ハーディ空間
(Mn)n≥0 をある確率空間 (Ω, Σ, P) 上の、σ-体の増加列 (Σn)n≥0 に関するマルチンゲールとする。簡単のために、Σ はその列 (Σn)n≥0 によって生成される σ-体と等しいものと仮定する。そのマルチンゲールの極大函数は、次で定義される。
M ∗ = sup n ≥ 0 | M n | . {\displaystyle M^{*}=\sup _{n\geq 0}\,|M_{n}|.}
1 ≤ p < ∞ とする。マルチンゲール (Mn)n≥0 は M* ∈ L のとき、マルチンゲール-H に属する。
M* ∈ L であるなら、マルチンゲール (Mn)n≥0 は L 内で有界であり、したがってドゥーブのマルチンゲール収束定理(英語版)によってほとんど確実にある函数 f に収束する。さらに優収束定理によって、Mn は L-ノルムにおいて f に収束するため、Mn は Σn 上での f の条件付き期待値として表現される。したがってマルチンゲール-H を、マルチンゲール
M n = E ( f | Σ n ) {\displaystyle M_{n}=E{\bigl (}f|\Sigma _{n}{\bigr )}}
がマルチンゲール-H に属するようなそれら f からなる L(Ω, Σ, P) の部分空間として認識することが出来る。
ドゥーブの極大不等式によると、マルチンゲール-H は 1 < p < ∞ のとき L(Ω, Σ, P) と一致する。