母関数
母関数を、形式的冪級数に対する演算・操作を用いるなどして(級数の形ではなく)閉じた形(英語版)の式で表すこともよく行われる。このような母関数の表示は、母関数の不定元を x とすれば、四則演算、母関数のx に関する微分、他の母関数へ代入すること、などを行った結果として得られる。これらの操作は関数に対しても定義されるものであるし、結果として得られる式もやはり x の関数であるかのように見える。実際、母関数を x の(十分小さい)具体的な値で評価することのできる関数として解釈することができる場合も少なくない(このとき、母関数の冪級数表示は、母関数の閉じた形の式のテイラー級数と解釈される)のであり、それがこの式が「母関数」と呼ばれる所以でもある。しかし、形式的冪級数は x に何らかの数値を代入したときに収束するかどうかは問題にしないのであって、母関数についてそのような関数としての解釈が可能であるということは必ずしも要求されるものではないし、同様に x の関数として意味を持つ式がいずれも形式的冪級数に対して意味を持つわけではない。
慣例的に母「関数」と呼ばれてはいるが、始域から終域への写像という関数の厳密な意味に照らして言えば母関数は関数ではなく、今日的には生成級数(母級数)と呼ぶこともしばしばである。
通常型母関数の間の乗法は、級数の離散畳み込み(コーシー積)を生じる。
多変数母関数(多変量生成関数)は、行と列の合計を与えられたとき、非負整数の分割表の数を実際に計算する際に生じる。表に r 個の行と c 個の列があり、行の合計が t 1 , ... t r {\displaystyle t_{1},\ldots t_{r}} 、列の合計が s 1 , ... s c {\displaystyle s_{1},\ldots s_{c}} とする。アービン・ジョン・グッド(英語版)によれば、次の式における x 1 t 1 ... x r t r y 1 s 1 ... y c s c {\displaystyle x_{1}^{t_{1}}\ldots x_{r}^{t_{r}}y_{1}^{s_{1}}\ldots y_{c}^{s_{c}}} の係数がその表の数である。
∏ i = 1 r ∏ j = 1 c 1 1 − x i y j {\displaystyle \prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{c}{\frac {1}{1-x_{i}y_{j}}}}