三維點群

幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群$O(3)$的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。$O(3)$本身則是全體等距同構的歐氏群$E(3)$的子群。

立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。

立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群（或真對稱群）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群$SO(3)$之交。立體的旋轉群等於全體對稱群，當且僅當立體具手性 (數學)。

三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱，及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下，也稱分子對稱群。

有限考克斯特群是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。$n$階考克斯特群是由$n$個鏡射生成，可以考克斯特－丹金圖表示。考克斯特符號則改為用方括號和數字描述，並設有其他標記，用以表示旋轉群或其他子群。

## 群結構

$SO(3)$是直接歐氏群$E^+(3)$的子群，其元素皆是直接等距同構，即保持定向的等距變換。$SO(3)$僅含保持原點不變的直接等距同構。

$O(3)$則是$SO(3)$與點反演生成的群$\{I, -I\}$的直積：（此處點反演以其矩陣$-I$表示，即單位矩陣$I$乘上$-1$。）

$$O(3) = SO(3) \times \{I, -I\}.$$

所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應，此外，$O(3)$中僅由直接等距變換組成的子群$H$（必包含在$SO(3)$中，亦與$O(3)$中含有點反演的子群$K$一一對應。對應關係如下：

$$K = H \times \{I, -I\},$$

$$H = K \cap SO(3).$$

例如，若$H$為$C_2$，則$K$為$C_\mathrm{2h}$；若$H$為$C_3$，則$K$為$S_6$。（定義載於下文。）

若直接等距同構群$H$有子群的指數為$2$的子群$L$，則除以上含點反演的子群外，還有另一個對應的子群

$$M = L \cup \left(( H \setminus L) \times \{-I\} \right),$$

含有間接等距變換，但不含點反演。式中$(A, I)$與$A$視為等同。舉例$H$為$C_4$，而$M$為$S_4$。

換言之，$M$是將$H \setminus L$中的變換，乘上$-I$得到。此群$M$作為抽象群與$H$同構。反之，任意對稱群，若有間接等距變換，但無點反演，則可以將所有間接變換反演，而變成旋轉群。等距群的分類（見下文）中，可以用此性質化簡問題。

二維情況下，$k$重旋轉的循環群$C_k$皆是$O(2)$和$SO(2)$的正規子群。在三維中，固定旋轉軸，則相應有繞該軸的$k$重循環群$C_k$，是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外，由於指數為$2$的子群必正規，$C_n$在$C_{n\mathrm{v}}$中正規，也在$C_{n\mathrm{h}}$中正規。此處$C_{n\mathrm{v}}$是向$C_n$添加過旋轉軸的反射面生成，而$C_{n\mathrm{h}}$則是向$C_n$添加與軸垂直的反射面生成。

## 固定原點的三維等距變換

$\mathrm R^3$的等距變換中，固定原點的變換，組成正交群$O(3, \mathbb R)$，簡記為$O(3)$。其元素分類如下：

- 單位（恆等變換）。
- 繞過原點某軸的旋轉，且角度不為$180^\circ$。
- 繞過原點某軸的旋轉，且角度為$180^\circ$。
- 及以上變換但額外乘上點反演（將向量$x$映去$-x$），即：
- 點反演。
- 繞過原點的某軸，作角度不為$180^\circ$的旋轉，後再作一次鏡射，鏡射面過原點，且與旋轉軸垂直。
- 關於過原點某平面的鏡射。

後三種元素又稱瑕旋轉。（視乎定義，末一種未必算。）

連同平移變換的簡介，見歐幾里得群。

## 共軛

比較兩件立體的對稱類時，原點可以分別選取，即兩件立體的中心不必相同。更甚者，兩件立體具有相同對稱類，意思是其對稱群$H_1, H_2$在$O(3)$中為共軛子群，即存在$g \in O(3)$，使$H_1 = g^{-1} H_2 g$。

舉例：

- 兩件立體各僅有鏡射對稱，即使並非關於同一鏡面，仍屬同樣的對稱類。
- 同樣，若各僅有三重旋轉對稱，即使軸向不同，仍屬同樣的對稱類。

若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面，或兩者皆有，則兩個對稱群同屬一類，當且僅當有另一個旋轉$g$，將前一個對稱群的整個結構，變換成後一個對稱群。（此種旋轉會多於一個，但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時，此種旋轉方會有無窮多個。）按定義，上文的$g$不必為旋轉，也可以為鏡射，然而，由於對稱群的結構不具手性，祇需取$g$為旋轉。（但空間群則不然，有$11$對空間群具有手性，因為有螺旋變換。）

## 無窮等距變換群

有許多無窮等距變換群，如繞任意軸轉任意無理角度（即圈數或度數為無理數，或弧度數為$\pi$的無理數倍）的旋轉，所生成的無窮循環群；若加入繞同一軸的其他旋轉，還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉，則生成非交換群。一般性質，此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉，方能得到有限群，否則一般皆是無窮群。

作為拓撲群$O(3)$的子群，上述無窮子群皆非閉子群。以下討論$O(3)$的拓撲閉子群：

- 整個$O(3)$是球對稱群。
- 相應的旋轉群是$SO(3)$。
- 其他無窮等距變換群有五個，皆含有過原點的某軸，繞該軸的所有旋轉，另外可以：
- 添加或不添加過軸的各鏡面反射。
- 另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。（共四個）
- 最後，若以上兩種反射都無添加，則可以只添加兩者的複合，相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的$180^\circ$旋轉。（一個）

添加過軸的各鏡面反射的群，不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射，稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱，則亦必關於過軸的鏡面對稱。

