zaibd/wkpdtw huggingface dataset:
在現代學術界中，線性關係一詞存在 2 種不同的含義。其一，若某數學函數或數量關係的函數圖形呈現為一條直線或線段，那麼這種關係就是一種線性的關係。其二，在代數學和數學分析學中，如果一種運算同時滿足特定的「加性」和「齊性」，則稱這種運算是線性的。



定義

如果稱一個數學函數 $L(x)$ 為線性的，可以是指：


* 定義 1： $L(x)$ 是個只擁有一個變數的一階多項式函數，即是可以表示為 $L(x)=kx+b$ 的形式（其中 $k,b$ 為常數）。

* 定義 2： $L(x)$ 具有以下兩個性質：
  
* 可加性： $L(x+t)=L(x)+L(t)$
  
* 一次齊次性： $L(mx)=mL(x)$

需要注意這 2 種定義分別描述的是 2 類不同的事物。研究高等數學的數學家一般只認定義 2（有例外，如高等數學「線性回歸」理論中「線性函數」概念的定義），但初等數學和許多非數學學科的書籍會習慣把定義 1 當作線性關係的概念（有的沒有明確給出定義，但確是如此理解和使用的）。這種術語間的細微差異如果不注意的話，就容易引起混淆。

定義 1 的定義動機是把函數圖像為直線的數量關係稱作線性的關係。從這種幾何意義出發，定義 1 本來不具有對多元函數進行推廣的必要，因為形如 $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=k_{1}*x_{1}+k_{2}*x_{2}+...+k_{n}*x_{n}+b$ 的函數（其中各個 $k_{i}$ 和 $b$ 均為常數）的圖形根本不是直線，而是平面或超平面，因此也就談不上「線」性了。但還是有這種做法出現，如有「多元線性方程組」的叫法（叫「多元超平面方程組」可能更合適）。

但是，如果只考慮二維實數平面，則定義 1 可藉由坐標移軸之後而符合定義 2 的型式。故要視定義 1. 為線性，實質上需要嚴格的限制條件，或者說，定義 1 其實是由定義 2 在受到某些條件限制下所產生的變化形式。



例子


* 按照定義 1，一次函數描述的都是不同變量間的線性的數量關係。而高次函數描述的都不是線性的數量關係。比如 $y_{1}=3x$ ， $y_{2}={\frac {1}{3}}x$ 和 $y_{3}=3x+1$ 都屬於這種意義下的線性函數，但 $y_{4}=x^{2}$ ， $y_{5}=x+z$ ， $y_{6}=x+z+2$ 和 $y_{7}=xz$ 則不是。（如果將這種意義下的「線性」概念推廣到多元函數，則 $y_{6}$ 也能算。事實上，「多元線性回歸」中的「線性」指的就是這種線性。）

* 而按照定義 2，若以一元函數為例，則截距為 0 的一次函數（即正比例函數）屬於線性函數，但截距不為 0 的一次函數不屬於線性函數。又如 $y_{1}=3x$ ， $y_{2}={\frac {1}{3}}x$ 和 $y_{5}=x+z$ 都屬於這種意義下的線性函數，但 $y_{3}=3x+1$ ， $y_{4}=x^{2}$ ， $y_{6}=x+z+2$ 和 $y_{7}=xz$ 都不是。



數學

在初等數學中（主要是與方程組及一次函數有關的理論），使用的是定義 1。

但在高等數學（尤其是純數學）中所說的線性一般是用定義 2 來給出定義。如對線性相關和線性變換的定義。但初等數學中有關「線性」的一些習慣術語也然在高等數學沿用，如線性回歸。



物理

在物理學中，線性的 2 種含義都有出現。「線性」如果是源於形容圖像的形狀，則其含義按定義 1 理解。比如線性元件的概念。一般在需要作圖的實驗物理學中會經常遇到這種含義，尤其是中學物理。「線性」如果是涉及數學分析學（比如說高等線性代數（即線性泛函分析）或微分方程理論）的概念，則其含義按定義 2 理解。一般在用到較多高深數學的理論物理學中會經常遇到這種含義。



應用

直線的圖像容易分辨。斜率和截距通常也是變量的函數，通過測定斜率和截距，可以推知一些主要變量的數值。對於某些非直線的函數關係，比如 $y=k*x^{2}$ （假定 $k$ 是未知的常係數），如果要驗證實驗所得的數據是否符合該非線性關係式，直接描點連線作圖是難以直觀地判斷出數據與假設關係式的接近程度的（畫出來是個拋物線）。這時可以嘗試使用變量替換的方法，把非線性關係轉換為線性關係，從而便於作圖，也便於判斷。對等式兩邊同時取對數可得 $\log {y}=\log {(k*x^{2})}\rightarrow \log {y}=\log {k}+2*\log {x}$ ，作代換 $y_{1}=\log {y},x_{1}=\log {x},b=\log {k}$ ，則可得 $y_{1}=b+2*x_{1}$ 。這時再作圖，就容易看出數據和假設模型的偏離程度，還可以根據截距 b 估算出參數 k 的數值。這種將非線性關係轉換為線性關係後再作圖的方法只適用於少數函數，但因為作圖的結果一目了然，所以是一種重要的數據處理方法。



另見


* 非線性關係



腳註與參考資料

腳註

腳註所引資料


* 杜傑，劉啟華。非线性科学的回顾。南京工業大學學報 (中國社會科學院官方網站). 2004 年，(02 期). （原始內容存檔於 2016-08-09） （中文（中國大陸））. 所謂線性，是指量與量之間的關係用直角坐標系形象地表示出來時是一條直線。在數學上，主要通過對算子的描述來討論系統的線性與否... 線性系統中部分之和等於整體，描述線性系統的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是方程的解。

* 梁燦彬，秦光戎，梁竹健。电磁学。普通物理學教程 第 2 版。高等教育出版社. 2004. ISBN 7-04-013840-9 （中文（中國大陸））.

* 趙凱華，陳熙謀。电磁学。新概念物理教程 第 1 版。高等教育出版社. 2003. ISBN 7-04-011693-6 （中文（中國大陸））.
在數學裏，線性函數（又稱一次函數）在不同的領域中有多於一個用途和含意。



初等數學用法

在初等代數與解析幾何，線性函數是只擁有一個變數的一階多項式函數或者是只有常數的函數，因為在直角坐標系中這些函數的圖形是直線。所以，這些函數是線性的。線性函數可以表達為斜截式：

　
: $f(x)=kx+b\,\!$ （ $k$ 為常數且 $k$ ≠ $0$ ）；

其中， $k\,\!$ 是斜率， $b\,\!$ 是 y - 截距，即函數的圖形與 y - 軸相交的 y - 坐標。改變斜率 $k\,\!$ 會使直線更陡峭或平緩。改變 y - 截距 $b\,\!$ 會將直線向上或下平移。

以下三個直線函數的圖形展示於圖右：

 
* $f_{1}(x)=2x+1\,\!$ ，

* $f_{2}(x)={\frac {x}{2}}+1\,\!$ ，

* $f_{3}(x)={\frac {x}{2}}-1\,\!$ 。

當 $k$ 或 $b$ 不同時，一次函數經過的象限也不同，見下表：



高等數學用法

在高等數學裏，線性函數是一種線性映射，是在兩個向量空間之間，維持向量加法與純量乘法的映射。

　
: $f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )$

　
: $f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} )$

例如我們用坐標向量 來表示 $x\,\!$ 與 $f(x)\,\!$ ，那麼線性函數可以表達成

　
: $f(x)=\mathrm {M} x\,\!$ ，當中 $M\,\!$ 為矩陣。



參見


* 仿射變換

* 等差數列
在機器學習領域，分類的目標是指將具有相似特徵的對象聚集。而一個線性分類器則透過特徵的線性組合來做出分類決定，以達到此種目的。對象的特徵通常被描述為特徵值，而在向量中則描述為特徵向量。



定義

如果輸入的特徵向量是實數向量 ${\vec {x}}$ ，則輸出的分數為：

　
: $y=f({\vec {w}}\cdot {\vec {x}})=f\left(\sum _{j}w_{j}x_{j}\right)$ ，

其中 ${\vec {w}}$ 是一個權重向量，而 _f_ 是一個函數，該函數可以通過預先定義的功能塊，映射兩個向量的點積，得到希望的輸出。權重向量 ${\vec {w}}$ 是從帶標籤的訓練樣本集合中所學到的。通常，"f" 是個簡單函數，會將超過一定閾值的值對應到第一類，其它的值對應到第二類。一個比較複雜的 "f" 則可能將某個東西歸屬於某一類。

對於一個二元分類問題，可以設想成是將一個線性分類利用超平面劃分高維空間的情況：
在超平面一側的所有點都被分類成 "是"，另一側則分成 "否"。

作為最快分類器，線性分類器通常應用於對分類速度有較高要求的情況下，特別是當 ${\vec {x}}$ 為稀疏向量時。雖然如此，決策樹可以更快。此外，當 ${\vec {x}}$ 的維度很大時，線形分類器通常表現良好。如文本分類時，傳統上， ${\vec {x}}$ 中的一個元素是文章所使用到的某個辭彙的出現的次數。在這種情況下，分類器應被適當地正則化。



生成模型與判別模型

有兩種類型用來決定 ${\vec {w}}$ 的線性分類器。第一種模型條件機率 $P({\vec {x}}|{\rm {class}})$ 。這類的算法包括：


* 線性判別分析（LDA） --- 假設為高斯條件密度模型。

* 樸素貝葉斯分類器 --- 假設為條件獨立性假設模型。

第二種方式則稱為判別模型（discriminative models），這種方法是試圖去最大化一個訓練集（training set）的輸出值。在訓練的成本函數中有一個額外的項加入，可以容易地表示正則化。例子包含：


* Logit 模型 --- ${\vec {w}}$ 的最大似然估計，其假設觀察到的訓練集是由一個依賴於分類器的輸出的二元模型所產生。

* 感知元（Perceptron） --- 一個試圖去修正在訓練集中遇到錯誤的算法。

* 支持向量機 --- 一個試圖去最大化決策超平面和訓練集中的樣本間的邊界（margin）的算法。

注意：相對於名字，線性判別分析在分類學並不屬於判別模型這類。然而，當我們比較線性判別分析和另一主要的線性降維算法：主成分分析，它的名字則是有意義的。線性判別分析是一個監督式學習算法，會使用資料中的標籤。而主成分分析是一個不考慮標籤的非監督式學習算法。簡而言之，這個名字是一個歷史因素。

判別訓練通常會比模型化條件密度函數產生較高的準確。然而，在處理遺失資料時，使用條件密度模型通常是更為簡單的。

所有以上所列線性分類器演算法，只要使用 kernel trick 都可被轉成在另一個向量空間的非線性演算法。



另見


* 二次分類器

* 統計分類



參考文獻

引用

來源
線性剪輯（英語：Linear Editing），是在影像中進行最後階段後期製作的編輯過程，是指利用錄影帶按時序進行順時剪輯。

在線性剪輯中必須有兩、三部放影機（內含 TBC）、一部錄放影機、影像特效機、混音器、控制盤、信號產生器及示波器等設備，由於花費昂貴，故一般只會由電視台使用。

線性剪輯需利用錄影帶進行，會先使用母帶（Master）錄製另一部錄影機的畫面，然後根據母帶時間，順次序將片段放入。



歷史

影音尚未數位化的時代，影片剪輯採用線性剪輯方式，也就是拍攝的母帶和成品帶必須同步邊放邊錄。而過去的影帶上通常會有三個主要軌道：影像軌（Video Track）、音軌（Sound Track）和控制軌（Control Track）。其中控制軌是用來紀錄 TimeCode 和影音同步的軌道。由於控制軌的存在，就產生了 Assemble 和 Insert 兩種剪輯方式。



相關條目


* 非線性剪輯
數學上的線性化（linearization）是找函數在特定點的線性近似，也就是函數在該點的一階泰勒級數。在動力系統研究中，線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統，在特定平衡點局部穩定性的一種方法。 此方法常應用在工程學、物理學、經濟學及生態學的應用中。



函數的線性化

函數的線性化為線性函數。針對函數 $y=f(x)$ ，若要用在任意點 $x=a$ 下的值及其圖形斜率來進行近似時，假設 $f(x)$ 在 $[a,b]$ （或 $[b,a]$ ）區間內可微，且 b 鄰近 a，線性化是可以有效近似的方法。簡單來說，線性化就是在 $x=a$ 點附近，以直線來近似函數的值。例如 ${\sqrt {4}}=2$ ，那麼針對 ${\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}$ ，利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。

針對任意函數 $y=f(x)$ ， $f(x)$ 在已知可微分點附近的位置，都可以被近似。最基本的要求是 $L_{a}(a)=f(a)$ ，其中 $L_{a}(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x=a$ 的線性化。一次方程的圖形會形成直線，例如通過點 $(H,K)$ ，斜率為 $M$ 為直線。方程式的一般形為 $y-K=M(x-H)$ 。

若是配合點 $(a,f(a))$ ， $L_{a}(x)$ 即變成 $y=f(a)+M(x-a)$ 。因為可微分函數是局部線性，該點的斜率可以用 $f(x)$ 在點 $x=a$ 切線的斜率來代替。

函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點可以任意接近點 $x=a$ ，相對來說比較接近的點，其線性近似的效果也會比較好。斜率 $M$ 最準確的值會是在 $x=a$ 點的切線斜率。

