幾個文明古國均在歷史早期就計算出了較精確的 $\pi $ 的近似值以便於處理生產的需要。公元 5 世紀時，中國劉宋數學家祖沖之用幾何方法將圓周率計算到小數點後 7 位數字。大約同一時間，印度的數學家也將圓周率計算到小數點後 5 位。歷史上首個 $\pi $ 的精確無窮級數公式（即 π 的萊布尼茨公式）直到約 1000 年後才由印度數學家發現。微積分的出現，很快地將 $\pi $ 的計算位數推至數百位，足以滿足任何科學工程的計算需求。在 20 和 21 世紀，由於計算機技術的快速發展，藉助計算機的計算使得 $\pi $ 的精度急速提高。截至 2021 年 8 月， $\pi $ 的十進位精度已高達 6.28×1013 位。當前人類計算 $\pi $ 的值的主要目的是為打破記錄、測試超級計算機的計算能力和高精度乘法算法，因為幾乎所有的科學研究對 $\pi $ 的精度要求都不會超過幾百位。



近似值

經典近似值


* 整數：3

* 分數（依準確度順序排列）：22/7、333/106、355/113、52163/16604、103993/33102、245850922/78256779（選自 A063674 及 A063673。）

* 小數（整數後首 80 個位）：3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899...（另見 A000796）

其他進位制的近似值


* 二進位（整數後首 48 個位）：11.001001000011111101101010100010001000010110100011...

* 十六進位（整數後首 20 個位）：3.243F6A8885A308D31319...

* 六十進位（整數後首 5 個位）：3;8,29,44,0,47

連分式

和所有無理數一樣， $\pi $ 也無法表達成分數。但每個無理數包括 $\pi $ ，都能表達成一系列叫連分數的連續分數形式：

　
: $\pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

在這個連分數的任意一點截斷化簡，都能得到一個 π 的近似值；前四個近似值是：3， ${\frac {22}{7}}$ ， ${\frac {333}{106}}$ ， ${\frac {355}{113}}$ 。這些數在歷史上是 $\pi $ 最廣為人知且廣為使用的幾個近似值。用以上方式得出的 $\pi $ 的近似值要比任何有相同或更小的整數分母的其他整數分數近似值更接近 π。由於 $\pi $ 是一個超越數，據超越數定義來說它不是代數數，又因此不可能是一個二次無理數；是故 $\pi $ 不能表示為循環連分數。儘管 $\pi $ 的簡單連分數沒有表現出任何其他明顯規律，數學家們發現了數個廣義連分數能表示 $\pi $ ，例如：

　
: $\pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$



歷史

遠古時期

圓周率在遠古時期已估算至前兩位（「3」和「1」）。

古埃及和古巴比倫

最早有記載的對圓周率估值在古埃及和古巴比倫出現，而它們兩個文明古國估值都與圓周率的「精確值」相差不到百分之一，可說已是非常精準。

古埃及古王國時期時期

有不少埃及學家認為古埃及遠至古王國時期時期，古埃及人已經會用 ${\frac {22}{7}}$ 作為計算圓周率的近似值，但這個說法受到了質疑。

古巴比倫

古巴比倫曾出土一塊前 19 世紀至前 16 世紀的泥板，泥板上顯示了人們當時把圓周率視同 ${\frac {25}{8}}$ ，即等於 3.125。

萊因德數學紙草書

古埃及的萊因德數學紙草書，是古埃及第二中間期時代（約前 1650 年）由僧侶阿姆士在紙草上抄寫的一部數學著作，鑑定撰寫年份為公元前 1650 年，但抄自一份公元前 1850 年的文本。它載有用作計算圓面積的公式，該公式中圓周率近似值等於 $({\frac {16}{9}})^{2}$ ，約等於 3.1605。

其中，古埃及的莫斯科數學紙草書，也有載有用作計算圓面積的公式，圓周率近似值等於 $({\frac {16}{9}})^{2}$ ，約等於 3.1605。。

印度

公元前 9 世紀的《百道梵書》中的天文學運算把 ${\frac {339}{108}}$ ，約等於 3.139，精確到 99.91%，用作圓周率估值。

而公元前 6 世紀的儀軌經當時採用的值是 $\left({\frac {9785}{5568}}\right)^{2}$ ，約等於 3.0883265。

而某些公元前 150 年前的其他印度文獻把圓周率視為 ${\sqrt {10}}$ （約等於 3.1622）。

希臘的阿基米德

第一個有紀錄、嚴謹計算 π 數值的演算法是透過正多邊形的幾何算法，是由希臘數學家阿基米德在西元前 250 年做的。

這個算法使用了有一千年之久，因而有時 π 亦稱阿基米德常數。

阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長，以此計算 $\pi $ 的上限及下限，之後再將六邊形變成十二邊形，繼續計算邊長，一直計算到正 96 邊形為止。他根據多邊形的邊長證明 ${\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}$ ，也就是 $3.1408<\pi <3.1429$ 。

