局所可積分函数
↑ Gel'fand & Shilov (1964, p. 3) による。
1 2 例えば (Schwartz 1998, p. 18) や (Vladimirov 2002, p. 3) を参照。
↑ Vladimirov (2002, p. 1) によって選ばれた、この定義の他のバージョンでは、K ⋐ Ω(あるいは Gilbarg & Trudinger (2001, p. 9) の記法である K ⊂⊂ Ω)を使って、Ω に厳密に含まれる K という条件のみが課されている。これはすなわち、そのような集合はコンパクトな閉包を与えられた全空間に持つことを意味する。
↑ コンパクト性の概念は、与えられた抽象的測度空間上で明白に定義される必要がある。
↑ これは例えば Cafiero (1959, pp. 285–342) や Saks (1937, chapter I) によって発展された手法で、局所可積分の場合を陽的に扱うことはされていなかった。
↑ 例えば (Strichartz 2003, pp. 12–13) を参照。
↑ その理論における手法は、その有用性を訴えた Schwartz (1998, pp. 16–17) によって評価された。しかし彼は局所可積分函数を定義する際には Definition 1 を使った。
局所可積分函数の集合の記法には、大文字 L の字体の差の他に、次のようないくつかの異なるものが存在する。
L l o c p ( Ω ) {\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega )} は (Hörmander 1990, p. 37)、(Strichartz 2003, pp. 12–13) や (Vladimirov 2002, p. 3) で用いられている。
L p , l o c ( Ω ) {\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )} は (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 4) や Maz'ya & Shaposhnikova (2009, p. 44) で用いられている。
L p ( Ω , l o c ) {\displaystyle L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} )} は (Maz'ja 1985, p. 6) や (Maz'ya 2011, p. 2) で用いられている。