クレブシュ–ゴルダン係数
.. , J ) {\displaystyle {\hat {\textrm {J}}}_{z}|(j_{1}j_{2})JM\rangle =\hbar M|(j_{1}j_{2})JM\rangle \quad \quad \quad (M=-J,\ldots ,J)}
これは J {\displaystyle J} が以下を満たさなければならないことに由来する。
| j 1 − j 2 | ≤ J ≤ j 1 + j 2 {\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}}
全角運動量の同時固有状態の総数は V 12 {\displaystyle V_{12}} の次元と等しい。
∑ J = | j 1 − j 2 | j 1 + j 2 ( 2 J + 1 ) = ( 2 j 1 + 1 ) ( 2 j 2 + 1 ) {\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}
全角運動量の同時固有状態は V 12 {\displaystyle V_{12}} の正規直交基底を作る。
⟨ J 1 M 1 | J 2 M 2 ⟩ = δ J 1 J 2 δ M 1 M 2 {\displaystyle \langle J_{1}M_{1}|J_{2}M_{2}\rangle =\delta _{J_{1}J_{2}}\delta _{M_{1}M_{2}}}
クレブシュ–ゴルダン係数の具体的な形と数値はクレブシュ–ゴルダン係数の表(英語版)を参照。