ヒルベルト空間
ディラックとフォンノイマンによって発展した量子力学の数学的に厳密な定式化は、量子力学系の取りうる状態(より正確には純粋状態)が、状態空間と呼ばれる可分な複素ヒルベルト空間に属する単位ベクトル(状態ベクトルという)によって(位相因子と呼ばれるノルム 1 の複素数の違いを除いて)表現される。つまり、取りうる状態はあるヒルベルト空間の射影化(ふつうは複素射影空間と呼ばれる)の元である。このヒルベルト空間が実際にどのようなものになるかは系に依存する。例えば、一つの非相対論的スピン 0 粒子の位置と運動量の状態は自乗可積分関数全体の成す空間であり、いっぽう一つの陽子のスピンの状態はスピノルの成す二次元複素ヒルベルト空間の長さ 1 の元である。各可観測量は状態空間上に作用する自己随伴線型作用素として表現され、可観測量の固有状態はその作用素の固有ベクトルに、固有ベクトルに対応する固有値は固有状態にある可観測量の値にそれぞれ対応する。
量子状態の時間発展はシュレーディンガー方程式によって記述され、そこに現れるハミルトニアン(全エネルギーに対応する作用素)は時間発展を生み出す。
このことは「稠密な部分集合に対して直交するようなベクトルは零ベクトルに限る」という事実と関係がある。実際、S を任意の正規直交系とし、ベクトル v が S に直交するものとすると、v は S の張る部分空間の閉包とも直交するが、S が完全であるならばそのような閉包は全空間に他ならない。
正規直交基底の例としては、
集合 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} はドット積に関して R の正規直交基底になる。
指数関数列 {ƒn : n ∈ Z} (ƒn(x) = exp(2πinx)) は L([0, 1]) の正規直交基底になる。
等を挙げることができる。
無限次元の場合には、正規直交基底は線型代数学でいう意味での基底にはならない(これを区別する意味で後者をハメル基底とも呼ぶ)。基底ベクトルの張る部分空間が全空間において稠密であるということから、空間の各ベクトルが基底ベクトルの無限線型和として書けることが従う。また直交性からはそのような和としての表示の一意性が従う。
非有界作用素のスペクトルは有界作用素に対するのと全く同じやり方で定義される。つまり、λ がスペクトル値となるのはレゾルベント作用素
R λ = ( T − λ ) − 1 {\displaystyle R_{\lambda }=(T-\lambda )^{-1}}
が連続作用素として定義されないときである。T の随伴性から、やはりスペクトルが実であることが保証される。従って、非有界作用素に特有な議論の本質の部分は、λ が実でないようなレゾルベント Rλ を見るところにある。このレゾルベントは有界正規作用素で、これをスペクトル表現したものを使って T 自身のスペクトル表現が得られる。同様の方法論で、例えばラプラス作用素のスペクトルも調べられる。作用素を直接扱うよりも、それに付随するリースポテンシャルやベッセルポテンシャル(英語版)のようなレゾルベントを見るのである。
非有界自己随伴作用素の場合に成立するスペクトル定理は以下のようなものである。
ヒルベルト空間 H 上稠密に定義された自己随伴作用素 T が与えられたとき、R のボレル集合族上で定義された 1 の分解 E が一意に対応して ⟨ T x , y ⟩ = ∫ R λ d E x , y ( λ ) ( x ∈ D ( T ) , y ∈ H ) {\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,dE_{x,y}(\lambda )\quad (x\in D(T),y\in H)} を満たす。スペクトル測度 E は T のスペクトル上に集中する。
非有界正規作用素に対するスペクトル定理も存在する。
ルベーグ空間は測度空間 (X, M, μ) (X は集合で、M は X の部分集合からなる完全加法族、μ は M 上の完全加法的測度)に付随する関数空間である。L(X, μ) を、X 上の複素数値可測関数で、その絶対値の平方のルベーグ積分が有限となるようなもの全体の成す空間とする。即ち、L(X, μ) に属する関数 f は必ず
∫ X | f | 2 d μ < ∞ {\displaystyle \int _{X}|f|^{2}d\mu <\infty }
を満たす。ただし、測度零の集合の上でだけ異なる(殆ど至る所一致する)ような関数は全て同一視するものとする。
L(X, μ) に属する関数 f, g の内積は
⟨ f , g ⟩ = ∫ X f ( t ) g ( t ) ̄ d μ ( t ) {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\ d\mu (t)}
で与えられる。L の元 f, g に対して、右辺の積分が存在することはコーシー・シュヴァルツの不等式から示されるから、これは確かに内積を定義している。このように定義された内積に関して L は実は完備になる。積分がルベーグ積分であることは完備性を保証するために本質的である。例えば、実数からなる領域上でリーマン可積分関数を考えるのでは十分でない。
多くの自然な設定の下でルベーグ空間を考えることができる。
様々な文献(例えば Dunford & Schwartz (1958, §IV.4) など)ではこれを単に次元と呼ぶが、考えているヒルベルト空間が有限次元の場合を除けば、これは通常の線型空間の意味での次元(ハメル基底の濃度)と同じものではない。
↑ Prugovečki 1981, I, §4.2
↑ von Neumann (1955) はヒルベルト空間は可算ヒルベルト基底を持つものと定義したので、そのようなものは全て l に等距同型である。量子力学の厳密な取り扱いにおいて殆どの場合この規約が用いられている(例えば Sobrino 1996, Appendix B を参照)。
1 2 3 Streater & Wightman 1964, pp. 86–87
↑ Young 1988, Theorem 15.3
↑ Kakutani 1939
↑ Lindenstrauss & Tzafriri 1971
↑ Halmos 1957, §12
↑ ヒルベルト空間におけるスペクトル論の一般的な説明が Riesz & Sz Nagy (1990) にある。C-環の言葉を用いたより高度な説明は Rudin (1973) や Kadison & Ringrose (1997) を参照。
↑ たとえば Riesz & Sz Nagy (1990, Chapter VI) や Weidmann 1980, Chapter 7 を参照。この結果は、積分核から生じる作用素の場合には、既に Schmidt (1907) で知られている。
↑ Riesz & Sz Nagy 1990, §§107–108
↑ Shubin 1987
↑ Rudin 1973, Theorem 13.30.
}
第一引数に関する線型性: ( a x 1 + b x 2 ) ⋅ y = a x 1 ⋅ y + b x 2 ⋅ y ∀ a , b ∈ R , ∀ x 1 , x 2 ∈ R 3 . {\displaystyle (a{\boldsymbol {x}}_{1}+b{\boldsymbol {x}}_{2})\cdot {\boldsymbol {y}}=a{\boldsymbol {x}}_{1}\cdot {\boldsymbol {y}}+b{\boldsymbol {x}}_{2}\cdot {\boldsymbol {y}}\quad \forall \ a,b\in \mathbb {R} ,\ \forall \ {\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2}\in \mathbb {R} ^{3}.}
正定値性: x ⋅ x ≥ 0 ∀ x ∈ R 3 ; x ⋅ x = 0 ⟺ x = 0 . {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}\geq 0\quad \forall \ {\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{3};\quad {\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}=0\iff {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}.