ヘンゼルの補題
こうして、 I k + 1 {\displaystyle I^{k+1}} を法とする合同を考えることにより次の式
α ( f + β d ) ( g + β c ) − h ≡ α f g − h + α β ( f ( a δ h − q g ) + g ( b δ h − q ′ f ) ) ≡ δ h ( − 1 + α β ( a f + b g ) ) − α β f g ( q + q ′ ) ≡ 0 ( mod I k + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (f+\beta d)&(g+\beta c)-h\\&\equiv \alpha fg-h+\alpha \beta (f(a\delta _{h}-qg)+g(b\delta _{h}-q'f))\\&\equiv \delta _{h}(-1+\alpha \beta (af+bg))-\alpha \beta fg(q+q')\\&\equiv 0{\pmod {I^{k+1}}}\end{aligned}}}
が成り立つことがわかる。そして、
δ f = β d , δ g = β c {\displaystyle \delta _{f}=\beta d,\qquad \delta _{g}=\beta c}
と置けば求めるものになっているので、存在が示せた。
f ̄ ( X ) = X 6 − 2 ̄ = ( X − 3 ̄ ) ( X − 116 ̄ ) ( X − 119 ̄ ) ( X − 608 ̄ ) ( X − 611 ̄ ) ( X − 724 ̄ ) {\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=(X-{\overline {3}})\;(X-{\overline {116}})\;(X-{\overline {119}})\;(X-{\overline {608}})\;(X-{\overline {611}})\;(X-{\overline {724}})}
と分解する。これらの因子はどの2つを取っても互いに素なので、 Z 727 [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{727}[X]} (または Q 727 [ X ] {\displaystyle \mathbb {Q} _{727}[X]} )において6つの多項式 X − β {\displaystyle X-\beta } の積に分解する。 β {\displaystyle \beta } は(有理数ではない)727進数
β = { 3 + 545 ⋅ 727 + 537 ⋅ 727 2 + 161 ⋅ 727 3 + ... 116 + 48 ⋅ 727 + 130 ⋅ 727 2 + 498 ⋅ 727 3 + ... 119 + 593 ⋅ 727 + 667 ⋅ 727 2 + 659 ⋅ 727 3 + ... 608 + 133 ⋅ 727 + 59 ⋅ 727 2 + 67 ⋅ 727 3 + ...
a f + b g = 1 {\displaystyle af+bg=1}
を満たすものが存在するということである。
ベズーの等式が成り立てば m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} が極大イデアルではなくともヘンゼルの補題を証明することができる。
それゆえ、以下では R を可換環、I をそのイデアル、 h ∈ R [ X ] {\displaystyle h\in R[X]} を最高次係数が法 I で可逆( R / I {\displaystyle R/I} における像が R / I {\displaystyle R/I} の可逆元ということ)な多項式、I もしくは I の冪乗を法とする h の因数分解に現れる因子が法 I でベズーの等式を満たす、という設定のもとで証明を行う。証明では、 A ≡ B ( mod I ) {\textstyle A\equiv B{\pmod {I}}} という式で A − B ∈ I R [ X ] {\displaystyle A-B\in IR[X]} であることを表すことにする。
7進整数環の中でこの数列は収束し、その極限は Z 7 {\displaystyle \mathbb {Z} _{7}} での2の平方根となる。その7進展開の初めの方は
3 + 7 + 2 ⋅ 7 2 + 6 ⋅ 7 3 + 7 4 + 2 ⋅ 7 5 + 7 6 + 2 ⋅ 7 7 + 4 ⋅ 7 8 + ⋯ {\displaystyle 3+7+2\cdot 7^{2}+6\cdot 7^{3}+7^{4}+2\cdot 7^{5}+7^{6}+2\cdot 7^{7}+4\cdot 7^{8}+\cdots }
となる。
最初に r 1 = 4 {\displaystyle r_{1}=4} を選んだ場合でも Z 7 {\displaystyle \mathbb {Z} _{7}} における2の平方根が得られる。 これは法7で3ではなく4に合同になるもので、実は最初に得られた平方根を-1倍したものになっている(これは 4 = −3 mod 7 であることと辻褄があっている)。
元々のヘンゼルの補題は適用できないが一般化されたものなら適用できる例として f ( x ) = x 2 − 17 {\displaystyle f(x)=x^{2}-17} を考える。 a = 1 {\displaystyle a=1} とすると f ( a ) = − 16 {\displaystyle f(a)=-16} であり、また f ′ ( a ) = 2 {\displaystyle f'(a)=2} であるので、
| f ( a ) | 2 < | f ′ ( a ) | 2 2 {\displaystyle |f(a)|_{2}<|f'(a)|_{2}^{2}}
もう少し詳しく書くと、上述の仮定のもとで、法 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} でモニックかつ互いに素(英語版)な多項式 f と g を使って h ≡ α 0 f g ( mod m ) {\textstyle h\equiv \alpha _{0}fg{\pmod {\mathfrak {m}}}} と分解できたとすると、全ての正の整数 k に対してモニック多項式 f k {\displaystyle f_{k}} と g k {\displaystyle g_{k}} が存在して次の式
h ≡ α 0 f k g k ( mod m k ) f k ≡ f ( mod m ) g k ≡ g ( mod m ) {\displaystyle {\begin{aligned}h&\equiv \alpha _{0}f_{k}g_{k}{\pmod {{\mathfrak {m}}^{k}}}\\f_{k}&\equiv f{\pmod {\mathfrak {m}}}\\g_{k}&\equiv g{\pmod {\mathfrak {m}}}\end{aligned}}}
が成り立ち、しかもこのような性質を持つ f k {\displaystyle f_{k}} と g k {\displaystyle g_{k}} は法 m k {\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}} で一意ということを主張する。