結びと交わり
定義により、集合 A 上の二項演算 ∧ が交わりとは、3条件 a, b, c を満たすことをいう。このとき対 (A, ∧) は交わり半束(英語版)である。さらに、次のようにして A 上の二項関係 ≤ を定義できる:x ≤ y ⇔ x ∧ y = x。実は、この関係は A 上の半順序である。実際、A の任意の元 x, y, z に対して、
x ≤ x、なぜならば c により x ∧ x = x;
x ≤ y かつ y ≤ x ならば、a により x = x ∧ y = y ∧ x = y;
x ≤ y かつ y ≤ z ならば x ≤ z、なぜならば b により x ∧ z = (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) = x ∧ y = x。
結びと交わりはともにこの定義を満たすことに注意。同伴な交わりと結びの対は互いに逆順序となる半順序を定める。それらの順序のうちの一方を主(正順)として選んで、その順序を与える演算を交わり、他方を結びと定義しなおすこともできる。