ランベルトのW関数
陰函数微分法により、W の任意の枝が常微分方程式
z ( 1 + W ) d W d z = W ( z ≠ − 1 / e ) {\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad (z\neq -1/e)}
を満たすことが示せる(z = −1/e では W は微分できない)。従って、W の導函数は
d W d z = W ( z ) z ( 1 + W ( z ) ) ( z ∉ { 0 , − 1 / e } ) {\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad (z\notin \{0,-1/e\})}
を満たす。ここで恒等式 e = z/W(z) を用いるならば、
d W d z = 1 z + e W ( z ) ( z ≠ − 1 / e ) {\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad (z\neq -1/e)}
と書きなおすこともできる。
ランベルトは初め「ランベルトの超越方程式」に関連して1758年に考察した。これはレオンハルト・オイラーの1783年の we の特別な場合を論じた論文に繋がる。
ランベルト W-函数は、特殊化された応用において、十年程度毎に「再発見」されてきた。1993年には、等電荷に対する量子力学的二重井戸型ディラックデルタ函数モデル(英語版)(物理学における基本問題)の厳密解をランベルト W-函数が与えることが報告されたとき、コーレスら計算機代数システムMapleの開発者たちはライブラリを精査して、この函数が自然界に遍く存在することを発見した。
指数関数を含む方程式の多くは、W関数を用いることで解くことができる。主な方針は、未知数を含む項を方程式の左辺(あるいは右辺)に寄せ、W関数で解を表現できる x e x {\displaystyle xe^{x}} の形にすることである。例えば、方程式 2 t = 5 t {\displaystyle 2^{t}=5t} を解くには、両辺に − ln  2 ⋅ 2 − t 5 {\displaystyle -{\frac {\ln 2\cdot 2^{-t}}{5}}} を掛け、 − ln  2 5 = − t ln  2 ⋅ e − t ln  2 {\displaystyle -{\frac {\ln 2}{5}}=-t\ln 2\cdot e^{-t\ln 2}} を得る。
ここで、両辺のW関数をとれば、 W ( − ln  2 5 ) = − t ln  2 {\displaystyle W\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)=-t\ln 2} 、即ち t = − W ( − ln  2 5 ) ln  2 = 0.235 ...
W0 の 0 を中心とするテイラー級数は、逆に解いて(英語版)
W 0 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − n ) n − 1 n ! x n = x − x 2 + 3 2 x 3 − 8 3 x 4 + 125 24 x 5 − ⋯ {\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots }
ダランベールの収束判定法によると、収束半径は 1⁄e である。この級数の定める函数は、区間 (−∞, −1/e]に沿って分岐切断(英語版)を入れれば、ガウス平面の全域で定義される正則函数に延長することができる。この正則函数をランベルト W 函数の主値と定める。
x が十分大きければ、W0 は漸近的に
W 0 ( x ) = L 1 − L 2 + L 2 L 1 + L 2 ( − 2 + L 2 ) 2 L 1 2 + L 2 ( 6 − 9 L 2 + 2 L 2 2 ) 6 L 1 3 + L 2 ( − 12 + 36 L 2 − 22 L 2 2 + 3 L 2 3 ) 12 L 1 4 + ⋯ = L 1 − L 2 + ∑ l = 0 ∞ ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) l [ l + m l + 1 ] m !