zaibd/wkpdtw huggingface dataset:
在範疇論中，兩個範疇間的函子具有範疇結構，其中的對象是函子，而態射則為自然變換。函子範疇的重要在於：


* 許多常見的範疇是函子範疇。

* 任意給定範疇可嵌入一個函子範疇，函子範疇有比原範疇更好的性質，因而可在其上施行一些在原範疇中不可行的建構。



定義

設 ${\mathcal {C}}$ 為小範疇（即：其對象構成一個集合而非真類），而 ${\mathcal {D}}$ 為任意範疇。 ${\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ 的函子構成一個範疇，其對象為函子，態射為自然變換（注意到自然變換可以合成），此範疇稱為函子範疇，記為 $\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})$ 或 ${\mathcal {D}}^{\mathcal {C}}$ 。

同理，我們亦可考慮 ${\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ 的逆變函子函子範疇，它無非是 $\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} },{\mathcal {D}})$ 。

若 ${\mathcal {C}}$ 與 ${\mathcal {D}}$ 都是預加法範疇，則可定義加法函子範疇，記為 $\mathrm {Add} ({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})$ 。
在電腦科學中，次程式（德語：unterprogramm，英語：subroutine, subprogram, callable unit），是一個大型程式中的某部份程式碼，由一個或多個語句塊組成。它負責完成某項特定工作，而且相較於其他程式碼，具備相對的獨立性。

一般會有輸入參數並有傳回值，提供對程序的封裝和細節的隱藏。這些代碼通常被整合為軟體庫。

函數在程序導向的語言中已經出現。是結構（struct）和類別（class）的前身。本身就是對具有相關性語句的歸類和對某程序的抽象。



分類

次程式是一個概括性的術語，次程式是所有高階程式所稱。它經常被使用在組合語言層級上。次程式的主體（body）是一個程式碼區塊，當它被呼叫時就會進入執行。

函數

函數（function）是一種次程式，利用函數名稱，可以接收回傳值。例如：

程序

程序（procedure）是一種次程式，它能夠接受不同的引數，來執行某些特別的動作。例如：

函數與程序在某些程式語言中是被分開的，但是在 C 語言中，所有程序都是函數，這兩者被認為是相同的。這有可能造成一些副作用，特別是在回傳值是 `void` 型別時。

方法

在物件導向程式設計語言中，類別或物件中的次程式，被稱為方法（method）。
在計算複雜性理論內，功能性問題或者函式問題（英語：Function problem）是一種計算問題，對任何一種輸入都預期會有單一個輸出，但是輸出不像是決定性問題一樣這麼單純。換句話說，輸出不只 YES 跟 NO。重要的範例像是旅行推銷員問題，詢問一張圖是否有可以繞過每一點的不重複路徑（輸出為路徑），以及整數分解，輸出為輸入的質因數。

因為沒有明顯類比的語言，功能性問題比起決定型問題要難以研究。而且因為輸出的可能變多，在解決輸入輸出之間的轉換，功能性問題歸約的過程也比較微妙。功能性問題也可以用像是決定性問題的方式來分成各種複雜度類。舉例來說 FP 是指可以用確定型圖靈機在多項式時間裡面可以解決的功能性問題（類似於決定性問題的 P），而 FNP 是指可以用非確定型圖靈機在多項式時間裡面可以解決的功能性問題（類似於決定性問題的 NP）。

對所有能在多項式時間內解決的的功能性問題，一定存在一個雷同的決定型問題，可以用多項式時間圖靈歸約將後者歸約為前者的方式，解決這個功能性問題。舉例，旅行推銷員問題的決定型問題版本如下：

　
: 給定一個有權重的有向圖和一個整數 K，是否存在一個哈密頓路徑（或者哈密頓迴路，如果問題指定推銷員在經過所有城市後一定要回到家）並且走過的路徑權重相加小於或者等於 K？

給定這個決定性問題的解答，我們則可以解決旅行推銷員問題如下：

　
: 令 $n$ 為邊的數量， $w_{i}$ 則是邊 $i$ 的權重。首先我們重新設定邊的權重，給予每個邊 $i$ 新的權重 $w'_{i}=2^{(n+1)}w_{i}+2^{i}$ 。這並不會改變最短路徑本身，但是會保證這路徑是唯一的。然後，將所有的邊權重加起來，得到這個圖的總權重 $M$ 。接著，我們使用折半搜索算法找出這條最短路徑的權重：是否有權重輕於 $<M/2$ 的路徑？；是否有權重輕於 $<M/4$ 的路徑？… 等等。找到最短路徑的權重 $W$ 之後，我們藉由以下演算法確定特定某個邊 $i$ 是否在這個路徑上：修改 $i$ 的權重為 $W+1$ 之後，詢問這個圖是否還是有一個權重為 $W$ 的哈密頓路徑？如果修改後的圖裡面不存在這條路徑，則 $i$ 這個邊必定在原圖的最短路徑裡面，反之，如果修改後此路徑還是存在，則 i 不在原來的路徑之內。

這個演算法將旅行推銷員問題的時間複雜度放進 FPNP 內（可以在多項式時間之內，以決定性圖靈機和一個能解決 NP 問題的神諭解決的問題），並且事實上是這個複雜度類的完備問題。



參考資料



相關條目

最佳化問題
函式多載（英語：function overloading）或方法多載，是某些程式語言（如 C++、C#、Java、Swift、Kotlin 等）具有的一項特性，該特性允許建立多個具有不同實現的同名函式。對多載函式的呼叫會執行其適用於呼叫上下文的具體實現，即允許一個函式呼叫根據上下文執行不同的任務。

例如，`doTask()` 和 `doTask(object o)` 是多載函式。呼叫後者，必須傳入一個 `object` 作為參數，而呼叫前者時則不需要參數。一個常見的錯誤是在第二個函式中為 `object` 分配一個預設值，這將會導致意義模糊的呼叫錯誤，因為編譯器不知道使用這兩種方法中的哪一種。

另一個例子是 `Print(object o)` 函式，它根據是列印文字還是相片來執行不同的操作。這兩個不同的功能可以多載為 `Print(text_object T); Print(image_object P)`。如果我們為程式中將要「列印」的所有物件編寫多載的列印函式，就不必擔心 `object` 的類型，再次呼叫相應的函式，呼叫始終是：`Print(something)`。



支援函式多載的語言

支援函式多載的語言套件括但不限於以下幾種：



函式多載規則


* 多個函式定義使用相同的函式名稱

* 函式參數的數量或類型必須有區別

函式多載是靜態多型的一種類別，其使用某種「最佳匹配」演算法解析函式呼叫，通過找到形式參數類型與實際參數類型的最佳匹配來解析要呼叫的具體函式。該演算法的細節因語言而異。

函式多載通常與靜態型別程式語言（在函式呼叫中強制執行型別檢查）有關。多載函式實際上只是一組具有相同名稱的不同函式。具體呼叫使用哪個函式是在編譯期決定的。

在 Java 中，函式多載也被稱為編譯時多型和靜態多型。

函式多載不應與在執行時進行選擇的多型形式混淆，例如通過虛擬函式而不是靜態函式。

範例：C++ 中的函式多載

在上面的例子中，每個零件的體積是使用名為 `Volume` 的三個函式之一進行計算的，根據實際參數的不同數量和類型進行選擇。



構造器多載

在某些物件導向的程式語言中，用於建立物件實例的建構函式也可能被多載。在許多語言中，建構函式的名稱是由類的名稱預先確定的，因此似乎只能有一個建構函式。每當需要多個建構函式時，它們將會被實現為多載函式。在 C++ 中，預設建構函式不帶參數，使用其適當的預設值實例化物件成員。例如，用 C++ 編寫的餐廳帳單物件的預設建構函式可能會將小費設定為 15%：

這樣做的缺點是對於建立好的 `Bill` 物件，更改其值需要兩步才能完成。下面顯示了在主程式中物件的建立和對其值的更改：

通過多載建構函式，我們可以在建立物件的同時傳遞 `tip` 和 `total` 這兩個參數。這表現為帶有兩個參數的多載建構函式。這個多載的建構函式和我們之前使用的原始建構函式一樣放置在類中。使用哪一個取決於建立新 `Bill` 物件時提供的參數數量（無，或兩個）：

現在，建立新 `Bill` 物件的函式可以將兩個值傳遞給建構函式，一步到位設定好資料成員。下面顯示了物件的建立和對其值的設定：

這對於提高程式效率和縮減代碼長度很有用。

建構函式多載的另一個原因可能是強制執行強制性資料成員。在這個例子中，預設建構函式被聲明為 private 或 protected（或者最好是 C++11 起加入的 deleted），以使其無法從外部存取。對於上面的 `Bill`，`total` 可能是唯一的建構函式參數 – 因為 `Bill` 沒有為 `total` 提供實用的預設值 – 而 `tip` 的預設值為 `0.15`。



注意事項

兩個問題與函式多載相互影響並使其複雜化：名稱解析（因為作用域）和隱式類型轉換。

如果在一個作用域中聲明了一個函式，然後在內部作用域中聲明了另一個同名函式，則有兩種正常的可能的多載行為：內部聲明掩蓋了外部聲明（無論簽章如何），或者內部聲明和外部聲明都包含在多載中，只有在簽章匹配時，內部聲明才會封鎖外部聲明。第一個取自 C++：「在 C++ 中，沒有跨作用域的多載。」 因此，要獲得不同作用域中聲明的函式的多載集，需要將外部作用域中的函式顯式匯入到內部作用域，使用 `using` 關鍵字。

隱式類型轉換使函式多載複雜化，因為如果參數類型與多載函式之一的簽章不完全匹配，但可以在類型轉換後匹配，則解析取決於選擇哪種類型轉換。

這些能夠以令人困惑的方式組合：例如，在內部作用域中聲明的不精確匹配可以掩蓋在外部作用域中聲明的精確匹配。

例如，有一個衍生類別，其多載函式帶有一個 `double` 或一個 `int`，使用基礎類別中帶有 `int` 的函式，在 C++ 中可以這樣寫：

如果不包含 `using` 關鍵字，會導致傳遞給衍生類別中 `F` 的 `int` 參數被轉換成 `double` ，以匹配衍生類別中的函式，而不是基礎類別中的函式；包含 `using` 導致衍生類別中的多載，以匹配基礎類別中的函式。



附加說明

如果一個方法設計有過多的多載，開發者可能很難通過閱讀代碼來辨別正在呼叫哪個多載。如果某些多載參數的類型是其他可能參數的繼承類型（例如「物件」），則尤其如此。IDE 可以執行多載解析並顯示（或導航到）正確的多載。

基於類型的多載也會妨礙代碼維護，其中代碼更新可能會意外更改編譯器選擇的方法多載。



另見


* 構造器

* 函式

* 物件導向程式設計



參考



外部連結


* Bertrand Meyer: Overloading vs Object Technology, in Journal of Object-Oriented Programming (JOOP), vol. 14, no. 4, October-November 2001, available online （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
函式指標是一種 C、C++、D 語言、其他類 C 語言和 Fortran2003 中的指標。函式指標可以像一般函式一樣，用於呼叫函式、傳遞參數。在如 C 這樣的語言中，通過提供一個簡單的選取、執行函式的方法，函式指標可以簡化代碼。

函式指標只能指向具有特定特徵的函式。因而所有被同一指標運用的函式必須具有相同的參數個數和型態和返回類型。



C/C++ 程式語言

C 語言標準規定，函式指示符（function designator，即函式名字）既不是左值，也不是右值。但 C++ 語言標準規定函式指示符屬於左值，因此函式指示符轉換為函式指標的右值屬於左值轉換為右值。

除了作為 sizeof 或取位址 & 的運算元，函式指示符在表達式中自動轉換為函式指標類型右值。因此通過一個函式指標呼叫所指的函式，不需要在函式指標前加取值或反參照（\*）運算子。

實例

以下為函式指標在 C/C++ 中的運用

 



註腳



相關條目


* 函式物件

* 高階函式
函數一詞可能指：


* 函數，數學的基本概念。

* 函數 (計算機科學)，計算機科學中的概念。



相關條目


* 功能，其英文和函數相同，也是 function。
在關係資料庫理論中，函數依賴（functional dependency）是資料庫的關係的兩個屬性集合之間的一種約束。給定關係 _R_，_R_ 上的屬性集 _X_ 是功能上確定（functionally determine）_R_ 上的另一個屬性集 _Y_，(記作 _X_ → _Y_)，若且唯若 _R_ 上的每一個 _X_ 值精確地關聯 _R_ 上的一個 _Y_ 值；因而 _R_ 被說成_滿足_函數依賴 _X_ → _Y_。等價的說，投影 $\Pi _{X,Y}R$ 是一個函數，即 _Y_ 是 _X_ 的函數。簡單說，如果屬性集 _X_ 的值是已知的（記作 _x_），那麼屬性集 _Y_ 的對應於 _x_ 的值可以查表（_R_ 中任何包含 _x_ 的元組）確定。一個函數依賴 FD: _X_ → _Y_ 是平凡的，如果 _Y_ 是 _X_ 的子集。

函數依賴在資料庫設計中的重要用途是海斯定理（Heath's theorem）：屬性集 _U_ 上的關係 _R_ 滿足函數依賴 _X_ → _Y_，那麼可以無損分解為兩個關係： $\Pi _{XY}(R)\bowtie \Pi _{XZ}(R)=R$ 其中 _Z_ = _U_ − _XY_ 是剩餘的屬性。

函數依賴的邏輯蘊涵被定義為：函數依賴的集合 $\Sigma $ 邏輯蘊涵另一個函數依賴集合 $\Gamma $ ，如果任何關係 _R_ 滿足 $\Sigma $ 中的所有依賴也滿足 $\Gamma $ 中的所有依賴；記作 $\Sigma \models \Gamma $ 。函數依賴的邏輯蘊涵擁有可靠且完備的有限公理系統，稱作阿姆斯特朗公理系統（Armstrong's axioms）。



參見


* 資料庫規範化



參考文獻
函數產生器是一種用於產生波形等函數訊號的電子測試設備，是一種重要的訊號源。部分函數產生器還具有調變的功能，可以對輸出的訊號進行調幅、調頻等附加功能。函數產生器被廣泛應用於電路教學、電子元件的樣品試驗和批量生產的質量檢測中。
數學中的許多函數或函數族是非常重要的，這些函數具有他們特定的名稱。有大量關於特殊函數的理論是由統計學和數學物理發展而來的。



