シローの定理
もっと複雑な例は巡回群ではない最小の単純群の位数に関係する例である。バーンサイドの定理より、ある群の位数が二つの素数の冪の積であれば、その群は可解群であり、特に単純群ではない。これにより位数 30 (= 2 · 3 · 5) 未満の巡回群でないすべての群は単純群でないことが示される。
もし G が位数30の単純群であれば、n3 は 10 (= 2 · 5) を割り切り、n3 ≡ 1 (mod 3) が成り立つ。よって n3 = 1, 10 であり、G が単純群なので n3 = 1 とはならないため、n3 = 10 である。よって G は互いに異なる10種類の位数3の部分群を持ち、それぞれの部分群は位数3の元を2個持つ。つまり G は位数3の元を少なくとも20個持つ。同様に、n5 は 6 を割り切り、n5 ≡ 1 (mod 5) であるため、n5 = 6 である。よって G は位数 5 の元を少なくとも 24 (= 4 · 6) 個持つ。しかし G の位数は 30 しかないので、矛盾が生じた。よって位数 30 の単純群は存在しない。
次に |G| = 42 = 2 · 3 · 7 の場合を考える。n7 は 6 を割り切り、n7 ≡ 1 (mod 7) であるため、n7 = 1 である。よってシロー7-部分群は G の正規部分群であり、G は単純群ではない。
一方で、|G| = 60 = 2 · 3 · 5 の場合は、n3 = 10 と n5 = 6 となることがあり得る。実際に、巡回群でない最小の単純群は5個の元の交代群 A5である。位数は60であり、位数5の巡回置換を24個、位数3の巡回置換を20個持つ。
無限群(英語版)に対して、シローの定理の類似がある。無限群 G のシロー p-部分群を、G のすべての p-部分群の中で包含関係について極大な p-部分群(すべての元の位数が p 冪)と定義する。ツォルンの補題により、そのような部分群は必ず存在する。
無限群に対するシローの定理 ― K が G のシロー p-部分群であり、np = |Cl(K)| が有限であれば、すべてのシロー p-部分群は K と共役であり、np ≡ 1 (mod p) である(ここで Cl(K) は K の共役類)。