在數學中，處理張量理論的現代無分量（component-free）方法首先將張量視為抽象對象，表示多重線性概念的某些特定類型。他們一些熟知的性質可由作為線性映射或更廣泛地定義得出；而張量的操作導致了線性代數擴張為多重線性代數。

在微分幾何中，一個內蘊的幾何論斷也許可以用一個流形上的張量場表示，這樣完全不必使用參考坐標系。在廣義相對論中同樣如此，張量場描述了物理性質。無分量方法在抽象代數與同調代數中也很常用，在那裡張量自然地出現了。



用向量空間的張量積定義

給定域 $F$ 上一個有限向量空間集合 $\left\{V_{1},...,V_{n}\right\}$ ，我們可以考慮他們的張量積 $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}$ 。這個張量積中的一個元素稱為一個張量（但這不是本文討論的張量概念）。

向量空間 $V$ 上的張量定義成具有形式

　
: $V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}$

的向量空間中的一個元素（即向量），這裡 _V_\
* 是 _V_ 的對偶空間。

如果在我們的積中有 $m$ 個 $V$ 與 $n$ 個 $V^{*}$ ，張量稱為 $\left(m,n\right)$ 型，具有反變（contravariant）階數 $m$ 與共變（covariant，也稱協變）階數 $n$ ，總階數為 $m+n$ 。零階張量就是數量（域 $F$ 中的元素），1 階反邊張量是 $V$ 中的向量，1 階共變張量是 $V^{*}$ 中的 1 - 形式（因此，後兩個空間經常稱為反變向量與共變向量）。

 $\left(1,1\right)$ 型張量

　
: $V\otimes V^{*}$

自然同構於從 $V$ 到 $V$ 的線性變換空間。一個實向量空間 $V$ 的內積自然對應於 $\left(0,2\right)$ 張量

　
: $V^{*}\otimes V^{*}$

稱為相應的度量，一般記作 $g$ 。



其它記法

文獻中通常不寫出完整的張量積以表示 $\left(m,n\right)$ 型張量的空間，而使用縮寫：

　
: ${\begin{matrix}T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}.$

這個空間的另外一種記法是用從向量空間 $V$ 到向量空間 $W$ 的線性映射來表示。讓

　
: $L(V,W)\ $

表示所有從 $V$ 到 $W$ 的線性映射的集合，這會形成一個向量空間。因此，例如對偶空間（線性泛函的空間）可以寫成

　
: $V^{*}\cong L(V,\mathbb {R} );$

由 universal property 可知，(m,n)- 張量有如下自然的同構 (isomorphism) 關係

　
: $T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n},\mathbb {R} )\cong L^{m+n}(V^{*},\dots ,V^{*},V,\dots ,V,\mathbb {R} ).$

在上面的公式中， $V$ 和 $V^{*}$ 的角色互換了。特別地，我們有

　
: $T_{0}^{1}(V)\cong L(V^{*},\mathbb {R} )\cong V,$

與

　
: $T_{1}^{0}(V)\cong L(V,\mathbb {R} )\cong V^{*},$

以及

　
: $T_{1}^{1}(V)\cong L(V,V).$

以下記法

　
: $GL(V,W)\ $

通常用來表示從 _V_ 到 _W_ 的可逆線性變換的空間，但對於張量空間沒有類似的記法。



張量場

微分幾何、物理學和工程學必須經常要處理光滑流形上的張量場。術語「張量 '」實際上有時用作張量場的簡稱。一個張量場表達了逐點變化的張量的概念。



張量在不同座標間的變換公式

對任何給定向量空間 $V$ 我們有 $V$ 的一組基底 $\{\mathbf {e} _{i}\}$ ，以及對應的對偶空間 $V^{*}$ 以及和向量基底 $\{\mathbf {e} _{i}\}$ 對應的對偶基底 $\{\omega ^{j}\}$ （也可用 $\{\mathbf {e} ^{*j}\}$ 來表示）。上指標與下指標的區別提醒我們分量變換的方式以及向量跟餘向量 (covector) 或是向量跟餘向量的係數的分別。

例如，取空間

　
: $V\otimes V\otimes V^{*}$

中的張量 $\mathbf {T} $ ，在我們的坐標系下分量可寫成

　
: $\mathbf {T} =T^{ij}{}_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \omega ^{k},$

這裡我們使用愛因斯坦求和約定，這是處理張量份量的一種常見約定：即當張量分量同時出現了一組上指標與下指標時，我們對這上下指標所有可能值求和，比如說： $a_{i}dx^{i}$ 這符號，在這約定下即代表 $\textstyle \sum _{i}a_{i}dx^{i}$ 。也就是說在在愛因斯坦求和約定下我們有 $\textstyle T^{ij}{}_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \omega ^{k}=\sum _{ijk}T^{ij}{}_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \omega ^{k}$ 。在物理中我們經常使用表達式

　
: $T^{ij}{}_{k}\ $

來表示張量，就像向量經常寫成分量形式，這可以視為一個 $n\times n\times n$ 數組。假設在另一坐標系中，有另一組基底 $\{\mathbf {\hat {e}} _{i}\}$ ，則對同一向量來說兩組基底對應的分量將會不同。如果 $(R_{i}^{j})$ 是兩基底間的變換矩陣（注意這不是一個張量，因為它表達一個基的變化而不是一個幾何實體），也就是

　
: $\mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j}R_{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$

，設 $(R^{-1})_{k}^{l}$ 是 $(R_{i}^{j})$ 的逆矩陣，對同一張量在新基底的張量分量設為 $\textstyle {\hat {T}}^{i'j'}\!{}_{k'}$ ，則兩者之間的變換公式為：

　
: ${\hat {T}}^{i'j'}\!{}_{k'}=\sum _{p,q,r}(R^{-1})_{p}^{i'}\,(R^{-1})_{q}^{j'}\,R_{k'}^{r}\,T^{pq}{}_{r}=(R^{-1})_{p}^{i'}\,(R^{-1})_{q}^{j'}\,R_{k'}^{r}\,T^{pq}{}_{r},$

注意上面的第二個等式使用了愛因斯坦求和約定。
在舊教材中這個變換規律經常作為一個張量的定義。形式上，這意味這那個張量作為所有坐標變換組成的群的一個特定表示。



參考文獻


* Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E., Foundations of Mechanics 2, Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1985, ISBN 0-201-40840-6