作用 (物理学)
作用は概念の発達とともに様々な方法で定義された。
ゴットフリート・ライプニッツ、ヨハン・ベルヌーイ、ピエール・ルイ・モーペルテュイらは、光の作用を光の速度やその逆数の経路の長さに沿った積分として定義した。
レオンハルト・オイラー(そしておそらくはライプニッツも)物質の粒子の作用を、粒子が辿る空間上の経路にそった粒子の速度の積分として定義した。
モーペルテュイは互いに矛盾するいくつかのアド・ホックな作用の定義を用いた。モーペルテュイは自身の論文(英文訳)の中で、作用をポテンシャルエネルギーとして定義したり、仮想的な運動エネルギーとして定義したり、またはそれらの組み合わせとして定義している。これらの異なる作用の定義は、粒子の衝突に関して運動量保存則を保証するように導入されている。
d d t ( ∂ L ∂ r ̇ ) − ∂ L ∂ r = 0 ⇒ r ̈ − r φ ̇ 2 = 0 d d t ( ∂ L ∂ φ ̇ ) − ∂ L ∂ φ = 0 ⇒ φ ̈ + 2 r r ̇ φ ̇ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}&=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}&=0\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}&=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}&=0\end{aligned}}}
となる。
これらの 2つの方程式の解は、初期条件として決まる定数 a, b, c, d に対し、
r cos  φ = a t + b r sin  φ = c t + d {\displaystyle {\begin{aligned}r\cos \varphi &=at+b\\r\sin \varphi &=ct+d\end{aligned}}}
により与えられる。この解は等速直線運動を表わしており、自由粒子が実際に等速直線運動することと整合する。
量子力学では、系は作用の停留点にある経路のみに従うのではなく、全ての可能な経路に対する作用がその系の振る舞いに寄与する。個々の経路の作用は経路積分中に現れ、その経路に対する確率振幅を与える。
作用原理は、古典力学におけるニュートンの法則と等価であるにもかかわらず、理論の一般化に適しており、現代物理学においても重要な役割を果たしている。
マクスウェル方程式も停留作用の条件として導出することができる。