在數學裡，任何向量空間 _V_ 都有其對應的對偶向量空間（或簡稱為對偶空間），由 _V_ 的線性泛函組成。此對偶空間俱有一般向量空間的結構，像是向量加法及純量乘法。由此定義的對偶空間也可稱之為代數對偶空間。在拓撲向量空間的情況下，由連續的線性泛函組成的對偶空間則稱之為連續對偶空間。

對偶空間是 行向量（ $1\times n$ ）與列向量（ $n\times 1$ ）的關係的抽象化。這個結構能夠在無限維度空間進行並為測度，分佈及希爾伯特空間提供重要的觀點。對偶空間的應用是泛函分析理論的特徵。傅立葉變換亦內蘊對偶空間的概念。

 



代數對偶空間

設 $V$ 為 在域 $F$ 上的向量空間，定義其對偶空間 $V^{*}$ 為由 _$V$_ 到 _$F$_ 的所有線性函數的集合。
即是 _$V$_ 的標量線性變換。 $V^{*}$ 本身是 $F$ 的向量空間，並且對所有 $V^{*}$ 中的 $\phi $ 及 $\varphi $ 、所有 _$F$_ 中的 $a$ 、所有 _$V$_ 中的 $x$ 滿足以下加法及標量乘法：

　
: $(\phi +\varphi )(x)=\phi (x)+\varphi (x)\,$

　
: $(a\phi )(x)=a\phi (x)\,$

在張量的語言中， _$V$_ 的元素被稱為反變或逆變（contravariant）向量，而 $V^{*}$ 的元素被稱為共變或協變（covariant）向量、「餘向量」或「同向量」（co-vectors），「線性型」或「1 - 形式」（one-form）。

例子

如果 _$V$_ 是有限維的， $V^{*}$ 的維度和 V 的維度便相等；
如果 $\left\{e_{1},...,e_{n}\right\}$ 是 _$V$_ 的基， $V^{*}$ 便應該有相對基 $\left\{e^{1},...,e^{n}\right\}$ ，記作：

　
: $e^{i}(e_{j})=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}i=j\\0,&{\mbox{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

如果 _$V$_ 是平面幾何向量的空間， $V^{*}$ 便是一組組的平行線。我們能從平行線應用到任何向量產生一個標量。

如果 _$V$_ 是無限維度， $e^{i}$ 不能產生 $V^{*}$ 的基；而 $V^{*}$ 的維度比 _$V$_ 的大。

例如空間 $R^{(\omega )}$ 的元素是實數列，其擁有很多非零數字。 $R^{\omega }$ 的雙對空間是所有實數數列的空間。這些數列 $(a_{n})$ 被用於元素 $(x_{n})$ 而產生 $\sum _{n}a_{n}x_{n}$ 。

線性映射的轉置

設 $f:V\rightarrow W$ 是線性映射。 $f$ 的_轉置_ ${}^{t}\!f:W^{*}\rightarrow V^{*}$ 定義為

　
:

對任何向量空間 $V,W$ ，定義 $L(V,W)$ 為所有從 $V$ 到 $W$ 的線性映射組成的向量空間。 $f|\rightarrow {}^{t}\!f$ 產生從 $L(V,W)$ 至 $L(W^{*},V^{*})$ 的單射；這是個同構若且唯若 $W$ 是有限維的。

若 線性映射 _f_ 表示作其對 $V,W$ 的基之矩陣 $A$ , 則 ${}^{t}\!f$ 表示作其對 $V^{*},W^{*}$ 的對偶基之轉置矩陣。
若 $g:W\rightarrow X$ 是另一線性映射，則 ${}^{t}\!\left(g\circ f\right)={}^{t}\!f\circ {}^{t}\!g$ 。

在範疇論的語言裡，_為任何向量空間取對偶_及_為任何線性映射取轉置_都是向量空間範疇的逆變函子。

雙線性乘積及對偶空間

正如所見，如果 $V$ 擁有有限維度， $V$ 跟 $V^{*}$ 是同構的，但是該同構並不自然；它是依賴於我們開始所用的 $V$ 的基。事實上，任意同構 $\phi =\left(V\rightarrow V^{*}\right)$ 在 $V$ 上定義了一個唯一的非退化的雙線性型：

