在範疇論中，範疇此一概念代表著一堆數學實體和存在於這些實體間的關係。對範疇的研究允許其公式化抽象結構及保有結構的數學運算等概念。實際上，範疇在現代數學的每個分支之中都會出現，而且是統合這些領域的核心概念。有關範疇自身的研究被稱做是範疇論。



定義

一個範疇_C_ 包括：


* 一個由物件所構成的類 ob (_C_)

* 物件間的態射所構成的類 hom (_C_)。每一個態射 _f_ 都會有唯一個「源物件」_a_ 和「目標物件」_b_，且 _a_ 和 _b_ 都在 ob (_C_) 之內。因此寫成 _f_: _a_ → _b_，且稱 _f_ 為由 _a_ 至 _b_ 的態射。所有由 _a_ 至 _b_ 的態射所構成的「態射類」，其標記為 hom (_a_, _b_) （或 homC(_a_, _b_)）。

* 對任三個物件 _a_、_b_ 和 _c_，二元運算 hom (_a_, _b_)×hom(_b_, _c_)→hom(_a_, _c_) 稱之為_態射複合_；_f_ : _a_ → _b_ 和 _g_ : _b_ → _c_ 的複合寫成 _g_ o _f_ 或 _gf_。

此態射複合滿足下列公理：


* （結合律）若 _f_ : _a_ → _b_、_g_ : _b_ → _c_ 且 _h_ : _c_ → _d_，則 _h_ o(_g_ o _f_)=(_h_ o _g_)o _f_；

* （單位元）對任一物件 _x_，存在一態射 1x : _x_ → _x_，使得每一態射 _f_ : _a_ → _b_，都會有 1b o _f_ = _f_ = _f_ o 1a。此一態射稱為「_x_ 的單位態射」。

由上述公理，可證明對每一個物件均只確實地存在著單一個單位態射。一些作者會將每一個物件等同於其相對應的單位態射。

小範疇是一個 ob (_C_) 和 hom (_C_) 都是集合而不是真類的範疇。不是小範疇的範疇則稱之為大範疇。局部小範疇是指對所有物件 _a_ 和 _b_，態射類 hom (_a_,_b_) 都會是集合（被稱之為態射集合）的一個範疇。許多在數學中的重要範疇（如集合的範疇），即使不是小範疇，但也都至少會是局部小範疇。



例子

每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。


* 所有集合的範疇 Set，其態射為集合間的函數，而態射複合則為一般的函數複合。（下列皆為具體範疇的例子，即在 Set 上加入一些結構，且要求態射為對應於此附加結構的函數，態射複合則為簡單的一般函數複合。）
  
* 所有預序關係的範疇 Ord，其態射為單調函數。
  
* 所有原群的範疇 Mag，其態射為原群間的同態。
  
* 所有群的範疇 Grp，其態射為群間的群同態。
  
* 所有阿貝爾群的範疇 Ab，其態射為群間的群同態。
  
* 所有環的範疇 Ring，其態射為環同態。
  
* 所有於體 _K_（維持固定）上的向量空間的範疇 VectK，其態射為線性映射。
  
* 所有拓樸空間的範疇 Top，其態射為連續函數。
  
* 所有度量空間的範疇 Met，其態射為度量映射。
  
* 所有一致空間的範疇 Uni，其態射為一致連續函數。
  
* 所有光滑流形的範疇 Manp，其態射為 _p_ 次連續可微映射。

* 所有小範疇的範疇 Cat，其態射為函子。

* 所有集合的範疇 Rel，其態射為關係

* 任一預序集合 (_P_, ≤) 都會形成一個小範疇，其物件為 _P_ 的元素，態射為由 _x_ 至 _y_ 若 _x_ ≤ _y_（而態射複合的公理則是必然滿足的，因為由任一物件至另一物件間至多只存在一個態射）。

* 任一么半群都會形成一個具單一個物件 _x_ 的小範疇（此處的 _x_ 是任一個固定的集合）。從 _x_ 至 _x_ 的態射恰好是么半群的元素，且其態射複合由么半群的運算所給定。么半群令態射絕不可能為函數，唯一從單元素集合 _x_ 至 _x_ 的函數為當然函數。可視範疇為廣義化了的么半群；一些和么半群有關的定義和定理也可能可以義廣化成範疇的定義和定理。

