在數學上，每個閉曲面在幾何拓撲的意義下，可以由一個偶數條邊的有向多邊形，把它的邊成對地粘合構造出來，這樣的多邊形稱之為基本多邊形（fundamental polygon）。

這個構造可以表示成一個長為 2_n_ 的字符串，一共 _n_ 個不同的符號，每個符號出現兩次帶有指數 +1 或 -1。指數 -1 的符號對應於該邊的定向與基本多邊形的定向相反。



例子

上圖中標有相同字母的兩條邊，沿著箭頭方向粘合。


* 球面： $AA^{-1}$ 或 $ABB^{-1}A^{-1};$

* 實射影平面： $AA$ 或 $ABAB;$

* 克萊因瓶： $ABAB^{-1}$ 或 $AABB;$

* 環面： $ABA^{-1}B^{-1}$ 或 $ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}.$



群生成元

對標準對稱形狀，多邊形的邊可以理解為一個群的生成元。然後這個多邊形，寫成群元素形式，成為由這些邊生成的自由群上一個約束，給出有一個約束的群呈示。

因此，例如給定歐幾里得平面 $\mathbb {R} ^{2}$ ，設群元素 $A$ 在這個平面上有作用 $A(x,y)=(x+1,y)$ 而 $B(x,y)=(x,y+1)$ 。則 $A,B$ 生成格 $\Gamma =\mathbb {Z} ^{2}$ ，而環面由商空間給出（一個齊性空間） $T=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ 。更一般地，兩個生成元 $A,B$ 可用來生成一個基本平行四邊形的平行四邊形鑲嵌。

對環面，在兩個字母的自由群上的約束由 $ABA^{-1}B^{-1}=1$ 給出。這個約束平凡地包含在如上給出的平面上的作用中。另外，平面可用六邊形鋪滿，六邊形的中心形成一個六邊形格。將六邊形的相對等同，又得到了環面。這一回約束是 $ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}=1$ ，刻劃了六邊形格生成元在平面上的作用。

在實際中，大部分有趣的情形是具有負曲率的曲面，由群 $PSL(2,\mathbb {R} )$ 中一個離散格作用在上半平面實現。這樣的格稱為富克斯群（Fuchsian group）。



標準基本多邊形

虧格 _n_ 可定向閉曲面有如下標準基本多邊形：

　
: $A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.\,$

（不可定向）虧格 _n_ 的不可定向閉曲面有如下標準基本多邊形：

　
: $A_{1}A_{1}A_{2}A_{2}\cdots A_{n}A_{n}.\,$

或者，不可定向曲面能由兩種形式給出，虧格 _n_ 克萊因瓶與虧格 _n_ 實射影平面。虧格 2_n_ 克萊因瓶由一個 4_n_ 邊形給出

　
: $A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}=1,\,$

（注意最後的 $B_{n}$ 沒有上標 -1；與可定向情形比較，這個翻轉是不可定向性的緣故）。虧格 2_n_+1 射影平面由一個 4_n_+2 邊形給出

　
: $A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}C^{2}=1.\,$

最後兩類情形窮盡了所有可能的不可定向曲面，這是昂利・龐加萊證明的。



緊黎曼曲面的基本多邊形

一個（雙曲）緊黎曼曲面的基本多邊形有許多重要的性質，將曲面與它的富克斯模型（Fuchsian model）聯繫起來。即一個雙曲緊黎曼曲面可以上半平面做為萬有覆疊，從而可以表示為一個商流形 H/Γ，這裡 Γ 是一個非阿貝爾群同構於曲面的甲板變換群（deck transformation group）。商空間的陪集有標準多邊形做為代表元素。在下面，注意所有黎曼曲面都是可定向的。

度量基本多邊形

給定上半平面 H 中一點 $z_{0}$ ，以及 PSL (2,R) 一個離散子群 Γ 自由不連續作用在上半平面，則我們可定義度量基本多邊形（metric fundamental polygon）為點集

　
: $F=\{z\in \mathbb {H} :d(z,z_{0})<d(z,gz_{0})\;\;\forall g\in \Gamma \}.\,$

這裡 _d_ 是上半平面的雙曲度量。度量基本多邊形有時也稱為狄里克雷區域（Dirichlet region）或沃羅諾伊多邊形（Voronoi polygon）。


* 這個基本多邊形是一個基本區（fundamental domain）。

* 這個基本多邊形是凸集，連接這個多邊形的任何兩點的測地線完全包含在多邊形內部。

* _F_ 的直徑小於或等於 H/Γ 的直徑。特別地，_F_ 的閉包緊。

* 如果 Γ 在 H 中沒有不動點且 H/Γ 緊，則 _F_ 的邊數有限。

* 多邊形的每條邊是一個測地線。

* 對多邊形的每條邊 _s_，恰有另外一條邊 _s'_ 使得 _gs=s'_ 對某個 _g_ 屬於 Γ。從而這個多邊形有偶數條邊。

* 將邊兩兩連接的群元素集合 _g_ 是 Γ 的生成元，沒有更小的集合可生成 Γ。

* _F_ 的閉包在 Γ 的作用下鋪滿上半平面。即 $H=\cup _{g\in \Gamma }\,g{\overline {F}}$ 這裡 ${\overline {F}}$ 是 _F_ 的閉包。

