不連続線型写像
つまり、任意の無限次元ノルム空間が、非可閉線型作用素の存在を許す。証明には選択公理を要するので、一般には非構成的である(今の場合でも、X が完備でないものとすれば、構成的な例は存在する)。
実は、閉包が X × Y 全体になるようなグラフを持つ線型作用素の例を与えることができる。そのような作用素は可閉でない。X を閉区間 [0, 1] から R への多項式函数全体の成す空間とし、Y を区間 [2, 3] から R への多項式函数全体の成す空間とする。これらはそれぞれ C([0,1]) および C([2,3]) の部分空間であり、従ってノルム空間となる。作用素 T は、多項式函数 x ↦ p(x) を [0, 1] 上で定義されるものから、同じ式で [2, 3] 上定義されたものへ写すものとする。ストーン-ヴァイエルシュトラスの定理の帰結として、この作用素 T のグラフは X × Y で稠密であり、極大不連続線型写像の一種を与える(至る所不連続な函数(英語版)を参照)。ここで X は完備でなく、このような構成可能写像が存在する場合を考えなければならないことに注意。
とおき、適当な C > 0 を取って
∑ i = 1 n | x i | ≤ C ‖ x ‖ {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq C\|x\|}
とできるという事実(これは有限次元空間上のどの二つのノルムも互いに同値であるという事実から従う)を用いると
‖ f ( x ) ‖ ≤ ( ∑ i = 1 n | x i | ) M ≤ C M ‖ x ‖ {\displaystyle \|f(x)\|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leq CM\|x\|}
となるから、つまり f は有界線型作用素、従って連続である。
X が無限次元のときには、この証明は上限 M の存在を保証できずに破綻する。また、Y が零ベクトル空間 {0} ならば X から Y への線型写像は零値写像しかなく、これは自明に連続となる。これら以外の全ての場合において、つまり X が無限次元かつ Y が零ベクトル空間でないとき、X から Y への不連続線型写像を考えることができる。
位相線型空間の双対空間とは、その空間から基礎体への連続線型写像全体の成す集合である。従って、無限次元ノルム空間に対してある種の線型写像が連続にならないということは、代数的な双対空間とその真の部分集合を成す連続的双対空間とを区別する必要があることを含意する。これは無限次元空間の解析学を行うのには有限次元空間の場合と比べて余計に注意が必要であることを如実に表すものになっている。