可微分多様体
ベクトル空間の双対空間はベクトル空間上の実数値線型写像の集合である。ある点での余接空間はその点での接空間の双対であり、余接束はすべての余接空間の集まりである。
接束と同様余接束は再び可微分多様体である。ハミルトニアンは余接束上のスカラーである。余接束の全空間はシンプレクティック多様体の構造を持つ。余接ベクトルを「余ベクトル」(covector) と呼ぶことがある。余接束を M から R への関数の 1-jet の束として定義することもできる。
余接空間の元を無限小の変位と考えることができる。f が微分可能な関数であれば、各点 p において余接ベクトル dfp を定義することができる。これは接ベクトル Xp を Xp に伴う f の微分に送る。しかしながら、すべての余ベクトル場がこのように表現できるわけではない。そのようにできるものを完全微分形と呼ぶ。与えられた局所座標 x の集合に対し、微分 dx kp は p における余接空間の基底を成す。
擬群の概念 は様々な異なる構造を統一的な方法で多様体に定義できるようにするためにアトラスの柔軟な一般化を提供する。擬群 (pseudogroup) は位相空間 S 集合 Γ からなる。Γ は S の開部分集合から S の他の開部分集合への同相写像で以下を満たすものからなる
f ∈ Γ で U が f の定義域の開部分集合であれば、制限 f|U も Γ に入る。
f が S の開部分集合の合併 ∪ i U i {\displaystyle \cup _{i}\,U_{i}} から S の開部分集合への同相写像であれば、すべての i に対して f | U i ∈ Γ {\displaystyle f|_{U_{i}}\in \Gamma } であれば f ∈ Γ となる。
すべての開集合 U ⊂ S に対して、U の恒等変換は Γ に入る。
f ∈ Γ であれば、f ∈ Γ である。
Γ の 2 つの元の合成は Γ の元である。
最後の3つの条件は群の定義と類似している。
枠(あるいはより正確には接枠 (tangent frame/接標構))は特定の接空間の順序付き基底である。同様に、接枠は R からこの接空間への線型同型写像である。動く接枠は定義域の各点での基底を与えるベクトル場の順序付きリストである。動く枠を枠束 F(M) 、M 上のすべての枠からなる集合からなる GL(n, R) 主束、の断面と見なすこともできる。M 上のテンソル場を F(M) 上の同変(英語版)ベクトル値関数と見なすことができるので、枠束は有用である。