正規順序積
場の古典論における物理量を単純に正準量子化した場合、その真空期待値は無限大に発散する量を含むことがある。この場合、正規順序積を考えることで、意味のある量を取り出すことができる。例えば、上述の実スカラー場において、古典量を単純に正準量子化したハミルトニアンと運動量は
H = 1 2 ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 2 k 0 k 0 ( a † ( k ) a ( k ) + a ( k ) a ( k ) † ) {\displaystyle H={\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}2k_{0}}}k_{0}(a^{\dagger }(k)a(k)+a(k)a(k)^{\dagger })}
P = 1 2 ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 2 k 0 k ( a † ( k ) a ( k ) + a ( k ) a ( k ) † ) {\displaystyle \mathbf {P} ={\frac {1}{2}}\int {\frac {d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}2k_{0}}}\mathbf {k} (a^{\dagger }(k)a(k)+a(k)a(k)^{\dagger })}
となるが、積分の第二項の真空期待値は発散する。ここで、 H {\displaystyle H} と P {\displaystyle \mathbf {P} } を予め正規順序をとった N [ H ] {\displaystyle N[H]} と N [ P ] {\displaystyle N[\mathbf {P} ]} とすれば、