ディリクレベータ関数
99615\,78280\,77088\ldots }
β ( 7 ) = 61 π 7 184320 = 0.99955 45078 90539 ... {\displaystyle \beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}=0.99955\,45078\,90539\ldots }
のように求まる。ただし、ここで G はカタランの定数(英語版)、ψ はポリガンマ関数である。リーマンゼータ関数において、偶数に対する特殊値はレオンハルト・オイラーがバーゼル問題を解決するとともに一般化したが、奇数に対する値はよく知られていない。一方、ディリクレベータ関数は、奇数 2n + 1 に対して、
β ( 2 n + 1 ) = ( − 1 ) n E 2 n π 2 n + 1 4 n + 1 ( 2 n ) ! {\displaystyle \beta (2n+1)={\frac {(-1)^{n}\,E_{2n}\,\pi ^{2n+1}}{4^{n+1}\,(2n)!}}}
が成り立つこと分かっている。ただし、ここで En は n 番目のオイラー数である。