在數學中，張量積，記為 $\otimes $ ，可以應用於不同的上下文中如向量、矩陣、張量、向量空間、代數、拓撲向量空間和模。在各種情況下這個符號的意義是同樣的：最一般的雙線性運算。在某些上下文中也叫做外積。

例子:

　
: $\mathbf {b} \otimes \mathbf {a} \rightarrow {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{2}b_{1}&a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{3}&a_{2}b_{3}&a_{3}b_{3}\\a_{1}b_{4}&a_{2}b_{4}&a_{3}b_{4}\end{bmatrix}}$

結果的秩為 2、維數為 4×3 = 12。

這裡的秩指的是「張量秩」（所需指標數），而維數計算在結果數組 (陣列) 中自由度的數目；矩陣的秩是 2。

代表情況是任何兩個被當作矩陣的矩形數組的克羅內克積。在同維數的兩個向量之間的張量積的特殊情況是並矢積。



兩個張量的張量積

有兩個（或更多）張量積的分量的一般公式。例如，如果 _U_ 和 _V_ 是秩分別為 _n_ 和 _m_ 的兩個協變張量，則它們的張量積的分量給出為

　
: $(V\otimes U)_{i_{1}i_{2}\dots i_{m+n}}=V_{i_{1}i_{2}i_{3}\dots i_{n}}U_{i_{n+1}i_{n+2}\dots i_{n+m}}$ 。

所以兩個張量的張量積的分量是每個張量的分量的普通積。

注意在張量積中，因子 _V_ 消耗前 rank (_V_) 個指標，而因子 _U_ 再消耗 rank (_U_) 個指標，所以

　
: $\mathrm {rank} (V\otimes U)=\mathrm {rank} (V)+\mathrm {rank} (U)$

例子

設 U 是類型 (1,1) 的張量，帶有分量 _Uαβ_；並設 V 是類型 (1,0) 的張量，帶有分量 _Vγ_。則

　
: $U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }=(U\otimes V)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }$

而

　
: $V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }=(V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }$ 。

張量積繼承它的因子的所有指標。



兩個矩陣的克羅內克積

對於矩陣這個運算通常叫做克羅內克積，用來明確結果有特定塊結構在其上，其中第一個矩陣的每個元素被替代為這個元素與第二個矩陣的積。對於矩陣 $U$ 和 $V$ :

　
: $U\otimes V={\begin{bmatrix}u_{11}V&u_{12}V&\cdots \\u_{21}V&u_{22}V\\\vdots &&\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{11}v_{11}&u_{11}v_{12}&\cdots &u_{12}v_{11}&u_{12}v_{12}&\cdots \\u_{11}v_{21}&u_{11}v_{22}&&u_{12}v_{21}&u_{12}v_{22}\\\vdots &&\ddots \\u_{21}v_{11}&u_{21}v_{12}\\u_{21}v_{21}&u_{21}v_{22}\\\vdots \end{bmatrix}}$ 。



多重線性映射的張量積

給定多重線性映射 $f(x_{1},\dots ,x_{k})$ 和 $g(x_{1},\dots ,x_{m})$ 它們的張量積是多重線性函數

　
: $(f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m})$



向量空間的張量積

在域 $K$ 上的兩個向量空間 _V_ 和 _W_ 的張量積 $V\otimes W$ 有通過「生成元和關係」的方法的形式定義。在這些 $(v,w)$ 的關係下的等價類被叫做「張量」並指示為 $v\otimes w$ 。通過構造，可以證明在張量之間的多個恆等式並形成張量的代數。

要構造 $V\otimes W$ ，採用在 $K$ 之上帶有基 $V\times W$ 的向量空間，並應用（因子化所生成的子空間）下列多線性關係:

 
* $(v_{1}+v_{2})\otimes w=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes w$

