點過程

在統計學和機率論中，點過程或點場是隨機位於數學空間（例如實數線或歐氏空間）上的數學點的集合。點過程可用於空間數據分析這在林業、植物生態學、流行病學、地理學、地震學、材料科學、天文學、電信、計算神經科學、經濟學等許多學科中都具有重要意義。

點過程有不同的數學解釋，例如解釋為一個隨機計數測度或一個隨機集合。一些作者將點過程和隨機過程視為兩個不同的對象，認為點過程是一種從隨機過程中產生的、或是關聯於一個隨機過程的隨機對象 ——儘管也有人認為點過程與隨機過程之間的區別並不明顯。另一些人將點過程視為是隨機過程的一種，這過程由定義在一個指標空間之上，如實軸或 $n$ 維歐幾里得空間。點過程理論還研究其他隨機過程，如更新過程和計數過程。有時傾向於不使用「點過程」這個術語，因為歷史上「過程」這個詞用於表示某個系統隨時間的演變。因此點過程也稱為隨機點場。

實軸上的點過程是一個易於研究的重要特例，因為其中的點有一個自然的序，並且整個點過程可以用點之間的（隨機）間隔來完全描述。這些點過程經常用於建模一個時間段上的隨機事件，比如隊列中顧客的到達（排隊論）、神經元中的脈衝（計算神經科學）、蓋革計數器中的粒子、電信網絡中廣播電台的位置或全球資訊網上的搜索。

## 點過程的一般理論

在數學中，點過程是一種隨機元素，其值取為是集合 $S$ 上的「點分布」。在確切的數學定義中，「點分布」是指一個局部有限計數測度，但對於更實際的目的來說，將點分布視為 $S$ 的沒有極限點的可數子集就足夠了。

### 定義

設有一機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$，以及一個局部緊的第二可數豪斯多夫空間 $S$，而 $\mathcal{S}$ 是 $S$ 的博雷爾σ-代數，從而形成一博雷爾可測空間 $(S, \mathcal{S})$。現在考慮一個整數值的、 $(\Omega, \mathcal{F})$ 到 $(S, \mathcal{S})$ 的局部有限轉移核 $\xi$，即一個滿足下列條件的映射 $\zeta: \Omega \times \mathcal{S} \mapsto \mathbb{Z}_{+}$：

- 給定任意一個樣本點 $\omega \in \Omega$， $\xi(\omega, \cdot)$ 是 $(S, \mathcal{S})$ 上的局部有限（整數值）測度。
- 給定任意一個博雷爾集 $B \in \mathcal{S}$， $\xi(\cdot, B): \Omega \to \mathbb{Z}_+$ 是 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上的正整數值隨機變量。

這個轉移核給出了一個隨機測度，即取值為一個測度的隨機元素。為此 $\xi$ 應視為一個將 $\omega \in \Omega$ 映為一個 $\xi_\omega \in \mathcal{M}(\mathcal{S})$ 的映射（記作 $\Omega \to \mathcal{M}(\mathcal{S})$），其中 $\mathcal{M}(\mathcal{S})$ 是 $S$ 上全體局部有限測度所構成的集合。現在，為了使此映射為可測的，需為 $\mathcal{M}(\mathcal{S})$ 配備一個σ-代數。這σ-代數被構造為使全體求值映射 $\pi_B: \mu \mapsto \mu(B)$ 可測的最小σ-代數，其中 $B \in \mathcal{S}$ 是相對緊的。於是配備σ-代數後的 $\mathcal{M}(\mathcal{S})$ 成為可測空間，而 $\xi$ 成為一隨機元素，對於任一 $\omega \in \Omega$， $\xi_\omega$ 都是 $S$ 上的一個局部有限測度。

一個 $S$ 上的點過程所指的即是一個整數值的隨機測度（或者等價地，整數值的轉移核） $\xi$。狀態空間 $S$ 最常見的例子是歐氏空間 $\R^n$ 或其子集，其中一個特別有趣的特殊情況是半實軸 $[0,\infty)$。然而，點過程並不局限於這些例子，如果這些點本身是 $\R^n$ 的緊子集，那麼還可以使用其他方法，在這種情況下 $\xi$ 通常被稱為粒子過程。

點過程這一術語暗示 $\xi$ 是一個隨機過程，但由於 $S$ 可能不是一個帶有全序的指標集，這一術語不甚合適。

### 表示

點過程 $\xi$ 的每個實例（或事件）都可以表示為

$$\xi=\sum_{i=1}^n \delta_{X_i},$$

其中 $\delta$ 表示狄拉克測度， $n$ 是一個整數值隨機變量， $X_i$ 是取值於 $S$ 中的隨機元素。如果 $X_i$ 幾乎必然是不同的（或者說，對於所有 $x \in \mathbb{R}^d$ 幾乎必然有 $\xi(x) \leq 1$），則該點過程稱為簡單點過程。

