三角関数の無限乗積展開
α ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \alpha \in (0,1)} とし、区間 [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} で定義された関数 f ( x ) = cos  ( α x ) {\displaystyle f(x)=\cos(\alpha x)} を考える。
これを周期 2 π {\displaystyle 2\pi } で延長した関数のフーリエ級数は区間 [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} において f {\displaystyle f} に各点収束する。
f ( x ) = 2 α sin  π α π ( 1 2 α 2 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n α 2 − n 2 cos  n x ) {\displaystyle f(x)={\frac {2\alpha \sin \pi \alpha }{\pi }}\left({\frac {1}{2\alpha ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\alpha ^{2}-n^{2}}}\cos nx\right)}