コルモゴロフ自己同型
( X , B , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )} を標準確率空間(英語版)とし、 T {\displaystyle T} を可逆な測度保存変換とする。このとき T {\displaystyle T} が K-自己同型、K-変換あるいは K-シフトであるとは、次の三つの性質を満たす部分 σ-集合代数 K ⊂ B {\displaystyle {\mathcal {K}}\subset {\mathcal {B}}} が存在することを言う:
(1) K ⊂ T K {\displaystyle {\mbox{(1) }}{\mathcal {K}}\subset T{\mathcal {K}}}
(2) ⋁ n = 0 ∞ T n K = B {\displaystyle {\mbox{(2) }}\bigvee _{n=0}^{\infty }T^{n}{\mathcal {K}}={\mathcal {B}}}
(3) ⋂ n = 0 ∞ T − n K = { X , ∅ } {\displaystyle {\mbox{(3) }}\bigcap _{n=0}^{\infty }T^{-n}{\mathcal {K}}=\{X,\varnothing \}}
ここで記号 ∨ {\displaystyle \vee } は σ-集合代数の合併を表し、 ∩ {\displaystyle \cap } は共通部分を表す。ここで等号はほとんど至る所で成立するものと解釈される。すなわち、高々測度ゼロの集合の上でのみ異なるものとなる。