基数
ב 1 = א 1 {\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}
を連続体仮説
α ∈ O N ⇒ ב α = א α {\displaystyle \alpha \in \mathbb {ON} \Rightarrow \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}
を一般連続体仮説という。
この仮説はゲオルク・カントールによって予想された。ヒルベルトは彼の有名な23 の問題の第一番にこの連続体仮説を取り上げている。その後、クルト・ゲーデルは構成可能集合全体のクラス L が一般連続体仮説をみたすことを示し、「ZFC からは一般連続体仮説の否定は証明できない」ことを証明した。ポール・コーエンは強制法と呼ばれる新しい手法を用いて連続体仮説が成り立たないモデルを構成し「ZFC から連続体仮説を証明できない」ことを証明した。これらの結果から(一般)連続体仮説の ZFC からの独立性が示され、連続体仮説は一応の解決を見た。コーエンはこの業績によりフィールズ賞を受賞している。
極限順序数 : א γ := s u p { א α : α < γ } {\displaystyle \aleph _{\gamma }:={\rm {{sup}\{\aleph _{\alpha }:\alpha <\gamma \}}}} (ただし γ {\displaystyle \gamma } は極限順序数)
特にアレフ数の列 { א α } α ∈ O N {\displaystyle \{\aleph _{\alpha }\}_{\alpha \in \mathbb {ON} }} のことをアレフ数と呼ぶこともある。アレフ数は必ずなんらかの α {\displaystyle \alpha } によって א α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} と表せる。 א α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} の始順序数を ω α {\displaystyle \omega _{\alpha }} と書く。
順序数 α {\displaystyle \alpha } にたいし、 α {\displaystyle \alpha } 番目のアレフ数を א α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} と書く。より正確には א α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} を以下のように超限再帰により定義する。
0 : א 0 = | N | {\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |}
後続順序数 : א α + 1 := א α + {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}:=\aleph _{\alpha }^{+}} (後述の後続を参照)