モース理論
モース理論は多様体のホモロジーのいくつかの強い結果を証明することに使うことができる。f : M → R の指数 γ の臨界点の数は、f を「登る」ことから得られるCW複体の中の γ cells の数に等しい。位相空間のホモロジー群のランクの交代和は、ホモロジーが計算することのできるチェイン群のランクの交代和に等しいという事実、従って、胞体チェイン群を使い(胞体ホモロジー(英語版)(cellular homology)を参照)、オイラー標数 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} が、和
∑ ( − 1 ) γ C γ = χ ( M ) {\displaystyle \sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)}
に等しいことは明らかである。ここに C は指数 γ の臨界点の数である。また、胞体ホモロジーにより、CW複体 M の n-次ホモロジー群のランクは、M の n-cells の数に等しいか、または小さい。従って、γ 次ホモロジー群のランク、つまり、ベッチ数 b γ ( M ) {\displaystyle b_{\gamma }(M)} は M のモース函数の指数 γ の臨界的の数に等しいか、または小さい。これらの事実を厳密にすることができ、モース不等式(Morse inequalities)、
C γ − C γ − 1 + − ⋯ − ( − 1 ) γ C 0 ≥ b γ ( M ) − b γ − 1 ( M ) + − ⋯ − ( − 1 ) γ b 0 ( M ) .