級數（英語：Series）是數學中一個有窮或無窮的序列例如 $u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\ldots $ 之和，即 $s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots $ ，如果序列是有窮序列，其和稱為有窮級數；反之，稱為無窮級數（一般也簡稱為級數）。

序列 $u_{0},u_{1},u_{2},\ldots $ 中的項稱作級數的通項（或一般項）。級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常量，也可以是關於其他變量的函數，不一定是一個數。一般的，如果級數的通項是常量，則稱之為常數項級數，如果級數的通項是函數，則稱之為函數項級數。常見的簡單有窮數列的級數包括等差數列和等比數列的級數。

有窮數列的級數一般通過初等代數的方法就可以求得。無窮級數有發散和收斂的區別，稱為無窮級數的斂散性。判斷無窮級數的斂散性是無窮級數研究中的主要工作。無窮級數在收斂時才會有一個和；發散的無窮級數在一般意義上沒有和，但可以用一些別的方式來定義。

無窮級數的研究更多的需要數學分析的方法來解決。無窮級數一般寫作 $\textstyle u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots $ 、 $\textstyle \sum u_{n}$ 或者 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ ，級數收斂時，其和通常被表示為 $s=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ ，其中符號 $\sum $ 稱為求和號。



無窮級數的定義

設 $(u_{n})$ 是一個無窮序列 ： $u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},\ldots $ ，其前 n 項的和稱為 $\sum u_{n}$ 的部分和：

　
: $s_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}$

$$
(u_{n})$ 部分和依次構成另一個無窮序列： $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots ,s_{n},\ldots
$$

這兩個序列合稱為一個級數，記作 $\sum u_{n}$ 或者 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ 。



無窮級數的斂散性

對於級數 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ ，如果當 $n$ 趨於正無窮大時， $s_{n}$ 趨向一個有限的極限： $s=\lim _{n\to \infty }s_{n}$ ，那麼這個無窮級數就叫做是收斂的， $s$ 叫做級數 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ 的和。如果極限不存在，這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和 _$s$_ 。這時可以定義級數 $\sum u_{n}$ 的餘項和： $R_{n}=S-S_{n}$ 。

任意項級數

如果級數 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ 中的各項可以是正數，負數或零，則級數 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ 稱為任意項級數。
將任意項級數各項 $u_{n}$ 取絕對值，得到正項級數。 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|=|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+\cdots +|u_{n}|+\cdots $

條件收斂

　
: 如果任意項級數 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收斂，而級數 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|$ 發散，則稱級數 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ 條件收斂。

絕對收斂

　
: 如果級數 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|$ 收斂，則稱級數絕對收斂

定理：如果任意項級數 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ 的各項的絕對值所組成的正項級數 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|$ 收斂，則級數 $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}$ 收斂。

　
:



收斂級數的性質


* 若一個無窮級數 $\sum u_{n}\ :\ u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots $ 收斂，其和為 _$s$_ ，則如果每一項乘以一個常數 $a$ ，得到的級數 $\sum au_{n}:\ au_{1}+au_{2}+au_{3}+\cdots +au_{n}+\cdots $ 也收斂，且和等於 _as_。

* 收斂的無窮級數可以逐項相加或相減，如有兩個無窮級數：

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=s$ 和 $\sum _{n=1}^{\infty }v_{n}=t$ ，則

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }(u_{n}\pm v_{n})=s\pm t$ .


* 級數前面加上有限項或減去有限項不影響其斂散性，如：

　
: $s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots $ 和 $s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+\cdots +u_{n}+\cdots $

這兩個級數的斂散性是一樣的。


* 當 $n$ 趨向無限大時，任何一個收斂級數的通項都趨於 0： $\lim _{n\to \infty }u_{n}=0$

* 在一個完備空間中，也可以運用柯西收斂的準則來判斷級數是否收斂：一個無窮級數 $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}$ 收斂的充要條件是，對任意 $\epsilon >0$ ，總存在 $N_{0}>0$ ，使得任意的 $n>m>N_{0}$ ， $|s_{n}-s_{m}|=|\sum _{k=m+1}^{n}u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots +u_{n}|<\epsilon $ 。



