切比雪夫偏差

在數論上，切比雪夫偏差（Chebyshev's bias）指的是說在多數時候，在給定的界限下，除4餘3的質數個數，會多於除4餘1的質數的現象。這現象最早由帕夫努季·切比雪夫於1853年觀察到。

## 敘述

設$\pi(x;n,m)$為不大於x且形如$nk+m$的質數的數量，那麼根據質數定理在算術數列上的推廣，有以下關係：

$$\pi(x;4,1)\sim\pi(x;4,3)\sim \frac{1}{2}\frac{x}{\log x}.$$

也就是說，大約一半的質數除4餘1，另外一半則是除4餘3的。因此一個合理的猜測是$\pi(x;4,1) > \pi(x;4,3)$跟$\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$的發生率大約相等；然而這點並不受數據支持，實際上，$\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$遠遠更常發生。像例如說對於所有小於26833且不等於5、17、41及461的x而言，$\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$，而在x等於5、17、41及461的狀況下，則有$\pi(x;4,3) = \pi(x;4,1)$；而第一個使得$\pi(x;4,1) > \pi(x;4,3)$的x是26861，也就是說，對於任意的x < 26861而言，$\pi(x;4,3) \ge \pi(x;4,1)$。

更一般地，若$0 < a,b < n$是整數，其彼此的最大公因數有$\gcd(a,n)=\gcd(b,n)=1$這樣的關係，且a為模n的二次剩餘a為模n的二次非剩餘，那麼$\pi(x;n,b) > \pi(x;n,a)$是更常發生的。這點只有在假定強形式的黎曼猜想成立的狀況下得證。

Stanisław Knapowski和圖蘭兩氏曾提出更強的猜想，認為使得$\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$成立的x的密度為一，也就是說$\pi(x;4,3) > \pi(x;4,1)$對幾乎所有的x成立；然而這兩氏提出的猜想已被否證；而實際上使之成立的數的對數密度大約為。

## 推廣

相關的問題可轉化成對於$k=-4$而言，使得$\sum_{q \le p,\ q\ \text{is prime}}\left(\frac{k}{q}\right)>0$成立的最小質數p，其中$\left(\frac{m}{n}\right)$是克羅內克符號；然而對於任意給定的不為零的k（不僅是$k=-4$），也能找使上式成立的最小質數p。從質數定理可知，對於任意非零的整數k，有無限多個質數p滿足此條件。

對於正整數$k=1,2,3,\cdots$而言，最小質數p如下所示：

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... A326615

對於負整數$k=1,2,3,\cdots$而言，最小質數p如下所示：

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... A392284

對於實二次域的判別式$k=1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, \cdots$ A003658，最小質數p如下所示：

2, 2082927221, 11100143, 61463, 2083, 2, 1217, 5, 3, 719, 2, 11, 3, 2, 7, 17, 11, 2, 7, 5, 2, 13, 2, 3, 23, 7, 3, 2, 13, 19, 2, 23, 17, 2, 5, 2, 7, 3, 2, 13, 3, 2, 19, 7, 2, 31, 31, 5, 17, 2, 13, 13, 3, 47, 2, 5, 3, 2, 37, 2, 47, 2, 5, 7, 2, 43, 2, 3, 11, 5, 3, 2, 29, ... A306499

對於虛二次域的判別式$k = -3, -4, -7, -8, -11, -15, -19, -20, -23, -24, -31, -35, -39, -40, -43, -47, -51, -52, -55, -56, -59, \cdots$A003657，最小質數p如下所示：

608981813029, 26861, 2, 3, 5, 2, 11, 3, 2, 5, 2, 11, 2, 11, 53, 2, 13, 17, 2, 3, 5, 163, 3, 2, 2, 11, 5, 2, 31, 31, 2, 2, 3, 23, 2, 41, 3, 2, 13, 47, 2, 5, 19, 7, 11, 2, 191, 2, 3, 19, 2, 15073, 3, 2, 29, 5, 2, 41, 109, 2, 11, 2, 31, 59, 3, 2, 19, 2, 11, 53, 2, 1019, 137, ... A306500

對於任意非平方整數k而言，多數時候，在給定的界限下，使得$\left(\frac{k}{p}\right)=-1$的質數p會多於使得$\left(\frac{k}{p}\right)=1$質數p。

## 延伸至高次剩餘

設m和n是兩個彼此互質的正整數，那麼可定義以下函數：

$$f(m,n)=\sum_{p \text{ is prime, } p\,\mid\,\varphi(n),\ x^p \,\equiv\, m \pmod n \text{ has a solution }} \left(\frac{1}{p}\right)$$

其中$\varphi$是歐拉函數。

這函數的一些數值如次：$f(1, 5) = f(4, 5) = 1/2, f(2, 5) = f(3, 5) = 0, f(1, 6) = 1/2, f(5, 6) = 0, f(1, 7) = 5/6, f(2, 7) = f(4, 7) = 1/2, f(3, 7) = f(5, 7) = 0, f(6, 7) = 1/3, f(1, 8) = 1/2, f(3, 8) = f(5, 8) = f(7, 8) = 0, f(1, 9) = 5/6, f(2, 9) = f(5, 9) = 0, f(4, 9) = f(7, 9) = 1/2, f(8, 9) = 1/3$。

目前有猜想認為，若若$0 < a,b < n$是整數，其彼此的最大公因數有$\gcd(a,n)=\gcd(b,n)=1$這樣的關係，且同時$f(a,n) > f(b,n)$成立，那麼$\pi(x;n,b) > \pi(x;n,a)$是更常發生的。

## 參考資料

- P.L. Chebyshev: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4n + 1 et 4n + 3, Bull. Classe Phys. Acad. Imp. Sci. St. Petersburg, 11 (1853), 208.
- J. Kaczorowski: On the distribution of primes (mod 4), Analysis, 15 (1995), 159–171.
- S. Knapowski, Turan: Comparative prime number theory, I, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 13 (1962), 299–314.

## 外部連結

- A007350─給出除4餘3的質數個數和除4餘1的質數相對個數彼此交換的點的列表
- A007352─給出除3餘1的質數個數和除3餘2的質數相對個數彼此交換的點的列表