在數學上，橢圓曲線（英語：Elliptic curve，縮寫為 EC）為一平面代數曲線，由如下形式的方程定義

　
: $y^{2}=x^{3}+ax+b\,$ ，

且滿足其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。（當係數域的特徵為 2 或 3 時，上面的方程不能涵蓋所有非奇異的三次曲線；見下面的 #一般域上的橢圓曲線。）

正式地，橢圓曲線是光滑的、射影的、虧格為 1 的代數曲線，其上有一個特定的點 _O_。橢圓曲線是阿貝爾簇 – 也就是說，它有代數上定義的乘法，並且對該乘法形成阿貝爾群 – 其中 _O_ 即為單位元。

若 $y^{2}=P(x)\,$ ，其中 P 為任一沒有重根的三次或四次多項式，然後可得到一虧格 1 的無奇點平面曲線，其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地，一虧格 1 的代數曲線，如兩個三維二次曲面相交，即稱為橢圓曲線。

運用橢圓函數理論，可以證明定義在複數上的橢圓曲線對應於環面在復射影平面內的嵌入。環面也是一個阿貝爾群，事實上，這個對應也是一個群同構。

橢圓曲線的形狀不是橢圓。命名為橢圓曲線的原因是此曲線原來和橢圓函數有關。在拓撲學上，複數的橢圓曲線是環面，而複數的橢圓會是球面。



實數域

儘管橢圓曲線的正式定義需要一定的代數幾何背景，在實數上的橢圓曲線的一些特徵可以使用入門級別的代數與幾何來描繪。

這種情況下，橢圓曲線是由下列方程定義的平面曲線：

　
: $y^{2}=x^{3}+ax+b$

其中 _a_ 和 _b_ 為實數。這類方程被稱為魏爾斯特拉斯方程。

橢圓曲線的定義也要求曲線是非奇異的。幾何上來說，這意味著圖像裡面沒有尖點、自相交或孤立點。代數上來說，這成立若且唯若判別式

　
: $\Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})$

不等於 0。（儘管這裡的因子−16 與曲線是否是非奇異的無關，這樣定義判別式在對橢圓曲線進行更深入的研究時有用。）

非奇異橢圓曲線的（實）圖像在判別式為正的時候有兩個連通分量，在判別式為負時則有一個連通分量。例如，在本小節的圖像中，第一個曲線的判別式為 64，而第二個曲線的判別式為−368。



群律

在射影平面上，可以定義任意光滑三次曲線的群結構。若以 Weierstrass 正規式表示，曲線會多一個無窮遠點 _O_，其齊次坐標 [0:1:0]，也是群的單位元。.

因為曲線的對稱軸是 X 軸，假定任意點 _P_，可以在相對 X 軸的位置找到點−_P_，令−_O_ 即為 _O_。

若 _P_ 和 _Q_ 是曲線上的二點，可以用以下的方式定義唯一的第三點 _P_ + _Q_。先劃出通過 _P_ 和 _Q_ 的直線，大多數的情形下，此直線會和曲線交於第三點 _R_，令 _P_ + _Q_ 為−_R_，是 _R_ 相對 X 軸的對應點。

在少數的情形下，以上的定義會不適用，分別是有關無窮遠點的情形，以及兩點重合的情形。若其中有一點是無窮遠點 _O_，則定義 _P_ + _O_ = _P_ = _O_ + _P_，因此 _O_ 是群的單位元，若 _P_ 和 _Q_ 是以 X 軸為對稱軸的對稱點，則定義 _P_ + _Q_ = _O_。若 _P_ = _Q_，只有一個點，無法定義通過兩點的線，則改用通過該點的切線代替。大部份的心情形下，切線會和曲線有另一個交點 _R_，因此可以找到 -_R_。若 _P_ 恰好是曲率符號改變的拐點，切線和曲線沒有其他交點，則令 _R_ 等於 _P_，因此 _P_ + _P_ 就是 -_P_。

若曲線不是 Weierstrass 正規式，可以定義群結構，指定九個拐點中的一個為單位元 _O_。在射影平面上，每一條線都會和曲線有三個交點。對於一點 _P_，−_P_ 就是通過 _O_ 和 _P_ 的直線，和曲線相交的第三點。對於任意 _P_ 和 _Q_，_P_ + _Q_ 定義為−_R_，而 _R_ 是通過 _P_ 和 _Q_ 的直線，和曲線相交的第三點。

令 _K_ 是曲線定義所在的域，且令曲線為 _E_，則 _E_ 的 _K_-有理點是曲線 _E_ 上的點，且座標在 _K_ 的域內，包括無窮遠點。_K_- 有理點的集合是 _E_(_K_)，本身也是一個群，因為根據多項方程式的性質可得：若 _P_ 在 _E_(_K_) 內，則−_P_ 也在 _E_(_K_) 內，若 _P_, _Q_ 和 _R_ 中有兩點在 _E_(_K_) 內，則第三點也一樣。而且，若 _K_ 是 _L_ 的子域，則 _E_(_K_) 就是 _E_(_L_) 的子群。