阿基米德得到的上限 ${\frac {22}{7}}$ 也造成一個常見誤解，認為 $\pi $ 就等於 ${\frac {22}{7}}$ 。

希臘羅馬的科學家克勞狄烏斯・托勒密在《天文學大成》一書中提到 π 的數值是 3.1416，可能來自阿基米德，也可能來自阿波羅尼奧斯。

數學家在 1630 年利用多邊形的方式計算 π 到第 39 位小數，一直到 1699 年，其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄，計算到第 71 位小數。

中國

周朝的周髀算經

在中國歷史上， $\pi $ 的數值有 3、3.1547（公元前一世紀）、 ${\sqrt {10}}$ （公元前 100 年，數值約 3.1623）及 ${\frac {142}{45}}$ （第三世紀，數值約 3.1556）。

漢朝的劉歆和張衡

公元 5 年，漢朝的劉歆可能計算了圓周率 3.1457。

而一百年後，約公元 130 年，張衡計算了圓周率近似值 ${\sqrt {10}}$ ，即約等於 3.1622777。

托勒密

克勞狄烏斯・托勒密，也計算了圓周率近似值為 ${\frac {377}{120}}$ ，也即是 $3.141{\overline {6}}$ 。377⁄120

第一個已知的精確到小數點後三位的近似值正是托勒密做的。

這個 $3+8/60+30/60^{2}$ 正可用兩個六十進制數字表示。

中國

三國時期吳國的王蕃

王蕃通曉天文數學。撰有《渾天圖記》、《渾天象注》。曾根據渾天說和長期的天象觀察，精心製作渾天儀。

他計算了圓周率近似值為 ${\frac {142}{45}}$ ，也即是 $3.1{\overline {5}}$ 。

三國時期魏國的劉徽

大約在公元 265 年，魏國的數學家劉徽創立了割圓術，用 3,072 邊的正多邊形計算出 π 的數值為 3.1416。

劉徽後來又發明了一個較快的算法，利用邊數差兩倍的正多邊形，其面積的差值會形成等比數列，其公比為 ${\frac {1}{4}}$ 的原理，配合 96 邊形 $3.141024<\pi <3.142074$ 算出 $\pi $ 的數值為 3.14。

六朝時期的何承天

何承天亦對圓周率進行研究，他創立了調日法，計算出圓周率近似值為 111035/35329，也即約等於 3.1429，準確至小數點後 2 位。

六朝時期的祖沖之

據《隋書・律曆志》記載，祖沖之以「以直徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，週二十二。」，以此為直徑求圓周率，求得盈數（即過剩的近似值）為 $3.1415927$ ；肭數（即不足的近似值）為 $3.1415926$ ，圓周率的真值介於盈肭兩數之間。

《隋書》沒有具體說明祖沖之是用什麼方法計算出盈肭兩數的。一般認為，祖沖之採用的是劉徽割圓術分割到 24576 邊形，又用劉徽圓周率不等式得祖沖之著名的圓周率不等式： $3.1415926<\pi <3.1415927$ 。

祖沖之的這一結果精確到小數點後第 7 位，直到一千多年後才由 15 世紀的阿拉伯數學家阿爾・卡西以 17 位有效數字打破此記錄。

按照當時計算使用分數的習慣，祖沖之還採用了兩個分數值的圓周率：「約率」 ${\tfrac {22}{7}}$ （或稱之為「疏率」）以及「密率」 ${\tfrac {355}{113}}=3.141592920354$ 。在分母 < 16600 的所有整分數中，密率的比值最接近圓周率。祖沖之可能利用何承天的調日法求得圓周率的約率和密率。數學家華羅庚曾認為密率的求得，說明祖沖之可能已經掌握了連分數的概念。

