順序数
(α · β) · γ = α · (β · γ) 。
α · 0 = 0 · α = 0 。
α · S(β) = (α · β) + α 。
γ が極限順序数のとき、α · γ = sup({ α · β | β < γ}) 。
α · 1 = 1 · α = α 。
0 < α のとき、β < γ ⇔ α · β < α · γ 。
β ≤ γ ⇒ β · α ≤ γ · α 。
順序数の積は一般には可換でない。例えば、2 · ω = ω ≠ ω · 2 である。
α · (β + γ) = (α · β) + (α · γ) 。
(β + γ) · α = (β · α) + (γ · α) は一般には成り立たない。
任意の順序数 α と 0 でない順序数 δ に対して、α = (δ · β) + γ かつ γ < δ をみたす順序数の組 β, γ がただ一組存在する。
集合 A から集合 B への全単射が存在するとき、A と B は同数 (equinumerous) であるといい、A ≈ B で表す。 選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 A に対して A と同数であるような順序数が存在することが言える。そこで、集合 A と同数であるような順序数の中で最小のものを A の濃度 (cardinality of A) といい、これを |A| あるいは card(A) で表す。ある集合 A に対して α = |A| である順序数 α を基数 (cardinal number) と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ:
|A| = |B| ⇔ A ≈ B
A が有限集合のとき、|A| は A の要素の個数に等しい。
基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる。
数学の特に集合論において、順序数(じゅんじょすう、英: ordinal number)とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数を拡張させた概念である。