GNS表現
GNS表現により、状態 φ {\displaystyle \varphi } から導入される組 ( H φ , π φ , Ω φ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\varphi },\pi _{\varphi },\Omega _{\varphi })} をGNS構成と呼ぶ。GNS構成はユニタリ同値を除いて、一意的である。したがって、 ( H φ , π φ , Ω φ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{\varphi },\pi _{\varphi },\Omega _{\varphi })} と ( H φ ′ , π φ ′ , Ω φ ′ ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}'_{\varphi },\pi '_{\varphi },\Omega '_{\varphi })} がともにGNS構成であるとき、ユニタリ作用素 U : H φ → H φ ′ {\displaystyle U:{\mathcal {H}}_{\varphi }\rightarrow {\mathcal {H}}'_{\varphi }} が存在し、
π φ ( A ) U = U π φ ′ ( A ) ∀ A ∈ A {\displaystyle \pi _{\varphi }(A)U=U\pi '_{\varphi }(A)\quad {}^{\forall }A\in {\mathfrak {A}}}
が成り立つ。