真の算術
二階算術の真の理論は二階算術の言語において二階算術の標準モデルによって充足されるすべての文からなる。二階算術の標準モデルはその一階部分が構造 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} であり、その二階部分が N {\displaystyle \mathbb {N} } のすべての部分集合からなる。
一階算術の真の理論 Th( N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ) は二階算術の真の理論の部分集合であり、Th( N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ) は二階算術で定義可能である。しかし、ポストの定理の解析的階層への一般化により、二階算術の真の理論は二階算術のいかなる単一の論理式によっても定義可能でないことが示される。
Simpson (1977) は二階算術の真の理論は、半順序のシグネチャにおいて、すべてのチューリング次数の半順序の理論と計算可能な解釈が可能であり、その逆も成り立つことを示した。
真の算術は不安定な理論であり、そのため非可算濃度 κ {\displaystyle \kappa } ごとに 2 κ {\displaystyle 2^{\kappa }} 個のモデルを持つ。この理論は完全なので、そのすべてのモデルは初等的同値である。
この構造は一階算術の標準モデルもしくは意図した解釈として知られる。
一階算術の言語における文は、いま定義した構造において真であるとき N {\displaystyle {\mathcal {N}}} において真であるという。表記法 N ⊨ φ {\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi } は、文 φ が N {\displaystyle {\mathcal {N}}} において真であることを示すために使われる。
真の算術は一階算術の言語における文のうち N {\displaystyle {\mathcal {N}}} において真であるものすべての集合 Th( N {\displaystyle {\mathcal {N}}} ) である。この集合は構造 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} の (完全な) 理論と同値である。