在科學和數學中，狄拉克 δ 函數或簡稱 δ 函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分布。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於 1。δ 函數有時可看作是在原點處無限高、無限細，但是總面積為 1 的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或點電荷的密度。

從純數學的觀點來看，狄拉克 δ 函數並非嚴格意義上的函數，因為任何在擴展實數線上定義的函數，如果在一個點以外的地方都等於零，其總積分必須為零。δ 函數只有在出現在積分以內的時候才有實質的意義。根據這一點，δ 函數一般可以當做普通函數一樣使用。它形式上所遵守的規則屬於運算微積分的一部分，是物理學和工程學的標準工具。包括 δ 函數在內的運算微積分方法，在 20 世紀初受到數學家的質疑，直到 1950 年代洛朗・施瓦茨才發展出一套令人滿意的嚴謹理論。嚴謹地來說，δ 函數必須定義為一個分布，對應於支撐集為原點的機率測度。在許多應用中，均將 δ 視為由在原點處有尖峰的函數所組成的序列的極限（弱極限），而序列中的函數則可作為對 δ 函數的近似。

在訊號處理上，δ 函數常稱為單位脈衝符號或單位脈衝函數。克羅內克 δ 函數是對應於狄拉克 δ 函數的離散函數，其定義域為離散集，值域可以是 0 或者 1。



概述

_δ_ 函數的圖形通常可以視為整條 _x_ 軸和正 _y_ 軸。雖然稱為函數，但 _δ_ 函數並非真正的函數，至少它的值域不在實數以內。例如，_f_(_x_) = _δ_(_x_) 和 _g_(_x_) = 0 這兩個數學對象除了在 _x_ = 0 以外都有相同的值，但其積分卻不相同。根據勒貝格積分理論，若 _f_ 和 _g_ 為函數，使得 _f_ = _g_ 幾乎處處成立，則 _f_ 可積若且唯若 _g_ 可積且 _f_ 和 _g_ 的積分相同。要嚴謹處理 _δ_ 函數，須用到測度論或分布。

_δ_ 函數可以代表一個既高又窄的尖峰函數（脈衝），用以描述點電荷和質點等抽象化的概念。舉例來說，要描述球桿擊球的動力學問題，可以用 _δ_ 函數描述擊球那一刻的力。不但各種方程式會因此簡化，而且只需球桿遞移的總衝量就能算出球擊出後的運動，而不須考慮球桿向球遞移能量的複雜具體情況。

在應用數學中，_δ_ 函數往往能看作是某函數序列的極限（弱極限），該序列中的每一項都在原點處有一個尖峰，例如以零為中心、變異數趨向零的高斯分布序列。



歷史

約瑟夫・傅立葉在他的《熱分析理論》（法語：_Théorie analytique de la chaleur_）中呈現了以下的方程式，今天稱為傅里葉積分定理：

　
: $f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,$

這相當於以這種方式引入了 _δ_ 函數：

　
: $\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .$

之後，奧古斯丁・路易・柯西用指數函數表達了這一定理：

　
: $f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp.$

柯西指出，在某些情況下，積分的計算順序會影響計算結果。

分布理論允許重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅里葉的方程式：

　
: ${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\ d\alpha \right)\ dp\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\ dp\right)f(\alpha )\ d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\ d\alpha ,\end{aligned}}$

其中 _δ_ 函數可表達為：

　
: $\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\ dp\ .$

在接下來的幾個世紀，數學家才逐漸理解這一指數形式的嚴謹含義，以及方程式中的函數 _f_ 所需的條件。用舊有的數學觀念來理解，會有以下的問題：

　
: 古典傅里葉變換的最大缺點在於，能夠有效計算的只有很狹窄的一類函數。這些函數必須（在無限的鄰域內）足夠快地降至零，才能保證傅里葉積分值的存在。例如，連多項式這種如此簡單的函數，也不存在古典意義上的傅里葉變換。古典傅里葉變換擴展至分布，大大增加了能夠進行變換的函數類型，移除了諸多障礙。

之後，米歇爾・普朗歇爾（Michel Plancherel）開創性的 _L_2 理論（1910 年）、諾伯特・維納和薩洛蒙・博赫納（Salomon Bochner）的貢獻（1930 年前後）以及最後洛朗・施瓦茨歸納這一切的分布理論（1945 年）進一步推廣了傅里葉積分，並建立了狄拉克 _δ_ 函數的嚴格定義。

1827 年，柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函數（柯西分布的無限小版本）。西莫恩・德尼・帕松和古斯塔夫・克希荷夫之後在研究波傳播的時候，考慮過這一函數。克希荷夫與赫爾曼・馮・亥姆霍茲將單位脈衝描述為高斯分布的極限，這也符合克耳文勳爵對點熱源的描述。19 世紀末，奧利弗・黑維塞利用形式上的傅里葉級數對單位脈衝進行操作。1930 年，保羅・狄拉克在影響深遠的《量子力學原理》中引入了 _δ_ 函數作為一種「方便的記號」，故此該函數今天以他命名。



