巴拿赫-阿勞格魯定理

泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（Banach–Alaoglu theorem或Alaoglu's theorem）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱*拓撲中為緊。常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪諾夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。

定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。

## 歷史

納里奇（Narici）與貝肯斯坦（Beckenstein）書中，稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於弱*拓撲唯一（the）最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」1912年，赫利（Helly）證明，閉區間上連續函數的空間$C([a, b])$，其連續對偶空間的單位球，為弱*可數緊。1932年，斯特凡·巴拿赫證明，任何可分賦範向量空間的連續對偶中，閉單位球必為弱*序列緊（他僅考慮了序列緊）。

一般情況的證明，是由列奧尼達·阿勞格魯於1940年發表。納里奇與貝肯斯坦書中，引述Pietsch 2007指，至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。

布爾巴基-阿勞格魯定理（Bourbaki–Alaoglu theorem）是尼古拉·布爾巴基將原定理推廣到局部凸空間的對偶拓撲的結果。此定理亦稱為巴拿赫-阿勞格魯定理或弱*緊定理（weak-* compactness theorem），也常簡稱為阿勞格魯定理（Alaoglu theorem）。

## 敍述

### 一般敍述

對於域$\mathbb{K}$上的向量空間$X$，以$X^{\#}$表示其代數對偶（所有線性泛函組成的空間）。兩者由雙線性求值映射$\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle : X \times X^{\#} \to \mathbb{K}$所聯繫，該映射由

$$\left\langle x, f \right\rangle := f(x)$$

定義。所以，三元組$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$（兩個空間及一個映射）組成對偶系，稱為典範對偶系。

若$X$進一步具有拓撲，即為拓撲向量空間（TVS），則可分辨其上的函數連續與否，並定義其連續對偶$X^{\prime}$為代數對偶$X^{\#}$中，連續泛函組成的子集。以$\sigma\left(X^{\#}, X\right)$表示$X^{\#}$上的弱*拓撲。類似有$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$是$X^{\prime}$上的弱*拓撲。

弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲，因為給定映射$f$和一網映射$f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}$，網$f_{\bull}$在弱*拓撲中收斂至$f$，當且僅當對定義域中每點$x$，函數值組成的網$\left(f_i(x)\right)_{i \in I}$收斂到$f(x)$。

阿勞格魯定理

設$X$為任意拓撲向量空間（無需豪斯多夫或局部凸），$X^{\prime}$為其連續對偶，則對於$X$中原點的任何鄰域$U$（$0 \in U \subseteq X$），其極集

$$U^{\circ} = \left\{ x^{\prime} \in X^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left| x^{\prime}(x) \right| \leq 1 \right\} \subseteq X',$$

在$X^{\prime}$上的弱拓撲更明確地說，子集$B^{\prime} \subseteq X^{\prime}$稱為「弱*拓撲中的緊集」，意思是若$X^{\prime}$配備弱*拓撲，而子集$B^{\prime}$從空間$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$繼承子空間拓撲，則$B^{\prime}$為緊空間。將「緊集」換成其他性質（如「完全有界」）亦同。$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$中，必為緊集。

此外，$U^{\circ}$亦是$U$相對於典範對偶系$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$的極集，在拓撲空間$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$同樣為緊。

### 賦範特例

若$X$為賦範向量空間，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若$U$為$X$的開（或閉）單位球，則$U$的極集為連續對偶空間$X^{\prime}$的閉單位球（對偶空間配備平常的對偶範數）。此時，定理化為以下特例：

巴拿赫-阿勞格魯定理

若$X$為賦範空間，則連續對偶空間$X^{\prime}$中，算子範數的閉單位球，為弱*拓撲中的緊集。

當$X$的連續對偶$X^{\prime}$是無窮維賦範空間時，$X^{\prime}$中的閉單位球，不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是，範數拓撲的閉單位球為緊，當且僅當空間為有限維（見F·里斯定理）。此定理顯示出，在同一個向量空間上，考慮不同的拓撲，到㡳有何用。

但注意，巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為局部緊，因為僅知閉單位球在強拓撲中為原點的鄰域，在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中，單位球的內部可能為空，除非空間為有限維。實際上，韋伊證明，局部緊的豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。

## 證明

### 對偶理論證明

記$X$的基域為$\mathbb{K}$，此處為實數域$\R$或複數域$\Complex$。證明會用到極集、對偶系、連續線性算子的基本性質，可參見該些條目，以下亦會簡單提及。

