ラムシフト
⟨ ( δ r → ) 2 ⟩ v a c ≅ 1 2 ε 0 π 2 ( e 2 ħ c ) ( ħ m c ) 2 ln  4 ε 0 ħ c e 2 {\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\mathrm {vac} }\cong {\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}} .
原子軌道とクーロン場から
⟨ ∇ 2 ( − e 2 4 π ε 0 r ) ⟩ a t = − e 2 4 π ε 0 ∫ d r → ψ ∗ ( r → ) ∇ 2 ( 1 r ) ψ ( r → ) = e 2 ε 0 | ψ ( 0 ) | 2 , {\displaystyle \left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{at}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d{\vec {r}}\psi ^{*}({\vec {r}})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)\psi ({\vec {r}})={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi (0)|^{2},}
また以下の等式により
∇ 2 ( 1 r ) = − 4 π δ ( r → ) . {\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta ({\vec {r}}).}
p 軌道では、波動関数は原点でゼロになる。このためエネルギーのずれは起こらない。しかし、s軌道は原点において
ψ 2 S ( 0 ) = 1 ( 8 π a 0 3 ) 1 / 2 , {\displaystyle \psi _{2S}(0)={\frac {1}{(8\pi a_{0}^{3})^{1/2}}},}
という値をもつ。ここで、ボーア半径
a 0 = 4 π ε 0 ħ 2 m e 2 . {\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}.}
を用いた。このため
⟨ ∇ 2 ( − e 2 4 π ε 0 r ) ⟩ a t = e 2 ε 0 | ψ 2 S ( 0 ) | 2 = e 2 8 π ε 0 a 0 3 {\displaystyle \left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{at}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi _{2S}(0)|^{2}={\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}a_{0}^{3}}}} .