規範理論 (數學)

數學中，特別是在微分幾何與數學物理中，規範理論（gauge theory）是對向量叢、主叢、纖維叢上的聯絡的一般研究。數學中的規範理論不應與物理學中的規範場論相混淆，後者是一種允許規範對稱性的場論。數學中，理論指的是數學理論，包括對一系列概念或現象的一般研究，而物理學中，理論是某種自然現象的數學模型。

數學中的規範理論通常涉及規範理論方程的研究，即涉及向量叢或主叢上聯絡或向量叢截面的微分方程，因此規範理論同幾何分析有密切聯繫。這些方程通常有物理意義，與量子場論或弦論中的重要概念相對應，同時也有重要的數學意義。例如，楊-米爾斯方程是主叢上聯絡的偏微分方程組，其解在物理中對應經典場論運動方程的真空解，即叫做瞬子的粒子。

規範理論用於構造光滑流形的新不變量、奇特的幾何結構（如超卡勒流形），以及對代數幾何中的重要結構（如向量叢的模空間與凝聚層）進行代替描述。

## 歷史

$\R^4$的$(x^1,\ x^2)$-片上BPST瞬子的${\rm d}x^1\otimes \sigma_3$係數，其中$\sigma_3$是第三泡利矩陣（左上）。${\rm d}x^2\otimes \sigma_3$係數（右上）。這些係數決定了$g=2,\ \rho=1,\ z=0$的BPST瞬子A對此片的限制。以$z=0$為中心的響應場強（左下）。以z為中心的BPST瞬子在$\R^4$的緊化$S^4$上的場強直觀圖（右下）。BPST瞬子是$\R^4$上楊-米爾斯方程的經典瞬子解。

規範理論的起源可追溯到描述經典電磁學的麥克斯韋方程組，它可表述為以圓群為結構群的規範理論。保羅·狄拉克在磁單極子和相對論量子力學方面的研究孤立了這樣一種觀點：叢和聯絡是表述量子力學中許多問題的正確方法。隨著羅伯特·米爾斯和楊振寧關於楊-米爾斯規範理論（標準模型的前身）的開創性工作，數學物理中的規範理論成為重要的研究領域。

規範理論的數學理論源於麥可·阿蒂亞、艾沙道爾·辛格和奈傑爾·希欽關於4維黎曼流形上自對偶方程的工作。這項工作研究了歐氏空間上自對偶聯絡（瞬子）的模空間，並證明其維度為$8k-3$，其中k是正整參數。這與物理學家發現的BPST瞬子有關，即$k=1$的4維楊-米爾斯方程的真空解。這種瞬子由5個參數定義，中心$z\in \mathbb{R}^4$，標度$\rho \in \mathbb{R}_{>0}$，對應$8-3=5$-維模空間。

大約在同一時間，阿蒂亞和理察·沃德發現了自對偶方程的解與復射影空間$\mathbb{CP}^3$上代數叢之間的聯繫。另一個重要的早期發現是阿蒂亞、弗拉基米爾·德林費爾德、希欽和尤里·馬寧發展出的ADHM構造。這一構造使得歐氏空間$\mathbb{R}^4$上的反自對偶方程可從純粹的線性代數數據中求解。

1980年代初，數學規範理論的發展取得了重大突破。此時，阿蒂亞和拉烏爾·博特關於黎曼曲面上楊-米爾斯方程的重要工作表明，規範理論問題可以產生有趣的幾何結構，從而推動了無窮維動量映射、等變莫爾斯理論及規範理論同代數幾何間關係的發展。凱倫·烏倫貝克在這一時期開發了幾何分析的重要工具，研究了聯絡和曲率的分析性質，證明了重要的緊性結果。西蒙·唐納森和愛德華·威滕的研究是該領域最重要的進展。

唐納森結合代數幾何與幾何分析技術，構造了4維流形的新不變量，即唐納森不變量。這些不變量可以證明一些新穎的結果，如存在不允許光滑結構的拓撲流形，或歐氏空間$\mathbb{R}^4$上存在許多不同的光滑結構。唐納森因這項工作獲得了1986年的菲爾茲獎。

威滕同樣觀察到了規範理論描述拓撲不變量的能力，他將3維陳-西蒙斯理論中產生的量與紐結理論中的瓊斯多項式聯繫起來。這項工作以及唐納森不變量的發現，以及安德烈斯·弗洛爾關於弗洛爾同調的新研究啟發了拓撲量子場論。

在發現了規範理論定義流形不變量的能力後，數學規範理論越發知名。人們發現了更多不變量，如塞伯格-威滕不變量和瓦法-威滕不變量等。唐納森、烏倫貝克和丘成桐關於楊-米爾斯聯絡與穩定向量叢的小林-希欽對應研究實現了與代數幾何的緊密聯繫。奈傑爾·希欽與卡洛斯·辛普森在希格斯叢方面的研究表明，規範理論產生的模空間可能具有奇特的幾何結構，如超卡勒流形，以及通過希欽系統和可積系統的聯繫，實現了與弦論和鏡像對稱猜想的聯繫，其中規範理論對表述同調鏡像對稱和AdS/CFT對偶至關重要。

## 基本對象

規範理論的基本關注對象是向量叢和主叢上的聯絡。本節中，我們將簡要回顧這些構造，詳見各自的條目。這裡描述的結構是微分幾何文獻中的標準結構，從規範理論角度對這主題的介紹可見唐納森與Peter Kronheimer的著作。

### 主叢

規範理論的核心研究對象是主叢和向量叢。選擇對象本質上是任意的，但從物理角度看，主叢是描述規範場的自然對象，而且在數學上，它們更優雅地編碼了與之相關的向量叢的聯絡與曲率的相應理論。