先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶$X^{\#}$配備弱*拓撲$\sigma\left(X^{\#}, X\right)$時，為一個豪斯多夫局部凸拓撲向量空間拓撲向量空間，記為$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$。空間$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$總是完備拓撲向量空間，但連續對偶$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$則不一定，此即證明需牽涉$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$的原因。具體而言，本證明用到的性質是：完備豪斯多夫空間的子集為緊，當且僅當其為閉，且完全有界。注意$X^{\prime}$從$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$繼承的子空間拓撲，等於弱*拓撲$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$。為驗證此事，只需檢查對每個$x^{\prime} \in X^{\prime}$，$X^{\prime}$中的網在其中一個拓撲中收斂到$x^{\prime}$，當且僅當在另一個拓撲中亦然（因為兩個拓撲結構相等，當且僅當其具有的收斂網完全一樣）。

三元組$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$也是對偶系（有雙線性映射$(x, f) \mapsto f(x)$），但與$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$不同，前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時，會註明是對於何種對偶而言。

設$U$為$X$原點的鄰域，又設：

- $U^{\circ} = \left\{ f \in X^{\prime} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\}$為$U$相對$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$的極集。
- $U^{\circ\circ} = \left\{ x \in X ~:~ \sup_{f \in U^{\circ}} | f(x) | \leq 1 \right\}$為$U$相對$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$的極集。
- $U^{\#} = \left\{ f \in X^{\#} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\}$為$U$相對$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$的極集。

極集的基本性質有$U^{\circ\circ\circ} \subseteq U^{\circ}$。

下證巴拿赫-阿勞格魯定理，分若干步：

- 先證$U^{\#}$在拓撲$\sigma\left(X^{\#}, X\right)$中為$X^{\#}$的閉子集：設$f \in X^{\#}$，又假設$f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}$為$U^{\#}$中的網，在$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$中收斂到$f$。欲證$f \in U^{\#}$，即$|f(u)| \leq 1$對任意$u \in U$皆成立。因為在純量域$\mathbb{K}$中，$f_i(u) \to f(u)$，而每個值$f_i(u)$皆屬於（$\mathbb{K}$的）閉子集$\left\{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq 1 \right\}$，故網的極限$f(u)$亦必在該子集中。於是$|f(u)| \leq 1$。
- 其次，欲證$U^{\#} = U^{\circ}$，以推出$U^{\circ}$既是$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$的閉子集，亦是$\left(X^{\prime}, \sigma\left(X^{\prime}, X\right)\right)$的閉子集：有包含關係$U^{\circ} \subseteq U^{\#}$，因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之，欲證$\,U^{\#} \subseteq U^{\circ}$，設$f \in U^{\#}$滿足$\;\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1$，換言之線性泛函$f$在鄰域$U$上有界，而泛函有界等價於連續，故$f \in X^{\prime}$，從而$f \in U^{\circ}$，即所求證。用第1步，結合交集$U^{\#} \cap X^{\prime} = U^{\circ} \cap X^{\prime} = U^{\circ}$在$X^{\prime}$的子空間拓撲中為閉，推得$U^{\circ}$為閉。
- 欲證$U^{\circ}$對$X^{\prime}$的$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$拓撲而言是完全有界子集：由二重極集定理，$U \subseteq U^{\circ\circ}$，又因為鄰域$U$為$X$中的吸收集，$U^{\circ\circ}$亦同。可以證明，此結論推出$U^{\circ}$是$X^{\prime}$對$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$而言的有界集 (拓撲向量空間)。由於$X$對偶系$X^{\prime}$各點，$X^{\prime}$的子集在$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$意義下有界，當且僅當在同樣意義下完全有界。所以，尤其有$U^{\circ}$在$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$意義下完全有界。
- 欲證$U^{\circ}$亦為$X^{\#}$在$\sigma\left(X^{\#}, X\right)$拓撲下的完全有界子集：已知$X^{\prime}$上，$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$拓撲等於$X^{\prime}$從$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$繼承的子空間拓撲，結合第3步與「完全有界」的定義，即推出$U^{\circ}$為$X^{\#}$在$\sigma\left(X^{\#}, X\right)$拓撲下的完全有界子集。
- 最後，欲證$U^{\circ}$為$X^{\prime}$在$\sigma\left(X^{\prime}, X\right)$拓撲下的緊子集：因為$\left(X^{\#}, \sigma\left(X^{\#}, X\right)\right)$為完備拓撲向量空間，又$U^{\circ}$為其閉（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以$U^{\circ}$為緊。定理證畢。

### 較初等的證明

以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用拓撲空間中的網、積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯（為方便起見，證明中也會給出部分細節）。同時也要瞭解，線性泛函為連續，當且僅當其在原點的某個鄰域上有界（見次線性泛函）。

