平方因子をもたない整数
↑ ハーディ & ライト 2001, p. 21.
↑ ハーディ & ライト 2001, p. 337, [原註] 参照
↑ ハーディ & ライト 2001, p. 337.
↑ ハーディ & ライト 2001, p. 338, 定理 302
↑ ハーディ & ライト 2001, pp. 356–.
↑ A. Walfisz. "Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie" (VEB deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1963.
↑ Jia, Chao Hua. "The distribution of square-free numbers", Science in China Series A: Mathematics 36:2 (1993), pp. 154–169. Cited in Pappalardi 2003, A Survey on k-freeness; also see Kaneenika Sinha, "Average orders of certain arithmetical functions", Journal of the Ramanujan Mathematical Society 21:3 (2006), pp.
n ≡ − i ( mod p i 2 ) ( i = 1 , 2 , ... , l ) {\displaystyle n\equiv -i{\pmod {p_{i}^{2}}}(i=1,2,\ldots ,l)}
の解とすると n + i ( i = 1 , 2 , ... , l ) {\displaystyle n+i(i=1,2,\ldots ,l)} はそれぞれ pi で割り切れるからである。しかし、
Q ( x ) = x ζ ( 2 ) + O ( x ) = 6 x π 2 + O ( x ) {\displaystyle Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left({\sqrt {x}}\right)}
よりある定数 c に対して x と x + c x {\displaystyle x+c{\sqrt {x}}} の間には必ず無平方数が存在することが分かる。さらに、初等的な議論によりある定数 c に対して x と x + c x 1 / 5 log  x {\displaystyle x+cx^{1/5}\log x} の間には必ず無平方数が存在することが知られている。一方、ABC予想を仮定すれば任意の ε > 0 に対し、十分大きな x と x + x ε {\displaystyle x+x^{\epsilon }} の間には必ず無平方数が存在する。