矩形数
∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) = lim n → ∞ ( 1 − 1 n + 1 ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=1\end{aligned}}}
この部分分数分解から、矩形数の逆数は自然数の逆数の階差数列を作ることが分かる(正負の符号は異なる)。また、矩形数の逆数を 1 個、 2 個、 4 個、 ・・2 の n(≥ 0) 乗個、・・ずつ順に加えてゆくと初項、公比とも 1/2 の無限等比数列になることも導かれる。 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 6 + 1 12 = 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{4}}} 1 20 + 1 30 + 1 42 + 1 56 = 1 8 {\displaystyle {\frac {1}{20}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{56}}={\frac {1}{8}}}
...
n 番目の矩形数は n(n + 1) であり、これは n 番目の三角数の2倍に等しい。
矩形数を小さい順に列記すると
(0), 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A2378)
矩形数の1の位は 0, 2, 6 のどれかである。 さらに、2, 6, 2, 0, 0 を無限に繰り返す。
2 から n 番目の偶数までの総和は、n 番目の矩形数に等しい。
例:2 = 1 × 2, 2 + 4 = 2 × 3, 2 + 4 + 6 = 3 × 4
素数である矩形数は 2 のみである。2 は矩形数のうち唯一のフィボナッチ数であることが知られている。
n(n + 1) = n + n であり、39番目までの矩形数に41を加えた数は、オイラー素数である。
n(n + 1) = (n + 1) − (n + 1)
素数番目の矩形数は、素数にその素数の正の約数の総和を乗じたものである:p(p + 1) = pσ(p)(σ は約数関数)(オンライン整数列大辞典の数列 A036690)
偶数の完全数の正の約数の総和は矩形数である。(オンライン整数列大辞典の数列 A139256)
n 次正方行列の成分のうち対角成分でないものの個数は n − 1 番目の矩形数になる。
矩形数の逆数和は 1 に収束する。