ゾンマーフェルト展開
ゾンマーフェルト展開(ゾンマーフェルトてんかい、英: Sommerfeld expansion)は、アルノルト・ゾンマーフェルトにより開発された、物性物理学および統計物理学において頻出する特定の種類の積分を近似する手法である。これらの積分は物理的には、フェルミ・ディラック分布を用いた統計平均を表わしている。
逆温度 β {\displaystyle \beta } が大きいとき、これらの積分は β {\displaystyle \beta } について以下のように展開できる
∫ − ∞ ∞ H ( ε ) e β ( ε − μ ) + 1 d ε = ∫ − ∞ μ H ( ε ) d ε + π 2 6 ( 1 β ) 2 H ′ ( μ ) + O ( 1 β μ ) 4 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\varepsilon )}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}\,\mathrm {d} \varepsilon =\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {1}{\beta }}\right)^{2}H^{\prime }(\mu )+O\left({\frac {1}{\beta \mu }}\right)^{4}}
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}{\frac {1}{5!}}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)^{5}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{6!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{6}+{\frac {1}{4!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{4}{\frac {T^{2}}{4!}}+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{2}{\frac {7}{8}}{\frac {T^{4}}{6!}}+{\frac {31}{24}}{\frac {T^{6}}{8!}}.}
ボース分布関数の偶数次モーメントの母関数は、以下の形である。
∫ 0 ∞ d ε 2 π sinh  ( ε τ / π ) 1 e β ε − 1 = 1 4 τ { 1 − τ T tan  τ T } , 0 < τ T < π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}\sinh(\epsilon \tau /\pi ){\frac {1}{e^{\beta \epsilon }-1}}={\frac {1}{4\tau }}\left\{1-{\frac {\tau T}{\tan \tau T}}\right\},\quad 0<\tau T<\pi }