普遍係数定理
このとき、
0 → Ext R  ( H n + 1 ( C ∗ ) , M ) → β H n ( C ∗ ; M ) → α Hom R  ( H n ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}(H^{n+1}(C_{*}),M){\overset {\beta }{\to }}H_{n}(C_{*};M){\overset {\alpha }{\to }}\operatorname {Hom} _{R}(H^{n}(C_{*}),M)\to 0}
が短完全系列となるα、βが存在し、この短完全系列は分裂する。
上述の定理において、αは [ z ] ⊗ m ∈ H n ( C ∗ ⊗ R M ) = H n ( C ∗ ; M ) {\displaystyle [z]\otimes m\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)=H_{n}(C_{*};M)} に対し、 [ f ] ∈ H n ( C ∗ ) ↦ f ( z ) m ∈ M {\displaystyle [f]\in H^{n}(C_{*})\mapsto f(z)m\in M} という H o m ( H n ( C ∗ ) , M ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (H^{n}(C_{*}),M)} の元を対応させる写像である。
一方、Mを係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、 C ∗ := H o m R ( C ∗ , R ) {\displaystyle C^{*}:=\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},R)} としてやると、
H n ( C ∗ ; R ) = H n ( H o m ( C ∗ , R ) ) = H n ( C ∗ ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};R)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R))=H^{n}(C^{*})}
であるが、 H n ( C ∗ ; M ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};M)} の方は
H n ( C ∗ ; M ) = H n ( H o m ( C ∗ , M ) ) {\displaystyle H^{n}(C^{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))}
であり、コホモロジーの普遍係数定理における
H n ( C ∗ ⊗ R M ) = H n ( H o m ( C ∗ , R ) ⊗ R M ) {\displaystyle H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R)\otimes _{R}M)}
とは異なるので単純に置き換える事ができない。