ローレンツ因子
p → = γ m v → {\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}}
E = γ m c 2 {\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,}
それぞれ γ ≈ 1 および γ ≈ 1 + 1/2β を代入することで次のニュートン力学の方程式に帰着する。
p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}
E = m c 2 + 1 2 m v 2 {\displaystyle E=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}}
ローレンツ因子の方程式を逆に解くと以下を得る。
β = 1 − 1 γ 2 {\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}}
この式は下のような漸近形式に直すことができる。
β = 1 − 1 2 γ − 2 − 1 8 γ − 4 − 1 16 γ − 6 − 5 128 γ − 8 + ⋯ {\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots }
これを初めの2項までで打ち切った近似式 β ≈ 1 - 1/2γ が大きな値の γ から速度を概算することに使われることがある。誤差は γ > 2 の範囲において 1%、 γ > 3.5 の範囲において 0.1% に納まる。