再帰理論
Sacks (1990) が述べたように、再帰理論ではこの分野の一般化である算術的還元可能性、超算術的還元可能性、α-再帰理論なども研究されている。これらの一般化された概念の中には、チューリングマシンでは実行不能にも関わらず、それでもなおチューリング還元可能性の自然な一般化と看做せるような還元可能性が存在する。これらの研究には解析的階層を調べるためのアプローチが各種含まれる。解析的階層と算術的階層の違いは、個々の数の量化に加えて自然数の集合の量化を認める点にある。これらの領域は整列順序や木の理論と関係している。例えば再帰的な(二分木でない)木が無限の分岐を持たない場合、その全てのインデクスの集合は解析的階層のレベル Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}} について完全である。effective 記述集合論の分野ではチューリング還元可能性と超算術的還元可能性は共に重要である。集合論では構成可能性の次数という更に強力な概念についても研究されている。
再帰理論は、1930年代のクルト・ゲーデル、アロンゾ・チャーチ、アラン・チューリング、スティーヴン・コール・クリーネ、エミール・ポストらの研究に端を発している。
彼らの基本的な成果を通じて、チューリング計算可能性という概念が樹立された。これは計算の実効性という非形式的な概念に正しい形式化を与えるものである。そこからスティーヴン・クリーネ(1952年)は、「チャーチのテーゼ」(Kleene 1952:300)と「チューリングのテーゼ」(p.376)という2つの用語を作った。現在では、これらはしばしばチャーチ=チューリングのテーゼという一つの仮説と看做されているが、これはアルゴリズムで計算可能な関数は如何なるものであろうと計算可能関数だ、と述べるものである。当初は懐疑的だったゲーデルも、1946年には賛同を示した。
「タルスキは彼の講義において、一般再帰性(またはチューリング計算可能性)が大変重要だと強調したが、これは正しいと思う。これが何故重要かと言えば、この考え方によって人が初めて、ある興味深い認識論的観念について、(特定の形式主義に囚われない様な)絶対的な観念を与えることに成功したから、という理由が大だと私には思える」(Gödel 1946 in Davis 1965: 84)
実効的な計算というものの定義に伴い、数学には実効的に決定できない問題があることを示す最初の一連の証明が得られた。