ルベーグの微分定理
この定理は微分積分学の基本定理の相似物ないし一般化である。微分積分学の基本定理は、リーマン積分可能な関数は、そのリーマン(不定)積分の導関数と同一である(equate)ことを主張する。この逆を示すこともできる。任意の微分可能な関数は、その導関数の「積分」と同一である。ただし任意の導関数の積分可能性を保証するためにヘンストック=クルツヴァイル積分を考える必要がある。
ルベーグの微分定理の特別な場合がルベーグの密度定理であり、これはルベーグ可測集合の指示関数に対し微分定理を適用したものである。密度定理は普通、より簡単な方法で証明される(Oxtoby (1980) を参照)。
この定理は、ルベーグ測度を R 上の任意の有限値ボレル測度に取り換えても成り立つ(証明は例えば Ledrappier & Young (1985))。より一般に、以下の条件のうちいずれかが成り立っているならば、可分な距離空間上の任意の有限値ボレル測度について同じ主張が成り立つ。
距離空間がリーマン多様体である。
距離空間が局所コンパクトな超距離空間である。
測度がdoubling測度(英語版)である。
これらの結果の証明は Federer (1969) の sections 2.8‐2.9 に記載がある。