尤度方程式
Xi (i=1,..,n)が形状パラメータをα、尺度パラメータをβとするガンマ分布に従うとする(X ∼ Γ(α, β))。このとき、対数尤度関数は
l ( α , β , x ) = − n ln  Γ ( α ) − n α ln  β + ( α − 1 ) ∑ i = 1 n ln  x i − 1 β ∑ i = 1 n x i {\displaystyle l(\alpha ,\beta ,\mathbf {x} )=-n\ln {\Gamma (\alpha )}-n\alpha \ln {\beta }+(\alpha -1)\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}}-{\frac {1}{\beta }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
であり、尤度方程式は
∂ l ( α , β , x ) ∂ α = − n ψ ( α ) − n ln  β + ( α − 1 ) ∑ i = 1 n ln  x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial l(\alpha ,\beta ,\mathbf {x} )}{\partial \alpha }}=-n\psi (\alpha )-n\ln {\beta }+(\alpha -1)\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}}=0}