シェファー列
その用語は F. Hildebrandt による)。
シェファー列 sn(x) とデルタ作用素を共有する唯一の二項型列 pn(x) に対し
s n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) p k ( x ) s n − k ( y ) {\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)s_{n-k}(y)}
が成り立つ(「シェファー列」を、適当な二項型列に対してこの関係式を満たすものとして定義することもある)。特に、 { sn(x) } がアペル列ならば
s n ( x + y ) = ∑ k = 0 n ( n k ) x k s n − k ( y ) {\displaystyle s_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}s_{n-k}(y)}
と書くことができる。エルミート多項式列 {Hn(x)} やベルヌーイ多項式列 {Bn(x)} および単項式列 { x : n = 0, 1, 2, ... } は、アペル列の例である。
シェファー列 pn は、次の指数型母関数によって特徴付けられる。
∑ n = 0 ∞ p n ( x ) n ! t n = A ( t ) exp  ( x B ( t ) ) . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}=A(t)\exp(xB(t)).}
(ただし A, B は、t についての(形式的)冪級数である)。従って、シェファー列は一般化アペル多項式の例であり、したがって付随する漸化式が存在する。