六次方程式
一般に一変数の六次方程式は
a 6 x 6 + a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 ( a 6 ≠ 0 ) {\displaystyle a_{6}x^{6}+a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad (a_{6}\neq 0)}
の形で表現される。
五次以上の一般の方程式に対する代数的解法は存在しない。すなわち、一般の五次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。これはルフィニ、アーベルらによって示された(アーベル–ルフィニの定理参照)。これは六次方程式にも当てはまるので、一般の六次方程式に対して代数的な根の公式は存在しない。 またガロアによって方程式が代数的に解ける条件が裏付けられている(ガロア理論参照)。
なお、代数的ではないが、楕円関数などを用いた根の公式は存在する。
チルンハウス変換(英語版)などにより以下の式となる。
x 6 + x 2 + a x + b = 0 {\displaystyle x^{6}+x^{2}+ax+b=0}