ヴィラソロ代数
ヴィラソロ代数とは交換関係
[ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + c 12 ( m 3 − m ) δ m + n , 0 , [ C , L n ] = 0 ( ∀ n , m ) {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0},\quad [C,L_{n}]=0\quad (\forall n,m)}
を満たす可算無限個の元 { L n | n ∈ Z } ∪ { C } {\displaystyle \{L_{n}|n\in \mathbb {Z} \}\cup \{C\}} によって生成されるリー代数である(1/12 という因子は単に慣習的なものである)。ここでの中心元 C はセントラルチャージと呼ばれる。
ヴィラソロ代数は、円周上の多項式ベクトル場全体の成す複素ヴィット環の中心拡大である。円周上の実多項式場全体の成す実リー環は円周上の微分同相全体の成すリー環の稠密な部分リー環である。
弦理論におけるエネルギー・運動量テンソルは世界面(英語版)の共形群の生成元すべてを含むので、2つのヴィラソロ代数の直積の交換関係に従う。これは、共形群が前方および後方光円錐の分離微分同相に分解されるからである。世界面の微分同相不変性はエネルギー・運動量テンソルが消えることをも意味している。このことはヴィラソロ制限(英語版)として知られ、量子化された理論では、すべての状態について成り立つのではなく、物理的な状態(ノルムが正の状態)にだけ成り立つ(グプタ・ブロイラー量子化(英語版)参照)。
ヴィラソロ代数の最高ウェイト表現とは、
L 0 v h = h v h , L n v h = 0 ( n ≥ 1 ) {\displaystyle L_{0}v_{h}=hv_{h},\quad L_{n}v_{h}=0\quad (n\geq 1)}
を満たし、 C v h = c v h {\displaystyle Cv_{h}=cv_{h}} ( h , c ∈ C {\displaystyle h,c\in \mathbb {C} } ) となるようなベクトル v h {\displaystyle v_{h}} によって生成されるベクトル空間である。このとき L 0 {\displaystyle L_{0}} の固有値である複素数 h {\displaystyle h} を最高ウェイトと呼び、ベクトル v h {\displaystyle v_{h}} を最高ウェイト h {\displaystyle h} の最高ウェイトベクトルと呼ぶ。(注意:通常、表現と言った場合にはリー代数から E n d ( V ) {\displaystyle \mathrm {End} (V)} への準同型写像 ρ {\displaystyle \rho } のことであるが、ヴィラソロ代数の表現論においては上記の v h {\displaystyle v_{h}} によって生成される表現空間 V {\displaystyle V} そのものを最高ウェイト表現と呼ぶことが多い。