保型形式のL-函数
保型 L-函数は次の性質を持っていると思われている(この性質は証明されているものもあるが、未だ予想の段階であることもある)。
L-函数 L(s, π, r) はの F の素点 v ごとに定められる局所 L-函数の積である。
L ( s , π , r ) = ∏ L ( s , π v , r v ) {\displaystyle L(s,\pi ,r)=\prod L(s,\pi _{v},r_{v})}
ここに、保型表現 π = ⊗πv は局所体 Fv 上の群の表現 πv のテンソル積である。
L-函数は全複素数 s の有理型函数として解析接続され、次の函数等式を満たすことが予想されている。
L ( s , π , r ) = ε ( s , π , r ) L ( 1 − s , π , r ∨ ) {\displaystyle L(s,\pi ,r)=\varepsilon (s,\pi ,r)L(1-s,\pi ,r^{\vee })}
ここに、 ε ( s , π , r ) {\displaystyle \varepsilon (s,\pi ,r)} は、有限個の v をのぞいて 1 となるような局所定数の積
ε ( s , π , r ) {\displaystyle \varepsilon (s,\pi ,r)} = ∏ ε ( s , π v , r v , φ v ) {\displaystyle =\prod \varepsilon (s,\pi _{v},r_{v},\varphi _{v})}
である。