黎曼-劉維爾積分

數學上，黎曼-劉維爾積分（Riemann–Liouville integral）將定義域和值域均為實數集的實函數$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 與另一個同類型的函數 Iα f相關聯，其中參數 α > 0。該積分是f的重複反導數（原函數）的一種推廣形式，當α為正整數值時， Iα f就是f的α階反導數。黎曼-劉維爾積分以伯恩哈德·黎曼和約瑟夫·劉維爾的名字命名，後者於1832年首次考慮分數微積分的可能性。當應用於解析函數時，該算符與萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler) 提出的歐拉變換一致。它被Marcel Riesz推廣到任意維度，並引入了Riesz勢。該算符也被稱為黎曼-劉維爾微分積分（Riemann–Liouville differintegral），微分積分（differintegral）一詞體現它是一種微分和積分的聯合運算。

## 動機

黎曼-劉維爾積分源自柯西重複積分公式。對於在區間 a, x 上連續的函數f，柯西n重重複積分公式如下

$$I^n f(x) = f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x\left(x-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t.$$

現在，通過用α代替正整數n，這個公式可以推廣到任何正實數，因此我們得到黎曼-劉維爾分數階積分的定義

$$I^\alpha f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^x\left(x-t\right)^{\alpha-1} f(t)\,\mathrm{d}t$$

## 定義

黎曼-劉維爾積分定義為

$$I^\alpha f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^xf(t)(x-t)^{\alpha-1}\,dt$$

其中Γ是伽馬函數， a是任意但固定的基點。如果f是局部可積函數，且α是半平面Re(α) > 0中的複數，則積分定義明確。其中對基點a的依賴往往被隱去，體現了積分常數的選取自由。顯然， I1 f是f的（一階）反導數，當α取正整數值時，根據柯西重複積分公式， Iα f是其α階反導數。另一種強調基點的記法如下：

$${}_aD_x^{-\alpha}f(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x f(t)(x-t)^{\alpha-1}\,dt.$$

如果1=a = −∞，且對f有適當的限制，上述式子也是適用的。

有以下基本關係成立：

$$\frac{d}{dx}I^{\alpha+1} f(x) = I^\alpha f(x),\quad I^\alpha(I^\beta f) = I^{\alpha+\beta}f,$$

後式表明其具有半群性質。這些性質不僅使得分數階積分的定義成為可能，而且通過對Iα f取足夠多的導數，還可以定義分數階微分。

## 特性

對一個確定有界區間(a, b)。算子Iα將每個可積函數f在(a, b)上與函數Iα f在(a, b)上相關聯。根據富比尼定理，函數Iα f也是可積的。因此Iα在L1(a,b)上定義了一個線性算子：

$$I^\alpha : L^1(a,b) \to L^1(a,b).$$

富比尼定理還表明，該算子關於L1上的Banach 空間結構是連續的，並且以下不等式成立：

$$\left \|I^\alpha f \right \|_1 \le \frac{|b-a|^{\Re(\alpha)}}{\Re(\alpha)|\Gamma(\alpha)|}\|f\|_1.$$

這裡‖ · ‖1表示L1(a,b)上的範數。

更一般地，根據赫爾德不等式，如果f ∈ Lp(a, b)，則Iα f ∈ Lp(a, b)同樣成立。下列類似的不等式

$$\left \|I^\alpha f \right \|_p \le \frac{|b-a|^{\Re(\alpha)/p}}{\Re(\alpha)|\Gamma(\alpha)|}\|f\|_p$$

成立。其中‖ · ‖p是區間(a, b)上的Lp範數。

因此我們有一個有界線性算子Iα : Lp(a, b) → Lp(a, b)。此外，當參數α沿實軸趨於0，在Lp意義上， Iα f → f。即對於所有p ≥ 1

$$\lim_{\alpha\to 0^+} \|I^\alpha f - f\|_p = 0$$

此外，通過估計I的最大函數，可以證明極限Iα f → f幾乎處處逐點成立。

算子Iα在整個實數軸上的局部可積函數集上有明確定義$\mathbb{R}$。它定義了任意Banach 空間中指數型函數的有界變換$X_{\sigma} = L^1(e^{-\sigma|t|}dt)$，由局部可積函數組成，其範數

$$\|f\| = \int_{-\infty}^\infty |f(t)|e^{-\sigma|t|}\,dt$$

是有限的。對於f ∈ Xσ， Iα f的拉普拉斯變換形式特別簡單

$$(\mathcal{L}I^\alpha f)(s) = s^{-\alpha}F(s)$$

其中Re(s) > σ。這裡F(s)表示f的拉普拉斯變換，該性質表示Iα是傅立葉乘子。

## 分數階導數

f的分數階導數也可以定義為

$$\frac{d^\alpha}{dx^\alpha} f \, \overset{\text{def}}{=} \frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}} I^{\lceil \alpha \rceil-\alpha}f$$

