クリストッフェル記号
第二種クリストッフェル記号は同じく基本計量テンソルまたは第一種クリストッフェル記号から
{ i j k } = 1 2 g i a ( ∂ g j a ∂ x k + ∂ g k a ∂ x j − ∂ g j k ∂ x a ) = g i a [ j k , a ] {\displaystyle \left\{{{i} \atop {j\;k}}\right\}={\frac {1}{2}}g^{ia}\left({\frac {\partial g_{ja}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{ka}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{a}}}\right)=g^{ia}\left[j\;k,a\right]}
と定義される。
であることから、
δ k i { k h l ̄ } 0 = { i h l ̄ } 0 = 0 {\displaystyle \delta _{k}^{i}\left\{{\overline {{k} \atop {h\;l}}}\right\}_{0}=\left\{{\overline {{i} \atop {h\;l}}}\right\}_{0}=0}
すなわち、クリストッフェル記号はある一点 x0 においては全て0となることが導かれる。
このような座標系を、点 u0 = 0 を原点とする測地座標系(geodetic coordinate system)と呼ぶ。なお、測地座標の原点においては、テンソルの共変微分と通常の微分が一致する。