對偶系統

數學中，域$\mathbb{K}$上的對偶系統或對偶對是指三元組$(X, Y, b)$，包含$\mathbb{K}$上的2個向量空間X、Y，以及非退化雙線性映射$b : X \times Y \to \mathbb{K}$。

對偶理論是對對偶系統的研究，在泛函分析中占有重要地位，並通過希爾伯特空間廣泛應用於量子力學中。

## 定義、記號與慣例

### 配對

域$\mathbb{K}$上的配對（pairing或pair）是一個三元組$(X, Y, b)$，也可以用$b(X, Y)$表示，包含$\mathbb{K}$上的兩個向量空間X、Y及雙線性映射$b : X \times Y \to \mathbb{K}$，稱作與配對關聯的雙線性映射，或配對的映射，或其雙線性形式。簡單起見，本文只涉及$\mathbb{K}$是實數$\R$或複數$\Complex$的例子。

$\forall x \subseteq X$，定義$$\begin{alignat}{4} b(x, \,\cdot\,) : \,& Y && \to &&\, \mathbb{K} \\ <pre> & y && \mapsto &&\, b(x, y) </pre> \end{alignat}$$ $\forall y \subseteq Y$，定義$$\begin{alignat}{4} b(\,\cdot\,, y) : \,& X && \to &&\, \mathbb{K} \\ <pre> & x && \mapsto &&\, b(x, y). </pre> \end{alignat}$$ $\forall b(x, \,\cdot\,)$是Y上的線性泛函，$\forall b(\,\cdot\,, y)$是X上的線性泛函。令$$b(X, \,\cdot\,) := \{ b(x, \,\cdot\,) : x \in X \} \qquad \text{ and } \qquad b(\,\cdot\,, Y) := \{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \}$$ 其中每個集合構成一個線性泛函的向量空間。

通常記$\langle x, y \rangle$而非$b(x, y)$，這樣配對不必寫成$(X, Y, \langle \cdot, \cdot \rangle)$，而可以寫成$\left\langle X, Y \right\rangle$。不過，本文將用$\langle \cdot, \cdot \rangle$表示求值映射（定義見下），以避免混淆。

### 對偶對

若雙線性形式b是非退化的，則稱配對$(X, Y, b)$是$\mathbb{K}$上的對偶系統或對偶對，滿足下面兩條分離公理：

- Y分離（區分）X的點：若$x \in X$使得$b(x, \,\cdot\,) = 0$，則$x = 0$；等價地，對所有非零的$x \in X$，映射$b(x, \,\cdot\,) : Y \to \mathbb{K}$不等同於$0$（即$\exists y \in Y$使得$\forall x \in X,\ b(x, y) \neq 0$）。
- X分離（區分）Y的點：若$y \in Y$使得$b(\,\cdot\,, y) = 0$，則$y = 0$；等價地，對所有非零的$y \in Y$，映射$b(\,\cdot\,, y) : X \to \mathbb{K}$不等同於$0$（即$\exists x \in X$使得$\forall y \in Y,\ b(x, y) \neq 0$）。

這樣b是非退化的，可以說b將X、Y置於（分離）對偶中（places in (separated) duality），b是三元組$(X, Y, b)$的對偶配對（duality pairing）。

### 全子集

若$\forall x \in X$, $$b(x, s) = 0 \quad \forall s \in S$$能推出$x = 0$，則稱$S\in Y$為全集。

X的全子集定義相似（見腳註）。

$S\in X$

$\forall y \in Y$

$$b(s, y) = 0 \quad \forall s \in S$$

$y = 0$

因此，若且唯若X是X的全子集，X分離Y中所有點，對Y亦然。

### 正交性

若$b(x, y) = 0$，稱向量x、y正交，記作$x \perp y$。若$b(R, S) = \{ 0 \}$，稱兩子集$R \subseteq X$、$S \subseteq Y$正交，記作$R \perp S$；即$\forall r \in R$、$s \in S$，$b(r, s) = 0$。子集正交於向量的定義與之類似。

子集$R \subseteq X$的正交補或零化子是$$R^{\perp} := \{ y \in Y : R \perp y \} := \{ y \in Y : b(R, y) = \{ 0 \} \}$$.

於是，若且唯若$R^\perp=\{0\}$，R是X的全子集。

### 極集

給定在$\mathbb{K}$上定義了對偶對的三元組$(X, Y, b)$，子集$A\subseteq X$的絕對極集或極集是集合$$A^{\circ} := \left\{ y \in Y : \sup_{x \in A} |b(x, y)| \leq 1 \right\}.$$對稱地，子集$B\subseteq Y$的絕對極集或極集記作$B^{\circ}$，定義為$$B^{\circ} := \left\{ x \in X : \sup_{y \in B} |b(x, y)| \leq 1 \right\}.$$

為了使用有助於跟蹤對偶性兩側不對稱的標記，子集$B\subseteq B$的絕對極也可以稱為B的絕對預極（absolute prepolar）或預極（prepolar），可表為${}^{\circ} B$。

極$B^{\circ}$必然是凸集，包含$0 \in Y$，若B平衡，則$B^{\circ}$也平衡；若B是X的向量子空間，則$B^{\circ}$是Y的向量子空間。

若A是X的向量子空間，則$A^{\circ} = A^{\perp}$，還等於A的實極。若$A \subseteq X$，則A的雙極（bipolar，記作$A^{\circ\circ}$）是A正交補的極，即集${}^{\circ}\left(A^{\perp}\right)$。相似地，若$B \subseteq Y$，則B的雙極是$B^{\circ\circ} := \left({}^{\circ}B\right)^{\circ}$。

### 對偶的定義與結果

給定對$(X, Y, b)$，定義新對$(Y, X, d)$，其中$\forall x \in X,\ \forall y \in Y,\ d(y, x) := b(x, y)$。

