離散フーリエ変換 (一般)
証明: 1 ≤ k < n {\displaystyle 1\leq k<n} に対して、 β = α k {\displaystyle \beta =\alpha ^{k}} と置く。 α n = 1 {\displaystyle \alpha ^{n}=1} であるから、 β n = ( α n ) k = 1 {\displaystyle \beta ^{n}=(\alpha ^{n})^{k}=1} であり、
β n − 1 = ( β − 1 ) ( ∑ j = 0 n − 1 β j ) = 0 {\displaystyle \beta ^{n}-1=(\beta -1)\left(\sum _{j=0}^{n-1}\beta ^{j}\right)=0}
が成り立つ。 α {\displaystyle \alpha } は原始n乗根であるから、 β − 1 ≠ 0 {\displaystyle \beta -1\neq 0} が成り立つ。 R {\displaystyle R} が整域であれば、零因子を持たないため、和 ∑ j = 0 n − 1 β j {\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}\beta ^{j}} は零である。∎
もう一つのシンプルな条件は、nが2のべき乗のときである。この場合、条件式(1)は α n / 2 = − 1 {\displaystyle \alpha ^{n/2}=-1} でおきかえることができる。