此七個連續群，稱為極限點群或居里極限群，得名自最早研究此種群的皮埃爾·居里。軸向群可以分成七列無窮序列，其極限給出五個軸向極限群（有兩個重複），而$O(3)$、$SO(3)$則不是軸向群的極限。國際記號中，此七個群記為$\infty,\ \infty 2,\ \infty/\mathrm{m},\ \infty \mathrm{mm},\ \infty/\mathrm{mm},\ \infty\infty,\ \infty\infty\mathrm{m}$，次序在下文明確給出。

## 有限等距變換群

三維空間的對稱中，保持原點不動，等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群，亦可參見球面有限對稱群列表。

不別共軛之異，三維有限點群只有：

- $7$個無窮列，此七類群中，每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉。該些群皆是圓柱面的對稱群（的有限子群），其中圓柱面有限長或無限長是等價的，有時稱為軸向點群（axial point groups）或稜柱點群（prismatic point groups）。
- $7$個其他點群，每個有至少兩條至少三重的旋轉軸；也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸，因為全部七個都有多條三重旋轉軸。若數出其三重以上的旋轉軸，所有可能組合有：
- $4$條三重軸。
- $4$條三重軸及$3$條四重軸。
- $10$條三重軸及$6$條五重軸。

根據晶體學限制定理，僅得很少點群與離散平移對稱相容：七列軸向點群中，有$27$個；七個其他點群中，有$5$個，合共$32$個，稱為晶體學點群。

## 七類軸向點群

有七列軸向點群。每列有無窮多個群，各可用正整數$n$標示。每列第$n$個群，含繞某軸的$n$重旋轉，即旋轉$360^\circ / n$，故$n=1$對應轉一整圈，即不旋轉。七列軸向點群中，四列無其他旋轉軸（稱三維循環對稱），另三列有其他二重旋轉軸（稱二面對稱）。該些群可以視為二維點群添加軸向坐標和關於軸的反射而成，也與帶群相關。可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複$n$次。

下表列出點群的幾種記號：晶體學的赫爾曼–莫甘記號、分子對稱性的熊夫利記號、軌形記號、考克斯特記號。後三者不僅方便讀出群的性質，還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於牆紙群與帶群。晶體群的$n$僅能取$1, 2, 3, 4, 6$（晶體學限制定理），而若移除該限制，則$n$可取任意正整數。七列軸向點群為：

赫－莫｜熊夫利記號｜軌形記號｜考克斯特記號｜帶群｜抽象結構（對稱數）｜例子｜備註

$n$偶｜$n$奇｜（圓柱）

$n$｜$C_n$｜$nn$｜$[n]^+$node_h2｜p1｜循環群$Z_n$（$n$）｜$n$重旋轉對稱

$\overline{2n}$｜$\overline n$｜$S_{2n}$｜$n\times$｜$[2n^+, 2^+]$node_h2｜p11g｜$Z_{2n}$（$2n$）｜$n$重旋轉反射對稱勿與$2n$次抽象對稱群混淆

$n/\mathrm{m}$｜$\overline{2n}$｜$C_{n\mathrm h}$｜$n ^*$｜$[n^+, 2]$node_h2｜p11m｜$Z_n \times Z_2$（$2n$）

$n \mathrm{mm}$｜$n\mathrm m$｜$C_{n \mathrm v}$｜${}^* nn$｜$[n]$node｜p1m1｜二面體群$\mathrm{Dih}_n$（$2n$）｜稜錐對稱生物學又稱雙輻射狀對稱

$n22$｜$n2$｜$D_n$｜$22n$｜$[n,2]^+$node_h2｜p211｜$\mathrm{Dih}_n$（$2n$）｜三維二面體對稱

$\overline{2n}2\mathrm m$｜$\overline{n}\mathrm{m}$｜$D_{n \mathrm{d}}$｜$2^* n$｜$[2n,2^+]$node｜p2mg｜$\mathrm{Dih}_{2n}$（$4n$）｜反稜柱對稱

$n/\mathrm{mmm}$｜$\overline{2n}2\mathrm m$｜$D_{n\mathrm h}$｜${}^*22n$｜$[n,2]$node｜p2mm｜$\mathrm{Dih}_n \times Z_2$（$4n$）｜稜柱對稱

對奇數$n$，有抽象群同構$Z_{2n} \cong Z_n \times Z_2$及$\mathrm{Dih}_{2n} \cong \mathrm{Dih}_n \times Z_2$。

群$C_n$（包括平凡群$C_1$）及$D_n$有手性，其他則無手性。

術語水平（horizontal, h）與豎直（vertical, v）描述反射面的方向，以旋轉軸為豎直，故反射面水平即垂直於與旋轉軸，反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。

最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群$Z_2$，但是$O(3)$的不同子群（即不共軛）：

- $C_\mathrm i$（等同$S_2$）——點反演對稱
- $C_2$——二重旋轉對稱
- $C_\mathrm s$（等同$C_{1\mathrm h}$和$C_{1 \mathrm v}$）——反射對稱，生物學的對稱性又稱兩側對稱（bilateral symmetry）。

第一組單軸循環群中，$C_n$的階為$n$（二維情況同樣適用），是由單一個角度為$360^\circ / n$的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面（的反射），則生成$C_{n \mathrm h}$，階為$2n$。若不加入與軸垂直的鏡面，但加入$n$塊通過軸的鏡面，則得到$C_{n\mathrm v}$，階亦為$2n$。後者是正$n$稜錐的對稱群。具$C_n$或$D_n$的典型物體是螺旋槳。

若上述兩種鏡面皆加入，則水平鏡面與豎直鏡面相交得到$n$條軸，而鏡射的複合生成繞該些軸的$180^\circ$旋轉，故群不再單軸。新群的階為$4n$，記為$D_{n \mathrm h}$。其旋轉子群為$2n$個元素的二面體群$D_n$，仍有與主（$n$重）旋轉軸垂直的二重旋轉軸，但不再有鏡面。

