パラコンパクト空間
パラコンパクト性は弱遺伝的 (weakly hereditary) である、すなわちパラコンパクト空間のすべての閉部分空間はパラコンパクトである。これは Fσ-部分空間にも同様に拡張できる。
正則空間はすべての開被覆が局所有限細分を持てばパラコンパクトである。(ここで細分は開であるとは要求されていない。)とくに、すべての正則リンデレーフ空間はパラコンパクトである。
(Smirnov metrization theorem) 位相空間が距離化可能であることとパラコンパクト、ハウスドルフ、かつ局所距離化可能であることは同値である。
Michael の選択定理 は次のようなものである。X からバナッハ空間の空でない閉凸部分集合の中への下半連続多価函数が連続選択子を持つことと X がパラコンパクトであることは同値である。
パラコンパクト空間の積はパラコンパクトであるとは限らないが、次のことは正しい:
パラコンパクト空間とコンパクト空間の積はパラコンパクトである。
メタコンパクト空間(英語版)とコンパクト空間の積はメタコンパクトである。
これらの結果は両方とも有限個のコンパクト空間の積がコンパクトであることの証明に使われる tube lemma によって証明できる。
最後に、この被覆が局所有限であることを確認するために、x ∈ X を固定し、N を x の近傍とする。各 U に対し W U ⊆ U {\displaystyle W_{U}\subseteq U} であることを知っている。O は局所有限であるから、 there are only finitely many sets U 1 , . . . , U k {\displaystyle U_{1},...,U_{k}} having non-empty intersection with N {\displaystyle N} . Then only sets W U 1 , . . . , W U k {\displaystyle W_{U_{1}},...,W_{U_{k}}} have non-empty intersection with N {\displaystyle N} , because for every other U ′ {\displaystyle U'} we have N ∩ W U ′ ⊆ N ∩ U ′ = ∅ {\displaystyle N\cap W_{U'}\subseteq N\cap U'=\varnothing }
補題 2 の証明 — 補題 1 を適用して、 f U : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f_{U}:X\to [0,1]\,} を連続写像で f U ↾ W ̄ U = 1 {\displaystyle f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,} かつ supp  f U ⊆ U {\displaystyle \operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,} とする(正規空間(パラコンパクトハウスドルフ空間は正規である)の互いに素な閉集合に対するウリゾーンの補題によって)。