經典力學方程列表

經典力學或牛頓力學，是物理學描述宏觀物體運動的分支是最熟悉的物理學理論。涵蓋如常用和已知的加速度和力。本列表基於具固定軸的三維歐幾里得空間參考系。三軸的交點稱為此空間的原點。

經典力學概念包括微分方程、流形、李群和遍歷理論。各種物理量相互關聯。本列表總結了其中最重要的內容。

本文列出了經典力學的方程：「經典力學方程列表」（list of equations in classical mechanics）。其他有關經典力學（包括拉格朗日力學和哈密頓力學）的更基礎原理與公式，請參閱分析力學。

## 經典力學

### 質量與慣量

通用名｜通用符號｜定義｜國際單位制｜量綱

線/表面/體積質量密度｜λ或μ用於線密度（μ主要用在聲學），σ用於表面，ρ用於體積。｜$m = \int \lambda \, \mathrm{d} \ell$ $m = \iint \sigma \, \mathrm{d} S$ $m = \iiint \rho \, \mathrm{d} V$｜kg m−n, n = 1, 2, 3｜M L−n

質量矩｜m （沒有通用符號）｜點質量： $$\mathbf{m} = \mathbf{r}m$$ 相對固定軸$x_i$的離散質量： $$\mathbf{m} = \sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i m_i$$ 相對固定軸$x_i$的連續質量： $$\mathbf{m} = \int \rho \left ( \mathbf{r} \right ) x_i \mathrm{d} \mathbf{r}$$｜kg m｜M L

質心｜rcom （符號不一定）｜第i個質量 $\mathbf{m}_i = \mathbf{r}_i m_i$ 離散質量： $$\mathbf{r}_\mathrm{com} = \frac{1}{M} \sum_i \mathbf{r}_i m_i = \frac{1}{M} \sum_i \mathbf{m}_i$$ 連續質量： $$\mathbf{r}_\mathrm{com} = \frac{1}{M} \int \mathrm{d}\mathbf{m} = \frac{1}{M} \int \mathbf{r} \, \mathrm{d}m = \frac{1}{M}\int \mathbf{r} \rho \, \mathrm{d}V$$｜m｜L

二體約化質量｜m12, μ= m1 and m2｜$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$｜kg｜M

轉動慣量（MOI）｜I｜離散質量： $$I = \sum_i \mathbf{m}_i \cdot \mathbf{r}_i = \sum_i \left | \mathbf{r}_i \right | ^2 m$$ 連續質量： $$I = \int \left | \mathbf{r} \right | ^2 \mathrm{d} m = \int \mathbf{r} \cdot \mathrm{d} \mathbf{m} = \int \left | \mathbf{r} \right | ^2 \rho \, \mathrm{d}V$$｜kg m2｜M L2

### 導出的運動學物理量

通用名｜通用符號｜定義｜國際單位制｜量綱

速度｜v｜$\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t}$｜m s−1｜L T−1

加速度｜a｜$\mathbf{a} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}^2 \mathbf{r}}{\mathrm{d} t^2 }$｜m s−2｜L T−2

加加速度｜j｜$\mathbf{j} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{a}}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}^3 \mathbf{r}}{\mathrm{d} t^3}$｜m s−3｜L T−3

Jounce｜s｜$\mathbf{s} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{j}}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}^4 \mathbf{r}}{\mathrm{d} t^4}$｜m s−4｜L T−4

角速度｜ω｜$\boldsymbol{\omega} = \mathbf{\hat{n}} \frac{ \mathrm{d} \theta }{\mathrm{d} t}$｜rad s−1｜T−1

角加速度｜α｜$\boldsymbol{\alpha} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d} t} = \mathbf{\hat{n}} \frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d} t^2}$｜rad s−2｜T−2

角加加速度｜ζ｜$\boldsymbol{\zeta} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}}{\mathrm{d} t} = \mathbf{\hat{n}} \frac{ \mathrm{d}^3 \theta}{\mathrm{d} t^3}$｜rad s−3｜T−3

### 導出的動力學物理量

通用名｜通用符號｜定義｜國際單位制｜量綱

動量｜p｜$\mathbf{p} = m\mathbf{v}$｜kg m s−1｜M L T−1

力｜F｜$\mathbf{F} = \mathrm{d} \mathbf{p}/\mathrm{d} t$｜N = kg m s−2｜M L T−2

衝量｜J, Δp, I｜$\mathbf{J} = \Delta \mathbf{p} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F} \, \mathrm{d} t$｜kg m s−1｜M L T−1

