曲線的微分幾何是幾何學的一個分支，使用微分與積分專門研究平面與歐幾里得空間中的光滑曲線。

從古代開始，許多具體曲線已經用綜合方法深入研究。微分幾何採取另外一種方式：把曲線表示為參數形式，將它們的幾何性質和各種量，比如曲率和弧長，用向量分析表示為導數和積分。分析曲線最重要的工具之一為 Frenet 標架，是一個活動標架，在曲線每一點附近給出「最合適」的坐標系。

曲線的理論比曲面理論及其高維推廣的範圍要狹窄得多，也簡單得多。因為歐幾里得空間中的正則曲線沒有內蘊幾何。任何正則曲線可以用弧長（「自然參數」）參數化，從曲線上來看不能知道周圍空間的任何信息，所有曲線都是一樣的。不同空間曲線只是由它們的彎曲和扭曲程度區分。數量上，這由微分幾何不變量曲線的「曲率」和「撓率」來衡量。曲線基本定理斷言這些不變量的信息完全確定了曲線。



定義

設 $n$ 是一個正整數， $r$ 是正整數或 $\infty $ ， $I$ 是實數非空區間， $t$ 屬於 $I$ 。一個 $C^{r}$ 類（即 $\gamma $ 為 $r$ 次連續可微）向量值函數

　
: $\mathbf {\gamma } :I\to {\mathbb {R} }^{n}$

稱為一條 $C^{r}$ 類參數曲線或曲線 $\gamma $ 的一個 $C^{r}$ 參數化， $t$ 稱為曲線 $\gamma $ 的參數， $\gamma (I)$ 稱為曲線的像。將參數曲線 $\gamma $ 和它的像 $\gamma (I)$ 區別開來是非常重要的，因為一個給定的 ${\mathbb {R} }^{n}$ 的子集可以是許多不同的參數曲線的像。

可以想像參數 $t$ 代表時間，而曲線 $\gamma (t)$ 作為空間中一個運動粒子軌跡。

如果 _I_ 是閉區間 [_a_, _b_]，我們稱 γ(_a_) 為曲線 γ 的起點而 γ(_b_) 為終點。

如果 $\gamma (a)=\gamma (b)$ ，我們說 γ 是閉的或是一個環路。進一步，我們稱 γ 是一條閉 Cr- 曲線，如果 γ(_k_)(a) = γ(_k_)(_b_) 對所有 _k_ ≤ _r_。

如果 $\gamma :(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$ 為單射，我們稱為簡單曲線。

如果參數曲線 $\gamma $ 局部可寫成冪級數，我們稱曲線解析或是 $C^{\omega }$ 類。

記號 - $\gamma $ 表示朝相反的方向運動的曲線。

一條 $C^{k}$ - 曲線

　
: $\gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$

稱為 $m$ 階正則若且唯若對任何 $t$ 屬於 $I$

　
: $\lbrace \gamma '(t),\gamma ''(t),...,\gamma ^{(m)}(t)\rbrace {\mbox{, }}m\leq k$

在 $\mathbb {R} ^{n}$ 中線性無關。

特別地，一條 $C^{1}$ - 曲線 $\gamma $ 是正則的如果

　
: $\gamma '(t)\neq 0$ 對任何 $t\in I\,.$



重新參數化與等價關係

給定一條曲線的像我們可以定義曲線的許多不同的參數化。微分幾何旨在描述在一定的參數化下不變的性質。所以我們需在所有參數曲線集合上定義一種合適的等價關係。曲線的微分幾何性質（長度，Frenet 標架和廣義曲率）在重新參數化下不變從而滿足等價類性質。這個等價類稱為 Cr 曲線，是曲線的微分幾何研究的中心。

