カルタン形式 (物理学)
これはスピン接続(英語版)と呼ばれる。
このようにして得られた A を用いて、TM 上の接続 ∇ を同型写像 e を通じて定義することができる。
e(∇X) = dAe(X) が TM の全可微分断面 X に対して成り立つ。
ここまでで SO(p, q) ゲージ理論が得られたので、曲率 F を各点のゲージ共変量として F = d e f d A + A ∧ A {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {A}}\wedge {\boldsymbol {A}}} のように定義できる。これは単にリーマン曲率テンソルを微分形式で記述したものである。
上に用いた記法以外にも、接続形式 A を ω、曲率形式 F を Ω、正準ベクトル値 1-形式 e を θ、共変外微分(英語版) dA を D と書く記法もある。
四つ組形式の一般相対性理論において四次元可微分多様体 M の作用は、随伴場強度 Ω = D ω = d ω + ω ∧ ω {\displaystyle \Omega =D\omega =\mathrm {d} \omega +\omega \wedge \omega } を伴う四脚場 e と接続形式 ω の汎関数として以下のように定義される。
S = d e f M p l 2 ∫ M ε a b c d ( e a ∧ e b ∧ Ω c d ) = M p l 2 ∫ M d 4 x ε μ ν ρ σ ε a b c d e μ a e ν b R ρ σ c d [ ω ] {\displaystyle S\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ M_{pl}^{2}\int _{M}\epsilon _{abcd}(e^{a}\wedge e^{b}\wedge \Omega ^{cd})=M_{pl}^{2}\int _{M}\mathrm {d} ^{4}x\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\epsilon _{abcd}e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}R_{\rho \sigma }^{cd}[\omega ]}