陰函数定理
ゆえに陰函数定理によれば、単位円は、y ≠ 0 なる任意の点に対して局所的に y = g(x) の形に書くことができる。しかし、既に上でも述べたが、点 (±1, 0) においては問題が生じる。陰函数定理はこれら二つの点においても適用することは未だ可能であるが、それは x を y の函数 x = h(y) と見てのことである。実際、そのグラフを (h(x), y) とすれば、b = 0 のとき a = 1 と取れるから、局所的にこの形の函数に表されるための条件は満足されている。
y の x に関する陰函数微分、および x の y に関する陰函数微分は、陰函数 x + y − 1 の全微分 を 0 に等しいと置いた
2 x d x + 2 y d y = 0 {\displaystyle 2x\,dx+2y\,dy=0}
から求めることができる。すなわち、dy/dx = −x/y および dx/dy = −y/x が成り立つ。
以上全ての仮定をまとめれば以下の定理を得る。
陰函数定理 ― 開集合 Ω ⊂ R 上の連続微分可能な函数 f: Ω → R をとる。R は座標系 (x, y) を持つとし、f(x, y) の零点 (a, b) を固定する。このとき
det ∂ f ∂ y ( a , b ) ≠ 0 {\displaystyle \det {\frac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\neq 0}
ならば、 U × V ⊂ Ω を満たす a の開近傍 U, b の開近傍 V および一意的な連続微分可能函数 g: U → V で、 U × V 内の各点 (x, y) で
f ( x , y ) = 0 ⟺ y = g ( x ) {\displaystyle f(x,y)=0\iff y=g(x)}
を満足するものが存在する。さらに
D g ( x ) = − ( ∂ f ∂ y ( x , g ( x ) ) ) − 1 ∂ f ∂ x ( x , g ( x ) ) {\displaystyle Dg(x)=-\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,g(x))\right)^{-1}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,g(x))}
が成り立つ。
正則性 (regularity) に関して以下のような一般化が可能である:
f が U × V 上で k 階連続微分可能ならば、定理にいう陰函数 g も U 上で k 階連続微分可能である。
解析的陰函数定理: 同様に、f が U × V の内側で解析的ならば、g も U の内側で解析的である。