ひっくり返しシャフル
1以上のどんなサイズのどんな開始状態からはじめても必ず有限回のシャフルでゲームが終了する。
サイズnのゲームの終了までの最大シャフル回数を T ( n ) {\displaystyle T(n)} とすると、 T ( 1 ) = 0 {\displaystyle T(1)=0} 、 T ( 2 ) = 1 {\displaystyle T(2)=1} 、 T ( 3 ) = 2 {\displaystyle T(3)=2} 、 T ( 4 ) = 4 {\displaystyle T(4)=4} 、 T ( 5 ) = 7 {\displaystyle T(5)=7} である。
T ( n ) {\displaystyle T(n)} は2のべき乗 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n-1}} 以下である。(Wilfの結果)
T ( n ) {\displaystyle T(n)} は n + 1 {\displaystyle n+1} 番目のフィボナッチ数 F n + 1 {\displaystyle F_{n+1}} 以下である。 (Klamkinの結果)
特別なn の場合、サイズnのゲームがちょうど最大シャフル回数 T ( n ) {\displaystyle T(n)} で終了すると、一番上から順に 数字1から数字nまでが小さい順に整列する。しかし一般には整列しない。