八元數（英語：Octonion）是以實數構建的 8 維度賦範可除代數，為四元數非結合推廣的超複數，通常記為 O 或 $\mathbb {O} $ 。八元數的 8 個維度可以視為 2 個 4 維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交錯代數的特性，並保有冪結合性。

也許是因為八元數的乘法不具備結合性，因此它們作為超複數而言受關注的程度較四元數低。儘管如此，八元數仍然與數學中的一些例外結構有關，其中包括例外李群。此外，八元數在諸如弦理論、狹義相對論和量子邏輯中也有應用。



歷史

八元數第一次被描述於 1843 年，於一封約翰・格雷夫斯給威廉・盧雲・哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。後來八元數由阿瑟・凱萊在 1845 年獨自發表。格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟・凱萊發表的時間稍晚一些。阿瑟・凱萊發表的八元數和約翰・格雷夫斯給威廉・盧雲・哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟・凱萊是獨自發現八元數的，因此八元數又被稱為凱萊數或凱萊代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。



定義

八元數可以視為實數的八元組。八元數有多種構造方式。以凱萊 - 迪克森結構為例，八元數可以表達為 2 個四元數 _P_ 與 _Q_ 的組合，即 _P_+_Q_ _l_ 或 $p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,$ ，其中，量 _l_ 為其中一個八元數單位並滿足：

　
: $i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,$

在這種定義下每一個八元數都是單位八元數{1, _i_, _j_, _k_, _l_, _il_, _jl_, _kl_}的線性組合。也就是說，每一個八元數 _x_ 都可以寫成

　
: $x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl$

其中係數 _x_a 是實數。
這些八元數單位亦滿足：

　
: $i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,$

八元數的加法是把對應的係數相加，就像複數和四元數一樣。根據線性，八元數的乘法完全由以下單位八元數的乘法表來決定。

一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為 _e_a 的線性組合，其中 _a_=0, 1,..., 7 ：

　
: $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},$

當中的 $e_{0}$ 為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數 _x_ 都可以寫成以下形式：

　
: $x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,$

其中 xi 為單位元素 ei 的係數，且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的，與四元數的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出，其乘法表的結構與{1, _i_, _j_, _k_, _l_, _il_, _jl_, _kl_}的模式（ $p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,$ ）類似。這個乘法表先後由 Graves 於 1843 年和 Cayley 於 1845 年描述：

除了主對角線上以及 $e_{0}$ 作為操作數的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。

該表可總結如下：

　
: $e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

其中 δij 為克羅內克 δ 函數（當且僅當 _i_ = _j_ 時為 1）、 εijk 為完全反對稱張量，且當 _ijk_ = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 時，值為 1。

然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是 $e_{0}=1$ 八元數乘法的 480 個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素 $\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},$ 的符號來獲得。這 480 個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。

這 480 個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在 7 循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個 7 循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 _e_1_e_2 = _e_4 的 7 循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法諾平面，該平面還顯示了基於 124 的 7 循環三元組及其相關乘法的排序列表 _e_n 和 $ijkl$ 格式的矩陣。

　
:

此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為 $1,i,j,k,L,m,n,o$ 。

凱萊 - 迪克松構造

一個更加系統的定義八元數的方法，是通過凱萊 - 迪克松構造。就像四元數可以用一對複數來定義一樣，八元數可以用一對四元數來定義。兩對四元數 $(a,b)$ 和 $(c,d)$ 的乘積定義為：

　
: $(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})$

其中 $z^{*}$ 表示四元數 $z$ 的共軛。這個定義與上面給出的定義是等價的。

法諾平面記憶

一個用來記憶八元數的乘積的方便辦法，由右面的圖給出。這個圖中有七個點和七條直線（經過 _i_、_j_ 和 _k_ 的圓也視為一條直線），稱為法諾平面。這些直線是有向的。七個點對應於 Im( $\mathbb {O} $ ) 的七個標準基元素。每一對不同的點位於唯一的一條直線上，而每一條直線正好通過三個點。

