ポッホハマー記号
x n ̄ = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) , x n _ = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1),\\x^{\underline {n}}&=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).\end{aligned}}}
差分学における降冪は微分学における冪の類似対応物である。 ガンマ関数Γを用いると
x n ̄ = Γ ( x + n ) Γ ( x ) , x n _ = Γ ( x + 1 ) Γ ( x − n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},\\x^{\underline {n}}&={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\end{aligned}}}
となる(ただしガンマ関数の引数が非正整数でない場合)。さらに x が正整数のときは階乗を用いて
x n ̄ = ( x + n − 1 ) ! ( x − 1 ) ! , x n _ = x ! ( x − n ) ! ( x ≥ n ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\overline {n}}&={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}},\\x^{\underline {n}}&={\frac {x!}{(x-n)!}}\quad (x\geq n)\end{aligned}}}
同じ函数を表す記号だが、表記にはいくつかバリエーションがある。
x ( n ) {\displaystyle x^{(n)}} : 組合せ論で使用
( x , n ) , ( x ) n {\displaystyle (x,n),\,(x)_{n}} : 解析学、特殊函数論で使用
x n ̄ , x n _ {\displaystyle x^{\overline {n}},\,x^{\underline {n}}} : (その他の記法)
複素数 x と正整数 n に対して、特殊函数論では (x)n を昇冪
( x ) n = ∏ j = 0 n − 1 ( x + j ) = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) {\displaystyle (x)_{n}=\prod _{j=0}^{n-1}(x+j)=x(x+1)(x+2)\dotsb (x+n-1)}
を表すのに用いるが、組合せ論では (x)n を降冪
( x ) n = ∏ j = 0 n − 1 ( x − j ) = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) {\displaystyle (x)_{n}=\prod _{j=0}^{n-1}(x-j)=x(x-1)(x-2)\dotsb (x-n+1)}
として用いる。混乱を避けるため、昇冪を (x), 降冪を (x)n でそれぞれ表すこともよく行われる。さらに グラハム, クヌース & パタシュニク (2020, pp. 48–49, 64) は全く別の冪乗に似た記号を用いる。