微分表示法

在微分學中，微分並沒有統一的表示方法。萊布尼茨、牛頓、拉格朗日和阿爾博加斯特等數學家提出了多種記號，表示函數或因變量的導數。實際使用中，視不同情況使用不同記號。專業領域，例如多元微積分、張量分析或向量微積分中的偏導數，則通常使用其特殊符號，例如下標符號或∇運算符。下面列出了最常用的微分符號（及其逆運算，即反微分或不定積分）。

## 萊布尼茨表示法

戈特弗里德·萊布尼茨的記號廣泛運用於數學領域。當方程y = f(x)表示因變量y和自變量x之間的函數關係時，常常使用這種表示方法。萊布尼茨表示法表示y對x求導為 $\frac{dy}{dx}.$

此外，函數f在x處的導數可以寫成

$$\frac{df}{dx}(x)\text{ 或 }\frac{d f(x)}{dx}\text{ 或 }\frac{d}{dx} f(x).$$

高階導數可以寫成：

$$\frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}, \frac{d^4y}{dx^4}, \ldots, \frac{d^ny}{dx^n}.$$

上述記法是源於下面的簡化：

$$\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \left(\frac{d}{dx}\right)^2y = \frac{d^2y}{dx^2}.$$

在萊布尼茨表示法中， y在點x = a處導數的值可以用如下兩種方式表示：

$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} \text{ 或 } \frac{dy}{dx}(a).$$

萊布尼茨符號允許指定求導的變量（由分母指定）。這在偏導數中尤其有用。它也使得鏈式法則更易記憶、理解： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$

萊布尼茨的微分符號體系並沒有嚴格定義dx或dy （稱為微分記號）之類的記號，一些教科書的作者也並未給這些符號賦予含義。萊布尼茨將這些符號視為無窮小量。後來，一些學者賦予了它們其他含義。例如，非標準分析中它們被定義為無窮小量或外導數。在當下的研究中， dx通常不予定義，或等同於 $\Delta x$。其中， dy通過dx賦予了特定的含義，該定義由以下方程確定：

$$dy = \frac{dy}{dx} \cdot dx$$

也可以寫成：

$$df = f'(x) \cdot dx$$

這也是某些文獻中，導數被稱為「微分係數」（dx的係數）的原因。

有些作者和期刊用羅馬字體而非斜體表示微分符號d，比如 dx

ISO/IEC 80000科學格式指南推薦這種字體。

## 拉格朗日表示法

該記號現代最常用的微分記號之一，它以約瑟夫·路易·拉格朗日的名字命名。實際上，該記法是由歐拉發明、由拉格朗日推廣的。在拉格朗日表示法中，撇號表示導數——它有時也被稱為撇號符號。如果f 是一個函數，那麼它在x 處的導數記為

$$f'(x).$$

它最早於1749 年在印刷品中出現。

高階導數用多個撇號表示，例如： $f''(x)$表示二階導數、$f'''(x)$表示三階導數。高階導數用撇號表示會很麻煩，因此有些作者使用羅馬數字表示高階導數（通常用小寫形式），例如

$$f^{\mathrm{iv}}(x), f^{\mathrm{v}}(x), f^{\mathrm{vi}}(x), \ldots,$$

表示四階、五階、六階及更高階導數。也有作者使用阿拉伯數字，並用括號括住表示，例如：

$$f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), f^{(6)}(x), \ldots.$$

這種符號也能描述n階導數，其中n可以是變量。寫成：

$$f^{(n)}(x).$$

與拉格朗日表示法相關的Unicode字符包括

當一個函數有兩個自變量時（如$f(x,y)$），記號定義如下：

$$\begin{align} <pre> f^\prime &= \frac{\partial f}{\partial x} = f_x \\[5pt] f_\prime &= \frac{\partial f}{\partial y} = f_y \\[5pt] f^{\prime\prime} &= \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} = f_{xx} \\[5pt] f_\prime^\prime &= \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}\ = f_{xy} \\[5pt] f_{\prime\prime} &= \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = f_{yy} </pre> \end{align}$$

### 拉格朗日反微分表示法

求反導數時，拉格朗日記法遵循萊布尼茨表示法：

$$f(x) = \int f'(x)\,dx = \int y'\,dx.$$

由於積分是微分的逆運算，拉格朗日表示高階導數的記號也適用於積分。函數f的多次積分可以寫成如下形式：

$f^{(-1)}(x)$ 表示一次積分 (容易與 反函數 $f^{-1}(x)$混淆),

$f^{(-2)}(x)$ 表示二次積分,

$f^{(-3)}(x)$ 表示三次積分,

$f^{(-n)}(x)$ 表示 n次 積分.

