角度
一般の平面角の大きさは、単位となる角の大きさの実数倍で表しうる。角およびその角度を表す記号としては ∠ がある。これは角記号(かくきごう、英: angle symbol)と呼ばれる(角度を表す単位記号ではない)。
単に角という場合、多くは平面上の図形に対して定義された平面角(へいめんかく、英: plane angle)を指し、さらに狭義にはある点から伸びる2つの半直線(はんちょくせん、英: ray)によりできる図形を指す。平面角の角度は、同じ端点を持つ2つの半直線の間の隔たりを表す量といえる。2つの半直線が共有する端点は角の頂点(かくのちょうてん、英: vertex of angle)と呼ばれ、頂点を挟む半直線は角の辺(かくのへん、英: side of angle)と呼ばれる。また、直線以外の曲線や面などの図形がなす角の角度も、何らかの2つの直線のなす角の角度として定義される。より広義には、角は線や面が2つ交わって、その交点や交線の周りにできる図形を指す。線や面が2つ交わって角を作ることを角をなすという。ここでいう面は通常の2次元の面に限らず、一般には超平面である。
角が現れる基本的な図形としては、たとえば三角形や四角形のような多角形(たかくけい、英: polygon)がある。
この定義の前記定義との違いは 2つの半直線が挟む領域を含めていないことである。ヒルベルトの公理系ではそのかわり、平面 α が角(2つの半直線)により分割されて生じる 2つの領域の一方を角の内部、他方を角の外部として区別している。角度の小さい領域が内部になるのだが、この段階では角度はまだ定義されていないため、別の方法での定義をしている。そして定理20で角の大小関係を定義している。すなわち、1辺を共有する2つの角のうち一方の角 θ1 の辺が他方の角 θ2 の内部にあれば、θ1 < θ2 であると定義する。すなわち、角の大小関係として劣角の角度の大小関係を採用したことになる。
ユークリッドの著作『原論』では第1巻の定義8において、「互いに交わる2つの線 (line) の傾き (inclination)」(引用文献のままの表現ではない)と定義されている。"傾き" (inclination) という語の解釈次第では2つの直線で分割された領域のいずれかを含むと解釈することも可能であり、そう解釈している辞典もある。またこの定義と同じように「"傾き"である」という定義を採用している国語辞典もある。またこの定義での2つの線は線(原論では定義2)であって直線(原論では定義4)ではないので、曲線も含まれる。2つの半直線の傾きとしての角、つまりヒルベルトの定義による角は、定義9で直線角 (rectilinear) という名称で定義されている。
英英辞典には、2つの半直線の間の領域 (space) が角であるとするものもある。