フェリックス・クライン
彼の幾何学における最も重要な業績ともいわれるのがエルランゲン・プログラム(変換と不変量を基にした幾何学の特徴付け)であり、クラインがエアランゲン大学の教授だった頃に作られたことにちなむ。
彼は幾何学を図形(空間)にある変換を施したときに変わらない性質を研究する学問であるとした。集合論の言葉を用いれば与えられた集合と変換群が与えられ、その変換に対して変化しない集合の性質を調べることと言い換えられる。例えばユークリッド幾何学では回転、鏡映、平行移動の3つの変換(正確には単位元として全く動かさない変換である恒等変換がある。これらは合わせてユークリッド変換、剛体変換などと呼ばれ、それらのなす群をユークリッド群と呼ぶ)が許されており、不変量としては長さ、角度、面積などが挙げられる。また射影幾何学においては射影変換が許されているので角度や長さは不変量とはならないが、直線はあくまでも直線であり複比も保存される。クラインは射影変換群がユークリッド群より本質的に大きいことを示した。つまり射影幾何学とユークリッド幾何学は構造的に異なるということである。この成果は射影幾何学における最後の大発見ともいわれる。
位相幾何学(トポロジー)では連続変換(ホメオモルフィズム)が許されておりこのときは図形の連結性以外は保存されない。トポロジーにおける不変量としてはオイラー標数やベッチ数、ホモトピー群などがあるが完全な分類に使えるものは発見されていない。これはポアンカレ予想にもつながるものだが、前述のようにクラインはトポロジーの基礎を築き上げたポアンカレと対立していたためこの問題の解決にも相当な知恵を傾けたといわれる。