リーマン予想
リーマン予想は、上記の素数計数関数に加えて、他の多くの数論的関数の増大に関する強い上界も導く。
1つの例はメビウス関数 μ に関するものである。等式
1 ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( n ) n s {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}
が、実部が 1/2 よりも大きいすべての s に対して右辺の和が収束して成り立つという主張は、リーマン予想と同値である。このことから次のことも結論できる:Mertens 関数(英語版)を
M ( x ) = ∑ n ≤ x μ ( n ) {\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}
によって定義すると、すべての ε > 0 に対して
M ( x ) = O ( x 1 2 + ε ) {\displaystyle M(x)=O(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon })}
が成り立つという主張は、リーマン予想と同値である(これらの記号の意味については、ランダウの記法を参照)。order n の Redheffer 行列(英語版)の行列式は M(n) に等しいので、リーマン予想はこれらの行列式の増大に関する条件としても述べることができる。
の定数倍であり、このアプローチでは
ξ ( s ) ξ ( 0 ) = det ( H + s ( s − 1 ) + 1 4 ) det ( H + 1 4 ) . {\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det \left(H+s(s-1)+{\frac {1}{4}}\right)}{\det \left(H+{\frac {1}{4}}\right)}}.}
有限体上のリーマン予想との類似は、零点と対応する固有ベクトルを含むヒルベルト空間は整数のスペクトル Spec(Z) のある種の1次コホモロジー群かもしれないと示唆する。Deninger (1998) はそのようなコホモロジー論を見つける試みのいくつかを記述した (Leichtnam 2005)。
Zagier (1981) はラプラス作用素の下でリーマンゼータ関数の零点に対応する固有値をもつ上半平面上の不変関数の自然な空間を構成した。そして、この空間上の適切な正定値内積の存在を示すというありそうもないイベントにおいてリーマン予想が従うことを注意した。Cartier (1982) は関連した例を議論した。奇妙なバグによってコンピュータープログラムが同じラプラス作用素の固有値としてリーマンゼータ関数の零点をリストするのである。
Schumayer & Hutchinson (2011) はリーマンゼータ関数に関連した適切な物理模型を構成する試みのいくつかをサーベイした。
が従う、ただし π(x) は素数計数関数であり、log(x) は x の自然対数である。
Schoenfeld (1976) はまた、リーマン予想から
| ψ ( x ) − x | < 1 8 π x log 2  ( x ) , for all x ≥ 73.2 {\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\log ^{2}(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 73.2}
が従うことを示した。ここで ψ(x) は 第二チェビシェフ関数である。
Dudek (2014) はリーマン予想から次が従うことを示した:任意の x ≥ 2 に対して、ある素数 p が存在して、
x − 4 π x log  x < p ≤ x {\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\,\log x<p\leq x}
が成り立つ。これはクラメルの定理の明示的なバージョンである。
リーマン予想が偽ならば、 D → − ∞ {\displaystyle D\rightarrow -\infty } のとき h ( D ) → ∞ {\displaystyle h(D)\rightarrow \infty } である。
定理 (Heilbronn; 1934). 一般 Riemann 予想がある虚二次 ディレクレ指標の L 関数に対して偽ならば、 D → − ∞ {\displaystyle D\rightarrow -\infty } のとき h ( D ) → ∞ {\displaystyle h(D)\rightarrow \infty } である。
(Hecke と Heilbronn の仕事において、現れる L 関数は虚二次指標に付随するものだけであり、それは一般リーマン予想が真であるあるいは一般リーマン予想が偽であることが意図されているのはそれらの L 関数に対してのみである。ある三次のディレクレ指標の L 関数に対して一般 リーマン予想が成り立たなければ、一般リーマン予想は成り立たないが、これは Heilbronn が考えていたような一般リーマン予想の不成立ではなく、したがって彼の仮定は単に一般リーマン予想が偽であるというものよりも限定されていた。)
1935年、Carl Siegel はリーマン予想や一般リーマン予想を全く用いずに結果を強化した。
Pál Turán (1948) は次のことを示した。関数
∑ n = 1 N n − s {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}}
が s の実部が 1 よりも大きいときに零点をもたないならば、
T ( x ) = ∑ n ≤ x λ ( n ) n ≥ 0 for x > 0 {\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0}
となる。ここで λ(n) はリュービル関数(英語版)で、n が r 個の素因子をもつとき (−1) によって与えられる。彼はこのことからリーマン予想が真であることが導かれると示した。
しかしながら、Haselgrove (1958) は T(x) は無限個の x で負であること示し(また密接に関連したポリア予想も反証し)、Borwein, Ferguson & Mossinghoff (2008) は最小のそのような x は 72185376951205 であることを示した。Spira (1968) は数値計算によって、上の有限ディリクレ級数が N = 19 のときに実部が 1 よりも大きい零点をもつことを示した。トゥランはまた、いくぶん弱い仮定、すなわち上の有限ディリクレ級数で大きい N に対して実部が 1+N よりも大きい零点が存在しないことが、リーマン予想を導くことを示したが、Montgomery (1983) はすべての十分大きい N に対してこれらの級数は実部が 1 + log (log N)/4 log N よりも大きい零点をもつことを示した。したがって、トゥランの結果は自明に正しく(英語版)、リーマン予想の証明のためには使えない。
Hardy (1914) と Hardy & Littlewood (1921) は、ゼータ関数に関連したある関数のモーメントを考えることによって、臨界線上には零点が無限個存在することを証明した。Selberg (1942) は、少なくとも(小さい)正の割合の零点は臨界帯上にあることを証明した。Levinson (1974) は、ゼータ関数の零点をゼータ関数の導関数の零点と関連付けることで、それを 1/3 に改善し、Conrey (1989) はさらに 2/5 に改善した。