非可換環
幾何学から生じる可除環を始まりとして、非可換環の研究は現代代数学の主要な分野に成長している。非可換環の理論と解釈は数多くの著者たちによって19世紀と20世紀に拡張、洗練された。
そのような貢献をした人を何人か挙げる:E. Artin, Richard Brauer(英語版), P. M. Cohn(英語版), W. R. Hamilton, I. N. Herstein(英語版), N. Jacobson(英語版), 森田紀一、E. Noether, Ø. Ore(英語版).
森田同値とは、環論的な多くの性質を保つ環の間の関係のことを言う。これは1958年に同値関係と双対性に関する記号を定義した森田紀一にちなんで名付けられた。
(結合的で単位元を持つ)環 R, S が(森田)同値であるとは、(左)R 加群の成す圏 R-Mod と(左)S 加群の成す圏 S-Mod との間に圏同値があることを言う。左加群の成す圏 R-Mod と S-Mod とが森田同値である必要十分条件は、右加群の成す圏 Mod-R と Mod-S とが森田同値であることを示すことができる。さらに圏同値を与えるどんな R-Mod から S-Mod への関手も自動的に加法的であることを示すことができる。
代数学において、半原始環、あるいはジャコブソン半単純環、あるいは J-半単純環とは、ジャコブソン根基が 0 であるような環のことである。これは半単純環よりも一般的なタイプの環であるが、単純加群はなお環についての十分な情報を与えてくれる。整数環のような環は半原始環であり、アルティン的半原始環はちょうど半単純環である。半原始環は原始環の部分直積(英語版) として理解することができ、それはジャコブソンの稠密定理(英語版)によって述べられている。