在數學裏，一個正交坐標系定義為一組正交坐標 $\mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots \ q_{n})$ ，其坐標曲面都以直角相交（注意：很多作者採用愛因斯坦記號對坐標標號使用上標並非表示指數）。坐標曲面定義為特定坐標 $q_{i}$ 的等值曲面，即 $q_{i}$ 為常數的曲線、曲面或超曲面。例如，三維直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 是一種正交坐標系，它的 $x$ 為常數， $y$ 為常數， $z$ 為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐標系是曲線坐標系的特殊的但極其常見的形式。



動機

正交座標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程式。舉例而言，選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子 $H_{2}\,^{-}$ 的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的 $n$ 維問題變為 $n$ 個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程式或亥姆霍茲方程式，這些方程式式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程式可以在 13 個正交坐標系中分離（本文列出的 14 個中圓環坐標系除外），而亥姆霍茲方程式可以在 11 個正交坐標系中分離。



概述

正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方 $ds^{2}$ ，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：

　
: $ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(h_{i}dq_{i}\right)^{2}$ ；

其中， $n$ 是維數，標度因子 $h_{i}$ 是度規張量的對角元素 $g_{ii}$ 的平方根：

　
: $h_{i}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{ii}(\mathbf {q} )}}$ 。

這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。

在數學裏，存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系 $(x,\ y)$ 的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數 $z=x+iy$ 的任何全純函數 $w=f(z)$ ，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為 $w=u+iv$ ，則 $u$ 與 $v$ 的等值曲線以直角相交，就如同原本的 $x$ 與 $y$ 的等值曲線以直角相交。

三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成，只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射（形成類似圓柱座標系的座標系），或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交座標系，例如橢球座標系，則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐標可以從一些必要的坐標曲面 / 曲線起步並通過考慮它們的正交軌跡線而得到。



向量代數

在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變：

　
: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}$ 。



向量微積分

從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標 $q_{i}$ 的無窮小改變 $dq_{i}$ ，其相伴的長度是 $ds_{i}=h_{i}dq_{i}$ 。因此，一個位移向量的全微分 $d\mathbf {r} $ 等於

　
: $d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}h_{i}dq_{i}\mathbf {e} _{i}$ ；

其中， $\mathbf {e} _{i}$ 是垂直於 $q_{i}$ 等值曲面的單位向量，指向著 $q_{i}$ 增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

因此，向量 $\mathbf {F} $ 沿著周線 $\mathbb {C} $ 的線積分等於

　
: $\int _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {C} }F_{i}h_{i}dq_{i}$ ；

其中， $F_{i}$ 是向量 $\mathbf {F} $ 在單位向量 $\mathbf {e} _{i}$ 方向的分量：

　
: $F_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} $ 。

類似地，一個無窮小面積元素是

　
: $dA=ds_{i}ds_{j}=h_{i}h_{j}dq_{i}dq_{j},\qquad i\neq j$ ，

一個無窮小體積元素是

　
: $dV=ds_{i}ds_{j}ds_{k}=h_{i}h_{j}h_{k}dq_{i}dq_{j}dq_{k},\qquad i\neq j\neq k$ 。

例如，向量 $\mathbf {F} $ 對於一個曲面 $\mathbb {S} $ 的曲面積分是

　
: $\int _{\mathbb {S} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathbb {S} }F_{1}h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3}+\int _{\mathbb {S} }F_{2}h_{3}h_{1}dq_{3}dq_{1}+\int _{\mathbb {S} }F_{3}h_{1}h_{2}dq_{1}dq_{2}$ 。

球坐標系實例

直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 與球坐標 $(r,\ \theta ,\phi )$ 的變換方程式式為

　
: $x=r\sin \theta \cos \phi $ 、

　
: $y=r\sin \theta \sin \phi $ 、

　
: $z=r\cos \theta $ 。

直角坐標的全微分是

　
: $dx=\sin \theta \cos \phi dr+r\cos \theta \cos \phi d\theta -r\sin \theta \sin \phi d\phi $ 、

　
: $dy=\sin \theta \sin \phi dr+r\cos \theta \sin \phi d\theta +r\sin \theta \cos \phi d\phi $ 、

　
: $dz=\cos \theta dr-r\sin \theta d\theta $ 。

所以，無窮小距離的平方是

　
: ${\begin{aligned}ds^{2}&=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\\&=dr^{2}+(rd\theta )^{2}+(r\sin \theta d\phi )^{2}\\\end{aligned}}$ 。

