單尾檢驗和雙尾檢驗

在統計顯著性檢定，單雙尾檢定（One- and two-tailed tests）是數據集推斷檢定統計量數學參數的兩種統計顯著性方法。

當我們想要驗證一組數據集的結果是否具有意義時，會計算出一個檢定統計量。此時，單尾檢定（one-tailed test）與雙尾檢定（two-tailed test）就是兩種用來判斷數學參數是否具備統計顯著性的核心方法。簡單來說，這兩種方法都是用來幫助確認數據呈現的結果，是真的有明顯差異，還是只是碰巧。

這兩種方法也常被稱為單雙側檢定；使用「尾」（tail）這個術語是因為分佈的極端部分（即導致拒絕虛無假說的觀察值所在位置）面積很小，並且通常像呈黃色的常態分佈或右圖呈綠色的鐘形曲線那樣，朝著零的方向逐漸收斂（tail off）。

## 雙尾檢定

雙尾檢定或雙側檢定（Two-tailed test）尋找兩個方向的差異。

如果估計值大於或小於某個數值範圍，則適合雙尾。這個只關心估計值是否與標準值不同，可能變大，也可能變小。

例如，想知道甲教學法是否會影響應試者的成績。不在乎成績是退步還是進步，只要得分明顯高於或低於特定的分數範圍，都算是有影響。在虛無假說（假設沒有差異）的檢定中，極端結果的「臨界區」會平均分配在鐘形曲線的左右兩端。如果估計值落入這兩側的任何一個臨界區內，就會拒絕虛無假說，接受對立假說（即確認有顯著差異）。

## 單尾檢定

單尾檢定或單側檢定（One-tailed test）尋找一個方向的差異。

如果估計值僅可能在一個方向（向左或向右，但不會同時）偏離參考值，則適合使用單尾。例如，甲生產的瑕疵品比例是否超過百分之一；或新藥是否比舊藥更有效。如果新藥比舊藥更差，在我們的研究中並沒有實質意義。在這情況，如果估計值落入其中一個單側臨界區內（取決於感興趣的方向是大於還是小於），則接受對立假說並拒絕虛無假說。

## 應用

單尾檢定適用於具有單側尾部的不對稱分佈，例如在測量擬合優度時常見的卡方分佈；或者適用於具有雙尾之分佈的其中一側，例如在估計位置時常見的常態分佈；這對應於指定一個特定的方向。雙尾檢定僅適用於存在兩個尾部的情況，例如在常態分佈中，這對應於將任一方向皆視為具有顯著性。

在羅納德·愛爾默·費雪（Ronald Fisher）的方法中，當檢定統計量的p值足夠極端（相對於該檢定統計量的抽樣分佈）以至於被認為不太可能是偶然的結果時，將會拒絕虛無假說 H0。在計算參數的統計顯著性時，這通常是透過將算出的 p 值與指定的顯著水準（以 $\alpha$ 表示）進行比較來完成的。

在單尾檢定中，「極端」會被預先判定為代表「足夠小」或「足夠大」——而另一個方向的數值則被認為不具顯著性。人們可以將左尾或右尾機率報告為單尾的 p 值，這最終對應於檢定統計量偏離 H0 的方向。

在雙尾檢定中，「極端」意味著「足夠小或足夠大」，且任一方向的數值都會被認為具有顯著性。對於給定的檢定統計量，存在一個雙尾檢定以及兩個單尾檢定（分別對應兩個方向）。

給定顯著水準 $\alpha$ 時，對於雙尾檢定，臨界區將存在於分佈的兩個尾端，每個尾端的面積為 $\alpha/2$。

相對地，對於單尾檢定，臨界區將僅存在於單一尾端，其面積為 $\alpha$。對於一個檢定統計量在雙尾檢定中的給定顯著水準，其對應的單尾檢定會出現以下情況：如果資料落在檢定所指定的方向上，將被認為具有兩倍的顯著性（即 p 值減半）；但如果資料落在與檢定所指定的臨界區相反的方向上，則完全不具顯著性（p 值大於 $\alpha$）。

例如，在擲硬幣時，檢定硬幣是否偏向正面是一種單尾檢定，獲得「全為正面」的數據將被視為具有高度顯著性，而獲得「全為反面」的數據則完全不具顯著性（p = 1）。相比之下，檢定硬幣是否在任一方向上存在偏差則是一種雙尾檢定，此時無論是「全為正面」或「全為反面」，都會被視為高度顯著的數據。

