曲線あてはめ
また、j番目の測定条件 x i {\displaystyle {\textbf {x}}_{i}} の第i成分を x i j {\displaystyle x_{ij}} で表すものとする。
我々が考えるべき問題は、適当な α {\displaystyle \alpha } 個のパラメータ a 1 , ⋯ , a α {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{\alpha }} と、k+ α {\displaystyle \alpha } 変数の関数 f ( x , a ) {\displaystyle f({\textbf {x}},{\textbf {a}})} を考え、 a {\displaystyle {\textbf {a}}} の値を調整し
S ( a ) = ∑ j = 1 n | y i − f ( x j , a ) | 2 {\displaystyle S({\textbf {a}})=\sum _{j=1}^{n}|y_{i}-f({\textbf {x}}_{j},{\textbf {a}})|^{2}} ・・・・ (1-1)
を最小とするような、 a {\displaystyle {\textbf {a}}} を求める問題に帰着される。
我々が考えるべき問題は、実験データを実験を説明する「説明変数」と「目的変数」に分類した上で、説明変数 x {\displaystyle {\textbf {x}}} と、目的変数yの関係
y = g ( x ) {\displaystyle y=g({\textbf {x}})}
を求めることである。説明変数としては測定条件を考えることが多く、目的変数としては、測定値を考えることが多い。説明変数、目的変数共にベクトル量である可能性があるが、測定値のほうは、多変数関数の微分が、値域側の成分に関して独立であることからスカラー量としても一般性を失わない。一方、多変数関数の微分は、定義域側の成分については独立でないため、一般論を述べる上ではベクトル量としておかなければならない。以下、測定条件は、k次元ベクトルの形で与えられているとする。成分で表記すると
x = ( x 1 ⋮ x k ) {\displaystyle {\textbf {x}}=\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{k}\\\end{matrix}}\right)}
となる。
実験データは、説明変数に関するデータ x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle {\textbf {x}}_{1},\cdots ,{\textbf {x}}_{n}} と目的変数に関するデータ y 1 , ⋯ , y n {\displaystyle y_{1},\cdots ,y_{n}} の組、 ( y 1 , x 1 ) , ⋯ , ( y n , x n ) {\displaystyle (y_{1},{\textbf {x}}_{1}),\cdots ,(y_{n},{\textbf {x}}_{n})} の形で得られる。