日本數學家三上義夫說，「約率 $\pi ={\tfrac {22}{7}}$ ，無非是幾百年前希臘數學家阿基米德已經得到的數值，但是 $\pi ={\tfrac {355}{113}}$ 這個分數，卻是翻遍古希臘，古印度和阿拉伯的數學文獻都找不到的分數，希臘人肯定不知道它；在歐洲直到 1586 年才由荷蘭人安托尼斯宗（Adriaan Anthoniszoon）求出了 ${\tfrac {355}{113}}$ 這個比值。因此，中國人掌握這個非凡的圓周率分數比歐洲早出整整一千年之久」。為紀念這位偉大的中國古代數學家，三上義夫要求把 $355 \over 113$ 稱為「祖率」。

祖沖之在公元 480 年利用割圓術計算 12,288 形的邊長，得到 $\pi $ 的值在 3.1415926 和 3.1415927 之間。在之後的八百年內，這都是準確度最高的 π 估計值。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這一推算值命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。

印度

阿耶波多

印度天文學家阿耶波多在公元 499 年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了 3.1416 的數值。

婆羅摩笈多

計算出出 ${\sqrt {10}}$ ，也即約等於 3.1622777。

斐波那契

斐波那契在大約 1220 年利用獨立於阿基米德多邊形法，計算出 3.1418。

義大利的但丁・阿利吉耶里

義大利作家但丁・阿利吉耶里則計得 $3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142$ 。

波斯的卡西

波斯天文學家卡西在 1424 年利用 3×228 邊的多邊形，計算到六十進制的第 9 位小數，相當十進制的第 16 位小數。這一突破成為當時的紀錄，延續了約 180 年。

法國的弗朗索瓦・韋達

法國的數學家弗朗索瓦・韋達在 1579 年用 3×217 邊形計算到第 9 位小數。

阿德里安・范・羅門

阿德里安・范・羅門在 1593 年計算到第 15 位小數。

荷蘭的魯道夫・范・科伊倫

荷蘭數學家魯道夫・范・科伊倫在 1596 年計算到第 20 位小數，他之後又計算到第 35 位小數，因此在二十世紀初之前，圓周率在德國會稱為魯道夫數。

荷蘭的威理博・司乃耳

荷蘭科學家威理博・司乃耳在 1621 年計算到第 34 位小數。

奧地利的克里斯托夫・格林伯格

奧地利天文學家克里斯托夫・格林伯格在 1630 年用 1040 邊形計算到第 38 位小數，至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果。

無窮級數

16 世紀及 17 世紀時， $\pi $ 的計算開始改用無窮級數的計算方式。無窮級數是一組無窮數列的和。

無窮級數讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。

雖然詹姆斯・格雷果里及戈特弗里德・萊布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算 π 而使得該方法為大家所知，但這種方法最早是由印度科學家在大約 1400 到 1500 年之間發現的。第一個記載的用無窮級數計算 π 的人是約公元 1500 年左右時，印度天文學家尼拉卡莎・薩默亞士在他的著作《系統匯編》中用梵語詩所記錄。當時沒有這個數列對應的證明，而證明出現在另一本較晚的印度作品《基本原理》，年代約在公元 1530 年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家桑加馬格拉馬的馬德哈瓦（ 1350 –  1425）。有許多相關的無窮級數，包括有關 $\sin $ 、 $\tan $ 及 $\cos $ 的，現在稱為馬德哈瓦數列或 π 的萊布尼茨公式。瑪達瓦在 1400 年用無窮級數計算 π 到第 11 位小數，但在 1430 年一位波斯數學家卡西利用多邊形算法否定了他算的的結果。

歐洲第一個發現的無窮項圓周率公式是無窮乘積（和一般用來計算 π 的無窮級數不同），由法國科學家弗朗索瓦・韋達在 1593 年發現：

　
: ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots $

約翰・沃利斯在 1655 年發現了沃利斯乘積，是歐洲第二個發現的無窮項圓周率公式：

　
: ${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots $

微積分學是由英國科學家艾薩克・牛頓及德國數學家戈特弗里德・萊布尼茨在 1660 年代發明，因此也出現許多計算 π 的無窮級數。牛頓自己就利用反正弦（ $\arcsin $ ）數列在 1655 年或 1666 年將 π 近似到第 15 位小數，後來寫到「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字，我當時沒有做其他的事。」

