クーポンコレクター問題
ポール・エルデシュとレーニ・アルフレードは、 T の分布の極限定理を証明した。この結果は、ここまでに述べた境界のさらなる拡張である。
P  ( T < n log  n + c n ) → e − e − c ( n → ∞ ) {\displaystyle \operatorname {P} (T<n\log n+cn)\to e^{-e^{-c}}\quad (n\to \infty )}
ドナルド・J・ニューマン(英語版)とローレンス・シェップ(英語版)は、全クーポンを m 枚ずつ収集する必要がある場合として、クーポンコレクター問題を一般化した。各クーポンを m 枚収集するのにかかる時間を Tm とする。彼らは、この場合の期待値が以下を満たしていることを示した。
E  ( T m ) = n log  n + ( m − 1 ) n log  log  n + O ( n ) ( n → ∞ ) {\displaystyle \operatorname {E} (T_{m})=n\log n+(m-1)n\log \log n+O(n)\quad (n\to \infty )}
なぜならば、 π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 n 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots } であるからである(バーゼル問題を参照)。
チェビシェフの不等式を使用して、所望の確率を決めることができる。
P  ( | T − n H n | ≥ c n ) ≤ π 2 6 c 2 {\displaystyle \operatorname {P} \left(|T-nH_{n}|\geq cn\right)\leq {\frac {\pi ^{2}}{6c^{2}}}}