デュレーション
D = ∑ i Δ T i C i e − y i Δ T i P {\displaystyle D=\sum _{i}\Delta T_{i}{\frac {C_{i}e^{-y_{i}\Delta T_{i}}}{P}}}
これはそれぞれのキャッシュフローの残存期間を現在価値により加重平均したものに等しい。この形式で表現されるデュレーションはマコーレー・デュレーションと呼ぶ。利付債のように確定的なキャッシュフローをもつ証券では、実効デュレーションはマコーレーデュレーションに等しい。
プット条項付の債券など、オプションを内包する債券の価格の金利に対する感応度は、マコーレー・デュレーションや修正デュレーションではなく、実効デュレーションを用いて分析する必要がある。 実効デュレーションの評価はしばしば以下のような離散近似が用いられる。
D e f f = P − Δ y − P + Δ y 2 ( P 0 ) Δ y {\displaystyle D_{eff}={\frac {P_{-\Delta y}-P_{+\Delta y}}{2(P_{0})\Delta y}}}
ここで Δ y {\displaystyle \Delta y} は利回りの変化量、 P − Δ y {\displaystyle P_{-\Delta y}} と P + Δ y {\displaystyle P_{+\Delta y}} は利回りがy下降あるいは上昇したときの債券価格である。
年複利などの微少変化に対する利付債価格の変化の大きさは、修正デュレーション D ∗ {\displaystyle D^{*}} で与えられる。
評価時点から i / n {\displaystyle i/n} 後に生じるキャッシュ・フローを C i {\displaystyle C_{i}} とすると、この債券の現在価値は、
P = ∑ i C i ( 1 + r / n ) i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {C_{i}}{(1+r/n)^{i}}}}
である。ここで r {\displaystyle r} は債券の最終利回り(複利) 、 n {\displaystyle n} は1年あたりのキャッシュフロー発生回数である。修正デュレーションは、キャッシュ・フローの残存期間の加重平均の式として定義される。
D ∗ = 1 P ∑ i C i ( 1 + r / n ) i + 1 ⋅ i / n {\displaystyle D^{*}={\frac {1}{P}}\sum _{i}{\frac {C_{i}}{(1+r/n)^{i+1}}}\cdot i/n}
ここで、 P {\displaystyle P} を r {\displaystyle r} について微分すると、
∂ P ∂ r = − P ⋅ D ∗ {\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial r}}=-P\cdot D^{*}}
が得られる。