変分原理
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ハミルトニアンの期待値と基底状態のエネルギーに関する不等式が得られる。
この原理によって、任意の状態 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } に対するハミルトニアンの期待値 E [ Ψ ] {\displaystyle E[\Psi ]} の最小値が基底状態のエネルギー E 0 {\displaystyle E_{0}} である事が保証され、そのときの状態 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } が基底状態 | ψ 0 ⟩ {\displaystyle |\psi _{0}\rangle } であると言える。そのため、もしも基底状態とそのときのエネルギー値を求めたいのであれば、変分法によって | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } の汎関数 E [ Ψ ] {\displaystyle E[\Psi ]} の停留値を求めればよい事になる。変分原理を利用したこの手法を指して「変分原理」と言われる事も多い。
E [ Ψ ] {\displaystyle E[\Psi ]} の停留値問題は次のようなものになる。
δ E [ Ψ ] = δ ( ⟨ Ψ | H ^ | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | Ψ ⟩ ) = 0. {\displaystyle \delta E[\Psi ]=\delta \left({\frac {\langle \Psi |{\hat {H}}|\Psi \rangle }{\langle \Psi |\Psi \rangle }}\right)=0.