米田の補題
関手 F は共変 (C → Set) とする。このとき、共変hom関手 H = hom(A, _) から F への自然変換 τ : H ⇒ F は、任意の C の射 f : X → Y に対して τ Y ∘ H A ( f ) = F f ∘ τ X {\textstyle \tau _{Y}\circ H^{A}(f)=Ff\circ \tau _{X}} が定義から成り立つ。いま、f : A → Y の場合に、A での恒等射 idA がどのように写るかを追うことで、等式
を得る。ここから、自然変換 τ : H ⇒ F の情報は τ X ( i d A ) ∈ F ( A ) {\textstyle \tau _{X}(\mathrm {id} _{A})\in F(A)} から全て得られることがわかる。