ゲーデルの加速定理
ここから ProvablePA(φ) を得る。他方で ¬φ に形式化されたΣ1完全性を適用すれば ProvablePA(¬φ) を得る。ここに形式化されたモーダス・ポネンスを適用すれば ProvablePA(⊥) すなわち ¬Con(PA) を得る。公理 Con(PA) とモーダス・ポネンスによって矛盾 ⊥ を得る。背理法によって(仮定なしで) φ を得る。
以上の議論におけるペアノ算術は、別のより強い無矛盾な体系に置き換えられる。またグーゴルプレックスもその体系で(短く)記述できる別の任意の数字に置き換えられる。
ハービー・フリードマンは上のような性質を満たすような明示的で自然な例をいくつか見つけた。それはペアノ算術やほかの形式的体系における文であり、その最短の証明は非常に長い。例えば、以下の主張
「ある自然数 n {\displaystyle n} が存在して、もし根付き木からなる列 T 1 , ... , T n {\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}} で T k {\displaystyle T_{k}} が高々 k + 10 {\displaystyle k+10} 頂点からなるとき、 ある木はそれより後の木へ同相的に埋め込める(英語版)」