共動距離と固有距離
v rec {\displaystyle v_{\text{rec}}} は宇宙の膨張による後退速度(ハッブルの法則によって与えられる速度)、 v pec {\displaystyle v_{\text{pec}}} は、ローカルの観測者によって測定された固有速度である( v rec = a ̇ ( t ) χ ( t ) {\displaystyle v_{\text{rec}}={\dot {a}}(t)\chi (t)} , v pec = a ( t ) χ ̇ ( t ) {\displaystyle v_{\text{pec}}=a(t){\dot {\chi }}(t)} :ドットは一次導関数を示す)。つまり光の場合はc(光が原点にある私たちの位置に向かって放射される場合は-c 、私たちから離れる方向に放射される場合は+c)に等しいが、トータルの速度は一般にcとは異なる。特殊相対性理論でも、光の座標速度は慣性系でcであることが保証されているだけである。非慣性系では、座標速度はcと異なる場合がある。一般相対性理論では、曲がった時空の広い領域では「慣性系」となる座標系はないが、曲がった時空の任意の点の局所的な近傍では、局所的な光の速度がcである「局所慣性系」を定義できる。質量をもつあらゆる物体の局所速度は常にcより小さい。また、遠方の物体の速度を定義するために使用される宇宙論的定義は座標に依存する。一般相対性理論では、遠方の物体間の速度について、座標に依存しない一般的な定義はない。宇宙の膨張が最大規模で光速を超えて進行している(または少なくとも進行していた)可能性が非常に高いことをどのように説明し広めるかは、多少の論争を引き起こしている。そして、1つの見解がDavisとLineweaverによって2004年に示されている。
χ = { | κ | − 1 / 2 sinh − 1  | κ | r , if κ < 0 (a negatively curved ‘hyperbolic’ universe) r , if κ = 0 (a spatially flat universe) | κ | − 1 / 2 sin − 1  | κ | r , if κ > 0 (a positively curved ‘spherical’ universe) {\displaystyle \chi ={\begin{cases}|\kappa |^{-1/2}\sinh ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{if }}\kappa <0\ {\text{(a negatively curved ‘hyperbolic’ universe)}}\\r,&{\text{if }}\kappa =0\ {\text{(a spatially flat universe)}}\\|\kappa |^{-1/2}\sin ^{-1}{\sqrt {|\kappa |}}r,&{\text{if }}\kappa >0\ {\text{(a positively curved ‘spherical’ universe)}}\end{cases}}}
ほとんどの教科書や研究論文は、共動観測者間の距離を、時間に依存しない一定の不変量であると定義し、一方、それらの間の動的に変化する距離を「固有距離」と呼んでいる。この用法では、共動距離と固有距離は、現時刻の宇宙年齢では数値的に等しいが、過去および未来では異なる。銀河までの共動距離を χ {\displaystyle \chi } と表すと、任意の時間の固有距離は次のように与えられる。
d ( t ) = a ( t ) χ {\displaystyle d(t)=a(t)\chi }
a(t)はスケールファクターである(例:Davis & Lineweaver 2004)。時刻tにおける2つの銀河間の固有距離d(t)は、その時刻で定規で測定される銀河間の距離である。