線積分
ベクトル場 F: U ⊆ R → R の r の向きへの区分的に滑らかな曲線 C ⊂ U に沿った線積分は
∫ C F ( r ) ⋅ d r = ∫ a b F ( r ( t ) ) ⋅ r ′ ( t ) d t {\displaystyle \int _{C}{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\int _{a}^{b}{\boldsymbol {F}}{\bigl (}{\boldsymbol {r}}(t){\bigr )}\cdot {\boldsymbol {r}}'(t)\,\mathrm {d} t}
と定義される。ただし、“⋅” はベクトルの内積であり、r: [a, b] → C は、r(a) と r(b) が曲線 C の両端点となる C の全単射媒介表示とする。
従ってスカラー場の線積分は、各ベクトルが常に積分路に接するようなベクトル場の線積分に一致する。
ベクトル場の線積分は、絶対値に関しては媒介変数 r の取り方に依らないが、向きに関しては依存する。特に、媒介変数の向きを逆にすれば、線積分の符号が変わる。
で与えられる。特に s は
d s = | d γ d t | d t = | d γ | {\displaystyle \mathrm {d} s=\left|{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}\right|\mathrm {d} t=|\mathrm {d} \gamma |}
を満たすが、これはパラメータ t の取り方に依らず定まることに注意すべきである。記号的には
| d r | 2 = d x 1 2 + d x 2 2 + ⋯ + d x n 2 {\displaystyle |\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}|^{2}={\mathrm {d} x_{1}}^{2}+{\mathrm {d} x_{2}}^{2}+\dotsb +{\mathrm {d} x_{n}}^{2}}
に r = γ(t) を代入することで得られる。この ds を γ の線素(せんそ、line element)と呼ぶ。曲線が区分的に滑らかなら、微分可能な区間の和にわけて同じく弧長を定義することができる。