確率の公理
これは、σ-加法性の仮定である。互いに素な集合 (Disjoint sets) の任意の可算個の列(排反事象(英語版)と同義) E 1 , E 2 , ⋯ ∈ F {\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots \in {\mathfrak {F}}} は、下記を満たす。
P ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( E i ) . {\displaystyle P{\Bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }E_{i}{\Big )}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).}
単に有限加法的な確率空間を考えている研究者もおり、この場合、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は完全加法族ではなく有限加法族であることだけが要求される。一般に、偽確率分布(英語版)は第三の公理を緩和する。
単調性を作るため、 E 1 = A , E 2 = B ∖ A {\displaystyle E_{1}=A,E_{2}=B\setminus A} とする。ただし、 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} とし、 i ≥ 3 {\displaystyle i\geq 3} に対して E i = ∅ {\displaystyle E_{i}=\varnothing } とする。集合列 { E i } n ∈ N {\displaystyle \{E_{i}\}_{n\in \mathbb {N} }} は互いに素であり、 ⋃ n = 1 ∞ E n = B {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}=B} となることは自明である。したがって、第三の公理から次が得られる。
P ( A ) + P ( B ∖ A ) + ∑ i = 3 ∞ P ( E i ) = P ( B ) . {\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).}
第一の公理により、この左辺の各項は非負であり、有限値 P ( B ) {\displaystyle P(B)} に収束するため、 P ( A ) ≤ P ( B ) {\displaystyle P(A)\leq P(B)} および P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle P(\varnothing )=0} が得られる。