オンシェルとオフシェル
α μ ∂ μ L = ∂ L ∂ φ δ φ + ∂ L ∂ ( ∂ μ φ ) δ ( ∂ μ φ ) {\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )}
を得る。しかし場自身はスカラーであるので、これらの変換はちょうど L {\displaystyle {\mathcal {L}}} のようになり、
α μ ∂ μ L = ∂ L ∂ φ α μ ∂ μ φ + ∂ L ∂ ( ∂ ν φ ) α μ ∂ μ ∂ ν φ {\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi }
となる。この式は独立した変換 α μ = ( ε , 0 , . . . , 0 ) , ( 0 , ε , . . . , 0 ) , . . .