特性類
[ ( ( e 1 , e 2 ) , R ( θ ) ) ] φ C 1 ∈ V 2 O R ∞ × φ C 1 S O ( 2 ) → R ( θ ) ( e 1 , − e 2 ) ∈ V 2 O R ∞ ↓ ↻ ↓ [ e 1 , e 2 ] ∈ G ~ 2 R ∞ → ξ [ e 1 , − e 2 ] ∈ G ~ 2 R ∞ {\displaystyle {\begin{array}{ccc}[((e_{1},e_{2}),R(\theta ))]_{\varphi _{C_{1}}}\in V_{2}^{O}\mathbb {R} ^{\infty }\times _{\varphi _{C_{1}}}SO(2)&\to &R(\theta )(e_{1},-e_{2})\in V_{2}^{O}\mathbb {R} ^{\infty }\\\downarrow &\circlearrowright &\downarrow \\[][e_{1},e_{2}]\in {\tilde {G}}_{2}\mathbb {R} ^{\infty }&{\overset {\xi }{\to }}&[e_{1},-e_{2}]\in {\tilde {G}}_{2}\mathbb {R} ^{\infty }\\\end{array}}}
よって、 B φ C 1 {\displaystyle B\varphi _{C_{1}}} の定義より、 B φ C 1 {\displaystyle B\varphi _{C_{1}}} はξと一致し、ξの定義から B φ C 1 = ξ {\displaystyle B\varphi _{C_{1}}=\xi } が H ∗ ( B S O ( 2 ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BSO(2);\mathbb {Z} )} 上に誘導する写像は、生成元 γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} を − γ 1 {\displaystyle -\gamma _{1}} に写す。
B μ Z p ∗ : H ∗ ( B S O ( n ) , Z p ) → ∼ H ∗ ( B S O ( 2 ) m , Z ) W ⊗ Z p {\displaystyle B\mu {}_{\mathbb {Z} _{p}}^{*}~:~H^{*}(BSO(n),\mathbb {Z} _{p}){\overset {\sim }{\to }}H^{*}(BSO(2)^{m},\mathbb {Z} )^{W}\otimes \mathbb {Z} _{p}} for p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2}
である。上式と(3)式と普遍係数定理を使って書き換える事で、
B μ Z p ∗ : Z p t k ⊕ ( S ( k ) ⊗ Z p ) ⊕ ( S ( k + 1 ) ⊗ Z p ) → ∼ Z p r k {\displaystyle B\mu {}_{\mathbb {Z} _{p}}^{*}~:~\mathbb {Z} _{p}{}^{t_{k}}\oplus (S^{(k)}\otimes \mathbb {Z} _{p})\oplus (S^{(k+1)}\otimes \mathbb {Z} _{p}){\overset {\sim }{\to }}\mathbb {Z} _{p}{}^{r_{k}}} for p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} ...(4)
が言える。
ホイットニー和の公式(英: Whitney sum formula): c k ( n + m ) ( ξ ⊕ η ) = ∑ i = 0 k c i ( n ) ( ξ ) ⌣ c k − i ( m ) ( η ) {\displaystyle c_{k}^{(n+m)}(\xi \oplus \eta )=\sum _{i=0}^{k}c_{i}^{(n)}(\xi )\smile c_{k-i}^{(m)}(\eta )}
正規化公理(英: normalization axiom):普遍1-平面バンドル ξ U = ( E U ( 1 ) , B U ( 1 ) , π ) {\displaystyle \xi _{U}=(EU(1),BU(1),\pi )} に対し、 c 1 ( 1 ) ( ξ U ) {\displaystyle c_{1}^{(1)}(\xi _{U})} は H 2 ( B U ( 1 ) , Z ) {\displaystyle H^{2}(BU(1),\mathbb {Z} )} のcanonicalな生成元である。
