基底 (位相空間論)
(Engelking 1977, pp. 12, 127--128) で確立された概念について述べる。位相空間 X は固定して考える。X の荷重 (weight) w(X) を開基の最小濃度とし、ネットワーク荷重 (network weight) nw(X) をネットワークの最小濃度、X の点 x における点指標 (character of a point) χ(x, X) は x の近傍基の最小濃度、および X の指標 (character) χ(X) を sup{χ(x, X) : x ∈ X} で定める。
ここで、ネットワークとは、集合族 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} であって、各点 x と x の開近傍 U に対して適当な B ∈ N {\displaystyle B\in {\mathcal {N}}} を選べば x ∈ B ⊆ U とすることができるものを言う。
指標や荷重を計算することが有用な点は、どのような種類の基や局所基が存在しうるかを知ることができるということである。以下のような事実が成り立つ:
明らかに nw(X) ≤ w(X) が成り立つ。
X が離散的ならば w(X) = nw(X) = |X| が成り立つ。
X がハウスドルフならば、nw(X) が有限となる必要十分条件は X が有限離散空間となることである。