ヨセフスの問題
証明: n {\displaystyle n} についての数学的帰納法を用いる。まず、 n = 1 {\displaystyle n=1} では真である。 n {\displaystyle n} が偶数の場合と奇数の場合に分けて考える。
n {\displaystyle n} が偶数の場合、 n / 2 = 2 m 1 + l 1 {\displaystyle n/2=2^{m_{1}}+l_{1}} かつ 0 ≤ l 1 < 2 m 1 {\displaystyle 0\leq l_{1}<2^{m_{1}}} となるよう l 1 {\displaystyle l_{1}} と m 1 {\displaystyle m_{1}} を選択する。ここで、 l 1 = l / 2 {\displaystyle l_{1}=l/2} である。したがって、上述の漸化式から f ( n ) = 2 f ( n / 2 ) − 1 = 2 ( ( 2 l 1 ) + 1 ) − 1 = 2 l + 1 {\displaystyle f(n)=2f(n/2)-1=2((2l_{1})+1)-1=2l+1} となり、この2番目の等号は帰納仮説によるものである。