三角不等式
↑ z が最大辺でないときはむしろ明らか: z ≤ max(x, y) < x + y.
↑ 例えば、平面に l1-ノルム(つまりマンハッタン距離)を入れて、 x = (1, 0) および y = (0, 1) を取れば、三点 x, y, x + y の成す三角形は非退化だが ‖ x + y ‖ = 2 = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ を満たす。
‖ x ‖ = ‖ ( x − y ) + y ‖ ≤ ‖ x − y ‖ + ‖ y ‖ ⟹ ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ≤ ‖ x − y ‖ , {\displaystyle \|x\|=\|(x-y)+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|\implies \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|,}
‖ y ‖ = ‖ ( y − x ) + x ‖ ≤ ‖ y − x ‖ + ‖ x ‖ ⟹ ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ≥ − ‖ x − y ‖ {\displaystyle \|y\|=\|(y-x)+x\|\leq \|y-x\|+\|x\|\implies \|x\|-\|y\|\geq -\|x-y\|}
に注意すれば
− ‖ x − y ‖ ≤ ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ≤ ‖ x − y ‖ ⟹ | ‖ x ‖ − ‖ y ‖ | ≤ ‖ x − y ‖ . {\displaystyle -\|x-y\|\leq \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|\implies {\bigl |}\,\|x\|-\|y\|\,{\bigr |}\leq \|x-y\|.}