歐幾里得空間 R3 中一個曲面 _S_ 是可定向（orientable）的如果一個二維圖形（比如）沿著曲面移動後回到起點不能使它看起來像它的鏡像（）。否則曲面是不可定向（non-orientable）的。

更確切地，應用於非嵌入曲面，一個曲面可定向如果不存在從二維球 _B_ 與單位區間的乘積到曲面的連續函數 $f:B\times [0,1]\to S$ ，使得 _f_(_b_,_t_)=_f_(_c_,_t_) 若且唯若 _b_=_c_ 對任何 _t_ ∈ [0,1]，並存在一個反射映射使得 _f_(b,0) = _f_(_r_(_b_),1) 對每個 _b_ ∈ _B_。

一個抽象曲面（即一個二維流形）可定向如果在曲面上連續存在一個一致的逆時針方向旋轉概念。這等價於問平面是否包含一個子集同胚於莫比烏斯帶。從而對曲面來說，莫比烏斯帶可認為是所有不可定向性之來源。

嵌入在 R3 中的曲面在的意義下可定向若且唯若它作為一個抽象曲面可定向。



已定向與可定向

對一個可定向曲面，一個一致的「逆時針方向」選取稱為一個定向（orientation），曲面稱為已定向（oriented）。一個可定向曲面恰有兩個定向，一個已定向曲面和可定向曲面的區別很小常忽略不計。一個可定向曲面是一個存在定向的抽象曲面，而已定向曲面是一個抽象可定向曲面，並包含了選取兩個可能的定向之一的額外數據。



例子

大部分我們在物理世界中遇到的曲面是可定向的。例如球面、平面與環面是可定向的。但是莫比烏斯帶、實射影平面與克萊因瓶不可定向。它們，在三維空間中看起來都只有一「側」。（注意：實射影空間與克萊因瓶不能嵌入 R3，只能良好相交地浸入。）所謂「側」，從幾何上來看局部相當於選取一個連續的單位法向量場。

注意到一個嵌入曲面局部都有兩側，從而一隻近視螞蟻在單側曲面上爬可能認為有「另一側」。一側性的本質是螞蟻可以從曲面的一邊爬到「另一側」（相當於單位法向量改變符號），而不穿過曲面或越過邊界，只是爬得足夠遠。兩側性相當於可以整體選取一個連續的單位法向量場。

一般地，可定向性不等價於具有兩側；但如果環繞空間（比如上面的 R3）可定向也是成立的。例如，一個環面可以嵌入 $K^{2}\times S^{1}$ 只有一邊，而克萊因瓶在這個空間中也只有一邊；這裡 $K^{2}$ 表示克萊因瓶。

一個服從歐幾里得幾何的單連通二維空間是可定向的。

人們廣泛相信實際宇宙的時空流形是可定向的。不然，你可沿著某條不可縮道路經過時空一周，當你回來時，你（或宇宙的其餘部分，從你的觀點來看）將變為左 - 右互逆，就像自己的一個鏡像（參見手征性、利手）。



用三角剖分定向

對曲面無論是否嵌入一個周圍空間，可定向性是容易定義的。任何曲面有一個三角剖分：分解為一些三角形使得這些三角形的每一條之多與一條其它邊黏合。通過對一個三角的每條邊選取一個方向（想像在每條邊上畫一個箭頭），使得當我們沿著三角形的邊界繞一圈時箭頭頭尾相連，這樣我們可定向每個三角形。如果我們可使得共有一條邊的兩個三角形在這條邊上的箭頭相反，則我們說對這個平面做了一個定向。只有在曲面可定向時才能進行如此操作，並且恰有兩個不同的取向。

想像曲面上一個圖形，可以沿著曲面自由滑動但不能脫離曲面（選擇這個圖形是因為它的手性）。如果曲面是莫比烏斯帶，這個圖形沿著帶子四處滑動回到起點，則它可能看起來像鏡像而不是。如果曲面是球面，則這種現象不會發生。

與上面定義的關係是在一個三角剖分中從一個三角形滑動到另一個三角形對每個三角形給出了一個定向；在一個三角形內部以紅 - 綠 - 藍的順序誘導了每條邊上選取一個箭頭。一致定向所有三角形的惟一阻礙是當回到最初開始的三角形，它可能誘導方向相反的箭頭。顯然，如果這永遠不發生的話，則我們要求這個曲面可定向，而在發生時我們稱這個曲面不可定向。

如上定義可以推廣到可三角剖分的 _n_- 流形，但這種方式出現了問題：有些 4 - 流形沒有三角剖分，而一般地對 _n_ > 4 某些有三角剖分的 _n_- 流形是不等價的。



