量子糾錯

量子糾錯（Quantum error correction，QEC）是量子計算領域應用的一套關鍵技術，旨在保護量子信息免受退相干及其他量子噪聲源所引發錯誤的影響。理論上，量子糾錯對於實現容錯量子計算至關重要，它能夠有效降低噪聲對已存儲量子信息、量子邏輯門操作、量子態製備及量子測量的負面效應。通過實施有效的量子糾錯，即使構建量子計算機的物理量子比特保真度相對較低，也能執行具有更高複雜度或更大線路深度的量子演算法。

經典的糾錯技術通常利用冗餘（redundancy）原理。其中，最簡單（但效率較低）的方法是重複碼（repetition code）。重複碼將待保護的邏輯資訊複製多份進行存儲。若後續因噪聲引入錯誤導致這些副本不再一致，則通過多數表決原則來判定原始資訊的最大機率值。例如，假設將一個處於「1」狀態的比特複製三次得到「111」。若噪聲引入單比特錯誤，使狀態變為如「011」，只要錯誤發生機率 $p$ 足夠低且獨立，系統最可能推斷原始資訊是「111」。儘管也存在發生雙比特錯誤（如變為「001」）的可能性，此時系統可能誤判原始資訊為「000」，但這種情形的機率遠低於單比特錯誤。在此例中，邏輯資訊是單個比特「1」，而物理資訊是三個重複比特「111」。將邏輯狀態映射為物理狀態的過程稱為編碼（encoding），而從（可能含錯的）物理狀態確定其所代表的邏輯狀態的過程稱為解碼（decoding）。與經典糾錯類似，量子糾錯碼並不總能完美恢復邏輯量子比特，但其目標是顯著降低噪聲對邏輯狀態的影響。

然而，量子信息無法被完美複製，這源於不可克隆定理。該定理似乎為構建量子糾錯理論設置了障礙。幸運的是，可以將單個邏輯量子比特的資訊「分散」到由多個物理量子比特構成的、高度糾纏的量子態上。彼得·肖爾（Peter Shor）率先發現了這種構建量子糾錯碼（quantum error correction code, QECC）的方法，他設計了一個方案，將一個量子比特的資訊存儲在由九個物理量子比特組成的高度糾纏態中。

在經典糾錯中，「伴隨式解碼」（syndrome decoding）被用於診斷錯誤來源。通過測量「校驗子」（syndrome），可以推斷出最可能發生的錯誤類型和位置，並施加相應的糾正操作。量子糾錯同樣採用校驗子測量的思想。它執行一種特殊的多量子比特測量，這種測量在不干擾編碼邏輯狀態本身所含量子信息的前提下，能夠提取出關於所發生錯誤的資訊。根據所使用的量子糾錯碼，校驗子測量可以確定錯誤的發生、位置以及類型。在許多量子糾錯碼中，可識別的錯誤類型通常是比特翻轉（bit flip，對應泡利矩陣 $X$）、相位翻轉（phase flip，或稱符號翻轉 sign flip，對應泡利矩陣 $Z$），或是兩者的結合（對應泡利矩陣 $Y = iXZ$）。校驗子測量具有量子測量的投影效應。因此，即使噪聲引起的錯誤是任意形式的，測量後系統的狀態也會被投影到由特定錯誤基（通常由泡利算符 $X, Y, Z$ 和恆等算符 $I$ 構成）所描述的狀態的疊加態上。為了糾正錯誤，需根據測得的校驗子結果，在受損的量子比特上施加對應的泡利算符（$X, Y$ 或 $Z$），以逆轉錯誤的影響。

關鍵在於，校驗子測量只提供關於已發生錯誤的資訊，而完全不洩露邏輯量子比特所存儲的原始資訊——否則，測量將破壞該邏輯量子比特與量子計算機中其他量子比特之間可能存在的量子疊加態，使其無法用於後續的量子計算。

## 位翻轉碼

重複碼在經典通信信道中是有效的，因為經典比特易於測量和複製。然而，由於不可克隆定理禁止完美複製未知量子態，這種方法不能直接應用於量子信道。為解決此問題，需採用不同策略，例如由Asher Peres於1985年提出的三量子比特位翻轉碼（three-qubit bit-flip code）。該技術利用量子糾纏和校驗子測量，實現了與經典重複碼類似的糾錯功能。

