在微分幾何中，拉回是將一個流形上某種結構轉移到另一個流形上的一種方法。具體地說，假設 _φ_:_M_→ _N_ 是從光滑流形 _M_ 到 _N_ 的光滑映射；那麼伴隨有一個從 _N_ 上 1- 形式（餘切叢的截面）到 _M_ 上 1 - 形式的線性映射，這個映射稱為由 _φ_ 拉回，經常記作 _φ_\*。更一般地，任何 _N_ 上共變張量場 —— 特別是任何微分形式 —— 都可以由 _φ_ 拉回到 _M_ 上。

當映射 _φ_ 是微分同胚，那麼拉回與前推一起，可以將任何 _N_ 上的張量場變換到 _M_，或者相反。特別地，如果 _φ_ 是 Rn 的開集與 Rn 之間的微分同胚，視為坐標變換（也許在流形 _M_ 上不同的坐標卡上），那麼拉回和前推描述了共變與反變張量用更傳統方式（用基）表述的變換性質。

拉回概念背後的本質很簡單，是一個函數和另外一個函數的前複合。但是將這種想法運用到許多不同的情形，可以構造許多複雜的拉回。本文從簡單的操作開始，然後利用它們構造更複雜的。粗略地講，拉回手法（利用前複合）將微分幾何中多種不同的結構變成反變函子。



光滑函數與光滑映射

設 φ:_M_→ _N_ 是光滑流形 _M_ 與 _N_ 之間的光滑映射，假設 _f_:_N_→R 是 _N_ 上一個光滑函數。則 _f_ 通過 φ 的拉回是 _M_ 上的光滑函數 φ\*_f_，定義為
(φ\*_f_)(_x_) = _f_(φ(_x_))。類似地，如果 _f_ 是 _N_ 中開集 _U_ 上的光滑函數，則相同的公式定義了 _M_ 中開集 _φ_-1(_U_) 上一個光滑函數。用層的語言說，拉回定義了 _N_ 上光滑函數層到 φ 的直接像（在 _M_ 上光滑函數層中）的一個態射。

更一般地，如果 _f_:_N_→_A_ 是從 _N_ 到任意其他流形 _A_ 的光滑映射，則 φ\*_f_(_x_)=_f_(φ(_x_)) 是從 _M_ 到 _A_ 的一個光滑映射。



叢與截面

如果 _E_ 是 _N_ 上一個向量叢（或任意纖維叢），_φ_:_M_→_N_ 是光滑映射，那麼拉回叢 _φ_\*_E_ 是 _M_ 上一個向量叢（或更一般地纖維叢），其 _M_ 中的點 _x_ 處的纖維由 (_φ_\*_E_)x = _E_φ(_x_) 給出。

在此情形，前複合定義了 _E_ 上截面的一個變換：如果 _s_ 是 _N_ 上 _E_ 的一個截面，那麼拉回截面 $\varphi ^{*}s=s\circ \varphi $ 是 _M_ 上拉回叢 _φ_\*_E_ 的一個截面。



多重線性形式

設 Φ:_V_→ _W_ 是向量空間 _V_ 與 _W_ 之間的一個線性映射（即，Φ 是 _L_(_V_,_W_) 中的元素，也記成 Hom (_V_,_W_)），設

　
: $F:W\times W\times \cdots \times W\rightarrow \mathbb {R} $

是 _W_ 上一個多重線性形式（也稱為 (0,_s_) 階張量 —— 但不要和張量場混淆 —— 這裡 _s_ 是乘積中 _W_ 的因子的個數）。則 _F_ 由 Φ 的拉回 Φ\*_F_ 是一個 _V_ 上的多重線性形式，定義為 _F_ 與 Φ 的前複合。準確地，給定 _V_ 中向量 _v_1,_v_2,...,_v_s， Φ\*_F_ 由公式定義

　
: $(\Phi ^{*}F)(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{s})=F(\Phi (v_{1}),\Phi (v_{2}),\ldots ,\Phi (v_{s})),$

這是 _V_ 上一個多重線性形式。從而 Φ\
* 是一個從 _W_ 上的多重線性形式到 _V_ 上的多重線性形式的（線性）算子。作為一個特例，注意到如果 _F_ 是 _W_ 上一個線性形式（或 (0,1) - 張量），那麼 _F_ 是 _W_ 的對偶空間 _W_\
* 中一個元素，則 Φ\*_F_ 是 _V_\
* 中一個元素，所以拉回定義了對偶空間之間一個線性映射，作用的方向與線性映射 Φ 自己的方向相反：

　
: $\Phi \colon V\rightarrow W,\qquad \Phi ^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}.$

從張量的觀點來看，自然想把來回這種概念推廣到任何階，即 _W_ 上取值於 _r_ 個 _W_ 的張量積 $W\otimes W\otimes \cdots \otimes W$ 的線性映射。但是，這種張量積不能自然的拉回：不過有從 $V\otimes V\otimes \cdots \otimes V$ 到 $W\otimes W\otimes \cdots \otimes W$ 的前推算子，定義為

　
: $\Phi _{*}(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r})=\Phi (v_{1})\otimes \Phi (v_{2})\otimes \cdots \otimes \Phi (v_{r}).$

然而，如果 Φ 可逆，拉回可以用逆函數 Φ-1 的前推定義。將一個可逆線性映射與這兩個構造放在一起，得到了對任何 (_r_,_s_) 階張量一個拉回算子。



餘切向量與 1 形式

設 _φ_ : _M_ → _N_ 是光滑流形間的光滑映射。那麼 _φ_ 的前推：_φ_\
* = d_φ_ （或 _Dφ_），是從 _M_ 的切叢 _TM_ 到拉回叢 _φ_\*_TN_ 的（在 _M_ 上）向量叢同態。從而 _φ_\
* 的轉置是從 _φ_\*_T_\*_N_ 到 _M_ 的餘切叢 _T_\*_M_ 的叢映射。

