回転体
円筒分割(年輪法)は回転体を回転軸と平行にスライスし、軸に垂直に積分する。
曲線 f(x), g(x) と直線 x = a, x = b の囲む面積を y-軸の周りに回転させた回転体の体積は
V = 2 π ∫ a b x | f ( x ) − g ( x ) | d x {\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\vert f(x)-g(x)\vert \,dx}
で与えられる。g(x) = 0 のときは
V = 2 π ∫ a b x | f ( x ) | d x {\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x\vert f(x)\vert \,dx}
と簡約できる。
この方法を視覚的に見るには、x において高さ [f(x) - g(x)] の縦に薄く伸びた矩形を考え、それを y-軸周りに回転させて円筒殻を描けばよい。この円筒の側面積は 2πrh = 2πx[f(x) − g(x)] であり、これらすべての側面積を当該の区間において足し上げれば上記の如く体積を得る。