モーメント (確率論)
確率変数 X の積率母関数を次の式で定義する:
M ( ξ ) := ⟨ e ξ X ⟩ = ∫ − ∞ ∞ e ξ x p ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}M(\xi )&:=\langle e^{\xi X}\rangle \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{\xi x}p(x)\,dx\end{aligned}}}
その級数表示
M ( ξ ) = ∑ n = 0 ∞ ⟨ X n ⟩ n ! ξ n {\displaystyle M(\xi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\langle X^{n}\rangle }{n!}}\xi ^{n}}
においては、ξ の n 次の項の係数部分に n 次のモーメント mn = <X> が現れる。この関係からモーメントは、モーメント母関数の導関数によって、次のように与えることができる。
m n = d n M ( ξ ) d ξ n | ξ = 0 {\displaystyle m_{n}={\frac {d^{n}M(\xi )}{d\xi ^{n}}}{\biggr \vert }_{\xi =0}}