空間 (数学)
幾つかの一次元部分空間はこのアフィン空間において平行となるが、適当な意味でこれらは無限遠において交わると考えることができる。(n + 1)-次元線型空間の一次元線型部分空間の全体の成す集合は、定義により、n-次元射影空間を成す。前の如く n-次元アフィン空間を選べば、そのアフィン空間をこの射影空間の真の部分集合として埋め込めることがわかる。しかし、射影空間それ自体は等質でない。射影空間内の直線は定義により、もとの (n + 1)-次元線型空間の二次元線型部分空間に対応する。
このやり方で定義されたアフィン空間と射影空間は、代数的な性質のものであって、実数体または複素数体あるいはもっと一般の体上で定義することができる。
任意の実(または複素)アフィンまたは射影空間は位相空間でもある。アフィン空間は非コンパクトな位相多様体であり、射影空間はコンパクトな位相多様体である。
函数は重要な数学的対象であり、普通は無限次元の空間を成す。このことは既にリーマンが指摘していたことであり、20世紀には函数解析学によって精緻化されている。
n-個の複素数によってパラメータ付けられる対象は、複素 n-次元空間の点として扱うことができるが、同じものを(複素数の実部と虚部を考えて)2n-個の実数によってパラメータ付けすることもできるから、実 2n-次元空間の点と考えることもできる。従って、複素次元は実次元とは異なる概念である。実は、これらは氷山の一角である。「代数的」な次元の概念は線型空間に対して適用することができるし、「位相的」な次元の概念は位相空間に対して考えることができる。また、距離空間に対するハウスドルフ次元の概念は、(特にフラクタルに対して)非整数値を取りうる。あるいは(測度空間などの)ある種の空間では、次元の概念を全く考えることができないこともある。
ユークリッドによって研究されていたような「空間」は、今日では「三次元ユークリッド空間」と呼ばれている。その公理化は紀元前3世紀のユークリッドに始まり、20世紀になってからヒルベルト、タルスキー、バーコフらによって完全に解決された。
標準可測空間(標準ボレル空間)は特に有用である。ユークリッド空間(あるいはもっと一般に完備可分距離空間)における、任意のボレル集合(特に任意の閉集合および開集合)は、標準可測空間である。任意の非可算標準可測空間は互いに同型になる。
測度空間は測度を備えた可測空間のことをいう。例えば、ユークリッド空間にルベーグ測度を考えたものは測度空間になる。積分論では、測度空間上の可測写像の可積分性や積分が定義される。
測度論において零集合と呼ばれる測度 0 の集合は無視できる。これに従い、全測度な(つまり補集合が無視できる)部分集合の間の同型として、「mod 0 同型」が定義される。
確率空間は、全空間の測度が 1 に等しい測度を備えた測度空間である。確率空間の(有限または無限)族の直積は、ふたたび確率空間となる。これは一般の測度空間を考えた場合には有限積のみが定義されることと対照的である。これにより、無限次元確率測度(特にガウス測度)が無数に存在することがわかるが、無限次元ルベーグ測度は存在しない。
標準確率空間は特に有用である。標準可測空間上の任意の確率測度は標準確率空間を導く。標準確率空間の(有限または無限)列の直積は、ふたたび標準可測空間を与える。すべての分解可能 (non-atomic) 標準確率空間は互いに mod 0 同型であり、その一つは区間 (0, 1) 上でルベーグ測度を考えることによって与えられる。
これらの空間はあまり幾何学的ではない。特に、他の空間では適当な方法で考えられる次元の概念が可測空間、測度空間および確率空間に対しては適用されない。
ユークリッド空間におけるベクトルの全体は線型空間を成すが、さらに各ベクトル x は「長さ」、つまりノルム ‖x‖ を持つ。ノルムを備えた(実または複素)線型空間はノルム空間と呼ばれる。任意のノルム空間は、位相線型空間でも距離空間でもある。完備なノルム空間はバナッハ空間という。多くの数列空間や函数空間が無限次元のバナッハ空間を成す。
ノルムが 1 より小さいベクトル全体の成す集合はノルム空間の単位球体と呼ばれる。これは凸かつ点対称な集合で一般には楕円体でない(例えば、平面上である種のノルムを考えたとき、その単位球体は多角形になりうる)。ノルム空間において、中線定理 ‖x − y‖ + ‖x + y‖ = 2‖x‖ + 2‖y‖ は一般には成立しない。これがユークリッド空間のベクトルに対しては成立するのは、ユークリッド空間において、各ベクトルのユークリッドノルムの平方が同ベクトル二つの内積に一致するという事実による。
古い時代の数学では「空間」は日常生活において観察される三次元空間の幾何学的抽象化であった。ユークリッド(紀元前300年頃)以来、公理的手法を主要な道具とした研究が行われていた。デカルトにより、座標を用いる方法(解析幾何学)が導入されるのは1637年のことである。このころは幾何学の定理というものは、自然科学における主題同様に、直観と理屈を通して知ることのできる絶対的で実在の真実として扱われていたし、公理というものは定義の言外において疑いようのない事実として扱われていた。
幾何学的な図形の間に、合同と相似という二種類の同値関係が考えられた。平行移動、回転変換、鏡映変換などは図形をそれと合同な図形にうつし、相似変換(拡大縮小)は図形をそれと相似な図形へうつす。例えば、円はどれも互いに相似だが、楕円は円と相似でない。モンジュが1795年に画法幾何学(射影幾何学)によって導入した第三の同値関係は、射影変換に対応するもので、楕円も抛物線も双曲線も適当な射影変換の下で円に写されるから、これらはすべて射影的に同値な図形ということになる。
ユークリッド幾何と射影幾何との関係は、数学的対象がその「構造によって」与えられるものではないということを示すものになっている。それどころか、各数学理論は、その対象が持つ「ある種の」性質によって(正確には、それらが満たす理論の基礎となる公理によって)記述されるのである。
射影幾何の公理には、距離や角度といったものは述べられていないから、従って射影幾何学の定理にそれらが現れることもない。故に「三角形の内角の和はいくらか」という問いはユークリッド幾何学では意味を持つが射影幾何学においてはまったく意味を成さない。
19世紀には別な状況が現れる。