谷山–志村予想
内容的に「ゼータの統一」というテーマを扱う豪快な予想であり、数論の中心に位置するものの一つと目されるまでにいたったが、攻略自体は絶望視されていた。1984年秋、この予想からフェルマーの最終定理が出るというアイディアがゲルハルト・フライにより提示され、セールによる定式化を経て(フライ・セールのイプシロン予想(英語版))、1986年夏にケン・リベットによって証明されたことにより俄然注目を集めたが、アンドリュー・ワイルズを除いては、まともに挑もうとする数学者は依然として現れなかった。
アンドリュー・ワイルズ(Andrew Wiles、プリンストン大学教授)により、この予想はまず半安定な場合について解決された(1993~1995年)。ワイルズが1993年に発表した証明には一箇所致命的なギャップが存在したため、その修正に当ってはリチャード・テイラー(Richard Taylor)も貢献した。
よって次のような定義は妥当である;
J a c ( X ( Γ ) ) := S 2 ( Γ ) ∧ / ω ∧ ( H 1 ( X ( Γ ) , Z ) ) {\displaystyle \mathrm {Jac} (X\left(\Gamma \right)):={\mathcal {S}}_{2}\left(\Gamma \right)^{\wedge }/\omega ^{\wedge }\left(H_{1}\left(X\left(\Gamma \right),\mathbb {Z} \right)\right)} 。
モジュラー曲線を直接扱わずヤコビアンを扱うことには以下のような理由があることを留意すべきである。1つは、モジュラー曲線にカスプを加えてコンパクト化したリーマン面は一般に種数 g ≥ 0 {\displaystyle g\geq 0} であり、 g > 1 {\displaystyle g>1} の場合、群構造を持たなくなるのに対して、ヤコビアンの方はその場合でも群構造を持っているので扱いやすい点と、もう1つはモジュラー曲線をヤコビアンに埋め込むことができる点である。