ロジスティック写像
ロジスティック写像で現れた上記の分岐のパターンは、ロジスティック写像に限定されない。ある条件を満たした写像で、この分岐パターンが共通して現れる。次の正弦関数を使った力学系はその一例である。
ここで、定義域は 0 ≤ b ≤ 1 かつ 0 ≤ x ≤ 1 とする。この正弦写像 (4-1) は、ロジスティック写像 (1-2) と定性的に同一の振る舞いを起こす。つまり、この写像でも、ロジスティック写像と同じようにパラメータ b の増加にともなって周期倍化ルートを経てカオスになり、さらにはカオス領域には窓が同じように存在している。
ロジスティック写像も正弦写像も区間 [0, 1] を [0, 1] へ写す1次元写像で、単峰と呼ばれる次の性質を満たしている。
f (0) = f (1) = 0 を満たす。
写像は可微分で、[0, 1] 中に f ′(c) = 0 を満たす臨界点 c が唯一存在する。
一般的に、1パラメータ・1変数のある1次元写像が単峰で、頂点近辺を2次の多項式で近似できるような曲線であれば、具体的な写像の形に依存せずに、パラメータ範囲 3 ≤ a ≤ 3.56994... で見たような無限の周期倍化カスケードの分岐が起き、 さらに式 (3-13) で定義される比率 δ はファイゲンバウム定数 4.669...
ロジスティック写像は、連続時間型の個体群モデルのロジスティック方程式の離散化からも導出できる。ロジスティック写像の名も、ロバート・メイがロジスティック方程式の離散化からロジスティック写像を導入したことに由来する。ロジスティック方程式とは、次のような生物個体数の時間変化を表す常微分方程式である。
ここで、N は生物個体数や個体数密度、t は連続的な時間、K と r がパラメータである。K は環境収容力、 r は内的自然増加率とも呼ばれ、通常は正の値を取る。この式の左辺 dN/dt は時刻 t における個体群サイズの変化速度を意味している。
ロジスティック方程式 (5-6) は、ロジスティック写像 (5-4) と一見似ているが、解の振る舞いはロジスティック写像とは大きく異なる。初期値 N0 が正である限り、ロジスティック方程式の個体数 N は常に単調に K に収束するのみである。
式 (6-1) および (6-2) 中の ε や D は結合係数などと呼ばれる、写像同士の結合の強さを意味するパラメータである。他方で、ロジスティック写像を結合写像モデルに組み込む場合、ロジスティック写像のパラメータ a はモデルの非線形性の強さを意味する。a の値と ε または D の値を変化させることで、ロジスティック写像の結合写像系では様々な現象が現れる。例えばモデル (6-2) では、D をある値 Dc 以上に大きくすると、x と y は同期しながらカオス振動を行う。Dc 未満でも常にバラバラのカオス振動が起こるだけでない。D がある範囲のときは、a = 4 であるにもかかわらず x と y は2周期振動を起こす。a = 3.8 では、同期状態と非同期状態が交互に起こり続けるような振る舞いも見られる。
大自由度の大域結合写像 (6-1) にロジスティック写像を適用した研究では、カオス的遍歴と呼ばれる現象も見つかっている。これはいくつかのクラスターでまとまって振動する秩序的な状態から乱れた状態になり、また別のクラスター状態になり、再度乱れた状態になり...、という振る舞いを繰り返す現象で、相空間上でアトラクタの残骸と言われるような領域を軌道が経巡ることで起こると考えられている。
ロバート・M・メイ、ラルフ・エイブラハム;ヨシスケ・ウエダ(編)、稲垣 耕作・赤松 則男(訳)、2002、『カオスはこうして発見された』初版、共立出版 ISBN 4-320-03418-X
井上 政義、1996、『やさしくわかるカオスと複雑系の科学』初版、日本実業出版社 ISBN 4-53402492-4
今 隆助・竹内 康博、2018、『常微分方程式とロトカ・ヴォルテラ方程式』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-11348-0
Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人(訳)、2007、『力学系入門 原著第2版 ―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-01847-1
伊東 敬祐、1993、『カオスって何だろう ―予測できないカオスを予測する』、ダイヤモンド社 ISBN 4-478-83006-1
瀬野 裕美、2007、『数理生物学 ―個体群動態の数理モデリング入門』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-05656-5
ジェームス・D・マレー、三村 昌泰(総監修)、瀬野 裕美・河内 一樹・中口 悦史・三浦 岳(監修)、勝瀬 一登・吉田雄紀・青木 修一郎・宮嶋 望・半田 剛久・山下 博司(訳)、2014、『マレー数理生物学入門』初版、丸善出版 ISBN 978-4-621-08674-2
青木 統夫、1996、『力学系・カオス ―非線形現象の幾何学的構成』初版、共立出版 ISBN 4-320-03340-X
