分数次フーリエ変換
α-次の分数次フーリエ変換演算子 F α {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }} は次のような性質を持つ。
加法性: 任意の実数角 α, β について、
F α + β = F α ∘ F β = F β ∘ F α {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }={\mathcal {F}}_{\alpha }\circ {\mathcal {F}}_{\beta }={\mathcal {F}}_{\beta }\circ {\mathcal {F}}_{\alpha }}
線形性:
F α [ ∑ k b k f k ( u ) ] = ∑ k b k F α [ f k ( u ) ] {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]}
整数次: α が π / 2 {\displaystyle \pi /2} の整数倍のとき、
F α = F k π 2 = F k = ( F ) k {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{\frac {k\pi }{2}}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}}
スケールされた関数の変換
スケーリング演算子およびチャープ乗算演算子以下のように定義する。 M ( M ) [ f ( u ) ] = | M | − 1 2 f ( u M ) {\displaystyle M(M)[f(u)]=|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)} Q ( q ) [ f ( u ) ] = e − j π q u 2 f ( u ) {\displaystyle Q(q)[f(u)]=e^{-j\pi qu^{2}}f(u)}
すると、以下が成り立つ。