萊布尼茲-牛頓微積分之爭

在微積分史上，微積分爭議（Prioritätsstreit，直譯為「優先權糾紛」）是萊布尼茲和牛頓兩人關於誰先發現微積分的論戰。這個是一場重大的知識爭論，始於1699年，在1712年達到頂峰。牛頓將微積分的思想運用到《自然哲學的數學原理》中，但是他並未公開發表他的發現。萊布尼茨首先發表了他的微積分著作，而牛頓的支持者指責萊布尼茨抄襲了牛頓未發表的思想。現代的共識是，這兩個人獨立發展了他們的想法。他們對微積分的發現被稱為「自阿基米德時代以來數學上最偉大的進步」。

到牛頓和萊布尼茨時代，歐洲數學家已經為數學分析思想的形成做出了重大貢獻。由於物理學與工程學的實際需要，微積分或與其類似的數學思想被諸多數學家提出並應用。

## 17世紀的科學優先權

在17世紀的科學家眼中，科學優先權是非常重要的問題。但此時科學期刊的概念才剛出現；當時各科學家間，也還沒確立「誰先發現某個科學現象」的機制。當時的科學家通常會用很多方法，來確保是自己先發現的：比如玩文字遊戲、把內容以信封密封，並放在安全的地方、與其他科學家交流、或傳送私人資訊等。這個時代下，給法國科學院創辦人馬蘭·梅森或英國皇家學會首任秘書亨利·奧爾登伯格寫封個人發現的信，就等同將科學發現公諸於世。發現者可以「標記」他發現的時刻，證明他在信件封存時，就知道這件事，而非抄襲自後來發表的材料；但如果某個想法，在發表時有某種很有應用價值的背景，那這個人的優先發現權，會重於最早發現這個想法、但沒有提出明確應用的人。而如果有數學家，主張自己最早發現某某現象時，常會碰上有人駁斥其優先權的風險：駁斥方能回應說，某個主張只是透過已知事實和他人想法為基礎，做出沒什麼技巧的改進，而不是真的有發明出某個想法。

美國科學史家D. Meli稱17世紀為「科學家們針對優先權爭相潑糞的黃金年代」：當時的萊布尼茲就捲入一連串引人側目的科學優先權爭議。首起事件發生在1673年，當時他首度前往倫敦，參訪當時著名的數學家約翰·佩爾，並展示如何以差分法估算近似級數。佩爾則回應表示︁其發現早就在1670年由Gabriel Mouton於里昂發表了。萊布尼茲則回稱他是獨立發現這個近似級數，而且方法還不同。萊布尼茲在給奧爾登伯格的信中寫道，雖然佩爾說Gabriel Mouton確實先他一步發現，但他可以提供自己的筆記草稿，並證明一些Renault與Mouton沒有發現的細節，從而證明他的原創性。但隨後遭到推翻。1673年2月1日，萊布尼茲第二次前往倫敦向英國皇家學會展演機械計算器時，卻碰上截然相反的窘境：當時羅伯特·胡克擔任學會的實驗管理員。他仔細檢查了萊布尼茲的電腦，甚至拆開了後蓋。幾天后，胡克就批評他的作品，並聲稱他可以做出更簡單的模型。萊布尼茨得知此事後返回巴黎，並在寫給奧爾登堡的信中，斷然駁斥胡克的說法、並闡述他對科學行為原則的看法：「須知，有教養而知自持者，每於自己所知與他人成果相符之時，必將其改進和貢獻歸諸先發之人，以免指摘學術不端。其人所求，當為真確慷慨，而非虛偽與不義之利。」︁萊布尼茲在信中提到了Nicolas-Claude Fabri de Peiresc與皮埃爾·伽桑狄在天文觀測的實例，以說明何謂正當的科學行為原則：他們分別進行了與伽利略·伽利萊和約翰·赫維留早期類似的觀測。當前兩者在發現自己的觀察晚於後兩者時，就把自己的資料轉交給後兩者。

牛頓處理優先權的方法則不盡相同。以引力相關的平方反比定律的發現為例，胡克以透過克卜勒定律分析與個人計算，認為物體運動應沿著類似橢圓的軌道行進；由於無法嚴謹證明，胡克和牛頓報告了自己的假設與猜想。牛頓之後未再與胡克進一步通信，便自行解決了該問題及其逆問題、證明了反平方基於軌道的橢圓率。他在其著作《自然哲學的數學原理》中闡述了，卻未提及胡克。經手兩者手稿的天文學家愛德蒙·哈雷堅持要求把「克卜勒第一定律吻合平方反比定律」的驗證寫為「經雷恩、胡克與哈雷獨立核可」。弗拉基米爾·阿諾德表示牛頓在「拒絕發表個人發現」與「持續爭奪優先權」之間選擇兩個都要，而沒有二選一。

## 背景

在︁牛頓與萊布尼茲的時代，歐洲數學分析思想就已經取得巨大進展：當時的西蒙·斯泰芬（1548–1620）、盧卡·巴列里奧（1553–1618）、約翰內斯·克卜勒（1571–1630）就已研究源流古老、計算圖形面積的窮竭法。其思想透過伽利略·伽利萊影響了博納文圖拉·卡瓦列里（1598–1647）促其發展出祖暅原理。