上面的群可以用代數方式定義。給定域 $K$ （其中 $K$ 的特徵值非 2 或者 3）上的曲線 $E:y^{2}=x^{3}-px-q\,$ ，及非無窮遠點 $P(x_{P},y_{P}),Q(x_{Q},y_{Q})\in E$ 。先假設 $x_{P}\neq x_{Q}$ ，設 $s={\frac {y_{P}-y_{Q}}{x_{P}-x_{Q}}}$ （因 $K$ 是域， $s$ 有定義）。定義 $R=P+Q\,$ 。

因為 $P,Q,R$ 共線，令該直線 $F$ 的方程為 $y=sx+d\,$ 。直線 $F$ 與曲線 $E$ 相交，有：

　
: $(sx+d)^{2}=x^{3}+ax+b$

展開後可以得到：

　
: $x^{3}-s^{2}x^{2}-2sdx+ax+b-d^{2}=0$

 $P,Q,R$ 是兩個方程式的交點，即方程的解：

　
: $(x-x_{P})(x-x_{Q})(x-x_{R})=x^{3}+(-x_{P}-x_{Q}-x_{R})x^{2}+(x_{P}x_{Q}+x_{P}x_{R}+x_{Q}x_{R})x-x_{P}x_{Q}x_{R}$

替換係數後可得：

　
: $x_{R}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}\,$

　
: $y_{R}=s(x_{P}-x_{R})\,-y_{P}$

若 $x_{P}=x_{Q}\,$ ：


* 若 $y_{P}=-y_{Q}\,$ ， $P+Q=0\,$ 。

* 若 $y_{P}=y_{Q}\,$ ， $R=2P\,$ 。將 $E$ 微分後可以得到：

　
: $s={\frac {3{x_{P}}^{2}+a}{2y_{P}}}\,$

　
: $x_{R}=s^{2}-2x_{P}\,$

　
: $y_{R}=-y_{P}+s(x_{P}-x_{R})\,$



複數域



有理數域



一般域

橢圓曲線可以被定義在任意域 _K_ 上；橢圓曲線的正式定義是 _K_ 上的虧格為 1 的非奇異射影代數曲線，並具有一個定義在 _K_ 特殊的點。

如果 _K_ 的特徵不等於 2 或 3，那麼 _K_ 上每個橢圓曲線都能寫成如下形式

　
: $y^{2}=x^{3}-px-q$

其中 _p_ 和 _q_ 為 _K_ 中的元素，使得右手邊的多項式 _x_3 − _px_ − _q_ 沒有二重根。如果特徵等於 2 或 3，那麼需要保留更多項：在特徵為 3 的情況下，最一般的方程具有如下形式

　
: $y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}$

這裡常數 _b_2, _b_4, _b_6 可以任取，但需滿足使得右手邊的多項式無重根（寫成這個形式有歷史原因）。在特徵為 2 的情況下，即使是這種形式也不夠，其最一般的方程為

　
: $y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}$

需滿足所定義的簇是非奇異的。



其他表示


* 黑森曲線

* 愛德華曲線

* 扭曲線

* 扭黑森曲線

* 扭愛德華曲線

* 雅可比曲線



應用


* 橢圓曲線密碼學



參考文獻


* I. Blake; G. Seroussi, N. Smart, N.J. Hitchin. Elliptic Curves in Cryptography. Cambridge Univ. Press. 2000. ISBN 978-0-521-65374-9.

* Richard Crandall; Carl Pomerance. Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic. Prime Numbers: A Computational Perspective 1st edition. Springer. 2001: 285–352. ISBN 978-0-387-94777-8.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)

* John Cremona. Alogorithms for Modular Elliptic Curves. Cambridge Univ. Press. 1992.

* Dale Husemöller. Elliptic Curves 2nd edition. Springer. 2004.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)

* Kenneth Ireland; Michael Rosen. Chapters 18 and 19. A Classical Introduction to Modern Number Theory 2nd edition. Springer. 1990.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)

* Anthony Knapp. Elliptic Curves. Math Notes 40, Princeton Univ. Press. 1992.

* Neal Koblitz. Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer. 1984.

* Neal Koblitz. Chapter 6. A Course in Number Theory and Cryptography 2nd edition. Springer. 1994. ISBN 978-0-387-94293-3.  引文格式 1 維護：冗餘文本 (link)

* Serge Lang. Elliptic Curves: Diophantine Analysis. Springer. 1978.

* Joseph H. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer. 1986.

* Joseph H. Silverman. Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Springer. 1994.

* Joseph H. Silverman; John Tate. Rational Points on Elliptic Curves. Springer. 1992.

* Lawrence Washington. Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography. Chapman & Hall/CRC. 2003. ISBN 978-1-58488-365-4.



外部連結


* The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves

* 埃里克・韋斯坦因. Elliptic Curves. MathWorld.