有限階作用素
バナッハ空間の間の有限階作用素 T : U → V {\displaystyle T\colon U\to V} は、値域が有限次元の有界作用素である。ヒルベルト空間の場合と同様に、それは次のように表すことが出来る:
T h = ∑ i = 1 n α i ⟨ h , v i ⟩ u i ( ∀ h ∈ U ) . {\displaystyle Th=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\langle h,v_{i}\rangle u_{i}\quad (\forall h\in U).}
ここで u i ∈ V {\displaystyle u_{i}\in V} と v i ∈ U ′ {\displaystyle v_{i}\in U'} は空間 U 上の有界線型汎函数である。有界線型汎函数は、有限階作用素の特別な場合、すなわち階数 1 の場合である。