アーベル-ルフィニの定理
さらに1826年には、詳細に書いた「パリ論文」と呼ばれる論文「4次より高い次数の代数方程式を一般には解くことが不可能であることの証明」(Abel, “Dèmonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré”) をパリ科学アカデミーに提出した上、クレレにドイツ語に翻訳してもらいクレレ誌の創刊号に20ページほどの論文として載せてもらっている。この年、アーベルはパリに留学した際にルフィニの論文の存在を知り、その内容について「代数的可解性の原則」と呼ばれる根本的な性質の証明が足りない事に気付いた。
一方、エヴァリスト・ガロアはアーベルとは独立にほぼ同じ経路を辿っていた。アーベルの仕事については知らなかったが、後に恩師に薦められてクレレ誌に載ったアーベルの論文を読み、高く評価した。コーシーが自分の時と同じく、アーベルの論文も紛失したことに憤慨する手紙が残されている。
どちらの証明も、本質的にはガロア群の構造に触れることで不可能性を証明しているが、アーベル、ルフィニらには「群」という意識がまだ存在しておらず、技巧的な証明に留まっていた。ガロアの証明は「どのような方程式が、なぜ代数的に可解なのか」という命題を念頭に置いたものであり、その後の研究でガロアは群の概念に到達しガロア理論を構築した。20世紀以降の代数学や方程式論等の教書で紹介されるアーベル-ルフィニの定理の証明のほとんど全てはガロアによる証明であり、アーベルやルフィニの証明は歴史的意義を強調する場合以外ではあまり参照されていない。