圓周率是數學常數，為圓的周長和其直徑的比，近似值約 3.14159265，常用符號 $\pi $ 表示。

 $\pi $ 是無理數，不能用分數表示出來（即它的小數部分是無限不循環小數），但近似 ${\frac {22}{7}}$ 等有理數。學界認為 π 的數字序列在統計上是隨機分布，但迄今未能證明。此外，π 還是超越數，它不是任何有理係數多項式的根，化圓為方的問題不可能用尺規作圖解決。

幾個文明古國很早就須計算出 π 的精確值以便於生產的計算。西元 5 世紀，中國劉宋數學家祖沖之用幾何方法將圓周率計算到小數點後 7 位。大約同時，印度數學家也將圓周率計算到小數點後 5 位。史上首條 π 的精確無窮級數公式（即 π 的萊布尼茨公式）直到約 1000 年後才由印度數學家發現。微積分出現，π 的位數很快計到數百位，足以滿足任何科學工程的計算需求。在 20 和 21 世紀，計算機技術快速發展，π 的計算精度急速提高。截至 2022 年 6 月，π 的十進位精度已達 100 兆位。幾乎所有科學研究對 π 的精度要求都不超過幾百位，當前計算 π 的值主要都為打破記錄、測試超級計算機的計算能力和高精度乘法算法。

π 的定義涉及圓，在三角學和幾何學的許多公式，特別是廣泛應用在圓形、球形或橢球形相關公式中。在更近代的數學分析裡，π 改由實數系統譜性質中的特徵值或週期來定義，不再指涉幾何。所以它也在一些和圓之幾何無甚相關的數學和科學領域中出現，像是數論、統計以及幾乎物理學中所有領域。π 的廣泛用途使它成為科學界內外最廣為人知的常數。幾本專門介紹 π 的書籍經已出版，圓周率日（3 月 14 日）和 π 值計算突破記錄也往往會成為報紙的新聞頭條。此外，背誦 π 值的世界記錄已達 10 萬位。



基本概念

名稱

數學家用小寫希臘字母 $\pi $ 表示圓周和其直徑之比，有時也將其拼寫為「Pi」，來自希臘語「περίμετρος」（周長）的首字母。英語 π 的發音與英文單詞「Pie」（/paɪ/，西式餡餅）相同。π 的小寫字母（或其無襯線體）在數學要和表示連乘積的大寫 Π 相區分開。

關於選擇符號 π 的原因，請參見引入 π 符號一節。

定義

π 常用定義為圓的周長 $C$ 與直徑 $d$ 的比值：

　
: $\pi ={\frac {C}{d}}$ 。

無論圓的大小如何，比值 ${\frac {C}{d}}$ 為恆值。如果圓的直徑變為原先的二倍，周長也變為二倍，比值 ${\frac {C}{d}}$ 不變。π 目前的定義暗地用了歐幾里得幾何的一些定理，雖然圓的定義可擴展到任意曲面（即非歐幾里得幾何），但這些圓不符合定律 $\pi ={\frac {C}{d}}$ 。

這裡，圓的周長指其圓周的弧長，弧長這概念可以不依賴幾何學，而是用微積分學的極限來定義。例如，若想計算笛卡兒坐標系中單位圓 $x^{2}+y^{2}=1$ 上半部分的弧長，需要用到積分：

　
: $\pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

上述積分是由卡爾・魏爾斯特拉斯於 1841 年對 π 的積分定義。

π 這些依賴周長、且暗地依賴積分的定義如今在文獻中並不常見。雷默特（Remmert (1991)）解釋說現代教微積分時，大學一般將微分學課程安排在積分學課程之前，所以不依賴於後者的 π 的定義就很有必要了。其中一種定義由理查・巴爾策提出，由愛德蒙・蘭道推廣，其表述如下：π 是兩倍於能使餘弦函數等於零的最小正數。餘弦函數可以由獨立於幾何之外的冪級數定義，或者使用微分方程式的解來定義。

在相似的啟發下，π 可以用關於複變數 $z$ 的複指數函數 $\exp(z)$ 來定義。複指數類似餘弦函數，可用多種方式定義。令函數 $\exp(z)$ 值為一的複數集合是如下所示的（虛）等差數列：

　
: $\{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki|k\in \mathbb {Z} \}$ ，

並且其中包括獨特的正實數 $\pi $ 。

基於同樣想法但更抽象的定義運用了精巧的拓撲學和代數學概念，用以下定理描述：存在唯一的從加法模數整數組成的實數群 R/Z 到絕對值為 1 的複數組成的乘法群的連續同態（拓撲學概念，指在拓撲空間之間的一種態射）。數字 π 定義為此同態派生的模的一半。

周長固定，圓會圍成最大面積，π 同樣表述為等周不等式中出現的常數（乘四分之一）。此外，在很多其他緊密相關的方程式中，π 作為某些幾何或者物理過程的特徵值出現；詳見下文。

無理及正規性

π 是無理數，無法表示成兩整數之比的形式（形如 ${\frac {22}{7}}$ 的分數常用來近似表達 π，但是沒有任何普通分數（指整數的比）可以取到 π 的精確值）。由於 $\pi $ 是無理數，故可表示為無限不循環小數。有多種方法能證明 π 是無理數，這些證明也都要用到微積分學和反證法。 $\pi $ 可以用有理數來近似的程度還無法準確得知（稱為無理性度量），不過估計其無理性度量比 _e_ 或 ln(2) 的要大，但是小於萊歐維爾數的無理性度量。

統計隨機性檢定，包括正規數檢定，可驗證 $\pi $ 的位數沒有明顯的固定模式。 $\pi $ 的小數中任意固定長度的序列（如 3 位數 000，001……999）出現機率都相同。不過有關 π 是正規數的猜想既無證明，亦無否證。

電腦出現後可生成大量 π 的不同位數，並統計分析之。金田康正詳細統計分析了 π 的十進制數字，並驗證了其分布正規：例如，假說檢定 0 到 9 十個數的出現頻率，找不到有特定重複規律的證據。根據無限猴子定理，任何任意長度、由隨機內容組成的子序列看起來都有可能像不隨機生成。因此，就算 π 的小數序列通過了隨機性統計測試，其中也可能有幾位的數字看起來似有規律可循而非隨機數，例如 π 的十進制寫法在小數第 762 位後開始出現了連續六個 9。

超越性

 $\pi $ 不僅是無理數，還是超越數，即 $\pi $ 不是任何有理係數多項式的根。（比方說，試圖解有限項方程式 ${\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0$ 來求 $\pi $ 的值）

 $\pi $ 的超越性衍生出一些重要的結果： $\pi $ 不能經有限次四則運算和開平方運算有理數來獲得，因此不是規矩數。換言之，尺規作圖作不出長度為 $\pi $ 的線段，也就不可能用尺規方法做出與已知圓面積相等的正方形。後者即為有名的化圓為方問題，該問題早在古典時代即已提出，曾困擾人數千年之久。直至今天，依然有民間數學愛好者聲稱他們解決了這問題。

