香港中學會考附加數學科

香港中學會考附加數學科（HKCEE Additional Mathematics，簡稱附加數，A. Maths）是昔日的香港中學會考中，一門高等數學課程，目的是在提昇學生在中學的普通數學科之外的數學水平。

## 歷史及概述

本科在1967年香港英文中學會考開設，一般會分類在中四及中五的理科的課程中。本科是獨立的選修科目，本科的考生應掌握會考數學科的內容，但報考本科毋須同時報考數學科，本科也不能代替數學科。

1967年本科設兩卷，1968年再增加一卷理論力學。1968年到1980年的考試，設有三卷，每卷2小時。卷一必考，卷二或卷三選考一卷。卷一和卷二為純粹數學，卷三為理論力學。

1974年，中文中學與英文中學會考合併為單一中學會考，因為中文中學該屆未採用本科課程，本科用「課程乙」名義開設，只可用英文應考；而「課程甲」則為原來中文中學會考的高級數學科。1975年起，本科合併完成，首次可以用中文或英文應考，而課程的純粹數學部分，就加入了複數，包括複數模、阿根圖和共軛，並由中文中學會考高級數學科（前名「甲組數學」）加入不等式及解析幾何的內容，包括加入圓錐曲線。

自1981年至2000年會考，設有兩卷，每卷2小時，兩卷都是必考，卷三理論力學課程刪除，而香港高級程度會考應用數學科卷一部分仍保留理論力學，內容較為進階。

1989年《檢討附加數學課程的建議》提出。

1990年，香港課程發展議會的中學數學科科目委員會編訂《附加數學教學註釋》，作為暫時的教學輔助。

1992年本科首次有教學用的課程綱要，香港課程發展議會編制及發佈附加數學科學習領域指引，此前只有考試課程。

自2001年會考至最後一屆2011年香港中學會考，只設一卷，時間2小時30分鐘。

因應2000年的《數學課程全面檢討報告》，本科內容遭刪減，特別是複數單元被完全刪除，2002年中四級開始實行。這意味著學生只能在香港高級程度會考純粹數學科學習到複數。後來的香港中學文憑考試中，即使必修部份有複數，但課程編排僅有複數的四則運算，兩個延伸部份也無補充複數的課程。國際著名數學家丘成桐曾指出，複數是數學的重點課題，批評附加數學科刪除複數，令學生知識水平不足，影響日後升學發展。

在2012年起，本科及香港高級程度會考純粹數學科部分內容整合到香港中學文憑考試數學科延伸部分單元二(M2)，少部份內容新增至必修部份。

## 課程設計及內容

### 附加數學科早期考試課程

試卷一：純數I

- 排列、組合、機率簡單問題。
- 數學歸納法簡單問題。
- 正整指數的二項式定理及其應用於估計（問題不涉及最大項、係數的和及性質）。
- 單變量函數及圖像，直線方程，$dy/dx$的意義和簡單計算，函數$mx+c,kx^n$的形式、圖像和導數。
- 計算函數的和及積與複合函數的微分。
- 應用於微增量、變率、速率、極大及極小值問題（問題不需二階導數）。
- 定積分和其以面積表達，作為微分逆運算的積分。簡單函數的積分（不包括$x^{-1}$的積分和分部積分，變量代換只限$x=at+b$），應用於平面面積和旋轉立體體積和速度－時間問題。
- 弧度法，任意角的三角函數，簡單三角函數的圖像，三角形求解和面積計算（只需正弦和餘弦的公式，及$\frac 1 2 b c \sin A$和$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$海倫公式）。三維的簡單三角問題。可能有數學科課程甲之中任何內容的較難問題。

試卷二：純數II

- 指數、對數、根式。餘式定理。
- 算術和幾何級數。
- 不多於3個未知數的聯立線性方程組。2個未知數的聯立方程組，其中一條是線性方程。
- 二次方程和函數的基本性質。
- 簡單代數和三角函數的圖像和導數（包括函數的和、積、商，複合函數、隱函數，但不包括反三角函數）。
- 積分的簡單變量代換（不包括分部積分）。
- 基本二維直角坐標幾何，例如長度、角度、三角形面積。
- 直線方程，一點至一直線的垂直距離。簡單軌跡題。圓的方程。簡單曲線描繪。曲線的切線方程。
- $\sin(A\pm B),\cos(A\pm B),\tan(A\pm B)$公式，其應用於多倍角問題和簡單恆等式。簡單三角方程的一般解。

