チェビシェフ多項式
第1種チェビシェフ多項式 T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} は区間 ( − 1 , + 1 ) {\displaystyle (-1,+1)} に n {\displaystyle n} 個の零点を持つ。その座標は
x k = cos  2 k + 1 2 n π ( k = 0 , 1 , ... , n − 1 ) {\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {2k+1}{2n}}\pi \quad (k=0,1,\dots ,n-1)}
である。これをチェビシェフノード(英語版)と呼ぶ。
T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} ( n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ) は区間 [ − 1 , + 1 ] {\displaystyle [-1,+1]} に n + 1 {\displaystyle n+1} 個の極値点を持ち(そのうちの二点は区間の両端)、その座標は
x k ′ = cos  k π n ( k = 0 , 1 , ... , n ) {\displaystyle x'_{k}=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad (k=0,1,\dots ,n)}
である。またその極点値は T n ( x k ′ ) = ( − 1 ) k {\displaystyle T_{n}(x'_{k})=(-1)^{k}} を満たす。従ってチェビシェフ多項式の区間 [ − 1 , + 1 ] {\displaystyle [-1,+1]} での一様ノルムは 1 {\displaystyle 1} である。
第一種チェビシェフ多項式(英: Chebyshev polynomials of the first kind)は、以下の式で定義される:
T n ( x ) = cos  ( n t ) , {\displaystyle T_{n}(x)=\cos(nt),} ただし x = cos t
これは三角多項式(trigonometric polynomial)、直交多項式の一例である。
これはcos(kt)をコサインの加法定理を用いてcos(t)の多項式で表したものと見ることができる。
cos  1 t = cos  t , cos  2 t = 2 cos 2  t − 1 , cos  3 t = 4 cos 3  t − 3 cos  t , ... {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 1t&=\cos t,\\\cos 2t&=2\cos ^{2}t-1,\\\cos 3t&=4\cos ^{3}t-3\cos t,\dots \end{aligned}}}
従って、以下の式を得る。
T 0 ( x ) = 1 , T 1 ( x ) = x , T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 , T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x , .