平方完成
1変数の二次式の平方完成を踏まえて、一般の n 変数二次式に対しても、平方完成ができる。例えば二変数なら
a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f ( a b c ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f\quad (abc\neq 0)}
である。これは二次形式
( x y ) ( a b 2 b 2 c ) ( x y ) + ( x y ) ( d e ) + f ( a b c ≠ 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {b}{2}}\\{\frac {b}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}}+f\quad (abc\neq 0)}
の形で書ける。
別の例として、a, b, x, y を実数とするとき、
a x 2 + b y 2 {\displaystyle ax^{2}+by^{2}}
は、a > 0, b > 0 のとき、複素数の絶対値の平方を用いて書くことができる。実際に、 z = a x + i b y {\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y} と置けば
| z | 2 = z z ∗ = ( a x + i b y ) ( a x − i b y ) = a x 2 + b y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&=zz^{*}\\&=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&=ax^{2}+by^{2}\end{aligned}}}
となる。
複二次式
x 4 + 324 {\displaystyle x^{4}+324}
を因数分解することを考える。この式は ( x 2 ) 2 + 18 2 {\displaystyle (x^{2})^{2}+18^{2}} と見ることができるから、中間項 2(x)(18) = 36x を考え、
x 4 + 324 = ( x 4 + 36 x 2 + 324 ) − 36 x 2 = ( x 2 + 18 ) 2 − ( 6 x ) 2 = ( x 2 + 18 + 6 x ) ( x 2 + 18 − 6 x ) = ( x 2 + 6 x + 18 ) ( x 2 − 6 x + 18 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\\&=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}
と因数分解できる。
a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b a x ) + c = a { ( x + b 2 a ) 2 − ( b 2 a ) 2 } + c = a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a + c = a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)+c\\&=a\left\{\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right\}+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}}
つまり、一次以上の項を二次の係数 a で括ることにより、二次の係数が 1 の場合を利用している。