普遍代数学
そうすれば、公理系は演算に対する以下の条件
結合性: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z.
単位律: e ∗ x = x = x ∗ e; (形式化すると ∀x. e ∗ x = x = x ∗ e).
反転律: x ∗ (~x) = e = (~x) ∗ x. (形式化すると ∀x. x ∗ ~x = e = ~x ∗ x).
(もちろん ~x と書く代わりに通常の通り "x" と書いてもいい。これから分かるのは小さなアリティの演算の記法はいつも第二段落のような形であるとは限らないということ。)
普通の定義と何が変わったか並べると、
一つの二項演算(算号系が (2) で与えられる)
一つの等式法則(結合律)
二つの量化された法則(単位律と反転律)
だったものが、普遍代数学的な定義では
三つの演算: 一つは二項、一つは単項、一つは零項(算号系は (2,1,0) で与えられる)
三つの等式法則(結合律、単位律、反転律)
量化された法則は無し(変数に対する普遍量化は対象外)
になっている。
これでちゃんと群の定義が表せているのかということをチェックするのは重要なことである。普遍代数学的な意味での群を一つとってきたときに、通常の意味での群として取ってきたときよりも多くの情報が出てくるというようなことはあってはならない。