累乗数
方程式 x − y = a(a は与えられた自然数, x > 0, y > 0, m ≥ 2, n ≥ 2)は a のほかにもう一つの変数を固定すれば、有限個の解しか存在しないことが知られている。m, n のいずれかを固定した場合には、Schinzel と Tijdeman の一般的な不定方程式 y = P(x) に関する結果から従い、x, y のいずれかを固定した場合には一般の線形循環数列に関する Shorey と Tijdeman の結果から従う。
3, 7, 8, 15, ... など、1 を除く累乗数から 1 を引いた数の逆和は、1 になる。すなわち、
1 = ∑ p ∈ P ( 1 p − 1 ) = 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + ⋯ {\displaystyle 1=\sum \limits _{p\in \mathbb {P} }{\left({\frac {1}{p-1}}\right)}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}}+\cdots }
である。これは、ゴールドバッハ・オイラーの定理と呼ばれている。