彭羅斯密鋪

彭羅斯鋪砌（Penrose tiling）屬於非周期鋪砌。鋪砌是用不重疊的多邊形或其它形狀覆蓋平面，而非周期鋪砌意味將此鋪砌不是平移對稱，平移任何距離後，所得的鋪砌都和原有的不同。彭羅斯鋪砌雖不是平移對稱，但具有反射對稱和五重旋轉對稱。彭羅斯鋪砌以1970年代研究此鋪砌的數學家和物理學家羅傑·彭羅斯命名。

有幾種不同的彭羅斯鋪砌，是由不同的多邊形所組成。原始的鋪砌用了四種不同形狀的多邊形，後來減到只用到兩種。有一種彭羅斯鋪砌使用兩種不同的菱形；另一種則是使用箏形以及稱為「飛鏢」的四邊形。通過限制其鋪砌組合的方式來避免出現周期鋪砌，即可得到彭羅斯鋪砌。這可以用幾種方式完成，包括匹配規則、替換鋪砌或有限細分規則、切割及投影、覆蓋。即使有這些限制，每種彭羅斯鋪砌的變體都會產生無限種砌法。

2011 諾貝爾化學獎 授予「准晶體的發現」，彭羅斯鋪砌因「有助於理解准晶體的發現」而被提及。

## 歷史和背景

### 周期性和非周期性鋪砌

用某種幾何形狀的圖案（「拼塊」）覆蓋平坦的表面（「平面」），且沒有重疊或間隙，這稱為鋪砌。最常見的鋪砌，例如用邊對邊相接的方塊覆蓋地板，就是周期性鋪砌的例子。如果將方形鋪砌按鋪砌的寬度移動，與鋪砌的邊平行，則結果將與移動之前的鋪砌圖案相同。以這種方式保留鋪砌的移位（正式名稱為平移）稱為鋪砌的一個周期。如果鋪砌具有將鋪砌沿兩個不同方向移動的周期，則稱其為周期性的。

方形鋪砌中的拼塊只有一種形狀，其他鋪砌通常只有有限數量的形狀。這些形狀被稱為原始鋪砌，如果僅使用這些形狀對平面進行鋪砌，則稱一組原始拼塊可容許一種鋪砌，或鋪砌平面。也就是說，鋪砌中的每個拼塊必須與其中一個原始拼塊全等。

沒有周期的鋪砌是非周期的。如果一組原始鋪砌的所有鋪砌都是非周期的，則稱其為非周期的，在這種情況下，其鋪砌也稱為非周期鋪砌。彭羅斯鋪砌是已知最簡單的由有限原始拼塊子集在平面上進行非周期鋪砌的例子之一。

### 最早的非周期性鋪砌

20 世紀 60 年代，邏輯學家王浩注意到決策問題和鋪砌之間的聯繫，非周期鋪砌這一主題重新引起了人們的興趣。具體來說，他引入了用帶有彩色邊緣的方形盤子進行鋪砌，現在稱為王氏多米諾骨牌或牌，並提出了「多米諾骨牌問題」：確定給定的一組王氏多米諾骨牌是否可以用相鄰多米諾骨牌邊緣匹配的顏色鋪砌平面。他觀察到，如果這個問題是不可判定的，那麼就必然存在一組非周期的王氏多米諾骨牌。當時，這似乎令人難以置信，因此王推測不可能存在這樣的集合。

王浩的學生羅伯特·伯傑 (Robert Berger)在其 1964 年的論文中證明了多米諾骨牌問題是不可判定的（因此王的猜想是錯誤的），並得到了一組非周期的 20,426 塊王氏多米諾骨牌。他還描述了將這樣的原始多米諾骨牌數量減少到 104 個的方法；後者沒有出現在他出版的專著中，但 1968 年，唐納德·克努斯詳細介紹了伯傑集合的修改，只需要 92 塊多米諾骨牌。

王氏多米諾骨牌拼砌所需的顏色匹配可以通過修改拼塊的邊緣（就像拼圖碎片一樣）來輕鬆實現，以便它們只能按照邊緣顏色所規定的方式拼合在一起。拉斐爾·羅賓遜(Raphael Robinson) 在 1971 年的一篇論文中簡化了伯傑的技術和不可判定性證明，並利用該技術獲得了一個僅由六個原始數列組成的非周期集。

