バナッハの不動点定理
定義 (X, d) を距離空間とする。このとき写像 T : X → X が X 上の縮小写像であるとは、ある q ∈ [0, 1) が存在して、
d ( T ( x ) , T ( y ) ) ≤ q d ( x , y ) {\displaystyle d(T(x),T(y))\leq qd(x,y)}
が X 内のすべての x, y に対して成立することをいう。
バナッハの不動点定理 (X, d) を空でない完備距離空間とし、T : X → X を縮小写像とする。このとき、T は X において唯一つの不動点(すなわち、T(x*) = x*)を持つ。この x* は次のように見つけられる:X 内の任意の元 x0 に対し、数列 {xn} を xn = T(xn−1) で定義する。このとき xn → x* である。
注意 1 次の不等式は同値であり、収束のスピード(英語版)を表している:
d ( x ∗ , x n ) ≤ q n 1 − q d ( x 1 , x 0 ) , d ( x ∗ , x n + 1 ) ≤ q 1 − q d ( x n + 1 , x n ) , d ( x ∗ , x n + 1 ) ≤ q d ( x ∗ , x n ) .