在數學裡的範疇論中，極限（英語：Limit）的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。

極限分為極限與餘極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表：

本條目用語取歸納極限與射影極限。



定義

一範疇 _C_ 中的極限及上極限可用 _C_ 中的圖示來定義。形式上，_C_ 中類型 _J_ 的圖示是指一個由 _J_ 映射至 _C_ 的函子：

　
: _F_ : _J_ → _C_.

範疇 _J_ 稱之為「索引範疇」，圖示 _F_ 可想做是以 _J_ 索引 _C_ 內的物件及態射。_J_ 實際的物件及態射為何並不重要，關鍵在於之間的互動。

通常，最感興趣的情況是當類型 J 為小範疇或有限範疇之時，此類圖示分別被稱為「小圖示」及「有限圖示」。

極限

設 _F_ : _J_ → _C_ 為一個在範疇 _C_ 中類型 _J_ 的圖示。一個對應於 _F_ 的「錐體」是指 _C_ 中的一物件 _N_ ，具有可以 _J_ 內之物件 _X_ 索引的態射族 ψX : _N_ → _F_(_X_)，使得對每個 _J_ 內的態射 _f_ : _X_ → _Y_，均有 _F_(_f_) o ψX = ψY。

圖示 _F_ : _J_ → _C_ 的極限是一個對應於 _F_ 的錐體 (_L_, φ)，使得對所有其他對應於 _F_ 之錐體 (_N_, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 _u_ : _N_ → _L_，使得對所有 _J_ 中的 _X_，φX o _u_ = ψX。

可以說，錐體 (_N_, ψ) 能被唯一的因子 _u_ 分解成錐體 (_L_, φ)。此一態射 _u_ 有時稱為「中介態射」。

極限亦稱之為「泛錐體」，因為其所具有之泛性質（詳見下文）。如同每個泛性質一般，上述定義敘述了一個有關一般性的對稱狀態：極限物件 _L_ 夠一般，能讓所有其他錐體分解；另一方面，_L_ 也必須夠特殊，每個錐體都只可能有「一個」因子。

極限也可視為是在對應於 _F_ 的錐體範疇內的終對象。

圖示可能不存在極限；但若一個圖示存在極限，則此一極限一定是唯一的：在同構下是唯一的。

上極限

極限及錐體的對偶概念是上極限及上錐體。雖然可直接將上述定義的所有態射反轉，以得到上極限及上錐體之定義，但下文仍將明確敘明之：

圖示 _F_ : _J_ → _C_ 的「上錐體是指 _C_ 中的一物件 _N_，具有可以每個 _J_ 中的物件 _X_ 索引的態射族

　
: ψX : _F_(_X_) → _N_

使得對每個 _J_ 內的態射 _f_ : _X_ → _Y_，均有 ψY o _F_(_f_)= ψX。

圖示 _F_ : _J_ → _C_ 的上極限是 _F_ 的上錐體 (_L_, $\phi $ )，使得對所有其他對應於 _F_ 的上錐體 (_N_, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 _u_ : _L_ → _N_，使得對所有 _J_ 中的 _X_，_u_ o $\phi $ X = ψX。

上極限也稱為「泛上錐體」，也可視為是在對應於 _F_ 的上錐體範疇內的始對象。

如同極限一般，若圖示 _F_ 存在上極限，則此上極限在同構下是唯一的。

歸納系統與射影系統

以下固定一個範疇 ${\mathcal {C}}$ ，並探討其中的極限。為避免集合的悖論，我們將固定一個宇宙 ${\mathcal {U}}$ ，並假定 ${\mathcal {C}}$ 是 ${\mathcal {U}}$ - 範疇，即：對任意兩個對象 $X,Y$ ，態射集 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 同構於 ${\mathcal {U}}$ 裡的某個集合。 $\mathbf {Set} $ 表所有 ${\mathcal {U}}$ 裡的集合構成的範疇。

設 $I$ 為對 ${\mathcal {U}}$ 的一個小範疇，所謂歸納系統（或稱 I - 圖）係指一個函子 $\alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}$ ，射影系統則指一函子 $\beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}$ 。

