確率密度関数
確率質量関数とは異なり、確率密度関数は1より大きな値を取りうる。例えば、区間 [0, 1/2] の連続一様分布の確率密度関数は範囲 0 ≤ x ≤ 1/2 で f(x) = 2、その他の範囲で f(x) = 0 である。
標準正規分布は下記の確率密度関数を持つ。
f ( x ) = 1 2 π e − x 2 / 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\;e^{-x^{2}/2}}
確率変数 X とその確率密度関数 f が与えられた時、X の期待値は(値が存在する場合は)次の式で求められる。
E  [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x {\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx}
全ての確率分布が確率密度関数を持つとは限らない。離散型確率変数が持たない他にも、カントール分布は連続確率分布であるにもかかわらず、範囲内のあらゆる点で正の確率を持たないため、確率密度関数を持たない。
例として、寿命が4〜6時間程度のバクテリアがいると仮定する。この時、特定のバクテリアが丁度 5時間で死亡する確率はどれ位だろうか? 答えは0%である。およそ5時間で寿命を迎えるバクテリアはたくさん居るが、正確に5.0000000000...時間で死ぬことはない。
一方で、5〜5.01時間で死亡する確率はどうだろうか? 例えば、これが2%だとする。では、その1/10の範囲の5〜5.001時間である確率は? 答えはおよそ 2% × 1/10 = 0.2% となる。さらにその 1/10 の範囲の5〜5.0001時間である確率は、およそ0.02%である。
上記の3例において、『「特定の時間範囲内に死亡する確率」を「その範囲の長さ」で割った値』に着目すると、1時間につき 2 に定まることが分かる。例えば、5〜5.01時間の0.01時間の範囲でバクテリアが死亡する確率は0.02であり、確率 0.02 ÷ 0.01時間 = 2時間 である。この2時間(毎時200%)という量を、5時間時点での確率密度と呼ぶ。
従って、「バクテリアの寿命が5時間である確率」を問われた時、真の答えは0%であるが、より実用的には、2時間 dt であると言える。これは、無限小の時間範囲 dt 内で、バクテリアが死亡する確率である。例えば、丁度5時間〜5時間 + 1ナノ秒の寿命である確率は、2時間 × 1ナノ秒 ≈ 6 × 10 である。
これを確率密度関数 f を用いて、f(5時間)= 2時間 と表現することができる。f を任意の時間範囲(微小に限らない)で積分することで、当該時間範囲内でバクテリアの寿命が尽きる確率を求めることができる。
標準正規分布に従う確率変数 U, V について、その比(商)の確率密度関数は次のように求められる。
まず、確率変数はそれぞれ下記の確率密度関数を持つ。
p ( U ) = 1 2 π e − U 2 2 {\displaystyle p(U)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {U^{2}}{2}}}}
p ( V ) = 1 2 π e − V 2 2 {\displaystyle p(V)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {V^{2}}{2}}}}
これを先に述べたように変換する。
Y = U / V {\displaystyle Y=U/V}
Z = V {\displaystyle Z=V}
これから、