域上的代數（algebra over a field）或域代數，一般可簡稱為代數，是在向量空間的基礎上定義了一個雙線性的乘法運算而構成的代數結構。



定義

介紹域上的代數的一般定義之前，先看幾個例子。

例 1：複數

複數即形如 $a+bi$ 的數，其中 $a$ ， $b$ 為實數而 $i$ 為虛數單位。 $a+bi$ 可表示為實向量 $(a,b)$ ，且在向量表示下的加法與純量乘法分別與兩個複數的加法和一個實數與一個複數的乘法相同，因此複數集是實數域上的二維向量空間。而兩個複數的乘法定義為 $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ ，結果仍為複數，且此運算對加法和純量乘法滿足雙線性性：設 $\mathbf {x} $ ， $\mathbf {y} $ 和 $\mathbf {z} $ 為任意複數而 $a$ ， $b$ 為任意實數，可驗證：

 
* $(\mathbf {x} +\mathbf {y} )\mathbf {z} =\mathbf {x} \mathbf {z} +\mathbf {y} \mathbf {z} $

* $(a\mathbf {x} )(b\mathbf {y} )=(ab)(\mathbf {x} \mathbf {y} )$

複數的乘法滿足交換律，故左右分配律等價，只需考慮其中之一。

例 2：四元數

四元數即形如 $a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} $ 的數，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 和 $d$ 為實數而 $\mathbf {i} $ ， $\mathbf {j} $ 和 $\mathbf {k} $ 為滿足 $\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {ijk} =-1$ 的三個四元數單位。與複數類似，四元數集是實數域上的四維向量空間。根據四元數單位的乘法表可得兩個四元數的乘積如下：

$$
{\begin{aligned}&(a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} )(w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )\\=&(aw-bx-cy-dz)+(ax+bw+cz-dy)\mathbf {i} +(ay-bz+cw+dx)\mathbf {j} +(az+by-cx+dw)\mathbf {k} \end{aligned}}
$$

設 $\mathbf {p} $ ， $\mathbf {q} $ 和 $\mathbf {r} $ 為任意四元數而 $a$ ， $b$ 為任意實數，可驗證：

 
* $\mathbf {p} (\mathbf {q} +\mathbf {r} )=\mathbf {p} \mathbf {q} +\mathbf {p} \mathbf {r} $

* $(\mathbf {p} +\mathbf {q} )\mathbf {r} =\mathbf {p} \mathbf {r} +\mathbf {q} \mathbf {r} $

* $(a\mathbf {p} )(b\mathbf {q} )=(ab)(\mathbf {p} \mathbf {q} )$

四元數的乘法不滿足交換律，左右分配律需分別考慮。

例 3：三維向量的叉積

兩個右手系標準正交基下的三維向量 $\mathbf {u} =(u_{1},u_{2},u_{3})$ 和 $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},v_{3})$ ，其叉積為 $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})$ 。設 $\mathbf {u} $ ， $\mathbf {v} $ 和 $\mathbf {w} $ 為任意三維向量而 $a$ ， $b$ 為任意實數，可驗證：

 
* $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} +\mathbf {w} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} +\mathbf {u} \times \mathbf {w} $

* $(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\times \mathbf {w} =\mathbf {u} \times \mathbf {w} +\mathbf {v} \times \mathbf {w} $

* $(a\mathbf {p} )\times (b\mathbf {q} )=(ab)(\mathbf {p} \times \mathbf {q} )$

與前述兩例不同的是，三維向量的叉積不滿足結合律，即一般來說 $(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} =\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )$ 不成立，亦不存在單位元，即不存在向量 $\mathbf {u} $ 使得對任意向量 $\mathbf {v} $ 皆有 $\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\mathbf {v} \times \mathbf {u} =\mathbf {v} $ 。帶叉積的三維向量空間是一個李代數。

定義

以上三例中，乘法運算皆滿足雙線性性而不一定滿足交換律或結合律或存在單位元。以上三例的共同點，概括為域上的代數，定義如下：設 $K$ 為域， $A$ 為 $K$ 上的向量空間，其加法運算為 $+$ ，純量乘法為 $\cdot $ 。定義 $A$ 上的二元運算 $\times :A\times A\to A$ ，若 $\times $ 滿足雙線性性，即對於任意 $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in A$ 和 $a,b\in K$ 滿足以下條件：


* 對加法的左分配律： $\mathbf {x} \times (\mathbf {y} +\mathbf {z} )=\mathbf {x} \times \mathbf {y} +\mathbf {x} \times \mathbf {z} $

* 對加法的右分配律： $(\mathbf {x} +\mathbf {y} )\times \mathbf {z} =\mathbf {x} \times \mathbf {z} +\mathbf {y} \times \mathbf {z} $

* 與純量乘法相容： $(a\cdot \mathbf {x} )\times (b\cdot \mathbf {y} )=(ab)\cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )$

則稱 $A$ 為 $K$ 上的代數。 $K$ 稱為 $A$ 的基域。運算 $\times $ 常稱作乘法，且運算符一般可以省略，即 $\mathbf {x} \times \mathbf {y} $ 記作 $\mathbf {x} \mathbf {y} $ 。純量乘法 $\cdot $ 的運算符通常亦省略，但此處並不會導致混淆，因為 $\cdot $ 是純量與向量之間的運算而 $\times $ 是兩個向量之間的運算。另須注意域上的代數與帶雙線性形式的向量空間區別：在代數中， $A$ 中兩個元素的乘積仍是 $A$ 中的元素，而 $A$ 中兩個元素由雙線性形式得到的「乘積」是純量即 $K$ 中的元素。