フロベニウス自己準同型
{\displaystyle c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.}
何故ならば、フロベニウスによるスカラーの制限は単純な合成で、X の多くの性質はフロベニウス写像に対する適当な前提の下に XF により引き継がれるからである。例えば、X と SF が両方とも有限型であれば、XF も有限型である。
フロベニウスによるスカラーの拡張(extension of scalars by Frobenius)は
X ( p ) = X × S S F {\displaystyle X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}}
と定義される。S 要素への射影は、X を S-スキームとする。S が脈絡が明らかではない場合、X は X と書かれる。スカラーの制限のように、スカラーの拡張は、函手である。S-射 X → Y は S-射 X → Y を決定する。
前にのべたように、環 A と A 上の有限生成な代数 R を考え、再び X = Spec R とおくと、
X ( p ) = Spec  R ⊗ A A F {\displaystyle X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}}
となる。X の大域的切断は、
L/K が大域体のアーベル拡大であれば、基礎体 K の素イデアル φ に依存するので、非常に強い合同関係が得られる。例えば、
β 5 + β 4 − 4 β 3 − 3 β 2 + 3 β + 1 = 0 {\displaystyle \beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0}
を満たす根 β を Q へ添加することで得られる Q の拡大 Q(β) を考える。この拡大は位数 5 の巡回拡大で、整数 n に対し根
2 cos  2 π n 11 {\displaystyle 2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}}
を持っている。これは、β のチェビシェフ多項式の根を持っている。
β − 2, β − 3β, β − 5β + 5β
は素数 2, 3, 5 に対するフロベニウス写像の結果を与えるので、より大きな素数で 11 ではない素数、もしくは 22n + 1(これは分解する)の形の素数に対しての結果となる。このことは、直ちに、どのようにしてフロベニウス写像が、根 β を p-番目のべきに mod p で等しいとする結果を与えるかを示している。