超複數是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19 世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。
此種代數舉例如下：


* 4 維度：四元數、雙複數、分裂四元數

* 8 維度：八元數、複四元數

* 16 維度：十六元數



歷史

19 世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元數系、複四元數系、八元數系，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。

分類工作始於班傑明・皮爾士的 1872 年文章〈線性結合代數〉，並由其子查爾斯・桑德斯・皮爾士接續。重要的是，二人認定冪零元素和冪等元皆對分類有用。凱萊－迪克森構造利用對合，從實數系開始，生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲和弗羅貝尼烏斯證明超複數的若干限制：赫維茲定理斷言有限維的實複合代數僅得實數系 $\mathbb {R} $ 、複數系 $\mathbb {C} $ 、四元數系 $\mathbb {H} $ 、八元數系 $\mathbb {O} $ ，而弗羅貝尼烏斯定理斷言，實結合除代數僅得 $\mathbb {R} $ 、 $\mathbb {C} $ 、 $\mathbb {H} $ 。1958 年，弗蘭克・亞當斯考慮 _H_- 空間（有具單位元素的連續乘法的拓撲空間）的霍普夫不變數，發表推廣的結果，該結果仍將維數限制在 1、2、4、8。

矩陣代數對研究超複數系幫助很大。首先，矩陣提供新的超複數系，例如 $2\times 2$ 實矩陣組成的代數（同構於分裂四元數）。很快，矩陣方法解明其他超複數系，因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示。1907 年，約瑟夫・韋德伯恩證明，滿足結合律的超複數系可表示為方陣代數或其直積。此後，結合代數成為較常用來稱呼超複數系的術語，例如韋德伯恩在愛丁堡大學的學位論文標題便用了此術語。然而，也有不可結合的數系，例如八元數系和雙曲四元數系，也算是另一類的超複數。

湯馬士・霍金斯（Thomas Hawkins）解釋，超複數是研究李群和群表示論的踏腳石。例如，1929 年，埃米・諾特發表〈超複量與表示論〉。1973 年，以賽亞・坎托爾和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版關於超複數的德文教科書，該書於 1989 年翻譯成英文。

凱倫・帕歇爾詳細介紹全盛期的超複數研究，包括數學家特奧多爾・莫林和愛德華・斯圖迪的貢獻。關於超複數至近世代數的過渡，巴爾特・倫德特・范德瓦爾登在《代數史》有三十頁專論超複數。



定義

Kantor & Solodovnikov (1989) 定義超複數為實域上某個有限維代數的元素，而該代數要有單位，但無需可結合或可交換。 該些元素可以寫成一組基 $\{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}$ 的線性組合，其中係數為實數 $(a_{0},\dots ,a_{n})$ ，而基的大小 $n+1$ 稱為該代數的維數。若可行，一般將基正規化，即選取 $i_{k}$ 使 $i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}$ 。下節先考慮二維超複數（即 $n=1$ ）。



二維實代數

關於二維實代數有以下定理：在同構意義下，實域上的二維單位代數恰有 3 個：複數系、雙曲複數系、二元數系。於是，實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。

下段簡述定理的證明。

因為給定的代數是二維，可選一組基 $\{1,u\}$ 。因為代數對乘法封閉， $u$ 的平方仍是代數的元素，故可寫成線性組合：

　
: $u^{2}=a_{0}+a_{1}u,$

其中 $a_{0},a_{1}$ 為實係數。

運用常見的配方法，兩邊減走 $a_{1}u$ 並加上 $a_{1}^{2}/4$ ，得：

　
: $u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.$

所以 $\left(u-{\frac {a_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}$ ，其中 ${\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}$ 是實數。
取決於此實數值，分別有三種情況：

1. 若 $4a_{0}=-a_{1}^{2}$ ，則上式變成 ${\tilde {u}}^{2}=0$ 。於是， ${\tilde {u}}$ 可視為二元數的基 $\{1,\varepsilon \}$ 中的冪零元素 $\varepsilon $ 。
2. 若 $4a_{0}>-a_{1}^{2}$ ，則有 ${\tilde {u}}^{2}>0$ 。雙曲複數的標準基 $\{1,j\}$ 滿足 $j^{2}=+1$ ，故若除 ${\tilde {u}}$ 以正實數 $a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}$ （其平方與 ${\tilde {u}}$ 平方相等），得到的結果即可視為 $j$ 。
3. 若 $4a_{0}<-a_{1}^{2}$ ，則有 ${\tilde {u}}^{2}<0$ 。平常複數的標準基 $\{1,i\}$ 滿足 $i^{2}=-1$ ，故若除 ${\tilde {u}}$ 以正實數 $a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}$ （其平方與 ${\tilde {u}}$ 平方互為相反數），得到的結果即可視為 $i$ 。

從而定理成立。

複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域。若代數具有 1 的非實平方根 $j$ （如雙曲複數），則也有冪等元 ${\tfrac {1}{2}}(1\pm j)$ 和零因子（因為 $(1+j)(1-j)=0$ ），故此種代數必不為除代數。然而，此種性質有時很有用，例如雙曲複數適用於描述狹義相對論的勞侖茲變換。

《數學雜誌》在 2004 年的某版中，稱二維實代數為「廣義複數」（generalized complex numbers）。四個複數交比的概念也可以推廣到其他二維實代數。



高維例子（有多於一條非實數軸）

克里福代數

克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上，其等價於可以定義對稱純量積 $u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)$ ，正交化該二次型，以得到基 $\{e_{1},\ldots ,e_{k}\}$ ，滿足：

