コンパクトハウスドルフ空間上の連続函数
複素函数の場合、この主張は A が複素共役の下で閉じているという追加条件の下で成立する。
X と Y が二つのコンパクトハウスドルフ空間で、F : C(X) → C(Y) が複素共役に交換する環の準同型写像であるなら、F は連続である。さらに F はある連続函数 ƒ : Y → X に対して F(h)(y) = h(f(y)) という形を取る。特に C(X) と C(Y) が環として同型なら、X と Y は位相同型な位相空間である。
Δ を C(X) 内の極大イデアルの空間とする。このとき、Δ と X の点の間にはある一対一対応が存在する。さらに Δ はすべての複素準同型写像 C(X) → C の集まりと一致する。Δ にこの C(X) との組合せ(すなわち、ゲルファンド変換(英語版))に関する始位相(英語版)を導入する。このとき X は、この位相を備える Δ と位相同型である (Rudin 1973, §11.13)。
C(X) 内の列が弱コーシーであるための必要十分条件は、それが C(X) 内で(一様)有界かつ各点収束することである。特に C(X) は、有限集合 X に対してのみ弱完備となる。
漠位相(英語版)は、C(X) の双対上の弱*位相(英語版)である。
バナッハ=アラオグルの定理より、任意のノルム空間は、ある X に対する C(X) の部分空間と等長同型である。