泡利-魯班斯基贗矢量

在物理學中，泡利-魯班斯基贗矢量是一個由動量和角動量定義的算符，用於角動量的量子相對論描述。它以沃爾夫岡·泡利和約瑟夫·魯班斯基的名字命名。

它描述運動粒子的自旋態。它是龐加萊群的小群的生成元，也就是保持四維動量矢量Pμ的本徵值不變的最大子群（具有四個生成元）。

## 定義

它通常用W（或較少用的S）表示，定義為： $$W_\mu \mathrel\stackrel{\text{def}}{=} \tfrac{1}{2}\varepsilon_{\mu \nu \rho \sigma} J^{\nu \rho} P^\sigma ,$$此處

- $\varepsilon_{\mu \nu \rho \sigma}$ 是四維全反對稱列維-奇維塔符號;
- $J^{\nu \rho}$ 是相對論角動量張量算符($M^{\nu \rho}$);
- $P^{\sigma}$ 是四維動量四維動量算符.

用外代數的語言來說，它可以寫成三向量的霍奇對偶。

$$\mathbf{W} = \star(\mathbf{J} \wedge \mathbf{p}).$$

註：$W_0 = \vec{J} \cdot \vec{P}$ 以及 $\vec{W} = E \vec{J}- \vec{P} \times \vec{K}$

其中，J 是旋轉生成元，而 K 則是遞升（boosts）生成元。

Wμ 明顯滿足：$$P^{\mu}W_{\mu}=0,$$

以及以下交換子關係， $$\begin{align} <pre> \left[P^\mu, W^\nu\right] &= 0, \\ \left[J^{\mu \nu}, W^\rho\right] &= i \left( g^{\rho \nu} W^\mu - g^{\rho \mu} W^\nu\right), </pre> \end{align}$$

所以最後， $$\left[W_{\mu}, W_{\nu}\right] = -i \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} W^{\rho} P^{\sigma}.$$

標量WμWμ是洛倫茲不變算符，與四維動量交換，因此可以作為龐加萊群 的不可約么正表示的標籤。也就是說，除了表示中所有狀態的質量的相對論不變標籤PμPμ之外，它還可以作為自旋（表示的時空結構特徵）的標籤。

## 小群

對於一個量子體系的希爾伯特空間中，四動量算符 $P$ 的具有四維動量本徵值 $k$ 的本徵空間 $S$ 而言，以下成立：

（就此而論，對於標準表示而言，其中 $\mathbb{R}^4$ 被詮釋為動量空間，受5×5矩陣作用，該矩陣左上角的4×4子塊是常規的洛倫茲變換，最後一列用於平移，且其作用施加於動量空間的元素 p（列矢量）時，需在其第五行附加一個1，參見標準教科書）

- 將$P^{\mu}$ 替換為$k^\mu$後的 $W$的分量構成一個李代數（Lie algebra）。它就是 $k$ 的小群 $L_k$（Little group）的李代數，即能使 $k$ 保持不變的齊次洛倫茲群（homogeneous Lorentz group）的子群。
- 對於$L_k$的每一個不可約么表示，存在一個完整的龐加萊群的不可約么正表示，後者被稱為誘導表示。
- 誘導表示的表示空間可以通過將全龐加萊群的元素連續應用於非零元素來獲得$S$併線性延伸。

龐加萊群的不可約么正表示由兩個卡西米爾算子$P^2$和$W^2$ 的特徵值來刻畫。要驗證我們確實獲得了一個不可約么正表示，最好的方法就是展示出它在如此構建的表示空間中，作用於一個具有任意四維動量本徵值 p 的元素上的具體行為。其不可約性來自於表示空間的構造。

## 有質量場

在量子場論中，對於有質量場，卡西米爾不變量WμWμ 描述了粒子的總自旋，其特徵值為$$W^2 = W_\mu W^\mu = -m^2 s(s + 1),$$其中s是粒子的自旋量子數， m是其靜止質量。

在粒子的靜止框架中能直接看到這一點，上述交換子作用於粒子的狀態相當於1=Wj, Wk = i εjkl Wl m；因此1=W = mJ且1=W0 = 0，這樣小群相當於旋轉群， $$W_\mu W^\mu = -m^2 \vec{J}\cdot\vec{J}.$$由於這是洛倫茲不變量，因此在所有其他參考系中它都是相同的。

