リース＝ソリンの定理
‖ F f ‖ L q ( R d ) ≤ ‖ f ‖ L p ( R d ) ‖ f ^ ‖ l q ( Z ) ≤ ‖ f ‖ L p ( T ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\mathcal {F}}f\right\|_{L^{q}(\mathbf {R} ^{d})}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\\\left\|{\hat {f}}\right\|_{\ell ^{q}(\mathbf {Z} )}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {T} )}.\end{aligned}}}
ただし 1 ≤ p ≤ 2 かつ 1/p + 1/q = 1 である。これはハウスドルフ=ヤングの不等式である。
ハウスドルフ=ヤングの不等式はまた、局所コンパクトアーベル群上のフーリエ変換に対しても成立することが示される。ここで 1 のノルム評価は最適ではないことに注意されたい。例えばハウスドルフ=ヤングの不等式の記事を参照されたい。