双極座標系
サインとコサインに関して、三角関数の公式を適用することで次の式を得る。
2 sin  1 2 ( σ + i τ ) sin  1 2 ( σ − i τ ) = cos  σ − cosh  τ , {\displaystyle 2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}=\cos \sigma -\cosh \tau ,}
ここから以下の式が従う。
( d x ) 2 + ( d y ) 2 = a 2 ( cosh  τ − cos  σ ) 2 ( ( d σ ) 2 + ( d τ ) 2 ) . {\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}
そのため σ と τ のスケール因子は等しく、以下によって与えられる。
h σ = h τ = a cosh  τ − cos  σ . {\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}
直交座標に関する一般公式からさまざまな結果が従う。