ထပ်ကိန်းနှင့်ကိန်းရင်းများ က၊ က၂၊ က၃၊ က၄ စသောဂဏန်း (ဝါ)ကိန်းများအနက် ကသည် တထပ် ကိန်းဖြစ်သည်။ က၂ သည် က x က နှင့် ညီမျှသဖြင့်၊ က၏ နှစ်ထပ်ကိန်းဖြစ်၏။ ထိုအတူ က၃ နှင့် က၄ တို့သည် က၏ သုံးထပ်ကိန်းနှင့် လေးထပ်ကိန်းများ ဖြစ် ကြသည်။ က၏ သုညထပ်ကိန်းသည် ၁ နှင့် ညီသည်။ အကြောင်းမူကား က၁xက၂=က0=ကလ။ အကျဉ်းအားဖြင့် က0=ကလ။ ဤညီမျှခြင်း၏ ဝဲယာကို ကလနှင့် စားသော ကဝ=ကလ/ကလ=၁ ဖြစ်သောကြောင့်တည်း။ ထပ်ကိန်းတစ်ခု ၏ အထပ်ပေါင်းကိုဖော်ပြသည့် ဂဏန်းကို အထပ်ညွှန်းဂဏန်း ဟု ခေါ်သည်။ က တွင် အထပ်ညွှန်းဂဏန်းသည် ၁ ဖြစ်၍၊ က၂၊ က၃၊ က၄ တွင် အထပ်ညွှန်းဂဏန်းများသည် ၂၊ ၃၊ ၄ အသီးသီးဖြစ်ကြသည်။ ဂဏန်းသင်္ချာတွင်လည်း ထပ်ကိန်း များကို ၂၂၊ ၃၂၊ ၉၂၊ ၁ဝ၂ အစရှိသဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာမှာကဲ့သို့ ရေးသားလေ့ရှိကြသည်။ အထပ်ညွှန်းဂဏန်းရှေ့တွင် အနုတ် လက္ခဏာပါလျှင် ဆိုင်ရာထပ်ကိန်းကို ပိုင်းခြေနေရာတွင် အသုံး ပြုရန်ဖြစ်သည်။ ဥဒါဟရုဏ်အားဖြင့် ၄-၂=၁/၄၂။ ဤညီမျှ ခြင်းဟု ဟုတ်မှန်သည်ကို သာဓကပြရန် လိုပေသည်။ က၅/က၂=ကကကကက/ကကÓက၃ (၁)။ က၅ထက၂=က၅-၂=က၃ (၂)။ ညီမျှခြင်း (၁)နှင့် (၂)ကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆုံးဖြတ်သည်။ က၅/က၂=က၅ထက-၂ တစ်နည်းဆိုသော် က၅ထ၁/က၂=က၅ထက-၂ ၁/က၂=က-၂ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဆိုရာ၌ ပေးထားသော ဂဏန်းရအောင် နှစ်ခါထပ်၍ မြေ|ာက်ယူရသည့် ဆခွဲကိန်း နှစ်လုံးအနက် တစ်လုံးကို ဆိုလိသည်။ ၈ထ၈ သည် ၆၄ နှင့်ညီမျှသောကြောင့် ၈ သည် ၆၄ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်သည်။ 'နှစ်ထပ်ကိန်း တိ'ဆိုသည်မှာ ယင်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ကိန်းပြည့်ဖြင့် ဖြစ်စေ၊ ပိုင်းဝေ ပိုင်းခြေတို့၏ ကိန်းပြည့်ဖြစ်သော အပိုင်း ဂဏန်းဖြင့်ဖြစ်စေ ပြနိုင်သောကိန်း (ဂဏန်း)ဖြစ်သည်။ ဥဒါဟ ရုဏ် အားဖြင့်၊ ၁၂၁ နှင့် ၉/၄၉ ဟူသော ကိန်းများ၏ နှစ် ထပ်ကိန်းရင်းမှာ ၁၁ နှင့် ၃/၇ အသီးသီးဖြစ်ကြ၍၊ ထိုကိန်း နှစ်ခုတို့သည် 'နှစ်ထပ်ကိန်းတိ'များ ဖြစ်ကြသည်။ အများအား ဖြင့် ဂဏန်းများအနက် 'နှစ်ထပ်ကိန်းတိ'သည် အလွန်ရှား