ベルンシュタインの定理
ベルンシュタインの定理を用いて、 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} から ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} への全単射を構成する。 関数 f : [ 0 , ∞ ) → ( 0 , ∞ ) {\displaystyle f\colon [0,\infty )\to (0,\infty )} , g : ( 0 , ∞ ) → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle g\colon (0,\infty )\to [0,\infty )} を f ( x ) = x + 1 {\displaystyle f(x)=x+1} , g ( x ) = x {\displaystyle g(x)=x} と定めると、どちらも単射である。 このとき、 g ∘ f ( x ) = x + 1 {\displaystyle g\circ f(x)=x+1} , ( g ∘ f ) n ( x ) = x + n {\displaystyle (g\circ f)^{n}(x)=x+n} であるから、
ベルンシュタインの定理(ベルンシュタインのていり、カントール=ベルンシュタイン=シュレーダーの定理、シュレーダー=ベルンシュタインの定理、カントール=ベルンシュタインの定理とも、英: Schröder–Bernstein theorem)とは、集合 A から集合 B に単射 があり、集合 B から集合 A へも単射があれば、集合 A から集合 B への全単射があるというものである。濃度においては、これは |A| ≤ |B| かつ |B| ≤ |A| ならば |A| = |B| である、ということを言っているわけで、非常に基本的な要請がこの定理によって満たされることになる。