線型包
K-線型空間 V の二つの部分集合 A, B が任意に与えられたとき、
A ⊆ ⟨ A ⟩ {\displaystyle A\subseteq \langle A\rangle }
A ⊆ B ⟹ ⟨ A ⟩ ⊆ ⟨ B ⟩ {\displaystyle A\subseteq B\implies \langle A\rangle \subseteq \langle B\rangle }
⟨ A ⟩ = ⟨ ⟨ A ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle A\rangle =\langle \langle A\rangle \rangle }
の三性質が成り立つ、つまり線型包を取る操作は閉包作用素である。 他の重要な性質としては:
ベクトル空間 V の部分集合の線型包はそれ自体が V の部分空間を成す。
ベクトル空間 V の任意の部分空間 U に対して ⟨U⟩ = U が成り立つ。
ベクトルからなる集合は、その線型包を生成する。特に、部分空間の生成系を成すベクトルの集合はもとの部分空間を生成する。
二つの部分空間 U, V の和空間 U + V = { u + v | u ∈ U, v ∈ V } は U と V の合併の線型包である。すなわち U + V = ⟨U ∪ V⟩ が成り立つ。
ベクトル空間の部分集合すべてからなる族 T において、「合併の線型包をとる」という操作およびその双対として「交叉の線型包をとる」という操作は二項演算を与え、T はこれら二つの二項演算に関して束を成す。
二つの部分空間 U, V に対し、その交わりの線型包の次元に関して等式 dim(U + V) + dim(U ∩ V) = dim(U) + dim(V) が成立する。