計量ベクトル空間
V の任意の元 x とスカラー r に対して ǁrxǁ = |r| ǁxǁ が成り立つ。
V が完備内積空間ならば、{xk} がどのに元も互いに直交する V のベクトル族であるとき、 ∑ i = 1 ∞ ‖ x i ‖ 2 = ‖ ∑ i = 1 ∞ x i ‖ 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\right\|^{2}} が、左辺の無限級数が収斂する限りにおいて成立する。
空間の完備性は、部分和の列(これがコーシー列となることは容易)が収斂することを保証するために必要である。