位取り記数法
↑ 桁という呼称は、そろばんの珠を通す軸を桁と呼ぶことに由来する。
↑ 「N 進法」という語は記数法にも命数法にも用いられる。本稿では単に N を底とする数の表示法を N 進法と呼ぶ。
↑ 集合論における基数とは、日本語は同じだが異なる概念である。混同を避けるため、本項では次に挙げる「底」の語を主に用いる。
↑ N は N の k 乗を表す。N 進法において N = 10 であり、k を非負として、 N k = 1 0 ⋯ 0 ⏟ k 個 {\textstyle \scriptstyle N^{k}=1\underbrace {0\cdots 0} _{k\,{\text{個}}}} である。冪指数が負の場合、例えば N は 1/N を表し、一般に N = 1/N である。従って N 進法において、k を非負として、 N − k = 0.0 ⋯ 0 ⏟ k 桁 1 {\textstyle \scriptstyle N^{-k}=\underbrace {0.0\cdots 0} _{k\,{\text{桁}}}1} である。
↑ 本項では小数点にピリオド(.)を用いる。他にコンマ(,)や中黒(・)などが用いられる。
↑ より正確には続く数字列が十進数、十六進数、二進数、八進数として正しくなければならない。十進数には 0 から 9 までの数字、十六進数には加えて A (a) から F (f) までの6つの数字が使用できるが、二進数には 0 と 1 のみ、八進数には 0 から 7 までの数字のみが使用できる。
↑ 底が36までに制限されるのは、数値に使える文字種がアラビア数字10文字と基本ラテン文字26文字の計36文字に限られるため。
十二進法、十六進法、二十進法のように、N が十より大きい場合は用いる数字は、アラビア数字だけでは足りなくなる。そこで、十以上の数を表記する「数字」として、ラテン文字のアルファベットの大文字を用いる事が多い。
例えば十六進法であれば、「数字」として
を用い、A、B、C、D、E、Fはそれぞれ十進法の自然数10、11、12、13、14、15に対応する。
従って例えば2F3.A7は
2 × 16 2 + 15 × 16 1 + 3 + 10 × 1 16 1 + 7 × 1 16 2 {\displaystyle 2\times 16^{2}+15\times 16^{1}+3+10\times {\frac {1}{16^{1}}}+7\times {\frac {1}{16^{2}}}}
を表し、これは十進法の755.652344にあたる。
位取り記数法(、英: positional notation)とは、いくつかの数字を並べて数を表す方法である(例:123、3.14、3;8,24)。
数字ないし決まった文字数の数字列の置かれた位置を位()または桁()と呼び、数字の位を決めることを位取りという。
一つの桁を N 種の数字列の組み合わせで表す位取り記数法をN 進位取り記数法()あるいは単に N 進法()と呼ぶ。また、数 N を基数(、英: radix)ないし底(、英: base)と呼ぶ。 例えば、一般的に用いられる 0 から 9 までのアラビア数字による記数法は十進法にあたる。十進法でない例として、時刻や角度を表す単位の分や秒は六十進法が使われている。またコンピュータの分野においては数値表現に二進法とその派生である八進法や十六進法がしばしば用いられる。
位取り記数法は古代中国に由来する。中国では紀元前14世紀の商時代にすでに十進法が用いられており、紀元前4世紀にはゼロを空位として記述する位取り記数法を用いていた。対してヨーロッパにおける最古の十進法が記述された文書は976年のスペインの手稿本である。
本項では N が 2 以上の整数の場合を扱う。それ以外の場合については広義の記数法の記事を参照のこと。また後述するp 進数の概念とは(関連があるものの)別概念であるので注意が必要である。