補空間
U と W が V において互いに相補的な部分空間であるとき、V は U と W の内部直和 V = U ⊕ W である。
V の部分空間 U, W の外部直和 U ⊞ W に対し、線型写像 U ⊞ W → V ; ( u , w ) ↦ u + w {\displaystyle U\boxplus W\to V;\;(u,w)\mapsto u+w} が同型となるための必要十分条件は、U と W が V において相補的、すなわち V が U, W の内部直和となることである。
V の任意の部分空間 U に対し、その補空間が常に存在することは補基底定理(ドイツ語版)(基底の延長定理)からわかるが、補空間は一般には一意に決まらない。例えば R 2 = ⟨ ( 1 0 ) ⟩ ⊕ ⟨ ( 0 1 ) ⟩ = ⟨ ( 1 0 ) ⟩ ⊕ ⟨ ( 1 2 ) ⟩ {\textstyle \mathbb {R} ^{2}=\langle {\tbinom {1}{0}}\rangle \oplus \langle {\tbinom {0}{1}}\rangle =\langle {\tbinom {1}{0}}\rangle \oplus \langle {\tbinom {1}{2}}\rangle } である。