射爆理論
弾着は平面や立体で捉えるべきであるが、目標に対する弾着のずれとその損傷程度を損傷関数D を用いて表現する端緒として、まず1次元で考察してみる。
x を目標中心からの弾着距離とすると、損傷関数(damage function)D (x ) は、平均値が 0 である:
∫ − ∞ ∞ x D ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xD(x)dx=0}
上の式は、目標中心からの弾着距離が 0 の時、損傷関数が示す図形の重心で脆弱性が最大となる事を示す。つまり、厳密な目標点とは単に目標構造物の広がりの中心ではなく、損傷関数の重心でありその点に弾着が求められる。
距離 x が 0 に近づくに従って xD(x) は 1 に近づく。|x| の増大に従ってxD(x) は 0 に近づく。
x 軸と D(x) の描く曲線との間の面積は、当該目標に対するその砲弾の致命域 (leathal area) L と呼ばれ、次式で表される。
L = ∫ − ∞ ∞ D ( x ) d x {\displaystyle L=\int _{-\infty }^{\infty }D(x)dx}
L = π a 1 a 2 {\displaystyle L=\pi a_{1}a_{2}} :致命域
以下では便宜上a1 > a2 とする。
弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。
P = 1 2 π σ 2 ∫∫ A exp  ( − x 1 2 + x 2 2 2 σ 2 ) d x 1 d x 2 , A : x 1 2 a 1 2 + x 2 2 a 2 2 ≦ 1. {\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2\sigma ^{2}}})dx_{1}dx_{2},\quad \quad A:{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1.}
u = x 1 , v = a 1 x 2 / a 2 , σ u = σ , σ v = σ a 1 / a 2 {\displaystyle u=x_{1},v=a_{1}x_{2}/a_{2},\sigma _{u}=\sigma ,\sigma _{v}=\sigma a_{1}/a_{2}} とすれば、以下のように変換できる。
弾着の分布が円形正規分布となるか楕円正規分布となるかという違いや、目標中心と弾着中心とのずれの有無によって計算は4通りに分かれる。いずれの場合でも以下の損傷関数に従うものとする。 D ( x 1 , x 2 ) = { 1 | x 1 | 2 + | x 2 | 2 ≦ a 2 , 0 | x 1 | 2 + | x 2 | 2 > a 2 {\displaystyle D(x_{1},x_{2})={\begin{cases}1&|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}\leqq a^{2},\\0&|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}>a^{2}\end{cases}}}
L = π a 2 {\displaystyle L=\pi a^{2}} :致命域
弾着点の確率密度関数は次の式で表される。 f ( x 1 , x 2 ) = 1 2 π σ 1 σ 2 exp  ( − ( x 1 − μ 1 ) 2 2 σ 1 2 − ( x 2 − μ 2 ) 2 2 σ 2 2 ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2})={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\exp \left(-{\frac {(x_{1}-\mu _{1})^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {(x_{2}-\mu _{2})^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}}\right)}
μ1 , μ2 :目標中心と弾着中心のずれ
σ1 , σ2 :分散
弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考えると、上の式での目標中心と弾着中心のずれ) と分散σ1 , σ2 はすべて 0 となる。
P = 1 2 π σ 1 σ 2 ∫∫ A exp  ( − u 2 2 σ u 2 − v 2 2 σ v 2 ) d u d v = P P ( a 1 σ , a 1 a 2 ) , A ′ : u 2 + v 2 ≦ a 1 2 . {\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {u^{2}}{2\sigma _{u}^{2}}}-{\frac {v^{2}}{2\sigma _{v}^{2}}})dudv=PP({\frac {a_{1}}{\sigma }},{\frac {a_{1}}{a_{2}}}),\quad \quad A':u^{2}+v^{2}\leqq a_{1}^{2}.}
弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。 P = 1 2 π σ 1 σ 2 ∫∫ A exp  ( − x 1 2 2 σ 1 2 − x 2 2 2 σ 2 2 ) d x 1 d x 2 , A : x 1 2 a 1 2 + x 2 2 a 2 2 ≦ 1. {\displaystyle P={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}}}\iint _{A}^{}\exp(-{\frac {x_{1}^{2}}{2\sigma _{1}^{2}}}-{\frac {x_{2}^{2}}{2\sigma _{2}^{2}}})dx_{1}dx_{2},\quad \quad A:{\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}\leqq 1.
矩形目標の2辺x1 とx2 が射線方向とそれに直交する方向に平行な場合の損傷関数D (x1 , x2 ) と致命域L は以下の式で与えられる。
D ( x 1 , x 2 ) = exp  ( − x 1 2 + x 2 2 2 α 2 ) {\displaystyle D(x_{1},x_{2})=\exp(-{\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2\alpha ^{2}}})}
L = 2 π α 2 {\displaystyle L=2\pi \alpha ^{2}}
単発撃破確率P は、以下の式になる。
P = α 2 ( α 2 + σ 1 2 ) ( α 2 + σ 2 2 ) exp  ( − μ 1 2 2 ( α 2 + σ 1 2 ) − μ 2 2 2 ( α 2 + σ 2 2 ) ) {\displaystyle P={\frac {\alpha ^{2}}{\sqrt {(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2})(\alpha ^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}\exp {{\bigg (}-{\frac {\mu _{1}^{2}}{2(\alpha ^{2}+\sigma _{1}^{2})}}-{\frac {\mu _{2}^{2}}{2(\alpha ^{2}+\sigma _{2}^{2})}}{\bigg )}}}
単発撃破確率(SSKP; single shot kill probability)は損傷関数と弾着分布から導かれる1発の射爆による目標撃破確率であり、特定目標に対する当該兵器の有効性を数値的に示すものである。