DSダイアグラム
G {\displaystyle G} を S 2 {\displaystyle S^{2}} に埋め込まれた3-正則グラフとする。 あるsimple polyhedron P {\displaystyle P} が存在して、以下の意味で局所的な同相写像 f : S 2 → P {\displaystyle f:S^{2}\rightarrow P} が存在するとき( V ( G ) {\displaystyle V(G)} は G {\displaystyle G} の頂点の集合を表す)、 ( G , f , P ) {\displaystyle (G,f,P)} をDSダイアグラムという。 G {\displaystyle G} として特に頂点が無く辺しか存在しないもの(hoop)も認める。
f − 1 ( S ( P ) ) = G {\displaystyle f^{-1}(S(P))=G}
f − 1 ( V ( P ) ) = V ( G ) {\displaystyle f^{-1}(V(P))=V(G)}
| f − 1 ( x ) | = { 4 x ∈ V ( P ) 3 x ∈ S ( P ) − V ( P ) 2 x ∈ P − S ( P ) {\displaystyle |f^{-1}(x)|={\begin{cases}4&x\in V(P)\\3&x\in S(P)-V(P)\\2&x\in P-S(P)\\\end{cases}}}
G {\displaystyle G} が空グラフのときは、DSダイアグラムは S 3 {\displaystyle S^{3}} を表す。
Fig. 1は頂点がなく辺のみを有するグラフ G {\displaystyle G} に対するDSダイアグラムで、 S 2 × S 1 {\displaystyle S^{2}\times S^{1}} を表す。