ワトソンの五重積
であるから
L = L + 0 = ∑ k = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n − k q ( n − 2 k ) ( n + 1 − 2 k ) + 2 k 2 z n ( 3 n , 3 n − 1 , 3 n − 2 ↦ n ) = ∑ k = − ∞ ∞ ∑ j = − ∞ ∞ ( − 1 ) k + j q j ( j + 1 ) + 2 k 2 z j + 2 k ( n ↦ j + 2 k ) = ∑ j = − ∞ ∞ ( − 1 ) j q j ( j + 1 ) z j ∑ k = − ∞ ∞ ( − 1 ) k q 2 k 2 z 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}L=L+0&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-k}q^{(n-2k)(n+1-2k)+2k^{2}}z^{n}\qquad ({3n,3n-1,3n-2}\mapsto {n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{k+j}q^{j(j+1)+2k^{2}}z^{j+2k}\qquad ({n}\mapsto {j+2k})\\&=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}q^{2k^{2}}z^{2k}\\\end{aligned}}}
となり、右辺を得る。