二乗平均平方根
RMS  [ x ] = ∫ − ∞ ∞ x ′ 2 f ( x ′ ) d x ′ {\displaystyle \operatorname {RMS} [x]={\sqrt {\int _{-\infty }^{\infty }x'^{2}f(x')dx'}}}
と定義される。ここで関数 f(x') は確率密度関数と呼ばれる。
連続関数 x(t) の区間 t ∈ [t1, t2] (t1 < t2) については媒介変数の積分を用いて、
RMS  [ x ( t ) ] = 1 t 2 − t 1 ∫ t 1 t 2 ( x ( t ) ) 2 d t {\displaystyle \operatorname {RMS} [x(t)]={\sqrt {{\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}(x(t))^{2}\,dt}}}
と定義される。
二乗平均平方根(にじょうへいきんへいほうこん、英: root mean square、RMS)とは、データや確率変数を二乗した値の算術平均の平方根である。結果として単位が元の統計値・確率変数と同じという点が特徴である。また、絶対値の平均よりも計算が積和演算であるため高速化が容易であることが挙げられる。
変量 x のデータ xi (i = 1, 2, ..., n) に対して、x の二乗平均平方根 RMS(x) は次の式で定義される:
RMS  [ x ] = 1 n ∑ i = 1 n x i 2 {\displaystyle \operatorname {RMS} [x]={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}}^{2}}}}
つまり、xi の算術平均の平方根が x の二乗平均平方根 RMS[x] となる。
例えば、データ 1, 1, 2, 3, 5 の二乗平均平方根は次のようになる。