規格化
実際の量子論では、自乗積分が∞に発散するような関数を扱うことも多い。
∫ | ψ k ( r , t ) | 2 d r = ∞ {\displaystyle \int |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}d\mathbf {r} =\infty }
その場合は、次のようなデルタ関数による規格化を許している。
∫ ψ k ∗ ( r , t ) ψ k ′ ( r , t ) d r = δ ( k − k ′ ) {\displaystyle \int \psi _{k}^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi _{k'}(\mathbf {r} ,t)d\mathbf {r} =\delta (k-k')}
この場合における | ψ k ( r , t ) | 2 {\displaystyle |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}} は、ある時刻tで位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } の測定をした時の確率密度 p ( r , t ) {\displaystyle p(\mathbf {r} ,t)} ではなく、次のように相対確率を表す。
p ( r , t ) ≠ | ψ k ( r , t ) | 2 {\displaystyle p(\mathbf {r} ,t)\neq |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}}
p ( r , t ) ∝ | ψ k ( r , t ) | 2 {\displaystyle p(\mathbf {r} ,t)\varpropto |\psi _{k}(\mathbf {r} ,t)|^{2}}