バフスカ＝ラックス＝ミルグラムの定理
}}|B(u,u)|\geq c\|u\|^{2}\quad \forall \ u\in U.}
例えば、有界開領域 Ω ⊂ R 上のポアソン方程式
{ − △ u ( x ) = f ( x ) , x ∈ Ω , u ( x ) = 0 , x ∈ ∂ Ω {\displaystyle {\begin{cases}-\triangle u(x)=f(x),&x\in \Omega ,\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega \end{cases}}}
を解く際、空間 U はソボレフ空間 H0(Ω) とすればよい。その双対は H(Ω) となる。前者はL 空間 V = L(Ω) の部分空間である。−Δ に関連する双線型形式 B は、導函数の L(Ω) 内積
B ( u , v ) := ∫ Ω ∇ u ( x ) ⋅ ∇ v ( x ) d x {\displaystyle B(u,v):=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx}
である。したがって、与えられた f ∈ L(Ω) に対するポアソン方程式の弱形式の問題は、次を満たす uf を見つけることである:
∫ Ω ∇ u f ( x ) ⋅ ∇ v ( x ) d x = ∫ Ω f ( x ) v ( x ) d x ∀ v ∈ H 0 1 ( Ω ) . {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u_{f}(x)\cdot \nabla v(x)\,dx=\int _{\Omega }f(x)v(x)\,dx\quad \forall \ v\in H_{0}^{1}(\Omega ).}