稠密に定義された作用素
ある位相ベクトル空間 X から別の位相ベクトル空間 Y への線形作用素 T が稠密に定義されているとは、T の定義域が X の稠密部分集合であり、値域が Y に含まれていることを言う。
単位区間 [0, 1] 上で定義される実数値連続関数からなる空間 C([0, 1]; R) を考える。C([0, 1]; R) を連続的微分可能な関数からなるその部分空間とする。上限ノルム ||·||∞ を空間 C([0, 1]; R) に備えることで、その空間は実バナッハ空間となる。D を微分作用素
( D u ) ( x ) = u ′ ( x ) {\displaystyle (\mathrm {D} u)(x)=u'(x)\,}
としたとき、これは C([0, 1]; R) からそれ自身への稠密に定義された作用素で、その定義域は稠密な部分空間 C([0, 1]; R) である。そのような作用素 D は非有界作用素の例であることにも注意されたい。実際
u n ( x ) = e − n x {\displaystyle u_{n}(x)=e^{-nx}\,}
に対して
‖ D u n ‖ ∞ ‖ u n ‖ ∞ = n {\displaystyle {\frac {\|\mathrm {D} u_{n}\|_{\infty }}{\|u_{n}\|_{\infty }}}=n}