余代数
( C , Δ , ε ) {\displaystyle (C,\Delta ,\varepsilon )} を余代数とする。 c ∈ C {\displaystyle c\in C} とすると、余積は
Δ ( c ) = ∑ i c i ⊗ c ~ i ( c i , c ~ i ∈ C ) {\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c^{i}\otimes {\tilde {c}}^{i}\quad (c^{i},{\tilde {c}}^{i}\in C)}
と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを
Δ ( c ) = ∑ c ( 1 ) ⊗ c ( 2 ) {\displaystyle \Delta (c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}}
と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:
C {\displaystyle C} を K {\displaystyle K} -余代数、 A {\displaystyle A} を K {\displaystyle K} -代数、とする。ここで f , g ∈ H o m K ( C , A ) {\displaystyle f,g\in \mathrm {Hom} _{K}(C,A)} の積を f ∗ g := m ∘ f ⊗ g ∘ Δ {\displaystyle f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta } 、即ち任意の c ∈ C {\displaystyle c\in C} に対して
( f ∗ g ) ( c ) = ∑ f ( c ( 1 ) ) g ( c ( 2 ) ) {\displaystyle (f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)}
で定める。 Δ {\displaystyle \Delta } が余結合的であることから積 ∗ {\displaystyle \ast } は結合的であることがわかる。