### 彭羅斯鋪砌的發展歷程

第一個彭羅斯鋪砌（下面的拼貼 P1）是一組非周期的六個原始拼塊，由羅傑·彭羅斯 (Roger Penrose)在 1974 年的一篇論文中引入，它基於五邊形而不是正方形。任何用正五邊形來鋪砌平面的嘗試都必然會留下空隙，但約翰尼斯·克卜勒在其 1619 年的著作《宇宙的和諧》中表明，這些空隙可以用五角星（星形多邊形）、十邊形和相關形狀來填補。克卜勒將這種鋪砌結構擴展了 5 個多邊形，沒有發現任何周期性模式，並推測每次擴展都會引入一個新特徵，從而創建了非周期性鋪砌結構。在阿爾布雷希特·丟勒的作品中也可以找到這些思想的痕跡。受到克卜勒的啟發，彭羅斯找到了這些形狀的匹配規則，獲得了一個非周期集。這些匹配規則可以通過邊緣的裝飾來強加，就像王浩的拼塊一樣。彭羅斯的鋪砌圖案可視為克卜勒有限Aa圖案的補充。

隨後，彭羅斯將原始拼塊的數量減少到兩個，發現了箏飛鏢拼塊（下圖 P2 拼塊）和菱形拼塊（下圖 P3 拼塊）。菱形鋪砌是由羅伯特·阿曼於 1976 年獨立發現的。彭羅斯和約翰·康威研究了彭羅斯鋪砌的性質，發現替代性質可以解釋它們的層次性；他們的發現由馬丁·加德納在 1977 年 1 月《科學美國人》的「數學遊戲」專欄中發表。

1981年， NG de Bruijn提出了兩種不同的方法來構造彭羅斯鋪砌。德布魯因的「多重網格法」將彭羅斯鋪砌視為五族平行線排列的對偶圖。在他的「切割和投影方法」中，彭羅斯鋪砌是從五維立方結構中獲得的二維投影。在這些方法中，彭羅斯鋪砌被視為一組點（即其頂點），而拼貼則是通過連接頂點和邊而獲得的幾何形狀。1990 年，Baake、Kramer、Schlottmann 和 Zeidler 在四維五胞蜂窩結構中以類似方式推導出彭羅斯鋪砌和相關的圖賓根三角拼貼。

## 彭羅斯鋪砌類型

下面分別介紹彭羅斯鋪砌的三種類型，即 P1 – P3。它們有許多共同的特徵：在每種情況下，拼塊都是由與五邊形相關的形狀（因此也與黃金分割率相關）構成的，但基本拼塊形狀需要通過匹配規則進行補充，以便非周期性地進行鋪砌。這些規則可以用標記的頂點或邊，或拼塊表面上的圖案來描述；或者，可以修改邊緣輪廓（例如通過凹痕和突起）以獲得一組非周期性的原始拼塊。

### 原始五邊形彭羅斯鋪砌（P1）

彭羅斯的第一個鋪砌圖案使用了五邊形和另外三種形狀：五角「星」（五角星形）、「船」（大約是五分之三的星形）和「鑽石」（細菱形）。為了確保所有鋪砌都是非周期性的，有匹配規則指定了拼塊如何相互匹配，五角形拼塊有三種不同類型的匹配規則。將這三種類型視為不同的原型，總共會給出一組六種原型。通常用三種不同的顏色來表示三種不同類型的五角形拼塊，如右上圖所示。

### 箏和飛鏢鋪砌（P2）

彭羅斯的第二種鋪砌方法使用了稱為「箏」和「飛鏢」的四邊形，它們可以組合成菱形。然而，匹配規則禁止菱形這樣的組合。箏和飛鏢都是由兩個三角形組成，稱為羅賓遜三角形，該三角形是根據羅賓遜在 1975 年的筆記創建的。

