: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如， ${x}^{\mu }\,\!$ 或 ${x}_{\mu }\,\!$ 。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如， $(x)^{2}\,\!$ 表示 $x\,\!$ 平方；而 ${x}^{2}\,\!$ 是 ${x}^{\mu }\,\!$ 的第二個分量。

在電磁學裏，平面電磁波的四維頻率 $f^{\mu }$ 以公式定義為

　
: $f^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(f,\,f\mathbf {n} \right)$ ；

其中， $f$ 是電磁波的頻率， $\mathbf {n} $ 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

　
: ${f}^{\mu }{f}_{\mu }=(f)^{2}(1-n^{2})=0$ 。

類似地，四維角頻率 $\omega ^{\mu }$ 以公式定義為

　
: $\omega ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(\omega ,\,\omega \mathbf {n} \right)$ ；

其中， $\omega $ 是電磁波的角頻率。

顯然地，

　
: $\omega ^{\mu }=2\pi f^{\mu }$ 。

四維波向量 ${k}^{\mu }$ 與四維角頻率有密切的關係，定義為

　
: ${k}^{\mu }=\left(k,\,\mathbf {k} \right)$ ；

其中， $\mathbf {k} $ 是電磁波的波向量。

在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 $diag(1,-1,-1,-1)$ ，這是參考了約翰・傑克森（John D. Jackson）的著作《古典電動力學》中所採用的形式；並且使用了古典的張量代數以及愛因斯坦求和約定。



勞侖茲變換

給予兩個慣性參考系 ${\mathcal {S}}$ 、 ${\overline {\mathcal {S}}}$ ；相對於參考系 ${\mathcal {S}}$ ，參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 以速度 $\mathbf {v} $ 移動。對於這兩個參考系，相關的勞侖茲變換矩陣 $\Lambda _{\nu }^{\mu }$ 是

　
: $\Lambda _{\nu }^{\mu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta _{x}\,\gamma &-\beta _{y}\,\gamma &-\beta _{z}\,\gamma \\-\beta _{x}\,\gamma &1+(\gamma -1){\frac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{y}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{z}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}$ ；

其中， $\gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}$ 是勞侖茲因子， $\beta ={\frac {v}{c}}$ 是貝他因子， $\beta _{x}$ 、 $\beta _{y}$ 、 $\beta _{z}$ 分別是參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 對於參考系 ${\mathcal {S}}$ 的 x - 軸、y - 軸、z - 軸方向的相對速度 $v_{x}$ 、 $v_{y}$ 、 $v_{z}$ 的貝他因子。

設定一個朝著 ${\hat {\mathbf {k} }}$ 方向傳播於真空的平面電磁波，對於參考系 ${\mathcal {S}}$ ，這平面電磁波以公式表達為

　
: $\mathbf {E} =E_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、

　
: $\mathbf {B} =B_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ ；

其中， $\mathbf {E} $ 、 $\mathbf {B} $ 分別是電磁波的電場、磁場， $E_{0}$ 、 $B_{0}$ 分別是其波幅， $k^{\mu }$ 是四維波向量， $x_{\mu }=(ct,-\mathbf {x} )$ 是四維位置， $\mathbf {x} $ 是位置， ${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、 ${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ 分別垂直於 ${\hat {\mathbf {k} }}$ ，而且 ${\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 。

那麼，對於參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ ，這平面電磁波以公式表達為

　
: ${\overline {\mathbf {E} }}={\overline {E}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}$ 、

　
: ${\overline {\mathbf {B} }}={\overline {B}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}$ 。

四維波向量 ${\overline {k}}^{\mu }$ 與 ${k}^{\mu }$ 之間的關係為

　
: ${\overline {k}}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }{k}^{\nu }$ 。

經過一番運算，可以求得

　
: ${\overline {k}}={\overline {k}}^{0}=\gamma (k-\beta _{x}k_{x}-\beta _{y}k_{y}-\beta _{z}k_{z})=k^{\mu }v_{\mu }/c$ ；

其中， $v_{\mu }=(\gamma c,\,-\gamma \mathbf {v} )$ 是參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 相對於參考系 ${\mathcal {S}}$ 的四維速度， $\mathbf {v} $ 是參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 相對於參考系 ${\mathcal {S}}$ 的速度。

在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為

　
: $f^{\mu }=ck^{\mu }/2\pi $ 。

所以，

　
: ${\overline {f}}={\overline {f}}^{0}=f^{\mu }v_{\mu }/c$ 。

這也是參考系 ${\overline {\mathcal {S}}}$ 的觀察者所觀察到的頻率。



參閱


* 四維向量

* 電磁張量



參考文獻


* Woodhouse, N.M.J. Special Relativity. London: Springer-Verlag. 2003: 84-90. ISBN 1852334266.

* Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)