随伴公式 (代数幾何学)
P×P の交叉形式は、双次数の定義と双線型性により ( ( d 1 , d 2 ) , ( e 1 , e 2 ) ) ↦ d 1 e 2 + d 2 e 1 {\displaystyle ((d_{1},d_{2}),(e_{1},e_{2}))\mapsto d_{1}e_{2}+d_{2}e_{1}} であるので、リーマン・ロッホの定理より 2 g − 2 = d 1 ( d 2 − 2 ) + d 2 ( d 1 − 2 ) {\displaystyle 2g-2=d_{1}(d_{2}-2)+d_{2}(d_{1}-2)} となり、次の式を得る。 g = d 1 d 2 − d 1 − d 2 + 1 . {\displaystyle g=d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1\ .}
P の中の 2つの曲面 D と E の完全交叉(英語版)(complete intersection)である曲線 C の種数は、随伴公式を使い計算することができる。d と e をそれぞれ D と E の次数とすると、D へ随伴公式を適用して標準因子が (d − 4)H であり、これは (d − 4)H と D との交叉積である。C は完全交叉であるので、同じことを E へも施すと、C の標準因子は積 (d + e − 4)H · dH · eH である。つまり、次数 de(d + e − 4) である。リーマン・ロッホの定理により、このことは C の種数が g = d e ( d + e − 4 ) / 2 + 1 {\displaystyle g=de(d+e-4)/2+1}
であることを意味する。
g ( z ) d z 1 ∧ ⋯ ∧ d z n f ( z ) ↦ ( − 1 ) i − 1 g ( z ) d z 1 ∧ ⋯ ∧ d z i ^ ∧ ⋯ ∧ d z n ∂ f / ∂ z i | f = 0 {\displaystyle {\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{f(z)}}\mapsto (-1)^{i-1}{\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge {\widehat {dz_{i}}}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{\partial f/\partial z_{i}}}{\bigg |}_{f=0}}
とも表すことができる。
ポアンカレの留数の見方としてもう一つの方法は、同型
ω D ⊗ i ∗ O ( − D ) = i ∗ ω X . {\displaystyle \omega _{D}\otimes i^{*}{\mathcal {O}}(-D)=i^{*}\omega _{X}.}
として、随伴公式を解釈する方法である。前述のように、開集合 U 上では、 i ∗ O ( − D ) {\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)} の切断は、正則函数 s と微分形式 df/f の積である。ポアンカレの留数は、 ω D {\displaystyle \omega _{D}} の切断と i ∗ O ( − D ) {\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)} の切断とのウェッジ積を取る写像である。