チャーン・サイモンズ理論
チャーン・サイモンズ理論は、他の多くの場の理論と関連している。例えば、境界を持つ多様タイ上のゲージ群 G を持つチャーン・サイモンズ理論を考えると、すべての 3-次元の伝播する自由度は、境界上の G WZWモデルとして知られている 2-次元共形場理論を離れて、ゲージ化されるかも知れない。加えて、大きな N での U(N) と SO(N) チャーン・サイモンズ理論は、行列モデルでうまく近似される。
T f ( ω ) = ∫ C f ( Ω k ) {\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\Omega ^{k})} .
この不変量をチャーン・サイモンズ不変量という。チャーンとサイモンズの論文のイントロダクションに指摘されているように、チャーン・サイモンズ不変量 CS(M) は、純粋な組み合わせ的な定式化では決定できない境界項である。この不変量はまた、第一ポントリャーギン数 p 1 {\displaystyle p_{1}} と正規直交バンドル P の切断である s(M) により
C S ( M ) = ∫ s ( M ) 1 2 T p 1 ∈ R / Z {\displaystyle CS(M)=\int _{s(M)}{\frac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} }
と表される。さらに、チャーン・サイモンズ項は、アティヤ、パトーディ、シンガーの定義したエータ不変量としても表される。
ゲージ不変性と計量不変性は、チャーン・ヴェイユ理論の随伴リー群の作用の下での不変性と見ることができる。物理学の場の理論の作用積分(経路積分)は、チャーン・サイモンズ形式のラグランジアンとみなせる。またウィルソンループは M 上のベクトルバンドルのホロノミーとみなせる。これらは、何故、チャーン・サイモンズ理論が密接に位相場理論に関係しているかを説明する。
↑ Kauffman, L.H; Ogasa, E; Shcneider, J (2018), A spinning construction for virtual 1-knots and 2-knots, and the fiberwise and welded equivalence of virtual 1-knots, arXiv:1808.03023
↑ Kauffman, L.E., Talks at MSRI Meeting in January 1997, AMS Meeting at University of Maryland, College Park in March 1997, Isaac Newton Institute Lecture in November 1997, Knots in Hellas Meeting in Delphi, Greece in July 1998, APCTP-NANKAI Symposium on Yang-Baxter Systems, Non-Linear Models and Applications at Seoul, Korea in October 1998, Virtual knot theory, European J.
{\displaystyle CS(\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\epsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}
で表される。この変形は次のコットンテンソルを与える。
= − 1 2 g ( ε m i j D i R j n + ε n i j D i R j m ) {\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\epsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\epsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m})}
3次元重力のチャーン・サイモンズ変形は、場の方程式に上記のコットンテンソルを加えることで得られ、次のアインシュタイン・ヒルベルト作用を変形することにより真空の解として得ることができる。
S [ g ] = k ∫ R − g d 3 x . {\displaystyle S[g]=k\int R{\sqrt {-g}}\,d^{3}x.}
また、(2+1)次元のチャーン・サイモンズ重力理論については、(2+1)-次元位相重力理論を参照。
分数量子ホール系に対して2+1次元のチャーン・サイモンズ理論が初めて用いられたのは1989年の事である。物性物理の文脈では、チャーン・サイモンズ・ゲージ場の導入は、多体系の作用に対する特異ゲージ変換によって正当化される。チャーン・サイモンズ理論が分数量子ホール系の良い記述として考えられている理由の一つに、一様密度の平均場解としてラフリン波動関数を含む事が挙げられる。ラフリン波動関数は、奇数分母のランダウ指数の分数量子ホール系の非常に良い近似基底の一つ(ロバート・B・ラフリンはこの波動関数の発見によって1998年のノーベル物理学賞を得た)である。しかしながら、偶数分母の分数量子ホール系の良い記述になっているかどうかは、2013年現在でも解決していない。また、チャーン・サイモンズ理論の励起状態として、チャーン・サイモンゲージ場の揺らぎが渦状になり、渦度が量子化する状態がある。チャーン・サイモンズ理論から予言される興味深い状態として、エニオンの存在が挙げられる。 エニオンは非可換統計に従う粒子だが、チャーン・サイモンズ理論はエニオンの存在を予言する。もちろん、物性物理においては、チャーン・サイモンズ理論は有効理論であるため、チャーン・サイモンズ理論がエニオンを記述したとしても、それは、"エニオンの様に見える"だけであるが、この様な状態を利用して、量子計算を行おうという試みがある。例えば、5/2の分数量子ホール系が実現可能なエニオンの候補として考えられている。
「もともとのジョーンズ多項式は3次元球面(3次元空間R3, 3次元球体B3)の中の絡み目に対して定義されたが、他の3次元多様体の中の絡み目の場合にジョーンズ多項式の定義を拡張せよ。」
この問題の背景や歴史については、この論文 の§1.2 を参照のこと。 この問題は`有向閉曲面と閉区間の積多様体’の場合には、カウフマンによって ヴァーチャル絡み目 というものを導入することによって肯定的に解かれた。 他の場合については未解決で有る。WittenによるJones多項式を表す有名な経路積分は 全てのコンパクト3次元多様体の場合に形式的には書けているが 3次元球面(3次元空間R3, 3次元球体B3)の場合以外は、物理的な意味での計算すら、されていない。すなわち物理的な意味でもこの問題は未解決で有る。 ちなみにアレクサンダー多項式の場合にはこの問題は解決されている(有名な事実)。
M の中のリンク L とし、l を交叉していないループの集まりとする。特に注目している観測量は、交叉していないループを回るウィルソンループの積から作られる 1-点相関函数である。これは G の基本表現(英語版)の軌跡である。正規化された相関函数をこの観測量を分配函数 Z(M) で割って作る。分配函数はまさに 0-点相関函数である。
M が 3-球面の特別の場合には、ウィッテンはこれらの正規化された相関函数は結び目多項式に比例することを示した。例えば、レベル k の G = U(N) チャーン・サイモンズ理論の場合は、正規化された相関函数は、相(phase)の差異を除外すると、次式にホンフリー多項式をかけた式となる。
sin  ( π / ( k + N ) ) sin  ( π N / ( k + N ) ) {\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}}
特に N = 2 のときには、ホンフリー多項式はジョーンズ多項式に還元される。SO(N) の場合には、同様な方法でカウフマン多項式として記述される。