龐加萊引理

龐加萊引理是一個數學中的引理，亨利·龐加萊在1886 年提出了這個引理。

它精確地陳述了封閉微分形式是恰當微分形式的一個充分條件，而恰當形式必然是封閉的：

在 一個n-維度域 Rn 中的開球上的每個封閉的p-微分形式對於 p 都是恰當的，這裡 1 ≤ p ≤ n。

## 研討

龐加萊引理還指出，特別是在微積分中，每個$\mathbb{R}^n$內的單聯通開子集上的閉1-形式都是恰當的。

簡單來說，這意味著如果一個微分形式在一個可以收縮到一點的區域內閉合，那麼它可以寫成另一個微分形式的導數；即如果在單連通區域上有 dα = 0，我們總能找到 α = dβ；因此我們有 d(dβ) = 0，簡單地表示為 d2 = 0。這個概念在數學物理特別是電磁學和微分幾何中有用，它與邊界的邊界總是空的這一事實有關；即，如果您有一個表面（2-形式）並且採用其邊界（1-形式，曲線），則該邊界的邊界（0-形式，點）是空集。

在電磁學中，磁場可以使用矢量勢來描述，龐加萊引理有助於在「表現良好」的磁場（即，當磁場不是由於單極而產生時）中找到這種勢，高斯磁定律指出通過閉合表面的總磁通量始終為零，這意味著磁單極子即使存在也不是孤立的，必須伴隨著其他磁荷。

用上同調的語言，龐加萊引理指出一個流形M的可收縮開子集的第k個德拉姆上同調群（例如， $M = \mathbb{R}^n$）當$k \ge 1$時化為零。具體來說，它意味著德拉姆復形可以產生一個在M上的常數層的消解$\mathbb{R}_M$。可收縮空間的奇異上同調在正度數上化為零，但龐加萊引理卻不能由此得出，因為實際上是流形的奇異上同調可以計算為它的德拉姆上同調，也就是德拉姆定理，依賴於龐加萊引理。但是，這確實意味著證明開球的龐加萊引理就足夠了；然後可以從拓撲考慮推出可收縮流形的版本。

龐加萊引理也是德拉姆上同調的同倫不變性的一個特例；事實上，通過展示同倫不變性或至少是它的一個版本來建立引理是很常見的。

## 證明

龐加萊引理的一個標準證明使用了同倫不變性公式（參見下面的多個證明和沿纖維積分#示例）。Edelen描述了局部微分形式的同倫算符，而Sharpe解釋了龐加萊引理與馬尤厄-嘉當形式的聯繫。

### 直接證明

龐加萊引理可以通過沿纖維積分來證明。（這種方法是通過微積分中的積分構造原始函數的直接概括。）

我們將證明這個引理給開子集$U \subset \mathbb{R}^n$，$U \subset \mathbb{R}^n$為星形或錐形$[0, 1]$；即，如果$x$在$U$中，那麼$tx$在$U$中對於$0 \le t \le 1$。這種情況尤其涵蓋了開球的情況，因為可以假設開球以原點為中心而不失一般性。

訣竅是考慮在$U \times [0, 1] \subset \mathbb{R}^{n+1}$ （我們使用$t$對於坐標$[0, 1]$）上的微分形式。首先定義算符$\pi_*$ （稱為纖維積分），對於k-形式$U \times [0, 1]$：

$$\pi_* \left( \sum_{i_1 < \cdots < i_{k-1}} f_i dt \wedge dx^i + \sum_{j_1 < \cdots < j_k} g_j dx^j \right) = \sum_{i_1 < \cdots < i_{k-1}} \left( \int_0^1 f_i(\cdot, t) \, dt \right) \, dx^i$$

這裡$dx^i = dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}$， $f_i = f_{i_1, \dots, i_k}$且同樣地對於$dx^j$和$g_j$。現在，對於$\alpha = f \, dt \wedge dx^i$，因為$d \alpha = - \sum_l \frac{\partial f}{\partial x_l} dt \wedge dx_l \wedge dx^i$，利用積分符號 下的微分，我們得到：

$$\pi_*(d \alpha) = -d(\pi_* \alpha) = \alpha_1 - \alpha_0 - d(\pi_* \alpha)$$

這裡$\alpha_0, \alpha_1$表示$\alpha$在超平面$t = 0, t = 1$上的限制並且它們為零，因為$dt$為零。如果$\alpha = f \, dx^j$，那麼類似的計算得出

