一次分数変換
数学の特に複素解析における一次分数変換(いちじぶんすうへんかん、英: linear fractional transformation)は、複素数体 C 上の射影直線 P(C) に対する射影変換であるメビウス変換を指す用語として用いられる。より一般の数学的文脈において、複素数体 C はもっと別の環 (A, +, ×) に取り換えることができる。この場合の一次分数変換は、環 A 上の射影直線 P(A) 上の射影変換の意味である。A が可換環ならば、一次分数変換はよく知られた形
z ↦ a z + b c z + d , ( z , a , b , c , d ∈ A ) {\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},\quad (z,a,b,c,d\in A)}
として書き表すことができるが、非可換の場合には右辺の点の座標を斉次座標(英語版)で (az + b, cz + d) と書くのが自然である。射影空間上の斉次座標の同値性に従えば、(cz + d が単元であるとき)
U ( a z + b , c z + d ) ∼ U ( ( c z + d ) − 1 ( a z + b ) , 1 ) {\displaystyle U(az+b,cz+d)\sim U((cz+d)^{-1}(az+b),1)}
が成り立つことに注意する。