集合論悖論

集合論悖論是指集合論中出現的各種悖論。與大多數數學悖論一樣，它們通常揭示了令人驚訝和反直覺的數學結論，但並不構成現代公理化集合論中的真正邏輯矛盾。

集合論悖論大致可分為幾類：樸素集合論因不受限制的概括原則而產生的悖論（如羅素悖論）；涉及無窮集合計數與大小的悖論（如Q2915190、希爾伯特旅館悖論）；以及涉及可定義性和模型論的悖論（如斯科倫悖論、柯里悖論）。

## 基礎概念

### 基數

格奧爾格·康托爾所創立的集合論假設了無窮集合的存在。這一假設通過無窮公理被引入公理化集合論，該公理斷言自然數集合 N 存在。每個可以通過自然數枚舉的無窮集合都與 N 具有相同的大小（基數），稱為可數集。可數無窮集合的例子包括自然數、偶數、素數以及所有有理數。這些集合的共同基數為 |N| = $\aleph_0$（阿列夫零）。

### 序數

除了描述集合大小的基數外，有序集合也是集合論的研究對象。選擇公理保證了每個集合都可以被良序化，即可以對其元素施加一種全序，使得每個非空子集都有最小元素。良序集合的順序由序數描述。例如，3 是集合 {0, 1, 2} 在通常順序 0 < 1 < 2 下的序數；ω 是所有自然數在通常順序下的序數。忽略順序後，剩下的基數為 |N| = |ω| = $\aleph_0$。

### 冪集

集合 S 的所有子集（即其元素的所有可能選擇）構成S的冪集 P(S)。康托爾證明了冪集總是大於原集合，即 |P(S)| > |S|。康托爾定理的一個特例是所有實數 R 的集合不能由自然數枚舉，即 R 是不可數的：|R| > |N|。

## 樸素集合論的悖論

樸素集合論假定任何可以通過一個性質描述的對象集合都存在。這一不受限制的概括原則導致了一系列經典悖論。

### 羅素悖論與理髮師悖論

伯特蘭·羅素在1902年的一封信中描述了羅素悖論：所有不包含自身的集合的集合 {x | x ∉ x} 不可能存在。如果它存在，那麼無論是假設它包含自身還是不包含自身，都會導致矛盾。

羅素本人用名為理髮師悖論的具體例子來闡釋這一抽象思想：一位男性理髮師為且只為所有不自己刮鬍子的男人刮鬍子。那麼他是否應該自己刮鬍子？如果他刮，則他屬於「不自己刮鬍子的人」；如果他不刮，則他又屬於「自己刮鬍子的人」——無論如何都矛盾。這個悖論揭示了不受限制的概括原則的問題：並非所有能被描述的集合都可以實際存在而不產生矛盾。

羅素悖論與格雷林-納爾遜悖論（一個自然語言中的悖論）之間存在密切的相似性。

### 康托爾悖論

康托爾悖論（1899年）涉及所有基數的集合。如果所有基數的集合存在，則其冪集的基數必然大於該集合本身的基數。但冪集本身也是所有基數集合的一個子集，因此其基數不可能大於該集合的基數，導致矛盾。康托爾由此得出結論：不存在所有基數的集合。康托爾在給大衛·希爾伯特和理察·戴德金的信中討論了這種「不一致集合」（inconsistent set），其元素不能被看作全部同時存在。

### 布拉利-福爾蒂悖論

1897年，義大利數學家切薩雷·布拉利-福爾蒂發現了布拉利-福爾蒂悖論：所有序數的集合不存在。如果它存在，它將是一個良序集，從而自身決定一個序數 Ω，導致矛盾 Ω < Ω。這是最早被發現的集合論悖論之一。

## 無窮集合的悖論

### 伽利略悖論

在集合論誕生之前，集合的「大小」概念就一直存在問題。伽利略·伽利萊和伯納德·波爾查諾等人都曾探討過這一問題。自然數和自然數的平方數是否一樣多？按枚舉法：

- 答案是肯定的，因為對每個自然數 n 都有一個平方數 n²，反之亦然（即存在雙射）。
- 答案是否定的，因為平方數是自然數的真子集：每個平方數都是自然數，但存在不是平方數的自然數（如 2）。

通過將集合的大小定義為基數，這一問題得到解決。由於兩個集合之間存在雙射，根據定義它們具有相同的基數。

### 希爾伯特旅館悖論

大衛·希爾伯特提出的希爾伯特旅館悖論生動地展示了可數無窮集合的計數悖論。假設一家旅館有無窮多個房間（編號 1, 2, 3, …），且全部住滿。此時來了一位新客人，旅館仍可通過讓每位客人搬到下一號房間（n 號客人搬到 n+1 號）來安排入住。即使來了無窮多位新客人，也可以通過讓每位現有客人搬到編號為原編號兩倍的房間來安排。這說明無窮集合可以與自身的真子集具有相同的大小。

