九九
掛け算の交換法則により、同じ数同士を掛け合わせる対角線で、線対称となっている。
また、足して10となる数同士を掛け合わせる対角線でも、完全ではないが対称性が存在する。
((10-a)×(10-b)=(10-a-b)×10+a×b)
三乗の九九を立方九九という。通常の掛け算九九と同様に唱えて覚える。開立などに用いる。
掛け算九九が珠算と無関係に有用であるのに対し、割り算九九はそろばんの珠の動きとの関連が大きい。元の頃、中国で発明され、その後日本にもたらされたものである。日本では毛利重能の割算書などによって広まった。そろばんの普及と割り算九九の普及は大きく関連している。江戸時代には帰除法のほうが一般的であった(亀井算という商除法も行われていた)。
掛け算九九は被乗数の値を段の名前にしているが、割り算九九は被除数ではなく除数の方を段の名前にしており、また、掛け算九九はどの段も乗数が1から9までの9通りの式があるのに対し、割り算九九はnの段(1≦n≦9)は、10m÷n(1≦m<n)及びn÷nのn通りの式しかない(但し2nが1桁の場合は2n÷nを表すものもあり、3nや4nが1桁の場合も同様である)。ルールは以下の通りである。
10の倍数を1桁の数で割るタイプは必ず漢字5文字で表される。
掛け算九九は、十進法の1から9までの自然数同士の掛け算を語呂良く暗記する方法である。1桁と2桁、2桁同士の掛け算を暗記する方法も含めて九九と呼ぶこともあり、この場合は「二桁の九九」という。ヨーロッパなどでは十二進法の名残で12×12までの乗算表を学んでいた。
日本の学習指導要領では小学校二年生の算数の授業で、1位数同士の乗法を学習することから、1位数同士の乗法を確実に習得する方法として活用されることが多い。
積が一桁のときは「が」をつける。すなわち「が」はゼロを意味し、十の位の空位を意識させるためにも役立つ。特に珠算において、「が」があるおかげで桁取りを間違えることがなくなる。