現代ポートフォリオ理論
方程式(1)をリスク・リターン平面上で図示したものを最小分散フロンティア(英: minimum variance frontier)と言う。全ての資産やその資産から組成されるポートフォリオはリスク・リターン平面において必ず最小分散フロンティアの右側に位置する。また最小分散フロンティア上のポートフォリオで最も標準偏差が小さくなるものを大域的最小分散ポートフォリオ(英: global minimum variance portfolio)と呼ぶ。さらに最小分散フロンティアにおいて大域的最小分散ポートフォリオより上側の部分の曲線を効率的フロンティア(英: efficient frontier)と呼ぶ。
最小分散フロンティア上のポートフォリオは所与の期待リターン(Y軸での値)を得られる分散(X軸での値)が最小のポートフォリオとなる。平均分散分析を行う投資家にとって最適なポートフォリオは必ず効率的フロンティア上にある。
効率的フロンティアがリスク・リターン平面上でコンベキシティ(凸性)を持つ理由は、方程式(1)を見ても分かる通り、効率的フロンティア上のポートフォリオの標準偏差が期待リターンの2次関数として表現されるからである。
縦軸(Y軸)に期待リターン、横軸(X軸)に収益率の標準偏差(リスク)を取った座標平面をリスク・リターン平面と呼ぶ。
この関係をより一般化する。 w i , i = 1 , ... , n {\displaystyle w_{i},i=1,\dots ,n} をリスク資産のみからなるポートフォリオとした時、自己の資金を無リスク資産に 100 ( 1 − α ) {\displaystyle 100(1-\alpha )} パーセント投資し、リスク資産 i {\displaystyle i} に対して 100 α w i {\displaystyle 100\alpha w_{i}} パーセント投資するポートフォリオを考えると、その期待収益率と収益率の標準偏差は以下のようになる。 期待収益率 = ( 1 − α ) r f + α E  ( R p ) = ( 1 − α ) r f + α ∑ i = 1 n w i E  ( R i ) {\displaystyle (1-\alpha )r_{\mathrm {f} }+\alpha \operatorname {E} (R_{p})=(1-\alpha )r_{\mathrm {f} }+\alpha \sum _{i=1}^{n}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})} 収益率の標準偏差 = α σ p = α ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n w i w j Cov  ( R i , R j ) {\displaystyle \alpha \sigma _{p}=\alpha {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (R_{i},R_{j})}}}