ガリレイ変換
さてここで、具体例として A がピッチングマシーンを時速 100 km の設定にして列車の進行方向にボールを発射したとする。A の視点から見ると A 自身は列車の中の一所にとどまっておりボールは時速 100 km で西向きに飛んでいったように見える。しかしここで大地に固定された慣性系(すなわちBの視点)からこの現象を見るとどうなるだろう。ボールはピッチングマシーンの設定速度 100 km に列車の速度 30 km をくわえた 130 km で西向きに飛んでいるように見えるのでは有るまいか?
以上の記述はガリレイ変換が成立する場合には正しい。上記のような状況では実際の観測結果とガリレイ変換の主張は一致するであろう。相対論的な効果によるずれはこの場合非常にわずか(今の場合、 0.000000000001 % 程度)であり、空気抵抗・万有引力その他の外乱要因よりもはるかに小さいため、どんなに精密な測定をしても検出することは不可能である。
しかし、より高い速度では相対論的効果によるずれがより大きくなり、観測にもかかる。一般的に相対論的効果があらわに現れるのは概ね光速の 10 % よりも速い場合である(速度が光速の 10 % の時、相対論的効果は 0.5 % 程度現れる)。
一般に相対性原理というとアインシュタインのものが有名であるが、相対性原理は他にもある。それはガリレイ変換と関係のあるガリレイの相対性原理である。
相対性原理とはどのような慣性系においても同じ物理法則が成り立つという主張である。ガリレイの相対性原理はガリレイ変換によって変換するあらゆる慣性系において物理法則が不変であるという主張である。
ニュートン力学の運動方程式(のベクトル表現)
F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}
には座標の二回微分(=速度の一回微分つまり加速度。式中における a → {\displaystyle {\vec {a}}} )しかでてこないので、ガリレイ変換をしても運動方程式には影響しない。つまりガリレイ変換に対して式の形が変わらない。このようなことをさして「ニュートン力学はガリレイ変換に関して共変な理論である」という。ニュートン力学はガリレイの相対性原理の要請を満たす。