P進数
剰余類環 Zp / pZp は有限体であり、各剰余類の代表元としては n = 0, 1, ..., p − 1 が取れる。したがって Zp は n+pZp の非交和
Z p = ⨆ n = 0 p − 1 ( n + p Z p ) {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\bigsqcup _{n=0}^{p-1}\left(n+p\mathbb {Z} _{p}\right)}
でかける。右図はこれを図で表したものである。
n+pZp は +n するという写像による pZp の像である。したがって、加法についてのハール測度の定義により、これらの測度は全て等しい。この図では、n+pZp に対応する四角形を全て同じ面積で描くことにより、このことを表現している。
Zp 上のハール測度 μ で μ(Zp) = 1 となるものをとる。以下、ハール測度と言ったらこれのこととする。μ(n+pZp) は全て等しいので、この非交和の両辺のハール測度を取ることにより μ(n+pZp) = 1/p がわかる。
https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society/volume-8/issue-10/Mathematical-problems/bams/1183417035.full.
Steinitz, Ernst (1910). “Algebraische Theorie der Körper.”. Journal für die reine und angewandte Mathematik 137: 167–309. https://eudml.org/doc/149323.
Kürschák, Josef (1912), “Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie”, Proceedings of the Fifth International Congress of Mathematicians (Cambridge, 22-28 August 1912), International Congress of Mathematicians, pp. 285–289
Kürschák, Josef (1913). “Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie.”. Journal für die reine und angewandte Mathematik 142: 211–253. https://eudml.org/doc/149394.
たとえば、実数の世界においては、2進表記で 11 の逆数は 0.010101... であるのに対し、2進数の世界においては 11 の逆数は ...010101011 である。
p は素数である必要があり、さもなくば2つの 0 でない p 進数の積が 0 になってしまうことや、逆数が存在しないことがある。p が素数であればそのようなことはなく、実数の加減乗除とよく似た性質を満たす。p 進整数は p 進表記の整数を無限桁に拡張したものであるから、p 進整数の n + 1 桁目以降を「切り捨てる」事で有限桁の整数が得られる。先に n + 1 桁目以降を切り捨ててから足し算、引き算、掛け算を行っても、先に足し算、引き算、掛け算を行ってから n + 1 桁目以降を切り捨てても同じ結果になる。
実数に距離の概念があるように、p 進数にも距離の概念(p 進距離)がある。例えば2つの実数 a, b の差が 0.0...0125... であるとき、連続する 0 の部分が長いほど数直線上の a と b は近い。p 進数の場合、a と b の差が ...1250...0 であるとき、連続する 0 の部分が長いほど a と b は近いとみなされる。