基本解
重調和方程式
[ − ∇ 4 ] Φ ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) {\displaystyle [-\nabla ^{4}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}
には、次の基本解が存在する。
Φ 2 D ( x , x ′ ) = − | x − x ′ | 2 8 π ( ln  | x − x ′ | − 1 ) , Φ 3 D ( x , x ′ ) = | x − x ′ | 8 π {\displaystyle \Phi _{2D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|^{2}}{8\pi }}(\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|-1),\quad \Phi _{3D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}{8\pi }}}
ラプラス方程式
[ − ∇ 2 ] Φ ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) {\displaystyle [-\nabla ^{2}]\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}
に対し、二次元および三次元の基本解はそれぞれ次のように与えられる。
Φ 2 D ( x , x ′ ) = − 1 2 π ln  | x − x ′ | , Φ 3 D ( x , x ′ ) = 1 4 π | x − x ′ | {\displaystyle \Phi _{2D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=-{\frac {1}{2\pi }}\ln |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|,\quad \Phi _{3D}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}}