有界作用素
上述のように、二つのノルム空間 X と Y の間の線形作用素 L が有界であることと、連続であることは必要十分である。その証明は次のように与えられる。
L が有界であると仮定する。このとき、X に含まれるすべてのベクトル v および h (h は非ゼロとする)に対し、
‖ L ( v + h ) − L v ‖ Y = ‖ L h ‖ Y ≤ M ‖ h ‖ X {\displaystyle \|L(v+h)-Lv\|_{Y}=\|Lh\|_{Y}\leq M\|h\|_{X}}
が成立する。h をゼロへと収束させることにより、L の v における連続性が示される。また、この定数 M は v に依存しないため、L は実際には一様連続(実際にはさらに強く、リプシッツ連続)である。
逆を考える。L のゼロにおける連続性により、 ‖ L ( h ) ‖ Y = ‖ L ( h ) − L ( 0 ) ‖ Y ≤ 1 {\displaystyle \|L(h)\|_{Y}=\|L(h)-L(0)\|_{Y}\leq 1} が ‖ h ‖ X ≤ δ {\displaystyle \|h\|_{X}\leq \delta } を満たすすべての h ∈ X {\displaystyle h\in X} に対して成立するような定数 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} が存在する。
したがって、X の任意のゼロでない元 v {\displaystyle v} に対し、
‖ L v ‖ Y = ‖ ‖ v ‖ X δ L ( δ v ‖ v ‖ X ) ‖ Y = ‖ v ‖ X δ ‖ L ( δ v ‖ v ‖ X ) ‖ Y ≤ ‖ v ‖ X δ ⋅ 1 = 1 δ ‖ v ‖ X {\displaystyle \|Lv\|_{Y}=\left\|{\|v\|_{X} \over \delta }L\left(\delta {v \over \|v\|_{X}}\right)\right\|_{Y}={\|v\|_{X} \over \delta }\left\|L\left(\delta {v \over \|v\|_{X}}\right)\right\|_{Y}\leq {\|v\|_{X} \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\|v\|_{X}}
が得られる。すなわち、L は有界である。