注意，在二維，$D_n$包括鏡射，但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維，鏡射與翻轉不再相同：群$D_n$有翻轉但無鏡射。

餘下一類是$D_{n \mathrm d}$（或$D_{n \mathrm v}$），其有包含主旋轉軸的豎直鏡面，但沒有水平鏡面，取而代之的操作是先水平鏡射，再旋轉$180^\circ / n$。$D_{n \mathrm h}$是正$n$稜柱和雙稜錐的對稱群。$D_{n\mathrm d}$則是正$n$角反稜柱的對稱群，亦是正$n$方偏方面體的對稱群。最後，$D_n$是稍稍扭過的正$n$稜柱的對稱群。

$D_2$及$D_{2\mathrm h}$較特殊，因為並無特別的主旋轉軸：三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。$D_2$是下節所有多面體對稱群的子群，而$D_{2\mathrm h}$則是多面體群$T_\mathrm h$與$O_\mathrm h$的子群。$D_2$可以作為下列化學品的對稱群：

- 刀豆蛋白A等同四聚體。
- 四個相同手性配位基的四面體形配合物。
- 四個同手性氟氯甲基的四(氟氯甲基)甲烷。

$D_2$的元素，與利普希茨四元數的可逆元表示的旋轉，有一對二的關係。

群$S_n$由「先關於水平面作鏡射，再旋轉$360^\circ / n$」生成。對於奇數$n$，是等於前述兩個操作分開執行，生成的群$C_{n \mathrm h}$，階為$2n$，故不必用到記號$S_n$。然而，對偶數$n$，兩個群有差異，且$S_n$僅有$n$個元素。與$D_{n \mathrm d}$類似，其包含若干瑕旋轉，但不包含對應的旋轉。

七列軸向群的元素僅有下列四對重複：

- $C_{1 \mathrm h}$及$C_{1 \mathrm v}$：階數為$2$，由獨一個鏡射生成。又稱$C_\mathrm s$。
- $D_1$與$C_2$：階數為$2$，由獨一個$180^\circ$旋轉生成。
- $D_{1 \mathrm h}$與$C_{2 \mathrm v}$：階數為$4$，由一個鏡射與鏡面上一條軸的$180^\circ$旋轉生成。
- $D_{1 \mathrm d}$與$C_{2 \mathrm h}$：階數為$4$，由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的$180^\circ$旋轉生成。

$S_2$是由獨一個點反演生成的$2$階群，又記為$C_\mathrm i$。

此處「重複」是指作為$O(3)$的子群共軛，是強於作為抽象群代數同構的條件。例如，前一種意義下，有三個不同的$2$階群，但祇有一個$2$階抽象群。類似，也有$S_{2n}$與$Z_{2n}$抽象同構。

群的構造亦可描述如下：

- $C_n$是由獨一個元素生成，生成元亦稱為$C_n$，是繞軸轉$2 \pi /n$。群的元素是：$E$（單位元），$C_n, C_n^2, \ldots, C_n^{n-1}$，對應旋轉角$0,\ 2\pi / n,\ 4\pi / n,\ \ldots,\ 2(n-1)\pi / n$。該軸視為豎直軸。
- $S_{2n}$由獨一個元素$C_{2n}\sigma_\mathrm h$生成，其中$\sigma_\mathrm h$是水平面的鏡射。群的元素是$C_n$的元素，另加$C_{2n} \sigma_\mathrm h,\ C_{2n}^3 \sigma_\mathrm h,\ C_{2n}^5 \sigma_\mathrm h,\ \ldots,\ C_{2n}^{2n-1} \sigma_\mathrm h$。
- $C_{n\mathrm h}$由$C_n$與反射$\sigma_\mathrm h$生成。群的元素是$C_n$的元素，另加$\sigma_\mathrm h,\ C_{n} \sigma_\mathrm h,\ C_{n}^2 \sigma_\mathrm h,\ \ldots,\ C_{n}^{n-1} \sigma_\mathrm h$。
- $C_{n \mathrm v}$由$C_n$與豎直鏡面的反射$\sigma_\mathrm v$生成。群的元素是$C_n$的元素，另加$\sigma_\mathrm v,\ C_n \sigma_\mathrm v,\ C_n^2 \sigma_\mathrm v,\ \ldots,\ C_n^{n-1} \sigma_\mathrm v$。
- $D_n$是由$C_n$與繞水平面上某軸$180^\circ$的旋轉$U = \sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v$，其元素是$C_n$的元素，另加$U,\ C_n U,\ C_n^2 U,\ \ldots,\ C_n^{n-1} U$。
- $D_{n \mathrm d}$由元素$C_{2n} \sigma_\mathrm h$與$\sigma_\mathrm v$生成。元素是$C_n$的元素，加上$S_{2n}$與$C_{n \mathrm v}$的額外元素，再加上$C_{2n}\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v,\ C_{2n}^3\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v,\ C_{2n}^5\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v,\ \ldots,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma_\mathrm h \sigma_\mathrm v$。
- $D_{n \mathrm h}$由元素$C_n,\ \sigma_\mathrm h,\ \sigma_\mathrm v$生成。其元素為$C_n$的元素，再加上$C_{n \mathrm h},\ C_{n \mathrm v},\ D_n$的所有額外元素。

