マートンのポートフォリオ問題
また時点 t {\displaystyle t} における、投資家の株式への投資比率を α t {\displaystyle \alpha _{t}} とする。よって投資家は各時点において α t X t {\displaystyle \alpha _{t}X_{t}} ドルを株式に投資し、 ( 1 − α t ) X t {\displaystyle (1-\alpha _{t})X_{t}} ドルを債券に投資する。投資家の資産額は次の確率微分方程式に従う。
d X t = α t X t d S t S t + ( 1 − α t ) X t d B t B t − c t d t = ( ( ( μ − r ) α t + r ) X t − c t ) d t + α t X t σ d W t {\displaystyle dX_{t}=\alpha _{t}X_{t}{\frac {dS_{t}}{S_{t}}}+(1-\alpha _{t})X_{t}{\frac {dB_{t}}{B_{t}}}-c_{t}dt={\Big (}((\mu -r)\alpha _{t}+r)X_{t}-c_{t}{\Big )}dt+\alpha _{t}X_{t}\sigma dW_{t}}
ここで c t {\displaystyle c_{t}} は投資家の時点 t {\displaystyle t} における消費額である。