エキゾチック R4
エキゾチック R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} とは、4次元ユークリッド空間 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} に同相であるが、微分同相ではない4次元可微分多様体のこと。エキゾチック R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} である最初の例は、1982 年にマイケル・フリードマン等により、位相的な4次元多様体に関するフリードマンの定理と、微分可能な4次元多様体に関するサイモン・ドナルドソンとの対比を使用して発見された。クリフォード・タウベスにより、 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} の非微分同相な微分可能構造の連続体が存在することが示されている。
上記の構築に先立って、球面上の非微分同形の滑らかな構造(エキゾチックな球体) が存在することが既に知られていたが、 4-球体 の特定のケースに対するそのような構造の存在の問題は未解決のままであった (2022 年現在も未解決のままである)。 4 以外の任意の正の整数nに対して、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} のエキゾチックな滑らかな構造は存在しない。言い換えると、n ≠ 4 の場合、任意の R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} と同相な滑らかな多様体は、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} と微分同相である。