階数・退化次数の定理
{u1, ..., um} を ker T の基底とする。この基底を V の基底に拡張して {u1, ..., um, w1, ..., wn} となるとする。ker T の次元は m であり、V の次元は m + n であるため、image T の次元が n であることを示せば十分である。
{Tw1, ..., Twn} が image T の基底であることを示す。V 内の任意のベクトル v に対して、以下を満たすスカラーが一意に存在する:
v = a 1 u 1 + ⋯ + a m u m + b 1 w 1 + ⋯ + b n w n {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=a_{1}{\boldsymbol {u}}_{1}+\cdots +a_{m}{\boldsymbol {u}}_{m}+b_{1}{\boldsymbol {w}}_{1}+\cdots +b_{n}{\boldsymbol {w}}_{n}}
⇒ T v = a 1 T u 1 + ⋯ + a m T u m + b 1 T w 1 + ⋯ + b n T w n {\displaystyle \Rightarrow T{\boldsymbol {v}}=a_{1}T{\boldsymbol {u}}_{1}+\cdots +a_{m}T{\boldsymbol {u}}_{m}+b_{1}T{\boldsymbol {w}}_{1}+\cdots +b_{n}T{\boldsymbol {w}}_{n}}