リーマン・フルヴィッツの公式
この考えと同じ方法は、P の周りに小さな近傍 U が存在し、π(P) がちょうど U にひとつ前像を持つが、U の他の点の像は U の中にちょうど n 個の前像を持つということである。n のことを P での分岐指数(英語版)(ramification index)と言い、eP で表す。S' のオイラー標数の計算では、π(P) 上で(すなわち、π(P) の逆像の中で) P のeP − 1 個のコピーが失われることに留意する。ここで、S と S' の三角化で、分岐している線での頂点、分岐点をそれぞれとり、これらを使いオイラー標数を計算する。すると S' は 0 とは異なる d 次元の面と同じ数を持つが、期待される頂点の数は少ない。従って、「正しい」公式は
χ ( S ′ ) = N ⋅ χ ( S ) − ∑ P ∈ S ′ ( e P − 1 ) {\displaystyle \chi (S')=N\cdot \chi (S)-\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)}
であることが分かる(有限個の P を除いて eP = 1 なので、全く問題ない)。この公式は、リーマン・フルヴィッツの公式(Riemann–Hurwitz formula)、あるいはフルヴィッツの定理(Hurwitz's theorem)として知られている。