グリーンの恒等式
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これら二つの結果を合わせることで、スカラー場に対するグリーンの定理と同様の結果が得られる:
ベクトル場に対する定理 P ⋅ Δ Q − Q ⋅ Δ P = ∇ ⋅ [ ( P ⋅ ∇ ) Q + P × ∇ × Q − ( Q ⋅ ∇ ) P − Q × ∇ × P ] . {\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} -\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}
クロス積の回転は次のように書くことが出来る。
グリーンの第三恒等式は、第二恒等式において φ = G とすることで得られる。ここで G はラプラス作用素の基本解として定められるグリーン函数である。すなわち、次が成り立つ:
Δ G ( x , η ) = δ ( x − η ) . {\displaystyle \Delta G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {\eta } ).}
例えば R において、ある解は次の形を取る:
G ( x , η ) = − 1 4 π ‖ x − η ‖ . {\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )={\frac {-1}{4\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {\eta } \|}}.}
グリーンの第三恒等式は、ψ が U 上で二階連続的微分可能な函数である場合に、次式で与えられる:
∫ U [ G ( y , η ) Δ ψ ( y ) ] d V y − ψ ( η ) = ∮ ∂ U [ G ( y , η ) ∂ ψ ∂ n ( y ) − ψ ( y ) ∂ G ( y , η ) ∂ n ] d S y .