次元論 (代数学)
( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} をネーター局所環とし、 k = R / m {\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}} とおく。すると、
dim  R ≤ dim k  m / m 2 {\displaystyle \operatorname {dim} R\leq \operatorname {dim} _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}} , なぜならば m / m 2 {\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}} の基底は中山の補題によって m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} の生成集合に持ちあがるからである。等号が成り立つならば、R は正則局所環と呼ばれる。
dim  R ^ = dim  R {\displaystyle \operatorname {dim} {\widehat {R}}=\operatorname {dim} R} , なぜならば gr  R = gr  R ^ {\displaystyle \operatorname {gr} R=\operatorname {gr} {\widehat {R}}} .
(クルルの単項イデアル定理)ネーター環において元 x 1 , .
逆向きの不等号を言うために、 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} を R [ x ] {\displaystyle R[x]} の極大イデアルとし、 p = R ∩ q {\displaystyle {\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {q}}} とする。 R [ x ] / p R [ x ] = ( R / p ) [ x ] {\displaystyle R[x]/{\mathfrak {p}}R[x]=(R/{\mathfrak {p}})[x]} は単項イデアル整域であるので、前の不等式によって 1 + dim  R ≥ 1 + dim  R p ≥ dim  R [ x ] q {\displaystyle 1+\operatorname {dim} R\geq 1+\operatorname {dim} R_{\mathfrak {p}}\geq \operatorname {dim} R[x]_{\mathfrak {q}}} を得る。 q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} は任意だったので、このことより 1 + dim  R ≥ dim  R [ x ] {\displaystyle 1+\operatorname {dim} R\geq \operatorname {dim} R[x]} である。
するとしかし、平坦性の局所的判定法によって、 Tor 1 R  ( M , k ) = 0 ⇒ M flat ⇒ M free ⇒ pd R  ( M ) ≤ 0 {\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,k)=0\Rightarrow M{\text{ flat }}\Rightarrow M{\text{ free }}\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}(M)\leq 0} である。今、
g l . d i m  R ≤ n ⇒ pd R  k ≤ n ⇒ Tor n + 1 R  ( − , k ) = 0 ⇒ pd R − ≤ n ⇒ g l . d i m  R ≤ n {\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\leq n\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}k\leq n\Rightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(-,k)=0\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}-\leq n\Rightarrow \operatorname {gl.dim} R\leq n}
であるので、証明が完了する。
補題 ― R 1 = R / f R {\displaystyle R_{1}=R/fR} とし、f を R の非零因子とする。