硬い方程式
上述の安定性理論に考察されたのは線型方程式のみである。その理論は時折り非線型方程式にも適用できるが、決して正しいわけではない。非線形方程式の研究を完全に一般化するのが困難であるように、すべての方程式に対する安定性を考察するのもほぼ不可能である。現在非線形方程式に対する安定性はほとんど単調性条件 ⟨ f ( t , y ) − f ( t , z ) , y − z ⟩ ≤ 0 {\displaystyle \langle f(t,y)-f(t,z),y-z\rangle \leq 0} を満足する方程式
y ′ = f ( t , y ) {\displaystyle y'=f(t,y)}
のみを考える。ただし、 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } は標準内積である。この発想は、ダールキストによるものである。また、ルンゲ=クッタ法と線型多段法に対する安定性の定義は異なる。なぜならば、線型多段法は時刻毎に多数の成分からベクトルを記憶する必要があり、偏差を測るには標準内積と異なる内積を定義しなければならないからである(比べて、ルンゲ=クッタ法は時刻毎に単一の実数を記憶し、よって標準内積が使われる)。
上記の方程式に対してルンゲ=クッタ法の安定性は B-安定性 (B-stability) という。
下記の初期値問題を考える。
y ′ = − 15 y , t ≥ 0 , y ( 0 ) = 1. {\displaystyle y'=-15y,\quad t\geq 0,\quad y(0)=1.}
この問題は直接に解くことができ、厳密解 (水色の曲線) が次の公式で与えられる。
y ( t ) = e − 15 t . {\displaystyle y(t)=e^{-15t}.}
公式によって、 lim t → ∞ y ( t ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }y(t)=0} も明らかである。
同じ振舞いを持つ数値解を求めよう。様々な数値的方法を用いて得られる数値解は右側の画像に表示される。
刻み幅 h = 1/4 のオイラー法 に対応する解(赤色の曲線)は激しく振動し、素早くグラフの範囲を超える。
刻み幅 h = 1/8 のオイラー法 に対応する解(緑色の曲線)も振動するが、グラフの範囲にいる。
刻み幅 h = 1/8 の台形公式に対応する解(青色の曲線、凡例ではAdams-Moulton法と名付けられたが同じ方法である)は振動せず、期待通りに0に減衰していく。