ベルヌーイ数
一般ベルヌーイ数は代数的数で、ベルヌーイ数がリーマンゼータ函数の特殊値に関連する方法と同じ方法で、ディリクレの L-関数の特殊値に関連して定義される。
χ を mod f のディリクレ指標とすると、一般ベルヌーイ数 Bk,χ は、
∑ a = 1 f χ ( a ) t e a t e f t − 1 = ∑ k = 0 ∞ B k , χ t k k ! {\displaystyle \sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}}
により定義される。B1,1 = 1/2 を除き、任意のディリクレ指標 χ に対し、χ(−1) ≠ (−1) であれば、Bk,χ = 0 である。
正でない整数におけるリーマンゼータ関数の値とベルヌーイ数の間の関係を一般化し、全ての整数 k ≥ 1 に対し、
L ( 1 − k , χ ) = − B k , χ k {\displaystyle L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}}}
が成り立つ。ここに L(s, χ) は χ のディリクレの L-関数である。