熱傳導方程式（或稱熱方程式）是一個重要的偏微分方程式，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。



物理機制

熱傳導在三維的各向同性介質裡的傳播可用以下方程式表達：

　
: ${\partial u \over \partial t}=\mathrm {div} (Uu)=k\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\quad $

其中：


* _u_ =_u_(_t_, _x_, _y_, _z_) 表溫度，它是時間變數 t 與空間變數 (x,y,z) 的函數。

* ${\partial u}$ / ${\partial t}$ 是空間中一點的溫度對時間的變化率。

* $u_{xx}$ , $u_{yy}$ 與 $u_{zz}$ 溫度對三個空間座標軸的二次導數。

* _k_ 是熱擴散率，決定於材料的熱導率、密度與熱容。

熱方程式是傅立葉冷卻律的一個推論（詳見條目熱傳導）。

如果考慮的介質不是整個空間，則為了得到方程式的唯一解，必須指定 u 的邊界條件。如果介質是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數型的上界，此假定吻合實驗結果。

熱方程式的解具有將初始溫度平滑化的特質，這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態會趨向同一個穩態（熱平衡）。因此我們很難從現存的熱分佈反解初始狀態，即使對極短的時間間隔也一樣。

熱方程式也是拋物線偏微分方程式最簡單的例子。

利用拉普拉斯算子，熱方程式可推廣為下述形式

　
: $u_{t}=k\Delta u,\quad $

其中的 $\Delta $ 是對空間變數的拉普拉斯算子。

熱方程式支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的動作電位。熱方程式也可以作為某些金融現象的模型，諸如布萊克 - 斯科爾斯模型與 Ornstein-Uhlenbeck 過程。熱方程式及其非線性的推廣型式也被應用於影像分析。量子力學中的薛丁格方程式雖然有類似熱方程式的數學式（但時間參數為純虛數），本質卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。

就技術上來說，熱方程式違背狹義相對論，因為它的解表達一個「擾動可以在瞬間傳播至空間各處」的情況。擾動在前方光錐外的影響通常可忽略不計，但是若要為熱傳導推出一個合理的速度，則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程式。



以傅立葉級數解熱方程式

以下解法首先由約瑟夫・傅立葉在他於 1822 年出版的著作 _Théorie analytique de la chaleur_（中譯：解析熱學）給出。先考慮只有一個空間變數的熱方程式，這可以當作棍子的熱傳導之模型。方程式如下：

　
: $(1)\ u_{t}=ku_{xx}\quad $

其中 _u_ = _u_(_t_, _x_) 是 _t_ 和 _x_ 的雙變數函數。


* _x_ 是空間變數，所以 _x_ ∈ [0,_L_]，其中 _L_ 表示棍子長度。

* _t_ 是時間變數，所以 _t_ ≥ 0。

假設下述初始條件

　
: $(2)\ u(0,x)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]\quad $

其中函數 _f_ 是給定的。再配合下述邊界條件

　
: $(3)\ u(t,0)=0=u(t,L)\quad \forall t>0\quad $ .

讓我們試著找一個非恆等於零的解，使之滿足邊界條件 (3) 並具備以下形式：

　
: $(4)\ u(t,x)=X(x)T(t).\quad $

這套技術稱作分離變數法。現在將 _u_ 代回方程式 (1)，

　
: ${\frac {T'(t)}{kT(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.\quad $

由於等式右邊只依賴 _x_，而左邊只依賴 _t_，兩邊都等於某個常數− λ，於是：

　
: $(5)\ T'(t)=-\lambda kT(t)\quad $

　
: $(6)\ X''(x)=-\lambda X(x).\quad $

以下將證明 (6) 沒有 λ ≤ 0 的解：

1. 

假設 λ < 0，則存在實數 _B_、_C_ 使得

　
: $X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}$ 。

從 (3) 得到

　
: $X(0)=0=X(L).\quad $

於是有 _B_ = 0 = _C_，這蘊含 _u_ 恆等於零。

1. 

假設 λ = 0，則存在實數 _B_、_C_ 使得

　
: $X(x)=Bx+C.\quad $

仿上述辦法可從等式 (3) 推出 _u_ 恆等於零。

1. 

