フェイェール核
フェイェール核の重要な性質は、函数としての正値性 Fn ≥ 0 および、畳み込み作用素 Fn の汎函数としての正値性、すなわち周期 2π の正値函数 f ≥ 0 に対し
0 ≤ ( f ∗ F n ) ( x ) = 1 2 π ∫ − π π f ( y ) F n ( x − y ) d y {\displaystyle 0\leq (f*F_{n})(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)F_{n}(x-y)\,dy}
が成立すること、さらに畳み込みに対する近似単位元を与えること、すなわち
f ∗ F n → f {\displaystyle f*F_{n}\to f}
が満たされることである(f は連続、または L([−π, π]) に属す任意の函数)。これはヤングの不等式から、0 ≤ p ≤ ∞ なるとき f ∈ L([−π, π]) に対して
‖ F n ∗ f ‖ L p ( [ − π , π ] ) ≤ ‖ f ‖ L p ( [ − π , π ] ) {\displaystyle \|F_{n}*f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}\leq \|f\|_{L^{p}([-\pi ,\pi ])}}
が満たされることからでる。f が連続であるときも同様の評価が得られ、実際に f が連続ならば収斂は一様である。