ゼータ函数正規化
Ray & Singer (1971) ではこの方法を使い、正の値を固有値 a1, a2, ...., として持つ自己随伴作用素の行列式を定義することに使われた。(これのリーマン多様体への応用としてはラプラシアンとなる。)また、この場合にはゼータ函数は、形式的に A のトレースとなる。Minakshisundaram & Pleijel (1949) は、もし A がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンであれば、ここで定義したゼータ函数であるミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数は収束し、全複素平面へ有理型函数として解析接続されることを示した。セーレイ Seeley (1967) はこの事実をコンパクトリーマン多様体上の A の楕円型微分作用素へ拡張した。従って、そのような作用素に対しゼータ函数正規化を使い、行列式を定義することができる。解析的トーションを参照。
Hawking (1977) はこのアイデアを使い、曲がった時空での経路積分を評価できることを示唆した。彼がゼータ函数を研究したのは、逆メリン変換を使い、曲がった時空であるブラックホールの地平線上やドジッター時空という背景場での熱力学的な重力や量子化された物質の分配函数を、熱方程式の核のトレースへ関係させることで計算するためであった。
数学や理論物理学において、 ゼータ函数正規化(英: Zeta function regularization) とは、物理学での正則化(英語版)や、発散級数と言われる方法である。これによって、発散する和や積に対して有限の値を対応させ、特に、自己随伴作用素の行列式やトレースを定義することに使うことができる.現在は物理学の中の問題に適用することが行われているが、元来は、数論におけるうまく定義できない和について、実際の意味を与えようとすることに原点がある.なお、物理学では「正規化」ではなく「正則化」と呼ぶが、この記事中では物理学に関する記述でも「正規化」で統一する。また、「自己随伴作用素」という用語を使用した。通常は「自己共役作用素」と呼ぶが、問題の作用素は共役だけでなく転置共役を意味する「自己随伴作用素」という用語を使用した。
ゼータ函数正規化は、数論的函数 f(n) の任意の和の素晴らしい解析構造を与える。そのような和は、ディリクレ級数として知られている。正規化された形
f ~ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n − s {\displaystyle {\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}
は、発散する和を複素 s-平面上の一位の極へ変換する。数値計算では、ゼータ函数正規化は収束が極めて遅いので不適当である。数値計算のためのより急速に収束する和が指数正規化であり、これは、
F ( t ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) e − t n . {\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.}
で与えられる.この形を f のZ変換ということもある。ここに z = exp(−t) である。指数正規化とゼータ正規化の解析構造は関連していて、指数和をローラン級数として展開して
F ( t ) = a N t N + a N − 1 t N − 1 + ⋯ {\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots }