積分變數變換公式

積分變數變換（change of variable of integrals, change of variable formula）藉由改寫函數並重述積分範圍，提供方便計算積分的有效工具。此處所涉積分共有黎曼積分和勒貝格積分兩種。這裡我們限制函數的定義域總是在歐幾里得空間。

## 黎曼積分的變數變換

### 定義

令$\, C(\Omega) \,$為定義在集合$\, \Omega \,$上全體連續函數所構成的向量空間。定義$\, diam(S) = sup_{x,y \in S}|x-y| \,$對於有界子集$\, S \subseteq R^n \,$

定義$\, DF \,$為$\, R^n \,$上可微函數的雅可比矩陣。若$\, S_1 \,$包含其子集$\, S_2 \,$的閉包，則寫作$\, S_2 \subset \subset S_1 \,$

### 定理陳述

令$\, \Phi : U \rightarrow V \,$為$\,\mathbb{R}^n \,$上開集映至開集的連續可微同胚（反函數亦可微）。假設$\, \Omega \subset \subset U \,$是若爾當可測集且$\, f \in C(\Phi(\bar{\Omega}))$。則

- $\Phi(\Omega) \,$是若爾當可測，且若爾當面積$\, A \,(\Phi(\Omega)) = \int_{\Omega} |det D \Phi (x) | \, dx$
- $$\int_{\Phi(\Omega)} f(y) \, dy \, = \int_{\Omega} f(\Phi(x)) \, |detD\Phi(x)| \, dx$$

### 證明-二維的情形

因為$\, \Phi(\bar{\Omega}) \,$是緊緻，則有$\, \overline{\Phi(\Omega)} \subseteq \Phi(\bar{\Omega})$。連續性進一步證成$\, \Phi(\bar{\Omega}) = \overline{\Phi(\Omega)}$。再由同胚為開映射可得

$$\Phi(\partial \Omega) = \Phi(\Omega) \setminus \Phi(int(\Omega)) = \overline{\Phi(\Omega)} \setminus int(\Phi(\Omega)) = \partial \Phi(\Omega)$$

要證明$\, \Phi(\Omega) \,$是若爾當可測，僅需驗證$\, \Phi(\partial \Omega) \,$是若爾當測度零。

考慮連續函數$\, r(x) = dist(x,U^c) \,$對於$\, x \in \overline{\partial \Omega} \subseteq U$，由極值定理可令$\, min_{x \in \overline{\partial \Omega}} r(x) = m$

令$\, C \,$為覆蓋$\, \partial \Omega \,$的正方形以及$\, P = \{ C_i \} \,$為其上的分割並滿足$\, diam(C_i) < \frac{m}{\sqrt2} \,$使得上和$\, U(\chi_{\partial \Omega}, P) \leq 1$（$\, \partial \Omega \,$是若爾當測度零）

注意到$\, U(\chi_{\partial \Omega}, P) = \sum_j \frac{diam(C_{j})^2}{2} \,$且$\, C_j \cap \partial \Omega \neq \varnothing \,$。令$\, p_j \in \partial \Omega$，有$\, C_j \subseteq B_{\sqrt 2 diam(C_j)}(p_j) \subseteq B_{m} (p_j) \subseteq U$

因此$\, \partial \Omega \subseteq \bigcup_{i} C_i \subseteq U$

令$\, \Phi = (\phi_1, \phi_2)$，對於任意$\, \epsilon > 0$，令$\, P^\epsilon = \{ C_i^\epsilon\} \supset P$，同時滿足上和$\, U(\chi_{\partial \Omega}, P^\epsilon) < \frac{\epsilon}{8K^2}$

其中$\, K = max_{x \in \bigcup_{i} C_i} \left( |\nabla \phi_1(x)| + |\nabla \phi_2(x)| \right) \,$。一樣有$\, U(\chi_{\partial \Omega}, P^\epsilon) = \sum_{j} \frac{diam(C_j^\epsilon)^2}{2}$，且可令$\, p_j^\epsilon \in C_j^\epsilon \cap \partial \Omega \neq \varnothing$

