代数的な元
この特徴づけによって次のことが証明できる。K 上代数的な2つの元の和と積は K 上代数的である。実際、a と b が K 上代数的であれば、a + b と ab は K(a, b) に属する。これは K(a) の b による拡大が K 上したがって K(a) 上代数的であることからわかる。よって拡大 K(a, b) は K(a) の、したがって K の、有限次拡大である(これは拡大次数の性質である)。そのすべての元は K 上代数的である。
さらに、K 上代数的な元 a は 0 でなければその逆元はa を根にもつ多項式の相反多項式の根であり K 上代数的である。結論:
K 上代数的な L の元全体は L の部分体をなす。
n についての帰納法で次のことも言える。
a1, ..., an が(有限個の)K 上代数的な元であれば、これらの元を K に添加して得られる拡大 K(a1, ..., an) のすべての元は K 上代数的である。
すべての元が代数的であるような拡大を代数拡大と呼ぶ。代数拡大は有限次であるとは限らず、したがって有限個の代数的な元で生成されるとは限らない(記事代数拡大を参照)。