環（Ring）是由任意集合 R 和定義於其上的兩種二元運算（記作「 $+$ 」和「 $\cdot $ 」，常被簡稱為加法和乘法，但與一般所說的實數加法和乘法不同）所構成的，符合一些性質（具體見下）的代數結構。

環的定義類似於交換群，只不過在原來「+」的基礎上又增添另一種運算「⋅」（注意我們這裡所說的「+」與「⋅」一般不是我們所熟知的四則運算加法和乘法）。在抽象代數中，研究環的分支為環論。



定義

 $R$ 為集合， $+:R\times R\to R$ 和 $\cdot :R\times R\to R$ 為定義於其上的二元運算（一種二變數函數）。以下依照二元運算的慣例，將運算結果 $+(a,\,b)$ 和 $\cdot (a,\,b)$ 分別簡記為 $a+b$ 和 $a\cdot b$ 。

 $(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ 被稱為環，若它滿足：

 1. $(R\,,+)$ 為交換群 ，即：
  
* 結合律：對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ 有 $(a+b)+c=a+(b+c)$
  
* 單位元素：存在 $i\in R$ ，對所有的 $r\in R$ 有 $i+r=r+i=r$ （可由上面的性質證明這樣的 $i$ 是唯一的， 這樣的 $i$ 稱為加法單位元素）
  
* 反元素：對所有的 $r\in R$ 存在 $r^{\prime }\in R$ 使 $r+r^{\prime }=r^{\prime }+r=0$ （可以由上面的性質證明這樣的 $r^{\prime }$ 是唯一的，通常簡記為 $r^{-1}$ 並稱為 $r$ 的加法反元素)
  
* 交換律：對所有的 $a,\,b\in R$ 有 $a+b=b+a$
2. $(R\,,\,\cdot )$ 為么半群，即：
  
* 結合律：對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ 有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
  
* 單位元素：存在一個單位元素 $e\in R$ 使得對於任意的 $a\in R$ 有 $a\cdot e=e\cdot a=a$
3. 乘法對於加法滿足分配律，即對所有的 $a,\,b,\,c\in R$ 有：
   
* $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
  
* $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

其中 $+$ 常會被暱稱為加法；類似的 $\cdot $ 會被暱稱為乘法，因為取 $R=\mathbb {R} $ （實數系）， $+$ 為普通的實數加法且 $\cdot $ 為普通的實數乘法的話， $(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ 顯然為環。而此時加法單位元素顯然為實數 $0$ ，所以有時會偷懶的將一般環的加法單位元素 $i$ 簡寫為 $0$ 。

所以慣例上仿造實數乘法把 $a\cdot b$ 簡寫為 $ab$ ；而且因為實數乘法優先於實數加法，所以也會規定 $a+bc$ 是 $a+(b\cdot c)$ 的簡寫。此外還會仿造實數減法，會把 $a+b^{-1}$ 簡寫為 $a-b$ 。

定義的分歧

在 1960 年代以前，多數抽象代數的書籍並不將乘法單位元素列入環的定義；有些不要求乘法單位元素的作者，會將包含乘法單位元素的環稱為「單位環」；反之，有些要求乘法單位元素的作者，會將不含乘法單位元素的環稱為「偽環」。



基本性質

 $(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ 為環，則對所有 $a,\,b\in R$ 有：

I. $a0=0a=0$

證明：

 1. $0=0+0$ （單位元素）
2. $a0=a(0+0)$ （式 1 等號兩邊於左側同乘 $a$ ）
3. $a(0+0)=a0+a0$ （分配律）
4. $a0+a0=a0$ （式 2, 式 3）
5. $a0+a0+{(a0)}^{-1}=a0+{(a0)}^{-1}$ （式 4 等號兩邊於右側加 ${(a0)}^{-1}$ ）
6. $a0=0$ （以反元素化簡式 5）

可調換 $a$ 和 $0$ 的順序， 仿上證明 $0a=0$ 。 $\Box $

II. $a^{-1}b=ab^{-1}=(ab)^{-1}$

證明：

 1. $a^{-1}b+ab=ab+a^{-1}b=(a+a^{-1})b=0b$ （加法交換律、分配律、加法反元素）
2. $0b=0=a^{-1}b+ab$ （上面的性質 I）

