ポリガンマ関数
ψ ( z + 1 ) = − γ + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) z k − 1 {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)z^{k-1}}
ψ ( n ) ( z + 1 ) = ( − 1 ) n + 1 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( n + k − 1 ) ! ζ ( n + k ) z k − 1 ( k − 1 ) ! ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z+1)=(-1)^{n+1}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(n+k-1)!\zeta (n+k)z^{k-1}}{(k-1)!}}\qquad (n=1,2,3,\cdots )}
但し、γ =0.5772...はオイラーの定数、ζ(n )はリーマンゼータ関数を表す。