レイリー・プレセット方程式
質量保存の法則により、半径方向の外向きの速度 u ( r , t ) {\displaystyle u(r,t)} は気泡中心からの距離の2乗に反比例するという逆2乗の法則が要求される。 すなわち、 F ( t ) {\displaystyle F(t)} を何らかの時間の関数として、
u ( r , t ) = F ( t ) r 2 {\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}}
と表わせる。
気泡表面での質量輸送が無い場合には、表面の速度は
u ( R , t ) = d R d t = F ( t ) R 2 {\displaystyle u(R,t)={\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}}
とならなくてはならないので、 F ( t ) {\displaystyle F(t)} は
F ( t ) = R 2 d R d t {\displaystyle F(t)=R^{2}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}}
と求められる。
質量輸送が起こる場合には、気泡内部の質量増加率は
すると質量保存 d m v / d t = d m L / d t {\displaystyle \mathrm {d} m_{v}/\mathrm {d} t=\mathrm {d} m_{L}/\mathrm {d} t} から、 u L = ( ρ V / ρ L ) d R / d t {\displaystyle u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})\mathrm {d} R/\mathrm {d} t} であるから、
u ( R , t ) = d R d t − u L = d R d t − ρ V ρ L d R d t = ( 1 − ρ V ρ L ) d R d t {\displaystyle u(R,t)={\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}-u_{L}={\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}}