天体力学
エドモンド・ハレー (1656-1742) の勧めもあり、1687年にアイザック・ニュートン (1642-1727) は『自然哲学の数学的諸原理』(プリンキピア、羅: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)を出版し、ニュートン力学および天体力学の基礎を築いた。なおニュートンがプリンキピアを書き上げるにあたって、ロバート・フック (1635-1703) やジョン・フラムスティード (1646-1719) ら同時代の研究者の業績に大きく影響を受けている。
まず第1巻でニュートンは質量 (quantity of matter) および運動量 (quantity of motion) を定義し、力 (force) について論じている。続いて運動の法則を定式化し、中心力場のもとでは面積速度が一定であること(そして逆に面積速度が一定であるならば中心力が働いていること)、円錐曲線を描いて運動する物体には距離の二乗に反比例する中心力が作用していること、その場合に楕円軌道を描く物体の周期は楕円の長半径の1.5乗に比例することを示した。
さらにニュートンは互いに引力を及ぼす二体問題についても論じ、その重心まわりの運動に帰着できることを示し、逆二乗則の場合には重心まわりの軌道は円錐曲線となることを主張した(ただし逆二乗則から楕円軌道が導かれることの証明をプリンキピアの初版では与えず、後の版では証明の概略のみを著述している)。
ソ連のスプートニク計画による1957年に世界初の人工衛星スプートニク1号の打ち上げ以降、宇宙空間における人工物の軌道制御を扱う軌道力学が急速に進展した。また同時期に電子計算機が実用化されたことにより数値シミュレーションによる軌道計算が可能となった。一方で理論的研究も続けられ、アンドレイ・コルモゴロフ (1903-1987) らによるKAM理論、堀源一郎 (1930-) らによるリー変換摂動論の開発などの進展があった。特にKAM理論は摂動論の有効性を一般的に示すものとみなされ、20世紀天体力学最大の成果と評されている。また数値計算に関して1980年代から90年代に開発された吉田春夫らによるシンプレクティック数値積分法、そして杉本大一郎らによるGRAPEなどの特筆に値する発展がある。
r ( f ) = a ( 1 − e 2 ) 1 + e cos  f {\displaystyle r(f)={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos f}}}
と表示される。角 f {\displaystyle f} は真近点角または真近点離角 (英: true anomaly) と呼ばれる(#軌道要素節を参照)。なお p = a ( 1 − e 2 ) {\displaystyle p=a(1-e^{2})} を半直弦 (英: semilatus rectum) と呼ぶ。
第2法則は角運動量の保存を意味する。第3法則に対応して、長半径 a {\displaystyle a} は平均角速度を表す平均運動 (英: mean motion)
n = 2 π T {\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}
( T {\displaystyle T} は軌道周期)と次の関係にある。
n 2 a 3 = μ {\displaystyle n^{2}a^{3}=\mu }
ケプラー運動には楕円軌道の他に放物線軌道、双曲線軌道が存在する。これらはいずれも円錐曲線である。
1960年代のコルモゴロフらによるKAM理論は近可積分系の大部分の軌道は摂動が十分に小さければトーラス上の準周期解となることを示しており、太陽系の安定性をこの路線で証明する研究が行われた。
一方で、1950年頃からは電子計算機による太陽系の長時間高精度シミュレーションが行われるようになった。初期のものとしては1951年の W. J. Eckert らによる5惑星シミュレーションがある。Laskar は1989年の論文でシミュレーションの結果リャプノフ時間500万年で不安定化すると主張した。しかしリャプノフの意味での不安定性にもかかわらず、伊藤孝士と谷川清隆は±40億年のシミュレーションでは惑星軌道は安定に存在し続けたと報告している。太陽系の安定性に関する一般的な理論は2009年現在未だ存在しない。