中村ナンバー
このセクションでは「非循環的な選好」という通常の仮定を捨てることにする。 そのかわり与えられた「アジェンダ」(agenda, 個人のグループが当面直面している「機会集合」) 上で極大要素を持つような選好をここでは考える。 単純な考察にするため、ここでは集合 X {\displaystyle X} 自体をアジェンダとみなすことにする。 選択肢 x ∈ X {\displaystyle x\in X} が選好 ≻ i p {\displaystyle \succ _{i}^{p}} に関して「極大 (要素) である」 (あるいは ≻ i p {\displaystyle \succ _{i}^{p}} が「極大要素 x {\displaystyle x} を持つ」) とは、 y ≻ i p x {\displaystyle y\succ _{i}^{p}x} となるような y ∈ X {\displaystyle y\in X} が存在しないことである。 もし選好が選択肢全体の集合上で非循環的であれば、その選好は任意の「有限」部分集合 X {\displaystyle X} 上で極大値を持つ。
中村の定理の変種 (variant) を述べる前に、「コア」を強めた解概念を導入しておく。
たとえある提携が存在してそれに属するすべての個人 i {\displaystyle i} が選択肢 x {\displaystyle x} に「不満を持っている」 (各 i {\displaystyle i} がなんらかのべつの選択肢 y i {\displaystyle y_{i}} を x {\displaystyle x} より好むの意) としても、 選択肢 x {\displaystyle x} がコア C ( W , p ) {\displaystyle C(W,p)} には属してしまうことがある。 次の解概念はそのような選択肢 x {\displaystyle x} を除外するものである:
選択肢 x ∈ X {\displaystyle x\in X} が「多数不満なきコア」(core without majority dissatisfaction) C + ( W , p ) {\displaystyle C^{+}(W,p)} に属するとは、任意の i ∈ S {\displaystyle i\in S} にとって x {\displaystyle x} が極大でない ( y i ∈ X {\displaystyle y_{i}\in X} が存在して y i ≻ i p x {\displaystyle y_{i}\succ _{i}^{p}x} となる) ような勝利提携 S ∈ W {\displaystyle S\in W} が存在しないことである。
以下の結果は容易に示すことができる: C + ( W , p ) {\displaystyle C^{+}(W,p)} は各人の選好の極大要素集合だけに依存し、それらの集合のユニオンにふくまれる。