譜理論

數學中，譜理論是將單一方陣的特徵向量和特徵值理論推廣到各種空間中算子結構的更廣泛理論的統稱，是線性代數和線性方程組解及其推廣的成果。譜理論與解析函數理論相關，因為算子的譜特性與譜參數的解析函數相關。

## 數學背景

大衛·希爾伯特在希爾伯特空間理論的最初表述中首先引入了「譜理論」，以無窮多變量的二次型為基礎。因此，最初的譜定理被認為是橢球的主軸定理在無窮維中的形式。後來，量子力學中發現譜理論可解釋原子發射光譜特徵純粹是偶然的。希爾伯特自己也對這出乎意料的應用感到驚訝：「我從純粹的數學興趣出發，發展了無窮多變量理論，甚至把它稱作『譜分析』，卻從沒想到它能用在物理學中真正的光譜上。」

譜理論有3種表述，分別用於不同領域。在希爾伯特的最初表述後，抽象希爾伯特空間及其上單正規算子的譜理論很好地滿足了物理學的要求，馮諾依曼的工作就是例子。在此基礎上，進一步發展的理論涉及一般巴拿赫代數。這引出了涵蓋交換情形的蓋爾范德表示，進一步啟發了非交換調和分析。

從與傅立葉分析的聯繫中，可看出兩者之別。實線上的傅立葉變換某種意義上是導數作為微分算子的譜理論。但為涵蓋這些現象，必須處理廣義特徵函數（如由裝備希爾伯特空間）。另一方面，構建群代數也很簡單，其譜可捕捉到傅立葉變換的基本特徵，這可由龐特里亞金對偶性實現。

還可以研究巴拿赫空間上算子的譜性質。例如，巴拿赫空間上的緊算子有很多類似矩陣的譜性質。

## 物理背景

振動的物理學背景是這樣解釋的：

這些物理思想在技術層面上與數學毫無關係，但也有間接涉及的例子（如「聽出鼓的形狀」）。希爾伯特用「譜」，是源於1897年Wilhelm Wirtinger一篇關於希爾微分方程的論文，20世紀前十年，他的學生（埃哈德·施密特、赫爾曼·外爾）也採用了這一術語。埃哈德·施密特和里斯·弗里傑什從希爾伯特的思想中發展了希爾伯特空間的概念。近20年後，量子力學由薛丁格方程表述出來時，人們才將其與原子光譜聯繫起來。正如亨利·龐加萊指出的，人們曾懷疑其與振動的聯繫，但由於缺乏對巴耳末系的解釋，這種聯繫由於簡單的定量原因被否定了。因此，量子力學發現譜理論能解釋原子光譜的特徵是純粹偶然的。

## 譜的定義

考慮在一般巴拿赫空間上處處有定義的有界線性變換T。構造變換：

$$R_{\zeta} = \left( \zeta I - T \right)^{-1}.$$

其中I是恆等算子，ζ是複數。T的逆$T^{-1}$定義如下：

$$T T^{-1} = T^{-1} T = I.$$

若存在逆，則稱T正則（regular）；若不存在，稱T奇異（singular）。

根據這些定義，T的預解集是所有使$R_\zeta$存在且有界的複數ζ的集合，通常表示為$\rho(T)$。T的譜是所有使$R_\zeta$不存在或無界的複數ζ的集合，通常表示為$\sigma(T)$。$\forall \zeta\in\rho(T)$（即$R_\zeta$作為有界算子存在處），函數$R_\zeta$稱作T的預解。因此，T的譜是複平面中T的預解集之補。T的特徵值都屬於$\sigma(T)$，但$\sigma(T)$可能包含非特徵值。

這定義適於巴拿赫空間，但當然也有其他空間，如拓撲向量空間包含了巴拿赫空間。另一方面，巴拿赫空間包括希爾伯特空間，得到了最廣泛的應用和最豐富的理論成果。在適當的條件下，希爾伯特空間中變換的譜的結構可以有很多論述。特別是，自伴算子譜位於實線上；（一般來說）是離散特徵值的點譜與連續譜的譜組合。

