アフィン写像
適当な b を選んで、アフィン変換 Ax + b がちょうど一つの不動点をもつようにすることができる。
線型変換部分が A であるようなアフィン変換は、適当な点を原点と見て線型変換として書くことができる。
もしアフィン変換が不動点を持てば、それを原点とみなすことにより、アフィン変換を線型変換に簡約化することができ、変換の分類と理解の助けとすることができる。たとえば、変換をある軸に関するある角の回転として記述することは、変換を回転と平行移動の組み合わせとして記述することに比べれば、全体での振舞いを把握するのは容易である。しかしこれは対象とするものと文脈に依存する。「物体」に対する変換を記述するのであれば、離れたところにある点に関する単一の回転として記述するよりも、適当な平行移動を組み合わせて物体の中心を通る軸に関する回転として記述するほうが意味のある場合も多い。たとえば、「200m 北へ行き、反時計回りに 90° 回転する」というほうが、同じ意味の「141m 北東にある点を中心に反時計回りに 90° 回転する」というよりも判りやすい。
不動点を持たない(したがって A が 1 を固有値に持つ)平面上のアフィン変換は以下のいずれかである。
純平行移動。
ある方向への直線に関して(必ずしも直交しない)別の与えられた方向への拡大縮小と、拡縮方向へは純でない平行移動との組合せ。スケール因子は別の固有値で、一般化された意味での拡大縮小はスケール因子が 0 である場合(射影)や負である場合(鏡映や映進など)を含む。
剪断と剪断方向へは純でない平行移動との組み合わせ(固有値は 1 のみで、対数的重複度は 2 だが幾何的重複度は 1)。
行列とベクトルに関する通常の積はつねに原点を原点に移すから、したがって原点を他の点に移すことが必要になる平行移動を表現することはできない。任意のベクトルに 1 を追加することにより、本質的には変換される空間を余計な次元をもつ空間の部分集合と看做すことになる。この大きな空間のなかでは、もとの空間は最後の成分が 1 であるようなベクトル全体の成す部分空間となるから、もとの空間の原点は (0,0, ..., 0, 1) として得られる。もとの空間における平行移動は、この大きな空間の中では線型変換(とくに剪断変形)と見ることができる。これは斉次座標 (homogeneous coordinates) の例になっている。
斉次座標系を用いることは、複数のアフィン変換の組合せを行列の積によって一つに纏めて扱うことができるという点で有利である。これはコンピュータグラフィックスやコンピュータビジョン等で広く用いられる道具である。
a 5 ′ = a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 4 ⊕ a 5 ⊕ 1 = 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 = 1 {\displaystyle a_{5}'=a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus 1=1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1=1}
a 6 ′ = a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 4 ⊕ a 5 ⊕ a 6 ⊕ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1 {\displaystyle a_{6}'=a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1=1}
a 7 ′ = a 3 ⊕ a 4 ⊕ a 5 ⊕ a 6 ⊕ a 7 ⊕ 0 = 1 ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1 {\displaystyle a_{7}'=a_{3}\oplus a_{4}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=1\oplus 0\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}
に従って計算することができる。つまり、{a′} = x + x + x + x + x + 1 = {11101101} = {ED} となる。
a 1 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 5 ⊕ a 6 ⊕ a 7 ⊕ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 = 0 {\displaystyle a_{1}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{5}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 1=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 1=0}
a 2 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 6 ⊕ a 7 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1 {\displaystyle a_{2}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{6}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}
a 3 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 7 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 0 = 1 {\displaystyle a_{3}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{7}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 1\oplus 0=1}
a 4 ′ = a 0 ⊕ a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ a 4 ⊕ 0 = 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 0 = 0 {\displaystyle a_{4}'=a_{0}\oplus a_{1}\oplus a_{2}\oplus a_{3}\oplus a_{4}\oplus 0=0\oplus 1\oplus 0\oplus 1\oplus 0\oplus 0=0}