對於$x \in C_j^\epsilon$，則根據均值定理、極值定理和柯西不等式有

$$|\Phi (x) - \Phi (p_j^\epsilon)| \leq \left( max_{x \in \cup_j C_j^\epsilon}|\nabla \phi_1(x)| + |\nabla \phi_2(x)| \right) |x - p_j^\epsilon| \leq K \sqrt 2 diam(C_j^\epsilon )$$

所以$\, \Phi(C_j^\epsilon) \,$包含於$\, B_{K \sqrt 2 diam(C_j^\epsilon )}(\Phi(p_j^\epsilon)) \,$的外接正方形。令這些外接正方形為$\, \{ D_j^\epsilon \}$，有$\, \Phi(\partial \Omega) \cap \Phi(\Omega) \subseteq \bigcup_j D_j^\epsilon$

因而$\, \sum_{j} \frac{diam(D_j^\epsilon)^2}{2} \leq \sum_j (2 \sqrt 2 K)^2 \frac{diam(C_j^\epsilon)^2}{ 2} < \epsilon$，所以$\, \Phi(\partial \Omega) \,$是若爾當測度零，繼而$\, \Phi(\Omega) \,$是若爾當可測。

接著先考慮$\, \Phi(x,y) = \left( x,f(x,y) \right) \,$的情形。亦即$\, \Phi(x,y) \,$只改變一個變數。

不失一般性，由$\, f \in C^1 (U)$，可假設$\, \partial_y f \neq 0$。若非如此，則$\, \partial_x f \neq 0$，改考慮$\, \Phi(x,y) = \left (f(x,y),y \right)$

對於任意的$\, \eta > 0$，存在覆蓋$\, \Omega \,$之正方形的分割$\, P^\eta = \{ C^{\eta}_i \} \,$滿足上下和之差$\, U(\chi_\Omega , P^\eta) - L(\chi_\Omega , P^\eta ) < min\{\frac{\eta}{16 \bar{K}^2}, \frac{\eta}{2 \bar{K} } \}$

這裡$\, \bar{K} = max_{x \in \bigcup_{i} C^{\eta}_i} \left( |\nabla \phi_1(x)| + |\nabla \phi_2(x)| \right) \,$

若$\, P^\eta = \{ \bar{R_i} , \bar{R_j}\} \,$由$\, \bar{R_i} \subset \Omega \, , \, \bar{R_j} \cap \Omega \neq \varnothing \, ,\, \bar{R_j} \cap \Omega^c \neq \varnothing \,$這樣的矩形所構成，則$\, \sum_j A(\bar{R_j}) < min\{\frac{\eta}{16 \bar{K}^2}, \frac{\eta}{2 \bar{K} }\}$

同時有$\, \Omega = \bigcup_i \bar{R_i} \cup \bigcup_j \left( \bar{R_j} \cap \Omega \right) \,$為兩兩不相交的分割，所以$\, \Phi(\Omega) = \bigcup_i \Phi(\bar{R_i}) \cup \bigcup_j \Phi\left( (\bar{R_j} \cap \Omega ) \right) \,$亦為兩兩不相交的分割。

因此可得$\, A(\Phi(\Omega)) = \sum_i A(\Phi(\bar{R_i})) + \sum_j A \left( \Phi ( \bar{R_j} \cap \Omega ) \right)$

令$\, \bar{R_i} = [a_i , b_i] \times [c_i , d_i]$，易檢查$\, A(\Phi(\bar{R_i})) = \int_{a_i}^{b_i} |f(x,d_i) - f(x,c_i)| \, dx$

根據微積分基本定理及富比尼定理，可得

$$\, A(\Phi(\bar{R_i})) = \int_{a_i}^{b_i} \left( \int_{c_i}^{d_i} |\frac{\partial f}{\partial y} f(x,y)| \, dy \right) dx = \int_{\bar{R_i}} |\frac{\partial f}{\partial y} f(x,y)| \, dA = \int_{\bar{R_i}} |detD\Phi | \, dA$$

另外仿造前面討論$\, \Phi \,$映射下的矩形之行為，也有$\, \sum_j A \left(\Phi ( \bar{R_j} \cap \Omega ) \right) \leq \sum_j A \left(\Phi ( \bar{R_j} ) \right) \leq 8 \bar{K}^2 \sum_j A(\bar{R_j}) < \frac{\eta}{2}$

