ラマヌジャンの和公式
∑ n = − ∞ ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n + ∑ n = 1 ∞ ( a ; q ) − n ( b ; q ) − n z − n = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n + ∑ n = 1 ∞ ( b q − n ; q ) n ( a q − n ; q ) n z − n = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( b ; q ) n z n + ∑ n = 1 ∞ ( q b ; q ) n ( q a ; q ) n ( b a z ) n {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(a;q)_{-n}}{(b;q)_{-n}}}z^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(bq^{-n};q)_{n}}{(aq^{-n};q)_{n}}}z^{-n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {q}{b}};q\right)_{n}}{\left({\frac {q}{a}};q\right)_{n}}}\left({\frac {b}{az}}\right)^{n}\\\end{aligned}}}
であるから、 | q | < 1 , | z | < 1 , | b | < | a z | , | b | < 1 , | a | > | q | {\displaystyle |q|<1,|z|<1,|b|<|az|,|b|<1,|a|>|q|} で収束する。従って、両辺とも b {\displaystyle b} の関数として考えれば b = 0 {\displaystyle b=0} で正則であり、 b = q k → 0 {\displaystyle b=q^{k}\to 0} で両辺が一致するから一致の定理により大局的にも一致する。