取$n$趨向$\infty$的極限，則得到連續軸向群（或無窮階軸向群）：

赫－莫｜熊夫利記號｜軌形記號｜考克斯特記號｜是何序列的極限｜抽象群

$\infty$｜$C_\infty$｜$\infty\infty$｜$[\infty]^+$｜node_h2｜$C_n$｜$Z_\infty$｜$SO(2)$

$\overline{\infty},\ \infty/\mathrm m$｜$C_{\infty \mathrm h}$｜$\infty^*$｜$[2,\infty^+]$｜node｜$C_{n \mathrm h},\ S_{2n}$｜$Z_2 \times Z_\infty$｜$Z_2 \times SO(2)$

$\infty \mathrm m$｜$C_{\infty \mathrm v}$｜${}^* \infty \infty$｜$[\infty]$｜node｜$C_{n \mathrm v}$｜$\mathrm{Dih}_{\infty}$｜$O(2)$

$\infty 2$｜$D_\infty$｜$22\infty$｜$[2,\infty]^+$｜node_h2｜$D_n$｜$\mathrm{Dih}_\infty$｜$O(2)$

$\overline{\infty}\mathrm m,\ \infty /\mathrm {mm}$｜$D_{\infty \mathrm h}$｜${}^*22\infty$｜$[2,\infty]$｜node｜$D_{n \mathrm h},\ D_{n \mathrm d}$｜$Z_2 \times \mathrm{Dih}_\infty$｜$Z_2 \times O(2)$

## 七個其他點群

餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱，因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中，$C_n$表示一條$n$重軸，即旋轉角為$360^\circ / n$，$S_n$則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號，首先是字母表示的熊夫利記號，然後括號內為軌形記號，然後為考克斯特記號及圖，最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。

$T,\ (332)$ $[3,3]^+$（node_h2）$23$階為$12$｜手性四面體對稱｜有四條$C_3$軸，是立方體的四條體對角線，也可以看成正四面體四個頂點分別到對面中心的連線。另有三條$C_2$軸，是立方體三組對面的中心連線，也是正四面體三組對邊的中點連線。$T$同構交錯群$A_4$，即四個元素的偶排列的群。本群為正四面體的旋轉群，也是$T_\mathrm d,\ T_\mathrm h$及以下兩種八面體對稱群的正規子群。本群的$12$個元素，與赫維茲四元數的$24$個可逆元，有一對二的關係，而後者又稱為二元四面體群。

$T_\mathrm d,\ (^*332)$ $[3,3]$（node）$\overline {4}3\mathrm m$階為$24$｜全四面體對稱｜本群與$T$有相同的旋轉軸，但另有六塊鏡面，每塊經過立方體的兩條不在同一面的平行邊，也是正四面體六條稜各自的垂直平分面。每塊鏡面包含一條$C_2$軸，兩條$C_3$軸。原$C_2$軸，加入鏡射後，變成$S_4$軸。本群是正四面體的對稱群。$T_\mathrm d$同構於$4$個元素的對稱群$S_4$，因為$T_\mathrm d$的元素，會將$4$條$C_3$軸重新排列，而元素與此四條軸的排列一一對應。若一件物體繞其中一條三重軸，有$C_{3\mathrm v}$對稱，則在$T_\mathrm d$作用下，軌道有四件同樣的物體，$T_\mathrm d$就對應此四件物體的排列的集合。$T_\mathrm d$是$O_\mathrm h$的正規子群。

$T_\mathrm h,\ (3^*2)$ $[3^+,4]$（node_h2）$2/\mathrm m \overline{3},\ \mathrm m\overline{3}$ 階為$24$｜五角十二面體對稱｜本群與$T$的旋轉軸相同，另有與立方體的面平行的鏡面。四條$C_3$軸變成$S_6$軸，並有關於中心的反演對稱。$T_\mathrm h$同構於$A_4 \times Z_2$（因為$T$與$C_\mathrm i$皆是正規子群），而與對稱群$S_4$不同構。若在立方體的每個面上，各畫一條線段，將該面分成兩個全等的長方形，且使得新增的線段不會相交於稜上，則所得的圖形的對稱群為$T_\mathrm h$。該些對稱是：立面體四條體對角線的偶排列，及該等偶排列與中心反演的複合。本群亦是五角十二面體的對稱群。五角十二面體與前述的（面經分割的）立方體類似，但其中每個長方形換成有四邊等長，具一條對稱軸的五角形，而五角形餘下一條不同長度的邊，對應立方體的面上新增的線段。換言之，可以想像立方體的面在分割線隆起，並在該處變窄（即分割線變短）。本群為全二十面體對稱群的子群（但不正規），且是作為等距變換群的子群，而不僅是抽象子群。全二十面體對稱群有十條三重軸，而本群有其中四條。本群亦為$O_\mathrm h$的正規子群。雖然記作$T_\mathrm h$，本群並非任何四面體（Tetrahedron）的對稱群。

$O,\ (432)$ $[4,3]^+$（node_h2）$432$階為$24$｜手性八面體對稱｜本群與$T$類似，但各$C_2$軸現改成$C_4$軸，並有額外六條$C_2$軸，是過正方體中心與（六對）稜中點的直線。本群與$S_4$同構，因為其元素與四條三重軸的$24$個排列一一對應，與$T$類似。若物體繞某條三重軸有$D_3$對稱，則在$O$作用下，軌道有四件同樣的物體，而$O$的元素也一一對應此四件物體的排列。本群是立方體與正八面體的旋轉群。若用四元數表示旋轉，則$O$對應$24$個赫維茲四元數的可逆元及範數平方為$2$的$24$個利普希茨四元數，各除以$\sqrt{2}$。與$T$類似，此為一對二的關係。