結構群為G的主叢，或主G-叢是5元組$(P,X,\pi, G, \rho)$，其中$\pi: P \to X$是光滑纖維叢，其纖維空間同構於李群G，而$\rho$表示G對P的自由、傳遞的右群作用，且保纖維（即$\forall p\in P,\ \forall g\in G,\ \pi(pg) = \pi(p)$）。其中P是全空間，X是基空間。$\forall x\in X$以及$p\in P_x$的任何選擇使用右群作用，映射$g \mapsto pg$定義了x上的纖維與作為光滑流形的李群G之間的微分同胚$P_x \cong G$。然而要注意的是，並沒有自然的方法讓P的纖維具有李群的結構，因為對每個$\forall x\in X$而言，並沒有元素$p\in P_x$的自然選擇。

$G=\operatorname{U}(1)$是圓群時，就給出了主叢的最簡單例子。這時，主叢維度為$\dim P = n + 1$，其中$\dim X = n$。另一個自然例子是$P=\mathcal{F}(TX)$是流形X的切叢的標架叢，更一般地說是X上向量叢的標架叢。這種情形下，P的纖維由一般線性群$\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$給出。

由於主叢是纖維叢，所以局部具有積的結構。也就是說，存在X的開覆蓋$\{U_{\alpha}\}$與微分同胚$\varphi_\alpha: P_{U_\alpha} \to U_\alpha \times G$，其與射影$\pi$、$\operatorname{pr}_1$交換，使得過渡函數$g_{\alpha\beta} :U_{\alpha}\cap U_{\beta} \to G$定義為$\varphi_\alpha \circ \varphi_{\beta}^{-1} (x,g) = (x, g_{\alpha\beta}(x) g)$，在任何三重疊$U_{\alpha}\cap U_{\beta}\cap U_\gamma$上滿足上循環條件

$$g_{\alpha\beta}(x) g_{\beta\gamma}(x) = g_{\alpha\gamma}(x)$$

要定義主叢，只需指定這樣一個過渡函數的選擇，然後用過渡函數沿交$U_\alpha\cap U_\beta$粘合平凡叢$U_\alpha\times G$，便定義了主叢。上循環條件精確地確保這在不交並$\bigsqcup_\alpha U_\alpha \times G$上確定等價關係，因此商空間$P=\bigsqcup_\alpha U_\alpha \times G/{\sim}$是良定義的。這就是纖維叢構造定理，同樣過程適用於過渡函數描述的任何纖維叢，而不僅僅是主叢或向量叢。

注意選擇滿足$\pi \circ s_\alpha = \operatorname{Id}$的局部截面$s_\alpha: U_\alpha \to P_{U_\alpha}$是指定局部平凡化映射的等效方法。也就是說，可以定義$\varphi_\alpha(p) = (\pi(p), \tilde s_\alpha(p))$，其中$\tilde s_\alpha(p)\in G$是唯一的群元素，使得$p\tilde s_\alpha(p)^{-1} =s_\alpha(\pi(p))$。

### 向量叢

向量叢是三元組$(E, X, \pi)$，其中$\pi: E\to X$是纖維叢，其纖維由向量空間$\mathbb{K}^r$給出，當中$\mathbb{K}=\mathbb{R}, \mathbb{C}$是域。r是向量叢的秩。同樣，可用平凡化開覆蓋來局部描述向量叢。若$\{U_{\alpha}\}$是這樣的覆蓋，則在同構

$$\varphi_{\alpha}: E_{U_{\alpha}} \to U_{\alpha} \times \mathbb{K}^r$$

下，可得到與$\mathbb{K}^r$的r坐標基向量$e_1,\dots,e_r$相對應的r區分的E的局部截面，記作$\boldsymbol{e}_1,\dots,\boldsymbol{e}_r$。定義方程為

$$\varphi_{\alpha} (\boldsymbol{e}_i (x)) = (x, e_i).$$

因此要制定一個平凡化，就等同於給出處處線性獨立的r局部截面集，並用該表達式定義相應的同構。這樣的局部截面集叫做標架（frame）。

與主叢類似，可得到向量叢的過渡函數$g_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\cap U_{\beta} \to \operatorname{GL}(r, \mathbb{K})$，定義為

$$\varphi_{\alpha} \circ \varphi_{\beta}^{-1} (x, v) = (x, g_{\alpha\beta}(x) v).$$

若利用這些過渡函數構造主叢（其纖維等於結構群$\operatorname{GL}(r, \mathbb{K})$）的局部平凡化，則得到的正是E的標架叢，即主$\operatorname{GL}(r, \mathbb{K})$-叢。

### 配叢

給定主G-叢P與G在向量空間V上的表示$\rho$，可以構造配向量叢$E=P\times_{\rho} V$，其纖維是向量空間V。考慮對積$P\times V$的右作用，定義為$(p,v)g = (pg, \rho(g^{-1})v)$，並定義$P\times_{\rho} V = (P\times V)/G$為對此作用的商空間。

從過渡函數的角度可以更好理解配叢。若配叢P有相對於局部平凡化$\{U_{\alpha}\}$的過渡函數$g_{\alpha\beta}$，則可用過渡函數$\rho \circ g_{\alpha\beta}: U_{\alpha}\cap U_{\beta} \to \operatorname{GL}(V)$構造配向量叢。

只要$\rho: G\to \operatorname{Aut}(F)$是群同態，就可以對任意纖維空間F構造配叢，而不僅局限於向量空間。例如具有纖維G的所謂A伴隨叢（Capital A adjoint bundle, Adjoint bundle）$\operatorname{Ad}(P)$，是用群同態$\rho: G \to \operatorname{Aut}(G)$構造的，定義為共軛$g \mapsto (h \mapsto g h g^{-1})$。注意儘管有纖維G，但A伴隨叢既非主叢也不作為纖維叢同構於P本身。例如，若G是阿貝爾的，則共軛作用平凡，$\operatorname{Ad}(P)$將是X上平凡的G-纖維叢，而不管P作為纖維叢是否平凡。另一個關鍵例子是a伴隨叢（lowercase a adjoint bundle）$\operatorname{ad}(P)$，是用伴隨表示$\rho: G \to \operatorname{Aut}(\mathfrak{g})$構造的，其中$\mathfrak{g}$是G的李代數。

