楕円曲線暗号
ある楕円曲線上の点 G {\displaystyle G} から、 2 G , 3 G , 4 G , ... {\displaystyle 2G,3G,4G,\ldots } を計算していくと、次々と異なる(楕円曲線上の)点が得られ、いずれは無限遠点 n G = O {\displaystyle nG=O} が得られる(ただし楕円曲線によってはそのようなGはG=Oしか無い事もある)。(その後は、 ( n + 1 ) G = G , ( n + 2 ) G = 2 G , ( n + 3 ) G = 3 G , ... {\displaystyle (n+1)G=G,(n+2)G=2G,(n+3)G=3G,\ldots } と繰り返される。)このように G {\displaystyle G} からスカラー倍算によって得られる点の集合を ⟨ G ⟩ = { G , 2 G , 3 G , ... , O } {\displaystyle \langle G\rangle =\{G,2G,3G,\ldots ,O\}} と書くことにすると、 ⟨ G ⟩ {\displaystyle \langle G\rangle } は巡回群となる。
すなわち P C ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle P_{\!C}\,(x_{3},\,y_{3})} は以下のようになる。
x 3 = φ 2 − x 1 − x 2 , {\displaystyle x_{3}=\phi ^{2}-x_{1}-x_{2},}
y 3 = − φ x 3 − ψ . {\displaystyle y_{3}=-\phi x_{3}-\psi .}
ただし φ , ψ {\displaystyle \phi ,\,\psi } は
φ = y 2 − y 1 x 2 − x 1 , {\displaystyle \phi ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}},}
ψ = y 1 x 2 − y 2 x 1 x 2 − x 1 . {\displaystyle \psi ={\frac {y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}