エアリー関数
実変数 x に対する第一種エアリー関数は広義リーマン積分
Ai  ( x ) = 1 π ∫ 0 ∞ cos  ( t 3 3 + x t ) d t ≡ 1 π lim b → ∞ ∫ 0 b cos  ( t 3 3 + x t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)~dt\\&\equiv {\frac {1}{\pi }}\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)~dt\end{aligned}}}
として定義することができる。これが収束することは、激しく振動するグラフの正の成分と負の成分とが互いに打ち消し合う(これは部分積分で確認できる)ことによるものである。
関数 y = Ai(x) はエアリー方程式