エルマン環
数学、特に複素力学系に於けるエルマン環(エルマンかん、英: Herman ring)は、ファトゥ成分の一つである。数学者マイケル・エルマン(英語版)にちなむ。
エルマン環の有理関数は標準的なアニュラスの無理回転と共形共役である。
エルマン環を持つ有理関数の一例として、次が挙げられる。
f ( z ) = e 2 π i τ z 2 ( z − 4 ) 1 − 4 z {\displaystyle f(z)={\frac {e^{2\pi i\tau }z^{2}(z-4)}{1-4z}}}
ここで τ = 0.6151732 ... {\displaystyle \tau =0.6151732\dots } であり、単位円上での ƒ の回転数は ( 5 − 1 ) / 2 {\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)/2} になる。
下に示される図は ƒ のジュリア集合である。すなわち、白いアニュラスの中の曲線は ƒ の反復に対するいくつかの点の軌道であり、点線の部分が単位円である。
エルマン環とある周期放物型ファトゥ成分を同時に持つ有理関数の一例を、次の図に挙げる。
さらに、周期 2 のエルマン環を持つ有理関数の一例を次に挙げる。
この有理関数の表現は次のようになる。
g a , b , c ( z ) = z 2 ( z − a ) z − b + c , {\displaystyle g_{a,b,c}(z)={\frac {z^{2}(z-a)}{z-b}}+c,\,}
ただし
a = 0.17021425 + 0.12612303 i , b = 0.17115266 + 0.12592514 i , c = 1.18521775 + 0.16885254 i . {\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.17021425+0.12612303i,\\b&=0.