多體系統

多體系統（Multibody system）是力學與機械工程領域中的一個重要分支，主要研究由多個物體透過關節或連接件相互連結後，在受力狀態下的動態行為。

多體動力學（Multibody Dynamics）的研究對象，範圍從簡單的滑塊曲柄連桿，到複雜的汽車懸吊系統、機械手臂，甚至是人體的肌肉骨骼系統。現代的多體系統分析高度依賴電腦模擬技術，廣泛應用於工程設計、機器人控制以及電腦圖學中。

## 應用

單一組件的機械系統可以用有限元素法徹底研究，而多體系統的行為會用以下領域中的多體系統方法來探討：

- 航空航天工程（直昇機、起落架、不同重力條件下的機器行為）
- 生物力學
- 內燃機、傳動系統、鏈輪、皮帶輪
- 動態模擬
- 起重機 (裝置)、傳送系統、造紙廠
- 軍事應用
- N體模擬（粒狀物質、沙、分子）
- 物理引擎
- 機器人學
- 車輛模擬 (車輛動力學、車輛快速成型、穩定性提昇、舒適度最佳化、效率提昇...)

## 例子

以滑塊曲柄機構來說明多體系統，此機構透過轉動的驅動桿、連接桿和滑塊，將轉動運動轉換為線性運動。驅動桿、連接桿和滑塊都是剛體，滑塊不允許旋轉，有三個轉動接點連接各剛體。每個剛體在空間中有六個自由度，由於運動學的條件，整個系統只有一個自由度。

## 概念

多體系統是由多個組件所組成的系統。組件可能是剛體或是可撓件，像機器人的一節手臂、車輛的一個輪或是軸、或是人的一隻前臂。各組件之間會有接頭或是接點連接，也可能將組件和地面連接。接頭或接點有特定的運動約束條件，因此限制了組件之間的相運動。常見的約束條件如下：

- 萬向接頭：四個運動學約束條件。
- 稜柱接點：允許沿著一個軸的相對移動，但不允許轉動，五個運動學約束條件。
- 旋轉接點：允許沿著一個軸的相對轉動，但不允許移動，五個運動學約束條件。
- 球接頭：允許沿著一個點的相對轉動，但不允許移動，三個運動學約束條件。

多體系統中還有兩個重要的詞：自由度和約束條件。

### 自由度

自由度是指可以獨立變動的運動可能性。換句話說，自由度就是要說明其在空間中完整位置時，所需的最少參數數量。

剛體在空間中，有六個自由度，其中有三個平移自由度，和三個轉動自由度。若是平面運動，就只有三個自由度，其中有兩個平移自由度，一個轉動自由度。

平面運動的自由度可用滑鼠來說明。其自由度有：左右、前後以及沿著垂直軸的轉動。

### 約束條件

約束條件是指在單體或多體系統上運動自由度的限制。經典的約束條件是定義兩物體平移或旋轉的代數方程。也有些約束條件是有關兩物體的相對速度，或是某物體本身的速度。以滾動的圓盤為例，其約束條件是接觸地面的點其速度為零。此例中的速度限制條件無法積分成位置的約束條件，因此是非完整約束，一般的滾動約束條件也是如此。

除此之外，也有一些非經典的約束條件可能會導入新的未知座標，例如滑動接頭，也就是某物體的一點可以在另一物體的表面上運動。若是接觸的約束條件，其條件會用不等式表示，因此該限制不一定永遠限制物體的自由度。

## 運動方程

多體系統的動態行為會用運動方程來描述。各種多體系統的公式，會以不同數學形式的運動方程表示，但其中的物理學是相同的。描述受約束多體運動的方程基本上是由牛頓第二運動定律所得的結果。其方程包括各單體的運動，加上約束條件。多半可以用牛頓-歐拉方程式或拉格朗日方程來推導。

剛體的運動可以用下式表示

$\mathbf{M(q)} \ddot{\mathbf{q}} - \mathbf{Q}_v + \mathbf{C_q}^T \mathbf{\lambda} = \mathbf{F},$ (1)

$\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) = 0$ (2)