注意到

$$\int_\Omega |detD\Phi | \, dA = \sum_i \int_{\bar{R_i}} |detD\Phi | \, dA + \sum_j \int_{ \bar{R_j} \cap \Omega} |detD\Phi| \, dA \leq \sum_i A(\Phi(\bar{R_i})) + \bar{K} \sum_j A \left( ( \bar{R_j} \cap \Omega ) \right) \leq \sum_i A(\Phi(\bar{R_i})) + \frac{\eta}{2}$$

因此$\, |\int_\Omega |detD\Phi | dA - A(\Phi(\Omega))| \leq \eta$，由$\, \eta \,$的任意性， 1. 在$\, \Phi \,$僅改變一個變數時成立。

要證 2. 成立，由積分的線性，僅需考慮非負的情形，因為$\, f = max(f, 0) - min(-f, 0)$

對於任意蓋住$\, \Phi(\Omega) \,$之正方形的分割$\, P = \{ Q_i , Q_j \}$（$\, Q_i , Q_j \,$性質如前面的$\, \bar{R_i} , \bar{R_j} \,$），有

$$U(f \chi_{\Phi(\Omega)} , P) = \sum_i sup_{Q_i}f \chi_{\Phi(\Omega)} \cdot A(Q_i) + \sum_j sup_{Q_j}f \chi_{\Phi(\Omega)} \cdot A(Q_j)$$ $$\geq \sum_i sup_{Q_i}f \chi_{\Phi(\Omega)} \cdot \int_{\Phi^{-1}(Q_i)} |detD\Phi | \, dA + \sum_j sup_{Q_j}f \chi_{\Phi(\Omega)} \cdot A(Q_j \cap \Phi(\Omega))$$ $$\geq \sum_i \int_{\Phi^{-1}(Q_i)} f \chi_{\Phi(\Omega)} \circ \Phi \cdot |detD\Phi | \, dA + \sum_j \int_{\Phi^{-1}(Q_j \cap \Phi(\Omega))} f \chi_{\Phi(\Omega)} \circ \Phi \cdot |detD\Phi | \, dA$$ $$= \int_{\Phi^{-1}(\Phi(\Omega))} f \circ \Phi \cdot \chi_{\Phi^{-1}(\Phi(\Omega))} |detD\Phi | \, dA = \int_\Omega f \circ \Phi |detD\Phi | \, dA$$

所以上積分$\, \bar{\int}_{\Phi(\Omega)} f \, dA \geq \int_\Omega f \circ \Phi |detD\Phi | \, dA$，同理有下積分$\, \underline{\int}_{\Phi(\Omega)} f \, dA \leq \int_\Omega f \circ \Phi |detD\Phi | \, dA$

繼而 2. 對於一般的$\, f \,$和特定的$\, \Phi \,$成立。

對於一般的$\, \Phi(x,y) = \left( u(x,y) , v(x,y) \right)$，因為$\, detD\Phi \neq 0$，不失一般性可假設$\, \partial_x u \neq 0$

（$\, \partial_x u , \partial_y u , \partial_x v , \partial_y v \,$至少一個非零，哪個非零僅影響後續合成函數的構造）

可將$\, \Phi \,$寫作$\, F \,$和$\, G \,$的合成（$\, \Phi = G \circ F \,$），其中

$$F : (x,y) \rightarrow (u(x,y), y)$$ $$G : (u,y) \rightarrow (u , v \circ F^{-1}( (u,y)))$$

則$\, F \,$和$\, G \,$皆僅改變一個變數，且$\, detDF = \partial_x u$，以及連鎖律可看出$\, detDG \neq 0$（定義域為$\, F \,$的值域）。

則兩次前面結果的運用可得

$$A(\Phi(\Omega)) = \int_{F(\Omega)} |detDG| \, dA = \int_{\Omega} |detDG| \, |detDF| \, dA = \int_{\Omega} |detD\Phi| \, dA$$

所以 1. 在一般情況成立，繼而經由一樣的證明 2. 在一般情況也成立。

### 證明-高維的情形

連續可微同胚保持若爾當可測的證明同樣成立。（分割將正方體切成數個矩體）

唯一要修改的步驟即將$\, \Phi \,$寫成$\, n \,$個僅改變一個變數的連續可微函數之合成。

以三維為例，令$\, \Phi = (u,v,w)$。因為$\, det\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} \neq 0$，不失一般性可假設$\, det\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \neq 0 \,$及$\, \partial_x u \, ,\, \partial_y v \neq 0$

