平行移動 (リーマン幾何学)
共変微分∇が与えられると、任意の滑らかな曲線γに対して、「γ に沿って平行」という概念が ∇ γ ̇ = 0 {\displaystyle \scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}} によって定まり、「γに沿った平行移動」も定まった。では逆に、適切な平行移動が定まった場合に、平行移動から接続定めることが出来るのだろうか? このアプローチは、本質的にKnebelman (1951)に準拠している; Guggenheimer (1977)と、 Lumiste (2001) も参照のこと。
多様体上の任意の曲線γそれぞれ対して、
Γ ( γ ) s t : E γ ( s ) → E γ ( t ) {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}}
が定まり、以下を充たしているものとする。
Γ ( γ ) s s = I d {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id} , これはEγ(s)の恒等変換である。
Γ ( γ ) u t ∘ Γ ( γ ) s u = Γ ( γ ) s t . {\displaystyle \Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}.}
平行移動は、曲線に沿って有限のステップをとり、 レビ・チビタの平行四辺形(英語版)を、平行四辺形近似するシルトのはしごによって離散的に近似できる。