箏與飛鏢形拼塊（頂部）以及 P2 鋪砌中的七種可能的頂點圖，它們各自的別名如下 - 第一行：星，王牌，太陽。第二行：國王，傑克，王后，二點

- 箏是一個四邊形，它的四個內角分別為72度、72度、72度、144度。箏可以沿其對稱軸一分為二，形成一對銳角羅賓遜三角形（角分別為 36 度、72 度和 72 度）。
- 飛鏢是一個非凸四邊形，其四個內角分別為36度、72度、36度、216度。飛鏢可沿其對稱軸一分為二，形成一對鈍角羅賓遜三角形（角分別為 36 度、36 度和 108 度），比銳角三角形小。

匹配規則可以用多種方式來描述。一種方法是對頂點進行著色（使用兩種顏色，例如黑色和白色），並要求相鄰的圖塊具有匹配的頂點。另一種方法是使用圓弧圖案（如上圖左所示的綠色和紅色）來限制拼塊的放置：當兩個拼塊在鋪砌中共享一條邊時，圖案必須在這些邊處匹配。

這些規則通常會強制放置某些拼塊：例如，任何飛鏢的凹頂點都必須由兩個箏填充。相應的圖形（左下圖頂行中央）被康威稱為「王牌」；雖然它看起來像一隻放大的箏，但它的鋪砌方式並不相同。類似地，當兩個箏沿短邊相遇時形成的凹頂點必然由兩個飛鏢填充（右下）。事實上，拼塊在頂點相交只有 7 種可能的方式；其中兩個圖形–即「星星」（左上）和「太陽」（右上） –具有 5 重二面體對稱性（通過旋轉和反射），而其餘圖形只有一個反射軸（在圖像中垂直）。除了王牌（中間頂部）和太陽之外，所有這些頂點圖形都會限制添加拼塊的放置。

### 菱形鋪砌（P3）

第三種鋪砌方法使用一對菱形，它們的邊相等，但角度不同。普通的菱形拼塊可用於周期性地鋪砌平面，因此必須對拼塊的組裝方式進行限制：任何兩塊拼塊都不能形成平行四邊形，因為這將允許周期性鋪砌，但這種限制不足以強制非周期性，如上圖 1所示。

有兩種類型的拼塊，都可以分解為羅賓遜三角形。

- 細菱形 t 有四個角，角度分別為36度、144度、36度、144度。t 菱形可沿其短對角線一分為二，形成一對銳角羅賓遜三角形。
- 粗菱形 T 的角度分別為 72 度、108 度、72 度和 108 度。T菱形可以沿其長對角線一分為二，形成一對鈍角羅賓遜三角形；與 P2 鋪砌相反，這些三角形比銳角三角形更大。

匹配規則區分了拼塊的各個邊，並且規定拼塊可以以某些特定方式並列，但不能以其他方式並列。右圖顯示了描述這些匹配規則的兩種方式。在一種形式中，拼塊必須被組裝起來，使得表面上的曲線在顏色和邊緣位置上相匹配。另一種方法是，將拼塊組裝起來，使它們邊緣的凸起部分能夠緊密貼合。

此類角度有 54 種循環排序組合，在頂點處加起來等於 360 度，但鋪砌規則只允許出現其中七種組合（儘管其中一種組合有兩種出現方式）。

各種角度和面部曲率的組合可以構造任意複雜的拼塊，例如彭羅斯雞。

## 特徵與構造

### 黃金比例和局部五邊形對稱性

彭羅斯鋪砌的幾個性質和共同特徵都涉及黃金比例$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ （約1.618）。這是正五邊形的弦長與邊長的比，滿足φ = 1 + 1/ φ。

因此，（等腰）羅賓遜三角形長邊與短邊的長度比為φ :1。因此，箏形和飛鏢形拼塊的長邊與短邊的比也為φ :1，細菱形t的邊與短對角線的比也為 φ :1，粗菱形T的長對角線與邊的比也為φ :1。在 P2 和 P3 形拼塊中，較大羅賓遜三角形與較小羅賓遜三角形的面積比為 φ :1，因此箏形拼塊與飛鏢形拼塊的面積比、粗菱形拼塊與細菱形拼塊的面積比也為 φ :1。（左側五邊形中既有較大三角形也有較小鈍角羅賓遜三角形：頂部較大三角形–粗菱形的兩半–的線性尺寸比底部較小陰影三角形的線性尺寸大φ，因此面積比為φ 2 :1。）

