階乗冪
指数法則に似た次の法則が下降階乗冪、上昇階乗冪に成り立つ。
x m + n _ = x m _ ( x − m ) n _ x m + n ̄ = x m ̄ ( x + m ) n ̄ ( or ( x ) m + n ∓ = ( x ) m ∓ ( x ∓ m ) n ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\underline {m+n}}&=x^{\underline {m}}\,(x-m)^{\underline {n}}\\x^{\overline {m+n}}&=x^{\overline {m}}\,(x+m)^{\overline {n}}\end{aligned}}\quad ({\text{or }}(x)_{m+n}^{\mp }=(x)_{m}^{\mp }(x\mp m)_{n})}
これを用いて、負数の下降階乗冪、上昇階乗冪を定義することもできる。
また、次のような関係もある
x n ̄ x m ̄ = { ( x + m ) n − m ̄ ( n > m ) , 1 ( x + m ) m − n ̄ ( m > n ) {\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{x^{\overline {m}}}}={\begin{cases}(x+m)^{\overline {n-m}}&(n>m),\\[5pt]{\dfrac {1}{(x+m)^{\overline {m-n}}}}&(m>n)\end{cases}}}
と
D x k = k x k − 1 ( D = d / d x ) {\displaystyle Dx^{k}=k\,x^{k-1}\quad (D=d/dx)}
との類似対応に注意せよ。同様の関係は、不定和分に関しても述べられるし、上昇階乗冪と後退差分を用いても得られる。
このような類似性の研究は陰計算 (umbral calculus) と呼ばれる。階乗冪を含めた上記のような関係を記述する一般論は、二項型多項式列およびシェファー列の理論に含まれる(階乗冪は二項型シェファー列である)。同様に階乗冪の母函数は陰冪数 (umbral exponential) を勘案して
∑ n = 0 ∞ x n _ t n n ! = ( 1 + t ) x , ( Δ ( 1 + t ) x = t ( 1 + t ) x ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{\underline {n}}{\frac {t^{n}}{n!}}=(1+t)^{x},\quad (\Delta (1+t)^{x}=t(1+t)^{x})}
で与えられる。