関手
関手の公理からの重要な帰結として
F は C における可換図式を D における可換図式へうつす。
f が C における同型射ならば F(f) は D における同型射
の二つがあげられる。
いかなる圏 C においても、恒等関手(こうとうかんしゅ、identity functor)1C が、どの対象も射もそれ自身へうつすものとして定まる。函手 F: A → B および G: B → C に対し、それらの合成 GF: A → C を考えることができる。関手の合成は、それが定義される限り結合的である。このことから、関手が圏の圏における射となることが示される。
唯一つの対象からなる圏は、射をその元とし、合成をその演算とするようなモノイドと同値である。圏と見なしたモノイドの間の関手はモノイドの準同型に他ならない。その意味で、勝手な圏の間の関手は、モノイドの準同型の、二つ以上の対象を持つ圏へのある種の一般化になっている。
圏 C から圏 D への関手、特に共変関手(きょうへんかんしゅ、covariant functor)F は、
C の各対象 X を D の各対象 F(X) に対応させる
C における射 f: X → Y を D における射 F(f): F(X) → F(Y) に対応させ、以下の性質を満たす 各対象 X ∈ C に対して F(idX) = idF(X) , 任意の射 f: X → Y および g: Y → Z に対して F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).
すなわち、関手に対して恒等射および射の合成を保存することが要請される。