可建構$\, (x,y,z) \xrightarrow F (u,y,z) \xrightarrow G (u,v,z) \xrightarrow H (u,v,w \circ F^{-1} \circ G^{-1}) \,$為三個連續可微函數之合成。

## 勒貝格積分的變數變換

### 定義

令$\, M^+(\Omega) \,$為定義在$\, \Omega \,$上全體非負可測函數所構成的向量空間，而$\, L^1(\Omega) \,$為定義在$\, \Omega \,$上全體可積函數所構成的向量空間，另外$\, L(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n) \,$為$\, \mathbb{R}^n \,$上的全體線性算子所構成的向量空間，且$\, GL(n,R)\,$為$\, L(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n) \,$中可逆算子所構成的向量空間。

令$\, \left( \mathbb{R}^n , \mathcal{B}(\mathbb{R}^n), m_n |_{\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)} \right) \,$為鮑萊耳測度空間，而$\, \left( \mathbb{R}^n , \mathfrak{M}_n, m_n \right) \,$為前者的完備化，即勒貝格測度空間。

符號上，$detDG(x) \,$及$\, detD_x G \,$等同$\, J_G (x)$

### 定理陳述

給定$\, \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \,$為一開集。令$\, G=(g_1, \dots ,g_n) : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}^n\,$是一個連續可微同胚（反函數亦可微）。以下成立:

- 若$\,f \in M^+(G(\Omega))\,$，則$\, f \circ G \in M^+(\Omega)\,$
- 若 1. 的條件成立，且$\,f \geq 0\,$或$\, f \in L^1(G(\Omega), \mathfrak{M}_n |_{G(\Omega)})\,$，則$\,\int_{G(\Omega)} f(x) \, dx = \int_{\Omega} f \circ G(x) \, |J_G (x)| \, dx \dots (*)\,$
- 若$\, E \subseteq \Omega \, , \, E \in \mathfrak{M}_n\,$，則$\, G(E) \in \mathfrak{M}_n \,\, \& \,\, m_n (G(E))=\int_E |J_G (x)| \, dx$

### 證明-鮑萊耳的情形

首先證明若假設條件從勒貝格可測/可積函數、勒貝格可測集，換成鮑萊耳可測/可積函數、鮑萊耳可測集，定理結果仍然成立。

給定$\,f \,$是任意的鮑萊耳可測函數。因為連續函數是鮑萊耳可測，$f \circ G\,$也是鮑萊耳可測。

若$\,f \in L^1(G(\Omega), \mathfrak{M}_n)\,$或者是複值函數，則因為積分是線性映射，只需考慮其正負部或實虛部。

因此要證2.成立，只需要考慮非負鮑萊耳可測函數。

定義兩範數

$$\|x\|_\infty = max_{1 \leq i \leq n} |x_i| \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \forall x = (x_1, \dots ,x_n) \in \mathbb{R}^n$$ $$\|T\| = max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} |T_{ij}| \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \forall \,\, T = (T_{ij}) \in L(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n) \simeq M_n(\mathbb{R})$$

有$\, \|Tx\| \leq \|T\| \, \|x\|_\infty\,$。

對於任意的$\, a = (a_1, \dots , a_n) \in \mathbb{R}^n\,$和$\,h > 0\,$，注意到$\, \left( \mathbb{R}^n , \|\|_\infty \right)\,$中的閉球

$$\,Q := \overline{B_\infty}(a,h) = \{x \in \mathbb{R}^n \, | \, \|x - a\|_\infty \leq h\} = [a_1 - h \, , a_1 + h] \times \dots \times [a_n - h \, , a_n + h]\,$$

對於任意$\, a = (a_1, \dots , a_n)\in \mathbb{R}^n \,$和$\, x = (x_1, \dots , x_n) \in \overline{B_\infty}(a,h)$，根據均值定理及極值定理，存在$\, y_i \in \overline{xa} \,$使得

$$\| G(x) - G(a) \|_\infty = max_{1 \leq i \leq n}|g_i(x) - g_i(a)| = max_{1 \leq i \leq n}|(x - a) \nabla g_i (y_i) |$$ $$\leq max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^n |(x_j - a_j)| \, |\frac{\partial g_i}{\partial x_j}(y_i)| \leq h \, max_{y \in Q}\| D_y G \|$$

