クラマース＝ワニア双対性
2次元イジングモデルは格子(チェスボード状の正方形の集まり)上で定義される。有限格子では、辺はトーラスを形成するように結合できる。この種類の理論では、対合を構成することができる。例えば、ラルス・オンサーガー(Lars Onsager)は、Y-Δ変換が三角格子に使えるのではないかと提唱した。さて、離散的なトーラスの双対は自己自身である。さらに、非常に非秩序な(高温度)系の双対は、非常に秩序のある(低温度)系である。これは、フーリエ変換が大きな帯域幅をもつ(標準偏差が大きい)信号を帯域幅の小さな(標準偏差の小さい)信号にするためである。従って、逆温度を持つ本質的に同じ理論であることがわかる。
一方の理論の温度を上げると、もう一方の理論は温度が下る。相転移が一つしかない場合、相転移は交叉する点、すなわち双方の系の温度が等しくなる点で起こる。2次元イジングモデルは無秩序状態から秩序状態へ移るので、無秩序相と秩序相の間には 一対一写像に近い写像が存在する。
理論は一般化され、現在では、様々な考え方が融合している。例えば、四角形格子は円、ランダム格子、非等質トーラス、三角格子、 labyrinth、ツイストした境界を持つ格子、カイラルポッツモデルなど、様々なものに置き換えられる。