オイラーの五角数定理
| Q 0 ( n ) | − | Q 1 ( n ) | = { ( − 1 ) k if n = k ( 3 k ± 1 ) 2 , k ∈ N 0 otherwise {\displaystyle |{\mathcal {Q}}^{0}(n)|-|{\mathcal {Q}}^{1}(n)|={\begin{cases}(-1)^{k}&{\mbox{if }}n={\frac {k(3k{\pm }1)}{2}},k\in \mathbb {N} \\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}
が成立する。例えば、整数12を偶数個の互いに異なる自然数に分割する方法は
12=11+1
12=10+2
12=9+3
12=8+4
12=7+5
12=6+3+2+1
12=5+4+2+1
であり、奇数個の互いに異なる自然数に分割する方法は
12=12
12=9+2+1
12=8+3+1
12=7+4+1
12=7+3+2
12=6+5+1
12=6+4+2
12=5+4+3
であるから、左辺は 7 − 8 = − 1 {\displaystyle 7-8=-1} である。一方、 12 = 3 ( 3 ⋅ 3 − 1 ) 2 {\displaystyle 12={\frac {3(3\cdot 3-1)}{2}}} であるから、右辺も ( − 1 ) 3 = − 1 {\displaystyle (-1)^{3}=-1} である。