逗號範疇

在數學中，逗號範疇（特例：切片範疇）為範疇論的一類構造，提供了看待態射的一個不同的角度：不僅是簡單地從範疇的一個對象聯繫到另一個對象，態射本身亦是另一個對象。這一記號由 F. W. Lawvere 在 1963 年引入，最開始並不廣為人知。多個數學概念可處理為逗號範疇，逗號範疇本身亦確保部分極限和余極限存在。逗號範疇這一名稱來自 Lawvere 的原始記號，使用了逗號表示該結構，不過現已由於視覺上易混淆而不採用該記號，而 Lawvere 本人亦不喜歡不提供額外資訊的命名 「逗號範疇」。

## 定義

最一般的逗號範疇結構涉及同一上域的兩個函子。通常，其中一個函子的域是 $\mathbf 1$, 即單對象單態射的範疇。範疇論中的一些情形僅考慮一些特殊情形，但逗號範疇實際上寬泛得多。

### 一般形式

給定範疇 $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$, 和函子 $S$, $T$:可按如下形式構建逗號範疇 $(S \downarrow T)$:

- 所有三元組 $(A, B, h)$ 匯得對象類，其中 $A\in\operatorname{Ob}\mathcal{A},\,B\in\operatorname{Ob}\mathcal{B}$, 而有所有 $h : S(A)\rightarrow T(B)$ 匯得分別的態射類 $h\in\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(A,\,B)$.
- 從 $(A, B, h)$ 到 $(A', B', h')$ 的態射為所有特定的有序對 $(f, g)$, 其中 $f : A \rightarrow A'$ 和 $g : B \rightarrow B'$ 分別為 $\mathcal A$ 和 $\mathcal B$ 中的態射，使得下圖交換：

態射複合取 $(f', g') \circ (f, g)$ 作 $(f' \circ f, g' \circ g)$, 只要後者有定義. 特定對象 $(A,\, B,\,h)$ 的單位態射即 $({\rm id}_A,\,{\rm id}_B)$.

### 切片範疇

首先注意到 $\mathcal{C} = \mathcal{A}$ 時的特例, 函子 $S$ 即恆等函子, 而 $\mathcal{B}=\textbf{1}$, 具唯一對象 $*$ 與唯一態射. 則對 $\mathcal{A}$ 中的某對象$A_*$ 有 $T(*) = A_*$.此時, 逗號範疇寫作 $(\mathcal{A} \downarrow A_*)$, 常稱作 $A_*$ 上的切片範疇, 或對象在 $A_*$ 上的範疇. 對象 $(A, *, h)$ 可簡化為有序對 $(A, h)$, 其中 $h : A \rightarrow A_*$. 有時 $h$ 亦記作 $\pi_A$. 切片範疇中從 $(A, \pi_A)$ 到 $(A', \pi_{A'})$ 的態射 $(f,\mathrm{id}_*)$ 此時可簡化作使得下圖交換的箭頭 $f : A \rightarrow A'$:

### 餘切片範疇

切片範疇的對偶即餘切片範疇. 此時, $\mathcal{C} = \mathcal{B}$, $S$ 的域為 $\textbf{1}$, 而 $T$ 為恆等函子.

此時, 逗號範疇寫作 $(B_*\downarrow \mathcal{B})$, 其中 $B_*=S(*)$ 為據 $S$ 選定的 $\mathcal{B}$ 的對象, 稱作 $B_*$ 下的切片範疇, 或對象在 $B_*$ 下的範疇. 其對象為有序對 $(B, \iota_B)$, 其中 $\iota_B : B_* \rightarrow B$. 給定 $(B, \iota_B)$ 和 $(B', \iota_{B'})$, 餘切片範疇中的態射為使得下圖交換的對象 $g : B \rightarrow B'$:

### 箭頭範疇

$S$ 和 $T$ 為 $\mathcal{C}$ 上的單位函子 (此時 $\mathcal{A} = \mathcal{B} = \mathcal{C}$).

此時, 逗號範疇為箭頭範疇 $\mathcal{C}^\rightarrow$, 其對象為 $\mathcal{C}$ 中的態射, 而其態射為 $\mathcal{C}$ 中的形狀如下的交換圖.

