正規数
例えば、2の平方根、円周率、ネイピア数、log 2 といった数学的に重要な定数が正規数であるか否かは未だに知られていない。いくつかの傍証によってこれらは正規数であると強く信じられているが、十進小数表示においてそれぞれの数字が無限回現れるか否かさえ知られていない。2001年の論文で、Bailey と Crandall は「無理数かつ代数的数である数は正規数である」と予想した。しかし解決への道のりは遠く、反例も知られていないし、正規である代数的数の例も知られていない。
以下、その他の正規数の性質を列挙する。
正規列に対して、有限個の文字を加えたり取り除いたり変更したりといった操作をしても、正規列のままである。この事実は文字列の正規性の定義より明らかである。故に正規数の定義において、小数点より前の部分を含めるか否かは本質的ではない。
任意の正の数は二つの正規数の積である。これはより一般的な次の事実より導かれる。正の実数全体の集合を R とする。その部分集合 X について、差集合 R - X のルベーグ測度が 0 ならば、任意の正の数は二つの X の元の積に表せる。
x が r 進正規数かつ q が有理数であるとき、q x は r 進正規数である (Wall, 1949)。
整数の増大列 (an) が条件「任意の実数 α < 1 と十分大きな自然数 N に対して N 以下の an の個数が N 以上となる」を満たすとき、an の r 進表示を順に小数点以下に並べてできる実数は r 進正規数となる (Copeland and Erdős, 1946)。