群作用
群作用の概念は、群作用に付随する「作用亜群」
G ′ = G ⋉ X {\displaystyle G'=G\ltimes X}
を対応させることによってより広い文脈において考えることができる。こうすることで、表示やファイバー付けといったような亜群の理論における手法が使えるようになる。さらに言えば、作用の固定化群は頂点群 (vertex group) であり、作用の軌道は作用亜群の成分である。詳細は (Ronald Brown 2006) を参照.
この作用亜群には「亜群の被覆射」p: G′ → G が考えられる。これにより、このような射と位相幾何学における被覆写像とが関連付けられる。
一般線型群 GL(n, R), 特殊線型群 SL(n, R), 直交群 O(n,R) および特殊直交群 SO(n, R) は R に作用するリー群である。
体の拡大 E/F のガロア群 Gal(E/F) は大きいほうの体 E に作用する。ガロア群の任意の部分群も同様である。
実数全体の成す加法群 (R, +) は古典力学(およびもっと一般の力学系)における「よく振舞う」系の相空間に作用する。これは R の元 t と相空間の元 x に対して、系の状態を記述する x に対して、t • x は t 秒後(t が負なら t 秒前)の状態を表すものと定義することで得られる。
実数全体の成す加法群 (R, +) は実函数全体の成す集合に作用する。作用 g • f はその任意の x における値を、たとえば f ( x + g ) , f ( x ) + g , f ( x e g ) , f ( x ) e g , f ( x + g ) e g , f ( x e g ) + g {\displaystyle f(x+g),\quad f(x)+g,\quad f(xe^{g}),\quad f(x)e^{g},\quad f(x+g)e^{g},\quad f(xe^{g})+g} などと定めればよい。
群 G の X への作用が、
推移的あるいは可移 (transitive) であるとは、X が空でなく、X の任意の元 x に対して Gx = X が成り立つときに言う。ここで Gx = {gx | g ∈ G} は x の G による軌道である。 鋭推移的 (sharply transitive) であるとは X の各元 y に対して、gx = y となるような g が一意であるときにいう。これは後述の正則性と同値。
n-重推移的 (n-transitive) であるとは、X が少なくとも n 個の元を持ち、どの二つも相異なる任意の x1, ..., xn とどの二つも相異なる y1, ..., yn に対して g ∈ G で gxk = yk (1 ≤ k ≤ n) が成り立つものが取れるときに言う。 鋭 n-重推移的 (sharply n-transitive) であるとは、n-重推移的かつその定義における g がちょうど一つであるときにいう。
忠実 (faithful) あるいは効果的 (effective) であるとは、G の相異なるどのような二元 g, h に対しても x ∈ X を適当に選べば gx ≠ hx となるようにできるときにいう。
物体の本質的な要素を集合によって表し、物体の対称性をその集合上の対称性の群(英語版)(その集合の全単射な変換からなる群)によって記述するとき、この群は(特に集合が有限集合であるとき)置換群 (permutation group) あるいは(特に集合がベクトル空間で、群作用が線型変換などであるとき)変換群 (transformation group) と呼ばれる。
群作用は、群の各元がある集合上の全単射な変換(対称変換)の如く「作用」するけれども、それがそのような変換と同一視される必要は無いという点において、対称性の群(英語版)の柔軟な一般化となっている。これにより、物体の対称性のより包括的な記述が可能になる。これはたとえば多面体に対して、その頂点全体の成す集合、辺全体の成す集合、面の成す集合といったいくつかの異なる集合に同じ群を作用させることによって得られる。
G が群で X が集合であるとき、群作用は G から X の対称群への群準同型として定義することができる。