定義

籠統地來說，_δ_ 函數是在實數線上的一個函數，在原點上無限，在所有其他點上為零，

　
: $\delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$

並同時滿足以下條件

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$

這只是一個概略的表述：_δ_ 函數並不是一個嚴格意義上的函數，沒有任何定義在實數線上的函數能滿足以上的條件。更嚴謹地來說，_δ_ 函數可以定義為分布或測度。

測度

測度是其中一種嚴謹定義 _δ_ 函數的方法。作為一個測度，_δ_ 函數取一個實線 R 的子集 _A_，當 0 ∈ _A_ 時輸出 _δ_(_A_) = 1，否則 _δ_(_A_) = 0。如果把 _δ_ 函數想像成位於 0 的一個理想化的質點，則 _δ_(_A_) 代表集合 _A_ 所包含的質量。一個函數相對於 _δ_ 的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函數 _f_，這一積分滿足：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0).$

測度 _δ_ 相對於勒貝格測度不絕對連續，它其實是一個奇異測度。因此，它並不具有拉東 - 尼科迪姆導數，也就是不存在滿足以下條件的函數 _δ_：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0).$

雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的（黎曼或勒貝格）積分。

作為 R 上的機率測度，狄拉克測度可以通過它的累積分布函數──單位階躍函數──來定義：

　
: $H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$

換句話說，_H_(_x_) 是積累指示函數 1(−∞, _x_]相對於測度 _δ_ 的積分：

　
: $H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (-\infty ,x].$

_δ_ 函數相對於一個連續函數的積分可以通過黎曼－斯蒂爾傑斯積分嚴格定義：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta \{dx\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).$

_δ_ 函數的所有更高矩都是零。其特徵函數和矩母函數都等於 1。

分布

在分布理論中，一個廣義函數並不像普通函數一樣直接定義，而是在它相對其他函數積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路，只須定義 _δ_ 函數相對某個足夠「良好」的測試函數的「積分」就足夠了。如果 _δ_ 函數已經定義為測度，則這種積分可以是測試函數相對於這 _δ_ 測度的勒貝格積分。

測試函數空間一般可包括所有 $\mathbf {R} $ 上的緊支撐光滑函數。作為一個分布，_δ_ 函數是在測試函數空間上的線性泛函，定義為

　
:

若要使 _δ_ 成為一個正式的分布，它必須要在測試函數空間上相對某個合適拓撲為連續的。在測試函數空間上的線性泛函 $S$ 要能夠良好定義一個分布，其必要和充分條件是，對於每個正整數 $N$ ，有整數 $M_{N}$ 和常數 $C_{N}$ ，使得對每個測試函數 $\varphi $ ，以下不等式都成立：

　
: $|S[\varphi ]|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}|\varphi ^{(k)}(x)|.$

當 $S$ 就是 _δ_ 分布時，對所有的 $N$ 取 $C_{N}=1,M_{N}=0$ ，就能滿足這條不等式。因此，_δ_ 是級數為零的分布。它也是一個緊支撐分布，其支撐集是 $\{0\}$ 。

δ 分布有幾種等價的定義。例如，它是黑維塞階躍函數的分布導數，也就是說，對於任何測試函數 $\varphi $ ，

　
: $\delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,\mathrm {d} x.$

直觀而言，如果允許分部積分法，以上的積分就會簡化為

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)H'(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\delta (x)\,\mathrm {d} x.$

而利用黎曼－斯蒂爾傑斯積分的分部積分法可以得到

　
: $-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\mathrm {d} H(x).$

在測度論中，狄拉克測度通過積分產生分布。相反，公式 (1) 在所有緊支撐連續函數 $\varphi $ 空間上定義了一個 Daniell 積分，且根據里斯表示定理，該積分可以表示為 $\varphi $ 相對於某拉東測度的勒貝格積分。

當講到「狄拉克 _δ_ 函數」時，一般指的是分布，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克 _δ_ 分布」。測度論中相對應的概念則稱為狄拉克測度。

推廣

在 _n_ 維歐幾里得空間 Rn 中，狄拉克 _δ_ 函數可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函數 _f_，滿足

　
: $\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\delta \{d\mathbf {x} \}=f(\mathbf {0} ).$

作為一個測度，_n_ 維 _δ_ 函數是每個獨立變數的 1 維 _δ_ 函數的積測度。也就是說，若 x = (_x_1, _x_2, ..., _x_n)，則

　
:

上文的 1 維 _δ_ 分布也存在 _n_ 維推廣。儘管在物理學和工程學中應用廣泛，公式 (2) 還是必須小心使用，因為多個分布的積只有在較狹窄的條件下才有良好的定義。

狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。設 _X_ 是集合，_x_0 ∈ _X_，Σ 為 _X_ 子集上的任何 σ- 代數，則對每個集合 _A_ ∈ Σ 可以定義測度：

　
: $\delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}$

這就是單位質量集中在 _x_0 處的狄拉克測度。

_δ_ 函數也可以推廣至微分流形，由於具有微分結構，因此能保留它作為分布的一些性質。流形 _M_ 上以 _x_0 ∈ _M_ 為中心的 _δ_ 函數可定義為以下分布：

　
:

對於所有 _M_ 上的緊支撐光滑實數值函數 _φ_。一個常見的特殊情況是，_M_ 是歐幾里得空間 Rn 中的一個開集。

在局部緊郝斯多夫空間 _X_ 中，集中在點 _x_ 的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函數 _φ_ 的 Daniell 積分 (3) 的拉東測度。推廣到這一層次，已經無法進行普通的微積分，不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如，映射 $x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}$ 是把 _X_ 嵌入到包含所有在 _X_ 上的有限拉東測度的空間（具有淡拓撲）的一個連續函數。而且，_X_ 在這一嵌入下的值域的凸包，在在 _X_ 上的機率測度空間中是一個稠密集。



