楕円曲線
楕円曲線上には整数点は有限個しか存在しない。すなわちxが整数であるような E(Q) の点 P = (x, y) の集合は有限集合である。一般に種数が 1 以上の代数曲線には整数点は有限個しか存在しない。これはアクセル・トゥエ(英語版)がディオファントス近似に関する定理から特別の場合について証明し、ジーゲル(C. L. Siegel)が一般の場合について証明した。この定理は、x の座標の分母が有限個の素数によってのみ割ることのできる点へと一般化される。しかし、これらの定理は計算可能性を備えていない。ベイカーは超越数論の方法をつかい、種数1の代数曲線には有限個の整数点しか存在せず、それらは計算可能であることを示した。
定理は分かりやすく定式化できて、例えば、 によると、E のワイエルシュトラスの方程式が定数 H により有界付けられた整数係数を持つ方程式であれば、x も y も整数である E の点の座標 (x, y) は、
max ( | x | , | y | ) < exp  ( [ 10 6 H ] 10 6 ) {\displaystyle \max(|x|,|y|)<\exp \left(\left[10^{6}H\right]^{{10}^{6}}\right)}
を満たす。
特殊な場合にはより強い結果が成り立つことが知られている。たとえば k が 0 ではない整数で、 (x, y) が不定方程式
y 2 = x 3 + k {\displaystyle y^{2}=x^{3}+k}