安全素数
2010年7月現在、知られている最も大きな安全素数は、183027 × 2 − 1 である。これは、知られている最も大きなソフィー・ジェルマン素数 183027 × 2 − 1 に対するものであって、2010年3月22日に Tom Wu が発見したものである。
フェルマー素数に対するペピンの判定法(英語版)や、メルセンヌ素数に対するリュカ-レーマーの判定法のような有効な素数判定法は、安全素数に対しては知られていないが、p が素数であることが既知ならば、2p + 1 の素数判定にはポクリントンの判定法(英語版)が有効である。また、大きな安全素数を見付けるには、リュカ–レーマー–リーゼル・テスト を用いて k × 2 − 1 の形のものを探すのが有効である。
p および q = 2p + 1 のみならず、2q + 1 がまた素数になることもある。このような素数の列を第一種カニンガム鎖と呼ぶ。一般に、qn+1 = 2 qn + 1 で定義される自然数列があって、n = 1, ..., k の全てで qn が素数である場合、q1, ..., qk を長さ k の第一種カニンガム鎖という。このとき、q2, ..., qk は全て安全素数である。例えば、q1 = 2759832934171386593519 は長さ 17 の第一種カニンガム鎖を与える。これは、2010年7月現在、知られている中で最も長いものである。