二元運算是種數學運算，它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西。比如說，整數的加法是二元運算，因整數相加以後仍然是整數。



定義

直觀上，也就是集合 $A$ 裡的一組數 $(a,\,b)$ 都對應一個 $A$ 裡的數值 $\mathrm {F} (a,\,b)$ ，那對應規則的整體 $\mathrm {F} $ 就是所謂的二元運算。

 $\mathrm {F} (a,\,b)$ 通常寫為 $a\mathrm {F} b$ ，而且比起使用字母，二元運算時常以某種運算符表示，來跟普通的函數作區別。

事實上 $\mathrm {F} :A\times A\rightarrow A$ 這個符號本身就保證了：「只要 $a,\,b\in A$ 就會有 $a\mathrm {F} b\in A$ 」，這個性質也稱為（二元）運算封閉性。



常用性質和術語

關於二元運算有很多常見的性質和術語，列舉如下：

單位元素

設 $\circ $ : $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算， $i\in A$ ，則：


* 稱 $i$ 為 $A$ 在 $\circ $ 下的左單位元素，若 $i$ 滿足： $\forall a\in A,i\circ a=a$ ；

* 稱 $i$ 為 $A$ 在 $\circ $ 下的右單位元素，若 $i$ 滿足： $\forall a\in A,a\circ i=a$ ；

* 稱 $i$ 為 $A$ 在 $\circ $ 下的單位元素，若 $i$ 滿足： $i$ 既是 $A$ 在二元運算 $\circ $ 下的左單位元素，又是 $A$ 在二元運算 $\circ $ 下的右單位元素。

反元素

設 $\circ $ : $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算， $a,b\in A$ , $i$ 是 $A$ 在 $\circ $ 下的單位元素。則：


* 稱 $a$ 是 $b$ 在 $\circ $ 下的左反元素，若 $a,b$ 滿足： $a\circ b=i$ 。

* 稱 $a$ 是 $b$ 在 $\circ $ 下的右反元素，若 $a,b$ 滿足： $b\circ a=i$ 。

* 稱 $a$ 是 $b$ 在 $\circ $ 下的反元素，若 $a,b$ 滿足：a 既是 $b$ 在 $\circ $ 下的左反元素，又是 $b$ 在 $\circ $ 下的右反元素。（顯然此時 $b$ 也是 $a$ 的反元素），若上下文明確是哪個運算，則元素 $a$ 的反元素通常記為 $a^{-1}$ 。

零元素

設 $\circ $ : $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算， $z\in A$ ，則：


* 稱 $z$ 為 $A$ 在 $\circ $ 下的左零元素，若 $z$ 滿足： $\forall a\in A,z\circ a=z$ ；

* 稱 $z$ 為 $A$ 在 $\circ $ 下的右零元素，若 $z$ 滿足： $\forall a\in A,a\circ z=z$ ；

* 稱 $z$ 為 $A$ 在 $\circ $ 下的零元素，若 $z$ 滿足：z 既是 $A$ 在 $\circ $ 下的左零元素，又是 $A$ 在 $\circ $ 下的右零元素。

零因子

設 $\circ $ : $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算， $a\in A$ 且 $a\neq z$ , $z$ 是 $A$ 在 $\circ $ 下的零元素。則：


* 稱 $a$ 是 $A$ 中在 $\circ $ 下的左零因子，若 $a$ 滿足： $\exists b\in A,b\neq z$ ，使 $a\circ b=z$ 。

* 稱 $a$ 是 $A$ 中在 $\circ $ 下的右零因子，若 $a$ 滿足： $\exists b\in A,b\neq z$ ，使 $b\circ a=z$ 。

* 稱 $a$ 為 $A$ 在 $\circ $ 下的零因子，若 $a$ 滿足：a 既是 $A$ 在 $\circ $ 下的左零因子，又是 $A$ 在 $\circ $ 下的右零因子。

交換律

設 $\circ $ : $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算，則：
稱 $\circ $ 滿足交換律，若 $\circ $ 滿足： $\forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a$ ；

結合律

設 $\circ $ : $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算，則：
稱 $\circ $ 滿足結合律，若 $\circ $ 滿足： $\forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$ ；

消去律

設 $\circ $ : $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算，則：

稱 $\circ $ 滿足左消去律，若 $\circ $ 滿足： $\forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}c\circ a\neq c\circ b$

稱 $\circ $ 滿足右消去律，若 $\circ $ 滿足： $\forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}a\circ c\neq b\circ c$

稱 $\circ $ 滿足消去律，若 $\circ $ 同時滿足左消去律與右消去律。

冪等律

設 $\circ $ : $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算，則：
稱 $\circ $ 滿足冪等律，若 $\circ $ 滿足： $\forall a\in A,a\circ a=a$ ；

冪么律

設 $\circ $ : $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算，i 是 $A$ 在 $\circ $ 下的單位元素，
則：稱 $\circ $ 滿足冪么律，若 $\circ $ 滿足： $\forall a\in A,a\circ a=i$ （顯然此時每個元素都是它自己的反元素）；

冪零律

設 $\circ $ : $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的二元運算，z 是 $A$ 在 $\circ $ 下的零元素，
則：稱 $\circ $ 滿足冪零律，若 $\circ $ 滿足： $\forall a\in A$ ，有 $a\circ a=z$ （顯然此時每個元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

分配律

設 $\circ $ : $A\times A\to A$ 和 $\diamond $ : $A\times A\to A$ 是集合 $A$ 上的兩個二元運算，則：


* 稱 $\circ $ 對 $\diamond $ 滿足左分配律，若 $\circ $ ， $\diamond $ 滿足： $\forall a,b,c\in A$ ，有 $a\circ (b\diamond c)=a\circ b\diamond a\circ c$ ；

* 稱 $\circ $ 對 $\diamond $ 滿足右分配律，若 $\circ $ ， $\diamond $ 滿足： $\forall a,b,c\in A$ ，有 $(b\diamond c)\circ a=b\circ a\diamond c\circ a$ ；

* 稱 $\circ $ 對 $\diamond $ 滿足分配律，若 $\circ $ 對 $\diamond $ 滿足左分配律以及右分配律；