阿爾哈森問題

阿爾哈森問題是光學中的一個關於球面鏡中反射的數學問題。問題是找到從一個給定點出發，反射後到達另一個給定點的光線與鏡面的交點。凹球面鏡的特殊情況也稱為阿爾哈森彈子問題，因為它可以等效表述為圓形撞球桌上找到讓撞球在桌子邊緣一個點反彈撞到另一個撞球的路徑。其他等效表述有求從一點到另一點的經過圓周上一點的最短路徑，或者求以給定點為焦點且與圓相切的橢圓。

雖然托勒密在2世紀中研究了這個問題的特殊情況，但它是以11世紀的阿拉伯數學家阿爾哈森（伊本·海什木）的名字命名的，他更一般地表述了這個問題，並在他的光學之書中提出了一個解法。它沒有尺規作圖構造；相反，阿爾哈森和包括克里斯蒂安·惠更斯在內的其他人找到了涉及圓錐曲線交點的解決方案。根據羅伯托·馬爾科隆戈，達文西發明了一種機械裝置來解決這個問題。後來的數學家傑克·M·埃爾金在1965年將該問題轉化為求一個四次方程的解，並利用該方程證明了尺規作圖解法的不可能性。

21世紀的研究人員已經將這個問題以及其解法推廣到其他形狀的鏡子和非歐幾里德幾何，並應用快速計算方法來模擬土衛六湖泊的光反射。

## 問題表述

問題包括從兩點畫線，交於圓周上的第三點，並與該點的法線成的夾角相等(鏡面反射)。它屬於幾何光學和反射光學，可用於找到光線的路徑，該路徑從空間的一點開始，從球面鏡上反射，並穿過第二點。雖然這是一個三維問題，但它可以被簡化為平面內圓形鏡面反射的二維問題，因為它的解完全位於兩點和球心形成的平面內。

同樣的問題可以用圓內而不是圓外的兩個給定點來表述。對於圓內靠近的兩點，一般會有兩個解，而相距較遠的點有四個解。所有解都描述了撞球在圓形撞球桌內反射的路徑，正如劉易斯·卡羅爾曾經建議的撞球遊戲那樣。如果兩段反射路徑延伸為圓的弦，則兩條弦長度相等。因此，它們形成了一個圓內接等腰三角形兩條相等的邊，兩個給定點在這個三角形的兩條邊上。阿爾哈森問題的另一個等價形式要求構造一個滿足這些性質的三角形。

對於圓內或圓外的點，描述該問題的另一種方式是尋找一個以兩個給定點為焦點的橢圓，其與給定的圓相切。切點就是阿爾哈森問題的答案。從橢圓的一個焦點到該切點的射線將被橢圓反射到另一個焦點(橢圓的光學性質)。此外，因為給定的圓在切點處的角度相同，所以它將以相同的方式反射同一條光線。在橢圓中，從一個焦點到另一個焦點的所有單反射路徑具有相等的長度，因此與圓相切的最小橢圓產生從一個給定點到圓然後到另一個點的最短路徑。更一般地，正如詹姆斯·格雷果里所觀察到的，對於任何類似的三維反射問題，反射點也是一個橢球體的切點，該橢球體以光線的源頭和目的地為焦點。

托勒密在他的《光學 (托勒密)》（寫於公元二世紀）中包括了圓鏡反射的問題，但只能解決某些特殊情況；阿爾哈森更一般地闡述並解決了這個問題。阿爾哈森受到托勒密著作的啟發，以托勒密的著作為藍本創作了自己的書，但在一些重要方面與托勒密有所不同；例如，托勒密認為眼睛主動向外發出「視覺射線」傳播到物體上使它被看到，而阿爾哈森推翻了這一模型，提出了到今天仍然被認可的模型，即光線從物體傳播到眼睛。

