在機率論中，任何隨機變數的特徵函數（縮寫：ch.f，複數形式：ch.f's）完全定義了它的機率分布。在實直線上，它由以下公式給出，其中 $X$ 是任何具有該分布的隨機變數：

　
: $\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)$ ，

其中 $t$ 是一個實數， $i$ 是虛數單位， $E$ 表示期望值。

用動差母函數 $M_{X}(t)$ 來表示（如果它存在），特徵函數就是 $iX$ 的動差母函數，或 _$X$_ 在虛數軸上求得的動差母函數。

　
: $\varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(it)$

與動差母函數不同，特徵函數總是存在。

如果 $F_{X}$ 是累積分布函數，那麼特徵函數由黎曼－斯蒂爾傑斯積分給出：

　
: $\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF_{X}(x)$ 。

在機率密度函數 $f_{X}$ 存在的情況下，該公式就變為：

　
: $\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx$ 。

如果 _$X$_ 是一個向量值隨機變數，我們便取自變數 $t$ 為向量， $tX$ 為數量積。

 $R$ 或 $R^{n}$ 上的每一個機率分布都有特徵函數，因為我們是在有限測度的空間上對一個有界函數進行積分，且對於每一個特徵函數都正好有一個機率分布。

一個對稱機率密度函數的特徵函數（也就是滿足 $f_{X}(x)=f_{X}(-x)$ ）是實數，因為從 $x>0$ 所獲得的虛數部分與從 $x<0$ 所獲得的相互抵消。



性質



連續性

勒維連續定理說明，假設 $(X_{n})_{n=1}^{\infty }$ 為一個隨機變數序列，其中每一個 $X_{n}$ 都有特徵函數 $\varphi _{n}$ ，那麼它依分布收斂於某個隨機變數 $X$ ：

　
: $X_{n}{\xrightarrow {\mathcal {D}}}X$ 當 $n\to \infty $

如果

　
: $\varphi _{n}\quad {\xrightarrow {\textrm {pointwise}}}\quad \varphi $ 當 $n\to \infty $

且 $\varphi (t)$ 在 $\ t=0$ 處連續， $\varphi $ 是 $X$ 的特徵函數。

勒維連續定理可以用來證明弱大數法則。

反演定理

在累積機率分布函數與特徵函數之間存在對射。也就是說，兩個不同的機率分布不能有相同的特徵函數。

給定一個特徵函數 φ，可以用以下公式求得對應的累積機率分布函數 $F$ ：

　
: $F_{X}(y)-F_{X}(x)=\lim _{\tau \to +\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\tau }^{+\tau }{\frac {e^{-itx}-e^{-ity}}{it}}\,\varphi _{X}(t)\,dt$ 。

一般地，這是一個廣義積分；被積分的函數可能只是條件可積而不是勒貝格可積的，也就是說，它的絕對值的積分可能是無窮大。

博赫納 - 辛欽定理 / 公理化定義

任意一個函數 $\varphi $ 是對應於某個機率律 $\mu $ 的特徵函數，若且唯若滿足以下三個條件：

 1. $\varphi \,$ 是連續的；
2. $\varphi (0)=1\,$ ；
3. $\varphi \,$ 是一個正定函數（注意這是一個複雜的條件，與 $\varphi >0$ 不等價）。

計算性質

特徵函數對於處理獨立隨機變數的函數特別有用。例如，如果 $X_{1}$ 、 $X_{2}$ 、……、 _$X_{n}$_ 是一個獨立（不一定同分布）的隨機變數的序列，且

　
: $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},\,\!$

其中 $a_{i}$ 是常數，那麼 $S_{n}$ 的特徵函數為：

　
: $\varphi _{S_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\varphi _{X_{2}}(a_{2}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t).\,\!$

特別地， $\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)$ 。這是因為：

　
: $\varphi _{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)$ 。

注意我們需要 $X$ 和 $Y$ 的獨立性來確立第三和第四個表達式的相等性。

另外一個特殊情況，是 $a_{i}={\frac {1}{n}}$ 且 $S_{n}$ 為樣本平均值。在這個情況下，用 ${\overline {X}}$ 表示平均值，我們便有：

　
: $\varphi _{\overline {X}}(t)=\left(\varphi _{X}\left({\frac {t}{n}}\right)\right)^{n}$ 。



特徵函數舉例

Oberhettinger (1973) 提供的特徵函數表.