### 規範變換

向量叢或主叢的規範變換是這個對象的自同構。對主叢，規範變換由微分同胚$\varphi: P \to P$及與之交換的射影算子$\pi$和右作用$\rho$組成。對向量叢，規範變換同樣由微分同胚$\varphi: E \to E$及與之交換的射影算子$\pi$定義，後者是每條纖維上向量空間的線性同構。

（P或E'的）規範變換形成一個組合下的群，稱作規範群，一般記作$\mathcal{G}$，可表為伴隨叢的全局截面空間$\mathcal{G} = \Gamma(\operatorname{Ad}(P))$或（對向量叢）$\mathcal{G} = \Gamma(\operatorname{Ad}(\mathcal{F} (E)))$，其中$\mathcal{F}(E)$表示標架叢。

也可以定義局部規範變換為平凡化開子集$U_{\alpha}$上的局部叢同構。這可以唯一地指定為一個映射$g_{\alpha} : U_{\alpha} \to G$（向量叢則取$G=\operatorname{GL}(r, \mathbb{K})$），其中誘導叢同構定義為

$$\varphi_{\alpha}(p) = pg_{\alpha}(\pi(p))$$

對向量叢類似。

注意給定同一開子集$U_{\alpha}$上主叢的兩局部平凡化，過渡函數恰是局部規範變換$g_{\alpha\alpha}: U_{\alpha} \to G$。即，局部規範變換是主叢或向量叢局部平凡化的變化。

### 主叢上的聯絡

主叢上的聯絡是一種聯絡鄰近纖維的方法，以捕捉截面$s: X\to P$恆定或水平。由於抽象主叢的纖維不能自然地相互等同，事實上也不能與纖維空間G本身等同，因此沒有規範的方法指定哪些部分為常。局部平凡化的選擇可以使得：若P在集合$U_{\alpha}$上是平凡的，則若某局部截面對這平凡化是常的，就可以說這個局部截面是常的，即$\forall x\in U_{\alpha},\ \exists g\in G,\ \varphi_{\alpha} (s(x)) = (x, g)$。尤其是平凡主叢$P=X\times G$配備了平凡聯絡時。

一般來說，聯絡是由在點$\forall p\in P$的切空間的水平子空間$H_p \subset T_p P$的選擇給出的，這樣在每個點都有$T_p P = H_p \oplus V_p$，其中$V:=\ker d\pi$是水平叢。要求水平分布H在右群作用下宷，這些水平子空間便與主叢結構相容：$H_{pg} = d(R_g) (H_p)$，其中$R_g: P \to P$表示右乘g。截面s，若$T_p s \subset H_p$中s與其在P內的像（P的子流形，有切叢$Ts$）相同，則稱s是水平的。給定向量場$v\in \Gamma(TX)$，有唯一的水平提升（lift）$v^{\#}\in \Gamma(H)$。聯絡H的曲率由值在伴隨叢$F\in \Omega^2(X, \operatorname{ad}(P))$中的2-形式給出，定義為

$$F(v_1, v_2) = [v_1^{\#}, v_2^{\#}] - [v_1, v_2]^{\#}$$

其中$[\cdot, \cdot]$是向量場的李括號。由於鉛直叢包含P的纖維的切空間，且這些纖維同構於李群G，其切叢規範等同於$TG = G\times \mathfrak{g}$，有唯一的李代數值2-形式$F\in \Omega^2(P, \mathfrak{g})$對應於曲率。從弗羅貝尼烏斯定理的角度來看，曲率恰恰衡量了水平分布不可積的程度，因此也衡量了H在局部無法嵌入P作為水平子流形的程度。

水平子空間的選擇可等價地表為投影算子$\nu: TP \to V$，即聯絡1-形式。對於水平分布H，它的定義是$\nu_H (h+v) = v$，其中$h+v$表示切向量對於直和分解$TP = H\oplus V$的分解。由於等變關係，此投影1-形式可被認為是李代數值的，從而給出$\nu \in \Omega^1(P, \mathfrak{g})$。

P的局部平凡化等價於由局部截面$s_{\alpha}: U_{\alpha} \to P_{U_{\alpha}}$給出，聯絡1-形式和曲率可沿此光滑映射拉回。這樣就得到了'局部聯絡1-形式$A_{\alpha} = s_{\alpha}^* \nu\in \Omega^1(U_{\alpha}, \operatorname{ad}(P))$，在P的伴隨叢中取值。嘉當的結構方程表明，曲率可用局部1-形式$A_{\alpha}$表為

$$F = dA_\alpha + \frac{1}{2} [A_\alpha, A_\alpha]$$

其中我們使用了李代數叢$\operatorname{ad}(P)$上的李括號，等同於局部平凡化$U_{\alpha}$上的$U_\alpha \times \mathfrak{g}$。

在局部規範變換$g: U_\alpha \to G$下，使得$\tilde A_{\alpha} = (g\circ s)^* \nu$，局部聯絡1-形式變的表達式為

$$\tilde A_\alpha = \operatorname{ad}(g)\circ A_\alpha + (g^{-1})^* \theta$$

其中$\theta$表示李群G的馬尤厄-嘉當形式。G是矩陣李群的情形下，有更簡單的表達$$\tilde A_{\alpha} = g A_\alpha g^{-1} - (dg)g^{-1}.$$

### 向量叢上的聯絡

向量叢上的聯絡與上述主叢的情形類似，稱作埃雷斯曼聯絡。而向量叢聯絡可用微分算子進行更有力的描述。向量叢上的聯絡是$\mathbb{K}$-線性微分算子

$$\nabla: \Gamma(E) \to \Gamma(T^*X \otimes E) = \Omega^1(E)$$

選擇，使得$\forall f\in C^{\infty}(X)$及截面$s\in \Gamma(E)$

$$\nabla(fs) = df\otimes s + f \nabla s$$

截面s在向量場v的方向上的協變導數定義為

$$\nabla_v (s) = \nabla s (v)$$

其右式我們用$\Omega^1(X)$和$TX$間的自然配對。這時向量叢E的一個新截面，可看作是s在v方向上的導數。算子$\nabla_v$是在v方向上的協變導數。$\nabla$的曲率由算子$F_{\nabla}\in \Omega^2(\operatorname{End}(E))$給出，值在自同態叢中，定義為

$$F_{\nabla}(v_1,v_2) = \nabla_{v_1} \nabla_{v_2} - \nabla_{v_2} \nabla_{v_1} - \nabla_{[v_1, v_2]}.$$

