算術幾何平均
これに x 2 = 1 + u u + u 2 + v 2 {\displaystyle x^{2}={\frac {1+u}{u+u^{2}+v^{2}}}} を代入すると
t a + b 2 a b = i v 1 + 2 u + 2 + v 2 u 2 + v 2 + u ( 1 + 2 u + u 2 + v 2 ) 1 + u u + u 2 + v 2 = i v ( 1 + u ) ( u + u 2 + v 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {t}{\frac {a+b}{2{\sqrt {ab}}}}}&={\frac {iv{\frac {1+2u+^{2}+v^{2}}{u^{2}+v^{2}+u}}}{(1+2u+u^{2}+v^{2}){\sqrt {\frac {1+u}{u+u^{2}+v^{2}}}}}}\\&={\frac {iv}{\sqrt {(1+u)(u+u^{2}+v^{2})}}}\\\end{aligned}}}
であり、 u > 0 {\displaystyle u>0} となるように幾何平均の根号の符号を決めると約束したので、積分路は極 ± i a + b 2 {\displaystyle \pm i\,{\frac {a+b}{2}}} の間(原点に近いところ)を通る。
となる。したがって、
I ( a , b ) = I ( a 1 , b 1 ) = lim n → ∞ I ( a n , b n ) = lim n → ∞ I ( M ( a , b ) , M ( a , b ) ) = ∫ 0 π / 2 d θ M ( a , b ) 2 ( cos 2  θ + sin 2  θ ) = π 2 M ( a , b ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(a,b)&=I(a_{1},b_{1})=\lim _{n\to \infty }I(a_{n},b_{n})=\lim _{n\to \infty }I\left(M(a,b),M(a,b)\right)\\&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {M(a,b)^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )}}}={\frac {\pi }{2M(a,b)}}\\\end{aligned}}}