定量相位成像

定量相位成像（Quantitative Phase Imaging, 簡稱 QPI），是一種無標記（Label-free）的顯微成像技術，能夠量化光波穿透或反射樣品時產生的相位延遲（Phase delay）。由於許多生物細胞或透明材料（如相位標靶）在光學上屬於相位物體（Phase objects），傳統的明視野顯微鏡難以觀察其內部對比。QPI 藉由干涉測量術擷取光波的振幅與相位資訊，並高度仰賴數位訊號處理（DSP）技術將干涉圖轉換為具備物理意義的二維或三維厚度與折射率分佈，廣泛應用於生醫影像分析、奈米材料檢測與空間生物學等領域。

## 核心原理與數位重建流程

在 QPI 系統中（例如：離軸數位全像顯微鏡或共光徑數位全像顯微鏡 CP-DHM），硬體僅負責擷取帶有高頻空間條紋的原始干涉圖（Raw hologram），後續的影像生成完全是一連串的數位訊號處理過程。

以一個標準的相位標靶（Phase target）重建流程為例，其運算可分為以下五個步驟：

- 步驟一：原始全像圖擷取（Raw Hologram）

物光與參考光發生干涉，在感光元件上形成干涉圖樣。如圖(a)所示，放大觀察可以看見密集的干涉條紋，這些條紋的形變量編碼了樣品的相位資訊，此時的訊號屬於空間域（Spatial domain）。

物光 $O(x,y)$ 與參考光 $R(x,y)$ 在感光元件上發生干涉。假設參考光為帶有空間載波頻率 $(k_x, k_y)$ 的平面波，感光元件所記錄的干涉強度 $I(x,y)$ 可表示為：

$$I(x,y) = |O(x,y) + R(x,y)|^2 = a(x,y) + c(x,y)e^{i(k_x x + k_y y)} + c^*(x,y)e^{-i(k_x x + k_y y)}$$

其中，$a(x,y)$ 為零級的背景直流項（DC term），$c(x,y)$ 則包含了我們所需的物光複數振幅與相位資訊（即 $+1$ 級訊號），$c^*(x,y)$ 為其共軛項（$-1$ 級訊號）。

- 步驟二：二維離散傅立葉變換（2D Fourier Transform）

為了分離所需的訊號，利用快速傅立葉變換（FFT）將影像從空間域轉換至空間頻域$(f_x, f_y)$：

$$\hat{I}(f_x, f_y) = \mathcal{F}\{I(x,y)\} = \hat{A}(f_x, f_y) + \hat{C}(f_x - f_{cx}, f_y - f_{cy}) + \hat{C}^*(-(f_x + f_{cx}), -(f_y + f_{cy}))$$

在二維頻譜中，$\hat{A}$ 位於頻譜中心，而 $\hat{C}$ 與 $\hat{C}^*$ 則因空間載波頻率的調變，分別平移至 $(f_{cx}, f_{cy})$ 與其對稱位置。

如圖(b)所示，二維頻譜中會呈現三個主要成分：中央的零級光（Zero-order，即背景強光）、以及分佈在兩側的正負一級共軛訊號（+1 與 -1 orders）。其中一級訊號包含了完整的樣品複數振幅資訊。

- 步驟三：數位空間濾波與中心化（Filtering & Centering）

在頻域中設計一個數位帶通濾波器（通常為圓形或二維高斯視窗），將圖(b)中帶有黃色虛線圈起的 +1 級訊號獨立濾出，形成圖(c)的濾波頻譜。接著，執行中心化（Centering）操作，將該頻譜平移回頻域的中心原點。此 DSP 步驟在物理上的意義是移除離軸干涉系統所引入的空間載波頻率（Spatial carrier frequency）。

設計一個遮罩$M(f_x, f_y)$，將 $+1$ 級訊號 $\hat{C}$ 獨立濾出。接著，將頻譜平移回原點以移除硬體引入的載波頻率，此過程即為數位解調（Digital Demodulation）：

$$\hat{O}(f_x, f_y) = \hat{I}(f_x + f_{cx}, f_y + f_{cy}) \cdot M(f_x, f_y)$$

- 步驟四：逆傅立葉變換與相位計算（2D inverse Fourier Transform）

將中心化後的頻譜執行二維逆傅立葉變換（2D iFFT），即可得到樣品的複數光場（Complex optical field）$U(x, y)$。透過對該複數場取反正切函數（Arctangent），便能計算出包裹相位（Wrapped phase）。

