不変測度
最初に挙げた例である一次元ルベーグ測度は、定数倍による正規化定数の取り換えという自明な操作を除いて一意に決まる。しかし、一般の場合には必ずしもそのような一意性が存在するわけではない。例えば、二点集合 S = {A, B} と、各点を動かさない恒等写像 T = idS を考えると、任意の(確率)測度 μ: S → R は T-不変である。S は明らかに T-不変成分 {A} および {B} に分割される。
度やラジアンで測った(円)角の角度(角測度)は、回転不変である。同様に、双曲角(英語版)は圧搾写像(英語版)の下で不変である。
ユークリッド平面における面の面積(面測度)は、行列式が 1 であるような 2 × 2 実行列に対して不変である。そのような行列は、特殊線型群 SL(2,R)(英語版) として知られている。
すべての局所コンパクト群は、群作用の下で不変なハール測度を持つ。ルベーグ測度はハール測度の例になっている。