zaibd/wkpdtw huggingface dataset:
成績平均績點（英語：Grade Point Average, GPA），是大多數大學及高等教育院校所採用的一種評估學生成績的制度，同時也有少量中學採用這種制度。計算方法為把學科所得到的評級，換算成為一個績點，再按照各學科所佔學分比例加權所得的數字。具體算法因國家、地區及學校的不同，形成不同差異。



分級

最常見的成績平均績點系統為四分制：A 為 4 分；B 為 3 分；C 為 2 分；D 為 1 分；F 為 0 分，如果有 + 號加 0.3 分（例如 B + 即 3.3 分），有 - 號則減 0.3 分（例如 B - 即 2.7 分）。通常每科最高分為 4 分，但部份院校會設有 A+，即最高分為 4.3 分。而個別院校的計算方法也可能有少許差異：如加州大學聖地牙哥分校，設有 A + 等級，但其績點仍按 4.0 計算（不同於大部分大學的 4.3）。對於榮譽學士學位的頒授，GPA 會被作為學生所獲榮譽等級的學習成績參考，但部分院校對於一級榮譽的頒授會有附加要求。



標準計算方法

標準計算方法是將大學成績的加權平均數乘以 4，再除以 100。比較常見的方法還有把各科成績按等級乘以學分求和再以總學分除之。



不同學校的計分方法

 臺灣

國立臺灣大學

國立臺灣師範大學

國立臺灣科技大學

國立東華大學

 香港


* 香港理工大學在 2020/2021 學年起使用新的計算方法，上表括號內為舊有計算方法。

* 大學旗下的專上學院亦跟從其所屬大學的 GPA 計法，如香港專上學院跟隨香港理工大學。

美國大學（四分制）

美國高中及中學（四分制）

＊註：各州高中有不同算法，可能有所偏差。



參見


* 拉丁文學位榮譽
平均動脈壓（Mean arterial pressure，簡稱 MAP）為醫學上用來描述個體平均血壓的詞彙，其定義為一個心動周期中平均的動脈血壓。



計算

總周邊血管阻力（Total Peripheral Resistance，TPR）可由下列數學公式表示：

R = ΔP/Q

R 代表 TPR。
ΔP 代表全身體循環起終點的血壓變化量。
Q 代表心輸出量

因此此公式可以解釋為

總周邊血管阻力 = （平均動脈壓 - 平均靜脈壓）/ 心輸出量

因此平均動脈壓可以下列公式定義：

　
: $MAP=(CO\cdot SVR)+CVP$

 
* $CO$ 代表心輸出量（Cardiac output）

* $SVR$ 代表體循環血管阻力（Systemic vascular resistance）

* $CVP$ 代表中心靜脈壓（Central venous pressure），在此公式中因為數值極小，通常可被省略。



估計

在一般個體靜止的狀況下， $MAP$ 通常可用較易量測的收縮壓（SP）與舒張壓（DP）估算：

　
: $MAP\simeq DP+{\frac {1}{3}}(SP-DP)$

化簡後可寫成

　
: $MAP\simeq {\frac {2}{3}}(DP)+{\frac {1}{3}}(SP)$

也可表示成

　
: $MAP\simeq {\frac {(2\times DP)+SP}{3}}$

或

　
: $MAP\simeq DP+{\frac {1}{3}}PP$

其中 $PP$ 代表脈壓，也就是 $SP-DP$

當心跳速率越大， $MAP$ 會越接近收縮壓與舒張壓的算術平均數，因為動脈的形狀會因壓力增大而改變。

 $MAP$ 大概可以用下列公式表達：

　
: $MAP\simeq DP+0.01\times \exp(4.14-40.74/HR)(SP-DP)$

HR 代表心率。



臨床意義

MAP 被認為相當於器官的灌注壓力。

MAP 的正常值大約為 65 到 110 mmHg 之間，一般相信 $MAP$ 高於 60 mmHg 在一般人身上足以提供器官養分。MAP 在急救醫學中和評估敗血症、創傷，和中風等等相關。

如果 MAP 在一定時間內降至低於 50 mmHg，重要器官將無法獲得足夠的氧氣灌注，並且會變得缺氧，這種情況稱為局部缺血。



參見


* 血壓

* 高血壓

* Pulse pressure



參考文獻 s



外部連結


* Mean Arterial Pressure Calculator （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* More Information on usage of the Mean Arterial Pressure （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
《平均地權條例》是中華民國政府為推行平均地權政策，在民國 43 年 8 月 26 日發佈的條例，中間曾有多次修正。內容有關地價的規定及相關土地的課稅、收買及歸公等內容。未來將改名為土地正義法。
平均場論（英語：Mean field theory，MFT）是一種研究複雜多體問題的方法，將數量巨大的互相作用的多體問題轉化成每一個粒子處在一種弱週期場中的單體問題，這種方法常見於統計物理、固體物理和生物物理的研究中。在物理學和機率論中，平均場論(簡稱 MFT，也叫作自洽場理論) 是對大且複雜的隨機模型的一種簡化。未簡化前的模型通常包含巨大數目的含交互作用的小個體。平均場理論則做了這樣的近似：對某個獨立的小個體，所有其他個體對它產生的作用可以用一個平均的量給出，如此，簡化後的模型成為一個單體問題。這種思想源於皮耶・居禮與皮埃爾・外斯對相變的研究工作中。受此啟發，這種方法廣泛應用於如傳染病模型、排隊論、計算機網絡性能和博弈論（ 隨機最優反應平衡）中。



介紹

包含交互作用的多體系，除一些非常簡單的例子外（如隨機場理論，一維易辛 1 模型），往往難於精確求解。若構造一個比較精確的平均場，則 n 體問題轉化為單體問題。這種平均場近似代表的是，對一個任意粒子而言，所有其他粒子對它的作用。精確求解大體系的困難往往在於體系哈密頓中的粒子的交互作用項包含著大量的排列組合，比如在計算配分函數時，需將所有的態都加和起來。平均場理論的目標就是解決這種排列組合帶來的難題。MFT 有很多不同叫法，初學者可能會因此而迷惑，諸如布拉格威廉士近似、貝特晶格、朗道理論、皮埃爾・外斯近似、弗洛里－哈金斯溶液理論、Scheutjens–Fleer 理論，這些都是平均場理論。

平均場的主要思想是將其他分子加諸某單體的作用代以一個有效場，或者叫有效作用，有時也將這種手段稱為分子場近似。這種辦法將多體問題轉化為近似等效的單體問題。平均場問題很容易求解，可以幫助我們更好地理解系統的行為，而且所耗費計算量也相對較低。

在場論中，哈密頓量可以在場的平均值附近按展開，展開的項就是漲落。在這種意義下，常稱平均場為哈密頓的零階項。這意味著平均場系統沒有漲落，這其實是將大量粒子的交互作用平均的後果。平均場作為零階項，是研究一階漲落和二階漲落的起點。

一般，維度是決定平均場理論是否有效的重要因素。平均場論將多體交互作用代以一個有效交互作用，因此，如果系統中的粒子交互作用很多，這就是高維度的情形，此時哈密頓量包含長程力，或者系統中個體本身就比較延展，那麼平均場理論往往會比較準確。金茲堡準則形式上給出了，由於漲落的存在，平均場理論的失效程度，這常取決於研究體系的空間維度。

MFT 雖然最初產生於統計力學中，但近年已被廣泛應用於其他領域，如推理、圖模型理論、神經科學、人工智慧等。



形式化處理

MFT 的形式基礎是 Bogoliubov inequality，這不等式斷言，若系統的哈密頓量是

　
: ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}$

則其自由能的上界為：

　
: $F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0}$

其中 $S_{0}$ 是 熵，式中的平均符號代表對哈密頓為 ${\mathcal {H}}_{0}$ 的參考系統對應的平衡態系綜取平均。如參考體系的哈密頓是無交互作用的，換言之，是如下形式：

　
: ${\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}\left(\xi _{i}\right)$

其中 $\left(\xi _{i}\right)$ 代表系統中某個體的自由度。



相關


* 量子場論

* 大 N 展開是一種 MFT

* Erdos-Renyi 隨機圖是滲流理論的 MFT



參考文獻
平均處理效應（英語：Average Treatment Effect, ATE）通常用於比較不同處理（干預）手段在隨機實驗，政策干預措施或醫學試驗中的效果。 換句話說，ATE 用於測量處理組（實驗組）與對照組之間平均結果的差異。在一項隨機試驗 （即實驗研究）中，可以通過比較處理組與對照組的平均結果，進而從樣本中估算出平均處理效應。但是，研究人員通常用 ATE 測量他們希望了解的因果參數，這使得 ATE 無需參考研究設計或估計程序即可定義。在使用隨機分配方法的觀察性研究和實驗性研究設計中，人們都可以用多種方式估算 ATE。



一般定義

「處理（treatment）」一詞起源於農業和醫學領域的早期統計分析。該詞現在已被更廣泛地用於自然和社會科學的其他領域，尤其是心理學，政治學和經濟學，比如用於評估公共政策的影響。實驗本身或其引發結果的性質在 ATE 的估計中相對不重要，也就是說在估算 ATE 時，通常要求將處理（實驗）應用於部分單位而不是全部單位，但是該實驗的性質（例如藥物、獎勵金、政治廣告）與 ATE 的定義和估算過程無關。

「處理效應」是指給定的處理或干預措施（例如藥物的施用）與目標結果變量（例如患者的健康狀況）之間的因果關係。 因果關係的內曼 - 魯賓「潛在結果框架」根據兩個「潛在結果」為每個個體定義了處理效應。 處理組和對照組的單位會顯示不同結果，「處理效應」則是這兩個潛在結果之間的差異。 然而，這種個體水平的處理效應是難以被觀察到的，因為個體單位只能位於處理組和對照組之一，而不能同時位於兩者之內。對處理的隨機分配可確保在大量的實驗迭代中，分配給處理組的單位與分配給對照組的單位保持一致。 實際上，兩組中的單位都存在相同的協變量分布和潛在結果。因此，處理組的平均結果可作為控制組平均結果的反事實條件 。這兩個平均值之間的差異就是 ATE，它是對無法觀察到的個體水平處理效果分布的集中趨勢的估計。 如果樣本是從總體中隨機構成的，則樣本 ATE（縮寫為 SATE）也是群體 ATE（縮寫為 PATE）的估計值。 

雖然實驗可以確保預期的結果（和所有協變量）在處理組和對照組中均等分布，但在觀察性研究中情況並非如此。 在一項觀察性研究中，處理組和控制組的單位並非隨機分配，因此其單位分配可能取決於未觀察到的，或無法被觀察到的因素。已觀察到的因素可以被統計控制（例如，通過回歸或匹配 ），但是未觀察到的因素可能被干預措施影響，任何 ATE 估計都可能會被這些未觀察到的因素混淆。



正式定義

為了正式定義平均處理效應（ATE），我們需要定義兩個潛在結果： $y_{0}(i)$ 為單位 $i$ 未被處理時的結果變量值， $y_{1}(i)$ 為單位 $i$ 接受處理時的結果變量值。例如， $y_{0}(i)$ 代表實驗中未接受藥物的受試者的健康狀況， $y_{1}(i)$ 代表實驗中接受藥物的受試者的健康狀況。

此時，受試者 $i$ 的處理效應可以被表示為 $y_{1}(i)-y_{0}(i)=\beta (i)$ 。通常情況下，不同受試者的處理效應不必保持一致。平均處理效應可以表示如下：

　
: ${\text{ATE}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}(y_{1}(i)-y_{0}(i))$

即「平均處理效應」為所有受試者「處理效應」的平均值。

如果在一個有代表性的大型樣本中，我們可以觀察到每個受試者的 $y_{1}(i)$ 和 $y_{0}(i)$ ，那我們便可通過求出樣本中 $y_{1}(i)-y_{0}(i)$ 的平均值來估計 ATE。然而因為每個受試者無法同時位於處理組和對照組，我們無法在同一受試者身上同時觀察到 $y_{1}(i)$ 和 $y_{0}(i)$ 。例如，在之前的藥物實驗中，我們只能在接受藥物的受試者身上觀察到 $y_{1}(i)$ ，在未接受藥物的受試者身上觀察到 $y_{0}(i)$ 。這是測量處理效應過程中的最大問題，對該問題的研究也促進了許多估計方法的誕生。



估計方法

根據數據與數據的具體情況，許多統計方法可以被用於估計 ATE。以下是最為常用的幾種：


* 自然實驗

* 雙重差分法

* 回歸不連續設計

* 傾向評分匹配

* 工具變量估計法



案例

某群體中所有個體均為失業狀態，研究者希望對該群體中一部分人施加政策影響（處理組），另一部分人則維持原狀（對照組）。研究者希望通過該實驗觀察到一項就業追蹤計劃對失業期長度的影響。接受政策干預的人群，他們的失業期可以縮短多少？在該案例中，平均處理效應（ATE）即為處理組與對照組人群平均失業期長度之差。

在該案例中，如果 ATE 為正值，則說明該政策會延長失業期。如果 ATE 為負值，則說明該政策會縮短失業期。如 ATE 為零，則表示該政策沒有產生正面或負面影響。我們需要通過推論統計來判斷 ATE 是否顯著不為零。

因為 ATE 是一個表示平均影響的參數，所以無論 ATE 為正或負，都不足以判斷一項處理（干預）對單個受試者的影響。例如，即便 ATE 在一個群體中表現為正，在該群體中仍可能有部分單位會受到負面影響。



處理效應的異質性

如果一項處理（干預）對不同個體的影響不同，則該情況被稱為「異質性」。例如，在之前的就業實驗中，就業追蹤計劃對男性和女性，或不同地區居民的影響有差異。針對這種情況，我們可以將數據分組，進而觀察各組 ATE 的差異。但該方法存在一定問題，其中之一是分組後各組的數據會少於整體數據，如果研究者在收集數據時沒有考慮分組研究，分組後各組的數據量可能無法支持異質性研究。

