直観主義型理論
さまざまな形式の型理論が、多数の証明支援系の基盤の形式システムとして実装されている。多くがマルティン=レーフのアイディアに基づいている一方、多くは別の特徴、さらなる公理、もしくは異なる哲学的背景が追加されている。具体的には、NuPRLシステムは、計算型理論(computational type theory)に基づいており、Coqは(余)帰納的構成計算(calculus of (co)inductive constructions)に基づいている。依存型は、ATS、Cayenne、Epigram、Agda、Idrisなどのプログラム言語の設計にも使用される。
ペール・マルティン=レーフはいくつもの型理論を構成したが、その発表の時期は、それらが記述された査読前論文が専門家(ジャン=イヴ・ジラールやGiovanni Sambin)に受理されることになったときよりだいぶ後のさまざまな時期に発表された。以下のリストは、印刷された形態で記述された全ての理論を列挙することを試みたものであり、それらを互いに区別するための重要な特徴を素描している。これら理論の全ては依存積(dependent product)、依存和(dependent sum)、分離和(disjoint union)、有限型(finite type)、そして自然数を持つ。全ての理論は、依存積に対するη-簡約が追加されたMLTT79を除いて、依存積か依存和のどちらかに対するη-簡約を含まない同じ簡約規則を持つ。