在數學中，商群或因子群是通過保持群結構的等價關係來把較大群中的類似元素聚類而產生的群。
給定一個群 _G_ 和 _G_ 的正規子群 _N_，_G_ 在 _N_ 上的商群或因子群，在直覺上是把正規子群 _N_「萎縮」為單位元素的群。商群寫為 _G_/_N_ 並念作 _G_ mod _N_（_mod_ 是模的簡寫）。如果 _N_ 不是正規子群，商仍可得到，但結果將不是群，而是齊次空間。



群的子集的乘積

在隨後的討論中，我們將使用在 _G_ 的子集上的二元運算：如果給出 _G_ 的兩個子集 _S_ 和 _T_，我們定義它們的乘積為 _ST_ = { _st_ : _s_∈_S_ 並且 _t_∈_T_ }。這個運算是符合結合律的並有單位元素為單元素集合 {_e_}，這里的 _e_ 是 _G_ 的單位元素。因此，_G_ 的所有子集的集合形成了在這個運算下的么半群。

憑借這個運算我們可以首先解釋商群是什麼，並接著解釋正規子群是什麼：

　
: 群 _G_ 的商群是 _G_ 的一個劃分，而它在這個乘積運算下是群。

它完全由包含 _e_ 的子集所確定。_G_ 的正規子群是在任何這種劃分中包含 _e_ 的集合。在劃分中的子集是這個正規子群的陪集。

群 _G_ 的子群 _N_ 是正規子群，若且唯若陪集等式 _aN_ = _Na_ 對於所有 _G_ 中的 _a_ 都成立。依據上述定義的在子集上的二元運算，_G_ 的正規子群是交換於 _G_ 的所有子集的子群，並指示為 _N_ ⊲ _G_。置換於 _G_ 的所有子群的子群叫做可置換子群。



定義

設 _N_ 是群 _G_ 的正規子群。我們定義集合 _G_/_N_ 是 _N_ 在 _G_ 中的所有左陪集的集合，就是說 _G_/_N_ = { _aN_ : _a_∈_G_ }。在 _G_/_N_ 上的群運算定義如上。換句話說，對於每個 _G_/_N_ 中 _aN_ 和 _bN_，_aN_ 和 _bN_ 的乘積是 (_aN_)（_bN_）。這個運算是閉合的，因為 (_aN_)(_bN_) 實際上是左陪集：

　
: (_aN_)(_bN_) = _a_(_Nb_)_N_ = _a_(_bN_)_N_ =(_ab_)_NN_ =(_ab_)_N_。

_N_ 的正規性被用在了這個等式中。因為 _N_ 的正規性，_N_ 在 _G_ 中的左陪集和右陪集是相等的，所以 _G_/_N_ 也可以定義為 _N_ 在 _G_ 中所有的右陪集的集合。因為運算是從 _G_ 的子集的乘積得出的，這個運算是良好定義的（不依賴於表示的特定選擇），符合結合律的，並有單位元素 _N_。_G_/_N_ 的元素 _aN_ 的反元素是 _a_−1_N_。



定義的動機

_G_/_N_ 叫做商群的理由來自整數的除法。在 12 除以 3 的時候得到答案 4 是因為我們可以把 12 個對象重新分組為 3 個對象的 4 個子搜集。商群出於同樣想法，但用一個群作為最終答案而非一個數，因為群要比對象的隨機搜集要更有結構。

更細致的說，在查看 _G_/_N_ 而 _N_ 是 _G_ 的正規子群的時候，這個群結構形成一種自然「重新分組」。它們是 _N_ 在 _G_ 中陪集。因為我們從一個群和正規子群得到的最終的商包含比只是陪集的（正常除法所產生的）數目要更多的訊息，這里得到了一個群結構自身。



例子


* 考慮整數集 Z（在加法下）的群和所有偶數構成的子群 2Z。這是個正規子群，因為 Z 是阿貝爾群。只有兩個陪集：偶數的集合和奇數的集合；因此商群 Z/2Z 是兩個元素的循環群。這個商群同構於集合 {0, 1} 帶有模 2 加法運算的群；非正式的說，有時稱 Z/2Z 等於集合 {0, 1} 帶有模 2 加法。

* 上個例子的稍微一般化。再次考慮整數集 Z 在加法下的群。設 _n_ 是任何正整數。我們考慮由 _n_ 的所有倍數構成的 Z 的子群 _n_Z。_n_Z 在 Z 中還是正規子群因為 Z 是阿貝爾群。陪集們是搜集 {_n_Z,1+_n_Z,...,(_n_−2)+_n_Z,(_n_−1)+_n_Z}。整數 _k_ 屬於陪集 _r_+_n_Z，這里的 _r_ 是 _k_ 除以 _n_ 的餘數。商 Z/_n_Z 可以被認為模以 _n_ 的「餘數」的群。這是個 _n_ 階循環群。


