独立 (確率論)
日本産業規格では、「確率変数 X と Y が独立であるための必要十分条件は,その同時分布関数が,F(x, y) = F(x, ∞) ⋅ F(∞, y) = G(x) ⋅ H(y) と表されることである。ただし,G(x) = F(x, ∞) 及び H(y) = F(∞, y) は,それぞれ X 及び Y の周辺分布関数である。」と定義している 。
完全加法族の場合は、完全加法族の族 {Fλ} が独立であるとは、その任意の有限部分族
{ F λ 1 , F λ 2 , ... , F λ n } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{\lambda _{1}},{\mathcal {F}}_{\lambda _{2}},\dotsc ,{\mathcal {F}}_{\lambda _{n}}\}}
に対して、
P ( A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ) ⋯ P ( A n ) , ∀ A 1 ∈ F λ 1 , ∀ A 2 ∈ F λ 2 , ... , ∀ A n ∈ F λ n {\displaystyle P(A_{1}\cap A_{2}\cap \dotsb \cap A_{n})=P(A_{1})P(A_{2})\dotsm P(A_{n}),\quad {}^{\forall }A_{1}\in {\mathcal {F}}_{\lambda _{1}},{}^{\forall }A_{2}\in {\mathcal {F}}_{\lambda _{2}},\dotsc ,{}^{\forall }A_{n}\in {\mathcal {F}}_{\lambda _{n}}}
が成立することをいう。事象 A に対しては事象の生成する完全加法族 σ(A) とし、確率変数 X に対しては確率変数の生成する完全加法族 σ(X) とすると、完全加法族による定義は上に挙げた事象のまた確率変数の定義と一致する。またこれら3種類の対象の混ざった独立性も定義できる。
上の定義は P(B) = 0 のときにも対応しているので、通常は上の定義を用いる。事象が独立でないことを従属という。
一般に、(有限とは限らない)事象の族 {Aλ} が独立であるとは、その部分有限族 { Aλ1, Aλ2,..., Aλn} に対して
P ( A λ 1 ∩ A λ 2 ∩ ⋯ ∩ A λ n ) = P ( A λ 1 ) P ( A λ 2 ) ⋯ P ( A λ n ) {\displaystyle P(A_{\lambda _{1}}\cap A_{\lambda _{2}}\cap \dotsb \cap A_{\lambda _{n}})=P(A_{\lambda _{1}})P(A_{\lambda _{2}})\dotsm P(A_{\lambda _{n}})}
が成立することをいう。