円の面積
円に内接または外接する正多角形(正n角形)の辺数nを増やしていくと円の面積に等しくなる。
∫ r 2 − x 2 d x {\displaystyle \int {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx}
において、 f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1} 、 g ( x ) = r 2 − x 2 {\displaystyle g(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} とおけば、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数は F ( x ) = x {\displaystyle F(x)=x} 、 g ( x ) ′ = x r 2 − x 2 {\displaystyle g(x)'={\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}} であるから、部分積分の公式 ∫ f ( x ) g ( x ) d x = F ( x ) g ( x ) − ∫ F ( x ) g ( x ) ′ d x {\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=F(x)g(x)-\int F(x)g(x)'\,dx} を用いて、
半径rの円を中心から扇形に細かく等分し、円周を直線に延ばすと、直線上には切断した扇形(三角形)が並び、その高さは全て半径rに等しい。円の中心にあった頂点を平行移動して一点に集めても面積は変わらないので、底辺が円周に等しい 2 π r {\displaystyle 2\pi r} 、高さが半径 r {\displaystyle r} に等しい三角形の面積であり、
S = 1 2 ( 2 π r ) r = π r 2 {\displaystyle S={\frac {1}{2}}(2\pi r)r=\pi r^{2}}
が得られる。