原始帰納的算術
, y n ) {\displaystyle f(S(x),y_{1},\ldots ,y_{n})=h(x,f(x,y_{1},\ldots ,y_{n}),y_{1},\ldots ,y_{n})}
とくに
x + 0 = x {\displaystyle x+0=x\ }
x + S ( y ) = S ( x + y ) {\displaystyle x+S(y)=S(x+y)\ }
x ⋅ 0 = 0 {\displaystyle x\cdot 0=0\ }
x ⋅ S ( y ) = x ⋅ y + x {\displaystyle x\cdot S(y)=x\cdot y+x\ }
... などである。
PRAは一階算術における帰納法公理図式の代わりに次の(量化子なしの)帰納法図式を持つ:
任意の述語 φ {\displaystyle \varphi } について、 φ ( 0 ) {\displaystyle \varphi (0)} と φ ( x ) → φ ( S ( x ) ) {\displaystyle \varphi (x)\to \varphi (S(x))} から φ ( y ) {\displaystyle \varphi (y)} を導く。
一階算術において、明示的な公理化を必要とする原始帰納的関数は加法と乗法だけである。それ以外の全ての原始帰納的述語はそれら2つの原始帰納的関数と自然数上の量化によって定義できる。(正確にいえば原始帰納的述語を表現する論理式を構成できる。)このような意味の原始帰納的関数の定義はPRAにおいては不可能である。PRAは量化子を欠いているからである。