這類方程組是建構在所謂的冗餘座標繫上，因為其方程組的座標數量比系統的自由度要多。廣義座標會用$\mathbf{q}$表示，其質量矩陣會以$\mathbf{M}(\mathbf{q})$表示，會和其廣義座標有關。

$\mathbf{C}$表示約束條件，矩陣$\mathbf{C_q}$（有時稱為雅可比矩陣）是約束條件對座標的導數。此矩陣是用來將約束力$\mathbf{\lambda}$施加在對應的方程式中。向量$\mathbf{\lambda}$的元素也稱為拉格朗日乘數（Lagrange multiplier）。剛體的可能座標可以分為以下兩部份。

$$\mathbf{q} = \left[ \mathbf{u} \quad \mathbf{\Psi} \right]^T$$

其中$\mathbf{u}$代表平移，而$\mathbf{\Psi}$代表旋轉。

上式中的二次速度向量（Quadratic velocity vector）$\mathbf{Q}_v$是由來描述運動方程中和科氏力和向心力有關的部份，其名稱是因為$\mathbf{Q}_v$包括速度的二次項，以及因為剛體動能偏微分而出現的結果。

拉格朗日乘數 $\lambda_i$和約束條件$C_i=0$有關，一般是用力或是力矩來表示，作用在自由度受約束的座標上。外力會改變物體的勢能，相較起來，拉格朗日乘數不會對系統作功。

### 最簡座標

運動方程(1,2)是用冗餘座標表示，各座標之間不是完全獨立。若以滑塊曲柄機構為例子，每個物體都有六個自由度，但大部份的座標都和其他物體的運動有關。用18個座標和17個約束條件可以描述由三個剛體組成的滑塊曲柄機構，不過只有一個自由度，其運動方程也可以用只有一個自由度的單一方程表示，例如以驅動桿的角度當成唯一的自由度。後者的方程有可以描述系統的最簡座標，稱為最簡座標公式。

從冗餘座標轉換到最簡座標的步驟有時會很麻煩，而且只在滿足完全約束，且沒有機構封閉迴路的情形下才可能達到。針對將冗餘座標轉換到最簡座標，已開發了許多演演算法。僅舉一個所謂的遞歸公式為例，所得的方程沒有約束條件，較容易計算，可以用準備的時間積分法來將運動方程對時間積分來求解。簡化系統可能可以非常有效率的求解，但座標的轉換可能在運算上會非常的耗資源。在很一般的通用多體系統公式以及軟體系統中，使用冗餘系統會讓系統更容易使用，也比較有彈性。

## 柔性多體

有些情形需考慮物體的柔性（可撓性，flexibility）。像在運動學和柔性機構中，可撓性就相當的重要。

可以用幾種不同方式來考量柔性，主要有三種作法：

- 離散的柔性多體。柔性體可分成許多剛體，彼此有類似彈簧的彈性連接，這也是此物體的彈性。
- 模態凝聚法（Modal condensation），透過利用與模態振幅相關的自由度，以有限數量的振動模態來描述物體的彈性。
- 完全柔性模型（Full flex），考慮系統的所有柔性，將系統離散化為子單元，每個子單元的位移都與彈性材料屬性有關。

## 參考資料

- J. Wittenburg, Dynamics of Systems of Rigid Bodies, Teubner, Stuttgart (1977).
- J. Wittenburg, Dynamics of Multibody Systems, Berlin, Springer (2008).
- K. Magnus, Dynamics of multibody systems, Springer Verlag, Berlin (1978).
- P.E. Nikravesh, Computer-Aided Analysis of Mechanical Systems, Prentice-Hall (1988).
- E.J. Haug, Computer-Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Allyn and Bacon, Boston (1989).
- H. Bremer and F. Pfeiffer, Elastische Mehrkörpersysteme, B. G. Teubner, Stuttgart, Germany (1992).
- J. García de Jalón, E. Bayo, Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems - The Real-Time Challenge, Springer-Verlag, New York (1994).
- A.A. Shabana, Dynamics of multibody systems, Second Edition, John Wiley & Sons (1998).
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- E. Eich-Soellner, C. Führer, Numerical Methods in Multibody Dynamics, Teubner, Stuttgart, 1998 (reprint Lund, 2008).
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