チャーン類
グロタンディークは、ルレイ・ハーシュの定理(英語版)(Leray-Hirsch theorem)を使い、任意の有限ランクの複素ベクトル束の全チャーン類を、トートロジカルに定義された線束の第一チャーン類の項で定義することができることを示した。
すなわち、ランク n の複素ベクトル束 E → B の射影化 P(E) を任意の点 b ∈ B {\displaystyle b\in B} でのファイバーが B のファイバー束となっているバンドルとして導入すると、この射影化されたバンドルはファイバー Eb の射影空間となっている。このバンドル P(E) の全空間は、トートロジカル複素線束を持っていて、これを τ と書く。第一チャーン類
c 1 ( τ ) =: − a {\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}
を各々のファイバー P(Eb) から超平面のポアンカレ双対クラスを引いたものへ制限する。この制限を入れると複素射影空間の観点からはファイバーのコホモロジー空間を張る。
従って、類
1 , a , a 2 , ... , a n − 1 ∈ H ∗ ( P ( E ) ) {\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbf {P} (E))}
位相空間 X の上の複素ベクトル束 V が与えられると、V のチャーン類は X のコホモロジーの元の系列である。V の k-次チャーン類を普通 ck(V) と書き、この元は、
H(X;Z)
であり、X の整数係数を持つコホモロジーである。全チャーン類を次の式で定義することもできる。
c ( V ) = c 0 ( V ) + c 1 ( V ) + c 2 ( V ) + ⋯ {\displaystyle c(V)=c_{0}(V)+c_{1}(V)+c_{2}(V)+\cdots }
値は実数係数のコホモロジー群というよりも整数係数コホモロジー群であるから、これらのチャーン類はリーマン多様体のチャーン類の定義よりも少し精密化されている。
層の理論での記述は、指数層系列を参照。
V が線束のときが、非常に重要な場合である。非自明なチャーン類のみが第一チャーン類であり、X の二次コホモロジー群の元のことである。チャーン類の先頭として、第一チャーン類は線束のオイラー類に等しい。
トポロジー的には、第一チャーン類は、複素線束の分類に使う完備不変量(英語版)(complete invariant)である。すなわち、X の上の線束の同型類と H(X;Z) の元の間には全単射が存在し、第一チャーン類を線束とを結び付ける。
代数幾何学では、このチャーン類による複素線束の(同型類の)分類は、因子の線型同値(linear equivalence)類による正則線束の(同型類の)分類に、実際には非常に近い存在である。
次元が 1 よりも大きな複素ベクトル束では、チャーン類は完備不変量ではない。
{\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1}(E),\cdots ,c_{n}(E))/k!}
は E のチャーン指標と呼ばれ、その始めのいくつかの項は、
ch  ( E ) = rk + c 1 + 1 2 ( c 1 2 − 2 c 2 ) + 1 6 ( c 1 3 − 3 c 1 c 2 + 3 c 3 ) + . . . , {\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+...,}
である。
例: (E を記述からはずし)E のトッド類(Todd class)は、
td  ( E ) = ∏ 1 n a i 1 − e − a i = 1 + 1 2 c 1 + 1 12 ( c 1 2 + c 2 ) + ... . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}\\&=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\dots .\end{aligned}}}
で与えられる。