対称式
p n − σ 1 p n − 1 + σ 2 p n − 2 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 σ ( n − 1 ) p 1 + ( − 1 ) n n σ n = 0 {\displaystyle p_{n}-\sigma _{1}\ p_{n-1}+\sigma _{2}\ p_{n-2}-\cdots +(-1)^{n-1}\ \sigma _{(n-1)}\ p_{1}+(-1)^{n}n\ \sigma _{n}=0}
が得られる。この関係式から、n についての帰納的な考察により各自然数 k について k 変数の整係数多項式 P(s1, ..., sk) が存在して pk = Pk(σ1,..., σk) となっていることや、おなじく k 変数の有理係数多項式 Sk(q1, ..., qk) が存在して σk = Sk(p1, ..., pk) となっていることがしたがう。たとえば、
p1 = σ1, p2 = σ1 - 2 σ2, p3 = σ1 - 3 σ1 σ2 + 3 σ3
σ 2 = 1 2 ( p 1 2 − p 2 ) , σ 3 = 1 3 ( p 3 − p 1 p 2 ) + 1 6 ( p 1 3 − p 1 p 2 ) {\displaystyle \sigma _{2}={\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}-p_{2}),\ \sigma _{3}={\frac {1}{3}}(p_{3}-p_{1}p_{2})+{\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}-p_{1}p_{2})}
x1, x2 に関する対称式
f(x1, x2) = x1 x2 + x1 x2 + x1 + x1 x2 + x2
は、4 次の斉次対称式
g(x1, x2) = x1 x2 + x1 x2
と、2 次の斉次対称式
h(x1, x2) = x1 + x1 x2 + x2
の和である。
g は、重さが 4 の σ1,σ2 を変数とする単項式の線形結合
g(x1, x2) = c1 σ1 + c2 σ1 σ2 + c3 σ2
の形になり、係数の、 c1, c2, c3 の 3 つを定めればよい。用いる方法はなんでもよく、例えば、ウェアリングによる方法で定義した次数を使うと、deg(g) = (3,1) であるから、 σ1 σ2 の項が最高次数となり、これより大きな次数の σ1 は現れないので、 c1 = 0 である。恒等式なので、x1 = 1, x1 = −1 という特別な値を代入しても成り立ち、この時、σ1 = 0, σ2 = −1 であるから、c3 = −2 が分かる。 x1 = x2 = 1 とすると、σ1 = 2, σ2 = 1 なので、c2 = 1 とわかり
g = σ1 σ2 − 2 σ2
である。 h の方も同様に、重さが 2 の斉重多項式
h(x1, x2) = d1 σ1 + d2 σ2
の形になり、係数を求めると d1 = 1, d2 = −1 となるので
h(x1, x2) = σ1 − σ2
となり
f = g + h = σ1 σ2 − 2 σ2 + σ1 − σ2
となることが分かる。