一般化されたリーマン予想
(ディリクレのL-函数に対する)一般化されたリーマン予想は、アドルフ・ピルツ(英語版)(Adolf Piltz)により1884年に最初に定式化された。元のリーマン予想のように、素数の分布について深い関連がある。
この予想の形式的な定式化は以下のとおりである。ディリクレ指標とは、ある正の整数 k が存在し、全ての n に対し χ(n + k) = χ(n) であり、gcd(n, k) > 1 のときはいつも χ(n) = 0 であるような完全乗法的な数論的函数 χ のことをいう。そのような指標が与えられたとき、対応するディリクレのL-函数を、実部が 1 より大きなすべての複素数 s に対して、次のように定義することができる。
L ( χ , s ) = ∑ n = 1 ∞ χ ( n ) n s {\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}
解析接続により、この函数は全複素平面で定義された有理型函数へ拡張することができる。一般化されたリーマン予想とは、全てのディリクレ指標 χ と L(χ,s) = 0 となる全ての複素数 s に対して、s の実部が 0 と 1 の間にあれば、s の実部は 1/2 となるであろうという予想である。
全ての n に対し χ(n) = 1 とすると、通常のリーマン予想となる。