相對一點r0的角動量｜L, J, S｜$\mathbf{L} = \left ( \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right ) \times \mathbf{p}$ 若各質點的旋轉軸均相交在同一點，可以設定r0 = 0。｜kg m2 s−1｜M L2 T−1

力相對一點r0的力矩｜τ, M｜$\boldsymbol{\tau} = \left ( \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 \right ) \times \mathbf{F} = \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}$｜N m = kg m2 s−2｜M L2 T−2

角衝量｜ΔL （沒有通用符號）｜$\Delta \mathbf{L} = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{\tau} \, \mathrm{d} t$｜kg m2 s−1｜M L2 T−1

### 一般能量定義

通用名｜通用符號｜定義｜國際單位制｜量綱

合力産生的功｜W｜$W = \int_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}$｜J = N m = kg m2 s−2｜M L2 T−2

力學系統所作的功｜WON, WBY｜$\Delta W_\mathrm{ON} = - \Delta W_\mathrm{BY}$｜J = N m = kg m2 s−2｜M L2 T−2

勢能｜φ, Φ, U, V, Ep｜$\Delta W = - \Delta V$｜J = N m = kg m2 s−2｜M L2 T−2

機械功率｜P｜$P = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$｜W = J s−1｜M L2 T−3

每一個保守力都有對應的勢能。根據以下二個原理，可以設定勢能U的值：

- 保守力為零的時候，勢能也定義為零。
- 保守力作功時，勢能減少。

### 廣義力學

通用名｜通用符號｜定義｜國際單位制｜量綱

廣義座標｜q, Q｜不一定｜不一定

廣義速度｜$\dot{q},\dot{Q}$｜$\dot{q}\equiv \mathrm{d}q/\mathrm{d}t$｜不一定｜不一定

廣義動量｜p, P｜$p = \partial L /\partial \dot{q}$｜不一定｜不一定

拉格朗日量｜L｜$L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) = T(\mathbf{\dot{q}}) - V(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)$ 其中$\mathbf{q} = \mathbf{q}(t)$以及 p = p(t) 分別是廣義座標以及動量的向量，是時間的函數。｜J｜M L2 T−2

哈密頓量｜H｜$H(\mathbf{p},\mathbf{q},t) = \mathbf{p}\cdot\mathbf{\dot{q}} - L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)$｜J｜M L2 T−2

作用量，哈密頓主函數｜S, $\scriptstyle{\mathcal{S}}$｜$\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) \mathrm{d}t$｜J s｜M L2 T−1

## 運動學

在以下轉動的定義中，角度是對應轉動軸的位意角度。一般常用θ，不過不一定要是極座標下的極角。單位軸向量

$$\mathbf{\hat{n}} = \mathbf{\hat{e}}_r\times\mathbf{\hat{e}}_\theta$$

定義轉動軸$\scriptstyle \mathbf{\hat{e}}_r$為r方向上的單位向量，$\scriptstyle \mathbf{\hat{e}}_\theta$是和角呈切線的單位向量。

平移｜轉動

速度｜平均： $$\mathbf{v}_{\mathrm{average}} = {\Delta \mathbf{r} \over \Delta t}$$ 瞬時： $$\mathbf{v} = {d\mathbf{r} \over dt}$$｜角速度$$\boldsymbol{\omega} = \mathbf{\hat{n}}\frac{{\rm d} \theta}{{\rm d} t}$$轉動剛體：$$\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$$

加速度｜平均： $$\mathbf{a}_{\mathrm{average}} = \frac{\Delta\mathbf{v}}{\Delta t}$$ 瞬時： $$\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}$$｜角加速度 $$\boldsymbol{\alpha} = \frac{{\rm d} \boldsymbol{\omega}}{{\rm d} t} = \mathbf{\hat{n}}\frac{{\rm d}^2 \theta}{{\rm d} t^2}$$ 轉動剛體： $$\mathbf{a} = \boldsymbol{\alpha} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}$$

加加速度｜平均： $$\mathbf{j}_{\mathrm{average}} = \frac{\Delta\mathbf{a}}{\Delta t}$$ 瞬時： $$\mathbf{j} = \frac{d\mathbf{a}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{v}}{dt^2} = \frac{d^3\mathbf{r}}{dt^3}$$｜角加加速度 $$\boldsymbol{\zeta} = \frac{{\rm d} \boldsymbol{\alpha}}{{\rm d} t} = \mathbf{\hat{n}}\frac{{\rm d}^2 \omega}{{\rm d} t^2} = \mathbf{\hat{n}}\frac{{\rm d}^3 \theta}{{\rm d} t^3}$$ 轉動剛體： $$\mathbf{j} = \boldsymbol{\zeta} \times \mathbf{r} + \boldsymbol{\alpha} \times \mathbf{a}$$

