輸入 - 狀態穩定性（Input-to-state stability）簡稱 ISS，是在有外部輸入時，非線性的控制理論中探討其穩定性的方式。簡單來說，控制系統具有輸入 - 狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時，系統會漸近穩定，而且在足夠長的時間後，系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。

輸入 - 狀態穩定性之所以重要，是因為此概念連接了輸入 - 輸出穩定性以及狀態空間法，這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入 - 狀態穩定性的標示方式是由 Eduardo Sontag 在 1989 年開始使用。



定義

考慮非時變常微分方程，其形式如下

　
:

其中 $u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}$ 是勒貝格測度有本質確界的外部輸入，且 $f$ 是利普希茨連續函數。這可以確保系統 (1) 有唯一絕對連續的解。

若要定義 ISS 以及其他相關的性質，需要引入以下的比較函數分類。令 ${\mathcal {K}}$ （K 類函數）為連續遞增函數 $\gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}$ ，且 $\gamma (0)=0$ 形成的集合，令 ${\mathcal {K}}_{\infty }$ 為無界函數 $\gamma \in {\mathcal {K}}$ ，再令 $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$ （KL 類函數）為若 $\beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}$ 在所有的 $t\geq 0$ 都成立，而且針對所有的 $r>0$ ， $\beta (r,\cdot )$ 連續，且嚴格遞減至 0。

系統 (1) 稱為在原點全域漸近穩定（0-GAS），若對應的零輸入系統

　
:

是全域李雅普諾夫穩定，也就是存在 $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$ 使得針對所有的初值 $x_{0}$ 以及任意時間 $t\geq 0$ ，以下有關 (WithoutInputs) 解的估計都有效＞：

　
:

系統 (1) 稱為輸入 - 狀態穩定性（ISS）若存在函數 $\gamma \in {\mathcal {K}}$ 且 $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$ 使得針對所有初值 $x_{0}$ ，所有可行的輸入 $u$ 以及任意時間 $t\geq 0$ ，以下的不等式都成立

　
:

上述不等式中的函數 $\gamma $ 稱為增益（gain）。

很明顯的，ISS 系統是 0-GAS 系統，也有有界輸入有界輸出穩定性（若令輸出等於狀態），不過 0-GAS 系統不一定是 ISS 系統。

也可以證明若在 $t\to \infty $ 時， $|u(t)|\to 0$ ，則在 $t\to \infty $ 時， $|x(t)|\to 0$ 。



輸入 - 狀態穩定性質的特點

為了要瞭解輸入 - 狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。

系統 (1) 為全域穩定（GS） ，若存在 $\gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}$ ，使得對於 $\forall u$ 、 $\forall t\geq 0$ 及 $\forall x_{0}$ ，下式都成立

　
:

系統 (1) 滿足漸近增益（AG）特性，若存在 $\gamma \in {\mathcal {K}}$ ，使得對於 $\forall x_{0}$ , $\forall u$ ，下式都成立

　
:

以下的描述都是等效的
：

1. (1) 有 ISS（輸入 - 狀態穩定性）
2. (1) 是 GS（全域穩定），且有 AG（漸近增益）特性
3. (1) 是 0-GAS（在原點全域漸近穩定），且有 AG（漸近增益）特性

在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入 - 狀態穩定性的特性。



ISS - 李亞普諾夫函數

ISS - 李亞普諾夫函數是驗證輸入 - 狀態穩定性時的重要工具。

光滑函數 $V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}$ 是系統 (1) 的 ISS - 李亞普諾夫函數，若 $\exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }$ , $\chi \in {\mathcal {K}}$ ，以及正定函數 $\alpha $ ，使得下式成立：

　
: : $\psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}$

以及 $\forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}$ ，下式成立：

　
: : $|x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),$

函數 $\chi $ 稱為李亞普諾夫增益（Lyapunov gain）。

若系統 (1) 沒有輸入（也就是 $u\equiv 0$ ），則最後一式可以簡化如下

　
: : $\nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,$

因此 $V$ 也是（一般定義的）李亞普諾夫函數。

E. Sontag 和 Y. Wang 得到的重要結論是系統 (1) 為 ISS，若且唯若存在光滑 ISS 李亞普諾夫函數。



例子

考慮一系統

　
: : ${\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.$

定義候選的 ISS - 李亞普諾夫函數 $V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ 如下 $V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .$

$$
{\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.
$$

選擇李亞普諾夫增益 $\chi $ 為

　
: : $\chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r$ .

可以得到在 $x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)$ 的條件下，下式成立

　
: : ${\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.$

可得 $V$ 是該系統的 ISS - 李亞普諾夫函數，李亞普諾夫增益為 $\chi $ 。



其他相關概念

積分輸入 - 狀態穩定性（iISS）

系統 (1) 為積分輸入 - 狀態穩定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函數 $\alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}$ 及 $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$ ，使得針對所有初值 $x_{0}$ ，所有可行的輸入 $u$ 及任意時間 $t\geq 0$ 下，以下不等式都會成立：

　
:

積分輸入 - 狀態穩定性（iISS）系統和 ISS 系統不同，若系統是 iISS 系統，在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如，在所有 $r\geq 0$ ，令 $\alpha (r)=\gamma (r)=r$ ，且令 $u\equiv c=const$ ，則估計 (3) 會變成以下的形式

　
: : $|x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,$

隨著 $t\to \infty $ ，等號右側會趨近無限大 $t\to \infty $ 。

局部輸入 - 狀態穩定性（LISS）

局部輸入 - 狀態穩定性也是一種輸入 - 狀態穩定性的特性。系統 (1) 為局部輸入 - 狀態穩定性（locally ISS、LISS）若存在常數 $\rho >0$ 、函數 $\gamma \in {\mathcal {K}}$ 及 $\beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}$ 使得：針對所有 $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho $ ，所有可行的輸入 $u:\|u\|_{\infty }\leq \rho $ 及任意時間 $t\geq 0$ ，下式都成立

　
:

可以觀察到 0-GAS 系統會有 LISS 系統的特性。

其他的穩定性

也有其他人提出和輸入 - 狀態穩定性有關的穩定性特性，例如增量輸入 - 狀態穩定性（incremental ISS）、輸入至輸出動態穩定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）、輸入至輸出實務穩定性（input-to-state practical stability、ISpS）、輸入至輸出穩定性（input-to-output stability、IOS）等。



時滯系統的 ISS

考慮非時變的時滯微分方程

　
:

其中 $x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})$ 是系統 (TDS) 在時間 $t$ 的狀態， $x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]$ 及 $f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}$ 需滿足特定假設，以確保系統 (TDS) 的解存在且唯一。

系統 (TDS) 為 ISS，若且唯若存在函數 $\beta \in {\mathcal {KL}}$ 及 $\gamma \in {\mathcal {K}}$ ，使得針對所有 $\xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})$ ，所有可行的輸入，在任意時間 $t\in \mathbb {R} _{+}$ 下，下式都成立

　
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在時滯系統的 ISS 理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過 ISS Lyapunov-Razumikhin 函數及 ISS Lyapunov-Krasovskii 泛函。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理。



其他類型系統的輸入 - 狀態穩定性

以非時變常微分方程為基礎的輸入 - 狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如時變系統、混合系統。近來也有人提出，將輸入 - 狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法。