ラマヌジャンの合同式
整数分割において、ラマヌジャンの合同式(ラマヌジャンのごうどうしき、英: Ramanujan's congruences)は、分割数が満たす整除の関係式。インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンに因む。ラマヌジャンはイギリスの数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディの勧めで渡英し、ハーディとの共同研究の中で分割数を研究した。
1919年の論文でラマヌジャンは、さらに以下の関係式が成り立つことを予想した。
p ( 5 n m + λ 5 , n ) ≡ 0 ( mod 5 n ) {\displaystyle p(5^{n}m+\lambda _{5,n})\equiv 0{\pmod {5^{n}}}}
p ( 7 n m + λ 7 , n ) ≡ 0 ( mod 7 n ) {\displaystyle p(7^{n}m+\lambda _{7,n})\equiv 0{\pmod {7^{n}}}}
p ( 11 n m + λ 11 , n ) ≡ 0 ( mod 11 n ) {\displaystyle p(11^{n}m+\lambda _{11,n})\equiv 0{\pmod {11^{n}}}}
但し、λp,nは
24 λ p , n ≡ 1 ( mod p n ) {\displaystyle 24\lambda _{p,n}\equiv 1{\pmod {p^{n}}}}
を満たす正の整数である。これらの予想は、