蘇格蘭數學家詹姆斯・格雷果里在 1671 年發現了馬德哈瓦公式，萊布尼茨也在 1674 年發現：

　
: $\arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots $

這個公式即為格雷果里 - 萊布尼茨公式，在 $z=1$ 時數值為 ${\frac {\pi }{4}}$ 。1699 年時英國數學家亞伯拉罕・夏普用格雷果里 - 萊布尼茨公式，在 $z={\frac {1}{\sqrt {3}}}$ 時計算，計算到了 $\pi $ 的第 71 位小數，打破由多邊形算法得到的第 39 位小數的記錄。格雷果里 - 萊布尼茨公式在 $z=1$ 時非常簡單，但收斂到最終值的速度非常慢，因此現在不再會用此公式來計算 $\pi $ 。

約翰・梅欽在 1706 年利用格雷果里 - 萊布尼茨級數產生了一個可以快速收斂的公式：

　
: ${\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

梅欽用這個公式計算到 $\pi $ 的第 100 位小數後來其他數學家也發展了一些類似公式，現在稱為梅欽類公式，創下了許多計算 $\pi $ 位數的記錄。在進入電腦時代時，梅欽類公式仍然是個耳熟能詳的可以計算 $\pi $ 的公式，而且在約 250 年的時間裡，很多有關 $\pi $ 位數的記錄都是梅欽類公式所得，比如在 1946 年時由達尼爾・弗格森（Daniel Ferguson）用這類公式計算到第 620 位小數，是在沒有計算設備輔助下的最佳紀錄。

1844 年，計算天才扎卡里亞斯・達斯在德國數學家卡爾・弗里德里希・高斯的要求下以梅欽類公式心算了 $\pi $ 的 200 個小數位，並創下紀錄。英國數學家威廉・謝克斯花了 15 年的時間計算 π 到小數 707 位，不過中間在第 528 位小數時出錯，因此後面的小數也都不正確。

收斂速度

有些 π 的無窮級數收斂的比其他級數要快，數學家一般會選用收斂速度較快的級數，可以在較少的計算量下計算 $\pi $ ，且達到需要的準確度。以下是 π 的萊布尼茨公式：

　
: $\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots $

隨著一項一項的值加入總和中，只要項次夠多，總和最後會慢慢接近 $\pi $ 。不過此數列的收斂速度很慢，要到 500,000 項之後，才會精確到 $\pi $ 的第五小數。

尼拉卡莎在 15 世紀發展了另一個 $\pi $ 的無窮級數，其收斂速度較格雷果里 - 萊布尼茨公式要快很多，該級數為：

　
: $\pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots $

以下比較二個級數的收斂速率：

計算前 5 項後，格雷果里 - 萊布尼茨級數的和跟 $\pi $ 的誤差為 0.2，而尼拉卡莎級數和的誤差為 0.002。尼拉卡莎級數收斂的快很多，因此也比較適合用來計算 $\pi $ 的數值。收斂更快的級數有梅欽類公式及楚德諾夫斯基算法，後者每計算一項就可以得到 14 位正確的小數值數。

計算機時代與迭代算法

二十世紀中期計算機技術的發展、革新再次引發了計算 π 位數的熱潮。美國數學家約翰・倫奇及李維・史密斯在 1949 年利用桌上型計算機計算到 1,120 位。同年，喬治・韋斯納（George Reitwiesner）及約翰・馮・諾伊曼帶領的團隊利用反三角函數（arctan）的無窮級數，通過 ENIAC 計算到了小數第 2,037 位，花了 70 小時的電腦工作時間。這一紀錄後來多次由其他透過 arctan 級數計算出的結果打破（1957 年到 7480 位小數，1958 年到第一萬位數，1961 年到第十萬位小數），直到 1973 年，人們計算出了小數點後的第一百萬位小數。

1980 年代的兩項發明加速了 $\pi $ 的計算。第一項是人們發現了新的的迭代法去計算 π 的值，其計算速度比無窮級數會要快很多。另一項是人們發現了可以快速計算大數字乘積的乘法演算法。這類演算法在現代 π 的計算上格外的重要，因為電腦大部分的工作時間都是在計算乘法。這類演算法包括 Karatsuba 算法、Toom–Cook 乘法及以傅立葉轉換為基礎的乘法演算法（傅立葉乘法）。