無窮級數的研究歷史

將一個函數展開成無窮級數的概念最早來自 14 世紀印度的馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念，對泰勒級數、麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦、餘弦、正切函數等的泰勒展開，還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。

17 世紀，詹姆斯・格里高利也開始研究無窮級數，並發表了若干函數的麥克勞林展開式。1715 年，布魯克・泰勒提出了構造一般解析函數的泰勒級數的方法。18 世紀時歐拉又發展了超幾何級數和 q - 級數的理論。

對審斂法的研究

14 世紀時，馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則，後來他的學生將其推廣。

然而在歐洲，審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從 19 世紀由高斯開始的。他於 1812 年發表了關於歐拉的超幾何級數

　
: $1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots $

的論文，提出了一些簡單的收斂準則，並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。

柯西提出了嚴格的審斂法的重要性，他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的，同時開始研究嚴格的審斂準則。歐拉和高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函數的冪級數展開。

1826 年，阿貝爾在他的關於二項式級數

　
: $1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots $

的論文中更正了柯西的若干個結論，並給出了二項式級數的嚴格的求和方法，指出了連續性在收斂問題中的重要性。

柯西提出的審斂法並不是普遍適用的，只能用於判別某些特定函數的斂散性。同時代的其他數學家，比如拉貝（Joseph Ludwig Raabe）的對數判別法，德・摩根的對數判別法（被 DuBois-Reymond 和普林斯海姆證明對某些函數失效）
，以及貝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的審斂法也是如此。

對普遍的審斂法則的研究由恩斯特・庫默爾開始，之後的艾森斯坦、維爾斯特拉斯、尤里斯・迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於 1889 年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。

對一致連續性的研究

1821 年，柯西首先開始對一致連續性的研究，但其中有不少錯誤和局限。這些錯誤最早被阿貝爾指出，但首先得出正確結論的是西德爾和斯托克斯。1853 年，柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究，並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而，一致連續性的重要性在很長一段時間裡沒有受到重視。



類別

　
: 更多級數請參見級數列表。

幾何級數

幾何級數（或等比級數）是指通項為等比數列的級數，比如：

　
: $1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2$

一般來說，幾何級數 $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$ 收斂若且唯若 $\left\vert z\right\vert <1$ 。

調和級數

調和級數是指通項為 ${1 \over n}$ 的級數：

　
: $1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}$

它是發散的。

 $p$ - 級數

 _$p$_ - 級數是指通項為 ${\frac {1}{n^{p}}}$ 的級數：

　
: $U_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$

對於實數值的 _$p$_ ，當 $p>1$ 時收斂，當 $p\leq 1$ 時發散。這可以由積分比較審斂法得出。

函數 $\zeta :p\mapsto U_{p}$ 是黎曼 ζ 函數在實軸大於 1 的部分的限制，關於黎曼 $\zeta $ 函數有著名的黎曼猜想。
特別地，當 $p=1$ 時， $p$ - 級數即為調和級數。

裂項級數

　
: $\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$

收斂若且唯若數列 $b_{n}$ 收斂到某個極限 $L$ ，並且這時級數的和是 $b_{1}-L$ 。

泰勒級數

泰勒級數是關於一個光滑函數 $f$ 在一點 $a$ 附近取值的級數。泰勒函數由函數在點 $a$ 的各階導數值構成，具體形式為：

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

這是一個冪級數。如果它在 $a$ 附近收斂，那麼就稱函數 $f$ 在點 $a$ 上是解析的。

交錯級數

具有以下形式的級數

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$

其中所有的 $a_{n}$ 非負，被稱作交錯級數。交錯級數的收斂通常要藉助萊布尼茨判別法。

冪級數

形同 $\sum a_{n}(x-x_{0})^{n}$ 的函數項無窮級數稱為 $x-x_{0}$ 的冪級數。它的收斂與否和係數 $a_{n}$ 有關。

傅立葉級數

任何周期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，稱為傅立葉級數。傅立葉級數是函數項無窮級數，也就是說每項都是一個函數。傅立葉級數在數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。

