クネーザーの定理 (微分方程式)
が得られるが、これは(ゼロでない a {\displaystyle a} に対し)一般解が
y ( x ) = A x 1 2 + a + B x 1 2 − a {\displaystyle y(x)=Ax^{{\frac {1}{2}}+{\sqrt {a}}}+Bx^{{\frac {1}{2}}-{\sqrt {a}}}}
で与えられることを意味する。ここで A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} は任意定数である。
正の a {\displaystyle a} に対して解が非振動的であることを確かめることは難しくない。一方、負の a = − ω 2 {\displaystyle a=-\omega ^{2}} に対しては、等式
x 1 2 ± i ω = x e ± ( i ω ) ln  x = x ( cos  ( ω ln  x ) ± i sin  ( ω ln  x ) ) {\displaystyle x^{{\frac {1}{2}}\pm i\omega }={\sqrt {x}}\ e^{\pm (i\omega )\ln {x}}={\sqrt {x}}\ (\cos {(\omega \ln x)}\pm i\sin {(\omega \ln x)})}
が成り立つことから、解が振動的であることが確かめられる。
この例より、一般的な結果としてスツルム=ピコーンの比較定理が成立する。
クネーザーの定理の内容を確かめるための例として、
q ( x ) = ( 1 4 − a ) x − 2 for x > 0 {\displaystyle q(x)=\left({\frac {1}{4}}-a\right)x^{-2}\quad {\text{for}}\quad x>0}
である場合を考える。ただし a {\displaystyle a} はゼロでない実数とする。今、
lim sup x → + ∞ x 2 q ( x ) = lim inf x → + ∞ x 2 q ( x ) = 1 4 − a {\displaystyle \limsup _{x\to +\infty }x^{2}q(x)=\liminf _{x\to +\infty }x^{2}q(x)={\frac {1}{4}}-a}
が成立するため、定理にしたがうと、解が振動的か非振動的かという点は、 a {\displaystyle a} が正である(非振動的)か負である(振動的)かという点に依存することが分かる。
この q ( x ) {\displaystyle q(x)} の選び方に対する解を見つけ、この例に対する定理の成立を確かめるために、
y ( x ) = x n {\displaystyle y(x)=x^{n}\,}
の形状の解を代入する。すると、
n ( n − 1 ) + 1 4 − a = ( n − 1 2 ) 2 − a = 0 {\displaystyle n(n-1)+{\frac {1}{4}}-a=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}-a=0}