多重指数
n引数の解析関数fは次のように展開される。 f ( x + h ) = ∑ α ∈ N 0 n ∂ α f ( x ) α ! h α . {\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}
実際、fがk+1階微分可能な関数ならば、テイラー展開 f ( x + h ) = ∑ | α | ≤ k ∂ α f ( x ) α ! h α + R k ( x , h ) , {\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq k}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{k}(x,h),}
を得る。ただし最終項(剰余項)はテイラーの定理における剰余項の表示形式によって異なる。例えば積分表示による剰余項であれば、 R k ( x , h ) = ( k + 1 ) ∑ | α | = k + 1 h α α ! ∫ 0 1 ( 1 − t ) k ∂ α f ( x + t h ) d t . {\displaystyle R_{k}(x,h)=(k+1)\sum _{|\alpha |=k+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{k}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}