フランク＝タムの公式
A → ( k → , ω ) = ε ( ω ) v → c Φ ( k → , ω ) {\displaystyle {\vec {A}}({\vec {k}},\omega )=\varepsilon (\omega ){\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )}
が得られる。電磁場とポテンシャルの関係式を用いて、電場および磁場のモード展開を考えると
E → ( k → , ω ) = i { ω ε ( ω ) c v → c − k → } Φ ( k → , ω ) {\displaystyle {\vec {E}}({\vec {k}},\omega )=i\left\{{\frac {\omega \varepsilon (\omega )}{c}}{\frac {\vec {v}}{c}}-{\vec {k}}\right\}\Phi ({\vec {k}},\omega )}
B → ( k → , ω ) = i ε ( ω ) k → × v → c Φ ( k → , ω ) {\displaystyle {\vec {B}}({\vec {k}},\omega )=i\varepsilon (\omega ){\vec {k}}\times {\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )}
が得られる。エネルギー損失に注目するため、粒子の軌跡から b だけ離れた点 (0, b, 0) での電場を求めたい。ここでの b はインパクトパラメータと呼ばれる。波数依存性をなくすため
荷電粒子が相対論的に媒質中を等速度で移動する場合を考える。ガウス単位系でのマクスウェル方程式を考え、ポテンシャルをモード展開すると
{ k 2 − ω 2 c 2 ε ( ω ) } Φ ( k → , ω ) = 4 π ε ( ω ) ρ ( k → , ω ) {\displaystyle \left\{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )\right\}\Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{\varepsilon (\omega )}}\rho ({\vec {k}},\omega )}
{ k 2 − ω 2 c 2 ε ( ω ) } A → ( k → , ω ) = 4 π c J → ( k → , ω ) {\displaystyle \left\{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\epsilon (\omega )\right\}{\vec {A}}({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}({\vec {k}},\omega )}
となる。電荷の移動速度を v とし、電荷および電流は密度として
ρ ( x → , t ) = z e δ ( x → − v → t ) {\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)=ze\delta ({\vec {x}}-{\vec {v}}t)}