ホッジ双対
ホッジスターは双対性を定義する、つまりホッジスターを二回適用することで符号を除き外積代数の恒等写像を定める。n-次元空間 V の中の ⋀ k ( V ) {\textstyle \bigwedge ^{k}(V)} の k-ベクトルが与えられると、
⋆ ⋆ η = ( − 1 ) k ( n − k ) s η {\displaystyle \star {\star \eta }=(-1)^{k(n-k)}s\eta }
を得る。ここに s は V 上の内積の計量の符号(英語版)(metric signature)である。特に、s は内積テンソルの行列式の符号である。このように、たとえば、n = 4 で内積の符号が、(+ − − −) 、または、(− + + +) であれば、s = −1 である。通常のユークリッド空間では符号は常に正であり、従って、s = 1 である。ホッジスターが擬リーマン多様体へ拡張されると、上の内積は対角形式での計量であると理解される。
上のことから、⋆ の逆写像が
これらの表現は、2つのタイプのベクトルは、l, m, n が巡回的(cyclic)な関係式
⋆ e l = e l i = e l e 1 e 2 e 3 = e m e n {\displaystyle \star {\boldsymbol {e}}_{\ell }={\boldsymbol {e}}_{\ell }i={\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{m}{\boldsymbol {e}}_{n}}
と、再び l, m, n が巡回的な関係式
⋆ ( e l e m ) = − ( e l e m ) i = − ( e l e m ) e 1 e 2 e 3 = e n {\displaystyle \star ({\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{m})=-({\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{m})i=-({\boldsymbol {e}}_{\ell }{\boldsymbol {e}}_{m}){\boldsymbol {e}}_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{n}}
3次元では、⋆ 作用素と外微分 d の組み合わせは、古典的作用素 grad、curl、div を生成する。このことは次のようにして分かる。d は、0-形式(函数)から 1-形式へ、1-形式から 2-形式へ、2-形式から 3-形式へ(3-形式へ作用させると 0 となる)作用素である。0-形式 ω = f(x, y, z) に対し、成分表示された第一の場合は、grad 作用素と同一視される。
d ω = ∂ f ∂ x d x + ∂ f ∂ y d y + ∂ f ∂ z d z {\displaystyle \mathrm {d} \omega ={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z}
第二の場合は、⋆ 作用素により、1-形式上の作用素 (η = A dx + B dy + C dz) を成分で示すと、curl 作用素である。