格羅滕迪克拓撲

範疇論中，格羅滕迪克拓撲是範疇C上的一種結構，它使C中對象的表現如拓撲空間的開集一樣。範疇連同格羅滕迪克拓撲的選擇，統稱為景（site）。

格羅滕迪克拓撲將開覆蓋的概念公理化。利用格羅滕迪克拓撲提供的覆蓋，就可定義範疇上的層及其上同調。亞歷山大·格羅滕迪克首先運用代數幾何與代數數論定義了概形的平展上同調，此後被用來定義其他上同調論，如ℓ進上同調、平坦拓撲、晶體上同調等。格羅滕迪克拓撲最常用於定義上同調論，但也有其他應用，如約翰·泰特的剛性解析幾何等。

有一種自然的方法將景與普通拓撲空間相聯繫，格羅滕迪克的理論被鬆散地視為經典拓撲學的推廣。在貧點集假設（即索伯度）下，這是完全正確的：可從關聯的景恢復出一個索伯空間。然而，不可分拓撲空間等簡單例子表明，並非所有拓撲空間都能用格羅滕迪克拓撲表達。相反，有些格羅滕迪克拓撲並非來自拓撲空間。

「格羅滕迪克拓撲」一詞的含義已經變化了。中，這指的是現在所謂格羅滕迪克前拓撲（pretopology），有學者仍在使用這個定義。改用篩，棄用覆蓋，這大多不會引起太大的差別，因為每個格羅滕迪克前拓撲都唯一確定了的格羅滕迪克拓撲，不過，不同的前拓撲可以給出相同的拓撲。

## 概覽

安德烈·韋伊提出了著名的Q1479613，認為帶整數係數方程的某些性質應被理解為其定義的代數簇的幾何性質。他的猜想假設，代數簇應有上同調理論——所謂「韋伊上同調」，可提供關於其定義的方程的數論資訊。而用現有工具沒能構造出來這樣的上同調。

20世紀60年代初，亞歷山大·格羅滕迪克將平展映射引入了代數幾何，是解析幾何中局部解析同構的代數類似物，接著用平展覆蓋定義了拓撲空間基本群的代數類似物。不久，讓-皮埃爾·塞爾注意到平展覆蓋的某些性質模仿了開浸入的性質，於是有可能得到模仿上同調函子$H^1$的構造。格羅滕迪克認為，順著這個想法可以定義一個上同調理論，他懷疑就是韋伊上同調。這需要把通常用的開覆蓋換成使用平展覆蓋的拓撲概念。格羅滕迪克還想到了該怎樣抽象地表述覆蓋，這就是格羅滕迪克拓撲的由來。

## 定義

### 動機

層的經典定義始於拓撲空間X。層將資訊關聯到X的開集，這種資訊可以抽象地表為：令$O(X)$為範疇，其對象是X的開子集U，其態射是X的開集U、V的包含映射$V\rightarrow U$。我們按概形的語境，將這樣的映射稱作開浸入（open immersion）。那麼，X上的預層是$O(X)$到集合範疇的反變函子，層就是滿足膠合公理（此處包括分離公理）的預層。膠合公理用逐點覆蓋表示，即若且唯若$\bigcup_i U_i = U$時，稱$\{U_i\}$覆蓋U。這樣，$U_i$是X的開子集。格羅滕迪克拓撲用開子集的整個族圖替換了每個$U_i$，在這個例子中$U_i$被換成了所有開浸入$V_{ij} \to U_i$的族。這樣的集合叫做「篩」（sieve）。逐點覆蓋則被換成覆蓋族（covering family），在上例中，所有$\{V_{ij} \to U_i\}_j$的集合就是U的一個覆蓋族。篩與覆蓋族可以公理化，公理化後就可以替換成描述空間X其他性質的其他概念。

### 篩

格羅滕迪克拓撲將U的開子集（在包含下穩定）這一概念發展為篩（sieve）。若c是C中任意給定對象，則其上的篩是函子${\rm Hom}(-,\ c)$（應用於c的米田嵌入）的子函子。在$O(X)$的情形下，開集U上的篩S選擇了U的開子集集合，其在包含下是穩定的。更確切地說，對U的任意開子集V，$S(V)$都是${\rm Hom}(V,\ U)$的子集，只有一個元素，即開浸入$V\to U$。若且唯若$S(V)$非空，V才可能被S「選擇」。若W是V的子集，則有態射$S(V)\to S(W)$，是由包含$W\to V$組合而來。若$S(V)$非空，$S(W)$也非空。

若S是X上的篩，$f:\ Y\to X$是態射，則與f的左複合給出了Y上的篩，稱作S沿f的拉回，記作$f^{^\ast}S$，定義為纖維積$S\times_{{\rm Hom}(-,\ X)}{\rm Hom}(-,\ Y)$及其在${\rm Hom}(-,\ Y)$中的自然嵌入。更具體地說，對C的每個對象Z，$f^{^\ast}S(Z)=\{g:\ Z\to Y|fg\in S(Z)\},\ f^{^\ast}S$通過成為${\rm Hom}(-,\ Y)$的子函子，繼承了對態射的作用。在經典的例子中，U的子集集合$\{V_i\}$沿包含$W\to U$的拉回是集合$\{V_i\cap W\}$。

### 格羅滕迪克拓撲

範疇C上的格羅滕迪克拓撲J是C的每個對象c上的篩，記作$J(c)$，稱作c的覆蓋篩。這種選擇將受制於一些公理（下詳）。繼續前面的例子，若且唯若$S(V)$非空的所有開集V之交等於U，換句話說若且唯若S為我們提供了經典意義上覆蓋U的開集集合時，$O(X)$中開集U上的篩S是覆蓋篩。

#### 公理

我們對格羅滕迪克拓撲施加的條件是

- (T 1)（基變換）：若S是X上的覆蓋篩，$f:\ Y\to X$是態射，則拉回$f^{^\ast}S$是Y上的覆蓋篩。
- (T 2)（局部特徵）：令S為X上的覆蓋篩，令T為X上的篩。假設對C中對象Y、$S(Y)$中箭頭$f:\ Y\to X$，拉回篩$f^{^\ast}T$是Y上的覆蓋篩，則T是X上的覆蓋篩。
- (T 3)（同一性）：對C中對象X，${\rm Hom}(-,\ X)$是X上的覆蓋篩。

基變換公理對應的思想是，若$\{U_i\}$覆蓋了U，則$\{U_i\cap V\}$應覆蓋了$U\cap V$。局部特徵公理對應的思想是，若$\{U_i\}$覆蓋了U，$\{V_{ij}\}_{}j\in J_i$覆蓋了$U_i$（對所有i），則對所有i、j，集合$\{V_{ij}\}$應覆蓋了U。最後，同一性公理與任一集合通過恆等映射被自身覆蓋的思想相近。

#### 格羅滕迪克前拓撲

事實上，可以將這些公理換成另一種形式，假定底範疇C包含某些纖維積，它們的幾何性質將更明顯。這就可以選擇一些值域相同的映射集，覆蓋它們的值域，而不是選擇篩。這樣的集合叫做覆蓋族。若所有覆蓋族的集合都滿足以下公理，就稱它們構成了格羅滕迪克前拓撲：

- (PT 0)（纖維積存在）：對C中所有對象X、所有見於X覆蓋族的態射$X_0\to X$、所有態射$Y\to X$，纖維積$X_0\times_XY$都存在。
- (PT 1)（基變換下的穩定性）：對C中所有對象X、所有態射$Y\to X$、所有覆蓋族$\{X_{\alpha}\to X\}$，族$\{X_{\alpha}\times_XY\to Y\}$是覆蓋族。
- (PT 2)（局部特徵）：若$\{X_{\alpha}\to X\}$是覆蓋族，且對所有α，$\{X_{\beta\alpha}\to X_{\alpha}\}$是覆蓋族，則組合族$\{X_{\beta\alpha}\to X_{\alpha}\to X\}$是覆蓋族。
- (PT 3)（同構）：若$f:\ Y\to X$是同構，則$\{f\}$是覆蓋族。

