四維梯度

在微分幾何中，四維梯度（或4-梯度，4-gradient） ${\displaystyle \mathbf {\partial } }$是向量微積分中的梯度${\displaystyle {\vec {\mathbf {\nabla } }}}$ 在四維矢量中的推廣。

在狹義相對論和量子力學中，4-梯度用於定義各種4-向量和張量形式的物理量之間的性質和關係。

## 記號說明

使用四維梯度時應註明度規。下文使用的度規號差是 (+,-,-,-)。

縮寫 SR 和 GR 分別代表狹義相對論和廣義相對論。

c表示真空中的光速。

$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$$ 是 SR 的平坦時空度規。

物理學中表記含有4-矢量的表達式，通常有下列兩種寫法：

- 4-矢量樣式：${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$。通常更緊湊，可以使用一般的向量記號（例如內積「點」），始終使用粗體大寫字母表示4-矢量量，用粗體小寫字母表示三維空間矢量，如${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$。多數三維空間矢量的規則在四矢量數學中都有其對應。
- 里奇代數的樣式：${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$。它使用張量的抽象指標記號，便於書寫更複雜的表達式，尤其是對於涉及多個指標維度的張量表達式，如${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$ .

這裡，用帶拉丁字母張量指標的字母表示三維空間向量，指標取值範圍是{1, 2, 3}, 如${\displaystyle A^{i}=\left(a^{1},a^{2},a^{3}\right)={\vec {\mathbf {a} }}}$ .

用帶希臘字母的張量指標的字母表示4-矢量，指標取值範圍在{0, 1, 2, 3}, 如${\displaystyle A^{\mu }=\left(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3}\right)=\mathbf {A} }$ .

在 SR 中，為了簡潔，通常會混用以上兩種樣式，如寫作${\displaystyle \mathbf {A} =\left(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$，用${\displaystyle a^{0}}$表示時間分量，卻用${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$表示空間的三維分量。

SR 中的張量通常是4維 (m,n)-張量，具有 m 個上指標和 n 個下指標，每個指標的取值範圍有四個值。

Minkowski度規中使用的張量縮並可以寫在任意一邊（參見愛因斯坦求和約定）： :

$${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$$

## 定義

4-梯度的協變分量用4-矢量和里奇代數表示法中的簡略寫法有：

$${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$$

上式最後一部分中，逗號${\displaystyle {}_{,\mu }}$指的是關於 4-位置${\displaystyle X^{\mu }}$的偏微分 .

它的逆變分量是：

$${\displaystyle \mathbf {\partial } =\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$$

${\displaystyle \partial _{\alpha }}$也寫作${\displaystyle \Box }$或者D （不過${\displaystyle \Box }$也有可能表示達朗貝爾算子${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$）。

在 GR 中，必須使用更通用的度規張量${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$，以及張量協變導數${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$ （不要與矢量的3-梯度 ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ 混淆）。這裡，協變導數${\displaystyle \nabla _{\nu }}$是4-梯度${\displaystyle \partial _{\nu }}$加上時空曲率效應（用Christoffel 符號${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$表出）。

強等效原理可以表述為：

「SR 中任意可用張量記號表示的物理定律，在彎曲時空的局部慣性系中，都具有完全相同的形式。」其中需要把 SR 中的 4-梯度逗號 替換成 GR 中的協變導數分號，這兩格微分算符之間可以通過Christoffel 符號相互變換。在相對論物理學中稱之為「逗號換成分號規則」。

所以，例如，如果在 SR 中有${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$，那麼在 GR 中有${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$。

對於 (1,0)-張量或 4-矢量，此規則化簡為：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\beta }V^{\alpha }&=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\\V^{\alpha }{}_{;\beta }&=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }\end{aligned}}}$$

對於 (2,0)-張量，該規則化簡為：

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }&=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\\T^{\mu \nu }{}_{;\nu }&=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }\end{aligned}}}$$

## 用途

4-梯度在狹義相對論（SR）中有多處應用：

下面的公式都是針對SR的平直時空閔氏時空坐標所寫，對於廣義相對論GR中推廣了的彎曲時空坐標，需要加以調整修改。

### 用作 4-散度以及守恆律中的源

散度這個矢量算符作用在矢量場上時就給出一個區分正負號的標量場，大小是矢量場在空間個點上的流的源或者匯。

4-位置 $X^\mu = \left(ct, \vec{\mathbf{x}}\right)$ 的4-散度給出了時空的維度：

$$\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{X} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} X^\nu = \partial_\nu X^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c}, -\vec{\nabla}\right) \cdot (ct,\vec{x}) = \frac{\partial_t}{c}(ct) + \vec{\nabla}\cdot \vec{x} = (\partial_t t) + (\partial_x x + \partial_y y + \partial_z z) = (1) + (3) = 4$$

