ケイリー・ハミルトンの定理
( ( a b c d ) − a I 2 − b I 2 − c I 2 ( a b c d ) − d I 2 ) = ( 0 b − b 0 c d − a 0 − b − c 0 a − d b 0 − c c 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-aI_{2}&-bI_{2}\\-cI_{2}&{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-dI_{2}\end{pmatrix}}=\left({\begin{array}{cc|cc}0&b&-b&0\\c&d-a&0&-b\\\hline -c&0&a-d&b\\0&-c&c&0\end{array}}\right)}
を考えるならば式としては有効で、この行列式は実際に 0 になるが、この行列が上記の論法で det の引数とした AIn − A でないことは明らかである。
あるいはまた、この論法が実際に成立していたと仮定した場合、それは行列式以外にもほかの任意の多重線型形式についても成立しないといけないことになる(つまり任意の線型写像は零ベクトルを零ベクトルに写すのだから、AIn − A = O(零行列)は任意の多重線型形式で 0 に写る)。そのような多重線型形式として例えばパーマネント (permanent)を使って q(λ) ≔ perm(λ⋅In − A) とすれば、同じ論法で q(A) = 0 が証明されなければならないわけだが、それは見るからに誤りである。