球面調和関数
帯球関数を具体的に書き表す為、記号を導入する。自然数 n と非負の実数 x に対しポッホハマー記号 (x)n を
構文解析に失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikipedia.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle (x)_n := \frac{\Gamma (x+n)}{\Gamma(x)}}
により定義する。ここで Γ(x) はガンマ関数である。さらにガウスの超幾何関数を
2 F 1 ( − k , b ; c ; z ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( k i ) ( b ) i ( c ) i z i {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-k,b;c;z)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {(b)_{i}}{(c)_{i}}}z^{i}}
en を R 上のベクトル
en = (0, ..., 0, 1) ∈ R
とする。
定義 (帯球関数) ― 以下の性質を満たす k 次の球面調和関数を、(en 方向の)k 次の帯球関数(英語版)という:
R(en) = en を満たす任意の回転行列 R に対し、Y(R(x1, ..., xn)) = Y(x1, ..., xn)
次元 n が 3 であれば、z 軸 (0, 0, 1) を保つ回転によって球面 S を回せば、球面上に緯線が帯状に描かれる。帯球関数という名称は、「緯線による帯上で値が不変になる球面調和関数」である事に由来する。
次の事実が成立する。
定理 ― 任意の自然数 k に対し、R 上の k 次の帯球関数は定数倍を除いて一意である。すなわち Z1, Z2 を R 上の2つの k 次帯球関数とするとき、Z1 = aZ2 を満たす複素数 a ∈ C が存在する。