判別式
{\displaystyle (-1)^{n_{-}}.}
K=C、複素数体に対して、(C) は 0 でない複素数であり(任意の複素数は平方である)、したがって商 C/(C) は 2 つの元、非零と零からなる。
この定義は二次多項式の判別式に一般化する。多項式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} を斉次化すると二次形式 a x 2 + b x y + c y 2 {\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}} になりこれは対称行列
[ a b / 2 b / 2 c ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b/2\\b/2&c\end{bmatrix}}}
をもちこの行列式は a c − ( b / 2 ) 2 = a c − b 2 / 4 {\displaystyle ac-(b/2)^{2}=ac-b^{2}/4} である。−4 の因子を除いてこれは b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} である。
実形式の判別式の類の不変量(正、0、負)は対応する円錐曲線楕円、放物線、双曲線に対応する。
一般の三次方程式 ax + bx + cx + d = 0 の判別式は
Δ = b 2 c 2 − 4 a c 3 − 4 b 3 d − 27 a 2 d 2 + 18 a b c d {\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}
である。