試卷三：理論力學

- 作用在一個質點上的共面力的平衡力及合力。力三角形和力平行四邊形。力多邊形簡單例子。用力的分解和合成求解。拉密定理。
- 力矩，反作用力，平行力，力偶，重心。傾倒。受共面力作用的一個剛體的平衡。
- 滑輪，輪軸及差動軸，差動滑輪。
- 摩擦。斜面。
- 速度，加速度。合速度及相對速度，用向量和計算求解。等加速度的直線運動的方程及圖像解。水平面上的拋體運動。
- 牛頓運動定律，重力單位制及絕對單位制。功，能量，功率。能量守恆。相連的質點的運動。勻速圓周運動，包括向心加速度和離心力。錐擺，簡單調速器。滾動。轉矩，旋轉中所做的功。
- 衝量。動量守恆。非彈性體的碰撞。

### 1974年附加數學科課程甲（原中文中學會考高級數學科）

試卷一：大代數及三角（二小時）

- 大代數
- 分式及分式方程。
- 二次方程式之根，根之和與根之積，二次方程式之圖解，高次方程式而可用二次方程式解者。
- 聯立方程式：一爲一次，一爲二次之聯立方程式，二元二次聯立方程式，三元一次聯立方程式，文字聯立方程式。
- 指數定律，分指數，零指數及負指數。
- 根式，根式之應用，有理化因式，二項根式之根，無理方程式。
- 對數原理，底之變換，指數方程式。
- 比及比例，變數。
- 常數及變數，函數關係，函數，函數表示法。
- 多項式。
- 餘式定理。
- 恆等式，待定係數法。
- 部份分式。
- 絕對對稱及輪換對稱函數及其因子分解。
- 順序。級數，等差級數，等比級數，調和級數，幾何級數之收歛。
- 排列與組合，或然率。
- 正整指數之二項定理。
- 無窮級數之總和，遞差法。
- $\sum n, \sum n^2, \sum n^3$
- 數學歸納法原理及應用。
- 不等式，正數之等差中項及等比中項之比較，含絕對之簡單不等式。
- 二次式，二次式之符號，正或負之有限二次式。
- 分指數或負指數之二項定理應用（無需證明）。

- 三角
- 正弦及餘弦。
- 直角三角形解法及簡單應用題。
- 三角函數表用法。
- 簡易應用題可用直角三角形及對數解者。
- 三角函數之關係，簡單恆等式。
- 倒數比。
- 弧度；弧長；扇形面積。
- $\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin \theta}{\theta}$之極限。
- 恆等式。
- 任意角，正或負。
- 簡易方程式（由0°-180°）。
- 簡單三角函數之圖解。
- 三角形正弦定律及餘弦定律。
- 三角形面積公式$\frac 1 2 bc \sin A$，$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$（後者無需證明）。
- 三角形外接圓，內切圓及旁切圓之半徑公式。
- 三角形邊與角之關係。
- 任意三角形解法。
- 複角公式，倍角及半角公式。
- 和與積公式。
- 高及距離，包括立體之簡易習題。
- 三角方程式解法（由0°-360°）。
- 18°，36°，54°，72°之三角函數（可用複角及根式）
- 恆等式及簡單消去法。

試卷二：幾何及解析幾何（二小時）

- 幾何
- 圓之對稱性質。
- 三角形之外接圓。
- 圓心角及圓周角。
- 共圓點之檢驗。
- 三角形外接圓半徑。
- 等弧及等弦。
- 弧長，扇形面積。
- 切線性質。
- 弦切角。
- 圓之相切。
- 切線作法。
- 設充分已知條件作圓。
- 正多邊形。
- 三角形之性質。
- 軌跡。
- 恆等式之幾何解釋。
- 投影及坐標。
- 餘弦定律。
- 畢氏(Pythagoras)定理之推廣。
- 阿氏(Apollonius)定理。
- 比及比例，比例線段。
- 三角形兩邊成比例線定理及其逆定理。
- 分角線定理及其逆定理。
- 比及比例之作圖。
- 相似三角形定理。
- 比例中項定理及作圖。
- 相交弦定理及其逆定理。
- 切線性質定理及其逆定理。
- 有關相交弦定理之作圖。
- 相似形面積。
- 相似多邊形作圖。
- 西氏(Ceva)定理及其逆定理。
- 孟氏(Menelaus)定理及其逆定理。
- 西氏定理及孟氏定理之三角式。
- 西摩松線(Simson's Line)。
- 九點圓。
- 位似多邊形，內外位似中心。

