エルンスト方程式
f ∇ 2 f = ∇ f ⋅ ∇ f − ρ − 2 f 4 ∇ ω ⋅ ∇ ω {\displaystyle f\nabla ^{2}f=\mathbf {\nabla } f\cdot \mathbf {\nabla } f-\rho ^{-2}f^{4}\mathbf {\nabla } \omega \cdot \mathbf {\nabla } \omega }
∇ ⋅ ( ρ − 2 f 2 ∇ ω ) = 0 {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\rho ^{-2}f^{2}\mathbf {\nabla } \omega )=0}
を満たすことが導かれる。 γ {\displaystyle \gamma } は他の関数が定まればアインシュタイン方程式の残りの成分から容易に特定できる。 ω {\displaystyle \omega } の代わりとなるポテンシャル b {\displaystyle b} を、 n {\displaystyle \mathbf {n} } を方位角方向の単位ベクトルとして
f − 2 ∇ b = − ρ − 1 n × ∇ ω {\displaystyle f^{-2}\mathbf {\nabla } b=-\rho ^{-1}\mathbf {n} \times \mathbf {\nabla } \omega }
によって導入することができる。 f {\displaystyle f} および b {\displaystyle b} からエルンストポテンシャル