概周期函数
理論の発展と抽象的手法(ピーター=ワイルの定理(英語版)、ポントリャーギン双対およびバナッハ環)の発見に伴い、一般論を構築することが可能となった。局所コンパクトアーベル群 G との関連において概周期性の一般のアイデアは、G による平行移動が相対コンパクト集合を形成するような L(G) 内の函数 F に対するものへと変わった。また同値であるが、概周期函数の空間は G の指標の有限線型結合のノルム閉包である。G がコンパクトであるなら、概周期函数は連続函数と等しい。
G のボーアコンパクト化(英語版)は、G の双対群のあり得るすべての不連続指標からなるコンパクトアーベル群で、G を稠密部分群として含むコンパクト群である。G 上の一様概周期函数の空間は、G のボーアコンパクト化上のすべての連続函数の空間と一致する。より一般に、ボーアコンパクト化は任意の位相群 G に対して定義でき、そのボーアコンパクト化上の連続あるいは L 函数の空間は G 上の概周期函数と見なされる。局所コンパクトな連結群 G に対し、G からそのボーアコンパクト化への写像が単射であるための必要十分条件は、G があるコンパクト群の中心拡大であること、あるいは同値であるが、コンパクト群と有限次元ベクトル空間との積であることである。
基本周波数 f 0 {\displaystyle f_{0}\ } およびフーリエ係数 a n {\displaystyle a_{n}\ } 、 b n {\displaystyle b_{n}\ } 、 r n {\displaystyle r_{n}\ } あるいは φ n {\displaystyle \varphi _{n}\ } は定数である。すなわちそれらは時間の関数ではない。調和周波数は、基本周波数の整数倍である。
他方で x ( t ) {\displaystyle x(t)\ } が準周期的(quasiperiodic)であるならば、
x ( t ) ≈ x ( t + T ( t ) ) {\displaystyle x(t)\approx x\left(t+T(t)\right)\ }
あるいは
| x ( t ) − x ( t + T ( t ) ) | < ε {\displaystyle \left|x(t)-x\left(t+T(t)\right)\right|<\varepsilon \ }
が成立する。但し
0 < ε ≪ ‖ x ‖ = x 2 ̄ = lim τ → ∞ 1 τ ∫ − τ / 2 τ / 2 x 2 ( t ) d t {\displaystyle 0<\epsilon \ll \left\Vert x\right\|={\sqrt {\overline {x^{2}}}}={\sqrt {\lim _{\tau \to \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt}}\ }