線形応答理論
久保理論によれば,(線形)応答関数は以下のようにカノニカル相関を用いて書ける.
Φ A B ( t − t ′ ) = − β ⟨ B I ( t ′ ) ; A I ̇ ( t ) ⟩ e q {\displaystyle \Phi _{AB}(t-t')=-\beta \langle B_{I}(t');{\dot {A_{I}}}(t)\rangle _{\mathrm {eq} }}
ここで B I ( t ) , A I ( t ) {\displaystyle B_{I}(t),A_{I}(t)} は, B , A {\displaystyle B,A} を相互作用描像に書きなおしたものである.
I B A ( ω ) = E β ( ω ) f B A ( ω ) {\displaystyle I_{BA}(\omega )=E_{\beta }(\omega )f_{BA}(\omega )}
ただし E β ( ω ) {\displaystyle E_{\beta }(\omega )} は
E β ( ω ) = ħ ω 2 coth  ( β ħ ω 2 ) {\displaystyle E_{\beta }(\omega )={\frac {\hbar \omega }{2}}\coth \left({\frac {\beta \hbar \omega }{2}}\right)}
で与えられる.この E β ( ω ) {\displaystyle E_{\beta }(\omega )} は調和振動子の平均エネルギーと一致する量であるが,揺動散逸定理は調和振動子やボース統計とは関係せず,対象化積と交換子の性質で決まっている.また β → 0 {\displaystyle \beta \to 0} の古典極限での揺動散逸定理は以下のように書ける.
I B A ( ω ) = k t f B A ( ω ) {\displaystyle I_{BA}(\omega )=ktf_{BA}(\omega )}