ムーファン・ループ
このセクションでは、擬群ではなく準群の場合にどうなるか考察する。 準群がムーファン恒等式の内の一つを満たす場合は、必ず単位元が存在することが示される。 以下に、証明の一部 (Theorem 2.2) だけ述べる。Theorem 2.3 はより難しいので、参考文献を見よ。
Q {\displaystyle Q} を準群とする。ムーファンの恒等式の内 (M1) が成り立つと仮定する。 任意の a ∈ Q {\displaystyle a\in Q} を固定する。準群の定義によって、 a e = a {\displaystyle ae=a} を満たす e ∈ Q {\displaystyle e\in Q} がただ一つ存在する。 この時、任意の x ∈ Q {\displaystyle x\in Q} に対して、 ( x a ) x = ( x ( a e ) ) x = ( x a ) ( e x ) {\displaystyle (xa)x=(x(ae))x=(xa)(ex)} が成り立つ。よって、準群の定義 (消去律) によって x = e x {\displaystyle x=ex} が成り立つ。従って、 e {\displaystyle e} は左単位元である。
次に、再び準群の定義により、 b e = e {\displaystyle be=e} を満たす b ∈ Q {\displaystyle b\in Q} がただ一つ存在する。