鎖複体
そのような写像は、サイクルをサイクルに、バウンダリをバウンダリへ写すので、ホモロジーの射 ( f ∙ ) ∗ : H ∙ ( A ∙ , d A , ∙ ) → H ∙ ( B ∙ , d B , ∙ ) {\displaystyle (f_{\bullet })_{*}\colon H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })} が誘導される。
位相空間の間の連続写像は、上記の特異複体とド・ラーム複体の双方に対して(そして一般に、位相空間の任意のホモロジー論を定義する鎖複体に対して)チェイン写像を引き起こし、従って、連続写像はホモロジー上の写像を引き起こす。写像の合成によって引き起こされた写像は、引き起こされた写像の合成であるので、これらのホモロジー論は位相空間と連続写像の圏からアーベル群と群準同型の圏への函手である。
チェイン写像の概念は、チェイン写像の錐(英語版)の構成を通してバウンダリの概念に帰着することは注目に値する。
チェイン写像(鎖写像)と呼ばれる、鎖複体の間の自然な射の概念がある。2つの複体 M* と N* が与えられると、2つの複体の間のチェイン写像は、Mi から Ni への準同型の列であって、M と N のバウンダリ写像に関する図式全体が可換となるものである。チェイン複体とチェイン写像は圏をなす。
V = V* と W = W* を鎖複体とすると、それらのテンソル積 V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} は、次数 i の元たちが
( V ⊗ W ) i = ⨁ { j , k | j + k = i } V j ⊗ W k {\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\{j,k|j+k=i\}}V_{j}\otimes W_{k}}
で与えられ、微分が
∂ ( a ⊗ b ) = ∂ a ⊗ b + ( − 1 ) | a | a ⊗ ∂ b {\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{|a|}a\otimes \partial b}
で与えられる鎖複体である。ここに、a と b はそれぞれ V と W の任意の斉次ベクトルであり、 | a | {\displaystyle |a|} は a の次数を表す。
このテンソル積により、(任意の可換環 K に対し)K-加群の鎖複体の圏 Ch K {\displaystyle {\text{Ch}}_{K}} は対称モノイダル圏(英語版)となる。