超越數論

超越數論是一個研究數論的方支，以定性、定量的方法來研究超越數（無法表示成某個以有理數為係數的多項式方程的解）。

## 超越

代數基本定理告訴我們：如果有一個非常數、有理係數的多項式（或者等效地，通過去分母後，具有整數係數），那麼該多項式將具有複數根。也就是說，對於任何非常數的有理系數多項式$P$，會有一個複數$\alpha$，使得$P(\alpha)=0$。超越理論關注反向的問題：給定一個複數$\alpha$，是否存在有理係數多項式$P$，使得$P(\alpha)=0?$如果不存在這樣的多項式，則稱該數為超越數。

更一般地，該理論處理數的代數獨立性。一組數 {α1, α2, …, αn} 稱為在域K上代數獨立的條件是，如果不存在係數取自K的非零多項式P使得P(α1, α2, …, αn) = 0。所以判定一個給定的數是否是超越數，實際上是代數獨立的一個特例，其中n = 1，域K是有理數域。

一個相關的概念是數是否存在封閉形式的表達式，包括指數和對數以及代數運算。「封閉形式」有多種定義，關於封閉形式的問題往往可以簡化為關於超越的問題。

## 歷史

### 有理數逼近：劉維爾到羅特

以超越來這術語來指稱非代數的對象可以追溯到 17 世紀，當時戈特弗里德·萊布尼茨證明了正弦函數不是代數函數。某些類別的數是否可以是超越數的問題可以追溯到1748年，當時歐拉斷言：若$a, b$為有理數，且不存在某個有理數$c$使$b = a^c$，則數 logab 不是代數數。

歐拉的斷言直到20世紀才得到證實，但此前，在他的斷言將近一百年後，約瑟夫·劉維爾證實了非代數數的存在，而在此之前人們還不確定這一點。他在1840年代關於這個問題的原始論文概述了使用連分數構建超越數的論證。後來，在1850年代，他給出了一個數是代數數的必要條件，從而給出了一個數是超越的充分條件。這個標準卻未能說明超越的必要條件，而且它確實沒有檢測到數e是超越的。但他的工作確實提供了更多的超越數，現在以他的名義稱為劉維爾數。

劉維爾判定本質上是說，代數數不能很好地被有理數近似。因此，如果一個數可以很好地被有理數近似，那麼它一定是超越的。劉維爾著作中「非常接近」的確切含義與某個指數有關。他證明了如果 α 是 d (≥2）次代數數，且 ε 是任何大於零的數，則表達式

$$\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{d+\varepsilon}}$$

只能由有限個有理數 p/q 來滿足。將此作為超越的標準並非易事，因為必須對每個d (≥2）檢查是否有無窮多個解 p/q。

20世紀，在阿克塞爾·圖厄、卡爾·西格爾和克勞斯·羅特的努力下，劉維爾的成果中的指數從d + ε 改進到d /2 + 1 + ε，最後在1955年變為 2 + ε。這個結果，被稱為圖厄－西格爾－羅特定理，表面上是最好的可能，因為如果指數 2 + ε 僅替換為 2，則結果不再正確。然而，塞爾日·蘭推測羅特的結果可以有所改善；特別是他推測右手邊分母中的 q 2+ε 可以簡化為$q^{2}{\log (q)}^{1+ \epsilon}$。

羅特的工作有效地將由劉維爾開始的工作收尾，他的定理使數學家能夠證明更多數字的超越性，例如錢珀瑙恩數。然而，該定理仍然不夠強大，無法檢測所有超越數，而且許多著名的常數（包括 e 和 π）都不能很好地以上述方法來近似。

### 輔助函數：埃爾米特到貝克

幸運的是，在19世紀開創了其他方法來處理 e 的代數性質，從而通過歐拉恆等式來處理 π 的代數性質。這項工作集中在使用所謂的輔助函數。這些函數通常在所考慮的點處具有許多零點。這裡的「許多零點」有可能是指許多不同的零點，或者至少一個零點但具有高多重性，甚至許多零點都都具有高多重性。1873年，夏爾·埃爾米特對於每個自然數$k$，使用了近似函數 $e^{kx}$ 的輔助，藉此證明了 $e$ 是超越數。在1880年代，費迪南德·馮·林德曼建立了他的工作，證明了對於非零代數數 α，$e^{\alpha}$是超越的。特別地，這同時證明了 π 是超越的，因為 eπi 是代數的，因此否定了化圓為方的可能。卡爾·魏爾施特拉斯進一步擴展了他們的工作，並最終在1885年證明了林德曼-魏爾斯特拉斯定理。

1900年，大衛·希爾伯特提出了他著名的問題集。其中的第七個，也是希爾伯特估計最困難的問題中的一個，詢問了 a b 形式的數字的超越性，其中 a 和 b 是代數數，a 不是0或1，而b是無理數。在1930年代，亞歷山大·格爾豐德和西奧多·施奈德使用非顯式輔助函數證明了所有的這些數字確實都是超越的，該輔助函數的存在是由Siegel引理所給出的。這個結果，即格爾豐德-施奈德定理，證明了如 eπ 和Gelfond-Schneider 常數等數的超越性。

