噴叢 (數學)

在微分幾何中，噴叢是切從TM上的向量場H，它編碼了底流形M上的擬線性二階常微分方程組。噴叢（spray）通常要求滿足齊次性條件，即其積分曲線t →Φ H t (ξ)∈ TM滿足如下重參數化規則：

Φ H t (λξ)=Φ H λt (ξ) （其中 λ > 0）。

如果去掉這個要求，則稱 H 為半噴叢（semi-spray）。

在黎曼幾何與芬斯勒幾何中，噴叢自然表現為測地噴叢——其積分曲線恰為局部長度最小化曲線的切曲線。而在拉格朗日力學中，半噴叢則表現為作用量積分的極值曲線。一般地，流形M上的任意非線性聯絡可誘導一個半噴叢H；反之，任意半噴叢H亦可誘導M上的一個無撓非線性聯絡。若原聯絡無撓，則其與H誘導的聯絡一致；此外，齊次無撓聯絡與完全噴叢構成一一對應。

## 正式定義

令M為可微流形，( TM ,π TM, M ) 為其切束。則TM上的矢量場H （即雙切束TTM的一個截面）為M上的半噴叢，若下列三個等價條件中有任意一個成立：

- （πTM） * Hξ =ξ。
- JH = V，其中J是TM上的切結構， V是TM \0上的正則矢量場。
- j ∘ H = H，其中j : TTM → TTM是規範翻轉，而H被視為映射TM → TTM。

如果滿足下列任一等效條件，則M上的半噴叢H為(全) 噴叢：

- H λξ = λ * (λ H ξ )，其中 λ * : TTM → TTM是將 λ: TM → TM與正標量 λ>0 相乘後推。
- H沿標準向量場V的李導數滿足 V, H = H。
- H的積分曲線t →Φ H t (ξ)∈ TM \0 滿足 Φ H t (λξ)=λΦ H λt (ξ) (其中 λ>0)。

讓$(x^i,\xi^i)$是本地坐標$TM$與當地坐標相關$(x^i$）在$M$使用每個切線空間上的坐標基。然後$H$是半噴式$M$如果它有以下形式的局部表示

$$H_\xi = \xi^i\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_{(x,\xi)} - 2G^i(x,\xi)\frac{\partial}{\partial \xi^i}\Big|_{(x,\xi)}.$$

在TM上的每個相關坐標繫上。半噴叢H為（全）噴叢，若且唯若噴叢係數G i滿足

$$G^i(x,\lambda\xi) = \lambda^2G^i(x,\xi),\quad \lambda>0.\,$$

## 拉格朗日力學中的半噴叢

在拉格朗日力學中，物理系統由某個構型空間M的切叢上的拉格朗日函數L : TM → R建模。動力學定律由哈密頓原理得出，該原理指出，系統狀態的時間演化 γ: a, b → M對於作用積分是平穩的

$\mathcal S(\gamma) := \int_a^b L(\gamma(t),\dot\gamma(t))dt$。

在TM上的相關坐標中，作用積分的第一個變體為

$$\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}\mathcal S(\gamma_s) = \Big|_a^b \frac{\partial L}{\partial\xi^i}X^i - \int_a^b \Big(\frac{\partial^2 L}{\partial \xi^j\partial \xi^i} \ddot\gamma^j + \frac{\partial^2 L}{\partial x^j\partial\xi^i} \dot\gamma^j - \frac{\partial L}{\partial x^i} \Big) X^i dt,$$

其中X : a, b → R是與圍繞 γ( t )= γ0 ( t )的變化γs : a, b → M相關的變化矢量場。通過引入以下概念，可以將第一個變體公式重新表述為更具資訊量的形式：

- 余向量$\alpha_\xi = \alpha_i(x,\xi) dx^i|_x\in T_x^*M$和$\alpha_i(x,\xi) = \tfrac{\partial L}{\partial \xi^i}(x,\xi)$是共軛動量$\xi \in T_xM$。
- 對應的單形式$\alpha\in\Omega^1(TM)$和$\alpha_\xi = \alpha_i(x,\xi) dx^i|_{(x,\xi)}\in T^*_\xi TM$是與拉格朗日量相關的希爾伯特形式。
- 雙線性形式$g_\xi = g_{ij}(x,\xi)(dx^i\otimes dx^j)|_x$和$g_{ij}(x,\xi) = \tfrac{\partial^2 L}{\partial \xi^i \partial \xi^j}(x,\xi)$是拉格朗日量的基本張量$\xi \in T_xM$。
- 如果基本張量$\displaystyle g_\xi$在每個$\xi \in T_xM$。然後逆矩陣$\displaystyle g_{ij}(x,\xi)$表示為$\displaystyle g^{ij}(x,\xi)$。
- 與拉格朗日量相關的能量是$\displaystyle E(\xi) = \alpha_\xi(\xi) - L(\xi)$。

若滿足勒讓德條件，則dα∈Ω2 ( TM )為辛形式，且存在唯一的TM上的哈密頓向量場H，對應於哈密頓函數E，使得

$\displaystyle dE = - \iota_H d\alpha$。

令 ( X i, Y i ) 為TM上相關坐標的哈密頓矢量場H的分量。然後

$$\iota_H d\alpha = Y^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} dx^j - X^i \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^j$$

