レーン＝エムデン方程式
レーン=エムデン方程式を導出するため、系が球対称であり静水圧平衡が成立することを仮定する。そのような系では、圧力勾配による外向きの力と、万有引力による内向きの力が釣り合うので
1 ρ d P d r = − G m r 2 {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}}
が成立する(静水圧平衡の式)。ここでm はr の関数であり、原点を中心とする半径r の球の中に含まれる質量を表す。すなわちm とρの間には
m ( r ) = ∫ 0 r 4 π r 2 ρ ( r ) d r {\displaystyle m(r)=\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\rho (r)dr\,}
d m d r = 4 π r 2 ρ {\displaystyle {\frac {dm}{dr}}=4\pi r^{2}\rho \,}
の関係がある。そのため、静水圧平衡の式の両辺にr を掛けてからr で微分すると
d d r ( r 2 ρ d P d r ) = − G d m d r = − 4 π G r 2 ρ {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({{\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}}\right)=-G{\frac {dm}{dr}}=-4\pi Gr^{2}\rho }
↑ Lane, Jonathan Homer (1870), “On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment”, The American Journal of Science and Arts, 2nd series 50: 57–74