モンストラス・ムーンシャイン
リチャード・ボーチャーズによるコンウェイ-ノートン予想の証明は、次の主要なステップに分けることができる。
頂点作用素代数 V、自己同型による M の作用、次数次元 j から始める。これはムーンシャイン加群によって得られ、モンスター頂点代数やモンスターVOAと呼ぶ。
モンスターリー代数(英語版)と呼ばれるリー代数 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} を、量子化函手を使い V から構成する。このリー代数は、自己同型によるモンスター作用を持つ一般カッツ・ムーディリー代数である。 弦理論のゴダード・ソーンの「ノーゴースト」定理(英語版)(Goddard–Thorn "no-ghost" theorem)を用いると、根の重複度が j の係数であることがわかる。
小池・ノートン・ザギエ無限乗積恒等式を使い、生成子と関係から一般カッツ・ムーディリー代数を構築する。この恒等式は j にヘッケ演算子(英語版)を適用すると j の多項式が導かれることを用いて証明される。
根の重複度を比較することにより、2つのリー代数が同型であることが分かる。
コンウェイとノートンは、1979年の論文でムーンシャイン現象はモンスター群に限らず、同様の現象が他の群でも起こりうることを示唆した。1980年に、ラリッサ・クイーン(Larissa Queen)らは実際に、散在群(英語版)の次元の単純な組み合わせから多くの Hauptmodul の展開 (マッカイ・トンプソン級数 Tg) を構成することができることを発見した。
T1A モンスター群(Monster group) M
T2A ベビーモンスター(英語版)(Baby monster) F2
T3A フィシャー群(英語版)(Fischer group) Fi23, Fi24
T3C トンプソン群(英語版)(Thompson group) Th = F3
T4A コンウェイ群(英語版)(Conway group) Co1, Co2, Co3
T4A マクローリン群(英語版)(McLaughlin) McL
T5A 原田・ノートン群(英語版)(Harada-Norton group) HN = F5
T6A フィシャー群(英語版)(Fischer group) Fi22
T7A ヘルド群(英語版)(Held group) He = F7
T10A ヒグマン・シムス群(英語版)(Higman-Sims group) HS
f(g,h,τ) が j に比例することと、g = h = 1 とは同値である。
この予想は、コンウェイ-ノートン予想の一般化である。その理由は、ボーチャーズの定理は g が恒等元の場合に対応するためである。今日まで、この予想は未解決である。
1988年に、ディクソンらは、コンウェイ-ノートン予想のように、一般ムーンシャイン予想もまた物理的な解釈を持つと提案した。ディクソンらはベクトル空間 V(g) をモンスター対称性を持った共形場理論のツイストしたセクターとして解釈し、また、函数 f(g,h,τ) を種数 1 を分配函数として解釈した。この解釈では、ツイストされた境界条件に沿って貼り合わせることでトーラスを作ることができる。数学のことばでは、ツイストしたセクターは既約なツイストした加群であり、分配函数は主モンスターバンドルを持つ楕円曲線に対応し、このバンドルの同型タイプは 1-サイクルの基底、つまり可換な元のペアに沿ったモノドロミーにより記述される。