シングマスター予想
このとき、 ( n m ) = a {\textstyle {\tbinom {n}{m}}=a} を満たす (n, m) の組は、次の不等式で制限される範囲内には高々4個しか存在しない。 exp  ( log  ( n ) 2 3 + ε ) ≤ m ≤ n − exp  ( log  ( n ) 2 3 + ε ) {\displaystyle \exp \left(\log(n)^{{\tfrac {2}{3}}+\varepsilon }\right)\leq m\leq n-\exp \left(\log(n)^{{\tfrac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}
(Abbott, Erdős & Hanson 1974, p. 259) 「x が十分大きいとき、x と x + (log x) の間に素数が存在する」というクラメールの予想(英語版)を仮定すると、任意の ε > 0 {\textstyle \varepsilon >0} について N ( a ) = O ( log  ( a ) 2 3 + ε ) {\displaystyle N(a)=O\left(\log(a)^{{\tfrac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}
シングマスター予想 (シングマスターよそう、英: Singmaster's conjecture) は、「パスカルの三角形において1以外の数字の出現回数には上限が存在する」という組み合わせ数学の予想である。名前の由来は1971年にこの予想を提唱したイギリスの数学者デヴィッド・シングマスター(英語版)に由来する。
1より大きい任意の整数 n について、この数はパスカルの三角形において上から n + 1 行までにしか出現しないため、1より大きい数の出現が有限であることは明らかである。シングマスター予想は、この出現回数がある有限の数を越えないことを主張している。
なお、1は明らかにパスカルの三角形において無限回出現し、上記の事実から1はパスカルの三角形で無限回出現する唯一の数である。