多様体
m 次元位相多様体 M の座標近傍系 S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} の任意の 2 つの座標近傍 (U1, φ1), (U2, φ2) に対し、U1 ∩ U2 が空でないならば座標変換
φ 1 ∘ φ 2 − 1 : φ 2 ( U 1 ∩ U 2 ) → φ 1 ( U 1 ∩ U 2 ) {\displaystyle \varphi _{1}\circ \varphi _{2}^{-1}:\varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})\to \varphi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}
のすべての成分が、C 級関数(n 回連続微分可能関数、すなわち n 回微分可能でありかつ n 階偏導関数がすべて連続となるような関数)となるとき、S を C 級座標近傍系という。
m 次元位相多様体 M が、C 級座標近傍系を持つとき、 Mを C 級 m 次元微分可能多様体(あるいは可微分多様体、differentiable manifold of class C) という。微分可能とか、可微分といった言葉を省略して C 級多様体ということもある。
( f ∘ φ 1 − 1 ) ∘ ( φ 1 ∘ φ 2 − 1 ) : φ 2 ( U 1 ∩ U 2 ) → R {\displaystyle (f\circ \varphi _{1}^{-1})\circ (\varphi _{1}\circ \varphi _{2}^{-1}):\varphi _{2}(U_{1}\cap U_{2})\to R}
真ん中に挟まれた、 φ1 と φ1 は写像として打ち消しあうように見えるが、微分可能性を検証したいのでここではあえてしない。C 級多様体の座標変換は C 級であるから、この合成関数の微分可能性も高々 C 級であるとしか言えず、座標変換によっては n + 1 回以上の微分は不可能である場合もあるかもしれないので意味がない。したがって、C 級多様体上での関数は C 級までしか意味を持たない。もちろん、ある特定の座標近傍だけで定義された関数に n + 1 回以上微分できる関数を定義することはできるが、それはその座標近傍だけでの性質であり、C 級多様体という図形の性質とは異なるものになる。
したがって
f: M → R
が C 級関数であるとは、任意の座標近傍に対し、そこでの局所座標表示が C 級関数であることと定義される。ただし 0 ≤ s ≤ n とする。 M 上の C 級関数の全体を C(M) と表すことがある。
多様体の歴史はゲッティンゲンで行われたリーマンの講演に始まる。
多様体論は、ロバチェフスキーの双曲幾何学によって始まった非ユークリッド幾何学やガウスの曲面論を背景として様々な幾何学を統一し、 n 次元の幾何学へと飛躍させた。発見当初はカント哲学に打撃を与えた非ユークリッド幾何学も多様体論の一例でしかなくなってしまった。
リーマンがゲッティンゲン大学の私講師に就任するために行った講演『幾何学の基礎に関する仮説について』の中で「何重にも拡がったもの」と表現した概念が n 次元多様体のもとになり n 次元の幾何学に関する研究が始まった。この講演を聴いていたガウスがその着想に夢中になり、(ガウスは普段はあまり表立って他人を褒めることはなかったが、)リーマンの着想がいかに素晴らしいかを同僚に語り続けたり、帰り道にうわの空で道端の溝に落ちたりしたと言われている。