在數學上，特別是在調和分析與拓撲群的理論中，龐特里雅金對偶定理解釋了傅立葉變換的一般性質。它統合了實數線上或有限阿貝爾群上的一些結果，如：


* 實數線上夠「好」的複數值週期函數能表成傅立葉級數，反之也能從傅立葉級數推出原函數。

* 實數線上夠「好」的複數值函數有傅立葉變換；一如週期函數，在此也能從其傅立葉變換反推出原函數。

* 有限阿貝爾群上的複數值函數有離散傅立葉變換，這是在對偶群上的函數。此外，也從離散傅立葉變換反推原函數。

此理論由龐特里亞金（Lev Pontryagin）首開，並結合了約翰・馮・諾伊曼與安德烈・韋伊的哈爾測度理論，它依賴於局部緊阿貝爾群的對偶群理論。



哈爾測度

一個拓撲群 $G$ 被稱作局部緊的，若且唯若其單位元素 e 有個緊鄰域。明白地說，這代表存在一個包含 e 的開集 $V$ ，使得它在 $G$ 裡的閉包 ${\bar {V}}$ 是緊的。局部緊群 $G$ 最值得注意的性質之一是它帶有一個唯一的自然測度，稱作哈爾測度，這使得我們可以一致地為 $G$ 中「夠好」的子集測量大小；在此「夠好」的明確意義是博雷爾集，即由緊集生成的 σ- 代數。更明確地說，局部緊群 $G$ 的一個右哈爾測度是指一個有限可加的博雷爾測度 μ，並在 $\mu (xg)=\mu (x)\;(\forall g\in G)$ 的意義下滿足「右不變性」；此測度尚須滿足一些正則性（詳見主條目哈爾測度）。任兩個右不變哈爾測度至多差一個正的比例常數。準此要領，亦可定義左不變哈爾測度，當 $G$ 是阿貝爾群時兩者符應。

此測度讓我們得以定義 $G$ 上的複數值博雷爾函數的積分，特別是可以考慮相關的 $L^{p}$ 空間：

　
: $L_{\mu }^{p}(G)=\left\{f:G\rightarrow \mathbb {C} :\int _{G}|f(x)|^{p}\,d\mu (x)<\infty \right\}$

以下是局部緊阿貝爾群的若干例子：

 
* $\mathbb {R} ^{n}$ ，配上向量加法。

* 正實數配上乘法。此群透過指數及對數映射同構於 $\mathbb {R} $ 。

* 任意賦以離散拓撲的有限阿貝爾群。根據有限阿貝爾群的結構定理，任何這樣的群都是循環群的直積。

* 整數 $\mathbb {Z} $ 配上加法，並賦予離散拓撲。

* 圓群 $\mathbb {T} $ 。這是絕對值為一的複數在乘法下構成的群。我們有同構 $\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} $ 。

* p 進數配上加法及其 p 進拓撲。



對偶群

若 $G$ 是局部緊緻阿貝爾群， $G$ 的特徵標是一個從 $G$ 到圓群 $\mathbb {T} $ 的連續群同態；特徵標在逐點乘法下構成一個群，一個特徵標的反元素是它的複共軛。可證明所有 $G$ 上的特徵標在緊緻開拓撲（即：以緊集上的一致收斂定義收歛性）下構成一個局部緊緻阿貝爾群，稱作對偶群，記為 ${\hat {G}}$ 或 $G^{\wedge }$ 。若 $G$ 可分，則 ${\hat {G}}$ 可度量化，對一般的 $G$ 則不盡然。

這可用線性代數中的對偶空間來類比，就像一個佈於 $K$ 的向量空間 $V$ 有對偶空間 $\mathrm {Hom} (V,K)$ ，對偶群可看成 $\mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )$ 。更抽象的說，這兩者都是可表函子，被 $K$ 及 $\mathbb {T} $ 所表示。

定理：二次對偶 $G^{\wedge \wedge }$ 與 $G$ 有個自然同構。

在此，「自然」或「典範」同構意謂一個「自然地」定義的映射 $G\rightarrow G^{\wedge \wedge }$ ，要點是它在範疇中滿足函子性（詳見條目範疇論）。舉例明之：任何有限阿貝爾群都同構於其對偶群，但並不存在典範同構。

定理中的自然同構定義如下：

　
: $x\mapsto \{\chi \mapsto \chi (x)\}{\mbox{ i.e. }}x(\chi ):=\chi (x)$ 。

換言之，我們藉著將一個元素 $x\in G$ 在每個 $G$ 的特徵上求值，得到一個 ${\hat {G}}$ 上的特徵。



例子

在整數對加法形成的無窮循環群 $\mathbb {Z} $ （配上離散拓撲）上，設 χ 為一特徵，則 $\chi (n)=\chi (1)^{n}$ ，因此 χ 決定於 χ(1) 的值；反之，給定一個 $\alpha \in \mathbb {T} $ ，必存在特徵 χ 使得 χ(1)=α，由此得到群同構 $\mathbb {Z} ^{\wedge }{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\mathbb {T} $ 。此外也容易驗證 $\mathbb {Z} ^{\wedge }$ 上的緊 - 開拓撲對應到 $\mathbb {T} $ 誘導自 $\mathbb {C} $ 的拓撲。

