保守擴展是邏輯中的一個概念。一個知識庫 K' 是 K 的擴展，如果 K 是 K' 的一個子集；K' 是 K 的保守擴展，如果對所有只用 K 中的名字構造的命題 $\alpha $ , K' $\vDash \alpha $ 若且唯若 K $\vDash \alpha $ 。換句話說，保守擴展不會改變原有的知識庫的結構。保守擴展在許多領域都有應用，如模塊化本體和敏感知識的保護。

在邏輯和推導機制中，I 和 J 分別是一個解釋 (Interpretation), 如果 J 是 I 的保守擴展，必須滿足以下條件:


* 1) 解釋 I 作用在語言集合 L 中，解釋 J 必須作用在語言集合 L' 中，並且 L' 包含 L

* 2) 解釋 I 的域 (Domain) 等於解釋 J 的域

* 3) 對於任何在語言集合 L 中的元素 e，I (e) = J (e)

那麼我們說 J 是 I 的保守擴展。



補充說明

在邏輯語言語法 (Syntax) 中


* 一個語言集合的組成元素:
  
* 1) 常數符號 a,b,c,d,........
  
* 2) 函數符號 f,g,...... 並且每個函數符號標有所帶參數的個數 注意當函數 f 不帶有參數時 這時就變成了一個常數符號
  
* 3）命題邏輯符號 P,Q,(或 p,q)........
  
* 4) 謂詞關係邏輯符號 P,Q（或 p,q）,........ 並且每個謂詞標有所帶參數的個數 注意當謂詞關係邏輯符號 P 不帶有參數時，就變成命題邏輯符號 P

這裡的參數在邏輯語言中叫做項 (Term)
(項是一個最小有限集合)


* 一個項可以是:
  
* 1) 一個變量符號 (通常我們用小寫字母 x,y,z 等表達) 比如 x,y,z,x1,x2,x3,..........
  
* 2) 一個常數符號 (通常我們用小寫字母 a,b,c,d 等表達) 比如 a,b,c,d,a1,b1,c3,...........
  
* 3) 一個函數符號並且該函數標有所帶參數 (通常我們用小寫字母 f,g,q 等表達） f (t1,t2,t3,......tn), 其中所帶的參數 t1,t2,.......,tn 也是由項組成

他是最小的有限的集合，換句話說一個項是一個有限樹，他的葉子個數是有限的
比如 f (x,b,f (y,c,g (z))) 他是一個項 其中 x,y,z 是變量，b,c 是常數，f,g 是函數符號

```
           f
           |
       x   b   f
               |
            y  c  g
                  |
                  z  
```

但是 比如 如果函數 f 的項是 f 自己本身，這時候就不是項了，因為一個項必須是一個有限樹 (如上圖所示)
而此時的情況就變成了一個無限表達 f (f (f (f (f (f (f (f.......)))))))，就不符合最小有限集合的定義

在項 (Term) 的基礎上我們構築式子集合 (Set of Formula)
式子集合也是一個最小有限集合，這樣定義也是避免一個式子的無限性表達，避免如同上面的例子


* 一個基於一個語言集合 L 的式子 (記作 L-formula) 可以是:
  
* 1) ⊥ （永假符號） 是一個式子 (永假的含義是一個式子在任何解釋中，永遠是假命題，我們記作⊥
    
* 比如 P (x)∧˥P (x) 在任何解釋 I 中，該命題永遠是假命題，注意，前提中解釋 I 必須有一個非空解釋域
  
* 2) T (永真符號) 是一個式子 （解釋如上，永真表示一個式子永遠是真命題）
  
* 3) 如果 P 表示一個命題符號，那麼 P 就是一個式子
  
* 4) 如果 P 表示一個謂詞關係符號，並且他帶有 n 個參數 (也就是帶有 n 個項 Term)，那麼 P (t1,t2,t3,......,tn) 是一個式子，其中 t1,......,tn 是 n 個項
  
* 5) 如果 φ 是一個式子，那麼˥φ 也是一個式子
  
* 6) 如果 φ 和 ψ 都是式子，那麼 φ\*ψ 也是式子，其中 \
* 符號表示∧(conjonction),∨(disjonction),⇔(equivalence),⇒(implication) 符號中的任何一種
  
* 7) 如果 φ 是一個式子，x 是一個變量，那麼 (∃x)φ 是一個式子
    
* ∃表示存在量詞符號 比如 (∃x) (P (x)∧P (y)) 含義是至少存在一個變量 x 的值在式子 (P (x)∧P (y)) 中起作用 注意到 x 是 φ 的約束變量，y 是 φ 的自由變量
  
* 8) 如果 φ 是一個式子，x 是一個變量，那麼 (∀x)φ 是一個式子
    
* ∀表示所有量詞符號 比如 (∀x) (P (x)∧P (y)) 含義是對所有變量 x 的值在式子 (P (x)∧P (y)) 中起作用
  
* 9) \
* 如果 t1 和 t2 是兩個項，那麼 t1=t2 是式子 (由於要涉及處理相等問題的原則和公理，所以這裡的所有式子不涉及 t1=t2 情況)

 


* 幾個注意點
  
* 一個變量 x 叫做 φ 式子的約束變量，當有存在量詞或所有量詞在 φ 給於限定變量 x, 反之叫做自由變量
  
* 注意存在量詞符號或所有量詞符號的作用域
    
* 比如 φ = (∃x p (x))∨q (x) 此時存在量詞僅作用於 p (x), 不作用於 q (x),p (x) 中的 x 是約束變量，q (x) 的 x 是自由變量

 
以上的簡單語法規則構築了一階邏輯，我們之所以要通過以上的語法規則構築的式子，是想知道是否我們構築的式子是否有意思或有意思，在邏輯語法 (Syntax) 中我們無法解釋，因此我們必須通過邏輯語言語義 (Semantic) 來說明是否一個式子有意義或有意思，在邏輯語言語義 (Semantic) 中我們引入 (Interpretation) 解釋 (記作 I)

在邏輯語言語義 (Semantic) 中
我們用一個解釋（Interpretation）I 賦予一個式子 (formula) 以意思，


* 一個解釋 I 在語言集合 L 中是這樣定義的:
  
* 1) 解釋 I 必須有一個非空（領）域做為解釋的基礎，用符號 D 來表示，比如我們說用全體自然數集合來作位解釋 I 的域來解析分析一個由語言集合 L 中的元素組成的式子 (formula)
  
* 2) 解釋 I 是一個聯繫函數，他的定義如下:
    
* 1) 語言集合中的常數 a I (a) 屬於解釋 I 的域，記作 I (a) = Ia 且 Ia 屬於 D
    
* 2) 對於函數 f (t1,t2,......tn)， If 是從 Dn\*Dn\*Dn.....Dn（N 個 Dn） 到 Dn 的映射，其中 Dn 分別是 t1,.....,tn 和 f 域
    
* 3) 對於邏輯命題 P Ip 是 {True,False} 中的一個元素， 也就是所命題邏輯的結果要麼是真命題（記作 T），要麼是假命題 (記作 F)
    
* 4) 對於謂詞邏輯 P (t1,.......tn) Ip 是一個從 Dn\*Dn\*.......\*Dn (N 個 Dn) 到 {True , False} 的映射 其中 Dn 是每個項 ti（i=1,2,......n）的解釋域