對偶理論有個一貫的主題：任何對$(X, Y, b)$都有相應的對偶對$(Y, X, d)$。

約定與定義：給定配對$(X, Y, b)$的任何定義，將其應用於配對$(Y, X, d)$，就能得到對偶定義。這約定也適用於定理。

例如，若X分離Y的點（或者說S是Y的全子集）定義如上，則此約定立即產生了對偶定義：Y分離X的點（或者說S是X的全子集）。

下面的寫法幾乎無處不在，可讓我們不用為d指定符號。

約定與記號：若配對$(X, Y, b)$的定義及其記號取決於X和Y的順序（例如，X上的麥奇拓撲$\tau(X, Y, b)$），那麼交換X、Y順序就意味著定義適用於$(Y, X, d)$（接上例，拓撲$\tau(Y, X, b)$實際上是拓撲$\tau(Y, X, d)$）。

再比如，一旦定義了X上的弱拓撲$\sigma(X, Y, b)$，則此對偶定義就會自動應用到配對$(Y, X, d)$，從而得到Y上弱拓撲的定義——$\sigma(Y, X, b)$而非$\sigma(Y, X, d)$。

#### $(X, Y)$及$(Y, X)$的識別

雖然從技術上將這是不正確的，也是對符號的濫用，但本文將遵守幾乎普遍的管理，及將配對$(X, Y, b)$與$(Y, X, d)$互換處理，並用$(Y, X, b)$表示$(Y, X, d)$。

## 例子

### 配對的限制

設$(X, Y, b)$是配對，M是X的向量子空間，N是Y的向量子空間。則，$(X, Y, b)$對$M \times N$的限制就是配對$\left(M, N, b\big\vert_{M \times N}\right)$。若$(X, Y, b)$是對偶，則限制就有可能不對偶（如，若$Y \neq \{ 0 \}$、$N = \{ 0 \}$）。

本文將使用通常做法，用$(M, N, b)$表示限制$\left(M, N, b\big\vert_{M \times N}\right)$。

### 向量空間上的規範對偶

設X是向量空間，令$X^{\#}$表示X的代數對偶空間（即，X上所有線性泛函的空間）。則有規範對偶$\left(X, X^{\#}, c\right)$，其中$c\left(x, x^{\prime}\right) = \left\langle x, x^{\prime} \right\rangle = x^{\prime}(x)$，稱之為$X \times X^{\#}$上的求值映射或自然/規範雙線性泛函。

注意$\forall x^{\prime} \in X^{\#}$，$c\left(\,\cdot\,, x^{\prime}\right)$只是表示$x^{\prime}$的另一種方式，即$c\left(\,\cdot\,, x^{\prime}\right) = x^{\prime}(\,\cdot\,) = x^{\prime}.$

若N是$X^{\#}$的一個向量子空間，則$\left(X, X^{\#}, c\right)$對$X \times N$的限制稱作規範配對。若此配對是對偶，則稱為規範對偶。顯然X總是分離N的點，因此若且唯若N分離X中的點，規範配對是對偶系統。

下列記號現在在對偶理論中幾乎無處不在。

求值映射記作$\left\langle x, x^{\prime} \right\rangle = x^{\prime}(x)$（而非c），將$(X, N, c)$改為$\langle X, N \rangle$。

假設：按慣例，若X是向量空間，N是X上線性泛函的向量空間，則除非另有說明，否則將假定它們同規範配對$\langle X, N \rangle$相關聯。

若N是$X^{\#}$的向量子空間，則若且唯若N分離X的點（或等價地，N是全的，$\forall n \in N,\ n(x) = 0$能推出$x = 0$），X分離N的點（或等價地，$(X, N, c)$是對偶）。

### 拓撲向量空間上的規範對偶

設X是拓撲向量空間，有連續對偶空間$X^{\prime}$。

則，規範對偶$\left(X, X^{\#}, c\right)$對$X\times X^{\prime}$的限制確定了配對$\left(X, X^{\prime}, c\big\vert_{X \times X^{\prime}}\right)$，其中X分離$X^{\prime}$的點。

若$X^{\prime}$分離X的點（例如，若X是豪斯多夫局部凸空間，則恆為真），則此配對形成了對偶。

假設：正如通常所作，只要X是拓撲向量空間，則除非另有說明，否則將假定其與規範配對$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$相關聯，無需注釋。

### 拓撲向量空間的極與對偶

下列結果表明，拓撲向量空間上的連續線性泛函恰是在原點鄰域上有界的線性泛函。

令X是拓撲向量空間，有代數對偶$X^{\#}$，並令$\mathcal{N}$為X在原點鄰域的基。

在規範對偶$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$下，X是連續對偶空間是所有$N^{\circ}$的並，因為N的範圍是$\mathcal{N}$（其中極位於$X^{\#}$）。

### 內積空間與復共軛空間

預希爾伯特空間$(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$，若且唯若H是$\R$上的向量空間，或H是0維，$(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$是對偶對。這裡假定半雙線性形式$\langle \cdot, \cdot \rangle$在第二坐標上是共軛齊次的，在第一坐標上是齊次的。

- 若$(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$是實希爾伯特空間，則$(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$形成對偶系統。
- 若$(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$是復希爾伯特空間，則若且唯若$\operatorname{dim} H = 0$，$(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$形成對偶系統。若H非平凡，則$(H, H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$甚至不是配對，因為內積是半雙線性的，而非雙線性的。

設$(H, \langle \cdot, \cdot \rangle)$是復預希爾伯特空間，標量乘法用並列或$\cdot$表示。

定義映射$$\,\cdot\, \perp \,\cdot\, : \Complex \times H \to H \quad \text{ by } \quad c \perp x := \overline{c} x,$$ 其中右式使用了H的標量乘法。令$\overline{H}$表示H的復共軛向量空間，其中$\overline{H}$表示加群$(H, +)$（所以$\overline{H}$中的向量加法與H中的相同），但$\overline{H}$中的標量乘法是映射$\,\cdot\, \perp \,\cdot\,$（而非H被賦予的標量乘法）。

映射$b : H \times \overline{H} \to \Complex$定義為$b(x, y) := \langle x, y \rangle$，在兩個坐標中都是線性的

