カッツ・ムーディ代数
カルタン整数から有限次元単純リー環を構成するエリ・カルタンとヴィルヘルム・キリング(英語版)による最初の方法は型に依存していた。1966年、ジャン=ピエール・セールは、クロード・シュヴァレーとハリシュ・チャンドラ(英語版)の関係式を Nathan Jacobson(英語版) による簡略化と合わせるとリー環を特徴づけるものが得られることを示した。したがってカルタン整数の行列(これは正定値である)からのデータを用いて生成元と関係式のことばで単純リー環を記述することができる。
ロバート・ムーディ(英語版)は、1967年の thesis において、カルタン行列が正定値でないようなリー環を考察した。それでもなおリー環は生じるが、無限次元である。同じ時期に、Z-次数付きリー環(英語版)がモスクワで研究されていた。I. L. カントル(英語版)が、やがてカッツ・ムーディ・リー環と呼ばれるようになるものを含むリー環の一般的なクラスを導入し研究した。ヴィクトル・カッツもまた polynomial growth の単純あるいはほとんど単純なリー環を研究していた。無限次元リー環の豊かな数学的理論が徐々に発展した。他の多くの人々の研究も含む主題の詳細は Kac (1990) にある。Seligman (1987) も参照。