量子力學和量子場論的路徑積分表述（英語：path integral formulation 或 functional integral）是一個從古典力學裡的作用原則延伸出來對量子物理的一種概括和公式化的方法。它以包括兩點間所有路徑的和或泛函積分而得到的量子幅來取代古典力學裡的單一路徑。

路徑積分表述的基本思想可以追溯到諾伯特・維納，他介紹的維納積分解決擴散和布朗運動的問題。在 1933 年他的論文中，由保羅・狄拉克把這個基本思想被擴展到量子力學中的利用拉格朗日算符 。路徑積分表述的完整方法，由理論物理學家理察・費曼在 1948 年發展出來，但較早時，費曼已在約翰・惠勒指導的博士論文中，摸索出初步結果。

因爲路徑積分的表述法顯然地把時間和空間同等處理，它成為以後理論物理學發展的重要工具。

路徑積分表述也把量子現像和隨機現像聯繫起來，為 1970 年代量子場論和概括二級相變附近序參數波動的統計場論統一奠下基礎。薛丁格方程式是虛擴散系數的擴散方程式，而路徑積分表述是把所有可能的隨機移動路徑加起來的方法的解析延拓。因此路徑積分表述在應用於量子力學前，已經應用在布朗運動和擴散問題上。



數學方法

哈密頓算符在量子力學中的意義

量子力學中，哈密頓算符 $H$ 生成時間演化算符 $U(t_{b},t_{a})$ ：

　
: $U(t_{b},t_{a})=e^{-{\frac {i}{\hbar }}(t_{b}-t_{a})H}.$

一個量子粒子在時刻 $t_{a}$ 到 $t_{b}$ 間從位置 $x_{a}$ 運動到 $x_{b}$ 的量子機率幅是：

　
: $iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})\equiv \left\langle x_{b}\right|U(t_{b},t_{a})\left|x_{a}\right\rangle .$

因爲 $U(t_{b},t_{a})$ 是很複雜的算符函數，直接用以上定義計算 $iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})$ 非常困難。

時間演化算符符合

　
: $U(t_{b},t_{a})=U(t_{b},t)U(t,t_{a}),$

因此量子幅符合

　
: $iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})=\int dx\ iG(x_{b},t_{b};x,t)iG(x,t;x_{a},t_{a})$ 。

右式被積項的意義為從 $(t_{a},x_{a})$ 出發，在中途時刻 $t$ 先穿過位置 $x$ ，再到達 $(t_{b},x_{b})$ 的路徑的總量子幅，此量子幅是兩段路徑量子幅的積；而左式從 $(t_{a},x_{a})$ 到 $(t_{b},x_{b})$ 的量子幅，等於右式所有這種路徑的和（積分）。

時間切片

假設粒子在時刻 $t_{a}$ 到 $t_{b}$ 間從位置 $x_{a}$ 運動到 $x_{b}$ 。那可以把之間的時間平均分割成個別的時間區間： $t_{a}=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}=t_{b}$ 。每一段的時間是 $\Delta ={\frac {t_{b}-t_{a}}{n}}$ 。
在時刻 $t_{j-1}$ 和 $t_{j}$ 間粒子的量子幅是：

　
: ${\begin{aligned}\left\langle x_{j}\left|e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}\right|x_{j-1}\right\rangle &=\int dp_{j}\langle x_{j}|p_{j}\rangle \left\langle p_{j}\left|e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}\right|x_{j-1}\right\rangle \end{aligned}}$

因為 ${\hat {p}}$ 和 ${\hat {x}}$ 是互不交換的算符，所以必須運用它們的交換子關係： $[{\hat {p}},{\hat {x}}]=i\hbar $ 把 $H({\hat {p}},{\hat {x}})$ 修成所有的 ${\hat {p}}$ 在 ${\hat {x}}$ 左方的正常順序：

　
: $e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}=:e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}:+O(\Delta ^{2})$

做時間切片的作用是：當取切片數趨向無限大的極限時（ $\Delta \rightarrow 0$ ），原本非正常順序的哈密頓算符可以以正常順序版代替。在正常順序算符下， ${\hat {p}}$ 和 ${\hat {x}}$ 從算符簡化成普通複數。
因此