$b(x, c \perp y) = b\left(x, \overline{c} y\right) = \langle x, \overline{c} y \rangle = c \langle x, y \rangle = c b(x, y)$

因此$\left(H, \overline{H}, \langle \cdot, \cdot \rangle\right)$形成對偶對。

### 其他例子

- 設$X = \R^2,\ Y = \R^3,\ \forall\left(x_1, y_1\right) \in X \text{ and } \left(x_2, y_2, z_2\right) \in Y,$令$$b\left(\left(x_1, y_1\right), \left(x_2, y_2, z_2\right)\right) := x_1 x_2 + y_1 y_2.$$則$(X, Y, b)$是配對，使X區分Y的點，但Y不區分X的點。此外，$X^{\perp} := \{y \in Y : X \perp y\} = \{(0, 0, z) : z \in \R\}.$
- 令$0 < p < \infty,\ X := L^p(\mu),\ Y := L^q(\mu)$（其中q滿足$\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1$），$b(f, g) := \int f g \, \mathrm{d}\mu.$則$(X, Y, b)$是對偶系統。
- 令X、Y是同一域$\mathbb{K}$上的向量空間，則雙線性形式$b\left(x \otimes y, x^* \otimes y^*\right) = \left\langle x^{\prime}, x \right\rangle \left\langle y^{\prime}, y \right\rangle$使$X \times Y$與$X^{\#} \times Y^{\#}$對偶。
- 序列空間X及其Beta-對偶空間$Y := X^{\beta}$，雙線性映射定義為$\forall x \in X,\ y \in X^{\beta},\ \langle x, y \rangle := \sum_{i=1}^{\infty} x_i y_i$形成對偶系統。

## 弱拓撲

設$(X, Y, b)$是$\mathbb{K}$上一對向量空間。若$S \subseteq Y$，則X上由S（和b）誘導的弱拓撲是X上最弱的拓撲向量空間拓撲，記作$\sigma(X, S, b)$或$\sigma(X, S)$，使y在S上取值時所有映射$b(\,\cdot\,, y) : X \to \mathbb{K}$連續。若S在語境中不明確，則應假定是Y的全部，這時稱之為X上（由Y誘導的）的弱拓撲。

$X_{\sigma(X, S, b)},\ X_{\sigma(X, S)},$或（若無混淆）$X_{\sigma}$用於表示賦有弱拓撲$\sigma(X, S, b)$的X。

重要的是，弱拓撲完全取決於函數b、$\Complex$上的通常拓撲與X上的向量空間結構，而與Y的代數結構無關。

同樣，若$R \subseteq X$，則Y上由R（和b）誘導的弱拓撲的對偶定義記作$\sigma(Y, R, b)$或$\sigma(Y, R)$（細節見腳註）。

$b(x, \,\cdot\,) : Y \to \mathbb{K}$

$(Y, \sigma(Y, R, b)),\ (Y, \sigma(Y, R)),$

$(Y, \sigma)$

$\sigma(Y, R, b)$

定義與符號：若$\sigma(X, Y, b)$附在一個拓撲定義上（如$\sigma(X, Y, b)$-收斂、$\sigma(X, Y, b)$-有界、$\operatorname{cl}_{\sigma(X, Y, b)}(S)$等等），則就意味著當定義的第一個空間（即X）攜帶$\sigma(X, Y, b)$拓撲。若無混淆，可以不提及b甚至X、Y。例如，若Y中序列$\left(a_i\right)_{i=1}^{\infty}$「$\sigma$-收斂」或「弱收斂」，這意味著它收斂於$(Y, \sigma(Y, X, b))$，而若它是X中的序列，則意味著它收斂於$(X, \sigma(X, Y, b))$）。

拓撲$\sigma(X, Y, b)$是局部凸的，因為它由$p_y(x) := |b(x, y)|$定義的半範數族$p_y : X \to \R$確定，其中y在Y上取值。

若$x \in X,\ \left(x_i\right)_{i \in I}$是X中的網，則若$\left(x_i\right)_{i \in I}$在$(X, \sigma(X, Y, b))$中收斂到x，$\left(x_i\right)_{i \in I}$ $\sigma(X, Y, b)$-收斂於x。網$\left(x_i\right)_{i \in I}$，若且唯若$\forall y \in Y,\ b\left(x_i, y\right)$收斂到$b(x, y)$，$\sigma(X, Y, b)$-收斂到x。

若$\left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}$是希爾伯特空間中的正交規範向量列，則$\left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}$弱收斂到0，但不會規範收斂（norm-convergence）到0（或任意向量）。

若$(X, Y, b)$是配對，N是Y的一個適當的向量子空間，使得$(X, N, b)$是對偶對，則$\sigma(X, N, b)$比$\sigma(X, Y, b)$嚴格粗。

### 有界子集

子集$S\subseteq X$，若且唯若$$\sup_{} |b(S, y)| < \infty \quad \text{ for all } y \in Y,$$，其中$|b(S, y)| := \{ b(s, y) : s \in S \}$，稱S$\sigma(X, Y, b)$-有界。

### 豪斯多夫性

若$(X, Y, b)$是配對，則下列條件等價：

- X分離Y的點。
- 映射$y \mapsto b(\,\cdot\,, y)$定義了Y到X的代數對偶空間的單射。
- $\sigma(Y, X, b)$是豪斯多夫空間。

### 弱表示定理

下列定理對對偶理論至關重要，因為它完全表徵了$(X, \sigma(X, Y, b))$的連續對偶空間。

令$(X, Y, b)$是域$\mathbb{K}$上的配對，則$(X, \sigma(X, Y, b))$的連續對偶空間是$$b(\,\cdot\,, Y) := \{b(\,\cdot\,, y) : y \in Y\}.$$另外。