## 動力學

平移｜轉動

動量｜$$\mathbf{p} = m\mathbf{v}$$ 針對轉動剛體： $$\mathbf{p} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{m}$$｜角動量 $$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\omega}$$ 此外積為贗矢量，若r和p都反向（變號），L不會變號。一般來說，I是二維張量，·表示張量縮並。

力和牛頓第二運動定律｜作用在系統質心上的合力，等於動量的變化率： $$\begin{align} \mathbf{F} & = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{d(m\mathbf{v})}{dt} \\ & = m\mathbf{a} + \mathbf{v}\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t} \\ \end{align}$$ 針對許多質點的系統，質點i的運動方程式為： $$\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_i}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{E} + \sum_{i \neq j} \mathbf{F}_{ij}$$ 其中pi是第i個質點的動量，Fij，是粒子j作用在粒子i上的力，FE是合外力（來自系統以外的物體）。粒子i不會產生給自身的力。｜力矩 力矩（torque）τ也稱為moment of a force，是轉動系統中對應力的物理量： $$\boldsymbol{\tau} = \frac{{\rm d}\mathbf{L}}{{\rm d}t} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \frac{{\rm d}(\mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\omega})}{{\rm d}t}$$ 若是剛體，牛頓第二轉動定律的形式類似平移運動下的形式： $$\begin{align} \boldsymbol{\tau} & = \frac{{\rm d}\mathbf{L}}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}(\mathbf{I}\cdot\boldsymbol{\omega})}{{\rm d}t} \\ & = \frac{{\rm d}\mathbf{I}}{{\rm d}t}\cdot\boldsymbol{\omega} + \mathbf{I}\cdot\boldsymbol{\alpha} \\ \end{align}$$ 若針對許多質點，質點i的運動方程為： $$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\tau}_E + \sum_{i \neq j} \boldsymbol{\tau}_{ij}$$

Yank｜Yank是力的變化率： $$\begin{align} \mathbf{Y} & = \frac{d\mathbf{F}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{p}}{dt^2} = \frac{d^2(m\mathbf{v})}{dt^2} \\[1ex] & = m\mathbf{j} + \mathbf{2a}\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t} + \mathbf{v}\frac{{\rm d^2}m}{{\rm d}t^2} \end{align}$$ 若是固定質量，會變成下式： $$\mathbf{Y} = m\mathbf{j}$$｜Rotatum Rotatum Ρ也稱為moment of a Yank，因為是是轉動系統中對應Yank的物理量： $$\boldsymbol{\Rho} = \frac{{\rm d}\boldsymbol{\tau}}{{\rm d}t} = \mathbf{r}\times\mathbf{Y} = \frac{{\rm d}(\mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\alpha})}{{\rm d}t}$$

衝量｜衝量是動量的變化： $$\Delta \mathbf{p} = \int \mathbf{F} \, dt$$ 針對固定力F： $$\Delta \mathbf{p} = \mathbf{F} \Delta t$$｜Twirl或是角衝量是角動量的變化： $$\Delta \mathbf{L} = \int \boldsymbol{\tau} \, dt$$ 針對固定力矩τ： $$\Delta \mathbf{L} = \boldsymbol{\tau} \Delta t$$

### 進動

陀螺的進動角速度為：

$$\boldsymbol{\Omega} = \frac{wr}{I\boldsymbol{\omega}}$$

其中w是自旋物體的重量。

## 能量

系統以外事物對系統所作的機械功等於系統的動能變化：

### 通用功—能定理（平移及轉動）

系統以外事物，對曲線路徑C上的質點產生力F（在 r的位置）以及力矩τ，所做成的功W為：

$$W = \Delta T = \int_C \left ( \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} + \boldsymbol{\tau} \cdot \mathbf{n} \, {\mathrm{d} \theta} \right )$$

其中θ是相對單位向量n所定義軸的轉動角度。

### 動能

物體一開始的速度為$v_0$，後來的速度為$v$，其動能變化為：

$$\Delta E_k = W = \frac{1}{2} m(v^2 - {v_0}^2)$$

### 彈性勢能

遵守胡克定律的彈簧，若一端固定，拉長後，其彈性勢能為

$$\Delta E_p = \frac{1}{2} k(r_2-r_1)^2$$

其中r2和r1是彈簧未固定端，在拉長後以及拉長前的共線座標，方向是往拉長／壓縮的方向，k是彈簧常數。

## 剛體運動的歐拉方程

萊昂哈德·歐拉也像牛頓一様，發表了運動定律，可以參見歐拉運動定律。這些定律將牛頓運動定律擴展到剛體的運動上，不過本質是相同的。以下是歐拉提出新的運動方程式：

$$\mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \left ( \mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\omega} \right ) = \boldsymbol{\tau}$$

其中I是轉動慣量張量.

