アーベル総和法
p n ≥ 0 , ∑ k = n ∞ p k > 0 {\displaystyle p_{n}\geq 0,\quad \sum _{k=n}^{\infty }p_{k}>0}
を満たし、{pn} によって定義されるベキ級数
p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ p n x n {\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}x^{n}}
が収束半径 r > 0 を持つとする。このとき、
p s ( x ) = ∑ n = 0 ∞ p n s n x n {\displaystyle p_{s}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}s_{n}x^{n}}
が 0 ≤ x < r で収束し、かつ
lim x → r − p s ( x ) p ( x ) = s {\displaystyle \lim _{x\to r-}{\frac {p_{s}(x)}{p(x)}}=s}
が成り立つとき、値 s に (J, pn)-総和可能という。
一般に級数はアーベル総和であっても、通常の意味では収束しない。すなわち、ベキ級数におけるアーベルの定理の逆は成り立たない。しかしながら、級数にある種の条件を付与すれば、アーベルの定理の逆が成り立つことがある。そのような例として、1897年にオーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが示したタウバーの定理がある。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ。
複素数値の数列 {an} に対し、級数 ∑∞n=0 an が値 l に収束するとは、部分和
s n = ∑ k = 0 n a k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}
が通常の数列の収束の意味で値 l に収束することで定義される。一方、総和法では、通常の収束の意味を超えて、より広い形での級数の収束を定義する。
例えば、an = (−1)とするグランディ級数 ∑∞n=0 (−1)は
s 0 = 1 , s 1 = 0 , s 2 = 1 , s 3 = 0 , ⋯ {\displaystyle s_{0}=1,\,s_{1}=0,\,s_{2}=1,\,s_{3}=0,\cdots }
となり、通常の意味では収束しない。ここで、x を |x| < 1 を満たす複素数とし、x を各項 an に収束因子として乗ずると、ベキ級数
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 + ⋯ {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}=1-x+x^{2}+\cdots }
は、|x| < 1 で
f ( x ) = 1 1 + x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x}}}
に一様収束する。このとき、左極限 x → 1− は収束し、
lim x → 1 − f ( x ) = 1 2 {\displaystyle \lim _{x\to 1-}{f(x)}={\frac {1}{2}}}
となり、級数 ∑∞n=0 (−1) に値 1/2 を対応させることができる。
アーベル総和法はチェザロ総和法より強い。すなわち、チェザロ総和可能な級数はアーベル総和可能である。より一般的に k>-1 について、(C, k)-総和可能であれば、アーベル総和可能である。