對解調後的頻譜執行二維逆傅立葉變換 $\mathcal{F}^{-1}$，即可得到樣品的複數光場 $U(x,y)$：

$$U(x,y) = \mathcal{F}^{-1}\{\hat{O}(f_x, f_y)\} = A(x,y)e^{i\phi(x,y)}$$

透過對該複數場的虛部與實部取反正切函數，可計算出相位分佈：

$$\phi_{\text{wrapped}}(x,y) = \arctan\left(\frac{\operatorname{Im}[U(x,y)]}{\operatorname{Re}[U(x,y)]}\right)$$

由於反正切函數的數學特性，此時求得的相位 $\phi_{wrapped}$ 會被包裹（Wrapped）在 $[-\pi, \pi)$ 之間。

- 步驟五：相位補償與展開（Phase Compensation & Unwrapping）

實際光學系統（特別是顯微物鏡）會引入球面像差或背景相位畸變。如圖(d)所示，必須透過數位相位補償（Phase compensation）演演算法（如多項式擬合或數值參考波相減）來消除這些物理像差，最終獲得準確定量的重建相位圖（Reconstructed phase）。此時影像的數值直接對應於樣品的物理厚度與折射率變化。

透過相位展開（Phase unwrapping）演演算法，在相位跳變處加上整數倍的 $2\pi$ 以還原連續的物理相位，同時扣除系統像差 $\phi_{aberration}(x,y)$：

$$\phi_{\text{real}}(x,y) = \phi_{\text{wrapped}}(x,y) + 2\pi k(x,y) - \phi_{\text{aberration}}(x,y)$$

其中 $k(x,y)$ 為整數的相位包裹階數。最終得到的 $\phi_{real}$ 即為真實定量相位，其數值與樣品的折射率及物理厚度呈正比關係。

## 數位訊號處理在 QPI 中的關鍵角色

QPI 的發展與現代 DSP 理論及計算硬體的進步密不可分。除了上述的基礎流程之外，進階的 QPI 系統常引入以下演演算法：

- 相位展開演演算法（Phase Unwrapping Algorithm）：由於反正切函數計算出的相位會被限制在 $-\pi$ 到 $\pi$ 之間，導致影像出現不連續的跳躍。必須利用諸如品質導向（Quality-guided）、最小平方法（Least-squares）或網路流圖等演演算法來還原真實的連續相位。
- 自動背景校正：透過影像分割（Image segmentation）與區域擴展（Region expansion）等形態學操作，精準識別無細胞或無樣品的背景區域，將其相位基準歸零以提升定量準確度。
- 批次運算與硬體加速：在處理大量三維醫學影像資料時，高度依賴 GPU 平行運算來加速 2D/3D FFT 及矩陣運算，以實現即時的批次推論（Batch inference）。

## 應用領域

定量相位成像的非破壞性與無標記特性，使其在諸多領域展現極高價值：

- 空間生物學與腫瘤學：無需螢光染劑即可進行細胞三維結構與乾質量的測量，對於觀察癌細胞的空間分佈、腫瘤微環境以及活體細胞的動態行為具有重要意義。
- 超穎表面與平面光學檢測：在奈米級光學元件（如超穎透鏡、超穎雙稜鏡）的設計與製造中，QPI 可用於精確量測奈米柱（Nanopillars）陣列所產生的相位延遲分佈，驗證全波段電磁模擬的準確性。
- 醫學影像與人工智慧：重建後的高對比相位影像可作為深度學習模型的優質輸入特徵（Ground truth），結合 3D 卷積神經網路（CNN）等 AI 框架，應用於微小病灶（如腦微出血）的自動化分割與檢測。

## 參考文獻

- Chu CH, Tsai CM, Yamaguchi T, Wang YX, Tanaka T, Chen HW, Luo Y, Tsai DP. Quantitative Phase Imaging with a Meta-Based Interferometric System. ACS Appl Mater Interfaces. 2025 Apr 30;17(17):26023-26031. doi: 10.1021/acsami.5c02901. Epub 2025 Apr 15. PMID 40233216; PMCID: PMC12051180.

- Chen-Ming Tsai, Sunil Vyas, and Yuan Luo, "Common-path digital holographic microscopy based on a volume holographic grating for quantitative phase imaging," Opt. Express 32, 7919-7930 (2024)