在向量微積分中，弗勒內 - 塞雷公式（Frenet–Serret 公式）用來描述歐幾里得空間 R3 中的粒子在連續可微曲線上的運動。更具體的說，弗勒內公式描述了曲線的切向，法向，副法方向之間的關係。這一公式由法國數學家讓・弗雷德里克・弗勒內（於 1847 年的博士論文中）和約瑟夫・阿爾弗雷德・塞雷（於 1851 年）分別提出。

單位切向量 T，單位法向量 N，單位副法向量 B，被稱作 弗勒內標架，他們的具體定義如下：


* T 是單位切向量，方向指向粒子運動的方向。

* N 是切向量 T 對弧長參數的微分單位化得到的向量。

* B 是 T 和 N 的外積。

弗勒內公式如下：

　
: ${\begin{aligned}{\dfrac {d\mathbf {T} }{ds}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\{\dfrac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\{\dfrac {d\mathbf {B} }{ds}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}$

其中 _d_/_ds_ 是對弧長的微分， κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撓率。弗勒內公式描述了空間曲線曲率撓率的變化規律。



弗勒內公式

記 r(t) 為歐式空間 R3 中的曲線，表示粒子在時間 t 時刻的位置向量。 弗勒內公式只適用於正則曲線，即速度向量 r′(t) 和加速度向量 r′′(t) 不為零的曲線。

記 _s(t)_ 為 _t_ 時刻粒子所在位置到曲線上某定點的弧長：

　
: $s(t)=\int _{0}^{t}\|\mathbf {r} '(\tau )\|d\tau .$

由於假設 r′ ≠ 0，因此可以將 _t_ 表示為 _s_ 的函數，因此可將曲線表示為弧長 _s_ 的函數 r(s) = r(_t_(_s_))。 _s_ 通常也被稱為曲線的弧長參數。

對於由弧長參數定義的正則曲線 r(_s_)，弗勒內標架 (或弗勒內基底) 定義如下：


* 單位切向量 T：

　
: : $\mathbf {T} ={d\mathbf {r}  \over ds}.\qquad \qquad (1)$


* 主法向量 N：

　
: : $\mathbf {N} ={{\frac {d\mathbf {T} }{ds}} \over \left\|{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}\right\|}.\qquad \qquad (2)$


* 副法向量 B 定義為 T 和 N 的外積：

　
: : $\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} .\qquad \qquad (3)$

由於 $|\mathbf {T} |=1,{\frac {d(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )}{ds}}=2\mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0,$ 所以 N 與 T 垂直。 方程 (3) 說明 B 垂直於 T 和 N，因此向量 T，N，B 互相垂直。

弗勒內公式如下：

　
: ${\begin{matrix}{\frac {d\mathbf {T} }{ds}}&=&&\kappa \mathbf {N} &\\&&&&\\{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=&-\kappa \mathbf {T} &&+\,\tau \mathbf {B} \\&&&&\\{\frac {d\mathbf {B} }{ds}}&=&&-\tau \mathbf {N} &\end{matrix}}$

其中 κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撓率。

弗勒內公式有時也被稱作_弗勒內定理_，並且可以寫做矩陣的形式：

　
: ${\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.$

其中的矩陣是反對稱矩陣。

對弧長 s 求導，可以看成是對切方向的協變導數。



參閱


* 曲線仿射幾何

* 曲線微分幾何

* 達布標架

* 運動學



注釋



參考資料


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* Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino, Salas and Hille's Calculus — One and Several Variables 7th, John Wiley & Sons: 896, 1995

* Frenet, F., Sur les courbes à double courbure (PDF), Thèse, Toulouse, 1847 [2010-03-01], （原始內容 (PDF) 存檔於 2011-07-16） . Abstract in _J. de Math. '17'_, 1852.

* Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models, BIOMAT-2006 (PDF), Springer-Verlag, 2006, （原始內容 (PDF) 存檔於 2006-12-29） .

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* Serret, J. A., Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure (PDF), J. De Math., 1851, 16 [2010-03-01], （原始內容 (PDF) 存檔於 2022-03-15） .

* Spivak, Michael, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two), Publish or Perish, Inc., 1999 .

* Sternberg, Shlomo, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, 1964

* Struik, Dirk J., Lectures on Classical Differential Geometry, Reading, Mass: Addison-Wesley, 1961 .



外部連結


* Rudy Rucker's KappaTau Paper.

* Very nice visual representation for the trihedron