考慮如下場景：欲通過一個有噪聲的量子信道 $\mathcal E$ 傳輸單量子比特狀態 $|\psi\rangle$。進一步假設該信道以機率 $p$ 翻轉（應用泡利 $X$ 門）量子比特的狀態，或以機率 $1-p$ 保持其不變。信道 $\mathcal E$ 對輸入密度矩陣 $\rho$ 的作用可表示為 $\mathcal E(\rho) = (1-p) \rho + p X \rho X$。

令 $|\psi\rangle = \alpha_0|0\rangle + \alpha_1|1\rangle$ 為待傳輸的量子態。若不採用糾錯協議，該狀態被正確傳輸的機率為 $1-p$。然而，通過將邏輯狀態編碼（encode）到多個物理量子比特上，可以提升傳輸的可靠性，使得錯誤能被檢測和糾正。對於三量子比特位翻轉碼，編碼規則為：$|0\rangle \rightarrow |0_{\rm L}\rangle \equiv |000\rangle$ 及 $|1\rangle \rightarrow |1_{\rm L}\rangle \equiv |111\rangle$。因此，輸入態 $|\psi\rangle$ 被編碼為 $|\psi'\rangle = \alpha_0 |000\rangle + \alpha_1 |111\rangle$。這個編碼過程可以通過兩個CNOT門實現，將原始量子比特與兩個初始化為 $|0\rangle$ 態的輔助量子比特糾纏起來。編碼後的狀態 $|\psi'\rangle$ 隨後通過噪聲信道 $\mathcal E$ 進行傳輸。

假設信道 $\mathcal E$ 對三個物理量子比特的作用是獨立且等同的。那麼，$\vert\psi'\rangle$ 在傳輸過程中可能經歷如下情況：

- 零個量子比特被翻轉，機率為 $(1-p)^3$。
- 單個量子比特被翻轉（三種可能位置），總機率為 $3p(1-p)^2$。
- 兩個量子比特被翻轉（三種可能組合），總機率為 $3p^2(1-p)$。
- 所有三個量子比特都被翻轉，機率為 $p^3$。

現在的問題是如何在不破壞所傳輸量子態 $|\psi'\rangle$ 本身的情況下，檢測並糾正可能發生的錯誤。

為簡化分析，假設 $p$ 足夠小，使得發生多於一個量子比特翻轉的機率可以忽略不計（即主要考慮零比特或單比特翻轉錯誤）。此時，可以通過測量某些特定算符（校驗子）來判斷是否有量子比特發生翻轉，以及是哪個量子比特發生了翻轉，而無需直接測量存儲的資訊本身。這相當於執行一組投影測量，其對應的投影算符定義如下：

$$\begin{align} <pre> P_0 &=|000\rangle\langle000|+|111\rangle\langle111|, \\ P_1 &=|100\rangle\langle100|+|011\rangle\langle011|, \\ P_2 &=|010\rangle\langle010|+|101\rangle\langle101|, \\ P_3 &=|001\rangle\langle001|+|110\rangle\langle110|. </pre> \end{align}$$ 測量結果揭示了哪個量子比特（若有）與其他兩個不同，但並不洩露 $\alpha_0$ 和 $\alpha_1$ 的資訊。

- 若測量結果對應 $P_0$，則表明未發生（可檢測的單比特）錯誤，無需糾正。
- 若測量結果對應 $P_i$（$i=1, 2, 3$），則表明第 $i$ 個量子比特發生了位翻轉，需對其應用泡利 $X$ 門進行糾正。

形式上，這個糾正過程對應於對信道輸出狀態 $\rho_{out}' = \mathcal E(|\psi'\rangle\langle\psi'|)$ 應用如下量子操作 $\mathcal{E}_{\text{corr}}$：

$$\mathcal E_{\operatorname{corr}}(\rho'_{out})=P_0\rho'_{out} P_0 + \sum_{i=1}^3 X_i P_i \rho'_{out} P_i X_i.$$ 其中 $X_i$ 表示作用在第 $i$ 個量子比特上的泡利 $X$ 算符。

需要注意，此糾錯流程僅在信道引入零個或一個位翻轉時能完美恢復原始狀態。若發生多於一個位翻轉（例如，第一和第二個量子比特同時翻轉），校驗子測量將給出 $P_3$ 的結果，導致糾正操作錯誤地作用於第三個量子比特。

