林德勒夫猜想

林德勒夫猜想（Lindelöf hypothesis）是一個由芬蘭數學家恩斯特·雷納德·林德勒夫提出一個關於黎曼ζ函數在臨界線上增長率的猜想。這猜想可由黎曼猜想導出，其形式以大O符號表述如下：

對於任意的$\varepsilon > 0$而言，在$t$趨近於無窮時，有$\zeta\!\left(\frac{1}{2} + it\right)\! = O(t^\varepsilon)$

由於$\varepsilon$可由一個較小的值取代之故，因此這猜想可重述如下：

對於任意的$\varepsilon > 0$而言，有$\zeta\!\left(\frac{1}{2} + it\right)\! = o(t^\varepsilon)$

## μ函數

設$\sigma$是一個實數，則可定義$\mu(\sigma)$為所有使得$\zeta(\sigma+iT)=O(T^a)$的實數$a$當中的最小數。在這種定義下，易見對於任意的$\sigma > 1$，有$\mu(\sigma)=0$，而從黎曼ζ函數的函數方程可導出說$\mu(\sigma)=\mu(1-\sigma)-\sigma+\frac{1}{2}$。另一方面，由夫拉門–林德勒夫定理可導出說$\mu$是一個凸函數。林德勒夫猜想基本就是說，$\mu(\frac{1}{2})=0$，將此點和上述的性質結合，這猜想也意味著說在$\sigma \ge \frac{1}{2}$時，$\mu(\sigma)=0$；而在$\sigma \le \frac{1}{2}$時，$\mu(\sigma)=\frac{1}{2}-\sigma$

由於$\mu(1)=0$且$\mu(0)=\frac{1}{2}$，因此從林德勒夫對這函數的凸性可導出說$0\le\mu(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$。之後G·H·哈代藉由將外爾估計指數和的方式用於近似函數方程的做法，將這上界降至$\frac{1}{6}$。在那之後數名研究者用長且技術性的數學證明，將之降到稍微低於$\frac{1}{6}$的數值。下表顯示了對於這數值的改進：

μ(1/2) ≤｜μ(1/2) ≤｜研究者

1/4｜0.25｜Lindelöf｜凸性上界

1/6｜0.1667｜Hardy & Littlewood

163/988｜0.1650｜Walfisz 1924

27/164｜0.1647｜Titchmarsh 1932

229/1392｜0.164512｜Phillips 1933

0.164511｜Rankin 1955

19/116｜0.1638｜Titchmarsh 1942

15/92｜0.1631｜Min 1949

6/37｜0.16217｜Haneke 1962

173/1067｜0.16214｜Kolesnik 1973

35/216｜0.16204｜Kolesnik 1982

139/858｜0.16201｜Kolesnik 1985

9/56｜0.1608｜Bombieri & Iwaniec 1986

32/205｜0.1561｜Huxley

53/342｜0.1550｜Bourgain

13/84｜0.1548｜Bourgain

## 和黎曼猜想間的關係

Backlund在1918至1919年間，證明了說林德勒夫猜想和下述與黎曼ζ函數的零點相關的敘述等價：在$T$趨近於無窮時，實部至少為$\frac{1}{2}+\varepsilon$且虛部介於$T$和$T+1$之間的零點，其數量會趨近於$o(\log{T})$。

由於黎曼猜想指稱在這區域中沒有任何零點之故，因此黎曼猜想會導出林德勒夫猜想。目前已知虛部介於$T$和$T+1$之間的零點的數量為$O(\log{T})$，因此林德勒夫猜想似乎只稍強於已知的結果，但盡管如此，人們迄今依舊無法證明林德勒夫猜想。

## 黎曼ζ函數的冪的平均值

林德勒夫猜想與以下陳述等價：

對於任意的正整數$k$和正實數$\varepsilon$而言，有以下等式：

$$\frac{1}{T} \int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k}\,dt = O(T^{\varepsilon})$$

