線型連続体
A = ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle A=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )}
は線型連続体でない。性質b)は自明に満たす。しかし、B を負の実数の集合 B = ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle B=(-\infty ,0)}
とすると、B はA の部分集合であり、上に有界である(例えば1はB の上界である)。しかし、B には上限が存在しない。ただし、0はA の元ではないことからB の上界でないことに注意せよ。
Z − {\displaystyle Z_{-}} を負の整数の集合、A を A = ( 0 , 5 ) ∪ ( 5 , ∞ ) {\displaystyle A=(0,5)\cup (5,\infty )} として、S を
S = Z − ∪ A {\displaystyle S=Z_{-}\cup A}
としよう。そのとき、S はa)もb)も満たさない。その証明は上記と同様である。