レヴィ・チヴィタ接続
実は平行移動の概念によってレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける事ができる:
定理 (共変微分の平行移動による特徴づけ) ― 多様体M上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} と c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上のベクトル場 v ( t ) {\displaystyle v(t)} に対し、 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿った平行移動を φ c , t ( v ) {\displaystyle \varphi _{c,t}(v)} とすると、以下が成立する:
∇ v d t ( 0 ) {\displaystyle {\nabla v \over dt}(0)} = d d t φ c , t − 1 ( v ( t ) ) | t = 0 {\displaystyle =\left.{d \over dt}\varphi _{c,t}{}^{-1}(v(t))\right|_{t=0}}
上述した特徴づけを使うと、レヴィ-チヴィタ接続の成分によらない具体的な表記を得る事ができる。
定理 (Koszulの公式) ― X、Y、Zをリーマン多様体M上の任意の可微分なベクトル場とするとき、以下が成立する:
Koszulの公式(英: Koszul formula): 2 g ( ∇ X Y , Z ) = X g ( Y , Z ) + Y g ( Z , X ) − Z g ( X , Y ) − g ( X , [ Y , Z ] ) + g ( Y , [ Z , X ] ) + g ( Z , [ X , Y ] ) {\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)-g(X,[Y,Z])+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y])}
よって特に(レヴィ・チヴィタ接続などの)∇がEの計量と両立する接続の場合、∇による平行移動は回転変換、すなわち S O ( m ) {\displaystyle SO(m)} の元なので、その微分である接続形式ωは S O ( m ) {\displaystyle SO(m)} のリー代数 s o ( m ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)} の元、すなわち歪対称行列である:
定理 ― ∇がE上の計量と両立するとき、 ( e 1 , ... , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} をEの局所的な正規直交基底とすると、 ( e 1 , ... , e m ) {\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})} に関する接続形式ωは s o ( m ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)} の元である。すなわちωは歪対称行列である。
このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群(上の例では S O ( m ) {\displaystyle SO(m)} )が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。
上では回転群 S O ( m ) {\displaystyle \mathrm {SO} (m)} の場合を説明したが、物理学で重要な他の群、例えばシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。
こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。リー群の主バンドルの接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。詳細は接続 (ファイバー束)の項目を参照されたい。
Γ ( T ∗ M ⊗ E ) → ∇ Γ ( T ∗ M ⊗ T ∗ M ⊗ E ) → g Γ ( E ) → × ( − 1 ) Γ ( E ) {\displaystyle \Gamma (T^{*}M\otimes E){\overset {\nabla }{\to }}\Gamma (T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes E){\overset {g}{\to }}\Gamma (E){\overset {\times (-1)}{\to }}\Gamma (E)}
∇ ∗ {\displaystyle \nabla ^{*}} と書く。ここで Γ ( E ) {\displaystyle \Gamma (E)} はEに値を取るテンソル場の集合である。すると
Δ B α := ∇ ∗ ∇ α {\displaystyle \Delta ^{B}\alpha :=\nabla ^{*}\nabla \alpha }
が成立する。
P r c ( 0 ) ( d d t v → ( t ) ) {\displaystyle \mathrm {Pr} _{c(0)}\left({d \over dt}{\vec {v}}(t)\right)} = d v k ( t ) d t ∂ y → ∂ x k + v k ( t ) d x j ( t ) d t Γ j k i ∂ y → ∂ x i {\displaystyle ={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}\Gamma _{jk}^{i}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}} = ( d v i ( t ) d t + Γ j k i d x j ( t ) d t v k ( t ) ) ∂ y → ∂ x i {\displaystyle =\left({dv^{i}(t) \over dt}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\right){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}}
同様に X = X i ∂ ∂ x i {\displaystyle X=X^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} 、 Y = Y i ∂ ∂ x i {\displaystyle Y=Y^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}} とすると、以下が成立する:
定理 ―
∇ X Y = ( X j ∂ Y i ∂ x j + X j Y k Γ j k i ) ∂ ∂ x i {\displaystyle \nabla _{X}Y=\left(X^{j}{\partial Y^{i} \over \partial x^{j}}+X^{j}Y^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}} ...(3)
1 2 #Andrews Lecture 8 p.74, Lecture 10 p.98.
1 2 #新井 p.304.
1 2 #Tu p.45.
↑ #Andrews Lecture 10, p.2.
↑ #Tu p.45.
↑ #Tu p.49.
↑ #Tu pp.56-58.
↑ #Tu p.46.
↑ #Piccione p.167.
1 2 #Tu p.263.
↑ #Tu p.113.
↑ #Spivak p.251.
↑ #小林 p.72.
↑ #小林 p.38.
↑ #Tu p.80.
↑ #Tu p.103.
↑ #Tu p.138.
↑ #Tu p.130.
↑ #Tu p.131.
↑ #Berger p.227.
↑ #Tu p.118.
↑ #新井 p.324.
1 2 #Lee p.101.
↑ #新井 pp.324-326.
1 2 #佐々木 pp.89-91.
1 2 #新井 pp.329-331.
↑ #小林 p.43
1 2 #Gallier p.394.
↑ #Tu pp.204-207.
↑ #Kobayashi-Nomizu-1 p.135.
↑ #Kobayashi-Nomizu-1 p.145.
↑ #Viaclovsky p.12.
↑ Jeff A. Viaclovsky. “240AB Differential Geometry”. University of California, Irvine.
リーマン多様体 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 上の曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上定義されたM上のベクトル場 v ( t ) {\displaystyle v(t)} が
∇ d t v ( t ) = 0 {\displaystyle {\nabla \over dt}v(t)=0}
を恒等的に満たすとき、 v ( t ) {\displaystyle v(t)} は c ( t ) {\displaystyle c(t)} 上平行であるという。
とくに点 u ∈ M {\displaystyle u\in M} からu自身までのM上の閉曲線 c ( t ) {\displaystyle c(t)} に沿って一周する場合、接ベクトル v ∈ T u M {\displaystyle v\in T_{u}M} を平行移動した元を φ c ( v ) {\displaystyle \varphi _{c}(v)} と書くことにすると、
H o l ( ∇ , P ) := { φ c ∣ c {\displaystyle \mathrm {Hol} (\nabla ,P):=\{\phi _{c}\mid c} はPからP自身までの区分的になめらかな閉曲線 } {\displaystyle \}}
は(合成関数で積を定義するとき) T u M {\displaystyle T_{u}M} 上の回転群の(閉とは限らない)部分リー群になる。 H o l ( ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (\nabla ,P)} をレヴィ-チヴィタ接続∇に関するホロノミー群(英語版)(英: holonomy group)という。Mが弧状連結であれば H o l ( ∇ , P ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (\nabla ,P)} は点Pによらず同型である。