LTIシステム理論
ここでは、時間を独立変数とし、そのインパルス応答が2次元関数であるシステムを想定し、時不変性によってそれを1次元に還元できることを示す。例えば、入力信号 x ( t ) {\displaystyle x(t)} において、その添え字集合が実数線であるとする(すなわち、 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } )。線型作用素 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} はその入力信号に対して処理をするシステムを表している。この添え字集合に対して適切な作用素は、次のような2次元関数である。
h ( t 1 , t 2 ) where t 1 , t 2 ∈ R {\displaystyle h(t_{1},t_{2}){\mbox{ where }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} }
H {\displaystyle {\mathcal {H}}} は線型作用素なので、入力信号 x ( t ) {\displaystyle x(t)} に対するシステムの動作は、以下の重ね合わせ積分で表される線型写像となる。
y ( t 1 ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t 1 , t 2 ) x ( t 2 ) d t 2 {\displaystyle y(t_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }h(t_{1},t_{2})\,x(t_{2})\,dt_{2}}
線型作用素 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が時不変でもある場合、次のようになる。