李型群

在數學中，特別是在群論中，李型群這一短語通常指的是與在有限域中取值的約化線性代數群的有理點群密切相關的有限群。李型群這一短語並沒有一個被廣泛接受的精確定義，但李型有限單群的重要集合卻有一個精確的定義，它們構成了有限單群中的大部分群。

之所以稱為李型群，是因為它們與（無限）李群關係密切，因為一個緊李群可以看作是實數場上的一個約化線性代數群的一些有理點。和Carter是李型群的標準參考文獻。

## 典型群

這個問題最早的解決方案來自對有限域和其他域上所謂的「經典群」的定義和詳細研究。倫納德·尤金·迪克森和讓·迪厄多內研究了這些群。埃米爾·阿廷研究了這些群的階，試圖藉此分類重合的情況。

粗略地說，典型群就是特殊線性群、正交群、辛群和酉群。更細緻地說，其實還包括它們的換位子群和中心商群（即一個群對其中心的商群）。其中後者即為所謂的射影線性群，而這種群可以在有限域（或者任何其他域）上構造，方法與在實數域上構造的方式大致相同。這樣構造出來的群對應謝瓦萊群和斯坦伯格群中的 An , Bn , Cn , Dn , 2An 和 2Dn。

## 謝瓦萊群

謝瓦萊群可以認為是有限域上的李群。代數群理論和關於李代數的工作闡明了與之相關的理論，藉此「謝瓦萊群」的概念得以獨立。謝瓦萊為所有的復單李代數（或者更確切地說是它們的泛包絡代數）構造了對應的謝瓦萊基（一種具有整性的基底）。而謝瓦萊基可以用於在整數環上構造相應的代數群，特別地，謝瓦萊基也可以在有限域中取值。對於李代數 An , Bn , Cn , Dn，這會給出眾所周知的典型群，但這樣的構造還能給出與例外李代數E6 , E7, E8 , F4 和 G2 有關的群。其中 G2 型的群（有時稱為迪克森群）和 E6 型的群在此之前已由和構造。

## 斯坦伯格群

謝瓦萊的構造沒有給出全部的典型群：它不包括酉群和非分裂正交群(non-split orthogonal groups)。找到了謝瓦萊的構造的一個改進，這個改進的方法構造出了上述的群，以及兩族新的群：3D4和2E6。其中2E6也由從另一個角度發現。這個構造將酉群的常規構造從一般線性群中推廣出來。

酉群的構造方式如下：複數域上的一般線性群具有通過反轉An的登金圖（相當於對元素取其轉置的逆）得到的圖自同構，以及通過取復共軛得到的域自同構，而這兩者是可交換的。這兩個自同構的乘積的的不動點構成的群即為酉群。

同樣的，許多的謝瓦萊群有著由登金圖的自同構給出的圖自同構，以及由有限域的自同構給出的域自同構。用與酉群類似的方法，斯坦伯格通過取域自同構和圖自同構之積的不動點構造出了幾族群。

分別是：

- 酉群 2An , 來源於An的2階自同構。
- 正交群 2Dn , 來源於Dn的2階自同構。
- 新的系列 2E6 , 來源於E6的2階自同構。
- 新的系列 3D4 , 來源於D4的3階自同構。

3D4 型的群在實數域上沒有相似物，這是由於複數不存在3階自同構。D4 的對稱性中同樣出現了三重性。

## 鈴木-李群

(鈴木通夫)找到了一個的由無窮個群組成的新的群的系列。這個新的群列乍看上去與已知的代數群沒有什麼關聯。(李林學)已經知道代數群B2 有一個「額外的」2階自同構，其平方即為弗羅貝尼烏斯自同態。他發現如果一個特徵為2的有限域也有一個自同構，其平方為弗羅貝尼烏斯映射，那麼就可以通過與斯坦伯格的構造相似的方法構造出鈴木群。而一個域具有符合上述條件的自同構，若且唯若其階為 22n+1，與之對應的群即為鈴木群

2B2(22n+1) = Suz(22n+1).

