行列式的萊布尼茨公式

在代數中，為紀念戈特弗里德·萊布尼茨而得名的萊布尼茨公式，用矩陣元素的置換表示了方塊矩陣的行列式。若 $A$ 為 $n\times n$，以 $a_{ij}$ 表示 $A$ 的第 $i$ 列（row）與第 $j$ 行（column），則萊布尼茨公式為： $$\det\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}a_{i\sigma\left(i\right)}=\sum_{\tau\in S_n}\sgn\left(\tau\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\tau\left(i\right)i}$$ 其中 $\sgn$ 為置換群 $S_n$ 中的置換的符號，當其中為偶置換時給出 $+1$，而當其中是奇置換時給出 $-1$。

另一種常見的，物理學家可能更熟悉的記號是依據列維-奇維塔符號並利用愛因斯坦求和約定將公式表示為 $$\det\left(A\right)=\varepsilon_{i_1,\dots,i_n}a_{1,i_1}\cdots a_{n,i_n}.$$

因為 $n!$ 是 $n$ 階置換的數量，直接根據定義計算萊布尼茨公式一般需要 $\Omega\left(n!\cdot n\right)$ 步。換言之，運算次數與 $n$ 的階乘漸進成比例。即使對較小的 $n$ 來說，此方法也是困難、不明智且不可行的。另一策略是通過高斯消元法或類似方法利用LU分解 $A=LU$ 在 $\Omicron\left(n^3\right)$ 步內計算行列式，此時 $\det\left(A\right)=\det\left(L\right)\cdot\det\left(U\right)$，並且三角陣 $L$ 和 $U$ 的行列式僅為其對角項之積。（但是在數值線性代數的實際應用中很少需要顯式計算行列式）。參見腳註。通過矩陣乘法算法可以簡化行列式的計算，使其用少於 $\Omicron\left(n^3\right)$ 步就可以計算，但是這些演算法中的大多數是不實用的。

## 正式陳述和證明

存在唯一的映射 $F:M_n\left(\mathbb{K}\right)\mapsto\mathbb{K}$ 關於行是交替多線性映射且 $F\left(I\right)=1$。

證明如下：

### 唯一性

令 $F$ 為定理中所言的映射，$A=\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}_{i,j=1,2,\dots,n}$ 是 $n\times n$ 矩陣。用 $A_j$ 表示 $A$ 的第 $j$ 行，換言之 $A_j=\left(a_{1j},a_{2j},\dots,a_{nj}\right)^T$，因此 $A=\left(A_1,A_2,\dots,A_n\right)$。

同時，令 $e_k$ 表示 $\left(0,\dots,1,\dots,0\right)^T$，其中 $1$ 在第 $k$ 位，也就是單位矩陣的第 $k$ 個行向量。

現在用 $e_k$ 表示 $A_j$ 的項：$$A_j=\sum_{k=1}^{n}a_{kj}e_k\quad j=1,2,\dots,n.$$

由於 $F$ 是多線性的，可得 $$F\left(A\right)=F\left(\sum_{k=1}^{n}a_{k1}e_{k},\dots,\sum_{k=1}^{n}a_{kn}e_{k}\right)=\sum_{k_1=1}^{n}\cdots\sum_{k_n=1}^{n}F\left(e_{k_1},\dots,e_{k_n}\right)\prod_{i=1}^{n}a_{k_i i}.$$

由交替性，上式中求和指標相同（即存在 $1\le p<q\le n$ 使 $k_p=k_q$）的項皆為零。因此該和的求和指標一定是無重複的元組，即置換：$$F\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}F\left(e_{\sigma\left(1\right)},\dots,e_{\sigma\left(n\right)}\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma\left(i\right) i}.$$

因為 $F$ 是交替的，因此可以通過對換行 $e_k$ 得到單位矩陣。符號 $\sgn\left(\sigma\right)$ 定義為必要的對換的數量和由此產生的符號變化。最終得到：$$\begin{aligned} F\left(A\right)=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)F\left(I\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma\left(i\right) i}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma\left(i\right) i}\\ \end{aligned}$$ 因為 $F\left(I\right)=1$。