現在假設 _α_ 是 _T_\*_N_ 的一個截面（_N_ 上一個 1 - 形式），將 _α_ 與 _φ_ 前複合得到 _φ_\*_T_\*_N_ 的一個拉回截面。將上述（逐點）叢映射應用到截面導致 _α_ 由 _φ_ 的拉回，是 _M_ 上一個 1 - 形式，定義為：

　
: $(\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X)=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X))$

對 _x_ 屬於 _M_ 與 _X_ 屬於 _T_x_M_。



（共變）張量場

對任何自然數 _s_，上述構造馬上可推廣到 (0,_s_) 階張量叢上。流形 _N_ 上 (0,_s_) 張量場 是 _N_ 上張量叢的一個截面，在 _N_ 中 _y_ 點的截面是多重線性 _s_- 形式空間

　
: $F\colon T_{y}N\times \cdots \times T_{y}N\to \mathbb {R} .$

取 Φ 等於從 _M_ 到 _N_ 的一個光滑映射的微分（逐點的），多重線性形式的拉回可與截面的拉回複合得出 _M_ 上 (0,_s_) 張量場的拉回。更確切地，如果 _S_ 是 _N_ 上一個 (0,_s_)- 張量場，那麼 _S_ 由 _φ_ 的拉回 是 _M_ 上 (0,_s_)- 張量場 _φ_\*_S_，定義為

　
: $(\varphi ^{*}S)_{x}(X_{1},\ldots ,X_{s})=S_{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{s}))\ ,$

對 _x_ 屬於 _M_ 與 _X_j 屬於 _T_x_M_。



微分形式

共變張量場拉回的一個特別重要的例子是微分形式的拉回。如果 α 是一個微分 _k_- 形式，即 _TN_（逐點）反交換 _k_- 形式組成的外叢 Λk_T_\*_N_ 的一個截面，則 α 的拉回是 _M_ 上一個微分 _k_- 形式，定義與上一節相同：

　
: $(\varphi ^{*}\alpha )_{x}(X_{1},\ldots ,X_{k})=\alpha _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(X_{1}),\ldots \mathrm {d} \varphi _{x}(X_{k}))\ ,$

對 _x_ 屬於 _M_ 與 _X_j 屬於 _T_x_M_。

微分形式的拉回有兩個性質，使其非常有用。

1. 和楔積相容：假設同上，對 _N_ 上的微分形式 α 與 β，

　
: $\varphi ^{*}(\alpha \wedge \beta )=\varphi ^{*}\alpha \wedge \varphi ^{*}\beta \ .$

2. 和外導數 d 相容：如果 α 是 _N_ 上一個微分形式，則

　
: $\varphi ^{*}(\mathrm {d} \alpha )=\mathrm {d} (\varphi ^{*}\alpha )\ .$



由微分同胚拉回

當流形之間的映射 _φ_ 是微分同胚，即有一個光滑逆函數，則在向量場上也像 1 - 形式一樣定義拉回，從而通過擴張，對流形上任何混合張量場都可拉回。線性映射

　
: $\Phi =\mathrm {d} \varphi _{x}\in GL(T_{x}M,T_{\varphi (x)}N)$

可逆，給出

　
: $\Phi ^{-1}={\mathrm {d} \varphi _{x}}^{-1}\in GL(T_{\varphi (x)}N,T_{x}M).$

一個一般的混合型張量場通過張量積分解為 _TN_ 與 _T\*N_ 兩部分，分別用 Φ 與 Φ-1 變換。當 _M_ = _N_ 時，則拉回和前推刻畫了流形 _M_ 上張量場的變換性質。用傳統術語說，拉回描述了張量共變指標的變換性質；相對地，反變指標的變換性質由前推給出。



由自同構拉回

上一節的構造有一個代表性特例，若 _φ_ 是流形 _M_ 到自己的微分同胚。在這種情況下，導數 d_φ_ 是 _GL_(_TM_,_φ_\*_TM_) 的一個截面。這樣便在通過一個一般線性群 _GL_(_m_) (_m_ = dim _M_) 相配於 _M_ 的標架叢 _GL_(_M_) 的任何叢的截面上導出了拉回作用。



拉回與李導數

將上述想法應用到由向量場 _M_ 定義的微分同胚單參數群，對參數求導，得到了任意叢上的李導數概念。



聯絡（共變導數）

如果 $\nabla $ 是 _N_ 上向量叢 _E_ 的聯絡（或共變導數），_φ_ 是從 _M_ 到 _N_ 的光滑映射，那麼在 _M_ 上的向量叢 _φ_\*_E_ 上有拉回聯絡 $\varphi ^{*}\nabla $ ，由等式

　
: $(\varphi ^{*}\nabla )_{X}(\varphi ^{*}s)=\varphi ^{*}(\nabla _{\mathrm {d} \varphi (X)}s)$

惟一確定。



另見


* 前推 (微分)

* 拉回叢

* 拉回 (範疇論)



參考文獻


* Jurgen Jost, _Riemannian Geometry and Geometric Analysis_, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 _See sections 1.5 and 1.6_.

* Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, _Foundations of Mechanics_, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X _See section 1.7 and 2.3_.

* B. A. Dubrovin, et al., _Modern Geometry Methods and Applications_(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 _See section 22_.