並進演算子 (量子力学)
並進演算子は可逆で、その逆は
( T ^ ( x ) ) − 1 = T ^ ( − x ) {\displaystyle ({\hat {T}}({\boldsymbol {x}}))^{-1}={\hat {T}}(-{\boldsymbol {x}})}
この関係は ψ ′ ( r + x ) = ψ ( r ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}}+{\boldsymbol {x}})=\psi ({\boldsymbol {r}})} とするとより覚えやすく、「新しい位置での新しい波動関数の値は、元々の位置での元々の波動関数の値に等しい」。
これら2つの記述が等価であることの例を示す。状態 |a⟩ は、波動関数 ψ ( r ) = δ ( r − a ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {a}})} に対応する(ここで δ はディラックのデルタ関数)。一方で状態 T ^ ( x ) | a ⟩ = | a + x ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {a}}\rangle =|{\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {x}}\rangle } は、波動関数 ψ ′ ( r ) = δ ( r − ( a + x ) ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})=\delta ({\boldsymbol {r}}-({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {x}}))} に対応する。これらは ψ ′ ( r ) = ψ ( r − x ) {\displaystyle \psi '({\boldsymbol {r}})=\psi ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {x}})} を満足する。
まず「全ての」並進演算子が系について対称である場合を考える。以下で見るように、この場合では運動量の保存が起こる。
たとえば宇宙全体の全ての粒子と場を記述するハミルトニアンを ˆH、宇宙全体のすべての粒子と場を同時に同じだけシフトする並進演算子を T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} とすると、これは常に対称である。ˆH は宇宙全体の完全な物理法則を記述し、場所に依存しない。その結果、運動量の保存が宇宙全体で成り立つ。
一方で、ˆH と T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} はただ一つの粒子について言及すると考えられる。このとき並進演算子 T ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} が厳密に対称であるのは、粒子が真空中で孤立しているときのみである。それに対応して、1粒子の運動量は通常は保存しない(粒子が他の物質に衝突したときに変化する)が、真空中で孤立しているときは保存する。
運動量保存則とのつながりは次のような考えによるものである。全ての並進演算子が系で対称である(つまり全て ˆH と交換する)と仮定する。
p ^ ψ ( x ) = i ħ lim a → 0 T ^ ( a ) ψ ( x ) − ψ ( x ) a = i ħ lim a → 0 ψ ( x − a ) − ψ ( x ) a = − i ħ ∂ ∂ x ψ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}\psi (x)&=i\hbar \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {{\hat {T}}(a)\psi (x)-\psi (x)}{a}}\\&=i\hbar \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\psi (x-a)-\psi (x)}{a}}\\&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x)\end{aligned}}}
また3次元では、
p ^ = − i ħ ∇ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {p}}}=-i\hbar \nabla }
のように、位置空間の波動関数に作用する演算子として書ける。これは ˆp のよく知られた量子力学的な表現だが、ここではより基本的な出発点から導出した。