エジプト式分数
Hultsch, Friedrich (1895), “Die Elemente der a"gyptischen Theilungsrechnung: Erste Anhandlung” (German), Abhandlungen der philologisch-historischen Classe der Ko"niglich-Sa"chsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Sa"chsische Akademie der Wissenschaften zu Leipzig Philologisch-Historische Klasse (Leipzig: S. Hirzel) 17 (1) .
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Sigler, Laurence E. (trans.
古代エジプト人たちは、2/3 を唯一の例外として、単位分数のみを表記した。単位分数 1/n を表すために、神官文字では点を、神聖文字では
を n を表す記号の上に置いた。例えば
といった具合である。1/2 と 2/3 のみ、特別なグリフ
を持つ。2/3 のグリフは、正確には右の縦線が若干長い。長い方が 1 を、短い方が 1/2 を表し、全体としてはその和 3/2 の逆数を意味している。
1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A5153)
と続くが、『算盤の書』では例として分母が 6, 8, 12, 20, 24, 60, 100 であるものについて、単位分数展開のリストを与えている。例えば、5/12 の分子 5 は、分母 12 の約数の和として 4 + 1 と表せるので、5/12 = 1/3 + 1/12 である。
分母がそのような性質を持たない場合について、フィボナッチは次のような方法を提示している。a/b に対して、b/2 < c < b を満たし、多くの約数を持つ c を取る。ac/bc の分子を bc の約数の和に表すことができれば、約分して単位分数の和となる。この方法は、リンド・パピルスの表に対して現代数学史家が推測した方法の一つと似ている。
その他の方法のいくつかは
a/ab − 1 = 1/b + 1/b(ab − 1)
のような恒等式を用いる。フィボナッチは、例として 8/11 を挙げた。まず、分母に 1 を加えた 12 を分子が割るように、2/11 + 6/11 と分解し、それから恒等式を適用して
8/11 = 1/2 + 1/22 + 1/6 + 1/66
を導いている。