複素数の偏角
arg  z = { ( 1 + sgn  x − | sgn  x | ) sin − 1  y | z | + | sgn  x | − sgn  x 2 ( 1 + sgn  y − | sgn  y | ) π ( x ≠ 0 ∨ y ≠ 0 ) indeterminate ( x = y = 0 ) = { { 2 H 1 ( x ) − 1 } sin − 1  y | z | + { 1 − H 1 ( x ) } { 2 H 1 ( y ) − 1 } π ( x ≠ 0 ∨ y ≠ 0 ) indeterminate ( x = y = 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\arg z&={\begin{cases}(1+\operatorname {sgn} x-|\operatorname {sgn} x|)\sin ^{-1}{\dfrac {y}{|z|}}+{\dfrac {|\operatorname {sgn} x|-\operatorname {sgn} x}{2}}(1+\operatorname {sgn} y-|\operatorname {sgn} y|)\pi &(x\neq 0\,\lor \,y\neq 0)\\[0.1em]{\text{indeterminate}}&(x=y=0)\end{cases}}\\&={\begin{cases}\{2H_{1}(x)-1\}\sin ^{-1}{\dfrac {y}{|z|}}+\{1-H_{1}(x)\}\{2H_{1}(y)-1\}\pi &(x\neq 0\,\lor \,y\neq 0)\\[0.1em]{\text{indeterminate}}&(x=y=0)\end{cases}}\end{aligned}}}
ここで、|z| は複素数の絶対値で、|z| = √x + y である。
主値を [0, 2π) にするには、上記の定義で、負となる偏角の値に対しては 2π を加えることにすればよい。
偏角を「位相」、振幅と呼んだりすることもある。