白金漢 π 定理是因次分析中的重要定理，在工程、應用數學及物理中都會用到。白金漢 π 定理可以視為是形式化的雷諾因次分析法。簡單的說，白金漢 π 定理指出若有一個物理上有意義的方程式，其中有 _n_ 個物理量，而這些物理量共有 _k_ 個獨立的因次，則原方程式式可以寫成由 _p_ = _n_ − _k_ 個無因次的參數 π1, π2, ..., πp 組成的方程式式（此處的 _k_ 可以用特定矩陣的秩而得），而這些無因次的參數是由原方程式式中的物理量所組成。

白金漢 π 定理可以視為是一種無因次化的框架，其中提供方法，從已知的物理量中找到一組無因次的參數，甚至此時方程式式的具體形式還不清楚也沒有關係。

例如在流體中運動的物體，其阻力方程式中包括以下五個物理量：速度 _u_、流體密度 _ρ_、
動黏滯係數 _ν_、 物體截面大小 _A_ 以及阻力 _FD_

　
: f1(u, ρ, ν, A, FD)= 0，

利用白金漢 π 定理，可以將阻力方程式簡化為由阻力係數 _CD_ 及雷諾數 _R_e 組成的方程式

　
: f2(CD, Re)= 0，

而這二個物理量是由上述物理量組合而成。



歷史

白金漢 π 定理得名自美國物理學家埃德加・白金漢，不過最早是由法國數學家約瑟・伯特蘭證明，伯特蘭在 1878 年時只考慮到一些由電動力學及熱傳導而來的一些問題，不過他的文章中包括所有現在證明此定理會用到的基本概念，而且清楚的指出此定理可以用在物理現象的建模。使用此定理的相關技術（因次法）因為約翰・斯特拉特，第三代瑞利男爵的貢獻而廣為人知（他是第一位將 π 定理「應用在通用情形上」的人，他在研究流體通過管子的壓降的統御參數時用到此方法，日期可能可以追溯到 1892 年，而在 1894 年有一個啟發式的證明，再配合數列展開）。

可以針對任意多參數的 π 定理是由 A. Vaschy 在 1892 年提出，1911 年分別由 A. Federman 及俄國物理學家 Dimitri Riabouchinsky 獨立發現，1914 年又由埃德加・白金漢發現。白金漢在他的文章中用符號 πi 表示無因次量，這也成為這定理的名稱。



定理描述

白金漢 π 定理中，無因次量的個數 _p_ 等於方程式式中因次矩陣的零化度（nullity），而 _k_ 是因次矩陣的秩。在實驗上，若不同的系統其無因次量的描述相同，則這二個系統是等效的。

在數學上，若有以下在物理上有意義的方程式式

　
: $f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,$

其中 _q_i 為 _n_ 個物理量，而這些物理量以 _k_ 個獨立變數表示，則上式可以重組為以下的方程式式

　
: $F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,$

其中 πi 為無因次的參數，由 _q_i 組合而成，而會有 _p_ = _n_ − _k_ 個無因次的方程式式（稱為 Pi 群）如下

　
: $\pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},$

其中的指數 _a_i 為有理數，多半情形會是整數。



重要性

白金漢 π 定理提供方式可以針對一些物理現象的物理量計算無因次量，就算還不知方程式式的具體形式也沒關係。不過無因次量的選擇不是唯一的，白金漢 π 定理只提供一個方式找出一組無因次量，不表示這些無因次量是「物理上最有意義」的。

二個系統若有相同的參數，則稱為「相似」（就算相似三角形一樣，相似三角形之間只是大小不同而已）。在方程式式上是等效的，因此想要確認方程式式形式的實驗者可以選擇最合適，最方便的系統進行。而且白金漢 π 定理提供了變數及基礎因次個數之間的關係。



定理說明

簡述

會假設基本物理量及衍生物理量的空間會形成一個有理數的向量空間，基本物理量為單位向量，而物理量之間的相乘變成向量的加法，而物理量的次冪變成向量的純量乘法：

用基本物理量及其次冪表示現象中有關的物理量（若某一基本物理量沒有出現在物理量的表示式中，基本物理量的次冪寫 0 即可）。例如標準重力 _g_ 的單位為 $D/T^{2}=D^{1}T^{-2}$ （距離除以時間平方），因此若基本物理量為（距離，時間），標準重力會用向量 $(1,-2)$ 表示。

因此找到物理量可組成的無因次量，就變成在物理單位的向量空間中處理線性限制的問題。

因次矩陣及無因次量

假設一個系統，其中有 _n_ 個有因次的參數，其基本因次有 _k_ 個。即可定義其因次矩陣，其各列為基本因次，而各行是有因次的參數：(_i_, _j_) 個元素是第 _j_ 個參數在第 _i_ 個基本因次中的冪次項。矩陣可以視為是將所有變數在各基本因次上的冪次項整合到一個矩陣中。

無因次變數是指在各基本因次上的冪次均為 0（向量空間中的零向量），也等於矩陣的核。

根據秩－零化度定理，有 _n_ 向量（矩陣的行）且有 _k_ 個線性獨立向量的系統，其零化度 p 會滿足 (_p_ = _n_ − _k_)，其中零化度是額外因次的個數，可以選為無因次量。

