バナッハ空間
任意の内積には対応するノルムが付随し(ノルムと内積との対応は ǁvǁ2 = (v,v) で与えられる)、内積に付随するノルムに関して完備な内積空間はヒルベルト空間と呼ばれるから、任意のヒルベルト空間は定義によりバナッハ空間であるが、逆は必ずしも真でない。バナッハ空間 V のノルム ǁ•ǁ が内積に付随する(従って V がヒルベルト空間になる)ための必要十分条件は、中線定理(平行四辺形法則):
‖ u + v ‖ 2 + ‖ u − v ‖ 2 = 2 ( ‖ u ‖ 2 + ‖ v ‖ 2 ) {\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2})}
を任意の u, v ∈ V に対して満たすことである。故に、例えば R がその上で定義される「任意の」ノルムに関してバナッハであるのと対照的に、ヒルベルトとなるのはユークリッドノルムに関してのみということになる。同様に無限次元の場合、例えばルベーグ空間 L は常にバナッハだがヒルベルトとなるのは p = 2 の場合に限る。
バナッハ空間のノルムが中線定理の等式を満たすとき、バナッハ空間をヒルベルトとする内積は偏極恒等式(極化形式)によって与えられる。V が実バナッハ空間のとき、偏極恒等式は