零因子
環 R {\displaystyle R} の元 a {\displaystyle a} は、 a x = 0 {\displaystyle ax=0} となる x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} が存在するとき、すなわち
∃ x ∈ R ∖ { 0 } : a x = 0 {\displaystyle \exists x\in R\smallsetminus \{0\}:ax=0}
を満たすときに
左零因子(ひだりれいいんし、ひだりぜろいんし、英: left zero divisor)と呼ばれる。この定義では非零元の存在を要求するから、自明な環における0は零因子ではないが、自明な環以外では、0は必ず零因子となる。
また、この定義は、x を ax に送る R から R への写像が単射でないことと同値である。同様に、環の元 a が右零因子とは、ある y ≠ 0 が存在して ya=0 となることである。
左または右零因子である元は単に零因子と呼ばれる。左かつ右零因子である元 a は両側零因子(two-sided zero divisor)と呼ばれる(ax = 0 となる零でない x は ya = 0 となる零でない y とは異なるかもしれない)。環が可換であれば左零因子と右零因子は同じである。
環の零因子でない元は正則である(regular)または非零因子(non-zero-divisor)と呼ばれる。0でない零因子は0でない零因子(nonzero zero divisor)または非自明な零因子(nontrivial zero divisor)と呼ばれる。