擬凸性
数学の多変数複素函数の理論において、擬凸集合(ぎとつしゅうごう、英: pseudoconvex set)は n 次元複素空間 C 内のある特殊なタイプの開集合である。擬凸集合が重要となるのは、それらが正則領域の分類に有用となるからである。
今
G ⊂ C n {\displaystyle G\subset \mathbb {C} ^{n}}
を領域、すなわち、開連結部分集合とする。G が擬凸(あるいは、ハルトークス擬凸)であるとは、すべての実数 x に対して
{ z ∈ G ∣ φ ( z ) < x } {\displaystyle \{z\in G\mid \varphi (z)<x\}}
が G の相対コンパクトな部分集合となるような、G 上のある連続多重劣調和函数 φ が存在することを言う。言い換えると、G が連続かつ多重劣調和なエグゾースチョン函数 (exhaustion function) を持つとき、その領域は擬凸である。
G が C(二階連続的微分可能)級の境界を持つとき、この概念はより簡単に扱えるレヴィ擬凸性となる。より具体的に、C 級の境界を持つ G には定義函数が存在することが示される。すなわち、G = {ρ < 0} および ∂G = {ρ = 0} を満たすような C 級の ρ: C → R の存在が示される。今、G が擬凸であるための必要十分条件は、すべての p ∈ ∂G と、p での複素接空間内の w, すなわち