ハルナック曲線定理
実代数幾何学において、カール・アクセル・ハルナック(英語版)(Carl Gustav Axel Harnack)に因み命名されたハルナック曲線定理 (Harnack's curve theorem) は、代数曲線が持つことのできる連結成分の可能な数を、曲線の次数によって記述する。実射影平面の中の次数 m の代数曲線では、成分の数 c は、
1 − ( − 1 ) m 2 ≤ c ≤ ( m − 1 ) ( m − 2 ) 2 + 1. {\displaystyle {\frac {1-(-1)^{m}}{2}}\leq c\leq {\frac {(m-1)(m-2)}{2}}+1.\ }
の範囲の中にある。最大数は次数 m の曲線の最大種数に 1 を足したもので、曲線が非特異なときに達成される。さらに、この範囲の中の任意の値は、実際に可能である。
実成分の最大数を持つ曲線を(最大 (maximum) の m から)M-曲線(M-curve)と呼ぶ。例えば、 y 2 = x 3 − x {\displaystyle y^{2}=x^{3}-x} のような、2つの成分を持つ3次の楕円曲線や、4つの成分を持つ4次のトロット曲線(英語版)は、M-曲線の例である。
この定理はヒルベルトの第16問題(英語版)の背景をなしている。
最近の発展では、ハルナック曲線は、そのアメーバが(ダイマー模型の特性曲線と呼ばれる)多項式 P のニュートン多面体(英語版)と同じ面積を持つような曲線であり、さらに、すべてのハルナック曲線はあるダイマー模型のスペクトル曲線となっていることが示された (Mikhalkin 2001) (Kenyon, Okounkov & Sheffield (2006))。