在數學中，線積分（英語：Line integral）是積分的一種。積分函數的取值沿的不是區間，而是被稱為積分路徑的特定曲線。

在曲線積分中，被積的函數可以是純量函數或向量函數。當被積函數是純量函數時，積分的值是積分路徑各點上的函數值乘上該點切向量的長度，在被積分函數是向量函數時，積分值是積分向量函數與曲線切向量的內積。在函數是純量函數的情形下，可以把切向量的絕對值（長度）看成此曲線把該點附近定義域的極小區間，在對應域內拉長了切向量絕對值的長度，這也是曲線積分與一般區間上的積分的主要不同點。物理學中的許多簡潔公式（例如 _W_=F·s）在推廣之後都是以曲線積分的形式出現

 $W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} $ 。

曲線積分在物理學中是很重要的工具，例如計算電場或重力場中的做功。



向量分析

大致來說，向量分析中的曲線積分可以看成在某一場中沿特定路徑的累積效果。更具體地說，如果曲線 $C\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ，純量場的曲線積分可以想成某個曲線（不是 $C$ ）向下切割出的面積，這可以通過建立函數 _z_ = _f_(_x_,_y_) 和 _x_-_y_ 平面內的曲線 _C_ 來想像這個曲面，可以把 $x{\text{-}}y$ 平面上的曲線 $C$ 想成屏風的底座， $f$ 代表在該點屏風的高度（這裡假設 $f\geq 0$ ），則 $f$ 的曲線積分就是該「屏風」的面積，也就是前面所說曲線 $(x(t),y(t),f(x,y))$ 向下切割的面積，其中 $(x(t),y(t))$ 是曲線 $C$ 的參數化。

純量場的曲線積分

定義

設有純量場：F : _U_ ⊆ Rn $\to $ R，則對於路徑 _C_ ⊂ _U_，F 的曲線積分是：

　
: $\int _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.$

其中，r: [a, b] $\to $ _C_ 是一個一一對應的參數方程式，並且 r(_a_) 和 r(_b_) 分別是路徑曲線 _C_ 的兩個端點。

_f_ 稱為積分函數，_C_ 是積分路徑。不嚴格地說，_ds_ 可以被看作積分路徑上的一段很小的「弧長」。曲線積分的結果不依賴於參量化函數 r。

幾何上，當純量場 _f_ 定義在一個平面（_n_=2）上時，它的圖像是空間中一個曲面 _z_=_f_(_x_,_y_)，曲線積分就是以曲線 _C_ 為界的有符號的截面面積。參見動畫演示。

推導

對於純量場上的曲線積分，

向量場的曲線積分

設有向量場：F : _U_ ⊆ Rn $\to $ Rn，則其在路徑 _C_ ⊂ _U_ 上關於方向 r 的曲線積分是：

　
: $\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.$

其中，r: [a, b] $\to $ _C_ 是一個一一的參量化函數，並且 r(_a_) 和 r(_b_) 分別是路徑曲線 _C_ 的兩個端點。這時曲線積分值的絕對值與參量化函數 r 無關，但其方向與參量化函數 r 的選擇有關。特別地，當方向相反時，積分值也相反。

與路徑無關的條件

如果向量場 F 是一個純量場 G 的梯度，即：

　
: $\nabla G=\mathbf {F} ,$

那麼，由 G 和 r 組成的複合函數的導數是：

　
: ${\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$

於是對路徑 C 就有：

　
: $\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a))$ 。

用文字表示，就是說若 F 是一個梯度場，那麼 F 的曲線積分與所取的路徑無關，而只與路徑的起點和終點的選取有關。

應用

在各種保守力的場都是路徑無關的，一個常見的例子就是重力場或電場。在計算這種場的做功時，可以選擇適當的路徑進行積分，使得計算變得簡單。

曲線積分與複分析的關係

如果將複數看作二維的向量，那麼二維向量場的曲線積分就是相應複函數的共軛函數在同樣路徑上的積分值的實部。

根據柯西 - 黎曼方程式，一個全純函數的共軛函數所對應的向量場的旋度是 0。



複曲線積分

在複分析中，曲線積分是通過複數的加法和乘法定義的。令 _U_ 為複數集 C 的一個開子集，_f_ : _U_ $\to $ C 是一個函數， $L\subset U$ 是一個參數為 $\gamma :[a,b]\to L$ 的可求長曲線，其中 $\gamma (t)=x(t)+iy(t)$ 。則曲線積分：

　
: $\int _{L}f(z)\,dz$

可以通過將區間 [_a_, _b_] 分劃為 _a_ = _t_0 < _t_1 < ... < _t_n = _b_ 來定義。考慮下式：

　
: $\sum _{k=1}^{n}f(\gamma (t_{k}))[\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1})]=\sum _{k=1}^{n}f(\gamma _{k})\Delta \gamma _{k}.$

曲線積分是區間分劃的長度趨於零時這個黎曼和的極限。

當 $\gamma $ 連續可微時，曲線積分可以用一個實變函數的積分表示：

　
: $\int _{L}f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\,\gamma \,'(t)\,dt.$

當 $L$ 為閉合曲線時，積分的起點和終點重合，這時 _f_ 沿 $L$ 的曲線積分通常記作

　
: $\oint _{L}f(z)\,dz$

對於共軛微分算子 ${\overline {dz}}$ 的曲線積分定義為

　
: $\int _{L}f{\overline {dz}}:={\overline {\int _{L}{\overline {f}}dz}}=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\,{\overline {\gamma '(t)}}\,dt.$

複函數的曲線積分有很多技巧。將複函數分作實部和虛部，可以將問題簡化為兩個實值函數的曲線積分。其它情況下可以用柯西積分公式。如果積分路徑是閉合的，並且積分函數在區域中是解析的且沒有奇異點，那麼它的曲線積分是零，這是柯西積分定理的推論。根據留數定理，可以用複數平面上的圍道積分計算實值函數在實區間上的積分。

例子

考慮複函數 _f_(_z_)=1/_z_，設積分路徑 _L_ 為單位圓（模長為 1 的複數的集合）。我們使用 γ(_t_)=_e_it 來將路徑參數化，其中 _t_ 在 [0, 2π] 內。代入積分式就得到：

$$
{\begin{aligned}\oint _{L}f(z)\,dz&=\int _{0}^{2\pi }{1 \over e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int _{0}^{2\pi }\,dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}
$$

用柯西積分定理也可以得到結果。



量子力學

量子力學中的「曲線積分形式」和曲線積分並不相同，因為曲線積分形式中所用的積分是函數空間上的泛函積分，即關於空間中每個路徑的機率函數進行積分。然而，曲線積分在量子力學中仍有重要作用，比如說復圍道積分常常用來計算量子散射理論中的機率振幅。



參看


* 費曼－卡茨公式

* 傳播子，費恩曼傳播子使用複數平面的曲線積分

* 留數定理，使用複數平面的曲線積分



注釋



參考文獻



外部連結


* A pictoral explanation of the path integral

* Solved problems on path integrals

* Contour Integrals Module by John H. Mathews