晚年（1710-1716）的︁萊布尼茲與約翰·凱爾和牛頓等人長期爭論是誰發現了微積分——其主要爭論萊布尼茲是獨立於牛頓發現了微積分，抑或著只是用另一種符號表達牛頓發現的想法。爭議各方並不質疑萊布尼茨開始研究微分學時，牛頓就已發展出流數法的事實——雖然這只出於牛頓的一面之詞。牛頓曾發表過關於切線的計算並附註：「這僅是某種通用方法的特例，我藉此得以計算曲線並確定極值、極小值及重心。」二十年後，當萊布尼茨的論文已廣為流傳之際，他才向一名學生解釋了具體的推導過程。牛頓的手稿直到他去世後才得以問世。

微積分既可用流數符號表達，亦可用微分符號表達；如前所述，牛頓曾以幾何形式闡述，例如在1687年的《自然哲學的數學原理》中。牛頓早在1666年便已運用流數，但直至1693年才發表其符號系統的論述。萊布尼茲筆記中最早使用微分的記載可追溯至1675年。他在1677年致牛頓的信函中便已採用此符號系統。微分符號亦見於萊布尼茲1684年的論文中。

牛頓｜︁ 萊布尼茲

函數｜$f(x)$｜$y$

微分｜$\dot y$ or $f'(x)$｜${dy \over dx}$ or $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

積分｜$\bar{x}$ or $\begin{bmatrix} x \\ \end{bmatrix}$｜$\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$

萊布尼茨獨立於牛頓發明微積分的說法基於萊布尼茨：

- 在牛頓出版任何關於流數法的著作之前幾年，他就已經發表了對其方法的描述。
- 他總是表示這一發現是他自己的發明，而這一說法多年未被質疑
- 他享有強烈信任，同僚們都認為他出於善意行事
- 在他的私人文件中展示了他以獨立於牛頓路線的方式發展微積分思想。

據萊布尼茨的反對者說，萊布尼茨的主張多年未被質疑這點並不重要。要反駁本案，只需證明他：

- 看過牛頓在1675年或之前，或至少1677年發表的一些相關論文。
- 從那些論文中獲得了微積分的基本思想

萊布尼茨的筆記首先涉及積分，他認為積分是對無限級數求和的推廣，而牛頓則從導數出發。然而，將微積分的發展看作兩人完全獨立的工作是片面的，忽略了兩人都一定程度上了解對方的方法（儘管牛頓在萊布尼茨開始之前確實發展了大部分基礎知識），並且在若干方面合作的事實，特別是冪級數。這一點在1676年10月24日寫給亨利·奧爾登伯格的信中有所體現。牛頓提到萊布尼茨開發了多種方法，其中一種對他來說是新的。萊布尼茨和牛頓都能看出對方在微積分發明方面走得很遠。

萊布尼茨很有可能看到過牛頓的一些手稿。1849年，C. I. 格哈特在翻閱萊布尼茨手稿時，發現了牛頓De analysi per aequationes numero terminorum infinitas一書的摘錄（該書於1704年作為《曲線方程論》的一部分出版，且此前也曾在數學界流傳，始於牛頓於1669年將一份副本贈予艾薩克·巴羅，巴羅將其寄給約翰·柯林斯），這些手稿是真跡，並附有用萊布尼茨微分符號重新表達這些摘錄內容的注釋。但是，手稿的時間未被確定，可能的時間從1675年一直到1704年之後。

## 發展

這場爭吵是事後回顧的。1696年，爭端事件發生多年後，雙方的立場仍和平：牛頓和萊布尼茨各自有限度地承認對方的工作。洛皮塔爾1696年從萊布尼茨視角出版的微積分著作也承認牛頓1680年代出版的著作「幾乎全是關於微積分的」（presque tout de ce calcul）。同時更偏好萊布尼茨符號的便利性。

起初，沒有理由懷疑萊布尼茨的善意。1699年，瑞士數學家尼古拉·法蒂奧·丟勒公開指責萊布尼茨抄襲牛頓，儘管他私下曾兩次在1692年寫給克里斯蒂安·惠更斯的信中指控萊布尼茨抄襲。直到1704年一篇匿名評論刊登，指出牛頓借用了萊布尼茨的流量微積分思想，才有負責任的數學家懷疑兩人發明的獨立性。

## 參考來源

- W. W. Rouse Ball (1908) A Short Account of the History of Mathematics, 4th ed.
- Richard C. Brown (2012) Tangled origins of the Leibnitzian Calculus: A case study of mathematical revolution, World Scientific
- Ivor Grattan-Guinness (1997) The Norton History of the Mathematical Sciences. W W Norton.
- Stephen Hawking (1988) A Brief History of Time From the Big Bang to Black Holes. Bantam Books.
- Kandaswamy, Anand. The Newton/Leibniz Conflict in Context .

## 外部連結

- Gottfried Wilhelm Leibniz, Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676, Berlin: Akademie Verlag, 2008, pp. 288–295 ("Analyseos tetragonisticae pars secunda", 29 October 1675) and 321–331 ("Methodi tangentium inversae exempla", 11 November 1675).
- Gottfried Wilhelm Leibniz, "Nova Methodus pro Maximis et Minimis...", 1684 (Latin original) (English translation)
- Isaac Newton, "Newton's Waste Book (Part 3) (Normalized Version)": 16 May 1666 entry (The Newton Project)
- Isaac Newton, "De Analysi per Equationes Numero Terminorum Infinitas (Of the Quadrature of Curves and Analysis by Equations of an Infinite Number of Terms)", in: Sir Isaac Newton's Two Treatises, James Bettenham, 1745.