分割数
この行列の零でない成分は、一般五角数 qm 番目の行の先頭から斜め (diagonal) に配置され(主対角線の1つ上側の成分 (superdiagonel) は仮想的に 0 番目の行からと考える)、その値が (−1) となっている。この行列式公式は、次の行列の間の関係式
( p ( 0 ) p ( 1 ) p ( 0 ) p ( 2 ) p ( 1 ) p ( 0 ) p ( 3 ) p ( 2 ) p ( 1 ) p ( 0 ) p ( 4 ) p ( 3 ) p ( 2 ) p ( 1 ) p ( 0 ) p ( 5 ) p ( 4 ) p ( 3 ) p ( 2 ) p ( 1 ) p ( 0 ) ⋮ ⋱ ) = ( 1 − 1 1 − 1 − 1 1 0 − 1 − 1 1 0 0 − 1 − 1 1 1 0 0 − 1 − 1 1 ⋮ ⋱ ) − 1 {\displaystyle {\begin{pmatrix}~p(0)&~\\~p(1)&p(0)&~\\~p(2)&p(1)&p(0)&~\\~p(3)&p(2)&p(1)&p(0)&~\\~p(4)&p(3)&p(2)&p(1)&p(0)&~\\~p(5)&p(4)&p(3)&p(2)&p(1)&p(0)&~\\~\vdots &~&~&~&~&~&\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}~1&~\\-1&~1&~\\-1&-1&~1&~\\~0&-1&-1&~1&~\\~0&~0&-1&-1&~1&~\\~1&~0&~0&-1&-1&~1&~\\~\vdots &~&~&~&~&~&\ddots \end{pmatrix}}^{-1}}
に同値なのだが、この関係式自体は単に上述の母函数の間の関係式(と五角数定理)を行列の形にまとめたものである。
で計算できる。また、分割数の第 n-部分和は行列式
∑ k = 0 n p ( k ) = | 2 − 1 0 2 − 1 − 1 0 2 − 1 0 − 1 0 2 − 1 − 1 0 − 1 0 2 − 1 1 − 1 0 − 1 0 2 − 1 ⋮ ⋱ ⋱ c n − 1 c n − 2 ⋯ 2 − 1 c n c n − 1 ⋯ 0 2 | n × n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p(k)={\begin{vmatrix}~2&-1&~\\~0&~2&-1&~\\-1&~0&~2&-1&~\\~0&-1&~0&~2&-1&~\\-1&~0&-1&~0&~2&-1&~\\~1&-1&~0&-1&~0&~2&-1&~\\~\vdots &~&~&~&~&~&\ddots &\ddots &~\\c_{n-1}&c_{n-2}&~&\cdots &~&~&~&~2&-1&~\\c_{n}&c_{n-1}&~&\cdots &~&~&~&~0&~2&~\end{vmatrix}}_{n\times n}}
で与えられる。ただし、c0 = −1, c1 = 2, c2 = 0 かつ k > 2 に対しては
c k = { ( − 1 ) m + 1 if k = q m , ( − 1 ) m if k = q m + 1 , 0 otherwise.