$O_\mathrm h,\ (^*432)$ $[4,3]$（node）$4/\mathrm m \overline{3}2/\mathrm m,\ \mathrm m\overline{3}\mathrm m$階為$48$｜全八面體對稱｜本群與$O$有同樣的旋轉軸，但也有鏡射，有齊$T_\mathrm d$與$T_\mathrm h$的所有鏡面。本群同構於$S_4 \times Z_2$（因為$O$與$C_\mathrm i$皆為正規子群），且是立方體與正八面體的對稱群。見八面體對稱。

$I, (532)$ $[5,3]^+$（node_h2）$532$階為$60$｜手性二十面體對稱｜本群為正二十面體與正十二面體的旋轉群，亦是全正二十面體對稱群$I_\mathrm h$的子群指標$2$正規子群。本群的子群中，有十個$D_3$與六個$D_5$（即稜柱或反稜柱的旋轉群）。本群也包含五個$T$子群（見五複合正四面體）。抽象而言，$I$同構於$5$次交錯群$A_5$，因為其元素作用在五個$T$子群上，與其偶排列一一對應。等價地，可以考慮$I$對前述五複合正四面體的五個單體的作用。以四元數表示旋轉，則$I$對應$120$個二十數可逆元。與先前一樣，此為一對二的關係。

$I_\mathrm h,\ (^*532)$ $[5,3]$（node）$\overline{53}2/\mathrm m,\ \overline{53}\mathrm m$階為$120$｜全二十面體對稱｜本群為正二十面體與正十二面體的對稱群。$I_\mathrm h$與抽象群$A_5 \times Z_2$同構，因為$I$與$C_\mathrm i$皆是正規子群。本群的子群中，有十個$D_{3 \mathrm d}$、六個$D_{5 \mathrm d}$（反稜柱的對稱）、五個$T_\mathrm h$。

相關的連續群有：

- 旋轉群$SO(3)$，即所有旋轉的群，亦記作$\infty \infty$或$K$。
- 正交群$O(3)$，所有旋轉和鏡射生成的群，亦記作$\infty \infty \mathrm m$或$K_\mathrm h$。

如無窮等距變換群一節所言，任何物理實體，若有$K$對稱性，則必有$K_\mathrm h$對稱性。

## 軌形記號與階

若已知群的軌形記號，則可計算其階數，等於$2$除以軌形的歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將$2$減去軌形記號中，各符號特徵數的總和：

- 無${}^*$或在${}^*$之前的$n$，值為$(n-1)/n$。
- 在${}^*$之後的$n$，值為$(n-1)/(2n)$。
- ${}^*$與$\times$計為$1$。

此公式同樣適用於壁紙群與帶群：對該等群，特徵數之和為$2$，所以階數是無窮大。亦見壁紙群條目。

## 反射考克斯特群

$A_3,\ [3,3],$ node｜$B_3,\ [4,3],$ node｜$H_3,\ [5,3],$ node

$6$塊鏡｜$3+6$塊鏡｜$15$塊鏡

$2A_1,\ [1,2],$ node｜$3A_1,\ [2,2],$ node｜$A_1A_2,\ [2,3],$ node

$2$塊鏡｜$3$塊鏡｜$4$塊鏡

$A_1,\ [1],$ node｜$2A_1,\ [2],$ node｜$A_2,\ [3],$ node

$1$塊鏡｜$2$塊鏡｜$3$塊鏡

三維反射點群又稱為考克斯特群，能以考克斯特－鄧肯圖表示，是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成，則該球面三角形退化，變成球面二角形或半球面。在考克斯特記號，該些群是正四面體對稱$[3,3]$、正八面體對稱$[4,3]$、正二十面體對稱$[5,3]$、三維二面體對稱$[p,2]$。不可約群的鏡面數是$nh/2$，其中$h$是群的考克斯特數，而$n$是反射方向的秩（維數），等於符號的下標。

熊夫利記號｜考克斯特－鄧肯圖標籤｜考克斯特記號｜群階｜考克斯特數（$h$）｜鏡數（$m$）

多面體群

$T_\mathrm d$｜$A_3$｜node｜$[3,3]$｜$24$｜$4$｜$6$

$O_\mathrm h$｜$B_3$｜node｜$[4,3]$｜$48$｜$6$｜$3+6$

$I_\mathrm h$｜$H_3$｜node｜$[5,3]$｜$120$｜$10$｜$15$

三維二面體群

$D_{1\mathrm h}$｜$2A_1$｜node｜$[1,2]$｜$4$｜$1+1$

$D_{2\mathrm h}$｜$3A_1$｜node｜$[2,2]$｜$8$｜$2+1$

$D_{p\mathrm h}$｜$I_2(p)A_1$｜node｜$[p,2]$｜$4p$｜$p+1$

三維循環對稱

$C_{2\mathrm v}$｜$2A_1$｜node｜$[2]$｜$4$｜$2$

$C_{p\mathrm v}$｜$I_2(p)$｜node｜$[p]$｜$2p$｜$p$｜$p$

單鏡面

$C_{1\mathrm v}$｜$A_1$｜node｜$[\ ]$｜$2$｜$1$

## 旋轉群

有限旋轉群，即$SO(3)$的有限子群，僅有：循環群$C_n$（正稜錐的旋轉群）、二面體群$D_n$（正稜柱或雙錐體的旋轉群）、$T$（正四面體的旋轉群）、$O$（正八面體或正六面體的旋轉群）、$I$（正二十面體或正十二面體的旋轉群）。

特別地，二面體群$D_3$、$D_4$等，是平面正多邊形嵌入到三維空間後的旋轉群。此種薄片也可以視為退化的正稜柱，或稱為二面體，二面體群因而得名。

- 若物體的對稱類為$C_n,\ C_{n \mathrm h},\ C_{n \mathrm v},\ S_{2n}$，則旋轉群為$C_n$。
- 若物體的對稱類為$D_n,\ D_{n \mathrm h},\ D_{n \mathrm d}$，則旋轉群為$D_n$。
- 若物體的對稱類屬其他七種多面體對稱，則旋轉群是相應無下標的群，即$T,\ O,\ I$之一。