## 譜理論簡介

泛函分析和線性代數中，譜定理規定了一些條件，之下算子可用簡單的形式表為更簡單算子之和。由於本文不適合進行全面嚴謹的敘述，我們採用另一種方法，避免了難以理解的形式化。

要描述這主題，最簡單的方法是引入表示算子的狄拉克符號。例如，非常特殊的線性算子L可寫為並矢張量積：

$$L = | k_1 \rangle \langle b_1 |,$$

用「左括號」$\langle b_1|$和「右括號」$|k_1\rangle$表示。定義在坐標$(x_1, x_2, x_3, \dots)$上的函數$f(x)$表示為

$$f(x)=\langle x, f\rangle$$

f的振幅用下式表示

$$\|f \|^2 = \langle f, f\rangle =\int \langle f, x\rangle \langle x, f \rangle \, dx = \int f^*(x) f(x) \, dx$$

符號(*)表示共軛複數。這種內積選擇定義了一個非常特殊的內積空間，限制了後面論證的一般性。

L對函數f的影響可表述為

$$L | f\rangle = | k_1 \rangle \langle b_1 | f \rangle$$

表示L對f的影響是產生新函數$| k_1 \rangle$乘以$\langle b_1 | f \rangle$所代表的內積。

更一般的線性算子L可表示為

$$L = \lambda_1 | e_1\rangle\langle f_1| + \lambda_2 | e_2\rangle \langle f_2| + \lambda_3 | e_3\rangle\langle f_3| + \dots ,$$

其中$\{ \, \lambda_i \, \}$是標量，$\{ \, | e_i \rangle \, \}$是基，$\{ \, \langle f_i | \, \}$是對偶基。基與對偶基的關係由下式描述：

$$\langle f_i | e_j \rangle = \delta_{ij}$$

若這種形式化適用，則$\{ \, \lambda_i \, \}$是L的特徵值，函數$\{ \, | e_i \rangle \, \}$是L的特徵函數。特徵值位於L的譜中。

一些自然問題是：這種形式化在何時有效？對什麼算子L來說，其他算子的序列展開是可能的？任何函數f都可用特徵函數來表示（是Schauder基）嗎，何時會出現點譜或連續譜？無窮維空間和有限維空間的形式化有何不同？這些觀點能否推廣到更一般的空間？這些問題屬於譜理論範疇，需要相當的泛函分析與矩陣代數背景。

## 恆同消解

本節沿用上節的粗略表示，使用狄拉克符號，並略去嚴格處理的許多重要細節。嚴謹數學處理可見參考文獻。特別是，空間維度n將是有限的。

用狄拉克符號，恆等算子可寫作：

$$I = \sum _{i=1} ^{n} | e_i \rangle \langle f_i |$$

其中假定$\{ |e_i\rangle\}$是基，$\{ \langle f_i | \}$是滿足下式的空間的對偶基：

$$\langle f_i | e_j\rangle = \delta_{ij} .$$

這種恆等運算表達式稱作恆同的表示或消解（resolution）。這種形式化表示法滿足恆等的基本性質：

$$I^k = I$$

對所有正整數k都成立。

對空間$| \psi \rangle$中的任意函數應用恆同消解，可得：

$$I |\psi \rangle = |\psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} | e_i \rangle \langle f_i | \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i | e_i \rangle$$

是ψ以{ ei }為基函數的廣義傅立葉展開。

其中$c_i = \langle f_i | \psi \rangle.$

給定形式如下的算子方程：

$$O | \psi \rangle = | h \rangle$$

其中h在空間中，方程可在上述基之下由形式化求解：

$$O | \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i \left( O | e_i \rangle \right) = \sum_{i=1}^{n} | e_i \rangle \langle f_i | h \rangle ,$$

$$\langle f_j|O| \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i \langle f_j| O | e_i \rangle = \sum_{i=1}^{n} \langle f_j| e_i \rangle \langle f_i | h \rangle = \langle f_j | h \rangle, \quad \forall j$$

