メリン変換
M ~ − 1 : L 2 ( − ∞ , ∞ ) → L 2 ( 0 , ∞ ) , { M ~ − 1 φ } ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ x − 1 2 − i s φ ( s ) d s {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds}
と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち ‖ M ~ f ‖ L 2 ( − ∞ , ∞ ) = ‖ f ‖ L 2 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}} がすべての f ∈ L 2 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )} に対して成立することが分かる(この性質のために係数 1 / 2 π {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}} が用いられている)。したがって、 M ~ {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} はユニタリ作用素である。
ここで d x {\displaystyle dx} は移動不変であり、したがって d ( x + a ) = d x {\displaystyle d(x+a)=dx} が成り立つ。
同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、
{ F f } ( s ) = { B f } ( i s ) = { M f ( − ln  x ) } ( i s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(is)}
が成立する。反対に
{ M f } ( s ) = { B f ( e − x ) } ( s ) = { F f ( e − x ) } ( − i s ) {\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)}
も成立する。メリン変換はまた、ニュートン級数(英語版)や二項変換(英語版)を、ポアソン-メリン-ニュートン・サイクル(英語版)の意味におけるポアソン母関数と結び付ける。