4元電流密度
物質 X と電磁場 A が相互作用する系の作用積分は
S X [ X ] + S A [ A ] + S int [ X , A ] {\displaystyle S_{X}[X]+S_{A}[A]+S_{\text{int}}[X,A]}
と書かれる。相互作用項 Sint は一般に
S int [ X , A ] = 1 c ∫ j μ A μ ( x ) − g d 4 x {\displaystyle S_{\text{int}}[X,A]={\frac {1}{c}}\int j^{\mu }A_{\mu }(x){\sqrt {-g}}\,d^{4}x}
の形で書かれるため、4元電流密度は汎関数微分により
j μ ( x ) = c − g δ S int [ X , A ] δ A μ ( x ) {\displaystyle j^{\mu }(x)={\frac {c}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\text{int}}[X,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}}
と表される。
微視的に見ると4元電流密度は荷電粒子の集合であり、4元電流密度は粒子を記述する力学変数 X の関数として書かれる。粒子の系がどのように記述されるかによって、相互作用項の具体形は変化し、それに伴って4元電流密度の具体形も変化する。