ブラウワーの不動点定理
この証明は、D の境界が (n − 1)-球面 S であるという事実に基づいている。
背理法より、連続函数 f : D → D は不動点を持たないと仮定し、矛盾を示す。D 内の各 x に対して、仮定より f(x) と x は異なる値なので(f が不動点を持たないとは f(x) ≠ x を意味することに注意)、f(x) を端点として x を通る唯一つの半直線を引くことが出来る。この半直線に沿って、S 上のある点が得られるので、これを F(x) とする(図を参照)。これは、レトラクションとして知られる特別なタイプの連続函数 F : D → S を定義する。すなわち、終域(この場合は S)のすべての点がその函数の不動点となる。
直感的に、S の上への D のレトラクションはあり得ないように思われる。実際、n = 1 の場合は S(すなわち、閉区間 D の終点)が連結ですらないため、これはあり得ない。また n = 2 の場合はこれほど明らかではないが、各々の空間の基本群を利用した基本的な議論で証明することが出来る:レトラクションは、S の基本群から D の基本群への単射群準同型を導くが、はじめの群は Z と同型である一方で二つ目の群は自明群であり、これはあり得ない。n = 2 の場合はまた、非消失ベクトル場に関する定理に基づき矛盾を示すことも出来る。
n > 2 の場合にレトラクションがあり得ないことを証明するのはさらに難しい。一つの方法として、ホモロジー群を利用する方法がある:ホモロジー Hn − 1(D) は自明であるが、Hn − 1(S) は無限巡回群である。このことにより、再びレトラクションが前者から後者への単射群準同型を導くため、矛盾となる。
凸性は、ブラウワーの不動点定理において、厳密な意味で要求されるものではないことに注意されたい。(不動点であるための連続性といった)求められる性質は同相写像の下で不変であるため、ブラウワーの不動点定理は、定義域が閉単位球 D であるように要求される場合と同値な形式を持つ。同じ理由で、閉球(したがって閉、有界、連結で穴のないものなど)と位相同型であるようなすべての集合に対して定理は成り立つ。
穴を持つ定義域においてブラウワーの不動点定理が成立しない例を次に示す。極座標において定義される次の函数を考える:
f ( r , θ ) = ( r , θ + π / 4 ) {\displaystyle f(r,\theta )=(r,\theta +\pi /4)}
この函数は単位円周からそれ自身への連続函数である。この函数は、単位円周上のすべての点を反時計回りに45度回転させるものであるため、不動点を持つことはない。単位円周は閉かつ有界であるが、穴を持つ(したがって凸でない)ことに注意されたい。もしこの函数を(凸である)単位円板上で定義すれば、その原点が不動点となる。
穴を持たない定義域に対するブラウワーの不動点定理の正式な一般化は、レフシェッツの不動点定理に見られる。