兩個 _C_r 參數曲線

　
: $\mathbf {\gamma _{1}} :I_{1}\to R^{n}$

與

　
: $\mathbf {\gamma _{2}} :I_{2}\to R^{n}$

要稱為等價，就要存在一個 _C_r 雙射

　
: $\phi :I_{1}\to I_{2}$

使得

　
: $\phi '(t)\neq 0\qquad (t\in I_{1})$

和

　
: $\mathbf {\gamma _{2}} (\phi (t))=\mathbf {\gamma _{1}} (t)\qquad (t\in I_{1})\,.$

γ2 稱為 γ1 的重新參數化。這種 γ1 的重新參數化在所有參數 _C_r 曲線的集合上定義了一種等價關係，其等價類稱為 Cr 曲線。

對定向 Cr 曲線，我們可以定義一種「加細」的等價關係，要求 φ 滿足 φ'(_t_) > 0。

等價的 _C_r 曲線有相同的像；等價的定向 _C_r 曲線有相同的運動方向。



長度與自然參數化

_C_1 曲線 γ : [_a_, _b_] → Rn 的長度 _l_ 可以定義為

　
: $l=\int _{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert dt.$

曲線的長度在重參數化下保持不變，從而是曲線的一個微分幾何性質。

對任何正則 _C_r （_r_ 至少為 1）曲線 γ: [_a_, _b_] → Rn 我們可以定義一個函數

　
: $s(t)=\int _{t_{0}}^{t}\vert \mathbf {\gamma } '(x)\vert dx.$

寫成

　
: ${\overline {\mathbf {\gamma } (s)}}=\gamma (t(s))$

這裡 _t_(_s_) 是 _s_(_t_) 的逆函數，我們得到 γ 的一個新參數化 ${\bar {\gamma }}$ ，稱為自然、弧長或單位速度參數化；參數 _s_(_t_) 稱為 γ 的自然參數。

我們偏愛這個參數，因為自然參數 _s_(_t_) 以單位速度轉動 γ 的像，所以

　
: $\vert {\overline {\mathbf {\gamma } '(s(t))}}\vert =1\qquad (t\in I).$

在實際中常常很難計算出一條曲線的自然參數，但在理論討論中很有用。

給定一條參數化曲線 γ(_t_) 的自然參數化是在差一個參數移動的意義下是惟一的。

數量

　
: $E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert ^{2}dt$

經常稱為曲線的能量或作用量；這個名稱是有理由的，因為測地線方程是這個作用量的歐拉 - 拉格朗日運動方程。



Frenet 標架

一個 Frenet 標架是一個移動的參考標架，由描述曲線在每一點 γ(_t_) 局部性質的 _n_ 個正交向量 _e_i(_t_) 組成。這是微分幾何處理曲線的主要工具，因為在這個局部參考系中，遠比使用歐幾里得那樣的整體坐標系更容易和自然地描述局部性質（如曲率、撓率）。

給定 Rn 中一條 _n_ 階正則 _C_n+1- 曲線 γ，曲線的 Frenet 標架是一組正交向量

　
: $\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)$

稱為 Frenet 向量。它們是通過對 γ(_t_) 的各階導數使用格拉姆 - 施密特正交化算法得到的：

　
: $\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}$

　
: $\mathbf {e} _{j}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\|}}{\mbox{, }}{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)=\mathbf {\gamma } ^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {\gamma } ^{(j)}(t),\mathbf {e} _{i}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t)$

實值函數 χi(_t_) 稱為 廣義曲率，定義為

　
: $\chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}$

Frenet 標架和廣義曲率在重新參數化下是不變的，故它們是曲線的微分幾何性質。



特殊 Frenet 向量和廣義曲率

最初三個 Frenet 向量和廣義曲率可以在三維空間中看到。它們有額外的名字以及與名稱相關更多信息。

切向量

如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 _P_ 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 _P_ 的切向量。

數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(_t_)，對參數 _t_ 的任何值： _t_ = _t0_，
向量：