使用隨機森林算法可以檢測處理結果的異質性。 



參考文獻



拓展閱讀


* Wooldridge, Jeffrey M. Introductory Econometrics: A Modern Approach. Mason, OH: Thomson South-Western. 2013: 438–443. ISBN 978-1-111-53104-1.
平均尿流率是尿流動力學檢查中尿流率圖測定的參數之一；排尿總量除以排尿時間（毫升 / 秒）。平均尿流率提示受試對象解尿時膀胱及尿道功能的綜合結果。平均尿流率與最大尿流率合參，綜合分析。最大尿流率、平均尿流率均下降提示其膀胱逼尿肌收縮功能減弱或膀胱頸、尿道出口狹窄或梗阻可能。最大尿流率大體正常，平均尿流率明顯減少，即：平均尿流率所在標準差（_SD_）範圍低於最大尿流率所在標準差範圍；尿流曲線呈齒型波，可能由間歇性阻力引起，提示前列腺尿道痙攣。
平均絕對離差（英語：mean absolute deviation / average absolute deviation），簡稱平均離差、平均差，是表示各個變量值之間離散程度的數值之一，指各個變量值同平均數的的離差絕對值的算術平均數。

對於一個數據集 $X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$ ，其平均絕對偏差定義為：

平均絕對偏差 = ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left\vert x_{i}-m(X)\right\vert $

其中 $n$ 為數據集的大小， $m(X)$ 是對於數據集中趨勢（central tendency）的描述函數，一般可以取均值（mean）、中位數（median）或者眾數（mode），但需要注意的是，選取不同的中心描述函數對 MAD 的結果是有影響的。



參見


* 標準差

* 離差

* 整流平均值
排程理論中，延遲時間（tardiness，或延遲）衡量某工作實際完成時間，與應完成時間（交期）相比，延誤多少。 同理提早時間（earliness，或早交時間）衡量實際執行時間比交期提早多少。各項工作之間可能互相依賴，即某項工作的前提可能是另一工作已完成。工作亦受限於所需設備是否可用。

排程問題的例子包括製造業生產流程，以及資訊傳輸和處理的排程。

就製造業的庫存管理而言，延遲與提早皆不理想。延遲導致工作積壓，並要因誤期違約賠償顧客，損失商譽。相反，提早則會佔用倉庫，提高成本，阻礙資本流動。

數位訊號處理亦會考慮個別流延遲的時長，即輸出信號滯後於輸入信號的時間。其平均值稱為平均延遲，是表示開關速度的參數。



數學表述

設有多項工作，第 $i$ 項限期為 $d_{i}$ ，而完成時間 $C_{i}$ ，則對該工作而言，


* 差異時間（lateness）定義為 $L_{i}=C_{i}-d_{i},$

* 早交時間為 $E_{i}=\max(0,d_{i}-C_{i}),$

* 延遲時間為 $T_{i}=\max(0,C_{i}-d_{i}).$

排程問題中，常以其最大值 $C_{\max },L_{\max },E_{\max },T_{\max }$ 或總和 $\sum C_{i},\sum L_{i},\sum E_{i},\sum T_{i}$ 作為最小化的目標，又或者採用其加權版本 $w_{i}C_{\max },w_{i}L_{\max },w_{i}E_{\max },w_{i}T_{\max },\sum w_{i}C_{i},\sum w_{i}L_{i},\sum w_{i}E_{i},\sum w_{i}T_{i}$ ，其中 $w_{i}$ 為各項工作的權重，代表工作的開銷、優先程度等。

此類函數的最優化問題常為 NP 困難。

亦可考慮延遲時間的平均值，稱為平均延遲（mean tardiness），公式為：

　
: ${\overline {T}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}T_{i},$

其中 $n$ 為該批工作的數目。



參考文獻
平均律可以指：


* 十二平均律的簡稱，音樂律式之一。

* 平均律鍵盤曲集，平均律鋼琴曲集的簡稱，德國作曲家巴赫（Bach）音樂作品。
平均意見分數(MOS) 是在體驗品質和通信工程領域中使用的衡量標準，代表刺激或系統的整體品質。它是所有受試者「在一個預先定義的範圍內，一個受試者分配給他對系統品質表現的意見」的算術平均數。

MOS 是一種常用的影片、音訊和視聽品質評估方法。 ITU-T （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）在建議 P.800.1 中定義了幾種參照 MOS 的方式，區別於分數是從視聽、對談、聽、說還是影片品質測試中獲得的。



評分量表和數學定義

MOS 由一個有理數表示，通常範圍在 1–5 之間，其中 1 表示最低感知品質，5 表示最高感知品質。MOS 的範圍取決於在基礎測試中使用的評級量表。

絕對類別評分標準非常常用，它將_壞的_和_優秀_之間的評分對映為 1 到 5 之間的數字，如下表所示。

ITU-T 建議中存在其他標準化品質評級量表（例如 P.800 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）或 P.910 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） ）。例如，可以使用 1-100 之間的連續刻度。使用哪種量表取決於測試的目的。在某些情況下，使用不同的量表對相同刺激評價，獲得的評分沒有統計學上的顯著差異。 

MOS 的計算方法是人類受試者在主觀品質評估測試中對給定刺激進行的單個評分的算術平均值。因此：

　
: ${\text{MOS}}={\frac {\sum _{n=1}^{N}{R_{n}}}{N}}$

公式中 $R_{n}$ 是受試者對給定刺激的評分， $N$ 是受試者的數量。



MOS 的屬性

MOS 受制於某些數學性質和偏差。MOS 用一個純量值去量化體驗品質的做法是否有用，存在持續的爭論。 

當使用分類評級量表獲得 MOS 時，它基於 - 類似於李克特量表的 - 序數量表。在這種情況下，評級中的選項的順序是已知的，但選項之間的間隔是未知的。因此，為了獲得中心趨勢而計算個人評分的平均值在數學上是不正確的；應該使用中位數。 但是，在實踐中以及在 MOS 的定義中，計算算術平均值被認為是可以接受的。

存在研究表明，對於分類評分量表（例如 ACR），受試者會認為量表中的選項是不等距的。例如，_良好_和_一般_之間的「差距」可能比 _良好_和_優秀_之間的「差距」更大。感知距離也可能取決於翻譯量表的語言。 然而，研究表明無法證明量表翻譯對所得結果存在顯著影響。 

通常取得 MOS 分數的測試方法中還存在另外幾個偏差。 除了上面提到的非線性感知的量表問題之外，還有一個所謂的「範圍均衡偏差」：在主觀實驗過程中，受試者傾向於給出的分數橫跨整個評分量表。如果兩個主觀測試提供的樣本品質範圍不同，就不能比較這兩個主觀測試。換句話說，MOS 並不是品質的絕對量度，MOS 是相對於獲得它的測試的。

由於上述原因 - 以及由於其他幾個影響主觀測試中感知品質的上下文因素 - 只有在已知並報告了收集值的上下文時才應該報告 MOS 值。因此，不應直接比較從不同環境和測試設計中收集的 MOS 值。 ITU-T P.800.2 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）建議書規定了如何報告 MOS 值。具體來說，P.800.2 中寫道：

> 直接比較不同實驗產生的 MOS 值是沒有意義的，除非這些實驗被明確設計用於比較，即使這樣，也應該對資料進行統計分析以確保這種比較是有效的。
> 
> 



用於語音和音訊品質估計的 MOS

MOS 歷史上源於主觀測量，聽眾會坐在「安靜的房間」中，並根據他們的感知對電話通話品質進行評分。這種測試方法已在電話行業使用了數十年，並在 ITU-T 建議 P.800 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）中標準化。它規定「講話者應坐在安靜的房間內，音量在 30 到 120 立方米之間，混響時間小於 500 毫秒（最好在 200 到 300 毫秒範圍內）。室內噪音水平必須低於 30 dBA，並且頻譜中沒有主峰。」稍後在國際電聯的建議中類似地規定了對其他模式的要求。



使用品質模型的 MOS 估計

獲得 MOS 評級可能既耗時又昂貴，因為它需要招聘人工評估員。對於各種用例，例如編解碼器開發或服務品質監視目的 —— 應該重複和自動估計品質 —— 也可以通過客觀品質模型來預測 MOS 分數，這些模型通常是使用人類 MOS 評級開發和訓練的。使用此類模型產生的一個問題是產生的 MOS 差異是否對使用者來說是顯而易見的。例如，當以五點 MOS 等級對圖像進行評分時，MOS 等於 5 的圖像的品質預計會明顯優於 MOS 等於 1 的圖像。與此相反，MOS 等於 3.8 的圖像的品質是否明顯優於 MOS 等於 3.6 的圖像尚不清楚。為確定使用者對數位相片可感知的最小 MOS 差異進行的研究表明，為了使 75% 的使用者能夠檢測到更高品質的圖像，需要大約 0.46 的 MOS 差異。 然而，圖像品質期望，因此 MOS，隨著使用者期望的變化而隨著時間的推移而變化。分析方法確定的最小顯著 MOS 差異可能會隨時間而變化。



參見


* 絕對類別評級

* 李克特量表

* MUSHRA （ITU-R BS.1534 建議書）

* 客觀的影片品質

* 主觀影片品質



參考文獻
平均故障間隔（英語：Mean time between failures，縮寫：MTBF）是可靠度工程及製造工程學的名詞，意即是產品在操作使用或測試期間的平均連續無故障時間，需要注意的是，這裡探討的 MTBF 並非一個實測值，而是在產品設計階段工程師依據理論所估算出的參考值。但是仍有例外，例如在文獻所探討的 MTBF 是透過記錄每次故障而統計出來的，的確就是實測值。

使用平均故障間隔時，一般假設故障的系統可以立刻修復。倘若故障的系統無法修復，一般改用 MTTF（故障前平均時間）來說明。

平均故障間隔並非指系統一定出現物理性損壞，而是取決於該系統如何定義「故障」。例如對於需要高可靠性的複雜系統來說，「故障」就可能指的是系統出現預期以外的狀況使得必須停止工作並維護。能通過良好的維護而加以避免，或者直接導致設備除役的「故障」 以及計劃內必須使設備停止工作的維護並不在這個定義所考慮的範疇之內。



概覽

失效時間是指上一次設備恢復正常狀態（圖中的 up time）起，到設備此次失效那一刻（圖中的 down time）之間間隔的時間。

MTBF 值是產品設計時要考慮的重要參數，可靠度工程師或設計師經常使用各種不同的方法與標準來估計產品的 MTBF 值。相關標準包括 MIL-HDBK-217F、Telcordia SR332、Siemens Norm、Fides 或 UTE C 80-810（RDF2000）等。不過這些方法估計到的值和實際的平均故障間隔仍有相當的差距。計算平均故障間隔的目的是為了找出設計中的薄弱環節。



數學定義

有了上面的解釋，可以將 MTBF 用如下的數學式表達：

　
: ${\text{MTBF}}={\frac {\sum {({\text{downtime}}-{\text{uptime}})}}{\text{failure times}}}.\!$

另外，在工程學上，常用希臘字母 _θ_ 來表示 MTBF，既有：

　
: ${\text{MTBF}}=\theta .\!$

在概率論中，可用_ƒ_(_t_) 形式的概率密度方程表示 MTBF，既有：

　
: ${\text{MTBF}}=\int _{0}^{\infty }tf(t)\,dt\!$

此處_ƒ_指的是直到下次失效經過時長的概率密度方程 —— 滿足標準概率密度方程 ——

　
: $\int _{0}^{\infty }f(t)\,dt=1.\!$



參考



另見


* 平均維修時間

* 平均修復時間

* Mean down time

* 失效率
在微分幾何中，一個曲面 $S$ 的平均曲率（mean curvature） $H$ ，是一個「外在的」彎曲測量標準，局部地描述了一個曲面嵌入周圍空間（比如二維曲面嵌入三維歐幾里得空間）的曲率。

這個概念由索菲・熱爾曼在她的著作《彈性理論》中最先引入。



定義

令 $p$ 是曲面 $S$ 上一點，考慮 $S$ 上過 $p$ 的所有曲線 $C_{i}$ 。每條這樣的 $C_{i}$ 在 $p$ 點有一個伴隨的曲率 $K_{i}$ 。在這些曲率 $K_{i}$ 中，至少有一個極大值 $\kappa _{1}$ 與極小值 $\kappa _{2}$ ，這兩個曲率 $\kappa _{1},\kappa _{2}$ 稱為 $S$ 的主曲率。

 $p\in S$ 的平均曲率是兩個主曲率的平均值（斯皮瓦克 1999，第 3 卷，第 2 章），由歐拉公式其實也是所有曲率的平均值，故有此名。

　
: $H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .$

利用第一基本形式與第二基本形式的係數，平均曲率表示為：

　
: $H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}\ ,$

這裡 $E,F,G$ 是第一基本形式的係數， $L,M,N$ 為第二基本形式的係數。

平均曲率可推廣為更一般情形 （斯皮瓦克 1999，第 4 卷，第 7 章），一個超曲面 $T$ 的平均曲率為：

　
: $H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}\ .$

更抽象地說，平均曲率是第二基本形式（或等價地，形算子）的跡 $\times {\frac {1}{n}}$ 。

另外，平均曲率 $H$ 可以用共變導數 $\nabla $ 寫成

　
: $H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X\ ,$

這裡利用了高斯 - Weingarten 關係， $X(x,t)$ 是一族光滑嵌入超曲面， ${\vec {n}}$ 為單位法向量，而 $g_{ij}$ 是度量張量。

一個曲面是極小曲面若且唯若平均曲率為零。此外，平面 $S$ 平均曲率滿足一個熱型方程稱為平均曲率流方程。

有些作者會將平均曲率直接定為第二基本形式的跡（而並未 $\times {\frac {1}{n}}$ ）。然而，這並不影響一個曲面是否成為一個極小曲面的條件。

3 維空間中曲面

對 3 維空間中的曲面，平均曲率與曲面的單位法向量相關：

　
: $2H=\nabla \cdot {\hat {n}}\ ,$

這裡法向量的選取影響曲率的正負號。曲率的符號取決於法向量的方向：如果曲面「遠離」法向量則曲率是正的。上面的公式對 3 維空間中任何方式定義的曲面都成立，只要能夠計算單位法向量的散度。

對曲面是兩個坐標的函數定義的曲面，比如 $z=S(x,y)$ ，使用向下的法向量平均曲率（的兩倍）表示為

　
: ${\begin{aligned}2H&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla (S-z)}{|\nabla (S-z)|}}\right]\\&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla S}{\sqrt {1+(\nabla S)^{2}}}}\right]\\&={\frac {\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}$

如果曲面還是軸對稱的，滿足 $z=S(r)$ ，則

　
: $2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\frac {\partial S}{\partial r}}{r\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\ $



流體力學

在流體力學中使用的另外一種定義是不要因子 2：

　
: $H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .$

這出現於楊 - 拉普拉斯公式中，平衡球狀小滴內部的壓力等於表面張力乘以 $H_{f}$ ；兩個曲率等於小滴半徑的倒數 $\kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}$ 。



極小曲面

一個極小曲面是所有點的平均曲率為零的曲面。經典例子有懸鏈曲面、螺旋面、Scherk 曲面與 Enneper 曲面。新近發現的包括 Costa 極小曲面（1982 年）與 Gyroid（1970 年）。

極小曲面的一個推廣是考慮平均曲率為非零常數的曲面，球面和圓柱面就是這樣的例子。Heinz Hopf 的一個問題為是否存在曲率為非零常數的非球面閉曲面。球面是惟一具有常平均曲率且沒有邊界或奇點的曲面；如果允許自交，則存在平均曲率為非零常數的閉曲面，Wente 在 1986 年曾構造出這樣的自交環面（陳維桓 2006，4.6 節）。



參見


* 高斯曲率

* 平均曲率流

* 逆平均曲率流

* 面積公式第一變分



注釋



參考文獻


* 斯皮瓦克，麥可，A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4) .