通常也用W3來描述靜止框架中沿第三方向的自旋投影。

在移動框架中，將1=W = (W0, W)分解為分量(W1, W2, W3)，其中W1和W2與P正交， W3與P平行，則泡利-魯班斯基矢量可以用自旋矢量S = (S1, S2, S3) （類似分解）表示為$$\begin{align} <pre> W_0 &= P S_3, & W_1 &= m S_1, & W_2 &= m S_2, & W_3 &= \frac{E}{c^2} S_3, </pre> \end{align}$$

其中$$E^2 = P^2 c^2 + m^2 c^4$$是能量動量關係。

橫向分量W1, W2以及S3滿足以下交換關係（這些關係普遍適用，而不僅適用於非零質量表示）， $$\begin{align}[] <pre> [W_1, W_2] &= \frac{ih}{2\pi} \left(\left(\frac{E}{c^2}\right)^2 - \left(\frac{P}{c}\right)^2\right) S_3, & [W_2, S_3] &= \frac{ih}{2\pi} W_1, & [S_3, W_1] &= \frac{ih}{2\pi} W_2. </pre> \end{align}$$

對於非零質量的粒子以及與此類粒子相關的場， $$[W_1, W_2] = \frac{ih}{2\pi} m^2 S_3.$$

## 無質量場

一般來說，在非質量表示的情況下，應該區分兩種情況。對於無質量粒子， $$W^2 = W_\mu W^\mu = -E^{2}\left((K_2 - J_1)^2 + (K_1 + J_2)^2\right) \mathrel\stackrel{\mathrm{def}}{=} -E^2\left(A^2 + B^2\right),$$其中K是動態質量矩矢量。因此，從數學上講， P 2 = 0 並不意味著W 2 = 0。

### 連續自旋表示

在更一般的情況下，W 垂直於 P 的分量（即橫向分量）可以不為零，由此便產生了一族被稱為「柱形光速子」（cylindrical luxons）的表示（「光速子」luxon是「無質量粒子」的另一個術語）。其識別特性是：W 的分量構成一個與二維歐幾里得群 ISO(2) 同構的李子代數（Lie subalgebra），其中 W 的縱向分量扮演旋轉生成元的角色，而橫向分量則扮演平移生成元的角色。

這相當於對SO(3)群進行群收縮（group contraction），並導出了所謂的「連續自旋表示」（continuous spin representations）。然而，目前尚未發現屬於此類的基本粒子或場。有一種觀點認為，連續自旋態擁有一種在已觀測到的無質量粒子中未曾見過的內稟自由度。

### 螺旋度表示

在一種特殊情況下，$\vec{W}$平行於$\vec{P} ;$ 這等價$\vec{W} \times \vec{P} = \vec{\boldsymbol{0}} .$

對於非零的 $\vec{W}$，該約束條件只能自洽地施加於光速子（luxons，即無質量粒子），因為 $\vec{W}$ 的兩個橫向分量的對易子（commutator）正比於$m^2 \vec{J} \cdot \vec{P} \, .$

對於這一族表示，有$W^2 = 0$ 和 $W^\mu = \lambda \, P^\mu$，其不變量則改由此給出：$$\left(W^0\right)^2 = \left(W^3\right)^2 ,$$其中$$W^0 = -\vec{J} \cdot \vec{P} ,$$所以不變量由螺旋度算子表示$$W^0 / P .$$

例如，所有與弱核力相互作用的粒子都屬於這一族，因為弱核電荷（弱同位旋）的定義涉及螺旋性，而根據上文，螺旋性必定是一個不變量。在這種情況下，非零質量的出現必須用其他方法來解釋，例如希格斯機制。然而，即使考慮了這些質量產生機制，光子（以及電磁場）仍然屬於此類，儘管電弱力載體的其他質量本徵態（W boson+-玻色子、反玻色子和Z boson0玻色子）獲得非零質量。

中微子以前也被認為屬於這一類。然而，由於中微子已被觀測到味的振盪，現在已知左螺旋中微子和右螺旋反中微子的三個質量本徵態中至少有兩個必然具有非零質量。

## 參見

- Wigner's classification
- Angular momentum operator
- Casimir operator
- Relativistic center of mass
- Chirality (physics)
- Pseudovector
- Pseudotensor
- Induced representation