広義固有ベクトル
例 4 において,行列 A に対する線型独立な広義固有ベクトルの標準基底を求めた.A の広義モード行列は
M = [ y 1 x 1 x 2 x 3 ] = [ − 14 2 − 2 0 4 0 2 0 − 3 0 0 1 1 0 0 0 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {y}}_{1}&{\boldsymbol {x}}_{1}&{\boldsymbol {x}}_{2}&{\boldsymbol {x}}_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}
である.A に相似なジョルダン標準形の行列は
J = [ 4 0 0 0 0 5 1 0 0 0 5 1 0 0 0 5 ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{bmatrix}}}
であり,AM = MJ である。
[ 0 − 1 0 0 ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}
となり,x1 は任意であるが,x2 = 0 でなくてはならない.したがって,たとえば, x = [ 1 0 ] {\textstyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} は固有値 λ = 1 に対する固有ベクトルとなる.なお,x1 は任意であるから, x = [ 2 0 ] {\textstyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}}} もまた固有ベクトルであるが, x = [ 1 0 ] {\textstyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} と x = [ 2 0 ] {\textstyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}}} は互いに独立ではないことにも注意されたい.
つぎに,この(通常の)固有ベクトル x = [ 1 0 ] {\textstyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} を x1 として,一般固有ベクトル x2 を求めよう.
したがって,ρ2 = 1 と ρ1 = 2 であり,A の標準基底は階数 2 の1つの線型独立な広義固有ベクトルと階数 1 の2つの線型独立な広義固有ベクトルを含むことが分かる,あるいは同じことだが,2つのベクトルの1つの鎖 {x2, x1} と1つのベクトルの1つの鎖 {y1} を含む.M = (y1 x1 x2) と書いて,次が分かる:
M = [ 2 2 0 1 3 0 0 − 4 1 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{bmatrix}}}
および
J = [ 2 0 0 0 2 1 0 0 2 ] , {\displaystyle J={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix}},}
ただし M は A の広義モード行列で,M の列は A の標準基底で,AM = MJ である.広義固有ベクトル自身は一意ではないから,また M と J の両方の列のいくつかは交換できるから,M と J はいずれも一意ではないことが従うことに注意.