旁邊的圖可以說明 $f(x)$ 在點 $x$ 的切線。在 $f(x+h)$ 位置，其中 $h$ 是小的正值或是負值， $f(x+h)$ 非常接近 $(x+h,L(x+h))$ 點的切線。

函數在點 $x=a$ 線性化的最終方程為：

$$
y=(f(a)+f'(a)(x-a))
$$

針對 $x=a$ ， $f(a)=f(x)$ 。函數 $f(x)$ 的導數為 $f'(x)$ ，而函數 $f(x)$ 在點 $a$ 的斜率為 $f'(a)$ 。



例子

若要找 ${\sqrt {4.001}}$ ，可以用 ${\sqrt {4}}=2$ 的資訊。函數 $f(x)={\sqrt {x}}$ 在點 $x=a$ 的線性化為 $y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)$ ，因為函數 $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ 定義了函數 $f(x)={\sqrt {x}}$ 在點 $x$ 的斜率。

代入 $a=4$ ，其線性化結果為 $y=2+{\frac {x-4}{4}}$ 。

針對 $x=4.001$ 的例子，可得 ${\sqrt {4.001}}$ 近似 $2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025$ 。其實際值為 2.00024998，非常接近，此線性化的誤差小於 1% 的百萬分之一。



多變數函數的線性化

函數 $f(x,y)$ 在點 $p(a,b)$ 線性化的方程式為：

$$
f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)
$$

多變數函數 $f(\mathbf {x} )$ 在點 $\mathbf {p} $ 線性化的通式為

$$
f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })
$$

其中 $\mathbf {x} $ 是變數向量，而 $\mathbf {p} $ 是要線性化的點。



線性化的應用

配合線性化的技術，可以用研究線性系統的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒級數的一階展開。針對以下的系統

　
: ${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)$ ,

其線性化系統為

　
: ${\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )$

其中 $\mathbf {x_{0}} $ 是要觀測的特定點，而 $D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} )$ 是 $\mathbf {F} (\mathbf {x} )$ 在點 $\mathbf {x_{0}} $ 所計算的雅可比矩陣。

穩定性分析

在自治系統的穩定性分析中，可以用在雙曲平衡點計算雅可比矩陣的特徵值來判斷平衡點的特徵。這就是線性化理論的內容。若是時變系統，其線性化需要考量其他的因素。

微觀經濟學

在微觀經濟學中，決策規則可以用狀態空間下線性化的作法來近似。若以此方式分析，效用最大化的歐拉方程可以在平穩穩態附近進行線性化。所得動態方程的系統的唯一解即為其解。

最佳化

在最優化中，成本函數以及非線性成份都可以線性化，以使用一些線性的求解方式（例如單純形法）。最佳化的結果可以更有效率的產生，而且是決定性的全域極值。

多物理場

在多物理場系統（系統中有多個不同物理領域的模型，彼此互相影響）中，可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的 monolithic 方程系統，可以用 monolithic 的迭代來求解（例如牛頓法）。這類的例子包括 MRI scanner 系統，包括了電磁系統、力學系統及聲學系統



相關條目


* 線性穩定性

* 切線剛性矩陣

* 穩定性導數

* 泰勒公式

* 泛函方程 (L 函數)



參考資料



外部連結


* Linearization for Model Analysis and Control Design （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
線性化重力（英語：Linearized gravity）是廣義相對論中一個近似方案，其忽略時空度規張量的非線性貢獻。這使得許多研究問題得以簡化。



方法

線性化重力中，時空度規張量 $g$ 處理為愛因斯坦場方程式的一個解（通常是閔可夫斯基時空）與一微擾項 $h$ 兩者之和：

　
: $g\,=\eta +h$

其中 η 是非動態的背景度規，而被微擾了 $h$ —— 代表真實度規 g 自平直時空 η 偏移了多少。

微擾項的處理是採用微擾理論的方法。形容詞「線性化」表示對 h 作展開式，超過 1 次方（線性項）以上的微擾項（h 的二次方項、h 的三次方項等等……）被忽略。
在數論中，線性同餘方程是最基本的同餘方程，「線性」表示方程的未知數次數是一次，即形如：

　
: $ax\equiv b\ {\pmod {n}}\ \ \ \ (1)$

的方程。此方程有解若且唯若 $b$ 能夠被 $a$ 與 $n$ 的最大公約數整除（記作 $\gcd(a,n)|b$ ）。這時，如果 $x_{0}$ 是方程的一個解，那麼所有的解可以表示為：

　
: $\{x_{0}+k{\frac {n}{d}}\mid k\in \mathbb {Z} \}.$

其中 $d$ 是 $a$ 與 $n$ 的最大公約數。在模 $n$ 的完全剩餘系 $\{0,1,\ldots ,n-1\}$ 中，恰有 $d$ 個解。



例子


* 在方程

　
: $3x\equiv 2{\pmod {6}}$

中， $d=\gcd(3,6)=3$ ，3 不整除 2，因此方程無解。


* 在方程

　
: $5x\equiv 2{\pmod {6}}$

中， $d=\gcd(5,6)=1$ ，1 整除 2，因此方程在 $\{0,1,2,3,4,5\}$ 中恰有一個解： $x=4$ 。


* 在方程

　
: $4x\equiv 2{\pmod {6}}$

中， $d=\gcd(4,6)=2$ ，2 整除 2，因此方程在 $\{0,1,2,3,4,5\}$ 中恰有兩個解： $x=2$ 以及 $x=5$ 。



求特殊解

對於線性同餘方程

　
: $ax\equiv b{\pmod {n}}$       (1)

若 $d=\gcd(a,n)$ 整除 $b$ ，那麼 ${b \over d}$ 為整數。由裴蜀定理，存在整數對 $(r,s)$ （可用擴展歐幾里得算法求得）使得 $ar+sn=d$ ，因此 $x={rb \over d}$ 是方程 (1) 的一個解。其他的解都關於 ${n \over d}$ 與 $x$ 同餘。

舉例來說，方程

　
: $12x\equiv 20{\pmod {28}}$

中 $d=\gcd(12,28)=4$ 。注意到 $4=12\times (-2)+28\times 1$ ，因此 $x\equiv 5\times (-2)\equiv -10\equiv 4\ {\pmod {7}}$ 是一個解。對模 28 來說，所有的解就是 $\{4,11,18,25\}$ 。



與線性丟番圖方程的關係

考慮 $ax\equiv {b}{\pmod {n}}$ ，其等價於 $ax=b+yn$ （ $y$ 是整數），也就是線性丟番圖方程。運用輾轉相除法可以求得該方程的解，有無限多個；但是在原同餘方程中，解的個數受到 $\gcd(a,n)$ 限制，因此正如上面例子所示，只能選取前面的幾個解。



線性同餘方程組

線性同餘方程組的求解可以分解為求若干個線性同餘方程。比如，對於線性同餘方程組：

　
: $2x\equiv 2{\pmod {6}}$

　
: $3x\equiv 2{\pmod {7}}$

　
: $2x\equiv 4{\pmod {8}}$

首先求解第一個方程，得到 $x\equiv 1{\pmod {3}}$ ，於是令 $x=3k+1$ ，第二個方程就變為：

　
: $9k\equiv -1{\pmod {7}}$

解得 $k\equiv 3{\pmod {7}}$ 。於是，再令 $k=7l+3$ ，第三個方程就可以化為：

　
: $42l\equiv -16{\pmod {8}}$

解出： $l\equiv 0{\pmod {4}}$ ，即 $l=4m$ 。代入原來的表達式就有 $x=21(4m)+10=84m+10$ ，即解為：

　
: $x\equiv 10{\pmod {84}}$

對於一般情況下是否有解，以及解得情況，則需用到數論中的中國剩餘定理。



參見


* 同餘方程

* 二次剩餘

* 中國剩餘定理

* 線性同餘方法
線性同餘方法（LCG）是個產生偽隨機數的方法。

它是根據以下的遞迴關係式：

　
: $N_{j+1}\equiv (A\times N_{j}+B){\pmod {M}}$

其中 $A,B,M$ 是產生器設定的常數。

LCG 的週期最大為 $M$ ，但大部分情況都會少於 M。要令 LCG 達到最大週期，應符合以下條件：

 1. $B,M$ 互質；
2. $M$ 的所有質因數都能整除 $A-1$ ；
3. 若 $M$ 是 4 的倍數， $A-1$ 也是；
4. $A,B,N_{0}$ 都比 $M$ 小；
5. $A,B$ 是正整數。



隨機性

因為通過線性同餘方法構建的偽隨機數生成器的內部狀態可以輕易地由其輸出演算得知，所以此種偽隨機數生成器屬於統計學偽隨機數生成器。

設計密碼學的應用必須至少使用密碼學安全偽隨機數生成器，故需要避免由線性同餘方法獲得的隨機數在密碼學中的應用。



參見


* Mersenne Twister



參考文獻



外部連結


* The simulation Linear Congruential Generator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） visualizes the correlations between the pseudo-random numbers when manipulating the parameters.

* Security of Random Number Generation: An Annotated Bibliography

* Linear Congruential Generators post to sci.math

* The "Death of Art" computer art project at Goldstein Technologies LLC, uses an LCG to generate 33,554,432 images （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* P. L'Ecuyer and R. Simard, ``TestU01: A C Library for Empirical Testing of Random Number Generators_, May 2006, Revised November 2006, ACM Transactions on Mathematical Software, 33, 4, Article 22, August 2007._ _（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）_

* Additive Congruential Method : maths and logic behind its spread
線性對數（或稱對數線性、擬線性、超線性）的形式為 $n\log n$ ，是線性函數及對數函數相乘的結果，在計算複雜度理論中常用線性對數來描述一些演算法的時間複雜度。

若以漸進符號表示，線性對數 $n\log n$ 的複雜度為 $\omega (n),o(n^{2}),\Theta (n\log n)\!$ 。線性對數成長的比線性函數 $n$ 快，但比平方函數 $n^{2}$ 慢。



參見

許多演算法的時間複雜度為 $\mathrm {O} (n\log n)\!$ ，例如：


* 快速排序法的一般情形

* 快速傅立葉變換
線性插值是數學、計算機圖形學等領域廣泛使用的一種簡單插值方法。



如何進行線性插值

假設我們已知坐標 (_x_0, _y_0) 與 (_x_1, _y_1)，要得到 [_x_0, _x_1] 區間內某一位置 _x_ 在直線上的值。根據圖中所示，我們得到

　
: ${\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.\,\!$

由於 _x_ 值已知，所以可以從公式得到 y 的值

　
: $y=y_{0}+(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}=y_{0}+{\frac {(x-x_{0})y_{1}-(x-x_{0})y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$

已知 _y_ 求 _x_ 的過程與以上過程相同，只是 _x_ 與 _y_ 要進行交換。



線性插值近似法

線性插值經常用於已知函數 _f_ 在兩點的值要近似獲得其它點數值的方法，這種近似方法的_誤差_定義為

　
: $R_{T}=f(x)-p(x)\,\!$

其中 _p_ 表示上面定義的線性插值多項式

　
: $p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).\,\!$

根據羅爾定理，我們可以證明：如果 _f_ 有二階連續導數，那麼誤差範圍是

　
: $|R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}|f''(x)|.\,\!$

正如所看到的，函數上兩點之間的近似隨著所近似的函數的二階導數的增大而逐漸變差。從直觀上來看也是這樣：函數的曲率越大，簡單線性插值近似的誤差也越大。



應用

線性插值經常用於補充表格中的間隔部分。假設一個表格列出了一個國家 1970 年、1980 年、1990 年以及 2000 年的人口，那麼如果需要估計 1994 年的人口的話，線性插值就是一種簡便的方法。

兩值之間的線性插值基本運算在計算機圖形學中的應用非常普遍，以至於在計算機圖形學領域的行話中人們將它稱為 lerp。所有當今計算機圖形處理器的硬體中都集成了線性插值運算，並且經常用來組成更為複雜的運算：例如，可以通過三步線性插值完成一次雙線性插值運算。由於這種運算成本較低，所以對於沒有足夠數量條目的光滑函數來說，它是實現精確快速查找表的一種非常好的方法。



歷史

線性插值從遠古以來就一直用於補充表格中的間隔，它經常用於天文學數據。人們相信公元前最後三個世紀的塞琉西王朝、公元前 2 世紀的希臘天文學家與數學家喜帕恰斯就曾經使用了這種方法。在托勒密於公元 2 世紀所作的《天文學大成》（Almagest）中亦可以見到對於線性插值的描述。



其它

在一些要求較高的場合，線性插值經常無法滿足要求。在這種場合，可以使用多項式插值或者樣條插值來代替。

線性插值可以擴展到有兩個變量的函數的雙線性插值。雙線性插值經常作為一種粗略的抗混疊濾波器使用，三線性插值用於三個變量的函數的插值。線性插值的其它擴展形勢可以用於三角形與四面體等其它類型的網格運算。



參考文獻


* E. Meijering (2002). 插值年表：從古代天文學到現代信號與圖像處理 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. _Proceedings of the IEEE_ 9 (3), 319–342.



