波動方程式或稱波方程式（英語：wave equation）是一種二階線性偏微分方程式，主要描述自然界中的各種的波動現象 — 正如它們出現在古典物理學中 — 例如機械波，包括聲波、光波、重力波、無線電波、水波、和地震波。波動方程式抽象自聲學、波動光學、電磁學、電動力學、流體力學、廣義相對論等領域。

歷史上許多科學家，如達朗貝爾、歐拉、丹尼爾・白努利和拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動問題時，都對波動方程式理論作出過重要貢獻。 1746 年，達朗貝爾發現了一維波動方程式，歐拉在其後 10 年之內發現了三維波動方程式。



簡介

波動方程式是雙曲形偏微分方程式的最典型代表，其最簡形式可表示為：關於位置 _x_ 和時間 _t_ 的純量函數 _u_（代表各點偏離平衡位置的距離）滿足：

　
: ${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u$

這裡 c 通常是一個固定常數，代表波的傳播速率。在常壓、20°C 的空氣中 _c_ 為 343 米 / 秒（參見音速）。在弦振動問題中，_c_ 依不同弦的密度大小和軸向張力不同可能相差非常大。而在半環螺旋彈簧（一種玩具，英文商標為 Slinky）上，波速可以慢到 1 米 / 秒。

其他形式的波動方程式還能在量子力學和廣義相對論理論中用到。



純量形式的一維波動方程式

波動方程式的推導

一維波動方程式可用如下的方式推導：一列質量為 _m_ 的小質點，相鄰質點間用長度 _h_ 的彈簧連接。彈簧的彈性係數（又稱「倔強係數」）為 _k_：

　
:

其中 _u_(_x_) 表示位於 _x_ 的質點偏離平衡位置的距離。施加在位於 _x+h_ 處的質點 _m_ 上的力為：

　
: $F_{Newton}=m\cdot a(t)=m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)}$

　
: $F_{Hooke}=F_{x+2h}+F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]+k[u(x,t)-u(x+h,t)]$

其中 $F_{Newton}$ 代表根據牛頓第二定律計算的質點慣性力， $F_{Hooke}$ 代表根據虎克定律計算的彈簧作用力。所以根據分析力學中的達朗貝爾原理，位於 _x+h_ 處質點的運動方程式為：

　
: $m{\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$

式中已註明 _u_(_x_) 是時間 _t_ 的顯函數。

若 _N_ 個質點間隔均勻地固定在長度 _L_ = _N h_ 的彈簧鏈上，總質量 _M_ = _N m_，鏈的總體勁度係數為 _K_ = _k_/_N_，我們可以將上面的方程式寫為：

　
: ${\partial ^{2}u(x+h,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}$

取極限 _N_ $\rightarrow \infty $ , _h_ $\rightarrow 0$ 就得到這個系統的波動方程式：

　
: ${\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}$

在這個例子中，波速 $c={\sqrt {\frac {KL^{2}}{M}}}$ 。

一般解

代數方法

一維純量形式波動方程式的一般解是由達朗貝爾給出的。原方程式可以寫成如下的算子作用形式：

　
: $\left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.\,$

從上面的形式可以看出，若 _F_ 和 _G_ 為任意函數，那麼它們以下形式的組合

　
: $u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)\,$

必然滿足原方程式。上面兩項分別對應兩列行波 ——_F_ 表示經過該點（_x_ 點）的右行波，_G_ 表示經過該點的左行波。為完全確定 _F_ 和 _G_ 的最終形式還需考慮如下初始條件：

　
: $u(x,0)=f(x)\,$

　
: $u_{t}(x,0)=g(x)\,$

經帶入運算，就得到了波動方程式著名的達朗貝爾行波解，又稱達朗貝爾公式：

　
: $u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds$

在古典的意義下，如果 $f(x)\in C^{k}$ 並且 $g(x)\in C^{k-1}$ 則 $u(t,x)\in C^{k}$ 。但是，行波函數 _F_ 和 _G_ 也可以是廣義函數，比如狄拉克 δ 函數。在這種情況下，行波解應被視作左行或右行的一個脈衝。

