ကိန်းပြည့်တစ်ခုကို အစိတ်အပိုင်းများဖြစ်သော ပြုလုပ်လိုက်သောအခါ အစိတ်အပိုင်း အားလုံးတို့သည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ညီမျှကြလျှင် ထိုအစိတ်အပိုင်း အသီးအသီးကို အပိုင်ကိန်း သို့မဟုတ် အပိုင်းဂဏန်းဟု ခေါ်သည်။ ထိုအပိုင်း ဂဏန်းအားလုံးကို ပေါင်းသော် ထိုကိန်းပြည့်ကို ပြန်လည် ရရှိနိုင်သည်။ အပိုင်းဂဏန်းကို နားလည်ဖို့ရန် ပုံ(၁) ကိုကြည့်ပါ။ ပုံ (၁)(က)သည် တစ်လက်မရှည်သော မျဉ်းဖြစ်၍ ပုံ (၁) (ခ)မှာ တလက်မကို အလယ်တွင် နှစ်ပိုင်းအညီအမျှ ပိုင်းထားသောပုံ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ပိုင်းထားသော အပိုင်းတစ်ခုစီသည် တစ်လက်မ၏တစ်ဝက်၊ သို့မဟုတ် နှစ်ပုံတစ်ပုံဖြစ်သည်။ ထိုတစ်ဝက်မျဉ်းအသီးအသီးကို တစ်ဖန် နှစ်ပိုင်းစီ ထပ်မံပိုင်း ယူသော် ပုံ (၁) (ဂ)တွင် ပြထားသည့်အစိတ်ငယ်များကို ရသည်။ ဤအစိတ်ငယ်ပိုင်း လေးခုသည် တစ်လက်မနှင့် ညီသောကြောင့် အစိတ်ငယ်တစ်ခုသည် တစ်လက်မလေးပုံ တစ်ပုံဖြစ်သည်။ တစ်ဝက်ကို နှစ်ပိုင်း⁠ပိုင်းယူသောအခါ ၁/၄ ဟူသော အစိတ်ငယ်များကို ရသဖြင့် တစ်ဝက်၏ ၂ပုံ ၁ပုံသည် တစ်ခု၏ ၄ ပုံ ၁ ပုံ ဖြစ်သည်။ အကျဉ်းအားဖြင့် ၁/၂ ၏ ၁/၂ = ၁/၄ ။ တစ်ဖန် ပုံ (၈)တွင် ပြထားသည့် အစိတ်ငယ် အသီးအသီးကို နှစ်ပိုင်းစီအညီအမျှ ပိုင်းလိုက်သော အခါ ပုံ (ဃ)တွင် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ညီမျှသော အစိတ်ငယ် ရှစ်စိတ် ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ဤအစိတ်ရှစ်ခုကို ပေါင်းလျှင် တစ်လက်မဖြစ်သည်။ ထိုကြောင့် ဤအစိတ်ငယ်များသည် တစ်လက်မ ၁/၈ ဖြစ်သည်။ ၁/၄ ဟူသောအစိတ်ကို အလယ် တွင် နှစ်ပိုင်းပိုင်း လိုက်သောအခါ ၁/၈ ဟူသော အပိုင်းကို ရသဖြင့်၊ ၁/၄ ၏ ၁/၂ သည် ၁/၈ နှင့် ညီသည်။ ထိုအတူ ၁/၈ ၏ ၁/၂ သည် ၁/၁၆ ပုံနှင့် ညီသည်။ ပုံ (၁) (င) ကိုကြည့်ပါ။ ဥဒါဟရုဏ်အားဖြင့် ၃ ၏ ၁/၂ ကိုရှာလိုလျှင် စက္ကူပေါ် တွင် သုံးလက်မရှည်သောမျဉ်းကိုဆွဲ၍ အလယ်တွင် နှစ်ပိုင်းစီ အညီအမျှ ပိုင်းလိုက်သည်။ တစ်ပိုင်းစီကို တိုင်းယူသောအခါ ၁ ၁/၂ လက်မကိုရသည်။ ဤနည်းဖြင့် ၇၊ ၉၊ ၁၁ တို့၏ နှစ်ပုံ တစ်ပုံကို ရှာပါ။ ပုံ(၁) (ဂ)တွင် ၁/၂ သည် (၁/၄+၁/၄)နှင့် ညီမျှကြောင်း တွေ့ရပြီ။ ထိုကြောင့် ၁/၄ ကို ၁/၄ နှင့် ပေါင်းလျှင် ၁/၂ ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ တစ်ဖန် ၁/၂ နှင့် ၁/၄ ကို မျဉ်းပေါ်တွင် ထောက်ကြည့်ပါ။ ထိုအခါ ၁/၂ သည် (၁/၄+၁/၄)နှင့် ညီကြောင်းကိုလည်းကောင်း၊ (၁/၄+၁/၄) နှင့် ညီကြောင်းကို လည်းကောင်း၊ (၁/၄+၁/၄+ ၁/၄)သည် ၃/၄ နှင့် ညီကြောင်းကိုလည်းကောင်း၊ သို့မဟုတ် (၁/၂+၁/၄) သည် ၃/၄ နှင့် ညီကြောင်းကိုလည်းကောင်း၊ သို့မဟုတ် (၁/၂+၁/၄)သည် ၃/၄ နှင့် ညီကြောင်းကို လည်းကောင်း တွေ့ရှိရပေမည်။ ပုံ (၂) ကိုကြည့်ပါ။ ၃/၄ ကို ၃/၄ နှင့် ပေါင်းသော် မည်မျှရမည်နည်း။ ၃/၄ ကို ၃/၄ နှင့် ပေါင်းသောအခါ၌ ပထမ ၃/၄ တွင် ဒုတိယ ၃/၄ မှ ၁/၄ ကိုယူ၍ ပေါင်းထည့် လိုက်လျှင် လက်ယာဘက်တွင် ၁/၂ ကျန်သဖြင့် (၃/၄ + ၄/၃)သည် ၁ ၁/၂ နှင့် ညီမျှကြောင်း တွေ့ရသည်။ အပိုင်းဂဏန်းများကို ပေါင်းရာ၌ ဖြစ်စေ၊ ကိန်းပြည့်များ ပေါင်းရာ၌ဖြစ်စေ မျိုးတူဂဏန်းများကိုသာ ပေါင်းနိုင်ကြောင်းကို အမြဲသတိပြုပါ။ ထိုကြောင့် ၁/၂+၁/၄=(၁/၄+၁/၄)+ ၁/၄=၃/၄ နှစ်လီစိတ်၊ လေးလီစိတ်ဂဏန်းများနှင့် စပ်လျဉ်းသည့် ပုစ္ဆာများ။ (၁) အောက်ပါအပိုင်းဂဏန်းများကို ပေါင်းပါ။ ၁ ၁/၂ ၃ ၁/၂ ၄ ၁/၂ ၇ ၁/၂ ၈ ၁/၂ ၇ ၁/၂ ၂ ၁/၂ ⁠၂ ၁/၂ ၃ ၁/၂ ၆ ၁/၂ ၆ ၁/၂ ၈ ၁/၂ (၂) အောက်ပါအပိုင်းဂဏန်းများကို နုတ်ပါ။ ၃ ၄ ၆ ရ ၈ ၁၂ ၁ ၁/၂ ⁠၂ ၁/၂ ၃ ၁/၂ ⁠၂ ၁/၂ ၅ ၁/၂ ၉ ၁/၂ (၃) အောက်ပါအပိုင်းဂဏန်းများကို ပေါင်းပါ။ ၄ ၁/၄ ၃ ၁/၄ ရ ၁/၂ ၉ ၁/၂ ၈ ၁/၄ ၉ ၃ ၁/၄ ၅ ၁/၂ ၄ ၁/၄ ၅ ၁/၄ ၃ ၁/၄ ၉ ၁/၄ (၄) အောက်ပါဂဏန်းများကို နုတ်ပါ။ ၃ ၁/၂ ၄ ၁/၂ ၆ ၁/၄ ရ ၁/၄ ၈ ၁/၄ ရ ၁/၄ ၁ ၁/၄ ၁ ၁/၄ ⁠၄ ၁/၄ ၃ ၁/၄ ၆ ၁/၂ ၅ ၁/၂ ရှစ်လီစိတ်ဂဏန်းများ ၁/၂ သည် (၁/၄+၁/၄)နှင့် ညီကြောင်းကို၎င်း၊ ၁/၄ သည် (၁/၈+၁/၈)နှင့် ညီကြောင်းကို၎င်း သိခဲ့ရပြီ။ ထို့ကြောင့် ၁/၂ ကို ၁/၈ နှင့် ပေါင်းသော အခါ ၁/၂+၁/၈=(၁/၄+၁/၄)+ ၁/၈ (၁/၈+၁/၈)+(၁/၈+၁/၈+၁/၈)= ၅/၈ ရကြောင်းသိရသည်။ ၃/၈ ကို ၅/၈ နှင့် ပေါင်းလျှင် မည်မျှရမည်နည်း။ ပုံ(၁) (ဃ) ကို ပြန်ကြည့်လျှင် ၃/၈ ပုံသည် ၈ ပုံ ၁ ပုံစီ ရှိသော အစိတ်ငယ် သုံးခုနှင့် ညီကြောင်းကို၎င်း တွေ့မြင်ရသည်။ သုံးစိတ်နှင့် ငါးစိတ်သည် ရှစ်စိတ်ဖြစ်၍ တစ်ခုနှင့်ညီကြောင်း ကို၎င်း တွေ့မြင်ရသည်။ (အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် တစ်လက်မ တွင် ၈ ပုံ ၁ ပုံရှိသော အစိတ်ရှစ်ခုရှိသောကြောင့်တည်း။) ၇/၈ +၇/၈ သည် ၁ ၆/၈=၁၄/၈=၁ ၆/၈ =၁ ၃/၄ထ၂/၂ = ၁ ၃/၄ ၆/၈ မှ ၃/၄ သို့ ပုံပြောင်းလိုက်ခြင်းကို အငယ်ဆုံးဂဏန်း သို့ ဖွဲ့ကျဉ်းခြင်းဟု ခေါ်သည်။ အောက်ပါအပိုင်းဂဏန်းများကို ပေါင်းပါ။ ၃ ၁/၈ ၂ ၁/၈ ၅ ၁/၄ ၆ ၁/၂ ၅ ၁/၂ ၅ ၃/၈ ၄ ၃/၄ ၂ ၁/၈ ၃ ၃/၄ ⁠၄ ၁/၈ ၅ ၁/၂ ၃ ၇/၈ ၃ ၁/၈ ၄ ၇/၈ အောက်ပါအပိုင်းဂဏန်းများကို နုတ်ပါ။ ၄ ၁/၈ ၅ ၁/၈ ၆ ၁/၂ ၆ ၃/၈ ၅ ၁/၁ ၆ ၃/၄ ၇ ၁/၂ ၃ ၁/၈ ၃ ၃/၄ ⁠၄ ၁/၈ ၅ ၁/၂ ၃ ၇/၈ ၃ ၁/၈ ၄ ၇/၈ သုံးလီစိတ်များ ပုံတွင်ပြထားသကဲ့သို့ မျဉ်းတစ်ကြောင်းကို ရေးဆွဲ၍အညီအမျှ သုံးပိုင်း⁠ပိုင်းလိုက်ပါ။ မျဉ်းတစ်ကြောင်းတွင် ညီမျှသော အပိုင်းသုံးပိုင်း ပါဝင်သောကြောင့် အပိုင်းတစ်ပိုင်းစီ သည် ၁/၃ နှင့် ညီမျှ၍ နှစ်ပိုင်းသည် ၂/၃ နှင့် ညီမျှသည်။ ထိုနည်းတူ သုံးပိုင်းမှာ ၃/၃၊ သို့မဟုတ် ၁ နှင့် ညီမျှသည်။ ပုစ္ဆာ ၁ (က)။ ၃ ၁/၃ ကို ၂ ၁/၃ နှင့်ပေါင်းပါ။ တွက်နည်း။ ၁/၃ ကို ၁/၃ နှင့်ပေါင်းသော် ၂/၃ ကို ရသည်။ ၃ + ၂ သည် ၅ နှင့် ညီသဖြင့် ၃ ၁/၃ + ၂ ၁/၃ သည် ၅ ၂/၃ နှင့်ညီသည်။ (ခ) ၄ ၂/၃ ကို ၂ ၂/၃ နှင့် ပေါင်းပါ။ တွက်နည်း။ ၂/၃ နှင့် ၂/၃ ကို ပေါင်းသော် ၁ ၁/၃ ရသည်။ (၄+၂)သည် ၆ နှင့်ညီသဖြင့် (၄ ၂/၃+၂ ၂/၃)သည် ၇ ၁/၃ နှင့်ညီသည်။ ပုစ္ဆာ ၂ (က)။ ၅ မှ ၁ ၂/၃ ကို နုတ်လိုသောအခါ ၅ ဖြစ်ရန် ၁ ၂/၃ တွင် ၁/၃ ကိုပေါင်းထည့်လျှင် ၂ ရသည်။ ၂ ကို တဖန် ၃ ပေါင်းထည့်လျှင် ၅ ကို ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၅-၁ ၂/၃ သည် ၃ ၁/၃ ဖြစ်သည်။ ပုစ္ဆာ ၂ (ခ)။ ၆ ၁/၃ မှ ၄ ၂/၃ ကို နုတ်ပါ။ တွက်နည်း။ ၄ ၂/၃ တွင် ၁/၃ ထည့်ပေါင်းလျှင် ၅ ကို ရ၍၊ ၃ ၁/၃ ထပ်ထည့်ပေါင်းလျှင် ၆ ၁/၃ ကို ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၆ ၁/၃ - ၄ ၂/၃ သည် ၁ ၂/၃ နှင့် ညီသည်။ (၁) အောက်ပါဂဏန်းများကို နုတ်ပါ။ ၃ ၁/၃ ၂ ၁/၃ ၅ ၂/၃ ၄ ၂/၃ ၆ ၃ ⁠၃ ၁/၃ ၁ ၁/၃ ⁠၃ ၂/၃ ၅ ၂/၃ (၂) အောက်ပါဂဏန်းများကို နုတ်ပါ။ ၈ ၄ ၁/၃ ၆ ၂/၃ ၇ ၁/၃ ၆ ၂ ၁/၃ ၂ ၁/၃ ⁠၃ ၁/၃ ၅ ၂/၃ ၄ ၂/၃ ခြောက်လီစိတ်များ သုံးလီစိတ်ပြထားသောပုံ ၄ တွင် တစ်ပိုင်းလျှင် နောက်ထပ်နှစ်ပိုင်းစီ အညီအမျှ ပိုင်းလိုက်သော အခါ စုစုပေါင်း အပိုင်းခြောက်ခု ရရှိလာမည်။ ထိုအပိုင်း တစ်ခုသည် မူလမျဉ်း၏ ခြောက်ပုံ တစ်ပုံ ဖြစ်သည်။ သုံးလီ စိတ်အပိုင်း အသီးအသီးကို ညီမျှသော အပိုင်း နှစ်ပိုင်း အသီး အသီးကို ညီမျှသောအပိုင်းနှစ်ပိုင်းဖြစ်အောင် အလယ်၌ ခွဲခြမ်း လိုက်သဖြင့် ၂/၆ သည် ၁/၃ နှင့်၎င်း၊ ၄/၆ သည် ၂/၃ နှင့် ၎င်း၊ ၆/၆ သည် ၁ နှင့်၎င်း၊ အသီးအသီး ညီလေသည်။ အထက်ပါ ၁/၆ Ý ၁/၃Ý ၁/၂ ၂/၃Ý ၅/၆Ý ၁ ဟူသော ဂဏန်း များ ထင်ရှားလာစေသော မျဉ်းများကို ရေးဆွဲပါ။ ထိုမျဉ်းများ၌ (ပုံ ၅ တွင် ပြထားသကဲ့သို့) ခြောက်ပုံ တစ်ပုံအပိုင်းများကို လည်း ရေးမှတ်ထားပါ။ ထို့နောက် ကြိုက်ရာအပိုင်းနှစ်ပိုင်းကို တစ်ခုနှင့်တစ်ခုဆက်၍ အပိုင်းကဏန်းများကိုပေါင်းယူပါ။ ပုံ တွက်နည်း။ ပုံတွင် ၁/၆ မျဉ်းကို ၁/၂ မျဉ်းတွင် ဆက်ယူ သောအခါ ၂/၃ နှင့် တူညီကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။ (၁) အောက်ပါအပိုင်းဂဏန်းများကို ပေါင်းပါ။ (က) ၁/၂ + ၁/၆ (ခ) ၂/၃ + ၁/၃ (ဂ) ၅/၇ + ၂/၃ (ဃ) ၁/၃ + ၂/၃ (င) ၅/၆ + ၂/၃ တဖန် ကြိုက်ရာအပိုင်းနှစ်ပိုင်းကို ရွေး၍ ကြီးသော အပိုင်းမှ ငယ်သောအပိုင်းကို နုတ်ပါ။ ပုစ္ဆာ။ ၁/၂ - ၁/၆ တွက်နည်း။ ၁/၆ မျဉ်းကို ၁/၂ မျဉ်းပေါ်တွင် ထပ်၍ကြည့် သောအခါ ၂/၆ မျဉ်းမှာ ကွက်လပ် ဖြစ်နေသည်ကို တွေ့ ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၁/၂ - ၁/၆= ၂/၆ = ၁/၃ ထ ၂/၂ =၁/၃ (၂) အောက်ပါအပိုင်းများကို နုတ်ပါ။ (က) ၁/၃ - ၁/၆ (ခ) ၁/၂ - ၁/၆ (ဂ) ၅/၆ - ၂/၃ (ဃ)၂/၃ - ၁/၆ ၁၂ လီစိတ်ဂဏန်းများ ခြောက်လီစိတ်ဂဏန်းအတွက် ရေးဆွဲထားသည့်ပုံတွင် ၁/၆ ပြ မျဉ်းအသီးသီးကို နှစ်ပိုင်းစီ အညီအမျှ ပိုင်းလျှင် အပိုင်းပေါင်း (မျဉ်းငယ်ပေါင်း) ၁၂ ကို ရရှိလာမည်။ ဤမျဉ်းငယ်တစ်ပိုင်းစီသည် ၁/၁၂ နှင့်ညီသည်။ ခြောက် လီစိတ် အပိုင်းဂဏန်းများ တွက်စဉ်ကကဲ့သို့ အောက်ပါ အပိုင်းဂဏန်းပုစ္ဆာများကို တွက်ပါ။ (၁) ပေါင်းပါ။ (က) ၁/၁၂ + ၁/၆ (ခ) ၅/၁၂ + ၁/၃ (ဂ) ၅/၁၂ + ၅/၆ (ဃ) ၇/၁၂ +၁/၃ (င) ၅/၁၂ + ၅/၆ (၂) နုတ်ပါ။ (က) ၁/၆ - ၁/၁၂ (ခ) ၁/၃ - ၁/၁၂ (ဂ) ၂/၃ - ၅/၁၂ (ဃ) ၅/၆ - ၃/၁၂ (င) ၁၁/၁၂ - ၂/၃ အပိုင်းဂဏန်းများကိုပေါင်းခြင်း ၁/၃ + ၁/၃ သည် ၂/၃ နှင့် ညီမျှကြောင်းကို သုံးလီစိတ် အပိုင်းဂဏန်း များတွင် တွေ့ရှိခဲ့ရပြီ ဖြစ်သည်။ မျိုးတူဂဏန်းများကို သာ ပေါင်းနိုင် နုတ်နိုင်သဖြင့် ပေါင်းရန် ဖြစ်သော အပိုင်းဂဏန်းတို့နှင့် မတူသောပိုင်းခြေများရှိလျှင်၊ ရှေးဦး စွာ ထိုအပိုင်းဂဏန်းများကို အငယ်ဆုံး ဗုံပိုင်းအခြေခံသော အပိုင်းဂဏန်းများဖြစ်အောင် ဖွဲ့ယူရမည်။ ထိုသို့ ဖွဲ့ပြီးသော ဂဏန်းများကို အထက်ပါအပေါင်းပုစ္ဆာတွက်သကဲ့သို့ ပေါင်း ယူရမည်။ ပုစ္ဆာ ၁/၃ နှင့် ၁/၄ ကို ပေါင်းပါ။ တွက်နည်း ၄ ၏ ဆတိုးကိန်းများမှာ ၄၊ ၈၊ ၁၂ စသော ဂဏန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ၃ ၏ ဆတိုးကိန်းများမှာ ၃၊ ၆၊ ၉၊ ၁၂ စသော ဂဏန်းများ ဖြစ်၏။ ထို့ကြောင့် ၁၂ သည် အငယ်ဆုံး ဗုံပိုင်းခြေဖြစ်သည်။ ၁/၃ + ၁/၄ ကို အငယ်ဆုံးဗုံပိုင်းခြေခံ၍ ရေးသားပြီး ပေါင်း ယူသော် ၄/၁၂ + ၃/၁၂ = ၇/၁၂ ကို ရသည်။ ပုစ္ဆာ (၁) ပေါင်းပါ။ ၁/၆ + ၃/၈ တွက်နည်း ၆၊ ၁၂၊ ၁၈၊ ၂၄၊ ၃ဝ၊ ၃၆၊ ၄၂၊ ၄၈ = ၆ ၏ ဆတိုး ကိန်းများ ဖြစ်၍ ၈၊ ၁၆၊ ၂၄၊ ၃၂၊ ၄ဝ၊ ၄၈= ၈ ၏ ဆတိုး ကိန်းများ ဖြစ်သည်။ (၆ ဌ ၈)သည် ၆ နှင့် ၈ နှစ်မျိုးလုံး၏ ဆတိုးကိန်း ဖြစ်သည်။ ၂၄ သည်လည်း ထိုဂဏန်းနှစ်မျိုးလုံ၏ ဆတိုးကိန်း ဖြစ်သည်။ သို့သော် ၂၄ သည် အငယ်ဆုံးဗုံပိုင်းခြေ ဖြစ်သည်။ အထက်ပါအပိုင်းဂဏန်း⁠ဂဏန်းများကို အငယ်ဆုံး ဗုံပိုင်းခြေခံ၍ ပေါင်းယူသော် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ ၁/၆ + ၃/၈ = ၄/၂၄ + ၆/၂၄ = ၁၃/၂၄ အသေးစိတ်တွက်နည်း။ ၁/၆ + ၃/၈ = ၁/၆ ဌ ၄/၄ + ၃/၈ ဌ ၃/၃ = ၄/၂၄ + ၉/၂၄ = ၁၃/၂၄ ပုစ္ဆာ(၂)။ ၅/၁၂ - ၂/၉ တွက်နည်း။ ၁၂၊၂၄၊၃၆၊၄၈၊၆ဝ၊၇၂၊၈၄၊၉၆၊၁ဝ၈ = ၁၂၏ ဆတိုးကိန်းများ။ ၉၊၁၈၊၂၇၊၃၆၊၄၅၊၅၄၊၆၃၊၇၂၊၈၁၊၉ဝ၊၉၉၊၁ဝ၈ = ၉၏ ဆတိုးကိန်းများ။ (၉ ဌ ၁၂)သည် ၉ နှင့်၁၂တို့၏ ဆတိုးကိန်းဖြစ်သည်။ ၃၆ နှင့် ၇၂ ဟူသော ကိန်းနှစ်ခုသည်လည်း ထိုဂဏန်းနှစ်မျိုးလုံး၏ ဆတိုးကိန်းများပင်ဖြစ်သည်။ သို့သော ၃၆ သည် အငယ်ဆုံးဗုံပိုင်းခြေဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၅/၁၂ - ၂/၉ = ၁၅/၃၆ - ၈/၃၆ = ၇/၃၆ အပိုင်းဂဏန်းစစ်၊ အပိုင်းဂဏန်းယောင်နှင့် ကိန်းရောများ အပိုင်းဂဏန်းတစ်ခု၏ ပိုင်းဝေသည် ပိုင်းခြေထက် ငယ်သောအခါ ထိုအပိုင်းဂဏန်းကို အပိုင်းဂဏန်းစစ်ဟု ခေါ်သည်။ ဥဒါဟရုဏ်။ ၁/၃၊ ၂/၅၊ ၁၇/၂၅ တို့သည် အပိုင်းဂဏန်း စစ်များ ဖြစ်ကြသည်။ ဥဒါဟရုဏ်။ ၅/၃၊ ၇/၅၊ ၂၉/၂၅ တို့သည် ပိုင်းခြေထက် ကြီးသောအခါ ထိုအပိုင်းဂဏန်းကို အပိုင်းဂဏန်းယောင်ဟု ခေါ်သည်။ ဥဒါဟရုဏ်။ ၃ ၂/၅ သည် ကိန်းရောဖြစ်သည်။ အပိုင်း ဂဏန်းယောင်များကို ကိန်းရောသို့၎င်း၊ ကိန်းရောကို အပိုင်း ဂဏန်းယောင်သို့၎င်း ပြောင်းလဲနိုင်သည်။ ပုစ္ဆာ။ (၁) ၁၇/၅ သည် မည်သည့်ကိန်းရောနှင့် ညီမျှသနည်း။ တွက်နည်း။ ၁၇/၅ = ၁၇ ၅ = ၃ ၂/၅ ပုစ္ဆာ။ (၂) ၆ ၁/၇ သည် မည်သည့်အပိုင်းဂဏန်းယောင်နှင့် ညီမျှသနည်း။ တွက်နည်း။ ၆=၆ ထ ၇/၇ = ၄၂/၇ ထို့ကြောင့် ၆ ၃/၇=၄၂/၇ + ၃/၇ = ၄၅ /၇ ကိန်းရောများကို ပေါင်းခြင်းနှင့် နုတ်ခြင်း ကိန်းရောများကို