非結合代數

非結合代數（或分配代數，distributive algebra）是域上的代數，其中乘法不必遵循結合律。即，有代數結構A、域K，若A是K上配備K-雙線性乘法$A \times A\to A$（不必符合結合律）的向量空間，則稱其為K上的非結合代數。例如李代數、約爾丹代數、八元數、具備叉積的3維歐氏空間。由於乘法不必結合，須用括號表示乘法的順序，比如(ab)(cd)、(a(bc))d、a(b(cd))的含義是不一樣的。

這裡的「非結合」是說不必結合，而非必不結合，就像非交換環的「非交換」是說「不必交換」。

若代數有單位元e，使得$\forall x,\ ex=x=xe$，則稱代數是含么的或酉的。例如，八元數是含么的，而李代數絕不含么。

A的非結合代數結構可與A的K-自同態的全代數的子代數（是結合代數）相關聯，作為K-向量空間研究。兩個例子是微分代數與（結合）包絡代數，後者有「包含A的最小結合代數」的意味。

更一般地，有人提出交換環R上非結合代數的概念：具備R-雙線性乘法的R-模。若一結構服從除結合律外所有環的公理（如R代數），則就自然是$\mathbb{Z}$-代數，所以有人稱非結合$\mathbb{Z}$-代數為非結合環。

## 滿足恆等式的代數

具有兩種二元運算、無其他限制的類環結構分很多種類，難以一同研究。所以，最為人所知的非結合代數要滿足一些恆等式（即性質），這樣稍微簡化了乘法。一般來說有如下這些。

### 一般性質

令x, y, z表示域K上代數A的任意元素。

正整數次冪可以遞歸地定義為$x^1:= x;\ x^{n+1}:= x^nx$（右冪）或$x^{n+1}:= xx^n$（左冪）。

- 含么：存在元素e使得$ex=x=xe$；這時可以定義$x^0:= e.$
- 結合性：$(xy)z=x(yz).$
- 交換性：$xy=yx.$
- 反交換性：$xy=-yx.$
- 雅可比恆等式：$(xy)z+(yz)x+(zx)y=0;\ x(yx)+y(zx)+z(xy)=0.$
- 約爾丹恆等式：$(x^2y)x=x^2(yx);\ (xy)x^2=x(yx^2).$
- 交替性：$(xx)y=x(xy)$（左交替）；$(yx)x=y(xx)$（右交替）。
- 柔性：$(xy)x=x(yx)$。
- n次冪結合性（n ≥ 2）：$\forall k,\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^k=x^n$，其中k是整數。
- 三次冪結合性：$x^2x=xx^2.$
- 四次冪結合性：$x^3x=x^2x^2=xx^3$（比較下面的「四次冪交換性」）。
- 冪結合性：任意元素生成的子代數結合，即對n ≥ 2，有n次冪結合。
- n次冪交換性，其中n ≥ 2：$\forall k\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^k=x^kx^{n-k}$，其中k是整數。
- 三次冪交換性：$x^2x=xx^2$。
- 四次冪交換性：$x^3x=xx^3$（比較上面的「四次冪結合性」'）。
- 冪交換性：任意元素生成的子代數交換，即n次冪交換（n ≥ 2）。
- 索引n ≥ 2的冪零：任意n個元素之積，在任意結合次序下為零，但n−1個元素時不總成立：$x_1x_2\ldots x_n=0,\ \exists n-1$個元素y使得在某結合次序下$y_1y_2\ldots y_{n-1}\neq 0.$
- 索引n ≥ 2的零：冪結合性、$x^n=0$，存在元素y使得$y^{n-1}\neq 0.$

### 性質之間的關係

對特徵任意的K：

- 結合性推出交替性。
- 左交替、右交替、柔性知二推三。
- 因此交替性推出柔性。
- 交替性推出約爾丹恆等式。
- 交換性導出柔性。
- 反交換性導出柔性。
- 交替性導出冪結合性。
- 柔性導出三次冪結合性。
- 二次冪結合和二次冪交換為真。
- 三次冪結合和三次冪交換等價。
- n次冪結合推出n次冪交換。
- 索引2的零推出反交換性。
- 索引2的零推出約爾丹恆等式。
- 索引3的冪零推出雅可比恆等式。
- 索引n的冪零推出索引N的零，其中2 ≤ N ≤ n。
- 含么與索引n的零不相容。

