表面準位
境界(z=0)では波動関数とその導関数の連続性に関する通常条件が適用される。ポテンシャルは結晶の内部では周期的に深いため、電子波動関数はブロッホ波である必要がある。結晶内の解は入射波と表面からの反射波の線形結合である。z>0では、解は真空に向かい指数関数的に減衰する必要がある。
Ψ ( z ) = { B u − k e − i k z + C u k e i k z , for z < 0 A exp  [ − 2 m ( V 0 − E ) z ħ ] , for z > 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (z)&=&\left\{{\begin{array}{cc}Bu_{-k}e^{-ikz}+Cu_{k}e^{ikz},&{\textrm {for}}\quad z<0\\A\exp \left[-{\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\frac {z}{\hbar }}\right],&{\textrm {for}}\quad z>0\end{array}}\right.,\end{aligned}}}
図2に金属表面の状態の波動関数を定性的に示す。これは表面より外で指数関数的に減衰するテールを持つ拡大したブロッホ波である。テールの結果生じるのは、結晶のすぐ内における負の電荷密度の不足と、表面する外の負電荷密度の増加であり、これにより双極子二重層が形成される。双極子は表面のポテンシャルを摂動させ、例えば金属の仕事関数を変化させる。