連分式

 $\pi $ 像所有無理數一樣無法表示成分數，但 $\pi $ 等全部無理數都能表示成一系列叫連分數的連續分數形式：

　
: $\pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

在這連分數的任意一點截斷化簡，都能得到 π 的近似值；前四位近似值是 3、 ${\frac {22}{7}}$ 、 ${\frac {333}{106}}$ 、 ${\frac {355}{113}}$ 。這些數在歷史上是 π 最廣為人知且廣為使用的幾個近似值。用以上方式得出的 $\pi $ 的近似值要比任何有相同或更小的整數分母的其他整數分數近似值更接近 π。π 是超越數，據定義來說它不是代數數，又因此不可能是二次無理數；是故 π 不能表示為循環連分數。儘管 $\pi $ 的簡單連分數沒有表現出任何其他明顯規律，數學家發現了數條廣義連分數能表示 π，例如：

　
: $\pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

近似值

圓周率近似值包括：


* 整數：3

* 分數（依準確度順序排列）：13/4、16/5、19/6、22/7、179/57、267/85、333/106、355/113、52163/16604、53228/16943、55358/17621、57843/18412、60328/19203、103993/33102、245850922/78256779（選自 A063674 及 A063673。）

* 小數（整數後首 80 位）：3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899...（另見 A000796）

其他進位制的近似值


* 二進位（整數後首 48 位）：11.001001000011111101101010100010001000010110100011…

* 十六進位（整數後首 20 位）：3.243F6A8885A308D31319…

* 六十進位（整數後首 20 位）：3;8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,36,17,43,4,29,7,10,3,41,17…

複數與歐拉恆等式

任何複數（以 $z$ 為例）都可以表示為一組實數對：極坐標系用實數 $r$ 表示半徑，代表複數平面上複數 $z$ 離原點的距離；實數 $\varphi $ 則表示夾角，即這條半徑（複數平面上複數 $z$ 與原點的連線）與正實數軸經順時針轉動的夾角。這樣一來， $z$ 就可寫成

　
: $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ ，這裡 $i$ 代表虛數單位，即 $i^{2}$ ＝-1。

複分析中，歐拉公式將三角函數與復指數函數糅合在一起：

　
: $e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi $ ，這裡數學常數 _e_ 是自然對數的底數。

歐拉公式確立了 $e$ 的複指數與複數平面上以原點為圓心的單位圓上的點之間的關係，而且當 $\varphi =\pi $ 時，歐拉公式就能改寫為歐拉恆等式的形式：

　
: ${{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0$ 。此等式亦稱「最奇妙的數學公式」（英語：the most remarkable formula in mathematics），全因它將五個最基本的數學常數簡潔聯繫起來。

歐拉等式亦可用於求出方程式 $z^{n}=1$ 的 $n$ 個不同複數根（這些根叫做 $^{n}n$ 次單位根」），可以根據以下公式求得：

　
: $e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1)$ 。

譜特徵

 $\pi $ 常出現在有關幾何的問題中。然而，不少和幾何無關的問題也可看到 $\pi $ 的身影。

 $\pi $ 在許多用處中都會以特徵值形式出現。例如理想的振動弦問題可以建模為函數 $f$ 在單位區間 $[0,1]$ 的圖形，固定邊界值為 $f(0)=f(1)=0$ 。弦振動的模態會是微分方程式的 $f^{n}(x)+\lambda ^{2}f(x)=0$ ，此處 λ 是相關的特徵值。受史特姆－萊歐維爾理論限制， $\lambda $ 只能是一些特定的數值。而 $\lambda =\pi $ 即為一個特徵值，因為函數 $f(x)=\sin(\pi x)$ 滿足邊界條件及微分方程式 $\lambda =\pi $ 。

 $\pi $ 是上述方程式的最小特徵值，也和弦振動的基本模式有關。一種讓弦振動的方式是提供弦能量，能量會滿足維廷格函數不等式，其中提到若函數 $f:[0,1]\rightarrow \mathbb {C} $ 使得 $f(0)=f(1)=0$ ，且 $f$ 和 $f'$ 都是平方可積函數，則以下的不等式成立：

　
: $\pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,$

此例中等號成立的條件恰好是 $f$ 為 $\sin(\pi x)$ 倍數的時候。因此 $\pi $ 似乎是維爾丁格不等式的最佳常數，也是最小的特徵值（根據雷利商數的計算方式）

 $\pi $ 在更高維度的分析也有類似的角色，出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述， $\pi $ 的一項特點是等周定理中的最佳常數：周長為 $P$ 的平面若爾當曲線，所圍面積 $A$ 滿足以下的不等式

　
: $4\pi A\leq P^{2}$ ，

 $A=\pi r^{2}$ 及 $P=2\pi r$ ，故等號成立的條件是曲線為圓形。

圓周率 π 也和龐加萊不等式的最佳常數有關， $\pi $ 是一維及二維的狄氏能量特徵向量最佳值中最小，會出現在許多經典的物理現象中，例如經典的位勢論。其一維的情形即為維廷格不等式。

圓周率 π 也是傅立葉轉換的重要常數，傅立葉轉換屬於積分轉換，將實數線上有複數值、可積分的函數，轉換為以下形式：

　
: ${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.$

傅立葉轉換有幾種不同的寫法，但不論怎麼寫，傅立葉轉換及反傅立葉轉換中，一定會有某處出現 $\pi $ 。不過上述的定義是最經典的，因為其描述了 _L_2 空間中唯一的么正算符，也是 $L^{1}$ 空間到 $L^{\infty }$ 空間的代數同態。

不確定性原理也用到 $\pi $ 。不確定性原理提出了可以將函數在空間及在頻域中局部化程度的下限，用傅立葉轉換的方式表示：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\ \int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}$ 。

物理的結果，有關量子力學中同時觀測位置及動量的不確定性，見下文。傅立葉分析中出現 π 是史東－凡紐曼定理的結果，證實了海森伯群的薛定諤表示是唯一。

高斯積分

高斯積分是對高斯函數 $e^{-x^{2}}$ 在整條實數軸上的積分，即函數下方與 X 軸圍成的面積，其結果為 ${\sqrt {\pi }}$ ，

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$

此積分的計算可以先計算 $f(x)=e^{-x^{2}}$ 對整條實數軸的積分的平方，通過轉換笛卡兒坐標系為極坐標系從而求得

　
: $\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dxdy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta =\pi $

其他計算方法可參閱高斯積分。高斯函數更一般的形式為 $f(x)=a\exp {\frac {-(x-b)^{2}}{2c^{2}}}$ ，求一般形式的高斯積分均可通過換元積分法轉化為求 $f(x)=e^{-x^{2}}$ 的積分。

另外，當高斯函數為以下形式時，它則是平均數為 $\mu $ 和標準差為 $\sigma $ 的常態分布的機率密度函數：

　
: $f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,\exp {\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}$

這函數是機率密度函數，函數下方與 X 軸圍成的面積必須為 1，令 $\mu =0$ 和 $\sigma =1$ 即可轉換得出 $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$ 。機率論與統計學領域經常使用常態分布來作為複雜現象的簡單模型：例如科學家通常假設大多數試驗觀測值的隨機誤差都是服從常態分布。

機率論與統計學中的中央極限定理解釋了常態分布以及 $\pi $ 的核心作用，這定理本質上是聯繫著 $\pi $ 的譜特徵與海森堡不確定性原理相關的特徵值，並且在不確定性原理中有

　
: $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2$ ，

這裡的 $\sigma _{x}$ 與 $\sigma _{p}$ 分別為位置與動量的標準差， $\hbar $ 是約化普朗克常數，而不等式的等號若且唯若粒子的波函數為高斯函數使成立。

