微分環
体 K 上のリー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の微分 ∂ とは、K-線型写像 ∂ : g → g {\textstyle \partial \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} であって、リー括弧積に関するライプニッツ則 ∂ ( [ a , b ] ) = [ a , ∂ ( b ) ] + [ ∂ ( a ) , b ] {\displaystyle \partial ([a,b])=[a,\partial (b)]+[\partial (a),b]} を満たすものをいうのであった。任意の a ∈ g {\displaystyle a\in {\mathfrak {g}}} に対し ad(a): x ↦ [a, x](つまり ad はリー環の随伴表現)が g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の微分となることはヤコビの等式による。このように得られる微分を、リー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の内部微分と呼ぶ。
リー環の内部微分を、その普遍包絡環へ延長して、普遍包絡環を微分多元環とすることができる。