模糊數學，亦稱弗晰數學或模糊性數學。1965 年以後，在模糊集合、模糊邏輯的基礎上發展起來的模糊拓撲、模糊測度論等數學領域的統稱。是研究現實世界中許多界限不分明甚至是很模糊的問題的數學工具。在模式識別、人工智慧等方面有廣泛的應用。



模糊集

定義和表示

給定一個論域 _U_ ，那麼從 _U_ 到單位區間 [0,1] 的一個映射 $\mu _{A}:U\mapsto [0,1]$ 稱為 _U_ 上的一個模糊集 或 _U_ 的一個模糊子集，
記為 _A_ 。
映射（函數） _μA_(・) 或簡記為 _A_(・) 叫做模糊集 _A_ 的隸屬函數。
對於每個 _x_ ∈ _U_ ， _μA_(_x_) 叫做元素 _x_ 對模糊集 _A_ 的隸屬度。

模糊集的常用表示法有下述幾種：

1. 解析法，也即給出隸屬函數的具體表達式。
2. Zadeh 記法，例如 $A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}$ 。分母是論域中的元素，分子是該元素對應的隸屬度。有時候，若隸屬度為 0，該項可以忽略不寫。
3. 序偶法，例如 $A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}$ ，序偶對的前者是論域中的元素，後者是該元素對應的隸屬度。
4. 向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如 _A_ = (1,0.5,0.72,0) 。

一些相關概念


* 模糊集 _A_ 的承集或支集記為 ${\text{supp}}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}$ 。

* 模糊集 _A_ 的核記為 ${\text{ker}}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}$ 。

* 模糊集 _A_ 的高度記為 ${\text{hgt}}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}$ 。

* 模糊集 _A_ 的深度記為 ${\text{dpn}}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}$ 。

模糊度

一個模糊集 _A_ 的模糊度衡量、反映了 _A_ 的模糊程度，一個直觀的定義是這樣的：

設映射 _D_ : F(_U_) → [0,1] 滿足下述 5 條性質：

1. 清晰性：_D_(_A_) = 0 若且唯若 _A_ ∈ P(_U_)。（經典集的模糊度恆為 0。）
2. 模糊性：_D_(_A_) = 1 若且唯若 ∀ _u_ ∈ _U_ 有 _A_(_u_) = 0.5。（隸屬度都為 0.5 的模糊集最模糊。）
3. 單調性：∀ _u_ ∈ _U_，若 _A_(_u_) ≤ _B_(_u_) ≤ 0.5，或者 _A_(_u_) ≥ _B_(_u_) ≥ 0.5，則 _D_(_A_) ≤ _D_(_B_)。
4. 對稱性：∀ _A_ ∈ F(_U_)，有 _D_(_Ac_) = _D_(_A_)。（補集的模糊度相等。）
5. 可加性：_D_(_A_∪_B_) + _D_(_A_∩_B_)=_D_(_A_) + _D_(_B_)。

則稱 _D_ 是定義在 F(_U_) 上的模糊度函數，而 _D_(_A_) 為模糊集 _A_ 的模糊度。

可以證明符合上述定義的模糊度是存在的，一個常用的公式（分別針對有限和無限論域）就是 
 ${\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}$ 
其中 _p_ > 0 是參數，稱為 Minkowski 模糊度。特別地，當 _p_ = 1 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標，當 _p_ = 2 的時候稱為 Euclid 模糊度。



模糊集的運算

各種算子


* Zadeh 算子，max 即為並，min 即為交

$$
{\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}
$$


* 代數算子（概率和、代數積）

$$
{\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}
$$


* 有界算子

$$
{\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}
$$


* Einstein 算子

$$
{\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}
$$


* Hamacher 算子，其中 _ν_ ∈ [0,+∞) 是參數，等於 1 時轉化為代數算子，等於 2 時轉化為 Einstein 算子

$$
{\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}
$$


* Yager 算子，其中 _p_ 是參數，等於 1 時轉化為有界算子，趨於無窮時轉化為 Zadeh 算子

$$
{\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}
$$


* _λ_-_γ_ 算子，其中 _λ_,_γ_ ∈ [0,1] 是參數

$$
{\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}
$$


* Dobois-Prade 算子，其中 _λ_ ∈ [0,1] 是參數

$$
{\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}
$$

算子的性質

參見集合代數和布爾代數。

主要算子的性質對比表如下（`.` 表示不滿足，`-` 表示未驗證）：

線性補償是指： $(\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))$



模糊集與經典集的關係

截集與截積

設 $A\in {\mathcal {F}}(U)$ ，任取 $\lambda \in [0,1]$ ，則 

　
: $A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}$ ，

稱 _Aλ_ 為 _A_ 的 _λ_ 截集，而 _λ_ 稱為閾值或置信水平。將上式中的 ≥ 替換為 >，記為 _ASλ_，稱為強截集。

截集和強截集都是經典集合。此外，顯然 _A_1 為 _A_ 的核，即 ker_A_；如果 ker_A_ ≠ ø，則稱 _A_ 為正規模糊集，否則稱為非正規模糊集。

截積是數與模糊集的積： 
設 _λ_ ∈ [0,1]，_A_ ∈ F(_U_)，則 ∀ _u_∈_U_，_λ_ 與 _A_ 的截積（或稱為 _λ_ 截集的數乘，記為 _λA_）定義為： 

　
: $(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}$

根據定義，截積仍是 _U_ 上的模糊集合。

分解定理與表現定理

分解定理： 
設 _A_∈F(_U_)，則 

　
: $A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }$

即任一模糊集 _A_ 都可以表達為一族簡單模糊集 {_λAλ_} 的並。也即，一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而「拼成」。

