アスコリ＝アルツェラの定理
定理の仮定は、一様有界な導函数を持つ一様有界な微分可能函数の列 { fn } に対して満たされる。実際、導函数が一様有界であれば、平均値の定理より、すべての x と y に対して次が成立する。
ここで K はその列に含まれる函数の導函数の上限であり、n に依存しない。したがって ε > 0 が与えられたとき、δ = ε/2K とすることで列の同程度連続性の定義を確かめることが出来る。これにより次の系が成り立つ:
{fn} を [a, b] 上で一様有界な実数値微分可能函数で、導函数 {fn′} も一様有界であるようなものの列とする。このとき、[a, b] 上で一様収束する部分列 {fnk} が存在する。
さらに二階導函数の列も一様有界であるなら、一階導函数も(部分列の違いを除いて)一様収束する。その他、連続的微分可能函数に対しても一般化が成立する。函数 fn は連続的微分可能で、その導函数 f′n は一様同程度連続かつ一様有界であり、列 { fn } は各点ごとに有界(あるいはただ一つの点で有界)とする。このとき、ある連続的微分可能函数に一様収束する { fn } の部分列が存在する。