行列
任意のオイラー角は回転行列の積で表現できる。また、同次座標(英語版)系での座標変換を導入するために、2次元ベクトルを座標変換する際は同次座標を追加した3次元ベクトルと3×3行列の積が、3次元ベクトルを座標変換する際は同次座標を追加した4次元ベクトルと4×4行列の積が使用される。コンピュータグラフィックスでも、アフィン変換を使って2次元平面上の図形を平行移動・回転・拡大縮小・せん断変形したり、ポリゴンメッシュや自由曲面を使って仮想空間上に物体を表現する際、物体を構成する頂点集合の位置や姿勢を表したり、カメラの画角を表現したり、3次元空間上のモデルを正規化デバイス座標系や2次元のスクリーン座標系に投影したりするのに行列が使われている。
ヒル暗号のような初期の暗号技術においても行列は用いられる。しかし、行列の線型性によって、このような暗号はかなり簡単に突破されてしまう。
多項式環における行列は制御理論を学ぶ際に重要となる。
行列の積を初めて定義したのはケイリーである。行列の積は狭い意味での二項演算(即ち、台とする集合 X に対して X × X → X なる写像を定めるもの)ではない。l × m 行列 A と m × n 行列 B の積は l × n 行列となり、C = A B の (i, j) 成分 ci j は、
c i j = ∑ k = 1 m a i k b k j {\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}}
で与えられる。
例えば、
[ 5 6 7 8 ] [ 1 2 3 4 ] = [ 5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 3 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 4 7 ⋅ 1 + 8 ⋅ 3 7 ⋅ 2 + 8 ⋅ 4 ] = [ 23 34 31 46 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\cdot 1+6\cdot 3&5\cdot 2+6\cdot 4\\7\cdot 1+8\cdot 3&7\cdot 2+8\cdot 4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}23&34\\31&46\end{bmatrix}}}
である。
1851年の論文でシルベスターは
と説明している。 行列式の研究はいくつかの流れから生じてきたものである。数論的な問題はガウスが二次形式(つまり、 x 2 + x y − 2 y 2 {\displaystyle x^{2}+xy-2y^{2}} のような数式)の係数と三次元の線型写像を行列に結び付けたことに始まり、アイゼンシュタインがこれらの概念をさらに進めて、現代的な用語でいえば行列の積が非可換であることなどを指摘した。コーシーは行列 A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} の行列式として、多項式
a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i < j ( a j − a i ) {\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{i<j}(a_{j}-a_{i})}
(ここで ∏ は条件を満たす項の総乗を表す)の冪 a jk を ajk で置き換えたものという定義を採用し、それを用いて行列式についての一般的な主張を証明した最初の人である。コーシーは1829年に、対称行列の固有値が全て実数であることも示している。ヤコビは、幾何学的変換の局所的あるいは無限小のレベルでの挙動を記述することができる関数行列式(後にシルベスターが「ヤコビ行列式」と呼んだ)の研究を行った。
正方行列
n × n の正方行列 A に対して行列のべき乗は A (ここで n は実数) と書かれる。
行列 A が対角化可能であれば、A = (PDP) = PDP として容易に計算できる。
行列計算の効率的なアルゴリズムの研究は数値解析における主要な分野であり、これは何世紀にもわたるもので、今日でも研究領域が広がっている。
行列の分解は、理論的にも実用的にも計算を簡単化するもので、そのアルゴリズムは正方行列や対角行列などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、有限要素法やそのほかの計算を効率的に処理させる。
惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。
無限次行列の簡単な例としては、関数のテイラー級数に対して作用する微分作用素を表す行列がある。
任意の行列 B に対し、その成分をそれぞれの成分の加法逆元に全て取り換えた行列を −B と書けば、同じサイズの行列 A, B の和 A + (−B) を A − B と略記して差を定めることができる。より強く、スカラー乗法が定義される場合には、特にスカラー (−1)-倍は (−1)B = −B を満たすのだから、和とスカラー倍を使って差を定義することもできる。
[ 5 6 − 7 8 ] − [ 1 − 2 3 − 4 ] = [ 5 − 1 6 − ( − 2 ) − 7 − 3 8 − ( − 4 ) ] = [ 4 8 − 10 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&6\\-7&8\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1&-2\\3&-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5-1&6-(-2)\\-7-3&8-(-4)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&8\\-10&12\\\end{bmatrix}}}
とすればよい.
数学の線型代数学周辺分野における行列(ぎょうれつ、英: matrix)は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。