行列の基本変形
m = n のとき、A には行列式 det A が存在する。
A = ( M 1 M 2 ⋯ M p ) − 1 F ( N 1 N 2 ⋯ N q ) − 1 {\displaystyle A=(M_{1}M_{2}\cdots M_{p})^{-1}F(N_{1}N_{2}\cdots N_{q})^{-1}}
であるので、
det A = det ( ( M 1 M 2 ⋯ M p ) − 1 F ( N 1 N 2 ⋯ N q ) − 1 ) = det F / ( det M p ⋅ det M p − 1 ⋅ ⋯ ⋅ det M 1 ⋅ det N q ⋅ ⋯ ⋅ det N 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\det A&=\det((M_{1}M_{2}\cdots M_{p})^{-1}F(N_{1}N_{2}\cdots N_{q})^{-1})\\&=\det F/\left(\det M_{p}\cdot \det M_{p-1}\cdot \dotsm \cdot \det M_{1}\cdot \det N_{q}\cdot \dotsm \cdot \det N_{1}\right)\end{aligned}}}
である。
[ 1 0 − 4 − 7 0 − 2 − 9 − 11 0 0 0 0 ] , [ 1 − 2 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&-4&-7\\0&-2&-9&-11\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\-2\\0\\\end{bmatrix}}}
m = n で、 A が正則行列であるとき、逆行列 Aが存在する。 A が正則であるとき、 F が単位行列であることに注意すれば、
A = ( M 1 M 2 ⋯ M p ) − 1 F ( N 1 N 2 ⋯ N q ) − 1 = ( M 1 M 2 ⋯ M p ) − 1 ( N 1 N 2 ⋯ N q ) − 1 {\displaystyle A=(M_{1}M_{2}\cdots M_{p})^{-1}F(N_{1}N_{2}\cdots N_{q})^{-1}=(M_{1}M_{2}\cdots M_{p})^{-1}(N_{1}N_{2}\cdots N_{q})^{-1}}
より、
A − 1 = N 1 N 2 ⋯ N q M 1 M 2 ⋯ M p {\displaystyle A^{-1}=N_{1}N_{2}\cdots N_{q}M_{1}M_{2}\cdots M_{p}}
である。
さらに、A が正則であるとき、p と q どちらかを 0 にできる、つまり、左か右のどちらかのみの基本変形を繰り返し適用することによって、単位行列に変形できることが知られている。今、q = 0であるとすると、
A − 1 = M 1 M 2 ⋯ M p {\displaystyle A^{-1}=M_{1}M_{2}\cdots M_{p}}
である。つまり、A を単位行列に変形するのと同じ変形を単位行列に適用することによって A が得られる。