GPY篩法

GPY篩法（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一種篩法，這種篩法是塞爾伯格篩法的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為解析數論的研究帶來多項突破。

這種篩法以丹尼爾·哥德斯頓、雅諾·品茨和謝姆·伊爾迪里姆這三位數學家為名。他們在2005年時以此篩法證明說根據質數定理，可推出存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔。

張益唐後來修改此篩法，以證明說兩個相隔質數間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。之後詹姆斯·梅納德（他把上述的界限降到$600$）及陶哲軒都曾修改此篩法。

## GPY篩法

### 表記

首先固定$k\in \N$，之後定義以下表記：

- $\mathbb{P}$是質數集合，且$1_{\mathbb{P}}(n)$是這集合的特徵方程。
- $\Lambda(n)$是馮·曼戈爾特函數。
- $\omega(n)$是用以計算$n$的不同質因數個數的質因數計數函數。
- $\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}$是一組相異的非負整數$h_i\in\Z_+\cup \{0\}$的集合。
- $\theta(n)$是另一個關於質數的特徵函數，其定義如下：

$$\theta(n)=\begin{cases} \log(n) & \text{if }n\in \mathbb{P}\\ 0 & \text{else.}\end{cases}$$

其中$\theta(n)=\log((n-1)1_{\mathbb{P}}(n)+1)$。

對於$\mathcal{H}$有以下定義：

- $\mathcal{H}(n):=(n+h_1,\dots,n+h_k)$。
- $$P_{\mathcal{H}}(n):=(n+h_1)(n+h_2)\cdots (n+h_k)$$
- $\nu_p(\mathcal{H})$是$\mathcal{H}$模$p$的相異同餘類個數。像例如因為$\{0,2,4\}\stackrel{\pmod{3}}{=}\{0,1,2\}$且$\{0,2\}\stackrel{\pmod{3}}{=}\{0,2\}$之故，因此有$\nu_3(\{0,2,4\})=3$以及$\nu_3(\{0,2\})=2$。

假若對所有的$p\in \mathbb{P}$而言，都有$\nu_p(\mathcal{H})<k$的話，則稱$\mathcal{H}$為「可及的」（admissible）。

### 構造

設$\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}$為「可及的」，並考慮以下篩函數（sifting function）：

$$\mathcal{S}(N,c;\mathcal{H}):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal {H}}1_{\mathbb{P}}(n+h_i)-c\right)w(n)^2,\quad w(n)\in \R,\quad c>0.$$

那麼對任意的$n\in [N+1,2N]$而言，這函數即是計算扣掉某個門檻$c$之後，形如$n+h_i$的質數的個數的函數，故在$\mathcal{S}>0$的情況下，有某數$n$使得至少$\lfloor c \rfloor +1$是$\mathcal{H}(n)$中的質數。

由於$1_{\mathbb{P}}(n)$的解析性質沒那麼好之故，因此可改用下列的篩函數：

$$\mathcal{S}(N;\mathcal{H}):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal{H}}\theta(n+h_i)-\log(3N)\right)w(n)^2.$$

由於$\log(N)<\theta(n+h_i)<\log(2N)$且$c=\log(3n)$之故，我們僅在存在$n+h_i$及$n+h_j$這兩個質數的狀況下，有$\mathcal{S}>0$。我們接下來要做的，就是尋找權重函數$w(n)$以便能測得質數k元組。

#### 權重的派生

一個權重函數的可能候選，是一般化的馮·曼戈爾特函數：

$$\Lambda_k(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\left(\log\left(\frac{n}{d}\right)\right)^k,$$

這函數有如次的性質：若$\omega(n)>k$，則$\Lambda_k(n)=0$。雖說這函數也會測得形式為質數冪的因子，但在應用中，這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。

因此在$\mathcal{H}(n)$是質數k元組的狀況下，以下方程不會消失：

$$\Lambda_k(n;\mathcal{H})=\frac{1}{k!}\Lambda_k(P_{\mathcal{H}}(n))$$

其中$1/k!$這因子僅僅是因方便計算而選取。

（古典）馮·曼戈爾特函數可以截形馮·曼戈爾特函數來估計：

$$\Lambda(n)\approx \Lambda_R(n):=\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid n\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\log\left(\frac{R}{d}\right),$$

其中$R$不再表示$\mathcal{H}$的長度，但用以決定截取點。類似地我們可以下式估計$\Lambda_k(n;\mathcal{H})$：

$$\Lambda_R(n;\mathcal{H})=\frac{1}{k!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^k$$

因為技術理由，我們會希望估計在多個部分中帶有質數的陣列，而非再引入另一個參數$0\leq \ell \leq k$的狀況下僅僅估計質數組，因此我們可選取$k+\ell$或較不相異的質因數。而這引出了下列的最終形式：

$$\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)=\frac{1}{(k+\ell)!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^{k+\ell}$$

在不引入$\ell$這額外參數的狀況下，對不同的$d=d_1d_2\cdots d_k$有$d_1\leq R, d_2\leq R, \dots ,d_k\leq R$這樣的限制；但藉由引入此參數，我們可得到更寬鬆的限制$d_1d_2\dots d_k\leq R$。

故對於$k$維的篩法問題，我們有$k+\ell$維的篩法。

### GPY篩法

GPY篩法有下列形式：

$$\mathcal{S}(N;\mathcal{H},\ell):=\sum\limits_{n=N+1}^{2N}\left(\sum\limits_{h_i\in \mathcal{H}}\theta(n+h_i)-\log(3N)\right)\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)^2,\qquad |\mathcal{H}|=k$$

其中

$\Lambda_R(n;\mathcal{H},\ell)=\frac{1}{(k+\ell)!}\sum\limits_{\begin{array}{c} d\mid P_{\mathcal{H}}(n)\\ d\leq R \end{array}}\mu(d)\left(\log\left(\frac{R}{d}\right)\right)^{k+\ell},\quad 0\leq \ell\leq k$.

### Goldston、Pintz及Yıldırım三氏對主定理的證明

在考慮$(\mathcal{H}_1,\ell_1, k_1)$、$(\mathcal{H}_2,\ell_2, k_2)$以及$1\leq h_0\leq R$並定義$M:=k_1+k_2+\ell_1+\ell_2$的情況下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他們的論文中，以兩個定理證明了在合適的條件下，以下兩個漸近形式成立。這兩個形式分別為

$$\sum\limits_{n\leq N}\Lambda_R(n;\mathcal{H}_1,\ell_1)\Lambda_R(n;\mathcal{H}_2,\ell_2) = C_1\left(\mathcal{S}(\mathcal{H}^{i})+o_M(1)\right)N$$

以及

$$\sum\limits_{n\leq N}\Lambda_R(n;\mathcal{H}_1,\ell_1)\Lambda_R(n;\mathcal{H}_2,\ell_2)\theta(n+h_0) = C_2\left(\mathcal{S}(\mathcal{H}^j)+o_M(1)\right)N$$

其中$C_1,C_2$是兩個常數，$\mathcal{S}(\mathcal{H}^{i})$及$\mathcal{S}(\mathcal{H}^{j})$是兩個奇異級數（singular series），其描述在此省略。

最後我們可將此結果套用在$\mathcal{S}$之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏「存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。