超球面
四元射影直線(英語版) HP に等しい。SO(5)/SO(4).
任意の(0を含む)自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は (n + 1) 次元ユークリッド空間のある固定された点 c から距離 r にある点全体の集合として定義される。ここで r は任意の正の実数でよく、c は (n + 1) 次元空間の任意の点でよい。特に:
零次元球面は点のペア {c − r, c + r} であり、線分(一次元球体)の境界である。
一次元球面は中心が c にある半径 r の円であり、円板(二次元球体)の境界である。
二次元球面は三次元ユークリッド空間内の通常の二次元球面であり、通常の球体(三次元球体)の境界である。
三次元球面は四次元ユークリッド空間内の球面である。
x 1 = r cos  ( φ 1 ) x 2 = r sin  ( φ 1 ) cos  ( φ 2 ) x 3 = r sin  ( φ 1 ) sin  ( φ 2 ) cos  ( φ 3 ) ⋮ x n − 1 = r sin  ( φ 1 ) ⋯ sin  ( φ n − 2 ) cos  ( φ n − 1 ) x n = r sin  ( φ 1 ) ⋯ sin  ( φ n − 2 ) sin  ( φ n − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\&\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\,.\end{aligned}}}
下で述べる特別な場合を除いて逆変換は一意である:
一般に、n-次元ユークリッド空間内の n-次元球体および (n + 1)-次元ユークリッド空間内の n-次元球面の n-次元体積は、いずれも半径 R の n-乗に比例する。そこで、半径 R の n-次元球の体積を Vn(R) = VnR, n-次元球面の体積を Sn(R) = SnR と書いて、これら比例定数の成す数列 Vn, Sn の性質を記述する。
ラジアンで角度を表すとき、n 次元ユークリッド空間における体積要素は変換
d n V = | det ∂ ( x i ) ∂ ( r , φ j ) | d r d φ 1 d φ 2 ⋯ d φ n − 1 = r n − 1 sin n − 2  ( φ 1 ) sin n − 3  ( φ 2 ) ⋯ sin  ( φ n − 2 ) d r d φ 1 d φ 2 ⋯ d φ n − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}\\[6pt]&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}\end{aligned}}}
のヤコビアンから見つかるだろう、そして n 次元球の体積の上記の等式は
単位八元数の集合として位相的擬群構造。S 上主 Sp(1) 束。平行化可能。SO(8)/SO(7) = SU(4)/SU(3) = Sp(2)/Sp(1) = Spin(7)/G2 = Spin(6)/SU(3). 7 次元球面は特に面白いなぜなら最初の異種球面(英語版)が発見されたのはこの次元においてだったから。