代数函数体
代数函数体を研究する重要なツールは、絶対値、付値、座(英語版)(absolute values, valuations, places)と付値体の完備化である。
一変数の代数函数体 K/k が与えられたとき、K/k の付値環を定義する。この環は k を含み k とも K とも異なる K の部分環 O であり、K の任意の元 x に対し、x∈O、もしくは x∈O となるようなものである。そのような付値環は、離散付値環であり、その極大イデアルを K/k の座と呼ぶ。
K/k の離散付値は、全射函数 v : K→Z∪{∞} であって以下を満たすものである。v(x) = ∞ と x = 0 は同値であり、すべての x, y∈K に対し v(xy) = v(x) + v(y) および v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) が成り立ち、すべての a∈k\{0} に対し v(a) = 0 が成り立つ。
K/k の付値環の集合、K/k の座の集合、K/k の離散付値の集合の間には自然な全単射の対応が存在する。これらの集合に自然な位相構造を与えることができ、K/k のザリスキー・リーマン空間(英語版)(Zariski–Riemann space)となる。k が代数的閉体の場合、K/k のザリスキー・リーマン空間は k 上滑らかな曲線であり、K はこの曲線の函数体である。
k 上の次元 n の代数多様体の函数体は、k 上の n 変数の代数函数体である。
k 上の 1 変数の函数体は、本質的に正則(英語版)(regular)(つまり、滑らかで非特異な)射影既約代数曲線の函数体として生ずるので、n = 1 の場合(スキームの意味で既約代数曲線)は、特に重要である。事実、正規射影既約代数曲線(非定数の正則写像を射として持つ)の圏と、k 上の(射として k-線形体準同型をもつ)一変数函数体の圏との間の圏の双対性(反変同値)が存在する。
連結なリーマン面 X 上に定義された有理型函数の体 M(X) は、複素数 C 上の一変数函数体である。実際、M は、コンパクトで連結なリーマン面の圏(非定数の正則写像を射としてもつ)と C 上の一変数函数体との間の反変圏同値である。同様な対応が、コンパクトで連結なクライン曲面(英語版)(Klein surface)と R 上の一変数函数体との間にも存在する。