ブレイド群
ブレイド関係式の語の問題(英語版)(word problem)は、有効に解くことができ、Bn の元を生成子 σ1, ..., σn−1 の項として正規化して表す表現方法が存在する。(本質的には、ブレイドの正規化形式を計算することは、上の図の第二の図式で説明されているように、糸の引っ張ることの代数的な類似物である。)GAP (数式処理システム)は、元がこれらの生成子の項で与えられれば、Bn の計算を実行することができる。 また、GAP3 の CHEVIE と呼ばれるシステムでは、特別な種類のブレイド群をサポートしている。語の問題は、ローレンス・クラマー表現(英語版)(Lawrence-Krammer representation)を通した有効に解くことができるかという問題でもある。
それにもかかわらず、ブレイド群についての計算問題は非常に困難な問題があるため、暗号理論への応用が提案されている。
数学において、n 本の糸のブレイド群(braid group)(組みひも群とも呼ぶ)は、Bnと記し、直感的には幾何学的に描かれる群であり、ある意味で 対称群 Sn を一般化する。ここに n は自然数であり、n > 1 であれば、Bn は無限群(英語版)(infinite group)である。ブレイド群は、結び目をあるブレイド(組みひも)の閉じた形として表現することができるので、結び目理論に応用を持つ。
ブレイド群 Bn の元は、行列によりより具体的に表現することができる。一つの古典的なそのような表現は、ブーラウ表現(英語版)(Burau representation)であり、そこでは行列要素は一変数のローラン多項式である。ブーラウ表現が忠実であるか否かは長い間問題となっていたが、解答として n ≥ 5 に対しては否定的であることが判明した。さらに一般的に、ブレイド群が線型であるか否かは大きな未解決問題であった。1990年、ラス・ローレンス(英語版)(Ruth Lawrence)は、複数のパラメータに依存するより一般的な「ローレンス表現」の族を記述した。1996年、ナヤカ(C. Nayak)とフランツ・ウィルチェック(Frank Wilczek)は、SO(3) の類似を考え、ブレイド群の射影表現がような分数量子ホール効果でのある擬粒子に関する物理的意味を持っていることを提唱した。2001年頃、ステファン・ビゲロー(Stephen Bigelow)とダン・クラマー(Daan Krammer)は、独立に、すべてのブレイド群は線型であることを証明した。彼らの仕事には、変数 q と t に依存しない次元 n(n−1)/2 のローレンス・クラマー表現(英語版)(Lawrence–Krammer representation)が使われた。これらの変数を適切に特殊化することにより、ブレイド群 Bn は複素数上の一般線型群の部分群として実現することができる。
この考え方を無限本の糸からなるブレイドへ一般化するには、多数の方法がある。最も簡単な方法はブレイド群の帰納極限を取ることであり、そこでは結び付けている写像 f : Bn → Bn+1 は、Bn の n−1 個の生成子を、Bn+1 の最初の n−1 個の生成子へ写す(つまり、自明な糸をひとつ付け加える)。ファベル(Fabel)は、完備化が異なる構造の群となる群を結果として得れるような、2つの位相が存在することを示した。ひとつは、非常におとなしい群で、無限個の穴のあいた円板の写像類群(英語版)(mapping class group)に同型 — 単位円板の境界に極限を持つように穴の開いた離散集合である。
第二の群は、有限ブレイド群と同じと考えられる。各々の点 (0, 1/n) とすべてのブレイドの集合に糸を配置すると、そこではブレイドが点 (0, 1/n, 0) から点 (0, 1/n, 1) への経路の集まりとして定義され、従って、函数が終点上の置換となり、このワイルドな群に同型となる。興味深い事実は、この群の中の純ブレイド群が、有限ブレイド群 Pn の逆極限と、ヒルベルトの立方体(Hilbert cube)から次の式で表される集合をマイナスした空間の基本群の双方と同型となるという事実である。
{ ( x i ) i ∈ N ∣ x i = x j for some i ≠ j } . {\displaystyle \{(x_{i})_{i\in {\mathbb {N}}}\mid x_{i}=x_{j}{\text{ for some }}i\neq j\}.}
組みひも群 B1 は、自明な群であり、B2 は無限巡回群 Z であり、B3 は三葉結び目の結び目群と同型である。特に、この群は、非可換群な無限群である。
n-本の糸の組みひも群 Bn は、余剰な糸を最初の n 本の糸のどれとも交差することなく加えることにより、(n+1)-本の糸のブレイド群 Bn+1 の部分群として埋め込める。すべての n ≥ 1 に対するブレイド群の合併は、無限ブレイド群(infinite braid group) B∞ である。
単位元(同一視写像)を除くすべての Bn の元は、無限の位数を持っている。すなわち、Bn は捩れを持たない。
Bn 上には、デホロノイ順序(英語版)(Dehornoy order)と呼ばれる左不変な全順序が存在する。
n ≥ 3 に対し、Bn は 2つの生成子を持つ自由群と同型な部分群を含む。
σi ↦ 1 により定義された準同型 Bn → Z が存在する。従って、たとえば、ブレイド σ2σ3σ1σ2σ3 は、1 + 1 − 1 + 1 + 1 = 3 へ写像される。この写像は、ブレイド群のアーベル化に対応している。