核作用素
を満たす複素数の列 { ρ n } {\displaystyle \{\rho _{n}\}} が存在して、
L = ∑ n ρ n f n ∗ ( ⋅ ) g n {\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{n}\rho _{n}f_{n}^{*}(\cdot )g_{n}}
のように書き表すことが出来るとき、次数 q の核と呼ばれる。ここで、上式の和は作用素ノルムについて収束するものとする。
発展例として、A = B であるとき、そのような核作用素に対してトレースを定義できることもある。
次数 1 の核であるような作用素は、核作用素と呼ばれる。それらは、級数 ∑ρn が絶対収束するようなものである。次数 2 の核であるような作用素は、ヒルベルト=シュミット作用素と呼ばれる。
より一般的に、局所凸位相ベクトル空間 A からバナッハ空間 B への作用素は、0 のある固定された近傍上ですべての fn が 1 によって上から評価され、また 0 のある固定された近傍上ですべての gn が 1 によって上から評価されるという条件を、上述の条件に付帯する形で満たすとき、核と呼ばれる。