バーンスタイン多項式
b ν , n ( x ) = ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu }}
は確率 x で事象 p が起こる試行を n 回繰り返したとき、事象 p がちょうどν回起こる確率を表す。試行をn回繰り返す場合において、p が ν 回起こったときに得られる確率変数をf (ν/n)とすると、
B n ( f ) ( x ) = ∑ ν = 0 n f ( ν n ) b ν , n ( x ) . {\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}
は期待値を表す。 一方、n 回試行を繰り返す場合、事象 p が起こる回数は平均して nx である。よって、平均して得られる確率変数、すなわち期待値は f (nx/n) = f (x) であると考えられる。今 ν や n は整数で、x は n を分母とする有理数とは限らないので Bn (f ) (x)と f (x) の誤差も 0 とは限らないが、n を大きくしていくと両者の誤差は 0 に近づいていくと考えられるので、
lim n → ∞ B n ( f ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }B_{n}(f)(x)=f(x)}
が成り立つ。
n ≠ 0 の時、 b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} は x = ν/n に極大値を持ち、その値は ν ν n − n ( n − ν ) n − ν ( n ν ) {\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}(n-\nu )^{n-\nu }{n \choose \nu }} となる
n 次のバーンスタイン基底関数は1の分割をなす
∑ ν = 0 n b ν , n ( x ) = ∑ ν = 0 n ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν = ( x + ( 1 − x ) ) n = 1. {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }(1-x)^{n-\nu }=(x+(1-x))^{n}=1.}
高次のバーンスタイン基底関数の和としても記述可能
b ν , n − 1 ( x ) = n − ν n b ν , n ( x ) + ν + 1 n b ν + 1 , n ( x ) . {\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).}