伽利略不變性

伽利略不變性（Galilean invariance）或伽利略相對性（Galilean relativity）原理表明，所有慣性參考系的運動定律是相同的。該原理由伽利略·伽利萊於1632年在《關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》中首次提出，他通過一個例子說明：一艘船在平靜的海面上以恆定速度行駛，不晃動，任何在甲板下的觀察者都無法判斷船是運動的還是靜止的。

## 公式

具體來說，今天所說的「伽利略不變性」通常是指該原理應用於牛頓力學的情況，即牛頓運動定律在通過伽利略變換相關的所有參考系中都成立。換句話說，通過伽利略變換相關的所有參考系都是慣性參考系（意味著牛頓的運動方程在這些參考系中有效）。在這種情況下，這種原理有時也被稱為「牛頓相對性」。

牛頓理論中的公理包括：

- 存在一個絕對空間，在其中牛頓定律成立。慣性參考系是相對於絕對空間做相對均勻運動的參考系。
- 所有慣性參考系共享一個普遍的時間。

伽利略相對性可以通過以下方式來證明。考慮兩個慣性參考系S和S'。在S中的一個物理事件將具有位置座標r = (x, y, z)和時間t，而在S'中具有位置座標r' = (x', y', z')和時間t'。根據上面的第二公理，可以同步這兩個參考系中的時鐘，並假設t = t'。假設S'相對於S以速度v作相對勻速運動。考慮一個點物體，其在S'中的位置由函數r'(t)表示，在S中的位置由函數r(t)表示。我們可以看到。

$$r'(t) = r(t) - v t.\,$$

物體的速度由位置的時間導數給出：

$$u'(t) = \frac{d}{d t} r'(t) = \frac{d}{d t} r(t) - v = u(t) - v.$$

另一項微分得到兩個參考系中的加速度：

$$a'(t) = \frac{d}{d t} u'(t) = \frac{d}{d t} u(t) - 0 = a(t).$$

正是這個簡單但至關重要的結果，體現了伽利略相對性。假設質量在所有慣性參考系中保持不變，上述方程表明，如果牛頓的力學定律在一個參考系中成立，那麼它必須在所有參考系中成立。但它被假定在絕對空間中成立，因此伽利略相對性也成立。

### 牛頓理論與狹義相對論的比較

可以將牛頓相對性與狹義相對論進行比較。

牛頓理論的一些假設和屬性包括：

- 存在無數個慣性參考系，每個參考系都是無限大的（整個宇宙可能被多個線性等效的參考系覆蓋）。任何兩個參考系之間可能處於相對均勻運動狀態。（上面推導的力學的相對論性質表明，絕對空間的假設並非必要。）
- 慣性參考系可以以所有可能的相對均勻運動形式運動。
- 存在普遍的、絕對的時間觀念。
- 兩個慣性參考系之間通過伽利略變換相關。
- 在所有慣性參考系中，牛頓定律和引力定律成立。

相比之下，狹義相對論中的相應表述如下：

- 同樣存在無數個非慣性參考系，每個參考系與一個獨特的時空坐標集合相關，並由此物理條件決定。每個參考系可以是無限大的，但其定義總是由局部物理條件決定的。
- 並不自由允許參考系之間所有相對均勻運動的條件，兩個慣性參考系之間的相對速度由光速限制。
- 不是普遍的時間，而是每個慣性參考系擁有自己獨立的時間觀念。
- 伽利略變換被洛倫茲變換取代。
- 在所有慣性參考系中，所有物理定律都是相同的。

兩種理論都假定存在慣性參考系。在實踐中，這些參考系的大小差異很大，取決於引力潮汐力的影響。

在適當的背景下，一個局部牛頓慣性參考系，牛頓理論仍然適用，範圍可延伸至大約107光年。

在狹義相對論中，考慮到愛因斯坦的思維實驗，即自由落體中的艙室。根據愛因斯坦的思維實驗，在這樣的艙室里，一個人經歷到的（近似）沒有重力的情況，因此艙室可以視為一個近似的慣性參考系。然而，必須假設艙室的大小足夠小，以便內部的引力場大致平行。相比於牛頓慣性參考系，這樣的近似參考系可以大大縮小。例如，環繞地球的人工衛星可以看作是一個艙室。然而，足夠敏感的儀器可能會在這種情況下探測到「微重力」，因為地球引力場的「力線」會匯聚。

