アフィンリー代数
[ a ⊗ t n + α c , b ⊗ t m + β c ] = [ a , b ] ⊗ t n + m + ⟨ a | b ⟩ n δ m + n , 0 c , {\displaystyle [a\otimes t^{n}+\alpha c,b\otimes t^{m}+\beta c]=[a,b]\otimes t^{n+m}+\langle a|b\rangle n\delta _{m+n,0}c,}
ただし [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} はリー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} におけるリーブラケットであり, ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } は g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上のカルタン・キリング形式である.
有限次元半単純リー環に対応するアフィンリー環はその単純成分に対応するアフィンリー環たちの直和である.アフィンリー環には次で定義される顕著な微分がある:
δ ( a ⊗ t m + α c ) = t d d t ( a ⊗ t m ) . {\displaystyle \delta (a\otimes t^{m}+\alpha c)=t{d \over dt}(a\otimes t^{m}).}
対応するアフィンカッツ・ムーディ代数は [d, A] = δ(A) を満たす追加の生成元 d を加えることで定義される(半直積).