有効自由度 (宇宙論)
ρ a c 2 = g a ∫ ε p e β ε p ∓ 1 d 3 p ( 2 π ħ ) 3 = g a π 2 k B 4 30 ħ 3 c 3 T 4 × G ∓ ( β m a c 2 ) {\displaystyle \rho _{a}c^{2}=g_{a}\int {\frac {\varepsilon _{\mathbf {p} }}{e^{\beta \varepsilon _{\mathbf {p} }}\mp 1}}{\frac {d^{3}p}{(2\pi \hbar )^{3}}}=g_{a}{\frac {\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{4}}{30\hbar ^{3}c^{3}}}T^{4}\times G_{\mp }(\beta m_{a}c^{2})} G ∓ ( y ) = 15 π 4 ∫ 0 ∞ x 2 x 2 + y 2 exp  x 2 + y 2 ∓ 1 d x {\displaystyle G_{\mp }(y)={\frac {15}{\pi ^{4}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\exp {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\mp 1}}dx}
特に、十分温度が高くこの粒子種が相対論的であるとき(つまり k B T ≫ m c 2 {\displaystyle k_{\mathrm {B} }T\gg mc^{2}} が成立するとき)、 G ∓ ( 0 ) {\displaystyle G_{\mp }(0)} はリーマンゼータ関数を用いて計算でき
ρ a c 2 = g a ′ π 2 k B 4 30 ħ 3 c 3 T 4 {\displaystyle \rho _{a}c^{2}=g'_{a}{\frac {\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{4}}{30\hbar ^{3}c^{3}}}T^{4}}