ユークリッド距離
点 p, q の間の距離に、例えば p から q への向きを入れて考えるならば、それは新たにベクトル
q − p = ( q 1 − p 1 , q 2 − p 2 , ⋯ , q n − p n ) {\displaystyle {\boldsymbol {q}}-{\boldsymbol {p}}=(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2},\cdots ,q_{n}-p_{n})}
として表すことができる。三次元空間 (n = 3) においてこれを p から q へ向かう矢印として描くこともできるし、あるいは p に対する q の相対的な位置と見ることもできる。p および q が、ある同じ点の連続的な二つの時点におけるそれぞれの位置を表すものである場合は、変位ベクトル(英: displacement)とも呼ばれる。
p, q 間のユークリッド距離は、この距離ベクトル(あるいは変位ベクトル)のユークリッド長さ
に等しい(これは等式 1 と同値)。これを展開すると
‖ q − p ‖ = ‖ p ‖ 2 + ‖ q ‖ 2 − 2 p ⋅ q {\displaystyle \|{\boldsymbol {q}}-{\boldsymbol {p}}\|={\sqrt {\|{\boldsymbol {p}}\|^{2}+\|{\boldsymbol {q}}\|^{2}-2{\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {q}}}}}
と書くこともできる。