プロパゲーター
遅延プロパゲーター (Retarded propagator):
双方の極を時計周りでの積分路は、因果律遅延プロパゲータ (causal retarded propagator) を与える。 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が空間的 (spacelike)、もしくは x 0 < y 0 {\displaystyle x^{0}<y^{0}} (すなわち、 y {\displaystyle y} が x {\displaystyle x} の未来の場合には、この値はゼロとなる。
積分路の選択は極限での値を計算することと等価である。
G r e t ( x , y ) = lim ε → 0 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 p e − i p ( x − y ) ( p 0 + i ε ) 2 − p → 2 − m 2 = { 1 2 π δ ( τ x y 2 ) − m J 1 ( m τ x y ) 4 π τ x y if y ≺ x 0 otherwise {\displaystyle G_{\mathrm {ret} }(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}={\begin{cases}{\dfrac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})-{\dfrac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\text{ if }}y\prec x\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
ゲージ理論の中のゲージボゾン (gauge boson) のプロパゲーターは、ゲージ固定の方法の選択に依存している。ファインマンとエルンスト・シュテュッケルベルク (Ernst Stueckelberg) の使用したゲージに対して、光子のプロパゲーターは、
− i g μ ν p 2 + i ε . {\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\epsilon }.}
である。質量を持つベクトル場のプロパゲーターはシュティッケルベルグのラグランジアンから導出することができる。ゲージパラメータ λ {\displaystyle \lambda } を持つ一般的な形式は次式となる。
g μ ν − k μ k ν / m 2 k 2 − m 2 + i ε + k μ k ν / m 2 k 2 − m 2 / λ + i ε . {\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-k_{\mu }k_{\nu }/m^{2}}{k^{2}-m^{2}+i\epsilon }}+{\frac {k_{\mu }k_{\nu }/m^{2}}{k^{2}-m^{2}/\lambda +i\epsilon }}.}
プロパゲーターに仲の粒子によって運ばれるエネルギーは、負ということさえあり得る。このことは単純には、粒子がある方向へ動いている替わりに、反粒子が反対の方向へ動いていると解釈できて、従って正のエネルギーの版大のフローを運んでいると解釈できる。プロパゲーターは両方の可能性を持ち合わせている。このことは、フェルミオンの場合のマイナス符号について注意深く扱わねばならない。フェルミオンのプロパゲーターは、エネルギーと運動量の中では偶函数ではない。(以下を参照)
仮想粒子はエネルギーと運動量を保存する。しかし、それらはオフシェルであることも可能なので、図形が閉ループを含んでいたとしても、ループを形成する仮想粒子のエネルギーと運動量は、部分的には光速されていない。その理由は、ループ中の一つの粒子の量の変化は、他の(大きさが)等しい反対の変化によりバランスをとることができる。従って、ファインマン図形のすべてのループは、可能なエネルギーと運動量の連続性を渡る積分を要求する。一般にこれらのプロパゲーターの積の積分は発散するので、繰り込みの過程によって扱われなければならない状況になる。
時間遷移不変な系に対し、プロパゲーターは時間の差異 (t−t') のみに依存するので、式は次のように書き換えることができる。
K ( x , t ; x ′ , t ′ ) = K ( x , x ′ ; t − t ′ ) . {\displaystyle K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t')~.}
1次元の自由粒子のプロパゲーターは、鞍点近似(英語版)を通じて、右を無限遠点として表現 は、次のようになる。

1次元調和振動子のプロパゲーターは、メーラー核(英語版)(Mehler kernel)

である。N-次元の場合は、プロパゲーターは、積
K ( x → , x → ′ ; t ) = ∏ q = 1 N K ( x q , x q ′ ; t ) . {\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}';t)=\prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t)~.}
により容易に得ることができる。