ディリクレ級数
即ち、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は、 s = 1 {\displaystyle s=1} で1位の極を持ち、留数は α である。
逆に、上記ディリクレ級数の係数が非負の実数であり、収束軸が 1 で、 s = 1 {\displaystyle s=1} を除いて、 Re  s = 1 {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s=1} の近傍まで正則に解析接続できるとする。また s = 1 {\displaystyle s=1} で1位の極とし、留数を α とすると、
lim x → ∞ 1 x ∑ n ≤ x a n = α {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\sum _{n\leq x}a_{n}=\alpha }
が成り立つ。