シチャーマンのサイコロ
カノニカルな 'n'面サイコロを、 面に1から'n'の数が書かれたどの面も等確率(=1/'n')で出る'n'面体サイコロとする。まず、カノニカルな立方体(6面)サイコロを考える。ここで、そのサイコロの母関数を F 6 ( x ) = x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 {\displaystyle F_{6}(x)=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}} とする(各次数が出目に対応する)。この関数同士の積は、複数のサイコロの出目の和に対応し、2個のサイコロの出目に対する母関数は F 6 ( x ) 2 = x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + 5 x 6 + 6 x 7 + 5 x 8 + 4 x 9 + 3 x 10 + 2 x 11 + x 12 {\displaystyle F_{6}(x)^{2}=x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9}+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}} である。 ここで、円分多項式の理論より、'd'を'n'の約数、 Φ d ( x ) {\displaystyle \Phi _{d}(x)} を'd'次の円分多項式とすると
x n − 1 = ∏ d ∣ n n Φ d ( x ) {\displaystyle x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}^{n}\Phi _{d}(x)}
一般的なサイコロの出目の和は、それぞれの数に対して以下の表のような出目の組み合わせが存在する。
一般的なサイコロに対して、出目の和の確率分布を変えないまま出目の組み合わせを変えたものをクレイジーダイスと呼ぶ。シチャーマンのサイコロはその中でも、2個の6面のサイコロに対し、正の整数のみで出目を割り当てたクレイジーダイスである。(出目に正の整数のみと言う条件を課さない場合、任意の自然数 'k' に対して片方のサイコロの出目をそれぞれ'k'減少させ、もう片方のサイコロので目をそれぞれ'k'増加させた物は同じ確率分布を持つため、解は無限に存在する。)
以下に、一般的なサイコロとシチャーマンのサイコロの出目の和の確率分布を組み合わせと共に示す。また、わかりやすいように1個目のサイコロの出目を1–2–2–3–3–4 とし、2個目のサイコロの出目を 1–3–4–5–6–8と表す。