數學上，對稱群描述物體的所有對稱性。這是通過群作用的概念來形式化的：群的每個元素作為一個對射（或者對稱作用）作用在某個集合上。在這個情況下，群稱為置換群（特別是在群有限或者不是線性空間時）或者轉換群（特別是當這個集合是線性空間而群作為線性轉換作用在集合上時）。一個群 _G_ 的置換表示是群作為一個集合的置換群的群表示（通常該集合有限），並且可以表述為置換矩陣，一般在有限的情形作此考慮－這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。



定義

若 $\mathrm {G} $ 為一個群而 $\mathrm {X} $ 為一個集合，則 $\mathrm {G} $ 在 $\mathrm {X} $ 上的一個 (左) 群作用是一個二元函數

　
: $\mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} $

(其中 $g\in \mathrm {G} $ 和 $x\in \mathrm {X} $ 的像寫作 $g\cdot x$ )，滿足如下兩條公理：

 1. $(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$ 對於所有 $g,h\in \mathrm {G} $ 和 $x\in \mathrm {X} $ 成立
2. $e\cdot x=x$ 對於每個 $x\in \mathrm {X} $ 成立 ( $e$ 代表 $\mathrm {G} $ 的單位元素)

從這兩條公理，可以得出對於每個 $g\in \mathrm {G} $ ，映射 $x\in \mathrm {X} $ 到 $g\cdot x$ 的函數是一個對射，從 $\mathrm {X} $ 映射到 $\mathrm {X} $ 。因此，也可以將 $\mathrm {G} $ 在 $\mathrm {X} $ 上的群作用定義為從 $\mathrm {G} $ 到對稱群 $S_{X}$ 的群同態。

若群作用 $\mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} $ 給定，我們稱「G 作用於集合 X」或者 _X_ 是一個_G_- 集合。

完全一樣地，可以定義一個 _G_ 在 _X_ 上的右群作用為函數 $\mathrm {X} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {X} $ ，滿足以下公理：

 1. $x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h$
2. $x\cdot e=x$

注意左和右作用的區別僅在於象 _gh_ 這樣的積在 _x_ 上作用的次序。對於左作用 _h_ 先作用然後是 _g_，而對於右作用 _g_ 先作用然後是 _h_。從一個右作用可以構造一個左作用，只要和群上的逆操作複合就可以了。如果 _r_ 為一右作用，則

　
: $l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})$

是一左作用，因為

　
: $l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,$

而

　
: $l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,$

所以在這裡，我們只考慮左群作用，因為右作用可以相應推理。



群作用的種類

群 G 作用在集合 X 上的作用稱為:

遞移性 (Transitive)
: 如果 X 是一個非空集合，對於每對數對 x,y $\in $ X，則存在一個 g $\in $ G，使得 $g\cdot x=y$ ，我們就稱此作用為遞移性。

忠實性 (Faithful)
: 如果群 G 嵌入 (embbeding) 到 X 的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是則群 G 到 X 的置換群之中為單射。

自由性 (Free)
: 如果給定 $g,h\in G$ ，存在 $x\in X$ ，則有著 $g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h$ ，則稱為此作用為自由性。

正則的 (Regular)
: 同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移（英語：simply transitive）。

n - 遞移性 (n-transitive)
: 如果集合 X 至少有 n 個元素，對所有不同的元素 _x_1, ..., _xn_ 和所有不同的 _y_1, ..., _yn_, 存在一個 g 在群 G 使得 _g_⋅_xk_ = _yk_ 對所有 1 ≤ _k_ ≤ _n_ ，我們就稱其為 n - 遞移性。

本原的 (Primitive)
: 如果遞移性作用滿足只有 trivial 區塊 (block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明_n - 遞移性_皆為本原的。



軌道與穩定化子

軌道

若 $x$ 是 $\mathrm {X} $ 的一個元素，且群 $\mathrm {G} $ 在 $\mathrm {X} $ 上有著一個作用，那麼 $x$ 的軌道 $\mathrm {G} _{x}$ 就是指以下列方式定義的 $\mathrm {X} $ 的子集：

$$
\mathrm {G} _{x}=\{g\cdot x|g\in \mathrm {G} \}
$$

 $\mathrm {X} $ 的兩個軌道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道 $\mathrm {G} _{x}$ 和 $\mathrm {G} _{y}$ 有一個共通元素 $a$ ，那麼就可以找到兩個 $\mathrm {G} $ 中的元素 $m$ 和 $n$ ，使得 $a=m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}$ 、 $a=n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}$ ，同時有 $x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}$ ，反之亦可推出 $y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}$ ，而這使得這兩個集合所有的元素都相等。

一個軌道的例子是陪集，假若 $\mathrm {H} $ 是 $\mathrm {G} $ 的一個子集，且定義 $\mathrm {G} $ 中元素的慣常運算規則為 $\mathrm {H} $ 在 $\mathrm {G} $ 上的一個作用，那麼 $\mathrm {H} $ 的陪集 $\mathrm {aH} $ ( $a\in \mathrm {G} $ ) 就是 $a$ 的軌道。

不變子集

若 S 是 X 的一個子集，群 G 作用在 X 上 (X 被稱作 G-set)，對於群 G 中的所有元素 g，以及所有 S 中的元素 x，有著 $g\cdot x\in S$ ，

則我們會說 S 在 G 的作用下是封閉的，或是說，S 在 G 作用下是不變的

不動點與穩定子群

若 $x$ 是 $\mathrm {X} $ 的一個元素，對於群 $\mathrm {G} $ 中的所有元素 $g$ 而言，都有 $g\cdot x=x$ ，那麼就稱 $x$ 是 $\mathrm {G} $ - 不變的（ $\mathrm {G} $ -invariant）。

另外若 $x$ 是 $\mathrm {X} $ 的一個元素，則所有使得 $g\cdot x=x$ 的 $\mathrm {G} $ 中的元素 $g$ 構成的集合又稱 $\mathrm {G} $ 對於 $x$ 的穩定子群（stabilizer subgroup of $\mathrm {G} $ with respect to $x$ ），一般常常將之記作 $\mathrm {Gx} $ (注意：不要將之與上面軌道的符號混淆)。

 $\mathrm {Gx} $ 是 $\mathrm {G} $ 的一個子群，因為根據定義 $e\cdot x=x\in \mathrm {Gx} $ ，因此 $\mathrm {G} $ 的單位元素 $e$ 屬於 $\mathrm {Gx} $ ，且假若 $m\in \mathrm {Gx} $ ，那麼 $m$ 的反元素 $m^{-1}$ 也是 $\mathrm {Gx} $ 的元素，因為 $x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x$ 。

軌道－穩定點定理與伯恩賽德引理

考慮一個映射 $f:G\cdot x\longrightarrow G/G_{x}$ 可以證明此映射是一個對射的函數，而這個映射的結論就是所謂的 軌道 - 穩定點定理 $|G\cdot x|=[G:G_{x}]$

而一個跟軌道 - 穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理， $|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|$



西羅定理



範例


* 任意群 _G_ 在任意集合 _X_ 上的_平凡的_群作用定義為 _g_⋅_x_ = _x_ 對任意 _g_ 屬於 _G_ 以及任意 _x_ 屬於 _X_；換句話說，每個群元素對應 _X_ 上的恆等置換。