カプラン＝マイヤー推定量
カプラン=マイヤー推定量は、ハザード関数の最尤推定から導出できる。より具体的には、イベントの数を d i {\displaystyle d_{i}} 、時刻 t i {\displaystyle t_{i}} でのリスクのある個人の総数を n i {\displaystyle n_{i}} とすると、離散ハザード率 h i {\displaystyle h_{i}} は、時刻 t i {\displaystyle t_{i}} でイベントが発生した個人の確率として定義できる。この場合、生存率は次のように定義でき、
S ( t ) = ∏ i : t i ≤ t ( 1 − h i ) {\displaystyle S(t)=\prod \limits _{i:\ t_{i}\leq t}(1-h_{i})}
時刻 t i {\displaystyle t_{i}} までのハザード関数に対する尤度関数は、
L ( h j : j ≤ i ∣ d j : j ≤ i , n j : j ≤ i ) = ∏ j = 1 i h j d j ( 1 − h j ) n j − d j {\displaystyle {\mathcal {L}}(h_{j:j\leq i}\mid d_{j:j\leq i},n_{j:j\leq i})=\prod _{j=1}^{i}h_{j}^{d_{j}}(1-h_{j})^{n_{j}-d_{j}}}
となり、したがって対数尤度は次のようになる。
カプラン=マイヤー推定量のプロットは、一連の減少する水平ステップの系列であり、十分に大きな標本サイズの時に、その母集団の真の生存関数に近づく。連続する別個のサンプリングされた観測値(カチッと音がする)間の生存関数の値は一定であると仮定される。
カプラン=マイヤー曲線の重要な利点は、この手法がいくつかのタイプの打ち切りデータ、特に患者が研究から離脱した場合、またはフォローアップに失敗した場合、またはイベントなしで生存している場合に発生する「右側打ち切り」(right-censoring)を考慮に入れることができることである。プロット上では、小さな縦の目盛りが、生存時間が右側打ち切りされた個々の患者を示している。切り捨てや打ち切りが行われない場合、カプラン=マイヤー曲線は、経験分布関数(英語版)の補集合である。
医学統計学(英語版)では、一般的な応用例として、たとえば遺伝子Aプロファイルを持つ患者と遺伝子Bプロファイルを持つ患者のように、患者をカテゴリーに分類することがある。このグラフでは、遺伝子Bを持つ患者は、遺伝子Aを持つ患者よりも早く死亡する。2年後の生存率は、遺伝子Aの患者では約80%だが、遺伝子Bの患者では半分未満である。
カプラン=マイヤー推定量を作成するには、各患者(または各被験者)について、少なくとも2個のデータが必要である。それらは、最後の観察時の状態(イベント発生または右側打ち切り)と、イベント発生までの時間(または打ち切りまでの時間)の対からなる。2つ以上のグループ間の生存関数を比較する場合、3番目のデータが必要で、それは各被験者のグループ割り当てである。
確率変数 τ {\displaystyle \tau } (タウ)を、関心のあるイベントが起こるまでの時間と考えよう(ただし、 τ ≥ 0 {\displaystyle \tau \geq 0} である)。上に示したように、目的は、 τ {\displaystyle \tau } の潜在的な生存関数 S {\displaystyle S} を推定することである。この関数は、
S ( t ) = Prob  ( τ > t ) {\displaystyle S(t)=\operatorname {Prob} (\tau >t)}
として定義され、 t = 0 , 1 , ... {\displaystyle t=0,1,\dots } は時間であることを思い出そう。
τ 1 , ... , τ n ≥ 0 {\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{n}\geq 0} を独立した同一分布の確率変数とし、その一般分布は τ {\displaystyle \tau } で、 τ j {\displaystyle \tau _{j}} は、あるイベント j {\displaystyle j} が発生した確率的な時間としよう。 S {\displaystyle S} を推定するために利用できるデータは、 ( τ j ) j = 1 , ...
必要に応じて、デルタ法をもう一度使用して、
そして、カプラン=マイヤー推定量は、
S ^ ( t ) = ∏ s = 0 t q ^ ( s ) . {\displaystyle {\hat {S}}(t)=\prod _{s=0}^{t}{\hat {q}}(s).}
で与えられる。
記事の冒頭で述べた推定量の形式は、さらにいくつかの代数を用いて得られる。そのためには、 q ^ ( s ) = 1 − d ( s ) / n ( s ) {\displaystyle {\hat {q}}(s)=1-d(s)/n(s)} と記述する。ここで、保険数理の用語を用いて、 d ( s ) = | { 1 ≤ k ≤ n : τ ~ k = s } | {\displaystyle d(s)=|\{1\leq k\leq n\,:\,{\tilde {\tau }}_{k}=s\}|} は時刻 s {\displaystyle s} における既知の死亡者数であり、 n ( s ) = | { 1 ≤ k ≤ n : τ ~ k ≥ s } | {\displaystyle n(s)=|\{1\leq k\leq n\,:\,{\tilde {\tau }}_{k}\geq s\}|} は時刻 s − 1 {\displaystyle s-1} において生存している人の数とする。
なお、 d ( s ) = 0 {\displaystyle d(s)=0} であれば、 q ^ ( s ) = 1 {\displaystyle {\hat {q}}(s)=1} であることに注意を要する。