絶対値
すなわち
‖ x ‖ v = | x | π {\displaystyle \lVert x\rVert _{v}=|x|_{\pi }}
が成り立つ(この正規化された絶対値 ‖ ⋅ ‖ v {\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{v}} を | ⋅ | v {\displaystyle |\cdot |_{v}} と書いている文献も存在する。)。
v がすべての標準的な絶対値を走るとき、 積公式
∏ v ‖ x ‖ v = ∏ v | x | v n v = 1 {\displaystyle \prod _{v}\lVert x\rVert _{v}=\prod _{v}|x|_{v}^{n_{v}}=1}
が成り立つ。
非アルキメデス的な乗法付値は一階の加法的な賦値と対応がとれ、これらはしばしば同一のものとして扱われる。加法的賦値体あるいは順序体においてその賦値環は、その体における正の数全体の集合を本質的に特徴付けるものである。有限体 Fq (q = p) において標準的な賦値(モジュラス)は p-進絶対値の冪
| x | q := q − v p ( x ) = | x | p f {\displaystyle |x|_{q}:=q^{-v_{p}(x)}=|x|_{p}^{f}}
である。これを適当なハール測度による立方体の体積と理解することもある。
数学における実数 x の絶対値(ぜったいち、英: absolute value)または母数(ぼすう、英: modulus)|x| は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数 x に対して |x| = x および負数 x に対して |x| = −x(このとき −x は正)であり、また |0| = 0 である。例えば 3 の絶対値は 3 であり −3 の絶対値も 3 である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。
実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における大きさ(英語版) (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある。