単葉関数
複素解析関数 (正則関数に一致する) の場合と異なって、実解析関数の場合では、上記のような性質は成り立たない。例えば ƒ(x) = x を考えると、これは
f : ( − 1 , 1 ) → ( − 1 , 1 ) {\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}
であり、この定義域で明らかに単射であるが、その微分はx = 0 で 0 であり、その逆写像は区間 (−1, 1)に渡って解析的ではない。ただし逆写像はx = 0 を除いて区間 (−1, 1)に渡って微分可能である。