ベルトラン・ダルブーの定理
ベルトラン・ダルブーの定理は、ハミルトニアンが H = 1 2 ( p x 2 + p y 2 ) + V ( x , y ) {\displaystyle H={\frac {1}{2}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+V(x,y)} という形を取る2自由度の系について、以下の3条件が同値であることを主張する。
ハミルトニアンと独立な、運動量について2次の運動の積分が存在する。
ポテンシャル V {\displaystyle V} は方程式 ( − 2 a x y − b ′ y − b x + c 1 ) ( ∂ 2 V ∂ y 2 − ∂ 2 V ∂ x 2 ) + 2 ( a y 2 − a x 2 + b y − b ′ x + c 2 ) ∂ 2 V ∂ x ∂ y + ( 6 a y + 3 b ) ∂ V ∂ x + ( − 6 a x − 3 b ′ ) ∂ V ∂ y = 0 {\displaystyle (-2axy-b'y-bx+c_{1})\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}\right)+2(ay^{2}-ax^{2}+by-b'x+c_{2}){\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\partial y}}+(6ay+3b){\frac {\partial V}{\partial x}}+(-6ax-3b'){\frac {\partial V}{\partial y}}=0} を満足する。