拓撲弦論

理論物理學中，拓撲弦論是弦論的一個版本，見於愛德華·威滕與卡姆朗·瓦法等人的論文，與威滕早期的拓撲量子場論思想相類。

## 概述

拓撲弦論有兩種變體：拓撲A模型與拓撲B模型。拓撲弦論的計算結果一般編碼了完整弦論中的所有全純量，其值受時空超對稱性保護。拓撲弦論中的各種計算與陳-西蒙斯理論、格羅莫夫–威滕不變量、鏡像對稱、幾何朗蘭茲綱領等很多主題。

拓撲弦論中的算子表示了完整弦論中保留一定超對稱的算子的代數。拓撲弦論是由對普通弦論的世界面描述進行拓撲扭曲得到：算子被賦予不同的自旋。這操作完全類似於拓撲場論的構建，其是一個相關的概念。因此，拓撲弦論不存在局部自由度。

## 可容許時空

弦論的基本弦是2維曲面。每個曲面上都定義了量子場論，即N = (1,1) sigma模型。這理論由從面到超流形的映射組成。從物理上講，超流形可視作時空，每個映射可視作弦在時空中的嵌入。

只有特殊的時空才能容納拓撲弦。經典地講，必須選擇一個時空，使得理論尊重額外的超對稱性，成為N = (2,2) sigma模型。如果時空是凱勒流形，且H-通量為零，則是一種特殊情形。廣義凱勒流形可以有非平凡的H-通量。

### 拓撲扭曲

特殊背景上的普通弦從來都不是拓撲弦。要使其具有拓撲性，需要通過愛德華·威滕於1988年發明的拓撲扭曲來修改sigma模型。需要說明的是，這些理論有兩個U(1)對稱，即R-對稱，洛倫茲對稱也要通過結合轉動與R-對稱來修改。我們可以用兩種R-對稱中的任一種，產生兩種不同的理論，即A模型與B模型。這扭曲之後，理論的作用是BRST精確的，因此理論沒有動力學。相反，所有觀測量都取決於構型的拓撲結構。這種理論稱作拓撲理論。

經典上，這種過程總是可能的。

量子力學中，U(1)對稱可能是微擾反常的，從而使扭曲成為不可能。例如，在H = 0的凱勒情形中，扭曲會使A模型的扭曲總是可能的，但只有時空的第一陳類為0，B-模型的扭曲才也是可能的，這意味著時空需要時卡拉比-丘流形。更一般的(2,2)理論有兩種復結構，當配叢的第一陳類之和為0時，就存在B模型，而陳類之差為0時，就存在A模型。在凱勒情形中，兩個復結構總是相同的，這就是為什麼A模型總存在。

時空的維數沒有限制，只是因為時空是廣義凱勒的，所以時空維度必須是偶數。不過，除非時空的復維度為3，否則所有非球面世界面的相關函數都為0，因此復維度為3的時空是最有趣的。這對粒子物理現象學是幸運的，因為現象學模型通常使用在3復維空間上緊化的物理弦論。拓撲弦論不同於物理弦論，但它們中的某些超對稱量是一致的。

## 對象

### A模型

拓撲A模型的目標空間是6實維的廣義凱勒時空。在凱勒時空的情況下，理論描述了兩個對象。有基本弦，包裹著兩條實維全純曲線。弦的散射的振幅只取決於時空的凱勒形式，而與復結構無關。經典上，這些相關函數由上同調環決定。量子力學的瞬子效應可以修正它們，並產生格羅莫夫–威滕不變量，它測量被稱作量子上同調的變形上同調環中的上積。A模型閉弦的弦場論也稱作凱勒引力，由Michael Bershadsky、Vladimir Sadov於 《凱勒引力理論》（Theory of Kähler Gravity）中提出。

此外，還有包裹著時空的拉格朗日子流形的D2膜，子流形的維度只有時空的一半，因此凱勒形式對子流形的拉回為0。N個D2膜的疊上的世界體理論是A模型開弦的弦場論，是U(N)陳-西蒙斯理論。

基本拓撲弦可能終於D2膜。弦的嵌入只取決於凱勒形式，膜的嵌入則完全取決於復結構。特別是，當弦終於膜時，交總是正交的，因為凱勒形式與全純3-形式的楔積為0。在物理弦中，這是保持構型穩定的必要條件，但在這裡，這是凱勒流形上拉格朗日量與全純循環的屬性。