為評估該方案的整體性能，可以計算最終輸出態 $\rho_{\operatorname{out}}\equiv\mathcal E_{\operatorname{corr}}(\mathcal E(\vert\psi'\rangle\langle\psi'\vert))$ 與理想編碼態 $\vert\psi'\rangle$ 之間的保真度 $F(\psi') = \langle\psi'|\rho_{\operatorname{out}}|\psi'\rangle$。由於在發生零個或一個位翻轉（總機率為 $(1-p)^3 + 3p(1-p)^2$）的情況下，狀態被完美恢復，我們可以得到保真度的下界：

$$F(\psi') \ge (1-p)^3 + 3p(1-p)^2 = 1 - 3p^2 + 2p^3.$$ 將此結果與未使用糾錯時的保真度 $1-p$ 相比較，可以發現，當 $p < 1/2$ 時，$1 - 3p^2 + 2p^3 > 1-p$。這意味著在錯誤機率適中（$p < 1/2$）的情況下，採用三量子比特位翻轉碼確實能夠提高量子信息傳輸的保真度，這與推導過程中假設 $p$ 較小的條件是一致的。

## 相位翻轉碼

位翻轉是經典計算中唯一需要考慮的錯誤類型。然而，在量子計算中，還存在另一種基本錯誤：相位翻轉（phase flip），也稱符號翻轉（sign flip）。當量子比特通過某些噪聲信道時，其 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 分量之間的相對相位可能被改變。例如，一個處於 $|-\rangle \equiv (|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt{2}$ 態的量子比特，在經歷相位翻轉錯誤後，可能變為 $|+\rangle \equiv (|0\rangle + |1\rangle)/\sqrt{2}$ 態。

若原始量子比特狀態為$$|\psi\rangle = \alpha_0|0\rangle+\alpha_1|1\rangle$$ 採用三量子比特相位翻轉碼進行編碼，其編碼態為$$|\psi'\rangle = \alpha_0|{+}{+}{+}\rangle+\alpha_1|{-}{-}{-}\rangle$$ 其中 $|+\rangle$ 和 $|-\rangle$ 是Hadamard基（或稱X基）的基矢。

注意到，在Hadamard基下，位翻轉錯誤表現為相位翻轉，而相位翻轉錯誤表現為位翻轉。因此，相位翻轉碼的構造與位翻轉碼密切相關。可以通過在位翻轉碼的編碼操作之前和解碼操作之後，對每個量子比特施加一個Hadamard門（H門），來構建能夠糾正單量子比特相位翻轉錯誤的三量子比特相位翻轉碼。

## Shor碼

實際的量子信道可能同時引起位翻轉和相位翻轉錯誤，或兩者的組合。量子糾錯碼的設計目標之一便是能同時糾正這兩種類型的錯誤。彼得·肖爾於1995年提出的九量子比特Shor碼是第一個實現此功能的著名例子。Shor碼能夠糾正任意單量子比特錯誤。

Shor碼通過級聯（concatenation）的方式結合了相位翻轉碼和位翻轉碼的思想。它將一個邏輯量子比特 $|\psi\rangle=\alpha_0|0\rangle+\alpha_1|1\rangle$ 編碼到9個物理量子比特上，其邏輯基態 $|0_S\rangle$ 和邏輯激發態 $|1_S\rangle$ 定義為：

$$|0_{\rm S}\rangle=\frac{1}{2\sqrt{2}}(|000\rangle + |111\rangle) \otimes (|000\rangle + |111\rangle) \otimes (|000\rangle + |111\rangle)$$ $$|1_{\rm S}\rangle=\frac{1}{2\sqrt{2}}(|000\rangle - |111\rangle) \otimes (|000\rangle - |111\rangle) \otimes (|000\rangle - |111\rangle)$$ 編碼後的狀態為 $|\psi'\rangle=\alpha_0|0_S\rangle+\alpha_1|1_S\rangle$。

