群上の加群
任意の群 G に対して、アーベル群 Zは、自明な作用 g·a = a に関して G-加群である。
M を Z 上の二変数二次形式 f(x, y) = ax + 2bxy + cy(a, b, c は有理整数)全体の成す集合とし、G を Z 上の二次特殊線型群 SL(2, Z) とする。このとき、 g = ( α β γ δ ) {\displaystyle g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}} に対し、 ( g ⋅ f ) ( x , y ) := f ( ( x , y ) g ) = f ( α x + γ y , β x + δ y ) {\displaystyle (g\cdot f)(x,y):=f((x,y)g)=f(\alpha x+\gamma y,\beta x+\delta y)} と定めれば M は G-加群となる(ただし、(x, y)g は行列の積である)。この G-加群 M はガウスによって研究されたものである。
V が G の体 K 上の表現ならば、V は(V を加法に関するアーベル群と見て)G-加群である。