置換公理
ZFCのほかの公理型である分出公理は置換公理と空集合の公理から導かれる。分出公理が集合論の言語における各論理式 θ {\displaystyle \theta } に対して以下を含むことを思い出そう( B {\displaystyle B} は自由変数でない)。
∀ A ∃ B ∀ C ( C ∈ B ⇔ [ C ∈ A ∧ θ ( C ) ] ) {\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\Leftrightarrow [C\in A\land \theta (C)])}
証明は以下のとおりである。まず B {\displaystyle B} に関して言及しない論理式 θ ( C ) {\displaystyle \theta (C)} と集合 A {\displaystyle A} から始める。もし θ ( E ) {\displaystyle \theta (E)} を満たす A {\displaystyle A} の元 E {\displaystyle E} がなければ、分出公理に必要な集合 B {\displaystyle B} は空集合である。
置換公理はエルンスト・ツェルメロの1908年の集合論公理(Z)には含まれていなかった。非公式な類例はカントールの未発表の仕事や、ミリマノフ(英語版)(1917)の仕事に見られる。
1922年のアドルフ・フレンケルの置換公理の発表は、現代的な集合論であるツェルメロ-フレンケル集合論 (ZFC) をなすものであった。置換公理は同年、トアルフ・スコーレムによって独立に発見・発表された(そして1923年に出版された)。ツェルメロはフレンケルの公理を自身の公理の改訂版に組み込み、1930年に発表した。この改訂版では新しい公理としてフォン・ノイマンの正則性公理が取り入れられた。 今日使われているのはスコーレムによる一階述語版の公理だが、各公理はツェルメロかフレンケルによるものとされるため、スコーレムの仕事とみなされることは少ない。「ツェルメロ・フレンケル集合論」という用語は、フォン・ノイマンが1928年に書面で初めて用いたものである。
1921年、ツェルメロとフレンケルは密に連絡を取り合っており、置換公理はその主要なトピックであった。 フレンケルはツェルメロと1921年3月に連絡を取り始めた。しかし1921年6月までの彼の手紙はなくなっている。ツェルメロは1921年5月9日のフレンケルへの返信の中で、まず自身の公理系のギャップを認めた。1921年7月10日には、フレンケルは任意の置換を許容する公理を記した論文を完成させ、投稿した(1922年に出版)。公理の内容は以下の通り:「M が集合であり、M の各元が[集合かアトム]で置換されるならば、M はまた集合である(括弧内はハインツ・ディーター・エビングハウス(英語版)による)」。フレンケルの1922年の出版では、ツェルメロの助言に謝意を示している。
置換公理は、通常の数学におけるほとんどの定理の証明に必ずしも必要ではない。実際、ツェルメロ集合論 (Z) ではすでに二階算術(英語版)と多くの有限型の型理論を扱うことができ、数学の大部分を定式化するには十分である。置換公理はこんにちの集合論の標準的な公理であるものの、型理論のシステムやトポス理論における基礎的システムでは省略されることも多い。
多かれ少なかれこの公理は、ZFで証明可能な定理(たとえば集合の存在証明)や証明論的な無矛盾性の強さの点において、Zと比べて劇的にZFを強固にする。以下に重要な例を示す。
フォン・ノイマンの現代的な定義を使うと、ω より大きい任意の極限順序数の存在証明に置換公理が必要である。順序数 ω·2 = ω + ω はそのような順序数の最初の例である。無限公理は無限集合 ω = {0, 1, 2, ...} の存在を主張する。ω·2 を数列 {ω, ω + 1, ω + 2,...} の合併として定義したいとする。しかし、そのような順序数のクラスは集合にはならない(例えば、すべての順序数のクラスは集合ではない)。置換公理を用いると、ω における有限の数 n それぞれを、対応する ω + n に置き換えることができ、そうすることでこのクラスを集合とみなすことができる。補足として、置換公理に頼らず ω·2 と同型な整列集合を簡単に構築できることに注意(単に二つの ω に対して、一方が他方より大きくなるように直和をとればよい)。
置換公理(英語: axiom schema of replacement)または置換の公理型は、公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つである。この公理は、任意の任意の集合間のすべての写像は、また集合であることを主張していて、ZF公理系での無限集合の構成に必要である。この公理は「あるクラスが集合かどうかは、階数ではなく濃度に依存する」という要請から動機付けされる。つまり、「集合になれるだけ小さい濃度を持つ」集合AからクラスBに全射があるとき、クラスBは集合であることを主張している。しかしながら、ZF公理系ではクラスに関して厳密な言及がないため、置換公理の主張の対象は論理式によって定義可能な写像に対してのみである。