ケイリーグラフ
群 G は自分自身に左からの乗算で作用する(ケイリーの定理を参照)。これは群 G がそのケイリーグラフに作用しているとみることができる。明示的には、元 h ∈ G は頂点 g ∈ V(Γ) を hg ∈ V(Γ) へ移す。ケイリーグラフの辺集合この作用で保たれる:辺 (g, gs) は辺 (hg, hgs) へ移される。群の左からの乗算による作用は単純推移的であり、とくにケイリーグラフは頂点推移的である。これは以下のケイリーグラフの特徴づけに繋がる:
Sabidussiの定理:グラフ Γ が群 G のケイリーグラフである必要十分条件はグラフがグラフ自己同型として群 G の単純推移的な作用を持つことである。
ケイリーグラフ Γ = Γ(G, S) から群 G と生成集合 S を復元するには、まず頂点 v1 ∈ V(Γ) を選び、群の単位元でラベルづける。そしてグラフ Γ の各頂点 v に対し、v1 を v へ移す群 G のただひとつの元でラベルづける。生成集合が有限である必要十分条件はグラフが局所有限であることである。