本質的スペクトル
第5の本質的スペクトル σess,5(T) は、レゾルベント集合 C \ σ(T) と共通部分を持たない C \ σess,1(T) の全ての成分と、σess,1(T) との合併として与えられる。
上のどの定義に対しても、作用素の本質的スペクトルは閉集合である。さらに、
σ e s s , 1 ( T ) ⊂ σ e s s , 2 ( T ) ⊂ σ e s s , 3 ( T ) ⊂ σ e s s , 4 ( T ) ⊂ σ e s s , 5 ( T ) ⊂ σ ( T ) ⊂ C {\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subset \sigma (T)\subset \mathbf {C} }
が成立するが、どの包含関係も狭義である可能性がある。しかしながら、自己共役作用素に対しては、上の全ての定義に対する本質的スペクトルは一致する。
本質的スペクトルの「半径」を