$\pi_*(d \alpha) = \alpha_1 - \alpha_0 - d(\pi_* \alpha)$。

因此，上述公式適用於任何在$U \times [0, 1]$的$k$ -形式$\alpha$。（該公式是有時稱為相對斯托克斯公式的公式的一個特例。）

最後，讓$h(x, t) = tx$然後設定$J = \pi_* \circ h^*$。那麼，用符號$h_t = h(\cdot, t)$，我們得到：對於任何在$U$上的$k$ -形式$\omega$。

$$h_1^* \omega - h_0^* \omega = J d \omega + d J \omega,$$

這個公式稱為同倫公式。算子$J$被稱為同倫算子（也叫鏈同倫）。現在，如果$\omega$是關閉的， $J d \omega = 0$。另一方面， $h_1^* \omega = \omega$和$h_0^* \omega = 0$，後者是因為在某一點沒有非零的更高形式。因此。

$$\omega = d J \omega,$$

證明了龐加萊引理。

事實上對於流形的任何可收縮開子集U，龐加萊引理都成立，可以用同樣的方法證明。的確，給定流形的任何可收縮開子集 U，我們都能找到這樣的同倫$h_t$，$h_t$包括 $h_1 =$ 恆等式 和 $h_0(U) =$ 一個點。從近似的角度來看這個$h_t$，我們可以認為$h_t$事實上是光滑的。那麼纖維積分$\pi_*$也被定義為$\pi : U \times [0, 1] \to U$。由此可見，龐加萊引理在U上是成立的。

### 使用李導數證明

神奇的嘉當的李導數公式可用來給出龐加萊引理的簡短證明。公式表明，沿矢量場的李導數$\xi$定義為：

$$L_{\xi} = d \, i(\xi) + i(\xi) d$$

這裡$i(\xi)$表示內積；即$i(\xi)\omega = \omega(\xi, \cdot)$。

讓 $f_t : U \to U$ 是一個光滑族的對於某個$\mathbb{R}^n$的開子集 U 的光滑映射，這樣的光滑映射使得$f_t$被定義在某個閉區間 I 中，並且 $f_t$ 是 I 內部 t 的一個微分同胚。讓 $\xi_t(x)$ 標示曲線的切向量 $f_t(x)$ ; 就是說， $\frac{d}{dt}f_t(x) = \xi_t(f_t(x))$。對於 I 內部的一個固定的t，讓 $g_s = f_{t + s} \circ f_t^{-1}$。那麼$g_0 = \operatorname{id}, \, \frac{d}{ds}g_s|_{s=0}= \xi_t$。因此，根據李導數的定義。

$(L_{\xi_t} \omega)(f_t(x)) = \frac{d}{ds} g_s^* \omega(f_t(x))|_{s = 0} = \frac{d}{ds} f_{t+s}^* \omega(x)|_{s = 0} = \frac{d}{dt} f_t^* \omega(x)$。

那就是。

$$\frac{d}{dt} f_t^* \omega = f_t^* L_{\xi_t} \omega.$$

假設$I = [0, 1]$。然後對上面的兩邊進行積分，然後利用嘉當公式和積分符號下的微分，我們得到：對於$0 < t_0 < t_1 < 1$。

$$f_{t_1}^* \omega - f_{t_0}^* \omega = d \int_{t_0}^{t_1} f_t^* i(\xi_t) \omega \, dt + \int_{t_0}^{t_1} f_t^* i(\xi_t) d \omega \, dt$$

其中積分表示對微分形式中各個係數的積分。讓$t_0, t_1 \to 0, 1$，那麼我們有：

$$f_1^* \omega - f_0^* \omega = d J \omega + J d \omega$$

使用符號$J \omega = \int_0^1 f_t^* i(\xi_t) \omega \, dt.$

現在假設$U$是一個有中心$x_0$的開放球；那麼我們可以取$f_t(x) = t(x - x_0) + x_0$。那麼上面的公式就變成：

$\omega = d J \omega + J d \omega$。

這證明了當$\omega$是封閉的時龐加萊引理。

### 二維情況下的證明

在二維中，對於封閉的 1-形式和 2-形式, 龐加萊引理能被直接證明，如下所示。

如果 ω = p dx + q dy 是 (a, b) × (c, d)上的一個封閉的 1-微分形式，那麼必然 py = qx。如果 ω = df 那麼必然 p = fx 而且 q = fy .

