最小作用の原理
変分原理
解析力学
力学
経路積分
物理学
オイラー=ラグランジュ方程式
ラグランジュ形式において、作用汎関数はラグランジュ関数 L の積分
S [ q ] = ∫ t 0 t 1 L ( q ( t ) , q ̇ ( t ) , t ) d t {\displaystyle S[q]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,dt}
として与えられる。ラグランジュ形式における力学変数は一般化座標 q である。一般化座標の変分 δq に対して作用の変分は
δ S = [ p ( t ) δ q ( t ) ] t 0 t 1 + ∫ t 0 t 1 [ ∂ L ∂ q − p ̇ ( t ) ] δ q ( t ) d t {\displaystyle \delta S={\Big [}p(t)\,\delta q(t){\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[{\frac {\partial L}{\partial q}}-{\dot {p}}(t)\right]\delta q(t)\,dt}
となる。ここで p は一般化座標に共役な一般化運動量である。最小作用の原理から導かれる運動方程式は
δ S [ q ] δ q ( t ) = ∂ L ∂ q − p ̇ ( t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S[q]}{\delta q(t)}}={\frac {\partial L}{\partial q}}-{\dot {p}}(t)=0}
である。境界条件として
δ q ( t 0 ) = δ q ( t 1 ) = 0 {\displaystyle \delta q(t_{0})=\delta q(t_{1})=0}