ブローアップ (数学)
もっと一般に、C の中の余次元 k の任意の複素部分多様体 Z でブローアップすることができる。Z を方程式 x 1 = ⋯ = x k = 0 {\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0} の解集合とし、 y 1 , ... , y k {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}} を P の斉次座標とする。このとき、ブローアップは空間 C × P における C ~ n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} }}^{n}} すべての i と j についての方程式 x i y j = x j y i {\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}} の解集合である。
さらに一般に、局所的にこの構成を使うことで任意の複素多様体 X の任意の部分多様体でブローアップすることができる。これは、前と同じくブローアップの中心 Z を例外因子 E で置き換える操作になっている。言い換えると、ブローアップ写像
π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X}
は双有理写像になっていて、E の外では同型写像になっており、E 上ではファイバー P を持つ局所自明なファイブレーション(英語版)になっている。実際、制限 π | E : E → Z {\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z} は X における Z の法束(英語版)を射影化したものと自然に見ることができる。
E は滑らかな因子なので、その法束は直線束である。