ペロン＝フロベニウスの定理
ペロン=フロベニウスの定理は、特に代数的グラフ理論においてよく用いられる。ある非負の n-正方行列の基礎グラフ(underlying graph)とは、1, ..., n で番号付けられた頂点と、頂点iから頂点jに向かう辺を Aij ≠ 0 の場合に限り持つグラフのことを言う。そのような行列の基礎グラフが強連結であるなら、その行列は既約であり、したがってペロン=フロベニウスの定理を適用することが出来る。特に、強連結グラフの隣接行列は、既約である。
すなわち、rA < rB となる。
行列の原始性の定義の一つによれば、原始的な行列 A は非負であり、A が正となるようなある m が存在する。A のサイズに依存してこの m がどれほど大きい値となるのか、疑問に思うこともあるかも知れない。次の主張は、その疑問に対する解答となっている:
A を、サイズが n であるような非負の原始的行列とする。このとき、A は正である。さらに、n > 1 であるなら、以下で与えられるような行列 M が存在する。全ての k < n-2n+2 に対して M は正でなく(しかしもちろん、非負である)、特に (M)11=0 である:
M = ( 0 1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . 0 0 0 0 1 . . . 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 . . . 1 1 1 0 0 . . . 0 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1&0&0&...&0\\0&0&1&0&...&0\\0&0&0&1&...&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&0&...&1\\1&1&0&0&...&0\\\end{pmatrix}}}
v の正数倍の他には、正(さらには非負)の固有ベクトルは存在しない(左固有ベクトル w についても同様)。すなわち、他のすべての固有ベクトルは必ず符号が反対の成分あるいは実数でない成分を含む。
lim k → ∞ A k / r k = v w T {\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }A^{k}/r^{k}=vw^{T}} である。ただしここでは、A の左および右の固有ベクトルは wv = 1 が成立するように正規化されているとする。さらに、行列 v w は r に対応する固有空間の上への射影である。この射影はペロン射影(Perron projection)と呼ばれる。
コラッツ=ヴィーランド(Collatz-Wielandt)の公式:全ての非負かつ非ゼロのベクトル x に対して、f(x) を、xi ≠ 0 であるような全ての i について [Ax]i / xi を考えたときの最小値とする。このとき、実数値関数 f の最大値はペロン=フロベニウス固有値である。