リーマン球面
任意の有理関数 f(z) = g(z)/h(z) (言い換えるとf(z) は、複素係数の z の、共通因子をもたない2つの多項式関数 g(z) と h(z) の比である)をリーマン球面上の連続関数に拡張できる。具体的には、z0 を、分母 h(z0) が 0 だが分子 g(z0) が 0 でないような複素数とすれば、f(z0) を ∞ と定義できる。さらに、f(∞) は f(z) の z → ∞ における極限として定義できる。これは有限かもしれないし無限かもしれない。
複素有理関数全体の集合 C(z) は、リーマン球面をリーマン面と見たときに、すべての点で値 ∞ をとる定数関数を除いて、リーマン球面からそれ自身へのあらゆる正則関数をなす。C(z) の関数たちは代数体をなし、球面上の有理関数体 (the field of rational functions on the sphere) として知られている。
例えば、関数
f ( z ) = 6 z 2 + 1 2 z 2 − 50 {\displaystyle f(z)={\frac {6z^{2}+1}{2z^{2}-50}}}
が与えられると、z = 5 で分母が 0 なので f(5) = ∞ と定義でき、z → ∞ のとき f(z) → 3 なので f(∞) = 3 と定義できる。これらの定義を用いて、f はリーマン球面からそれ自身への連続関数になる。