- 解析幾何
- 卡氏正坐標。
- 兩點間之距離。
- 分點坐標。
- 三角形面積。
- 直線之方程式。
- 直線方程式之特殊式，求直線方程式滿足已知條件。
- 兩線交角，平行及垂直。
- 已知圓心及半徑，求圓之方程式。
- 圓之普通方程式，求圓之方程式滿足已知條件，如已知直徑兩端點及一圓過三點等。
- 過圓上一點所作之切線。
- 拋物線，橢圓及雙曲線軌跡。
- 方程式$y^2=4ax$
- 過拋物線上一點所作之切線及法線，次切線及次法線。

### 1975年課程合併後的附加數學科

卷一：純敷

- 六三角函數及其圖像，任意角之函數，正弦定律及餘弦定律，$\sin(A\pm B)$，$\cos(A\pm B)$，$\tan(A\pm B)$之公式（此等公式不須證明）及其於倍角及半角之應用，平面及空間之應用題，簡易三角方程之通解。
- 基本原理微分法，多項式及三角函數之微分（反三角函數之微分除外）。
- $af(x)+bg(x)$之微分，二重導數。微分之應用：微增量，切綫方程，變速，極大與極小等問題及簡易曲綫之繪畫。
- 不定積分作爲微分之倒演算法。
- 平面之直角坐標系，兩點距離，分綫段爲定比之點，直綫方程，直綫斜率。
- 二直綫之交角，點與綫之距離，二直綫之交點，直綫系，三角形之面積。
- 單變元之一次及二次不等式$|ax+b|\le c$及$|ax^2+bx+c|\le d$二不等式及其代數解法與實線上之圖解法。
- 二次方程，判別式，複根。複數之算術運算，阿根圖，共軛，模數。

卷二：純數

- 正整指數之二項式定理及其在計算簡易近似值及增長率等應用。（求最大項，系數和，及系數性質等問題不包括在內。）
- 複數：極式及弟美弗定理。
- 積及商之微分，複函數及隱函數之微分。
- 簡易函數之積分（$\frac 1 x$除外）。簡易代入法積分，定積分作爲和之極限，定積分之性質。計算面積及體積之應用。（註：分部積分不包括在內）
- 圓之方程，圓心坐標，半徑長、直線與圓之交點。
- 拋物線橢圓及雙曲綫標準式之認識。簡易軌跡問題。

卷三：力學

- 純量與向量，向量之合成與分解，向量問題之解法：圖解法及計算法。
- 同平面力施於一質點時之平衡力與合力。平行四邊形及三角形定律。拉密定理(Lami's theorem)，簡易多邊形定律問題。
- 力矩，平行力，力偶，重心。剛體在數同平面力下之平衡。
- 摩擦系數及摩擦角；斜面。
- 速度、加速度、合速度和相對速度，直綫等加速運動方程，包括其圖解法。簡易拋物體問題。
- 牛頓運動定律。質量與重量、功能及功率。能量不滅定律，連系質點運動。
- 簡單機械，包括滑輪組，輪軸，差動滑輪，機械利益，速度比，機械效率。
- 衝量，綫動量不滅定律，非彈性物體之撞擊。

### 附加數學科課程綱要（1992年頒布）

單元｜內容

單元1：數學歸納法原理｜數學歸納法的概念，步驟，應用

單元2：正整指數的二項式定理｜$n!$及$C^n_r$的符號，帕斯卡三角形，利用帕斯卡三角形展開二項式，正整指數的二項式定理

單元3：二次方程及二次函數｜二次方程的解法，根的性質，二次函數

單元4：三角學｜弧度法，任意角的六個三角函數及其圖形，複角，補助角的形式，三角方程的通解，三角形的解法，二維及三維空間問題

單元5：極限和微分｜極限，導數，微分法（第一原理，簡單代數函數和微分法的法則，複合函數和隱函數的微分，三角函數的微分，高階導數），微分的應用（曲線的斜率、切線及法線，極大及極小、簡易曲線的描繪，變率，微增量）

