比例ハザードモデル
時間データに同値がある場合に対処するために、いくつかの方法が提案されている。Breslow法(Breslow's method)は、同値が存在する場合でも、上述の手順を変更せずに使用するアプローチである。より良い結果が得られると考えられる別のアプローチとして、Efron法(Efron's method)がある。tj を一意の時間とし、 Hj を Yi = tj かつ Ci = 1となるインデックス i の集合とし、mj = |Hj| とする。Efronのアプローチは、次の部分尤度を最大化する。
L ( β ) = ∏ j ∏ i ∈ H j θ i ∏ l = 0 m − 1 [ ∑ i : Y i ≥ t j θ i − l m ∑ i ∈ H j θ i ] . {\displaystyle L(\beta )=\prod _{j}{\frac {\prod _{i\in H_{j}}\theta _{i}}{\prod _{\ell =0}^{m-1}\left[\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}\right]}}.}
対応する対数部分尤度は、
l ( β ) = ∑ j ( ∑ i ∈ H j X i ⋅ β − ∑ l = 0 m − 1 log  ( ∑ i : Y i ≥ t j θ i − l m ∑ i ∈ H j θ i ) ) , {\displaystyle \ell (\beta )=\sum _{j}\left(\sum _{i\in H_{j}}X_{i}\cdot \beta -\sum _{\ell =0}^{m-1}\log \left(\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}\right)\right),}
つまり、
λ ( t | X i ) = λ 0 ( t ) + β 1 X i 1 + ⋯ + β p X i p = λ 0 ( t ) + X i ⋅ β {\displaystyle \lambda (t|X_{i})=\lambda _{0}(t)+\beta _{1}X_{i1}+\cdots +\beta _{p}X_{ip}=\lambda _{0}(t)+X_{i}\cdot \beta }
を指定することである。
(対数)尤度最大化を目的とした状況でこのような加法ハザードモデル(additive hazards models)を使用する場合は、 λ ( t ∣ X i ) {\displaystyle \lambda (t\mid X_{i})} を非負値に制限するように注意しなければならない。おそらくこの複雑さのために、このようなモデルはほとんど見られない。目的が最小二乗であれば、非負の制限は厳密には必要ない。