フーリエ級数
以上に述べたフーリエ級数は、周期 2π の周期関数 f に対する定義だが、x = (π/L) y という変数変換により、周期 2L の周期関数 g(y) = f((π/L)y) の −L ≤ y ≤ L という区間での定義に変換でき、この形で扱われることも少なくない。
a n = 1 L ∫ − L L g ( s ) cos  ( n π s L ) d s , ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , ... ) b n = 1 L ∫ − L L g ( s ) sin  ( n π s L ) d s , ( n = 1 , 2 , 3 , ... ) g ( y ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos  ( n π y L ) + b n sin  ( n π y L ) ) c n = 1 2 L ∫ − L L g ( s ) exp  ( − i n π s L ) d s , ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , ...
f に収束するフーリエ級数が得られるときにf はフーリエ展開できるというが、f に対する形式的なフーリエ級数が収束するのか、収束するとしても本当に f に収束するのかといった複雑な議論が必要で、これはフーリエ級数の収束性問題と呼ばれる。以下ではこれを考えずに形式的に述べることにする。