微分幾何中，一個微分流形上的聯絡的完整（英語：holonomy，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移動一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼幾何中列維 - 奇維塔聯絡的和樂（稱為黎曼和樂）。向量叢聯絡的和樂、嘉當聯絡的和樂，以及主叢聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯 - 辛格定理。

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由 Élie Cartan （1926）引入，以用於對稱空間的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952 年， 喬治・德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切叢可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡兒積。稍後，於 1953 年，馬塞爾・伯格 給出所有不可約和樂的分類。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。



定義

向量叢聯絡的和樂

設 _M_ 為光滑流形，_E_ 為其上的 _k_ 維向量叢，∇ 為 _E_ 上的聯絡。給定 _M_ 上一點 _x_ 和以 _x_ 為基點的分段光滑環圈 _γ_ : [0,1] → _M_, 該聯絡定義了一個平行移動映射 _P_γ : _Ex_ → _Ex_. 該映射是可逆線性映射，因此是一般線性群 GL (_Ex_) 的元素。∇ 以 _x_ 為基點的和樂群定義為

　
: $\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ 為 以}}\ \ x{\text{ 為 基 點 的 環 圈 }}\}.$

以 _x_ 為基點的限制和樂群是由可縮環圈 _γ_ 給出的子群 $\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )$ .

若 _M_ 連通，則不同基點 _x_ 的和樂群 僅相差 GL (_k_, R) 的共軛作用。更具體說，若 _γ_ 為 _M_ 中由 _x_ 到 _y_ 的路徑，則

　
: $\operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.$

選取 _Ex_ 的另一組基（即以另一種方式將 _Ex_ 視為與 Rk 等同）同樣會使和樂群變成 GL (_k_, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括：

 
* $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 是 GL (_k_, R) 的連通李子群。

* $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 是 $\operatorname {Hol} (\nabla )$ 的單位連通支。

* 存在自然的滿群同態 $\pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),$ 其中 $\pi _{1}(M)$ 是 _M_ 的基本群。該同態將同倫類 $[\gamma ]$ 映到陪集 $P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$

* 若 _M_ 單連通，則 $\operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).$

* ∇ 為平（即曲率恆零）若且唯若 $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )$ 為平凡群。

在物理學中，威爾森迴圈是 tr (_P_)（特徵標理論的跡）。

主叢聯絡的和樂

主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 _G_ 為李群，_P_ 為仿緊光滑流形 _M_ 上的主 _G_ 叢。設 _ω_ 為 _P_ 上的聯絡。給定 _M_ 中一點 _x_, 以 _x_ 為基點的分段光滑環圈 _γ_ : [0,1] → _M_, 以及 _x_ 纖維上一點 _p_, 該聯絡定義了唯一的_水平提升_ ${\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P$ 使得 ${\tilde {\gamma }}(0)=p.$ 水平提升的終點 ${\tilde {\gamma }}(1)$ 未必是 _p_, 因為其可為 _x_ 纖維上的另一點 _p_·_g_. 若兩點 _p_ 和 _q_ 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 _p_ ~ _q_. 如此，~ 是 _P_ 上的等價關係。

_ω_ 以 _p_ 為基點的和樂群定義為

　
: $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.$

若在定義中僅允許可縮環圈 _γ_ 的水平提升，則得到以 _p_ 為基點的受限和樂群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ . 其為和樂群 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的子群。

若 _M_ 和 _P_ 皆連通，則不同基點 _p_ 的和樂群僅在 _G_ 互為共軛。更具體說，若 _q_ 是另一個基點，則有唯一的 _g_ ∈ _G_ 使得 _q_ ~ _p_·_g_. 於是，

　
: $\operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.$

特別地，

　
: $\operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,$

再者，若 _p_ ~ _q_, 則 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).$ 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括：

 
* $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 是 _G_ 的連通李子群。

* $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 是 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的單位連通支。

