本篇的目的在於討論群的基本性質，群的定義可見參見群 #正式定義。



基本定理

拉丁方陣性質

定理 1.3: 對於所有 _G_ 中元素 _a_,_b_，存在唯一的 _G_ 中的 _x_ 使得 _a_\*_x_ = _b_。

_證明_。的確存在至少一個這種 _x_，因為如果我們設 _x_ = _a_-1\*_b_，則 _x_ 在 _G_ 中 (通過 A1，閉包) 並且:


* _a_\*_x_ = _a_\*(_a_-1\*_b_) (代換 _x_)

* _a_\*(_a_-1\*_b_) = (_a_\*_a_-1)\*_b_ (結合律 A2)。

* (_a_\*_a_-1)\*_b_ = _e_\*_b_ = _b_. (單位元素 A3)。

* 因此總是存在一個 _x_ 滿足 _a_\*_x_ = _b_。

為了證明這是唯一性的，如果 _a_\*_x_ = _b_，則


* _x_ = _e_\*_x_

* _e_\*_x_ = (_a_-1\*_a_)\*x

* (_a_-1\*_a_)\*x = _a_-1\*(_a_\*_x_)

* _a_-1\*(_a_\*_x_) = _a_-1\*_b_

* 因此，_x_ = _a_-1\*_b_

類似的，對於所有 _G_ 中的 _a_,_b_，存在唯一的一個 _G_ 中的 _y_ 使得 _y_\*_a_ = _b_。

兩次逆換回到起點

定理 1.6: 對於所有群 _G_ 中的元素 _a_，(_a_-1)-1 = _a_。

_證明_。_a_-1\*_a_ = _a_-1\*(_a_-1)-1=_e_。(A4)

由定理 1.5 知定理 1.6 成立。

_ab_ 的反元素

定理 1.7: 對於所有群 _G_ 中元素 _a_,_b_，(_a_\*_b_)-1 = _b_-1\*_a_-1。

_證明_。(_a_\*_b_)\*(_b_-1\*_a_-1) = _a_\*(_b_\*_b_-1)\*_a_-1 = _a_\*e\*_a_-1 = _a_\*_a_-1 = _e_。結論得出自定理 1.4。

消除

定理 1.8: 對於所有群 _G_ 中的元素 _a_,_x_ 和 _y_，如果 _a_\*_x_ = _a_\*_y_，則 _x_ = _y_；並且如果 _x_\*_a_ = _y_\*_a_，則 _x_ = _y_。

_證明_。如果 _a_\*_x_ = _a_\*_y_ 則:


* _a_-1\*(_a_\*_x_) = _a_-1\*(_a_\*_y_)

* (_a_-1\*_a_)\*_x_ = (_a_-1\*_a_)\*_y_

* _e_\*_x_ = _e_\*_y_

* _x_ = _y_

如果 _x_\*_a_ = _y_\*_a_ 則


* (_x_\*_a_)\*_a_-1 = (_y_\*_a_)\*_a_-1

* _x_\*(_a_\*_a_-1) = _y_\*(_a_\*_a_-1)

* _x_\*_e_ = _y_\*_e_

* _x_ = _y_

冪

對於 $n\in \mathbb {Z} $ 和 $a\in G$ 我們定義:

　
: $a^{n}:={\begin{cases}\underbrace {a*a*\cdots *a} _{n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n>0\\1,&{\mbox{if }}n=0\\\underbrace {a^{-1}*a^{-1}*\cdots *a^{-1}} _{-n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n<0\end{cases}}$

定理 1.9: 對於所有群 <_G_,\*> 中的 _a_， $n,m\in \mathbb {Z} $ :

　
: ${\begin{matrix}a^{m}*a^{n}&=&a^{m+n}\\(a^{m})^{n}&=&a^{m*n}\end{matrix}}$

類似的如果 _G_ 使用了加法符號，我們有:

　
: $n*a:={\begin{cases}\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n>0\\0,&{\mbox{if }}n=0\\\underbrace {(-a)+(-a)+\cdots +(-a)} _{-n{\mbox{times}}},&{\mbox{if }}n<0\end{cases}}$

並且:

　
: ${\begin{matrix}(m*a)+(n*a)&=&(m+n)*a\\m*(n*a)&=&(m*n)*a\end{matrix}}$



階

群元素的階

群 _G_ 中的元素 _a_ 的階是最小正整數 _n_ 使得 _an = e_。有些它寫為「o (_a_)=_n_」。_n_ 可以是無限的。

定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 階的群是阿貝爾群。換句話說，如果所有群 _G_ 中的元素 _g_ 都有 _g_\*_g_=_e_ 成立，則對於所有 _G_ 中的 _a_,_b_，_a_\*_b_ = _b_\*_a_。

