ボーア・モレルップの定理
n c ∏ k = 0 n − 1 ( k + c ) = lim n → ∞ n ! n c ∏ k = 0 n ( k + c ) = Γ ( c ) ( 0 ≤ c ≤ 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{(n-1)!n^{c}\left({\frac {n}{n+c}}\right)^{1-c}}\leq {G(c)}\prod _{k=0}^{n-1}{(c+k)}\leq {(n-1)!n^{c}}\qquad (0{\leq }c{\leq }1)\\&G(c)=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n-1)!n^{c}}{\prod _{k=0}^{n-1}{(k+c)}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{c}}{\prod _{k=0}^{n}{(k+c)}}}=\Gamma (c)\qquad (0{\leq }c{\leq }1)\\\end{aligned}}}
を得る。以上により、 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0{\leq }x{\leq }1} で G ( x ) = Γ ( x ) {\displaystyle G(x)=\Gamma (x)} が示されたが、一致の定理により正則な定義域全体で G ( z ) = Γ ( z ) {\displaystyle G(z)=\Gamma (z)} となる。
f ( x ) = log  Γ ( x ) − log  G ( x ) {\displaystyle f(x)=\log {\Gamma (x)}-\log {G(x)}}
と定義する。 G ( x + 1 ) = x G ( x ) {\displaystyle G(x+1)=xG(x)} であるから
f ( x + 1 ) = log  Γ ( x + 1 ) − log  G ( x + 1 ) = log  x + log  Γ ( x ) − log  x − log  G ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x+1)&=\log {\Gamma (x+1)}-\log {G(x+1)}\\&=\log {x}+\log {\Gamma (x)}-\log {x}-\log {G(x)}\\&=f(x)\\\end{aligned}}}
であり、 n {\displaystyle n} を任意の自然数として f ( x + n ) = f ( x ) {\displaystyle f(x+n)=f(x)} である。また、 G ( 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle G(1)=\Gamma (1)=1} であるから f ( n ) = 0 {\displaystyle f(n)=0} である。