マルコフの不等式
測度空間が確率空間である場合は証明が単純で分かりやすいので、この場合の証明をまず別に示そう。
任意の事象 E に対して、IE を E の特性確率変数、つまり E が起きるならば IE = 1、そうでないならば = 0 であるとする。すると、事象 X ≥ a が起きるならば I(X ≥ a) = 1 であり、X < a ならば I(X ≥ a) = 0 である。そこで
a I ( | X | ≥ a ) ≤ | X | {\displaystyle aI_{(|X|\geq a)}\leq |X|}
ゆえに
E  ( a I ( | X | ≥ a ) ) ≤ E  ( | X | ) {\displaystyle \operatorname {E} (aI_{(|X|\geq a)})\leq \operatorname {E} (|X|)}
ここでこの不等式の左辺は
a E  ( I ( | X | ≥ a ) ) = a Pr ( | X | ≥ a ) {\displaystyle a\operatorname {E} (I_{(|X|\geq a)})=a\Pr(|X|\geq a)\,}
と同じであることが解る。従って
a Pr ( | X | ≥ a ) ≤ E  ( | X | ) {\displaystyle a\Pr(|X|\geq a)\leq \operatorname {E} (|X|)\,}
となり、 a > 0 だから、両辺を a で割ればよい。
マルコフの不等式は、測度論的には、(X, Σ, μ) を測度空間とし、f を拡張実数値(無限大もとりうる)可測関数とし、t > 0 とすれば、
μ ( { x ∈ X | | f ( x ) | ≥ t } ) ≤ 1 t ∫ X | f | d μ {\displaystyle \mu (\{x\in X|\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu }
であることを述べる。空間の測度が 1 である特別な場合(つまり確率空間である)には、次のように言い換えられる:
X を任意の確率変数とし、a > 0 とすると、
Pr ( | X | ≥ a ) ≤ E ( | X | ) a {\displaystyle {\textrm {Pr}}(|X|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {E}}(|X|)}{a}}}