二重階乗
数学における階乗類似の組合せ論的函数の一つとして、二重階乗(にじゅうかいじょう、英: double factorial)または半階乗 (semifactorial) n!! は、与えられた自然数 n に対し、1 から n まで n と同じ偶奇性を持つものだけを全て掛けた積を言う。すなわち、
さらに n = 0 のときは、空積と見て 0!! ≔ 1 と定義する。
この定義に従えば、偶数 n に対する二重階乗は
で与えられ、また奇数 n に対しては
で与えられる。例えば 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945である。
二重階乗 n!! を階乗函数の二回反復 (n!)! と混同してはならない、両者は全く異なる値をとる。
Merserve (1948) (二重階乗記法を用いたおそらく最初の出版物) は、二重階乗はもともとウォリス積の導出において生じるある種の三角積分の表示を簡単にするために導入されたと述べる。二重階乗は超球の体積の式にも現れ、また数え上げ組合せ論において多くの応用を持つ。
奇数に対する二重階乗のことを奇階乗 (odd factorial) と呼ぶこともある。
二重階乗はより複雑な三角多項式の積分の評価にも利用できる。
奇数の二重階乗とガンマ函数は等式
で関係する。
ほかに奇数の二重階乗を含む等式として:
( 2 n − 1 ) ! ! = ∑ k = 1 n − 1 ( n k + 1 ) ( 2 k − 1 ) ! ! ( 2 n − 2 k − 3 ) ! ! , ( 2 n − 1 ) ! ! = ∑ k = 0 n ( 2 n − k − 1 k − 1 ) ( 2 k − 1 ) ( 2 n − k + 1 ) k + 1 ( 2 n − 2 k − 3 ) ! ! , ( 2 n − 1 ) ! ! = ∑ k = 1 n ( n − 1 ) ! ( k − 1 ) ! k ( 2 k − 3 ) ! ! . {\displaystyle {\begin{aligned}(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!,\\(2n-1)!!&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n-k-1}{k-1}}{\frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!,\\(2n-1)!!&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!.\end{aligned}}}