シューアの分割定理
π 1 : 13 10 15 4 3 → π 2 : 1 = 13 − 12 1 = 10 − 9 9 = 15 − 6 1 = 4 − 3 3 = 3 − 0 {\displaystyle \pi _{1}:{\begin{matrix}13\\10\\15\\4\\3\\\end{matrix}}\rightarrow \pi _{2}:{\begin{matrix}1&=13-12\\1&=10-9\\9&=15-6\\1&=4-3\\3&=3-0\\\end{matrix}}}
π2の列の隣には、引き算を行った0から始まる連続する3の倍数を表示しておく。π2の1列目を昇順に並べ替えたものを、π3とする。さらにπ3の1列目と2列目を足し合わせたものをπ4とする。
π 2 : 1 12 1 9 9 6 1 3 3 0 → π 3 : 9 12 3 9 1 6 1 3 1 0 → π 4 : 21 = 9 + 12 12 = 3 + 9 7 = 1 + 6 4 = 1 + 3 1 = 1 + 0 {\displaystyle \pi _{2}:{\begin{matrix}1&12\\1&9\\9&6\\1&3\\3&0\\\end{matrix}}\rightarrow \pi _{3}:{\begin{matrix}9&12\\3&9\\1&6\\1&3\\1&0\\\end{matrix}}\rightarrow \pi _{4}:{\begin{matrix}21&=9+12\\12&=3+9\\7&=1+6\\4&=1+3\\1&=1+0\\\end{matrix}}}
こうして得られた分割π4は、3-差的で連続する3の倍数を含まない和因子からなる分割となっている。
正の整数 n に対し、正の整数の組 λ=(λ1,..., λl)が n の分割であるとは、λ1 ≥ ...≥ λl かつλ1+...+λl = n を満たすときのことをいう。例えば、4の分割は(4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1)である。
シューアの分割定理は次の条件を満たす分割の総数が等しいことを主張する。
和因子が6を法として±1に合同である分割(λi≡ ±1 (mod 6))
和因子が相異なり、3を法として±1に合同である分割(λi−λi+1 > 1 かつ λi≡ ±1 (mod 3))
どの和因子も3以上の差があり、和因子として連続する3の倍数を含まない分割(λi−λi+1 ≥ 3 かつ λi∈3Z ⇒ λi−λi+1 > 3)
整数分割において、どの和因子もd 以上の差があるとき、d-差的であるという。 但し、0-差的であるとは、同じ和因子は高々2つまでしか含まないと定義する。3番目の条件における、どの和因子も3以上も差があるという条件は、3-差的であることを表している。
以降、正の整数 n に対し、1番目の条件を満たす分割の個数を A(n)、2番目の条件を満たす分割の個数をB(n)、3番目の条件を満たす分割の個数を C(n)とする。 n=15 の場合、シューアの分割定理の条件を満たす分割は次のようになる。
また、シューアの分割定理の条件を満たす分割の個数をいくつか書き下すと次のようになる(オンライン整数列大辞典の数列 A003105)。