ハイゼンベルク描像
[ B ^ , [ B ^ , [ B ^ , A ^ ] ] ] + ⋯ {\displaystyle {e^{\hat {B}}{\hat {A}}e^{-{\hat {B}}}}={\hat {A}}+[{\hat {B}},{\hat {A}}]+{\frac {1}{2!}}[{\hat {B}},[{\hat {B}},{\hat {A}}]]+{\frac {1}{3!}}[{\hat {B}},[{\hat {B}},[{\hat {B}},{\hat {A}}]]]+\cdots }
を使うと、時間依存な可観測量 ˆA(t) について下を得る。
A ^ ( t ) = A ^ + i t ħ [ H ^ , A ^ ] − t 2 2 ! ħ 2 [ H ^ , [ H ^ , A ^ ] ] − i t 3 3 ! ħ 3 [ H ^ , [ H ^ , [ H ^ , A ^ ] ] ] + ⋯ . {\displaystyle {\hat {A}}(t)={\hat {A}}+{\frac {it}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {A}}]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[{\hat {H}},[{\hat {H}},{\hat {A}}]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[{\hat {H}},[{\hat {H}},[{\hat {H}},{\hat {A}}]]]+\cdots .}
交換子をポアソン括弧に置き換えると、この関係式は古典力学でも成り立つ。