集合値函数
K を X の部分集合とするとき、F の K への制限 (restriction) F|K とは、F|K := {F(x) (x ∈ K)∅ (x ∉ K) で定義される集合値写像である。
位相空間及び距離空間の部分集合としての性質 φ (例えば閉、凸、可測など) について、F が φ値 (φ-valued) であるとは、F のグラフが X × Y の部分集合として φ であることである。
単項および二項の集合演算の演算子 ☆ が与えられたとき、☆(F) および F1 ☆ F2 はそれぞれ ☆(F)(x) = ☆(F(x)) および (F1 ☆ F2)(x) = F1(x) ☆ F2(x) で定義される。
2つの集合値写像 F, G について G が F の拡張 (extention) であるとは、Graph(F) ⊂ Graph(G) となることであり、このとき F ⊂ G と表す。 演算と拡張について以下が成り立つ。 F(K1 ∪ K2) = F(K1) ∪ F(K2) F(K1 ∩ K2) ⊂ F(K1) ∩ F(K2) F(X ∖ K) ⊃ Im(F) ∖ F(K) K1 ⊂ K2 ⇒ F(K1) ⊂ F(K2)
Y の部分集合 M について、F による M の逆像 (inverse image、弱逆像) とは、F(M) := {x ∈ X | F(x) ∩ M ≠ ∅} であり、また、F による M の核 (core、強逆像) とは、F(M) := {x ∈ X | F(x) ⊂ M} である。 逆像と核について以下が成り立つ。 F(Y ∖ M) = X ∖ F(M) F(Y ∖ M) = X ∖ F(M)