* $v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}$

* $cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)$

這裡的 $v,v_{i},w,w_{i}$ 是來自適當空間的向量，而 $c$ 來自底層域 $K$ 。

我們可以推出恆等式

　
: $0v\otimes w=v\otimes 0w=0(v\otimes w)=0$ ，

零在 $V\otimes W$ 中。

結果的張量積 $V\otimes W$ 自身是向量空間，它可以直接通過向量空間公理來驗證。分別給定 _V_ 和 _W_ 基 $\{v_{i}\}$ 和 $\{w_{i}\}$ ，形如 $v_{i}\otimes w_{j}$ 的張量形成 $V\otimes W$ 的基。張量積的維數因此是最初空間維數的積；例如 $\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}$ 有維數 $mn$ 。



張量積的泛性質

張量積可以用泛性質來刻畫。考慮通過雙線性映射 _φ_ 把笛卡爾積 _V_ × _W_ 嵌入到向量空間 _X_ 的問題。張量積構造 _V_ ⊗ _W_ 與給出自

　
: $\phi (u,w)=u\otimes w$

的自然嵌入映射 _φ_ : _V_ × _W_ → _V_ ⊗ _W_ 一起是這個問題在如下意義上的「泛」解。對於任何其他這種對 (_X_, _ψ_)，這裡的 _X_ 是向量空間，而 ψ 是雙線性映射 _V_ × _W_ → _X_，則存在一個唯一的線性映射

　
: $T:V\otimes W\rightarrow X$

使得

　
: $\psi =T\circ \phi $ 。

假定這個泛性質，張量積在同構意義下的惟一性是容易驗證的。

直接推論是從 _V_ × _W_ 到 _X_ 的雙線性映射

　
: $B(V\times W,X)$

和線性映射

　
: $L(V\otimes W,X)$

的同一性。它是 _ψ_ 到 _T_ 的自然同構映射。



希爾伯特空間的張量積

兩個希爾伯特空間的張量積是另一個希爾伯特空間，其定義如下。

定義

設 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 是兩個希爾伯特空間，分別帶有內積 $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{1}$ 和 $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}$ 。構造 _H_1 和 _H_2 的張量積 $H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}$ 如下：

考慮他們的作為線性空間的張量積 $H=H_{1}\otimes H_{2}$ 。 $H_{1}$ 和 $H_{2}$ 上的內積自然地擴展到 $H$ 上：

由內積的雙線性（Bilinearity），只需定義

　
: $\langle \phi _{1}\otimes \phi _{2},\psi _{1}\otimes \psi _{2}\rangle =\langle \phi _{1},\psi _{1}\rangle _{1}\cdot \langle \phi _{2},\psi _{2}\rangle _{2}$

其中 $\phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}$ 和 $\phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}$ 即可。

現在 $H$ 是一未必完備的內積空間。將 $H$ 完備化，得到希爾伯特空間 $H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}$ ，這就是 _H_1 和 _H_2 作為希爾伯特空間的張量積。在希爾伯特空間的範疇中， $H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}$ 具有如前所述的泛性質，即它是二者在該範疇內的乘積。

性質

如果 _H_1 和 _H_2 分別有正交基 {φk} 和 {ψl}，則 {φk ⊗ ψl} 是 _H_1 ⊗ _H_2 的正交基。



與對偶空間的關係

在泛性質的討論中，替代 _X_ 為 _V_ 和 _W_ 的底層純量域生成空間 $(V\otimes W)^{\star }$ （ $V\otimes W$ 的對偶空間，包含在那個空間上的所有線性泛函），它自然的同一於在 $V\times W$ 上所有雙線性函數的空間。換句或說，所有雙線性泛函是在張量積上的泛函，反之亦然。

只要 $V$ 和 $W$ 是有限維的，在 $V^{\star }\otimes W^{\star }$ 和 $(V\otimes W)^{\star }$ 之間有一個自然的同構，而對於任意維的向量空間我們只有一個包含 $V^{\star }\otimes W^{\star }\subset (V\otimes W)^{\star }$ 。所以線性泛函的張量是雙線性泛函。這給我們一種新看法，把雙線性泛函看做張量積自身。



註解



參見


* 外積

* 並矢積

* 張量積模型變換