バナッハ＝タルスキーのパラドックス
3次元空間の回転群でちょうど F 2 {\displaystyle F_{2}} と同じように振る舞う( F 2 {\displaystyle F_{2}} と同型な)群を見つけるために、直交する2つの軸、xおよびzをとる。そしてaを「x軸を回転軸とした1ラジアンの回転」bを「z軸を回転軸とした1ラジアンの回転」に対応させる(回転の角度は1ラジアンでなくても、円周率πの無理数倍であれば何でもよい)。2つの回転a、bが操作の合成を積として F 2 {\displaystyle F_{2}} と同型になる(すなわち、何周しても二点が重ならない)ことの証明はやや煩雑だが難しくはないので、この部分は省略する。aとbによって生成される回転群をHとする。すると、ステップ1で得たパラドキシカルな分割をHに対しても適用することが出来る。HはF2と同型であるから可算集合である。