シンプレクティック同相写像
ヒルベルト空間上の(一般には ħ {\displaystyle \hbar } -変換した後の)シンプレクティック同相群の有限次元部分群の表現は、量子化と呼ばれる。リー群がハミルトニアンによって定義されているとき、「エネルギーによる量子化」と呼ばれる。リー代数から連続した線型作用素への対応する作用素のことも、ときには量子化と呼ぶこともある。このことは、さらに一般的に共通な物理学的な見方である。ワイルの量子化(英語版)(Weyl quantization)や幾何学的量子化(英語版)(geometric quantization)や非可換幾何学を参照。
多様体から自分自身の上へのシンプレクティック同相は無限次元の擬群(pseudogroup)を形成する。対応するリー代数はシンプレクティックベクトル場からなる。
ハミルトンシンプレクティック同相は、この部分群を形成し、リー群はハミルトンベクトル場からなる。後者は定数を除外して、ポアソン括弧に関して多様体上の滑らかな函数のリー代数に同型である。
( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} のハミルトンシンプレクティック同相の群は、 H a m  ( M , ω ) {\displaystyle \mathop {\rm {Ham}} (M,\omega )} と書かれることもある。
ハミルトンシンプレクティック同相群は、オーガスティン・バンヤガ(英語版)(Augustin Banyaga)の定理により、単純(simple)である。それらはホーファーのノルム(英語版)により、自然な幾何学を持っている。ある単純なシンプレクティック 4次元多様体のシンプレクティック同相群のホモトピータイプは、擬正則曲線(英語版)(pseudoholomorphic curve)のミハイル・グロモフ(Mikhail Gromov)の理論を使い計算することができる。