十分統計量
X1, ...., Xn を、母数λ のポアソン分布に従う独立な確率変数とする。和 T(X) = X1 + ... + Xn が λ に対する十分統計量である。同時確率は:
Pr ( X = x ) = P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , ... , X n = x n ) . {\displaystyle \Pr(X=x)=P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}).}
観察は独立であるから、次のように書き換えられる:
e − λ λ x 1 x 1 ! ⋅ e − λ λ x 2 x 2 ! ⋅ ⋯ ⋅ e − λ λ x n x n ! {\displaystyle {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{1}} \over x_{1}!}\cdot {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{2}} \over x_{2}!}\cdot \,\cdots \,\cdot {e^{-\lambda }\lambda ^{x_{n}} \over x_{n}!}\,\!}
各観察は独立だから、次のように書き換えられる:
p x 1 ( 1 − p ) 1 − x 1 p x 2 ( 1 − p ) 1 − x 2 ⋯ p x n ( 1 − p ) 1 − x n {\displaystyle p^{x_{1}}(1-p)^{1-x_{1}}p^{x_{2}}(1-p)^{1-x_{2}}\cdots p^{x_{n}}(1-p)^{1-x_{n}}\,\!}
そしてp と 1 − p の累乗を集めて、
p ∑ x i ( 1 − p ) n − ∑ x i = p T ( x ) ( 1 − p ) n − T ( x ) {\displaystyle p^{\sum x_{i}}(1-p)^{n-\sum x_{i}}=p^{T(x)}(1-p)^{n-T(x)}\,\!}
これは因子分解基準に合致し、h(x)=1 となる。
特に注目すべきは、不明の母数p が、統計量 T(x) = Σ xi を通じてのみ、観察値 x に関係することである。