確率変数の収束
確率変数列 Xn が X へと概収束あるいはほとんど確実に収束、ほとんど至る所で収束、確率 1 で収束あるいは強収束するとは、
Pr ( lim n → ∞ X n = X ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1}
が成り立つことである。
上式は、Xn が X へと収束しない事象が起きる確率が 0 であるという意味で、Xn の値が X の値へと近付くことを意味する(ほとんど (数学)も参照)。確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} を定め、Ω から R への関数としての確率変数の概念を利用することで、上式は
Pr  ( ω ∈ Ω : lim n → ∞ X n ( ω ) = X ( ω ) ) = 1 {\displaystyle \operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega ){\Big )}=1}
と同値となる。
また概収束の同値な定義には、以下もある:
Pr  ( lim inf { ω ∈ Ω : | X n ( ω ) − X ( ω ) | < ε } ) = 1 for all ε > 0.