ポントリャーギン双対
局所コンパクト可換群の双対群は抽象版のフーリエ変換が定義される空間として導入された。函数が L(G) に属すならば、フーリエ変換は ˆG 上の函数
f ^ ( χ ) = ∫ G f ( x ) χ ( x ) ̄ d μ ( x ) {\displaystyle {\hat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\;d\mu (x)}
として定義される。ここで積分は G 上のハール測度 μ に関するものである。
G 上の L-函数のフーリエ変換が、無限遠で消えるような ˆG 上の有界連続函数であることを示すのはそれほど難しくはない。
同様に ˆG 上の可積分函数の逆フーリエ変換は
g ˇ ( x ) = ∫ G ^ g ( χ ) χ ( x ) d ν ( χ ) {\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\hat {G}}g(\chi )\chi (x)\;d\nu (\chi )}
で与えられる。ここで積分は双対群 ˆG 上のハール測度 ν に関するものである。
位相群が局所コンパクト群となるのはその群の単位元 e がコンパクト近傍を持つときであり、かつそのときに限る。この条件は e を含む開集合 V で、その G の位相に関する閉包がコンパクトであるようなものが存在することを意味する。局所コンパクト群に関して最も特筆すべき事実のひとつは、それが(右不変)ハール測度と呼ばれる自然な測度を本質的にただひとつ持ち、それにより G の十分素性の良い部分集合の「大きさ」を測ることができるということにある。ここでいう「十分素性の良い部分集合」("sufficiently regular subset") というのはボレル集合、つまり G のコンパクト部分集合の全体が生成する完全加法族の元のことである。もう少し明確に述べれば、局所コンパクト群 G 上の右不変ハール測度 (right-invariant Haar measure) とは、G のボレル集合族上で定義される可算加法的測度 μ であって、G の各元 x と各ボレル集合 A に関して μ(Ax) = μ(A) が成り立つという意味で右不変であり、さらに適当な正則性 (regularity) 条件を満たすもののことである(詳細はハール測度の項を参照)。群がコンパクトであることとハール測度の有限性が同値であり、一般に正の定数倍の違いを除いて(右不変)ハール測度は一意的に存在する。コンパクト群や可換群の場合には右不変ハール測度は左不変でもあり、単にハール測度と呼ばれる。
可換群の場合と同様の非可換群 G に対する理論は存在しない。なぜならば、この場合表現の同型類の適切な双対対象は一次元表現だけを含むことはできず、群とはならないからである。非可換な場合への一般化として有効なものが圏論において存在し、淡中クライン双対性と呼ばれる。しかし、これは G 上のプランシュレル測度に関する問題に対処しなければならず、調和解析に関係するものからは話がそれてしまう。
他にも非可換群に対する双対理論の類似物は存在していて、いくつかは作用素環論の言葉で定式化されている。基本的な出発点は群 G の群環と双対群 G の関数環とが同型になっているということである。
局所コンパクト可換群 G 上の可積分函数全体の成す函数空間は畳み込みを積として多元環を成す。f, g を可積分函数とすれば、f と g との畳み込みは
( f ∗ g ) ( x ) = ∫ G f ( x − y ) g ( y ) d μ ( y ) {\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\,d\mu (y)}
で定義される。