特徵函數的應用

由於連續定理，特徵函數被用於中央極限定理的最常見的證明中。

動差

特徵函數還可以用來求出某個隨機變數的動差。只要第 _n_ 個動差存在，特徵函數就可以微分 _n_ 次，得到：

　
: $\operatorname {E} \left(X^{n}\right)=i^{-n}\,\varphi _{X}^{(n)}(0)=i^{-n}\,\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}.\,\!$

例如，假設 $X$ 具有標準柯西分布。那麼 $\varphi _{X}(t)=e^{-|t|}$ 。它在 $t=0$ 處不可微，說明柯西分布沒有期望值。另外，注意到 $n$ 個獨立的觀測的樣本平均值 ${\overline {X}}$ 具有特徵函數 $\varphi _{\overline {X}}(t)=(e^{-{\frac {\left\vert t\right\vert }{n}}})^{n}=e^{-|t|}$ ，利用前一節的結果。這就是標準柯西分布的特徵函數；因此，樣本平均值與母體本身具有相同的分布。

特徵函數的對數是一個累積量母函數，它對於求出累積量是十分有用的；注意有時定義累積量母函數為動差母函數的對數，而把特徵函數的對數稱為_第二_累積量母函數。

一個例子

具有尺度母數 $\theta $ 和形狀母數 _k_ 的伽瑪分布的特徵函數為：

　
: $(1-\theta \,i\,t)^{-k}$ 。

現在假設我們有：

　
: $\ X\sim \Gamma (k_{1},\theta )$ 且 $\ Y\sim \Gamma (k_{2},\theta )$

其中 $X$ 和 $Y$ 相互獨立，我們想要知道 $X+Y$ 的分布是什麼。 _$X$_ 和 _$Y$_ 特徵函數分別為：

　
: $\varphi _{X}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{1}},\,\qquad \varphi _{Y}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{2}}$

根據獨立性和特徵函數的基本性質，可得：

　
: $\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{1}}(1-\theta \,i\,t)^{-k_{2}}=\left(1-\theta \,i\,t\right)^{-(k_{1}+k_{2})}$ 。

這就是尺度母數為 _$\theta $_ 、形狀母數為 $k_{1}+k_{2}$ 的伽瑪分布的特徵函數，因此我們得出結論：

　
: $X+Y\sim \Gamma (k_{1}+k_{2},\theta )$ ，

這個結果可以推廣到 $n$ 個獨立、具有相同尺度母數的伽瑪隨機變數：

　
: $\forall i\in \{1,\ldots ,n\}:X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta )\qquad \Rightarrow \qquad \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \right)$ 。



多元特徵函數

如果 $X$ 是一個多元隨機變數，那麼它的特徵函數定義為：

　
: $\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it\cdot X}\right)$ 。

這裡的點表示向量的點積，而向量 $t$ 位於 $X$ 的對偶空間內。用更加常見的矩陣表示法，就是：

　
: $\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it^{T}X}\right)$ 。

例子

如果 $X\sim N(0,\Sigma )\,$ 是一個平均值為零的多元高斯隨機變數，那麼：

　
: $\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it^{T}X}\right)=\int _{x\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{\left(2\pi \right)^{n/2}\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{T}\Sigma ^{-1}x}\cdot e^{it^{T}x}\,dx=e^{-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t},\quad t\in \mathbf {R} ^{n},$

其中 $|\Sigma |$ 表示正定矩陣 Σ 的行列式。



矩陣值隨機變數

如果 $X$ 是一個矩陣值隨機變數，那麼它的特徵函數為：

　
: $\varphi _{X}(T)=\operatorname {E} \left(e^{i\,\mathrm {Tr} (XT)}\right)$

在這裡， $\mathrm {Tr} (\cdot )$ 是跡函數， $\ XT$ 表示 $T$ 與 $X$ 的矩陣乘積。由於矩陣 _XT_ 一定有跡，因此矩陣 _X_ 必須與矩陣 _T_ 的轉置的大小相同；因此，如果 _X_ 是 _m_ × _n_ 矩陣，那麼 _T_ 必須是 _n_ × _m_ 矩陣。

注意乘法的順序不重要（ $XT\neq TX$ 但 $\ tr(XT)=tr(TX)$ ）。

矩陣值隨機變數的例子包括威沙特分布和矩陣常態分布。



相關概念

相關概念有動差母函數和機率母函數。特徵函數對於所有機率分布都存在，但動差母函數不是這樣。

特徵函數與傅立葉轉換有密切的關係：一個機率密度函數 $p(x)$ 的特徵函數是 $p(x)$ 的連續傅立葉轉換的共軛複數（按照通常的慣例）。

　
: $\varphi _{X}(t)=\langle e^{itX}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}p(x)\,dx={\overline {\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}p(x)\,dx\right)}}={\overline {P(t)}},$

其中 $P(t)$ 表示機率密度函數 $p(x)$ 的連續傅立葉轉換。類似地，從 $\varphi _{X}(t)$ 可以通過傅立葉逆轉換求出 $p(x)$ ：

　
: $p(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}P(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}{\overline {\varphi _{X}(t)}}\,dt$ 。

確實，即使當隨機變數沒有密度時，特徵函數仍然可以視為對應於該隨機變數的測度的傅立葉轉換。



參考文獻


* Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350

* Bisgaard, T. M., Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science