圏同値
数学、とりわけ圏論において、圏同値(けんどうち、英: equivalence of categories)とはふたつの圏が「本質的には同じである」という関係のことをいう。 多くの分野で圏同値の例がある。 圏同値を示すことで、対象になっている数学的な構造の間に強い相関関係があることがわかる。 場合によっては、その構造は表面的には無関係に見えるので、圏同値は有用である; つまりある定理を異なる数学的構造の定理に「翻訳」できることがある。
もしある圏が別の圏の双対圏と圏同値ならば、ふたつの圏は双対同値と言い、圏双対について論じることができる。
圏同値は圏の間の「可逆な」関手から成る。 しかしながら代数的な設定の下における同型とは異なり、関手とその「逆関手」の合成が恒等写像である必要はない。 その代わりに各対象が合成の像と自然同型であればよい。 そのため、このことはふたつの関手が「同型を除いて逆関手」であると言われたりする。 実際に圏同型(英語版)という概念もあり、こちらは本当に関手が逆関手であることを要求するが、圏同値の概念に比べると実用性を欠く。
形式的には、ふたつの圏 C と D の圏同値はふたつの関手 F : C → D, G : D → C とふたつの自然同型 ε : FG → ID, η : IC → GF から成る。 ここで FG : D → D, GF : C → C はそれぞれ F と G の合成を表し、IC, ID は圏 C, D 上の恒等関手を表す。 もし F, G が反変関手のときは、代わりに圏双対と言う。
実際には上のすべての情報が指定されないこともしばしばである。 たとえば、ふたつの圏 C, D の間に圏同値(圏双対)があるときに、圏 C, D は圏同値 (圏双対)であると言ったりする。 さらに逆関手 G や自然同型 ε, η が存在するときに、関手 F が圏同値であると言ったりもする。 しかし関手 F に関する知識から普通は逆関手 G と自然同型 ε, η を復元することはできず、いくつもの可能性が残ることがある。