例如，周期為 $2\pi $ 的周期函數 $f(x)$ 可以表示為：

　
: $f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),n=1,2,3,\ldots $

其中， $a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$ ， $b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$ ，特別的， $a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx$



常數項無窮級數審斂法

正項級數

若通項為實數的無窮級數 $\sum u_{n}$ 每一項 $u_{n}$ 都大於等於零，則稱 $\sum u_{n}$ 是一正項級數。

如果無窮級數 $\sum u_{n}$ 是正項級數，則部分和 $S_{n}$ 是一個單調遞增數列。由數列極限的判別準則：單調有界數列必有極限。因此，倘若部分和數列 _Sn_ 有界， $\sum u_{n}$ 收斂，且 $\lim _{n\to \infty }S_{n}=s$ ; 反之，若部分和數列趨於正無窮，級數發散。

比較判別法

設 $\sum u_{n}$ 和 $\sum v_{n}$ 是正項級數。

　
: 如果存在正實數 $M$ ，使得從若干項開始， $u_{n}\leq Mv_{n}$ （也就是說 $u_{n}=O_{\infty }(v_{n})$ ），則

* 當 $\sum v_{n}$ 收斂時，可推出 $\sum u_{n}$ 也收斂。

* 當 $\sum u_{n}$ 發散時，可推出 $\sum v_{n}$ 也發散。

　
: 如果 $\lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=0$ ，則

* 當 $\sum v_{n}$ 收斂時，可推出 $\sum u_{n}$ 也收斂。

* 當 $\sum u_{n}$ 發散時，可推出 $\sum v_{n}$ 也發散。

　
: 如果 $\lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=1$ 或其它有限數，則 $\sum v_{n}$ 和 $\sum u_{n}$ 同時收斂或發散。

比如，我們已知級數： $\sum {1 \over n^{2}}$ 收斂，則級數： $\sum {|\sin n| \over n^{2}}$ 也收斂，因為對任意的 $n$ ， $\sin n\leq 1$ 。

比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。一般來說，我們可以選擇比較簡單的級數： $U_{p}=\sum {1 \over n^{p}}$ 作為「標準級數」，依此判斷其他函數的斂散性。需要知道的是當 $p\leq 1$ 時， $U_{p}$ 發散，當 $p>1$ 時， $U_{p}$ 收斂。

達朗貝爾判別法

在比較判別法中，如果取幾何級數為比較的標準級數，可得：

　
: 設 $\sum u_{n}$ 是通項大於零的正項級數。並且 $\lim _{n\to \infty }{u_{n+1} \over u_{n}}=p$ ，則

* 當 $p<1$ 時，級數 $\sum u_{n}$ 收斂。

* 當 $p>1$ 時，級數 $\sum u_{n}$ 發散。

* 當 $p=1$ 時，級數 $\sum u_{n}$ 可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為比值判別法或比值審斂法。

柯西收斂準則

　
: 設 $\sum u_{n}$ 是正項級數。並且 $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}=p$ ，則

* 當 $p<1$ 時，級數 $\sum u_{n}$ 收斂。

* 當 $p>1$ 時，級數 $\sum u_{n}$ 發散。

* 當 $p=1$ 時，級數 $\sum u_{n}$ 可能收斂也可能發散。

這個判別法也稱為根值判別法或根值審斂法'。

交錯級數

具有以下形式的級數

　
: $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$

其中所有的 $a_{n}$ 非負，被稱作交錯級數。

萊布尼茨判別法

在上述的級數 $\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!$ 中，如果當 $n$ 趨於無窮時，數列 $a_{n}$ 的極限存在且等於 0，並且每個 $a_{n}$ 小於 $a_{n-1}$ （即，數列 $a_{n}$ 是單調遞減的），那麼級數收斂。

