ハッセ・ヴェイユのゼータ函数
分岐理論で理解される一般原理に従うと、悪い素数では導手の理論のような良い情報を持っている。良い還元(英語版)をもつ素数 p においてはオッグ・ネロン・シャファレビッチの判定条件(英語版)により V のエタールコホモロジー上のガロア表現 ρ は不分岐である。このため、局所ゼータ函数の定義は、
ρ ( Frob  ( p ) ) {\displaystyle \rho (\operatorname {Frob} (p))}
の特性多項式の項で再現できる。ここの Frob(p) は p に対するフロベニウス元である。悪い還元をもつ素数 p では、ρ が p に対する惰性群 I(p) 上非自明な作用をもつ。これらの素数では、惰性群が自明表現(英語版)として作用するような表現 ρ の最も大きな商をとることによってオイラー因子をさだめる。このようにして、Z(s) の定義はほとんど全ての p から全ての p へ、オイラー積が整合性をもつようにうまくアップグレードすることができる。函数等式の結果は1960年代後半にセール (Serre) とドリーニュ (Deligne) により完成され、函数等式自体は一般的に証明されていない。
E を有理数体上の楕円曲線とすると E のハッセ・ヴェイユのゼータ函数は次の形となる。
Z E , Q ( s ) = ζ ( s ) ζ ( s − 1 ) L ( s , E ) . {\displaystyle Z_{E,Q}(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(s,E)}}.}
ζ(s) は通常のリーマンゼータ函数であり、L(s, E) を E/Q の L-函数と呼び、次のオイラー積で定義される。
L ( s , E ) = ∏ p L p ( s , E ) − 1 . {\displaystyle L(s,E)=\prod _{p}L_{p}(s,E)^{-1}.}
ここで素数 p に対し、