ノルム剰余同型定理
(A) 滑らかな射影代数多様体のモチーフ的基本類を、モチーフ的球面からモチーフ的法束のトム空間(英語版) (Thom space) への射として構成すること。
(B) スティーンロッド代数(英語版)(Steenrod algebra)のモチーフ的類似の構成。
(C) 標数0の体上ではモチーフ的スティンロッド代数(英語版)(motivic Steenrod algebra) がモチヴィックコホモロジー(英語版)の二重安定なコホモロジー作用素全体を特徴付けることの証明。
(A)と(B)は2003年にヴォエヴォツキーにより開発された。1980年代後半から知られていた結果と合わせると、これらはミルナー予想を再証明するのに充分であった。
同じく2003年に、ヴォエヴォツキーは一般の場合の証明をほぼ含んだプレプリントをウェブ上に公開した。このプレプリントは最初の枠組みに従うものであったが、3つのステートメントの証明が残されていた。これらのステートメントのうち1つめと2つめはモチーフ的スティーンロッド代数の性質に関連していて、上記の(C)を必要としており、3つめは「ノルム多様体」に関する当時知られていなかった事実を必要とした。ノルム多様体に要求される性質は1997年にヴォエヴォツキーが定式化し、多様体自体は1998年から2003年にマーカス・ロスト(Markus Rost)により構成されていた。
体 k {\displaystyle k} において可逆な整数 l {\displaystyle \ell } に対し、自然な写像 ∂ : k ∗ → H 1 ( k , μ l ) {\displaystyle \partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{\ell })} が存在する。ここで μ l {\displaystyle \mu _{\ell }} は k {\displaystyle k} の分離閉包における1の l {\displaystyle \ell } -乗根のなす群であり、 H n ( k , − ) {\displaystyle H^{n}(k,{-})} は k {\displaystyle k} のガロアコホモロジーである。この写像は同型 k × / ( k × ) l ≅ H 1 ( k , μ l ) {\displaystyle k^{\times }/(k^{\times })^{\ell }\cong H^{1}(k,\mu _{\ell })} を導く。これがK-理論に関連していることの最初のヒントは、 k × {\displaystyle k^{\times }} が群 K 1 ( k ) {\displaystyle K_{1}(k)} であることである。テンソル積をとりカップ積を適用することで、写像 ∂ {\displaystyle \partial } は
∂ n : k × ⊗ ⋯ ⊗ k × → H n ( k , μ l ⊗ n ) . {\displaystyle \partial ^{n}:k^{\times }\otimes \cdots \otimes k^{\times }\rightarrow H^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n}).