楕円
楕円の形状は離心率 e で表現される。
e = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
別途、扁平率 f でも表現できる。
f = 1 − b a {\displaystyle f=1-{\frac {b}{a}}}
楕円の面積 S は次のように表現できる。
S = π a b {\displaystyle S=\pi ab\,}
楕円の周長 C は a > b のとき、第二種完全楕円積分を用いて次のように表現できる。
C = 4 ∫ 0 π 2 a 2 cos 2  t + b 2 sin 2  t d t = 4 a ∫ 0 π 2 1 − e 2 sin 2  t d t = 2 π a ∑ n = 0 ∞ e 2 n 1 − 2 n ∏ m = 1 n ( 1 − 1 2 m ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}C&=4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}t+b^{2}\sin ^{2}t}}\,dt\\&=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}t}}\,dt\\&=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{e^{2n} \over 1-2n}\prod _{m=1}^{n}\left(1-{1 \over 2m}\right)^{2}\end{aligned}}}
L = ∫ u 1 u 2 ( d x d u ) 2 + ( d y d u ) 2 d u = ∫ u 1 u 2 a 2 cos 2  u + b 2 sin 2  u d u = a ∫ u 1 u 2 1 − e 2 sin 2  u d u {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int _{u_{1}}^{u_{2}}{\sqrt {\left({dx \over du}\right)^{2}+\left({dy \over du}\right)^{2}}}\,du\\&=\int _{u_{1}}^{u_{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}u+b^{2}\sin ^{2}u}}\,du\\&=a\,\int _{u_{1}}^{u_{2}}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}u}}\,du\end{aligned}}}
となる。 E ( u , e ) {\displaystyle E(u,e)} が点 ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} を最大の終点とする積分になる事を考慮し、 場合分けをし積分範囲を決めると、次のようになる。
i) 0 ≤ θ 1 ≤ θ 2 ≤ π / 2 {\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \pi /2} L = a ( E ( u 2 , e ) − E ( u 1 , e ) ) {\displaystyle L=a\,(E(u_{2},e)-E(u_{1},e))} u 1 = t h 2 u ( θ 2 ) , u 2 = t h 2 u ( θ 1 ) {\displaystyle u_{1}=th2u(\theta _{2}),\,u_{2}=th2u(\theta _{1})}
2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が一致したとき楕円はその点を中心とした円になる。そのため円は楕円の特殊な場合であると考えることもできる。
楕円の内部に2焦点を通る直線を引くとき、これを長軸という。長軸の長さを長径という。長軸と楕円との交点では2焦点からの距離の差が最大となる。また、長軸の垂直二等分線を楕円の内部に引くとき、この線分を短軸という。短軸の長さを短径という。
楕円(だえん、橢円ともいう。英: ellipse)とは、平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。
基準となる2定点を焦点という。円錐曲線の一種である。