認識論理
これら公理のどの部分を採用するかによって様々な様相論理が導出され、採用した重要な公理を表す記号を付与して呼ばれるのが一般的である。ただし、常にそう呼ばれるわけではない。KT45 は K, T, 4, 5 および知識一般化公理を組み合わせた様相論理を意味し、S5と呼ばれることが多い。このため、上述したようにこれらの知識の属性をS5属性と呼ぶ。
認識論理は知識だけでなく信念も扱う。この場合の基本の様相作用素は K ではなく B と記述される。ただし、信念では上述の知識公理は成り立たない(エージェントが信じることが真とは限らない)。そこで、これを以下の一貫性公理で置換するのが一般的で、この公理を D と称する。
¬ B i ⊥ {\displaystyle \neg B_{i}\bot }
これはすなわち、エージェントが矛盾することを信じない、または偽と判断されることを信じない、ということを意味する。S5 において T を D で置換した体系は KD45 となる。この場合、 K i {\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}} も異なる性質を持つ。例えば、あるエージェントが実際には真でないことを真であると「信じ」ている体系では、アクセス可能性関係は反射的でない。信念を扱う論理を信念論理(Doxastic logic)と呼ぶ。
先述した通り、論理に基づくアプローチは可能世界モデルに基づいて構築され、その意味論はクリプキ構造またはクリプキモデルの中で明確な形式を与えられる。 Φ {\displaystyle \Phi } に対する n 個のエージェントについてのクリプキ構造 M はタプル ( S , π , K 1 , . . . , K n ) {\displaystyle (S,\pi ,{\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n})} で表され、ここでの S は「状態」または「可能世界」の空でない集合、 π {\displaystyle \pi } は「解釈」(S に属する各状態と Φ {\displaystyle \Phi } に含まれる命題の真理値の対応)、 K 1 , . . . , K n {\displaystyle {\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n}} は n 個のエージェントについての S 上の二項関係である。なお、様相作用素 K i {\displaystyle K_{i}} とアクセス可能性関係 K i {\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}} は異なる概念である。
真理値を割り当てることで、命題 p がある状態で真か偽かを示す。