任何彭羅斯鋪砌都具有局部五邊形對稱性，即拼貼中存在被對稱的拼貼結構包圍的點：這種結構關於中心點具有五重旋轉對稱性，並且有五條通過該點的鏡像反射對稱線，即二面體對稱群。這種對稱性一般只會保留中心點周圍的一小塊拼塊，但是這塊拼塊可以非常大：康威和彭羅斯證明，每當 P2 或 P3 鋪砌上的彩色曲線閉合成一個環時，環內的區域就具有五邊形對稱性，而且，在任何鋪砌中，每種顏色最多有兩條這樣的曲線不閉合。

整體五重對稱的中心點至多只有一個：如果有多個，則每個中心點繞另一個中心點旋轉將產生兩個更接近的五重對稱中心，這會導致數學上的矛盾。每種類型只有兩種彭羅斯鋪砌具有整體五邊形對稱性：對於箏和飛鏢構成的 P2 拼貼，其中心點要麼是「太陽」，要麼是「星形」頂點。

### 膨脹和收縮

彭羅斯鋪砌的許多共同特徵都遵循由替換規則給出的分層五邊形結構：這通常被稱為鋪砌或拼塊（集合）的膨脹和收縮，或合成和分解。替換規則將每個圖塊分解為與鋪砌中使用的形狀相同的較小圖塊（從而允許較大的圖塊由較小的圖塊「組成」）。這表明彭羅斯鋪砌具有縮放自相似性，因此可以被認為是一種分形，使用與五葉形相同的過程。

彭羅斯最初是這樣發現 P1 鋪砌的：將一個五邊形分解成六個小五邊形（十二面體網的一半）和五個半菱形；然後他觀察到，當他重複此過程時，五邊形之間的空隙都可以被星形、菱形、船形和其他五邊形填充。通過無限重複這個過程，他得到了兩個具有五邊形對稱性的 P1 鋪砌之一。

#### 羅賓遜三角分解

P2 和 P3 鋪砌的替換方法都可以使用不同大小的羅賓遜三角形來描述。在 P2 鋪砌（通過二分箏和飛鏢）中出現的羅賓遜三角形稱為 A 鋪砌，而在 P3 鋪砌（通過二分菱形）中出現的羅賓遜三角形稱為 B 鋪砌。較小的 A 形拼塊（記為 A S）是鈍角羅賓遜三角形，而較大的 A 形拼塊（記為 A L）是銳角羅賓遜三角形；相反，較小的 B 形拼塊（記為 B S）是銳角羅賓遜三角形，而較大的 B 形拼塊（記為 B L）是鈍角。

具體來說，如果 A S 的邊長為 (1, 1, φ )，則 A L 的邊長為 ( φ, φ, 1)。B-拼塊 可以通過兩種方式與 A-拼塊 相關：

- 如果 B S與 A L大小相同，則 B L為 A S的放大版φ A S，邊長為 ( φ, φ, φ 2 = 1 + φ ) –分解為一個 A L拼塊和一個S拼塊，沿長度為 1 的公共邊連接。
- 如果將 B L與 A S等同，則 B S為 A L的簡化版本 (1/ φ )A L，其邊長為 (1/ φ ,1/ φ ,1) –沿長度為 1 的公共邊連接 B S拼塊和 B L拼塊，可得到 A L拼塊（的分解）。

在這些分解中，似乎存在一個歧義：羅賓遜三角形可以用兩種方式分解，它們在三角形的（等腰）對稱軸上互為鏡像。在彭羅斯鋪砌中，此選擇由匹配規則固定。此外，匹配規則還決定了鋪砌中較小的三角形如何組合成較大的三角形。

星形的部分膨脹產生菱形，以及菱形的集合產生王牌形。

因此，P2 和 P3 鋪砌是相互局部可導的：一組拼塊的鋪砌可用於生成另一組鋪砌。例如，箏和飛鏢的鋪砌可以細分為 A 塊，然後可以以規範方式組合這些 A 塊以形成 B 塊，進而形成菱形。P2 和 P3 鋪砌也都與 P1 鋪砌相互局部可導（見上圖 2）。

