リー環の拡大
リー環の拡大
h ↪ i s ↠ s g , {\displaystyle {\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {s}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},}
が分裂とは,部分空間 u であって,ベクトル空間として s = u ⊕ ker s かつ,u が s の部分代数となるものが存在することをいう.
イデアルは部分代数だが,部分代数はイデアルとは限らない.したがって自明な拡大は分裂拡大である.
リー対応(英語版)のため,理論は,したがってリー環の拡大の歴史は,群の拡大の理論と歴史と密接に関係している.群の拡大の系統的な研究はオーストリアの数学者オットー・シュライアー(英語版) (Otto Schreier) によって1923年の彼の PhD 論文(後に出版)においてなされた.オットー・ヘルダー (Otto Hölder) によってシュライアーの論文のために出された問題は次のものであった:「2つの群 G と H が与えられたとき,群 E であって G と同型な正規部分群 N を持ち剰余群 E/N が H と同型であるものをすべて求めよ.」
リー環の拡大は無限次元リー環に対して最も興味深く有用である.1967年ヴィクトル・カッツ (Victor Kac) とロバート・ムーディ(英語版) (Robert Moody) は独立に古典的なリー環の概念を一般化し,今ではカッツ・ムーディ代数と呼ばれる無限次元リー環の新しい理論を拓いた.それらは有限次元単純リー環を一般化し,しばしば拡大として具体的に構成できる.
i : h ↪ e ; H ↦ ( H , 0 ) , s : e ↠ g ; ( H , G ) ↦ G {\displaystyle i\colon {\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {e}};H\mapsto (H,0),\quad s\colon {\mathfrak {e}}\twoheadrightarrow {\mathfrak {g}};(H,G)\mapsto G}
と定義する.(1) が完全列として成り立つことは明らかである.g の h によるこの拡大は自明な拡大と呼ばれる.これはもちろん,リー環の直和に他ならない.定義の対称性により,e は h の g による拡大でもあるが,h ⊕ g ≠ g ⊕ h である.(3) から部分環 0 ⊕ g がイデアルであることは明らかである.リー環の直和のこの性質は自明な拡大の定義に昇格する.
定義により,φ2 = φ1 + δf である. ψ : G + μ c ∈ e 1 ↦ G + μ c + f ( G ) c ∈ e 2 {\displaystyle \psi \colon G+\mu c\in {\mathfrak {e}}_{1}\mapsto G+\mu c+f(G)c\in {\mathfrak {e}}_{2}}
と定義する.定義から ψ がリー環の同型であり (2) が成り立つことが従う.
upon identification of the generic central term as (D − 2) times the identity operator, this is the Virasoro algebra, the universal central extension of the Witt algebra.
The operator L0 enters the theory as the Hamiltonian, modulo an additive constant. Moreover, the Virasoro operators enter into the definition of the Lorentz generators of the theory. It is perhaps the most important algebra in string theory. The consistency of the Lorentz generators, by the way, fixes the spacetime dimensionality to 26. While this theory presented here (for relative simplicity of exposition) is unphysical, or at the very least incomplete (it has, for instance, no fermions) the Virasoro algebra arises in the same way in the more viable superstring theory and M-theory.