フロー (数学)
は、最後の変数について次の群法則を確かに満たす:
φ ( φ ( x 0 , t 0 , t ) , s ) = φ ( φ t , t 0 ( x 0 ) , t + t 0 , s ) = ( φ s , t + t 0 ( x 0 ) , s + t + t 0 ) = φ ( x 0 , t 0 , s + t ) . {\displaystyle \varphi (\varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0},t),s)=\varphi (\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0},s)=(\varphi ^{s,t+t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),s+t+t_{0})=\varphi ({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0},s+t).}
ベクトル場の時間依存のフローは、次のような技巧により時間独立の場合の特殊例と見なすことが出来る。
X 内の x が与えられたとき、集合 φ(x,t): t ∈ R は φ の下での x の軌道と呼ばれる。非公式的に言うと、それは初めに x にあった粒子の軌跡である。フローがベクトル場により生成されるとき、その軌道は積分曲線の像である。