ノルム線型空間
ノルム体 K 上のノルム線型空間とは、K-線型空間 V と V 上のノルム ‖ • ‖ の組 (V, ‖ • ‖) を言う。ノルムは以下の性質
半正値性: ‖ x ‖ ≥ 0 ( ∀ x ∈ V ) , ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0 {\displaystyle \|x\|\geq 0\ (\forall x\in V),\quad \|x\|=0\iff x=0}
斉次性: ‖ α x ‖ = | α | ‖ x ‖ ( ∀ x ∈ V , α ∈ K ) {\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|\quad (\forall x\in V,\alpha \in K)}
劣加法性(三角不等式): ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ( ∀ x , y ∈ V ) {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad (\forall x,y\in V)}
を満たす実数値函数 ‖ • ‖: V → R であった。
(V, ‖ • ‖) がノルム空間ならば、ノルム ‖ • ‖ は距離函数(および距離の概念)を誘導し、V 上の位相を定義する。この距離函数は自然な仕方で定義される(すなわち、二つのベクトル u, v の絶対差 ‖ u − v ‖ で与えられる)。この位相は、ちょうど ‖ • ‖ を連続にする最弱の位相であり、以下の性質
ベクトルの加法(英語版) +: V × V → V はこの位相に関して二変数の連続写像である(これは三角不等式から直接に従う)。
スカラー乗法 ⋅: K × V → V はこの位相に関して二変数の連続写像である(これは三角不等式とノルムの斉次性から従う)。ここに K は V の係数体とする。
が成り立つという意味で V の線型構造とも両立する。
同様に、半ノルム空間においても p(u − v) とおけば擬距離空間の構造が入り、連続性や極限などの概念を定義することができるようになる。もう少し抽象的に言えば、任意の半ノルム空間は位相線型空間であり、半ノルムの誘導する位相構造が入る。
特別な興味がもたれるのは完備なノルム空間で、バナッハ空間と呼ばれる。任意のノルム線型空間 V は適当なバナッハ空間に稠密部分空間として含まれる。そのようなバナッハ空間は V に対して本質的に一意に定まり、V の完備化と呼ばれる。
有限次元線型空間の全てのノルムは、それが同じ位相を誘導するという位相的な観点から同値である(ただし、得られる距離空間は同じとは限らない)。