密度行列
密度行列は、混合状態を数学的に記述する為の道具立てであり、しかも上述した単純な記述方法のような欠点を持たない事である。
本章では、密度行列の定義とその性質を述べ、次章において単純な記述方法の欠点が解消されている事を見る。
密度演算子の時間発展は、次のフォン・ノイマン方程式 (von Neumann equation ) で記述される。フォン・ノイマン方程式は古典論におけるリウヴィル方程式 (Liouville equation ) に対応するので、リウヴィル=フォン・ノイマン方程式 (Liuville–von Neumann equation)、あるいは単に(量子)リウヴィル方程式とも呼ばれる。
i ħ ∂ ρ ^ ∂ t = [ H ^ , ρ ^ ] = H ^ ρ ^ − ρ ^ H ^ {\displaystyle i\hbar {\partial {\hat {\rho }} \over {\partial t}}=[{\hat {H}},{\hat {\rho }}]={\hat {H}}{\hat {\rho }}-{\hat {\rho }}{\hat {H}}}
ここで ħ = h/2π は換算プランク定数(h はプランク定数)、 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} はハミルトニアン、括弧 [·,·] は交換子である。
状態空間上の完全正規直交系 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、...に対し、状態空間における | ψ k ⟩ {\displaystyle |\psi _{k}\rangle } 方向の射影作用素をPkとするとき、
ρ = ∑ k p k P k ( 0 < p k < 1 , ∑ k p k = 1 ) {\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}P_{k}\quad (0<p_{k}<1,\quad \sum _{k}p_{k}\,=1)} ....(M1)
という形で表記できる演算子 ρ {\displaystyle \rho } を密度演算子 (density operator )もしくは密度行列 (density matrix ) という。(上式右辺の収束はトレースノルムに関するものである)。
なお、射影作用素Pkはブラ-ケット記法では