格羅莫夫–威滕不變量

辛拓撲和代數幾何中，格羅莫夫–威滕（GW）不變量是有理數，某些情形下可計算在給定辛流形中符合給定條件的偽全純曲線。GW不變量可打包為適當空間中的同調或上同調類，或量子上同調的上積。這些不變量可用於區分辛流形（以前無法區分），在閉IIA型弦論中起著至關重要的作用。它們得名於米哈伊爾·格羅莫夫和愛德華·威滕。

格羅莫夫-威滕不變量的嚴格數學定義冗長而困難，在穩定映射條目中單獨討論。本文的重點在直觀解釋不變量的含義、計算方法及其重要性。

## 定義

考慮：

- X：2k維閉辛流形。
- A：X中的2維同調類。
- g：非負整數。
- n：非負整數。

現在定義與4元組$(X,\ A,\ g,\ n)$相關的格羅莫夫–威滕不變量。令$\overline{\mathcal{M}}_{g, n}$為虧格為g、有n個標記點的曲線的德利涅-芒福德模空間，令$\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)$表示對X上某與其辛形式相容的殆復結構J，到X的A類穩定映射的模空間。$\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)$的元素具有如下形式：

$$(C, x_1, \ldots, x_n, f),$$

其中C是（不必穩定）曲線，有n個標記點$x_1,\ \dots,\ x_n$與偽全純的$f:\ C\to X$。模空間的實維度為

$$d := 2 c_1^X (A) + (2k - 6) (1 - g) + 2 n.$$

令

$$\mathrm{st}(C, x_1, \ldots, x_n) \in \overline{\mathcal{M}}_{g, n}$$

表示曲線的穩定化。置

$$Y := \overline{\mathcal{M}}_{g, n} \times X^n,$$

具有實維度$6g- 6 + 2(k + 1)n$。有求值映射

$$\begin{cases} \mathrm{ev}: \overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A) \to Y \\ \mathrm{ev}(C, x_1, \ldots, x_n, f) = \left(\operatorname{st}(C, x_1, \ldots, x_n), f(x_1), \ldots, f(x_n) \right). \end{cases}$$

求值映射將$\overline{\mathcal{M}}_{g, n}(X, A)$的基本類送到Y中的d維有理同調類，記作

$$GW_{g, n}^{X, A} \in H_d(Y, \Q).$$

從某種意義上說，這個同調類就是對於X，數據為g、n、A的格羅莫夫–威滕不變量，是辛流形X的辛同痕類的不變量。

要從幾何角度解釋格羅莫夫–威滕不變量，令β為$\overline{\mathcal{M}}_{g, n}$中的同調類，$\alpha_1, \ldots, \alpha_n$為X中的同調類，使$\beta, \alpha_1, \ldots, \alpha_n$的余維之和為d。根據克奈公式，這些都會在Y中產生同調類。置

$$GW_{g, n}^{X, A}(\beta, \alpha_1, \ldots, \alpha_n) := GW_{g, n}^{X, A} \cdot \beta \cdot \alpha_1 \cdots \alpha_n \in H_0(Y, \Q),$$

其中$\cdot$表示Y的有理同調中的交積。這是一個有理數，即給定類的格羅莫夫–威滕不變量。這個數字給出了偽全純曲線（A類中，虧格為g，域位於德利涅-芒福德空間的β部分，有n個標記點映射到表示$\alpha_i$的循環）的「虛擬」計數。

簡單說，GW不變量就是計算有多少條曲線同X的n個選定子流形相交。然而，由於計數的「虛擬」性，它不一定是自然數。因為穩定映射的空間是軌形，其各向同性點可為不變量貢獻非整數值。

這種構造有多種變體，如用上同調取代同調，用積分取代交，從德利涅-芒福德空間拉回的陳類也被積分，等等。

## 計算技巧

格羅莫夫–威滕不變量通常很難計算。雖然它們是為任何一般殆復結構J定義的，其中$\bar \partial_{j, J}$算子的線性化D是滿射，但實際上必須針對特定的選定J計算。事實上，計算通常是在凱勒流形上利用代數幾何技術進行的。

然而，特殊的J可能誘導非滿射的D，從而使得偽全純曲線的模空間大於預期。粗略地說，我們可以通過從D的余核形成向量叢（稱作阻礙叢，obstruction bundle），然後將GW不變量變為阻礙叢的歐拉類的積分，以糾正這種影響。要精確化這一思想，需要利用倉西結構進行大量技術論證。

主要的計算技術是局部化，適用於X是環面的狀況，即它是由復環面作用的，或至少是局部環面的。然後，我們可以利用阿蒂亞-博特定點定理將GW不變量的計算簡化（局部化）為對作用定點軌跡的積分。

另一種手法是利用辛技術，將X同其他空間聯繫起來，其GW不變量更容易計算。當然，必須首先了解不變量在辛技術中的表現。這時，我們常用更複雜的相對GW不變量，即沿著X的實維度為2的辛子流形，計算滿足切線條件的曲線。

## 相關不變量與其他構造

GW不變量與幾何中許多其他概念密切相關，如辛範疇中的唐納森不變量與塞伯格-威滕不變量、代數範疇中的唐納森-托馬斯理論等。對緊辛4-流形，克利福德·陶布斯證明，GW不變量的一個變體等價於塞伯格-威滕不變量。人們猜想代數3-流形包含與整數值唐納森-托馬斯不變量相同的資訊。物理方面的考慮也產生了戈帕庫馬爾-瓦法不變量，目的是為典型的有理GW理論提供底層整數計數。戈帕庫馬爾-瓦法不變量目前還沒有嚴格的數學定義，這也是該課題的主要問題之一。

光滑射影簇的GW不變量可完全定義在代數幾何中。平面曲線與齊次空間有理曲線的經典枚舉幾何都可用GW不變量來捕捉。不過，GW不變量與經典枚舉計數的主要優勢在於，其在目標的復結構變形時是不變的。GW不變量還提供了辛流形或射影流形上同調環中積結構的變形，可被組織起來構造流形X的量子上同調環，則是普通上同調的變形。變形積的結合性，本質上來自用於定義不變量的穩定映射的模空間的自相似。

眾所周知，量子上同調環同構於辛弗洛爾同調及其褲對積（pair-of-pants product）。

## 在物理學中的應用

GW不變量在弦論中很熱門。弦論試圖統一廣義相對論與量子力學。其中萬事萬物都是由微小的弦構成的。弦在時空中穿行時，會描繪出一個面，稱作弦的世界面。不幸的是，這種參數化面的模空間是無窮維的（至少先驗地是）；其上沒有已知的適當測度，於是這種理論的路徑積分表述缺乏嚴格定義。

在稱作閉A模型的變體中，情況有所改善。這裡有6個時空維度，構成了辛流形，而可證明世界面必由偽全純曲線參數化，其模空間是有限維的。作為模空間上的積分，GW不變量就是這種理論的路徑積分。特別是，A模型在虧格為g時的自由能是虧格為g的GW不變量的母函數。

## 參考文獻

- An analytically flavoured overview of Gromov–Witten invariants and quantum cohomology for symplectic manifolds, very technically complete

## 閱讀更多

- Moduli Spaces of Genus-One Stable Maps, Virtual Classes and an Exercise of Intersection Theory - Andrea Tirelli
- A nice introduction with history and exercises to the formal notion of moduli space, treats extensively the case of projective spaces using the basics in the language of schemes.
- Notes on stable maps and quantum cohomology

### 研究論文

- Gromov-Witten theory of schemes in mixed characteristic