全純函數演算

在數學中，全純函數演算（holomorphic functional calculus）是全純函數的一種函數演算。也就是說其目標在於，對於給定的一個全純函數 $f$ 和一個算子 $T$，希望構造一個對應的算子 $f(T)$，使得 $f$ 的定義域從複數推廣到算子。更準確地說，函數演算根據 $f$ 來定義 $T$ 的譜的鄰域到有界算子的連續代數同態。

本文將討論 $T$ 是某個巴拿赫空間上的有界線性算子的情況。特別地， $T$ 可以是複數所構成的方陣，這類例子有助於解釋定義函數演算的一般性構造時所涉及的假設，提供一些啟發性的見解。

## 動機

### 為何需要更一般的函數演算

在本節中，假定 $T$ 是一個 $n\times n$ 的複數矩陣。

如果給定的函數 $f$ 是一些特別的函數，那麼就有一些自然的方式來定義 $f(T)$。例如，如果

$$p(z)= \sum_{i=0}^m a_i z^i$$

是一個復多項式，那麼可以簡單地用 $T$ 代替 $z$ 並定義

$$p(T) = \sum_{i=0}^m a_i T^i$$

其中 $T^0 = I$，即單位矩陣。這就是多項式函數演算。它是從多項式環到 $n\times n$ 矩陣環的同態 $p\mapsto p(T)$。

現在把函數演算的定義域從多項式稍微擴大一點，考慮處處全純的函數（整函數） $f: C \to C$，它具有麥克勞林級數

$$f(z)= \sum_{i=0}^{\infty} a_i z^i,$$

模仿多項式的情況即可給出如下定義：

$$f(T)= \sum_{i=0}^{\infty} a_i T^i.$$

由於麥克勞林級數處處收斂，因此上述級數將在選定的算子範數中收斂。矩陣指數就是一個例子。將 $f(z) = e^z$ 的麥克勞林級數中的 $z$ 替換為 $T$ 得出

$$f(T) = e^T = I+T+\frac{T^2}{2!}+\frac{T^3}{3!}+\cdots.$$

「$f$ 的麥克勞林級數處處收斂」這一要求是可以一定程度上放寬的。從上面可以明顯看出，實際上只需要麥克勞林級數的收斂半徑大於該算子的範數 $\|T\|$。可如此定義算子版本的函數 $f$ 因此會更多。然而，這還不太令人滿意。例如，矩陣理論中的一個事實是，每個非奇異的 $T$ 都有一個對數 $S$ ——也就是說能找到矩陣 $S$ 使得 $e^S = T$。希望有一種函數演算，它允許人們為任意非奇異的 $T$ 定義 $\ln(T)$，使其與熟悉的 $S$ 一致。冪級數做不到這一點，比如現在考慮如下的對數函數的冪級數展開

$$\ln(z+1) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \cdots,$$

它僅收斂於開單位圓盤上。如果在級數中用 $T$ 代替 $z$，在 $T+I$ 可逆但 $\|T\|\geq1$ 的情況下 $\ln (T+I)$ 仍無法被該級數定義。因此需要一種更通用的函數演算。

### 函數演算和譜

希望 $f(T)$ 有意義的必要條件是 $f$ 被定義在 $T$ 的譜上。例如，正規矩陣的譜定理指出正規矩陣都是可酉對角化的。從而當 $T$ 是正規算子時，可以給出 $f(T)$ 的一個定義。如果對於 $T$ 的某些本徵值 $\lambda$，$f(\lambda)$ 沒有定義， $f(T)$ 的定義就會遇到困難。

其他跡象也強化了「只有當 $f$ 在 $T$ 的譜上有定義時， $f(T)$ 才能被定義」這樣的判斷。如果 $T$ 不可逆，則 0 將是其本徵值（別忘了在本節中 $T$ 是方陣）。由於自然對數在 0 處未定義，那麼 $\ln(T)$ 無法自然地定義也是意料之中的了。事實也確實如此不存在一種定義來做到這一點。

