束 (束論)
任意の集合 X に対して、それが生成する自由半束 FX を考えることができる。すなわち、FX は X の有限部分集合全体に通常の集合の和を考えて得られる半束として定義される。自由半束は普遍性を持つ。
モジュラー性でも強すぎるときに(上)半モジュラーと呼ばれる次のような性質を課すことがある。 束 L が (上)半モジュラー ((upper)semimodular) であるとは
L が最大元 1 と最小元 0 を持つ有界束とする。L の二元 x および y が互いに他の補元 (complements) であるとは
x ∨ y = 1 {\displaystyle x\vee y=1} and x ∧ y = 0 {\displaystyle x\wedge y=0}
が成り立つことをいう。特に補元が一意に定まる場合、これを ¬x = y および ¬y = x で表す。任意の元が補元を持つ有界束は可補束 (complemented lattice) と呼ばれ、補元が一意に定まる場合、 L 上の単項演算 ¬ は補演算あるいは補化 (complementation) と呼ばれる。これは論理否定の束論における類似物として導入された。一般に補元は一意である必要も、L 上で可能な全ての単項演算のなかで特別なものであるわけでもない。可補束がさらに分配的でもあるならば、それはブール代数である。分配束に対しては、補元は存在すれば一意である。
ハイティング代数は、その元が必ずしも補元を持つとは限らない分配束の例である。しかし、ハイティング代数の各元 x は擬補元 (pseudo-complement) と呼ばれる、やはり ¬x で表される元を必ず持つ。この擬補元は x ∧ y = 0 となるような y の中で最大のものである。ハイティング代数の各元が持つ擬補元が、実際には補元であるとき、そのハイティング代数は実はブール代数である。
であるとは、x = a ∨ b ならば x = a または x = b が L の各元 a, b について成り立つことをいう。
この最初の条件を任意個の結び ∨ a i {\displaystyle \lor a_{i}} に一般化した場合は x は完全結び既約 (completely join irreducible or ∨-irreducible) であるという。結び既約性の双対概念は交わり既約性 (meet irreducibility or ∧-irreducible) である。