格子振動
原子の熱運動が結晶のX線反射に与える影響については、デバイやアイバー・ワラー(英語版)によって論じられた。格子振動によってブラッグ反射強度が減少するだけでなく、ブラッグの法則では許されないような方向にでてくる熱散漫散乱も格子振動は影響を与える。この事実は1938年にLavalによって実験的に見いだされた。またLavalはボルンとフォン・カルマンの理論を用いて正しい説明を与えた。
{\displaystyle {\begin{aligned}U&=U_{0}+\sum _{lb\alpha }{\frac {\partial U}{\partial u_{\alpha }(lb)}}{\Bigg |}_{0}u_{\alpha }(lb)+{\frac {1}{2!}}\sum _{lb,l'b'}\sum _{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}U}{\partial u_{\alpha }(lb)\partial u_{\beta }(l'b')}}{\Bigg |}_{0}u_{\alpha }(lb)u_{\beta }(l'b')+{\frac {1}{3!}}\sum _{lb,l'b',l''b''}\sum _{\alpha \beta \gamma }{\frac {\partial ^{2}U}{\partial u_{\alpha }(lb)\partial u_{\beta }(l'b')\partial u_{\gamma }(l''b'')}}{\Bigg |}_{0}u_{\alpha }(lb)u_{\beta }(l'b')u_{\gamma }(l''b'')+\dots \\&=U_{0}+{\frac {1}{2!}}\sum _{lb,l'b'}\sum _{\alpha \beta }\Phi _{\alpha \beta }(lb,l'b')u_{\alpha }(lb)u_{\beta }(l'b')+{\frac {1}{3!}}\sum _{lb,l'b',l''b''}\sum _{\alpha \beta \gamma }\Phi _{\alpha \beta \gamma }(lb,l'b',l''b'')u_{\alpha }(lb)u_{\beta }(l'b')u_{\gamma }(l''b'')+\dots \\&=U_{0}+U_{2}+U_{3}+\dots \\\end{aligned}}}