黄金比
伝承では、古代ギリシアの彫刻家ペイディアス(Φειδίας, 紀元前490年頃 - 紀元前430年頃)が初めて使ったといわれる。黄金数の記号φは彼の頭文字であるが、使われ始めたのは20世紀である。なお、τはギリシア語の「分割」に由来し、やはり20世紀に使われ始めた。
同じく古代ギリシアの数学者ユークリッド(紀元前3世紀? - )の著書『ユークリッド原論』では第6巻の定義3で外中比の定義が記されている。『原論』第6巻の命題30で「与えられた線分を外中比に分ける作図法」が記されている。東京工芸大学教授の牟田淳によると、ローマ建築の理論にも、黄金比の考え方が見られる。
ルネサンス期イタリアの学者レオナルド・ダ・ヴィンチ(1452年4月15日 - 1519年5月2日(ユリウス暦))も発見していた記録が残っている。彼が描いた有名な美人画『モナ・リザ』の顔は黄金比になっているという指摘もある。
ダ・ヴィンチの同時代人であったルカ・パチョーリは著書で『神聖比例論』として言及した。「黄金比」という用語が文献上に初めて登場したのは1835年刊行の、ドイツの数学者マルティン・オーム(「オームの法則」で有名なゲオルク・オームの弟)の著書『初等純粋数学』。また、1826年刊行の初版にはこの記載がないことから、1830年頃に誕生したと考えられる。
フィボナッチ数列の隣接2項の比は黄金数に収束する。
等比数列 1, φ, φ, φ, ... において、1 + φ = φ より
φ + φ = φ(n は自然数)
が成り立つ。
φ = φ + 1,
φ = 2φ + 1,
φ = 3φ + 2,
φ = 5φ + 3,
φ = 8φ + 5,
...
となり、係数にフィボナッチ数列が出現する。n番目のフィボナッチ数を Fn とすると、φ は次のようになる。
φ = Fn φ + Fn−1