固有射
固有射(こゆうしゃ、英: proper morphism)とは、スキームの射で、 複素解析空間の固有写像の代数幾何学における類似物である。
体 k 上固有な 代数多様体は完備多様体(英語版)とも呼ばれる。例えば、体 k 上の任意の射影多様体は k 上固有である。複素数体 C 上の有限型(英語版)スキーム X(例えば代数多様体)が C 上固有であるためには、その複素数値点の空間 X(C) が古典的な(ユークリッド)位相のもとでコンパクトかつハウスドルフになることが必要十分である。
閉埋入(英語版)(closed immersion)は固有射である。スキームの射が有限射(finite morphism)であることと、固有射かつ準有限射(quasi-finite morphism)であることは同値である。
以下では f: X → Y をスキームの射とする。
2つの固有射の合成は固有である。
固有射 f: X → Y の基底変換(英語版)は固有である。つまり、任意のスキームの射 g: Z → Y に対して、自然な射影 X ×Y Z → Z は固有である。
固有性は基底(のザリスキー位相)についての局所的性質(英語版)である。つまり、Y が開部分スキームの集合 Yi で被覆されており、f を f(Yi) に制限したものが全て固有ならば、f も固有である。
もっと強く、固有性は基底の fpqc 位相(英語版)に関して局所的な性質である。例えば、X を体 k 上のスキーム、E を k の拡大体とすると、X が k 上固有であることと基底変換 XE が E 上固有であることは同値である。
閉埋入(英語版)は固有である。
もっと一般に、有限射は固有である。これは上昇定理の帰結である。
スキームの射が有限であることと、固有かつ準有限(quasi-finite)であることは同値である(ドリーニュ)。射 f: X → Y が局所的に有限表示のときは、これはグロタンディークによって証明されていた。この仮定は、Y がネータースキームなら他の前提条件から従う。
スキーム S 上固有な X と S 上分離的な Y に対して、S 上の任意の射 X → Y の像は Y の閉部分集合である。これは、コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続写像の像は閉部分集合であるという、位相幾何学の定理の類似になっている。