回転 (ベクトル解析)
で与えられる。ここで、ε はエディントンのイプシロンであり、この計量テンソルは F の下付き添字に対するものとして用いられる。またアインシュタインの和の規約に従って和の記号は省略した。
この式はつまり、各座標ベクトル場を ek とすれば
∇ × F = e k ε k l m ∂ l F m {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{k}\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}}
であることを言っているのである。
これはまた、外微分を用いて
∇ × F = [ ⋆ ( d F ♭ ) ] ♯ {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {F}}={\bigl [}{\star }({\boldsymbol {d}}F^{\flat }){\bigr ]}^{\sharp }}
と書くこともできる。ここで、 ♭ {\textstyle \flat } と ♯ {\textstyle \sharp } は添字の上げ下げ同型(英語版)であり、 ⋆ {\textstyle \star } はホッジ・スターとする。
この公式を見れば一般座標系で F の回転をどのように計算すべきかがわかり、回転作用素を任意の向きを持つ三次元リーマン多様体に対して一般化することができる。これは向きに依存するから、回転は掌性(英語版)演算、即ち向きを逆にすれば回転の向きも同じく逆になる。