スターリング数
この関係は、 x n {\displaystyle x^{n}} を下降階乗冪 x k _ {\displaystyle x^{\underline {k}}} で展開した数式に対し、 x k _ {\displaystyle x^{\underline {k}}} を x {\displaystyle x} のべき級数で展開すれば導出できる。べき乗 x n {\displaystyle x^{n}} は 上昇階乗冪 x k ̄ {\displaystyle x^{\overline {k}}} で展開した場合も、第2種スターリング数を含む展開係数を伴う。その展開した結果は、
x n = ∑ k n ( − 1 ) n + k { n k } x k ̄ {\displaystyle x^{n}=\textstyle \sum \limits _{k}^{n}(-1)^{n+k}\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}\,x^{\overline {k}}}
となり、展開係数は第2種スターリング数に符号補正 ( − 1 ) n + k {\displaystyle (-1)^{n+k}} を施した値である。この展開式は、 x k _ = ( − 1 ) k ( − x ) k ̄ {\displaystyle x^{\underline {k}}=(-1)^{k}(-x)^{\overline {k}}} であることに注意すれば導出できる。
具体的には、
x n _ = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n + k [ n k ] x k {\displaystyle x^{\underline {n}}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\displaystyle \left[{n \atop k}\right]\,x^{k}}
と書けるので、展開係数は第1種スターリング数に符号補正 ( − 1 ) n + k {\displaystyle (-1)^{n+k}} を施した値である。この展開式は、
x n _ = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) = ( − 1 ) n ⋅ ( − x ) ( − x + 1 ) ( − x + 2 ) ⋯ ( − x + n − 1 ) = ( − 1 ) n ( − x ) n ̄ {\displaystyle {\begin{aligned}x^{\underline {n}}&=x\,(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)\\&=(-1)^{n}\cdot (-x)(-x+1)(-x+2)\cdots (-x+n-1)\\&=(-1)^{n}\,(-x)^{\overline {n}}\end{aligned}}}
であることに注意すれば容易に証明できる。