スペクトル系列
コホモロジー的なスペクトル系列 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} についても同様のことが成り立つ。全ての q < 0 に対して E r p , q = 0 {\displaystyle E_{r}^{p,q}=0} ならば、全射準同形の列
E 2 p , 0 → E 3 p , 0 → ⋯ → E r − 1 p , 0 → E r p , 0 {\displaystyle E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}}
が存在する。また、全ての p < 0 に対して E r p , q = 0 {\displaystyle E_{r}^{p,q}=0} ならば、単射準同型の列
E r 0 , q → E r − 1 0 , q → ⋯ → E 3 0 , q → E 2 0 , q {\displaystyle E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}}
が存在する。 d : E q 0 , q − 1 → E q q , 0 {\displaystyle d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}} から誘導される転入写像
τ : E 2 0 , q − 1 → E 2 q , 0 {\displaystyle \tau :E_{2}^{0,q-1}\to E_{2}^{q,0}}
は必ずしも well-defined な写像ではない。
また、ある p0 未満の全ての p と、ある q0 未満の全ての q に対して E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} が消えているなら、スペクトル系列は収束する。p0 と q0 を0で取ることができるとき、第1象限スペクトル系列(first-quadrant spectral sequence)と呼ばれる。対象の、ゼロでない領域の境界からの距離は一定であることから、このようなスペクトル系列が収束することが分かる。結果的に、p と q を固定すると、後の方のシートでは微分は常に E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} からゼロ対象への写像であるか、もしくはゼロ対象から来る写像になる。より視覚的に、微分は項がゼロではない象限を去っていく、と言ってもいい。ただし、微分が全て同時にゼロにならないこともあるので、このスペクトル系列は必ずしも退化しない。同様に、ある p0 より大きい全ての p と、ある q0 より大きい全ての q に対して E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} が消えているなら、そのスペクトル系列は収束する。
スペクトル系列の5項完全系列(英語版)は、ある低次数の項と E∞ の項を関係付ける。
次の文献も参照のこと: ボードマン、Conditionally Convergent Spectral Sequences
E r p , q ⇒ p E ∞ p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}}
という記号で表す。この p はフィルトレーションの添字を表現している。この表記法を使うとき、矢印の左側には、ほとんどのスペクトル系列で最も意味のある項 E 2 p , q {\displaystyle E_{2}^{p,q}} を書くことが多く、また右側は収束先(abutment)と呼ばれる。
ほとんどのスペクトル系列において、 E ∞ {\displaystyle E_{\infty }} 項は自然には2重次数つきの対象にはなっていない。その代わり、 E ∞ n {\displaystyle E_{\infty }^{n}} 項には自然なフィルトレーション F ∙ E ∞ n {\displaystyle F^{\bullet }E_{\infty }^{n}} があることが多い。この状況では、 E ∞ p , q = gr p E ∞ p + q = F p E ∞ p + q / F p + 1 E ∞ p + q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}E_{\infty }^{p+q}=F^{p}E_{\infty }^{p+q}/F^{p+1}E_{\infty }^{p+q}} とセットする。
Z ̄ 1 p , q = ker  d 0 p , q : E 0 p , q → E 0 p , q + 1 = ker  d 0 p , q : F p C p + q / F p + 1 C p + q → F p C p + q + 1 / F p + 1 C p + q + 1 {\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\rightarrow F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}
B ̄ 1 p , q = im d 0 p , q − 1 : E 0 p , q − 1 → E 0 p , q = im d 0 p , q − 1 : F p C p + q − 1 / F p + 1 C p + q − 1 → F p C p + q / F p + 1 C p + q {\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}/F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}