素数の間隔
素数の間隔(そすうのかんかく、prime gap)は、連続する2つの素数の差。gn もしくは g(pn) で表される n 番目の素数の間隔は、n + 1 番目の素数と n 番目の素数の差である。すなわち
g n = p n + 1 − p n {\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}
g1 = 1, g2 = g3 = 2, g4 = 4 である。素数の間隔の列は広く研究されてきたが、多くの疑問や仮説が残っている。
初めから60個の素数の間隔は
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ...
gn の定義により、全ての素数は次のように書ける。
p n + 1 = 2 + ∑ i = 1 n g i {\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}}
と示した。ここでOはランダウの記号、ζはリーマンゼータ関数、πは素数計数関数である。任意のc > 1/6が許容されることが分かっていれば、θが5/8より大きい任意の数値であることが分かる。
イングハムの結果の直接の結果は、nが十分大きい場合、nと(n + 1)の間に必ず素数が存在するということである。アーンスト・リンデレフ(英語版)の仮説はイングハムの式がcの任意の正の数に対しても成り立つことを暗に示すが、十分大きいnに対してnと(n + 1)の間に素数が存在することを暗示するには十分ではないであろう(ルジャンドル予想参照)。
マーティン・ハクスリー(英語版)は1972年にθ = 7/12 = 0.58(3)を選択してもよいことを示した。
2001年のR.C.ベイカー、グリン・ハーマン、ヤノス・ピンツ(英語版)による結果では、θは0.525ととられる可能性があることを示した。
2005年、ダニエル・ゴールドストン(英語版),ヤノス・ピンツ(英語版), ジェム・ユルドゥルム(英語版)は
lim inf n → ∞ g n log  p n = 0 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0}