デデキント無限
次の4条件は、ZF上同値である。特に、これらの同値性はACを用いないで証明できることに注意せよ。
A はデデキント無限である。
全射ではないが単射であるようなA からA への関数が存在する。
自然数の集合N からA への単射が存在する。
A は可算無限な部分集合を持つ。
どのようなデデキント無限集合A も以下の条件を満たす。
単射ではないが全射の、A からA への関数が存在する。
このことを、“A は双対デデキント無限である”という。A が双対デデキント無限であるならばA がデデキント無限であるということは(ACを除いたZF上で)証明可能でない。
どのような双対デデキント無限集合も次の(同値な)条件を満たす、ということがZF上で証明できる。
A から可算無限集合への全射が存在する。
A の冪集合がデデキント無限である。
(この条件を満たすことを、弱デデキント無限(weakly Dedekind infinite)であるということがある。)
弱デデキント無限であるならば無限であることはZFにおいて証明されている。
また、整列無限集合はデデキント無限であることもZFにおいて示されている。