迭代演算法最早是在 1975 年至 1976 年間分別由美國物理學家尤金・薩拉明及奧地利科學家理查・布蘭特獨立提出。這兩個演算法沒有依賴無窮級數來計算。迭代會重覆一個特定的計算，將前一次的計算結果作為這一次的輸入值，使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在 160 年前由卡爾・弗里德里希・高斯提出，現在稱為算術 - 幾何平均數算法（AGM 法）或高斯 - 勒壤得算法。因為薩拉明及布蘭特都曾對此進行修改，因此這個算法也稱為薩拉明 - 布蘭特演算法。

迭代演算法因為收斂速度比無窮級數快很多，在 1980 年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加，一般來說正確的位數也會增加幾位，但迭代演算法每多一次計算，正確的位數會呈幾何級數增長。例如薩拉明 - 布蘭特演算法每多一次計算，正確位數會是之前的二倍。1984 年加拿大人喬納森・波溫及彼得・波溫提出一個迭代演算法，每多一次計算，正確位數會是之前的四倍，1987 年時有另一個迭代演算法，每多一次計算，正確位數會是之前的五倍。日本數學家金田康正使用的演算法在 1955 年及 2002 年之間創下了若干個紀錄。不過迭代演算法的快速收斂也有其代價，因為這個算法需要的內存的大小明顯的要比無窮級數要多。

計算 $\pi $ 的意義

一般而言， $\pi $ 值並不需要過於精確便能夠滿足大部分的數學運算的需求。按照約爾格・阿恩特（Jörg Arndt）及克里斯托夫・黑內爾（Christoph Haenel）的計算，39 個數位已足夠運算絕大多數的宇宙學的計算需求，因為這個精確度已能夠將可觀測宇宙圓周的精確度準確至一個原子大小。
儘管如此，人們仍然是奮力地運算出 $\pi $ 小數點後的上千甚至上百萬個數位。這一部分是出於人類對打破記錄的衝動，因為那些和 $\pi $ 有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條。此外，這其中也有一些實際的好處，例如測試超級計算機、測試數值分析算法等（包括高精度乘法算法）。在純粹數學的領域中，計算 $\pi $ 的位數也能讓人們來評定 π 的隨機性。

快速收斂級數

現代計算 $\pi $ 的程序不僅僅局限於迭代算法。20 世紀 80 與 90 年代，人們發現了一些可用來計算 $\pi $ 的新無窮級數，其收斂速度可與迭代算法媲美，而又有著複雜度、內存密集度更低的優勢。印度數學家斯里尼瓦瑟・拉馬努金是這方面的先驅，他在 1914 年發表了許多與 $\pi $ 相關的公式，這些公式十分新穎，極為優雅而又頗具數學深度，收斂速度也非常快。下式即為一例，其中用到了模方程式：

　
: ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}(396^{4k})}}.$

這個無窮級數收斂速度遠快於絕大多數反正切數列，包括梅欽公式。第一位使用拉馬努金公式計算 $\pi $ 並取得進展的是比爾・高斯珀，他在 1985 年算得了小數點後一千七百萬位。拉馬努金公式開創了現代數值近似算法的先河，此後波爾文兄弟和楚德諾夫斯基兄弟進一步發展了這類算法。後者於 1987 年提出了楚德諾夫斯基公式，如下所示：

　
: ${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}.$

此公式每計算一項就能得到 $\pi $ 的約 14 位數值，因而用於突破圓周率的數位的計算。利用這個公式，楚德諾夫斯基兄弟於 1989 年算得 $\pi $ 小數點後 10 億（109）位，法布里斯・貝拉於 2009 年算得 2.7 千億（2.7×1012）位，亞歷山大・易和近藤滋在 2011 年算得一萬億（1013）位。類似的公式還有拉馬努金 - 佐藤級數。

2006 年，加拿大數學家西蒙・普勞夫利用 PSLQ 整數關係算法按照以下模版生成了幾個計算 $\pi $ 的新公式：

　
: $\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),$

其中 $q$ 為 e $\pi $ ， $k$ 是一個奇數， $a,b,c$ 是普勞夫計算出的有理常數。

蒙地卡羅方法

蒙地卡羅方法是以機率統計理論為指導的一類非常重要的數值計算方法，通過進行大量重複試驗計算事件發生的頻率，按照大數法則（即當試驗次數充分大時，頻率充分地接近於機率）可以求得 $\pi $ 的近似值。 布豐投針問題就是其中一個應用的例子：當一枚長度為 $l$ 的針隨機地往一個畫滿間距為 $t\left(l\leq t\right)$ 的平行線的平面上拋擲 $n$ 次， 如果針與平行直線相交了 $m$ 次，那麼當 $n$ 充分大時就可根據以下公式算出 $\pi $ 的近似值：

　
: $\pi \approx {\frac {2n\ell }{mt}}$

另一個利用蒙特卡羅方法計算 $\pi $ 值的例子是隨機地往內切四分之一圓的正方形內拋擲大量的點，落在四分之一圓內的點的數量與拋擲點的總量的比值會近似等於 ${\frac {\pi }{4}}$ .

