在日常交流中，基數或量數是對應量詞的數，例如「一顆蘋果」中的「一」。與序數相對，序數是對應排列的數，例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。

在數學上，基數或勢，即集合中包含的元素的「個數」（參見勢的比較），是日常交流中基數的概念在數學上的精確化（並使之不再受限於有限情形）。有限集合的基數，其意義與日常用語中的「基數」相同，例如 $\{a,b,c\}$ 的基數是 3。無限集合的基數，其意義在於比較兩個集的大小，例如整數集和有理數集的基數相同；整數集的基數比實數集的小。



歷史

康托爾在 1874 年－1884 年引入最原始的集合論（現稱樸素集合論）時，首次引入基數概念。
他最先考慮的是集合 $\{1,2,3\}$ 和 $\{2,3,4\}$ ，它們並非_相同_，但有_相同的基數_。驟眼看來，這是顯而易見，但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素？

康托爾的答案，是透過所謂的一一對應，即把兩個集合的元素一對一的排起來 —— 若能做到，兩個集合的基數自然相同。這答案，容易理解但卻是革命性的，因為用相同的方法即可比較任意集合的大小，包括無窮集合。

最先被考慮的無窮集合是自然數集 $\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$ 及其無限子集。他把所有與 $\mathbb {N} $ 能一一對應的集為可數集。令康托爾意外的是，原來 $\mathbb {N} $ 的所有無限子集都能與 $\mathbb {N} $ 一一對應。他把 $\mathbb {N} $ 的基數稱為 $\aleph _{0}$ ，是最小的艾禮富數。

康托爾發現，原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是乎在 1874 年初，他嘗試證明是否所有無限集合均是可數，其後他得出了實數集不可數的結論。原先的證明用到了涉及區間套的複雜論證，而在他 1891 年的論文中，他以簡單而巧妙的對角論證法重新證明了這一結果。實數集的基數，記作 c，代表連續統。

接著康托爾構作一個比一個大的集合，得出一個比一個大的基數，而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論，需要一個新的語言描述，這就是康托爾發明集合論的主因。

康托爾隨後提出連續統假設：c 就是第二個超窮基數 $\aleph _{1}$ ，即継 $\aleph _{0}$ 之後最小的基數。現已知這假設是不能證明的，即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯上可行的公理化集合論。



動機

在非正式使用中，基數就是通常被稱為計數的東西。它們同一於開始於 $0$ 的自然數（就是 $0,1,2,\ldots $ ）。計數可以形式化地定義為有限基數，而無限基數隻出現在高等數學和邏輯中。

更正式地，一個非零的數可以用於兩個目的：描述一個集合的大小，或描述一個元素在序列中位置。對於有限集合和序列，可以輕易的看出著兩個概念是相符的，因為對於所有描述在序列中的一個位置的數，我們可以構造一個有正好大小的集合，比如 3 描述了 $c$ 在序列 $a,b,c,d,...$ 中的位置，並且我們可以構造有三個元素的集合 $\{a,b,c\}$ 。但是在處理無限集合的時候，在這兩個概念之間的區別是本質的 — 這兩個概念對於無限集合實際上是不同的。考慮位置的方面會引申出序數的概念，而大小則被這裡描述的基數所廣義化。

在基數的形式定義背後的直觀想法是，可以構造一個記號來指明集合的相對大小，而不需理會它有哪些種類的成員。對於有限集合這是容易的；只需簡單的數算一個集合的成員數目。為了比較更大集合的大小，得藉助更加巧妙的概念。

一個集合 $Y$ 至少等大小於（或稱大於等於）一個集合 $X$ ，如果有從 $X$ 到 $Y$ 的一個單射（一一映射）。一一映射對集合 $X$ 的每個元素確定了一個唯一的集合 $Y$ 的元素。通過例子就最易理解了；假設有集合 $X=\{1,2,3\}$ 和 $Y=\{a,b,c,d\}$ ，我們可以注意到有一個映射：

　
: $1\to a$

　
: $2\to b$

　
: $3\to c$

這是一對一的，使用上述的大小概念，我們因此總結出 $Y$ 有大於等於 $X$ 的勢。注意元素 $d$ 沒有元素映射到它，但這是允許的，因為我們只要求一一映射，而不必須是一對一併且完全的映射。這個概念的好處是它可以擴展到無限集合。

