多角数
0 番目の多角数は全て、形式的に 0 とみなすことができる。
n 番目の p 角数を Pp,n とすると上の図から
P p , n + 1 − P p , n = ( p − 2 ) n + 1 {\displaystyle P_{p,n+1}-P_{p,n}=(p-2)n+1\,}
となり、したがって Pp,n は等差数列の和
P p , n = ∑ k = 0 n − 1 { ( p − 2 ) k + 1 } = 1 2 n [ 1 + { ( p − 2 ) ( n − 1 ) + 1 } ] = ( p − 2 ) n 2 − ( p − 4 ) n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{p,n}&=\sum _{k=0}^{n-1}\left\{(p-2)k+1\right\}\\&={\frac {1}{2}}n\left[1+\left\{(p-2)(n-1)+1\right\}\right]\\&={\frac {(p-2)n^{2}-(p-4)n}{2}}\end{aligned}}}
となる。
この式から、2 番目の p 角数は p であり、3 番目の p 角数は 3(p − 1) であることなどが分かる。
なおここで、形式的に「二角数」(p = 2) を考えると、
P 2 , n = n {\displaystyle P_{2,n}=n\,}
となり、自然数列そのものになる。これは、点を直線状に並べることに相当する。ただし古代ギリシャの数学者が直線数と呼んでいたのは、矩形に並べられることができないことからである。