參見


* 雙線性插值

* De Casteljau 算法



外部連結


* cut-the-knot 上的 直線方程 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* cut-the-knot 上的 拉格朗日多項式與插值 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
在計算機科學中，線性搜索或順序搜索是一種尋找某一特定值的搜索算法，指按一定的順序檢查數組中每一個元素，直到找到所要尋找的特定值為止。是最簡單的一種搜索算法。



分析

假設一個數組中有 $n$ 個元素，最好的情況就是要尋找的特定值就是數組裡的第一個元素，這樣僅需要 1 次比較就可以。而最壞的情況是要尋找的特定值不在這個數組或者是數組裡的最後一個元素，這就需要進行 $n$ 次比較。



實作範例

Julia (程式語言)



參考


* 
* Sahni, Sartaj. _Data Structures,Algorithms,and Applications in C++_. McGraw2-Hill. 1998. ISBN 978-7-11-07645-2.



外部連結


* C++ Program - Linear Search （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* C Program - Linear Search Dead link
整流線性單位函式（Rectified Linear Unit, ReLU），又稱修正線性單元，是一種人工神經網路中常用的激勵函式（activation function），通常指代以斜坡函式及其變種為代表的非線性函式。

比較常用的線性整流函式有斜坡函式 $f(x)=\max(0,x)$ ，以及帶泄露整流函式（Leaky ReLU），其中 $x$ 為神經元（Neuron）的輸入。線性整流被認為有一定的生物學原理，並且由於在實踐中通常有著比其他常用激勵函式（譬如邏輯函式）更好的效果，而被如今的深度神經網路廣泛使用於諸如圖像辨識等電腦視覺人工智慧領域。



定義

通常意義下，線性整流函式指代數學中的斜坡函式，即

　
: $f(x)=\max(0,x)$

而在神經網路中，線性整流作為神經元的啟用功能，定義了該神經元線上性變換 $\mathbf {w} ^{T}\mathbf {x} +b$ 之後的非線性輸出結果。換言之，對於進入神經元的來自上一層神經網路的輸入向量 $x$ ，使用線性整流啟用功能的神經元會輸出

　
: $\max(0,\mathbf {w} ^{T}\mathbf {x} +b)$

至下一層神經元或作為整個神經網路的輸出（取決現神經元在網路結構中所處位置）。



變種

線性整流函式在基於斜坡函式的基礎上有其他同樣被廣泛應用於深度學習的變種，譬如帶泄露線性整流（Leaky ReLU）， 帶泄露隨機線性整流（Randomized Leaky ReLU），以及噪聲線性整流（Noisy ReLU）.

帶泄露線性整流

在輸入值 $x$ 為負的時候，帶泄露線性整流函式（Leaky ReLU）的梯度為一個常數 $\lambda \in (0,1)$ ，而不是 0。在輸入值為正的時候，帶泄露線性整流函式和普通斜坡函式保持一致。換言之，

　
: $f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x>0\\\lambda x&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}$

在深度學習中，如果設定 $\lambda $ 為一個可通過反向傳播演算法（Backpropagation）學習的變數，那麼帶泄露線性整流又被稱為參數線性整流（Parametric ReLU）。

帶泄露隨機線性整流

帶泄露隨機線性整流（Randomized Leaky ReLU, RReLU）最早是在 Kaggle 全美資料科學大賽（NDSB）中被首先提出並使用的。相比於普通帶泄露線性整流函式，帶泄露隨機線性整流在負輸入值段的函式梯度 $\lambda $ 是一個取自連續性均勻分布 $U(l,u)$ 概率模型的隨機變數，即

　
: $f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x>0\\\lambda x&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}$

其中 $\lambda \sim U(l,u),l<u$ 且 $l,u\in [0,1)$ 。

噪聲線性整流

噪聲線性整流（Noisy ReLU）是修正線性單元在考慮高斯噪聲的基礎上進行改進的變種啟用功能。對於神經元的輸入值 $x$ ，噪聲線性整流加上了一定程度的常態分布的不確定性，即

　
: $f(x)=\max(0,x+Y)$

其中隨機變數 $Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma (x))$ 。目前，噪聲線性整流函式在受限玻爾茲曼機（Restricted Boltzmann Machine）在電腦圖學的應用中取得了比較好的成果。



優勢

相比於傳統的神經網路啟用功能，諸如邏輯函式（Logistic sigmoid）和 tanh 等雙曲函式，線性整流函式有著以下幾方面的優勢：


* 仿生物學原理：相關大腦方面的研究表明生物神經元的訊息編碼通常是比較分散及稀疏的。通常情況下，大腦中在同一時間大概只有 1%-4% 的神經元處於活躍狀態。使用線性修正以及正規化（regularization）可以對機器神經網路中神經元的活躍度（即輸出為正值）進行除錯；相比之下，邏輯函式在輸入為 0 時達到 ${\frac {1}{2}}$ ，即已經是半飽和的穩定狀態，不夠符合實際生物學對類比神經網路的期望。不過需要指出的是，一般情況下，在一個使用修正線性單元（即線性整流）的神經網路中大概有 50% 的神經元處於啟用態。

* 更加有效率的梯度下降以及反向傳播：避免了梯度爆炸和梯度消失問題

* 簡化計算過程：沒有了其他複雜啟用功能中諸如指數函式的影響；同時活躍度的分散性使得神經網路整體計算成本下降



參考資料



外部連結


* Quora: What is special about rectifier neural units used in NN learning?
一元一次方程式式也被稱為線性方程式，因為在笛卡兒坐標系上任何一個一次方程式的圖形都是一條直線。組成一次方程式的每一項必須是常數或者是一個常數和一個變數的乘積。且方程式中必須包含一個變數，因為如果沒有變數只有常數，式子則是代數式而非方程式式。

如果一次方程式式中只包含一個文字符號，且最高次方為一，那麼該方程式就是一元一次方程式式； 如果包含兩個文字符號，且最高次方為一，那麼就是二元一次方程式式；以此類推。



一元一次方程式

一元一次方程式是指一個方程式中僅含有一個變數（亦即未知數），且等號兩邊至少有一個一次單項式，且未知數的指數為 $1$ 。

任意一個一元一次方程式皆能化成 $ax+b=0$ （ $a\neq 0$ ）的形式，它的解為 $x=-{\frac {b}{a}}$ 。以下是一個例子：

　
: $3x-17=-17x+3$

它的解法是

　
: $20x=20$ （移項後合併同類項）

　
: $x=1$ （兩邊同除以 $20$ ）

一元一次方程式是一個線性方程式，二次項 $x^{2}$ 或二次以上的項是不容許出現的。

公式

　
: ${\frac {x-a}{b}}$

注意：當 $a=0$ 時，

　
: $ax+b=0$ 不是一元一次方程式。

 $0x=0$ 可以推出 $0+b=0$ 。
如果 $b\neq 0$ ，此方程式式無解；如果 $b=0$ ，則此方程式式有無限多解。



二元一次方程組

求解二元一次方程組可以使用代入消去法或加減消去法。

代入消去法

代入消去法就是先利用其中一個方程式，將含有其中一個未知數的代數式表示另一個未知數。然後代入另一個方程式，從而將這組方程式轉化成解兩個一元一次方程式的方法。

例如：

　
: ${\begin{cases}2x-1=9\\x+y=36\end{cases}}$

解：

　
: $2x-1=9$

得

　
: $x=5$

再代入

　
: $x+y=36$

即

　
: $5+y=36$

從而求出

　
: $y=36-5=31$

加減消去法

加減消去法就是將兩個方程式相加或相減，從而消去其中一個未知數，從而將這組方程式轉化成解兩個一元一次方程式的方法。

通常可以先將其中一方程式的兩邊同時乘以一個不是 0 的數，使其中一個未知數的係數與另外一個方程式對應的係數相同或為相反數，再將兩個方程式相加或相減。

例如：

　
: ${\begin{cases}x+y=13\\2y-x=2\end{cases}}$

把兩式相加消去 x，即

　
: $y+2y=13+2$

從而求出

　
: $y=5$

克拉馬法則



一次函數，不等式與一次方程式的關係

一次函數 $y=ax+b$ 中，函數圖象與 x 軸的交點的橫坐標即為對應 $ax+b=0$ 的解。



線性函數與線性化

在上圖的例子中（但不限於此例）變數 $y\,$ 是變數 $x\,$ 的函數，我們統一表示為 $y=f(x)\,$ 。函數 $y=f(x)\,$ 和方程式 $f(x)-y=0\,$ 的圖形一致，二者形成一種對應關係。我們在線性化等問題中習慣將一元一次方程式稱為線性方程式，相應地，我們也把一元一次函數稱為線性函數。

線性函數 $y=f(x)\,$ 有如下特性：

 1. $f(x+y)=f(x)+f(y)$
2. $f(ax)=af(x)$

其中 $a\,$ 是常數。

微分性質：
若線性函數表達式為 $y=kx+b$ （ $k\neq 0\,$ ），則 ${\frac {dy}{dx}}=k\,$ ， ${\frac {d^{(n)}y}{dx^{(n)}}}=0\,$ （ $n\geq 2$ ）。
由此可知，線性函數沒有駐點，沒有極大值和極小值，且線性函數的斜率就是未知數 $x\,$ 的係數。

可以利用線性函數的圖形對二元一次方程組進行求解，這類問題就是線性化問題。



參見


* 二次方程式

* 直線 – 斜率

* 一次不定方程式

* 微積分 – 微分 – 駐點 – 反曲點

* 格林函數



參考文獻
在計算複雜性理論，一個被稱為線性時間或 Ο(_n_) 時間的演算法，表示此演算法解題所需時間與輸入資料的大小成正比，通常以 _n_ 表示。換句話說，執行時間與輸入資料大小為線性比例。例如將一列數字加總的所需時間，正比於串列的長度。

然而實際情況常有差距，真實的執行時間很可能與預期的比率相差甚大，尤其在 n 的值很小時。在技術討論時，在足夠大的量 n 之下演算法的執行時間從 $an$ 到 $bn$ （a、ｂ為正實數）時，就可稱線性時間。詳情請看大 O 符號。

達到線性時間的執行效能通常是一個演算法的最佳目標。很多學者研究並創造了許多接近線性或更佳的演算法，包括了軟體或硬體方面的研究。硬體方面，藉由諸如平行運算的硬體架構，使得某些數學認為無法在標準計算模型下達到線性時間的演算法，現在都可以在線性時間內執行完畢。例如內容可定址記憶體）。

某些排序演算法可以在特殊的資料結構及排列下擁有線性時間的效率。但在一般情況下以比較元素大小來排序的演算法，最多只能到達 Ο(_n_log(_n_))。最低限度複雜性的證明已被小 O 符號含括；通用排序演算法被認為是 Ω(_n_ log(_n_))。另外，要找到一個集合中最大的元素是 Ω(_n_)，因為演算法必須至少比較過（_n-1_）次才能找到最大元素。

任何必須依賴全部輸入內容才能得解的問題，它最少也得要線性時間才能得解，因為它至少得花線性時間來讀取輸入資料。



參閱


* 常數時間

* 多項式時間

* 指數時間
線性有界自動機（英文：Linear bounded automaton，簡寫： LBA）是受限形式的非確定圖靈機。它擁有由包含來自有限字母表的符號的單元構成的磁帶，可以一次讀取和寫入磁帶上一個單元的並可以移動的磁頭，和有限數目個狀態。它區別於更為普遍的圖靈機在於儘管磁帶最初被認為是無限的，只有其長度是初始輸入的線性函數的有限臨近部分可以被讀寫磁頭訪問。這個限制使 LBA 成為在某些方面比圖靈機更接近實際存在的計算機的精確模型。



結構

線性有界自動機是一個非確定型圖靈機，並遵循以下三個條件：


* 其輸入字母表中包括兩個特殊符號「[」「]」，作為左右端點的標記。

* 左右端點標記所在的單元不能被重寫。

* 讀寫頭不能移動到左端點的左邊或右端點的右邊。

也就是說，雖然線性有界自動機如其他圖靈機一樣擁有一條無限長的帶，但是帶上能夠使用的部分是有限的：介於左右端點之間。



語言

線性有界自動機是上下文有關語言的接受器。對這種語言在文法上的唯一限制是沒有把字符串映射成更短字符串的產生式。所以在上下文有關語言中沒有字符串的推導可以包含比字符串自身更長的句子形式。因為在線性有界自動機和這種文法之間的一一對應，對於要被自動機識別的字符串不需要比原始字符串所占用的更多的磁帶。



線性有界自動機問題

在 1964 年的一篇論文中，S.Y.Kuroda（黒田成幸） 提出了兩個問題，即著名的「LBA Problem」：

1. 線性有界自動機接受的語言是否與確定型線性有界自動機接受的語言等價？
2. 能被線性有界自動機接受的語言是否在補運算下具有封閉性？

在這篇論文中，Kuroda 表示，若問題 2 的答案是否定的，則問題 1 的答案也是否定的。然而，在 1987 年，N.Immerman 與 R.Szelepcsényi 證明了問題 2 的答案是肯定的。至今，問題 1 仍然沒有被證明或證偽。



定理


* 波斯特定理

* 克萊尼–波斯特定理

* 弗里德堡–穆奇尼克定理

* 波斯納–羅賓遜定理

* 跳躍逆轉定理



參考文獻



外部連結


* Linear Bounded Automata by Forbes D. Lewis

* Linear Bounded Automata （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） slides, part of Context-sensitive Languages （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Arthur C. Fleck （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* Linear-Bounded Automata （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） , part of Theory of Computation syllabus, by David Matuszek
線性濾波器（英語：Linear filter）用於時變輸入信號的線性運算。線性濾波器在電子學和數位訊號處理中應用非常普遍（參見電子濾波器中的文章），它們也用於機械工程和其它技術領域。

