ラグランジュの定理 (群論)
a 1 H = { a 1 h 1 , a 1 h 2 , a 1 h 3 , ⋯ , a 1 h m } , a 2 H = { a 2 h 1 , a 2 h 2 , a 2 h 3 , ⋯ , a 2 h m } , a 3 H = { a 3 h 1 , a 3 h 2 , a 3 h 3 , ⋯ , a 3 h m } , ⋯ a k H = { a k h 1 , a k h 2 , a k h 3 , ⋯ , a k h m } , G / H = { a 1 H , a 2 H , a 3 H , ⋯ , a k H } , G = a 1 H ∪ a 2 H ∪ a 3 H ∪ ⋯ ∪ a k H ( i ≠ j ⇒ a i H ∩ a j H = ∅ ) .
有限群 G の部分群 H を {h1, h2, ..., hm} とすると、
H = { h 1 , h 2 , h 3 , ⋯ , h m } . {\displaystyle H=\{h_{1},h_{2},h_{3},\cdots ,h_{m}\}.}
左剰余類 aH は {ah1, ah2, ah3, ..., ahm} に等しくなるので、
a H = { a h 1 , a h 2 , a h 3 , ⋯ , a h m } . {\displaystyle aH=\{ah_{1},ah_{2},ah_{3},\cdots ,ah_{m}\}.}
このとき、H の要素 h に ah を対応させる写像を f:H → aH とすると、f(hi) = f(hj) ⇔ ahi = ahj のとき、左から a を掛けて、hi = hj となるので、写像 f は単射になる。
写像 f は H を aH に写すから f は全射となるので、全単射になる。したがって、 H と aH とは同じ個数の要素を待つから、|H| = |aH| = m となる。
したがって、G の H による類別を考えると、以下のようになる。
群 G の要素 x, y に関して、群 G の部分群 H の要素 h を用いて、x = yh となるとき、x ~ y と定義する。G の単位元を e とすると、H は部分群だから e ∈ H であり、x = xe となるので、x ~ x である。h ∈ H のとき、H は部分群だから h ∈ H となるので、x ~ y のとき、x = yh ⇔ xh = y となり y ~ x である。x, y, z ∈ G に関して、x ~ y, y ~ z ならば x = yh1, y = zh2 (h1, h2 ∈ H) だから x = (zh2)h1 = z(h2h1) となる。H は部分群なので、h2h1 ∈ H となるから x ~ z である。したがって、~ は同値関係になる。