在古典力學裏，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢 $V$ 可以給出閉合軌道：


* 平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電位，以方程式表示為

　
: : $V(r)={\frac {-k}{r}}$ 。


* 徑向諧振子勢：

　
: : $V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}$ 。

其中， $r$ 是徑向座標， $k$ 是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為閉合軌道。

1687 年，物理學家艾薩克・牛頓在著作《自然哲學的數學原理》裏提出了萬有引力定律，解釋了行星繞著太陽的公轉為何遵守克卜勒定律。此後許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道時，可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到 1873 年，法國數學家約瑟・伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確解析此問題。該定理對於古典天體力學研究非常重要，伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。

在現代物理學裏，理論物理學家發現由於廣義相對論效應，引力與距離不再成精確的平方反比關係，因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。



前論

所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。

採用極坐標 $(r,\theta )$ ，一個移動於連心勢 $V(r)$ 的粒子，其拉格朗日量 ${\mathcal {L}}$ 是

　
: ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-V(r)$ 。

其中， $m$ 是粒子質量， ${\dot {r}}$ 、 ${\dot {\theta }}$ 分別表示 $r$ 、 $\theta $ 對於時間 $t$ 的導數。

這粒子的拉格朗日方程式為

　
: $m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dV}{dr}}=0$ 、

　
: ${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0$ 。

由於角坐標 $\theta $ 顯性地跟拉格朗日量無關， $\theta $ 是個可略坐標，其共軛動量（角動量） $\ell $ 守恆， $\ell $ 是個常數：

　
: $\ell ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}$ 。

將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個 $r$ 的二次微分方程式，

　
: $m{\ddot {r}}-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}+{\frac {dV}{dr}}=0$ 。

假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個項目是零，則如同期待的，連心力 $-{\frac {dV}{dr}}$ 等值於離心力 $-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}$ 。

對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為

　
: ${\frac {d}{dt}}={\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}$ 。

將這公式代入，可推導出一個跟角度有關，跟時間無關的軌道方程式：

　
: ${\frac {\ell }{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}$ 。

設定變數 $u={\frac {1}{r}}$ ，改換方程式的變數為 $u$ ，同時將方程式兩邊乘以 ${\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}$ ，可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式：

　
: ${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)$ 。



導引

如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定（穩定在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道），也可能不閉合。本段落會證明，穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢（一個必要條件）。下一個段落會證明，這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道（一個充分條件）。

為了簡化標記，設定

　
: $J(u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}f(1/u)$ ；(1)

其中， $f(1/u)$ 是連心力函數。

則軌道方程式為

　
: ${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)$ 。

如果要得到半徑為 $r_{0}\equiv {\frac {1}{u_{0}}}$ 的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為

　
: $u_{0}=J(u_{0})$ 。

思考對於標準圓形運動軌道的變數 $u$ 的微擾 $\eta \equiv u-u_{0}$ ，函數 $J(u)$ 在 $u_{0}$ 的泰勒級數為

　
: $J(u)\approx u_{0}+\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})+\ldots $ 。

將此展開示代入軌道方程式：

　
: ${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots $ 。

設定常數 $\beta ^{2}\equiv 1-J^{\prime }(u_{0})$ （ $\beta =0$ 的解答為標準圓形運動軌道）：

　
: ${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots $ 。(2)

取至 $\eta $ 的 1 次方：

　
: ${\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta =0$ 。

 $\beta ^{2}$ 必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為

　
: $\eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta )$ ；

其中，振幅 $h_{1}$ 是個積分常數。

假若這軌道是閉合軌道，則 $\beta $ 必須是有理數。繼續運算，從方程式 (1)，取對於 $u$ 的導數：

　
: ${\begin{aligned}J^{\prime }(u_{0})&=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}\left(-\left.{\frac {2f(1/u)}{u^{3}}}\right|_{u_{0}}+\left.{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {df(1/u)}{du}}\right|_{u_{0}}\right)\\&=-\left.{\frac {2J(u)}{u}}\right|_{u_{o}}+{\frac {J(u)}{f(1/u)}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=-2+{\frac {u_{0}}{f(1/u_{0})}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=1-\beta ^{2}\\\end{aligned}}$ 。

這方程式對於任意 $u_{0}$ 值都必須成立，因此可以將 $u_{0}$ 認定為函數 $\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}$ 的參數。用符號 $u$ 來代替 $u_{0}$ ，

　
: ${\frac {df}{du}}=-(\beta ^{2}-3){\frac {f(1/u)}{u}}$ 。

將方程式的變數換回為 $r$ ，

　
: ${\frac {df}{dr}}=\left(\beta ^{2}-3\right){\frac {f}{r}}$ 。

這意味著作用力必須遵守冪定律：

　
: $f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}$ 。

代入方程式 (1) , $J$ 的一般形式為

　
: $J(u)={\frac {mk}{\ell ^{2}}}u^{1-\beta ^{2}}$ 。(3)

假設實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，不能忽略 $J$ 函數的泰勒級數的更高次方項目），則可以用傅立葉級數來展開 $\eta $ ：

