被覆空間
X を任意の n ≥ 2 に対するホモトピー群 πn(X) = 0 と持つ連結な胞体複体(英語版)(cell complex)とすると、X の普遍被覆空間 T は次のようにホワイトヘッドの定理(英語版)(Whitehead theorem)を適用すると、可縮であることが分かる。この場合に X は分類空間であり、G = π1(X) に対し K(G, 1) である。
さらに、すべての n ≥ 0 に対し、胞体 n-鎖体 Cn(T) (つまり、n-胞体により T の中に与えられる基底をもつ自由アーベル群)は、自然に ZG-加群構造をも持つ。ここに T の n-胞体 σ と G の元 g に対し、胞体 gσ は、正確に g に対応する T の被覆変化による σ の変換に一致する。さらに、Cn(T) は、T の n-胞対の G-軌道の表現による自由 ZG-基底をもつ自由 ZG-加群である。この場合は、ε をアーギュメント写像(英語版)(augmentation map)として、標準的なトポロジカルな鎖複体
G を位相空間 X 上の離散群(discrete group)の群作用とする。どのような条件のときに X から軌道 X/G への射影が被覆写像となるかとの問いは自然である。作用は不動点を持っているかもしれないので、これはいつの正しいとは限らない。例えば、(x, y) ↦ (y, x) というツイスト作用により、積 X × X 上への作用が、恒等元ではない位数 2 の巡回群が例である。このように X と X/G の基本群の間の関係の研究は、そうまっすぐには進めない。
しかしながら、群 G は X の基本グルーポイド(groupoid)上へ作用し、グルーポイド上への対応する群と対応する軌道を考えることで、最もうまく扱える。この理論は、以下の書籍 Topology and groupoids の第 11 章で定式化され、主要な結果は、普遍被覆を持つハウスドルフ空間 X 上の群 G の離散的作用に対し、軌道空間 X/G の基本グルーポイドは、X の基本グルーポイドの軌道グルーポイド、つまり、群 G の作用によるグルーポイドの商空間と同型ということである。これは計算を明確化し、例えば、空間の対称的な二乗積空間の基本群の計算に使われる。
ホモトピー論として、被覆空間の考えは、デック変換群が離散的である場合、あるいは同じことであるが、空間が局所連結空間の場合に、有益である。しかし、デック変換群は離散的ではない位相群なので、問題が発生する。ハワイアンリング(英語版)(Hawaiian earring)のような、より複雑な空間を作る発展もあった。さらに詳細は、参考文献を参照。
これらの問題の多くは、ジェレミー・ズラザス(Jeremy Brazas)による半被覆(semicovering)の考えにより解決された(以下の参考文献中の論文を参照)。