斯坦斯普林擴張定理

在算子理論這一數學領域中，斯坦斯普林擴張定理（也稱為斯坦斯普林分解定理）是冠名於數學家 W. Forrest Stinespring 的一個定理。它將C*-代數 $\mathcal A$ 上的任何完全正映射（completely positive map，簡稱為CP映射）表示為兩個完全正映射的複合，這兩個映射分別是：

- $\mathcal A$ 在某個輔助希爾伯特空間 $K$ 上的 *-表示
- 一個將算子映射為算子的映射，形如 $T \mapsto V^*TV$。

此外，此定理是從 C*-代數到希爾伯特空間上有界算子代數的結構定理，因其說明了C*-代數間的完全正映射是*-表示的上述簡單修改。

## 表述

對於有單位元的C*-代數，定理表述如下：

定理 設 $\mathcal A$ 為一個有單位元的 C*-代數， $H$ 為希爾伯特空間， $B(H)$ 為 $H$ 上的全體有界算子的集合。對於任一完全正映射

$$\Phi : \mathcal A \to B(H),$$

存在一個希爾伯特空間 $K$ 和一個保單位元的 *-同態

$$\pi : \mathcal A \to B(K)$$

使得

$$\Phi(a) = V^\ast \pi (a) V,$$

其中 $V: H \to K$ 是有界算子。此外，我們還有

$$\| \Phi(1) \| = \| V \|^2.$$

非正式地說，我們可以說任一完全正映射 $\Phi$ 可以「提升」為形如 $V^* (\cdot) V$ 的映射。

該定理的逆命題顯然為真。因此，此定理對完全正映射進行了分類。

## 證明概要

我們現在簡述一下證明。令 $K = \mathcal A \otimes H$。對於 $a \otimes h, \ b \otimes g \in K$，定義

$$\langle a \otimes h, b \otimes g \rangle _K := \langle \Phi(b^*a) h, g \rangle _H = \langle h, \Phi(a^*b)g \rangle_H$$

並通過半線性擴張到整個 $K$。這是一個厄米半線性形式，因為 $\Phi$ 與 * 操作是相容的。然後可基於 $\Phi$ 的完全正性證明該半線性形式實際上是半正定的。由於半正定厄米半線性形式滿足柯西-施瓦茨不等式，因此子集

$$K' = \{x \in K \mid \langle x, x \rangle _K = 0 \} \subset K$$

是一個子空間。我們可以通過考慮商空間 $K / K'$ 來消除退化。於是該商空間的完備化給出一個希爾伯特空間，也記作 $K$。下一步定義 $\pi (a) (b \otimes g) = ab \otimes g$ 和 $V h = 1_A \otimes h$。可以驗證 $\pi$ 和 $V$ 具有所需的性質。是一個子空間。

注意 $V$ 就是 $H$ 到 $K$ 的自然代數嵌入。可以驗證 $V^\ast(a\otimes h) = \Phi(a)h$。特別地，注意到有 $V^\ast V = \Phi(1)$，因此若且唯若 $\Phi(1)=1$ 時， $V$ 得以是一個等距同構。在這種情況下， $H$ 可以在希爾伯特空間意義上嵌入到 $K$ 中，而作用在 $K$ 上的 $V^\ast$ 則是到 $H$ 上的投影。符號上，我們可以寫成

$$\Phi (a) = P_H \; \pi(a) \Big|_H.$$

用擴張(算子理論)的語言來說， $\Phi(a)$ 是 $\pi(a)$ 的一個壓縮。因此，斯坦斯普林擴張定理的一個推論是，每個保單位的完全正映射都是某個*-同態的壓縮。

