代数曲面
N u m ( S ) × N u m ( S ) ↦ Z = ( D ̄ , E ̄ ) ↦ D ⋅ E {\displaystyle Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D}},{\bar {E}})\mapsto D\cdot E}
もまた、 N u m ( S ) {\displaystyle Num(S)} 上の二次形式となる。ここに D ̄ {\displaystyle {\bar {D}}} は S 上の D の像である。(以下では、像 D ̄ {\displaystyle {\bar {D}}} を省略し、D と書くことにする。)
S 上の豊富なバンドル H に対し、定義
{ H } ⊥ := { D ∈ N u m ( S ) | D ⋅ H = 0 } . {\displaystyle \{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.}
はホッジ指数定理(Hodge index theorem)の曲面バージョンを導く。
D ∈ { { H } ⊥ | D ≠ 0 } {\displaystyle D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\}} に対して、 D ⋅ D < 0 {\displaystyle D\cdot D<0} が成り立つ、つまり、 { H } ⊥ {\displaystyle \{H\}^{\perp }} は負定値二次形式である。