フレドホルムの交代定理
ψ ( x ) = ∫ a b T ( x , y ) φ ( y ) d y = λ φ ( x ) − ∫ a b K ( x , y ) φ ( y ) d y {\displaystyle \psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \;\phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy}
で与えられる。
このように書けば、積分方程式に対するフレドホルムの択一定理が、線型代数学の節で述べた有限次元の場合のフレドホルムの択一定理の無限次元の場合の対応物であることが見て取れる。
上述のような、ある L の核との畳み込みで与えられる作用素 K は、ヒルベルト=シュミット積分作用素として知られる。そのような作用素は常にコンパクトである。より一般に、K が任意のコンパクト作用素のときもフレドホルムの択一定理は成立する。フレドホルムの択一定理を「λ がゼロでないならば、それは K の固有値であるか、レゾルベント作用素
R ( λ ; K ) = ( K − λ Id ) − 1 {\displaystyle R(\lambda ;K)=(K-\lambda \operatorname {Id} )^{-1}}
の定義域に属するかのいずれか一方が成り立つ。」と言いなおすことができる。