弗羅貝尼烏斯標準形

線性代數中，元素屬於域 $F$ 的正方形矩陣 $A$ 的弗羅貝尼烏斯標準形（Frobenius normal form）或有理規範形（Rational canonical form）是通過 $F$ 上可逆陣的共軛得到的矩陣規範形。它反映了將向量空間最小分解為對 $A$ 循環的子空間（由某向量與其在 $A$ 下的重複像張成的子空間）。由於給定矩陣只能給出一種標準形，因此 $B$ 與 $A$ 相似，若且唯若它們的弗羅貝尼烏斯標準形相同。由於這種形式不涉及任何擴張 $F$ 域時可能變化的運算（即「有理」），特別是不需要因式分解多項式，這表明兩個矩陣的相似關係不會因域擴張而改變。這種標準形得名於德國數學家費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯。

有些學者所謂「有理規範形」是指另一種略有差別的形式，其更恰當的名稱是初等有理規範形。初等形式反映的不是到循環子空間的最小分解，而是最大分解。它也定義於 $F$ 上，但性質略有不同：要得到它需要對多項式進行因式分解，因此初等有理規範形可能會因 $F$ 的擴張而變化。本文介紹的主要是不需要因式分解的標準形，並在提及第二種標準形時註明「初等」。

## 動機

若要研究兩個方陣 $A$、 $B$ 是否相似，一種方法是儘量把各自的向量空間分解為穩定子空間的直和，並比較各自在子空間上的作用。例如，如果方陣都可對角化，則就可分解為特徵空間（其作用僅為一個標量，是最簡單的）的直和，便可通過比較特徵值及重數判定相似方陣是否相似。在實踐中這常是一種頗有見地的做法，但作為通用方法尚有缺點。首先它需要找到該矩陣所有特徵值（特徵多項式的根），但可能給不出明確的表達式。其次，完整的特徵值可能只存在於解域的擴張中，逼無法證明原域的相似性。最後， $A$、 $B$ 可能在擴張域中也無法對角化，就只能分解為廣義特徵空間或若爾當塊。

但要判斷矩陣是否相似，並不需要這種精細分解。有理規範形基於直和，分解為儘可能大的穩定子空間，同時又能非常簡單地描述每個子空間上的作用。子空間須由單個非零向量v及其通過與矩陣有關的重複線性運算得到的所有像生成；這樣的子空間稱為循環子空間（參考循環子群），在線性運算下顯然穩定。只要v及其連續的像線性獨立，就可以取到這種子空間的基。關於這樣一個基的線性運算的矩陣是一個一元多項式（限於子空間的運算的最小多項式，類似於循環子群的階）的相伴矩陣，這個多項式決定了同構意義下運算對循環子空間的作用，且與用於生成子空間的v向量的選擇無關。

到循環子空間的直和分解總是存在，且找到這種分解不需要因式分解。然而，循環子空間有可能被分解為更小的循環子空間的直和（中國剩餘定理），因此僅將兩個矩陣的空間分解、得到對應的最小多項式，還不足以判定相似。為確保分解完全匹配，還需要條件：在相關最小多項式列表中，每個多項式都要除以下一個多項式（不能使用常數1，以排除0維平凡子空間）。得到的多項式列表稱為矩陣（定義的KX模）的不變因子，兩個矩陣的不變因子集合相同時，才是相似的。矩陣A的有理規範形是在到循環子空間的分解的基礎上得到的，後者的相關最小多項式是A的不變因子；若且唯若兩個矩陣的有理規範形相同時，兩者才相似。

## 例子

在Q上的如下矩陣：

$$\scriptstyle A=\begin{pmatrix} <pre> -1& 3&-1& 0&-2& 0& 0&-2 \\ -1&-1& 1& 1&-2&-1& 0&-1 \\ -2&-6& 4& 3&-8&-4&-2& 1 \\ -1& 8&-3&-1& 5& 2& 3&-3 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1 \\ 0& 0& 0& 0&-1& 0& 0& 0 \\ 1& 0& 0& 0& 2& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0& 4& 0& 1& 0 \end{pmatrix}.$$

A的極小多項式$\mu=X^6-4X^4-2X^3+4X^2+4X+1$，因此由單個向量的重複像生成的子空間不可能大於6維。特徵多項式是$\chi=X^8-X^7-5X^6+2X^5+10X^4+2X^3-7X^2-5X-1$，是極小多項式的$X^2-X-1$倍。一定有向量，其自身生成的循環子空間與整個空間上的算子有相同的極小多項式；其實大多數向量都有這種性質，這時第一標準基向量$e_1$有這種性質：向量$A^k(e_1)(k=0,1,\ldots,5)$線性獨立，且張成了極小多項式為$\mu$的循環子空間。這個循環子空間有互補穩定子空間（2維），由$v=(3,4,8,0,-1,0,2,-1)^\top$、$w=(5,4,5,9,-1,1,1,-2)^\top$生成的空間就是一個例子。事實上有$A\cdot v=w$，所以互補子空間是$v$生成的循環子空間；其有極小多項式$X^2-X-1$。由於$\mu$是整個空間的極小多項式，所以很明顯$X^2-X-1$可以除$\mu$（很容易檢驗），所以我們也就找到了A的不變因子$X^2-X-1$和$\mu=X^6-4X^4-2X^3+4X^2+4X+1$。那麼A的有理規範形就是以相應的相伴矩陣為對角塊的分塊對角矩陣，即

$$\scriptstyle C=\begin{pmatrix} <pre> 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0&-1 \\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0&-4 \\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0&-4 \\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 2 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 4 \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0 \end{pmatrix}.$$