初等函數

初等函數是由基本運算（例如，加減乘除，指數，對數）構成的函數。

代數函數

代數函數：能夠表示為多項式方程式的函數


* 多項式：能夠表示為變數的加減和乘。
  
* 線性函數：圖像為直線的函數，可分為兩類：
    
* 零次函數（常數函數）：零次多項式，圖像為水平線。
    
* 一次函數：一次多項式，圖像為斜直線。
  
* 二次函數：二次多項式，圖像為拋物線。
  
* 三次函數
  
* 四次函數
  
* 五次函數
  
* 六次函數

* 有理函數：兩個多項式函數的比。

* 開方
  
* 平方根
  
* 立方根

基本超越函數

非代數函數即為超越函數。


* 指數函數

* 雙曲函數：形式上相似於三角函數。

* 對數函數：指數函數的反函數；用於求解指數方程式。
  
* 自然對數
  
* 常用對數
  
* 二進對數
  
* 不定對數

* 非有理次冪的冪函數：

* 週期函數
  
* 三角函數：正弦、餘弦、正切等；主要用於幾何學和描述週期現象。參閱古德曼函數。
  
* 鋸齒波
  
* 方波
  
* 三角波



特殊函數

基本特殊函數


* 指示函數：將 $x$ 映射為 $1$ 或 $0$ ，當 $x$ 屬於某個集合時映射為 $1$ ，否則為 $0$ 。

* 階躍函數。
  
* 取整函數
  
* 單位階躍函數：對於負數，返回 $0$ ；對於正數，返回 $1$ 。狄拉克 δ 函數的不定積分。
  
* 符號函數：返回數的符號，如 $+1$ 、 $-1$ 或 $0$ 。

* 絕對值函數：為某點到原點的距離。即 $f\left(x\right)=\left|x\right|={\sqrt {x^{2}}}$ 。

數論函數


* 除數函數

* 歐拉函數

* 質數計數函數

* 分割函數

基本函數的不定積分


* 對數積分函數

* 指數積分函數
  
* 互補指數積分函數

* 三角積分函數
  
* 正弦積分函數
  
* 餘弦積分函數
  
* 雙曲正弦積分函數
  
* 雙曲餘弦積分函數

* 誤差函數
  
* 菲涅耳積分
  
* 道森積分

Γ 函數及相關函數


* Γ 函數

* 雙 Γ 函數，多 Γ 函數

* 不完全 Γ 函數

* 巴尼斯 G 函數

* Β 函數

* 不完全 Β 函數

* K 函數

* 多變數 Γ 函數

* 學生 t - 分布

橢圓函數及相關函數


* 橢圓積分
  
* 勒壤得形式
  
* Carlson 形式

* 橢圓函數
  
* 雅可比橢圓函數
  
* 魏爾斯特拉斯橢圓函數

* Θ 函數
  
* 拉馬努金 Θ 函數

* 模形式與之密切相關，包括
  
* j 不變數
  
* 戴德金 η 函數

貝索函數及相關函數


* 貝索函數

* Bessel-Clifford 函數

* 艾里函數

* Scorer 函數

* Sinc 函數

* 勒壤得多項式

* 埃爾米特多項式

* 柴比雪夫多項式

黎曼 ζ 函數及相關函數


* 黎曼 ζ 函數

* 狄利克雷 η 函數

* 狄利克雷 L 函數

* 赫爾維茨 ζ 函數

* 勒壤得 χ 函數

* 勒奇超越函數

* 多重對數函數及相關函數
  
* 不完全多重對數函數
  
* Clausen 函數
  
* 完全費米 — 狄拉克積分
  
* 不完全費米 — 狄拉克積分
  
* 庫末函數
  
* 斯盆司函數

* Riesz 函數

超幾何函數及相關函數


* 合流超幾何函數

* 超幾何函數

* 廣義超幾何函數

* 阿佩爾超幾何函數

* 嫪麗切拉函數

* Kampé\_de\_Fériet 函數

* 連帶勒壤得多項式

* Meijer G - 函數

迭代指數函數及相關函數


* 超運算

* 迭代對數

* 朗伯 W 函數

其它標準特殊函數


* 狄利克雷 λ 函數

* 萊歐維爾函數

* 馮・曼戈爾特函數

* 拉梅函數

* 馬丟函數

* 模 λ 函數

* 米塔 - 列夫勒函數

* 
* 拋物柱面函數

* 
* 算術 - 幾何平均數

其它函數


* 阿克曼函數

* 狄拉克 δ 函數

* 狄利克雷函數

* 克羅內克函數

* 閔可夫斯基問號

* 魏爾斯特拉斯函數



外部連結


* Special functions : A programmable special functions calculator.

* Special functions（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
在電腦科學中，函數副作用（side effect）指當調用函數時，除了返回可能的函數值之外，還對主調用函數產生附加的影響。例如修改全域變數（函數外的變數），修改參數，向主調方的終端、管道輸出字符或改變外部存儲資訊等。

在某些情況下函數副作用會給程式設計帶來不必要的麻煩，給程式帶來十分難以查找的錯誤，並降低程式的可讀性與可移植性。嚴格的函數式語言要求函數必須無任何副作用，但功能性靜態函數本身的目的正是產生某些副作用。在生命科學中，副作用往往帶有貶義，但在電腦科學中，副作用有時正是「主要作用」。

下面是函數的副作用相關的幾個概念，純函數、非純函數、參照透明性。



純函數

純函數（英語：Pure Function）—— 輸入輸出資料串流全是顯式（英語：Explicit）的。

顯式的意思是，函數與外界交換資料只有一個唯一渠道 —— 參數和回傳值；函數從函數外部接受的所有輸入資訊都通過參數傳遞到該函數內部；函數輸出到函數外部的所有資訊都通過回傳值傳遞到該函數外部。



非純函數

如果一個函數通過隱式（英語：Implicit）方式，從外界獲取資料，或者向外部輸出資料，那麼，該函數就不是純函數，叫作非純函數（英語：Impure Function）。 

隱式的意思是，函數通過參數和回傳值以外的渠道，和外界進行資料交換。比如，讀取全域變數，修改全域變數，都叫作以隱式的方式和外界進行資料交換；比如，利用 I/O API（輸入輸出系統函式庫）讀取設定文件，或者輸出到文件，列印到螢幕，都叫做隱式的方式和外界進行資料交換。



參照透明性

無副作用是參照透明性（英語：Referential Transparent）的必要非充分條件。參照透明意味著一個表達式（例如一次函數調用）可以被替換為它的值。這需要該表達式是純的，也就是說該表達式必須是完全確定的（相同的輸入總是導致相同的輸出）而且沒有副作用。



範例

f (x) 函數就是純函數。

q (x) 訪問了函數外部的變數。q (x) 是非純函數。

p (x) 通過 I/O API 輸出了一個字符串。p (x) 是非純函數。

c (x) 通過 I/O API 讀取了設定文件。c (x) 是非純函數。

函數內部有隱式（Implicit）的資料串流，這種情況叫做副作用（Side Effect）。上述的 I/O，外部變數等，都可以歸為副作用。因此，純函數的定義也可以寫為「沒有副作用的函數」。

I/O API 可以看作是一種特殊的全域變數。文件、螢幕、資料庫等輸入輸出結構可以看作是獨立於運行環境之外的系統外全域變數，而不是應用程式自己定義的全域變數。



特殊的函數副作用

上述只討論了一般的情況，還有一種特殊的情況，我們沒有討論。有些函數的參數是一種 In/Out 作用的參數，即函數可能改變參數裡面的內容，把一些資訊通過輸入參數，夾帶到外界。這種情況，嚴格來說，也是副作用。也是非純函數。 
比如下面的函數。



純函數的優點

純函數的好處主要有幾點：


* 無狀態，執行緒安全，不需要執行緒同步。

* 純函數相互調用組裝起來的函數，還是純函數。

* 應用程式或者運行環境（Runtime）可以對純函數的運算結果進行快取，運算加快速度。
在電腦程式設計中，函式原型（英語：Function prototype）或函式介面（英語：Function interface）是用於指定函式的名稱和型別簽章（元數，參數的資料型別和回傳值型別）的一種省略了函式體的函式宣告。雖然函式宣告規定了函式是如何被實作的，但僅包括對介面的定義（即接受的資料型別和回傳的資料型別），並不包括對函式體的定義。

函式原型被廣泛應用於 C、C++ 語言程式碼的上下文中，透過在標頭檔中放置函式的前向宣告來允許將程式碼拆分為多個翻譯單元。即編譯器可以單獨編譯目的檔的這部分內容，然後由連結器組合成可執行檔或函式庫。現代編譯器（如 Arduino IDE）不再需要函式原型，因為這些是在編譯時被確定和宣告的。

在原型中，參數名是非必需的（C/C++ 中存在函式原型作用域，這使參數名的作用域被限制在函式定義內），但是，型別和修飾詞都是必需的（如指標或常數參數）。

在物件導向程式設計中， 介面和抽象方法的目的與此類似。



舉例

有函式原型如下：

或

首先，函式原型包括函式簽章（英語：function signature），函式名，回傳型別和存取修飾詞。在該例中，函式的名稱是「Sum」。函式簽章確定參數的數量及其型別。在上面的範例中，回傳型別為「void」，這意味著該函式不會回傳任何值。要注意的是第一個範例中的參數名稱是非必需的，甚至實際定義時與函式原型中宣告的不同也沒關係。



應用

在早期的 C 語言中，如果一個函式之前沒有宣告，並且函式名出現在表達式中，後面跟著左括號，那麼它會被隱式宣告為回傳 `int` 型別的函式，並且對它的參數沒有任何假設。在這種情況下，當函式應用於某些參數時，編譯器將無法執行參數型別和語法元數的編譯時檢查。這可能會導致問題。以下程式碼說明了隱式宣告的函式的行為未定義的情況。

函式 MyFunction 被呼叫時會請求一個位於堆疊或暫存器中的整數型別參數。如果省略函式原型，編譯器將無法執行此操作，函式 MyFunction 將在堆疊上的其他一些資料上執行（可能是回傳位址或當前不在作用域中的變數的值）。透過包含函式原型，您將通知編譯器函式 myFunction 接受一個整型參數，並使編譯器能夠擷取這些型別的錯誤，並使編譯過程順利執行。

透過包含函式原型，你可以告知編譯器函式 MyFunction 接受一個整數參數，並使編譯器能夠擷取這些型別的錯誤，使編譯過程順利執行。該特性已從 C99 標準中刪除，因此省略函式原型將導致編譯錯誤。

 

建立函式庫介面

透過在標頭檔中放置函式原型，可以為函式庫指定介面。

宣告類別

在 C++ 中，函式原型也在類別定義中使用。



參見


* 模組化程式設計

* 協定（物件導向程式設計）

* 抽象方法



參考文獻
在數學中，週期函數是無論任何獨立變數上經過一個確定的週期之後數值皆能重複的函數。我們日常所見的鐘錶指針以及月亮的月相都呈現出週期性的特點。週期性運動是系統的運動位置呈現週期性的運動。

對於實數或者整數函數來說，週期性意味著按照一定的間隔重複一個特定部分就可以繪製出完整的函數圖。如果在函數 $f$ 中所有的位置 $x$ 都滿足

　
: $f(x+T)=f(x)$

那麼， $f$ 就是週期為 $T$ 的週期函數。非週期函數就是沒有類似週期 $T$ 的函數。

如果週期函數 $f$ 的週期為 $T$ ，那麼對於 $f$ 中的任意 $x$ 以及任意整數 $n$ ，有

　
: $f(x+Tn)=f(x)$

若 $T=1$ ，則 $f(x)=f(x+1)=f(x+2)=\cdots $ 。但是函數週期不一定是滿足上述等式的最小值， $T$ 也可以是 $2$ 。常見的週期函數有 $\sin x$ ， $\cos x$ 和 $\tan x$ 等。

一個簡單的例子是 $f$ 的小數變數：

　
: $f(0.5)=f(1.5)=f(2.5)=\cdots =0.5$

其中有一些例子是鋸齒波、方波以及三角形波。

三角函數正弦函數與餘弦函數都是常見的週期函數，其週期為 $2\pi $ 。傅立葉級數研究的就將任意的週期函數用合適的三角函數的和來表示。

複數函數可能會有兩個不相稱的週期，橢圓函數就是類似的函數。



通用定義

設 $E$ 為封閉性運算 $\color {blue}{+}$ 上的一個集合，在 $E$ 中週期為 $T$ 的週期函數是滿足如下條件的函數 $f$ 集合 $F$ ：

　
: 對於 $E$ 中的所有 $x$ ，滿足 $f(x+T)=f(x)$ 且 $T\neq 0$ 。

注意：除非 $+$ 是可交換的，否則 $T$ 必須位於右側。

週期 $T$ 不是唯一的， $T$ 的所有整數倍都是函數的週期。若最小正週期 $T$ 存在，則稱 $T$ 為函數的基本週期。



週期序列

一些自然出現的序列也是週期性的，如一些有理數中的循環小數，因此我們可以說序列中的週期只是通用定義的一種特例。



平移對稱

如果用週期函數描述一件物體，如用位置的函數表示無限圖像的顏色，那麼函數的週期性就對應於物體的平移對稱。



參見


* 概週期函數

* 振幅

* Definite pitch

* 頻率

* 振動

* 準週期函數

* 波長



外部連結


* MathWorld 的週期函數（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
在數學中，函數 _f_ 的圖形（或圖像）指的是所有有序對 (_x_, _f_(_x_)) 組成的集合。具體而言，如果 _x_ 為實數，則函數圖形在平面直角坐標系上呈現為一條曲線。如果函數自變數 _x_ 為兩個實數組成的有序對 (_x_1, _x_2)，則圖形就是所有三重序 (_x_1, _x_2, _f_(_x_1, _x_2)) 組成的集合，呈現為曲面（參見三維計算機圖形）。

實函數的圖形擁有其唯一的圖像。而對於一般的函數，其圖形形式無法應用，圖形的正式定義取決於數學表述的需要，例如泛函分析中的閉圖像定理。

函數圖形的概念由二元關係圖形推廣而來。需要注意的是，儘管一個函數與其圖像通常是一一對應的，但二者並不可混淆。兩個函數可能擁有相同的圖像，卻有不同的對應域。例如，對於下文提到的三次多項式，當其對應域為實數時函數即為滿射，而若其對應域為複數則不然。

通過垂線測試可以判斷一條曲線是否為一個函數，而通過水平線測試可以判斷函數是否為單射且是否存在反函數。如果反函數存在，則其圖像可以通過將原函數圖像以直線 _y_=_x_ 為軸進行對稱得到。



樣例

單變數函數

一次函數

形如

　
: $f(x)=kx+b\!\ $

的圖像為：

　
: $\left\{(x,kx+b)|x\in \mathbb {R} \right\}$

在平面直角坐標系中，該圖像為一條直線。這是因為，該函數的導數為常數 $k$ 。

非線性函數

對於二次或更高次的多項式函數，或者其他的非線性函數，其圖像則會呈現為一條曲線。這是因為其導函數不是常數函數。

例如，三次函數

　
: $f(x)={{x^{3}}-9x}\!\ $

的圖像為

　
: $\left\{(x,x^{3}-9x)|x\in \mathbb {R} \right\}$

如果將這個圖像繪製在平面直角坐標系中，則會得到一條三次曲線（見右圖）。

雙變數函數

三角學中的函數

　
: $f(x,y)=\sin x^{2}\cos y^{2}$

的圖像為

　
: $\left\{(x,y,\sin x^{2}\cos y^{2})|x,y\in \mathbb {R} \right\}$

如果這個圖像繪製在了三維坐標系中，則會得到一個曲面（見圖）。



函數圖像繪製工具

硬體


* 圖形計算器

* 示波器

軟體



參考文獻


* Weisstein, Eric W. "Function Graph - MathWorld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）."



