運動の積分
Φ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N ) = a {\displaystyle \Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})=a}
をひとつの変数 (例えば x N {\displaystyle x_{N}} ) について解くことにより、 x N {\displaystyle x_{N}} を他の変数を用いて表示することができる。このとき、もとの方程式系は
d x i d t = F i ′ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x N − 1 ; a ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , N − 1 ) {\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=F'_{i}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N-1};a)\ \ (i=1,2,\cdots ,N-1)}
という N − 1 {\displaystyle N-1} 変数に関する常微分方程式へと帰着される。それ故に、 N − 1 {\displaystyle N-1} 個の第一積分が見出されたならば、もとの常微分方程式の一般解 x i ( t ; a 1 , a 2 , ⋯ , a N − 1 ) {\displaystyle x_{i}(t;a_{1},a_{2},\cdots ,a_{N-1})} を構成することができる(求積できる)。