通常，宇宙中的引力場匯聚決定了我們可能考慮的（局部）慣性參考系的尺度。例如，一艘飛船墜入黑洞或中子星時，會在一定距離內遭受足夠強大的潮汐力，導致飛船的寬度被壓縮並在長度上被撕裂。然而，相比之下，對於船內的太空人來說，這些力可能僅僅讓他們感到不適（壓縮關節，導致他們在垂直於星體引力場的方向上伸展四肢困難）。進一步縮小尺度，在這個距離上，這些力對老鼠幾乎沒有任何影響。這表明，只要選取合適的尺度，所有自由下落的參考系都是局部慣性（沒有加速度和重力的）。

### 電磁學

在某些情況下，有兩種一致的伽利略變換可以用於電磁場。

如果$T \{ *, v_1+v_2 \} \ne T \{ *, v_1 \} + T \{ *, v_2 \}$，則變換$T \{ *, v \}$不一致，其中$v_1$和$v_2$是速度。一個一致的變換將在一次或多次變換到新速度時產生相同的結果。不可能有同時變換磁場和電場後得到一個一致的伽利略變換。對於電場或磁場有一個占主導時，可以使用以下變換：

#### 磁場系統

對於磁場系統，當初始參考系中的電場不顯著，而磁場較強時，相對速度$v^\mathbf{r}$較低時，可以使用以下變換：$$\begin{align} <pre> \mathbf{H^'} &= \mathbf{H} \\ \mathbf{J_f^'} &= \mathbf{J_f} \\ \mathbf{B^'} &= \mathbf{B} \\ \mathbf{M^'} &= \mathbf{M} \\ \mathbf{E^'} &= \mathbf{E} + v^\mathbf{r} \times \mathbf{B} \\ </pre> \end{align}$$其中，$\mathbf{J_f}$是自由電流密度，$\mathbf{M}$是磁化密度。在這種變化下，當改變參考系時，電場會發生變換，但磁場和相關量保持不變。這種情況的一個例子是電線在磁場中移動，就像在普通發電機或電動機中發生的情況一樣。運動參考系中變換的電場可以在導線中感生電流。

#### 電場系統

對於電場系統，當初始參考系中的磁場不顯著，而電場較強時，相對速度$v^r$較低時，可以使用以下變換：$$\begin{align} <pre> \mathbf{E^'} &= \mathbf{E} \\ \mathbf{D^'} &= \mathbf{D} \\ \mathbf{\rho_f^'} &= \mathbf{\rho_f} \\ \mathbf{P^'} &= \mathbf{P} \\ \mathbf{H^'} &= \mathbf{H} - v^\mathbf{r} \times \mathbf{D} \\ \mathbf{J_f^'} &= \mathbf{J_f} - \rho_\mathbf{f} v^\mathbf{r} \\ </pre> \end{align}$$其中，$\rho_\mathbf{f}$是自由電荷密度，$\mathbf{P}$是極化密度。電場和相關量在變換參考系時保持不變，而磁場和自由電流密度發生變化。

## 功、動能和動量

因為在施加力的過程中，物體所經過的距離依賴於慣性參考系，因此做功也會依賴於慣性參考系。根據牛頓相互作用定律，會產生一個反作用力；它的做功方向與慣性參考系相反。總的來說，做功的量與慣性參考系無關。

相應地，物體的動能以及由於速度變化而導致的動能變化也依賴於慣性參考系。一個孤立系統的總動能同樣依賴於慣性參考系：它是動量中心繫中的總動能與若假設所有質量集中於質心時該總質量所具有的動能之和。由於動量守恆，後者隨時間變化不變，因此總動能隨時間變化的量不依賴於慣性參考系。

相比之下，雖然物體的動量也依賴於慣性參考系，但由於速度變化而引起的動量變化則不依賴於慣性參考系。