馮·諾伊曼代數

數學中，馮·諾伊曼代數（Von Neumann algebra）或W*-代數（W*-algebra）是希爾伯特空間上有界算子的*-代數，在弱算子拓撲中封閉，並包含恆等算子，是一類特殊的C*-代數。

馮·諾伊曼代數由約翰·馮·諾依曼提出，源於對單算子、群表示論、遍歷理論和量子力學的研究。馮·諾伊曼雙連續定理表明，解析定義等同於作為對稱性代數的純代數定義。

馮·諾伊曼代數的兩個基本例子：

- 實線上本質有界的可測函數環$L^\infty(\mathbb R)$是交換馮·諾伊曼代數，其元素在平方可積函數的希爾伯特空間$L^2(\mathbb R)$上通過逐點乘充當乘法算子。
- 希爾伯特空間$\mathcal H$上所有有界算子的代數$\mathcal B(\mathcal H)$是馮·諾伊曼代數，若希爾伯特空間維度至少為2，則是非交換的。

在1929年首次研究了馮·諾伊曼代數，他和Francis Murray在20世紀30、40年代撰寫的一系列論文中稱之為算子環，發展了馮·諾伊曼代數的基本理論，重印於。

關於馮·諾伊曼代數的介紹見、的注，及、等書。系列著作對馮·諾伊曼代數進行了百科全書式闡述。討論了更高級的主題。

## 定義

馮·諾伊曼代數有3種常見定義。

- （希爾伯特空間上的）有界算子的弱閉*-代數（包含恆等）。這定義中，弱（算子）拓撲可換成其他常見拓撲，如強、超強、超弱算子拓撲。在範數拓撲下封閉的有界算子的*-代數是C*-代數，因此馮·諾伊曼代數都是C*-代數。
- 對對合（*-運算）封閉的有界算子的子代數，且等於其雙交換子，或等價於在*下封閉的某子代數的交換子。馮·諾伊曼雙交換定理von Neumann指出，前兩個定義等價。
- 前兩個定義將馮·諾伊曼代數描述為作用於某給定希爾伯特空間的算子集。指出，馮·諾伊曼代數也可抽象地定義為有預對偶的C*-代數；也就是說，馮·諾伊曼代數作為巴拿赫空間是另一些巴拿赫空間的對偶，稱作預對偶。馮·諾伊曼代數的預對偶在同構意義上是唯一的。有人用「馮·諾伊曼代數」表示與希爾伯特空間作用匹配的代數，「W*-代數」表示抽象概念，於是，馮·諾伊曼代數是W*-代數、希爾伯特空間與其上合適的忠實酉作用構成的。馮·諾伊曼代數的具體定義和抽象定義同C*-代數類似，後者可定義為希爾伯特空間上算子的對範數封閉的*-代數，或滿足$||aa^*||=||a||\ ||a^*||$的巴拿赫*-代數。

## 術語

馮·諾伊曼代數中一些術語可能令人困惑，且在本理論之外往往有不同含義。

- 因子（factor）是具有平凡中心的馮·諾伊曼代數，即中心只含標量算子。
- 有限馮·諾伊曼代數是有限因子的直積分（即馮·諾伊曼代數有忠實的正規跡態$\tau: M \rarr \mathbb{C}$）。同樣，緊合無限（properly infinite）馮·諾伊曼代數是緊合無限因子的直積分。
- 作用於可分希爾伯特空間的馮·諾伊曼代數也可分，注意這類代數在範數拓撲中常常不再可分。
- 希爾伯特空間上有界算子集生成的馮·諾伊曼代數是包含所有算子的最小馮·諾伊曼代數。
- 兩希爾伯特空間上各自馮·諾伊曼代數的張量積是由代數張量積生成的馮·諾伊曼代數，被視作希爾伯特空間的張量積上的算子。

遺忘馮·諾伊曼代數上的拓撲，就可將其看做（含么）*-代數，或就只是一個環。馮·諾伊曼代數是半遺傳的：射影模的每個有限生成子模也是射影的。馮·諾伊曼代數的底環有多次公理化嘗試，如貝爾*-環、AW*-代數等。有限馮·諾伊曼代數的隸屬算子的*-代數是馮·諾伊曼正則環。（馮·諾伊曼代數本身一般不是馮·諾伊曼正則的）

