三角関数の公式の一覧
加法定理から、正弦関数および余弦関数の以下の倍角公式が得られる。これらの式は16世紀のフランスの数学者フランソワ・ビエトによって示された。
sin  ( n θ ) = ∑ k = 0 n ( n k ) cos k  θ sin n − k  θ sin  ( 1 2 ( n − k ) π ) , cos  ( n θ ) = ∑ k = 0 n ( n k ) cos k  θ sin n − k  θ cos  ( 1 2 ( n − k ) π ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right),\\\cos(n\theta )&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)\end{aligned}}}
ここで (nk) は二項係数である。上記の和の最初の数項を明示すれば、以下の通りである。
sin  ( n θ ) = ( n 1 ) cos n − 1  θ sin  θ − ( n 3 ) cos n − 3  θ sin 3  θ + ⋯ , cos  ( n θ ) = ( n 0 ) cos n  θ − ( n 2 ) cos n − 2  θ sin 2  θ + ⋯ .
ƒ(x) と g(x) を以下のようなメビウス変換関数として定義する。
f ( x ) = ( cos  α ) x − sin  α ( sin  α ) x + cos  α , {\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}
g ( x ) = ( cos  β ) x − sin  β ( sin  β ) x + cos  β , {\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}
このとき以下が成り立つ。
f ( g ( x ) ) = g ( f ( x ) ) = ( cos  ( α + β ) ) x − sin  ( α + β ) ( sin  ( α + β ) ) x + cos  ( α + β ) . {\displaystyle f(g(x))=g(f(x))={\frac {(\cos(\alpha +\beta ))x-\sin(\alpha +\beta )}{(\sin(\alpha +\beta ))x+\cos(\alpha +\beta )}}.}
以下のように書くこともできる。
f α ∘ f β = f α + β . {\displaystyle f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.\,}
x = 10 ∘ {\displaystyle x=10^{\circ }} を入力すると、 tan  30 ∘ = tan  10 ∘ ⋅ tan  70 ∘ ⋅ tan  50 ∘ {\displaystyle \tan 30^{\circ }=\tan 10^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }\cdot \tan 50^{\circ }} から、 tan  50 ∘ ⋅ tan  60 ∘ ⋅ tan  70 ∘ = tan  80 ∘ {\displaystyle \tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ }} が成り立つのが分かる。
同様に、tanの5倍角・7倍角の公式から、
tan  5 x = tan  x ⋅ tan  ( 180 ∘ 5 + x ) ⋅ tan  ( 180 ∘ 5 − x ) ⋅ tan  ( 2 ⋅ 180 ∘ 5 + x ) ⋅ tan  ( 2 ⋅ 180 ∘ 5 − x ) {\displaystyle \tan {5x}=\tan {x}\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{5}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{5}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{5}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{5}}-x\right)}
tan  7 x = tan  x ⋅ tan  ( 180 ∘ 7 + x ) ⋅ tan  ( 180 ∘ 7 − x ) ⋅ tan  ( 2 ⋅ 180 ∘ 7 + x ) ⋅ tan  ( 2 ⋅ 180 ∘ 7 − x ) ⋅ tan  ( 3 ⋅ 180 ∘ 7 + x ) ⋅ tan  ( 3 ⋅ 180 ∘ 7 − x ) {\displaystyle \tan {7x}=\tan {x}\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {180^{\circ }}{7}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {2\cdot 180^{\circ }}{7}}-x\right)\cdot \tan \left({\frac {3\cdot 180^{\circ }}{7}}+x\right)\cdot \tan \left({\frac {3\cdot 180^{\circ }}{7}}-x\right)}
が成り立つ。
一般には、2項係数を使用したtanのn倍角の公式で
tan 2  θ = x {\displaystyle \tan ^{2}{\theta }=x} とおくと、