在統計力學和圖論中，雙體模型（dimer model）是二維空間密鋪的模型，也稱為骨牌密鋪（Domino tiling，多米諾密鋪）或隨機密鋪模型（random tiling model）。這也是平方格子的完美匹配。



介紹

若有 $m\times n$ 平方格子 G、以及 $mn/2$ 把骨牌，覆蓋數量或密鋪數量是

$$
Z={\sqrt {|\det K|}}=\prod _{j=1}^{\lceil {\frac {m}{2}}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil {\frac {n}{2}}\rceil }\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{m+1}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n+1}}\right).
$$

K 是 G 的鄰接矩陣。 Z 也是統計力學的配分函數。

例如：

 
* $2\times n$ 格子： $Z_{n}$ 是斐波那契數列

* $m=n=2k=0,2,4,\ldots $ ，可以使用普法夫值計算 Z

若 G 是環面，則

 $\lim _{m,n\to \infty }Z(m,n)/(mn)=C/\pi $ 。

其中 Z 依賴同調、C 是卡塔蘭常數。



阿茲特克鑽石與北極圈現象

Z 也依賴格子的邊界（參看阿茲特克鑽石）。


* *

阿茲特克鑽石表示所謂的「北極圈的現象」（Arctic circle phenomena），即邊界看起來很同質（冰凍地區），但是中間的「北極圈」不同質（非冰凍地區）。可以使用高度函數解釋這個現象。

這些文章有更多阿茲特克圖：

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）



高度函數

一個密鋪定義一個 0 微分形式（函數）：

$$
s(v)=\pm 1
$$

s 是自旋（參看易辛模型）、v 是頂點。那麼可以定義一個 1 - 形式：

$$
ds(e=uv)=s(u)-s(v)=\pm 2
$$

這個形式是閉形式。注意上面的形式不等於 0 因為 G 是二分圖。也定義密鋪函數

$$
\delta (e)=0,1
$$

若雙體 e 存在， $\delta (e)=1$ ，不然等於 0。高度差函數是

$$
dh(e)=h(u)-h(v)=(1+\delta (e))ds(e)=\pm 3
$$

這個函數定義一個 $\mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z} $ 的隨機函數。這也是閉形式。的確威廉・瑟斯頓表示了若 $\delta (e)$ 真的是密鋪函數，這是一個必要條件。h 是高度函數。

NxN 平方格子的高度函數在中間逼近 O (N)。但是阿茲特克鑽石的高度函數逼近 h 的平均值。的確，CKP 定理說 h 最小化一個熵（或熱力學自由能）的泛函（變分法）：

$$
F=\log Z
$$



共形場論

高斯自由場

雙體模型的縮放極限（即高度函數的縮放極限是高斯自由場），高斯自由場是一種二維布朗運動。所以 $h(x)\to \phi (x)$ 成為二維純量場。

若 G 是一定的加權圖，K 的縮放極限是反全純導數 ${\bar {\partial }}$ 。 若

$$
Kf=f(w+1)-f(w-1)+if(w+i)-if(w-i)=0
$$

f 是「反全純函數」。再說 f 是調和函數（和諧函數）。這是因為 $KK^{*}=L$ 是調和矩陣（harmonic matrix）。

非冰凍地區描述一個極限形（limit shape），比如這張文章描述一個心臟線：（跟代數幾何有關）。高斯自由場也許描述這些極限形。2020 年這還是未解決的問題。

數學家知道極限形滿足一個類似伯格斯方程（ $\phi _{x}-\phi \phi _{y}=0$ ）的橢圓型偏微分方程。這些極限形可以相似極小曲面的魏爾斯特拉斯 - 恩內佩爾參數化。

傳播子

鄰接矩陣的反函數 $K^{-1}(x,y)$ 是一種格林函數。

$$
D(x,y)=\langle h(x)h(y)\rangle
$$

是傳播子（量子場論）。 可以表示這等於狄利克雷問題的核子

$$
D(u,v)=-{\frac {1}{2\pi }}\log(v-u)
$$

$$
d_{u}D(u,v)={\frac {1}{2\pi }}({\frac {du}{v-u}}-{\frac {d{\bar {u}}}{v-{\bar {u}}}})
$$

由於維克定理，

$$
\langle h(x_{1})\ldots h(x_{2k})\rangle \propto \sum _{\text{对 }}D(x_{i_{1}}x_{i_{2}})\ldots D(x_{i_{2k-1}}x_{i_{2k}})
$$



相關條目

其他骨牌模型


* 雙體，雙體模型描述有些很簡單的化學和物理學的系統

* 疊蓆，日本式的骨牌密鋪

* 肢解西洋棋盤問題

* 王氏磚

* 量子雙體模型

* 平面圖

量子場論


* 高斯自由場

* 玻茨模型

* 滲流理論

* 相變、臨界現象

* Fisher 格子：參看韓文版圖（https://ko.wikipedia.org/wiki/% EC%9D% B4% ED%95% A9% EC% B2% B4\_% EB% AA% A8% ED%98%95）



參考文獻



閱讀


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