主束
数学において、主束(しゅそく、英: principal bundle)は、枠束を抽象化した概念である。 ここで枠束(英: frame bundle)とは、ファイバー束であって、任意の一点上のファイバー(繊維)が、あるベクトル空間における並び順の付いた基底全体の集合からなるものである。 主束は、構造群と呼ばれるある与えられた群 G により、ファイバーが G の主等質空間(英:principal homogeneous space)(G が自由かつ推移的に作用する集合のこと。G-トルソ(英:G-torsor)ともいう)になるものとして特徴付けられる。 これは、一般枠束におけるベクトル空間の全基底に対する一般線型群の作用を一般化したものである。
さらに、主 G 束(しゅ G そく、英: principal G-bundle)とは、ファイバー束であって、全てのファイバーが位相群 G の群の作用により主等質空間になるものをいう。 主 G 束は、群 G が束の構造群にもなるという意味で、G 束である。
主束は、位相幾何学および微分幾何学で重要な応用を有する。 主束は物理においても、ゲージ理論の根本的枠組みの一部を構成するという応用を見出した。 構造群 G を有するすべてのファイバー束は、一意に主 G 束を決定し、この主束により元の束が再構成できるという意味で、主束は、ファイバー束の理論に統一的枠組みを与える。
滑らかな多様体 M の枠束は、滑らかな主束の原型をなす例であり、しばしば FM または GL(M) と記す。 ここで、任意の点 x ∈ M の上のファイバーは、接空間 TxM に関する枠(並び順の付いた基底)全体の集合である。 一般線型群 GL(n,R) は、これら枠に単純推移的(推移的であって各点の、固定部分群が単位元だけからなること)に作用する。 これらのファイバーを自然に同一視することにより、M 上の主 GL(n,R) 束を得る。
上記例の発展として、リーマン多様体 (M,g) 上の直交枠束(ちょっこうわくそく、英:orthogonal frame bundle)または正規直交枠束(せいきちょっこうわくそく、英:orthonormal frame bundle) O(M) がある。 ここで、枠は、リーマン計量 g に関し正規直交なもののみ取り、構造群は直交群 O(n) である。
一般に、E を、M 上の階数 k の任意のベクトル束とすると、E の枠の束は、主 GL(k,R) 束で、時として F(E) と書く。
正則被覆空間 p : C → X は、構造群 π1(X)/p*π1(C) がモノドロミー作用を通じて C に作用する主束である。 特に、X の普遍被覆は、構造群 π1(X) を有する主束である。
G を任意のリー群、H を閉部分群(正規部分群である必要はない)とする。 すると、G は、左剰余類 G/H 上の主 H 束になる。 ここで、H の G への作用は左乗法である。 (この例では、単位元を含む特別なファイバーが一つあり、それは自然に H に同型である。