平方数
(正の)約数の個数が奇数である自然数は平方数に限る(一般に約数の個数は素因数の指数に1を足した数の積に等しく、約数の個数が奇数ならすべての指数は偶数となるため、奇数個の約数を持つ数は平方数でなければならない) 特に、正の約数が3個だけある自然数は素数の平方数である(その約数は p を素数として 1, p, p) 奇数の完全数は存在したとしても約数の個数が偶数であることが知られているため、平方数は完全数ではない
1 から 2n − 1 までの n 個の奇数の総和は n に等しい: ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) = n 2 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}}
n 番目までの平方数の和は ∑ k = 1 n k 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)} であり、これは n 番目の四角錐数に等しい。