形象地說，歸納系統不外是給定 ${\mathcal {C}}$ 中一族對象 $\{X_{i}:i\in I\}$ ，對每個態射 $i\rightarrow j$ 都有 ${\mathcal {C}}$ 中對應的態射 $X_{i}\rightarrow X_{j}$ ，且此對應在態射的合成下不變。射影系統對應的態射則反向： $X_{i}\leftarrow X_{j}$ 。

固定一對象 $X\in {\mathcal {C}}$ ，對任意歸納系統 α 或射影系統 β，可定義從 $I^{\mathrm {op} }$ 到 $\mathbf {Set} $ 的函子

　
: $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(\alpha ,X):i\mapsto \mathrm {Hom} (\alpha (i),X)$

　
: $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,\beta ):i\mapsto \mathrm {Hom} (X,\beta (i))$

我們將遵循可表函子的哲學，從集合的射影極限出發。暫設 ${\mathcal {C}}=\mathbf {Set} $ ， $\mathbf {Set} $ 上的歸納系統不外是 $I$ 上的預層。給定一個歸納系統 β，定義：

　
: $\varprojlim \beta :=\{(x_{i})\in \prod _{i\in I}\beta (i):\forall i,j\in I,s\in \mathrm {Hom} (i,j)\;\beta (s)(x_{j})=x_{i}\}$

　
: （注意：若 $I$ 是空範疇，對應的射影極限是單元素集合。）

可手工驗證下述自然同構：

　
: $\mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\varprojlim \beta ){\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\varprojlim \mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\beta )$



若干例子

始對象與終對象

令 $I$ 為空範疇，此時的歸納極限與射影極限（若存在）便分別滿足泛性質

　
: $\forall X\in {\mathcal {C}},|\mathrm {Hom} (X,\varprojlim \emptyset )|=|\mathrm {Hom} (\varinjlim \emptyset ,X)|=1$

這不外就是 ${\mathcal {C}}$ 裡的始對象與終對象。

纖維積與纖維餘積

令 $I$ 為離散範疇（即：其間只有恆等態射），此時歸納及射影系統不外只是一族 ${\mathcal {C}}$ 的對象 $\{X_{i}:i\in I\}$ ，對應的歸納極限及射影極限稱作餘積（又稱上積）與積。

令 $I$ 為範疇 $\bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet $ ；設 $\alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}$ 對應於 $Y_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longleftarrow }}X{\stackrel {f_{2}}{\longrightarrow }}Y_{2}$ 。若其歸納極限存在，稱之 $Y_{1},Y_{2}$ 對 $X$ 的纖維餘積，寫作 $Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}$ 。

對偶地看，對於 $\beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}$ ，對應於 $X_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longrightarrow }}Y{\stackrel {f_{2}}{\longleftarrow }}X_{2}$ ，若其射影極限存在，稱之 $X_{1},X_{2}$ 對 $Y$ 的纖維積，寫作 $X_{1}\times _{Y}X_{2}$ 。

纖維積與纖維餘積可視為「相對」版本的積與餘積。若存在終對象（或始對象），則積（或餘積）可視為對該對象的纖維積（或纖維餘積）。

核與上核

核（kernel）與餘核（cokernel，又譯上核），有時也稱等化子（equalizer）與餘等化子（coequalizer）。考慮對應到 $X_{0}{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}X_{1}$ 的歸納或射影系統，此時的歸納極限 $\mathrm {Coker} (f,g)$ 稱作上核，射影極限 $\mathrm {Ker} (f,g)$ 稱作核。它們的泛性質圖解如下：

　
:

在加法範疇中僅須考慮 $g=0$ 的狀況，上述概念遂歸結為同調代數所探討的的核與餘核。



性質

極限之交換

設 $I,J$ 為小範疇， $\alpha :I\times J\rightarrow {\mathcal {C}}$ 為歸納系統，則有自然同構

　
: $\varinjlim _{i,j}\alpha (i,j)=\varinjlim _{i}\varinjlim _{j}\alpha (i,j)=\varinjlim _{j}\varinjlim _{i}\alpha (i,j)$

將箭頭反向，對射影系統 $\beta :(I\times J)^{\mathrm {op} }=I^{\mathrm {op} }\times J^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}$ 亦有自然同構

