フェルマー数
素数であるフェルマー数をフェルマー素数という。具体的には、既知の範囲において次の5つがある:
3, 5, 17, 257, 65537 (オンライン整数列大辞典の数列 A019434)
F4 までは素数なので、フェルマーは、全てのフェルマー数はフェルマー素数であると予想したが、1732年にレオンハルト・オイラーが5番目のフェルマー数は次のように分解できることを示し、反例が与えられた。
F5 = 2 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417
オイラーは、フェルマー数 Fn の因数は k·2 + 1 の形となることを証明した。これにより n = 5 の場合には、F5 の因数は 64k + 1 の形をとる。このことを利用して、オイラーは因数 641 = 10 × 64 + 1 を見つけたのである。その後、上記「フェルマー数の素因数」の記述の通り、エドゥアール・リュカにより k·2 + 1 の形のものに限られることが示された。
また、定規とコンパスによる作図問題の1つである、正多角形は(定規とコンパスのみで)作図できるかという問題において、正 n 角形が作図可能であるのは、n を素因数分解したときに奇数因子が全てフェルマー素数であり、なおかつそれらが相異なる場合のみであることがガウスにより証明されている。
現在 F5 以降のフェルマー数で素数であるものが存在するかどうかは知られていない。また、フェルマー素数やフェルマー合成数が無限にあるかどうかも知られていない。フェルマー数の最大素因数についてはA070592を、最小素因数についてはA093179を参照。
フェルマー数の素数性、素因数分解に関する情報は外部リンクに挙げたサイトが詳しい。