ガンマ分布
k が整数である場合、このガンマ分布はアーラン分布に帰着する。また、尺度母数(平均値)に θ を持つ互いに独立な n 個の指数分布の和は、パラメータに形状母数 n と尺度母数 θ を持つガンマ分布(アーラン分布)となる。
ガンマ分布の確率変数を X とするとき、特性関数 φX(t) は
φ X ( t ) = E ( e i X t ) = 1 ( 1 − i θ t ) k = ( λ λ − i t ) k {\displaystyle \phi _{X}(t)=E(e^{iXt})={\frac {1}{(1-i\,\theta \,t)^{k}}}=\left({\frac {\lambda }{\lambda -it}}\right)^{k}}
で与えられる。
これはパラメータ(平均)θ とする指数分布の特性関数を k 乗したものに一致する。このことは、特に k を整数としたときに、パラメータ θ の指数分布に従う k 個の確率変数が独立であるとき、その和が形状母数 k、尺度母数 θ のガンマ分布に従うことを表している。