設向量空間$X$的基域為$\mathbb{K}$，為實數系$\R$或複數系$\Complex$兩者之一。對任意實數$r$，以

$$B_r := \{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq r \}$$

表示以原點為球心，半徑為$r$的閉球。在$\mathbb K$中，此為緊的閉集。

#### 極集的等價表示

由於$U$是$X$中原點的鄰域，可知$U$亦是$X$的吸收集，即對每個$x \in X$，皆有正實數$r_x > 0$使$x \in r_x U := \left\{ r_x u : u \in U \right\}$。以

$$U^{\#} := \left\{ f \in X^{\#} ~:~ \sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1 \right\} ~=~ \left\{ f \in X^{\#} ~:~ f(U) \subseteq B_1 \right\}$$

表示$U$相對典範對偶系$\left\langle X, X^{\#} \right\rangle$的極集。將證明，此極集$U^{\#}$，與定理提到，$U$相對$\left\langle X, X^{\prime} \right\rangle$的極集$U^{\circ}$，兩者相等。

$U^{\circ} \subseteq U^{\#}$成立，是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之，欲證$U^{\#} \subseteq U^{\circ}$，設$f \in U^{\#}$滿足$\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1$，即線性泛函$f$在鄰域$U$上有界。所以$f$是連續線性算子（換言之$f \in X^{\prime}$），從而有$f \in U^{\circ}$，即所求證。

至此，已證明$U^{\circ} = U^{\#}$若$\tau$表示$X$原有的拓撲，則等式$U^{\circ} = U^{\#}$說明，$U$的極集$U^{\circ} = \left\{ x^{\prime} \in X^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left| x^{\prime}(x) \right| \leq 1 \right\}$，僅取決於$U$和$X^{\#}$，其餘拓撲結構$\tau$可忽略不理。更明確說，假設$\sigma$是$X$上另一個向量空間拓撲，使得$(X, \sigma)$為拓撲向量空間，且集合$U$在$(X, \sigma)$仍為原點的鄰域。記$(X, \sigma)$的連續對偶為$(X, \sigma)^{\prime}$，並記$U$相對$(X, \sigma)$的極集為 :$U^{\circ, \sigma} := \left\{ x^{\prime} \in (X, \sigma)^{\prime} ~:~ \sup_{x \in U} \left|x^{\prime}(x)\right| \leq 1 \right\}.$ （此定義下，$U^{\circ, \tau}$祇是舊的$U^{\circ}$。）則$U^{\circ, \tau} = U^{\circ, \sigma}$，因為兩者分別等於$U^{\#}$。換言之，極集$U^{\circ, \sigma}$的定義條件中，「$U^{\circ, \sigma}$是連續對偶空間$(X, \sigma)^{\prime}$子集」一項可以無視，因為對所得的線性泛函集合毫無影響。然而，若$\nu$是$X$上另一個向量空間拓撲 is a TVS topology on $X$，令$U$不是$(X, \nu)$原點的鄰域，則$U$相對$(X, \nu)$的極集$U^{\circ, \nu}$，不保證等於$U^{\#}$，所以不能如此無視拓撲$\nu$。餘下的證明中，需理解笛卡兒積$\prod_{x \in X} \mathbb{K}$與所有$X \to \mathbb{K}$的映射構成的空間$\mathbb{K}^X$等同。仍需證明以下兩個命題：

- $U^\circ$為$\mathbb{K}^X$的閉子集。
- 此處$\mathbb{K}^X = \prod_{x \in X} \mathbb{K}$配備的是逐點收斂拓撲，等同於積拓撲。
- $$U^\circ \subseteq \prod_{x \in X} B_{r_x}.$$
- 其中$B_{r_x} \subseteq \mathbb{K}$表示以原點$0$為球心，$r_x$為半徑的閉球。本證明開始時，對每個$x \in X$，已定義$r_x$為使$x \in r_x U$的任意一個實數$r_x > 0$。特別地，對於$u \in U$，可以選$r_u := 1$。

以上命題推出，$U^\circ$為$\prod_{x \in X} B_{r_x}$的閉子集，而由吉洪諾夫定理，該積空間為緊由於每個$B_{r_x}$也是豪斯多夫空間，只用到吉洪諾夫定理的緊豪斯多夫情況，便足以說明$\prod_{x \in X} B_{r_x}$為緊。該特殊情況等價於超濾子引理，而比選擇公理嚴格弱。（因為每個閉球$B_{r_x}$皆為緊）。因為緊空間的閉子集仍為緊，所以有$U^{\circ}$為緊集，從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。

