コーシー・リーマンの方程式
先述の等式は複素解析の文脈においてある関数が微分可能であるかの条件を示す一つの方法であった。言い換えれば、ひとつだけの複素変数を持つ関数(複素関数)の概念を、伝統的な微分法を用いて包括するものである。この概念を表すメジャーな方法は他にも幾つかあるが、しばしば他の言葉への言い換えが必要となる。
f ( z ) = u ( z ) + i ⋅ v ( z ) {\displaystyle f(z)=u(z)+i\cdot v(z)}
が複素数 z の関数であると仮定する。すると点 z0 での f の複素導関数は(以下のような極限が存在すると仮定すれば)次のように定義される。
lim h → 0 h ∈ C f ( z 0 + h ) − f ( z 0 ) h = f ′ ( z 0 ) {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})}
もしこの極限が存在するならば、これは実軸または虚軸に沿って h → 0 という極限を取ることで計算することが可能で、どちらで計算するにしても同じ結果となるはずだということが言える。実軸に沿って近づけることで、以下を得る。
lim h → 0 h ∈ R f ( z 0 + h ) − f ( z 0 ) h = ∂ f ∂ x ( z 0 ) {\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})}
一方で、虚軸に沿って近づけることで以下を得る。
}
これは
∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\ \ {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}
であるから、
( 1a ) ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y ( 1b ) ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x {\displaystyle {\begin{aligned}({\text{1a}})\qquad &{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\[6pt]({\text{1b}})\qquad &{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\end{aligned}}}
のコーシー・リーマンの方程式を満たしている。