有限インパルス応答
ここで δ [ n ] {\displaystyle \delta [n]} はクロネッカーのデルタインパルスである。FIRフィルタのインパルス応答は、以下のような係数 b n {\displaystyle b_{n}} の集合(n は 0 から N)である。
h [ n ] = ∑ i = 0 N b i δ [ n − i ] = b n {\displaystyle {\begin{aligned}h[n]&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\delta [n-i]\\&=b_{n}\end{aligned}}}
インパルス応答のZ変換は、FIRフィルタの伝達関数となる。
H ( z ) = Z { h [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ h [ n ] z − n = ∑ n = 0 N b n z − n {\displaystyle {\begin{aligned}H(z)&={\mathcal {Z}}\{h[n]\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{N}b_{n}\,z^{-n}\end{aligned}}}
出力は有限個の入力の有限倍の総和であるため、FIRフィルタは明らかに有界入力-有界出力(BIBO)安定であり、入力の実際の最大値の ∑ | b i | {\displaystyle \sum |b_{i}|} 倍以上にはならない。
FIRフィルタは、無限インパルス応答フィルタに比較して好ましいとされるいくつかの特性を持つ。
FIRフィルタは本質的に安定している。これは全ての極が原点にあり、したがって単位円内にあるためである。
FIRフィルタはフィードバックを必要としない。これは、丸め誤差が反復によって蓄積されないことを意味する。同じ相対誤差が計算ごとに生じる。
線形位相となるよう設計可能である。すなわち、位相変化が周波数に比例するように設計できる。これは位相が重要となるような応用で必要となる特性であり、クロスオーバーフィルタ(オーディオスピーカーで複数の音域毎のスピーカーに信号を振り分けるフィルタ)や透過的フィルタリングが妥当なマスタリングなどがある。