状態空間 (制御理論)
x ̇ ( t ) = ( A + B K ( I − D K ) − 1 C ) x ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)\mathbf {x} (t)} y ( t ) = ( I − D K ) − 1 C x ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\left(I-DK\right)^{-1}C\mathbf {x} (t)}
この場合の利点は、 ( A + B K ( I − D K ) − 1 C ) {\displaystyle \left(A+BK\left(I-DK\right)^{-1}C\right)} の固有値分解を使って K を適切に設定することで A の固有値を制御できる点である。これは、開ループ系が制御可能であるか、または A の不安定な固有値を K を適切に設定することで安定にできるということを前提としている。
比較的一般的な単純化として、D を除去し、C を単位元にすると、次のような式が得られる。
x ̇ ( t ) = ( A + B K ) x ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\left(A+BK\right)\mathbf {x} (t)} y ( t ) = x ( t ) {\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {x} (t)}
こうすると、固有値分解は A + B K {\displaystyle A+BK} についてのみ行えばよい。
式の中には、 d e t ( s I − A ) {\displaystyle \mathrm {det} (s\mathbf {I} -A)} が s I − A {\displaystyle sI-A} の行列式であり、 a d j ( s I − A ) {\displaystyle \mathrm {adj} (s\mathbf {I} -A)} が s I − A {\displaystyle sI-A} の余因子行列である。
G ( s ) {\displaystyle \mathbf {G} (s)} は明らかに q {\displaystyle q} × {\displaystyle \times } p {\displaystyle p} の次元を持ち、全体で q p {\displaystyle qp} 個の要素から成る。従って、個々の入力に対して q {\displaystyle q} 個の伝達関数があり、それぞれが個々の出力に対応している。そのため、複数入力/複数出力システムでは状態空間表現の方が好まれる。
なお、 d e t ( s I − A ) {\displaystyle \mathrm {det} (s\mathbf {I} -A)} は特性多項式と呼ばれる。その多項式の根(固有値)から、システムの伝達関数の極が得られる。それらの極を使って、そのシステムの安定性を解析できる。 G ( s ) {\displaystyle {\textbf {G}}(s)} の分子にあるゼロも同様に、システムが最小位相かどうかの判定に使うことができる。
( s I − A ) − 1 {\displaystyle (s\mathbf {I} -A)^{-1}} を計算するため、下記のアルゴリズムがある。
状態空間の原点はリアプノフ安定の平衡状態である上に、次を満たす δ ( t 0 ) > 0 {\displaystyle \delta (t_{0})>0} が存在すれば、状態空間の原点は時刻 t 0 {\displaystyle t_{0}} の漸近安定状態という。
‖ x ( t 0 ) ‖ < δ ( t 0 ) ⇒ lim t → ∞ ‖ x ( t ) ‖ = 0 {\displaystyle \|x(t_{0})\|<\delta (t_{0})\Rightarrow \lim _{t\to \infty }\|x(t)\|=0}
δ ( t 0 ) {\displaystyle \delta (t_{0})} は t 0 {\displaystyle t_{0}} と関係ないとき、状態空間の原点は一様漸近安定状態という。
LTIシステムが漸近安定する必要十分条件は、システムの固有値(Aの固有値)がすべて負の実部を持つ。