拋物線坐標系（英語：Parabolic coordinates）是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。

實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，斯塔克效應（Stark effect），物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯 - 龍格 - 冷次向量的保守性。



二維拋物線坐標系

直角坐標 $(x,\ y)$ 可以用二維拋物線坐標 $(\sigma ,\ \tau )$ 表示為

　
: $x=\pm \,\sigma \tau $ 、

　
: $y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$ ；

其中， $\sigma \geq 0$ ， $\tau \geq 0$ 。

反算回來，二維拋物線坐標 $(\sigma ,\ \tau )$ 可以用直角坐標 $(x,\ y)$ 表示為

　
: $\sigma ={\sqrt {-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$ 、

　
: $\tau ={\sqrt {y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$ 。

坐標 $\sigma $ 為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 +y - 軸）拋物線：

　
: $2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$ ，

而坐標 $\tau $ 為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往 -y - 軸）拋物線：

　
: $2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$ 。

這些拋物線的焦點的位置都在原點。



二維標度因子

拋物線坐標 $(\sigma ,\ \tau )$ 的標度因子相等：

　
: $h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$ 。

因此，面積的無窮小元素是

　
: $dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau $ 。

拉普拉斯算子是

　
: $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F} $ ， $\nabla \times \mathbf {F} $ ，都可以用 $(\sigma ,\ \tau )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。



三維拋物線坐標系

將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為旋轉拋物線坐標系。將對稱軸與 z - 軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 可以用三維拋物線坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 表示為

　
: $x=\sigma \tau \cos \phi $ 、

　
: $y=\sigma \tau \sin \phi $ 、

　
: $z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$ ；

其中， $\sigma \geq 0$ ， $\tau \geq 0$ ，方位角 $\phi $ 定義為

　
: $\tan \phi ={\frac {y}{x}},\qquad 0\leq \phi \leq 2\pi $ 。

反算回來，三維拋物線坐標 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 可以用直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 表示為

　
: $\sigma ={\sqrt {-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}$ 、

　
: $\tau ={\sqrt {z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}$ 、

　
: $\phi =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}$ 。

每一個 $\sigma $ - 坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z - 軸）拋物曲面：

　
: $2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$ ，

而每一個 $\tau $ >- 坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z - 軸）拋物曲面：

　
: $2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$ 。

這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。



三維標度因子

三維標度因子為：

　
: $h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$ 、

　
: $h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$ 、

　
: $h_{\phi }=\sigma \tau \,$ 。

我們可以觀察出，標度因子 $h_{\sigma }$ ， $h_{\tau }$ 與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是

　
: $dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\phi }=\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\phi $ 。

拉普拉斯算子是

　
: $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf {F} $ ， $\nabla \times \mathbf {F} $ ，都可以用 $(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。



第二種表述

另外還有一種拋物線坐標系的表述，專門用於哈密頓 - 亞可比方程式。假若使用此種表述的公式，則哈密頓 - 亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法，可以導引出拉普拉斯 - 龍格 - 冷次向量的恆定性．

採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式：

　
: $\eta ={-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ 、

　
: $\xi ={z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$ 、

　
: $\phi =\arctan {y \over x}$ 。

假若 $\phi =0$ ，則可得到一片截面；其坐標被限制於 $x\geq 0$ 的 +xz - 半平面：

　
: $\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}$ 、

　
: $\xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}$ 。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 $\eta $ 是一個常數， $\eta =c$ ，則

　
: $\left.z\right|_{\eta =c}={x^{2} \over 2c}-{c \over 2}$ 。

這是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z - 軸同軸；凹性向上。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 $\xi $ 是一個常數， $\xi =b$ ，則

　
: $\left.z\right|_{\xi =b}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b}$ 。

這也是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z - 軸同軸；凹性向下。

思考任何一條向上的拋物線 $\eta =c$ 與任何一條向下的拋物線 $\xi =b$ ，我們想要求得兩條曲線的相交點：

　
: ${x^{2} \over 2c}-{c \over 2}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b}$ 。

稍微計算，可得

　
: $x={\sqrt {bc}}$ 。

將相交點的橫坐標 $x$ 代入向上的拋物線的公式，

　
: $z_{c}={bc \over 2c}-{c \over 2}={b-c \over 2}$ 。

所以，相交點 P 坐標為 $\left({\sqrt {bc}},\ {b-c \over 2}\right)$ 。

思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為

　
: ${\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\sqrt {\frac {b}{c}}}=s_{c}$ 。

向下的拋物線的切線的斜率為

　
: ${dz_{b} \over dx}=-{x \over b}=-{\sqrt {c \over b}}=s_{b}$ 。

兩個斜率的乘積為

　
: $s_{c}s_{b}=-1$ 。

所以，兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線，都會有同樣的結果。

假設 $\phi \neq 0$ 。讓 $\phi $ 值從 $0$ 緩慢增值，這半平面會相應地繞著 z - 軸按照右手定則旋轉；拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 $\phi $ 值設定的半平面，切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是：

　
: $x={\sqrt {\eta \xi }}\ \cos \phi $ 、

　
: $y={\sqrt {\eta \xi }}\ \sin \phi $ 、

　
: $z={\frac {1}{2}}(\xi -\eta )$ 。



參考文獻


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