## 通用平面運動

前面平面運動的方程可以用在此處，應用上述的定義即可推出動量、角動量等。針對在平面上路徑移動的物體。

$$\mathbf{r} = \mathbf{r}(t) = r\mathbf{\hat{e}}_r$$

以下的結果可應用在質點上。

運動學｜動力學

位置 $$\mathbf{r} =\mathbf{r}\left ( r,\theta, t \right ) = r \mathbf{\hat{e}}_r$$

速度 $$\mathbf{v} = \mathbf{\hat{e}}_r \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}t} + r \omega \mathbf{\hat{e}}_\theta$$｜動量 $$\mathbf{p} = m \left(\mathbf{\hat{e}}_r \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}t} + r \omega \mathbf{\hat{e}}_\theta \right)$$ 角動量 $$\mathbf{L} = m \mathbf{r}\times \left(\mathbf{\hat{e}}_r \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d}t} + r \omega \mathbf{\hat{e}}_\theta \right)$$

加速度 $$\mathbf{a} =\left ( \frac{\mathrm{d}^2 r}{\mathrm{d}t^2} - r\omega^2\right )\mathbf{\hat{e}}_r + \left ( r \alpha + 2 \omega \frac{\mathrm{d}r}{{\rm d}t} \right )\mathbf{\hat{e}}_\theta$$｜向心力為 $$\mathbf{F}_\bot = - m \omega^2 R \mathbf{\hat{e}}_r= - \omega^2 \mathbf{m}$$ 其中的m是質量矩（mass moment），科里奧利力為 $$\mathbf{F}_c = 2\omega m \frac{{\rm d}r}{{\rm d}t} \mathbf{\hat{e}}_\theta = 2\omega m v \mathbf{\hat{e}}_\theta$$ 科里奧利加速度以及科里奧利也可以寫成： $$\mathbf{F}_c = m\mathbf{a}_c = -2 m \boldsymbol{ \omega \times v}$$

### 連心力運動

針對質量較大的物體，而且因為其他物體所施加的連心力而運動，連心力只和二物體質心的距離有關，其運動方程為：

$$\frac{d^2}{d\theta^2}\left(\frac{1}{\mathbf{r}}\right) + \frac{1}{\mathbf{r}} = -\frac{\mu\mathbf{r}^2}{\mathbf{l}^2}\mathbf{F}(\mathbf{r})$$

## 定加速度運動方程

僅當加速度恆定時才能使用這些方程式。如果加速度會變化，則必須使用上面的一般微積分學方程，透過積分位置、速度和加速度的定義來找到（見上文）。

線性運動｜旋轉運動

$\mathbf{v-v_0}=\mathbf at$｜$\omega - \omega_0 = \alpha t$

$\mathbf{x - x_0} = \tfrac{1}{2}(\mathbf{v_0+v})t$｜$\theta - \theta_0 = \tfrac{1}{2}(\omega_0 + \omega)t$

$\mathbf{x - x_0} = \mathbf v_0t+\tfrac{1}{2}\mathbf at^2$｜$\theta - \theta_0 = \omega _0 t + \tfrac{1}{2} \alpha t^2$

$\mathbf x_{n^{th}} = \mathbf v_0+\mathbf a(n-\tfrac{1}{2})$｜$\theta_{n^{th}} =\omega_0+\alpha(n-\tfrac{1}{2})$

$v^2 - v_0^2 = 2\mathbf{a(x-x_0)}$｜$\omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha(\theta-\theta_0)$

## 伽利略座標系變換

在古典（伽利略-牛頓）力學裡，將物理定律從一個慣性或加速（包括旋轉）坐標系（參考坐標系是以定速移動，其中包括零速）變換到另一個坐標系的變換即為伽利略變換。

以下標示r, v, a 的物理量是在坐標系F的位置、速度、加速度物理量，而標示r』, v』, a』的物理量是在以相對坐標系F移動速度V或是角速度Ω的坐標系F』的的位置、速度、加速度物理量。相對的，F是以相反的速度(—V or —Ω) 相對於F'移動。此情形類似相對加速度。