## D 表示法

這種表示方法有時被稱為歐拉表示法，雖然它是由路易·弗朗索瓦·安托萬·阿爾博加斯特引入的

```
 </ref> 并且[[萊昂哈德·歐拉|莱昂哈德·欧拉]]似乎并没有使用过这种表示方法。 <sup class="noprint Inline-Template Template-Fact" style="white-space:nowrap;">&#x5B;''[[wikipedia:来源请求|<span title="This claim needs references to reliable sources. (May 2024)">需要来源</span>]]''&#x5D;</sup>
```

或D̃ （牛頓-萊布尼茨算子）。當該算子應用於函數f(x)時，它定義為

$$(Df)(x) = \frac{df(x)}{dx}.$$

高階導數表示為D的「冪」（其中上標表示D的迭代複合），如下所示：

$D^2f$ 表示2階導數,

$D^3f$ 表示3階導數

$D^nf$ 表示n階導數.

D 表示法隱含了被微分的變量。當然，也可以通過下標顯式地標註被微分變量：如果f是變量x的函數，則可以寫成如下形式

$D_x f$ 表示1階導數,

$D^2_x f$ 表示2階導數

$D^3_x f$ 表示3階導數

$D^n_x f$ 表示n階導數

當f是多元函數時，通常使用「∂」（一種花體小寫字母 d）而不是「D」表示。如上所述，下標表示所求導數的變量。例如，函數的二階偏導數$f(x,y)$是：

$$\begin{align} & \partial_{xx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \\[5pt] & \partial_{xy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}, \\[5pt] & \partial_{yx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}, \\[5pt] & \partial_{yy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}. \end{align}$$

參見

D 表示法在微分方程和微分代數的研究中很有用。

### 反導數的D表示法

D 表示法可以像拉格朗日表示法一樣用於反導數，如下所示

$D^{-1}f(x)$ 表示1階反導數,

$D^{-2}f(x)$ 表示2階反導數

$D^{-n}f(x)$ 表示n階反導數.

## 牛頓表示法

艾薩克·牛頓的微分表示法（也稱為點表示法、流數表示法，有時也簡稱為「飛點記號」）是因變量上方加一個點。如果y是t的函數，那麼y對t的導數為：

$$\dot y$$

高階導數用多個點表示，例如：

$$\ddot y, \overset{...}{y}$$

牛頓擴展了這種記號體系：

$$\begin{align} <pre> \ddot{y} &\equiv \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\Bigl(\dot{y}\Bigr) = \frac{d}{dt}\Bigl(f'(t)\Bigr) = D_t^2 y = f''(t) = y''_t \\[5pt] \overset{...}{y} &= \dot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^3y}{dt^3} = D_t^3 y = f'''(t) = y'''_t \\[5pt] \overset{\,4}{\dot{y}} &= \overset{....}{y} = \ddot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^4y}{dt^4} = D_t^4 y = f^{\rm IV}(t) = y^{(4)}_t \\[5pt] \overset{\,5}{\dot{y}} &= \ddot{\overset{...}{y}} = \dot{\ddot{\ddot{y}}} = \ddot{\dot{\ddot{y}}} \equiv \frac{d^5y}{dt^5} = D_t^5 y = f^{\rm V}(t) = y^{(5)}_t \\[5pt] \overset{\,6}{\dot{y}} &= \overset{...}{\overset{...}{y}} \equiv \frac{d^6y}{dt^6} = D_t^6 y = f^{\rm VI}(t) = y^{(6)}_t \\[5pt] \overset{\,7}{\dot{y}} &= \dot{\overset{...}{\overset{...}{y}}} \equiv \frac{d^7y}{dt^7} = D_t^7 y = f^{\rm VII}(t) = y^{(7)}_t \\[5pt] \overset{\,10}{\dot{y}} &= \ddot{\ddot{\ddot{\ddot{\ddot{y}}}}} \equiv \frac{d^{10}y}{dt^{10}} = D_t^{10} y = f^{\rm X}(t) = y^{(10)}_t \\[5pt] \overset{\,n}{\dot{y}} &\equiv \frac{d^ny}{dt^n} = D_t^n y = f^{(n)}(t) = y^{(n)}_t </pre> \end{align}$$

