ヘーグナー数
ラマヌジャンの定数とは超越数 e π 163 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}} のことであり、整数に非常に近い(英語版)という点でほとんど整数である。
e π 163 = 262 537 412 640 768 743.999 999 999 999 25 ... {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots } ≈ 640 320 3 + 744. {\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744.}
この数は、1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見された。サイエンティフィック・アメリカン誌の1975年エイプリルフールの記事 「数学的ゲーム」のコラムニストであるマーティン・ガードナーは、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。
この偶然性は、 虚数乗法とj-不変量のq-展開によって説明できる。
p を奇素数として、 k = 0 , 1 , ... , ( p − 1 ) / 2 {\displaystyle k=0,1,\dots ,(p-1)/2} に対して k 2 ( mod p ) {\displaystyle k^{2}{\pmod {p}}} を計算すると( ( p − k ) 2 ≡ k 2 ( mod p ) {\displaystyle (p-k)^{2}\equiv k^{2}{\pmod {p}}} なので、k の範囲はこれで十分である)、 p がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数のに続いて連続する合成数が得られる。
詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ。