極限
圏 C における図式を「添字圏」 J から C への関手と見なすことにする。特定の図式に対応する関手が与えられたとき、C の対象 X と射の族 (φi: X → Fi)i∈Obj(J) に対して次のような条件を考えることができる:
J の任意の射 j について F(j) φi0 = φi1 が成り立つ。ここで i0 = dom j、i1 = ran j である。
C の任意の対象 Y と射の族 (φi: X → Fi)i∈Obj(J) で、1. と同様の条件を満たすものについて射 g: Y → X で φi g = ψi (i ∈ Obj(J))を満たすものが一意的に存在する。
このような条件を満たす X(と族 φi)のことを F が表す図式の極限(あるいは射影極限、逆極限)と呼ぶ。極限の満たす普遍性により、それぞれの図式に対する極限は(あったとして)自然な同型をのぞき一意に定まる。
極限の典型的な例として、対象の族 (Xi)i∈I の直積 ∏i< Xi や二つの射 f, g: X → Y の等化射が挙げられる。特定の形 J の図式について必ず C における極限が存在するとき、図式から極限への対応は図式圏 C への対角関手 ⊿ C → C に対する右随伴関手としてとらえることができる。
この双対概念は余極限(あるいは帰納極限や順極限)と呼ばれる。
数列 ( x n ) n {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}} が極限を持つのは lim _ n → ∞  x n = lim ̄ n → ∞  x n {\displaystyle \textstyle \varliminf \limits _{n\to \infty }x_{n}=\varlimsup \limits _{n\to \infty }x_{n}} となる場合であり、このとき
lim n → ∞ x n = lim _ n → ∞  x n = lim ̄ n → ∞  x n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\varliminf _{n\to \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}}
となる。さらに、有界な数列のなすベクトル空間 l ∞ N {\displaystyle l_{\infty }\mathbf {N} } に対して抽象的な関数解析の構成を適用し、任意の有界な数列 ( x n ) n {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}} に対してバナッハ極限と呼ばれる数 L I M x n {\displaystyle {\mathrm {LIM} }\;x_{n}} を、古典的な極限の拡張となるように定めることができる。