不可刪除原理

在物理學中，量子資訊理論的不可刪除原理（no-deleting theorem）是一條不可行定理，它指出，通常情況下，給定某個任意量子態的兩個副本，不可能刪除其中一個副本。該原理是不可克隆原理（即任意量子態無法被複製）在時間反演下的對偶。此原理由阿倫·K·帕蒂（Arun K. Pati）和塞繆爾·L·布勞恩斯坦（Samuel L. Braunstein）證明。直觀地看，這是因為資訊在么正演化下是守恆的。

此定理頗為引人注目，因為從許多方面來看，量子態是脆弱的；但該定理斷言，在特定情況下，量子態也同樣是穩健的。

不可刪除原理與不可克隆原理共同為從範疇論角度詮釋量子力學，特別是將其表述為伴隨對稱么半範疇，奠定了基礎。這種被稱為範疇量子力學的表述方式，進而將量子力學與作為量子資訊理論之邏輯的線性邏輯聯繫起來（這與經典邏輯建立在笛卡爾閉範疇之上的情況形成了精確的類比）。

## 概述

假設存在某個未知量子態的兩個副本。在此背景下的一個核心問題是：給定這兩個相同的副本，是否可能通過量子力學操作刪除其中一個？事實證明，這是不可能的。不可刪除原理是量子力學線性性質的一個推論。與不可克隆原理一樣，該原理對量子計算、量子資訊理論以及廣義的量子力學都具有重要意義。

量子刪除過程設想在輸入端接收某個任意未知量子態的兩個副本，並在輸出端得到一個空白態以及原始量子態的一個副本。用數學語言描述如下：

$$U |\psi\rangle_A |\psi\rangle_B |A\rangle_C = |\psi\rangle_A |0\rangle_B |A'\rangle_C$$

其中 $U$ 是一個么正算符，$|\psi\rangle_A$ 是未知的量子態，$|0\rangle_B$ 是空白態（通常指某個標準初始態，如基態），$|A\rangle_C$ 是執行刪除操作的裝置（或稱輔助系統）的初始態，而 $|A'\rangle_C$ 則是該裝置的最終態。

值得注意的是，經典比特可以被輕易地複製和刪除，同樣地，處於正交態的量子比特（例如 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$）也可以被「刪除」（更準確地說，是將其中一個副本重置為標準態）。例如，如果我們有兩個相同的量子比特，都處於 $|0\rangle$ 態（即系統態為 $|00\rangle$），或者都處於 $|1\rangle$ 態（即系統態為 $|11\rangle$），那麼我們可以將系統分別轉換為 $|00\rangle$（對於輸入 $|00\rangle$）和 $|10\rangle$（對於輸入 $|11\rangle$）。在後一個例子中，我們成功地將第二個副本「刪除」（重置為了 $|0\rangle$）。然而，從量子理論的線性性質可以推斷，不存在一個普適的么正算符 $U$ 能夠對任意疊加態 $|\psi\rangle$ 完成這樣的刪除操作。

## 定理的嚴格表述

給定三個分別描述系統 $A$、$B$、$C$ 的希爾伯特空間，其中系統 $A$ 和 $B$ 的希爾伯特空間是相同的（即它們是同類粒子或系統，可以承載相同的量子態）。不可刪除原理指出，不存在一個普適的么正（或線性等距）變換 $U$，能夠對於任意未知的量子態 $|\psi\rangle$，以及輔助系統的一個固定初始態 $|A\rangle_C$，實現如下操作： $$U (|\psi\rangle_A \otimes |\psi\rangle_B \otimes |A\rangle_C) = |\psi\rangle_A \otimes |0\rangle_B \otimes |A'_\psi\rangle_C$$ 此處，$|0\rangle_B$ 代表系統B的一個標準空白態（例如基態），而 $|A'_\psi\rangle_C$ 是輔助系統 $C$ 的最終態。如果這樣的操作對於任意 $|\psi\rangle$ 都成立，那麼可以證明，量子信息實際上並未從系統 $B$ 中被刪除，而是以某種形式被完整地轉移到了輔助系統 $C$ 中（即 $|A'_\psi\rangle_C$ 會完全依賴於 $|\psi\rangle$，並攜帶其全部資訊）。

### 證明

此定理對任意維度的希爾伯特空間中的量子態均成立。為清晰起見，我們考慮對兩個相同的量子比特（qubit）進行刪除操作的情況。假設存在一個滿足上述刪除條件的么正變換 $U$。首先，考慮 $U$ 作用於兩個正交基態 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的副本上：