當且僅當物體有手性 (數學)時，其旋轉群等於整個對稱群。換言之，手性物體就是對稱群在旋轉群列表中的物體。

用熊夫利記號、考克斯特記號，及括號內的軌形記號表示，旋轉群是：

反射｜反射/旋轉｜瑕旋轉｜旋轉

$C_{n \mathrm v},\ [n],\ (^*nn)$｜$C_{n \mathrm h},\ [n^+,2],\ (n^*)$｜$S_{2n},\ [2n^+,2^+],\ (n\times)$｜$C_n,\ [n]^+,\ (nn)$

$D_{n \mathrm h},\ [2,n],\ (^*n22)$｜$D_{n \mathrm d},\ [2^+,2n],\ (2^*n)$｜$D_n,\ [2,n]^+, (n22)$

$T_\mathrm d,\ [3,3],\ (^*332)$｜$T,\ [3,3]^+,\ (332)$

$O_\mathrm h,\ [4,3],\ (^*432)$｜$T_\mathrm h,\ [3^+,4],\ (3^*2)$｜$O,\ [4,3]^+,\ (432)$

$I_\mathrm h,\ [5,3],\ (^*532)$｜$I,\ [5,3]^+,\ (532)$

## 旋轉群與其他群的對應

下列群有點反演：

- $n$為偶數時，$C_{n \mathrm h}$及$D_{n \mathrm h}$。
- $n$為奇數時，$S_{2n}$及$D_{n \mathrm d}$（特別地，$S_2 = C_\mathrm i$是僅由點反演生成的群，另有$D_{1 \mathrm d} = C_{2 \mathrm h}$屬於前項）。
- $T_\mathrm h, \ O_\mathrm h,\ I_\mathrm h$。

如上文所述，此種群與所有旋轉群之間，有一一對應：

- $C_{n \mathrm h}$（$n$為偶）及$S_{2n}$（$n$為奇）對應$C_n$。
- $D_{n \mathrm h}$（$n$為偶）及$D_{n \mathrm d}$（$n$為奇）對應$D_n$。
- $T_\mathrm h, \ O_\mathrm h,\ I_\mathrm h$分別對應$T, O, I$。

下列群具有間接（不保定向）的等距變換，但無點反演：

- $C_{n \mathrm v}$。
- $n$為奇數時，$C_{n \mathrm h}$及$D_{n \mathrm h}$。
- $n$為偶數時，$S_{2n}$及$D_{n \mathrm d}$。
- $T_{\mathrm d}$。

上述各群分別對應一個旋轉群$H$及其指標$2$的子群$L$，使得該群是由$H$的元素，加上$H \setminus L$經點反演後的元素得到，如上文所述：

- $C_n$是$D_n$的指標$2$子群，對應$C_{n \mathrm v}$。
- $C_n$是$C_{2n}$的指標$2$子群，$n$為奇時對應$C_{n \mathrm h}$，$n$為偶時則對應$S_{2n}$。
- $D_n$是$D_{2n}$的指標$2$子群，$n$為奇時對應$D_{n \mathrm h}$，$n$為偶時對應$D_{n \mathrm d}$。
- $T$是$O$的指標$2$子群，對應$T_\mathrm d$。

## 極大對稱群

離散點群中，$O_\mathrm h$和$I_\mathrm h$並非任何其他離散點群的真子群，故謂極大。其公共子群中，最大的是$T_{\mathrm h}$。由此，可以將二重旋轉對稱改成四重而得$O_{\mathrm h}$，亦可加入五重旋轉對稱而得$I_\mathrm h$。

類似地，有兩個晶體學點群並非任何其他晶體學點體的真子群：$O_\mathrm h$與$D_{6 \mathrm h}$。視乎方向，其極大公共子群為$D_{3 \mathrm d}$或$D_{2 \mathrm h}$。

## 按抽象群同構分類

下列若干個表，將前述諸群，按抽象群同構分類。

最小幾個不能表示成三維對稱群的抽象群為：$8$階的四元群、$9$階的$Z_3 \times Z_3$、$12$階的雙循環群$\mathrm{Dic}_3$，以及十四個$16$階群的其中十個。

下表中，「$2$階元素數」一列，數算$C_2, C_\mathrm i, C_\mathrm s$三類等距變換子群的總數，是有助分辨抽象群類型的特徵數，而該總數之內，各類等距變換子群的數目，則有助辨別屬同一類抽象群的不同等距變換群。

### 循環群

$n$重旋轉對稱的對稱群為$C_n$。其抽象同構類是循環群$Z_n$，亦可記作$C_n$。然而，另有兩列對稱群同構於循環群：

- 對於偶階數$2n$，瑕旋轉群$S_{2n}$（熊夫利記號），生成元為繞某軸$180^\circ / n$的旋轉後關於與軸垂直的鏡面反射。$S_2$也記為$C_\mathrm i$，由點反演生成。
- 對於奇數$n$，有階數$2n$的群$C_{n \mathrm h}$。該群有一條$n$重旋轉軸，另有與該軸垂直的鏡射。換言之，群由兩種變換生成，即繞軸$360^\circ / n$的旋轉，及該鏡射。$C_{1 \mathrm h}$又可記作$C_\mathrm s$，僅由一個鏡射生成。

