在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面 $\mathbb {P} ^{2}$ 上由一個齊次多項式 $f(X,Y)$ 定義的零點。



仿射曲線

定義在域 $F$ 上的仿射代數曲線可以看作是 $F^{n}$ 中由若干個 $n$ - 元多項式 $g_{i}\in F[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 定義的公共零點，使得其維數為一。

利用結式，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線 $f(x,y)=0$ ，其中 $f\in F[x,y]$ ，因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。



射影曲線

射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程 $g_{i}=0$ （ $i=1,\ldots ,n-1$ ）中，我們作代換：

　
: $g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\longrightarrow (X_{0})^{\deg g_{i}}g_{i}\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)$

遂得到 $n-1$ 個齊次多項式，它們在射影空間 $\mathbb {P} _{F}^{n}$ 中定義一條曲線，此射影曲線與開集 $U_{0}:=\{(X_{0}:\cdots :X_{n})|X_{0}\neq 0\}$ 的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括 $\mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{3}$ 中的費馬曲線 $X^{n}+Y^{n}+Z^{n}=0$ ，其上的有理點對應到費馬方程 $X^{n}+Y^{n}=Z^{n}$ 的互素整數解。



代數函數域

代數曲線之研究可化約為不可約代數曲線之研究，後者的範疇在雙有理等價之意義下等價於代數函數域範疇。域 $F$ 上的函數域 $K$ 是超越次數為一的有限型域擴張，換言之：存在元素 $x\in K$ 使得 $x$ 在 $F$ 上超越，而且 $K/F(x)$ 是有限擴張。

以複數域 $\mathbb {C} $ 為例，我們可以定義複係數有理函數域 $\mathbb {C} (x)$ 。變元 $x,y$ 對代數關係 $y^{2}=x^{3}-x-1$ 生成的域 $\mathbb {C} (x,y)$ 是一個橢圓函數域，代數曲線 $\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=x^{3}-x-1\}$ 給出它的一個幾何模型。

若基域 $F$ 非代數封閉域，則函數域無法只由多項式的零點描述，因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域 $F:=\mathbb {R} $ 並考慮其上的代數曲線 $x^{2}+y^{2}+1=0$ ，此方程定義了一個 $\mathbb {R} [x]$ 的有限擴張，因而定義了一個函數域，然而

　
: $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}+1=0\}=\emptyset $

代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述，對於一般的基域或者環上的曲線論，概形論能提供較合適的框架。



複代數曲線與黎曼曲面

複射影曲線可以嵌入 $n$ 維複射影空間 $\mathbb {C} P^{n}$ 。複射影曲線在拓撲上為二維的對象，當曲線光滑時，它是個緊黎曼曲面，即一維的緊複流形，因而是可定向的二維緊流形。這時該曲面的拓撲虧格（直觀說就是曲面有幾個洞或把手）等同於曲線上由代數幾何學定義的虧格。視這類曲線為黎曼曲面，則可以採複分析手法加以研究。另一方面，黎曼則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。

於是我們有三個相互等價的範疇：複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與 $\mathbb {C} $ 上的函數域。因此一維複分析（包括位勢論）、代數幾何與域論的方法此時能相互為用，這是高等數學裡很常見的現象。



奇點

判斷方式

曲線在一點 $P$ 的平滑性可以用雅可比矩陣判斷。以下考慮嵌於 $\mathbb {P} ^{n}$ 中的曲線：設該曲線由 $n-1$ 個 $n+1$ 個變元的齊次多項式 $g_{1},\ldots ,g_{n-1}$ 定義，若其雅可比矩陣 $\left({\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{i,j}$ 在區線上一點 $P$ 滿秩，則稱它 $P$ 點光滑；反之則稱為奇點。在一點的平滑性與多項式 $g_{1},\ldots ,g_{n-1}$ 的選取無關，也與曲線的嵌入方式無關。

在平面射影曲線的例子，假設曲線 $C$ 由齊次方程式 $f(x,y,z)=0$ 定義，則 $C$ 的奇點恰為 $C$ 上使得 $\nabla f$ 為零的點，即：

　
: ${\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0\quad (P\in C)$

在特徵非零的域上，一條代數曲線僅有有限個奇點；無奇點的曲線即平滑曲線。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點；事實上，奇點總是可藉著平面的拉開映射或正規化解消，由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線；然而對代數封閉域上的射影曲線，其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格，後者是個雙有理不變量。

奇點分類

曲線的奇點包括多重點（這是曲線的自交點）及尖點（如仿射曲線 $x^{3}=y^{2}$ 之於原點 $(0,0)$ ，見右圖）等等。一般來說，仿射平面曲線 $f(x,y)=0$ 在一點 $P$ 的奇點性質可以透過下述方式理解：

透過平移，不妨假設 $P=(0,0)$ 。將多項式 $f(x,y)$ 寫成

　
: $f(x,y)=\sum _{n\geq 1}f_{n}(x,y)$

其中 $f_{n}(x,y)$ 是 $n$ 次齊次多項式。直觀地想像， $f(x,y)=0$ 在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項，設之為 $f_{m}(x,y)$ 。根據齊次性可以將之分解成

