ボレル総和
(B)は、ミッタク=レフラー総和法において α = 1 とした場合に相当する。
オイラー総和法 (E, q) の収束領域が q → ∞ の極限において(B)の収束領域へ収束するという意味で、(wB)は一般化オイラー総和法の極限ケースとみなせる。
と計算できる。z = 2 におけるボレル和は
∫ 0 ∞ e t sin  ( e 2 t ) d t = ∫ 1 ∞ sin  ( u 2 ) d u = π 8 − S ( 1 ) < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})\,dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})\,du={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}-S(1)<\infty }
となる(ここに、S(x) はフレネル積分を表す)。線分に沿って収束定理を適用することにより、ボレル積分は z ≤ 2 を満たすすべての z に対して収束する(明らかに z > 2 を満たす z に対しては積分は発散する)。 弱-ボレル和について、
lim t → ∞ e − t ( 1 − z ) sin  ( e t z ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-t(1-z)}\sin(e^{tz})=0}
が成立するのは z < 1 のみであるから、弱-ボレル和はこの領域でのみ収束する。
ある z ∈ C で弱-ボレル総和可能な任意の級数 A(z) は、常に同じ点 z でボレル総和可能である。しかし弱-ボレル総和法では発散し、かつボレル総和可能であるような級数の例を構築できる。次の定理により2つの方法はある条件の下で同値となることが示される。
定理 (Hardy 1992)
A(z)を形式的べき級数とし、z ∈ Cを固定する。このとき: (wB)の意味で ∑ a k z k = a ( z ) {\displaystyle \sum a_{k}z^{k}=a(z)} ならば、(B)の意味で ∑ a k z k = a ( z ) {\displaystyle \sum a_{k}z^{k}=a(z)} である。 (B)の意味で ∑ a k z k = a ( z ) {\displaystyle \sum a_{k}z^{k}=a(z)} であり、かつ lim t → ∞ e − t B ( A ) ( t z ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}(A)(tz)=0} であるならば、(wB)の意味で ∑ a k z k = a ( z ) {\displaystyle \sum a_{k}z^{k}=a(z)} である。
すべての正の実数について、A(z) のボレル変換 B(A) が、次の広義積分がwell-definedになるほど緩やかに増加する関数に収束すると仮定する。このとき、A(z) のボレル総和を次で定義する:
∫ 0 ∞ e − t B ( A ) ( t z ) d t . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}(A)(tz)\,dt.}
この積分がある z ∈ C で値 a(z) に収束するとき、A(z) のボレル総和は z で収束すると言い、
∑ a k z k = a ( z ) ( B ) {\displaystyle \sum a_{k}z^{k}=a(z)\qquad ({\textbf {B}})}
と書く。