ベルヌーイ多項式
S 2 n + 1 ( x ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n ) ! π 2 n + 1 E 2 n ( x ) {\displaystyle S_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x)}
である。Cν および Sν はそれぞれ(x = 1/2 に関して)奇関数および偶関数、即ち
C ν ( x ) = − C ν ( 1 − x ) , {\displaystyle C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x),}
S ν ( x ) = S ν ( 1 − x ) {\displaystyle S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x)}
を満たすことに注意せよ。これらはルジャンドルのカイ関数 χ ν {\displaystyle \chi _{\nu }} を用いて、
C ν ( x ) = R e  χ ν ( e i x ) , {\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {\Re {\mathit {e}}} \chi _{\nu }(e^{ix}),}
S ν ( x ) = I m  χ ν ( e i x ) {\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {\Im {\mathit {m}}} \chi _{\nu }(e^{ix})}
ともかける。
↑ D.H. Lehmer, "On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials", American Mathematical Monthly, volume 47, pages 533–538 (1940)
↑ Zhi-Wei Sun; Hao Pan (2006). “Identities concerning Bernoulli and Euler polynomials”. Acta Arithmetica 125: 21–39. arXiv:math/0409035. doi:10.4064/aa125-1-3.
数学において、ベルヌーイ多項式(ベルヌーイたこうしき、英: Bernoulli polynomial)とは、多くの特殊関数の研究、特にリーマンのゼータ関数やフルヴィッツのゼータ関数の研究において現れる。これはベルヌーイ多項式列がアペル列(英語版)、すなわち通常の微分に対するシェファー列であることによるところが大きい。直交多項式系とは異なり、ベルヌーイ多項式列は、単位区間における x 軸との交点の個数が多項式の次数が増えるにともない増えないという点に注目すべきである。ベルヌーイ多項式を適切に定数倍し次数を大きくした極限では、正弦・余弦関数に近づく。
また、この記事では、オイラー多項式、ベルヌーイ数、オイラー数についても解説する。
ベルヌーイ多項式に対する一つの明示公式が
B m ( x ) = ∑ n = 0 m 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( x + k ) m {\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}}
で与えられる(フルヴィッツのゼータ函数に対する大域収束級数表現との著しい類似性に注意せよ。実際、ζ(s, q) をフルヴィッツゼータ函数として
B n ( x ) = − n ζ ( 1 − n , x ) {\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x)}
が成り立つ。つまりある意味では、フルヴィッツゼータ函数はベルヌーイ多項式を n が非整数の場合へ一般化するものである)。
上記の明示式の内側の和は、x の n-階前進差分、すなわち Δ を前進差分作用素として
Δ n x m = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n k ) ( x + k ) m {\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(x+k)^{m}}