* 陳維桓，微分几何，北京大學出版社，2006, ISBN 7-307-10709-9
平均每人（拉丁語：Per capita）是統計學術語，廣泛應用於社會科學領域或統計研究文章，如政府統計資料或經濟指標等。法學上，訂立遺囑時也使用此詞表述每位受益人可分得多少份量遺贈；於此用法中，「平均每人」概念與「照房份」意涵相對，後者表示一個大家族中，每個家庭可以分得多少份量財產。

平均每人的拉丁語「Per capita」常直接應用於各種歐美語言文章中，作為前置詞使用。



參考文獻
海平面（英語：Sea level）是地球單一或多個海洋表面的平均水平，由此可以測量諸如海拔等高度。平均海平面（MSL）是一種垂直基準，一個標準化的大地測量參考點。例如製圖和航海中的海圖基準面，或是航空中測量標準海平面的大氣壓力，以便校準飛機的飛行高度。一個常見且簡單的意思，海平面標準是特定位置的平均低潮和平均高潮之間的中點。

由於牽涉到一些複雜且困難的測量，使得精確確定海平面成為一個困難的工作。測量海平面的儀器叫做驗潮儀，一般微風所導致的海面的波浪可以通過平均的方法消除掉，潮汐所導致的海平面的升高和跌落也可以通過長時間的觀測後取平均值的方法消除掉。海平面的測量總是相對於陸地的測量，因此海平面的變化可以是真正地由於海面的變化導致的，也可以是由於陸地的變化導致的。海平面在地質年代上已經有很大的變化。 仔細測量平均海平面的變化可以深入了解持續的氣候變化，海平面上升廣泛被引用為全球變暖的證據。

通常所謂的海拔就是指平均海拔（Above mean sea level，AMSL）。



測量時的困難

在測量一個離地面比較遠的地方的海平面時專家使用一個稱為大地水準面的「水平」的參考表面，測量的是海平面與這個大地水準面之間的高度差。假如沒有外力的作用，海平面應該與大地水準面一致，它相當於與地球萬有引力的一個等勢面。事實上由於海流、氣壓變化、溫度和鹽度的變化等等會導致海平面與大地水準面不等。即使長時間的平均值兩者也不相同。這個長期的、地區性的差異被稱為海面地形，其數值可以達 ±2 米。
[[
傳統上在測量海計算海水面的平均位置時要考慮到 228 個月的默冬章和約 18.6 年（223 個月）的食周對潮汐的影響。海平面在地球表面不是到處都一樣的，比如巴拿馬運河的太平洋側的海平面比大西洋側的海平面高 20 厘米。

儘管有這些困難，使用儀表飛行規則飛行的飛行員必須有精確的和可靠的飛行高度以及機場高度的數據。尤其在引力反常的地區在航空母艦上降落這個問題會非常嚴重。為了克服計算上的困難飛行員使用廣域差分系統所定義的參考橢球，而不使用大地水準面來定義海平面高度。而且全球定位系統也適用這個參考橢球。

陸地與海平面之間的變化可以有多種原因，海面升降一般是由於氣候變化造成的，均衡補償的變化是由於板塊作用等導致的，而不是因為海水總量的變化導致的。冰川期末冰川的融化導致的海平面的變化是海面升降最典型的例子。通過對地質穩定的海岸地帶的沉積的考察古氣象學家可以測定過去的海平面的位置。火山島的升降是非常典型的均衡補償的海平面變化。隨著火山岩的冷卻這些島嶼開始下降。

在沒有液體海洋的行星表面行星學家往往計算一個「平均」高度。這個平均高度有時也被稱為「海平面」，它用來作為測量行星表面各個地點的高度的參考面。



海平面的變化

地質歷史上的變化

隨地理時期的變化，海平面不斷變化。今天的海平面幾乎是所有地質時期裡最低的。在最近一次冰川期中（其頂點約為兩萬年前），由於蒸發的海水在北半球的冰雪中堆積，當時的平均海平面比今天低 130 米。大多數冰川在一萬年前融化，但至今為止小冰川依然在融化。在地球歷史上類似的冰川周期已經發生過數百次了。

短期和周期性的變化

有許多因素可以產生短期（幾分鐘到 14 個月）的海平面變化。

現今的變化

至少在過去的 100 年中，海平面平均每年增長約 1.8 毫米 。這種上升主要來自海洋溫度升高所導致表層（約 500 公尺深）海水的輕微熱膨脹。另外四分之一，則是來自陸地上的水源，如融雪和冰川，還有人類超抽地下水等等。



各地區域的測定

近來有海平面上升的趨勢。據測定，近年來中華人民共和國沿海海平面平均上升速率為 2.5 毫米 / 年，略高於全球海平面上升速率。

海平面在地理測量中經常作為高度的標準，例如中華人民共和國海拔高度採用青島港驗潮站的長期觀測資料推算出的黃海平均海面作為零點。



參見


* 平均海拔

* 大地水準面

* 海圖基準面

* 正高

* 正常高

* 位勢高度

* 重力位高度

* 世界大地測量系統

* 海平面上升



參考資料



外部連結


* 綠色和平 - 氣候變化及能源危機 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* 台灣國立中央研究院 - 溫室氣體資料庫 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* 香港天文台 - 潮汐資料 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
GDP 平减指數（英語：GDP deflator），又稱平均物價指數，是名目 GDP（Nominal GDP）與真實 GDP（Real GDP）的比率，反映了通膨率的大小，表達了貨幣供給量與貨幣需求的比例關係。



計算

　
: $\operatorname {GDP\ deflator} ={\frac {\operatorname {Nominal\ GDP} }{\operatorname {Real\ GDP} }}\times 100$



特點

1. GDP 平減指數衡量所有產品與服務價格。
2. GDP 平減指數只包括國內的產品，進口不在 GDP 平減指數部分。
3. GDP 平減指數給產品價格以變動的權數。



參見


* 消費者物價指數
平均紅血球體積（mean corpuscular volume、mean cell volume，簡稱 MCV）是指人體單個紅血球的平均體積，通常是間接計算得到。



計算公式

平均紅血球體積 ＝ ${\dfrac {Hct}{RBC}}$ 。

舉例說明推理過程：

　
: 某男性，紅血球比容為 0.5，紅血球計數 5.0×1012/L，則

　
: 平均紅血球體積 ＝ ${\frac {\mbox{Total Volume of RBCs}}{\mbox{Number of RBCs}}}$

　
: 在 1L 全血中，紅血球總體積（Total Volume of RBCs） ＝ 全血總體積 × 紅血球比容 ＝ 1L × 0.5 ＝ 0.5L

　
: 在 1L 全血中，紅血球總數（Number of RBCs） ＝ 1L × 5.0 × 1012/L ＝ 5.0 × 1012 個

　
: 因此，平均紅血球體積 ＝ ${\frac {0.5}{5.0\times 10^{12}}}$ ＝ 1×10-13L = 100fL

臨床方便的計算公式是：

　
: 平均紅血球體積 (fL) ＝ ${\frac {Hct}{RBC}}$ × 1000


* 註：Hct 為分數形式，RBC 以 1012/L 計。



參考值

80～94fL



臨床意義

對貧血進行形態學分類的敏感指標（比平均紅血球血紅蛋白量、平均紅血球血紅蛋白濃度臨床價值更大）：


* 小細胞貧血

* 正細胞貧血

* 大細胞貧血



參見


* 血液

* 紅血球

* 全血細胞計數



參考文獻
平均細胞血紅蛋白濃度（mean corpuscular hemoglobin concentration、MCHC）是測量定量血紅血球中的血紅蛋白濃度。它是血常規檢測中的一項。
該指標的成年人正常範圍大約在 320-360g/l。

一般情況下，該指標會在小細胞貧血症中偏低。而在大細胞貧血症中，該指標會依然正常。

該測試可以粗略的給出血紅蛋白（血色素）以及紅血球的基本情況。

但是由於目前醫療上通用自動檢測儀器來做血常規檢測，所以平均血紅蛋白濃度過高，可能是由於測試者患有凝血類疾病，這種疾病的患者在血液溫度低於 37 攝氏度時就會開始凝結。這就會導致自動檢測儀器在檢測到凝血病患者時會測出一個很高濃度、低數量的血液樣本。這個問題的解決辦法是，人工篩選出這類樣本，將血液樣本加熱直至血分子分離，然後在它再次冷凝之前快速放入檢測儀器進行檢測。



樣例



參見


* 全血細胞計數

* 右旋蘭索拉唑 (Dexlansoprazole / 右蘭索拉唑 / 埃索美拉唑鎂)

* 質子泵 (Proton pump)



外部連結


* FP Notebook

* Cornell （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
在統計學中，平均絕對誤差 (英語：Mean absolute error，縮寫：MAE) 是對表達相同現象的成對觀察之間的誤差的度量。 Y 與 X 的例子包括預測與被觀察的比較，後續時間與初始時間的比較，以及一種測量技術與另一種測量技術的比較。 平均絕對誤差 MAE 被計算為絕對誤差之和除以樣本量：

因此，它是絕對誤差的算術平均值 $|e_{i}|=|y_{i}-x_{i}|$ , 其中 $y_{i}$ 是預測值，和 $x_{i}$ 是真實值。請注意，替代公式可能包括相對頻率作為權重因子。 平均絕對誤差使用與被測量數據相同的尺度。 這被稱為與尺度相關的準確度度量，因此不能被用於使用不同尺度的序列（series）之間進行比較。 平均絕對誤差是時間序列分析中預測誤差的一個常用度量， 有時與 ' 平均絕對離差 '（英語：mean absolute deviation）的更標準定義混淆。 同樣的混淆更普遍地存在。



參考文獻
氣體分子的平均自由徑（英語：mean free path）指氣體分子兩次碰撞之間的時間內經過的路程的統計平均值，一般用 ${\overline {\lambda }}\,$ 表示。例如，在 20℃下、標準大氣壓（101 KPa）下，氮氣分子的平均自由徑約為 60 奈米。

理想氣體分子兩次碰撞之間做勻速直線運動，類似分子的平均碰撞頻率，每兩次碰撞之間的路程是由氣體分子的自身狀態決定的。氣體分子的平均自由徑與分子的直徑或半徑、分子數密度成反比。



歷史

魯道夫・克勞修斯早在 1857 年就引入了平均自由徑的概念。後來詹姆斯・馬克士威在 1859 年推導出馬克士威速度分布律後，推導出了氣體分子平均自由徑的更為準確的計算公式。



推導

分子碰撞截面

分子之間發生碰撞，但大多數情況並非發生對心碰撞。兩個碰撞的分子根據兩者發生碰撞瞬間「對心」的情況，所產生的方向偏離不同。當入射分子的方向和目標分子的質心的垂直距離大於某一確定值時，就不再發生速度偏離。這時的「某一確定值」稱為分子有效直徑 $d\,$ 。定義分子碰撞截面 $\sigma \,$ ，即在這個圓形截面之外的範圍射入的分子都不會發生速度方向偏離。關於這個截面，有以下方程式：

　
: $\sigma =\pi d^{2}\,$

氣體分子間的平均碰撞率

單位時間內氣體分子發生的碰撞次數稱為平均碰撞頻率，一般用 ${\overline {Z}}\,$ 表示，實驗結果表示，有以下方程式：

　
: ${\overline {Z}}=n\sigma v_{rel}\,$

其中， $n$ 是氣體分子的分子數密度， $v_{rel}\,$ 是碰撞的相對速率。

由於入射分子和目標分子都在移動，不能夠只考慮入射分子的移動速率，必需考慮入射分子對於目標分子的相對速率。如果是同種氣體分子，則平均相對速率為

　
: $v_{rel}={\sqrt {2}}{\overline {v}}\,$ ；

其中， ${\overline {v}}\,$ 是氣體分子平均速率。

氣體分子的平均自由徑的推導

設分子平均速率為 ${\overline {v}}\,$ ，則它在 $t\,$ 時間內走過的平均路程為 ${\overline {v}}t\,$ ；另外，在這段時間內分子發生的平均碰撞次數為 ${\overline {Z}}t\,$ ，故由：

　
: ${\overline {\lambda }}={\frac {{\overline {v}}t}{{\overline {Z}}t}}\,$

當為同種氣體分子時，得到

　
: ${\overline {\lambda }}={\frac {1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}\,$

應用理想氣體定律，可以得到

　
: ${\overline {\lambda }}={\frac {k_{B}T}{{\sqrt {2}}\sigma p}}\,$

其中， $k_{B}\,$ 是波茲曼常量， $T\,$ 是溫度， $p\,$ 是壓力。



自由程的分布

自由程從 $x\,$ 到無窮大的分子占分子總數的比例為：

　
: ${\frac {N}{N_{0}}}=exp(-{\frac {x}{\overline {\lambda }}})\,$

自由程在 $x\,$ 與 $x+dx\,$ 範圍內的分子占分子總數的比例為：

　
: $-{\frac {dN}{N_{0}}}={\frac {1}{\overline {\lambda }}}exp(-{\frac {x}{\overline {\lambda }}})dx\,$

