整数の合同
二つの整数が合同であることを表すのに ≡ が記号として用いられる。
a と b とが法 n に関して合同であることを表すのに、以下のような表記がある。
a ≡ b (modulo n)
a ≡ b (mod. n)
a ≡ b (mod n)
a ≡ b mod n
a ≡ b (n)
a ≡ b [n]
a ≡n b
a ≡ b
どれも同様に「a と b とは法 n に関して合同である」などと読む。法が n であることは「n を法として」「法 n のもとで」「法 n で」「mod n で」などと適宜表現される。前後関係から法 n が明らかな場合は法の表記を省略して単に a ≡ b と表記されることがある。
方程式 3x = 2 を Z/10Z 上で考えるとき、7 × 3 ≡ 1 に注意すれば 3x = 2 と x = 7 × 2 が同値であることが分かる(一方から他方へはそれぞれ両辺に 7 あるいは 3 を掛ければ変形できる)。故に方程式の解は 4(7 × 2 を 10 で割った剰余は 4)である。;
方程式 2x = 3 は Z/10Z 上で解を持たない。また方程式 2x = 6 は二つの解 (3 と 8) を持つ。
未知数(フランス語版) x の方程式 ax = b が Z/nZ 上で一意な解を持つための必要十分条件は、a と n とが互いに素であることである。
x ≡ a (mod n) の形の方程式の解は a および n の値に依存して 0 個、1 個、2 個の何れかになる。さらに詳細な結果が平方剰余の研究によって得られており、平方剰余の相互法則として知られている。
合同類環 Z/nZ の構成は環のイデアルによる商構成である。環 Z/nZ の代数的性質に関しては合同類環の項へ譲る。