パレート分布
一般化パレート分布(英: generalized Pareto distributions, GPD) は、確率変数 X がある閾値を超える確率 P(X > a) を推定する場合のモデルとして使用される。例えば、風速、洪水、震度などが一定値以上となる確率のモデル化などに適用される。この分布は 位置母数 μ、尺度母数 σ、形状母数 ξ の3つのパラメータをもち、ξ をパレート指数と言う。
累積分布関数は次式で表される。
(ただし、形状パラメータを κ = −ξ とする書物もある。)
F ( ξ , μ , σ ) ( x ) = 1 − ( 1 + ξ ( x − μ ) σ ) − 1 / ξ {\displaystyle F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }}
台は指数部 1 + ξ ( x − μ ) σ ≥ 0 {\displaystyle 1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\geq 0} にて制限される。
確率密度関数は
f ( ξ , μ , σ ) ( x ) = 1 σ ( 1 + ξ ( x − μ ) σ ) ( − 1 / ξ − 1 ) {\displaystyle f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{(-1/\xi -1)}}