在數學裏，反變（contravariant，也稱逆變）和共變（covariant，也稱協變）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。

反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。



轉換方式

向量：反變轉換


* 標記法說明：向量 $\mathbf {v} \,\!$ 是向量空間 $V\,\!$ 的元素。向量基底 $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...,\mathbf {e} _{n}\,\!$ 構成了向量空間的一個基底，其座標系統為 $x^{1},x^{2},...,x^{n}\,\!$ 。對應這個基底，向量 $\mathbf {v} \,\!$ 的分量為 $v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!$ ，即 $\textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}\mathbf {e} _{i}$ 。

（註： $v^{2}\,\!$ 這符號中的上標 $2$ 不代表平方，而是代表第二個坐標，在較基礎的數學上，常寫作 $v_{2}\,\!$ ，但是，在張量分析領域，指標寫作上標或下標牽涉到對張量性質的提示，以及愛因斯坦求和約定。）

向量空間 $V$ 有另一個基底 ${\bar {\mathbf {e} }}_{1},...,{\bar {\mathbf {e} }}_{n}\,\!$ ，其座標系統為 ${\bar {x}}^{1},...,{\bar {x}}^{n}\,\!$ 。對應這個基底， $\mathbf {v} \,\!$ 有分量 ${\bar {v}}^{1},{\bar {v}}^{2},...,{\bar {v}}^{n}\,\!$ ，即 $\textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}{\bar {v}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}$ 。

對於 1...n 之間任意整數 $\mu \,\!$ ，我們知道 ${\bar {v}}^{\mu }\,\!$ 和 $v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!$ 的關係：

　
: ${\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{1}}}v^{1}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{2}}}v^{2}+...+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{n}}}v^{n}\,\!$ 。

使用愛因斯坦求和約定可寫成：

　
: ${\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{i}}}v^{i}\,\!$ 。

餘向量：共變轉換

假設對偶空間 $V^{*}$ 有兩個基底 ${\mathbf {dx} ^{1},\mathbf {dx} ^{2},...,\mathbf {dx} ^{n}}\,\!$ 跟 $\mathbf {d{\bar {x}}} ^{1},\mathbf {d{\bar {x}}} ^{2},...,\mathbf {d{\bar {x}}} ^{n}\,\!$ 。

假設 $\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in V^{*},{\boldsymbol {\omega }}=\sum _{i}\mathbf {\eta } _{i}\mathbf {dx} ^{i}=\sum _{j}{\bar {\mathbf {\eta } }}_{j}d{\bar {\mathbf {x} }}^{j}$ 。
則對於 $1$ ... $n$ 之間其中一個特定的整數 $\mu \,\!$ ，我們知道 ${\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }\,\!$ 和 $\mathbf {\eta } _{1},\mathbf {\eta } _{2},...,\mathbf {\eta } _{n}\,\!$ 的關係：

　
: ${\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{1}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{1}+{\frac {\partial x^{2}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{2}+...+{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{n}\,\!$ 。

或使用愛因斯坦求和約定寫成：

　
: ${\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{i}\,\!$ 。



向量的共變分量和反變分量

在歐幾里得空間 $V\,\!$ 裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有餘向量 $\mathbf {w} \,\!$ ，通過下述方程式，向量 $\mathbf {v} \,\!$ 和線性泛函 $\alpha (\mathbf {w} )\,\!$ ，唯一地確定了餘向量 $\mathbf {w} \,\!$ ：

　
: $\alpha (\mathbf {w} )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} \,\!$ 。

逆過來，通過上述方程式，線性泛函 $\alpha (\mathbf {w} )\,\!$ 和每一個餘向量，唯一地確定了向量 $\mathbf {v} \,\!$ 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予 $V\,\!$ 的一個基底 ${\mathfrak {f}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,\!$ ，則必存在一個唯一的對偶基底 ${\mathfrak {f}}^{\sharp }=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!$ ，滿足

　
: $Y^{i}\cdot X_{j}=\delta _{j}^{i}\,\!$ ；

其中， $\delta _{j}^{i}\,\!$ 是克羅內克函數。

以這兩種基底，任意向量 $\mathbf {v} \,\!$ 可以寫為兩種形式

　
: ${\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}v_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!$ ；

其中， $v^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!$ 是向量 $\mathbf {v} \,\!$ 對於基底 ${\mathfrak {f}}\,\!$ 的反變分量， $v_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!$ 是向量 $\mathbf {v} \,\!$ 對於基底 ${\mathfrak {f}}\,\!$ 的共變分量，

歐幾里得空間

在歐幾里得空間Ｒ3 裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 $\mathbf {e} _{1}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{2}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{3}\,\!$ ，就可以計算其對偶基底的基底向量：

　
: $\mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!$ ；

其中， $\tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!$ 是三個基底向量 $\mathbf {e} _{1}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{2}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{3}\,\!$ 所形成的平行六面體的體積。

反過來計算，

　
: $\mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!$ ；

其中， $\tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!$ 是三個基底向量 $\mathbf {e} ^{1}\,\!$ 、 $\mathbf {e} ^{2}\,\!$ 、 $\mathbf {e} ^{3}\,\!$ 所形成的平行六面體的體積 。

雖然 $\mathbf {e} _{i}\,\!$ 與 $\mathbf {e} ^{j}\,\!$ 並不相互標準正交，它們相互對偶：

　
: $\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!$ 。

這樣，任意向量 $\mathbf {a} \,\!$ 的反變坐標為

　
: $a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!$ 。

類似地，共變坐標為

　
: $a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!$ 。

這樣， $\mathbf {a} \,\!$ 可以表達為

　
: $\mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!$ ，

或者，

　
: $\mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!$ 。

綜合上述關係式，

　
: $\mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!$ 。

向量 $\mathbf {a} \,\!$ 的共變坐標為

　
: $a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!$ ；

其中， $g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!$ 是度規張量。

向量 $\mathbf {a} \,\!$ 的反變坐標為

　
: $a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!$  ;

其中， $g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!$ 是共軛度規張量。

共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。



在相對論上的應用

根據相對性原理，一條物理定律在不同的系統，都應該有相同的「形式」。

狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間，它是一種平直空間。



參考來源