若$K\neq {\rm GF}(2)$或${\rm dim}(A)\le 3:$

- 約爾丹恆等式與交換性共同推出冪結合性。

若${\rm char}(K)\neq 2:$

- 右交替性推出冪結合性。
- 相似地，左交替性推出冪結合性。
- 含么與約爾丹恆等式共同推出柔性。
- 約爾丹恆等式與柔性共同推出冪結合性。
- 交換性與反交換性共同推出索引2的冪零。
- 反交換性推出索引2的零。
- 含么與反交換不相容。

若${\rm char}(K)\neq 3$：

- 含么和雅克比恆等式不相容。

若${\rm char}(K)\notin\{2,3,5\}:$

- 交換性與$x^4=x^2x^2$（定義四次冪結合性的兩等式之一）共同推出冪結合性。

若${\rm char}(K)=0:$

- 三次冪結合性與$x^4=x^2x^2$（定義四次冪結合性的兩等式之一）共同推出冪結合性。

若${\rm char}(K)=2:$

- 交換性與反交換性等價。

### 結合子

A上的結合子是K-線性映射$[\cdot,\cdot,\cdot] : A \times A \times A \to A$：

$$[x,\ y,\ z]=(xy)z-x(yx)$$

它度量了A非結合的程度，可以很方便地表示一些A滿足的式子。

令x, y, z表示域代數的任意元素。

- 結合律：$[x,\ y,\ z]=0.$
- 交替性：$[x,\ x,\ y]=0$（左交替）及$[y,\ x,\ x]=0$（右交替）。
- 這意味著交換任意兩項都會變號：$[x,\ y,\ z]=-[x,\ z,\ y]=-[z,\ y,\ x]=-[y,\ x,\ z].$反例僅當${\rm char}(K)\neq 2.$
- 柔性：$[x,\ y,\ x]=0.$
- 可知，交換極值項將變號：$[x,\ y,\ z]=-[z,\ y,\ x].$反例僅當${\rm char}(K)\neq 2.$
- 約爾丹恆等式：$[x^2,\ y,\ x]=0$或$[x,\ y,\ x^2]=0$，取決於學者。
- 三次冪結合性：$[x,\ x,\ x]=0.$

核是與其他元素結合的元素的集合，即$n\in A$，使得

$$[n,\ A,\ A]=[A,\ n,\ A]=[A,\ A,\ n]=0.$$

核是A的結合子環。

### 中心

A的中心是與A中所有元素都交換、結合的元素的集合，即

$$C(A) = \{ n \in A \ | \ nr=rn \, \forall r \in A \, \}$$

與核之交。對C(A)中的元素，$([n,A,A], [A,n,A] , [A,A,n])$中兩個集合若是$\{0\}$，則第三個集合也是零集。

## 例子

- 歐幾里得空間$\mathbb{R}^3$，乘法由叉積給出。這是反交換、非結合代數的例子。叉積還滿足雅可比恆等式。
- 李代數是滿足反交換與雅可比恆等式的代數。
- 微分流形上的向量場代數（若K是R或C）或代數簇（對一般的K）。
- 約爾丹代數是滿足交換律與約爾丹恆等式的代數。
- 結合代數都可通過以交換子為李括號，給出李代數。實際上，李代數要麼可以這樣構造，要麼是這樣構造的李代數的子代數。
- 定義新的乘法$x^*y=(xy+yx)/2$，則特徵不是2的域上的結合代數給出約爾丹代數。與李代數不同，只有一部分約爾丹代數能這樣構造，稱作特殊約爾丹代數。
- 交替代數是滿足交替性的代數。最重要的例子是八元數（實數上的代數），以及八元數在其他域上的推廣。結合代數都交替。在同構意義上，僅有的有限維實交替除代數（下詳）是實數、複數、四元數和八元數。
- 冪結合代數，是滿足冪結合恆等式的代數。例如所有結合代數、所有交替代數、GF(2)以外任意域上的約爾丹代數（上詳）與十六元數。
- R上的雙曲四元數代數，是為解釋狹義相對論而引入閔可夫斯基時空前的實驗性代數。

