ハミルトン–ヤコビ方程式
さらにこれは独立な 2 つの常微分方程式
( d S μ d μ ) 2 + 2 m a 2 U μ ( μ ) + 2 m a 2 ( Γ z − E ) sinh 2  μ = Γ μ {\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu =\Gamma _{\mu }}
( d S ν d ν ) 2 + 2 m a 2 U ν ( ν ) + 2 m a 2 ( Γ z − E ) sin 2  ν = Γ ν {\displaystyle \left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )+2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu =\Gamma _{\nu }}
に分離でき、これらを解けば S {\displaystyle S} の完全な解が得られる。
幸運な場合では、関数 S {\displaystyle S} は N {\displaystyle N} 個の関数 S m ( q m ) {\displaystyle S_{m}(q_{m})} に完全に分離され以下のようになる。
S = S 1 ( q 1 ) + S 2 ( q 2 ) + ⋯ + S N ( q N ) − E t {\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et}
この場合、問題は N {\displaystyle N} 個の常微分方程式に帰着する。
S {\displaystyle S} が変数分離可能かどうかは、ハミルトニアンの形と一般化座標の選び方の両方に依存する。直交座標でハミルトニアンが時間に依存せず、一般化運動量について二次式である場合に、以下の条件を満たせば S {\displaystyle S} は分離可能である。 すなわち、ポテンシャルエネルギーの項が加法的に各々の座標について分離可能で、各々の座標に対するポテンシャルエネルギーの項がハミルトニアンの対応する運動項と同じ座標依存の因子を掛けられている場合である(ステッケルの条件)。2自由度系( N = 2 {\displaystyle N=2} )の場合、系が直交座標、極座標、放物線座標、楕円座標のいずれかで変数分離可能であるとき、またそのときに限り、運動量について2次の運動の積分が存在し求積可能であることが知られている(ベルトラン・ダルブーの定理)。
直交曲線座標におけるいくつかの例を以下に示す。
g i k ∂ S ∂ x i ∂ S ∂ x k − m 2 c 2 = 0 {\displaystyle g^{ik}{\frac {\partial {S}}{\partial {x^{i}}}}{\frac {\partial {S}}{\partial {x^{k}}}}-m^{2}c^{2}=0}
1 c 2 ( ∂ S ∂ t ) 2 − ( ∂ S ∂ x ) 2 − ( ∂ S ∂ y ) 2 − ( ∂ S ∂ z ) 2 = m 2 c 2 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial t}}\right)^{2}-\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}-\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}-\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=m^{2}c^{2}}
p k = ∂ S ∂ q k . {\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.}
が相当し、それは以下のように示される。 運動の経路をわずかに変化させた場合の作用の変化は以下により与えられる。
δ S = ∑ i = 1 N [ ∂ L ∂ q ̇ k δ q k ] t 1 t 2 + ∑ i = 1 N ∫ t 1 t 2 ( ∂ L ∂ q k − d d t ∂ L ∂ q ̇ k ) δ q k d t . {\displaystyle \delta S=\sum _{i=1}^{N}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\delta q_{k}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\sum _{i=1}^{N}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)\delta q_{k}\,dt.}
実際に起こる運動の経路はオイラー=ラグランジュ方程式を満たすことから、 δ S {\displaystyle \delta S} の積分の項はゼロである。