誘導公式是數學三角函數中將角度比較大的三角函數利用角度的周期性，轉換為角度比較小的三角函數的變形公式。誘導公式分為以下六類：



公式一（函數關於 2π 的周期性）

 
* $\sin(2k\pi +\alpha )=\sin \alpha ,k\in \mathbb {Z} $

* $\cos(2k\pi +\alpha )=\cos \alpha ,k\in \mathbb {Z} $

* $\tan(2k\pi +\alpha )=\tan \alpha ,k\in \mathbb {Z} $

* $\cot(2k\pi +\alpha )=\cot \alpha ,k\in \mathbb {Z} $

* $\sec(2k\pi +\alpha )=\sec \alpha ,k\in \mathbb {Z} $

* $\csc(2k\pi +\alpha )=\csc \alpha ,k\in \mathbb {Z} $



公式二（函數關於 π 的周期性）

 
* $\sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha $

* $\cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha $

* $\tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha $

* $\cot(\pi +\alpha )=\cot \alpha $

* $\sec(\pi +\alpha )=-\sec \alpha $

* $\csc(\pi +\alpha )=-\csc \alpha $



公式三（函數的奇偶性）

 
* $\sin(-\alpha )=-\sin \alpha $

* $\cos(-\alpha )=\cos \alpha $

* $\tan(-\alpha )=-\tan \alpha $

* $\cot(-\alpha )=-\cot \alpha $

* $\sec(-\alpha )=\sec \alpha $

* $\csc(-\alpha )=-\csc \alpha $



公式四（在單位圓中各三角函數線關於 _y_ 軸的對稱性）

 
* $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha $

* $\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha $

* $\tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha $

* $\cot(\pi -\alpha )=-\cot \alpha $

* $\sec(\pi -\alpha )=-\sec \alpha $

* $\csc(\pi -\alpha )=\csc \alpha $



公式五（可看作在直角三角形中的轉換）

 
* $\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha $

* $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha $

* $\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha $

* $\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\tan \alpha $

* $\sec \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\csc \alpha $

* $\csc \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sec \alpha $



公式六

 
* $\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha $

* $\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha $

* $\tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha $

* $\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\tan \alpha $

* $\sec \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\csc \alpha $

* $\csc \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\sec \alpha $



公式七

 
* $\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\cos \alpha $

* $\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\sin \alpha $

* $\tan \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha $

* $\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=\tan \alpha $

* $\sec \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\csc \alpha $

* $\csc \left({\frac {3\pi }{2}}-\alpha \right)=-\sec \alpha $



公式八

 
* $\sin \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cos \alpha $

* $\cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=\sin \alpha $

* $\tan \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha $

* $\cot \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\tan \alpha $

* $\sec \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=\csc \alpha $

* $\csc \left({\frac {3\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sec \alpha $



內在聯繫

值得注意的是，公式一至八其實都存在著內在聯繫，可以寫成以下形式：

 
* $\sin \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $

* $\cos \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $

* $\tan \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $

* $\cot \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $

* $\sec \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $

* $\csc \left({\frac {k\pi }{2}}\pm \alpha \right),k\in \mathbb {Z} $

可用如下口訣將聯繫記憶起來：「奇變偶不變，符號看象限」。意思為，當 $k$ 為奇數時， $\sin $ 變為 $\cos $ ， $\cos $ 變為 $\sin $ ， $\tan $ 變為 $\cot $ ， $\cot $ 變為 $\tan $ ， $\sec $ 變為 $\csc $ ， $\csc $ 變為 $\sec $ ；而 $k$ 為偶數時，三角函數則不變換。對於正負號，則要看最後角所在的象限進行判斷，可以使用如下口訣：CAST，也可以使用 ASTC (All Students Take Calculus) 用來記憶。


* 第一象限的 A 即是 All（全部皆正）。

* 第二象限的 S 即是 Sine & CoSecant（正弦以及餘割為正）。

* 第三象限的 T 即是 Tangent & Cotangent（正切以及餘切為正）。

* 第四象限的 C 即是 Cosine & SeCant（餘弦以及正割為正）。



參考來源


* 数学 4 必修。人民教育出版社. ISBN 978-7-107-20334-3.