距離空間
また、これの一般化として k-乗平均距離 d k ( x , y ) := ( ∑ i = 1 n | x i − y i | k ) 1 / k {\textstyle d_{k}(x,y):=(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{k})^{1/k}} を考えたとき、その極限 d max ( x , y ) := lim k → ∞ d k ( x , y ) = max 1 ≤ i ≤ n | x i − y i | {\displaystyle d_{\text{max}}(x,y):=\lim _{k\to \infty }d_{k}(x,y)=\max _{1\leq i\leq n}|x_{i}-y_{i}|} はチェビシェフ距離と呼ばれる。
このように、同じ集合に対して定めることのできる距離は一つではない。 一般には集合が同じであっても異なる距離関数を与えれば位相空間としても異なるが、ここで定義した d1, d2, dmaxに関しては
dmax(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ d1(x,y) ≤ n dmax(x,y)
という関係があり、これら同値な距離はユークリッド空間上に同じ位相構造を定めている。言い換えると、この 3 つの距離はいずれも同じ開集合系を定めるのである。例えば、d1 に関する開集合は必ず d2 に関する開球の和集合に表され、逆に d2 に関する開集合は必ず d1 に関する開球の和集合に表される。dmaxによって定まる位相と d1,d2のそれぞれによって定まる位相との関係についても同じことが言える。
X を距離空間、Uを X×X の部分集合とする。ある正の数 ε が存在して X の対角成分の近傍
Δ ε := { ( x , y ) ∈ X × X ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle \Delta _{\varepsilon }:=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<\varepsilon \}}
が U に含まれるとき、 Uを X の一様近縁という。距離空間の一様近縁全体は一様構造を定める。これを距離から定まる自然な一様構造という。同値な距離からはおなじ一様構造が得られるので、位相構造など一様構造にのみよる概念は同値な距離に対して同じものを与える。
X を距離空間、Uを X×X の部分集合とする。ある正の数 ε が存在して X の対角成分の近傍
Δ ε := { ( x , y ) ∈ X × X ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle \Delta _{\varepsilon }:=\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<\varepsilon \}}
が U を含むとき、 Uを X の有界近縁という。距離空間の有界近縁全体は粗構造を定める。これを距離から定まる有界粗構造という。同値な距離からはおなじ粗構造が得られるので、有界性など粗構造にのみよる概念は同値な距離に対して同じものを与える。
一般の一様空間は距離函数の値が小さい時の距離の振る舞いの抽象化であり、また一般の粗空間は距離函数の値が大きい時の距離の振る舞いを抽象化するものである。
距離空間(きょりくうかん、metric space)とは、距離関数(きょりかんすう)と呼ばれる非負実数値関数が与えられている集合のことである。
古代より、平面や空間、地上の 2 点間の離れ具合を表す尺度である距離は測量や科学、数学において重要な役割を果たしてきた。1906年にモーリス・フレシェは、様々な集合の上で定義された関数の一様連続性の概念を統一的に研究した論文 Fréchet (1906)において、ユークリッド空間から距離の概念を抽出して用い、距離空間の理論を築いた。
平面 R の上の 2 点 P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) の間の距離にもマンハッタン距離
d 1 ( P 1 , P 2 ) := | x 1 − x 2 | + | y 1 − y 2 | {\displaystyle d_{1}(P_{1},P_{2}):=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}
やユークリッド距離
d 2 ( P 1 , P 2 ) := ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 {\displaystyle d_{2}(P_{1},P_{2}):={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}