凸関数
凸関数(とつかんすう、英: convex function)とは、ある区間で定義された実数値関数 f で、区間内の任意の 2 点 x , y と開区間 (0, 1) 内の任意の t に対して
f ( t x + ( 1 − t ) y ) ≤ t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) {\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)\,}
を満たすものをいう。グラフの膨らむ向きを区別する表現を使うなら、凸関数とは「下に凸な関数」のことである。これはまた、エピグラフ(グラフ上およびグラフの上部の点の集合)が凸集合であるような関数であるともいえる。より一般に、ベクトル空間の凸集合上定義された関数に対しても同様に定義する。 また、狭義凸関数とは、任意の異なる 2 点 x , y と開区間 (0, 1) 内の任意の t に対して
f ( t x + ( 1 − t ) y ) < t f ( x ) + ( 1 − t ) f ( y ) {\displaystyle f(tx+(1-t)y)<tf(x)+(1-t)f(y)\,}
を満たす関数である(従って、下に凸な関数の事である)。
−f が凸関数のとき、f を凹関数(おうかんすう)と呼ぶ。凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。