## 交換馮·諾伊曼代數

交換馮·諾伊曼代數和測度空間的關係類似於交換C*-代數和局部緊豪斯多夫空間的關係。對度量空間$(X,\ \mu)$，交換馮·諾伊曼代數都同構於$L^{\infty}(X)$；反之，對σ-有限度量空間，*-代數$L^{\infty}(X)$都是馮·諾伊曼代數。

於是，馮·諾伊曼代數理論也稱作非交換測度論，C*-代數理論也稱作非交換拓撲Connes。

## 投影

馮·諾伊曼代數中，滿足$E=EE=E^*$的算子E稱作投影，是H在某閉子空間上的正交投影算子。若希爾伯特空間H的子空間是M中某投影的像，則稱其屬於馮·諾伊曼代數M，這建立了M的投影和屬於M的子空間之間建立了一一對應關係。非正式地說，子空間是可用M的元素來描述的閉空間。

可以證明，M中任意算子的像的閉包和M中任意算子的核都屬於M；另外，屬於M的任何子空間在M的算子下的像的閉包也屬於M（這些是極分解的結果）。

### 投影比較理論

投影的基本理論由提出。屬於M的兩子空間若存在屬於馮·諾伊曼代數的部分等距映射，將一者同構地映射到另一者，則稱它們（穆雷-馮·諾伊曼）等價。若相應子空間等價，或有H的部分等距，將E的像同構映射到F的像，且是馮·諾伊曼代數的元素，則稱E等價於F。另一種說法是，若對M中某部分等距u，滿足$E=uu^*,\ F=u^*u$，則稱E等價於F。

由此定義的等價關係~是可加的：設$E_1\sim F_1,\ E_2\sim F_2$。若$E_1\perp E_2,\ F_1\perp F_2$，則$E_1+E_2\sim F_1+F_2$。若在~的定義中要求酉等價（對么元u，若$u^*Eu=f$，則$E\sim F$），那麼可加性一般不成立。薛丁格-伯恩斯坦定理給出了穆雷-馮·諾伊曼等價的充分條件。

屬於M的子空間通過包含而部分有序，產生了投影的偏序≤。在投影的等價類集上還有一個自然偏序，來自投影的偏序≤。若M是因子，則≤是投影等價類上的總階，下詳。

若不存在等價於E的投影F < E（即$F\le E,\ F\neq E$），則稱投影（或屬於M的子空間）E為有限投影。例如，有限維投影（或子空間）都有限（因為希爾伯特空間之間的等距性使維數固定不變），而無限維希爾伯特空間上的恆等算子在其上所有有界算子的馮·諾伊曼代中並不是有限的，因為其與自身的一個適當子集同構。不過，無限維子空間也有可能有限。

正交投影是$L^{\infty}(\mathbb{R})$中指示函數的非交換類似物。$L^{\infty}(\mathbb{R})$是由指示函數生成的子空間的$||\cdot||_{\infty}$閉包。同樣，馮·諾伊曼代數有其投影生成，這是自伴算子譜定理的結果。

有限因子的投影形成連續幾何。

## 因子

馮·諾伊曼代數N的中心只由恆等算子的倍數組成，稱作因子。證明，可分希爾伯特空間上的馮·諾伊曼代數都同構於因子的直積分，這一分解是本質唯一的。因此，可分希爾伯特空間上馮·諾伊曼代數同構類的分類可轉化為因子同構類的分類問題。

指出，因子可分3類。類型分類可推廣到非因子的馮·諾伊曼代數。若馮·諾伊曼代數可分解為X型因子的直積分，則就是X型的，例如交換馮·諾伊曼代數都是I1類。馮·諾伊曼代數都可唯一地寫成I、II、III類馮·諾伊曼代數之和。

還有其他幾種分類因子的方法：

- 若因子是I類，則稱其離散；若是II類或III類，則稱其連續。
- 若因子是I或II類，則稱其半無限；若因子是II類，則稱其純無限。
- 若投影1是有限的，則稱因子有限，否則稱緊合無限。I、II類因子可能有限也可能緊合無限，III類因子總是緊合無限的。