與牛頓表示法相關的Unicode字符包括：

- 20DB
- 20DC
- 030D
- 030E
- 25AD
- 20DE
- 1DE0

當自變量表示時間時，通常使用牛頓表示法。如果位置y是t的函數，那麼$\dot y$表示速度、$\ddot y$表示加速度。這種表示方法在物理學和數學物理中很流行。它常用於與物理學相關的數學領域，例如用微分方程表示的物理定律方程。

牛頓在 曲線X ( ⵋ ) 側邊加點定義了以下偏微分算子。

$$\begin{align} <pre> \mathcal{X} \ &=\ f(x,y) \,, \\[5pt] \cdot\mathcal{X} \ &=\ x\frac{\partial f}{\partial x} = xf_x\,, \\[5pt] \mathcal{X}\!\cdot \ &=\ y\frac{\partial f}{\partial y} = yf_y\,, \\[5pt] \colon\!\mathcal{X}\,\text{ or }\,\cdot\!\left(\cdot\mathcal{X}\right) \ &=\ x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = x^2 f_{xx}\,, \\[5pt] \mathcal{X}\colon\,\text{ or }\,\left(\mathcal{X}\cdot\right)\!\cdot \ &=\ y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = y^2 f_{yy}\,, \\[5pt] \cdot\mathcal{X}\!\cdot\ \ &=\ xy\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y} = xy f_{xy}\,, </pre> \end{align}$$

### 牛頓積分表示法

牛頓在《曲線求積》 （1704 年）和後來的著作中發明了許多積分記號：在因變量上方寫一個小豎線或撇號（y̍）、前面加上一個矩形（▭y）、用矩形框住（y）來表示流積分或時間積分（位移積分）。

$$\begin{align} <pre> y &= \Box \dot{y} \equiv \int \dot{y} \,dt = \int f'(t) \,dt = D_t^{-1} (D_t y) = f(t) + C_0 = y_t + C_0 \\ \overset{\,\prime}{y} &= \Box y \equiv \int y \,dt = \int f(t) \,dt = D_t^{-1} y = F(t) + C_1 </pre> \end{align}$$

為了表示多次積分，牛頓使用兩個小豎線或撇號（y̎），或者組合使用符號（▭y̍ 或 y̍），來表示二階時間積分。

$$\overset{\,\prime\prime}{y} = \Box \overset{\,\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime}{y} \,dt = \int F(t) \,dt = D_t^{-2} y = g(t) + C_2$$

高階時間積分表示形式如下：

$$\begin{align} <pre> \overset{\,\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime}{y} \,dt = \int g(t) \,dt = D_t^{-3} y = G(t) + C_3 \\ \overset{\,\prime\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \,dt = \int G(t) \,dt = D_t^{-4} y = h(t) + C_4 \\ \overset{\;n}\overset{\,\prime}{y} &= \Box \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \equiv \int \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \,dt = \int s(t) \,dt = D_t^{-n} y = S(t) + C_n </pre> \end{align}$$

由於印刷困難，這種數學符號並未得到廣泛應用。參見萊布尼茨-牛頓微積分之爭

## 偏導數

在多元微積分或張量分析等多變量分析中，需要表示更具體的微分類型時，通常使用其他記號。

對於一個只包含自變量x的函數f，我們可以用自變量的下標來表示其導數：

$$\begin{align} <pre> f_x &= \frac{df}{dx} \\[5pt] f_{x x} &= \frac{d^2f}{dx^2}. </pre> \end{align}$$

這種表示方法對於求多元函數的偏導數尤其有用。

表示求偏導數時，通常用符號「∂」代替微分算子d。例如，我們可以用符號「∂」表示函數f(x, y, z)關於x，但不關於y或z的導數：

$$\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f.$$

區分出符號「∂」的重要原因是，非偏導數記號（例如$\textstyle \frac{df}{dx}$）有時會考慮其他變量的同時變化，比如全導數。而偏導數（例如$\textstyle \frac{\partial f}{\partial x}$），則明確了只能有一個變量發生變化。

