一階述語論理
f r ( ∀ x φ ) = f r ( ∃ x φ ) = f r ( φ ) − { x } {\displaystyle fr(\forall x\phi )=fr(\exists x\phi )=fr(\phi )-\{x\}} 。
論理式 φ {\displaystyle \phi } が自由変数を一切持たないとき、つまり f r ( φ ) = ∅ {\displaystyle fr(\phi )=\varnothing } のとき、 φ {\displaystyle \phi } は閉論理式 (closed formula) あるいは文 (sentence) と呼ぶ。直観的には、文とは記号に解釈を与えて意味を考えたときに正しいか正しくないかが決まるような論理式である。 ( S 0 + S 0 ) = S S 0 {\displaystyle (S0+S0)=SS0} や ∀ x 1 0 = S x 1 {\displaystyle \forall x_{1}0=Sx_{1}} は文であるが、 f r [ ( 0 + x 5 ) = S 0 ] = { x 5 } {\displaystyle fr[(0+x_{5})=S0]=\{x_{5}\}} より ( 0 + x 5 ) = S 0 {\displaystyle (0+x_{5})=S0} は文でない。
上で見たように、自由変数を持たない論理式(すなわち文)は解釈(構造)を一つ与えることで、正しいか正しくないかが定まる。構造 M を与えたとき、文 φ が正しい命題になっているならば、φ は解釈 M において真 (true) であるといい、正しくない命題である場合、φ は M において偽 (false) であるという。以下で、これらの真偽の概念をより正確に定義する。ただし、論理式の真偽の定義にはいくつかの異なる(同値な)方法があり、ここで述べる定義はその内の一つである。
M が一階の言語に対する構造であるとき、変数全体の集合 V から M の領域 |M| への関数を、変数に対する M の個体の割り当て関数と呼ぶ。変数に対する M の個体の割り当て関数 s を一つとったとき、それぞれの項 t に対して、t の値 (value) t (s) が次のように再帰的に定義される: 変数 x に対しては、x (s) = s(x) 。 定数記号 c に対しては、c (s) = c 。 t1 , ..., tn が項で、f がアリティ n の関数記号ならば、(f t1 ... tn)(s) = f (t1(s), ..., tn(s)) 。
直観的には、項 t の値 t (s) とは、各変数 x が Mの個体 s(x) を表すとしたとき、t が表す M の個体のことである。