境界要素法
∂ 2 u ∗ ∂ x 1 2 ( x ; ξ ) + ∂ 2 u ∗ ∂ x 2 2 ( x ; ξ ) + δ ( x − ξ ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }})+{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }})+\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\xi }})=0,}
この関数u は基本解と呼ばれており、ラプラス問題では、 r = | x − ξ | {\displaystyle r=|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\xi }}|} (2点間の距離)として、
u ∗ ( x ; ξ ) = − 1 2 π ln  r , {\displaystyle u^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }})=-{\frac {1}{2\pi }}\ln r,}
で与えられる。u は、空間内の点ξに大きさ 1 の単位わきだしがあったときの、点x で観測されるポテンシャル値を与える関数、と解釈することができる。
ラプラス問題は、支配方程式:
∇ 2 u = ∂ 2 u ∂ x 1 2 ( x ) + ∂ 2 u ∂ x 2 2 ( x ) = 0 , ( x ∈ Ω ) {\displaystyle \nabla ^{2}u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {x}})+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {x}})=0,\quad \quad ({\boldsymbol {x}}\in \Omega )}
と、境界条件:
u ( x ) = u ̄ ( x ) , ( x o n Γ u ) , q ( x ) = ∂ u ∂ n ( x ) = q ̄ ( x ) , ( x o n Γ q ) , {\displaystyle {\begin{aligned}u({\boldsymbol {x}})&={\bar {u}}({\boldsymbol {x}}),\quad ({\boldsymbol {x}}\ \mathrm {on} \ \Gamma _{u}),\\q({\boldsymbol {x}})&={\frac {\partial u}{\partial n}}({\boldsymbol {x}})={\bar {q}}({\boldsymbol {x}}),\quad ({\boldsymbol {x}}\ \mathrm {on} \ \Gamma _{q}),\end{aligned}}}
G i j = ∫ Γ u ∗ ( x ; ξ i ) φ j ( x ) d Γ , H i j = c ( ξ i ) φ j ( ξ i ) + ∫ Γ q ∗ ( x ; ξ i ) φ j ( x ) d Γ x {\displaystyle G_{ij}=\int _{\Gamma }u^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {x}})d\Gamma ,\quad H_{ij}=c({\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {\xi }}_{i})+\int _{\Gamma }q^{*}({\boldsymbol {x}};{\boldsymbol {\xi }}_{i})\phi _{j}({\boldsymbol {x}})d\Gamma _{x}}
とおくと、次のN 元の代数方程式を得る。
∑ j = 1 N H i j U j = ∑ j = 1 N G i j Q j , ( i = 1 , 2 , ... , N ) {\displaystyle \sum _{j=1}^{N}H_{ij}U_{j}=\sum _{j=1}^{N}G_{ij}Q_{j},\quad \quad (i=1,2,\ldots ,N)}
なお、解の一意性が保証される場合では、境界値Uj , Qj はどちらか一方が未知で、もう一方が既知である。そのため、未知境界値をまとめてXj 、未知境界値に乗じられている係数をAij 、既知境界値と係数成分との乗算結果をまとめてbi で表すと、次の連立一次方程式を得る。
∑ j = 1 N A i j X j = b i , ( i = 1 , 2 , ... , N ) {\displaystyle \sum _{j=1}^{N}A_{ij}X_{j}=b_{i},\quad \quad (i=1,2,\ldots ,N)}
この式を解くことで、境界上のポテンシャルとフラックスが近似的に得られることになる。