確率フロンティア分析
これらのショックは直接的に生産技術に起因するものではなく、気候変動や経済的な単なる不運や幸運といったものによって生じるかもしれない。各企業は異なったショックに直面しているが、このようなショックはランダムであるとされる。
そして、確率的な生産フロンティアは以下のようになる。
y i = f ( x i ; β ) ⋅ T E i ⋅ exp  { v i } . {\displaystyle y_{i}=f(x_{i};\beta )\cdot TE_{i}\cdot \exp \left\{{v_{i}}\right\}.}
TEi は確率変数であり、すべての企業に対して共通である特定の分布関数を持つ。これは、
T E i = exp  { − u i } {\displaystyle TE_{i}=\exp \left\{{-u_{i}}\right\}}
となり、以下が成立する。
y i = f ( x i ; β ) ⋅ exp  { − u i } ⋅ exp  { v i } . {\displaystyle y_{i}=f(x_{i};\beta )\cdot \exp \left\{{-u_{i}}\right\}\cdot \exp \left\{{v_{i}}\right\}.}