ベズーの定理
円の方程式を
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
で与えると、その同次化は
( x − a z ) 2 + ( y − b z ) 2 = r 2 z 2 {\displaystyle (x-az)^{2}+(y-bz)^{2}=r^{2}z^{2}}
である。よって、任意の円は、無限遠直線と2点 [1 : i : 0], [1 : -i : 0] で交わる。実平面上で交点を持たない場合は、この2点に加えてさらに2点の複素点で交わる。
定理より、任意の円錐曲線は無限遠直線と2点で交わる。双曲線の場合、それは2つの漸近線の方向に対応した点である。楕円の場合、無限遠直線との2つの交点は互いに複素共役の関係にある(例えば円ではそれは [1 : i : 0] と [1 : -i : 0] であった)。放物線の場合、無限遠直線と1点でしか交わらないが、それは接点であってその点で2回交わっていると見なされる。
以下の図は、単位円 x + y = 1 との間に、1 より大きな交叉数を持つ楕円の例である。そのため、見た目の交点の個数は 4 よりも少ない。
x + 4 y - 1 = 0 とは、交叉数 2 の交点を2つ持つ
5x + 6xy + 5y + 6y - 5 = 0 とは、交叉数 3 の交点を持つ
4x + y + 6x+2 = 0 とは、交叉数 4 の交点を持つ