ပေါင်းရာတွင် အပိုင်းဂဏန်းတစ်ခုစီ ကို ဗုံပိုင်းခြေခံပြီး ပေါင်းရသည်။ သို့သော် ကိန်းပြည့်များကို ရှေးဦးစွာ သီးခြားပေါင်းပါ။ ပုစ္ဆာ။ ၁ ၁/၂ + ၃ ၁/၃ + ၂ ၃/၈ တွက်နည်း။ အပိုင်းဂဏန်းတစ်ခုစီကို ဗုံပိုင်းခြေခံ၍ ရေးသော အခါ ၁/၂ သည် ၁၂/၂၄ ဟူ၍လည်းကောင်း၊ ၁/၃ သည် ၈/၂၄ ဟူ၍ ၎င်း၊ ၃/၈ သည် ၉/၂၄ ဟူ၍လည်းကောင်း အသီးအသီး ဖြစ်လာသည်။ ထို့ကြောင့် ၁ ၁/၂၊ ၃ ၁/၃+၂ ၁/၈=၁+၃+၂+၁၂/၂၄+၈/၂၄ +၆/၂၄ = ၆ + ၁၂+၈+၉ /၂၄ ၆ + ၁ ၅/၂၄ ၇ ၅/၂၄။ ကိန်းရောများကို နုတ်ရာတွင်လည်း ဤနည်းအတိုင်းပင် နုတ် ကြရသည်။ ပုစ္ဆာ။ ၁၁ ၁/၆ - ၄ ၁/၄ တွက်နည်း။ (၁) အပိုင်းဂဏန်းကို ဗုံပိုင်းခြေခံ၍ ရေးယူသော အခါ ၁ဝ ၂/၁၂ - ၄ ၆/၁၂ ကို ရရှိသည်။ သို့သော် ၂/၁၂ မှ ၉/၁၂ ကို မနုတ်လောက်။ ထို့ကြောင့် ၁ဝ ၂/၁၂ - ၄ ၉/၁၂ ၉ ၁၂+၂/၁၂ - ၄ ၉/၁၂ ၅ ၅/၁၂ (အဖြေ) တွက်နည်း။ (၂) ၉/၁၂ + (၅/၁၂) =၁၄/၁၂ = ၁ ၂/၁၂။ ၄+၁ ၂/၁၂ + (၅)= ၁ဝ ၂/၁၂ ။ ထိုကြောင့် (၅ ၅/၁၂) (အဖြေ)။ အပိုင်းဂဏန်းအမြေ|ာက် အပိုင်းဂဏန်းတွင် အမြေ|ာက်ကို သေချာစွာ သိရှိနားလည်ဖို့ရန် အလျား ၆ လက်မ၊ အနံ ၄ လက်မရှိသော ထောင့်မှန် စတုဂံ ပုံတစ်ပုံကို ရေးဆွဲ၍ အလျား နှင့် အနံတွင် တစ်လက်မ အကွာအဝေးကို သတ်မှတ်ပြီးသော် တစ်ဘက်ပါ ပုံအတိုင်း အလျားမျဉ်းနှင့် ထောင်လိုက်မျဉ်းများ ကို ရေးဆွဲပါ။ ထိုအခါ စုစုပေါင်း တစ်လက်မ စတုရန်းစီ ရှိသော အကွယ်ငယ် ၂၄ ကွက် ပေါ်လာပေမည်။ ဤအကွက် ငယ်များသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု တူညီကြသဖြင့် အသီးအသီး သည် မူလထောင့်မှန် စတုဂံ ၁/၂၄ နှင့် ညီသည်။ အကယ်၍ ၁/၆ ကို ၁/၄ နှင့် မြေ|ာက်လိုလျှင် မူလစတုဂံ၏ ၁/၆ ကို ပြသည့် မျဉ်းမတ်နှစ်ခုကြားရှိ ကော်လံကို ယူပါ။ (ထိုကော်လံတွင် ၁/၄ အကွက်ကို အမည်း ရောင် ချယ်၍ ပြထားသည်။) ၁/၆ x ၁/၄)၏ အဓိပ္ပာယ်မှာ ၁/၆ ၏ ၄ ပုံ ၁ ပုံ ဖြစ်သည်။ ဒုတိယပုံအရ (၁/၆ ၏ ၁/၄)= ၁/၂၄ = ၁ x ၂/၁၂ x ၂ = ၁/၁၂။ ပိုင်းခြေနှင့် ပိုင်းဝေတွင် တူညီသော ဆခွဲကိန်းကို ပယ်လိုက်သည်။ ပုစ္ဆာ။ ၁/၆ x ၁/၄ (၁/၆ ၏ ၁/၄) မှာ ၁/၆ ၏ ၄ ပုံ ၁ ပုံကို ၃ ဆ ပြုလုပ်ပါဟူသော အဓိပ္ပာယ်ရှိသည်။ သို့သော် တိုအောင် ဤသို့ တွက်ပါ။ တွက်နည်း။ ၁/၆ = ၁/၄ = ၁/၆ x ၁/၄ = ဌ ၃ = (၁/၆ ၏ ၁/၄) x ၃ ၃/၆ x ၃/၄ = ၁/၈၊ သို့မဟုတ် ၁/၆ x ၃/၄ = ၁/၂ x ၃/၃ x ၃/၄ = ၁/၂ x ၃/၄ = ၃/၈ အပိုင်းဂဏန်း အစားပုစ္ဆာ ၁ -ံ့ ၁/၃ တွက်နည်း။ သုံးလီစိတ်အပိုင်းဂဏန်းပြပုံတွင် ၁ ၌ ၁/၃ ဟူသော အပိုင်းပေါင်း သုံးပိုင်းပါရှိကြောင်း တွေ့ခဲ့သည်။ ၃ x ၁/၃ = ၁ ထိုကြောင့် ၁ -ံ့ ၁/၃ = ၃ ပုစ္ဆာ (၁)။ ၆ -ံ့ ၁/၃ တွက်နည်း။ ၁ -ံ့ ၁/၃ = ၃ ၆ -ံ့ ၁/၃ = ၃ x ၆ = ၁၈ (တနည်း အားဖြင့်ဆိုသော် ၁ သည် ၁/၃ ၏ ၃ ဆ ဖြစ်သည်။ ၃ ဆ၏ ၆ ဆသည် ၁၈ ဖြစ်သည်။) ပုစ္ဆာ (၂)။ ၆ -ံ့ ၁/၅ တွက်နည်း။ ၁ -ံ့ ၁/၅ = ၅ (၁ တွင် ၁/၅ ဟူသော အပိုင်း ငါးခုရှိသောကြောင့် ဖြစ်သည်။) ၅ -ံ့ ၁/၅ = Ô(၅ x ၁) -ံ့ ၁/၅ = = Ô၅ x (၁ -ံ့ ၁/၅Õ ၅ x ၅ ၂၅ ထို့ကြောင့် ၅ -ံ့ ၂/၅ = ၅ -ံ့ (၁/၅ x ၂) = (၅ -ံ့ ၁/၅) -ံ့ ၂ = ၂၅/၂ Ó ၁၂ ၁/၂ ပုစ္ဆာ(၃)။ ၁/၄ -ံ့ ၁/၅ တွက်နည်း။ ၁/၄ -ံ့ ၅/၃ =၃/၄ x ၅/၃ =၅/၄ x ၁/၃ = ၁/၄ x (၁ -ံ့ ၁/၅) = ၁/၄ x ၅ =၁/၄ x ၅ = ၅ x ၁/၄ = ၁၅/၄ = ၃ ၁/၄ ပုစ္ဆာ (၄)။ ၃/၄ -ံ့ ၃/၅ တွက်နည်း။ ၃/၄ x ၅/၃ = ၃/၄ x ၅/၃ = ၅/၄ x ၁/၃ ၅/၄ ၁ ၁/၄ နောက်ဆုံးနည်းမှတပါး အထက်ဖော်ပြပါ နည်းများ သည် နားလည်အောင် ရေးသားရသဖြင့် ရှည်လျားကြသည်။ နောက်ဆုံးနည်းသည် လက်သုံးဥပဒေကို ဖော်ပြသည်။ ဥပဒေ ကား ကိန်းတစ်ခုကို အပိုင်းဂဏန်းတစ်ခုနှင့် စားရာတွင် အပိုင်းဂဏန်း ပိုင်းခြေကို ပြောင်းပြန်လှန်ပြီးသော် တည်ကိန်း ကို ပြောင်းပြန်လှန်ကိန်းနှင့် မြေ|ာက်ရသည်။ ထိုနည်းတူ အပိုင်းဂဏန်း မြေ|ာက်ခြင်းနှင့် သက်ဆိုင်သော လက်သုံး ဥပဒေကား အပိုင်းဂဏန်း နှစ်ခုကို မြေ|ာက်ရာတွင် ပိုင်းဝေခြင်းမြေ|ာက်၍ ပိုင်းခြေချင်း မြေ|ာက်ရသည်။ ဥဒါ ဟရုဏ်ကား ၃/၁ x ၂/၈ = ၃/၅ x ၂/၇ = ၆/၃၅ ကိုးကား အခြေခံဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းများ