　
: $\eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos(\beta \theta )+h_{2}\cos(2\beta \theta )+h_{3}\cos(3\beta \theta )+\ldots $ 。

因為高頻率項目的係數太小，傅立葉級數只取至 $3\beta $ 項目。方程式 (2) 也只取至 $\eta $ 的三次方。注意到 $h_{0}$ 與 $h_{2}$ 的數量級為 $h_{1}^{2}\!$ ，超小於 $h_{1}$ ； $h_{3},\!$ 的數量級為 $h_{1}^{3}$ ，超小於 $h_{0}$ 與 $h_{2}$ 。將上述傅立葉級數代入方程式 (2)，匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣，可以得到一系列方程式：

　
: $h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{4\beta ^{2}}}$ ，(4)

　
: $0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J^{\prime \prime \prime }(u_{0})}{8}}$ ，(5)

　
: $h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{12\beta ^{2}}}$ 。(6)

求 $J(u)$ 在 $u_{0}$ 對於 $u$ 的微分：

　
: $J^{\prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}}=1-\beta ^{2}$

　
: $J^{\prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-1}=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}}$ 。(7)

　
: $J^{\prime \prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2})(-\beta ^{2}-1){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-2}={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}}$ 。(8)

將方程式 (7)、(8) 代入方程式 (4)、(6)：

　
: $h_{0}=-{\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{4u_{0}}}$ ，(9)

　
: $h_{2}={\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{12u_{0}}}$ 。(10)

再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10) 代入方程式 (5)，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果：

　
: $\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0$ 。

解答 $\beta =0$ 是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 ( $\beta =1$ ) 與徑向諧振子勢 ( $\beta =2$ ) 能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。



平方反比力（克卜勒問題）

平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電位，以方程式表示為

　
: $V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku$ 。

處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為

　
: ${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)={\frac {km}{\ell ^{2}}}$ 。

其解答為軌道函數 $u(\theta )$ ： 

　
: $u={\frac {km}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right]$ ；

其中， $e$ 是橢圓軌道的離心率， $\theta _{0}$ 是相位差，是一個積分常數。

這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當 $e=0$ 時，這軌道對應於圓形軌道；
當 $e<1$ 時，這軌道是橢圓形軌道；當 $e=1$ 時，這軌道是拋物線軌道；當 $e>1$ 時，這軌道是雙曲線軌道。

離心率與粒子能量 $E$ 的關係為

　
: $e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{k^{2}m}}}}$ 。

所以，當 $E=-{\frac {k^{2}m}{2\ell ^{2}}}$ 時，這軌道是圓形軌道；
當 $E<0$ 時，這軌道是橢圓形軌道；當 $E=0$ 時，這軌道是拋物線軌道；當 $E>0$ 時，這軌道是雙曲線軌道。



徑向諧振子

為了方便解析這問題，採用直角坐標 $\mathbf {r} =(x,y,z)$ 。位能可以寫為

　
: $V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ 。

處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量 ${\mathcal {L}}$ 是

　
: ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ 。

這粒子的拉格朗日方程式為

　
: ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0$ 、

　
: ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=0$ 、

　
: ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z=0$ ；

其中， $\omega _{0}=k/m$ 是振動頻率。

常數 $k$ 必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為

　
: $x=A_{x}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{x}\right)$ 、

　
: $y=A_{y}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{y}\right)$ 、

　
: $z=A_{z}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{z}\right)$ ；

其中， $A_{x}$ 、 $A_{y}$ 、 $A_{z}$ 分別為 x、y、z 方向的振幅， $\phi _{x}$ 、 $\phi _{y}$ 、 $\phi _{z}$ 分別為其相位

由於上述方程式經過整整一週期 $T\equiv {2\pi }/{\omega _{0}}$ 後，會重複自己，軌道解答 $\mathbf {r} (t)=\left[x(t),y(y),z(t)\right]$ 是閉合軌道。



牛頓旋轉軌道定理

牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子 $\alpha $ 是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力 $\Delta F(r)={\frac {k}{r^{3}}}$ 為

　
: $\Delta F(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-\alpha ^{2}\right)$ ；

其中， $\ell _{1}$ 是粒子原本的角動量， $m$ 是粒子的質量。

所以， $\alpha ^{2}=1-{\frac {mk}{\ell _{1}^{2}}}$ 。 

由於 $\alpha $ 是有理數， $\alpha $ 可以寫為分數 $m/n$ ；其中， $m$ 和 $n$ 都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成 $m$ 圈公轉的時間等於原本完成 $n$ 圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。



參閱


* 二體問題

* 三體問題

* 克卜勒定律

* 牛頓旋轉軌道定理



參考文獻

　
: Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 89–92. ISBN 0201657023 （英語）.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)

　
: Grandati, Yves; Bérard, Alain, Inverse problem and Bertrand's theorem, American Journal of Physics, August 2008, 76 (8): pp. 782–787  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)

　
: Tikochinsky, Yoel, A simplified proof of Bertrand's theorem, American Journal of Physics, December 1988, 56 (12): pp. 1063–1157  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)

　
: Zarmi, Yair, The Bertrand theorem revisited, American Journal of Physics, April 2002, 70 (4): pp. 446–449  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)