中心極限定理
中心極限定理は特性関数(とレヴィの連続性定理)を用いることにより証明できる。
{X1, ..., Xn} を独立同分布に従う確率変数とする。分布の平均を μ、分散を σ とする。ここで部分和 Sn = X1 + ... + Xn を考えると、その平均と分散はそれぞれ nμ, nσ となる。ここで確率変数
Z n = S n − n μ n σ 2 = ∑ j = 1 n X j − μ n σ 2 = 1 n ∑ j = 1 n Y j {\displaystyle Z_{n}={\frac {S_{n}-n\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{j}-\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{j=1}^{n}Y_{j}}
を考える。最後の式では、平均 0、分散 1 の新しい確率変数 Yj = (Xj − μ)/σ を定義した。 ここで、Zn の特性関数は、独立性より積の期待値は期待値の積になるため、
φ Z n ( t ) ≡ E  [ exp  ( i t Z n ) ] = E  [ ∏ j = 1 n exp  ( i t Y j n ) ] = ∏ j = 1 n E  [ exp  ( i t Y j n ) ] = ( φ Y 1 ( t n ) ) n {\displaystyle \varphi _{Z_{n}}(t)\equiv \operatorname {E} [\exp(itZ_{n})]=\operatorname {E} \left[\prod _{j=1}^{n}\exp \left({\frac {itY_{j}}{\sqrt {n}}}\right)\right]=\prod _{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[\exp \left({\frac {itY_{j}}{\sqrt {n}}}\right)\right]=\left(\varphi _{Y_{1}}\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\right)^{n}}
より一般化された確率理論(コルモゴロフの公理)では、中心極限定理は弱収束理論 (weak-convergence theories) の一部となる。それによると、独立同分布 (i.i.d.) に従う確率変数の分散(2次の中心モーメント)が有限な場合は「確率変数の和の確率分布」は変数の数が多くなるに従い正規分布に収束するが、確率変数が従う分布の裾が |x|(ただし 0 < α < 2)のべき乗で減衰する場合(分布の裾が厚くなり分散は無限大に発散して)(正規分布には収束せず)特性指数 α の安定分布に収束する。
※なお安定分布は特性指数が 0 < α < 2 のとき分散は無限大となり、分布の裾が冪乗則に従うファットテールを有する。