* 存在自然的滿群同態 $\pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$

* 若 _M_ 單連通，則 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$

* ω 為平（即曲率恆零）若且唯若 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 為平凡群。

和樂叢

同上，設 _M_ 為連通仿緊流形，_P_ 為其上的主 _G_ 叢，_ω_ 為 _P_ 上的聯絡。設 _p_ ∈ _P_ 為主叢上的任意一點。以 _H_ (_p_) 表示 _P_ 中可與 _p_ 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 _H_ (_p_) 連同其到 _M_ 的投影也構成 _M_ 上的主叢，且具有結構群 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ （即 _H_ (_p_) 是主 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 叢）。 此主叢稱為該聯絡 _ω_ 經過 _p_ 的和樂叢。_ω_ 限制到 _H_ (_p_) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 _H_ (_p_) 不變。故 _H_ (_p_) 是該聯絡的約化主叢。此外，_H_ (_p_) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。

與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 _P_ 中等變。具體說，若 _q_ ∈ _P_ 是另一個基點，則有 _g_ ∈ _G_ 使得 _q_ ~ _p_ _g_（按假設，_M_ 是路連通的）。故 _H_ (_q_) = _H_ (_p_) _g_. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 _g_.

單延拓群

和樂叢 _H_ (_p_) 是主 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 叢，因此受限和樂群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ （作為全個和樂群的正規子群）也作用在 _H_ (_p_) 上。離散群 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 稱為聯絡的單延拓群。其作用在商叢 $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 上。存在滿同態 $\varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),$ 使得 $\varphi (\pi _{1}(M))$ 作用在 $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。

局域及無窮小和樂

若 π: _P_ → _M_ 為主叢，ω 為 _P_ 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 _M_ 的開集的纖維上。若 _U_ 為 _M_ 的連通開集，則將 ω 限制到 _U_ 上可得叢 π−1_U_ 的聯絡。該叢的和樂群記為 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U),$ 而受限和樂群則記為 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U),$ 其中 _p_ 為滿足 π(_p_) ∈ _U_ 的點。

若 _U_ ⊂ _V_ 為包含 π(_p_) 的兩個開集，則有包含關係

　
: $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).$

_p_ 點的局域和樂群定義為

　
: $\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U_{k}),$

其中 _U_k 為任意一族滿足 $\bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)$ 的遞降（即 $U_{k}\subset U_{k+1}\ \forall k$ ）連通開集。

局域和樂群有以下性質：

1. 其為受限和樂群 $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )$ 的連通李子群。
2. 每點 _p_ 都有鄰域 _V_ 使得 $\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).$ 局域和樂群僅取決於 _p_, 而非序列 _U_k 的選取。
3. 局域和樂群在結構群 _G_ 的作用下等變，即對任意 _g_ ∈ _G_, $\operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} (g^{-1})\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega ).$ （注意由性質 1, 局域和樂群是 _G_ 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：


* 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即 $\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).$



詞源

英文 Holonomy 與「全純」（Holomorphic）相似，"Holomorphic" 一詞由柯西的兩個學生夏爾・布里奧（1817–1882）和讓 - 克勞迪・波桂（1819–1895）引入，來自希臘文ὅλος（_holos_）和 μορφή（_morphē_），意思分別是「全」、「形態」。

"Holonomy"與"holomorphic" 的前半（_holos_）一樣。至於後半：

> 
> 非常難在網絡上找出 holonomic（或 holonomy）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰・康威）：
> 
> > 我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （"holonomic"）系統，所以它的意思「整體法則」（"entire-law"）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom" 詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（counting）。它與我們的詞數字 "number" 來自同一個印歐詞根。
> > 
> > 
> 
> ——S. Golwala
> 
> 

參見 νόμος（_nomos_）和 - nomy。



安布羅斯－辛格定理

安布羅斯－辛格定理（得名自 Warren Ambrose and Isadore M. Singer （1953））描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射聯絡、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。