以上兩式中， $N_{0}\,$ 是碰撞分子總數， ${\overline {\lambda }}\,$ 是平均自由徑。



相關條目


* 熱學

* 馬克士威速度分布律

* 分子運動論



參考文獻



延伸閱讀


* David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. _Fundamentals of Physics_. John Wiley & Sons. : pp. 515–516. ISBN 978-0471105589 （英語）.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)

* 趙凱華，羅蔚茵. 《新概念物理教程・热学》. 高等教育出版社. 2005. ISBN 978-7040176803 （中文（中國大陸））.
平均趨向指數(average directional movement index, ADX) 是由 J. Welles Wilder 於 1978 年研發出來，代表價格趨勢強度的指標。ADX 已經被廣泛用於技術分析，是在許多投資平台都有提供的標準指標之一。



計算方式

ADX 是另外兩個由 Wilder 研發的指標，正趨向指數 (+DI) 與負趨向指數 (-DI)。 ADX 可藉由結合兩者後以移動平均方式平滑得到。

要計算 + DI 與 - DI，會用到各週期 (通常為日) 內的最高價、最低價與收盤價。

先計算趨向移動量 (+DM 與 - DM)

> 上升量 = 當日最高價 - 昨日最高價
> 
> 下降量 = 昨日最低價 - 當日最低價
> 
> 若 上升量 > 下降量 且 上升量 > 0， 則 +DM = 上升量 ， 否則 +DM = 0
> 
> 若 上升量 <下降量 且 下降量> 0， 則 -DM = 下降量， 否則 -DM = 0
> 
> 

+DI 與 -DI 依據所選擇的週期長度 (Wider 當時使用 14 天為週期)

> +DI = 100 × [+DM 的移動平均] ÷ 真實波動幅度均值
> 
>  
> 
> -DI = 100 × [-DM 的移動平均] ÷ 真實波動幅度均值
> 
> 

移動平均以所選的週期長度計算，真實波動幅度均值 (ADX) 是平滑過的真實波動幅度 (DX)：

> ADX = 100 × (+DI − -DI) 絕對值的 (平滑移動平均) ÷ (+DI + -DI)
> 
> 

所得值得不同通常與使用不同的移動平均方式有關係，如指數移動平均，加權移動平均或自適化移動平均 adaptive moving average。



解讀方式

ADX 無法表現趨勢方向，只能表現出趨勢的強弱。 他是一個落後指標，意即必須先有一個趨勢成形 ADX 才會出現訊號。ADX 值範圍落在 0 到 100 之間，通常在 20 以下表示趨勢偏弱、40 以上表示趨勢強，50 以上表示極強。 但該指標也存在其他解讀方式，例如 ADX 也是一個可靠的同步指標，在 ADX<20 後通常伴隨著趨勢的結束。 ADX 的大小正比於趨勢的坡度，而 ADX 的坡度則正比於價格移動的加速度。在趨勢穩定上升 / 下降時，ADX 便傾向於維持水平。
軌道根數（或稱軌道要素、軌道元素或軌道參數）是描述在牛頓運動定律和牛頓萬有引力定律的作用下的天體或太空飛行器，在其克卜勒軌道上運動時，確定其軌道所必要的六個參數。由於運動的方式有許多種的參數表示法，依照選定的測量裝置不同，對相同的軌道，有幾種不同的方式來定義軌道根數。

這個問題包含三個自由度（軌道上的三個笛卡兒座標系），所以每個獨立的克卜勒軌道（未受到攝動）經過解析後，可以由原始的笛卡爾數值以六個參數明確地定義天體的姿態和速度。因此，所有的軌道元素組合都明確的含有這六個元素。在數學上的明確解釋和討論可以參考以下的論述（_參見_：軌道狀態向量）。



克卜勒的元素

傳統上使用的軌道根數，是在克卜勒和他的克卜勒定律之後發展出來的，稱為克卜勒元素，主要有六個參數：


* 軌道傾角 ( $i\,\!$ )

* 升交點黃經 ( $\Omega \,\!$ )

* 離心率 ( $e\,\!$ )

* 近日點輻角 ( $\omega \,\!$ )

* 半長軸 ( $a\,\!$ )

* 在指定曆元的平近點角 ( $M_{o}\,\!$ )

（或是近日點通過時間 ( $T_{o}\,\!$ )）

克卜勒的元素可以使用軟體 VEC2TLE 從軌道狀態向量或是一些計算直接得到。我們可以看見前三個軌道元素可以簡單的由其他基本座標系統的歐拉角定義，接下來的兩個元素則是描述軌道的形狀，最後一個則是指出在特定的時間上天體所在的位置。所有的這些軌道根數都是在未受擾動情況下的一條圓錐軌道，二體問題 — 橢圓、拋物、或雙曲。在更實際的設置下，一條受到擾動的彈道軌道，可以利用瞬時的焦點來規範圓錐曲線，這時的參數所定義出來的一系列的軌道總是正切於實際的彈道軌道，這種軌道稱為密切軌道。

注意被列出的最後一項是_指定暦元的平近點角_，_暦元_單純的只是被指定的時刻，因為衛星的平近點角經常會改變，因此我們必須指出測量出這個角度的時刻。如果我們選擇不同的時刻做測量，我們將得到不同數值的角度。進一步，當應用在真實的衛星上時，有許多種的力量作用於衛星上，都會導致軌道元素的微量改變。因為所有的元素都可能改變，暦元就顯得格外重要了。

軌道半長軸 $a$

橢圓軌道長軸的一半，有時可視作平均軌道半徑。
（double semimajorAxis = 1000 \
* Math.pow (Math.sqrt (gravityParam) /tle.getMeanMotion (), 2.0 / 3);// 半長軸）

軌道偏心率 $e$

為橢圓扁平程度的一種量度，定義是橢圓兩焦點間的距離與長軸長度的比值。 就是 e=c/a。

軌道傾角 $i$

行星軌道面對黃道面的傾角；在升交點處從黃道面逆時針方向量到行星軌道面的角度。

升交點黃道經度 $\Omega $

行星軌道升交點的黃道經度。

近日點幅角 $\omega $

從升交點沿行星運動軌道逆時針量到近日點的角度。

指定曆元的平近點角 $M_{0}$

行星對應於 t0 時該的平近點角。

使用以上的軌道根數，可找出天體按克卜勒軌道（即二體問題中的軌道）運行的位置，但在實際問題中，若天體所受的其他作用力不可忽略，便需加入這些攝動項來修正其位置。



其他的表示法

可以用平近點角 $M\,\!$ 、平黃經、真近點角或罕見的以偏近點角取代指定曆元的平近點角（有時暦元本身就是一個軌道根數）。其他的軌道根數，像是軌道週期可以從克卜勒的元素計算出來，在這種情況下，軌道週期會取代軌道半長徑成為一個軌道元素。在特定的曆元下，可以只使用五個軌道根數來描述軌道，但這只有在平近點角的數值為 0 時的特殊狀況下才能適用（明確的說，第六個根數是已知的，因為我們要求他必須是 0，這樣才能在記錄下暦元和五個軌道根數來指定軌道）。



具體化一個軌道

在圖一，軌道平面（黃色）與一個被稱為黃道平面（灰色）的參考平面相交，以升交點和降交點的連線貫穿質量中心。這個平面和春分點（♈）組成一個參考座標系統，軌道根數可以在這個參考座標上以度數來顯示：



外部連結


* Keplerian Elements tutorial

* another tutorial （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* Spacetrack Report No. 3 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, a really serious treatment of orbital elements from NORAD (in pdf format)

* Celestrak Two-Line Elements FAQ

* The JPL HORIZONS online ephemeris.（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Also furnishes orbital elements for a large number of solar system objects.

* Introduction to the JPL ephemerides （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* State vectors: VEC2TLE Access to VEC2TLE software
平均輻射溫度被定義為一個假想的外殼所受之輻射能的等效均勻的溫度，用以評估周遭環境由輻射熱傳遞帶給人體的能量。平均輻射溫度還對熱舒適性指數，如生理等效溫度（PET）或預測的平均投票（PMV）有很大影響。 我們對身處於建築物中的熱舒適性感受，與該空間中的空氣溫度和表面溫度十分相關。藉由控制操作操作溫度（多指空氣溫度）和平均輻射溫度可以創造更舒適的空間。 另外也可以透過通過對建築物內部的設計與使用輻射冷卻和輻射加熱裝置來達成。

平均輻射溫度是基於以下物理原理：兩個物體之間的輻射能淨交換等於它們的發射和吸收熱量的能力（由 Stefan-Boltzmann 定律計算）乘上發射率與視界因子。



計算方式

由於人體損失或吸收的輻射熱量是其裸露的部分與周圍的物體交換的所有輻射通量的總和，因此平均輻射溫度可以從測得的周圍表面的溫度及其相對於表面的位置來計算。

其中最最簡單也最不準確的形式，它是周遭每個表面的溫度以各個表面的面積加權平均所得的值，表示為式（1）：

（1） $MRT=T_{1}A_{1}+T_{2}A_{2}+...+T_{n}A_{n}$ 此處：

　
: $MRT$  是平均輻射溫度；

　
: $T_{n}$        是表面溫度，以絕對溫標為單位，以下標 n 為各個表面編號；

　
: $A_{n}$   是各個表面的面積。

然而物體所接收到的熱輻射除了與周圍表面的溫度、面積有關，同時與這些表面對於物體的視界因子有關。因此，有必要測量這些溫度以及人與周圍表面之間的視界因子。 大多數建築材料的發射率 ε 高，因此可以假定房間內的所有物體表面都是黑體。根據 Stefan-Boltzmann 定律，平均輻射溫度的四次方等於周圍表面溫度四次方的平均值，並分別乘以各個表面相對應的視界因子。表示為式（2）：

（2） $MRT^{4}=T_{1}^{4}F_{p-1}+T_{2}^{4}F_{p-2}+...+T_{n}^{4}F_{p-n}$ 此處：

　
: $MRT$  是平均輻射溫度；

　
: $T_{n}$        是表面溫度，以絕對溫標為單位，以下標 n 為各個表面編號；

　
: $F_{p-n}$   是人與表面 n 之間的角度因子。

如果外殼表面之間存在相對較小的溫差，則可以將方程簡化為以下線性形式： 

（3） $MRT=T_{1}F_{p-1}+T_{2}F_{p-2}+...+T_{n}F_{p-n}$

該線性公式趨向於給出較低的 MRT 值，但是在室溫狀態下，差異很小。

通常，難以計算視界因子，此外，隨著表面數量的增加並且形狀複雜，該方法變得複雜且耗時。當前尚無有效收集此數據的方法。因此，確定平均輻射溫度的簡便方法是使用特定溫度計對其進行測量。



測量方式

可以使用黑球溫度計估算 MRT。黑球溫度計由一個黑球組成，在其中心放置一個溫度傳感器，例如水銀溫度計或熱電偶。球形罩理論上可以具有任何直徑，但當球形罩的直徑越小，空氣溫度和空氣速度的影響越大，因此導致平均輻射溫度的測量精度降低，且用於計算平均輻射溫度的公式取決於球形罩的直徑，因此直徑為 0.15 公尺（5.9 英寸）通常建議中指定與這些公式一起使用。

為了使地球儀的外表面吸收來自外殼壁的輻射，地球儀的表面應通過電化學塗層或更一般地通過一層磨砂黑來變暗塗料。 該溫度計實際上測量的是黑球溫度（globe temperature，GT），在對流和輻射的作用下，熱效應趨於熱平衡，而對流和輻射來自外殼中不同熱源。由於這個原理，知道 GT 可以確定平均輻射溫度 MRT。 根據 ISO 7726 標準，最常用的方程式（強制對流）如下：

（4） $MRT=\left[\left(GT+273\right)^{4}+{\frac {1.1\cdot 10^{8}\cdot v_{a}^{0.6}}{\varepsilon \cdot D^{0.4}}}(GT-T_{a})\right]^{1/4}-273$

　
: $MRT$ 是平均輻射溫度（°C）；

　
: $GT$      是地球溫度（°C）；

　
: $v_{a}$        是地球高度的風速（m /s）；

　
: $\varepsilon $          是球體的發射率（無單位）；

　
: $D$         是地球儀的直徑（米）；

　
: $T_{a}$        是氣溫（°C）;

對於標準黑球（D = 0.15 m， $\varepsilon $ = 0.95），可改寫式（4）為：

（5） $MRT=\left[\left(GT+273\right)^{4}+2,5\cdot 10^{8}\cdot v_{a}^{0,6}(GT-T_{a})\right]^{1/4}-273$

測量值還是會受空氣流動的影響，因為測量的黑球溫度取決於對流和輻射熱傳。通過有效地增加溫度計的尺寸，可降低對流熱傳的影響，並按比例增加輻射的影響。由於局部對流氣流，黑球溫度通常位於空氣溫度和平均輻射溫度之間。空氣越過地球溫度計越快，GT 越接近空氣溫度。

此外，由於平均輻射溫度是相對於人體定義的，因此傳感器的形狀也是一個因素。地球溫度計的球形形狀可以合理地近似就座的人。對於站立的人來說，在輻射不均勻的環境中，地球會高估地板或天花板上的輻射，因此橢球傳感器可以提供更好的近似值。

使用黑球溫度計時，還需要採取其他一些預防措施，具體取決於測量條件。此外，有兩種測量方法，例如雙球輻射計和恆溫空氣傳感器。



相關條目


* 熱舒適性

* 加熱，通風和空調

* 熱指標
平均運動， $n\,\!$ 是表徵一顆衛星繞其橢圓軌道運行速度的物理量。除了軌道是正圓形外，平均運動都是一個平均值，並不能反映出即時的角速率。

在衛星軌道參數中，平均運動的單位一般為「周期 / 天」。



計算公式

$$
n={\sqrt {\frac {G(M\!+\!m)}{a^{3}}}}\,\!
$$

其中

 
* $G\!$ 為引力常量。

* $M\!$ 及 $m\!$ 為繞行天體的質量。

* $a\!$ 為半長軸。



相關公式

$$
n={\frac {2\pi }{P}}={\frac {360}{P}}
$$

平均運動也可以用弧度或角度表達。其中 P 為繞行周期。

或

$$
n={\frac {M_{1}-M_{0}}{t}}
$$

其中 M1 和 M0 為在特定位置時一段時間 t 的平近點角。M0 常常表示「某曆元的平近點角」，t 為該曆元已經經歷的時間。



參見


* 克卜勒軌道

* 平近點角
在代數拓撲中，拓撲空間 $X$ 上的平均運算（mean operation）是 $X$ 上的連續、交換、冪等的二元運算。若這個運算還是結合的，則它定義了一個半格。確定什麼樣的空間上允許有平均運算是一個經典的問題。例如，歐氏空間上可以定義平均運算，就是通常的向量平均值。但 n 維球面（n 為正整數）上不行，包括圓。



延伸閱讀


* Aumann, G., Über Räume mit Mittelbildungen., Mathematische Annalen, 1943, 119 (2): 210–215 [2019-11-19], doi:10.1007/bf01563741, （原始內容存檔於 2016-03-06） .

* Sobolewski, Mirosław, Means on chainable continua, Proceedings of the American Mathematical Society, 2008, 136 (10): 3701–3707, doi:10.1090/s0002-9939-08-09414-8 .

* T. Banakh, W. Kubis, R. Bonnet, Means on scattered compacta, Topological Algebra and its Applications, 2014, 2 (1) [2019-11-19], arXiv:1309.2401 , doi:10.2478/taa-2014-0002, （原始內容存檔於 2021-05-06） .

* Charatonik, Janusz J., Selected problems in continuum theory (PDF), Topology Proceedings, 2003, 27 (1): 51–78 [2019-11-19], MR 2048922, （原始內容存檔 (PDF) 於 2016-04-27） .
平近點角（Mean Anomaly）在軌道力學中是軌道上的物體在輔助圓上相對於中心點的運行角度，在測量上不同於其他的近點角，平近點角與時間的關係是線性的。因為與時間是線性的關係，因此要計算在軌道上兩點之間移動所需的時間是非常容易的。計算兩點之間的平近點角就能得知其間的不同，只要知道，兩點之間的移動時間相對於整個軌道 $2\pi $ 的週期是一個簡單的比例式（也就是 ${\frac {M_{2}-M_{1}}{2\pi }}={\frac {t}{T}}$ ）。

此處平近點角的測量是以近拱點為 0，以弳度量來測量的，而每經過近拱點一次度量的值就增加 $2\pi $ 。在下圖中，在環繞 s 的軌道上， $p$ 點的平近點角是 $M$ （角 $\angle zcy$ ）。

點 _y_ 被定義是在圓上的扇形區域 _z-c-y_ 的面積與橢圓上的扇形區域 _z-s-p_ 面積比，等同於橢圓半長軸與半短軸的比。或是，換言之，圓的扇形面積 _z-c-y_ 與 _x-s-z_ 的區域面積相等。



計算

在天文學，平近點角 $M\,\!$ 可以由下面的計算導出：

　
: $M=M_{0}+n(t-t_{0})\,\!$

此處：

 
* $M_{0}\,\!$ 是在時間 $t_{0}\,\!$ 時的平近點角，

* $t_{0}\,\!$ 是開始的時間，

* $t\,\!$ 是經過的時間，而

* $n\,\!$ 是平均運動。

另一種形式為：

　
: $M=E-e\cdot \sin E\,\!$

此處：

 
* $E\,\!$ 是軌道的偏近點角，

* $e\,\!$ 是軌道的離心率。



相關條目


* 克卜勒行星運動定律

* 偏近點角

* 真近點角
平坊滿族鄉，是中華人民共和國河北省承德市灤平縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。



行政區劃

平坊滿族鄉下轄以下地區：

平坊村、​東山村、​馬圈子村、​於營村、​黃木溝村、​偏嶺村、​路營村和十八盤村。
平坊站是一個京通線上的鐵路車站，位於河北省承德市灤平縣平坊滿族鄉，建於 1973 年，目前為四等站，郵政編碼為 068250。目前客運：辦理旅客乘降；行李、包裹託運；不辦理貨運營業。



鄰近車站
平坊鎮是中國黑龍江省哈爾濱市賓縣下轄的一個鎮，位於縣境西部。
平坐，或作「平座」，東亞傳統建築的附屬部分，是樓閣式建築的重要構成。為建築主體懸挑出的木構架，類似於陽台。平坐有兩種形式：由斗拱承托或坐在屋檐上層。唐宋之後以第一種方式居多。



參考


* 李建平 (編). 中国古建筑名词图解辞典。山西科學技術出版社. 2011. ISBN 9787537731591.

* 王其鈞 (編). 中国建筑图解词典。機械工業出版社. 2006. ISBN 9787111200956.



參見


* 廊台
平壩區位於貴州省中部，隸屬於安順市。全縣面積 999 平方公里。縣城面積 17.5 平方公里。2014 年 12 月國務院正式批准撤銷平壩縣設立安順市平壩區。



歷史


* 春秋，屬牂牁古國。

* 戰國，屬大夜郎國至夜郎邑。

* 秦，屬象郡所轄夜郎縣。

* 漢，屬牂牁郡所轄夜郎縣。

* 西晉，改屬牂牁並渠縣。東晉時，屬夜郎郡之廣談縣。

* 南齊，牂牁郡改稱南牂牁郡，夜郎郡所領不變。

* 隋，屬牂牁郡賓化縣。

* 唐，轄區分割更迭較大，東南部屬琰州應江，大部分地區又屬清州，西南部曾屬羅氏鬼國和羅甸國。

* 宋，屬紹慶府普里部。

* 元初，屬普定路及普定府、宣慰司、金築府。

* 明，平壩地方政權始逐步建立。隸於貴州都司，下轄 5 個千戶所，設指揮使 1 名，為軍政合一建置。

* 清，設縣，名安平縣，隸於貴西道安順府。

* 民國，安平縣改名為平壩縣，隸屬貴州都督府安順府黔西道（又稱貴西道）。民國十二年至三十五年（1923～1946 年），先後隸屬於貴州省第二、第三行政督察區及直屬省轄

* 中華人民共和國成立 1949 年，隸屬貴州省安順專區，轄人民政府駐安平鎮（今城關鎮）。

* 2014 年 12 月，國務院批准撤銷平壩縣設立安順市平壩區。



行政區劃

平壩區下轄 2 個街道辦事處、7 個鎮、2 個民族鄉：

鼓樓街道、​安平街道、​白雲鎮、​天龍鎮、​高峰鎮、​夏雲鎮、​樂平鎮、​齊伯鎮、​馬場鎮、​十字回族苗族鄉和羊昌布依族苗族鄉。


* 2000 年，轄 2 街道辦事處 7 鎮 2 鄉

* 2003 年，轄 8 鎮、2 鄉（個民族鄉）

* 2014 年，撤銷城關鎮設 2 街道辦，共轄 2 街道辦事處，7 鎮，2 民族鄉。



交通狀況

航空


* 貴陽龍洞堡國際機場，距平壩區 48 公里。

* 安順黃果樹機場，距平壩區 38 公里。

鐵路


* 貴昆鐵路，株六鐵路。

* 滬昆高鐵

公路


* 國道：滇黔公路（ 210 國道）， 320 國道

* 高速：貴黃高速公路、清黃高速公路、 滬昆高速、 廈蓉高速

* 省道： 102 省道

水路



旅遊資源


* 貴安櫻花園：位於平壩農場，有 70 萬株櫻花。

* 天龍屯堡古鎮：中國境內現存完好保持明朝漢裝的老漢族居住地。

* 紅楓湖南湖

* 珍珠泉



參考文獻



外部連結


* 安順市平壩區人民政府
平壩鎮，是中華人民共和國貴州省畢節市金沙縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。

2013 年 6 月 28 日，貴州省人民政府批覆同意金沙縣部分鄉鎮撤併，以原箐門苗族彝族仡佬族鄉、平壩鄉地域為平壩鎮行政區域，鎮人民政府駐平莊村。



行政區劃

平壩鎮下轄以下地區：

平莊村、​金塔村、​雙興村、​三岔村、​金平村、​新農村、​新莊村、​尖坡村、​蒼山村、​八一村、​三鍋村、​大山村、​新寨村、​光明村、​慶祝村、​朝陽村、​慶豐村、​洪河村和箐門苗族彝族仡佬族鄉。
平壩鳳仙花（學名：_Impatiens ganpiuana_）為鳳仙花科鳳仙花屬下的一個種。



參考文獻



擴展閱讀
以下為貴州省安順市平壩區各級文物保護單位列表。



全國重點文物保護單位



貴州省文物保護單位
平壩南站位於中華人民共和國貴州省安順市平壩區，是滬昆客運專線上的高鐵站，於 2016 年 12 月 28 日啟用，由成都鐵路局貴陽車務段管轄。



車站周邊


* 白雲鎮金梯村村民委員會

* 黎陽職工醫院

* 平壩區白雲鎮大寨小學

* 黎陽中學



歷史


* 2016 年 12 月 28 日正式啟用。



鄰近車站



參考資料



外部連結


* 中國鐵路客戶服務中心 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平壩窖酒是貴州省安順市平壩區產的一種兼香型白酒，平壩窖酒用高粱和糯谷為原料，用大米和七十二味中藥制小曲，用小麥和三十餘味中藥制大曲，以小曲糖化、大曲發酵工藝釀成。1957 年推出後廣受歡迎和多次獲獎，酒廠在 2012 年一度停產，幾經重組後於 2017 年恢復生產。



參考文獻
平壩站是位於貴州省平壩縣鼓樓街道的一個鐵路車站，郵政編碼 561100。車站建於 1960 年，有滬昆鐵路經過該站，現僅辦理貨運，不辦理客運業務，車站及其上下行區間均已電氣化。車站距離貴陽站 55 公里，隸屬成都鐵路局，是四等站。
平壩鎮，是中華人民共和國雲南省文山壯族苗族自治州文山市下轄的一個鄉鎮級行政單位。



行政區劃

平壩鎮下轄以下地區：

平壩村、​得白村、​石洞門村、​平地村、​底泥村、​長沖村、​沙子洞村、​土戈寨村、​小壩子村、​杜孟村、​者安村、​黃草壩村和臘窩村。
平壩馬先蒿（學名：_Pedicularis ganpinensis_）為列當科馬先蒿屬的植物，為中國的特有植物。分布於中國大陸的貴州等地，生長於海拔 1,300 米的地區，常生於山上草坡中。



參考文獻
翠微山，舊稱平坡山，位於北京市石景山區，是北京西山南麓的一座小山。該山和覺山（俗稱「虎頭山」）、盧師山並稱「三山」。



簡介

明朝《順天府志》稱：「覺山與北之平坡、東之盧師三山相咫尺，鼎足然。」可知明朝初年，西為覺山，北為平坡山，東為盧師山。《御製大圓通寺碑》稱，洪熙元年（1425 年），明仁宗敕令重修平坡山的平坡寺，並賜名「大圓通寺」（今稱香界寺），並且改平坡山為「翠微山」。清朝《日下舊聞考》也有相關記載。龔自珍《說京師翠微山》稱：翠微山「最高處曰寶珠洞，山址曰三山庵。」

翠微山上自南向北分布著八大處的三處三山庵、四處大悲寺、五處龍王堂、六處香界寺、七處寶珠洞。

有的現代文獻將翠微山同覺山、盧師山混為一談。



參考文獻
平坡鎮，是中華人民共和國雲南省大理白族自治州漾濞彝族自治縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。



行政區劃

平坡鎮下轄以下地區：

平坡村、​向陽村、​石坪村和高發村。
在抽象代數中，一個環 $R$ 上的平坦模是一個 $R$ - 模 $M$ ，使得函子 $-\otimes _{R}M$ 保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模

域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。對於一個局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。

自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。



交換環的情形

當 $R$ 為交換環，一個 $R$ - 模的平坦性等價於 $N\mapsto N\otimes _{R}M$ 是個從 $R$ - 模到 $R$ - 模之正合函子。

將環 $R$ 對一個積性子集 $S$ 的局部化 $S^{-1}R$ 視作 $R$ - 模，則它是平坦的。

當 $R$ 是諾特環而 $M$ 是有限生成 $R$ - 模時，平坦性在下述意義等價於局部自由模： $M$ 是平坦 $R$ - 模若且唯若對任何質理想 ${\mathfrak {p}}$ ，局部化 $M_{\mathfrak {p}}$ 是自由 $R_{\mathfrak {p}}$ - 模。事實上，對條件中的 ${\mathfrak {p}}$ 僅須考慮極大理想即可。



一般的環

當 $R$ 非交換時的定義須作如下修改：假設 $M$ 是左 $R$ - 模，則稱之左平坦模，若且唯若對 $M$ 的張量積將右 $R$ - 模的正合序列映至阿貝爾群的正合序列。

環上的張量積總是右正合函子，所以左 $R$ - 模 $M$ 是平坦模的充要條件是：對任何右 $R$ - 模的單射 $K\rightarrow L$ ，取張量積後的同態 $K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M$ 仍為單射。



極限

一般來說，平坦模的歸納極限仍是平坦模；此陳述可由 $-\otimes _{R}M$ 與 $\mathrm {Hom} _{R}(M,-)$ 的伴隨性質形式地推出。平坦模的子模與商模不一定是平坦模，然而我們有下述定理：一個平坦模的同態像是平坦模，若且唯若其核為純子模。

Lazard 在 1969 年證明了：模 $M$ 平坦的充要條件是它可表成有限生成自由模的歸納極限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一個阿貝爾群是平坦 $\mathbb {Z} $ - 模的充要條件是其中沒有撓元。



同調代數

與 Tor 函子的關係

平坦性也可以用 Tor 函子的消沒性表示。Tor 函子是張量積的左導函子。一個左 $R$ - 模 $M$ 的平坦性等價於 $n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(-,M)=0$ ；類此，一個右 $R$ - 模 $N$ 的平坦性等價於 $n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(N,-)=0$ 。藉 Tor 函子的長正合序列可以導出下列關於基本性質：

