一様空間
定理 (Birkhoff-Kakutani-Minkowskiの定理) ― ( V , O ) {\displaystyle (V,{\mathcal {O}})} を R {\displaystyle \mathbb {R} } もしくは C {\displaystyle \mathbb {C} } 上の位相ベクトル空間とする。 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} がセミノルムの族から定まる必要十分条件は、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} が局所凸である事である。
位相ベクトル空間 ( V , O ) {\displaystyle (V,{\mathcal {O}})} の位相 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} がセミノルムから定まっていれば、 ( V , O ) {\displaystyle (V,{\mathcal {O}})} の一様構造も同じセミノルムの族から定まる事を容易に示せる。なお、局所凸でない場合もF-ノルムは定義可能である。
なお、一様構造自身の距離化可能性と一様構造が定める位相の距離化可能性は必ずしも一致せず、一様構造自身が距離化可能ではないのに、一様構造が定める位相の距離化可能な場合がある。
(具体例)
Xを非可算濃度の任意の整列集合とし、さらに各α ∈ Xに対し、
U α := { ( β , γ ) ∈ X × X ∣ β = γ or β , γ ≥ α } {\displaystyle U_{\alpha }:=\{(\beta ,\gamma )\in X\times X\mid \beta =\gamma {\text{ or }}\beta ,\gamma \geq \alpha \}}
とすると U α − 1 = U α {\displaystyle U_{\alpha }{}^{-1}=U_{\alpha }} 、 U α ∘ U α = U α {\displaystyle U_{\alpha }\circ U_{\alpha }=U_{\alpha }} が容易に示せるので、 S := ( U α ) α ∈ X {\displaystyle {\mathcal {S}}:=(U_{\alpha })_{\alpha \in X}} は前一様構造である。 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の 生成する一様構造を U {\displaystyle {\mathcal {U}}} とする。
本節では位相空間における密着位相、離散位相と同様、一様空間でも密着一様構造、離散一様構造が定義できる事を見る。
定義・定理 (密着一様構造) ― Xを集合とするとき、一元集合
{ X × X } {\displaystyle \{X\times X\}}
は一様構造の公理を満たす。この一様構造を密着一様構造(英: indiscrete uniformity)という。密着一様構造が定める位相は密着位相と一致する。
定義・定理 (離散一様構造) ― Xを集合とし、 Δ X = { ( x , x ) ∈ X × X } {\displaystyle \Delta _{X}=\{(x,x)\in X\times X\}} をX × Xの対角線とする。このとき、対角線を含む全ての部分集合の集合
{ U ⊂ X × X ∣ U ⊃ Δ X } {\displaystyle \{U\subset X\times X\mid U\supset \Delta _{X}\}}
は一様構造の公理を満たす。この一様構造を離散一様構造(英: discrete uniformity)という。離散一様構造が定める位相は離散位相と一致する。
一様収束の一様構造は以下の性質を満たす:
定理 ―
任意の S {\displaystyle {\mathcal {S}}} に対し、 ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} が完備であれば、F(X,Y)上の S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元に関する一様収束の一様構造は完備である。
Xが位相空間の場合、XからYへの連続写像全体の集合C(X,Y)はF(X,Y)の閉集合である。よって特に ( Y , U ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})} が完備であれば、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元に関する一様収束の一様構造は完備である。
ネット ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} が S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元に関してfに一様収束する必要十分条件は、 ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} が S {\displaystyle {\mathcal {S}}} の元に関してfにコーシー収束し、しかも ( f λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がfに各点収束する事である。
本節では位相群に一様構造が入る事を見る。
定理・定義 ― ( G , O ) {\displaystyle (G,{\mathcal {O}})} を位相群とする。Gの単位元eの開近傍 O ∈ O e {\displaystyle O\in {\mathcal {O}}_{e}} に対し、
O L = { ( x , y ) ∈ G 2 ∣ x − 1 y ∈ O } {\displaystyle O_{L}=\{(x,y)\in G^{2}\mid x^{-1}y\in O\}} 、 O R = { ( x , y ) ∈ G 2 ∣ x y − 1 ∈ O } {\displaystyle O_{R}=\{(x,y)\in G^{2}\mid xy^{-1}\in O\}}
と定義すると、
B L = { O L ∣ O ∈ O e } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{L}=\{O_{L}\mid O\in {\mathcal {O}}_{e}\}} 、 B R = { O R ∣ O ∈ O e } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}=\{O_{R}\mid O\in {\mathcal {O}}_{e}\}}
はいずれも一様構造の基底となる。