商体
R を、零因子を持たず、少なくとも一つの非零元 e を持つ可換環という意味での整域とする。R に対する分数全体の成す体 Quot(R) は、以下のようにして得られる。
Quot(R) (の台集合)は、 R の元 n と R の非零元 d ≠ 0 からなる対 (n, d) の全体に
対 (n, d) が対 (m, b) と同値となるのは R の元として nb = md が成立するときであり、かつそのときに限る
と定義される同値関係を入れたとき、その同値類全体の成す集合である。ここで (n, d) の属する同値類を n/d と記す(n/d が所期の分数であると考えることができる)。ふたつの同値類 (n, d), (m, b) の和は (nb + md, bd) の属する同値類
n d + m b = n b + m d b d {\displaystyle {\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{bd}}}
とし、積は (mn, db) の属する同値類
n d ⋅ m b = m n b d {\displaystyle {\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {mn}{bd}}}
とする。この和と積に関して Quot(R) は環となる。R の元 n に対して (ne, e) を対応させる写像