コーシー＝シュワルツの不等式
実内積空間におけるシュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、t を実変数(あるいは任意の実定数)として
0 ≤ ⟨ x + t y , x + t y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + 2 ⟨ x , y ⟩ t + ⟨ y , y ⟩ t 2 {\displaystyle 0\leq \langle {\boldsymbol {x}}+t{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {x}}+t{\boldsymbol {y}}\rangle =\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle +2\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle t+\langle {\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {y}}\rangle t^{2}}
が(内積の加法性により)t に依らず成立し、t の絶対二次不等式となる。ゆえに、二次不等式についてよく知られた事実により、この t の二次式の判別式 Δ は半負定値(非正)でなければならない:
Δ / 4 = ⟨ x , y ⟩ 2 − ⟨ x , x ⟩ ⟨ y , y ⟩ ≤ 0. {\displaystyle \Delta /4=\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle ^{2}-\langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}\rangle \langle {\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {y}}\rangle \leq 0.