再舉個例子，對於

$$f(z)=\frac{1}{(z-2)(z-5)}$$

一種計算 $f(T)$ 的合理方法似乎是

$$f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.\,$$

但是，如果右側的逆不存在，即 2 或 5 是 $T$ 的本徵值時，此式則是未定義的。

對於給定的矩陣 $T$，其本徵值決定了 $f(T)$ 可被定義的程度；即，對於 $T$ 的所有本徵值 $\lambda$， $f(\lambda)$ 都須有定義。對於一般的有界算子，此條件轉化為「$f$ 須在 $T$ 的譜上有定義」。可以證明這個條件使得函數演算映射（指的是前文提及的代數同態）得以具有某些理想的屬性。

## 有界算子的函數演算

設 $X$ 為復巴拿赫空間， $L(X)$ 是 $X$ 上的有界算子族（這些算子也構成一個巴拿赫空間）。

回憶一下複分析中的柯西積分公式。令 $f: \mathbb C \to \mathbb C$ 在某個開集 $D\subset \mathbb C$ 上全純，而 $\Gamma$ 是 $D$ 中的可求長的若爾當曲線，即有限長度的無自交的閉曲線。假定位於 $\Gamma$ 內部的點（即，使得 $\Gamma$ 關於 $z$ 的卷繞數為 1 的點）的集合 $U$ 滿足 $U\subset D$。柯西積分公式即

$$\forall z\in U, \quad f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int\nolimits_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta .$$

現在試著將這個公式推廣到在 $L(X)$ 中取值的函數。柯西積分公式暗示了以下定義（姑且只是形式上寫下這個式子，沒有嚴格定義）：

$$f(T)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta,$$

其中 $(\zeta-T)^{-1}$ 稱為是 $T$ 在 $\zeta$ 處的預解算子。

假設已適當定義了在巴拿赫空間內取值的積分，則如此給出的函數演算蘊含了以下必要條件：

- 由於標量版本的柯西積分公式的適用對象是全純的 $f$，料想巴拿赫空間情況也是如此：在巴拿赫空間 $L(X)$ 中取值的函數應該有一個對標於普通複變函數的全純性的概念。
- 由於預解映射 $\zeta\mapsto(\zeta-T)^{-1}$ 在 $T$ 的譜 $\sigma(T)$ 上無定義，因此若爾當曲線 $\Gamma$ 應是與 $\sigma(T)$ 不相交的。而預解映射在 $\sigma(T)$ 的補集上是全純的。那麼，為了得到一個非平凡的函數演算 $\Gamma$ 必須包圍著（至少一部分）的 $\sigma(T)$。
- 上述積分式的結果須獨立於 $\Gamma$ 的選擇。

函數演算的完整定義如下：對於$T\in L(X)$，定義

$$f(T)=\frac{1}{2\pi i}\int\nolimits_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta,$$

其中 $f$ 是在開集 $D\subset \mathbb C$ 上定義的全純函數，且譜集 $\sigma(T)\subset D$；$\Gamma = \{ \gamma_1, \dots, \gamma_m \}$ 是 $D$ 中這樣的一系列不相交若爾當曲線的集合，其是一個「內部」集合 $U\supset \sigma(T)$ 的邊界，並且每個作為邊界 $\gamma_i$ 的都是定向了的（參見曲線的定向和可定向性）。

開集 $D$ 可以隨 $f$ 變化，也不必是連通或單連通的，如右圖所示。

接下來的小節將對定義中所涉及的一些概念進行更精確的說明，並展現 $f(T)$ 在給定假定下確實是良定義的。

### 巴拿赫空間值積分

對於定義於 $\Gamma$ 的開鄰域上並在以 $L(X)$ 為到達域的連續函數 $g$，圍道積分 $\int_{\Gamma} g$ 的定義方式與標量值函數情況相同。可以用一個實數的區間 $[a,b]$ 來參數化每個 $\gamma_i \in \Gamma$，並且積分是從 $[a,b]$ 的越來越精細的劃分中所獲得的黎曼和的極限，而黎曼和在一致算子拓撲中收斂。從而可以定義

