逆函数定理
上記二種類の異なった方向への一般化を合わせて考えると、バナッハ多様体(英語版)に関する逆写像定理が定式化できる。
det J F ( x , y ) = det [ e x cos  y − e x sin  y e x sin  y e x cos  y ] = e 2 x cos 2  y + e 2 x sin 2  y = e 2 x > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\det J_{\mathbf {F} }(x,y)&=\det {\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\end{bmatrix}}\\&=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y\\&=e^{2x}\\&>0\end{aligned}}\,\!}
ゆえに任意の (x, y) においてヤコビ行列 J F (x, y) は正則となるので、逆関数定理(多変数の場合)より任意の点 p ∈ R の近傍で F は可逆となる。
注意点として、これは大域的に可逆であることとは異なる。実際 F は次の式を満たすことから単射でなく、ゆえに可逆ともならない。
F ( x , y ) = F ( x , y + 2 π ) {\displaystyle {\mathbf {F} }(x,~y)={\mathbf {F} }(x,~y+2\pi )}