対数螺旋
と計算される(結論は b が負のときも成り立つ)。
曲率関数は
χ ( θ ) = 1 a e b θ b 2 + 1 = sin  α r {\displaystyle \chi (\theta )={\frac {1}{ae^{b\theta }{\sqrt {b^{2}+1}}}}={\frac {\sin \alpha }{r}}}
である。螺旋の見た目からも明らかなように、中心に近付くほど限りなく大きくなり、中心から遠ざかるほど限りなく 0 に近付く。b が正である場合は曲率関数は単調減少であり、b が負である場合は単調増加である。この性質は進行方向に依らない。
指数関数は、複素数平面において、実軸にも虚軸にも平行でない直線を対数螺旋に写す。しかも、任意の対数螺旋はそのようにして得られる。実際、指数関数によって
x + i y ↦ e x sin  y + i e x cos  y {\displaystyle x+iy\mapsto e^{x}\sin y+ie^{x}\cos y}
と対応するから、直線 x = cy + d (c ≠ 0) 上の点 (x, y) は
( e d e c y cos  y , e d e c y cos  y ) {\displaystyle (e^{d}e^{cy}\cos y,e^{d}e^{cy}\cos y)\,}
に写る。
同じく複素数平面において、実部と虚部がともに 0 でない定数 k に対する関数 x は、実軸を対数螺旋に写す。
また、複素数平面において、絶対値が1以外で、非負の実数以外の任意の複素数の実数乗(の主値)の集合は、対数螺旋を成す。
対数螺旋(たいすうらせん、英: logarithmic spiral)とは、自然界によく見られる螺旋の一種である。等角螺旋(とうかくらせん、英: equiangular spiral)、ベルヌーイの螺旋ともいい、「螺旋」の部分は螺線、渦巻線(うずまきせん)、匝線(そうせん)などとも書く。ヤコブ・ベルヌーイ(ジャック・ベルヌーイ)は、17世紀のスイスの数学者。