局部平凡化中，外導數d充當平凡聯絡（主叢圖中對應上述平凡聯絡）。即，對於局部標架$\boldsymbol{e}_1, \dots, \boldsymbol{e}_r$可定義為

$$d (s^i \boldsymbol{e}_i) = ds^i \otimes \boldsymbol{e}_i$$

此處我們用愛因斯坦求和約定表示局部截面$s=s^i \boldsymbol{e}_i$。

任意兩聯絡$\nabla_1, \nabla_2$的區別在於$\operatorname{End}(E)$-值1-形式A。注意兩聯絡的差是$C^{\infty}(X)$-線性的：

$$(\nabla_1 - \nabla_2)(fs) = f(\nabla_1-\nabla_2)(s).$$

特別地，由於每個向量叢都允許有聯絡（使用單位劃分與局部平凡聯絡），向量叢上的聯絡集具有無窮維仿射空間結構，以向量空間$\Omega^1(\operatorname{End}(E))$為模型。這個空間通常表示為$\mathcal{A}$。

局部地應用這一觀察結果，則平凡化子集$U_{\alpha}$上的每個聯絡都與平凡聯絡d通過某個局部聯絡1-形式$A_{\alpha}\in \Omega^1(U_{\alpha}, \operatorname{End}(E))$不同，且在$U_{\alpha}$上有$\nabla = d + A_{\alpha}$的性質。根據這種局部聯絡形式，曲率可寫作

$$F_A = dA_{\alpha} + A_{\alpha} \wedge A_{\alpha}$$

其中楔積出現在1-形式分量上，而我們在自同態分量上組合自同態。要與主叢理論相聯繫，只需注意$A\wedge A = \frac{1}{2}[A, A]$，其中右式現在執行的是1-形式與自同態的交換子的楔積。

在向量叢E的規範變換u下，聯絡$\nabla$通過共軛$(u\cdot \nabla)_v(s) = u(\nabla_v(u^{-1}(s))$轉變為聯絡$u\cdot \nabla$，相差$u\cdot \nabla - \nabla = -(\nabla u)u^{-1}$，其中$\nabla$作用於E的自同態。在局部規範變換g下，可得到與主叢情形相同的表達式

$$\tilde A_{\alpha} = g A_{\alpha} g^{-1} - (dg)g^{-1}$$

### 誘導聯絡

主叢上的聯絡會誘導配向量叢上的聯絡。從上述局部聯絡形式可以看出這一點。也就是說，若主叢聯絡H有局部聯絡形式$A_{\alpha}\in \Omega^1(U_{\alpha}, \operatorname{ad}(P))$，且$\rho: G \to \operatorname{Aut}(V)$是G的一個表示、定義了配向量叢$E=P\times_{\rho} V$，則誘導局部聯絡1-形式可定義為

$$\rho_* A_{\alpha} \in \Omega^1(U_{\alpha}, \operatorname{End}(E)).$$

其中$\rho_*$是來自$\mathfrak{g} \to \operatorname{End}(V)$的誘導李代數同態，我們利用這一事實，即此映射誘導向量叢$\operatorname{ad}(P) \to \operatorname{End}(E)$的同態。

誘導曲率可簡單定義為

$$\rho_* F_A \in \Omega^2(U_\alpha, \operatorname{End}(E)).$$

這裡可見曲率的局部表達如何與主叢、向量叢相聯繫，因為李代數$\mathfrak{g}$上的李括號被發送到李代數同態$\rho_*$下$\operatorname{End}(V)$的自同態的交換子。

### 聯絡空間

規範理論的核心研究對象是向量叢或主叢上的聯絡空間。這是一個無窮維仿射空間$\mathcal{A}$，建模於向量空間$\Omega^1(X, \operatorname{ad}(P))$（對向量叢是$\Omega^1(X, \operatorname{End}(E))$）。若有規範變換u使得$A' = u\cdot A$，則稱兩聯絡$A, A'\in \mathcal{A}$規範等價（gauge equivalent）。規範理論關注聯絡的規範等價類，因此從某種意義上說，規範理論關注的是商空間$\mathcal{A}/\mathcal{G}$的性質，它一般既不是豪斯多夫空間也不是光滑流形。

底流形X的很多有趣性質可編碼為X上主叢和向量叢的聯絡模空間的幾何和拓撲。X的不變量，如唐納森不變量、塞伯格-威滕不變量等，可通過計算X上的聯絡模空間誘導的數量得到。這一思想最著名的應用是唐納森定理，其通過單連通4維流形X上主$\operatorname{SU}(2)$-叢上楊-米爾斯聯絡的模空間研究其交形式。唐納森因此獲得了菲爾茲獎。