* 任一有向圖都會產生一個小範疇：其物件為圖的頂點，態射為圖中的路徑，而態射複合則為路徑的串接。這被稱之為由圖產生出的「自由範疇」。

* 若 _I_ 是一個集合，「在 _I_ 上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為 _I_ 的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。

* 任一範疇 _C_ 皆可以另一種方式被視為是一個新的範疇：其物件和原範疇的一樣，但態射則和原範疇相反。這被稱之為對偶範疇，標記為 _C_op。

* 若 _C_ 和 _D_ 為範疇，可形成一「積範疇」_C_×_D_：其物件為由 _C_ 和 _D_ 內的物件所組成的對，且態射亦為由 _C_ 和 _D_ 內的態射所組成的對。這些對的態射複合是由各元素各自複合。



態射類型

一個態射 _f_ : _a_ → _b_ 被稱為


* 單態射，若且唯若對於所有的態射 _g_1, _g2_ : _x_ → _a_，_fg1_ = _fg2_ 可推得 _g1_ = _g2_.

* 滿態射，若且唯若對於所有的態射 _g1_, _g2_ : _b_ → _x_，_g1f_ = _g2f_ 可推得 _g1_ = _g2_.

* 雙態射，若且唯若 _f_ 既是單態射又是滿態射

* 收縮（retraction），若且唯若它有右逆，也就是說，如果存在一個態射 _g_ : _b_ → _a_ 滿足 _fg_ = 1b。收縮又被稱作分裂滿態射。

* 截面（section），若且唯若它有左逆，也就是說，如果存在一個態射 _g_ : _b_ → _a_ 滿足 _gf_ = 1a。截面又被稱作分裂單態射。

* 同構，若且唯若它有逆，即如果存在態射 _g_ : _b_ → _a_ 滿足 _fg_ = 1b 且 _gf_ = 1a.

* 同態，若且唯若 _a_ = _b_. _a_ 的同態的類表示為 end (_a_)。

* 自同構，若且唯若 _f_ 既是同態又是同構。_a_ 的自同構的類表示為 aut (_a_)。

下述三個命題是等價的：


* _f_ 是單態射且是收縮。

* _f_ 是滿態射且是截面。

* _f_ 是同構。

態射之間的關係（例如 _fg_ = _h_）可以非常方便地表示為交換圖表，其中物件表示為點，態射表示為箭頭。



範疇類型


* 在許多範疇中，例如阿貝爾群範疇或向量空間範疇，態射集合 hom (_a_, _b_) 不僅是集合，而且還是阿貝爾群，並且態射的複合與這些阿貝爾群之間的群結構兼容，即複合映射是雙線性的。這種範疇稱為預可加範疇。如果在此基礎上這個範疇還帶有所有有限積和上積，那麼我們稱之為可加範疇。如果更進一步地，所有態射都有核和上核，並且每個滿態射都是上核而每個單態射都是核，那麼我們稱之為阿貝爾範疇。阿貝爾範疇的典型例子是阿貝爾群的範疇。

* 範疇是完備的當其擁有所有極限。集合、阿貝爾群、拓撲空間的範疇都是完備的。

* 範疇是笛卡爾閉的當其擁有所有有限直積、且有限積上的態射總是可由任一因子上的態射確定。笛卡爾閉範疇包括 Set 和 CPO，即完全偏序和斯科特連續函數組成的範疇。

* 拓撲斯是一種特定的笛卡爾閉範疇；所有數學內容都可以用拓撲斯的語言形式化（正如所有經典數學都可以用集合範疇的語言形式化一般）。拓撲斯也可用於表示邏輯理論。



參考文獻


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* Mac Lane, Saunders (1998). _Categories for the Working Mathematician_（2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.

* Jean-Pierre Marquis, "Category Theory" （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） in _Stanford Encyclopedia of Philosophy_ （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, 2006



外部連結


* Homepage of the Categories mailing list, with extensive list of resources

* _Category Theory_ section of Alexandre Stefanov's list of free online mathematics resources