高斯複合律

在數學中，在數論中，高斯合成律是由卡爾·弗里德里希·高斯發明的一種規則，用於對整係數二元二次型（IBQF）執行二元運算。高斯在其1801年出版的數論教科書《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）第234至244條中給出了這一法則。高斯合成律是整係數二元二次型理論中最深刻的結果之一，且高斯給出的法則表述及其性質的證明通常被認為極其複雜和困難。後來的一些數學家簡化了合成律的表述，並以適合數值計算的形式呈現。該概念也在多個方向上得到了推廣。

## 整係數二元二次型

形如 $Q(x,y)=\alpha x^2 + \beta xy + \gamma y^2$，其中 $\alpha, \beta, \gamma, x, y$ 均為整數的表達式，稱為整係數二元二次型（IBQF）。如果 $\alpha, \beta, \gamma$ 互素，則稱此IBQF為本原的。量 $\Delta = \beta^2-4\alpha\gamma$ 稱為IBQF $Q(x,y)$ 的判別式。整數 $\Delta$ 是某個IBQF的判別式若且唯若 $\Delta \equiv 0, 1 (\mathrm{mod}\,\, 4)$。稱 $\Delta$ 為基本判別式，若且唯若下列條件之一成立：

- $\Delta \equiv 1\,\, (\mathrm{mod}\,\, 4)$ 且是無平方因子整數。
- $\Delta = 4m$，其中 $m=2 \text{ 或 } 3\,\, (\mathrm{mod}\,\, 4)$ 且 $m$ 無平方因子。

若 $\Delta<0$ 且 $\alpha>0$，則稱 $Q(x,y)$ 為正定的；若 $\Delta<0$ 且 $\alpha<0$，則稱 $Q(x,y)$ 為負定的；若 $\Delta>0$，則稱 $Q(x,y)$ 為不定的。

### IBQF的等價

兩個IBQF $g(x,y)$ 和 $h(x,y)$ 稱為等價的（或稱正常等價），如果存在整數 α, β, γ, δ 使得

$\alpha\delta - \beta\gamma = 1$ 且 $g(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) = h(x,y).$

記號 $g(x,y) \sim h(x,y)$ 用來表示這兩個形式等價。關係「$\sim$」在所有IBQF的集合中是一個等價關係。IBQF $g(x,y)$ 所屬的等價類記為 $[g(x,y)]$。

兩個IBQF $g(x,y)$ 和 $h(x,y)$ 稱為不正常等價的，如果

$\alpha\delta - \beta\gamma = -1$ 且 $g(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) = h(x,y).$

IBQF集合中不正常等價的關係也是一個等價關係。

容易看出，等價（正常或不正常）的IBQF具有相同的判別式。

## 高斯對合成律的表述

### 歷史背景

下面的恆等式，稱為婆羅摩笈多恆等式，為印度數學家婆羅摩笈多（598–668）所知，他利用它來計算正整數平方根的逐次更好的分數近似：

$$(x^2 +D y^2)(u^2 + D v^2) = (xu+Dyv)^2 + D(xv - yu)^2$$

記 $f(x,y)=x^2+Dy^2$，此恆等式可寫成形式

$f(x,y)f(u,v)=f(X,Y)$，其中 $X = xu+Dyv, Y=xv-yu$。

高斯的IBQF合成律將此恆等式推廣為形如 $g(x,y)h(u,v)=F(X,Y)$ 的恆等式，其中 $g(x,y), h(x,y), F(X,Y)$ 均為IBQF，而 $X,Y$ 是乘積 $xu, xv, yu, yv$ 的線性組合。

### IBQF的合成律

考慮以下IBQF：

$$g(x,y) = ax^2+bxy+cy^2$$

$$h(x,y) = dx^2+exy+ fy^2$$

$$F(x,y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2$$

若能找到整數 $p,q,r,s$ 和 $p^\prime, q^\prime, r^\prime, s^\prime$ 使得以下六個數

$$pq^\prime - qp^\prime, pr^\prime - rp^\prime, ps^\prime - sp^\prime, qr^\prime - rq^\prime, qs^\prime - sq^\prime, rs^\prime - sr^\prime$$

