選択公理
単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。
以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。
任意の集合の濃度は比較可能である。
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理(英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice)というものも考えられている。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。