導来関手
第二に、η: F → G を左完全関手 F から左完全関手 G への自然変換とすると、自然変換 Rη: RF → RG が引き起こされ、実際、引き起こされた R は A から B へのすべての左完全関手からなる関手圏 (functor category) から、A から B へのすべての関手の関手圏への関手となる。さらに、この関手は、次の意味で長完全系列と整合性をもっている。
0 → A → f B → g C → 0 {\displaystyle 0\ \ {\xrightarrow {}}\ \ A\ \ {\xrightarrow {f}}\ \ B\ \ {\xrightarrow {g}}\ \ C\ \ {\xrightarrow {}}\ \ 0}
が短完全系列であれば、可換図形
が引き起こされる。
これらの自然性は両方とも、蛇の補題によりもたらされる系列の自然性から来る。
逆に、次の導来関手の特徴づけが成り立つ。A のすべての単射的対象 I とすべての正の整数 i に対して R (I) = 0 が成り立つような、上記を満たす関手の族 R: A → B、つまり、短完全系列を長完全系列へ写すものが与えられると、それらの関手は R の右導来関手である。