（群 Suz(2) 不是單群，因而嚴格地說不算是鈴木群。它是階為20的弗羅貝尼烏斯群）

李林學進而構造出了兩個新的單群族:

2F4(22n+1) 和 2G2(32n+1)。

這主要依靠了這一個事實: F4 和 G2 各有一個階分別為2和3的額外的自同構。（粗略地說，如果有限域的特徵為 p，那麼當討論登金圖的圖自同構時，可以忽略 p 重邊的箭頭，即認為 p 重邊其是無方向的。）2F4 型群中最小的一個2F4(2) 並不是單群，但是其指數為2的中心化子群則是單群，稱為蒂茨群（以數學家雅克·蒂茨的名字命名）。2G2 型群中最小的一個 2G2(3) 也不是單群，但其有一個指數為3的單子群，域A 1(8) 同構。在有限單群分類中，李群 2G2(32n+1) 是最難明確其結構的一部分。這些群在第一個現代散在單群的發現中也起到作用。它們有著 Z/2Z × PSL(2, q) 型的對合中心化子（其中 q = 3n），正是通過研究具有類似於 Z/2Z × PSL(2, 5) 型的對合中心化子的群，揚科找到了散在單群 J1。

鈴木群是僅有的階不能被3整除非對稱有限單群，其階為 22(2n+1)(22(2n+1) + 1)(2(2n+1) − 1)。

## 與有限單群的聯繫

僅次於循環群，對稱群和交錯群，有限李型群是數學家很早就在研究的一種群。在19世紀30年代，埃瓦里斯特·伽羅瓦就通過素數域上的射影一般線性群構造出了 PSL(2, p)。對有限李型群的系統性研究始於卡米爾·若爾當的定理，即射影一般線性群 PSL(2, p) 在 q ≠ 2, 3 時是單群。將該定理推廣到高次的射影群上，我們便得到一個重要的有限單群列表族 PSL(n, q)。至於其他的典型群，則是由迪克遜在20世紀初研究的。在20世紀50年代謝瓦萊意識到，許多與半單李代數有關的理論，經過恰當的重新闡述後，都可以類比到任意的域K上的代數群上，進而導出現在所謂的"謝瓦萊群"的構造。此外，與緊李單群的情況類似，這樣的構造對應得到的群，作為抽象群，幾乎是單的（"蒂茨單性定理"）。儘管自19世紀以來，人們已經認識到有其他的有限單群存在（例如馬蒂厄群）,然而有一種信念在逐漸形成，那就是：幾乎所有的有限單群,都可以被解釋為對謝瓦萊的構造的適當延伸，以及循環群和交錯群。此外，上述中的例外，即所謂散在單群(有限單群分類#散在群)，與有限李型單群有許多共同點；特別地，它們可以根據它們的蒂茨幾何來構造和刻畫。

這個信念如今化為了一個定理——有限單群分類定理。通過觀察有限單群的列表，我們可以發現，李型單群是除循環群，交錯群，蒂茨群和散在單群外僅有的單群。

## 較小的李型群

一般而言，與單連通的單代數群的自同態相關的的有限群都是單群的泛中心擴張（universal central extension），所以其既是完滿群，也有平凡的舒爾乘子。然而這些群列中最小的幾個群可能並不是完滿的，或者有大於"預期"的舒爾乘子。

不完滿的情況包括：

- A1(2) = SL(2, 2) 可解，階為6 (實為3次對稱群)
- A1(3) = PSL(2, 3) 可解，階為12 （實為4次交錯群）
- 2A2(4) 可解
- B2(2) 不完滿，但是其與6次對稱群同構，所以其有指數為2，階為360，且單的換位子群。
- 2B2(2) = Suz(2) 可解，階為20（實為一個弗羅貝尼烏斯群）
- 2F4(2) 不完滿，但其換位子群指數為2且為單群(蒂茨群)。
- G2(2) 不完滿, 但其指數為2，階為6048的換位子群為單群。
- 2G2(3) 不完滿, 但其指數為3，階為504的換位子群為單群。

