置換行列
m 文字の置換 π, σ が与えられたとき、対応する(列ベクトルに作用する)置換行列 Pπ, Pσ の積は、置換の合成に対応する置換行列に等しい。つまり
P σ P π = P σ ∘ π {\displaystyle P_{\sigma }P_{\pi }=P_{\sigma \circ \pi }}
が成り立つ。ただし、置換行列との対応を行ベクトルに対する作用に関して定める(つまり、Pπ ≔ (δi,π(j)))ならば、積の規則は反変的に、つまり
P σ P π = P π ∘ σ {\displaystyle P_{\sigma }P_{\pi }=P_{\pi \circ \sigma }}
になる。置換行列は直交行列、つまり PπPπ = I ゆえ、逆行列は
P π − 1 = P π − 1 = P π ⊤ {\displaystyle P_{\pi }^{-1}=P_{\pi ^{-1}}=P_{\pi }^{\top }}
で得られる。Pπ を列ベクトル g に左から掛けるとベクトルに対する行の置換を引き起こす:
P π g = [ e π ( 1 ) e π ( 2 ) ⋮ e π ( n ) ] [ g 1 g 2 ⋮ g n ] = [ g π ( 1 ) g π ( 2 ) ⋮ g π ( n ) ] {\displaystyle P_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{\pi (1)}\\g_{\pi (2)}\\\vdots \\g_{\pi (n)}\end{bmatrix}}}
m 文字の置換:
π : { 1 , ... , m } → { 1 , ... , m } {\displaystyle \pi \colon \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace }
あるいは二行記法で書けば
[ 1 2 ⋯ m π ( 1 ) π ( 2 ) ⋯ π ( m ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&\cdots &m\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (m)\end{bmatrix}}}
が与えられたとき、対応する置換行列(m-次元列ベクトルに作用するもの)は、ej を j-番目の成分が 1, それ以外の成分が 0 の行ベクトルと定義して
P π = [ e π ( 1 ) e π ( 2 ) ⋮ e π ( m ) ] {\displaystyle P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (m)}\end{bmatrix}}}
で与えられる m×m-行列 Pπ を言う。これは、各 i について (i, π(i))-成分のみが例外的に 1 で、ほかの成分は全て 0 になる。