平均次元
N {\displaystyle N} 次元ユークリッド空間の単位閉球を B {\displaystyle B} とする。
X {\displaystyle X} を B {\displaystyle B} の両側無限直積として、直積位相を与える。 このとき、 X {\displaystyle X} はコンパクトかつ距離化可能であるが、その被覆次元は無限大である。 また、添字のずらしとして、無限巡回群 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } は X {\displaystyle X} に連続に作用する。
Z ↷ X := B Z = ⋯ × B × B × B × ⋯ , { x j } ↦ k { x j + k } {\displaystyle \mathbb {Z} \curvearrowright X:=B^{\mathbb {Z} }=\cdots \times B\times B\times B\times \cdots ,\quad \{x_{j}\}{\overset {k}{\mapsto }}\{x_{j+k}\}}
例えば、 0 < ε < 1 {\displaystyle 0<\epsilon <1} に対して、 X {\displaystyle X} を閉区間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} と [ 0 , ε ] {\displaystyle [0,\epsilon ]} の直積として、 d E u c {\displaystyle d_{\mathrm {Euc} }} をユークリッド距離とする。 このとき、 X {\displaystyle X} から [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} への自然な射影は ε {\displaystyle \epsilon } -埋め込みである。 さらに、 0 {\displaystyle 0} 次元多面体(= 点)への X {\displaystyle X} からの ε {\displaystyle \epsilon } -埋め込みが存在しないことは定義からすぐに従うので、結局、
W i d i m ε ( [ 0 , 1 ] × [ 0 , ε ] , d Euclid ) = 1 {\displaystyle \mathrm {Widim} _{\epsilon }([0,1]\times [0,\epsilon ],d_{\text{Euclid}})=1}
を得る。
さて、ここからは群作用を考える。