自由リー環
数学において,与えられた体 K 上の自由リー環(英: free Lie algebra)は,集合 X によって何の関係も課されることなく生成されるリー環である.
X を集合とし,i: X → L を X からリー環 L への写像とする.リー環 L が X 上自由であるとは,任意のリー環 A と写像 f: X → A に対して,f = g ∘ i なるリー環の準同型 g: L → A が一意的に存在することをいう.
集合 X が与えられたとき,X によって生成される自由リー環 L(X) が一意的に存在することを示すことができる.
圏論のことばでは,集合 X を X で生成された自由リー環に送る関手は集合の圏からリー環の圏への自由関手(英語版)である.つまり,忘却関手(英語版)の左随伴である.
集合 X 上の自由リー環は自然に次数付けられる.自由リー環の 0 次成分は単にその集合上の自由ベクトル空間である.
ベクトル空間 V 上の自由リー環を,体 K 上のリー環の圏から体 K 上のベクトル空間の圏への忘却関手,リー環の構造を忘れるがベクトル空間の構造は覚えておく関手の左随伴としても定義できる.