近傍 (位相空間論)
距離空間 (X, d) において、X の部分集合 V が X の点 p の近傍であるとは、p を中心とする半径 r の開球体
B r ( p ) = B ( p ; r ) = { x ∈ X ∣ d ( x , p ) < r } {\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}
で、V に含まれるようなものが存在することをいう。
V が X の部分集合 S の一様近傍であるとは、正の実数 r > 0 が存在して、S の任意の点 p に対して
B r ( p ) = { x ∈ X ∣ d ( x , p ) < r } {\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}
が V に含まれるときにいう。
各 r > 0 に対して、集合 S の r-近傍 Sr とは S からの距離が r より小さいような X の点全体の成す集合をいう。これは S の各点を中心とする半径 r の開球体全体の和集合が Sr であるといっても同じである。
従って直接的に、r-近傍が一様近傍であること、および、ある集合が一様近傍であるための必要十分条件が、その集合が適当な値の r に対する r-近傍を含むことであることなどが分かる。