逆半群

群論中，逆半群 $S$ 為一類半群，其任意元 $x\in S$ 均具唯一逆 $y\in S$ 使得 $x=xyx$ 且 $y=yxy$, 即任意元均具唯一逆的正規半群。逆半群出現在不少領域，如用於研究部分對稱群。

（本文遵循半群理論研究中的慣例，書函數名於參數右側，函數複合亦從左至右，如 $x\ f$ 而非 $f(x)$.）

## 起源

逆半群分別由 Viktor Vladimirovich Wagner在蘇聯於 1952 年、Gordon Preston在英國於 1954 年獨立引入。兩位作者均通過研究集合上的偏雙射得到逆半群：集合 $X$ 的偏變換 $\alpha$ 為從 $A$ 到 $B$ 的函數，其中 $A,\,B\subseteq X$. 令 $\alpha$, $\beta$ 為集合 $X$ 的偏變換，其能夠（從左到右）在「有意義」組成它們的最大定義域上組成：

$\operatorname{dom}\alpha\beta=\left[\operatorname{im}\alpha\cap\operatorname{dom}\beta\right]\alpha^{-1}$,

其中 $\alpha^{-1}$ 表示 $\alpha$ 的原像。偏變換在偽群的背景下已有研究。首先是 Вагнер 注意到偏變換的複合是二元關係複合的特例，還認識到兩個偏變換的複合，其定義域可能為空，因而引入空變換以考慮之。伴隨空變換引入，集合偏變換的複合是處處定義的二元結合關係。依此複合，集合 $X$ 上全部偏一一變換的總體 $\mathcal I_X$ 即構成一逆半群，稱 $X$ 上的對稱逆半群或么半群，其中逆定義作從像到定義域的函數逆。這就是「原型」逆半群了，同樣地可以說對稱群是「原型」群。舉例，所有群均可嵌入對稱群，所有逆半群均可嵌入對稱逆半群（見下文的逆半群的同態與表示章節）。

## 基本敘述

逆半群 $S$ 中的元 $x$, 其逆常寫作 $x^{-1}$. 逆半群中的逆，不少性質同乎群中的逆，例如 $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$. 在逆么半群

$aa^{-1}=e$

中，$xx^{-1}$ 和 $x^{-1}x$ 均冪等。滿足 $\forall x\in S,\,xx^{-1}=e=x^{-1}x$ 的逆么半群 $S$ （一個「冪么逆么半群」）當然是群。

逆半群 $S$ 有如下等價特徵：

- 任意元均具唯一逆當 $S$ 具么。
- 任意元均具至少一個逆（$S$ 為正規半群）且冪等元交換（即 $S$ 的冪等元構成半格）。
- 任意 $\mathcal L$-類與 $\mathcal R$-類均具恰好一個冪等元，其中 $\mathcal L$ 和 $\mathcal R$ 是 格林關係其二。

$s$ 的 $\mathcal L$-類中的冪等元為 $s^{-1}s$, 而 $s$ 的 $\mathcal R$-類中的冪等元為 $ss^{-1}$.

因而在逆半群中的 Green 關係又一個簡單特徵：

$a\mathcal Lb\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\mathcal Rb\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}$.

除非另行說明，將以 $E(S)$ 指代逆半群 $S$ 冪等元構成的半格。

### 逆半群的例子

- 集合 $X$ 上的偏雙射構成映射複合運算下的逆半群。
- 群均為逆半群。
- 雙循環半群逆，有 (a, b)−1 = (b, a).
- 半格均為逆半群。
- 勃蘭特半群逆。
- 穆恩半群逆。

以乘法表示例，逆半群可結合，且任意元均由 aba = a, bab = b 具其逆，但無么且非交換。

$a$｜$b$｜$c$｜$d$｜$e$

$a$｜$a$｜$a$｜$a$｜$a$｜$a$

$b$｜$a$｜$b$｜$c$｜$a$｜$a$

$c$｜$a$｜$a$｜$a$｜$b$｜$c$

$d$｜$a$｜$d$｜$e$｜$a$｜$a$

$e$｜$a$｜$a$｜$a$｜$d$｜$e$

## 自然偏序

逆半群 $S$ 總具自然偏序 $\le$（有時寫作 $\omega$），滿足：

$$a \leq b \Longleftrightarrow a=eb,$$

對 $S$ 中的冪等元 $e\in S$. 此外有等價表述

$$a \leq b \Longleftrightarrow a=bf,$$

對一些（一般不同的）冪等元 $f\in S$. 實際上 $e$ 可視作 $aa^{-1}$, $f$ 可視作 $a^{-1}a$.

自然偏序同時兼容乘法與逆運算，即：

$$a\le b,\,c\le d \implies ac\le bd,$$

且

$$a\le b\implies a^{-1}\le b^{-1}.$$

群中的逆序則簡單地退化為等價關係，因為么元正是其唯一冪等元。在交換逆半群中，逆序退化為限制映射，即 $\alpha\le\beta$ 若且唯若 $\alpha$ 的定義域含於 $\beta$ 的定義域，且 $\forall x\in D_\alpha,\, x\alpha=x\beta$.