更多種類代數：

- 分次代數，包括大部分對多重線性代數具有重大意義的代數，如張量代數、對稱代數、給定向量空間上的外代數等等。分次代數可推廣到濾子代數。
- 除代數，其中存在乘法逆元。實數域上有限維交替除代數的分類已完成。有實數（1維）、複數（2維）、四元數（4維）、八元數（8維）。四元數和八元數不交換；八元數不結合。
- 二次代數要求$xx=re+sx$，其中r、s屬於底域（ground field），e是代數的單位。例子如有限維交替代數、實2階方陣代數。在同構的意義上，沒有零的除子的交替、二次實代數只有實數、複數、四元數和八元數。
- 凱萊–迪克森代數（其中K是R），始於：
- C（交換結合代數）。
- 四元數H（結合代數）。
- 八元數（交替代數）。
- 十六元數及凱萊-迪克森代數的無限序列（冪結合代數）。
- 超複數代數都是有限維含么R-代數，於是包含凱萊-迪克森代數等等。
- 泊松代數見於幾何量子化。其中有2個乘法，以不同方式將其變為結合代數與李代數。
- 遺傳代數是非結合代數，在數學遺傳中使用。
- 三元系

## 性質

環論與結合代數中的性質，對非結合代數來說不總成立，例如有（雙邊）乘法逆元的元素也可能是零除子：十六元數所有非零元都有雙邊逆，而其中有些是零除子。

## 自由非結合代數

域K上集合X上的自由非結合代數定義為基包含所有非結合單項式的代數，X的元素的有限形式積寫出圓括號，例如單項式u、v之積只是$(u)(v).$若取空積為單項式，則代數含么。

Kurosh證明，自由非結合代數的子代數都是自由的。

## 結合代數

域K上的代數A若是K-向量空間，可考慮A的K-線性向量空間內自同態的結合代數${\rm End_K(A)}$。可將${\rm End_K(A)}$的兩子代數關聯到A上的代數結構：微分代數與（結合）包絡代數。

### 微分代數

A上的導子是映射D，具有性質

$$D(x \cdot y) = D(x) \cdot y + x \cdot D(y) \ .$$

A上的導子形成了子空間${\rm Der}_K(A)\in{\rm End_K(A)}$。兩導子的交換子仍是導子，所以李括號給出${\rm{Der}}_K (A)$，具有李代數結構。

### 包絡代數

代數A的元素a都附有線性映射L、R：

$$L(a) : x \mapsto ax ; \ \ R(a) : x \mapsto xa \ .$$

A的結合包絡代數或乘法代數是由左右線性映射生成的結合代數。A的中心體（centoid）是自同態代數${\rm End}_K(A)$中的包絡代數的中心化子。若代數的中心體包含單位元的K-標量乘，則稱代數是中心的。

非結合代數滿足的部分可能等式可用線性映射方便地表示：

- 交換性：L(a)等於相應的R(a)。
- 結合性：L與任意R交換。
- 柔性：L(a)都與相應的R(a)交換。
- 約爾丹：L(a)與$R(a^2)$交換。
- 交替：$L(a)^2=L(a^2)$，右式亦如此。

二次表示Q定義為

$Q(a) : x \mapsto 2a \cdot (a \cdot x) - (a \cdot a) \cdot x \ $,

等價地

$$Q(a) = 2 L^2(a) - L(a^2) \ .$$

泛包絡代數條目描述了包絡代數的規範構造，及它們的PBW型定理。對於李代數，這樣的包絡代數具有泛性質，但對其他非結合代數通常不成立。最知名的例子可能是阿爾伯特代數，是一種特殊的約爾丹代數，不能用約爾丹代數的包絡代數的規範結構來包絡。