完全微分
三重積の微分法則(英語版)とも呼ばれる輪環関係式 ( ∂ z ∂ x ) y ( ∂ x ∂ y ) z = − ( ∂ z ∂ y ) x {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}{\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial y}}{\Big )}_{z}=-{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial y}}{\Big )}_{x}} により、右辺の括弧の中も零であることが導かれる。
実際、∂z/∂y に対する相反関係式を用いて、上記の式を並べ替えたものは輪環関係式 ( ∂ x ∂ y ) z ( ∂ y ∂ z ) x ( ∂ z ∂ x ) y = − 1 {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial x}{\partial y}}{\Big )}_{z}{\Bigl (}{\frac {\partial y}{\partial z}}{\Big )}_{x}{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}_{y}=-1} である。
代わりに ∂x/∂y に対する相反関係式を用い、並べ替えれば陰函数の微分法則
が得られる。
二階微分の対称性とは、大抵の素性の良い函数 Q が
を満たすことを言うものである。これを用いれば、xy-平面上の単連結領域 R において、微分形 A(x, y)dx + B(x, y)dy が完全微分となるための必要十分条件は
を満足することである。 同様に三次元の場合、微分形 A(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz が xyz-座標空間の領域 R において完全微分となるのは、A, B, C が関係式
を満足するときである。
これらの条件は以下のように述べることもできる。対応するベクトル値函数のグラフを G とすれば、「曲面」G の任意の接ベクトル X, Y に対して斜交形式 s を以って s(X, Y) = 0 が成り立つ。
二階微分の計算において微分する順番は問わないのだったから、これらの条件を一般化するのは容易である。例えば、四変数函数に関する完全微分 dQ を得るには、六つの条件を満足するべきことがわかる。
簡単にまとめると、与えられた微分形が完全微分 dQ となるのは
函数 Q が存在して
線積分 ∫ i f d Q = Q ( f ) − Q ( i ) {\textstyle \int _{i}^{f}dQ=Q(f)-Q(i)} が積分経路に依らない
ときである。
三つの変数 x, y, z が適当な可微分函数 F に関する条件 F(x, y, z) = (一定) によって束縛されているとすれば、全微分
が存在する。最初の式に二つ目の式を入れて並べ替えれば
を得る。y, z は独立な変数であるから、dy, dz は制限なく選べる。最後の式が一般に成り立つためには、括弧で括った項が零とならねばならない。以下それが成立することを見よう: