ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
v ( x , t ) ∈ [ C ∞ ( R 3 × [ 0 , ∞ ) ) ] 3 , p ( x , t ) ∈ C ∞ ( R 3 × [ 0 , ∞ ) ) {\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}
ある定数 E ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle E\in (0,\infty )} が存在し、全ての t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} に対し ∫ R 3 | v ( x , t ) | 2 d x < E {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}dx<E} となる。
条件 1 は函数が滑らかで大域的定義されていることを意味し、条件 2 は解の運動エネルギーが大域的に有界であることを意味する。