事件（事件空間中的事件，即一系列點）還可用計數記號來表示：每個實例都表示為一個整數值的連續函數 $N:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb Z^+_0}$，其定義為

$$N(t_1, t_2)=\int_{t_1}^{t_2} \xi(t) \, dt,$$

即觀測區間 $(t_1,t_2]$ 內的事件數。有時也記作 $N_{t_1,t_2}$、 $N_T$； $N_{0,T}$ 也記作 $N(T)$。

### 期望測度

一個點過程 $\xi$ 的期望測度（也稱為平均測度） $E \xi$ 是 $S$ 上的一個測度，一個博雷爾集 $B$ 的期望測度值即是 $\xi$ 在 $B$ 中的點的數目的期望值，即

$$E \xi (B) := E \bigl( \xi(B) \bigr), \quad \forall B \in \mathcal{B}.$$

### 拉普拉斯泛函

一個點過程 $N$ 的拉普拉斯泛函 $\Psi_{N}(f)$ 將 $N$ 的狀態空間上的正值函數 $f$ 的集合映射到 $[0,\infty)$，其定義如下：

$$\Psi_N(f)=E[\exp(-N(f))]$$

它們起著與隨機變量的特徵函數類似的作用。一個重要定理表明：若兩個點過程的拉普拉斯泛函相等，則它們有相同的法則 (隨機過程)。

### 矩測度

點過程的$n$次冪 $\xi^n$ 在積空間 $S^n$ 上定義如下：

$$\xi^n(A_1 \times \cdots \times A_n) = \prod_{i=1}^n \xi(A_i)$$

根據單調類定理，這唯一地定義了 $(S^n,\mathcal B(S^n))$ 上的乘積測度。期望 $E \xi^n(\cdot)$ 被稱為 $n$ 階矩測度。一階矩測度即是平均值測度。

設 $S = \mathbb{R}^d$。點過程 $\xi$ 關于勒貝格測度的聯合強度是這樣一些函數 $\rho^{(k)} :(\mathbb{R}^d)^k \to [0,\infty)$，其對於任何不交的有界博雷爾子集 $B_1,\ldots,B_k$ 滿足

$$E\left(\prod_i \xi(B_i)\right) = \int_{B_1 \times \cdots \times B_k} \rho^{(k)}(x_1,\ldots,x_k) \, dx_1\cdots dx_k .$$

對於點過程來說，聯合強度並不總是存在。鑑於隨機變量的矩在許多情況下可確定該隨機變量，因此也希望聯合強度也有類似的結果。事實上，已有許多案例表明了這一點。

### 平穩性

一個 $\mathbb{R}^d$ 中的點過程 $\xi$ 稱為是平穩的，若 $\xi + x := \sum_{i=1}^N \delta_{X_i + x}$ 對於任意 $x \in \mathbb{R}^d$ 都與 $\xi$ 有相同分布。對於平穩點過程，平均測度即 $E \xi (\cdot) = \lambda \|\cdot\|$，其中某常數$\lambda \geq 0$ 而 $\|\cdot\|$ 表示勒貝格測度。這 $\lambda$ 稱為該點過程的強度。$\mathbb{R}^d$ 上的平穩點過程幾乎必然共有 0 個或無窮個點。有關平穩點過程和隨機測度的更多資訊，請參閱 Daley & Vere-Jones 的第 12 章。點過程的平穩性已在比 $\mathbb{R}^d$ 更一般的空間中進行了定義和研究。

## 點過程示例

下文是一些 $\mathbb{R}^d$ 中的點過程的例子。

### 泊松點過程

點過程最簡單、最普遍的例子是泊松點過程，它是泊松過程的空間推廣。實軸上的泊松（計數）過程可以用兩個性質來刻畫：不相交區間內的點（或事件）的數量是獨立的，且它們服從泊松分布。泊松點過程也可以使用這兩個性質來定義。也就是說，稱一個點過程 $\xi$ 為泊松點過程，若以下兩個條件成立：

- 對於不相交的子集 $B_1,\ldots,B_n$， $\xi(B_1),\ldots,\xi(B_n)$ 是獨立的。
- 對於任一有界子集 $B$， $\xi(B)$ 服從參數為 $\lambda \|B\|$ 的泊松分布，其中 $\|\cdot\|$ 表示勒貝格測度。

這兩個條件可以結合起來寫成如下形式：對於任何不相交的有界子集 $B_1,\ldots,B_n$ 和非負整數 $k_1,\ldots,k_n$ 有

$$\Pr[\xi(B_i) = k_i, 1 \leq i \leq n] = \prod_i e^{-\lambda \|B_i\|}\frac{(\lambda \|B_i\|)^{k_i}}{k_i!}.$$

