双代数
同じことだが,図式 1 と 2 は ∇: B ⊗ B → B が(余単位的余結合)余代数 (B ⊗ B, Δ2, ε2) と (B, Δ, ε) の準同型である:
∇ ⊗ ∇ ∘ Δ 2 = Δ ∘ ∇ : ( B ⊗ B ) → ( B ⊗ B ) , {\displaystyle \nabla \otimes \nabla \circ \Delta _{2}=\Delta \circ \nabla :(B\otimes B)\to (B\otimes B),}
∇ 0 ∘ ε 2 = ε ∘ ∇ : ( B ⊗ B ) → K {\displaystyle \nabla _{0}\circ \epsilon _{2}=\epsilon \circ \nabla :(B\otimes B)\to K}
と言っていて,図式 3 と 4 は η: K → B は(余単位的余結合)余代数 (K, Δ0, ε0) と (B, Δ, ε) の準同型である:
η 2 ∘ Δ 0 = Δ ∘ η : K → ( B ⊗ B ) , {\displaystyle \eta _{2}\circ \Delta _{0}=\Delta \circ \eta :K\to (B\otimes B),}
η 0 ∘ ε 0 = ε ∘ η : K → K {\displaystyle \eta _{0}\circ \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta :K\to K}
と言っている.
K 線型写像 Δ: B → B ⊗ B が余結合的とは ( i d B ⊗ Δ ) ∘ Δ = ( Δ ⊗ i d B ) ∘ Δ {\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta } が成り立つことをいう.
K 線型写像 ε: B → K が余単位射であるとは ( i d B ⊗ ε ) ∘ Δ = i d B = ( ε ⊗ i d B ) ∘ Δ {\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{B}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta } が成り立つことをいう.
余結合性と余単位射は次の2つの図式の可換性によって表される(それらは代数の結合性と単位元をあらわす図式の双対である):