ガンマ行列
マヨラナ表現は次の直積表現に相当する。
γ 0 = σ 1 ⊗ σ 2 , γ 1 = i 1 ⊗ σ 3 , γ 2 = − i σ 2 ⊗ σ 2 , γ 3 = − i 1 ⊗ σ 1 , γ 5 = σ 3 ⊗ σ 2 {\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma _{1}\otimes \sigma _{2},\quad \gamma ^{1}=i1\otimes \sigma _{3},\quad \gamma ^{2}=-i\sigma _{2}\otimes \sigma _{2},\quad \gamma ^{3}=-i1\otimes \sigma _{1},\quad \gamma _{5}=\sigma _{3}\otimes \sigma _{2}}
また、マヨラナ表現とディラック表現は次の相似変換で結ばれる。
γ majorana μ = U γ Dirac μ U † , U = U † = 1 2 [ 1 σ 2 σ 2 − 1 ] {\displaystyle \gamma _{\operatorname {majorana} }^{\mu }=U\,\gamma _{\operatorname {Dirac} }^{\mu }\,U^{\dagger },\quad U=U^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&-1\\\end{bmatrix}}}
ガンマ行列により
σ μ ν ≡ i 2 [ γ μ , γ ν ] = i 2 ( γ μ γ ν − γ ν γ μ ) {\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }\equiv {\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]={\frac {i}{2}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })}
で定義される行列 σ を考える。このとき
S μ ν = 1 2 σ μ ν {\displaystyle S_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\sigma _{\mu \nu }}
は次のローレンツ代数(ローレンツ変換のリー代数)を満たす。
[ S μ ν , S ρ σ ] = i ( − g μ ρ S ν σ + g ν ρ S μ σ + g μ σ S ν ρ − g ν σ S μ ρ ) {\displaystyle [S_{\mu \nu },S_{\rho \sigma }]=i(-g_{\mu \rho }S_{\nu \sigma }+g_{\nu \rho }S_{\mu \sigma }+g_{\mu \sigma }S_{\nu \rho }-g_{\nu \sigma }S_{\mu \rho })}
固有値 +1 に属する部分空間を右手型 (right-handed, RH)、或いは右巻きと呼び、−1 を左手型 (left-handed, LH)、或いは左巻きと呼ぶ。
射影演算子
P L ≡ 1 − γ 5 2 , P R ≡ 1 + γ 5 2 {\displaystyle P_{L}\equiv {\frac {1-\gamma _{5}}{2}},~P_{R}\equiv {\frac {1+\gamma _{5}}{2}}}
を定義すると、
ψ L = P L ψ , ψ R = P R ψ {\displaystyle \psi _{L}=P_{L}\psi ,~\psi _{R}=P_{R}\psi }
ψ = ψ L + ψ R {\displaystyle \psi =\psi _{L}+\psi _{R}}
によって、ディラックスピノル ψ を右手型、左手型の成分に分解できる。
文献によっては γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} の定義で符号が逆の場合もあるが、そのときも固有値+1が右手、−1が左手である。
カイラル表現、或いはワイル表現において、 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} 、 γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} 、および σ μ ν {\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }} は
γ 0 = [ 0 1 1 0 ] , γ j = [ 0 σ j − σ j 0 ] , γ 5 = [ − 1 0 0 1 ] , σ 0 j = [ − i σ j 0 0 i σ j ] , σ j k = ε i j k [ σ i 0 0 σ i ] {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\\end{bmatrix}},~\gamma ^{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\\\end{bmatrix}},~\gamma _{5}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\\\end{bmatrix}},~\sigma ^{0j}={\begin{bmatrix}-i\sigma _{j}&0\\0&i\sigma _{j}\\\end{bmatrix}},~\sigma ^{jk}=\epsilon _{ijk}{\begin{bmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\\\end{bmatrix}}}
γ 5 = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 {\displaystyle \gamma _{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}
が一次独立となる。これらを { Γ A } A = 1 , ⋯ , 16 {\displaystyle \{\Gamma _{A}\}_{A=1,\cdots ,16}} と表したとき、各 Γ A {\displaystyle \Gamma _{A}} は Γ A 2 = 1 {\displaystyle \Gamma _{A}^{\,2}=\mathbf {1} } 及び Tr  Γ A = 0 {\displaystyle \operatorname {Tr} \Gamma _{A}=0} を満たす。
16個の Γ A {\displaystyle \Gamma _{A}} が一次独立であることから、 { γ μ } {\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}} を行列表現するには、少なくとも16個の成分を持つ4×4行列が必要となる。
ガンマ行列のトレースはゼロとなる。
Tr  γ μ = 0 {\displaystyle \operatorname {Tr} \gamma ^{\mu }=0}