銀河の回転曲線問題
球対称系の重力ポテンシャルは, 球座標 ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} では, 動径 r {\displaystyle r} 以内の質量
M ( r ) = 4 π ∫ 0 4 r ′ 2 ρ ( r ′ ) d r ′ {\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{4}r'^{2}\rho (r')dr'}
を用いて次のように与えられる.
Φ ( r ) = − G M ( r ) r − G ∫ r ∞ d M ( r ′ ) r ′ {\displaystyle \Phi (r)=-{\frac {GM(r)}{r}}-G\int _{r}^{\infty }{\frac {dM(r')}{r'}}}
対応する回転曲線は
v c 2 ( r ) = G M ( r ) r {\displaystyle v_{c}^{2}(r)={\frac {GM(r)}{r}}}
である.
特に, 銀河の質量分布の大部分を担うダークマターハローについて, M ( r ) {\displaystyle M(r)} が動径 r {\displaystyle r} に比例する形で増大するならば, その回転曲線は動径によらない平坦な形となる.
v c ( r ) = C o n s t . {\displaystyle v_{c}(r)=\mathrm {Const.} }