ウィッテン予想
代数幾何学におけるウィッテン予想 (Witten conjecture) は、曲線のモジュライ空間(英語版)の安定類の交点数についての予想であり、 Witten (1991) において導入され、Witten (1993) において一般化された。ウィッテンの元々の予想は、Kontsevich (1992) によって証明された。
ウィッテン予想は、2つの異なる2次元量子重力モデルが同じ分配函数を持つはずであるということに動機がある。これらのモデルの一方の分配函数は、代数曲線のモジュライスタック上の交点数の項で記述することができ、もう一方のモデルの分配函数はKdV階層(英語版)(KdV hierarchy)の τ函数の対数である。これらの分配函数を同一視することから、交点数から作られた母函数が KdV階層の微分方程式を満すはずであるというウィッテン予想が得られる。
により与えられ、正定値なエルミート行列上の確率測度 μ は、
d μ = c Λ exp  ( − tr  X 2 Λ / 2 ) d X {\displaystyle d\mu =c_{\Lambda }\exp(-\operatorname {tr} X^{2}\Lambda /2)dX}
で与えられる。ここの cΛ は正規化定数である。この測度は、
∫ X i j X k l d μ = δ i l δ j k 2 Λ i + Λ j {\displaystyle \int X_{ij}X_{kl}d\mu =\delta _{il}\delta _{jk}{\frac {2}{\Lambda _{i}+\Lambda _{j}}}}
という性質を持っていて、このことはファインマン・ダイアグラムのことばでの展開がリボングラフのことばでの F の展開を意味する。
このことから、コンツェヴィッチは exp  F {\displaystyle \exp {F}} が KdV階層の τ-函数であることを導き、従って、ウィッテン予想が証明される。
コンツェヴィッチは、リボングラフのことばでのモジュライ空間の組合せ的な記述を用いて、
∑ d 1 + ⋯ + d n = 3 g − 3 + n ⟨ τ d 1 , ... , τ d n ⟩ ∏ 1 ≤ i ≤ n ( 2 d i − 1 ) ! ! λ i 2 d i + 1 = ∑ Γ ∈ G g , n 2 − | X 0 | | Aut  Γ | ∏ e ∈ X 1 2 λ ( e ) {\displaystyle \sum _{d_{1}+\cdots +d_{n}=3g-3+n}\langle \tau _{d_{1}},\ldots ,\tau _{d_{n}}\rangle \prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(2d_{i}-1)!!}{\lambda _{i}^{2d_{i}+1}}}=\sum _{\Gamma \in G_{g,n}}{\frac {2^{-|X_{0}|}}{|\operatorname {Aut} \Gamma |}}\prod _{e\in X_{1}}{\frac {2}{\lambda (e)}}}
となることを示した。