バナッハ極限
⟨ l 1 , l ∞ ⟩ {\displaystyle \langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle } の双対性を考えたとき、 c ⊆ l ∞ {\displaystyle c\subseteq \ell ^{\infty }} に属す収束点列の通常の極限は、 l 1 {\displaystyle \ell ^{1}} の元から得られたものとは異なる。すなわち、 l ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} は l 1 {\displaystyle \ell ^{1}} の連続的双対空間と同型であり、 l 1 {\displaystyle \ell ^{1}} の元は(評価写像を考えることで) l ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} 上の連続線形汎関数を誘導する。しかし、収束点列の通常の極限を取る操作は、そのような汎関数(の c {\displaystyle c} への制限)としては表せない。