* 考慮複數十二次單位一的根的乘法阿貝爾群 _G_，它們是在單位圓上的點，它們在右圖中展示為著色的球並在每點上用數標記出它們的輻角。考慮它由單位一的四次根構成的子群 _N_，在圖中表示為紅色球。這個正規子群把群分解為三個陪集，分別表示為紅色、綠色和藍色。你可以驗證這些陪集形成了三個元素的群（紅色元素和藍色元素的乘積是藍色元素，藍色元素的反元素是綠色元素等等）。因此商群 _G_/_N_ 是三種顏色元素的群，它又是三個元素的循環群。

* 考慮實數集 R 在加法下的群，和整數集子群 Z。Z 在 R 中的陪集們是形如 _a_ + Z 的所有集合，這里 0 ≤ _a_ < 1 是實數。這種陪集的加法是通過做相應的實數的加法，並在結果大於或等於 1 的時候減去 1 完成的。商群 R/Z 同構於圓群 S1，它是絕對值為 1 的複數在乘法下的群，或者說關於原點的二維旋轉的群，也就是特殊正交群 SO (2)。有一個同構給出為 _f_(_a_ + Z) = exp（2_πia_，參見歐拉恆等式）。

* 如果 _G_ 是可逆的 3 × 3 實數矩陣的群，而 _N_ 是帶有行列式為 1 的 3 × 3 實數矩陣的子群，那麼 _N_ 在 _G_ 中是正規子群（因為它是行列式同態的核）。_N_ 的陪集們是帶有給定行列式的矩陣的集合們，因此 _G_/_N_ 同構於非零實數的乘法群。

* 考慮阿貝爾群 Z4 = Z/4Z（也就是集合 {0, 1, 2, 3} 帶有加法模 4），和它的子群 {0, 2}。商群 Z4 / {0, 2} 是 {{ 0, 2}, {1, 3} }。這是帶有單位元素 {0, 2} 的群，群運算如 {0, 2} + {1, 3} = {1, 3}。子群 {0, 2} 和商群 {{ 0, 2}, {1, 3} } 同構於 Z2。

* 考慮乘法群 $G=\mathbf {Z} _{n^{2}}^{*}$ 。第 _n_ 個餘數的集合 _N_ 是 $\mathbf {Z} _{n}^{*}$ 的 _ϕ_ (_n_) 階乘法子群。則 _N_ 在 _G_ 中是正規子群並且因子群 _G_/_N_ 有陪集 _N_,（1+_n_）_N_, (1+_n_)2N,…,(1+_n_)n−1N。Pallier 加密系統基於了在不知道 _n_ 的因子分解的時候難於確定 _G_ 的隨機元素的陪集的猜想。



性質

商群 _G_ / _G_ 同構於平凡群（只有一個元素的群），而 _G_ / {_e_} 同構於 _G_。

_G / N_ 的階定義為等於 [_G_ : _N_]，它是 _N_ 在 _G_ 中的子群的指標（index）。如果 _G_ 是有限的，這個指標還等於 _G_ 的階除以 _N_ 的階。注意 _G / N_ 可以在 _G_ 和 _N_ 二者是無限的時候是有限的（比如 Z _/_ 2Z）。

有一個「自然」滿射群同態 _π_ : _G_ → _G_ / _N_，把每個 _G_ 的元素 _g_ 映射到 _g_ 所屬於的 _N_ 的陪集上，也就是：_π_(_g_) = _gN_。映射 _π_ 有時叫做「G 到 G / N 上的規范投影」。它的核是 _N_。 

在包含 _N_ 的 _G_ 的子群和 _G_ / _N_ 的子群之間有一個對射映射；如果 _H_ 是包含 _N_ 的 _G_ 的子群，則對應的 _G / N_ 的子群是 _π_(_H_)。這個映射對於 _G_ 的正規子群和 _G_ / _N_ 也成立，並在格定理中形式化。

商群的一些重要性質記錄在同態基本定理和同構基本定理中。

如果 _G_ 是阿貝爾群、冪零群或可解群，則 _G_ / _N_ 也是。

如果 _G_ 是循環群或有限生成群，則 _G_ / _N_ 也是。

如果 _N_ 被包含在 _G_ 的中心內，則 _G_ 也叫做這個商群的中心擴張。

如果 _H_ 是在有限群 _G_ 中的子群，並且 _H_ 的階是 _G_ 的階的一半，則 _H_ 保證是正規子群，因此 _G_ / _H_ 存在並同構於 _C_2。這個結果還可以陳述為「任何指標為 2 的子群都是正規子群」，並且它的這種形式還適用於無限群。

所有群都同構於一個自由群的商。

有時但非必然的，群 _G_ 可以從 _G_ / _N_ 和 _N_ 重構為一個直積或半直積。判定何時成立的問題叫做擴張問題。不成立的一個例子如下。Z4 / {0, 2} 同構於 Z2，並且還同構於 {0, 2}，但是唯一的半直積是直積，因為 Z2 只有一個平凡的自同構。所以 Z4 不同於 Z2 × Z2，它不能被重構。



參見


* 商環，也叫做因子環

* 群擴張

* 格定理

* 商范疇

* 短正合序列