サイズモ系
x ̈ r + 2 ζ ω n x ̇ r + ω n 2 x r = u 0 Ω 2 cos  ( Ω t ) {\displaystyle {\ddot {x}}_{r}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}_{r}+\omega _{n}^{2}x_{r}=u_{0}\Omega ^{2}\cos(\Omega t)}
ここで、 c c = 2 m k {\displaystyle c_{c}=2{\sqrt {mk}}} 、 ζ = c / c c {\displaystyle \zeta =c/c_{c}} 、 ω n = k / m {\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {k/m}}} である。 この方程式の解の定常項は以下のように書き表される。
x r = u 0 ν 2 M d cos  ( Ω t + φ ) {\displaystyle x_{r}=u_{0}\nu ^{2}M_{d}\cos(\Omega t+\phi )}
M d = 1 ( 1 − ν 2 ) 2 + ( 2 ζ ν ) 2 {\displaystyle M_{d}={\frac {1}{\sqrt {(1-\nu ^{2})^{2}+(2\zeta \nu )^{2}}}}}
φ = arctan  ( − 2 ζ ν 1 − ν 2 ) {\displaystyle \phi =\arctan(-{\frac {2\zeta \nu }{1-\nu ^{2}}})}
系の固有角振動数 ωn が基礎変位振動の角振動数 Ω と比較して十分小さいとき、すなわち ν → ∞ と見なせるときを考える。このとき、
ν 2 M d = ν 2 ( 1 − ν 2 ) 2 + ( 2 ζ ν ) 2 → 1 {\displaystyle \nu ^{2}M_{d}={\frac {\nu ^{2}}{\sqrt {(1-\nu ^{2})^{2}+(2\zeta \nu )^{2}}}}\rightarrow 1}
φ → − π {\displaystyle \phi \rightarrow -\pi }
なので、相対変位 xr は近似的に以下のように書き表される。
x r ≈ u 0 cos  ( Ω t − π ) = − u 0 cos  ( Ω t ) = − u {\displaystyle x_{r}\approx u_{0}\cos(\Omega t-\pi )=-u_{0}\cos(\Omega t)=-u}
この関係を用いれば、サイズモ系内の相対変位から、サイズモ系を設置する基礎の変位量を得ることができる。このような測定原理によるものをサイズモ型振動変位計と呼ぶ。ωn が Ω と比較して十分小さいとき上記の原理が成り立つが、具体的な1つの目安としては、おおよそ ν > 2 あるいは ν > 3 である。サイズモ系の固有振動数は
ω n = k / m {\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {k/m}}}
であるので、質量を大きく、ばね定数を小さくすればよい。
ν = Ω / ω n {\displaystyle \nu =\Omega /\omega _{n}}
ただし、ここでは −π < φ < 0である。
上式により質点変位 x は以下のように得られる。
x = x r + u = u 0 ν 2 M d cos  ( Ω t + φ ) + u 0 cos  ( Ω t ) = u 0 T r cos  ( Ω t + φ + ψ ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x&=x_{r}+u\\&=u_{0}\nu ^{2}M_{d}\cos(\Omega t+\phi )+u_{0}\cos(\Omega t)\\&=u_{0}T_{r}\cos(\Omega t+\phi +\psi )\\\end{alignedat}}}
T r = 1 + ( 2 ζ ν ) 2 ( 1 − ν ) 2 + ( 2 ζ ν ) 2 {\displaystyle T_{r}={\frac {\sqrt {1+(2\zeta \nu )^{2}}}{\sqrt {(1-\nu )^{2}+(2\zeta \nu )^{2}}}}}
ψ = arctan  ( 2 ζ ν ) {\displaystyle \psi =\arctan(2\zeta \nu )}
ここで、Tr は、基礎の変位振幅 u0 と質点変位振幅 X0 の比を意味しており、変位伝達率とよぶ。
T r = X 0 / u 0 {\displaystyle T_{r}=X_{0}/u_{0}}