余因子行列
4次の場合は
adj  ( A ) = 1 6 I 4 ( ( tr  A ) 3 − 3 tr  A tr  A 2 + 2 tr  A 3 ) − 1 2 A ( ( tr  A ) 2 − tr  A 2 ) + A 2 ( tr  A ) − A 3 {\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\frac {1}{6}}I_{4}\left((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} A\operatorname {tr} A^{2}+2\operatorname {tr} A^{3}\right)-{\frac {1}{2}}A\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} A^{2}\right)+A^{2}\left(\operatorname {tr} A\right)-A^{3}}
上記の表示式は、A の固有多項式を効率良く求めることのできる、Faddeev–LeVerrier algorithmの最後の段階からも直接導出することができる。
( det A B ) A B ~ = ( det A ) I × ( det B ) I × A B ~ = ( det A ) I × B ~ B × A B ~ = B ~ × ( det A ) I × B × A B ~ = B ~ × A ~ A × B × A B ~ = B ~ A ~ × ( A B ) A B ~ = B ~ A ~ × det ( A B ) I = det ( A B ) B ~ A ~ {\displaystyle {\begin{aligned}(\det AB){\widetilde {AB}}&=(\det A)I\times (\det B)I\times {\widetilde {AB}}\\&=(\det A)I\times {\widetilde {B}}B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}\times (\det A)I\times B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}\times {\widetilde {A}}A\times B\times {\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\times (AB){\widetilde {AB}}\\&={\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\times \det(AB)I\\&=\det(AB){\widetilde {B}}{\widetilde {A}}\\\end{aligned}}}
両辺を多項式として det AB で割ると ~AB = ~B~A を得る。(証明終)
これより、行列の冪乗について次が成り立つ:
adj  ( A k ) = ( adj  A ) k {\displaystyle \operatorname {adj} (A^{k})=(\operatorname {adj} A)^{k}} (k は 0 以上の整数) A が正則なら、この等式は k が負の整数の場合についても成り立つ。