哥德爾度規

哥德爾度規，又稱哥德爾解或哥德爾宇宙，是愛因斯坦場方程的一個精確解，由庫爾特·哥德爾於 1949 年發現，其中應力-能量張量包含兩項：第一項表示旋轉塵埃粒子均勻分布的物質密度（參見塵埃解），第二項與負宇宙常數相關（參見Λ真空解）。

這個解具有許多不尋常的性質——特別是存在閉合類時曲線，這使得在由該解描述的宇宙中可以進行時間旅行。它的定義在某種程度上是人為的，因為宇宙常數的值必須經過仔細選擇以對應於塵埃顆粒的密度，但這個時空是一個重要的教學示例。

## 定義

與其他洛倫茲時空一樣，哥德爾解用局部坐標圖表示度規張量。使用柱坐標系（見下文）可能最容易理解哥德爾宇宙，但本文採用哥德爾最初使用的坐標圖。在該坐標圖中，度規（或等價地，線元）是

$$g = \frac{1}{2\omega^2} \left[ -(dt + e^x \, dy)^2 + dx^2 + \tfrac{1}{2} e^{2x} \, dy^2 +dz^2\right]$$

這裡$\omega$是一個非零實常數，表示周圍塵埃顆粒繞y軸的角速度，由一個「不旋轉」的觀察者（位於其中一個塵埃顆粒上）測量得到。「不旋轉」意味著觀察者感受不到離心力，但在該坐標系中，它會繞平行於y軸的軸旋轉。在這個旋轉坐標系中，塵埃顆粒的x、 y和z值保持不變。它們在該坐標系中的密度隨x 的增大而增大，但在它們自身的參考系中，它們的密度處處相同。

## 特性

為了研究哥德爾解的性質，可以假設框架場（與上面給出的從度規中讀出的余框架對偶）。

$$\vec{e}_0 = \sqrt{2} \omega \, \partial_t$$

$$\vec{e}_1 = \sqrt{2} \omega \, \partial_x$$

$$\vec{e}_2 = \sqrt{2} \omega \, \partial_y$$

$$\vec{e}_3 = 2 \omega \, \left( \exp(-x) \, \partial_z - \partial_t \right).$$

該框架定義了一族與塵埃顆粒「同向運動」的慣性觀測者。通過計算關於$\vec{e}_0$的費米-沃克導數表明，空間框架正繞著$\vec{e}_2$以角速度 -\omega旋轉，與塵埃粒子一起運動的「非旋轉慣性系」是

$$\vec{f}_0 = \vec{e}_0$$

$$\vec{f}_1 = \cos(\omega t) \, \vec{e}_1 - \sin(\omega t) \, \vec{e}_3$$

$$\vec{f}_2 = \vec{e}_2$$

$$\vec{f}_3 = \sin(\omega t) \, \vec{e}_1 + \cos(\omega t) \, \vec{e}_3.$$

### 愛因斯坦張量

愛因斯坦張量的分量（相對於上述任一參考系）為：

$$G^{\hat{a}\hat{b}} = \omega^2 \operatorname{diag} (-1,1,1,1) + 2 \omega^2 \operatorname{diag} (1,0,0,0).$$

這裡，第一項是Λ真空解的特徵，第二項是無壓完美流體或塵埃解的特徵。宇宙常數經過精心選擇，以部分抵消塵埃的物質密度。

### 拓撲

哥德爾時空是愛因斯坦場方程的正則（無奇點）解的一個罕見例子。哥德爾的原始坐標圖是測地完備的，且無奇點。因此，它是一個全局坐標圖，並且該時空與R⁴同胚，因此是單連通的。

### 曲率不變量

在任何洛倫茲時空中，四階黎曼張量在四維切向量空間上（在某個時刻）是一個多線性算子，但在六維雙向量空間上（在該時刻）是一個線性算子。因此，它有一個特徵多項式，其根即為特徵值。在哥德爾時空中，這些特徵值非常簡單：

- 三重特徵值為零。
- 雙特徵值$-\omega^2$。
- 單個特徵值$\omega^2$。

### 基靈矢量場

這個時空允許存在一個由Killing向量構成的五維李代數，該李代數可以通過「時間平移」生成。$\partial_t$兩個「空間轉換」 $\partial_y, \; \partial_z$加上另外兩個 Killing 向量場：

$$\partial_x - y \, \partial_y$$

和

$$-2 \exp(-x) \, \partial_t + y \, \partial_x + \left( \exp(-2x) -y^2/2 \right) \, \partial_y.$$

這個等距群具有「傳遞性」（因為我們可以變換成 $t,y,z$, 並且利用第四個向量我們可以沿著$x$移動），因此時空是「均勻的」。然而，正如我們所看到的，它並非「各向同性的」。

