ジャイロベクトル空間
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ユークリッド3次元空間上の開単位球面に属するブロッホベクトルは、アインシュタイン加算 やメビウス加算を用いて調べられる。
以下の等式は任意のジャイロ群(G, ⊕ {\displaystyle \oplus } )で成り立つ。
g y r [ u , v ] w = ⊖ ( u ⊕ v ) ⊕ ( u ⊕ ( v ⊕ w ) ) {\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))} (ジャイレーション)
u ⊕ ( v ⊕ w ) = ( u ⊕ v ) ⊕ g y r [ u , v ] w {\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} } (左ジャイロ結合性)
( u ⊕ v ) ⊕ w = u ⊕ ( v ⊕ g y r [ v , u ] w ) {\displaystyle (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )} (右ジャイロ結合性)
さらなる例は参考文献.の50ページを参照。
gyrotrigonometryを用いると、ジャイロ平行四辺形 (gyroparallelogram)の法則に従うジャイロベクトルの加法が得られる。 実はこれはジャイロ群のcoadditionになっている。ジャイロ平行四辺形の加算は可換である。
ジャイロ中線定理(gyroparallelogram law)は中線定理と似た定理である。普通の平行四辺形の2つの対角線が互いの中点で交わる(中線定理)のと同様に、ジャイロ平行四辺形は2つのジャイロ対角線(gyrodiagonals)が互いのジャイロ中点(gyromidpoints)で交わるような双曲的四角形である。