保型形式
調和解析や数論において、保型形式(ほけいけいしき、英: automorphic form)は、位相群 G 上で定義された複素数(あるいは複素ベクトル空間)値の函数で、離散部分群 Γ ⊂ G の作用の下に不変なものである。保型形式は、ユークリッド空間における周期函数(これは離散位相群としての 1 次元トーラス上の函数と見なされる)を、一般の位相群に対して一般化したものである。
モジュラー形式は、モジュラー群あるいは合同部分群(英語版)のひとつを離散部分群として持つ SL2(R)(特殊線型群)や PSL2(R)(射影特殊線型群)の上に定義された保型形式である。この意味では、保型形式の理論はモジュラー形式の理論の拡張である。
アンリ・ポアンカレ (Henri_Poincaré) は、三角函数や楕円函数の一般化として、最初に保型形式を発見した。ラングランズ予想を通して、保型形式は現代の数論で重要な役割を果たす。
(1960年ごろに)この非常に一般な状況が提示される以前に、モジュラー形式以外の保型形式は既に十分研究されていた。Γ がフックス群(英語版)である場合は、1900年よりも前に既に知られていた(後述)。 ヒルベルト・モジュラー形式(英語版)(あるいはヒルベルト-ブルメンタル形式と呼ばれることもある)がその後まもなく提唱されたが、その完全な理論は長らく得られなかった。ジーゲル・モジュラー形式(英語版) は G がシンプレクティック群の場合で、モジュライ空間とテータ函数から自然に生じるものである。戦後、多変数函数論における興味から自然に、それらの形式がいつ複素解析的になるかといったところから保型形式の概念が追求されていった。そのような理論の構築に関して、1960年ごろの数年で、多くの仕事が特にイリヤ・ピアテツキー=シャピロによって成された。 セルバーグ跡公式の理論がたくさんの応用を持つなど、この理論が相当深いものであることが窺い知れる。ロバート・ラングランズはリーマン・ロッホの定理を保型形式の次元の計算に応用することができる方法を(特定の場合については多くの場合が知られていたが、そうではなく一般に)示した。これは概念の有効性についての「ポスト・ホック」な確認の一種である。ラングランズは(この問題に対する、スペクトル論の言葉で言えば「連続スペクトル」であるところのものに対応する)アイゼンシュタイン級数の尖点形式あるいは離散部分の吟味を除く一般論も導入している。数論の観点からは、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン以降、尖点形式は問題の核心であると理解されている。