ヘッセ標準形
簡単のため以下では三次元の場合を述べるが、同様のことは二次元あるいは高次元の場合でもほとんどそのまま通用する。
法線標準形の方程式
は位置ベクトル a→ をもつ任意の点 A を通り、n→ を法ベクトルとする平面 E を表す。法ベクトルの向きは a→⋅n→ ≥ 0 を満たすものと仮定する。法ベクトルをその大きさ n ≔ ‖ n→ ‖ で割って単位法ベクトル n→0 = n→/n を得れば、式は
となるから、d ≔ a→⋅n→0 ≥ 0 と置けば、ヘッセ標準形
を得る。
図において、d は原点からの距離になる。実際、r→⋅n→0 = d はこの平面上の任意の点が満足するのだから、特に原点から平面 E に下ろした垂線の足 Q も、r→ = r→s の場合として満足する。点乗積の定義によれば
であって、r→s の大きさ ‖ r→s ‖ は原点からこの平面へ結んだ最短距離に等しいのであった。
ヘッセ標準形は平面曲線に対しても考えることができる。曲線が陰函数表示 h(x, y) = 0 で与えられ、条件 ‖ ∇h ‖ = 1 を満たすとき、これを曲線のヘッセ標準形と呼ぶ。例えば
は円の方程式 x + y = r のヘッセ標準形である。函数 h は原点からこの曲線への向き付けられた距離を記述するもので、距離函数 (Distanzfunktion) とも呼ばれる。
曲面の場合にも、ヘッセ標準形を考えることができる。曲線や曲面のヘッセ標準形は幾何学的モデリングにおける実用だけではなく、理論的にも(曲線の弧長と類似の意味で)重要である。