数論的ゼータ函数
バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想は、この予想の特別な場合である。実際、テイトによるこの予想は、バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想の一般化となっている。
さらに一般的には、クリストフ・スーレ(英語版)(Christophe Soulé)は、で、
o r d s = n − m ζ X ( s ) = − ∑ i ( − 1 ) i r k K i ( X ) ( m ) {\displaystyle \mathrm {ord} _{s=n-m}\zeta _{X}(s)=-\sum _{i}(-1)^{i}rkK_{i}(X)^{(m)}}
であることを予想した。
右辺は、X の代数的K-理論のアダムズ(Adams)の固有空間を表している。これらのランクはバスの予想(Bass conjecture)によれば有限である。
これらの予想は、n = 1のとき、つまり数の環の場合や有限体上の代数曲線の場合には知られている。n > 1 のときのバーチ・スウィンナートン=ダイアー予想の一部は証明されているが、正標数の場合の予想は未だ証明されていない。
一般化されたリーマン予想に従い、ζX (s) の零点は、垂直線 Re(s) = 1/2, 3/2, ... 上のクリティカル帯 0 ≤ Re(s) ≤ n の内側にあり、ζX (s) の極は垂直線 Re(s) = 0, 1, 2, ... 上のクリティカル帯 0 ≤ Re(s) ≤ n の内側にあることが予想されている。
このことは、(エミール・アルティン, Helmut Hasse, André Weil, Alexander Grothendieck, Pierre Deligne)により正の標数で全ての n に対して証明された。しかし、Z 上に平坦な任意のスキームに対しては証明されていない。リーマン予想はこの予想の 2 の場合の特別な場合である。