結び目群
2つの同値な結び目は同型な結び目群を持つので、結び目群は結び目不変量であり、同値でない結び目のペアを識別することに使うことができる。このことは、2つの結び目が同値ということは、恒等写像にアイソトピックであり、第一の結び目を第二の結び目に写す R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の自己同相写像があるということから帰結する。そのような同相写像は結び目補空間へ制限することで基本群の同型を引き起す。しかしながら、2つの同値ではない結び目が、同型な結び目群を持つ場合もある。(下記の例を参照)
結び目群のアーベル化は、常に無限巡回群 Z と同型であり、このことは、容易に計算できるように、アーベル化が1次ホモロジー群に一致することより従う。
結び目群(あるいは、一般的に、向き付けられた絡み目の基本群)は、比較的単純なアルゴリズムによりヴィルテンガー表示(英語版)(Wirtinger presentation)で計算することができる。