- 若f是$(X, \sigma(X, Y, b))$上的連續線性泛函，則$\exists y \in Y$使$f = b(\,\cdot\,, y)$；若這樣的y存在，則若且唯若X分離Y的點時，這樣的y是唯一的。
- 注意，X是否分離Y中的點並不取決於y的特定選擇。
- $(X, \sigma(X, Y, b))$的連續對偶空間可以視作商空間$Y / X^{\perp}$，其中$X^{\perp} := \{y \in Y : b(x, y) = 0 \ \ \forall x \in X\}$。
- 無論X是否分離Y的點，或Y是否分離X中的點，這都是正確的。

因此，$(X, \sigma(X, Y, b))$的連續對偶空間是$$(X, \sigma(X, Y, b))^{\prime} = b(\,\cdot\,, Y) := \left\{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \right\}.$$

關於規範配對，若X是拓撲向量空間，其連續對偶空間$X^{\prime}$分離X的點（即使$\left(X, \sigma\left(X, X^{\prime}\right)\right)$豪斯多夫，這可推出X也必豪斯多夫），則$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$的連續對偶空間等於x在X中取值時所有「點x處得值」的映射集合（即將$x^{\prime} \in X^{\prime}$送到$x^{\prime}(x)$的映射）。

通常寫成$$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)^{\prime} = X \qquad \text{ or } \qquad \left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime} = X.$$ 這一重要事實就是為什麼連續對偶空間上極拓撲的成果（如$X^{\prime}$上的強對偶拓撲$\beta\left(X^{\prime}, X\right)$）能應用到原拓撲向量空間X的。例如，將X視作$\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}$意味著$\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}$上的拓撲$\beta\left(\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\sigma}\right)$可被視作X上的拓撲。

此外，若$X^{\prime}$被賦予比$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$更細的拓撲，那麼$X^{\prime}$的連續對偶空間必然包含$\left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime}$（作為子集）。

例如，$X^{\prime}$被賦予強對偶拓撲（於是記作$X^{\prime}_{\beta}$），則$$\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime} ~\supseteq~ \left(X^{\prime}_{\sigma}\right)^{\prime} ~=~ X$$

這允許X被賦予由強對偶拓撲$\beta\left(\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\beta}\right)$在X上誘導的子空間拓撲（此拓撲也稱作強雙對偶拓撲，見於自反空間理論：豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X，若$\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime} = X$則稱其是半自反空間，若在此之外，其在X上的強雙對偶拓撲$\beta\left(\left(X^{\prime}_{\beta}\right)^{\prime}, X^{\prime}_{\beta}\right)$還等於X的原/初拓撲，則稱其是自反空間。

### 正交、商與子空間

若$(X, Y, b)$是配對，則對X的任意子集S：

- $S^{\perp} = (\operatorname{span} S)^{\perp} = \left(\operatorname{cl}_{\sigma(Y, X, b)} \operatorname{span} S\right)^{\perp} = S^{\perp\perp\perp}$，且此集合是$\sigma(Y, X, b)$-閉的。
- $S \subseteq S^{\perp\perp} = \left(\operatorname{cl}_{\sigma(X, Y, b)} \operatorname{span} S\right)$。
- 因此，若S是X的$\sigma(X, Y, b)$-閉向量子空間，則$S \subseteq S^{\perp\perp}.$
- 若$\left(S_i\right)_{i \in I}$是X的$\sigma(X, Y, b)$-閉向量子空間族，則

$$\left(\bigcap_{i \in I} S_i\right)^{\perp} = \operatorname{cl}_{\sigma(Y, X, b)} \left(\operatorname{span} \left(\bigcup_{i \in I} S_i^{\perp}\right)\right).$$

- 若$\left(S_i\right)_{i \in I}$是X的子集族，則

$$\left(\bigcup_{i \in I} S_i\right)^{\perp} = \bigcap_{i \in I} S_i^{\perp}.$$

若X是賦范空間，則根據規範對偶性，$S^{\perp}$在$X^{\prime}$中對范是封閉的，$S^{\perp\perp}$在X中對范是封閉的。

### 子空間

設M是X的向量子空間，並令$(M, Y, b)$表示$(X, Y, b)$對$M \times Y$的限制。

M上的弱拓撲$\sigma(M, Y, b)$與M從$(X, \sigma(X, Y, b))$繼承的子空間拓撲相同。

另外，$\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)$是配對空間（paired space）（其中$Y / M^{\perp}$是$Y / \left(M^{\perp}\right)$），其中$b\big\vert_M : M \times Y / M^{\perp} \to \mathbb{K}$定義為$$\left(m, y + M^{\perp}\right) \mapsto b(m, y).$$

拓撲$\sigma\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)$等於M繼承自$(X, \sigma(X, Y, b))$的子空間拓撲。

此外，若$(X, \sigma(X, Y, b))$是對偶系統，則$\left(M, Y / M^{\perp}, b\big\vert_M\right)$也是。

### 商

設M是X的向量子空間，則$\left(X / M, M^{\perp}, b / M\right)$是配對空間，其中$b / M : X / M \times M^{\perp} \to \mathbb{K}$定義為$$(x + M, y) \mapsto b(x, y).$$

拓撲$\sigma\left(X / M, M^{\perp}\right)$等同於$(X, \sigma(X, Y, b))$在$X / M$上誘導的一般的商拓撲。

### 極與弱拓撲

弱X是局部凸空間，且若H是連續對偶空間$X^{\prime}$的子集，則若且唯若對X中某桶B，有$H \subseteq B^{\circ}$時，H是$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$-有界的。

下列結果對定義極拓撲非常重要。

若$(X, Y, b)$是配對，$A \subseteq X,$則

- A的極$A^{\circ}$是$(Y, \sigma(Y, X, b))$的閉子集。
- 下列集合的極相同：(a) A；(b) A的凸殼；(c) A的平衡殼；(d) A的$\sigma(X, Y, b)$-閉合；(e) A的凸平衡殼的$\sigma(X, Y, b)$-閉合。
- 雙極定理：A的雙極$A^{\circ\circ}$等於A的凸平衡殼的$\sigma(X, Y, b)$-閉合。
- 雙極定理「是處理對偶性時不可或缺的工具」。
- 若且唯若$A^{\circ}$吸收於Y時，A是$\sigma(X, Y, b)$-有界的。
- 若Y還分離X的點，則若且唯若A是$\sigma(X, Y, b)$-全有界時，A是$\sigma(X, Y, b)$-有界的。