該領域的下一個重大突破發生在1960年代，當時艾倫·貝克在由格爾豐德所提出的基於對數線形式的問題上取得了進展。格爾豐德本人設法找到了下式的非平凡下界：

$$|\beta_1\log\alpha_1 +\beta_2\log\alpha_2|\,$$

其中所有四個未知數都是代數的，兩個 α 既不是0也不是1，兩個 β 都是無理數。不過，格爾豐德未能找到三個或更多對數之和的類似下限。貝克定理的證明就包含了這樣的界限，在這個過程中解決了第一類的高斯類數問題。這項成果因其在解決丟番圖方程方面的用途讓貝克獲得了菲爾茲獎。從純粹超越數論的觀點來看，貝克已經證明，如果 α1, ..., αn 是代數數，它們都不為0或1，並且 β1, ..., βn 是代數數，使得 1， β1, ..., βn 在有理數上線性無關，那麼數

$$\alpha_1^{\beta_1}\alpha_2^{\beta_2}\cdots\alpha_n^{\beta_n}$$

是超越的。

### 其他技術：康托爾和 Zilber

1870 年代，格奧爾格·康托爾開始發展集合論，並於1874年發表論文證明代數數可以與自然數集一一對應，因此超越數集必是不可數。後來，在1891年，康托爾使用他更熟悉的對角線論證來證明相同的結果。雖然康托爾的結果經常稱為純粹的存在性證明，因此不能用於構造單個超越數，上述兩篇論文中的證明都給出了構造超越數的方法。

雖然康托爾使用集合論來證明超越數的豐富性，但最近的發展是使用模型論來試圖證明超越數論中未解決的問題。問題是確定域 K 的超越度

$$K=\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_n,e^{x_1},\ldots,e^{x_n})$$

對於在有理數上線性無關的複數x1, ..., xn，Stephen Schanuel推測答案至少為n，但並無證明。不過，在2004年，鮑里斯·齊伯（Boris Zilber）發表了一篇論文，該論文使用模型論技術創建了一個結構，該結構的行為與配備加法、乘法和冪運算複數的複數非常相似。而且，在這個抽象結構中，Schanuel的猜想確實成立。不幸的是，目前還不知道這種結構實際上與具有上述操作的複數相同；可能存在一些其他抽象結構，其行為與複數非常相似，但 Schanuel 的猜想不成立。Zilber 確實提供了幾個標準來證明所討論的結構是C，但無法證明所謂的強指數閉包公理。這個公理的最簡單的情況已經被證明了，但是需要證明它最普遍的情況，才能完成猜想的證明。

## 方法

這個數學領域的一個典型問題是判別一個給定的數是否是超越的。康托爾使用基數論證來證明代數數是可數的，因此幾乎所有數都是超越數。因此，超越數反而是更普遍的；即便如此，要證明給定的數字是超越的（甚至只是無理數）可能極其困難。

出於這個原因，超越理論通常朝著更定量的方法工作。因此，給定一個特定的複數 α，人們可以詢問 α 與代數數的接近程度。例如，如果假設數字 α 是代數的，那麼是否可以證明它必須具有非常高的次數或係數非常大的最小多項式？最終，如果可以證明係數的有限度或大小是不充分的，那麼該數字必須是超越的。由於數 α 是超越數若且唯若於每個具有整數係數的非零多項式P，P(α) ≠ 0。這問題可以通過嘗試找到以下形式的下界來解決：

$$|P(a)| > F(A,d)$$

其中右側是一些正函數，取決於P係數大小的某個度量 A及其度數d，並且這些下限適用於所有P ≠ 0。這種界限稱為超越測度。

d = 1的情況，是「經典」的丟番圖近似，即要找

$$|ax + b|$$

下界。超越論和丟番圖逼近的方法有很多共同點：它們都使用輔助函數概念。

## 主要成果

格爾豐德-施奈德定理是1900－1950年間超越理論的主要進步。在20世紀60年代，阿倫·貝克處理代數數對數的線性形式的方法，復興了超越理論，在眾多經典問題和不定方程有應用。

## 馬勒的分類

庫爾特馬勒在 1932 年將超越數劃分為 3 類，稱為S、 T和U。這些類的定義借鑑了劉維爾數（上文引用）的概念的擴展。

### 實數無理程度的度量

定義劉維爾數的一種方法是，考慮給定一個實數x的線性多項式 |qx − p|，若其不為 0，則可以多小。這裡 p, q 是整數，其中 |p|, |q| 以正整數 H 為上界。

設 $m(x, 1, H)$ 是這些多項式的最小非零絕對值：

$$\omega(x, 1, H) = -\frac{\log m(x, 1, H)}{\log H}$$

$$\omega(x, 1) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega(x,1,H).$$

ω( x , 1) 通常稱為實數x的無理測度。對於有理數，ω( x , 1) = 0，而對於無理實數則至少為 1。劉維爾數被定義為具有無限的無理測度。羅特定理說無理實代數數的無理測度為 1。

