キリングベクトル場
特に、計量 g の X に関するリー微分が 0 となる、つまり、
L X g = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0}
であるとき、ベクトル場 X をキリングベクトル場という。
レヴィ・チヴィタ接続の言葉で書けば、これは任意のベクトル場 X と Y について、
g ( ∇ Y X , Z ) + g ( Y , ∇ Z X ) = 0 {\displaystyle g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0\,}
が成り立つことに対応する。局所座標では、キリング方程式
∇ μ X ν + ∇ ν X μ = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0}
で書かれる。この条件は共変形式で書かれているので、一つの座標系で確かめれば任意の座標系で満たされることが分かる。