 
此外，還可以通過進行隨機漫步試驗，並利用蒙特卡羅方法計算 $\pi $ 值，如拋擲一枚均勻的硬幣 $N$ 次，並記錄正面朝上的次數，所得結果中，正面朝上的次數 $n_{N}$ 服從二項分布且

　
: $\Pr(n_{N}=m)={\binom {N}{m}}({\frac {1}{2}})^{m}({\frac {1}{2}})^{N-m}$

因為硬幣均勻，所以 N 次試驗中每次試驗結果相互獨立。由此可定義一系列獨立的隨機變數 $X_{k}\left(k=1,2,\ldots \right)$ ，當拋擲結果為正面時 $X_{k}=1$ 否則為 - 1，且 $X_{k}=\pm 1$ 且取何值具有相同的機率（即，正面朝上和背面朝上的機率相同）。對隨機變數 $X_{k}\left(k=1,2,\ldots ,N\right)$ 求和可得

　
: $W_{N}=\sum _{k=1}^{N}X_{k}$

設 k 為「硬幣正面朝上的次數」減去「硬幣反面朝上的次數」，即可得到 $m-\left(N-m\right)=k$ 。對式子進行轉換，得 $m={\frac {N+k}{2}}$ ，因此

　
: $\Pr(W_{N}=k)={\binom {N}{\frac {N+k}{2}}}{\frac {1}{2^{N}}}$ ，其中 $k=-N,-N+2,-N+4,\ldots ,N-2,N$ 。

可以證明，

　
: $E(W_{N})=0$ ， $E(W_{N}^{2})=N$ ，以及 $E(|W_{N}|)={\binom {N}{\left\lceil {N/2}\right\rceil {\frac {\left\lceil {N/2}\right\rceil }{2^{N-1}}}}}={\begin{cases}{\frac {(N-1)!!}{(N-2)!!}},&{\text{若 }}N{\text{偶 ,}}\\{\frac {N!!}{(N-1)!!}},&{\mbox{若 }}N{\mbox{奇 .}}\end{cases}}$

並且當 $N$ 變大時， $E\left(\left\vert W_{N}\right\vert \right)$ 的值會漸近於 ${\sqrt {\frac {2N}{\pi }}}$ ，因此當 $N$ 充分大時可根據以下公式算出 $\pi $ 的近似值：

　
: $\pi \approx {\frac {2N}{|W_{N}|^{2}}}$

和其他計算 $\pi $ 值的方法相比，蒙地卡羅方法收斂速度很慢，而且無論進行多少次實驗，都無從得知 $\pi $ 的估值已經精確到了第幾位。因此，當追求速度或精度時，蒙地卡羅方法不適合用來估計 $\pi $ 。

閥門算法

1995 年引入的兩個算法開闢了研究 $\pi $ 的新途徑。因為每計算出一位數字，該數就會像流過閥門的水一樣不會再出現在後續的計算過程中，這種新進算法叫做閥門算法。這就與無窮級數及迭代算法形成對比 —— 無窮級數和迭代算法自始至終的每一步計算都會涉及到之前所有步驟計算出的中間值。

1995 年，美國數學家斯坦・華格納和斯坦利・拉比諾維茨（Stanley Rabinowitz）發明了一種簡單的閥門算法，其運算速度類似 arctan 演算法，但速度比迭代算法要慢。