故 $a^{-1}b$ 的確是 $ab$ 的加法反元素，仿上可證明 $ab^{-1}$ 也是 $ab$ 的加法反元素。 $\Box $



環的相關概念

特殊的環

么環
: 若環 $R$ 中， $(R\,,\,\cdot )$ 構成么半群，即 $\exists 1\in R$ ，使得 $\forall a\in R$ ，有 $1\cdot a=a\cdot 1=a$ ，則稱 $R$ 為么環。此時么半群 $(R\,,\,\cdot )$ 的單位元素 $1$ ，亦稱為環 $R$ 的單位元素。

交換環
: 若環 $R$ 中， $(R\,,\,\cdot )$ 還滿足交換律，從而構成交換半群，即 $\forall a,\,b\in R$ ，有 $ab=ba$ ，則稱 $R$ 為交換環。

無零因子環
: 若 $R$ 中沒有非 $0$ 的零因子，則稱 $R$ 為無零因子環。


* 此定義等價於以下任何一條：
   
* $R\backslash \{0\}$ 對乘法形成半群；
  
* $R\backslash \{0\}$ 對乘法封閉；
  
* $R$ 中非 $0$ 元素的乘積非 $0$ ；

整環
: 無零因子的交換么環稱為整環。

例：整數環，多項式環

唯一分解環
: 若整環 R 中每個非零非可逆元素都能唯一分解，稱 R 是唯一分解環.

除環
: 若環 $R$ 是么環，且 $R\backslash \{0\}$ 對 $R$ 上的乘法形成一個群，即 $\forall a\in R\backslash \{0\}$ ， $\exists a^{-1}\in R\backslash \{0\}$ ，使得 $a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=1$ 。則稱 $R$ 為除環。


* 除環不一定是交換環。反例：四元數環。

* 交換的除環是體。

主理想環
: 每個理想都是主理想的整環稱為主理想環。

單環
: 若么環 R 中的極大理想是零理想，則稱 R 為單環。

商環

質環



例子


* 集環：非空集的集合 $R$ 構成一個環，若且唯若它滿足以下幾個條件中任何一個：
   
* $R$ 對集合的並和差運算封閉，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
  
* $R$ 對集合的交和對稱差運算封閉，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
  
* $R$ 對集合的交，差以及無交並運算封閉。

　
: 這樣得到的集環以交為乘法，對稱差為加法；以空集為零元素，並且由於∀E∈R，E∩E=E・E=E，因此它還是布林環。


* 整數環是一個典型的交換且含單位環。

* 有理數環，實數體，複數域都是交換的含單位元素環。

* 所有項的係數構成一個環 A 的多項式全體 A [X] 是一個環。稱為 A 上的多項式環。

* n 為正整數，所有 n×n 的實數矩陣構成一個環。



環的理想

考慮環 $(R\,,+\,,\,\cdot \,)$ ，依環的定義知 $(R\,,+)$ 是阿貝爾群。集合 $I\supseteq R$ ，考慮以下條件：

 1. $(I\,,+)$ 構成 $(R\,,+)$ 的子群。
2. $\forall i\in I\,,r\in R$ ，有 $i\cdot r\in I$ 。
3. $\forall i\in I\,,r\in R$ ，有 $r\cdot i\in I$ 。

若 $I$ 滿足條件 1、2 則稱 $I$ 是 $R$ 的右理想；若 $I$ 滿足條件 1、3 則稱 $I$ 是 $R$ 的左理想；若 $I$ 滿足條件 1、2、3，即 $I$ 既是 $R$ 的右理想，也是 $R$ 的左理想，則稱 $I$ 為 $R$ 的雙邊理想，簡稱理想。

示例


* 整數環的理想：整數環 $\mathbb {Z} $ 只有形如 $\{n\mathbb {Z} \}$ 的理想。

基本性質


* 在環中，（左／右／雙邊）理想的和與交仍然是（左／右／雙邊）理想。

* 在除環中，（左／右）理想只有平凡（左／右）理想。

* 對於環 R 的兩個理想 $A$ 、 $B$ ，記 $AB=\left\{\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}|a_{k}\in A,b_{k}\in B\right\}$ 。則由定義易知：
  1. 若 $A$ 是 $R$ 的左理想，則 $AB$ 是 $R$ 的左理想；
  2. 若 $B$ 是 $R$ 的右理想，則 $AB$ 是 $R$ 的右理想；
  3. 若 $A$ 是 $R$ 的左理想， $B$ 是 $R$ 的右理想，則 $AB$ 是 $R$ 的雙邊理想。

