準素分解
数学において、ラスカー・ネーターの定理は、任意のネーター環はラスカー環 (Lasker ring) であること、 すなわち、任意のイデアルが有限個の準素イデアル (primary ideal) の共通部分として分解できる(準素分解、じゅんそぶんかい、primary decomposition)ことを述べている。(準素イデアルは、素イデアルの冪と関連するが、全く同じというわけではない。定理は最初に多項式環と収束冪級数環という特別な場合に対して Emanuel Lasker (1905) によって証明され、Emmy Noether (1921) によって完全に一般的に証明された。
ラスカー・ネーターの定理は算術の基本定理の、あるいはより一般の有限生成アーベル群の基本定理の、すべてのネーター環への拡張である。
この節では、すべての加群はネーター環 R 上有限生成であるとする。
加群 N の部分加群 M の準素分解が最短であるとは、準素加群の個数が最小であることをいう。最短準素分解に対して、準素加群の素因子は一意的に決定される:それらは N/M の素因子である。さらに、極小あるいは孤立素因子(他の素因子を含まない素因子)に伴う準素部分加群も一意である。しかしながら非孤立素因子(幾何学的な理由から埋め込まれた素因子とも呼ばれる)に伴う準素部分加群は一意とは限らない。
例:ある体 k に対して N = R = k[x, y] とし、M をイデアル (xy, y) とする。このとき M は2つの異なる最短準素分解 M = (y) ∩ (x, y) = (y) ∩ (x + y, y) をもつ。極小素因子は (y) であり、埋め込まれた素因子は (x, y) である。
この結果は今ではイデアルの加法的理論と呼ばれる分野の初めであり、これはイデアルを特別なクラスのイデアルの共通部分として表す方法を研究する分野である。「特別なクラス」、例えば準素イデアル、の決定は、それ自身問題である。非可換環の場合には、tertiary ideal(英語版) のクラスが準素イデアルのクラスの代替として有用である。