弾性衝突
m 1 c 2 1 − u 1 2 / c 2 + m 2 c 2 1 − u 2 2 / c 2 = m 1 c 2 1 − v 1 2 / c 2 + m 2 c 2 1 − v 2 2 / c 2 = E {\displaystyle {\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E}
2つの移動する物体を、総運動量が p T {\displaystyle p_{T}} 、総エネルギーが E {\displaystyle E} 、質量中心の速度が v c {\displaystyle v_{c}} の系として見ることができる。運動量中心系に相対的な総運動量はゼロに等しくなる。 v c {\displaystyle v_{c}} は以下の式で与えられる。
v c = p T c 2 E {\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}
特殊相対性理論によると、以下の式が成り立つ。
p = m v 1 − v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
ここで p は質量を有するあらゆる粒子の運動量を示し、v は速度、c は光速を示す。
総運動量が0に等しくなる運動量中心系(英語版)において、以下の式が成り立つ。
p 1 = − p 2 {\displaystyle p_{1}=-p_{2}}
p 1 2 = p 2 2 {\displaystyle p_{1}^{2}=p_{2}^{2}}
m 1 2 c 4 + p 1 2 c 2 + m 2 2 c 4 + p 2 2 c 2 = E {\displaystyle {\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E}
p 1 = ± E 4 − 2 E 2 m 1 2 c 4 − 2 E 2 m 2 2 c 4 + m 1 4 c 8 − 2 m 1 2 m 2 2 c 8 + m 2 4 c 8 2 c E {\displaystyle p_{1}=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}}