#### 極集為閉

以下證明前述命題1。代數對偶$X^{\#}$總是積空間$\mathbb{K}^X = \prod_{x \in X} \mathbb{K}$ 的閉子集「線性泛函」的要求，可以寫成許多條等式如$f(x+y) = f(x) + f(y)$之合取。每個要求皆是閉條件，即其對應的子集為閉集。而閉集的任意交仍為閉，所以線性泛函組成的集合為閉集。要證明$U^\circ$在$\mathbb{K}^X$中為閉，祇需證明集合

$$\widetilde{U}^\circ ~:=~ \left\{ f \in \mathbb{K}^X ~:~ \sup_{u \in U} |f(u)| \leq 1 \right\}$$

是$\mathbb{K}^X$的閉子集，因為若有此結論，則$\widetilde U^\circ \cap X^{\#} = U^{\#} = U^\circ$是$\mathbb{K}^X$中兩閉集之交，故亦為閉集。

設$f \in \mathbb{K}^X$，又設$f_{\bull} = \left(f_i\right)_{i \in I}$為$\widetilde{U}^\circ$中的網，在$\mathbb{K}^X$中收斂到$f$。需要證明$f \in \widetilde{U}^\circ$。換言之，要證對每個$u \in U$，$|f(u)| \leq 1$（或等價寫成$f(u) \in B_1$）。由於在純量域$\mathbb{K}$中，$\left(f_i(u)\right)_{i \in I} \to f(u)$，且每項$f_i(u)$皆屬於$\mathbb{K}$中的閉子集$B_1 = \left\{ s \in \mathbb{K} : |s| \leq 1 \right\}$，此網的極限$f(u)$亦必屬於該閉集，即$f(u) \in B_1$。證畢命題1。

上述證明可以推廣，以論證以下命題：

設$U \subseteq X$為任意集合，$B \subseteq Y$為拓撲空間$Y$的閉子集，則在$Y^X$的逐點收斂拓撲中，$P_U := \left\{ f \in Y^X ~:~ f(U) \subseteq B \right\}$為閉子集。

命題1為其特殊情況，取$Y := \mathbb{K}$和$B := B_1$便得。

#### 極集包含於緊空間之積

以下證明前述命題2。對任意$z \in X$，以$\Pr{}_z : \prod_{x \in X} \mathbb{K} \to \mathbb{K}$表示到第$z$個坐標的投影 (集合論)。欲證$U^\circ \subseteq \prod_{x \in X} B_{r_x}$。換言之，欲對每個$x \in X$，證明$\Pr{}_x(U^\circ) \subseteq B_{r_x}$。

於是選定$x \in X$，設$f \in U^\circ$；要證$\Pr{}_x(f) := f(x) \in B_{r_x}$。由$r_x$的定義，$x \in r_x U$，故$\,u_x := \left(\frac{1}{r_x}\right) x \in U$。因為$f \in U^\circ = U^{\#}$，線性泛函$f$滿足$\;\sup_{u \in U} | f(u) | \leq 1$，所以由$u_x \in U$，可知

$$\frac{1}{r_x}| f(x) | = \left|\frac{1}{r_x} f(x)\right| = \left|f\left(\frac{1}{r_x} x\right)\right| = \left|f\left(u_x\right)\right| \leq \sup_{u \in U} |f(u)| \leq 1.$$

所以$| f(x) | \leq r_x$，即$f(x) \in B_{r_x}$，證畢命題2。

## 序列版本

巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況，對可分空間使用，並將「緊」換成「序列緊」。此時定理斷言：

可分賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱*拓撲下是序列緊。

### 可度量

實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱*拓撲可度量，故緊與序列緊等價。

明確而言，設$X$為可分賦範向量空間，而$B$為連續對偶$X^{\prime}$中的閉單位球。根據$X$可分的定義，有某個可數稠密子集，列舉為$x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$。則下式定義一個度量：對於$x, y \in B$。

$$\rho(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \, 2^{-n} \, \frac{\left|\langle x - y, x_n \rangle\right|}{1 + \left|\langle x - y, x_n \rangle\right|,}$$

其中$\langle\cdot,\cdot\rangle$表示$X^{\prime}$與$X$的對偶匹配，即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下，$B$為序列緊之事，用類似阿爾澤拉-阿斯科利定理的對角線證法，即可證明。

