拡散モンテカルロ法
このアルゴリズムの開発動機を見るため、まず1次元ポテンシャル下の粒子のシュレディンガー方程式を考える。
i ∂ Ψ ( x , t ) ∂ t = − 1 2 ∂ 2 Ψ ( x , t ) ∂ x 2 + V ( x ) Ψ ( x , t ) {\displaystyle i{\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}+V(x)\Psi (x,t)}
方程式の表記を簡略化するため、下式で定義される演算子を導入する。
H = − 1 2 ∂ 2 ∂ x 2 + V ( x ) {\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)}
すると、前式は以下のように書ける。
i ∂ Ψ ( x , t ) ∂ t = H Ψ ( x , t ) , {\displaystyle i{\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=H\Psi (x,t),}
ここで、 H {\displaystyle H} は演算子であり、単純な数値や関数とは異なることに注意が必要である。Eを数値として、HΨ = EΨを満たす、固有関数と呼ばれる特別な関数があり、これらの関数は定常状態と呼ばれる状態を表わしている。