リーマンの素数公式
リーマンの定義した素数の個数関数とは、大きさが x 以下の素数の個数を表す関数で、厳密には下のように定義される。
π ( x ) = ∑ p ≦ x ′ 1 {\displaystyle \pi (x)={\sum _{p\leqq x}}^{\prime }1}
ここで p は素数を表し、Σ' はちょうど x が項数が増える整数のときは和の最後の項を半分にして足すことを示す。すなわち、不連続点における値を左右両極限値の平均として定めることを意味する。参考のためいくつかの特殊値を書けば π(1) = 0, π(2) = 1/2, π(3) = 3/2, π(4) = 2 である。リーマンはまず補助関数として次のような関数 Π(x)を導入した。
Π ( x ) = ∑ k ≧ 1 1 k π ( x 1 k ) {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{k\geqq 1}{\frac {1}{k}}\pi (x^{\frac {1}{k}})}
x < 2 のとき π(x) = 0(したがって Π(x) も 0)なので実質有限和であることに注意する。この式にメビウスの反転公式を用いると、
π ( x ) = ∑ m ≧ 1 μ ( m ) m Π ( x 1 m ) = ∑ m ≦ log 2  x μ ( m ) m Π ( x 1 m ) {\displaystyle \pi (x)=\sum _{m\geqq 1}{\frac {\mu (m)}{m}}\Pi (x^{\frac {1}{m}})=\sum _{m\leqq \log _{2}x}{\frac {\mu (m)}{m}}\Pi (x^{\frac {1}{m}})}