基本波動方程式是一個線性微分方程式，並且將會遵循疊加原理，也就是說同時受到兩列波作用的點的振幅就是兩列波振幅的相加。這意味著可以通過把一列波分解成它的許求解中很有效。此外，可以通過將波分離出各個分量來分析，例如傅立葉變換可以把波分解成正弦分量。



純量形式的三維波動方程式

三維波動方程式初值問題的解可以通過求解球面波波動方程式得到。求解結果可用於推導二維情況的解。

球面波

球面波方程式的形式不隨空間坐標系統的轉動而變化，所以可以將它寫成僅與距源點距離 _r_ 相關的函數。方程式的三維形式為：

　
: $u_{tt}-c^{2}\left(u_{rr}+{\frac {2}{r}}u_{r}\right)=0.\,$

將方程式變形為：

　
: $(ru)_{tt}-c^{2}(ru)_{rr}=0;\,$

此時，因變量 _ru_ 滿足一維波動方程式，於是可以利用達朗貝爾行波法將解寫成：

　
: $u(t,r)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),\,$

其中 _F_ 和 _G_ 為任意函數，可以理解為以速度 _c_ 從中心向外傳播的波和從外面向中心傳播的波。這類從點源傳出的波強度隨距點源距離 _r_ 衰減，並且屬於無後效波，可以清晰地搭載信號。這種波僅在奇數維空間中存在（原因將在下一小節中詳細解釋）。幸運的是，我們生活的空間是三維的，所以我們可以清晰地通過聲波和電磁波（都屬於球面波）來互相交流。

時間箭頭的討論

上面方程式的解裏面，分成了兩部分，一部分表示向外傳播的波，一部分則是向內。很明顯，只要將 t 換成 - t，就可以在這兩部分之間轉換。這體現了原始方程式對於時間是對稱的，任意的一個解在時間軸上倒過來看仍然是一個解。

然而，我們所觀察到的實際的波，都是屬於向外傳播的。除非精心地加以調整，我們無法在自然界觀察到向內的波，儘管它們也是波動方程式的合法的解。

關於這個現象，引起了不少討論。有人認爲，實際上它們即使存在，也無法加以觀察。想想如果四周的光向一個物體集中，則因爲沒有光到達我們的眼睛，我們不可能看見這個物體或者發現這個現象（見參考文獻 [2] ）。

廣義初值問題的解

波動方程式中 _u_ 是線性函數，並且不隨時間和空間坐標的平移而改變。所以我們可以通過平移與疊加球面波獲得方程式各種類型的解。令 φ(ξ,η,ζ) 為任意具有三個自變量的函數，球面波形 _F_ 為狄拉克 δ 函數（數學語言是：_F_ 是一個在全空間積分等於 1 且非零區間收縮至原點的連續函數的弱極限）。設 (ξ,η,ζ) 位一族球面波的源點，_r_ 為距源點的徑向距離，即：

　
: $r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.\,$

可定義

　
: $U(t,x,y,z;\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\delta (r-ct)}{4\pi cr}}$

稱為三維波動方程式的影響函數，其意義為 (ξ,η,ζ) 點在 _t_=0 時刻受到短促脈衝 δ 函數作用後向空間中傳出的波的影響，係數分母 4πc 是為方便後續處理而加上的。

若 _u_ 是這一族波函數的加權疊加，且權函數為 φ，則

　
: $u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}d\xi \,d\eta \,d\zeta ;\,$

從 δ 函數的定義可知，_u_ 還能寫成

　
: $u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )d\omega ,\,$

式中 α、β 和 γ 是單位球面 _S_ 上點的坐標，dω 為 _S_ 上的面積微元。該結果的意義為：_u_(_t_,_x_,_y_,_z_) 是以 (_x_,_y_,_z_) 為圓心，_ct_ 為半徑的球面上 φ 的平均值的 _t_ 倍：

