超積

數學上，超積（ultraproduct）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個結構之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的表徵 (邏輯)。超冪（ultrapower）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。

舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。

超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出緊緻性定理與完備性定理的優雅證明。傑爾姆·開斯勒的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔（Elias Zakon）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非標準分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。

## 定義

超積的一般定義中，先選定指標集$I$、對應每個下標$i \in I$的結構$\mathcal M_i$（具相同的表徵 (邏輯)），以及$I$上的超濾子$\mathcal U$。通常僅考慮$I$為無窮集，且$\mathcal U$不為主超濾子的情況，即$\mathcal U$的元素有齊$I$的全部餘有限子集，但無任何有限子集。原因是，在主超濾子的情況下，所得的超積只會與其中一個因子同構，並無新的性質。

笛卡兒積

$$\prod_{i \in I} \mathcal M_i$$

上的代數運算，是逐點計。例如，對於二元運算$+$，$(\boldsymbol a + \boldsymbol b)_i = a_i + b_i$。然後，在笛氏積上，定義等價關係$\sim$，使$\boldsymbol a \sim \boldsymbol b$當且僅當

$$\left\{ i \in I: a_i = b_i \right\}\in \mathcal U$$

（應當理解為「$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$在大多數位置相等」）。

最後，所得的超積，是模$\sim$的商集。所以，該超積有時記為

$$\prod_{i\in I}\mathcal M_i / \mathcal U .$$

另一種看法是，在指標集$I$上，定義一個有限可加的測度$m$（弱於一般可數可加的條件），僅取$0, 1$二值，若$A \in \mathcal U$則稱$m(A) = 1$，否則稱$m(A) = 0$。然後在笛氏積中，兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等，則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。

其他關係 (數學)同理可作引申：

$$R([\boldsymbol a^1],\ldots,[\boldsymbol a^n]) \iff \left\{ i \in I: R^{\mathcal M_i}(a^1_i,\ldots,a^n_i) \right\}\in \mathcal U,$$

其中$[\boldsymbol a]$表示$\boldsymbol a$模$\sim$所屬的等價類。

特別地，若每個$\mathcal M_i$皆為有序域，則所得的超積亦然。

所謂超冪，意思是所有因子$\mathcal M_i$皆相等的超積：

$$\mathcal M^I/\mathcal U=\prod_{i\in I} \mathcal M/\mathcal U.\,$$

也可以推廣到$\mathcal U$不為超濾子，而僅為$I$上普通一個濾子的情況。此時所得的模型$\prod_{i\in I}\mathcal M_i / \mathcal U$稱為約化積（reduced product）。

## 例子

超實數系是可數無窮多個（以自然數集編號）實數系的超積，其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的大小次序擴展了實數之間的大小次序。例如，$\omega_n = n$的序列$(\omega_n)$所在的等價類，記為超實數$\omega$，比任意實數都要大，因為對於任意實數$r$，$(\omega_n)$除有限項外皆比$r$大。於是，$\omega$可以理解成無窮大數。

類似地，可以定義非標準整數、非標準複數系等，為相應標準結構的超積。

又考慮以下例子，以便理解超積中關係的定義。設超實數$\psi$為序列$\psi_n = 2n$所在的等價類。由於對每個$n$都有$\psi_n > n = \omega_n$，在超積中，有$\psi > \omega$，所以$\psi$是較原先構造出的$\omega$更大的無窮大數。又考慮與$\omega_n = n$類似的序列$(\chi_n)$，令$n \neq 7$時，$\chi_n = n$，但$\chi_7 = 8$。則雖然兩個序列$(\chi_n) \neq (\omega_n)$，但兩者僅在有限個下標處不相等，故兩者相等的下標集合是超濾子的元素（因為是餘有限集），從而作為等價類，有$\omega = \chi$。

大基數論中，有個標準構造是小心選取超濾子$\mathcal U$，然後取整個集合論全類關於$\mathcal U$的超積。此時，$\mathcal U$的性質，對於所得超積的（高階）性質影響很大。例如，若$\mathcal U$可數完備，則相應的超積仍是良基的。該範例在可測基數#定義有提及。

## 沃希定理

沃希定理（Łoś's theorem），又稱超積基本定理，由耶日·沃希所證。定理斷言，任何一條一階邏輯式在超積$\prod \mathcal M_i/ \mathcal U$中為真，當且僅當使該公式在$\mathcal M_i$中成立的指標$i$的集合，是$\mathcal U$的元素。後一個條件，可以直觀理解為「大多數」$\mathcal M_i$皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下：

設有表徵$\sigma$，指標集$I$，其上的超濾子$\mathcal U$，且對每個$i \in I$，有$\sigma$結構$\mathcal M_i$。又設$\mathcal M$為$\mathcal M_i$關於$\mathcal U$之超積，即$\mathcal M = \prod_{i \in I} \mathcal M_i / \mathcal U$。則對任意$n$個多元組$a^{1}, \ldots, a^{n} \in \prod \mathcal M_{i}$，其中$a^{k} = (a^k_i)_{i \in I}$，以及對任意$\sigma$公式$\varphi$。

$$\mathcal M \models \varphi(a^1, \ldots, a^n) \iff \left\{ i \in I : \mathcal M_{i} \models \varphi(a^1_{i}, \ldots, a^n_{i} )\right\} \in \mathcal U.$$

定理對公式$\varphi$的複雜度歸納得證。$\mathcal U$為超濾子（而不僅是濾子）的性質，在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步，要用到選擇公理。應用定理可得超實域的轉移原理。

### 實例

設$R$為結構$\mathcal M$上的一元關係，並構造$\mathcal M$的超冪。則集合$S=\{x \in \mathcal M:\mathcal M \models R x\}$在超冪中有對應的子集${}^*S$，而在$\mathcal M$中，對$S$量化且為真的一階公式，將$S$換成${}^*S$後，仍在超冪中成立。例如，設$\mathcal M = \mathbb R$為實數集。設$Rx$表示「$x$為有理數」。則在$\mathcal M$中，對每對有理數$x < y$，總有無理數$z$介於兩者之間。即：

$$\mathcal M \models (\forall x) (\forall y)(Rx \wedge Ry \wedge (x < y) \implies (\exists z) (\neg Rz \wedge x < z < y)).$$

既然有理數集$S$此一性質可以寫成一階命題，沃希定理推出，超有理數集${}^*S$仍有同一性質，即任意兩個超有理數之間，有一個不為超有理數的超實數（「超無理數」）。更一般地，超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。

然而，考慮實數的阿基米德性質，即不存在實數$x$同時滿足$x > 1,\ x> 1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots$此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示，所以，沃希定理不適用於此性質，不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反，超實數不滿足阿基米德性質，例如前一節構造的超實數$\omega$，就比$1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots$都要大。

## 超冪的正極限（超極限）

模型論和集合論中，常考慮一列超冪的正極限（範疇論的餘極限）。模型論中，此構造稱為超極限（ultralimit）或極限超冪（limiting ultrapower）。

從某結構$\mathcal A_0$和超濾子$\mathcal U_0$開始，構造出超冪$\mathcal A_1$，並重複，得到$\mathcal A_2$等。對每個$n$，有典範對角嵌入$\mathcal A_n\hookrightarrow \mathcal A_{n+1}$。在極限階段，如$\mathcal A_\omega$，取此前所有結構的正極限，如此便可取超限多次超冪。