体の拡大
K/k を体の拡大とするとき、K の元 α が k 上代数的(だいすうてき、algebraic over k)であるとは、k 係数多項式 f(X) で α が f(X) の根となるようなものが存在するときにいう。k 上代数的な K の元 α を根に持つ k 係数多項式でモニックかつ次数最小のものを α の k 上の最小多項式(さいしょうたこうしき、minimal polynomial)とよび、Irr(α, k, X) のように記す。拡大 K/k で K の各元がすべてk 上代数的であるとき、拡大 K/k は代数的であるといい、K を k の代数拡大体という。拡大 T/k がk 上代数的でないとき、拡大 T/k は超越的(ちょうえつてき、transcendencial)であるという。T の元 t はk 上代数的でないとき k 上の超越元という。t がk 上超越的であることは、「k 上の多項式 f(X) が f(t) = 0 となるならば f = 0 である」ことと同値であり「k に t を添加した体 k(t) は一変数代数関数体 k(X) に同型である」こととも同値である。拡大 T/k が超越的であることは、k 上超越的な T の元 t が少なくともひとつ存在する事と同値である。
抽象代数学のとくに体論において体の拡大(たいのかくだい、英: field extension)は、体の構造や性質を記述する基本的な道具立ての一つである。
体の拡大の理論において、通常は非可換な体を含む場合を扱わない(そのようなものは代数的数論に近い非可換環論あるいは多元環論の範疇に属す)。ただし、非可換体(あるいはもっと一般の環)の部分集合が、非可換体の演算をその部分集合へ制限して得られる演算により、その非可換体を上にある体として(可換な)体構造をもつとき、元の非可換体の(可換)部分体と呼び、元の非可換体を(非可換)拡大体と呼ぶことがある。
以下本項では特に断りの無い限り、体として可換体のみを扱い、単に体と呼称する。