有界変動函数
先の定義 1.2, 2.1, 2.2 において、大域可積分函数を考える代わりに局所可積分函数の空間 L 1loc (Ω) を考えれば局所有界変動函数の空間が定まる。具体的に、定義 2.2 に対してこのような考えを適用するとき、Ω の(有限次元線型空間の標準位相に関する)前コンパクト開部分集合 U ∈ Oc(Ω) における局所変動 (local variation) は
として定義され、対応する局所有界変動函数のクラスが
として定まる。
多変数の函数が有界変動であるとは、その超函数微分が有限(英語版)ラドン測度となるときに言う。より精確に: