合同関係
合同の定義は考えている代数的構造のタイプに依存する。合同の定義は群、環、ベクトル空間、加群、半群、束などに対してできる。共通のテーマは合同は、演算が同値類に関して well-defined であるという意味で代数的構造と両立する代数的対象上の同値関係であるということである。
例えば、群はある公理を満たすただ1つの二項演算を伴った1つの集合からなる代数的対象である。 G {\displaystyle G} が演算 ∗ を持った群であれば、G 上の合同関係 (congruence relation) は G の元についての同値関係 ≡ であって
g1 ≡ g2 かつ h1 ≡ h2 ならば g1 ∗ h1 ≡ g2 ∗ h2
をすべての g1, g2, h1, h2 ∈ G に対して満たすものである。群上の合同に対して、単位元を含む同値類はいつも正規部分群であり、他の同値類はこの部分群の剰余類である。また、これらの同値類は商群の元である。