正の数と負の数
数列は、零・正数・負数の三種類が組み合わさって構成されており、基準点が零、基準点から増えている分が正数、基準点から減っている分が負数となる。
従って、加算と減算では、負数は負債であり、正数は収益であると考えることができる。同じく、時間や世代の距離を数える場合にも、零は現在や自分、負数は過去や年上(親や祖父母など)、正数は未来や年下(子供や孫など)であると考えることもできる。
負数を加えることは、対応する正数を減ずることになる。逆に、負数を減ずることは、対応する正数を加えることになる。
9 − 5 = 4 (9歳年下の人物と5歳年下の人物は、4歳離れている。) 7 − (−2) = 9 (7歳年下の人物と2歳年上の人物は、9歳離れている。) −4 + 12 = 8 (¥4の負債があって収益による¥12の資産を得たら、純資産は¥8である)(注:純資産=資産総額-負債総額) 5 + (−3) = 5 − 3 = 2 (¥5の資産を持っていて¥3の負債ができたら、純資産は¥2である) –2 + (−5) = −2 − 5 = −7 (¥2の負債があってさらに¥5の負債ができたら、負債は合わせて¥7になる)
8世紀以降、イスラム世界はブラーマグプタの著書のアラビア語訳から負の数を学び、紀元1000年頃までには、アラブの数学者は負債に負の数を使うことを理解していた。
負の数の知識は、最終的にアラビア語とインド語の著書のラテン語訳を通してヨーロッパに到達した。
しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』(1202年)の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。
イギリスの数学者フランシス・マセレスは1759年、負数は存在しないという結論に達した。
負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており(この見解はジョン・ウォリスと共通である)、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった。負数が無限大より大きいという論拠は、 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。