ウィグナー分布
| x ( t ) | 2 = ∫ − ∞ ∞ W x ( t , f ) d f | X ( f ) | 2 = ∫ − ∞ ∞ W x ( t , f ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}|x(t)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\\|X(f)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}
If y ( t ) = x ( t ) h ( t ) then W y ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ W x ( t , r h o ) W h ( t , f − ρ ) d ρ {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t)h(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,\ rho)W_{h}(t,f-\rho )\,d\rho \end{aligned}}}
入力信号がデルタ関数の場合、 t=0 でのみ非零で、無限の周波数成分を含むため、その時間周波数分布は原点を通り時間軸に垂直な線となる。つまり、デルタ関数の時間周波数分布もまたデルタ関数となる。ウィグナー分布は以下のようになる。
W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ δ ( t + τ 2 ) δ ( t − τ 2 ) e − i 2 π τ f d τ = 4 ∫ − ∞ ∞ δ ( 2 t + τ ) δ 2 t − τ ) e − i 2 π τ f d τ = 4 δ ( 4 t ) e i 4 π t f = δ ( t ) e i 4 π t f = δ ( t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\delta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=4\int _{-\infty }^{\infty }\delta (2t+\tau )\delta 2t-\tau )e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=4\delta (4t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t).\end{aligned}}}
ウィグナー分布は、入力信号の位相が二次以下の場合に最も時間周波数解析に適する。このような信号については、ウィグナー分布は入力信号の時間周波数分布に完全に一致する。