終結式
x ≠ o {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\neq {\boldsymbol {o}}} より、この斉次連立方程式には非自明な解が存在するから、係数行列は非正則である:
| A | = 0 {\displaystyle |A|=0}
1 a n m b m n | A | {\displaystyle {\tfrac {1}{{a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}}}|A|} は、αi = βj のとき多項式として 0 になるから、因数定理より、αi − βj を因数に持つ:
1 a n m b m n | A | = c ∏ i , j ( α i − β j ) {\displaystyle {\tfrac {1}{{a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}}}|A|=c\,\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})}
両辺の (β1 β2 ... βm) の係数を比較すると、c = 1
∴ | A | = a n m b m n ∏ i , j ( α i − β j ) ◼ {\displaystyle \therefore \ |A|={a_{n}}^{m}{b_{m}}^{n}\textstyle \prod \limits _{i,j}(\alpha _{i}-\beta _{j})\quad \blacksquare }