キュムラント
多変数の確率変数X1,..., Xnに対するキュムラントも、そのキュムラント母関数の級数展開の係数として、次式で与えられる。
log  M ( s 1 , ... , s n ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k ! ∑ j 1 , ... , j k = 1 n ⟨ X j 1 ⋯ X j k ⟩ c s j 1 ⋯ s j k = ∑ k = 1 ∞ ∑ k 1 + ⋯ + k n = k ⟨ X 1 k 1 ⋯ X n k n ⟩ c s 1 k 1 ⋯ s n k n k 1 ! ⋯ k n ! {\displaystyle {\begin{aligned}\log {M(s_{1},\dots ,s_{n})}&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum _{j_{1},\dots ,j_{k}=1}^{n}\langle X_{j_{1}}\dotsb X_{j_{k}}\rangle _{\mathrm {c} }s_{j_{1}}\dotsb s_{j_{k}}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{k_{1}+\dots +k_{n}=k}\langle X_{1}^{k_{1}}\dotsb X_{n}^{k_{n}}\rangle _{\mathrm {c} }{\frac {s_{1}^{k_{1}}\dotsb s_{n}^{k_{n}}}{k_{1}!\dotsb k_{n}!}}\end{aligned}}}
ここで、第一行の右辺は、j1,..., jkは1,..., nの値を自由に取るものとした、変数の重複も含む表現であり、第二行の右辺は変数の重複は含まない表現である。