這將算子方程轉化為矩陣方程，根據h的廣義傅立葉係數$\langle f_j | h \rangle$和算子O的矩陣元素$O_{ji}= \langle f_j| O | e_i \rangle$可確定未知係數$c_j$。

譜理論可確定基與對偶基的存在性及性質。特別是，基可能由某線性算子L的特徵函數組成：

$$L | e_i \rangle = \lambda_i | e_i \rangle \, ;$$

其中$\{\lambda_i\}$是L的特徵值，來自L的譜。那麼，上述恆同消解就提供了L的並矢展開：

$$LI = L = \sum_{i=1}^{n} L | e_i \rangle \langle f_i| = \sum_{i=1}^{n} \lambda _i | e_i \rangle \langle f_i | .$$

## 預解算子

利用譜李理論，有預解算子R：

$$R = (\lambda I - L)^{-1},\,$$

可據L的特徵函數與特徵值求值，並找到與L對應的格林函數。

將R應用於空間中的任意函數$\varphi$。

$$R |\varphi \rangle = (\lambda I - L)^{-1} |\varphi \rangle = \sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda- \lambda_i} |e_i \rangle \langle f_i | \varphi \rangle.$$

這函數在L的每個特徵值處的復λ平面上都有極點。於是可用殘差微積分：

$$\frac{1}{2\pi i } \oint_C R |\varphi \rangle d \lambda = -\sum_{i=1}^n |e_i \rangle \langle f_i | \varphi \rangle = -|\varphi \rangle,$$

其中曲線積分是在包括L所有特徵值的輪廓C上進行的。

假設函數定義在某坐標$\{x_j\}$上，即

$$\langle x, \varphi \rangle = \varphi (x_1, x_2, ...).$$

引入符號

$$\langle x , y \rangle = \delta (x-y),$$

其中$\delta(x-y)=\delta(x_1-y_1,\ x_2-y_2,\ x_3-y_3,\ \ldots)$是狄拉克δ函數，則可有

$$\langle x, \varphi \rangle = \int \langle x , y \rangle \langle y, \varphi \rangle dy.$$

那麼

$$\begin{align} \left\langle x, \frac{1}{2\pi i } \oint_C \frac{\varphi}{\lambda I - L} d \lambda\right\rangle &= \frac{1}{2\pi i }\oint_C d \lambda \left \langle x, \frac{\varphi}{\lambda I - L} \right \rangle\\ &= \frac{1}{2\pi i } \oint_C d \lambda \int dy \left \langle x, \frac{y}{\lambda I - L} \right \rangle \langle y, \varphi \rangle \end{align}$$

函數$G(x,\ y;\ \lambda)$定義如下：

$$\begin{align} G(x, y; \lambda) &= \left \langle x, \frac{y}{\lambda I - L} \right \rangle \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle x, e_i \rangle \left \langle f_i, \frac{e_j}{\lambda I - L} \right \rangle \langle f_j , y\rangle \\ &= \sum_{i=1}^n \frac{\langle x, e_i \rangle \langle f_i , y\rangle }{\lambda - \lambda_i} \\ &= \sum_{i=1}^n \frac{e_i (x) f_i^*(y) }{\lambda - \lambda_i}, \end{align}$$

稱作算子L的格林函數，滿足：

$$\frac{1}{2\pi i }\oint_C G(x,y;\lambda) \, d \lambda = -\sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle \langle f_i , y\rangle = -\langle x, y\rangle = -\delta (x-y).$$

## 算子方程

考慮算子方程：

$$(O-\lambda I ) |\psi \rangle = |h \rangle;$$

用坐標表示：

$$\int \langle x, (O-\lambda I)y \rangle \langle y, \psi \rangle \, dy = h(x).$$

一個特殊情況是$\lambda=0$。

上一節的格林函數為：

$$\langle y, G(\lambda) z\rangle = \left \langle y, (O-\lambda I)^{-1} z \right \rangle = G(y, z; \lambda),$$

