写像
集合論においては、集合 A, B の元の順序対からなる集合(すなわち二項関係)f が
x ∈ A ならば (x, y) ∈ f を満たす y ∈ B が存在する
(x, y1) ∈ f かつ (x, y2) ∈ f ならば y1 = y2
の二つをみたすとき、f を A から B への関数と呼び、f: A → B で表す。またこのとき、(x, y) ∈ f であることを f(x) = y と書く。この文脈では、f と f のグラフ {(x, y) | y = f(x)} を同一視し、関数と写像を同じ意味に用いる。 二つの写像 f と g の相等は、集合として同一であるということ、すなわち
∀x∀y ( (x,y) ∈ f ⇔ (x,y) ∈ g )
ということであるが、これは( f と g の定義域が等しく、かつ)任意の a ∈ A に対して f(a) = g(a) であることと同値である。
B′ を B の部分集合とするとき、f によって B′ に写される始域 A の元全体からなる集合 {a ∈ A | f(a) ∈ B′} を B′ の逆像または原像といい、f(B′) で表す。
A の部分集合 X の元の f による像たちの全体からなる終域 B の部分集合 {f(a) | a ∈ X} を X の f による像といい、f[X], f′′X などで表す。特に f の A による像 f[A] を f の値域 (range) と呼び、ran(f), Im(f) などで表す。つまり、写像 f: A → B あるいは Gf ⊆ A × B の値域 ran(f) は
ran  ( f ) = { y ∣ ∃ x ( ( x , y ) ∈ G f ) } ⊆ B {\displaystyle \operatorname {ran} (f)=\{y\mid \exists x((x,y)\in G_{f})\}\subseteq B}
で定義される。
n 個の空でない集合 X1,...,Xn の直積集合 X 1 × ⋯ × X n {\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}} から Xi への写像 pi を次のように定める: p i : X 1 × ⋯ × X n ∋ ( x 1 , ... , x n ) ↦ x i ∈ X i . {\displaystyle p_{i}\colon X_{1}\times \cdots \times X_{n}\ni (x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto x_{i}\in X_{i}.} これは X 1 × ⋯ × X n {\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}} から Xi への第 i {\displaystyle i} 射影( i {\displaystyle i} -th projection)といわれる. これは全射であるが単射でない.
任意の写像 f: X → Y に対し、X 上の二項関係 ∼f を
a ∼ f b ⟺ f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle a\sim _{f}b\iff f(a)=f(b)}
で定めると ∼f は同値関係で、写像 f に付随する同値関係と呼ばれる。この同値関係による類別を考えることにより X は等位集合 C(y) = f(y) (y ∈ Y) の和に分割される。このとき、商集合 X/∼f からの写像
φ : X / ∼ f → ran  ( f ) ( ⊂ Y ) ; C ( y ) ↦ y {\displaystyle \varphi \colon X/{\sim _{f}}\to \operatorname {ran} (f)(\subset Y);\;C(y)\mapsto y}
は well-defined で、f の同値関係 ∼f による商写像あるいは f に付随する全単射と呼ぶ。写像系列
f : X ↠ π X / ∼ f → φ ran  ( f ) ↪ ι Y , {\displaystyle f\colon X{\stackrel {\pi }{{}\twoheadrightarrow {}}}X/{\sim _{f}}{\stackrel {\varphi }{{}\to {}}}\operatorname {ran} (f){\stackrel {\iota }{{}\hookrightarrow {}}}Y,}
あるいは等式 f = ι ∘ φ ∘ π (ただし、π は自然な全射、ι は自然な単射)を写像 f の標準分解と呼ぶ。