周期写像
この双線型形式 √(−1)Q は正定値である。何故ならば、局所的には常に ω を f dz と書くことができ、よって
− 1 ∫ X 0 ω ∧ ω ̄ = − 1 ∫ X 0 | f | 2 d z ∧ d z ̄ > 0. {\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}\omega \wedge {\bar {\omega }}={\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}|f|^{2}\,dz\wedge d{\bar {z}}>0.}
となるからである。ポアンカレ双対性により γ と δ は、互いに、H(X0, Z) の基底であるコホモロジー類 γ と δ に対応する。このことより、 ω はγ と δ の線型結合として書くことができる。この係数は、双対基底 γ と δ について ω を評価することにより、次の式で与えられる。
ω = A γ ∗ + B δ ∗ . {\displaystyle \omega =A\gamma ^{*}+B\delta ^{*}.}
これらの項で Q の正定値性を示すと、
− 1 ∫ X 0 A B ̄ γ ∗ ∧ δ ̄ ∗ + A ̄ B γ ̄ ∗ ∧ δ ∗ = ∫ X 0 Im ( 2 A ̄ B γ ̄ ∗ ∧ δ ∗ ) > 0 {\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}A{\bar {B}}\gamma ^{*}\wedge {\bar {\delta }}^{*}+{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*}=\int _{X_{0}}\operatorname {Im} \,(2{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*})>0}
となる。γ と δ は整数であるので、それらは共役については不変である。さらに、γ と δ は一点で交わり、その点は H0 で生成され、γ と δ のカップ積は X0 の基本類である。結局、この積分は、 Im 2 A ̄ B {\displaystyle \operatorname {Im} \,2{\bar {A}}B} に等しい。積分は、ゼロよりも大きい(ゼロを含まない)正の値で、従って A も B もゼロではありえない。
ω による再スケーリングの後、周期行列はある複素数 τ に対し、ゼロを除く正の値を虚部にもつ (1 τ) に等しいことを仮定する。これは GL(1, C) 作用から来る曖昧さを消去する。従って、SL(2, Z) の作用は普通の上半平面上のモジュラ群の作用である。結局、周期領域はリーマン面である。これは楕円曲線の格子としての普通のパラメトライズとなっている。