沈め込み
f: M → N が p において沈め込みで f(p) = q ∈ N とすれば、M における p の開近傍 U と N における q の開近傍 V と p における局所座標 (x1,...,xm) と q における局所座標 (x1,...,xn) が存在して、f(U) = V であり、かつこれらの局所座標における写像 f は標準的射影
f ( x 1 , ... , x n , x n + 1 , ... , x m ) = ( x 1 , ... , x n ) {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n})}
となる。これから可微分写像 f: M → N のもとでの正則値 q ∈ N の M における逆像全体 f(q) は空集合であるかまたは次元 dim M − dim N の(連結ではないかもしれない)可微分多様体であることが従う。これは正則値定理 (regular value theorem) (沈め込み定理 (submersion theorem) とも呼ばれる)の内容である。とくに、写像 f が沈め込みであれば、すべての q ∈ N に対して結論が成り立つ。
M と N を可微分多様体とし、f: M → N をそれらの間の可微分写像とする。写像 f が点 p ∈ M において沈め込みであるとは、微分
D f p : T p M → T f ( p ) N {\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N\,}
が全射線型写像であることをいう。このとき p を写像 f の正則点 (regular point) と呼び、そうでないとき臨界点 (critical point) と呼ぶ。点 q ∈ N が f の正則値 (regular value) であるとは、原像 f(q) のすべての点 p が正則点であることをいう。すべての点において沈め込みである可微分写像 f を沈め込みと呼ぶ。同じことであるが、f が沈め込みであるとは、微分 Dfp の階数(英語版)が全ての点で N の次元に等しいということである。
注意:「正則点」という用語を f の p におけるヤコビ行列の階数が最大でない点を記述するために用いる著者もいる。実際これは特異点論(英語版)においてより有用な概念である。M の次元が N の次元に等しいかより大きいならば、臨界点のこれら2つの概念は一致する。しかし、M の次元が N の次元よりも小さければ、上の定義によればすべての点は臨界点である(微分は全射になり得ない)が、(dim M に等しければ)ヤコビ行列の階数はなお最大たりうる。上の定義は例えばサードの定理の定式化においてはより広く使われている。