ブルンの定理
ブルンは後にこの方法を改良し、二重対数の項を除くことに成功した。ブルンはより一般に、P(x, z) を n と n + 2 が共に z より小さな素因数を持たない自然数 n ≤ x の個数とするとき、
P ( x , z ) < c x ( log  z ) 2 {\displaystyle P(x,z)<c{\frac {x}{(\log z)^{2}}}}
となる定数 c が存在すること、および z < x ならば
P ( x , z ) > c x ( log  z ) 2 {\displaystyle P(x,z)>c{\frac {x}{(\log z)^{2}}}}
となる定数 c が存在する、よって n と n + 2 が共に高々9個の素因数しか持たない n が無限に多く存在することを示した。
同様な結果はセルバーグの篩い法を用いても得られる。