定数変化法
方程式
y ′′ + 4 y ′ + 4 y = cosh  x {\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh {x}}
を解くことを考える。一般解を求めるために、斉次方程式
y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 0 {\displaystyle y''+4y'+4y=0}
を解くと、この固有多項式は
λ 2 + 4 λ + 4 = ( λ + 2 ) 2 {\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}}
で、固有値 −2 は重根であるから、u1 = e および u2 = xe が基本解となる。これらのロンスキー行列式は
| e − 2 x x e − 2 x − 2 e − 2 x − e − 2 x ( 2 x − 1 ) | = e − 4 x {\displaystyle {\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\end{vmatrix}}=e^{-4x}}
である。これは 0 でないから、この二つの函数は確かに斉次方程式の一般解を生成する。
従って、A(x)u1 + B(x)u2 が非斉次方程式の一般解となるような A(x), B(x) を求めればよいが、それには積分