完備半順序
実はこの場合の ≤ は有界完備(英語版)にもなる。この例からは、最大元を持つことが常に自然とは言えない理由も示されている。
任意のsoberな空間(英語版)の特殊化順序(英語版)は有向完備半順序集合である。
因果関係 (consequence) で閉じているような文の集合として「演繹系(英語版)」と言う言葉を用いることにする(ここで用いる意味の consequence の定義は例えば Tarski's algebraic approach)。有向完備半順序集合となるような演繹系の集合に注目した重要な定理がいくつも存在する。また、演繹系の集合には自然な仕方で最小元を選ぶことができる(だから完備半順序集合にもなる)。これは空集合の因果関係全体の成す集合(つまり、論理的に証明可能 / 論理的に意味を持つ文全体の成す集合)が演繹系であり、任意の演繹系に含まれることによる。