乗法列の種数
べき級数 Q(z) = z/f(z) が定数 δ と εに対し次の条件を満たすとき、種数のことを楕円種数(elliptic genus)と呼ぶ。
f ′ 2 = 1 − 2 δ f 2 + ε f 4 {\displaystyle {f'}^{2}=1-2\delta f^{2}+\epsilon f^{4}}
(いつも通り、Q は種数の特性べき級数である。)
例:
δ = ε = 1 , f ( z ) = tanh  ( z ) {\displaystyle \delta =\epsilon =1,f(z)=\tanh(z)} - L-種数
δ = − 1 / 8 , ε = 0 , f ( z ) = 2 sinh  ( z / 2 ) {\displaystyle \delta =-1/8,\epsilon =0,f(z)=2\sinh(z/2)} - Â 種数
このことはヒルツェブルフとボレル(Armand Borel)により証明された。この双方の結果を動機として、後日のアティヤ・シンガーの指数定理が考えられ、さらに説明付けられる。アティヤ・シンガーの定理は、スピン多様体の Â 種数とディラック作用素の指数が等しいことを示している。
ディラック(作用素)のラプラシアンに対するワイツェンボックの公式(英語版)(Weitzenbock formula)とこの結果を組み合わせ、リヒネロヴィッツ(Lichnerowicz)は、コンパクトスピン多様体が正のスカラー計量を持つときには、Â 種数はゼロにならねばならないことを証明した。このことは、単に次元が 4 の倍数のときの正のスカラー曲率のための障害を与えただけにとどまらず、後日、ヒッチン(Hitchin)は次元が 1 もしくは 2 mod 8 のとき、これと類似した Z 2 {\displaystyle {\mathbb {Z} }_{2}} に値を持つ障害を発見した。これらの結果は、本質的な結果である。事実、グロモフ(Gromov)、ローソン(Lawson)、ストルツ(Stolz)は、Â 種数とヒッチンの Z 2 {\displaystyle {\mathbb {Z} }_{2}} に値を持つ類似物は、5 を含むそれ以上の次元の単連結なスピン多様体上の正のスカラー曲率の存在のための障害であることを証明した。
数学における、乗法列(英語版)(multiplicative sequence)の種数とは、向き付けられた滑らかな閉多様体のコボルディズム環(cobordism ring)から、他の環(大抵は有理数環)への環準同型のことを言う。