群同型
定義から次が従う。任意の同型写像 f : G → H {\displaystyle f:G\rightarrow H} は G の単位元を H の単位元に写す
f ( e G ) = e H , {\displaystyle f(e_{G})=e_{H},}
逆元を逆元に写す: すべての u ∈ G に対して
f ( u − 1 ) = [ f ( u ) ] − 1 , {\displaystyle f(u^{-1})=\left[f(u)\right]^{-1},}
そしてより一般に、n 乗を n 乗に写す
f ( u n ) = [ f ( u ) ] n {\displaystyle f(u^{n})=\left[f(u)\right]^{n}}
そして逆写像 f − 1 : H → G {\displaystyle f^{-1}:H\rightarrow G} も群同型写像である。
関係「同型である」は同値関係のすべての公理を満たす。f が 2 つの群 G と H の間の同型写像であれば、群構造にのみ関係する G について正しいすべてのことは f を通じて H についての正しい同じ主張に翻訳され、逆もまた然り。
すべての実数が加法についてなす群 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ,+) は、すべての正の実数が乗法についてなす群 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ,×) に、同型写像
f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}}
(指数関数参照)によって同型である: ( R , + ) ≅ ( R + , × ) . {\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times ).}
整数の(加法)群 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } は R {\displaystyle \mathbb {R} } の部分群であり、商群 R / Z {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } は絶対値 1 の複素数の(乗法)群 S 1 {\displaystyle S^{1}} に同型である:
R / Z ≅ S 1 {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}
同型写像はすべての x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } に対して f ( x + Z ) = e 2 π x i {\displaystyle f(x+\mathbb {Z} )=e^{2\pi xi}}