第二量子化
F 1 ^ = ∫ ρ ^ ( r ) f ^ 1 ( r ) d r = ∫ ψ ^ † ( r ) f ^ 1 ( r ) ψ ^ ( r ) d r = ∑ i , j [ ∫ ψ i ∗ ( r ) f ^ 1 ( r ) ψ j ( r ) d r ] a ^ i † a ^ j {\displaystyle {\hat {F_{1}}}=\int {\hat {\rho }}({\boldsymbol {r}}){\hat {f}}_{1}({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int {\hat {\psi }}^{\dagger }({\boldsymbol {r}}){\hat {f}}_{1}({\boldsymbol {r}}){\hat {\psi }}({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\sum _{i,j}{\bigg [}\int \psi _{i}^{*}({\boldsymbol {r}}){\hat {f}}_{1}({\boldsymbol {r}})\psi _{j}({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}{\bigg ]}{\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{j}}
ただし [ A , B ] ∓ = A B ∓ B A {\displaystyle [A,B]_{\mp }=AB\mp BA} である。数演算子 n i ^ {\displaystyle {\hat {n_{i}}}} は生成消滅演算子を用いて以下のように定義される。
n i ^ ≡ a ^ i † a ^ i {\displaystyle {\hat {n_{i}}}\equiv {\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}}
数演算子 n i ^ {\displaystyle {\hat {n_{i}}}} の固有値 n i {\displaystyle n_{i}} は、状態 ψ i {\displaystyle \psi _{i}} の占有数である。数演算子の規格直交化された固有ベクトルで張られる空間をフォック空間という。
最初から粒子が区別できないことを取り入れるなら、粒子を中心に考えるのではなく1粒子エネルギー固有状態を中心に考えて、「各エネルギー状態に占有している粒子の個数」でN 粒子系の状態を考えるほうが自然である。このような方法を占有数表示という。そこで改めて全ての1粒子エネルギー固有状態に i = 1 , 2 , ... {\displaystyle i=1,2,\dots } と名前を付けなおし、それぞれの状態を占有している粒子の個数(占有数)を n i {\displaystyle n_{i}} とする。
{ ψ 1 , ψ 2 , ... , ψ i , ... } {\displaystyle \{\psi _{1},\psi _{2},\dots ,\psi _{i},\dots \}}
n 1 , n 2 , ... , n i , ... {\displaystyle \quad n_{1},n_{2},\dots ,n_{i},\dots }
占有数 n i {\displaystyle n_{i}} の値は、ボース粒子の場合は 0 以上の任意の整数をとれるが、フェルミ粒子の場合は 0 または 1 に限られる。これはパウリの排他原理を反映している。すべての占有数の和をとれば、全粒子数が得られる。
∑ i = 1 ∞ n i = N {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }n_{i}=N}
それぞれの状態の占有数 n i {\displaystyle n_{i}} で指定された状態
| n 1 , n 2 , ... , n i , ... ⟩ {\displaystyle |n_{1},n_{2},\dots ,n_{i},\dots \rangle }
をフォック状態と呼ぶ。
場の量子化は、決して「二度目の」量子化ではない。「第二量子化」という言葉は、場の量子論が作られていく歴史的過程において、量子化の本質が見えず、「一度目の量子化が有限自由度の量子力学で、これをもう一度量子化したものが場の量子論である」という誤解に由来するものである。
「古典的には粒子であるもの(例えば電子)に対して、場を基本変数にしてみよう」という動機が、「座標表示の波動関数が場のようにも見えたから」だった。しかし言うまでもなく、「基本変数である場」と「状態ベクトルの座標表示である波動関数」とは全くの別物である。