最小偏向角

在稜鏡中，偏向角（δ）隨著入射角（i）的增加而減小，直到達到特定角度。稜鏡中偏向角最小的入射角稱為稜鏡的「最小偏向位置」，而該偏向角稱為最小偏向角（由「δ」min、Dλ或Dm)。

最小偏向角與折射率的關係如下：

$$n_{21} = \dfrac{\sin \left(\dfrac{A + D_{m}}{2}\right)}{\sin \left(\dfrac{A}{2}\right)}$$

這對於計算材料的折射率很有用。彩虹和光暈出現在最小偏向處。此外，薄稜鏡始終設定為最小偏向。

## 公式

在最小偏向下，稜鏡中的折射光線平行於其底部。換句話說，光線對於稜鏡的對稱軸是對稱的。

此外，折射角是相等的，即1=r1 = r2。入射角和出射角彼此相等（1=i = e）。這在下圖中清晰可見。

通過利用稜鏡的幾何形狀，可以推導出最小偏向的公式。該方法涉及通過使用上述內容，在偏向和棱鏡角度方面替換司乃耳定律中的變數。

從角度之和$\triangle OPQ$。

$$A + \angle OPQ + \angle OQP = 180^\circ$$ $$\implies A = 180^\circ - (90 - r) - (90 - r)$$ $$\implies r = \frac{A}{2}$$

使用外角定理$\triangle PQR$。

$$D_{m} = \angle RPQ + \angle RQP$$ $$\implies D_{m} = i - r + i - r$$ $$\implies 2r + D_{m}= 2i$$ $$\implies A + D_{m} = 2i$$ $$\implies i = \frac{A + D_{m}} {2}$$

這也可以通過以下管道得出1=i = e 在稜鏡公式中：1=i + e = A + δ

根據司乃耳定律。

$$n_{21} = \dfrac{\sin i}{\sin r}$$

$$\therefore n_{21} = \dfrac{\sin \left(\dfrac{A + D_{m}}{2}\right)}{\sin \left(\dfrac{A}{2}\right)}$$。

$$\therefore D_m = 2 \sin^{-1} \left(n \sin \left(\frac{A}{2}\right)\right) - A$$

（此處n是折射率，A是稜柱的角度，Dm 是最小偏向角。）

這是一種方便的方法，用於量測才料（液體或氣體）的折射率，方法是將光線以最小偏向穿過填充有材料的稜鏡或浸入其中的玻璃稜鏡，稜鏡的厚度可以忽略不計。

舉個例子：

玻璃的折射率為1.5。等邊稜鏡的最小偏向角以及相應的入射角是理想的。

答案：37°, 49°

解決方案：

在這裡，1=A = 60°, 1=n = 1.5

將它們代入上述公式。

$$\frac{\sin \left(\frac{60 + \delta}{2} \right)}{\sin \left(\frac{60}{2} \right)}= 1.5$$

$$\implies \frac{\sin \left(30 + \frac{\delta}{2} \right)}{\sin(30)}= 1.5$$

$$\implies \sin \left(30 + \frac{\delta}{2} \right) = 1.5 \times 0.5$$

$$\implies 30 + \frac{\delta}{2} = \sin^{-1}(0.75)$$

$$\implies \frac{\delta}{2} = 48.6 - 30$$

$$\implies \delta = 2 \times 18.6$$

$$\therefore \delta \approx 37^\circ$$

此外。

$$i = \frac{(A + \delta)}{2} = \frac{60 + 2 \times 18.6}{2} \approx 49^\circ$$

這在下圖中也很明顯。

如果折射率為1.4的稜鏡的最小偏向角等於其折射角，則稜鏡需要的角度。

答案：60°

解決方案：

在這裡。

$$\delta = r$$

$$\implies \delta = \frac{A}{2}$$

使用上述公式。

$$\frac{\sin \left(\frac{A + \frac{A}{2}}{2}\right)}{\sin \left(\frac{A}{2} \right)}= 1.4$$

$$\implies \frac{\sin \left(\frac{3A}{4} \right)}{\sin \left(\frac{A}{2} \right)}= \frac{\frac{1}{2}}{ \frac{1}{\sqrt 2}}$$

$$\implies \frac{\sin \left(\frac{3A}{4} \right)}{\sin \left(\frac{A}{2} \right)}= \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$$

$$\therefore A = 60^\circ$$

此外，偏向角隨任意入射角的變化，可以概括為一個方程式，通過將δ表示為 i，在使用司乃耳定律的稜鏡公式中：

$$\delta = i - A + \sin^{-1} \left(n \cdot \sin\left(A - \sin^{-1}\left(\frac{\sin i}{n}\right)\right)\right)=f(i)(say)$$

找到該方程的最小值也將給出與上述最小偏向相同的關係。

放$f'(i)=0$，我們得到。

$\frac{\cos\left(A-\sin^{-1}\left(\frac{\sin i}{u}\right)\right)\cos i}{\sqrt{\left(1-u^{2}\sin^{2}\left(A-\sin^{-1}\left(\frac{\sin i}{u}\right)\right)\right)\left(1-\frac{\sin^{2}i}{u^{2}}\right)}}=1$，通過求解該方程，我們可以得到稜鏡角度一定值的入射角值和稜鏡的相對折射率值，從而得到最小偏向角。給出了方程和描述 here。

### 適用於薄稜鏡

在薄或小角度稜鏡中，隨著角度變得非常小，角度的正弦幾乎等於角度本身，這產生了許多有用的結果。

因為Dm和A都非常小。

$$\begin{align} n & \approx \dfrac{\frac{A + D_{m}}{2}}{\frac{A}{2}}\\ n & = \frac{A + D_m}{A}\\ D_m & = An - A \end{align}$$

$$\therefore D_{m} = A(n - 1)$$

對於一般的薄稜鏡，使用司乃耳定律和稜鏡公式的類似方法，最終得到的偏向角結果非常相同。

因為i、e和r都非常小。

$$n \approx \frac{i}{r_1}, n \approx \frac{e}{r_2}$$

根據稜鏡公式。

$$\begin{align} \delta & = n r_1 + n r_2 - A \\ & = n(r_1 + r_2) - A \\ & = nA - A \\ & = A(n - 1) \end{align}$$

因此，可以說薄棱鏡總是處於最小偏向。

## 實驗測定

最小偏向角可以手動或使用光譜儀找到。要麼保持稜鏡固定並調整入射角，要麼旋轉稜鏡以保持光源固定。

## 最小色散角

白光的最小色散角是通過稜鏡的紅光和紫光之間光線的最小偏向角的差

對於薄棱鏡，紫光的偏向$\delta_v$是$(n_v-1)A$，以及紅光$\delta_r$是$(n_r-1)A$。紅光和紫光之間的偏向差異$(\delta_v-\delta_r)=(n_v-n_r)A$稱為棱鏡產生的色散角。

## 應用

導致彩虹的成因之一是光線以接近彩虹角（42°）的最小偏向角聚集。

它還負責光暈和幻日等現象，這些現象是由六角冰晶迷你稜鏡中的太陽光在空氣彎曲光中的偏向產生的，最小偏向為22°。

## 外部連結

- Minimum Deviation Part 1 and Part 2 at Khan Academy
- Refraction through a Prism in NCERT Textbook
- Minimum Deviation by Prism by Mark A Peterson, Mount Holyoke College