$$\int_{\Gamma} g = \sum\nolimits_i \int_{\gamma_i} g.$$

在函數演算的定義中，假定了 $f$ 在 $\Gamma$ 的開鄰域內全純。下面將證明解析映射在所謂預解集上是全純的，而使得積分

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta$$

有意義。

### 預解映射

映射 $\zeta\mapsto(\zeta-T)^{-1}$ 稱為 $T$ 的預解映射。它定義在譜 $\sigma(T)$ 的補集上，稱為 $T$ 的預解集，記作 $\rho(T)$，其中的元素稱為常點（regular point）。

經典函數理論的許多結論都依賴於積分

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma}\frac{d \zeta}{\zeta-z}$$

性質。

全純函數演算在這方面也有些相似：對於一個好的函數演算的性質而言，預解映射是至關重要的。本小節概述為討論此話題所必需的一些預解映射的性質。

#### 第一預解方程

直接計算可知，對於 $z_1, z_2\in \rho(T)$，有

$$(z_1 - T)^{-1} - (z_2 - T)^{-1} = (z_1 - T)^{-1} (z_2 - z_1) (z_2 - T)^{-1}.\,$$

於是。

$$(z_1 - T)^{-1} (z_2 - T)^{-1} = \frac{(z_1 - T)^{-1} - (z_2 - T)^{-1} }{(z_2 - z_1)}.$$

這個方程稱為第一預解方程。該公式顯示 $(z_1-T)^{-1}$ 和 $(z_2-T)^{-1}$ 是對易的，這暗示了一個算子 $T$ 所給出的全純函數演算映射的到達域將是一個交換代數。考慮 $z_2\to z_1$ 的極限，可以看出預解映射在任意 $z_1\in \rho(T)$ 處是（復）可微的；因此全純函數演算表達式中的積分收斂於 $L(X)$。

#### 解析性

關於預解映射，還能有比可微性更強的論斷：預解集 $\rho(T)$ 實際上是這樣一個開集，其上的預解映射都解析。為驗證這一說法，考慮預解集中一點 $z_1\in \rho(T)$，並觀察下面這個式子

$$\frac{1}{z_2 - z} = \frac{1}{z_1 - z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z_1 - z_2}{z_1 -z}} .$$

將 $z$ 替換為 $T$ 時，更合適的做法是將右邊的因子改為這樣一個級數：

$$(z_1 - T)^{-1} \sum _{n \geq 0} \left((z_1 - z_2) (z_1 - T)^{-1} \right)^n .$$

它在$L(X)$ 中收斂的條件是

$$|z_1 - z_2| < \frac{1}{\left \|(z_1 - T)^{-1} \right \| },$$

這就是其收斂半徑。而它的收斂意味著 $(z_2-T)^{-1}$ 的存在性，進而意味著 $z_2\in \rho(T)$。

由此可知預解集 $\rho(T)$ 是開集，預解映射在 $\rho(T)$ 上解析。

#### 諾伊曼級數

$(z-T)^{-1}$ 的另一個表達式也很有用。下面形式的表達式

$$\frac{1}{z - T} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1 - \frac{T}{z}}$$

可以注意到級數

$$\frac{1}{z} \sum _{n \geq 0} \left(\frac{T}{z}\right)^n,$$

即諾依曼級數，它收斂於 $(z-T)^{-1}$ 的條件是

$$\left\| \frac{T}{z} \right\| < 1, \; \text{i.e.} \; |z| > \|T\|.$$

#### 譜集的緊緻性

從預解算子的上面的兩個性質，可以推斷出一個有界算子 $T$ 的譜 $\sigma(T)$ 是 $\mathbb C$ 的緊子集。因此，對於任何滿足 $D\supset\sigma(T)$ 的開集 $D$，存在一個正定向且光滑的若爾當曲線系 $\Gamma = \{ \gamma_1, \dots, \gamma_m \}$ 使得 $\sigma(T)$ 在 $\Gamma$ 的內部且 $D$ 的補集在 $\Gamma$ 的外部。因此，要定義一個函數演算，總能為每個在 $D$ 上全純的 $f$ 找到合適的一族若爾當曲線。

