基底変換
その空間の新しい基底のベクトルが各列であるような行列 M(新しい基底行列)が与えられたとき、ある列ベクトル v の新しい座標は行列の積 M.v で与えられる。このため、正規ベクトルは反変オブジェクトと呼ばれる。
ベクトルの任意の有限集合は、その列が与えられたベクトルの座標であるようなある行列によって表現される。次元が 2 の場合の一例として、標準基底を反時計回りに 45 度回転させることで得られるベクトルのペアが考えられる。それらのベクトルの座標が各列であるような行列は、
M = ( 1 / 2 − 1 / 2 1 / 2 1 / 2 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}}
で与えられる。空間内の任意のベクトルをこの新しい基底へと変換したい場合、その成分をこの行列の逆に左から掛けるだけで良い。
α 1 , ... , α n {\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}} から α 1 ′ , ... , α n ′ {\displaystyle \alpha '_{1},\dots ,\alpha '_{n}} への基底変換を表す可逆行列を P としたとき、グラム行列は行列合同(英語版)
G ′ = P T G P {\displaystyle G'=P^{\mathsf {T}}GP\,}
により変換される。