全射
全射同士の合成は常に全射である。即ち、f および g がともに全射で、g の余域が f の定義域と等しいとき、合成写像 f ∘ g は全射になる。逆に、合成 f ∘ g が全射ならば f は全射(だが先に施すほうの g は必ずしも全射でなくてよい)。この性質は、集合の圏における全射から任意の圏における任意の全射に一般化される。
任意の写像は、全射と単射との合成の形に分解することができる。即ち、h: X → Z を任意の写像とすれば、全射 f: X → Y と単射 g: Y → Z で h = g ∘ f を満たすものが存在する。これを見るには、集合 Y は X の部分集合族 Y := { h − 1 ( z ) = { x ∈ X ∣ h ( x ) = z } ∣ z ∈ h ( X ) } {\textstyle Y:=\{h^{-1}(z)=\{x\in X\mid h(x)=z\}\mid z\in h(X)\}} として定めればよい。ここに現れた原像は互いに交わりを持たず、X の分割を与える。このとき、f として各元 x ∈ X を x を含む Y の元へ写す写像 f : x ↦ { x ′ ∈ X ∣ h ( x ′ ) = h ( x ) } {\textstyle f\colon x\mapsto \{x'\in X\mid h(x')=h(x)\}} をとり、g として Y の各元が含む X の元が h によって写されるところの Z の元へ写す写像 g : h − 1 ( z ) ↦ z {\textstyle g\colon h^{-1}(z)\mapsto z} とすれば、f は射影ゆえ全射で、g は作り方から単射となり、h = g ∘ f が成り立つ。