モジュラー群
( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
の行列式が1であるということは、分数 a/b, a/c, c/d, b/d がすべて既約であること、つまり、共通因子を持たないこと(もちろん分母が 0 ではないという条件で)を意味する。もっと一般的には、p/q が既約分数であれば、
a p + b q c p + d q {\displaystyle {\frac {ap+bq}{cp+dq}}}
も既約となる(繰り返すが、分母は 0 ではないという条件で)。既約分数の任意のペアは、このように関連つけることができる。つまり、任意の既約分数のペア p/q と r/s に対して、
r = a p + b q {\displaystyle r=ap+bq} と s = c p + d q {\displaystyle s=cp+dq}
となるような
( a b c d ) ∈ SL  ( 2 , Z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} (2,\mathbf {Z} )}
が存在する。
モジュラー群の元は、2次元の周期格子上の対称性をもたらす。 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} と ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} を 2つの比率が実数でないような 2つの複素数とすると、点の集合