交換子
交換子は以下のような性質を満たす。
リー環の基本関係式 [ A , A ] = 0 {\displaystyle [A,A]=0} [ A , B ] = − [ B , A ] {\displaystyle [A,B]=-[B,A]} [ A , [ B , C ] ] + [ B , [ C , A ] ] + [ C , [ A , B ] ] = 0 {\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0} 二つ目の関係式は反交換性あるいは交代性と呼ばれるもの、また三番目はヤコビ恒等式である。
その他有用な関係式 [ A , B C ] = [ A , B ] C + B [ A , C ] {\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]} [ A B , C ] = A [ B , C ] + [ A , C ] B {\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B} [ A B C , D ] = A B [ C , D ] + A [ B , D ] C + [ A , D ] B C {\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC} [ A B , C D ] = A [ B , C D ] + [ A , C D ] B = A [ B , C ] D + A C [ B , D ] + [ A , C ] D B + C [ A , D ] B {\displaystyle [AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B} [ [ [ A , B ] , C ] , D ] + [ [ [ B , C ] , D ] , A ] + [ [ [ C , D ] , A ] , B ] + [ [ [ D , A ] , B ] , C ] = [ [ A , C ] , [ B , D ] ] {\displaystyle [[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]=[[A,C],[B,D]]} [ A B , C ] = A { B , C } − { A , C } B {\displaystyle [AB,C]=A\{B,C\}-\{A,C\}B} ただし、{A, B} = AB + BA は後述の反交換子である。