微分積分学の基本定理
第二基本定理は、原始関数 F {\displaystyle F} を持つ任意のルベーグ積分可能な関数 f {\displaystyle f} について成り立つ。すなわち、
ルベーグ積分可能な関数に対する第二定理の一般化 ― 閉区間 [ a , b ] {\displaystyle \left[a,\ b\right]} 上の実関数 F {\displaystyle F} がすべての x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in \left[a,\ b\right]} において微分可能であり、 F {\displaystyle F} の導関数 f {\displaystyle f} が [ a , b ] {\displaystyle \left[a,\ b\right]} 上でルベーグ積分可能ならば、
F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( t ) d t {\displaystyle F\left(b\right)-F\left(a\right)=\int _{a}^{b}f\left(t\right)\,{\rm {d}}t}
が成り立つ。
この結果は連続関数 F {\displaystyle F} がほとんど至るところで導関数 f {\displaystyle f} を持つ場合には成立するとは限らず、反例としてカントール関数が知られている。しかし、 F {\displaystyle F} が絶対連続であり、ほとんど至るところで微分可能で、その導関数 f {\displaystyle f} が積分可能ならば、
微分積分学の第二基本定理 ― 区間 I {\displaystyle I} 上で微分可能な関数 F {\displaystyle F} について、その導関数 f = d F d x {\displaystyle f={\tfrac {{\rm {d}}F}{{\rm {d}}x}}} が積分可能であるとき、任意の a , b ∈ I {\displaystyle a,\ b\in I} に対して
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f\left(x\right)\,{\rm {d}}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)}
が成り立つ。
この定理は微分積分学の第二基本定理と呼ばれる。第二定理は、関数を微分して積分すると高々定数の差を除いて元の関数が現われることを主張する。
複素数体 C {\displaystyle \mathbf {C} } 上の開集合 U {\displaystyle U} で定義される複素関数 f : U ↦ C {\displaystyle f:U\mapsto \mathbf {C} } が U {\displaystyle U} 上で原始関数 F {\displaystyle F} をもつとする。このとき曲線 γ : [ a , b ] ↦ U {\displaystyle \gamma :\left[a,\ b\right]\mapsto U} に沿った線積分は
∫ γ f ( z ) d z = F ( γ ( b ) ) − F ( γ ( a ) ) {\displaystyle \int _{\gamma }f\left(z\right)\,{\rm {d}}z=F\left(\gamma \left(b\right)\right)-F\left(\gamma \left(a\right)\right)}