商群
整数 Z が加法についてなす群と、すべての偶数からなる部分群 2Z を考える。これは Z が可換群なので正規部分群である。剰余類は2つしかない:偶数全体の集合と奇数全体の集合である;したがって、商群 Z/2Z は2つの元を持つ巡回群である。この商群は2を法とする加法をもつ集合 {0, 1} に同型である;インフォーマルには、Z/2Z は2を法とする加法をもつ集合 {0, 1} に「等しい」と言うこともある。
この例を少し一般化する。再び整数が加法についてなす群 Z を考える。n を任意の正整数とする。n のすべての倍数からなる Z の部分群 nZ を考える。Z は可換なのでその部分群 nZ は正規である。剰余類たちの集合は {nZ, 1 + nZ, ..., (n − 2) + nZ, (n − 1) + nZ} である。整数 k は、k を n で割った余りを r とすると、剰余類 r + nZ に属する。商 Z/nZ は n で割った「余り」の群と考えることができる。これは位数 n の巡回群である。
1 の 12 乗根全体を考えると、これは単位円周に乗っているが、乗法についてアーベル群 G をなす。数が色つきの点で偏角とともに絵に描かれている。