前節で定義したチャーン類が次元公理と正規化公理を満たすのは明らかである。ホイットニー和の公式の証明は下記のとおりである。
をオイラー類(英: Euler class)という。
紛れがなければ、 p i ( n ) {\displaystyle p_{i}^{(n)}} 、 e ( n ) {\displaystyle e^{(n)}} を単に p i {\displaystyle p_{i}} 、 e {\displaystyle e} と書く。
分類空間 H ∗ ( B O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(BO(n);\Lambda )} や H ∗ ( O ( n ) ; Λ ) {\displaystyle H^{*}(O(n);\Lambda )} の元と特性類は1対1でするので、第iポントリャーギン類 p i {\displaystyle p_{i}} やオイラー類eに対応する特性類
p i ( ξ ) {\displaystyle p_{i}(\xi )} 、 e ( ξ ) {\displaystyle e(\xi )}
をそれぞれベクトルバンドルξの第iポントリャーギン類、オイラー類という。分類空間の元 p i {\displaystyle p_{i}} 、eを p i ( ξ ) {\displaystyle p_{i}(\xi )} 、 e ( ξ ) {\displaystyle e(\xi )} と区別したいときは、 p i {\displaystyle p_{i}} 、eをそれぞれ第i普遍ポントリャーギン類(英: i-th universal Pontryagin class)、普遍オイラー類(英: universal Euler class)という。
なぜ上述の定理が成立するのかについては後述する。
具体的には
E n m := { ( V , v ) ∈ G n K m × K m ∣ v ∈ V } {\displaystyle E_{n}^{m}:=\{(V,v)\in G_{n}K^{m}\times K^{m}\mid v\in V\}}
とし、第一成分への射影 π n m : ( V , v ) ∈ E n m ↦ V ∈ G n K m {\displaystyle \pi _{n}^{m}~:~(V,v)\in E_{n}^{m}\mapsto V\in G_{n}K^{m}} により E n m {\displaystyle E_{n}^{m}} をGnK上のベクトルバンドルとみなしたものがGnKのトートロジカル・バンドルであり、m→∞に関する帰納的極限をとった
π n : E n → G n K ∞ {\displaystyle \pi _{n}~:~E_{n}\to G_{n}K^{\infty }}
が普遍n-平面バンドルになっている。
レクチャーノート Stephen A. Mitchell (2001年8月). “Notes on principal bundles and classifying spaces”. 2021年5月20日閲覧。 Robert R. Bruner, Michael Catanzaro, J. Peter May. “Characteristic classes”. The university of Chicago. 2021年5月24日閲覧。 Mark Behrens. “LECTURE 32: PROPERTIES OF CHERN CLASSES, THESPLITTING PRINCIPLE”. Massachusetts Institute of Technology. 2021年5月24日閲覧。 Ralph L. Cohen. “The Topology of Fiber Bundles Lecture Notes”. Department of Mathematics, Stanford University. 2022年9月16日閲覧。 Stephen A. Mitchell (2001年8月). “Notes on principal bundles and classifying spaces”. 2021年5月20日閲覧。 Laurenţiu Maxim (2018年4月18日). “Math 754Chapter III: Fiber bundles. Classifying spaces.Applications”. University of Wisconsin. 2021年5月19日閲覧。 J. P. May.