若$(X, Y, b)$是配對，$\tau$是X上與對偶一致的局部凸拓撲，則若且唯若B是Y的某$\sigma(Y, X, b)$-有界子集的極時，$B\subseteq X$是$(X, \tau)$中的桶。

## 轉置

### 線性映射關於配對的轉置

令$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$是$\mathbb{K}$上的配對，並令$F : X \to W$是線性映射。

$\forall z \in Z,$令$c(F(\,\cdot\,), z) : X \to \mathbb{K}$是由$x \mapsto c(F(x), z)$定義的映射。

若滿足以下條件，就可以說F的轉置或伴隨是良定的（well-defined）：

- X分離Y中的點（或等價地，從Y抵達代數對偶$X^{\#}$的映射$y \mapsto b(\,\cdot\,, y)$是單射），且
- $c(F(\,\cdot\,), Z) \subseteq b(\,\cdot\,, Y),$其中$c(F(\,\cdot\,), Z) := \{ c(F(\,\cdot\,), z) : z \in Z \},\ b(\,\cdot\,, Y) := \{ b(\,\cdot\,, y) : y \in Y \}.$

這樣，$\forall z \in Z$存在（由條件2）唯一的（由條件1）$y \in Y$，使$c(F(\,\cdot\,), z) = b(\,\cdot\,, y)$，其中Y的這個元素將表為${}^t F(z)$。這定義了線性映射$${}^t F : Z \to Y$$

稱作F的轉置或關於$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$的伴隨（注意不要與厄米伴隨混淆）。不難看出，上述兩個條件（即「轉置良定義」）也是${}^t F$良定的必要條件。

$\forall z \in Z$，${}^t F(z)$的定義條件是$$c(F(\,\cdot\,), z) = b\left(\,\cdot\,, {}^t F(z)\right),$$ 即。

$$\forall x \in X,\ c(F(x), z) = b\left(x, {}^t F(z)\right).$$

根據本文開頭提到的約定，這也定義了形式為$Z \to Y,$

$G : Z \to Y$

$b(X, G(\,\cdot\,)) \subseteq c(W, \,\cdot\,)$

${}^t G : X \to W$

$\forall x \in X$

${}^t G(x)$

$c(x, G(\,\cdot\,)) = c\left({}^t G(x), \,\cdot\,\right).$

$X \to Z,$

$H : X \to Z$

$c(W, H(\,\cdot\,)) \subseteq b(\,\cdot\,, Y)$

${}^t H : W \to Y,$

$\forall w \in W$

${}^t H(w)$

$c(w, H(\,\cdot\,)) = b\left(\,\cdot\,, {}^t H(w)\right).$

$W \to Y,$

$H : W \to Y$

$b(X, H(\,\cdot\,)) \subseteq c(\,\cdot\,, Z)$

${}^t H : X \to Q,$

$\forall x \in X$

${}^t H(x)$

$c(x, H(\,\cdot\,)) = b\left(\,\cdot\,, {}^t H(x)\right).$

$Y \to W,$

$H : Y \to W$

$c(H(\,\cdot\,), Z) \subseteq b(X, \,\cdot\,)$

${}^t H : Z \to X,$

$\forall z \in Z$

${}^t H(z)$

$c(H(\,\cdot\,), z) = b\left({}^t H(z), \,\cdot\,\right)$

等的線性映射的轉置（見腳註）。

### 轉置的性質

$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$是$\mathbb{K}$上的配對，$F : X \to W$是線性映射，其轉置${}^t F : Z \to Y$是良定義的。

- 若且唯若F的範圍在$\left(W, \sigma\left(W, Z, c\right)\right)$中稠密時，${}^t F : Z \to Y$是單射（即$\operatorname{ker} {}^t F = \{ 0 \}$）。
- 若除了${}^t F$良定義外，${}^t F$的轉置也良定義，則${}^{tt} F = F$。
- 設$(U, V, a)$是$\mathbb{K}$上的配對，$E : U \to X$是線性映射，其轉置${}^t E : Y \to V$是良定義的，則$F \circ E : U \to W$的轉置${}^t (F \circ E) : Z \to V$也是良定義的，且${}^t (F \circ E) = {}^t E \circ {}^t F.$
- 若$F : X \to W$是向量空間同構，則${}^t F : Z \to Y$是雙射，$F^{-1} : W \to X$的轉置${}^t \left(F^{-1}\right) : Y \to Z$是良定義的，且${}^t \left(F^{-1}\right) = \left({}^t F\right)^{-1}$
- 令$S \subseteq X$，$S^{\circ}$表示A的絕對極，則
- $[F(S)]^{\circ} = \left({}^t F\right)^{-1}\left(S^{\circ}\right)$。
- 若$\forall T \subseteq W,\ F(S) \subseteq T$，則${}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}$。
- 若$T \subseteq W$使得${}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}$，則$F(S) \subseteq T^{\circ\circ}$。
- 若$T \subseteq W$，$S \subseteq X$是弱閉圓盤，則若且唯若$F(S) \subseteq T$時，${}^t F\left(T^{\circ}\right) \subseteq S^{\circ}$。
- $$\operatorname{ker} {}^t F = [ F(X) ]^{\perp}.$$

將絕對極換成實極，這些結果不變。

若X、Y是規範對偶下的賦范空間、$F : X \to Y$是連續線性映射，則$\|F\| = \left\|{}^t F\right\|$。

#### 弱連續性

線性映射$F : X \to W$，若$F : (X, \sigma(X, Y, b)) \to (W, (W, Z, c))$連續，則稱其（關於$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$）弱連續。