可以設定

$$g(x,y)=\int_a^x p(t,y)\, dt,$$

所以使得gx = p。那麼 h = f − g 必定滿足 hx = 0 和 hy = q − gy。因為等式的右手邊對 x 的偏導數是零，所以它是獨立於 x 的。因此得到

$$h(x,y)=\int_c^y q(a,s)\, ds - g(a,y)=\int_c^y q(a,s)\, ds,$$

因此

$$f(x,y)=\int_a^x p(t,y)\, dt + \int_c^y q(a,s)\, ds.$$

相類似地可以得到，如果 Ω = r dx ∧ dy 那麼根據 bx − ay = r 有 Ω = d(a dx + b dy)。因此，根據 a = 0 和

$b(x,y)=\int_a^x r(t,y) \, dt$。

給出一個解

### 歸納證明

也可以給出龐加萊引理的歸納證明，但不使用同倫論證。讓$X_m:=I^m$，這裡$I = [0, 1]$，為m維坐標立方體。對於微分k形式$\omega\in\Omega^k(X_m)$，設其維度為整數mk。歸納是在形式的余維度上進行的。由於我們在坐標域上工作，可以將關於坐標的偏導數和積分應用於形式本身，通過將對於標準坐標的偏導數和積分應用於形式的係數。

首先讓$\omega\in\Omega^m(X_m)$，即余維度為0。它可以寫成$$\omega = dx^m\wedge \omega_0,\quad \omega_0 = f(x^1,\dots,x^m)dx^1\wedge\dots\wedge dx^{m-1}$$所以如果我們定義$\theta\in \Omega^{m-1}(X_m)$經過$\theta = \int_0^{x_m}\omega_0(x^1,\dots,x^{m-1},s)\,ds$，我們有$$d\theta = dx^m\wedge \partial_m\theta =dx^m\wedge\omega_0 = \omega$$因此， $\theta$是$\omega$的一個原函數。

現在設 $\omega\in\Omega^k(X_m)$，這裡 $0<k<m$，也就是說，$\omega$ 有 m-k 的余維度，並且讓我們假設，任何時候一個封閉的形式有小於 m-k 的余度，形式是適當的。形式 $\omega$ 可以分解為$$\omega = dx^m\wedge\omega_0 + \omega_1$$ 其中 $\omega_0$ 和 $\omega_1$均不包含任何 $dx^m$因子. 定義 $\lambda:=\int_0^{x_m}\omega_0(x^1,\dots,x^{m-1},s)\,ds$，那麼$d\lambda = dx^m\wedge\omega_0 + \lambda_1$，其中$\lambda_1$不包含任何$dx^m$因子，因此，因此定義$\omega^\prime:=\omega-d\lambda=\omega_1 -\lambda_1$，這種形式也是封閉的, 然而它不包含任何 $dx^m$ 因子. 因為這個形式是封閉的，我們得到$$0=d\omega^\prime = dx^m\wedge\partial_m\omega^\prime + \omega^{\prime\prime}$$其中最後一項不包含 $dx^m$ 因子。由於坐標微分的線性無關，這個方程意味著$$\omega^\prime=\sum_{1\le i_1<\dots<i_k\le m-1}\omega_{i_1...i_k}(x^1,\dots,x^{m-1})dx^{i_1}\wedge\dots\wedge dx^{i_k}$$即形式 $\omega^\prime$ 是 一個只有變量$x^1,\dots,x^{m-1}$的微分形式，那麼可以被解釋為 $\Omega^{k}(X_{m-1})$ 的一個元素，且它的余維度因此是 m-k-1。歸納假設適用於此，所以對於某些 $\theta^{\prime}\in\Omega^{k-1}(X_{m-1})\subseteq\Omega^{k-1}(X_m)$ 有 $\omega^\prime = d\theta^{\prime}$，那麼$$\omega = d\theta,\quad \theta = \theta^\prime + \lambda$$對坐標立方體的證明結束。在任意流形上，每個點都有一個與坐標立方體微分同胚的鄰域，這個證明還表明在流形上任意閉 k 形式 (對於 $0<k\le m=\dim M$ ) 都是局部適當的。

## 對德拉姆上同調的啟示

根據定義， k階de Rham 上同調群$\operatorname{H}_{dR}^k(U)$流形M的開子集U定義為商向量空間

$$\operatorname{H}_{dR}^k(U) = \{ \textrm{ closed } \, k\text{-forms} \, \textrm { on } \, U \}/\{ \textrm{ exact } \, k\text{-forms} \, \textrm { on } \, U \}.$$

因此，龐加萊引理的結論恰恰是，如果$U$是一個開球，那麼$\operatorname{H}_{dR}^k(U) = 0$對於$k \ge 1$。現在，微分形式確定了一個稱為 de Rham 復形的上鏈復形：

$$\Omega^* : 0 \to \Omega^0 \overset{d^0}\to \Omega^1 \overset{d^1}\to \cdots \to \Omega^n \to 0$$