線性濾波器經常用於剔除輸入信號中不想要的頻率或者從許多頻率中選擇一個想要的頻率。濾波器和濾波器技術類型非常廣泛，這篇文章將給出一個總的描述。

不論它們是電子的、電力的還是機械的，也不論它們的頻率範圍或者時間尺度有多大，線性濾波器的數學理論都是通用的。



按照傳遞函數分類

脈衝響應

線性濾波器可以分為兩類：無限脈衝響應（IIR）和有限脈衝響應（FIR）濾波器。通常，一個窄頻率響應的濾波器有無限脈衝響應，一個窄脈衝響應的濾波器有無限頻率響應。直到，人們才能夠實現模擬 IIR 濾波器，但是，如模擬延時線和數字濾波器這樣的技術都已經實現了 FIR 濾波器。

頻率響應

幾種常見的線性濾波器：


* 允許低頻率通過的低通濾波器。

* 允許高頻率通過的高通濾波器。

* 允許一定範圍頻率通過的帶通濾波器。

* 阻止一定範圍頻率通過並且允許其它頻率通過的帶阻濾波器。

* 允許所有頻率通過、僅僅改變相位關係的全通濾波器。

* 阻止一個狹窄頻率範圍通過的特殊帶阻濾波器帶阻濾波器。

* 有些濾波器不是為了阻止任何頻率的通過，而是為了在不同頻率稍微調整幅度響應，預加重濾波器、均衡器或者音調控制等等都是這些濾波器的例子。

帶阻和帶通濾波器都可以通過低通和高通濾波器組合構建出來。一個流行的雙極點濾波器是 Sallen-Key 型，它有低通、帶通和高通等多種類型。



濾波器設計所用數學工具

所有類型的線性濾波器都可以完全用頻率響應和相位響應來描述，它們唯一地定義了脈衝響應，反之亦然。從數學的觀點來看，連續時間脈衝衝激響應可以用線性微分方程描述，它們的脈衝響應是方程的格林函數（Green's function）。連續時間濾波器可以用脈衝響應的拉普拉斯變換表示，這種方法根據複平面內拉普拉斯變換極點和零點的樣式就可以很容易地分析濾波器的所有特性。對於離散時間信號，也可以類似地分析脈衝響應的 Z 變換。

在濾波器的計算機合成工具出現之前，類似於波特圖和 Nyquist 圖這樣的圖形工具大量地用作設計工具，即使如今，它們也是理解濾波器行為的無價之寶。

人們開發出了許多不同的模擬濾波器設計方法，每種都儘量優化系統響應的某些特性。對於實用的濾波器來說，一個定製的所要濾波器經常需要在不同的設計原則之間進行折衷，可能要考慮元件個數、成本以及濾波器響應特性等。

經典的無限脈衝響應濾波器的類型有：


* 貝塞耳濾波器（Bessel filter）

* 巴特沃斯濾波器（Butterworth filter）

* 切比雪夫濾波器（Chebyshev filter）

* 橢圓函數濾波器（elliptic filter）

這些描述都是指濾波器的_數學_特性，也就是頻率和相位響應，它們都可以用模擬電路實現，例如，使用有源濾波器 Sallen Key 濾波器布局。它們也可以用作數位訊號處理系統中的算法。

數字濾波器比模擬濾波器的合成更加靈活，模擬濾波器的設計約束限制了它們的應用。很顯然，數字濾波器無需考慮元件的公差，也可以實現非常高的 Q 值。

有限脈衝響應數字濾波器可以用所期望的衝激響應與輸入信號直接作卷積實現。

無限脈衝響應數字濾波器也容易設計，然而，無限脈衝響應濾波器有它們自身的數學設計上的問題，尤其是關於動態範圍和完善非線性問題。



參見


* 濾波器設計

* 拉普拉斯變換

* 格林函數

* Z 變換

* 系統理論
  
* 線性時不變系統理論

* 非線性濾波器

* 維納濾波器



外部連結和參考文獻


* Williams, Arthur B & Taylor, Fred J. 电子滤波器设计手册. McGraw-Hill. 1995. ISBN 978-0-07-070441-1. 實用電子濾波器設計中的聖經。

* National Semiconductor AN-779 說明模擬濾波器理論的應用筆記
在量子力學中，尤其是量子信息學中，體系的線性熵（英語：Linear entropy）定義為

　
: $S_{L}\,{\dot {=}}\,1-{\mbox{Tr}}(\rho ^{2})\,$

 $\rho $ 是體系的密度矩陣。
根據定義，線性熵取值範圍為 $[0,1-d^{-1}]$ ，其中 $d$ 是密度矩陣的維數。所以有人定義歸一化的線性熵

　
: $S_{L}\,{\dot {=}}\,{\tfrac {d}{d-1}}(1-{\mbox{Tr}}(\rho ^{2}))\,,$

取值範圍是 $[0,1]$ 。



來源

線性熵是常用的馮紐曼熵的低階近似。將馮紐曼熵在純態附近展開得到：

　
: $S\,{\dot {=}}\,-{\mbox{Tr}}(\rho \ln \rho )=-\langle \ln \rho \rangle \ =\langle 1-\rho \rangle +\langle (1-\rho )^{2}\rangle /2+\langle (1-\rho )^{3}\rangle /3+...~,$

只保留第一項，就能得到線性熵。
線性程式碼順序及跳轉（Linear code sequence and jump）簡稱 LCSAJ，是軟體測試相關的術語。其廣義的定義是一種程式分析方式，可以識別出要測試程式碼中的結構單元。其主要用途是用在動態軟體分析中，來確認「測試到什麼程度才算是足夠？」。動態軟體分析用來衡量軟體測試資料的品質以及有效性，而其量化數據是由要測試程式碼中的結構單元數量來確認。動態分析若是用來量化測試資料中的結構單元數量，此分析也會稱為是結結構覆蓋率分析。

線性程式碼順序及跳轉也有狹義的定義，是程式碼中明確定義的一段連續程式碼，此定義下的 LCSAJ 也稱為跳躍 — 跳躍路徑（JJ-path）。



歷史

LCSAJ 分析法是由 Michael Hennell 教授提出，目的是為了評估原子核物理學用到的數學函式庫的品質。Hennell 教授後來成立了 LDRA 公司，將為計劃開發的測試平台商品化販售，也就是後來的 LDRA Testbed。

LCSAJ 是從 1976 年開始的，現在也稱為是跳躍 — 跳躍路徑（JJ-path）。



LCSAJ 程式區塊的定義及特點

LCSAJ 是程式路徑中的一部份，包括一段線性（連續）程式碼，後面有條件流程跳躍指令，並且包括以下三部份的程式碼
：


* 線性程式碼的啟始

* 線性程式碼的結束

* 線性程式碼結束後，依控制流程會跳躍到的目的程式。

LCSAJ 和（最大的）基礎區塊不同，LCSAJ 可以彼此重疊，因為可能在 LCSAJ 程式碼中間會出現跳躍到其他程式的跳躍指令，而基礎區塊程式碼中間不允許有跳躍指令。而且，條件式跳躍就會產生互相重疊的 LCSAJ，條件成立時會執行程式碼 A，條件不成立時會執行程式碼 B，這就產生二段重疊的 LCSAJ。因此，每一個基礎區塊都是 LCSAJ，但 LCSAJ 可能會包括一個到多個基礎區塊。根據 1986 年的一篇文章指出，LCSAJ 的大小多半是基礎區塊的四倍。

以下是用到基礎區塊的正式 LCSAJ 定義：

> 一個到多個連續編號 _p_, (_p_+1), ..., _q_ 基礎區塊程式單元的序列，之後有一個控制流程的跳躍，可能是跳出此程式碼單元，或是到編號為 _r_ 的基礎區塊，_r_≠(_q_+1)。有關編號 _p_，可能 _p_=1，或者有其他的基礎區塊會跳到編號為 _p_ 的基礎區塊（在 LCSAJ 的跳躍指令中，會說明要跳躍到的基礎區塊）
> 
> 

根據 Jorgensen 2013 年版的教科書，在英國以外，且不是 ISTQB 以外的文獻中，會將此敘述稱為是決策到決策路徑（DD-path）。



有效測試的比率

覆蓋率分析度量可以確認測試進行的程度如何。最基本的度量是有執行到敘述，相對於所有敘述的比例，有效測試比率 1（TER1）：

$$
TER_{\text{1}}={\frac {\text{number of statements executed by the test data}}{\text{total number of executable statements}}}
$$

也有較高階的覆蓋率分析度量，例如考慮執行到控制流跳躍的比例，或是執行到 LCSAJ 的比例：

$$
TER_{\text{2}}={\frac {\text{number of control-flow branches executed by the test data}}{\text{total number of control-flow branches}}}
$$

$$
TER_{\text{3}}={\frac {\text{number of LCSAJs executed by the test data}}{\text{total number of LCSAJs}}}
$$

上述的度量有階層的關係，若 TER3 = 100%，表示 TER2 = 100%，且 TER1 = 100%。

TER1 和 TER2 的度量約在 1970 年代初期出現，TER3 則是在 1970 年代末期。在 DO-178 標準剛開始時，有要求 TER1 = 100%，後來在 1992 年加上 MC/DC（修改條件判斷覆蓋）的額外要求。許多專案會強制要求更高階的 TER3 = 100%，例如航太、通訊以及銀行。在使用 TER3 時，有一個實務上的問題，是許多 LCSAJ 有包括互相矛盾的條件，因此無法執行到。



例子

考慮以下的 C 語言程式：

這段程式中對應的 LCSAJ 程式啟始、結束及跳轉目標列表如下：

從這段程式可以看出 LCSAJ 識別到的程式碼可能會包括決策點，表示有經過決策判斷，判斷後的結果是繼續執行後面的程式。例如例子中的 LCSAJ 2 就包括了 `while` 指令，而當時的情形是 `(count < ITERATIONS)` 條件成立。

每一行程式都會劃分在一個或是多個 LCSAJ 範圍內，因此有每一行的 LCSAJ 密度，例如第 17 行出現在 6 個 LCSAJ 範圍內，因此其 LCSAJ 密度為 6。在評估程式的可維護性時很有幫助，每一行的 LCSAJ 密度也反映了修改那一行會影響的 LCSAJ 數量。

若測試資料可以使所有的 LCSAJ 都至少執行一次，就滿足 TER3 = 100% 的覆蓋率等級。
線性電壓調節器（英語：Linear regulator），又稱線性穩壓器、線性調節器，是一種元件，作用是保持電壓穩定。穩壓器的電阻會因應負載及輸入電壓的變化，以達至輸出電壓穩定不變。其動作尤如一不停自動調節阻值的可變電阻，使之與負載得出的分壓保持固定，而過程中因輸出與輸入電壓差而多出的能量則以發熱的形式消散掉。而開關式穩壓器是不停高速地在導通 / 斷開之間切換，使得輸出的平均值保持在所需電壓值。輸入線性穩壓器的電壓必須高於輸出電壓，好讓穩壓器內能作出降壓作用以達至輸出穩定，因此效率受限制。

線性穩壓器可以是置於電源和負載之間（串聯穩壓器），或與負載並聯（並聯穩壓器）。簡單的線性穩壓器可以只包含稽納二極體和一枚串聯電阻器；更複雜的線性穩壓器包含多個組成部份：參考電壓、誤差放大器和功率傳輸元件。由於線性穩壓器被廣泛應用，因此多被製成積體電路，但也可以固態電子元件或真空管等分立元件構成。



總述

以電晶體（或其它元件）調節流過負載的電流，負載所得的電壓就是穩壓器的輸出電壓。比較輸出電壓與穩壓器內部的參考電壓，所產生的差動訊號用作控制電晶體，形成一個負回饋迴路，加上適當的補償，輸出電壓就能調整下降至目標電壓，不受輸入電壓或負載變動影響，並保持合理地穩定。

線性穩壓器必須在輸入電壓高於輸出不少於某電壓值時輸出才能穩定至目標電壓，這個最少的電壓稱為壓降電壓、下壓降、電壓差 (dropout)。例如常用的 7805，作用是把輸出保持在 5V，但輸入必須保持在 7V 以上，否則輸出就會低於目標電壓 5V 以下，故其壓降電壓就是 7V-5V=2V。由於須有壓差的存在，線性穩壓器效率大都很低：因為其原理就是要將多於穩定電壓下負載所需的能量，在電晶體內以散發熱能的形式消耗掉。而電晶體發熱所造成的功率損失就是電流乘以電晶體兩端壓降。

這個問題在低輸出電壓的情況尤其嚴重，假若輸出要求為 2V，而壓降電壓同是 2V，效率就必是在 2V/(2V+2V)=50% 或以下，這樣低的效率，在實際應用上多不為接受。這情況下就需使用低壓差穩壓器（LDO），其壓降電壓特別低，一般都在 300mV (0.3V) 或以下，這種情況在微處理器的電源中常遇見。這也是為何幾乎所有低輸出電壓的線性穩壓 IC 都是低壓差穩壓器。

開關電源可以更有效地達至相同的功能，但成本較高及有開關噪聲，在輕負載、輸出電壓較高或輸出電壓接近電源電壓的情況下，線性調節器的效率也不俗，有可能是合適的選擇。線性調節器還具有的優點是：不需要磁性元件（電感器或變壓器），磁性元件可能相對昂貴或占空間；設計更簡單，雜訊也更低。線性調節器的一些設計僅使用電晶體、二極體和電阻器，這就更容易製造到積體電路中，進一步減小它們的質量、在 PCB 上的占位面積和成本。

