ヘッケ環
上に述べた岩堀ヘッケ環ははじめ、群論における非常に一般な構成の重要な特別の場合として現われた。 (G, K) を局所コンパクト群 G とその閉部分群 K からなる組とする。このとき、両側 K-不変連続函数の空間
C [ K ∖ G / K ] {\displaystyle C[\mathbf {K\backslash G/K} ]}
に畳み込みで積を入れて結合多元環の構造が導入される。普通、G が離散群の場合には K を概正規部分群とすることで、それ以外の場合には K をコンパクト部分群とすることで、畳み込み積を定義し、それによってこの関数空間が閉じているようにするために何らかの意味での関数の台のコンパクト性が満たされるようにする。こうしてえられる多元環を
H ( G / / K ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {G/\!/K} )}
で表して、組 (G, K) に関するヘッケ環と呼ぶ。この構成をゲルファント対から行って得られる多元環は可換環である。それは特に
G = SLn(Qp), K = SLn(Zp)
についても成立していて、対応する可換環の表現論がイアン・マクドナルドによって調べられている。一方、
G = SL2(Q), K = SL2(Z)
の場合を考えればモジュラー形式の理論におけるヘッケ作用素の全体を背景とする抽象環に到達する。これが一般の場合のヘッケ環の名の由来となっている。
有限ワイル群のヘッケ環が誘導されるのは、G が位数 p の有限体上で定義される有限シュバレー群で K = B がそのボレル部分群であるときである。岩堀はそのヘッケ環