完備化 (環論)
抽象代数学において、完備化(かんびか、英: completion)とは、環や加群上の関手であって、完備な位相環や加群になるような任意のものである。完備化は局所化と類似しており、これらは可換環を解析する最も基本的な手法である。完備可換環は一般の環よりも単純な構造をもっており、ヘンゼルの補題が適用される。
また特に環Rが非アルキメデス距離について距離空間であるときは、距離空間としての完備化と環としての完備化は一致する。
ネーター環 R 上の有限生成加群 M の完備化は係数拡大によって得ることができる。
M ^ = M ⊗ R R ^ . {\displaystyle {\hat {M}}=M\otimes _{R}{\hat {R}}.}
直前の性質と合わせて、有限生成 R-加群の完備化の関手は完全であることがわかる。それは短完全列を保つ。
4. コーエンの構造定理(英語版)(等標数 (equicharacteristic) のケース).R を完備局所ネーター可換環で極大イデアルが m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} で剰余体が K とする。R がある体を含めば、
R ≃ K [ [ x 1 , ... , x n ] ] / I {\displaystyle R\simeq K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I}
がある n とあるイデアル I に対して成り立つ。