部分積分
ガンマ関数は広義積分を用いて定義される特殊関数である。部分積分を使うと、これが階乗の拡張になっていることが分かる。
Γ ( z ) := ∫ 0 ∞ d λ e − λ λ z − 1 = − ∫ 0 ∞ d ( e − λ ) λ z − 1 = − [ e − λ λ z − 1 ] 0 ∞ + ∫ 0 ∞ d ( λ z − 1 ) e − λ = 0 + ∫ 0 ∞ d λ ( z − 1 ) λ z − 2 e − λ = ( z − 1 ) Γ ( z − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&:=\int _{0}^{\infty }d\lambda e^{-\lambda }\lambda ^{z-1}\\&=-\int _{0}^{\infty }d\left(e^{-\lambda }\right)\lambda ^{z-1}\\&=-\left[e^{-\lambda }\lambda ^{z-1}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }d\left(\lambda ^{z-1}\right)e^{-\lambda }\\&=0+\int _{0}^{\infty }d\lambda \left(z-1\right)\lambda ^{z-2}e^{-\lambda }\\&=(z-1)\Gamma (z-1)\\\end{aligned}}}
∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d Ω = ∫ Γ u ∇ v ⋅ n d Γ − ∫ Ω u ∇ 2 v d Ω {\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega =\int _{\Gamma }u\,\nabla v\cdot \mathbf {n} \,d\Gamma -\int _{\Omega }u\,\nabla ^{2}v\,d\Omega }
となり、グリーンの第一恒等式が得られる。
同様に、任意の階数の微分可能テンソル場 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} と G {\displaystyle {\boldsymbol {G}}} に対して、発散定理より以下の部分積分公式が導かれる。
∫ Ω F ⊗ ∇ G d Ω = ∫ Γ n ⊗ ( F ⊗ G ) d Γ − ∫ Ω G ⊗ ∇ F d Ω {\displaystyle \int _{\Omega }{\boldsymbol {F}}\otimes {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {G}}\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \otimes ({\boldsymbol {F}}\otimes {\boldsymbol {G}})\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\boldsymbol {G}}\otimes {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {F}}\,d\Omega }
ここで ⊗ {\displaystyle \otimes } はテンソル積を表す。