## 符號約定

對於主叢和向量叢上的聯絡有各種各樣的符號，在此做一總結。

- A是表示向量叢或主叢上聯絡的最常用符號，因為若在所有聯絡中選擇一固定聯絡$\nabla_0\in \mathcal{A}$，則對某唯一的1-形式$A\in \Omega^1(X, \operatorname{ad}(P))$，其他聯絡都可寫作$\nabla = \nabla_0 + A$。它也源於用$A_{\alpha}$表示向量叢上聯絡的局部形式，這又來自物理學中的電磁四維勢A。有時$\omega$也用於表示聯絡形式，通常是主叢上的，這時$\omega$指主叢全空間上的全局聯絡1-形式$\omega \in \Omega^1(P, \mathfrak{g})$，而非對應的局部聯絡形式。數學文獻中通常不用這約定，因為底流形X是凱勒流形時，會與$\omega$表示凱勒形式衝突。
- $\nabla$常作為微分算子，用於表示向量叢上的聯絡，這個意義上與A可以互換。也可指協變微分算子$\nabla_X$。聯絡算子與協變微分算子的另一種記號是$\nabla_A$，以強調與$A\in \mathcal{A}$或$D_A$或$d_A$的選擇有關。
- 算子$d_A$指的通常是聯絡A的外協變導數（因此有時也寫成$d_{\nabla}$，$\nabla$是聯絡）。由於0度外協變導數與常規協變導數相同，聯絡或協變導數本身通常表為$d_A$，而非$\nabla$。
- $F_A$或$F_{\nabla}$常用於表示聯絡的曲率。聯絡用$\omega$表示時，曲率用$\Omega$表示，而非$F_{\omega}$。其他符號有R、$R_A$、$R_{\nabla}$等，類似於黎曼幾何中的黎曼曲率張量記作R。
- 強調水平分布$H\subset TP$時，H常用以表示主叢聯絡或埃雷斯曼聯絡。這時，對應H的豎直投影算子（P上的聯絡1-形式）一般記作$\omega$或v或$\nu$。這樣，曲率有時記作$F_H$以強調其依賴性，而$F_H$既可以指總空間$F_H \in \Omega^2(P, \mathfrak{g})$上的曲率算子，也可以指基$F_H \in \Omega^2(X, \operatorname{ad}(P))$上的曲率。
- 李代數伴隨叢一般記作$\operatorname{ad}(P)$，李群伴隨叢一般記作$\operatorname{Ad}(P)$。這與李群理論中的約定不同，$\operatorname{Ad}$表示G在$\mathfrak{g}$上的表示，而$\operatorname{ad}$是用李括號寫出的$\mathfrak{g}$在自身上的李代數表示。李群理論中，共軛作用（定義了叢$\operatorname{Ad}(P)$）一般記作$\Psi_g$。

### 數學與物理術語彙總

規範理論的數學和物理領域涉及相同的對象，但所用的術語不同。下面總結了它們的關係。

數學｜物理

主叢（Principal bundle）｜瞬子扇/電荷扇（Instanton sector/charge sector）

結構群（Structure group）｜規範群/局部規範群（Gauge group/local gauge group）

規範群（Gauge group）｜全局規範變換群/全局規範群（Group of global gauge transformations/global gauge group）

規範變換（Gauge transformation）｜規範變換/規範對稱（Gauge transformation/gauge symmetry）

局部平凡化的變化（Change of local trivialisation）｜局部規範變換（Local gauge transformation）

局部平凡化（Local trivialisation）｜規範（Gauge）

局部平凡化的選擇（Choice of local trivialisation）｜固定規範（Fixing a gauge）

定義在聯絡空間上的泛函（Functional defined on the space of connections）｜規範理論的拉格朗日量（Lagrangian of gauge theory）

在規範變換下不變的對象（Object does not change under the effects of a gauge transformation）｜規範不變（Gauge invariance）

對聯絡協變為常的規範變換（Gauge transformations that are covariantly constant with respect to the connection）｜全局規範對稱（Global gauge symmetry）

對聯絡不協變為常的規範變換（Gauge transformations which are not covariantly constant with respect to the connection）｜局部規範對稱（Local gauge symmetry）

聯絡（Connection）｜規範場/規範勢（Gauge field/gauge potential）

曲率（Curvature）｜規範場強/場強（Gauge field strength/field strength）

配叢上的誘導聯絡/協變導數（Induced connection/covariant derivative on associated bundle）｜最小耦合（Minimal coupling）

配向量叢截面（Section of associated vector bundle）｜物質場（Matter field）

拉格朗日泛函中涉及多個不同量的項（Term in Lagrangian functional involving multiple different quantities，如應用於配叢截面的協變導數，或兩項之乘）｜相互作用（Interaction）

實或復（通常平凡）的線叢截面（Section of real or complex (usually trivial) line bundle）｜（實或復）標量場（Scalar field）

作為演示，考慮量子電動力學拉格朗日量中電子-正電子粒子場和電磁場的相互作用項：

$$\mathcal{L} = \bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},$$

數學上可以改寫為

$$\mathcal{L}= \langle \psi, ({D\!\!\!\!/}_A - m) \psi \rangle_{L^2} + \|F_A\|_{L^2}^2$$

其中A是主$\operatorname{U}(1)$-叢P上的聯絡，$\psi$是配旋量叢的截面，${D\!\!\!\!/}_A$是此配叢上的誘導協變導數$\nabla_A$的誘導狄拉克算子。第一項是拉格朗日量中旋量場（代表電子-正電子場）與規範場（代表電磁場）之間的相互作用項。第二項是正則楊-米爾斯泛函，描述了電磁場的基本非相互作用性質（聯絡A）。形式為$\nabla_A \psi$的項是物理學中所謂最小耦合的一個例子，即物質場$\psi$域規範場A之間最簡單的相互作用。

## 楊-米爾斯理論

數學規範理論中最主要的理論是楊-米爾斯理論，涉及聯絡的研究，聯絡是楊–米爾斯泛函的臨界點，定義為

$$\operatorname{YM}(A) = \int_X \|F_A\|^2 \, d\mathrm{vol}_g$$

其中$(X,g)$是有向黎曼流形，$d\mathrm{vol}_g$是黎曼體積形式，$\| \cdot \|^2$是配叢$\operatorname{ad}(P)$上的$L^2$-範數。此泛函是聯絡A的曲率的$L^2$-範數的平方，因此臨界點聯絡的曲率儘可能小（或者是$\operatorname{YM}$的更高局部極小值）。

這些臨界點被表為相關歐拉-拉格朗日方程，即楊–米爾斯方程

$$d_A \star F_A = 0$$

解，其中$d_A$是$\nabla_A$在$\operatorname{ad}(P)$上的誘導外協變導數，$\star$是霍奇星算子。這樣的解稱作楊–米爾斯聯絡，具有重要幾何意義。

