二階述語論理
二階述語論理は一階述語論理よりも表現能力が高い。例えば、ドメインが全ての実数の集合としたとき、一階述語論理を使って「それぞれの実数には加法の逆元が存在する」ということを ∀x ∃y (x + y = 0) と表せる。しかし、「空でなく上に有界な実数の集合があるとき常にその集合には上限が存在する」という命題を表すには、二階述語論理が必要となる。ドメインが全ての実数の集合としたとき、次の二階の論理式がこの命題を表している。
∀ A [ ( ∃ w ( w ∈ A ) ∧ ∃ z ∀ w ( w ∈ A → w ≤ z ) ) → ∃ x ∀ y ( [ ∀ w ( w ∈ A → w ≤ y ) ] ↔ x ≤ y ) ] .