極点
数学において、ある実ベクトル空間内の凸集合 S の頂点、端点あるいは極点(きょくてん、英: extreme point)とは、S の任意の二点を結ぶ開線分に含まれない点のことを言う。直観的に言えば、極点は S の頂点 (vertex) と見做すことのできるような点である。
クレイン=ミルマンの定理によると、S がある局所凸空間内で凸かつコンパクトであるなら、S はその極点集合の閉凸包であることが示されている。特に、そのような集合は極点を持つ。
クレイン=ミルマンの定理は局所凸位相ベクトル空間に対して述べられている。次の定理は、ラドン=ニコディム性を持つバナッハ空間に対して述べられる。
ジョラム・リンデンシュトラウス(英語版)の定理によると、ラドン=ニコディム性を持つバナッハ空間において、閉かつ有界な集合は極点を持つことが示されている(無限次元空間において、コンパクト性は、閉かつ有界よりも強い)。
ジェラルド・エドガーの定理によると、ラドン=ニコディム性を持つバナッハ空間において、閉かつ有界な集合はその極点集合の閉凸包であることが示されている。エドガーの定理はリンデンシュトラウスの定理を含むものである。
↑ Artstein (1980, p. 173): Artstein, Zvi (1980). “Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points”. SIAM Review 22 (2): 172–185. doi:10.1137/1022026. JSTOR 2029960. MR564562.