正準変換
正準変換の最も簡単な例は、恒等変換Q=q、P=pである。この場合、新たなハミルトニアンはK(Q, P, t)=H(q, p, t)と不変である。
この正準変換の母関数は
W 2 ( q , P ) = ∑ i = 1 n q i P i {\displaystyle W_{2}(q,P)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}P_{i}}
であり、この場合、新旧の正準変数の間には
p i = ∂ W 2 ∂ q i = P i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{i}}}=P_{i}}
Q i = ∂ W 2 ∂ P i = q i {\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial P_{i}}}=q_{i}}
の関係が満たされている。
タイプ1の母関数W1=W1(q, Q, t)に対し、ルジャンドル変換
W 2 ( q , P , t ) = W 1 ( q , Q , t ) + ∑ i = 1 n Q i P i {\displaystyle W_{2}(q,P,t)=W_{1}(q,Q,t)+\sum _{i=1}^{n}Q_{i}P_{i}}
を施せば、独立な変数として(q, P)を選んだ場合であるタイプ2の母関数W2=W2(q, P, t)が得られる。 このとき、新旧の正準変数とハミルトニアンの間に以下の関係が成り立つ。
Q i = ∂ W 2 ∂ P i , p i = ∂ W 2 ∂ q i , H = K − ∂ W 2 ∂ t {\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial P_{i}}},\,\,p_{i}={\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{i}}},\,\,H=K-{\frac {\partial W_{2}}{\partial t}}}