單元6：不等式｜不等式的基本法則，一元一次不等式，一元二次不等式，形式如$\frac{ax+b}{cx+d} \ge k$的不等式，絕對值，含絕對值的不等式，絕對不等式。

單元7：解析幾何｜平面直角坐標及兩點間的距離，直線圖形的面積，直線的傾角及斜率，兩直線的交角，直線的方程，法線式，直線族，軌跡的概念，圓的方程，圓與直線的交點，圓的切線方程，圓族，標準位置上的拋物線、橢圓及雙曲線，簡易的參數方程及軌跡問題

單元8：二維空間的向量｜純量及向量、向量相等、零向量及單位向量，向量的和及差、純量與向量相乘，向量在直角坐標系的表示法，兩向量的純量積，向量的應用、線段分點、平行及垂直

單元9：積分法｜不定積分，函數的積分法及簡易應用，積分法基本技巧，定積分，其計算及應用

單元10：複數｜複數的標準式，複數的加、減、乘及除法運算，複數的極形式，複數在極形式的乘法及除法，簡單軌跡與複數，棣美弗定理，1的n次方根

### 2002年課程更動

單元｜更動

單元1：數學歸納法原理｜刪去證明簡易不等式的應用。

單元3：二次方程及二次函數｜判別二次方程的根是實數或複數，改為判別是實數或非實數。

單元4：三角學｜刪去三倍角及半角公式。

單元5：極限和微分｜刪去三階或以上的高階導數。刪去用微增量求函數近似值和估計誤差。

單元6：不等式｜刪去解$\frac{ax+b}{cx+d} \ge k$形式的不等式，含絕對值的一次及二次不等式，及證明簡單的絕對不等式。

單元7：解析幾何｜刪去標準位置上的拋物線、橢圓及雙曲線的方程。

單元9：積分法｜刪去用代換法求積分，改為記憶$(ax+b)^n$．$\sin (ax+b)$，$\cos (ax+b)$積分公式。求旋轉體體積只限於繞x軸或y軸旋轉，刪去繞平行於坐標軸直線的旋轉體，及刪去用圓柱外殼法求旋轉體體積。

單元10：複數｜完全刪去。

## 考核形式

自1981年至2000年，此科設兩卷，卷一上午8:30—上午10:30，卷二上午11:15—下午1:15。每卷都分為兩部，甲部短題目，都是必答題，乙部長題目，設五題，選三題作答。1983年以前，甲部佔40分，乙部佔60分，每題20分；自1984年至1988年，甲部佔39分，乙部佔60分，每題20分；1989年至2000年，甲部佔42分，乙部佔48分，每題16分。

自2001年至2011年，此科設一卷，上午8:30—上午11:00，分為兩部，甲部短題目，佔62分，都是必答題，乙部長題目，佔48分，設六題，選四題作答，每題12分。

### 統計數字

年份｜數學科｜附加數學科（與數學科人數百分比）

1996｜61968｜17311 (27.94%)

1997｜62638｜17584 (28.07%)

1998｜65568｜18454 (28.14%)

1999｜66210｜18374 (27.75%)

2000｜66476｜18531 (27.88%)

2001｜65090｜18145 (27.88%)

2002｜64021｜17689 (27.63%)

2003｜62425｜17088 (27.37%)

2004｜63137｜17568 (27.83%)

2005｜68226｜18394 (26.96%)

2006｜67814｜18367 (27.08%)

2007｜68406｜18184 (26.58%)

2008｜69396｜18053 (26.01%)

2009｜71129｜18090 (25.43%)

2010｜72692｜18091 (24.89%)

## 外部連結

- Syllabuses for Secondary Schools - Mathematics (Secondary 1-5) (1999)
- Mathematics Education Key Learning Area Additional Mathematics Curriculum Guide (S4-S5)
- 數學教育學習領域 附加數學課程指引（中四至中五）
- 附加數學課程指引(中四至中五)
- 香港考試及評核局 附加數學
- HKEAA Additional Mathematics
- 香港公共圖書館數碼館藏: 香港會考及高考試題特藏 香港中學會考 Additional Mathematics 附加數學1974-2011