### I類因子

若存在最小的投影$E\neq 0$，使得不存在投影F滿足$0<F<E$，則稱其為I類因子。I類因子都同構於某希爾伯特空間上所有有界算子的馮·諾伊曼代數，因為每個基數都有希爾伯特空間，I類因子的同構類是與基數完全對應的。很多學者只考慮可分希爾伯特空間上的馮·諾伊曼代數，因此習慣上把有限n維希爾伯特空間上的有界算子稱作${\rm I}_n$型因子，可分無限維希爾伯特空間上的有界算子則是${\rm I}_{\infty}$型因子。

### II類因子

若不存在最小投影，但存在非零有限投影，則稱其為II類因子。這意味著每個投影E都可以「平分」，即有兩個穆雷-馮·諾伊曼等價的投影F、G，且滿足$E=F+G$。若II類因子中的恆等算子有限，則是${\rm II}_1$型因子；否則是${\rm II}_{\infty}$型因子。最易理解的II型因子是發現的超無限${\rm II}_1$型因子、超無限${\rm II}_{\infty}$型因子，是${\rm II}_1$、${\rm II}_{\infty}$型中唯一的超無限因子。這類因子還有很多，都值得深入研究。證明了一個基本結果：${\rm II}_1$型因子具有唯一的有限跡態，投影的跡集為0,1。

${\rm II}_{\infty}$型因子具有半無限跡，在縮放意義上唯一，投影的跡集為0,∞。${\rm II}_{\infty}$型因子的基本群是實數λ集合，使得存在自同態，縮放跡λ倍。

${\rm II}_1$型因子與無限I型因子的張量積是${\rm II}_{\infty}$型，反之，任何${\rm II}_{\infty}$型因子都可這樣構造。${\rm II}_1$型因子的基本群是因子與I型無限（可分）因子的張量積的基本群。多年來，人們一直在尋找基本群不是正實數群的II型因子，阿蘭·科納隨後證明，具有卡日丹性質 (T)的可數離散群（平凡表示在對偶空間中孤立）（如${\rm SL}(3,\ \mathbb{Z})$）的馮·諾伊曼群代數具有可數基本群。後來，索林·波帕證明，特定群的基本群可能是平凡的，如${\rm SL}(2,\ \mathbb{Z})$對$\mathbb{Z}^2$的半直積。

${\rm II}_1$型因子的一個例子是可數無限離散群的馮·諾伊曼群代數，使每個非平凡共軛類都無限。

發現了一個具有非同構馮·諾伊曼群代數的不可數族，從而顯示了不可數多個可分${\rm II}_1$型因子的存在。

### III型因子

不含任何非零有限投影的因子是III型因子。在第一篇論文中無法確定是否存在，發現了第一個例子。由於恆等算子在這些因子中總是無限的，因此過去也稱作${\rm III}_{\infty}$，最近改做${\rm III}_{\lambda}$，其中λ是0, 1中的實數。更確切地說，若（其模群的）科納譜是1，則是${\rm III}_0$型因子；若科納譜為λ（$0<\lambda<1$）的所有整數冪，則是${\rm III}_{\lambda}$型；若科納譜是所有正實數，則是${\rm III}_1$型（科納譜是正實數的閉子群，因此只有這些可能）。III型因子的唯一跡在所有正元素上取值為∞，任何兩個非零投影都等價。III型因子曾一度被認為是很棘手的對象，但富田–竹崎理論帶來了很好的結構理論。特別是，任何III型因子都可用正規方式寫成${\rm II}_{\infty}$型因子與實數的叉積。

## 預對偶

馮·諾伊曼代數M都有預對偶$M_*$，是M上所有超弱連續線性泛函的巴拿赫空間。顧名思義，M（作為巴拿赫空間）是其預對偶的對偶。預對偶是唯一的，因為對偶為M的任何其他巴拿赫空間都與$M_*$同構。證明了預對偶的存在是C*-代數中馮·諾伊曼代數的特徵。

上文給出的預對偶定義似乎取決於M作用於的希爾伯特空間的選擇，因為它決定了超弱拓撲。不過也可定義為M上所有正正規線性泛函生成的空間（此處「正規」指應用於自伴算子的遞增網時保上界；或等價於投影的遞增序列）。

預對偶$M_*$是對偶$M^*$的閉子空間（包含M上所有範數連續線性泛函），通常小些。$M_*$不同於$M^*$的證明是非構造性的，用很重要的方式使用了選擇公理。要展示在$M^*$而不在$M_*$中的元素非常困難，例如，馮·諾伊曼代數$I^{\infty}(Z)$上的奇特正線性形式由自由超濾子給出，對應於進入C的奇特*-同態，並描述了Z的斯通-切赫緊化。