我們可以把這個概念擴展到一個類似於等式的關係。兩個集合 $X$ 和 $Y$ 被稱為有相同的 ' 勢'，如果存在 $X$ 和 $Y$ 之間的雙射。通過 Schroeder-Bernstein 定理，這等價於有從 $X$ 到 $Y$ 和從 $Y$ 到 $X$ 的兩個一一映射。我們接著記之為 $|X|=|Y|$ 。 $X$ 的基數自身經常被定義為有著 $|a|=|X|$ 的最小序數 $a$ 。這叫做馮・諾伊曼基數指派；為使這個定義有意義，必須證明所有集合都有同某個序數一樣的勢；這個陳述就是良序原理。然而即使不給集合的勢指派一個名字，討論集合之間相對的勢還是可以的。

一個經典例子是無限旅館悖論，也叫做希爾伯特旅館悖論。假設你是有無限個房間的旅館主人。旅館客滿，而又來了一個新客人。可以讓在房間 1 的客人轉移到房間 2，房間 2 的客人轉移到房間 3，以此類推，騰空房間 1 的方式安置這個新客人。我們可以明確的寫出這個映射的一個片段：

　
: $1\longleftrightarrow 2$

　
: $2\longleftrightarrow 3$

　
: $3\longleftrightarrow 4$

　
: ...

　
: $n\longleftrightarrow n+1$

　
: ...

在這種方式下我們可以看出集合 $\{1,2,3,...\}$ 和集合 $\{2,3,4,...\}$ 有相同的勢，因為已知這兩個集合之間存在雙射。這便給 "無限集合" 提供了一個合適的定義，即是與自身某個真子集有著相同的勢的任何集合；在上面的例子中 $\{2,3,4,...\}$ 是 $\{1,2,3,...\}$ 的真子集。

當我們考慮這些大對象的時候，我們還想看看計數次序的概念是否符合上述為無限集合定義的基數。事實上是不一致的；通過考慮上面的例子，我們可以看到如果有「比無限大一」的某個對象存在，它必須跟起初的無限集合有一樣的勢。這時候可以使用另一種稱為序數的形式概念，它是建基於計數並依次考慮每個數的想法上。而我們會發現，勢和序（ordinality）的概念對於無限的情況是有分歧的。

可以證明實數的勢大於剛才描述的自然數的勢。透過對角論證法可以一目瞭然；跟勢相關的經典問題（比如連續統假設）主要關注在某一對無限基數之間是否有別的基數。現時數學家已經在描述更大更大基數的性質。

因為基數是數學中如此常用的概念，有各種各樣的名字指涉它。勢相同有時也叫做等勢、均勢或等多（equipotence, equipollence, equinumerosity）。因此稱有相同勢的兩個集合為等勢的、均勢的或等多的（equipotent, equipollent, equinumerous）。



定義

首先，給出集合 $X$ 和 $Y$ ，我們稱 $X$ 的勢小於等於 $Y$ ，記作 $|X|\leq |Y|$ ，當且僅當存在由 $X$ 到 $Y$ 的單射；稱 $X$ 的勢與 $Y$ 相等，記作 $|X|=|Y|$ ， 當且僅當存在由 $X$ 到 $Y$ 的雙射（即一一對應）。

康托爾 - 伯恩斯坦 - 施洛德定理指出如果 $|X|\leq |Y|$ 及 $|Y|\leq |X|$ 則 $|X|=|Y|$ 。 

假設選擇公理，所有集合都可良序，且對於所有集合 $X$ 與 $Y$ ，有 $|X|\leq |Y|$ 或 $|Y|\leq |X|$ 。因此，我們可以定義序數，而
集合 $X$ 的基數則是與 $X$ 等勢的最小序數 $\alpha $ 。 

（若不接受選擇公理，我們也可對非良序集 $X$ 定義基數，就是所有與 $X$ 等勢的集的階中下確界。）

有限集的基數

自然數的一種定義是 $0=\{\},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\ldots ,N=\{0,1,\ldots ,N-1\}$ 。可以見到，與數 $N$ 等勢的集必有 $N$ 個元素。如集合 $\{2,3,5\}$ 的基數為 $3$ 。

