シュニレルマン密度
(リンニクの定理) 全ての k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } に対して、 k {\displaystyle k} にのみ依存する N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } と定数 c = c ( k ) {\displaystyle c=c(k)} が存在して、全ての n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } と全ての 0 ≤ m ≤ n . {\displaystyle 0\leq m\leq n.} について
r N k ( m ) < c n N k − 1 {\displaystyle r_{N}^{k}(m)<cn^{{\frac {N}{k}}-1}}
が成り立つ。
このことを元にして、次の定理をエレガントに証明できる。
定理. 全ての k {\displaystyle k} に対し、 σ ( N G k ) > 0 {\displaystyle \sigma (N{\mathfrak {G}}^{k})>0} となる N {\displaystyle N} が存在する。
このようにして、ウェアリングの問題の一般的な解法が確立した。
系. (Hilbert 1909) 全ての k {\displaystyle k} に対し、 k {\displaystyle k} にのみ依存する N {\displaystyle N} が存在し、全ての正の整数 n {\displaystyle n} は、高々、 N {\displaystyle N} の k {\displaystyle k} -乗のべきの和として表すことができる。
A を自然数からなる集合とし、 A ( n ) {\displaystyle A(n)} を A の元のうち 1 以上 n 以下のものの個数とする。このとき、実数
σ A := inf n A ( n ) n {\displaystyle \sigma A:=\inf _{n}{\frac {A(n)}{n}}}
が必ず定義され、これを A のシュニレルマン密度という。inf は「全ての部分列の中の最も小さな下界を採用する」ことを意味する。
) σ G 2 = 0 {\displaystyle \sigma {\mathfrak {G}}^{2}=0} であることは明らかである。事実、依然として、 σ ( G 2 ⊕ G 2 ) = 0 {\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=0} であり、どの点がシュニレルマン密度を 1 とし、どのように密度を増加させるのかを問うかもしれない。実際は、3つの和の場合は、 σ ( G 2 ⊕ G 2 ⊕ G 2 ) = 5 / 6 {\displaystyle \sigma ({\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2}\oplus {\mathfrak {G}}^{2})=5/6} であり、 G 2 {\displaystyle {\mathfrak {G}}^{2}} の sumset を取ることをすると、より大きな集合、すなわち、全ての自然数の集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } となる。シュニレルマンは、さらにこれらの考え方を進め、上記の定理とし、加法的整数論の研究を進め、(たとえ巨大な威力を発揮しなかったとしても)多くの貴重な結果を証明し、ウェアリングの問題やゴルドバッハの予想のような重要な問題を解明しようとした。