ゴールドバッハ・オイラーの定理
ゴールドバッハによる証明は以下のように調和級数を用いたものである。まず H ∞ {\displaystyle H_{\infty }} を次のように定義する。
H ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + . . . ( 1 ) {\displaystyle H_{\infty }=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+...\quad (1)}
続いて等比級数を用いて以下の式を与える。
1 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + . . . {\displaystyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+...}
(1)式からこの式を辺々引くと
H ∞ − 1 = 1 + 1 3 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 9 + . . . ( 2 ) {\displaystyle H_{\infty }-1=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+...\quad (2)}
となる。さらに等比級数を用いて
1 2 = 1 3 + 1 9 + 1 27 + 1 81 + . . .