相關條目


* 函數

* 導數

* 駐點

* 斜率

* 截距

* 方程式

* 坐標系
自足算子或自足連結詞是在一特定類的算子中只靠自身就能生成所有這些算子的算子。在邏輯中，它是足夠生成所有布林值函數的一個邏輯算子， $f:X\to \mathbb {B} $ ，這裡的 $X\!$ 是一個任意集合而 $\mathbb {B} $ 是一個通用的 2 - 元素集合，典型為 $\mathbb {B} =\{0,1\}=\{\mathrm {false} ,\mathrm {true} \}$ ，特別是生成所有的有限布林函數， $f:\mathbb {B} ^{k}\to \mathbb {B} $ 。



參見


* 邏輯圖

* Ampheck (來自希臘語_ἀμφήκης_,「雙刃」) $\curlywedge $ , 皮爾士箭頭 ↓ = NOR

* Sheffer 豎線 = NAND
呼叫堆疊（英語：Call stack，中國稱「調用堆棧」）別稱有：執行堆疊（execution stack）、控制堆疊（control stack）、執行時堆疊（run-time stack）與機器堆疊（machine stack），是電腦科學中儲存有關正在執行的子程式的訊息的堆疊。英文有時直接簡稱「堆疊」（the stack），但堆疊中不一定僅儲存子程式訊息。幾乎所有電腦程式都依賴於呼叫堆疊，而高階語言一般將呼叫堆疊的細節隱藏至後台。

呼叫堆疊最經常被用於存放子程式的返回位址。在呼叫任何子程式時，主程式都必須暫存子程式執行完畢後應該返回到的位址。因此，如果被呼叫的子程式還要呼叫其他的子程式，其自身的返回位址就必須存入呼叫堆疊，在其自身執行完畢後再行取回。在遞迴程式中，每一層次遞迴都必須在呼叫堆疊上增加一條位址，因此如果程式出現無限遞迴（或僅僅是過多的遞迴層次），呼叫堆疊就會產生堆疊溢位。



功能

呼叫堆疊的主要功能是存放返回位址。除此之外，呼叫堆疊還用於存放：


* 本地變數：子程式的變數可以存入呼叫堆疊，這樣可以達到不同子程式間變數分離開的作用。

* 參數傳遞：如果暫存器不足以容納子程式的參數，可以在呼叫堆疊上存入參數。

* 環境傳遞：有些語言（如 Pascal 與 Ada）支援「多層子程式」，即子程式中可以利用主程式的本地變數。這些變數可以通過呼叫堆疊傳入子程式。



實例

組合語言

以下 MIPS 組合語言程式計算 $3^{2}+4^{2}$ ，並將結果存至暫存器 `s0`。

這裡，主程式（main）呼叫「sumsq」子程式並將返回位址存入暫存器 `ra`，但是「sumsq」子程式需要呼叫「square」子程式。為保證 sumsq 的返回位址不被重寫，這個位址被儲存在堆疊中。在 square 子程式返回後，sumsq 再從堆疊中取回其自身的返回位址。



安全性

在較底層語言（如組合語言與 C 語言中），程式控制訊息與資料可能一同被存入呼叫堆疊中，因此造成安全隱患，可能允許惡意程式通過堆疊緩衝區溢位（stack buffer overflow）來獲取程式的控制權。



參見


* 記憶體管理

* 呼叫約定

* 堆疊溢位
函數式響應式編程(FRP) 是一種編程範式，它採用函數式編程的基礎部件（如 map、reduce、filter 等），進行響應式編程（異步數據流程編程）。FRP 被用於 GUI、機器人和音樂方面的編程，旨在通過顯式的建模時間來簡化這些問題。



FRP 的形式

函數式響應編程，自從 1997 年由 Conal Elliott 和保羅・胡達客在 ICFP 97 論文《函數式響應式動畫》中提出以來，產生了多種形式。其多樣性的一條軸線，是離散與連續語義對比。另一條軸線，是怎樣讓 FRP 系統可以動態地更改。

連續

FRP 的最早形式採用了連續的語義，旨在抽象出對程序的意義無關緊要的操作細節。這種形式的關鍵屬性為：


* 建模在連續時間內變化的值，叫做「行為」，後來稱為「信號」。

* 建模「事件」，它發生在離散的時間點上。

* 系統可在響應事件時被改變，通用採用術語「切換」。

* 從響應模型中分離出求值細節，如採樣率。

這種 FRP 語義模型在無副作用的語言中通常採用隨時間變化的連續函數。

離散

如事件驅動 FRP 和 Elm 在 0.17 版本之前的那種形式，它們要求更新過程是離散的，且由事件驅動。這些形式在 FRP 的實踐中被加以推崇，它們專注於擁有簡單 API 的語義，比如在機器人或 Web 瀏覽器中可以被高效地實現。

在這些形式下，行為和事件的概念通常會被合併成信號，它總是擁有當前值，但會被離散地改變。



交互式 FRP

Conal Elliott 在 2008 年已經指出，從輸入到輸出，這種普通的 FRP 模型，不太適合交互式程序。在從輸入映射到輸出的過程中缺乏「運行」程序的能力，可能意味著必須使用以下解決方案之一：


* 創建表示行動的一個資料結構，它表現為輸出。行動必須被一個外部的解釋器或環境來運行。它繼承了最初 Haskell 的流式 I/O 的全部難點。

* 使用箭頭化的 FRP 並嵌入箭頭，它有能力實行行動。行動也必須有身份標識，比如說使得它們可以做維護各自的可變存儲。採取這種辦法的是 Fudgets 庫，和更一般性的單子流函數。

* 最新穎的方法就是允許行動現在運行（於 IO 單子中），但將它們結果的接收推遲到以後。它利用了事件和 IO 單子之間的交互，併兼容於更加面向表達式的 FRP：



實現問題

存在兩種類型的 FRP 系統，基於推送的和基於拉取的。基於推送的系統接收事件，並將它們推過一個信號網絡來達成結果。基於拉取的系統會等待對結果的需求，並逆向通過該網絡檢索所需求的值。

某些 FRP 系統例如 Yampa 使用採樣，這裡將採樣推過一個信號網絡。這種方法有個缺點：網絡在一個計算步驟持續期間必須等待，然後才能發現輸入上的變更。採樣就是個基於推送的 FRP 示例。

Hackage 上的 Reactive 和 Etage 庫介入了一種叫做「推送 - 拉取 FRP」的方式。按照這種方式，只在需求純粹定義的流（如隨時間推移的固定事件的列表）上的下一個事件時，才會構造該事件。這些純粹定義的流的行為類似於 Haskell 中的惰性列表。此為基於拉取的部分。基於推送的部分會在系統外部的事件被帶入系統時使用到。外部的事件會被推送給消費者，這樣它們就可以在它發布的瞬間找到該事件。



實現


* Yampa，是一個箭頭化、高效的、純 Haskell 實現，支持 SDL、SDL2、OpenGL 和 HTML DOM。

* reflex，是一個高效的，用 Haskell 實現的推送 / 拉取式 FRP，主要宿主是瀏覽器 / DOM、SDL 和 Gloss。

* reactive-banana，是一個用 Haskell 實現的目標不可知的推送式 FRP。

* netwire 和 varying，是箭頭化的，用 Haskell 實現的拉取式 FRP。

* Flapjax，是一個用 JavaScript 實現的行為 / 事件式 FRP。

* React，是用於函數式響應編程的一個 OCaml 模塊。

* Sodium，是獨立於 UI 框架的推送式 FRP 實現，支持多種程式語言比如 Java、TypeScript 和 C#。

* ReactiveX，由它的 JavaScript 實現 rxjs 而流行，是實現函數式響應式編程的綜合性跨平台范型，將數據當作可觀測者的流來處理。

* Dunai，是支持類和箭頭化 FPR 的，使用單子流函數的一個 Haskell 的快速實現。



另請參閱


* Elm 程式語言，曾經支持 FRP，但是現在以不同的模式替代了它。

* Ur 程式語言，瀏覽器客戶端包括了函數式響應式編程設施。

* 增量計算

* 串流處理



參考來源



外部連結


* cellx（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – 一個 JavaScript 實現的超快速反應式庫

* Haskell 相關的 FRP（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 研究

* "Deprecating the Observer Pattern with Scala.React（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）," – Scala.React, 一個 FRP 的 Scala 實現

* probability of living chart example - 使用 ReactiveChart FRP 的無毛刺實現，詳見文檔 https://web.archive.org/web/20170927112527/https://reactivechart.com/knowledge/reactive/

* What is (functional) reactive programming?（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） – Stack Overflow 的問答
可持久化線段樹（又稱函數式線段樹）是一種可持久化資料結構（英語：Persistent data structure）。這種資料結構在普通線段樹的基礎之上支持查詢某個歷史版本，同時時間複雜度與線段樹是同級，空間複雜度相較而言更高。在中國信息學奧林匹克競賽中，由於引入者黃嘉泰姓名的縮寫與前中共中央總書記、國家主席胡錦濤 (H.J.T.) 相同，因此這種資料結構也可被稱為總書記樹或主席樹。



原理

與大部分可持久化資料結構相似，可持久化線段樹在更新時儘可能與之前某一個舊版本共用一部分結點，從而節省空間。

例如，有一顆維護著區間和的線段樹，現在以這顆線段樹作為基礎，將下標為 $5$ 的元素數值減去一，同時另存為一個新的版本。按照一般線段樹中使用的思路，當位於根結點時我們應該遞歸操作它的右子樹，如果是暴力實現的可持久化線段樹，那麼則需要再次遞歸將一整顆左子樹複製一遍然後保存指針，但是複製的這一整顆子樹是完全一模一樣的，因此可以先只複製一個根結點，然後將它的左子樹直接指向原先版本根結點的左子樹，代表上一個版本和這一個新版本這顆子樹保存的信息是完全一樣的，然後再按照相似的方法，遞歸地處理下標 $5$ 存在的右子樹。



性能分析

靜態可持久化線段樹在每次更新版本時，總是最大程度上減少結點的複製，這樣不僅減少了時間的開銷，更避免了不必要的空間浪費。與線段樹相同，可持久化線段樹由於在每一次更新版本時沒有訪問到不必要的結點，所以每一次查詢和修改（即建立一個新的版本）時間複雜度為 $O(\log N)$ , 在這個過程中，會同時建立 $O(\log N)$ 個新的結點。如果總操作數量為 $m$ , 那麼可持久化線段樹可以以 $O(N+M\log N)$ 的時空複雜度解決問題。



實踐

靜態區間第 k 大數值

這類問題需要求解在一個長度為 $n$ 的數列中，第 $i$ 個數為 $a_{i}$ . 現在給定一些形如 $(l,r,k)$ 的三元組作為詢問，設計程序計算數列第 $l~r$ 這些元素中出現次數排在第 $k$ 位的是多少。

利用可持久化線段樹，維護區間 $(l,r)$ 代表區間 $[l,r]$ 中的元素出現了多少次，以此作為原始版本 $S_{0}$ ，此後每次建立一個新版本 $S_{i}$ ，代表去掉原數列中 $a_{0}~a_{i-1}$ 的元素之後建立的線段樹，維護目標與上述相同。具體過程可以每次將 $a_{i}$ 的出現次數減一，並保存此時生成的新版本。



參考程序

C++



參見


* 可持久化資料結構

* 線段樹



參考文獻
函數式邏輯編程，是在一個單一的程式語言中，組合函式語言程式設計和邏輯編程兩種編程範式。這種編程風格已經體現在多種程式語言中，包括 Curry、Mercury 和 Oz 等。

麻省理工學院出版社和歐洲程式語言及系統協會在 1995 年至 2008 年出版了致力於整合函數式和邏輯編程的科學期刊。



參照



外部連結


* Functional logic programming （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at U. Kiel

* "func" library for SWI-Prolog （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
函數方程是含有未知函數的方程。函數方程可以有一個解，可以無解，也可以有多個解，甚至可以有無窮多個解。



例子


* 函數方程

　
: : $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$

　
: 的解是黎曼 ζ 函數。


* 函數方程

　
: : $\Gamma (x)={\Gamma (x+1) \over x}\,\!$

　
: 的解是伽瑪函數。


* 函數方程

　
: : $\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\pi  \over \sin(\pi z)}\,\!$

的解是伽瑪函數。


* 更多例子：

　
: : $f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ 的解是所有指數函數。

　
: : $f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$ 的解是所有對數函數。

　
: : $f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ (柯西函數方程)

　
: : $F(az)=aF(z)(1-(z))\,\!$ (龐加萊方程)

