重力ポテンシャル
質量 M {\displaystyle M} の点粒子が位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} につくる重力ポテンシャル Φ ( r ) {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}})} は、ニュートンの逆二乗則 g = − G M r / | r | 3 {\displaystyle {\boldsymbol {g}}=-GM{\boldsymbol {r}}/|{\boldsymbol {r}}|^{3}} により
Φ ( r ) = − G M | r | {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}})=-{\frac {GM}{|{\boldsymbol {r}}|}}}
と書ける。ここに G {\displaystyle G} は重力定数である。このとき重力ポテンシャルは常に負であり、 r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } で重力ポテンシャルはゼロに近づく一方、 r → 0 {\displaystyle r\to 0} でポテンシャルは r − 1 {\displaystyle r^{-1}} に比例して発散する。
g ( r ) = − ∇ Φ ( r ) {\displaystyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {r}})=-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi ({\boldsymbol {r}})}
逆に、重力ポテンシャル Φ {\displaystyle \Phi } は基準点(通常は無限遠点)から空間内の与えられた位置へ物体が重力だけの作用で移動したときに獲得する単位質量あたりのエネルギー (つまり重力がする仕事) の符号を反転したものであるとも解釈できる。
Φ ( r ) = − 1 m ∫ ∞ r F ( r ′ ) ⋅ d r ′ {\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {r}})=-{\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}')\cdot d{\boldsymbol {r}}'}
例えば一様重力場中では、重力加速度の向きを z 軸負の向きに選ぶとき (つまり鉛直上向きを z 軸とする)、重力ポテンシャル Φ {\displaystyle \Phi } は Φ ( z ) = g z {\displaystyle \Phi (z)=gz} により与えられる。従って高度差 Δ h {\displaystyle \Delta h} の二点間での質量 m {\displaystyle m} の物体の位置エネルギーの差 Δ U {\displaystyle \Delta U} は Δ U = m g Δ h {\displaystyle \Delta U=mg\Delta h} と書ける。