多重線型写像
即ち k-重線型写像の k 個の引数の置換として定める(σ(τf) = (στ)f となることに注意せよ)とき、f ∈ Lk(E; F) が
対称であるとは、∀σ に対して σf = f となること;
反対称であるとは、∀σ に対して σf = sgn(σ)f となること
と述べられる。ここに sgn(σ) は置換 σ の符号である。
逆に、 S k {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}} の作用の平均化を行うことにより、対称化作用素
S : f ↦ S f := ∑ σ ∈ S k σ f {\displaystyle S\colon f\mapsto Sf:=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\sigma f}
および反対称化作用素
A : f ↦ A f := ∑ σ ∈ S k sgn  ( σ ) σ f {\displaystyle A\colon f\mapsto Af:=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\sigma f}
を定めれば、任意の k-重線型写像 f を対称化 Sf および反対称化 Af することができる。しばしばこれらの作用素が冪等であるようにするために、k! で割る文献もある(が、それは正標数の体では常に可能とは限らない)。
↑ Lang. Algebra. Springer; 3rd edition (January 8, 2002)
任意の双線型写像は多重線型写像である。例えば、ベクトル空間上の任意の内積や R のベクトルのクロス積は多重線型写像である。
行列の行列式は正方行列の列(あるいは行)の反対称多重線型関数である。
F: R → R が C 級関数であれば、その定義域の各点 p における F の k 階導関数は対称(英語版) k 重線型関数
D k f ( p ) : R m × ⋯ × R m → R n {\displaystyle D^{k}\!f(p)\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
と見ることができる。