バナッハ環
バナッハ環の原型となる例は、局所コンパクト(ハウスドルフ)空間上の(複素数値)連続関数で、無限大において消失するようなものからなる空間 C0(X) である。C0(X) が単位的であるための必要十分条件は、X がコンパクトであることである。複素共役を対合として、C0(X) は実際にはC*-環である。より一般に、すべての C*-環はバナッハ環である。
実または複素数全体の成す体は、絶対値をノルムとしてバナッハ代数 (R, |•|) または (C, |•|) を成す。このとき、ノルムの劣乗法性は「絶対値の乗法性」によって等号を以って成立する。
すべての実または複素 n × n 正方行列の成す集合 Mat(n; R) または Mat(n; C は、劣乗法的行列ノルムを備えることで、単位的バナッハ環となる。
数バナッハ空間 R(あるいは C)は、(数ベクトル空間の構造と)最大値ノルム ‖ x ‖ ≔ max1≤i≤n |xi| および成分ごとの乗算 (x1, ..., xn)⋅(y1, ..., yn) = (x1⋅y1, ..., xn⋅yn) によって得られる。
四元数の全体 H は、その絶対値で与えられるノルムによって、4-次元実バナッハ環を構成する。
(点ごとの乗算と上限ノルムを備える)集合 X 上で定義されるすべての有界な実または複素数値関数からなる環 B(X; R) または B(X; C は、単位的バナッハ環である。