和

$$dE = \Big(\frac{\partial^2 L}{\partial x^i \partial \xi^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big)dx^i + \xi^j \frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j} d\xi^i$$

因此我們看到哈密頓矢量場H是位形空間M上的半噴叢，噴叢係數為

$$G^k(x,\xi) = \frac{g^{ki}}{2}\Big(\frac{\partial^2 L}{\partial\xi^i\partial x^j}\xi^j - \frac{\partial L}{\partial x^i}\Big).$$

現在第一個變分公式可以重寫為

$$\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}\mathcal S(\gamma_s) = \Big|_a^b \alpha_i X^i - \int_a^b g_{ik}(\ddot\gamma^k+2G^k)X^i dt,$$

並且我們看到，若且唯若其切線曲線 γ': a, b → TM是哈密頓矢量場H的積分曲線時，路徑 γ: a,b→M 是作用量積分在固定端點下的駐定曲線。因此，力學系統的動力學可由作用量積分導出的半噴叢來描述。

## 測地線噴叢

黎曼流形和芬斯勒流形的局部長度最小化曲線稱為測地線。利用拉格朗日力學框架，可以用噴叢結構描述這些曲線。在TM上定義拉格朗日函數

$$L(x,\xi) = \tfrac{1}{2}F^2(x,\xi),$$

其中F : TM → R是芬斯勒函數。在黎曼情形下，使用F 2 ( x ,ξ)= g ij ( x )ξ i ξ j。現在介紹上面部分中的概念。在黎曼情形下，基本張量g ij ( x ,ξ) 只不過是黎曼度量g ij ( x )。在一般情形下，同質性條件

$$F(x,\lambda\xi) = \lambda F(x,\xi), \quad \lambda>0$$

芬斯勒函數蘊含以下公式：

$$\alpha_i=g_{ij}\xi^i, \quad F^2=g_{ij}\xi^i\xi^j, \quad E = \alpha_i\xi^i - L = \tfrac{1}{2}F^2.$$

就經典力學而言，最後一個方程表明系統 ( M, L ) 中的所有能量都為動能形式。此外，還獲得了同質性

$$g_{ij}(\lambda\xi) = g_{ij}(\xi), \quad \alpha_i(x,\lambda\xi) = \lambda \alpha_i(x,\xi), \quad G^i(x,\lambda\xi) = \lambda^2 G^i(x,\xi),$$

其中最後一個表示該機械系統的哈密頓矢量場H是滿噴叢。由於以下原因，底層芬斯勒（或黎曼）流形的恆速測地線由此噴叢描述：

- 由於g ξ對於芬斯勒空間來說是正定的，因此長度函數的每個足夠短的平穩曲線都是長度最小化的。
- 作用積分的每個平穩曲線都是恆定速度的$F(\gamma(t),\dot\gamma(t))=\lambda$，因為能量自動成為運動常數。
- 對於任意曲線$\gamma:[a,b]\to M$恆定速度的作用積分和長度函數的關係為

$$\mathcal S(\gamma) = \frac{(b-a)\lambda^2}{2} = \frac{\ell(\gamma)^2}{2(b-a)}.$$

因此，一條曲線𝛾:𝑎,𝑏→𝑀是作用量積分的駐點曲線，若且唯若其具有恆定速率且是長度泛函的駐點曲線。該哈密頓向量場H被稱為芬斯勒流形(M,F)的測地噴叢，其對應的流ΦHt(ξ)則稱為測地流。

## 非線性連接的對應性

半噴叢$H$在光滑流形上$M$定義一個 Ehresmann 連接$T(TM\setminus 0) = H(TM\setminus 0) \oplus V(TM\setminus 0)$通過其水平和垂直投影在狹縫切線束上

$$h:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0) \quad ; \quad h = \tfrac{1}{2}\big( I - \mathcal L_H J \big),$$

$$v:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0) \quad ; \quad v = \tfrac{1}{2}\big( I + \mathcal L_H J \big).$$

TM \0 上的這個聯絡始終有一個消失的扭轉張量，它被定義為 Frölicher-Nijenhuis 括號T = J, v。更簡單的術語來說，扭轉可以定義為

$$\displaystyle T(X,Y) = J[hX,hY] - v[JX,hY] - v[hX,JY].$$

引入TM \0 上的正則矢量場V和誘導聯絡的伴隨結構Θ，半噴叢的水平部分可以寫成hH =Θ V。半噴叢的垂直部分ε= vH稱為第一噴叢不變量，半噴叢H本身分解為

$$\displaystyle H = \Theta V + \epsilon.$$

第一個噴叢不變量與張力有關

$$\tau = \mathcal L_Vv = \tfrac{1}{2}\mathcal L_{[V,H]-H} J$$

通過常微分方程誘導的非線性聯繫

$$\mathcal L_V\epsilon+\epsilon = \tau\Theta V.$$

因此，第一個噴叢不變量 ε（以及整個半噴叢H）可以通過非線性連接恢復

$$\epsilon|_\xi = \int\limits_{-\infty}^0 e^{-s}(\Phi_V^{-s})_*(\tau\Theta V)|_{\Phi_V^s(\xi)} ds.$$

從這個關係中還可以看出，若且唯若H是全噴叢時，誘導連接才是同質的。