對任何前拓撲，所有包含來自前拓撲的覆蓋族的篩集總是格羅滕迪克拓撲。

對於有纖維積的範疇，還有個相反的方法。給定箭頭集$\{X_{\alpha}\to X\}$，構造篩S使$S(Y)$成為函子通過某箭頭$X_{\alpha}\to X$的所有態射之集，這就是$\{X_{\alpha}\to X\}$生成的篩。然後，選擇一個拓撲。若且唯若$\{X_{\alpha}\to X\}$生成的篩是給定拓撲的覆蓋篩時，$\{X_{\alpha}\to X\}$是覆蓋族。很容易證明這定義了一個前拓撲。

(PT 3)有時會被一個較弱的公理取代：

- (PT 3')（單位元）：若$1_X:\ X\to X$是恆等箭頭，則$\{1_X\}$是覆蓋族。

(PT 3)可推出(PT 3')，反之則不行。不過，假設有一個覆蓋族集，通過(PT 2)、(PT 3')滿足(PT 0)而不滿足(PT 3)，則它們會生成一個前拓撲。由原覆蓋族集合生成的拓撲與由前拓撲生成的相同，因為由$Y\to X$生成的篩是${\rm Hom}(-,\ X)$。因此，若只關注拓撲，則(PT 3)與(PT 3')是等價的。

## 景與層

記C為範疇，令J為C上的格羅滕迪克拓撲。二元組$(C,\ J)$稱作景（site）。

範疇上的預層是C到集合範疇的反變函子。注意，此定義不要求C具有拓撲結構。而景上的層則應允許膠合，就像經典拓撲中的層一樣。因此，定義景上的層為預層F，使得對所有對象X與X上的所有覆蓋篩S，由S到${\rm Hom}(-,\ X)$的包含導出的自然映射${\rm Hom}({\rm Hom}(-,\ X),\ F)\to{\rm Hom}(S,\ F)$是雙射。介於預層與層之間的是分離預層，其上的自然映射對所有篩S都只能是單射。預層或層的態射是函子的自然變換。C上所有層的範疇是景$(C,\ J)$定義的拓撲斯（或稱意象）。

由米田引理可證明，若且唯若範疇$O(X)$上的預層是經典意義上的層，它才是上述定義的拓撲上的層。

前拓撲上的層有個特別簡單的描述：對每個覆蓋族$\{X_{\alpha}\to X\}$，圖

$$F(X) \rightarrow \prod_{\alpha\in A} F(X_\alpha) {{{} \atop \longrightarrow}\atop{\longrightarrow \atop {}}} \prod_{\alpha,\beta \in A} F(X_\alpha\times_X X_\beta)$$

必須是等化子。對分離預層，第一個箭頭必須是內射。

相似地，可以定義阿貝爾群、環、模等等。可以要求預層F是到達阿貝爾群（或環、模等等）範疇的反變函子，也可要求F是C到集合範疇的所有反變函子範疇中的阿貝爾群（或環、模等等）對象，這兩個定義等價。

## 景的例子

### 可分與不可分拓撲

令C為範疇。為定義可分拓撲，斷言所有篩都是覆蓋篩。若C具有所有纖維積，這就等同於宣布所有族都是覆蓋族。為定義不可分拓撲（或稱粗拓撲、混沌拓撲），只聲明${\rm Hom}(-,\ X)$形式的篩是覆蓋篩。不可分拓撲由只對覆蓋族由同構的前拓撲生成。不可分景上的層與預層是一回事。

### 規範拓撲

令C為範疇。米田嵌入對其每個對象X給出函子${\rm Hom}(-,\ X)$。規範拓撲是使每個可表預層（即${\rm Hom}(-,\ X)$形式的與岑）是層的最大（最細）拓撲。稱這個景的覆蓋篩或覆蓋族是嚴格普遍滿態射，因為 其包含余極限錐（colimit cone）（在其構成態射的域上的全圖下）的腿，其中余極限沿著C中的態射拉回下是穩定的。比規範拓撲粗的拓撲，即每個覆蓋篩都是嚴格普遍滿態射的拓撲，稱作次規範（subcanonical）拓撲。次規範景正是${\rm Hom}(-,\ X)$形式預層都是層的景。實踐中大多數景都是次規範的。

### 與拓撲空間關聯的小景

重複上例。令X為拓撲空間，定義$O(X)$為範疇，其對象是X的開集，其態射是開集的包含。注意，對開集U、其上的篩S與每個開集V，集合$S(V)$不會包含多個元素。$O(X)$中對象U上的覆蓋篩是滿足下列條件的篩S：

