交代式
以下、多項式は同じ変数 x1, ..., xn に関するものとして、対称多項式や交代多項式について
対称多項式同士の積は対称式である。
対称多項式と交代多項式との積は交代式である。
交代多項式同士の積は対称式である。
などが成り立つ。これらの関係は、対称式を「偶」・交代式を「奇」と対応させたときの偶奇性の加法表と一致している。したがって、対称多項式全体の成すベクトル空間と交代多項式全体の成すベクトル空間との直和は超代数(英語版)(すなわち Z2-次数付き代数)を成し、その偶成分が対称多項式の空間・奇成分が交代多項式の空間になる。
特に、交代多項式の全体は対称多項式環上の加群になる。実はこの加群は自由階数 1 の自由加群で、生成元として n-変数の差積がとれる。
係数環の標数が 2 の場合は、交代多項式と対称多項式という二つの概念は一致する。
↑ この Z2-次数付けの「次数」は通常の意味の次数と無関係であることに注意する。
↑ 一般に、超代数の奇成分は偶成分上の加群となるのであった
↑ 符号が変わらない因子については並べ替えが起きていると理解できる。たとえば n = 3 のとき、x1 と x2 を入れ替えるとすると、x2 − x1 は ( x 1 − x 2 ) = − ( x 2 − x 1 ) {\textstyle (x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})} と符号が変わり、それ以外の x 3 − x 1 {\displaystyle x_{3}-x_{1}} と x 3 − x 2 {\displaystyle x_{3}-x_{2}} は互いに入れ替わるけれども符号は変化しない。