不確定性原理
⟨ A ^ ′ ψ , B ^ ′ ψ ⟩ − ⟨ B ^ ′ ψ , A ^ ′ ψ ⟩ = ⟨ ψ , A ^ ′ B ^ ′ ψ ⟩ − ⟨ ψ , B ^ ′ A ^ ′ ψ ⟩ = ⟨ ψ , [ A ^ ′ , B ^ ′ ] ψ ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {A}}'\psi ,{\hat {B}}'\psi \rangle -\langle {\hat {B}}'\psi ,{\hat {A}}'\psi \rangle =\langle \psi ,{\hat {A}}'{\hat {B}}'\psi \rangle -\langle \psi ,{\hat {B}}'{\hat {A}}'\psi \rangle =\langle \psi ,[{\hat {A}}',{\hat {B}}']\psi \rangle }
単位行列Iは全ての作用素と可換なので、
[ A ^ ′ , B ^ ′ ] = [ A ^ − ⟨ A ^ ⟩ ψ I , B ^ − ⟨ B ^ ⟩ ψ I ] = [ A ^ , B ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}}',{\hat {B}}']=[{\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi }I,{\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle _{\psi }I]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]}
よってロバートソンの不等式が証明された。
安定した基底状態をもつ量子系ではエネルギー固有値は下限をもつため、エルミートな時間演算子は存在しないことが証明される。従って安定な基底状態をもつ通常の量子系では、時間とエネルギーに関するロバートソン不等式は意味を持たない。同様に、時間とエネルギーに関しては小澤の不等式も意味を持たない。
なお未知の時間パラメータ t {\displaystyle t} に依存する量子状態 |ψ(t)⟩ を量子測定して、その測定結果から t の値を推定する場合には、その推定誤差 δt とハミルトニアンの標準偏差との間に不等式 δ t ⟨ ( Δ H ^ ) 2 ⟩ ≥ ħ / 2 {\displaystyle \delta t{\sqrt {\langle (\Delta {\hat {H}})^{2}\rangle }}\geq \hbar /2} が成立することは知られている。しかしこれはロバートソン不等式や小澤の不等式ではなく、量子推定理論のクラメール・ラオ不等式からの帰結である。
ハミルトニアン ˆH によって時間発展した状態が初期状態に比べて有意に変化するには、 t ∼ ħ / ⟨ ( Δ H ^ ) 2 ⟩ {\displaystyle t\sim \hbar /{\sqrt {\langle (\Delta {\hat {H}})^{2}\rangle }}} 以上の経過時間が必要である。