古典電磁気学の共変定式
∂ 2 F μ ν = ∂ ρ ∂ ρ F μ ν = ∂ ρ [ ∂ μ F ρ ν − ∂ ν F ρ μ ] = ∂ μ ∂ ρ F ρ ν − ∂ ν ∂ ρ F ρ μ = − Z 0 c [ ∂ μ J ν − ∂ ν J μ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{2}F^{\mu \nu }&=\partial _{\rho }\partial ^{\rho }F^{\mu \nu }\\&=\partial _{\rho }[\partial ^{\mu }F^{\rho \nu }-\partial ^{\nu }F^{\rho \mu }]\\&=\partial ^{\mu }\partial _{\rho }F^{\rho \nu }-\partial ^{\nu }\partial _{\rho }F^{\rho \mu }\\&=-{\frac {Z_{0}}{c}}\left[\partial ^{\mu }J^{\nu }-\partial ^{\nu }J^{\mu }\right]\\\end{aligned}}}
が導かれる。これは電磁場強度に対する電磁波の波動方程式である。
媒質が存在する場合は、媒質の状態を記述する力学変数として分極テンソル P が導入される。 媒質中での作用汎関数には、媒質と電磁場との相互作用と、媒質の自己相互作用を記述する部分が追加されて
S [ X , A , P ] = S X [ X ] + S A [ A ] + S P [ P ] + S int [ X , A , P ] {\displaystyle {\mathcal {S}}[X,A,P]={\mathcal {S}}_{X}[X]+{\mathcal {S}}_{A}[A]+{\mathcal {S}}_{P}[P]+{\mathcal {S}}_{\text{int}}[X,A,P]}
で与えられる。相互作用項のラグランジュ関数は、再び4元電流密度 J を用いれば
L int = 1 c J μ A μ ( x ) − 1 2 P μ ν F μ ν ( x ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{int}}={\frac {1}{c}}J^{\mu }A_{\mu }(x)-{\frac {1}{2}}P^{\mu \nu }F_{\mu \nu }(x)}
連続方程式
J α , α = d e f ∂ α J α = 0 . {\displaystyle {J^{\alpha }}_{,\alpha }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\partial _{\alpha }J^{\alpha }\,=\,0\,.}
電荷保存則を表す。