テータ関数
テータ関数(テータかんすう、英: theta function)は、
θ ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i n 2 τ + 2 π i n z . {\displaystyle \vartheta (z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}.}
で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数 θ a b ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta _{ab}(z,\tau )} 、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数 θ i ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta _{i}(z,\tau )} と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。 指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その定義にいくつかの流儀があり、同じ記号を使いながら違ったものを指していることがあるので注意が必要である。 これらの関数は、z の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、τ の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。
θ 1 ( x + y , τ ) θ 1 ( x − y , τ ) θ 2 2 ( 0 , τ ) = θ 1 2 ( x , τ ) θ 2 2 ( y , τ ) − θ 2 2 ( x , τ ) θ 1 2 ( y , τ ) = θ 4 2 ( x , τ ) θ 3 2 ( y , τ ) − θ 3 2 ( x , τ ) θ 4 2 ( y , τ ) θ 2 ( x + y , τ ) θ 2 ( x − y , τ ) θ 2 2 ( 0 , τ ) = θ 2 2 ( x , τ ) θ 2 2 ( y , τ ) − θ 1 2 ( x , τ ) θ 1 2 ( y , τ ) = θ 3 2 ( x , τ ) θ 3 2 ( y , τ ) − θ 4 2 ( x , τ ) θ 4 2 ( y , τ ) θ 3 ( x + y , τ ) θ 3 ( x − y , τ ) θ 2 2 ( 0 , τ ) = θ 3 2 ( x , τ ) θ 2 2 ( y , τ ) + θ 4 2 ( x , τ ) θ 1 2 ( y , τ ) = θ 1 2 ( x , τ ) θ 4 2 ( y , τ ) + θ 2 2 ( x , τ ) θ 3 2 ( y , τ ) θ 4 ( x + y , τ ) θ 4 ( x − y , τ ) θ 2 2 ( 0 , τ ) = θ 4 2 ( x , τ ) θ 2 2 ( y , τ ) + θ 3 2 ( x , τ ) θ 1 2 ( y , τ ) = θ 2 2 ( x , τ ) θ 4 2 ( y , τ ) + θ 1 2 ( x , τ ) θ 3 2 ( y , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\vartheta _{1}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{1}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{2}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{2}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)-\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{3}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{3}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\&\vartheta _{4}\left(x+y,\tau \right)\vartheta _{4}\left(x-y,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}(0,\tau )=\vartheta _{4}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{2}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{3}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{1}^{\;2}\left(y,\tau \right)=\vartheta _{2}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{4}^{\;2}\left(y,\tau \right)+\vartheta _{1}^{\;2}\left(x,\tau \right)\vartheta _{3}^{\;2}\left(y,\tau \right)\\\end{aligned}}}