ライプニッツの記法
物理学的な応用では例えば, 時間あたりの距離(速度)である関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} においては d x {\displaystyle {\rm {d}}x} は時間であるので, f ( x ) d x {\displaystyle f(x)\,{\rm {d}}x} は距離, すなわち積分である. このようにライプニッツの記法は次元解析との調和性がある.
しかし, 1950〜1960年代ではアブラハム・ロビンソンは微小量を記法的にも厳密に扱う方法を導入し, その観点から微分積分学を見直した. しかしロビンソンの方法はほとんどの数学者には採用されなかった. 一人の数学者ハワード・ジェローム・キースラー(英語版)はロビンソンの考え方を支持し, 大学一年次用の微分積分学教科書『Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach』を執筆している.
微分に対するライプニッツの記法では関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の導関数は次のように表現される.
d ( f ( x ) ) d x . {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{{\rm {d}}x}}.}
関数を表す従属変数により, 一例として,
y = f ( x ) , {\displaystyle y=f(x),}
のように表すとすれば, その導関数を次のように書き表すことができる:
d y d x . {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}.}
ラグランジュの記法により, 次のように書き表すことができる.
d ( f ( x ) ) d x = f ′ ( x ) . {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{{\rm {d}}x}}=f'(x).}
ニュートンの記法を用いると, 次のように書き表すこともできる。
d x d t = x ̇ . {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}t}}={\dot {x}}.}
高階導関数に対しては, 次のように表現する.
d n ( f ( x ) ) d x n = d n y d x n .