伸張 (作用素論)
ヒルベルト空間上のすべての縮小写像にはユニタリ伸張が存在する。この伸張は次のようなものである。縮小写像 T に対し、作用素
D T = ( I − T ∗ T ) 1 2 {\displaystyle D_{T}=(I-T^{*}T)^{\frac {1}{2}}}
は正となる。ここで平方根を定義するために連続汎関数計算(英語版)が使われる。作用素 DT は T の欠陥作用素(defect operator)と呼ばれる。V を
H ⊕ H {\displaystyle H\oplus H}
上で定義される、次のような作用素(行列)とする。
V = [ T D T ∗ D T − T ∗ ] . {\displaystyle V={\begin{bmatrix}T&D_{T^{*}}\\\ D_{T}&-T^{*}\end{bmatrix}}.}
V は明らかに T の伸張である。また T(I - T*T) = (I - TT*)T は
T D T = D T ∗ T {\displaystyle TD_{T}=D_{T^{*}}T}
を意味する。これを使うことで、直接的な計算により、V はユニタリであり、したがって T のユニタリ伸張であることが示される。この作用素 V はしばしば T のジュリア作用素(Julia operator)と呼ばれる。
T が実スカラー T = cos  θ {\displaystyle T=\cos \theta } であるとき、
数学の作用素論において、あるヒルベルト空間 H 上の作用素 T の伸張(しんちょう、英: dilation)とは、より大きなヒルベルト空間 K 上の作用素で、H の上への直交射影と合成される H への制限が T に等しいもののことを言う。
より正式に、T をあるヒルベルト空間上 H の有界作用素とし、H はより大きなヒルベルト空間 H' の部分空間とする。このとき、 H' 上のある有界作用素 V が T の伸張であるとは、
P H V | H = T {\displaystyle P_{H}\;V|_{H}=T}
が成立することを言う。ここで P H {\displaystyle P_{H}} は H 上の射影である。
このような V はユニタリ(あるいは正規または等長)であるとき、ユニタリ伸張(あるいはそれぞれ、正規伸張または等長伸張)であると言われる。T は V の圧縮と呼ばれる。