宇宙文明
変数 Y {\displaystyle Y} が含まれない、すなわち定数となる箇所に注目して実数a,bを用いて置換する。
a = ( x 10 log e  10 ) {\displaystyle a={\biggl (}{\frac {x}{10\log _{e}10}}{\biggr )}}
b = { log 10  ( W 0 − e ) − x Y 0 − 6 l o g e 10 10 log e  10 } {\displaystyle b={\biggl \{}{\frac {\log _{10}(W_{0}-e)-xY_{0}-6log_{e}10}{10\log _{e}10}}{\biggl \}}}
上記より
K p = a Y + b {\displaystyle K_{p}=aY+b} ・・・・・・・・・・・(5)
a,bは定数なので(5)式より K p {\displaystyle K_{p}} は傾きa、 K p {\displaystyle K_{p}} 切片がbである Y {\displaystyle Y} の一次関数(直線)と見みることができる。
つまり、カルダシェフのようにエネルギー消費量の増加率が100%より十分に小さく不変であるという仮定をすれば、年代ごとの文明等級の値のグラフは直線状になる。一方、エネルギー消費量の増加率が変わる仮定(技術革新が起こる、資源の枯渇によってエネルギーの生産量が減少するなど)のもとでは直線状になるとは限らない。
受信アンテナの入力雑音に相当する雑音温度を T N {\displaystyle T_{N}} [K]、交信距離r[m]、送信帯域幅 Δ f {\displaystyle \Delta f} [Hz]、受信アンテナの有効面積A[m]、ボルツマン定数k[J/K]とし、雑音による信号の超過が100倍ある状態が通信できる限界であると見なすと、次式が成り立つ。
100 × k T N = P A 4 π r 2 Δ f {\displaystyle 100\times kT_{N}={\frac {PA}{4\pi r^{2}\Delta f}}}
よって、送信機出力P[W]と交信可能距離r[m]、通信速度R[bps]の関係は
R = Δ f = P A 400 π r 2 k T N {\displaystyle R=\Delta f={\frac {PA}{400\pi r^{2}kT_{N}}}} ・・・・・・・・・・・(1)