疫学における区画モデル
伝染病をモデル化する際に考慮する必要があるその他の事象としては、以下のようなものがある。
非一様混合
変動のある感染力
空間的に不均一な分布
マクロパラサイトによって引き起こされる疾患
上式において、 I ∞ = ( 1 − γ / β ) N {\displaystyle I_{\infty }=(1-\gamma /\beta )N} は伝染感染集団、 χ = β − γ {\displaystyle \chi =\beta -\gamma } 、 V = I ∞ / I 0 − 1 {\displaystyle V=I_{\infty }/I_{0}-1} である。この系は閉じていると仮定されるため、感受性保持者集団は S ( t ) = N − I ( t ) {\displaystyle S(t)=N-I(t)} となる。
特殊な場合として、 γ = 0 {\displaystyle \gamma =0} と仮定することによって普通のロジスティック関数が得られる。これは、 R = 0 {\displaystyle R=0} 、すなわち隔離が起こらないSIRモデルにおいても考慮することができる。これは「SIモデル」である。 S = N − I {\displaystyle S=N-I} を用いる微分方程式はしたがって、
d I d t ∝ I ⋅ ( N − I ) . {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}\propto I\cdot (N-I).}
と簡約される。
長期的には、このモデルでは、すべての個体が感染することになる。
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\mu N-\mu S-\beta {\frac {I}{N}}S,\quad S(nT^{+})=(1-p)S(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \\[8pt]{\frac {dV}{dt}}&=-\mu V,\quad V(nT^{+})=V(nT^{-})+pS(nT^{-}),&&n=0,1,2,\ldots \end{aligned}}}
I = 0と設定することで、感受性保持者の動態が
S ∗ ( t ) = 1 − p 1 − ( 1 − p ) E − μ T E − μ M O D ( t , T ) {\displaystyle S^{*}(t)=1-{\frac {p}{1-(1-p)E^{-\mu T}}}E^{-\mu MOD(t,T)}}
で与えられ、根絶条件が
R 0 ∫ 0 T S ∗ ( t ) d t < 1 {\displaystyle R_{0}\int _{0}^{T}S^{*}(t)\,dt<1}
であることが容易にわかる。
これは、エピデミックの終わりは、感受性保持者の絶対的な不足ではなく、感染者の数が減少することによって引き起こされることを意味する。
基本再生産数の役割は極めて重要である。実際、感染者に関する方程式を
d I d t = ( R 0 S N − 1 ) γ I {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma I}
と書き換えると、もし
R 0 > N S ( 0 ) {\displaystyle R_{0}>{\frac {N}{S(0)}}}
ならば、
d I d t ( 0 ) > 0 {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0}
となる。すなわち、(人口のかなりの割合に達することができる)感染者数の増加を伴う相応のエピデミックなアウトブレイクがあるだろう。逆に、もし
R 0 < N S ( 0 ) {\displaystyle R_{0}<{\frac {N}{S(0)}}}
ならば、
d I d t ( 0 ) < 0 {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0}
となる。すなわち、感受性保持者集団の初期の規模とは無関係に、この病気が相応のエピデミックなアウトブレイクを引き起こすことはあり得ない。結果として、基本再生産数が極めて重要であることは明らかである。