平行線公準
ユークリッドの平行線公準の最もよく知られている形は、名前をスコットランドの数学者ジョン・プレイフェアに由来するプレイフェアの公理(英語版)であろう。これは次のようなものである。
平面上に直線と、直線上に存在しない点が与えられたとき、点を通り直線に平行な直線は与えられた平面上に高々1本しか引くことができない。
平行線公準とプレイフェアの公理は一般的に同値というわけではない。幾何学の中には、この二つのうち、片方が真でもう片方が偽となるものがあるからである。しかし、ユークリッド幾何学の他の4つの公準と二つのうちの片方を使えばもう片方を証明することができるため、絶対幾何学(英語版)においてはこの二つは同値である。
他にも多くの平行線公準と同値な命題が提唱された。そのうちのいくつかは一見すると平行線とは関係ないように見える命題であり、またいくつかは平行線公準をユークリッドの他の公準から示したとする証明の中で、自明であるとして無意識に仮定されていた命題であった。以下はこれらの概要である。
「彼はユークリッド幾何学における公理や仮定、またユークリッド原論に載っている多くの定理の証明を根本的に見直した」。彼の研究結果は1594年にローマで出版され、ヨーロッパの幾何学者らによって詳しく研究された。そして、これがサッケーリの研究の発端となるのである。それは、サドルッディーンやジョン・ウォリスの研究を真っ向から否定するものであった。
ジョルダーノ・ヴィターレ(英語版) (1633-1711) は自身の著書Euclide restituo(1680年、1686年)の中で、クリストファー・クラヴィウスが与えた平行線公準の証明は、ある直線と等距離にある曲線はそれ自体が直線であるという前提に依存していると指摘した。そこで、サッケーリの四角形において、上辺CD上に3つの点をとり、底辺ABに下ろした垂線がすべて同じ長さであれば、ABとCDは等距離であるということを示した。これは過去600年間の中で、平行線公準に対する理解が真に進んだ初の成果である。
イタリアのイエズス会士ジョヴァンニ・ジェローラモ・サッケーリ (1667-1733) は第5公準の否定から矛盾を導き出そうと試みた。彼は、サッケーリの四角形において平行線公準を用いずに角Cと角Dが直角であれば、4公準から平行線公準を導くことができると考えた。角Cと角Dが同じ角度であると証明することは容易であったが、それが直角であることを証明することは困難であった。そこでサッケーリは背理法を用い、角Cと角Dが直角でない場合を考え、矛盾を導き出そうと試みた。