四元数環
有理数体 Q 上の四元数環(有理四元数環)は、Q 上の二次体のと同様だがより複雑な算術理論をもつ。
B を Q 上の四元数環とし、Q の座 ν とそれによる Q の完備化を Qν(つまり、適当な素数 p に対する p-進数体Qp か実数体 R のいずれか)とすると、Qν 上の四元数環
B ν := Q ν ⊗ Q B {\displaystyle B_{\nu }:=\mathbb {Q} _{\nu }\otimes _{\mathbb {Q} }B}
が定まる。そしてこれは Qν 上の二次全行列環か多元体のどちらかになっているはずである。
このとき、B が ν において分裂 (split) する、あるいは不分岐 (unramified) であるとは、Bν が Qν 上の二次全行列環に同型となることをいう。他方、Bν が Qν 上の多元体となるとき、B は ν において非分裂 (non-split) である、あるいは分岐 (ramified) するという。座 ∞ において分岐する四元数環を定符号四元数環(definite quaternion algebra)、それ以外の四元数環を不定符号四元数環(indefinite quaternion algebra)という。