ランキン・セルバーグの方法
今日、保型形式の L-函数の大規模な積分表現があるが、しかし、2つの気になる注意事項がある。第一の注意事項は、どのような L-函数が積分表示を持つか、あるいは、どのようにして積分表示できる L-函数を見つけるかが全て明らかであるわけではないことである。新しい例を発見するには議論が必要であり、時間もかかることから、この方法は枯渇に近いことが懸念されている。第二の注意事項は、一般には展開の段階の後、局所積分を計算することが困難であるか不可能でさえあることである。これは積分が L-函数を表現していない(それに近いなにかを表現している)だけで、求めている解析的性質を持っているのかもしれない。
このようにして、L-函数が積分表現を持つことは、既に解かれている解析的性質を示すことはなく、残されている重要な解析的結果があるのかもしれない。にもかかわらず、少なくとも、L-函数は保型形式の積分の形式的な計算を通した代数的構成を持つことが確かとなり、有限個を除き全ての素点で L-函数は特別な L-函数のオイラー積を持つことが予想されている。多くの場合に、ラングランズ・シャヒーディの方法は、このことを補完するような情報をもたらす。