概複素構造
このように、多様体上の任意の複素構造は概複素構造を定義し、この概複素構造を複素構造によって「引き起こされた」といい、複素構造を概複素構造と「整合性を持っている」と言う。
逆の質問になるが、概複素構造が複素構造の存在を意味するかどうかは、全く自明なことではなく、一般には正しくない。任意の概複素構造の上で、概複素構造が上記の標準形式を任意の与えられた点 p でもつような座標を見つけることができる。しかし一般には、J が p の完全な近傍で標準形式をとるような座標を見出すことが不可能である。そのような座標は、もし存在するとしたら、「J の局所正則座標」と呼ぶ。M がすべての点で J の局所正則座標を持つようであれば、これらを貼り合わせて M に複素構造を与え、さらに J を引き起こすような正則貼り合わせ写像(英語版)を形成する。よって J は可積分(英語版)(integrable)という。J が複素構造によって引き起こされたのであれば、唯一の複素構造によってのみ J が引き起こされる。
M の各々の接空間上に任意の線型写像 A が与えられると、つまり、A はランク (1, 1) のテンソル場であるとすると、ナイエンハンステンソル(Nijenhuis tensor)はランク (1,2) のテンソル場で、次の式で与えられる。
N A ( X , Y ) = − A 2 [ X , Y ] + A ( [ A X , Y ] + [ X , A Y ] ) − [ A X , A Y ] .
また、Ω(M) を Ω(M) もあり、外微分と呼ばれる。このように、概複素構造を使い、不定な形の外微分の作用を精密化することもできるかもしれない。
∂ = π p + 1 , q ∘ d {\displaystyle \partial =\pi _{p+1,q}\circ d}
∂ ̄ = π p , q + 1 ∘ d {\displaystyle {\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d}
この場合には、 ∂ {\displaystyle \partial } がタイプの中の正則部分を一つ増やして、タイプ (p, q) からタイプ (p+1, q) となり、 ∂ ̄ {\displaystyle {\overline {\partial }}} が反正則部分のタイプを一つ増やすような写像となる。これらの作用素はドルボー作用素と呼ばれる。
すべての射影の和は、恒等写像であるはずであるから、外積の微分は次のように書かれることに注意する。
d = ∑ r + s = p + q + 1 π r , s ∘ d = ∂ + ∂ ̄ + ⋯ . {\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\dotsb .}