其糾錯原理如下：

- 位翻轉糾正：Shor碼結構上包含三個獨立的區塊（量子比特1-3, 4-6, 7-9），每個區塊都構成一個三量子比特位翻轉碼（對於 $|0_S\rangle$ 是 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|111\rangle)$，對於 $|1_S\rangle$ 是 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle-|111\rangle)$）。通過對每個區塊分別執行位翻轉校驗子測量，可以檢測並糾正每個區塊內發生的單個位翻轉錯誤。
- 相位翻轉糾正：觀察 $|0_S\rangle$ 和 $|1_S\rangle$ 的結構，可以發現它們的形式類似於將 $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$ 和 $|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$ 中的 $|0\rangle$ 替換為 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle+|111\rangle)$，$|1\rangle$ 替換為 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|000\rangle-|111\rangle)$ （忽略整體相位），並進行三次重複。這類似於三量子比特相位翻轉碼的結構。通過測量跨區塊的校驗子（例如比較第一區塊和第二區塊的相對相位，以及第二區塊和第三區塊的相對相位），可以檢測並糾正發生在單個區塊上的整體相位翻轉錯誤。

由於任何單量子比特錯誤都可以分解為泡利算符$I, X, Y, Z$的線性組合，而Shor碼能夠分別糾正 $X$（位翻轉）和 $Z$（相位翻轉）錯誤（以及它們的乘積 $Y$），因此Shor碼能夠糾正作用在任意單個物理量子比特上的任意類型的錯誤。

若單量子比特錯誤由么正算符 $U$ 描述，則 $U$ 總能表示為：

$$U = c_0 I + c_1 X + c_2 Y + c_3 Z$$ 其中 $c_0, c_1, c_2, c_3$ 是複數係數，$I$ 是恆等算符，$X, Y, Z$ 是泡利算符：

$$\begin{align} X &= \begin{pmatrix} <pre> 0&1\\1&0 </pre> \end{pmatrix} ; \\ Y &= \begin{pmatrix} <pre> 0&-i\\i&0 </pre> \end{pmatrix} ; \\ Z &= \begin{pmatrix} <pre> 1&0\\0&-1 </pre> \end{pmatrix} . \end{align}$$

- 若 $U=I$，無錯誤發生。
- 若 $U=X$，發生位翻轉錯誤。
- 若 $U=Z$，發生相位翻轉錯誤。
- 若 $U=Y$ (或 $iY$)，同時發生位翻轉和相位翻轉錯誤。

Shor碼通過其校驗子測量能夠識別並糾正這些基本錯誤類型，從而能夠糾正任意形式的單量子比特錯誤 $U$（除了一個整體的復係數 $c_0$ 外）。

更一般地，錯誤過程可能並非么正演化，而是由量子操作（quantum operation）描述，錯誤算符 $U$ 對應於其中的克勞斯算符（Kraus operator）。Shor碼的設計同樣適用於這種情況下的錯誤糾正。

## 玻色編碼

除基於多個二能級系統（量子比特）的編碼外，研究人員還提出了多種利用玻色模式（bosonic modes，如量子諧振子或光場模式）進行量子糾錯的方案，稱為玻色編碼。與擁有兩個能級的量子比特不同，單個量子諧振子擁有無限多個等間距的能級（Fock態 $|n\rangle, n=0, 1, 2, \dots$）。玻色編碼利用這個無限維度的希爾伯特空間來實現冗餘和錯誤防護。

常見的玻色編碼方案包括：

- 貓態碼（cat code）：利用宏觀可區分的相干態的疊加（薛丁格貓態）來編碼邏輯量子比特。
- GKP碼（Gottesman-Kitaev-Preskill code）：將邏輯量子比特編碼在相位空間中周期性排列的「尖峰」狀態的疊加態上。
- 二項式碼（binomial code）：邏輯基態由特定Fock態的疊加構成。

