線形補間
線形補間はしばしば、ある関数f上の他の2点の値を使って、その関数上のある値を近似するのに使われる。この近似による誤差は次のように定義される。
R T = f ( x ) − p ( x ) {\displaystyle R_{T}=f(x)-p(x)\,\!}
ここで、pは線形補間多項式であり、以下で定義される。
p ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x 1 ) − f ( x 0 ) x 1 − x 0 ( x − x 0 ) . {\displaystyle p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).\,\!}
エラーは次に示す式の範囲内にある。この式はもし、関数fが2次の連続する導関数を持つならば、ロルの定理を使えば証明できる。
| R T | ≤ ( x 1 − x 0 ) 2 8 max x 0 ≤ x ≤ x 1 | f ′′ ( x ) | . {\displaystyle |R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}|f''(x)|.\,\!}
見れば分かるが、与えられた関数上の2点間の近似は、近似された関数の2次導関数から計算された値よりも悪くなる。このことは、カーブを描いた関数は単純な線形補間を使った近似を行うと悪い値が出ることからも、直感的に正しいことが分かる。