円柱座標変換
N Δ 3 ( r , θ ) = ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ 0 ) ) × ( − ( ∂ Φ ∂ θ ) ( r , θ , ζ 0 ) ) ‖ ( ∂ Φ ∂ r ( r , θ , ζ 0 ) ) × ( − ( ∂ Φ ∂ θ ) ( r , θ , ζ 0 ) ) ‖ = − N ζ ( r , θ , ζ 0 ) = ( 0 0 − 1 ) {\displaystyle {{\mathbf {N} }_{{\Delta }_{3}}}(r,\theta )={\frac {\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta _{0})\right)\times \left(-\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,\zeta _{0})\right)}{\left\|\left({\frac {\partial \Phi }{\partial r}}(r,\theta ,\zeta _{0})\right)\times \left(-\left({\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,\zeta _{0})\right)\right\|}}=-{{\mathbf {N} }_{\zeta }}(r,\theta ,\zeta _{0})=\left({\begin{matrix}0\\0\\-1\\\end{matrix}}\right)} (3-2-14)
NΔ1 , NΔ2 , NΔ3 の定義域は、それぞれD1 , D2 , D3 である。ここで、Nθに平行なものがないことに注意されたい。
x -y -z 空間における運動を表す曲線c (t ) の速度ベクトルv(t ):
v ( t ) = ( d c d t ) ( t ) {\displaystyle v(t)=\left({\frac {dc}{dt}}\right)(t)} (8-2-1)
について以下が成立する。
( v x ( t ) v y ( t ) v z ( t ) ) = ( ( d x / d t ) ( t ) ( d y / d t ) ( t ) ( d z / d t ) ( t ) ) = ( cos  θ ( t ) − r ( t ) ⋅ ( ( d θ / d t ) ( t ) ) ⋅ sin  θ ( t ) sin  θ ( t ) − r ( t ) ⋅ ( ( d θ / d t ) ( t ) ) ⋅ cos  θ ( t ) ( d z / d t ) ( t ) ) {\displaystyle \left({\begin{array}{l}{v}_{x}(t)\\{v}_{y}(t)\\{v}_{z}(t)\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{l}(dx/dt)(t)\\(dy/dt)(t)\\(dz/dt)(t)\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\cos \theta (t)-r(t)\cdot ((d\theta /dt)(t))\cdot \sin \theta (t)\\\sin \theta (t)-r(t)\cdot ((d\theta /dt)(t))\cdot \cos \theta (t)\\(dz/dt)(t)\\\end{array}}\right)} (8-2-2)
であり、同様に、Nθ(r , θ, ζ) , Nζ(r , θ, ζ) についても、
円柱座標変換Φとは、
( x y z ) = Φ ( r , θ , ζ ) = ( r cos  θ r sin  θ ζ ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x\\y\\z\\\end{matrix}}\right)=\Phi (r,\theta ,\zeta )=\left({\begin{matrix}r\cos \theta \\r\sin \theta \\\zeta \\\end{matrix}}\right)} (1-1-1)
で表される、r -θ-ζ空間からx -y -z 空間への多変数ベクトル値関数のことである。式(1-1-1)で定義されたΦに相似変換、場合によっては正則なアフィン変換を施したものも、円柱座標変換ということがあるので、特に混乱が生じる場合には(1-1-1)で定義されたΦを標準的な円柱座標変換ということにする。
θ ( x , y , z ) = { tan − 1 ( y / x ) ( x > 0 , y > 0 ) π 2 ( x = 0 , y > 0 ) π + tan − 1 ( y / x ) ( x < 0 ) 3 π 2 ( x = 0 , y < 0 ) 2 π + tan − 1 ( y / x ) ( x = 0 , y < 0 ) {\displaystyle \theta (x,y,z)=\left\{{\begin{matrix}{{\tan }^{-1}}(y/x)&(x>0,y>0)\\{\frac {\pi }{2}}&(x=0,y>0)\\\pi +{{\tan }^{-1}}(y/x)&(x<0)\\{\frac {3\pi }{2}}&(x=0,y<0)\\2\pi +{{\tan }^{-1}}(y/x)&(x=0,y<0)\\\end{matrix}}\right.} (1-4-2)
円柱座標系は、以下の手順で、幾何学的に理解することもできる。
任意の点Pからxy平面に下した垂線の足をQとする。
線分OQの長さをrとする。
線分QPの長さをζとする。
x軸と線分OQのなす角度をθとする。
また、円柱座標系と円柱座標変換は、相互に逆変換となっている。