因此除了萊布尼茨公式定義的映射，其餘映射皆不是$F\left(I\right)=1$的交替多線性映射。

這一定義方式也稱為行列式的公理化定義。

### 存在性

現在證明由萊布尼茨公式定義的 $F$ 有以下三條性質。

#### 多線性

設 $A=\begin{pmatrix}a_{ij}\end{pmatrix}_{i,j=1,2,\dots,n}$，並設 $A_k=\lambda' A'_k+\lambda''A''_k$，其中撇號指出了輔助矩陣 $$A'=\left(A_1,\dots,A_{k-1},A'_k,A_{k+1},\dots,A_n\right),$$ $$A''=\left(A_1,\dots,A_{k-1},A''_k,A_{k+1},\dots,A_n\right).$$ 根據條件 $$a_{jk}=\lambda' a'_{jk}+\lambda''a''_{jk},\quad j=1,2,\dots,n.$$ $F\left(A\right)$ 關於第 $k$ 行的元素的線性可以給出下述論斷。由定義 $$F\left(A\right)=\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right) a_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a_{\sigma\left(k\right) k}\cdots a_{\sigma\left(n\right) n}=\sum_{\sigma\in S_n}p_{\sigma}a_{\sigma\left(k\right) k},$$ 其中 $p_{\sigma}$ 不依賴於行 $A_k$ 的元素。將求和指標滿足 $\sigma\left(k\right)=j, \sigma\in S_n$ 的 $p_{\sigma}$ 合併同類項，並設 $\alpha_j=\sum_{\sigma\left(k\right)=j}p_{\sigma}$，我們就得到了所需的多線性 $$\begin{aligned} F\left(\dots,A_k,\dots\right)=&\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}a_{jk},\\ F\left(\dots,\lambda'A'_k+\lambda''A''_k,\dots\right)=&\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\left(\lambda'a'_{jk}+\lambda''a''_{jk}\right)\\ =&\lambda'\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}a'_{jk}+\lambda''\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}a''_{jk}\\ =&\lambda'F\left(\dots,A'_k,\dots\right)+\lambda''F\left(\dots,A''_k,\dots\right).\\ \end{aligned}$$ 簡言之：$$F\left(A\right)=\lambda'F\left(A'\right)+\lambda''F\left(A''\right).$$

因此 $F$ 滿足多線性。

#### 交替性

設 $A'$ 是由 $A$ 交換行 $A_s,A_t$ 得到的矩陣，也就是說 $A'_s=A_t, A'_t=A_s$，若 $j\ne s,t$ 則 $A'_j=A_j$。將任意置換 $\pi\in S_n$ 寫成 $\pi=\sigma\tau$ 的形式，其中 $\tau=\left(st\right)$ 是一個對換（參見），我們有$$\begin{aligned} F\left(A'\right)=&\sum_{\pi\in S_n}\sgn\left(\pi\right)a'_{\pi\left(1\right) 1}\cdots a'_{\pi\left(n\right) n}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\tau\right)a'_{\sigma\tau\left(1\right) 1}\cdots a'_{\sigma\tau\left(s\right) s}\cdots a'_{\sigma\tau\left(t\right) t}\cdots a'_{\sigma\tau\left(n\right) n}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\tau\right)a'_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a'_{\sigma\left(t\right) s}\cdots a'_{\sigma\left(s\right) t}\cdots a'_{\sigma\left(n\right) n}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\tau\right)a_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a_{\sigma\left(t\right) t}\cdots a_{\sigma\left(s\right) s}\cdots a_{\sigma\left(n\right) n}\\ =&-\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)a_{\sigma\left(1\right) 1}\cdots a_{\sigma\left(t\right) t}\cdots a_{\sigma\left(s\right) s}\cdots a_{\sigma\left(n\right) n}\\ =&-F\left(A\right)\\ \end{aligned}$$

進一步地，若 $A_s,A_t$ 兩行相同，則將其交換後有 $A'=A$。於是 $F\left(A\right)=F\left(A'\right)=-F\left(A\right)$，因此 $F\left(A\right)=0$。因此 $F$ 滿足交替性。

#### 單位矩陣的行列式為一

最後，$F(I)=1$：$$\begin{aligned} F\left(I\right)=&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n}I_{\sigma\left(i\right) i}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right)\prod_{i=1}^{n} \delta_{i,\sigma\left(i\right)}\\ =&\sum_{\sigma\in S_n}\sgn\left(\sigma\right) \delta_{\sigma,\operatorname{id}_{\left\{1\ldots n\right\}}}\\ =&\sgn\left(\operatorname{id}_{\left\{1\ldots n\right\}}\right)\\ =&1 \end{aligned}$$

### 小結

因此唯一滿足 $F\left(I\right)=1$ 交替多線性映射刻畫了萊布尼茨公式定義的映射，並且該映射實際上也具有這三條性質。因此行列式可以定義為具有這三條性質的唯一映射 $M_n\left(\mathbb{K}\right)\mapsto\mathbb{K}$。