ルジャンドル多項式
( 1 − t 2 ) y ′′ ( t ) − 2 t y ′ ( t ) + ( k ( k + 1 ) − m 2 1 − t 2 ) y ( t ) = 0 {\displaystyle (1-t^{2})y''(t)-2ty'(t)+\left(k(k+1)-{m^{2} \over 1-t^{2}}\right)y(t)=0}
の解である。なお、ルジャンドルの陪微分方程式は k ≧ m を満たすときのみ解を持つことが知られている。また、Yk (θ, φ) の定義における係数は、後述するノルムが 1 になるよう選んだものである。
Pk(t) とルジャンドル多項式 Pk(t) は以下の関係を満たす:
P k m ( t ) = ( 1 − t 2 ) m / 2 d m P k ( t ) d t m {\displaystyle P_{k}{}^{m}(t)=(1-t^{2})^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{m}P_{k}(t)}{\mathrm {d} t^{m}}}}
ルジャンドル多項式は対称または反対称、即ち
P n ( − x ) = ( − 1 ) n P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)}
を満たす。
微分方程式と直交性はスケール変換に依らない性質だから、ルジャンドル多項式はその定義において適当に定数倍して
P k ( 1 ) = 1 {\displaystyle P_{k}(1)=1}
を満たすように「標準化」される(「正規化」とも言うが、実際にノルムが 1 というわけではないので紛らわしい)。端点における微分係数は
P k ′ ( 1 ) = k ( k + 1 ) 2 {\displaystyle P_{k}'(1)={\frac {k(k+1)}{2}}}
で与えられる。既に述べたとおり、ルジャンドル多項式はボネの漸化式と呼ばれる三項間漸化式
( n + 1 ) P n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 ) x P n ( x ) − n P n − 1 ( x ) {\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}
と、公式
x 2 − 1 n d d x P n ( x ) = x P n ( x ) − P n − 1 ( x ) {\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{n}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x)}