2状態系
ハミルトニアン ˆH が時間に陽に依存しない場合、時間発展演算子は行列指数関数で与えられるが、2状態系ではパウリ行列による展開で直接的に求めることができる。ハミルトニアン ˆH はパウリ行列で
H ^ = ħ ω 0 I ^ + ħ ω 1 σ ^ 1 + ħ ω 2 σ ^ 2 + ħ ω 3 σ ^ 3 = ħ ω 0 I ^ + ħ ω → ⋅ σ ^ → {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\hbar \omega _{0}{\hat {I}}+\hbar \omega _{1}{\hat {\sigma }}_{1}+\hbar \omega _{2}{\hat {\sigma }}_{2}+\hbar \omega _{3}{\hat {\sigma }}_{3}\\&=\hbar \omega _{0}{\hat {I}}+\hbar {\vec {\omega }}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}}\end{aligned}}}
の形で展開できる。第一項は時間発展には共通位相因子分 e しか寄与せず、エネルギーの基準を取り直すことで無視してもよい。このとき 時間発展演算子はパウリ行列の行列指数関数の性質により、