同樣地， $\pi $ 作為唯一獨特的常數使得高斯函數等於其自身的傅立葉轉換，此時的高斯函數形式為 $f(x)=e^{-\pi x^{2}}$ 。根據豪（Howe）的說法，建立傅立葉分析基本定理的「全部工作（whole business）」簡化為高斯積分。



歷史

遠古時期

圓周率在遠古時期（西元前一千紀）已估算至前兩位（3.1）。有些埃及學家聲稱，遠至古王國時期時期的古埃及人已經用 ${\frac {22}{7}}$ 作為圓周率的約數，但這說法受到質疑。

最早有記載的對圓周率估值在古埃及和巴比倫出現，兩估值都與圓周率的正確數值相差不到百分之一。巴比倫曾出土一塊西元前 1900 至 1600 年的泥板，泥板上的幾何學陳述暗示人們當時把圓周率視同 ${\frac {25}{8}}$ （等於 3.125）。埃及的萊因德數學紙草書（鑑定撰寫年份為西元前 1650 年，但抄自一份西元前 1850 年的文本）載有用作計算圓面積的公式，該公式中圓周率等於 $({\frac {16}{9}})^{2}$ （≈3.1605）。

西元前 4 世紀的《百道梵書》的天文學運算把 ${\frac {339}{108}}$ （≈3.139，精確到 99.91%）用作圓周率估值。西元前 150 年前其他印度文獻把圓周率視為 ${\sqrt {10}}$ （≈3.1622）。

割圓時代

第一條有紀錄、嚴謹計算 π 數值的演算法是用正多邊形的幾何算法，在西元前 250 年由希臘數學家阿基米德發明。這算法用了有一千年之久，因而有時 π 亦稱阿基米德常數。阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長，以此計算 $\pi $ 的上限及下限，之後再將六邊形變成十二邊形，繼續計算邊長，一直計到正 96 邊形為止。他根據多邊形的邊長證明 ${\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}$ （也就是 $3.1408<\pi <3.1429$ ）。阿基米德得到的上限 ${\frac {22}{7}}$ 也造成常見誤解，認為 $\pi $ 就等於 ${\frac {22}{7}}$ 。在西元前 150 年，希臘羅馬的科學家克勞狄烏斯・托勒密在《天文學大成》一書中提到 π 的數值是 3.1416，可能來自阿基米德，也可能來自阿波羅尼奧斯。數學家在 1630 年利用多邊形的方式計算 π 到第 39 位小數，一直到 1699 年，其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄，計算到第 71 位小數。

中國歷史上， $\pi $ 的數值有 3、3.1547（西元前一世紀）、 ${\sqrt {10}}$ （西元前 100 年，數值約 3.1623）及 ${\frac {142}{45}}$ （第三世紀，數值約 3.1556）。大約在西元 265 年，曹魏數學家劉徽創立割圓術，用正 3072 邊形計算出 π 的數值為 3.1416。他後來又發明了較快的算法，利用邊數差兩倍的正多邊形，其面積的差值會形成等比數列，其公比為 ${\frac {1}{4}}$ 的原理，配合 96 邊形算出 π 的值為 3.14。祖沖之在西元 480 年利用割圓術計算 12288 邊形邊長，得到 π 的值在 3.1415926 和 3.1415927 之間。他同時提出了 π 的約率 ${\frac {22}{7}}$ 和密率 ${\frac {355}{113}}$ 。在之後的八百年內，這都是 π 最準確的估計值。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這推算值命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。

印度天文學家阿耶波多在西元 499 年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了 3.1416 的數值。斐波那契在大約 1220 年用獨立於阿基米德多邊形法，計算出 3.1418。義大利作家但丁・阿利吉耶里用的數值則是 $3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142$ 。

波斯天文學家卡西在 1424 年利用 3×228 邊的多邊形，計算到六十進制的第 9 位小數，相當十進制的第 16 位小數。這一突破成為當時的紀錄，延續了約 180 年。法國數學家弗朗索瓦・韋達在 1579 年用 3×217 邊形計算到第 9 位小數，佛蘭芒數學家阿德里安・范・羅門在 1593 年計算到第 15 位小數。荷蘭數學家魯道夫・范・科伊倫在 1596 年計算到第 20 位小數，他之後又計算到第 35 位小數（因此在二十世紀初之前，圓周率在德國會稱為魯道夫數）。荷蘭科學家威理博・司乃耳在 1621 年計算到第 34 位小數，而奧地利天文學家克里斯托夫・格林伯格在 1630 年用 1040 邊形計算到第 38 位小數，至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果。

無窮級數

16 及 17 世紀時，開始改用無窮級數的方式去計 π。無窮級數是一組無窮數列的和。無窮級數讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。雖然詹姆斯・格雷果里及戈特弗里德・萊布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算 π 而使得該方法為大家所知，但這種方法最早是由印度科學家在大約 1400 到 1500 年之間發現。第一個記載用無窮級數計算 π 的人是約西元 1500 年左右時，印度天文學家尼拉卡莎・薩默亞士在他的著作《系統匯編》中用梵語詩所記錄。當時沒有這數列對應的證明，而證明出現在另一本較晚的印度作品《基本原理》，年代約在西元 1530 年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家桑加馬格拉馬的馬德哈瓦（1350–1425）。相關的無窮級數有許多，包括有關 $\sin $ 、 $\tan $ 及 $\cos $ 的，現在稱為馬德哈瓦數列或 π 的萊布尼茨公式。瑪達瓦在 1400 年用無窮級數計算 π 到第 11 位小數，但在 1430 年一位波斯數學家卡西利用多邊形算法否定了他算的的結果。

歐洲發現的第一條無窮項圓周率公式是無窮乘積（和一般用來計算 π 的無窮級數不同），由法國科學家弗朗索瓦・韋達在 1593 年發現：

　
: ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots $

約翰・沃利斯在 1655 年發現了沃利斯乘積，是歐洲發現的第二條無窮項圓周率公式：

　
: ${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots $

微積分學由英國科學家艾薩克・牛頓及德國數學家戈特弗里德・萊布尼茨在 1660 年代發明，許多計 π 的無窮級數出現。牛頓自己就用反正弦（ $\arcsin $ ）數列在 1655 年或 1666 年將 π 近似到第 15 位小數，後來寫到「我很羞愧告訴你我為了計算它用了多少數字，我當時沒有做其他事。」

蘇格蘭數學家詹姆斯・格雷果里在 1671 年發現了馬德哈瓦公式，萊布尼茨也在 1674 年發現：

　
: $\arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots $

這公式即為格雷果里－萊布尼茨公式，在 $z=1$ 時數值為 ${\frac {\pi }{4}}$ 。1699 年時英國數學家亞伯拉罕・夏普用格雷果里－萊布尼茨公式，在 $z={\frac {1}{\sqrt {3}}}$ 時計算，計算到 π 的第 71 位小數，打破由多邊形算法得到的第 39 位小數的記錄。格雷果里－萊布尼茨公式在 $z=1$ 時非常簡單，但收斂到最終值的速度非常慢，現在不會再用此公式來計 π。

