多項式の内容と原始多項式
体上の多項式環はUFDであることはよく知られている。同じことはUFD上の多項式環についても言えるが、これを見るには一変数の場合を見れば十分である(多変数の場合は不定元の数に関する帰納法で一変数の場合に帰着できる)。
一意分解性はユークリッドの補題(既約元が積を割り切るならば、その既約元はその積の何れか一つの元を割り切る)からの直接の帰結として得ることができる。体上の一変数多項式の場合には、この結果はベズーの等式(これもまた互除法で求められる)から得られる。
R がUFDであって体でないと仮定すると R 上の一変数多項式環 R[X] の既約元(素元)は R の既約元であるかさもなくば R 上の既約原始多項式である。
その既約元 r が R の元で、二つの多項式の積 P1P2 を割り切るならば、r はその内容 c(P1P2) = c(P1)c(P2) を割り切るから、R におけるユークリッドの補題によって c(P1) または c(P2) を割り切るから、したがって P1 または P2 を割り切る。
その既約元 r が R の元でないならば、それは原始多項式なのだから、R[X] におけるユークリッドの補題は R の商体 K 上の多項式環 K[X] におけるユークリッドの補題から直ちに得られる。