三次元球面
二次元球面から一点を取り除いたものはユークリッド平面に同相であることを思い出そう。同様にして、三次元球面から一点を取り除いたものは三次元ユークリッド空間に同相である。このことを確かめる極めて有効な方法は立体射影によるものである。先に二次元球面の場合について確認しよう。通常の意味での立体射影は、単位二次元球面を三次元空間内の xy-平面の原点に南極 S が載るように置く。北極 N を除く二次元球面上の任意の点 P を、N と P を結ぶ直線 NP と xy-平面との交点へ写すものであった。三次元球面に関する立体射影も、同様の仕方で北極を除く三次元球面上の各点を xyz-空間上の点へ写す。(立体射影は等角射影(英語版)であるから、球面は球面または平面に写されることに注意。)
指数写像を用いて一点コンパクト化を考えることもできる。ふたたび、二次元球面をユークリッド平面に置いた例で考えれば、平面上の原点を始点とする測地線は球面上の南極を始点とする同じ長さの測地線に写される。このとき、半径 π の円上の点はすべて北極に写るが、開単位円板はユークリッド平面に同相であったから、これもやはり一点コンパクト化であったことがわかる。三次元球面に対する指数写像も同様に構成される。この議論は、三次元球面が単位四元数の成すリー群であるという事実を用いてもできる。