除了拉格朗日子流形的一半維度之外，其他維度也可能存在余迷向膜。Anton Kapustin和Dmitri Orlov在 一篇評論 中首次指出這些膜的存在。

### B模型

B模型也包括基本弦，但其散射振幅完全取決於復結構，獨立於凱勒結構。特別是，它們對世界面瞬子效應不敏感，於是通常可以精確計算。鏡像對稱將其與A模型振幅聯繫起來，從而可以計算格羅莫夫–威滕不變量。B模型閉弦的弦場論稱作小平–斯賓塞引力理論，由Michael Bershadsky、Sergio Cecotti、大栗博司、卡姆朗·瓦法等人在 《小平–斯賓塞引力理論與量子弦振幅的精確結果》（Kodaira–Spencer Theory of Gravity and Exact Results for Quantum String Amplitudes）中提出。

B模型還包括D(-1)、D1、D3、D5膜，分別包裹全純0、2、4、6-子流形。6-子流形是時空的一個連通部分。D5膜上的理論稱作全純陳-西蒙斯理論。拉格朗日密度是普通陳-西蒙斯理論與全純(3, 0)-形式的楔積，存在於卡拉比-丘情形下。低維膜上理論的拉格朗日密度可通過降維，從全純陳-西蒙斯理論中獲得。

### 拓撲M理論

具備7維時空的拓撲M理論不是拓撲弦論，因為它不包含拓撲弦。然而人們猜想6-流形上的圓叢上的拓撲M理論等同於這6-流形上的拓撲A模型。

尤其是，A模型的D2膜提升（lift）為圓叢退化的點，或更確切地說，卡魯扎-克萊因單極。在拓撲M理論中，A模型的基本弦提升為所謂M2膜。

一個備受關注的特例是具有$G_2$完整性的空間上的拓撲M理論與卡拉比-丘流形上的A模型。這時，M2膜包裹著結合3-循環。拓撲M理論猜想是在這種情形下提出的，奈傑爾·希欽在 《六維與七維中的3-形式幾何》（The Geometry of Three-Forms in Six and Seven Dimensions）與 《穩定形式與特殊度量》（Stable Forms and Special Metrics）中提出的函數提供了候選的低能有效作用。

這些函數被稱為「希欽泛函」，拓撲弦與希欽的廣義復結構、希欽系統與ADHM構造等等思想密切相關。

## 可觀測量

### 拓撲扭曲

2維世界面理論是N = (2,2) 超對稱sigma模型，(2,2)超對稱是說超對稱代數中的費米子生成子（稱作超電荷，supercharge）可以組裝成單一的狄拉克旋量，其由每個手性的兩個Majorana–Weyl旋量組成。這sigma模型被拓撲扭曲了，意味著超對稱代數中出現的洛倫茲對稱生成子將同時旋轉物理時空，並通過其中一個R-對稱作用旋轉費米子方向。2維N = (2,2)場論的R-對稱群是U(1) × U(1)，由兩個不同因子扭轉，分別產生A、B模型。拓撲弦論的拓撲扭曲構造由愛德華·威滕於1988年論文中提出。

### 相關子（correlator）取決於什麼？

拓撲扭曲會導致拓撲理論，因為應力-能量張量可以寫成超電荷與另一場的反交換子。由於應力-能量張量測量了作用量對度量張量的依賴性，意味著所有Q-不變算子的相關函數都與度量無關。從這個意義上說，該理論是拓撲的。

更廣義地說，作用量中的任何D項，即可表為對所有超空間積分的任意項，都是超電荷的反交換子，於是不會影響拓撲可觀測量。但更一般地說，B模型中，任何可寫成對費米子$\overline\theta^\pm$的坐標積分的項都沒有貢獻，而A模型中，任何對$\theta^-$或$\overline\theta^+$積分的項都沒有貢獻。這意味著，A模型的可觀測量與超勢能（superpotential）無關（因為它可寫成對$\overline\theta^\pm$的積分），而全純地依賴於扭曲超勢能，對B模型反之亦然。

