インパルス応答
数学的には、インパルスはディラックのデルタ関数でモデル化される。T を(離散)システムとし、入力として x[n] をとり、y[n] という出力を生成するものとする。
y [ n ] = T [ x [ n ] ] {\displaystyle y\left[n\right]=T\left[x\left[n\right]\right]}
したがって、T は(整数の)並びに作用して、別の並びを生成する作用素である。T はシステムそのものではなく、システムを数学的に表したものであることに注意が必要である。次のような T は非線形である。
T [ x [ n ] ] = x 2 [ n ] {\displaystyle T\left[x\left[n\right]\right]=x^{2}\left[n\right]}
また、次の場合は線形である。
T [ x [ n ] ] = x [ n − 1 ] {\displaystyle T\left[x\left[n\right]\right]=x\left[n-1\right]}
T が線形であるとする。すると次が成り立つ。
T [ x [ n ] + y [ n ] ] = T [ x [ n ] ] + T [ y [ n ] ] {\displaystyle T\left[x\left[n\right]+y\left[n\right]\right]=T\left[x\left[n\right]\right]+T\left[y\left[n\right]\right]}