流形的可定向性

拓撲定義

一個 _n_- 維流形（不論是嵌入在有限維向量空間，還是一個抽象流形）稱為不可定向如果在流形上可取一個 _n_- 維球的同胚像，在流形中移動後回到原點，使得在道路的最終點這個球反過來了，使用和上面對平面一樣的定義。等價地，一個 _n_- 維流形不可定向如果包含 (_n_-1)- 維球 _B_ 與單位區間 [0,1] 的直積並通過一個反射黏合一端的球 B×{0} 與另一端球 B×{1} 所形成的空間的同胚像；例如對 3 - 流形，這是一個實心克萊因瓶。

另一種定義使用結構群語言，一個可定向流形是結構群（一個先驗的 GL (_n_)）可約化為保持定向變換的子群 GL+(_n_)。具體地說，一個可定向流形存在一致定向（即所有轉移映射保持定向）的一個開 _n_- 維球覆蓋。這裡需要定義局部定向的含義，可使用向量叢的定向（局部定向是在一點切空間的定向）或使用奇異同調（一個定向是在一點 _p_ 選取第 _n_- 階相對同調群的生成元

　
: $H_{n}(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} ).\,$ ）

這樣一個流形稱為可定向的如果可在整個流形上選取一個一致的局部定向。

使用同調能對緊 _n_- 流形定義可定向性而不必考慮局部定向。一個緊 _n_- 流形 _M_ 可定向若且唯若最高階同調群 $H_{n}(M,\partial M;\mathbb {Z} )$ 同構於 $\mathbb {Z} $ 。考慮單純同調，應用於任何可三角剖分流形，這使我們可視為這是一個剖分中最高維單形的一致定向的具體表述，在曲面中上一節已經做過。

如果流形有一個微分結構，我們可以使用微分形式語言。

微分流形利用最高階形式定向

另一種考慮可定向性的方式是將其視為在流形的每一點選取一個「右手性」或「左手性」。

正式說，一個 $n$ - 維可微流形稱為可定向的如果它有一個 $n$ 階微分形式（即體積形式） $\omega $ 在流形的每一點都不為零。反之，給定這樣一個形式 $\omega $ ，我們說這個流形由 $\omega $ 定向。

這裡觀察到的關鍵點是這樣一個微分形式在每一點給出了一個「右手性」選取。一個觀察者在沿一個可定向流形運動過程中，不會改變他的手性。



可定向二重覆盖

一個密切相關的想法是使用覆蓋空間概念。對一個連通流形 _M_，取二元組 (_x_, _o_) 集合 _M_\*，這裡 _x_ 是 _M_ 的一點，_o_ 是在 _x_ 點的一個定向；這裡我們假設 _M_ 光滑從而我們可以在一點的切空間上選取定向，或者使用奇異同調定義定向。那麼對 _M_ 的任何開定向子集，我們考慮相應的二元組集合，定義為 _M_\
* 的一個開子集。這給出了 _M_\
* 一個拓撲以及投影將 (_x_, _o_) 映到 x，是一個 2-1 覆蓋映射。這個覆蓋空間稱為可定向二重覆蓋，因為它是可是可定向的。_M_\
* 是連通的若且唯若 _M_ 不可定向。

另一種構造這個覆蓋的一個方式是將在一個基點處的環路分成保持定向或逆轉定向環路。保持定向環路生成基本群的一個子群要麼是整個群要麼指數為二。在後一種情形（這意味著存在逆轉定向道路），子群對應於連通二重覆蓋；這個覆蓋由構造過程可定向。在前一種情形，我們可簡單地取 _M_ 的兩個副本，每一個對應於不同的定向。



向量叢的定向

一個實向量叢，有一個先驗的 GL (n) 結構群，稱爲可定向的當結構群可以約化爲正行列式矩陣群 $GL^{+}(n)$ 。如果底流形可定向則這個約化總是可行的，事實上這也提供了定義光滑實流形的方便方法：一個光滑流形定義為可定向如果它的切叢（作爲一個向量叢）是可定向的。注意作爲一個流形，甚至是不可定向流形，切叢自己總是可定向的。



相關概念

可定向性的概念本質來自實一般線性群的拓撲 $\operatorname {GL} (n,\mathbf {R} )$ ，具體是最低階同倫群 $\pi _{0}(\operatorname {GL} (n,\mathbf {R} ))=\mathbf {Z} /2$ ：一個可逆實向量空間變換要麼保持定向要麼逆轉定向。

這不僅對可微流形成立，對拓撲流形也同樣成立，因為一個球面的自同倫等價空間有兩個連通分支，可稱為「保持定向」和「逆轉定向」映射。

對稱群類似的概念是偶置換的交錯群。



另見


* 曲線定向



參考文獻


* 陳維桓。微分流形初步（第二版）。北京：高等教育出版社，2001 年 8 月。