離散時間フーリエ変換
DTFTの数値的評価では、有限長のシーケンスが明らかに必要とされる。実際、長いシーケンスは矩形窓関数で修正され、次のようになる。
X ( ω ) = ∑ n = 0 L − 1 x [ n ] e − i ω n {\displaystyle X(\omega )=\sum _{n=0}^{L-1}x[n]\,e^{-i\omega n}\,} , ここで L {\displaystyle L\,} は修正されたシーケンス長である。
これは、修正前のシーケンスのスペクトルの便利な近似として使われる。これによって解像度が悪くなるが、L を増やすことで改善される。
X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )} を (2π) の一周期上に一様に分布する任意の ( N ) {\displaystyle (N)} 個の周波数で評価するのが一般的である。
ω k = 2 π N k {\displaystyle \omega _{k}={\frac {2\pi }{N}}k\,} , ここで k = 0 , 1 , ... , N − 1 {\displaystyle k=0,1,\dots ,N-1\,}
これにより、次が得られる。
X [ k ] = X ( ω k ) = ∑ n = 0 L − 1 x [ n ] e − i 2 π k N n {\displaystyle X[k]=X(\omega _{k})=\sum _{n=0}^{L-1}x[n]\,e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}}
つまり X T ( f ) {\displaystyle X_{\mathrm {T} }(f)\,} は X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )\,} と同じである。
ここで、 f {\displaystyle f\,} は通常の周波数(単位時間当たりの周期数)であり、 f s {\displaystyle f_{s}\,} はサンプリング周波数(単位時間当たりの標本数)であるから、 f / f s {\displaystyle f/f_{s}\,} は「標本当たりの周期数」を意味する。これを正規化周波数(normalized frequency)と呼ぶ。上で定義されている ω {\displaystyle \omega \,} も正規化周波数だが、こちらの単位は「標本当たりのラジアン」である。正規化周波数は、期間 2 π {\displaystyle 2\pi } の周期を持つ関数 X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )} で表されるという特徴がある。そのため、逆変換では 2 π {\displaystyle 2\pi } の期間のみを評価すればよい。
その場合得られる関数のフーリエ変換は、 f s {\displaystyle f_{s}\,} の間隔で重ね合わせられた X ( f ) {\displaystyle X(f)\,} のコピーの総和である。
X T ( f ) = ∑ k = − ∞ ∞ X ( f − k f s ) {\displaystyle X_{\mathrm {T} }(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-{kf_{s}})}
以下で示すように、これは周期関数のDTFTである。そして、ある明白な条件下で、k=0 の項はほとんど全く他の項からの歪み(折り返し雑音)が観測されない。変調されたくし型関数は次の通りである。
x T ( t ) = T ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T ) δ ( t − n T ) {\displaystyle x_{\mathrm {T} }(t)=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\,\delta (t-nT)}
したがって、
このとき次が成り立つ。
x [ n ] = T ⋅ x ( n T ) {\displaystyle x[n]=T\cdot x(nT)\,} ω = 2 π f T = 2 π ( f f s ) {\displaystyle \omega =2\pi fT=2\pi \left({\frac {f}{f_{s}}}\right)\,}