1+2+3+4+…
1 + 2 + 3 + 4 + ... のラマヌジャン和(英語版)も −1/12 になる。ハーディへ宛てたラマヌジャンの二通目の書簡 (1913年2月27日付け) には
と書かれている。
ラマヌジャン総和法は、級数の部分和に対するオイラー=マクローリンの公式の定数項だけを分離する方法である。関数 f に対して、級数 ∑ k = 1 ∞ f ( k ) {\displaystyle \scriptstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)} の古典ラマヌジャン和 (classical Ramanujan sum) は
c = − 1 2 f ( 0 ) − ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! f ( 2 k − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}
で定義される。ここで f は f の (2k − 1)-階導関数で B2k は 2k-番目のベルヌーイ数である (B2 = 1/6, B4 = −1/30, .
2206/kyushujm.57.175, hdl:2324/11683, https://doi.org/10.2206/kyushujm.57.175 2023年9月26日閲覧。
Elizalde, Emilio (2004). "Cosmology: Techniques and Applications". Proceedings of the II International Conference on Fundamental Interactions. arXiv:gr-qc/0409076。
Watson, G. N. (April 1929), “Theorems stated by Ramanujan (VIII): Theorems on Divergent Series”, Journal of the London Mathematical Society, 1 4 (2): 82–86, doi:10.1112/jlms/s1-4.14.82
Numberphile はノッティンガム大学の物理学者、エド・コープランドを招いた 21 分の動画も制作しており、アーベル和として S2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = 1/4 となること、ζ(−1) として S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... = −1/12 となることについて、より詳細に解説している 。 後日、最初の動画が厳密性に欠けているという批判があり、パディーヤは彼のウェブページで、動画の中で行った操作と実際に行われている relevant なディリクレ級数に対する解析接続との関係についての解説を書いている。 ニューヨーク・タイムズの Numberphile の動画に関する記事で、数学者のエドワード・フレンケルは次のようにコメントしている。「この計算は数学界における最高の秘密の一つだろう。外部の人間は誰もそれについて知らないのだ 」。