ウェーブレット変換
( T wav f ) ( a , b ) := ∫ d x | a | − 1 / 2 f ( x ) ψ ( x − b a ) ̄ {\displaystyle (T^{\text{wav}}f)(a,b):=\int dx\left|a\right|^{-1/2}f(x){\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}}
ここで、 a {\displaystyle a} はscale、 b {\displaystyle b} はtranslationを表す。 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} を、マザーウェーブレットと言う。
元の関数は、以下の式で得られる。
f ( x ) = C ψ − 1 ∫ − ∞ ∞ d a ∫ − ∞ ∞ d b a − 2 ( T wav f ) ( a , b ) ψ ( x − b a ) {\displaystyle f(x)=C_{\psi }^{-1}\int _{-\infty }^{\infty }da\int _{-\infty }^{\infty }db~a^{-2}(T^{\text{wav}}f)(a,b)\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}
例えばウェーブレットにはメキシカンハット関数(英語版) ψ ( t ) = ( 1 − t 2 ) exp  ( − t 2 / 2 ) {\displaystyle \psi (t)=(1-t^{2})\exp(-t^{2}/2)} や、 変形ガウシアン ψ ( x ) = π − 1 / 4 ( e − i x π ( 2 / ln  2 ) 1 / 2 − e − i x π 2 ( 2 / ln  2 ) ) e − x 2 / 2 {\displaystyle \psi (x)=\pi ^{-1/4}(e^{-ix\pi (2/\ln 2)^{1/2}}-e^{-ix\pi ^{2}(2/\ln 2)})e^{-x^{2}/2}} などがある。
連続ウェーブレット変換は、FFT(高速フーリエ変換)を用いて計算できる。数値計算で連続ウェーブレット変換を求める場合、スケールパラメータ a {\displaystyle a} を変化させながら、マザーウェーブレット ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} と信号 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のフーリエ変換を計算し、畳み込みを計算した後、逆フーリエ変換によって時間領域に戻す事で連続ウェーブレット変換を求める事が出来る。