任意項級數

對於通項為任意實數的無窮級數 $\sum u_{n}$ ，將級數 $\sum |u_{n}|$ 稱為它的絕對值級數。可以證明，如果 $\sum |u_{n}|$ 收斂，那麼 $\sum u_{n}$ 也收斂，這時稱 $\sum u_{n}$ 絕對收斂。如果 $\sum u_{n}$ 收斂，但是 $\sum |u_{n}|$ 發散，則稱 $\sum u_{n}$ 條件收斂。比如說，級數 $\sum {\sin n \over n^{2}}$ 絕對收斂，因為前面已經證明 $\sum {|\sin n| \over n^{2}}$ 收斂。而級數 $\sum {(-1)^{n} \over n}$ 是條件收斂的。它自身收斂到 $\ln {1 \over 2}$ ，但是它的絕對值級數 $\sum {1 \over n}$ 是發散的。

黎曼級數定理說明，如果一個無窮級數 $\sum u_{n}$ 條件收斂，那麼對於任意的實數 $x$ ，存在一個正整數到正整數的雙射 $\sigma $ ，使得級數 $\sum u_{\sigma (n)}$ 收斂到 $x$ 。對於正負無窮大，上述雙射也存在。



函數項級數

設 $(u_{n}(x))_{n\geq 0}$ 為定義在區間 ${\mathcal {I}}$ 上的函數列，則表達式： $u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots +u_{n}(x)+\cdots $ 稱為函數項級數，簡記為 $\sum u_{n}(x)$ 。對函數項級數的主要研究是：

1. 確定對哪些 $x$ ， $\sum u_{n}(x)$ 收斂。
2. $\sum u_{n}(x)$ 收斂的話，其和是什麼，有什麼性質？

收斂域

對區間 ${\mathcal {I}}$ 上的每個 $x_{0}$ ，級數 $\sum u_{n}(x_{0})$ 是常數項級數。若 $\sum u_{n}(x_{0})$ 收斂，則稱 $x_{0}$ 是 $\sum u_{n}(x)$ 的一個收斂點， $\sum u_{n}(x)$ 全體收斂點的集合稱為它的收斂域。若 $\sum u_{n}(x_{0})$ 發散，則稱 $x_{0}$ 是 $\sum u_{n}(x)$ 的一個發散點， $\sum u_{n}(x)$ 全體發散點的集合稱為它的發散域。 $\sum u_{n}(x)$ 在其收斂域的每一點上都有定義，因此定義了一個函數，稱為 $\sum u_{n}(x)$ 的和函數，記為 $S(x)$ 。按照定義， $S(x_{0})=\lim _{n\to \infty }S_{n}(x_{0})$ ，其中 $S_{n}(x_{0})=u_{1}(x_{0})+u_{2}(x_{0})+\cdots +u_{n}(x_{0})$ 為函數項級數在 $x_{0}$ 點上的部分和。

一致收斂

函數項級數的取值可以在它的收斂域上用和函數定義，但和函數的性質可能會和級數的每一項不同。比如說，當函數項級數 $\sum u_{n}(x)$ 中的每一項 $u_{n}(x)$ 在收斂域上都是連續函數時，和函數未必會是連續函數。以下是一個例子：

　
: 設 $\displaystyle u_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1}$ ，也就是說 $\displaystyle u_{0}(x)=1-x$ ， $\displaystyle u_{1}(x)=x-x^{2}$ 等等，它們顯然都是連續函數（甚至是光滑函數）。這時函數項級數在 $x$ 點上的部分和 $S_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}$ 。在區間 $[0,1]$ 的每一點上，部分和都有極限：

　
: 當 $x\neq 1$ 時， $S_{n}(x)\rightarrow 1$

　
: 當 $\displaystyle x=1$ 時， $S_{n}(x)\rightarrow 0$

　
: 於是在區間 $[0,1]$ 上，級數 $\sum u_{n}(x)$ 收斂，其和函數 $S(x)$ 為：

　
: 當 $0\leq x<1$ 時， $S(x)=1$ ； $S(1)=0$ 。

　
: 這不是一個連續函數。

然而，如果函數項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話，可以證明級數的和函數的規則性將會等於每一項函數的規則性，這就是所謂的一致收斂性質。和函數列的一致收斂性質一樣，函數項級數 $\sum u_{n}(x)$ 在某個區間 ${\mathcal {I}}$ 內（關於某個範數 $\left\|\cdot \right\|$ ）一致收斂的定義是它的部分和函數 $S_{n}$ 在區間 ${\mathcal {I}}$ 上一致收斂到和函數 $S$ ，

