モジュラー表現論
モジュラー表現論において、マシュケの定理は標数が群の位数を割る場合には成立しないけれども、群環はブロックと呼ばれる両側イデアルの極大集合の直和に分解することができる(体 K の標数が 0 または群の位数と互いに素であるときにも、群環 K[G] をブロック(何れも単純加群に同型)の直和に分解することができるが、この状況は(少なくとも K が十分大きな場合には)比較的わかりやすい。各ブロックは K 上の全行列環であり、それは対応する単純加群の台となる線型空間の自己準同型環である)。
ブロックを得るために、群 G の単位元を F の極大整環 R 上の群環の中心 Z(R[G]) に属する原始冪等元(原始中心冪等元)の和に分解する。原始冪等元 e に対応するブロックは、両側イデアル e.R[G] である。任意の直既約 R[G]-加群に対し、そのような原始冪等元で加群を零化しないものはただ一つしかなく、またそのような加群は対応するブロックに属する(または含まれる)という(今の場合、群の組成因子はすべてこのブロックに属する)。特に、任意の単純加群はただ一つのブロックに属する。任意の通常既約指標も、その既約指標の和への分解に従ってただ一つのブロックに割り当てられる。自明加群を含むブロックは主ブロック (principal block) と呼ばれる。