シュワルツの補題
実際、D 内のある点 z0 で |g (z0) | > 1 になったと仮定すると、 Dr が z0 を含み、さらに |g (z0) | > 1 / r となるように r を選ぶことができるので、矛盾が発生する。従って
∀ z ∈ D , | g ( z ) | ≤ 1 {\displaystyle \forall z\in D,\ |g(z)|\leq 1}
が成り立つ。これを言い換えれば
∀ z ∈ D , | f ( z ) | ≤ | z | {\displaystyle \forall z\in D,\ |f(z)|\leq |z|}
である。
後半を証明する。 D - {0} のある点 z0 で |f (z0) | = |z0 | であれば、 |g (z0) | = 1 である。または |f ' (0) | = 1 であれば g (0) = f ' (0) であるから |g (0) | = 1 である。どちらの場合でも、前半の証明から D 上で |g (z) | ≤ 1 であるので、最大絶対値の原理から g (z) は D で |g (z) | = 1 を満たす定数である。 これを a とおけば f (z) = az であり、定理の主張の通りである。