群のコホモロジー
を X の特異複体とする。この位相空間の点を1つ取り、それを基点する。頂点がすべて基点に写されるような特異単体で生成される部分複体は、X が弧状連結なので、この特異複体と同じホモロジー群を定める。なのではじめから S(X) は頂点が基点に写される特異単体を基底とする自由アーベル群とし、特異単体としては頂点が基点に写されるものだけを考える。
X の基本群(基点は先ほど取ったものとする)を G = π1(X) とする。Bn を G の元の n 個の組 [x1, ..., xn] を生成元とする自由アーベル群とする。これは基本群から純代数的に定義されている。
Sn から Bn への準同型 κ を次のように定義する。
n = 0 の場合は自明なものが1つあるのでそれで定める。
n = 1 の場合。T : Δ1 → X を特異1単体とする。Δ1 の辺01は頂点が基点なので自然に基本群の元 x を定める。κ による T の像がこの x になるように κ : S1 → B1 を定める。考えている特異単体が明らかで T を [01] と表しているときは κ([01]) = [x] と書ける。
n = 2 の場合。T : Δ2 → X を特異2単体とする。先ほどと同様に、辺01が定める基本群の元 x と辺12が定める基本群の元 y がある。κ による T の像が [x, y] になるように κ : S2 → B2 を定める。