オイラーの和公式
B 1 = − 1 2 , B 2 = 1 6 , B 3 = 0 , B 4 = − 1 30 , B 5 = 0 , B 6 = 1 42 , B 7 = 0 , B 8 = − 1 30 , B 9 = 0 , B 10 = 5 66 , ⋯ {\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}},B_{2}={\frac {1}{6}},B_{3}=0,B_{4}=-{\frac {1}{30}},B_{5}=0,B_{6}={\frac {1}{42}},B_{7}=0,B_{8}=-{\frac {1}{30}},B_{9}=0,B_{10}={\frac {5}{66}},\cdots }
B 0 ( x ) = 1 , B 1 ( x ) = x − 1 2 , B 2 ( x ) = x 2 − x + 1 6 , B 3 ( x ) = x 3 − 3 2 x 2 + 1 2 x , B 4 ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 1 30 , ... {\displaystyle B_{0}(x)=1,B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},\dots }
なお、 f ( k ) {\displaystyle f^{(k)}} は導関数、 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor {x}\rfloor } は床関数を表す。
ダルブーの公式(英語版)はこれの一般化である。
となる。或いは
∑ j = 1 n − 1 f ( j ) + 1 2 ( f ( 0 ) + f ( n ) ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + ∑ k = 2 2 m + 1 B k k ! ( f ( k − 1 ) ( n ) − f ( k − 1 ) ( 0 ) ) + R 2 m + 1 = ∫ 0 n f ( x ) d x + ∑ k = 1 m B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( 0 ) ) + R 2 m + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n-1}f(j)+{\frac {1}{2}}\left(f(0)+f(n)\right)&=\int _{0}^{n}f(x)dx+\sum _{k=2}^{2m+1}{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}\\&=\int _{0}^{n}f(x)dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R_{2m+1}\\\end{aligned}}}
となる。