ゴムロープの上のアリ
例えば α ( t ) {\displaystyle \alpha (t)} を正の定数、 v ( t ) = 2 a t {\displaystyle v(t)=2at} ( a > 0 {\displaystyle a>0} は定数)とすると、微分方程式及びその解は次のようになる。
φ ′ ( t ) = α c + a t 2 {\displaystyle \phi '(t)={\frac {\alpha }{c+at^{2}}}}
∴ φ ( t ) = ∫ 0 t α c + a s 2 d s = α a c arctan  ( a c t ) {\displaystyle \therefore \phi (t)=\int _{0}^{t}{\frac {\alpha }{c+as^{2}}}\,ds={\frac {\alpha }{\sqrt {ac}}}\arctan \left({\sqrt {\frac {a}{c}}}t\right)}
φ ( t ) → π α 2 a c ( t → ∞ ) {\displaystyle \phi (t)\to {\frac {\pi \alpha }{2{\sqrt {ac}}}}\quad (t\to \infty )}
これより、 a < π 2 α 2 4 c {\displaystyle a<{\frac {{\pi }^{2}{\alpha }^{2}}{4c}}} であればアリはロープの端に到達できるが、 a ≥ π 2 α 2 4 c {\displaystyle a\geq {\frac {{\pi }^{2}{\alpha }^{2}}{4c}}} のときは永遠に到達できないことがわかる。