ベクトル解析の公式の一覧
ここで A {\displaystyle \mathbf {A} } , B {\displaystyle \mathbf {B} } , C {\displaystyle \mathbf {C} } は任意のベクトルである。また重複添え字については和を取る。 ε i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} はレヴィ=チヴィタ記号、 θ {\displaystyle \theta } は A {\displaystyle \mathbf {A} } , B {\displaystyle \mathbf {B} } がなす角である。
内積
A ⋅ B = A i B i = A x B x + A y B y + A z B z = | A | | B | cos  θ {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{i}B_{i}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}=|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta }
A ⋅ B = B ⋅ A {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }
外積
計量
d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + d z 2 {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+dz^{2}}
体積要素
d V = r d r d θ d z {\displaystyle dV=r\,dr\,d\theta \,dz}
勾配
∇ f = ∂ f ∂ r e r + 1 r ∂ f ∂ θ e θ + ∂ f ∂ z e z {\displaystyle \mathbf {\nabla } f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}}
発散
∇ ⋅ A = 1 r ∂ ∂ r ( r A r ) + 1 r ∂ A θ ∂ θ + ∂ A z ∂ z {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}}
ストークスの定理および関連する公式
∫ S ( ∇ × A ) ⋅ d S = ∮ ∂ S A ⋅ d r {\displaystyle \int _{S}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} )\cdot d\mathbf {S} =\oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} }
∫ S d S × ∇ f = ∮ ∂ S f d r {\displaystyle \int _{S}d\mathbf {S} \times \mathbf {\nabla } f=\oint _{\partial S}fd\mathbf {r} }
∫ S ( d S × ∇ ) × A = ∮ ∂ S d r × A {\displaystyle \int _{S}(d\mathbf {S} \times \mathbf {\nabla } )\times \mathbf {A} =\oint _{\partial S}d\mathbf {r} \times \mathbf {A} }
3次元ユークリッド空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の曲線座標 x i {\displaystyle x^{i}} について、その座標系で計量が
d s 2 = ∑ i = 1 3 h i ( x ) 2 ( d x i ) 2 {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{3}h_{i}(x)^{2}(dx^{i})^{2}}
という対角形になるとき、これを直交曲線座標と呼ぶ。この座標系に付随する規格化された基底ベクトルを e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} とする。
体積要素
d V = h d x 1 d x 2 d x 3 , h = h 1 h 2 h 3 {\displaystyle dV=hdx^{1}dx^{2}dx^{3},\ \ h=h_{1}h_{2}h_{3}}
勾配
∇ f = ∑ i = 1 3 1 h i ∂ f ∂ x i e i {\displaystyle \mathbf {\nabla } f=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{i}}