リュカ–レーマー・テストの証明
となる。ここで、 a + b 3 {\displaystyle a+b{\sqrt {3}}} と c + d 3 {\displaystyle c+d{\sqrt {3}}} (a, b, c, dは整数)で表される数を考えたとき、a ≡ c (mod F) かつ b ≡ d (mod F) の時に二つの数は F を法として合同であるとする。そして、
G = { g n | g n = a n + b n 3 ≡ ω n ( mod F ) , 0 ≦ a n < F , 0 ≦ b n < F } {\displaystyle G=\{g_{n}|g_{n}=a_{n}+b_{n}{\sqrt {3}}\equiv \omega ^{n}{\pmod {F}},\ 0\leqq a_{n}<F,\ 0\leqq b_{n}<F\}}
という集合 G ではどの要素 gn にも gngm ≡ 1 (mod F) となるような gm が存在する。つまり、集合 G には0は含まれない。よって、集合 G には最大で F − 1 個の相異なる要素しか含まれない。gn = 1 となる n のうち最小のものを e とすると任意の自然数 r について gr = gje+r (jは0以上の整数) が成り立つ。よって 1 ≤ e ≤ F − 1 となる。