例子：

- $\mathbb{R}$上本質有界函數的馮·諾伊曼代數$L^{\infty}(\mathbb{R})$的預對偶是可積函數的巴拿赫空間$L^1(\mathbb{R})$。$L^{\infty}(\mathbb{R})$的對偶嚴格大於$L^1(\mathbb{R})$，例如，在$L^{\infty}(\mathbb{R})$上推廣了有界連續函數$C^0_b(\mathbb{R})$的閉子空間上的狄拉克測度$\delta_0$的泛函不能表為$L^1(\mathbb{R})$中的函數。
- 希爾伯特空間H上有界算子的馮·諾伊曼代數$B(H)$的預對偶是所有跡類算子（跡範數為$||A||={\rm Tr}(|A|)$）的巴拿赫空間。跡類算子的巴拿赫空間本身是緊算子的C*-代數的對偶（自身不是馮·諾伊曼代數）。

## 權、狀態、跡

權、特殊狀態與跡在Takesaki中有詳細討論。

- 馮·諾伊曼代數上的權 ω是從正元素（形式$a^*a$）集到0, ∞的線性映射。
- 正線性泛函是ω(1)有限的權（或說是ω通過線性，到整個代數的擴張）。
- 狀態是$\omega(1)=1$的權。
- 跡是$\forall a,\ \omega(aa^*)=\omega(a^*a)$的權。
- 跡狀態是$\omega(1)=1$的跡。

因子都有跡，即非零投影的跡也非零，並且若且唯若投影無限時，投影的跡才是無限的。這樣的跡在重縮放的意義上是唯一的。對可分或有限的因子，若且唯若兩投影具有相同的跡時，它們等價。因子類型可從跡在因子投影上的可能值獲得，如下：

- ${\rm I}_n$型：對正數x，$0,\ x,\ 2x,\ \ldots,\ nx$（一般歸一化為$x=1/n$或1）。
- ${\rm I}_{\infty}$型：對正數x，$0,\ x,\ 2x,\ \ldots,\ \infty$（一般歸一化為x = 1）。
- ${\rm II}_1$型：對正數x，$[0,\ x]$（一般歸一化為x = 1）。
- ${\rm II}_{\infty}$型：$[0,\ \infty].$
- III型：$\{0,\ \infty\}.$

若馮·諾伊曼代數作用於含範數為1的向量v的希爾伯特空間，則泛函$a\to (av,\ v)$是正規狀態。這種構造可反過來從正規狀態給出對希爾伯特空間的作用，就是正規狀態的GNS構造。

## 因子上的模

給定抽象可分因子，可要求對其模（即其所作用的可分希爾伯特空間）進行分類。結果如下：每個模H都可給定一個M維的${\rm dim}_M(H)$（而非作為復向量空間的維度），這樣，若且唯若它們有同樣的M維時，模相互同構。M維是可加的，若且唯若一個模m的M維不大於另一模n時，m與n的子空間同構。

若模有循環可分向量，則稱其是標準的。因子都有標準表示，在同構意義上唯一。標準表示有反線性對合J使$JMJ=M'$。對有限因子，標準模由應用於唯一正規跡態的GNS構造給出，M維被歸一化，因此標準模的M維為1，而對無限因子，標準模是M維無窮大的模。

模的可能M維數如下：

- ${\rm I}_n$（n有限）型：M維可以是$0/n,\ 1/n,\ 2/n,\ 3/n,\ \ldots,\ \infty$。標準模的M維數為1（復維數為2）。
- ${\rm I}_{\infty}$型：M維可以是$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ \infty$。$B(H)$的標準表示是$H\otimes H$，其M維數無窮大。
- ${\rm II}_1$型：M維可以是0, ∞中的任意數。歸一化後，標準模的M維數為1。M維也稱作模H的耦合常數。
- ${\rm II}_{\infty}$型：M維可以是0, ∞中的任意數。一般來說沒有規範方法歸一化，因子可能有外自同構，將M維乘以常數。標準表示是M維數無窮大的表示。
- III型：M維可以是0或∞。任意兩個非零模都同構，所有非零模都是標準的。

