ルジャンドルの公式
n!は1からnまでの積である。まず、1からnまでの範囲にあるpの倍数1つごとに、n!の素因数pを少なくとも1つ見いだすことができる。pの倍数はnまでに ⌊ n p ⌋ {\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor } 個存在する。また、pの倍数があるごとにn!に素因数pをさらに1個見いだすことができる。p以降も同様である。これらを全て加えることによって、無限和で ν p ( n ! ) {\displaystyle \nu _{p}(n!)} を表すことが可能である。