性質

縮放與對稱

對非零純量 $\alpha $ ，_δ_ 函數有以下縮放性質：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {\mathrm {d} u}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}$

所以

　
:

_δ_ 函數是一個偶分布，也就是說

　
: $\delta (-x)=\delta (x).$

因此 _δ_ 函數屬於−1 階齊次函數。

代數性質

_δ_ 和 $x$ 的分布積等於零：

　
: $x\delta (x)=0.$

相反，若 $xf(x)=xg(x)$ ，其中 $f$ 和 $g$ 為分布，則存在常數 $c$ 使得

　
: $f(x)=g(x)+c\delta (x).$

平移

延時 _δ_ 函數的積分為：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-T)\,\mathrm {d} t=f(T).$

因此 _δ_ 函數有「篩選」或「採樣」的功能──可以篩選出函數在 $t=T$ 的值。

可以推論，函數 $f(t)$ 與延時 _δ_ 函數摺積後會受到延時：

　
:

這必須在 $f$ 是緩增分布的前提下才會成立（見下文關於傅里葉變換的討論）。以一個特殊情況為例，有恆等式如下（把 _δ_ 視為分布）

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,\mathrm {d} x=\delta (\xi -\eta ).$

與函數的復合

更一般地來說，_δ_ 分布可以和光滑函數 $g(x)$ 復合，使得熟悉的變數更換公式成立：

　
: $\int _{\mathbf {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}|g'(x)|\,\mathrm {d} x=\int _{g(\mathbf {R} )}\delta (u)f(u)\,\mathrm {d} u$

條件是 $g$ 為連續可微函數且處處非零。換言之， $\delta \circ g$ 作為一個分布具有唯一的定義，使得這條恆等式對於一切緊支撐測試函數 _f_ 都成立。因此，定義域必須切割開來，排除 $g'=0$ 這一點。如果 $g$ 處處非零，那麼此分布滿足 $\delta (g(x))=0$ ；否則如果 $g$ 在 $x_{0}$ 處有一個實數根，則

　
: $\delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.$

很自然地，對連續可微函數 $g$ ，可以把 $\delta (g(x))$ 「定義」為

　
: $\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$

其中求和跑遍 $g(x)$ 的所有根，這些根都假設為單根。比如，

　
: $\delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.$

_δ_ 分布的廣義縮放特性，用積分寫出：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.$

在 _n_ 維中的性質

_δ_ 分布在 $n$ 維空間中的縮放性質如下：

　
: $\delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )$

從而 _δ_ 是一個 $n$ 階齊次分布。_δ_ 分布在任何鏡射和旋轉 $\rho $ 下不變：

　
: $\delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} ).$

和單變數時一樣，可以唯一地定義 _δ_ 與雙利普希茨函數 $g:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}$ 的復合，使得恆等式

　
: $\int _{\mathbf {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\,|\det g'(\mathbf {x} )|\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g(\mathbf {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u} )\,\mathrm {d} \mathbf {u} $

對於所有緊支撐函數 $f$ 成立。

利用幾何測度論中的餘面積公式，可以定義 _δ_ 函數與從一個歐幾里得空間到另一個不同維度的空間的浸沒的復合，所產生的結果是一種流。在連續可微函數 $g:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} ^{n}$ 滿足 $g$ 的梯度處處非零的特殊情況下，以下恆等式成立：

　
: $\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {x} )$

其中右邊的積分範圍是 $g^{-1}(0)$ ，即 $g(\mathbf {x} )=0$ 所定義的一個 $(n-1)$ 維曲面（依閔可夫斯基容度）。這叫做單層（simple layer）積分。

更一般地來說，若 $S$ 是 $\mathbf {R} ^{n}$ 中的光滑超曲面，則可以把 $S$ 聯繫到在 $S$ 上對任何緊支撐光滑函數 $g$ 積分的分布：

　
: $\delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} )$

其中 $\sigma $ 是聯繫到 $S$ 的超曲面測度。這種推廣與 $S$ 上的單層位勢的位勢論相關。設 $D$ 是 $\mathbf {R} ^{n}$ 中具有光滑邊際 $S$ 的區域，則 $\delta _{S}$ 等於 $D$ 的指示函數的（分布意義上的）法向導數：

　
: $-\int _{\mathbf {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n}}\;\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\;\mathrm {d} \sigma (\mathbf {s} ),$

其中 $n$ 是向外法線。



傅里葉變換

_δ_ 函數屬於緩增分布，所以擁有良好定義的傅里葉變換。正式地說，（在一些傅里葉變換慣例下）有

　
: ${\hat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\delta (x)\,dx=1.$

一個分布的傅里葉變換的定義是，在緩增分布與速降函數的對偶配對 $\langle \cdot ,\cdot \rangle $ 下，要求傅里葉變換是自伴的。從而， ${\hat {\delta }}$ 定義為滿足以下條件的唯一緩增分布：

　
: $\langle {\hat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\hat {\varphi }}\rangle $

