単調収束定理
を得る。したがって、部分集合の上限は全集合よりも大きくなることは無いことから、次を得る:
∫ f d μ ≥ lim k ∫ f k d μ . {\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu \geq \lim _{k}\int f_{k}\,\mathrm {d} \mu .}
関数列が単調であることから、この右辺の極限は存在する。
続いて、逆向きの不等式が成立することを証明する(これはファトゥの補題によっても従う)。すなわち、
∫ f d μ ≤ lim k ∫ f k d μ {\displaystyle \int f\,\mathrm {d} \mu \leq \lim _{k}\int f_{k}\,\mathrm {d} \mu }
を示す。積分の定義により、非負単関数の非減少列 (gk) で gk ≤ f および
lim k ∫ g k d μ = ∫ f d μ {\displaystyle \lim _{k}\int g_{k}\,\mathrm {d} \mu =\int f\,\mathrm {d} \mu }
を満たすものが存在する。今、各 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } に対して
∫ g k d μ ≤ lim j ∫ f j d μ {\displaystyle \int g_{k}\,\mathrm {d} \mu \leq \lim _{j}\int f_{j}\,\mathrm {d} \mu }
であることを証明すれば十分である。
が成立する。
注意 関数列 ( f k ) {\displaystyle (f_{k})} が上の仮定を μ に関してほとんど至る所で満たすが、μ(N) = 0 であるような集合 N ∈ Σ で、すべての x ∉ N {\displaystyle x\notin N} に対して列 ( f k ( x ) ) {\displaystyle (f_{k}(x))} が非減少であるようなものを見つけることが出来る。f が Σ-可測であることから
∫ f k d μ = ∫ X ∖ N f k d μ , and ∫ f d μ = ∫ X ∖ N f d μ {\displaystyle \int f_{k}\,\mathrm {d} \mu =\int _{X\backslash N}f_{k}\,\mathrm {d} \mu ,\ {\text{and}}\ \int f\,\mathrm {d} \mu =\int _{X\backslash N}f\,\mathrm {d} \mu }
がすべての k に対して成り立つ(たとえば、 の 21.38 節を参照されたい)ことより、定理の結果はこの場合にも真となる。