代数的数
複素数 α に対し、有理数を係数とする多項式
f ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 {\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}
が存在して f(α) = 0 となるとき、α は代数的数であるという。
同じことであるが、整数 a n ≠ 0 , a n − 1 , ⋯ , a 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0,a_{n-1},\cdots ,a_{0}} が存在して、
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 , f ( α ) = 0 {\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0},\ f(\alpha )=0}
が成り立つとき、α は代数的数であるという。
カントール (G. Cantor) は、1874 年に、 Q ̄ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}} が可算集合であることを証明した。その後、彼は複素数全体の集合が非可算集合であることを証明し、ほとんど全ての複素数は、代数的数ではない、つまり超越数であることが判明した。
しかしながら、代数的でない式によって与えられた数が代数的数であるか否かを判定することは大変難しく、オイラーの定数のように古くから知られていながら、代数的数かどうかどころか、有理数かどうかすら分かっていない数もある。