摂動函数
( X , X ∗ ) {\displaystyle (X,X^{*})} と ( Y , Y ∗ ) {\displaystyle (Y,Y^{*})} を双対組とする。(f(x) を最小化する)主問題と、関連する摂動函数 (F(x,y)) が与えられたとき、ラグランジアン L : X × Y ∗ → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle L:X\times Y^{*}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} は、F の y に関する負の共役(すなわち、凹共役)である。すなわち、ラグランジアンは次で定義される。
L ( x , − y ∗ ) = inf y ∈ Y { F ( x , y ) − y ∗ ( y ) } . {\displaystyle L(x,-y^{*})=\inf _{y\in Y}\left\{F(x,y)-y^{*}(y)\right\}.}
特に、弱双対ミニマックス方程式は次のように表される。
sup y ∗ ∈ Y ∗ − F ∗ ( 0 , y ∗ ) = sup y ∗ ∈ Y ∗ inf x ∈ X L ( x , y ∗ ) ≤ inf x ∈ X sup y ∗ ∈ Y ∗ L ( x , y ∗ ) = inf x ∈ X F ( x , 0 ) . {\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\inf _{x\in X}L(x,y^{*})\leq \inf _{x\in X}\sup _{y^{*}\in Y^{*}}L(x,y^{*})=\inf _{x\in X}F(x,0).