スカラー場の理論
自由スカラー場をより一般化するために、ラグランジアン密度にスカラーポテンシャルを表す項を追加する。ここで、V(φ)は質量項を含めたφの2次以上のオーダーとする。φについて3次以上の項は相互作用項と呼ばれ、スカラー場同士の相互作用として解釈される非線形項である。相互作用項を含む理論の作用は以下のように定義される。
S = ∫ d D − 1 x d t L = ∫ d D − 1 x d t [ 1 2 ∂ μ φ ∂ μ φ − V ( φ ) ] = ∫ d D − 1 x d t [ 1 2 ( ∂ t φ ) 2 − 1 2 ( ∂ i φ ) 2 − 1 2 m 2 φ 2 − ∑ n = 3 ∞ 1 n ! g n φ n ] {\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -V(\phi )\right]\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}(\partial _{i}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!
φ 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|T\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|0\rangle &=\left.(-i)^{n}{\frac {1}{z[J]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}\\&={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}\end{aligned}}}
この式でn=2のときが、2点相関関数、すなわちファインマン伝播関数である。
また、生成汎関数の定義にウィック回転を適用すると、計量テンソルの符号は(+,+,+,+)と変わり、4次元ミンコフスキー時空上の積分を4次元ユークリッド空間上での統計力学的な分配関数として扱うことができる。
ここで、導入されたJ(x)は外場である。結合定数gが十分に小さいとき、2行目のように相互作用項は摂動展開される。
n個の場の時間順序積の真空期待値、すなわちn点相関関数は、生成汎関数を外場J(x)でn回汎関数微分することで得られ、外場の無いとき(J=0)の生成汎関数によって規格化される。
⟨ 0 | T { φ ( x 1 ) ⋯ φ ( x n ) } | 0 ⟩ = ( − i ) n 1 z [ J ] δ n Z [ J ] δ J ( x 1 ) ⋯ δ J ( x n ) | J = 0 = ∫ D φ φ ( x 1 ) ⋯ φ ( x n ) e i ∫ d 4 x ( 1 2 ∂ μ φ ∂ μ φ − m 2 2 φ 2 − g 4 ! φ 4 ) ∫ D φ e i ∫ d 4 x ( 1 2 ∂ μ φ ∂ μ φ − m 2 2 φ 2 − g 4 !