一般化置換行列
符号付置換行列は各成分が ±1 であるような一般化置換行列で、逆行列も整数であるような整数一般化置換行列である。
ある体 F に成分を持つ n×n の一般化置換行列の集合は、非特異対角行列 Δ(n, F) の群が正規部分群を構成するような一般線型群 GL(n,F) の部分群を構成する。実際、一般化置換行列は対角行列の正規化群であり、このことは一般化置換行列が、対角行列が正規であるような GL の「最大の」部分群であることを意味する。
一般化置換行列の抽象群は、F と Sn の環積である。具体的にこのことは、Δ(n, F) と対称群 Sn の半直積としてそれが与えられることを意味する:
Δ(n, F) ⋉ Sn,
ここで Sn は座標を置換する作用で、対角行列 Δ(n, F) は n-fold product (F) と同型である。
より正確に言うと、一般化置換行列は、この抽象環積の(忠実な)線型表現、すなわち、抽象群を行列の部分群として実現するものである。