ワイエルシュトラスの予備定理
f = u F {\displaystyle f=uF}
が成り立つ。この F のように、モニックで低次の項の係数が極大イデアルに含まれる多項式は特殊多項式(distinguished polynomial)と呼ばれる。 A [ [ t ] ] {\displaystyle A[[t]]} も完備局所環であるから、繰り返しこの分解を使うことによって、多変数の形式的冪級数についても同様の分解が可能であることがわかる。
例としてこの定理を p 進整数環に適用してみる。すると、p 進数を係数とする任意の冪級数 f (z) は、冪級数環における可逆元 u(z) と特殊多項式 p(z) と1つ選んだ素元 π を使って π·u(z)·p(z) と一意的に分解できることがわかる。
岩澤理論では、ワイエルシュトラスの予備定理と除法定理を環 Z p [ [ t ] ] {\displaystyle \mathbf {Z} _{p}[[t]]} (この環は岩澤代数(英語版)とも呼ばれている)に適用することにより、 この環上の有限生成加群の具体的な記述を得ている。
完備局所環 A の元を係数とする形式的冪級数環についても同様の定理があり、これもワイエルシュトラスの予備定理と呼ばれている。 f = ∑ n = 0 ∞ a n t n ∈ A [ [ t ] ] {\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\in A[[t]]} を冪級数で少なくとも1つの係数 a n {\displaystyle a_{n}} は A の極大イデアル m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} に含まれないものとする。このとき、一意的に定まる A [ [ t ] ] {\displaystyle A[[t]]} の可逆元 u と多項式 F = t s + b s − 1 t s − 1 + ⋯ + b 0 {\displaystyle F=t^{s}+b_{s-1}t^{s-1}+\dots +b_{0}} で係数が b i ∈ m {\displaystyle b_{i}\in {\mathfrak {m}}} となるものが存在して
1変数の解析関数 f (z) は原点のまわりで局所的に zh(z) とかけた。ここで h は原点で0にならない解析関数で、k は f の原点における零点の重複度である。これを一般化したものがワイエルシュトラスの予備定理である。(z, z2, ..., zn) を複素変数とする。最初の変数は特に z とかいている。解析関数 gi(z2, ..., zn) で gi(0, ..., 0) = 0 となるものを係数とする多項式
z + gk−1z + ... + g0
をワイエルシュトラス多項式と呼ぶ。
解析関数 f が
f (0, ..., 0) = 0
であり
f (z, z2, ..., zn)
を冪級数と見たとき z だけが現れる項があったとする。このとき、原点で0ではない解析関数 h とワイエルシュトラス多項式 W が存在して、(0, ..., 0) の周りで局所的に
f (z, z2, ..., zn) = W(z)h(z, z2, ..., zn)
とかける、という主張がワイエルシュトラスの予備定理である。
これからすぐに、 原点 (0, ..., 0) の周りの f の零点は、任意の小さな z2, ..., zn とそれに対する方程式 W(z) = 0 の解の組であることがわかる。解の個数は W の z についての次数に等しい。z2, ..., zn を連続的に動かすと、対応する z は枝状に動く。特に f は孤立零点を持ち得ない。