多重ガンマ関数
λ 1 = − Res 0 s = 1  ζ 2 ( s , 0 | a 1 , a 2 ) , {\displaystyle \lambda _{1}=-\mathop {\operatorname {Res} _{0}} _{s=1}\zeta _{2}(s,0|a_{1},a_{2})\ ,}
λ 2 = 1 2 Res 0 s = 2  ζ 2 ( s , 0 | a 1 , a 2 ) + 1 2 Res 1 s = 2  ζ 2 ( s , 0 | a 1 , a 2 ) , {\displaystyle \lambda _{2}={\frac {1}{2}}\mathop {\operatorname {Res} _{0}} _{s=2}\zeta _{2}(s,0|a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}\mathop {\operatorname {Res} _{1}} _{s=2}\zeta _{2}(s,0|a_{1},a_{2})\ ,}
であり、 Res n s = s 0  f ( s ) = 1 2 π i ∮ s 0 ( s − s 0 ) n − 1 f ( s ) d s {\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} _{n}} _{s=s_{0}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f(s)ds} は s 0 {\displaystyle s_{0}} における位数 n {\displaystyle n} の留数である。
また、上記のものとは別に新谷型と呼ばれる無限積表示も Katayama & Ohtsuki (1998) において発見されている。