　
: $\varprojlim _{i,j}\beta (i,j)=\varprojlim _{i}\varprojlim _{j}\beta (i,j)=\varprojlim _{j}\varprojlim _{i}\beta (i,j)$

歸納極限與射影極限通常不交換，一個格外有用的結果是：若 $I$ 是濾通範疇，則 $\varinjlim _{I}$ 與任意 $\varprojlim _{J}$ 交換。

完備性

若一個範疇內存在任意的（小）射影極限，則稱之完備範疇；完備的充要條件是存在任意的積與核。

將箭頭反向，遂得到上完備範疇的定義及其充要條件。

正合函子

考慮一個函子 $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C'}}$ 。


* 若 ${\mathcal {C}}$ 裡存在任意的有限射影極限，且 $F$ 與有限射影極限交換，則稱 $F$ 為左正合。

* 若 ${\mathcal {C}}$ 裡存在任意的有限歸納極限，且 $F$ 與有限歸納極限交換，則稱 $F$ 為右正合。

* 若上述條件同時被滿足，則稱 $F$ 為正合。

在阿貝爾範疇中，上述定義回歸到同調代數中的定義。

根據極限的泛性質， $\mathrm {Hom} (-,-)$ 函子無論對哪個變數都是左正合的。

設 $(F,G)$ 是一對伴隨函子。若 ${\mathcal {C}}$ 存在任意有限歸納極限，則 $F$ 右正合；若存在任意有限射影極限， $G$ 左正合。此法可建立許多函子的正合性。



具體實例

集合論


* 定義中已構造集合的（小）射影極限。對於任意一個小範疇 $I$ 及歸納系統 $\alpha :I\rightarrow \mathbf {Set} $ ，其歸納極限亦存在，定義為下述商集：

　
: $\varinjlim \alpha :={\dfrac {\coprod _{i\in I}\alpha (i)}{(\exists i_{1}\rightarrow \cdots \rightarrow i_{n},x\in \alpha (i_{1})\mapsto \cdots \mapsto y\in \alpha (i_{n}))\Rightarrow (x\sim y)}}$


* 兩個集合的纖維積與上積為

　
: $Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}=Y_{1}\sqcup Y_{2}/\{f_{1}(y_{1})=f_{2}(y_{2})\Rightarrow x_{1}\sim x_{2}~\}$

　
: $X_{1}\times _{Y}X_{2}=\{(x_{1},x_{2})\in X_{1}\times X_{2}:f(x_{1})=f(x_{2})\}$


* 設 $f,g:X_{0}\rightarrow X_{1}$ ，則

　
: $\mathrm {Ker} (f,g)=\{x_{0}\in X_{0}:f(x_{0})=g(x_{0})\}$ ，這是「等化」一詞的來由。

　
: $\mathrm {Coker} (f,g)=X_{1}/\{\forall x_{0}\in X_{0},f(x_{0})\sim g(x_{0})\}$

 
* $\mathbf {Set} $ 是完備且上完備的。

拓撲空間

拓撲空間範疇 $\mathbf {Top} $ 也是完備且上完備的。各種極限構造與集合相同，惟須安上適合的商拓撲或子空間的誘導拓撲。

特別是可以構造一族無窮多個拓撲空間的極限及逆極限，此時相應的拓撲稱作始拓撲或終拓撲。此類構造在泛函分析及同倫理論中特別有用。

一個拓撲空間 $X$ 滿足豪斯多夫性質的充要條件是 $p_{1},p_{2}:X\times X\rightarrow X$ 的核 $\Delta :X\rightarrow X\times X$ 是閉浸入，將此性質推廣到概形上，則得到分離概形。

概形

概形範疇 $\mathbf {Sch} $ （或相對版本 $\mathbf {Sch} _{/S}$ ）有終對象 $\mathrm {Spec} \mathbb {Z} $ （或 $S$ ），並存在有限的纖維積。

抽象代數

阿貝爾群範疇 $\mathbf {Ab} $ 或一個環 $R$ 上的模範疇 $\mathbf {Mod} _{R}$ 都是完備且上完備的。函子的正合性對應到交換代數裡的正合性概念。

射影極限的一個典型例子是 p 進整數： $\mathbb {Z} _{p}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} $ 。



文獻


* Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, _Categories and Sheaves_, Springer. ISBN 3540279490



外部連結


* Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira