楕円積分
Π ( k 2 ; φ , k ) = 1 1 − k 2 { E ( φ , k ) − k 2 sin  2 φ 2 1 − k 2 sin 2  φ } = 1 1 − k 2 { E ( φ , k ) + d 2 d φ 2 E ( φ , k ) } {\displaystyle \Pi (k^{2};\varphi ,k)={\frac {1}{1-k^{2}}}\left\{E(\varphi ,k)-{\frac {k^{2}\sin 2\varphi }{2{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}\right\}={\frac {1}{1-k^{2}}}\left\{E(\varphi ,k)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,k)\right\}}
となる。