概素数
↑ 「概素数」を素因数がちょうど二つであるような自然数、本項で言う 2-概素数、すなわち半素数の意味で用いている場合がある
↑ ここで K は現れる箇所において必ず決まった「定数」でなければならないが、現れる箇所ごとに異なっていてもよい。
↑ この分類において、クラス PK は包含的(K に対して単調増大)である。
1 2 二つの流儀の PK と Pk という明らかに異なるクラスの間で記号の衝突が起きている(K も k も任意の自然数)が、どちらの意味であるかは文脈を頼るべきである。いずれにせよ N = ⋃ K = 1 ∞ P K = ⋃ k = 1 ∞ P k {\textstyle \mathbb {N} =\bigcup _{K=1}^{\infty }P_{K}=\bigcup _{k=1}^{\infty }P_{k}} である。
↑ このように分類する場合、クラス Pk は排他的(i ≠ j ならば Pi ∩ Pj = ∅)である。
pi は 1 または素数であって必ずしも異なる必要はないものとし、K は自然数の定数として、自然数 n が
と書けるとき、n は概素数であると言う。K を具体的に一つ決めたとき、素因数の数が重複度を込めて高々 K であるような概素数全体の成すクラスを PK とすることがある。
上で「高々 K 個」としていた部分を「ちょうど k 個」と置き換えることもできる。すなわち
自然数 n が素数 pi(必ずしも異なる必要はない)と自然数の定数 k を用いて n = p 1 ⋯ p k {\displaystyle n=p_{1}\dotsb p_{k}} の形に書けるならば、n は概素数であるという。
そして具体的に k を一つ決めるごとに k-概素数の概念が定まる(上では「概素数」という名称を k の値を特定しない k-概素数の総称的な意味で用いているとも理解できる)。自然数 n が k-概素数となるための必要十分条件は、その素因数が重複度を込めてちょうど k 個となることである。k-概素数全体の成すクラスを Pk と書く。
Ω(n) を n の素因数分解に現れる(必ずしも相異ならない)素数の総数を与える数論的函数 Ω ( n ) := ∑ a i ( n = ∏ p i a i ) {\displaystyle \Omega (n):=\sum a_{i}\qquad (n=\prod p_{i}^{a_{i}})} とすれば、より具体的に「n が k-概素数であるための必要十分条件は Ω(n) = k となることである」と述べることができる。
自然数が素数となる必要十分条件はそれが 1-概素数となることであり、同様に半素数となるための必要十分条件はそれが 2-概素数となることである。
最小の k-概素数は 2 である。
n 以下の自然数 m でその素因子(相異なる必要はない)の数が高々 K 個(最初の定義の意味で m ∈ PK)であるようなものの数 πK(n) は
と漸近する(これはランダウの結果である)。ハーディ・ラマヌジャンの定理(英語版)も参照せよ。