在古典力學裏，作用量 - 角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時，有很大的用處。應用作用量 - 角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量 - 角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓 - 亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量 - 角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。

在量子力學早期，波動力學發展成功之前，波耳 - 索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量 - 角度坐標的環面不變量 來表達。

在哈密頓力學裏，作用量 - 角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。

作用量 - 角度坐標，對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析，對於 Lax pairs 的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想，都佔有關鍵地位。



導引

保守的哈密頓量系統

　
: 主條目：哈密頓特徵函數

假設，在一個物理系統裏，哈密頓量是保守的，也就是說，哈密頓量 ${\mathcal {H}}$ 不顯含時間；

　
: ${\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}$ ；

其中， $a_{\mathcal {H}}$ 是運動常數， $\mathbf {q} $ 是廣義坐標， $\mathbf {p} $ 是廣義動量。

採用哈密頓特徵函數 $W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )$ 為正則變換的第二型生成函數。變換方程式為

　
: $\mathbf {p} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}$ ，

　
: $\mathbf {Q} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {P} }}$ ；

其中， $\mathbf {Q} $ 是新廣義坐標， $\mathbf {P} $ 是新廣義動量。

新哈密頓量 ${\mathcal {K}}$ 與舊哈密頓量 ${\mathcal {H}}$ 相等：

　
: ${\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ;\ \mathbf {P} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}$ 。

新廣義動量的哈密頓方程式為

　
: ${\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=0,\!$ 。

所以，新廣義動量是常數 $\mathbf {a} $ ：

　
: $\mathbf {P} =\mathbf {a} $ ，

假設，這物理系統的哈密頓 - 亞可比方程式 ${\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}$ 為完全可分的，則哈密頓特徵函數 $W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )$ 可以分離為 $n$ 個函數 $W_{i}$ ：

　
: $W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {a} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )$ 。

哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是

　
: $p_{i}={\frac {\partial W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )}{\partial q_{i}}}$ ，

　
: $Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {a} )}{\partial a_{i}}}$ 。

週期性運動

假若，粒子的運動是週期性運動，最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動，則可以設計一個新正則坐標－作用量 - 角度坐標 $(\mathbf {w} ,\ \mathbf {J} )$ 。定義作用量為

　
: $J_{i}\equiv \oint p_{i}dq_{i}$ ；

這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。

由於廣義動量 $p_{i}$ 只跟 $q_{i}$ 、 $\mathbf {a} $ 有關，經過積分，作用量 $J_{i}$ 只跟 $\mathbf {a} $ 有關。所以，作用量向量 $\mathbf {J} $ 只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為

　
: $W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {J} )$ 。

雖然是同樣的物理量，函數的參數不同，形式也不同。

定義角度 $\mathbf {w} $ 為

　
: $w_{i}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {J} )}{\partial J_{i}}}$ 。

由於所有的廣義坐標 $q_{i}$ 都相互獨立，所有的廣義動量 $p_{i}$ 也都相互獨立，所以，所有的作用量 $J_{i}$ 都相互獨立，作用量 - 角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量 - 角度坐標表達為

　
: $W(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(w_{i};\ \mathbf {J} )$ 。

新哈密頓量 ${\mathcal {K}}'$ 與舊哈密頓量 ${\mathcal {H}}$ 相等：

　
: ${\mathcal {K}}'(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}$ 。

因為作用量 $J_{i}=J_{i}(\mathbf {a} )$ 只是常數向量，所以，

　
: $-{\dot {J}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial w_{i}}}=0$ 。

新哈密頓量 ${\mathcal {K}}'={\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )$ ，只跟作用量 $\mathbf {J} $ 有關，跟角度 $\mathbf {w} $ 無關。

角度 $w_{i}$ 隨時間的導數 $\nu _{i}$ ，可以用哈密頓方程式決定：

　
: $\nu _{i}(\mathbf {J} )={\dot {w}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{i}}}$ 。

每一個 $J_{i}$ 都是常數，所以， $\nu _{i}(\mathbf {J} )$ 也是常數：

　
: $w_{i}=\nu _{i}t+\beta _{i}$ ；

其中， $\beta _{i}$ 是積分常數。

運動頻率

假設原本廣義坐標 $q_{i}$ 的振蕩或旋轉的運動週期為 $T_{i}$ ，則其對應的角度變數 $w_{i}$ 的改變是 $\Delta w_{i}=\nu _{i}T_{i}$ 。進一步了解物理量 $\nu _{i}$ 的性質，猜想 $\nu _{i}$ 與廣義坐標 $q_{i}$ 週期性運動的頻率有關。可是，因為角度 $w_{i}$ 是廣義座標 $\mathbf {q} $ 與作用量 $\mathbf {J} $ 的函數，無法確定前面的猜想。為了證實這論點，計算週期 $T_{i}$ ：

