在量子力學裏，埃倫費斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值對於時間的導數，跟這量子算符與哈密頓算符的對易算符，兩者之間的關係，以方程式表達為

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle $ ；

其中， $A$ 是某個量子算符， $\langle A\rangle $ 是它的期望值， $H$ 是哈密頓算符， $t$ 是時間， $\hbar $ 是約化普朗克常數。

埃倫費斯特定理是因物理學家保羅・埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏，埃倫費斯特定理非常顯而易見；取海森堡方程式的期望值，就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學的劉維定理密切相關；劉維定理使用的帕松括號，對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上，從根據經驗法則，將對易算符換為帕松括號乘以 $i\hbar $ ，再取 $i\hbar $ 趨向於 0 的極限，含有對易算符的量子定理就可以改變為含有帕松括號的古典定理。



導引

假設，一個物理系統的量子態為 $\Phi (x,\ t)$ ，則算符 $A$ 的期望值對於時間的導數為

　
: ${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\\end{aligned}}$

薛丁格方程式表明哈密頓算符 $H$ 與時間 $t$ 的關係為

　
: $H\Phi =i\hbar {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}$ 。

其共軛複數為

　
: $(H\Phi )^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}$ 。

因為哈密頓算符是厄米算符， $H^{*}=H$ 。所以，

　
: $(H\Phi )^{*}=\Phi ^{*}H^{*}=\Phi ^{*}H$ 。

將這三個方程式代入 ${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle $ 的方程式，則可得到

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle $ 。

所以，埃倫費斯特定理成立：

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle $ 。



實例

使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間，則這系統是保守系統。

從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。

守恆的哈密頓量

考慮哈密頓算符 $H$ ：

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle H\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle $ 。

假若，哈密頓量顯性地不含時間， ${\frac {\partial H}{\partial t}}=0$ ，則

　
: $\langle H\rangle =H_{0}$ ，

哈密頓量是個常數 $H_{0}$ 。

位置的期望值對於時間的導數

試想一個質量為 $m$ 的粒子，移動於一維空間．其哈密頓量是

　
: $H(x,\ p,\ t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,\ t)$  ;

其中， $x$ 為位置， $p$ 是動量， $V$ 是位勢。

應用埃倫費斯特定理，

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle [x,\ p^{2}]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle xpp-ppx\rangle $ 。

由於 $xpp-ppx=i2\hbar p$ ，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值：

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle =\langle v\rangle $ 。

這樣，可以得到動量 $p$ 的期望值。

動量的期望值對於時間的導數

應用埃倫費斯特定理，

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle $ 。

由於 $p$ 與自己互相交換，所以， $[p,\ p^{2}]=0$ 。又在坐標空間裏，動量算符 $p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}$ 不含時間： ${\frac {\partial p}{\partial t}}=0$ 。所以，

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ V]\rangle $ 。

將帕松括號展開，

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V{\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(V\Phi \right)~dx$ 。

使用乘法定則，

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\left\langle -\ {\frac {\partial }{\partial x}}V\right\rangle =\langle F\rangle $ 。

在量子力學裏，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力 $F$ 的期望值。



古典極限

取古典極限， $\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}$ ，則可得到一組完全的量子運動方程式：

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle $ ，

　
: ${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}$ 。

這組量子運動方程式，精確地對應於古典力學的運動方程式：

　
: ${\frac {dx}{dt}}=v$ ，

　
: ${\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}$ 。

取「古典極限」，量子力學的定律約化為古典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這古典極限是什麼呢？標記 $V\,'(x)$ 為 ${\frac {\partial V(x)}{\partial x}}$ 。設定 $\langle x\rangle =x_{0}$ 。泰勒展開 $V\,'(x)$ 於 $x_{0}$ ：

　
: $V\,'(x)=V\,'(x_{0})+(x-x_{0})V\,''(x_{0})+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}V\,'''(x_{0})+\ \dots $ 。

由於 $\langle x-x_{0}\rangle =0$ ， $\langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\sigma _{x}^{2}$ ，

　
: $\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx V\,'(x_{0})+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ V\,''(x_{0})$ 。

這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的，就可以取古典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關：

1. 一個是量子態對於位置的不可確定性。
2. 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。



參閱


* 維里定理



參考文獻