對於一切速降函數 _φ_。從此可推導，的確 ${\hat {\delta }}=1$ 。

這條恆等式意味著，_δ_ 函數與任何其他緩增分布 _S_ 的摺積即等於 _S_：

　
: $S*\delta =S.$

這意味著，_δ_ 是緩增分布上的摺積的單位元素。而且，在摺積下的緊支撐分布空間是一個以 _δ_ 函數為單位元素的結合代數。這在訊號處理應用中尤其重要，因為與緩增分布的摺積屬於線性非時變系統，而基於 _δ_ 函數的線性非時變系統可以測量該緩增分布的脈衝響應。只要對 _δ_ 作適當的近似，就可以以任意要求的程度算出脈衝響應。一旦知道脈衝響應，就能完全描述整個系統的特徵。詳見線性非時變系統理論：脈衝響應和摺積。

緩增函數 _f_(_ξ_) = 1 的反傅里葉變換等於 _δ_ 函數。更正式地表達，

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x).$

更嚴謹地來說，有

　
: $\langle 1,f^{\vee }\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle $

對於一切速降函數 _f_。

這樣，_δ_ 函數暗示著在 R 上的傅里葉核的正交性，即：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).$

換句話說，緩增分布

　
: $f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}$

的傅里葉變換是

　
: ${\hat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2}).$

這同樣可以通過對傅里葉變換要求自伴性而得出。

利用傅里葉變換的解析延拓，可以得出 _δ_ 函數的拉普拉斯變換：

　
: $\int _{0}^{\infty }\delta (t-a)e^{-st}\,dt=e^{-sa}.$



分布導數

狄拉克 _δ_ 分布的分布導數是一個分布 _δ_′，它對於所有緊支撐光滑測試函數 _φ_ 定義為

　
: $\delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).$

此處第一個等號類似於分部積分，因為若 _δ_ 是個真正的函數，則

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx.$

_δ_ 的 _k_ 階導數的定義大同小異，對任何測試函數 _φ_，

　
: $\delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).$

從而 _δ_ 是個無限可微分布。

_δ_ 函數的一階微分是差商

　
: $\delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}$

的分布極限。更準確地說，有

　
: $\delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )$

其中 τh 是平移算子，對於函數的定義是 _τ_h_φ_(_x_) = _φ_(_x_ + _h_)，而對於分布 _S_ 的定義是

　
: $(\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].$

在電磁學中，_δ_ 函數的一階導數代表一個位於原點的點磁偶極，因此也稱為「偶極」或偶函數。_δ_ 函數的導數滿足一些基本性質，包括：

　
: ${\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\delta (-x)={\frac {d}{dx}}\delta (x)\\[8pt]&\delta '(-x)=-\delta '(x)\\[8pt]&x\delta '(x)=-\delta (x).\end{aligned}}$

這些性質都可以通過對測試函數積分，並運用分部積分法推導而出。

另外，_δ_′與緊支撐光滑測試函數 _f_ 的摺積為

　
: $\delta '*f=\delta *f'=f',$

這來自摺積的分布導數的性質。

更高維度

更一般地說，在 _n_ 維歐幾里得空間 Rn 中的開集 _U_ 上，以點 _a_ ∈ _U_ 為中心的狄拉克 _δ_ 分布定義為

　
: $\delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)$

對於一切 _φ_ ∈ _S_(_U_)，其中 _S_(_U_) 是所有 _U_ 上的緊支撐光滑函數的空間。若 _α_ = (_α_1, ..., _α_n) 是任何多重指標，而∂α 表示相關的混合偏導數算子，則 _δ_a 的 _α_ 階導數∂α_δ_a 是

　
: $\left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =\left.(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x)\right|_{x=a}$

對於一切 _φ_ ∈ _S_(_U_)。也就是說，_δ_a 的 _α_ 階導數是個分布，它在任何測試函數 _φ_ 的值等於 _φ_ 在點 _a_ 的 _α_ 階導數（加上合適的正負號）。

_δ_ 函數的一階偏導數可以視為沿著坐標平面的雙層。更一般地來講，支撐在一個曲面上的單層的法向導數是在該曲面上的雙層，並表示一個層磁單極。_δ_ 函數的更高階導數，在物理學裡稱為多極。

高階導數很自然地能夠建構具有單元素支撐集的分布的完整結構。若 _S_ 是任何在 _U_ 上、支撐集為一個點 {_a_} 的分布，那麼存在整數 _m_ 和一組係數 _c_α，使得

　
: $S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.$



_δ_ 函數的表示

_δ_ 函數可以視為一個函數序列的極限：

　
: $\delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),\,$

其中 _ηε_(_x_) 有時稱為初生 _δ_ 函數。這一極限是個弱極限：對於一切緊支撐連續函數 _f_，有

　
:

或者，這個極限對於一切緊支撐光滑函數 _f_ 都存在。這兩種不同的弱收斂模式往往有十分微妙的差異，前者是依測度的淡拓撲收斂，而後者則是分布的收斂。

對單位元素的近似

通常一個初生 _δ_ 函數 _ηε_ 可以如下建構。設 _η_ 是一個 R 上的總積分為 1 的絕對可積函數，並定義

　
: $\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$

在 _n_ 維當中，改用以下縮放

　
: $\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$

在簡單的變數更換之後，可見 _ηε_ 的積分同樣等於 1。不難證明，(5) 對於一切連續緊支撐函數 _f_ 都成立，從而 _ηε_ 作為一個測度向 _δ_ 弱收斂。

