イデアル (環論)
真のイデアル I が極大イデアル (maximal ideal) とは、I を真に含む真のイデアル J が存在しないことを言う。極大イデアルによる商は一般には単純環、可換環の場合は体になる。
R a R = { r 1 a s 1 + ⋯ + r n a s n ∣ n ∈ N , r i ∈ R , s i ∈ R } {\displaystyle RaR=\{r_{1}as_{1}+\dots +r_{n}as_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R\}}
と言う形に書くことができる。これらは a によって生成される左、右、両側の主イデアル(単項イデアル)と呼ばれる。a の生成する両側イデアルを簡単に (a ) と書くことも広く行われている。
上で述べたことは、単位的でない環 R に対しては少しく変更が必要である。X の元の有限積和に加えて、任意の自然数 n と X の元 x に対して、x の n-重和 x + x + ... + x および (−x) + (−x) + ... + (−x) を考えるのである。単位的環 R に対してはこの余分な仮定は過剰な条件になる。
整数環 Z はその任意のイデアルがただ一つの数で生成され(したがって Z は主イデアル整域)、主イデアル nZ の生成元は n または −n のちょうど二つである(その意味ではイデアルと整数との差異はこの環ではほぼ分からない)。任意の整域において aR = bR は、適当な単元 u が存在して au = b を満たすことを意味し、逆に任意の単元 u に対して aR = auuR = auR が満たされる。故に可換主イデアル整域において、主イデアル aR を任意の単元 u に対する au が生成することができる。Z の単元は 1 と −1 の二つのみであるから、これは Z の場合をも含んでいる。
イデアルが冪零元イデアル (nil ideal) とは、その任意の元が冪零であることを言う。
必ずしも環の中で閉じているわけではないが、「イデアル」と呼ばれる重要な例を二つ挙げる。詳細はそれぞれの項を参照。
分数イデアル:通常は R が商体 K を持つ可換整域である場合に定義される。名前が示唆する通り、分数イデアル (fractional ideal ) は K の特別な性質を持つ R –部分加群である。分数イデアルが完全に R に含まれる時には、真に R のイデアルを成す。
可逆イデアル:通常は、可逆イデアル (invertible ideal) A は分数イデアルであって、別の分数イデアル B で AB = BA = R を満たすものが取れるものと定義される。文献によっては、R が整域ではなく一般の環で、通常のイデアル A, B が AB = BA = R を満たすときに、「可逆イデアル」と言う呼称を用いるものがある。