コンパクト空間
s u p p ( f ) = { x ∈ X ∣ f ( x ) ≠ 0 } ̄ {\displaystyle \mathrm {supp} (f)={\overline {\{x\in X\mid f(x)\neq 0\}}}}
が存在するが、1の分割の定義では関数の台と違い閉包を取っていない事に注意されたい。また条件2において和を取っているが、この和は条件1より各x∈Xに対して有限和である事が保証されているので、族(fα)α∈Aが仮に非可算無限個の元を持っていても和は意味を持つ。
定義 (開被覆に従属する1の分割) ― ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とし、 ( O τ ) τ ∈ T {\displaystyle (O_{\tau })_{\tau \in T}} をXの開被覆とし、(fα)α∈AをXの1の分割とする。
任意のα∈Aに対し、あるτ∈Bが存在し、 { x ∈ X ∣ f α ( x ) ≠ 0 } ⊂ O τ {\displaystyle \{x\in X\mid f_{\alpha }(x)\neq 0\}\subset O_{\tau }} が成立するとき、(fα)α∈Aは ( O τ ) τ ∈ T {\displaystyle (O_{\tau })_{\tau \in T}} に従属する(英: subordinate)という。