歐拉 - 麥克勞林求和公式在 1735 年由萊昂哈德・歐拉與科林・麥克勞林分別獨立發現，該公式提供了一個聯繫積分與求和的方法，由此可以導出一些漸進展開式。



公式

設 ${\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}}$ 為一至少 ${\begin{smallmatrix}k+1\end{smallmatrix}}$ 階可微的函數， ${\begin{smallmatrix}a,b\in \mathbb {Z} \end{smallmatrix}}$ ，則 
 ${\begin{aligned}\sum _{a<n\leq b}f(n)&=\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t\\&\quad +\sum _{r=0}^{k}{\frac {(-1)^{r+1}B_{r+1}}{(r+1)!}}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))\\&\quad +{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}\int _{a}^{b}{\bar {B}}_{k+1}(t)f^{(k+1)}(t)dt\\\end{aligned}}$
  
其中

 
* ${\begin{smallmatrix}n!:=1\times 2\times ...\times n\end{smallmatrix}}$ 表示 ${\begin{smallmatrix}n\end{smallmatrix}}$ 的階乘

* ${\begin{smallmatrix}f^{(n)}(x)\end{smallmatrix}}$ 表示 ${\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}}$ 的 ${\begin{smallmatrix}n\end{smallmatrix}}$ 階導函數

* ${\begin{smallmatrix}{\bar {B}}_{n}(x)=B_{n}(\left\langle x\right\rangle )\end{smallmatrix}}$ ，其中
   
* ${\begin{smallmatrix}B_{n}(x)\end{smallmatrix}}$ 表示第 ${\begin{smallmatrix}n\end{smallmatrix}}$ 個伯努利多項式
    
* 伯努利多項式是滿足以下條件的多項式序列：
    
* ${\begin{cases}B_{0}(x)\equiv 1\\B'_{r}(x)\equiv rB_{r-1}(x)\quad (r\geq 1)\\\int _{0}^{1}B_{r}(x)\,\mathrm {d} x=0\quad (r\geq 1)\end{cases}}$
  
* ${\begin{smallmatrix}\left\langle x\right\rangle \end{smallmatrix}}$ 表示 ${\begin{smallmatrix}x\end{smallmatrix}}$ 的小數部分

* ${\begin{smallmatrix}B_{n}:=B_{n}(0)={\bar {B}}_{n}(0)\end{smallmatrix}}$ 為第 ${\begin{smallmatrix}n\end{smallmatrix}}$ 個伯努利數



證明

證明使用數學歸納法以及黎曼－斯蒂爾傑斯積分，下文中假設 ${\begin{smallmatrix}f(x)\end{smallmatrix}}$ 的可微次數足夠大， ${\begin{smallmatrix}a,b\in \mathbb {Z} \end{smallmatrix}}$ 。 
為了方便，將原式的各項用不同顏色表示： 
 $\sum _{a<n\leq b}f(n)={\color {red}\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}+{\color {OliveGreen}\sum _{r=0}^{k}{\frac {(-1)^{r+1}B_{r+1}}{(r+1)!}}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}\int _{a}^{b}{\bar {B}}_{k+1}(t)f^{(k+1)}(t)dt}$
  

k=0 的情形

容易算出 
 ${\bar {B}}_{1}(t)={\color {Purple}\left\langle t\right\rangle -{\frac {1}{2}}}$ 
 ${\begin{aligned}\sum _{a<n\leq b}f(n)&=\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} \left\lfloor t\right\rfloor \\&={\color {red}\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}-\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} \left\langle t\right\rangle \\&={\color {red}\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}-\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} ({\color {Purple}\left\langle t\right\rangle -{\frac {1}{2}}})\\&={\color {red}\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}-{\color {BurntOrange}\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} {\bar {B_{1}}}(t)}\\\end{aligned}}$
  
其中橙色的項通過分部積分可化為 
 ${\begin{aligned}{\color {BurntOrange}\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} {\bar {B_{1}}}(t)}&=(f(t){\bar {B_{1}}}(t))|_{t=a}^{t=b}-\int _{a}^{b}{\bar {B_{1}}}(t)\,\mathrm {d} f(t)\\&=f(b)B_{1}(\left\langle b\right\rangle )-f(a)B_{1}(\left\langle a\right\rangle )-{\color {blue}\int _{a}^{b}{\bar {B_{1}}}(t)f'(t)\,\mathrm {d} t}\\&={\color {OliveGreen}B_{1}\cdot (f(b)-f(a))}-{\color {blue}\int _{a}^{b}{\bar {B_{1}}}(t)f'(t)\,\mathrm {d} t}\\\end{aligned}}$

