ポアソン核
複素平面において、単位円板に対するポアソン核は次で与えられる。
P r ( θ ) = ∑ n = − ∞ ∞ r | n | e i n θ = 1 − r 2 1 − 2 r cos  θ + r 2 = Re  ( 1 + r e i θ 1 − r e i θ ) , 0 ≤ r < 1. {\displaystyle P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.}
これには二つの解釈が存在する。一つは r と θ の函数という解釈、もう一つは r によって添え字付けられた θ の函数の族という解釈である。
D = { z : | z | < 1 } {\displaystyle D=\{z:|z|<1\}} が C 内の開単位円板で、T はその円板の境界、f は L(T) に属する T 上の函数とする。このとき、次の式