変分法における直接解法
函数 J {\displaystyle J} が列的に下半連続であるとは、 lim inf n → ∞ J ( u n ) ≥ J ( u 0 ) {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})} が V {\displaystyle V} 内の任意の収束列 u n → u 0 {\displaystyle u_{n}\to u_{0}} に対して成り立つ
ことを言う。
結論は次より成り立つ:
inf { J ( u ) ∣ u ∈ V } = lim n → ∞ J ( u n ) = lim k → ∞ J ( u n k ) ≥ J ( u 0 ) ≥ inf { J ( u ) ∣ u ∈ V } . {\displaystyle \inf\{J(u)\mid u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u)\mid u\in V\}.}
これはすなわち、次を意味する。
J ( u 0 ) = inf { J ( u ) | u ∈ V } . {\displaystyle J(u_{0})=\inf\{J(u)|u\in V\}.}
函数 ( y , p ) ↦ F ( x , y , p ) {\displaystyle (y,p)\mapsto F(x,y,p)} はほとんどすべての x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } に対して連続である; 函数 x ↦ F ( x , y , p ) {\displaystyle x\mapsto F(x,y,p)} はすべての ( y , p ) ∈ R m × R m n {\displaystyle (y,p)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}} に対して可測である; F ( x , y , p ) ≥ a ( x ) ⋅ p + b ( x ) {\displaystyle F(x,y,p)\geq a(x)\cdot p+b(x)} が、固定された a ∈ L q ( Ω , R m ) {\displaystyle a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})} (但し 1 / q + 1 / p = 1 {\displaystyle 1/q+1/p=1} )、固定された b ∈ L 1 ( Ω ) {\displaystyle b\in L^{1}(\Omega )} 、ほとんどすべての x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } とすべての ( y , p ) ∈ R m × R m n {\displaystyle (y,p)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}} に対して成り立つ(ここに a ( x ) ⋅ p {\displaystyle a(x)\cdot p} は、 R m n {\displaystyle \mathbb {R} ^{mn}} 内での a ( x ) {\displaystyle a(x)} と p {\displaystyle p} の内積を意味する )。