算術級数定理
log  λ ( s ) = log  ∏ χ ∏ p 1 1 − χ ( p ) p − s = ∑ χ ∑ p log  1 1 − χ ( p ) p − s = ∑ χ ∑ p ∑ n ≥ 1 χ ( p n ) p − n s = ∑ p ∑ n ≥ 1 ∑ χ χ ( p n ) ( p n ) s = ∑ k ≥ 2 c k k s {\displaystyle {\begin{aligned}\log \lambda (s)&=\log \prod _{\chi }\prod _{p}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}\\&=\sum _{\chi }\sum _{p}\log {\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}\\&=\sum _{\chi }\sum _{p}\sum _{n\geq 1}\chi (p^{n})p^{-ns}\\&=\sum _{p}\sum _{n\geq 1}{\frac {\sum _{\chi }\chi (p^{n})}{(p^{n})^{s}}}\\&=\sum _{k\geq 2}{\frac {c_{k}}{k^{s}}}\\\end{aligned}}}
c k = { ∑ χ χ ( k ) , k ∈ { p n } 0 , otherwise {\displaystyle c_{k}={\begin{cases}\sum _{\chi }\chi (k),&k\in \{p^{n}\}\\0,&{\mbox{otherwise}}\\\end{cases}}}
となるが、 { c k } {\displaystyle \{c_{k}\}} が有界であるから右辺は R s > 1 {\displaystyle \Re {s}>1} で絶対収束する。