レーヴェンハイム–スコーレムの定理
以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性(一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと)と充足可能性(satisfiability、モデルがあること)を区別しなければならない。いくぶんか驚くべきことに、ゲーデルの完全性定理がこの区別を不要とする以前でさえも、整合性 (consistency) という用語は場合によって違う意味で使われていた。
後にモデル理論となる重要な成果は、 レオポルト・レーヴェンハイム(英語版) が "Über Möglichkeiten im Relativkalkül"(1915年)で発表した下記の「レーヴェンハイムの定理」であった。
全ての可算なシグネチャ σ について、充足可能な全てのσ文は可算モデルにおいて充足可能である。
しかし、レーヴェンハイムの証明は間違っていた。1920年、トアルフ・スコーレムは後にスコーレム標準形と呼ばれるようになる論理式を使って選択公理に基づいた正しい証明を行った。
モデル M で充足可能な全ての可算な理論は、M の可算な部分構造において充足可能である。
1923年、スコーレムは選択公理を使わない以下のような弱い形の定理も証明した。
あるモデルで充足可能な全ての可算な理論は、可算なモデルにおいても充足可能である。
さらに1929年、スコーレムは1920年の成果を単純化した。
そして Anatoly Ivanovich Maltsev (Анато́лий Ива́нович Ма́льцев, 1936年) が完全に汎用的な形式でレーヴェンハイム-スコーレムの定理を証明した。彼が引用したスコーレムのメモによれば、アルフレト・タルスキが1928年にこの定理を既に証明していたという。このため一般化した定理を「レーヴェンハイム-スコーレム-タルスキの定理」とも呼ぶ。しかし、タルスキは自分が証明したことを覚えておらず、彼がコンパクト性定理を使わずにどうやって証明しえたのかは謎のままである。
スコーレムの名が下方の定理(下降定理)だけでなく上方の定理(上昇定理)にも付与されているのは、ある意味で皮肉である。
「私は、系 6.1.4 を慣例に従って上方レーヴェンハイム-スコーレムの定理と呼ぶ。しかし、実のところスコーレムは非可算集合の存在を信じておらず、したがってこの定理の意味するところを信じてすらいなかった」 - Hodges (1993)
「スコーレムは ... その結論を意味がないとして拒絶した。タルスキは ... スコーレムの形式主義的観点に立つなら、上方の定理を無意味だとするなら下方レーヴェンハイム-スコーレム定理も無意味とすべきではないか、と非常に適切に応えた」 - Hodges (1993)
「トアルフ・スコーレムは亡くなる直前まで、この定理に彼の名が冠せられていることに憤慨していたという。彼は非可算集合の存在そのものが不合理であるとし、実在しないと考えていた」 - Poizat (2000)