線型回帰数列
係数体 K の二つのスカラー a および b ≠ 0 を固定して、線型漸化式
を満たす列の一般項が、K における特性多項式の根の値に従って、以下のように与えられることが示される。
λ r 1 n + μ r 2 n {\displaystyle \lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}} (ただし、r1, r2 は多項式 X − aX − b の相異なる二根)
( λ + μ n ) r 0 n {\displaystyle (\lambda +\mu n)r_{0}^{n}} (ただし、r0 は多項式 X − aX − b の二重根)
また、λ と μ は列の最初の二項によって決まる, 初期パラメータである。
前者についてはさらに、多項式 X − aX − b の二根 r1, r2 が互いに共軛な複素数 ρe, ρe であるとき、数列の一般項を
ρ n ( A cos  ( n θ ) + B sin  ( n θ ) ) {\displaystyle \rho ^{n}(A\cos(n\theta )+B\sin(n\theta ))}
数学において、p-階の線型回帰数列(せんけいかいきすうれつ、英: linear recurrence sequence; 線型循環数列)とは、各項がある可換体 K(典型的には複素数体 C や実数体 R)に値をとる数列であって、体 K の p 個のスカラー a0, a1, ..., ap−1 (a0 ≠ 0) が存在して、任意の n ≥ n0 に対して、p-階の線型漸化式
を満たすものの総称である。より一般には、係数 ai は n の函数とすることもできるが、本項においては基本的に定数係数の場合を扱う。このような数列は、最初の p 項(初期値あるいは初期条件と呼ばれる)が決まれば、残りの項は漸化式に従ってすべて一意に決定される。この数列または漸化式(離散力学系)が安定であるとは、任意の初期値集合に対して n を無限大に飛ばした極限(定常状態)が存在するときに言う。 高階の線型回帰列を調べることは線型代数学に属する問題である。そのような列の一般項は、列に付随する特性多項式と呼ばれる多項式の根が求まれば、それらによって記述することができる。