## 極小斯坦斯普林表示

三元組 $( \pi, V, K )$ 被稱為 $\Phi$ 的斯坦斯普林表示。現在一個自然的問題是，是否可以將給定的斯坦斯普林表示約化為在某種意義上極小的。

令 $K_1$ 為 $\pi(\mathcal A) VH$ 的閉線性生成空間。根據*-表示的一般性質，對於任意 $a\in\mathcal A$， $K_1$ 是 $\pi(a)$ 的不變子空間；且有 $VH\subset K_1$。定義

$$\pi _1 (a) = \pi (a) \Big|_{K_1}.$$

可直接計算得到

$$\begin{align} \pi_1 (a) \pi_1 (b) &= \pi (a) \Big|_{K_1} \pi (b) \Big|_{K_1} \\ &= \pi (a) \pi (b) \Big|_{K_1} \\ &= \pi (ab) \Big|_{K_1} \\ &= \pi_1 (ab). \end{align}$$

若有 $k,\ell\in K_1$，則

$$\begin{align} \langle \pi_1 (a^*)k, \ell \rangle &= \langle \pi (a^*)k, \ell \rangle \\ &= \langle \pi(a)^* k, \ell \rangle \\ &= \langle k, \pi (a) \ell \rangle \\ &= \langle k, \pi_1 (a) \ell \rangle \\ &=\langle \pi_1 (a)^* k, \ell \rangle. \end{align}$$

因此 $( \pi_1, V, K_1)$ 也是 $\Phi$ 的一個斯坦斯普林表示，且 $K_1$ 是 $\pi(\mathcal A) VH$ 的閉線性生成空間，這樣的表示稱為極小斯坦斯普林表示。

## 唯一性

令 $( \pi_1, V_1, K_1), ( \pi_2, V_2, K_2)$ 為給定 $\Phi$ 的兩個斯坦斯普林表示。定義一個部分等距映射 $W:K_1\to K_2$ 如下

$$\; W \pi_1 (a) V_1 h = \pi_2 (a) V_2 h.$$

在 $V_1 H\subset K_1$ 上，這給出了交織關係

$$\; W \pi_1 = \pi_2 W.$$

特別是，如果兩個斯坦斯普林表示都是極小的，則 $W$ 是么正的。因此，極小斯坦斯普林表示是唯一的，至多差一個么正變換。

## 一些推論

下文將提及一些可以看作斯坦斯普林定理推論的結果。不過從歷史上看，下面的一些結果要更早於斯坦斯普林定理。

### GNS 構造

下面將從斯坦斯普林定理導出GNS構造。令斯坦斯普林定理中的 $H$ 為一維的，即複數。因此 $\Phi$ 現在是 $\mathcal A$ 上的正線性泛函。若假定 $\Phi$ 是一個態（也就是說 $\Phi$ 的範數為一），那麼等距映射 $V : H \to K$ 可由

$$V 1 = \xi$$

確定，其中 $\xi \in K$ 是某個單位向量。所以

$$\begin{align} \Phi(a) = V^* \pi (a) V &= \langle V^* \pi (a) V 1, 1 \rangle _H \\ &= \langle \pi (a) V 1, V 1 \rangle _K \\ &= \langle \pi (a) \xi, \xi \rangle _K, \end{align}$$

這正是態與其 GNS 構造間的關係式。由此可以看出完全正映射（而非正映射）才是正線性泛函的適當推廣。

設 C*-代數上有正線性泛函 $\Phi,\Psi$，若它們對於任一正元素 $x\in\mathcal A$ 滿足

$$\Psi(x)=0\implies\Phi(x)=0$$

則稱 $\Phi$ 關於 $\Psi$ 是絕對連續的。這即是拉東-尼科迪姆定理的非交換推廣。當參考泛函選擇為跡時，矩陣代數上的態(泛函分析)關於跡的通常密度算子不過是選擇 $\Psi$ 為跡時的拉東-尼科迪姆導數。別拉夫金引入了一個完全正映射相對於另一個（參考）映射的完全絕對連續的概念，並證明了完全正映射的非交換拉東-尼科迪姆定理的一個算子變體。此定理的一個特例對應於參考映射是矩陣代數上的跡性（tracial）的完全正映射的情況，這給出了所謂蔡文端算子，即完全正映射關於標準跡的拉東-尼科迪姆導數（參見蔡文端定理）。