　
: ${\begin{aligned}\left\langle x_{j}\left|e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H({\hat {p}},{\hat {x}})}\right|x_{j-1}\right\rangle &=\int {\frac {dp_{j}}{2\pi \hbar }}e^{i{\frac {p_{j}}{\hbar }}(x_{j}-x_{j-1})}\,e^{-i{\frac {\Delta }{\hbar }}H(p_{j},x_{j-1})}\\&=\int {\frac {dp_{j}}{2\pi \hbar }}e^{i{\frac {\Delta }{\hbar }}\left(p_{j}{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\Delta }}-H(p_{j},x_{j-1})\right)}\\\end{aligned}}$

把所有連接 $(t_{a},x_{a})$ 和 $(t_{b},x_{b})$ 的路徑相加得到的總量子幅是：

　
: ${\begin{aligned}iG(x_{b},t_{b};x_{a},t_{a})&=\int dx_{1}\cdots dx_{n-1}\prod _{i=1}^{n-1}dp_{i}\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\sum _{j=1}^{n-1}\Delta \,L\left(t_{j},{\frac {x_{j}+x_{j-1}}{2}},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\Delta }}\right)\right]\\&=\int {\mathcal {D}}\left[x(t)\right]e^{{\frac {i}{\hbar }}S[x(t)]},\end{aligned}}$

其中 $S$ 是路徑 $x(t)$ 的作用量，拉格朗日量 $L(t,x,{\dot {x}})$ 的時間積分：

　
: $S=\int L(t,x,{\dot {x}})dt.$



簡單例子

自由粒子

自由粒子的作用量（ $m=1$ ， $\hbar =1$ ）為：

　
: $S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}dt,$

可以插入路徑積分裡做直接計算。

暫時把指數函數內 i 去掉可容許比較簡易的理解計算，以後可以用威克轉動回到原式。去掉 $i$ 後，有：

　
: $G(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}dt}{\mathcal {D}}x=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {(x(t+\epsilon )-x(t)}{\epsilon }}\right)^{2}\epsilon }{\mathcal {D}}x,$

其中 ${\mathcal {D}}x$ 是以上時間切成有限片的積分。連乘裡，每一項都是平均值為 $x(t)$ ，方差為 $\epsilon $ 的高斯函數。故多重積分是相鄰時間高斯函數 $G_{\epsilon }$ 的卷積：

　
: $G(x-y;T)=G_{\epsilon }*G_{\epsilon }*G_{\epsilon }*\cdots *G_{\epsilon }(x-y).$

這裡面共包含 $T/\epsilon $ 個卷積。傅里葉變換下，卷積變成普通乘積：

　
: ${\tilde {G}}(p;T)={\tilde {G}}_{\epsilon }(p)^{T/\epsilon }.$

而高斯函數的傅里葉變換也是一個高斯函數：

　
: ${\tilde {G}}_{\epsilon }(p)=e^{-\epsilon {\frac {p^{2}}{2}}},$

因此

　
: ${\tilde {G}}(p;T)=e^{-T{\frac {p^{2}}{2}}}.$

反傅里葉變換可以得到實空間量子幅：

　
: $G(x-y;T)\propto e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{2T}}}.$

時間切片方法原則上不能決定以上比例系數，但以隨機運動機率來理解，可得到以下正規條件：

　
: $\int G(x-y;T)dy=1,$

從這條件可得到擴散方程式：

　
: ${\frac {d}{dt}}G(x;t)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}G.$

回到振盪軌道，即恢復分子裡的原本的 $i$ 。這可同樣得到一系列高斯函數的卷積。但這些高斯積分是嚴重振盪積分而要小心計算。一個普遍方法是讓時間片 $\epsilon $ 帶一個小虛部。這等同於以威克轉動在實時間和虛時間間轉換。在這些處理下，可得到傳播核：

　
: $G(x-y;T)\propto e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2T}}.$

運用和之前一樣的正規條件，重新得到自由粒子的薛丁格方程式：

　
: ${\frac {d}{dt}}G(x;t)={\frac {i\nabla ^{2}}{2}}G.$

這意味著任何 $G$ 的綫性組合也符合薛丁格方程式，包括以下定義的波函數：

　
: $\varphi _{t}(x)=\int \varphi _{0}(y)G(x-y;t)dy,$

和 $G$ 一樣服從薛丁格方程式：

　
: $i{\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\varphi _{t}(x).$



量子場論

配分函數成為泛函積分：

$$
Z=\int D\phi \ \exp(iS(\phi ))
$$



費米子路徑積分

費米積分、格拉斯曼數



參看


* 費曼－卡茨公式

* 配分函數

* 泛函

* 高斯積分