数列
d ( x n , x m ) = ‖ x n − x m ‖ → 0 as n < m , n → ∞ {\displaystyle d(x_{n},x_{m})=\left\Vert x_{n}-x_{m}\right\Vert \to 0{\mbox{ as }}n<m,n\to \infty }
となることも明らかであるから、係数行列 A の冪が計算できるならば、連立漸化式を解くことができる。
ゆえに、定数係数連立線型漸化式は係数行列 A を三角化あるいは対角化するような基底に関する表示、あるいは同じことだが、PAP が三角行列か対角行列となる正則行列 P をとって、座標変換 Px'n = y'n を行うことで得られる連立漸化式
y n + 1 = P − 1 A P y n {\displaystyle {\boldsymbol {y}}_{n+1}=P^{-1}AP{\boldsymbol {y}}_{n}}
の問題に帰着される。
また、yn = xn−1 や yn ≡ 1 となる場合を考えると c や d を適当に選んで
x n + 1 = a x n + b x n − 1 , x n + 1 = ( a b 1 0 ) x n {\displaystyle x_{n+1}=ax_{n}+bx_{n-1},\quad {\boldsymbol {x}}_{n+1}={\begin{pmatrix}a&b\\1&0\end{pmatrix}}{\boldsymbol {x}}_{n}}
や、
x n + 1 = a x n + b , x n + 1 = ( a b 0 1 ) x n {\displaystyle x_{n+1}=ax_{n}+b,\quad {\boldsymbol {x}}_{n+1}={\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\boldsymbol {x}}_{n}}
lim n → ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}
lim _ n → ∞  a n ≤ lim n → ∞ a n ≤ lim ̄ n → ∞  a n {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \varlimsup _{n\to \infty }a_{n}}