リッチフロー
)ハミルトンのアイデアは、これらの特別な計量がリッチフローの不動点のような振る舞いをするはずであるということにあり、多様体が与えられると、大域的には唯一のサーストンの幾何学が許容され、フローの下ではアトラクターとして振る舞うはずであるというアイデアである。
ハミルトンの正のリッチフローを持つ計量がある滑らかな3次元閉多様体は、サーストンの幾何学をただ一つ持つ。つまり球形の計量を持ち、リッチフローの特異点を引き付けるのように実際作用して、体積を保存するよう正規化される。(正規化されていないリッチフローの下では、多様体は有限時間内に一点に崩壊する。)このことは幾何化予想全体を証明したことにはならない。なぜならば、最も難しい場合は多様体が負のリッチ曲率を持つ多様体、特に負の断面曲率を持つ場合であるからである。(3次元閉多様体はすべて負のリッチ曲率を持つことができるという事実は、奇妙で興味深い!これは1986年に L. Zhiyong Gao と Shing-Tung Yau により証明された。)実際、19世紀の幾何学で成功したこととして一意化定理の証明があった。これはハミルトンのリッチフローが負の曲率を持つ2次元多様体から双曲平面と局所同値である 2-次元の多数の穴の開いたトーラスへ発展するという滑らかな 2次元多様体の分類に似ている。この話題は、解析学や数論、力学系、数理物理学、天文学さえも密接に関連する重要な話である。
で与えられる。ここに、 R a v g {\displaystyle R_{\mathrm {avg} }} は(トレースを取ることで得られるスカラーテンソルの平均値であり、 n {\displaystyle n} は多様体の次元である。この正規化された等式は、計量としての体積形式を保存する。
変数 t を 0 でない実数へ取り替えることができるため、−2 の掛け算の要素は、あまり重要性がない。しかし、マイナス符号はリッチフローが充分小さな正の時間に対して定義するできることを保証する。符号を変えると、リッチフローは通常、小さな負の時間に対して定義することができる。(このことは、熱方程式が時間とともに前へ進むことができるが、後ろへ進むことはできないことと、同じ状況である。)
非公式には、リッチフローは多様体の負に曲がった領域では膨張する傾向があり、逆に、正の曲がった領域では収縮する傾向がある。