モジュラリティ
giに属するノードと gj に属するノードが繋がるリンク数の合計の、全リンク数に占める割合は、以下のように書ける。
e i j = ∑ r ∈ g i ∑ s ∈ g j A r s 2 M {\displaystyle e_{ij}=\sum _{r\in g_{i}}\sum _{s\in g_{j}}{\frac {A_{rs}}{2M}}}
よって、同じグループ gi に属するノード同士が繋がるリンク数の全リンク数に占める割合は eii である。
次に、リンクがランダムに配置された場合における eii の期待値を考える。ランダムな配置は、次のように行う。まず、M 本の全リンクを切断することで、片側のみノードに接続した「手」を 2M 本作る。次に、ノードに残された「手」をランダムに2つずつ選択して繋ぎ直す。このように繋げ直すことによって、各ノードの「手」の数を保ったままランダムなネットワークを作ることができる。ここでノード r の「手」の数をノード r の次数 (英: degree) と呼び、 k r = ∑ s A r s {\displaystyle k_{r}=\sum _{s}A_{rs}} と表す。全ノードの次数の合計は ∑ r k r = ∑ r s A r s = 2 M {\displaystyle \sum _{r}k_{r}=\sum _{rs}A_{rs}=2M} である。