半単純環
環 A が半単純であるとは、A を左 A-加群と見て A が半単純であることをいう。驚くべきことに、"左半単純環"は"右半単純環"であり、逆もまた然り。可換体上の(単位元をもつ結合的)多元環が半単純であるとは、それが環として半単純であるときにいう。
A を左 A-加群と見たときにその部分加群は A の左イデアルであるから、以下は同値である。
A は半単純環である。
A は、左 A-加群と見て、左極大イデアル I による剰余加群 A/I の(有限個とは限らない)族の直和に同型である。
A の任意の左イデアル I に対して左イデアル J が存在し、A は I と J の直和になる。つまり、A の任意の元 x に対し、I の元 y と J の元 z の組が一意的に存在し、x = y + z と書ける。