三相交流
ω ′ = 2 ω , θ ′ = θ − π / 2 {\displaystyle \omega ^{\prime }=2\omega ,\theta ^{\prime }=\theta -\pi /2} とおいた。右式第二項は0になる。よって p ( t ) {\displaystyle p(t)} は
p ( t ) = 3 2 V I cos  θ {\displaystyle p(t)={\frac {3}{2}}VI\cos {\theta }}
となる。
瞬時値形式で書いた場合は次の通り。
i a ( t ) = I sin  ( ω t − θ ) i b ( t ) = I sin  ( ω t − θ − 2 3 π ) i c ( t ) = I sin  ( ω t − θ − 4 3 π ) {\displaystyle {\begin{aligned}i_{a}(t)&=I\sin(\omega t-\theta )\\i_{b}(t)&=I\sin(\omega t-\theta -{\frac {2}{3}}\pi )\\i_{c}(t)&=I\sin(\omega t-\theta -{\frac {4}{3}}\pi )\\\end{aligned}}}
平衡三相交流であれば、三つの電流の和は0になる。
I a ̇ + I b ̇ + I c ̇ = 0 i a ( t ) + i b ( t ) + i c ( t ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {I_{a}}}+{\dot {I_{b}}}+{\dot {I_{c}}}&=0\\i_{a}(t)+i_{b}(t)+i_{c}(t)&=0\\\end{aligned}}}
I a ̇ = 3 I ̇ a b ∠ − π 6 I b ̇ = 3 I ̇ b c ∠ − π 6 I c ̇ = 3 I ̇ c a ∠ − π 6 E ̇ a b = E ̇ a E ̇ b c = E ̇ b E ̇ c a = E ̇ c {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {I_{a}}}&={\sqrt {3}}{\dot {I}}_{ab}\angle -{\frac {\pi }{6}}\\{\dot {I_{b}}}&={\sqrt {3}}{\dot {I}}_{bc}\angle -{\frac {\pi }{6}}\\{\dot {I_{c}}}&={\sqrt {3}}{\dot {I}}_{ca}\angle -{\frac {\pi }{6}}\\{\dot {E}}_{ab}&={\dot {E}}_{a}\\{\dot {E}}_{bc}&={\dot {E}}_{b}\\{\dot {E}}_{ca}&={\dot {E}}_{c}\\\end{aligned}}}
となる。
Y結線とΔ結線の相電圧と相電流の差を利用し、かご形三相誘導電動機をY結線で始動し、途中でΔ結線に切り替えることによって始動電流を3分の1に抑えるスターデルタ始動法(Y-Δ始動法)が存在する。
p ( t ) = v a ( t ) i a ( t ) + v b ( t ) i b ( t ) + v c ( t ) i c ( t ) = V I { sin  ( ω t ) sin  ( ω t + θ ) + sin  ( ω t − 2 π 3 ) sin  ( ω t + θ − 2 π 3 ) + sin  ( ω t − 4 π 3 ) sin  ( ω t + θ − 4 π 3 ) } = 1 2 V { cos  ( − θ ) − cos  ( 2 ω t + θ ) + cos  ( − θ ) − cos  ( 2 ω t + θ − 4 π 3 ) + c o s ( − θ ) − cos  ( 2 ω t + θ − 8 π 3 ) } = 3 2 V I cos  θ + 1 2 V { I sin  ( ω ′ t + θ ′ ) + I sin  ( ω ′ t + θ ′ − 2 3 π ) + I sin  ( ω ′ t + θ ′ − 4 3 π ) } {\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=v_{a}(t)i_{a}(t)+v_{b}(t)i_{b}(t)+v_{c}(t)i_{c}(t)\\&=VI\left\{\sin(\omega t)\sin(\omega t+\theta )+\sin(\omega t-{\frac {2\pi }{3}})\sin(\omega t+\theta -{\frac {2\pi }{3}})+\sin(\omega t-{\frac {4\pi }{3}})\sin(\omega t+\theta -{\frac {4\pi }{3}})\right\}\\&={\frac {1}{2}}V\left\{\cos(-\theta )-\cos(2\omega t+\theta )+\cos(-\theta )-\cos(2\omega t+\theta -{\frac {4\pi }{3}})+cos(-\theta )-\cos(2\omega t+\theta -{\frac {8\pi }{3}})\right\}\\&={\frac {3}{2}}VI\cos \theta +{\frac {1}{2}}V\left\{I\sin(\omega ^{\prime }t+\theta ^{\prime })+I\sin(\omega ^{\prime }t+\theta ^{\prime }-{\frac {2}{3}}\pi )+I\sin(\omega ^{\prime }t+\theta ^{\prime }-{\frac {4}{3}}\pi )\right\}\end{aligned}}}