テンソル積
A ⊗ B := ( a i j B ) = ( a 11 B a 12 B ... a 21 B a 22 B ... ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle A\otimes B:=(a_{ij}B)={\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\dots \\a_{21}B&a_{22}B&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}
で表される。
より一般に、多重線型写像 f(x1, ..., xk), g(x1, ..., xm) に対して、それらのテンソル積は
( f ⊗ g ) ( x 1 , ... , x k + m ) = f ( x 1 , ... , x k ) g ( x k + 1 , ... , x k + m ) {\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m})}
なる多重線型写像として与えられる。
非負整数 r, s に対して (r, s)-型テンソル空間
T s r ( V ) = V ⊗ r ⊗ V ∗ ⊗ s {\displaystyle T_{s}^{r}(V)=V^{\otimes r}\otimes V^{*\otimes s}}
の r, s に関する無限直和(二重次数付き線型空間)としてのテンソル空間において、テンソル積は自然な同型
T q p ( V ) ⊗ T s r ( V ) → T q + s p + r ( V ) {\displaystyle T_{q}^{p}(V)\otimes T_{s}^{r}(V)\to T_{q+s}^{p+r}(V)}
の意味で次数付き双線型な乗法を定める。
ベクトル v と線型形式 f に関して、⟨v, f⟩ = f(v) は双線型であるから、テンソル積の普遍性によってテンソルの縮約と呼ばれる線型写像
T q p ( V ) → T q − 1 p − 1 ( V ) {\displaystyle T_{q}^{p}(V)\to T_{q-1}^{p-1}(V)}
が一意的に引き起こされる。これは成分でみれば、上下に現れる同じ添字の打ち消しを行うことに等しい。これはまた T と Tp との双対性
T p ( V ) = ( V ∗ ) ⊗ p ≅ ( V ⊗ p ) ∗ = ( T p ( V ) ) ∗ {\displaystyle T_{p}(V)=(V^{*})^{\otimes p}\cong (V^{\otimes p})^{*}=(T^{p}(V))^{*}}
を導く。
より具体的に書けば、部分空間 N は 適当な v1, v2 ∈ V, w1, w2 ∈ W, c ∈ K を用いて
(v1, w1) + (v2, w1) − (v1 + v2, w1),
(v1, w1) + (v1, w2) − (v1, w1 + w2),
c(v1, w1) − (cv1, w1), c(v1, w1) − (v1, cw1)
の何れかの形に書ける F(V × W) の元全体から生成される。商を取れば N の元は零ベクトルに写されるから、v ⊗ w := (v, w) mod N と書けば、この場合もやはり
( v 1 ⊗ w 1 ) + ( v 2 ⊗ w 1 ) = ( v 1 + v 2 ) ⊗ w 1 , ( v 1 ⊗ w 1 ) + ( v 1 ⊗ w 2 ) = v 1 ⊗ ( w 1 + w 2 ) , c ( v 1 ⊗ w 1 ) = ( c v 1 ) ⊗ w 1 = v 1 ⊗ ( c w 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(v_{1}\otimes w_{1})+(v_{2}\otimes w_{1})=(v_{1}+v_{2})\otimes w_{1},\\&(v_{1}\otimes w_{1})+(v_{1}\otimes w_{2})=v_{1}\otimes (w_{1}+w_{2}),\\&c(v_{1}\otimes w_{1})=(cv_{1})\otimes w_{1}=v_{1}\otimes (cw_{1})\end{aligned}}}
が満足されることがわかる。