在實分析中，由黎曼創立的黎曼積分（英語：Riemann integral）首次對函數在給定區間上的積分給出了一個精確定義。黎曼積分在技術上的某些不足之處可由後來的黎曼－斯蒂爾傑斯積分和勒貝格積分得到修補。



概念

讓函數 $f$ 為定義在區間 $[a,b]$ 的非負函數，我們想要計算 $f(x)$ 所代表的曲線與 $x$ 坐標軸跟兩條垂直線 $x=a$ 跟 $x=b$ 所夾圖形的面積（既右圖區域 $S$ 的面積），可將區域 $S$ 的面積以下面符號表示：

　
: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

黎曼積分的基本概念就是對 _x_- 軸的分割越來越細，則其所對應的矩形面積和也會越來越趨近圖形 $S$ 的面積（參考右方第二張圖）。同時請注意，如函數為負函數， $f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} _{<0}$ ，則其面積亦為負值。



定義

區間的分割

一個閉區間 $[a,b]$ 的一個分割 P 是指在此區間中取一個有限的點列 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$ 。(由 a 至 b 內的所有 x)

 
每個閉區間 $[x_{i},x_{i+1}]$ 叫做一個子區間。定義 $\lambda $ 為這些子區間長度的最大值： $\lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})$ ，其中 $0\leq i\leq n-1$ 。

再定義取樣分割。一個閉區間 $[a,b]$ 的一個取樣分割是指在進行分割 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$ 後，於每一個子區間中 $[x_{i},x_{i+1}]$ 取出一點 $x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}$ 。 $\lambda $ 的定義同上。

精細化分割：設 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 以及 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ 構成了閉區間 $[a,b]$ 的一個取樣分割， $y_{0},\ldots ,y_{m}$ 和 $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ 是另一個分割。如果對於任意 $0\leq i\leq n$ ，都存在 $r(i)$ 使得 $x_{i}=y_{r(i)}$ ，並存在 $r(i)\leq j<r(i+1)$ 使得 $t_{i}=s_{j}$ ，那麼就把分割： $y_{0},\ldots ,y_{m}$ 、 $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ 稱作分割 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 、 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ 的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作「精細」。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更「精細」。

黎曼和

對一個在閉區間 $[a,b]$ 有定義的實值函數 $f$ ， $f$ 關於取樣分割 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 、 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ 的黎曼和（積分和）定義為以下和式：

　
: $\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})$

和式中的每一項是子區間長度 $x_{i+1}-x_{i}$ 與在 $t_{i}$ 處的函數值 $f(t_{i})$ 的乘積。直觀地說，就是以標記點 $t_{i}$ 到 X 軸的距離為高，以分割的子區間為長的矩形的面積。

黎曼積分

不太嚴格地來說，黎曼積分就是當分割越來越「精細」的時候，黎曼和趨向的極限。下面的證明中，會對「越來越『精細』」作出嚴格的定義。

要使得「越來越『精細』」有效，需要把 $\lambda $ 趨於 0。如此 $[x_{i},x_{i+1}]$ 中的函數值才會與 $f(t_{i})$ 接近，矩形面積的和與「曲線下方」的面積的差也會越來越小。實際上，這就是黎曼積分定義的大概描述。

嚴格定義如下： $S$ 是函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上的黎曼積分，若且唯若對於任意的 $\epsilon >0$ ，都存在 $\delta >0$ ，使得對於任意的取樣分割 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 、 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ ，只要它的子區間長度最大值 $\lambda \leq \delta $ ，就有：

　
: $\left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,$

也就是說，對於一個函數 $f$ ，如果在閉區間 $[a,b]$ 上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函數 $f$ 的黎曼和都會趨向於一個確定的值，那麼 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限，這時候稱函數 $f$ 為黎曼可積的。

這個定義的缺陷是沒有可操作性，因為要檢定所有 $\lambda \leq \delta $ 的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義，然後證明它們是等價的。

另一個定義: $S$ 是函數 $f$ 在閉區間 $[a,b]$ 上的黎曼積分，若且唯若對於任意的 $\epsilon >0$ ，都存在一個取樣分割 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 、 $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ ，使得對於任何比其「精細」的分割 $y_{0},\ldots ,y_{m}$ and $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ ，都有：

　
: $\left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,$

這兩個定義是等價的。如果有一個 $S$ 滿足了其中一個定義，那麼它也滿足另一個。首先，如果有一個 $S$ 滿足第一個定義，那麼只需要在子區間長度最大值 $\lambda \leq \delta $ 的分割中任取一個。對於比其精細的分割，子區間長度最大值顯然也會小於 $\delta $ ，於是滿足

