在數論中，幾何數論（英語：Geometry of numbers）研究凸體和在 n 維空間整數點向量問題。幾何數論於 1910 由赫爾曼・閔可夫斯基創立。幾何數論和數學其它領域有密切的關係，尤其研究在泛函分析和丟番圖逼近中，對有理數向無理數逼近問題。



閔可夫斯基的結果


* 閔可夫斯基定理，有時也被稱為閔可夫斯基第一定理：

　
: 假設 Γ 是在 n 維歐氏空間 Rn 的格和 _K_ 是中心對稱凸體， $vol(K)>2^{n}vol(R^{n}/\Gamma )$ ，則 _K_ 包含 Γ 非零的向量。


* 閔可夫斯基第二定理，是他的第一定理加強。定義 _K_ 數字 λ 最大下界，為 λk，稱為連續最低。

則 λK 在 Γ 中ķ線性無關，則有：

　
: $\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}vol(K)\leq 2^{n}vol(R^{n}/\Gamma ).$



近現代幾何數論研究

在 1930 年至 1960 年的很多數論學家取得了很多成果（包括路易・莫德爾，哈羅德・達文波特和卡爾・路德維希・西格爾）。近年來，Lenstra，奧比昂，巴爾維諾克對組合理論的擴展對一些凸體的格數量進行了列舉。


* 施密特子空間定理

* 在幾何數論的子空間定理，由沃爾夫岡・施密特在 1972 年證明

* 設 _n_ 是正整數，如果 _n_ 個 _n_ 維線性型 _L_1,...,_L_n 都具有代數係數，並且是線性無關的，那麼對於任何給定的實數 ε> 0，所有滿足條件: $|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\epsilon }$ 的 n 維非零整數點 x 都在有限多個 Qn 的真子空間內。



對泛函分析的影響

始於閔可夫斯基的幾何數論在泛函分析上產生深遠的影響。閔可夫斯基證明，對稱凸體誘導有限維向量空間的範數。閔可夫斯基定理由柯爾莫哥洛夫推廣到拓撲向量空間。柯爾莫哥洛夫的定理證明有界閉對稱凸集生成 Banach 空間的拓撲。當前 Kalton et alia. Gardner 對星形集和非凸集取得了一些成果。



參考文獻



延伸閱讀


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