超現実数
形式 (form) は左集合および右集合と呼ばれる超現実数からなる集合の対を言う。左集合を L, 右集合を R とする形式は {L | R} と書き、また L および R が元のリスト(文字列)として与えられているときには、それらを括る波括弧は省略する。左集合または右集合の何れかまたは両方が空集合となることもあり得る。例えば両者空集合となる形式 {{} | {}} = {∅ | ∅} は { | } とも書く。
ゲームにおける一手 (move) はその手番においてプレイヤーが L(先手; left player の場合)または R(後手; right player の場合)から利用できるゲームを選び、その選んだゲームを相手プレイヤーに渡すという形で作用する。選択できるものが空となり手を打てないプレイヤーは負け (lost) である。正のゲームは先手の勝利を、負のゲームは後手の勝利をそれぞれ表し、零ゲームは後手の手番をファジーゲームは先手の手番を意味する。
x, y, z が超現実数であるとき、x = y ならば必ず x⋅z = y⋅z が成り立つが、x, y, z がゲームのときには x = y でも必ずしも x⋅z = y⋅z であるとは言えない。ここでの等号 "=" は「値が等しい」(equality) という意味であって、「同一」(identity) という意味ではないことに注意。
↑ Bajnok, Béla (2013). An Invitation to Abstract Mathematics. "Theorem 24.29. The surreal number system is the largest ordered field"
1 2 O'Connor, J.J.; Robertson, E.F., Conway Biography, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Conway.html 2008年1月24日閲覧。
1 2 3 4 5 Conway 1976.
1 2 3 4 van den Dries & Ehrlich 2001.
1 2 Gonshor 1986.
1 2 Rubinstein-Salzedo, Simon; Swaminathan, Ashvin (19 May 2015). "Analysis on Surreal Numbers". arXiv:1307.7392v3 [math.CA]。
↑ Surreal vectors and the game of Cutblock, James Propp, August 22, 1994.
↑ Alling 1987.
各自然数(有限順序数)n に対し、Sn において生成されたすべての数が二進分数(英語版)(すなわち、既約分数に書いたとき適当な整数 a, b (0 ≤ b < n) を用いて a⁄2 の形に書ける有理数)である。
有限な n に対する適当な Sn において生成される超現実数全体の成す集合を S ∗ := ⋃ n ∈ N S n {\textstyle S_{*}:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }S_{n}} と書くことにする。三種類の異なる形、 S 0 := { 0 } , {\textstyle S_{0}:=\{0\},} S + := { x ∈ S ∗ : x > 0 } , {\textstyle S_{+}:=\{x\in S_{*}:x>0\},} S − := { x ∈ S ∗ : x < 0 } {\textstyle S_{-}:=\{x\in S_{*}:x<0\}} に分類すれば、S∗ はこれらの合併である。個々の Sn は(S0 以外は)加法および乗法について閉じていないが、S∗ は閉じている(これは二進分数全体の成す有理数体の部分環である)。
↑ この場合、y = {2} の元は 2 しかないから、定義式において y − y の部分は数の計算 2 − 3 = −1 に単純化できる。同様に y は空集合で、とるべき元は存在しないから、定義式において y を含むふたつの式は考える必要がない。
↑ 二進分数全体の成す集合は、この種の群および環のうち非自明でもっとも単純な例になっている。つまり、誕生日が ω = ω = ω より小さい超現実数の全体である。
↑ この間隙の定義は、デデキント切断の条件から「L および R が空でなく、また L が最大元(存在すれば R の最小元とも一致する)を持たない」という条件が落ちている。
↑ 重要なことに、コーシー列全体の成す集まりがNBG集合論においてクラスを成すという主張は存在しない。
↑ これらの等式の最も自明に見えるものでさえ、その中に超限帰納法が隠されていることを思えば、これら一つ一つが別々の定理を成していると考えるに十分であろう。
今日では超現実数の「符号展開」(sign-expansion) や「符号列」(sign-sequence) と呼ばれているやり方において、超現実数は定義域が適当な順序数で終域が {−1, +1} であるような函数を言う。これはコンウェイのLR列と同値である。
この意味の超現実数の上で定義された二項述語「より単純」("simpler than") は、x が y より単純であるというのを、x が y の真部分集合となること、すなわち dom(x) ⊂ dom(y) かつ x(α) = y(α) (∀α ∈ dom(x)) となることと定められる。
超現実数に対して、二項関係 < を辞書式順序として(ただし、「定義されない値」("undefined value") は −1 より大きく 1 より小さいものと約束する)。すると x < y となるのは以下の何れかひとつが満足されるときである:
x が y より単純かつ y(dom(x)) = +1;
y が x より単純かつ x(dom(y)) = −1;
適当な数 z が存在して、z は x, y より簡単かつ x(dom(z)) = −1, y(dom(z)) = +1.
あるいは同じことだが、δ(x,y) ≔ min({dom(x), dom(y)} ∪ {α : α ⊂ dom(x) ∩ dom(y) ∧ x(α) ≠ y(α)}) と置けば、x = y となるための必要十分条件は、δ(x,y) = dom(x) = dom(y) となるから、超現実数 x, y に対し、x < y となるための必要十分条件は以下の何れか一つが満足されることである:
δ(x,y) = dom(x) ∧ δ(x,y) ⊂ dom(y) ∧ y(δ(x,y)) = +1;
同様に加法もまた
と帰納的に定義される。ただし、X + y ≔ {x + y : x ∈ X} および x + Y ≔ {x + y : y ∈ Y} は元と集合との和の集合(英語版)である。 この定義式には、もととなる被演算子の一方(これは数ではなく「形式」である)と、他方の左集合または右集合からとった超現実「数」との和が現れているが、これはその数に対してはそれを表す形式を一つ選んで形式の間での和を計算し、その結果得られる形式の属する同値類をとった超現実数を意味するものと理解する。これもやはり、結果として得られる数が被演算子となる数を表す形式の選び方に依存しない場合にのみ矛盾なく定義可能となるが、これはその特別の場合である 0 + 0 = { | } + { | } ≔ { | } = 0 および
が成り立つことから帰納的に示せる(後ろ二つの式それ自体も帰納的に証明されるものであることに注意する)。