スピン角運動量
..(G10)
SO(3) に関しては上述の性質を更に具体的に書き表す事ができる。3次元ベクトル x = (x, y, z) ∈ Rに対し、so(3)に属する行列Fxを
F x = ( 0 − z y z 0 − x − y x 0 ) ∈ s o ( 3 ) {\displaystyle F_{\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{pmatrix}}\in {\mathsf {so}}(3)} ...(G11)
と定義すると次が成立する:
exp(Fx) は x を軸とする回転行列で、回転角は軸に対しては右回りに ||x|| ラジアンである。 ...(G12)
[ F x , F y ] = F x × y {\displaystyle [F_{\mathbf {x} },F_{\mathbf {y} }]=F_{\mathbf {x} \times \mathbf {y} }} ...(G13)
ここで「×」はクロス積である。G、HをSO(3)、U(V)、SU(V)のいずれかとし、 g {\displaystyle {\mathsf {g}}} 、 h {\displaystyle {\mathsf {h}}} をG、Hのリー環とする。(すなわち g {\displaystyle {\mathsf {g}}} 、 h {\displaystyle {\mathsf {h}}} はso(3)、u(V)、su(V)のいずれかである)。
したがって軌道角運動量演算子の定義において単純に L 2 ( R 3 ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3})} を Vs に置き換えてスピン角運動量演算子を定義しようとすると、SO(3) の Vs 上のユニタリ表現が必要となる。しかしながら、そのような表現は常に存在するわけではないことが知られている:
定理1 ― 次が成立する:
sが整数の場合、SO(3) の Vs 上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。
s が整数でない半整数の場合、SO(3) のVs 上の既約なユニタリ表現は存在しない。
すなわち上述した方法論では、s が半整数の場合に対してスピン角運動量演算子を定義する事ができない。この問題の解決方法は2つあり、後述するように2つは本質的に同値である。
射影ユニタリ表現を用いた解決
一つ目の解決方法は Vs を直接考えるのではなく、Vs の元を位相の相違を無視する同値関係
φ ∼ ψ {\displaystyle \phi \sim \psi } ⟺ d e f ∃ α ∈ [ 0 , 2 π ] : φ = e i α ψ {\displaystyle {\overset {def}{\iff }}\exists \alpha \in [0,2\pi ]~:~\phi =\mathrm {e} ^{i\alpha }\psi }
で割った空間
V s / ∼ {\displaystyle V_{s}/\sim }
を考え、同様にユニタリ演算子に対しても同様の同値関係