　
: : $f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!$ (琴生)

　
: : $g(x+y)+g(x-y)=2g(x)g(y)\,\!$ (達朗貝爾)

　
: : $f(h(x))=f(x)+1\,\!$ （阿貝爾方程）。



解函數方程

函數方程與代數方程、微分方程不同，並沒有普遍的解法。所以這個分支也沒能發展起來。如上述的解為 Gamma 函數和初等函數的方程的解法完全不同。

對於二元函數方程，對其變量賦予特殊值的做法較多。

例子：解函數方程 $f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}$ 。

設 $x=y=0$ ： $f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}$ 。所以 $f(0)^{2}=0$ ， $f(0)=0$ 。

現在，設 $y=-x$ ：

　
: $f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$

　
: $f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$

　
: $0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$

由於實數的平方非負，以及兩個非負數的和為零若且唯若兩個數都為零，因此對於所有 _x_， $f(x)^{2}=0$ ，所以 $f(x)=0$ 是唯一的解。



相關條目


* 貝爾曼方程

* 動態規劃

* 隱函數

* 函數方程 (L 函數)
在數學中，一個定義在集合 $X$ 上的實值函數 $f$ 的支撐集，或簡稱支集，是指 $X$ 的一個子集，滿足 $f$ 恰好在這個子集上非 ${0}$ 。最常見的情形是， $X$ 是一個拓撲空間，比如實數軸等等，而函數 $f$ 在此拓撲下連續。此時， $f$ 的支撐集被定義為這樣一個閉集 $C$ ： $f$ 在 $X\backslash C$ 中為 ${0}$ ，且不存在 $C$ 的真閉子集也滿足這個條件，即， $C$ 是所有這樣的子集中最小的一個。拓撲意義上的支撐集是點集意義下支撐集的閉包。

特別地，在機率論中，一個機率分布是隨機變數的所有可能值組成的集合的閉包。



閉支撐

常見的情況出現為： $X$ 是一個拓撲空間（例如實數軸或 n 維歐幾里得空間），並且 $f:X\to \mathbb {R} $ 是連續的實值函數（或複值函數）。此時， $f$ 的支撐在拓撲上定義為使得 $f$ 非零的 $X$ 子集的閉包 ，即：

由於閉集的交集也是閉集，所以 $\operatorname {supp} (f)$ 是集合論中所有包含 $f$ 支撐的閉集的交集。

例如， $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} $ 定義如下：

 $f$ 的支撐是閉區間 $[-1,1]$ ，因為 $f$ 在開區間 $(-1,1)$ 非零，其閉包為 $[-1,1]$ 。

閉支撐的概念通常用於描述連續函數，但該定義對拓撲空間上的任意實值或複值函數都有意義，有些作者不要求 $f:X\to \mathbb {R} $ （或 $f:X\to \mathbb {C} $ 不需要）連續。



緊支撐

如果某函數的支撐集是 $X$ 中的一個緊集，此函數被稱為是緊支撐於空間 $X$ 的。例如，若 $X$ 是實數軸，那麼所有在無窮遠處消失的函數都是緊支撐的。事實上，這是函數必須在有界集外為 $0$ 的一個特例。在好的情形下，緊支撐的函數所構成的集合，在所有在無窮遠處消失的函數構成的集合中，是稠密集的，當然在給定的具體問題中，這一點可能需要相當的工作才能驗證。例如對於任何給定的 $\epsilon >0$ ，一個定義在實數軸 $X$ 上的函數 $f$ 在無窮遠處消失，可以粗略通過選取一個緊子集 $C$ 來描述：

　
: $|f(x)-1_{C}(x)f(x)|<\epsilon $

其中 $1_{C}(x)$ 表示 $C$ 的指示函數。

注意，任何定義在緊空間上的函數都是緊支撐的。

當然也可以更一般地，將支撐集的概念推廣到分布，比如狄拉克函數：定義在直線上的 $\delta (x)$ 。此時，我們考慮一個測試函數 $F$ ，並且 $F$ 是光滑的，其支撐集不包括 $0$ 。由於 $\delta (F)$ （即 $\delta $ 作用於 $F$ ）為 $0$ ，所以我們說 $\delta $ 的支撐集為 $\{0\}$ 。注意實數軸上的測度（包括機率測度）都是分布的特殊情況，所以我們也可以定義一個測度支撐集。



奇支集

在傅立葉分析的研究中，一個分布的奇支集或奇異支集有非常重要的意義。 直觀地說，這個集合的元素都是所謂的奇異點，即使得這個分布不能局部地看作一個函數的點。

例如，單位階躍函數的傅立葉轉換，在忽略常數因子的情況下，可以被認為是 $1/x$ ，但這在 $x=0$ 時是不成立的。所以很明顯地， $x=0$ 是一個特殊的點，更準確地說，這個分布的傅立葉轉換的奇支集是 $\{0\}$ ，即對於一個支撐集包括 $0$ 的測試函數而言，這個分布的作用效果不能表示為某個函數的作用。當然這個分布可以表示為一個柯西主值意義下的瑕積分。

對於多變數的分布，奇支集也可以更精確地被描述為波前集，從而可以利用數學分析來理解惠更斯原理。奇支集也可以用來研究分布理論中的特殊現象，如在試圖將分布 ' 相乘 ' 時候導致的問題（狄拉克函數的平方是不存在的，因為兩個相乘的分布的奇支集必須不相交）。



支撐族

支撐族是一個抽象的拓撲概念，昂利・嘉當在一個層中定義了這個概念。在將龐加萊對偶性推廣到非緊的流形上的時候，在對偶的一個方面上引入緊支撐的概念是自然的。

Bredon 的書《Sheaf Theory》(第二版 1997) 中給出了這些定義。 $X$ 的一組閉子集 $\Phi $ 是一個支撐族，如果它是下閉的並且它的有限並也是閉的。它的_擴張_是 $\Phi $ 的並。一個_仿緊化_(_paracompactifying_) 的支撐族對於任何 $Y\in \Phi $ ，在子空間拓撲意義下是一個仿緊空間，並且存在一些 $Z\in Pi$ 是一個鄰域。如果 $X$ 是一個局部緊空間，並且是郝斯多夫空間，所有的緊子集組成的族滿足上的條件，那麼就是_仿緊化_的。



參考文獻
在數學中，函數空間是從集合 _X_ 到集合 _Y_ 的給定種類的函數的集合。它叫做空間是因為在很多應用中，它是拓撲空間或向量空間或這二者。



例子

函數空間出現在數學的各個領域中：


* 在集合論中，集合 _X_ 的冪集同一於從 _X_ 到 {0,1} 的所有函數的集合；指示為 2X。更一般的說，函數 _X_ → _Y_ 的集合指示為 _Y_X。

* 在線性代數中，從在同一個域上的向量空間 _V_ 到另一個向量空間 _W_ 的所有線性變換的集合自身是個向量空間。

* 在泛函分析中，對於包括如上向量空間上的拓撲的連續線性變換也是同樣的，很多主要例子是具拓撲結構的函數空間；最周知的例子包括希爾伯特空間和巴拿赫空間。

* 在泛函分析，從自然數到某個集合 _X_ 的所有函數集合叫做序列空間。它由 _X_ 的元素的所有可能序列的集合構成。

* 在拓撲學中，可以嘗試在從拓撲空間 _X_ 到另一個拓撲空間 _Y_ 的連續函數的空間上放置一個拓撲，帶有依賴於這些空間的本性的效用。常用的例子是緊開拓撲。還有就是在集合論函數（就是說不必需是連續函數）_Y_X 的空間上的乘積拓撲。在本語境中，這個拓撲也叫做逐點收斂拓撲。

* 在代數拓撲學中，同倫理論本質上研究函數空間的離散不變式。

* 在隨機過程理論中，基本技術問題是如何在「過程路徑」（時間的函數）的函數空間上構造概率測度。

* 在範疇論中，函數空間叫做指數對象。它以一種方式出現為表示規範雙函子；但是作為類型 [_X_, -] 的（單一）函子，它出現為對在對象上的類型（-×_X_）的函子的伴隨函子。

* 在 lambda 演算和函數式編程中，函數空間類型被用來表達高階函數的想法。

* 在域理論中，基本想法是通過建立良好行為的笛卡兒閉範疇，從可建模 lambda 演算的偏序中找到構造。
在形式邏輯和相關的數學分支中，泛函謂詞或函數符號是應用於一個對象項而生成另一個對象項的邏輯符號。泛函謂詞有時也叫做映射，但是這個術語還有其他意義。在模型中，函數符號被建模為函數。

特別是，在形式語言中的符號 _F_ 是函數符號，如果給定任何表示在語言中的一個對象的符號 _x_，_F_(_x_) 也是表示這個語言中一個對象的符號。在有類型邏輯中，_F_ 是帶有域類型 T 和陪域類型 U 的函數符號，如果給定表示類型 T 的一個對象的任何符號 _x_，_F_(_x_) 也是表示類型 U 的對象的符號。你可以類似的定義多於一個變量的函數符號，類比於多於一個變量的函數；零 個變量的函數符號簡單的是一個常量符號。

現在考慮這個形式語言的模型，它帶有類型 T 和 U 被建模為集合 [T] 和 [U]，而類型 T 的每個符號 _X_ 被建模為 [T] 中的元素 [_x_]。則 _F_ 可以被建模為集合

　
: $[F]:={\big \{}([x],[F(x)]):[x]\in [\mathbf {T} ]{\big \}},$

它簡單的是帶有域 [T] 和陪域 [U] 的一個函數。[_F_(_x_)] = [_F_(_y_)] 只要 [_x_] = [_y_] 是一致性模型的要求。



介入新的函數符號

在允許介入新的謂詞符號的謂詞邏輯系統中，你可能也想介入新的函數符號。從舊的函數符號介入新的函數符號是容易的；給定函數符號 _F_ 和 _G_，有一個新函數符號 _F_ o _G_，它是 _F_ 和 _G_ 的複合，對於所有 _x_，滿足 (_F_ o _G_)(_x_) = _F_(_G_(_x_))。當然，等式的右邊在有類型的邏輯中沒有意義，除非 _F_ 的域類型匹配 _G_ 的陪域類型，這是定義複合的要求。

你還自動的獲得特定的函數符號。在無類型邏輯中，有一個恆等謂詞 id，對於所有 _X_ 滿足 id (_x_) = _x_。在有類型邏輯中，給定任何類型 T，有一個恆等謂詞 idT，帶有域和陪域類型 T；對於類型 T 的所有 _x_，它滿足 idT(_x_) = _x_。類似的，如果 T 是 U 的一個子類型，則有一個域類型 T 和陪域類型 U 的包含謂詞，它滿足相同的等式；有與從舊類型構造新類型的其他方式相關聯的額外的函數符號。

此外，你可以在證明了適當的定理之後定義泛函謂詞。(如果你在證明了定理之後不允許介入新符號的形式系統下工作，那麼你必須使用關係符號來處理，詳見下一個章節)。特別是，如果你能夠證明對於所有 _x_ (或特定類型的所有 _x_)，存在一個唯一的 _y_ 滿足某個條件 _P_，則你可以介入一個新的函數符號 _F_ 來指示它。注意 _P_ 自身是涉及 _x_ 和 _y_ 二者的關係謂詞。所以如果有這樣的一個謂詞 _P_ 和定理:

　
: 對於類型 T 的所有 _x_，對於類型 U 的某個唯一的 _y_，有 _P_(_x_,_y_)，

則可以介入一個新的域類型 T 和陪域類型 U 的函數符號 _F_ 滿足:

　
: 對於類型 T 的所有 _x_，對於類型 U 的所有 _y_，有 _P_(_x_,_y_) 若且唯若 _y_ = _F_(_x_)。



不使用泛函謂詞

很多謂詞邏輯系統不允許泛函謂詞，只允許關係謂詞。這是有用的，例如在證明元邏輯定理 (比如哥德爾不完備定理) 的上下文中，這裡你不希望允許介入新的函數符號 (或任何其他新符號)。但是有一個方法只要前者可以存在就把函數符號替代為關係符號；進一步的，這是算法性的因此適合於應用多數元定理於這個結果。

特別是，如 _F_ 有域類型 T 和陪域類型 U，則它可以被替代為類型 (T,U) 的謂詞 _P_。直覺上，_P_(_x_,_y_) 意味著 _F_(_x_) = _y_。接著在 _F_(_x_) 在陳述中出現的任何時候，你都可以把它替代為類型 U 的新符號 _y_，並包括另一個陳述 _P_(_x_,_y_)。為了能夠做同樣的演繹，你要一個額外的命題:

　
: 對於類型 T 的對於所有 _x_，對於類型 U 的某個唯一的 _y_，有 _P_(_x_,_y_)。

(當然，這是前面章節中在介入新的函數符號之前必須證明為定理的同樣的命題)。

因為函數符號的消除對於某些目的是方便的和可能的，很多形式邏輯系統不明確的處理函數符號而只使用關係符號；另一種考慮方式是泛函謂詞是特殊種類的謂詞，是滿足上述命題的特殊謂詞。如果你希望指定只適用於泛函謂詞 _F_ 的一個命題模式就有問題了；如何提前知道它是否滿足這個條件？要得到這個模式的等價公式，首先把形如 _F_(_x_) 的任何東西都替代為新變量 _y_。接著在介入對應的 _x_ 之後 (就是說，在 _x_ 被加以量詞之後，或在陳述開始處如果 _x_ 是自由的) 立即就對 _y_ 加全稱量詞，並用 _P_(_x_,_y_) 前衛這個量化。最後，使整個陳述是上述泛函謂詞的唯一性條件的實質推論。

讓我們採用在 Zermelo-Fraenkel 集合論中替代公理的例子。這個模式聲稱，對於任何有一個變量的函數謂詞 _F_:

　
: $\forall A,\exists B,\forall x,x\in A\rightarrow F(x)\in B.$

首先，我們必須把 _F_(_x_) 替代為其他變量 _y_: 

　
: $\forall A,\exists B,\forall x,x\in A\rightarrow y\in B.$

當然，這個陳述不正確；_y_ 必須在 _x_ 之後立即加量詞:

　
: $\forall A,\exists B,\forall x,\forall y,x\in A\rightarrow y\in B.$

我們仍必須介入 _P_ 來前衛這個量化:

