群論
もうひとつは、よく知られた群が与えられ、それが複雑な対象に作用しているものとすれば、そのような対象を調べるのが簡単になるというものである。例えば、G が有限群とすれば、表現空間 V が既約表現の直和に分解されるというマシュケの定理が知られているが、既約表現に対してはシューアの補題などが利用できるので、V 全体を考えるよりもずっと扱いやすい。
与えられた群 G に対する表現論とは、G の表現としてどのようなものが存在しうるかを問うものである。状況設定はさまざまで、どのような手法を使えるかとか、どのような結果が得られるかというようなことがそれぞれの場合で変わってくる。有限群の表現論およびリー群の表現論は表現論における二大主要テーマである。群の表現の全体像は群の指標によって統制されている。例えば、フーリエ多項式は、周期函数全体の成す L-空間に作用する、絶対値 1 の複素数全体の成す群 U(1) の指標として解釈することができる。