リーマンゼータ関数
{\displaystyle \zeta (8)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{8}}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407\dots }
ζ ( 10 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 10 = π 10 93555 = 1.000994 ... {\displaystyle \zeta (10)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{10}}}={\frac {\pi ^{10}}{93555}}=1.000994\dots }
ζ ( 12 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 12 = 691 π 12 638512875 = 1.000246 ... {\displaystyle \zeta (12)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{12}}}={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}=1.000246\dots }
ζ ( 14 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 14 = 2 π 14 18243225 = 1.0000612 ... {\displaystyle \zeta (14)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{14}}}={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}=1.0000612\dots }
が成り立つ。ここで、
ζ ( 2 n ) = η n π 2 n {\displaystyle \zeta (2n)=\eta _{n}\,\pi ^{2n}}
とおくと、
η 1 = 1 6 {\displaystyle \eta _{1}={\frac {1}{6}}}
この積分表示に対して、ベルヌーイ数の指数型母関数を f (x) とおき、さらに、
g ( s ) = ∫ 0 1 x s − 1 e x − 1 d x + ∫ 1 ∞ x s − 1 e x − 1 d x {\displaystyle g(s)=\int _{0}^{1}\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x+\int _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}
のように記述すれば、
g ( s ) = ∫ 0 ∞ x s − 2 f ( x ) d x {\displaystyle g(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-2}\,f(x)\,{\rm {d}}x}
であり、g (s) は Re s > 1 で収束する。これに部分積分を適用すると、
g ( s ) = [ x s − 1 s − 1 f ( x ) ] 0 ∞ − 1 s − 1 ∫ 0 ∞ x s − 1 f ′ ( x ) d x {\displaystyle g(s)={\Biggl [}{\dfrac {x^{s-1}}{s-1}}\,f(x){\Biggr ]}_{0}^{\infty }-{\frac {1}{s-1}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,f'(x)\,{\rm {d}}x}
が得られる。
と変形して、先の式に代入すると
log  ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ p 1 p n s = s ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ p ∫ p n ∞ x − s − 1 d x = s ∑ n = 1 ∞ 1 n ∫ 1 ∞ π ( x 1 / n ) x − s − 1 d x {\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx=s\!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\int _{1}^{\infty }\!\!\pi (x^{1/n})\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x}
通常
Π ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n π ( x 1 / n ) {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\pi (x^{1/n})}