スペクトル法
これらの3つの項を k {\displaystyle k} についてまとめることで次式を得る。
2 π ∂ t u ^ k = − i π k ∑ p + q = k u ^ p u ^ q − 2 π ρ k 2 u ^ k + 2 π f ^ k k ∈ { − N / 2 , ... , N / 2 − 1 } , ∀ t > 0.
ただし、 ⟨ f , g ⟩ := ∫ 0 2 π f ( x ) g ( x ) ̄ d x {\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{0}^{2\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx} は内積である。 部分積分と周期性により、
⟨ ∂ t u , v ⟩ = ⟨ 1 2 u 2 − ρ ∂ x u , ∂ x v ⟩ + ⟨ f , v ⟩ ∀ v ∈ V , ∀ t > 0. {\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\frac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.}
フーリエ- ガラーキン法を適用するには、以下の両方を選択する。
U N := { u : u ( x , t ) = ∑ k = − N / 2 N / 2 − 1 u ^ k ( t ) e i k x } {\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:=\left\{u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}\right\}}
V N := span  { e i k x : k ∈ − N / 2 , ...
{\displaystyle 2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}
両辺を 2 π {\displaystyle 2\pi } で除することで、最終的に次式を得る。
∂ t u ^ k = − i k 2 ∑ p + q = k u ^ p u ^ q − ρ k 2 u ^ k + f ^ k k ∈ { − N / 2 , ... , N / 2 − 1 } , ∀ t > 0. {\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-N/2,\dots ,N/2-1\right\},\forall t>0.}
フーリエ変換後の初期条件 u ^ k ( 0 ) {\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)} と外力 f ^ k ( t ) {\displaystyle {\hat {f}}_{k}(t)} を入力として与えることで、この常微分方程式の結合系の時間発展は、ルンゲ=クッタ法などを使った数値積分によって解くことができる。 第一項(非線形項)は畳み込み演算であるため、これも効率的に評価するための変換がいくつか存在する。 BoydおよびCanutoらの参考文献を参照してください。詳細については。