GCD整域
GCD整域のすべての既約元は素元である。GCD整域は整閉で、すべての非零元はprimal(英語版)である。言い換えると、すべてのGCD整域はシュライアー整域である。
GCD整域 R の元 x, y の各組に対して、x と y の GCD d と、x と y の LCM m は、dm = xy であるように選ぶことができる。あるいは別の言い方をすれば、x と y が非零元で d が x と y の任意の GCD であれば、xy/d は x と y の LCM であり、GCD と LCM を入れ替えて同様のことが成り立つ。これにより以下が言える(英語版): 主張互いに同伴という同値関係 "∼" に関する商集合 R/∼ は、LCM および GCD を交わりおよび結びとして分配束(英語版)となる。
R がGCD整域であれば、多項式環 R[X1, ..., Xn] もまたGCD整域であり、より一般に、群環 R[G] は任意の捩れのない可換群 G に対してGCD整域である。
R がGCD整域となるための必要十分条件は、その有限個の主イデアルの交わりが必ず主イデアルとなることである。とくに (a) ∩ (b) = (lcm(a, b)) が成り立つ。ここで lcm(a, b) は a と b との(任意の)最小公倍元である。
GCD整域上の一変数多項式 f に対して、そのすべての係数の GCD として内容 (content) c(f) が定義できる。このとき、ガウスの補題(英語版)と呼ばれる主張が以下の形でGCD整域においても有効である: 主張 (ガウスの補題)多項式の積の容量は、多項式の容量の積に等しい: c(fg) = c(f)c(g).