部分群の指数
その結果、指数 p の正規部分群の数はある k に対して
( p k + 1 − 1 ) / ( p − 1 ) = 1 + p + ⋯ + p k {\displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}}
である。 k = − 1 {\displaystyle k=-1} は指数 p の正規部分群と対応しない。さらに、指数 p の 2 つの異なる正規部分群が与えられると、 p + 1 {\displaystyle p+1} 個のそのような部分群からなる射影直線を得る。
p = 2 {\displaystyle p=2} に対して、(必ず正規である)指数 2 の 2 つの異なる部分群の対称差はこれらの部分群を含む射影直線上の第三の点を与え、群は 0 , 1 , 3 , 7 , 15 , ... {\displaystyle 0,1,3,7,15,\ldots } 個の指数 2 の部分群を含まなければならない – 例えばちょうど 2 個や 4 個の指数 2 の部分群を含むことはできない。