所給出的項表明，切片 $x=x_0$ 容許一個傳遞的阿貝爾三維變換群，因此該解的商空間可以被重新解釋為一個平穩柱對稱解。切片$y=y_0$允許SL(2, R )作用，而切片$t=t_0$允許存在 Bianchi III 型（參見第四 Killing 向量場）。這可以改寫為：該對稱群包含 Bianchi I、III 和 VIII 型的三維子群。在五個 Killing 矢量中，有四個矢量以及曲率張量都不依賴於坐標 y。哥德爾解是實數集R與三維洛倫茲流形的笛卡爾積（符號−++）。

可以證明，除了局部等距解之外，哥德爾解是愛因斯坦場方程唯一具有五維李代數的Killing向量的完美流體解。

### Petrov 型和 Bel 分解

哥德爾解的Weyl張量具有Petrov `<b id="mwig">D</b>`型。這意味著對於適當選擇的觀察者，潮汐力與牛頓引力中點質量所感受到的潮汐力非常接近。

為了更詳細地研究潮汐力，可以將黎曼張量的貝爾分解計算為三部分：潮汐或電引力張量（代表潮汐力）、磁引力張量（代表自旋測試粒子上的自旋-自旋力和其他類似於磁性的引力效應）和拓撲引力張量（代表空間截面曲率）。

與塵埃粒子同向運動的觀測者會觀測到潮汐張量（相對於$\vec{u} = \vec{e}_0$ （其中哪些組件在我們的框架中被評估）具有以下形式

$${E\left[ \vec{u} \right]}_{\hat{m}\hat{n}} = \omega^2 \operatorname{diag}(1,0,1).$$

也就是說，它們測量的是垂直於特定方向的各向同性潮汐張力。$\partial_y$。

引力磁張量恆等於零

$${B\left[ \vec{u} \right]}_{\hat{m}\hat{n}} = 0.$$

這是該時空不尋常對稱性的產物，意味著塵埃的所謂「旋轉」並不具有通常與旋轉物質產生的引力場相關的引力磁效應。

黎曼張量的主要洛倫茲不變量是

$$R_{abcd} \, R^{abcd} = 12 \omega^4, \; R_{abcd} {{}^\star R}^{abcd} = 0.$$

第二不變量的消失意味著某些觀測者無法測量到引力磁效應，這與剛才所述一致。第一不變量（克雷奇曼不變量）為常數這一事實反映了哥德爾時空的均勻性。

### 剛性旋轉

上述給出的參考系場均為慣性場， $\nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_0 = 0$但是，由類時單位矢量定義的類時測地線全等的渦度矢量是

$$-\omega \vec{e}_2$$

這意味著附近塵埃粒子的世界線彼此扭曲。此外，全等性的剪切張量$\vec{e}_0$消失後，塵埃粒子呈現剛性旋轉。

### 光學效應

如果研究給定觀測者的過去光錐，可以發現垂直於該光錐運動的零測地線$\partial_y$塵埃顆粒向內螺旋式地朝向觀察者，因此，如果沿徑向觀察，可以看到其他塵埃顆粒的位置逐漸滯後。然而，該解是靜止的，所以看起來，站在塵埃顆粒上的觀察者似乎看不到其他顆粒圍繞自身旋轉。但是，請記住，雖然上面給出的第一個參考系（$\vec{e}_j$雖然圖中看起來是靜止的，但費米-沃克導數表明它相對於陀螺儀在自旋。第二幀（$\vec{f}_j$圖中看起來好像在旋轉，但實際上它是陀螺儀穩定的，一個不旋轉的慣性觀察者如果騎在一粒塵埃上，確實會看到其他塵埃顆粒以角速度順時針旋轉。$\omega$圍繞他的對稱軸。結果表明，此外，光學圖像還會沿旋轉方向發生擴展和剪切。

如果一個不旋轉的慣性觀察者沿著他的對稱軸觀察，他會看到與自己同軸的不旋轉的慣性同伴相對於自己顯然是不旋轉的，正如預期的那樣。

### 絕對未來的形態

根據霍金和埃利斯的說法，這種時空的另一個顯著特徵是，如果忽略無關緊要的y坐標，從給定塵埃粒子世界線上的事件發出的光會螺旋式地向外傳播，形成一個圓形尖點，然後螺旋式地向內傳播，並在同一塵埃粒子世界線上的後續事件處重新匯聚。這意味著，垂直於該塵埃粒子世界線方向觀察的觀測者…… $\vec{e}_2$方向只能看到有限的距離，也只能看到自己過去的某個時刻。