### 積分圍道的選取

前面的討論已經表明該積分式是有意義的，即對於每個 $f$ 確實存在一族合適的若爾當曲線 $\Gamma$ 且積分確實在適當的意義上收斂。眼下尚未示明的是，函數演算是無歧義的，也就是說不依賴於 $\Gamma$ 的選取。現在嘗試解決這個問題。

#### 一個先導的結論

對於若爾當曲線的集合 $\Gamma = \{ \gamma_1, \dots, \gamma_m \}$ 和點 $a\in\mathbb C$， $\Gamma$ 相對於 $a$ 的卷繞數是其成員各自的卷繞數之和。如果定義：

$$n(\Gamma, a) = \sum\nolimits_i n(\gamma_i, a),$$

就有柯西給出的以下定理：定理 設 $G\subset \mathbb{C}$ 為開集且 $\Gamma\subset G$，此外有一全純函數 $g:G\to \mathbb{C}$，且對於補集中的 $a\in G^-=\mathbb{C}-G$ 有 $n(\Gamma, a)=0$，那麼 $g$ 在 $\Gamma$ 上的圍道積分為零。當 $g$ 在 $L(X)$ 中取值時，會需要這個結論的向量值版本。為此須考察全純的 $g:G\to L(X)$，而對 $\Gamma$ 的要求則和前文保持相同。推廣的思路是使用 $L(X)$ 的對偶空間 $L(X)^{*}$，從而得到標量並應用標量版本的柯西定理。

考慮積分

$$\int_{\Gamma} g \in L(X),$$

如果可以證明任一 $\varphi \in L(X)^{*}$ 作用在這個積分上都得到零，那麼積分本身就必須為零。由於 $\varphi$ 有界且積分依範數收斂，可得：

$$\phi \left (\int_{\Gamma} g \right ) = \int_{\Gamma} \phi \circ g.$$

但 $g$ 是全純的，因此複合 $\varphi \circ g : G\subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 是全純的，因此可以應用柯西定理：

$$\int_{\Gamma} \phi \circ g = 0.$$

#### 回到主論題

令 $D$ 為包含 $\sigma(T)$ 的開集。假設有個符合前文要求的若爾當曲線系 $\Gamma = \{\gamma_i\}, \Omega = \{\omega_{j}\}$，所要證明的是

$$\int_{\Gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta = \int_{\Omega} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta .$$

設反轉 $\Omega$ 中每個 $\omega_j$的定向所得到曲線系是 $\Omega'$，則

$$\int_{\Omega} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta = - \int_{\Omega'} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta.$$

考慮兩個曲線系的併集 $\Gamma \cup \Omega'$。$\Gamma \cup \Omega'$ 和 $\sigma(T)$ 都是緊的。因此存在某個開集 $U$ 滿足 $U\supset\Gamma \cup \Omega'$ 且 $\sigma(T)\subset U^-$，其中 $U^-$ 是 $U$ 的補集。$U^-$ 中的任意$a$ 的卷繞數為 $n(\Gamma\cup\Omega', a ) = 0$，並且函數

$$\zeta \rightarrow \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}$$

在 $U$ 上全純。因此柯西定理的向量值版本給出

$$\int_{\Gamma \cup \Omega'} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta = 0$$

也就是說

$$\int_{\Gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta + \int_{\Omega'} \frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta = \int_{\Gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta - \int_{\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-T}\,d\zeta = 0.$$

