ノルム代数
ある種の応用に対しては弱い形の完備性条件を考えることもある。ノルム代数 A が局所バナッハ代数 (local Banach algebra) であるとは、それが正則汎函数計算(英語版)で閉じているときにいう。より具体的に、a ∈ A に対して σ(a) を完備化 A の中でとったスペクトルとし、f が σ(a) の近傍で定義された正則函数で f(0) = 0 を満たすものとすれば、A が単位元を持たないならば、 f(a) は A に属する。ここに f(a) は A における正則汎函数計算で得られている。
例えば X が局所コンパクトハウスドルフ空間のとき、複素数値コンパクト台付き連続函数 X → C 全体の成すノルム代数 Cc(X) は局所バナッハ代数になる。そしてX がコンパクトでないときは Cc(X) はバナッハ代数でない。
上記とは異なる意味で、バナッハ代数の帰納極限であることを「局所」バナッハ代数と定義することもある。そのような代数が正則汎函数計算で閉じていることは、正則汎函数計算は帰納極限の各ステップに適用すればよく、各ステップでは実際にバナッハ代数を対象にすることから明らかである。
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劣乗法性: ‖ a ⋅ b ‖ ≤ ‖ a ‖ ⋅ ‖ b ‖ ( ∀ a , b ∈ A ) . {\displaystyle \|a\cdot b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|\quad (\forall a,b\in A).}
上の三つの条件は A が線型空間として K-ノルム空間を成すことを言うものである。最後の「乗法的」な条件は A の乗法に関するものだが、加法に関する三角不等式の乗法的対応物であり、文献によってはこれを乗法的三角不等式 (multiplicative triangle inequality) とも称する。この条件により A の乗法の連続性が保証され、ノルム代数 A は位相線型環になる。
上記の劣乗法性がより強く等号で成り立つ(つまり、ノルムが乗法的となる)とき乗法的ノルム代数とも呼ぶが、乗法的ノルム代数は必ず可除となり、したがって乗法的ノルム代数とノルム多元体(さらに強く、バナッハ多元体)は等価な概念を定める。