We discuss how recently discovered techniques and tools from compressed sensing can be used in tensor decompositions, with a view towards modeling signals from multiple arrays of multiple sensors. We show that with appropriate bounds on a measure of separation between radiating sources called coherence, one could always guarantee the existence and uniqueness of a best rank-r approximation of the tensor representing the signal. We also deduce a computationally feasible variant of Kruskal's uniqueness condition, where the coherence appears as a proxy for k-rank. Problems of sparsest recovery with an infinite continuous dictionary, lowest-rank tensor representation, and blind source separation are treated in a uniform fashion. The decomposition of the measurement tensor leads to simultaneous localization and extraction of radiating sources, in an entirely deterministic manner. Traitement du signal multi-antenne : les décompositions tensorielles rejoignent l'échantillonnage compressé. Nous décrivons comment les techniques et outils d'échantillonnage compressé récemment découverts peuventêtre utilisés dans les décompositions tensorielles, avec pour illustration une modélisation des signaux provenant de plusieurs antennes multicapteurs. Nous montrons qu'en posant des bornes appropriées sur une certaine mesure de séparation entre les sources rayonnantes (appelée cohérence dans le jargon de l'échantillonnage compressé), on pouvait toujours garantir l'existence et l'unicité d'une meilleure approximation de rang r du tenseur représentant le signal. Nous en déduisons aussi une variante calculable de la condition d'unicité de Kruskal, où cette cohérence apparaît comme une mesure du k-rang. Les problèmes de récupération parcimonieuse avec un dictionnaire infini continu, de représentation tensorielle de plus bas rang, et de séparation aveugle de sources sont ainsi abordés d'une seule et même façon. La décomposition du tenseur de mesures conduità la localisation età l'extraction simultanées des sources rayonnantes, de manière entièrement déterministe. Keywords: Blind source separation, blind channel identification, tensors, tensor rank, polyadic tensor decompositions, best rank-r approximations, sparse representations, spark, k-rank, coherence, multiarrays, multisensors Mots-clés : Séparation aveugle de sources, identification aveugle de canal, tenseurs, rang tensoriel, décompositions tensorielles polyadiques, meilleure approximation de rang r, représentations parcimonieuses, spark, k-rang, cohérence, antennes multiples, multicapteurs Nous expliquons comment les décompositions tensorielles et les modèles d'approximation apparaissent naturellement dans les signaux multicapteurs, et voyons comment l'étude de ces modèles peutêtre enrichie par des contributions provenant de l'échantillonnage compressé. Le vocableéchantillonnage compressé està prendre au sens large, englobant non seulement les idées couvertes par [1, 4, 7, 14, 15, 18] , mais aussi les travaux sur la minimisation du rang et la complétion de matrice [3, 5, 17, 19, 31, 38] . Nous explorons notamment deux thèmes : (1) l'utilisation de dictionnaires redondants avec des bornes sur les produits scalaires entre leurséléments ; (2) le recoursà la cohérence ou au spark pour prouver l'unicité. En particulier, nous verrons comment ces idées peuventêtreétendues aux tenseurs, et appliquéesà leur décomposition et leurs approximations. Si nous qualifions les travaux [1, 4, 7, 14, 15, 18] d' "échantillonnage compressé de formes linéaires" (variables vectorielles) et [3, 5, 17, 19, 31, 38] d' "échantillonnage compressé de formes bilinéaires" (variables matricielles), alors cet article porte sur l'échantillonnage compressé de formes multilinéaires (variables tensorielles). Les approximations tensorielles recèlent des difficultés duesà leur caractère mal posé [9, 12] , et le calcul de la plupart des problèmes d'algèbre multilinéaire sont de complexité non polynomiale (NP-durs) [20, 22] . En outre, il est souvent difficile ou même impossible de répondre dans le cadre de la géométrie algébriqueà certaines questions fondamentales concernant les tenseurs, cadre qui est pourtant usuel pour formuler ces questions (cf. Section 4). Nous verrons que certains de ces problèmes pourraient devenir plus abordables si on les déplace de la géomérie algébrique vers l'analyse harmonique. Plus précisément, nous verrons comment les concepts glanés auprès de l'échantillonnage compressé peuventêtre utilisés pour atténuer certaines difficultés. Enfin, nous montrons que si les sources sont suffisamment séparées, alors il est possible de les localiser et de les extraire, d'une manière complètement déterministe. Par "suffisamment séparées", on entend que certains produits scalaires soient inférieursà un seuil, qui diminue avec le nombre de sources présentes. Dans le jargon de l'échantillonnage compressé, la "cohérence" désigne le plus grand de ces produits scalaires. En posant des bornes appropriées sur cette cohérence, on peut toujours garantir l'existence et l'unicité d'une meilleure approximation de rang r d'un tenseur, et par conséquent l'identifiabilité d'un canal de propagation d'une part, et l'estimation des signaux source d'autre part.
In REF they deduce a computationally feasible condition for uniqueness using the notion of coherence.
Multiarray Signal Processing: Tensor decomposition meets compressed sensing
ArXiv
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