標度因子是

　
: $h_{r}=1$ 、

　
: $h_{\theta }=r$ 、

　
: $h_{\phi }=r\sin \theta $ 。

向量 $\mathbf {F} $ 沿著周線 $\mathbb {C} $ 的線積分等於

　
: $\int _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbb {C} }F_{r}\ dr+F_{\theta }\ rd\theta +F_{\phi }\ r\sin \theta d\phi $ 。

向量 $\mathbf {F} $ 對於一個曲面 $\mathbb {S} $ 的曲面積分是

　
: $\int _{\mathbb {S} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathbb {S} }F_{r}\ r^{2}\sin \theta d\theta d\phi +\int _{\mathbb {S} }F_{\theta }\ r\sin \theta drd\phi +\int _{\mathbb {S} }F_{\phi }\ rdrd\theta $ 。



三維微分算子

上面表達式可以使用列維 - 奇維塔符號 $\epsilon $ 的更簡潔形式書寫，定義 $H=h_{1}h_{2}h_{3}$ ，並使用愛因斯坦記號，即在同時出現上標和下標的項目上求此項所有可能的總和:



正交坐標系表格

除了直角坐標系之外，下表列出其他常見的正交坐標系，為了簡明性在坐標列中使用了區間符號。



微分算子導引

梯度導引

一個函數 $\phi $ 的梯度朝某個方向 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 的分量，等於方向導數 ${\frac {d\phi }{ds}}$ 朝 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 方向的值：

　
: $\nabla \Phi \cdot {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {d\phi }{ds}}$ ；

其中， $ds$ 是朝 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 方向的無窮小位移。

假若，這 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 與正交坐標軸 ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ 同方向。那麼， $ds=h_{i}dq_{i}$ 。所以，函數 $\phi $ 的梯度朝 ${\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ 的分量是 ${\frac {\partial \phi }{h_{i}\partial q_{i}}}$ ；也就是說，

　
: $\nabla \Phi ={\hat {\mathbf {e} }}_{1}{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}$ 。

散度導引

　
: $\nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}F_{2}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}F_{3})$ 。

取右手邊第一個項目，

　
: $\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})=\nabla \cdot \left[\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\left(h_{2}h_{3}F_{1}\right)\right]$ 。

應用向量恆等式 $\nabla \cdot (\mathbf {A} \phi )=\phi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot (\nabla \phi )$ 與 $\nabla \cdot (\nabla \phi _{1}\times \nabla \phi _{2})=0$ ，可以得到

　
: ${\begin{aligned}\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})&=(h_{2}h_{3}F_{1})\nabla \cdot \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)+\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&=(h_{2}h_{3}F_{1})\nabla \cdot [(\nabla q_{2})\times \nabla (q_{3})]+\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&=\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})\\\end{aligned}}$ 。

總合所有項目，

　
: $\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(F_{2}h_{3}h_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(F_{3}h_{1}h_{2})\right]$ 。

 

旋度導引

　
: $\nabla \times \mathbf {F} =\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}F_{2}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}F_{3})$ 。

取右手邊第一個項目，

　
: $\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})=\nabla \times \left[\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\left(h_{1}F_{1}\right)\right]$ 。

應用向量恆等式 $\nabla \times (\mathbf {A} \phi )=\phi \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \times (\nabla \phi )$ ，

　
: ${\begin{aligned}\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})&=(h_{1}F_{1})\nabla \times \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)-\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\times \nabla (h_{1}F_{1})\\&=(h_{1}F_{1})\nabla \times (\nabla q_{1})-\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\times \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(h_{1}F_{1})+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(h_{1}F_{1})\right)\\\end{aligned}}$ 。

應用向量恆等式 $\nabla \times (\nabla \phi )=0$ ，

　
: $\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{1}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(h_{1}F_{1})-{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(h_{1}F_{1})$ 。

總合所有項目，

　
: ${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\&+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]\\\end{aligned}}$ 。

拉普拉斯算子

　
: $\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}\right)\right]$ 。



引用



參見


* 坐標系

* 曲線坐標系

* 斜交坐標系（度規張量有非對角項目）

* 在圓柱和球坐標系中的 del



參考文獻


* Korn GA and Korn TM. (1961) _Mathematical Handbook for Scientists and Engineers_, McGraw-Hill, pp. 164-182。

* Morse PM and Feshbach H. (1953) _Methods of Theoretical Physics_, McGraw-Hill, pp. 494-523, 655-666。

* Margenau H. and Murphy GM. (1956) _The Mathematics of Physics and Chemistry_, 2nd. ed., Van Nostrand, pp. 172-192。