微細構造 (原子物理学)
水素様原子の場合、 V = e 2 r {\displaystyle V={\frac {e^{2}}{r}}} より ⟨ V ⟩ = e 2 a 0 n 2 {\displaystyle \langle V\rangle ={\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}} および ⟨ V 2 ⟩ = e 4 ( l + 1 / 2 ) n 3 a 0 2 {\displaystyle \langle V^{2}\rangle ={\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}} (ただし a 0 {\displaystyle a_{0}} はボーア半径, n {\displaystyle n} は主量子数、 l {\displaystyle l} は方位量子数)となるため、エネルギー準位の相対論的補正として、
E n ( 1 ) = − 1 2 m c 2 ( E n 2 − 2 E n e 2 a 0 n 2 + e 4 ( l + 1 / 2 ) n 3 a 0 2 ) = − E n 2 2 m c 2 ( 4 n l + 1 / 2 − 3 ) {\displaystyle E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}{\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}\right)=-{\frac {E_{n}^{2}}{2mc^{2}}}\left({\frac {4n}{l+1/2}}-3\right)}
を得る。