除了±1之外沒有公因子，並且令

$$X = pxu + qxv + ryu+syv$$

$$Y = p^\prime xu + q^\prime xv + r^\prime yu+s^\prime yv$$

使得下列關係恆成立

$g(x,y)h(u,v) = F(X,Y)$。

則稱形式 $F(x,y)$ 是形式 $g(x,y)$ 和 $h(x, y)$ 的合成。可以注意到，兩個IBQF的合成如果存在，則不唯一。

### 例子

考慮下列二元二次型：

$$g(x,y) = 2x^2+3xy-10y^2$$

$$h(x,y) = 5x^2 + 3xy-4y^2$$

$$F(x,y) = 10x^2 +3xy - 2 y^2$$

令

$$[p, q, r, s] = [1, 0, 0, 2], \quad [p^\prime, q^\prime, r^\prime, s^\prime] =[0, 2, 5, 3]$$

我們有

$pq^\prime - qp^\prime=2, pr^\prime - rp^\prime=5, ps^\prime - sp^\prime=3, qr^\prime - rq^\prime=0, qs^\prime - sq^\prime=4, rs^\prime - sr^\prime=10$。

這六個數除±1外沒有公因子。

令

$X = pxu + qxv + ryu+syv = xu+2yv$。

$Y = p^\prime xu + q^\prime xv + r^\prime yu+s^\prime yv = 2xv+5yu+3yv$。

那麼可以驗證

$g(x,y)h(u,v) = F(X,Y)$。

因此 $F(x,y)$ 是 $g(x,y)$ 與 $h(x, y)$ 的合成。

## 求兩個IBQF的合成的演算法

以下演算法可用於計算兩個IBQF的合成。

### 演算法

給定以下判別式同為 $\Delta$ 的IBQF：

$$f_1(x,y) = a_1x^2+b_1xy+c_1y^2$$

$$f_2(x,y) = a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2$$

$$\Delta=b_1^2-4a_1c_1=b_2^2-4a_2c_2$$

- 計算 $\beta = \frac{b_1+b_2}{2}$
- 計算 $n = \gcd (a_1,a_2,\beta)$
- 計算 $t,u,v$ 使得 $a_1t+a_2 u+\beta v = n$
- 計算 $A = \frac{a_1a_2}{n^2}$
- 計算 $B = \frac{a_1b_2t + a_2b_1u + v(b_1b_2+\Delta)/2}{n}$
- 計算 $C = \frac{B^2 - \Delta}{4A}$
- 計算 $F(x,y) = Ax^2 + Bxy + Cy^2$
- 計算

$$X = nx_1x_2 + \frac{(b_2-B)n}{2a_2} x_1y_2 + \frac{(b_1-B)n}{2a_1} y_1 x_2+ \frac{[b_1b_2+\Delta - B(b_1+b_2)]n}{4a_1a_2} y_1y_2$$

$$Y = \frac{a_1}{n} x_1y_2 + \frac{a_2}{n}y_1 x_2+ \frac{b_1+b_2}{2n} y_1y_2$$

那麼 $F(X,Y) = f_1(x_1,y_1)f_2(x_2,y_2)$，因此 $F(x,y)$ 是 $f_1(x,y)$ 與 $f_2(x,y)$ 的合成。

## 合成律的性質

### 合成的存在性

兩個IBQF的合成存在若且唯若它們具有相同的判別式。

### 等價形式與合成律

設 $g(x,y), h(x,y), g^\prime(x,y), h^\prime(x,y)$ 為IBQF，並有如下等價關係：

$$g(x,y) \sim g^\prime (x,y)$$

$$h(x,y) \sim h^\prime (x,y)$$

如果 $F(x,y)$ 是 $g(x,y)$ 與 $h(x,y)$ 的合成，且 $F^\prime(x,y)$ 是 $g^\prime(x,y)$ 與 $h^\prime(x,y)$ 的合成，則

$$F(x,y) \sim F^\prime (x,y).$$

### 二元運算

設 $D$ 是一個固定整數，並考慮判別式為 $D$ 的所有可能本原IBQF的集合 $S_D$。令 $G_D$ 為該集合在等價關係「$\sim$」下的等價類集合。設 $[g(x,y)]$ 與 $[h(x,y)]$ 為 $G_D$ 的兩個元素，並令 $F(x,y)$ 為 $S_D$ 中IBQF $g(x,y)$ 和 $h(x,y)$ 的一個合成。則下列等式

$$[g(x,y)] \circ [h(x,y)] = [F(x,y)]$$

定義了 $G_D$ 中的一個良定義的二元運算「$\circ$」。

### 群 GD

- 集合 $G_D$ 在二元運算 $\circ$ 下構成有限阿貝爾群。
- 群 $G_D$ 中的單位元為 $\begin{cases} [x^2-(D/4)y^2] & \text{若 } D \equiv 0\,(\mathrm{mod}\,\, 4)\\[1mm] [x^2+xy+((1-D)/4)y^2] & \text{若 } D \equiv 1\, (\mathrm{mod}\,\, 4) \end{cases}$
- 在 $G_D$ 中，$[ax^2+bxy+cy^2]$ 的逆元是 $[ax^2 -bxy+cy^2]$。