完滿但是舒爾乘子大於預期的情況包括：

- A1(4) 的舒爾乘子有額外的Z/2Z, 所以其舒爾乘子階為2而不是1。
- A1(9) 的舒爾乘子有額外的Z/3Z, 所以其舒爾乘子階為6而不是2。
- A2(2) 的舒爾乘子有額外的Z/2Z, 所以其舒爾乘子階為2而不是1。
- A2(4) 的舒爾乘子有額外的Z/4Z × Z/4Z, 所以其舒爾乘子階為48而不是3。
- A3(2) 的舒爾乘子有額外的Z/2Z, 所以其舒爾乘子階為2為而不是1。
- B3(2) = C3(2) 的舒爾乘子有額外的Z/2Z, 所以其舒爾乘子階為2 而不是1。
- B3(3) 的舒爾乘子有額外的Z/3Z, 所以其舒爾乘子階為6而不是2。
- D4(2) 的舒爾乘子有額外的Z/2Z × Z/2Z, 所以其舒爾乘子階為4而不是1。
- F4(2) 的舒爾乘子有額外的Z/2Z, 所以其舒爾乘子階為2而不是1。
- G2(3) 的舒爾乘子有額外的Z/3Z, 所以其舒爾乘子階為3而不是1。
- G2(4) 的舒爾乘子有額外的Z/2Z, 所以其舒爾乘子階為2而不是1。
- 2A3(4) 的舒爾乘子有額外的Z/2Z, 所以其舒爾乘子階為2而不是1。
- 2A3(9) 的舒爾乘子有額外的Z/3Z × Z/3Z, 所以其舒爾乘子階為36而不是4。
- 2A5(4) 的舒爾乘子有額外的Z/2Z × Z/2Z, 所以其舒爾乘子階為12而不是3。
- 2E6(4) 的舒爾乘子有額外的Z/2Z × Z/2Z, 所以其舒爾乘子階為12而不是3。
- 2B2(8) 的舒爾乘子有額外的Z/2Z × Z/2Z, 所以其舒爾乘子階為4而不是1。

在較小的李型群（和交錯群）中存在著不少令人困惑的「偶然」同構。例如 SL(2, 4) ,PSL(2, 5) 和5次交錯群都是同構的。

對於這些異常的完整列表參見有限單群列表。這其中的許多特殊性質與散在單群有關。

交錯群有時表現得像是在一元域上的李型群。一些較小的交錯群也有著額外的性質：一般情況下交錯群的外自同構群的階為2，然而六次交錯群有著交錯群的自同構（交錯群#自同構群）。交錯群的舒爾乘子的階通常為2，但6次和7次交錯群則有6階的舒爾乘子。

## 符號問題

有限李型群沒有一套標準的符號，並且現在的文獻中已經有了一籮筐的符號系統，它們互不相容且容易混淆。

- 單群 PSL(n, q)，與群 PSL(n, Fq) —— 即代數群 PSL(n) 在 Fq 中取值得到的群，通常是不一樣的。問題在於，對於兩個代數群之間的滿射（例如 SL(n) → PSL(n)），其誘導出的，兩個代數群在（非代數閉）域上取值對應得到的群之間的映射，不一定是滿的。這樣的問題也存在於其他在有限域中取值的代數群中。
- An−1 型群有時表示為 PSL(n, q)（射影特殊線性群）或 L(n, q)。
- Cn 型群有時表示為 Sp(2n, q)（辛群），或（極易混淆地）表示為 Sp(n, q)。
- Dn 型群(「正交群」)的符號格外容易混淆。其使用的符號包括 O(n, q) , O−(n, q) , PSO(n, q) 和 Ωn(q)，然而有關的約定實在太多，導致如果沒有明確的說明，就很難準確地指出這些符號到底對應哪個群。而這一切的根源就在於，這種單群即不是正交群 O，也不是射影特殊正交群 PSO（射影特殊正交群），而是 PSO 的子群，因此其沒有經典的符號。一個極其討人厭的陷阱就是，一部分作者，比如ATLAS，不是用O(n, q) 表示正交群，而是用來表示對應的單群。讓·迪厄多內引入了 Ω , PΩ，然而當 n ≤ 4 時他所定義的群並不是單的，所以這些符號也被用於指代另一些稍有不同的群，在 n ≥ 5 時這兩種指代方式是一致的，但在低維時則不然。
- 對於斯坦伯格群，一部分作者使用符號 2An(q2)（以此類推），而另一部分使用 2An(q)。其背後的問題在於，構造這個群的過程用到了兩個域：一個階為 q2 的域，和其階為 q 的穩定子域。關於到底哪一個域應該出現在符號中，不同的人有不同的看法。「2An(q2)」的邏輯性和一致性更強，而「2An(q)」則更常見，也更符合代數群的慣例。
- 還有一點，不同的作者常常有分歧，那就是：諸如 An(q) 這樣的符號是簡單地指向代數群，還是指與其相關的單群。舉個例子，An(q) 既可以指特殊線性群 SL(n+1, q)，也可以指射影特殊線性群 PSL(n+1, q)，因此 2A2(4) 可以指代四個不同的群，這取決於作者。

## 參考條目

- 李群
- 李代數
- 典型群
- 有限單群分類

## 參考文獻

該部分的許多連結對應到的英文條目沒有其對應的漢語條目。

- Leonard E. Dickson reported groups of type G2