　
: $\forall A,\exists B,\forall x,\forall y,P(x,y)\rightarrow (x\in A\rightarrow y\in B).$

這是幾乎正確的，但是它適用於太多謂詞；我們實際需要的是:

　
: $(\forall x,\exists !y,P(x,y))\rightarrow (\forall A,\exists B,\forall x,\forall y,P(x,y)\rightarrow (x\in A\rightarrow y\in B)).$

這個版本的替代公理模式現在適合用於不允許介入新的函數符號的形式語言中。可作為選擇的，你可把最初的陳述解釋為在這種形式語言中的陳述；它只是在結束處生成的陳述的簡寫。



參見


* 真值函數

* 布爾值函數

* 替代公理
在電腦科學中，型別簽章（英語：type signature）或型別註解（type annotation）是對程式的函式、方法、子過程、以及變數等給出其型別。特別是對函式給出其輸入參數數量、型別與次序及輸出結果的型別。 許多編譯器產生的內部使用的函式名包含了其型別特徵，這稱為名字修飾，為連結器辨別不同的函式提供了方便。

型別特徵的現代應用：


* 物件導向語言使用的 interface，實際上是利用了函式型別特徵的模板。

* C++ 支援的函式多載實際上用不同的型別特徵來辨識。

* 多繼承要求考慮函式特徵，以避免不可預計的結果。



C/C++

在 C 和 C++ 中，型別簽章通常被宣告為函式原型，函式宣告也反映了其用法。例如，函式指標使用方法如下：

它的簽章為：



Java

在 Java 中，方法簽章（英語：method signature）由方法的名字（method's name）與參數型別（parameter types）組成。 如下例：

該例的方法簽章為：`calculateAnswer(double, int, double, double)`



參考文獻
函數記錄儀是一種常用的通用記錄儀，主要功能是在直角坐標上自動描繪出兩個電量的函數關係，同時其走紙機構用以描繪一個電量對時間的函數關係。其主要由衰減器、測量元件、放大元件、伺服電動機 - 測速機組、齒輪系和繩輪等組成。最為常見的是 X-Y 函數記錄儀。
布林值函數是 $f:X\to \mathbb {B} $ 類型的函數，這裡的 $X$ 是一個任意集合，而 $\mathbb {B} $ 是一般性的 2 元素集合，典型的是 $\mathbb {B} =\left\{0,1\right\}$ ，而它經常在邏輯學應用中被解釋為 $\mathbb {B} =\left\{false,true\right\}$ 。

在形式科學、數學、數理邏輯、統計學和它們的應用領域中，布林值函數也被稱為特徵函數、指示函數、謂詞或命題。在所有這些使用中，它都被理解為提及一個數學對象的多樣性的術語，而不是相應的記號符號或語法表達式。



等價概念


* 特徵函數

* 指示函數

* 謂詞，在一定意義上。

* 命題，在一定意義上。



引用


* Brown, Frank Markham (2003), _Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations_, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.

* Kohavi, Zvi (1978), _Switching and Finite Automata Theory_, 1st edition, McGraw–Hill, 1970. 2nd edition, McGraw–Hill, 1978.

* Korfhage, Robert R. (1974), _Discrete Computational Structures_, Academic Press, New York, NY.

* Mathematical Society of Japan, _Encyclopedic Dictionary of Mathematics_, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM.

* Minsky, Marvin L., and Papert, Seymour, A. (1988), _Perceptrons, An Introduction to Computational Geometry_, MIT Press, Cambridge, MA, 1969. Revised, 1972. Expanded edition, 1988.



參見


* 開放句子

* 布林域

* 布林函數

* 有限布林函數

* 真值函數
在數學中，疊代函數系統（iterated function system，IFS）是一種構成碎形的方法，碎形結果常常是自相似的。相比較碎形幾何學，IFS 與集合論關係更為密切。IFS 在 1981 年提出。

疊代函數系統下的碎形，正如其名，可存在於各種維度的空間中，但是一般常見於二維平面。IFS 碎形由數個自身的複製合併組成，每個複製皆遵循一個方程式進行轉換（因此稱之為「函數系統」），典型的例子有謝賓斯基三角形。這裡的轉換（函數）通常是壓縮性的；換而言之，轉換後點與點之間距離更近、圖案壓縮變小。因此，IFS 碎形的圖形由數個自身的小副本（複製）構成（副本間可能有重合），而每個小副本又由更小的自身的副本構成，依此類推。這也是 IFS 碎形的自相似性質的來源。



定義

數學上，疊代函數系統（Iterated Function System，IFS）是完備度量空間中的一個收縮映射的有限集。

在完備度量空間 $X$ 中，集合

$$
\{f_{i}:X\to X|i=1,2,...,N\},\ N\in \mathbb {N}
$$

是一個疊代函數系統，若每個 $f_{i}$ 都是壓縮性的。



外部連結


* A definition of IFS and a Java illustration with several built-in examples （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot

* GPU-Accelerated Iterated Function Systems （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at NVIDIA
在數學中，疊代函數是在碎形和動力系統中深入研究的對象。疊代函數是重複的與自身複合的函數，這個過程叫做疊代。



定義

在集合 $X$ 上的疊代函數的形式定義為:

設 $X$ 是集合和 $f:X\rightarrow X$ 是函數。定義 $f$ 的 $n$ 次疊代 $f^{n}$ 為 $f^{0}=\operatorname {id} _{X}$ 而 $f^{n+1}=f\circ f^{n}$ ，這裡的 $\operatorname {id} _{X}$ 是在 $X$ 上的恆等函數。

在上述中， $f\circ g$ 指示函數複合；就是說 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 。

換句話說，疊代函數也可以表示為以下的形式：

　
: $f^{n}(x)={\underbrace {f(f(f(...f(f} _{n}}(x))...)))$

 $f^{0}(x)$ 定義為 $x$ 。

 $f^{-n}(x)$ 定義為 $f^{n}(x)$ 的反函數。（如果 $f^{n}(x)$ 的反函數不存在，則 $f^{-n}(x)$ 也不存在）

因此， $f^{1}(x)$ 就是 $f(x)$ ， $f^{2}(x)$ 是 $f(f(x))$ ， $f^{0}(x)$ 是恆等函數 $x$ ， $f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的反函數（如果存在的話），而 $f^{\frac {1}{2}}(x)$ 就是能夠使得合成函數 $g(g(x))$ 正好是 $f(x)$ 的函數 $g(x)$ 。

注意，一般情況下， $f^{n}(x)$ 並不等於 $(f(x))^{n}$ 或 $f(x^{n})$ ，而例如 $\sin ^{-1}(x)$ 是 $\sin(x)$ 的反函數，亦即 $\arcsin(x)$ ，而不是 ${\frac {1}{\sin(x)}}=\csc(x)$ 。



例

一些特殊函數的冪次為（其中 $a$ 、 $b$ 、 $n$ 可為任意複數，亦即 $a,b,n\in \mathbb {C} $ ）：

 $f(x)=a$ ， $f^{n}(x)=a{\text{ if }}n\in \mathbb {R} \land n>0,f^{n}(x)=x{\text{ if }}n=0$ （在 $n$ 是負實數或虛數的時候並沒有定義，就好比 $0^{n}$ 在 $n$ 是負實數或虛數的時候也沒有定義）

$$
f(x)=x+a$ ， $f^{n}(x)=x+na
$$

$$
f(x)=ax$ ， $f^{n}(x)=a^{n}x
$$

 $f(x)=x^{a}$ ， $f^{n}(x)=x^{a^{n}}$ （注意疊代冪次要由右往左算）

 $f(x)=ax+b$ ， $f^{n}(x)=a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b$ （ $a\neq 1$ ）

 $f(x)=bx^{a}$ ， $f^{n}(x)=b^{\frac {a^{n}-1}{a-1}}x^{a^{n}}$ （ $a\neq 1$ ）

（注意任何非零複數的任何複數次方都有定義： $a^{n}=e^{n\ln a}=e^{{\text{Re}}(n\ln a)}(\cos({\text{Im}}(n\ln a)+i\sin({\text{Im}}(n\ln a))$ ，當 $a$ 為負實數或虛數時， $\ln(a)=\ln(|a|)+i{\text{arg}}(a)$ ，其中 $|a|$ 為複數 $a$ 的絕對值， ${\text{arg}}(a)$ 為複數 $a$ 的主幅角， ${\text{Re}}(a)$ 為複數 $a$ 的實部， ${\text{Im}}(a)$ 為複數 $a$ 的虛部）

函數冪亦有類似指數律的定理，其中 $m$ 、 $n$ 可為任意複數，亦即 $m,n\in \mathbb {C} $ ：

$$
f^{m}(f^{n}(x))=f^{m+n}(x)
$$

$$
(f^{m})^{n}(x)=f^{mn}(x)
$$

注意函數的合成是不可交換的（ $gf(x)$ 並不一定等於 $fg(x)$ ）但因為可結合（ $h(gf)(x)$ 一定等於 $(hg)f(x)$ ），所以會符合冪結合性，因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。

這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數，以及階乘運算跟排列組合運算 $P_{n}^{m}$ 、 $C_{n}^{m}$ 拓展到非整數和負數時（使用伽瑪函數）一樣，二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數，只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已，包括矩陣的 $n$ 次方以及微分 $n$ 次（ $n$ 為負整數時等同於積分 $-n$ 次），也都可以用這種方式，把 $n$ 拓展到任意複數，或例如已知「首項」、「公差 / 公比」、「項數」的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式，也都可以用這種方式，拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況（包括一般的 $\sum _{x=m}^{n}f(x)$ 與 $\prod _{x=m}^{n}f(x)$ 中， $f(x)$ 為常見的函數如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數的時候， $m$ 跟 $n$ 也能拓展到任意複數，就跟積分式 $\int _{m}^{n}f(x)$ 一樣），至於超運算 $a[n]b$ 能不能拓展到分數、無理數或複數，則是數學中未解決的問題之一。



從疊代建立序列

函數 $f^{n}$ 的序列叫做 Picard 序列，得名於埃米爾・皮卡。對於一個給定 $x\in X$ ， $f^{n}(x)$ 的值的序列叫做 $x$ 的軌道。

如果對於某個整數 $m$ 有 $f^{n}(x)=f^{n+m}(x)$ ，則軌道叫做周期軌道。對於給定 $x$ 最小的這種 $m$ 值叫做軌道的周期。點 $x$ 自身叫周期點。



不動點

如果 m=1，就是說如果對於某個 _X_ 中的 _x_ 有 _f_(_x_) = _x_，則 _x_ 被稱為疊代序列的不動點。不動點的集合經常指示為 Fix（_f_）。存在一些不動點定理保證在各種情況下不動點的存在性，包括巴拿赫不動點定理和 Brouwer 不動點定理。

有很多技術通過不動點疊代產生了序列收斂加速。例如，應用於一個疊代不動點的 Aitken 方法叫做 Steffensen 方法，生成二次收斂。
不動點理論同樣也適用於經濟學領域。



極限行為

通過疊代，可以發現有向一個單一點收縮和會聚的一個集合。在這種情況下，會聚到的這個點叫做吸引不動點。反過來說，疊代也可以表現得從一個單一點發散；這種情況叫不穩定不動點。

當軌道的點會聚於一個或多個極限的時候，軌道的會聚點的集合叫做極限集合或 ω- 極限集合。

吸引和排斥的想法類似推廣；依據在疊代下小鄰域行為，可把疊代分類為穩定集合和不穩定集合。

其他極限行為也有可能；比如，遊蕩點是總是移動永不回到甚至接近起點的點。



例子

著名的疊代函數包括曼德博集合和疊代函數系統。

如果 _f_ 是一個群元素在一個集合上的作用，則疊代函數對應於自由群。



參見


* 旋轉數

* Sarkovskii 定理



引用


* Vasile I. Istratescu, _Fixed Point Theory, An Introduction_, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7
在代數幾何中，一個整概形 $X$ 的函數域 $K_{X}$ 由 $X$ 上的有理函數組成；對於一般的概形，相應的對象是有理函數層。雙有理幾何研究的便是由 $K_{X}$ 所決定的幾何性質。



整概形的情形

定義

若 $X$ 是仿射整概形， $U\subset X$ 為開集，則定義 $K_{X}(U)$ 為 ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ 的分式域。此時 $K_{X}$ 是 ${\mathcal {O}}_{X}(X)$ 的分式域的常數層。

若 $X$ 是整概形，而非仿射概形，則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 $U\subset X$ ，可以一致地定義 $K_{X}(U):=K_{V}(U\cap V)$ ，其中 $V$ 是任一非空仿射開集；這仍然是對應到一個域的常數層，該域稱之為 $X$ 的函數域。另一種等價定義是 ${\mathcal {O}}_{X}$ 在一般點的莖。

函數域與維度

設 $k$ 為域， $X$ 為不可約 $k$ - 代數簇，則 $K_{X}$ 是 $k$ 的域擴張，有時也寫作 $k(X)$ 。此擴張的超越次數等於 $\dim X$ ，此命題可以化約到仿射簇的情形，再以諾特正規化引理證明。

例子

 
* $\mathbb {Z} $ 的函數域是 $\mathbb {Q} $ 。

以下設 $k$ 為域。


* 單點 $\mathrm {Spec} (k)$ 的函數域是 $k$ 本身。

* 仿射直線 $\mathbb {A} _{k}^{1}$ 與射影直線 $\mathbb {P} _{k}^{1}$ 的函數域都是 $k(t)$ ，其中 $t$ 是 $k$ 上的超越元。

* 考慮平面曲線 $y^{2}=x^{5}+1$ ，其函數域是 $k(x,y)$ ，其中 $x,y$ 是 $k$ 上滿足 $y^{2}=x^{5}+1$ 的超越元；一般代數曲線的函數域可以依此類推。當 $k$ 為有限域時， $k$ - 代數曲線的函數域與數域之間有深刻的類比。



一般概形的情形

當 $X$ 不是整概形時， ${\mathcal {O}}_{X}$ 在開集上的截面可能有零因子，此時分式域並不存在（詳見 Kleiman 的文章）。正解如下：

　
: 對任一開集 $U\subset X$ ，令 $S_{U}$ 為 ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ 中的非零因子集，這是一個積性集。命 $K_{X}^{p}(U):=S_{U}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}(U)$ （即 ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ 的全分式環）。 $K_{X}^{p}$ 構成 $X$ 上的預層。令 $K_{X}$ 為其層化，此即 $X$ 的有理函數層，它是 ${\mathcal {O}}_{X}$ - 代數構成的層。

