克氏符號，全稱克里斯多福符號（Christoffel symbols），在數學和物理中，是從度量張量導出的勒維奇維塔聯絡（Levi-Civita connection）的坐標表達式。因埃爾溫・布魯諾・克里斯托費爾（1829 年 - 1900 年）命名。克氏符號在每當進行涉及到幾何的實用演算時都會被用到，因為他們使得非常複雜的演算不被搞混。不幸的是，它們寫起來較繁瑣，並要求對細節的仔細關注。相反，無下標的形式化的勒維奇維塔聯絡的概念是相當漂亮，並允許定理用典雅的方式表達，但是在實用演算中沒有什麼用處。



預備

下面的定義對於黎曼流形和廣義相對論用到的偽黎曼流形都是適用的，逆變導數（contravariant，用上標表示）和協變導數（covariant，用下標表示）的指標作了嚴格的區分。公式對兩種符號常規都成立，除特別指出的外。



定義

克氏符號可以從度量張量 $g_{ik}$ 的共變導數為 0 這一事實來導出：

　
: $D_{l}g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{l}}}-g_{mk}\Gamma _{il}^{m}-g_{im}\Gamma _{kl}^{m}=0$ 。

通過交換指標（index），和求和，可以解出聯絡：

　
: $\Gamma _{kl}^{i}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)$ ，

注意雖然記號有三個指標，他們不是張量。它們不像張量那樣轉換。它們是二階切線束上的物體的分量，是一個噴射，參看 jet 叢。克氏符號在坐標轉換下的轉換性質見下面。

注意，多數作者用和樂（或稱完全，holonomic）的坐標系，我們也用這樣的常規做法。在非和樂的坐標中，克氏符號有更複雜的形式

　
: $\Gamma _{kl}^{i}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}+c_{mkl}+c_{mlk}-c_{klm}\right)$

其中 $c_{klm}=g_{mp}{c_{kl}}^{p}$ 是該基的交換係數；也就是

　
: $[e_{k},e_{l}]={c_{kl}}^{m}e_{m}$

其中 _e_k 是向量的基而 $[,]$ 是李括號。

 
以下的表達式除作特殊說明外都是在和樂坐標基中。



和無指標符號的關係

令 _X_ 和 _Y_ 為向量場，其分量為 $X^{i}$ 和 $Y^{k}$ 。則 _Y_ 相對於 _X_ 的共變導數的第 _k_ 個分量為

　
: $\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}D_{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+\Gamma _{im}^{k}Y^{m}\right)$ .

有些老的物理書有時把 _X_ 寫成 _dx_, 並把它放在方程式的後面而不是前面。這裡，採用了愛因斯坦記號，所以重複出現的指標表示求和，和度量張量的縮並（contraction）用來升降指標：

　
: $\langle X,Y\rangle =g(X,Y)=X^{i}Y_{i}=g_{ik}X^{i}Y^{k}$ .

注意 $g_{ik}\neq g^{ik}$ 和克羅內克記號（Kronecker delta） $g_{k}^{i}=\delta _{k}^{i}$ 。常規上，度量張量是有下標的那個；這確的從 $g_{ik}$ 得到 $g^{ik}$ 的辦法是解線性方程組 $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$ 。也即，gik 是 gik 的逆。

聯絡是無扭率的表達式是

　
: $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$

這和克里斯托夫記號對兩個下標對稱是等價的：

　
: $\Gamma _{jk}^{i}=\Gamma _{kj}^{i}$ .

無指標的張量轉換性質是由共變指標的拉回和反變指標的前推來給出的。共變導數條目有關於無指標和有指標表示法的關係的更多討論。



關係

把指標縮並起來，就得到

　
: $\Gamma _{ki}^{i}={\frac {1}{2}}g^{im}{\frac {\partial g_{im}}{\partial x_{k}}}={\frac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial \ln {\sqrt {|g|}}}{\partial x_{k}}}$

其中 |_g_| 是度量張量 $g_{ik}$ 的行列式的絕對值。

類似的，

　
: $g^{kl}\Gamma _{kl}^{i}={\frac {-1}{\sqrt {|g|}}}\;{\frac {\partial {\sqrt {|g|}}\,g^{ik}}{\partial x^{k}}}.$

向量場 $V^{m}$ 的共變導數（covariant derivative） 是

　
: $D_{l}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{l}}}+\Gamma _{kl}^{m}V^{k}.$

共變散度（covariant divergence） 是

　
: $D_{m}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{m}}}+V^{k}{\frac {\partial \log {\sqrt {|g|}}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial (V^{m}{\sqrt {|g|}})}{\partial x^{m}}}$ .