引入更多細節，若 $\sigma :[0,1]\times [0,1]\to M$ 是 $M$ 中某曲面的坐標表示，則向量 $V$ 可以沿 $\sigma $ 的邊界平行移動，由原點出發，先沿 $(x,0)$ ，再沿 $(1,y)$ ，再 $(x,1)$ （ $x$ 反方向，即由 $1$ 遞減至 $0$ ），最後 $(0,y)$ ，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量 $V$ 沿該圈平行移動的結果，相當於 $\sigma $ 邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在 $V$ 上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應 $\sigma $ 坐標中的區域 $[0,x]\times [0,y]$ ，而 $x,y$ 趨向於 $0$ ），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於 $x=y=0$ 處的導數：

　
: ${\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V$

其中 $R$ 為曲率張量。所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之， $R(X,Y)$ 是 $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的李代數的元素。

一般來說，考慮結構群為 $G$ 的主叢 $P\to M$ 某聯絡的和樂。以 ${\mathfrak {g}}$ 表示 $G$ 的李代數，則聯絡的曲率形式是 $P$ 上的 ${\mathfrak {g}}$ 值 2 - 形式 $\Omega $ 。安布羅斯－辛格定理斷言：

>  $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的李代數，是由 ${\mathfrak {g}}$ 中所有形如 $\Omega _{q}(X,Y)$ 的元素線性張成，其中 $q$ 取遍所有可以用水平曲線 $(q\sim p)$ 與 $p$ 連接的點，而 $X,Y$ 皆是 $q$ 處的水平切向量。
> 
> 

亦可用和樂叢的說法，複述如下：

>  $\operatorname {Hol} _{p}(\omega )$ 的李代數，是 ${\mathfrak {g}}$ 中形如 $\Omega _{q}(X,Y)$ 的元素張成的線性子空間，其中 $q$ 取遍 $H(p)$ 的元素，而 $X,Y$ 取遍 $q$ 處的水平向量。
> 
> 



黎曼和樂

可約和樂與德拉姆分解

設 $x\in M$ 為任意一點，則和樂群 $\mathrm {Hol} (M)$ 作用在切空間 $T_{x}M$ 上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將 $T_{x}M$ 分解成正交子空間的直和

　
: $T_{x}M=T'_{x}M\oplus T''_{x}M,$

而兩個子空間皆在 $\mathrm {Hol} (M)$ 作用下不變。此時亦稱 $M$ 可約。

設 $M$ 為可約流形。上式說明，在每一點 $x$ 處，切空間可以約化分解成 $T'_{x}M$ 和 $T''_{x}M$ ，所以當 $x$ 變動時，就定義出向量叢 $T'M$ 和 $T''M$ ，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的積分流形皆為完全測地子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察 $M$ ，是笛卡爾積 $M'\times M''$ 。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：

> 設 $M$ 為單連通黎曼流形，又設在和樂群的作用下， $TM=T^{(0)}M\oplus T^{(1)}M\oplus \cdots \oplus T^{(k)}M$ 為切叢的完全約化分解，而和樂群在 $T^{(0)}M$ 上的作用平凡（恆等映射），則 $M$ 局部等距同構於乘積
> 
> 　
> : $V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},$
> 
> 其中 $V_{0}$ 是歐氏開集，而每個 $V_{i}$ 是 $T^{(i)}M$ 的積分流形。更甚者， $\mathrm {Hol} (M)$ 是 $\mathrm {Hol} (M_{i})$ 的直積（ $M_{i}$ 是 $T^{(i)}$ 過某點的極大積分流形）。
> 
> 

若同時假設 $M$ 測地完備（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各 $M_{i}$ 本身也是測地完備流形。

伯格分類

1955 年，馬塞爾・伯格將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地黎曼對稱）、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下：

1965 年，愛德蒙・博南及 Vivian Yoh Kraines 同時研究和樂群為 $\mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)$ 的流形，構造出其平行 4 形式。

