角谷の不動点定理
角谷の定理の内容は次のようになる:
S を、ユークリッド空間 R の空でないコンパクト凸部分集合とする。φ: S → 2 を S 上の集合値函数で、閉グラフと次の性質を備えるものとする:φ(x) は x ∈ S に対して空でない凸集合である。このとき、φ は不動点を持つ。
経済学における一般均衡の理論において、角谷の定理は、すべての市場における需要と供給を同時に等しいものとする価格の集合の存在を示すために用いられる。そのような価格の存在は、少なくともレオン・ワルラスの時代にはすでに経済学における未解決問題として知られていた。その最初の証明は、ライオネル・マッケンジーによって与えられた。
この場合、S は商品価格のタプルの集合である。φ(x) は、価格タプル x が至る所で需要と供給を等しいものとしない限り、その引数とは異なる結果をもたらす函数として選ばれる。ここでは、このような性質を持ちながら、同時に角谷の定理の条件を満たす φ を構成することを目指す。これが達成されれば、定理より φ は不動点を持つこととなる。この構成方法より、そのような不動点は需要と供給を至る所で等しいものとする価格タプルに対応する。