アポロニウスのギャスケット
3つの円の曲率を k1、k2、k3、アポロニウスの円の曲率を k4 とすると、デカルトの定理より次式が成り立つ。
( k 1 + k 2 + k 3 + k 4 ) 2 = 2 ( k 1 2 + k 2 2 + k 3 2 + k 4 2 ) {\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2})\,}
k4 について整理すると
ここで複号はアポロニウスの円が2つ存在することに対応する。
続いて円の中心を考える。複素平面上で考えた3つの円の中心をそれぞれ複素数で z1、z2、z3 とし、同じくアポロニウスの円の中心を z4 とすると、デカルトの定理より