固有値分解
行列 A {\displaystyle A} が固有値分解 A = P Λ P − 1 {\textstyle A=P\Lambda P^{-1}} を持つとする。このとき、自然数 n {\displaystyle n} に対して A {\displaystyle A} の冪 A n {\displaystyle A^{n}} は
A n = ( P Λ P − 1 ) n = ( P Λ P − 1 ) ( P Λ P − 1 ) ⋯ ( P Λ P − 1 ) = P Λ n P − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A^{n}&=(P\Lambda P^{-1})^{n}\\&=(P\Lambda P^{-1})(P\Lambda P^{-1})\cdots (P\Lambda P^{-1})\\&=P\Lambda ^{n}P^{-1}\end{aligned}}}