テイラーの定理
テイラー近似に現れる項の剰余項の正確な公式があるよりはむしろそれを評価できることの方が実用上しばしば有用である。f が a を含む区間 I において (k + 1) 回連続微分可能とする。実定数 q, Q が存在して I 上
q ≤ f ( k + 1 ) ( x ) ≤ Q {\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}
とする。このとき剰余項は x > a のとき不等式
q ( x − a ) k + 1 ( k + 1 ) ! ≤ R k + 1 ( x ) ≤ Q ( x − a ) k + 1 ( k + 1 ) ! , {\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k+1}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}
}
関数 f: R → R が閉球 B において k + 1 回連続微分可能ならば、f の k + 1 階偏導関数を用いてこの近傍において剰余項の正確な公式を導出できる。すなわち、
f ( x ) = ∑ | α | ≤ k D α f ( a ) α ! ( x − a ) α + ∑ | β | = k + 1 R β ( x ) ( x − a ) β , R β ( x ) = | β | β ! ∫ 0 1 ( 1 − t ) | β | − 1 D β f ( a + t ( x − a ) ) d t . {\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}}