則$\, G(\omega) \subseteq B(G(Q) \, , \, h \, max_{y \in Q}\|D_y G\|)\,$，同時$\, m_n(G(Q)) \leq (max_{y \in Q}\|D_y G\|)^n m_n(Q)\,$

對於任意$\, T \in GL(n,R)\,$，根據連鎖律，進一步有

$$\,m_n(G(Q))= |detT| \, m_n (T^{-1}G(Q)) \leq |detT| \, (max_{y \in Q}\|T^{-1}D_y G\|)^n \, m_n (Q) \dots (**)\,$$

由$\, G \,$是連續的，和吉洪諾夫定理暗示$\, Q \times Q \,$是緊緻的，則$\,h : Q \times Q \rightarrow \mathbb{R} \,$定義為$\, h(y,z) = \|D_y G \, D_z G^{-1} \|^n \,$是均勻連續。

則對於任意$\, \epsilon > 0\,$，有$\,\delta_0 > 0\,$，使得當$\,\|y - z \|_\infty < \delta_0 \,$，有$\, h(z,y) < 1 + \epsilon\,$

透過對方塊$\, Q \,$做分割，可將其寫成數個兩兩不相交（僅邊界有交集）的子方塊的聯集，每一個方塊的邊長皆不足$\,\delta_0$

不妨寫作$\, Q = \bigcup_{k = 1}^N Q_k \,$，且$\, Q_k \,$是以$\, x_k \,$為球心。

則$\, (**) \,$和測度的次可加性，可推得

$$m_n(G(Q)) \leq \sum_{k = 1}^N |det \, D_{x_k} G| \, (max_{y \in Q_k} \|D_y G D_{x_j} G^{-1} \|)^n \leq (1 + \epsilon)\int_Q \sum_{k = 1}^N |det \, D_{x_k} G| \,\chi_{Q_k} (x) \, dx$$

對於任意$\, \eta > 0$，根據$\, det D_x G \,$的連續性，存在正實數$\, \delta^{\prime} < \delta_0 \,$使得$\, |detD_y G - detD_z G| < \frac{\eta}{m_n (Q) + 1} \,$成立在$\, \| y - z \|_\infty < \delta^{\prime}$

對於任意的正實數$\, \delta < \delta^{\prime}$，將$\, Q \,$重新分割使得$\, Q_k \,$的邊長都小於$\, \delta < \delta_0$，則

$$|\int_Q \sum_{k = 1}^N |det \, D_{x_k} G| \, \chi_{Q_k} (x) \, dx - \int_Q |detD_x G| \, dx = |\int_Q \sum_{k = 1}^N (|detD_{x_k} G| - |detD_x G|) \, dx|$$ $$\leq \frac{\eta}{m_n (Q) + 1} \sum_{k = 1}^N \int_Q \chi_{Q_k} (x) \, dx = \frac{\eta}{m_n (Q) + 1} m_n (Q) < \eta$$

（上面推導利用了$\chi_Q = \sum_{k = 1}^N \chi_{Q_k}$幾乎處處和三角不等式）

換言之，$\lim_{\delta \rightarrow 0} \int_Q \sum_{k = 1}^N |det \, D_{x_k} G| \, \chi_{Q_k} (x) \, dx = \int_Q |detD_x G| \, dx$

再根據$\, \epsilon \,$的任意性，可得對於任意在$\, \Omega \,$的方塊$\, Q \,$

$$m_n (G(Q)) \leq \int_Q |detD_x G| \, dx \dots (***)$$

接下來，依序證明$\, (***) \,$對$\, \Omega \,$的開集合、相對緊緻鮑萊耳集和一般的鮑萊耳集皆成立。

首先，給定任意開集合$\, U \in \Omega$，有$\, U = \bigcup_{l = 1}^\infty Q_l$，其中$\, Q_l \,$如同前面是兩兩不相交的方塊。

