量子コホモロジー
係数 λ A {\displaystyle \lambda _{A}} は R から来る、
e A {\displaystyle e^{A}} は、 e A e B = e A + B {\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{A+B}} を満たす形式的な変数、
全ての実数 C に対して、高々有限の A があり、C に等しいかまたは小さな ω(A) がゼロではない係数 λ A {\displaystyle \lambda _{A}} を持つ。
変数 e A {\displaystyle e^{A}} は次数 2 c 1 ( A ) {\displaystyle 2c_{1}(A)} であると考えられ、ここに c 1 {\displaystyle c_{1}} は、接バンドル TX の第一チャーン類であり、ω と整合性を持つ任意の概複素構造の選択で得られる複素ベクトルバンドルと考えられる。このようにすると、Λ は次数付き環で、ω のノビコフ環と呼ばれる。(別の定義も存在するが、同値である。)
H ∗ ( X ) = H ∗ ( X , Z ) / t o r s i o n {\displaystyle H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} }
をトーションをmoduloとする X のコホモロジーとする。Λ を係数として持つ小さな量子コホモロジー を次のように定義する。
Q H ∗ ( X , Λ ) = H ∗ ( X ) ⊗ Z Λ . {\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .}
その要素は次の語りの有限和である。
∑ i a i ⊗ λ i . {\displaystyle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}.}
小さな量子コホモロジーは次数付き R-加群で、
deg  ( a i ⊗ λ i ) = deg  ( a i ) + deg  ( λ i ) . {\displaystyle \deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).}
を持っている。通常のコホモロジー H*(X) は QH*(X, Λ) へ a ↦ a ⊗ 1 {\displaystyle a\mapsto a\otimes 1} を通して埋め込まれ、QH*(X, Λ) は H*(X) により、Λ-加群として生成される。
シンプレクティックトポロジーや代数幾何学では、量子コホモロジー環(quantum cohomology ring)は、閉じたシンプレクティック多様体の通常のコホモロジー環の拡張である。量子コホモロジー環は2つのバージョンからなり、ひとつは小さな版と呼ばれ、もうひとつ大きな版と呼ばれる。一般に大きな版は小さな版よりも込み入った、詳細な情報を持っている。両方とも係数環の選択が(以下に述べるが、典型的にはノビコフ環の) 構造に重要な影響を持つ。
通常のコホモロジーのカップ積は、多様体の交叉理論により部分多様体が互いにどのようになっているかを記述するが、量子コホモロジーの量子カップ積は、部分空間がどのように「曖昧」に「量子的な」方法で交叉しているかを記述する。さらに詳しく述べると、もし一つ以上の擬正則曲線(英語版)を通して連結であれば、交叉しているということを意味する。グロモフ・ウィッテン不変量は、これらの曲線の数を数え、量子カップ積を拡張して考えると係数として現れる。
量子コホモロジー環はグロモフ・ウィッテン不変量のパターンや構造を表しているので、それは数え上げ幾何学の中で重要な意味を持っている。量子コホモロジー環は、また、数理物理学とミラー対称性の多くのアイデアとも関係している。特に、フレアーホモロジーに環同型である。
この記事を通して、X は閉シンプレクティック多様体を表し、ω はシンプレクティック形式を表すこととする。
H*(X) の中の純粋な次数の任意の2つのコホモロジー類 a, b と、 H 2 ( X ) {\displaystyle H_{2}(X)} の中の任意の元 A に対し、(a ∗ b)A を次を式を満たすような H*(X) の唯一の元とする。
∫ X ( a ∗ b ) A ⌣ c = G W 0 , 3 X , A ( a , b , c ) . {\displaystyle \int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).}
(右辺は種数が 0 であり、3-点のグロモフ・ウィッテン不変量) として、
a ∗ b := ∑ A ∈ H 2 ( X ) ( a ∗ b ) A ⊗ e A . {\displaystyle a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.}
と定義すると、次のように、線型性により問題なく定義できる Λ-加群の写像へ拡張できる。
Q H ∗ ( X , Λ ) ⊗ Q H ∗ ( X , Λ ) → Q H ∗ ( X , Λ ) {\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )} 。
これを小さな量子カップ積と呼ぶ。