ルート系
既約ルート系はリー理論におけるいくつかの関連した対象を分類する,特に
以下を含む単純リー群(単純リー群一覧(英語版)を参照): 複素単純リー群; 付随する複素単純リー環; 中心で割って単純な単連結複素リー群.
各場合において,ルートは随伴表現の非零ウェイトである.
極大トーラス T をもつ単連結単純コンパクトリー群 G の場合には,ルート格子は自然に Hom(T, T) と同一視でき,コルート格子は Hom(T, T) とできる,ただし T は円周群である;Adams (1983) を参照.
例外型ルート系とそれらのリー群とリー環との関係は,E8(英語版), E7(英語版), E6(英語版), F4(英語版), G2(英語版) を参照.
ルート系が既約であるとは,2つの真の部分集合の和集合 Φ = Φ1 ∪ Φ2 であって,すべての α ∈ Φ1 と β ∈ Φ2 に対して (α, β) = 0 となるようなものに分割できないことをいう.
既約ルート系はイェヴゲニ・ディンキン(英語版)にちなんで名づけられているディンキン図形というグラフと対応する.これらのグラフの分類は単純な組合せ論であり,既約ルート系の分類をもたらす.
ルート系が与えられたとき,前の節にあるように単純ルートの集合 Δ を選ぶ.付随するディンキン図形の頂点は Δ のベクトルに対応する.ベクトルの直交しない各対の間に辺が描かれる.なす角度が 2π/3 ラジアンのときは,無向の一重辺であり,3π/4 のときは有向二重辺であり,5π/6 のときは有向三重辺である.「有向辺」という用語は二重・三重辺は短い方のベクトルを指す記号が付けられることを意味する.
Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (ロシア語) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.
ルート系 E7 は,E8 の固定された1つのルートに垂直な E8 のベクトル全部の集合である.ルート系 E7 は126個のルートを持つ.
ルート系 E6 は,E7 の固定された1つのルートに垂直な E7 のベクトル全部の集合ではない,実際,そのようにして D6 を得る.しかしながら,E6 は E8 の適切に選ばれた2つのルートに垂直な E8 の部分系である.ルート系 E6 は72個のルートを持つ.
特に便利な E8 格子の別の記述は,R のつぎのような全ての点の集合 Γ'8 である:
すべての座標は整数であり,座標の和は偶数である,あるいは,
すべての座標は整数でない半整数であり,座標の和は奇数である.
格子 Γ8 と Γ'8 は同型である;一方から他方へ,任意の奇数個の座標の符号を変えることによって行ける.格子 Γ8 は E8 の偶座標系と呼ばれることがあり,格子 Γ'8 は奇座標系と呼ばれることがある.
E8 に対する単純ルートの1つの選び方は,上のディンキン図形での頂点の順序によって行を順序づけた偶座標系において:
1 ≤ i ≤ 6 に対して αi = ei − ei+1 と
α7 = e7 + e6
( D7 に対する単純ルートの上の選び方)と
α8 = β0 = −1/2∑8i=1 ei = (−1/2, −1/2, −1/2, −1/2, −1/2, −1/2, −1/2, −1/2).