線性調節器有兩種基本形式：串聯調節器和並聯調節器。


* 串聯調節器：更常用的形式。串聯調節器通過提供經由可變電阻的從電源電壓到負載的路徑來運行（主要電晶體在分壓器的「上半」部中）。由調節元件所耗散的功率等於電源輸出電路乘以在調節元件中的壓降。

* 並聯調節器：通過提供經由可變電阻的從電源電壓到地的路徑來運行（主要電晶體在分壓器的「下半」部中）。將流經並聯調節器的電流從負載轉向出來，並且無用地流向接地，使其比串聯調節器更沒效率。然而，該形式更簡單，有時僅由參考電壓二極體組成；並且用於很低功率的電路，其中耗費電流很小可以忽略。這種形式常用於電壓參考電路。



保護功能

若負載超出線性穩壓器設計的承受能力時，可能會導致穩壓器永久損壞，為了避免損壞穩壓器，線性穩壓器可以 (但不一定) 俱備以下保護功能，包括：


* 電流限制，例如恆流限制（constant current limiting）及遞減電流限制（foldback current limiting）

* 過溫度保護（或稱熱關斷）

* 安全工作區保護，即限制功率晶體運作於預定的電流及電壓的工作條件之內，以確保能正常工作及不會導致損壞。這些工作條件包括連續及瞬間脈衝狀態下的最高電壓、電流、溫度、功率。



參見


* 78xx - 一種常見的線性調節器類型。

* LM317 - 與 78xx 類似的線性穩壓器晶片可配置輸出電壓。

* 低壓差穩壓器 (LDO)

* 開關電源
線性系統是一數學模型，是指用線性運算子組成的系統。相較於非線性系統，線性系統的特性比較簡單。例如以下的系統即為一線性系統：

　
: ${\frac {d^{2}{y}}{dx^{2}}}+y=3x$

由於線性系統較容易處理，許多時候會將系統理想化或簡化為線性系統。線性系統常應用在自動控制理論、信號處理及電信上。像無線通訊訊號在介質中的傳播就可以用線性系統來模擬。

線性系統需滿足線性的特性，若線性系統還滿足非時變性（即系統的輸入信號若延遲 τ 秒，那麼得到的輸出除了這 τ 秒延時以外是完全相同的），則稱為線性時不變系統。



線性系統的特性

若將一決定性系統視為黑箱系統，可以用一個將輸入 $x(t)$ 映射到輸出 $y(t)$ 的運算子 $H$ 來表示。一線性系統的運算子滿足疊加原理及齊次性（homogeneity）。假設有以下二個輸入

　
: $x_{1}(t)\,$

　
: $x_{2}(t)\,$

及其對應的輸出

　
: $y_{1}(t)=H\left\{x_{1}(t)\right\}$

　
: $y_{2}(t)=H\left\{x_{2}(t)\right\}$

則線性系統會滿足以下的特性

　
: $\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$

其中 $\alpha \,$ 及 $\beta \,$ 為任意純量。

因此，若線性系統有一個複雜的輸入，可將輸入分解為許多較簡單輸入的和，針對簡單輸入個別計算輸出，其輸出相加，就是系統對應複雜輸入的輸出。這是非線性系統沒有的特性，上述的數學特性也使得線性系統的解比非線性系統的解要來的簡單許多。

對於線性時不變系統，疊加原理也是脈衝響應或頻率響應等分析方式的基礎。若是連續、線性時不變系統的微分方程，可以利用拉普拉斯轉換來求解；而離散系統中，可以利用 Z 轉換來求解。

線性模式常在非線性系統的線性化時使用，以便於後續的數學運算或處理。



時變脈衝響應

一線性系統的時變脈衝響應 _h_(_t_2,_t_1) 定義為系統對於在 _t_ = _t_1 時間的單一脈衝，在 _t_ = _t_2 時間的響應。若系統的輸入為

　
: $x(t)=\delta (t-t_{1})\,$

其中 δ(_t_) 表示狄拉克 δ 函數，而其對應的系統輸出為

　
: $y(t)|_{t=t_{2}}=h(t_{2},t_{1})\,$

則函數 _h_(_t_2,_t_1) 則為系統的時變脈衝響應。



時變卷積

連續時間系統

任何連續時間系統的輸出都可以表示為輸入信號和時變脈衝響應的時變卷積（convolution integral）：

　
: $y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,s)x(s)ds$

也可以用以下的式子表示：

　
: $y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t-\tau )x(t-\tau )d\tau $

其中

　
: $\tau =t-s\,$

表示輸入的時間 _s_ 和響應的時間 _t_ 之間的時間差。

離散時間系統

任何離散時間系統的輸出都可以表示為輸入信號和時變脈衝響應的時變卷和（convolution sum）：

　
: $y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n,k]x[k]}$

也可以用以下的式子表示：

　
: $y[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,n-m]x[n-m]}$

其中

　
: $m=n-k\,$

表示輸入的時間 _k_ 和響應的時間 _n_ 之間的時間差。



因果性

一個線性系統滿足因果性是指滿足以下特性的系統：只要時間 _t_ 在輸入時間 _s_ 之前，其脈脈衝響應 $h(t,s)$ 均為零，也就是以下的式子一定會成立：

　
: 若 $t<s$ , 則 $h(t,s)=0$

表示在時間 _s_ 時的脈衝其響應只會在時間 _s_ 之後出現，在時間 _s_ 之前脈衝響應為零。

一個滿足因果性的系統稱為因果系統。在因果系統中，時間 _s_ 時的輸入信號只會影響時間 _s_ 之後的輸出信號，不會影響時間 _s_ 之前的輸出信號。



參照


* 代數幾何中的 Linear system of divisors

* 線性時不變系統理論

* 系統分析

* 線性方程組

* 非線性系統
線性組合（英語：Linear combination）是線性代數中具有如下形式的表達式。其中 $v_{i}$ 為任意類型的項， $a_{i}$ 為純量。這些純量稱為線性組合的係數或權。

　
: $w=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}$



定義

 $S$ 為一向量空間 $V$ （附於體 $F$ ）的子集合。

如果存在有限多個向量屬於 $S$ ，和對應的純量 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}$ 屬於 $F$ ，使得 $v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}$ ，則稱 $v$ 是 $S$ 的線性組合。

規定： $0$ 向量是空集合的線性組合。



線性生成

_S_ 為域 _F_ 上向量空間 _V_ 的子集合。

所有 _S_ 的有限線性組合構成的集合，稱為 _S_ 所生成的空間，記作 span (S)。

任何 _S_ 所生成的空間必有以下的性質：

1. 是一個 _V_ 的子空間（所以包含 0 向量）

2. 幾何上是直的，沒有彎曲（即，任兩個 span (S) 上的點連線延伸，所經過的點必也在 span (S) 上）



線性無關

對於一個向量集 S =｛_v_1,...,_v_n｝,
若向量空間中的單個向量可以寫作兩個不同的線性組合，

　
: $v=\sum a_{i}v_{i}=\sum b_{i}v_{i}{\text{ where }}(a_{i})\neq (b_{i}).$

另一種表述方式是，如果將它們相減 ( $c_{i}:=a_{i}-b_{i}$ ) ，得到一個純量不全等於零的線性組合，而它的值為零：

　
: $0=\sum c_{i}v_{i}.$

那麼 _v_1,...,_v_n 稱為「線性相關」；否則它們為線性無關。

若 _S_ 是線性無關，而 S 的生成空間等於 _V_，那麼 _S_ 是 _V_ 的基。



仿射組合，錐組合及凸組合

仿射組合，錐組合和凸組合對線性組合的係數有一定的限制。

因為這些組合的限制更加嚴格，所以在這些運算之下的閉合子集也更多。因此，仿射子集，凸錐，和凸集都是向量子空間的一般化形式。所有向量子空間都是仿射子空間，凸錐，也是凸集，但凸集不一定是向量子空間，仿射子空間，或凸錐。

這些概念的產生是由於對於一些特定的數學對象，人們可以採用某些線性組合，但並非任何線性組合：例如，概率分布在凸組合下是閉合的，並且它們形成一個凸集；但在錐組合，仿射組合，或線性組合下不是閉合的。正測度在錐組合下是閉合的，但在仿射或線性組合下不是。因此，我們將帶正負符號的測度定義為它的線性閉包。

線性和仿射組合可以在任何域或環上定義，但錐組合和凸組合需要「正數」的概念，因此只能在有序域或有序環上定義，最常見的例子是實數。

如果僅允許乘以純量而不允許相加，則我們得到一個（不一定是凸的）圓錐；通常來說，定義中只允許乘以正純量。

所有這些概念通常都定義為環境向量空間的子集，而不是獨立地由公理定義。仿射空間除外，因為仿射空間也可以看作「沒有原點的向量空間」。



另見


* 凸組合

* 仿射組合：係數之和為 1 的線性組合
線性編碼器是一個傳感器、傳感器或讀取頭，與編碼位置的標尺配對。傳感器讀取刻度，以便將編碼的位置轉換為模擬或數位訊號，然後可以通過數字讀出 (DRO) 或運動控制器將其解碼為位置。

編碼器可以是增量的，也可以是絕對的。運動可以通過位置隨時間的變化來確定。線性編碼器技術包括光、磁、感應、電容和渦流。光學技術包括陰影、自成像和干涉測量。線性編碼器用於計量儀器、運動系統、噴墨印表機和高精度加工工具，從數字卡尺和坐標測量機到工作檯、數控磨床、製造龍門台和半導體步進機。



物理原理

線性編碼器是利用許多不同的物理屬性來編碼位置的傳感器：

基於比例 / 參考的

光學的

光學線性編碼器主導著高解析度市場，可能採用快門 / 莫爾、衍射或全息原理。光學編碼器是標準樣式的編碼器中最準確的，也是工業自動化應用中最常用的。在指定光學編碼器時，重要的是編碼器具有內置的額外保護，以防止灰塵、振動和其他工業環境常見條件的污染。典型的增量刻度周期從數百微米到亞微米不等。插補可以提供精確到奈米級的解析度。

使用的光源包括紅外 LED、可見光 LED、微型燈泡和雷射二極體。

磁的

磁線性編碼器 使用主動 (磁化) 或被動 (可變磁阻) 刻度，位置可以使用感應線圈、霍爾效應或磁阻讀數頭來檢測。對於比光學編碼器更粗的刻度周期 (通常是幾百微米到幾毫米)，解析度在微米量級是正常的。

電容式

電容式線性編碼器的工作原理是感測讀卡器和刻度尺之間的電容。典型的應用是數字卡尺。缺點之一是對不均勻的污垢敏感，這可能會局部改變相對介電常數。

感應的

感應技術對污染物有很強的抵抗力，允許卡尺和其他測量工具是防冷的。感應測量原理的一個著名應用是感應同步器 

渦（電）流

美國專利 3820110 中的「渦流型數字編碼器和位置基準」給出了這種類型的編碼器的一個例子，它使用用高磁導率和低磁導率、非磁性材料編碼的標尺，通過監測包括電感線圈傳感器的交流電路的電感變化來檢測和解碼該標尺。Maxon 製造了一個例子 (旋轉編碼器) 產品 (里程編碼器)。

沒有尺度（Scales）的

光學圖像傳感器

傳感器是基於圖像相關方法的。傳感器從被測表面拍攝後續照片，並比較圖像的位移。 解析度降至奈米級是可能的。



應用

線性編碼器有兩個主要的應用領域：

測量

測量應用包括坐標測量機 (CMM)、雷射掃描儀、卡尺、齒輪測量

運動系統

伺服控制的運動系統採用線性編碼器，以提供準確、高速的運動。典型的應用包括機器人、工具機、拾取和放置印刷電路板組裝設備；半導體搬運和測試設備、引線焊接機、印表機和數字印刷機。張力測試儀和數字讀出 (DROS)。



輸出型號格式

增量信號

線性編碼器可以有模擬或數位輸出。

模擬的

按照行業標準，線性編碼器的模擬輸出為正弦和餘弦正交信號。這些信號通常以差分方式傳輸，以提高抗噪性。早期的行業標準是 12μA 峰峰值電流信號，但最近已被 1V 峰峰電壓信號所取代。與數字傳輸相比，模擬信號的較低帶寬有助於將 EMC 排放降至最低。

通過在 XY 模式下使用示波器顯示圓形李薩如圖形，可以輕鬆地監控正、餘弦信號。如果李薩如圖形是圓形的 (沒有增益或相位誤差) 並且完全居中，則可以獲得最高精度的信號。現代編碼器系統使用電路來自動修剪這些錯誤機制。線性編碼器的總體精度是刻度精度和讀數頭引入的誤差的組合。標度對誤差預算的貢獻包括線性和斜率 (標度因數誤差)。讀數頭誤差機制通常被描述為循環誤差或細分誤差 (SDE)，因為它們重複每個刻度周期。造成讀數頭誤差的最大因素是信號偏移，其次是信號不平衡 (橢圓度) 和相位誤差 (正交信號不完全相隔 90°)。總體信號大小不會影響編碼器的精度，但是，較小的信號可能會降低信噪比和抖動性能。自動信號補償機制可以包括自動偏移補償 (AOC)、自動平衡補償 (ABC) 和自動增益控制 (AGC)。相位更難動態補償，通常在安裝或校準過程中作為一次性補償應用。其他形式的不準確包括信號失真 (經常是正弦 / 餘弦信號的諧波失真)。

