乗法的積分
と定義することは意味を為す。ただし、 y 0 < a = s 0 < y 1 < ⋯ < y n − 1 < s n − 1 < y n = b {\textstyle y_{0}<a=s_{0}<y_{1}<\dots <y_{n-1}<s_{n-1}<y_{n}=b} は点付き分割で、 a = y 0 < y 1 < ⋯ < y m {\textstyle a=y_{0}<y_{1}<\dots <y_{m}} は階段函数 f の定義分割とする。(これと対照に前者の近似で考えると、対応する量を紛れ無く定義することは難しい。) この定義を勝手な測度空間に一般化することは容易である。X は測度 μ を持つ測度空間とすると、任意のヴォルテラ可積分単函数 f ( x ) = ∑ k = 1 n a k I A k ( x ) {\textstyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)} (つまり、適当な互いに素な可測集合列 A 0 , A 1 , ... , A m − 1 ⊆ X {\textstyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{m-1}\subseteq X} の指示函数の凸結合))に対して、ヴォルテラ積分を
と定義する(ak は Ak における f の値であることに注意)。
以下、幾何積分について述べる(他の乗法的積分では事情が異なる場合があることに注意)。