上面的向量$v,w$構成了支持這種形式的基，其次是$A^k(e_1)(k=0,1,\ldots,5)$；明確地說，這意味著對於

$\scriptstyle P=\begin{pmatrix} <pre> 3& 5& 1&-1& 0& 0& -4& 0\\ 4& 4& 0&-1&-1&-2& -3&-5\\ 8& 5& 0&-2&-5&-2&-11&-6\\ 0& 9& 0&-1& 3&-2& 0& 0\\ -1&-1& 0& 0& 0& 1& -1& 4\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& -1& 1\\ 2& 1& 0& 1&-1& 0& 2&-6\\ -1&-2& 0& 0& 1&-1& 4&-2 \end{pmatrix}$,

可以得到$A=PCP^{-1}$。

## 一般情形與推論

給定基域F和其上的有限維向量空間V；給定多項式P ∈ FX，有伴隨矩陣CP，其特徵多項式和極小多項式都等於P。

定理：令A為F上的方陣，則V（視為FX-模，X作用由A給出）允許FX-模同構

V ≅ FX/f1 ⊕ … ⊕ FX/fk

其中fi ∈ FX可看作是正階數的首一多項式（因此不是FX的可逆元），滿足關係

其中「a | b」表示「a除以b」；這些條件下，多項式fi的列表唯一。

證明思路：將主理想域上的有限生成模結構定理應用於V，將其視為FX-模。結構定理可以將其分解為循環因子，每個因子都是FX的真理想的商；零理想不存在，因為由此產生的自由模將是無限維F向量空間，而V維數有限。對於多項式fi，可以取各自理想的唯一首一生成子，由於結構定理確保每個理想都包含於前面的理想，因此可得fi的可除條件。

給定任意方陣，構造若爾當標準形所用的初等因子不在FX上，所以必須轉用上面給出的不變因子fi。最後一個因子fk便是極小多項式，因此所有不變因數都要除以它，不變因子的積就是特徵多項式。這意味著極小多項式可除特徵多項式（哈密爾頓–凱萊定理），而且特徵多項式的每個不可約因式也可除極小多項式（重數可能更小）。

每個不變因子fi都可求得相伴矩陣Cfi，由這些塊組成的對角陣也就是A的有理規範形。極小多項式和特徵多項式相同時（k=1），弗羅貝尼烏斯標準形是特徵多項式的相伴矩陣。由於有理規範形是由與A相關的唯一不變因子唯一確定的，後者與基無關，所以若且唯若兩個方陣A、B有相同的有理規範形時，它們才相似。

## 初等有理規範形作為若爾當標準形的推廣

弗羅貝尼烏斯標準形與特徵多項式的因式分解無關，這意味著當F被不同的域取代時是不變的（只要包含原矩陣A的所有元素）。另一方面，這也使弗羅貝尼烏斯標準形大大不同於其他依賴於特徵多項式因式的標準形，特別是對角形（若A可對角化）或若爾當標準形（若特徵多項式可分為線性因子）。例如，對角陣的弗羅貝尼烏斯標準形只是其特徵多項式的相伴矩陣。

還有一種辦法定義標準形，與弗羅貝尼烏斯標準形一樣總是定義在A所在的域F上，但確實反映了特徵多項式（或等價於極小多項式）到F上的不可約因子的因式分解。若分解只含線性因子（對應特徵值），就簡化為若爾當標準形。這種形式有時被稱為廣義若爾當標準形或初等有理規範形，其依據是，向量空間可規範地分解為對應不同不可約因子P的穩定子空間的直和（參見lemme des noyaux），每個和的特徵多項式都是相應P的冪。這些和式可以不規範地分解為循環Fx-模（如上述弗羅貝尼烏斯標準形所做）的直和，每個和的特徵多項式仍是P的冪。初等有理規範形是對角分塊矩陣，對應於循環模的此種分解。對角塊中有一種稱為廣義約當塊的特殊形式，對應循環模之基的特定選擇。這種廣義約當塊本身就是一個形式如下的分塊矩陣

$$\scriptstyle\begin{pmatrix}C&0&\cdots&0\\U&C&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&U&C\end{pmatrix}$$

其中C是不可約多項式P的相伴矩陣，U是矩陣，其唯一非零元是右上角的1。對於線性不可約因子P = x − λ，這些塊被簡化為單元素C = λ、U = 1，於是便找到了（轉置的）若爾當塊。在任何廣義約當塊中，主對角線一下的所有元素都是1。產生這種形式的循環模之基可以這樣產生：選擇生成向量v（不被Pk−1(A)零化的生成向量，其中循環模的極小多項式是Pk），並取基

$$v,A(v),A^2(v),\ldots,A^{d-1}(v), ~ <pre> P(A)(v), A(P(A)(v)),\ldots,A^{d-1}(P(A)(v)), ~ P^2(A)(v),\ldots, ~ P^{k-1}(A)(v),\ldots,A^{d-1}(P^{k-1}(A)(v))$$

其中d = deg(P)。

## 外部連結

- Rational Canonical Form (Mathworld)

### 演算法

- An O(n3) Algorithm for Frobenius Normal Form
- An Algorithm for the Frobenius Normal Form (pdf)
- A rational canonical form Algorithm (pdf)