波束
古典力学における三次元の波動方程式
∂ 2 u ( x , t ) ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(\mathbf {x} ,t)}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u(\mathbf {x} ,t)}
を考える。ここで c は波の伝播速度である。この波動方程式は、平面波解 u(x, t) = e を持つが、その分散関係は次のように表される。
ω k 2 = | k | 2 c 2 {\displaystyle \omega _{\mathbf {k} }^{2}=|\mathbf {k} |^{2}c^{2}}
| k | 2 = k x 2 + k y 2 + k z 2 {\displaystyle |\mathbf {k} |^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}
つまりこの場合は分散がない。
簡単のために一次元を考えると、一般解は次のように表される。
このガウス波束の幅は、a の逆数であり、
1 a = 2 ⟨ k ⋅ k ⟩ 3 ⟨ 1 ⟩ = 2 ( Δ p x ħ ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle }{3\langle 1\rangle }}=2\left({\frac {\Delta p_{x}}{\hbar }}\right)^{2}}
よって不確定性関係において等号が成立している。
Δ x ⋅ Δ p x = ħ 2 {\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p_{x}={\frac {\hbar }{2}}}
波束の幅が運動とともに線形的に広がっていくことは、運動量の不確定性を反映している。波束が Δx = √a/2 ほどの狭い範囲に制限されていると、運動量は ħ/√2a ほどの不確定性を持つ。波束は ħ/m√2a の速度で広がり、時間 t で ħt/m√2a ほど進む。不確定性関係は等号から大きく外れ、最初の不確定性 Δx⋅Δp = ħ/2 は、t が大きくなると ħt/ma 倍に増加する。