QR分解
すべての実正方行列 Aは直交行列Qと上三角行列(別名右三角行列)Rを用いて
A = Q R {\displaystyle A=QR}
と分解できる。もしAが正則ならば、Rの対角成分が正になるような因数分解は一意に定まる。
もしAが複素正方行列ならば、Qがユニタリ行列 (つまり Q ∗ Q = Q Q ∗ = I {\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I} )となるような分解A = QRが存在する。
もしAがn個の線形独立な列を持つなら、Qの最初のn列はAの列空間の正規直交基底をなす。より一般的に、1 ≤ k ≤ nの任意のkについて、Qの最初のk列はAの最初のk列の線型包をなす。Aの任意の列kがQの最初のk列にのみ依存するということは、Rが三角行列であることから明らかである。
α = 14 {\displaystyle \alpha =14} であり、 x = a 1 = [ 12 6 − 4 ] T {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}_{1}={\begin{bmatrix}12&6&-4\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}
であるから、
u = [ − 2 6 − 4 ] T = [ 2 ] [ − 1 3 − 2 ] T {\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\begin{bmatrix}-2&6&-4\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&3&-2\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} and v = 1 14 [ − 1 3 − 2 ] T {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={1 \over {\sqrt {14}}}{\begin{bmatrix}-1&3&-2\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}} であり、
Q 1 = I − 2 14 14 [ − 1 3 − 2 ] [ − 1 3 − 2 ] = I − 1 7 [ 1 − 3 2 − 3 9 − 6 2 − 6 4 ] = [ 6 / 7 3 / 7 − 2 / 7 3 / 7 − 2 / 7 6 / 7 − 2 / 7 6 / 7 3 / 7 ] {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}={}&I-{2 \over {\sqrt {14}}{\sqrt {14}}}{\begin{bmatrix}-1\\3\\-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&3&-2\end{bmatrix}}\\={}&I-{1 \over 7}{\begin{bmatrix}1&-3&2\\-3&9&-6\\2&-6&4\end{bmatrix}}\\={}&{\begin{bmatrix}6/7&3/7&-2/7\\3/7&-2/7&6/7\\-2/7&6/7&3/7\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}