於是證明了全純函數演算所給出的算子與積分圍道的選取無關。

因此，如果 $f_1$ 和 $f_2$ 是在 $\sigma(T)$ 的鄰域 $D_1$ 和 $D_2$ 上定義的兩個全純函數，並且它們在一個包含 $\sigma(T)$ 的開集上相等，則 $f_1(T)=f_2(T)$。此外，即使 $D_1$ 可能不同於 $D_1$，算子 $(f_1+f_2)(T)$ 也是良定義的，$(f_1 \cdot f_2)(T)$ 也是如此。

### 關於在譜集上全純的假定

到目前為止，這一假設的全部強度尚未得到充分利用。要使積分收斂，僅需要連續性。要使積分良定義，只需要 $f$ 在包含圍道 $\Gamma \cup \Omega'$ 的開集 $U$ 上是全純的，而不必也要求在 $\sigma(T)$ 上全純。在展現函數演算的同態性質時，才會完整地用到該假定。

## 性質

### 多項式情況

映射 $f\mapsto f(T)$ 的線性源自積分的收斂性以及巴拿赫空間上線性運算的連續性。

當 $f(z) = \sum_{0\leq k\leq m} a_k z^k$ 是多項式時，便回到多項式函數演算的情況。為證明這一點，只需證明，當 $k\geq 0, f(z)=z^k$ 時，有 $f(T)=T^k$ 成立——也就是說等式

$$\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \frac{\zeta ^k}{\zeta - T} \, d\zeta = T^k$$

對於任何包含 $\sigma(T)$ 的適當的 $\Gamma$ 成立。若選擇 $\Gamma$ 作為半徑大於 $\|T\|$ 的圓，前文已闡明此時可以將預解映射表示為一個冪級數

$$( z - T)^{-1} = \frac{1}{z} \sum_{n \geq 0} \left( \frac{T}{z} \right)^n.$$

將其代入要證的等式就得到

$$f(T) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \left( \sum_{n \geq 0} \frac{T^n}{\zeta^{n+1-k}} \right) \, d\zeta,$$

而這就是

$$\sum_{n \geq 0} T^n \cdot \frac{1}{2 \pi i} \left ( \int_{\Gamma} \frac{d \zeta }{\zeta^{n+1-k}} \right) = \sum_{n \geq 0} T^n \cdot \delta_{nk} = T^k.$$

其中的 $\delta$ 是克羅內克函數。

### 同態性質

對於任何滿足適當假設的 $f_1$ 和 $f_2$，同態性質表明

$$f_1 (T) f_2(T) = (f_1 \cdot f_2)(T).\,$$

將勾勒出一個論證，這會用到第一預解方程和對 $f$ 的假設。首先，選擇若爾當曲線使得 $\Gamma_1$ 位於 $\Gamma_2$ 的內部，這樣做的用意之後就會揭曉。先直接計算得到：

$$\begin{align} f_1 (T) f_2(T) &= \left (\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_1}\frac{f_1(\zeta)}{\zeta-T} d \zeta \right ) \left (\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma_2}\frac{f_2(\omega)}{\omega-T}\, d \omega \right )\\ &= \frac{1}{(2\pi i)^2} \int_{\Gamma_1} \int_{\Gamma_2} \frac{f_1(\zeta)f_2(\omega)}{(\zeta-T)(\omega-T)}\; d \omega \, d \zeta \\ &= \frac{1}{(2\pi i)^2} \int_{\Gamma_1} \int_{\Gamma_2} f_1(\zeta) f_2 (\omega) \left ( \frac{(\zeta - T)^{-1} - (\omega - T)^{-1}}{\omega - \zeta} \right ) d \omega \, d \zeta\\ &= \frac{1}{(2 \pi i)^2}\left \{\left (\int _{\Gamma_1} \frac{f_1(\zeta)}{\zeta-T}\left[\int_{\Gamma_2}\frac{f_2(\omega)}{\omega - \zeta} d\omega\right] d \zeta \right )- \left (\int_{\Gamma_2} \frac{f_2(\omega)}{\omega-T}\left[\int_{\Gamma_1}\frac{f_1(\zeta)}{\omega - \zeta}d\zeta\right] d \omega\right)\right \} \\ &= \frac{1}{(2 \pi i)^2} \int _{\Gamma_1} \frac{f_1(\zeta)}{\zeta-T}\left[\int_{\Gamma_2}\frac{f_2(\omega)}{\omega - \zeta} d\omega\right] d \zeta \end{align}$$

