写像の反復
写像あるいは函数の反復(はんぷく、英: iteration)とは、同じ写像あるいは函数を繰り返し適用する操作である。写像の繰り返しや反復合成とも呼ぶ。ある初期値に写像の反復を適用することで得られる点列を軌道という。
年利で増える残高計算、世代ごとに増減する生物の個体数の計算、ニュートン法のような数値計算で方程式の解を求める問題など、反復によって表すことができるさまざまな科学・数学の問題がある。
点 x が写像 f に対して
f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x}
を満たすとき、x を不動点という。f の全ての不動点の集合を Fix(f ) などと記す。
また、f と x に対して、
f m ( x ) = x {\displaystyle f^{m}(x)=x}
を満たす最小の m > 0 を周期といい、点 x を周期 m の周期点という。f の m 周期の周期点の集合を Perm(f ) などと記す。m 周期点 x を通る軌道
{ ⋯ f m − 1 ( x ) , x , f ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯ , f m − 1 ( x ) , x ⏞ m , f ( x ) , f 2 ( x ) , ⋯ } {\displaystyle \{\cdots \ f^{m-1}(x),\ \overbrace {x,\ f(x),\ f^{2}(x),\cdots ,\ f^{m-1}(x),\ x} ^{m},\ f(x),\ f^{2}(x),\cdots \}}
を周期軌道という。