A∞-オペラド
空間Xを体上の多元環とすると、 BXはループ空間となる。 A ∞ {\displaystyle A_{\infty }} の連結成分のπはモノイド基底となる。体上の多元環である場合、 A ∞ {\displaystyle A_{\infty }} -オペラドは A ∞ {\displaystyle \mathbf {A} _{\infty }} -空間になる。ループ空間において、この特性による3つの結果がある。まず、ループ空間は A ∞ {\displaystyle A_{\infty }} -空間になる。第二に、接続された A ∞ {\displaystyle A_{\infty }} -空間Xがループ空間になる。第三に、切断可能で群完備な A ∞ {\displaystyle A_{\infty }} -空間はループ空間となる。
ホモトピー理論における A ∞ {\displaystyle A_{\infty }} -オペラドの重要性は、 A ∞ {\displaystyle A_{\infty }} -オペラドとループ空間上の代数関係に由来する。