在數學裡，實數系統可以透過不同方式被定義。其中，基本方法通過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數體。通過集合論公理，可以證明基本方法中給定的公理是絕對的，即是說如果有兩個模型都符合那些公理，那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的，而多數的模型的建立都是藉助於有理數體。



基本方法

一個實數系統由一個集合 $R$ ， $R$ 當中的兩個不同元素 0 和 1 ， $R$ 上的兩種二元運算 $+,\times $ （分別叫做_加法_與_乘法_），以及 $R$ 上的一個二元關係 $\leq $ （即序關係）構成。
而且這個模型符合以下性質：

 1. $(R,+,\times )$ 是一個域。即
   
* $\forall x,y,z\in R,x+(y+z)=(x+y)+z,x\times (y\times z)=(x\times y)\times z$ （加法與乘法的結合性）
  
* $\forall x,y\in R,x+y=y+x,x\times y=y\times x$ （加法與乘法的交換性）
  
* $\forall x,y,z\in R,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$ （乘法對加法有分配律）
  
* $\forall x\in R,x+0=x$ （存在加法單位元素）
  
* $\forall x\in R,x\times 1=x$ （存在乘法單位元素）
  
* $\forall x\in R,\exists -x\in R,x+(-x)=0$ （存在加法反元素）
  
* $\forall x\in R,x\neq 0\Rightarrow \exists x^{-1}\in R,x\times x^{-1}=1$ （存在乘法反元素）
2. $(R,\leq )$ 是一個全序集。即
   
* $\forall x\in R,x\leq x$ (自反性)
  
* $\forall x,y\in R,$ 若 $x\leq y$ 且 $y\leq x$ ，則有 $x=y$ （反對稱性）
  
* $\forall x,y,z\in R,$ 若 $x\leq y$ 且， $y\leq z$ ，則有 $x\leq z$ （遞移性）
  
* $\forall x,y\in R,x\leq y$ 或 $y\leq x$ （完全關係性）
3. $R$ 上的兩個運算 $+,\times $ 均與序關係 $\leq $ 相容。即
   
* $\forall x,y\in R$ , 若 $x\leq y,$ 則 $x+z\leq y+z$ （加法下保持次序）
  
* $\forall x,y\in R$ , 若 $0\leq x$ 且 $0\leq y$ ，則 $0\leq x\times y$ （乘法下保持次序）
4. 序關係 $\leq $ 符合戴德金完備性：若 $R$ 的一個非空子集 $A$ 有上界，那麼 $A$ 也有上確界。換言之，
  
* 若 $A$ 是 $R$ 的一個非空子集，而且 $A$ 有上界，那麼 $A$ 有一上確界 $u$ ，使得對 $A$ 的任何上界 $v$ ，均有 $u\leq v.$

有理數體 $\mathbf {Q} $ 符合前三條公理，也就是說 $\mathbf {Q} $ 是一個有序體（同時 $\mathbf {Q} $ 還滿足阿基米德性，所以 $\mathbf {Q} $ 是一個阿基米德有序體），但 $\mathbf {Q} $ 不符合最後一條公理。所以戴德金完備性這一點在實數的定義中是不可或缺的。戴德金完備性蘊含了阿基米德性質。若有兩個模型符合公理 1-4 的話，它們必然是同構的，所以在同構意義下只有一個戴德金完備的阿基米德有序體。

附註：當我們說符合以上公理的兩個模型： $(R,0_{R},1_{R},+_{R},\times _{R},\leq _{R})$ 和 $(S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S})$ 是同構時，即是指存在一個保持運算和序的對射。
確切地說存在 $f:R\rightarrow S$ 滿足

 
* $f$ 是一個對射

* $f(0_{R})=0_{S}$ 及 $f(1_{R})=1_{S}$ .

* $\forall x,y\in R,f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)$ 及 $f(x\times _{R}y)=f(x)\times _{S}f(y).$

* $\forall x,y\in R,x\leq _{R}y$ 若且唯若 $f(x)\leq _{S}f(y).$

塔斯基實數公理

另外一種公理化實數的方法由阿爾弗雷德・塔斯基提供，只需要如下所示的 8 條公理以及 4 個基本概念：一個稱之為實數集的集合（記作 $\mathbb {R} $ ）、一個稱之為序的二元關係（記作 $<$ ）、一個稱之為加法的二元運算（記作 $+$ ）和常數 $1$ 。

序相關公理 $(\mathbb {R} ,<)$ ：


* 公理一：如果 $x<y$ 成立，那麼 $y<x$ 不成立，即「 $<$ 」為非對稱關係。

* 公理二：如果 $x<z$ 成立，那麼存在 $y$ 使得 $x<y$ 與 $y<z$ 同時成立，即「 $<$ 」在實數集稠密。

* 公理三：「 $<$ 」滿足戴德金完備性，即對所有 $X,Y\subset \mathbb {R} $ ，如果對所有 $x\in X$ 以及 $y\in Y$ 均滿足 $x<y$ ，那麼存在 $z$ 使得對所有 $x\in X$ 以及 $y\in Y$ 並且有 $z\neq x$ 以及 $z\neq y$ ，總有 $x<z$ 與 $z<y$ 成立。

