体のテンソル積
代数的整数論において、体のテンソル積は(暗にしばしば)基本的なツールである。K が Q の有限 n 次の拡大であれば、 K ⊗ Q R {\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} } は常に R か C に同型な体たちの積である。総実体は実数体のみが現れるものである: 一般には r1 個の実数体と r2 個の複素数体があり、r1 + 2r2 = n で、これは次元を数えることによってわかる。体因子は古典的文献において記述されているように実埋め込みと複素共役埋め込みの対と 1 対 1 の対応にある。
このアイデアは K ⊗ Q Q p {\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}} にも適用される、ただし Qp はp-進数体である。これは Qp の有限拡大の積で、Q 上の p-進距離の拡大に対する K の完備化と 1 対 1 の対応にある。
β ( b ) {\displaystyle \gamma (a\otimes b)=(\alpha (a)\otimes 1)\star (1\otimes \beta (b))=\alpha (a).\beta (b)}
を満たすように環準同型 γ: K ⊗N L → M が導かれる。この γ の核はテンソル積環の素イデアルであり、また逆に、このテンソル積環の任意の素イデアルは N-代数の(分数体の中で)整域への準同型を与え、したがって K と L の N(のコピー)の拡大としてのある体への埋め込みを提供する。
このようにして K ⊗N L の構造を解析できる: 原理的には 0 でないジャコブソン根基(すべての素イデアルの共通部分)があるかもしれない - そしてそれによる商を取った後 K と L の様々な M への N 上の すべての埋め込みの積について話すことができる。
K と L が N の有限拡大の場合、状況は特に単純である、なぜならばテンソル積は N-代数として有限次元である(したがってアルティン環である)からである。すると R が根基であれば ( K ⊗ N L ) / R {\displaystyle (K\otimes _{N}L)/R} を有限個の体の直積として持っていると言うことができる。各そのような体はある拡大 M における K と L に対する(本質的に相異なる)体埋め込みの同値類の代表元である。