級数
1 n card ( A n ) ≤ ∑ i ∈ A n a i ≤ ∑ i ∈ I a i < ∞ {\displaystyle {\frac {1}{n}}{\textrm {card}}(A_{n})\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty }
となるから、有限集合であることがわかる(ここに card(A) は集合 A の濃度を表す)。I が可算無限集合で、I = {i0, i1, ..., ik, ...} と数え上げられるならば、先ほどの和の定義は
∑ i ∈ I a i = ∑ k = 0 ∞ a i k {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{i_{k}}}
を満たす(級数の値として無限大 ∞ を許す)。
非負実数で添字付けられる族の和は、非負値関数の数え上げ測度に関する積分として理解することができる。この二つの構成の間には多くの共通性が認められる。
添字集合を I = N とする。点列 (an)n∈N が位相アーベル群 X において無条件総和可能な族ならば、この点列は通常の意味でも収束し、同じ値の和
∑ n = 0 ∞ a n = ∑ n ∈ N a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}
を持つ。定義の仕方から、無条件総和可能性は和を取る項の順番によって値が変化することは無い。すなわち、∑ an が無条件総和可能ならば、添字集合 N 上で任意の置換 σ を施したものも収束し、
∑ n = 0 ∞ a σ ( n ) = ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}
が成り立つ。この逆もまた成立し、級数 ∑ an が任意の置換を施してもなお収束するならば、その級数は無条件収束する。
連続する項の比の絶対値が1より小さな極限を持つ級数は絶対収束し、逆に1より大きな極限を持つ級数は発散する。
ライプニッツの収束判定法が適用できるとき、打切り誤差(剰余項)を厳密に評価できる。この技法はベッセル関数にも適用できる。