部分和分
と書きなおせば、∑bn が収束することにより N に依らず BN は有界ゆえ、その上界を B として最初の二項は
| ( a M − a ) B M − ( a N − a ) B N | ≤ | a M − a | B + | a N − a | B → 0 ( as N , M → ∞ ) {\displaystyle |(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}|\leq |a_{M}-a|B+|a_{N}-a|B\to 0\quad ({\text{as }}N,M\to \infty )}
であり、また第三項は ∑bn に対するコーシーの判定法により 0 へ行き、残りは an の単調性により
∑ n = N M − 1 | B n | | a n + 1 − a n | ≤ B ∑ n = N M − 1 | a n + 1 − a n | = B | a N − a M | {\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|B_{n}||a_{n+1}-a_{n}|\leq B\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|=B|a_{N}-a_{M}|}
と評価できて所期の結果を得る。