　
: $f_{m}(x,y)=\prod _{i=1}^{m}(a_{i}x-b_{i}y)$

換言之，曲線在原點附近將近似於 $m$ 條（含重複）直線 $a_{i}x-b_{i}y=0$ 的聯集。上式中相異的直線數 $r$ 稱作分支數，正整數 $m$ 稱作平面曲線在該點的重數，此外還有一個內在的不變量 $\delta _{P}:=\dim {\mathcal {O}}_{{\tilde {C}},P}/{\mathcal {O}}_{C,P}$ ，其中 ${\tilde {C}}\rightarrow C$ 是該曲線的正規化態射。資料 [m, δ, r] 能夠被用來分類奇點。例如_一般尖點_對應到 $[2,1,1]$ ，_一般雙重點_對應到 $[2,1,2]$ ，而_一般 n 重點_則對應到 $[n,{\frac {n(n-1)}{2}},n]$ 。

各奇點的不變量 δP 決定平面曲線 $f(x,y)=0$ 的虧格：設 $\deg f=d$ ，則有

　
: $g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},$

對於在複數域上的平面曲線，John Milnor 以拓撲方式定義了不變量 μ，稱為 Milnor 數：同樣假設 $P=(0,0)$ ，在原點附近夠小的四維球 $B_{\epsilon }:=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}<\epsilon \}$ 內有 $(x,y)\neq (0,0)\Rightarrow \nabla f(x,y)\neq 0$ ，此時有連續映射

　
: $\nabla f(x,y):B_{\epsilon }-\{(0,0)\}\rightarrow B_{\epsilon }-\{(0,0)\}$

由於 $B_{\epsilon }-\{(0,0)\}$ 同倫等價於三維球面 $\mathbb {S} ^{3}$ ，於是可定義 μ 為此映射的拓撲次數。μ 與前述不變量的關係由下式表明：

　
: $\mu =2\delta -r+1$

事實上， $\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:f(x,y)=0\}\cap \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}$ 在 ε 夠小時是 $\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}\cong \mathbb {S} ^{3}$ 中的一個環圈，稱作奇點環圈，它具有複雜的拓撲性質。例如： $x^{3}=y^{2}$ 在尖點附近的奇點環圈是三葉結。



曲線的例子

有理曲線

域 $F$ 上的有理曲線是雙有理等價於射影直線 $\mathbb {P} _{F}^{1}$ 的曲線，換言之，其函數域同構於單變元有理函數域 $F(t)$ 。當 $F$ 代數封閉時，這也等價於該曲線之虧格為零，對一般的域則不然；實數域上由 $x^{2}+y^{2}+1=0$ 給出的函數域虧格為零，而非有理函數域。

具體地說，一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線，例子請見條目有理正規曲線。

任何 $F$ 上有有理點的圓錐曲線都是有理曲線。參數化的過程如下：過給定有理點 $P$ 而斜率為 $t$ 的直線交平面上一條二次曲線於兩點，就 x 坐標來說，交點的 x 坐標是一個二次多項式的根，其中一個屬於 $F$ 的根已知，即 $P$ 的 x 坐標；因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於 $F$ ，而且能表作 $t$ 在 $F$ 上的有理函數。y 坐標的作法相同。

例。考慮斜橢圓 $E:x^{2}+xy+y^{2}=1$ ，其中 $(-1,0)$ 是有理點。畫一條過該點且斜率為 t 之直線 $y=t(x+1)$ ，並帶入 E 的等式，於是得到：

　
: $x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}$ 。

　
: $y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}$

這就給出 E 的有理參數化，於是證明了 E 是有理曲線。

將此結果置於射影幾何的框架下，則能導出若干數論的結論。例如我們可在 E 中加入無窮遠點，得到射影曲線

　
: $X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}\,\!$

以上參數化遂表為

　
: $X=1-t^{2},\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^{2}+t+1\,\!$

若取 $t$ 為整數，對應的 $X,Y,Z$ 是不定方程 $X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}$ 的整數解；若將 $X$ 代以 $-X$ ，則此方程詮釋為 θ=60° 時的餘弦定理，藉此能描述所有一角為 60° 且邊長均為整數的三角形，例如取 $t=2$ ，就得到邊長分別為 X=3, Y=8, Z=7 的三角形。

橢圓曲線

橢圓曲線可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線，它們都同構於平面上的三次曲線。此時通常取無窮遠處的反曲點為給定的有理點，這時該曲線可以寫作射影版本的 Tate - 魏爾施特拉斯形式：

　
: $y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.\,\!$

橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群結構，使得給定有理點為單位元素，且加法為代數簇的態射，因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇。在三次平面曲線的情形，三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線，此阿貝爾簇同構於 $\mathbb {C} /\Lambda $ ，其中的 $\Lambda $ 由相應的橢圓函數給出。

虧格大於一的曲線

對虧格大於一的曲線，其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據 Faltings 定理，定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點；若視為黎曼曲面，它們則帶有雙曲幾何的結構。例子包括超橢圓曲線、克萊因四次曲線與一開始提到的費馬曲線在 $n\geq 4$ 的情形。



文獻


* Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, _Plane Algebraic Curves_, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986

* Claude Chevalley, _Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable_, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951

* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, _Riemann Surfaces_, Springer, 1980

* Phillip A. Griffiths, _Introduction to Algebraic Curves_, Kuniko Weltin, trans., American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs volume 70, 1985 revision

* Robin Hartshorne, _Algebraic Geometry_, Springer, 1977

* Shigeru Iitaka, _Algebraic Geometry: An Introduction to the Birational Geometry of Algebraic Varieties_, Springer, 1982

* John Milnor, _Singular Points of Complex Hypersurfaces_, Princeton University Press, 1968

* George Salmon, _Higher Plane Curves_, Third Edition, G. E. Stechert & Co., 1934

* Jean-Pierre Serre, _Algebraic Groups and Class Fields_, Springer, 1988