 
_證明 1_。設 _a_, _b_ 是群 _G_ 中任何 2 個元素。
由 公理 A1 可知 (_a_\*_b_) 是群 _G_ 的元素，所以 (_a_\*_b_) 是群 _G_ 的 2 階元素


* _a_\*_b_\*_a_\*_b_ = (_a_\*_b_)\*(_a_\*_b_) = _e_ ...(1) by 公理 A2

* _a_\*_b_\*_b_\*_a_ = _a_\*_e_\*_a_ = _a_\*_a_= _e_ ...(2) by _a_,_b_ 都是群 _G_ 的 2 階元素

* _a_\*_b_\*_b_\*_a_ = _a_\*_b_\*_a_\*_b_ ...(3) by 式 (1), 式 (2) 兩式皆等於 _e_

* _b_\*_b_\*_a_ = _b_\*_a_\*_b_ ...(4) by 定理 1.8

* _b_\*_a_ = _a_\*_b_ ...(5) by 定理 1.8

因為群運算 \
* 是符合交換律的，這個群是阿貝爾群。

 
_證明 2_。設 _a_, _h_ 是群 _G_ 中任何 2 個元素。通過 A1，_a_\*_h_ 也是 _G_ 的成員。使用給定條件，我們知道 (_a_\*_h_)\*(_a_\*_h_) = _e_。因此:


* _a_\*(_a_\*_b_)\*(_a_\*_b_) = _a_\*_e_

* _a_\*(_a_\*_b_)\*(_a_\*_b_)\*_b_ = _a_\*_e_\*_b_

* (_a_\*_a_)\*(_b_\*_a_)\*(_b_\*_b_) = (_a_\*_e_)\*_b_

* _e_\*(_b_\*_a_)\*_e_ = _a_\*_b_

* _b_\*_a_ = _a_\*_b_。

因為群運算 \
* 是符合交換律的，這個群是阿貝爾群。

群的階

群 _G_ 的階，通常指示為 |_G_| 或偶爾指示為 o (_G_)，在 <_G_,\*> 是有限群的情況下是集合 _G_ 中元素的數目。如果 _G_ 是無限集合，則群 <_G_,\*> 有等於 _G_ 的勢的階，而且是無限群。



子群

_G_ 的子集 _H_ 被稱為群 <_G_,\*> 的子群，如果使用相同的算子 "\*"，並限制於子集 _H_ 內，_H_ 滿足群公理。因此如果 _H_ 是 <_G_,\*> 的子群，則 <_H_,\*> 也是群，並在限制於 _H_ 內，滿足上述定理。子群 _H_ 的階是 _H_ 中元素的數目。

群 _G_ 的真子群是不同於 _G_ 的子群。_G_ 的非平凡子群 (通常) 是包含至少一個不是 _e_ 的元素的 _G_ 的真子集。

定理 2.1: 如果 _H_ 是 <_G_,\*> 的子群，則 在 _H_ 中的單位元素 _e_H 同一於 (_G_,\*) 中的單位元素 _e_。

_證明_。如果 _h_ 在 _H_ 中，則 _h_\*_e_H = _h_；因為 _h_ 必定也在 _G_ 中，_h_\*_e_ = _h_；所以通過定理 1.4，_e_H = _e_。

定理 2.2: 如果 _H_ 是 _G_ 的子群，並且 _h_ 是 _H_ 的元素，則 _h_ 在 _H_ 中的反元素同一於 _h_ 在 _G_ 中的反元素。

_證明_。設 _h_ 和 _k_ 是 _H_ 的元素，使得 _h_\*_k_ = _e_；因為 _h_ 必定也在 _G_ 中，_h_\*_h_-1 = _e_；所以通過定理 1.5，_k_ = _h_-1。

給定 _G_ 的子集 _S_，我們經常想要確定 _S_ 是否也是 _G_ 的子群。一個手頭的定理對無限群和有限群都是有效的:

定理 2.3: 如果 _S_ 是 _G_ 的非空子集，則 _S_ 是 _G_ 的子群，若且唯若對於所有 _S_ 中的 _a_,_b_，_a_\*_b_-1 在 _S_ 中。