該記號可見於數學、物理學和工程學的各個子領域：例如，熱力學的麥克斯韋關係式中 $\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!S}$是在保持熵（下標） S不變的情況下，溫度T對體積V的導數，而$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!P}$是在壓力P保持不變的情況下，溫度對體積的導數。當變量數量超過自由度時，就需要用到上述記號，用於確定不變的量。

對一個變量的高階偏導數表示為

$$\begin{align} & \frac{\partial^2f}{\partial x^2} = f_{xx}, \\[5pt] & \frac{\partial^3f}{\partial x^3} = f_{xxx}, \end{align}$$

混合偏導數可以表示為

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = f_{xy}.$$

兩種表示法中變量的順序相反：

$$\begin{align} & (f_x)_y = f_{xy}, \\[5pt] & \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y \, \partial x}. \end{align}$$

當上述表示方法過於冗長時，則會使用多重指標。考慮定義在 $\R^n$ 上的函數, 我們定義一個長度為$n$的有序數列（$n \in \mathbb{N}$）: $\alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n), \ \alpha_i \in \Z_{\geq 0}$. 對於函數 $f:\R^n \to X$, 多重指標微分定義為

$$\partial^\alpha f = \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} f$$

這樣，一些用其他方式寫起來很繁瑣的結果（例如萊布尼茨規則）就可以簡潔地表達出來——多重指標條目中有相應例子。

## 向量微積分中的記號

向量微積分是研究向量場或標量場的微分和積分。這類記號通常定義在三維歐幾里得空間中。

假設(x, y, z)是笛卡爾坐標系，其中有一個具有分量的向量場$\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$、一個標量場 $\varphi = \varphi(x,y,z)$。

微分算子，記為∇，也稱為del或nabla，定義為一個向量：

$$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\!,$$

該等式象徵性地反映了運算符∇也被視為普通向量。該記號最早由威廉·羅文·漢密爾頓發明。

- 梯度：標量場$\varphi$的梯度 $\mathrm{grad\,} \varphi$ 是一個向量，其符號表示為 ∇ 與標量場 $\varphi$ 的乘積

$$\begin{align} <pre> \operatorname{grad} \varphi &= \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \varphi \\ &= \nabla \varphi </pre> \end{align}$$

- 散度：向量場A的散度$\mathrm{div}\,\mathbf{A}$是一個標量，可以用 ∇ 與向量A的點積來表示。

$$\begin{align} <pre> \operatorname{div} \mathbf{A} &= {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot \mathbf{A} \\ &= \nabla \cdot \mathbf{A} </pre> \end{align}$$

- 拉普拉斯算子：標量場$\varphi$的拉普拉斯算子$\operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi$是一個標量，其符號表示為 ∇ 2與標量場φ的標量乘法。

$$\begin{align} <pre> \operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi &= \nabla \cdot (\nabla \varphi) \\ &= (\nabla \cdot \nabla) \varphi \\ &= \nabla^2 \varphi \\ &= \Delta \varphi \\ </pre> \end{align}$$

- 旋度：向量場A的旋度$\mathrm{curl}\,\mathbf{A}$ （或$\mathrm{rot}\,\mathbf{A}$）是一個向量，可以用 ∇ 與向量A的叉積來符號表示

$$\begin{align} <pre> \operatorname{curl} \mathbf{A} &= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} }, {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} }, {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \\ &= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} } \right) \mathbf{i} + \left( {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} } \right) \mathbf{j} + \left( {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \mathbf{k} \\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} \\ &= \nabla \times \mathbf{A} </pre> \end{align}$$

許多導數的運算法則，可以通過梯度算子直接推廣。例如，單變量乘法法則可以通過應用梯度算子，直接類比成標量場的乘法，如下所示。

$$(f g)' = f' g+f g' ~~~ \Longrightarrow ~~~ \nabla(\phi \psi) = (\nabla \phi) \psi + \phi (\nabla \psi).$$

單變量微積分中的許多其他規則，在向量微積分中都有對應的梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子。

針對特殊的空間類型，人們發展出了其他符號。在閔可夫斯基空間中進行計算時，常使用達朗貝爾算子（也稱為達朗貝爾算子、波算子或盒算子），其表示為$\Box$、或者$\Delta$（當不與拉普拉斯算子衝突時）。