微分疊

微分疊是代數幾何中的代數疊在微分幾何中的類似物，可描述為微分流形上的疊，也可描述為森田等價下的李群胚。

微分疊很適合處理有奇點的空間（如軌形、葉空間、商），它們自然出現在微分幾何中，且不是可微流形。例如，微分疊在葉狀結構、泊松流形和扭K理論中都有應用。

## 定義

### 定義1（由廣群纖維化）

回想在廣群中纖維化的範疇（或稱廣群纖維化），包含範疇$\mathcal{C}$、到微分流形範疇的函子$\pi: \mathcal{C} \to \mathrm{Mfd}$，並滿足

- $\mathcal{C}$是纖維範疇，即對任意對象$u\in\mathcal{C}$和任意箭頭$V \to U\ \in\mathrm{Mfd}$，都有箭頭$v \to u$，在$V \to U$上。
- 對$\mathrm{Mfd}$中的任意交換三角$W \to V \to U$及$W \to U$上的任意箭頭$w \to u$、$V \to U$上的$v \to u$，在$W \to V$上存在唯一的箭，使三角$w \to v \to u$交換。

這些性質確保$\forall U\in \mathrm{Mfd}$，都可以定義其纖維$\pi^{-1}(U)$或$\mathcal{C}_U$，作為$\mathcal{C}$的子範疇，由$\mathcal{C}$在U上的所有對象和在$id_U$上的所有態射組成。根據這構造，$\pi^{-1}(U)$是廣群。疊是滿足膠合性質的廣群纖維，用下降表述。

任何流形X都定義了其頂範疇 $F_X = \mathrm{Hom}_{\mathrm{Mdf}} (-, X)$，對象是流形U與光滑映射$f: U \to X$組成的對子$(U,f)$；則$F_X \to \mathrm{Mdf}, (U,f) \mapsto U$是廣群纖維，實際上也是疊。廣群纖維的態射$\mathcal{C} \to \mathcal{D}$若滿足以下條件，則稱作可表浸沒：

- 對流形U和任意態射$F_U \to \mathcal{D}$，纖維積$\mathcal{C} \times_{\mathcal{D}} F_U$可表，即（對某個流形Y）與作為廣群纖維的$F_V$同構。
- 誘導光滑映射$V \to U$是浸沒。

對流形X，微分疊是疊$\pi: \mathcal{C} \to \mathrm{Mfd}$與特殊的可表浸沒$F_X \to \mathcal{C}$（上述每個浸沒$V \to U$都需要是滿射）。映射$F_X \to \mathcal{C}$稱作疊X的圖集、呈現或覆疊。

### 定義2（由2-函子）

回想範疇$\mathcal{C}$上（廣群的）預疊（也稱作2-預層），是2-函子 $X: \mathcal{C}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$，其中$\mathrm{Grp}$是（集合論）廣群的2-範疇、及其間的態射和自然變換。疊是滿足膠合性質的預疊（類似層滿足的膠合性質）。要精確說明這性質，需要定義景上的（預）疊，即配備了格羅滕迪克拓撲的範疇。

所有對象$M \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$定義了疊$\underline{M} := \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(-,M)$，與另一對象$N \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$關聯，形成態射$N\to M$的廣群$\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(N,M)$。現有疊$X: \mathcal{C}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$，若有對象$M \in \mathrm{Obj}(\mathcal{C})$與疊的態射$\underline{M} \to X$（常稱作疊X的圖集、呈現或覆疊）滿足以下性質，則稱其幾何的：

- 態射$\underline{M} \to X$可表，即$\forall Y\in \mathcal{C}$和任何態射$Y \to X$，纖維積$\underline{M} \times_X \underline{Y}$同構於作為疊的$\underline{Z}$（對某對象Z）。
- 誘導態射$Z \to Y$滿足取決於範疇$\mathcal{C}$的範疇（如對流形，是要滿足浸沒。

微分疊是$\mathcal{C} = \mathrm{Mfd}$（微分流形範疇，視作具有通常開覆疊拓撲的景）上的疊，即2-函子$X: \mathrm{Mfd}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$，其也滿足幾何性，即承認上面定義的圖集$\underline{M} \to X$。

注意，將$\mathrm{Mfd}$換成仿射概形範疇，就恢復到標準代數疊概念。相似地，把$\mathrm{Mfd}$換成拓撲空間範疇，就得到拓撲疊定義。

### 定義3（由森田等價）

回想李群胚，包含兩微分流形G、M、兩滿射浸沒$s,t: G \to M$、偏乘法映射$m: G \times_M G \to G$、單位映射$u: M \to G$、逆映射$i: G \to G$，滿足類似群的相容性。

兩個李群胚$G \rightrightarrows M$、$H \rightrightarrows N$間若有主雙叢P，即有主右H叢$P \to M$、主左G叢$P \to N$，使得對P的兩作用交換，則稱G、H森田等價。森田等價是李群胚間的等價，比同構弱，但足以保留許多幾何性質。

