位相群
位相空間 G に群演算(乗法あるいは積とよばれる二項演算と逆元をとる単項演算)が定義されているとき、G において群構造と位相構造とが両立する(あるいは可換である、うまくいっている、compatible)とは、条件
乗法 G × G → G; (g, h) ↦ gh は連続である。
反転 G → G; g ↦ g は連続である。
がともに成り立つことを言う(ここで乗法演算の連続性は、G × G に直積位相を与えて位相空間と見たときの連続性(二変数の連続性)であり、各因子それぞれに関して連続(偏連続)というよりも強い)。
リー群でない位相群の例として、有理数の加法群 Q に R から遺伝する位相を入れたものを考える。これは可算な空間であって、かつ離散位相とは異なる位相を持つ。数論において重要な例に、素数 p に対する p-進整数の加法群 Zp は、有限群 Z/pZ の n → ∞ の逆極限である。この群 Zp は、コンパクト(実はカントール集合に同相)である点でよく振る舞うが、(実)リー群と異なり完全不連結である。より一般に、p-進リー群(英語版)の理論があって、それには GL(n, Zp) のようなコンパクト群も、GL(n, Qp) のような局所コンパクト群も含まれる。ここに、Qp は p-進数の成す局所コンパクト位相体である。
ある種の位相群は無限次元リー群(英語版)と見なせる(このような呼び方は砕けた言い方だが、そのような例となる群の様々な族を表すのに、ちょうどよい)。例えば、バナッハ空間やヒルベルト空間のような位相線型空間は加法に関して位相アーベル群になる。他にも研究されている無限次元群として、ループ群(英語版)、カッツ–ムーディ群、自己微分同相群、自己同相群(英語版)、ゲージ群などが挙げられる。
任意の乗法単位元を持つバナッハ代数において、その可逆元全体の成す集合(単元群)は乗法に関して位相群を成す。例えば、ヒルベルト空間上の可逆有界作用素の群はこの方法で生じる。