超フィルター
自由な超フィルター U が κ-完備ならば U は κ-一様になる。
自由な超フィルター U ∈ X が可算完備ならば |X| はウラム可測基数、|X|-完備ならば |X| は可測基数(英語版)となる。
位相空間の間の写像 f: X → Y が連続 ⇔ 超フィルター U が x に収束するならば f[U] は f(x) に収束する。
位相空間がハウスドルフ ⇔ 各超フィルターの収束先は高々一つ。
位相空間がコンパクト ⇔ 超フィルターは必ず収束する ⇔ C(X) 上の超フィルターの共通部分は空でない。
一様空間が全有界 ⇔ 超フィルターは必ずコーシーフィルターとなる。
ただし、P ⊆ P(X) が互いに素な集合からなる集合族でその合併が X と一致するとき X の分割といい、[A] ≔ {B ⊆ A : |B| = 2} とする。 特に U が ω-一様選抜的なとき単に選抜的といい、|X|-一様選抜的なとき一様選抜的という。
無限グラフとその頂点集合上のラムゼーフィルター U を固定する。このとき有限色の辺彩色が任意に与えられれば、彩色に関する等質集合を U の元に取れる。これがラムゼーという呼び名の由来である。
このP-点の定義は β(X) ∖ X 上の位相的なP-点の定義と一致する。明らかに選抜的ならP-点である。 ウォルター・ルーディンは連続体仮説から可算集合上のラムゼーフィルターの存在を証明している。更にマーティンの公理を始めとする様々な仮定からラムゼーフィルターの存在は証明されている。逆にサハロン・シェラハはP-pointの存在がZFCから示せないことを証明した。以上からこれらの存在はZFCから独立であることが分かる。
このようなフィルターの性質は「無限の組合せ論」等と呼ばれる集合論の分野の一部をなし、集合論的な議論の基礎をなしている。
以下、集合 X の冪集合 P(X) 上のフィルターを単に X 上のフィルターといい、誤解の恐れがないとき X 上の超フィルター全体からなる集合族 Ult(P(X)) を 単にUlt(X) と書く。以下特に断りがない限りフィルターは集合族上のフィルターのみ考える。
U ∈ Ult(X) としたとき、以下のいずれか片方を満たす。
ある x ∈ X が有って U は x で生成される単項フィルター(U = {A ⊂ X : x ∈ A})。
A が X の有限部分集合ならば A ∈ U。
二番目は自由な(英: free)超フィルター(または非単項(英: non-principal)超フィルター)と呼ばれる非常に重要な超フィルターのクラスである。
U ∈ Ult(X) のとき、前項で定義したブール代数間の準同型 μU: P(X) → {0, 1} は P(X) 全体で定義された X 上の非自明な(μU(X) ≠0)二値有限加法的測度となる。
集合 X, Y 間の写像 f: X → Y に対し、Φf: P(Y ) → P(X) を Φf(B) ≔ f(B)(B ∈ Y)とする。このとき、Φf はブール代数の間の準同型なので、U ∈ Ult(X) のとき、f[U] ≔ {B ⊆ Y : f(B) ∈ U}(= Φ −1f (U))は Y 上の超フィルターである。 このとき、βf: Ult(X) → Ult(Y) はストーンチェックコンパクト化による f の拡張である(ただし βf(U) ≔ f[U])。 このとき (Ult, β) はコンパクトハウスドルフ空間の圏 Comhaus から集合の圏 Set への忘却関手の左随伴関手になっている(詳しくはコンパクト化を参照)。