三体問題
特にその軌道が円軌道 (離心率 e = 0 {\displaystyle e=0} ) である場合を円制限三体問題 (circular restricted three-body problem) と呼ぶ。この場合、共動回転系では第一体および第二体が静止し数学的な取り扱いが容易になるため、しばしば採用される。この座標系では円制限三体問題の運動方程式は遠心力とコリオリ力を含む次の形を取る。
x ̈ = n 2 x + 2 n y ̇ − G m 1 x + a 1 | r + a 1 x ^ | 3 − G m 2 x − a 2 | r − a 2 x ^ | 2 {\displaystyle {\ddot {x}}=n^{2}x+2n{\dot {y}}-Gm_{1}{\frac {x+a_{1}}{|\mathbf {r} +a_{1}{\hat {\textbf {x}}}|^{3}}}-Gm_{2}{\frac {x-a_{2}}{|\mathbf {r} -a_{2}{\hat {\textbf {x}}}|^{2}}}}
が可能であるような ( I , θ , μ ) {\displaystyle (I,\theta ,\mu )} について解析的な運動の積分 Φ ( I , θ , μ ) {\displaystyle \Phi (I,\theta ,\mu )} でハミルトニアン H {\displaystyle H} と独立なものは存在しない。
特に、制限三体問題は μ = m 2 / ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \mu =m_{2}/(m_{1}+m_{2})} 、かつ H 2 {\displaystyle H^{2}} をハミルトニアンと解釈することでこの定理の仮定を満足し、従ってパラメータ μ {\displaystyle \mu } に関して解析的な運動の積分は存在しない。この結果は「三体問題は解析的に解けない」という表現で広く知られている。ただしこれはあくまでパラメータ μ {\displaystyle \mu } に解析的に依存する運動の積分が存在することはないということを主張するだけであって、個々の μ {\displaystyle \mu } の値での非可積分性は定理の主張に含まれない。
その後、20世紀後半から21世紀初めにかけて、ソフィア・コワレフスカヤの特異点解析(これは彼女をコワレフスカヤのコマの発見に導いた)の流れを受ける Ziglin 解析による、あるいは Ziglin 解析に微分ガロア理論を応用する Morales-Ramis 理論による、三体が任意の質量を持つ一般三体問題の非可積分性の証明が得られた。