函數的微分（英語：Differential of a function）是指對函數的局部變化的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時，函數的值是怎樣改變的。

微分在數學中的定義：由 y 是 x 的函數 (y=f (x))。從簡單的 x-y 座標系來看，自變數 x 有微小的變化量時 (d/dx)，應變數 y 也會跟著變動，但 x 跟 y 的變化量都是極小的。當 x 有極小的變化量時，我們稱對 x 微分。微分主要用於線性函數的改變量，這是微積分的基本概念之一。

當某些函數 $\textstyle f$ 的自變量 $\textstyle x$ 有一個微小的改變 $\textstyle h$ 時，函數的變化可以分解為兩個部分。

一個部分是線性部分：在一維情況下，它正比於自變量的變化量 $\textstyle h$ ，可以表示成 $\textstyle h$ 和一個與 $\textstyle h$ 無關，只與函數 $\textstyle f$ 及 $\textstyle x$ 有關的量的乘積；在更廣泛的情況下，它是一個線性映射作用在 $\textstyle h$ 上的值。

另一部分是比 $\textstyle h$ 更高階的無窮小，也就是說除以 $\textstyle h$ 後仍然會趨於零。當改變量 $\textstyle h$ 很小時，第二部分可以忽略不計，函數的變化量約等於第一部分，也就是函數在 $\textstyle x$ 處的微分，記作 $\displaystyle f'(x)h$ 或 $\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)$ 。如果一個函數在某處具有以上的性質，就稱此函數在該點可微。

不是所有的函數的變化量都可以分為以上提到的兩個部分。若函數在某一點無法做到可微，便稱函數在該點不可微。

在古典的微積分學中，微分被定義為變化量的線性部分，在現代的定義中，微分被定義為將自變量的改變量 $\textstyle h$ 映射到變化量的線性部分的線性映射 $\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}$ 。這個映射也被稱為切映射。給定的函數在一點的微分如果存在，就一定是唯一的。



一元微分

定義

設函數 $y=f(x)$ 在某區間 ${\mathcal {I}}$ 內有定義。對於 ${\mathcal {I}}$ 內一點 $x_{0}$ ，當 $x_{0}$ 變動到附近的 $x_{0}+\Delta x$ （也在此區間內）時，如果函數的增量 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ 可表示為 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ （其中 $A$ 是不依賴於 $\Delta x$ 的常數），而 $o(\Delta x)$ 是比 $\Delta x$ 高階的無窮小，那麼稱函數 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 是可微的，且 $A\Delta x$ 稱作函數在點 $x_{0}$ 相應於自變量增量 $\Delta x$ 的微分，記作 ${\textrm {d}}y$ ，即 ${\textrm {d}}y=A\Delta x$ ， ${\textrm {d}}y$ 是 $\Delta y$ 的線性主部。:141

通常把自變量 $x$ 的增量 $\Delta x$ 稱為自變量的微分，記作 ${\textrm {d}}x$ ，即 ${\textrm {d}}x=\Delta x$ 。

和導數的關係

微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函數來說，可微與可導是完全等價的概念:141。可微的函數，其微分等於導數乘以自變量的微分 ${\textrm {d}}x$ ，換句話說，函數的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。於是函數 $y=f(x)$ 的微分又可記作 ${\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x$ 。

幾何意義

設 $\Delta x$ 是曲線 $y=f(x)$ 上的點 $P$ 在橫坐標上的增量， $\Delta y$ 是曲線在點 $P$ 對應 $\Delta x$ 在縱坐標上的增量， ${\textrm {d}}y$ 是曲線在點 $P$ 的切線對應 $\Delta x$ 在縱坐標上的增量。當 $\left|\Delta x\right|$ 很小時， $\left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|$ 比 $\left|\Delta x\right|$ 要小得多 (高階無窮小)，因此在點 $P$ 附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

例子

設有函數 $f:x\mapsto x^{2}$ ，考慮它從某一點 $x$ 變到 $x+{\textrm {d}}x$ 。這時，函數的改變量 $f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)$ 等於：

　
: $f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)=(x+{\textrm {d}}x)^{2}-x^{2}$

　
: $=2x\cdot {\textrm {d}}x+({\textrm {d}}x)^{2}=A{\textrm {d}}x+o({\textrm {d}}x)$

其中的線性主部： $Adx=2xdx$ ，高階無窮小是 $o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}$ 。
因此函數 $\textstyle f$ 在點 $\textstyle x$ 處的微分是 ${\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x$ 。函數的微分與自變量的微分之商 ${\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)$ ，等於函數的導數。

　
: ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ax^{n})}{\mathrm {d} x}}$ ，尤其 $y=ax^{n}$

