里奇標量 (紐曼-彭羅斯形式)

在廣義相對論的紐曼-彭羅斯形式體系中，四維時空的里奇張量的獨立分量被編碼為七個（或十個）里奇標量，這些標量由三個實標量組成$\{\Phi_{00}, \Phi_{11}, \Phi_{22}\}$、三個（或六個）複數標量$\{\Phi_{01}=\overline{\Phi}_{10}\,,\Phi_{02}=\overline{\Phi}_{20}\,,\Phi_{12}=\overline{\Phi}_{21}\}$和 NP 曲率標量$\Lambda$。物理上，由於愛因斯坦場方程，Ricci-NP 標量與時空的能量動量分布相關。

## 定義

給定一個複雜的零四分體$\{l^a, n^a, m^a, \bar{m}^a\}$並遵守公約$\{(-,+,+,+); l^a n_a=-1\,,m^a \bar{m}_a=1\}$，Ricci-NP標量定義為（上劃線表示復共軛）

$$\Phi_{00}:=\frac{1}{2}R_{ab}l^a l^b\,, \quad \Phi_{11}:=\frac{1}{4}R_{ab}(\,l^a n^b+m^a\bar{m}^b)\,, \quad\Phi_{22}:=\frac{1}{2}R_{ab}n^a n^b\,, \quad\Lambda:=\frac{R}{24}\,;$$

$\Phi_{01}:=\frac{1}{2}R_{ab}l^a m^b\,, \quad\; \Phi_{10}:=\frac{1}{2}R_{ab}l^a \bar{m}^b=\overline{\Phi}_{01}\,,$ $\Phi_{02}:=\frac{1}{2}R_{ab}m^a m^b\,, \quad \Phi_{20}:=\frac{1}{2}R_{ab}\bar{m}^a \bar{m}^b=\overline{\Phi}_{02}\,,$ $\Phi_{12}:=\frac{1}{2}R_{ab}m^a n^b\,, \quad\; \Phi_{21}:=\frac{1}{2}R_{ab}\bar{m}^a n^b=\overline{\Phi}_{12}\,.$

備註一：在這些定義中， $R_{ab}$可以用其無痕部分代替$Q_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{4}g_{ab}R$

或愛因斯坦張量$G_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R$由於規範化（即內積）關係

$$l_a l^a = n_a n^a = m_a m^a = \bar{m}_a \bar{m}^a=0\,,$$

$$l_a m^a = l_a \bar{m}^a = n_a m^a = n_a \bar{m}^a=0\,.$$

備註 II：具體針對電真空，我們有$\Lambda=0$，因此

$$24\Lambda\,=0=\,R_{ab}g^{ab}\,=\,R_{ab}\Big(-2l^a n^b+2m^a\bar{m}^b \Big)\; \Rightarrow \; R_{ab}l^a n^b\,=\,R_{ab}m^a\bar{m}^b\,,$$

因此$\Phi_{11}$簡化為

$$\Phi_{11}:=\frac{1}{4}R_{ab}(\,l^a n^b+m^a\bar{m}^b)=\frac{1}{2}R_{ab}l^a n^b=\frac{1}{2}R_{ab}m^a\bar{m}^b\,.$$

備註三：如果採用慣例$\{(+,-,-,-); l^a n_a=1\,,m^a \bar{m}_a=-1\}$，定義$\Phi_{ij}$應取相反的值；也就是說， $\Phi_{ij}\mapsto-\Phi_{ij}$簽名轉換後。