考慮短正合序列

　
: $0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0$


* 若 $A,C$ 平坦，則 $B$ 亦然。

* 若 $B,C$ 平坦，則 $A$ 亦然。

* 若 $A,B$ 平坦， $C$ 不一定平坦；若假設 $A$ 是 $B$ 的純子模而 $B$ 平坦，則可推出 $A$ 與 $C$ 皆平坦。

局部判準

設 $R$ 為交換環， $I\subset R$ 為一理想，則我們有下述平坦性的局部判準。

定理（Bourbaki）. 以下諸條件等價：

 1. $M$ 是平坦 $R$ - 模。
2. $R/I\otimes _{R}M$ 是平坦 $R/I$ - 模，且 $\mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,R/I)=0$ 。
3. $R/I\otimes _{R}M$ 是平坦 $R/I$ - 模，且典範同態 $I\otimes _{R}M\rightarrow IM$ 為同構。
4. 對所有 $R$ - 模 $N$ ，有 $IN=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0$ 。
5. 對所有 $R$ - 模 $N$ ，有 $\exists s\in \mathbb {N} \;I^{s}N=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0$ 。
6. 對所有 $s\in \mathbb {N} $ ， $R/I^{s}\otimes _{R}M$ 是平坦 $R/I^{s}$ - 模。
7. $R/I\otimes _{R}M$ 是平坦 $R/I$ - 模，且典範態射 $\gamma :\mathrm {gr} _{I}^{0}(M)\otimes _{R/I}\mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(A)\rightarrow \mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(M)$ 為同構。

此判準在代數幾何中的用途尤大。



平坦分解

一個模 $M$ 的平坦分解是如下形式的正合序列：

　
: $\cdots \rightarrow F_{i}\rightarrow F_{i-1}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$

使得其中每個 $F_{i}$ 都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。



忠實平坦模

一個 $R$ - 模 $M$ 被稱作忠實平坦的，若且唯若 $-\otimes _{R}M$ 是個忠實的正合函子。這也就是說：

 1. $M$ 是個平坦 $R$ - 模。
2. 典範映射 $\mathrm {Hom} _{R}(N_{1},N_{2})\rightarrow \mathrm {Hom} (N_{1}\otimes _{R}M,N_{2}\otimes _{R}M)$ 是單射。

當 $R$ 為交換環時，有以下幾種等價的刻劃：

 
* $M$ 是忠實平坦的。

* $M$ 是平坦的，且 $N\otimes _{R}M=0\Rightarrow N=0$ 。

* $M$ 是平坦的，且對所有極大理想 ${\mathfrak {m}}\subset R$ 都有 $R/{\mathfrak {m}}\otimes _{R}M\neq 0$ 。

* 一個序列 $N_{\bullet }$ 正合，若且唯若 $N_{\bullet }\otimes _{R}M$ 正合。



文獻


* Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33

* Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.
平坦鄉，是中華人民共和國四川省內江市東興區下轄的一個鄉鎮級行政單位。



行政區劃

平坦鄉下轄以下地區：

平灘社區、​雙龍村、​成新村、​十里村、​聚源村、​清涼村、​寨花村、​利子村、​白家村、​獨石村、​姜家村、​寶塔村、​曬魚村、​水梨村、​雲峰村、​老灘村、​蘭家村、​石院村和夏家沖村。
系統科學中的平坦性（Flatness）是一種系統的特性，將線性時不變系統理論中的可控制性擴展到非線性動力系統。具有平坦性的系統稱為平坦系統。平坦系統具有（虛擬的）平坦輸出，可以用平坦輸出以及其有限微分的組合來顯式表示所有的狀態以及輸入。



定義

非線性系統 ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t)),\quad \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0},\quad \mathbf {u} (t)\in R^{m},\quad \mathbf {x} (t)\in R^{n},{\text{Rank}}{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}=m$

具有平坦性，假設存在輸出

$$
\mathbf {y} (t)=(y_{1}(t),...,y_{m}(t))
$$

滿足以下條件：


* 信號 $y_{i},i=1,...,m$ 可以表示為狀態 $x_{i},i=1,...,n$ 及輸入 $u_{i},i=1,...,m$ 、以及輸入對時間的有限次微分 $u_{i}^{(k)},k=1,...,\alpha _{i}$ 的函數： $\mathbf {y} =\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {u} ,{\dot {\mathbf {u} }},...,\mathbf {u} ^{(\alpha )})$ 。

* 狀態 $x_{i},i=1,...,n$ 及輸入 $u_{i},i=1,...,m$ 可以表示為輸出 $y_{i},i=1,...,m$ 以及其對時間的有限次微分 $y_{i}^{(k)},i=1,...,m$ 的函數。

* $\mathbf {y} $ 的元素是微分獨立的，也就是說，不會使以下的微分方程成立 $\phi (\mathbf {y} ,{\dot {\mathbf {y} }},\mathbf {y} ^{(\gamma )})=\mathbf {0} $ 。

若上述條件至少有在局部成立，則（可能是虛擬的）輸出則稱為平坦輸出，系統即為平坦系統。



和可控制性的關係

線性時不變系統 ${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t),\quad \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0}$ 若 $\mathbf {x} ,\mathbf {u} $ 的信號維度相同，對應非線性系統平坦性的充分必要條件是系統有可控制性。因此線性時不變系統中這二種性質是等效的，可以互換。



重要性

平坦性的特性可以用在分析非線性動態系統，以及合成其控制器上。在解決軌跡規劃問題和漸近設定點追隨控制時特別好用。



參考資料


* M. Fliess, J. L. Lévine, P. Martin and P. Rouchon: Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples. _International Journal of Control_ 61(6), pp. 1327-1361, 1995 [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* A. Isidori, C.H. Moog et A. De Luca. A Sufficient Condition for Full Linearization via Dynamic State Feedback. 25th CDC IEEE, Athens, Greece, pp. 203 - 208, 1986 [2]



相關條目


* 控制理論

* 控制工程

* 平坦擬譜法
在無線通訊領域，衰落是指由於頻道的變化導致接收訊號的振幅發生隨機變化的現象，即訊號衰落。導致訊號衰落的頻道被稱作衰落頻道。

衰落可按時間、空間、頻率，三個角度來分類。

在時間上，分為慢衰落和快衰落。慢衰落描述的是訊號振幅的長期變化，是傳播環境在較長時間、較大範圍內發生變化的結果，因此又被稱為長期衰落、大尺度衰落。快衰落則描述了訊號振幅的瞬時變化，與多徑傳播有關，又被稱為短期衰落、小尺度衰落。慢衰落是快衰落的中值。

在空間上，分為瑞利衰落和萊斯衰落。瑞利衰落適用於從發射機到接收機不存在直射訊號的情況；相反，萊斯衰落適用於發射機到接收機存在直射路徑的情況。

在頻率上，分為平坦性衰落和選擇性衰落。



參見


* 無線通訊

* 頻道

* 多徑

* 雨致衰減

* 分集技術
平坦擬譜法（flat pseudospectral method）是由 Ross 和 Fahroo 提出 Ross–Fahroo 擬譜法中的一部份 。此方法結合了微分平坦性 以及擬譜最佳控制的概念，在所謂的平坦空間中產生輸出。



概念

因為擬譜法中的微分矩陣 $D$ 為方陣，因此可以用 $D$ 的冪次產生多項式 $y$ 的任意階導數

　
: ${\begin{aligned}{\dot {y}}&=DY\\{\ddot {y}}&=D^{2}Y\\&{}\ \vdots \\y^{(\beta )}&=D^{\beta }Y\end{aligned}}$

其中 $Y$ 為擬譜變數，而 $\beta $ 是正整數。 
利用微分平坦性，可確定存在函數 $a$ 及 $b$ ，可以使狀態變數及控制變數以下式表示

　
: ${\begin{aligned}x&=a(y,{\dot {y}},\ldots ,y^{(\beta )})\\u&=b(y,{\dot {y}},\ldots ,y^{(\beta +1)})\end{aligned}}$

結合上述概念可以得到平坦擬譜法，將 x 和 u 寫成下式

　
: $x=a(Y,DY,\ldots ,D^{\beta }Y)$

　
: $u=b(Y,DY,\ldots ,D^{\beta +1}Y)$

因此最佳控制問題可以轉換為只和擬譜變數 Y 有關的問題。



相關條目


* 羅斯 π 引理

* Ross–Fahroo 引理

* 貝爾曼擬譜法
平面檔案資料庫是儲存在一個叫做平面檔案的資料庫。此類資料庫沒有索引或資料之間關係的結構。而一個平面檔案可以是一個純文字檔案，也可以是一個二進位檔案。資料之間的關係可以從資料庫中的資料推斷出來，但資料庫格式本身並不明確這些關係。平面檔案資料庫通常為小型資料庫。



參考文獻
烏爾禾龍屬（屬名：_Wuerhosaurus_，意為「烏爾禾的蜥蜴」）是種生存於早白堊紀中國的劍龍科恐龍，是少數存活到白堊紀早期的劍龍類恐龍。烏爾禾龍身長約 6 公尺。與其他劍龍科相比，烏爾禾龍的背部骨板較圓、較平坦。



發現與種

烏爾禾龍目前有兩個種。模式種是平坦烏爾禾龍（_W. homheni_），由董枝明在 1973 年於中國新疆烏爾禾的吐谷魯組地層發現。正模標本（編號 IVPP V.4006）是一個破碎的身體骨頭，缺乏頭顱骨。副模標本（編號 IVPP V4007）是三節尾椎，來自於另一個個體。

另一個較小的種額多烏爾禾龍（_W. ordosensis_，又譯鄂爾多斯烏爾禾龍），化石於中國內蒙古鄂爾多斯盆地的伊金霍洛組地層發現，並由董枝明在 1993 年正式命名。正模標本（編號 IVPP V6877）是一個破碎身體骨骼，缺乏頭顱骨，發現於 1988 年。

在 2008 年，Susannah Maidment 等人提出烏爾禾龍是劍龍的一個次異名，主張將烏爾禾龍的模式種改列為劍龍屬的一種，_Stegosaurus homheni_；而額多烏爾禾龍（_W. ordosensis_）則成為疑名。這個分類法還沒有被普遍接受。



敘述

平坦烏爾禾龍可能是身體寬廣的動物。在 2010 年，美國古生物學家葛瑞格利・保羅（Gregory S. Paul）估計平坦烏爾禾龍的身長約 7 公尺，體重估計約 4 公噸。但目前只發現分散的骨頭，因此難以重建生前的全貌。與其他劍龍科相比，烏爾禾龍的背部骨板較圓、較平坦。但 Susannah Maidment 等人認為這些骨板曾遭到外力改變形狀，因此無法確定其生前形狀。平坦烏爾禾龍的腸骨明顯地向前、呈喇叭狀，顯示牠們有非常寬廣的腹部。尾巴神經棘非常長。

額多烏爾禾龍的體型較小，身長估計約 5 公尺，體重約 1.2 公噸。牠們也有寬廣的骨盆，但尾巴神經棘較短。額多烏爾禾龍的頸部較長。



古生物學

烏爾禾龍的身體較其他劍龍科低；科學家認為這是因為烏爾禾龍以低層植被為食的適應結果。不像劍龍屬，烏爾禾龍有較短、較圓的骨板，功能目前還在爭論中。烏爾禾龍如同其他劍龍類，擁有四根尾部尖刺，這些尖刺最可能用來自我防衛。董枝明曾把大型尖刺放置在肩膀位置。



參考文獻


* Dong Zhiming. Dinosaurian Faunas of China. China Ocean Press, Beijing. 1992. ISBN 978-3-540-52084-9.



外部連結


* https://web.archive.org/web/20090729092426/http://www.thescelosaurus.com/stegosauria.htm
平坦鎮可以指：


* 平坦鎮 (陽泉市)，中華人民共和國山西省陽泉市郊區下轄的鎮

* 平坦鎮 (內江市)，中華人民共和國四川省內江市東興區下轄的鄉
平坦鎮，是中華人民共和國山西省陽泉市郊區下轄的一個鄉鎮級行政單位。



行政區劃

平坦鎮下轄以下地區：

西河村、​石卜嘴村、​龍鳳溝村、​甘河村、​桃林溝村、​魏家峪村、​大村、​半坡村、​廟上村、​北頭嘴村、​前莊村、​賽魚村、​官溝村、​南山村、​小南溝村、​大南溝村、​老坪掌村、​富山村、​辛興村、​神堂嘴村、​馬家坡村、​石板片村、​吳家掌村、​李家山村、​侯家山村、​張家岩村、​常家山村、​東西畛村、​蘆葫村、​坡頭村、​桑掌村、​中莊村、​北垴村、​西上莊村、​後峪村、​曹里村、​長吉嶺村和龍門村。

2017 年 4 月 1 日陽泉市政府通過《關於城區、礦區託管郊區部分（鄉）鎮、行政村的意見（代擬稿）》，平坦鎮的 18 個村交由陽泉市礦區託管：

賽魚村、大南溝村、南山村、小南溝村、石卜咀村、西河村、富山村、廟上村、前莊村、老坪掌村、北頭咀村、大村村、半坡村、吳家掌村、石板片村、馬家坡村、神堂咀村、官溝村。



中國傳統村落

2013 年 8 月，官溝村獲批第二批中國傳統村落。
平坦隱綿蟹（學名：_Cryptodromia planaria_）為綿蟹科隱綿蟹屬的動物。在中國大陸，分布於西沙群島等地，生活環境為海水，多棲息於珊瑚礁淺水中。



參考文獻
平坦鞘群海葵（學名：_Epizoanthus planus_）為鞘群海葵科鞘群海葵屬的動物。分布於大西洋、印度洋馬達加斯加以及中國東海等海域， 群體固著在棘皮動物海膽的棘上。



參考文獻
平型關位於中國山西省大同市靈丘縣西南白崖台鄉，臨近忻州市繁峙縣東北橫澗鄉，是明代內長城的一個重要關口。平型關因為中國抗日戰爭的平型關戰役而家喻戶曉。

 
平型關的名字來源於「瓶形」。北宋時期是宋遼國界，稱作瓶形寨，金朝時稱瓶形鎮，明朝時稱瓶形嶺關，之後改為今名。
平型關戰役遺址，位於山西省靈丘縣關溝村與繁峙縣平型關村之間山嶺上，為第一批全國重點文物保護單位。