貝利 - 波爾溫 - 普勞夫公式（BBP）是另一個閥門算法，屬於一種位數萃取演算法。1995 年，西蒙・普勞夫等人發現

　
: $\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)$

這個公式和其他的公式不同，可以在十六進位下計算 $\pi $ 的任意位數小數，而不用計算所有前面的小數位數。一個十六進位下的數位可計算得到特定一個二進位的數位；想要得到一個八進位數位的話，計算一、兩個十六進位小數即可。目前也已發現一些這種演算法的變體，不過人們還沒有發現針對十進制、可以快速產生特定位數小數數字的位數萃取演算法。位數萃取演算法的一個重要用途是用來確認聲稱是計算到 $\pi $ 小數位數的新記錄：若有聲稱是新紀錄的計算結果出現，先將十進制的數值轉換到十六進制，再用貝利 - 波爾溫 - 普勞夫公式，去確認最後的一些位數（用亂數決定），若這些位數都對，人們就能有一定把握認為此計算結果是對的。

在 1998 年到 2000 年之間，分布式計算計畫 PiHex 利用貝拉公式（貝利 - 波爾溫 - 普勞夫公式的一種變體）計算 $\pi $ 的第 1015 個位，結果是 0。在 2010 年 9 月，一名雅虎員工利用公司的 Apache Hadoop 應用程式在上千台電腦上計算 $\pi $ 在 2×1015 個數位開始，往後數的 256 個位，其第 2×1015 個位剛好也是 0。



趣聞

值得注意的是，一些法律或歷史文本欲「定義 π」為有理數，尤其是 1897 年的「印第安納州法案」，指明「直徑和圓周比例為四分之五比 4（暗示「π= 3.2」）；和希伯來聖經中的一個段落，暗示「π= 3」。

聖經估算的價值

印第安納州法案



計算圓周率近似值的方程式的發展

梅欽類公式（Machin-like formulae）

其他古代公式

現代公式

二進制數位公式

π 和一個碎形

多方面的近似值

在古代，人們使用 60 進制來計算。在 60 進制中，π 能被準確至小數點後八位（十進制），而這數字是 3:8:29:4460，即是：

　
: $3+{\frac {8}{60}}+{\frac {29}{60^{2}}}+{\frac {44}{60^{3}}}=3.14159\ 259^{+}$

（下一個 60 進制的數位為 0）

除此之外，π 的近似值還能以以下方式表示：


* 準確至 3 位：

　
: : ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}$


* 準確至 4 位：

　
: : ${\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}$


* 準確至 4 位：

　
: : ${\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}$


* 拉馬努金的近似值，準確至 4 位：

　
: : ${\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}$


* 準確至 5 位：

　
: : ${\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+}$


* 準確至 7 位：

　
: : ${\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}$


* 拉馬努金的近似值，準確至 7 位：

　
: : ${\frac {9801}{2206{\sqrt {2}}}}=3.1415927^{+}$

　
: 由前述無窮級數僅取第 1 項即得


* 準確至 9 位：

　
: : ${\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}$

　
: 這是拉馬努金提出的，拉馬努金說他在夢中收到印度神 Namagiri 的啟示。


* 準確至 10 位：

　
: : ${\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}$


* 準確至 10 位：

　
: : ${\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}$


* 準確至 18 位：

　
: : ${\frac {80{\sqrt {15}}(5^{4}+53{\sqrt {89}})^{\frac {3}{2}}}{3308(5^{4}+53{\sqrt {89}})-3{\sqrt {89}}}}$


* 準確至 30 位：

圓形的面積

可以通過蒙地卡羅方法來計算圓周率 $\pi $ 。

以原點（0, 0）為圓心，畫一個半徑為 $r$ 的圓。然後以原點為中心，畫一個邊長為 $2r$ 的正方形。圓和正方形內切。

圓的面積為 $A_{1}=\pi *r^{2}$ ，正方形的面積為 $A_{2}=(2r)^{2}=4r^{2}$ 。

於是有， $A_{1}/A_{2}=\pi /4$ 。

通過生成 0 到 r 之間隨機數作為一個點的橫縱坐標，所有點均落在正方形內。

通過統計圓內的點數 $N_{inside}$ 與總點數 $N_{total}$ ， $\pi =4*A_{1}/A_{2}=4*N_{inside}/N_{total}$ 。

當隨時點的數目增加時，所得結果會越接近於圓周率。

但是該方法也有不足之處。具體可參考蒙地卡羅方法。

以正多邊形來計算 π 的值

連分數

π 的連分數表示式是 [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]。這連分數沒有任何模式。π 有很多用一條簡單的規矩然製成的廣義連分數

