サイコロ
サイコロの目は、もとの六面体を凹ませることで作るため、目の分だけ各面から質量が取り除かれることになり、重心に偏りを生ませる。特に、最も数の差が大きい1の面と6の面が向かい合っているため、目の大きさが全て同一のサイコロは1の面側に重心が偏り、転がした際に6の面がもっとも上になりやすく、乱数発生に不都合が生じる。そのため、このことを考慮したサイコロでは、各面に刻む目の容積をその数に反比例させ、1の目が最も大きく、2はその半分、3は3分の1、...6は6分の1、という具合に徐々に小さくなるようにし、各面が失う質量を等しくすることにより、重心の偏りを避ける工夫がなされている。ただし、市販のサイコロの大部分はそこまで行わず、1の面の目だけが大きく他は同じ大きさといった程度である。この場合、最も上になりやすいのは5の面である。
また、各々の面において目の配置が点対称あるいは左右対称なのも、配置による重心の偏りをなくすための工夫である。
さらに、カジノゲームのクラップスや競技バックギャモンで使われるダイスでは、少しでも重心の偏りをなくすため、目を凹ませた後に素材と同比重の塗料(もしくは本体と同材質異色の材料)で埋めてある。また角も丸められてはいない。これらをプレシジョン・ダイス(precision dice、精密ダイス)という。
また、各目に穴を空けずに塗装するだけのサイコロもある。もちろん、このようなサイコロには重心の偏りが少ない。
逆に、わざと重心を偏らせて特定の目が出やすいようにしたものをグラサイと呼ぶ。
出目の順列の総数は、p 種類の出目から重複を許して f 回並べる重複順列となる。
(総順列数)= pΠf = p
例:6Π3 = 6 = 216(10) = 1000(6)
( ∑ i = 0 p − 1 x i ) f {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{p-1}x^{i}\right)^{f}} = ( 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ + x p − 1 ) f {\displaystyle (1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{p-1})^{f}} = ( 1 − x ) f ( 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ + x p − 1 ) ( 1 − x ) f {\displaystyle {\frac {(1-x)^{f}(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{p-1})}{(1-x)^{f}}}} = ( 1 − x p ) f ( 1 − x ) f {\displaystyle {\frac {(1-x^{p})^{f}}{(1-x)^{f}}}}
これを展開して、各項の係数を取り出し整理すると、上記の式となる。
例(任意の合計値を11とした場合): ∑ i = 0 ⌊ 11 − 3 6 ⌋ 11 − 6 i − 1 C 3 − 1 ⋅ 3 C i ⋅ ( − 1 ) i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {11-3}{6}}\right\rfloor }{}_{11-6i-1}\mathrm {C} _{3-1}\cdot {}_{3}\mathrm {C} _{i}\cdot (-1)^{i}} = 10C2·3C0·(-1)+4C2·3C1·(-1) = 45×1×1+6×3×(-1) = 27(10) = 43(6)
特定の目が1回も出ない、つまり特定の目以外の目しか出ない確率は、
(特定の目が出ない確率)= ( p − 1 ) f p f {\displaystyle {\frac {(p-1)^{f}}{p^{f}}}}
例: ( 6 − 1 ) 3 6 3 = 125 216 ≈ 0.5787 {\displaystyle {\frac {(6-1)^{3}}{6^{3}}}={\frac {125}{216}}\approx 0.5787}
任意の合計値が出る確率は、上記の任意合計値順列数を総順列数で割った値となる。
(任意合計値の確率)= ∑ i = 0 ⌊ s − f p ⌋ s − p i − 1 C f − 1 ⋅ f C i ⋅ ( − 1 ) i p f {\displaystyle {\frac {\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {s-f}{p}}\right\rfloor }{}_{s-pi-1}\mathrm {C} _{f-1}\cdot {}_{f}\mathrm {C} _{i}\cdot (-1)^{i}}{p^{f}}}}
例(任意の合計値を11とした場合): 27 216 = 1 8 = 0.125 {\displaystyle {\frac {27}{216}}={\frac {1}{8}}=0.125}