ပါးလေသည်။ ၁ နှင့် ၁ဝဝ အကြားတွင် နှစ်ထပ်ကိန်းတိ ၁ဝ လုံးသာရှိ၍၊ ၁ နှင့် ၁ဝဝဝ ကြားတွင်မူကား ၃၁ လုံး သာရှိသည်။ သို့သော် မည်သည့်ဂဏန်းကိုမဆို ထပ်တစ်လဲ လဲမြေ|ာက်လျှင် ထပ်ကိန်းတစ်ခုခုရရှိနိုင်သဖြင့် ဂဏန်းဟူသမျှ သည် ထပ်ကိန်းရင်းများ ဖြစ်နိုင်ကြသည်။ နှစ်ထပ်ကိန်းတိ၏ ကိန်းရင်းတွင် တွေ့ရှိရသည့် အချက် အလက်များ။ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ၁ ၂ ၃ ၄ ၅ ၆ ၇ ၈ ၉ ၁ဝ ၁ဝဝ ဖြစ်လျှင်၊ နှစ်ထပ်ကိန်းတိများသည် ၁ ၄ ၉ ၁၆ ၂၅ ၃၆ ၄၉ ၆၄ ၈၁ ၁ဝဝ ၁ဝဝဝ အသီးသီး ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် ဂဏန်းကိုမဆို နှစ်ခါထပ်၍မြေ|ာက် လျှင် ၂ ၃ ၇ ၈ ဟူသော ခုဂဏန်းများကိုမရသဖြင့် ခုဂဏန်းဖြစ်ကြသော နှစ်ထပ်ကိန်း တိများအနက် ဤဂဏန်းများကို မတွေ့ရချေ။ နှစ်ထပ်ကိန်းတိ တစ်ခု၏ အဆုံးတွင်သုညပါလျှင် သုညသည် ၂ လုံးသော်လည်းကောင်း၊ ၆ လုံးသော်လည်းကောင်း၊ အစရှိသည်ဖြင့် 'စုံ'ဖြစ်ရမည်။ 'မ'မဖြစ်နိုင် ချေ။ နှစ်ထပ်ကိန်းတိနှင့် ယင်း၏ကိန်းရင်းတွင်ပါရှိသော ဂဏန်း၏အရေအတွက်ကို အောက်ဖော်ပြပါ ဥဒါဟရုဏ်များမှ သိရှိနိုင်သည်။ ဥပဒေများ နှစ်ထပ်ကိန်းတိတွင် ဂဏန်း ၁ လုံး၊ သို့မဟုတ် နှစ်လုံး ပါလျှင် နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတွင် ဂဏန်းတစ်လုံးသာ ရှိသည်။ နှစ်ထပ်ကိန်းတိတွင် ဂဏန်း ၃ လုံး၊ သို့မဟုတ် ၄ လုံး ပါလျှင်၊ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းတွင် ဂဏန်းနှစ်လုံးပါသည်။ အားလုံးကိုခြုံလျှင်၊ ဂဏန်းအားလုံးပေါင်း (န-၁) သို့မ ဟုတ် န ပါရှိသော နှစ်ထပ်ကိန်းတစ်ခု၏ ထပ်ကိန်းရင်းတွင် ဂဏန်းအလုံးပေါင်း န/၂ မျှပါရှိပေသည်။ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းရှာနည်း။ ဤနည်းသည် အောက်ပါအက္ခရာသင်္ချာ ပုံသေတွက်နည်းမှ ဖြစ်ပေါ်လာလေသည်။ (က+ခ) ၂=က၂+ ၂ကခ+ခ၂ ဤညီမျှခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ပြုပြင်၍ရေးနိုင်သည်။ (က+ခ) ၂-က၂= ၂ကခ+ခ၂ = ခ (၂က+ခ) ပုစ္ဆာ ၆ဝ၈၄ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကိုရှာပါ။ တွက်နည်း ဤနှစ်ထပ်ကိန်းတွင် ဂဏန်းလေးလုံးရှိသဖြင့်၊ နှစ်ထပ်ကိန်း