ディガンマ関数
ディガンマ関数とその導関数は z ≠ 0 , − 1 , − 2 , − 3 , ... ( z ∈ C ∖ { 0 , Z − } ) {\displaystyle z\neq 0,-1,-2,-3,\ldots (z\in \mathbb {C} \setminus \{0,\mathbb {Z} ^{-}\})} で次の級数表示を持つ。
ψ ( z ) = − γ − ∑ n = 0 ∞ ( 1 z + n − 1 n + 1 ) = − γ + ∑ n = 0 ∞ z − 1 ( n + 1 ) ( z + n ) {\displaystyle \psi (z)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{z+n}}-{\frac {1}{n+1}}{\biggr )}=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(z+n)}}}
ψ ( k ) ( z ) = ( − 1 ) k + 1 k ! ∑ n = 0 ∞ 1 ( z + n ) k + 1 {\displaystyle \psi ^{(k)}(z)=(-1)^{k+1}k\,!\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{k+1}}}}