位置エネルギー
地球の中心から地表までの距離を R とすると、地球の中心から物体までの距離は R+h となる。前式に代入すると、
U = − G M m R + h {\displaystyle U=-G{\frac {Mm}{R+h}}}
となる。地表を基準にするために、地表での位置エネルギーを引くと、
E = − G M m R + h − ( − G M m R ) {\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{R+h}}-\left(-G{\frac {Mm}{R}}\right)}
第1項をテイラー展開し、2次以降の式は小さいので0と見なして省略すると
E = − G M m R + G M m R 2 h − ( − G M m R ) {\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{R}}+G{\frac {Mm}{R^{2}}}h-\left(-G{\frac {Mm}{R}}\right)}
となり、第2項の
G M R 2 = G M m R 2 1 m = F m = m g m {\displaystyle G{\frac {M}{R^{2}}}=G{\frac {Mm}{R^{2}}}{\frac {1}{m}}={\frac {F}{m}}={\frac {mg}{m}}} (Fは地表の物体にかかる力)
は地表付近の重力加速度 g だから置き換えると、
E = m g h {\displaystyle \mathbf {} E=mgh}
となる。