有界入力有界出力安定性
インパルス応答 h [ n ] {\displaystyle \ h[n]} の離散な線型時不変系があるとき、入力 x [ n ] {\displaystyle \ x[n]} と出力 y [ n ] {\displaystyle \ y[n]} の関係は次のように表される。
y [ n ] = h [ n ] ∗ x [ n ] {\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]}
ここで、 ∗ {\displaystyle *} は畳み込みを意味する。したがって、畳み込みの定義から次が導かれる。
y [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ h [ k ] x [ n − k ] {\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}
‖ x ‖ ∞ {\displaystyle \|x\|_{\infty }} を | x [ n ] | {\displaystyle \ |x[n]|} の最大値(無限大ノルム)とする。
| y [ n ] | = | ∑ k = − ∞ ∞ h [ n − k ] x [ k ] | {\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|}