其中n = M的維度， $\Omega^k$表示微分k形式層；即$\Omega^k(U)$對於M的每個開子集U，由U上的k形式組成。然後它產生復形（增強復形）

$$0 \to \mathbb{R}_M \overset{\epsilon}\to \Omega^0 \overset{d^0}\to \Omega^1 \overset{d^1}\to \cdots \to \Omega^n \to 0$$

其中$\mathbb{R}_M$是常數層，其值為$\mathbb{R}$；即，它是局部常數實值函數層，並且$\epsilon$包含。

$d^0$的內核是$\mathbb{R}_M$，因為具有零導數的光滑函數是局部常數。此外，層序列是適當的若且唯若它是局部如此。因此，龐加萊引理表明，序列的其餘部分也是適當的（因為流形局部微分同胚於$\mathbb{R}^n$然後每個點都有一個開球作為鄰域）用同調代數的語言來說，這意味著德拉姆複合形決定了常數層的分解$\mathbb{R}_M$。這就意味著德拉姆定理；即流形的德拉姆上同調與它的奇異上同調相一致（簡而言之，因為奇異上同調可以看作是層上同調。）

一旦知道了德拉姆定理，就可以純拓撲地獲得龐加萊引理的結論。例如，它蘊含了可收縮或單連通開集的龐加萊引理的一個版本（參見§單連通情況）。

## 簡單連通情況

龐加萊引理在微積分中是特別針對單連通開放子集 $U \subset \mathbb{R}^n$ 而表述的。在那種情況下，龐加萊引理指出 U 上的每個封閉 1-形式都是適當的。可以如接下來這樣用代數拓撲來看這個版本的引理。有理胡列維茨定理（或者更確切地說是該定理的實類似物）指出，因為 U 是單連通的，所以 $\operatorname{H}_1(U; \mathbb{R}) = 0$。因為 $\mathbb{R}$ 是一個域，k階上同調 $\operatorname{H}^k(U; \mathbb{R})$ 是 第k個同源性的對偶向量空間 $\operatorname{H}_k(U; \mathbb{R})$。在這裡特別地， $\operatorname{H}^1(U; \mathbb{R}) = 0.$ 根據德拉姆定理（由開球的龐加萊引理推出）， $\operatorname{H}^1(U; \mathbb{R})$與第一個德拉姆上同調群相同（參見§德拉姆上同調的蘊涵）。因此， U上的每個閉 1-形式都是適當的。

簡單來說，這意味著如果一個微分形式在一個可以收縮到一個點的區域內閉合，那麼它可以寫成另一種形式的導數。

## 緊支撐的龐加萊引理

對於緊支撐微分形式，有一個版本的龐加萊引理：

如果 $\omega$ 是一個封閉的在$\mathbb{R}^n$上有緊支撐的$p$-形式，這裡 $p < n$, 那麼必能找到一個在 $\mathbb{R}^n$ 上的有緊支撐的 $(p-1)$-形式 $\psi$ 使得 $d \psi = \omega$.

沿適當映射的回拉保留緊支撐；因此，與通常的證明相同。

## 復幾何類似物

在複流形上，鐸爾博爾算子$\partial$和$\bar \partial$對於復微分形式的使用，通過公式$d=\partial + \bar \partial$來改進外導數，導致了$\bar \partial$-封閉並且$\bar \partial$-適當的微分形式。這種封閉形式的局部適當性結果被稱為鐸爾博爾–格羅滕迪克 引理（或$\bar \partial$-龐加萊引理）；參見。重要的是,在這樣的域上的幾何，要求$\bar \partial$-封閉的微分形式是$\bar \partial$-適當的，比龐加萊引理更受限制，因為 鐸爾博爾–格羅滕迪克引理的證明在多圓盤（複平面上的圓盤積，多維柯西積分公式可在其上應用）上成立，並且即使在可收縮域上也存在引理的反例。$\bar \partial$ -龐加萊引理對於擬凸域具有更普遍的適用性。

使用龐加萊引理和$\bar \partial$ -龐加萊引理，一個改進的局部龐加萊引理可被證明，並且在上述兩個引理都適用的領域上有效。這個引理表明$d$ -封閉的復微分形式實際上是局部的$\partial \bar \partial$ -適當（而不僅僅是$d$或者$\bar \partial$ -適當，如上述引理所暗示的那樣）。

