在數學，尤其在辛幾何中，動量映射是一個與辛流形上的李群的哈密頓作用有關的工具，可用於構造作用的守恆量。動量映射推廣了經典的 動量和角動量。它在各種辛流形的建立中是一個重要的部分，包括將會在後面討論的 symplectic (Marsden–Weinstein) quotients，以及 symplectic cuts 和 sums。



正式定義

令 _M_ 是一個配有辛形式 ω 的流形。假定一個李群 _G_ 通過辛同胚作用在 _M_ 上（也就是每個 _G_ 中的 _g_ 保持 ω ）。令 ${\mathfrak {g}}$ 是 _G_ 上的李代數， ${\mathfrak {g}}^{*}$ 是它的對偶，且令

　
: $\langle ,\rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbf {R} $

是兩者間的 pairing。任一 ${\mathfrak {g}}$ 中的 ξ 誘導了 _M_ 上的一個向量場 ρ(ξ) 以描述 ξ 的無限小作用。更精確地說，向量場 $\rho (\xi )_{x}$ 在 _M_ 上一點 _x_ 是

　
: $\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,$

其中 $\exp :{\mathfrak {g}}\to G$ 是指數映射並且 $\cdot $ 表示 _M_ 上的 _G_- 作用。令 $\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ 表示 向量場與 ω 的縮並。由於 _G_ 通過辛同胚作用，它意味著對於 ${\mathfrak {g}}$ 中所有的 ξ， $\iota _{\rho (\xi )}\omega \,$ 是閉形式。

一個在 (_M_，ω) 上的 _G_- 作用的動量映射是一個映射 $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ ，對於 ${\mathfrak {g}}$ 中所有的 ξ 滿足

　
: $d(\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega $

。這裡 $\langle \mu ,\xi \rangle $ 是通過 $\langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle $ 定義的從 _M_ 到 R 的函數。動量映射在差一個積分的常數的程度上是唯一定義的。

一個動量映射經常也要求是 _G_- 等價的，這裡 _G_ 通過余伴隨作用作用在 ${\mathfrak {g}}^{*}$ 上。如果群是緊的或半單的，那麼總是選擇積分常數使動量映射是余伴隨等價的；但是通常余伴隨作用必須被修正以使映射等價 (this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1-cocycle on the group with values in ${\mathfrak {g}}^{*}$ ，as first described by Souriau (1970).



哈密頓群作用

動量映射的定義要求 $\iota _{\rho (\xi )}\omega $ 是閉形式。在實際中一個更強的假定是有用的。_G_- 作用被稱作是哈密頓的若且唯若當以下的條件滿足。首先，對於 ${\mathfrak {g}}$ 中的每一個 ξ，1 - 形式 $\iota _{\rho (\xi )}\omega $ 是恰當的，這意味著它對於一些光滑函數

　
: $H_{\xi }:M\to \mathbf {R} .$

等於 $dH_{\xi }$ 。
如果這成立，那麼我們可以選擇 $H_{\xi }$ 使映射 $\xi \mapsto H_{\xi }$ 為線性。第二個使 _G_- 作用是哈密頓的的要求是映射 $\xi \mapsto H_{\xi }$ 是一個從 ${\mathfrak {g}}$ 到 _M_ 在泊松括號下的光滑函數的代數的李代數同態。

如果 _G_ 在 (_M_，ω) 上的作用在這個意義上是哈密頓的，那麼一個動量映射是映射 $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ ，這樣 $H_{\xi }=\langle \mu ,\xi \rangle $ 定義了一個李代數同態 $\xi \mapsto H_{\xi }$ 滿足 $\rho (\xi )=X_{H_{\xi }}$ . 這裡 $X_{H_{\xi }}$ 是一個由哈密頓函數 $H_{\xi }$ 通過

　
: $\iota _{X_{H_{\xi }}}\omega =dH_{\xi }.$

定義的向量場。



例子

In the case of a Hamiltonian action of the circle _G_ = U(1)，the Lie algebra dual ${\mathfrak {g}}^{*}$ is naturally identified with R，and the 動量映射 is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

Another classical case occurs when _M_ is the cotangent bundle of R3 and _G_ is the Euclidean group generated by rotations and translations. That is，_G_ is a six-dimensional group，the semidirect product of SO(3) and R3. The six components of the 動量映射 are then the three angular momenta and the three linear momenta.



Symplectic quotients

Suppose that the action of a compact Lie group _G_ on the symplectic manifold (_M_，ω) is Hamiltonian，as defined above，with 動量映射 $\mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ . From the Hamiltonian condition it follows that $\mu ^{-1}(0)$ is invariant under _G_.

Assume now that 0 is a regular value of μ and that _G_ acts freely and properly on $\mu ^{-1}(0)$ . Thus $\mu ^{-1}(0)$ and its quotient $\mu ^{-1}(0)/G$ are both manifolds. The quotient inherits a symplectic form from _M_; that is，there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to $\mu ^{-1}(0)$ equals the restriction of ω to $\mu ^{-1}(0)$ . Thus the quotient is a symplectic manifold，called the Marsden–Weinstein quotient，symplectic quotient or symplectic reduction of _M_ by _G_ and is denoted $M/\!\!/G$ . Its dimension equals the dimension of _M_ minus twice the dimension of _G_.



參見


* Poisson-Lie group

* Toric manifold

* Geometric Mechanics

* Kirwan map



注釋



參考資料


* J.-M. Souriau, _Structure des systèmes dynamiques_, Ma?trises de mathématiques, Dunod, Paris, 1970. ISSN 0750-2435.

* S. K. Donaldson and P. B. Kronheimer, _The Geometry of Four-Manifolds_, Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9.

* Dusa McDuff and Dietmar Salamon, _Introduction to Symplectic Topology_, Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9.

* Choquet-Bruhat, Yvonne; DeWitt-Morette, Cécile, Analysis, Manifolds and Physics, Amsterdam: Elsevier, 1977, ISBN 978-0-7204-0494-4

* Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. Momentum maps and Hamiltonian reduction. Progress in Mathematics 222. Birkhauser Boston. 2004. ISBN 0-8176-4307-9.