ピタゴラスの定理
△ABC において、内接円の半径 r を用いて面積 S を表すと
S = 1 2 r ( a + b + c ) {\displaystyle S={\frac {1}{2}}r(a+b+c)} (1)
となるが、∠C = 90°より、
S = 1 2 a b {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab} (2)
r = 1 2 ( a + b − c ) {\displaystyle r={\frac {1}{2}}(a+b-c)} (3)
となるから、(1) に (2), (3) を代入すると
1 2 a b = 1 4 ( a + b − c ) ( a + b + c ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}ab={\frac {1}{4}}(a+b-c)(a+b+c)}
整理すると
a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
が得られる。
三角関数は級数によって定義されているものとし、cos θ と sin θ の自乗をそれぞれ計算すると
sin 2  θ = { ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 } 2 = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! ( − 1 ) n − k ( 2 n − 2 k + 1 ) ! θ 2 n + 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n θ 2 n + 2 ( 2 n + 2 ) ! ∑ k = 0 n ( 2 ( n + 1 ) 2 k + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 θ 2 n ( 2 n ) ! ∑ k = 0 n − 1 ( 2 n 2 k + 1 ) = − ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n θ 2 n ( 2 n ) ! ∑ k = 0 n − 1 ( 2 n 2 k + 1 ) cos 2  θ = { ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! θ 2 n } 2 = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( 2 k ) ! ( − 1 ) n − k ( 2 n − 2 k ) ! θ 2 n = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n θ 2 n ( 2 n ) ! ∑ k = 0 n ( 2 n 2 k ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n θ 2 n ( 2 n ) !