標準基本多邊形

給定任何度量基本多邊形 _F_，用有限步可以構造另一個基本多邊形，標準基本多邊形（standard fundamental polygon），它具有額外一組值得注意的性質：


* 標準多邊形的頂點都是等價的。「頂點」是說兩條邊相交的點。「等價」意味著每個頂點可以由 Γ 中某個 _g_ 變到任何其它一個頂點。

* 邊數可被 4 整除。

* Γ 中一個給定元素 _g_ 至多將多邊形的一條邊變到另一邊。從而這些邊可以成對標記出來。由於 Γ 的作用保持定向，如果一條邊為 $A$ ，則這一對中另一個可以標記為相反的方向 $A^{-1}$ 。

* 可以安排標準多邊形的邊，使得相鄰邊取形式 $A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}$ 。這就是說邊對可安排成以這樣的方式相間出現。

* 標準多邊形是凸集。

* 邊可以安排成測地線。

上面的構造足夠保證多邊形的每條邊在流形 H/Γ 中是一個閉（非平凡）環路。就其本身而言，每條邊可以為基本群 $\pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )$ 中一個元素。特別地，基本群 $\pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )$ 有 2_n_ 個生成元素 $A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},\cdots A_{n}B_{n}$ ，由一個約束定義，

　
: $A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.\,$

所得流形 H/Γ 的虧格是 _n_。

例子

度量基本多邊形與標準多邊形通常有不同的邊數。比如，環面的標準基本多邊形是一個基本平行四邊形（fundamental parallelogram）。相比而言，度量基本多邊形有六條邊，是一個六邊形。只需注意到六邊形的邊垂直平分平行四邊形的邊就可以看出來。這就是，取格中一點，然後考慮連接這點與鄰點的直線之集合。每個這樣的線被另一條垂直線平分，被這樣的第二個線集合圍住的最小的空間是一個六邊形。

事實後，上一個構造一般都可行：取一點 _x_，然後對 Γ 中 _g_，考慮 _x_ 與 _gx_ 之間的測地線。平分這些測地線是另一個曲線集合，這些點的軌跡與 _x_ 和 _gx_ 距離相等。由第二個線集合圍住的最小區域是度量基本多邊形。

面積

標準基本多邊形的面積是 $4\pi (n-1)$ ，這裡 _n_ 是黎曼曲面的虧格（等價於 4_n_ 是多邊形的邊數）。由於標準多邊形是 H/Γ 的一個代表，黎曼曲面的整個面積等於標準多邊形的面積。這個面積公式由高斯 - 博內定理得出，在某種意義下黎曼 - 赫爾維茨公式（Riemann-Hurwitz formula）是其推廣。



標準多邊形的具體形式

對標準多邊形可以給出具體表達式。一個更有用的形式是使用與這個標準多邊形關聯的群 $\Gamma $ 。對一個虧格 _n_ 定向曲面，群可由 2_n_ 格生成元 $a_{k}$ 給出。這些生成元由下列分式線性變換作用在上半平面給出。

對 $0\leq k<2n$ ：

　
: $a_{k}=\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{p}&0\\0&e^{-p}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &\sin k\alpha \\-\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)$

參數由

　
: $\alpha ={\frac {\pi }{4n}}\left(2n-1\right)$

和

　
: $\beta ={\frac {\pi }{4n}}$

以及

　
: $p=\ln {\frac {\cos \beta +{\sqrt {\cos 2\beta }}}{\sin \beta }}$

給出。可以驗證這些生成元服從約束

　
: $a_{0}a_{1}\cdots a_{2n-1}a_{0}^{-1}a_{1}^{-1}\cdots a_{2n-1}^{-1}=1,\,$

這給出整個群呈示。



推廣

在高維，基本多變形的想法體現為齊性空間。



另見


* 凱萊圖

* 歐幾里得環

* 沃羅諾伊圖（Voronoi diagram）



參考文獻


* Alan F. Beardon, _The Geometry of Discrete Groups_ (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.

* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, _Riemann Surfaces_ (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.

* Jurgen Jost, _Compact Riemann Surfaces_ (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.