位相体
任意の位相体は連結であるか完全不連結であるかのいずれかであり、連結である位相体の標数は 0 である。つまり有限体である位相体は完全不連結となる。
任意の体 K に対して、離散位相を入れれば位相体になる。
実数体は、通常の加法と乗法に対して、ユークリッド距離を入れることにより位相体になる。
有理数体は、通常の加法と乗法に対して、p-進付値による距離を入れることにより位相体になる。
位相体および位相体の部分環は位相環であるが、逆は必ずしも成り立つとは限らない。つまり、体に位相環となる様に位相を入れても位相体になるとは限らない。例えば、有理数体 Q の位相として
U = { a + b Z ∣ a , b ∈ Q } {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{a+b\mathbb {Z} \mid a,\,b\in \mathbb {Q} \}}
を開集合系となるようなものを考えるとき、Q は位相環であるが位相体ではない。
しかし、 K ^ {\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\!K}}} が加法に対して完備な位相体で、局所コンパクトであるか、または可換体である場合、 K ^ {\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\!K}}} は乗法に対しても完備となる。従って、K が可換体である場合、K の完備な位相環 K ^ {\displaystyle \scriptstyle {\widehat {\!K}}} が位相体であれば、乗法に対しても完備となる。このことから、例えば、乗法が可換である標数が 0 である位相体の完備化が位相体であるならば、複素数体または、ある素数 p に対する p-進体の部分体と同型となる。