テンソル代数
を台として構成される。T(V) における乗法は、テンソル積によって与えられる自然同型
T k ( V ) ⊗ T l ( V ) → T k + l ( V ) {\displaystyle T^{k}(V)\otimes T^{\ell }(V)\to T^{k+\ell }(V)}
を T(V) 全体まで線型に拡張したもので与えられる。この乗法法則により自然に、テンソル代数 T(V) は各 T(V) を次数 k の斉次部分空間に持つ次数付き多元環となる。この次数付けは負の整数 k に対して T(V) = {0} と置いて付け加えることにより Z-次数付けに拡張できる。
この構成は全くそのままのやり方で可換環 R 上の任意の加群 M のテンソル代数に一般化される。R が非可換のときは、任意の (R, R)-両側加群に対してならばこの構成を実行できる(単に R-加群としたのでは、テンソル冪が作れないのでうまくいかない)。