順序体
超順序体 (superordered field) は総実代数体であって、その平方和全体の成す集合が扇を成すものを言う。
さらに加えて、前順序付け P に対して、F が P および −P の合併となるとき、P を F の正錐 (positive cone) と言い、P の非零元を F の正の (positive) 元と呼ぶ。F 上の任意の前順序付けは、ちょうど F 上の正錐の適当な族の交わりとして得られる。すなわち、正錐は極大な前順序付けである。前順序体 F 上の扇 (fan) とは、前順序付け T であって、S が T ∖ {0} を含む F の指数 2 の部分群で、かつ −1 を含まないならば S が正錐となる(つまり S が加法について閉じている)という性質を満たすものを言う。
与えられた体が、体構造と両立する全順序を備えることと正錐を備えることとは同値であり、体上の両立する全順序と正錐の間の対応は以下のように与えられる。すなわち、両立する全順序 ≤ が与えられたとき x ≥ 0 なる元全体の成す部分集合 P≤ は F の正錐を成す。逆に F の正錐 P が与えられたとき、付随する全順序 ≤P を x ≤P y ⇔ y − x ∈ P で定義すれば、≤P は F の体構造と両立する。
与えられた体 F が順序体であるとは、それが体構造と両立する全順序、あるいは正錐を備えるときに言う。