数列空間
空間 l は、ヒルベルト空間であるような唯一つの l 空間である。なぜならば、内積により導出されるノルムは中線定理 ‖ x + y ‖ p 2 + ‖ x − y ‖ p 2 = 2 ‖ x ‖ p 2 + 2 ‖ y ‖ p 2 {\displaystyle \|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}} を満たさなければならず、その x と y に異なる二つの単位ベクトルを代入することで p = 2 でない限りその等式は成立しないことが分かるからである。
各 l は、p < s のとき l の真部分集合である。さらに、l は p ≠ s ならば l とは線型同型ではない。実際、ピットの定理 (Pitt 1936) により、p < s ならば l から l へのすべての有界線型作用素はコンパクトであるが、そのような作用素は同型とはなり得ない。またさらに、それは l の任意の無限次元部分空間上の同型ともなり得ず、厳密特異作用素(英語版)と呼ばれる。
1 < p < ∞ なら、l の連続的双対空間は、1/p + 1/q = 1 を満たすようなヘルダー共役 q に対する空間 l と等長同型である。この特別な同型は、l のある元 x を、l の元 y の汎函数
L x ( y ) = ∑ n x n y n {\displaystyle L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}
と関連付ける。ヘルダーの不等式より、Lx は l 上の有界線型汎函数であることが分かる。また実際、