目前已證明這等式對$k=1$及$k=2$成立，但$k=3$的情況似乎困難許多，且依舊是個未解決的問題。

對於這積分的漸近行為，有著下列更加精確的猜想：

一般認為，對某些常數$c_{k,j}$而言，有以下等式：

$$\int_0^T|\zeta(1/2+it)|^{2k} \, dt = T\sum_{j=0}^{k^2}c_{k,j}\log(T)^{k^2-j} + o(T)$$

李特爾伍德證明了$k=1$的情況，而希斯-布朗藉由推廣英厄姆（Ingham）找到首項係數的結果，證明了$k=2$的情況。

Conrey和Ghosh推測，在$k=6$時首項係數應當為

$$\frac{42}{9!}\prod_ p \left((1-p^{-1})^4(1+4p^{-1}+p^{-2})\right)$$

而Keating和Snaith利用隨機矩陣理論，對$k$更大的情況的係數的值做出了一些猜測。目前猜想這積分的首項係數的值是某個初等因子、質數的某種乘積，和由下列數列給出的$n\times n$楊表的數字彼此間的乘積：

1, 1, 2, 42, 24024, 701149020, ...

## 其他後果

設$p_n$為第$n$個質數，並設$g_n = p_{n + 1} - p_n.\ $為質數間隙，則一個由阿爾伯特·英厄姆證明的結果顯示，若林德勒夫猜想成立，則對於任意的$\varepsilon > 0$而言，當$n$最終地 (數學)時，有以下不等式：

$$g_n\ll p_n^{1/2+\varepsilon}$$

對於質數間隙，一個比英厄姆的結果更強的猜想是克拉梅爾猜想，其陳述如下：

$$g_n = O\!\left((\log p_n)^2\right).$$

### 密度假說

密度假說指稱$N(\sigma,T)\le N^{2(1-\sigma)+\varepsilon}$，其中$N(\sigma,T)$是$\zeta(s)$的零點$\rho$在$\mathfrak{R}(s)\ge \sigma$以及$|\mathfrak{I}(s)|\le T$所構成的範圍內的數量，且這假說可由林德勒夫猜想得出。

更一般地，設$N(\sigma,T)\le N^{A(\sigma)(1-\sigma)+\varepsilon}$，則已知這界限大致和長度為$x^{1-1/A(\sigma)}$的短區間當中的質數的漸進公式相合。

阿爾伯特·英厄姆在1940年證明說$A_I(\sigma)=\frac{3}{2-\sigma}$，馬丁·赫胥黎在1971年證明說$A_H(\sigma)=\frac{3}{3\sigma-1}$。

而拉里·古斯及梅納德在2024年的一篇預印本中證明說$A_{GM}(\sigma)=\frac{15}{5\sigma+3}$並證明說這些公式和$\sigma_{I,GM}=7/10<\sigma_{H,GM}=8/10<\sigma_{I,H}=3/4$相契合。因此古斯和梅納德近期的成果給出了已知最接近$\sigma=1/2$、符合一般對黎曼猜想期望的數值，並將其界限改進至$N(\sigma,T)\le N^{\frac{30}{13}(1-\sigma)+\varepsilon}$，或等價地，漸近地和$x^{17/30}$成比例。

在理論上，貝克、格林·哈曼和平茨·亞諾什三氏對勒讓德猜想的估計的改進、對沒有西格爾零點的區域的估計，以及其他的事情也是可期待的。

## L函數

黎曼ζ函數屬於一類被稱為L函數的一類更加一般的函數。

在2010年，約瑟夫·伯恩斯坦及安德烈·瑞斯妮可夫（Andre Reznikov）給出了估計定義在$PGL(2)$之上的L函數的次凸性值的方法；同一年，阿克沙伊·文卡泰什及飛利浦·麥可給出了估計定義在$GL(1)$和$GL(2)$之上的L函數的次凸性值的方法；而在2021年，保羅·尼爾森（Paul Nelson）估計定義在$GL(n)$之上的L函數的值的方法。

## 註解和參考資料

- 2001 pbk reprint