久保公式
密度行列 ρ ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {\rho }}(t)} と A ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {A}}(t)} の期待値の時間発展は次のように表される。
⟨ A ^ ( t ) ⟩ = 1 Z 0 Tr  [ ρ ^ ( t ) A ^ ] = 1 Z 0 ∑ n ⟨ n ( t ) | A ^ | n ( t ) ⟩ e − β E n ρ ( t ) ^ = ∑ n | n ( t ) ⟩ ⟨ n ( t ) | e − β E n {\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &={\frac {1}{Z_{0}}}\operatorname {Tr} [{\hat {\rho }}(t){\hat {A}}]={\frac {1}{Z_{0}}}\sum _{n}\langle n(t)|{\hat {A}}|n(t)\rangle e^{-\beta E_{n}}\\{\hat {\rho (t)}}&=\sum _{n}|n(t)\rangle \langle n(t)|e^{-\beta E_{n}}\end{aligned}}}
状態 | n ( t ) ⟩ {\displaystyle |n(t)\rangle } の時間発展はシュレーディンガー方程式 i ∂ t | n ( t ) ⟩ = H ^ ( t ) | n ( t ) ⟩ {\displaystyle i\partial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H}}(t)|n(t)\rangle } によって支配されている。