　
: $\gamma '(t_{0})={\frac {d}{d\,t}}\mathbf {\gamma } (t),{t=t_{0}}$

是點 _P_ = γ(_t0_) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。

切向量的長度：

　
: $\|\mathbf {\gamma } '(t_{0})\|$

是在時間 _t_0 的速率。

 
第一個 Frenet 向量 _e1_(_t_) 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義：

　
: $\mathbf {e} _{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}.$

如果 _t_ = _s_ 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：

　
: $\mathbf {e} _{1}(s)=\mathbf {\gamma } '(s).$

單位切向量確定了曲線的定向，或隨著參數增長的前進方向。

法向量

法向量，有時也稱為曲率向量，表明曲線和一條直線的偏離程度。

法向量定義為

　
: ${\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)=\mathbf {\gamma } ''(t)-\langle \mathbf {\gamma } ''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t).$

其正規形式單位法向量，是 Frenet 向量 _e_2(_t_)，定義為

　
: $\mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\|}}.$

_t_ 點的切向量和法向量張成 _t_ 點的密切平面。

曲率

第一個廣義曲率 χ1(_t_) 稱為曲率，度量了曲線 γ 偏離密切平面上一條直線的程度。定義為

　
: $\kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}$

稱為 γ 在點 _t_ 的曲率。

曲率的倒數

　
: ${\frac {1}{\kappa (t)}}$

稱為曲率半徑。

半徑為 _r_ 的圓周有常曲率

　
: $\kappa (t)={\frac {1}{r}}\,,$

但一條直線的曲率是 0 。

次法向量

次法向量是第三個 Frenet 向量 _e_3(_t_) ，
總是正交於 _t_ 點的單位切向量和單位法向量。其定義為

　
: $\mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\|}}\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)=\mathbf {\gamma } '''(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{2}(t)$

在 3 維空間中等式簡化為

　
: $\mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{2}(t)\times \mathbf {e} _{1}(t)\,.$

撓率

第二廣義曲率 χ2(_t_) 稱為撓率，度量了 γ 和一條平面曲線的偏離程度。或者說，如果撓率為 0 則曲線完全在某平面內（任何 _t_ 都在這一個平面內）。

　
: $\tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}$

稱為 γ 在點 _t_ 的撓率。



曲線論主要定理

給定 _n_ 個函數

　
: $\chi _{i}\in C^{n-i}([a,b]){\mbox{, }}1\leq i\leq n$

滿足

　
: $\chi _{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1$

那麼存在惟一的（在差一個歐幾里得群作用的意義下） _n_ 階正則 _C_n+1- 曲線 γ，具有如下性質

　
: $\|\gamma '(t)\|=1{\mbox{ }}(t\in [a,b])$

　
: $\chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}\,,$

這裡集合

　
: $\mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)$

是曲面的 Frenet 標架。

再附加起始 _t_0 ∈ _I_，起始點 _p_0 ∈ Rn 以及一個初始正交標架 {_e_1, ..., _e_n-1} 滿足

　
: $\mathbf {\gamma } (t_{0})=\mathbf {p} _{0}$

　
: $\mathbf {e} _{i}(t_{0})=\mathbf {e} _{i}{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1$

那麼我們可以排除歐幾里得作用得到惟一的曲線 γ。



Frenet-Serret 公式

Frenet-Serret 公式是一組一階常微分方程。其解為由廣義曲率函數 χi 所刻畫的曲線的 Frenet 向量組。

2 - 維

　
: ${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}$

3 - 維

　
: ${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}$

_n_ 維一般公式

　
: ${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&&0\\-\chi _{1}(t)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&&-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}$



參考文獻


* Erwin Kreyszig, _Differential Geometry_, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of _Theory of Curves_ in 3-dimensions.

* 陳維桓，微分幾何，北京大學出版社，北京，2006 年，ISBN 7-301-10709.



另見


* 曲線論題列表

* 曲線的仿射幾何

* 弧

* 切線、切點、次切距

* 密切圓

* 包絡線、轉跡線

* 四頂點定理

* 測地線

* 等周問題

* 環繞數