コーシーの積分公式
コーシーの積分公式(コーシーのせきぶんこうしき)は、コーシーの第2定理、コーシーの積分表示 (英: Cauchy's integral expression) ともいわれ、オーギュスタン=ルイ・コーシーによって示された、ガウス平面上のある領域において正則な関数の周回積分についての定理である。
具体的な例として関数は
g ( z ) = z 2 z 2 + 2 z + 2 {\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}}
と経路Cは|z| = 2(つまり半径2の円)とする。 関数g(z)について経路Cの積分を求めるため、g(z)の特異点を知る必要がある。 次のようにg(z)を書き換えることができることに注意して
g ( z ) = z 2 ( z − z 1 ) ( z − z 2 ) {\displaystyle g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}}
ここで z 1 = − 1 + i , {\displaystyle z_{1}=-1+i,} z 2 = − 1 − i . {\displaystyle z_{2}=-1-i.} である。
よって, g(z)は z 1 {\displaystyle z_{1}} と z 2 {\displaystyle z_{2}} に極を持つ。 この極の絶対値は2よりも小さいため、経路Cより内側にある。 この積分はコーシーの積分定理により2つの積分に分割できる。
経路Cの積分はz1 と z2の各極周囲の小さな円の経路積分の和で表される。 それぞれz1周囲の経路C1とz2周囲の経路C2と呼ぶ。これらのそれぞれ積分は、コーシー積分公式により解くことができるが、それらを公式が適用できるよう書き直す必要がある。
C1周囲の積分は、f1(z) = (z − z1)g(z)により与えられる。 これは正則関数である(経路内に他の特異点が含まれていないため)。 単純化するため f1 を