アティヤ＝シンガーの指数定理
アティヤ=シンガーの指数定理(アティヤ=シンガーのしすうていり、Atiyah–Singer index theorem)とは、スピン多様体 の上の複素ベクトル束の間の楕円型微分作用素について、解析的指数と呼ばれる量と位相的指数と呼ばれる量とが等しいという定理である。解析的指数は与えられた楕円型微分作用素が定める偏微分方程式の解の次元を表す解析的な量であり、一方で位相的指数は微分作用素の主表象をもとにして多様体のコホモロジーを通じて定義される幾何的な量である。従って指数定理は解析学と幾何学という見かけ上異なった体系の間のつながりを与えているという意味で20世紀の微分幾何学における最も重要な定理ともいわれる。
本稿で述べる形の指数定理はマイケル・アティヤとイサドール・シンガーによって1963年に発表され、1968年に証明 が刊行された。
M をコンパクトな多様体、E, F を M 上の複素ベクトル束とし、楕円型微分作用素D: Γ(M, E ) → Γ(M, F) が与えられているとする。このときD はパラメトリックスをもつのでフレドホルム作用素と見なすことができ、dim(ker D) と dim(coker D) は有限になる。Dの解析的指数は Inda D = dim(ker D) − dim(coker D) と定められる。
n 変数 x1, ..., xnに関する 高々p 階の偏微分作用素
D = ∑ | α | ≤ p c α ( x 1 , ... , x n ) ∂ α 1 ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ α n ∂ x n α n {\displaystyle D=\sum _{|\alpha |\leq p}c_{\alpha }(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}
が与えられたとき、各 k について xkに関する偏微分作用素を新たな変数 ykに置き換えることで、2 n 個の変数x1, ..., xn, y1, ..., yn についての関数
∑ | α | ≤ p c α ( x 1 , ... , x n ) y 1 α 1 ⋯ y n α n {\displaystyle \sum _{|\alpha |\leq p}c_{\alpha }(x_{1},\ldots ,x_{n})y_{1}^{\alpha _{1}}\cdots y_{n}^{\alpha _{n}}}
が得られる。これは D の表象 (symbol) と呼ばれる。また、y変数に関する最高次の部分