双有理幾何学
射影多様体 X が極小とは、標準バンドル KX がネフ(英語版)であることを言う。2次元の多様体 X に対し、この定義を滑らかな多様体に対して考えることで充分である。
少なくとも次元が 3 の場合には、KX がうまく振舞うようなあるマイルドな特異点を持つ極小多様体を持つはずである。これらの(特異点のこと)を標準特異点(canonical singularities)という。
すべての多様体 X は有理曲線(rational curve)で被覆されるか、もしくは極小多様体 Y に双有理同値であるろうということを、極小モデル予想と言う。Y が存在するときに、Y を X の 極小モデル という。
極小モデルは少なくとも 3 次元では一意に定まらないが、任意の双有理である 2つの極小多様体は非常に近い存在である。例えば、極小モデルは、少なくとも余次元が 2 の部分集合の外側で同型で、さらに詳しくはフロップ(flops)の列によって関連している。従って、極小モデル予想は、代数多様体の双有理分類について強い情報を与えていることになる。
予想は次元が 3 の場合には、Mori (1988) で証明された。一般次元の問題としては未解決であるが、大きな前進があった。特に、Birkar, Cascini, Hacon と McKernan (2010) は、標数が 0 の体の上の一般型の代数多様体はすべて極小モデルを持つことを証明した。