比安基恆等式斷言，對任何聯絡，$d_A F_A = 0$。以此類推，對微分形式，調和形式$\omega$滿足條件

$$d \star \omega = d \omega = 0.$$

若定義調和聯絡的條件是

$$d_A \star F_A = d_A F_A = 0$$

則楊–米爾斯聯絡的研究在性質上類似於調和形式的研究。霍奇理論為每個德拉姆上同調類$[\omega]$提供了唯一的調和形式代表；用規範軌跡$\{u\cdot A \mid u\in \mathcal{G}\}$代替上同調類，則研究就是試圖在聯絡模規範變換的商空間$\mathcal{A}/\mathcal{G}$中尋找每個軌道的唯一代表。

### 自偶與反自偶方程

4維中，霍奇星算子將2-形式送到2-形式：$\star: \Omega^2(X) \to \Omega^2(X)$，複合後等於恆等算子$\star^2 = \operatorname{Id}$。於是2-形式上的霍奇星算子的特徵值為$\pm 1$，有向黎曼4維流形上的2-形式分裂為直和

$$\Omega^2(X) = \Omega_+ (X) \oplus \Omega_-(X)$$

有自偶和反自偶2-形式，分別由霍奇星算子的$+1$、$-1$特徵空間給出。即，若$\star \alpha = \alpha$，則$\alpha \in \Omega^2(X)$是自偶的；若$\star \alpha = -\alpha$則是反自偶的，且每個微分2-形式都可分裂為自偶、反自偶兩部分：$\alpha = \alpha_+ + \alpha_-$。

若聯絡A在4維流形上主叢的曲率是（反）自偶的，則據比安基恆等式$d_A \star F_A = \pm d_A F_A = 0$，聯絡自動變為楊-米爾斯聯絡。方程

$$\star F_A = \pm F_A$$

是聯絡的1階偏微分方程，比完整的2階楊–米爾斯方程簡單。方程$\star F_A = F_A$稱作自偶方程，方程$\star F_A = -F_A$稱作反自偶方程，它們的解分別是自偶聯絡和反自偶聯絡。

### 降維

推導新的規範理論，可對楊–米爾斯方程進行降維。此過程要在流形X（通常是歐氏空間$X=\mathbb{R}^4$）上求楊–米爾斯方程，並要求解在平移群或其他對稱性下不變。這樣，楊–米爾斯方程便引出了描述$\mathbb{R}^3$上單極的Bogomolny方程、描述黎曼曲面上希格斯叢的希欽方程、分別在1、2、3個方向的平移對稱性下的實區間上的納姆方程。

## 低維規範理論

此節討論底流形X維度較低時的楊–米爾斯方程。由於1維中不存在2-形式、2維中2-形式上的霍奇星算子的作用是$\star: \Omega^2(X) \to C^{\infty}(X)$，所以方程大大簡化了。

### 楊–米爾斯理論

可直接在2維流形上研究楊–米爾斯方程。麥可·阿蒂亞、拉烏爾·博特研究了底流形為緊黎曼曲面時的楊–米爾斯方程理論，這時復向量叢E上楊–米爾斯聯絡的模空間有各種豐富的解釋，是理解高維方程的最簡單情形。楊–米爾斯方程即變為

$$\star F_A = \lambda(E) \operatorname{Id}_E$$

其中$\lambda(E)\in \mathbb{C}$是取決於E的拓撲常數。稱這樣的聯絡是射影平直的（projectively flat），向量叢拓撲平凡時（即$\lambda(E) = 0$）它們恰是平直聯絡。

向量叢的秩和度數互質時，楊–米爾斯聯絡的模空間$\mathcal{M}$光滑，具有自然的辛流形結構。阿蒂亞和博特觀察到，由於楊–米爾斯聯絡是射影平直的，其完整群給出了曲面基本群的射影么正表示，於是這空間可以等價描述為黎曼曲面基本群的射影么正表示的模空間，是個示性簇。那拉西姆漢–塞沙德里定理給出了這表示空間的另一種描述：與E光滑同構的穩定全純向量叢的模空間。楊–米爾斯聯絡的模空間通過這種同構獲得了複雜結構，與阿蒂亞和博特的辛結構相互作用，使其成為緊凱勒流形。

西蒙·唐納森給出了那拉西姆漢–塞沙德里定理的另一種證明，直接從楊–米爾斯聯絡傳遞到穩定全純結構。阿蒂亞和博特利用這種重表述，闡明了極值楊–米爾斯聯絡和向量叢穩定性之間的密切關係，即規範群$\mathcal{G}$作用的無限維矩映射，由曲率映射$A\mapsto F_A$本身給出。這一觀察將那拉西姆漢–塞沙德里定理表述為幾何不變量理論中肯普夫–涅斯定理的一種無窮維版本，將矩映射（此處為楊–米爾斯聯絡）的範數平方臨界點與響應代數商上的穩定點（此處為穩定全純向量叢）聯繫起來。這觀點提出以來，在規範理論和復幾何中影響深遠。

### 納姆方程

維納·納姆引入的納姆方程是在3個方向上施加平移不變，將4維中的反自偶性降維到1維得到的。具體說，我們要求聯絡形式$A=A_0 \,dx^0 + A_1 \,dx^1 + A_2 \,dx^2 + A_3 \,dx^3$不依賴於坐標$x^1, x^2, x^3$。這樣，對4個矩陣$T_0, T_1, T_2, T_3 \in C^{\infty}(I, \mathfrak{g})$在區間$I\subset \mathbb{R}$上的方程組之間的納姆方程滿足三元方程組

$$\begin{cases} \frac{dT_1}{dt} + [T_0, T_1] + [T_2, T_3] = 0\\ \frac{dT_2}{dt} + [T_0, T_2] + [T_3, T_1] = 0\\ \frac{dT_3}{dt} + [T_0, T_3] + [T_1, T_2] = 0. \end{cases}$$

納姆證明，其解（常微分方程的解易得）可用於構造Bogomolny方程的解，其描述了$\mathbb{R}^3$上的單極。奈傑爾·希欽證明了方程的解可用於構造納姆方程的解，說明這兩個問題的解是等價的。唐納森進一步證明，納姆方程的解等價於復射影線$\mathbb{CP}^1$到自身的k度有理映射，其中k是相應磁單極子的電荷。

