四平方定理
s 1 2 + s 2 2 ≡ k − ( k + 1 ) = − 1 ( mod p ) s 1 2 + s 2 2 + 1 2 + 0 2 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle {\begin{aligned}&s_{1}^{2}+s_{2}^{2}\equiv {k-(k+1)}=-1\;(\operatorname {mod} \;p)\\&s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+1^{2}+0^{2}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p)\\\end{aligned}}}
となる s 1 , s 2 {\displaystyle s_{1},s_{2}} が存在する。いずれにしても、
s 1 2 + s 2 2 + s 3 2 + s 4 2 = f p {\displaystyle s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}+s_{4}^{2}=fp}
は解を持つ。その解の中で f {\displaystyle f} が最小になるものを選ぶと f = 1 {\displaystyle f=1} であることを証明する。 f > 1 {\displaystyle f>1} を逆に仮定して背理法を用いる。 f {\displaystyle f} が偶数であれば、 s 1 , s 2 , s 3 , s 4 {\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}} の順序を適当に選ぶと s 1 ± s 2 {\displaystyle {s_{1}}\pm {s_{2}}} と s 3 ± s 4 {\displaystyle {s_{3}}\pm {s_{4}}} が共に偶数になり、
自然数を高々四個の平方数の和で表す方法の数は、ヤコビの四平方定理
r 4 ( N ) = 8 ∑ 4 ∤ d ∣ N d {\displaystyle r_{4}(N)=8\sum _{4{\nmid }d{\mid }N}d}
によって与えられる。但し、シグマ記号は4で整除されないNの約数(1とNを含む)について和を取ることを表す。例えば、
r 4 ( 12 ) = 8 ( 1 + 2 + 3 + 6 ) = 96 {\displaystyle r_{4}(12)=8\left(1+2+3+6\right)=96}
であるが、実際に12を高々四個の平方数の和で表す方法は