ポアンカレ不等式
測度距離空間(例えば、部分リーマン多様体)の関連で、空間内の各球 B に対してある定数 C と λ ≥ 1 {\displaystyle \lambda \geq 1} が存在し
μ ( B ) − 1 / q ‖ u − u B ‖ L q ( B ) ≤ C rad ( B ) μ ( B ) − 1 / p ‖ ∇ u ‖ L p ( λ B ) {\displaystyle \mu (B)^{-1/q}\|u-u_{B}\|_{L^{q}(B)}\leq C{\text{rad}}(B)\mu (B)^{-1/p}\|\nabla u\|_{L^{p}(\lambda B)}}
が成立するなら、そのような空間は 1 ≤ q , p < ∞ {\displaystyle 1\leq q,p<\infty } に対する (q,p)-ポアンカレ不等式をサポートするものである。測度距離空間の関連で、 | ∇ u | {\displaystyle |\nabla u|} は Heinonen and Koskela [J. Heinonen and P. Koskela, Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry, Acta Math. 181 (1998), 1–61] の意味で極小 p-弱上勾配である。
ポアンカレ不等式には他のソボレフ空間に対する一般化も存在する。