ホモロジー代数学
1957年にTohoku Mathematical Journal(東北数学雑誌)の Second Series に現れ、(アーベル群の層を含むために)アーベル圏の概念を使っている。
Grothendieck と ジャン・ルイ・ヴェルディエ(英語版) (Jean-Louis Verdier) の導来圏。導来圏は Verdier の1967年の学位論文までさかのぼる。これは多くの現代理論で使われる三角圏(英語版) の例である。
これらは計算可能性から一般性へと進展する。
一段とすぐれた (par excellence) 計算のスレッジハンマーはスペクトル系列である。これは例えば2つの関手の合成の導来関手を計算するのに必要である Cartan–Eilenberg や Tohoku のアプローチにおいて必須である。スペクトル系列は導来圏のアプローチでは重要性は落ちるがそれでも具体的な計算が必要なときにはいつでも役割を果たす。
はじめのコホモロジーを torsor(英語版) として拡張する '非可換' 理論の試みがなされている(ガロワ・コホモロジーにおいて重要である)。
R を環とし、R-Mod によって左 R-加群の圏を、Mod-R によって右 R-加群の圏を表記する。(R が可換環であれば、2つの圏は一致する。固定された加群 B in R-Mod を選ぶ。A in Mod-R に対し、T(A) = A⊗RB とおく。すると T は Mod-R からto the アーベル群の圏 Ab への右完全関手である(R が可換なときには、Mod-R から Mod-R への右完全関手である)。そしてその左導来関手 LnT が定義される。
T o r n R ( A , B ) = ( L n T ) ( A ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)}
とおく。すなわち、射影分解
⋯ → P 2 → P 1 → P 0 → A → 0 {\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}
をとり、A の項を取り除き、射影分解を B でテンソルして複体
⋯ → P 2 ⊗ R B → P 1 ⊗ R B → P 0 ⊗ R B → 0 {\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\otimes _{R}B\rightarrow P_{1}\otimes _{R}B\rightarrow P_{0}\otimes _{R}B\rightarrow 0}
を得る。(A⊗RB は現れず、最後の矢はただの零写像であることに注意する。)そしてこの複体のホモロジーをとる。