パラメータがちょうど a = 1 のとき、ロジスティック写像の軌道はこれまでと同様に 0 へ収束する。ただし、収束する速さが、a = 1 ではゆっくりになる。a = 1 における不動点 0 は漸近安定ではあるが、式 (3-1) を満たしていない。実のところ、式 (3-1) による判別法は写像を不動点近傍で1次近似することによって成り立っている。a = 1 ではこの近似が成り立たなくなり、安定・不安定は写像の2次(2乗)の項によって決まるようになる。
a = 1 の状態をグラフで見ると、x = 0 でグラフの曲線が45°対角線にちょうど接した状態になっている。このとき、0 < a < 1 の範囲では負の範囲に存在していた不動点 xf 2 = 1 − 1/a の値は、xf 2 = 0 となっている。つまり、a が増えるにつれて xf 2 の値は 0 へと近づいていき、ちょうど a = 1 で、xf 2 は xf 1 = 0 と衝突する。この衝突によってトランスクリティカル分岐という現象が起こる。
分岐とは力学系の振る舞いが定性的に変わる現象を指す用語で、この場合のトランスクリティカル分岐では、不動点同士で安定性の交替が起きる。つまり、a が 1 未満では xf 1 は安定、xf 2 は不安定であたったが、a が 1 を超えると xf 1 は不安定、xf 2 は安定になる。
※文献内の複数個所に亘って参照したものを特に示す。
船越 満明、2008、『カオス』初版、朝倉書店〈シリーズ 非線形科学入門3〉 ISBN 978-4-254-11613-7
早間 慧、2002、『カオス力学の基礎』改訂2版、現代数学社 ISBN 4-7687-0282-1
山口 昌哉、1986、『カオスとフラクタル ―非線形の不思議』、講談社〈ブルーバックス B-652〉 ISBN 4-06-132652-X
デニー・グーリック、前田 恵一・原山 卓久(訳)、1995、『カオスとの遭遇 ―力学系への数学的アプローチ』初版、産業図書 ISBN 4-7828-1009-1
K.T.アリグッド;T.D.サウアー;J.A.ヨーク、津田 一郎(監訳)、星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏(訳)、2012a、『カオス 第1巻 力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06223-4
K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、津田 一郎(監訳)、星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏(訳)、2012c、『カオス 第3巻 力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06540-2
合原 一幸・黒崎 政男・高橋 純、1999、『哲学者クロサキと工学者アイハラの神はカオスに宿りたもう』初版、アスキー ISBN 4-7561-3133-6
小室 元政、2005、『基礎からの力学系 ―分岐解析からカオス的遍歴へ』新版、サイエンス社 ISBN 4-7819-1118-8
まず、パラメータが a = 0 のときは、初期値 x0 がどんな値であろうが、x1 = 0 となる。つまり、a = 0 におけるロジスティック写像の軌道は、初期値以降の値が全て 0 となるような軌道で、この場合あまり調べる中身はない。
次に、パラメータが 0 < a < 1 の範囲にあるとき、初期値 x0 が 0 から 1 までのどんな数値であったとしても、xn は単調に減少していく。つまり、n → ∞ の極限で xn は 0 へ収束する。この収束先の xn = 0 という点は、式 (2-3) で示した不動点 xf 1 である。このように周りの軌道が収束するタイプの不動点は、漸近安定、安定、あるいは吸引的と呼ばれる。逆に時間 n の増加と共に xf の近くの軌道が xf から離れていくならば、その不動点 xf は不安定や反発的と呼ばれる。
不動点が漸近安定かどうかを知るには、写像 f の微分を求めるという一般的で簡単な方法がある。f (x) の微分 df (x)/dx を f ′(x) と表すとする。 この微分が不動点 xf で
という条件を満たせば、xf は漸近安定である。ここで、|〇| は 〇 の絶対値を意味する。
1変数のロジスティック写像は、系としての自由度あるいは次元は 1 である。一方で実際の自然界では、時間的に乱れるだけでなく、多数の空間自由度を持ち空間的にも乱れるような多自由度のカオスが多いと考えられる。あるいは、カオス的運動を行う振動子の同期現象も研究対象である。こういったものを調べるために、差分方程式(写像)を多数結合させる結合写像の手法がある。結合写像モデル研究の題材として、ロジスティック写像がしばしば採用される。その理由には、ロジスティック写像自体はすでにカオスの典型的モデルとしてよく調べられており、その蓄積があることが挙げられる。
結合写像モデルでの具体的な結合のさせ方には、様々な手法が存在する。全部で N 個の写像が結合し、i 番目の写像の時刻 n における状態が xn(i) で表されるとする。大域結合写像と呼ばれる手法では、xn+1(i) を次のように定式化する。
結合振動子の研究の流れでは、次のように変数の差分で振動子2つ x と y を結合させた最も簡単な次のモデルなどが挙げられる。
これらの式中の f (x) が、結合写像モデルに組み込む具体的な写像であり、ロジスティック写像が用いられる場合はここに適用される。