群の拡大
準同型 s: H → G が存在して、s と商写像 π: G → H との合成が H 上で恒等写像 (π ∘ s = idH) となるものが存在するとき、拡大
1 → K → G → H → 1 {\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}
は分解または分裂 (split) する、あるいは分解型であるなどという。またこのとき、s は上記の完全系列を分解するという。
分解型の拡大の分類は非常に簡単で、拡大が分解する必要十分条件は群 G が K および H の半直積となることであり、半直積自体は分類が容易(Aut(K) を K の自己同型群とすれば、半直積は H から Aut(K) への準同型と一対一に対応する)だからである。