実射影直線
初等幾何学における実射影直線(じつしゃえいちょくせん、英: real projective line)は、通常の直線の概念の拡張で、歴史的には透視図法に基づいて設定された問題を解決するために導入された。例えば平行線は決して交わらないが、透視図では「無限遠」で交叉するように見える。この問題の解決に際して無限遠点が導入され、そうして得られた実射影平面(英語版)において、相異なる二つの射影直線はただ一点のみで交わる。このような無限遠点全体の成す集合は、平面透視図法における「地平線」であり、それ自身がひとつの実射影直線となる。これは任意の点に位置する観測者から発せられた方向を持つ円の、反対にある点を同一視したものである。実射影直線のモデルとして射影補完実数直線(英語版)がある。透視図に地平線を表す直線を描くことで、無限遠に余分な点が地平線へ伸びる平行線の集まりを表現するために追加される。
厳密には、実射影直線は実数体上二次元のベクトル空間内の一次元部分線型空間全体の成す空間として定義される。
なる写像であり、これは実数直線の射影直線の中への埋め込みを定義するが、その埋め込み像の射影直線に対する補集合はただ一点 [1 : 0] のみである。この埋め込みと射影直線との組を射影的補完数直線(英語版)と呼ぶ。実数直線をこの埋め込みによる像と同一視することで、射影直線を実数直線と一点 [1 : 0](これは射影的補完数直線上の無限遠点 ∞ と呼ばれる)との合併と看做すことができることが理解される。この埋め込みで点 [x: y] を y ≠ 0 なるとき実数 x/y と、さもなくば ∞ と同一視することができる。
もう一方のチャート φ2 についても同じことができて、今度は無限遠点は [0: 1] になる。このことから、無限遠点の概念は実射影直線において内在的なものではなく、実数直線の射影直線への埋め込みの取り方に依存して決まるものであることであることが理解される。