類体論
ここで K の元 γ に対して γp で実素点 p による γ の像を表している。
包含関係 Im ⊃ H ⊃ Pm にある群 H を m を法とする合同群(congruence subgroup modulo m)と呼ぶ 。
L/K を有限次拡大とする。 Im の部分群 Nm(L/K) を L の分数イデアルのノルムになっているような元全体とする。これは p(p は K の素イデアルで m と互いに素なもの、f はそれの L/K における剰余次数)で生成される Im の部分群である。Hm(L/K) = Pm・Nm(L/K) と置く。これを拡大 L/K に対する合同群という。
さらに L/K はアーベル拡大であったとする。この拡大で不分岐な K の素イデアル p に対してそのフロベニウス元を (L/K/p) ∈ Gal(L/K) と書く。L/K で分岐する素イデアルを含まない分数イデアル a に対しても、素イデアル分解を使って (L/K/a) を定義する。この記号をアルティン記号(Artin symbol)と呼ぶ。モジュラス m が L/K で分岐する素イデアルすべてで割り切れるなら、アルティン記号により Im から Gal(L/K) への群準同型が定義される。これをアルティン写像(Artin map)と呼ぶ。