將 B 塊分解為 A 拼塊的過程可以寫為

BS = AL, BL = AL + AS

（假設 B-拼塊 的尺寸約定較大），可以將其總結為替換矩陣方程：

$$\begin{pmatrix} B_L \\ B_S\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_L \\ A_S \end{pmatrix}\, .$$

將其與擴大的φ -拼塊分解為B-拼塊相結合，得到替代

$$\begin{pmatrix} \varphi A_L \\ \varphi A_S\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_L \\ B_S\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_L \\ A_S \end{pmatrix}\, ,$$

這樣放大的拼塊φ A L就分解為兩個 A L拼塊和一個 A S拼塊。匹配規則強制進行特定的替換： φ A L牌中的兩張 A L牌必須組成一隻箏，因此一隻箏分解成兩隻箏和兩支半鏢，而一支飛鏢分解成一隻箏和兩支半鏢。放大的φ B-拼塊s 以類似的方式分解為 B-拼塊s（通過φ A-拼塊s）。

組合和分解可以迭代，例如

$$\varphi^n\begin{pmatrix} A_L \\ A_S\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n\begin{pmatrix} A_L \\ A_S \end{pmatrix}\, .$$

構造第 n次迭代中的箏和飛鏢的數量由替代矩陣的n次方決定：

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} F_{2n+1} & F_{2n} \\ F_{2n} & F_{2n-1} \end{pmatrix}\, ,$$

其中F n是第n個斐波那契數。因此，任何足夠大的 P2 彭羅斯鋪砌圖案中箏數量與飛鏢數量的比率都近似於黃金比率φ。對於 P3 彭羅斯鑲嵌中的厚菱形與薄菱形的數量比，也有類似的結果。

#### P2 和 P3 鋪砌的收縮

從給定鋪砌的一組鋪砌（可能是單個鋪砌、平面的鋪砌或任何其他集合）開始，收縮按照稱為生成的一系列步驟進行。在一代收縮中，每個拼塊都會被兩個或更多個新拼塊所取代，這些新拼塊是原始拼塊的縮小版。替換規則保證新牌按照匹配規則排列。經過反覆的收縮，原始公理形狀的鋪砌會變得越來越小。

這種劃分拼塊的規則就是細分規則。

名稱｜初始拼塊｜第 1 代｜第二代｜第三代

半箏

半鏢

太陽

星

上表應謹慎使用。半箏收縮和半飛鏢收縮僅在收縮較大圖案的情況下才有用，如太陽收縮和星形收縮所示。如果應用於單個箏和飛鏢，它們會產生不正確的結果。

此外，簡單的細分規則會在鋪砌邊緣附近產生孔洞，這些孔洞在右側的頂部和底部圖中可見。額外的強制規則很有用。

#### 影響和應用

膨脹和收縮產生了一種構造箏和飛鏢（P2）拼貼或菱形（P3）拼貼的方法，稱為上下生成。

彭羅斯鋪砌是非周期性的，沒有平移對稱性–圖案無法在整個平面上移動以匹配自身。然而，任何有界區域，無論多大，都會在鋪砌中重複無數次。因此，沒有任何有限塊可以唯一地確定一個完整的彭羅斯鋪砌，甚至無法確定拼貼中的哪個位置正在顯示。

這特別表明，不同的彭羅斯鋪砌（任何類型）的數量是不可數無限的。上下生成產生了一種參數化鋪砌的方法，但其他方法使用阿曼條、五邊形網格或切割和投影方案。

## 相關鋪砌和主題

### 十邊形覆蓋層和准晶體

1996 年，德國數學家佩特拉·古梅爾特 (Petra Gummelt) 證明，如果允許兩種重疊區域，則可以使用單個十邊形拼塊構造等同於彭羅斯鑲嵌的覆蓋（這樣稱呼是為了將其與非重疊鑲嵌相區別）。十邊形拼塊上裝飾有彩色斑塊，覆蓋規則只允許與顏色兼容的重疊。將十邊形拼塊適當分解成箏和飛鏢，將這種覆蓋物轉變為彭羅斯 (P2) 拼塊。類似地，可以通過在每個十邊形中刻上一個粗菱形來獲得 P3 鋪砌；剩餘空間則由細菱形填充。

