三角数
三角数を2倍した数を矩形数(くけいすう)という。矩形数とは、行数(横に延びた列の数)と列数(縦に延びた列の数)の差が 1 である長方形の形に点を並べていったときの、点の総数のことである。すなわち、連続する2整数の積である。矩形とは長方形のことで、長方形数ということもある。
n番目の矩形数は、n番目までの正の偶数の総和に等しい: ∑ k = 1 n 2 k = n ( n + 1 ) {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}2k=n(n+1)}
三角数と同様に四角数(しかくすう)も定義される。これは、点を正方形の形に並べていったときの点の総数のことである。これは平方数に等しい。
n番目の四角数は、n番目までの正の奇数の総和に等しい: ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) = n 2 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}}
連続する2つの三角数の和は平方数(四角数)である:Tn−1 + Tn = n
これを、Tn−1 を灰色の点、Tn を赤色の点で表すと下図のようになる。

n 番目の四角数 n と n 番目の矩形数 n(n + 1) の和は 2n 番目の三角数 n(2n + 1) に等しい。