コンパクト化
( j , K ) {\displaystyle (j,K)} を X {\displaystyle X} のハウスドルフなコンパクト化とする。このとき j {\displaystyle j} から自然な埋め込み C b ( K ) ↪ C b ( X ) {\displaystyle C_{b}(K)\hookrightarrow C_{b}(X)} が誘導され、さらにそこから自然な射影 j ∗ : ∏ f ∈ C b ( X ) I m ( f ) ̄ → ∏ f ∈ C b ( K ) I m ( f ) ̄ {\displaystyle j^{*}:\prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}\to \prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}} が誘導される( K {\displaystyle K} がコンパクトなので C b ( K ) {\displaystyle C_{b}(K)} は連続関数全体と一致する)。