位数 (群論)
{\displaystyle \operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).}
任意の整数 k に対して
a = e ⇔ ord(a) は k を割り切る。
一般に、G の任意の部分群の位数は G の位数を割り切る。よりきちんと書くと、H が G の部分群であれば、
ord(G) / ord(H) = [G : H], ここで [G : H] は H の G における指数と呼ばれ、整数である。これはラグランジュの定理である。(しかしながらこれは G の位数が有限のときにのみ正しい。ord(G) = ∞ であれば、商 ord(G) / ord(H) は意味をなさない。)
上から直ちに出る結果として、群のすべての元の位数は群の位数を割り切ることがわかる。例えば、上で示された対称群において、ord(S3 = 6 であったが、元の位数は 1, 2, 3 である。
以下の部分的な逆が有限群に対して正しい: d が群 G の位数を割り切り d が素数であれば、G の位数 d の元が存在する(これはコーシーの定理と呼ばれることがある)。主張は合成数の位数に対しては成り立たない、例えば、クラインの四元群は位数 4 の元をもたない。これは帰納法によって証明できる。定理の結果は次を含む:群 G の位数が素数 p のベキであることと G のすべての a に対して ord(a) が p のあるベキであることは同値である。
例。対称群 S3 は以下の乗積表をもつ。

この群は 6 つの元をもつので、ord(S3 = 6 である。定義によって、単位元 e の位数は 1 である。s, t, w の各々は自乗すれば e になるので、これらの群の元の位数は 2 である。一覧表を完成するには、u と v の位数はどちらも 3 である、というのも u = v であり u = vu = e であり、v = u であり v = uv = e だからだ。