無因次量可以用因次量的整數次乘積及除法表示。在數學上沒有哪一種無因次量的選擇是比較自然的，不過有些無因次量會比較有物理意義，理想上也會以這類選擇為主。



例子

速度

以下的例子很簡單，但已足以說明白金漢 π 定理。

假設一部車以時速 100 km/h 的速度行駛，行駛 200 km 需要多少時間？

問題中有三個因次：距離 _D_、時間 _T_ 及速度 _V_。這些因次可以用二個基本因次組成：時間 _T_ 及距離 _D_，因此會有 3 − 2 = 1 個無因次量。

其因次矩陣為

　
: $M={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&-1\end{bmatrix}}.$

其各列對應基本因次 _D_ 及 _T_，而行對應三個因次 _D_、_T_ 及 _V_。例如第三行 (1, −1)，所以因次 _V_（速度）用基本因次表示時，為 $D^{1}T^{-1}=D/T$ 。

為了要求得無因次的常數 $\pi =D^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}}$ ，需找到一個向量 $a=[a_{1},a_{2},a_{3}]$ 使得矩陣 _M_ 和向量 _a_ 的乘積是零向量 [0,0]。在線性代數中，向量 _a_ 稱為矩陣 _M_ 的核，可以生成矩陣的零空間，在此例中，零空間是一維的。以上寫的矩陣是為列規範形矩陣，因此可以計算得到向量 _a_ 如下，頂多再加一個和向量相乘的係數：

　
: $a={\begin{bmatrix}-1\\1\\1\\\end{bmatrix}}.$

若因次矩陣還不是列規範形矩陣，也可以用高斯消去法得到因次矩陣的核，因此要求的無因次數可以寫成下式：

　
: $\pi =D^{0}T^{0}V^{0}=D^{-1}T^{1}(D^{1}T^{-1})=D^{-1}T^{1}V^{1}=TV/D$ .

根據因次分析，可以得到有關上述三個物理量之間的關係式：

　
: $f(\pi )=0,$

可以寫成：

　
: $T={\frac {CD}{V}},$

其中 _C_ 是使 $C=f^{-1}(0)$ 成立的常數。若剛剛的向量 _a_ 有再加上係數，所求得的 _C_ 也會隨之不同，是原來 _C_ 值的乘冪。

這三個變數之間的關係其實是 $D=VT$ ，因此實際的無因次量方程式（ $f(\pi )=0$ ）為：

　
: $f(\pi )=\pi -1=VT/D-1=0.$

換句話說 _C_ 只有一個值，就是 1，不過這個資訊不是靠因次分析所能得到的。

單擺

第二個問題是要確認單擺在小幅度振動情形下的週期 _T_，假設週期是長度 _L_、質量 _M_ 以及地表重力加速度 _g_ 的函數。其模型如下

　
: $f(T,M,L,g)=0.\,$

（此處寫成四個物理量之間的關係，不是直接將週期 _T_ 寫成另 _M_, _L_ 及 _g_ 的函數）

在上式中有三個基本物理量：時間 _t_、質量 _m_ 以及長度 _l_，以及四個有因次的物質量。因此只會有 4 − 3 = 1 個無因次量，稱為 π，模型可以改寫為

　
: $f(\pi )=0,$

其 π 為

　
: $\pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}$

而 _a_1, ..., _a_4 為待確定的數值

上述物理量的因次為：

　
: $T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.$

因次矩陣為：

　
: $M={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.$

（列表示基本因次 _t_、_m_ 及 _l_，而行表示物理量 _T_, _M_, _L_ 和 _g_。例如第四行為 (−2, 0, 1) 表示變數 _g_ 的因次為 $t^{-2}m^{0}\ell ^{1}$ ）

計算的目的是要找核向量 _a_ = [_a_1, _a_2, _a_3, _a_4] 使得矩陣 _M_ 和向量 _a_ 的乘積為零向量 [0,0,0]。上述的因次矩陣為列規範形矩陣，因此可以得到核向量 _a_ 如下：

　
: $a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.$

因此無因次量為：

　
: ${\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.$

若只考慮基本因次：

　
: $\pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}(\ell /t^{2})^{1}=1,$

也是無因次量。

這個例子比較簡單，因為四個物理量中有三個是基本單位，因此最後一個（_g_）的單位可以從前三個單位轉換而來。注意若 _a_2 不為零，沒有其他的方式可以將 _M_ 的單位消去，因此 _a_2 需為零。因次分析允許單擺的週期不是質量的函數。（在質量、時間及距離三維組成的三維空間中，質量的向量和其他三個單位的因次向量是線性獨立的，因此若不考慮比例的係數，只有 ${\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}$ 是唯一可組成無因次參數的非顯然解。）

因此模型可以用下式表示：

　
: $f(gT^{2}/L)=0.\ $

假設 _f_ 只有有限個零點，即可令 _gT_2/_L_ = _C_n，其中 _Cn_ 為第 _n_ 個零點。若只有一個零點，則 _gT_2/_L_ = _C_。需要更多物理的概念或是實驗才能確認此函數只有一個零點，因此 _C_ = 4π2。

若單擺的振幅較大，分析會比較複雜，需要導入額外的因次變數（最大擺動角度）。上述的分析在擺動角度接近零時有很好的近似效果。



參考文獻



延伸閱讀


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外部連結


* Some reviews and original sources on the history of pi theorem and the theory of similarity (in Russian) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）



參見