_證明_。如果對於所有 _S_ 中的 _a_, _b_，_a_\*_b_-1 在 _S_ 中，則


* _e_ 在 _S_ 中，因為 _a_\*_a_-1 = _e_ 在 _S_ 中。

* 對於所有 _S_ 中的 _a_，_e_\*_a_-1 = _a_-1 在 _S_ 中。

* 對於所有 _S_ 中的 _a_, _b_，_a_\*_b_ = _a_\*(_b_-1)-1 在 _S_ 中。

因此，滿足了閉包、單位元素和反元素公理，而結合律是繼承來的，所以 _S_ 是子群。

反過來說，如果 _S_ 是 _G_ 的子群，則它滿足群公理。


* 如上所述，_S_ 中單位元素同一於 _G_ 中的單位元素 _e_。

* 通過 A4，對於所有 _S_ 中的 _b_，_b_-1 在 _S_ 中。

* 通過 A1，_a_\*_b_-1 在 _S_ 中。

兩個或更多個子群的交集也是子群。

定理 2.4: 群 _G_ 的子群的任何非空集合的交集是子群。

_證明_。設 {_H_i} 是 _G_ 的子群的集合，並設 K = ∩{_H_i}。通過定理 2.1，_e_ 是所有 _H_i 的成員；因此 _K_ 非空。如果 _h_ 和 _k_ 是 _K_ 的兩個元素，則對於所有 _i_， 


* _h_ 和 _k_ 在 _H_i 中。

* 通過前面的定理，_h_\*_k_-1 在 _H_i。

* 所以，_h_\*_k_-1 在 ∩{_H_i} 中。

因此對於 _K_ 中的所有 _h_, _k_，_h_\*_k_-1 在 _K_ 中。接著通過前面的定理，_K_=∩{_H_i} 是 _G_ 的子群；並且事實上 _K_ 是每個 _H_i 的子群。

給定一個群 <_G_,\*>，定義 _x_\*_x_ 為 _x_², _x_\*_x_\*_x_\*...\*_x_ (_n_ 次) 為 _x_n，並定義 _x_0 = _e_。類似的，定義 _x_-_n_ 為 (_x_-1)n。則我們有:

定理 2.5: 設 _a_ 是群 (_G_,\*) 的元素。則集合 { _a_n: _n_ 是整數 } 是 _G_ 的子群。

_證明_。這種類型的子群叫做循環子群；_a_ 的冪的子群經常寫為 <_a_>，並稱為 _a_ 生成 <_a_>。



陪集

如果 _S_ 和 _T_ 是 _G_ 的子集，並且 _a_ 是 _G_ 的元素，我們寫「_a_\*_S_」來提及形如 _a_\*_s_ 的所有元素構成的 _G_ 的子集，這里的 _s_ 是 _S_ 的元素；類似的，我們寫「_S_\*_a_」來指示形如 _s_\*_a_ 的元素的集合。我們寫 _S_\*_T_ 表示形如 _s_\*_t_ 的元素構成的 _G_ 的子集，這里的 _s_ 是 _S_ 的元素而 _t_ 是 _T_ 的元素。

如果 _H_ 是 _G_ 的子群，則 _H_ 對於某個 _G_ 中的 _a_ 的左陪集是集合 _a_\*_H_。右陪集是集合 _H_\*_a_。

如果 _H_ 是 _G_ 的子群，則下面陳述而不帶證明的有用定理對所有陪集都成立:


* 如果 _x_ 和 _y_ 是 _G_ 的元素，則要麼 _x_\*_H_ = _y_\*_H_，要麼 _x_\*_H_ 和 _y_\*_H_ 有空交集。

* 所有 _H_ 在 _G_ 中的左 (右) 陪集都包含相同數目的元素。

* _G_ 是 _H_ 的左 (右) 陪集們的互斥聯集集。

* 那麼 _H_ 的不相同的左陪集的數目等於 _H_ 的不相同的右陪集的數目。

定義群 _G_ 的子群 _H_ 的指標 (寫為「[_G_:_H_]」) 為 _H_ 在 _G_ 中不同的左陪集的數目。

從這些定理，我們可以推導出重要的拉格朗日定理，它有關於群的子群的階:


* 拉格朗日定理: 如果 _H_ 是 _G_ 的子群，則 |_G_| = |_H_|\*[_G_:_H_]。

對於有限群，它可以重申為:


* 拉格朗日定理: 如果 _H_ 是有限群 _G_ 的子群，則 _H_ 的階整除 _G_ 的階。

* 如果群 _G_ 的階是質數，_G_ 是循環群。



參見


* 群論

* 阿貝爾群

* 群論術語



引用


* Jordan, C. R and D.A. _Groups_. Newnes (Elsevier), ISBN 0-340-61045-X

* Scott, W R. _Group Theory_. Dover Publications, ISBN 0-486-65377-3