球充填
カート・ヴォネガットの小説『猫のゆりかご』には、アイス・ナインという物質が登場する。その特性の説明として球の様々な充填方法があることが説明される。アイス・ナインは架空の水分子であり、それに触れた他の水分子をアイス・ナインの状態に変化させる性質がある。
3次元における球充填問題は、任意次元における球充填という問題のクラスの一部である。2次元における同等な問題は円による平面充填(英語版)である。
2次元ユークリッド空間(平面)については、カール・フリードリヒ・ガウスが最も密度の高い円の正規配置は六方充填配置であることを証明した。これは、円の中心が六方格子(ハニカム構造のようなもの)になっており、それぞれの円は6個の円で囲まれている。その充填密度は
π 12 ≈ 0.9069 {\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {12}}}\approx 0.9069}
である。
1940年、ハンガリー(マジャル人)の数学者ラースロー・フェイェシュ=トート(英語版)は、六方格子が正規も非正規も含めたあらゆる円充填の中で最も高密度であることを証明した。
これを一般化した概念を「円充填 (circle packing)」と呼び、様々な大きさの円を組み合わせて平面を充填することを指す。これは、等角写像、リーマン面といった概念の離散化した類似物を生み出す。