確率行列
ここで I {\displaystyle I} は単位行列、 1 {\displaystyle \mathbf {1} } は全ての成分が1の列ベクトルであり、各状態に対してその状態への遷移確率を合計するはたらきをする。
各ステップで系はどれかの状態をとるから、ネズミの平均生存時間は、系がいずれかの生存状態にある確率を全ての時間にわたって合計したものに等しく(和は行列項級数として考える)、
E [ K ] = τ ( I + T + T 2 + ⋯ ) 1 = τ ( I − T ) − 1 1 = 4.5 {\displaystyle E[K]={\boldsymbol {\tau }}\left(I+T+T^{2}+\cdots \right){\boldsymbol {1}}={\boldsymbol {\tau }}(I-T)^{-1}{\boldsymbol {1}}=4.5}
となる。高次のモーメントは
E [ K ( K − 1 ) ... ( K − n + 1 ) ] = n ! τ ( I − T ) − n T n − 1 1 {\displaystyle E[K(K-1)\dots (K-n+1)]=n!{\boldsymbol {\tau }}(I-{T})^{-n}{T}^{n-1}\mathbf {1} }
で与えられる。
初期状態がいずれであっても、ネコは最終的にはネズミを捕えて、定常状態 π = (0,0,0,0,1) に到達する。生存時間の平均(期待値)を計算するには、すべての状態 Sj と時間 tk についての寄与 Yj,k·P(S=Sj,t=tk) を足しあげればよい。ここで Y は生存状態に対しては Yj,k=1、死亡状態に対しては Yj,k=0 の2値をとる変数である(Y=0は和に寄与しない)。