數位的

線性增量式編碼器有兩個數字輸出信號 A 和 B，它們發出正交方波。根據其內部機制，編碼器可以直接從本質上是數字的傳感器獲得 A 和 B，或者它可以內插其內部的模擬正弦 / 餘弦信號。在後一種情況下，內插過程有效地細分刻度周期，從而獲得更高的測量解析度。

在任何一種情況下，編碼器都將輸出正交方波，兩個通道的邊緣之間的距離是編碼器的解析度。參考標記或索引脈衝也以數字形式輸出，作為一到四個解析度單位寬的脈衝。輸出信號可以直接傳輸到數字增量式編碼器接口用於位置跟蹤。

線性增量式編碼器的主要優勢是提高了抗噪性、高測量精度和低延遲的位置變化報告。然而，高頻、快速的信號邊緣可能會產生更多的 EMC 發射。

絕對參考信號

除了模擬或數字增量輸出信號外，線性編碼器還可以提供絕對參考或定位信號。

參照符號

大多數增量式線性編碼器可以產生索引或參考標記脈衝，提供沿標尺的基準位置，以便在通電或斷電後使用。該指示信號必須能夠在刻度的一個唯一周期內識別位置。參考標記可以包括標尺上的單個特徵、自相關器圖案 (通常為巴克碼) 或線性調頻圖案。

距離編碼參考標記 (DCRM) 以獨特的模式放置在秤上，允許最小的移動 (通常移動超過兩個參考標記) 來定義讀取頭的位置。也可以在天平上放置多個等間距的參考標記，以便在安裝後，可以選擇所需的標記 -- 通常通過磁鐵或光學標記，或使用標籤取消選擇不需要的標記，或通過塗抹來選擇。

絕對代碼

利用適當編碼的標尺 (多軌道、游標、數字代碼或偽隨機碼)，編碼器可以在不移動或不需要找到參考位置的情況下確定其位置。這種絕對式編碼器還使用串行通信協議進行通信。這些協議中的許多是專有的 (例如：_Fanuc、三菱、FeeDat (費戈爾自動化)、HeIDENHAIN EnDat、DriveCliq、松下、安川電機_)，但現在出現了諸如 _BISS_ 之類的開放標準，它們避免了用戶與特定供應商的捆綁。

限位開關

許多線性編碼器都有內置的限位開關；可以是光學的，也可以是磁式的。經常包括兩個限位開關，這樣在通電時，控制器可以確定編碼器是否處於行程結束以及驅動軸的方向。



物理布置和保護

線性編碼器可以是封閉的，也可以是開放的。封閉式線性編碼器用於骯髒、惡劣的環境，如工具機。它們通常包括包圍玻璃或金屬秤的鋁擠壓件。靈活的唇形密封件允許內部引導的讀數頭讀取刻度。由於這種機械布置造成的摩擦和滯後，精度受到限制。

為了獲得最高的精度、最低的測量滯後和最低的摩擦力，使用開放式線性編碼器。

線性編碼器可以使用透射式 (玻璃) 或反射式標尺，使用朗奇或位相柵格。刻度材料包括玻璃上的鉻、金屬 (不鏽鋼、鍍金鋼、因瓦鋼)、陶瓷 (零度) 和塑料。秤可以是自支撐的，通過熱控制 (通過膠粘劑或膠帶) 或軌道安裝在襯底上。軌道安裝可以使天平保持其自身的熱膨脹係數，並允許大型設備在裝運時被分解。



編碼器術語


* 解析度

* 重複度

* 磁滯

* 信噪比 / 噪聲 / 抖動

* 李薩如曲線

* 求積法

* 索引 / 參考標記 /datum（基準）/ 基準

* 距離編碼參考標記 (DCRM)



參見


* 旋轉編碼器



參考



進一步閱讀


* Nyce, David S. 线阵位置传感器的原理与应用。美國新澤西州：約翰・威利父子公司. 2003.

* Hans, Walcher. 位置传感：工程师的角度和距离测量. Butterworth-Heinemann. 1994.
線性表（英語：Linear List）是由 n（n≥0）個資料元素（結點）a [0]，a [1]，a [2]…，a [n-1] 組成的有限序列。

其中：


* 資料元素的個數 n 定義為表的長度 = "list".length () （"list".length () = 0（表里沒有一個元素）時稱為空表）

* 將非空的線性表（n>=1）記作：（a [0]，a [1]，a [2]，…，a [n-1]）

* 資料元素 a [i]（0≤i≤n-1）只是個抽象符號，其具體含義在不同情況下可以不同

一個資料元素可以由若干個資料項組成。資料元素稱為記錄，含有大量記錄的線性表又稱為檔案。這種結構具有下列特點：存在一個唯一的沒有前驅的（頭）資料元素；存在一個唯一的沒有後繼的（尾）資料元素；此外，每一個資料元素均有一個直接前驅和一個直接後繼資料元素。



線性表的儲存結構


* 順序表

* 連結串列
  
* 單連結串列
    
* 動態單連結串列
    
* 靜態單連結串列
  
* 雙連結串列
  
* 迴圈連結串列
    
* 單迴圈連結串列
    
* 雙迴圈連結串列



參見


* 資料結構

* 連結串列

* 順序表

* 陣列

* 佇列

* 堆疊

* 廣義表
線性調頻小波轉換是一種時頻分析的方法，用線性調頻波（也稱為小啾波）來表示訊號成分的一種信號轉換。



概述

如同小波，線性調頻小波是一小段線性調頻波（Compact），在這段時間內信號的瞬時頻率成線性的增加或減少，而小波則是固定的頻率。

小波轉換調整母小波的頻率和時間位移，而線性調頻小波則是改變瞬時速率改變率以及中央頻率。

線性調頻小波變換在時頻域上的分布則類似短時距傅立葉變換（例如加伯轉換），但是隨著線性調頻頻率改變的速率而有錯切。

通常母線性調頻小波是由線性調頻波乘上一窗函數而成，因此母小波包絡線便是此窗函數。

 圖片中是高斯函數窗函數的母線性調頻小波

 
高斯函數線性調頻小波可如下表示:

　
: $g_{t_{c},f_{c},log(\Delta t),c}(t)={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\Delta t}}e^{-{\frac {1}{2}}({\frac {t}{\Delta t}})^{2}}e^{j2\pi [c(t-t_{c})^{2}+f_{c}(t-t_{c})]}$

其中 $t_{c}\,$ 是中心時間， $f_{c}\,$ 是中心頻率， $log(\Delta t)\,$ 是時間長度， $c\,$ 是頻率改變的速率。



應用

線性調頻小波轉換的應用包括雷達、聲納、信號處理、生醫信號、影像處理。



參照

線性調頻

小波轉換

加伯轉換



參考資料


* Steve Mann, Simon Haykin. _"The Chirplet Transform: Physical Considerations"_. IEEE Transactions on Signal Processing(1995), Vol.43, No. 11.

* Steve Mann, Simon Haykin. _"The Chirplet Transform: A Generalization of Gabor's Logon Transform",Vision Interface(1991),June 3-7, P.205._
在數學中，線性近似就是用線性函數對普通函數進行近似。這個線性函數稱為仿射函數。

例如，有一個實數變量的可導函數 _f_，根據 _n_=1 的泰勒公式

　
: $f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+R_{2}$

其中 $R_{2}$ 是餘數。捨去餘數就是線性近似：

　
: $f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)$

當 _x_ 無限接近於 _a_ 的時候這個等式成立。右側的表示是 _f_ 在點 (_a_, _f_(_a_)) 處的切線，因此這個過程也叫作切線近似。

我們也可以對以向量作為變量的向量函數作線性近似，這時在該點的導數用雅可比矩陣代替。例如，一個有實數變量的可導函數 $f(x,y)$ ，可以用函數 $f(x,y)$ 在接近 $(a,b)$ 的 $(x,y)$ 點處的值來近似

　
: $f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$

方程右側是 $z=f(x,y)$ 在點 $(a,b).$ 處的平面切線。

在更具普遍意義的巴拿赫空間上，

　
: $f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)$

其中 $Df(a)$ 是函數 $f$ 在 $a$ 處的 Fréchet 導數。



例子

可以通過下面的過程求得 ${\sqrt[{3}]{25}}$ 的值。

1. 設函數 $f(x)=x^{1/3}.\,$ ，問題簡化為求 $f(25)$ 的值。
2. 可以得到

　
: $f\ '(x)=1/3x^{-2/3}.$
3. 根據線性近似

　
: $f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.$
4. 結果 2.926 非常接近於實際值 2.924
在數理邏輯中，線性邏輯是拒絕「弱化」和「收縮」的結構規則的一種亞結構邏輯。對此解釋是「假設是資源」: 在證明中所有假設必須被消費「精確一次」。這區別於平常的邏輯比如經典邏輯或直覺邏輯，那裡統治判斷是「真理」，它可以按需要被自由的使用多次。例如，從命題 _A_ 和 _A_ ⇒ _B_ 能按如下步驟得出結果 _A_ ∧ _B_:

1. （1）在假定 _A_ 和 _A_ ⇒ _B_ 上應用肯定前件（或蘊涵除去）得到結論 _B_。
2. （2）_A_ 和（1）的合取的得到結論 _A_ ∧ _B_。

這經常被符號化表示為相繼式：_A_, _A_ ⇒ _B_ $\vdash $ _B_。在上述證明中 "消費" 了 _A_ 為真的事實；這種真理的 "自由" 通常是在形式化數學中所需要的。

但是，真理經常在應用於關於這個世界的陳述的時候太抽象或不實用。比如，假設我有一夸脫的牛奶，我能用它製作一磅奶酪。如果我決定把我的所有牛奶都製成奶酪，我就不能下結論說我有牛奶和奶酪二者！上面的邏輯模式讓我們得到結論：牛奶, 牛奶⇒奶酪 $\vdash $ 牛奶∧奶酪（這裡的牛奶表示命題 "我有一夸脫牛奶"，等等）。普通邏輯建模這個活動失敗是由於牛奶、奶酪一般是資源：資源的數量不像真理是可以隨意使用和支配的自由事實，而是必須在所有 "狀態變更" 中仔細計量的。關於牛奶制奶酪活動的準確陳述是：

　
: 從一夸脫牛奶和從一夸脫牛奶轉換出一磅奶酪的過程，我們獲得一磅奶酪。

在線性邏輯中我們寫為：牛奶, 牛奶奶酪 $\Vdash $ 奶酪，使用了不同的連結詞（替代了⇒）和不同的邏輯蘊涵符號。

線性邏輯由法國數學家讓・伊夫・吉拉德（Jean-Yves Girard）在 1987 年提出。



參見


* 證明網絡

* 博弈語義

* 直覺邏輯

* 可計算性邏輯

* 直覺主義

* BHK 釋義

* 直覺類型論

* 經典邏輯

* 中間邏輯

* 構造性證明

* Curry-Howard 對應

* 可計算性邏輯



外部連結


* Patrick Lincoln （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）'s excellent Introduction to Linear Logic（Postscript）
線性散列（英語：Linear Hashing）是一種散列方法，它有幾項特點：


* 沒有目錄。

* 可藉由控制負荷因子來延遲分裂。

* 分裂指標 ：指向下一個要分裂的資料欄，在完整擴張後要重設分裂指標。

* 檔案等級 ：在完整擴張後要檔案等級。

* 區塊數目 ：區塊數目會線性增加。



演算法

插入

1. 輸入資料先放入同一資料欄內，每次輸入資料都要運算負荷因子，以便檢查負荷因子是否超過門檻，如果超過負荷因子，則要針對分裂指標所指的資料欄進行完整擴張。
2. 如果完整擴張則要重設分裂指標，而完整擴張會使分裂因子所指的資料欄分裂為原來的兩倍。
3. 持續輸入資料直到資料輸入完畢。
線性非移變系統理論建立在圖訊號處理中對線性非移變系統的定義上，致力於承襲線性非時變系統理論在操作上的便利性。



圖位移（Graph Shift）

對於一個 N 點的圖 $G$ （可為有向，但通常有限、不重邊），可定義圖位移 $S$ ，為一線性映射從圖訊號時域映射到圖訊號時域，可表為一 N 階方陣 。

圖位移是一個抽象定義，並沒有特別指對 $G$ 使用哪種特定方法構造出來的為圖位移。

比較被使用的圖位移有：連接矩陣 A、拉普拉斯矩陣 L、正規化拉普拉斯矩陣 LN。



線性非移變系統

線性非移變系統是圖訊號處理中，有最簡單結構的系統。其性質可最大限度地和數位訊號處理中的線性非時變系統對照，並發展出與之類似的運算，達到想要的訊號處理效果。

定義

在一 $N$ 點的圖上，給定已定義的圖位移 $S$ ，若線性映射 $H:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow \mathbb {C} ^{N}$ 滿足 $HS=SH$ ，則稱其為線性非移變系統（LSI）。

基本性質

1. 不受圖位移 $S$ 的作用前後順序影響。
2. 可表示為圖圖位移 $S$ 的多項式，也就是說存在 $h$ 多項式，使得 $H=h(S)$ 。更嚴謹地，若考慮的是 N-1 階以下的多項式，則 $h$ 唯一存在。

傳遞函數

根據性質 2.，再以給定好圖位移的情況下，對所有線性非移變系統 $H$ ，可唯一定義其傳遞函數 $h$ ， $h$ 為最高次項小於 N-1 階的多項式，且 $H=h(S)$ 。



