反対称テンソル
添字 i, j に関して反対称なテンソル A と、同じ添字に関して対称なテンソル B との縮約は恒等的に 0 に等しい。
一般のテンソル U に対して、その成分を Uijk... とするとき、添字 i, j に関する対称成分および反対称成分
U ( i j ) k ... = 1 2 ( U i j k ... + U j i k ... ) , U [ i j ] k ... = 1 2 ( U i j k ... − U j i k ... ) {\displaystyle {\begin{aligned}U_{(ij)k\dots }&={\tfrac {1}{2}}(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots }),\\U_{[ij]k\dots }&={\tfrac {1}{2}}(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })\end{aligned}}}
に関して、(「成分」の名の示唆する通り)テンソル U は
U i j k ... = U ( i j ) k ... + U [ i j ] k ... {\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }}
なる和に分解される。
ベクトル空間 V に対し、その k-次テンソル冪 V を考える。k-次(または k-階)テンソル T ∈ V が(完全)反対称であるとは
τ σ T = sgn  ( σ ) T ( ∀ σ ∈ S k ) {\displaystyle \tau _{\sigma }T=\operatorname {sgn}(\sigma )T\quad (\forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{k})}
を満たすことをいう。ここで τσ は記号 {1, 2, ..., k} の置換 σ ∈ Sk に付随するテンソルの組み紐写像、sgn(σ) は σ の符号である。
V の基底 {ei} を取り、k-次反対称テンソル T を適当な係数を用いて
T = ∑ i 1 , ... , i k = 1 N T i 1 i 2 ... i k e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ ⋯ ⊗ e i k {\displaystyle T=\sum _{i_{1},\dots ,i_{k}=1}^{N}T_{i_{1}i_{2}\dots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}}
の形に書けば、この基底に関する T の成分 Ti1i2...ik はその添字の任意の互換 に関して符号を変える、すなわち