コホモロジー環
{\displaystyle H^{\bullet }(X;R)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }H^{k}(X;R).}
この積によって、群 H(X; R) は環となる。実際、自然に N-次数付き環であり、非負の整数 k が次数の役割を持つ。カップ積はこの次数付けと整合している。
コホモロジー環は、カップ積が次数により決定される符号を除いて可換であるという意味で、次数付きで可換(英語版)である。具体的には、次数 k と 次数 l の純粋な元に対し、次が成り立つ。
( α k ⌣ β l ) = ( − 1 ) k l ( β l ⌣ α k ) . {\displaystyle (\alpha ^{k}\smile \beta ^{\ell })=(-1)^{k\ell }(\beta ^{\ell }\smile \alpha ^{k}).}
コホモロジー環から得られる数値的な不変量はカップの長さ(cup-length)であり、この不変量は掛けたときの非零の結果をもたらす次数が ≥ 1 の次数付きの元の最大の個数を意味する。例えば、複素射影空間では、その複素次元に等しいカップ長さを持つ。