表現定理： 
設 _H_ 為 _U_ 上的任何一個集合套，則 

　
: $A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )$

是 _U_ 上的一個模糊集，且 ∀ _λ_ ∈ [0,1]，有 

（1） _ASλ_ = ∪α>_λ_ _H_(_α_) 

（2） _Aλ_ = ∩α<_λ_ _H_(_α_) 
即任一集合套都能拼成一個模糊集。



模糊集之間的距離

使用度量理論

可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上，我們需要在模糊冪集 F(_U_) 上建立一個度量，此外，我們還可能需要將此度量標準化，也即映射到 [0,1] 區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離： 

　
: ${\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}$

貼近度

另一種是使用貼近度概念。在某種意義上，貼近度就是 1 - _距離_（這裡的距離是上述標準化意義上的距離）。而之所以應用這個變換，是考慮到「度」的概念的直覺反映 —— 距離越近，貼近的程度顯然越「高」，因此它恰為距離的反數。

除了距離外，還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。


* 最大最小貼近度

　
: $\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}$


* 算術平均最小貼近度

　
: $\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}$


* 幾何平均最小貼近度

　
: $\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}$


* 指數貼近度

　
: $\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}$



模糊關係

模糊關係是建立在模糊集上的關係，此外，它也有一些特別的性質和應用。

定義

設 _U_ 和 _V_ 是論域，_U_ × _V_ = {(_x_ , _y_) | _x_ ∈ _U_, _y_ ∈ _V_ } 是 _U_ 和 _V_ 的笛卡爾直積，則每個模糊子集 _R_ ∈ _U_ × _V_ 都稱為從 _U_ 到 _V_ 的一個模糊關係。若 _U_ = _V_，則稱 _R_ 是 _U_ 中的模糊關係。如果 _R_(_x_,_y_) = α，則稱 _x_ 與 _y_ 具有關係 _R_ 的程度為 α。特別地： 


* 若 ∀ (_x_,_y_) ∈ _U_ × _U_，當 _x_ = _y_ 時 _R_ = 1，當 _x_ ≠ _y_ 時 _R_ = 0，則稱 _R_ 為 _U_ 上的恆等關係，記為 _I_

* 若 ∀ (_x_,_y_) ∈ _U_ × _V_，有 _R_(_x_,_y_) = 0，則稱 _R_ 為從 _U_ 到 _V_ 的零關係，記為 0

* 若 ∀ (_x_,_y_) ∈ _U_ × _V_，有 _R_(_x_,_y_) = 1，則稱 _R_ 為從 _U_ 到 _V_ 的全稱關係，記為 _E_

 
模糊關係的並、交、補、包含、相等、λ 截和截積運算，實質上就是模糊集的相應運算（採用 Zadeh 算子）。但模糊關係還有一個特殊的運算轉置，定義為 

　
: _R_T(_x_,_y_) = _R_(_y_,_x_)

易知轉置運算滿足復原律、交換律和單調性等。

關係以及關係的合成的矩陣表達

關係的合成： 
對於從 _U x-m_ 到 _V y-p_ 的關係 _R_，以及從 _V y-p_ 到 _W z-n_ 的關係 _S_，那麼從 _U_ 到 _W_ 的模糊複合關係 _R_ · _S_ 為 

　
: $\displaystyle (R\circ S)(x_{i},z_{j})=\bigvee _{k\leq p}[R(x_{i},y_{k})\wedge S(y_{k},z_{j})]$

其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊複合關係的運算，就是兩個模糊關係的矩陣的乘法運算，只是要將矩陣乘法中的乘法改為 ∧，而加法改為 ∨ 即可。

例子：設 _U_ = {1,2,3,4}, _V_ = {a,b,c}, _W_ = {α,β}：

那麼這些模糊關係可以寫成如下矩陣表達（注意行列位置）：

模糊關係與分類

模糊等價關係定義： 
設 _U_ 中的模糊關係 _R_ 滿足 

1. 自反性
: ∀ _x_ ∈ _U_, _R_(_x_ , _x_) = 1

2. 對稱性
: ∀ _x_, _y_ ∈ _U_, _R_(_x_ , _y_) = _R_(_y_ , _x_)

3. 傳遞性
: ∀ _x_, _y_, _z_ ∈ _U_, ∀ _λ_ ∈ [0,1], 當 _R_(_x_ , _y_) ≥ _λ_ 且 _R_(_y_ , _z_) ≥ _λ_ 時，_R_(_x_ , _z_) ≥ _λ_

則稱 _R_ 為 _U_ 中的一個模糊等價關係。易知，對於一個固定的 _λ_ ∈ [0,1] 來說，傳遞性條件刻畫了模糊關係 _R_ 具有 _λ_ 水平上的傳遞性。

下述定理指出了模糊等價關係與普通等價關係的關係：_U_ 中的模糊關係 _R_ 是模糊等價關係的充要條件是，對於每個 _λ_ ∈ [0,1]，_R_ 的 _λ_ 截關係 _R_λ 是 _U_ 中的普通等價關係。

只滿足自反性和對稱性，不滿足傳遞性的模糊關係稱為模糊相似關係。而將等價關係與相似關係聯繫在一起的是下述定理：_U_ 中的模糊關係 _R_ 是模糊傳遞關係的充要條件是 _R_2 ⊆ _R_。

分類：

1. 如果模糊關係是等價關係，取某一水平的 _λ_ 截集，即可得到這個水平上的分類。
2. 如果模糊關係是相似關係，計算 _R_\
* ≡ _R_2^_k_ = _R_2^(_k_+1)，則 _R_\
* 可被證明是等價關係。



模糊推理



注釋



參考文獻