リー代数
リー代数が単純 (simple) とは、非自明なイデアルを持たず、可換でないときを言う。リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が半単純とは、根基がゼロであるときを言う。同じことであるが、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} が半単純とは、ゼロでない可換イデアルを持たないときを言う。特に、単純リー代数は半単純である。逆に、任意の半単純リー代数は、その極小イデアルの直和であることが証明できる。この極小イデアルは、自然に決定される単純リー代数である。
リー代数の半単純性の概念は、リー代数の表現の完全可約性(半単純性)と密接に関連している。基礎体 F の標数が 0 のとき、半単純リー代数の任意の有限次元表現は半単純(つまり、既約表現の直和)である。一般に、リー代数が簡約(英語版)(reductive)とは、随伴表現が半単純であるときを言う。したがって、半単純リー代数は簡約である。
リー代数は多くの場合それ自体で研究されているが、歴史的にはリー群の研究のための方法として生まれた。
リーの基本定理は、リー群とリー代数の関係を記述している。特に、任意のリー群はリー代数を標準的に決定し(具体的には、単位元における接空間)、逆に任意のリー代数に対し、対応する連結リー群が存在する(リーの第三定理(英語版)。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(英語版)を参照)。このリー群は一意には決まらないが、同じリー代数をもつ任意の2つの連結リー群は局所同型であり、特に同じ普遍被覆を持つ。例えば、特殊直交群 SO(3)(英語版) と特殊ユニタリ群 SU(2)(英語版) からは、同じリー代数が生じる。これはクロス積をもつ R に同型である。一方、SU(2) は SO(3) の単連結な二重被覆である。
リー群が与えられると、リー代数を次のいずれかの方法によって結びつけることができる。単位元における接空間に随伴写像の微分を与えるか、あるいは、例の中で述べたように、左不変ベクトル場を考える。実行列群の場合、リー代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} は、全ての実数 t に対し exp(tX) ∈ G となるような行列 X 全体から構成される。ここに exp は行列の指数関数である。
リー群に付随するリー代数の例を挙げる。
群 G L n ( C ) {\displaystyle {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {C} )} のリー代数 g l n ( C ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )} は、複素 n×n 行列全体からなる代数である。
G が単連結であれば、リー代数関手は、リー群の準同型 G → H たちとリー代数の準同型 L(G) → L(H) たちの間の全単射を確立する。
上記の普遍被覆群は指数写像によるリー代数の像として構成することができる。より一般的に、リー代数は単位元の近傍に同相である。しかし大域的には、リー群がコンパクトであれば指数写像は単射ではなく、リー群が連結、単連結、あるいはコンパクトでなければ、指数写像は全射とは限らない。
リー代数が無限次元であれば、問題はより微妙なものとなる。多くの例では、指数写像は局所的にさえ同相写像でない(例えば、Diff(S) において、exp の像に入らないような単位元にいくらでも近い微分同相写像を見つけることができる)。さらに、無限次元リー代数には、どんな群のリー代数でもないようなものがある。
リー代数とリー群の間の対応はいろいろなことに使われる。例えば、リー群の分類(英語版)や、それに関連してリー群の表現論の問題。リー代数の全ての表現は、対応する連結で単連結なリー群の表現に一意的に持ち上がり、逆に、任意のリー群のすべての表現は、そのリー群のリー代数の表現を誘導する。表現は 1 対 1 に対応する。従って、リー代数の表現を知ることで、群の表現の問題が解決される。
分類に関しては、与えられたリー代数をもつ任意の連結リー群は普遍被覆をある離散的な中心的部分群で割ったものに同型であることを示すことができる。従って、リー群の分類は、リー代数の分類が分かってしまえば(半単純な場合は、カルタンらにより解かれた)、単純に中心の離散部分群を数えあげる問題となる。