這些編碼方案的核心思想是利用單個物理系統（玻色模式）內部的廣闊狀態空間來實現冗餘，而不是像傳統量子比特編碼那樣依賴於複製多個二能級系統。

### 二項式碼

以Fock態基表示，最簡單的二項式碼的邏輯基態可以定義為：

$$|0_{\rm L}\rangle=\frac{|0\rangle+|4\rangle}{\sqrt{2}},\quad |1_{\rm L}\rangle=|2\rangle,$$ 其中下標 L 表示邏輯編碼態。假設系統的主要錯誤來源是光子丟失（由玻色湮滅算符 $\hat{a}$ 描述）。當 $\hat{a}$ 作用一次時，$|0_{\rm L}\rangle$ 變為 $|3\rangle/\sqrt{2}$ （忽略 $|0\rangle$ 被湮滅的情況），$|1_{\rm L}\rangle$ 變為 $\sqrt{2}|1\rangle$。可以觀察到，邏輯碼字 $|0_{\rm L}\rangle, |1_{\rm L}\rangle$ 僅由偶數光子數（光子數為0, 2, 4）的Fock態構成，而單光子丟失後的錯誤狀態僅涉及奇數光子數（光子數為1, 3）的Fock態。因此，可以通過測量系統的光子數宇稱（photon number parity）來檢測單光子丟失錯誤。若測得奇數宇稱，則表明發生了單光子丟失錯誤，可以通過施加適當的恢復操作進行糾正，且此過程無需知道量子比特所處的具體邏輯狀態（$|0_{\rm L}\rangle$ 或 $|1_{\rm L}\rangle$）。然而，需要注意的是，上述定義的這種簡單二項式碼對於雙光子丟失（$\hat{a}^2$ 作用）等其他類型的錯誤並不魯棒。

### 貓態碼

薛丁格貓態，即相干態的特定疊加形式，也可被用作量子糾錯碼的邏輯狀態。例如，在 Ofek 等人於2016年實現的實驗中，採用了一種基於四種相干態 $|\pm\alpha\rangle, |\pm i\alpha\rangle$ 的貓態碼。其邏輯狀態可以分為兩組，具有不同的光子數宇稱：

- 偶宇稱邏輯態：$|0^+_L\rangle \equiv N_+ (|\alpha\rangle + |-\alpha\rangle)$ 和 $|1^+_L\rangle \equiv N_+ (|i\alpha\rangle + |-i\alpha\rangle)$。
- 奇宇稱邏輯態：$|0^-_L\rangle \equiv N_- (|\alpha\rangle - |-\alpha\rangle)$ 和 $|1^-_L\rangle \equiv N_- (|i\alpha\rangle - |-i\alpha\rangle)$。

其中 $N_\pm$ 是歸一化因子。

與二項式碼類似，如果系統的主要錯誤是單光子丟失（由湮滅算符 $\hat{a}$ 描述），那麼該錯誤會將偶宇稱邏輯態映射到奇宇稱子空間，反之亦然。因此，可以通過測量光子數宇稱算符 $\exp(i\pi \hat{a}^\dagger\hat{a})$（例如，利用色散耦合的輔助量子比特進行量子非破壞測量）來檢測單光子丟失錯誤。

然而，貓態碼本身並不能防止所有類型的錯誤，例如雙光子丟失 $\hat{a}^2$、退相位噪聲（dephasing, 與 $\hat{a}^\dagger\hat{a}$ 相關）以及光子增益錯誤 $\hat{a}^\dagger$ 等，通常需要結合其他技術或更複雜的編碼方案來應對。

## 通用編碼

從更抽象的角度看，對於給定的量子信道 $\mathcal{E}$（描述噪聲過程），一個量子糾錯碼（quantum code）定義為狀態希爾伯特空間 $\mathcal{H}$ 的一個子空間 $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{H}$。該子空間需滿足以下條件：存在另一個量子信道（稱為糾正操作或恢復操作, recovery operation）$\mathcal{R}$，使得對於所有屬於編碼子空間 $\mathcal{C}$ 的狀態 $\rho = P_{\mathcal{C}}\rho P_{\mathcal{C}}$ （其中 $P_{\mathcal{C}}$ 是到 $\mathcal{C}$ 上的正交投影算符），滿足：

$$(\mathcal{R} \circ \mathcal{E})(\rho) = \rho$$ 這意味著，對於編碼空間內的任何狀態，先經過噪聲信道 $\mathcal{E}$ 作用，再經過糾正操作 $\mathcal{R}$ 處理後，能夠完美恢復到原始狀態。

一個量子糾錯碼能夠糾正一組特定的錯誤 $\{E_i\}$。若對於這組錯誤中的不同元素 $E_a, E_b$，當它們作用於編碼子空間 $\mathcal{C}$ 中的元素時，其結果 $E_a |\psi\rangle$ 和 $E_b |\psi\rangle$ （對於任意 $|\psi\rangle \in \mathcal{C}$）是線性無關的，則稱該碼為非簡併碼（non-degenerate code）。進一步地，如果這些結果是相互正交的，則稱該碼為純粹的（pure code）。