若 $X$ 局部上可以分解成有限個整概形 $X=\bigcup X_{i}$ （這對局部諾特概形皆成立），則對任何開集 $U$ 有

　
: $K_{X}(U)=\bigoplus _{X_{i}\cap U\neq \emptyset }K_{X_{i}}$

此時 $K_{X}$ 是 $X$ 上的擬凝聚層。



與亞純函數域的關係

在複代數幾何中，基本的對象是不可約複解析簇，其上能局部地開展複分析，由此可以定義複解析簇上的亞純函數；亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 $\mathbb {C} $ - 代數簇上，有理函數必為亞純函數，反之則不然（考慮 $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$ ）；若加上緊緻條件，則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域。



文獻


* Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法語）.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)

* Kleiman, S., "Misconceptions about _KX_", _Enseign. Math._ 25 (1979), 203-206
函普，即後來的完顏函普，是 10 世紀早期的一個女真部落完顏氏族領袖。據《金史・本紀第一》記載：金之先，出靺鞨氏。靺鞨本號勿吉。勿吉，古肅慎地也。此後，靺鞨曾有一段時間附於高麗，函普為勿吉七部之人，原居住於高麗，後來來到完顏部，來時年已六十多歲。他改良了女真族的習慣法，並迎娶了一位六十餘歲的當地女子，兩人共育有三個孩子。他的後裔後來統一女真各部落，並在 1115 年建立了金朝。金熙宗即位後不久，在 1136 年或 1137 年，給函普追上諡號為景元皇帝，廟號始祖。在 1144 或 1145 年，稱他的埋葬地為光陵，到 1145 年 12 月或 1146 年 1 月，增諡為懿憲景元皇帝。



名字

在中文史料中，函普之名有著已知的多種轉寫。從 1131 年開始，被迫在金國渡過十餘年的宋國使節洪皓，在其所作的見聞錄《松漠紀聞》（成書於 1155 年之後）中，將函普稱為龕福。在《三朝北盟會編》（約成書於 1196 年）里所引用的失傳書籍《神麓記》，把他稱為掯浦；而在《滿洲源流考》（1789 年成書）中，他又被稱為哈富。



生平

由於早期女真人沒有留下任何文字記載，因此函普的生平最先只是通過口頭傳說而流傳。據《金史》記載，函普在六十多歲時從高麗來到完顏部。其他來源稱，函普從新羅而來，而新羅該國則從 668 年開始統治朝鮮半島，直到在 935 年被高麗所滅。據同樣的故事敘述，函普離開高麗時，他的兩個兄弟一個留在高麗，一個留在渤海地區。由於女真人把函普看作是烏骨廼的天祖父，歷史學家因此推測，函普生活在 10 世紀早期，女真族在當時仍由獨立的部落組合而成，在此期間，高麗在 918 年建國，並在 935 年滅亡新羅。

包括完顏氏在內的女真部落，在漢人或契丹人的公文中被稱為生女真。這些「生女真」居住於遼朝境外受漢文化的影響不大的長白山南部（今在朝鮮民主主義人民共和國與中國東北地區的邊界）以及松花江北部。

函普在完顏氏部住了一段時間後，完顏部人殺了其它族的人，因此兩族交惡，哄鬥不止。完顏部人對函普說只要化解仇殺，就把部族裡一個六十多未嫁的賢女嫁給他，收他作完顏部的人。函普答應下來，為了解決兩個氏族永無休止的家族世仇，函普明智的確立了兩個氏族都適應的新規定：從現在起，殺人者家裡將牛、馬、錢贈予被害人親屬，以作賠償。歷史學家福赫伯，以女真族的習慣法與古日耳曼人實行的被殺賠償金為對比。作為結束這場氏族紛爭的回報，函普娶了六十多歲的完顏部女，並為他生了兩子一女。失傳的《神麓記》稱，函普的妻子只有四十多歲。之後，函普及其後裔，被正式接納為完顏部人。



族源爭議

中國學者曾爭論過函普的種族。學者們通常認為，由於高麗境內居住著幾個民族，函普「從高麗來」並不意味著其民族為高麗人。當時的人們並不總在國家和民族之間作區分，因此，以現代說法來看，函普可能是客居於高麗地的女真人、高麗人或是新羅人。

中國歷史學家金毓黻意識到，歷史文獻不是稱函普來自高麗就是來自新羅，發覺這兩種觀點都值得考辨。一些歷史學家公開認為，關於函普族屬的記載，全都出自於《松漠紀聞》及像稱其為「新羅人」的馬端臨的《文獻通考》之類的其他來源。據《高麗史・睿宗三》記述，金景祖完顏烏古迺之子盈歌，因其家族祖先函普來自高麗，尊高麗為「父母之邦」。不過，上述言論可能是女真人嘗試在外交上得到高麗的幫助，以共同攻打遼國的一種拉攏。

歷史學家孫進己聲稱，函普從高麗來之前就姓完顏，因此，他的家庭在重返女真土地之前，乃是居於高麗、新羅的女真人。中國歷史學家孟古托力及趙永春認為，函普的祖先是女真人，他們曾先後居住於新羅和吞滅新羅的高麗。

西方學者通常把函普看作傳說故事。福赫伯解釋說，該女真「祖先的傳說」可能暗示完顏部在 10 世紀的某個時候吸收了從高麗和渤海來的移民。牟復禮估計，此記述建立於完顏氏的一個「部落傳說」之上，而函普的兩個兄弟（一個留在高麗，另一個留在渤海）則可能象徵著「這兩個部族的祖先存有淵源」。

宋朝洪皓《松漠紀聞》、徐夢莘《三朝北盟會編》、李心傳《建炎以來朝野雜記》、《建炎以來系年要錄》、陳均《九朝編年備要》、佚名編《續編兩朝綱目備要》、宇文懋昭《大金國志》、馬端臨《文獻通考》皆載女真酋長本新羅人，號完顏氏。

金朝《始祖實錄》稱祖先自高麗而來，未聞出於高辛，可見女真人既不承認自己是黃帝後人，也不承認自己是高句麗後人（高麗自稱是高句麗的延續）。

元朝官修《金史》記載「金人本出鞨靺之附於高麗者」，表示金人祖先是居住在高麗的鞨靺人。



遺產

在公元 1000 年以後，完顏氏在女真族中聲名鵲起。函普的第六代傳人烏骨廼，開始將分散的女真氏族與部落歸附於完顏部。烏骨廼之孫阿骨打，擊敗了女真的契丹統治者遼朝，並在 1115 年建立金朝。到了 1127 年，金朝已經完全征服了中國北方原屬於宋朝的領土。

金熙宗即位後不久，在 1136 年或 1137 年，給函普上諡號景元皇帝，廟號始祖。在 1144 或 1145 年，函普的陵寢被命名為光陵。在 1145 年 12 月或 1146 年 1 月，他的諡號被增加為懿憲景元皇帝。



家庭

妻子兒女

函普之妻在 1136 年被諡為明懿皇后。蒙古學者脫脫在 14 世紀四十年代主編的官修史書《金史》中，列下的函普的家庭成員如下：


* 明懿皇后，完顏部人。年六十餘嫁始祖。
  
* 長子烏魯，他的繼任者
  
* 次子斡魯
  
* 女注思版

兄弟及子女


* 兄阿古乃，因為篤信佛教，留在高麗不肯與函普同行
  
* 胡十門

* 弟保活里
  
* 石土門
  
* 迪古乃

後代


* 九世孫完顏匡



參考文獻


* 《金史》世紀、列傳第一第三

* ^ 《大金國志》金國世系之圖

引用
《函海》是清朝時輯成的一部叢書，搜集了許多罕見的前人著作，《清史列傳》稱其「表彰先哲，嘉惠來學，甚為海內所稱」。其纂者常署為李調元，但實際八個《函海》版本中有三個並非出於其手。



背景

李調元「性愛奇嗜博」且「酷有嗜書之癖」，因此與其父李化楠四處搜集藏書。其家有「萬卷樓」，藏書多達十萬卷，因而人稱其為「西川第一藏書家」。後來他當京畿通永道道員時因清廷重修《永樂大典》並開四庫，李調元的好友邵晉涵、程晉芳等又是《四庫全書》的纂修官，「因以得借觀天府藏書副本」。他又雇書吏將這些書原封不動地抄下來，自「辛丑秋，迄於壬寅冬」兩年閒就搜集到了大量的前人著述。乾隆四十七年（1782 年，即壬寅年）冬，他將新抄的書籍和以前搜集的宋元善本合刊成冊，此即《函海》壬寅本。



版本

《函海》的第一個版本即乾隆壬寅冬本，收錄自漢以來著作，但這一版本刊行很少，現僅存鄧長風於美國國會圖書館發現的唯一一本。按鄧長風《明清戲曲家考》：「《函海》初刻本凡二十集，收書一百四十二種，一百三十四冊，分裝二十函。卷首有李調元自撰的《函海總序》」。其中不乏珍本、孤本（如《繼制科瑣記》）。後來的其他版本直接抄用總序，因此時間都標為「乾隆四十七年十二月初六日」，導致時間混淆。

壬寅本出版之際李調元因「與永平知府弓養正對訐而獲罪下獄」，又欠刻書者林某 300 兩而被其扣押版片，因此無法繼續出版函海。乾隆甲辰（1784 年）春出獄後再版，即二十四函的甲辰春本《函海》，收書一百五十八種，新增《函海後序》和四集他自己的著作。同年冬，《函海》再版，因此本扉頁有「乾隆甲辰本衙版」字樣而得名乾隆本衙本。此版擴充至 30 函，收書卻減少至一百五十四種，主因一些漢代書版被毀，因而改收錄「自晉而下」的著作，並加上楊慎和李調元自己的著作。

乾隆末年李調元回到故鄉四川，居於羅江，再次增補此書，此即萬卷樓本。鄧長風認爲這版《函海》有四十函，詹航倫則認爲有三十函。嘉慶六年（1801 年，辛酉年） ，李調元依照萬卷樓本對函海做了最後一次修訂，共四十函，收書一百五十九種。其校勘和印刷質量較差。

李調元逝世之後，李鼎元在嘉慶十四年（1809 年）再版，修訂了前一版的一些錯誤，刪去了《劇話》，增補李鼎元自纂的序，但基本上和前一本沒有太大出入。

道光二十五（1825 年），李調元的兒子李朝夔再次增訂《函海》，補入新書，使其收書量達到一百六十三種，是後來流傳最廣的一個版本。

光緒七年（1881 年），四川舉人鍾登甲在北京出售巾箱本《函海》，但這一本刪改極多。已與原版大不相同。



參考文獻
函證（External confirmations）是一項審計術語，是指審計師「為了獲取影響財務報表或相關披露認定的項目的信息，通過直接來自第三方對有關信息和現存狀況的聲明，獲取和評價審計證據的過程」。
函證是重要的審計程序之一，函證獲取的審計證據稱為詢證函。詢證函應當由
審計師直接發出，並要求將回函直接寄回審計師。這樣做是為了防止被審計者篡改詢證函及回函信息。



函證的作用

函證可以為審計師獲取認定層次的充分、適當的審計證據，以降低檢查風險至可接受的水平。例如，A 公司會計記錄上記載截至 × 年 × 月 × 日有在 B 銀行的存款 100 萬元，則審計師可以向 B 銀行發出詢證函以獲取 B 銀行對於 A 公司存款的說明。如果 B 銀行確認 A 公司的記錄是準確的，則審計師可以確認 A 公司的會計記錄。



函證的對象及信息

審計師根據不同的函證對象選擇不同的函證信息，具體如下表所示：



函證的結果及評價

若審計師在實施函證後的合理時限內未能收到回函，則應被詢證人進行二次函證。

若審計師就同一審計目標發出向多位被詢證人進行函證，則應在收到回函後，編制《函證結果匯總表》作為綜合性的審計證據和審計工作底稿，並記錄對函證結果做出的評價。函證結果匯總表應當包括：


* 函證編號

* 被詢證人名稱；

* 函證信息；

* 函證方式；

* 函證日期，包括第一次和第二次的日期；

* 回函日期

* 回函結果

* 可確認的信息

* 信息差異及說明

* 審計結論



參見


* 詢證函

* 審計程序



注釋



參考資料


* 
* 中國註冊會計師協會。审计. 2008 年度註冊會計師全國統一考試輔導教材。北京：經濟科學出版社. 2008 年 4 月. ISBN 9-787-5058-7044-4.
蘇星河，金庸武俠小說《天龍八部》角色，為逍遙派掌門無崖子的大弟子，師弟為丁春秋。為金庸小説武功高手之一。

蘇星河不僅武功極高，且盡得無崖子雜學真傳，並分傳門下弟子神醫薛慕華等函谷八友，各習琴、棋、書、畫、醫術、土木、蒔花、戲劇一門。而師弟丁春秋則專修武功，因此在武學方面，蘇星河卻因分心於其他雜學而比不上師弟丁春秋。

由於丁春秋為要登上逍遙派掌門寶座，一度謀害無崖子，逼迫蘇星河發誓裝聾作啞，並迫使他不得不將函谷八友全數逐出師門，更將新收的弟子割舌刺耳。

另外，無崖子為招收關門弟子對付丁春秋，布下極難解開的珍瓏棋局，也是由蘇星河執黑子，其他對弈的人執白子。後在內傷之際，中了丁春秋的三笑逍遙散而死。



函谷八友


* 康廣陵 - 琴

　
: 「函谷八友」之首，蘇星河徒弟。康廣陵擅長彈琴，其中最出名的就是廣陵散。同時也與阿碧有些淵源 (此部分在新版本已經刪除，並未提到這個。而在之前的版本則有提到阿碧的琴聲吸引了康廣陵得注意。)