下面的結果表明，轉置映射的存在與弱拓撲密切相關。

設X分離Y的點，$F : X \to W$是線性映射。

則下列條件等價：

- F是弱連續的（即$F : (X, \sigma(X, Y, b)) \to (W, (W, Z, c))$連續）。
- $c(F(\,\cdot\,), Z) \subseteq b(\,\cdot\,, Y)$。
- F的轉置是良定義的。

若F是弱連續的，則

- ${}^t F : Z \to Y$是弱連續的，即${}^t F : (Z, \sigma(Z, W, c)) \to (Y, (Y, X, b))$連續。
- 若且唯若Z分離W的點，轉置${}^t F$良定義，這時${}^{tt} F = F$。

### 弱拓撲與規範對偶

設X是向量空間，$X^{\#}$是其代數對偶。則X的所有$\sigma\left(X, X^{\#}\right)$-有界子集包含於有限維向量子空間，X的所有向量子空間是$\sigma\left(X, X^{\#}\right)$-閉的。

#### 弱完備性

若$(X, \sigma(X, Y, b))$是完備拓撲向量空間，例如X是$\sigma(X, Y, b)$-完備或（若無歧義）弱完備的情形。

存在不弱完備的巴拿赫空間（儘管在其范拓撲中是完備的）。

若X是向量空間，則在規範對偶下，$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$是完備的。

相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓撲向量空間，且有連續對偶空間$Z^{\prime}$，則若且唯若$Z = \left(Z^{\prime}\right)^{\#}$時，$\left(Z, \sigma\left(Z, Z^{\prime}\right)\right)$是完備的；即，若且唯若將$z \in Z$發送到z處求值映射（即$z^{\prime} \mapsto z^{\prime}(z)$）的映射$Z \to \left(Z^{\prime}\right)^{\#}$是雙射。

特別地，就規範對偶而言，若Y是$X^{\#}$的向量子空間，使Y分離X中的點，則若且唯若$Y = X^{\#}$，$(Y, \sigma(Y, X))$是完備的。

換句話說，$X^{\#}$不存在緊合向量子空間$Y \neq X^{\#}$使得$(X, \sigma(X, Y))$是豪斯多夫空間，且Y在弱-*拓撲（即逐點收斂的拓撲）中完備。

因此，若豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X的連續對偶空間$X^{\prime}$ 被賦以弱*-拓撲，若且唯若$X^{\prime} = X^{\#}$（即X上所有線性泛函都連續）時，$X^{\prime}_{\sigma}$是完備的。

#### Y與代數對偶的子空間的等同

若X分離Y的點、Z表示單射$y \mapsto b(\,\cdot\,, y)$的範圍，則Z是X的代數對偶空間的向量子空間，且配對$(X, Y, b)$與規範配對$\langle X, Z \rangle$（其中$\left\langle x, x^{\prime} \right\rangle := x^{\prime}(x)$是自然求值映射）是規範等同（canonically identify）的。

特別地，這時我們將不失一般性地假設Y是X代數對偶的向量子空間，而b是求值映射。

約定：通常，只要$y \mapsto b(\,\cdot\,, y)$是單射（尤其當$(X, Y, b)$形成對偶對），通常不失一般性地假設Y是X的代數對偶空間的向量子空間，且b是自然求值映射，Y還可記作$X^{\prime}$。

完全類似的是，若Y分離X中的點，則X就有可能等同於Y的代數對偶空間的向量子空間。

#### 代數伴隨

在對偶是規範對偶$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$和$\left\langle W, W^{\#} \right\rangle$的特例下，線性映射$F : X \to W$的轉置總是良定義的。

此轉置稱作F的代數伴隨，記作$F^{\#}$。

即$F^{\#} = {}^t F : W^{\#} \to X^{\#}.$ 這樣，$\forall w^{\prime} \in W^{\#},\ F^{\#}\left(w^{\prime}\right) = w^{\prime} \circ F$其中$F^{\#}\left(w^{\prime}\right)$的定義條件是$$\left\langle x, F^{\#}\left(w^{\prime}\right) \right\rangle = \left\langle F(x), w^{\prime} \right\rangle \quad \forall >x \in X,$$ 或等價地$F^{\#}\left(w^{\prime}\right)(x) = w^{\prime}(F(x)) \quad \forall x \in X.$

若對整數n，$X = Y = \mathbb{K}^n$，$\mathcal{E} = \left\{ e_1, \ldots, e_n\right\}$是X的基，其對偶基$\mathcal{E}^{\prime} = \left\{ e_1^{\prime}, \ldots, e_n^{\prime} \right\},\ F : \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n$是線性算子，F關於$\mathcal{E}$的矩陣表示是$M := \left(f_{i,j}\right)$，則M的轉置是$F^{\#}$關於$\mathcal{E}^{\prime}$的矩陣表示。

#### 弱連續性與開性

設$\left\langle X, Y \right\rangle$，$\langle W, Z \rangle$是對偶系統的規範配對（所以$Y \subseteq X^{\#},\ Z \subseteq W^{\#}$），並令$F : X \to W$是線性映射。則若且唯若$F : X \to W$滿足下列等價條件之一，F是弱連續的：

- $F : (X, \sigma(X, Y)) \to (W, \sigma(W, Z))$連續。
- $$F^{\#}(Z) \subseteq Y$$
- F的轉置${}^t F : Z \to Y$相對於$\left\langle X, Y \right\rangle$和$\langle W, Z \rangle$是良定義的。

若F是弱連續的，則${}^t F : : (Z, \sigma(Z, W)) \to (Y, \sigma(Y, X))$是連續的，於是${}^{tt} F = F$

拓撲空間之間的映射$g : A \to B$，若$g : A \to \operatorname{Im} g$是開映射（$\operatorname{Im} g$是g的範圍），則稱之是相對開的。

設$\langle X, Y \rangle,\ \langle W, Z \rangle$是對偶系統，$F : X \to W$是弱連續線性映射。則下列條件等價：

