代数的構造
一つの演算によって決まる代数的構造 マグマ: 一つの二項演算の定義された集合。 準群: a × x = b、y × a = b であるような x と y が一意に決まるマグマ ループ: 単位元 e を持つ準群。任意の元が左および右逆元を持つマグマとも言える。 半群: 結合法則を満たすマグマ モノイド: 単位元を持つ半群 群: 任意の元が逆元を持つモノイド、もしくは結合法則を満たすループ アーベル群: 可換な群
二つの演算によって決まる代数的構造 環: 加法に関してアーベル群であり、乗法に関して半群(またはモノイド)であり、分配法則を満たす。 体: 0 でない元が乗法に関して群(またはアーベル群)をなす環
演算と作用によって決まる構造 環上の加群: 環の作用するアーベル群 ベクトル空間: 体上の加群 算法や二項演算の項に記す通り、加群やベクトル空間などにいて環や体が与える外部的な作用も適当な方法で内部的な 1 項算法(単項算法)と捉えなおすことができるので、加群やベクトル空間やほかにも同様に作用域を持つ構造である多元環などが、群や環と同様のもの(多くの演算によって決まる構造)として統一的に論ずることもできる。