平坦射
平坦射の合成は平坦。
平坦射のファイバー積は平坦、忠実平坦射のファイバー積は忠実平坦。
平坦性と忠実平坦性は基底変換で保たれる。つまり、 g : Y ′ → Y {\displaystyle g\colon Y'\to Y} に対して、f が平坦または忠実平坦ならファイバー積 f × g : X × Y Y ′ → Y ′ {\displaystyle f\times g\colon X\times _{Y}Y'\to Y'} もそれぞれ平坦または忠実平坦である。
(局所的に有限表示の)射が平坦となる点の集合は開集合。
f が忠実平坦かつ有限表示とする。g f が有限型または有限表示であれば、g もそれぞれ有限型または有限表示である。
f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} をスキームの平坦射とする。
F を Y 上の有限表示の準連接層(例えば連接層)とし、J を Y 上の F の零化イデアルとする。このとき、包含写像の引き戻し f ∗ J → O X {\displaystyle f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}} は単射で f ∗ J {\displaystyle f^{*}J} の O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} における像は X 上の f ∗ F {\displaystyle f^{*}F} の零化イデアルである。
f が忠実平坦で G を準連接 O Y {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}} 加群とする。