## 相對龐加萊引理

相對龐加萊引理將龐加萊引理從一個點推廣到子流形（或者某些更一般的局部閉子集）。它聲明：讓 V 為流形 M 的子流形，U 為 V 的管狀鄰域。如果 $\sigma$ 是 U 上的封閉k-形式，k ≥ 1，且在V上歸為零，那麼必然存在 這樣 (k -1) 形式 $\eta$ 在U上，使得 $d \eta = \sigma$ 和 $\eta$ 在 V 上歸為零。

相對龐加萊引理的證明方式與原龐加萊引理的證明方式相同。事實上，由於U是一個管狀鄰域，因此從U到V存在一個平滑的強變形收縮；即存在一個平滑的同倫$h_t : U \to U$，從投影$U \to V$到恆等式，使得$h_t$是V上的恆等式。然後我們有U上的同倫公式：

$$h_1^* - h_0^* = d J + J d$$

其中 $J$ 是通過李導數或沿纖維的積分給出的同倫算符。現在，因為 $h_0 (U) \subset V$所以 $h_0^* \sigma = 0$。因為 $d \sigma = 0$ 和 $h_1^* \sigma = \sigma$，我們得到 $\sigma = d J \sigma$ ; 取 $\eta = J \sigma$。那 $\eta$ 在 V 上消失，這由 J 的定義和事實 $h_t(V) \subset V$ 可知。（因此，這個證明實際上通過了，如果 U 不是管狀鄰域但如果 U 變形縮回到 V 並且相對於 V 同倫。） $\square$

## 關於多項式微分形式

在特徵為零的情況下，下列龐加萊引理對多項式微分形式成立。

該版本的引理可以用類似微積分的論證來理解。首先要注意的是$\ker(d : R \to \Omega^1) = k$，明顯地。因此，我們只需要檢查$p > 0$。讓$\omega$成為一個$p$ -形式。然後我們寫

$$0 \to k \to \Omega^0 \overset{d}\to \Omega^1 \overset{d}\to \cdots \to 0$$

是適當的，其中微分$d$按通常方式定義；即線性和

$$d (f \, d x_{i_i} \wedge \cdots \wedge d x_{i_p}) = \sum_j \frac{\partial f}{d x_j} dx_j \wedge d x_{i_i} \wedge \cdots \wedge d x_{i_p}.$$

這個版本的引理是由一個類似微積分的論點看到的。首先要清楚地注意到 $\ker(d : R \to \Omega^1) = k$。因此，我們只需要檢查 $p > 0$. 讓 $\omega$ 成為一個 $p$-微分形式。然後我們寫出

$$\omega = \omega_0 \wedge dx_1 + \omega_1$$

其中$\omega_i$不涉及$dx_1$。定義積分$x_1$通過線性且

$$\int x_1^r \, dx_1 = \frac{x_1^{r+1}}{r+1},$$

它由特徵（0）假設明確定義。然後讓

$$\eta = \int \omega_0 \, dx_1$$

其中積分應用於每個係數$\omega_0$。顯然，微積分基本定理在我們的正式設置中成立，因此我們得到：

$$d \eta = \omega_0 \wedge \, dx_1 + \sigma$$

這裡 $\sigma$ 不涉及 $dx_1$. 因此, $\omega - d \eta$ 不涉及 $dx_1$. $\omega - d \eta$更換 $\omega$，我們可以由此認為 $\omega$ 不涉及 $dx_1$. 從假設 $d \omega = 0$ 很容易地得出$\omega$的每個係數都的是獨立於 $x_1$的;就是說 $\omega$ 是多項式的對於變量 $x_2, \dots, x_n$的微分形式. 因此,我們是通過歸納完成了證明. $\square$

備註：使用同樣的證明，當$R = k[\![x_1, \dots, x_n]\!]$是形式冪級數環或全純函數芽環。適當修改的證明還表明了$\bar \partial$ -龐加萊引理；即用柯西積分公式代替微積分基本定理。

## 在奇異空間上

龐加萊引理通常不適用於奇異空間。例如，如果考慮復代數簇（在扎里斯基拓撲中）上的代數微分形式，則該引理對這些微分形式不成立。解決這個問題的一種方法是使用正則形式，並且由此產生的代數德拉姆上同調可以計算奇異上同調。

然而，該引理的變體仍然可能對某些奇異空間成立（精確的公式化和證明取決於這類空間的定義及其上的非光滑微分形式。）例如，Kontsevich 和 Soibelman 聲稱該引理對他們的分片代數空間中某些不同形式的變體（稱為 PA 形式）成立。

同倫不變性對於交上同調不成立；特別是，龐加萊引理對於這種上同調不成立。