多項式補間
ルンゲ現象とは、n が大きくなると補間多項式がデータ点間でより大きく振動するようになる現象である。この問題は一般にスプライン補間によって解決する。そのときの補間曲線は多項式ではなくスプライン曲線であり、低次のいくつかの多項式の連鎖になっている。
調和関数で周期関数を補間する場合、一般にフーリエ級数を用い、例えば離散フーリエ変換などで行っている。これは調和基底関数による多項式補間と見ることもできる。
エルミート補間(英語版)問題は、多項式 p の値が与えられるだけでなく、いくつかの導関数値も与えられる場合である。バーコフ補間は、それをさらに一般化し、p の値そのものは与えられず微分値だけを与えられる場合も含む。
微分方程式や積分方程式を解くコロケーション法(英語版)は、多項式補間に基づいている。
有理関数モデリングの技法は、多項式関数の比を考慮した一般化である。
∏ i = 0 n ( x − x i ) {\displaystyle f(x)-p_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}\prod _{i=0}^{n}(x-x_{i})}
したがって、テイラーの定理のラグランジュ形式の剰余項は、全ての補間ノード xi が同一であるような特殊ケースの補間誤差である。
x i = x 0 + i h {\displaystyle x_{i}=x_{0}+ih} のように等間隔な補間ノードの場合、補間誤差は O ( h n ) {\displaystyle (h^{n})} になる。しかし、このことから n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } となったときに何が起きるかはわからない。それについては後述の「収束属性」の節で扱う。
以上から、積 | ∏ (x − xi) | を可能な限り小さくするような補間点 xi の選択がありうることがわかる。これを達成しているのがチェビシェフノード(英語版)である。