単関数
きちんと述べれば、単関数とは可測集合の指示関数の有限な線型結合のことである。より正確に述べれば、集合 X 上の実数値単関数とは、1A を A の指示関数として、X の有限分割
X = A 1 ⊔ A 2 ⊔ ⋯ ⊔ A n {\displaystyle X=A_{1}\sqcup A_{2}\sqcup \cdots \sqcup A_{n}}
と、適当な実数の定数 α1, ..., αn をとって
f ( x ) = ∑ i = 1 n α i 1 A i ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\mathbf {1} _{A_{i}}(x)}
なる形に表すことのできる関数 f: X → R を言う。しばしば、αi の中に、±∞ なる値を許容する(拡大実数値単関数)。また上記の定数を複素数にとれば、複素数値単関数も定義できる。
単関数を可測空間 (X, Σ) 上で考えるとき、この形の単関数が Σ-可測であるための必要十分条件は、任意の Ai が Σ に属することである。従って可測関数のみを考える場合には、単関数を「互いに交わらない可測集合の有限列 A1, ..., An ∈ Σ で、それらの和が X を被覆するもの」に関する指示関数の線型結合として定める。