ディリクレ固有値
数学において、ディリクレ固有値(ディリクレこゆうち、英: Dirichlet eigenvalue)は、ある与えられた形の理想的な太鼓の基本固有振動である。ここでの問題は、太鼓の形を聴くことが出来るか(英語版)、である。すなわち、ディリクレ固有値が与えられたとき、その太鼓の形のどのような特徴を推測することが出来るか、ということである。ここでの「太鼓」とは、境界が固定された平面領域として表される、伸縮自在の膜 Ω のことをいう。ディリクレ固有値は、未知函数 u ≠ 0 と固有値 λ に対して次の問題を解くことで得られる。
ここで Δ は、xy-座標において次で与えられるラプラシアンである。
Δ u = ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 . {\displaystyle \Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}.}
境界値問題 (1) は、もちろんヘルムホルツ方程式に対するディリクレ問題であり、したがって λ は Ω に対するディリクレ固有値として知られる。ディリクレ固有値は、対応するノイマン問題に対する固有値であるノイマン固有値とは比較される。(1) に現れるラプラス作用素 Δ は、ディリクレ境界条件を満たす函数 u に対してのみ考えられるとき、しばしばディリクレラプラシアンと呼ばれる。より一般に、スペクトル幾何学においては、(1) は境界を持つ多様体 Ω 上で考えられる。