PID制御
上記のようなPI制御の問題点を解決するために、
u ( t ) = K p e ( t ) + K i ∫ 0 t e ( τ ) d τ + K d d e ( t ) d t {\displaystyle u(t)=K_{p}e(t)+K_{i}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau +K_{d}{{d}e(t) \over dt}}
と3つ目の項を付け加える。 この項は急激な出力値の変化が起こった場合、その変化の大きさに比例した入力を行うことで、その変化に抗しようとする役目を果たす。定数Kdは微分ゲイン、Dゲインと呼ばれる。
また、微分ゲインをKd = Kp・Tdで表し、上式に代入すると、
Δ x ( t ) = K p ( Δ y ( t ) + 1 T i ∫ 0 t Δ y ( τ ) d τ + T d d Δ y ( t ) d t ) {\displaystyle \Delta x(t)=K_{p}(\Delta y(t)+{1 \over T_{i}}\int _{0}^{t}\Delta y(\tau )\,d\tau +T_{d}{{d\Delta y(t)} \over dt})}
このTdは微分時間と呼ばれる。 微分時間の物理的意味は、ある一定の変化率の出力値の変動が継続した(つまりde(t)/dtが一定)のときにP動作とD動作の項が同じになるのに要する時間である。 微分時間が大きいほどD動作の寄与が大きくなり変動へ対処が迅速に行われるが、大きすぎると今度は逆方向へ変動したりすることになり制御が不安定になる。
PID制御を伝達関数で表現すれば、
U ( s ) = ( K p + K i s + K D s ) E ( s ) = K p ( 1 + 1 T i s + T d s ) E ( s ) {\displaystyle U(s)=\left(K_{p}+{\frac {K_{i}}{s}}+K_{D}s\right)E(s)=K_{p}\left(1+{\frac {1}{T_{i}s}}+T_{d}s\right)E(s)}
となる。PID制御の伝達関数C(s)は以下のようになる。
ジーグラ・ニコルス法以外にも多くの調整則が提案されており、それらの中の一つとして1952年に発表されたCHR法が知られている。ステップ応答法の1種で、提案者のチェン(Chien)、フローネス(Hrones)、レスウィック(Reswick)の3名の頭文字からCHR法と呼ばれる。CHR法には、目標値追従を目的にする場合と外乱効果抑制を目的にする場合、さらにオーバーシュート量0の場合と20%の場合があり、各パラメータを下の表のように決める。