ベズー整域
数学において、ベズー整域 (Bézout domain) は2つの主イデアルの和が再び主イデアルになるような整域である。このことが意味するのは、元の各組に対してベズーの等式 (Bézout identity) が成り立ち、すべての有限生成イデアルは単項であるということである。任意の単項イデアル整域 (PID) はベズー整域だが、ベズー整域はネーター環とは限らないので、有限生成でないイデアルをもつかもしれない(これは明らかに PID でない)。そうであれば、一意分解整域 (UFD) ではないが、なおGCD整域である。ベズー整域の理論は PID の性質の多くを、ネーター性を要求せずに、保つ。ベズー整域はフランス人数学者 Étienne Bézout にちなんで名づけられている。
多項式 a と b は 0 でないとしてよい。両方とも定数項が 0 であれば、n を次のような最小の指数とする。それらのうち少なくとも一方が 0 でない X の係数をもつ。すると f ∈ F であって fX が a と b の共通約元でありそれで割り切れるようなものが見つかる。
したがって a と b の少なくとも一方は 0 でない定数項をもつとしてよい。F[X] の元として見た a と b が互いに素でなければ、この UFD において定数項 1 をもちそれゆえ S に入る a と b の最大公約元が存在する。この因子で割ることができる。
したがってまた a と b は F[X] において互いに素と仮定してよく、1 は aF[X] + bF[X] に入り、R のある定数多項式 r は aS + bS に入る。また、R はベズー整域であるから、定数項 a0 と b0の R における gcd d は a0R + b0R に入る。a −a0 あるいは b − b0 のような定数項をもたない任意の元は任意の 0 でない定数で割り切れるから、定数 d は S において a と b の共通因数である。それが実は最大共通約元であることをそれが aS + bS に入っていることを示すことによって証明しよう。a と b をそれぞれ a0 と b0 に関して d に対してベズー係数によって掛けることによって定数項 d をもつ aS + bS の多項式 p を得る。すると p − d は定数項が 0 なので S において定数多項式 r の倍元でありしたがって aS + bS に入る。しかしすると d もそうなので、証明が完了する。