注意到對射保持兩兩不相交的特性，則根據測度的次可加性

$$m_n (U) \leq \sum_{l = 1}^\infty m_n (G(U_l)) \leq \sum_{l = 1}^\infty \int_{Q_l} |detD_x G| \, dx = \int_Q |detD_x G| \sum_{l = 1}^\infty \chi_{Q_l} (x) \, dx = \int_Q |detD_x G| \, dx$$

再來，考慮任意相對緊緻鮑萊耳集$\, K \in \Omega$。

由勒貝格測度的正則性，存在嵌套的開集合$\, U_1 \supset U_2 \supset \dots \,$使得$\, K \subseteq \bigcap_{j = 1}^\infty U_j \,$且$\, m_n (\bigcap_{j = 1}^\infty U_j - K) = 0$

因為$\, \bar{E} \in \Omega \,$是緊緻的，大可假設$\, U_1 \in \Omega \,$是緊緻且測度有限。則$\, m_n (G(U_1)) \,$是有限的。

因為$\, G \,$是連續的，有$\, G(U_j) \,$收斂到$\, G(\bigcap_{j = 1}^\infty U_j)$

根據測度的單調性和連續性，有

$$m_n (G(K)) \leq m_n (\bigcap_{j = 1}^\infty G(U_j)) = \lim_{j \rightarrow \infty}m_n (G(U_j)) \leq \lim_{j \rightarrow \infty} \int_{U_j} |detD_x G| \, dx$$

注意到$\, |detD_x G| \, \chi_{U_j}(x) \,$收斂到$\, |detD_x G| \, \chi_K(x)$，對於$\, x \notin \bigcap_{j = 1}^\infty U_j - K$

因為極值定理和$\, U_1 \,$是有限測度，可得$\, |detD_x G| \, \chi_{U_1}(x) \in L^1 (\Omega)$，那麼根據控制收斂定理

$$m_n (G(K)) \leq \lim_{j \rightarrow \infty} \int_{\Omega} |detD_x G| \, \chi_{U_j}(x) \, dx = \int_K |detD_x G| \, dx$$

最後，給定任意鮑萊耳集$\, E \in \Omega$。注意到因為範數是連續的、閉集合交集仍為閉，和海涅-博雷爾定理，有

$$K_j := \lbrace x \in \Omega \,|\, \| x \|_\infty \leq j \, , \, dist(x,\Omega^c) \geq \frac{1}{j} \rbrace$$

是緊緻的，並且$\, \Omega = \bigcup_{j = 1}^\infty K_j$

因此$\, E_j := E \cap K_j \,$是相對緊緻，且$\, E = \bigcup_{j = 1}^\infty E_j$。由$\, G \,$是連續的，可得$\, G(E_j) \,$收斂到$\,G(E)$

測度的連續性和類似於前面控制收斂定理的操作，可得

$$m_n (G(E_j)) \leq \int_{E_j} |detD_x G| \, dx \Longrightarrow m_n (G(E)) \leq \int_{E} |detD_x G| \, dx$$

是以，$(***) \,$對於一般的鮑萊耳集$\, E \,$皆成立。

換句話說，$\int_{G(\Omega)} f(x) \, dx \leq \int_{\Omega} f \circ G(x) \, |J_G (x)| \, dx \,$對於$\, f = \chi_{G(E)}$（此處用到$\, G \,$為一對射）

若$\, f = \sum_{i = 1}^r a_i \chi_{A_i} \,$為一非負簡單函數，其中$\, a_i \,$屬於非負實數，則

$$\int_{G(\Omega)} f(x) \, dx = \sum_{i = 1}^r a_i m_n (G(G^{-1}(A_i))) \leq \sum_{i = 1}^r a_i \int_{G^{-1}(A_i)} |detD_x G| \, dx$$ $$= \int_{\Omega} \sum_{i = 1}^r a_i \chi_{G^{-1}(A_i)} (x) \, |detD_x G| \, dx = \int_{\Omega} \sum_{i = 1}^r a_i \chi_{A_i}(G(x)) \, |detD_x G| \, dx = \int_{\Omega} f \circ G(x) \, |J_G (x)| \, dx$$

對於$\, f \,$是非負的鮑萊耳可測函數，用非負簡單函數逼近$\, f$，再運用兩次控制收斂定理可得

$$\int_{G(\Omega)} f(x) \, dx \leq \int_{\Omega} f \circ G(x) \, |J_G (x)| \, dx$$

