円運動
物体が円軌道を一周するのに要する時間を周期 T といい、角速度をωとするとT は
T = 2 π ω {\displaystyle T={2\pi \over \omega }} ... (1-ix)
とあらわされる。また、単位時間当たりに回転する回数を回転速度(あるいは角振動数) f といい、f は
f = ω 2 π {\displaystyle f={\omega \over 2\pi }} ... (1-x)。
(1-ix) 式より、(1-x) 式は
f = 1 T {\displaystyle f={1 \over T}} ... (1-xi)
とあらわされる。
(1-ii)より、
v = r θ ̇ ( − sin  θ , cos  θ ) {\displaystyle \mathbf {v} =r{\dot {\theta }}\left(-\sin \theta ,\cos \theta \right)} ... (2-i)
と、まとめることができるので、大きさ | v | {\displaystyle |\mathbf {v} |} は
| v | = r | θ ̇ | {\displaystyle |\mathbf {v} |=r|{\dot {\theta }}|} ... (2-ii)
である。
また、速度の方向を求めるために、速度ベクトルと位置ベクトルの内積をとると
v ⋅ r = ( − r θ ̇ sin  θ ) ⋅ ( r cos  θ ) + ( r θ ̇ cos  θ ) ⋅ ( r sin  θ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =(-r{\dot {\theta }}\sin \theta )\cdot (r\cos \theta )+(r{\dot {\theta }}\cos \theta )\cdot (r\sin \theta )=0} ... (2-iii)
であるため、位置ベクトルと直交する方向、すなわち接線方向であることが分かる。 同時に、向心方向の速度成分が 0 {\displaystyle 0} であることも分かるが、 これは円運動の半径が変化しないことから自明である。
物体に働く力 F は、質量をm、加速度をaとすると、ニュートンの運動の第二法則により、 F = m a {\displaystyle F=ma} と書けるので、(1-viii) からわかるように、物体には円(半径 r)の中心に向って大きさ
F = m ω 2 r {\displaystyle F=m\omega ^{2}r} ... (1-viii)
の力が働く。