李群（英語：Lie group，/ˈliː/）是一個數學概念，指具有群結構的光滑微分流形，其群作用與微分結構相容。李群的名字源於挪威數學家索菲斯・李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。1893 年，法文名詞 _groupes de Lie_ 首次出現在李的學生 Arthur Tresse 的論文第三頁中。

粗略地說，李群是連續的群，也即其元素可由幾個實參數描述。因此，李群為連續對稱性的概念提供了一個自然的模型，例如三維旋轉對稱性。李群被廣泛應用於現代數學和物理學。索菲斯・李引入李群的最初動機是為微分方程式的連續對稱性建模，就像有限群被用於伽羅瓦理論對代數方程式的離散對稱性建模一樣。



總覽

李群是光滑可微流形，因而可以用微分學來研究，這點與更一般的拓撲群不同。李群理論中的關鍵是替換掉「全局」的物件，也即群本身，而代之以其「局部」或線性化的版本。這個局部版本被索菲斯・李本人稱為該李群的「無窮小群」，而後來以「李代數」為人熟知。

李群在現代幾何學中在多個層面扮演了重要的角色。費利克斯・克萊因在他的愛爾蘭根綱領中認為，可以通過選定適當的保持某種幾何性質不變的轉換群來考察各種「幾何」。例如，歐氏幾何對應於歐式空間 R3 中保距轉換構成的歐幾里得群 E (3)；共形幾何對應於把群擴大到共形群；而在射影幾何中引起人們興趣的是射影群的不變屬性。這個觀念後來發展為 G - 結構的概念，其中 _G_ 是流形 "局部" 對稱性形成的李群。

李群（以及與之關聯的李代數）在現代物理學中起到了重要作用，並通常扮演了物理系統中的對稱性。這裡，李群表示或相應的李代數表示尤為重要。 表示理論在粒子物理中被頻繁使用。一些具有較為重要的表示的群包括旋轉群 SO (3)（或其雙覆蓋特殊么正群 SU (2))，特殊么正群 SU (3) 以及龐加萊群。



定義與樣例

 
* $G$ 為有限維實解析流形

* 兩個解析映射，二元運算 $G\times {}G\rightarrow {}G$ ，和逆映射 $G\rightarrow {}G$ 滿足群公理，從而具有群結構。

實李群是一個滿足下列條件的群：它也是一個有限維實光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性

　
: $\mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy$

意味著 _$\mu $_ 是一個從積流形 _$G\times G$_ 到 _$G$_ 的光滑映射。這兩個條件可以合併成一條，即映射

　
: $(x,y)\mapsto x^{-1}y$

是一個從積流形 _$G\times G$_ 到 _$G$_ 的光滑映射。

初步的樣例

 
* $2\times 2$ 實可逆矩陣構成了一個乘法群，記作 $GL(2,\mathbb {R} )$ 或 $GL_{2}(\mathbb {R} )$ :

　
: : $\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.$

　
: 這是一個非緊緻的四維實李群；它是 $\mathbb {\mathbb {R} } ^{4}$ 的一個開子集。這個群是非連通的；它有兩個連通分量，對應於行列式的正負兩種情況。


* 旋轉矩陣構成了 $GL(2,\mathbf {R} )$ 的一個子群，記為 $SO(2,\mathbf {R} )$ 。它自己本身也是一個李群：具體地說，它是一個與圓微分同胚的一維緊緻連通李群。使用旋轉角 $\varphi $ 作為參數，這個群可以被參數化為如下形式：

　
: : $\operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.$

　
: 其中，角度的加法對應於 $SO(2,\mathbf {R} )$ 中元素的乘法，角度的相反數對應於反元素。因此，乘法和求逆操作也都是可微映射。


* 一維仿射群是一類二維上三角陣組成的李群，其中第一個對角線上的元素為正，第二個對角線上的元素為 1。因此，該群包含了如下形式的矩陣：

　
: : $A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .$

反例

現在我們給出一個群的例子，它擁有不可數的元素，並且在某種拓撲下不是李群。我們給定如下群：

　
: $H=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right)\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right)\right|\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},$

