モレラの定理
モレラの定理では、複素平面内のある連結開集合 D 上で定義される連続な複素数値函数 f で、D 内のすべての区分的 C 閉曲線 γ に対して
∮ γ f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}
を満たすものは、必ず D 上で正則であると述べられている。
モレラの定理の仮定は、f が D 上に原始関数を持つことと同値である。
この定理の逆は一般には成り立たない。正則函数は、付加的な仮定が課されない限り、その定義域上に不定積分を持つとは必ずしも言えない。例えば定義域が単連結であれば、そのような逆は成立する。これは、閉曲線に沿った正則函数の線積分はゼロであることを述べたコーシーの積分定理による。
一方、区分的 C 級閉曲線の代わりに内部および周が D に含まれる三角形の境界に限っても定理は成り立ち、さらに逆も成り立つ(後述)。こちらもモレラの定理と呼ばれる。