積測度
実際、空間が σ {\displaystyle \sigma } -有限であるとき、積測度は一意的に定義され、すべての可測集合 E に対して
( μ 1 × μ 2 ) ( E ) = ∫ X 2 μ 1 ( E y ) d μ 2 ( y ) = ∫ X 1 μ 2 ( E x ) d μ 1 ( x ) {\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1}(x)}
が成立する。ただし Ex = {y∈X2|(x,y)∈E} および E = {x∈X1|(x,y)∈E} で、それらはいずれも可測集合である。
この測度の存在はコルモゴロフの拡張定理によって保証される。積測度の一意性は、(X1,Σ1,μ1) および (X2,Σ2,μ2) のいずれもが σ-有限(英語版)であるときにのみ保証される。
ユークリッド空間 R 上のボレル測度は、実数直線 R 上のボレル測度の n 個のコピーの積として得られる。
直積空間の二つの因子がたとえ完備測度空間であっても、その直積空間自身が完備測度空間であるとは限らない。したがって、ボレル測度をルベーグ測度に拡張したり、二つのルベーグ測度の積を直積空間上のルベーグ測度を与える上で拡張するためには、完備化の手順が必要となる。
二つの測度の積の構成と反対の手順は、分解(英語版)として知られている。これはある意味において、与えられた測度を測度の族に「分ける」作業である。そのようにして分けられた測度から、元の測度を得ることも可能である。
ただし B 1 ∈ Σ 1 {\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}} および B 2 ∈ Σ 2 {\displaystyle B_{2}\in \Sigma _{2}} である。このような Σ 1 ⊗ Σ 2 {\displaystyle \Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}} はその直積空間上の「テンソル積σ-代数」(tensor-product σ-algebra)と呼ばれる。
積測度 μ 1 × μ 2 {\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}} は、可測空間 ( X 1 × X 2 , Σ 1 ⊗ Σ 2 ) {\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})} 上の測度で、すべての B 1 ∈ Σ 1 , B 2 ∈ Σ 2 {\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}} に対して次の性質を満たすものとして定義される。
( μ 1 × μ 2 ) ( B 1 × B 2 ) = μ 1 ( B 1 ) μ 2 ( B 2 ) . {\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2}).}
無限大となることもあるような測度の掛け算において、その積がゼロであるとは任意の因子がゼロであることとして定義する。