対合
群 G が与えられ、その上の写像 I: G → G が対合であって、次の関係
( g h ) I = h I g I , for any g , h ∈ G {\displaystyle (gh)^{I}=h^{I}g^{I},{\mbox{ for any }}g,h\in G}
を満たすとき、対合 I は G の群構造と両立するといい、組 (G, I) を対合付きの群と呼ぶ。群の逆元をとる演算
g ↦ g − 1 {\displaystyle g\mapsto g^{-1}}
は g, h を G の元とすれば
( g − 1 ) − 1 = g , {\displaystyle (g^{-1})^{-1}=g,} ( g h ) − 1 = h − 1 g − 1 {\displaystyle (gh)^{-1}=h^{-1}g^{-1}}
を満たすので、これは群が標準的に持つ群構造と両立する対合である。
また、環 R とその上に対合 "*": R → R で
( r + s ) ∗ = r ∗ + s ∗ , for any r , s ∈ R , {\displaystyle (r+s)^{*}=r^{*}+s^{*},{\mbox{ for any }}r,s\in R,} ( r s ) ∗ = s ∗ r ∗ , for any r , s ∈ R , {\displaystyle (rs)^{*}=s^{*}r^{*},{\mbox{ for any }}r,s\in R,} 1 R ∗ = 1 R {\displaystyle 1_{R}^{*}=1_{R}}