非圧縮性流れ
流体力学では、速度の発散が0であれば、流れは非圧縮性であるとされる。しかし、モデル化される流れ場に応じて、ときとして関連する表式が使用される。
非圧縮性流れ:div v = 0 これは、密度が一定(厳密な非圧縮)か、または密度が変化する流れで仮定できる。密度変化のセットでは密度、圧力または温度場に、小さな摂動を含む解が受容され、領域内の圧力成層に対して可能である。
非弾性流れ:div(ρov ) = 0 主に大気科学の分野で用いられる。非弾性条件によって、圧力と同様に密度または温度に、成層の非圧縮性流れの妥当性が拡張される。気象学の分野で使用された場合、これによって熱力学変数は下層大気で見られる大気基底状態に緩和することができる。この条件はまた、天体物理学においても使用される。
低マッハ数流れ/疑似非圧縮:div(αv) =β 低マッハ数の制約は次元解析による無次元量を用いた圧縮性オイラー方程式から導出される。この制約は、この前のセクションのように、音波の除去を可能にするだけでなく、密度や温度の大きな摂動を許す。この仮定は、流れが有効であるためにそのような制約を使用して、任意の解に対してマッハ数がその上限(通常は0.3未満)以内にとどまるということである。繰り返しになるが、すべての非圧縮性流れに従って、圧力偏差は圧力基底状態と比較して小さくなければならない。
これらは流れについての異なる仮定であるが、すべての仮定は流れに依存する関数α, βを用いて、一般形
div  ( α v ) = β {\displaystyle \operatorname {div} (\alpha {\boldsymbol {v}})=\beta }
でとりあつかうことができる。
であるから、流体と同じ速度で動いている(すなわちv = (dx /dt , dy /dt , dz /dt)となる)コントロールボリュームをとれば、上式は物質微分:
D ρ D t := ∂ ρ ∂ t + grad  ρ ⋅ v {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}:={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {grad} \rho \cdot {\boldsymbol {v}}}
を用いて簡潔に表される。連続の式に代入すれば、
D ρ D t = − ρ ( div  v ) {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=-\rho (\operatorname {div} {\boldsymbol {v}})}
を得る。密度の時間微分は、流体が圧縮または膨張(一定体積dVに含まれる質量が変化)することを示しているが、それは禁止されている。密度の物質微分が0になることを要求することは、(密度が0でなければ)流体速度の発散が0でなければならないことと等価である。
div  v = 0 {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {v}}=0}
結局、質量保存則と、流体とともに移動する体積内の密度が一定であるという制約条件から、それに等価な非圧縮性流れの必要条件は流体速度の発散が0になることであることが示された。