積率母関数
確率論や統計学において、確率変数 X の積率母関数またはモーメント母関数(英: moment-generating function)は、期待値が存在するならば次の式で定義される。
M X ( t ) := E ( e t X ) , t ∈ R {\displaystyle M_{X}(t):=E\left(e^{tX}\right),\quad t\in \mathbb {R} }
積率母関数がそのように呼ばれるのは、t = 0 の周囲の開区間上でそれが存在する場合、それが確率分布のモーメントの母関数であるからである。
E ( X n ) = M X ( n ) ( 0 ) = d n M X d t n ( 0 ) {\displaystyle E\left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}(0)}
積率母関数がそのような区間について定義される場合、それにより確率分布が一意に決定される。
積率母関数で重要なことは、積分が収束しない場合、積率(モーメント)と積率母関数が存在しない可能性がある点である。