有理根定理
P(x) = anx + an−1x + ... + a1x + a0 (a0, ..., an ∈ Z) なる多項式を考える。互いに素な p, q ∈ Z に対して P(p / q) = 0 を満たすことを仮定する:
(1) から定数項 a0 を右辺へ移項し、両辺に q を掛けることで以下の方程式を得る。
p と括弧内の整数の積は −a0q に等しく、従って p は a0q を割り切れることが分かる。しかしながら、p と q は互いに素であり、ユークリッドの補題から同様に p と q も互いに素であるため、p は残る因数 a0 を割り切ることが示される。
(1) から最高次の項 an(p/q) を右辺へ移項し両辺に q を掛けることで次の式を得る。
p と a0 の場合と同様の理由で、q は最高次の係数 an を割り切ることが示される。
多項式のすべての係数を割り切る非自明な約数がある場合、その多項式を係数の最大公約数で割った、ガウスの補題(英語版)の意味での原始多項式が得られる。この原始多項式の有理根は元の多項式と同じであり、可約条件だけが強められる。 ガウスの補題によれば、ある多項式が有理係数の多項式 Q[X] で因数分解できるなら、整係数の多項式 Z[X] で因数分解することができ、原始多項式の積として表すことができる。
Q[X] の 1 次の多項式が有理根 p/q を持つとき、p, q は互いに素であるとして、その多項式の原始多項式は qx − p となる。 qx − p を因数とする整係数多項式 Z[X] について、最高次の係数は q で割り切れ、定数項は p で割り切れるので、有理根定理が得られた。
この事はより一般に、多項式 P の可約でない因数は整係数を持つことができ、その最高次の係数と定数項が、対応する P の係数を割り切れることを示す。