P進付値
素数 p をとる。0 でない任意の有理数 x に対し、次を満たすような整数 n, a, b が一意的に存在する。
a と b と p はどの二つも互いに素、
a > 0、
x = a b ⋅ p n {\displaystyle x={\frac {a}{b}}\cdot p^{n}} 。
すなわち、n は x を割り切るような p-冪のうちの最大の冪指数である。このとき、n を x の p-進付値 とよび、n = vp(x) などと表す。また、0 の付値は ∞ であると定める。p-進付値は x = limn→∞ xn (xn ∈ Q) に対し、
v p ( x ) = lim n → ∞ v p ( x n ) {\displaystyle v_{p}(x)=\lim _{n\to \infty }v_{p}(x_{n})}
とおくことにより、有理数体 Q から p-進数体 Qp に延長される。これは次のようにも言い換えられる。
p-進賦値 vp は加法賦値である。すなわち、
v p ( m ⋅ n ) = v p ( m ) + v p ( n ) , v p ( m + n ) ≥ min { v p ( m ) , v p ( n ) } {\displaystyle {\begin{aligned}v_{p}(m\cdot n)&=v_{p}(m)+v_{p}(n),\\v_{p}(m+n)&\geq \min\{v_{p}(m),v_{p}(n)\}\end{aligned}}}
を満たす。
P = {p | p は素数または ∞} とおくと、0 でない任意の有理数 x に対し、
∏ p ∈ P | x | p = 1 {\displaystyle \prod _{p\in P}|x|_{p}=1}
が成り立つ。ただし、|·|∞ は通常の絶対値のこととする。これを、Q において積公式が成り立つといい表す。