平方根
B がそれ自身エルミート(実係数の場合は対称)ならば、これは上で述べた平方根の概念と一致する。任意の正定値エルミート行列 P に対し、それ自身正定値エルミートとなる平方根は一意であり、これを主平方根 (unique square root, principal square root)と呼ぶが、しばしば記号 √P や P は専ら主平方根を表すために予約されることに注意すべきである。また、正定値エルミート行列の任意の非エルミート平方根は、ユニタリ行列を掛ける分の不定性を持つが、これは正実数の場合に、(正値の主平方根が一意に決まること、および)主平方根に ±1 を掛けたものがその平方根のすべてであることと対応している。
このような半正定値行列の平方根の計算および一意性の証明には、エルミート作用素に関するスペクトル論(固有値分解)や特異値分解あるいはコレスキー分解などが利用できる。
a>0、 b>0 のとき、
a b = a b , a b = a b {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {ab}}&={\sqrt {a}}{\sqrt {b}},\\{\sqrt {\frac {a}{b}}}&={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\end{aligned}}}
が成り立つ。