愛德蒙・博南於 1966 年最早引入和樂群為 $G_{2}$ 或 $\mathrm {Spin} (7)$ 的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中，未排除 $\mathrm {Spin} (9)$ （作為 $SO(16)$ 的子群）。後來，迪米特里・阿列克謝耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，與布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與凱萊平面 $F_{4}/\mathrm {Spin} (9)$ 局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見 $G_{2}$ 流形和 $\mathrm {Spin} (7)$ 流形。

注意 $\mathrm {Sp} (n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)$ ，故超凱勒流形必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凱勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯・奧爾莫斯（Carlos E. Olmos）於 2005 年給出。第一步要證，若黎曼流形並非局部對稱空間，而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是 $\mathrm {Spin} (9)$ （作用於 $\mathbb {R} ^{16}$ ），以及 $U(1)\cdot \mathrm {Sp} (m)$ （作用於 $\mathbb {R} ^{4m}$ ）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的凱萊射影平面）的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：

但是，標 $(*)$ 的兩種和樂群（分裂 $\mathrm {Spin} (9)$ 及複化 $\mathrm {Spin} (9)$ ），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群 $SO(n,\mathbb {C} ),G_{2}(\mathbb {C} ),\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )$ 三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為 $SO(n,\mathbb {H} )$ 子群的流形，R. McLean 證明其為局部平。

對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間 $G/H$ 同構，其局部和樂群同構於 $H$ ，經已分類完畢。

最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射聯絡的流形的可能和樂群，見下節。

特殊和樂及旋量

一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），尤其有以下各項命題成立：

 
* $\mathrm {Hol} (\omega )\subseteq U(n)$ ，當且僅當 $M$ 上存在平行的射影純旋量場。

* 若 $M$ 為旋量流形，則 $\mathrm {Hol} (\omega )\subseteq SU(n)$ ，當且僅當 $M$ 具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到 $SU(n)$ 的典範歸約。

* 若 $M$ 是七維旋量流形，則 $M$ 具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是 $G_{2}$ 的子群。

* 若 $M$ 為八維旋量流形，則 $M$ 具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是 $\mathrm {Spin} (7)$ 的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理論、殆複流形一同研究。

應用

弦論

具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超對稱。較重要的緊化是在具 $SU(2)$ 或 $SU(3)$ 和樂的卡拉比–丘流形上，以及 $G_{2}$ 流形上。

機器學習

在機器學習，尤其流形學習方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量擴散映射），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（英語：Geometric Manifold Component Estimator，簡寫 GeoManCEr「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。



仿射和樂

仿射和樂群（英語：affine holonomy groups），是無撓仿射聯絡的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（英語：non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於非局部對稱的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（英語：Berger's first criterion）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表，其後證實並未齊全。羅伯特・布萊恩特（1991）和 Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（exotic holonomies）。努力搜索例子之後，最終由 Merkulov 和 Schwachhöfer（1999 年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000 年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和埃爾米特對稱空間、四元數凱勒對稱空間之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer 分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於 Schwachhöfer（2001）。

設 $V$ 為有限維複向量空間， $H\subseteq \mathrm {Aut} (V)$ 為不可約半單複連通李子群，又設 $K\subseteq H$ 為極大緊子群。

1. 若有不可約埃爾米特對稱空間形如 $G/(U(1)\cdot K)$ ，則 $H$ 和 $\mathbb {C} ^{*}\cdot H$ 兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中 $V$ 為 $K$ 的切表示。
2. 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如 $G/(\mathrm {Sp} (1)\cdot K)$ ，則 $H$ 為非對稱不可約仿射和樂群，而當 $\dim V=4$ 時， $\mathbb {C} ^{*}\cdot H$ 亦然。此時， $\mathrm {Sp} (1)\cdot K$ 的複化切表示是 $\mathbb {C} ^{2}\otimes V$ ，而 $H$ 保 $V$ 上某個複辛形式。

