アインシュタインテンソル
リッチテンソルは計量テンソルのみにより与えられるので、アインシュタインテンソルは計量テンソルから直接的に定義することができる。しかしながら、この表現は煩雑で、教科書でも具体的に与えられることは稀である。まずは、クリストッフェル記号を用いて表すと、
G α β = R α β − 1 2 g α β R = R α β − 1 2 g α β g γ ζ R γ ζ = ( δ α γ δ β ζ − 1 2 g α β g γ ζ ) R γ ζ = ( δ α γ δ β ζ − 1 2 g α β g γ ζ ) ( Γ γ ζ , ε ε − Γ γ ε , ζ ε + Γ ε σ ε Γ γ ζ σ − Γ ζ σ ε Γ ε γ σ ) {\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma _{\gamma \zeta ,\epsilon }^{\epsilon }-\Gamma _{\gamma \epsilon ,\zeta }^{\epsilon }+\Gamma _{\epsilon \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\gamma \zeta }^{\sigma }-\Gamma _{\zeta \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\epsilon \gamma }^{\sigma })\end{aligned}}}
微分幾何学において、アインシュタインテンソル(英: Einstein tensor)とは、擬リーマン多様体の曲率を表現することに用いられる。アルベルト・アインシュタインの名前に因み、逆トレースリッチテンソルとしても知られている。アインシュタインテンソルは一般相対論において基本的な物理量であり、その基礎方程式であるアインシュタイン方程式に現れる。これは、エネルギー・運動量の保存則と整合するように時空の曲率を用いて重力を記述するものである。