クロネッカーのデルタ
∑ 1 ≤ ν 1 < ⋯ < ν p ≤ n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p a [ ν 1 ⋯ ν p ] = a [ μ 1 ⋯ μ p ] ∑ 1 ≤ μ 1 < ⋯ < μ p ≤ n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p a [ μ 1 ⋯ μ p ] = a [ ν 1 ⋯ ν p ] ∑ 1 ≤ ν 1 < ⋯ < ν p ≤ n δ ν 1 ⋯ ν p μ 1 ⋯ μ p δ ρ 1 ⋯ ρ p ν 1 ⋯ ν p = δ ρ 1 ⋯ ρ p μ 1 ⋯ μ p {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq \nu _{1}<\dots <\nu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}a^{\lbrack \nu _{1}\cdots \nu _{p}\rbrack }&=a^{\lbrack \mu _{1}\cdots \mu _{p}\rbrack }\\\sum _{1\leq \mu _{1}<\dots <\mu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}a_{\lbrack \mu _{1}\cdots \mu _{p}\rbrack }&=a_{\lbrack \nu _{1}\cdots \nu _{p}\rbrack }\\\sum _{1\leq \nu _{1}<\dots <\nu _{p}\leq n}\delta _{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}\delta _{\rho _{1}\cdots \rho _{p}}^{\nu _{1}\cdots \nu _{p}}&=\delta _{\rho _{1}\cdots \rho _{p}}^{\mu _{1}\cdots \mu _{p}}\end{aligned}}}
この節では、添字は 1 から n の間の値をとるものとする。
2階(1, 1)型テンソルとしてのクロネッカーのデルタは
δ ν μ = { 1 ( μ = ν ) 0 ( μ ≠ ν ) {\displaystyle \delta _{\nu }^{\mu }={\begin{cases}1&\quad (\mu =\nu )\\0&\quad (\mu \neq \nu )\end{cases}}}
である。
これを高階に拡張したものとして、n 次元、2p 階の一般化されたクロネッカーのデルタがある。これは (p, p) 型テンソルで、上下それぞれの添字に対して反対称である。