完全数
自分自身以外の正の約数の和が互いに他方に等しい2つの自然数の組。
正の約数の和が自分自身の倍数である自然数を倍積完全数という。特に、それがk倍に等しいものをk倍完全数という。完全数とは2倍完全数のことである。
1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A007691)
n が概完全数であるとは、正の約数の和が 2n − 1 に等しいことと定義される。不足数の一種。2 (= 1, 2, 4, 8, 16, ...) の形の自然数はこの条件を満たしているが、この形の自然数以外の概完全数が存在するのかどうかは知られていない。
奇数の完全数が存在するか否かは未解決であるが、約数関数は乗法的 (英: multiplicative) であることから、二平方数の和であることが古くから知られていた。もし奇数の完全数 N が存在すれば、N は以下の各条件を満たさなければならないことが知られている。
N の素因数分解は qp1 ... pk の形である。ここで q, p1 < p2 < ... < pk は相異なる素数で q ≡ α ≡ 1 (mod 4) を満たす。 N < 2 である。 p1 < 2/3k + 2 である。また 2 ≤ i ≤ 6 のとき pi < 2(k − i + 1) である。 e1 ≡ e2 ≡ ... ≡ ek ≡ 1 (mod 3) ではない。 e1 ≡ e2 ≡ ... ≡ ek ≡ 2 (mod 5) ではない. e1 = e2 = ... = ek = β とすると、β は 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 17, 18, 24, 62 ではない。さらにk ≤ 2β + 8β + 2 である。 N ≡ 1 (mod 12) または N ≡ 1/2 ・ 3(3 − 1) (mod 2 ・ 3(3 − 1)) である。