運動方式｜慣性坐標系｜加速坐標系

移動 V = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定速度 A = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對（變）加速度｜相對位置 $$\mathbf{r}' = \mathbf{r} + \mathbf{V}t$$ 相對速度 $$\mathbf{v}' = \mathbf{v} + \mathbf{V}$$ 等效加速度 $$\mathbf{a}' = \mathbf{a}$$｜相對加速度 $$\mathbf{a}' = \mathbf{a} + \mathbf{A}$$ 假想力 $$\mathbf{F}' = \mathbf{F} - \mathbf{F}_\mathrm{app}$$

轉動 Ω = 兩個慣性坐標系F和F'之間的相對定角速度 Λ = 兩個加速坐標系F和F'之間的相對（變）角加速度｜相對角位置 $$\theta' = \theta + \Omega t$$ 相對速度 $$\boldsymbol{\omega}' = \boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{\Omega}$$ 等效加速度 $$\boldsymbol{\alpha}' = \boldsymbol{\alpha}$$｜相對加速度 $$\boldsymbol{\alpha}' = \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\Lambda}$$ 假想力矩 $$\boldsymbol{\tau}' = \boldsymbol{\tau} - \boldsymbol{\tau}_\mathrm{app}$$

將向量T轉換到旋轉座標系 $$\frac{{\rm d}\mathbf{T}'}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}\mathbf{T}}{{\rm d}t} - \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{T}$$

## 機械諧振子

物理情況｜術語｜平移方程｜角方程

簡諧運動（SHM）｜、x = 橫向位移、θ = 角位移、A =橫向振幅、Θ = 角振幅｜$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = - \omega^2 x$$ 解： $$x = A \sin\left ( \omega t + \phi \right )$$｜$$\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}t^2} = - \omega^2 \theta$$ 解： $$\theta = \Theta \sin\left ( \omega t + \phi \right )$$

非受迫阻尼振動｜、b = 阻尼常數、κ = 扭轉常數｜$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} + b \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega^2 x = 0$$ 解（見下文ω）： $$x=Ae^{-bt/2m}\cos\left ( \omega' \right )$$ 諧振頻率： $$\omega_\mathrm{res} = \sqrt{\omega^2 - \left ( \frac{b}{4m} \right )^2 }$$ 阻尼率： $$\gamma = b/m$$ 激發的預期壽命（Expected lifetime of excitation）： $$\tau = 1/\gamma$$｜$$\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d}t^2} + b \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} + \omega^2 \theta = 0$$ 解： $$\theta=\Theta e^{-\kappa t/2m}\cos\left ( \omega \right )$$ 諧振頻率： $$\omega_\mathrm{res} = \sqrt{\omega^2 - \left ( \frac{\kappa}{4m} \right )^2 }$$ 阻尼率： $$\gamma = \kappa/m$$ 激發的預期壽命（Expected lifetime of excitation）： $$\tau = 1/\gamma$$

物理情況｜術語｜方程

線性無阻尼非受迫簡諧振子｜、k = 彈簧常數、m = 鐘擺質量｜$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

線性非受迫阻尼諧振子｜、k = 彈簧常數、b = 阻尼係數｜$\omega' = \sqrt{\frac{k}{m}-\left ( \frac{b}{2m} \right )^2 }$

低振幅角簡諧振子｜、I = 相對擺動軸轉動慣量、κ = 扭轉常數｜$\omega = \sqrt{\frac{\kappa}{I}}$

低振幅單擺｜、L = 擺錘長度、g = 重力加速度、Θ = 角振幅｜近似值 $$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$$ 精確值可以表示成： $$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \left [ 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{\prod_{n=1}^k \left ( 2n-1 \right )}{\prod_{n=1}^m \left ( 2n \right )} \sin^{2n} \Theta \right ]$$

物理情況｜術語｜方程

簡諧運動能量｜、T = 動能、U = 勢能、E = 總能量｜勢能： $$U = \frac{m}{2} \left ( x \right )^2 = \frac{m \left( \omega A \right )^2}{2} \cos^2(\omega t + \phi)$$ 在x = A處的最大值： $$U_\mathrm{max} \frac{m}{2} \left ( \omega A \right )^2$$ 動能： $$T = \frac{\omega^2 m}{2} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right )^2 = \frac{m \left ( \omega A \right )^2}{2}\sin^2\left ( \omega t + \phi \right )$$ 總能量： $$E = T + U$$

阻尼諧振子能源｜$E = \frac{m \left ( \omega A \right )^2}{2}e^{-bt/m}$