特殊相対性理論
アインシュタインの原論文における特殊相対性理論では、以下の二つの事柄を指導原理(前提条件、公理)として、その物理学的枠組みが展開されている。#特殊相対性理論に至るまでの背景に述べた「エーテルに対して動いていない”特別なひとつの慣性系”が存在するはず」という思想からの脱却である。
1 c ‖ d x → d τ ‖ = ‖ d x → ‖ d s = d s d s = 1 {\displaystyle {\frac {1}{c}}\left\|{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} \tau }}\right\|={\frac {\|\mathrm {d} {\vec {x}}\|}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} s}}=1}
を満たす。このことから、4元速度は x の世界線の接線で長さが c であるものである事がわかる。この事実は、ユークリッド空間の曲線を弧長で微分したときの長さが1になることと対応している。長さが1でなく c なのは時間の単位が c 秒でなく1秒だからである。
以上の事から4元速度のミンコフスキー・ノルムの2乗が定数 c なので、これを微分する事で
η ( u → , a → ) = 0 {\displaystyle \eta ({\vec {u}},{\vec {a}})=0}
である事がわかる。すなわち4元速度と4元加速度は「直交」している。
4元運動量のミンコフスキー・ノルムは
‖ d p → d τ ‖ = m ‖ d x → d τ ‖ = m ‖ d x → ‖ d τ = m d s d τ = m c {\displaystyle \left\|{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} \tau }}\right\|=m\left\|{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} \tau }}\right\|=m{\frac {\|\mathrm {d} {\vec {x}}\|}{\mathrm {d} \tau }}=m{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} \tau }}=mc}
である。一方、慣性座標系を1つ固定して4元運動量を成分表示したとき、前に示したように、E = cp はエネルギーを表し、p = (p, p, p) は運動量に対応していた。運動量の大きさを p = |p| とすると、E と p は以下の関係式を満たす:
光速で移動する有限のエネルギーを持った粒子を考える。この時、mγc2 の γ が無限大に発散してしまうので、m = 0 でなければならない。この逆も成立するため、質量を持たずに有限のエネルギーを持つ物質は常に光速で走り続けねばならず、また光速で移動するエネルギーを持つ物質はすべて質量が0であることが分かる。
マイケルソン・モーリーの実験 (Michelson–Morley experiment)にて、両氏は、地球の公転移動に着目した。実験空間の環境下において、公転運動の進行方向の前後に対してエーテルの「風」が吹くことを想定して、そこで伝播する2経路の光の干渉縞を見ることを通じて、光のエーテル中の伝播速度を精密に測定しようと試みた。これにより、エーテル中における観測者の移動速度(ここでは地球の公転速度)の影響を調べられると考えたのである。これは当時の技術で十分に機能できる手法であった。しかしながら、光の速度に有意の差異は認められず、両氏の期待した観測者移動速度の影響(「エーテルの風」の効果)は実験的に支持されなかった。この当時は「観測者の運動の光速度に及ぼす影響について、”予想されていた水準”よりは、無に近いか全く無いものであろう」と結論された。
一方で、上記の実験を支持できる物理体系を見出す試みとして、ヘルツ、フィッツジェラルド、ローレンツ、ポアンカレなどの学者は、エーテル説に付け加えて、辻褄合わせのための仮定を付与することで実験事実と理論を整合させようと試みた。例えばローレンツとフィッツジェラルドは各々独立に、運動する物体が「エーテルの風」を受けて収縮するフィッツジェラルド=ローレンツ収縮(ローレンツのエーテル理論(英語版))を提示した。
この数式上の変化は、マクスウェル方程式が真に成り立つ慣性系がこの世界のどこかにあり、(形式を変化させずに)マクスウェル方程式が別の慣性系においても成立できる「ガリレイ変換でない新たな座標変換」が必要だと予想された。
ヘルツはこの変形された方程式を運動座標系における電磁場の支配方程式として導出したが、Wilson や Röntgen–Eichenwald の実験によって否定された。当時の電磁気学についての問題提起として、たとえば以下のようなものが挙げられる。
光の伝播速度は実験的に光源の速度に依存しないことが判っている。にもかかわらず、その媒質(エーテル)が存在しないとすることは理解しがたい(よって、エーテルがあるに違いない)。
エーテルの存在を仮定するならば、エーテルに対して静止する「絶対静止系」が存在することになる。これは、絶対空間を否定する相対性原理に反し得る。
このような光の速度と観測者・光源の運動(運動する座標間の変換)に関して混迷した状況があり、なんらかの新たな実験及び理論が求められる状況であった。そのようななか、「ガリレイの相対性原理を是とし、光の速度が慣性系に依存するのであれば、様々な異なる慣性系(運動座標系)から光の速度を計測すれば、マクスウェル方程式と一致する"ただ一つの静止基準系"が見つかるであろう」との発想からマイケルソン・モーリーの実験が行われた。
最後に U 内で e→'1, e→'2 を回転することで e′→2 = e→2、e′→3 = e→3 としてよい。
これらの基底に対し、(L1)式を満たすローレンツ変換 φ の行列表現を Λ = (Λν)μν とする。これはすなわち、
