パフィアン
n = 2 の場合は、F4 の元は (1, 2, 3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3) であり、それぞれの符号 sgn(σ) は +1, −1, +1 であるから、
Pf  ( A ) = a 12 a 34 − a 13 a 24 + a 14 a 23 {\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=a_{12}a_{34}-a_{13}a_{24}+a_{14}a_{23}}
となる。
2n 次の交代行列 A = (aij)1≤i,j≤2n (aij = −aji) に対し、
Pf  ( A ) = ∑ σ ∈ F 2 n sgn  ( σ ) a σ ( 1 ) σ ( 2 ) a σ ( 3 ) σ ( 4 ) ⋯ a σ ( 2 n − 1 ) σ ( 2 n ) {\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\textstyle \sum \limits _{\sigma \in F_{2n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}a_{\sigma (3)\sigma (4)}\cdots a_{\sigma (2n-1)\sigma (2n)}}
で定義される n 次の斉次多項式 Pf(A) を n 次のパフィアンと呼ぶ。ただし、F2n は 2n 次の対称群 S2n の部分集合で、
F 2 n = { σ ∈ S 2 n | σ ( 2 i − 1 ) < σ ( 2 i ) ( 1 ≤ i ≤ n ) , σ ( 1 ) < σ ( 3 ) ⋯ < σ ( 2 n − 1 ) } {\displaystyle F_{2n}=\{\sigma \in S_{2n}|\,\sigma (2i-1)<\sigma (2i)\quad (1\leq i\leq n),\,\sigma (1)<\sigma (3)\cdots <\sigma (2n-1)\}}
を満たすものとして定義される。現れる項の重複を許すならば、
Pf  ( A ) = 1 2 n n !