マルチンケーヴィッチの定理
実際、 ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} 上の関数 1 / x {\displaystyle 1/x} と 1 / ( 1 − x ) {\displaystyle 1/(1-x)} の和のノルムは 2 ではなく 4 であることについて考えれば分かるが、弱ノルムは三角不等式を満たさない。)
任意の L 関数は L に属し、次の不等式が成り立つ。
‖ f ‖ 1 , w ≤ ‖ f ‖ 1 . {\displaystyle \|f\|_{1,w}\leq \|f\|_{1}.}
これはマルコフの不等式(チェビシェフの不等式としても知られる)に他ならない。この逆は真ではない。例えば、関数 1/x は L に属すが、L には属さない。
同様に、 | f | p {\displaystyle |f|^{p}} が L に属すような関数 f の空間として弱 L p {\displaystyle L^{p}} 空間を定義することが出来る。このとき弱 L p {\displaystyle L^{p}} ノルムは次で定義できる。
‖ f ‖ p , w = ‖ | f | p ‖ 1 , w 1 / p . {\displaystyle \|f\|_{p,w}=\|\,|f|^{p}\|_{1,w}^{1/p}.}
より具体的に、L ノルムは、任意の t > 0 に対して次の不等式を満たす最小の C で定義される。
λ f ( t ) ≤ C p t p . {\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}.}