階乗
負の整数を除けば、階乗関数は非整数の値に対しても定義することができるが、そのためには解析学の道具立てが必要である。そのように階乗の値を「補間」して得られるものの一つがガンマ函数 Γ(z) である(ただし引数が 1 だけずれる)。これは負の整数を除く任意の複素数 z に対して定義される。z の実部が正である場合には
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}
で与えられる。ガンマ函数と階乗との関係は、任意の自然数 n に対して
n ! = Γ ( n + 1 ) {\displaystyle n!=\Gamma (n+1)}
が成り立つことである。オイラーのもともとの定義式は
Γ ( z ) = lim n → ∞ n z n ! ∏ k = 0 n ( z + k ) {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}}
である。ガウスの導入した別表記として、負でない実数 z に対するパイ函数 Π(z) は
Π ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e − t d t {\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt}
を満たす。ガンマ函数との関係は
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)}
である。非負整数 n に対し
数学において非負整数 n の階乗(かいじょう、英: factorial)n ! は、1 から n までの全ての整数の積である。例えば、
6 ! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 {\displaystyle 6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720}
である。空積の規約のもと 0! = 1 と定義する。
階乗は数学の様々な場面に出現するが、特に組合せ論、代数学、解析学などが著しい。階乗の最も基本的な出自は n 個の相異なる対象を1列に並べる方法(対象の置換)の総数が n! 通りであるという事実である。
階乗の定義は、最も重要な性質を残したまま、非整数を引数とする函数に拡張することができる。そうすれば解析学における著しい手法などの進んだ数学を利用できるようになる。
π = ( 2 n − 1 ) ! 2 2 n − 1 ( n − 1 ) ! π {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{2k-1 \over 2}={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={(2n-1)! \over 2^{2n-1}(n-1)!}{\sqrt {\pi }}}
が得られる。例えば
Γ ( 4.5 ) = 3.5 ! = Π ( 3.5 ) = 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2 π = 8 ! 4 4 4 ! π = 7 ! 2 7 3 ! π = 105 16 π ≈ 11.63. {\displaystyle \Gamma \left(4.5\right)=3.5!=\Pi \left(3.5\right)={1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}{\sqrt {\pi }}={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={7! \over 2^{7}3!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}\approx 11.63.}
同様に n ∈ N に対して
Γ ( 1 2 − n ) = ( − 1 2 − n ) ! = Π ( − 1 2 − n ) = π ∏ k = 1 n 2 1 − 2 k = ( − 4 ) n n !