べき乗法
べき乗法(べきじょうほう)とはある n × n {\displaystyle n\times n} 行列の固有値のうち、絶対値最大のものを求める手法の総称であり、いくつかのバリエーションがある。累乗法とも呼ばれる。
典型的には、与えられた n × n {\displaystyle n\times n} 行列 A {\displaystyle \mathbf {A} } に対して、適当な初期ベクトル x ( 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}} から始めて、逐次
x ( k ) = A x ( k − 1 ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}=\mathbf {A} \mathbf {x} ^{(k-1)}}
を計算することで、 x ( k ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}} が A {\displaystyle \mathbf {A} } の絶対値最大の固有値 λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} に属する固有ベクトルの方向に漸近していくことを利用し、
最大固有値と、その次に大きい固有値の差が小さすぎる場合、収束が極めて遅くなる。
x ( 0 ) = c 1 u 1 + c 2 u 2 + ⋯ + c n u n {\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}=c_{1}\mathbf {u} _{1}+c_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n}}
と表すことができる。ここで、 c 1 ≠ 0 {\displaystyle c_{1}\neq 0} とすれば、 x ( k ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}} は以下のように表される。
x ( k ) = A k x ( 0 ) = c 1 λ 1 k u 1 + c 2 λ 2 k u 2 + ⋯ + c n λ n k u n = c 1 λ 1 k { u 1 + c 2 c 1 ( λ 2 λ 1 ) k u 2 + ⋯ + c n c 1 ( λ n λ 1 ) k u n } {\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}=\mathbf {A} ^{k}\mathbf {x} ^{(0)}=c_{1}{\lambda _{1}}^{k}\mathbf {u} _{1}+c_{2}{\lambda _{2}}^{k}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}{\lambda _{n}}^{k}\mathbf {u} _{n}=c_{1}{\lambda _{1}}^{k}{\biggl \{}\mathbf {u} _{1}+{\dfrac {c_{2}}{c_{1}}}\left({\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}\mathbf {u} _{2}+\cdots +{\dfrac {c_{n}}{c_{1}}}\left({\dfrac {\lambda _{n}}{\lambda _{1}}}\right)^{k}\mathbf {u} _{n}{\biggr \}}}