前加法圏
CとDを前加法圏とする。このとき、関手 F: C → D が加法的であるとは、圏Abで豊穣化した関手であることをいう。すなわち、F が加法的であるとは C の各対象 A と B に対して、射関数 f: Hom(A,B) → Hom(F(A),F(B)) が群の準同型であることをいう。前加法圏の研究対象の関手はほとんどが加法的である。
簡単な例として、環 R と S をひとつの対象からなる前加法圏 R と S で表現している場合は、R から S への環の準同型は R から S への加法的関手で表現される。逆もまたいえる。
C が圏であり、 D は前加法圏であるとすると、関手圏 Fun(C,D) もまた前加法圏である。なぜなら、自然変換を自然なやり方で足すことができるからである。さらに C も前加法圏である場合、加法的関手と自然変換からなる圏 Add(C,D) も前加法圏である。
最後の例は環上の加群の一般化を導く。C を前加法圏としたとき、Mod(C) := Add(C,Ab) は C 上の 加群圏 と呼ばれる。C が環 R に対応した前加法的圏である場合は、これは通常の(左)R加群の圏になる。前と同様に、事実上全ての加群の概念は、この方法により一般化できる。