基本運算的推廣形式

圖論傅立葉轉換

詳見圖論傅立葉轉換。

摺積

摺積在圖訊號時域中因為沒有顯著的前後關係，無法定義一個良好的計算式。但因同一張圖上的圖訊號在頻域中之頻率值相同，摺積的推廣定義可使用摺積原本的性質：頻域中的峰值相乘，也就是

　
: ${\hat {s}}_{out}(\lambda _{k})={\hat {s}}_{1}(\lambda _{k}){\hat {s}}_{2}(\lambda _{k})$

其中 $s_{1}$ 、 $s_{2}$ 為輸入訊號， $s_{out}$ 為輸出訊號， $\{\lambda _{k}\}_{k=0...N-1}$ 為頻域之特徵頻率。對上式作逆圖論傅立業轉換，得

　
: $s_{out}(i)=(s_{1}*s_{2})(i)=\sum _{k=0}^{N-1}{\hat {s}}_{1}(\lambda _{k}){\hat {s}}_{2}(\lambda _{k})u_{k}(i)$

其中 $\{u_{k}\}_{k=0...N-1}$ 為圖論傅立葉基底。將此式作為摺積之推廣定義。

上式有另一個使用矩陣的表示法

　
: $s_{out}=VD_{{\hat {s}}_{2}}V^{-1}s_{1}$

其中 $V^{-1}$ 為圖論傅立葉轉換矩陣， $V$ 即為逆傅立葉轉換矩陣， $D_{{\hat {s}}_{2}}$ 表示一對角矩陣，其主對角線的元素為 ${\hat {s}}_{2}$

平移

平移在圖訊號時域中亦因為沒有好的順序關係，無法被良好的直接定義。

但因一般數位訊號處理的平移運算等價於將訊號與一個單位脈衝訊號摺積，其推廣定義可以利用此性質

　
: $s_{out}=s_{in}*\delta _{n}=VD_{{\hat {s}}_{in}}V^{-1}\delta _{n}=VD_{{\hat {s}}_{in}}u_{n}$ ，其中 $\delta _{n}(k)={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=k\\0,&{\text{if }}n\neq k\end{cases}}$

濾波

濾波是讓輸入訊號經過一系統，產生輸出訊號的過程。在時域中的表現形式為

　
: $s_{out}=Hs_{in}$

若 $H$ 是線性非移變系統，存在多項式傳遞函數 $h$ 使得 $h=h(S)$ ，故

　
: $Hs_{in}=h(S)s_{in}=h(V\Lambda V^{-1})s_{in}=Vh(\Lambda )V^{-1}s_{in}=VD_{{\hat {s}}_{H}}V^{-1}s_{in}$

與摺積的定義比較，可知其實可將「對 $s_{in}$ 使用 $H$ 濾波」看作「將 $s_{in}$ 與另一個信號 $s_{H}$ 作摺積」，其中 $s_{H}$ 符合 ${\hat {s}}_{H}=(h(\lambda _{1}),h(\lambda _{2}),...h(\lambda _{N-1}))^{T}$ ，

此時稱 $s_{H}$ 為 $H$ 的脈衝響應， ${\hat {s}}_{H}$ 為 $H$ 的頻率響應。

調變

脹縮



參考


* A. Sandryhaila and Jose M. F. Moura, Discrete Signal Processing on Graphs, [[arxiv:1210.4752|http://arxiv.org/abs/1210.4752 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）]]

* David I Shuman, Sunil K. Narang, Pascal Frossard, Antonio Ortega, Pierre Vandergheynst, The Emerging Field of Signal Processing on Graphs: Extending High-Dimensional Data Analysis to Networks and Other Irregular Domains, [[arxiv:1211.0053|http://arxiv.org/abs/1211.0053 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）]]
線性預估，對於某一時間點的數值，可利用若干個前面時間點的數值，以線性組合的方式來預估。在數位信號處理中，線性預估又常被稱為線性預估編碼。



預估模型

最常見的表示法為

　
: ${\widehat {x}}(n)=\sum _{i=1}^{p}a_{i}x(n-i)\,$

其中 ${\widehat {x}}(n)$ 是在時間點 $n$ 所預估出來的數值，而 $x(n-i)$ 是在時間點 $n-i$ 的數值，對於每個 $x(n-i)$ 都有一個對應的預估係數 $a_{i}$ ，預估模型的階數則以 $p$ 來表示，意即 $x(n)$ 是由前面 $p$ 個數值所預估。而預估誤差為

　
: $e(n)=x(n)-{\widehat {x}}(n)\,$

其中 $x(n)$ 是真實的數值。上面的式子對於一維信號皆可適用，若對於多維信號，則誤差可定義為

　
: $e(n)=||x(n)-{\widehat {x}}(n)||\,$

其中 $||.||$ 為向量空間上的範數。



係數的預估

欲求得最佳化的預估係數 $a_{i}$ ，最常用的準則是最小化誤差平方的期望值，以此準則可得到

　
: $\sum _{i=1}^{p}a_{i}R(i-j)=-R(j),$

其中 1 ≤ _j_ ≤ _p_, 而 _R_ 是信號 _x_n 的自相關函數，定義為

　
: $\ R(i)=E\{x(n)x(n-i)\}\,$

_E_ 代表期望值。
線性預測是根據已有採樣點按照線性函數計算未來某一離散信號的數學方法。

在數位訊號處理中，線性預測經常稱為線性預測編碼（LPC），因此也可以看作是數字濾波器的一部分。在系統分析中，線性預測可以看作是數學建模或者最佳化的一部分。



預測模型

最常見的表示是

　
: ${\widehat {x}}(n)=-\sum _{i=1}^{p}a_{i}x(n-i)$ ，

其中 ${\widehat {x}}(n)$ 是預測的信號值， $x(n-i)$ 是前面觀測到的值， $a_{i}$ 是預測係數。這種預測產生的誤差是

　
: $e(n)=x(n)-{\widehat {x}}(n)$ ，

其中 $x_{n}$ 是真正的信號值。

這個等式對於所有類型的一維線性預測都是有效的，它們的不同之處是參數 $a_{i}$ 選擇方式的不同。

對於多維信號，誤差經常定義為

　
: $e(n)=||x(n)-{\widehat {x}}(n)||$ ，

其中 $||.||$ 是適當選擇的向量範數。



預測參數

在參數 $a_{i}$ 最佳化中最常見的選擇是均方根準則，也稱為自我相關準則。在這種方法中減小了最小均方誤差 e2(n) 的期望值 E [e2(n)]，這樣就得到等式

　
: $\sum _{i=1}^{p}a_{i}R(i-j)=-R(j)$ ，

對於 1 ≤ _j_ ≤ _p_, 其中 _R_ 是信號 _x_n 的自我相關，定義為

　
: $\ R(i)=E\{x(n)x(n-i)\}$ ，

其中 _E_ 是期望值。在多維情況下，這相當於最小化 L2 範數。

上面的方程式稱為 normal 方程式或者 Yule-Walker 方程式，在矩陣形式下這個方程式也可以寫作

　
: $Ra=-r,$ ，

其中自我相關矩陣 _R_ 是元素為 _r_i,_j_ = _R_(_i_ − _j_) 的對稱輪換矩陣，矢量 _r_ 是自我相關矢量 _r_j = _R_(_j_)，矢量 _a_ 是參數矢量。

另外一個更為通用的實現是最小化

　
: $e(n)=x(n)-{\widehat {x}}(n)=x(n)+\sum _{i=1}^{p}a_{i}x(n-i)=\sum _{i=0}^{p}a_{i}x(n-i)$

其中通常使用 $a_{0}=1$ 約束參數 $a_{i}$ 以避免 trivial 解。這個約束產生與上面同樣的預測，但是 normal 方程式是

　
: $\ Ra=[1,0,...,0]^{\mathrm {T} }$

其中索引 _i_ 的範圍是從 0 到 _p_，並且 _R_ 是 (_p_ + 1)×(_p_+ 1) 矩陣。

參數最佳化是一個非常廣泛的話題，人們已經提出了大量的其它實現方法。

但是，自我相關方法仍然是最為常用的方法，例如在 GSM 標準中的語音編碼就在使用這種方法。

矩陣方程式 _Ra_ = _r_ 的求解計算上工作量很大，高斯消去法求矩陣的逆可能是最為古老的解法了，但是這種方法沒有有效地利用 _R_ 和 _r_ 的對稱性。一種更快的算法是 Norman Levinson 在 1947 年提出的 Levinson 遞迴法，它遞迴地計算方程式的解。後來 Delsarte et al. 提出了一種稱為 split Levinson recursion 的改進方法，它僅需要一半的乘除計算量，它在隨後的遞迴層面上使用了參數矢量的特殊對稱特性。



參見


* Forecasting

* 線性迴歸

* 預測區間

* 去摺積



參考文獻


* G. U. Yule. On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to wolfer’s sunspot numbers. Phil. Trans. Roy. Soc., 226-A:267–298, 1927.

* J. Makhoul. Linear prediction: A tutorial review. Proceedings of the IEEE, 63 (5):561–580, April 1975.

* M. H. Hayes. Statistical Digital Signal Processing and Modeling. J. Wiley & Sons, Inc., New York, 1996.
線性預測編碼（英語：LPC, Linear predictive coding）是主要用於音頻信號處理與語音處理中根據線性預測模型的信息用壓縮形式表示數字語音信號譜包絡（spectral envelope）的工具。它是最有效的語音分析技術之一，也是低位速下編碼方法高質量語音最有用的方法之一，它能夠提供非常精確的語音參數預測。



綜述

線性預測編碼的基本思想是：「一個語音取樣的現在值可以用若干個語音取樣過去值的加權線性組合來逼近」。在線性組合中的加權係數稱為預測器係數。通過使實際語音抽樣和線性預測抽樣之間差值的平方和達到最小值，能夠決定唯一的一組預測器係數。

線性預測編碼通過估計共振峰、剔除它們在語音信號中的作用、估計保留的蜂鳴音強度與頻率來分析語音信號。剔除共振峰的過程稱為逆濾波，經過這個過程剩餘的信號稱為殘餘信號（residue）。

描述峰鳴強度與頻率、共鳴峰、殘餘信號的數字可以保存、發送到其它地方。線性預測編碼通過逆向的過程合成語音信號：使用蜂鳴參數與殘餘信號生成源信號、使用共振峰生成表示聲道的濾波器，源信號經過濾波器的處理就得到語音信號。

由於語音信號是一種非平穩的時變信號又同時具有短時平穩性，這個過程是在一段段的語音信號幀上進行處理的。通常每秒 30 到 50 幀的速度就能對可理解的信號進行很好的壓縮。



線性預測編碼的早期歷史

根據史丹福大學 Robert M. Gray 的說法，線性預測編碼起源於 1966 年，當時日本電信電話公社的 S. Saito 和 F. Itakura 描述了一種自動音素識別的方法，這種方法第一次使用了針對語音編碼的最大似然估計實現。1967 年，John Burg 略述了最大熵的實現方法。1969 年 Itakura 與 Saito 提出了部分相關（partial correlation）的概念，May Glen Culler 提議進行實時語音壓縮，B. S. Atal 在美國聲學協會年會上展示了一個 LPC 語音編碼器。1971 年 Philco-Ford 展示了使用 16 位 LPC 硬體的實時 LPC 並且賣出了四個。

1972 年美國國防部國防高等研究計劃署（DARPA）的 Bob Kahn 與林肯實驗室（Lincoln Laboratory, LL）的 Jim Forgie，以及 BBN 科技的 Dave Walden 開始了語音信息包的第一次開發，這最終帶來了 Voice over IP 技術。根據林肯實驗室的非正式歷史資料記載，1973 年 Ed Hofstetter 實現了第一個 2400 位 / 秒的實時 LPC。1974 年，第一個雙向實時 LPC 語音包通信在 Culler-Harrison 與林肯實驗室之間通過 ARPANET 以 3500 位 / 秒的速度實現。1976 年，第一次 LPC 會議通過 ARPANET 使用 Network Voice Protocol 在 Culler-Harrison、ISI、SRI 與 LL 之間以 3500 位 / 秒的速度實現。最後在 1978 年，BBN 的 Vishwanath et al. 開發了第一個變速 LPC 算法。



線性預測編碼係數表示

線性預測編碼經常用來傳輸頻譜包絡信息，這樣它就可以容忍傳輸誤差。由於直接傳輸濾波器係數（參見線性預測中係數定義）對於誤差非常敏感，所以人們不希望直接傳輸濾波器係數。換句話說，一個小的誤差不會扭曲整個頻譜或使整個頻譜質量下降，但是一個小的誤差可能使預測濾波器變得不穩定。

有許多更加高級的表示方法，如對數面積比（log area ratio，LAR）、線譜對（line spectral pairs，LSP）分解以及反射係數等。在這些方法中，LSP 由於它能夠保證預測器的穩定性、並且小的係數偏差帶來的譜誤差也是局部的這些特性，所以得到了廣泛應用。



應用

線性預測編碼通常用於語音的重新合成，它是電話公司使用的聲音壓縮格式，如 GSM 標準就在使用這種格式。它還用作安全無線通信中的格式，在安全的無線通信中，聲音必須進行數位化、加密然後通過狹窄的語音信道傳輸。

線性預測編碼合成也可以用於構建聲音合成器，樂器用作從歌手聲音預測得到的時變濾波器的激勵信號，這在電子音樂中有一定的流行。

1980 年流行的 Speak & Spell 教育玩具中使用了一個 10 階的線性預測編碼。

在 FLAC 音頻編解碼器中使用了 0 到 4 階的線性預測編碼預測器。



參考文獻


* Robert M. Gray, IEEE Signal Processing Society, Distinguished Lecturer Program （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）



