素朴集合論
A \ B が意味あるものとするために、集合 B が A の部分集合である必要はない。これは、相対補集合と前節における絶対補集合( A = U \ A )の違いである。
これらの概念を説明するために、A を左利きの人の集合とし、B を金髪の人の集合とする。すると A ∩ B はすべての左利きの金髪の人の集合であり、Aは ∪ Bは、左利きまたは金髪、あるいはその両方のすべての人の集合である。一方、A \ B は左利きであるが金髪ではないすべての人の集合であり、 B \ A は、金髪だが左利きではないすべての人の集合となる。
ここで、E をすべての人の集合とし、F を1000年以上生きているすべての生物の集合とする。この場合 E ∩ F はどうなるだろうか? 1000歳以上の生きている人間はいないので、 E ∩ F は空集合{}でなければならない。
任意の集合 A について、べき集合 P ( A ) {\displaystyle P(A)} は、和集合と共通部分の演算の下でブール代数をなす。
公理的集合論は、どの操作がいつ許可されるかを正確に定めることを目的として、集合を理解するこれらの初期の試みに応えて開発された。
A と B を集合とすると、デカルト積(または単に積)は次のように定義される。
A × B = {(a, b) : a は A に含まれ、 b は B に含まれる}。
つまり、 A × Bは、最初の座標が A の要素であり、2番目の座標が B の要素であるすべての順序対の集合である。
この定義は順序付けられた3つ組の集合 A × B × C に拡張でき、より一般に任意の正の整数 n の順序付けられた n-タプルの集合にも拡張できる。無限デカルト積を定義することも可能だが、これには積のより厳密な定義が必要である。
デカルト積は、解析幾何学の文脈でルネ・デカルトによって最初に導入された。 R がすべての実数の集合を表すとすると、 R := R × R はユークリッド平面を表し、 R := R × R × R は3次元ユークリッド空間を表す。