積位相
位相空間の族 ( ( Xi , Oi ) ) i∈I の直積空間 ( X , O ) が与えられたとする。
直積空間 X は、射影と合わせて、次の普遍性によって特徴づけることができる。Y が位相空間で、すべての i ∈ I に対して fi : Y → Xi が連続写像であれば、ちょうど1つの連続写像 f : Y → X が存在して、すべての i ∈ I に対して、以下の図式が可換図式となる:
これは直積空間が位相空間の圏における積であることを示している。上の普遍性から写像 f : Y → X が連続であることと fi = pi o f がすべての i ∈ I に対して連続であることが同値であることが従う。多くの場合において component function fi が連続であることを確認する方が易しい。写像 f : Y → X が連続であるかどうかを確認することは通常より難しい。pi が連続であるという事実を何らかの方法で使おうとする。
任意の i ∈ I に対して、射影 pi : X → Xi は開写像である。逆は正しくない。W が直積空間の部分空間であってすべての Xi への射影が開であっても、W が X において開とは限らない。(例えば W = R×R \ (0,1)×(0,1) を考えよ。)pi : X → Xi は一般には閉写像でない。(例えば、2 つの R の直積空間 R×R について、U = { ( x, y )∈R×R | xy = 1 } は R×R の閉集合であるが、p1(U) = p2(U) = R \{0} は R の閉集合でない。)
直積空間における閉包と内部について次のことがいえる。