除法の原理
与えられた二つの整数 n および m ≠ 0 に対して、n = am + b (|b| < |m|) が成立するような整数 a および b が存在する
除法の原理(じょほうのげんり、英: division theorem)とは、「被除数と除数と呼ばれる二つの自然数に対して、商と剰余と呼ばれる二つの自然数が、与えられた性質を満たして一意に定まる」ことを示す算術における定理である。 たとえば、自然数 n および 0 でない自然数 m に対して、n = am + b (0 ≤ b < m)を満たす自然数 a, b の組がただ一つ存在することを示す。
除法の原理に基づき、自然数や整数に対する剰余付き除法(じょうよつきじょほう、英: division with remainder)を定義できる。剰余付き除法はユークリッド除法(ユークリッドじょほう、英: Euclidean division)、整除法(せいじょほう、英: entire division)とも呼ばれる。
剰余付き除法の商と剰余を求めるアルゴリズムが知られている。たとえば長除法は十進記数法(あるいは任意の位取り記数法)で表された整数に対するアルゴリズムである。
整数に対する除法の原理は、初等算術における定理の基盤であり、二整数の最大公約数を求めるユークリッドの互除法のような他の算法や整数の間のある種の合同関係を定める合同算術などに対する重要な要件になっている。
剰余付き除法は多項式などに対しても定義することができる。適当な意味において「被除数と非零除数が与えられたとき商と剰余が存在して剰余は除数よりも小さくできる」という「除法の原理」は、抽象代数学においても余り付き割り算の定義されるもっとも一般の数学的構造としてのユークリッド環に定義要件として明示的に要請される条件である。