コンパクト開位相
X, Z を位相空間、Y を局所コンパクトな位相空間とする時、写像 C ( X , Y ) × C ( Y , Z ) → C ( X , Z ) , ( f , g ) ↦ g ∘ f {\displaystyle C(X,Y)\times C(Y,Z)\to C(X,Z),\;(f,g)\mapsto g\circ f} はコンパクト開位相に関して連続である。
X, Y を位相空間とする時、Y がハウスドルフ(resp. 正則)空間であれば C(X, Y) はハウスドルフ(resp. 正則)である。
X をコンパクトハウスドルフ空間とし、X からそれ自身への同相写像全体の集合を H(X) とすると、写像 H ( X ) → H ( X ) , f ↦ f − 1 {\displaystyle H(X)\to H(X),\;f\mapsto f^{-1}} はコンパクト開位相に関して連続である。写像の合成も前述のように連続であるので、H(X) は関数合成に関して位相群をなす。