約翰・梅欽在 1706 年用格雷果里－萊布尼茨級數產生了可以快速收斂的公式：

　
: ${\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

梅欽用這公式計到 π 第 100 位小數後來其他數學家也發展了一些類似公式，現在稱為梅欽類公式，創下了許多計算 π 位數的紀錄。在進入電腦時代時，梅欽類公式仍然是耳熟能詳可以計算 π 的公式，而且在約 250 年的時間裡，很多有關 π 位數的紀錄都是梅欽類公式所得，比如在 1946 年時由達尼爾・弗格森（Daniel Ferguson）用這類公式計到第 620 位小數，是沒有計算設備輔助的最佳紀錄。

1844 年，計算天才扎卡里亞斯・達斯在德國數學家卡爾・弗里德里希・高斯的要求下以梅欽類公式心算了 π 的 200 位小數，並創下紀錄。英國數學家威廉・謝克斯花了 15 年的時間計算 π 到小數 707 位，不過第 528 位小數出錯，後面的小數也都不正確。

收斂速度

有些 π 的無窮級數收斂的比其他級數要快，數學家一般會選用收斂速度較快的級數，可以在較少的計算量下計算 π，且達到需要的準確度。以下是 π 的萊布尼茨公式：

　
: $\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots $

隨著一項一項的值加入總和中，只要項次夠多，總和最後會慢慢接近 π。不過此數列的收斂速度很慢，要到 50 萬項之後，才會精確到 π 的第五位小數。

尼拉卡莎在 15 世紀發展了 π 的另一條無窮級數，收斂速度比格雷果里－萊布尼茨公式快很多：

　
: $\pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots $

以下比較兩條級數的收斂速率：

計算前五項後，格雷果里－萊布尼茨級數的和跟 π 的誤差為 0.2，而尼拉卡莎級數和的誤差為 0.002。尼拉卡莎級數收斂快很多，也甚為適合用來計 π 的值。收斂更快的級數有梅欽類公式及楚德諾夫斯基算法，後者每計一項就可以得到 14 位正確的小數位。

無理與超越性

並非所有和 π 有關的研究都旨在提高計算它的準確度。1735 年，歐拉解決了巴塞爾問題，建立了所有平方數倒數和與 π 的關係。之後歐拉發現了歐拉乘積公式，得到了 π、質數的重要關聯，對日後黎曼 ζ 函數的研究影響深遠。

　
: ${\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots $

1761 年，瑞士數學家約翰・海因里希・朗伯用正切函數的無窮連分數表達式證明了 π 是無理數。1794 年，法國數學家阿德里安－馬里・勒壤得證明了 $\pi ^{2}$ 也是無理數。1882 年，德國數學家費迪南德・馮・林德曼證明了對任何非零代數數 $\alpha $ ， $e^{\alpha }$ 都是超越數，該結論後來由魏爾斯特拉斯推廣為林德曼－魏爾斯特拉斯定理。據此定理和歐拉公式，π 只能是超越數，進而證實了勒壤得和歐拉提出的 π 超越性猜想。哈代在其著作《數論導引》中則稱此證明在提出後，經過希爾伯特、施瓦次和其他一些人化簡過。

引入 π 符號

在用 π 專指「圓周率」之前，希臘字母即已用於幾何概念中。威廉・奧特雷德在 1647 年起在《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）就已經用 $\pi $ 及 $\delta $ （對應 p 和 d 的希臘字母）來表示圓的周長及直徑的比例。

威廉・瓊斯在他 1706 年出版的《新數學導論》（A New Introduction to the Mathematics）提到了 $\pi $ ，是目前已知最早專門用希臘字母 $\pi $ 表示圓周和其直徑比例的人。這希臘字母第一次出現是在書中討論一塊半徑 1 的圓時提到「其圓周長一半（ $\pi $ ）」。瓊斯選用 $\pi $ 可能因它是希臘文「周邊」一詞「περιφέρεια」的首字母。不過瓊斯提到，他那些有關 $\pi $ 的算式出自「真正聰明的約翰・梅欽先生」，人們推測在瓊斯之前，約翰・梅欽就已開始用 $\pi $ 表示圓周率。

瓊斯在 1706 年開始使用此希臘字母，但直到萊昂哈德・歐拉在其 1736 年出版的《力學》中開始使用之後，其他數學家才紛紛開始用 $\pi $ 指代圓周率。在此之前，數字家可能用像 _c_ 或 _p_ 之類的字母代表圓周率。歐拉與歐洲其他數學家間時常互相寫信來往， $\pi $ 的用法迅速傳播開來。1748 年歐拉在他的《無窮小分析引論》再一次提到了 $\pi $ ，寫道：「簡潔起見，我們將此數字寫為 $\pi $ ， $\pi $ 等於半徑為 1 的圓周長的一半。」這表示方式之後也推展到整片西方世界。



現代數值近似

計算機時代與迭代算法

二十世紀中期計算機技術發展、革新再次引發了計算 π 位數的熱潮。美國數學家約翰・倫奇及李維・史密斯在 1949 年用桌上型計算機計算到 1120 位。同年，喬治・韋斯納（George Reitwiesner）及約翰・馮・諾伊曼帶領的團隊利用反三角函數（arctan）的無窮級數，用 ENIAC 計算到了小數後 2037 位，花了 70 小時的電腦工作時間。這紀錄後來多次由其他透過 arctan 級數計算出的結果打破（1957 年到 7480 位小數，1958 年到第一萬位數，1961 年到第十萬位小數），直到 1973 年，小數點後第一百萬位小數經已算出。

1980 年代有兩項發明加速計算了 π。第一項是發現了新的迭代法去計 π 的值，計算速度比無窮級數快很多；另一項是發現了可以快速計算大數字乘積的乘法演算法。電腦大部分的工作時間都是在計乘法，這類演算法對現代計 π 格外重要。這類演算法包括嘉良對馬（Karatsuba）算法、譚曲（Toom－Cook）乘法及以傅立葉轉換為基礎的乘法演算法（傅立葉乘法）。

迭代演算法最早是在 1975 年至 1976 年間分別由美國物理學家尤金・薩拉明及奧地利科學家理查・布蘭特獨立提出。這兩條演算法沒有依賴無窮級數來計算。迭代會重覆特定計算，將前一次的計算結果作為這一次的輸入值，使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在 160 年前由卡爾・弗里德里希・高斯提出，現在稱為算術－幾何平均數算法（AGM 法）或高斯－勒壤得算法。薩拉明及布蘭特都曾修改之，這算法也稱為薩拉明－布蘭特演算法。

迭代演算法收斂速度比無窮級數快很多，在 1980 年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加，一般來說正確的位數也會增加幾位，但迭代演算法每計算多一次，正確位數會呈幾何級數增長。例如薩拉明－布蘭特演算法每計算多一次，正確位數會是之前的二倍。1984 年加拿大人喬納森・波溫及彼得・波溫提出迭代演算法，每計算多一次，正確位數會是之前的四倍，1987 年時有另一條迭代演算法，每計算多一次，正確位數會是之前的五倍。日本數學家金田康正使用的演算法在 1955 年及 2002 年間創下了若干項紀錄。不過迭代演算法的快速收斂也有其代價，需要的記憶體明顯比無窮級數多。

計算 π 的意義

一般而言，π 值並不需要過於精確便能夠滿足大部分數學運算的需求。按照約・安（Jörg Arndt）及古里斯佗夫・希奴（Christoph Haenel）的計算，39 位精確度已可將可觀測宇宙圓周的精確度準確至一粒原子大小，足以運算絕大多數宇宙學的計算需求。儘管如此，和 π 有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條；部分人出於對破紀錄的衝動，依然奮力算出 π 小數點後上千甚至上百萬位。此外也有測試超級計算機、測試數值分析算法（包括高精度乘法算法）等實際好處。純粹數學這領域也能計算 π 的位數評定其隨機度。