常數 $\lambda$ 稱為泊松點過程的強度。注意泊松點過程可由單個參數 $\lambda$ 刻畫。這是一個簡單且平穩的點過程。更具體地說，上述點過程被稱為齊次泊松點過程。非齊次泊松過程仍如上定義，但其中的 $\lambda \|B\|$ 換為 $\int_B\lambda(x) \, dx$，這裡的 $\lambda$ 是一個 $\mathbb{R}^d$ 上的非負函數。

### 考克斯點過程

一個考克斯過程（冠名於戴維·科克斯）是對泊松點過程的一種推廣，其中的 $\lambda \|B\|$ 被換為一個隨機測度。更正式地說，設 $\Lambda$ 為一個隨機測度，其所驅動的考克斯點過程即是滿足下列兩個性質的點過程 $\xi$：

- 給定 $\Lambda(\cdot)$ 與任一有界子集 $B$， $\xi(B)$ 服從參數為 $\Lambda(B)$ 的泊松分布。
- 對於有限個任意的不相交子集 $B_1,\ldots,B_n$， $\xi(B_1),\ldots,\xi(B_n)$ 關於 $\Lambda(B_1),\ldots,\Lambda(B_n),$ 是條件獨立的。

容易看出，（齊次和非齊次）泊松點過程是考克斯點過程的特例。考克斯點過程的平均測度 $E \xi(\cdot) = E \Lambda(\cdot)$，這在泊松點過程的特殊情況下就是 $\lambda\|\cdot\|$。

對於考克斯點過程， $\Lambda(\cdot)$ 被稱為強度測度。此外，若 $\Lambda(\cdot)$ 具有（隨機）密度（拉東-尼科迪姆導數） $\lambda(\cdot)$，也就是說

$$\Lambda(B) \,\stackrel{\text{a.s.}}{=}\, \int_B \lambda(x) \, dx,$$

$\lambda(\cdot)$ 便稱為考克斯點過程的強度場。強度測度或強度場的平穩性意味著相應考克斯點過程的平穩性。

已經對許多特定類的考克斯點過程進行了詳細研究，例如：

- 對數-高斯考克斯點過程：$\lambda(y) = \exp(X(y))$，其中 $X(\cdot)$ 是一個高斯隨機場。
- 散粒噪聲考克斯點過程：$\lambda(y)= \sum_{X \in \Phi} h(X,y)$，其中 $\Phi(\cdot)$ 是一個泊松點過程，而 $h(\cdot , \cdot)$ 是一個轉移核。
- 推廣的散粒噪聲考克斯點過程：$\lambda(y)= \sum_{X \in \Phi} h(X,y)$，其中 $\Phi(\cdot)$ 是一個點過程，而 $h(\cdot , \cdot)$ 是一個轉移核。
- 基於萊維的考克斯點過程：$\lambda(y)= \int h(x,y)L(dx)$，其中 $L(\cdot)$ 是一個萊維基，而 $h(\cdot , \cdot)$ 是一個轉移核。
- Permanental Cox point processes：$\lambda(y) = X_1^2(y) + \cdots + X_k^2(y)$，其中 $X_i(\cdot)$ 是 $k$ 個獨立的高斯隨機場。
- Sigmoidal Gaussian Cox point processes：$\lambda(y) = \lambda^{\star}/(1+\exp(-X(y)))$，其中 $X(\cdot)$ 是一高斯隨機場，而隨機的 $\lambda^\star > 0$。

根據延森不等式，可以驗證考克斯點過程滿足以下不等式：對於所有有界博雷爾子集 $B$ 有

$$\operatorname{Var}(\xi(B)) \geq \operatorname{Var}(\xi_{\alpha}(B)) ,$$

其中 $\xi_\alpha$ 表示強度測度 $\alpha(\cdot) := E \xi(\cdot) = E \Lambda(\cdot)$ 的泊松點過程。因此，與泊松點過程相比，考克斯點過程中的點分布具有更大的可變性。這有時被稱為考克斯點過程的團聚或吸引性質。

### 行列式點過程

行列式點過程是一類重要的點過程，在物理學、隨機矩陣理論和組合數學中都有應用。

### 霍克斯（自激）過程

霍克斯過程$N_t$，又稱自激計數過程，是一種簡單點過程，其條件強度可以表示為

$$\begin{align} <pre> \lambda (t) & = \mu (t) + \int_{-\infty}^t \nu (t - s) \, dN_s\\[5pt] & = \mu (t) + \sum_{T_k < t} \nu (t - T_k) </pre> \end{align}$$

