条件付き独立
確率変数ベクトル 独立 Z = ( Z 1 , ... , Z n ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\dots ,Z_{n})^{\top }} の下で2つの確率変数ベクトル X = ( X 1 , ... , X l ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\dots ,X_{l})^{\top }} と Y = ( Y 1 , ... , Y m ) ⊤ {\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\dots ,Y_{m})^{\top }} が条件付き独立であるとは、 Z {\displaystyle \mathbf {Z} } の下で条件付き累積分布が独立であることと同値である。
X ⊥ ⊥ Y ∣ Z ⟺ F X , Y | Z = z ( x , y ) = F X ∣ Z = z ( x ) F Y ∣ Z = z ( y ) f o r a l l x , y , z {\displaystyle \mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} \mid \mathbf {Z} \quad \iff \quad F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} |\mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=F_{\mathbf {X} \mid \mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {x} )\,F_{\mathbf {Y} \mid \mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {y} )\quad \mathrm {for\ all} \;\mathbf {x} ,\,\mathbf {y} ,\,\mathbf {z} }
条件付き独立(じょうけんつきどくりつ、英語: conditional independence)は、確率論において、ある仮説の確からしさを評価するときに、ある観測が無関係または冗長である場合をいう。
条件付き独立は通常、条件付き確率の観点から定式化される。情報のない観測が与えられた場合の仮説の確率が、情報のない場合の確率と等しいという特殊な場合である。仮説 A {\displaystyle A} 、観測 B {\displaystyle B} 、観測 C {\displaystyle C} を用いて、条件付き独立性は P ( A ∣ B , C ) = P ( A ∣ C ) {\displaystyle P(A\mid B,\,C)=P(A\mid C)} として表現できる。
事象 C {\displaystyle C} の下で事象 A {\displaystyle A} と事象 B {\displaystyle B} が条件付き独立であるとは、 P ( C ) > 0 {\displaystyle P(C)>0} に加えて次式が成立することと同値である。
P ( A ∣ B , C ) = P ( A ∣ C ) {\displaystyle P(A\mid B,\,C)=P(A\mid C)}
これは、しばしば次のように表現される。
A ⊥ ⊥ B ∣ C {\displaystyle A\perp \!\!\!\perp B\mid C}
条件付き独立は次のように表すこともできる。
P ( A , B ∣ C ) = P ( A ∣ C ) P ( B ∣ C ) {\displaystyle P(A,\,B\mid C)=P(A\mid C)\,P(B\mid C)}
ここで、 P ( A , B ∣ C ) {\displaystyle P(A,\,B\mid C)} は事象 C {\displaystyle C} の下で事象 A {\displaystyle A} と事象 B {\displaystyle B} がともに成立する確率である。