微分疊記作$[M/G]$，是某李群胚$G \rightrightarrows M$的森田等價類。

### 定義1、2的等價性

任何纖維範疇$\mathcal{C} \to \mathrm{Mdf}$都定義了2-層$X: \mathrm{Mdf}^{opp} \to \mathrm{Grp}, U \mapsto \pi^{-1}(U)$。反過來，任何預疊$X: \mathrm{Mdf}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$給出了範疇$\mathcal{C}$，其對象是流形U與對象$x \in X(U)$的對子$(U,x)$，態射是映射$\phi: (U,x) \to (V,y)$，使$X (\phi) (y) = x$。這樣的$\mathcal{C}$配備函子$\mathcal{C} \to \mathrm{Mdf}, (U,x) \mapsto U$後，成為纖維範疇。

定義1、2中疊的膠合性質等價，同樣，定義1中的圖集誘導了定義2中的圖集，反之亦然。

### 定義2、3的等價性

李群胚$G \rightrightarrows M$給出了微分疊$BG: \mathrm{Mfd}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$，將任何流形N發送到N上的G-旋子的範疇（即G-主叢）。$G \rightrightarrows M$的森田類中，任何其他李群胚都誘導了一個同構疊。

反過來，任何微分疊$X: \mathrm{Mfd}^\text{opp} \to \mathrm{Grp}$都是$BG$形式，即可由李群胚表示。更精確地說，若$\underline{M} \to X$是疊X的圖集，則可定義李群胚$G_X:= M \times_{X} M \rightrightarrows M$，並檢查$BG_X$是否同構於X。

Dorette Pronk提出的一個定理指出，定義1的微分疊與李群胚之間的雙範疇具有森田等價性。

## 示例

- 任何流形M定義了微分疊$\underline{M} := \mathrm{Hom}_{\mathrm{Hom}}(-,M)$，由恆等映射$\underline{M} \to \underline{M}$平凡地表示。疊$\underline{M}$對應單位廣群$u(M) \rightrightarrows M$的森田等價類。
- 李群G定義了微分疊$BG$，將任意流形N發送到N上的G-主叢的範疇，由平凡疊態射$\underline{pt} \to BG$表示，將一點發送到G的分類空間上的通用G-叢。疊$BG$對應$G \rightrightarrows \{ *\}$的森田等價類，視作點上的李群胚（即任意具有迷向群G的傳遞李群胚的森田等價類）。
- 流形M上的葉狀結構$\mathcal{F}$由其葉空間定義了微分疊，對應完整廣群$\mathrm{Hol} (\mathcal{F}) \rightrightarrows M$的森田等價類。
- 軌形都是微分疊，因為其是具有離散迷向的緊合李群胚（緊合李群胚的迷向是緊的，所以有限）的森田等價類。

### 商微分疊

給定M上的李群作用$a: M \times G \to M$，其商（微分）疊是代數幾何中商（代數）疊的可微部分。其定義為與流形X、主G-叢範疇$P \to X$和G-等價映射$\phi: P \to M$相聯繫的疊$[M/G]$，是由疊態射$\underline{M} \to [M/G]$表示的微分疊，在任意流形X上的定義如下：

$$\underline{M}(X) = \mathrm{Hom}(X,M) \to [M/G](X), \quad f \mapsto (X \times G \to X, \phi_f)$$

其中$\phi_f: X \times G \to M$是G-等價映射$\phi_f = a \circ (f \circ \mathrm{pr}_1, \mathrm{pr}_2): (x,g) \mapsto f(x) \cdot g$。

疊$[M/G]$對應作用廣群$M \times G \rightrightarrows M$的森田等價類。於是，可得到下列特殊情形：

- 若M是點，則微分疊$[M/G]$與$BG$重合
- 若作用是半正則緊合作用（於是商$M/G$是流形），則微分疊$[M/G]$與$\underline{M/G}$重合
- 若作用是緊合作用（於是商$M/G$是軌形），則微分疊$[M/G]$與軌形定義的疊重合

## 微分空間

微分空間（differentiable space）是具有平凡穩定子的微分疊。例如，若李群半正則作用（不必緊合）於流形，則對其的商一般不是流形，而是微分空間。

## 配備格羅滕迪克拓撲

微分疊X可以某種方式配備格羅滕迪克拓撲，這給出了X上的層概念。例如，X上微分p形式的層$\Omega_X^p$可由流形U上$\forall x\in X$給出，使$\Omega_X^p(x)$為U上p形式的空間。層$\Omega_X^0$稱作X上的結構層，表示為$\mathcal{O}_X$。$\Omega_X^*$帶有外微分，因此是X上向量空間的復層：於是有了X的德拉姆上同調的概念。

## 束

現有微分疊間的滿態射$G \to X$，若$G \to G \times_X G$也是滿態射，則前者稱作X上的束。例如，若X是疊，則$BS^1 \times X \to X$是束。Giraud提出的一條定理稱，$H^2(X, S^1)$一一對應於局部同構於$BS^1 \times X \to X$的X上的束集，束有其帶（band）的平凡化。