因此， $\mathbb {Z} $ 的對偶群自然地同構於 $\mathbb {T} $ 。

反之， $\mathbb {T} $ 上的特徵皆形如 $z\mapsto z^{n}$ ，其中 _n_ 是整數。由於 $\mathbb {T} $ 是緊的，其對偶群上的拓撲由一致收斂性給出，對應的不外是 $\mathbb {Z} $ 上的離散拓撲。因此 $\mathbb {T} $ 的對偶群自然地同構於 $\mathbb {Z} $ 。

實數對加法構成的群 $\mathbb {R} $ 同構於自身的對偶群； $\mathbb {R} $ 上的特徵皆形如 $r\mapsto e^{ir}$ ，其中 _r_ 是實數。藉著這些對偶性，下節描述的傅立葉變換將符應於 $\mathbb {R} $ 上的古典版本。



傅立葉變換

對於一個局部緊阿貝爾群 $G$ ，傅立葉變換的值域是其對偶群。設 $f\in L^{1}(G)$ ，則其傅立葉變換是下述 ${\hat {G}}$ 上的函數：

　
: ${\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\;d\mu (x)$

其中 μ 是 $G$ 上的一個哈爾測度。可以證明 ${\hat {f}}$ 是 ${\hat {G}}$ 上的有界連續函數，且在無窮遠處趨近零。同理可給出 $g\in L^{1}({\hat {G}})$ 的傅立葉逆變換

　
: ${\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\;d\nu (\chi )$

其中 ν 是 ${\hat {G}}$ 上的一個哈爾測度。



群代數

局部緊阿貝爾群 $G$ 上的可積函數構成一個代數，其乘法由摺積給出：設 $f,g\in L^{1}(G)$ ，則摺積定義為

　
: $[f\star g](x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\,d\mu (y)$ 。

定理：巴拿赫空間 $L^{1}(G)$ 在摺積下構成一個交換結合代數。

此代數稱作 $G$ 的群代數。根據 $L^{1}(G)$ 的完備性，它是個巴拿赫空間。巴拿赫代數 $L^{1}(G)$ 一般沒有乘法單位元素，除非 $G$ 離散。但它有個近似單位元素，這是個網，以一有向集 $I$ 為索引，寫作 $(e_{i})_{i\in I}$ 並滿足下述性質。

　
: $f\star e_{i}\rightarrow f$ 。

傅立葉變換將摺積映至逐點乘法，即：

　
: ${\mathcal {F}}(f\star g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi )$ 。

特別是，對任意 $G$ 上的特徵 χ，可在群代數上定義一_積性線性泛函_

　
: $f\mapsto {\widehat {f}}(\chi )$ 。

群代數的重要性質之一，在於這些線性泛函窮竭了群代數上所有非平凡（即：非恆零）的積性線性泛函。見文獻中 _Loomis_ 著作的第 34 節。



普朗歇爾暨傅立葉反轉定理

如前所述，一個局部緊阿貝爾群 $G$ 的對偶群依然是局部緊阿貝爾群，因而帶有一族哈爾測度，彼此至多差一個比例常數。

定理：對偶群上存在一個哈爾測度，使得傅立葉變換在緊支集連續函數空間上的限制為等距同構。它可以唯一地延拓為一個么正算子。

　
: ${\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\rightarrow L_{\nu }^{2}({\widehat {G}})$

其中 $\nu $ 是對偶群上既取的哈爾測度。

注意到：若 $G$ 非緊， $L^{1}(G)$ 並不包含 $L^{2}(G)$ ，所以我們須訴諸一些技巧，例如限制於一個稠密子空間。

依循 _Loomis_ 書中術語，我們稱一對 $G$ 與其對偶群上的哈爾測度 $(\mu ,\nu )$ 是_相繫的_，若且唯若傅立葉反轉公式成立。傅立葉變換之么正性遂蘊含：對所有 $G$ 上的連續緊支集複數值函數 $f$ 都有

　
: $\int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}|{\widehat {f}}(\chi )|^{2}\ d\nu (\chi )$

在平方可積函數空間上，我們考慮的傅立葉變換是透過上述么正延拓得到的算子。對偶群本身也有個傅立葉逆變換；它可以刻劃為傅立葉變換之逆（或其伴隨算子，因為傅立葉變換是么正的），這是以下傅立葉反轉公式的內涵。