尖點是一條非測地線閉合零曲線。（詳見下文使用另一種坐標圖的討論。）

### 閉合類時曲線

在平坦時空中，圍繞類時軸（正交地）繪製的圓本身就是一個類空環。在哥德爾時空中，對於足夠小的圓，這一規律也成立。但如果我們增大圓的尺寸，它們就會轉移到更遠的參考系，這些參考系相對於鄰近的參考系發生了扭曲。這種扭曲最終會將（原本類空的）環的方向轉變為時間錐，因此更大的環就變成了閉合類時曲線（CTC）。由於哥德爾時空是均勻的，這意味著其中發生的每一個事件都存在閉合類時曲線。這種因果異常似乎被哥德爾本人視為該模型的核心所在。他顯然試圖證明愛因斯坦的時空方程與我們直覺上對時間的理解並不一致（即時間流逝，過去不再存在，哲學家稱之為「現在主義」，而哥德爾似乎更傾向於永恆主義哲學）。

愛因斯坦知道哥德爾的解法（他們二人是好朋友），並在《阿爾伯特·愛因斯坦：哲學家-科學家》中評論說，如果存在一系列因果相關的事件，其中「該序列本身是封閉的」（換句話說，是一條封閉的類時曲線），那麼這表明沒有好的物理方法來定義序列中給定的事件是比序列中的另一個事件「更早」還是「更晚」發生：在這種情況下，對於在宇宙學意義上相距遙遠的世界點，「早-晚」的區分就被放棄了，並且出現了哥德爾先生所說的關於因果聯繫方向的悖論。

哥德爾先生已經找到了引力方程的這類宇宙學解（其中A常數不為零）。從物理學的角度來權衡這些解是否應該被排除，將會是一件很有趣的事情。

### 全局非雙曲

如果哥德爾時空允許任何無邊界的時間超切片（例如柯西曲面），那麼任何這樣的連續時間連續曲面都必須與它相交奇數次，這與時空是單連通的這一事實相矛盾。因此，這個時空不是全局雙曲的。

## 圓柱形圖表

在本節中，我們介紹哥德爾解的另一個坐標圖，其中更容易看到上面提到的一些特徵。

### 推導

哥德爾沒有解釋他是如何找到答案的，但有很多種可能的推導方法。我們在此簡要介紹其中一種，並同時驗證上文提出的一些論斷。

首先，在圓柱形圖表中繪製一個簡單的框架，其中包含徑向坐標的兩個未定函數：

$$\vec{e}_0=\partial_t, \; \vec{e}_1=\partial_z, \; \vec{e}_2=\partial_r, \, \vec{e}_3=\frac{1}{b(r)} \, \left( -a(r) \, \partial_t + \partial_\varphi \right)$$

這裡，我們考慮類時單位矢量場。$\vec{e}_0$與塵埃粒子的世界線相切，它們的世界線通常會表現出非零渦旋，但膨脹和剪切為零。我們要求愛因斯坦張量包含一個塵埃項和一個真空能量項。這等價於要求它與理想流體相符；也就是說，我們要求相對於我們的參考系計算的愛因斯坦張量的分量具有以下形式：

$$G^{\hat{i}\hat{j}} = \mu \operatorname{diag}(1,0,0,0) + p \operatorname{diag}(0,1,1,1)$$

這給出了條件

$$b^{\prime\prime\prime} = \frac{b^{\prime\prime} \, b^{\prime}}{b}, \; \left( a^\prime \right)^2 = 2 \, b^{\prime\prime} \, b$$

將這些代入愛因斯坦張量，我們發現實際上我們現在有$\mu = p$顯然，我們以此方式構造的最簡單的非平凡時空，其係數將是徑向坐標的某個非零常數函數。具體來說，我們預先設想一下，選擇$\mu = \omega^2$這使得

$$b(r) = \frac{\sinh(\sqrt{2} \omega \,r)}{\sqrt{2} \omega}, \; a(r) = \frac{\cosh(\sqrt{2} \omega r)}{\omega} + c$$

最後，我們要求這個框架滿足

$$\vec{e}_3 = \frac{1}{r} \, \partial_\varphi + O \left( \frac{1}{r^2} \right)$$

這給出了$c=-1/\omega$而我們的框架變成了

$$\vec{e}_0=\partial_t, \; \vec{e}_1=\partial_z, \; \vec{e}_2=\partial_r, \; \vec{e}_3 = \frac{ \sqrt{2} \omega }{ \sinh( \sqrt{2} \omega r ) } \, \partial_\varphi - \frac{\sqrt{2}\sinh(\sqrt{2} \omega r)}{1+\cosh(\sqrt{2} \omega r)} \, \partial_t$$

### 光錐的外觀

我們發現矢量場$\partial_\varphi$，在小半徑處是類空（spacelike）的，但在$r = r_c$處變為零性（null，或稱光性），其中

$$r_c = \frac{\operatorname{arccosh}(3)}{\sqrt{2} \omega}$$

這是因為在該半徑處我們發現$\tfrac{ \omega }2 \, \partial_\varphi = \vec{e}_3+\vec{e}_0$因此為空。圓$r = r_c$在給定的t時刻，是一條閉合的零曲線，但不是一條零測地線。