納姆方程的解的模空間具有超凱勒流形的結構。

### 希欽方程與希格斯叢

希欽方程由奈傑爾·希欽提出，在2個方向上施加平移不變性，將4維自偶方程降到2維。這時，兩個額外聯絡形式分量$A_3 \,dx^3 + A_4 \,dx^4$可合併為一個復值自同態$\Phi = A_3 + i A_4$，當這樣表述時方程會變得共形不變（conformally invariant），於是在緊黎曼曲面而非$\mathbb{R}^2$上研究是很自然的。希欽方程指出，對復向量叢$E\to \Sigma$上的配對$(A,\Phi)$（其中$\Phi\in \Omega^{1,0}(\Sigma, \operatorname{End}(E))$）。

$$\begin{cases} F_A + [\Phi, \Phi^*] = 0\\ \bar\partial_A \Phi = 0\end{cases}$$

當中$\bar\partial_A$是$d_A$的$(0,1)$-組分。希欽方程的解稱作希欽對。

楊–米爾斯方程在緊黎曼曲面上的解對應曲面群的射影么正表示，希欽證明了希欽方程的解對應曲面群的射影復表示。希欽對的模空間（在叢的秩和度互質時）自然具有凱勒流形的結構。希欽類比阿蒂亞和博特對楊–米爾斯方程的觀察，證明希欽對對應於所謂穩定希格斯叢，後者是配對$(E, \Phi)$且$E\to \Sigma$是全純向量叢，$\Phi :E \to E\otimes K$是E的全純自同態，值位於黎曼曲面$\Sigma$的規範叢中。由無窮維矩映射構造可以證明之，而且希格斯叢的這一模空間有不同於希欽對的復結構，導致希格斯叢的模空間$\mathcal{M}$上有兩個復結構。它們結合起來形成第三個結構，使模空間成為超凱勒流形。

希欽的工作後來得到Carlos Simpson的推廣，希欽方程的解與任意凱勒流形上的希格斯叢之間的對應也稱作非阿貝爾霍奇定理。

## 3維規範理論

### 單極

對楊–米爾斯方程在1個方向上施加平移不變性，降到3維後就產生了配對$(A, \Phi)$的Bogomolny方程，其中$\Phi: \mathbb{R}^3 \to \mathfrak{g}$是矩陣族。方程是

$$F_A = \star d_A \Phi.$$

主叢$P\to \mathbb{R}^3$的結構群為圓群$\operatorname{U}(1)$時，Bogomolny方程的解模擬了經典電磁學中描述磁單極子的狄拉克單極。納姆和希欽的研究表明，結構群是特殊酉群$\operatorname{SU}(2)$時，單極方程的解對應納姆方程的解；通過唐納森的研究，這些解進一步對應於$\mathbb{CP}^1$到自身的k度有理映射，k是單極子的電荷，定義為配對$(\Phi, F_A)\in \Omega^2(\mathbb{R}^3)$在半徑R遞增的球面$S_R$上積分的極限

$$\lim_{R\to \infty} \int_{S_R} (\Phi, F_A) = 4\pi k$$

### 陳–西蒙斯理論

3維陳–西蒙斯理論是一種拓撲量子場論，其作用泛函與陳-西蒙斯形式的積分成正比。陳-西蒙斯形式是一種3-形式，定義為

$$\operatorname{Tr}(F_A \wedge A -\frac{1}{3} A\wedge A \wedge A).$$

閉3維流形X上陳-西蒙斯泛函的歐拉-拉格朗日方程經典解對應主G-叢$P\to X$上的平直聯絡。X有界時，便變得複雜起來。愛德華·威滕利用陳-西蒙斯理論，用3-球面$S^3$上的$\operatorname{SU}(2)$陳–西蒙斯理論中威爾森循環的真空期望值表達了瓊斯多項式（一種扭結不變量）。這充分展示了規範理論為拓撲學提供新見解的能力，也是拓撲量子場論的最早實例之一。

在經典陳-西蒙斯理論的量子化中，我們研究主叢上的誘導平直或射影平直聯絡，被限制到3維流形內的曲面$\Sigma \subset X$。曲面對應的經典狀態空間正是阿蒂亞和博特研究的楊–米爾斯方程的模空間。空間的幾何量子化由希欽與Axelrod–Della Pietra–Witten獨立實現，在結構群為復時，構型空間是希格斯叢的模空間，其量子化由威滕實現。

### 弗洛爾同調

安德烈斯·弗洛爾引入了一種3維流形上的同調，定義類似於有限維莫爾斯同調。當中，莫爾斯函數是$\operatorname{SU}(2)$主叢在3維流形X上的聯絡空間上的陳-西蒙斯泛函。臨界點是平直聯絡，流線定義為$M\times I$上的楊–米爾斯瞬子，限制到兩邊界組分上的臨界平直聯絡，這產生了瞬子弗洛爾同調。阿蒂亞-弗洛爾猜想斷言，瞬子杜弗洛爾同調與$\Sigma\subset X$面上平直聯絡的模空間的拉格朗日交弗洛爾同調一致，後者定義了X的希加德分裂（Heegaard splitting），由阿蒂亞和博特的觀察是辛的。

與瞬子弗洛爾同調類似，可以定義塞伯格-威滕弗洛爾同調，將瞬子替換為塞伯格-威滕方程的解。克利福德·陶布斯的研究表明，這與嵌入切觸同調和之後的希加德弗洛爾同調是同構的。

## 4維規範理論

4維規範理論的研究最為深入，數學研究與物理起源關係密切，因為標準模型可看做4維時空上的量子場論。4維規範理論的研究會自然引出拓撲量子場論，這類理論是對4維底流形的黎曼度量變化不敏感的規範場論，因此可用於定義流形（或光滑結構）的拓撲不變量。

