収束級数
対象となる級数の各項は複素数であるものとし、 r = lim sup n → ∞ | a n | n {\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}} とする。
r < 1 ならば級数 Σan は収束し、r > 1 ならば級数は発散するが、r = 1 のときはこの判定法では収束するとも発散するとも判定することはできない。
比の判定法も冪根の判定法も、幾何級数の挙動と比べることに基づく判定法であり、これらの判定法が有効な場面というのも似通っている。実は、比の判定法が有効な(極限が存在して 1 ではない)とき、冪根判定法は常に有効だが、逆は正しくない。つまり冪根判定法のほうが適用範囲は広いのだが、実用上の問題として、よくある種類の級数に対してこのような冪根の極限を計算することは難しいことが多いという点がある。
1 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − 1 11 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 1 2 n − 1 = π 4 {\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{2n-1}}={\pi \over 4}}
すべての素数の逆数和は発散する。(n番目の素数を p n {\displaystyle p_{n}} とする)
1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 p n → ∞ {\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}\to \infty }
すべての三角数の逆数和は2に収束する。
1 1 + 1 3 + 1 6 + 1 10 + 1 15 + 1 21 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) 2 = 2 {\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+{1 \over 21}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\frac {n(n+1)}{2}}}=2}
すべての階乗数の逆数和は収束してネイピア数と等しい。
数列 (an) の各項が、別の数列 (bn) の各項と比較して、任意の n に対し 0 ≤ an ≤ bn が成り立つものとする。このとき ∑ bn が収束するならば ∑ an は収束する。 ∑ an が発散するならば ∑ bn は発散する。
の二つの命題が成り立つ。
交代級数の収束判定法は、 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}} の形の交代級数が、正値数列 (an) が単調減少で 0 に収束するならばもとの級数も収束する(十分条件)というものである。