霍列沃定理

霍列沃定理是量子計算中的一個重要的限制定理，量子計算是物理學和電腦科學的一個交叉學科。它有時被稱為霍列沃界限，因為它為可知的量子態資訊量（可訪問資訊）設定了上限。該定理由Alexander Holevo於 1973 年發表。

## 定理陳述

假設愛麗絲想要通過將經典資訊編碼成量子態來向鮑勃發送，並且假設她可以從某個固定集合中準備一個狀態$\{\rho_1,...,\rho_n\}$，第 i 個狀態的準備機率為$p_i$。設定$X$是包含愛麗絲所作狀態選擇的經典記錄。鮑勃的目標是從他所得到的狀態的測量結果來恢復$X$。設定$Y$是包含鮑勃測量結果的經典寄存器。注意因此$Y$是一個隨機變量，其機率分布取決於鮑勃的測量選擇。

霍列沃定理根據霍列沃資訊量，限制了經典寄存器 X 和 Y 之間的關聯量，且與鮑勃的測量選擇無關。這在實踐中很有用，因為 霍列沃資訊量不依賴於測量選擇，因此其計算不需要對可能的測量進行優化

更確切地說，X 和 Y 之間的可訪問資訊被定義為在鮑勃端所有可能的測量選擇上最大化的兩個寄存器之間的（經典）互信息：$$I_{\rm acc}(X:Y) = \sup_{\{\Pi^B_i\}_i } I(X:Y|\{\Pi^B_i\}_i),$$其中，$I_{\rm acc}(X:Y) = \sup_{\{\Pi^B_i\}_i } I(X:Y|\{\Pi^B_i\}_i),$是由聯合機率分布 $p_{ij} = p_i \operatorname{Tr}(\Pi^B_j \rho_i)$給出的（經典）互信息。目前，在一般情況下，還沒有已知的公式可以解析地解決可訪問資訊定義中的優化問題。儘管如此，我們總是有以下上限$$I_{\rm acc} (X : Y) \leq \chi(\eta) \equiv S\left(\sum_i p_i \rho_i\right) - \sum_i p_i S(\rho_i),$$其中，η≡{(pi,ρi)}i 是愛麗絲用於發送資訊的量子態系綜，而 S 則是馮諾依曼熵。這個 χ(η) 被稱為霍列沃資訊或 霍列沃χ 量。

注意，霍列沃資訊也等於對應於集合的經典量子態的量子互信息： $$\chi(\eta) = I\left(\sum_i p_i |i\rangle\!\langle i|\otimes \rho_i\right),$$和$I(\rho_{AB}) \equiv S(\rho_A)+S(\rho_B) - S(\rho_{AB})$二分態的量子互信息$\rho_{AB}$。因此，霍列沃定理可以簡潔地概括為經典量子態的量子互信息中可訪問資訊的界限。

## 證明

考慮描述整個通信過程的複合系統，其中涉及愛麗絲的經典輸入$X$，量子系統$Q$以及 鮑勃的經典作品$Y$。經典輸入$X$可以寫成一個關於一些正交基$\{|x\rangle\}_{x=1}^n$的經典寄存器。通過這種方式書寫 X，狀態$\rho^X := \sum\nolimits_{x=1}^n p_x |x\rangle \langle x|$ 的馮諾依曼熵 S(X) 對應於機率分布 {px}x=1n 的香農熵 H(X)：

$$S(X) = -\operatorname{tr}\left(\rho^X \log \rho^X \right) = -\operatorname{tr}\left(\sum_{x=1}^n p_x \log p_x |x\rangle\langle x|\right) = -\sum_{x=1}^n p_x \log p_x = H(X).$$

系統的初始狀態，即愛麗絲以機率 px 製備狀態 ρx，描述如下：

$$\rho^{XQ} := \sum_{x=1}^n p_x |x\rangle \langle x|\otimes\rho_x.$$

隨後，愛麗絲 將量子態發送給 Bob。由於 鮑勃只能訪問量子系統$Q$但不是輸入$X$，他得到了一種混合狀態的形式$\rho := \operatorname{tr}_X\left(\rho^{XQ}\right) = \sum\nolimits_{x=1}^n p_x \rho_x$。鮑勃根據POVM元素測量此狀態$\{E_y\}_{y=1}^m$，以及機率$\{q_y\}_{y=1}^m$衡量結果$y=1,2,\dots,m$形成經典輸出$Y$。這個測量過程可以描述為一個量子儀器

$$\mathcal{E}^{Q}(\rho_x) = \sum_{y=1}^m q_{y|x} \rho_{y|x} \otimes |y\rangle \langle y|,$$