加法相關公理 $(\mathbb {R} ,<,+)$ ：


* 公理四： $x+(y+z)=(x+z)+y$ 。

* 公理五：對所有 $x$ 與 $y$ ，總存在 $z$ 滿足 $x+z=y$ 。

* 公理六：如果 $x+y<z+w$ 成立，那麼 $x<z$ 或 $y<w$ 成立。

常數 $1$ 相關公理 $(\mathbb {R} ,<,+,1)$


* 公理七： $1\in \mathbb {R} $ ；

* 公理八： $1<1+1$ 。



模型的具體構造

柯西序列

首先我們需要一個定義。設 $(x_{n})$ 是一個有理數列，如果對於任何正有理數 $r>0$ ，存在一個正整數 $N$ 使得對於所有的整數 $m,n>N$ ，都有 $|x_{m}-x_{n}|<r$ ，則稱 $(x_{n})$ 為有理數的柯西序列。

有理數集 $\mathbf {Q} $ 配備上度量 $|x-y|$ （即一般的絕對值）後便是一個度量空間。而透過一個叫作完備化的過程，可以往度量空間加進新點，從而使得度量空間中的所有柯西序列都收斂到某點。

以下說明實數集 $\mathbf {R} $ 可定義為 $\mathbf {Q} $ 對於度量 $|x-y|$ 的完備化。（關於 $\mathbf {Q} $ 在其他度量下的完備化，參見 p 進數。）

記 $R$ 為由有理數的柯西序列組成的集合。定義兩個柯西序列的加法和乘法為：

　
: $(x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})$

　
: $(x_{n})\times (y_{n})=(x_{n}\times y_{n}).$

運算得到的序列依然會是柯西序列。

 
稱兩個柯西序列是等價的，如果它們之間的差收斂到 0。這樣便在 $R$ 上定義了一個等價關係。以 $[(x_{n})]$ 表示包含序列 $(x_{n})$ 的等價類。

設 $\mathbf {R} $ 為包含所有等價類的集合，然後也在 $\mathbf {R} $ 上定義加法和乘法：

　
: $[(x_{n})]+[(y_{n})]=[(x_{n})+(y_{n})]$

　
: $[(x_{n})]\times [(y_{n})]=[(x_{n})\times (y_{n})]$

同樣地，這兩個運算是良好定義的。

 
可以證明 $(\mathbf {R} ,+,\times )$ 是一個域。我們可以把 $\mathbf {Q} $ 嵌入到 $\mathbf {R} $ —— 只要把有理數 $r$ 對應於 $(r)$ 便可。

實數大小的比較也是透過在柯西序列上的定義而達成的：
稱一個實數是正的，即 $[(x_{n})]>[(0)]$ ，若且唯若存在自然數 $N$ 和正有理數 $r$ ，使得對一切 $n>N$ 有 $x_{n}>r$ 。稱 $[(x_{n})]>[(y_{n})],$ 若且唯若 $[(x_{n})]-[(y_{n})]>[(0)]$ 。

較難推導的是 $\leq $ 的完備性，具體可以參考。

常用的小數記法可以自然地理解為柯西序列，比如說， $\pi =3.1415926...$ 的記法意味著 $\pi $ 是柯西序列 $(3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...)$ 的等價類。等式 $[(0.999...)]=[(1)]$ 則斷定了序列 $(0,0.9,0.99,0.999,...)$ 和 $(1,1,1,1,...)$ 是等價的，即它們之間的差收斂到 $0$ 。

把 $\mathbf {R} $ 作為 $\mathbf {Q} $ 的完備化有一個好處，那就是這種方法並不限於此例；對於其他度量空間也是適用的。

戴德金分割

實數可定義為有理數集上的戴德金分割，即是有理數集的一個劃分 $(A,B)\,$ ，其中 $A,B$ 都非空，而且 _A_ 的每個元素都小於 _B_ 的任意元素。為方便起見，不妨把劃分 $(A,B)\,$ 以其下組 $A$ 來代表，因為給定了 $A$ 就唯一確定了 $B$ 。所以直觀上，實數 $r$ 能被 $\{x\in {\textbf {Q}}:x<r\}$ 所代表。

具體而言，一個實數 $r$ 是 ${\textbf {Q}}$ 的符合以下條件的一個子集：

 1. $r$ 是非空集合
2. $r\neq {\textbf {Q}}$
3. $r$ 是向下封閉的，即： $\forall x,y\in {\textbf {Q}}x<y,y\in r\rightarrow x\in r$
4. $r$ 沒有最大元。也就是說，不存在 $x\in r$ ，使得對任何 $y\in r$ 有 $y\leq x$

