シュワルツ超函数
基本的な考え方は、函数を適当な「テスト函数」(扱いやすくよい振舞いをする函数)の空間上の抽象線型汎函数と同一視することである。超函数に対する作用・演算は、それをテスト函数へ移行することによって理解することができる。
例えば、f: R → R を局所可積分函数、φ: R → R をコンパクトな台を持つ(すなわちある有界集合の外側で恒等的に 0 となる)滑らかな函数(つまり無限回微分可能な函数)とする。函数 φ が「テスト函数」である。このとき、
⟨ f , φ ⟩ = ∫ R f φ d x {\displaystyle \left\langle f,\varphi \right\rangle =\int _{\mathbb {R} }f\varphi \,dx}
は φ に関して線型かつ連続に変化する実数である。それゆえに、函数 f を「テスト函数」全体の成すベクトル空間上の連続線型汎函数と看做すことができる。
同様に P が実数全体で定義される確率分布で φ がテスト函数であるとき、
⟨ P , φ ⟩ = ∫ R φ d P {\displaystyle \left\langle P,\varphi \right\rangle =\int _{\mathbb {R} }\varphi \,dP}
は φ に連続かつ線型に依存する実数であるから、確率分布もまたテスト函数の空間上の連続線型汎函数と看做すことができる。そしてこの「テスト函数の空間上の連続線型汎函数」という概念がシュワルツ超函数の定義として用いられる。
一般の場合にも、先に挙げた場合に成り立っていたようなことが以下に述べるような意味で局所的にはそのまま成り立っている (Rudin 1991)。S が U 上の超函数であるとき、任意の多重指数 α に対して連続函数 g で
S = ∑ α D α g α {\displaystyle S=\sum _{\alpha }D^{\alpha }g_{\alpha }}
かつ U の任意のコンパクト部分集合 K に対して、K と交わるような台を持つ g は有限個となるようなものを求めることができる。そして、これは見かけ上無限和であるが、U にコンパクト台を持つ滑らかな函数 f が与えられたとき f に対する S の値を評価するために必要な g は(台が交わる)有限個だけなので、実質的には有限和であり超函数として矛盾なく定まる。超函数が有限階数ならば、g として有限個の例外を除いて全て 0 であるようなものを取ることができる。
D′(U) に属する超函数の、U 上の特定の点における値というものを定義することはできない。しかし函数に対する場合のように U 上の超函数を制限して U の開部分集合上の超函数を得ることができる。さらに言えば、U 全体の上の超函数は交わりの上ではいくつかの貼り合せ条件を満足する U の開被覆(に属する開集合)上の超函数の集まりから組み立てられるという意味で、超函数は「局所的に定まる」。このような構造は層として知られる。
U 上の超函数とは R に値を持つ線型汎函数 S: D(U) → R で、D 内の任意の収斂列 (φn) に対して
lim n → ∞ S ( φ n ) = S ( lim n → ∞ φ n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S(\varphi _{n})=S\!\left(\lim _{n\to \infty }\varphi _{n}\right)}
を満たすものである。U 上の超函数全体の成す空間は D′(U) で表される。同じことだが、ベクトル空間 D′(U) は位相線型空間 D(U) の連続的双対空間である。
D′(U) の超函数 S と D(U) のテスト函数 φ の双対的な内積は山括弧を用いて
D ′ ( U ) × D ( U ) ∋ ( S , φ ) ↦ ⟨ S , φ ⟩ ∈ R {\displaystyle D'(U)\times D(U)\ni (S,\varphi )\mapsto \langle S,\varphi \rangle \in \mathbb {R} }
1950年代にローラン・シュヴァルツが生み出したところのシュワルツ超函数論は(あるいは佐藤超函数論も)純粋に線型な理論であって、一般に二つの超函数同士の積については、整合のとれた定義を与えることはできない。たとえば、p.v. 1/x はコーシーの主値によって与えられる超函数で、任意の φ ∈ S(R) に対して
( p . v . 1 x ) [ φ ] = lim ε → 0 + ∫ | x | ≥ ε φ ( x ) x d x {\displaystyle \left(p.v.{\frac {1}{x}}\right)[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \epsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx}
を満たすものとし、δ をディラックのデルタ超函数とすると
( δ × x ) × p . v . 1 x = 0 {\displaystyle \left(\delta \times x\right)\times p.v.{\frac {1}{x}}=0}
だが
δ × ( x × p . v . 1 x ) = δ {\displaystyle \delta \times \left(x\times p.v.{\frac {1}{x}}\right)=\delta }
シュワルツ超函数の厳密な定義は D(U) の(緩増加超函数の場合は S(R) の)代数的双対と呼ばれる非常に大きなベクトル空間の部分空間としてその全体を明示するものである。このような定義からは、このなかにどれほど奇妙な超函数が潜んでいるかといったようなことは、あまりはっきりとは窺い知れない。これに答えるには、連続函数の空間のようなより小さな空間から超函数を作り上げてみるというのが有益である。雑な言い方をすれば、任意の超函数は局所的に連続函数の(高階)導函数になっている。正確な内容は後で述べるとして、このことはコンパクト台付き超函数に対しても、緩増加超函数に対しても、もっと一般の超函数に対しても正しい。一般論として、超函数全体の成す空間のなかで、全ての連続函数を含み微分に関して閉じているような真の部分集合は存在しない。このことが示すのは、超函数の中に取り立てて奇妙な対象は含まれておらず、ただ必要に応じた複雑さを持っているだけであるということである。
函数 f: U → R が局所可積分であるとは、U の任意のコンパクト部分集合上でルベーグ可積分であることをいう。これは函数の非常に大きなクラスであって、連続函数や L-函数などは全て含まれる。先ほどのやり方で定義された D(U) の位相に関して、任意の局所可積分函数 f を D(U) 上の連続線型汎函数(すなわち D′(U) の元)Tf に対応させることができる。Tf の値は、任意のテスト函数に対してルベーグ積分
⟨ T f , φ ⟩ = ∫ U f φ d x {\displaystyle \langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{U}f\varphi \,dx}
によって与えられる。記号の濫用ではあるが紛れの虞はないであろうから、通例の如く Tf と f を同一視して、f と φ との内積をしばしば
⟨ f , φ ⟩ = ⟨ T f , φ ⟩ {\displaystyle \langle f,\varphi \rangle =\langle T_{f},\varphi \rangle }
と記す。f, g がともに局所可積分な函数であるとき、対応する超函数 Tf, Tg が D′(U) の同じ元を定めるのは f と g が殆ど至る所一致するときであり、かつそのときに限る(たとえば Hörmander (1983, Theorem 1.