汎函数微分
函数とその導函数を含む式の積分として書けるような、よくあるクラスの汎函数に対して、その汎函数微分に関する公式を挙げる。これはオイラー-ラグランジュ方程式の一般化であり、実際、物理学において汎函数微分は、ラグランジュ力学の最小作用原理から第二種ラグランジュ方程式の導出の中で導入された(18世紀)。以下の最初の三つの例は密度汎函数論(20世紀)から、四番目は統計力学(19世紀)からのものである。
1935年にフォン・ヴァイツゼッカーは、分子の電子雲についてより適切になるように、トマス-フェルミ運動エネルギー汎函数に勾配を加味して修正した
T W [ ρ ] = 1 8 ∫ ∇ ρ ( r ) ⋅ ∇ ρ ( r ) ρ ( r ) d r = 1 8 ∫ ( ∇ ρ ( r ) ) 2 ρ ( r ) d r = ∫ t [ ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) ] d r {\displaystyle T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho ({\boldsymbol {r}})\cdot \nabla \rho ({\boldsymbol {r}})}{\rho ({\boldsymbol {r}})}}d{\boldsymbol {r}}={\frac {1}{8}}\int {\frac {(\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))^{2}}{\rho ({\boldsymbol {r}})}}\,d{\boldsymbol {r}}=\int t[\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}})]d{\boldsymbol {r}}}
を用いることを提唱した。そうすると、この TW[ρ] は電荷密度 ρ およびその勾配 ∇ρ にも依存するので、