随伴関手
この関係を Φ : F ⊣ G {\displaystyle \Phi :F\dashv G} 、または単に F ⊣ G {\displaystyle F\dashv G} と書く。
この定義は普遍射を使ったものより少し確認することが多くて、すぐに得られる結果は余単位-単位随伴より少なくなるという論理的な折衷になっている。明らかな対称性や他の定義の間の架け橋にることは有用である。
Φが自然同型であるというときは、homC(F–, –) と homD(–, G–) が関手であると考える必要がある。実際、これらはD × CからSet(集合の圏)への双関手である。詳しくはHom関手の項目を参照せよ。明示的に書くと、Φの自然性というのは、全てのCの射 f : X → X′と全てのDの射g : Y′ → Yについて、以下の図式が可換になることをいう。
この図式の縦方向の射はfやgを合成することで誘導される射である。
関手F : C ← Dが2つの右随伴GとG′を持つとすると、GとG′は自然同型である。左随伴についても同様である。
逆に、FがGの左随伴であり、GとG′が自然同型であるとすると、FはG′の左随伴でもある。より一般には、〈F, G, ε, η〉が(ε,η)をcounit-unitとする随伴であり、
σ : F → F′
τ : G → G′
がともに自然同型であるとすると、〈F′, G′, ε′, η′〉も随伴である。ここで、
η ′ = ( τ ∗ σ ) ∘ η ε ′ = ε ∘ ( σ − 1 ∗ τ − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\eta '&=(\tau \ast \sigma )\circ \eta \\\varepsilon '&=\varepsilon \circ (\sigma ^{-1}\ast \tau ^{-1}).\end{aligned}}}
であり、 ∘ {\displaystyle \circ } は自然変換の垂直合成を表し、 ∗ {\displaystyle \ast } は水平合成を表すとする。
随伴関手は各種の問題に決まりきった方法を使ってもっとも効率的な解を与える方法といえる。たとえば、環論の初等的な問題として、非単位的環を環に変える問題がある。 もっとも効率的に行うには、'1'を追加し、環の公理で要求されている元(環の各元rに対するr+1等)を全て(そして最小限を)追加し、公理が要求する以上の関係は持たない新しい環を構成すればよい。さらに、この構成方法は本質的にはどの非単位的環についても同じやりかたになる。
曖昧にして示唆的であるが、圏論の言語によって次のように簡潔に表現できる。
「構成がもっとも効率的であるとは普遍的であること、決まりきったとは関手を定めることとする。」
ここで、普遍的であるということには「始」普遍的と「終」普遍的の2つの種類があり、これらは双対であるので、片方のみについて考えるだけで十分である。
「始」の場合の普遍性とは、問題を記述できる圏Eを準備して、構成したいものがEの始対象になるようにすることである。この方法の利点は、上限を求めることと同様に、最適化(ここでは、もっとも効率的な解を見つけること)が正確な結果を与え、認識しやすいことにある。
数学の特に圏論における随伴(ずいはん、英: adjunction)とは、二つの関手の間の(ある種の双対的な)関係のことである(随伴関係にある関手を持つ関手もあれば、持たない関手もある)。直感的に言えば、二つの相互に関連する圏の間に認められる、弱い同値的な関係のことである。この関係を表す関手のペアを随伴関手と呼び、片方を左随伴、もう片方を右随伴と呼ぶ。随伴の概念・随伴関手のペアは数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにし、また、ある種の数学的問題の"解決法の最適化"を行う過程で見出される(代数における集合上の自由群の構成や、位相空間におけるStone–Čech compactification(英語版)の構成などがその例である。
圏 C {\textstyle {\mathcal {C}}} と D {\textstyle {\mathcal {D}}} の間の随伴とは、二つの関手