スルツキー方程式
スルツキー方程式は、財の分類をする上で役に立つ。jをiに書き換えて右辺と左辺を入れ替えると以下のようになる。
∂ h i ( p , u ) ∂ p i − ∂ x i ( p , w ) ∂ w x i ( p , w ) , = ∂ x i ( p , w ) ∂ p i {\displaystyle {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{i}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{i}(\mathbf {p} ,w),\ ={\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{i}}}
この式を基に以下の場合分けができる。
ケースAでは、所得効果が正で財iは正常財(上級財)である。このとき、財iは必ず通常財(英語版)となる。つまり、財iの「需要の所得弾力性」が正のとき、財iの「需要の価格弾力性」は必ず負になる。ケースBでは、所得効果が負で財iは劣等財(下級財)である。しかし、代替効果が所得効果を上回っており、財iの「需要の価格弾力性」は負となり、つまり通常財となる。ケースCでは、負の所得効果が代替効果を上回っており、財iの「需要の価格弾力性」は正となり、つまりギッフェン財となる。これにより、ギッフェン財は必ず劣等財である(「需要の価格弾力性」が正の財の「需要の所得弾力性」は必ず負である)ことがわかる。