## 解法

### 幾何

到了公元4世紀，希臘數學家已經將幾何解分為三種類型:尺規作圖，使用圓錐曲線的作圖，和二刻尺作圖。阿爾哈森的解決方案是第二種，使用了雙曲線，通過這種方法，他提出了一種二刻尺作法。在馬庫斯·貝克1881年對這個問題的調查中，他稱阿爾哈森的解決方案「過於冗長和複雜」，並引用艾薩克·巴羅的類似觀點。11世紀後期，西班牙薩拉戈薩泰法國國王優素福·穆塔曼·伊本·胡德稍微簡化了阿爾哈森的引理，但沒有在這個問題上取得重大進展。阿爾哈森的作品在12世紀或13世紀通過拉丁手稿翻譯而在歐洲其他地方廣為人知，1572年在巴塞爾發表了一個譯本。後來由克里斯蒂安·惠更斯、勒內-弗朗索瓦·德·斯盧斯和紀堯姆·德·洛必達提出的幾何解法同樣使用了輔助的圓錐曲線：惠更斯使用雙曲線，斯盧斯以及洛必達的兩種方法使用拋物線。貝克將惠更斯的解決方案稱之為「這個問題有史以來最優雅的解決方案」。

在阿爾哈森的解決方法中，雙曲線被用在反射角的構造，在此之後很容易找到反射點。阿爾哈森根據反射圖像的數量(凸面鏡一個，凹面鏡最多四個)進一步將問題劃分為多種情況，並分別解決每種情況。惠更斯找到了一條在所有情況下都能直接解決問題的雙曲線，反射點是這條雙曲線與給定圓的交點。這條雙曲線可以用許多方法來描述；一種方式涉及反演。由到定點的兩條線與定點同心的圓以相等的角度相交的點的軌跡 $L$，是包含兩個給定點的三次曲線。$L$關於給定圓的反演像是一條等軸雙曲線，它穿過兩個反演點，並以它們的中點為中心。它的兩條漸近線分別平行於和垂直於兩給定點在圓心處張成的角的角平分線。該雙曲線與給定圓的交點就是答案，可能是一個點，也可能是多個點。

對於圓內的點，解的數量也可以用幾何方法確定。一般來說，在圓內彼此接近且靠近圓心的給定點對有兩個反射點；離中心很遠的點對有四個反射點。如果一個給定點是固定的，則有兩個可能反射點的另一個點的位置與有四個可能反射點的位置被固定點處光源反射產生的焦散面分開。在焦散線上，遠離它的尖點時，有三個反射點。在尖點處只有兩個可能反射點。

1965年，傑克 M.埃爾金用代數方法證明了尺規作圖解決方案的不可能性。類似的不可能性證明在1997年被牛津數學家彼得 M.諾伊曼重新發現。二刻尺作圖構造也可以依據摺紙公理，用摺紙來實現，Roger C. Alperin通過代數方法論證了該問題可以通過直尺、圓規和角度三分器來解決，但沒有提供明確的構造。

### 機械

根據羅伯托·馬爾科隆戈，在萊昂納多·達·文西未能找到數學解決方案後，他提出了一種機械解決方案。馬爾科隆戈重新構建的解決方案採用了連杆機構的形式，當將其頂端固定在圓心上，並且允許兩個給定點沿其臂滑動時，這些點與兩個臂的鉸接點形成的角度始終保持相等。因此，如果移動機構將該鉸鏈點放置在給定的圓上，則該點即為所求。

### 代數

後來的數學家，如詹姆斯·格雷果里和許多其他人試圖找到這個問題的代數解，使用了各種方法，包括解析幾何和通過複數的推導.。1965年，埃爾金終於找到了這個問題的代數解法，其包含一個四次多項式。

其他解決方案後來被重新發現:1989年，哈拉爾德·里德； 1990年(1988年提交)，Miller和Vegh 1992年，約翰 D.史密斯先生和Jörg Waldvogel。

Waldvogel通過將問題轉化到單位圓和複平面中兩個給定點$a$和$b$來簡化代數。藉助惠更斯的雙曲線，Waldvogel導出關於反射點$\zeta$的四次方程，即$$\overline{ab}\zeta^4-(\overline a +\overline b)\zeta^3+(a+b)\zeta-ab=0,$$，其中$\overline a$和$\overline b$是$a$和$b$的復共軛。這個方程的某些根可能不在單位圓上，或者不能給出有效的反射路徑，但是有效的解都在根中。使到給定點的總距離$|a-\zeta|+|\zeta-b|$最小的處於單位圓上的根總是有效的解。通過一些進一步的操作，其可以重新表述為一個僅包含實數而不含複數的方程。埃爾金則是用給定點和給定單位圓的圓心之間的平方歐幾里德距離來表述問題，並找到了從一個給定點到反射點的平方距離的「不優雅的、不對稱的」四次方程，其係數包含其他平方距離的組合。