其中 $a\in \mathbb {P} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} $ 是一個_固定的_無理數。這是一個環面 $\mathbb {T} ^{2}$ 的子群，它在子空間拓撲下不是李群。 比如說，如果我們取 $H$ 中的一個點 $h$ 的任意小鄰體 $U$ ，那麼 $H$ 在 $U$ 中的部分是不連通的。群 $H$ 在環面上反覆纏繞，形成了一個 $\mathbb {T} ^{2}$ 的稠密子群。

另一方面，我們可以給群 $H$ 指定另一個拓撲，使得兩點 $h_{1},h_{2}\in H$ 之間的距離被定義為_群 H 中_連結 $h_{1}$ 和 $h_{2}$ 的最短路徑長度。在這個拓撲下， $H$ 通過其元素中對應的 $\theta $ 與實直線同胚。在這種拓撲下， $H$ 僅僅是加法意義下的實數群，因此也是李群。

群 $H$ 是李群的一個非閉 "李子群" 的樣例。可參見下面基本概念部分關於李子群的討論。

矩陣李群

用 GL(_n_; C) 表示複數體上的 _n_ × _n_ 可逆矩陣。GL(_n_, C) 的任何閉子群也是一個李群；這類李群被稱為矩陣李群。
由於李群中大多數有趣的例子都可以用矩陣李群實現，一些教科書把注意力限制在這類李群上，包括 Hall 以及 Rossmann 等，這樣可以簡化李代數和指數映射的定義。下面是一些矩陣李群的標準樣例：


* 定義在 R 和 C 上的特殊線性群 SL(_n_, R) 和 SL(_n_, C)，分別包括了元素屬於 R 或 C 的、行列式為 1 的 _n_ × _n_ 矩陣。

* 么正群 U (_n_)（以及特殊么正群 SU (_n_)）, 包含了滿足 $U^{*}=U^{-1}$ （對於特殊么正群而言，還需滿足 $\mathrm {det} (U)=1$ ）的 _n_ × _n_ 複矩陣。

* 正交群 O (_n_)（以及特殊正交群 SO (_n_)），包含了滿足 $R^{\mathrm {T} }=R^{-1}$ （對於特殊正交群而言，還需滿足 $\mathrm {det} (R)=1$ ）的 _n_ × _n_ 實矩陣。

以上列舉的群均為經典群。

相關概念

與實李群相對應，復李群是在複流形上定義的（例如 SL(2, C)）。類似地，使用一種 Q 的度量完備化我們可以在 _p_- 進數上定義_p_- 進數李群，一種滿足每個點都有一個 _p_- 進數鄰體的拓撲群。



更多李群的樣例

李群經常出現在數學和物理學中。矩陣群或代數群（大部分情況下）是由矩陣構成的群（例如正交群和辛群），而這些也是李群最常見的例子。

一維李群

一維情況下唯二的連通李群是實直線 $\mathbb {R} $ （其群操作為加法）和由絕對值為 1 的複數組成的圓群 $S^{1}$ （其群操作為乘法）。 $S^{1}$ 也常被記作 $U(1)$ ，即 $1\times 1$ 么正群。

二維李群

在二維情況下，如果我們只考慮簡單連通群，那麼可以通過它們的李代數來分類。若把同構的情況歸為一類，那麼此時只存在兩種李代數。與這兩種李代數關聯的簡單連通李群分別是 $\mathbb {R} ^{2}$ （其群操作為向量加法）以及一維仿射群（在前面的小節 "初步的樣例" 中有介紹）。



解析李群與光滑李群

部份書籍在定義李群時假設了解析性，本條目採相同定義。另一種進路則是定義李群為實光滑（簡記為 $C^{\infty }$ ）流形，並具有光滑的群二元運算與反元素運算。解析條件看似較強，實則兩者等價：

