軌道角運動量
軌道角運動量の二乗を
L 2 ^ = ( L ^ x ) 2 + ( L ^ y ) 2 + ( L ^ z ) 2 {\displaystyle {\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}=({\hat {L}}_{x})^{2}+({\hat {L}}_{y})^{2}+({\hat {L}}_{z})^{2}}
と定義する。
L 2 ^ χ ( | x | ) p ( x ) = ħ 2 l ( l + 1 ) χ ( | x | ) p ( x ) {\displaystyle {\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}\chi (|{\boldsymbol {x}}|)p({\boldsymbol {x}})=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\chi (|{\boldsymbol {x}}|)p({\boldsymbol {x}})}
であるので、 χ ( | x | ) p ( x ) {\displaystyle \chi (|{\boldsymbol {x}}|)p({\boldsymbol {x}})} も L 2 ^ {\displaystyle {\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}} の固有関数である。
既に述べたように数学における球面調和関数は物理学における球面調和関数 Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )} の線形和で書けるので、定理2より、 L 2 ^ {\displaystyle {\hat {{\boldsymbol {L}}^{2}}}} の固有関数は上述の形のものに限られる。
このとき次の定理が成立する(定理の導出の詳細は球面調和関数の項目を参照)。
定理1 ― 球面調和関数は以下の性質を満たす:
⟨ Y l m | Y j s ⟩ S n − 1 = { 1 if l = j , m = s 0 otherwise {\displaystyle \langle Y_{\ell }{}^{m}|Y_{j}{}^{s}\rangle _{S^{n-1}}={\begin{cases}1&{\text{if }}\ell =j,m=s\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
定理2 ― R上の任意の自乗可積分関数f(x,y,z)に対し、 ⟨ χ l , m | χ l , m ⟩ R < ∞ {\displaystyle \langle \chi _{\ell ,m}|\chi _{\ell ,m}\rangle _{R}<\infty } を満たす R 上の可積分関数の族 { χ l , m ( r ) } {\displaystyle \{\chi _{\ell ,m}(r)\}} で
f ( r , θ , φ ) = ∑ m = 0 ∞ ∑ l = − m m χ l , m ( r ) Y l , m ( θ , φ ) {\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{\ell =-m}^{m}\chi _{\ell ,m}(r)Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}
となるものが一意に存在する。