這樣建構的 _ηε_ 叫做對單位元素的近似，因為包含所有絕對可積函數的空間 _L_1(R) 在函數摺積這一作用下閉合：_f_ ∗ _g_ ∈ _L_1(R)，當 _f_ 和 _g_ 都屬於 _L_1(R)。然而，_L_1(R) 在摺積下並沒有單位元素：沒有任何元素 _h_ 使得 _f_ ∗ _h_ = _f_ 對於所有 _f_ 都成立。但序列 _ηε_ 仍然能夠近似這種單位元素，就是說

　
: $f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\rm {{as\ }\varepsilon \to 0.}}$

在平均收斂（即 _L_1 中的收斂）下，此極限存在。要確保幾乎處處點收斂，還需要對 _ηε_ 加上更多的前提，比如它必須是對應於一個緊支撐函數的柔化函數。

如果最初的 _η_ = _η_1 本身已經是光滑的而且具有緊支撐，那麼整個序列就叫做柔化序列。標準柔化序列可以通過選擇某個適當歸一化的衝激函數 _η_ 來定義，例如

　
: $\eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1.\end{cases}}$

在數值分析等的一些情況下，以分段線性函數對單位元素進行近似會更加有用。可以定義 _η_1 是一個三角形函數，然後有

　
: $\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)$

它們全部都是連續的且具有緊支撐，但不是光滑的，從而也不是柔化函數。

機率論

在機率論中，很自然地會加入一項額外條件，亦即要求對單位元素近似的初始 _η_1 是正的，因為這樣它就會代表一個機率分布。有時需要和機率分布來摺積的原因是，輸出值是輸入值的凸組合，因此處於最高與最低輸入值之間，從而能夠避免過衝或下衝。取 _η_1 為任何隨意的機率分布，並如上設 _ηε_(_x_) = _η_1(_x_/_ε_)/_ε_，就可以取得對單位元素的近似。此外，如果 _η_ 的平均值為 0，且更高矩較小，那麼序列就會向 _δ_ 函數收斂得更快。比如，設 _η_1 是[−1/2, 1/2]上的均勻分布，即矩形函數，則：

　
: $\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\ {\textrm {rect}}\left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

又以維格納半圓分布舉例，

　
: $\eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon \\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

這是連續的，且具有緊支撐，但因為不是光滑的，所以也不是柔化函數。

半群

初生 _δ_ 函數往往以摺積半群的身份出現。這相等於另加一個條件──_ηε_ 與 _ηδ_ 的摺積必須滿足

　
: $\eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }$

對於所有 _ε_ 和 _δ_ > 0。_L_1 中形成初生 _δ_ 函數的摺積半群一定是對單位元素的近似（用上式的意思），但半群設下了限制性頗強的條件。

在實踐當中，對單位元素的半群近似出現在物理學所啟發的橢圓型和拋物型偏微分方程式中，作為基本解或格林函數。在應用數學中，半群是線性非時變系統的輸出。抽象地來說，若 _A_ 是一個作用在 _x_ 的函數上的線性算子，則在對初值問題求解時會出現摺積半群：

　
: ${\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}$

其中極限同樣是弱極限。設 _ηε_(_x_) = _η_(_ε_, _x_)，得出相關的初生 _δ_ 函數。

下面將列出若干有物理意義的、在此類基本解中所出現的摺積半群。

熱核

熱核，定義是

　
: $\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}$

代表的是一條無限長絲在 _t_ > 0 時的溫度，如果在 _t_ = 0 時在原點處儲藏了一個單位的熱能。此半群依照一維熱傳導方程式演變：

　
: ${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$

在機率論中，_ηε_(_x_) 是一個平均值為 0、變異數為 _ε_ 的常態分布。它代表了一個粒子從原點開始，作標準布朗運動，在 _t_ = _ε_ 這一刻的機率密度函數。在這種情況下，半群條件也就體現了布朗運動的馬可夫性質。

在高維歐幾里得空間 Rn 中，熱核等於

　
: $\eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},$

並且在作必要的修改後有著相同的物理解釋。而且，當 _ε_ → 0，_ηε_ → _δ_，因此它也代表了一個初生 _δ_ 函數。

帕松核

帕松核

　
: $\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\;d\xi $

是拉普拉斯方程式在上半平面中的基本解。它代表了一個半無限平板在邊際的電位固定為 _δ_ 函數時的電位。帕松核也和柯西分布有緊密的聯繫。半群根據以下方程式演變：

　
: ${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)$

其中的算子嚴謹地定義為傅里葉乘數

　
: ${\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).$

震蕩積分

在波動力學等物理範疇中，須要解不少雙曲型偏微分方程式，而這些方程式有更多的奇異解。因此，從相關的柯西問題的基本解所產生的初生 _δ_ 函數，一般都是震蕩積分。例如，從穿音速氣體動力學的歐拉 - 特里科米方程式的解，取得歸一化艾里函數

　
: $\varepsilon ^{-{\frac {1}{3}}}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-{\frac {1}{3}}}\right).$

雖然用的是傅里葉變換，但是不難看到，這從某種意義上產生了一個半群，只不過由於它不是絕對可積的，所以無法從上文更強的意義來定義半群。許多用振蕩積分來建構的初生 _δ_ 函數，只能從分布意義上收斂（見下文的例子狄利克雷核），而不能從測度意義上收斂。

