モジュライ空間
たとえば、原点で交わる R の直線の集まりはどう記述できるかを考える。この族から各々の直線 L へ一意に決まるモジュラス、量を対応させたいので、正の角度、0 ≤ θ < π の間で θ(L) を考えることは自然なことであり、このことは R の中で原点で交わる全ての直線に対応している。直線 L の集合は、P(R) として知られていて、実射影直線と呼ばれる。
また、トポロジカルな構成により、原点で交わる R の中の直線の集まりも記述することができる。すなわち、S ⊂ R を考え、全ての点 s ∈ S に対して、直線が原点と s と交わる場合は、この集まりの中では直線 L(s) と同一視することにする。まだ、この写像は、2-対-1 の対応であるので、s~ − s を同一視し P(R) ≅ S/~ を得る。この空間のトポロジーは、商写像 S → P(R) によりにき起こされた商トポロジーである。
このように、P(R) を原点で交わる R の中の直線のモジュライ空間として考えると、どのようにしたら(直線の場合の)族の要素が 0 ≤ θ < π と変化させることで、パラメータ化できるかを理解することができる。
別の重要なモジュライ問題に、決められた代数多様体 X の上のランク n のベクトルバンドルのモジュライスタック Vectn(X)(様々な部分スタック)の幾何学を理解することがある。このスタックは、X が 1次元のときに(特にランク n が 1 のときには、)最もよく研究されている。この場合には、荒いモジュライ空間はピカールスキームとなり、曲線のモジュライ空間のように、スタックが考案される以前に研究されていた。結局、ランク 1 で次数が 0 のバンドルの場合は、荒いモジュライの研究は、ヤコビ多様体の研究である。
物理学への応用の中で、ベクトルバンドルのモジュライの数と密接に関連する主ファイバーバンドルのモジュライの数の問題は、ゲージ理論の中で重要なことがわかった。
この考え方は標準的な考え方である。発見的な見方としては、空間 M に対して各々の点 m ∈ M が代数幾何学的対象 Um に対応していれば、これらの対象を集めてきて M 上のトポロジカルな族 U とすることができる。(例えば、グラスマン多様体 G(k, V) はランク k のバンドルで、点 [L] ∈ G(k, V) は単純な線型部分空間 L ⊂ V である。) M を族 U の基底空間(base space)といい、もし任意の基底空間 B 上の任意の代数幾何学的対象 T が一意な写像 B → M に沿った U の引き戻し(pullback)となっている場合には、そのような族を普遍的(universal)と言う。詳細モジュライ空間(fine moduli space)とは、普遍的な基底を持つような空間 M のことを言う。
さらに詳しくは、スキームから集合への函手 F を考える。この函手はスキーム B から基底 B を持つ対象の適当な族全ての集合への函手であるとする。空間 M が函手 F の詳細モジュライ空間であるとは、M を表現する(英語版)(corepresent) F、つまり、点の函手 Hom(−, M) が F に自然に同型であるときのことを言う。このことは、M が普遍的な族となっていて、この族を同一視する写像 1M ∈ Hom(M, M) に対応する M 上の族であることを意味する。
周多様体(英語版)(Chow Variety) Chow(d,P) は、 P の中の次数 d の曲線をパラメトライズする射影代数多様体で、次のように構成される。C を P の中の次数 d の曲線として、曲線 C と交わる P の中の全ての直線を考える。これは P の中の直線のグラスマン多様体 G(2, 4) の次数 d の因子 D_C である。C が変化すると、C に伴い D_C が変化することで、グラスマン多様体 Chow(d,P) の次数 d の因子の作る部分空間として次数 d の曲線のパラメータ空間を得る。