ブールの不等式
確率空間における A 1 , A 2 , A 3 , ... {\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\dots } 中のいかなる事象に対しても、
P ( ⋃ i A i ) ≤ ∑ i P ( A i ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i})}
となる、ことを示す。
確率空間の公理の1つは、 B 1 , B 2 , B 3 , ... {\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\dots } が確率空間の「交わりを持たない」部分集合であるならば
P ( ⋃ i B i ) = ∑ i P ( B i ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})}
となるというものである。これは「可算加法性」と呼ばれる。
一方、 B ⊂ A {\displaystyle B\subset A} ならば、 P ( B ) ≤ P ( A ) {\displaystyle \mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A)} であるから、確率分布の公理より、
P ( A ) = P ( B ) + P ( A − B ) {\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (A-B)}