### 複數超越的度量

接下來考慮一個整係數、最少為 n 次，高度最多為H 的多項式在複數 x 處的取值，其中n、H是正整數。

設$m(x, n, H)$是此類多項式在$x$處取的非零最小絕對值，並設

$$\omega(x, n, H) = -\frac{\log m(x, n, H)}{n\log H}$$

$$\omega(x, n) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega(x,n,H).$$

假設對於某個最小正整數 n，這是無限的。在這種情況下，複數x 稱為 n 次的 U數。

現在我們可以定義

$$\omega (x) = \limsup_{n\to\infty}\, \omega(x,n).$$

ω( x ) 通常稱為x的超越測度。如果 ω( x, n ) 是有界的，則 ω( x ) 是有限的，並且x稱為S 數。如果 ω( x, n ) 是有限但無界的，則x稱為T 數。X 是代數數若且唯若 ω( x ) = 0.

顯然，劉維爾數是 U 數的子集。William LeVeque在1953年構造了任何所需度數的 U 數。劉維爾數和 U 數是不可數集，但其測度為 0。

T 陣列成的集合測度也為 0。大約用了35年時間才發現它們的存在。Wolfgang M. Schmidt在1968年表明存在這樣的例子。另一方面，幾乎所有的複數都是 S 數。Mahler證明了指數函數將所有非零代數數發送到 S 數：這表明 e 是 S 數並證明了 Π 的超越性。已知Π這個數不是 U 數。許多其他超越數仍未分類。

兩個數X，Y稱為代數相關，意思是有二元的整係數多項式 P，使得 P(x, y) = 0。有一個強有力的定理，即若兩個複數代數相關，則必定屬於同一個馬勒類。這允許構造新的超越數，例如劉維爾數與 e 或 Π 之和。

符號 S 可能代表馬勒的老師卡爾·西格爾的名字，T 和 U 只是接下來的兩個字母。

### Koksma 的等效分類

1939 年，Jurjen Koksma提出了另一種基於代數數近似的分類方法。

考慮一個複數x由階數 ≤n 和高度 ≤ H 的代數數逼近。令 α 是這個有限集的代數數，使得 | X - α| 具有最小正值。定義 ω*( x, H, n ) 和 ω*( x, n )：

$$|x-\alpha| = H^{-n\omega^*(x,H,n)-1}.$$

$$\omega^*(x,n) = \limsup_{H\to\infty}\, \omega^*(x,n,H).$$

如果對某個最小的正整數n，ω*( x, n ) 是無限的，則x稱為 n 次的 U*-數。

如果 ω*(x, n) 有界且不收斂到 0，則x稱為S* 數。

如果 ω*(x, n) 收斂到 0，則稱 x 為 A* 數。

如果 ω*(x, n) 都是有限但無界的，則x稱為 T* 數。

Koksma 和 Mahler 的分類是等價的，因為它們將超越數劃分為相同的類別。A*數會是代數數。

### LeVeque 的構造

設

$$\lambda= \tfrac{1}{3} + \sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}.$$

可以證明，λ（一個劉維爾數）的n次方根為n次的U數。

可以改進此構造，以得出不可數多個n次 U 數。設Z是由上述 λ 級數中，每隔一個 10 的冪組成的集合。Z的所有子集的集合是不可數的。從λ的級數中，刪除Z的任何子集，就得到不可數多個不同的劉維爾數，其n次根是n次的U形數。

### 類型

序列{ω (x, n )}的上確界稱為類型。幾乎所有實數都是類型 1 的 S 數，這對於實數 S 數來說是最小的。幾乎所有的複數都是 1/2 類型的 S 數，這也是最小的。以上有關「幾乎所有數」的斷言都是由馬勒猜想，並在1965年由弗拉基米爾·斯普林德朱克（Vladimir Sprindzhuk）證明。

## 未解決的問題

雖然 Gelfond-Schneider 定理證明了一大類數是超越的，但這個類仍然是可數的。許多著名的數學常數仍然不知道是超越的，在某些情況下甚至不知道它們是有理還是無理。部分列表可以在這裡找到。

超越理論的一個主要問題是證明一組特定的數是代數獨立的，而不僅僅是證明單一元素是超越的。所以雖然我們知道e和π是超越的，但這並不意味著e + π是超越的，也不代表兩者的其他組合（除了eπ，格爾豐常數，已知是超越的）是超越數。另一個主要問題是處理與指數函數無關的數字。超越理論的主要結果傾向於圍繞以e為底的指數和對數函數，這意味著往往需要全新的方法來處理不能以此兩個函數來表示的數。

Schanuel 的猜想會在某種程度上解決這些問題中的第一個，因為它涉及代數獨立性，並且確實會證實e + π是超越的。然而，它仍然圍繞指數函數，因此不見得能處理諸如阿培里常數或歐拉-馬斯刻若尼常數這類的數。另一個極其困難的未解決問題是所謂的常數或恆等問題。