第三個等號用到了第一預解方程；最後一個等號是因為： $\omega\in\Gamma_{2}$ 在 $\Gamma_2$ 的外部，且 $f_1$ 在 $\sigma(T)$ 的某個開鄰域上是全純的，因此第二項為零。因此，可得：

$$\begin{align} f_1 (T) f_2 (T)&= \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma_1} \frac{f_1 (\zeta)}{\zeta - T}\left[\frac{1}{2 \pi i}\int_{\Gamma_2}\frac{f_2(\omega)}{\omega - \zeta}d \omega\right] d \zeta\\ &= \frac{1}{2 \pi i} \int _{\Gamma_1} \frac{f_1 (\zeta)}{\zeta - T} \left [ f_2 (\zeta) \right ] d \zeta\\ &= \frac{1}{2 \pi i} \int _{\Gamma_1} \frac{f_1 (\zeta) f_2 (\zeta)}{\zeta - T}d \zeta \\ &= (f_1 \cdot f_2)(T) \end{align}$$

其中第二個等號用到柯西積分公式。

設有開集 $G$ 滿足 $\sigma(T)\subset G\subset \mathbb{C}$， $G$ 上的全純函數序列 $\{f_k\}$ 在 $G$ 的每個緊子集上都一致收斂（也就是說，緊緻收斂）。那麼 $\{f_{k}(T)\}$ 在 $L(X)$ 中收斂，接下來說明這一點：

為簡單起見，假設 $\Gamma$ 僅由一條若爾當曲線組成。可作如下估計

$$\begin{align} \left \| f_k(T) - f_l(T) \right \| &= \frac{1}{2 \pi} \left\|\int_{\Gamma} \frac{(f_k - f_l)(\zeta)}{\zeta - T} d \zeta \right\| \\ &\leq \frac{1}{2 \pi} \int_{\Gamma} \left |(f_k - f_l)(\zeta) \right | \cdot \left \| (\zeta - T)^{-1} \right \| d \zeta \end{align}$$

通過結合一致收斂假設和各種連續性上的考量，可以看到當 $k,l\to\infty$ 時，上式趨於 0。所以 $\{f_{k}(T)\}$ 是柯西序列，從而是收斂的。

### 唯一性

至此已證明了全純函數演算 $f\mapsto f(T)$ 具有以下性質：

- 它延伸了多項式函數演算。
- 它是從 $\sigma(T)$ 的一個鄰域上的全純函數代數到 $L(X)$ 的代數同態
- 它保持緊集上的一致收斂。

可以證明滿足上述性質的函數演算是唯一的。

值得注意的是，如果把有界算子族 $L(X)$ 換成巴拿赫代數，那麼至此的所有討論都原封不動地保持成立。對於其中的元素，可以採用完全相同的方式定義函數演算。

## 譜理論的考量

### 譜映射定理

已知譜映射定理（spectral mapping theorem）對於多項式函數演算成立：對於任何多項式 $p$，都有 $\sigma(p(T)) = p(\sigma(T))$。這可以推廣到全純函數演算，也就是說 $\sigma(f(T)) = f(\sigma(T))$。

為證明此式，考慮某一複數 $\mu$。先考慮 $\mu\in f(\sigma(T))$ 的情況，這情況意味著 $\exists\lambda\in\sigma(T), \mu=f(\lambda)$。

由複分析的結果，存在 $\sigma(T)$ 的鄰域上的全純函數 $g$ 使得

$$f(z) - \mu = (z - \lambda)g(z).$$

根據同態性質，有

$$f(T) - \mu = (T - \lambda)g(T) = g(T)(T - \lambda).$$

由於 $\lambda\in \sigma(T)$， $T- \lambda$ 是不可逆的，那麼整個算子 $f(T)-\mu$ 不可能有逆，也就是說 $\mu\in \sigma(f(T))$。於是目前證明了 $\sigma(f(T)) \supset f(\sigma(T))$。