由於證明本質為構造性（而非如一般情況，用到非構造性的選擇公理），在偏微分方程學中，有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理，構造偏微分方程或變分問題的解。舉例，若有某個可分賦範空間$X$，其對偶上有泛函$F : X^{\prime} \to \R$，欲求最小值，則常見策略是先構造序列$x_1, x_2, \ldots \in X^{\prime}$，使$F$的泛函值趨向下確界，然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理，取出子序列$(x_{n_k})_k$，在弱*拓撲下收斂到極限$x$，並確定$x$使$F$取最小值。最後一步通常要求$F$在弱*拓撲下為（序列）下半連續。

考慮另一個例子，設$X = C_0(\R)$為實軸上，在無窮遠處消失的連續函數組成的空間，則由里斯-馬可夫表示定理，$X^{\prime}$為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於赫利選擇定理。

### 證明

下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。

對每個$x \in X$，設

$$D_x = \{ z \in \Complex : | z | \leq \|x\| \},$$

以及

$$D = \prod_{x \in X} D_x.$$

因為$D_x$是複平面的緊子集，$D$在積拓撲中亦為緊（根據吉洪諾夫定理）。

$X^{\prime}$中的閉單位球$B_1\left(X^{\prime}\right)$，可以自然地看成$D$的子空間：考慮映射

$$f \in B_1\left(X^{\prime}\right) \mapsto (f(x))_{x \in X} \in D,$$

其為單射，且對於$B_1\left(X^{\prime}\right)$的弱*拓撲和$D$的積拓撲而言，是連續映射。在像集上，映射的逆也連續。

欲完成定理的證明，只需證明映射的像為閉集。給定網$D$中的網

$$\left(f_{\alpha}(x)\right)_{x \in X} \to \left(\lambda_x\right)_{x \in X},$$

等式$g(x) = \lambda_x$定義的泛函$g$，也在$B_1(X^{\prime})$中。定理證畢。

## 推論

### 賦範空間

假設$X$為賦範空間，則其連續對偶空間$X^{\prime}$具有對偶範數。

- $X^{\prime}$中的閉單位球為弱*緊。相比之下，若$X^{\prime}$為無窮維，則其閉單位球在範數拓撲中必不為緊（F·里斯定理）。
- 某巴拿赫空間自反，當且僅當其閉單位球在弱拓撲$\sigma\left(X, X^{\prime}\right)$下為緊。
- 若$X$為自反巴拿赫空間，則$X$中每個有界序列，都有弱收斂子列。（此為對$X$某個弱可度量子空間應用巴拿赫-阿勞格魯定理的結果。更簡潔而言，是應用埃伯萊恩-什穆良定理。）舉例，設$X$為Lp空間$L^p(\mu)$，其中$1 < p < \infty$。設$(f_n)_n$為$X$中函數組成的有界序列。則存在子列$(f_{n_k})_k$，且有$f \in X$使得$$\int f_{n_k} g\,\mathrm d\mu \to \int f g\,\mathrm d\mu$$對於$X^{\prime}= L^q(\mu)$中的任意函數$g$成立，其中$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$。對於$p= 1$，沒有相應的結論，因為$L^1(\mu)$不自反。

### 希爾伯特空間

- 任意希爾伯特空間中，閉有界集必然弱相對緊，即其在弱拓撲的閉包為弱緊，故每個有界網必有弱收斂子網（希爾伯特空間皆自反）。
- 由哈恩－巴拿赫定理，範數拓撲中的閉凸集，在弱拓撲中也是閉集，故希爾伯特空間或自反巴拿赫空間中，凸有界集的範數閉包必為弱緊。
- 設$H$為希爾伯特空間，$B(H)$為其上有界算子的空間，則$B(H)$可以配備以下兩種不同的拓撲：一則超弱拓撲，即$B(H)$作為跡類算子空間$B_1(H)$的對偶所具備的弱*拓撲；二則弱算子拓撲，是使形如$T \mapsto \langle Tx, y\rangle$的映射皆連續的最弱的拓撲，此拓撲比超弱拓撲更弱。此定義下，$B(H)$中的閉有界子集，關於弱算子拓撲為相對緊。所以，算子的有界序列必有某個弱極限點。其推論是，$B(H)$配備弱算子拓撲或超弱拓撲時，滿足海涅-博雷爾性質。

## 與選擇公理的關係

通常，會用到吉洪諾夫定理來證明巴拿赫-阿勞格魯定理，所以要依賴於ZFC公理系統，尤其是選擇公理。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況（見#序列版本）並不依賴選擇公理，該情況下有構造性證明。對於不可分的情況，超濾子引理比選擇公理嚴格弱，但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之，巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理，所以兩者等價。

## 參考資料

- 見§20.9。
- 見Theorem 23.5，p. 264。
- 見Theorem 3.15，p. 68。