コリオリの力
3次元の場合のコリオリの力をまとめると、次の3段階で導出されていることが分かる。
観測点 P {\displaystyle P} での地球の接平面 T {\displaystyle T} 内の速度ベクトルを、観測点 P {\displaystyle P} を通り地軸と直交する平面(赤道面と平行な平面) L {\displaystyle L} に射影する。
平面 L {\displaystyle L} 内で2次元のコリオリの力を求める。
得られた平面 L {\displaystyle L} 内のコリオリの力を接平面 T {\displaystyle T} に射影し、接平面 T {\displaystyle T} 内のコリオリの力を求める。
ここで、接平面 T {\displaystyle T} 内の東向き(自転方向の向き)の大きさ v {\displaystyle v} の速度ベクトルについて考えれば、それを平面 L {\displaystyle L} に射影しても変わらずに大きさ v {\displaystyle v} であり、平面 L {\displaystyle L} 内のコリオリの力は、大きさ 2 m ω v {\displaystyle 2m\omega v} 、方向は東と直交し地軸から遠ざかる方向であり、それを接平面 T {\displaystyle T} に射影すると、コリオリの力(の接平面 T {\displaystyle T} 内の成分)は、大きさ 2 m ω v sin  α {\displaystyle 2m\omega v\sin \alpha } 、方向は南となる。
コリオリパラメーターは通常、中緯度の値で約10 sなので、典型的な大気速度10 m/s (22 mph)で半径 100 km (62 mi)、周期17 hoursとなる。一方典型的な速度の海流(10 cm/s (0.22 mph)) の場合では、半径は1 km (0.6 mi)となる。これらの慣性円は、北半球では時計回り(軌道が右に曲がる)、南半球では反時計回りである(台風とは逆向きとなることに注意)。
回転系が放物線状のターンテーブル状である場合、 f {\displaystyle f} は一定であり、軌道は正確に円となるが、自転する惑星ではコリオリパラメーター f {\displaystyle f} は緯度によって変化し、粒子の経路は正確な円を描かない。その場合 f {\displaystyle f} は先述の通り緯度の正弦に比例して変化するため、ある速度に伴う回転運動の半径は極点(緯度±90°)で最も小さく、赤道に向かって大きくなる。
上記は遠心力の項である。
ここで、広義のコリオリの力の項を見ると、
e 1 {\displaystyle e_{1}} 方向(北方向)の速度 b 1 ′ {\displaystyle b_{1}'} に対し、 e 2 {\displaystyle e_{2}} 方向(東方向)に「みかけの力」 2 m ω b 1 ′ sin  α {\displaystyle 2m\omega b_{1}'\sin \alpha } が働く
e 2 {\displaystyle e_{2}} 方向(東方向)の速度 b 2 ′ {\displaystyle b_{2}'} に対し、 − e 1 {\displaystyle -e_{1}} 方向(南方向)に「みかけの力」 2 m ω b 2 ′ sin  α {\displaystyle 2m\omega b_{2}'\sin \alpha } が働き、 e 3 {\displaystyle e_{3}} 方向(天頂方向)に「みかけの力」 2 m ω b 2 ′ cos  α {\displaystyle 2m\omega b_{2}'\cos \alpha } が働く
上記は加速度の項である。
m ( a 1 ′′ f 1 + a 2 ′′ f 2 + a 3 ′′ f 3 ) = F − 2 m ( a 1 ′ f 1 ′ + a 2 ′ f 2 ′ + a 3 ′ f 3 ′ ) − m ( a 1 f 1 ′′ + a 2 f 2 ′′ + a 3 f 3 ′′ + P ′′ ) {\displaystyle m(a_{1}''f_{1}+a_{2}''f_{2}+a_{3}''f_{3})=F-2m(a_{1}'f_{1}'+a_{2}'f_{2}'+a_{3}'f_{3}')-m(a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P'')}
について、
m ( a 1 ′′ f 1 + a 2 ′′ f 2 + a 3 ′′ f 3 ) = m [ f 1 f 2 f 3 ] [ a 1 ′′ a 2 ′′ a 3 ′′ ] = m [ f 1 f 2 f 3 ] [ cos  α 0 sin  α 0 1 0 − sin  α 0 cos  α ] [ b 1 ′′ b 2 ′′ b 3 ′′ ] = m [ e 1 e 2 e 3 ] [ b 1 ′′ b 2 ′′ b 3 ′′ ] = m ( b 1 ′′ e 1 + b 2 ′′ e 2 + b 3 ′′ e 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}m(a_{1}''f_{1}+a_{2}''f_{2}+a_{3}''f_{3})&=m{\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ a_{1}''\\a_{2}''\\a_{3}''\end{bmatrix}}\\&=m{\begin{bmatrix}\ f_{1}&f_{2}&f_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ \cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}''\\b_{2}''\\b_{3}''\end{bmatrix}}\\&=m{\begin{bmatrix}\ e_{1}&e_{2}&e_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ b_{1}''\\b_{2}''\\b_{3}''\end{bmatrix}}\\&=m(b_{1}''e_{1}+b_{2}''e_{2}+b_{3}''e_{3})\end{aligned}}}
− m ( a 1 f 1 ′′ + a 2 f 2 ′′ + a 3 f 3 ′′ + P ′′ ) = m ( − a 1 f 1 ′′ − a 2 f 2 ′′ − a 3 f 3 ′′ − R sin  α f 1 ′′ − R cos  α f 3 ′′ ) = m ω ( + a 2 f 3 ′ − a 3 f 2 ′ − R cos  α f 2 ′ ) = m ω 2 ( a 2 f 2 + a 3 f 3 + R cos  α f 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}-m(a_{1}f_{1}''+a_{2}f_{2}''+a_{3}f_{3}''+P'')&=m(-a_{1}f_{1}''-a_{2}f_{2}''-a_{3}f_{3}''-R\sin \alpha f_{1}''-R\cos \alpha f_{3}'')\\&=m\omega (+a_{2}f_{3}'-a_{3}f_{2}'-R\cos \alpha f_{2}')\\&=m\omega ^{2}(a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}+R\cos \alpha f_{3})\\\end{aligned}}}
は、 質点 X {\displaystyle X} から地軸に下ろした垂線の足から、質点 X {\displaystyle X} までの方向ベクトルが a 2 f 2 + a 3 f 3 + R cos  α f 3 {\displaystyle a_{2}f_{2}+a_{3}f_{3}+R\cos \alpha f_{3}} であることを考えれば、質点 X {\displaystyle X} にかかる「みかけの力」遠心力である。