接続形式
この整合性を持つ外積接続 D に対して、D の一意の拡張が存在して、
D ( v ∧ α ) = ( D v ) ∧ α + ( − 1 ) deg v v ∧ d α {\displaystyle D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{{\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha }
であるような
D : Γ ( E ⊗ Ω ∗ M ) → Γ ( E ⊗ Ω ∗ M ) {\displaystyle D:\Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)}
成り立つ。ここに v は 次数 deg v の同次式である。言い換えると、D は次数付き加群 Γ(E ⊗ ΩM) の層の上の微分(英語版)(derivation)である。
{\displaystyle D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).}
となる。
両辺の成分をとると、
D ξ ( e ) = d ξ ( e ) + ω ξ ( e ) = ( d + ω ) ξ ( e ) {\displaystyle D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )}
となる。ここで、d と ω はそれぞれ、外微分と1-形式の行列であり、ξ の成分に対して作用する。逆に、1-形式のぎ行列 ω は、切断 e の基底が定義された開集合の上の局所切断を完全決定するためには、もともと十分である。
逆に、主バンドル G-バンドル P→M の中の G-接続 ω は、M 上の接続形式の集まりより構成できる。e : M → P を P の局所切断とすると、e に沿った引き戻し ω は、M 上の g に値を持つ 1-形式
ω ( e ) = e ∗ ω . {\displaystyle \omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .}
である。G に値を持つ函数 g により標構を変えると、ω(e) はライプニッツ規則と次の随伴関係を使うことにより、求めている接続形式の方法で変換する。
⟨ X , ( e ⋅ g ) ∗ ω ⟩ = ⟨ [ d ( e ⋅ g ) ] ( X ) , ω ⟩ . {\displaystyle \langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*}\omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle .}
ここに X は M 上のベクトルであり、d はプッシュフォワード(英語版)(pushforward)を表す。