分離拡大
分離拡大の理論の多くの重要な応用は代数体拡大の文脈から生じるが、数学において(代数的とは限らない)分離体拡大を研究することが有益な重要な例がある。
F/k を体の拡大とし p を k の characteristic exponent とする。k の任意の体拡大 L に対し、FL = L ⊗k F と書く(cf. 体のテンソル積)。このとき F は以下の同値な条件が成り立つときにk 上分離的 (separable over k) という。
F と k は k 上線型無関連である。
Fk は被約である。
FL は k のすべての体拡大 L に対して被約である。
(言い換えれば、F は分離 k-代数であれば k 上分離的である。)
F/k の分離超越基底 (separating transcendence basis) は F の代数的独立な部分集合 T であって F/k(T) が有限分離拡大であるようなものである。拡大 E/k が分離的であることと E/k のすべての有限生成部分拡大 F/k が分離超越基底をもつことは同値である。
k の体拡大 L で FL が整域になるようなものが存在したとしよう。すると F が k 上分離的であることと FL の分数体が L 上分離的であることは同値である。
F の代数的な元はその最小多項式が分離的なときに k 上分離的 (separable over k) という。F/k が代数拡大であれば以下は同値である。
F は k 上分離的である。