図形の相似
一般の距離空間 (X, d) において狭義の相似性 (exact similitude) とは距離空間 X からそれ自身への写像であって、任意の距離を特定の同じ(f の縮小因子 (contraction factor) と呼ばれる)スカラー r -倍するものをいう。任意の2点 x, y について
d ( f ( x ) , f ( y ) ) = r d ( x , y ) {\displaystyle d(f(x),f(y))=rd(x,y)}
が成り立つ。これより条件の弱い(広義の)相似性が、たとえば写像 f が双リプシッツ連続で、スカラー r が(2点を十分近づける)極限における縮小因子として
lim d ( f ( x ) , f ( y ) ) d ( x , y ) = r {\displaystyle \lim {\frac {d(f(x),f(y))}{d(x,y)}}=r}
を満たすといった条件で与えられる。この弱い形の相似性は、距離が位相幾何学的自己相似集合上の実効抵抗である場合などに用いられる。
距離空間 (X, d) の自己相似部分集合とは、X の部分集合 K であって、縮小因子 rs を持つ相似変換 fs の有限集合 {fs}s ∈S で
一般の距離空間におけるスケール変換(相似変換、similarity transformation)とは、任意の2点間の距離が一定のスカラー倍される変換のことである。すなわち、距離空間 (X, d) とある定数 r ≠ 0 に対して、
d(f(x), f(y)) = rd(x, y) (x, y ∈ X)
を満たす f : X → X を r倍スケール変換という。X の図形(集合)F と G が相似 (similar) であるとは、F のある f による像が G に等しいことと定義される。特に、回転も鏡映もせずに重なる場合の f を相似拡大 (homothetic transformation あるいは中心相似 (central similarity) という。相似変換は相似拡大と等距変換の組み合わせである。したがって(ユークリッドの運動群 E(n) はアフィン群の部分群であるから)一般のユークリッド空間において相似変換はアフィン変換である。
実二次元の平面としてガウス平面を見れば、二次元の相似変換は f(z) = az + b(順相似変換)または f(z) = az + b(反相似変換) の形に表され、任意のアフィン変換は
f ( z ) = a z + b z ̄ + c {\displaystyle f(z)=az+b{\bar {z}}+c}
の形に表される(ここで a , b および c は複素数である)
2つの図形 F と G が相似(そうじ、英: similar)であるとは、一方を適当に点スケール変換(拡大 (enlarging) または縮小 (shrinking))して他方と合同になる(すなわち、有限回の平行移動、回転移動、対称移動により重なる)ことである。それらの「形」が等しいことであるとも言い換えられる。
記号では、欧米では F ∼ G と表すが、日本では「∼」でなく S を横に倒したような記号「∽」で表すことが多い。「∼」「∽」のいずれもゴットフリート・ライプニッツが発明したと言われる。
F を r倍-点スケール変換して G と合同になるとき、1 : r を F と G の相似比という。相似な図形の対応する線分(辺)の長さの比は一定であり、相似比に等しい。
直線図形(多角形など)においては、相似な図形の対応する角の大きさは等しくなる。
図形の相似の概念は図形の合同(r = 1 の場合)の拡張であるが、それらを区別するため、図形の相似の定義から図形の合同を除く流儀もある。あまり本質的ではないので、本稿では r = 1 の場合も相似の定義に含めることとする。