在量子力學中，克萊布希－高登係數（Clebsch–Gordan coefficients，簡稱 CG 係數，又稱向量耦合係數等）是兩個角動量耦合時，它們的本徵函數的組合係數。

從數學的角度，克萊布希－高登係數出現在緊李群的表示論中，它研究的是兩個不可約表示的張量積如何分解成不可約表示的直和。

克萊布希－高登係數因阿爾弗雷德・克萊布希和保羅・哥爾丹而得名。



記號

在本文中，在不引起混淆的情況下，省略算符上的尖號。用粗體來表示向量（算符），用非粗體表示純量（算符）。



角動量耦合的一般理論

本文的討論從角動量的一般量子理論出發，以角動量算符的對易關係為基礎，不涉及角動量算符在某個具體表象下的表示。相關內容可參見角動量算符對易關係一文。
給定了 j 之後，本徵函數組

　
: $|jm\rangle ,\quad m=-j,-j+1,\dots ,j-1,j$

張開成一個 2j+1 維的函數空間。

現在給定兩個量子數 j1 和 j2，則其本徵函數組張開的空間分別有 2j1+1 維
與 2j2+1 維。現考慮這兩個函數空間的張量積

　
: $V=V_{1}\otimes V_{2}=\operatorname {span} (\{|j_{1}m_{1}\rangle |m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\dots ,j_{1}-1,j_{1}\})\otimes \operatorname {span} (\{|j_{2}m_{2}\rangle |m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\dots ,j_{2}-1,j_{2}\})$

顯然有

　
: $V=\operatorname {span} (\{|j_{1}m_{1}\rangle |\otimes |j_{2}m_{2}\rangle |m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\dots ,j_{1}-1,j_{1};m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\dots ,j_{2}-1,j_{2}\})$

下面為簡便起見，定義新的記號

　
: $|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle =|j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle $

一般地，若 f, g 分別是這兩個空間裡的算符，則在積空間上可以定義下列算符：

　
: $f\otimes g:V_{1}\otimes V_{2}\rightarrow V_{1}\otimes V_{2},u\otimes v\rightarrow (fu)\otimes (gv)$

另一方面，定義在這兩個空間上的算符可以自然地嵌入到積空間中，只需取

　
: $f\rightarrow f\otimes 1,g\rightarrow 1\otimes g$

其中 1 表示恆等操作（算符）。

在這樣的定義下，兩個角動量算符的的耦合表達為：

　
: $j_{\alpha }=j_{1,\alpha }+j_{2,\alpha }=j_{1,\alpha }\otimes 1+1\otimes j_{2,\alpha },\quad \alpha \in \{x,y,z\}$

　
: $\mathbf {j} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}=\mathbf {j} _{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} _{2},\quad \alpha \in \{x,y,z\}$

容易驗證這樣定義的 j 滿足角動量的基本對易關係，因此是一個角動量算符，稱為總角動量算符。

根據角動量的一般理論，總角動量算符也有自己的本徵函數組，它可以用積空間裡的基來表示

　
: $|jm\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle |j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle $

這裡的線性組合係數

　
: $\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle $

就被稱為克萊布希－高登係數。在正交歸一性的要求下，克萊布希－高登係數仍然具有相位不確定性。本文中取 Condon-Shortle 慣例，使所有克萊布希－高登係數為實數。



耦合表象中量子數的取值

　
: $j_{z}=j_{1,z}+j_{2,z}$

上式兩邊取矩陣元，就得到：

　
: $\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle =\delta _{m_{1}+m_{2},m}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm_{1}+m_{2}\rangle $

故在克萊布希－高登係數的表達式中可以省略 m 的值。

下面考慮耦合表象中量子數 j 的取值，根據上式，有

　
: $j_{\max }=m_{\max }=m_{1,\max }+m_{2,\max }=j_{1}+j_{2}$

故 j 最大的可能取值是 j1 與 j2 的和，且它只出現一次。此時

　
: $m=-j_{\max },-j_{\max }+1,\dots ,j_{\max }-1,j_{\max }$

考慮下一個可能的 j，顯然第二大的 m=mmax-1，它可以通過兩種方式組合而來，

　
: $m_{1}=j_{1}-1,m_{2}=j_{2}{\text{ or }}m_{1}=j_{1},m_{2}=j_{2}-1$

它們張開成一個二維的空間，但 j=jmax 的本徵函數組裡面已經出現過 m=jmax-1，這裡占用了一維，因此下一個可能的 j 只能是 jmax-1，它同樣只出現一次。

這樣分析下去，就會知道 j 的所有可能取值只能是

　
: $j_{\min },j_{\min }+1,\dots ,j_{\max }-1,j_{\max }$

其中每個 j 恰好出現一次，且

　
: $j_{\max }-j_{\min }\in \mathbb {Z} $

但積空間的維數應該等於兩個空間維數之積，即

　
: $\sum _{n=j_{\min }}^{j_{\max }}(2n+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)$

故有

　
: $j_{\min }=|j_{1}-j_{2}|$



一個例子

以 $j_{1}=j_{2}={\frac {1}{2}}$ 為例。

對任意一個算符 $f$ ，本節中的矩陣元表示

　
: $\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|f|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle $

的值。

　
: $j_{z}={\frac {1}{2}}\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

　
: $j_{+}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}}=j_{-}^{\dagger }$

　
: $\mathbf {j} ^{2}={\frac {1}{2}}[j_{+},j_{-}]_{+}+j_{z}^{2}={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}}$

計算最後一個矩陣的本徵值和本徵向量，得到

　
: ${\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\operatorname {diag} \{0,2,2,2\}$

於是可知克萊布希－高登係數為：

從上面的例子可以看到，對於一般的情況，用矩陣來求克萊布希－高登係數將是十分繁瑣的。一般可以採用下面的 Racah 表達式計算，更多的情況是直接查表。



Racah 表達式

Racah 用代數方法得出了克萊布希－高登係數的有限級數表達式。

　
: ${\begin{array}{cl}&\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle \\=&\delta _{m_{3},m_{1}+m_{2}}\left[(2j_{3}+1){\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{2}+j_{3}-j_{1})!(j_{3}+j_{1}-j_{2})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}\times \prod _{i=1,2,3}(j_{i}+m_{i})!(j_{i}-m_{i})!\right]^{1/2}\\\times &\sum _{\nu }[(-1)^{\nu }\nu !(j_{1}+j_{2}-j_{3}-\nu )!(j_{1}-m_{1}-\nu )!(j_{2}+m_{2}-\nu )!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+\nu )!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+\nu )!]^{-1}\end{array}}$

其中， ν 的求和限制在使得所有的階乘因子中的數非負的範圍內。



對稱性

克萊布希－高登係數有下列的對稱性

　
: ${\begin{aligned}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,{-m_{1}}j_{2}\,{-m_{2}}|J\,{-M}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}m_{1}J\,{-M}|j_{2}\,{-m_{2}}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,{-M}j_{2}m_{2}|j_{1}\,{-m_{1}}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle JMj_{1}\,{-m_{1}}|j_{2}m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,{-m_{2}}JM|j_{1}m_{1}\rangle \end{aligned}}$



與維格納 3-j 符號的關係

克萊布希－高登係數與維格納 3-j 符號有下列關係：

　
: ${\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,{-m_{3}}\rangle .$

後者可以用於計算下列形式的球諧函數積分：

　
: ${\begin{aligned}&{}\quad \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\[8pt]0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

由球諧函數的正交歸一性，上面的結果也可以用來對球諧函數作展開。



參考



參見


* 角動量算符及其一般理論



外部連結


* 克萊布希－高登係數表 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）