## 主要量子糾錯碼模型

隨著量子糾錯理論的發展，研究人員提出了多種重要的量子糾錯碼模型：

- Shor碼：由彼得·肖爾（Peter Shor）提出的第一個量子糾錯碼。它將1個邏輯量子比特編碼到9個物理量子比特中，能夠糾正任意單量子比特錯誤。
- 斯蒂恩碼（Steane code）：由安德魯·斯蒂恩（Andrew Steane）提出，使用7個物理量子比特編碼1個邏輯量子比特，同樣能糾正任意單量子比特錯誤。
- 五量子比特糾錯碼（5-qubit code）：由雷蒙德·拉弗拉姆（Raymond Laflamme）等人發現，使用最少的5個物理量子比特編碼1個邏輯量子比特，並能糾正任意單量子比特錯誤。根據量子漢明界（quantum Hamming bound），這是達到此糾錯能力的最小編碼。它也具有容錯特性。
- CSS糾錯碼（CSS codes）：以其發明者羅伯特·卡爾德班克（Robert Calderbank）、彼得·肖爾（Peter Shor）和安德魯·斯蒂恩（Andrew Steane）命名。這是一類重要的編碼，其構造基於兩個相互對偶的經典線性碼。Shor碼和Steane碼都屬於CSS碼。
- 穩定子碼（Stabilizer codes）：由丹尼爾·戈特斯曼（Daniel Gottesman）提出，並由Calderbank、埃里克·雷恩斯（Eric Rains）、Shor和尼爾·斯洛恩（N. J. A. Sloane）等人進一步發展。穩定子碼提供了一個統一而強大的框架來描述和構造許多重要的量子糾錯碼，包括CSS碼、Shor碼、Steane碼和5量子比特碼等。這類編碼也被稱為加性碼（additive codes）。
- Bacon–Shor碼：一類二維編碼，由整數 $m$ 和 $n$ 參數化，包含 $nm$ 個排列在矩形晶格上的量子比特。它屬於子系統碼（subsystem code）的一種。
- 拓撲量子糾錯碼（Topological codes）：以阿列克謝·基塔耶夫（Alexei Kitaev）於1997年提出的環面碼（toric code）為代表。這類編碼將邏輯資訊存儲在系統的全局拓撲性質中，對局域擾動具有天然的魯棒性。
- 表面碼（Surface codes）：是拓撲碼的一種重要變體，特別適用於二維平面結構，被認為是實現大規模容錯量子計算最有希望的方案之一。截至2024年，表面碼及其變種（如通過晶格手術進行邏輯門操作、Yoked表面碼等）是研究最充分、應用前景最廣的量子糾錯方案之一。
- 糾纏輔助量子糾錯碼（Entanglement-assisted codes）：由托德·布倫（Todd Brun）、伊戈爾·德韋塔克（Igor Devetak）和謝明修（Min-Hsiu Hsieh）提出。這類編碼利用通信雙方預先共享的量子糾纏資源來放寬構造量子糾錯碼的約束條件，可以構建出性能超越傳統穩定子碼的編碼。

量子閾值定理（quantum threshold theorem）由麥可·本-奧爾（Michael Ben-Or）和多里特·阿哈羅諾夫（Dorit Aharonov）等人證明，是量子糾錯理論的基石。該定理指出，只要構成量子計算機的基本操作（如量子邏輯門）的錯誤率低於某個特定的閾值，就可以通過級聯（concatenation）的方式（即用糾錯碼對已編碼的邏輯量子比特進行再次編碼，重複多層）任意地降低計算過程中的邏輯錯誤率，從而實現任意長時間的可靠量子計算。若物理錯誤率高於閾值，則糾錯過程本身引入的錯誤會比其糾正的錯誤更多，導致計算失敗。

對容錯量子計算所需閾值的估計不斷得到改進。截至2004年底，一些研究表明，若有足夠多的可用量子比特，閾值可以高達1–3%。後續研究考慮了更實際的噪聲模型和架構約束，閾值估計值通常在 $10^{-2}$ 到 $10^{-4}$ 的範圍內，具體取決於所用編碼和物理平台。

