シンプレクティック多様体
ケーラー多様体(あるいは、カラビ・ヤウ多様体の場合には、 Ω 1 {\displaystyle \Omega _{1}} をその実部、 Ω 2 {\displaystyle \Omega _{2}} をその虚部とする M {\displaystyle M} 上の正則 n-形式 Ω = Ω 1 + i Ω 2 {\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+i\Omega _{2}} が選択できる。ラグランジアン部分多様体が特殊とは、上のラグランジアン条件に加え、 L {\displaystyle L} への制限の Ω 2 {\displaystyle \Omega _{2}} が 0 となる場合である。言い替えると、実部 Ω 1 {\displaystyle \Omega _{1}} の L {\displaystyle L} への制限が L {\displaystyle L} 上の体積形式を導くことである。次の例は、特殊ラグランジアン部分多様体としてしられている。
超ケーラー多様体の複素ラグランジアン部分多様体、 カラビ・ヤウ多様体の実構造の不動点.
SYZ予想は特殊ラグランジアン部分多様体の場合に証明されたが、一般には未解決で、ミラー対称性の研究に多くのインパクトをもたらしている。(Hitchin 1999) を参照。
シンプレクティック多様体 M の ラグランジュファイバー構造 (Lagrangian fibration) とは、ファイバー構造 (fibration) の各ファイバーがラグランジュ部分多様体となるものを持つことを言う。シンプレクティック多様体 M は偶数次元であったから、局所座標 (p1,...,pn,q1,...,qn) が取れて、ダルブーの定理からシンプレクティック形式 ω を(少なくとも局所的には) ω = ∑ dpk ∧ dqk の形に書くことができる(d は外微分で、∧ は外積)。この構成に従えば、シンプレクティック多様体 M を局所的に余接束 T*R と見て、先ほどのラグランジュファイバー構造を自明なファイバー構造 π: T*R ↠ R に帰着できるが、これは本質的な描像である。
シンプレクティック多様体上の幾何学、その動機である古典力学(解析力学)との関係は、シンプレクティック幾何学も参照のこと。
シンプレクティック多様体は古典力学から発生していて、特に閉じた系の相空間の一般化である。ハミルトン方程式が一組の微分方程式から系の時間発展を引き出せることと同じように、シンプレクティック形式からはハミルトン函数 H の微分である dH により系のフローを記述するベクトル場を得ることができる。ニュートンの運動方程式は線型微分方程式であるので、その写像も必然的に線型となる。従って、線型写像 T M → TM、(同じことであるが、 T M ⊗ T M の元)が必要となる。ω により T M ⊗ T M の切断を表すこととすると、ω が 非退化 であるということは、全ての微分 dH に対して一意にベクトル場 VH が存在し、dH = ω(VH,· ) を満たす。ハミルトニアンが積分曲線に沿って定数であることを要求するので、必然的に dH(VH) = ω(VH, VH) = 0 を得る。このことは ω が 交代的 であり、従って 2-形式であることを意味する。結局、必然的に ω は積分曲線のもとで不変であることとなり、つまり、 ω の VH に沿ったリー微分はゼロとなる。カルタンの公式(英語版)(Cartan's formula)を適用して、次の式を得る。
L V H ( ω ) = d ω ( V H ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=d\omega (V_{H})=0}
この式は、ω が 閉形式 であることを指している。