ホンフリー多項式
絡み目L1 と L2の分離和(L1 ∪ L2)・連結和(L1 # L2)については以下のような公式がある。
P ( L 1 ∪ L 2 ) = − ( l + l − 1 ) m − 1 P ( L 1 ) P ( L 2 ) {\displaystyle P(L_{1}\cup L_{2})=-(l+l^{-1})m^{-1}P(L_{1})P(L_{2})\,}
P ( L 1 # L 2 ) = P ( L 1 ) P ( L 2 ) {\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2})\,}
後者の連結和について、絡み目のどの成分を連結させるかによって連結後の絡み目はかわるが、その成分の選び方にかかわらずこの式が成立する。つまり、同じホンフリー多項式を持つ異なる絡み目が存在することになり、ホンフリー多項式が完全な不変量ではないことが分かる。結び目に限ったとしても、ホンフリー多項式を持つ異なる有向結び目が無限に存在することが1986年に証明されている。