觀察上面的坐標系，我們可以看到坐標$z$並非必要；我們的時空是因子R與符號 −++ 三流形的直接乘積。抑制$z$為了將我們的注意力集中在這個三維流形上，讓我們來考察一下當我們從對稱軸向外移動時，光錐的外觀是如何變化的。$r = 0$:

當達到臨界半徑時，圓錐體與閉合零曲線相切。

### 閉合類時曲線的全等性

在臨界半徑處$r = r_c$向量場$\partial_\varphi$變為零。對於更大的半徑，它是類時的。因此，對應於我們的對稱軸，我們有一個由圓組成的類時全等，並且對應於某些觀察者。然而，這個全等僅在圓柱體外部定義。$r=r_c$。

這並非測地線全等；相反，該族中的每個觀測者都必須保持恆定的加速度才能維持其運動軌跡。半徑較小的觀測者必須獲得更大的加速度；因為$r \rightarrow r_c$加速度的大小出現發散，這正符合預期，因為…… $r=r_c$是一條零曲線。

### 零測地線

如果我們觀察事件沿對稱軸的過去光錐，我們會發現如下圖像：

回想一下，我們圖表中的垂直坐標線代表塵埃粒子的世界線，但儘管它們在圖表中看起來是直線，這些曲線構成的全等線具有非零渦度，因此這些世界線實際上是相互扭轉的。零測地線以上述方式向內螺旋，這意味著當我們的觀察者沿徑向向外觀察時，看到的不是附近塵埃粒子的當前位置，而是它們之前的位置。如果塵埃粒子確實相互旋轉，那麼這就是我們所預期的結果。

零測地線在幾何上是直線；在圖中，它們看起來像螺旋線，只是因為坐標在「旋轉」，以便使塵埃粒子看起來靜止不動。

### 絕對未來

根據霍金和埃利斯（見下文引用的專著）的說法，從對稱軸上的事件發出的所有光線都會在軸上的後續事件處重新匯聚，零測地線形成一個圓尖點（這是一個零曲線，但不是零測地線）：

這意味著在哥德爾 lambda 塵埃解中，每個事件的絕對未來都具有與我們可能天真地預期截然不同的特徵。

## 宇宙學解釋

按照哥德爾的思路，我們可以將塵埃粒子解釋為星系，這樣哥德爾解就成了一個旋轉宇宙的宇宙學模型。除了旋轉之外，這個模型沒有哈勃膨脹，因此它並非我們所處宇宙的真實模型，但可以被視為一個替代宇宙的例證，原則上，廣義相對論允許存在這樣的宇宙（如果承認負宇宙常數的合理性）。哥德爾一些不太為人所知的解同時展現了旋轉和哈勃膨脹，並具有他第一個模型的其他特徵，但無法穿越到過去。根據史蒂芬·霍金的說法，這些模型很可能是對我們觀測到的宇宙的一種合理描述；然而，觀測數據僅與極低的旋轉速率相符。直到哥德爾去世，這些觀測的質量一直在不斷提高，他總是問「宇宙開始旋轉了嗎？」，得到的回答總是「不，它沒有」。

我們已經看到，位於y軸（原始圖表中）上的觀察者會看到宇宙的其他部分繞著該軸順時針旋轉。然而，時空的均勻性表明，這個「軸」的方向是可區分的，但其位置卻無法區分。

有些人將哥德爾宇宙解釋為愛因斯坦希望廣義相對論能夠展現某種馬赫原理的反例，理由是物質以足以確定一個優先方向的方式旋轉（世界線相互扭曲），儘管沒有明顯的旋轉軸。

其他的將馬赫原理理解為某種物理定律，該定律將每次事件中非旋轉慣性系的定義與宇宙中各處物質的全局分布和運動聯繫起來，並指出，由於非旋轉慣性系與塵埃的旋轉完全按照馬赫原理所暗示的方式聯繫在一起，因此該模型確實符合馬赫的思想。

還有許多其他精確解可以被解釋為旋轉宇宙的宇宙學模型。

## 參見

- van Stockum 塵埃，是另一種具有（真正）圓柱對稱性的旋轉塵埃解。
- 塵埃解，一篇關於廣義相對論中塵埃解的文章。

## 筆記

- See section 12.4 for the uniqueness theorem.
- See section 5.7 for a classic discussion of CTCs in the Gödel spacetime. Warning: in Fig. 31, the light cones do indeed tip over, but they also widen, so that vertical coordinate lines are always timelike; indeed, these represent the world lines of the dust particles, so they are timelike geodesics.
- Vukovic R. (2014): Tensor Model of the Rotating Universe, Exercise in Special Relativity .

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