定理：取定一對相繫哈爾測度 $(\mu ,\nu )$ ；對於傅立葉變換在緊支集連續函數上的限制，其伴隨算子是傅立葉逆變換：

　
: $L_{\nu }^{2}({\widehat {G}})\rightarrow L_{\mu }^{2}(G)$


* 在 $G=\mathbb {R} ^{n}$ 的情形，我們有 ${\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n}$ ，若取下述相繫的哈爾測度，則回到傅立葉變換的古典定義：

　
: $\mu =(2\pi )^{-n/2}\times $ （勒貝格測度）

　
: $\nu =(2\pi )^{-n/2}\times $ （勒貝格測度）


* 在 $G=\mathbb {T} $ 的情形，對偶群 ${\hat {G}}$ 自然同構於 $\mathbb {Z} $ ，而上述算子 $F$ 歸於計算週期函數的傅立葉係數。

* 若 $G$ 為有限群，則得到離散傅立葉變換。此情形易直接證明。



玻爾緊化

龐特里亞金對偶定理的重要應用之一是下述刻劃：

定理：一個局部緊阿貝爾群 $G$ 為緊，若且唯若對偶群 ${\hat {G}}$ 為離散。另一方面， $G$ 為離散若且唯若 ${\hat {G}}$ 為緊。

對任何拓撲群，無論局部緊或交換與否，皆可定義玻爾緊化。上述對偶性的用處之一是刻劃局部緊阿貝爾群的玻爾緊化。對一個局部緊阿貝爾群 $G$ ，考慮拓撲群 ${\hat {H}}$ ，其中 $H$ 就群結構而言是 ${\hat {G}}$ ，但帶離散拓撲。由於下述包含映射

　
: $\iota :H\rightarrow {\widehat {G}}$

是個連續同態，其對偶同態

　
: $G\sim {\widehat {\widehat {G}}}{\rightarrow }{\widehat {H}}$

是個映至一個緊群的同態；可以證明它滿足定義玻爾緊化的泛性質，因而 ${\hat {H}}$ 確為 $G$ 的玻爾緊化。



範疇論觀點

函子的觀點對於研究對偶群是很有用的。以下將以 LCA 表示所有局部緊阿貝爾群及其間的連續群同態構成之範疇。

對偶群的構造 $G\mapsto {\hat {G}}$ 給出一個對偶函子 $\mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA} ^{\mathrm {op} }$ 。其二次迭代 $G\mapsto G^{\wedge \wedge }$ 遂給出函子 $\mathbf {LCA} \rightarrow \mathbf {LCA} $ 。

定理：對偶函子是一個範疇等價。

定理：對偶函子的二次迭代自然同構於 LCA 上的恆等函子。

此同構可以類比於有限維向量空間的二次對偶（特別是實與複向量空間）。

龐特里亞金對偶性將離散群與緊群的子範疇交換。若 $R$ 是一個環，而 $G$ 是個左 $R$ - 模，則從對偶性可推知離散左 $R$ - 模與緊右 $R$ - 模對偶。LCA 裡的自同態環 $\mathrm {End} (G)$ 依對偶性對應至其反環（即：環的乘法次序交換）。舉例明之：取 $G=\mathbb {Z} $ ，則 ${\hat {G}}=\mathbb {T} $ ；前者滿足 $\mathrm {End} (G)=\mathbb {Z} $ ，對後者亦然。



非交換理論

對非交換群 $G$ 沒有類似的理論，因為此時對偶的對象 ${\hat {G}}$ ={ $G$ 的不可約表示之同構類} 不只有一維表示，因此不構成一個群。在範疇論中類似的推廣稱作 Tannaka-Krein 對偶定理；但它缺乏與調和分析的聯繫，因而無法處理關於 ${\hat {G}}$ 上的普朗歇爾測度的問題。

某些非交換群的對偶理論以 C\*- 代數的語言表述。



源流

龐特里亞金在 1934 年為局部緊阿貝爾群及其對偶性的理論奠下基礎。他的進路須假定群是第二可數的，並且是緊群或離散群。此條件先後由 E.R. van Kampen（1935 年）與安德魯・韋伊（1953 年）改進為局部緊阿貝爾群。



文獻

下列書籍（可在大部分大學圖書館找到）都有局部緊阿貝爾群、對偶定理與傅立葉變換的相關章節。Dixmier 的著作有非交換調和分析的材料，也有英譯本。


* Jacques Dixmier, _Les C\*-algèbres et leurs Représentations_, Gauthier-Villars,1969.

* Lynn H. Loomis, _An Introduction to Abstract Harmonic Analysis_, D. van Nostrand Co, 1953

* Walter Rudin, _Fourier Analysis on Groups_, 1962

* Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968（2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000）。

* Hewitt and Ross, _Abstract Harmonic Analysis, vol 1_, 1963.