其中 $\nu : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ 是一個核函數，表達過去事件 $T_i$ 對強度過程 $\lambda (t)$ 的當前值的正面影響； $\mu (t)$ 則是一個（可能非平穩的）函數，表示強度的預期、可預測或確定性的部分，而 $T_i \in \mathbb{R}$ 是過程中的第 $i$ 個事件的發生時間（滿足 $T_i < T_{i + 1}$）。

### 幾何過程

給定一個非負隨機變量的序列 $\{X_k,k=1,2, \dots\}$，若它們是獨立的，且對於 $k=1,2, \dots$， $X_k$ 的累積分布函數為 $F(a^{k-1}x)$ （其中 $a$ 是一個正常數），那麼 $\{X_k,k=1,2,\ldots\}$ 被稱為是一個幾何過程（GP）。

幾何過程有幾種推廣，包括α-系列過程和雙幾何過程。

## 半實軸上的點過程

歷史上所研究的第一種點過程是以半實軸 $\R^+=[0,\infty)$ 為狀態空間的，此狀態空間這時往往被解釋為時間。這些研究的動機源於對電信系統的建模，其中的點表示隨時間發生的事件，例如向電話交換機的發起通話。

$\R^+$ 上的點過程通常是通過給出其（隨機）事件間的時間間隔的序列 $(T_1,T_2,\dots)$ 來描述的，實際的事件發生時刻的序列 $(X_1,X_2,\dots)$ 則可如下得到：

$$X_k = \sum_{j=1}^{k} T_j \quad \text{for } k \geq 1.$$

如果事件間的時間間隔是獨立同分布的，則所得的點過程稱為更新過程。

### 點過程的強度

半實軸上的點過程關於濾過 $H_t$ 的強度 $\lambda(t|H_t)$ 定義為

$$\lambda(t \mid H_t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{1}{\Delta t}\Pr(\text{One event occurs in the time-interval}\,[t,t+\Delta t] \mid H_t) ,$$

$H_t$ 可以表示時間 $t$ 之前的事件點的時間歷史，但也可以對應於其他濾過（例如在考克斯過程的情況下）。

使用 $N(t)$ 的這種記號，便可寫成更緊湊的形式：

$$\lambda(t \mid H_t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{1}{\Delta t}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1 \mid H_t).$$

點過程的compensator，也稱為對偶可預測投影，是積分後的條件強度函數，定義為

$$\Lambda (s, u) = \int_s^u \lambda (t \mid H_t) \, \mathrm{d} t$$

## 相關函數

### 帕潘傑盧強度函數

$n$ 維歐氏空間 $\mathbb{R}^n$ 中的點過程 $N$ 的帕潘傑盧強度函數定義為

$$\lambda_p(x)=\lim_{\delta \to 0}\frac{1}{|B_\delta (x)|}{P}\{\text{One event occurs in } \,B_\delta(x)\mid \sigma[N(\mathbb{R}^n \setminus B_\delta(x))] \} ,$$

其中 $B_\delta (x)$ 是中心位於 $x$、半徑為 $\delta$ 的球，而 $\sigma[N(\mathbb{R}^n \setminus B_\delta(x))]$ 表示點過程 $N$ 在 $B_\delta(x)$ 外部的資訊。

### 似然函數

基於某些觀測數據的參數化簡單點過程的對數似然函數

$$\ln \mathcal{L} (N (t)_{t \in [0, T]})=\int_0^T (1 - \lambda (s)) \, ds + \int_0^T \ln \lambda (s) \, dN_s$$

## 空間統計學中的點過程

$R^n$ 的緊子集 $S$ 中的點分布數據的分析是空間統計學的一個主要研究對象。這樣的數據在範圍相當廣的各種學科中都會出現，包括

- 林業和植物生態學（樹木或植物的總體位置）
- 流行病學（受感染者的家庭位置）
- 動物學（動物的洞穴或巢穴）
- 地理（人類定居點、城鎮或城市的位置）
- 地震學（震中）
- 材料科學（工業材料中的缺陷位置）
- 天文學（恆星或星系的位置）
- 計算神經科學（神經元的尖端）

使用點過程來建模這些類型的數據的必要性在於它們內稟的空間結構。因此，首個感興趣的問題通常是給定的數據是否表現出完全的空間隨機性（即是否是空間泊松過程的一種實現）、而非表現出空間聚集或空間抑制。

相比之下，經典多元統計中考慮的許多數據集由獨立生成的數據點組成，這些數據點可能由一個或多個協變量（通常是非空間的）控制。

除了在空間統計中的應用外，點過程也是隨機幾何中的基本對象之一。研究還廣泛集中於基於點過程建立的各種模型，例如沃羅諾伊鑲嵌、隨機幾何圖和布爾模型。