線型代数群
がある。ただし、群構造は複素数 x + iy の積によって与える。ここで T は R 上 1 次元のトーラスである。T(R) は円周群であり、抽象群としてすら Gm(R) = R* と同型でないので、これは分裂しない。
体 k 上のトーラスの任意の元は半単純である。逆に、もし G が連結線型代数群で G ( k ̄ ) {\displaystyle G({\bar {k}})} のすべての元が半単純であるならば G はトーラスである。
一般の基礎体 k 上の線型代数群 G に対して、すべての極大トーラスが G(k) の元によって互いに共役であるとは限らない。例えば、上述の乗法群 Gm や円周群 T は R 上 SL2 の極大トーラスとして現れる。しかし、 k 上の G に含まれるどんな極大分裂トーラス maixmal split tori (これはより大きな分裂トーラスに含まれていないものを指す)も適当な G(k) の元によって互いに共役である。その結果として、k 上の G の k-rank あるいは split rank を極大分裂トーラスの次元として定義することができる。
体 k 上の線型代数群 G の極大トーラス T に関して、グロタンディークは T k ̄ {\displaystyle T_{\bar {k}}} は G k ̄ {\displaystyle G_{\bar {k}}} の極大トーラスであることを示した。この結果から体 k 上の G に含まれる極大トーラスは、同型である必要はないが、同じ次元を持つ。
↑ Kolchin 1948.
↑ Milne 2017, Corollary 4.10.
↑ Milne 2017, Corollary 8.39.
↑ Milne 2017, Proposition 1.26(b).
↑ Borel 1991b, p. 218, Theorem 18.2.
↑ Borel 1991a, Corollary 18.4.
↑ Borel 1991a, Remark 14.14.
↑ Milne 2017, section 10.e.
↑ Borel 1991a, section 7.1.
↑ Milne 2017, p. 170, Theorem 9.18.
↑ Borel 1991a, Corollary 11.3.
↑ Milne 2017, p. 359, Corollary 17.25.
↑ Springer 1998, p. 256, Theorem 15.2.6.
↑ Borel 1991a, 18.2(i).
↑ Milne 2017, Corollary 14.12.
↑ Borel 1991a, Theorem 10.6.
↑ Borel 1991a, Theorem 15.4(iii).
G L n ≅ ( G m × S L n ) / μ n {\displaystyle \mathbf {GL} _{n}\cong (\mathbf {G} _{m}\times \mathbf {SL} _{n})/{\boldsymbol {\mu }}_{n}}
である。
任意の体 k に関して、簡約群 G は k 上の極大分裂トーラス(つまり、G に含まれる分裂トーラスであって、k の代数的閉包上でも極大である)を含むならば分裂 split するという。例えば、GLn はどんな体 k 上でも分裂簡約群である。シュヴァレーは分裂簡約群の分類はどんな体上でも同じであることを示した。それとは対照的に、任意の簡約群の分類は難しいこともあり、基礎体に依存する。例えば、体 k 上の任意の非退化二次形式 q は簡約群 SO(q) を定め、k 上の任意の中心的単純多元環 A は簡約群 SL1(A) を定める。その結果、k 上の簡約群の分類問題は本質的に k 上の二次形式や k 上の中心的単純多元環の分類問題を含んでいる。これらの問題は k が代数的閉体のときは易しいし、数体などいくつかの体上では理解されているが、任意の体上では多くの未解決問題がある。
数学において、線型代数群(せんけいだいすうぐん、英: linear algebraic group)とは、 n 次正則行列の全体が(行列の積に関して)成す群(すなわち一般線型群)の部分群であって、それが多項式系によって定義されるものを総称して言う。例えば M′M = 1 という関係式で定義される直交群は線型代数群である。(ここで M′ は行列 M の転置。)
多くのリー群は実数体あるいは複素数体上の線型代数群としてみることができる。(例えば、すべてのコンパクトリー群や単純リー群 SLn(R) といった多くの非コンパクト群は R 上の線型代数群と見做せる。)単純リー群はヴィルヘルム・キリング(英語版)とエリー・カルタンによって1880年代から1890年代にかけて分類された。当時は群構造が多項式で定義されている——代数群である——という事実が特別に利用されることはなかった。マウラー(英語版)、シュヴァレー、コルチン(英語版) などが代数群の理論の創始者である。1950年代にアルマン・ボレルは今日存在する代数群の理論の多くを築いた。
シュヴァレー群(英語版)の定義は初期におけるこの理論の用途のひとつであった。