ハイネの和公式
( a ; q ) n = { ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) ( n > 0 ) 1 ( n = 0 ) {\displaystyle (a;q)_{n}={\begin{cases}(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})&(n>0)\\1&(n=0)\end{cases}}}
を用いた。 このとき、次の関係式をハイネの和公式と呼ぶ。
2 φ 1 [ a , b c ; q , c a b ] = ( c a ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( c a b ; q ) ∞ ( | c a b | < 1 ) {\displaystyle _{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,{\frac {c}{ab}}\right]={\frac {\left({\frac {c}{a}};q\right)_{\infty }\left({\frac {c}{b}};q\right)_{\infty }}{\left(c;q\right)_{\infty }\left({\frac {c}{ab}};q\right)_{\infty }}}\qquad {\biggl (}{\bigl |}{\frac {c}{ab}}{\bigr |}<1{\biggr )}}
これはガウスの超幾何定理