ရင်းတွင် ဂဏန်းနှစ်လုံးရှိရမည်။ တစ်နည်းဆိုသော် နှစ်ထပ် ကိန်းရင်းသည် ၁ဝ နှင့် ၉၉ ကြားတွင် ရှိရပေမည်။ တစ်ဖန် (၇ဝ)၂=၄၉ဝဝ (၈ဝ)၂=၆၄ဝဝ အသီးသီးဖြစ်ကြ၍၊ ၆ဝ၈၄ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းသည် ၇ဝ နှင့် ၈ဝ ကြားတွင် ရှိရပေမည်။ အထက်ပါပုံသေတွက်နည်းတွင် က ကို ဆယ်ဂဏန်းဟု သဘောထား၍ ခ ကို ခုဂဏန်းဟု သဘောထားလျှင် က သည် ၇ဝ နှင့်ညီသည်။ ခ သည် ၁ နှင့် ၉ ဂဏန်းများအနက် တစ်ခုခုဖြစ်သည်။ (က+ခ) ၂=၆ဝ၈၄ က=၇ဝ ၆ဝ၈၄- (၇ဝ) ၂=ခ (၁၄ဝ+ခ) ခ=၁၁၈၄/၁၄ဝ+ခ ခသည် ခုဂဏန်းဖြစ်၍၊ ၉ ထက်မကြီးကြောင်း သိရသည်။ အထက်ပါ အပိုင်းဂဏန်း၏ ပိုင်းခြေသည် ၁၄ဝ နှင့် ၁၄၉ အကြားတွင် ရှိရပေမည်။ ၆ဝ၈၄ ၏ ခုဂဏန်းသည် ၄ ဖြစ် သောကြောင့် ခ သည် ၂ သော်လည်းဖြစ်ရမည်။ ဂ သော် လည်းဖြစ်ရမည်။ (၂ထ၂=၄ သို့မဟုတ် ၈ ထ၈=၆၄)။ ခ အစား ၈ ဂဏန်းကိုထည့် ကြည့်ရာတွင် ညီမျှခြင်း ကိုက်ညီကြောင်းကို တွေ့ရသည်။ ခ=၈ ၆ဝ၈၄ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းသည် (၇ဝ+၈)သို့မဟုတ် ၇၈ ဖြစ်သည်။ ဒုတိယနည်း ၇၈ ၇ဝ+၈ ၇၈ ၇ဝ+၈ ၆၂၄ ၄၉ဝဝ+ ၅၆ဝ ၅၄၆ + ၅၆ဝ + ၆၄ ၆ဝ၈၄ ၄၉ဝဝ + ၁၁၂ဝ +၆၄Ó၆ဝ၈၄ ၇၈ ဟူသောကိန်းမှ ဆယ်ဂဏန်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်း (၇ဝ ထ ၇ဝ=၄၉ဝဝ) + ဆယ်ဂဏန်းနှင့် ခုဂဏန်းတို့၏ မြေ|ာက်ရ ကိန်း ၂ ဆ (၂ ထ၇ဝ ထ၈=၁၁၂ဝ)+ ခုဂဏန်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်း ၆၄ သည် ၇၈ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းဖြစ်သည်။ ဤတွက်နည်း သဘောကိုနားလည်လျှင် အောက်ပါနှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ရှာယူ နည်းကို နားလည်နိုင်ပေသည်။ အစ၌ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ရှာရမည်ဖြစ်သော ကိန်း၏လကျာ်ဘက်အစွန်မှစ၍ ဂဏန်း နှစ်လုံးစီတွဲပေးပါ။ ထိုနောက် ပထမနှစ်လုံးတွဲဖြစ်သော ၆ဝ နှင့် အနီးဆုံးဖြစ်သည့် နှစ်ထပ်ကိန်း၏ ကိန်းရင်းကိုရှာပါ။ ယင်းကို နှစ်ထပ်ကိန်းပြုလုပ်ပြီးသော် ပထမအတွဲမှ ထိုနှစ် ထပ်ကိန်းကိုနုတ်ပါ။ ထိုအခါ ၁၁၈၄ ကျန်သည်။ ထိုနှစ် ထပ်ကိန်းရင်း ၇ ဆယ်ကို ၂ နှင့်မြေ|ာက်ပါ။ ရရှိသော ၁၄ ဆယ်တွင် ၈ ပေါင်းပါ။ ပေါင်းရ ကိန်း ၁၄၈ နှင့် ၁၁၈၄ ကိုစားသော် ပြတ်သည်။ စားလဒ်တွင် ၈ ကိုပင် ရေးနိုင်သည်။ အဘယ်ကြောင့် ၈ ကို ရေးရသနည်းဆိုသော် ပေးထားကိန်း ၆ဝ၈၄ တွင် ခုဂဏန်းသည် ၄ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကျွနု်ပ် တို့သည် အစမ်းသဘောဖြင့် ၂ လီဖြစ်စေ၊ ၈ လီဖြစ်စေ ဝင် ကြည့်ကြသည်။ ၈ ကို ၁၄ဝ တွင် ပေါင်းထည့်ပြီးလျှင် ပေါင်း ရကိန်းဖြင့် ၈ လီဝင်ကြည့်သောအခါ၊ တိတိကျကျ ဝင်နိုင် ကြောင်းကို တွေ့ရသည်။ ထိုကြောင့် ၇၈ သည် ၆ဝ၈၄ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ လက်ဝဲဘက် နံဘေးကွက်လပ်တွင် ပါရှိသော တွက်ချက်ပုံကို ကြည့်ပါ။ သုံးထပ်ကိန်းရင်း ပေးထားသော ကိန်းတစ်ခုသည် န ဖြစ်၍၊ ယင်း၏ သုံးထပ်ကိန်းရင်းသည် (က+ခ)ဟူသော အက္ခရာသင်္ချာကိန်း တန်းတစ်ခုဖြစ်လျှင်၊ ထိုကိန်းတန်းတစ်ခုကို သုံးထပ်ကိန်း ပြုလုပ်သောအခါ န=(က၃+၃က၂ခ+ ၃ကခ၂+၃ကခ၂+ခ၂။ ဤညီမျှခြင်းတွင် ခ သည် က ထက်ငယ်သည်။ (ကခထခ) သည် (ကခထက)ထက်ငယ်သည်။ တစ်နည်းဆိုသော် က၂ ခ သည် ကခ၂ ထက်ကြီးသည်။ ထိုကြောင့် ၃က၂ခ သည် (န-က၃)၏ အစိတ်အပိုင်းကြီးဖြစ်သည်။ ထိုကြောင့် ခ သည် (န-က၃/၃က၂)၏ အစိတ်အပိုင်းကြီးဖြစ်သည်။ သုံးထပ်ကိန်းရင်းရှာနည်းသည်လည်း နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ရှာနည်းကဲ့သို့ပင် အက္ခရာသင်္ချာ၏ သဘောပေါ်တွင် အမှီပြုနေ ပေသည်။ ၁၃=၁၊ ၉၃=၇၁၉၊ ၁ဝ၃=၁,ဝဝဝ။ ဂဏန်းတစ်ခုတည်းပါဝင်သော ကိန်း၏ သုံးထပ်ကိန်းတွင် ဂဏန်း ၁ လုံး၊ ၂ လုံး၊ သို့မဟုတ် ၃ လုံးရှိသည်။ ၁ဝ၃=၁,ဝဝဝ၊ ၉၉၃=၉၇ဝ,၂၉၉၊ ၁ဝဝ၃=၁,ဝဝဝ,ဝဝဝ။ ဂဏန်း ၂ ခုပါဝင်သောကိန်း၏ သုံးထပ်ကိန်းတွင် ဂဏန်း ၂ ခုပါဝင်သော ကိန်း၏ သုံးထပ်ကိန်းတွင် ဂဏန်း ၄ လုံး၊ ၅ လုံး၊ သို့မဟုတ် ၆ လုံးရှိသည်။ အထက်ပါ သာဓကများအရ ဤသို့လည်း ဆိုနိုင်သေးသည်။ ဂဏန်း ၃ လုံးပါဝင်သောကိန်း၏ သုံးထပ်ကိန်းတွင် ဂဏန်း ၇ လုံး၊ သို့မဟုတ် ၈ လုံး၊ သို့မဟုတ် ၉ လုံးရှိသည်။ ပုစ္ဆာ။ ၁၃,၈၂၄ ၏ သုံးထပ်ကိန်းရင်းကိုရှာပါ။ တွက်နည်း။ ပေးထားသောကိန်း၏ လကျာ်ဘက်အစွန်းမှစ၍ ဂဏန်း များကို သုံးလုံးတွဲ တတွဲတွဲပါ။ ကျန်ဂဏန်း ၂ ခု (၁၃)ကို တတွဲဟု ရေတွက်ပါ။ နောက် ဤအတွဲအောက်ရှိ အကြီးဆုံး သုံးထပ်ကိန်းရင်း (က)ကိုရှာပါ။ (၂ဝ၃=က၃ ၂ဝ=က) ထိုကိန်း ကို သုံးထပ်ပြုလုပ်ပြီးလျှင်၊ ပေးထားသည့်ကိန်း (န=၁၃,၈၂၄)မှ နုတ်လိုက်သော် ၅၈၂၄ ကျန်သည်။ သုံးထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သော ၂ဝ ကို နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းပြုလုပ်၍၊ ၃ နှင့်မြေ|ာက်ပါ။ ဤသို့ မြေ|ာက်ယူသောအခါ ၃ထ၂ဝ၂ (၃က၂)ကိုရသည်။ ဤကိန်းကို အစမ်းစားကိန်း ပြုလုပ်၍ သုံးထပ်ကိန်းရင်း၏ ခ ဟူသော ခုဂဏန်း (ဒုတိယ ဂဏန်း)ကို ရှာသောအခါ၊ ၄ ကိုရသည်။ ၅ မဖြစ်နိုင်။ အကြောင်းမူကား ၃ထ၂ဝ၂ထ၅=၆ဝဝဝ ဖြစ်၍၊ ၅၈၂၄ ထက် ကြီးနေသောကြောင့်တည်း။ ဤနည်းအားဖြင့် ၃က၂ခ= ၃ထ၂ဝ၂ထ၄=၄၈ဝဝ။ ပထမ ကိန်းရင်း ၂ဝ(က)နှင့် (၄၂ထ၃) ကို ဆက်မြေ|ာက်ယူပါ။ ထိုအခါ ၃ကခ၂=(၃ထ၂0x42)။ ခ၃=၄၃=၆၄ ထိုကြောင့် တွက်နည်းတွင် ပြထားသည့်အတိုင်း (၃က၂ခ+၃ကခ၂+ခ၃)=၅၈၂၄။ (၃က၂ခ+၃ကခ၂+ခ၃)နှင့် ပထမအကြွင်း(၅၈၂၄)ကို တိပြတ်အောင် စားနိုင်သည့်အတွက် ကြောင့် ၁၃,၈၂၄ ၏ သုံးထပ်ကိန်းရင်းသည် ၂၄ ဖြစ်သည်။ အထက်ကွက်လပ်တွင် ပြထားသော တွက်ပုံတွက်နည်းကို ကြည့်လေ။ လော့ဂရစ်သမ်နည်း ကိန်းတစ်ခု၏ ထပ်ကိန်းနှင့် ကိန်းရင်းများကို လော့ဂရမ် သမ်ဇယားများဖြင့်လည်း အလွယ်တကူ ရှာယူနိုင်သည်။ လော့ ဂရမ်သမ်နည်းဖြင့်ဆိုသော် ကိန်းရင်းတစ်ခု၏ လော့ဂရစ်သမ်ကို အထပ်ညွှန်းဂဏန်းဖြင့် မြေ|ာက်လျှင် ထပ်ကိန်း၏ လော့ကိုရ သည်။ ထပ်ကိန်း၏ လော့ဂရစ်သမ်ကို အထပ်ညွှန်းဂဏန်းနှင့် မြေ|ာက်လျှင်၊ ကိန်းရင်း၏ လော့ကိုရသည်။ တွက်နည်း။ လော့ ၁၃၈၂၄=၄ ့၁၄ဝ၆ လော့ ၁၃၈၂၄၁/၃=၄ ့၁၄ဝ၆ ၃ =၁ ့၃၈ဝ၂ ကိန်း=၁0x2 h၄=၂၄ ဥဒါဟရုဏ်။ ၂၄ ၏ သုံးထပ်ကိန်းကို ရှာပါ။ တွက်နည်း။ လော့ ၂၄=၁ ့၃၈ဝ၂ လော့ ၂၄၃=၁ ့၃၈ဝ၂ ထ ၃=၄ ့၁၄ဝ၆ ကိန်း=၁ ့၃၈၂၄ ထ ၁ဝ၄ = ၁၃၈၂၄ သင်သည် အထက်ပါတွက်နည်းများကို သိဖို့ရန်လိုသော် လည်း၊ ထပ်ကိန်းရင်းတို့ကိုလိုတိုင်း တွက်ချက်ရှာယူရန် မလို ချေ။ အကြောင်းမူကား အချိန်ကုန်သက်သာရန် ရေးဆွဲပြု လုပ်ထားပြီးဖြစ်သော ထပ်ကိန်းဇယားကြီးနှင့် ကိန်းရင်းဇယား ကြီးများ ရှိနေသောကြောင့်တည်း။ ဤဇယားများကို တချက် ကြည့်ခြင်းဖြင့်၊ မည်သည့် ဂဏန်းထပ်ကိန်းနှင့် ကိန်းရင်းကို မဆို သိရှိနိုင်ပေသည်။ ကိုးကား သင်္ချာ