### 其他變體

在切片與餘切片範疇的情形中, 單位函子有時由其他某個函子替代, 這產生了一定程度上在伴隨函子研究中有用的範疇族. 例如, 若 $T$ 為將Abel群範疇投射到其基集合範疇的遺忘函子, 而 $s$ 為某給定集 (視作從 $\textbf{1}$ 出發的範疇), 則逗號範疇 $(s\downarrow T)$ 以從 $s$ 到某群的基集合的映射為對象. 這亦關聯到 $T$ 的左伴隨, 即投射集合到以該集為基集合的自由 Abel 群的函子. 某種程度上, $(s\downarrow T)$ 的始對象為典範內射 $s\to T(G)$, 其中 $G$ 為 $s$ 生成的自由群.

$(s\downarrow T)$ 的對象稱作從 $s$ 到 $T$ 的態射或有域 $s$ 的 $T$-結構化箭頭.$(S \downarrow t)$ 的對象稱從 $S$ 到 $t$ 的態射或有上域 $t$ 的 $S$-結構化箭頭.

另一特例聚焦於 $S$ 和 $T$ 均為域為 $\textbf{1}$ 的函子. 若有 $S(*)=A$ 和 $T(*)=B$, 逗號範疇 $(S \downarrow T)$, 記作 $(A\downarrow B)$, 為離散範疇, 其對象為從 $A$ 到 $B$ 的態射.

插入子範疇為逗號範疇的 (非滿) 子範疇, 要求 $\mathcal{A} = \mathcal{B}$ 且 $f = g$. 逗號範疇亦可視作 $S \circ \pi_1$ 和 $T \circ \pi_2$ 的插入子, 其中 $\pi_1$ 和 $\pi_2$為積範疇 $\mathcal{A} \times \mathcal{B}$ 的投射函子.

## 性質

對每個逗號範疇, 總存在如下的遺忘函子:

- 域函子, $S\downarrow T \to \mathcal A$, 其映射:
- 對象: $(A, B, h)\mapsto A$;
- 態射: $(f, g)\mapsto f$;
- 上域函子, $S\downarrow T \to \mathcal B$, 其映射:
- 對象: $(A, B, h)\mapsto B$;
- 態射: $(f, g)\mapsto g$.
- 箭頭函子, $S\downarrow T\to {\mathcal C}^{\rightarrow}$, 其映射:
- 對象: $(A, B, h)\mapsto h$;
- 態射: $(f, g)\mapsto (Sf,Tg)$;

## 用例

### 一些值得注意的範疇

一些有趣的範疇存在按照逗號範疇完成的自然定義.

- 基點集範疇為逗號範疇, $(\cdot\downarrow \mathsf{Set})$, 其中 $\cdot$ 為 (由函子選定的) 任意單元集, 而 $\mathsf{Set}$ 即集合範疇 (的單位函子). 該範疇的所有對象都是集合, 以一個函數選擇集合中的部分元素, 「基點」. 態射為將基點投射到基點的集合函數. 按近似的風格亦可構建基點空間 $(\cdot\downarrow\mathsf{Top})$.
- 環 $R$ 上的結合代數範疇為餘切片範疇 $(R\downarrow\mathsf{Ring})$, 因為任意環同態 $f\colon\, R\to S$ 均誘導一個 $S$ 上的結合 $R$-代數結構, 反之亦然. 態射則為使圖交換的映射 $h\colon\, S\to T$.
- 圖範疇為 $(\mathsf{Set}\downarrow D)$, 其中 $D\colon\,\mathsf{Set}\to\mathsf{Set}$ 為從 $s$ 到 $s\times s$ 的函子. 對象 $(a,\,b,\,f)$ 含兩個集合與一個函數, 其中 $a$ 為索引集, $b$ 為節點集, 而 $f\colon\,a\to b^2$ 用以選定 $b$ 中由索引輸入的有序對. 也就是說 $f$ 標出了集合 $b^2$ 所有可能邊中的特定邊. 該範疇的態射由兩個函數組成, 其中一個於索引集上, 另一個於節點集上. 對上面的一般定義, 它們必須 「同意」, 這意味著 $(g, h) : (a, b, f) \rightarrow (a', b', f')$ 必須滿足 $f' \circ g = D(h) \circ f$. 換言之, 邊對應於索引集中的具體元, 映射結果中, 同樣的邊亦須對應.
- 許多 「增強」或 「標籤」運算均可以逗號範疇表示. 令 $S$ 為投射所有圖到其邊集合的函子, 並令 $A$ 為 (由函子選定的) 特定集, 此時 $(S\downarrow A)$ 即圖範疇, 其邊由 $A$ 中的元標記. 這種形式的逗號範疇通常稱為 $S$-覆蓋 $A$ 的對象——與前述 「$A$ 上對象」的概念密切相關. 這裡, 對象均採取結構 $(B, \pi_B)$, 其中 $B$ 為圖, $\pi_B$ 為從 $B$ 到 $A$ 的邊. 該圖的節點可以相同方式標記.
- 範疇稱局部 Cartesian 閉,若其所有切片均 Cartesian 閉 (見前文切片之陳述). 局部 Cartesian 閉範疇為依賴類型理論的分類範疇.