　
: $\pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}\!$

　
: $\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\!$

（其他連分數能在這裡（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）查看。）

三角函數

萊布尼茨公式

反正切

反正弦

薩拉明 - 布倫特公式



計算任意數位的方法

在 1995 年，西蒙・普勞夫發現了貝利－波爾溫－普勞夫公式。這公式能在 16 進制中計算 pi 的任意數位，而不用計算之前的數位。

　
: $\pi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{8n+1}}-{\frac {2}{8n+4}}-{\frac {1}{8n+5}}-{\frac {1}{8n+6}}\right)\left({\frac {1}{16}}\right)^{n}\!$

在 1996 年，西蒙・普勞夫發明了一個公式，能在 O (n3log(n)3) 的時間之內計算出 pi 在任意進制的第 n 個數位。在 1997 年，法布里斯・貝拉發明了另一個公式，把計算所需時間縮短至 O (n2)。他又發明了在 2 進制計算 pi 的公式。

　
: $\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)\!$



有效的方法

在 1961 年，丹尼爾柄和他的團隊在美國海軍研究實驗室計算了 π 的前 100,000 數位。

他和他的團隊使用了兩個不同的冪級數來計算 π 的數值。第一個冪級數中，任何錯誤都會造成一個比較高的數值；而另一個中，任何錯誤都會造成一個比較低的數值。所以如果兩個冪級數計算出同樣的數值，那個數值就肯定正確。美國海軍研究實驗室發放了 π 的前 100,000 數位。

但是以上的兩個冪級數也要很長的時間才能計算出結果。相反地，約翰・梅欽的公式與反正切的泰勒級數一起使用則能很快地計算結果：

　
: ${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!$

使用複數的極坐標系便能證實這公式，以以下的數學式開始：

　
: $(5+i)^{4}\cdot (239-i)=2^{2}\cdot 13^{4}(1+i).\!$

這類的公式被稱為梅欽類公式。(注意，{_x_,_y_} = {239, 132} 是佩爾方程式「_x_2-2_y_2 = -1」的其中一個解答。)

印度數學家斯里尼瓦瑟・拉馬努金發現了 π 的很多其他表示方式。他與戈弗雷・哈羅德・哈代一起工作了很多年。

如果要計算 π 小數點後很多位，計算者通常會使用高斯 - 勒壤得算法，波爾溫公式，和 1976 年發明的薩拉明 - 布倫特公式。

π 和 1/π 的小數點後首十萬位能在古騰堡計劃裡查閱 (參見 #外部連結)。

在 2002 年 12 月，在東京大學進修的金田康正發放了 π 小數點後 1,241,100,000,000 位的值，創造了新的世界記錄。他在 2002 年 9 月以六十四部日立的超級電腦計算出這值。這些電腦有 1TB 的記憶體，而且能在每秒執行 2 兆次運算。上一個記錄 (21 億位) 所使用的電腦每秒只能執行 1 兆次運算。金田康正使用了以下公式：

　
: ${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}\!$

　
: K. Takano (1982).

　
: ${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}\!$

　
: F. C. W. Störmer (1896).

這些近似值由於有太多數位，所以沒有實際用途，只是用來測試超級電腦。

在 1997 年，大衛・貝利（David H. Bailey）、皮特・波爾溫和西蒙・普勞夫發佈了一條新的公式來計算 π 的值：

　
: $\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).\!$

這公式能在不知道前 k - 1 數位的值之下，在 2 進制或 16 進制中計算出 π 的第 k 個數位的值。貝利的網頁（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）包含了計算方法，而且把方法以幾個程式語言記下。PiHex 計算出 π 小數點後一兆數位的值。

法布里斯・貝拉推出了貝利－波爾溫－普勞夫公式的改良版 —— 貝拉公式：

　
: $\pi ={\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)\!$

還有其他計算 π 的值的公式：

　
: ${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)\!$

　
: 牛頓

　
: ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!$

　
: 斯里尼瓦瑟・拉馬努金

拉馬努金的公式收歛的速度異常地快，這公式後來在 2000 年演變成最快的公式（楚德諾夫斯基算法）：

　
: ${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}\!$

　
: David Chudnovsky 和 Gregory Chudnovsky.



關於圓周率近似值的計劃



計算圓周率近似值的軟體

General purpose

大多數計算機代數系統可以計算出 π 和其他常見的數學常數到任何所需的精度。

計算 π 的功能中還包括許多通用庫任意精度算術運算，例如 CLN 和 MPFR。



注釋