對 $E(S)$ 來說

$E(S)$

自然偏序變成了：

$$e\le f\Longleftrightarrow e=ef,$$

故而由於冪等元構成乘積運算下的半格，$E(S)$ 的乘積給出了關係 $\le$ 的最小上界。

若 $E(S)$ 有限且構成鏈（即 $E(S)$ 按 $\le$ 構成全序），則 $S$ 為群的並。若 $E(S)$ 為無窮鏈，亦可能據 $S$ 和 $E(S)$ 的假設獲得類似結果。

## 逆半群的同態與表示

逆半群的同態（或態射）以與對其他半群那樣完全相同的方式定義：對逆半群 $S,\,T$, 函數 $\vartheta\colon\, S\to T$ 是同態，若且唯若 $\forall s,\,t\in S,\,(s\vartheta)(t\vartheta)=(st)\vartheta$. 可用控制條件 $(s\vartheta)^{-1}=s^{-1}\vartheta$ 加強上述定義以闡明逆半群的態射，但並不必要，因為這一性質可由上面的定義導出，有定理：

逆半群的同態像仍是逆半群，元的逆總通過映到其像的逆。關於逆半群，最早的結果之一由 Wagner-Prestion 定理證明，這是群論中 Cayley 定理的類推：

設 $S$ 為逆半群，則由: $\operatorname{dom}(a\varphi)=Sa^{-1}\ \text{and}\ x(a\varphi)=xa$給出的函數 $\varphi\colon\, S\to\mathcal I_S$ 為 $S$ 的忠實表示。因此，任意逆半群可嵌入交換逆半群，而偏雙射的像對取逆封閉。反過來說，任意交換逆半群的子半群是逆半群，若對逆運算封閉。故而半群 $S$ 同構於交換逆半群對逆運算封閉的子半群若且唯若 $S$ 是逆半群。

## 逆半群的同餘

逆半群的同餘實際與其他半群的如出一轍：同餘 $\varrho$ 為兼容半群乘法的等價關係：

$a\ \varrho\ b,\, c\ \varrho\ d \implies ac\ \varrho\ bd$.

特別值得關注的是定義在逆半群 $S$ 上的關係 $\varsigma$:

$a\ \varsigma\ b\implies\exists c\in S, c\le a,\,b$.

可以證明 $\varsigma$ 為同餘，而且實際上是群同餘，這意味著因子半群 $S/\varsigma$ 是群。半群 $S$ 上的所有群同餘構成的集合中的極小元（就由集合包含給出的偏序而言）不一定是最小元。特別當 $S$ 為逆半群時，$\varsigma$ 是使得 $S/\varsigma$ 是群的 $S$ 上的最小同餘，換言之，給定群同餘 $\tau\ne\varsigma$, $\varsigma$ 必包含於 $\tau$. 稱同餘 $\varsigma$ 為 $S$ 上的極小群同餘。極小群同餘可用於給出 $E$-純逆半群的一個表徵（見下文）。

逆半群 $S$ 的同餘 $\varrho$ 稱冪等純若

$a\in S,\,e\in E(S),\,a\ \varrho\ e\implies a\in E(S).$

## $E$-純逆半群

一類常年廣受關注的逆半群是 $E$-純逆半群：稱逆半群 $S$（有冪等元半格 $E$） $E$-純若且唯若 $\forall e\in E,\,\forall s\in S,$

$$es\in E\implies s\in E.$$

條件等價於

$se\in E\implies s\in E.$

以下是 $E$-純逆半群 $S$ 更深刻的一個表徵：$\forall s\in S,\,\forall e\in E\left(e\le s\implies s\in E\right)$.

令 $S$ 為逆半群，有冪等元半格 $E$ 及極小群同餘 $\varsigma$，則下列敘述等價：# $S$ $E$-純；# $\varsigma$ 冪等純；# $\sim= \varsigma$,其中 $\sim$ 為 $S$ 上的*相容關係*，定義為：: $a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},\,a^{-1}b$ 冪等。每個逆半群 $S$ 均具一個 $E$-純覆蓋，即存在冪等的從 $E$-純半群 $T$ 到 $S$ 的分離滿同態。

$E$-純逆半群研究的核心為下述構造。

令 $\mathcal X$ 為序關係 $\le$ 的偏序集，令子集 $\mathcal Y\subseteq\mathcal X$ 具性質：

- $\mathcal Y$ 為下半格，即 $\forall A,\,B\in\mathcal Y,$ 存在（對於 $\le$ 來說的）下確界 $A\land B\in\mathcal Y$。
- $\mathcal Y$ 為 $\mathcal X$ 的序理想，即 $\forall A,\,B\in\mathcal X,(A\in\mathcal Y,\,B\le A)\implies (B\in\mathcal Y)$.

