ヒルベルト空間
これに対して、ヒルベルト空間を用いた方法で答えを与えることができる。関数族 en(θ) := e はヒルベルト空間 L([0, 1]) の正規直交基底を成すから、それ故に任意の自乗可積分関数 f が
f ( θ ) = ∑ n a n e n ( θ ) , ( a n := ⟨ f , e n ⟩ ) {\displaystyle f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta ),\quad (a_{n}:=\langle f,e_{n}\rangle )}
なる級数の形で表せて、さらにこの級数は L([0, 1]) の元として収束する(即ち、L-収束、自乗平均収束)。
この問題を抽象的な観点からも見ることができる。任意のヒルベルト空間は正規直交基底を持ち、ヒルベルト空間の各元はそれら基底に属する元の定数倍の和として一意的に表すことができるが、この展開に現れる各基底元の係数のことをその元の抽象フーリエ係数と呼ぶことがある。このような抽象化は、L([0,1]) などの空間で別の基底関数系を用いることがより自然であるようなときに、特に有用である。