其中，$q_{y|x} = \operatorname{tr}\left(E_y\rho_x\right)$ 是給定狀態 ρx 時，得到結果 y 的機率；而 $\rho_{y|x} = W\sqrt{E_y}\rho_x\sqrt{E_y}W^\dagger/q_{y|x}$ 則是某個酉矩陣 W 作用下的歸一化測量後狀態。那麼，測量過程後整個系統的狀態為：

$$\rho^{XQ'Y} := \left[\mathcal{I}^{X}\otimes\mathcal{E}^{Q}\right]\!\left(\rho^{XQ}\right) = \sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m p_x q_{y|x} |x\rangle \langle x|\otimes\rho_{y|x}\otimes |y\rangle \langle y|.$$

這裡$\mathcal{I}^X$是系統上的身份通道$X$。自從$\mathcal{E}^Q$是量子信道，且量子互信息在完全正跡保持映射下是單調的， $S(X:Q'Y) \leq S(X:Q)$。此外，由於部分追蹤$Q'$也是完全正向的，並且保留痕跡， $S(X:Y) \leq S(X:Q'Y)$。這兩個不等式給出

$$S(X:Y) \leq S(X:Q).$$

在左側，感興趣的數量僅取決於

$$\rho^{XY} := \operatorname{tr}_{Q'}\left(\rho^{XQ'Y}\right) = \sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m p_x q_{y|x} |x\rangle \langle x|\otimes |y\rangle \langle y| = \sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m p_{x,y} |x,y\rangle \langle x,y|,$$

其聯合機率為 $p_{x,y}=p_x q_{y|x}$。顯然，$\rho^{XY}$和 $\rho^Y := \operatorname{tr}_X(\rho^{XY})$ 採取與$\rho^X$ 相同的形式，都描述了經典寄存器。因此。

$$S(X:Y) = S(X)+S(Y)-S(XY) = H(X)+H(Y)-H(XY) = I(X:Y).$$

同時， $S(X:Q)$取決於術語

$$\log \rho^{XQ} = \log\left(\sum_{x=1}^n p_x |x\rangle \langle x|\otimes\rho_x\right) = \sum_{x=1}^n |x\rangle \langle x| \otimes \log\left(p_x\rho_x\right) = \sum_{x=1}^n \log p_x |x\rangle \langle x| \otimes I^Q + \sum_{x=1}^n |x\rangle \langle x| \otimes \log\rho_x,$$

其中$I^Q$是量子系統上的身份運算符$Q$。那麼右邊是

$$\begin{aligned} S(X:Q) &= S(X)+S(Q)-S(XQ) \\ &= S(X) + S(\rho) + \operatorname{tr}\left(\rho^{XQ}\log\rho^{XQ}\right) \\ &= S(X) + S(\rho) + \operatorname{tr}\left(\sum_{x=1}^n p_x\log p_x |x\rangle \langle x| \otimes \rho_x\right) + \operatorname{tr}\left(\sum_{x=1}^n p_x|x\rangle \langle x| \otimes \rho_x\log\rho_x\right)\\ &= S(X) + S(\rho) + \underbrace{\operatorname{tr}\left(\sum_{x=1}^n p_x\log p_x |x\rangle \langle x|\right)}_{-S(X)} + \operatorname{tr}\left(\sum_{x=1}^n p_x \rho_x\log\rho_x\right)\\ &= S(\rho) + \sum_{x=1}^n p_x \underbrace{\operatorname{tr}\left(\rho_x\log\rho_x\right)}_{-S(\rho_x)} \\ &= S(\rho) - \sum_{x=1}^n p_x S(\rho_x), \end{aligned}$$

證畢。

## 評論和備註

本質上，霍列沃邊界證明，給定n 個量子比特，雖然它們可以「攜帶」更大量的（經典）資訊（得益於量子疊加），但可以檢索（即訪問）的經典資訊量最多只能為n 個經典（非量子編碼）比特。理論和實驗都已證實，在某些計算中，量子比特在計算過程中攜帶的資訊比經典計算中攜帶的資訊要多。

## 進一步閱讀

- (see page 531, subsection 12.1.1 - equation (12.6) )
- . See in particular Section 11.6 and following. Holevo's theorem is presented as exercise 11.9.1 on page 288.