ラプラス変換
実数 t ≥ 0 について定義された関数 f (t) のラプラス変換とは
F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t {\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {e} ^{-st}\mathrm {d} t}
で定義される s の関数 F(s) のことである。ここで s は複素数であり、2 つの実数 σ, ω を用いて s = σ + iω と表すことができる(i は虚数単位)。右辺の積分はラプラス積分 (Laplace integral) と呼ばれる。これは時間領域から複素平面への写像である。
また、c > 0 として、関数 F(s) から元の関数 f (t) を計算することを逆ラプラス変換 (inverse Laplace transform) といい、
f ( t ) = lim p → ∞ 1 2 π i ∫ c − i p c + i p F ( s ) e s t d s {\displaystyle f(t)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-ip}^{c+ip}F(s)\mathrm {e} ^{st}\,\mathrm {d} s}
のように定義されている。ここでcは全ての特異点の実部よりも大きい実数である。右辺の積分はブロムウィッチ積分 (Bromwich integral) と呼ばれる。これは複素平面から時間領域への写像である。
これは複素積分となっている。