セルバーグゼータ函数
Γ {\displaystyle \Gamma } をモジュラ群として、曲面が Γ ∖ H 2 {\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}} である場合には、セルバーグゼータ函数は、特に興味が持たれる。この特別な場合は、セルバーグゼータ函数が密接にリーマンゼータ函数と結びついているからである。
この場合は、散乱行列の行列式が次で与えられる。
φ ( s ) = π 1 / 2 Γ ( s − 1 / 2 ) ζ ( 2 s − 1 ) Γ ( s ) ζ ( 2 s ) . {\displaystyle \varphi (s)=\pi ^{1/2}{\frac {\Gamma (s-1/2)\zeta (2s-1)}{\Gamma (s)\zeta (2s)}}.}
特に、リーマンゼータ函数が s 0 {\displaystyle s_{0}} でゼロ点を持つと、散乱行列の行列式は s 0 / 2 {\displaystyle s_{0}/2} で極をもつので、セルバーグゼータ函数は s 0 / 2 {\displaystyle s_{0}/2} でゼロ点を持つ。