調和関数
調和函数に関する研究を一般化するものの一つとして、リーマン多様体上の調和形式及びそれに関連したコホモロジー論がある(同様にベクトル値調和函数や二つのリーマン多様体間の調和写像なども定義できる)。例えば、リーマン多様体内の曲線(つまり、実数直線 R 内の区間からリーマン多様体への写像)が調和となるための必要十分条件はそれが測地的であることである。
滑らかな計量を持つ向き付け可能なコンパクト多様体 M 上の微分作用素の成すド・ラム複体
0 → Ω 0 ( M ) → d 0 Ω 1 ( M ) → d 1 ⋯ ⟶ d n − 1 Ω n ( M ) → d n 0 {\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d_{0}}{{}\to {}}}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d_{1}}{{}\to {}}}\dotsb {\stackrel {d_{n-1}}{{}\longrightarrow {}}}\Omega ^{n}(M){\stackrel {d_{n}}{{}\to {}}}0}
(ここで Ω は次数 k の滑らかな微分形式の層、dk は Ω(M) 上の外微分である)に対して、ベクトル空間の系列
H k ( M ) = ker  d k / im  d k − 1 {\displaystyle H^{k}(M)=\ker d_{k}/\operatorname {im} d_{k-1}}