4-電流密度 $J^\mu = \left(\rho c, \vec{\mathbf{j}}\right) = \rho_o U^\mu = \rho_o \gamma\left(c, \vec{\mathbf{u}}\right) = \left(\rho c, \rho \vec{\mathbf{u}}\right)$ 的4-散度給出一個守恆律，即電荷守恆律：

$$\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{J} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} J^\nu = \partial_\nu J^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c},-\vec{\nabla}\right)\cdot (\rho c,\vec{j}) = \frac{\partial_t}{c}(\rho c) + \vec{\nabla}\cdot \vec{j} = \partial_t \rho + \vec{\nabla}\cdot \vec{j} = 0$$

這就是說，電荷密度的時間變化率必定等於負的電流密度的空間散度： $\partial_t \rho = -\vec{\nabla}\cdot \vec{j}$.

換言之，任取一個方盒區域，其中的電荷量的變化必須通過進出盒子的電流，而不能憑空變化。上述方程屬於是連續性方程。

4-粒子數通量（4-number flux，4-dust） $N^\mu = \left(nc, \vec{\mathbf{n}}\right) = n_o U^\mu = n_o \gamma\left(c, \vec{\mathbf{u}}\right) = \left(nc, n\vec{\mathbf{u}}\right)$ 的4-散度可用於粒子數守恆：

$$\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{N} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} N^\nu = \partial_\nu N^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c}, -\vec{\nabla}\right) \cdot \left(nc, n\vec{\mathbf{u}}\right) = \frac{\partial_t}{c}\left(nc\right) + \vec{\nabla} \cdot n\vec{\mathbf{u}} = \partial_t n + \vec{\nabla}\cdot n\vec{\mathbf{u}} = 0$$

這是粒子數密度的守恆律，典型的比如重子數密度。

電磁4-勢 $A^\mu = \left(\frac{\phi}{c},\vec{\mathbf{a}}\right)$ 的4-散度則用於洛倫茲規範條件：

$$\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{A} = \partial^\mu \eta_{\mu\nu} A^\nu = \partial_\nu A^\nu = \left(\frac{\partial_t}{c}, -\vec{\nabla}\right)\cdot \left(\frac{\phi}{c}, \vec{a}\right) = \frac{\partial_t}{c}\left(\frac{\phi}{c}\right) + \vec{\nabla} \cdot \vec{a} = \frac{\partial_t \phi}{c^2} + \vec{\nabla}\cdot \vec{a} = 0$$

這等價於電磁4-勢對應的守恆律。

弱場極限（即，遠離場源的自由傳播條件）下的引力輻射可以表示為一個橫向無跡的4D (2,0)-張量 $h^{\mu\nu}_{TT}$，它的4-散度

$\mathbf{\partial} \cdot h^{\mu\nu}_{TT} = \partial_\mu h^{\mu\nu}_{TT} = 0$：橫向條件

等價於自由傳播的引力波的守恆方程。

應力-能量張量 $T^{\mu \nu}$ 的4-散度是與時空有關的守恆的諾特流，在SR中，它給出四條守恆律：

能量守恆（時間方向）和線性動量的守恆（三個獨立的空間方向）：

$$\mathbf{\partial} \cdot T^{\mu \nu} = \partial_{\nu} T^{\mu \nu} = T^{\mu \nu}{}_{,\nu} = 0^\mu = (0,0,0,0)$$

這通常寫作：

$$\partial_{\nu} T^{\mu \nu} = T^{\mu \nu}{}_{,\nu} = 0$$

當然，這裡的0是指一個4-矢量 $0^\mu = (0,0,0,0)$。

把理想流體的應力-能量張量守恆（$\partial_{\nu} T^{\mu \nu} = 0^\mu$）與粒子數守恆（$\mathbf{\partial} \cdot \mathbf{N} = 0$）結合起來，可以推出相對論性歐拉方程，用來研究流體力學和天體物理學中的狹義相對論效應。

在流體的三維空間速度遠小於光速、壓強遠小於能量密度、能量密度主要由靜止質量密度貢獻的經典極限下，上述方程退化為經典歐拉方程。

在平直時空下，用笛卡爾坐標，結合壓強-能量張量的對稱性，即可證明相對論性角動量也是守恆的：

$$\partial_\nu\left(x^{\alpha} T^{\mu \nu} - x^{\mu} T^{\alpha \nu}\right) = \left(x^{\alpha} T^{\mu \nu} - x^{\mu} T^{\alpha \nu}\right)_{,\nu} = 0^{\alpha \mu}$$

這裡的零是(2,0)-張量的零。

## 延伸閱讀

- S. Hildebrandt, "Analysis II" (Calculus II), , 2003
- L.C. Evans, "Partial differential equations", A.M.Society, Grad.Studies Vol.19, 1988
- J.D. Jackson, "Classical Electrodynamics" Chapter 11, Wiley 0-471-30932-X