Montgomery curve
K {\displaystyle K} を、標数が2ではない体とする。
M A , B {\displaystyle M_{A,B}} を
M A , B : B v 2 = u 3 + A u 2 + u {\displaystyle M_{A,B}:Bv^{2}=u^{3}+Au^{2}+u}
で表されるモンゴメリ形式の楕円曲線とする。ただし、 A ∈ K ∖ { − 2 , 2 } {\displaystyle A\in K\setminus \{-2,2\}} 、 B ∈ K ∖ { 0 } {\displaystyle B\in K\setminus \{0\}} 。また、 E a , d {\displaystyle E_{a,d}} を
E a , d : a x 2 + y 2 = 1 + d x 2 y 2 , {\displaystyle E_{a,d}\ :\ ax^{2}+y^{2}=1+dx^{2}y^{2},\,}
で表されるエドワーズ形式の楕円曲線とする。ただし、 a , d ∈ K ∖ { 0 } , a ≠ d . {\displaystyle a,d\in K\setminus \{0\},\quad a\neq d.} 。