捩率テンソル
捩率形式は、基礎多様体 M 上の接続形式の項で表現することもでき、接バンドルの標構 (e1,...,en) で書き出すことができる。接続形式はこれらの基底切断の共変外微分を形成する。
D e i = e j ω j i . {\displaystyle D{\mathbf {e} }_{i}={\mathbf {e} }_{j}\omega ^{j}{}_{i}.}
接バンドル(この標構に相対的な)ソルダー形式(英語版)(solder form) は、ei の双対基底 θ ∈ TM であり、θ(ej) = δj (クロネッカーのデルタ) となる。従って、捩れ 2-形式は、成分
Θ k = d θ k + ω k j ∧ θ j = T k i j θ i ∧ θ j {\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+\omega ^{k}{}_{j}\wedge \theta ^{j}=T^{k}{}_{ij}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}}
を持っている。
右端の式において、
T k i j = θ k ( ∇ e i e j − ∇ e j e i − [ e i , e j ] ) {\displaystyle T^{k}{}_{ij}=\theta ^{k}(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}])}