　
: $\left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,$

其次證明滿足第二個定義的 $S$ 也滿足第一個定義。首先引進達布積分的概念，第二個定義和達布積分的定義是等價的，具體見達布積分。其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割 $x_{0},\ldots ,x_{n}$ 使得它的上達布和與下達布和都與 $S$ 相差不超過 ${\frac {\epsilon }{2}}$ 。令 $r$ 等於 $\max _{0\leq i\leq n-1}(M_{i}-m_{i})$ ，其中 $M_{i}$ 和 $m_{i}$ 是 $f$ 在 $[x_{i},x_{i+1}]$ 上的上確界和下確界。再令 $\delta $ 是 ${\frac {\epsilon }{2rn}}$ 和 $\min _{0\leq i\leq n-1}(x_{i+1}-x_{i})$ 中的較小者。可以看出，當一個分割的子區間長度最大值小於 $\delta $ 時， $f$ 關於它的黎曼和與上達布和或下達布和至多相差 ${\frac {\epsilon }{2}}$ ，所以和 $S$ 至多相差 $\epsilon $ 。

由於以上原因，黎曼積分通常被定義為達布積分（即第二個定義），因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。



黎曼積分的性質


* 線性性：黎曼積分是線性轉換，也就是說，如果 $f$ 和 $g$ 在區間 $[a,b]$ 上黎曼可積， $\alpha $ 和 $\beta $ 是常數，則：

　
: $\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.$

由於一個函數的黎曼積分是一個實數，因此在固定了一個區間 $[a,b]$ 後，將一個黎曼可積的函數設到其黎曼積分的映射 $I:f\longrightarrow \int _{a}^{b}fdx$ 是所有黎曼可積的函數空間上的一個線性泛函。


* 正定性：如果函數 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上幾乎處處（勒貝格測度意義上）大於等於 0，那麼它在 $[a,b]$ 上的積分也大於等於零。如果 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上幾乎處處大於等於 0，並且它在 $[a,b]$ 上的積分等於 0，那麼 $f$ 幾乎處處為 0。

* 可加性：如果函數 $f$ 在區間 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上都可積，那麼 $f$ 在區間 $[a,b]$ 上也可積，並且有

　
: $\int _{a}^{b}fdx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx$

無論 _a_、_b_、_c_ 之間的大小關係如何，以上關係式都成立。

 
* $[a,b]$ 上的實函數 $f$ 是黎曼可積的，若且唯若它是有界和幾乎處處連續的。

* 如果 $[a,b]$ 上的實函數是黎曼可積的，則它是勒貝格可積的。

* 如果 ${f_{n}}$ 是 $[a,b]$ 上的一個均勻收斂序列，其極限為 $f$ ，那麼：

　
: $\int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.$


* 如果一個實函數在區間 $[a,b],$ 上是單調的，則它是黎曼可積的。



黎曼積分的推廣

黎曼積分可推廣到值屬於 $n$ 維空間 $\mathbb {R} ^{n}$ 的函數。積分是線性定義的，即如果 $\mathbf {f} =(f_{1},\dots ,f_{n})$ ，則 $\int \mathbf {f} =(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n})$ 。特別地，由於複數是實數向量空間，故值為複數的函數也可定義積分。

黎曼積分只定義在有界區間上，擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分，即如同反常積分（improper integral）一樣。我們可以令

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int _{-x}^{x}f(t)\,dt.$

不幸的是，這並不是很合適。平移不變性（如果把一個函數向左或向右平移，它的黎曼積分應該保持不變）喪失了。例如，令 $f(x)=1$ 若 $x>0$ ， $f(0)=0$ ， $f(x)=-1$ 若 $x<0$ 。則對所有 $x$

　
: $\int _{-x}^{x}f(t)\,dt=\int _{-x}^{0}f(t)\,dt+\int _{0}^{x}f(t)\,dt=-x+x=0$ .

但如果我們將 $f(x)$ 向右平移一個單位得到 $f(x-1)$ ，則對所有 $x>1$ ，我們得到

　
: $\int _{-x}^{x}f(t-1)\,dt=\int _{-x}^{1}f(t-1)\,dt+\int _{1}^{x}f(t-1)\,dt=-(x+1)+(x-1)=-2$ .

由於這是不可接受的，我們可以嘗試定義：

　
: $\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(t)\,dt.$

此時，如果嘗試對上面的 $f$ 積分，我們得到 $+\infty $ ，因為我們先使用了極限 $b\to \infty $ 。如果使用相反的極限順序，我們得到 $-\infty $ 。

這同樣也是不可接受的，我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足，依然不是我們想要的，因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如，令 $f_{n}(x)=1/n$ 在 $[0,n]$ 上，其它域上等於 0。對所有 $n$ ， $\int f_{n}\,dx=1$ 。但 $f_{n}$ 均勻收斂於 0，因此 $\lim f_{n}$ 的積分是 0。因此 $\int f\,dx\not =\lim \int f_{n}\,dx$ 。即使這是正確的值，可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用。

一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見，但不難證明每個黎曼可積函數都是勒貝格可積的，並且當二者都有定義時積分值也是一致的。

事實上黎曼積分的一個直接擴展是 Henstock–Kurzweil 積分。

擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子 $x_{i}-x_{i+1}$ ，粗略地說，這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼 - 斯蒂爾切斯積分所採用的方法。



相關條目


* 不定積分

* 積分

* 勒貝格積分

* 黎曼－斯蒂爾傑斯積分

* 數值積分

* 達布積分

* 梯形公式

* 中點法



參考文獻


* Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. _Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach_, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.