特異ホモロジー
∂ n σ n ( Δ n ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k [ p 0 , ⋯ , p k − 1 , p k + 1 , ⋯ p n ] {\displaystyle \partial _{n}\sigma _{n}(\Delta ^{n})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\cdots ,p_{k-1},p_{k+1},\cdots p_{n}]}
は具体的に示された単体の像の面の形式和である。(つまり、個々の面はその頂点がリストされる順番に依存する Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} の面の指定に適用される σ n {\displaystyle \sigma _{n}} の像でなければならない。)したがって、例えば、 σ = [ p 0 , p 1 ] {\displaystyle \sigma =[p_{0},p_{1}]} の境界( p 0 {\displaystyle p_{0}} から p 1 {\displaystyle p_{1}} へ行く曲線)は形式和(あるいは「形式差」) [ p 1 ] − [ p 0 ] {\displaystyle [p_{1}]-[p_{0}]} である。
部分空間 A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} に対し、相対ホモロジー(英語版) Hn(X, A) はチェイン複体の商のホモロジーとして理解される。つまり、
H n ( X , A ) = H n ( C ∙ ( X ) / C ∙ ( A ) ) {\displaystyle H_{n}(X,A)=H_{n}(C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A))}
ただしチェイン複体の商は短完全列
0 → C ∙ ( A ) → C ∙ ( X ) → C ∙ ( X ) / C ∙ ( A ) → 0 {\displaystyle 0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0}
によって与えられる。