ラングランズ・シャヒーディの方法
まず最初は、大域的カスプ表現の粗い函数等式 π = ⊗ ′ π v {\displaystyle \pi =\otimes '\pi _{v}} を、部分的なL-函数とγ-因子の個別の函数等式へと精密化することである。
L S ( s , π , r i ) = ∏ v ∈ S γ i ( s , π v , ψ v ) L S ( 1 − s , π ~ , r i ) . {\displaystyle L^{S}(s,\pi ,r_{i})=\prod _{v\in S}\gamma _{i}(s,\pi _{v},\psi _{v})L^{S}(1-s,{\tilde {\pi }},r_{i}).}
詳細はテクニカルであり、s を複素変数、S を S 以外の v では不分岐で値 π v {\displaystyle \pi _{v}} となる(基礎となる大域体の)座(place)の有限集合とし、 r = ⊕ r i {\displaystyle r=\oplus r_{i}} を G のラングランズ双対群の行列式が 1 の部分群の複素リー代数で、M 上の随伴作用とする。G が特殊線型群 SL(2) であり、M = T が対角行列の最大トーラスのとき、π はヘッケ量指標(Größencharakter)で、対応する γ-因子は、テイト論文の局所因子である。
π は p-進数の体 F 上の FL(n, F) の滑らかな既約な分岐を持つスーパーカスプ表現で I ( π ) = I ( 0 , π ) {\displaystyle I(\pi )=I(0,\pi )} が既約であれば、
I ( s , π ) {\displaystyle I(s,\pi )} が既約で、0 < s < 1 に対して、補系列である。
I ( 1 , π ) {\displaystyle I(1,\pi )} は被約であり、一意に非スーパーカスプ的離散離散系列の部分表現である。
I ( s , π ) {\displaystyle I(s,\pi )} は既約で、s > 1 に対して補系列にはならない。
ここに、 I ( s , π ) {\displaystyle I(s,\pi )} は次のユニタリ双曲な導出によって得られる。 G = SO(2n) もしくは、U(n+1, n) のときは、 π ⊗ | det | s {\displaystyle \pi \otimes |\det |^{s}} G = SO(2n + 1) もしくは、U(n, n) のときは、 π ⊗ | det | s / 2 {\displaystyle \pi \otimes |\det |^{s/2}}