附加質量

在流體力學中，附加質量或虛擬質量是指系統額外增加的一部分慣性值，因為做加減速運動的物體會帶動其周邊的部分流體一起運動。在實際計算中，可以將它簡化理解為一定體積的流體」粘附「在物體上，與物體同步運動，儘管事實上這部分流體的運動狀態並非完全一致。

附加質量係數指附加質量與等效置換的流體質量（即流體密度乘以等效體積）之比，是一個無量綱量值。通常，附加質量是一個二階張量，它將流體加速度矢量與作用在物體上的合力矢量關聯在一起。

## 背景

弗里德里希·貝塞爾(Friedrich Bessel) 於 1828 年提出了附加質量的概念，用於描述鐘擺在流體中的運動。這種鐘擺的周期相對於它在真空中的周期增加了（即使考慮了浮力效應），表明物體周圍的流體增加了系統的有效質量。

附加質量的概念可以說是物理學中重整化的首個案例。這個概念類似於用經典物理學方法來模擬量子力學中的准粒子。但需要注意，它不應與相對論中的質量增加相混淆。

人們常常錯誤地認為附加質量是由流體的動量引起的，事實並非如此。不妨設想一個裝滿流體的巨大盒子，其中流體的動量在每個時刻都為零。附加質量實際上由准動量決定：附加質量與物體的加速度的乘積等於流體准動量對時間的導數。

## 附加質量力

因浸沒在流體中的物體的相對速度發生變化而產生的非定常力由兩部分組成：附加質量力和巴塞特力。

力的起源是水下物體加速做功導致流體獲得動能的趨勢。

可以證明，對於浸沒在無粘性、不可壓縮流體中的球體，附加質量力為

$$\mathbf{F}=\frac{\rho_\mathrm{c}V_\mathrm{p}}{2}\left(\frac{\mathrm{D}\mathbf{u}}{\mathrm{D}t}-\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\right),$$

其中粗體符號表示向量， $\mathbf{u}$是流體流速， $\mathbf{v}$是球體速度， $\rho_\mathrm{c}$是流體的質量密度（連續相）， $V_\mathrm{p}$是球體的體積，D/Dt表示物質導數。

當我們分析球體的動量方程時，可以輕易推導出「附加質量」的概念。

$$m_\mathrm{p}\frac{\mathrm{d}\mathbf v}{\mathrm{d}t}=\sum\mathbf F + \frac{\rho_\mathrm{c}V_\mathrm{p}}{2}\left(\frac{\mathrm{D}\mathbf u}{\mathrm{D}t}-\frac{\mathrm{d}\mathbf v}{\mathrm{d}t}\right),$$

$\sum\mathbf F$是球體上所有其他力項的總和，例如重力、壓力梯度、阻力、升力、巴塞特力等。

將球體速度的導數從方程的右側移動到左側，得到

$$\left(m_\mathrm{p}+\frac{\rho_\mathrm{c}V_\mathrm{p}}{2}\right)\frac{\mathrm{d}\mathbf v}{\mathrm{d}t}=\sum\mathbf F + \frac{\rho_\mathrm{c}V_\mathrm{p}}{2}\frac{\mathrm{D}\mathbf u}{\mathrm{D}t},$$

所以球體被加速，就好像它增加了相當於自身一半體積的流體的質量，並且由於流體的運動，等式右邊多了一項額外的作用力。

## 應用

通過將有效質量視為自身質量與附加質量的總和，可將附加質量合併到大多數物理方程中。這個總和通常被稱為「虛擬質量」。

物體的附加質量可以基於牛頓第二定律簡寫成以下形式

$F = m\,a$變成$F = (m + m_\text{added})\,a.$

可以證明一個球體（半徑為$r$）的附加質量 是$\tfrac{2}{3} \pi r^3 \rho_\text{fluid}$，它等於球體體積的一半與流體密度的乘積。對於一般物體，附加質量是一個張量（稱為誘導質量張量），其分量取決於物體的運動方向。附加質量張量中的元素並非都具有維度質量，有些元素是質量 × 長度，有些是質量 × 長度2。

所有在流體中非勻速運動的物體都會受到附加質量的影響，但由於附加質量取決於流體的密度，因此處於相對低密度流體中的緻密物體，這種影響通常被忽略。對於流體密度與物體密度相當或大於物體密度的情況，附加質量甚至可能大於物體自身質量，忽略它會給計算帶來重大誤差。

例如，在水中上升的球形氣泡的質量為$\tfrac{4}{3} \pi r^3 \rho_\text{air}$但額外的質量$\tfrac{2}{3} \pi r^3 \rho_\text{water}.$由於水的密度大約是空氣的 800 倍（在RTP 下），因此在這種情況下附加質量大約是氣泡自身質量的 400 倍。

### 海洋工程學

這些原則也適用於船舶、潛艇和海上平台。在船舶工業中，附加質量被稱為流體動力附加質量。在船舶設計中，在進行適航性分析時必須考慮加速附加質量所需的能量。對於船舶來說，附加質量很容易達到船舶質量的 1/4 或 1/3，因此除了摩擦阻力和興波阻力之外，它顯著增加了船舶的慣性力。

對於在水中自由下沉的某些特定形狀物體，與下沉體相關的流體動力學附加質量可能比物體的質量大得多。例如，當下沉的物體存在一個大的平面，其法向量指向運動方向（向下）時，就會發生這種情況。當這樣的物體突然減速時（例如，由於與海床的碰撞），大量的動能被釋放。

在近海工業中，不同幾何形狀的水動力附加質量是大量研究的主題。這些研究通常需要作為海底墜落物體風險評估的因子（研究重點是量化墜落物體對海底基礎設施的影響風險）。由於流體附加質量在撞擊瞬間占下沉物體總質量的很大一部分，因此它會顯著影響海底保護結構的設計載荷。

臨近邊界（或另一個物體）會影響流體動力附加質量。這意味著附加質量取決於對象的幾何形狀及其與邊界的距離。對於浮體（例如船舶），這意味著水的深度會改變浮體的響應（由于波浪作用），但這種影響在深水中幾乎不存在。對水動力附加質量的影響程度取決於物體的幾何形狀和位置以及邊界的形狀（例如，碼頭、海堤、艙壁或海床）。

在邊界附近自由下沉的物體相關的水動力附加質量類似於浮體的情形。一般而言，流體動力學附加質量隨著邊界與實體之間的距離的減小而增加。在規劃海底安裝或預測淺水條件下浮體的運動時，此特性很重要。

### 航空學

對於航空器（除了比空氣輕的氣球和飛艇），通常不會考慮附加質量，因為空氣的密度非常小。

## 延伸閱讀

- Basset force for describing the effect of the body's relative motion history on the viscous forces in a Stokes flow
- Basset–Boussinesq–Oseen equation for the description of the motion of – and forces on – a particle moving in an unsteady flow at low Reynolds numbers
- Darwin drift for the relation between added mass and the Darwin drift volume
- Keulegan–Carpenter number for a dimensionless parameter giving the relative importance of the drag force to inertia in wave loading
- Morison equation for an empirical force model in wave loading, involving added mass and drag

## 外部連結

- MIT OpenCourse Ware
- Naval Civil Engineering Laboratory
- Det Norske Veritas DNV-RP-H103 Modelling And Analysis Of Marine Operations