解析的整数論
加法的整数論の最も重要な問題のひとつは、ウェアリングの問題である。この問題は任意の k ≥ 2 に対して正の整数 n を、限られた個数の k 乗数の和として
n = x 1 k + ⋯ + x s k {\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{s}^{k}}
と表すことができるかどうかという問題である。
平方 k = 2 の場合には、ラグランジュの四平方定理により1770年に答えが与えられ、任意の正の整数が高々4つの平方数の和として表されることが証明された。一般的な場合はダヴィット・ヒルベルトにより、代数的な手法を使い、明確な境界を与えることなしに1909年に証明された。重要な躍進は、ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとジョン・エデンサー・リトルウッドによる解析的手法の応用である。この手法は、円周法(英語版)(circle method)として知られ、k 乗数の最小の個数を与える函数 G(k) の明確な上界を与える。例として、イワン・マチャセビッチ・ヴィノグラードフ(英語版)(Ivan Matveyevich Vinogradov)の評価
G ( k ) ≤ k ( 3 log  k + 11 ) {\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)}
がある。
和書
末綱恕一:「解析的整数論」、岩波書店、 ISBN 978-4-000051798(1990年11月)※復刻版(初版は1950年)。
三井孝美:「整数論―解析的整数論入門」、至文堂(近代数学新書)(1970年)。
三井孝美:「解析数論―超越数論とディオファンタス近似論」、共立出版、ISBN 978-4320011298(1977年4月20日)。
鹿野健:「解析数論」、教育出版(シリーズ新しい応用の数学 18) 、ISBN 978-4316376905(1978年9月)。
三井孝美:「解析的数論―加法的理論」、岩波書店、ISBN 978-4000051774(1989年10月11日)。
本橋洋一:「解析的整数論Iー素数分布論ー」、朝倉書店、ISBN978-4-254-11821-6(2009年11月15日)。
本橋洋一:「解析的整数論IIーゼータ解析ー」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11822-3 (2011年7月10日)。
雪江明彦:「整数論3 解析的整数論への誘い」、日本評論社、ISBN 978-4535787384(2014年3月18日)。
カール・ジーゲル:「解析的整数論I」、岩波書店、ISBN 978-4000063296(2018年5月18日)。
カール・ジーゲル:「解析的整数論II」、岩波書店、ISBN 978-4000063302 (2018年5月18日)。
カール・ジーゲル:「解析的整数論III」、岩波書店、ISBN 9784000063418(2023年02月13日)。