平型關關隘建於明代。1937 年，侵華日軍第五師團及關東軍進攻山西。中華民國第二戰區司令長官閻錫山命傅作義部前往抵抗，又調衛立煌部增援晉北。第十八集團軍 115 師受命在師長林彪率領下，於 1937 年 9 月 24 日在平型關東南山丘地帶設伏，襲擊日軍坂垣師團二十一旅團輜重部隊 500 餘人。。



參考文獻
平型關烈士陵園，曾名為靈丘縣烈士陵園，是大同市文物保護單位之一。陵園位於山西省大同市靈丘縣武靈鎮靈源村東南，總面積為 4 萬平方米，在 1965 年竣工，安葬了 566 名在平型關戰役陣亡的八路軍軍人或在同時期犧牲的抗日戰爭烈士，以及 74 名在修建京原鐵路時殉職的中國人民解放軍軍人。陵園在 1996 年列入靈丘縣文物保護單位，2011 年列入大同市文物保護單位，2015 年入選第二批國家級抗戰紀念設施、遺址名錄。



歷史

1962 年，中國共產黨靈丘縣委員會、靈丘縣人民委員會在山西省靈丘縣興建一座烈士陵園，為此調集了當地全數技藝優良的工匠。靈丘縣又發動該縣民眾把抗日戰爭烈士的遺體運到烈士陵園，例如派人到村莊裡起回八路軍軍人的屍體，由村內親歷戰火的長者指認；剛移送至烈士陵園的骸骨以瓦缸裝殮，瓦片上標記了烈士的名字。1965 年 9 月 25 日，烈士陵園竣工，當時名為「靈丘縣烈士陵園」。1971 年發生了九一三事件，一些關於平型關戰役（抗日戰爭知名戰役，九一三事件主角林彪曾參與指揮）的紀念館停止開放，曾有文物因此運到靈丘縣烈士陵園裡保存。

到了 2002 年 9 月，中國共產黨靈丘縣委員會把其更名為「平型關烈士陵園」，以紀念平型關戰役中的烈士、並弘揚革命精神，由曾任全國政協副主席的楊成武親自為陵園題寫新名。



結構

平型關烈士陵園的總面積為 4 萬平方米，建築面積為 1,100 平方米，分為紀念瞻仰區、烈士墓丘區、辦公服務區此三部分。

紀念瞻仰區設立了烈士事跡陳列館、紀念塔、紀念亭和紀念堂。紀念塔是一座樓高三層的磚塔，呈六邊形，屋頂為六角攢尖頂；紀念亭同樣設有六角攢尖式屋頂，內有一塊以石灰岩製成的紀念碑。烈士紀念堂樓高二層，為磚木結構，屋頂樣式為硬山頂，外形好像倒轉的「凹」字；紀念堂內設有牌位，紀錄了 1,002 名籍貫為靈丘縣、而被批准為烈士者的姓名。

烈士墓丘區又分為主墓區和附墓區，主墓區設有 24 座墓丘，安葬了 566 名在平型關戰役陣亡的八路軍軍人、或在同時期犧牲的抗日烈士；附墓區則安葬 74 名在修建京原鐵路時殉職的中國人民解放軍軍人。



保護

平型關烈士陵園在 1987 年列入山西省重點烈士紀念建築物保護單位，1996 年列入靈丘縣文物保護單位、靈丘縣革命遺址、靈丘縣革命紀念建築物保護單位，2011 年列入大同市文物保護單位，2015 年入選第二批國家級抗戰紀念設施、遺址名錄。

平型關烈士陵園年代久遠，因而出現老化的現象。靈丘縣雖然面臨財政緊張，但每年也會籌集資金，來為陵園進行維修和美化工程，累計為此投資了最少一百萬元人民幣。2008 年，中華人民共和國民政部副部長羅平飛來訪平型關烈士陵園，並就陵園的發展提出意見，中國共產黨靈丘縣委員會、靈丘縣政府為此責成有關部門進行規劃工作。
平型關站位於中國山西省大同市靈丘縣白崖台鄉白崖台村，是京原鐵路的一個中間站，1973 年開站，離北京站約 288 公里，離原平站約 150 公里，現為四等站，西側為平型關隧道。本站及上下行區段屬非電氣化區間，現由太原鐵路局原平車務段管轄。

客運：僅辦理旅客乘降及包裹托運。

貨運：僅辦理專用線、專用鐵路貨運作業。



鄰近車站



參考資料



外部連結


* 平型關站：小站盛名天下
平型關路是中華人民共和國上海市靜安區一條南北走向道路，南起中山北路，北至走馬塘以北。道路最早於 1958 年修建，1965 年又向北延伸，道路名稱來自於山西省平型關。
橫澗鄉，是中華人民共和國山西省忻州市繁峙縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。因橫澗村居盆地中央，滹沱河由東向西橫貫全境，得名橫澗。1958 年建橫澗公社，1984 年 10 月改稱橫澗鄉。2019 年，撤鄉設平型關鎮。



行政區劃

橫澗鄉下轄以下地區：

西連仲村、​東連仲村、​東莊村、​小屯村、​辛莊村、​白坡頭村、​雲霧峪村、​石塘溝村、​孤山村、​前所村、​橫澗村、​小西溝村、​平型關村、​東淤地村、​西溝灣村、​東水溝村、​橋兒溝村、​朴子溝村、​河家窪村、​麻黃溝村、​孤山鋪村、​磨峪溝村、​西跑池村、​大柳樹村和四道溝村。



中國傳統村落

平型關村獲評「中國傳統村落」。



參見


* 平型關
平城可以指：


* 平城市，北韓平安南道平城市

* 平城區，中國山西省大同市所轄的一個市轄區，2018 年設立。

* 平城鎮，中國山西省陵川縣下轄的一個行政建制鎮

* 平城，中國古代王朝（如北魏等）的首都，即現在的山西省大同市，現存平城遺址

* 平城縣，中國古代同名的縣

* 日本平城京的別名

* 日本磐城平城的簡稱

* 平城站，至少兩個國家的同名鐵路車站

* 日本奈良縣立平城高等學校的簡稱

* 平城 (城郭分類)，日本古代的城堡，見城 (日本)
平城遺址，位於中國山西省大同市，為北魏時期修建的城池，現全國重點文物保護單位之一。

平城是以漢朝時期平城縣為基礎擴建，包括宮城、外城和城廓，歷史上從魏道武帝開始建都近一百年，對其進行不斷擴建，是北魏遷都前的帝都。



參考文獻
平城（ひらじろ、ひらじょう）係指建築於平原地帶的城堡。它是由江戶時代的軍事學者基於地形所做的一種城堡分類法。



概要

戰國時代以前皆以山城為主而鮮少建築平城（也有因無適合山坡地形的情況下而建築在平地的案例）。這是因為平時生活起居在山麓上的居館，城堡僅作為軍事用途而在戰時才會聚集於城堡處戰鬥。但是進入到戰國晚期，除了其作為軍事基地使用以外更加上了政治、經濟據點的功能考量，因此開始建築位於交通和商業要衝的平城。

現在，鄰接川、河、湖、海等處所築，利用自然水域作為防禦用途的城堡雖然被分類為水城（みずじろ、みずき），也還是有因築城位置是平地（低地）而被歸類為平城的案例。然而也有些水城是沿海、河邊的山所建，並非所有水城都可能被視為平城。

代表性的近代平城有：名古屋城、駿府城、二條城、廣島城等。看似平城的江戶城、大阪城實則被分類為平山城。另外， 高松城、 今治城、 中津城（以上為日本三大水城）、 高島城、膳所城等亦被分類為平城。



歷史

鎌倉時代初期至南北朝時代，武士居住於建在平地、由土壘與護城河圍成之「方形館（ほうけいやかた）」，成為之後的室町、戰國時代稱為「館、舘」的守護所（守護的居所）。守護所為當時模仿室町幕府的御所建，也多有將山城作為詰城（つめのしろ）建在水陸交通要衝的情況。

此外同類型的建築方式普及到地方領主，普遍認為近世平城主要到室町後期由織田信長所築室町第（足利義昭的居所）或二條城等所影響。

至近世開始在本丸建造天守。德川家康偏好平城並在平城中樞區域築起高層天守提升戰略價值（如名古屋城等） 。但是到了江戶時代，武家諸法度限制天守閣的建造為許可制，因其沒有必要性而停建、災害毀損、藩的財政困難等諸多理由而漸漸不再興築。



関連項目


* 山城

* 平山城

* 日本城堡列表



腳註

注釋

出典
白登之圍是公元前 200 年（漢高祖七年）漢高祖劉邦被匈奴圍困於白登山（今中國山西省大同市東北馬鋪山）的事件。



戰爭背景

匈奴是位於中國北方的游牧民族，據《史記・匈奴列傳》記載：「匈奴，其先祖夏后氏之苗裔也，曰淳維」。夏代稱為葷粥，商代稱為鬼方，周代稱為獫狁，秦代稱為匈奴，其生活以游牧為主，逐水草而居。秦始皇統一中國後，於前 214 年命蒙恬率領 30 萬秦軍北擊匈奴，收復河套，屯兵上郡（今陝西省榆林市東南）。「卻匈奴七百餘里 ，胡人不敢南下而牧馬」。秦漢之際，匈奴冒頓單于殺死其父頭曼單于，自立為單于，並且東擊東胡，西攻月氏，南併樓煩、白羊河南王，統一了匈奴各部，逐漸強盛起來。楚漢相爭時，由於無暇北顧，冒頓單于利用兵強馬壯的優勢，收復了蒙恬所奪的匈奴地及朝那（今寧夏回族自治區固原市東南）、膚施（今陝西省榆林市南魚河堡附近）等郡縣，直接威脅到漢王朝在中國北部的統治。

韓王信是戰國時期韓襄王之庶孫，曾響應劉邦起義，因帶兵攻打韓地有功，獲封國於潁川一帶，定都陽翟（今河南省禹州市）。公元前 201 年春，劉邦認為韓王信封地乃兵家必爭的戰略重地，擔心韓王信日後會構成威脅，便以防禦匈奴為名，將韓王信封地遷至太原郡，以晉陽（今山西省太原市）為都。韓王信以「國被邊，匈奴數入，晉陽去塞遠」為由，上書請求把都城遷至馬邑（今山西省朔州市朔城區），得到劉邦批准。同年秋，匈奴冒頓單于攻馬邑，劉邦懷疑韓王信暗通匈奴，致書責備韓王信，韓王信擔心會被誅，便與匈奴約定共同攻漢，以馬邑之地請降。隨後韓王信與匈奴揮師南下，進入雁門關，攻下太原郡。



戰爭過程

漢高祖劉邦為鞏固剛剛建立的漢朝，公元前 200 年冬，親率卅二萬大軍，出征匈奴冒頓單于，同時鎮壓太原的韓王信叛亂。漢軍進入太原郡後，連連取勝，特別是銅鞮（今山西省沁縣一帶）一戰，大獲全勝，使韓王信軍隊遭到重大傷亡，其部下將領王喜被漢軍殺死，韓王信逃奔匈奴。

韓王信的將領白土人曼丘臣、王黃等擁立戰國時趙國宗室趙利為王，聚集韓王信的殘兵敗將，準備再次與匈奴合謀攻漢。冒頓單于派左、右賢王各帶兵一萬多騎與王黃等屯兵廣武（山西省代縣西南陽明堡鎮）以南至晉陽一帶，企圖阻擋漢軍北進。漢軍乘勝追擊，在晉陽打敗了韓王信與匈奴的聯軍，乘勝追至離石（今山西省呂梁市離石區），再次擊敗韓王信與冒頓的聯軍。冒頓再次在樓煩西北集結兵力，被劉邦的騎兵部隊擊潰。

漢軍節節勝利，但並沒有產生麻痹輕敵的思想。劉邦達晉陽後，聽說匈奴駐兵於代谷（今山西省繁峙縣至原平市一代），派十餘批使節出使匈奴，匈奴故意將精銳部隊隱藏，將老弱病殘列於陣前。十幾批的使臣回來，都說匈奴可以攻擊。劉邦派婁敬再去出使匈奴，婁敬回來，向劉邦說，兩國相爭，應該要展現雄壯威武的兵力，但匈奴都只出現老弱殘兵，這一定是他們的詭計，不該攻打匈奴。劉邦怒，大罵：「你這個齊國奴隸，靠著一張嘴當了官，現在還敢亂講，損傷我軍士氣！」將婁監禁在廣武城，準備凱旋後再處罰。

劉邦率騎兵先到達平城（今山西省大同市以北），於是命令周勃攻打東南的樓煩三座城池後再與主力會合，作為後援，後來正如劉邦所料，也是周勃給劉邦解圍。周勃在石之戰後，沒有與劉邦一道繼續追擊而是「還攻樓煩三城」，也沒有周勃被圍的記載，很顯然，《韓信盧綰列傳》提到的「漢救兵」就是周勃的軍隊。《匈奴列傳》提到「高帝先至平城，步兵未盡到」，這裡的步兵就是指周勃帶領的步兵，被圍的只有劉邦與夏侯嬰的車騎兵，還有灌嬰的騎兵，夏侯嬰傳與灌嬰傳都提到了「為胡所圍」：《樊酈滕灌列傳》夏侯嬰：因從擊韓信軍胡騎晉陽旁，大破之。追北至平城，為胡所圍，七日不得通。高帝使使厚遺閼氏，冒頓開圍一角。高帝出欲馳，嬰固徐行，弩皆持滿外向，卒得脫。益食嬰細陽千戶。復以太僕從擊胡騎句注北，大破之。以太僕擊胡騎平城南，三陷陳，功為多，賜所奪邑五百戶。《樊酈滕灌列傳》灌嬰：從擊韓信胡騎晉陽下，所將卒斬胡白題將一人。受詔並將燕、趙、齊、梁、楚車騎，擊破胡騎於石。至平城，為胡所圍，從還軍東垣。根據夏侯嬰傳，漢軍解圍後，與匈奴還有戰鬥「復以太僕從擊胡騎句注北，大破之。以太僕擊胡騎平城南，三陷陳，功為多，」可見最後漢軍應是擊敗了匈奴。



