公理型
メタ変数に代入されうる部分論理式や項が可算無限通りあるとすれば、その公理型は可算無限個の公理の集合を表すことになる。この集合は、メタ変数に代入される論理式や項に付された条件が再帰的に判定可能である限り、再帰的に定義できる。公理型を用いずとも有限個の公理のみで公理化できる理論は「有限公理化」可能であると言う。有限公理化可能な理論は、たとえそれらが推論を行う上で実用性に劣っていても、超数学的によい性質を持つ場合がある。
公理型の実例としてよく知られているものを二つ挙げる。
帰納型:ペアノ算術の一部であり自然数の算術である。
置換の公理型(英語版):集合論の標準的なZFC公理系による公理化の一部。
これらの型は除去できないことが証明されている(最初の証明はリチャード・モンタギューによる)。従ってペアノ算術とZFCは有限公理化できない。このことは数学の様々な公理的理論や、哲学、言語学その他についても当てはまる。