グローバーのアルゴリズム
この行列は、非常に便利なジョルダン標準形をしている。 t = arcsin  ( 1 / N ) {\displaystyle t=\arcsin(1/{\sqrt {N}})} と定義すれば、
U s U ω = M [ exp  ( 2 i t ) 0 0 exp  ( − 2 i t ) ] M − 1 {\displaystyle U_{s}U_{\omega }=M{\begin{bmatrix}\exp(2it)&0\\0&\exp(-2it)\end{bmatrix}}M^{-1}} where M = [ − i i exp  ( i t ) exp  ( − i t ) ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}-i&i\\\exp(it)&\exp(-it)\end{bmatrix}}}
と書ける。 これにより、この行列の r 乗(r 回の繰り返しに対応する)は、
( U s U ω ) r = M [ exp  ( 2 r i t ) 0 0 exp  ( − 2 r i t ) ] M − 1 {\displaystyle (U_{s}U_{\omega })^{r}=M{\begin{bmatrix}\exp(2rit)&0\\0&\exp(-2rit)\end{bmatrix}}M^{-1}}
|s>と|ω>で張られる空間を考える。この平面は、 | ω ⟩ {\displaystyle |\omega \rangle } と,それと直交する | s ′ ⟩ = 1 N − 1 ∑ x ≠ ω | x ⟩ {\displaystyle \textstyle |s'\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N-1}}}\sum _{x\neq \omega }|x\rangle } で張られる空間と等しい。 初期状態 | s ⟩ {\displaystyle |s\rangle } に作用する最初の繰り返しを考えよう。 | ω ⟩ {\displaystyle |\omega \rangle } は基底ベクトルであるから、 | s ⟩ {\displaystyle |s\rangle } と | s ′ ⟩ {\displaystyle |s'\rangle } の重なりは次のようになる。
⟨ s ′ | s ⟩ = N − 1 N {\displaystyle \langle s'|s\rangle ={\sqrt {\frac {N-1}{N}}}}
幾何学的に言えば、 | s ⟩ {\displaystyle |s\rangle } と | s ′ ⟩ {\displaystyle |s'\rangle } のなす角度 θ / 2 {\displaystyle \theta /2} は次の関係を満す。
sin  θ 2 = 1 N {\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{\sqrt {N}}}}
( I − 2 | ω ⟩ ⟨ ω | ) | ω ⟩ = | ω ⟩ − 2 | ω ⟩ ⟨ ω | ω ⟩ = − | ω ⟩ = U ω | ω ⟩ ( I − 2 | ω ⟩ ⟨ ω | ) | x ⟩ = | x ⟩ − 2 | ω ⟩ ⟨ ω | x ⟩ = | x ⟩ = U ω | x ⟩ ∀ x ≠ ω {\displaystyle {\begin{aligned}(I-2|\omega \rangle \langle \omega |)|\omega \rangle &=|\omega \rangle -2|\omega \rangle \langle \omega |\omega \rangle =-|\omega \rangle =U_{\omega }|\omega \rangle \\(I-2|\omega \rangle \langle \omega |)|x\rangle &=|x\rangle -2|\omega \rangle \langle \omega |x\rangle =|x\rangle =U_{\omega }|x\rangle &&\forall x\neq \omega \end{aligned}}}
さらに、 | ω ⟩ {\displaystyle |\omega \rangle } は基底状態で、 | s ⟩ {\displaystyle |s\rangle } は全ての状態の一様な重ね合わせであるから、
⟨ ω | s ⟩ = ⟨ s | ω ⟩ = 1 N , ⟨ s | s ⟩ = N 1 N ⋅ 1 N = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \omega |s\rangle &=\langle s|\omega \rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {N}}},\\\langle s|s\rangle &=N{\tfrac {1}{\sqrt {N}}}\cdot {\tfrac {1}{\sqrt {N}}}=1\end{aligned}}}