対合環
∗-環 (A, +, ×, ∗) が同時に可換環 R 上の多元環であり、かつ (r x) = r (x) (∀r ∈ R, x ∈ A) を満たすならば、A は自明な ∗-環 R 上の ∗-多元環である。 特に、有理整数環 Z を自明な ∗-環と考えるとき、任意の対合環はこの意味で Z 上の対合多元環と見ることができる。
任意の可換 ∗-環は、自分自身の上の ∗-多元環である(より一般に、自身の任意の∗-部分環上の ∗-多元環になる)。
任意の可換 ∗-環 R の、任意の ∗-イデアルによる商はふたたび R 上の ∗-多元環になる。 例えば、任意の自明な可換 ∗-環は、その二重数環(これは非自明な ∗-環!)の上の ∗-多元環になる。 同じことは可換環 K とその上の多項式環 K[x] についても言える(K[x]/(X) = K)。
ヘッケ環において、主対合はカジュダン–ルスティック多項式のために重要である。
楕円曲線の自己準同型環は双対同種(英語版)をとる操作によって与えられる対合のもと、整数環上の ∗-多元環になる。同様の構成は、アーベル多様体とその偏極化 (polarization) によっても行うことができる。この場合、得られる対合はロサッチ対合(英語版)と呼ばれる(ミルン(英語版)の講義ノートを参照)。
対合ホップ代数も重要な ∗-多元環である(追加の構造として、余乗法との両立も考える)。 よく知られた例として、群ホップ代数は、群環としての構造に加えて群の反転演算 g ↦ g から誘導される対合を持つ。
可換対合環 (R, I) 上の多元環 A とその上に定義される対合 J の組 (A, J) が対合多元環であるとは、(A, J) はそれ自身対合環であって、なおかつ R の元によるスカラー倍に関して、二つの対合 I, J が
(rx) = r x (∀r ∈ R, x ∈ A)
を満たすという意味で両立するときにいう。
定義により、対合多元環 A 上の対合 J は、λ, μ ∈ R, x, y ∈ A に対して
(λx + μy) = λ x + μ y
を満たす。即ち J は A 上の共軛線型写像(英語版)である。