## 替代推導

根據上述定義，在通過與相應四元組向量的收縮計算 Ricci-NP 標量之前，應該先找出Ricci 張量。然而，這種方法未能充分體現紐曼-彭羅斯形式體系的精神，另一種方法是，計算自旋係數，然後導出 Ricci-NP 標量$\Phi_{ij}$通過相關的NP 場方程

$$\Phi_{00}=D\rho -\bar{\delta}\kappa-(\rho^2+\sigma\bar{\sigma})-(\varepsilon+\bar{\varepsilon})\rho+\bar{\kappa}\tau+\kappa(3\alpha+\bar{\beta}-\pi)\,,$$

$$\Phi_{10}=D\alpha-\bar{\delta}\varepsilon-(\rho+\bar{\varepsilon}-2\varepsilon)\alpha-\beta\bar{\sigma}+\bar{\beta}\varepsilon+\kappa\lambda+\bar{\kappa}\gamma-(\varepsilon+\rho)\pi\,,$$

$$\Phi_{02}=\delta\tau-\Delta\sigma-(\mu\sigma+\bar{\lambda}\rho)-(\tau+\beta-\bar{\alpha})\tau+(3\gamma-\bar{\gamma})\sigma+\kappa\bar{\nu}\,,$$

$$\Phi_{20}=D\lambda-\bar{\delta}\pi-(\rho\lambda+\bar{\sigma}\mu)-\pi^2-(\alpha-\bar{\beta})\pi+\nu\bar{\kappa}+(3\varepsilon-\bar{\varepsilon})\lambda\,,$$

$$\Phi_{12}=\delta\gamma-\Delta\beta-(\tau-\bar{\alpha}-\beta)\gamma-\mu\tau+\sigma\nu+\varepsilon\bar{\nu}+(\gamma-\bar{\gamma}-\mu)\beta-\alpha\bar{\lambda}\,,$$

$$\Phi_{22}=\delta\nu-\Delta\mu-(\mu^2+\lambda\bar{\lambda})-(\gamma+\bar{\gamma})\mu+\bar{\nu}\pi-(\tau-3\beta-\bar{\alpha})\nu\,,$$

$$2\Phi_{11}=D\gamma-\Delta\varepsilon+\delta\alpha-\bar{\delta}\beta-(\tau+\bar{\pi})\alpha-\alpha\bar{\alpha}-(\bar{\tau}+\pi)\beta-\beta\bar{\beta}+2\alpha\beta+(\varepsilon+\bar{\varepsilon})\gamma-(\rho-\bar{\rho})\gamma+(\gamma+\bar{\gamma})\varepsilon-(\mu-\bar{\mu})\varepsilon-\tau\pi+\nu\kappa-(\mu\rho-\lambda\sigma)\,,$$

而 NP 曲率標量$\Lambda$可以通過以下方式直接輕鬆計算$\Lambda=\frac{R}{24}$和$R$是時空度量的普通標量曲率$g_{ab}=-l_a n_b - n_a l_b +m_a \bar{m}_b +\bar{m}_a m_b$。

## 電磁 Ricci-NP 標量

根據 Ricci-NP 標量的以上定義 $\Phi_{ij}$ 且在定義替換 $R_{ab}$ 為 $G_{ab}$， $\Phi_{ij}$ 與愛因斯坦場方程的能量動量分布有關$G_{ab}=8\pi T_{ab}$。在最簡單的情況下，即真空時空沒有物質場， $T_{ab}=0$，我們將有$\Phi_{ij}=0$。此外，對於電磁場，除了上述定義外， $\Phi_{ij}$可以更具體地通過來確定

$$\Phi_{ij}=\,2\,\phi_i\,\overline{\phi}_j\,,\quad (i,j\in\{0,1,2\})\,,$$

這裡 $\phi_i$ 表示三個複數麥克斯韋-NP 標量，它們編碼了法拉第-麥克斯韋 2 形式的六個獨立分量$F_{ab}$ （即電磁場強度張量）

$$\phi_0:= -F_{ab}l^a m^b \,,\quad \phi_1:= -\frac{1}{2} F_{ab}\big(l^an^a-m^a\bar{m}^b \big)\,, \quad \phi_2 := F_{ab} n^a \bar{m}^b\,.$$

備註：方程$\Phi_{ij}=2\,\phi_i\, \overline{\phi}_j$但對於電磁場來說，這不一定對其他類型的物質場也有效。例如，對於楊-米爾斯場，將有$\Phi_{ij}=\,\text{Tr}\,(\digamma_i \,\bar{\digamma}_j)$在哪裡$\digamma_i (i\in\{0,1,2 \})$是楊–米爾斯-NP標量。