変形勾配
変形勾配は基準配置を参照するテンソルと現在配置を参照するテンソルの変換作用素となる役割を持つ。たとえば冒頭で述べた
d x = F d X {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=F\mathrm {d} {\boldsymbol {X}}}
のように、基準配置を参照する座標dX を現在配置を参照する座標dx に変換する。このことを、dX はdx へプッシュフォワードされる、あるいはdX はdx のプルバックであるという。
例としては、アルマンジひずみe はグリーンひずみE のプッシュフォワードであり、変形勾配を用いて以下のように変換される:
e = F − T E F − 1 , E = F T e F . {\displaystyle e=F^{-T}EF^{-1},\quad E=F^{T}eF.}
また、キルヒホッフ応力テンソルτ(コーシー応力と体積変化率の積)は第2パイオラ・キルヒホッフ応力テンソルS のプッシュフォワードである:
τ ≡ ( det F ) σ = F S F T , S = F − 1 τ F − T . {\displaystyle \tau \equiv (\det F)\sigma =FSF^{T},\quad S=F^{-1}\tau F^{-T}.}