何承天
調日法はある実数を有理数で近似する方法の一つである。暦法の研究の過程で考案された。以降、a, b, c, d は自然数とする。今2つの分数 b/a と d/c があって、
b a < d c {\displaystyle {\frac {b}{a}}<{\frac {d}{c}}}
であるなら
b a < b + d a + c < d c {\displaystyle {\frac {b}{a}}<{\frac {b+d}{a+c}}<{\frac {d}{c}}}
となる。値の小さい分数を弱率、大きい分数を強率と称する。
ある実数に近い分数を求めるために、その値を挟む2つの分数から、分子・分母の和の分数を求め、その分数と値を比較し、新しい分数と元の分数の一つでその値を挟む新しい2つの分数の組を作るという繰り返しで漸近分数を求めるものである。
例えば、円周率の近似分数を求めるために、3/1 と 4/1 から始めると、
0::3/1 = 3
1::4/1 = 4
2::7/2 = 3.5
3::10/3 = 3.3333
4::13/4 = 3.25
5::16/5 = 3.2
6::19/6 = 3.166
7::22/7 = 3.1428
(中略)
14::157/50 = 3.14
(中略)
23::355/113 = 3.141592
となり、非常によい近似を与える 355/113 などが求まる。