拡散方程式
拡散方程式は、密度の変化は各部分における流入と流出によって生じるという連続の式から直ちに導かれる。物質が生成されたり消滅することはないものとする。
∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ j → = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=0}
ただし j → {\displaystyle {\vec {j}}} は拡散物質のフラックスである。拡散物質の流れは密度勾配に比例することを表した以下のフィックの法則と組合わせることで、拡散方程式は容易に導かれる。
j → = − D ( φ ) ∇ φ ( r → , t ) {\displaystyle {\vec {j}}=-D\,(\phi )\,\nabla \,\phi \,(\,{\vec {r}},t\,)}