* 記 ${\textbf {R}}$ 為所有實數的集合，也就是說它包含了所有 ${\textbf {Q}}$ 上的戴德金分割。然後在 ${\textbf {R}}$ 上定義這樣一個全序： $x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y$

* 有理數可以嵌入到 ${\textbf {R}}$ 裡，透過把 $q$ 對應於集合 $\{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}$ 。 因為有理數在有理數集內是稠密的，所以這個集合沒有最大元，並滿足上述的各條件。

* 加法： $A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}$

* 減法： $A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$ ，其中 ${\textbf {Q}}\setminus B$ 代表 $B$ 在 ${\textbf {Q}}$ 裡的補集，即 $\{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}$

* 負號是減法的特例： $-B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$

* 乘法的定義較不直觀：
  
* 若 $A,B\geq 0$ ，那麼 $A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}$
  
* 若 $A\,$ 和 $B\,$ 中有一個是負的，可以透過 $A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,$ 這定義式，把 $A$ , $B$ 轉化為正數的情況，再採用上面的定義來計算。

* 類似地定義除法為：
  
* 若 $A\geq 0,\ B>0$ ，則 $A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}$
  
* 若 $A\,$ 和 $B\,$ 中有一個是負的，可以藉助 $A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,$ 的定義式，把 $A$ 換成非負數，以及把 $B\,$ 換成正數，再採用上面的定義來計算。

* 上確界：如果 ${\textbf {R}}$ 的非空子集 $S$ 有上界的話，那麼可以證明 $\bigcup S$ 便是其上確界。

以下示範如何以戴德金分割代表根號 2：設 $A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x^{2}<2\}$ 。

首先，對於任何自乘小於 2 的正有理數 $x\,$ ，都存在一個大於 x 的有理數 $y\,$ ，而且有 $y\times y<2\,$ 。選擇 $y={\frac {2x+2}{x+2}}\,$ 便可。所以我們證明了 $A$ 是一個實數。
要證明 $A\times A\leq 2$ 成立，只需指出如果 $r\,$ 是小於 2 的有理數，那麼存在正的 $x\in A$ ，且 $r<x\times x\,$ 。

這種方法的好處是每個實數都對應於唯一的分割。

小數記法

西蒙・斯蒂文 首先提出了以小數來代表一切數（即現今的實數）的想法。具體地，可以將無限小數展開式作為實數的定義，然後規定像 0.9999... 和 1.0000... 這樣的兩種展開式是等價的，再形式化地定義好四則運算和大小次序。這種方法跟柯西序列和戴德金分割這兩種構造是等價的，而且它還給出了明確的收斂模。這種方法不限於十進制，其他的進位制也是適用的。

用小數來構造的好處是，這跟我們對於實數的基本印象相符。一個證明「完全有序體的所有模型都同構」的標準做法便是，說明任意模型都同構於這個模型，因為我們可以系統地給每個元素建立小數展開式。

超實數

首先，透過超濾子從有理數構造出超有理數體 \*Q 。此處的超有理數之定義為兩個超整數的比。考慮由 \*Q 裡所有有界（或者說有限）元素所組成的環 _B_。 _B_ 有著唯一的極大理想 _I_，即無窮小量。商環 _B/I_ 給出了實數體 $R$ 。 注意 _B_ 並不是 \*Q 的一個內在集合。
此外，這種構造在自然數集上使用了非主超濾子，而其存在性是依賴於選擇公理的。

這個極大理想 _I_ 保持了 \*Q 本身的次序。所以形成的域是一有序體。完備性的證明跟柯西序列一節中的論證類同。

超現實數

每個有序體都可以嵌入到超現實數系統內。而實數組成了一個符合阿基米德性質的極大子體（意味著沒有實數是無窮大量）。這種嵌入方式並不是唯一的，儘管有標準的一種方式。

透過整數集（歐多克索斯實數）

一個較不為人知的構造方法只需用到整數的加法群。 這種方法已由 IsarMathLib project 正式驗證了。 Shenitzer 和 Arthan 將此構造稱為歐多克索斯實數。

設 $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} $ 為一函數，若然 $\{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}$ 是有限集，則稱 _f_ 為殆同態。稱兩個殆同態 $f,g$ 是 幾乎相等的，如果集合 $\{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}$ 是有限集。如此便在殆同態上定義了一等價關係。實數被定義為各個等價類，可簡單記為 [f]。實數的加法，對應於殆同態的加法運算；實數的乘法，則對應於殆同態的複合運算。最後，稱 $0\leq [f]$ ，若 $f$ 是有界的，或者 $f$ 在 $\mathbb {Z} ^{+}$ 上無限多次取正值。這樣便在實數上建立了全序。



參見


* 數學結構主義 #實分析中的例子