分配函数 (数学)
多重微分は、確率変数の相関函数を導く。このようにして変数 x j {\displaystyle x_{j}} と x k {\displaystyle x_{k}} の間の相関函数は、次の式で与えられる。
C ( x j , x k ) = ∂ ∂ J j ∂ ∂ J k log  Z ( β , J ) | J = 0 {\displaystyle C(x_{j},x_{k})=\left.{\frac {\partial }{\partial J_{j}}}{\frac {\partial }{\partial J_{k}}}\log Z(\beta ,J)\right|_{J=0}}
H が微分作用素を持つ二次形式として書くことができる場合には、つまり次の式で書くことができる場合には、
H = 1 2 ∑ n x n D x n {\displaystyle H={\frac {1}{2}}\sum _{n}x_{n}Dx_{n}}
相関函数 C ( x j , x k ) {\displaystyle C(x_{j},x_{k})} は微分作用素(さらにフレドホルム理論となる)のグリーン函数であることと理解できる。場の量子論の設定では、この函数をプロパゲータ(propagator)と言う。より高次のオーダーの相関は、n-点函数と呼ばれ、理論の有効作用(英語版)(effective action)の定義に使われる。
確率論や情報科学や力学系で使用されている分配函数 (ぶんぱいかんすう、英: partition function) は、統計力学で定義されている分配函数の一般化である。確率論では、正規化された値の分配函数が、ボルツマン分布である。分配函数は、多くの概念と互いに固く結び付いて、様々な種類の量を計算することが可能な一般的なフレームワークを提供する。特に、分配函数はどのように期待値やグリーン函数を計算するのかを示していて、フレドホルム理論への橋渡しともなっている。
複素射影空間や射影ヒルベルト空間(英語版)上の確率変数の設定が、フビニ・スタディ計量を持つよう幾何学化されると、量子力学の理論や、より一般的には場の量子論を結果としてもたらす。これらの理論での分配函数は、経路積分定式化により非常に優れた開発がなされ、大きく成功している。そこでは、本記事でレビューする多くの公式とほぼ同じ公式を導くことができる。しかしながら、基礎となっている測度空間は、確率論では実数に値をとり単純であったことに対し、(量子力学や場の理論の中では)複素数に値をとり、多くの公式の中に余剰なファクタである i が現れる。このファクタを追跡することは困難であるので、ここでは行わない。本記事では、はじめに確率の総和が 1 である古典的な確率論へ焦点を当てる。