因此必然有 λ > 0，此時存在實數 _A_、_B_、_C_ 使得

　
: $T(t)=Ae^{-\lambda kt}\quad $

　
: $X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x)$ 。

從等式 (3) 可知 _C_ = 0，因此存在正整數 _n_ 使得

　
: ${\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}$ 。

由此得到熱方程式形如 (4) 的解。

一般而言，滿足 (1) 與 (3) 的解相加後仍是滿足 (1) 與 (3) 的解。事實上可以證明滿足 (1)、(2)、(3) 的解由下述公式給出：

　
: $u(t,x)=\sum _{n=1}^{+\infty }D_{n}\left(\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}kt}{L^{2}}}}$

其中

　
: $D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx$ 。

推廣求解技巧

上面採用的方法可以推廣到許多不同方程式。想法是：在適當的函數空間上，算子 $u\mapsto u_{xx}$ 可以用它的特徵向量表示。這就自然地導向線性自伴算子的譜理論。

考慮線性算子 Δ _u_ = _u_x x，以下函數序列

　
: $e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}$ （_n_ ≥ 1）

是 Δ 的特徵向量。誠然：

　
: $\Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}$ 。

此外，任何滿足邊界條件 _f_(0)=_f_(_L_)=0 的 Δ 的特徵向量都是某個 _e_n。令 L2(0, _L_) 表 [0, _L_] 上全體平方可積函數的向量空間。這些函數 _e_n 構成 L2(0, _L_) 的一組正交歸一基。更明白地說：

　
: $\langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}(x)dx=\left\{{\begin{matrix}0&n\neq m\\1&m=n\end{matrix}}\right.$

最後，序列 {_e_n}n ∈ N 張出 L2(0, _L_) 的一個稠密的線性子空間。這就表明我們實際上已將算子 Δ 對角化。



非均勻不等向介質中的熱傳導

一般而言，熱傳導的研究奠基於以下幾個原理。首先注意到熱流是能量流的一種形式，因此可以談論單位時間內流進空間中一塊區域的熱量。


* 單位時間內流入區域 _V_ 的熱量由一個依賴於時間的量 _q_t(_V_) 給出。假設 _q_ 有個密度 _Q(t,x)_，於是

　
: : $q_{t}(V)=\int _{V}Q(t,x)\,dx\quad $


* 熱流是個依賴於時間的向量函數 H(_x_)，其刻劃如下：單位時間內流經一個面積為 _dS_ 而單位法向量為 n 的無窮小曲面元素的熱量是

　
: : $\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS$

因此單位時間內進入 _V_ 的熱流量也由以下的面積分給出

　
: $q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS$

其中 n(x) 是在 _x_ 點的向外單位法向量。


* 熱傳導定律說明溫度對時間的梯度滿足以下線性關係

　
: : $\mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)$

　
: 其中 A(_x_) 是個 3×3 實對稱正定矩陣。

利用格林定理可將之前的面積分轉成一個體積分

　
: $q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS$

　
: : : $=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS$

　
: : : $=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(t,x)\,dx$


* 溫度在 _x_ 點對時間的改變率與流進 _x_ 點所在的無窮小區域的熱量成正比，此比例常數與時間無關，而可能與空間有關，寫作 κ(x)。

　
: : $\partial _{t}u(t,x)=\kappa (x)Q(t,x)\,$

將以上所有等式合併，便獲得支配熱流的一般公式。

　
: $\partial _{t}u(t,x)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(t,x)$

註記： 


* 係數 κ(_x_) 是該材料在 _x_ 點的密度和比熱的積的倒數。

* 在等方向性介質的情況，矩陣 A 只是個純量，等於材料的導熱率。

* 在非等向的情況，A 不一定是純量，我們鮮少能明確寫出熱方程式的解。然而通常可考慮相應的抽象柯西問題，證明它是適定的，並（或）導出若干定性結果（諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態或一些平滑化性質）。這些論證通常有賴於單參數半群理論：舉例來說，如果 _A_ 是個對稱矩陣，那麼由

　
: : $Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)$

　
: 定義的橢圓算子是自伴而且耗散的，因此由譜定理導出它生成一個單參數半群。



粒子擴散

粒子擴散方程式

在粒子擴散的模型中，我們考慮的方程式涉及


* 在大量粒子集體擴散的情況：粒子的體積濃度，記作 _c_。或者

* 在單一粒子的情況：單一粒子對位置的機率密度函數，記作 _P_。

不同情況下的方程式：

　
: $c_{t}=D\Delta c,\quad $

或者

　
: $P_{t}=D\Delta P.\quad $

_c_ 與 _P_ 都是位置與時間的函數。_D_ 是擴散係數，它控制擴散速度，通常以公尺 / 秒為單位。

如果擴散係數 _D_ 依賴於濃度 _c_（或第二種情況下的機率密度 _P_），則我們得到非線性擴散方程式。

單一粒子在粒子擴散方程式下的隨機軌跡是個布朗運動。

如果一個粒子在時間 $t=0$ 時置於 ${\vec {R}}={\vec {0}}$ ，則相應的機率密度函數具有以下形式：

　
: $P({\vec {R}},t)=G({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {{\vec {R}}^{2}}{4Dt}}}$

