順序対
まず、{c, d} = {a} であるとすると c = d = a ゆえ { { c } , { c , d } } = { { a } , { a , a } } = { { a } , { a } } = { { a } } {\displaystyle \{\{c\},\{c,d\}\}=\{\{a\},\{a,a\}\}=\{\{a\},\{a\}\}=\{\{a\}\}} となるがこれと {{a}, {a, b}} とが等しいとすると b = a であることになり、a ≠ b という仮定に反する。また、{c} = {a, b} であるとすると a = b = c ゆえ同様に a ≠ b という仮定に反する。したがって、{c} = {a} であり、c = a および {c, d} = {a, b} を得る。このとき d = a であるとすると {c, d} = {a, a} = {a} ≠ {a, b} で矛盾するから、この場合 d = b であり、まとめると a = c かつ b = d であることを得る。
十分性a = c かつ b = d ならば {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} ゆえ (a, b)K = (c, d)K である。 必要性a = b と a ≠ b のふたつの場合がある。 a = b のとき、(a, b)K = {{a}, {a, b}} = {{a}, {a, a}} = {{a}} に注意すれば { { c } , { c , d } } = ( c , d ) K = ( a , b ) K = { { a } } {\displaystyle \{\{c\},\{c,d\}\}=(c,d)_{\text{K}}=(a,b)_{\text{K}}=\{\{a\}\}} から {c} = {c, d} = {a} でなければならないが、これは a = c かつ a = d ということであり、また仮定より a = b であったから b = d を得る。 a ≠ b のとき、(a, b)K = (c, d)K は {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} の意である。