P進ホッジ理論
フォンテーヌは、BdR、Bst、Bcris、BHTといった GK の作用とある種の線形代数的構造を持つ周期環と呼ばれる環をつくり、周期環 B と p 進表現 V に対して、いわゆるデュドネ加群
D B ( V ) = ( B ⊗ Q p V ) G K {\displaystyle D_{B}(V)=(B\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V)^{G_{K}}}
を考えるという p 進ホッジ理論の研究手法を考案した。デュドネ加群は GK 作用は持たないが、線型代数的構造を B から受け継いでおり、 特に固定体 E := B G K {\displaystyle E:=B^{G_{K}}} 上のベクトル空間になっている。この記号を使ってフォンテーヌによる B 許容表現(英語版)の理論に当てはめることにより、先の p 進表現の部分圏は定義される。すなわち、* を HT、dR、st、crisのいずれかとすると、圏 Rep∗(K)は周期環 B∗ に対して
dim E  D B ∗ ( V ) = dim Q p  V {\displaystyle \dim _{E}D_{B_{\ast }}(V)=\dim _{\mathbf {Q} _{p}}V}
が成り立つ、もしくは、同じことであるが、 比較射(英語版)
α V : B ∗ ⊗ E D B ∗ ( V ) ⟶ B ∗ ⊗ Q p V {\displaystyle \alpha _{V}:B_{\ast }\otimes _{E}D_{B_{\ast }}(V)\longrightarrow B_{\ast }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}V}
60年代半ば、テイトは、K 上の固有かつ滑らかなスキーム X に対して、同様の同型写像が代数的ド・ラーム・コホモロジーと p 進エタール・コホモロジーの間に存在するだろうと予想した(ホッジ・テイト予想、CHT とも表記される)。予想を述べるためにいくつか記号を導入する。CK を K の代数的閉包の 完備化、CK(i) を CK に GK を g·z = χ(g)g·z で作用させたもの(χ は p 進円分指標、i は整数)、そして B H T := ⊕ i ∈ Z C K ( i ) {\displaystyle B_{\mathrm {HT} }:=\oplus _{i\in \mathbf {Z} }\mathbf {C} _{K}(i)} と置く。テイトの予想とは、GK 作用を持つ次数付きベクトル空間としての同型
B H T ⊗ K g r H d R ∗ ( X / K ) ≅ B H T ⊗ Q p H e ́ t ∗ ( X × K K ̄ , Q p ) {\displaystyle B_{\mathrm {HT} }\otimes _{K}\mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }(X/K)\cong B_{\mathrm {HT} }\otimes _{\mathbf {Q} _{p}}H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{\ast }(X\times _{K}{\overline {K}},\mathbf {Q} _{p})}
が存在し、かつこれは関手間の同型射となるであろうというものである( g r H d R ∗ {\displaystyle \mathrm {gr} H_{\mathrm {dR} }^{\ast }} はド・ラーム・コホモロジーのホッジ・フィルトレーションに随伴する次数付き環)。