キュリーの法則
(この計算簡略化のアプローチは前述の量子統計力学のモデルの計算でも用いることができるが、もともと計算が複雑ではないため利用する利点は少ない。)
これを計算することにより、次の式を得る。
⟨ μ z ⟩ = μ L ( μ B β ) , {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),}
ここで関数 L {\displaystyle L} は
L ( x ) = coth  x − 1 x {\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}}
で表されるランジュバン関数である。
ランジュバン関数は引数 x {\displaystyle x} が小さい場合には L ( x ) ≈ x / 3 {\displaystyle L(x)\approx x/3} と近似され、反対に引数 x {\displaystyle x} が大きい場合には1に漸近する。これより、上記の ⟨ μ z ⟩ {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle } は引数が小さいときにはキュリーの法則に従った振る舞いをするが、キュリー定数は1/3の大きさとなる。また、引数が大きいときには量子統計力学での導出と同様、最大値 N μ {\displaystyle N\mu } へと漸近する。