結合定数 (物理学)
非可換ゲージ理論においてはベータ関数が負の値をとる場合がある。一例として、量子色力学 (QCD) のベータ関数は特定の条件を満たしている限り常に負の値をとり、このときエネルギースケールの増加に伴い結合定数は減少する。
高エネルギースケール(近距離領域)において、QCDの結合定数は対数関数的に減少する。この弱結合領域の現象は漸近的自由性として知られており、高エネルギースケールにおける結合定数は摂動的な近似により以下のように表される。理論のエネルギースケールを Q とすると
α s ( Q 2 ) ≡ g s 2 ( Q 2 ) 4 π ≈ 1 β 0 ln  ( Q 2 / Λ 2 ) {\displaystyle \alpha _{s}(Q^{2})\equiv {\frac {g_{s}^{2}(Q^{2})}{4\pi }}\approx {\frac {1}{\beta _{0}\ln(Q^{2}/\Lambda ^{2})}}}
ただし、
β 0 = 33 − 2 n f 6 π {\displaystyle \beta _{0}={\frac {33-2n_{f}}{6\pi }}}
であり、nf はクォークのフレーバー数、Λ はQCDスケールである。
一方、エネルギースケールの減少に伴い結合定数は増加する。これは、低エネルギースケール(遠距離領域)においてQCDの結合が強くなることを意味しており、クォークの閉じ込めを示唆する証拠にはなっているが、この領域での結合定数の振る舞いは摂動論によって解析できず、非摂動的な方法が必要となる。
ベータ関数が正の値をとるとき、エネルギースケールの増加に伴い結合定数は増加する。この例は量子電磁力学 (QED) において現れ、QEDのベータ関数が常に正であることは摂動論によって示される。特に、低エネルギースケール(遠距離領域)において、微細構造定数は α ≈ 1/137 となる一方で、およそ 90 GeV の質量スケールを持つZボソンでは α ≈ 1/127 となる。
一方、高エネルギースケール(近距離領域)においては、エネルギースケールが大きくなるにつれて結合が強くなる。実際、ある有限のエネルギーにおいてQEDの結合定数は無限大となる。この現象は、レフ・ランダウによって初めて指摘されランダウ・ポールと呼ばれている。しかし、高エネルギースケールにおいて摂動論によるベータ関数が正しい結果を与えることは期待できず、ランダウ・ポールは摂動論が適用できない領域で摂動論を適用した為に生じた人為的な結果であると考えられている。高エネルギースケールにおける結合定数の正しい振る舞いは摂動論で解析できず、非摂動的な方法が必要となる。