円周率の歴史
[値] (38) オーストリア出身の天文学者・数学者クリストフ・グリーンベルガー(英語版)は、スネリウスの手法を用いて円周率の小数点以下39桁目までを計算し、1630年に出版された自著『三角法の基礎』の中で公表した。39桁目は 7 だが、彼はそれを 6 と 9 の間だと正しく評価した。桁数という意味では38桁目まで確定させたことになる。
[法] ラマヌジャンによって、級数表示 1 π = 2 2 99 2 ∑ n = 0 ∞ ( 4 n ) ! ( n ! ) 4 26390 n + 1103 396 4 n {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{99^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!}{(n!)^{4}}}{\frac {26390n+1103}{396^{4n}}}}
が発見される。この公式は、ジョナサン & ピーター・ボールウェイン兄弟によって1987年に厳密に証明されるが、1985年にウィリアム・ゴスパーがこの公式を用いて円周率を計算し、その正確さを示している。
[値] インドのアリヤバータは、円に内接する正 n 角形と正 2n 角形の周の長さの間に成り立つ関係式を求め、正384角形の周の長さから √9.8684 (≒ 3.14156) と求めた。この平方根の近似値として 3927/1250 (= 3.1416) を与えた。
[学] アナクサゴラスが、アポロンへの不敬罪で投獄されている間に、円積問題に取り組んだ。
[法] ヘラクレアのアンティフォンは、円に内接する正多角形の面積を求めることにより円周率を計算する方法を編み出した。アンティフォンは、それぞれの正多角形から正方形が作図できることから、円積問題が解決できると主張した。
[値] すぐに、同じヘラクレアのブリソン(英語版)が、外接する正多角形の面積を求めて内側と外側の両方から円の面積を評価し近似値を得た。
[値] (2) 1936年にスーサで発見された粘土板などから、古代バビロニアでは、正六角形の周と円周を比べ、円周率の近似値として 3 や 3+1/7 = 22/7 = 3.142857..., 3+1/8 = 3.125 などが使われたと考えられている。
[値] (15) フランドルのアドリアーン・ファン・ローメン(英語版)(ラテン語名:ローマヌス)が、『数学的観念序説:多角形法』の中で 3.14159 26535 89793 05 < π < 3.14159 26535 89793 15 に当たる評価を与え、π ≈ 3.14159 26535 89793 1 とした。これは小数点以下15桁目まで正しい。アル=カーシーの世界記録16桁 (1424) にはわずかに及ばなかったが、この時点でヨーロッパ最良の近似値であり、ビエトの結果 (1579) の改良となっている。ただし、円周率の真の値は上記の区間に含まれておらず、厳密な評価ではない。計算は正 15 × 2(=約2.5億)角形を用いるものだった。彼は21歳年上のファン・コーレンと親交があり、円周率に興味を持ち始めたのは彼の影響らしい。
は 6 + 16/60 + 59/60 + ... を表す(彼は後に計算を再検討して、下界の末尾の桁を 46 から 45 に改めたという)。現代的な表記に直せば: 3.14159 26535 89793 23084 ... < π < 3.14159 26535 89793 25482 ... {\displaystyle 3.14159\,26535\,89793\,23084\ldots <\pi <3.14159\,26535\,89793\,25482\ldots }
彼は近似値 2π = 6; 16, 59, 28, 1, 34, 51, 46, 14, 50 を採用し、10進表示 π = 3.14159 26535 89793 25 も与えた。これは小数点以下16桁目まで正しく、末尾の17桁目も真の値に近い。記録に残る当時最良の円周率の近似値であり、この世界記録は1596年にルドルフ・ファン・コーレンが小数点以下20桁を示すまで172年間、破られなかった。この業績は、西洋では1920年代まで知られていなかった。
[値] (6) 7世紀に編纂された隋書律暦志によると、天文学者の祖沖之は、当時としては非常に正確な評価 3.14159 26 < π < 3.14159 27 を示した。ヨーロッパでこれほど正確な評価を得るには、16世紀まで待たねばならない。さらに、分数での近似値 22/7(3.142857...)と 355/113(約3.14159 29)を与えている。正確な方法は伝わっていないが、九章算術の方法を踏襲したと推測すると、上記の結果を得るには少なくとも円に内接する正24576角形の辺の長さを計算しなければならない(ただし、355/113については置閏法において用いた近似法から算出したと考えられている)。隋書では現代と同じ「圓周率」という語が用いられている。祖沖之の息子の祖暅(そこう)は、父とともに球の体積の計算方法を導き出したことで知られる。