カーレマン行列
函数のカーレマン行列の一般化は、任意の点の周りで次のように定義される。
M [ f ] x 0 = M x [ x − x 0 ] M [ f ] M x [ x + x 0 ] {\displaystyle M[f]_{x_{0}}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]M_{x}[x+x_{0}]}
あるいは M [ f ] x 0 = M [ g ] {\displaystyle M[f]_{x_{0}}=M[g]} where g ( x ) = f ( x + x 0 ) − x 0 {\displaystyle g(x)=f(x+x_{0})-x_{0}} 。この定義より、行列のベキを次のように表現できる。
( M [ f ] x 0 ) n = M x [ x − x 0 ] M [ f ] n M x [ x + x 0 ] {\displaystyle (M[f]_{x_{0}})^{n}=M_{x}[x-x_{0}]M[f]^{n}M_{x}[x+x_{0}]}
M [ f ] = ( 1 0 0 ⋯ 0 f 1 f 2 ⋯ 0 0 f 1 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M[f]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\0&f_{1}&f_{2}&\cdots \\0&0&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
函数 f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ f k x k {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}x^{k}} のカーレマン行列は次で与えられる。 M [ f ] = ( 1 0 0 ⋯ f 0 f 1 f 2 ⋯ f 0 2 2 f 0 f 1 f 1 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle M[f]={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots \\f_{0}&f_{1}&f_{2}&\cdots \\f_{0}^{2}&2f_{0}f_{1}&f_{1}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}