一般相対性理論の数学
相対性理論において重力場(物質とエネルギー)の源は、エネルギー・運動量テンソルと呼ばれる (0,2) 型の対称テンソルにより表現される。このテンソルはリッチテンソルと密接に関係する。エネルギー・運動量テンソルは4次元の2階テンソルであるので、4 × 4 の行列と見なすことができる。エネルギー・運動量テンソルはエネルギー条件(英語版)(energy conditions) によりある形を満たすよう強制されるので、ジョルダン形式と呼ばれる様々な可能な行列のタイプは発生しない。
g ρ λ R σ μ ν λ = R ρ σ μ ν {\displaystyle g_{\rho \lambda }R_{\sigma \mu \nu }^{\lambda }=R_{\rho \sigma \mu \nu }}
において有益であり、さらに分解すると、
g ρ μ R ρ σ μ ν = R σ ν {\displaystyle g^{\rho \mu }R_{\rho \sigma \mu \nu }=R_{\sigma \nu }}
となる。このテンソルはリッチテンソルと呼ばれ、リーマンテンソルの中の添字 ρ {\displaystyle \rho } と μ {\displaystyle \mu } を同じとしそれらの和を取ることにより導出することができる。曲率スカラーはさらに進めることで次のように得られる。
g σ ν R σ ν = R {\displaystyle g^{\sigma \nu }R_{\sigma \nu }=R}
従って、ここで、3つの異なる対象を得たこととなる。
リーマン曲率テンソル: R σ μ ν ρ {\displaystyle R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }} or R ρ σ μ ν {\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }}
リッチテンソル: R σ ν {\displaystyle R_{\sigma \nu }}
スカラー曲率: R {\displaystyle R}
これらはすべてアインシュタインの場の方程式の解を計算する際に有益である。
一般相対性理論の数学(いっぱんそうたいせいりろんのすうがく、英: Mathematics of general relativity)では、アインシュタインの一般相対性理論の研究や定式化に用いられる様々な数学的構造と技法について記述する。一般相対性理論では、主に微分幾何学、擬リーマン多様体上に定義されるテンソル場の理論が道具として用られる。