## 對偶性

### TST之間的對偶性

許多對偶性將上述理論聯繫起來。兩鏡像流形上的A、B模型通過鏡像對稱聯繫起來，這被描述為3-環面上的T對偶。同一流形上的A、B模型有人猜測通過S對偶聯繫在一起，意味著存在幾個新的膜，同NS5膜類比稱作NS膜，包裹著與相反理論中的原膜相同的循環。此外，A模型的組合同B模型及其共軛之和通過一種維度減化與拓撲M理論相關。這裡，A、B模型的自由度似乎不是同時可觀測的，而是具有類似於量子力學中位置與動量的關係。

#### 全純異常

B模型及其共軛之和出現在上述對偶性中，因為它是希欽形式主義有望描述其低能有效作用的理論。這是因為B模型存在全純異常，即狀態所依賴的復屬性雖然在經典上是全純的，但卻受到非全純量子修正。愛德華·威滕在 《弦論中的量子背景獨立性》（Quantum Background Independence in String Theory）中指出，這種結構類似於復結構空間中發現的幾何量子化結構。一旦空間被量子化，只有一半的維度能同時維持交換性，於是自由度數量減半。減半取決於一種任意的選擇，即極化。共軛模型包含了缺失的自由度，因此通過對B模型及其共軛模型進行張量計算，可以重新獲得所有缺失的自由度，並消除對極化選擇的依賴。

### 幾何轉換

還有一些對偶性把用開弦描述的含D膜構型與用通量取代膜的含膜構型聯繫起來，並用丟失膜的近視距幾何（near-horizon geometry）描述其幾何。後者由閉弦描述。

Rajesh Gopakumar與卡姆朗·瓦法在 《論規範理論/幾何對應》（On the Gauge Theory/Geometry Correspondence）中提出的Gopakumar-Vafa對偶性也許是第一個這樣的對偶性。它將變形錐形上A模型中3-球上的N個D6膜疊與預解錐形上A模型的閉弦論聯繫起來，B場等於弦耦合常數的N倍。A模型中的開弦由U(N)陳-西蒙斯理論描述，而A模型上的閉弦論則由凱勒引力描述。

雖說錐形被預解了（resolved），但被吹大的2-球面面積為0，只有B場（通常認為是面積的複數部分）不為0。事實上，由於陳-西蒙斯理論是拓撲的，我們可以將變形3-球的體積縮小為0，從而得到與對偶理論相同的幾何。

這種對偶性的鏡像對偶是另一種對偶性，將B模型中包裹著預解錐形中2-循環的膜的開弦同B模型中變形錐形上的閉弦相關聯。B模型中的開弦由其所處膜上的全純陳-西蒙斯理論的維數減化描述，而B模型中的閉弦則由小平-斯賓塞引力描述。

### 與其他理論的對偶性

#### 晶體熔化、量子泡沫與U(1)規範理論

安德烈·奧昆科夫、Nicolai Reshetikhin與卡姆朗·瓦法在論文 《量子卡拉比-丘與經典晶體》（Quantum Calabi–Yau and Classical Crystals）中猜想，溫度等於弦耦合常數的倒數時，量子A模型與經典晶體的熔化是對偶的。Amer Iqbal、Nikita Nekrasov、安德烈·奧昆科夫、與卡姆朗·瓦法在 《量子泡沫與拓撲弦》（Quantum Foam and Topological Strings）中解釋了這猜想，他們聲稱，熔融晶體構型的統計和等同於時空拓撲變化的路徑積分，而時空拓撲變化是由面積為弦耦合常數與α'之積的小區域所支持的。

這樣由很多小氣泡組成的時空的構型可追溯到約翰·惠勒（1964），但很少見於弦論，因為眾所周知這種構型很難精確。但在這種對偶性中，作者能用我們熟悉的拓撲扭曲U(1)規範場論描述量子泡沫的動力學，其場強與A模型的凱勒形式呈線性關係。這尤其表明，A模型的凱勒形式應是量子化的。

## 應用

A模型拓撲弦論的振幅可用於計算4、5維中的N=2超對稱規範場論的預勢（prepotential）。拓撲B模型的振幅（帶通量和/或膜）則用於計算4維中N=1超對稱規範場論的超勢能。A模型的微擾計算也計數了5維中旋轉黑洞的BPS態。

## 參考文獻

- Topological string theory on arxiv.org