コーシー境界条件
また、次のような簡単な二階の偏微分方程式を定義する:
ψ x x + ψ y y = ψ ( x , y ) {\displaystyle \psi _{xx}+\psi _{yy}=\psi (x,y)\ }
定義域は二次元で、その境界はパラメトリック方程式
x = ξ ( s ) y = η ( s ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\xi (s)\\y&=\eta (s)\end{aligned}}}
により記述される。今、二階の常微分方程式と同じように、この偏微分方程式を解く際にも境界での関数の値と法線微分の値を知る必要がある。すなわち
ψ ( s ) {\displaystyle \psi (s)\ }
および
d ψ d n ( s ) = n ⋅ ∇ ψ {\displaystyle {\frac {d\psi }{dn}}(s)=\mathbf {n} \cdot \nabla \psi \ }
の値が、与えられた偏微分方程式の定義域の境界上の各点において定められていなければならない。ここで ∇ ψ ( s ) {\displaystyle \nabla \psi (s)\,} は関数の勾配を表す。コーシー境界条件はしばしば、ディリクレ境界条件とノイマン境界条件の「加重平均」であると言われる。ここでの加重平均(weighted average)は、統計学における加重平均(weighted mean)や加重幾何平均(英語版)、加重調和平均(英語版)とは区別される必要がある。
ψ ′ ( t ) + λ k ψ ( t ) = 0 {\displaystyle \psi '(t)+\lambda k\psi (t)=0\ }
である。境界条件が課されるなら、この常微分方程式の解は
ψ ( t ) = A e − λ k t {\displaystyle \psi (t)=Ae^{-\lambda kt}\ }
で与えられる。ここで A は初期条件により定義されるであろう定数である。空間に関する方程式は、再び変数分離法を用いて解くことが出来る。すなわち、 φ ( x , y ) = X ( x ) Y ( y ) {\displaystyle \phi (x,y)=X(x)Y(y)\ } をその方程式に代入し、両辺を X ( x ) Y ( y ) {\displaystyle X(x)Y(y)\ } で割り、計算することにより
Y ′′ Y + λ = − X ′′ X {\displaystyle {\frac {Y''}{Y}}+\lambda =-{\frac {X''}{X}}}
が得られる。この左辺は y {\displaystyle y\ } にのみ依存し、右辺は x {\displaystyle x\ } にのみ依存するため、両辺は定数と等しくなければならず、それを μ {\displaystyle \mu \ } とした場合
Y ′′ Y + λ = − X ′′ X = μ {\displaystyle {\frac {Y''}{Y}}+\lambda =-{\frac {X''}{X}}=\mu }
が得られる。したがって、上で定義したような境界条件の課される、常微分方程式のペアを得ることが出来る。