鋰離子電池等效電路模型

鋰離子電池等效電路模型，常簡稱等效電路模型（equivalent circuit model）或ECM，是鋰離子電池的集總電路模型。等效電路模型用電阻及電容等被動元件以及電壓源組成的等效電路，來模擬鋰離子電池的端電壓特性。等效電路模型可以用在許多的領域，因為結構簡單、計算需求低、容易表現其電池特性，以及在結構上的靈活度，可以用在電腦模擬上。等效電路模型的特點也適合用在實時的電池管理系統（BMS）上，用來檢測電量狀態（SoC）、電池健康狀態（SoH）等資訊，也可以用在電池熱管理上。

## 模型結構

等效電路模型是用來模擬電池充電或是放電時，電池上對應的電壓。最常見的電路是由三個電件串聯組成：表示電池開路電壓（OCV）的可變電壓源、表示電池歐姆內阻的電阻、表示電池動態電壓降的RC電路。

### 開路電壓

鋰離子電池的開路電壓是指在平衡條件（沒有負載電流，靜置很長一段時間之後）下量測的電壓。開路電壓是其電量狀態的遞減非線性函數，和電池陽極（多半是石墨）和陰極（LFP、NMC、NCA、LCO等）有關。開路電壓在等效電路中是由電荷產生電壓的元件，是電路中電壓的主要提供者，也是電池電量狀態最有效的指標。

### 內阻

內阻在電路中是以一個電阻來表示，用來表示電池因為歐姆效應產生的電壓降，其中包括電極的電阻率、電解質的電導率，以及接觸電阻（例如固態電解質介面 solid-electrolyte interface以及集電體的接觸電阻）。

內阻會受到許多因素所影響，例如：

- 溫度：在低溫時內阻會明顯上昇，這也是鋰電池在低溫時效能較差的原因。
- 電量狀態：內阻會受到電量狀態的影響，造成其值顯著變化。特別是在低電量狀態（接近完全放電）以及滿電量狀態（接近完全充電）時，內阻會增加。
- 電池老化：隨著鋰電池老化，其內阻會漸漸增加。電阻增加的主因是因為固態電解質介面（solid-electrolyte interface，簡稱SEI）的產生，這是在陰極表面自然生成，有保護作用的固態物質，其成份是電解液成份衍生的化合物。

### RC並聯電路

在模型中會加入一個或是多個RC並聯電路，模擬其動態的電壓變化。並聯電路的數量是建模時可以決定的：一般而言，RC電路越多，模型會越精準，但其識別流程的複雜度會增加，而且會增加運算上的負擔，而RC電路少，在計算上的負擔較少，較容易找到特徵，但其動態電壓估測會較不精準。一般來說，最佳作法是使用一個或二個RC並聯電路。

## 模型方程式

等效電路模型可以用狀態空間表示，以電流（$i$）為輸入，電池電壓（$V$）為輸出。考慮有數個RC並聯電路的通用等效電路模型$N$。模型狀態（微分方程中隨時間變化的變數）是電量狀態（$SoC$）以及各RC並聯電路上的電壓（$V_{c,1}, V_{c,2} \dots V_{c,N}$）。

