ラムゼー理論
ラムゼー理論における典型的な結果では、まず何らかの数学的構造が与えられ、次いでその構造がいくつかの断片へと分割される。その断片の少なくとも1つが所与の興味深い性質を持つためには、元の構造がどれだけ大きければよいのだろうか。この考えは分割の正則性(英語版)として定義される。
例えば、位数が n の完全グラフを考える。すなわち、そのグラフには n 個の頂点があり、全ての頂点が互いに辺により結ばれている。位数が3の完全グラフは三角形と呼ばれる。今、各辺の色を赤または青とする。赤または青一色の三角形があることを保証するには、n はどれだけ大きければよいか。答えは6である。厳密な証明はラムゼーの定理(英語版)に書かれている。
この結果は次のようにも表現できる。すなわち、少なくとも6人いれば、その中に、互いに知り合い(それぞれが他の二人を知っている)、もしくは互いに他人(それぞれが他の二人を知らない)であるような3人がいる。詳しくはパーティ問題(英語版)を参照のこと。
この結果はラムゼーの定理の特別な場合でもある。その定理は、任意の自然数 c と任意の自然数 n1, ..., nc に対し、ある数 R(n1, ..., nc) が存在して、位数 R(n1, ..., nc) の完全グラフの辺が c 種類の色に塗られているならば、1 以上 c 以下のある自然数 i に対して、全ての辺が i 番目の色で塗られている位数 ni の完全部分グラフが必ず含まれるというものである。