開平法
差の計算結果 (1) の右隣りに、上のブロック (63) を下ろす。左の筆算の末位に縦2つ等しい値を書き、積が下ろしてできた数 (163) を超えない最大の値 (3) を見つける。ブロック (63) の上に見つけた値 (3) を書く。左の筆算を立て、下に和の計算結果 (46) を書く。下ろしてできた数 (163) の下に、左の筆算の積の計算結果 (129) を書く。筆算を立て、差の計算結果 (34) をその下に書く。
z2 = 100(z3 − r3) + 10x5 + x4 = 163。(40 + a2)a2 ≤ 163 を満たす最大の a2 は a2 = 3。この時 r2 = 43 × 3 = 129。次の計算のために、z2 − r2 = 163 − 129 = 34, q1 = 43 + 3 = 46 を計算しておく。
同様の計算を(m = −5 まで)行うと、次のようになる。
これより
√5630738.132 = 2372.91764...
である。
検算してみると、
2372.91764 = 5630738.1262231696
2372.91765 = 5630738.1736815225
となり
2372.91764 < √5630738.132 < 2372.91765
が確かに成り立つ。
pm から不等式(1') を満たす最大の am を求めていくには、筆算による帰納的計算が明確である。
zm = 100(zm+1 − rm+1) + 10x2m+1 + x2m から rm = (10qm + am)am を引き、負とならない最大の am を求める。(主算)
次の am−1 を求めるために、qm−1 = (10qm + am) + am を求めておく。(副算)