完全集合
全ての位相空間は一意的に完全集合と scattered set の非交和で表せる。
カントールは実数直線の全ての閉部分集合が一意的に完全集合と可算集合の非交和で表せることを証明した。このことはもっと一般的に、ポーランド空間の閉部分集合でも成り立つ。このことはカントール-ベンディクソンの定理として知られている。
カントールは実数直線の空でない完全集合の濃度は全て連続体濃度 2 א 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} であることも示している。これらの結果は記述集合論において以下のような発展をしている:
X が孤立点を持たない完備距離空間であるとき、カントール空間 2 は X に連続に埋め込める。よって、X の濃度は最小でも 2 א 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} である。X が 可分で孤立点を持たない完備距離空間である場合は、X の濃度はちょうど 2 א 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} である。
X が孤立点を持たない局所コンパクトハウスドルフ空間であるとき、カントール空間から X への単射 (連続とは限らない) が存在する。よって、X の濃度は最小でも 2 א 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} である。