ロジャース＝ラマヌジャン恒等式
が成り立つ。この結果はロジャースによって、示された。 ラマヌジャンは R(q) の満たす関係式として、
R ( e − 2 π ) = 5 + 5 2 − 1 + 5 2 {\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\sqrt {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}
や u=R(q)、v=R(q) としたときに、
u 5 = v 1 − 2 v + 4 v 2 − 3 v 3 + v 4 1 + 3 v + 4 v 2 + 2 v 3 + v 4 {\displaystyle u^{5}=v{\frac {1-2v+4v^{2}-3v^{3}+v^{4}}{1+3v+4v^{2}+2v^{3}+v^{4}}}}
が成り立つことを導いており、ハーディに送った最初の手紙に記している。これらの関係式について、ハーディは“これらと少しでも似通ったものを今まで見たことはなかった。一瞥しただけで、最高級の数学者のみが書き下せるものであることを示すのに十分である。それらは正しいに違いない。もし正しくないとすれば、一体誰がそんなものを捏造するだけの想像力を持ちあわせているというのか。”と述べている。
組合せ論において、ロジャース=ラマヌジャン恒等式は、整数分割の母関数に関する関係式を与えている。すなわち、両辺を q のベキ乗の形で展開したときに現れる q の係数は、正の整数 n をある一定の条件を満たす形で分割したときの分割数 p(n) に対応している。 q のベキ乗の形で展開すると、第1恒等式の両辺は
1 + q + q 2 + q 3 + 2 q 4 + 2 q 5 + 3 q 6 + ⋯ {\displaystyle 1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots } (オンライン整数列大辞典の数列 A003114)、
第2恒等式の両辺は
1 + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 + 2 q 6 + ⋯ {\displaystyle 1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots } (オンライン整数列大辞典の数列 A003106)
となる。
分割において、どの和因子もd 以上の差があるとき、d-差的であるという。 第1恒等式では、左辺の無限級数は、6=6, 5+1, 4+2 のように和因子が2-差的となる分割の母関数を与えている。また、右辺の無限乗積は、6=6, 4+1+1, 1+1+1+1+1+1 のように和因子が5を法として1 or 4 に合同となる分割の母関数を与えている。n=6 の分割の場合、第1恒等式のベキ乗展開において、q の係数は 3 であり、これが分割の仕方の個数と一致する。