことに注意するべきである。
したがって、スペクトル分解の一意性からも n i = R N i {\displaystyle \mathbf {n} _{i}=\mathbf {R} ~\mathbf {N} _{i}\,\!} が導かれる。左伸長( V {\displaystyle \mathbf {V} \,\!} )は、「空間伸長テンソル」と呼ばれ、右伸長( U {\displaystyle \mathbf {U} \,\!} )は「物質伸長テンソル」とも呼ばれている。
変形勾配テンソル F {\displaystyle \mathbf {F} } が N i {\displaystyle \mathbf {N} _{i}} に作用する効果は、ベクトルを λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 倍に伸ばし、新しい方向に回転させることである。
同様に、
変形勾配テンソルの極分解(Polar decomposition of the deformation gradient tensor)に付いて説明する。
変形勾配 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} は、他の可逆2次テンソルと同様に、極性分解定理(polar decomposition theorem)を用いて2つの2次テンソルの積に分解できる (Truesdell and Noll, 1965): 即ち、
となる。ここで、 R {\displaystyle \mathbf {R} } は proper orthogonal tensorである。 即ち R − 1 = R T {\displaystyle \mathbf {R} ^{-1}=\mathbf {R} ^{T}} 及び det R = + 1 {\displaystyle \det \mathbf {R} =+1\,\!} , を満たし、回転を表す;
テンソル U {\displaystyle \mathbf {U} } は right stretch tensorである;
そして、テンソル V {\displaystyle \mathbf {V} } は left stretch tensorである。