快速收斂級數

現代計算 π 的程序不僅局限於迭代算法。20 世紀 80 與 90 年代，出現了可用來計算 π 的新無窮級數，其收斂速度可與迭代算法媲美，而又有著複雜度、內存密集度更低的優勢。印度數學家斯里尼瓦瑟・拉馬努金是這方面的先驅，他在 1914 年發表了許多與 π 相關的公式，這些公式十分新穎，極為優雅而又頗具數學深度，收斂速度也非常快。下式即為一例，其中用到了模方程式：

　
: ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}(396^{4k})}}.$

這無窮級數收斂速度遠快於絕大多數反正切數列，包括梅欽公式。第一位使用拉馬努金公式計算 π 並取得進展的是比爾・高斯珀，他在 1985 年算得了小數點後一千七百萬位。拉馬努金公式開創了現代數值近似算法的先河，此後波爾文兄弟和楚德諾夫斯基兄弟進一步發展了這類算法。後者於 1987 年提出了楚德諾夫斯基公式，如下所示：

　
: ${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}.$

此公式每計算一項就能得到 π 的約 14 位數值，因而用於突破圓周率的數位的計算。利用這公式，楚德諾夫斯基兄弟於 1989 年算得 π 小數點後 10 億（109）位，法布里斯・貝拉於 2009 年算得 2.7 千億（2.7×1012）位，亞歷山大・易和近藤滋在 2011 年算得一萬億（1013）位。類似的公式還有拉馬努金 - 佐藤級數。

2006 年，加拿大數學家西蒙・普勞夫利用 PSLQ 整數關係算法按照以下模版生成了幾條計算 π 的新公式：

　
: $\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)$ ，

 $q$ 為 e $\pi $ ， $k$ 是奇數， $a,b,c$ 是普勞夫計算出的有理常數。

統計模擬法

統計模擬法是以機率統計理論為指導的一類非常重要的計數方法，經大量重複試驗計算事件發生頻率，按照大數法則（即當試驗次數充分大時，頻率充分接近機率）可以求得 $\pi $ 的近似值。 布芬（Buffon）投針問題就是其中一項實例：長度 $l$ 的針隨機往畫滿間距 $t\left(l\leq t\right)$ 的平行線的平面上拋擲 $n$ 次， 如果針與平行直線相交 $m$ 次， $n$ 充分大就可根據以下公式算出 $\pi $ 的近似值：

　
: $\pi \approx {\frac {2n\ell }{mt}}$

用統計模擬法計 $\pi $ 的另一例子是隨機往內切四分之一圓的正方形內拋擲大量點，落在四分之一圓內的點的數量與拋擲點的總量的比值會近似於 ${\frac {\pi }{4}}$ 。

此外還可用隨機漫步試驗，並用統計模擬法計算 $\pi $ 值，如拋擲一枚均勻的硬幣 $N$ 次，並記錄正面朝上的次數，所得結果中，正面朝上的次數 $n_{N}$ 服從二項分布且

　
: $\Pr(n_{N}=m)={\binom {N}{m}}({\frac {1}{2}})^{m}({\frac {1}{2}})^{N-m}$

因為硬幣均勻，所以 N 次試驗中每次試驗結果相互獨立。由此可定義一系列獨立的隨機變數 $X_{k}\left(k=1,2,\ldots \right)$ ，當拋擲結果為正面時 $X_{k}=1$ 否則為 - 1，且 $X_{k}=\pm 1$ 且取何值有相同機率（即，正面朝上和背面朝上的機率相同）。對隨機變數 $X_{k}\left(k=1,2,\ldots ,N\right)$ 求和可得

　
: $W_{N}=\sum _{k=1}^{N}X_{k}$

設 k 為「硬幣正面朝上的次數」減去「硬幣反面朝上的次數」，即可得到 $m-\left(N-m\right)=k$ 。轉換式子，得 $m={\frac {N+k}{2}}$ ，因此

　
: $\Pr(W_{N}=k)={\binom {N}{\frac {N+k}{2}}}{\frac {1}{2^{N}}}$ ，其中 $k=-N,-N+2,-N+4,\ldots ,N-2,N$ 。

可證明，

　
: $E(W_{N})=0$ ， $E(W_{N}^{2})=N$ ，以及 $E(|W_{N}|)={\binom {N}{\left\lceil {N/2}\right\rceil {\frac {\left\lceil {N/2}\right\rceil }{2^{N-1}}}}}={\begin{cases}{\frac {(N-1)!!}{(N-2)!!}},&{\text{若 }}N{\text{偶，}}\\{\frac {N!!}{(N-1)!!}},&{\mbox{若 }}N{\mbox{奇。}}\end{cases}}$

並且當 _N_ 變大時， $E\left(\left\vert W_{N}\right\vert \right)$ 的值會漸近於 ${\sqrt {\frac {2N}{\pi }}}$ ，因此當 _N_ 充分大時可根據以下公式算出 $\pi $ 的近似值：

　
: $\pi \approx {\frac {2N}{|W_{N}|^{2}}}$

和其他計算 $\pi $ 值的方法相比，蒙地卡羅方法收斂速度很慢，而且無論實驗多少次，都無從得知 $\pi $ 的估值已經精確到第幾位。因此，當追求速度或精度時，蒙地卡羅方法不適合用來估計 $\pi $ 。

閥門算法

1995 年引入的兩條算法開闢了研究 $\pi $ 的新途徑。因為每計算出一位數字，該數就會像流過閥門的水一樣不會再出現在後續的計算過程中，這種新進算法叫閥門算法。這就與無窮級數及迭代算法形成對比 —— 無窮級數和迭代算法自始至終的每一步計算都會涉及到之前所有步驟計算出的中間值。

1995 年，美國數學家斯坦・華格納和斯坦利・拉比諾維茨（Stanley Rabinowitz）發明了一種簡單的閥門算法，其運算速度類似 arctan 演算法，但速度比迭代算法慢。

貝利－波爾溫－普勞夫公式（BBP）是另一條閥門算法，屬於一種位數萃取演算法。1995 年，西蒙・普勞夫等人發現

　
: $\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)$

這公式和其他公式不同，可以計算 $\pi $ 的任何十六進小數位，而不用計算前面全部小數位。十六進數位可計算得到特定二進數位；想要得到八進位數位的話，計算一、兩位十六進小數即可。目前也已發現一些這種演算法的變體，不過還沒有發現針對十進制、可以快速生成特定小數位的位數萃取演算法。位數萃取演算法的一項重要用途是用來確認聲稱是計算到 $\pi $ 小數位數的新紀錄：若有聲稱是新紀錄的計算結果出現，先將十進制的數值轉換到十六進制，再用貝利－波爾溫－普勞夫公式去確認最後一些位數（用亂數決定），若這些位數都對，就能有一定把握認為此計算結果是對的。

1998 年到 2000 年間，分布式計算計畫 PiHex 用貝拉公式（貝利－波爾溫－普勞夫公式的一種變體）計算 $\pi $ 第 1015 位，結果是 0。2010 年 9 月，有雅虎員工用公司的 Apache Hadoop 應用程式在上千台電腦計算 π 在 2×1015 位開始往後 256 位，其第 2×1015 位剛好也是 0。



