リンドハード理論
実際の実験では、単一フィラメントのような1次元の場合を扱っていたとしても、3次元バルクの遮蔽効果も考慮する必要がある。D. Davisは、フィラメントと同軸円筒に閉じ込められた電子ガスにトーマス-フェルミ遮蔽を適用した。K2Pt(CN)4Cl0.32·2.6H20では、フィラメントと同軸円筒との間の領域内のポテンシャルは e − k e f f r / r {\displaystyle e^{-k_{eff}r}/r} で変化し、有効遮蔽長は金属白金の約10倍であることが分かっている。
ここで、このフーリエ変換では基本的に「全ての」 q → {\displaystyle {\vec {q}}} についての和をとり、「各」 q → {\displaystyle {\vec {q}}} における小さな | q → | {\displaystyle |{\vec {q}}|} についての表現を使用するのは正しくないことに注意。
縮退したガス(T=0)において、フェルミエエネルギーは次式で与えられる。
E f = ħ 2 2 m ( 3 π 2 n ) 2 3 {\displaystyle E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}} ,
よって密度は、
n = 1 3 π 2 ( 2 m ħ 2 E f ) 3 2 {\displaystyle n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{f}\right)^{\frac {3}{2}}} .
T=0では E f ≡ μ {\displaystyle E_{f}\equiv \mu } 、よって ∂ n ∂ μ = 3 2 n E f {\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{f}}}} 。
これを上述の3次元遮蔽波数の式に代入すると、
これは3次元におけるトーマス-フェルミ遮蔽波数である。
なお、デバイ遮蔽は非縮退極限の場合を記述する。結果は κ = 4 π e 2 n β ε {\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}} であり、3次元のデバイ遮蔽波数である。
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V_{q}\sum _{k}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}}
κ {\displaystyle \kappa } は κ = 2 π e 2 ε ∂ n ∂ μ {\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}} で定義される2次元での遮蔽波数(2次元での遮蔽長の逆数)である。