Invariant basis number
を意味し、I はイデアルであるからこれは I の元である。よって f は A/I-加群の準同型 f ′ : ( A / I ) n → ( A / I ) p {\displaystyle f'\colon \left(A/I\right)^{n}\to \left(A/I\right)^{p}} を引き起こし、これが同型写像であることは容易に示すことができる。A/I は体であるから、f ' は有限次元ベクトル空間の間の同型であり、したがって n = p である。
IBN を満たさない環の例は、列有限行列全体のなす環 C F M N ( R ) {\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)} である。この行列は環 R に係数を持ち、 N × N {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } で添え字付けられた成分を持ち、各列は有限個しか非零成分を持たないようなものである。この最後の条件によって無限行列の積 MN を定義することができ、環の構造が入る。左加群同型 C F M N ( R ) ≅ C F M N ( R ) 2 {\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}} が次のように与えられる: