リミットサイクル
リミットサイクルが現れる簡単な微分方程式系の例として、
x ̇ = x − y − x ( x 2 + y 2 ) , y ̇ = x + y − y ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=x-y-x(x^{2}+y^{2}),\\{\dot {y}}&=x+y-y(x^{2}+y^{2})\end{aligned}}}
という2次元系がある。この系を極座標で表せば、
r ̇ = r ( 1 − r 2 ) , θ ̇ = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {r}}&=r(1-r^{2}),\\{\dot {\theta }}&=1\end{aligned}}}
となり、動径 r と偏角 θ の振る舞いが互いに無関係に決まる単純な形となる。θ(t) の一般解は一定振動数で回転し続ける関数となる。r(t) の一般解は
r ( t ) = r 0 r 0 2 + ( 1 − r 0 2 ) e − 2 t {\displaystyle r(t)={\frac {r_{0}}{\sqrt {r_{0}^{2}+(1-r_{0}^{2})e^{-2t}}}}}
という関数となる。ここで、r0 は t = 0 における r の値である。
系の時間を t ∈ R、状態変数を X = (x1, x2, ... , xn) ∈ R とする。n 次元連続力学系のある解 X(t) が平衡解ではなく、なおかつ X(t) = X(t + T) を満たすような T > 0 が存在するとき、X(t) は周期解と呼ばれる。特に X(t) = X(t + T) を満たす最小の T は周期と呼ばれる。 時間 t が ∞ から −∞ まで変わるときに解 X(t) が取る像の集まりを軌道と呼ぶ。軌道は、系の相空間 x1, x2, ... , xn 上に描かれる一つの曲線に対応する。周期解が描く軌道は、閉軌道や周期軌道と呼ばれる。閉軌道を C で表すとする。相空間 x1, x2, ... , xn 上で C は単純閉曲線となる。
リミットサイクルは次のように定義される。ある初期値 X0 = X(0) が与えられt解を φ (t, X0) と表すとする。相空間上にある閉軌道 C が存在するとする。C のある近傍 U が存在し、U 上の任意の点を初期値とする φ (t, X0) が t → ∞ または t → −∞ で C に漸近するとき、C はリミットサイクルと呼ばれる。