設 (_a_, _b_, _c_) 為位於一條給定的直線上的三個有序點，其順序由箭頭的方向指定。那麼，乘法由下式給出：

　
: _ab_ = _c_，_ba_ = −_c_

以及它們的循環置換。這些規則


* 1 是乘法單位元，

* 對於圖中的每一個點，都有 $e^{2}=-1$

完全定義了八元數的乘法結構。七條直線的每一條都生成了 $\mathbb {O} $ 的一個子代數，與四元數 $\mathbb {H} $ 同構。

共軛、範數和逆元素

八元數

　
: $x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl$

的共軛為：

　
: $x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.$

當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為{_e_1, _e_2 ... _e_7}，則八元數的共軛可以簡化表示為：

　
: $x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7$

共軛是 $\mathbb {O} $ 的一個對合，滿足 $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ （注意次序的變化）。

_x_ 的實數部分定義為 $\mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}$ ，虛數部分定義為 $\mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}$ 。所有純虛的八元數生成了 $\mathbb {O} $ 的一個七維子空間，記為 Im( $\mathbb {O} $ )。

八元數 _x_ 的範數可用與自身共軛的積 $\|x\|^{2}=x^{*}x$ 來定義：

　
: $\|x\|={\sqrt {x^{*}x}}$

在這裡，平方根是定義良好的，因為 $x^{*}x=xx^{*}$ 總是非負實數：

　
: $\|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}$

這個範數與 $\mathbb {R} ^{8}$ 上的標準歐幾里得範數是一致的。

 $\mathbb {O} $ 上範數的存在，意味著 $\mathbb {O} $ 的所有非零元素都存在逆元素。_x_ ≠ 0 的逆元素為：

　
: $x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}$

它滿足 $xx^{-1}=x^{-1}x=1$ 。



性質

八元數的乘法既不是交換的：

　
: $ij=-ji\neq ji\,$

也不是結合的：

　
: $(ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,$

然而，八元數確實滿足結合性的一個較弱形式──交錯性。這就是說，由任何兩個元素所生成的子代數是結合的。實際上，我們可以證明，由 $\mathbb {O} $ 的任何兩個元素所生成的子代數都與 $\mathbb {R} $ 、 $\mathbb {C} $ 或 $\mathbb {H} $ 同構，它們都是結合的。由於八元數不滿足結合性，因此它們沒有矩陣的表示法，與四元數不一樣。

八元數確實保留了 $\mathbb {R} $ 、 $\mathbb {C} $ 和 $\mathbb {H} $ 共同擁有的一個重要的性質： $\mathbb {O} $ 上的範數滿足

　
: $\|xy\|=\|x\|\|y\|$

這意味著八元數形成了一個非結合的賦範可除代數。所有由凱萊 - 迪克松構造所定義的更高維代數都不滿足這個性質，因為它們都存在零因子。

這樣，實數域上唯一的賦範可除代數是 $\mathbb {R} $ 、 $\mathbb {C} $ 、 $\mathbb {H} $ 和 $\mathbb {O} $ 。這四個代數也形成了實數域上唯一的交錯的、有限維的可除代數。

由於八元數不是結合的，因此 $\mathbb {O} $ 的非零元素不形成一個群。然而，它們形成一個擬群。

自同構

八元數的自同構 _A_，是 $\mathbb {O} $ 的可逆線性變換，滿足：

　
: $A(xy)=A(x)A(y).\,$

 $\mathbb {O} $ 的所有自同構的集合組成了一個群，稱為 _G_2。群 _G_2 是一個單連通、緊緻、14 維的實李群。這個群是例外李群中最小的一個。



參見


* 雙曲複數

* 四元數

* 十六元數

* Spin(8)

* PSL(2,7)──法諾平面的自同構群。



註釋



參考文獻



延伸閱讀


* Baez, John, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205 [2008-12-01], （原始內容存檔於 2008-12-09） . Online HTML version at math.ucr.edu. （原始內容存檔於 2008-10-09）.

* Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . （Review. （原始內容存檔於 2016-09-10）. ）