斉次多項式
斉次多項式は斉次関数を定める。つまり、多変数多項式 P が d 次斉次であることと、係数体のすべての元 λ {\displaystyle \lambda } に対して
P ( λ x 1 , ... , λ x n ) = λ d P ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})}
が成り立つことは同値である。とくに、P が斉次であれば、すべての λ {\displaystyle \lambda } に対して
P ( x 1 , ... , x n ) = 0 ⇒ P ( λ x 1 , ... , λ x n ) = 0 {\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0} が成り立つ。この性質は射影多様体の定義において基本的である。
非零多項式は異なる次数の斉次多項式の和に一意的に分解できる。この分解における各斉次多項式を多項式の斉次成分 (homogeneous components) と呼ぶ。