位相空間
また無限回微分可能な写像の空間
C ∞ ( [ 0 , 1 ] , R ) = { f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle C^{\infty }([0,1],\mathbf {R} )=\{f~:~[0,1]\to \mathbf {R} } , 無限回微分可能 } {\displaystyle \}}
にはLノルムの一般化であるソボレフノルム
‖ f ‖ k , p = ∑ l = 0 k ∫ [ 0 , 1 ] | f ( l ) ( x ) | p d x p {\displaystyle \|f\|_{k,p}={\sqrt[{p}]{\sum _{\ell =0}^{k}\int _{[0,1]}|f^{(\ell )}(x)|^{p}\mathrm {d} x}}}
も定義可能であるが、これらもk、pが異なれば異なる位相を定める。なお、 ‖ ⋅ ‖ k , ∞ {\displaystyle \|\cdot \|_{k,\infty }} の定める位相をC-位相と呼び、この位相は位相幾何学で図形の連続変形を扱う際重要な役割を果たす。
定義 (稠密) ― Aが位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の稠密な部分集合であるとは、A の閉包が X に一致することである。
これは言い換えるとX の任意の点の任意の近傍が、A と交わることを意味する。
可算な稠密部分集合をもつ位相空間は可分であるといい、例えば R {\displaystyle \mathbb {R} } においては Q {\displaystyle \mathbb {Q} } が可算な稠密部分集合なので、 R {\displaystyle \mathbb {R} } は可分である。
位相空間を定式化する為に必要となる「開集合」という概念は、直観的には位相空間の「縁を含まない」、「開いた」部分集合である。
ただし上ではわかりやすさを優先して「縁を含まない」、「開いた」という言葉を使ったが、これらの言葉を厳密に定義しようとすると位相空間の概念が必要になるので、これらを使って開集合を定義するのは循環論法になってしまう。また、ここでいう「縁」(=境界)は通常の直観と乖離している場合もあり、例えば実数直線上の有理数の集合の境界は実数全体である。
そこで位相空間の定義では、「縁を含まない」とか「開いた」といった概念に頼ることなく、非常に抽象的な方法で開集合の概念を定式化する。
位相空間を定式化するのに必要なのは、どれが開集合であるのかを弁別するために開集合全体の集合 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を指定する事と、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} が定められた性質を満たすことだけである。
位相空間の厳密な定義は下記のとおりである。
定義 (開集合系による位相空間の定義) ― Xを集合とし、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} をXのべき集合 P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)} の部分集合とする。
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合は位相空間論的に「性質の良い」空間でXを R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合とすると、例えば以下が成立する事が知られている:
Xから R {\displaystyle \mathbb {R} } への連続写像は必ず最大値・最小値を持つ
Xから R {\displaystyle \mathbb {R} } への連続写像は必ず一様連続である
Xから R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} への単射fが連続なら、逆写像 f − 1 : f ( X ) → X {\displaystyle f^{-1}~:~f(X)\to X} も連続である。
このような「性質の良い」空間を一般の位相空間に拡張して定義したものがコンパクトの概念である。
ただし、「 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の有界閉集合」という概念自身は、「有界」という距離に依存した概念に基づいているため、一般の位相空間では定義できず、別の角度からコンパクトの概念を定義する必要がある。
しかしxUの取り方より x U ∉ f − 1 ( N ) {\displaystyle x_{U}\notin f^{-1}(N)} であったので、 f ( x U ) ∉ N {\displaystyle f(x_{U})\notin N} であり、よって特に f ( x U ) ∉ V {\displaystyle f(x_{U})\notin V} であるのでこれは矛盾である。
( ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } )有向点族 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がxに収束するとする。 N ∈ N f ( x ) {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{f(x)}} を任意に取ると、仮定よりf(N)はxの近傍であるので、有向点族 ( x λ ) λ ∈ Λ {\displaystyle (x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }} がxに収束するから、あるλ0∈Λが存在し、 λ ≥ λ 0 {\displaystyle \lambda \geq \lambda _{0}} を満たす任意のλ∈Λに対し、xλ∈f(N)であり、よってf(xλ)∈Nである。これは有向点族 ( f ( x λ ) ) λ ∈ Λ {\displaystyle (f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }} がf(x)に収束する事を意味する。