点群
点群C3vのそれぞれの元の積を考えると、次のような表を作成することができる。
赤で示した部分は点群 C3 = {E, C3, C3} の積表になっている。
C3vの6つの元を分類する方法の1つとして剰余類がある。C3vの部分群として例えばH={E, σv1}を選び、それぞれの元に右からσv2とσv3を作用させると、Hσv2={σv2, C3}とHσv3={σv3, C3}が得られる。HとHσv2とHσv3は共通の元を持たず、C3vの全ての元はこの3つの集合で表されている。よって、
C 3 v = H + H σ v 2 + H σ v 3 {\displaystyle {\boldsymbol {C_{3v}}}=H+H\sigma _{v2}+H\sigma _{v3}}
それぞれの項を右剰余類と呼び、このようにC3vを分解することを、Hを法とする右剰余類分解と呼ぶ。
同様に左剰余類による分解もできる。
C 3 v = H + σ v 2 H + σ v 3 H {\displaystyle {\boldsymbol {C_{3v}}}=H+\sigma _{v2}H+\sigma _{v3}H}
このように右剰余類の個数と左剰余類の個数はともに3つで同じある。しかしHσv2≠σv2Hであり、一般的に右剰余類と左剰余類の内容は異なる(ただし後述の正規部分群を法とした場合は一致する)。