微分方程式
未知関数 f(x) のk 階の導関数を yk(x) として (k = 0,..., n − 1)、以下の一組の微分方程式を得る。
{ d d x y k − 1 ( x ) = y k ( x ) , k = 1 , ... , n − 1 d d x y n − 1 ( x ) = g 0 ( x ) − ∑ k = 0 n − 1 g k + 1 ( x ) y k ( x ) {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y_{k-1}(x)=y_{k}(x),\quad k=1,\dots ,n-1\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y_{n-1}(x)=g_{0}(x)-\sum _{k=0}^{n-1}g_{k+1}(x)y_{k}(x)\end{cases}}}
この微分方程式は、より一般的に、ベクトルと行列の記法を用いて
d d x y ( x ) = A ( x ) y ( x ) + b ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathbf {y} (x)=A(x)\mathbf {y} (x)+\mathbf {b} (x)}
と書くことができる。ここで y は未知関数 y0,..., yn−1 を成分に持つベクトル、A は既知関数 {aij}i,j=0,...,n−1 を成分に持つ n × n の行列、b は既知関数 b0,..., bn−1 を成分に持つベクトルである。
一階の線型斉次常微分方程式の中で最も基本的な方程式として次のものがある。
d y ( x ) d x = y ( x ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y(x)}{\mathrm {d} x}}=y(x).}
一般の線形微分方程式を解く際も、まずこの種の斉次微分方程式に帰着させるため、この方程式は微分方程式の解法を調べる上で基本的な役割を果たす。 この方程式の解はよく知られているように指数関数となる。
y ( x ) = C e x . {\displaystyle y(x)=C\mathrm {e} ^{x}.}
ここで C は任意定数である。解法は脚注にて紹介する。
指数関数の有用な性質として、微分作用素を別の定数や関数に置き換えられることが挙げられる。係数が定数の斉次方程式