巡回群
あるいは環論の言葉で言えば、部分群 nZ は環 Z のイデアルでもあり、(n) とも書かれるので、同じ巡回群を Z/(n)(あるいは Z/n)と書くことも(剰余環の加法群として捉えれば意味のある記法であるので)記号の濫用ということにはならない。これらの別記法であれば p-進整数環の記法と衝突しないし、後者の記法であれば環としても群としても言葉の上では「Z 割る n」といった感じで読めるので、形式張らない計算ではよく用いられる。
実際の問題としては、g で生成される位数 n の有限部分群 C が与えられたとき、適当な整数 k に対する g で生成される部分群の位数 m を求めよというようなものが挙げられる。この場合、m は mk が n で割り切れるような最小の正整数として得られるものであり、従って d = gcd(k, n) を k と n の最大公約数とするときの n/d に等しい。別な言い方をすれば g が生成する部分群の指数が m である。
二次元および三次元の n 回対称変換の成す対称変換群(英語版) Cn は抽象群として Z/nZ に同型である。他にも対称変換群で代数的には同じく巡回群になっているようなものが存在する。
円周上の回転全体の成す群(円周群)S は非可算ゆえに巡回群ではないことに注意。
1 の(複素)n 乗根の全体は複素数の乗法に関して位数 n の巡回群を成す。たとえば、n = 3 のとき
0 = z 3 − 1 = ( z − s 0 ) ( z − s 1 ) ( z − s 2 ) ( s = e 2 π i / 3 ) {\displaystyle 0=z^{3}-1=(z-s^{0})(z-s^{1})(z-s^{2})\quad (s=e^{2\pi i/3})}
であり、{ s, s, s } は群となるが、これが巡回的なのは見ての通りである。
有限体の任意の有限次拡大のガロワ群は有限巡回群である。逆に、有限体 F と有限巡回群 G が与えられたとき、そのガロワ群が G となるような F の有限次拡大が存在する。
有限巡回群の巡回グラフはその元の全体を頂点集合とする多角形である。以下の図で、黒点は群の単位元を表し、その他の元は白点で表されている。一つの循環は、単位元(黒点)に連結された頂点(二つあるうちのどちらでもいいから一方)に対応する元の連続する整数冪からなる。
巡回群の表現論は、もっと一般の有限群の表現論(英語版)の重要な基本となる場合となっている。通常表現(複素線型表現)の場合は指標理論と表現論とを透過的に繋ぐことにより、巡回群の表現は(一次)指標の直和に分解される。正標数の場合には、巡回群の直既約表現の全体が、巡回的シロー部分群を持つ群の表現論やもっと一般の blocks of cyclic defect の表現論のモデルおよび帰納的な基礎を成す。
これは g + h ≡ h + g (mod n) の成立から従う。
n が有限ならば g = g は群 G の単位元である。これは任意の整数 k に対して kn ≡ 0 (mod n) となることに対応する。
n = ∞ ならば G はちょうど二つの生成元をもつ。それらは Z における 1 および −1 に対応する元である。
n が有限ならば G を生成する元の総数はちょうど φ(n) に等しい。ここで φ はオイラーのトーシェント函数である。 もっと一般に、d が n の約数ならば Z/nZ の位数 d の元の個数は φ(d) である。また、m の属する剰余類の位数は n/gcd(n,m) で与えられる。
p が素数ならば、位数 p の群は(同型の違いを除き)巡回群 Cp(あるいは加法的に書くならば Z/pZ)しかない。
二つの巡回群 Z/nZ, Z/mZ の直積群がふたたび巡回群となるための必要十分条件は n と m が互いに素であることである。従って例えば Z/12Z は Z/3Z と Z/4Z との直積に分解されるが Z/6Z と Z/2Z との直積とはならない。
巡回群の定義から直ちにわかることだが、巡回群は非常に簡素な生成元と基本関係による表示を持つ。すなわち
C ∞ = ⟨ x ∣ ⟩ {\displaystyle C_{\infty }=\langle x\mid \ \rangle }