假設 k=n-1 時原式成立

$$
\sum _{a<n\leq b}f(n)={\color {red}\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}+{\color {OliveGreen}\sum _{r=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{r+1}B_{r+1}}{(r+1)!}}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{n-1}}{n!}}\int _{a}^{b}{\bar {B}}_{n}(t)f^{(n)}(t)\,\mathrm {d} t}
$$

處理積分（藍色項）

$$
{\begin{aligned}{\color {blue}{\frac {(-1)^{n-1}}{n!}}\int _{a}^{b}{\bar {B}}_{n}(t)f^{(n)}(t)\,\mathrm {d} t}&={\frac {(-1)^{n-1}}{n!}}\int _{a}^{b}{\frac {{\bar {B'}}_{n+1}(t)}{n+1}}f^{(n)}(t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n+1)!}}\int _{a}^{b}{\bar {B'}}_{n+1}(t)f^{(n)}(t)\,\mathrm {d} t\\&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n+1)!}}\int _{a}^{b}f^{(n)}(t)\,\mathrm {d} {\bar {B}}_{n+1}(t)\\&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n+1)!}}((f^{(n)}(t){\bar {B_{n+1}}}(t))|_{t=a}^{t=b}-\int _{a}^{b}{\bar {B}}_{n+1}(t)\,\mathrm {d} f^{(n)}(t))\\&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n+1)!}}(f^{(n)}(b)B_{n+1}(\left\langle b\right\rangle )-f^{(n)}(a)B_{n+1}(\left\langle a\right\rangle )-\int _{a}^{b}{\bar {B}}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t)\\&={\frac {(-1)^{n-1}B_{n+1}}{(n+1)!}}\cdot (f^{(n)}(b)-f^{(n)}(a))-{\frac {(-1)^{n-1}}{(n+1)!}}\int _{a}^{b}{\bar {B}}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t)\\&={\color {OliveGreen}{\frac {(-1)^{n+1}B_{n+1}}{(n+1)!}}\cdot (f^{(n)}(b)-f^{(n)}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)!}}\int _{a}^{b}{\bar {B}}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t)}\\\end{aligned}}
$$

將處理後的積分代入

 ${\begin{aligned}\sum _{a<n\leq b}f(n)&={\color {red}\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}+{\color {OliveGreen}\sum _{r=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{r+1}B_{r+1}}{(r+1)!}}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{n-1}}{n!}}\int _{a}^{b}{\bar {B}}_{n}(t)f^{(n)}(t)\,\mathrm {d} t}\\&={\color {red}\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}+{\color {OliveGreen}\sum _{r=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{r+1}B_{r+1}}{(r+1)!}}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))}+{\color {OliveGreen}{\frac {(-1)^{n+1}B_{n+1}}{(n+1)!}}\cdot (f^{(n)}(b)-f^{(n)}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)!}}\int _{a}^{b}{\bar {B}}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t)}\\&={\color {red}\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t}+{\color {OliveGreen}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-1)^{r+1}B_{r+1}}{(r+1)!}}\cdot (f^{(r)}(b)-f^{(r)}(a))}+{\color {blue}{\frac {(-1)^{(n)}}{(n+1)!}}\int _{a}^{b}{\bar {B}}_{n+1}(t)f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t}\\\end{aligned}}$
  
得到想要的結果。



餘項（積分項）估計

歐拉 - 麥克勞林求和公式的精確度通常不一定隨著 ${\begin{smallmatrix}k\end{smallmatrix}}$ 的增加而增加，相反地，如果 ${\begin{smallmatrix}k\end{smallmatrix}}$ 相當大，則積分項也會很大。右圖是在計算調和級數的前 100 項時用 Mathematica 算出不同的 ${\begin{smallmatrix}k\end{smallmatrix}}$ 對應的積分項的絕對值：

 



應用

通過歐拉 - 麥克勞林求和公式可以給出黎曼 ζ 函數的漸進式： 
 ${\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{n=1}^{N-1}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2}}N^{-s}\\&\quad +{\frac {B_{2}}{2}}sN^{-s-1}+...+{\frac {B_{2\nu }}{(2\nu )!}}s(s+1)...(s+2\nu -2)N^{(-s-2\nu +1)}+R_{2\nu }\end{aligned}}$ 
其中 
 $R_{2\nu }=-{\frac {s(s+1)...(s+2\nu -1)}{(2\nu )!}}\int _{N}^{\infty }{\bar {B}}_{2\nu }(x)x^{-s-2\nu }\,\mathrm {d} x$



其他形式

歐拉 - 麥克勞林求和公式有時也被寫成如下形式： 
 $\sum _{y<n\leq x}f(n)=\int _{y}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+\int _{y}^{x}(t-\left\lfloor t\right\rfloor )f'(t)\,\mathrm {d} t+f(x)(\left\lfloor x\right\rfloor -x)-f(y)(\left\lfloor y\right\rfloor -y)$ 
這是歐拉給出的原始形式。



參考文獻