ヒルベルト空間上のコンパクト作用素
ヒルベルト空間 H 上の有界作用素 T が自己共役であるとは、T = T* を満たすこと、あるいは同値であるが
⟨ T x , y ⟩ = ⟨ x , T y ⟩ , x , y ∈ H {\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,\quad x,y\in H}
を満たすことを言う。全ての x ∈ H に対して <Tx, x> は実数となるため、T の固有値は存在するならば常に実数となる。H の閉線型部分空間 L が T の下で不変であるなら、T の L への制限は L 上の自己共役作用素であり、さらに L の直交補空間 L も T の下で不変である。例えば、その空間 H は二つの T–不変な閉線型部分空間の直交直和に分解することが出来る。そのような二つの空間とはすなわち、T の核とその核の直交補空間 (ker T)(この空間は任意の有界自己共役作用素 T に対し、その値域の閉包となる)である。これらの基本的な事実は、後述のスペクトル定理の証明において重要な役割を果たす。
n × n エルミート行列の分類に関する結果が、次のスペクトル定理である:M = M* であるなら、M はユニタリ対角化可能であり、その対角化行列は実成分を持つ。T をあるヒルベルト空間 H 上のコンパクトな自己共役作用素とする。このような T に対して、同様の次の内容の証明を行う:作用素 T は、それぞれが実固有値に対応するような、ある固有ベクトルの正規直交集合によって対角化することが出来る。
T がある無限次元ヒルベルト空間 H 上のコンパクト作用素であるなら、T は可逆ではなく、したがって T のスペクトル σ(T) には常に 0 が含まれる。するとスペクトル定理により、σ(T) は T の固有値 {λn} と(0 が固有値に含まれていない場合には)0 から構成されることが分かる。そのような集合 σ(T) は、実直線に含まれるコンパクト部分空間であり、固有値は σ(T) において稠密である。
どのようなスペクトル定理も、汎函数計算の観点から再構成することが出来る。ここでは次の定理に触れる:
定理 C(σ(T)) を、σ(T) 上の連続関数のC*-環とする。このとき、Φ(1) = I および Φ(f) = T を恒等関数 f(f(λ)= λ)に対して満たすような等長準同型写像 Φ: C(σ(T)) → L(H) が唯一つ存在する。さらに、σ(f(T)) = f(σ(T)) が成立する。
汎函数計算写像 Φ は自然な方法で定義される:{en} を H の固有ベクトルの正規直交基底とし、対応する固有値は {λn} とする。f ∈ C(σ(T)) に対して、汎函数計算写像 Φ(f) は
Φ ( f ) ( e n ) = f ( λ n ) e n {\displaystyle \Phi (f)(e_{n})=f(\lambda _{n})e_{n}\,}