三十一角形
正三十一角形においては、中心角と外角は11.612...°で、内角は168.387...°となる。一辺の長さが a の正三十一角形の面積 S は
S = 31 4 a 2 cot  π 31 ≃ 76.21197 a 2 {\displaystyle S={\frac {31}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{31}}\simeq 76.21197a^{2}}
cos  ( 2 π / 31 ) {\displaystyle \cos(2\pi /31)} は五次方程式、三次方程式を解くことにより求められる。
z 5 = 1 {\displaystyle z^{5}=1} の複素数解を σ , σ 2 , σ 3 , σ 4 {\displaystyle \sigma ,\sigma ^{2},\sigma ^{3},\sigma ^{4}} として
以下には、中間結果(五次方程式を1回解いた際の関係式)を示す。
λ 1 = 31 ( 36 σ + 201 σ 2 + 66 σ 3 + 106 σ 4 ) 5 λ 2 = 31 ( 36 σ 2 + 201 σ 4 + 66 σ + 106 σ 3 ) 5 λ 3 = 31 ( 36 σ 3 + 201 σ + 66 σ 4 + 106 σ 2 ) 5 λ 4 = 31 ( 36 σ 4 + 201 σ 3 + 66 σ 2 + 106 σ ) 5 {\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda _{1}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma +201\sigma ^{2}+66\sigma ^{3}+106\sigma ^{4})}}\,\\&\lambda _{2}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{2}+201\sigma ^{4}+66\sigma +106\sigma ^{3})}}\,\\&\lambda _{3}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{3}+201\sigma +66\sigma ^{4}+106\sigma ^{2})}}\,\\&\lambda _{4}={\sqrt[{5}]{31(36\sigma ^{4}+201\sigma ^{3}+66\sigma ^{2}+106\sigma )}}\,\\\end{aligned}}}
cos  ( 2 π / 31 ) {\displaystyle \cos(2\pi /31)} は x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} を用いた以下の三次方程式の解の一つである。
u 3 − x 1 2 u 2 + x 1 + x 3 4 u − x 2 + 2 8 = 0 {\displaystyle u^{3}-{\frac {x_{1}}{2}}u^{2}+{\frac {x_{1}+x_{3}}{4}}u-{\frac {x_{2}+2}{8}}=0}
変数変換
v = u + x 1 6 {\displaystyle v=u+{\frac {x_{1}}{6}}}