部分リーマン多様体の接続と曲率
次に我々はパッフィアンを使ってオイラー形式を定義する。
定義 (オイラー形式) ― m=2kを偶数とし、Mをm次元の向きづけられたリーマン多様体とし、 e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} を開集合 U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} におけるTMの正規直交基底でMと同じ向きを持つものとし、 Ω = ( Ω i j ) i j {\displaystyle \Omega =(\Omega ^{i}{}_{j})_{ij}} を e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} に関するMの曲率形式とする。このとき、
e u ( Ω ) = P f ( Ω 2 π ) = 1 ( 2 π ) k P f ( Ω ) {\displaystyle \mathrm {eu} (\Omega )=\mathrm {Pf} \left({\Omega \over 2\pi }\right)={1 \over (2\pi )^{k}}\mathrm {Pf} (\Omega )}
をオイラー形式(英: Euler form)もしくはガウス・ボンネ被積分関数(英: Gauss-Bonnet integrand)という。
上記の定義に関して3つ補足する。
実はこの2つは以下の関係を満たす:
定理 ― X、YをM上のベクトル場とするとき、Mの任意の点Pに対し、以下が成立する:
P r P ( ∇ ̄ X M Y | P ) = ∇ X Y | P {\displaystyle \mathrm {Pr} _{P}({\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y|_{P})=\nabla _{X}Y|_{P}}
ここで P r P {\displaystyle \mathrm {Pr} _{P}} は、 T P M ̄ {\displaystyle T_{P}{\bar {M}}} の元の接ベクトル空間TPMへの射影
P r P : T P M ̄ → T P M {\displaystyle \mathrm {Pr} _{P}~:~T_{P}{\bar {M}}\to T_{P}M}
である。
∑ σ ∈ S m s g n ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) ⋯ a σ ( m − 1 ) σ ( m ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (A)={1 \over 2^{k}k!}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{m}}\mathrm {sgn} (\sigma )a^{\sigma (1)\sigma (2)}\cdots a^{\sigma (m-1)\sigma (m)}} .
ここで S m {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{m}} は対称群であり、 s g n ( σ ) {\displaystyle \mathrm {sgn} (\sigma )} は置換σの符号である。
パッフィアンは行列式の平方根である:
定理 ― m=2k次の歪対称行列 A = ( a i j ) i j {\displaystyle A=(a^{ij})_{ij}} に対し、以下が成立する:
P f ( A ) 2 = d e t ( A ) {\displaystyle \mathrm {Pf} (A)^{2}=\mathrm {det} (A)} .
なお本節で我々は偶数次の歪対称行列に対して行列式の平方根がパッフィアンと一致する事を見たが、奇数次の歪対称行列の場合は行列式は常に0になる事が知られている。よって奇数次の場合には「行列式の平方根」も0になる。
g ( R ̄ ( e i , e j ) e l , e k ) {\displaystyle g({\bar {R}}(e_{i},e_{j})e_{\ell },e_{k})} = c g ( e i , e l ) e ( e j , e k ) − c g ( e i , e k ) g ( e j , e l ) {\displaystyle =cg(e_{i},e_{\ell })e(e_{j},e_{k})-cg(e_{i},e_{k})g(e_{j},e_{\ell })} = { c if ( i , j ) = ( k , l ) 0 otherwise {\displaystyle ={\begin{cases}c&{\text{if }}(i,j)=(k,\ell )\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
が成立する。
以上から、i>j、k>lを満たすi, j, k, lに対し、
(1)の右辺 = { c + κ i κ j if ( k , l ) = ( i , j ) 0 otherwise {\displaystyle ={\begin{cases}c+\kappa _{i}\kappa _{j}&{\text{if }}(k,\ell )=(i,j)\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}
が成立する。
( e i ∧ e j ) i , j = 1 , ... , m s.t. i < j {\displaystyle (e_{i}\wedge e_{j})_{i,j=1,\ldots ,m{\text{ s.
断面曲率と第二基本形式の関係と主曲率の定義から、特に以下の系が成立する:
系 (断面曲率と主曲率の関係) ― 埋め込み M ⊂ M ̄ {\displaystyle M\subset {\bar {M}}} が余次元1の埋め込みで、 e 1 , ... , e m {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}} が点 P ∈ M {\displaystyle P\in M} における主方向で κ 1 , ... , κ m {\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}} を対応する主曲率とする。このときi≠jを満たす任意のi, j ∈{1,...,m}に対し、以下が成立する:
S e c ( e i , e j ) = S e c ̄ ( e i , e j ) + κ i κ j {\displaystyle \mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})={\overline {\mathrm {Sec} }}(e_{i},e_{j})+\kappa _{i}\kappa _{j}}
ここで S e c P ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(\cdot ,\cdot )} 、 S e c ̄ P ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle {\overline {\mathrm {Sec} }}_{P}(\cdot ,\cdot )} はそれぞれ'M'、Mの断面曲率である。