総乗
総乗(そうじょう)とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。
結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a1, a2, ..., an の総乗を
∏ k = 1 n a k = a 1 × a 2 × ⋯ × a n {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}}
などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。
有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, ..., n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (xi)i∈I 」とすることができる。この列の総乗を
∏ E = ∏ x ∈ E x = ∏ i ∈ I x i = ∏ k = 1 n x k {\displaystyle \prod E=\prod _{x\in E}x=\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}}
などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1M を持つとき、空集合を添え字集合とする列(空な列)の総乗は 1M であるとする。(空積も参照)
∏ ∅ = ∏ x ∈ ∅ x = 1 M {\displaystyle \prod \emptyset =\prod _{x\in \emptyset }x=1_{M}}