シュレーダーの方程式
シュレーダーの方程式は、h(x) によって生成される系(軌道)がより簡単に見えるような新たな座標系を見つけるために、離散力学系の解析において用いられる。より具体的に、離散単位時間幅が x → h(x) に達するような系は、上述のシュレーダーの方程式の解によって再構成される滑らかな軌道(あるいはフロー)、すなわち共役方程式を持つ。
すなわち、 h(x) = Ψ(s Ψ(x)) ≡ h1(x) である。
一般に、シュレーダーの方程式のすべての函数的反復(正規反復群(英語版))は、次の軌道で与えられる。
h t ( x ) = Ψ − 1 ( s t Ψ ( x ) ) , {\displaystyle h_{t}(x)=\Psi ^{-1}(s^{t}\,\Psi (x)),}
ここで t は実であるが必ずしも正あるいは整数である必要は無い(すなわち、全連続群である)。hn(x) の集合、すなわち h(x) のすべての正の整数回の反復(半群)は、h(x) のスプリンター (splinter) あるいはピカール列と呼ばれる。
しかし、h(x) のすべての反復(分数回、無限小あるいは負)は、シュレーダーの方程式を解くために決定された座標変換 Ψ(x) を通じて、同様に特定される。