Lp空間
(S, Σ, μ) を測度空間とする。0 < p < 1 のとき、上で既に述べた通り L(μ) を定義することができて、それは
を満たすような可測関数 f 全体の成すベクトル空間である。
上でやったのと同様に p-ノルム ‖ f ‖p ≔ Np(f) を導入しようとするのだけれども、いまの場合 ‖ • ‖p は三角不等式を満たさず、したがって準ノルムを定めるにとどまる。a ≥ 0 および b ≥ 0 に対して不等式 (a + b) ≤ a + b が成り立つことから、
N p ( f + g ) ≤ N p ( f ) + N p ( g ) {\displaystyle N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}
が得られ、したがって函数
d p ( f , g ) = N p ( f − g ) = ‖ f − g ‖ p p {\displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}}
は L(μ) 上の距離となる。この結果として得られる距離空間は完備である。その証明は、有名な p ≥ 1 の場合に対するものと同様である。