同型定理
定理1は「群の圏が正規エピ–モノ分解可能、すなわち正規エピ射(英語版)のクラスとモノ射のクラスはこの圏の標準分解系(英語版) (factorization system) をなす」という圏論的事実に基づく。これは横の可換図式においてとらえられ、存在が射 f: G → H から導かれる対象と射を示している。図式は群の圏においてすべての射が核 を圏論的な意味でもつことを示している;任意の射 f は ι ∘ π に分解する、ただし ι はモノ射で π はエピ射である(余正規圏においてすべてのエピ射は正規である)。これは対象 ker f とモノ射 κ: ker f → G によって図式において表現されており(核は常にモノ射である)、図式の左下から右上に走る短完全列を完成させる。完全列を用いる慣習によって ker f から H と G/ker f へのゼロ射を描かなくて済む。
列が右分裂であれば(すなわち G/ker f をそれ自身の π-原像に写す射 σ が存在すれば)、G は正規部分群 im κ と部分群 im σ の半直積である。