関係代数 (数学)
1860年にド・モルガンは RA の基盤を与えたが、パースはそれをより発展させ、その哲学的な強力さに魅了されるようになった。彼らの結果は E. Schröder(en) が著書 Vorlesungen über die Algebra der Logik (1890-1905)の第三巻で取り上げ、拡張された決定的な形として知られるようになった。「プリンキピア・マテマティカ」では Schröder の RA について記しているが、記法の発明者としてしか認めていない。1912年、Alwin Korselt は、量化子が四回入れ子になっている、ある論理式が RA で同値なものをもたないことを証明した(Korselt は彼の発見を出版しなかった。出版物の形で公開されたのは L. Loewenheim が 1915年に出版した論文)においてである。この事実は RA への興味を失わさせ、それはタルスキが 1941年に論文を執筆するまで続いた。彼の学生は現在まで RA の研究を続けている。タルスキは 1970年代に S. Givant の助けを借りて RA の研究に復帰し、彼らの共同研究は1987年に出版されたモノグラフにまとめられた。この本はこの分野における決定的な参考文献となっている。より詳細な RA の歴史については,Maddux の本を参照すること。
関係代数とは組 (L, ∧, ∨, ¬, 0, 1, •, I, ▷, ◁, ̆) であって、以下の条件を満たすものである:
(L, ∧, ∨, •, I, ▷, ◁) は剰余付きブール代数である。
単項演算 x ̆ は x ̆ ▷ I = x = I ◁ x ̆ を満たす。
x ▷ y は合成と逆を使って x ̆ • y と定義可能で、双対的に x ◁ y を x • y ̆ と定義できるので演算 ▷ や ◁ を関係代数の算号系 (signature) に含める必要はなく、通常そうされているように組 (L, ∧, ∨, ¬, 0, 1, •, I, ̆) として定めることができる。一方、x ̆ は x ▷ I または I ◁ x として定義することができて、そうした場合に関係代数は剰余付きブール代数と同じ算号系を持つことになる。この定義のもとで公理は (x ▷ I)▷ I = x = I ◁(I ◁ x) の形に書けるが、これは単に ▷ I と I ◁ が対合であることを要請するものである。