廣義超幾何函數（generalized hypergeometric function），有時也稱超幾何函數，是一個用冪級數定義的函數，其中冪級數的係數由若干個升階乘的積和商給出。下文中用「超幾何函數」一詞代指廣義超幾何函數，而用「高斯超幾何函數」一詞代指 _p_=2、 _q_=1 時的廣義超幾何函數。



定義與記號

超幾何函數是用冪級數定義的：

　
: $\beta _{0}+\beta _{1}{\frac {z}{1!}}+\beta _{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}{\frac {z^{n}}{n!}}$

其中相鄰兩項的係數之比 βn+1/βn 是關於 n 的有理函數，分子和分母都可以表示成若干個一次函數的乘積。一般要求分子和分母的多項式的最高次係數均為 1，並取 β0=1，於是

　
: ${\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}={\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i}+n)}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i}+n)}},\quad \forall n\geqslant 0$

於是用階乘冪可以將 βn 表示為

　
: $\beta _{n}={\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}$

一般用下面的記號來表示超幾何函數：

　
: $_{p}F_{q}(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{p};b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{q};z)=\ _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}$

當 ai 都不是非正整數（即負整數和 0）時，要求所有的 bi 都不是非正整數。當有至少一個 ai 是非正整數，且其中最大（絕對值最小）者為 k 時，超幾何函數將截斷為 -k 次多項式，這時允許 bi 中存在非正整數，但要求這些非正整數都小於 k。這都是為了保證在所有的 βn 中，分母不為零。



斂散性

下面討論用來定義超幾何函數的冪級數以零為中心的收斂半徑。

當超幾何函數截斷為多項式時，顯然收斂半徑是無窮大。

除去這種特殊情況之外，用比值審斂法可知，當 p<q+1 時，收斂半徑為無窮大，當 p=q+1 時，收斂半徑為 1，剩下的情況收斂半徑為 0（這時一般把超幾何函數中對應的冪級數視作漸近級數，而函數本身則採用其它方式定義，如積分表達式）。

當級數的收斂半徑為 1 時，級數在單位圓外不收斂，但仍然可以通過解析延拓來定義超幾何函數的值。另外，此時在單位圓上的斂散性較為複雜，不能使用比值審斂法，必須使用高斯審斂法來判斷，結果如下，令

　
: $\gamma _{q}=\sum _{k=1}^{q}b_{k}-\sum _{k=1}^{p}a_{k},\quad r=\Re (\gamma _{q})$

則


* 當 r>0 時，級數在單位圓上絕對收斂；

* 當 0≥r>-1 時，級數在單位圓上除 z=1 外收斂，但不絕對收斂；

* 當 -1≥r 時，級數在單位圓上發散。



積分表達式

複數平面上的路徑積分可以用來定義所有 ak 都不是非正整數時的廣義超幾何函數，包括上面說到的 p≥q+1 的情形。

下面只介紹 p+1>q 且級數不截斷為多項式的情形（其它情形下，上面的冪級數定義已經是良好的定義，而下面的積分不收斂），這時超幾何函數可以定義為：

　
: $\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k})\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k})\right)\,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{+i\infty }\left(\prod _{k=1}^{p}\Gamma (a_{k}+s)\right/\left.\prod _{k=1}^{q}\Gamma (b_{k}+s)\right)\Gamma (-s)(-z)^{s}\mathrm {d} s$

當 p=q 且級數不截斷為多項式時，超幾何函數既可以用上面的積分來定義，也可以用超幾何級數定義。可以證明，兩種定義是等價的，且定義出來的超幾何函數都是整函數；

當 p=q+1 且級數不截斷為多項式時，超幾何函數既可以用上面的積分來定義，也可以用超幾何級數定義，但級數定義只在 |z|<1 時有效，在這個區域內，兩種定義是等價的，上式提供了級數定義的一個解析延拓；

當 p>q+1 且級數不截斷為多項式時，超幾何函數只能通過積分表達式定義，對應的超幾何級數只在 z =0 處收斂，其它情況均發散，它是積分定義的超幾何函數在 z=0 處的漸近級數，即

　
: $_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]\approx \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}},\quad p>q+1,z\rightarrow 0,|\arg z|<(p+1-q){\frac {\pi }{2}}$



超幾何函數的性質

特殊值

　
: ${}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};0\right]=1$

歐拉積分轉換

　
: ${}_{p+1}F_{q+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p},c\\b_{1},\ldots ,b_{q},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\ldots ,b_{q}\end{array}};tz\right]dt$

導函數

　
: ${\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}$

由上面三個關係式可以得到超幾何函數滿足的微分方程式：

　
: $z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w,\quad w(z)={}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]$ .



特例

0F0

就是指數函數。

　
: ${}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}$

1F0

　
: ${}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.$

0F1

稱為合流超幾何極限函數（confluent hypergeometric limit functions），與貝索函數有密切關聯。

　
: $J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot {}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).$

1F1 和 2F0

1F1 就是（第一類）合流超幾何函數，也稱 Kummer 函數。

　
: ${}_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)$

另一方面，2F0 （此函數的級數表達式不收斂，因此必須通過積分表達式定義）與第二類合流超幾何函數（又稱 Tricomi 函數）有如下關係：

　
: $U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})$

事實上，它們都可以表示為高斯超幾何函數的極限，

　
: ${}_{1}F_{1}(a;c;z)=\lim _{b\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)$

　
: ${}_{2}F_{0}(a,b;;z)=\lim _{c\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;cz)$

類似地，pFq 都可以表示成 p+1Fq 或 pFq+1 的極限。

不完全伽瑪函數與這兩個函數有關聯：

　
: $\gamma (a,z)={\frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),\quad a\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}$

　
: $\Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)$

2F1

就是高斯超幾何函數，一般又簡稱超幾何函數。

多重對數函數

當 s 為非負整數時，多重對數函數 Lis 可以用超幾何函數表示：

　
: $\mathrm {Li} _{s}(z)=z\cdot {}_{s+1}F_{s}\left[{\begin{array}{c}1,\ldots ,1\\2,\dots ,2\end{array}};z\right]$



參考


* Askey, R. A.; Daalhuis, Adri B. Olde, Generalized Hypergeometric Functions and Meijer G-Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248

* Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113 .