* 范百齡 - 棋

* 苟讀 - 書

* 吳領軍 - 畫

* 薛慕華 - 醫，綽號「閻王敵」，被人譽為神醫

* 馮阿三 - 土木機關

* 石清風 - 花

* 李傀儡 - 戲



參考文獻
函谷關之戰，可能指：



與公孫衍有關的


* 函谷關之戰 (前 318 年)，公孫衍合縱楚、韓、趙、魏、燕、義渠聯軍攻打秦國的戰爭。



與孟嘗君有關的


* 函谷關之戰 (前 298 年)，齊、韓、魏三國聯合攻打秦國的戰爭（前 298 年至前 296 年）。



與龐煖有關的


* 函谷關之戰 (前 241 年)，龐煖合縱趙、楚、魏、韓、燕五國攻打秦國的戰爭。
函谷關之戰發生於前 318 年，戰國時代楚、韓、趙、魏、燕五國聯軍聯合義渠國攻打秦國的一場戰爭。

秦國的東向擴張策略，嚴重威脅到東方六國。前 319 年，公孫衍在韓國支持下取代張儀成為魏國國相，魏王驅逐張儀回秦，並爭取各國合縱對付秦國，同時惠施也回國，合縱形勢又形成了。前 318 年，公孫衍發起魏、趙、韓、燕、楚合縱攻秦之舉，以楚懷王為縱長，組織聯軍進攻秦國。公孫衍又遊說義渠攻打秦國，配合聯軍。秦送「文繡千匹，好女百人」給義渠，以緩其威脅，義渠國君認為秦國送厚禮其實是暫時的策略，秦國強大終對義渠不利，便乘五國攻打秦國的機會，出兵襲擊，大敗秦軍於李帛。然而五國並不齊心，真正出兵的只有魏、趙、韓三國，聯軍攻打函谷關，但是卻被秦軍擊退。

前 317 年，秦國派遣庶長樗里疾率秦軍出函谷關反擊韓趙魏聯軍，於修魚大敗趙、韓聯軍，敗趙將趙渴、韓奐，俘虜韓將申差，斬殺聯軍八萬二千人。



參考文獻



參見


* 中國戰爭列表
函谷關鎮，是中華人民共和國河南省三門峽市靈寶市下轄的一個鄉鎮級行政單位。2019 年被評為中國文化百強鎮。



行政區劃

函谷關鎮下轄以下地區：

北坡頭村、​牆底村、​岸底村、​西留村、​梁村、​店頭村、​王垛村、​孟村、​東寨村、​西寨村、​坡寨村、​雷家溝村、​白家寨村、​馬家寨村、​梨灣園村、​稠桑村和長安寨村。



交通

連霍高速公路、鄭西高速鐵路和三靈快速通道穿境而過。



景點

函谷關景區，國家 AAAA 級旅遊景區，位於該鎮王垛村，轄區面積 16.5 平方公里，主要景點有太初宮、道聖宮、道家養生園、藏經樓、瞻紫樓、雞鳴台、碑林、蠟像館、博物館、關樓、函關古道等 20 餘處。
函谷關之戰是前 241 年趙、楚、魏、韓、燕五國聯合進攻秦國的戰爭。



過程

前 241 年，趙、楚、魏、韓、燕五國共推楚考烈王為縱約長，龐煖為聯軍主帥，共同攻打秦國。聯軍攻至函谷關時，秦軍出擊，諸侯聯軍敗退。聯軍轉而進攻秦國的盟國齊國，奪取了饒安（今河北省鹽山縣西南）。



爭議

關於此戰《史記・卷六・秦始皇本紀》記載為（秦王政）六年，韓、魏、趙、燕、楚共擊秦，取壽陵。秦出兵，五國兵罷。《史記・卷四十三・趙世家》記載為（趙悼襄王）四年，龐煖將趙、楚、魏、燕之銳師，攻秦蕞，不拔。《史記・卷四十・楚世家》記載為（楚考烈王）二十二年，與諸侯共伐秦，不利而去。而《史記・卷七十八・春申君列傳》則記載為攻秦至函谷關。梁玉繩所著《史記志疑》認為聯軍中無衛國，取壽陵也記載有誤。而楊寬認為蕞位於陝西省臨潼縣北，已經深入秦國境內，五國聯軍沒有能力攻到此地，應以《楚世家》和《春申君列傳》的記載為準。



影響

函谷關之戰是戰國時期最後一次諸侯合縱攻秦之戰，儘管龐煖富於智謀，又善於縱橫之術，但最終無功而返。從此，六國更加無法抵禦秦國的兼併，秦國最終統一六國，建立秦朝。



參考文獻
函谷關之戰發生於前 298 年 — 前 296 年，戰國時代齊、韓、魏三國聯軍攻打秦國的一場戰爭。

前 299 年，秦國和趙國聯盟，與齊國斷交，在秦國為相的齊國公子孟嘗君逃回齊國。前 298 年，在孟嘗君倡導下，齊國聯合韓國、魏國合縱攻秦。至函谷關，秦軍退入關內據守。前 297 年，三國繼續攻擊，前 296 年，三國聯軍攻入函谷關，占領鹽氏城。秦國向聯軍求和，分別將封陵、武遂還給魏、韓。當時，趙國、宋國和秦國結盟，沒有參與攻秦，但是趙國忙於兼併中山國，也沒有出兵助秦。齊國因過往破燕而與燕國結仇，由此三國聯軍在攻秦後又在齊將匡章的率領下大敗燕國。而楚國方面有楚懷王被秦國欺騙並扣留在秦國的情況，同時楚國並未參與此合縱；前 301 年，齊、韓、魏三國聯軍在垂沙之戰大敗楚軍。

齊國雖然得勝，但沒有獲得很大的收益。而韓國、魏國得罪秦國；前 294 年，此兩國在伊闕之戰中被秦國白起毀滅性打擊。



參考文獻



參見


* 中國戰爭列表
函館 Liner（日語：はこだてライナー _Hakodate-Raina_ \*/?）是北海道旅客鐵道（JR 北海道）在函館本線函館站至新函館北斗站之間運行的普通列車和快速列車。



概要

列車名稱在 2014 年（平成 26 年）11 月 20 日至 12 月 22 日之間公開招募。第 1 位為函館 Liner（日語：はこだてライナー），名稱的由來是把列車目的地「函館」和「Liner」合併之成，使乘客更易了解此列車運行地區而決定採用。

在 2016 年（平成 28 年）3 月 26 日，北海道新幹線新青森站至新函館北斗站之間開業，作為接駁函館站至新函館北斗站之間的本列車也同時開始運行。

在新幹線開業前，函館至七飯之間曾經有區間列車運行，但函館 Liner 開始運行後便轉換至函館 Liner，使函館 Liner 同時擔當函館近郊運輸之任務。



運行狀況

現時，列車定期行走函館站至新函館北斗站之間 16 往返班次共 32 班，除了早上上行首班車和深夜下行末班車外，全部列車都可轉乘新幹線「隼」和「疾風」。在所有班次中，下行 6 班、上行 7 班為快速列車。除此之外，在北海道新幹線開業後與日本黃金周，許多乘客使用期間，最多可增加臨時快速列車 3 往返班次。



停車站

快速列車

函館站 - 五稜郭站 - 新函館北斗站

普通列車

函館站 - 五稜郭站 - 桔梗站 - 大中山站 - 七飯站 - 新函館北斗站



使用列車與編成

全部列車都由函館運輸所所屬的 733 系 1000 番台電聯車（3 卡編成）運行。是在道南地區國鐵、JR 路線中，首次有普通列車使用電聯車運行。

733 系 3 卡編成列車可乘載 441 人，與一列新幹線乘載 731 人來說是較少。在繁忙時期，將會以兩列 733 系列車拼結以 6 卡編成運行。



沿革


* 2011 年（平成 23 年）12 月 13 日：JR 北海道宣布，由北海道新幹線新青森站至新函館站（暫名）之間開業時，函館站至新函館站（暫名）之間將會引入接駁列車。

* 2014 年（平成 26 年）11 月 20 日：宣布行走函館站至新函館北斗站之間的接駁列車使用 733 系 1000 番台電聯車。同日起至同年 12 月 22 日，公開招募接駁列車的名稱。

* 2015 年（平成 27 年）
  
* 2 月 12 日：列車名稱決定為「函館 Liner」（日語：はこだてライナー）。
  
* 9 月 16 日：發表「函館 Liner」基本運行計劃，決定列車每日運行 16 往返班次。
  
* 12 月 18 日：發表「函館 Liner」詳細運行計劃。

* 2016 年（平成 28 年）3 月 26 日：「函館 Liner」開始運行。

* 2017 年（平成 29 年）3 月 4 日：修訂時間表。部分「函館 Liner」修改行車時間。

* 2018 年（平成 30 年）3 月 17 日：修訂時間表。部分「函館 Liner」修改行車時間。また、深夜の函館発の「函館 Liner」の運転時刻を 57 分繰り下げ。

* 2019 年（平成 31 年）3 月 16 日：修訂時間表。因青函隧道內最高速度提升，「隼」和「疾風」列車行車時間縮短，所以部分「函館 Liner」修改行車時間。

* 2020 年（令和 2 年）5 月 2 日 - 5 月 6 日：因 COVID-19 影響，部分「隼」列車暫停服務，所以相應接駁的「函館 Liner」亦暫停服務。

* 2021 年（令和 3 年）3 月 13 日：修訂時間表。因東北新幹線上野站 - 大宮站間最高速度提升，部分「隼」列車行車時間縮短，所以部分「函館 Liner」修改行車時間。



注腳

注釋

參考資料

報道發表資料

JR 北海道

JR 東日本



相關項目


* 北海道新幹線

* 新幹線接力號
函館地方氣象台（日語：函館地方気象台／はこだてちほうきしょうだい _Hakodate chihō kishōdai_）是日本氣象廳札幌管區氣象台下屬的一個地方氣象台，位於北海道函館市，管轄範圍為渡島綜合振興局和檜山振興局。其前身為 1872 年設立的函館氣候測量所，是日本歷史上第一個氣象觀測所。



職責

函館地方氣象台負責渡島綜合振興局和檜山振興局的氣象觀測、沿岸防災觀測和防災氣象信息的發佈。

氣象觀測


* 地面氣象觀測

* 地域氣象觀測

* 氣象雷達觀測

沿岸防災觀測

為防止和減輕海嘯、風暴潮和天文大潮等災害造成損失，函館市海岸町設有潮位觀測所，檜山郡上之國町設有沿岸雷達式波浪計。


* 上之國沿岸波浪計

* 函館潮位觀測所

防災氣象信息發佈


* 防災氣象信息

* 天氣預報



歷史

幕府末年，箱館（1869 年起改稱函館）成為日本對外開放開放的窗口之一，逐漸有外國人前往居留。為解決自身的不便，他們開始有單獨、分散的氣象觀測活動。1872 年，開拓使函館支廳的福士成豐在函館市船場町（今函館市末廣町）的住所安設觀測機器，於 8 月 26 日開始氣象觀測，這也是日本氣象觀測史的開始。3 年之後，首都東京也正式開始了氣象觀測活動。



關聯項目


* 氣象廳

* 地方氣象台

* 札幌管區氣象台

* 函館市



參考來源與註解



外部連結


* 函館地方氣象台 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
函館大學（日語：函館大学）是位於日本北海道函館市高丘町的一所私立大學，前身為 1938 年成立的函館計理學校，1965 年成為大學，目前擁有一個學部一個學科。簡稱為函大（Kandai）。



沿革


* 1938 年 - 設立函館計理學校（各種學校、一年制）

* 1940 年 - 改制為函館高等計理學校（乙種二年制實業學校）

* 1941 年 - 設置財團法人道南學院、函館高等計理學校升格為甲種三年制實業學校

* 1946 年 - 改稱函館計理商業學校

* 1948 年 - 財團法人道南學院改稱財團法人野又學園

* 1951 年 - 財團法人野又學園變更為學校法人野又學園

* 1965 年 - 獲得許可成立函館大學商學部商學科

* 1970 年 - 設立函館大學經營研究所

* 2005 年 - 設立商學部英語國際商業學科

* 2010 年 - 英語國際商業學科併入商學科



基本資料

組織


* 商學部
  
* 商學科
    
* 企業經營課程
    
* 市場創造課程
    
* 英語國際課程



相關人物

歷任校長


* 野又貞夫 - 初代理事長與初代校長（1965－1976）

* 村田喜一 - 2 代校長（1976－1980）

* 佐藤裕 - 3 代校長（1980－1983）

* 和泉雄三 - 4 代校長（1983－1987）

* 大野和雄 - 5 代校長（1987－1989）

* 河村博旨 - 6 代校長（1989－2003）

* 小笠原愈 - 7 代校長（2003－2007）

* 溝田春夫 - 8 代校長（2007－2015）

* 野又淳司 - 現任校長（2015－）

著名教職員


* 石原和昌 - 客座教授

* 六代桂文枝 - 客座教授

* 梨元勝 - 客座教授

* 保阪正康 - 客座教授

* 山內鐵也 - 客座教授

* 土橋信男 - 客座教授

* 吉野源太郎 - 客座教授



著名校友


* 坪谷隆寬 - 演員

* 山縣優 - 職業摔角選手

* 坂田遼 - 職業棒球選手

* 佐藤雅美 - 職業保齡球選手

* 高橋幸慈 - 漫畫家

* 菊地均 - 北海商科大學教授

* 湊屋稔 - 羅臼町町長

* 盛田昌彥 - 鹿部町町長

* 杉浦武 - 旭化學工業社長

* 遠藤健夫 - ENCHO 社長



姊妹學校


* 夏威夷太平洋大學

* 紐卡斯爾大學

* 伍爾弗漢普頓大學

* 巴斯思巴大學

* 奇切斯特大學

* 南開大學

* 中部大學

* 南開大學濱海學院

* 長榮大學



交通


* 函館車站搭乘函館巴士「瀧澤町行」至「函館大學前」下車約 36 分鐘



相關條目


* 函館短期大學

* 函館大學附屬有斗高等學校

* 函館大學附屬柏稜高等學校

* 函館短期大學附屬幼稚園

* 函館短期大學附屬調理製菓專門學校

* 函館歯齒衛生士專門學校

* 函館看護專門學校

* 函館自動車學校

* 函館美原兒童館

* 函館昭和兒童館

* 函館神山兒童館



參考資料



外部連結


* 函館大學 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （日語）
函館山（日語：はこだてやま）是一處位於北海道函館市市區西部的山地。因函館山也是一座陸連島，因此有時也被稱爲「函館島」「函館山島」。函館山標高 334 米，周長約 9 公里。因其外觀形似一頭仰臥的牛，因此又名臥牛山（日語：がぎゅうざん）。

