ソボレフ空間
Ω を R の開集合とする。ソボレフ空間 W(Ω) = H(Ω) はヒルベルト空間で、重要な部分空間として Ω 上のコンパクト台付き無限回微分可能な函数全体の成す集合の H(Ω) における閉包である H0(Ω) を含む。ソボレフノルムは上述のものを簡約して
‖ f ‖ H 1 = ( ∫ Ω ( | f | 2 + | ∇ f | 2 ) ) 1 / 2 {\displaystyle \|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }(|f|^{2}+|\nabla f|^{2})\right)^{\!\!1/2}}
によって与えられる。Ω が正則な境界を持つとき、H0(Ω) は H(Ω) に属する函数で境界上トレースの意味で消えているようなもの全体として記述することができる(後述)。n = 1 のとき、Ω = (a, b) を有界区間とすると、H0(a, b) は閉区間 [a, b] 上で定義される
f ( x ) = ∫ a x f ′ ( t ) d t ( x ∈ [ a , b ] ) {\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)dt\quad (x\in [a,b])}
X をその境界が行儀悪すぎないような(たとえば境界が多様体になっているとか、あるいはより自由だがより曖昧な「錐体条件」を満足するなど)開領域とすると、X 上の函数を R 上の函数に写す作用素 A で
Au(x) = u(x) が殆ど全ての x ∈ X で成立し、
A は各 1 ≤ p ≤ ∞ と整数 k に対して W(X) を W(R) へ連続に写す
という条件を満足するものが存在する。このような作用素 A を X に対する作用素の拡張という。
拡張作用素は非整数 s に対する H(X) を定義する最も自然な方法である(フーリエ変換をとることは大域操作であるため、それを使って X 上で直接に作業することはできない)。ここでは u が H(X) に属するのは Au が H(R) に属するときであり、かつそのときに限るということによって H(X) を定義する。同様にして、X が拡張作用素を持つ限り、複素補間によっても同じ H(X) が得られる。X が拡張作用素を持たないときは、複素補間が H(X) を得る唯一の方法である。
結果として、補間不等式はこの場合にも成立する。