体上有限生成環の理論
任意の有限生成環は定義によって多項式環の剰余環としてかける。これはアフィン代数多様体をアフィン空間 A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} の閉部分集合としてとらえる考え方に対応している。一方、ネターの正規化定理は、アフィン代数多様体 V をアフィン空間 A k m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{m}} の分岐被覆空間としてとらえる、すなわち、全射な有限射 V → A k m {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{m}} でとらえる考え方に対応する。
Aを体上有限生成整域とし、K をその商体とする。もし、体 k の標数が 0 であれば、体の拡大 K / k(a1 , ... , am) は有限次拡大なので単拡大である、すなわち、K = k(a1 , ... , am)[t]/( f(a1 , ... , am , t) ) となる。従って、f の分母を払えば、K は有限生成環 k[a1 , ... , am+1]/(f) の商体として表せる。これは、A に対応するアフィン代数多様体 V は、アフィン空間 A k m + 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{m+1}} の中で f = 0 で定義される超曲面と双有理同値になることを意味している。k が正標数の体の場合も、部分環 k[a1 , ... , am] をうまくとって体の拡大 K / k(a1 , ... , am) が分離的であるようにとれるので、同様の議論で、任意の代数多様体が超曲面と双有理同値になることが証明できる。
任意の単位元付き可換環 A のイデアル I に対してその根基 I = { a ∈ A ∣ ∃ n , x n ∈ I } {\displaystyle {\sqrt {I}}=\{a\in A\mid \exists n,\;x^{n}\in I\}} は I を含む素イデアルの共通部分に一致する(積閉集合と交わらない極大なイデアルが存在(ツォルンの補題)し、素イデアルとなることより。極大イデアル参照)。従って、A が体上有限生成環のときは I = ⋂ I ⊂ m m {\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{I\subset m}m} (ただし m は極大イデアル)を得る。標語的に言えば、体上有限生成環の被約イデアル( I = I {\displaystyle {\sqrt {I}}=I} となるイデアル I)は極大イデアルのみによってコントロールされている。
k を代数的閉体とする。このとき、多項式環 A = k[x1 , ...