固有状態熱化仮説
この式は次のように展開できる:
( A t − A ̄ ) 2 ̄ = ∑ α ≠ β | c α | 2 | c β | 2 | A α β | 2 . {\displaystyle {\overline {\left(A_{t}-{\overline {A}}\right)^{2}}}=\sum _{\alpha \neq \beta }|c_{\alpha }|^{2}|c_{\beta }|^{2}|A_{\alpha \beta }|^{2}.}
長時間平均の時間的ゆらぎは、非対角成分が ETH の課す条件を満たす限り小さくなる。言い換えれば、非対角成分は系の大きさについて指数関数的に小さくなる。
ETH に従って非対角項の和が小さくなるとしても、位相が揃った状態では対角項に匹敵する大きさになり得る点には注意すべきである。このような状況では期待値への非対角項の寄与が大きいため、期待値は長時間平均から大きく外れた値を取ることになる。 上述の二乗平均振幅が充分小さい限り、系が長時間平均から大きく離れた状態になる時間は短くなることが保証されている。 しかし動的対称性(英語版)を系が示す場合、長時間平均の周りを周期的に振動することが知られている。
統計力学において、ミクロカノニカルアンサンブルは特別なアンサンブルであり、エネルギーが既知で平衡状態に達していると考えられる孤立系に対して、孤立系に行った実験の結果の予測に用いられる。
ミクロカノニカルアンサンブルは次のような仮定に基づく:平衡状態に達した系を調べる際、全エネルギーが等しいどの微視的状態も、それが見出される確率は等しい。
この仮定に基づき、そのオブザーバブルのアンサンブル平均は、等しい全エネルギーを持つすべての微視的状態 i {\displaystyle i} に対する物理量 A i {\displaystyle A_{i}} の算術平均となる:
A ̄ c l a s s i c a l = 1 N ∑ i = 1 N A i {\displaystyle {\bar {A}}_{\mathrm {classical} }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}A_{i}}
この量は、そのエネルギーを除いて、いかなる初期状態にも依存していない。
エルゴード性の仮定は古典力学において、一般にカオス系が位相空間上の等しい体積に等しい時間だけ滞在することから、動的カオスの結果として強く動機付けられている。 孤立した古典カオス系を用意し、その位相空間上のある領域に置いたとして、系を時間発展させれば、(エネルギー保存の法則など)少数の保存則のみに従って、位相空間全体を標本するだろう。