現令 $G$ 為左作用於 $\mathcal X$ 上的群，有

- $$\forall g\in G,\,\forall A,\,B\in\mathcal X,\,gA=gB\iff A=B;$$
- $$\forall g\in G,\,\forall B\in\mathcal X,\,\exists A\in\mathcal X(gA=B);$$
- $$\forall A,\,B\in\mathcal X,\,A\le B\iff gA\le gB;$$
- $$\forall g,\,h\in G,\,\forall A\in\mathcal X,\,g(hA)=(gh)A.$$

三元組 $(G,\,\mathcal X,\,\mathcal Y)$ 亦假設擁有如下性質：

- $$\forall X\in\mathcal X,\,\exists g\in G,\exists A\in\mathcal Y(gA=X);$$
- $$\forall g\in G,\,g\mathcal Y\cap\mathcal Y\ne\varnothing.$$

如此的 $(G,\,\mathcal X,\,\mathcal Y)$ 稱 McAlister 三元組。McAlister 三元組用於定義如下:

$$P(G,\,\mathcal X,\,\mathcal Y)=\left\{(A,\,g)\in\mathcal Y\times G\colon\, g^{-1}A\in\mathcal Y\right\}$$

通過乘法規則

$$(A,\,g)(B,\,h)=(A\land gB,\,gh).$$

此時 $P(G,\,\mathcal X,\,\mathcal Y)$ 構成該乘法規則下的逆半群，有 $(A,\,g)^{-1}=(g^{-1}A,\,g^{-1})$. $E$-純逆半群研究的主要結果之一是 McAlister $P$-定理：

令 $(G, \mathcal{X}, \mathcal{Y})$ 為 McAlister 三元組，則 $P(G, \mathcal{X}, \mathcal{Y})$ 為 $E$-純逆半群。另一方面，$E$-純逆半群同構於上述類型之一。

McAlister $P$ 定理

### $F$-逆半群

逆半群稱 $F$-逆半群若任意元在自然偏序意義下均擁有唯一極大元，即所有 $\varsigma$-類均擁有極大元。$F$-逆半群均為 $E$-純么半群。McAlister 覆蓋定理由 M. V. Lawson 精簡敘述如下：

逆半群均具 $F$-覆蓋。

McAlister $P$-定理能夠良好表徵 $F$-逆半群。McAlister 三元組 $(G,\,\mathcal X,\,\mathcal Y)$ 為 $F$-逆半群，若且唯若 $\mathcal Y$ 為 $\mathcal X$ 的主理想且 $\mathcal X$ 為半格。

## 與範疇論的聯繫

上文中集合上偏變換的複合得到了交換逆半群，下面闡述另一種複合偏變換的形式，約束力更強：兩偏變換 $\alpha,\,\beta$ 可複合若且唯若 $\alpha$ 的像完全等於 $\beta$ 的定義域，否則稱複合 $\alpha\beta$ 未定義。

採用替換後的複合定義，所有集合上的偏一一變換總體不構成逆半群，而在範疇意義上構成誘導群胚。

逆半群和到處群培之間的密切聯繫體現於 Ehresmann-Schein-Nambooripad 定理，該定理指明，導出群胚總能經由逆半群構造，反之亦然。更準確地說，逆半群嚴格地是偏序集範疇中的一個群胚，這是關於其（對偶）Alexandrov 拓撲的 étale 群胚，且其對象的偏序集為交半格。

## 逆半群的推廣

按前述記號，逆半群 $S$ 限制於：

- $S$ 為正則半群。
- $S$ 中的冪等元交換。

對逆半群來說，這就引出兩條不同的推廣方式，即保留其中一個限制而取消另一個。

逆半群的正則推廣有下例：

- 正則半群：半群 $S$ 正則，當其任意元均有逆。或者符號化敘述為 $\forall a\in S,\,\exists x\in S(axa=a)$.
- 局部逆半群：正則半群 $S$ 局部逆，若對某個冪等元 $e$ 有 $eSe$ 為逆半群。
- 保守半群：正則半群 $S$ 保守，若其冪等元子集構成子半群。
- 廣義逆半群：正則半群稱廣義逆半群，若其冪等元構成正規帶，即對任意冪等元 $x,\,y,\,z,$ 有 $xyzx=xzyx$.

廣義逆半群類為局部逆半群類與保守半群類的交。

逆半群的非正則推廣有：

- 左/右/雙邊 適半群。
- 左/右/雙邊 充半群。
- 左/右/雙邊 半適半群。
- 弱 左/右/雙邊 充半群。

### 逆範疇

逆運算這一記號亦可拓展到範疇上。逆範疇即其任意態射 $f\in\operatorname{Hom}(X,\,Y)$, 均對應唯一逆 $g\in\operatorname{Hom}(Y,\,X)$, 使得 $fgf=f,\,gfg=g=g$. 易知逆範疇自對偶。典例即集合範疇及其上的偏雙射。

逆範疇在理論電腦科學裡已有部分應用。