用途

 $\pi $ 與圓密切相關，出現在許多幾何學和三角學的公式中（特別是與圓、橢圓和球體相關的那些）。 此外， $\pi $ 也出現在其他學科的重要公式中，比如統計學、物理學，傅立葉分析和數論的公式。

幾何學與三角學

 $\pi $ 出現在基於圓的幾何圖形（如橢圓、球、圓錐與環面）的面積、體積公式中。下面是一些用到 π 的常見公式：


* 半徑 $r$ 的圓周長 $2\pi r$ 。

* 半徑 $r$ 的圓面積 $\pi r^{2}$ 。

* 半徑 $r$ 的球體積 ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ 。

* 半徑 $r$ 的球面面積 $4\pi r^{2}$ 。

上述公式是 _n_ 維球的體積與其邊界（（_n_−1）維球的球面）的表面積的特殊情況，具體將在後文給出解釋。

描述由圓生成的圖形的周長、面積或體積的定積分常涉及 π。例如，表示半徑為 1 的半圓的面積的積分為

　
: $\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$

 ${\sqrt {1-x^{2}}}$ 的積分表示上半圓（此處的平方根由畢氏定理得出），從 - 1 到 1 的積分 $\int _{-1}^{x}$ 可用來計算計算半圓與 _x_ 軸間的面積。

三角函數要用到角，而數學家常用弧度作角度單位。π 在弧度制起重要作用，數學家將周角，即 360 度定義為 2π 度。由這條定義可得，180 度＝π 弧度，1 度＝ ${\frac {\pi }{180^{\circ }}}$ 弧度。因此，常用的三角函數的週期為 $\pi $ 的倍數；例如，正弦和餘弦週期為 π，任何角度 $\theta $ 和任何整數 $k$ 都有

　
: $\sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)$ 及 $\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)$ 。

拓撲學

常數 $\pi $ 出現在將平面微分幾何及其拓撲學聯繫起來的高斯－博內定理中。具體來說，如果緊曲面 _Σ_ 的高斯曲率為 $K$ ，那麼有

　
: $\int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )$ ，

其中 $\chi (\Sigma )$ 是該曲面的歐拉示性數，是整數。例如，曲率為 1（也就是說其曲率半徑也為 1，對於球面而言此時的曲率半徑與半徑重合）的球面 $S$ 的表面積。球面的歐拉特徵數可以通過其同源組計算，其結果為 2。於是，便得出

　
: $A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi $

即為半徑為 1 的球面的表面積公式。

常數 $\pi $ 還出現在拓撲學的許多其他的積分公式中，特別是那些涉及通過陳－韋伊同態的特徵類。

向量分析

向量分析是與向量場的性質有關的微積分的分支，並有許多物理用途，例如用在電磁學中。位於三維笛卡兒坐標系原點的點源 $Q$ 的牛頓位勢為

　
: $V(\mathbf {x} )=-{\frac {kQ}{|\mathbf {x} |}}$

表示位於距原點 $\left\vert {\boldsymbol {x}}\right\vert $ 的單位質量（或電荷）的勢能，而 $k$ 是維度常數。在這裡由 $\mathrm {E} $ 表示的場可以是（牛頓）引力場或（庫侖）電場，是位勢的負梯度：

　
: $\mathbf {E} =-\nabla V.$

特殊情況有庫侖定律和牛頓萬有引力定律。高斯定律表明，通過包含原點的任何平滑、簡單、封閉、可定向曲面 $S$ 的場的向外通量等於 $4\pi kQ$ ：

　
: $4\pi kQ=$ $\oiint $ ${\scriptstyle S}$ $\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} $

標準形式會將 $4\pi $ 的這因子吸收到常數 $k$ 中，但這種說法表明了它必須出現在「某處」。此外， $4\pi $ 是單位球面的表面積，但並沒有假設 $S$ 是球面。然而，作為散度定理的結果，由於遠離原點的區域是真空（無源的），只有 $\mathrm {R} ^{3}\setminus \left\{0\right\}$ 中的表面 $S$ 的同調類與計算積分有關，因此可以由相同同調類中的任何方便的表面代替，特別是球形，因為球面坐標可以用於計算積分。

高斯定律的結果之一是位勢 $V$ 的負拉普拉斯算子等於狄拉克 δ 函數的 $4\pi kQ$ 倍：

　
: $\Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi kQ\delta (\mathbf {x} ).$

通過摺積就能得到物質（或電荷）的更一般分布，給出卜瓦松方程式

　
: $\Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi k\rho (\mathbf {x} )$

其中 $\rho $ 是分布函數。

常數 $\pi $ 在與愛因斯坦場方程式中的四維勢起類似的作用，愛因斯坦方程式是形成廣義相對論基礎的一條基本公式，並且把引力的基本相互作用描述為物質和能量引起的時空彎曲的結果：

　
: $R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },$

 $R_{\mu v}$ 是里奇曲率張量， $R$ 是純量曲率， $g_{\mu v}$ 是度量張量， $\Lambda $ 是宇宙學常數， $G$ 是萬有引力常數， $c$ 是真空中的光速，而 $T_{\mu v}$ 是應力－能量張量。愛因斯坦方程式的左邊是度量張量的拉普拉斯算子的非線性模擬，並化簡（reduce）至在弱域的極限，而右邊是分布函數的模擬乘以 $8\pi $ 。

柯西積分公式

在複分析中，沿複數平面若爾當曲線的圍道積分是研究解析函數的重要手段之一。簡化版的柯西積分公式表明，對任何若爾當曲線 $\gamma $ 內任一點 $z_{0}$ ，以下圍道積分給出 $2\pi i$ ：

　
: $\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.$

該命題是柯西積分定理的直接推論，後者表明上述圍道積分在圍道的同倫轉換下保持不變，因而沿任一曲線的積分和沿以 $z_{0}$ 為圓心的圓周積分的結果相同。更為一般地，該公式對不通過 $z_{0}$ 點的任意可求長曲線都成立，但等式右邊要乘以曲線關於該點的卷繞數。

一般形式的柯西積分公式建立了全純函數 $f(z)$ 在若爾當曲線 $\gamma $ 上的值與曲線內任意點 $z_{0}$ 處值的關係：

　
: $\oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})$

柯西積分定理是留數定理的一項特例。根據留數定理，在區域內除去有限個點解析的亞純函數 $g(z)$ 在邊界上的圍道積分與函數在這些點的留數之和滿足：

　
: $\oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})$

Γ 函數與斯特靈公式

階乘函數 $n!$ 的值等於所有小於等於 $n$ 的正整數之積，它的定義域只包含非負整數。Γ 函數則是階乘的推廣。它在複數平面的右半平面定義為：

　
: $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\,{\rm {d}}t$

再利用解析延拓可以將它的定義域擴展到除去非正整數的整塊複數域。當自變數 $z=n$ 取正整數時， $\Gamma $ 函數給出階乘 $\left(n-1\right)!$ ；當自變數取半整數時，計算結果含有 $\pi $ 。例如 $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$ ， $\Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}$ 。

根據魏爾施特拉斯分解定理， $\Gamma $ 函數可分解為如下的無窮乘積：

　
: $\Gamma (z)=e^{-\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}}$

 $\gamma $ 是歐拉－馬斯刻若尼常數。利用該分解公式和 $\Gamma $ 函數在 $z={\frac {1}{2}}$ 的值 $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=\pi $ ，亦可以證明沃利斯乘積式。 $\Gamma $ 函數和黎曼 ζ 函數、函數行列式的恆等式存在關聯，其中 $\pi $ 扮演著重要的角色。