現在考慮 $\mu\notin f(\sigma(T))$ 的情況，那麼函數

$$h(z) = \frac{1}{f(z) - \mu}$$

在 $\sigma(T)$ 的鄰域上全純，於是根據同態性質可知

$$h(T)(f(T) - \mu) = I = (f(T)- \mu)h(T),$$

也就是說 $\mu\in \rho(f(T))$ 或者說 $\mu\notin \sigma(f(T))$。於是證明了 $\sigma(f(T)) \subset f(\sigma(T))$，進而證明了譜映射定理。

### 譜投影

譜投影的基本思想如下。設有 $K\subset \sigma(T)$，而 $U,V$ 分別是 $K, \sigma(T){\setminus}K$ 的鄰域且它們不相交。定義函數

$$e(z)=\begin{cases} 1&z\in U\\ 0&z\in V, \end{cases}$$

即 $U\cup V$ 中子集 $U$ 的指示函數。它是一個滿足 $[e(z)]^{2} = e(z)$ （冪等）的全純函數。於是，對於 $U\cup V$ 中的一個包含 $\sigma(T)$ 的適當的圍道 $\Gamma$，下面的線性算子

$$e(T)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma} \frac{e(z)}{z-T}\,dz$$

將是一個與 $T$ 對易的有界投影算子，且還將提供大量有用的資訊。

實際上，若且唯若 $K$ 在 $\sigma(T)$ 上的子空間拓撲中既開又閉時，這種情況才得以可能。此外，可以安全地忽略集合 $V$，因為 $e$ 在其上的值為零從而對積分沒有貢獻。投影 $e(T)$ 稱為 $T$ 在 $K$ 處的譜投影，記為 $P(K;T)$。因此，對於 $\sigma(T)$ 的每個在子空間拓撲中既開又閉的子集 $K$，都有一個相應的譜投影由下式給出

$$P(K;T)=\frac{1}{2\pi i}\int\nolimits_{\Gamma} \frac{dz}{z-T}$$

其中 $\Gamma$ 是包圍 $K$ 但不包圍 $\sigma(T)$ 的其他點的圍道。

由於 $P(K;T)\triangleq P$ 有界並與 $T$ 對易，因此 $T$ 可以按此投影來直和分解為 $T=U\oplus V$ 的形式，其中 $U\in P(X) , V\in (I-P)(X)$。$P(X), (I-P)(X)$是 $T$ 的不變子空間，且 $\sigma(U)=K$ 和 $\sigma(V) = \sigma(T){\setminus}K$。一個關鍵性質在於其相互正交性。如果 $L$ 是另一個（按 $\sigma(T)$ 上子的空間拓撲的）既開又閉集，則

$$P ( K ; T ) P ( L ; T ) = P ( L ; T ) P ( K ; T ) = P ( K \cap L ;T ),$$

而這在 $K$ 和 $L$ 不相交時為零。

譜投影有許多應用。$\sigma(T)$ 的任何孤立點在子空間拓撲中都是既開又閉的，因此具有相應的譜投影。當 $X$ 的維度有限時， $\sigma(T)$ 將由孤立點構成，於是所得的譜投影會給出若爾當塊的一個變體，各不同的本徵值會逐一對應到各若爾當塊。下一節將更詳細地討論這種分解。

有時算子的譜投影會繼承這個算子本身的一些性質。例如，如果 $T$ 是譜半徑為 $r$ 的正矩陣，則佩龍—弗羅賓尼斯定理斷言 $r\in\sigma(T)$。相關的譜投影 $P(r;T)\triangleq P$ 也是正的，並且由相互正交性可知其他的譜投影都不可能具有正的行或列。事實上 $TP=rP$，且隨著 $n \to \infty$ 有 $( T / r )^n \to P$。也就是說，隨著 $n$ 的增加，此投影 $P$ （稱為佩龍投影）逼近於 $( T / r )^n$，且其每一列都是 $T$ 的本徵向量。

