線型性
英語の数学用語の linear に当てる日本語訳としては、線型が本来の表記であると指摘されることもあるが、他にも線形、線状などといった表記もしばしば用いられている。また一次という表記・表現もしばしば用いられている。というのは linear は、(多変数の)斉一次函数を指していると考えて間違っていない場合も多いためである。
数学において、写像 f が線型であるとは、f について以下の2つの性質
加法性:任意の x, y に対して f(x + y) = f(x) + f(y)
斉次性(作用との可換性): 任意の x, α に対して f (αx) = αf(x)
が満たされることである。ここで x, y は実数や複素数、あるいはベクトルなど一般に環上の加群の元、α はその環の元を表す。たとえば、一次関数はそのグラフが原点を通るとき、またそのときに限り線型性を持つ。
線型代数学はこのような線型の変換とそれによって保たれる空間の性質について研究する学問であり、ベクトル、ベクトル空間および行列によって表される線型写像や線型方程式系を扱う。また関数を関数に写す写像である作用素の線型性は関数解析学で扱われる。関数の微分を作用素と見なすことで得られる微分作用素(たとえば∇やラプラス作用素)の概念は線型作用素の重要な例である。