位相的場の理論
この提案は、位相空間の圏としても特徴付け(英語版)に似ている。
(A) 向きづけられた閉じた d 次元微分可能多様体 Σ {\displaystyle \Sigma } と結びついた有限生成 Λ {\displaystyle \Lambda } -加群 Z ( Σ ) {\displaystyle Z(\Sigma )} (ホモトピー性の公理に対応),
(B) 向きづけられた (d+1) 次元微分可能多様体(境界を持つ) M {\displaystyle M} と結びついた元 Z ( M ) ∈ Z ( ∂ M ) {\displaystyle Z(M)\in Z(\partial M)} (加法性公理に対応).
これらのデータは次のような公理となる。
(1) Z {\displaystyle Z} は Σ {\displaystyle \Sigma } と M {\displaystyle M} の微分同相については 函手的(functorial) である。
(2) Z {\displaystyle Z} は 対合(involutory)的、すなわち、 Z ( Σ ∗ ) = Z ( Σ ) ∗ {\displaystyle Z(\Sigma ^{*})=Z(\Sigma )^{*}} である。ここに Σ ∗ {\displaystyle \Sigma ^{*}} は向きづけを逆にした Σ {\displaystyle \Sigma } であり、 Z ( Σ ) ∗ {\displaystyle Z(\Sigma )^{*}} で双対加群を表すことにする。
位相的場の理論の発展をみると、それが非常に多くの応用を持っていることが分かる。応用先は、サイバーグ-ウィッテン理論(英語版)や位相的弦理論、結び目理論と量子論との関係や量子結び目不変量である。さらに、数学と物理の双方の非常に興味深い対象を提供している。
最近の非常に興味をもたれていることとして、位相的場の理論の非局所作用素がある。(Gukov & Kapustin (2013)) 弦理論を基本的なものとすると、非局所的な位相場理論を計算可能な局所弦理論で充分な近似することができる非物理的モデルと見なすことができる。
位相的場の理論(いそうてきばのりろん)もしくは位相場理論(いそうばりろん)あるいはTQFTは、位相不変量を計算する場の量子論である。
TQFTは物理学者により開拓されたにもかかわらず、数学的にも興味を持たれていて、結び目理論や代数トポロジーの 4次元多様体の理論や代数幾何学のモジュライ空間の理論という他のものにも関係している。サイモン・ドナルドソン, ヴォーン・ジョーンズ, エドワード・ウィッテン, や マキシム・コンツェビッチ は皆、フィールズ賞 をとり、位相的場の理論に関連した仕事を行っている。
物性物理学では、位相的場の理論は、分数量子ホール効果や、ストリングネット(英語版)凝縮状態や他の強相関量子液体(英語版)状態のような、トポロジカル秩序(英語版)の低エネルギー有効理論である。