極位相
実数あるいは複素数の体上のベクトル空間 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} の双対組を ( X , Y , ⟨ , ⟩ ) {\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )} と表す。
集合 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} が X {\displaystyle X} において Y {\displaystyle Y} に関して有界であるとは、各元 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} に対する値の集合 { ⟨ x , y ⟩ ; x ∈ A } {\displaystyle \{\langle x,y\rangle ;x\in A\}} が有界であることをいう。すなわち、次が成り立つことをいう。
∀ y ∈ Y sup x ∈ A | ⟨ x , y ⟩ | < ∞ . {\displaystyle \forall y\in Y\qquad \sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |<\infty .}
この条件は、 Y {\displaystyle Y} 内の集合 A {\displaystyle A} の極
A ∘ = { y ∈ Y : sup x ∈ A | ⟨ x , y ⟩ | ≤ 1 } {\displaystyle A^{\circ }=\{y\in Y:\quad \sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}}