積分法
∫ − 1 1 1 x = lim ε 1 → − 0 ∫ − 1 ε 1 d x x + lim ε 2 → + 0 ∫ ε 2 1 d x x {\displaystyle \int _{-1}^{1}{1 \over x}=\lim _{\varepsilon _{1}\to -0}\int _{-1}^{\varepsilon _{1}}{dx \over x}+\lim _{\varepsilon _{2}\to +0}\int _{\varepsilon _{2}}^{1}{dx \over x}}
はいわゆる −∞ + ∞ の形の不定形であり、ε1, ε2 の 0 への近づきかたにより値が異なるため、広義リーマン積分可能でない。しかしながら ε1 = −ε2 という特殊な場合には
p.v. ∫ − 1 1 1 x = lim ε → + 0 ( ∫ − 1 − ε d x x + ∫ ε 1 d x x ) = 0 {\displaystyle {\mbox{p.v.}}\int _{-1}^{1}{1 \over x}=\lim _{\varepsilon \to +0}\left(\int _{-1}^{-\varepsilon }{dx \over x}+\int _{\varepsilon }^{1}{dx \over x}\right)=0}
となる。このように上下から同等の速さで特異点に近づける極限で現れる値をコーシーの主値という。
を満足するものである。線型性と結合性を用いれば、この交代性から dx ∧ dx = −dx ∧ dx が出ることに注意せよ。これはまた、楔積を取った結果が向きを持つことを保証するものでもある。
二つの基本 1-形式の楔積として得られる微分形式を基本 2-形式と呼び、同様に dx ∧ dx ∧ dx なる形で書ける微分形式を基本 3-形式と定める。以下同様に基本形式を定めるが、一般に k-形式(k-次微分形式)とは基本 k-形式に滑らかな関数 f による重み付けを行った重み付き和をいう。すなわち、k-形式の全体は、基本 k-形式を基底ベクトルとするベクトル空間を成し、その係数体として 0-形式の全体がとれる。k-形式同士の楔積は、基本 k-形式の楔積を線型に拡張したものとして自然に定義できる。R 上で、互いに線型独立な余ベクトルは高々 n-個しか取れないから、従って k > n のとき k-形式は常に 0 に等しいことが交代性から従う。
微分形式の演算には、楔積に加えて、外微分作用素 d もある。これは k-形式を (k+1)-形式へ写す作用素で、R 上の k-形式 ω = f dx への d の作用は、
a < b ならば、a を下端、b を上端とするリーマン積分は区間 [a, b] の分割からさだまるリーマン和の極限として定義されるが、a > b のときは区間 [a, b] 自体が存在しないのでそのままではリーマン和も考えることができない。しかし規約として a > b のときは
∫ a b f ( x ) d x := − ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx:=-\int _{b}^{a}f(x)dx}
あるいはもっと記号的に
∫ a b := − ∫ b a {\displaystyle \int _{a}^{b}:=-\int _{b}^{a}}
であるものとすることがしばしば行われる。この規約の元では区間に対する加法性
∫ a b = ∫ a γ + ∫ γ b {\displaystyle \int _{a}^{b}=\int _{a}^{\gamma }+\int _{\gamma }^{b}}
数論や表現論の周辺分野でよく用いられる、局所コンパクト群上で定義される不変測度(ハール測度)に関するルベーグ式の積分。ルベーグ積分は、実数全体が加法に関して成す局所コンパクトアーベル群 R 上の不変測度としてルベーグ測度をとった不変積分である(この場合の不変は平行移動不変性を指して言う)。