ルジャンドル変換
もとの関数 f(x) の一階の導関数 f'(x) が x について連続であり単調増加する場合、すなわち関数 f(x) が下に凸で滑らかな場合、関数 g(x) = px − f(x) の上限となる x は、g(x) の x の一階の導関数 g'(x) が 0 になる点であるから、ルジャンドル変換は次のように書き直せる。
f ∗ ( p ) = p x ∗ ( p ) − f ( x ∗ ( p ) ) . {\displaystyle f^{*}(p)=px^{*}(p)-f(x^{*}(p))\,.}
ここで関数 x(p) は f(x) の導関数 f'(x) の逆関数である:
x ∗ ( p ) = f ′ − 1 ( p ) . {\displaystyle x^{*}(p)={f'}^{-1}(p)\,.}
これは方程式 f'(x) = p の解である。
また、f もそのルジャンドル変換 f も2階微分可能なら、両者は逆数の関係にある。すなわち
f ′′ ( x ) f ∗ ′′ ( p ) = 1 . {\displaystyle f''(x)f^{*}{''}(p)=1\,.}
ただし x と p は p = f′(x) を満たすとする。
関数 f(x) のルジャンドル変換 f(p) は次のように定義される:
f ∗ ( p ) ≡ sup x ( p x − f ( x ) ) {\displaystyle f^{*}(p)\equiv \sup _{x}(px-f(x))}
または
f ∗ ( p ) ≡ − inf x ( f ( x ) − p x ) . {\displaystyle f^{*}(p)\equiv -\inf _{x}(f(x)-px)\,.}
ここで supx および infx は変数 x を動かしたときの上限および下限を表す。
また、下に凸な関数に対して等価な、別の定義として以下がある。
f ∗ ( p ) ≡ p x − f ( x ) at x such that f ′ ( x − 0 ) ≤ p ≤ f ′ ( x + 0 ) . {\displaystyle f^{*}(p)\equiv px-f(x)\quad {\text{ at }}x{\text{ such that }}f'(x-0)\leq p\leq f'(x+0)\,.}
at 以下は、「f′(x − 0) ≤ p ≤ f′(x + 0) を満たすような x を、一意でなければどれでもいいから代入せよ」という意味である。
変換される関数 f は x 以外の変数を持っていてもよく、多変数関数に対しては各変数についてルジャンドル変換をすることができる。
その定義から明らかなように、関数 g(x) = px − f(x) の上限が定まる場合のみ、ルジャンドル変換によって新しい関数 f(p) を与えることができる。
それが定まる場合でも、もととなる関数 f(x) が凸関数でない場合、新たに定義された関数 f(p) は逆変換してももとの関数 f(x) へは戻らない。したがって応用上は初めから関数 f(x) は凸であると仮定することが多い。