完全系
線型代数学あるいは函数解析学およびそれらの応用分野において、(主に無限次元の)ベクトル空間の与えられた部分集合が完全 (complete) である、または完全系(かんぜんけい、英: complete system, complete set; 完全集合)であるとは、それが全体空間の位相的生成系となるときに言う。
これはつまり、空間内の任意のベクトルがその部分集合の元の無限和を許す線型結合として書けることを意味するが、無限和の収束を扱うために、考えるベクトル空間は適当な位相を備えた位相線型空間でなければならない。そのような無限次元のベクトル空間として、しばしば適当な空間上で定義された実または複素数値の函数からなる適当な種類の函数空間が扱われる。無限和を許すことは有限和の全体(線型包)の(この位相に関する)閉包をとることと同じであるから、生成する部分空間が全体空間において稠密であるときその部分集合は完全である。
通常は単なる部分集合に対してそれが完全かどうかを議論するものではなく、直交系など何らかの独立性を満たすベクトルからなる集合(あるいはベクトルの列)に対して完全性を吟味する。完全な線型独立系は「基底」(ヒルベルト基底)と呼ばれる。
↑ 「生成系の各元が独立であることを示す」か「独立系が完全であることを示す」のが基底(「線型独立」な「生成系」)であることを示す議論では典型的である。過剰生成系が与えられたなら独立部分集合を選び出せばよいし、不完全な独立系が与えられたなら適当なベクトルを追加して完全になるかどうかを問題にすることもできる。