假設 $(G,*)$ 是一個 群（group），若 $H$ 是 $G$ 的一個非空子集（subset）且同時 $H$ 與相同的二元運算 $*$ 亦構成一個群，則 $(H,*)$ 稱為 $(G,*)$ 的一個 子群（subgroup）。參閱群論。

更精確地來說，若運算 $*$ 在 $H$ 的限制也是個在 $H$ 上的群運算，則稱 $H$ 為 $G$ 的子群。

一個群 $G$ 的 純子群 是指一個子群 $H$ ，其為 $G$ 的純子集（即 $H$ ≠ $G$ ）。任一個群總會有兩個子群 當然群（為只包含單位元素的子群，{_e_}）以及 _群本身_。若 $H$ 為 $G$ 的子群，則 $G$ 有時會被稱為 $H$ 的「母群」。

相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當 _G_ 為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群 _G_ 有時會被標記成有序對 (_G_,\*)，通常用以強調其運算 $*$ 當 _G_ 帶有多重的代數或其他結構。

在下面的文章中，會使用省略掉 $*$ 的常規，並將乘積 _a_\*_b_ 寫成 _ab_。



子群的檢定

給定一個群 $(G,*)$ ， $H$ 為 $G$ 的子集，則有 $H$ 為 $G$ 的子群若且唯若 $\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H$ 。

若 $H$ 為 $G$ 的子群可表示為 $H\leq G$ ，則以上表述可表示為:

$$
H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H
$$

證明：

 $(\Longrightarrow )$ ：

因為 $H\leq G$ ，對於任意 $h'\in H$ ， $\exists h'^{-1}\in H$ ，另有 $h\in H$ ，由於 $H$ 為一個群，所以 $h*h'^{-1}\in H$ 。

 $(\Longleftarrow )$ ：

假設 $\exists x\in H$ ，令 $h=h'=x$ ，可得 $h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_{G}\in H$ ，即 $H$ 存在單位元素。

對於 $x\in H$ ，令 $h=e_{G}$ ， $h'=x$ ，可得 $h*h^{-1}=e_{G}*x^{-1}=x^{-1}\in H$ ，即對於任意 $x\in H$ ，存在 $x^{-1}\in H$ 。

對於 $x,y\in H$ ，令 $h=x$ ， $h=y^{-1}$ ，可得 $h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H$ ，即對於任意 $x,y\in H$ ， $x*y\in H$ 。

因此 $H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H$ 成立。



子群的基本性質

 
* $H\leq G$ $\Longleftrightarrow $ $H\subseteq G$ 且存在一個映射 $\phi :H\to G$ , 且對每個 $a\in H$ 有 $\phi (a)=a$ 。

* $H\leq G$ $\Longleftrightarrow $ $e_{H}=e_{G}$ , 其中 $e_{H},e_{G}$ 為 $H,G$ 的單位元素。

* 若 $H\leq G$ ，則 $a,b$ 為會使得 $ab=ba=e_{H}$ 之 $H$ 中的元素，有 $ab=ba=e_{G}$ 。

* 若 $H_{1}\leq G,H_{2}\leq G\Rightarrow H_{1}\cap H_{2}\leq G$ . 但 $H_{1}\cup H_{2}$ 則不一定，例如 2 和 3 是在 $2\mathbb {Z} $ 與 $3\mathbb {Z} $ 的聯集中，但其總和 5 則不是。

* 若 _S_ 是 _G_ 的子集，則存在一個包括 _S_ 的最小子群，其可以由取得所有包括 _S_ 的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為 <_S_> 且稱為由 _S_ 產生的子群。_G_ 內的一個元素在 <_S_> 內若且唯若其為 _S_ 內之元素的有限乘積且其反元素。

* 群 _G_ 內的每一個元素 _a_ 都會產生一個循環子群 <_a_>。若 <_a_> 同構於某一正整數 _n_ 之 Z/_n_Z，則 _n_ 會是最小個會使得 _a_n = _e_ 的正整數，且 _n_ 被稱為是 _a_ 的「階」。若 <_a_> 同構於 Z，則 _a_ 會被稱有「無限階」。

* 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。) 若 _e_ 為 _G_ 的單位元素，則其當然群 {_e_} 會是群 _G_ 的最小子群，而其最大子群則會是群 _G_ 本身。



例子

1. 有限群

 $G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ 和以 8 為模的加法為二元運算的群 (此群亦同時是阿貝爾群)。
其凱萊表為

　
:

此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群： $J=\{0,4\}$ 和 $H=\{0,2,4,6\}$ ，其中 $J$ 亦是 $H$ 的子群。 $H$ 的凱萊表是 $G$ 的凱萊表之左上半部。 $G$ 群是循環的，而其子群亦為。一般而言，循環群的子群亦為循環的。

2. 二面體群

如果 $G=D_{n}$ ，則 $R=\{e,r,r^{2},...,r^{n-1}\}$ 是一個子群

3. 群的中心，中心化子，正規化子

我們設 $Z(G)$ 一個群 G 的子集，包含了所有與群 G 中其他元素可交換的元素，也就是說

 $Z(G)=\{x\in G|\;xg=gx\;\,\;\forall \,g\in G\}$ ，此集合為群 G 的子群。我們稱此子群為群的中心，記作 $Z(G)$ 。

設 A 為 G 的任意子集，則 A 在 G 中的中心化子為集合 $C_{G}(A)$ ，此集合的定義為:

 $C_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gag^{-1}=a\;\;\forall a\in A\}$ ，此集合也是群 G 的子群。

至於 A 在 G 中的正規化子則為集合 $N_{G}(A)$ ，此集合定義為:

 $N_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gAg^{-1}\subseteq A\}$ ，此集合也是群 G 的子群。



陪集和拉格朗日定理

給定一子群 _H_ 和 _G_ 內的某一元素 _a_，則可定義出一個左陪集 _aH_={_ah_;_h_∈_H_}。因為 _a_ 為可逆的，由 φ(_h_) = _ah_ 給出之映射 φ : _H_ → _aH_ 為一個對射。更甚地，每一個 _G_ 內的元素都包含在恰好一個 _H_ 的左陪集中；其左陪集為對應於一等價關係的等價類，其等價關係 _a_1 ~ _a_2 若且唯若 _a_1−1_a_2 會在 _H_ 內。_H_ 的左陪集之數目稱之為 _H_ 在 _G_ 內的「指數」，並標記為 [_G_:_H_]。

拉格朗日定理敘述著對一個有限群 _G_ 和一個子群 _H_ 而言，

　
: $[G:H]={o(G) \over o(H)}$

其中 o (_G_) 和 o (_H_) 分別為 _G_ 和 _H_ 的階。特別地是，每一個 _G_ 的子群的階 (和每一個 _G_ 內元素的階) 都必須為 o (_G_) 的因數。右陪集為相類比之定義：_Ha_ = {_ha_ : _h_∈_H_}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類，且其個數亦會相等於 [_G_:_H_]。

若對於每個在 _G_ 內的 _a_，_aH_=_Ha_，則 _H_ 稱之為正規子群。每一個指數 2 的子群皆為正規的：左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。



另見


* 嘉當子群

* 費汀子群

* 穩定子群