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：

　
: ${\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2n}\right),\\G_{2}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{7}\right),\\\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{8}\right).\end{aligned}}$

利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：

　
: ${\begin{aligned}Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(m,\mathbf {C} )\cdot SL(n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{m}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{16}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot E_{6}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{27}\right),\end{aligned}}$

其中 $Z_{\mathbb {C} }$ 可取平凡群，亦可取為 $\mathbb {C} ^{*}$ 。

同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：

　
: ${\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\(Z_{\mathbb {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(2,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbb {C} ^{2}\right),\\\mathrm {Sp} (6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{14}\right),\\SL(6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{3}\mathbb {C} ^{6}\right),\\\mathrm {Spin} (12,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{32}\right),\\E_{7}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{56}\right).\\\end{aligned}}$

（第二行中， $Z_{\mathbb {C} }$ 必須取為平凡群，除非 $n=2$ ，此時可取為 $\mathbb {C} ^{*}$ 。）

從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為預齊性向量空間。但是，未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。



參見


* A-B 效應



腳註



參考文獻


* Agricola, Ilka. The Srni lectures on non-integrable geometries with torsion [Srní 講座：論有撓不可積幾何]. Arch. Math. 2006, 42: 5–84. arXiv:math/0606705  （英語）.

* Ambrose, Warren; Singer, Isadore. A theorem on holonomy [關於和樂的定理]. Transactions of the American Mathematical Society. 1953, 75 (3): 428–443. JSTOR 1990721. doi:10.2307/1990721 （英語）.

* Baum, H.; Friedrich, Th.; Grunewald, R.; Kath, I. Twistors and Killing spinors on Riemannian manifolds [黎曼流形上的扭量與基靈旋量]. B.G. Teubner. 1991 （英語）.

* Berger, Marcel. Sur les groupes d'holonomie homogènes des variétés a connexion affines et des variétés riemanniennes [論仿射聯絡流形與黎曼流形的齊性和樂群]. Bull. Soc. Math. France. 1953, 83: 279–330 [2021-10-12]. MR 0079806. doi:10.24033/bsmf.1464. （原始內容存檔於 2022-06-16） （法語）.

* Besse, Arthur L. Einstein manifolds [愛因斯坦流形]. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [數學與相關領域的結果（3）] 10. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1987: xii+510. ISBN 978-3-540-15279-8 （英語）.

* Bonan, Edmond. Structure presque quaternale sur une variété différentiable [微分流形上的幾乎四元結構]. C. R. Acad. Sci. Paris. 1965, 261: 5445–5448 （法語）.

* Bonan, Edmond. Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin (7) [論有 G2 或 Spin (7) 和樂群的黎曼流形]. C. R. Acad. Sci. Paris. 1966, 320: 127–129 （法語）.

* Borel, Armand; Lichnerowicz, André. Groupes d'holonomie des variétés riemanniennes [黎曼流形的和樂群]. Les Comptes rendus de l'Académie des sciences. 1952, 234: 1835–1837. MR 0048133 （法語）.

* Bryant, Robert L. Metrics with exceptional holonomy [有例外和樂的度量]. Annals of Mathematics. 1987, 126 (3): 525–576. JSTOR 1971360. doi:10.2307/1971360 （英語）.

* Bryant, Robert L. Two exotic holonomies in dimension four, path geometries, and twistor theory [兩個四維的特異和樂、路徑幾何、扭量論]. Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1991, 53: 33–88. ISBN 9780821814925. doi:10.1090/pspum/053/1141197 （英語）.

* Bryant, Robert L. Recent Advances in the Theory of Holonomy [和樂論的近期進展]. Astérisque. Séminaire Bourbaki 1998–1999. 2000, 266: 351–374. arXiv:math/9910059  （英語）.

* Cartan, Élie. Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann [論一類特別的黎曼空間]. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1926, 54: 214–264. ISSN 0037-9484. MR 1504900. doi:10.24033/bsmf.1105 （法語）.

