自己記述数
上の表に記載されている数字からは、全ての自己記述数は全ての桁の数字の合計(数字和)が基数と一致する、また、全ての自己記述数は基数の倍数であるように見える。1つ目の事象については、自己記述数の定義より、全ての桁の数字の合計は桁数と一致し、桁数は基数を表しているということから自明である。
基数bの自己記述数が必ずその基数の倍数である(あるいは、自己記述数の最後の桁の数字が必ず0である)ことは、次のように証明できる。
基数bの自己記述数mが、桁数はb桁だがbの倍数ではない(最後の桁の数字が0ではない)と仮定する。
この場合、b − 1 桁目(最後の桁)の数字は少くとも1となる。これは、mに数字 b − 1 が少なくとも1つは存在することを意味する。
数字 b − 1 がx桁目にあるとした場合、m の中に数字 x が b − 1 個存在しなければならない。
従って、m には少くとも1の数字が1個、数字 x が少なくとも b − 1 個あることになる。ここで、x > 1 の場合、m の桁数が b を超えるので、最初の仮定と矛盾している。また、x = 0 または 1 の場合も矛盾が生じる。
基数bの自己記述数は、基数bのハーシャッド数である。