　
: $\langle v,w\rangle =(\Phi (v))(w)\,$

相反地從每個在有限維空間中的非退化的雙線性積可以產生由 $V$ 映射到 $V^{*}$ 的同構。

到雙對偶空間內的單射

存在一個由 $V$ 到其雙對偶 $V^{}$ 的自然映射 $\psi $ ，定義為

$$
\left(\psi (v)\right)(\varphi )=\varphi (v)\forall v\in V,\varphi \in V^{*}
$$

 $\psi $ 常是單射；若且唯若 $V$ 的維數有限時， $\psi $ 是個同構。



連續對偶空間

處理拓撲向量空間時，我們一般僅對該空間射到其基域的連續線性泛函感興趣。由此導致連續對偶空間之概念，此乃其代數對偶空間之一子空間。向量空間 _$V$_ 之連續對偶記作 _$V$_ ′。此脈絡下可逕稱連續對偶為_對偶_。

線性賦範向量空間 _$V$_ （如一巴拿赫空間或一希爾伯特空間）之連續對偶 _$V$_ 產生一線性賦範向量空間。對一 _$V$_ 上之連續線性泛函，其範數 $\left\Vert \varphi \right\Vert $ 定義為

　
: $\|\phi \|=\sup\{|\phi (x)|:\|x\|\leq 1\}$

此法變一連續對偶為一線性賦範向量空間，實為巴拿赫空間。

例子

對任意有限維之線性賦範向量空間或拓撲向量空間，正如歐幾里得空間，其連續與代數對偶不二。

令 $1<p<\infty $ 為實數，並考慮所有序列 $a=(a_{n})$ 構成之巴拿赫空間 _l__p_，使其範數

　
: $\|\mathbf {a} \|_{p}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}$

有限。以 ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ 定義 $q$ ， $I^{p}$ 其連續對偶遂自然等同於 $I^{q}$ ：給定一元素 $\varphi \in (I^{p})$ ， $I^{q}$ 中相應元素為序列 $\left(\varphi (e_{n})\right)$ ，其中 $e_{n}$ 謂第 $n$ 項為 1 且餘項皆 0 之序列。反之，給定一元素 $a=(a_{n})\in I^{q}$ ， $I^{p}$ 上相應之連續線性泛函 $\varphi $ 定為 $\varphi (a)=\sum _{n}a_{n}x_{n}$ （對一切 $a=(a_{n})\in I^{p}$ ，見 Hölder 不等式）。

準此， $I^{1}$ 之連續對偶亦自然同構於 $I^{\infty }$ 。再者，巴拿赫空間 $c$ （賦以上確界範數之全體收斂序列）及 $c_{0}$ （ _$c$_ 中收斂至零者）之連續對偶皆自然同構於 $I^{1}$ 。

進一步的性質

若 _$V$_ 為希爾伯特空間，則其連續對偶亦然，並反同構於 _$V$_ ；此即是里斯表示定理的陳述，同時也啟發了量子力學之數學描述時所用的狄拉克符號。

類似雙重代數對偶，對連續線性算子亦有連續單射 $\psi :V\rightarrow V''$ ，此映射實為等距同構，即 $\left\Vert \psi (x)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert $ 對一切 _$V$_ 中 $x$ 皆真。使 $\psi $ 為雙射之空間稱自反空間。

連續對偶賦 _$V$_ 以一新拓撲，稱之為弱拓撲。

若 _V_ 之對偶可分，則 _$V$_ 亦可分。反之則不然：考慮空間 $I_{1}$ ，則其對偶 $I\infty $ 不可分。



引用


* Bourbaki, Nicolas. Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-64243-9.

* Paul Halmos. Finite dimensional vector spaces. Springer. 1974. ISBN 0387900934.

* Walter Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill Science. 1991. ISBN 978-0070542365.