## 可均馮·諾伊曼代數

等人證明，可分希爾伯特空間H上的馮·諾伊曼代數M的下列條件等價：

- M是超無限或近似有限維（AFD）或近似有限的：代數包含有限維子代數的遞增序列的，具有稠密的交（注意有人用「超有限」表示「AFD且有限」）。
- M是可均的（amenable）：在正規巴拿赫雙模中取值的M的導子都是內的。
- M具有施瓦茨性質P：對H上任意有界算子T，元素$uTu^*$的弱算子閉凸包包含與M交換的元素。
- M 是半離散的：恆等映射$M\to M$是秩有限的完全正映射的弱點極限。
- M具有性質E或羽毛田–富山擴張性：從H上的有界算子到M '，有範數為1的投影。
- M是單射：從任意含么C*-代數A的任意含1自伴閉子空間到M的任何完全正映射，都可推廣為A到M的完全正映射。

上面這類代數沒有公認的術語，科納建議用可均。

可均因子已被分類：在$0<\lambda\le 1$的條件下，${\rm I}_n,\ {\rm I}_{\infty},\ {\rm II}_1,\ {\rm II}_{\infty},\ {\rm III}_{\lambda}$各有一個，${\rm III}_0$的對應某些遍歷流。（對${\rm III}_0$型，稱其為分類有點誤導，因為眾所周知，並沒有簡單的遍歷流分類方法。）I型與${\rm II}_1$型由分類，${\rm III}_1$由Haagerup分類，其餘的由分類。

所有可均因子都能用穆雷和馮·諾伊曼對單一遍歷變換的群測度空間構造得到。事實上，它們正是Z或Z/nZ在阿貝爾馮·諾伊曼代數$L^{\infty}(X)$上的自由遍歷作用的叉積產生的因子。測度空間X是原子的，且作用是傳遞的，則出現I型因子；X是擴散的或非原子的，則等價於0,1的測度空間。X具有等價有限（${\rm II}_1$）或無限（${\rm II}_{\infty}$）測度，且在Z的作用下不變時，出現II型因子；若無不變測度，只有不變測度類，則出現III型因子，稱作克里格因子（Krieger factor）。

## 馮·諾伊曼代數的張量積

兩希爾伯特空間的張量積是其代數張量積的完備化。可定義馮·諾伊曼代數的張量積（代數視作環的代數張量積的完備化），所得也是馮·諾伊曼代數，並作用於對應希爾伯特空間的張量積。兩有限代數的張量積有限，無限代數和非零代數的張量積無限。馮·諾伊曼代數張量積的類型取較大值。張量積交換定理指出

$$(M\otimes N)^\prime = M^\prime\otimes N^\prime,$$

其中M' 表示M的交換子。

無窮多馮·諾伊曼代數的張量積通常是個大得離譜的不可分代數。指出，應在每個馮·諾伊曼代數上選取一個狀態，以定義代數張量積上的一個狀態，從而產生希爾伯特空間與（較小的）馮·諾伊曼代數。研究了所有因子都是有閒矩陣代數的情形，這些因子稱作Araki–Woods因子或ITPFI因子（ITPFI表示「有限I型因子的無限張量積」）。無限張量積的類型可隨著狀態改變發生巨大變化，如無限多${\rm I}_2$型因子的無限張量積可具有任意類型，取決於狀態的選擇。特別是對${\rm I}_2$型因子進行無限張量積，發現了$0<\lambda<1$時不可數的非同構超無限${\rm III}_{\lambda}$型因子不可數族，稱作Powers因子，每個因子的狀態如下：

$$x\mapsto {\rm Tr}\begin{pmatrix}{1\over \lambda+1}&0\\ 0&{\lambda\over \lambda+1}\\ \end{pmatrix} x.$$

所有不是${\rm III}_0$的超無限馮·諾伊曼代數都同構於Araki–Woods因子，有不可數多的${\rm III}_0$型超無限馮·諾伊曼代數不同構。

## 雙模與子因子

雙模（或對應）是有兩個交換馮·諾伊曼代數的模作用的希爾伯特空間H。雙模的結構比模豐富得多。兩因子上的雙模總給出子因子，因為其中一因子總包含於另一因子的交換子中。此外，科納在雙模上發現了一種微妙的相對張量積運算。沃恩·瓊斯提出的子因子理論調和了這兩種看似迥異的觀點。

