多重積分
積分の限界は(領域がよい性質を持つか、複雑な式を用いでもしない限り)容易に入れ替えることは普通できない。扱う式が依り簡単になるような、より「素性のよい」領域上の積分へ書き換えるための変数変換を行うには、函数を新しい座標系で適切に扱う必要がある。
領域 A を動く変数 x を、可微分同相写像 Φ: B → A によって y に変数変換するとき、A 上の函数 f: A → R の積分は
∫ A f ( x ) d x = ∫ B f ( Φ ( y ) ) | det ( J Φ ( y ) ) | d y {\displaystyle \int _{A}f(\mathbf {x} )d\mathbf {x} =\int _{B}f(\Phi (\mathbf {y} ))|\det(J_{\Phi }(\mathbf {y} ))|d\mathbf {y} }
のように変換を受ける。ここで JΦ は Φ の函数行列で、det はその行列式を、縦棒はその絶対値を表す。すなわち、函数の引数は変数変換にそのまま従って置き換えればよいが、体積要素の置き換えには局所的な比を表す函数行列式が現れるのである。
∫ D ⊔ E f ( x ) d x = ∫ D f ( x ) d x + ∫ E f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{D\sqcup E}f(\mathbf {x} )d\mathbf {x} =\int _{D}f(\mathbf {x} )d\mathbf {x} +\int _{E}f(\mathbf {x} )d\mathbf {x} .}
極めて一般に、一変数の場合と同様、多重積分を使って与えられた集合上の函数の「平均」を求めることができる。n-次元空間内の部分集合 D ⊆ R と D 上の可積分函数 f が与えられれば、その領域 D 上の f の値の平均値は
f ̄ = 1 vol ( D ) ∫ D f ( x ) d x {\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{{\text{vol}}(D)}}\int _{D}f(x)\,dx}
で与えられる。ここに、vol(D) は D の容積である。
加えて、多重積分は物理学において多くの用例がある。以下、いくつかの例とその種々の記法について記す。
力学において慣性モーメントは距離の自乗を重みとする密度の体積分(三重積分)
I z = ∫∫∫ V ρ r 2 d V {\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV}
で与えられる。質量分布に付随する重力ポテンシャルは三次元ユークリッド空間 R 上の質量測度 dm によって
V ( x ) = − ∫ R 3 G | x − y | d m ( y ) {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} )}
と与えられる。