熵權法

熵權法（Entropy Weight Method，EWM），又稱熵值法，是一種客觀賦權方法，常用於多屬性決策分析（Multi-Criteria Decision Making, MCDM）中。它基於資訊理論中的熵概念來確定各個指標（或屬性）的權重。該方法通過度量各評價指標在樣本中的離散程度來確定權重：同一指標的樣本差異越大，則其熵值越小，該指標的權重就越大；同一指標的樣本差異越小，則其熵值越大，該指標的權重就越小。熵權法常用於風險評估、綜合評價、系統優化等領域。

## 背景

在多指標綜合評價問題中，確定指標權重是關鍵步驟。傳統方法如層次分析法和德爾菲法依賴專家判斷，存在一定主觀性。熵權法屬於客觀賦權法，它直接利用數據分布特徵計算權重，避免了完全依賴專家經驗。熵權法的理論基礎來自克勞德·香農（Claude E. Shannon, 1948）提出的資訊熵公式。

## 方法原理

假設有一個評論體系有$m$個樣本（對象），$n$個指標。原始數據矩陣為：

$X = [x_{ij}]_{m{\times}n}$，$i = 1,2,...,m$；$j = 1,2,...,n$

其中$x_{ij}$是第$i$個樣本在第$j$個指標下的值。

### 1、數據標準化（Normalization）

原始數據可能單位不同、量綱不同，需要標準化處理。標準化分為正向指標（越大越好）和負向指標（越小越好）。

正向指標標準化：$y_{ij} = \frac{x_{ij}-min(x_{*j})}{max(x_{*j})-min(x_{*j})}$

負向指標標準化：$y_{ij} = \frac{max(x_{*j})-x_{ij}}{max(x_{*j})-min(x_{*j})}$

其中，$min(x_{*j})$和$max(x_{*j})$是第$j$行的最小值和最大值。標準化後，$y_{ij} \in [0,1]$，得到標準化矩陣$Y = [y_{ij}]_{m{\times}n}$。

注意：如果所有值相同，會導致分母為0，此時可直接賦權重為0。

### 2、計算每個指標的比例（Proportion）

計算每個樣本在該指標下的比例值$p_{ij}$：

$$p_{ij} = \frac{y_{ij}}{\sum_{i=1}^m y_{ij}}$$

這類似於機率分布，確保$\sum_{i=1}^m p_{ij} = 1$。

### 3、計算每個指標的熵值（Entropy）

使用資訊熵公式計算第$j$個指標的熵$e_j$：

$$e_j = -k\sum_{i=1}^m p_{ij}ln(p_{ij})$$

其中，$k = \frac{1}{lnm}$是常數，確保$e_j \in [0,1]$。如果$p_{ij} = 0$，則$p_{ij}ln(p_{ij}) = 0$（極限值）。

熵值範圍：當所有$p_{ij}$相等（$p_{ij} = \frac{1}{m}$），熵最大$e_j = 1$（不確定性最大）；當差異極大，熵最小接近0。

### 4、計算每個指標的差異係數（Divergence）

差異係數$d_j$表示指標的資訊效用：

$$d_j = 1 - e_j$$

$d_j$越大，指標越重要。

### 5、計算權重（Weight）

第$j$個指標的權重$w_j$：

$$w_j = \frac{d_j}{\sum_{j=1}^n d_j}$$

確保$\sum_{j=1}^n w_j = 1$，權重向量$W = (w_1,w_2,...,w_n)$。

### 6、綜合評價（Optional）

加權求和得到樣本得分：

$$s_i = \sum_{j=1}^n w_jy_{ij}$$

然後根據$s_i$排序或決策。

## 示例

### 題目

假設有3個城市，根據以下指標進行綜合評價：

城市（編號）｜GDP（億元）｜污染指數（指數）｜教育水平（%）

1｜5000｜80｜90

2｜3000｜50｜85

3｜4000｜70｜95

### 1、分析題目

分析可得：樣本$m = 3$，指標$n = 3$；GDP、教育水平為正向指標；污染指數為負向指標。

得到原始數據矩陣$X$：

$$X=\begin{bmatrix} 5000 & 80 & 90 \\ 3000 & 50 & 85 \\ 4000 & 70 & 95 \\ \end{bmatrix}$$

