タイル張り
単一タイル張り(monohedral tiling)、すなわち1種類でのタイル張りができる正多角形は、正三角形、正方形、正六角形の3種類のみであり、ピタゴラスによって証明された。これらは以下のようにどの頂点も別のタイルの辺と(端点以外で)接しないようにタイル張りできる。
正三角形によるタイル張り
正方形によるタイル張り
正六角形によるタイル張り
このようなタイル張りは、正多面体や星型正多面体と同様にシュレーフリ記号 {p, q} (正 p 角形が q 個頂点に集まる)で表せる。
正三角形 {3, 6}
正方形 {4, 4}
正六角形 {6, 3}
単一タイル張り可能な正 p 角形の内角を q 倍すると 360° になるので、
( p − 2 ) × 180 ∘ p × q = 360 ∘ {\displaystyle {\frac {(p-2)\times 180^{\circ }}{p}}\times q=360^{\circ }}
が成り立つ。これを整理すると
( p − 2 ) ( q − 2 ) = 4 {\displaystyle (p-2)(q-2)=4}
と表せて、正整数の解は上の3つだけであることから、単一タイル張り可能な正多角形はこの3つしか存在しないことが証明できる。
正三角形と正方形については、頂点が別のタイルの辺と接するようにもできる。ただし、その辺をその接点で2辺に分け、内角180°で接しているとみなせば、これらは後述する一般の四角形や平行六角形によるタイル張りの特殊な場合である。
五角形のタイル張り(英語版)は現代においても未解明の事柄が多く、研究の対象になっている。
とくに、それ一種類で平面を周期的にタイル張りできるような凸五角形の形状は、これまでに15種類の型(type)が知られている。驚くべきことに、そのうちの4種類は1976年と1977年にアマチュアの数学者である主婦マージョリー・ライス(英語版)によって発見された。最新となる15番目の型がワシントン大学ボセル校のケイシー・マン(英語版)ら3人によって発見されたのは2015年のことである。そして、これら15種類で全てであることは既に証明されている。
このほか、凸でない五角形を用いたものや、非周期的なタイル張りも研究されている。