量子群
S 1 ( k λ ) = k − λ , S 1 ( e i ) = − e i k i − 1 , S 1 ( f i ) = − k i f i , {\displaystyle S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1},\ S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i},} S 2 ( k λ ) = k − λ , S 2 ( e i ) = − k i e i , S 2 ( f i ) = − f i k i − 1 , {\displaystyle S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i},\ S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1},} S 3 ( k λ ) = k − λ , S 3 ( e i ) = − q i e i , S 3 ( f i ) = − q i − 1 f i . {\displaystyle S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda },\ S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i},\ S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}.}
あるいは、量子群 Uq(G) を C 上の不定元 q のすべての有理関数からなる体 C(q) 上の代数と見ることができる。
同様に、量子群 Uq(G) を Q 上の不定元 q のすべての有理関数の体 Q(q) 上の代数と見なすことができる(下の q = 0 における量子群についての節を参照)。量子群の中心は量子行列式によって記述できる。