測地曲率：設 P 是曲線（C）上一點， $\alpha $ 是（C）在 P 點的單位切向量， $\beta $ 是主法向量， $\gamma $ 是副法向量。再設 n 是曲面 S 在 P 點的單位法向量。命 $\varepsilon =n\times \alpha $ 。

曲線（C）在 P 點的曲率向量 ${\ddot {r}}=k\beta $ 在 $\varepsilon $ 上的投影（也就是在 S 上 P 點的切平面上的投影）

$$
k_{g}={\ddot {r}}\cdot \varepsilon
$$

稱為曲線（C）在 P 點的測地曲率。

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相關命題


* 曲面 S 上的曲線（C），它在 P 點的測地曲率的絕對值等於（C）在 P 點的切平面上的正投影曲線（C'）的曲率。
 
* $k^{2}=k_{g}^{2}+k_{n}^{2}$

式中，k 為曲線在 P 點的曲率， $k_{n}$ 為曲線在 P 點的法曲率。



二維曲面常用的測地曲率公式

今有一緊緻定向的二維曲面 S，其線元素可用曲面的第一基本形式的係數表示為： $ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\,$ ，則其度量張量可表成下列關係式：

$$
(g_{ij})={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\\\end{pmatrix}}
$$

每當進行涉及到微分幾何的實用演算時，都會用到其分量形式以利細部計算，因此有必要將前述向量形式定義的測地曲率以其分量形式來表徵，以下將界定在二維曲面上局部範圍，有關公式及其推導過程，可於列出的相關參考文獻中找到。

二維曲面測地曲率之 Beltrami 公式

令 $C$ 為曲面 S 上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長 $s$ 為參數，則曲線 $C$ 的參數方程式為 $C:r(s)=(u(s),v(s))$ ，則它在 P 點的測地曲率 $k_{g}$ 可表為下列克氏符號（全稱克里斯多福符號，Christoffel symbols）相關的表示式：

$$
k_{g}={\sqrt {EG-F^{2}}}\left[\Gamma _{11}^{2}\left({\frac {du}{ds}}\right)^{3}+\left(2\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\right)\left({\frac {du}{ds}}\right)^{2}{\frac {dv}{ds}}+\left(\Gamma _{22}^{2}-2\Gamma _{12}^{1}\right){\frac {du}{ds}}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{2}-\Gamma _{22}^{1}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{3}+{\frac {du}{ds}}{\frac {d^{2}v}{ds^{2}}}-{\frac {d^{2}u}{ds^{2}}}{\frac {dv}{ds}}\right]
$$

上述用克式符號表示測地曲率的一般公式即是所謂的 Beltrami 公式 (Beltrami's formula for geodesic curvature.)。這裡所用的克氏符號 Γ_k_ 
_ij_ 在有些書籍還會沿用舊式的 {_k_ 
_ij_}符號注記。由於克式符號屬曲面的內蘊性質，而上述測地曲率一般公式只和克式符號與曲面第一基本形式有關，因此，測地曲率必然是屬曲面的內蘊幾何量。

今若曲線 $C$ 是沿著 $u=(s)$ 座標線的話，此時 $v=$ 常數，使得 $dv/ds=0$ 以及 $du/ds=1/{\sqrt {g_{11}}}$ ，那麼其測地曲率可算得為：

$$
(k_{g})_{u-line}=\Gamma _{11}^{2}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{E{\sqrt {E}}}}=\Gamma _{11}^{2}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{11}^{3/2}}}\right)
$$

同理，假如曲線 $C$ 是沿著 $v=(s)$ 座標線的話，使得 $u=$ 常數，因此 $du/ds=0$ 以及 $dv/ds=1/{\sqrt {g_{22}}}$ ，那麼其測地曲率可化簡為：

$$
(k_{g})_{v-line}=-\Gamma _{22}^{1}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{G{\sqrt {G}}}}=-\Gamma _{22}^{1}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{22}^{3/2}}}\right)
$$

二維曲面測地曲率之 Liouville 公式

令 $C$ 為曲面 S 上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長 $s$ 為參數，則曲線 $C$ 的參數方程式為 $C:r(s)=(u(s),v(s))$ ，今其參數化是採正交座標系，換言之，第一基本形式的係數 $F=0$ ，又令曲線 $C$ 在 P 點與 $u$ 座標線的夾角為 $\theta $ ，則它在 P 點的測地曲率 $k_{g}$ 可表為下列與 $\theta (s)$ 夾角相關的 Liouville 公式：

$$
{\begin{aligned}k_{g}&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}-{\dfrac {1}{2{\sqrt {G}}}}{\dfrac {\partial \ln E}{\partial v}}\cos \theta +{\dfrac {1}{2{\sqrt {E}}}}{\dfrac {\partial \ln G}{\partial u}}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}\cos \theta +(k_{g})_{v-line}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}{\sqrt {E}}{\dfrac {du}{ds}}+(k_{g})_{v-line}{\sqrt {G}}{\dfrac {dv}{ds}}\end{aligned}}
$$

 
上述公式中的 $(k_{g})_{u-line}$ 與 $(k_{g})_{v-line}$ 乃分屬於兩個座標線對應的測地曲率，至於它們的具體表徵是什麼，接下來將分別推導出其詳細內容。首先，考量如若曲線 $C$ 是沿著 $u=(s)$ 座標線的話，此時 $v=$ 常數，則有 $dv/ds=0$ 以及 $du/ds=1/{\sqrt {E}}$ ，那麼該測地曲率可算得為：

$$
(k_{g})_{u-line}=-{\dfrac {E_{v}}{2E{\sqrt {G}}}}
$$

同理，假如曲線 $C$ 是沿著 $v=(s)$ 座標線的話，此時 $u=$ 常數，導致 $du/ds=0$ 以及 $dv/ds=1/{\sqrt {G}}$ ，那麼此測地曲率可算得為：

$$
(k_{g})_{v-line}={\dfrac {G_{u}}{2G{\sqrt {E}}}}
$$

以上測地曲率之 Liouville 公式就已列出有三種，若覺得怎麼會有這麼多樣形式，其實還有其他變形，例如可參考網路上更加精簡且優美的形式，這端賴解析問題時，需要配套什麼形式的公式而定。

 

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參考文獻