## 合成律的現代處理

以下基於Duncan A. Buell的專著對IBQF合成律的現代處理進行概述。可查閱該書了解更多細節及下述所有陳述的證明。

### 二次代數數與代數整數

令 $\mathbb Z$ 為整數集。此後，在本節中，$\mathbb Z$ 中的元素將被稱為有理整數，以區別於下面將要定義的代數整數。

一個複數 $\alpha$ 若滿足形如

$ax^2+bx+c=0$（其中 $a,b,c \in \mathbb Z$）

方程，則稱其為二次代數數。

$\alpha$ 稱為二次代數整數，若其滿足形如

$x^2+bx+c=0$（其中 $b, c \in \mathbb Z$）

方程。

二次代數數是形如

$\alpha = \frac{-b +e\sqrt{d}}{2a}$ （其中 $a,b,d,e \in \mathbb Z$ 且 $d$ 除 $1$ 外無平方因子）

數。

整數 $d$ 稱為代數整數 $\alpha$ 的被開方數。二次代數數 $\alpha$ 的範數定義為

$N(\alpha) = (b^2+e^2d)/4a^2$。

令 $\mathbb Q$ 為有理數域。包含 $\mathbb Q$ 和二次代數數 $\alpha$ 的最小域是包含 $\alpha$ 的二次域，記為 $\mathbb Q (\alpha)$。可以證明該域為

$$\mathbb Q (\alpha) = \mathbb Q (\sqrt{d}) = \{ t+u\sqrt{d}\,|\, t,u \in \mathbb Q\}$$

域 $\mathbb Q(\sqrt{d})$ 的判別式 $\Delta$ 定義為

$$\Delta = \begin{cases} 4d & \text{若 } d \equiv 2 \text{ 或 } 3 \,\, (\mathrm{mod}\,\, 4 )\\[1mm] d & \text{若 } d \equiv 1 \,\, (\mathrm{mod}\,\, 4 ) \end{cases}$$

設 $d \ne 1$ 為無平方因子（除1外）的有理整數。被開方數為 $d$ 的二次代數整數集記為 $O(\sqrt{d})$。該集合由下式給出

$$O(\sqrt{d}) = \begin{cases} \{ a+ b \sqrt{d}\, |\, a,b \in \mathbb Z\} & \text{若 } d \equiv 2\text{ 或 }3 \,\,(\mathrm{mod}\,\,4)\\[1mm] \{ (a+ b \sqrt{d})/2\, |\, a,b \in \mathbb Z, a\equiv b \,\,\mathrm{mod}\,\, 2)\} & \text{若 } d \equiv 1 \,\,(\mathrm{mod}\,\,4)\} \end{cases}$$

$O(\sqrt{d})$ 在普通加法和乘法下構成一個環。若令

$$\delta = \begin{cases} -\sqrt{d} & \text{若 } \delta \text{ 为偶数}\\[1mm] (1-\sqrt{d})/2 & \text{若 } \delta \text{ 为奇数} \end{cases}$$

則

$O(\sqrt{d}) = \{ a + b\delta\,|\, a,b \in \mathbb Z\}$。

### 二次域中的理想

設 $\mathbf a$ 為整數環 $O(\sqrt{d})$ 中的一個理想；即設 $\mathbf a$ 是 $O(\sqrt{d})$ 的非空子集，使得對任意 $\alpha,\beta \in \mathbf a$ 及任意 $\lambda, \mu \in O(\sqrt{d})$，有 $\lambda\alpha + \mu\beta \in \mathbf a$。（這裡定義的理想有時稱為整理想，以區別於下面將要定義的分式理想。）若 $\mathbf a$ 是 $O(\sqrt{d})$ 中的一個理想，則可以找到 $\alpha_1, \alpha_2 \in O(\sqrt{d})$，使得 $\mathbf a$ 中的任何元素都可唯一地表示為 $\alpha_1 x + \alpha_2 y$，其中 $x,y\in \mathbb Z$。這樣的一對元素稱為理想 $\mathbf a$ 的基，記作 $\mathbf a = \langle \alpha_1, \alpha_2 \rangle$。理想 $\mathbf a = \langle \alpha_1, \alpha_2 \rangle$ 的範數定義為

