ベルグマン計量
l ( γ ) = ∫ 0 1 | ∂ γ ∂ t ( t ) | B , γ ( t ) d t {\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\left\vert {\frac {\partial \gamma }{\partial t}}(t)\right\vert _{B,\gamma (t)}dt}
と計算される。すると2点 p, q ∈ G の距離 d G ( p , q ) {\displaystyle d_{G}(p,q)} は
d G ( p , q ) := inf { l ( γ ) ∣ all piecewise C 1 curves γ such that γ ( 0 ) = p and γ ( 1 ) = q } {\displaystyle d_{G}(p,q):=\inf\{\ell (\gamma )\mid {\text{ all piecewise }}C^{1}{\text{ curves }}\gamma {\text{ such that }}\gamma (0)=p{\text{ and }}\gamma (1)=q\}}
と定義される。距離 dG はベルグマン距離と呼ばれる。
G が有界領域であればベルグマン計量は実は各点において正定値行列である。より重要なことには、距離 dG は G から別の領域 G′ への双正則写像のもとで不変である。つまり、f: G → G′ が双正則であれば、 d G ( p , q ) = d G ′ ( f ( p ) , f ( q ) ) {\displaystyle d_{G}(p,q)=d_{G'}(f(p),f(q))} が成り立つ。