### 康托爾的「我看見了，但我不能相信」

康托爾在證明了正方形的點的集合與正方形一條邊上的點的集合具有相同的基數（即連續統的基數）之後，在給戴德金的信中寫道：「我看見了，但我不能相信。」（Je le vois, mais je ne crois pas）這表明僅憑基數來定義集合的「大小」並非唯一有用的比較方式。測度論提供了更精細的大小理論，符合我們對長度和面積不可通約的直覺。

### 巴拿赫-塔斯基悖論

1904年恩斯特·策梅洛通過選擇公理證明了每個集合都可以被良序化。然而，良序化的能力允許進行某些被稱為悖論的構造。巴拿赫-塔斯基悖論是一個廣為認為反直覺的定理：可以將一個固定半徑的球體分解為有限數量的碎片，然後通過普通的平移和旋轉重新組合成兩個與原來完全相同的球體。這些碎片的構造需要選擇公理。

## 超任務的悖論

在集合論中，無窮集合不被視為通過諸如「添加一個元素」然後「重複無窮多次」的數學過程來創建，而是被假定為已經存在。但思考那些實際需要在無窮多個離散步驟之後才能完成的物理動作仍是一個自然的哲學問題，以此產生的悖論被稱為超任務悖論。

### 特里斯舛姆·項狄的日記

勞倫斯·斯特恩小說中的主人公特里斯舛姆·項狄以如此一絲不苟的方式撰寫自傳，以至於記錄一天的事件就需要一年的時間。如果他是凡人，他將永遠無法完成；但如果他永生不死，日記中的每一天都將被記錄下來，因為他的生命中的每一天都對應著一年用於描述該天的工作。

### 羅斯-利特爾伍德悖論

這個悖論將無窮遠的完成時間移到有限時間之內。從一個水庫開始，依次加入編號 1 至 10 的球，然後取出 1 號球；再加入 11 至 20 號球並取出 2 號球；依此類推。讓每次操作的時間減半（第一次半小時，第二次一刻鐘……），則一小時後所有操作完成。球的數量雖然不斷增加，但一小時後水庫里卻沒有任何球，因為每個球的取出時間都是已知的。如果改變取球的順序，一小時後水庫中可能會有無窮多個球。

## 可定義性與證明的悖論

### 柯尼希悖論

1905年，匈牙利數學家尤利烏斯·柯尼希發表了一個基於有限定義只有可數多個這一事實的悖論。將實數視為一個良序集，那些可以被有限定義的實數構成一個子集。在這個良序中應該存在第一個不能被有限定義的實數。但這一描述本身恰恰構成了對該實數的有限定義，導致矛盾。該悖論在公理化集合論中通過塔斯基不可定義定理得以避免。

### 理察悖論

同年，法國數學家朱爾·理察使用康托爾對角線論證的變體得到了樸素集合論中的另一個矛盾。考慮所有有限詞組的集合 A。所有實數有限定義的集合 E 是 A 的子集。由於 A 是可數的，E 也是可數的。設 p 為 E 中第 n 個實數的第 n 位小數；構造一個數 N，其整數部分為 0，第 n 位小數為 p+1（若 p 不為 8 或 9）或 1（若 p 為 8 或 9）。數 N 不在 E 中（因為它與任何有限定義實數在第 n 位不同），但它本身已被有限定義，矛盾。與柯尼希悖論一樣，該悖論不能在公理化集合論中形式化。

### 斯科倫悖論

基於德國數學家利奧波德·勒文海姆的工作，挪威邏輯學家托拉爾夫·斯科倫在1922年證明了每個一致的一階謂詞演算理論（如集合論）都有一個至多可數的模型。然而，康托爾定理證明存在不可數集合。這一表面矛盾的根源在於：集合的可數性並非總是絕對的，而可能取決於度量基數的模型。一個集合在集合論的一個模型中可能是不可數的，但在一個更大的模型中卻是可數的（因為建立可數性的雙射存在於更大的模型中而不存在於較小的模型中）。

### 柯里悖論

柯里悖論（Curry's paradox）以美國邏輯學家哈斯凱爾·柯里命名，與羅素悖論密切相關但使用了不同的邏輯機制。該悖論展示了自指的條件句如何導致任何命題都可以被證明。具體而言，對於任意命題 Y，考慮集合 X = {x | x ∈ x → Y}。通過樸素概括原則，可以推導出 Y 成立。由於 Y 可以是任何命題（包括假命題），這構成了一個悖論。柯里悖論對不使用排中律的邏輯系統（如直覺主義邏輯）同樣有效，因此在邏輯學和集合論的基礎研究中具有重要意義。

## 外部連結

- Definability paradoxes by 蒂莫西·高爾斯