行列の平方根
「非負実数が非負の平方根(主平方根)をただ一つだけ持つ」という事実に対応して
命題
半正定値行列は、それ自身が半正定値となるような平方根をただ一つ持つ。 一般に、すべての固有値が正の実数となる複素行列はすべての固有値が正の実数となる平方根をただ一つ持つ。
が成り立つ。そのように定まるただ一つの (the, unique) 平方根は主平方根 (principal square root) と呼ばれる。
主平方根をとる操作は行列全体の成す集合上で連続である。このとき、考えている行列が実行列ならば、その主平方根もまた実行列になる。主平方根に関する性質は、行列に対する正則汎函数計算(英語版)の帰結として得られる。あるいは主平方根の存在と一意性はジョルダン標準形を用いて直截に示せる(後述)。
数学のおもに線型代数学および函数解析学における行列の平方根(ぎょうれつのへいほうこん、英: square root of a matrix)は、数に対する通常の平方根の概念を行列に対して拡張するものである。すなわち、行列 B が行列 A の平方根であるとは、行列の積に関して B = BB が A に等しいときに言う。
「実数の平方根は必ずしも実数にならないが、複素数は必ず複素数の範囲で平方根を持つ」ことに対応する事実として、実行列の平方根は(存在しても)必ずしも実行列にならないが、複素行列が平方根を持てばそれは必ず複素行列の範囲で取れる。
平方根を持たない行列も存在する。
また一般に、ひとつの行列が複数の平方根を持ち得る。実際、2 × 2 単位行列は次のように無数の平方根を持つ。
このように行列の平方根は無数に存在しうるが、半正定値行列の範疇で行列の主平方根 (principal square root) の概念が定義できて「半正定値行列の主平方根はただ一つ」である(これは「非負実数が非負の平方根(主平方根)をただ一つだけ持つ」という事実に対応する)。
これら以外に平方根が存在しないことについては、 B 2 = A {\textstyle B^{2}=A} とした場合、 δ ≠ 0 {\textstyle \delta \neq 0} より A {\textstyle A} は2つの相異なる固有値 λ 1 {\textstyle \lambda _{1}} 、 λ 2 {\textstyle \lambda _{2}} と、独立な固有ベクトル A v 1 = λ 1 v 1 {\textstyle Av_{1}=\lambda _{1}v_{1}} 、 A v 2 = λ 2 v 2 {\textstyle Av_{2}=\lambda _{2}v_{2}} を持つが、任意の2次列ベクトルは、 v 1 {\textstyle v_{1}} 、 v 2 {\textstyle v_{2}} の1次結合で表せるので、 B v 1 = α 11 v 1 + α 12 v 2 {\textstyle Bv_{1}=\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2}} 、 B v 2 = α 21 v 1 + α 22 v 2 {\textstyle Bv_{2}=\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2}} とすると、 λ 1 v 1 = A v 1 = B B v 1 = B ( α 11 v 1 + α 12 v 2 ) = ( α 11 2 + α 12 α 21 ) v 1 + ( α 11 α 12 + α 12 α 22 ) v 2 {\textstyle \lambda _{1}v_{1}=Av_{1}=BBv_{1}=B(\alpha _{11}v_{1}+\alpha _{12}v_{2})=(\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{11}\alpha _{12}+\alpha _{12}\alpha _{22})v_{2}} 、 λ 2 v 2 = A v 2 = B B v 2 = B ( α 21 v 1 + α 22 v 2 ) = ( α 21 α 11 + α 22 α 21 ) v 1 + ( α 21 α 12 + α 22 2 ) v 2 {\textstyle \lambda _{2}v_{2}=Av_{2}=BBv_{2}=B(\alpha _{21}v_{1}+\alpha _{22}v_{2})=(\alpha _{21}\alpha _{11}+\alpha _{22}\alpha _{21})v_{1}+(\alpha _{21}\alpha _{12}+\alpha _{22}^{2})v_{2}} すなわち、 [ λ 1 0 0 λ 2 ] = [ α 11 α 12 α 21 α 22 ] [ α 11 α 12 α 21 α 22 ] = [ α 11 2 + α 12 α 21 α 12 ( α 11 + α 22 ) α 21 ( α 11 + α 22 ) α 22 2 + α 12 α 21 ] {\textstyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha _{11}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}&\alpha _{12}(\alpha _{11}+\alpha _{22})\\\alpha _{21}(\alpha _{11}+\alpha _{22})&\alpha _{22}^{2}+\alpha _{12}\alpha _{21}\end{bmatrix}}} であるが、 λ 1 ≠ λ 2 {\textstyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}} のため、解は α 11 = ± λ 1 {\textstyle \alpha _{11}=\pm {\sqrt {\lambda _{1}}}} 、 α 12 = α 21 = 0 {\textstyle \alpha _{12}=\alpha _{21}=0} 、 α 22 = ± λ 2 {\textstyle \alpha _{22}=\pm {\sqrt {\lambda _{2}}}} に定まる。