マンデルブロ集合
また、これらの図形を包含する、発散の遅い領域もやはりフラクタルの特徴を有しており、螺旋・相似等の多様な図形要素を構成する(#拡大イメージ参照)。マンデルブロ集合全体は、「飛び地」を含め、連結であることが証明されている。
マンデルブロ集合の周を拡大すると繰り返し現れる「飛び地」はマンデルブロ集合全体に良く似ているものの、互いに異なっている。つまりマンデルブロ集合の周は自己相似ではないフラクタルの一種であり、その相似次元は平面内の曲線としては最大の2次元である。このことはマンデルブロの予想と呼ばれ未解決問題の一つだったが、宍倉光広によって肯定的に証明された。
なお、上式で z0 を 0 以外の複素数にした場合、マンデルブロ集合の周が変形し、ジュリア集合に似たフラクタル状の曲線が現れる。
マンデルブロ集合を複素数を使わずに書き直すには、zn を点 (xn, yn) に、c を点 (a, b) にそれぞれ置き代えて、
{ x n + 1 = x n 2 − y n 2 + a y n + 1 = 2 x n y n + b {\displaystyle {\begin{cases}x_{n+1}=x_{n}^{2}-y_{n}^{2}+a\\y_{n+1}=2x_{n}y_{n}+b\end{cases}}}
とすればよい。