在醫學試驗中，通常關心某種療法的結果是否優於隨機機率（這暗示應使用單尾檢定）；但更差的結果對科學領域來說同樣具有研究價值，因此應該使用雙尾檢定，以檢定該療法的結果是否與隨機機率不同（無論是更好還是更差）。在經典的女士品茶實驗中，費雪（Fisher）檢定的是該位女士分辨兩種茶水沖泡方式的能力是否優於隨機猜測，而非她的能力是否與隨機猜測不同，因此他使用的是單尾檢定。

## 擲硬幣範例

在擲硬幣的例子中，虛無假說是一連串機率為 0.5 的伯努利試驗，產生一個隨機變數 X（正面為 1，反面為 0），而常見的（正面次數的平均）為檢定統計量 $\bar X.$ 如果要檢定硬幣是否偏向正面，將使用單尾檢定——只有出現大量的正面才具顯著性。在這種情況下，五次皆為正面（HHHHH）且樣本平均數為 1 的數據集，發生的機率為 $1/32 = 0.03125 \approx 0.03$（連續 5 次擲硬幣，每次有 2 種結果 - ((1/2)^5 = 1/32)）。這表示 $p \approx 0.03$，如果在顯著水準 $\alpha = 0.05$（對應於截斷邊界的顯著水準）下分析該檢定，此結果將具有顯著性（拒絕虛無假說）。

然而，如果要檢定硬幣是偏向正面還是反面，則會使用雙尾檢定，此時五次皆為正面（樣本平均數為 1）的數據集與五次皆為反面（樣本平均數為 0）的數據集同樣極端。因此，p 值將為 $2/32 = 0.0625 \approx 0.06$；如果在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下分析該檢定，此結果將不具顯著性（不拒絕虛無假說）。

## 歷史

p 值是由卡爾·皮爾森（Karl Pearson）在皮爾森卡方檢定中引入的，他將 P（原始符號）定義為統計量等於或大於給定水準的機率。這是一個單尾的定義，且卡方分佈是不對稱的，僅取正值或零，並且只有一個尾部（即上尾）。它衡量了數據與理論分佈的擬合優度，其中零對應於與理論分佈完全一致；因此，p 值衡量的是擬合結果達到這種糟糕程度或更糟情況的可能性。

單尾與雙尾檢定之間的區別是由羅納德·費雪（Ronald Fisher）在其深具影響力的著作（Statistical Methods for Research Workers）中普及的，在書中他特別將其應用於常態分佈，這是一種具有兩個相等尾部的對稱分佈。常態分佈是位置（location）的常見測量方式，而非擬合優度（goodness-of-fit），且具有兩個尾部，對應於位置估計值高於或低於理論位置的情況（例如，樣本平均數與理論平均數的比較）。在常態分佈等對稱分佈的情況下，單尾的 p 值恰好是雙尾 p 值的一半：

有時候會產生一些混淆，原因在於：在某些情況下，我們想知道已知為正的偏差超過某個觀察值的機率；而在其他情況下，我們需要知道的是，同樣經常為正和為負的偏差超過某個觀察值的機率；後者的機率總是前者的一半。

費雪在其1935年的著作（The Design of Experiments）中強調了測量尾部（即檢定統計量的觀察值以及所有更極端的值）的重要性，而不僅僅是單純計算特定結果本身發生的機率。他解釋道，這是因為一組「特定」的數據（在虛無假說下）發生的機率可能很低，但更極端的結果卻是有可能發生的；因此，從這個角度來看，特定但非極端且低機率的數據不應被視為具有顯著性。

## 特定檢定

如果檢定統計量在虛無假說下服從司徒頓t分佈——這在潛在變數服從具有未知尺度參數的常態分佈時很常見——則該檢定被稱為單尾或雙尾t檢定。如果檢定是使用實際的母體平均數和變異數，而不是使用來自樣本的估計值來進行，則它被稱為單尾或雙尾Z檢定。

t 和 Z 的統計表提供了單尾與雙尾檢定的臨界值。也就是說，它們提供了在抽樣分佈的某一端截斷一整塊區域的臨界值，以及在抽樣分佈的兩端截斷區域（面積各為一半）的臨界值。