超関数
(E, P) をある位相空間 X 上の半ノルム代数の(前)層とすると、Gs(E, P) もこの性質を持つ。これにより、制限の概念が定義され、部分層に関する意味で超関数の台が定義できる。特に、
部分層 {0} に対して、この意味での台は通常の意味での台(つまり、関数の零点集合に含まれる最大の開集合の補集合)となる。
部分層 E(の標準定値入射での埋め込み)に対して、特異台と呼ばれるものが得られる。これはくだけた表現をすれば、(E = C の場合は)超関数が滑らかな関数にならないような集合の閉包である。
といったようなことが成り立つ。
数学において超関数(ちょうかんすう、英: generalized function)は、関数の概念を一般化するもので、いくつかの理論が知られている。超関数の重要な利点として、不連続関数の扱いを滑らかな関数に似せることができることが挙げられる。また点電荷のような離散的な物理現象の記述にも便利である。超関数の応用範囲は極めて広く、特に物理学や工学においても利用されている。
超関数の応用例としては主に、不連続関数の微分、デルタ関数、アダマール有限部分積分、緩増加関数のフーリエ変換などが挙げられる。
超関数の起源は演算子法に見ることができるが、直接的には、セルゲイ・ソボレフやローラン・シュヴァルツらの仕事がその始まりである。 1935年にソボレフが、部分積分を形式的に用いて、微分方程式の解の拡張をしたのをはじめ、何人かの数学者によって微分の拡張が行われ始め、1940年代末にはシュワルツがこれらを超関数の理論としてまとめた。1958年に佐藤幹夫が層コホモロジーの理論を応用して、シュワルツらとは別の見地に立った超関数論を組み立てた。超関数論に重要な影響を与えたのは、偏微分方程式や群の表現の理論などからの技術的な要請であった。