- $F : (X, \sigma(X, Y)) \to (W, \sigma(W, Z))$是相對開的。
- ${}^t F$的範圍在Y中$\sigma(Y, X)$-閉。
- $$\operatorname{Im} {}^t F = (\operatorname{ker} F)^{\perp}$$

此外

- 若且唯若${}^t F$是滿射（或雙射），$F : X \to W$是單射（或雙射）。
- 若且唯若${}^t F : : (Z, \sigma(Z, W)) \to (Y, \sigma(Y, X))$是相對開單射，$F : X \to W$是滿射。

##### 拓撲向量空間之間映射的轉置

若且唯若F是弱連續的，兩拓撲向量空間之間映射的轉置才被定義。

設$F : X \to Y$是兩豪斯多夫局部凸拓撲向量空間之間的線性映射，則

- 若F連續，則其是弱連續的，且${}^t F$是麥基連續的，也是強連續的。
- 若F是弱連續的，則其是麥基連續的，也是強連續的（定義見下）。
- 若F是弱連續的，則若且唯若${}^t F : ^{\prime} \to X^{\prime}$將$Y^{\prime}$的等度連續子集映射到$X^{\prime}$的等度連續子集時，F才是連續的。
- 若X和Y是賦范空間，則若且唯若F是弱連續的（這時$\|F\| = \left\|{}^t F\right\|$），F連續。
- 若F連續，則若且唯若$F : X \to Y$是弱相對開的（即$F : \left(X, \sigma\left(X, X^{\prime}\right)\right) \to \left(Y, \sigma\left(Y, Y^{\prime}\right)\right)$是相對開的）、且$\operatorname{Im} {}^t F = {}^t F\left(Y^{\prime}\right)$的等度連續子集都是$Y^{\prime}$的某等度連續子集的像時，F是相對開的。
- 若F是連續單射，則若且唯若$X^{\prime}$的等度連續子集都是$Y^{\prime}$的某等度連續子集的像，$F : X \to Y$是拓撲向量空間嵌入（或等價的拓撲嵌入）。

#### 可度量化性與可分性

令X是局部凸空間，有連續對偶空間$X^{\prime}$，並令$K \subseteq X^{\prime}$。

- 若K是等度連續或$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$-緊的，且$D \subseteq X^{\prime}$使得$\operatorname{span} D$在X中稠密，則K從$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, D\right)\right)$繼承的子空間拓撲等同於K從$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$繼承的子空間拓撲。
- 若X是可分的、K是等度連續的，則K被賦予由$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$誘導的子空間拓撲後是可度量化的。
- 若X是可分、可度量化的，則$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$是可分的。
- 若X是賦范空間，則若且唯若給定由$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$誘導的子空間拓撲，X的連續對偶空間的封閉單元（X的連續對偶空間）可度量時，X是可分的。
- 若X是賦范空間，其連續對偶空間可分（給定通常的范拓撲）時，X可分。

## 極拓撲與同配對相容的拓撲

從弱拓撲開始，極基的使用會產生一系列局部凸拓撲。這樣的拓撲稱作極拓撲，弱拓撲是其中最弱的。

$(X, Y, b)$將是$\mathbb{K}$上的配對，$\mathcal{G}$將是X的$\sigma(X, Y, b)$-有界子集的非空集合。

### 極拓撲

給定X子集的集合$\mathcal{G}$，Y上由$\mathcal{G}$（與b）定義的極拓撲（或Y上的$\mathcal{G}$-拓撲）是Y上唯一的拓撲向量空間拓撲，其中$$\left\{ r G^{\circ} : G \in \mathcal{G}, r > 0 \right\}$$ 形成了原點鄰域的子基。

Y被賦予這$\mathcal{G}$-拓撲時，就表示為$Y_{\mathcal{G}}$。極拓撲都需要是局部凸的。

$\mathcal{G}$是關於子集包含的有向集合時（即若$\forall G, K \in \mathcal{G}$，$\exists K \in \mathcal{G}$使得$G \cup H \subseteq K$），則此0處的鄰域子基實際上形成了0處的鄰域基。

下面列出了一些較重要的極拓撲。

符號：若$\Delta(X, Y, b)$表示Y上的極拓撲，則唄賦予此拓撲的Y將記作$Y_{\Delta(Y, X, b)},\ Y_{\Delta(Y, X)}$或$Y_{\Delta}$（如對$\sigma(Y, X, b)$我們有$\Delta = \sigma$，這樣$Y_{\sigma(Y, X, b)},\ Y_{\sigma(Y, X)}$和$Y_{\sigma}$都表示賦予了$\sigma(X, Y, b)$的Y）。

$\mathcal{G} \subseteq \mathcal{P}X$ （「…上一致收斂的拓撲」）｜記作｜名稱（「…的拓撲」）｜又稱

X的有限子集（或X有限子集的$\sigma(X, Y, b)$-閉圓盤化殼）｜$\sigma(X, Y, b)$ $s(X, Y, b)$｜逐點/簡單收斂｜弱/弱-、拓撲

$\sigma(X, Y, b)$-緊圓盤｜$\tau(X, Y, b)$｜麥基拓撲

$\sigma(X, Y, b)$-緊凸子集｜$\gamma(X, Y, b)$｜緊凸收斂

$\sigma(X, Y, b)$-緊子集（或平衡$\sigma(X, Y, b)$-緊子集）｜$c(X, Y, b)$｜緊收斂

$\sigma(X, Y, b)$-有界子集｜$b(X, Y, b)$ $\beta(X, Y, b)$｜有界收斂｜強拓撲最強的極拓撲

#### 與極拓撲有關的定義

連續性若$F : (X, \tau(X, Y, b)) \to (W, \tau(W, Z, c))$連續，則線性映射$F : X \to W$是（關於$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$）麥基連續的。

若$F : (X, \beta(X, Y, b)) \to (W, \beta(W, Z, c))$是連續的，則線性映射$F : X \to W$是（關於$(X, Y, b)$和$(W, Z, c)$）強連續的。

