組合せ数学
を見つけるというものがある。 ここで、g(n)は「よく知られた」関数であり、 nが無限に近づくときにf(n)がg(n)に近づくものとする。 いくつかの場合では、漸近関数として複雑すぎる閉じた公式を使っても数える対象の振舞に関して何も感覚を得られないので、単純な漸近関数が好まれる。上の例では、nが大きいとき、
f ( n ) ∼ φ n + 2 5 {\displaystyle f(n)\sim {\frac {\phi ^{n+2}}{\sqrt {5}}}}
となる漸近公式が導かれる。
最後に、f(n)を母関数と呼ばれる形式級数で表現することもできる。 母関数は大抵の場合、通常母関数
∑ n ≥ 0 f ( n ) x n {\displaystyle \sum _{n\geq 0}f(n)x^{n}}
であるか、あるいは指数型母関数
∑ n ≥ 0 f ( n ) x n n ! {\displaystyle \sum _{n\geq 0}f(n){\frac {x^{n}}{n!}}}
である。母関数が一旦定まると、そこから今までに説明したアプローチで得られる全ての情報を抽出することができる。それに加えて、加算、乗算、微分などの自然な演算を母関数に施すことができることも組合せ的に意味深い。それによって、1つの組合せ的問題に対する結果を他の問題を解くために拡張することができるようになる。