　
: $T_{i}=\oint dt=\oint {\frac {dq_{i}}{\dot {q_{i}}}}=\oint {\cfrac {dq_{i}}{\ \ {\cfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\ \ }}$ 。

新哈密頓量 ${\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )$ 與舊哈密頓量 ${\mathcal {H}}$ 相等。所以，

　
: ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{j}}}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}$ 。

假若 $q_{j}$ 是個循環坐標，那麼，其共軛動量 $p_{j}$ 必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來：

　
: $J_{j}\equiv \oint p_{j}dq_{j}=p_{j}\oint dq_{j}=p_{j}\ell $ ；

其中， $\ell $ 是 $q_{j}$ 運動一週期的值。

這樣，

　
: ${\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\delta _{ij}\,\ell =\nu _{i}\,\ell $ 。

代入週期 $T_{i}$ 的公式，

　
: $T_{i}=\oint {\frac {dq_{i}}{\nu _{i}(\mathbf {J} )\,\ell }}={\frac {1}{\nu _{i}}}$ 。

肯定地， $\nu _{i}$ 是廣義坐標 $q_{i}$ 的頻率。

假若 $q_{j}$ 不是循環坐標，則不能將其共軛動量 $p_{j}$ 從作用量的定義積分內提出來，必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，可以察覺角度 $w_{i}$ 跟廣義坐標 $\mathbf {q} $ 、作用量 $\mathbf {J} $ 有關：

　
: $w_{i}=w_{i}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )$ 。

保持作用量不變，角度的虛位移 $\delta w_{i}$ 是：

　
: $\delta w_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}$ 。

在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標 $q_{i}$ 都有它運動的週期 $T_{i}$ 。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期不同 $T_{1}$ 、 $T_{2}$ 。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期 $T$ ，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為

　
: $T=m_{1}T_{1}+m_{2}T_{2}$ ；

其中， ${\frac {T}{T_{1}}}$ 、 ${\frac {T}{T_{2}}}$ 、 $m_{1}$ 、 $m_{2}$ ，都是正值的整數。

同樣地，在多重週期性物理系統裏，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是完全可通約的，稱此系統為完全可通約系統。那麼，新週期 $T$ 為

　
: $T=\sum _{i=1}^{n}m_{i}T_{i}$ ；

其中， ${\frac {T}{T_{i}}}$ 、 $m_{i}$ ，都是正值的整數。

經過一個週期 $T$ ，角度 $w_{i}$ 的變化是：

　
: $\Delta w_{i}=\nu _{i}m_{i}T_{i}=\oint \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}=\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}}dq_{j}$ 。

由於作用量 $J_{i}$ 是個常數，可以將它從積分內提出：

　
: $\Delta w_{i}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}}}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}p_{j}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}J_{j}=m_{i}$ 。

所以，頻率是

　
: $\nu _{i}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}$ 。

假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 $q_{i}$ 、 $q_{j}$ ，其週期 $T_{i}$ 、 $T_{j}$ 的比例是無理數。那麼， $q_{i}$ 不可能與 $q_{j}$ 同時回到同一點。雖然如此，有理論證明， $\nu _{i}$ 、 $\nu _{i}$ 仍舊分別是 $q_{i}$ 、 $q_{j}$ 的頻率。

傅立葉級數

角度 $\mathbf {w} $ 是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標 $q_{k}$ 可以用角度的傅立葉級數表示：

　
: $q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\ldots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\ldots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}$ ；

其中， $A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}$ 是傅立葉級數係數。

在大多數實際案例，物理系統的哈密頓 - 亞可比方程式 ${\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}$ 為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標 $q_{k}$ 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示：

　
: $q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi s_{i}w_{i}}$ 。



基本規則總結

一般程序有三個步驟：

1. 計算作用量變數 $J_{i}$ 。
2. 用作用量變數表示原本哈密頓量。
3. 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣，可以求得頻率 $\nu _{i}$ 。



簡併度

在有些案例，兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率；也就是說， $\nu _{i}=\nu _{j}$ for $i\neq j$ 。稱這些案例的運動狀態為簡併。

簡併的運動給出暗示，很可能有更多的保守量。例如，克卜勒問題的頻率是簡併的，這對應於拉普拉斯 - 龍格 - 冷次向量的恆定性。

簡併的運動還給出暗示，在多於一種坐標系統裏，哈密頓 - 亞可比方程式會是完全可分的。例如，克卜勒問題在球坐標系與拋物線坐標系，都是完全可分的。



參考文獻


* Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) _Mechanics_, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

* H. Goldstein, (1980) _Classical Mechanics_, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.