コルモゴロフの三級数定理
∑ n = 1 ∞ X n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}} が確率1で有限値に収束するとき、 A = 1 {\displaystyle A=1} に対し条件 (i),(ii),(iii) が成り立つことを証明する。
もし (i) が成り立たないとすると、ボレル・カンテリの補題より、無限に多くの n {\displaystyle n} に対し { | X n | ≥ 1 } {\displaystyle \{|X_{n}|\geq 1\}} となる確率が1である。ところがこれは級数の収束に反するから、(i) は成り立たないといけない。
条件 (iii) が成り立つなら条件 (ii) が成り立つことは次のようにしてわかる:
コルモゴロフの二級数定理から ∑ n = 1 ∞ ( Y n − E [ Y n ] ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(Y_{n}-\mathrm {E} [Y_{n}])} は概収束する。