ロピタルの定理
もし x {\displaystyle x} が区間 ( c , c + δ ) {\displaystyle (c,c+\delta )} にあれば、平均値の定理とコーシーの平均値の定理の両方を区間 [ c , x ] {\displaystyle [c,x]} に適用する。そして区間 ( c − δ , c ) {\displaystyle (c-\delta ,c)} と x {\displaystyle x} に対して同様に適用する。平均値の定理は g ( x ) {\displaystyle g(x)} が非 0 であることを意味する。 でなければ、 g ′ ( y ) = 0 {\displaystyle g'(y)=0} であるような 区間 ( c , x ) {\displaystyle (c,x)} の y {\displaystyle y} が存在する。つまり、コーシーの平均値の定理は次の条件、
f ( x ) g ( x ) = f ′ ( ξ x ) g ′ ( ξ x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(\xi _{x})}{g'(\xi _{x})}}}
日本の高等学校における数学科目(数学III)では分数関数の極限が扱われ、ロピタルの定理を適用すると容易に極限値を求められる計算問題がしばしば出題される。一部の学習参考書などでは発展的内容・有力な計算のテクニックとしてロピタルの定理が紹介されることがあるが、定理の使用には慎重である。これはロピタルの定理が学習指導要領で扱われておらず、「範囲外」の知識を説明なしに用いることが問題視されることがあること、定理を適用するための条件が若干複雑で誤ったやりかたで適用しがちであることなどが理由とされる。