特性類の概念は原理的には任意の位相群の主バンドルに対して定義できるが、研究が進んでいるのはベクトルバンドル(の主バンドル)に対する特性類である。
そこでベクトルバンドルの特性類について記述するための準備として、本節ではベクトルバンドルの構造群の分類空間を具体的に記述する。
すなわち本節では K = C , R {\displaystyle K=\mathbb {C} ,\mathbb {R} } に対し、一般線型群 G L n ( K ) {\displaystyle GL_{n}(K)} の分類空間を記述する。さらに R {\displaystyle \mathbb {R} } の場合にはベクトルバンドルに向き付けが定義可能なので、向き付け可能な R {\displaystyle \mathbb {R} } 上ベクトルバンドルの構造群である G L n + ( R ) {\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )} の分類空間についても記述する。
であり、 ν {\displaystyle \nu } は対角線への埋め込み
ν : U ( 1 ) n ↪ U ( n ) , ( a 1 , ... , a n ) ↦ a 1 ⊕ ⋯ ⊕ a n {\displaystyle \nu ~:~U(1)^{n}\hookrightarrow U(n),~~(a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto a_{1}\oplus \cdots \oplus a_{n}}
である。
n=2mの場合に元の動きを図示すると、以下の通りである:
( R ( θ j ) ) j = 1 , ... , m ↪ μ R ( θ 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ R ( θ m ) ↪ ι R ( θ 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ R ( θ m ) ρ ↓ ↻ φ U ^ ↓ ↻ φ U ^ ↓ ( e i θ j , e − i θ j ) j = 1 , ... , m ↪ ν e i θ 1 ⊕ e − i θ 1 ⊕ ⋯ ⊕ e i θ m ⊕ e − i θ m = e i θ 1 ⊕ e − i θ 1 ⊕ ⋯ ⊕ e i θ m ⊕ e − i θ m .
レクチャーノート Stefan Friedl, Matthias Nagel, Patrick Orson, Mark Powell (2020年6月9日). “A survey of the foundations of four-manifold theory in the topological category” (pdf). arXive. 2021年5月20日閲覧。 J. P. May. “A PRIMER ON SPECTRAL SEQUENCES”. 2022年5月30日閲覧。 Brian Conrad. “Math 210C. Weyl group computations”. 2022年12月15日閲覧。
書籍 Tammo tom Dieck (2008/9/15). Algebraic Topology. Ems Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society. ISBN 978-3037190487 James F. Davis, Paul Kirk (2001/8/1). Lecture Notes in Algebraic Topology. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. ISBN 978-0821821602
.. , α n ] {\displaystyle \iota ^{*}~:~H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )\to H^{*}(BU(1)^{n};\mathbb {Z} )\approx H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )\otimes \cdots \otimes H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]}
は単射環準同型である。ここでαiはi番目の H ∗ ( B U ( 1 ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(1);\mathbb {Z} )} の生成元である。
なお、上式においてコホモロジー環における積はカップ積である。また上式の値域における同型は直積に対する分類空間の振る舞いとKünnethの公式(英語版)、および上記の補題から従う。
以上の事実から、後は H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )} の ι ∗ {\displaystyle \iota ^{*}} による像が Z [ α 1 , ... , α n ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}]} のどのような部分集合に落ちるかを決定すれば、 H ∗ ( B U ( n ) ; Z ) {\displaystyle H^{*}(BU(n);\mathbb {Z} )} を具体的に書きあらわす事ができる。
以下でXは任意のCW複体、ξ、ηはX上の任意の実ベクトルバンドル、n、mはそれぞれξ、ηのファイバー(であるベクトル空間)の次元であり、「 ⊕ {\displaystyle \oplus } 」はベクトルバンドルのホイットニー和である:
次元公理: w 0 ( n ) ( ξ ) = 1 {\displaystyle w_{0}^{(n)}(\xi )=1}
ホイットニー和の公式: w k ( n + m ) ( ξ ⊕ η ) = ∑ i = 0 k w i ( n ) ( ξ ) ⌣ w k − i ( m ) ( η ) {\displaystyle w_{k}^{(n+m)}(\xi \oplus \eta )=\sum _{i=0}^{k}w_{i}^{(n)}(\xi )\smile w_{k-i}^{(m)}(\eta )}
正規化公理:1次元実射影空間 R P 1 ≈ S 1 {\displaystyle \mathbb {R} P^{1}\approx S^{1}} 上の普遍1-平面バンドル ξ U {\displaystyle \xi _{U}} に対し、 w 1 ( 1 ) ( ξ U ) ≠ 0 {\displaystyle w_{1}^{(1)}(\xi _{U})\neq 0} 。