ハミルトンベクトル場
ハミルトンベクトル場の考え方は、シンプレクティック多様体 M 上の微分可能な関数上の歪対称な双線型作用素であるポアソン括弧を導く。それは
{ f , g } = ω ( X g , X f ) = d g ( X f ) = L X f g {\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})=dg(X_{f})={\mathcal {L}}_{X_{f}}g}
で定義される。ここに、 L X {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}} はベクトル場 X に沿ったリー微分を表す。さらに、次の等式が成り立つ。
X { f , g } = [ X f , X g ] . {\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}].}
ここに右辺はハミルトニアン f と g を持つハミルトンベクトル場のリー括弧を表す。したがって(ポアソン括弧の証明より)、ポアソン括弧はヤコビ恒等式
{ { f , g } , h } + { { g , h } , f } + { { h , f } , g } = 0 {\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0}
を満たす。これは以下のことを意味する。M 上の可微分関数全体のなすベクトル空間にポアソン括弧を与えると R 上のリー環の構造を持ち、対応 f ↦ Xf はリー環準同型であり、その核は局所定数関数(M が連結ならば定数関数)からなる。
(M, ω) をシンプレクティック多様体とする。M 上の滑らかな関数 f ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle f\in C^{\infty }(M)} に対して、
d f = ω ( X f , ⋅ ) {\displaystyle {\mathsf {d}}f=\omega (X_{f},\cdot )}
を満たす M 上のベクトル場 Xf が唯一つ定まる。(Xf の存在性はシンプレクティック形式 ω が非退化である事と外積代数の一般論から従う。)
H をハミルトニアンとするとき、ベクトル場 XH を H から定まるハミルトンベクトル場という。
ハミルトンベクトル場 XH をダルブー座標 ( q 1 , ⋯ , q n , p 1 , ⋯ , p n ) {\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})} を用いて表すと、
X H = ∑ i = 1 n ( ∂ H ∂ p i ∂ ∂ q i − ∂ H ∂ q i ∂ ∂ p i ) {\displaystyle X_{H}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right)}
と書ける。ここで、M の次元は 2n であるとした。