### 2、標準化

GDP：$min(x_{*1}) = 3000$，$max(x_{*1}) = 5000$。

$y_{11}=\frac{5000-3000}{5000-3000}=1$；$y_{21}=\frac{3000-3000}{5000-3000}=0$；$y_{31}=\frac{4000-3000}{5000-3000}=0.5$

污染指數：$min(x_{*2})=50$，$max(x_{*2})=80$。

$y_{12}=\frac{80-80}{80-50}=0$；$y_{22}=\frac{80-50}{80-50}=1$；$y_{32}=\frac{80-70}{80-50}\approx0.333$

教育水平：$min(x_{*3})=85$；$max(x_{*3})=95$。

$y_{13}=\frac{90-85}{95-85}=0.5$；$y_{23}=\frac{85-85}{95-85}=0$；$y_{33}=\frac{95-85}{95-85}=1$

得到標準化矩陣$Y$：

$$Y=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0.5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0.5 & 0.333 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

### 3、比例計算

GDP：$\sum_{i=1}^3 y_{i1}=1+0+0.5=1.5$。

$p_{11}=\frac{1}{1.5}\approx0.667$；$p_{21}=\frac{0}{1.5}=0$；$p_{31}=\frac{0.5}{1.5}\approx0.333$

污染指數：$\sum_{i=1}^3 y_{i2}=0+1+0.333=1.333$。

$p_{12}=\frac{0}{1.333}=0$；$p_{22}=\frac{1}{1.333}\approx0.75$；$p_{32}=\frac{0.333}{1.333}\approx0.25$

教育水平：$\sum_{i=1}^3 y_{i3}=0.5+0+1=1.5$。

$p_{13}=\frac{0.5}{1.5}\approx0.333$；$p_{23}=\frac{0}{1.5}=0$；$p_{33}=\frac{1}{1.5}\approx0.667$

### 4、熵計算

$$k = \frac{1}{\ln 3}\approx0.91$$

$$e_1 = -0.91 \sum_{i=1}^3 p_{i1} \ln(p_{i1})\approx0.666$$

$$e_2 = -0.91 \sum_{i=1}^3 p_{i2} \ln(p_{i2})\approx0.78$$

$$e_3 = -0.91 \sum_{i=1}^3 p_{i3} \ln(p_{i3})\approx0.666$$

### 5、差異計算

$$d_1=1-0.666=0.334$$

$$d_2=1-0.78=0.22$$

$$d_3=1-0.666=0.334$$

### 6、權重計算

$$\sum_{j=1}^3 d_j=0.334+0.22+0.334=0.888$$

$$w_1=\frac{0.334}{0.888}\approx0.376$$

$$w_2=\frac{0.22}{0.888}\approx0.248$$

$$w_3=\frac{0.334}{0.888}\approx0.376$$

### 7、得分計算

$$s_1 = \sum_{j=1}^3 w_j y_{1j}=0.564$$

$$s_2 = \sum_{j=1}^3 w_j y_{2j}=0.248$$

$$s_3 = \sum_{j=1}^3 w_j y_{3j}\approx0.647$$

### 結論

城市3得分較高，城市2得分最低，城市1得分居中。

## 應用

熵權法廣泛應用於以下領域：

社會經濟評價：區域發展水平測度、城市競爭力評價。

環境科學：環境質量評價、可持續發展指數計算。

工程與管理：風險評估、項目優選、供應鏈管理。

金融與保險：投資組合評價、信用風險分析。

教育與科研：高校績效考核、科研產出綜合評價。

## 優缺點

### 優點

基於客觀數據，避免了主觀賦權偏差。

計算過程規範，結果可重複。

能有效反映指標間差異性與資訊量大小。

### 缺點

完全依賴樣本數據，若樣本不足或失真，結果可能不合理。

對歸一化方法敏感，不同標準化方式可能影響結果。

忽略了專家經驗與實際背景因素。