アポロニウスの問題
例えば、立方体倍積問題(与えられた立方体の2倍の体積を持つ立方体を作図する問題)は、コンパスと定規だけでは作図することができないが、メナイクモスは、2つの放物線の交点を用いることで、立方体倍積問題が解決可能であることを示した。よって、ファン・ルーメンの解法――2つの交差する双曲線の交点を用いる解法――は、アポロニウスの問題が「コンパスと定規のみで解決可能」であるかどうかを示さなかったのである。
そもそもファン・ルーメンにアポロニウスの問題に取り組むようにけしかけたのは、ファン・ルーメンの友人であるフランソワ・ビエトであったが、ビエトはコンパスと定規のみを使う手法を開発した。ビエトの解法が発表される以前は、レギオモンタヌスはアポロニスの問題がコンパスと定規のみで解決可能であるのかを疑っていた。ビエトは、まずアポロニウスの問題の単純な特別なケース、例えば3つの与えられた点をすべて通る円を描く問題のようなケースを解決した。この場合、解法はただひとつしか存在しない。それから、ビエトはより複雑な特別なケースに解を与えようとした。一部のケースでは、与円を膨らませたり、縮めたりすることによって、このようなケースに解を与えようとした。アレキサンドリアのパップスによる4世紀のレポートによれば、アポロニウスの問題について書かれたアポロニウス自身の著書「接触」 Ἐπαφαί (Epaphaí, "Tangencies"; Latin: De tactionibus, De contactibus) は似たような段階的アプローチを取っていた。
この相反性を理解するには、接点 A1 および B1 に引かれた C1 に対する2つの接線と解円を例に考えてみるとよい。これらの接線の交点は直線 L1 の C1 における極点(英語版)である。極点から接点 A1 および B1 までの距離は等しいため、この極点は解円の根軸 R 上にあるはずだということができる(図9)。このような極点と極線の関係は相反である。つまり、もし C1 における L1 の極が R 上に存在するのであれば、逆にC1 における R の極も L1 上に存在する。よって、もし R を引くことができれば、C1 における極 P1 を求めることができ、これは L1 上の求めるべき2点のうちの残りの1つを与える(図10)。
ジェルゴンヌは未知の解円の根軸 R を次のように求めた。任意の円の対は2つの相似の中心(英語版)を持つ。これら2点はこの2つの円に対する接線の2つの可能な交点である。よって、3つの与円は6つの相似の中心点を持つ。これら6つの点は4つの直線上に存在し、3つの点はそれぞれの直線上に存在する。さらに、それぞれの直線は潜在的な解円の対の根軸に対応している。これを示すために、ジェルゴンヌは3つの与円のうち2つの円上の接点に相当する点を通る直線を考えた。例えば、この直線は A1/A2 によって定義され、またこの直線は B1/B2 によって定義される。ここで、X3 を2円 C1 および C2 の相似の中点とする。
アポロニウスの問題に対する解は一般には対で生じる、つまり各解円に対して共役な解円が存在する(図 6)。一方の解円は、他方の解円の内側に存在する与円に外接する。逆もまた同様である。例えば、図 6においては、一方の解円(左上のピンクの円)は2つの与円(黒い円)を内包しているが、3番目の円には外接する。これとは対照的に、共役解(右下のピンクの円)はこの3番目の与円を内包するが、他のふたつには外接する。このふたつの共役な解円は、次の議論において反転に関連している。
一般に、任意の3つの相異なる円は、その3つすべてに垂直に交わるただ1つの円(根円)を持ち、この円の中心を3つの円の根心(英語版)と呼ぶ。具体例を挙げれば、図 6のオレンジの円が与円である黒い円に垂直に交わっている。この根円に関する反転は、与円を変化させることはないが、2つの共役な解円(ピンクの円)をお互いへと変換する。同じ反転の下では、対応するふたつの解円の接点もお互いへと変換される。具体例を言えば、図 6において、それぞれの緑の直線上の2つの青い点が、互いへと変換される。よって、これら共役接点を結ぶ直線は反転の下では不変である。よって、これら直線は反転の中心を通らねばならず、そしてこれは根心と呼ばれる(図6でいうと、オレンジの点に交わる緑の直線)。
↑ 本項では与えられた円(Given circles)をニアーイェシュ H.「アポロニウスの問題の画法幾何学的解法」『図学研究』第25巻第1号、日本図学会、1991年、35-37頁。 に従って与円と訳す。