ボレル・カンテリの補題
以下の通り変形する。ここで "i.o." は "infinitely often" の略、右肩の "c" は余事象をとることを表す。
1 − Pr ( lim sup n → ∞ E n ) = 1 − Pr ( { E n i.o. } ) = Pr ( { E n i.o. } c ) = Pr ( ( ⋂ N = 1 ∞ ⋃ n = N ∞ E n ) c ) = Pr ( ⋃ N = 1 ∞ ⋂ n = N ∞ E n c ) = Pr ( lim inf n → ∞ E n c ) = lim N → ∞ Pr ( ⋂ n = N ∞ E n c ) {\displaystyle {\begin{aligned}1-\Pr(\limsup _{n\rightarrow \infty }E_{n})&=1-\Pr \left(\{E_{n}{\text{ i.o.}}\}\right)=\Pr \left(\{E_{n}{\text{ i.