向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函數）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究物件。



正式定義

給定體 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 和某集合 $V$ ，它們具有了以下兩種運算：


* 向量加法 $\oplus :V\times V\to V$ （其中 $\oplus (u,\,v)$ 慣例上簡記為 $u\oplus v$ ）

* 純量乘法 $\cdot :K\times V\to V$ （其中 $\cdot \,(a,\,v)$ 慣例上簡記為 $a\cdot v$ 甚至是 $av$ ）

且這兩種二元運算滿足：（特別注意 $+$ 和 $\times $ 是體 $K$ 是本身具有的加法和乘法）

這樣稱 「 $V$ 為定義在體 $K$ 上的向量空間」，而 $V$ 裡的元素 $u\in V$ 被稱為向量；體 $K$ 裡的元素 $a\in K$ 被稱為純量。這樣體 $K$ 就是囊括所有純量的集合，所以為了解說方便，有時會將 $K$ 暱稱為純量體或是純量母空間。在不跟體的加法混淆的情況下，向量加法 $\oplus $ 也可以簡寫成 $+$ 。

前四個條件規定 $\left(V,\,\oplus \right)$ 是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「 $\left(K,\,+,\,\times \right)$ 是個體，且 $V$ 是一個 $K-$ 模」。



基本性質

以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。

以上的定理事實上繼承自群的單位元素唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 $0_{V}$ 代表「向量加法 $\oplus $ 的唯一單位元素」，並稱之為 $V$ 的零向量。

在不跟純量體的加法單位元素 $0_{K}\in K$ 混淆的情況下，零向量 $0_{V}\in V$ 也可以簡寫成 $0$ 。

以上的定理事實上繼承自群的反元素唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以 $u^{-1}$ 代表「向量 $u$ 在向量加法 $\oplus $ 下的唯一反元素」，甚至可以把 $v\oplus u^{-1}$ 簡記為 $v\ominus u$ ，並暱稱為向量減法。在不跟純量的加法混淆的情況下， $u^{-1}$ 也可記為 $-u$ ； $v\ominus u$ 也可記為 $v-u$ 。



額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：


* 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。

* 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。

* 一個向量空間加上拓撲結構並滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。

* 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為體代數。



例子

對一般體 _F_，_V_ 記為 _F_-向量空間。若 _F_ 是實數體ℝ，則 _V_ 稱為實數向量空間；若 _F_ 是複數體ℂ，則 _V_ 稱為複數向量空間；若 _F_ 是有限體，則 _V_ 稱為有限體向量空間。

最簡單的 _F_- 向量空間是 _F_ 自身。只要定義向量加法為體中元素的加法，純量乘法為體中元素的乘法就可以了。例如當 _F_ 是實數體ℝ時，可以驗證對任意實數 _a_、_b_ 以及任意實數 u、v、w，都有：

1. u + (v + w) = (u + v) + w，
2. v + w = w + v，
3. 零元素存在：零元素 0 滿足：對任何的向量元素 v，v + 0 = v，
4. 反元素存在：對任何的向量元素 v，它的相反數 w = −v 就滿足 v + w = 0。
5. 純量乘法對向量加法滿足分配律：_a_(v + w) = _a_ v + _a_w.
6. 向量乘法對純量加法滿足分配律：(_a_ + _b_)v = _a_ v + _b_ v.
7. 純量乘法與純量的體乘法相容：_a_(_b_v) =(_ab_)v。
8. 純量乘法有單位元素：ℝ中的乘法單位元素，也就是實數「1」滿足：對任意實數 v，1v = v。

更為常見的例子是給定了直角坐標系的平面：平面上的每一點 $P$ 都有一個坐標 $P(x,y)$ ，並對應著一個向量 $(x,y)$ 。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間，記作ℝ²，因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序數組 $(x,y)$ 。可以驗證，對於普通意義上的向量加法和純量乘法，ℝ² 滿足向量空間的所有公理。實際上，向量空間是ℝ² 的推廣。

同樣地，高維的歐幾里得空間ℝn 也是向量空間的例子。其中的向量表示為 $v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$ ，其中的 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ 都是實數。定義向量的加法和純量乘法是：

 $\forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ，
 $v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})$
 $\lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})$
可以驗證這也是一個向量空間。

