主イデアルに関する昇鎖条件
ネーター整域において 0 でない非単元は既約元に分解するということはよく知られている。このことの証明は (ACC) ではなく (ACCP) のみに頼っているので、(ACCP) の成り立つ任意の整域において、既約元分解が存在する。(言い換えると、(ACCP) の成り立つ任意の整域は原子整域(英語版)である。しかし逆は、(Grams 1974) において証明されているように、間違いである。)そのような分解は一意でないかもしれない。分解の一意性を証明する通常の方法はユークリッドの補題を使うが、これは因子が単に既約であるだけでなく素元であることを要求する。実際、次の特徴づけがある: A を整域とする。このとき以下は同値である。
A は UFD である。
A は (ACCP) を満たし、A のすべての既約元は素元である。
A は (ACCP) を満たすGCD整域である。
いわゆる永田判定法 (Nagata criterion) が (ACCP) を満たす整域 A に対して成り立つ: S を素元で生成される A の乗法的閉部分集合とする。