　
: $u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ].\,$

從上式易得

　
: $u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).\,$

平均值是關於 _t_ 的偶函數，所以若

　
: $v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{ct}[\psi ]\right),\,$

那麼

　
: $v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.\,$

以上得出的便是波動方程式初值問題的解。從中可以看出，任意點 _P_ 在 _t_ 時刻受到的波擾動只來自以 _P_ 為圓心，_ct_ 為半徑的球面上，而這個球的內部點在這一時刻對 _P_ 點的狀態完全沒有影響（因為它們的影響之前就已經傳過 _P_ 點了）。換一個角度分析，假設三維空間中任意點 _P'_ 在 _t_=0 時刻受到一個脈衝擾動 δ，那麼由此發出的球面波在傳過空間中的任意其它點 _Q_ 後，便再也不會對 _Q_ 的運動狀態產生影響，這就是在物理學中也非常著名的惠金斯原理（Huygens' principle），也稱為無後效現象，表示傳過的球面波不會留下任何後續效應。

下面我們便可以解釋上一小節中留下的問題了。事實上，前面所得到的球面波解僅在奇數維空間中存在。偶數維空間中波動方程式的解是彌散的，也就是說波陣面掠過區域仍然會受其影響。以下面的二維波動方程式（極坐標形式，注意和上一小節三維形式的差別）為例：

　
: $u_{tt}-c^{2}(u_{rr}+{\frac {1}{r}}u_{r})=0$

可以從三維形式的解通過降維法得到二維波動方程式的影響函數：

　
: $U(t,x-\xi ,y-\eta )={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi c}}{\frac {1}{\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}},&r\leq ct\\0,&r>ct\end{cases}}$

其中

　
: $r={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}$

設點 _M_(_x_,_y_) 到點 (ξ,η) 距離為 _d_，那麼從影響函數中可以看出，當 _t_ >_d_ /_c_ 即初始擾動已傳過 _M_ 點後，_M_ 仍在受到它的影響。二維球面波（柱面波）的這一性質決定了它不能作為傳遞信號的工具，因為這種波（事實上包括所有偶數維空間中的球面波）經過的點受到的是交織在一起的各個不同時刻的擾動。



純量形式的二維波動方程式

二維波動方程式的直角坐標形式為：

　
: $u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).\,$

如前所述，我們可以從三維波動方程式的解中將 _u_ 視為與其中一個自變量無關（降維法）來得到二維形式的解。將初始條件改寫為

　
: $u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),\,$

則三維形式的解就變成

　
: $u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )d\omega ,\,$

其中 α 和 β 是單位球面上點的頭兩個坐標分量，dω 是球面上的面積微元。此積分可變換為在 (_x_,_y_) 為中心，_ct_ 為半徑的圓域 _D_ 上的積分：

　
: $u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .\,$

從這個結果也能得到上一小節最後的結論。

二維波動方程式解的一個例子是緊繃的鼓面的運動。



邊值問題

一維情形

一根自身繃緊，兩端分別固定於 _x_=_0_ 和 _x_=_L_ 的彈性弦在 _t_>0 時刻，0 < _x_ < _L_ 上運動滿足波動方程式。在邊界點處，可以要求 _u_ 滿足各種邊界條件。通常遇到的邊界條件都可歸納成下列形式：

　
: $-u_{x}(t,0)+au(t,0)=0,\,$

　
: $u_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,\,$

其中 _a_、_b_ 非負。若要弦的兩端固定不動，對應上面式子中 _a_、_b_ 趨於無窮大。求解偏微分方程式的分離變量法要求尋找以下形式的解：

　
: $u(t,x)=T(t)v(x).\,$

將上述假設形式代入原方程式中可以得到：

　
: ${\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .\,$

為使邊值問題有非平凡解，本徵值 λ 須滿足

　
: $v''+\lambda v=0,\,$

　
: $-v'(0)+av(0)=0,\quad v'(L)+bv(L)=0.\,$

這是固有值問題的施圖姆 - 劉維爾理論的一個特例。若 _a_、_b_ 為正數，則對應的所有本徵值均為正數，方程式的解為三角函數。使 _u_ 和 _ut_ 滿足平方可積條件的解可以通過適當選取 _u_ 和 _ut_ 三角級數展開來求得。

