多変数の微分
が成立する。但し、 0 ≤ s ≤ 1 {\displaystyle 0\leq s\leq 1} を充たす全ての s {\displaystyle s} に対して、 ( s a + p ) ∈ D {\displaystyle (s\mathbf {a} +\mathbf {p} )\in {\textbf {D}}} (6-2-2) が成り立っているものとする。
以下、(6-2-1)を示す。まず、
h ∘ l [ a , p ] ( s ) = h ( s a + p ) {\displaystyle h\circ l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(s)=h(s\mathbf {a} +\mathbf {p} )} (6-2-3)
で、 ∂ [ a ] h ( x ) = {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}h(\mathbf {x} )=} ( d ( h ∘ l [ a , p ] ) d s ) {\displaystyle \left({\frac {d(h{}^{\circ }{{l}_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}})}{ds}}\right)} (6-2-4) である。
当然、
x = ( x 1 ⋮ x n ) = ∑ j = 1 n r j ( x ) e j {\displaystyle {\textbf {x}}=\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{j=1}^{n}r_{j}(\mathbf {x} ){\textbf {e}}_{j}} (1-9)
が成立する。 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} にも、同様に、 e 1 ⋯ , e m {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\cdots ,\mathbf {e} _{m}} や、標準座標系 ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r m ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle } が定まっている。
∂ [ a ] f ( x ) = {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} ({\textbf {x}})=} ∂ [ a ] f | x {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{\textbf {x}}}} (4-2)
である。特に
∂ [ e j ] f ( x ) = {\displaystyle {{\partial }_{[\mathbf {e} _{j}]}}\mathbf {f} ({\textbf {x}})=} ( ∂ f ∂ x j ) ( x ) {\displaystyle \left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial {{x}_{j}}}}\right)({\textbf {x}})} (4-3)
とする。
「 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が D {\displaystyle {\textbf {D}}} で、微分可能である」とは、「 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 内の全ての点において、(2-2)の意味で f {\displaystyle {\textbf {f}}} が微分可能」であることを意味する。
より、 lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ x − p ‖ {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}} = lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ( ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ‖ x − p ‖ ) {\displaystyle \,={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,} (3-13)
lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}=0} (3-16)
さらに、
lim x → p ( ‖ f ( x ) − f ( p ) ‖ ‖ x − p ‖ ) {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,} (3-17)
は有限の値であることから、
lim x → p ( o [ g , f ( p ) ] ( f ( p ) ) ) ‖ x − p ‖ = 0 {\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0} (3-18)
( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)} (1-3)
の形で表せるもの全てを集めてきたものである。 特に、以下で定まる e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} を、第 i 標準ベクトルという。
e 1 = ( 1 ⋮ 0 ) , ⋯ , e n = ( 0 ⋮ 1 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\left({\begin{matrix}1\\\vdots \\0\\\end{matrix}}\right),\ \cdots ,\mathbf {e} _{n}=\left({\begin{matrix}0\\\vdots \\1\\\end{matrix}}\right)} (1-8)
である。