クリフォード代数
以降では標数は 2 でないとする。
クリフォード代数は Z2-次数代数(超代数(英語版)としても知られている)である。実際、v ↦ −v によって定義される V 上の線型写像(原点を通る反射(英語版))は二次形式 Q を保存ししたがってクリフォード代数の普遍性によって代数自己同型
α: Cl(V, Q) → Cl(V, Q)
に拡張する。α は対合(すなわち自乗すると恒等関数になる)であるから、Cl(V, Q) を α の正と負の固有空間に分解できる
C l ( V , Q ) = C l 0 ( V , Q ) ⊕ C l 1 ( V , Q ) {\displaystyle C\ell (V,Q)=C\ell ^{0}(V,Q)\oplus C\ell ^{1}(V,Q)}
ただし Cl(V, Q) ≔ {x ∈ Cl(V, Q) | α(x) = (−1)x}。α は自己同型であるから
実クリフォード代数の幾何学的な解釈は幾何代数(英語版)として知られている。
有限次元実ベクトル空間上のすべての非退化2次形式は標準対角形式
Q ( v ) = v 1 2 + ⋯ + v p 2 − v p + 1 2 − ⋯ − v p + q 2 {\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\cdots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\cdots -v_{p+q}^{2}}
に同値である、ただし n = p + q はベクトル空間の次元である。整数の組 (p, q) は二次形式の符号数と呼ばれる。この二次形式を持った実ベクトル空間はしばしば R と表記される。R 上のクリフォード代数は Clp,q(R) と表記される。記号 Cln(R) は著者が正定値と不定値の空間どちらを好むかによって Cln,0(R) あるいは Cl0,n(R) を意味する。
クリフォード代数は外積代数と近い関係にある。実は、Q = 0 であればクリフォード代数 Cl(V, Q) はちょうど外積代数 ⋀(V) になる。零ではない Q に対して基礎体 K の標数が 2 でないときにはいつでも ⋀(V) と Cl(V, Q) の間の自然な「線型」同型が存在する。つまり、それらはベクトル空間として自然に同型であるが、異なる乗法を与える(標数 2 の場合にはそれらはなおベクトル空間として同型であるが、自然にではない)。指定された部分空間とクリフォード乗法を合わせたものはその内容が外積代数にくらべるて真により豊かである、なぜならば Q がもたらす追加の情報を使うからである。
より正確には、ワイル代数が対称代数の量子化であるのと同じ方法で、クリフォード代数は外積代数の量子化(cf. 量子群)であると考えることができる。
ワイル代数とクリフォード代数ではさらに *-環という構造を持ち、CCR and CAR algebras において議論されているように、超代数(英語版)の偶項と奇項として統一できる。
像はスピノルノルム 1 ∈ K*/K* の元からなる。核は元 +1 と −1 からなり、K の標数が 2 でなければ位数 2 をもつ。同様にスピン群から V の特殊直交群への準同型が存在する。
V が実数上正あるいは負定値空間である共通の場合において、スピン群は特殊直交群の上へと写り V の次元が少なくとも 3 であれば単連結である。さらにこの準同型の核は 1 と −1 からなる。なのでこの場合スピン群 Spin(n) は SO(n) の二重被覆である。しかしながら、スピン群の単連結性は一般には正しくないことに注意してください: V がともに 2 以上の p, q に対して R であればスピン群は単連結ではない。この場合代数群 Spinp,q は代数群として単連結である。その実数値点の群 Spinp,q(R) は単連結でないにもかかわらず。これはかなり微妙な点であり、少なくとも 1 冊のスピン群についての標準的な本の著者をすっかり混乱させた。