故可總結出下表：（十個循環晶體學點群以粗體標出，其滿足晶體學限制。）

階數｜等距變換群｜抽象群｜$2$階元素數｜環圖

$1$｜$\boldsymbol {C_1}$｜$Z_1$｜$0$

$2$｜$\boldsymbol {C_2, C_\mathrm i, C_\mathrm s}$｜$Z_2$｜$1$

$3$｜$\boldsymbol {C_3}$｜$Z_3$｜$0$

$4$｜$\boldsymbol {C_4, S_4}$｜$Z_4$｜$1$

$5$｜$C_5$｜$Z_5$｜$0$

$6$｜$\boldsymbol{C_6, S_6, C_{3 \mathrm h}}$｜$Z_6 \cong Z_3 \times Z_2$｜$1$

$7$｜$C_7$｜$Z_7$｜$0$

$8$｜$C_8, S_8$｜$Z_8$｜$1$

$9$｜$C_9$｜$Z_9$｜$0$

$10$｜$C_{10}, S_{10}, C_{5 \mathrm h}$｜$Z_{10} \cong Z_5 \times Z_2$｜$1$

$$\vdots$$

### 二面群

二維二面體群$D_n$有旋轉和反射，但二維反射亦可視為在三維空間中，將不區分正反面的薄片翻轉。

然而在三維，反射與翻轉須作區分。以$D_n$表示的對稱群，有$n$條二重軸，與$n$重的主旋轉軸垂直，但無反射。$D_n$是正$n$稜柱、正雙$n$角錐、正$n$角反稜柱、$n$方偏方面體的旋轉群。若略作改動，如在每面加上相同的手性 (數學)標記，或稍為改變形狀，則可以使物體具有手性，從而令$D_n$為其全對稱群。

相應的抽象群類型是二面體群$\mathrm{Dih}_n$，亦可照樣記為$D_n$。但除$D_n$外，還有三個無窮序列的對稱群，同構於二面體群：

- $C_{n \mathrm v}$，階為$2n$，是正$n$稜錐的對稱群。
- $D_{n \mathrm d}$，階為$4n$，是正$n$角反稜柱的對稱群。
- 對應奇數$n$的群$D_{n \mathrm h}$，其階為$4n$。當$n = 1$時，等同$D_2$，已於上文討論，故此處可取$n \ge 3$。

注意有以下同構：

$$\mathrm{Dih}_{4n+2} \cong\mathrm{Dih}_{2n+1} \times Z_2.$$

於是可以整理出下表：（有$12$個晶體學點群用粗體標示，另$D_{1\mathrm d}$寫成等價的$C_{2 \mathrm h}$）

階數｜等距變換群｜抽象群｜$2$階元素數｜環圖

$4$｜$\boldsymbol{D_2, C_{2\mathrm v}, C_{2\mathrm h}}$｜$\mathrm {Dih}_2 \cong Z_2 \times Z_2$｜$3$

$6$｜$\boldsymbol{D_3, C_{3\mathrm v}}$｜$\mathrm{Dih}_3$｜$3$

$8$｜$\boldsymbol{D_4, C_{4\mathrm v}, D_{2 \mathrm d}}$｜$\mathrm{Dih}_4$｜$5$

$10$｜$D_5, C_{5 \mathrm v}$｜$\mathrm{Dih}_5$｜$5$

$12$｜$\boldsymbol{D_6, C_{6 \mathrm v}, D_{3 \mathrm d}, D_{3 \mathrm h}}$｜$\mathrm{Dih}_6\cong \mathrm{Dih}_3 \times Z_2$｜$7$

$14$｜$D_7, C_{7 \mathrm v}$｜$\mathrm{Dih}_7$｜$7$

$16$｜$D_8, C_{8 \mathrm v}, D_{4 \mathrm d}$｜$\mathrm{Dih}_8$｜$9$

$18$｜$D_9, C_{9\mathrm v}$｜$\mathrm{Dih}_9$｜$9$

$20$｜$D_{10}, C_{10 \mathrm v}, D_{5 \mathrm h}, D_{5 \mathrm d}$｜$\mathrm{Dih}_{10} \cong \mathrm{Dih}_5 \times Z_2$｜$11$

$$\vdots$$

### 其他

$C_{2n \mathrm h}$的階數為$4n$，同構於抽象群$Z_{2n}\times Z_2$。在$n = 1$時，$C_{2n \mathrm h}$等同$\mathrm{Dih}_2$，已於上小節討論，故本小節僅考慮$n \ge 2$的情況。

此系列的群可以整理成下表：（其中兩個晶體學點群以粗體強調）

階數｜等距變換群｜抽象群｜$2$階元素數｜環圖

$8$｜$\boldsymbol{C_{4\mathrm h}}$｜$Z_4 \times Z_2$｜$3$

$12$｜$\boldsymbol{C_{6 \mathrm h}}$｜$Z_6 \times Z_2 \cong Z_3 \times Z_2^2 \cong Z_3 \times \mathrm{Dih}_2$｜$3$

$16$｜$C_{8\mathrm h}$｜$Z_8 \times Z_2$｜$3$

$20$｜$C_{10\mathrm h}$｜$Z_{10} \times Z_2 \cong Z_5 \times Z_2^2 \cong Z_5 \times \mathrm{Dih}_2$｜$3$

$$\vdots$$

$D_{n \mathrm h}$的階數為$4n$，同構於抽象群$\mathrm{Dih}_n \times Z_2$。對於奇數$n$，已於上小節討論，故此處僅考慮階數為$8n$的群$D_{2n \mathrm h}$，其抽象群類別為$\mathrm{Dih}_{2n} \times Z_2$。（$n \ge 1$）