 $\Gamma $ 函數常用於計算 $n$ 維歐氏空間中 _n_ 維球的體積和 _n_ 維球面的表面積。對 $n$ 維歐氏空間中半徑為 $r$ _$n$_ 維球，其體積 $V_{n}(r)$ 和表面積 $S_{n-1}(r)$ 滿足：

　
: $V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n}$

　
: $S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n-1}$

兩者還滿足如下的關係式：

　
: $2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.$

當 $n$ 很大，用 $\Gamma $ 函數可得到階乘 $n!$ 的近似公式 $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ ，稱斯特靈公式，等價於：

　
: $\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.$

斯特靈近似的幾何應用之一是埃爾哈特體積猜想。將 $n$ 維歐幾里得空間的單體記作 $\Delta _{n}$ ， $\left(n+1\right)\Delta _{n}$ 則表示該單體的所有面擴大 $n+1$ 。於是

　
: $\operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.$

這是僅含一點晶格點之凸體體積的（最佳）上界。

數論與黎曼 ζ 函數

黎曼 ζ 函數 $\zeta (s)$ 在數學的許多領域均有應用。當自變數 $s=2$ ，可寫作

　
: $\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots $

找到這無窮級數的解析解是數學界著名的「巴塞爾問題」。1735 年，歐拉解決了這問題，他得到該無窮級數等於 ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ 。歐拉的結論可推導出數論中一項結果，即兩隨機整數互質（無公因數）的機率為 ${\frac {6}{\pi ^{2}}}$ 。整數可由質數 $p$ 整除的機率為 ${\frac {1}{p^{2}}}$ （例如，連續 7 個正整數只有一個可以 7 整除），任取兩隨機整數都能以質數 $p$ 整除的機率為 ${\frac {1}{p^{2}}}$ ，至少有一數不能整除的機率則為 $1-{\frac {1}{p^{2}}}$ 。又，一隨機整數能否以兩不同質數整除是相互獨立事件，兩隨機整數互質的機率可以表示成關於所有質數 $p$ 的無窮乘積

　
: ${\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}$

這結論可結合隨機數生成器，用統計模擬法計 $\pi $ 的近似值。

﻿巴塞爾問題的結論意味著幾何導出量 $\pi $ 的數值與質數的分布有著深刻的關聯。巴塞爾問題是谷山－志村定理的一種特殊情況，是安德烈・韋伊對玉河數的猜想的一項特例，即猜想一個這種形式的算術量關於所有質數 $p$ 的無窮乘積能夠等於一個幾何量 —— 某局部對稱空間體積的倒易。巴塞爾問題中，這空間是雙曲 3 - 流形 SL2(R)/SL2(Z)。

 $\zeta $ 函數同樣滿足黎曼方程式的公式，其中用到了 $\pi $ 和伽瑪公式：

　
: $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!.$

除此之外， $\zeta $ 函數導數也滿足

　
: $\exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.$

最終的結果是 $\pi $ 可以從諧振子泛函行列式中求得。這泛函行列式可以無窮乘積展開式計算，而且這種方法等價於沃利斯乘積公式。這種方法可用於量子力學，尤其是玻爾模型中的變分。

傅立葉級數

週期函數的傅立葉級數很自然出現了 $\pi $ 。週期函數即實數的小數部分所構成群 $T={\frac {R}{Z}}$ 上的函數。傅立葉分解指出， $T$ 上的複值函數 $f$ 可表示為無窮多個 $T$ 的酉特徵的線性疊加之和。也就是說， $T$ 到圓群 $U(1)$ （模為 1 的複數組成的乘法群）的映射是連續群同態。 $T$ 的特徵都有 $e_{n}(x)=e^{2\pi inx}$ 的形式，是一條定理。

 $T$ 有唯一的特徵值，直到複共軛，那是一群同態。在圓群用哈爾測度，常數 $\pi $ 是這特徵值的拉東－尼科迪姆導數值的一半。其他的特徵值的導數值為 $2\pi $ 的正整數倍。因此，常數 $\pi $ 是獨特的數字，以至於配備了其哈爾測度的群 $T$ ，有對於 $2\pi $ 整數倍的點陣的龐特里亞金對偶性。這是卜瓦松和公式的一維版本。

模形式與𝜃函數

常數 $\pi $ 與模形式和 Θ 函數密切相關 —— 比如，橢圓曲線中的 j 變數就很大程度涉及楚德諾夫斯基算法（一種快速計算 π 的方法）。

模形式是以在上半平面的全純函數的在模群 $SL_{2}(\mathbb {Z} )$ （或其子群， $SL_{2}(\mathbb {Z} )$ 是 $SL_{2}(\mathbb {R} )$ 的一格）下的變換特性歸納。Θ 函數便是一例：

　
: $\theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz+i\pi n^{2}\tau }$

它是一種名為雅可比形式的模形式，有時以諾姆 $q=e^{\pi i\tau }$ 表達。

常數 $\pi $ 是特殊常數，它會使雅可比 $\Theta $ 函數形成自守式，即該函數會以特定方式變換。有若干恆等式在所有自守式下成立。，例如：

　
: $\theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau )$

它使得 $\theta $ 必然在離散海森伯群下以表示（representation）變換。一般模形式和其他 $\Theta $ 函數也包含 $\pi $ ，這也是根據史東–馮紐曼定理。

柯西分布與位勢論

積分 $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi $ ，柯西分布 $g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}$ 是機率密度函數，總機率等於 1。

柯西分布的香農熵等於 $\log(4\pi )$ ，也含 $\pi $ 。

柯西分布在位勢論中扮演著重要的角色因為它是最簡單的福斯坦堡測度和與在半平面上做布朗運動相關聯的經典卜瓦松核。共軛諧波函數以及希爾伯特轉換與卜瓦松核的漸近線有關。希爾伯特轉換 $H$ 是由奇異積分的柯西主值給出的積分轉換

　
: $Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{x-t}}$ 。

常數 $\pi $ 是唯一的（正）歸一化因子因此 $H$ 定義了一個在實數軸上的平方可積分實值函數的希爾伯特空間上的線性複結構。 和傅立葉轉換一樣，希爾伯特轉換就其在希爾伯特空間 $L^{2}(R)$ 的轉換特性而言可以完全特徵化。直到歸一化，它是唯一的與正膨脹對易且與實數軸的所有反射反對易有界線性算子。常數 $\pi $ 是唯一能使這轉換么正的歸一化因子。

複變動態系統

大衛・波（David Boll）在 1991 年發現在曼德博集合碎形也有 π 出現。他檢查在曼德博集合在 $(-0.75,0)$ 位置的特性。若考慮坐標在「頸部」 $(-0.75,\varepsilon )$ 的點，而 $\varepsilon $ 趨近零，在發散之前迭代的次數和 $\varepsilon $ 相乘，會趨近 $\pi $ 。若是在右側尖點處附近的點 $(0.25,\varepsilon )$ 也會有類似的特性：在發散之前迭代的次數和 $\varepsilon $ 的平方根相乘，也會趨近 $\pi $ 。



