在量子力學裏，表達粒子的量子態的波函數必須滿足歸一條件（歸一化，英語：be normalized），也就是說，在空間內，找到粒子的機率必須等於 $1$ 。這性質稱為歸一性。用數學公式表達，

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\ dx=1$  ;

其中， $x$ 是粒子的位置， $\psi (x)$ 是波函數。



歸一化導引

一般而言，波函數 $\psi $ 是一個複函數。可是， $\psi ^{*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}$ 是一個實函數，大於或等於 $0$ ，稱為「機率密度函數」。所以，在區域 $[x,\ x+\Delta x]$ 內，找到粒子的機率 $\Delta P$ 是

　
: $\Delta P=\mid \psi \mid ^{2}\Delta x$ ；(1) 。

既然粒子存在於空間，機率是 $1$ 。所以，積分於整個一維空間：

　
: $P=\int _{-\infty }^{\infty }\mid \psi \mid ^{2}dx=1$ 。(2)

假若，從解析薛丁格方程式而得到的波函數 $\psi $ ，其機率 $P$ 是有限的，但不等於 $1$ ，則可以將波函數 $\psi $ 乘以一個常數，使機率 $P$ 等於 $1$ 。或者，假若波函數內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使機率 $P$ 等於 $1$ 。



實例

在一維空間內，束縛於區域 $[0,\ \ell ]$ 內的一個粒子，其波函數是

　
: $\psi (x,\ t)={\begin{cases}Ae^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&elsewhere\end{cases}}$ ；

其中， $k$ 是波數， $\omega $ 是角頻率， $A$ 是任意常數。

計算能夠使波函數歸一化的常數值 $A$ 。將波函數代入：

　
: $\mid \psi \mid ^{2}=A^{2}e^{i(kx-\omega t)}e^{-i(kx-\omega t)}=A^{2}$ 。

積分於整個粒子存在的區域：

　
: $\int _{0}^{\ell }A^{2}dx=1$ 。

稍加運算，

　
: $A^{2}\ell =1\qquad \Rightarrow \qquad A=\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)$ 。

歸一化的波函數是：

　
: $\psi (x,t)={\begin{cases}\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)e^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&{\text{elsewhere}}\end{cases}}$ 。



薛丁格方程式的形式不變

薛丁格方程式為

　
: ${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$ ；

其中， $\hbar $ 是約化普朗克常數， $V(x)$ 是位勢， $E$ 是能量。

將波函數 $\psi $ 歸一化為 $\psi \,'=A\psi $ 。則薛丁格方程式成為

　
: ${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}A{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)A\psi (x)=EA\psi (x)$

　
: $\Rightarrow A\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)\right)=A\left(E\psi (x)\right)$

　
: $\Rightarrow {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$ 。

薛丁格方程式的形式不變。對於歸一化，薛丁格方程式是個不變式，因為薛丁格方程式是個線性微分方程式。

一個表達粒子量子態的波函數，必須滿足粒子的薛丁格方程式。既然 $\psi $ 和 $\psi \,'$ 都能夠滿足同樣的薛丁格方程式，它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數，則只能知道機率的相對大小；否則，使用歸一化的波函數，可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析，會提供許多便利。



歸一化恆定性

給予一個歸一化的波函數．隨著時間的變化，波函數也會改變．假若，隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件，則勢必要重新將波函數歸一化．這樣，歸一常數 $A$ 變得含時間．很幸運地，滿足薛丁格方程式的波函數的歸一性是恆定的．設定波函數 $\psi (x,\ t)$ 滿足薛丁格方程式與歸一條件：

　
: ${\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}$ ，

　
: $P=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}\psi \ dx=1$ ；

假若，歸一性是恆定的，則機率 $P$ 不含時間。為了顯示這一點，先計算 ${\frac {dP}{dt}}$ ：

　
: ${\frac {dP}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t))\ dx$ 。

展開被積函數

　
: ${\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )={\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi +\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$ 。

編排薛丁格方程式，可以得到波函數 $\psi $ 對於時間的偏導數：

　
: ${\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi $ 。

共軛波函數 $\psi ^{*}$ 對於時間的偏導數為

　
: ${\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}$ 。

將 $\psi $ 與 $\psi ^{*}$ 代入被積函數

　
: ${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi \right)\\&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\right)\\&=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\\\end{aligned}}$ 。

代入 ${\frac {dP}{dt}}$ 的方程式:

　
: ${\frac {dP}{dt}}=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right)\left[\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{\infty }-\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{-\infty }\right]$ 。

可是，在 $x=\pm \infty $ ， $\psi $ 與 $\psi ^{*}$ 都等於 0 ．所以，

　
: ${\frac {dP}{dt}}=0$ 。

機率 $P=1$ 不含時間。波函數的歸一化是恆定的。



參考文獻


* Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)



參閱


* 正則變換

* 么正性



外部連結


* Middlebury 大學講義：歸一化