ベクトルポテンシャル
rot  ( j × r ^ r 2 ) = ( div  r ^ r 2 ) j − ( div  j ) r ^ r 2 {\displaystyle \operatorname {rot} \left({\boldsymbol {j}}\times {\frac {\hat {\boldsymbol {r}}}{r^{2}}}\right)=\left(\operatorname {div} {\frac {\hat {\boldsymbol {r}}}{r^{2}}}\right){\boldsymbol {j}}-(\operatorname {div} {\boldsymbol {j}}){\frac {\hat {\boldsymbol {r}}}{r^{2}}}}
また、
div  r ^ r 2 = 4 π δ ( r ) {\displaystyle \operatorname {div} {\frac {\hat {\boldsymbol {r}}}{r^{2}}}=4\pi \delta (r)}
なので、
rot  H = 1 4 π ∫ V 4 π δ ( r ) j d 3 s {\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}4\pi \delta (r){\boldsymbol {j}}d^{3}{\boldsymbol {s}}}
となる。積分を実行して、最終的に
rot  H = j {\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}}
が得られる。
ビオ・サバールの法則のアナロジーにより以下の定理が成り立つ。以下のベクトルポテンシャルは、電流密度と、磁場との関係を表しているので、電流ベクトルポテンシャルといわれる。
定理
j を、無限遠で 0 であり、かつ、div j = 0 を満たす、単連結領域V 上で定義されている3次元ベクトル場とする。このとき、
H = ∫ V j ( s ) × ( r − s ) 4 π | r − s | 3 d 3 s {\displaystyle {\boldsymbol {H}}=\int _{V}{\frac {{\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {s}})\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}})}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}|^{3}}}d^{3}{\boldsymbol {s}}}
は、j のベクトルポテンシャルである。
証明:
両辺にrotを作用させると、
rot  H = 1 4 π ∫ V rot  ( j × r ^ r 2 ) d 3 s {\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {H}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}\operatorname {rot} \left({\boldsymbol {j}}\times {\frac {\hat {\boldsymbol {r}}}{r^{2}}}\right)d^{3}{\boldsymbol {s}}}
となる。ここで、ベクトル解析の恒等式より