微分の記法
レオンハルト・オイラーによるオイラーの記法は、微分演算子 D を関数に前置する方法であり、関数 f の導関数は次のように書き記される。
従属変数 y = f(x) を微分するとき、独立変数 x を下付きとして D に付加する記法が一般的である。
しかし、独立変数が一つのみの場合は下付き添字は省略するのが通例である。 オイラーの記法は線型微分方程式の分野で有用である。
微分の記法 (びぶんのきほう、英語: notation for differentiation) とは、数学における微分を記号的に表記するための方法である。現在、数学関数や従属変数の微分を表す微分の記法として画一化・統一されたものはなく、複数の数学者によって異なる記法が提案されている。それぞれの記法の有用性はその使用される分野・文脈・状況によって変化し、与えられた文脈によって複数の記法を使い分けることもしばしば有効である。本項では比較的使用頻度が高い微分の記法を示す。
= ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 ) φ = ∇ 2 φ = Δ φ {\displaystyle =\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi =\nabla ^{2}\varphi =\Delta \varphi }
ここで Δ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} をラプラスの演算子という。
ベクトル解析で用いられるこれらの微分記法は記号演算として非常に強力である。例えば通常のスカラー関数における積の微分公式 ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,} に対して、スカラー場 φ と ψ の積の勾配に関する積の微分公式は ∇ ( φ ψ ) = ( ∇ φ ) ψ + φ ( ∇ ψ ) {\displaystyle \nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi )\,} のように全く同じ形式となる。
d ( d ( d y d x ) d x ) d x = ( d d x ) 3 ( f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ({\frac {\mathrm {d} ({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})}{\mathrm {d} x}})}{\mathrm {d} x}}=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right)^{3}(f(x))}
のことであるということからくるもので、これをさらに緩く(分母の括弧を省略して)書いて
d 3 ( d x ) 3 ( f ( x ) ) = d 3 d x 3 ( f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\left(\mathrm {d} x\right)^{3}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}={\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}
としたものが、上記の記法となっている。
ライプニッツの記法における、x = a における微係数は次のような二種類の方法で表される。
d y d x | x = a = d y d x ( a ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=a}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}(a)}