: 在這篇文章內，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 $\mathbf {r} \,\!$ 表示；而其大小則用 $r\,\!$ 來表示。

在量子力學裏，量子系統的量子態可以用波函數（英語：Wave function）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。

波函數 $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ 是一種複值函數，表示粒子在位置 $\mathbf {r} $ 、時間 $t$ 的機率幅，它的絕對值平方 $|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}$ 是在位置 $\mathbf {r} $ 、時間 $t$ 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數 $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ 是「在某時間、某位置發生交互作用的機率幅」。



歷史

在 1920 年代與 1930 年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易・德布羅意和埃爾溫・薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納・海森堡和馬克斯・玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。

德布羅意於 1924 年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫・薛丁格極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛丁格參考威廉・哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛丁格給出了這方程式。他從哈密頓 - 雅可比方程式成功地推導出薛丁格方程式。他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926 年，正式發表於物理學界。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。

薛丁格給出的薛丁格方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛丁格嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926 年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛丁格本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛丁格永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛丁格清楚地表明了這意見。

1927 年，道格拉斯・哈特里與弗拉基米爾・福克在對於多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程式來近似方程式的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。

薛丁格方程式不具有勞侖茲不變性 ，無法準確給出符合相對論的結果。薛丁格試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相對論性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾・索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。

1926 年，奧斯卡・克萊因和沃爾特・戈爾登將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛丁格先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克萊因 - 戈爾登方程式。

1928 年，保羅・狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為 1/2 的粒子。這方程式的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。



概述

位置空間波函數

假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 $\Psi (x,t)$ ；其中， $x$ 是位置， $t$ 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置 $x$ 在區間 $[a,b]$ （即 $a\leq x\leq b$ ）的機率 $P_{a\leq x\leq b}$ 為

　
: $P_{a\leq x\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x$ ；

其中， $t$ 是對於粒子位置做測量的時間。

換句話說， $|\Psi (x,t)|^{2}$ 是粒子在位置 $x$ 、時間 $t$ 的機率密度。

這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為 100%：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x=1$ 。

動量空間波函數

在動量空間，粒子的波函數表示為 $\Phi (p,t)$ ；其中， $p$ 是一維動量，值域從 $-\infty $ 至 $+\infty $ 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 $p$ 在區間 $[a,b]$ （即 $a\leq p\leq b$ ）的機率為

　
: $P_{a\leq p\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Phi (p,t)|^{2}\mathrm {d} p$ 。

動量空間波函數的歸一化條件也類似：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }\,\left|\Phi (p,t)\right|^{2}\mathrm {d} p=1$ 。

兩種波函數之間的關係

位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的資訊相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為

　
: $\Phi (p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{-ipx/\hbar }\Psi (x,t)\mathrm {d} x$ 、

　
: $\Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ipx/\hbar }\Phi (p,t)\mathrm {d} p$ 。



薛丁格方程式

在一維空間裏，運動於位勢 $V(x)$ 的單獨粒子，其波函數滿足含時薛丁格方程式

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)$ ；

其中， $m$ 是質量， $\hbar $ 是約化普朗克常數。

不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 $\Psi (x,\,t)$ 的函數形式為

　
: $\Psi (x,\,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }$ ；

其中， $E$ 是分離常數，稍加推導可以論定 $E$ 就是能量， $\psi _{E}(x)$ 是對應於 $E$ 的本徵函數。

代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：

　
: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi _{E}(x)+V(x)\psi _{E}(x)=E\psi _{E}(x)$ 。



波函數的機率詮釋

波函數 $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ 是機率波。其模的平方 $\vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,$ 代表粒子在該處出現的機率密度，並且具有歸一性，全空間的積分

　
: $\int \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,d^{3}\,x=1$ 。

波函數的另一個重要特性是相干性。兩個波函數疊加，機率的大小取決於兩個波函數的相位差，類似光學中的楊氏雙縫實驗。



波函數的本徵值和本徵態

在量子力學中，可觀察量 $A$ 以算符 ${\hat {A}}$ 的形式出現。 ${\hat {A}}$ 代表對於波函數的一種運算。例如，在位置空間裏，動量算符 ${\hat {\mathbf {p} }}$ 的形式為

　
: ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla $ 。

可觀察量 $A$ 的本徵方程式為

　
: ${\hat {A}}\psi =a\psi $ 。

對應的 $a$ 稱為算符 ${\hat {A}}$ 的本徵值， $\psi $ 稱為算符 ${\hat {A}}$ 的本徵態。假設對於 ${\hat {A}}$ 的本徵態 $\psi $ 再測量可觀察量 $A$ ，則得到的結果是本徵值 $a$ 。



態疊加原理

假設對於某量子系統測量可觀察量 $A$ ，而可觀察量 $A$ 的本徵態 $|a_{1}\rangle $ 、 $|a_{2}\rangle $ 分別擁有本徵值 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ ，則根據薛丁格方程式的線性關係，疊加態 $|\psi \rangle $ 也可以是這量子系統的量子態：

　
: $|\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle $ ；

其中， $c_{1}$ 、 $c_{2}$ 分別為疊加態處於本徵態 $|a_{1}\rangle $ 、 $|a_{2}\rangle $ 的機率幅。

假設對這疊加態系統測量可觀察量 $A$ ，則測量獲得數值是 $a_{1}$ 或 $a_{2}$ 的機率分別為 $|c_{1}|^{2}$ 、 $|c_{2}|^{2}$ ，期望值為

　
: $\langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}$ 。



定態

在量子力學中，一類基本的問題是哈密頓算符 ${\hat {H}}$ 不含時間的情況。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數 $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ 分離成一個只與位置有關的函數 $\psi (\mathbf {r} )$ 和一個只與時間有關的函數 $f(t)$ ：

　
: $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )f(t)$ 。

將這公式代入薛丁格方程式，就會得到

　
: $f(t)=\exp {(-iEt/\hbar )}$ 。

而 $\psi (\mathbf {r} )$ 則滿足本徵能量薛丁格方程式：

　
: ${\hat {H}}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )$ 。



例子

自由粒子

3D 空間中的自由粒子，其波向量 為 k ， 角頻率 為 _ω_，其波函數為：

　
: $\Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,.$

無限深方形阱

粒子被限制在 _x_ = 0 和 _x_ = _L_ 之間的 1D 空間中，其波函數為:

　
: ${\begin{aligned}\Psi (x,t)&={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-i\omega _{n}t},&\quad 0\leq x\leq L\\\Psi (x,t)&=0,&x<0,x>L\\\end{aligned}}$

其中， $\hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}$ 是能量本徵值， $n$ 是正整數， $m$ 是質量。

有限位勢壘

在 1D 情況下，粒子處於如下勢壘中：

　
: $V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}$

其波函數的定態解為 ( $k,\kappa $ 為常數)

　
: $\psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+A_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }\exp(\kappa x)+B_{\mathrm {l} }\exp(-\kappa x)&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+C_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x>a.\end{cases}}$

量子點

量子點是在把激子在三個空間方向上束縛住的半導體奈米結構。粒子在三個方向上都處在勢阱中。勢阱可以由於靜電位（由外部的電極，摻雜，應變，雜質產生），兩種不同半導體材料的界面（例如：在自組量子點中），半導體的表面（例如：半導體奈米晶體），或者以上三者的結合。量子點具有分離的量子化的能譜。所對應的波函數在空間上位於量子點中，但延伸於數個晶格週期中。其中的能階可以用類似無限深方形阱的模型來描述，能階位置取決於勢阱寬度。



參閱


* 波包



參考文獻



注釋