多変数複素関数
最も簡単なシュタイン多様体は、複素数の n-組からなる空間 C(複素 n-次元数空間)である。これは複素数体 C 上の n-次元ベクトル空間とみることができて、つまりR 上の次元が 2n である。したがって、集合および位相空間として、C は R と等しく、その位相次元は 2n である。
座標に依らない形で述べるならば、複素数体上の任意のベクトル空間は、その2倍の次元を持つ実ベクトル空間と考えることができる。ここに複素構造は、虚数単位 i によるスカラー倍を定義する線型作用素 J(J = −I をみたす)によって特定される。
そのような任意の空間は、実空間として向き付けられている。ガウス平面をデカルト平面と見做したとき、複素数 w = u + iv を掛けるという操作は、実行列
( u − v v u ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}u&&-v\\v&&u\end{pmatrix}}}
によって表現される。これは 2次実正方行列で、行列式は
u 2 + v 2 = | w | 2 {\displaystyle u^{2}+v^{2}=|w|^{2}}
となる。同様に、任意の有限次元複素線型作用素を実行列として表現すると(上述の形の 2×2 ブロックによって構成され)、その行列式は対応する複素行列式の絶対値の自乗に等しい。それは非負の数であり、このことは複素作用素によって空間の(実の)向き付けが逆になることはないことを意味する。同様のことは C から C への正則関数のヤコビ行列に対しても適用される。