プランクの法則
以下のプランクの法則の導出はなどでみられる。より一般的な導出は箱の中の気体を参照。
伝導壁をもち電磁波で満たされた一辺の長さ L の立方体を考える。立方体の壁では、電場の平行成分と磁場の直交成分はあってはならない。箱の中の粒子の波動関数との類似により、場は周期的な関数の重ね合わせとして表される。壁に直行する3つの方向についての3つの波長 λ1, λ2, λ3 は
λ i = 2 L n i {\displaystyle \lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}}}
となる。ここで ni は整数である。ni のそれぞれの組について、2つの線型独立な解(モード)がある。量子論にしたがい、一つのモードのエネルギー準位は
E n 1 , n 2 , n 3 ( r ) = ( r + 1 2 ) h c 2 L n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 (1) {\displaystyle E_{n_{1},n_{2},n_{3}}\left(r\right)=\left(r+{\frac {1}{2}}\right){\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}\qquad {\mbox{(1)}}}
によって与えられる。
量子数 r はモードの中の光子数に対応している。ni のそれぞれの組の2つのモードはスピン1をもつ光子の2つの偏光状態に対応している。ここで注意すべきは、r = 0 においてもモードのエネルギーは零ではないことである。この電磁場の真空エネルギーはカシミール効果によるものである。これ以降、温度 T の箱の内部エネルギーを真空エネルギーとの相対値で計算してゆく。
によって与えられる。
よって箱の中の全電磁エネルギーは
U V = 8 π 5 ( k T ) 4 15 ( h c ) 3 {\displaystyle {U \over V}={\frac {8\pi ^{5}(kT)^{4}}{15(hc)^{3}}}}
によって与えられる。ここで V = L は箱の体積である。(註: これはシュテファン=ボルツマンの法則ではない。すなわち、黒体によって放射される全エネルギーではない)放射は全方向 4π に等しく起き、またその伝播速度は光速 c であるため、分光放射輝度は
I ( ν , T ) = u ( ν , T ) c 4 π {\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {u(\nu ,T)\,c}{4\pi }}}
である。よって
I ( ν , T ) = 2 h ν 3 c 2 1 e h ν / k T − 1 {\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}}}
を得る。
この式を波長についての I' (λ, T) の形式へと変換するためには、ν を c/λ で置き換え、
I ′ ( λ , T ) = I ( ν , T ) | d ν d λ | {\displaystyle I'(\lambda ,T)=I(\nu ,T)\left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|}
の式を計算する。
この u(ν, T) は黒体スペクトルとして知られる。これが単位周波数、単位体積あたりの分光エネルギー密度の関数である。
更に
U L 3 = ∫ 0 ∞ u ′ ( λ , T ) d λ {\displaystyle {\frac {U}{L^{3}}}=\int _{0}^{\infty }u'(\lambda ,T)\,\mathrm {d} \lambda }
も導くことができる。ここで
u ′ ( λ , T ) = 8 π h c λ 5 1 e h c / λ k T − 1 {\displaystyle u'(\lambda ,T)={8\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}}
である。
これは同様に、単位波長、単位体積あたりの分光エネルギー密度の関数である。ボース気体とフェルミ気体の計算に現れるこの形の積分は多重対数関数によって表される。しかし今回の場合には閉形式の積分を初等関数を用いて表すことができる。方程式 (3) において
ε = k T x {\displaystyle \varepsilon =kTx}
と置換すると、積分変数を無次元量の割り算にすることができ
u ( T ) = 8 π ( k T ) 4 ( h c ) 3 J {\displaystyle u(T)={\frac {8\pi (kT)^{4}}{(hc)^{3}}}J}
である。ここで J は
J = ∫ 0 ∞ x 3 exp  ( x ) − 1 d x = π 4 15 {\displaystyle J=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{\exp \left(x\right)-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}}