ミンコフスキーの不等式
最初に、補題「f と g の p 乗ノルムが共に有限ならば f + g もそうである」を示さなければならない。まず h(x) = x (p > 1) が正の実数の集合R における凸関数であることから、正の a, b に対し
( a + b 2 ) p ≤ a p + b p 2 {\displaystyle \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{p}\leq {\frac {a^{p}+b^{p}}{2}}}
が従う。これを 2 倍して (a + b) ≦ 2 a + 2b を得るが、これは先の補題の成立を示す。
こうして ‖ f + g ‖ p {\displaystyle \|f+g\|_{p}} というものが意味を持つようになった。もしそれが零ならば不等式は自明に成り立つので、非零の場合を考える。まず
‖ f + g ‖ p p = ∫ | f + g | p d μ {\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }
≤ ∫ ( | f | + | g | ) | f + g | p − 1 d μ {\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }