局所連結空間
1. 辞書順序位相(英語版)における集合 I × I (ただし I = [0,1])は(連結だから)ちょうど 1 つの成分を持つが非可算個の道成分を持つ。実際、a ∈ I に対して {a} × I の形の任意の集合は道成分である。
2. (R に下極限位相(英語版)を与えて)f を R から Rl への連続写像とする。R は連結であり連続写像の下での連結空間の像は連結でなければならないから、R の f による像は連結でなければならない。したがって、R の f による像は Rl の成分の部分集合でなければならない。この像は空でないから、R から Rl への連続写像は定値写像のみである。実は、連結空間から完全不連結空間への任意の連続写像は定値でなければならない。