内積
線型代数学における内積(ないせき、英: inner product)は、(実または複素)ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式(実係数の場合には対称双線型形式)のことである。二つのベクトルに対してある数(スカラー)を定める二項演算であるためスカラー積(スカラーせき、英: scalar product)ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間とみなされる。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。
複素 n-次元数ベクトル空間 C において、任意の二元 x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) に対し、 ⟨ x , y ⟩ := x ⊤ y ̄ = ∑ i = 1 n x i y ̄ i {\displaystyle \langle x,y\rangle :=x^{\top }{\bar {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i}} とすると、この ⟨,⟩ はエルミート内積の性質を満たす。また、n 次の(正定値)エルミート行列 H を用いて ⟨ x , y ⟩ A := x ⊤ H y ̄ {\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}:=x^{\top }H{\bar {y}}} とおくと、これも(正定値)エルミート内積の性質を満たす。
内積の公理を適当に弱めることにより、内積を一般化する概念を考えることができる。