ローレンツ方程式
G.A. Leonov & N.V. Kuznetsov (2015). “On differences and similarities in the analysis of Lorenz, Chen, and Lu systems”. Applied Mathematics and Computation 256: 334–343. doi:10.1016/j.amc.2014.12.132. http://www.ee.cityu.edu.hk/~gchen/pdf/LN2015.pdf.
Pchelintsev, A.N. (2022). “On a high-precision method for studying attractors of dynamical systems and systems of explosive type”. Mathematics 10 (8): 1207. arXiv:2206.08195. doi:10.3390/math10081207. https://www.mdpi.com/2227-7390/10/8/1207/pdf.
スメイルの14番目の問題は「ローレンツアトラクターはストレンジアトラクターの性質を持つか?」というものであった。この問題は2002年にウォリック・タッカーによって肯定的に解決された。証明には 区間演算、正準系などの厳密な数値計算が用いられた。初めにタッカーは流れの軌跡によって横方向に切断したものである断面積 Σ ⊂ { x 3 = r − 1 } {\displaystyle \Sigma \subset \{x_{3}=r-1\}} を定義した。ここから、各 x ∈ Σ {\displaystyle x\in \Sigma } に対して x {\displaystyle x} の軌跡が初めて Σ {\displaystyle \Sigma } に交わる点 P ( x ) {\displaystyle P(x)} とするfirst-return写像 P {\displaystyle P} を定義できる。
続く証明は3つのポイントに分かれてなされ、ストレンジアトラクターの存在を示唆する。
the first-return写像で不変、すなわち P ( N ) ⊂ N {\displaystyle P(N)\subset N} なる区域 N ⊂ Σ {\displaystyle N\subset \Sigma } が存在する。
The return写像はforward invariant cone fieldを認める
この不変円錐場内のベクトルは、return写像の微分 D P {\displaystyle DP} によって一様に拡大される。