另一個例子是 R1+1 中的波動方程式的柯西問題：

　
: ${\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}$

解 _u_ 代表了一條具有無限彈性的弦，一開始在原點處受到擾動後，距離平衡的位移程度。

其他同類的對單位元素的近似還包括，廣泛應用於電子和電信中的 sinc 函數

　
: $\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\;dk$

以及貝塞爾函數

　
: $\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).$

平面波分解

要對線性偏微分方程式

　
: $L[u]=f$

求解，其中 _L_ 是 Rn 上的一個微分算子，可以先取得基本解，即對以下方程式求解：

　
: $L[u]=\delta .$

當 _L_ 相對簡單的時候，通常直接利用傅里葉變換就可以求解（如上文提到的帕松核和熱核）。如果算子比較複雜，可以先考慮更簡單的方程式

　
: $L[u]=h$

其中 _h_ 是一個平面波函數，意思是對於某向量 ξ，有

　
: $h=h(x\cdot \xi )$

這樣的方程式可以用柯西 - 柯瓦列夫斯卡婭定理求解（如果 _L_ 的係數是解析函數），或者用求積法求解（如果 _L_ 的係數是常數）。所以，如果 _δ_ 函數能夠分解成平面波的話，理論上就能取得線性偏微分方程式的解。

對 _δ_ 函數進行平面波分解的方法，最早是約翰・拉東（Johann Radon）所發展的一套通用技巧之一，之後由弗瑞茲・約翰進一步發展至這種形式（1955）。選擇 _k_，使得 _n_ + _k_ 是一個偶整數；對於實數 _s_，定義

　
: $g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\&\\-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}$

要取得 _δ_，對 _g_(_x_ · _ξ_) 相對球體測度 dω 積分，再對積分施用拉普拉斯算子的冪，其中 _ξ_ 屬於單位球面 _S_n−1：

　
: $\delta (x)=\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$

此處的拉普拉斯算子理解為弱導數，所以上式的意思是，對於任何測試函數 _φ_，

　
: $\varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$

這一結果來自牛頓位勢公式（牛頓位勢是帕松方程式的基本解）。這實際上是拉東變換的逆轉公式，因為它能夠從 _φ_(_x_) 在超曲面上的積分取回 _φ_(_x_) 的值。例如，若 _n_ 是奇數，而 _k_ = 1，則右邊的積分等於

　
: $c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\int \int _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy=c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp$

其中 _Rφ_(_ξ_, _p_) 是 _φ_ 的拉東變換：

　
: $R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.$

平面波分解的另一個等價表達式是（Gelfand & Shilov 1966–1968，I, §3.10）

　
: $\delta (x)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }$

對於偶數 _n_，且

　
: $\delta (x)={\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }$

對於奇數 _n_。

傅里葉核

在對傅里葉級數的研究當中，一個重要的問題是須要判斷，和某週期函數相關的傅里葉級數是否收斂到該函數，以及從何種意義上收斂。週期為 2π 的函數 _f_ 的傅里葉級數的第 _n_ 部分和，定義是與狄利克雷核在區間 [−π,π] 上的摺積：

　
: $D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})x\right)}{\sin(x/2)}}.$

因此

　
: $s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}$

其中

　
: $a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.$

傅里葉級數的一個基礎結果說明，當 _N_ → ∞，狄利克雷核趨向於 _δ_ 函數的倍數。收斂指的是從分布意義上的收斂，即

　
: $s_{N}(f)(0)=\int _{\mathbf {R} }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$

對於一切緊支撐光滑函數 _f_。從而，在區間 [−π,π] 上有

　
: $\delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}.$

儘管如此，但這並不對所有緊支撐連續函數成立，換言之，_DN_ 從測度意義上並不弱收斂。鑒於傅里葉級數無法收斂，因此數學家建立了各種可和性方法來達到收斂。從切薩羅求和法發展出費耶核

　
: $F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.$

費耶核從一種更強的意義向 _δ_ 函數收斂：

　
: $\int _{\mathbf {R} }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$

對於一切緊支撐連續函數 _f_。結果是，所有連續函數的傅里葉級數在每一點上都是切薩羅可和的，且和的值等於該函數的值。

希爾伯特空間理論

狄拉克 _δ_ 分布是在包含所有平方可積函數的希爾伯特空間 L2 上所稠密定義的一個無界線性泛函。緊支撐光滑函數在 _L_2 中是一個稠密集，且 _δ_ 分布對於緊支撐光滑函數有良好定義。在許多應用中，可以對 _L_2 的某個子空間賦予更強的拓撲，使得 _δ_ 函數能夠定義一個有界線性算子。

索伯列夫空間

索伯列夫嵌入定理應用在實數線 R 上的索伯列夫空間上時，意味著任何平方可積函數 _f_，只要滿足

　
: $\|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty $

就必定是連續的，而且滿足

　
: $\delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.$

從而 _δ_ 是一個在索伯列夫空間 _H_1 上的有界線性泛函。另一個等價的說法是，_δ_ 是 _H_1 的連續對偶空間 _H_−1 的元素。更一般地說，在 _n_ 維中，有 _δ_ ∈ _H_−_s_(Rn)，條件是 _s_ > _n_ / 2。