多維情形

一維初始值 - 邊值理論可以拓展至任意維空間中。考慮 _m_ 維空間（坐標簡寫為 _x_）中的域 _D_，_B_ 為 _D_ 的邊界。當 0<_t_ 時，位於 _D_ 內的點 _x_ 滿足波動方程式。在 _D_ 的邊界上，解 _u_ 須滿足

　
: ${\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,\,$

其中 _n_ 是 _B_ 上指向域外的法向矢量，_a_ 是定義在 _B_ 上的非負函數。要求 _u_ 在 _B_ 上始終為 0 的邊界條件相當於令 _a_ 趨於無窮。初始條件為

　
: $u(0,x)=f(x),\quad u_{t}=g(x),\,$

其中 _f_ 和 _g_ 是定義在 _D_ 內的函數。這個問題可以通過將 _f_ 和 _g_ 展開成域 _D_ 內拉普拉斯算子滿足邊界條件的本徵函數系的疊加來求解（這是分離變量法的一般步驟）。也就是求解在域 _D_ 內滿足

　
: $\nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0,\,$

在邊界 _B_ 上滿足

　
: ${\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0,\,$

的本徵函數系 _v_。

在二維情形下，上述本徵函數系可以理解成繃緊地張在邊界 _B_ 上的鼓面的自由振動模態。若 _B_ 是一個圓，則這些本徵函數是關於極角自變量 _θ_ 的三角函數與關於極軸自變量 _r_ 的整階貝索函數的乘積。更詳細的說明參見英文版條目亥姆霍茲方程式。

在三維形式下，若邊界是空間中的球面，那麼本徵函數是關於球坐標下兩個極角自變量的球面調和函數，乘以關於徑向自變量 _ρ_ 的半奇數階貝索函數。



進一步推廣

在針對實際問題的波動方程式中，一般都將波速表示成可隨波的頻率變化的量，這種處理對應真實物理世界中的色散現象。此時，_c_ 應該用波的相速度代替：

　
: $v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}$ 。

實際問題中對標準波動方程式的另一修正是考慮波速隨振幅的變化，修正後的方程式變成下面的非線性波動方程式：

　
: ${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c(u)^{2}\nabla ^{2}u$

另需注意的是物體中的波可能是疊加在其他運動（譬如介質的平動，以氣流中傳播的聲波為例）上的。這種情況下，純量 _u_ 的表達式將包含一個馬赫因子（對沿流動方向傳播的波為正，對反射波為負）。

三維波動方程式描述了波在均勻各向同性彈性體中的傳播。絕大多數固體都是彈性體，所以波動方程式對地球內部的地震波和用於檢測固體材料中缺陷的超音波的傳播能給出滿意的描述。在只考慮線性行為時，三維波動方程式的形式比前面更為複雜，它必須同時考慮固體中的縱波和橫波:

　
: $\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )$

式中：

 
* $\lambda $ 和 $\mu $ 被稱為彈性體的拉梅常數（也叫「拉梅模量」，英文 Lamé constants 或 Lamé moduli），是描述各向同性固體彈性性質的參數；

* $\rho $ 表示密度；

* $\mathbf {f} $ 是源函數（即外界施加的激振力）；

* $\mathbf {u} $ 表示位移；

注意在上述方程式中，激振力和位移都是矢量，所以該方程式也被稱為矢量形式的波動方程式。



參看



註釋



參考文獻


* 嚴鎮軍編，《數學物理方程式》，第二版，中國科學技術大學出版社，合肥，2002，第 210 頁～第 224 頁，ISBN 7-312-00799-6

* [英] 胡・普賴斯著，肖巍譯，《時間之矢與阿基米德之點 — 物理學時間的新方向》，上海科學技術出版社，上海，2001，ISBN 7-5323-5737-6

* M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, _Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I_, Acta Math., 124 (1970), 109–189.

* M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, _Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II_, Acta Math., 131 (1973), 145–206.

* R. Courant, D. Hilbert, _Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962._



外部連結


* 線性波動方程式 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），在 EqWorld 上：數學方程式的世界。

* 非線性波動方程式 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），在 EqWorld 上：數學方程式的世界。

* MISN-0-201 波動方程式及其解 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（PDF）William C. Lane 為 Project PHYSNET （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）所著