ド・モアブルの定理
( cos  θ + i sin  θ ) n = ( cos  θ + i sin  θ ) − m = 1 ( cos  θ + i sin  θ ) m = 1 cos  m θ + i sin  m θ = cos  m θ − i sin  m θ ( cos  m θ + i sin  m θ ) ( cos  m θ − i sin  m θ ) = cos  m θ − i sin  m θ = cos  ( − m θ ) + i sin  ( − m θ ) = cos  ( − m ) θ + i sin  ( − m ) θ = cos  n θ + i sin  n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{-m}\\&={\frac {1}{(\cos \theta +i\sin \theta )^{m}}}\\&={\frac {1}{\cos m\theta +i\sin m\theta }}\\&={\frac {\cos m\theta -i\sin m\theta }{(\cos m\theta +i\sin m\theta )(\cos m\theta -i\sin m\theta )}}\\&=\cos m\theta -i\sin m\theta \\&=\cos(-m\theta )+i\sin(-m\theta )\\&=\cos(-m)\theta +i\sin(-m)\theta \\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}}
ゆえに n < 0 のときも本定理が成り立つ。 したがって、1、2 より、任意の整数 n に対して、本定理が成り立つ。 (Q.E.D.)
( cos  θ + i sin  θ ) n = ( cos  θ + i sin  θ ) n − 1 ( cos  θ + i sin  θ ) = { cos  [ ( n − 1 ) θ ] + i sin  [ ( n − 1 ) θ ] } ( cos  θ + i sin  θ ) = { cos  [ ( n − 1 ) θ ] cos  θ − sin  [ ( n − 1 ) θ ] sin  θ } + i { sin  [ ( n − 1 ) θ ] cos  θ + cos  [ ( n − 1 ) θ ] sin  θ } = cos  n θ + i sin  n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]+i\sin[(n-1)\theta ]\}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]\cos \theta -\sin[(n-1)\theta ]\sin \theta \}+i\{\sin[(n-1)\theta ]\cos \theta +\cos[(n-1)\theta ]\sin \theta \}\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}}
ゆえに、n のときも本定理は成立する。 よって、[i], [ii] から、数学的帰納法によって、n ≥ 0 に対して本定理が成り立つ。
2. 続いて n < 0 の場合を、1. を利用して証明する。
n < 0 のとき、n = −m とおくと、m は自然数である。 1. の結果より、m については定理の等式が成り立つから、
ド・モアブルの定理(ド・モアブルのていり、英: de Moivre's theorem; ド・モアブルの公式(ド・モアブルのこうしき)ともいう)とは、複素数(特に実数)θ および整数 n に対して
( cos  θ + i sin  θ ) n = cos  n θ + i sin  n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }
が成り立つという、複素数と三角関数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない。数学的帰納法による証明では、三角関数の加法定理が利用される。
実数 θ と正の整数 n に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、n倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n倍角の公式を内在的に含んでいる。
オイラーの公式: e i θ = cos  θ + i sin  θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } より、ド・モアブルの定理は複素指数函数についての指数法則の一つ:
( e i θ ) n = e i n θ ( θ ∈ C , n ∈ Z ) {\displaystyle (e^{i\theta })^{n}=e^{in\theta }\quad (\theta \in \mathbb {C} ,\,n\in \mathbb {Z} )}
が成り立つことを意味している。
∴ r n = 1 , n θ = 2 π k ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) {\displaystyle \therefore r^{n}=1,\ n\theta =2\pi k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)}
∴ r = 1 , θ = 2 π n k ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) {\displaystyle \therefore r=1,\ \theta ={\frac {2\pi }{n}}k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)}
∴ z = cos  2 π n k + i sin  2 π n k ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) ◼ {\displaystyle \therefore \ z=\cos {\frac {2\pi }{n}}k+i\sin {\frac {2\pi }{n}}k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)\quad \blacksquare }