土圧
P a = γ t H 2 c o s ( θ ) s i n ( θ − φ ) 2 s i n θ c o s ( θ − φ ) {\displaystyle P_{a}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {cos} (\theta )\mathrm {sin} (\theta -\phi )}{2\mathrm {sin} \theta \mathrm {cos} (\theta -\phi )}}\,\!}
先ほどと同様に上界定理を用いる。 ∂ P a ∂ θ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial P_{a}}{\partial \theta }}=0}
この方程式を解くと、 θ {\displaystyle \theta \,\!} は次のように得られる。 θ = π 4 + φ 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\,\!}
この時の主働土圧は次のように得られる。 P a = 1 2 γ t K a H 2 {\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{a}H^{2}\,\!} K a = t a n 2 ( π 4 − φ 2 ) {\displaystyle K_{a}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
すなわち、以下の関係を満たす時の θ {\displaystyle \theta \,\!} が最適解となり、その時の P p {\displaystyle P_{p}\,\!} がクーロンの受働土圧となる。 ∂ P p ∂ θ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial P_{p}}{\partial \theta }}=0}
クーロンの受働土圧は以下の通りである。 P p = 1 2 γ t K p H 2 {\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{p}H^{2}\,\!} K p = s i n 2 ( φ − α ) s i n 2 α s i n ( α − δ ) [ 1 − s i n ( φ + β ) s i n ( φ + δ ) s i n ( α − β ) s i n ( α − δ ) ] 2 {\displaystyle K_{p}={\frac {\mathrm {sin} ^{2}(\phi -\alpha )}{\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\alpha -\delta )\left[1-{\sqrt {\frac {\mathrm {sin} (\phi +\beta )\mathrm {sin} (\phi +\delta )}{\mathrm {sin} (\alpha -\beta )\mathrm {sin} (\alpha -\delta )}}}\right]^{2}\,}}\,\!}
W = γ t H 2 s i n ( α − θ ) s i n ( − α + β ) 2 s i n 2 α s i n ( θ − β ) {\displaystyle W={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}
つまり、クーロンの受働土圧は以下のように導かれる。 P p = γ t H 2 s i n ( α − θ ) s i n ( − α + β ) s i n ( θ + φ ) 2 s i n 2 α s i n ( θ − β ) s i n ( α − δ − θ − φ ) {\displaystyle P_{p}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}} θ {\displaystyle \theta \,\!} の最適解は極限定理の上界定理の考え方から P p {\displaystyle P_{p}\,\!} を最大とする時の θ {\displaystyle \theta \,\!} となる。