- 若W是所有使$S(V)$非空的集合V之並，則W = U。

這種覆蓋概念吻合點集拓撲中的通常概念。

這種拓撲也可自然表為前拓撲。我們說，若且唯若並$\cup V_{\alpha}=U$時，包含族$\{V_{\alpha}\sube U\}$是覆蓋族。這個景稱作與拓撲空間X的小景。

### 與拓撲空間關聯的大景

令Spc為拓撲空間範疇。給定任意函數族$\{u_{\alpha}:\ V_{\alpha}\to X\}$，若有$\cup u_{\alpha}(V_{\alpha})=X$，則稱其是滿射族，或態射$u_{\alpha}$是聯合滿射（jointly surjective）。將覆蓋族視為其所有成員都是開浸入的滿射族，定義Spc上的前拓撲。令S為Spc上的篩，則若且唯若滿足下列條件，S是這個拓撲的覆蓋篩：

- 對所有Y與$S(Y)$中的態射$f:\ Y\to X$，存在V與$g:\ V\to X$使g是$S(V)$中的開浸入，f有通過g的函子。
- $f:\ Y\to X$在$S(Y)$中，若W是所有集合$f(Y)$之並，則W = X。

固定拓撲空間X。考慮具有到X的固定連續映射的拓撲空間的逗號範疇Spc/X。Spc上的拓撲導出了Spc/X上的拓撲。覆蓋篩與覆蓋族幾乎完全相同，唯一的區別是，現在所涉映射都與到X的固定映射交換。這就是與拓撲空間X關聯的大景。注意，Spc是與單點空間關聯的大景。讓·紀勞最先考慮到了大景。

### 流形的大景與小景

令M是流形。M有開集範疇$O(M)$，因為其是拓撲空間，且得到了如上例的拓撲。對M的兩開集U、V，纖維積$U\times_MV$是開集$U\cap V$，仍在$O(M)$中。這意味著，$O(M)$上的拓撲是由前拓撲定義的，與之前的前拓撲相同。

令Mfd為流形與連續映射（或光滑流形與光滑映射，或實解析流形與解析映射等等）範疇。Mfd是Spc的子範疇，開浸入連續（或光滑、解析等等），於是Mfd繼承了Spc的拓撲，這樣就可以把M的大景構造為景Mfd/M。也可用上述前拓撲定義這拓撲，但請注意，為滿足(PT 0)需要確保所有連續映射$X\to Y$與Y的所有開子集U，纖維積$U\times_YX\in Mfd/M$。這只是說明開集的原像是開集，不過並非所有纖維積都在Mfd中，因為光滑映射在臨界值處的原像不一定是流形。

### 概形範疇上的拓撲

概形範疇記作Sch，有大量有用的拓撲。要完全理解某些問題，可能需要用多種拓撲結構研究同一概形。所有這些拓撲都有相關聯的小景與大景。大景由整個概形範疇及其態射，連同拓撲指定的覆蓋篩組成的；給定概形上的小景則是通過只取給定概形的覆蓋中的對象與態射形成。

其中最基本的是扎里斯基拓撲。令X為概形，有底拓撲空間，其確定了格羅滕迪克拓撲。Sch上的扎里斯基拓撲由前拓撲生成，此前拓撲的覆蓋族是概形論開浸入的聯合滿射族。Zar的覆蓋篩有以下兩個特徵：

- 對所有Y與$S(Y)$中的態射$f:\ Y\to X$，存在V與$g:\ V\to X$使得g是$S(V)$中的開浸入，f有通過g的函子。
- 若W是所有集合$f(Y)$之並，其中$f:\ Y\to X$在$S(Y)$中，則W = X。

雖然兩者看上去很相似，但Zar上的拓撲並不是Spc上拓撲的限制！這是因為有些概形態射是拓撲開浸入，而不是概形論開浸入。例如，令A為非退化環，令N為其冪零理想。商映射$A\to A/N$導出了映射${\rm Spec}A/N\to{\rm Spec}A$，其是底拓撲空間的恆等映射。要成為概形論開浸入，它還要在結構層上誘導一個同構，而此映射沒有做到。實際上，這個映射是閉浸入。