電量狀態一般會用對電池充電電流以及電池放電電流積分而得，此方法稱為庫侖計數（Coulomb Counting）：

$$SoC(t)= SoC(t_0) + \int_{t_0}^t\dfrac{1}{3600Q}i(t) dt$$

其中$Q$是電池額定容量（以安培小時表示）。每一個RC並聯電路上的電壓可以用以下方式模擬：

$$\dfrac{dV_{c,i}}{dt}(t)=-\dfrac{1}{R_iC_i}V_{c,i}(t) + \dfrac{1}{C_i}i(t)$$

其中$R_i$和$C_i$是極化電阻和電容。在知道開路電壓和電量狀態關係$V_{OC}(SoC)$，以及電池內阻$R_0$後，可以用以下方式計算電池端電壓：

$$V(t) = V_{OC}(SoC(t)) + R_0i(t) + \sum_{i=1}^NV_{c,i}(t)$$

## 應用

以下是一些可以用到等效電池模型的應用：

- 電池管理系統的線上狀態估測：等效電池模型常用在預測電池內不可量測狀態（例如電量狀態、電池健康狀態），以模型為基礎的估測器。例如可以使用各種階數的等效電池模型，配合擴展卡爾曼濾波器（EKF）來進行電量狀態的線上估測。
- 模擬以及系統設計：等效電池模型常用在電池組的設計階段。模擬電池芯的電子負載分佈可以依容量和電壓來定義系統尺寸。而且等效電池模型也可以用來模擬電池產生的熱，以此設計電池冷卻系統。

## 實驗識別的簡介

等效電路模型的實驗識別是另外對電池進行實驗，來識別未知的參數，特別是電池容量$Q$，開路電壓曲線$V_{OC}(SoC)$、被動元件$R_0$、$R_i$和$C_i$。一般來說，識別會有幾個不同的步驟。

### 電池容量評估

電池容量$Q$多半會透過定電流的完全放電來偵測。電池容量測試一般會從電池電壓上限$V_{max}$放到電池電壓下限$V_{min}$，以放電速率0.5C或1C的電流量進行放電（0.5C／1C是指在額定電量下，二小時/一小時可以從電池滿電將電完全放完），再將其完全充電（會依照定電流-定電壓的策略）。電池容量可以用下式計算：$Q= \int_{t\mid_{V(t)=V_{max}}}^{t\mid_{{V(t)=V_{min}}}}\dfrac{1}{3600}i(t) dt$。

### 開路電壓特徵化

要找到開路電壓的特徵，主要會用以下兩種實驗方式：

- 脈衝測試：用連續電流脈衝，將電池完全放電/充電。每一次脈衝放電時會放掉電池一部份的電量，因此讓電池到新的$SoC$點。在每次電流脈衝之後，電池會靜置數小時不充電也不放電，以便量測其開路電壓。最後會將記錄的$SoC$, $V_{OC}$資料，用任意選定的函數（一般是多項式）進行曲線擬合，以找到$V_{OC}=f(SoC)$曲線。一般認為此方法快而且有效，但其結果準確性取決於實驗設計，以及要進行多久的實驗。
- 慢恆電流放電（Slow galvanostatic discharge）：另一種評估電池開路電壓的方式，就是小的恆電流條件下充電或是放電。在小電流下，以下的近似成立：$V = V_{OC}(SoC) + R_0i + \sum_{i=1}^NV_{c,i} \; \underset{i \rightarrow0}{\simeq}\; V_{OC}(SoC)$。在此作法中，估測的精準度取決於所充電/放電電流有多小，而估測結果的好壞也取決於要花多久進行實驗。

### 動態響應特徵化

動態響應的參數，像是歐姆電阻$R_0$、RC電路相關參數$R_i$,$C_i$多半可以用以下兩種方式來識別：

- 時域識別：提供指定的電流波形，分析電池電壓的波形，以此找到最合適的參數。例如，脈波測試可以提供以下的功能：在施加或移取電流的瞬間，可以量測其電壓變化，求得不同電量狀態下的$R_0$，而$R_i$ 和$C_i$可以用電池電壓動態變化的資料進行最佳化來求得
- 頻域識別：分析電池的頻率響應來找到參數。為此會在電池中注入不同頻率的交流電壓（或電流）信號，再計算所得電流（或電壓）的振幅和相位。此分析稱為電化學交流阻抗法（EIS），需要專門的實驗室儀器，可以產生高可靠度的結果。EIS結果一般會用奈奎斯特圖來評估，可以識別出電池不同的阻抗成份（$R_0$、$R_i$和$C_i$）。

## 外部連結

- Li-ion battery modeling through equivalent circuit models
- Equivalent circuit models for Li-ion cells
- Matlab tool for equivalent circuit models development
- Introduction to EIS methodology