テトレーション
超平方根(英: super square root)は x の逆であり、二つの等価な表記 ssrt(x), √xs を持つ。
この関数は次のようなランベルトのW関数による表示を持つ。
s s r t ( x ) = e W ( l n ( x ) ) = l n ( x ) W ( l n ( x ) ) {\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=e^{W(\mathrm {ln} (x))}={\frac {\mathrm {ln} (x)}{W(\mathrm {ln} (x))}}}
またこの関数により、冪根と対数の間の鏡映的な関係が表れる。次の方程式は y = ssrt x のときに真となる。
x y = log y  x {\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}
平方根と同様に超平方根は一つとは限らない。ただし、平方根と異なり超平方根の個数を決定するのは容易とは言えない。一般に、e < x < 1 のとき x は二つの正の超平方根を 0 と 1 の間に持ち、1 < x のとき x は 1 より大きい一つの正の超平方根を持ち、0 < x < e のとき x は超平方根を実数の範囲で持たない。しかし上の式より、任意の x (≠ 1) は可算無限個の超平方根を複素数の範囲で持つことが従う。
超平方根はネットワークのクラスタサイズを決定するのに使用される。
定義より
n a = log a  { ( n + 1 ) a } {\displaystyle {}^{n}a=\log _{a}\left\{{}^{(n+1)}a\right\}}
が成り立つので、この関係を k ≤ 0 に対しても帰納的に拡張し
1 n = log n  ( 2 n ) = log n  ( n n ) = n log n  n = n 0 n = log n  ( 1 n ) = log n  n = 1 − 1 n = log n  ( 0 n ) = log n  1 = 0 {\displaystyle {\begin{array}{rclclcccc}{}^{1}n&=&\log _{n}\left({}^{2}n\right)&=&\log _{n}\left(n^{n}\right)&=&n\log _{n}n&=&n\\{}^{0}n&=&\log _{n}\left({}^{1}n\right)&=&\log _{n}n&&&=&1\\{}^{-1}n&=&\log _{n}\left({}^{0}n\right)&=&\log _{n}1&&&=&0\end{array}}}
と定義する。
ただし、定義できるのは n = −1 までで、log 0 が存在しないため n = −2 に対しては定義できず、従って n ≤ −2 に対して拡張できない。
ここで αn、 βn は十分速く減衰する実数列であり、少なくとも実軸の近くで A (z)、 B (z) を収束させるとする。
この関数 S は F と同様に最初の二つの条件 S (z + 1) = exp (S (z))、 S (0) = 1 を満たす。また αn、 βn が十分速く 0 に近づくとき、S は正の実軸近傍で解析的となる。しかし αn、 βn が全て 0 でない場合、S は新たに大量の特異点と不連続線を複素平面上に持つことになる。これは sin (z)、 cos (z) が虚軸に沿って指数関数的に増大するためである。これらの特異点は αn、 βn が小さければ小さいほど実軸から離れていくため、 S が正則であるためには全ての αn、 βn が 0となる、即ち S = F であればよい。
実解析上のテトレーションは一意的に定まらないので、複素平面への拡張は一意性に必要である。