部分群
H が群 G の部分群であるということは、 H が空集合ではなく、演算と逆元に対して閉じているということを意味する(「閉じている」というのは「 H に含まれる任意の元 a および b について、 ab および a も H に含まれる」ということである。なおこの2つの条件は、同値な1つの条件にまとめることができる。「 H に含まれる任意の元 a および b について、 ab も H に含まれる」という条件である)。 H が有限集合の場合、 H が部分群であるということは、 H が空集合でなく、積に関して閉じているということと同値である(この場合、 H の任意の元は、 H の有限巡回部分群を生成する。そして a の逆元は、 a の位数が n ならば a = a となる)。
上記の条件は準同型の言葉で書き換えることができる。つまり H が G の部分群となる必要十分条件は、H が G の部分集合で、H から G への包含写像(任意の a ∈ H に対して i(a) = a となる写像)が準同型を与えることである。
部分群の単位元は群の単位元と等しい。つまり、G が eG を単位元とする群で、H が eH とする G の部分群ならば eH = eG でなければならない。
部分群のある元の逆元は、もとの群におけるその元の逆元と等しい。つまり H が群 G の部分群であり、a, b が H の元で ab = ba = eH を満たすならば ab = ba = eG が成り立つ。
部分群 A と B の共通部分はまた部分群になる。