再考慮所有係數為實數的多項式的集合 $\mathbb {R} [X]$ 。對於通常意義上的多項式加法和純量乘法， $\mathbb {R} [X]$ 也構成一個向量空間。更廣泛地，所有從實數體射到實數體的連續函數的集合 ${\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ 也是向量空間，因為兩個連續函數的和或差以及連續函數的若干倍都還是連續函數。

方程組與向量空間

向量空間的另一種例子是齊次線性方程組（常數項都是 0 的線性方程組）的解的集合。例如下面的方程組：

　
: $3x+2y-z=0$

　
: $x+5y+2z=0$

如果 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 都是解，那麼可以驗證它們的「和」 $(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})$ 也是一組解，因為：

　
: $3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0$

　
: $(x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0$

同樣，將一組解乘以一個常數後，仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的「向量加法」和「純量乘法」滿足向量空間的公理，因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。

一般來說，當齊次線性方程組中未知數個數大於方程式的個數時，方程組有無限多組解，並且這些解組成一個向量空間。

對於齊次線性微分方程式，解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程式：

　
: $f''+4xf'+\cos(x)f=0$

出於和上面類似的理由，方程式的兩個解 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 的和函數 $f_{1}+f_{2}$ 也滿足方程式。可以驗證，這個方程式的所有解構成一個向量空間。



子空間基底

如果一個向量空間 V 的一個非空子集合 W 對於 V 的加法及標量乘法都封閉（也就是說任意 W 中的元素相加或者和純量相乘之後仍然在 W 之中），那麼將 W 稱為 V 的線性子空間（簡稱子空間）。V 的子空間中，最平凡的就是空間 V 自己，以及只包含 0 的子空間 ${0}$ 。

給出一個向量集合 B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也稱線性包絡，記作 span (B)。

給出一個向量集合 B，若它的生成子空間就是向量空間 V，則稱 B 為 V 的一個生成集。如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱 V 是一個有限維空間。

可以生成一個向量空間 V 的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若 V={0}，約定唯一的基是空集。對非零向量空間 V，基是 V「最小」的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基 B 之後，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列： $\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}$ ，那麼空間中的每一個向量 v 便可以通過座標系統來呈現：

　
: $v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots $

這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個坐標系。

可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。當 V 是一個有限維空間時，任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度。例如，各種實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,… 中， ℝn 的維度就是 _n_。在一個有限維的向量空間（維度是 n）中，確定一組基 $\mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}$ ，那麼所有的向量都可以用 n 個純量來表示。比如說，如果某個向量 v 表示為：

 $v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}$
那麼 v 可以用數組 $v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})$ 來表示。這種表示方式稱為向量的坐標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：

 $e_{1}=(1,0,\cdots ,0)$
 $e_{2}=(0,1,\cdots ,0)$
 $e_{n}=(0,0,\cdots ,1)$
可以證明，存在從任意一個 n 維的 $\mathbf {F} $ - 向量空間到空間 $\mathbf {F} ^{n}$ 的對射。這種關係稱為同構。



線性映射

給定兩個係數體都是 F 的向量空間 V 和 W, 定義由 V 到 W 的線性變換（或稱線性映射）為所有從 V 射到 W 並且它保持向量加法和純量乘法的運算的函數 f：

 $f:\,V\rightarrow W$
 $\forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)$
所有線性轉換的集合記為 ${\mathcal {L}}(V,W)$ ，這也是一個係數體為 F 的向量空間。在確定了 V 和 W 上各自的一組基之後， ${\mathcal {L}}(V,W)$ 中的線性轉換可以通過矩陣來表示。

如果兩個向量空間 V 和 W 之間的一個線性映射是一一映射，那麼這個線性映射稱為（線性）同構，表示兩個空間構造相同的意思。如果在 V 和 W 之間存在同構，那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間 V 和 W 之間存在同構 $f:\,V\rightarrow W$ ，那麼其逆映射 $g:\,W\rightarrow V$ 也存在，並且對所有的 $x\in V,\,y\in W$ ，都有：

 $g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y$



參考文獻


* 《中國大百科全書》

* Howard Anton and Chris Rorres. _Elementary Linear Algebra_, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.

* Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. _Linear Algebra_, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.

* Seymour Lipschutz and Marc Lipson. _Schaum's Outline of Linear Algebra_, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.

* Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, _Historia Mathematica_ 22 (1995), no. 3, 262-303.

* Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8



參考資料



外部連結