該問題的代數解使得可以用伽羅瓦理論來證明，對於某些易於構造的輸入，解點的坐標不是規矩數，因此該問題沒有尺規作圖解法。埃爾金考慮了兩個給定點，這兩個點距離單位圓的圓心的平方距離分別為$\tfrac12$和$\tfrac13$，彼此之間的平方距離為$\tfrac12$，並使用代數解的三次預解式來表明它是不可構造的。表明兩個給定點$(-\tfrac{1}{10},-\tfrac{1}{10})$、$(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6})$在單位圓上有反射點，這些反射點的坐標是多項式$x^4-x-1$的根，該多項式的伽羅瓦群是四元素對稱群。由此可見，反射點不能用尺規來構造。Carréga和Haddad將這個例子推廣到有理點對，這些有理點對的反射點給出「Stewart多項式」$x^4-rx-1$的根，並且表明當$r$是素數時，這產生不可構造的點。

### 三角函數和數值

艾薩克·巴羅在1669年的一系列講座中，運用極坐標下的三角方程描述了與惠更斯雙曲線互為反演的三次曲線$L$。該曲線具有與雙曲線相同的特性：它在求解問題的反射點處與給定圓相交。

推導出一個複雜方程，其中涉及三角函數多項式的平方根，用於求解反射點在圓周上的角度。他們建議採用牛頓法數值求解該方程，但這涉及求解方程單側的導數，他們指出顯式推導出導數「絕非可行之策」。因此該部分改用自動微分技術。

當從某給定點到反射點的線段與另一給定點到圓心的線段垂直時，惠更斯雙曲線會退化為兩條直線。這種退化現象可能導致阿爾哈森問題的某些數值解在這些輸入點附近變得不穩定。當圓半徑遠小於其到兩個給定點的距離時，還會產生其他形式的不穩定性。為規避這些問題，將該問題重新表述為三角方程，雖然通常具有16個解，但可預先確定所需解。由此獲得的迭代數值解法快速與穩健兼具。該團隊將其應用於行星科學領域，用於模擬土衛六湖泊的光反射現象。

基於反射定律或費馬原理同樣可構建迭代數值解法。

## 特例

某些特殊情況存在更簡單的解法。對於兩個距圓心等距的給定點，反射點在兩點連線的垂直平分線與圓相交處。若兩個給定點位於圓的同一條直徑上，則反射點為該直徑與圓相交處的一點或兩點。

此外，當直徑上的兩點位於圓內時，可能存在另外兩個反射點，即當給定圓與圓心所過的阿波羅尼斯圓的交點。該圓是到兩給定點距離之比恆定的點軌跡。若阿波羅尼斯圓與給定圓相交，則交點即為反射點；但若其完全位於給定圓內，則反射點僅有直徑的端點。

當某給定點到圓的距離遠大於可忽略距離時，反射點存在。

## 推廣

除了球面鏡，阿爾哈森還研究了錐面鏡和柱面鏡，這些鏡面可通過與球面鏡相同的方式，歸結為平面內圓形鏡面的反射問題。研究者將阿爾哈森的問題推廣至具有旋轉對稱性的二次曲面鏡面，涵蓋雙曲面、拋物面及橢圓面鏡。他們證明在最一般情況下，可通過求解八次方程計算鏡面反射點。若將相機（或人眼）置於鏡面軸線上，方程次數將降為六次。

阿爾哈森問題亦可推廣至球體表面的多重折射。當已知光源與特定折射率的球體時，通過求解十次方程可確定光線折射至觀測者眼睛經過球體上的點。

另一種推廣方向是非歐幾里得幾何。在雙曲平面中，如同歐幾里得平面，僅憑直尺和圓規無法解決該問題。