分数
分母 b と d が共通因数 r を持ち、b = rp, d = rq と書ける場合、足し算と引き算は以下のようになる:
a r p + c r q = a q + p c r p q , a r p − c r q = a q − p c r p q . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{rp}}+{\frac {c}{rq}}&={\frac {aq+pc}{rpq}}\,,\\{\frac {a}{rp}}-{\frac {c}{rq}}&={\frac {aq-pc}{rpq}}\,.\end{aligned}}}
同様に分数 a/b と数 c の足し算と引き算は以下のようになる:
a b + c = a + b c b , a b − c = a − b c b , c − a b = b c − a b . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}+c\ &={\frac {a+bc}{b}}\,,\\{\frac {a}{b}}-c\ &={\frac {a-bc}{b}}\,,\\c-{\frac {a}{b}}&={\frac {bc-a}{b}}\,.\end{aligned}}}
N D = g ⋅ n g ⋅ d = n d {\displaystyle {\frac {N}{D}}={\frac {{\cancel {g}}\cdot n}{{\cancel {g}}\cdot d}}={\frac {n}{d}}}
整数の分数に限らず、分子分母が因数分解できるなら約分できる。例えば分子分母が不定元 x の多項式の分数(有理式)について、
x 3 − 5 x 2 + 8 x − 4 x 3 − x 2 − 8 x + 12 = ( x − 1 ) ( x − 2 ) 2 ( x + 3 ) ( x − 2 ) 2 = x − 1 x + 3 {\displaystyle {\frac {x^{3}-5x^{2}+8x-\;4}{x^{3}\,-\,\;x^{2}-8x+12}}={\frac {(x-1){\cancel {(x-2)^{2}}}}{(x+3){\cancel {(x-2)^{2}}}}}={\frac {x-1}{x+3}}}
のように約分できる。