次数付き環
A = ⨁ i ∈ N 0 A i = A 0 ⊕ A 1 ⊕ A 2 ⊕ ⋯ {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}A_{i}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots } を次数付き環とする。
A 0 {\displaystyle A_{0}} は A の部分環である(とくに、加法の単位元 0 と乗法の単位元 1 は次数 0 の斉次元である)。
A + = ⨁ i ∈ N + A i = A 1 ⊕ A 2 ⊕ ⋯ {\displaystyle A_{+}=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{+}}A_{i}=A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots } は A {\displaystyle A} のイデアルとなる(これは自然な全準同型 f : A → A 0 {\displaystyle f:A\rightarrow A_{0}} の核であるため、 A 0 ≅ A / A + {\displaystyle A_{0}\cong A/A_{+}} となる)。
各 A i {\displaystyle A_{i}} は A 0 {\displaystyle A_{0}} -加群である。
可換 N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} -次数付き環 A = ⨁ i ∈ N 0 A i {\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} _{0}}A_{i}} がネーター環であるのは、 A 0 {\displaystyle A_{0}} がネーター的かつ A が A 0 {\displaystyle A_{0}} 上の多元環として有限生成であるとき、かつそのときに限る。