写像の微分
d φ x ( ∂ ∂ u a ) := ∂ φ ^ b ∂ u a ∂ ∂ v b {\displaystyle d\varphi _{x}\!\!\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right):={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}}}
と表現される(ただしアインシュタインの和の規約を用いた)。ここで偏微分は与えられたチャートにおいて x に対応する U の点において評価するものとする。これを線型に拡張して、(a, b)-成分が
( d φ x ) a b := ∂ φ ^ b ∂ u a {\displaystyle (d\varphi _{x})_{a}^{\,\;b}:={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}}
で与えられる行列を得る。これにより、微分 dφx は、各点において可微分写像 φ に付随して決まる接空間の間の線型変換となるから、したがって適当な局所座標系を選んで、対応する R から R への可微分函数のヤコビ行列によって表現することができる。一般にはこの微分は可逆とは限らない。φ が局所微分同相写像ならば x における押し出しは可逆であり、逆写像は Tφ(x)N の引き戻し(英語版)によって与えられる。
この微分は Dφx, (φ∗)x, φ′(x), Txφ など様々な記法を用いて表されることがよくある。
定義から、合成写像の微分が、微分の合成に等しいことが従う(すなわち、微分をとる操作は函手的である)。つまり、
可微分写像 φ の微分 dφx は、自然な仕方で x を動かして、M の接束から N の接束への束写像(英語版)(実はベクトル束準同型(英語版))dφ または φ∗ を誘導し、それは以下の図式
を可換にする。ただし、πM および πN はそれぞれ M および N の接束に関する束射影である。
あるいは同じこと(束写像(英語版)の項参照)だが、φ∗ = dφ は接束 TM から引き戻し束(英語版) φTN への M 上の束写像であり、これを M 上の準同型束 Hom(TM, φTN) の切断と見ることができる。この束写像 dφ は Tφ とも書かれ、接写像 (tangent map) と呼ばれる。この方法(M ↦ TM; φ ↦ Tφ)で T は函手となる。