スペクトル定理
その存在を証明する最も簡単な方法として、A をエルミート行列と考え、エルミート行列のすべての固有値は実数であるという事実を利用するものがある。
A の固有ベクトルを正規直交基底として選ぶと、その基底のもとで A は対角行列として表現される。または同値であるが、A はスペクトル分解(spectral decomposition)と呼ばれるペアとなる直交射影の線型結合として表現される。今
V λ = { v ∈ V : A v = λ v } {\displaystyle V_{\lambda }=\{\,v\in V:Av=\lambda v\,\}}
を固有値 λ に対応する固有空間とする。この定義は特定の固有ベクトルの選び方に依らないことに注意されたい。V は、その添え字が固有値全体であるような空間 Vλ の直交直和である。Pλ を Vλ の上への直交射影とし、λ1, ..., λm を A の固有値とすることで、そのスペクトル分解は次のように記述される。
A = λ 1 P λ 1 + ⋯ + λ m P λ m . {\displaystyle A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}.\,}
スペクトル分解は、シュール分解および特異値分解の特殊例である。