複比
アレクサンドリアのパップスは、自身の著書Collection: Book VIIの中で複比に相当する概念を暗に使用した。パップスの初期の読者には、アイザック・ニュートン、ミシェル・シャール、ロバート・シムソンが含まれる。 1986年、アレクサンダー・ジョーンズはパップスの原文を翻訳し、パップスの補題が現代の用語とどのように関係しているかについて解説を書いた。
射影幾何学における複比の現代的な使用は、1803 年にラザール・カルノーの著書Géométrie de Positionで始まった。使用された用語は、 le rapport anharmonique(非調和比)であった。ドイツの幾何学者はそれをdas Doppelverhältnis(複比)と呼んだ。
直線上の3点が与えられたとき、複比が-1になる4番目の点は射影調和共役と呼ばれる。 1847 年に、カール・フォン・シュタウトは4番目の点の構成をスロー(英: throw, 独: Wurf) と呼び、この構成を使用して、幾何学で暗黙的な算術演算を示した。彼によるスロー代数は、通常は公理とみなされるが、射影幾何学で証明された数値命題へのアプローチを提供している。
英語の"cross-ratio"という用語は、1878 年にウィリアム・キングドン・クリフォードによって導入された。
この理論は、4つの点が近接するにつれて、微分計算の側面を帯びる。これは、シュワルツ導関数の理論につながり、より一般的には射影接続の理論につながる。
複比は、次の4つの式のいずれかで定義できる。
( A , B ; C , D ) = ( B , A ; D , C ) = ( C , D ; A , B ) = ( D , C ; B , A ) . {\displaystyle (A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).\,}
これらは、次の(循環表記法で表現された)変数の順列によって異なる。
1 , ( A , B ) ( C , D ) , ( A , C ) ( B , D ) , ( A , D ) ( B , C ) . {\displaystyle 1,\ (A,B)(C,D),\ (A,C)(B,D),\ (A,D)(B,C).}
4つの変数の順列は、4つの変数の関数に対する対称群S4の作用と考えることができる。上記の4つの順列は複比を変えないため、この作用の下で複比のスタビライザーKを形成し、複比の軌道上の商群 S 4 / K {\displaystyle S_{4}/K} の有効な作用を成す。 Kの4つの順列は、S4のクラインの四元群を実現し、商 S 4 / K {\displaystyle S_{4}/K} は対称群S3と同形である。
したがって、4つの変数の他の順列は複比を変え、6要素の群 S 4 / K ≅ S 3 {\displaystyle S_{4}/K\cong S_{3}} の軌道である次の6つの値を与える。
( A , B ; C , D ) = λ ( A , B ; D , C ) = 1 λ ( A , C ; D , B ) = 1 1 − λ ( A , C ; B , D ) = 1 − λ ( A , D ; C , B ) = λ λ − 1 ( A , D ; B , C ) = λ − 1 λ .