一様有界性
有界関数の一様収束列は、一様有界である。
すべての実数 x {\displaystyle x} と整数 n {\displaystyle n} に対して定義される関数 f n ( x ) = sin  n x {\displaystyle f_{n}(x)=\sin nx\,} の族は、1 によって抑えられ、一様有界である。
上の例の関数の導関数 f n ′ ( x ) = n cos  n x {\displaystyle f'_{n}(x)=n\,\cos nx} の族は、一様有界ではない。各 f n ′ {\displaystyle f'_{n}\,} は | n | {\displaystyle |n|\,} によって抑えられるが、 | n | ≤ M {\displaystyle |n|\leq M} をすべての整数 n {\displaystyle n} に対して満たすような実数 M {\displaystyle M} は存在しないからである。