參見


* 赤池信息量準則（Akaike information criterion）

* 音訊壓縮 (格式)



外部連結


* 實時 LPC 分析與綜合學習軟體 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* HawkVoice 開源 LPC 軟體與 API

* 使用線性預測編碼（LPC）的語音編碼 DSP experts.com
線應彩（？—？），正白旗人，清朝政治人物。監生出身。

康熙十七年（1678 年），擔任清朝廣州府南海縣知縣。後由鮑天鍾接任。



參考
線手羽油鯰（學名：Imparfinis nemacheir），為條鰭魚綱鯰形目鼬鯰科的其中一種，為熱帶淡水魚，分布於南美洲亞馬遜河上游及奧里諾科河流域，體長可達 9.9 公分，棲息在底層水域，生活習性不明。



參考文獻


* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2015). _Imparfinis nemacheir_. _FishBase_. Version 2015-06.
線指䱵屬（學名：_Nemadactylus_）為日鱸目婢䱵科的一屬，過去曾被歸類於唇指䱵科之中。



分類

本屬現有 7 個受承認的物種，如下：


* 長鰭線指䱵 _Nemadactylus macropterus_ (Forster, 1801)

* 單指線指䱵 _Nemadactylus monodactylus_ (Carmichael, 1819)：又名單指棘䱵

* 蓋氏線指䱵 _Nemadactylus gayi_ (Kner, 1865)

* 道格拉斯線指䱵 _Nemadactylus douglasii_ (Hector, 1875)

* 貝氏線指䱵 _Nemadactylus bergi_ (Norman, 1937)：又名貝氏唇指䱵

* 藍線指䱵 _Nemadactylus valenciennesi_ (Whitley, 1937)

* 維瑪線指䱵 _Nemadactylus vemae_ (Penrith, 1967)



參考文獻
線控 (有時被稱為 U - 控) 是一種簡單輕巧控制模型飛機的方式。操控者使用把手，經由兩條線來控制模型飛機的升降舵。此一方法能夠操控飛機在俯仰方向上的動作。飛機的飛行則巧妙的經由控線控制在一個半球面上飛行。控線通常是單股線，或是多股線，線的粗細介於 0.008 英吋 (0.2 公厘) 至 0.021 英吋 (0.53 公厘)。有時候會使用第三條線來控制引擎的節流閥，也有使用更多的線來控制其他動作的可能。有時候會藉由控線來傳遞電子訊號以控制一些像真模型上的動作，如收放飛機起落架，或是襟翼的控制。大部分的線控飛機動力來源使用傳統模型飛機上會看到的動力系統，如引擎、馬達。但也有使用無動力的線控飛機，操控方式類似於風箏。
線擬鮃為條鰭魚綱鰈形目鰈亞目鮃科的其中一種，為深海魚類，分布於西太平洋珊瑚海海域，棲息深度 300-330 公尺，體長可達 8.8 公分，棲息在底層水域，生活習性不明。



參考文獻


* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2014). _Parabothus filipes_. _FishBase_. Version 2014-04.



擴展閱讀
線斑副唇魚，為條鰭魚綱鱸形目隆頭魚亞目隆頭魚科的其中一種，分布於西印度洋的馬達加斯加及葛摩海域，棲息深度 12-40 公尺，本魚雄性色彩比雌性鮮豔，體型也較大；雄性的顏色在求偶期的時候顏色更鮮豔，鱗片有深褐色的斑紋；頭部上具黃色的斑紋，並延伸至胸部及腹部，體鮮橘色，體長可達 7 公分，棲息在珊瑚碎石底質海域，生活習性不明，可作為觀賞魚。



參考文獻


* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2013). _Paracheilinus lineopunctatus_. _FishBase_. Version 2013-08.



擴展閱讀
線斑吻棘鰍為條鰭魚綱合鰓目刺鰍亞目刺鰍科的其中一種，分布於亞洲印度 Jorai 河及尼泊爾 Rapti 河流域，體長可達 18.4 公分，棲息在底層水域，屬肉食性。



參考文獻


* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2012). _Macrognathus lineatomaculatus_. _FishBase_. Version 2012-08.
線斑真寄居蟹（學名：_Dardanus guttatus_）為活額寄居蟹科真寄居蟹屬下的一個種。



參考文獻
線斑矮脂鯉為條鰭魚綱脂鯉目琴脂鯉亞目複齒脂鯉科的其中一種，為熱帶淡水魚，分布於非洲尼日河上游及 Chari-Logone 流域，體長可達 3.9 公分，棲息在底中層水域，生活習性不明。



參考文獻



擴展閱讀
線斑銜鰕虎（學名：_Istigobius rigilius_），又名線斑銜鰕虎，為鰕虎科銜鰕虎屬下的一個種。



參考文獻
線斑黃鱗魨（學名：_Xanthichthys lineopunctatus_），又名線紋砲彈、線斑板機魨，為條鰭魚綱魨形目鱗魨亞目鱗魨科黃鱗魨屬的魚類。分布於印度洋模里西斯到太平洋中部夏威夷群島等熱帶海區以及西沙群島海域等，棲息深度可達 50 公尺，體長可達 30 公分，屬於暖水性魚類，棲息在外海礁石區，可作為食用魚。



參考文獻
線東堡，是台灣中部自清治時期至日治初期的一個行政區劃，其範圍包括今彰化縣的彰化市中西部及和美鎮東部。

線東堡西邊為馬芝堡、線西堡，北邊為大肚下堡，東邊為貓羅堡，南邊為燕霧上堡。



管轄街庄

線東堡共轄 15 個街庄：


* 今彰化市境內：彰化街、大竹圍庄、番社口庄、渡船頭庄、牛稠仔庄、阿夷庄、南門口庄、大埔庄、莿桐腳庄、西門口庄、西勢仔庄

* 今和美鎮境內：嘉犁庄、新庄仔庄、中藔庄、柑仔井庄



相關條目


* 嘉寶潭之役



參考文獻
線松鼠屬（三線松鼠） ，哺乳綱、囓齒目、松鼠科的一屬，而與線松鼠屬（三線松鼠）同科的動物尚有旱獺屬（旱獺）、條紋松鼠屬（條紋松鼠）、長鼻松鼠屬（長鼻松鼠）、太陽松鼠屬（太陽松鼠）等之數種哺乳動物。
線框模型（英語：_wireframe model_）是真實世界對象的採用直線和曲線的一種骨架表示（skeletal representation）。線框由物體上兩個數學上連續光滑的表面相交生成或者用直線或者曲線連接物體頂點得到，通過繪製每一條邊就可以將物體映射到計算機屏幕上。

使用線框模型可以看到三位模型的底層結構設計。傳統的二維觀察或者繪製可以通過合適的物體旋轉以及選擇經過切面的線消隱實現。

由於線框渲染方法相對來說比較簡單並且計算速度很快，所以這種方法經常用於高幀速的場合，如非常複雜的三維模型或者模擬外部現象的實時系統。當需要更加精細的效果時可以在完成線框繪製之後自動渲染表面紋理。這種方法允許設計人員及時審查改動以及將物體旋轉到新設計的場景，它沒有真實感渲染所常有的較長延時。

線框模型格式也非常適合於數控工具機中的路徑編程，並且已經在那個領域得到了廣泛應用。



又見


* 動畫

* 計算機動畫

* 電腦成像

* 三維計算機圖形學

* 多邊形網格

* 虛擬攝影

* Mockup
在數學上，線段是直線上兩點間的一段，這兩個點稱為端點。參見區間。

當終點均在圓周上，該線段稱為弦。當它們都是多邊形的頂點，若它們是毗鄰的頂點該線段為邊，否則就是對角線。

在生活應用上，主要有三種 —— 連結、隔開、刪除

1. 連結

　
: 將不同處的兩者做關連性的鍵結，其他如指示性補充亦同。
2. 隔開

　
: 將同一處的兩區域分離，其他如景深、等位線亦同。
3. 刪除

　
: 例：於撰寫文章時，為保留創作的過程而將不妥之文句以線劃除，其他如路線中的各站亦同。



參見


* Broken line

* 區間

* 直線

* Line segment intersection

* Spirangle

* Segment addition postulate



參考來源



拓展閱讀


* 大衛・希爾伯特 The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4



外部連結


* 埃里克・韋斯坦因。线段. MathWorld.

* Line Segment at PlanetMath

* 線段的定義 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 通過互動動畫演示

* 用尺規複製線段 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* 用尺規將線段劃分為 N 個相等的部分 動畫演示
線段樹可以指：


* 線段樹 (區間查詢)，樹狀數組的變種，用於查詢數列信息。

* 線段樹 (儲存區間)，存儲線段或實數區間，用於查詢包含某一點的所有線段或實數區間。
線段樹（英語：Segment tree）是一種二元樹形資料結構，1977 年由 Jon Louis Bentley 發明，用以儲存區間或線段，並且允許快速查詢結構內包含某一點的所有區間。

一個包含 $n$ 個區間的線段樹，空間複雜度為 $O(n)$ ，查詢的時間複雜度則為 $O(\log n+k)$ ，其中 $k$ 是符合條件的區間數量。

此資料結構亦可推廣到高維度。



結構

線段樹是一個平衡的二元樹，它將每個長度不為 1 的區間劃分成左右兩個區間遞迴求解。令整個區間的長度為 N，則其有 N 個葉節點，每個葉節點代表一個單位區間，每個內部結點代表的區間為其兩個兒子代表區間的聯集。這種資料結構可以方便的進行大部分的區間操作。

本處以一維的線段樹為例。

令 S 是一維線段的集合。將這些線段的端點坐標由小到大排序，令其為 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m}$ 。我們將被這些端點切分的每一個區間稱為「單位區間」（每個端點所在的位置會單獨成為一個單位區間），從左到右包含：

　
: $(-\infty ,x_{1}),[x_{1},x_{1}],(x_{1},x_{2}),[x_{2},x_{2}],...,(x_{m-1},x_{m}),[x_{m},x_{m}],(x_{m},+\infty )$

線段樹的結構為一個二元樹，每個節點都代表一個坐標區間，節點 N 所代表的區間記為 Int (N)，則其需符合以下條件：


* 其每一個葉節點，從左到右代表每個單位區間。

* 其內部節點代表的區間是其兩個兒子代表的區間之聯集。

* 每個節點（包含葉子）中有一個儲存線段的資料結構。若一個線段 S 的坐標區間包含 Int (N) 但不包含 Int (parent (N))，則節點 N 中會儲存線段 S。



實現

C++

在此以求出範圍最小值作為範例



參考資料


* de Berg, Mark; van Kreveld, Marc; Overmars, Mark; Schwarzkopf, Otfried. More Geometric Data Structures. Computational Geometry: algorithms and applications 2nd. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York. 20002000. ISBN 3-540-65620-0. doi:10.1007/978-3-540-77974-2.  含有內容需登入檢視的頁面 (link)

* http://www.cs.nthu.edu.tw/~wkhon/ds/ds10/tutorial/tutorial6.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
線泥鰻為條鰭魚綱鰻鱺目通鰓鰻科線泥鰻屬的其中一種，發現於中西大西洋的巴哈馬群島海域，為深海魚類，棲息深度可達 238 公尺，生活在大陸棚。



參考文獻


* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2012). _Linkenchelys multipora_. _FishBase_. Version 2012-06.
線海龍屬（學名：_Filicampus_），為條鰭魚綱棘背魚目海龍科的其中一屬。



下屬物種


* 虎紋線海龍（_Filicampus tigris_）



參考文獻


* Froese, R. & Pauly, D. (eds.) (2012). _Filicampus_ . _FishBase_. Version 2012-05.



擴展閱讀
翠灰蝶亞科（學名：Theclinae）是灰蝶科裡的一個亞科。物種繁多，遍佈世界各地，大部物種分佈於熱帶地區。一些品種的翅面會有閃藍色，是由翅膀上鱗片經過光線的折射造成。後翅常有尾突。少數品種會有遷徙習性。



分類


* 褐裙灰蝶族 Luciini

* 紫灰蝶族 Arhopalini

* 翠灰蝶族 Theclini

* 澳灰蝶族 Ogyrini

* 澤灰蝶族 Zesiini

* 昂灰蝶族 Amblypodiini

* 瑤灰蝶族 Iolaini

* 旖灰蝶族 Hypolycaenini

* 璃灰蝶族 Remelanini

* 鹿灰蝶族 Loxurini

* 鑽灰蝶族 Horagini

* 車灰蝶族 Cheritrini

* 三尾灰蝶族 Catapaecilmatini

* 琥珀灰蝶族 Hypotheclini

* 尖尾灰蝶族 Oxylidini

* 灑灰蝶族 Eumaeini

* 玳灰蝶族 Deudorigini

* 托灰蝶族 Tomarini



腳註



參考文獻


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* Eliot, J. N. 1973 The higher classification of the Lycaenidae (Lepidoptera): a tentative arrangement. Bull. Br. Mus. Nat. Hist. (Ent.) 28, 371-505, 6 pls.

* Robbins, R. K. 1980 The lycaenid "false head" hypothesis: historical review and quantitative analysis. J. Lepid. Soc. 34, 194-208.

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* 呂至堅、陳建仁。蝴蝶生活史圖鑑。台灣：晨星出版有限公司. 2014 年 3 月 23 日: 208–315. ISBN 9789861777849 （中文（繁體））.

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