熱的残存粒子
問題の粒子 χ {\displaystyle \chi } はその反粒子 χ ̄ {\displaystyle {\bar {\chi }}} との対生成・対消滅チャンネルを持つものと仮定する。
χ + χ ̄ ⇌ X + X ̄ {\displaystyle \chi +{\bar {\chi }}\rightleftharpoons X+{\bar {X}}}
ただしここではすべてのチャンネルで反応先の粒子 X {\displaystyle X} , X ̄ {\displaystyle {\bar {X}}} は輻射温度 T {\displaystyle T} に等しい熱平衡にあるものとする。
この系は一般相対論的なボルツマン方程式によって記述されるが、それを積分することにより粒子数密度 n χ {\displaystyle n_{\chi }} の時間変化を記述する次の方程式が導かれる。
d n χ d t + 3 H n χ = − ⟨ σ v ⟩ [ n χ 2 − ( n χ E Q ) 2 ] {\displaystyle {\frac {dn_{\chi }}{dt}}+3Hn_{\chi }=-\langle \sigma v\rangle \left[n_{\chi }^{2}-\left(n_{\chi }^{\mathrm {EQ} }\right)^{2}\right]}
左辺第2項は宇宙膨張による希釈を、右辺は対生成・対消滅による粒子数密度の変化を表す。
Y ( ∞ ) ∼ Y E Q ( x f ) = x f n + 1 λ {\displaystyle Y(\infty )\sim Y_{\mathrm {EQ} }(x_{f})={\frac {x_{f}^{n+1}}{\lambda }}}
である。
現在の宇宙における冷たい残存粒子の密度パラメータ Ω χ 0 {\displaystyle \Omega _{\chi 0}} は次のように求まる。
Ω χ 0 = 2 × 8 π G 3 H 0 2 m χ s 0 Y ( ∞ ) = 32 π 5 / 2 9 5 m P l 3 g ∗ S 0 T 0 3 H 0 2 g ∗ g ∗ S ⟨ σ v ⟩ 1 x f n + 1 {\displaystyle \Omega _{\chi 0}=2\times {\frac {8\pi G}{3H_{0}^{2}}}m_{\chi }s_{0}Y(\infty )={\frac {32\pi ^{5/2}}{9{\sqrt {5}}m_{\mathrm {Pl} }^{3}}}{\frac {g_{*S0}T_{0}^{3}}{H_{0}^{2}}}{\frac {\sqrt {g_{*}}}{g_{*S}\langle \sigma v\rangle _{1}}}x_{f}^{n+1}}