* Cartan, Élie. Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann [論一類特別的黎曼空間]. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1927, 55: 114–134. ISSN 0037-9484. doi:10.24033/bsmf.1113 （法語）.

* Chi, Quo-Shin; Merkulov, Sergey A.; Schwachhöfer, Lorenz J. On the Incompleteness of Berger's List of Holonomy Representations [論伯格和樂表示列表不齊全之事]. Invent. Math. 1996, 126 (2): 391–411. Bibcode:1996InMat.126..391C. arXiv:dg-da/9508014 . doi:10.1007/s002220050104 （英語）.

* Golwala, S. Lecture Notes on Classical Mechanics for Physics 106ab [物理 106ab 的古典力學講義] (PDF). 2007 [2020-01-24]. （原始內容 (PDF) 存檔於 2013-10-21） （英語）.

* Joyce, D. Compact Manifolds with Special Holonomy [具特別和樂的緊流形]. Oxford University Press. 2000. ISBN 978-0-19-850601-0 （英語）.

* Kobayashi, S.; Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 & 2 [微分幾何基礎，卷 1 和 2] New. Wiley-Interscience. 19631996. ISBN 978-0-471-15733-5 （英語）.

* Kraines, Vivian Yoh. Topology of quaternionic manifolds [四元數流形的拓撲]. Bull. Amer. Math. Soc. 1965,. 71,3, 1 (3): 526–527. doi:10.1090/s0002-9904-1965-11316-7 （英語）.

* Lawson, H. B.; Michelsohn, M-L. Spin Geometry [Spin 幾何]. Princeton University Press. 1989. ISBN 978-0-691-08542-5 （英語）.

* Lichnerowicz, André. Global Theory of Connections and Holonomy Groups [聯絡與和樂群的全局理論] 1st. Leiden: Noordhof. 1976 （英語）.

* Markushevich, A.I. Silverman, Richard A. , 編. Theory of functions of a Complex Variable [單複變函數論] 2nd. New York: American Mathematical Society. 2005: 112 [1977] [2020-01-24]. ISBN978-0-8218-3780-1. （原始內容存檔於 2012-11-13） （英語）.

* Merkulov, Sergei A.; Schwachhöfer, Lorenz J. Classification of irreducible holonomies of torsion-free affine connections [無撓仿射聯絡的不可約和樂分類]. Annals of Mathematics. 1999, 150 (1): 77–149. JSTOR 121098. arXiv:math/9907206 . doi:10.2307/121098. 及其補遺 Addendum. Ann. of Math. 1999, 150 (3): 1177–1179. JSTOR 121067. arXiv:math/9911266 . doi:10.2307/121067.

* Olmos, C. A geometric proof of the Berger Holonomy Theorem [伯格和樂定理的幾何證明]. Annals of Mathematics. 2005, 161 (1): 579–588. doi:10.4007/annals.2005.161.579 （英語）.

* Sharpe, Richard W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program [微分幾何：克萊因愛爾蘭根綱領的嘉當推廣]. New York: Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-94732-7. MR 1453120 （英語）.

* Schwachhöfer, Lorenz J. Connections with irreducible holonomy representations [具不可約和樂表示的聯絡]. Advances in Mathematics. 2001, 160 (1): 1–80. doi:10.1006/aima.2000.1973 （英語）.

* Simons, James. On the transitivity of holonomy systems [論和樂系的遞移性]. Annals of Mathematics. 1962, 76 (2): 213–234. JSTOR 1970273. MR 0148010. doi:10.2307/1970273 （英語）.

* Spivak, Michael. A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II [微分幾何綜論・卷二]. Houston, Texas: Publish or Perish. 1999. ISBN 978-0-914098-71-3 （英語）.

* Sternberg, S. Lectures on differential geometry [微分幾何講義]. New York: Chelsea. 1964. ISBN 978-0-8284-0316-0 （英語）.