以下是有限集的三個等價定義：它與某自然數等勢；它只有一個等勢的序數，就是它的基數；它沒有等勢的真子集。

無限集的基數

最小的無限集合是自然數集。 $\{1,2,3,4,\ldots ,n,\ldots \}$ 與 $\{2,4,6,8,\ldots ,2n,\ldots \}$ 基數相同，因為可以讓前一集合的 $n$ 與後一集合的 $2n$ 一一對應。從這個例子可以看出，對於一個無窮集合來說，它可以和它的一個真子集有相同的基數。

以下是無限集的四個等價定義：它不與任何自然數等勢；它有超過一個等勢的序數；它有至少一個真子集和它等勢；存在由自然數集到它的單射。



基數算術

我們可在基數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。

給出集合 $X$ 與 $Y$ ，定義 $X+Y=\{(x,0):x\in X\}\cup \{(y,1):y\in Y\}$ ，則基數和是

　
: $|X|+|Y|=|X+Y|$ 。

若 $X$ 與 $Y$ 不相交，則 $|X|+|Y|=|X\cup Y|$ 。

基數積是

　
: $|X||Y|=|X\times Y|$

其中 $X\times Y$ 是 $X$ 和 $Y$ 的笛卡兒積。

基數指數是

　
: $|X|^{|Y|}=|X^{Y}|$

其中 $X^{Y}$ 是所有由 $Y$ 到 $X$ 的函數的集合。

在有限集時，這些運算與自然數無異。一般地，它們亦有普通算術運算的性質：


* 加法和乘法是可交換的，即 $|X|+|Y|=|Y|+|X|$ 及 $|X||Y|=|Y||X|$

* 加法和乘法符合結合律， $(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)$ 及 $(|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)$

* 分配律，即 $(|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|$ 。

* $|X|^{|Y|+|Z|}=|X|^{|Y|}|X|^{|Z|}$

* $|X|^{|Y||Z|}=(|X|^{|Y|})^{|Z|}$

* $(|X||Y|)^{|Z|}=|X|^{|Z|}|Y|^{|Z|}$

無窮集合的加法及乘法（假設選擇公理）非常簡單。若 $X$ 與 $Y$ 皆非空而其中之一為無限集，則

　
: $|X|+|Y|=|X||Y|=\max\{|X|,|Y|\}$

注意 $2^{|X|}$ 是 $X$ 的冪集之基數。由對角論證法可知 $2^{|X|}>|X|$ ，是以並不存在最大的基數。事實上，基數的類是真類。

還有些關於指數的性質：

 
* $|X|^{0}=1$ （特別地， $0^{0}=1$ ）。

* $0^{|Y|}=0$ ，若 $Y$ 非空。

* $1^{|Y|}=1$ 。

* 若 $|X|\leq |Y|$ ，則 $|X|^{|Z|}\leq |Y|^{|Z|}$ 。

* 若 $|X|$ 和 $|Y|$ 俱有限且大於 1，而 $Z$ 是無窮集，則 $|X|^{|Z|}=|Y|^{|Z|}$ 。

* 若 X 是無窮而 $Y$ 是有限及非空，則 $|X|^{|Y|}=|X|$ 。



基數序列及連續統假設

對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是 $\aleph _{0}$ ，康托爾稱下一個為 $\aleph _{1}$ ，相類似的，還定義了如下一個序列： $\aleph _{0},\aleph _{1},\ldots ,\aleph _{n}\ldots $ 。

注意 $c=2^{\aleph _{0}}$ 。連續統假設猜想，就是 $c=\aleph _{1}$ 。

連續統假設是與一般集論公理（即 Zermelo-Fraenkel 公理系統加上選擇公理）是獨立的。

更一般的假設，即 $\aleph _{n+1}=2^{\aleph _{n}}$ 。

廣義連續統假設，就是對所有無窮基數 $\aleph $ ，都不存在介乎 $\aleph $ 與 $2^{\aleph }$ 之間的基數。



參考文獻



外部連結


* https://web.archive.org/web/20010528181608/http://logweb.terrashare.com/text/logic/infini.txt

* Infinite Ink: Cardinal Numbers（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）