ワイル代数
上で導入された代数W(X) は二つの生成元 X, Y とそれらの間の関係
YX − XY − 1
によって自由に生成された線形環と見なせる。同様にして代数 An を生成元と基本関係によって抽象的に与えることもできる。V をシンプレクティック形式 ω を備えた 2n-次元ベクトル空間のとき、V のワイル代数 W(V) は、V のテンソル代数 T(V) の、 v ⊗ w − w ⊗ v − ω(v, w) の形の元によって生成される両側イデアル Iによる商
W ( V ) := T ( V ) / I {\displaystyle W(V):=T(V)/I}
として定められる。言い換えれば W(V) は V によって生成され、[v, w] (:= vw − wv) = ω(v, w) のみを関係式とする多元環である。このとき、W(V) は、シンプレクティックベクトル空間に対して自然に定まるため、非退化なシンプレクティック形式 ω の取り方によらずAn に同型である。