ガブリエルのラッパ
ガブリエルのホルンは、f: x → 1/x の領域 x ≥ 1(つまり x = 0 における漸近挙動の問題は関わってこない)での平面グラフを三次元において x-軸の周りに回転させることで形作られる。 この発見は微分積分学の発明以前のことで、カヴァリエリの原理が使われたが、今日の微分積分学は x = 1 と x = a (a > 1) の間の体積と表面積の計算を利用することができる。 積分(詳細は、回転体及び回転面を参照)を用いて、体積 Va および表面積 Aa は
V a = π ∫ 1 a 1 x 2 d x = π ( 1 − 1 a ) {\displaystyle V_{a}=\pi \int _{1}^{a}{1 \over x^{2}}{\mathit {dx}}=\pi \left(1-{1 \over a}\right)}
および
A a = 2 π ∫ 1 a 1 x 1 + f ′ ( x ) 2 d x > 2 π ∫ 1 a 1 x d x = 2 π ln  a {\displaystyle A_{a}=2\pi \int _{1}^{a}{1 \over x}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\;{\mathit {dx}}>2\pi \int _{1}^{a}{1 \over x}\;{\mathit {dx}}=2\pi \ln a}