パデ近似
従来のパデ近似は、マクローリン展開を与えられた次数まで再現するように決定されている。そのため、展開点から離れた箇所での値での近似が悪くなることがある。これを回避するのが多点総和法の1種である2点パデ近似である。 x = 0 {\displaystyle x=0} で、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} がある漸近関数 f 0 ( x ) {\displaystyle f_{0}(x)} を用いて、
f ∼ f 0 ( x ) + o ( f 0 ( x ) ) ( x → 0 ) {\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o(f_{0}(x))(x\rightarrow 0)}
と表され、更に、 x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } では、ある漸近関数 f ∞ ( x ) {\displaystyle f_{\infty }(x)} を用いて、
f ( x ) ∼ f ∞ ( x ) + o ( f ∞ ( x ) ) ( x → ∞ ) {\displaystyle f(x)\sim f_{\infty }(x)+o(f_{\infty }(x))(x\rightarrow \infty )}
と表される場合を考える。
指定されたxに対して 、パデ近似はWynnのイプシロン・アルゴリズムによって計算できるが、fのテイラー級数の部分和
T N ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ + c N x N {\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}
から数列の変形によって計算することもできる。ここで
c k = f ( k ) ( 0 ) k ! . {\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}
f は形式的なべき級数としてもよく、そのため、パデ近似を発散級数の総和をとるという目的で使用することもできる。
パデ近似を計算する1つの方法は、 多項式最大公約数の拡張ユークリッドアルゴリズムを使用することである。 関係
R ( x ) = P ( x ) / Q ( x ) = T m + n ( x ) mod x m + n + 1 {\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\text{ mod }}x^{m+n+1}}
は、次のような因子K(x) の存在と同値である:
P ( x ) = Q ( x ) T m + n ( x ) + K ( x ) x m + n + 1 .