カルタン行列
単純リー代数のカルタン行列は、行列要素がスカラー積
a i j = 2 ( r i , r j ) ( r i , r i ) {\displaystyle a_{ij}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}}
であるような行列(ときおり、カルタン整数(Cartan integers)と呼ばれる)である。ここに ri は代数の単純ルート(simple roots)である。要素は、ルートの性質のひとつより整数である。1 の条件は定義から従い、2 の条件は i ≠ j , r j − 2 ( r i , r j ) ( r i , r i ) r i {\displaystyle i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}} は rj に対し正の係数を持つ単純ルート ri と rj の線型結合であるルートであるので、ri の係数は非負となるはずである。3.の条件は、直交性は対称的な関係であるので、正しい。最後に、 D i j = δ i j ( r i , r i ) {\displaystyle D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}} であり S i j = 2 ( r i , r j ) {\displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})} とすると、単純ルートはユークリッド空間を張るので、S は正定値である。
逆に、一般カルタン行列が与えられると、対応するリー代数を再現することができる。(詳しくは、カッツ・ムーディ代数を参照。)
ディンキン図形(Dynkin diagram)
例外ジョルダン代数(英語版)(Exceptional Jordan algebra)
基本表現(英語版)(Fundamental representation)
キリング形式
単純リー群(Simple Lie group)