新科学対話
正式な書名は、『機械学及地上運動に関する二つの新しい科学に就ての対話及数学的証明』( イタリア語: Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze)である。構成としては、「第1日」から「第4日」までの4つに分かれ、「第1日」と「第2日」では主に機械学(材料力学、静力学)について述べられ、「第3日」と「第4日」では地上運動(動力学)について述べられている。このほか、冒頭に「ノアイユ伯への献辞」があり、付録として、処女作「立体の重心についての諸定理」が収められている。「立体の重心についての諸定理」は、ガリレオが22歳のときに発見した定理である。
「第1日」から「第4日」まではサグレド(サグレード)、サルヴィアチ(サルヴィアーティ)、シンプリチオ(シンプリーチョ)の3人による対話形式で書かれている。この登場人物は、ガリレオが以前に発表した著作『天文対話』と共通しており、サグレドはヴェネツィア市民、サルヴィアチは新しい科学者、シンプリチオはアリストテレス哲学に通じた学者の役割を担っている。ただし、シンプリチオは『天文対話』では嘲笑の対象とされていたが、本作ではその要素は薄れている。
「第4日」では、等速運動と加速運動を組み合わせた運動、具体的には投射体の運動について述べられている。
それに先立ち、まず、摩擦のない水平面上に沿って物体が投げられた場合を考えた。この場合、物体は同じ速さで永久に運動する。これは要するに慣性の法則を意味している。
次に、この水平面が有限の場合は、水平面上に沿って進む物体が平面の端に達すると、重力によって下向きの力が加わる。そして、この時の物体の軌跡は、半パラボラ(放物線)軌道を描く。そのことを数学的に証明している。投射体がパラボラ軌道を描くことを証明したことは大きな業績の1つと考えられており、トリチェリは、これはガリレオの至高の成果だと述べている。
さらに、仰角が45度の角度で物体を発射すると、物体を最も遠くに飛ばすことが証明されている。このこと自体は、本書以前から大砲の砲手によって経験的に知られていたが、本書ではそれを理論的に導くことに成功した。
「第3日」では、自由落下運動に代表される等加速度運動について、さらに議論を展開した。ガリレオは過去には、等加速度運動では速さの増加は物体が進んだ距離に比例するという、誤った考えを記したこともあった。しかし本書では、この考えは誤りであることが述べられ、速さの増加は時間に比例するという正しい認識にもとづき話を進めている。
等加速度運動を考えるにあたり、ガリレオは、「可動体がある距離を静止からの一様加速運動によって通過する時間は、同じ可動体が同一の距離を、その速さの度合いが先の一様加速運動の最大かつ最終の速さの度合いの半分であるような均等運動で通過する時間に等しい」という定理を証明した。この定理は、それ以前に知られていた「マートン規則(英語版)」と似ている。ただし、ガリレオがマートン規則を知っていたかどうかについては、否定的な見解が存在する。
次に、この定理を使って新たな定理
を証明した。これは要するに、等加速度運動において物体の進む距離は時間の2乗に比例するということを意味する。ガリレオはこれを「系I」として、「速さの度合いが等しい時間において単純な数列に従って増大する場合には、同じ時間における通過距離は単位から始まる奇数列に従って増加する」と表現している。
本書では、この「系I」を説明した後で、サルヴィアチが、自分と著者は何度も実験をしたと語りだし、実験の様子が説明されている。それは、角材に溝を切り、その溝を滑らかに磨いたうえで羊皮紙を貼り付け、角材の一端を持ち上げて斜面を作り、溝に沿って真鍮の球を転がすというものである。