チェビシェフの不等式
At を At = {x ∈ X | f(x) ≥ t} で定義すると
g ( t ) ≤ g ∘ f ( x ) {\displaystyle g(t)\leq g\circ f(x)}
がすべての x ∈ A t {\displaystyle x\in A_{t}} に対して成り立つことより、
g ( t ) μ ( A t ) = ∫ A t g ( t ) d μ ≤ ∫ A t g ∘ f d μ ≤ ∫ X g ∘ f d μ {\displaystyle g(t)\mu (A_{t})=\int _{A_{t}}g(t)\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu }
となる。上の不等式を g(t) で割れば、目的の不等式が得られる。