近接空間
この集合近傍関係の主要な性質を以下に列挙した。これは近接空間の別の公理的な特徴付けを与える。
X {\displaystyle X} の全ての部分集合 A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D} に対して
X ≪ X {\displaystyle X\ll X}
A ≪ B ⟹ A ⊆ B {\displaystyle A\ll B\implies A\subseteq B}
A ⊆ B ≪ C ⊆ D ⟹ A ≪ D {\displaystyle A\subseteq B\ll C\subseteq D\implies A\ll D}
( A ≪ B {\displaystyle (A\ll B} かつ A ≪ C {\displaystyle A\ll C} ) ⟹ A ≪ B ∩ C {\displaystyle \implies A\ll B\cap C}
A ≪ B ⟹ X ∖ B ≪ X ∖ A {\displaystyle A\ll B\implies X\setminus B\ll X\setminus A}
A ≪ B ⟹ ∃ E , A ≪ E ≪ B . {\displaystyle A\ll B\implies \exists E,\ A\ll E\ll B.}
近接空間が分離的(separated)とは、 { x } δ { y } {\displaystyle \{x\}{\boldsymbol {\delta }}\{y\}} が x = y {\displaystyle x=y} を含意することをいう。