雙模對離散群Γ的馮·諾伊曼群代數M也很重要。事實上，若V是Γ的任意酉表示，將Γ視作Γ × Γ的對角子群，$I^2(\Gamma,\ V)$上相應的誘導表示自然就是M的兩個交換副本的雙模。Γ的重要表示論性質完全可用雙模表述，因此對馮·諾伊曼代數本身也有意義。例如，科納和瓊斯以這種方式給出了馮·諾伊曼代數的卡日丹性質 (T)的類似定義。

## 不可均因子

I型馮·諾伊曼代數可均，其他類型則有不可數多種不可均因子，似乎很難分類，甚至很難相互區分。Voiculescu證明，來自群測度空間構造的不可均因子類與來自自由群的馮·諾伊曼代數群不相交。後來小澤登高證明，雙曲群的馮·諾伊曼代數群會產生素的${\rm II}_1$型因子，即不能作為${\rm II}_1$型因子的張量積進行分解，這結果最早由Leeming Ge利用Voiculescu的自由熵，對自由群因子進行了證明。波帕關於不可均因子基本群的研究是另一項重大進展。目前「超無限之外」的因子理論正在迅速擴展，並取得了許多令人驚訝的成果，與幾何群論和遍歷理論中的剛性現象有密切關係。

## 例子

- σ有限測度空間上的本質有界函數構成了作用於$L^2$函數的交換（${\rm I}_1$型）馮·諾伊曼代數。對一些通常認為病態的非σ有限測度空間，$L^{\infty}(X)$不是馮·諾伊曼代數，如可測集的σ代數可能是不可數集上的可數-余可數代數。基本近似定理可用卡普蘭斯基稠密性定理表示。
- 任意希爾伯特空間上的有界算子構成馮·諾伊曼代數，實際上是I型因子。
- 若在希爾伯特空間H上的群G我們有任意酉表示，則與G交換的有界算子形成馮·諾伊曼代數G'，其投影精確對應H在G下不變的閉子空間。等價子表示對應G' 中的等價投影。G的雙交換G' ' 也是馮·諾伊曼代數。
- 離散群G的馮·諾伊曼群代數是$H=I^2(G)$上所有與G在H上的作用通過右乘交換的有界算子的代數。可以證明，這就是由與$g\in G$的左乘相對的算子生成的馮·諾伊曼代數。若G的非平凡共軛類都無限（例如非阿貝爾自由群），則它就是（${\rm II}_1$型）因子；若G是有限子群的並（如固定了除有限多元素外所有整數的置換群），則就是${\rm II}_1$型超無限因子。
- 如上一節所述，兩馮·諾伊曼代數的張量積或有狀態的可數張量積是馮·諾伊曼代數。
- 可定義馮·諾伊曼代數與離散（更一般地，局部緊）群的叉積，也是馮·諾伊曼代數。特殊情形是穆雷合馮·諾伊曼的群測度空間構造，以及克里格因子。
- 可定義可測等價關係的馮·諾伊曼代數和可測廣群。這些例子概括了馮·諾伊曼群代數和群測度空間構造。

## 應用

馮·諾伊曼代數在紐結理論、統計力學、量子場論、局部量子力學、自由機率、非交換幾何、表示論、微分幾何與動力系統等領域都有應用。

例如，C*-代數為機率論提供了另一種公理化方法，稱作GNS構造。這類似於測度和積分的兩種方法，可以先構造集合的測度，再定義積分；或者先構造積分，再將集合度量定義為特徵函數的積分。

## 參考文獻

- (A translation of , the first book about von Neumann algebras.)
- incomplete notes from a course.
- A historical account of the discovery of von Neumann algebras.
- . This paper gives their basic properties and the division into types I, II, and III, and in particular finds factors not of type I.
- . This is a continuation of the previous paper, that studies properties of the trace of a factor.
- . This studies when factors are isomorphic, and in particular shows that all approximately finite factors of type II1 are isomorphic.
- . The original paper on von Neumann algebras.
- . This defines the ultrastrong topology.
- . This discusses infinite tensor products of Hilbert spaces and the algebras acting on them.
- . This shows the existence of factors of type III.
- . This shows that some apparently topological properties in von Neumann algebras can be defined purely algebraically.
- . This discusses how to write a von Neumann algebra as a sum or integral of factors.
- . Reprints von Neumann's papers on von Neumann algebras.