クラメール・ラオの限界
I m , k = ∂ μ T ∂ θ m C − 1 ∂ μ ∂ θ k + 1 2 tr  ( C − 1 ∂ C ∂ θ m C − 1 ∂ C ∂ θ k ) {\displaystyle I_{m,k}={\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}^{T}}{\partial \theta _{m}}}{\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {\mu }}}{\partial \theta _{k}}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {C}}}{\partial \theta _{m}}}{\boldsymbol {C}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {C}}}{\partial \theta _{k}}}\right)}
ここで "tr" は行列のトレースを表す。
より簡単な例として、平均 θ {\displaystyle \theta } が未知で分散 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} が既知の正規分布から、独立に d {\displaystyle d} 回抽出してえられる標本量ベクトルを W d {\displaystyle \mathbf {W} _{d}} とする。
W d ∼ N d ( θ 1 , σ 2 I ) {\displaystyle \mathbf {W} _{d}\sim N_{d}\left(\theta {\boldsymbol {1}},\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}}\right)}
f ( x ; θ ) {\displaystyle f(x;\theta )} が θ {\displaystyle \theta } で2階偏微分可能であるとすると、フィッシャー情報量は
ここで連鎖律を使った。 V {\displaystyle V} の期待値はゼロである。なぜなら:
E  [ V ] = ∫ R f ( x ; θ ) [ 1 f ( x ; θ ) ∂ ∂ θ f ( x ; θ ) ] d x = ∂ ∂ θ ∫ R f ( x ; θ ) d x = ∂ ∂ θ ( 1 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[V\right]&=\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\left[{\frac {1}{f(x;\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(x;\theta )\right]\,dx\\&={\frac {\partial }{\partial \theta }}\int _{\mathbb {R} }f(x;\theta )\,dx={\frac {\partial }{\partial \theta }}(1)=0\end{aligned}}}
ここで積分と偏微分の順序が交換可能であること(正規性の条件の2番目)を使った。