參戰人物


* 漢
  
* 劉邦
    
* 陳平
    
* 陳豨
    
* 樊噲
    
* 夏侯嬰
    
* 婁敬
    
* 周勃

* 匈奴
  
* 冒頓
    
* 韓王信 (漢軍來降)
      
* 趙既 (戰死)
      
* 曼丘臣
      
* 王黃
      
* 趙利
      
* 王喜 (戰死)
      
* 馮梁 (被俘)
      
* 孫奮 (被俘)
      
* 解福 (被俘)



戰爭後續

「白登之圍」後，冒頓單于屢次違背漢朝與匈奴所訂立盟約，對邊界進行侵擾劫掠活動。劉邦為了休養生息，採納劉敬的建議，欲嫁長公主與單于和親，呂后不答應，日夜飲泣，劉邦只好改封宗室女為公主，嫁給冒頓單于，並派劉敬作為使者陪同前往，漢與匈奴約定結為兄弟，各自以長城為界，兩國的關係得到暫時的緩和。



軼事

貞觀三年（629 年）李世民派李靖率大軍出擊東突厥。年底捷報傳來，俘獲頡利可汗，東突厥汗國亡。貞觀四年三月，北方各族尊李世民為天可汗；頡利可汗被擒送到長安。太上皇李淵聞訊嘆道：「漢高祖困白登，不能報，今我子能滅突厥，吾託付得人，復何憂哉！」



參考資料



外部連結


* 放虎歸山：匈奴為何放掉劉邦 錯失稱霸機會 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平城鄉，是中華人民共和國河南省開封市杞縣下轄的一個鄉鎮級行政單位。



行政區劃

平城鄉下轄以下地區：

平西村、​前屯村、​後屯村、​雙樓村、​新莊村、​張營村、​坦寨村、​單西村、​單東村、​黃東村、​黃西村、​杏行村、​孫府寨村、​高才村、​陳砦村、​蔣砦村、​劉石砦村、​李興集村、​孫砦村、​郝砦村、​郭南村、​郭西村、​郭北村、​白西村、​白北村、​白南村、​白東村、​羅砦村、​楚後村、​趙砦村、​尹莊村、​平東村、​聶莊村、​劉樁村、​慈母崗村、​鐵里砦村、​卞莊村、​莊王樁村、​於砦村和奉豐村。
平城京地處今奈良市西郊，是日本奈良時代（710 年至 794 年）的京城，直到 784 年桓武天皇遷都今奈良市西邊的長岡京，平城京結束作為首都的歷史。710 年（和銅三年），元明天皇遷都於此。選擇定都於此，是受到道教思想「藏風得水」的風水觀念影響。平城京建築格局模仿唐朝西都長安以及東都洛陽。其規模東西約 6.3 公里，南北約 4.7 公里。中央有寬 85 米的朱雀大路，將市區分為左右兩京。

原城內的一些古建築在 1998 年作為「古奈良的歷史遺蹟」的重要組成部分，被列為世界文化遺產。



照片集


* *



參看


* 古都奈良的文化財
以下為山西省大同市平城區各級文物保護單位列表。



全國重點文物保護單位



山西省文物保護單位



大同市文物保護單位

已經升格為全國重點文物保護單位和山西省文物保護單位的不再列入。



注釋



參考
平城天皇（日語：平城天皇／へいぜいてんのう _Heizei Tennō_；774 年 9 月 25 日 —824 年 8 月 5 日），日本第 51 代天皇，806 年 4 月 9 日 - 809 年 5 月 18 日在位。

他是桓武天皇第一皇子，母親是藤原良繼之女藤原乙牟漏。諱小殿（日語：小殿親王／おてのみこ _Ote no miko_），783 年改名安殿（日語：安殿親王／あてのみこ _Ate no miko_），又稱奈良帝。785 年被立為太子，806 年時因桓武天皇駕崩而繼位。在他任內廢除了冗官，改善行政與經濟問題，設置觀察使來監督地方官，使律令全面重建。但是在 809 年時，平城天皇因為身體病弱，長期治療都無法改善，最後讓位於胞弟神野親王（嵯峨天皇），自己則隱居在平城京。



與藤原藥子

平城天皇登基以前，納藤原繩主與藤原藥子所生的女兒為東宮妃，但卻傳出皇太子與身為岳母的藥子有曖昧的醜聞，憤怒的桓武天皇便將藥子趕出東宮。待平城天皇一即位，又將藥子召回宮裡，並命藤原藥子出任尚侍一職。此時的藥子因有天皇做其後盾，讓其兄藤原仲成一起入宮干預政事。之後平城天皇因為病弱而讓位為太上天皇，藥子兄妹也隨之失勢。不料上皇的病竟在退位後好轉，受岳母藤原藥子的誘惑，他覺得自己還年輕，仍然關心國政，於是就以上皇的地位發佈政令，使得嵯峨天皇與上皇分別成為兩個朝廷一般。起初嵯峨天皇對上皇與藥子等人有所忍讓，但到後來上皇卻催促希望朝廷遷都平城京，以便自己掌權。嵯峨天皇在忍無可忍的情況下，在 810 年九月十日剝奪藥子的官位，藥子與平城上皇隨即想逃往東國，卻受到坂上田村麻呂的軍隊阻擋，只好失意的回到平城京。之後上皇剃髮出家，藥子服毒自殺，其兄藤原仲成也被殺，史稱「藥子之變」。

因為藥子之變的關係，原本被立為嵯峨天皇皇太子、即平城天皇第三皇子高岳親王被廢太子，改由桓武天皇第三皇子大伴皇子為太子。平城天皇的兩位皇妃朝原內親王與大宅內親王，也在 812 年時辭去皇妃的位子。平城天皇於 824 年過世，由於他住在平城京，故被稱為平城天皇。他的日式諡號為「日本根子天推國高彥尊」，葬於楊梅陵。



系圖



家族


* 父：桓武天皇

* 母：藤原乙牟漏

* 皇后：_藤原帶子_（原為東宮妃，後追贈皇后之位）

* 妃：
  
* 朝原內親王
  
* 大宅內親王
  
* 甘南美內親王

* 東宮妃：
  
* 藤原藥子之女

* 尚侍：
  
* 藤原藥子

* 宮人
  
* 伊勢繼子
  
* 葛井藤子
  
* 紀魚員

* 子女：
  
* 高岳親王
  
* 巨勢親王
  
* 上毛野內親王
  
* 石上內親王
  
* 大原內親王
  
* 阿保親王
  
* 叡奴內親王
平城宮（日語：平城宮／へいじょうきゅう _Heijō-kyū_ \*/?）是日本於 710 年遷都奈良後建設於平城京大內中的宮室。位於平城京的北端，現今奈良縣奈良市佐紀町、法華寺町與二條大路南。由舉行禮儀儀式的朝堂院和官員辦公的官衙（役所）組成。遷都平安京後，該宮被放棄，變為農地。在明治時代，當時的建築史家關野貞于田野中發現了一塊高地，後被證實就是大極殿的遺址。平城宮跡（日語：平城宮跡／へいじょうきゅうせき）於 1922 年被日本政府指定為史跡（後指定為特別史跡）。根據遺跡的發掘成果，朱雀門（1998 年竣工）和庭園的復原工程已經完工。並在 2010 年完成大極殿的復原工程。在 1998 年 12 月，以「古都奈良的文化財」而與東大寺等建築共同列入世界遺產名單，也是日本第一個登入世界遺產的考古遺跡。



平城宮跡設施


* 第一次大極殿復原（2010 年）完成。

* 第二次大極殿基壇復原。

* 朱雀門復原（1998 年）完成。

* 朱雀大路廣場
  
* 棚田嘉十郎銅像

* 兵部省、式部省－基壇、礎石復原。

* 平城宮跡資料館－全體模型、大極殿院模型等。

* 遺構展示館－建在發掘遺跡之上、見學可能。

* 平城京歷史館－遣唐使船復原展示。

* 宮內省－建物群、築地復原。

* 東院庭園－庭園、樓閣等復原。日本特別名勝。



關聯條目


* 藤原京

* 平城京

* 平城遷都 1300 年記念事業

* 日本建築史

* 京奈和自動車道

* 關西文化學術研究都市

* 近鐵奈良線



外部連結


* 平城宮跡資料館 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

* 奈良世界遺産市民 Netwoek
平城山站（日語：平城山駅／ならやまえき _Narayama eki_ \*/?）位於奈良縣奈良市，是西日本旅客鐵道（JR 西日本）關西本線的鐵路車站。



歷史


* 1985 年 12 月 1 日 - 作為日本國有鐵道，在木津站與奈良站間開業。

* 1986 年 7 月 - 奈良市開始土地規劃項目。該項目總投資額為 27.90 億日元，占地 4,000 平方米，設有公交車站、停車場、廣場和公園，以及可容納 1300 人的居住區等。該計劃規劃了一條連接從國道 24 號與車站廣場前住宅區的道路。

* 1987 年 4 月 1 日 - 國鐵分割民營化後成為 JR 西日本車站。

* 1988 年 3 月 13 日 - 線路愛稱大和路線開始使用。

* 2003 年 11 月 1 日 - 支持使用 ICOCA。

* 2016 年
  
* 7 月 12 日 - 綠色窗口最後一日營業。
  
* 7 月 13 日 - 綠色自動售票機開始使用。

* 2018 年 3 月 12 日 - 開始使用車站編號。



車站結構

側式站台 2 台 2 線地上車站。

奈良站管理，JR 西日本交通服務委託的業務委託站。支持使用 ICOCA。

月台配置



使用情況

根據奈良縣統計年鑑，1 日平均上車人次如下表。



相鄰車站

西日本旅客鐵道
: 大和路線（關西本線）

　
: ■大和路快速、■快速、■區間快速、■普通

　
: 木津（JR-Q38）－平城山（JR-Q37） －奈良（JR-Q36）

　
: 奈良線（至木津站路段為關西本線）

　
: ■都路快速、■快速

　
: 通過

　
: ■區間快速、■普通

　
: 木津（JR-D19）－平城山（JR-D20） －奈良（JR-D21）



參見


* 日本鐵路車站列表



參考資料



外部連結


* 平城山車站｜車站資訊：JR 出門網 - 西日本旅客鐵道
平城山羊牧場（韓語：평성산양목장）位於朝鮮民主主義人民共和國的平安南道之道府平城市裡的大鳳山之山腳，它建築於 2001 年 8 月，擁有佔地高達 12,000 平方公呎的現代化廠房及 1,700 公頃的青草牧場，設有山羊奶類品加工廠房、獸醫防疫站、科技知識教育室、各種福利設施和診所，各分場有山羊柵、飼料加工室、住房和職工宿舍。它是一個集生產、生物教育及觀光娛樂於一身的綜合化場地。
平城市（韓語：평성시／平城市 _Phyŏngsŏng si_ \*/?）是 1960 年代建立的新城市，為朝鮮民主主義人民共和國平安南道的道政府所在地，亦是該國著名的理科教育中心，設有由朝鮮國家科學院領導的研究所共 25 間，還有一個擁有超過 40,000 名科學家的「科學研究聯合體」，並有工業及山羊牧場等產業。



觀光熱點


* 平城山羊牧場：它是一個集生產、生物教育及觀光娛樂於一身的綜合化場地。

* 安國寺：位於鳳麟山上，是建於高句麗時代（公元 6 世紀）的佛教寺廟，並於 18 世紀重建。大殿是朝鮮半島僅有的兩座雙層大殿之一。安國寺內還有種植於 14 世紀的銀杏古樹。安國寺內的太平樓亦是一大看點。



高等院校


* 平城理科大學

* 平城煤炭工業大學

* 平城大學

* 平城輕工業大學

* 平城體育大學

* 平城獸醫畜牧大學



對外交通


* 公路

* 軌道運輸工具
  
* 輕軌鐵路連通「龍城郡」（Ryongsong）轉乘站，可中轉輕軌鐵路至平壤地鐵系統的「千里馬線」（Chollima Line）上之「紅星車站」（Pulgunbyol）。
  
* 「平壤 - 元山線」的電氣化鐵路的中途站

* 航空：使用平壤順安國際機場（FNJ）



外部連結

朝鮮地圖 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
平城煤炭工業大學（韓語：평성석탄공업대학／平城煤炭工業大學），位於朝鮮民主主義人民共和國平安南道平城市，在 1968 年 10 月 30 日成立，原名為平南煤炭工業大學，1997 年改為現名。該校前身是清津礦山冶金大學煤炭工程系，是朝鮮煤炭工業技術人才的培訓基地。2007 年，該校有 8 個學系，另設實習工廠和實習煤礦。



院系設置


* 勘探系

* 無煙煤開採工程系

* 煙煤開採工程系

* 科學研究所

* 博士院



參考


* 平城煤炭工業大學
平城理科大學（朝鮮語：평성리과대학）是指位於朝鮮民主主義人民共和國平壤市朝鮮國家科學院園區內的公立大學。由於該大學主要以培養天才學生為辦學目的，因此也被北韓民眾稱為秀才大學（수재대학）。而南韓媒體一般將該大學稱為「北韓的韓國科學技術院」。在地理上，該大學位於平安南道平城市。然而，為了給予科學家和研究生一些平壤公民的特權，北韓政府將科學院園區劃歸平壤市所有。



歷史

平城理科大學最初作為金日成綜合大學的一個分校於 1962 年 1 月 17 日成立，為遵循北韓前領導人金日成的教育方針，1985 年，平城理科大學從金日成綜合大學分離，單獨辦學。然而，在 1990 年代，北韓陷入了經濟困難時期，政府對大學的財政支出減少，導致進入平城理科大學學習的學生逐漸減少。



辦學情況

為培養自然科學和工學人才，北韓政府完全資助在校學生。其中，約有 80% 的學生畢業於北韓各地的最好的高中。而剩下的學生均有在自然科學（數學、物理學、化學、生物學）奧林匹克競賽或其他國家級自然科學競賽中獲獎的經歷。與其他北韓大學不同的是，平城理科大學僅允許 17 歲及以下的學生參加入學考試。這所大學的許多校友都參與了研製飛彈和發射人造地球衛星的專案。

目前，平城理科大學共下設 6 個學院，分別為數學學院、物理學院、自動化學院、電腦科學學院、化學學院和生物學院。



參考來源
平城站可以指：


* 平城站 (平安南道)

* 平城站 (日本)