フレアーホモロジー
この問題についての論文は、深谷, Oh, 小野, と太田によっていて;最近のラロンデとコルニートの「クラスタホモロジー」が別のアプローチを提供しています。ラグランジュ部分多様体のペアに対していつでもこの方法が適用でないが、ハミルトニアンイソトピーを使うと、この問題を解消することができる。
フレアーホモロジーのいくつかの種類は、ラグランジアンフレアーホモロジーの特別な場合である。Μ のシンプレクティック同相のシンプレクティックフレアーホモロジーは、ラグランジアンフレアーホモロジーの一種と考えることができる。そこでは、周囲の多様体が M であり M と交差し、ラグランジアン部分多様体はシンプレクティック同相の対角とグラフである。ヒーガードフレアーホモロジーは、3次元多様体のヒーガード分解を使い定義された総実部分多様体のラグランジアンフレアーホモロジーの変形を基礎としている。ザイデル・スミスとマノレスクは絡み目不変量をラグランジアンフレアーホモロジーとして構成し、コバノフホモロジーが組み合わせ的に定義された絡み目不変量に一致すると予想した。
コンパクト多様体のハミルトニアンシンプレクティック写像のシンプレクティック フレアーホモロジーは、基礎となっている多様体の特異ホモロジーと同型である。このようにして、その多様体のベッチ数の和が、非退化なシンプレクティック写像の固定点の数に対するアーノルド予想の一つのバージョンで予想される下界を意味する。ハミルトニアンシンプレクティック写像の SFH もまた、量子コホモロジーと同値な変形されたカップ積であるパンツペアの積を持っている。積のバージョンでは、完全でないハミルトニアンシンプレクティック写像に対しても存在する。
多様体 M の余接バンドルについて、フレアーホモロジーは非コンパクトであるために、ハミルトニアンの選択に依存している。無限遠点で二乗になっているハミルトニアンに対して、フレアーホモロジーは M の自由ループ空間の特異ホモロジーになっている(このステートメントに対しては、様々なバージョンの証明がある。Viterboによるもの、Salamon-Weberによるもの、Abbondandolo-Schwarzによるもの、Cohenによるもの)。基礎となる多様体のループ空間のホモロジー上の位相的弦理論に対応する余接バンドルのフレアーホモロジーの上の作用素は、さらに複雑になっている。
フレアーホモロジーのシンプレクティックバージョンは、ホモロジカルミラー対称性予想の定式化の中で決定的な方法となっている。