エネルギー・運動量テンソル
エネルギー・運動量テンソルはネーターの定理により、時空の並進対称性のネーター・カレントとして定められる。
作用積分が
S [ φ ] = ∫ d 4 x L ( φ , ∂ φ ) {\displaystyle S[\phi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi )}
と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + ξ に対して、φ'(x')=φ(x) が成り立つ。
従って、場は
δ ξ φ ( x ) = φ ′ ( x ) − φ ( x ) = φ ( x − ξ ) − φ ( x ) = − ξ μ ∂ μ φ ( x ) {\displaystyle \delta _{\xi }\phi (x)=\phi '(x)-\phi (x)=\phi (x-\xi )-\phi (x)=-\xi ^{\mu }\partial _{\mu }\phi (x)}
と変換される。
エネルギー・運動量テンソルは
T μ ν := ∂ L ∂ ( ∂ ν φ ) ∂ μ φ − δ μ ν L {\displaystyle T_{\mu }^{\nu }:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}}
となる。