運動量演算子
⟨ p | p ^ = p ⟨ p | {\displaystyle \langle p|{\hat {p}}=p\langle p|}
である。すなわち運動量基底とは運動量演算子の固有ベクトルである。
運動量表示と座標表示がフーリエ変換で結び付けられることから、運動量基底と座標基底の内積はフーリエ変換とその逆変換の積分核
⟨ p | x ⟩ ∝ e − i p x / ħ , ⟨ x | p ⟩ = ⟨ p | x ⟩ † ∝ e i p x / ħ {\displaystyle \langle p|x\rangle \propto e^{-ipx/\hbar },\quad \langle x|p\rangle =\langle p|x\rangle ^{\dagger }\propto e^{ipx/\hbar }}
である。これは運動量演算子の作用が
⟨ x | p ^ | p ⟩ = − i ħ ∂ ∂ x ⟨ x | p ⟩ = p ⟨ x | p ⟩ {\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|p\rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle }
であることから導かれる。
運動量基底と位置基底を適切に用いると、次の関係が簡単に示せる。
[ x ^ , p ^ ] = x ^ p ^ − p ^ x ^ = i ħ . {\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .}
ハイゼンベルクの不確定性原理は、どれだけ正確に1粒子の運動量と位置を同時に知ることができるかという限界点を定義する。 量子力学では、位置と運動量は共役変数となる。