ミンコフスキーの疑問符関数
疑問符関数は明らかに視覚的に自己相似である。 自己相似のモノイドは、単位正方形に作用する2つの演算子 S と R によって生成され、次のように定義される。
S ( x , y ) = ( x x + 1 , y 2 ) R ( x , y ) = ( 1 − x , 1 − y ) {\displaystyle {\begin{aligned}S(x,y)&=\left({\frac {x}{x+1}},{\frac {y}{2}}\right)\\[5px]R(x,y)&=(1-x,1-y)\end{aligned}}}
視覚的には、 S は単位正方形を左下4分の1に縮小し、 R は中心を通る点反射を実行する。
? のグラフ上の点は単位区間内の x に対して座標 (x, ?(x)) を持つ。? はすべての x ∈ [0, 1] で以下の等式を満たすため、そのような点は S と R によってグラフ上の別の点に変換される。
?  ( x x + 1 ) = ?  ( x ) 2 ?  ( 1 − x ) = 1 − ?  ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {?} \left({\frac {x}{x+1}}\right)&={\frac {\operatorname {?} (x)}{2}}\\[5px]\operatorname {?
} (1-x)&=1-\operatorname {?} (x)\end{aligned}}}
これら2つの演算子は繰り返し結合され、モノイドを形成する。 モノイドの一般的な要素は正の整数 a1, a2, a3, ... に対して
S a 1 R S a 2 R S a 3 ⋯ {\displaystyle S^{a_{1}}RS^{a_{2}}RS^{a_{3}}\cdots }
となる。このような各要素によって、疑問符関数の自己相似性が記述される。 このモノイドは周期倍加(英語版)モノイドとも呼ばれ、すべての周期倍加フラクタル曲線は、周期倍加モノイドによって記述される自己対称性を持つ(疑問符関数はド・ラーム曲線(英語版)(de Rham curve)の特殊なケースであり、ド・ラーム曲線はこのような自己相似曲線のカテゴリーである)。 モノイドの要素は、a1, a2, a3, ...と連分数 [0; a1, a2, a3,...] を同一視することによって有理数と対応づけられる 。
S : x ↦ x x + 1 {\displaystyle S:x\mapsto {\frac {x}{x+1}}}
T : x ↦ 1 − x {\displaystyle T:x\mapsto 1-x}
はいずれも整数係数の線形分数変換であるため、モノイドはモジュラー群 PSL(2, Z)の部分集合と見なすことができる。