　
: : ${\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.$

由乘法封閉性，該向量空間的基相乘得到 $2^{k}$ 個克里福數，即 $1,\ e_{1},\ e_{2},\ e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}\cdots e_{k}$ ，皆為克里福代數的元素，且組成該代數的基（不同於原向量空間的基），可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基 $\{e_{1},\ldots ,e_{k}\}$ 不同，該代數的其他基元素不一定反交換，而是取決於將兩個因子對調時，會交換的簡單因子（即 $e_{i}$ ）有奇數對抑或偶數對。所以， $e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}$ ，但 $e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}$ 。

若不允許 $e_{i}^{2}=0$ （即二次型非退化），則餘下的克里福代數可記為 $\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$ ，表示其為 $p$ 個滿足 $e_{i}^{2}=+1$ 的簡單基元和 $q$ 個滿足 $e_{i}^{2}=-1$ 的簡單基元生成的代數，而括號內的 $\mathbb {R} $ 指明此為實域上的克里福代數，即元素的係數為實數。

該些代數稱為幾何代數，組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動、相位、自旋，因此在古典和量子力學、電磁學、相對論方面很有用。

此族代數包括：複數系 $\mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )$ 、雙曲複數系 $\mathrm {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )$ ，四元數系 $\mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )$ 、分裂複四元數系 $\mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )$ 、分裂四元數系 $\mathrm {Cl} _{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )$ （二維空間生成的自然代數）、 $\mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} )$ （三維空間生成的自然代數，也是包立矩陣生成的代數）、時空代數 $\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )$ 。

代數 $\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$ 可以視為代數 $\mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )$ 的偶子代數 $\mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )$ ，從而可用作描述 $\mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )$ 中的旋轉。因此，複數密切關係二維空間的旋轉，四元數密切關係三維空間的旋轉，雙曲複數密切關係 1+1 維時空的雙曲旋轉（洛侖茲變換），餘可類推。

雖然八維或以上時，凱萊 - 迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合，任意維數的克里福代數皆可結合。

1995 年，伊恩・波蒂厄斯有關克里福代數的書中，論及「子代數的辨認」。其命題 11.4 總結超複數的情況：

　
: 設 $A$ 為實結合代數，且具有單位元素 $1$ 。則
 
* $1$ 生成 $\mathbb {R} $ （實子代數），

* 若 $e_{0}\in A$ 是任何滿足 $e_{0}^{2}=-1$ 的元素，則其生成的二維子代數與 $\mathbb {C} $ 同構（複子代數），

* 若 $e_{0}\in A$ 是任何滿足 $e_{0}^{2}=+1$ 的元素，則其生成的二維子代數與 $\mathbb {R} ^{2}$ 同構（此處 $\mathbb {R} ^{2}$ 是實二元組的集合，其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構），

* 若 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1$ ，且 $e_{0},e_{1}$ 反交換，則 $\{e_{0},e_{1}\}$ 生成的四維子代數同構於 $\mathbb {H} $ （四元數代數），

* 若 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1$ ，且 $e_{0},e_{1}$ 反交換，則 $\{e_{0},e_{1}\}$ 生成的四維子代數同構於 ${\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )$ （元素為 $2\times 2$ 實矩陣，或分裂四元數），

* 若 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1$ ，且 $e_{0},e_{1},e_{2}$ 兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於 $\ {}^{2}\mathbb {H} $ （分裂複四元數代數），

* 若 $e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1$ ，且 $e_{0},e_{1},e_{2}$ 兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於 ${\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )$ （元素為 $2\times 2$ 複矩陣，亦可視為複四元數或包立代數）。

超出該些古典代數的延伸，見克里福代數的分類。

凱萊－迪克森構造

撇除實數系、複數系、四元數系不計，其他克里福代數 $\mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )$ 皆含有平方為 $+1$ 的非實數，故不能為除代數。凱萊－迪克森構造是另一個擴展複數系的方法，其給出維數為 $2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )$ 的數系，該些數系的基 $\{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}$ 滿足：所有非實的基元兩兩反交換，且 $i_{m}^{2}=-1$ 。在 8 維或以上時（即 $n\geq 3$ ），該些代數不可結合，而在 16 維或以上時（即 $n\geq 4$ ），該些代數有零因子。

此構造得到的前幾個代數是 4 維的四元數系、8 維的八元數系、16 維的十六元數系。隨維數上升，其代數結構的對稱性逐一失去：四元數乘法不可交換，八元數乘法不可結合，而十六元數的範數不具積性。

凱萊－迪克森構造的某些步驟中，若插入額外的符號，則得到複合代數中的「分裂代數」，而非除代數：

　
: 分裂複數系：有基 $\{1,i_{1}\}$ ，滿足 $\ i_{1}^{2}=+1$ ，

　
: 分裂四元數系：有基 $\{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}$ ，滿足 $\ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1$ ，

　
: 分裂八元數系：有基 $\{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}$ ，滿足 $\ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1$ ， $\ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1$ 。

與複數系不同，分裂複數系並非代數閉，甚至包含非平凡的零因子和冪等元。與四元數系類似，分裂四元數系亦不可交換，但同時還含有冪零元素。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合，也含有冪零元素。

張量積

兩個代數的張量積仍為代數，如此可構造更多超複數系。

作為例子，取 2 維實代數 $\mathbb {C} $ （複數系）、4 維實代數 $\mathbb {H} $ （四元數系）、8 維實代數 $\mathbb {O} $ （八元數系），分別與 $\mathbb {C} $ 作張量積，依次得 4 維的雙複數系 $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} $ 、8 維的複四元數系 $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} $ 、16 維的複八元數系 $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} $ 。

其他例子


* 多重複數：其組成複域上的 $2^{n-1}$ 維向量空間。

* 複合代數：賦有二次型的代數，其中二次型與乘法可互換次序。



參見


* 十六元數

* 托馬斯・柯克曼

* 格奧爾格・舍費爾

* 理察・布饒爾

* 超複分析



注