フーリエ変換
ここで、 ξ ≠ 0 {\displaystyle \xi \neq 0} のときは lim n → ∞ n π exp  ( − n π 2 ξ 2 ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})=0} 、 ξ = 0 {\displaystyle \xi =0} のときは lim n → ∞ n π exp  ( − n π 2 ξ 2 ) = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})=\infty } であり、 ∫ − ∞ ∞ n π exp  ( − n π 2 ξ 2 ) d ξ = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\sqrt {n\pi }}\exp(-n\pi ^{2}\xi ^{2})d\xi =1} である。これはデルタ関数と言われ、 f ( x ) = c {\displaystyle f(x)=c} のフーリエ変換は、 c δ ( ξ ) {\displaystyle c\delta (\xi )} となる。