快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數位（英語：digits）的平方和，得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為 1。

以十進位為例：

　
: 2 8 → ${{{2}^{2}}+{{8}^{2}}}=68$ → ${{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=100$ → ${{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}+{{0}^{2}}}=1$

　
: 3 2 → ${{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=13$ → ${{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=10$ → ${{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=1$

　
: 3 7 → ${{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58$ → ${{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89$ → ${{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145$ → ${{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42$ → ${{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20$ → ${{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4$ → ${{4}^{2}}=16$ → ${{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37$ $......$

　
: 5 6 → ${{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=61$ → ${{{6}^{2}}+{{1}^{2}}}=37$ → ${{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58$ → ${{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89$ → ${{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145$ → ${{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42$ → ${{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20$ → ${{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4$ → ${{4}^{2}}=16$ → ${{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37$ $......$

因此 28 和 32 是快樂數，而在 37 和 56 的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現 1，因此 37 和 56 不是快樂數。

不是快樂數的數稱為不快樂數（英語：unhappy number），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。

在十進位下，100 以內的快樂數有（OEIS 數列 A007770）：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共 20 個。



快樂數表格

以下是小於 100 的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。

以下是 100 到小於 200 的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。

以下是 200 到小於 300 的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。

300 以內的快樂數沒有其中一位是 5，300 以內的數其中有一位是 5，它一定不是快樂數。

以下是 300 到小於 400 的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。

發現 10\*10、100\*100 等表格的快樂數表格有線對稱。



快樂數的因數

以下是 300 以內的快樂數因數。

由表格可知：


* 128 以內快樂數沒有因數 3、6、9 等數，如果 128 以內的數是 3 的倍數等，它一定不是快樂數。

* 1000 以內快樂數沒有因數 9、15、18、21 等數，如果 1000 以內的數是 9 的倍數等，它一定不是快樂數。

* 1000 以內快樂數同樣也沒有能被 25 整除但不能被 100 整除，即尾數是（25、50 或 75 的數），如果 1000 以內的數是 25 的倍數但不是 100 的倍數，它一定不是快樂數。

* 1000 以內的快樂數有 143 個，只有 7 個是 3 的倍數，129、192、219、291、888、912、921，機率：5%。

* 1000 以內的快樂數有 143 個，有其中一位是 5 的只有 12 個，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，機率：8%。

* 1000 以內的快樂數有 143 個，只有 3 個是 25 的倍數，100、700、1000，機率：2%。



快樂質數

在十進位下，300 以內的快樂質數有（OEIS 數列 A035497）：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共 15 個。



快樂完全數

已知的 51 個完全數，只有 3 個是快樂數：28、496、8128。



其他進制的快樂數


* 三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 （OEIS 數列 A239320）

* 五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 （OEIS 數列 A240849）

* 任何進制（最小快樂數且大於 1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

（OEIS 數列 A161871）



其他進制的不快樂數循環

2 進制
每個數都是快樂數

3 進制
2 →11 →2
written in base 10:
2 →4 →2

4 進制
每個數都是快樂數

5 進制
4 →31 →20 →4
23 →23
written in base 10:
4 →16 →10 →4
13 →13

6 進制
5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 
written in base 10:
5 → 25→ 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5

7 進位
2 →4 →22 →11 →2
34 →34
written in base 10:
2 →4 →16 →8 →2
25 →25

8 進制
4 → 20 → 4
5 → 31 → 12 → 5
32 → 15 → 32
written in base 10:
4 → 16 → 4
5 → 25 → 10 → 5
26 → 13 → 26

9 進位
58 →108 →72 →58
55→55
written in base 10:
53→89→65→53
50→50

10 進位
4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4

11 進制
75 →68 →91 →75
23 →12 →5 →23
written in base 10:
82→74→100→82
25→13→5→25

12 進位
22→8 →54 →35 →2A →88 →A8 →118 →56 →51 →22
21 →5 →21
written in base 10:
26 →8 →64 →41 →34 →104 →128 →164 →66 →61 →26
25 →5 →25

13 進位
79 →A0 →79
36 →36
B2 →98 →B2
67 →67
14 →14
written in base 10:
100 →130 →100
45→45
145→125→145
85→85
17→17

16 進位
D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
written in base 10:
13→169→181→146→85→50→13



其他性質


* 快樂數加入數字 0 或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49 是快樂數，94、4900 也是快樂數；123 不是快樂數，321、10203、123000 也不是快樂數

* 通過檢查十進位中前一百萬個快樂數，它們的自然密度似乎約為 0.15。十進位快樂數也許沒有漸近密度。快樂數的自然密度上限大於 0.18577，下限小於 0.1138。

* 十進位不快樂數的循環只有一個，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。



Python 程式碼



相關條目


* 幸福數

* 哈沙德數

* 幸運數



外部連結


* Happy number calculator - 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