マシュー函数
S ( a , q , x ) = F ( a , q , x ) − F ( a , q , − x ) 2 F ′ ( a , q , 0 ) . {\displaystyle S(a,q,x)={\frac {F(a,q,x)-F(a,q,-x)}{2F^{\prime }(a,q,0)}}.}
(固定された a および q に対する)マシュー方程式の一般解は、マシュー余弦函数およびマシュー正弦函数の線型結合である。
注目すべき特殊な例として、
C ( a , 0 , x ) = cos  ( a x ) , S ( a , 0 , x ) = sin  ( a x ) a {\displaystyle C(a,0,x)=\cos({\sqrt {a}}x),\;S(a,0,x)={\frac {\sin({\sqrt {a}}x)}{\sqrt {a}}}}
がある。すなわち、対応するヘルムホルツ方程式の問題が円対称性を持つ例である。
一般に、マシュー正弦およびマシュー余弦は非周期的である。それにもかかわらず、q の値が小さい場合には、近似的に
C ( a , q , x ) ≈ cos  ( a x ) , S ( a , q , x ) ≈ sin  ( a x ) a {\displaystyle C(a,q,x)\approx \cos({\sqrt {a}}x),\;\;S(a,q,x)\approx {\frac {\sin({\sqrt {a}}x)}{\sqrt {a}}}}
が成立する。
例:
数学の分野におけるマシュー函数(マシューかんすう、英: Mathieu function 、マチウ函数とも書かれる)とは、ある特定の特殊函数のことで、以下に挙げるような様々な応用数学の問題を扱う上で有用となるものである。
楕円型太鼓膜の振動
質量分析のための四重極型質量分析計や四重極イオントラップ
光格子における極低温原子のような、周期的媒質における波の運動
強制振動子における係数励振現象
一般相対性理論における厳密な平面波解
回転する電気双極子に対するシュタルク効果
一般に、楕円柱座標(英語版)における分離可能な微分方程式の解
これらは、Émile Léonard Mathieu (1868) の第一問題として提唱されたものであった。