球諧函數是拉普拉斯方程式的球坐標系形式解的角度部分。在古典場論、量子力學等領域廣泛應用。



函數的推導

本微分方程式的推導

球坐標下的拉普拉斯方程式:

　
: $\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0\,\!$ 。

利用分離變量法，設定 $f(r,\ \theta ,\ \varphi )=R(r)Y(\theta ,\ \varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )$ 。其中 $Y(\theta ,\ \varphi )$ 代表角度部分的解，也就是球諧函數。

代入拉普拉斯方程式，得到：

　
: ${\Theta \Phi  \over r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{dR \over dr}\right)+{R\Phi  \over r^{2}\sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {d\Theta  \over d\theta }\right)+{R\Theta  \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{d^{2}\Phi  \over d\varphi ^{2}}=0\,\!$

分離變量後得：

　
: ${\begin{cases}{\dfrac {1}{R}}{\dfrac {d}{dr}}\left(r^{2}{\dfrac {dR}{dr}}\right)=\lambda \\{\dfrac {1}{\Phi }}{\dfrac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}\\\lambda +{\dfrac {1}{\Theta \sin \theta }}{\dfrac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\dfrac {d\Theta }{d\theta }}\right)-{\dfrac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=0\end{cases}}$ ，整理得 ${\begin{cases}r^{2}R''+2rR'-\lambda R=0\\\Phi ''+m^{2}\Phi =0\\\sin \theta {\dfrac {d}{d\theta }}(\sin \theta \Theta ')+(\lambda \sin ^{2}\theta -m^{2})\Theta =0\end{cases}}$

本徵方程式的求解

這裡， $\Phi $ 是一個以 $2\pi $ 為週期的函數，即滿足週期性邊界條件 $\Phi (\varphi )=\Phi (\varphi +2\pi )$ ，因此 $m$ 必須為整數。而且可以解出：

　
: $\Phi =e^{im\phi }$ ， $m\in \mathbb {Z} $

而對於 $\Theta $ 的方程式，進行變量替換 $t=\cos \theta $ ， $dt=-\sin \theta d\theta $ ， $|t|\leqslant 1$ ，得到關於 $t$ 的伴隨勒讓德方程式。方程式的解應滿足在 $[-1,1]$ 區間上取有限值，此時必須有 $\lambda =l(l+1)$ ，其中 $l$ 為自然數，且 $l\geqslant |m|$ 。對應方程式的解為 $P_{\ell }^{m}(t)$ 。即可以解出：

　
: $\Theta =P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ ， $l\in \mathbb {N} ,l\geqslant |m|$

故球諧函數可以表達為：

　
: $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\Phi (\varphi )\Theta (\theta )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,\!$ ， $l\in \mathbb {N} ,m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm l$ ；

其中 _N_ 是歸一化因子。

經過歸一化後，球諧函數表達為：

　
: $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\ \varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }\,\!$ ；

這裡的 $Y_{\ell }^{m}\,\!$ 稱為 $\ell \,\!$ 和 $m\,\!$ 的球諧函數。以上推導過程中， $i\,\!$ 是虛數單位， $P_{\ell }^{m}\,\!$ 是伴隨勒讓德多項式 。

其中 $P_{\ell }^{m}(x)\,\!$ 用方程式定義為：

　
: $P_{\ell }^{m}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{\ell }(x)\,$ ；

而 $P_{\ell }(x)\,\!$ 是 $l$ 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

　
: $P_{\ell }(x)={1 \over 2^{\ell }\ell !}{d^{\ell } \over dx^{\ell }}(x^{2}-1)^{l}$ 。



前幾階球諧函數

$$
l=0
$$

　
: $Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}$

$$
l=1
$$

　
: $Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }$

　
: $Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\,\cos \theta $

　
: $Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }$

$$
l=2
$$

　
: $Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }$

　
: $Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }$

　
: $Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\,(3\cos ^{2}\theta -1)$

　
: $Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }$

　
: $Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }$



參見


* 勒讓德多項式

* 伴隨勒讓德多項式

* 施圖姆 - 劉維爾理論

* 柱諧函數

* 向量球諧函數