イプシロン-デルタ論法
f(x) が b にいくらでも近づくとは、有限値で表現すると、任意の ε > 0 に対して、f(x) が b の ε近傍に属するようになっていくということになる。そこで、ε の値に応じて δ > 0 が存在し、x が a の δ 近傍に属していれば、それを満たすということになる。
ε, δ は無限小でなく有限の値であるが、それぞれいくらでも小さい値を取れるということが極限の概念を明確に定義している。ε > 0 の一つを ε1 とするとき、ε1 に対応する δ1 を選べば 0 < |x − a| < δ1 ⇒ |f(x) − b| < ε1 を成り立たせることができるが、ε1 よりもさらに小さい ε2(例えば ε1/10)を考えると、成立しなくなりうる。しかしその分より小さい δ2 を適当に取ることで、0 < |x − a| < δ2 ⇒ |f(x) − b| < ε2 が成り立つようにできる。
否定である、極限が存在しないとは、ある ε で δ が存在しないとなる。
条件を満たすとき、正の数 δ は ε に依存する変数である。ε に対する δ は一般に1つとは限らず無数にあるが、1つでも見つければ存在を示したことになる。例えば
lim x → 3 x 2 = 9 {\displaystyle \lim _{x\to 3}x^{2}=9}
を ε-δ論法で考えると次のようになる。
ニュートンとライプニッツが創設した微分積分学は、無限小(どんな正の実数よりも小さな正の数)や無限大(どんな実数よりも大きな数)といった実数の範囲では定義できない概念を用いている。このような状況はオイラーによって微分積分学が大幅な発展を遂げる18世紀まで継続された。当時の数学者達は級数の発散や収束に関する定義に無頓着なまま理論を発展させていったため、しばしば誤った結論が導かれてしまうことがあった。
19世紀に入るとコーシーやベルナルト・ボルツァーノらによって、厳密な定義に基づいて微分積分学を再構築しようとする試みがなされるようになる。この時期から収束や連続に関する定義は厳密化されていく。ε-δ論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切使用せずに収束・連続が定義されるようになった。数学史において、微積分学を完成させたとする評価もあるコーシーは『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) で、ε-δ論法を用いて関数の連続性の定義を行った。しかし、この時点でも、連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。
なお、ε-δ論法の登場により一度は数学から追放された無限小や無限大を用いる解析も現代では超実数を用いることで正当化され、超準解析(Non-standard analysis または古典的に無限小解析 Infinitesimal analysis とも呼ばれる)という分野で研究されている。