物質微分
スカラー場 φ ( x , t ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)} の物質微分は直観的には流れに乗って動く物体から見た場合における φ ( x , t ) {\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)} の変化率を表す。(ベクトル場の場合も同様)。 実際、位置のグラフ u ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}(t)} で記述される質点の軌道は速度場 v ( x , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}},t)} にそっているので、
d u d t = v ( u , t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {u}},t)}
となるから(なお、この性質を満たす u ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {u}}(t)} を流跡線という)、ライプニッツ則から
定常流はすべての物理量のオイラー描像的時間変化率が ∂ / ∂ t = 0 {\displaystyle {\partial /\partial t}=0} となる流れであるが、ラグランジュ描像的時間変化率が D / D t = 0 {\displaystyle {\mathrm {D} /\mathrm {D} t}=0} となるとは限らないことに注意すべきである。
一つの流線に着目する。流線上のある点からの道のりを s {\displaystyle s} 、流線の単位接ベクトルを e s {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{s}} と表す。速度ベクトルは流線に接しているので、定常流における物質微分は