セルバーグ跡公式
アイゼンシュタイン級数の一般論は、非コンパクトな場合の特徴である連続スペクトルを分離するための要求に、大きな動機を持っている。
跡公式は、しばしば、リー群というよりもアデール上の代数群の上で使われる。理由は、跡公式が対応する離散部分群 Γ を、それ以前に開発されたテクニックのより容易な体の上の代数群の上に置き換えるからである。
理論の現在の一番成功している公式はアーサー・セルバーグ跡公式(英語版)(Arthur-Selberg trace formula)で、一般の半単純な G の場合に適用される。多くの跡公式の研究はラングランズ哲学の中でエンドスコピー(英語版)(endoscopy)というテクニックを使う。セルバーグの跡公式は、アーサー・セルバーグ跡公式から導き出すことが可能である。(パームを参照)
簡単な場合として G = R、Γ = Z の場合を考える。この場合、 {Γ} = Z、 Γγ = Z、 Gγ = R などに注意すれば幾何サイドは ∑γ ∈ Z f (γ) と計算できる。スペクトル・サイドを計算するために L(Z ⧵R) = ⨁n ∈ Z C e という分解をとる。簡単に分かるように C e は R( f ) の不変部分空間になっており、この空間での R( f ) の跡は ˆf (n) である。ここで ˆf は f のフーリエ変換である。したがってスペクトル・サイドは ∑γ ∈ Z ˆf (γ) となるので、この場合の跡公式は
∑ n ∈ Z f ( n ) = ∑ n ∈ Z f ^ ( n ) {\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(n)}
となる。この等式は実際に f が急減少関数であるときなどに成立し、ポアソン和公式と呼ばれている。これから、セルバーグの跡公式とはポアソンの和公式の非可換な位相群への一般化であるとも言える。