全純函數空間

在複分析中，_δ_ 函數出現在柯西積分公式中，公式說明，若 _D_ 是複數平面上一個具有光滑邊際的域，則

　
: $f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D$

對於一切在 _D_ 的閉包內連續的全純函數。從而，對於此類全純函數，_δ_ 函數 _δ_z 可以以柯西積分表示：

　
: $\delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.$

更一般地來說，設 _H_2(∂_D_) 是一個哈代空間，它是所有在 _D_ 中直到 _D_ 的邊際都是連續的全純函數，在 _L_2(∂_D_) 中的凸包。_H_2(∂_D_) 中的函數可以唯一地延續成 _D_ 上的全純函數，而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於 _z_ ∈ _D_，_δ_ 函數 _δ_z 是一個 _H_2(∂_D_) 上的連續線性泛函。這是多複數變數函數中的特殊情況：對於光滑域 _D_，Szegő核代替了柯西積分的角色。

單位分解

在可分希爾伯特空間中，給定一個由函數 {_φ_n} 組成的標準正交基（如一個緊自伴算子的歸一化特徵向量），那麼任何向量 _f_ 都可以表達成：

　
: $f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.$

係數 {αn} 可以如下得出：

　
: $\alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,$

也可以寫為

　
: $\alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,$

這是狄拉克符號的一種。在這種寫法下，_f_ 以並矢方式展開：

　
: $f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).$

設 _I_ 是該希爾伯特空間上的恆等算子，則表達式

　
: $I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger }$

稱為單位分解。當希爾伯特空間是 _L_2(_D_)，包含所有在域 _D_ 上的平方可積函數，那麼

　
: $\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger }$

就是一個積分算子，而 _f_ 可以重新表達為：

　
: $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .$

右邊的級數是在 _L_2 當中向 _f_ 收斂。就算 _f_ 是連續函數，點收斂極限也不一定存在。儘管如此，往往可以濫用符號，寫

　
: $f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,$

如此來表示 _δ_ 函數：

　
: $\delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).$

在適當的裝備希爾伯特空間 (Φ, _L_2(_D_), Φ\*) 中，其中 Φ ⊂ _L_2(_D_) 包含所有緊支撐光滑函數，視乎基 _φ_n 的性質，上方的級數有可能在 Φ\
* 中收斂。在大多數實際情況下，標準正交基來自於某個積分或微分算子，這時候級數會從分布的意義上收斂。

無限小 _δ_ 函數

1827 年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函數時，用到了一個無限小數 _α_，使得函數 _δα_ 滿足

$$
\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0).
$$

他（以及拉扎爾・卡諾）把無限小數定義為一個趨向於零的序列。

非標準分析能夠嚴謹地處理無限小數。利用超實數的語言，狄拉克 _δ_ 函數可以用含有無限小數的延伸實數來表達，詳見 Yamashita (2007) 論文所列出的相關書目。這樣定義的 _δ_ 函數是真正意義上的函數，使得對於每個實函數 _F_，都有

$$
\int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0),
$$

結果與傅里葉和柯西用別的語言所表達的一樣。



狄拉克梳子

由一系列狄拉克測度組成的均勻脈衝串叫做狄拉克梳子，亦稱 Shah 分布，是一個取樣函數，常用在數位訊號處理和離散時間訊號分析中。狄拉克梳子是許多單個 _δ_ 函數的無限和，和的極限是分布意義上的極限：

　
: $\Delta (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),$

這可以理解為，在每個整數處都有一個單位質點。

狄拉克梳子是其自身的傅里葉變換（或乘以某個歸一常數）。其重要性在於，若 _f_ 是速降函數，則 _f_ 在週期化後的結果以以下摺積表示：

　
: $(f*\Delta )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).$

特別有，

　
: $(f*\Delta )^{\wedge }={\hat {f}}{\widehat {\Delta }}={\hat {f}}\Delta ,$

這正是帕松求和公式。



索霍茨基－魏爾斯特拉斯定理

索霍茨基－魏爾斯特拉斯定理是量子力學中重要的定理，它把 _δ_ 函數和分布 p.v.1/_x_ 聯繫起來，後者是函數 1/_x_ 的柯西主值，定義是

　
: $\left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.$

索霍茨基公式說明，

　
: $\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),$

此處的極限是分布意義上的極限，就是說對於一切緊支撐光滑函數 _f_，

　
: $\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.$



與克羅內克 _δ_ 函數的關係

克羅內克 _δ_ 函數 _δij_ 的定義是，

　
: $\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}$

對於所有整數 _i_、_j_。它滿足以下的篩選性質：若 $(a_{i})_{i\in \mathbf {Z} }$ 是一個兩頭無限的序列，則

　
: $\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.$

這和狄拉克 _δ_ 函數的篩選性質十分相似：對於任何 R 上的實函數或複函數 _f_，有

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).$

也就是說，克羅內克 _δ_ 函數可以看作是與狄拉克 _δ_ 函數對應的離散函數。



應用

機率論

在機率論和統計學中，狄拉克函數往往以機率密度函數的身份，來代表一個離散分布或部分離散、部分連續的分布（機率密度函數一般只用作描述完全連續分布）。例如，設一組點 x = {_x_1, ..., _xn_}，對應機率為 _p_1, ..., _pn_；由這些點所組成的離散分布的機率密度函數可以寫作

