関数の微分
もしくは等価な表現として、
lim t → 0 Δ t Δ x n f t n {\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}
ここで Δ t Δ x n f {\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f} は、増分tΔx に対するn 階の前進差分演算子である。f が多変数関数の場合にもx を引数ベクトルと見なすことにより同様の形でf の微分を定義出来る。すると定義により、n 階の微分はベクトルx の増分Δx に関する斉次関数となる。さらに、f の点x におけるテーラー展開が以下の式で与えられる。
f ( x + Δ x ) ∼ f ( x ) + d f ( x , Δ x ) + 1 2 d 2 f ( x , Δ x ) + ⋯ + 1 n ! d n f ( x , Δ x ) + ⋯ {\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }
高階のガトー微分はこれを無限次元関数空間に拡張したものと考えることが出来る。