バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
Mordell (1922) はモーデルの定理「楕円曲線上の有理点のなす群は有限基底を持つ」を証明した。これは任意の楕円曲線に対して曲線上の有理点の有限部分集合が存在して、それらからすべての有理点が生成されるということを意味する。
曲線上の有理点の個数が無限であれば、有限基底のある点は無限位数を持たなければならない。無限位数を持つ独立な基底の点の個数を曲線のランクを呼び、楕円曲線の重要な不変性質である。
楕円曲線のランクが 0 であれば、曲線は有限個の有理点しか持たない。一方、曲線のランクが 0 よりも大きければ、曲線は無限個の有理点を持つ。
モーデルの定理は楕円曲線のランクが常に有限であることを示しているが、すべての曲線のランクを計算する効率的な手法を与えてはいない。ある楕円曲線のランクは数値計算を用いて計算することができるが、(知識の現在の状態では)これらをすべての曲線を扱うように一般化することはできない。
L-関数 L(E, s) は各素数 p を法とした曲線上の点の個数からオイラー積を構成することによって楕円曲線 E に対して定義できる。