因此，$\,(*) \,$的一邊不等式得證。

對於另外一邊，將$\, G \,$與$\, f \,$各別替換為$\, G^{-1} \,$和$\, f \circ G \, |detD_x G|$ （遂不改變連續可微同胚及鮑萊耳可測的假設），則

$$\int_{\Omega} (f \circ G)(x) \, |detD_x G| \, dx = \int_{G^{-1}(G(\Omega))} (f \circ G)(x) \, |detD_x G| \, dx \leq \int_{G(\Omega)} f (x) \, |J_G (x)| \, |J_{G^{-1}} G(x)| \, dx = \int_{G(\Omega)} f (x) \, dx$$

所以$\, (*) \,$與其特例 3. 同時得證。（在鮑萊耳的情況）

### 證明-勒貝格的情形

給定任意$\, E \subseteq \Omega \, , \, E \in \mathfrak{M}_n \, , \, m_n(E) = 0\,$

根據勒貝格測度的完備性，存在$\, A \, , \, N \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \, , \, m_n(N) = 0 \,$及$\, B \subseteq N \,$使得$\, E = A \cup B \, , \, m_n(E) = m_n(A)$

因為$\, G(E) \subseteq G(A \cap N) \,$且後者是零測度的鮑萊耳集，再次根據完備性$\, G(E) \in \mathfrak{M}_n \, , \, m_n(G(E)) = 0$

給定任意$\, E \subseteq \Omega \, , \, E \in \mathfrak{M}_n$，一樣有$\, A \, , \, N \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \, , \, m_n(N) = 0 \,$及$\, B \subseteq N \,$使得$\, E = A \cup B \, , \, m_n(E) = m_n(A)\,$

特別地，$\, B \in \mathfrak{M}_n \, , \, m_n(B) = 0$，上一段的分析顯示$\, m_n(G(B)) = 0$

因此$\, m_n(G(A)) = m_n(G(A) \cup G(B)) = m_n(G(A \cup B)) = m_n(G(E))\,$

另一方面

$$m_n(G(A)) = \int_A |J_G(x)| \, dx = \int_{\mathbb{R}^n} |J_G(x)| \, \chi_A (x) \, dx = \int_{\mathbb{R}^n} |J_G(x)| \, \chi_E (x) \, dx= \int_E |J_G(x)| \, dx\,$$

所以 2. 成立。

給定任意勒貝格可測函數$\, f : G(\Omega) \longrightarrow \mathbb{R}^n$，存在鮑萊耳可測函數$\, \bar{f} : G(\Omega) \longrightarrow \mathbb{R}^n \,$使得$\, f = \bar{f} \,$幾乎處處，且

$$\int_{G(\Omega)} \bar{f} \, dx = \int_{G(\Omega)} f \, dx$$

（該性質顯然對特徵函數成立，同理可依序證得對於簡單函數、非負可測函數、一般可測函數和複值函數皆成立，惟積分的等式需假設等號右邊為一擴展實數，但 2. 的假設條件已足以保證該前提）

則存在$\, N\ \in \mathfrak{M}_n \, , \, m_n(N) = 0 \,$使得$\, f = \bar{f} \,$成立在$\, G(\Omega) \setminus N$

因為$\, f(G) = \bar{f}(G) \,$成立在$\, \Omega \setminus G^{-1}(N) \,$且$\, G^{-1}(N) \in \mathfrak{M}_n \,$，以及$\, m_n(G^{-1}(N)) = 0$，有$\, f(G) \,$是勒貝格可測函數。

所以 1. 成立。（$\, \bar{f}(G) \,$是鮑萊耳可測，繼而是勒貝格可測）

此外

$$\int_{G(\Omega)} f \, dx = \int_{\Omega} f \circ G \, |J_G(x)| \, dx = \int_{\Omega \setminus G^{-1}(N)} f \circ G \, |J_G(x)| \, dx = \int_{\Omega \setminus G^{-1}(N)} \bar{f} \circ G \, |J_G(x)| \, dx = \int_{\Omega} f \circ G \, |J_G(x)| \, dx$$

所以$\, (*) \,$成立。