( e → 0 ′ , e → 1 ′ , e → 2 ′ , e → 3 ′ ) = ( e → 0 , e → 1 , e → 2 , e → 3 ) Λ {\displaystyle ({\vec {e}}'_{0},{\vec {e}}'_{1},{\vec {e}}'_{2},{\vec {e}}'_{3})=({\vec {e}}_{0},{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})\Lambda }
を満たすという事であり、これら2つの基底における座標の成分表示をそれぞれ (ct, x, y, z)、(ct′, x′, y′, z′)とすると
が成立するという事でもある。
e′→2 = e→2、e′→3 = e→3 であったので、ローレンツ変換の行列表示は、
Λ = ( ∗ 1 1 ) {\displaystyle \Lambda =\left({\begin{array}{cc|cc}*&&&\\&&&\\\hline &&1&\\&&&1\end{array}}\right)}
という形であり、ローレンツ変換がミンコフスキー空間における「回転」であったことを利用すれば、上の行列の(*)の部分が、
V の元 a→ を基底 e→0, e→1, e→2, e→3 で表す場合、a→ の各成分の添え字を
a → = a μ e → μ {\displaystyle {\vec {a}}=a^{\mu }{\vec {e}}_{\mu }}
のように上つきに書く(アインシュタインの縮約で表記)。一方、a→ を e→0, e→1, e→2, e→3 の双対基底 e→, e→, e→, e→ を用いて表す場合、a→ の各成分の添え字を
a → = a μ e → μ {\displaystyle {\vec {a}}=a_{\mu }{\vec {e}}^{\mu }}
のように下つきに書く。明らかに
a μ = η ( a → , e → μ ) , a μ = η ( a → , e → μ ) {\displaystyle a^{\mu }=\eta ({\vec {a}},{\vec {e}}^{\mu }),\quad a_{\mu }=\eta ({\vec {a}},{\vec {e}}_{\mu })}
である。また正規直交基底の場合は明らかに
( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) = ( a 0 , − a 1 , − a 2 , − a 3 ) {\displaystyle (a^{0},a^{1},a^{2},a^{3})=(a_{0},-a_{1},-a_{2},-a_{3})}
が成立する。
V の2つの元 a→、b→ のミンコフスキー内積をとるとき、一方を基底 e→0, e→1, e→2, e→3 で表し、他方をその双対基底で表すと、
先に進む前に、特殊相対性理論で頻繁に用いられるテンソル代数の知識について述べる。
世界距離の定義から、以下の内積風の二項演算子
η ( ( c t , x , y , z ) , ( c t ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) ) := ( c t ) ⋅ ( c t ′ ) − x x ′ − y y ′ − z z ′ {\displaystyle \eta ((ct,x,y,z),(ct',x',y',z')):=(ct)\cdot (ct')-xx'-yy'-zz'}
を考えると、世界距離の二乗は η((ct,x,y,z),(ct,x,y,z)) に一致する。このような二項演算子 η をミンコフスキー内積もしくはミンコフスキー計量と呼び、ミンコフスキー内積の定義されたベクトル空間をミンコフスキー空間と呼ぶ。ミンコフスキー空間上の点を世界点もしくは事象と呼び、ミンコフスキー空間のベクトルは通常の3次元のベクトルと区別する為、4元ベクトルという。
なお、世界点 P は、P と原点 O とを結ぶ4元ベクトル O P → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {OP} }}} と自然に同一視できるので、以下、表現に紛れがなければ世界点を4元ベクトルとして表現する。
特殊相対性理論では、時空間をミンコフスキー空間として記述する。
ある慣性系において s12 = 0 が成り立つならば、特殊相対性原理から、他の任意の慣性系でも s′12 = 0 が成り立つことになる。ここで、微分表現を採用して、これらの微小世界間隔を次のように表記する。
d s 2 := c 2 ( d t ) 2 − | d x | 2 , d s ′ 2 := c 2 ( d t ′ ) 2 − | d x ′ | 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}:=c^{2}(\mathrm {d} t)^{2}-|\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}|^{2},\quad \mathrm {d} s'^{2}:=c^{2}(\mathrm {d} t')^{2}-|\mathrm {d} {\boldsymbol {x'}}|^{2}}
これらは同次微小量であることから、
d s 2 = a d s ′ 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=a\mathrm {d} s'^{2}}
という関係式が成り立つ。ここで、この係数 aは時間と空間の一様性から時間と座標に依存せず、空間の等方性から慣性系間の相対速度の方向に依存しないことが要請される。したがって、慣性系間の相対速度の絶対値にのみ依存する。特殊相対性理論において、微小世界間隔の不変性、すなわち、a(|V|) ≡ 1であることを示す手法は、たとえば以下の2つが存在する。