此系列的群可以整理成下表：（其中三個晶體學點群以粗體強調）

階數｜等距變換群｜抽象群｜$2$階元素數｜環圖

$8$｜$\boldsymbol{D_{2 \mathrm h}}$｜$\mathrm{Dih}_2 \times Z_2\cong Z_2^3$｜$7$

$16$｜$\boldsymbol{D_{4 \mathrm h}}$｜$\mathrm{Dih}_4 \times Z_2$｜$11$

$24$｜$\boldsymbol{D_{6 \mathrm h}}$｜$\mathrm{Dih}_6 \times Z_2 \cong \mathrm{Dih}_3 \times Z_2^2$｜$15$

$32$｜$D_{8 \mathrm h}$｜$\mathrm{Dih}_8\times Z_2$｜$19$

$$\vdots$$

餘下七個多面體群是：（其中五個晶體學點群以粗體強調）

階數｜等距變換群｜抽象群｜$2$階元素數｜環圖

$12$｜$\boldsymbol{T}$｜$A_4$｜$3$

$24$｜$\boldsymbol{T_\mathrm d, O}$｜$\definecolor{linkblue}{rgb}{0.0235,0.2706, 0.6784}\color{linkblue}{S_4}$｜$9$

$24$｜$\boldsymbol{T_\mathrm h}$｜$A_4 \times Z_2$｜$7$

$48$｜$\boldsymbol{O_\mathrm h}$｜$S_4 \times Z_2$｜$19$

$60$｜$I$｜$A_5$｜$15$

$120$｜$I_\mathrm h$｜$A_5\times Z_2$｜$31$

## 基本域

二十面體對稱的反射面與單位球面交於若干大圓，將球面分成$120$個球面直角三角形的基本域。

點群的基本域是錐體。若物體有給定的對稱群，則指明物體的某一個基本域變換至哪個基本域，就足以確定該變換。另外，僅從該件物體在一個基本域內的形狀，就足以確定整件物體的形狀。若物體是曲面，則可由其被一個基本域截得的部分確定，該部分亦是（有邊界的）曲面，下稱「基本面」，延伸至基本域的徑向邊界面（即錐體的側面）。但是，若基本面與其他基本面（即基本面在其他基本域的複製），兩者的邊界未能貼合，則需要添加徑向的面或其他曲面，以使各基本面連接成一個整體。若基本面以反射面為界，則必然貼合。

基本面可以取為任意平面被基本域所截的部分，如此得到一個多面體，具有給定的對稱群，如四角化菱形三十面體的每一個面，即為全二十面體對稱的一個基本面。若調整該面的方向，則有時可以使相鄰的若干個基本面共面，而合併成同一個面，得到具同樣對稱群的其他多面體，如正十二面體和正二十面體。若基本面的邊界能夠貼合，且基本面的法向量是在基本域內，則所得的多面體為凸多面體。

基本面也可以取為其他形狀，不必在同一平面內，例如可取為若干個不同平面的區域連接而成的曲面。

## 二元多面體群

考慮三維旋量群$\mathrm{Spin}(3)$到旋轉群$SO(3)$的二重覆疊投映。由於$\mathrm{Spin}(3)$已是單連通，故為$SO(3)$僅有的非平凡連通覆疊。

由對應定理 (群論)，$\mathrm{Spin}(3)$與$SO(3)$的子群（即旋轉點群）之間有伽羅瓦連接：$\mathrm{Spin}(3)$子群投映到$SO(3)$，必為旋轉子群，而反之，旋轉子群的原像亦必為是$\mathrm{Spin}(3)$的子群。注意$\mathrm{Spin}(3)$可以等價描述成特殊酉群$SU(2)$，或是單位四元數群，亦屬李群，拓撲上同胚於三維球面$S^3$。

有限點群的原像稱為二元多面體群，記作$\langle l, n, m \rangle$，與多面體群$(l, m, n)$對應，而名稱則是相應點群的名稱加上「二元」前綴，階數為點群階數的兩倍。例如，二十面體群$(2,3,5)$的原像，便是二元二十面體群$\langle 2, 3, 5\rangle$。

二元多面體群為：

- $A_n$: 正$n$邊形的二元循環群，階數$2n$。
- $D_n$: 正$n$邊形的二元二面體群$\langle 2, 2, n\rangle$，階數$4n$。
- $E_6$: 二元四面體群$\langle 2, 3, 3\rangle$，階數$24$。
- $E_7$: 二元八面體群$\langle 2, 3, 4\rangle$，階數$48$。
- $E_8$: 二元二十面體群$\langle 2, 3, 5\rangle$，階數$120$。

該些群能按ADE分類，而$\mathbb C^2$在二元多面體群作用下的商空間，是杜瓦爾奇點。

對於不保定向的點群，情況較複雜，因為有兩個Pin群，所以對應給定的點群，有兩個可能的二元群。

注意前述「覆疊」僅是群的覆疊，而不是多面體空間的覆疊：球面本身單連通，並無非平凡覆疊。所以，並無所謂「二元多面體」覆疊原有的多面體。二元多面體群是旋量群的離散子群，所以若選定旋量群的表示，作用於一個向量空間，則該二元多面體群在該表示下，可能將某個多面體映到自身，例如在$\mathrm{Spin}(3)\to SO(3)$映射下，二元多面體群作用為旋轉，與底下的（非二元）群是同一個多面體的等距變換，然而，在旋量表示或其他表示下，二元多面體群可以作用在不同的多面體上。

二元多面體群不是射影多面體的對稱群。球面確實覆疊射影空間（以及透鏡空間），故可以考慮射影空間的密鋪，視之為另一種「多面體」，即射影多面體，但是，考慮二元多面體群時，並非取多面體所覆疊的空間，而是取覆疊對稱群的群，所以兩件事不相同。

## 外部鏈結

- ——顯示七個無窮序列的前幾項（跳過$n = 5$），以及其餘七個多面體群之五。