汎函数
函数 f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} が与えられているとき、これを f {\displaystyle f} を止めて x 0 {\displaystyle x_{0}} を f {\displaystyle f} の引数と見た写像
x 0 ↦ f ( x 0 ) {\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}
と理解することができるが、それと同時に x 0 {\displaystyle x_{0}} を止めて f {\displaystyle f} が動くものと見た
f ↦ f ( x 0 ) {\displaystyle f\mapsto f(x_{0})}
は汎函数である。このとき x 0 {\displaystyle x_{0}} はパラメータと理解することができる。
f {\displaystyle f} が線型空間からその係数体への線型写像ならば、上に挙げた二つの写像は互いに双対な線型写像となるので、函数解析においてはいずれも線型汎函数と呼ぶ。
定積分は汎函数の特殊なクラスを与える。例えば
f ↦ I [ f ] = ∫ Ω H ( f ( x ) , f ′ ( x ) , ... ) μ ( d x ) {\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu (dx)}
の形の定積分は、H が実数値のとき、函数 f をある実数(積分値)へ写すので汎函数になっている。定積分が与える汎函数の例として
正値函数 f のグラフの下の部分の面積: f ↦ ∫ x 0 x 1 f ( x ) d x {\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;dx}
函数のL ノルム: f ↦ ( ∫ | f | p d x ) 1 / p {\displaystyle f\mapsto \left(\int |f|^{p}\;dx\right)^{1/p}}
2-次元ユークリッド空間内の曲線の弧の長さ: f ↦ ∫ x 0 x 1 1 + | f ′ ( x ) | 2 d x {\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;dx}
などを挙げることができる。