ジェフィメンコ方程式
真空中に電荷密度 ρ {\displaystyle \rho } と電流密度 J {\displaystyle {\boldsymbol {J}}} が、時刻 t {\displaystyle t} と位置 r = ( x , y , z ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(x,y,z)} の関数として与えられた場合を考える。また、以下の仮定を課すことにする。
電荷密度 ρ ( r , t ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}},t)} 及び電流密度 J ( r , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {r}},t)} が r , t {\displaystyle {\boldsymbol {r}},t} のみの関数である(自分自身の作り出す電場や磁場の影響を受けない)。
前記の電流密度と電荷密度以外に、電場、磁場を生み出すものが存在しない
電荷密度と電流密度は、無限の過去では0に収束する
電荷密度と電流密度は、無限遠では0に収束する
電荷密度と電流密度は、自由空間に配置されている(境界のない時空間を仮定している)
時空因果律が成り立つ
このとき、電場 E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}} は、以下の式(時間依存がある場合のクーロンの法則)で与えられる。
↑ 1番目以外の仮定以外は、物理学的に考えもっともらしい仮定だが、1番目の仮定(電荷密度と電流密度は位置と時刻のみの関数であること)は近似的である。例えば、仮に真空中であってもベルシュ効果 (Boersch effect) 等の自己相互作用が無視できない場合には適用できないことを意味する。加えて物質が介在するような一般的な場合には、電流密度の存在が新たな電流密度(磁化電流)を発生させたり(磁化)、電荷密度の存在が、あらたな電荷密度(分極電荷)を発生させる効果(分極)があるため、適用に注意を要する。 この意味で、ジェフィメンコ方程式は数学的は厳密解であると同時に、物理的には近似解としての性格を持つ。
↑ 交流磁場に対しビオ・サバールの法則を適用してよいかという議論がある。 ジェフィメンコ方程式を見ると、低周波かつ電流密度が「光速×1周期」に対し十分 局在している場合に限り、ビオ・サバールの法則が比較的よい精度で成り立つことが分かる。