有理標準形
ここで単因子が単数倍の違いを除いて一意的に決定されることはあらかじめ別に示す必要がある。このとき一意性はモニック性より従う。詳細は Dummit & Foote (2004, 12.1 The Rational Canonical Form) を参照のこと。概略終。
各単因子 ai は F[x] に属する多項式なので、ai の同伴行列 Ci は体 F の元を成分とする行列であり、これは線形変換 α の巡回加群 F[x]/(ai) に相当する直和因子における表現行列になる。これらの行列の直和を単因子に渡って取ることで線形変換 α の表現行列 A の有理標準形
[ C 1 ⋱ C n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{1}&&\\&\ddots &\\&&C_{n}\end{bmatrix}}}
が得られる。アルゴリズムは Dummit & Foote (2004, pp. 481f) に詳しい。