ベクトル解析
向き付けられた曲面S上の点PにおけるSの流さ1の法線(単位法線)をnPとする。なお、 PにおけるSの単位法線は2本あるが、そのうちSの向きとnPが右手系になるものをnPとする。
このとき、ベクトル場XのS上での面積分を
∫ S X d  S := ∫ S X ⋅ n d  S {\displaystyle \int _{S}\mathbf {X} \operatorname {d} \mathbf {S} :=\int _{S}\mathbf {X} \cdot \mathbf {n} \operatorname {d} S}
により定義する。
Sが
x = x ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (u_{1},u_{2})}
とパラメトライズされている場合、面積分の定義から、