向き
n 次元のベクトル空間 V に対して、その n次外積 ΛV を考えることができるが、これは1次元の実ベクトル空間になっている。この直線上に向きを定めることが V の向きを定めることになる。ΛV 上には「元々」決まった向きというものはないので、この向きの選択は恣意的なものである。ΛV 上の向きはその 0 でないベクトル ω ^ {\displaystyle {\hat {\omega }}} を一つ選ぶことによっても指定することができる。
この方法による向きの定式化と始めに導入された基底による向きの定式化の関係は、線型写像
ω : ⋀ n V → R , t ω ^ ↦ t {\displaystyle \omega \colon \bigwedge ^{n}V\rightarrow \mathbb {R} ,t{\hat {\omega }}\mapsto t}
によって与えられる。考えている向き付けにおいて ω が(順序付き)基底の集合の上に定める写像(ωが交代n形式なのでn個の順序づけられたベクトルに対し ω は実数値を与える)によって与えられる。ω が正の値を与えるような基底が、正の向きを持った基底だと言うことができる。 ω ^ {\displaystyle {\hat {\omega }}} は体積要素、ω は体積形式とも呼ばれる。(ei)i = 1が正の向きを持つ基底のとき、対応する体積要素は e1∧e2∧...∧en になる。
ここでの向きの定式化と基底の変換行列の行列式との関係は、V上の線形変換の行列式が最高次外積上に引き起こすスカラー作用と理解できることによって与えられる。
ベクトル空間の向きの拡張として、実多様体の向きを考えることができる。可微分実多様体 M の各点 p に対して、そこでの接空間TpM を考えることができるが、これらについてそれぞれ向き付けを与えることができる。Mの向き付けとは、このような接空間それぞれの向き付けであってMの点に対し「連続的に」変化するもののことである。多様体の中にはn 次元球面 S のように向き付けを与えることのできるものもあれば、偶数次元の実射影空間 R P のように向き付けを与えることが不可能なものもある。