フレシェ微分
f が V の開部分集合 U の各点において微分可能ならば、その導函数
D f : U → L ( V , W ) {\displaystyle Df\colon U\to L(V,W)}
は U から、V から W への連続線型作用素全体の成す空間 L(V, W) への写像である。この写像もまた導函数、即ち f の二階導函数を持つことができて、それは微分の定義により
D 2 f : U → L ( V , L ( V , W ) ) {\displaystyle D^{2}f\colon U\to L(V,L(V,W))}
なる写像となる。二階微分をうまく扱うことが容易になるように、上式右辺の空間を反カリー化により V から W への連続双線型作用素全体の成すバナッハ空間 L(V×V, W) と同一視する。すなわち L(V, L(V, W)) の元 φ は、V の任意の元 x, y に対して
φ ( x ) ( y ) = ψ ( x , y ) {\displaystyle \varphi (x)(y)=\psi (x,y)}
を満たす L(V×V, W) の元 ψ と同一視される(直観的には、x に関して線型な写像 φ が y に関して線型な値 φ(x) を持つというのは、x と y に関して双線型な写像 ψ を考えるのと同じであるということ)。
さらに再び
D 2 f : U → L 2 ( V × V , W ) {\displaystyle D^{2}f\colon U\to L^{2}(V\times V,W)}
を微分すれば、各点において三重線型写像を与える「三階導函数」が得られる。