加群の直和
多元環 X と Y の直和とは、ベクトル空間の直和に積を
( x 1 + y 1 ) ( x 2 + y 2 ) = ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) {\displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})}
で入れたものをいう。これらの古典的な例を考えよう:
R ⊕ R {\displaystyle \mathbb {R\oplus R} } は分解型複素数に環同型であり、区間算術(英語版)においても使われる。
C ⊕ C {\displaystyle \mathbb {C\oplus C} } は 1848 年にジェームズ・コックル(英語版)によって導入されたテッサリンの多元環である。
H ⊕ H {\displaystyle \mathbb {H\oplus H} } は、分解型双四元数(英語版)と呼ばれ、1873 年にクリフォード(英語版)によって導入された。
ジョゼフ・ウェダーバーン(英語版)は、自身の超複素数の分類において、多元環の直和の概念を利用した (Wedderburn, Lectures on Matrices (1934), page 151)。
圏論の言葉では、直和は余積でありしたがって左 R-加群の圏の余極限である、つまりそれは以下の普遍性によって特徴づけられる。すべての i ∈ I に対して、 Mi の元を i を除くすべての変数に対して 0 である関数に送る自然な埋め込み
j i : M i → ⨁ k ∈ I M k {\displaystyle j_{i}\colon M_{i}\to \bigoplus _{k\in I}M_{k}}
を考えよ。fi : Mi → M がすべての i に対して任意の R-線型写像であれば、ちょうど1つの R-線型写像
f : ⨁ i ∈ I M i → M {\displaystyle f\colon \bigoplus _{i\in I}M_{i}\to M}
が存在して、すべての i に対して f o ji = fi である。
双対的に、直積は積である。