階差数列
逆に m ≠ −1 のとき k = 1, 2, ..., n − 1 について加えると
∑ k = 1 n − 1 k ⟨ m ⟩ = 1 m + 1 ( n ⟨ m + 1 ⟩ − 1 ⟨ m + 1 ⟩ ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k^{\langle m\rangle }={\frac {1}{m+1}}(n^{\langle m+1\rangle }-1^{\langle m+1\rangle })}
を得る。特に m ≥ 1 のとき k を展開することにより、冪和 Si(n) に関する関係式
( n + 1 ) ⟨ m + 1 ⟩ m + 1 = S m ( n ) − m ( m − 1 ) 2 S m − 1 ( n ) + ⋯ + ( − 1 ) m − 1 ( m − 1 ) ! S 1 ( n ) {\displaystyle {\frac {(n+1)^{\langle m+1\rangle }}{m+1}}=S_{m}(n)-{\frac {m(m-1)}{2}}S_{m-1}(n)+\cdots +(-1)^{m-1}(m-1)!S_{1}(n)}
が得られる。