ファトゥの補題
記号の変化はあるが、この証明は上述の標準的なファトゥの補題に対する証明と非常によく似ている。しかしながら、ここでは条件付き期待値に対する単調収束定理が必要となる。
X を Xn の下極限とする。すべての自然数 k に対して、確率変数
Y k = inf n ≥ k X n {\displaystyle Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}}
を各点毎に定義する。このとき、数列 Y1, Y2, . . . は増加であり、X へと各点収束する。k ≤ n に対して Yk ≤ Xn であることから、
E [ Y k | G ] ≤ E [ X n | G ] {\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]} almost surely
を、条件付き期待値の単調性により、得る。したがって
E [ Y k | G ] ≤ inf n ≥ k E [ X n | G ] {\displaystyle \mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]} almost surely
が、確率ゼロの例外集合の可算個の合併はふたたび空集合であることより、従う。
ε > 0 とする。条件付き期待値についての一様可積分性により、
E [ X n − 1 { X n − > c } | G ] < ε ∀ n ∈ N almost surely {\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \quad \forall n\in \mathbb {N} \quad {\text{almost surely}}}
を満たすような c > 0 が存在することが分かる。x := max{x,0} を実数 x の正の部分としたとき、
X + c ≤ lim inf n → ∞ ( X n + c ) + {\displaystyle X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}}
であることから、条件付き期待値の単調性(あるいは上述の決まり)と、条件付き期待値に対する標準的なファトゥの補題によって
E [ X | G ] + c ≤ E [ lim inf n → ∞ ( X n + c ) + | G ] ≤ lim inf n → ∞ E [ ( X n + c ) + | G ] {\displaystyle \mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]} almost surely