### 反自偶方程

4維楊–米爾斯方程可簡化為1階反自偶方程$\star F_A = -F_A$，其中A是4維有向黎曼流形X上主叢$P\to X$上的聯絡。楊–米爾斯方程的這些解代表了楊–米爾斯泛函的絕對最小值，更高階的臨界點則對應不來自反自偶聯絡的解$d_A \star F_A = 0$。反自偶方程的解的模空間$\mathcal{M}_P$允許我們推導出底4維流形的有用不變量。

這一理論在X單連通時最有效。例如，唐納森定理指出，若4維流形具有負定交形式，且若主叢以特殊酉群$\operatorname{SU}(2)$為結構群、第二陳類$c_2(P) = 1$，則模空間$\mathcal{M}_P$是5維的，且給出X自身同$\mathbb{CP}^2$的$b_2(X)$副本的反向不交並之間的配邊。這說明，這類4維流形的交形式是可對角化的。有些單連通的拓撲4維流形的交形式不可對角化，例如E8流形。所以，唐納森定理意味著存在沒有光滑結構的拓撲4維流形。這與2、3維情形形成鮮明對比，當中拓撲結構和光滑結構等價：任何維數不大於3的的拓撲流形上都有唯一的光滑結構。

克利福德·陶布斯和唐納森也用類似手法證明，歐氏空間$\mathbb{R}^4$具有不可數無窮多個不同的光滑結構；而在維度不等於4時，歐氏空間具有唯一的光滑結構。

這些觀點的延伸產生了唐納森理論，其從光滑4維流形的聯絡模空間中構造出光滑4維流形的更多不變量。凱倫·烏倫貝克、陶布斯與唐納森的分析工作顯示了模空間的有向性與緊性，確保了模空間基本類存在。這些不變量就是求模空間上的上同調類與基本類得到的。

4維流形是凱勒流形或代數曲面，且主叢具有趨於0的第一陳類時，反自偶方程等價於複流形X上的厄米楊-米爾斯方程。唐納森證明代數曲面情形、烏倫貝克和丘成桐推廣到一般情形的小林–希欽對應指出，HYM方程的解對應全純穩定向量叢。這項研究給出了模空間及其緊化的另一種代數描述，因為複流形上的半穩定全純向量叢模空間的模空間是射影簇，因此是緊的。這表明，緊化聯絡模空間的的一種方法是加入對應於半穩定向量叢的聯絡，即所謂殆厄米楊-米爾斯聯絡。

### 塞伯格–威滕方程

在研究4維超對稱的過程中，愛德華·威滕和內森·塞伯格發現了一個聯絡A與旋量場$\psi$構成的方程組，現在稱之為塞伯格–威滕方程。這時，4維流形必須包含一個SpinC結構，它定義了一個具有定線叢L的主SpinC叢P，以及一個相關的旋量叢$S^+$。聯絡A在L上，旋量場$\psi \in \Gamma(S^+)$。塞伯格–威滕方程為

$$\begin{cases} F_A^+ = \psi \otimes \psi^* - \frac{1}{2} |\psi|^2\\ d_A \psi = 0.\end{cases}$$

解稱作單極（monopole），其模空間$\mathcal{M}_{\sigma}$（$\sigma$表示自旋結構的選擇）用於推導塞伯格–威滕不變量。塞伯格–威滕方程與反自偶方程相比有個優勢：可對方程本身加以微擾，使解的模空間具有更好的性質，為此可在第一個方程添加任意自偶2-形式。對底4維流形上的度量g的一般選擇及微擾2-形式的選擇，解的模空間是緊光滑流形。在較好情形（流形X是簡單類型）下，這模空間是0維的：點的有限集合。這時塞伯格–威滕不變量就是模空間中的點數。塞伯格–威滕不變量可用於證明很多餘唐納森不變量相同的結果，但通常更容易，適用範圍也更廣。

## 高維規範理論

### 厄米楊–米爾斯方程

凱勒流形或厄米流形上可以研究一類特殊的楊–米爾斯聯絡。厄米楊–米爾斯方程將4維楊–米爾斯理論中的反自偶方程推廣為任意維厄米複流形上的全純向量叢。若$E\to X$是緊凱勒流形$(X,\omega)$上的全純向量叢、A是E上的厄米聯絡，與某個厄米度量h有關，則厄米楊–米爾斯方程可表為

$$\begin{cases} F_A^{0,2} = 0\\ \Lambda_{\omega} F_A = \lambda(E) \operatorname{Id}_E, \end{cases}$$

其中$\lambda(E)\in \mathbb{C}$是取決於E的拓撲常數。它們可以視作是厄米聯絡A的方程，也可視作是相應厄米度量h與相關陳聯絡A的方程。4維空間中，HYM方程等價於ASD方程。2維空間中，HYM方程對應阿蒂亞和博特的楊–米爾斯方程。小林–希欽對應指出，HYM方程的解對應多穩全純向量叢。對緊黎曼曲面，這是唐納森證明的那拉西姆漢–塞沙德里定理；代數曲面情形，是唐納森證明的；一般情形是由凱倫·烏倫貝克和丘成桐證明的。辛普森在非阿貝爾霍奇定理中推廣了這一定理，實際上它是希格斯叢的希格斯場$(E, \Phi)$置為0時的特例。

### 異常完整瞬子

楊–米爾斯方程的解在定義4維流形不變量時的有效性引發了人們的興趣，它們可能有助於區分特殊完整流形，如7維G2流形與8維Spin(7)流形，以及相關的結構，如6維卡拉比–丘流形與近凱勒流形。

### 弦論

超弦理論模型產生了新的規範理論問題。這類模型中，宇宙是由4維規則時空和6維卡拉比-丘流形組成的10維對象，作用於弦的場在高維空間的叢上生存，人們對與之相關的規範理論很感興趣。例如，弦半徑趨近於0時（即所謂「大體積極限」），超弦理論中的自然場論在6維卡拉比-丘流形上的極限由流形上的厄米楊–米爾斯方程給出。遠離大體積極限，便得到變形厄米楊–米爾斯方程，描述了超弦B模型中D膜的運動方程。鏡像對稱猜想預言，方程的解對應鏡像對偶卡拉比-丘流形的特殊拉格朗日子流形。