分岐群 (数学)
H {\displaystyle H} を G {\displaystyle G} の正規部分群とすると、 σ ∈ G {\displaystyle \sigma \in G} に対して i G / H ( σ ) = 1 e L / K ∑ s ↦ σ i G ( s ) {\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)} が成り立つ。
これと先ほどの式をあわせると、 H {\displaystyle H} に対応する部分拡大 F / K {\displaystyle F/K} に対して
v F ( D F / K ) = 1 e L / F ∑ s ∉ H i G ( s ) {\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s)}
が成り立つ。
s ∈ G i , t ∈ G j , i , j ≥ 1 {\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1} とすると、 s t s − 1 t − 1 ∈ G i + j + 1 {\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}} が成り立つ。ラザール(英語版)の言葉を使うならば、これはリー代数 gr  ( G 1 ) = ∑ i ≥ 1 G i / G i + 1 {\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}} がアーベルであるということになる。