它與機率密度函數的各分量 $R_{x}$ 、 $R_{y}$ 和 $R_{z}$ 的關係是：

　
: $P({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}+R_{z}^{2}}{4Dt}}}=P(R_{x},t)P(R_{y},t)P(R_{z},t)$

隨機變數 $R_{x},R_{y},R_{z}$ 服從平均數為 0、變異數為 $2\,D\,t$ 的正態分佈。在三維的情形，隨機向量 ${\vec {R}}$ 服從平均數為 ${\vec {0}}$ 、變異數為 $6\,D\,t$ 的正態分佈。

在 _t=0_ 時，上述 $P({\vec {R}},t)$ 的表示式帶有奇異點。對應於粒子處在原點之初始條件，其機率密度函數是在原點的狄拉克 δ 函數，記為 $\delta ({\vec {R}})$ （三維的推廣是 $\delta ({\vec {R}})=\delta (R_{x})\delta (R_{y})\delta (R_{z})$ ）；擴散方程式對此初始值的解也稱作_格林函數_。

擴散方程式的歷史源流

粒子擴散方程式首先由 Adolf Fick 於 1855 年導得。

以格林函數解擴散方程式

格林函數是擴散方程式在粒子位置已知時的解（數學家稱之為擴散方程式的基本解）。當粒子初始位置在原點 ${\vec {0}}$ 時，相應的格林函數記作 $G({\vec {R}},t)$ （_t>0_）；根據擴散方程式對平移的對稱性，對一般的已知初始位置 ${\vec {R}}^{0}$ ，相應的格林函數是 $G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)$ 。

對於一般的初始條件，擴散方程式的解可以透過積分分解為一族格林函數的疊加。

舉例來說，設 _t=0_ 時有一大群粒子，根據濃度分佈的初始值 $c({\vec {R}},0)$ 分佈於空間中。擴散方程式的解將告訴我們濃度分佈如何隨時間演化。

跟任何（廣義）函數一樣，濃度分佈的初始值可以透過積分表為狄拉克 δ 函數的疊加：

　
: $c({\vec {R}},t=0)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)\delta ({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0})dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}$

擴散方程式是線性的，因此在之後的任一時刻 _t_，濃度分佈變為：

　
: $c({\vec {R}},t)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}$

在粒子擴散的情形，我們可以將狄拉克 δ 函數對應的初始條件理解為粒子落在一個已知位置。一般而言，任何擴散過程的解都有這種表法，包括熱傳導或動量的擴散；後者關係到流體的黏性現象。

一維格林函數解列表

以下以簡寫 BC 代表邊界條件，IC 代表初始條件。

　
: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}$

　
: $u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy$

　
: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}$

　
: $u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy$

　
: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u_{x}(0,t)=0&BC\end{cases}}$

　
: $u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy$

　
: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\end{cases}}$

　
: $u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)f(s)\,dyds$

　
: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}$

　
: $u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dyds$

　
: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}$

　
: $u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds$

（可能的問題：根據上解，u (0)=0）

　
: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}$

　
: $\quad {u=w+v}$

　
: ${\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&IC\end{cases}}$

　
: ${\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}$

　
: $\quad {u=w+v+r}$

　
: ${\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}\,&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&IC\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}$



應用

熱方程式在許多現象的數學模型中出現，而且常在金融數學中作為期權的模型出現。著名的布萊克 - 斯科爾斯模型中的差分方程式可以轉成熱方程式，並從此導出較簡單的解。許多簡單期權的延伸模型沒有解析解，因此必須以數值方法計算模型給出的定價。熱方程式可以用 Crank-Nicolson 法有效地求數值解，此方法也可用於許多無解析解的模型（詳見文獻 Wilmott，1995）。

熱方程式在流形上的推廣是處理阿蒂亞 - 辛格指標定理的主要工具之一，由此也導向熱方程式在黎曼幾何中有許多應用。



參見


* 熱

* 偏微分方程式

* 發展方程式



文獻


* Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995)_The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction._ Cambridge University Press.

* L.C. Evans, _Partial Differential Equations_, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2.



外部連結


* 熱方程式的推導 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* Linear heat equations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）: 邊界值問題的特解 - 來自 EqWorld