ハウスドルフ次元
上記の#自己相似集合の場合に求められる次元 s は、相似次元とも呼ばれる。相似次元は自己相似性の観点から得られる。例えば、ある線分を 1/3 倍したコピーを考えると、元の線分はそのコピー 3 = 3 個から成り立っている。また、ある正方形を 1/3 倍したコピーを考えると、元の正方形はそのコピー 9 = 3 個から成り立っている。そして、ある立方体を 1/3 倍したコピーを考えると、元の立方体はそのコピー 27 = 3 個から成り立っている。線分、正方形、立方体のそれぞれの次元 1, 2, 3 は、コピーの個数の指数として現れている。これを一般化すると、c 倍したコピーを考えると元の図形はそのコピーの m 個から成り立つとき、次元 s と c と m のあいだには
N = ( 1 c ) s {\displaystyle N=\left({\frac {1}{c}}\right)^{s}}
という関係がある。よって次元 s は
s = log  N log  ( 1 / c ) {\displaystyle s={\frac {\log N}{\log(1/c)}}}
と定義でき、これを相似次元と呼ぶ。
6309... であることを実際に示してみせた。
ハウスドルフの後に、ハウスドルフ次元およびハウスドルフ測度の概念を明確化を担ったのはアブラム・ベシコビッチ(英語版)である。そのため、彼の名も取ってハウスドルフ次元はハウスドルフ・ベシコビッチ次元(英: Hausdorff-Besicovitch dimension)とも呼ばれる。ハウスドルフ測度とそれを使った幾何学の数学的成果の多くはベシコビッチによって与えられた。ブノワ・マンデルブロは「ハウスドルフが標準的でない次元の父であったのに対し、ベシコビッチは、その母であった」と評している。
そのマンデルブロは、自然の海岸線や樹木の形の数学的理想化として、カントールの3進集合やコッホ曲線やワイエルシュトラス関数などの以前より報告されていた特異な数学的集合の総称として、フラクタルという概念と名称を与えた。マンデルブロは、1977年のエッセイ「Fractals: Form, Chance and Dimension」で、ハウスドルフ次元が位相次元よりも大きい集合をフラクタルの数学的な定義とした。1982年の著書「The Fractal Geometry of Nature」でフラクタルの概念は一躍有名となり、フラクタルは各分野で研究され始めた。次元はフラクタル幾何学の中心的概念であり、その中でも最重要なのがハウスドルフ次元である。ハウスドルフ測度およびハウスドルフ次元はフラクタル幾何学や実解析で重要な役割を果たす。