代数体
共役体 K ( i ) {\displaystyle K^{(i)}} が実数の部分体すなわち θ ( i ) {\displaystyle \theta ^{(i)}} が実数であるとき、 K ( i ) {\displaystyle K^{(i)}} を実共役体 (real conjugate field)という。そうでない場合、虚共役体 (imaginary conjugate field)という。
K の共役体のうち、実共役体の個数を r 1 {\displaystyle r_{1}} 、虚共役体の個数を r 2 {\displaystyle r_{2}} とすると、 n = r 1 + r 2 {\displaystyle n=r_{1}+r_{2}} であり、 r 2 {\displaystyle r_{2}} は偶数である。
K の全ての共役体が実共役体であるとき、K を総実体 (totally real field) または総実代数体という。また、全ての共役体が虚共役体であるとき、K を総虚体 (totally imaginary field) または総虚代数体という。
↑ algebraic number field が代数的数全体の成す体(the field of algebraic numbers; 有理数体 Q の代数閉包)の意味で用いられることがある。それを日本語で代数的数体と呼ぶ場合があるが、代数的数体を代数体と同義(本項に扱う内容)で用いることもある。また本項で言う意味で algebraic number field を number field(数体)と呼ぶ場合もあるが、number field(数体)はより広く「複素数体の部分体」というで用いられる場合が多いため紛らわしい。
↑ 分数イデアルの条件 1, 2 を満たす、 O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} の部分集合 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} のこと。
↑ Δ ( ... ) {\displaystyle \Delta (\ldots )} は、項目判別式 で定義された行列式。
↑ α ( j ) {\displaystyle \alpha ^{(j)}} は Q ( θ ( j ) ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\theta ^{(j)})} に含まれる α の共役数とする。
, r ) {\displaystyle (i=1,\ldots ,r)} に対して、 η i ′ = ρ a i 0 η 1 a i 1 ⋯ η r a i r {\displaystyle \eta '_{i}=\rho ^{a_{i0}}\eta _{1}^{a_{i1}}\cdots \eta _{r}^{a_{ir}}} ( ρ m = 1 , a i j ∈ Z ) {\displaystyle (\rho ^{m}=1,\ a_{ij}\in \mathbb {Z} )} と、 η 1 ′ , ... , η r ′ {\displaystyle \eta '_{1},\ldots ,\ \eta '_{r}} を η 1 , ... , η r {\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\ \eta _{r}} を用いて表したとき、 | a 11 ⋯ a 1 r ⋮ ⋱ ⋮ a r 1 ⋯ a r r | = ± 1 {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\cdots &a_{rr}\end{vmatrix}}=\pm 1} が成立することである。