ホッジ予想
ホッジ予想を自然に一般化すると次のように言うことができるであろう。
ホッジ予想のケーラー多様体のナイーブなバージョン X を複素ケーラー多様体とすると、すべての X 上のホッジ類は、X の複素部分多様体のコホモロジー類の有理数係数の線形結合であろう。
この予想も楽観的すぎる。何故ならば、これを行うための豊富に部分多様体が存在するとは言えないからである。次の一つか二つの問題を問うことができる状況になっている。
ケーラー多様体のホッジ予想のベクトルバンドルのバージョン X を複素ケーラー多様体とする。すべての X のホッジ類は X 上のベクトルバンドルのチャーン類の有理係数の線形結合である。
ケーラー多様体のホッジ予想の連接層のバージョン X を複素ケーラー多様体とする。すべての X のホッジ類は X 上の連接層のチャーン類の有理係数の線形結合である。
Voisin (2002) は、連接層のチャーン類がベクトルバンドルのチャーン類よりもより厳密なホッジ類を与えることと、連接層のチャーン類であってもすべてのホッジ類を生成するには不十分であることを証明した。結局、ケーラー多様体についてのホッジ予想で現在知られている定式化は、皆、誤りであることが判明している。
Hdg k  ( X ) = H 2 k ( X , Q ) ∩ H k , k ( X ) {\displaystyle \operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbf {Q} )\cap H^{k,k}(X)}
とし、これを X 上の次数 2k のホッジ類の群と呼ぶ。
ホッジ予想を現代的なステートメントにすると
ホッジ予想 . X を非特異な複素射影多様体とすると、X 上のすべてのホッジ類は、X の複素部分多様体のコホモロジー類の有理数係数の線形結合となる。
複素射影多様体は複素射影空間に埋め込むことのできる複素多様体である。射影空間はケーラー計量であるフビニ・スタディ計量を持つので、そのような(射影空間に埋め込める)多様体はいつもケーラー多様体である。周の定理により、複素射影多様体も滑らかな射影代数多様体でもある、つまり、同次多項式の集まりのゼロ点集合である。