クラスカル法
この証明には背理法を用いる。 Y {\displaystyle Y} が最小全域木でないとすると、別に最小全域木が一つ以上存在する。それらの中から、 Y {\displaystyle Y} と共通する辺の数が最も多い木 Y 1 {\displaystyle Y_{1}} を選ぶ。 Y {\displaystyle Y} に含まれ Y 1 {\displaystyle Y_{1}} には含まれない辺の中で、本アルゴリズムによって Y {\displaystyle Y} に最初に追加される 辺 e {\displaystyle e} について考える。
Y 1 ∪ e {\displaystyle Y_{1}\cup {e}} には閉路が存在する。 Y {\displaystyle Y} は木であるので、閉路を形成する辺を全部含むことはない。したがって、この閉路には Y {\displaystyle Y} には含まれない辺 f が存在する。 Y 2 = Y 1 ∪ e ∖ f {\displaystyle Y_{2}=Y_{1}\cup {e}\setminus {f}} も全域木であるから、その重みは Y 1 {\displaystyle Y_{1}} より小さいはずがなく、e の重みは f より小さいはずがない。ここで別の背理法を用いて f の重みが e より小さいはずがないことを証明する。 Y {\displaystyle Y} に追加する辺は常に重みの小さいほうから選んでいた。