ラグランジアン (場の理論)
0 = − ρ ( x , t ) + ε 0 ∇ ⋅ E ( x , t ) {\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}
を得るが、この式はガウスの法則である。
また、 A {\displaystyle \mathbf {A} } について変分すると、
0 = j ( x , t ) + ε 0 E ̇ ( x , t ) − 1 μ 0 ∇ × B ( x , t ) {\displaystyle 0=\mathbf {j} (\mathbf {x} ,t)+\epsilon _{0}{\dot {\mathbf {E} }}(\mathbf {x} ,t)-{1 \over \mu _{0}}\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)}
を得るが、この式はアンペールの法則である。
テンソル記法(英語版)を使うと、もっと簡潔に記述することができる。 − ρ φ ( x , t ) + j ⋅ A {\displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} } の項は、実は二つの4元ベクトルの内積である。電荷密度を電流 4元ベクトルに含め、スカラー・ポテンシャルをポテンシャル 4元ベクトルに含めて表すと、これらの 2つの新しいベクトルは、
ラグランジアン場の理論 (Lagrangian field theory) は、古典場理論のひとつの定式化であり、ラグランジュ力学を場の理論に拡大したものである。ラグランジュ力学がそれぞれが有限の自由度を持つ離散的な粒子を扱うのに対し、ラグランジアン場の理論は自由度が無限である連続体や場に適用される。
本記事では、ラグランジアン密度を L {\displaystyle {\mathcal {L}}} と記し、ラグランジアンは L と記すこととする。
ラグランジュ力学の定式化を拡張し、場の理論を扱うことができるようになった。場の理論では、独立変数は、時空の中の事象 (x, y, z, t)、あるいはもっと一般的には多様体上の点 s へ置き換えて考える。従属変数 (q) は、時空でのその点での場の値 φ(x, y, z, t) へ置き換わり、運動方程式は、作用原理によって、
δ S δ φ i = 0 {\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0}
となる。ここで、「作用」
δ L ( x , t ) = − ρ ( x , t ) δ Φ ( x , t ) − 2 8 π G ( ∇ Φ ( x , t ) ) ⋅ ( ∇ δ Φ ( x , t ) ) {\displaystyle \delta {\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\delta \Phi (\mathbf {x} ,t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi (\mathbf {x} ,t))\cdot (\nabla \delta \Phi (\mathbf {x} ,t))}
となる。 部分積分して全積分の部分を零にする。両辺を δΦ で割ると
0 = − ρ ( x , t ) + 1 4 π G ∇ ⋅ ∇ Φ ( x , t ) {\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x} ,t)+{1 \over 4\pi G}\nabla \cdot \nabla \Phi (\mathbf {x} ,t)}
を得るので、
4 π G ρ ( x , t ) = ∇ 2 Φ ( x , t ) {\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} ,t)}
となる。これは、ガウスの重力法則(英語版)である。
ディラック場に対するラグランジアン密度は、
L = i ħ c ψ ̄ ∂ / ψ − m c 2 ψ ̄ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\bar {\psi }}{\partial }\!\!\!/\ \psi -mc^{2}{\bar {\psi }}\psi }
である。ここで ψ はディラック・スピノル(消滅作用素)、 ψ ̄ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}} はそのディラック共役(生成作用素)、 ∂ / = γ σ ∂ σ {\displaystyle {\partial }\!\!\!/=\gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }} は γ σ ∂ σ {\displaystyle \gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }\!} にファインマンのスラッシュ記法を用いている。