トッド類
トッド類は乗法的性質(Multiplicative)を持つ。
T d ∗ ( E ⊕ F ) = T d ∗ ( E ) ⋅ T d ∗ ( F ) . {\displaystyle Td^{*}(E\oplus F)=Td^{*}(E)\cdot Td^{*}(F).}
さて ξ ∈ H 2 ( C P n ) {\displaystyle \xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})} を超平面区間の基本類とする。 乗法的性質と C P n {\displaystyle {\mathbb {C} }P^{n}} の接束に対するオイラー系列(英語版)(Euler exact sequence)から
0 → O → O ( 1 ) n + 1 → T C P n → 0 , {\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{n+1}\to T{\mathbb {C} }P^{n}\to 0,}
これが得られる 。
T d ∗ ( T C P n ) = ( ξ 1 − e − ξ ) n + 1 . {\displaystyle Td^{*}(T{\mathbb {C} }P^{n})=\left({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}}\right)^{n+1}.}