　
: $=nax^{(n-1)}$

以下有一例子：
當方程式為 $y=2x^{2}$ 時，就會有以下的微分過程。

　
: ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

　
: $={\frac {\mathrm {d} 2x^{2}}{\mathrm {d} x}}$

　
: $=2\cdot 2x^{(2-1)}$

　
: $=4x$

微分法則

和求導一樣，微分有類似的法則。例如，如果設函數 $u$ 、 $v$ 可微，那麼：

 
* $d(au+bv)=dau+dbv=adu+bdv$

* $d(uv)=udv+vdu$

* $d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}$

* 若函數 $y(u)$ 可導，那麼 $d[y(u)]=y'(u)du$ :139

極值



多元函數微分

當自變量是多元變量時，導數的概念已經不適用了（儘管可以定義對某個分量的偏導數，但偏導數隻對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。

定義

設 $f$ 是從歐幾里得空間 Rn（或者任意一個內積空間）中的一個開集 $\Omega $ 射到 Rm 的一個函數。對於 $\Omega $ 中的一點 $x$ 及其在 $\Omega $ 中的鄰域 $\Lambda $ 中的點 $x+h$ 。如果存在線性映射 $A$ 使得對任意這樣的 $x+h$ ,

　
: $\lim _{h\to 0}\left({\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0$

那麼稱函數 $f$ 在點 $x$ 處可微。線性映射 $A$ 叫做 $f$ 在點 $x$ 處的微分，記作 ${\textrm {d}}f_{x}$ 。

如果 $f$ 在點 $x$ 處可微，那麼它在該點處一定連續，而且在該點的微分只有一個。為了和偏導數區別，多元函數的微分也叫做全微分或全導數。

當函數在某個區域的每一點 $x$ 都有微分 ${\textrm {d}}f_{x}$ 時，可以考慮將 $x$ 映射到 ${\textrm {d}}f_{x}$ 的函數：

　
: ${\textrm {d}}f:x\mapsto {\textrm {d}}f_{x}$

這個函數一般稱為微分函數。

性質


* 如果 $f$ 是線性映射，那麼它在任意一點的微分都等於自身。

* 在 Rn（或定義了一組標準基的內積空間）裡，函數的全微分和偏導數間的關係可以通過雅可比矩陣刻畫：

　
: 設 $f$ 是從 Rn 射到 Rm 的函數， $f=(f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})$ ，那麼：

　
: ${\textrm {d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$ 。

具體來說，對於一個改變量： $h=(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}$ ，微分值：

　
: ${\textrm {d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}h_{j}\right)e_{i}$


* 可微的必要條件：如果函數 $f$ 在一點 $x_{0}$ 處可微，那麼雅克比矩陣的每一個元素 ${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})$ 都存在，但反之不真:76。

* 可微的充分條件：如果函數 $f$ 在一點 $x_{0}$ 的雅克比矩陣的每一個元素 ${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})$ 都在 $x_{0}$ 連續，那麼函數在這點處可微，但反之不真:77。

例子

函數 $f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)$ 是一個從 $\mathbb {R} ^{2}$ 射到 $\mathbb {R} ^{3}$ 的函數。它在某一點 $(x,y)$ 的雅可比矩陣為：

　
: $J_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}$

微分為： ${\textrm {d}}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)$ ，也就是：

　
: ${\textrm {d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}$



微分與微分形式

如果說微分是導數的一種推廣，那麼微分形式則是對於微分函數的再推廣。微分函數對每個點 $x$ 給出一個近似描述函數性質的線性映射 ${\textrm {d}}f_{x}$ ，而微分形式對區域 $\mathbf {D} $ 內的每一點給出一個從該點的切空間映射到值域的斜對稱形式： $\omega (x):\mathbf {TD} _{x}\longrightarrow \mathbb {R} $ 。在坐標記法下，可以寫成：

　
: $\omega (x)=\sum _{1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}a_{i_{1}\cdots i_{k}}(x){\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}$

其中的 ${\textrm {d}}x^{i}$ 是 $i$ - 射影算子，也就是說將一個向量 $v$ 射到它的第 $i$ 個分量 $v^{i}$ 的映射。而 ${\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}$ 是滿足：

　
: ${\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}(v_{1},\cdots v_{k})={\begin{vmatrix}v_{1}^{i_{1}}&\cdots &v_{1}^{i_{k}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{k}^{i_{1}}&\cdots &v_{k}^{i_{k}}\end{vmatrix}}$

的 _k_- 形式。

特別地，當 $f$ 是一個從 Rn 射到 R 的函數時，可以將 ${\textrm {d}}f_{x}$ 寫作：

　
: ${\textrm {d}}f_{x}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x){\textrm {d}}x^{i}$

正是上面公式的一個特例。



參見


* 微分學

* 微積分

* 導數

* 積分

* 偏導數

* 外微分

* 泰勒公式



參考來源


* 齊民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0.

* Walter Rudin. 《数学分析原理》(_Principles of Mathematical Analysis_). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.