応力
を得る。J1、J2、J3は、ある応力状態において座標系に関わらず常に一定値となるので応力不変量(stress invariant)と総称される。それぞれ第一次応力不変量、第二次応力不変量、第三次応力不変量と呼ぶ。第一次応力普遍量、第三次応力不変量は、それぞれ応力テンソルの跡、行列式に等しい。応力不変量は以下のように表されることもある。
I = J1, II = σ1 + σ2 + σ3 = tr(σ), III = J3
ある点で最大主応力 σ1 が材料の降伏を決定するというのが最大主応力説である。すなわち、
σ 1 ≥ σ Y {\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{\mathrm {Y} }}
が降伏の条件である。ここで σY は材料の降伏応力である。最大主応力説はガラスなどの脆性材料で良く当てはまる。
λ 3 − J 1 λ 2 + J 2 λ − J 3 = 0 , J 1 = σ x + σ y + σ z , J 2 = σ x σ y + σ y σ z + σ z σ x − τ x y 2 − τ y z 2 − τ z x 2 , J 3 = σ x σ y σ z + 2 τ x y τ y z τ z x − σ x τ y z 2 − σ y τ z x 2 − σ z τ x y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda ^{3}-J_{1}\lambda ^{2}+J_{2}\lambda -J_{3}=0,\\&J_{1}=\sigma _{x}+\sigma _{y}+\sigma _{z},\\&J_{2}=\sigma _{x}\sigma _{y}+\sigma _{y}\sigma _{z}+\sigma _{z}\sigma _{x}-\tau _{xy}^{2}-\tau _{yz}^{2}-\tau _{zx}^{2},\\&J_{3}=\sigma _{x}\sigma _{y}\sigma _{z}+2\tau _{xy}\tau _{yz}\tau _{zx}-\sigma _{x}\tau _{yz}^{2}-\sigma _{y}\tau _{zx}^{2}-\sigma _{z}\tau _{xy}^{2}\end{aligned}}}
となる。一方、上式の根はσ1、σ2、σ3となるので、上式は以下のようも書き表せる。
0 = ( λ − σ 1 ) ( λ − σ 2 ) ( λ − σ 3 ) = λ 3 − ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) λ 2 + ( σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 ) λ − ( σ 1 σ 2 σ 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&=(\lambda -\sigma _{1})(\lambda -\sigma _{2})(\lambda -\sigma _{3})\\&=\lambda ^{3}-(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\lambda ^{2}+(\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1})\lambda -(\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3})\end{aligned}}}