ビュフォンの麺
幾何学的確率論(英語版)の問題、ビュフォンの麺(ビュフォンのめん、英: Buffon's noodle)は、有名な問題ビュフォンの針(名称は18世紀を生きたジョルジュ=ルイ・ルクレール・ド・ビュフォンにちなむ)の変種である。ビュフォンが解いた問題は幾何学的確率論において最初に解決されたものであった。
この式は興味深いことに、針をどのように自由に折り曲げたとしても、一平面上に収まっている限りそのままである( P {\displaystyle P} は針が平行線と交わる回数の期待値に等しいが、この期待値が不変であるということ)。折り曲げを続けて針を「麺」— 剛性のある平面曲線にしてもよい。
ここで全長が平行線間の距離以下であるという仮定を外す。
麺が平行線群と交わる回数の確率分布はその形状に依存する。しかし、回数の期待値はそうではなく、麺の全長 L と平行線間の距離 D だけに依存する(麺は平行線群の中の1本と2回以上交わることができることに注意する)。
このことは次のようにして示せる。まず、麺が折れ線(英語版)、つまり n 本の線分から成っているとする。Xi を i 番目の線分が平行線群と交わる回数とする。これらの確率変数族は独立ではないが、独立でないときも期待値の加法性が成り立つので、