複素対数函数
射影 R → C* は R を C* の被覆空間として実現する。実はこれは、((z, θ) を (z, θ + 2π) に写す同相写像が生成する)Z に同型なデッキ変換(英語版)群を持つガロワ被覆(英語版)になる。
複素多様体として R は、logR を通じて C に双正則である(逆写像は z を (e, Im z) に写す)。これは R が単連結であることを示しており、したがって R は C* の普遍被覆となる。
上でやったように、特定の枝を選んで貼り合わせる代わりに、log z のすべての枝をとって、枝の対 L1: U1 → C, L2: U2 → C を U1 ∪ U2 の L1 と L2 が一致する最大の開部分集合に沿って貼り合わせることを、任意の対に対して同時に行っても、前節のと同じリーマン面 R と函数 logR が得られる。このやり方は、絵に描くことはやや困難だが、特定の枝をどのように選ぶかは問わない点で、より自然である。
U′ が R の開部分集合で、その射影像 U ∈ C* と全単射ならば、logR の U′ への制限は U 上定義された log z の枝に対応する。log z の任意の枝はこの方法で得られる。