ベクトル空間
ベクトルの「測度」は、ベクトルの長さを測るノルムや、ベクトルの間の角を測る内積を決めることによって与えられる。ノルムが定義されたベクトル空間をノルム空間とよび、ノルムを |v| のように表す。内積が定義されたベクトル空間を内積空間と呼び、 内積は⟨v, w⟩ のように表す。内積空間は付随するノルム
| v | := ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle |{\boldsymbol {v}}|:={\sqrt {\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}}\rangle }}}
を持つ。
数ベクトル空間 F は標準内積
x ⋅ y = x 1 y 1 + ⋯ + x n y n {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {y}}=x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}}
を備えている。これは R においてよくある二つのベクトル x, y の成す角 θ の概念を余弦定理
この空間は x + V(V による W の剰余類)であり、v ∈ V に対する x + v の形のベクトル全てからなる。重要な例は、非斉次の線型方程式系
A x = b {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}
の解空間である。これは斉次の場合、つまり b = 0 の場合を一般化するものである。この解空間は、方程式の特殊解 x と、付随する斉次方程式の解空間(つまり A の核空間)V に対するアフィン部分空間 x + V である。
固定された有限次元ベクトル空間 V の一次元線型部分空間全体の成す集合は射影空間と呼ばれる。これは平行線が無限遠において交わるという概念の定式化に用いられる。グラスマン多様体(英語版)および旗多様体(英語版)はそれぞれ、決まった次元 k の線型部分空間および旗(英語版)と呼ばれる線型部分空間の包含列を径数付けることによる、射影空間の概念の一般化である。
上記の具体的な公式は、より一般のポントリャーギン双対と呼ばれる双対性からの帰結である。加法群 R にこの双対性を適用すれば古典的なフーリエ変換が得られる。また物理学では逆格子に応用される。これは有限次元実線型空間に付加的なデータとして原子や結晶の位置を符号化した束を与えたものを基礎の群として双対性を適用したものである。
フーリエ級数は偏微分方程式の境界値問題を解くのにも利用される。1822年にフーリエが初めてこの方法を熱方程式を解くために用いた。フーリエ級数の離散版は標本化において、函数値が等間隔に並んだ有限個の点でしかわかっていないところで用いられる。この場合、フーリエ級数は有限項で、その値は全ての点で標本値に等しい。また、係数全体の成す集合は、与えられた標本列の離散フーリエ変換 (英: DFT : Discrete Fourier Transformation) と呼ばれる。この DFT は(レーダーや音声符号化や画像圧縮などに応用を持つ)デジタル信号処理の重要な道具の一つである。画像フォーマットJPEGは、近しい関係にある離散余弦変換の応用である。
高速フーリエ変換は離散フーリエ変換を高速に計算するアルゴリズムである。これはフーリエ係数の計算だけでなく、畳み込み定理を用いて、二つの有限列の畳み込みを計算するのにも利用できる。また、デジタルフィルタや、巨大な整数や多項式の高速な掛け算アルゴリズム(英語版)(ショーンハーゲ・ストラッセン法)にも応用できる。
斉次線型方程式系はベクトル空間と近しい関係にある。例えば方程式系

の解の全体は、任意の a に対して a, b = a/2, c = −5a/2 の三つ組として与えられる。これらの三つ組の成分ごとの加算とスカラー倍はやはり同じ比を持つ三つの変数の組であるから、これも解となり、解の全体はベクトル空間を成す。行列を使えば上記の複数の線型方程式を簡略化して一つのベクトル方程式、つまり
A x = 0 , A = [ 1 3 1 4 2 2 ] {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}},\quad A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}
にすることができる。ここで A は与えられた方程式の係数を含む行列、x はベクトル (a, b, c) であり、Ax は行列の積を、0 = (0, 0) は零ベクトルをそれぞれ意味する。同様の文脈で、斉次の線型微分方程式の解の全体もまたベクトル空間を成す。例えば、
を解けば、a, b を任意の定数として f(x) = ae + bxe が得られる。ただし e は自然指数函数である。