　
: $f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$

又舉一例，設一個分布，其中十分之六的情況下輸出標準常態分布，而十分之四的情況下輸出單個數值 3.5，這是一個部分連續、部分離散的混合分布。其密度函數是

　
: $f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).$

也可以以完全不同的方法，用 _δ_ 函數表示擴散過程（如布朗運動）中的局部時。一個隨機過程的局部時的表達式為

　
: $\ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds$

這代表了該過程在某特定區間內，在點 _x_ 所花的時間。更準確地說，當只有一個維度時，上面的積分可以寫成

　
: $\ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds$

其中 1[_x_−_ε_, _x_+_ε_]是區間[_x_−_ε_, _x_+_ε_]的指示函數。

量子力學

以下舉一個例子，展示 _δ_ 函數如何在量子力學中派上用場。一個粒子的波函數所給出的，是粒子出現在特定空間範圍內的機率幅。波函數假定屬於希爾伯特空間 _L_2（平方可積函數空間），且粒子在某空間範圍內出現的總機率，等於波函數的絕對值平方在該範圍內的積分。一組波函數 {_φ_n} 叫做標準正交，如果

　
: $\langle \varphi _{n}|\varphi _{m}\rangle =\delta _{nm}$

其中 _δ_ 指的是克羅內克 _δ_ 函數，而不是狄拉克 _δ_ 函數。一組標準正交波函數叫做在平方可積函數空間中完備，如果任何波函數 _ψ_ 都可以表達為一些 _φ_n 的線性組合：

　
: $\psi =\sum c_{n}\varphi _{n},$

其中 $c_{n}=\langle \varphi _{n}|\psi \rangle $ 。量子力學中的哈密頓算符量度的是（束縛態的）能級，而算符的所有本徵函數正正就組成了波函數完備標準正交系統，每個本徵函數所對應的特徵值等於能量值。這組能量值叫做這個哈密爾頓算符的光譜。利用狄拉克符號（如上），上式所表達的就是單位分解：

　
: $I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.$

此處，特徵值都是離散的，但一個可觀察量的特徵值也可以是連續的，就如位置算符 _Qψ_(_x_) = _xψ_(_x_)。位置（在一維當中）的光譜是整條實數線，所以稱作連續光譜。不過，和哈密頓算符不同的是，位置算符並沒有正式的本徵函數。為了解決這一困局，通常會擴大所允許使用的函數，從普通的函數到所有分布。換言之，量子力學的希爾伯特空間要由合適的裝備希爾伯特空間取代。這樣一來，位置算符就有了一套完備的本徵分布，對應於實數線上的每個點 _y_：

　
: $\varphi _{y}(x)=\delta (x-y).$

位置的本徵函數（分布）用狄拉克符號記作 $\varphi _{y}=|y\rangle $ ，亦稱為位置本徵態。

這種處理方法同樣可以應用於動量算符，以及一切希爾伯特空間上的自伴無界算子 _P_，前提是 _P_ 具有連續光譜，且不存在退化特徵值。更確切地說，有一個實數的子集 Ω（即算子的光譜）和一組分布 _φ_y，對應於 Ω 的每個元素 _y_，使得

　
: $P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.$

也就是說，_φ_y 是 _P_ 的特徵向量（本徵分布）。如果這些特徵向量（作為分布）都滿足歸一化條件：

　
: $\langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y'),$

那麼對於一切測試函數 ψ，就有

　
: $\psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy$

其中

　
: $c(y)=\langle \psi ,\varphi _{y}\rangle .$

此處所得出的單位分解和離散的情況比較，有相似之處：

　
: $I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy$

其中以算子為值的積分同樣理解為弱積分。若 _P_ 的光譜同時含有連續和離散部分，則它的單位分解須包含跑遍所有離散態的和，再加上跑遍所有連續態的積分。

_δ_ 函數在量子力學中還有眾多特殊應用，例如 _δ_ 位勢阱。

結構力學

在結構力學中，_δ_ 函數可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在 _t_=0 時突然受到衝量為 _I_ 的力的衝擊，其演變可以如下描述：

　
: $m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi }{\mathrm {d} t^{2}}}+k\xi =I\delta (t),$

其中 _m_ 是質量，ξ 是撓度，而 _k_ 是彈簧常數。

根據歐拉﹣伯努力理論，一條細長的樑的靜力負荷撓度是

　
: $EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x),$

其中 _EI_ 是樑的彎曲剛度，_w_ 是撓度，_x_ 是空間坐標，而 _q_(_x_) 則是負荷分布。如果棟梁在 _x_ = _x_0 處受到點力 _F_ 的負荷，那麼負荷分布可以寫作

　
: $q(x)=F\delta (x-x_{0}).$

由於 _δ_ 函數的積分是黑維塞階躍函數，因此細長棟梁在多個點受到點力負荷時的靜力負荷撓度，可以用一組分段多項式來表示。

_δ_ 函數還可以描述作用在一條梁上的點彎矩。設兩個相距 _d_ 的相反方向的點力 _F_，它們在棟梁上所產生的彎矩為 _M_ = _Fd_。在保持 _M_ 不變的情況下，使 _d_ 趨向於零。假設所產生的彎矩位於 _x_ = 0，方向是順時針，那麼對棟梁的負荷分布就是

　
: ${\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\&=M\delta '(x).\end{aligned}}$

因此點彎矩可以用 _δ_ 函數的導數來描述。對棟梁方程式積分，得出的撓度一樣是分段多項式。



參見


* _δ_ 位勢阱

* 格林函數



腳註

註釋

引註



參考資料



外部連結


* Hazewinkel, Michiel (編), Delta-function, 数学百科全书，Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

* KhanAcademy.org 視頻講義 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）

* 狄拉克 _δ_ 函數 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）

* 視頻講義──第 23 課 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文）

* 狄拉克 _δ_ 函數 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），PlanetMath（英文）