在隨機分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一條非常重要的性質。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了對於一個隨機過程的函數作微分的規則。



伊藤引理較早版本

第一引理

對於布朗運動 $W_{t}$ 和二次可導函數 $f(x)$ ，以下等式成立：

　
: $df(W_{t})=f'(W_{t})dW_{t}+{\frac {1}{2}}f''(W_{t})dt$

其中過程：

　
: $dtdt=0,dtdW_{t}=dW_{t}dt=0,dW_{t}dW_{t}=dt$

其主要可通過對多項式環到形式冪級數的拓展，例如：

　
: $de^{W_{t}^{2}}=2W_{t}e^{W_{t}^{2}}dW_{t}+(e^{W_{t}^{2}}+2W_{t}^{2}e^{W_{t}^{2}})dt$

第二引理

對於伊藤過程 $X_{t}$ 和二次可導函數 $f(t,x)$ ，以下等式成立

　
: $df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dX_{t}$

第三引理

定義伊藤過程 $X_{t}$ 為滿足下列隨機微分方程的隨機過程

　
: $dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}$

對於伊藤過程 $X_{t}$ 和二次可導函數 $f(t,x)$ ，以下等式成立：

　
: $df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW_{t}.$

類似地，定義多維伊藤過程 $\mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}$ 使得

　
: $d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}$

其中 ${\boldsymbol {\mu }}_{t}$ 為 n 維向量， $\mathbf {G} _{t}$ 為 n 階方塊矩陣；有如下等式：

　
: ${\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}$

其中， $\nabla _{\mathbf {X} }f$ 是 _f_ 關於 _X_ 的梯度，_H_X _f_ 是 _f_ 關於 _X_ 的黑塞矩陣，Tr 是跡的符號。



到半鞅的拓展

連續半鞅

　
: $df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.$

不連續半鞅

　
: ${\begin{aligned}f(X_{t})=&f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&{}+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}$

泊松過程

我們也可以定義非連續隨機過程的函數。

定義跳躍強度 _h_，根據跳躍的泊松過程模型，在區間 $[t,\ t+\Delta t]$ 上出現一次跳躍的概率是 $h\Delta t$ 加上 $\Delta t$ 的高階無窮小量。_h_ 可以是常數、顯含時間的確定性函數，或者是隨機過程。在區間 $[0,t]$ 上沒有跳躍的概率稱為生存概率 $p_{s}(t)$ ，其變化是：

　
: $dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.$

因此生存概率為：

　
: $p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).$

定義非連續隨機過程 $S(t)$ ，並把 $S(t^{-})$ 記為從左側到達 _t_ 時 _S_ 的值，記 $d_{j}S(t)$ 是一次跳躍導致 $S(t)$ 的非無窮小變化。有：

　
: $d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))$

 $\eta (S(t^{-}),z)$ 是跳躍幅度 _z_ 的概率分布，跳躍幅度的期望值是：

　
: $E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.$

定義補償過程和鞅 $dJ_{S}(t)$ ： 

　
: $dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)\,dt.$

因此跳躍的非無窮小變化，也就是隨機過程的跳躍部分可以寫為：

　
: $d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)dt+dJ_{S}(t).$

因此如果隨機過程 $S$ 同時包含漂移、擴散、跳躍三部分，可以寫為：

　
: $dS(t)=\mu dt+\sigma dW(t)+d_{j}S(t).$

考慮其函數 $g(S(t),t)$ 。 $S(t)$ 跳躍 $\Delta s$ 的幅度，會導致 $g(t)$ 跳躍 $\Delta g$ 幅度。 $\Delta g$ 取決於 g 的跳躍分布 $\eta _{g}()$ ，有可能依賴於跳躍前的函數值 $g(t^{-})$ ，函數微分 _dg_ 以及跳躍前的自變量值 $S(t^{-})$ 。 $g$ 的跳躍部分是：

　
: ${\begin{aligned}g(t)-g(t^{-})&=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).\end{aligned}}$

函數 $g(S(t),t)$ 的伊藤引理是：

　
: ${\begin{aligned}dg(t)&=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).\end{aligned}}$

可以看到，漂移 - 擴散過程與跳躍過程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。



應用例子

布萊克 - 舒爾茲模型

伊藤引理可以用於推導布萊克 - 舒爾茲模型。假設一支股票的價格服從幾何布朗運動 $dS=\mu Sdt+\sigma SdW$ ，且其期權的價格是股票價格和時間的函數 $V=f(t,S)$ 。根據伊藤引理，有

　
: $df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu S{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+\sigma S{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dW$

整理可得

　
: $df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS$

式中 ${\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS$ 項表明期權價格的波動等於持有 ${\frac {\partial f}{\partial S}}$ 單位股票時的波動。在這個對應下，現金的部分應該以無風險利率 $r$ 增長，即

　
: $df=r\left(f-S{\frac {\partial f}{\partial S}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS$

比較兩式 $dt$ 項的係數，可得

　
: ${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0$



參看


* 費曼－卡茨公式



參考資料


* Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.

* PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.

* Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy