秩（Rank），是對非面向陣列的純量程式語言中循環的廣泛化。它還是 Lisp 語言中的 mapcar，及現代函數式編程語言中的 map 高階函數的廣泛化，以及對 APL\360 中純量擴展、矩陣的內積和外積的廣泛化。秩的正規實現，是在 J 語言中，但也可獲得於 APL 語言實現如 Dyalog APL、ISO 標準 ISO/IEC 13751:2001 的擴展 APL 和 NARS2000。



簡介

秩有一些不同的含義。一般的說，秩的概念用於依據它們的子陣列來處理正交陣列。例如，二維陣列可以在秩為 2 之下，按一個完整的矩陣進行處理；或者在秩為 1 之下，對它所包含的諸個一維列向量或行向量進行處理；或者在秩為 0 之下，對它所包含的諸個單獨元素進行處理。J 語言中有三種秩：


* 名詞秩，名詞的秩是非負整數。

* 動詞秩，動詞的秩是三個整數的列表。

* 秩連詞，秩連詞 `"` 用來導出具有指定秩的一個動詞。



名詞秩

在 J 語言中，名詞是陣列。名詞的秩是這個陣列的維數。儘管有時存在爭論，人們通常用如下名字稱謂低維陣列：

　
:

一個 N 維整數陣列可以通過 `i.` 建立，它接受一個整數向量作為參數。其中整數的數目定義了維數，而每個整數的絕對值定義對應維的長度。可以使用派生動詞 `#@$` 來確定一個名詞的秩。



動詞秩

在 J 語言中，動詞是接受名詞參數產生名詞結果的函數。動詞的秩，控制著如何將動詞應用到秩大於 `0` 的名詞。採用副詞 `u b. 0` 來確定動詞 `u` 的秩。例如：

這裡的 `_`「無窮」，指示將參數作為整體處理。動詞的秩被表達為三個數：

1. 一元情況的秩
2. 二元情況用於左參數的秩
3. 二元情況用於右參數的秩

例如，`−y` 使用 `−` 作為單子（monad），是一元情況；`x−y` 使用 `−` 作為雙子（dyad），是二元情況。在所有情況下，有一些底層動詞被應用於「單元」（cell），它是有指示秩的子陣列。如果參數沒有動詞指示的那麼多維，在這種退化的情況下，動詞的秩會有效的縮減為參數實際的秩。

在動詞中，負數秩被解釋為，將提供為參數的名詞的秩，減少指示正值，但永不會變得小於零。例如，一個動詞具有一元秩負 1，在給它一個秩為 3 的參數的時候，將參數分解成秩為 2 的陣列的一個列表。將動詞的主體，應用到這些二維子陣每個之上一次。

在特定動詞和特定名詞的上下文下，將名詞的諸維，劃分成前綴諸維的序列，稱為框架（frame）；和後綴諸維的序列，稱為單元（cell）。正數動詞秩，指示單元諸維的數目，負數動詞秩，指示框架諸維的數目。



秩連詞

秩連詞 `"`，接受一個動詞左參數和一個名詞右參數來建立一個新動詞。

名詞右參數構成自三個數，分別指定一元秩、二元左秩和二元右秩。如果右參數只有兩個數，第一個數是二元左秩，而第二個數是一元秩和二元右秩。如果右參數只有一個數，它被接受為所有三種情況下的秩。如果右參數是個動詞，就複製使用它的秩。例如：

如果給秩連詞的左參數是個名詞，建立一個常量動詞。這個動詞的主體忽略任何參數的值，並總是生成這個名詞的結果。



框架一致

在二元運算的情況下，左右兩個參數，都有自己的框架，二者必須達成一致（agreement）。左右兩框架經常是共同的。如果左右兩框架不是同一的，有三種可以運算的情況：

兩參數中一個的形狀序列，是另一個的形狀序列的前綴，例如：

這裡左側參數的短框架 `2 3`，是右側參數的長框架 `2 3 4` 的前綴。求值這個動詞的結果，跟隨著前綴諸維序列 `2 3`，是二元動詞應用到兩個有關單元的結果，即將左參數的每個 0 維純量，乘以右參數的每個 1 維陣列。

兩參數中一個的形狀序列，是另一個的形狀序列的後綴，可以通過秩連詞，指定動詞秩為維數少參數的秩，從而對它按整體處理，例如：

這裡左側參數的短框架 `3 4`，是右側參數的長框架 `2 3 4` 的後綴。求值這個動詞的結果，跟隨著前綴諸維序列 `2`，是二元動詞應用到兩個有關單元的結果，即將左參數的作為整體的 1 個 2 維陣列，乘以右參數相同形狀的每個 2 維陣列。

指定動詞左右秩中的一個為 `_`，即按整體處理，例如：

這裡第一個運算的左秩為 `0`，而右秩為按整體處理；求值的結果中跟隨著左參數的諸維序列 `2 3` 的，是將左參數的每個 `0` 維純量，乘以右參數的作為整體的 `2` 維陣列的結果。第二個運算的左右秩與第一個運算相反，其結果中來自二者的諸軸的前後次序也與之相反。第三個運算的左秩為 `1`，而右秩為按整體處理；跟隨著左參數的諸維序列 `2` 的，是將左參數的每個 `1` 維向量，乘以右參數的作為整體的 `2` 維陣列的結果。第四個運算的左右秩都按整體處理，則同於前綴情況。



秩作為循環的泛化

理解秩要求知道一些非常基礎的面向陣列編程概念。在大多數基於陣列的語言中，歸約（reduction）用前向斜槓 `/` 來指示。在 J 語言中，斜槓接受一個函數左參數，和要被這個函數歸約的陣列作為右參數。將加法歸約應用到一個 1 維陣列：

預期的結果是 `1 + 2 + 3`。
將加法歸約應用到一個 2 維陣列：

預期結果是 `0 1 2 + 3 4 5`。`+/` 的秩為 `_`「無窮」，即將參數作為整體來運算，`+` 算符被映射到這個陣列的最高秩之上。對 2 個向量進行歸約，參數名詞的形狀從 `2 3` 變為 `1 3` 即 `3`，結果是合計了每行元素的長度為 3 的 1 維陣列。這個代碼對應如下 APL2 及其派生者的代碼：

還對應於如下 C 語言代碼片段：

假定需要合計每列元素，而得到長度為 2 的 1 維陣列，在 C 語言代碼中如下這樣寫：

在 APL 中不需要用到循環構造，這個代碼寫為：

在 J 語言中使用秩連詞可以寫為：

為了進一步展示在 J 語言中秩是如何工作的，以 3 維陣列上的加法歸約為例子：



引用



延伸閱讀


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外部連結


* J Dictionary entry for "rank" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* Rank in "Learning J" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）