$N(\mathbf a) = |\alpha_1\overline{\alpha_2} - \overline{\alpha_1}\alpha_2|/\sqrt{\Delta}$。

範數與基的選擇無關。

### 某些特殊理想

- 兩個理想 $\mathbf a = \langle \alpha_1, \alpha_2 \rangle$ 與 $\mathbf b = \langle \beta_1, \beta_2 \rangle$ 的乘積，記為 $\mathbf a \mathbf b$，是由 $\alpha_1\beta_1, \alpha_1\beta_2, \alpha_2\beta_1, \alpha_2\beta_2$ 的 $\mathbb Z$-線性組合生成的理想。
- 分式理想是二次域 $\mathbb Q(\sqrt{\Delta})$ 的子集 $I$，滿足以下兩個性質：
- 對任意 $\alpha, \beta \in I$ 及任意 $\lambda, \mu \in O(\sqrt{d})$，有 $\lambda \alpha + \mu \beta \in I$。
- 存在一個固定的代數整數 $\nu$，使得對每個 $\alpha \in I$，有 $\nu \alpha \in O(\sqrt{d})$。
- 若存在一個代數整數 $\alpha$ 使得 $\mathbf a = \{ \lambda \alpha\, | \, \lambda \in O(\sqrt{d}) \}$，則稱理想 $\mathbf a$ 為主理想。該主理想記為 $(\alpha)$。

有一個重要結果：「任給一個理想（整的或分式的）$\mathbf a$，存在一個整理想 $\mathbf b$ 使得乘積理想 $\mathbf{ab}$ 是一個主理想。」

### 理想集上的等價關係

兩個（整的或分式的）理想 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$ 稱為等價的，記作 $\mathbf a \sim \mathbf b$，如果存在主理想 $(\alpha)$ 使得 $\mathbf a = (\alpha)\mathbf b$。如果 $\alpha$ 的範數為正，則稱這兩個理想窄等價。理想集合中等價或窄等價的關係確實是等價關係。

二次代數整數環 $O(\sqrt{d})$ 的分式理想的等價類（相應地，窄等價類）在理想乘法下構成阿貝爾群。群的單位元是所有主理想構成的類（相應地，範數 $N(\alpha)>0$ 的所有主理想 $(\alpha)$ 構成的類）。理想類構成的群和理想窄類構成的群分別稱為 $\mathbb Q(\sqrt{d})$ 的類群和窄類群。

### 二元二次型與理想類

連接IBQF與理想類的主要結果可陳述如下：

「判別式為 $\Delta$ 的二元二次型的類群同構於二次域 $\mathbb Q(\sqrt {\Delta})$ 的窄類群。」

## 巴爾加瓦對合成律的處理

加拿大裔美國菲爾茲獎得主曼朱爾·巴爾加瓦引入了一種稱為巴爾加瓦立方體的構型，由八個整數 $a,b,c,d,e,f$（見圖）組成，用於研究二元二次型和其他型的合成律。定義與該立方體相對的面相關聯的矩陣如下：

$M_1=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix},N_1=\begin{bmatrix} e & f \\ g & h\end{bmatrix}, M_2=\begin{bmatrix} a & c \\ e & g\end{bmatrix},N_2=\begin{bmatrix} b & d \\ f & h\end{bmatrix}, M_3=\begin{bmatrix} a & e \\ b & f\end{bmatrix},N_3=\begin{bmatrix} c & g \\ d & h\end{bmatrix}$。

巴爾加瓦構造了如下三個IBQF：

$$Q_1=-\det(M_1x+N_1y), \,\,Q_2=-\det(M_2x+N_2y)\,\,Q_3=-\det(M_3x+N_3y)$$

巴爾加瓦建立了如下結果，將巴爾加瓦立方體與高斯合成律聯繫起來：

「如果一個立方體 A 產生三個本原二元二次型 Q1、Q2、Q3，則 Q1、Q2、Q3 具有相同的判別式，且這三個型的乘積在高斯合成所定義的群中是單位元。反之，若 Q1、Q2、Q3 是任意三個判別式相同且其乘積在高斯合成下為單位元的本原二元二次型，則存在一個立方體 A 產生 Q1、Q2、Q3。」