半素環
R の任意の元 x について、xRx⊆A であれば、x は A の元である。
ここで再び、m-systemsの補集合としての素イデアルの非可換の類似物がある。環 R の空でない部分集合 S は任意の s ∈ S に対してある r ∈ R が存在して srs ∈ S となるとき、n-system と呼ばれる。この概念により、上記のリストに同値な点を追加できる。
R ∖ A {\displaystyle R\setminus A} は n-system である。
環 R は零イデアルが半素イデアルのとき半素環と呼ばれる。可換な場合には、これは R が被約環であると言っても同じである。なぜならば、R は0でないベキ零元をもたないからである。非可換な場合には、環は0でないベキ零右イデアルをもたないというだけである。したがって被約環が常に半素環である一方、逆は成り立たない。