這些覆蓋層已被認為是准晶體生長的現實模型：重疊的十邊形是「准晶胞」，類似於構成晶體的晶胞，匹配規則可最大化某些原子團簇的密度。由於缺乏布洛赫定理，覆蓋層的非周期性使得諸如電子結構等物理特性的理論研究變得困難。然而，准晶體的光譜仍然可以通過誤差控制來計算。

### 相關鋪砌

彭羅斯鋪砌的三種變體是相互局部可導的。從 P1 鋪砌的頂點中選擇一些子集可以產生其他非周期性鋪砌。如果 P1 中一個五邊形的角依次標記為1、3、5、2、4，那麼所有五邊形中都會建立明確的標記，順序為順時針或逆時針。具有相同標籤的點定義 Robinson 三角形鋪砌，而帶有數字 3 和 4 的點定義領帶和梭形鋪砌的頂點。

還有其他相關的不等價鋪砌，例如六邊形船星鋪砌和米庫拉–羅斯鋪砌。例如，如果將菱形鋪砌的匹配規則簡化為對每個頂點允許的角度進行特定限制，則可獲得二元鋪砌。它的底層對稱性也是五重的，但它不是准晶體。它可以通過用較小的菱形裝飾原始鋪砌的菱形來獲得，或者通過應用替換規則來獲得，但不能通過德布魯因的切割和投影法獲得。

## 藝術與建築

- 伊朗伊斯法罕Darb-i Imam神殿的拱肩上的五邊形和十邊形Girih 拼塊圖案（公元 1453 年）
- 舊金山的Salesforce 交通中心。外部「表皮」由白色鋁製成，上面穿孔，圖案類似彭羅斯拼塊。
- 印度理工學院阿拉哈巴德分校3 號電腦中心 (CC-3) 地板上的彭羅斯拼塊

鋪砌的美學價值早已受到重視，並且仍然是人們對其產生興趣的原因；因此，彭羅斯鋪砌的視覺外觀（而不是形式定義屬性）引起了人們的注意。人們已經注意到它與北非和中東使用的某些裝飾圖案的相似性；物理學家Peter J. Lu和Paul Steinhardt提出的證據表明，彭羅斯拼貼是中世紀伊斯蘭幾何圖案的基礎，例如伊斯法罕Darb-e Imam神殿中的girih （帶狀）拼貼。

1970 年，藝術家克拉克·里切特（Clark Richert）在落城（Drop City）創作的藝術作品中使用了同樣的菱形，他通過將菱形三十面體的陰影投射到平面上，並觀察嵌入的「胖」菱形和「瘦」菱形，它們拼貼在一起產生了非周期性的鑲嵌，這早於彭羅斯的發現。這些幾何探索促成了史蒂夫·貝爾 (Steve Baer ) 的Zome 架構的發展。藝術史學家馬丁·肯普（Martin Kemp）觀察到，阿爾布雷希特·丟勒（Albrecht Dürer）繪製過類似的菱形拼貼圖案。

1979 年，邁阿密大學使用水磨石製作的彭羅斯拼塊裝飾了數學和統計系的學士樓（Bachelor Hall) 庭院。

印度阿拉哈巴德資訊技術學院自 2001 年第一期建設開始，教學樓就以「彭羅斯幾何」為基礎進行設計，其風格以羅傑·彭羅斯開發的鑲嵌圖案為基礎。這些建築的許多地方的地板都有由彭羅斯拼塊組成的幾何圖案。

西澳大利亞大學貝麗斯大樓中庭的地板鋪有彭羅斯拼塊。

安德魯·懷爾斯大樓是 2013 年 10 月以來牛津大學數學系的所在地。大樓入口處的地面鋪有一塊彭羅斯拼塊。

赫爾辛基市中心的Keskuskatu街的步行區採用彭羅斯拼塊鋪設。該作品於 2014 年完成。

舊金山 2018 年建成的Salesforce 交通中心外部採用波紋狀白色金屬表皮，表面帶有穿孔，呈現出彭羅斯圖案。