- 當輸入為 $|\psi\rangle = |0\rangle$ 時： $$U (|0\rangle_A |0\rangle_B |A\rangle_C) = |0\rangle_A |0\rangle_B |A_0\rangle_C$$2. 當輸入為 $|\psi\rangle =|1\rangle$ 時： $$U (|1\rangle_A |1\rangle_B |A\rangle_C) = |1\rangle_A |0\rangle_B |A_1\rangle_C$$其中 $|A_0\rangle_C$ 和 $|A_1\rangle_C$ 分別是對應情況下輔助系統 $C$ 的末態。現在，考慮一個任意的疊加態 $|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是複數，滿足 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$。如果我們擁有這個未知量子態的兩個副本，即輸入態為 $|\psi\rangle_A |\psi\rangle_B |A\rangle_C$，那麼： $$|\psi\rangle_A |\psi\rangle_B |A\rangle_C = (\alpha |0\rangle_A + \beta |1\rangle_A) \otimes (\alpha |0\rangle_B + \beta |1\rangle_B) \otimes |A\rangle_C$$ $$\qquad = [\alpha^2 |0\rangle_A |0\rangle_B + \beta^2 |1\rangle_A |1\rangle_B + \alpha\beta (|0\rangle_A |1\rangle_B + |1\rangle_A |0\rangle_B)] \otimes |A\rangle_C$$ 根據量子力學的線性疊加原理，么正算符 $U$ 作用於此疊加態的結果是 $U$ 分別作用於各項之和： $$U (|\psi\rangle_A |\psi\rangle_B |A\rangle_C) = \alpha^2 U(|0\rangle_A |0\rangle_B |A\rangle_C) + \beta^2 U(|1\rangle_A |1\rangle_B |A\rangle_C) + \alpha\beta U((|0\rangle_A |1\rangle_B + |1\rangle_A |0\rangle_B)|A\rangle_C)$$ 代入前面正交基態的變換結果： $$\qquad = \alpha^2 |0\rangle_A |0\rangle_B |A_0\rangle_C + \beta^2 |1\rangle_A |0\rangle_B |A_1\rangle_C + \alpha\beta U((|0\rangle_A |1\rangle_B + |1\rangle_A |0\rangle_B)|A\rangle_C)$$ 另一方面，如果刪除操作確實成功，那麼對於任意 $|\psi\rangle$，輸出態應該具有以下形式： $$|\psi\rangle_A |0\rangle_B |A'_\psi\rangle_C = (\alpha |0\rangle_A + \beta |1\rangle_A) \otimes |0\rangle_B \otimes |A'_\psi\rangle_C$$ $$\qquad = \alpha |0\rangle_A |0\rangle_B |A'_\psi\rangle_C + \beta |1\rangle_A |0\rangle_B |A'_\psi\rangle_C$$ 為了使這兩種演化結果（通過線性和通過理想刪除形式）對於任意的 $\alpha$ 和 $\beta$ 都相同，我們必須要求輔助系統的末態 $|A'_\psi\rangle_C$ 具有線性依賴於 $\alpha$ 和 $\beta$ 的形式，即 $|A'_\psi\rangle_C = \alpha |A_0\rangle_C + \beta |A_1\rangle_C$（這裡 $|A_0\rangle_C$ 和 $|A_1\rangle_C$ 是當輸入分別為 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 時輔助系統的末態，與之前定義一致）。將此代入理想刪除輸出形式，得到： $$\alpha^2 |0\rangle_A |0\rangle_B |A_0\rangle_C + \alpha\beta |0\rangle_A |0\rangle_B |A_1\rangle_C + \alpha\beta |1\rangle_A |0\rangle_B |A_0\rangle_C + \beta^2 |1\rangle_A |0\rangle_B |A_1\rangle_C$$ 將此結果與通過線性演化得到的結果逐項比較：

- $\alpha^2$ 項：$|0\rangle_A |0\rangle_B |A_0\rangle_C$，兩邊匹配。
- $\beta^2$ 項：$|1\rangle_A |0\rangle_B |A_1\rangle_C$，兩邊匹配。
- $\alpha\beta$ 項（交叉項）： $$U((|0\rangle_A |1\rangle_B + |1\rangle_A |0\rangle_B)|A\rangle_C) =|0\rangle_A |0\rangle_B |A_1\rangle_C + |1\rangle_A |0\rangle_B |A_0\rangle_C$$ 現在考慮輔助系統末態 $|A'_\psi\rangle_C = \alpha |A_0\rangle_C + \beta |A_1\rangle_C$ 的歸一化。由於對於任意滿足 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ 的 $\alpha, \beta$，$|A'_\psi\rangle_C$ 都必須是歸一化的（即 $\langle A'_\psi | A'_\psi \rangle = 1$），並且假設 $|A_0\rangle_C$ 和 $|A_1\rangle_C$ 本身也是歸一化的，那麼這就要求 $|A_0\rangle_C$ 和 $|A_1\rangle_C$ 必須相互正交，即 $\langle A_0 | A_1 \rangle = 0$。如果 $|A_0\rangle_C$ 和 $|A_1\rangle_C$ 是兩個正交的歸一化態，那麼態 $|A'_\psi\rangle_C = \alpha |A_0\rangle_C + \beta |A_1\rangle_C$ 就唯一地編碼了原始態 $|\psi\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$ 的所有資訊（即係數 $\alpha$ 和 $\beta$）。這意味著，通過對輔助系統 $C$ 的末態 $|A'_\psi\rangle_C$ 進行適當的么正變換（局域操作），總可以恢復出原始的未知態 $|\psi\rangle$。因此，量子信息並沒有被真正「刪除」（即從宇宙中徹底抹去其痕跡，同時保留系統A中的副本完好無損並將系統B置為空白態）。相反，系統B中的量子信息 $|\psi\rangle$ 被完整地轉移到了輔助系統 $C$ 中。量子力學的線性性質不允許在保留一個副本的同時，完美地、不留痕跡地刪除另一個任意未知量子態的副本。

## 推論

- 如果可以刪除一個未知的量子態，那麼利用兩對EPR對，我們將能夠以超光速發送信號。因此，對不可刪除原理的違背與禁止通訊定理（禁止超光速通訊）是不相容的。
- 不可克隆原理和不可刪除原理共同指向了量子信息的守恆性。
- 更強形式的不可克隆原理和不可刪除原理賦予了量子信息一種持久性。要創建一個副本，必須從宇宙的某個地方「導入」資訊；要刪除一個態，則需要將其「導出」到宇宙的另一部分，在那裡它將繼續存在。