ウェーブレット
各種あるウェーブレット変換の離散化の全ての方法において、上半面上の各有界矩形領域は有限個の係数のみを持つ。しかし、各係数を求めるためには積分の評価が必要となる。このような数値的な複雑さを避けるために、スケーリング関数(ファーザーウェーブレット)と呼ばれる補助関数 φ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \phi \in L^{2}(\mathbb {R} )} が利用される。このとき a は整数でなければならない。例えば典型的な係数として a=2、b=1 が用いられる。最も有名なファーザー・マザーウェーブレットの組としてドブシーの4タップウェーブレットがある。
マザー・ファーザーそれぞれのウェーブレットから部分空間
V m = span  ( φ m , n : n ∈ Z ) {\displaystyle V_{m}=\operatorname {span} (\phi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} )} , where φ m , n ( t ) = 2 − m / 2 φ ( 2 − m t − n ) {\displaystyle \phi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi (2^{-m}t-n)}
と
W m = span  ( ψ m , n : n ∈ Z ) {\displaystyle W_{m}=\operatorname {span} (\psi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} )} , where ψ m , n ( t ) = 2 − m / 2 ψ ( 2 − m t − n ) {\displaystyle \psi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi (2^{-m}t-n)} .