更一般地，如果 $T$ 是緊算子，則 $\sigma(T)$ 中的所有非零點都是孤立的，從而它們的任何有限子集都可以用於分解 $T$，而相應的譜投影始終是有限秩的。$L(X)$ 中具有相似譜特性的算子是所謂里斯算子。里斯算子中的許多類（包括緊算子）都是 $L(X)$ 中的理想，並創造了一個豐饒的研究領域。然而，如果 $X$ 是一個希爾伯特空間，則 里斯算子和有限秩算子之間恰好夾有一個閉的理想。

前面的大部分討論都可以在復巴拿赫代數這一更為一般的背景下進行。這時譜投影被稱為譜冪等元，因為可能不再有空間可供它們投影。

### 不變子空間分解

如果譜 $\sigma(T)$ 不是連通的，則可以使用函數演算將 $X$ 分解為 $T$ 的不變子空間。設 $\sigma(T)$ 是如下連通分量的不交並

$$\sigma(T) = \bigcup_{i=1}^m F_i.$$

設 $e_i$ 是連通分量 $F_i$ 的某個鄰域的指示函數。根據同態性質，各個 $e_i(T)$ 都是投影算子。事實上它就是上文說過的譜投影 $P(F_i;T)$。$e_i(T)T =Te_i(T)$ 這一關係表明值域 $\{e_i(T)|T\in X\}\triangleq X_i$ 是 $T$ 的不變子空間。

由於

$$\sum_i e_i(T) = I,\,$$

$X$ 可以用這些互補的子空間來表示：

$$X = \sum_i X_i.\,$$

類似地，如果 $T_i$ 是限制於 $X_i$ 上的 $T$，則有

$$T = \sum_i T_i.\,$$

為直和空間

$$X' = \bigoplus_i X_i.$$

配備範數

$$\left \| \bigoplus_i x_i \right \| = \sum_i \|x_i\|,$$

於是 $X'$ 就成為一個巴拿赫空間。其上的一個映射

$$R:X' \to X:\bigoplus_i x_i \mapsto \sum_i x_i$$

是一個巴拿赫空間同構，並且可以看到

$$R T R^{-1} = \bigoplus_i T_i.$$

這可以看作是 $T$ 的分塊對角化。

當 $X$ 維度有限時， $\sigma(T)=\{\lambda_i\}$ 是複平面的有限子集。令 $e_i$ 是僅包含一個譜點（記作 $\lambda_i$）的一個開圓盤的指示函數，那麼對應的分塊對角矩陣 $\oplus_iT_i$ 即 $T$ 的若爾當標準型。

## 相關結果

藉助更強的假設，如 $T$ 是希爾伯特空間上的正規算子時，函數演算的定義域可以得到推廣。要比較兩個結果，可以粗略地類比於正規矩陣的譜定理和若爾當標準型之間的關係。當 $T$ 是正規算子時，可以得到連續函數演算，即可以基於定義在 $\sigma(T)$ 上的連續函數 $f$ 來計算 $f(T)$。基於測度論，函數演算的定義域可以推廣到可測函數，即博雷爾函數演算。這種情況下，設 $E \subset \sigma(T)$ 是博雷爾集而 $1_E$ 是其指示函數，那麼投影算子 $1_E(T)$ 就對應於上面所討論的 $e_i(T)$。

博雷爾函數演算可推廣到希爾伯特空間上的無界自伴算子。

用稍微抽象一點的語言來說，全純函數演算可以用與上文基本相同的論述來擴展到巴拿赫代數的任何元素。類似地，連續函數演算適用於任何C* 代數中的正規元，而可測函數演算適用於任何馮諾依曼代數中的正規元。

### 無界算子

對於具有非空預解集的無界閉算子，可以以類似的方式定義全純函數演算。