ガウス整数
ここでは、ガウス整数環の素因数分解の一意性の簡単な応用例として、ピタゴラス数のうち、互いに素であるものは全て次の公式
(m − n, 2mn, m + n)
で与えられることを確かめる。
(a, b, c) を原始ピタゴラス数とする。すなわち
a + b = c
であって a, b, c は互いに素とする。簡単に分かるように、a と b は偶奇が異なり、c は奇数である。左辺を因数分解して
(a + bi)(a − bi) = c
を得る。ガウス素数 a + bi と a − bi は互いに素である。実際、あるガウス素数 α が両方を割り切るとすると、その和や差も割り切るので、2a と 2b を割り切る。a と b は互いに素であるので、α は 2 を割り切る。α は c も割り切るので、c が奇数であることに矛盾する。したがってそのようなガウス素数 α は存在しない。
互いに素である a + bi と a − bi の積が平方数であるので、それぞれ平方数と同伴である(ここで素因数分解の一意性を用いた)。例えば a + bi = (m + ni) とおくと、上記の公式を得る。同伴の違いは符号の違いや a と b の入れ替えを与えるのみである。実際に公式が原始ピタゴラス数を与えるためには、m, n は互いに素で偶奇が異なり、m > n である必要がある。