リアプノフ指数
lim ε → 0 ln  N ln  ( 1 / ε ) ≈ lim d → 0 ( − j λ j + 1 + λ 1 + λ 2 + λ 3 + ⋯ + λ j ) t − λ j + 1 t − ln  d = j + λ 1 + λ 2 + λ 3 + ⋯ + λ j − λ j + 1 {\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\ln N}{\ln(1/\epsilon )}}\approx \lim _{d\to 0}{\frac {(-j\lambda _{j+1}+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}+\cdots +\lambda _{j})t}{-\lambda _{j+1}t-\ln d}}=j+{\frac {\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}+\cdots +\lambda _{j}}{-\lambda _{j+1}}}}
となり、j の定義より −λj + 1 = |λj + 1| なので、リアプノフ次元の定義
D L = j + λ 1 + λ 2 + λ 3 + ⋯ + λ j | λ j + 1 | {\displaystyle D_{L}=j+{\frac {\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}+\cdots +\lambda _{j}}{|\lambda _{j+1}|}}}
を得ることができる。
他のフラクタル次元と比較したリアプノフ次元の利点は、リアプノフスペクトラムさえ得ることができれば簡単に計算可能なことである。また、リアプノフ次元は系の情報量次元の上限を表している。
ここで ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} はユークリッドノルムを意味する。上式で λ > 0 の場合は軌道は離れていき、 λ < 0 の場合は軌道は近づいていく。よって、軌道が離れていく度合いは λ の値により決定される。この λ がリアプノフ指数である。軌道がカオス的であるとき、上式のように軌道は指数関数的に離れていく。すなわち、リアプノフ指数が正であることが軌道がカオス的であることの1つの定義とされる。
より詳細には、系の状態変数が k 個(k > 1)の場合、すなわち相空間が k 次元である場合は各次元ごとに固有のリアプノフ指数を持つ。これらのリアプノフ指数の組をリアプノフスペクトラムと呼び、そのうちの最大のリアプノフ指数を最大リアプノフ指数と呼ぶ。各々のリアプノフ指数を見れば正であったり負であったりするが、最大リアプノフ指数が正であれば、その系はカオスの特徴の1つである初期値鋭敏性を持つといえる。
常微分方程式系の場合は、 d δ d t = J ( t ) δ {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\delta }}}{dt}}={\boldsymbol {J}}(t){\boldsymbol {\delta }}} を解いて δ ( t ) = M δ ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}(t)={\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {\delta }}(0)} を得ることで、上記の定義で出てきた正方行列 M を得ることができる。差分方程式系の場合は、J を t 回繰り返し適用することで次のような δ(t) と δ(0) の関係式で書き表すことできるので、M は Jn の 0 から t − 1 までの総乗として得ることができる。
δ ( t ) = J ( t − 1 ) J ( t − 2 ) ⋯ J ( 0 ) δ ( 0 ) = M δ ( 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}(t)={\boldsymbol {J}}(t-1){\boldsymbol {J}}(t-2)\cdots {\boldsymbol {J}}(0){\boldsymbol {\delta }}(0)={\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {\delta }}(0)}
保存系の場合、相空間の全エネルギーは保存される。従って全リアプノフ指数の総和はゼロになる。散逸系ではリアプノフ指数の総和は負になる。
力学系が何らかの流れである場合、1つのリアプノフ指数は常にゼロとなる。つまり、流れの方向の固有ベクトルに対応する固有値から得られるリアプノフ指数がゼロになる。
Pesin's theorem によれば、正のリアプノフ指数の総和はコルモゴロフ・シナイ・エントロピー(Kolmogorov-Sinai entropy)の近似値を与える。
最大リアプノフ指数の逆数を「リアプノフ時間; Lyapunov time」と呼ぶことがあり、e-folding time の特性を定義する。カオス的軌道ではリアプノフ時間は有限であり、正規の軌道では無限大となる。