数論的関数
互いに素である正整数 m と n に対して、 a ( m n ) = a ( m ) + a ( n ) {\displaystyle a(mn)=a(m)+a(n)} が成立するとき、加法的関数(additive function)という。
つまり、
が成立する関数である。
特に、任意の正整数 m と n に対して、 f ( m n ) = f ( m ) + f ( n ) {\displaystyle f(mn)=f(m)+f(n)} が成立するとき、完全加法的関数(completely additive function)という。つまり完全加法的関数とは a ( n ) = ∑ p prime ν p ( n ) a ( p ) {\displaystyle a(n)=\sum _{p\ {\text{prime}}}\nu _{p}(n)a(p)} が成立する数論的関数である。
ψ ( n ) = ∑ p m ≤ n , p ; prime log  p {\displaystyle \textstyle \psi (n)=\sum _{p^{m}\leq n,\ p;\operatorname {prime} }\log p}
(2) 数の表現・分割
n を2つの平方数の和で表す表し方の数を与える r 2 ( n ) {\displaystyle r_{2}(n)}
n を正整数の和で表す表し方の数を与える p ( n ) {\displaystyle p(n)}
ウェアリングの問題 全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値 g ( k ) {\displaystyle g(k)} 十分大きな全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値 G ( k ) {\displaystyle G(k)}
a ( n ) = ∏ j ≥ 0 a ( b j ( n ) q j ) {\displaystyle \scriptstyle a(n)=\prod _{j\geq 0}a(b_{j}(n)q^{j})} を満たすとき、q乗法的関数 (q-multiplicative function)という。
特に、q乗法的関数 a ( n ) {\displaystyle a(n)} が a ( b q j ) = a ( b ) {\displaystyle \scriptstyle a(bq^{j})=a(b)} ( j ≥ 0 , b = 0 , 1 , ... , q − 1 ) {\displaystyle \scriptstyle (j\geq 0,\ b=0,\ 1,\ldots ,\ q-1)} を満たすとき、強q乗法的関数 (strongly q-multiplicative function)という。