対角関手
任意の関手 F : J → C {\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathcal {C}}} の極限は Δ {\displaystyle \Delta } から F {\displaystyle {\mathcal {F}}} への普遍矢であり、余極限は普遍矢 F → Δ {\displaystyle F\rightarrow \Delta } である。 J {\displaystyle {\mathcal {J}}} から C {\displaystyle {\mathcal {C}}} へのすべての関手が極限をもてば( C {\displaystyle {\mathcal {C}}} が完備であればこの場合である)、極限を取る操作はそれ自身 C J {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}} から C {\displaystyle {\mathcal {C}}} への関手である。極限関手は対角関手の右随伴である。同様に、(圏が余完備であれば存在する)余極限関手は対角関手の左随伴である。例えば、上で記述された対角関手 C → C × C {\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}} は二項の積の関手の左随伴と二項の余積の関手の右随伴である。