準線形効用関数
以下のような効用関数を考える。
u ( x , y ) = x + θ ( y ) {\displaystyle u(x,y)=x+\theta (y)}
これは、 θ {\displaystyle \theta } が厳密に上に凸な関数であるとき準線形効用関数となる。予算制約式 I = p x x + p y y {\displaystyle I=p_{x}x+p_{y}y} の下で効用最大化問題を解くと、財yへの需要関数は
θ ′ ( y ) = p y {\displaystyle \theta ^{\prime }(y)=p_{y}}
の解として定義できる。ただし p y {\displaystyle p_{y}} は財yの価格である。これをyについて解くと
y ( p , I ) = ( θ ′ ) − 1 ( p y ) , {\displaystyle y(p,I)=(\theta ^{\prime })^{-1}(p_{y}),}
が得られ、所得水準Iに依存しないことがわかる。間接効用関数は
v ( p , I ) = v ( p ) + I , {\displaystyle v(p,I)=v(p)+I,}
のように書ける。これはゴーマン極形型(英語版)と解釈できる。
以下のような準線形効用関数を考える。
u ( x , y ) = x + y {\displaystyle u\left(x,y\right)=x+{\sqrt {y}}}
予算制約式 I = p x x + p y y {\displaystyle I=p_{x}x+p_{y}y} の下で効用最大化問題を解くと、財xと財yの需要関数はそれぞれ
x = I p y − 1 4 p x p y {\displaystyle x={\frac {I}{p_{y}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{x}}{p_{y}}}}
y = 1 4 ( p x p y ) 2 {\displaystyle y={\frac {1}{4}}\left({\frac {p_{x}}{p_{y}}}\right)^{2}}
となる。財yへの需要が所得水準Iに依存していないことがわかる。これらを効用関数に代入すると、以下のような間接効用関数が得られる。
v = I p x + 1 4 p x p y {\displaystyle v={\frac {I}{p_{x}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {p_{x}}{p_{y}}}}