數學之外的 π

描述物理現象

 $\pi $ 與圓以及球坐標系關係密切，即使 $\pi $ 不是物理常數，也常出現在描述宇宙的基本原則方程式中。比方說，經典力學領域的簡單公式給出長 L 的單擺小幅擺動的近似週期 $T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$ ， $g$ 為地球引力加速度常數。

海森堡不確定性原理是量子力學的基本公式，表明測量粒子時，其位置不確定度（ $\Delta x$ ）與動量不確定度（ $\Delta p$ ）不可能同時達到任意小（ $h$ 為普朗克常數）： $\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$ 。

 $\pi $ 近似三這特性，和電子偶素的半衰期相對較長有密切的聯繫。其半衰期的倒數和精細結構常數 $\alpha $ 的關係為 ${\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m\alpha ^{6}$ ， $m$ 為電子質量。

許多結構工程的公式也有 $\pi $ ，例如歐拉推導的挫曲公式說明了長度為 $L$ 、截面二次軸矩為 _I_ 的細長形物體，在不挫曲的條件下可以承受的最大軸向負載 $F$ ：

　
: $F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.$

流體動力學的斯托克斯定律中也有 $\pi $ 。斯托克斯定律是半徑約為 $R$ 的小球體在黏度 $\eta $ 的流體中以速度 $v$ 運動時會受到的阻力滿足：

　
: $F=6\,\pi \,\eta \,R\,v.$

在理想狀態下，河的曲折程度（河道本身的長度與源頭到入海口的比值）隨著時間的推移逐漸趨向於 $\pi $ 。河流外邊際的快速水流彎曲會使河流內邊際加倍侵蝕，河道變得更彎曲，整條河彎折更厲害。然而，這股彎折勁兒最終會導致河流折回一開始彎折的地方，導致「短路」，並形成河跡湖。這兩種相反因素使河道長度與源頭到入海口的比值的平均值為 π。

π 的記憶技巧

π 文字學（或譯作圓周率的語言學）是指記住 $\pi $ 的大量位值，並將其世界紀錄載於金氏世界紀錄大全的做法。維爾・美拿（Rajveer Meena）於 2015 年 3 月 21 日在印度於 9 小時 27 分鐘內背誦了 7 萬位的 π，創下金氏世界紀錄大全認證的世界紀錄。2006 年，日本退休工程師原口證自稱已經背誦了十萬位小數，但他未獲金氏世界紀錄大全認證。

常用於記憶 π 的一項技巧是背誦以單詞長度代表 $\pi $ 數值的故事或詩歌：第一單詞有三字母，第二單詞有一字母，第三單詞有四字母，第四單詞有一字母，第五單詞有五字母，如此類推。早期例子是英國科學家詹姆士・金斯設計的詩歌：「How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics.」這類詩歌有時在英文中稱為「piem」。除了英文，用於記憶 π 的詩歌亦有不同語言的版本。但是，記憶 $\pi $ 的人一般並不以詩歌記憶 $\pi $ 來創下紀錄，而是用如記憶數字規律或軌跡法的方法。

有好幾位作家仿照上述記憶技巧，用 $\pi $ 的數值創作了新型的約束寫作方式，當中單詞長度須符合 $\pi $ 的數值。《The Cadaeic Cadenza》以上述技巧包含了 $\pi $ 前 3835 位的值，一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬單詞，其中各單詞亦代表了 $\pi $ 的一位。

大眾文化

也許因為 $\pi $ 的公式很簡短而且四處可見， $\pi $ 比其他數學常數在流行文化中更常見。

在 2008 年由英國公開大學及英國廣播公司聯合製作的記錄片《數學的故事》於 2008 年十月由英國廣播公司第四台播放。影片講述了英國數學家馬庫斯・杜・索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時，展示出歷史上 π 最精確的計算公式的訊息圖形。

巴黎的科學博物館發現宮有間圓形房間叫「 $\pi $ 房」，牆上刻有 $\pi $ 的 707 位數，數字貼在圓頂狀的天花板上，由大型的木製字符組成。數值是 1853 年由英國數學家威廉・尚克思計算出來，但是該結果於第 528 位後開始出現謬誤，在 1946 年發現，1949 年修正。

卡爾・薩根的小說《接觸未來》中則暗示說，宇宙的創造者在 π 的數字中暗藏了一則訊息。π 的數字也用在凱特・布希所出的專輯 Aerial 中的《Pi》的歌詞裡。

美國人在 3 月 14 日慶祝圓周率日，此節日在學生中很流行。一些自稱「數學極客」的人常常用 $\pi $ 與其數位來創作一些數學或技術圈內人士才能領會到的笑話。麻省理工學院則有幾句包含「3.14159」的大學歡呼口號。2015 年的圓周率日格外重要，按照美式寫法，當天的日期時間 `3/14/15 9:26:53` 較其他圓周率日包含更多位數的 $\pi $ 。

在北電網絡於 2011 年舉行的技術專利拍賣會上，谷歌用了一些包含 $\pi $ 在內的數學或科學常數來競價。

 在 1958 年，阿爾伯特・伊格爾提議將 $\pi $ 換成 τ（tau）以便簡化公式。 $\tau $ 在此定義為 $\pi $ 的兩倍。然而，沒有任何其他作者曾這樣使用過 $\tau $ 。有些人使用不同的值， $\tau =2\pi =6.283185\ldots $ 。這些人稱 $\tau $ 不論是作為弧度制下圓周長的 1 轉還是作為弧長與半徑的比值（而不是與直徑的比值）都比 $\pi $ 自然，也能因此簡化許多公式。有媒體報導稱，因為 $\tau $ 的值大小約為 6.28，現已有人在 6 月 28 日慶祝「 $\tau $ 節」，並吃「兩個派」；然而，主流數學界還並未使用 $\tau $ 。

1897 年，有業餘美國數學家試圖藉印第安納州議會來通過後世所謂印第安納圓周率法案的法案。這法案試圖以法律命令強制規定數學常數之值而臭名遠播。該法案描述化圓為方的方法，並間接提到了 $\pi $ 的錯誤值，例如 3.2。該法案通過了印第安納州眾議院的表決，但參議院否決之。



注釋



參考資料

書籍

引用



延伸閱讀



外部連結


* 開放式目錄計劃中和 Digits of Pi 相關的內容

* Wolfram Mathworld 上的「Pi」（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* Wolfram Alpha 上的 Representations of Pi（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* Pi 搜尋引擎 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）：可搜尋 π、√2 和 _e_ 的 20 億位

* Eaves, Laurence. π – Pi. Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham. 2009 [2016-09-13]. （原始內容存檔於 2020-07-06）.

* Grime, Dr. James. Pi is Beautiful – Numberphile. Numberphile. Brady Haran. 2014 [2016-09-13]. （原始內容存檔於 2020-12-12）.

* Demonstration by Lambert (1761) of irrationality of π, online（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） and analyzed _BibNum（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_ (PDF).

* 尋找 π 值的計畫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* 前 1.2 百萬位中的部分資料

* 將 π 前一萬位化作音樂旋律 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* SuperPI（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 計算 π 值的軟體，電腦硬體玩家常用來測試電腦運算速度（日文）

* 計算圓周率

* PiFast （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 個人電腦上最快的計算 π 值軟體，是個人電腦計算 π 值紀錄保持軟體。

* 用大炮求圓周率 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）：以蒙特卡羅演算法，利用圓的面積求圓周率。

* 展示將 π 值計算到 10 萬位的網站 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）