萊布尼茨表示法

在微積分中，萊布尼茨表示法（名字源於17世紀德國哲學家和數學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨）使用符號dx和dy分別表示x和y的無窮小增量，類似於用Δx和Δy分別表示x和y的有限增量。

考慮y是變量x的函數，即y = f(x)。y對x的導數（後來被視為極限）：

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x},$$

根據萊布尼茨的說法，它是y的無窮小增量與x的無窮小增量的商（即 微商），記為

$$\frac{dy}{dx}=f'(x),$$

其中等式右側是拉格朗日記號下函數f在x處的導數。諸如dy和dx等無窮小增量稱為微分。與此相關的是積分，即對無窮小增量的求和。萊布尼茨也為積分提供了對應的記號（內含微分記號）。這種記號十分高效，為後來歐陸數學發展奠定基礎。

微積分中的導數和積分可以被納入現代微分形式理論，在該理論中，導數實際上是兩個微分的比值，積分也同樣完全符合萊布尼茨記號的含義。然而，該理論需要先用其他方式定義導數和積分。因此，微分形式理論僅證明了萊布尼茨記號的自洽性和計算效率，並未為其提供新的理論基礎。

## 歷史

牛頓-萊布尼茲無窮小微積分方法於17世紀提出。牛頓以流數與流量研究微積分，而萊布尼茲則以求和與差分的推廣為基礎。

萊布尼茲的積分符號 $\textstyle \int$ 源於拉丁字母 ſumma (求和) 的長 s。他認為差分是求和的逆運算，故採用d（differentia，做差）表示微分。萊布尼茲對符號選擇十分嚴謹，花費了數年時間調整符號體系，並與其他數學家交流。他曾使用過 ω, l, 和y表示微分，最後選擇了。

十九世紀末，維爾斯特拉斯學派不再遵循萊布尼茲微積分符號的原始定義，他們認為無窮小量的定義並不自洽。十九世紀，以維爾斯特拉斯為代表的數學家通過極限等更嚴謹的手段，替代了無窮小量。柯西則同時使用無窮小量和極限(參見分析教程).

儘管如此，萊布尼茲記號仍因其簡潔的優勢流行於數學界。儘管記號字面上已失去原有含義，但這種（有缺陷的）定義在分離變量等技巧中非常實用。

在物理中，如下例子能明顯感受到萊布尼茲表示法的表達力：f(t) 單位為m/s，那麼f(t) dt 單位就是m。因此這種表示方法對量綱分析十分有幫助。

## 萊布尼茨微分表示法

假設因變量y表示自變量x的函數，即。

$$y=f(x).$$

那麼，函數f的導數，用萊布尼茨的微分表示法可以寫成：

$$\frac{dy}{dx}\,\text{ 或 }\frac{d}{dx}y\,\text{ 或 }\frac{d\bigl(f(x)\bigr)}{dx}.$$

萊布尼茨表示法（有時也寫作dy/dx）是表示導數和導函數的表示方法之一（另外還有拉格朗日表示法，如下所示）。

$$\frac{dy}{dx}\, = y' = f'(x).$$

另一種表示方法是牛頓表示法，它常用於表示對時間的導數（例如速度），需要在因變量（在本例中為x）上加一個點：

$$\frac{dx}{dt} = \dot{x}.$$

拉格朗日的「撇號」表示法在討論導函數時特別有用，因為它更容易表示某點的導數值。

在現代定義中，dy 不能理解為無窮小量之比（雖然萊布尼茲是這麼定義的），而應該將其視為一個獨立的符號，即以下極限的簡寫形式：

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

（注意Δ與d的關係，其中Δ表示差分）。

dy也可以看成 微分算子 d (作為一個整體) 作用於 一個關於x的函數y。D-表示法中，該算子被記為 D.

在標準分析中，萊布尼茲的微分記號確實是一個整體（參見非標準分析），但將其視為除法在實踐中很有用。在許多情況下，導數算子確實有類似除法的性質，將其當成除法可以輔助很多結論的理解與記憶。這種符號之所以經久不衰，在於它觸及了微積分在幾何和力學的核心。

## 萊布尼茨積分表示法

萊布尼茨引入了積分符號 （「反微分」），即如今廣泛使用的長S： $\displaystyle \int$

萊布尼茲於1675年在他的私人著作中首次引入該符號；該記號首次公開出現在文章《關於不可分數和無窮的隱藏幾何和分析》（「De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum」）中。該符號基於 ſ（長 s）字符。萊布尼茨認為積分是無窮小項的無窮和（Sum），因此選擇了長 s。

## 在公式中的多種運用

萊布尼茨微積分符號之所以能沿用至今，一個原因是它們便於記憶微分和積分的相應公式。例如，鏈式法則——假設函數g在x處可微，且1=y = f(u)在1=u = g(x)處可微。那麼複合函數1=y = f(g(x))在x處可微，其導數可以用萊布尼茨符號表示為

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$$

這可以推廣到處理幾個適當定義且相關的函數u1, u2, ..., un u1, u2, ..., un的複合函數，並可表示為：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du_1} \cdot \frac{du_1}{du_2} \cdot \frac{du_2}{du_3}\cdots \frac{du_n}{dx}.$$

此外，換元積分公式可表示為

$$\int y \, dx = \int y \frac{dx}{du} \, du,$$

其中x被視為新變量u的函數，左邊的函數y以x為變量，而右邊的函數 y 以u為變量。

如果1=y = f(x)其中f是一個可微且可逆的函數，則反函數的導數（如果存在）可由下式給出：

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\left( \frac{dy}{dx} \right)},$$

添加括號是為了強調導數不是分數這一事實。

然而，在求解微分方程時，將dy和dx視為可分離變量更有助於計算。最簡單的微分方程類型之一是

$$M(x) + N(y) \frac{dy}{dx} = 0,$$

其中M和N是連續函數。可以通過考察方程的微分形式來（隱式地）求解這樣的方程。

$$M(x) dx + N(y) dy = 0$$

並進行積分以獲得

$$\int M(x) \, dx + \int N(y) \, dy = C.$$

將微分方程改寫成這種形式，並應用上述論證，這種方法被稱為分離變量法，用於求解此類方程。

在這些例子中，萊布尼茨導數符號看起來就像一個分式，儘管在現代分析學中，它並不是一個分式。

## 萊布尼茨的其他記號

萊布尼茨在數學的各個領域嘗試了許多不同的記號。他認為，良好的表示方法是數學研究的基礎。他在1693年寫給洛必達的一封信中說：

分析學的奧秘之一在於「特徵」（characteristic），即巧妙運用現有符號的藝術。先生，您從隨信附上的關於行列式的小文中定會發現，維耶特（Viète）和笛卡爾並未洞悉所有的奧秘。

隨著時間的推移，他不斷完善對良好記號的評判標準，並逐漸意識到「記號與字體大小匹配」的價值。例如，在萊布尼茲早期的作品中，他大量使用連線來表示符號的組合，但後來他將其替換為了括號，簡化了排版，也使頁面看起來更加美觀。

萊布尼茨引入的200多個新記號中，許多至今仍在使用。除了前面提到的微分符號、和積分符號（∫）之外，他還引入了表示除法的冒號（:）、表示乘法的點號（⋅）、表示相似（~）和全等（≅）的幾何符號、用於表示比例的雷科德等號（=）（取代了奧特雷德的::符號）以及雙下標行列式記號。