相關概念

真（左／右／雙邊）理想
: 若 $R$ 的（左／右／雙邊）理想 I 滿足： $I$ 是 $R$ 的真子集，稱 $I$ 為 $R$ 的真（左／右／雙邊）理想。

極大（左／右／雙邊）理想
: 環 $R$ 及其真（左／右／雙邊）理想 $I$ ，稱 $I$ 為 $R$ 的極大（左／右／雙邊）理想，若不存在 $R$ 的真（左／右／雙邊）理想 $J$ ，使得 $I$ 是 $J$ 的真子集。

* 若 $I$ 是極大（左／右）理想，又是雙邊理想，則 $I$ 是極大理想。

* 極大雙邊理想不一定是極大（左／右）理想。

生成理想
: 環 $R$ ， $A\subseteq R$ ，定義 $\langle A\rangle =RA+AR+RAR+ZA$ ，則易知：
 
* $\langle A\rangle $ 是環 $R$ 的理想，並且 $\langle A\rangle $ 是 $R$ 中所有包含子集 $A$ 的理想的交，即 $\langle A\rangle $ 是 $R$ 中包含子集 $A$ 的最小理想。

　
: 若 $\langle A\rangle $ 為由子集 $A$ 生成的理想，稱 $A$ 為 $\langle A\rangle $ 的生成元集。當 $A$ 是有限集時，稱 $\langle A\rangle $ 為 $R$ 的有限生成理想。


* 下面是生成理想的幾種特殊情況：
  1. 當 $R$ 是交換環時， $\langle A\rangle =RA+ZA$
  2. 當 $R$ 是么環時， $\langle A\rangle =RAR$
  3. 當 $R$ 是交換么環時， $\langle A\rangle =RA$

* 同一個理想，其生成元集可能不唯一。

主理想
: 由環 $R$ 中單個元素生成的理想稱為 $R$ 的主理想。即，設 $a\in R$ ，則 $\langle \{a\}\rangle $ 稱為 $R$ 的主理想。

質理想
: 真理想 $I$ 被稱為 $R$ 的質理想，若 $\forall $ 理想 $A,B\subseteq R,\ AB\subseteq I$ ，則 $A\subseteq I$ 或 $B\subseteq I$ 。

質環
: 若環 $R$ 的零理想是質理想，則稱 $R$ 是質環或質環。無零因子環是質環。在交換環 $R$ 中，真理想 $I$ 是質理想的充分且必要條件是： $R/I$ 是質環.

半質理想
: 環 $R$ 的真理想 $I$ ，若 $\forall $ 理想 $A$ ， $A^{2}\subseteq I\Rightarrow A\subseteq I$ ，則稱 $I$ 是環 $R$ 的半質理想。


* 半質理想是一類比質理想相對較弱條件的理想，因為質理想是半質理想，但半質理想未必是質理想。

　
: 
* 除環的零理想是極大理想。在有單位元素的環中，如果零理想是其極大理想，稱這種環是單環。除環是單環，域也是單環。反之則不盡然，即存在不是除環的單環。

* 定理 1：在整數環 $\mathbb {Z} $ 中，由 $p$ 生成的主理想是極大理想的充分必要條件是： $p$ 是質數。

* 定理 2：設 $R$ 是有單位元素 $1$ 的交換環。理想 $I$ 是 $R$ 的極大理想的充分且必要條件是：商環 $R/I$ 是域。

* 定理 3：設 $I$ 是環 $R$ 的左理想，則 $I$ 是 $R$ 的極大左理想的充分必要條件是對 R 的任意一個不含在 $I$ 中的左理想 J 都有 $I+J=R$ 。



有關環的其它概念


* 零因子 （zero divisor）：

　
: 設 $b$ 是環中的非零元素，如果 $a\cdot b=0$ ，稱 $a$ 為左零因子；類似地可以定義右零因子。左零因子和右零因子通稱零因子。