合成代数
数学における体 K 上の合成代数(ごうせいだいすう、composition algebra)は、K 上の(必ずしも結合的でない)単位的多元環 A で、乗法性(英語版)条件
N ( x y ) = N ( x ) N ( y ) ( ∀ x , y ∈ A ) {\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)\quad (\forall x,y\in A)}
を満たす非退化二次形式 N を持つ。合成代数のデータには共軛と呼ばれる対合 x ↦ x* も含まれる。付随する二次形式は N(x) = xx* として与えられ、しばしばその合成代数のノルムと呼ばれる(その意味で合成代数を「ノルム多元環」ともいうが、関数解析学にいうノルム代数とは同じものでないことに注意)。
合成代数 (A, ∗, N) は多元体(ノルム多元体)か、さもなくば分解型多元環 (split algebra) であり、それはヌルベクトル(N(v) = 0 を満たす非零元 v ∈ A)の存在によって決まる。実際、ヌルベクトルが全く存在しないとき、非零元 x の乗法逆元は x*/N(x) が与えるから、その代数は多元体である。他方ヌルベクトルが存在するとき、N は等方二次形式と呼ばれ、その代数は「分裂」(split) する(または分解型 (split type) である)と言う。