ヘルムホルツ方程式
E ( r ) = A ( r ) e − j k z {\displaystyle E({\boldsymbol {r}})=A({\boldsymbol {r}})\,e^{-jkz}}
となる。ここで A は電場の複素振幅を表し、それに指数関数で表される正弦波的な変調がかかっている。
近軸の近似においては、電場の振幅 A と伝播方向の長さ z との間に一定の制限がかかる。それは
| ∂ A ∂ z | ≪ | k A | {\displaystyle \left|{\frac {\partial A}{\partial z}}\right|\ll |kA|}
と
| ∂ 2 A ∂ z 2 | ≪ | k 2 A | {\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}\right|\ll |k^{2}A|}
である。これらの条件は、光学軸(z 軸)と波数ベクトルk とがなす角度 θ が十分に小さく
sin  θ ≃ θ , tan  θ ≃ θ {\displaystyle \sin \theta \simeq \theta ,\quad \tan \theta \simeq \theta }
が成り立つことと同値である。
空間に関するヘルムホルツ方程式
( ∇ 2 + k 2 ) A = 0 {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=0}
の一般解は、変数分離によって求められる。
球座標では、一般解は
A ( r , θ , φ ) = ∑ k ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l { a l m j l ( k r ) + b l m n l ( k r ) } Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle A(r,\theta ,\phi )=\sum _{k}\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\{a_{lm}j_{l}(kr)+b_{lm}n_{l}(kr)\}\,Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}
と表される。この解は波動方程式や拡散方程式の空間部分の解から出てくる。ここで jl と nl は球ベッセル関数で、 Yl (θ, φ) は球面調和関数である。