反発係数
反発係数が1となる衝突を(完全)弾性衝突という。弾性衝突では、運動量だけでなく運動エネルギーも保存している。
衝突で運動量と運動エネルギーの両方が保存するとき、反発係数が1になることは、以下のように示せる。
運動エネルギー保存の式として、
1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 v 1 ′ 2 + 1 2 m 2 v 2 ′ 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}{v_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{v_{2}}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}{v'_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{v'_{2}}^{2}}
⇔ 1 2 m 1 ( v 1 2 − v 1 ′ 2 ) = 1 2 m 2 ( v 2 ′ 2 − v 2 2 ) {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {1}{2}}m_{1}({v_{1}}^{2}-{v'_{1}}^{2})={\frac {1}{2}}m_{2}({v'_{2}}^{2}-{v_{2}}^{2})}
⇔ m 1 ( v 1 + v 1 ′ ) ( v 1 − v 1 ′ ) = m 2 ( v 2 ′ + v 2 ) ( v 2 ′ − v 2 ) {\displaystyle \Leftrightarrow m_{1}(v_{1}+v'_{1})(v_{1}-v'_{1})=m_{2}(v'_{2}+v_{2})(v'_{2}-v_{2})}
運動量保存の式として、