　
: $\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|S-S_{n}\right\|_{\mathcal {I}}=0$

　
: 或者寫成 $\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|\sum _{k=n}^{\infty }u_{k}\right\|_{\mathcal {I}}=0$

可以證明：

> 如果級數 $\sum u_{n}(x)$ 在區間 ${\mathcal {I}}$ 內一致收斂，並且每個 $u_{n}(x)$ 都是連續函數，那麼和函數 $S$ 在區間 ${\mathcal {I}}$ 上也是連續函數。
> 
> 

進一步的，如果導函數級數的每一項都是 ${\mathcal {C}}^{p}$ 函數（ $p$ 階連續可微函數），並且各階導函數級數 $\sum u_{n}(x),\sum u_{n}^{(1)}(x),\sum u_{n}^{(2)}(x),\ldots ,\sum u_{n}^{(p)}(x)$ 在區間 ${\mathcal {I}}$ 內都一致收斂，那麼級數和函數 $S(x)=\sum u_{n}(x)$ 也是 ${\mathcal {C}}^{p}$ 函數，並且：

　
: $\forall 0\leq i\leq p$ ， $S^{(i)}(x)=\sum u_{n}^{(i)}(x)$ 。

絕對收斂

函數項級數也有絕對收斂的概念。對於某個給定的區間 ${\mathcal {I}}$ 和範數 $\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {I}}$ ，函數項級數 $\sum u_{n}(x)$ 在區間 ${\mathcal {I}}$ 內絕對收斂，若且唯若常數級數 $\sum \left\|u_{n}\right\|_{\mathcal {I}}$ 收斂。

絕對收斂的（連續？）函數在每一點都收斂，並且在區間 ${\mathcal {I}}$ 內一致收斂。

冪級數

形同 $\sum a_{n}(x-x_{0})^{n}$ 的函數項無窮級數稱為 $x-x_{0}$ 的冪級數。一般只需討論形同 $\sum a_{n}x^{n}$ 的冪級數。

冪函數的收斂域

根據阿貝爾定理，它的收斂域是一個關於零對稱的區間，即為 $(-R,R)$ （可開可閉）的形式。這個正數 $R$ （可以是無窮大）叫做冪級數的收斂半徑。並有定理：

設冪級數 $\sum a_{n}x^{n}$ 滿足 $\lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=\rho $ ，則：

 
* $\rho $ 是正實數時， $R={1 \over \rho }$ 。

* $\rho =0$ 時， $R=\infty $ 。

* $\rho =\infty $ 時， $R=0$ 。

冪級數的和函數

求解冪級數的和函數有時需要利用先對各項積分（或求導）以得到一個方便利用已有公式進行求和的形式，在求和後在對各項求導（或積分）。



漸進級數

漸進級數是用來對某些函數的間斷點附近的情況進行逼近的級數。漸進級數一般是發散的，它的部分和趨於無窮大，因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函數。但要注意的是，漸進級數提供的逼近是相對的，即只是比值趨於一致，與函數值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。一般來說，漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差，之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。



發散級數的和

發散級數的部分和沒有極限，但是在應用中可以使用比較弱的級數和定義，比如切薩羅求和、阿貝爾求和以及歐拉求和。



推廣

級數的概念可以在任何的對稱拓撲群中定義，常用的是在一個巴拿赫空間（比如實數或複數空間）中。



參見


* 收斂

* 發散級數

* 函數級數

* 級數展開

* 求和變換

* 阿貝爾定理

* 黎曼級數定理

* 柯西 - 阿達馬公式



注釋



參考文獻

參考書目


* 同濟大學數學系。高等数学 6. 高等教育出版社. 2007. ISBN 978-7-04-021277-8 （中文（中國大陸））.

* 北京大學數學科學學院。数学分析 2. 北京大學出版社 （中文（中國大陸））.