体球調和関数
u = cosθ と書くと、ルジャンドル多項式の m 階導関数は次のような u の多項式で書ける。
d m P l ( u ) d u m = ∑ k = 0 ⌊ ( l − m ) / 2 ⌋ γ l k ( m ) u l − 2 k − m {\displaystyle {\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}}
ここで
γ l k ( m ) = ( − 1 ) k 2 − l ( l k ) ( 2 l − 2 k l ) ( l − 2 k ) ! ( l − 2 k − m ) ! .