超準解析
E. E. Rosinger, [math/0407178]. Short introduction to Nonstandard Analysis. arxiv.org.
ある種の微分方程式系(slow-fast系)において、系のパラメータを微小に変化させたとき、ある特異な振る舞いをする解(の一種)をアヒル解(duck solution)と呼ぶ。M. Dienerは、超準解析を用いてある種のslow-fact系のアヒル解の存在証明を与えた。この技法に触発され様々なアヒル解の存在証明が与えられている。
超冪構成は、非線形の微分方程式の研究に用いられる、コロンボ超関数の構成にも用いられる。この理論では単に超冪構成が用いられているのみならず、内的集合や飽和原理といった、超準解析的なツールが有効に用いられている。コロンボの理論は超準解析に基づく再解釈もなされている。
1 2 Sergio Albeverio, Jans Erik Fenstad, Raphael Høegh-Krohn, Tom Lindstrøm: Nonstandard Methods in Stochastic Analysis and Mathematical Physics, Academic Press 1986.
1 2 Edward Nelson: Internal Set Theory: A New Approach to Nonstandard Analysis, Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 83, Number 6, November 1977. A chapter on Internal Set Theory is available at http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/1.pdf
↑ Vopěnka, P. Mathematics in the Alternative Set Theory. Teubner, Leipzig, 1979.
↑ Vieri Benci, Mauro Di Nasso, Marco Forti. The eightfold path to nonstandard analysis. In: Nigel J. Cutland, Mauro Di Nasso, David A. Ross (eds.) Nonstandard Methods and Applications in Mathematics, Cambridge University Press, 3-44 (2006)
, α n ) {\displaystyle \forall x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}
∃ x ∈ A , Φ ( x , α 1 , ... , α n ) {\displaystyle \exists x\in A,\Phi (x,\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}
例えば、論理式
∀ x ∈ A , ∃ y ∈ 2 B , x ∈ y {\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y\in 2^{B},\quad x\in y}
は有界である:全称量化された変数 x は A 上を走り, 存在量化された変数 y は B の冪集合上を走る。他方で、
∀ x ∈ A , ∃ y , x ∈ y {\displaystyle \forall x\in A,\ \exists y,\quad x\in y}
は有界でない。なぜなら y の量化が制限されていないからである。有界論理式の真偽はあるランクの V n ( S ) {\displaystyle V_{n}(S)} の中で完全に決定され、 V ( S ) {\displaystyle V(S)} 全体を参照する必要がないことが重要である。
連続なループが原点を通るためには、 sin(1/x) によって作られる無限に長い経路を辿る必要があるが、それは不可能だからである。Karol Borsukの形状理論では、コンパクト距離空間 X {\displaystyle X} が与えられたら、それを適当な大きな空間(ヒルベルト立方体)に埋め込んだ上で、 X {\displaystyle X} の開近傍たちを考える。すなわち X {\displaystyle X} を膨らませた空間たちを考える。そこに適当なホモトピーの概念を導入し、そのホモトピー同値類を X {\displaystyle X} の形状と呼ぶ。Sibe MardešićとJack Segalのアプローチでは、位相空間 X {\displaystyle X} を近似する(適当なよい性質を備えた)空間の射影系を考え、射影系とその間の射をもとにして、シェイプ圏と呼ばれる圏を作る。どちらのアプローチも、所与の空間を少し膨らませた空間のホモトピーを見る、というアイデアでは共通している。Frank Wattenbergは超準解析に基づく位相空間の形状理論を与えた。このアプローチでは、まず空間を適当な大きな空間に埋め込み、それらを超準化した上で、もとの空間を無限小だけ膨らませ、その超準的なホモトピー同値類を考える。これはBorsukのアプローチと類似である。