平展拓撲比扎里斯基拓撲細，是第一個被仔細研究的格羅滕迪克拓撲。其覆蓋族是平展態射的聯合滿射族，比Nisnevich拓撲細，但和cdh、l′拓撲相比不粗不細。

有兩平坦拓撲：fppf拓撲與fpqc拓撲。fppf表示fidèlement plate de présentation finie，當中仿射概形的態射若是忠實平坦的，或有限呈現的，或准有限的，就是覆蓋態射。fpqc表示fidèlement plate et quasi-compacte，當中仿射概形的態射若是忠實平坦的，就是覆蓋態射。兩個範疇中，覆蓋族的定義都是在扎里斯基開子集上的覆蓋族。fpqc拓撲中，任何忠實平坦的准緊態射都是覆蓋。這些拓撲與下降的概念密切相關。fpqc拓撲比上述所有拓撲都細，且與規範拓撲很接近。

格羅滕迪克引入了晶體上同調，以研究特徵p簇的上同調中的p撓部分。晶體拓撲是這一理論的基礎，當中底範疇的對象由無窮小加厚與除冪結構給出。晶體景是沒有終對象的景。

## 連續與上連續函子

景之間有兩種自然函子，由在一定意義上與拓撲相容的函子給出。

### 連續函子

設$(C,\ J),\ (D,\ K)$是景，$u:\ C\to D$是函子。若對D上關於拓撲K的每個層F而言，關於拓撲J的預層Fu都是層，則稱u連續。連續函子將層F發送到Fu，以誘導相應拓撲間的函子，就是前推（pushforwards）。若$\tilde C,\ \tilde D$分別表示與C、D相關聯的拓撲斯，則前推函子是$u_s : \tilde D \to \tilde C$。

$u_s$的左伴隨$u^s$稱作拉回（pullback）。$u_s$不需要保極限，甚至不需保留有限極限。

同樣，u把C的對象X上的篩發送到D的對象uX上的篩。連續函子將覆蓋篩送到覆蓋篩。若J是前拓撲定義的拓撲、u與纖維積交換，則若且唯若u將覆蓋篩送到覆蓋篩/將覆蓋族送到覆蓋族，u連續。總之，u將覆蓋篩送到覆蓋篩的條件還不夠（見SGA IV 3, Exemple 1.9.3）。

### 上連續函子

再設$(C,\ J),\ (D,\ K)$是景，$v:\ C\to D$是函子。若X是C的對象，R是vX上的篩，則R可以如下拉回到篩S：若且唯若$v(f):\ vZ\to vX\in R$，態射$f:\ Z\to X\in S$。這就定義了一個篩。若且唯若對C的每個對象X、vX的每個覆蓋篩R，R的拉回S是X上的覆蓋篩時，才稱v是上連續的。

與v的複合將D上的預層F送到C上的預層Fv，但若v連續，就不必將層送到層。不過，這在預層範疇上的函子通常表示為$\hat v^*$，允許右伴隨$\hat v_*$，則若且唯若$\hat v_*$將層送到層/限制為函子$v_* : \tilde C \to \tilde D$時，v是上連續的。這時，$\hat v^*$與相關聯層函子的複合是$v_*$的左伴隨$v^*$。此外，$v^*$保有限極限，所以伴隨函子$v_*,\ v^*$確定了拓撲斯$\tilde C \to \tilde D$的幾何態射。

### 景的態射

有連續函子$u:\ C\to D$，若$u^s$保有限極限，則是景的態射$D\to C$。這時，$u^s,\ u_s$確定了拓撲斯$\tilde C \to \tilde D$的幾何態射。之所以說連續函子$C\to D$在反方向上決定了拓撲的態射，是因為這與拓撲空間的直覺一致，拓撲空間連續映射$X\to Y$確定了連續函子$O(Y)\to O(X)$。由於拓撲空間的原映射將X送到Y，所以景的態射也被說成是。

當連續函子允許左伴隨時，就會出現這種特殊情況。設$u:\ C\to D,\ v:\ D\to C$都是函子，u右伴隨於v，則若且唯若v連續時，u也連續。這時，$u^s$自然同構於$v^*$，$u_s$自然同構與$v_*$。特別是，u是景的態射。

## 外部連結

- The birthday of Grothendieck topologies
- The birthday of Grothendieck topologies (non-archived version)