チェビシェフ関数
一方、初等的な方法により
θ ( n ) < 2 n ln  2 {\displaystyle \vartheta (n)<2n\ln 2} for n = 1 , 2 , ... {\displaystyle n=1,2,\ldots }
となることを証明することができる。
n = 1 {\displaystyle n=1} のとき、 θ ( n ) = 0 < 2 ln  2. {\displaystyle \vartheta (n)=0<2\ln 2.}
n = 2 {\displaystyle n=2} のとき、 θ ( n ) = ln  2 < 4 ln  2. {\displaystyle \vartheta (n)=\ln 2<4\ln 2.}
ここで、 n が m -1 以下の整数のとき、上記の不等式が正しいと仮定する。
m > 2 {\displaystyle m>2} が偶数とする。 θ ( m ) = θ ( m − 1 ) < 2 ( m − 1 ) ln  2 < 2 m ln  2. {\displaystyle \vartheta (m)=\vartheta (m-1)<2(m-1)\ln 2<2m\ln 2.
は、リーマンゼータ関数を使い、
ψ 0 ( x ) = x − ∑ ρ x ρ ρ − ln  ( 2 π ) − 1 2 ln  ( 1 − x − 2 ) . {\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln(2\pi )-{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2}).}
と表示できる。ここで ρ {\displaystyle \rho } はゼータ関数の非自明な零点すべてを走る。ゼータ関数の零点に関する考察から
ψ 0 ( x ) ∼ x {\displaystyle \psi _{0}(x)\sim x}
がわかり、ここから、前節の性質を用いて素数定理
π ( x ) ∼ x ln  x {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}
を導くことができる。