平衡点
平衡点は、微分方程式の解を理解する上で重要な役割を果たす。微分方程式系の解の振る舞いを知りたいとき、最初の取っ掛かりとなるのが平衡点の調査である。相空間の全体での大域的な性質を問題にする場合であっても、平衡点近傍の局所的な性質の解明が基礎となる。平衡点近傍の解軌道の振る舞いを調べ、分類するのが、解軌道の幾何学的構造を理解する第一歩である。
とくに、微分方程式のある解軌道とその近くを通る別の解軌道が、任意の時刻 t においても十分近く同士にあるのか、それとも t → ∞ で離れていくかといったような問題は、安定性の問題と言われ、微分方程式の定性理論においてもっとも基本的な問題である。
λ1 と λ2 が互いに共役な純虚数である(λ1 = βi, λ2 = −βi)場合の平衡点。平衡点が渦心点のとき、周囲の解軌道は平衡点を中心とする円(閉曲線)群である。周囲の解軌道は吸引されることも反発することもなく、渦心点は中立安定な平衡点である。
また、A の行列式を q = det A とし、A のトレースを p = tr A とする。これらは
q = a d − b c = λ 1 λ 2 {\displaystyle q=ad-bc=\lambda _{1}\lambda _{2}}
p = a + d = λ 1 + λ 2 {\displaystyle p=a+d=\lambda _{1}+\lambda _{2}}
というように各係数あるいは各固有値で表される。したがって、これらの q と p の値によっても平衡点の定性的分類を行うことができ、結節点、鞍状点、渦状点、渦心点の判別は次のようになる。
q < 0 であれば、平衡点は鞍状点
q > 0 でかつ p > 4q であれば、平衡点は結節点 p < 4q かつ p ≠ 0 であれば、平衡点は渦状点 p = 0 であれば、平衡点は渦心点
以上のような平衡点の定性的分類を p と q を軸とする pq-平面に書き込むと、2次元線形微分方程式の分岐図を作ることができる。