直交群
O(n, R) は R 上の等長変換全体からなる群であるユークリッドの運動群 E(n) において、原点を保つ変換からなる部分群である。このことから、直交群をユークリッドの運動群と一般線型群の共通部分として与えることができる: O(n, R) = E(n) ∩ GL(n, R). SO(n) は、原点が中心であるような(n − 1)次元球面 (特に n = 3 のとき通常の球面) および球対称なすべての図形の対称群となっている。
円 の対称群は O(2, R) である。向きを保つ部分群 SO(2, R) は円周群 T あるいは 1次元のユニタリ群 U(1) に(実リー群として)同型である。この同型写像は、U(1) の元 exp(φ i) = cos φ + i sin φ を以下の SO(2)の元に対応させる。
[ cos  φ − sin  φ sin  φ cos  φ ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}.}