井戸型ポテンシャル
ψ n ( x ) = 2 L sin  k n x = 2 L sin  n π x L {\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin k_{n}x={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}}
E n = ħ 2 k n 2 2 m = ħ 2 n 2 π 2 2 m L 2 {\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}{k_{n}}^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}n^{2}{\pi }^{2}}{2mL^{2}}}}
k n = n π L ( n ∈ N ) {\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}}\quad (n\in {\boldsymbol {N}})}
(波動関数は規格化を行った)となる。
結果から分かることは、エネルギーは連続的な値を取ることができず、離散化(量子化)されているということである。これは、量子論の大きな特徴である。
また、領域が狭くなるほどエネルギーが高くなることも大きな特徴である。これは、不確定性原理により、粒子の可動域が狭くなるにつれて運動量の標準偏差が大きくなるためと解釈されている。
波動関数の「節」の数が増加することによってもまたエネルギーは増加する。これは量子化学において分子軌道(特にポリアセチレンの共役π系のような軌道)を考察する際に参考にされる。
井戸型ポテンシャルの本質は一次元でほぼ説明が可能であるため、この場合を重点的に説明する。