昇降演算子
{\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}
つまり | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } が N の固有値 n における固有状態であるとき、 X | n ⟩ {\displaystyle X|n\rangle } は固有値 n + c をもつ N の固有状態である。演算子 X は c が正の実数であるとき N の上昇演算子、 c が負の実数であるとき N の下降演算子という。
もし N がエルミート演算子 のとき、c は実数でなければならず、Xのエルミート随伴 は次の交換関係を満たす。
[ N , X † ] = − c X † . {\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.}
特に X が N の下降演算子のときの X は N の上昇演算子であり、その逆も成り立つ。