且滿足：

$$\int \langle x, (O - \lambda I) y \rangle \langle y, G(\lambda) z \rangle \, dy = \int \langle x, (O-\lambda I) y \rangle \left \langle y, (O-\lambda I)^{-1} z \right \rangle \, dy = \langle x , z \rangle = \delta (x-z).$$

利用格林函數的這一特徵：

$$\int \langle x, (O-\lambda I) y \rangle G(y, z; \lambda ) \, dy = \delta (x-z).$$

然後方程兩邊乘以$h(z)$並積分：

$$\int dz \, h(z) \int dy \, \langle x, (O-\lambda I)y \rangle G(y, z; \lambda)=\int dy \, \langle x, (O-\lambda I) y \rangle \int dz \, h(z)G(y, z; \lambda) = h(x),$$

這表明解是

$$\psi(x) = \int h(z) G(x, z; \lambda) \, dz.$$

即，若能找到O的譜、構造G，就能找到滿足算子方程的函數$\Psi(x)$，例如用

$$G(x, z; \lambda) = \sum_{i=1}^n \frac{e_i (x) f_i^*(z)}{\lambda - \lambda_i}.$$

當然有很多方法找到G。必須牢記的是，上述數學純粹是形式上的，嚴格處理涉及相當複雜的數學，包括泛函分析、希爾伯特空間、分布等方面的背景知識。

## 譜定理與瑞利商

優化問題是關於對稱矩陣中特徵值與特徵向量組合意義的重要例子，特別是關於矩陣M的瑞利商。

定理 令M為對稱矩陣，x為非零向量，使對M的瑞利商最大化。則，x是M的一個特徵向量，其特徵值等於瑞利商；而且，該特徵值是M的最大特徵值。

證明 假設符合譜定理。記M的特徵值為$\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n$。由於$\{v_i\}$形成正交基，所以任何向量x都可在此基上表示為

$$x = \sum_i v_i^T x v_i$$

證明這公式的方法非常簡單。即

$$\begin{align} v_j^T \sum_i v_i^T x v_i = {} & \sum_{i} v_i^{T} x v_j^{T} v_i \\[4pt] = {} & (v_j^T x ) v_j^T v_j \\[4pt] = {} & v_j^T x \end{align}$$

求對x的瑞利商：

$$\begin{align} x^T M x = {} & \left(\sum_i (v_i^T x) v_i\right)^T M \left(\sum_j (v_j^T x) v_j\right) \\[4pt] = {} & \left(\sum_i (v_i^T x) v_i^T\right) \left(\sum_j (v_j^T x) v_j\lambda_j \right) \\[4pt] = {} & \sum_{i,j} (v_i^T x) v_i^T(v_j^T x) v_j\lambda_j \\[4pt] = {} & \sum_j (v_j^T x)(v_j^T x)\lambda_j \\[4pt] = {} & \sum_{j} (v_j^T x)^2\lambda_j\le\lambda_n \sum_j (v_j^T x)^2 \\[4pt] = {} & \lambda_n x^T x, \end{align}$$

其中最後一行用帕塞瓦爾恆等式。最後，可得

$$\frac{x^T M x}{x^T x}\le \lambda_n$$

所以瑞利商總小於$\lambda_n$。

## 另見

- 算子函數、算子理論
- Lax_對
- 最小平方頻譜分析法
- 自伴算子
- 譜 (泛函分析)、預解形式化、譜分解 (泛函分析)
- 譜 (泛函分析)、譜半徑、譜定理
- 施圖姆-劉維爾理論、積分方程、弗雷德霍姆理論
- 緊算子、等譜算子、完備空間
- 譜幾何
- 譜圖論

## 外部連結

- Evans M. Harrell II : A Short History of Operator Theory