### 極限與萬有態射

逗號範疇中的極限與余極限可能具 「遺傳性」. 若 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 完全, $T : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$ 為連續函子, 而 $S \colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{C}$ 為其他函子 (不必連續), 此時引出逗號範疇 $(S \downarrow T)$ 亦完全, 且投射函子 $(S\downarrow T) \rightarrow \mathcal{A}$ 和 $(S\downarrow T) \rightarrow \mathcal{B}$ 均連續. 類似地, 若 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 余完全, 而 $S \colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{C}$ 余連續, 則 $(S \downarrow T)$ 亦余完全, 投射函子亦余連續.

例如, 沿用前述圖範疇之記號, 視其作逗號範疇, 則集合範疇完全且余完全, 而其單位函子連續且余連續. 因此圖範疇完全且余完全.

抵達於選定余極限或出發於選定極限的萬有態射, 可以逗號範疇的形式表示. 本質上是創建對象為錐, 且極限錐為終對象的範疇, 然後, 極限的每個萬有態射即到終對象的態射. 這一工作在對偶情形中, 即對象為擁有始對象的余錐的範疇. 例如, 令 $\mathcal{C}$ 為範疇, 且函子 $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C} \times \mathcal{C}$ 遞送每個對象 $c$ 到 $(c,\,c)$, 每個箭頭 $f$ 到 $(f,\,f)$. 從 $(a,\,b)$ 到 $F$ 的萬有態射據定義含對象 $(c,\,c)$ 與攜萬有性質的態射 $\rho\colon\,(a,\,a)\to(b,\,b)$, 使得對任意態射 $\rho\colon\,(a,\,b)\to(d,\,d)$ 總存在唯一態射 $\sigma : c \rightarrow d$ 滿足 $F(\sigma) \circ \rho = \rho'$. 換言之, 這是在逗號範疇 $((a, b) \downarrow F)$ 中的對象, 到該範疇中的任何其他對象均存在態射, 即始對象. 這也用於定義 $\mathcal{C}$ 中的余積, 只要其存在.

### 伴隨

William Lawvere 證明, 函子 $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ 與 $G : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$ 為伴隨對, 若且唯若分別以 $id_\mathcal D$ 和 $id_\mathcal C$ 為單位函子的逗號範疇 $(F \downarrow id_\mathcal{D})$ 和 $(id_\mathcal{C} \downarrow G)$ 同構, 而改逗號範疇中的等價元可投射於 $\mathcal{C} \times \mathcal{D}$ 中的相同元. 這使得伴隨得以不必涉及集合來序數, 而實際上這也是引入逗號範疇的最初動機.

### 自然變換

若 $S, T$ 的域相同, 則在 $S\downarrow T$ 中以 $A=B, A'=B', f=g$ 定義的圖將與定義自然變換 $S\to T$ 的圖同一. 兩個極好的不同在於, 自然變換是結構 $S(A)\to T(A)$ 型態射的特定總體, 而逗號範疇的對象涵蓋所有如此結構形態射. 到達逗號範疇的函子選定這一特定態射總體. 這也由 S.A. Huq 的觀點描述為, 給定 $S, T:\mathcal A \to \mathcal C$, 自然變換 $\eta:S\to T$ 相當於映射每個元 $A$ 到 $(A, A, \eta_A)$, 每個態射 $f=g$ 到 $(f, g)$ 的函子 $\mathcal A \to (S\downarrow T)$, 這是自然變換 $S\to T$ 和函子 $\mathcal A \to (S\downarrow T)$ 間的雙射對應, 這是從 $S\downarrow T$ 出發的兩個遺忘函子的截面.

## 參考文獻

- Lawvere, W (1963). "Functorial semantics of algebraic theories" and "Some algebraic problems in the context of functorial semantics of algebraic theories". http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf

## 外部連結

- J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
- Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.