微分
点 a における微分係数(および高階の微分係数)を表すには、(a) を添えたり | x = a を添えたりする。
例えば、
f ( n ) ( a ) = d n f d x n ( a ) = d n f d x n | x = a = D n f ( a ) = D n f | x = a = y ( n ) | x = a = d n y d x n | x = a {\displaystyle f^{(n)}(a)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(a)=\left.{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}\right|_{x=a}=D^{n}f(a)=\left.D^{n}f\right|_{x=a}=\left.y^{(n)}\right|_{x=a}=\left.{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}\right|_{x=a}}
である。
全微分を繰り返しとることは、高階のフレシェ微分(を R に特殊化したもの)として定式化することができる。つまり、k-階の全微分は D k f : R n → L k ( R n × ⋯ × R n , R m ) {\displaystyle D^{k}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\,\mathbb {R} ^{m})}
なる写像として解釈することができる。この写像は点 x ∈ R に対して、R から R への k-重線型写像の空間の元で、その点において f を(ある特定の明確な意味において)「最適」に k-重線型近似するものを割り当てる。
∂ k f ∂ x j 1 ∂ x j 2 ⋯ ∂ x j k ( a ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}\dotsb \partial x_{j_{k}}}}(a)}
および k 階偏導関数
∂ k f ∂ x j 1 ∂ x j 2 ⋯ ∂ x j k {\displaystyle {\frac {\partial ^{k}f}{\partial x_{j_{1}}\partial x_{j_{2}}\dotsb \partial x_{j_{k}}}}}
が定義される。
微分の順序交換については次が知られている。2変数関数 f(x, y) について、2階偏導関数 ∂f/∂x∂y, ∂f/∂y∂x がともに存在して、さらにいずれも点 a において連続ならば、
∂ 2 f ∂ x ∂ y ( a ) = ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( a ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}(a)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}(a)}
が成立する。2階偏導関数の連続性の仮定が満たされなければこの等式は一般には成立しない。n 変数関数の微分の順序交換についても同じことがいえる。
関数 f(x) が開区間 I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } において定義されているとする。そのとき、 a ∈ I {\displaystyle a\in I} に対し、極限
lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}
が存在するとき、f(x) は x = a において微分可能であるという(極限は有限確定値であることを要請する。すなわち、正の無限大や負の無限大であることは許容しない)。またそのとき、上記の極限を x = a における f(x) の微分係数とよび、f′(a) によって表す。
これにともない、f(x) のグラフ上の点 (a, f(a)) を通り傾き f′(a) をもつ直線のことを、f(x) のグラフの x = a における接線という。つまり、x = a における接線とは、y = f′(a)(x − a) + f(a) によって与えられる直線のことである。
上述の微分係数の定義に現れる分数
ただし、h ∈ R だから分母におけるノルムは R における標準ノルムであり、他方 f ′(a)h ∈ R であり分子のノルムは R の標準ノルムである。v が a を始点とするベクトルならば、f ′(a)v は f による v の押し出しと呼ばれ、f∗v とも書かれる。f の点 a における全微分係数 f ′(a) は a を始点とする任意のベクトル v に対して、線型近似公式
f ( a + v ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) v {\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }
が満足される。一変数の微分係数のときと同じく f ′(a) はこの近似の誤差が可能な限り最小となるように選ばれる。高次元の場合に、この線型近似公式が意味を持つためには f ′(a) は R のベクトルを R のベクトルへ写す線型写像でければならず、また f ′(a)v はその写像の v における値でなければならない。