射影幾何学
19世紀初頭にポンスレー、ラザール・カルノーらの業績が数学の一分野としての射影幾何学を確立する。その厳密な基礎付けは、カール・フォン・シュタウトによって取り組まれ、19世紀の後半にジュゼッペ・ペアノ、マリオ・ピエリ、アレッサンドロ・パドア、ジーノ・ファノらによって完成を見ることになる。射影幾何学は(ユークリッド幾何学やアフィン幾何学と同じく)クラインによるエルランゲンプログラムに従った研究もなされた。これによると、射影幾何学は射影群に属する変換のもとで不変な幾何学的対象によって特徴付けられる。
このような主題に対する多大な数の定理についての研究の結果、射影幾何学の基本的概念が理解されていくことになる。例えば、接続構造と複比は射影変換の下での基本的な不変量である。また、アフィン平面(あるいはアフィン空間)に「無限遠」にある直線(あるいは超平面)を加えて、「通常」の直線(あるいは超平面)と同様に扱うことによって射影幾何のモデルを作ることができる。さらに、射影幾何を解析幾何学のやり方で扱うための代数的なモデルは斉次座標系を用いることで与えられる。それとは別に、射影幾何の公理的な研究によって、非デザルグ平面の存在が顕わになる。これは例えば、(二次元の場合だけだが)斉次座標系を通して正当化することができないような構造によって、接続の公理系をモデル化することができるということを示している。
基礎付けという観点からは、射影幾何と順序幾何は、それが数少ない公理から展開されること、あるいはそれがアフィン幾何やユークリッド幾何を基礎付けるのに利用できるということなどから、基本的である。なお、射影幾何は順序幾何にならないので、これらは別々の幾何学的基礎付けになっている。
他の次元についても同様である。また、最大次元も同様の方法で決定できる。最大次元に関して以下のような判定条件を考えることができる。
M1: 射影空間が一つより多くの点を持たないならば、その空間の次元は 0 以下である。
M2: 射影空間が一つより多くの直線を持たないならば、その空間の次元は 1 以下である。
M3: 射影空間が一つより多くの平面を持たないならば、その空間の次元は 2 以下である。
以下同様。さて、一般に(公理 C3 の帰結として)「同一平面上にある任意の直線は必ず交わる」という定理が成り立つが、これはそもそも射影幾何学が構築される指導原理となったまさにその命題そのものである。従って、性質 M3 は「任意の二直線が必ず交わるならば」と書き換えてもよい。
射影空間の次元を 2 以上と仮定することは一般的であり、時に射影平面についてのみを問題とするときは、先ほどの性質 M3 やその類いの条件を仮定することができる。例えば (Eves 1997, p. 111) の公理系は C1, C2, L3, M3 を仮定する(公理 C3 は M3 の下では常に真であり、従ってこの文脈では明示的に仮定することを要しない)。