## 實驗實現

量子糾錯的實驗實現是構建實用量子計算機的關鍵挑戰。研究人員已在多種物理平台上演示了各種量子糾錯碼和相關操作：

- 早期演示主要基於核磁共振（NMR）量子比特。
- 隨後，在線性光學、離子阱 和超導量子比特（特別是transmon）等系統中也實現了基於CSS碼等方案的糾錯演示。
- 針對光子量子計算中主要的光子丟失錯誤，研究人員也設計並實驗驗證了相應的糾錯碼。
- 2016年，在一項基於超導諧振器中貓態碼的實驗中，研究人員首次演示了通過主動糾錯顯著延長邏輯量子比特相干時間，達到了量子糾錯的「盈虧平衡點」（break-even point），即邏輯量子比特的壽命超過了構成它的物理組件（在這裡是諧振器模式本身，若不進行糾錯）的壽命。這項工作依賴於能夠進行實時反饋控制的量子控制器。
- 隨著實驗技術的發展，更複雜的操作得以實現。2021年，研究人員在囚禁離子平台上，利用10個離子實現了編碼在拓撲碼（具體為一種距離為2的表面碼）中的兩個邏輯量子比特之間的邏輯糾纏門操作。同年，囚禁離子系統也首次實現了容錯的Bacon–Shor碼和Steane碼的單邏輯量子比特演示，證明了增加糾錯層級確實能夠抑制錯誤，使得邏輯錯誤率低於物理錯誤率。
- 利用馬約拉納零模進行編碼的方案也在探索中。2021年，研究人員通過模擬Kitaev鏈的Jordan-Wigner變換，實驗演示了編碼在馬約拉納零模上的邏輯量子比特的量子隱形傳態，並觀察到糾錯帶來的保真度提升。
- 2022年，因斯布魯克大學的研究團隊在囚禁離子量子計算機上演示了作用於兩個邏輯量子比特的容錯通用門集。他們使用了七量子比特色碼（color code），實現了邏輯CNOT門，並容錯地製備了邏輯魔術態，這是實現通用容錯量子計算的關鍵步驟。
- 2023年2月，谷歌量子人工智慧團隊報告了一項重要的實驗進展，他們使用表面碼，通過增加物理量子比特的數量（從距離為3的編碼擴展到距離為5的編碼），首次實驗證明邏輯錯誤率隨著編碼規模的增大而降低，顯示了量子糾錯的可擴展性潛力。
- 基於可重構中性原子陣列的平台也在量子糾錯方面取得顯著進展。例如，2023年底發表在《自然》雜誌上的一項研究中，哈佛大學的研究人員構建了一個基於原子陣列的邏輯量子處理器原型，能夠對多達48個邏輯量子比特進行編程和糾錯操作，展示了在該平台上實現容錯量子計算的潛力。
- 2024年4月，微軟與Quantinuum合作，報告稱利用30個物理量子比特創建了4個邏輯量子比特，並演示了邏輯錯誤率比物理錯誤率低800倍的量子糾錯效果，同時運行了大量實驗未出現錯誤。該系統採用了主動校驗子提取技術。
- 一項基於qudit（高維量子態）的研究來自新南威爾斯大學（UNSW Sydney）的研究人員，其預印本於2024年發布（參考文獻中標記為2025年發表）。他們利用嵌入矽中的磷原子核自旋（最多可達八能級，即 $d=8$ 的qudit）和銻基材料，開發了一種糾錯方法，展示了利用高維希爾伯特空間進行錯誤恢復的潛力。

## 無需編碼或奇偶校驗的量子糾錯探索

除傳統的基於編碼和校驗子測量的量子糾錯方案外，研究人員也在探索其他錯誤抑制和校正方法。例如，2022年，拉合爾工程技術大學的研究提出了一種通過在超導量子電路中的特定位置策略性地插入單量子比特Z軸旋轉門，來實現相干噪聲錯誤（coherent error）抵消的方案。這種方法旨在糾正那些在相干噪聲下可能迅速累積的特定類型錯誤，它依賴於對退相干行為（如異常衰減或振盪）的精確追蹤來定位和補償錯誤，而無需進行編碼或奇偶校驗測量。這更像是一種電路級的校準或誤差緩解（error mitigation）技術。此類方法對於非相干噪聲（incoherent noise）的有效性仍需進一步研究。