### 有界子集

X的子集，若在$(X, \sigma(X, Y, b))$（或$(X, \tau(X, Y, b))$、$(X, \beta(X, Y, b))$）中有界，則稱X是弱有界（或麥基有界、強有界）。

### 同配對相容的拓撲

弱$(X, Y, b)$是$\mathbb{K}$上的配對，$\mathcal{T}$是X上的向量拓撲，則$\mathcal{T}$是配對的拓撲，且若其局部凸、$\left(X, \mathcal{T}\right)$的連續對偶空間$= b(\,\cdot\,, Y)$，則稱之與配對$(X, Y, b)$相容或一致。

若X分離Y的點，則Y可視作X的代數對偶的向量子空間，定義條件變為$\left(X, \mathcal{T}\right)^{\prime} = Y.$有人（如Trèves 2006、Schaefer 1999）要求配對的拓撲也要是豪斯多夫的，若Y分離X的點（這些學者假設），則必須是豪斯多夫的。

弱拓撲$\sigma(X, Y, b)$同配對$(X, Y, b)$相容（如弱表示定理所示），事實上是最弱的拓撲。還有一種與這種配對相容的最強拓撲，即麥基拓撲。

若N是非自反的賦范空間，則其連續對偶空間上通常的范拓撲同對偶$\left(N^{\prime}, N\right)$不相容。

#### 麥基–阿倫定理

下面是對偶理論中最重要的定理之一。

令$(X, Y, b)$是配對，使X分離Y的點，並令$\mathcal{T}$是X上的局部凸拓撲（不必豪斯多夫）。

則，若且唯若$\mathcal{T}$是由某覆蓋了Y的

$\mathcal{S}$

$\mathcal{S}$

$\mathcal{S}$

$\sigma(Y, X, b)$-緊圓盤集合$\mathcal{G}$確定的極拓撲時，稱$\mathcal{T}$與配對$(X, Y, b)$相容。

由此可見，麥基拓撲$\tau(X, Y, b)$是由Y中所有$\sigma(X, Y, b)$-緊圓盤生成的極拓撲，是X上與配對 $(X, Y, b)$相容的最強局部凸拓撲。

給定拓撲與麥基拓撲相同的局部凸空間稱作麥基空間。

上述麥基-阿倫定理的一下結果也稱作麥基-阿倫定理。

令$(X, Y, b)$是配對，使得X分離Y的點，並且$\mathcal{T}$是X上的局部凸拓撲。則，若且唯若$\sigma(X, Y, b) \subseteq \mathcal{T} \subseteq \tau(X, Y, b)$，$\mathcal{T}$與配對相容。

### 麥基定理、桶與閉凸集

若X是（$\Reals$或$\Complex$上的）拓撲向量空間，則半空間（half-space）是形式為$\{ x \in X : f(x) \leq r \}$的集合。（r是實數，f是X上的連續實值線性泛函）

若X是（$\Reals$或$\Complex$上的）局部凸空間、C是X的非空閉凸子集，則$C$等於包含它的所有閉半空間的交。

上述定理說明，局部凸空間的閉子集和凸子集完全取決於連續對偶空間。於是，在任何與配對相容的拓撲中，閉子集和凸子集都相同；即，若$\mathcal{T}$、$\mathcal{L}$是X上的任意局部凸拓撲，且有同樣的連續對偶空間，則若且唯若X的凸子集在$\mathcal{L}$拓撲中封閉，此子集也在$\mathcal{T}$拓撲中封閉。

這說明，X任意凸子集的$\mathcal{T}$-閉等同於其$\mathcal{L}$-閉，對X中任意$\mathcal{T}$-閉圓盤A，$A = A^{\circ\circ}$。

特別地，若B是X的一個子集，則若且唯若B是$(X, \mathcal{L})$中的桶時，B也是$(X, \mathcal{L})$中的桶。

下面的定理說明，桶（即閉吸收圓盤）恰是弱有界子集的極。

令$(X, Y, b)$是配對，使得X分離Y的點，並令$\mathcal{T}$為配對的某拓撲。

則若且唯若X的子集等於Y的某$\sigma(Y, X, b)$-有界子集的極時，此子集是X中的桶。

若X是拓撲向量空間，則

- X的閉吸收平衡子集B吸收X的所有凸緊子集（即存在正實數r使得$r B$包含此集）。
- 若X是豪斯多夫局部凸的，則X中每個桶都吸收X的每個凸有界完備子集。

所有這些都引出了麥基定理，這是對偶系統理論的核心定理之一。簡言之，定理支出，對符合相同對偶性的兩豪斯多夫局部凸拓撲，有界子集是相同的。

設$(X, \mathcal{L})$是豪斯多夫局部凸空間，有連續對偶空間$X^{\prime}$，並考慮規範對偶$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$。

若$\mathcal{L}$是X上任意與對偶$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$相容的拓撲，則$(X, \mathcal{L})$的有界子集與$(X, \mathcal{L})$的有界子集相同。

### 有限序列空間

令X表示標量$r_{\bull} = \left(r_i\right)_{i=1}^{\infty}$的所有序列的空間，且對所有足夠大的i都有$r_i = 0$。

令$Y = X$，定義雙線性映射$b : X \times X \to \mathbb{K}$為$$b\left(r_{\bull}, s_{\bull}\right) := \sum_{i=1}^{\infty} r_i s_i.$$ 則$\sigma(X, X, b) = \tau(X, X, b)$。

此外，若且唯若存在正實數序列$m_{\bull} = \left(m_i\right)_{i=1}^{\infty}$，使得$\left|t_i\right| \leq m_i,\ \forall t_{\bull} = \left(t_i\right)_{i=1}^{\infty} \in T$、及所有指標i（或還有$m_{\bull} \in X$）時，子集$T \subseteq X$是$\sigma(X, X, b)$-有界（或$\beta(X, X, b)$-有界）的。

由此可見，X的子集中有弱有界（即$\sigma(X, X, b)$-有界）的，但沒有強有界（即無$\beta(X, X, b)$-有界）的。