積分判定法
d d x ln k + 1  ( x ) = d d x ln  ( ln k  ( x ) ) = 1 ln k  ( x ) d d x ln k  ( x ) = ⋯ = 1 x ln  ( x ) ⋯ ln k  ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}}
だから
∫ N k ∞ d x x ln  ( x ) ⋯ ln k  ( x ) = ln k + 1  ( x ) | N k ∞ = ∞ . {\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}
となり、積分判定法を用いれば発散することが分かる。
級数 (5) が収束することを証明する。連鎖律および上記の結果により
∫ 1 M 1 x 1 + ε d x = − 1 ε x ε | 1 M = 1 ε ( 1 − 1 M ε ) ≤ 1 ε < ∞ for all M ≥ 1 {\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1}
であり、(1) によって上から
ζ ( 1 + ε ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + ε ≤ 1 + ε ε {\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }}}
と評価できるからである。この結果はリーマンゼータ関数のいくつかの特定の値と比較してみることができる。