ユークリッド環
ユークリッド環の裏にある本質的な考え方は、それが環であって「その任意の元 a と任意の非零元 b に対して、b の倍元の中に a に十分近い元が存在する」という性質を持つということである。もちろん、その環が可除環(あるいは体)であったならば、a × b を倍率として左から b に掛ければ a が得られる。つまり、体や可除環については a に「ちょうど」一致するような b の倍元が存在する。もちろんこのことは一般の環では成立するとは限らない(例えば整数環 Z では成り立たない)から、制約条件は「b の倍元の中に a に十分近い元が存在する」というだけに緩めるのである。
自然な問いとして「次数はどのような集合に値を取るのか」という問題が考えられるが、多くの目的で(特にユークリッドの互除法が自由にできるという目的で)、自然数全体の成す集合 N に値をとるものと定めるのが普通である。自然数全体の成す集合 N の持つ、この文脈で重要になる性質は、それが整列集合を成すことである。