函館山是 13 座山峰的總稱，包括了建有瞭望台的御殿山（334m）、藥師山（252m）、杜鵑山（306m）、汐見山（206m）、八幡山（295m）、水元山（280m）、鞍掛山（113m）、地藏山（286m）、入江山（291m）、蝦夷立山（129m）、觀音山（265m）、牛背山（288m）、千疊敷（250m）。函館山的基台部分是約 100 萬年前海底火山噴發時的產物。之後因火山噴發使得這一地區多次隆起下沉，出現了一座大島。在約 5000 年前。由於泥沙堆積，在島嶼和渡島半島之間出現了一座連島沙洲，函館山遂成爲一座陸連島。而函館市的中心市區就位於連島沙洲之上。



歷史

自 1898 年開始，因制定了要塞地帶法，日本政府開始在函館山建設要塞建設。至 1905 年，函館山上已建有砲台、發電厰、觀測所等 17 個設施（津輕要塞）。隨著函館山成爲要塞地區，函館山也成爲日本的軍事機密。函館山消失在官方出版的地形圖上。普通民衆也被嚴禁進入函館山，並且禁止拍攝函館山的照片和素描函館山。測繪函館山也被嚴禁。有關函館山的話題也被嚴格限制。

在二戰結束之後，函館山失去了其要塞功能，成爲國有土地。函館山的所有者大藏省（現財務省）免費將函館山借給函館市使用。1945 年，美軍拆除了津輕要塞。1946 年 10 月，函館市自大藏省獲得了土地使用許可。12 月，函館市設立了函館山管理事務所，函館山重新對一般市民開放。1948 年，函館市將這一帶 326.6 公頃的土地按照都市計劃法設為都市計劃緑地「函館山緑地」。

現在御殿山第一砲台遺跡位於纜車設施和停車場、瞭望台、送信所之下，但由於有崩落的危險而被禁止進入。其他的一些要塞遺跡則可以參觀。2001 年，「函館山和砲台遺跡」被選為北海道遺產。

由於函館山長達半世紀都禁止普通民衆進入，因此自然環境保存良好。在函館山還生存有現在瀕臨滅絕的蝦夷蟾蜍。但現在由於生物學上認為蝦夷蟾蜍只是日本蟾蜍的亞種，因此函館山的蝦夷蟾蜍無法得到法律保護。相反由於日本蟾蜍和貓等外來物種的入侵，函館山的固有物種面臨被捕食的危機。爲了保護函館山的自然環境，函館市政府制定了市條例，禁止擅自採取函館山花草樹木。



旅遊

御殿山的山頂設有瞭望台，可在山麓搭乘函館山纜車或駕車（經過北海道道 675 號立待岬函館停車場線。這條道路也被稱爲函館山觀光道路。此外還有特定季節運行的巴士。）或步行登山到達。但在 4 月 25 日至 10 月 15 日期間，自 17 點至 22 點的這段時間內，函館山的道道 675 號區間禁止私家車通行。同時在這段期間內全天禁止摩托車通行。並且在 10 月 16 日開始約三週的期間，由於函館山纜車需要檢修暫停營業。為緩解交通堵塞並考慮到日落時間，限制通行的時間提前 1 小時，在 16 點至 21 點禁止私家車通行。另外在冬季，函館山全面禁止汽車通行。

函館山有多條徒步前往御殿山的路綫。大多登山客自東側的函館市電寶來町停留場出發，經函館山纜車山麓車站和函館護國神社之間的入口進山，沿舊山道登山。這一路徑長約 2.8 公里，耗費時間約 1 小時。此外還有北側的自函館碼頭前停留場經東本願寺船見支院登山的路綫，這一路綫較短但坡較陡。這兩條路綫中途都沒有路燈，若以觀賞夜景為目的登山，需要攜帶光源或在日落時就到達山頂。

函館山是瞭望的聖地。在白天的函館山頂，除了可以看到眼前的函館市區之外，還能隔津輕海峽看到遠處的下北半島。但函館山的夜景更加聞名。在夜間的函館山頂可以看到呈細腰形的函館市區的燈火。與之相對的是漆黑的大海，加上漁船的捕魚燈火，使得函館山上看到的夜景頗負盛名。據説在夜景中若能找到「喜歡」（「日語：スキ」）和「心」（「日語：ハート」）的文字，就能找到幸福。因此函館山也在戀人之中頗具人氣。函館山夜景和神戶摩耶山掬星台及長崎稻佐山看到的夜景並列為日本三大夜景。另外，在春季至夏季由於函館山容易有霧，因此有時無法清楚欣賞夜景。



信號發射塔

NHK 和各民營電視台都在函館山山頂瞭望台附近建有電視和 FM 廣播的信號發射所。各數位電視台為了不讓信號傳送至青森縣一側，均調整了天線的方位。



參考文獻



延伸閱讀


* 函館山の自然 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 函館インフォメーションネットワーク

* 山田大隆 北海道人：北海道遺産：函館山と砲台跡 北海道

* 渡辺道子 函館山と観光 "新日本百景" で全國第 1 位、『函館市史』デジタル版 通説編第 4 巻第 7 編、函館市



外部連結


* 市內公園情報 函館山 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 函館市住宅都市施設公社

* 函館山ハイキングコースマップ 函館山ロープウェイ株式會社

* 函館山展望台の夜景スポット情報　夜景 FAN （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 夜景 FAN



參見


* 日本三大夜景

* 世界三大夜景

* 函館山纜車

* 陸連島
函館工業高等專門學校（函館工業高等専門学校／はこだてこうぎょうこうとうせんもんがっこう，National Institute of Technology, Hakodate College），簡稱函館高專，是一所位於日本北海道的高等專門學校。

自創校至今，該校校長皆由北海道大學的名譽教授擔任。



沿革


* 1962 年 函館高專創立，為國立高專 1 期校。設有機械工學、電氣工學、土木工學三學科。

* 1966 年 增設工業化學科。

* 1991 年 增設情報工學科。

* 1995 年 土木工學科改組為環境都市工學科。

* 1996 年 工業化學科改組為物質工學科。

* 2000 年 電氣工學科更名為電氣電子工學科。

* 2004 年 法人化。增設專攻科。

* 2012 年 原有的五個學科進行整合，新設為生產系統工學科、物質環境工學科、社會基盤工學科。



教育組織

本科（副學士課程）


* 生產系統工學科

* 物質環境工學科

* 社會基盤工學科

專攻科（學士課程）


* 生產系統工學專攻

* 環境系統工學專攻

* 複合型系統工學教育學程。



交通資訊


* 搭乘函館市電，於湯之川車站下車，徒步約 15 分鐘。

* 搭乘函館巴士 14 號路線，於「高專前」站牌下車。

* 該校臨近函館機場，搭乘計程車到校僅需 10 分鐘。



參考資料



外部連結


* 函館工業高等專門學校（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
函館市槍戰發生於 2007 年 9 月 10 日，日本函館市昭和町，韓國籍黑道成員與警方爆發槍戰。



過程

北海道七飯町西大沼於當天晚上十點，一名女性高利貸業者遭到持槍搶匪搶奪車輛，飯店員工報警後北海道警察啟動強盜事件應變機制。約十一點，被通緝的車輛遭一組警員攔停，檢查時嫌犯突然從車內開兩槍，警部補手部中彈，同行的巡査部長開三槍示警，兩槍命中，嫌犯送醫後死亡。

嫌犯為長野縣佐久市戶籍，屬於住吉會幫派人士。本事件引起社會對於韓國人日漸增多後加入黑道的現象討論，但民主黨議員鉢呂吉雄也提出了警方用槍時機的檢討案，例如威嚇鳴槍卻是直接對人開槍的問題。



參考文獻



外部連結


* 質問名「最近のけん銃発砲事件等の警察捜査に関する質問主意書」の経過情報 - 衆議院
  
* 質問本文情報
  
* 答弁本文情報
函館市舊英國領事館（日語：函館市旧イギリス領事館）是一座位於日本北海道函館市元町的建築，曾是英國的領事館。英國於 1859 年在函館設立領事館，是
函館僅次於美國、俄羅斯第三個設立領事館的國家。領事館在歷史上多次發生發火。現在的建築在 1913 年至 1934 年為領事館。現在該建築是開港紀念館。



參考資料



外部連結


* 函館市舊イギリス領事館 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
渡島綜合振興局（日語：渡島総合振興局／おしまそうごうしんこうきょく _Oshima sōgō shinkōkyoku_ \*/?），為日本北海道道南地方的振興局，設於函館市。



歷史


* 1897 年 11 月：
  
* 設置函館支廳，下轄原渡島國龜田郡之函館區。
  
* 設置松前支廳，下轄原渡島國松前郡。
  
* 設置龜田支廳，下轄原渡島國上磯郡、龜田郡之函館區以外村莊、茅沼郡、山越郡。

* 1899 年 10 月 1 日：函館區改為自治區，並廢除原本的函館支廳，同時龜田支廳的治所遷往函館而更名為函館支廳。

* 1903 年 12 月：松前支廳併入函館支廳。

* 1922 年 8 月 1 日：改名為渡島支廳。

* 2010 年 4 月 1 日：北海道廢除支廳，改設為渡島綜合振興局。



管轄範圍


* 市部：函館市、北斗市

* 松前郡：松前町、福島町

* 上磯郡：知內町、木古內町

* 龜田郡：七飯町

* 茅部郡：鹿部町、森町

* 山越郡：長萬部町

* 二海郡：八雲町



觀光


* 函館山、函館夜景（與拿波里、香港並列世界三大夜景）

* 金森倉庫群

* 湯之溫泉（北海道最早被開發的溫泉）



交通

機場


* 函館機場

港口


* 函館港（北海道重要國際港口）

鐵路


* 青函隧道（本州～北海道）（北海道新幹線途經）



參考文獻
函館新外環狀道路（日語：函館新外環状道路／はこだてしんそとかんじょうどうろ）是位於日本北海道函館市的地域高規格道路。起於函館市桔梗町，終於函館市古川町，長約 15 公里，是連接函館機場的機場道路，部分已通車，而仍有部分興建中。

函館新外環狀道路的興建，是用以緩和函館都市圏外環道路北海道道 100 號函館上磯線（產業道路）的壅塞路況，與縮短到達道南其他地區的時間。2015 年，赤川交流道通車後，函館上磯線（產業道路）與周邊道路的車流量降低，事故也減少。。



計畫路段

函館新外環狀道路目前分為機場道路與古川道路兩段。機場道路自北海道函館市桔梗町起，至同市上湯川町止，長 10 公里，路幅 12.0 公尺（全部完工後將有 20.5 m），暫定 2 車線（全部完工後將有 4 線道），每車道寬 3.5 公尺。其構造規格為第 1 種 3 級，速限為時速 80 公里。古川道路則是從上湯川町至古川町，長 5.0 km，2000 年已勘測，但興建時間未定。。



年表


* 2007 年：機場道路事業化。

* 2009 年度：機場道路開工。

* 2015 年 3 月 14 日：函館交流道至赤川交流道通車（暫定 2 車線）。

預定時程


* 2020 年度：函館 IC/JCT 至赤川 IC 間 4 車道通車，赤川 IC 至函館空港 I 通車（暫定 2 車線）。



交流道


* ■已通車■未通車／未啟用

* 英文縮寫凡例

　
: IC：交流道、JCT：系統交流道



路線狀況

※部分路段一方向為 1 線道（60 公里／小時）


* 
* *



注釋



參考資料


* 函館新外環状道路（一般国道 278 号）空港道路 再評価原案準備書説明資料 (PDF). 北海道開發局. 2013 [2016-07-26]. （原始內容存檔 (PDF) 於 2015-03-19）.

* 地域高規格道路 函館新外環状道路 (PDF). 函館廣域幹線道路整備促進期成會. 2015 [2016-07-26].



參見


* 地域高規格道路列表

* 北海道地方道路列表



外部連結


* 地域高規格道路 函館新外環狀道路 - 北海道開發局函館開發建設部

* 函館新外環狀道路（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） - 函館市
函館新道（日語：函館新道／はこだてしんどう _Hakodate shindō_ \*/?）是一條連結日本北海道函館市至龜田郡七飯町，全長 20.2 公里，自動車專用道路路段全長 11.0 公里的國道 5 號的繞道。作為北海道縱貫自動車道的並行一般國道自動車專用道路（A' 路線）整備。七飯藤城 IC - 函館 IC 間為自動車專用道路，函館 IC - 七飯本町 IC 間約 6.6 公里為 4 車道。

七飯藤城 IC - 七飯本町 IC 間通常限制速度為 70 km/h。七飯本町 IC - 函館 IC 間通常限制速度為 100 km/h。

高速公路編號編為「E5」。



交流道


* 交流道（IC）編號欄的背景色為■顯示該部分道路已經啟用。設施名欄的背景色為■顯示該部分設施尚未啟用。未開通路段名稱皆為臨時名稱。

* （數字）為其他路線的編號。

* IC 為交流道的簡寫，JCT 為公路分岔點的簡寫，SA 為服務區的簡寫，PA 為停車區的簡寫，TB 為公路收費站的簡寫，BS 為巴士站的簡寫，TN 為隧道的簡寫，BR 為橋梁的簡寫。



參考資料



參見


* 日本高速公路列表



外部連結


* 國土交通省 北海道開發局 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
函館朝市位於日本北海道函館市若松町，離函館車站約 200 公尺，是日本著名早市之一。



概述

自第二次世界大戰結束，日本戰敗後，早市於 1945 年函館車站前的廣場角落開始流行
，後來於 1956 年遷移至現時若松町的所在地。函館朝市面積佔地約 3 公頃，共有 160 間商店，員工約 1000 名，年遊客估算約有 180 萬人至 200 萬人左右，日遊客估算平均 4,000 至 5,000 人。函館朝市全年開放（商戶則自由選擇營業與否），開市於約 5 至 6 時，閉市於約中午 12 時。而部份店舖會營業至下午 2 至 3 時左右。



售貨


* 農作物

* 海鮮

* 乾海產

* 生果

* 食物

* 新鮮產品

* 衣料

* 米穀

* 花

* 日用雜貨



其他活動


* 6 月函館早市市民感謝祭

* 學生早市販賣體驗



參考