斜交ベクトル空間
標準斜交空間は、以下の斜交行列により与えられる斜交形式を有する R である。
ω = [ 0 I n − I n 0 ] {\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}}
ここで、In は n × n 次単位行列である。
したがって、標準基底
( x 1 , ... , x n , y 1 , ... , y n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}
に対し、
ω ( x i , y j ) = − ω ( y j , x i ) = δ i j {\displaystyle \omega (x_{i},y_{j})=-\omega (y_{j},x_{i})=\delta _{ij}\,} ω ( x i , x j ) = ω ( y i , y j ) = 0 {\displaystyle \omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})=0\,} .
が成り立つ。
グラム・シュミットの正規直交化法を修正することにより、任意の有限次元斜交空間はこの様な基底を有することがわかる。これをダルブー基底という。
標準斜交形式を解釈するもう一つの方法がある。