其中表示上限函數。通過定義

$$D^\alpha_x f(x) = \begin{cases} \frac{d^{\lceil\alpha\rceil}}{dx^{\lceil\alpha\rceil}} I^{\lceil\alpha\rceil-\alpha}f(x)& \alpha>0\\ f(x) & \alpha=0\\ I^{-\alpha}f(x) & \alpha<0. \end{cases}$$

可以得到微分和積分之間的微分積分插值。

1967 年，卡普托 (Caputo) 提出了一種分數階導數，由此產生的導數具有與前者不同的性質：這種導數對常數函數求導得到零，更重要的是，拉普拉斯變換的初值項是用該函數的值及其整數階導數來表示的，而不是像黎曼-劉維爾導數那樣用分數階導數來表示。以x為基點的 Caputo 分數階導數為：

$$D_x^{\alpha}f(y)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_x^y f'(y-u)(u-x)^{-\alpha}du.$$

另一種表示是：

$${}_a\tilde{D}^\alpha_x f(x)=I^{\lceil \alpha\rceil-\alpha}\left(\frac{d^{\lceil \alpha\rceil}f}{dx^{\lceil \alpha\rceil}}\right).$$

## 基本冪函數的分數階導數

假設f(x)是單項式，形式如下：

$$f(x) = x^k\,.$$

一階導數與通常情形一致：

$$f'(x) = \frac{d}{dx}f(x) = k x^{k-1}\,.$$

重複此過程可得到更一般的結果

$$\frac{d^a}{dx^a}x^k = \dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\,,$$

用伽馬函數代替階乘後，得到

$$\frac{d^a}{dx^a}x^k = \dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}, \quad\ k > 0.$$

對於1=k = 1和1=a = 1

$$\frac{d^\frac12}{dx^\frac12}x=\frac{\Gamma(1+1)}{\Gamma\left(1-\frac12 + 1\right)} x^{1-\frac12}=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}x^\frac12 = \frac{1}{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}x^\frac12.$$

為了證明這就是真正的「半導數」（其中H滿足1=H2f(x) = Df(x)），我們重複該過程得到：

$$\dfrac{d^\frac12}{dx^\frac12} \dfrac{2x^{\frac12}}{\sqrt{\pi}} =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\dfrac{\Gamma(1+\frac12)}{\Gamma(\frac12-\frac12+1)}x^{\frac12-\frac12} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma(1)} x^0 =\frac{2 \frac{\sqrt{\pi}}{2} x^0}{\sqrt{\pi}}=1\,,$$

（因為$\Gamma\!\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$且1=Γ(1) = 1 )，這確實是預期的結果

$$\left(\frac{d^\frac12}{dx^\frac12} \frac{d^\frac12}{dx^\frac12}\right)\!x = \frac{d}{dx} x = 1\,.$$

對於負整數冪k，1/ $\Gamma$為 0，因此使用以下關係很方便：

$$\frac{d^a}{dx^a}x^{-k} = \left(-1\right)^a\dfrac{\Gamma(k+a)}{\Gamma(k)}x^{-(k+a)} \quad\text{ for } k \ge 0.$$

上述微分算子的擴展不僅限於實數冪；它也適用於複數冪。例如， (1 + i)次導數的(1 − i)次導數得出二階導數。將a設為負值會得到積分。

對於一般函數f(x)且0 < α < 1，完全分數階導數為

$$D^\alpha f(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx} \int_0^x \frac{f(t)}{\left(x-t\right)^\alpha} \, dt.$$

對於任意α，由於伽馬函數對於負（實）整數是無限的，因此有必要在進行整數導數之後應用分數階導數。例如。

$$D^\frac32 f(x) = D^\frac12 D^1 f(x)=D^\frac12 \frac d {dx} f(x).$$

## 拉普拉斯變換

我們也可以通過拉普拉斯變換來解決這個問題。已知

$$\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s) = \frac1 s \bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)$$

和

$$\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s\bigl(\mathcal L \left\{Jf\right\} \bigr)(s)=\frac1{s^2}\bigl(\mathcal L\left\{f\right\}\bigr)(s)$$

等等，我們斷言

$J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)(s)\right\}$。

例如。

$$J^\alpha(t^k) = \mathcal L^{-1}\left\{\frac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\} = \frac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)} t^{\alpha+k}$$

正如預期的那樣。事實上，考慮到卷積規則

$$\mathcal L\{f*g\}=\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{g\}\bigr)$$

並且為了清楚起見，我們將p(x)簡寫為1=p(x) = xα − 1，由此可得

$$\begin{align} \left(J^\alpha f\right)(t) &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\bigl(\mathcal L\{p\}\bigr)\bigl(\mathcal L\{f\}\bigr)\right\}\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t\left(t-\tau\right)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\ \end{align}$$

這就是上面柯西推導的式子。

拉普拉斯變換對相對較少的函數起作用，但它們通常對求解分數階微分方程很有用。