張量 $A^{ik}$ 的共變導數是

　
: $D_{l}A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{l}}}+\Gamma _{ml}^{i}A^{mk}+\Gamma _{ml}^{k}A^{im}$ .

若張量是反對稱的，則其散度簡化為

　
: $D_{k}A^{ik}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial (A^{ik}{\sqrt {|g|}})}{\partial x^{k}}}$ .

純量場 $\phi $ 的反變導數稱為 $\phi $ 的梯度。也就是說，梯度就是把微分的指標升到上面：

　
: $D^{i}\phi =g^{ik}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{k}}}.$

純量勢的拉普拉斯算子 Laplacian 是

　
: $\Delta \phi ={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(g^{ik}{\sqrt {|g|}}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{k}}}\right)$ .

拉普拉斯也就是梯度的共變散度（對於純量場來講） $\Delta \phi =D_{i}D^{i}\phi $ .



黎曼曲率

黎曼曲率張量是

　
: $R_{iklm}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x^{k}\partial x^{l}}}+{\frac {\partial ^{2}g_{kl}}{\partial x^{i}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{il}}{\partial x^{k}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{km}}{\partial x^{i}\partial x^{l}}}\right)+g_{np}\left(\Gamma _{kl}^{n}\Gamma _{im}^{p}-\Gamma _{km}^{n}\Gamma _{il}^{p}\right)$ .

該張量的對稱性有

　
: $R_{iklm}=R_{lmik}$ 和 $R_{iklm}=-R_{kilm}=-R_{ikml}$ .

也就是交換前後兩對指標是對稱的，交換其中一對是反對稱的。

循環替換的和是

　
: $R_{iklm}+R_{imkl}+R_{ilmk}=0.$

比安基恆等式是

　
: $D_{m}R_{ikl}^{n}+D_{l}R_{imk}^{n}+D_{k}R_{ilm}^{n}=0.$



Ricci 曲率

Ricci 張量由下式給出

　
: $R_{ik}={\frac {\partial \Gamma _{ik}^{l}}{\partial x^{l}}}-{\frac {\partial \Gamma _{il}^{l}}{\partial x^{k}}}+\Gamma _{ik}^{l}\Gamma _{lm}^{m}-\Gamma _{il}^{m}\Gamma _{km}^{l}.$

該張量是對稱的： $R_{ik}=R_{ki}$ . 它可以通過收縮黎曼張量的指標得到：

　
: $R_{ik}=g^{lm}R_{limk}.$

純量曲率由下式給出

　
: $R=g^{ik}R_{ik}$ .

純量的共變導數可以從 Bianchi 等式推出：

　
: $D_{l}R_{m}^{l}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial R}{\partial x^{m}}}$ .



外爾張量

外爾張量（Weyl tensor） 是

　
: $C_{iklm}=R_{iklm}+{\frac {1}{2}}\left(-R_{il}g_{km}+R_{im}g_{kl}+R_{kl}g_{im}-R_{km}g_{il}\right)+{\frac {1}{6}}R\left(g_{il}g_{km}-g_{im}g_{kl}\right)$ .



坐標轉換

在從 $(x^{1},...,x^{n})$ 到 $(y^{1},...,y^{n})$ 的坐標轉換下，向量的轉換為

　
: ${\frac {\partial }{\partial y^{i}}}={\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}$

所以

　
: ${\overline {\Gamma _{ij}^{k}}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma _{pq}^{r}\,{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}$

其中上劃線表示 _y_ 坐標系中的克氏符號。注意克氏符號不像張量那樣轉換，而是像 jet 叢中的物件那樣。



參考


* Lev Davidovich Landau and Evgeny Mikhailovich Lifshitz, _The Classical Theory of Fields, Fourth Revised English Edition, Course of Theoretical Physics, Volume 2_, (1951) Pergamon Press, Oxford; ISBN 0-08-025072-6. See chapter 10, paragraphs 85,86 and 87.

* Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, _Foundations of Mechanics_, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, London; ISBN 0-8053-0102-X. See chapter 2, paragraph 2.7.1

* Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, _Gravitation_, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. See chapter 8, paragraph 8.5