定理。任意 $C^{\infty }$ 李群上具有唯一的實解析流形結構，使得群二元運算及反元素運算皆為解析映射。此時指數映射亦為解析映射。



同態和同構

 $G,H$ 均為李群，二者之間的一個同態： $f\,:G\rightarrow H$ 為群同態並且是解析映射（事實上，可以證明這裡解析的條件只需滿足連續即可）。顯然，兩個同態的複合是同態。所有李群的類加上同態構成一個範疇。
兩個李群之間存在一個對射，這個對射及其逆射均為同態，就稱之為同構。



李代數

李代數刻劃了李群在單位元素附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

設 $G$ 為李群，其李代數 ${\mathfrak {g}}$ 定義為 $G$ 在單位元素的切空間。 ${\mathfrak {g}}$ 自然具備了矢量空間結構， ${\mathfrak {g}}$ 上的李括積 $[,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ 定義如下：

1. 定義 $G$ 對自身的伴隨作用為 $\mathrm {Ad} (x)(y):=xyx^{-1}$ ， $x,y\in G$ 。
2. 取 Ad 對變元 $y\in G$ 在單位元素上的微分，得到李代數上的伴隨作用，通常記為 $\mathrm {Ad} (x)(Y)=xYx^{-1}$ ， $x\in G,Y\in {\mathfrak {g}}$ 。
3. 再對變元 $x\in G$ 微分，得到映射 $\mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ 。定義李括積為 $[X,Y]:=\mathrm {ad} (X)(Y)$ 。

不難驗證 $[,]$ 滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質，例如：連通李群 $G$ 是交換群若且唯若 ${\mathfrak {g}}$ 是交換李代數。

李括積也可以用左不變矢量場及卜瓦松括號定義，或者取定局部坐標，用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。



李群對應李代數

若 $G$ 是李群， $H\subset G$ 是其子群，並帶有李群結構，使得包含映射 $H\to G$ 為浸入（不一定是閉的），則可得到子李代數 ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ 。反之，任意子李代數 ${\mathfrak {h}}$ 透過左平移定義了 $G$ 上的葉狀結構，取含單位元素的極大積分流形，便得到滿足前述條件的子群 $H\subset G$ 。此子群未必是閉子群，它可能是 $G$ 的稠密子集（考慮環面的例子）。

李代數的映射 ${\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}$ 未必能提昇至李群的映射 $G_{1}\to G_{2}$ ，但可提昇至映射 ${\tilde {G}}_{1}\to G_{2}$ ，其中 ${\tilde {G}}_{1}$ 是 $G_{1}$ 的萬有覆疊空間。



指數映射

對於任意矢量 $X\to {\mathfrak {g}}$ ，根據常微分方程式式的基本理論，存在 $G$ 中的單參數子群 $c_{X}(t),c_{X}(0)=e$ 使得 $c_{X}'(t)=c_{X}(t)\cdot X$ 。由此得到的映射

　
: $\mathrm {exp} :{\mathfrak {g}}\to G$

　
: $X\mapsto c_{X}(1)$

稱為指數映射。它總是解析映射。

若 $G$ 為 $\mathrm {GL} (n)$ 的子群，則 $\mathrm {exp} (X)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {X^{i}}{i!}}$ ，這是指數映射一詞的緣由。

當 $G$ 連通且非交換時，指數映射 ${\mathfrak {g}}\to G$ 並非同態；局部上， $\mathrm {exp} (X)\mathrm {exp} (Y)$ 可以由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式表成涉及括積的無窮級數。



一般體上的李群

在任意體、環乃至於概形上，都可以定義群概形；這是概形範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論意義，然而李群未必是代數簇。

另一方面，若體 $F$ 對某個絕對值是完備體，其特徵為零，則可照搬解析李群的定義以定義體 $F$ 上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是 $F=\mathbb {C} $ ；至於數論方面，特別涉及自守表示的研究上，則須用到 $F$ 為 p 進數體的情形。



參考條目


* 李型群



參考文獻

引用

來源