### 蔡文端定理

蔡文端證明了，若 $\Phi: B(G) \to B(H)$ 是完全正的，其中 $G$ 和 $H$ 分別是維數為 $n$ 和 $m$ 的有限維希爾伯特空間，則 $\Phi$ 具有以下形式：

$$\Phi (a) = \sum_{i = 1}^{nm} V_i^* a V_i .$$

這被稱為完全正映射的蔡文端定理。蔡文端的證明使用的是線性代數技術，但他的結果也可以看作是斯坦斯普林定理的一個特例：

設 $( \pi, V, K )$ 是 $\Phi$ 的極小斯坦斯普林表示。根據極小性， $K$ 的維度小於 $C^{n \times n} \otimes C^m$。因此，不失一般性地， $K$ 可以表示為

$$K = \bigoplus_{i = 1}^{nm} C_i^n.$$

每個 $C_i^n$ 都是 $n$ 維希爾伯特空間的一個副本。從 $\pi (a) (b \otimes g) = ab \otimes g$ 可以看出可以選擇 $K$ 的表示式使得$\; P_i \pi(a) P_i = a$，其中 $P_i$ 是是 $K$ 上到 $C_i^n$ 的投影。

令 $V_i = P_i V$，有

$$\Phi (a) = \sum_{i = 1}^{nm} (V^* P_i) (P_i \pi(a) P_i) (P_i V) = \sum _{i = 1} ^{nm} V_i^* a V_i,$$

於是就證明了蔡文端定理。

蔡文端的結果是完全正映射的非交換拉東-尼科迪姆定理的一個特例，對應於參考映射是矩陣代數上的跡性完全正映射的情況。1985年，別拉夫金以強算子形式證明了這個普遍的定理，他證明了對於一個CP映射，若其相對另一參考CP映射是完全絕對連續的，則必存在相應的正密度算子。該密度算子的唯一性則是參考映射的斯坦斯普林表示的極小性的直接結果。因此，蔡文端算子即是有限維CP映射關於標準跡的拉東-尼科迪姆導數。

請注意，在通過斯坦斯普林表述來證明蔡文端定理以及別拉夫金定理時，除非顯式指明各空間，否則這些論述並未明確給出克勞斯算子 $V_i$。而另一方面，蔡文端的原始證明則涉及對這些算子的直接計算。

### 奈馬克擴張定理

奈馬克的定理指出，某個緊豪斯多夫空間 $X$ 上、取值於 $B(H)$ 中且、弱可數可加的測度可被「提升」為一個譜測度。將 $X$ 上的連續函數構成交換的C*-代數 $C(X)$ 這一事實與斯坦斯普林定理結合便可證明這一點。

### 納吉擴張定理

該結果表明，希爾伯特空間上的每個收縮都有具有最小性質的么正擴張。

## 應用

在量子信息中，量子通道或者說量子操作被定義為C*-代數之間的完全正映射。作為所有此類映射的分類，斯坦斯普林定理在該背景下具有重要意義。例如，該定理的唯一性部分已被用來對某些類別的量子通道進行分類。

為了比較不同的通道並計算它們的互保真度和資訊，使用別拉夫金引入的拉東-尼科迪姆導數對通道進行另一種表示將是很有用的。作為別拉夫金的完全正映射的拉東-尼科迪姆定理在有限維、跡性情況下的變體，蔡文端定理也與此相關聯。

$$\Phi (a) = \sum_{i = 1}^{nm} V_i^* a V_i.$$

所確定的算子 $\{ V_i \}$ 被稱為 $\Phi$ 的克勞斯算子。表達式

$$\sum_{i = 1}^{nm} V_i^* ( \cdot ) V_i$$

則有時被稱為 $\Phi$ 的算子和表示。

## 參考資料

- M.-D. Choi, Completely Positive Linear Maps on Complex Matrices, Linear Algebra and its Applications, 10, 285–290 (1975).
- V. P. Belavkin, P. Staszewski, Radon–Nikodym Theorem for Completely Positive Maps, Reports on Mathematical Physics, v. 24, No 1, 49–55 (1986).
- V. Paulsen, Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press, 2003.
- W. F. Stinespring, Positive Functions on C*-algebras, Proceedings of the American Mathematical Society, 6, 211–216 (1955).