トゥエ・ジーゲル・ロスの定理
この種の議論における最初の結果は、代数的数の近似に関するリウヴィルの定理で、次数 d ≥ 2 の代数的数 α に対するディオファントス近似の指数を d と与える。超越数の存在を示すにはこの近似で充分であった(リウヴィル数参照)。トゥエは d より小さな指数をディオファントス方程式の解に対して適用でき得ることを見出し、1909年にトゥエの定理から、指数は d/2 + 1 + ε であることを示した。その後、ジーゲルの定理によって 2 d {\displaystyle 2{\sqrt {d}}} 、1947年のダイソンの定理によって 2 d {\displaystyle {\sqrt {2d}}} と指数の値が改良された。
指数が 2 となるロスの定理は、ε = 0 とすると定理が成立しないという意味で最良である。ディリクレのディオファントス近似定理により、任意の無理数に対し無限個の解が存在するからである。しかし、サージ・ラングによるより強い予想: