アダマール変換
アダマール変換 Hn は 2 × 2 の行列である(規格化された)アダマール行列であり、2 個の実数 xj を 2 個の実数Xkに変換する。アダマール変換は、再帰的に、もしくは添え字 j 及び k の二進表現を用いることによって定義される。
再帰的な定義は以下の通りである。まずアダマール変換 H0 は 1 × 1 の単位行列 1である。そして n > 0 について Hn を
H n = 1 2 ( H n − 1 H n − 1 H n − 1 − H n − 1 ) {\displaystyle H_{n}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}H_{n-1}&H_{n-1}\\H_{n-1}&-H_{n-1}\end{pmatrix}}}
で定義する。規格化係数 1/√2 は省略されることがある。n > 1 のとき、クロネッカー積⊗を用いると
H n = H 1 ⊗ H n − 1 = ⨂ i = 1 n H 1 {\displaystyle H_{n}=H_{1}\otimes H_{n-1}=\bigotimes _{i=1}^{n}H_{1}}
と表すことができる。 従って、この規格化係数以外のアダマール行列は全て 1 と −1 で構成される。
あるいは別の表現として、アダマール行列の (j, k) 成分を
量子情報科学では、アダマール変換はアダマールゲート(量子論理ゲート(英語版)を参照のこと)とも呼ばれる。これは1つの量子ビットの回転であり、量子ビットの基底状態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } と | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } から、 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } と | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } の2つの重みが等しい重ね合わせへの写像である。普通その位相はディラックの記法で
H = | 0 ⟩ + | 1 ⟩ 2 ⟨ 0 | + | 0 ⟩ − | 1 ⟩ 2 ⟨ 1 | {\displaystyle H={\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 0|+{\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}\langle 1|}
となるように選ばれる。 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } と | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } を基底としたとき、これは変換行列