シュラム・レヴナー発展
∂ f t ( z ) ∂ t = − z f t ′ ( z ) ζ ( t ) + z ζ ( t ) − z {\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}} もしくは、 ∂ g t ( z ) ∂ t = g t ( z ) ζ ( t ) + g t ( z ) ζ ( t ) − g t ( z ) {\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}}
となる。
D が上半平面のときは、レヴナー方程式は変数変換により、上記とは異なった方程式となり、
∂ f t ( z ) ∂ t = 2 f t ′ ( z ) ζ ( t ) − z {\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}={\frac {2f_{t}^{\prime }(z)}{\zeta (t)-z}}} もしくは、 ∂ g t ( z ) ∂ t = 2 g t ( z ) − ζ ( t ) . {\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}={\dfrac {2}{g_{t}(z)-\zeta (t)}}.}
である。
駆動函数 ζ と曲線 γ は、
f t ( ζ ( t ) ) = γ ( t ) {\displaystyle \displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t)} or ζ ( t ) = g t ( γ ( t ) ) {\displaystyle \displaystyle \zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))}
により関係付けられる。ここに ft と gt は連続性により拡張されている。
0714.01
Mandelbrot, Benoît (1982), The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1186-5
Norris, J. R. (2010), Introduction to Schramm–Loewner evolutions, http://www.statslab.cam.ac.uk/~james/Lectures/sle.pdf
Pommerenke, Christian (1975), Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck & Ruprecht (Chapter 6 treats the classical theory of Loewner's equation)
Schramm, Oded (2000), “Scaling limits of loop-erased random walks and uniform spanning trees”, Israel Journal of Mathematics 118: 221–288, arXiv:math.PR/9904022, doi:10.1007/BF02803524, MR1776084 Schramm's original paper, introducing SLE