命題論理
もし φ {\displaystyle \phi } が S {\displaystyle \mathbb {S} } から意味論的に帰結するなら φ {\displaystyle \phi } は S {\displaystyle \mathbb {S} } から統語的に帰結する
上記の自然命題論理の規則の集合についてはこれらが成り立っている。
整式 φ ∧ ψ {\displaystyle \phi \land \psi } からは φ {\displaystyle \phi } と ψ {\displaystyle \psi } を推論できる。
を採用し、推論規則はモーダス・ポネンス、すなわち「 φ {\displaystyle \phi } と ( φ → ψ ) {\displaystyle (\phi \rightarrow \psi )} から ψ {\displaystyle \psi } を推論できる」のみを規約する。
この公理系においては、「 φ ∨ ψ {\displaystyle \phi \lor \psi } 」、「 φ ∧ ψ {\displaystyle \phi \land \psi } 」はそれぞれは「 ¬ φ → ψ {\displaystyle \lnot \phi \rightarrow \psi } 」、「 ¬ ( φ → ¬ ψ ) {\displaystyle \lnot (\phi \rightarrow \lnot \psi )} 」の略記とみなす。