ヒッグス機構
⟨ φ ⟩ 0 = v 2 e i θ {\displaystyle \left\langle \phi \right\rangle _{0}={\frac {v}{\sqrt {2}}}e^{i\theta }}
であるが、真空期待値の位相を選んだ時点で対称性が破れる。以降は位相θ=0と選ぶ。
真空からのゆらぎを
φ ( x ) = 1 2 ( v + σ ( x ) ) e i π ( x ) / v {\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(v+\sigma (x))e^{i\pi (x)/v}}
と書いたとき、ラグランジアンは
L = − 1 4 F ~ μ ν F ~ μ ν + 1 2 M A 2 A ~ μ A ~ μ + g M A σ A ~ μ A ~ μ + g 2 2 σ 2 A ~ μ A ~ μ + 1 2 ( ∂ μ σ ) ( ∂ μ σ ) − m 2 2 σ 2 − m λ 2 σ 3 − λ 4 σ 4 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}=&-{\frac {1}{4}}{\tilde {F}}^{\mu \nu }{\tilde {F}}_{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}M_{A}^{2}{\tilde {A}}^{\mu }{\tilde {A}}_{\mu }+gM_{A}\sigma {\tilde {A}}^{\mu }{\tilde {A}}_{\mu }+{\frac {g^{2}}{2}}\sigma ^{2}{\tilde {A}}^{\mu }{\tilde {A}}_{\mu }\\&+{\frac {1}{2}}(\partial ^{\mu }\sigma )(\partial _{\mu }\sigma )-{\frac {m^{2}}{2}}\sigma ^{2}-m{\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4}\\\end{aligned}}}