ネヴァンリンナ理論
ここで、 S(r,f) は誤差項である。
平面上の有理型関数については、有限長の集合の外では、S(r,f) = o(T(r,f)) すなわち誤差項は、「ほとんどの」 r の値の標数に比べて小さい。もっと良い誤差項の推定値が知られているが、アンドレ・ブロッホが予想し、ヘイマンが例外的な集合を処分できないことを証明した。
第二基本定理では、 N(r,a) の観点から標数関数の上限を与えることができる。例えば、 f が超越的な整関数である場合、 k = 3 、a3 = ∞ として第二基本定理を用いると、 f は、最大でも2つの例外を除いて、全ての値を無限に取ることが得られ、ピカールの定理が証明される。
第二基本定理のネヴァンリンナによる元の証明は、 m(r,f'/f) = S(r,f) であるという、いわゆる対数微分に関するレンマに基づいている。同様の証明は、多くの多次元一般化にも適用される。また、ガウス・ボネの定理に関連する微分幾何学的証明もある。第二基本定理は計量位相論的なアールフォルス理論(英語版)からも導き出されるが、これはリーマン・フルヴィッツの公式を無限次の被覆に拡張したものと考えることができる。
ネヴァンリンナとアールフォルスの証明は、第二基本定理の定数 2 がリーマン面のオイラー標数に関係していることを示している。しかし、この 2 については、チャールズ・オスグッドとポール・ヴォイタ(英語版)によって発見された数論との深い類推に基づいた全く異なる説明がある。この類推によれば、 2 はトゥエ・ジーゲル・ロスの定理の指数である。この数論との類推については、Lang (1987)の調査とRu (2001)の本を参照のこと。