ディラック共役
ディラック共役(ディラックきょうやく, 英: Dirac adjoint)とは、場の量子論においてディラック・スピノールに対して定められる双対操作である。ディラック共役は、スピノールを組み合わせて作った量がよい振る舞いを示すよう、上手く形式化するために作られた。普通のエルミート共役は系のローレンツ対称性を欠くため、代わりにディラック共役が用いられる。
ここでガンマ行列の公式 1 = γγ とローレンツ代数の公式 γλγ = λ を用いると、ディラック共役の次のような変換性が得られる:
ψ ̄ → ψ ̄ ′ = ψ ̄ λ − 1 {\displaystyle {\bar {\psi }}\to {\bar {\psi }}'={\bar {\psi }}\lambda ^{-1}} .
この結果、ディラック共役 ψ を用いた ψψ は
ψ ̄ ψ → ψ ̄ ′ ψ ′ = ψ ̄ λ − 1 λ ψ = ψ ̄ ψ {\displaystyle {\bar {\psi }}\psi \to {\bar {\psi }}'\psi '={\bar {\psi }}\lambda ^{-1}\lambda \psi ={\bar {\psi }}\psi }
とローレンツ・スカラーの変換性を満足する。また ψγψ も自己共役となる:
( ψ ̄ γ μ ψ ) † = ψ ̄ γ μ ψ {\displaystyle \left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)^{\dagger }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi } .