ローレンツ群
制限ローレンツ群はローレンツ群の単位元成分(英語版)であり、従って群内の連続曲線によって単位元と結ぶことができる。制限ローレンツ群はローレンツ群全体の連結な正規部分群であり、次元も同じ六次元である。
制限ローレンツ群は通常の空間回転とローレンツブースト(時間的方向を含む平面上の双曲回転(英語版)と考えることができる)により生成される。全ての固有順時ローレンツ変換は回転(三つの実パラメータ(英語版)で記述される)とブースト(やはり三つの実パラメータで記述される)の積で書くことができ、任意の固有順時ローレンツ変換の記述には六つの実パラメータが必要となる。これはローレンツ群が六次元であることを理解する一つの方法である。(リー代数の節も参照。)
回転全ては通常の回転群 SO(3)(英語版)と同型なリー部分群を成す。しかし、ブーストを二つ組み合わせても一般にはブーストにはならないため、ブースト全ては部分群を成さない(むしろ、二つの非共線なブーストはブーストと回転の組み合わせに相当し、トーマス回転(英語版)に関連付けられる)。ある方向へのブーストもしくはある軸周りの回転は、1パラメータ部分群(英語版)を生成する。
を指数関数に入れて次を得る。
exp  ( i θ 2 σ 2 ) = [ cos  ( θ / 2 ) − sin  ( θ / 2 ) sin  ( θ / 2 ) cos  ( θ / 2 ) ] {\displaystyle \exp \left({\frac {i\theta }{2}}\,\sigma _{2}\right)=\left[{\begin{matrix}\cos(\theta /2)&-\sin(\theta /2)\\\sin(\theta /2)&\cos(\theta /2)\end{matrix}}\right]}
この SL(2, C) の要素は(楕円型)メビウス変換の1パラメータ部分群の表現である。
ξ ↦ cos  ( θ / 2 ) ξ − sin  ( θ / 2 ) sin  ( θ / 2 ) ξ + cos  ( θ / 2 ) {\displaystyle \xi \mapsto {\frac {\cos(\theta /2)\,\xi -\sin(\theta /2)}{\sin(\theta /2)\,\xi +\cos(\theta /2)}}}
さらに次を得る。
d ξ d θ | θ = 0 = − 1 + ξ 2 2 {\displaystyle \left.{\frac {d\xi }{d\theta }}\right|_{\theta =0}=-{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}}
対応する C 上のベクトル場(立体射影の下の S の像と考えることができる)は
物理学および数学において、ローレンツ群 (ローレンツぐん、英: Lorentz group) は、(重力を除いた)全ての古典的な設定における物理現象を説明する基礎となる、ミンコフスキー時空上の全てのローレンツ変換が成す群である。ローレンツ群の名前はオランダ人物理学者ヘンドリック・ローレンツに因む。
ローレンツ変換の下では、次の法則および等式が不変に保たれる。
特殊相対論的運動法則
電磁気学におけるマクスウェル方程式
電子論におけるディラック方程式
そのため、多くのよく知られた自然界の基本法則に対応する対称性は、ローレンツ群によって表現することができる。