斜体 (数学)
また、この条件を満たす代数的構造を備えた代数系 (K, +, 0K, ×, 1K) あるいは省略して単に集合 K は「斜体を成す」という。零元のみからなる集合 {0} は 1 = 0 と見れば上記の条件を満たし、自明な体と呼ばれるが往々理論的な障害となるため通常は除外して考える。つまり、体の定義に通常は
1 ≠ 0, すなわち乗法は零元でない単位元を持つ。
なる条件を加える。さらにもう一つ、乗法の可換性に関する条件
K のどんな元 a, b についても、 ab = ba が満たされる。
を加えるとき K を(可換)体と呼び、可換性が満たされない元を K が持つとき非可換体と呼ぶ。また一つの代数系 K に対してではなく、代数的構造の分類としてもこれらの用語を用いる。分類としての明確化のために、可換体・非可換体の両者をあわせて「必ずしも可換でない体」という用語を用いることがある。
上記の条件を非自明な単位的非可換環 K に対して
可除性: x が零元でないならば、その乗法逆元 x ∈ K が存在する。
を条件として課したものと見るとき、しばしば可除環とも呼ばれる。
斜体の概念は、いくつかの立場から捉えられ用いられるため、それぞれの属する文脈でとくに積の結合性を要求するか否かなどについて差異が認められる。たとえば非可換な体、あるいは可除な単位的(結合)環を相手にする文脈では結合的なものに限ることが多く、非結合的(分配的)多元環で可除なものとする立場からは非結合的(分配的)斜体が範疇に含まれうる。とくに非結合的斜体を認める立場からはアーサー・ケイリーの八元数の全体が成す非結合的分配環も斜体として扱うことができるため、八元数体という呼称が用いられることがある。