正則ベクトル束
{\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .}
つまり,∇ は計量構造と両立する.最後に,ω は (1, 0) 形式であるから, ∇ s {\displaystyle \nabla s} の (0, 1) 成分は ∂ ̄ s {\displaystyle {\bar {\partial }}s} である.
Ω = d ω + ω ∧ ω {\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega } を ∇ の曲率形式とする. p ∇ = ∂ ̄ {\displaystyle p\nabla ={\bar {\partial }}} は二乗して零になるから,Ω は (0, 2) 成分を持たず,Ω は歪エルミートであることが容易に示せるから,それはまた (2, 0) 成分ももたない.したがって,Ω は次で与えられる (1, 1) 形式である:
Ω = ∂ ̄ ω . {\displaystyle \Omega ={\bar {\partial }}\omega .}
曲率 Ω は正則ベクトル束の高次コホモロジーの消滅定理,例えば小平の消滅定理や中野の消滅定理(英語版),において顕著に現れる.