分散共分散行列
すぐ上で使った次の等式と、
var  ( a ⊤ X ) = a ⊤ var  ( X ) a {\displaystyle \operatorname {var} (\mathbf {a^{\top }} \mathbf {X} )=\mathbf {a^{\top }} \operatorname {var} (\mathbf {X} )\mathbf {a} \,}
実数値を取る確率変数の分散は非負であるということから、すぐに半正定値行列だけが分散共分散行列になることができるということがわかる。さらに、任意の半正定値行列は分散共分散行列とみなすことができる。これを示すには、次のようにする。まず、M を p × p の半正定値対称行列とする。有限次元のスペクトル理論より、M は半正定値対称平方根行列 M を持つ。X を任意の p × 1 の確率変数の列ベクトルとし、その分散共分散行列が p × p の恒等行列だとする。すると
var  ( M 1 / 2 X ) = M 1 / 2 ( var  ( X ) ) M 1 / 2 = M . {\displaystyle \operatorname {var} (M^{1/2}\mathbf {X} )=M^{1/2}(\operatorname {var} (\mathbf {X} ))M^{1/2}=M.\,}