在量子力學以及其應用如多體問題、量子化學等領域中，角動量圖是一種圖形表示法，用以代表一量子系統的角動量量子態，使得相關計算能以符號形式推演。此方法的箭號將角動量態與狄拉克符號連結。

此方法是由立陶宛物理學家阿朵發斯・朱西斯於 20 世紀發明。在量子力學以及量子場論領域中，形似的符號表示法尚有費曼圖與潘洛斯圖形符號。這些圖樣包含有箭頭與頂點，有些還有量子數的標記。



狄拉克符號與朱西斯角動量圖的等價

角動量量子態

單一粒子帶有總角動量量子數 _j_ 與總磁量子數 _m_ = _j_, _j_ − 1, ..., −_j_ + 1, −_j_，其量子態向量以狄拉克符號的括量（Ket）標記為 |_j_, _m_⟩，其圖形則為單箭頭的箭號。有一相對應的包量（Bra）為⟨_j_, _m_|，其圖形為雙箭頭的箭號，指向與括量相反。

例子中


* 量子數 _j_、_m_ 常標記在箭頭附近，以表示特定的角動量量子態，

* 箭頭常在線段的中間

* 等號 "=" 置於等價的圖樣之間，如同相應的代數運算。

最基本的包量與括量圖形符號為：

箭號指向頂點或從頂點指出，分別為


* 標準表象（standard representation）以一條離開頂點的指向線段表示，

* 反標準表象（contrastandard representation）則是以一條進入頂點的指向線段表示。

箭號一個一個相接續。在反標準表象中，採用時間反轉算符 _T_。_T_ 算符是么正的，也就是其厄米伴算符 _T_†等於其反算符 _T_−1，即 _T_† = _T_−1。其作用在位置算符時，結果保持不變：

　
: $T{\hat {\mathbf {x} }}T^{\dagger }={\hat {\mathbf {x} }}$

線動量算符則變為負值：

　
: $T{\hat {\mathbf {p} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {p} }}$

自旋算符也變為負值：

　
: $T{\hat {\mathbf {S} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {S} }}$

既然軌域角動量算符 L = x × p，在 _T_ 算符作用後也會變為負值：

　
: $T{\hat {\mathbf {L} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {L} }}$

也因此總角動量算符 J = L + S 也變為負值：

　
: $T{\hat {\mathbf {J} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {J} }}$

作用在角動量算符本徵態 |_j_, _m_⟩，可得：（見註釋）

　
: $T\left|j,m\right\rangle \equiv \left|T(j,m)\right\rangle ={(-1)}^{j-m}\left|j,-m\right\rangle $

時間反轉的圖形符號為：

將頂點標記在正確位置相當重要，否則正向時間與反向時間的算符會相互混淆。

內積

狀態 |_j_1, _m_1⟩與狀態 |_j_2, _m_2⟩的內積：

　
: $\langle j_{2},m_{2}|j_{1},m_{1}\rangle =\delta _{j_{1}j_{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}$

相應的圖形符號為：

將內積加總，也就是縮併的計算：

　
: $\sum _{m}\langle j,m|j,m\rangle =2j+1$

習慣上會以一封閉圓來表示，並且標上 _j_：

　
:

外積

狀態 |_j_1, _m_1⟩與狀態 |_j_2, _m_2⟩的外積是一算符：

　
: $\left|j_{2},m_{2}\right\rangle \left\langle j_{1},m_{1}\right|$

相對應的圖形符號為：

將外積加總，也就是縮併的計算：

　
: ${\begin{aligned}\sum _{m}|j,m\rangle \langle j,m|&=\sum _{m}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{2(j-m)}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{j-m}|j,-m\rangle \langle j,-m|{(-1)}^{j-m}\\&=\sum _{m}T|j,m\rangle \langle j,m|T^{\dagger }\end{aligned}}$

時間反轉算符 _T_ 的結果可見於上式 _T_|_j_, _m_⟩。對外積縮併計算來縮，正向時間與反向時間沒有差別，因此圖形符號表示是相同的，皆為一無指向的線段，其上僅標示 _j_：

張量積

_n_ 狀態 |_j_1, _m_1⟩, |_j_2, _m_2⟩, ... |_j_n, _m_n⟩的張量積⊗可寫為：

　
: ${\begin{aligned}\left|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle &\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \otimes \cdots \otimes \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \\&\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \cdots \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \end{aligned}}$

圖形符號則呈扇形 ——_n_ 項個別態的線段匯聚於一共同頂點。

頂點附近標有一正負號，以表示張量積的順序：


* 負號 (−) 表示順序為順時針走向 $\circlearrowright $ ，

* 正號 (+) 表示順序為逆時針走向 $\circlearrowleft $ .

有時候會在正負號之外，加上彎箭頭來表示上述的走向。

兩張量積態的內積：

　
: ${\begin{aligned}&\left\langle j'_{n},m'_{n},...,j'_{2},m'_{2},j'_{1},m'_{1}|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle \\=&\langle j'_{n},m'_{n}|...\langle j'_{2},m'_{2}|\langle j'_{1},m'_{1}||j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle ...|j_{n},m_{n}\rangle \\=&\prod _{k=1}^{n}\left\langle j'_{k},m'_{k}|j_{k},m_{k}\right\rangle \end{aligned}}$



相關條目


* 角動量

* 狄拉克符號

* 克萊布希－高登係數

* 角動量算符

* 階梯算符

* 費曼圖



參考資料

註釋


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延伸閱讀


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