階差機関
階差機関の原理は差分商のニュートン補間である。多項式の初期値(とその有限差分)をある値 X について何らかの手段で計算できれば、階差機関を使ってその値を出発点として「有限差分法」と呼ばれる手法で多項式の値を次々と計算できる。以下では小さな例でその原理を示す。
次の二次多項式を考える。
p ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 2 {\displaystyle p(x)=2x^{2}-3x+2}
この多項式の数表を、xの値の増分が1の場合の、p(0), p(1), p(2), p(3), p(4) といった値について作成する。下記の表の作成方法は次の通りである。まず左のカラムは多項式の値が入っている。中央のカラムは左のカラムの上下に隣り合う2つの値の下から上を引いた差分である。そして右のカラムは中央のカラムの上下に隣り合う2つの値の下から上を引いた二階差分である。
右のカラムの値が一定になる。N次多項式では、N階導関数が定数であるのと同様にN階差分は定数になる。この重要な事実により、以下に示すようにこの手法がうまく機能する。
我々はこの表を左から右へ作っていったが、二階差分が求まるp(2)よりも先は右から左に作業して、さらに多項式の計算結果を求めていく事ができる。
ドイツ・ヘッセンの軍人で技術者のヨハン・ヘルフリッヒ・フォン・ミュラー (Johann Helfrich von Müller) は1786年に出版した本の中で階差機関に類する機械のアイデアを公表しているが、資金が集められず、それ以上実現に向けて進めることができなかった。
階差機関は一旦は忘れられ、1822年にチャールズ・バベッジによって再発見(再発明)された。彼は6月14日、王立天文学会に「天文暦と数表の計算への機械の適用に関する覚え書き」と題する論文を提出した。この機械が階差機関一号機である。十進方式で、人の手でクランクを回すことで動作する。1830年の設計では、16桁で6階の階差を計算するものであった。しかし1832年にパペッジと協力者のエンジニア、ジョセフ・クレメント(英語版)との行き違いから計画の進行は頓挫した。英国政府は当初この計画に資金を提供したが、後に予算を大幅にオーバーし、最終的に1842年に資金的なサポートが断たれている。開発に当たっては、当時の金額で17,000ポンド(さらにバベッジの自己資金がほぼ同額)がつぎ込まれた。右図が階差機関一号機である。バベッジはより汎用的な解析機関の設計に興味を移したが、1847年から1849年にかけて改良した階差機関二号機を設計した(第一階差エンジン・第二階差エンジン、としている文献(新戸『バベッジのコンピュータ』)もあるが、番号付けが「階差」にかかるようにも読めてまぎらわしいので、この記事では「一号機」「二号機」とする。