創造的集合と生産的集合
となるように選ぶ。Smn定理よりこの指標の列は(原始)帰納的に取れるので、そのようにしておく。 W e n {\displaystyle W_{e_{n}}} の構成に関する帰納法により W e n ⊆ P {\displaystyle W_{e_{n}}\subseteq P} が分かる。またここから f ( e n ) ∉ W e n {\displaystyle f(e_{n})\notin W_{e_{n}}} が分かる。ゆえに W e n {\displaystyle W_{e_{n}}} はn元集合であり、
A := ⋃ n ∈ N W e n = { f ( e n ) | n ∈ N } {\displaystyle A:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }W_{e_{n}}=\{f(e_{n})|n\in \mathbb {N} \}}
は P {\displaystyle P} に含まれる無限集合である。ところで帰納的集合の帰納的関数による像は帰納的可算であるから、 A {\displaystyle A} は帰納的可算である。ここから単純集合は創造的でないことが分かる。