接続 (ファイバー束)
ジェット j u 1 s {\displaystyle j_{u}^{1}s} を一つ指定すると、点 s u ∈ E {\displaystyle s_{u}\in E} における平面 H s u := s ∗ ( T u M ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s_{u}}:=s_{*}(T_{u}M)} で垂直部分空間と V s u ∩ H s u = { 0 } {\displaystyle {\mathcal {V}}_{s_{u}}\cap {\mathcal {H}}_{s_{u}}=\{0\}} を満たすものが定義できる。逆に V s u ∩ H s u = { 0 } {\displaystyle {\mathcal {V}}_{s_{u}}\cap {\mathcal {H}}_{s_{u}}=\{0\}} を満たす平面 H s u ⊂ T s u E {\displaystyle {\mathcal {H}}_{s_{u}}\subset T_{s_{u}}E} からジェット j u 1 s {\displaystyle j_{u}^{1}s} が1つ定まる事も容易に示せる。
.. , v k ∈ T p P {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in T_{p}P} に対して満たすものをタイプρのテンソル形式(英: tensorial form of type ρ)であるといい、P上のk次のV値微分形式でタイプρのテンソル形式であるもの全体を
A ρ k ( P ; V ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P;V)}
と書く。
ベクトルバンドル E = P × ρ V → M {\displaystyle E=P\times _{\rho }V\to M} を考え、 p ∈ P {\displaystyle p\in P} に対し、
φ p : v ∈ V ↦ [ ( p , v ) ] ∈ E π ( p ) ⊂ P × ρ V = E {\displaystyle \varphi _{p}~:~v\in V\mapsto [(p,v)]\in E_{\pi (p)}\subset P\times _{\rho }V=E}
を商写像とすると、 A ρ k ( P , V ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P,V)} の元は φ p {\displaystyle \varphi _{p}} により A k ( M ; E ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(M;E)} の元と自然に対応する。
主バンドルの接続の場合、平行移動は以下を満たす:
定理 ― 主バンドルの接続は常に完備である。
すなわち、主バンドル π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} の底空間M上の任意の曲線 x ( t ) {\displaystyle x(t)} と x ( t ) {\displaystyle x(t)} の始点 x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} のファイバー P x ( 0 ) {\displaystyle P_{x(0)}} の元pに対し、pの x ( t ) {\displaystyle x(t)} に沿った平行移動が常に定義可能である。
定理 ― 平行移動はGの作用と可換である。
すなわち、 π : P → M {\displaystyle \pi ~:~P\to M} を接続が定義されたG-主バンドルとし、 x ( t ) {\displaystyle x(t)} を底空間M上の曲線とし、 x ( t ) {\displaystyle x(t)} の一点 x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} のファイバーの元 p ∈ P x ( 0 ) {\displaystyle p\in P_{x(0)}} に x ( t ) {\displaystyle x(t)} に沿って平行移動した結果 p ′ ∈ P x ( 1 ) {\displaystyle p'\in P_{x(1)}} を対応させる写像を
ψ ∇ X s = L i f t ( X ) ψ s {\displaystyle \psi _{\nabla _{X}s}=\mathrm {Lift} (X)\psi _{s}}
ここで L i f t ( X ) ψ s {\displaystyle \mathrm {Lift} (X)\psi _{s}} は F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} 上のベクトル場 Y := L i f t ( X ) {\displaystyle Y:=\mathrm {Lift} (X)} により F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} 上の R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 値関数 ψ s {\displaystyle \psi _{s}} の各成分を微分した Y ( ψ s ) {\displaystyle Y(\psi _{s})} の事である。
E → M {\displaystyle E\to M} のフレームバンドル F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} の曲率形式とKoszul接続の曲率形式は以下の関係を満たす:
定理 ― ベクトルバンドル E → M {\displaystyle E\to M} のフレームバンドル F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} に接続形式がωの接続が定義されているとし、この接続の曲率形式をΩとする。
さらにこの接続がEに誘導する接続が定義するKoszul接続を∇とし、 e = ( e 1 , ... , e n ) {\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})} をMの開集合U上定義された F G ( M ) {\displaystyle F_{G}(M)} の切断とし、 Ω ^ e {\displaystyle {\hat {\Omega }}_{e}} を∇のeに関する曲率形式とする。このとき、以下が成立する:
Ω ^ e = e ∗ ( Ω ) {\displaystyle {\hat {\Omega }}_{e}=e^{*}(\Omega )}
曲率概念の意味付けをみるため、いくつかの概念を定義する。 π : E → M {\displaystyle \pi ~:~E\to M} を接続 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が定義されたファイバーバンドルとし、∇をこの接続が定める共変微分とする。
sをMの開集合U上で定義されたEの切断がUの任意の点uとuにおけるUの任意の接ベクトルvに対し、
∇ v s = 0 {\displaystyle \nabla _{v}s=0}
を満たすとき、sは平坦(英: flat)であるという。
定義から明らかなようにsが平坦であるとは、sをUからEへの写像とみなしたとき、sが誘導する写像 s ∗ : T U → T E {\displaystyle s_{*}~:~TU\to TE} によるTUの像が常に水平部分空間に属する事と同値である。
Eの任意の点eに対し、eを通るEの平坦な切断が存在するとき、接続 { H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} は平坦であるという。
H o l 0 ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,{\mathcal {H}},x_{0})} をPにおけるEの H {\displaystyle {\mathcal {H}}} に関する制約ホロノミー群(英: restricted holonomy group)という。
Mが連結である事から(制約)ホロノミー群の群構造はx0によらないので、紛れがなければ H o l ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})} 、 H o l 0 ( E , H , x 0 ) {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,{\mathcal {H}},x_{0})} を単に H o l ( E , H ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}})} 、 H o l 0 ( E , H ) {\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,{\mathcal {H}})} と書く。
このとき以下の条件は同値である:
{ H e } e ∈ E {\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}} が定義する共変微分を∇とすると、 φ ∘ ∇ {\displaystyle \phi \circ \nabla } はKoszul接続の公理を満たす。
任意の λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } 、 e ∈ E {\displaystyle e\in E} に対し、 H λ e = ( m λ ) ∗ ( H e ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\lambda e}=(m_{\lambda })_{*}({\mathcal {H}}_{e})}
ここでmλはベクトル e ∈ E {\displaystyle e\in E} をλ倍した λ e ∈ E {\displaystyle \lambda e\in E} に写す写像とする。
Koszul接続から一般の接続概念を誘導する方法と(上記の定理の条件を満たす)一般の接続概念からKoszul接続を誘導する方法は「逆写像」の関係にあり、上記の定理の条件を満たす一般の接続概念とKoszul接続は1:1に対応する。
が成立するので、上記の定理から、主バンドルの共変外微分dωを使ってベクトルバンドルの共変外微分を以下のように定義できる:
定理 (ベクトルバンドルの共変外微分) ― 合成関数
d ∇ : A k ( M ; E ) ≈ A ρ k ( P ; V ) → d ω A ρ k + 1 ( P ; V ) ≈ A k + 1 ( M ; E ) {\displaystyle d_{\nabla }~:~{\mathcal {A}}^{k}(M;E)\approx {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P;V){\overset {d_{\omega }}{\to }}{\mathcal {A}}_{\rho }^{k+1}(P;V)\approx {\mathcal {A}}^{k+1}(M;E)}
をベクトルバンドル A k ( M ; E ) {\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(M;E)} の共変外微分(英語版)という。