グーデルマン関数
(逆双曲線関数を参照。)
グーデルマン関数とその逆関数の微分は次のとおりである。
d d x gd  x = sech  x ; d d x gd − 1 x = sec  x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\;\operatorname {gd} x=\operatorname {sech} x;\quad {\frac {d}{dx}}\;\operatorname {gd} ^{-1}\,x=\sec x.}
また、逆グーデルマン関数は次式のようにフーリエ級数展開できる。
gd − 1  x = − 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n sin  ( 2 n − 1 ) x 2 n − 1 {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}x=-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\sin(2n-1)x}{2n-1}}}
数式 π / 2 − gd  x {\displaystyle \pi /2-\operatorname {gd} x} は、双曲幾何学において、平行角(英語版)関数を定義する。