林德布拉德方程

量子力學中，林德布拉德方程（Lindblad equation）是最常用的主方程之一，其常用來描述密度矩陣的含時演化（通常是非么正的）。

薛丁格方程是林德布拉德方程在特殊情況的推論。薛丁格方程展現的是系統的態矢量隨時間的演化，只能處理純態演化，而林德布拉德方程所展現的是系統的密度矩陣隨時間的演化（密度矩陣可以表徵系統的混態），所以林德布拉德方程比薛丁格方程更加一般。

## 由來

在量子力學系統的演化中，如果系統所有的自由度都能被充分考慮，就可以認為系統的含時演化是么正的，也就是說不存在衰減（decay）和退相干等現象。但是，任何真正的物理系統都不是絕對孤立的，其必定會與環境有一定的作用，從而導致衰減和退相干等現象，這也是量子效應難以在宏觀尺度上進行觀察的原因。

現已有許多數學方法來描述與環境進行相互作用的量子力學系統的含時演化，其中一種便是使用密度矩陣及其對應的主方程。原則上來說，這種方法與薛丁格繪景以及海森堡繪景是等價的，但是其能更容易地處理與環境作用而導致的各種現象。密度矩陣則可以很好地描述混態，這對於準確描述開放量子力學系統（open quantum system）是至關重要的。

## 定義

一般來說，$N$維系統密度矩陣的林德布拉德方程可寫為：

$$\frac{\text{d}\rho}{\text{d}t}=-\frac{i}{\hbar}[H,\rho]+\sum_{n,m=1}^{N^2-1}h_{nm}(A_n\rho A_m^\dagger-\frac12\{A_m^\dagger A_n,\rho\})$$

其中$H$表示系統的哈密頓量（厄米的）；$\{A_m\}$是希爾伯特空間中希爾伯特-施密特算子的任意一組正交基，滿足$A_{N^2}$正比於單位矩陣；係數矩陣$h$與哈密頓量$H$一同決定了系統的演化，其中$h$必須是半正定的。反對易式$\{\cdot,\cdot\}$定義為：$\{A,B\}=AB+BA$。

如果$h_{nm}$均為0，則林德布拉德方程就退化為封閉系統的劉維爾方程，即：

$$\frac{\text{d}\rho}{\text{d}t}=-\frac{i}{\hbar}[H,\rho]$$

該方程有時也被稱作馮諾伊曼方程，或劉維爾-馮諾伊曼方程（Liouville-von Neumann equation）。

由於矩陣$h$是半正定的，其可被一酉算符$u$對角化：

$$u^{\dagger}hu= \begin{bmatrix} \gamma_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \gamma_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \gamma_{N^2-1} \end{bmatrix}$$

其本徵值$\gamma_{i}$是非負的。定義另一組正交基：

$$L_i=\sum_{j=1}^{N^2-1}u_{ji}A_j$$

就可將一般形式的林德布拉德方程改寫成對角化形式：

$$\frac{\text{d}\rho}{\text{d}t}=-\frac{i}{\hbar}[H,\rho]+\sum_{i=1}^{N^2-1}\gamma_i(L_i\rho L_i^\dagger-\frac12\{L_i^\dagger L_i, \rho\})$$

$L_i$一般稱作系統的林德布拉德算符（lindblad operator）或躍遷算符（jump operator）。

## 推導

對於開放量子系統，不僅要關注系統本身（$S$），還應考慮所處環境($B$)對系統的影響。從而整體希爾伯特空間$\mathcal{H}$應為系統$\mathcal{H}_{S}$與環境$\mathcal{H}_B$希爾伯特空間的張量積，即：$\mathcal{H}_{S}=\mathcal{H}_S\otimes \mathcal{H}_B$。因此總系統的哈密頓量可寫為：

$$H=H_{S}\otimes I_B+I_S\otimes H_{B}+H_I$$

其中$H_S$，$H_B$和$H_I$分別表示系統、環境以及系統與環境相互作用的哈密頓量。$I$是單位矩陣。

設初始時刻整體系統（量子系統與環境）的密度算符為$\rho(0)=\rho_S(0)\otimes\rho_B$。這裡$\rho_S(0)$表示量子系統的初態，$\rho_B$為環境的密度矩陣，假設其不隨時間變化。此時總系統的動力學演化仍是么正的，於是在相互作用表象下，劉維爾方程可寫為（以下$\hbar$均取1）：

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\rho(t)=-i[H_I(t),\rho(t)]$$

其積分形式為：

$$\rho(t)=\rho(0)-i\int_{0}^{t}\text{d}\tau[H_I(\tau),\rho(\tau)]$$

將積分形式帶入原式中：

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\rho(t)=-i[H_I(t),\rho(0)]-[H_I(t),\int_0^t \text{d}\tau[H_I(\tau),\rho(\tau)]]$$

將上式兩邊同時對環境部分自由度求偏跡，假設量子系統與環境的耦合較弱，便可採用玻恩近似：$\text{tr}_B[H_I(t),\rho(0)]=0$，可得：

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\rho_S(t)=-\int_{0}^{t}\text{d}\tau\text{tr}_B[H_I(t),[H_I(\tau),\rho(\tau)]]$$

根據量子系統與環境的耦合較弱的假設，可以認為：$\rho(t)\approx\rho_S(t)\otimes\rho_B$，帶入上式得到：

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\rho_S(t)=-\int_{0}^{t}\text{d}\tau\text{tr}_B[H_I(t),[H_I(\tau),\rho_S(\tau)\otimes\rho_B]]$$

為進一步簡化上述方程，採用馬爾可夫近似（Markov approximation），即$t$時刻系統狀態僅與當前時刻有關，從而可將被積函數$\rho_S{\tau}$替換為$\rho_S{t}$，同時將$\tau$變換為$t-\tau$，並把積分上限拓展到無窮（當環境的弛豫時間尺度遠大於所研究的時間範圍尺度時，上述操作是合理的），最終得到玻恩-馬爾科夫主方程：

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\rho_S(t)=-\int_{0}^{\infty}\text{d}\tau\text{tr}_B[H_I(t),[H_I(t-\tau),\rho_S(t)\otimes\rho_B]]$$

在薛丁格表象下，系統與環境相互作用哈密頓量可寫為：

$$H_I=\sum_{\alpha}A_\alpha\otimes B_\alpha$$

其中$A_\alpha$表示系統算符，$B_\alpha$表示環境算符，定義系統的躍遷算符：

$$A_{\alpha}(\omega)=\sum_{\xi'-\xi=\omega}\Pi(\xi)A_{\alpha}\Pi(\xi')$$

這裡$\xi$是系統的本徵能量。於是在相互作用表象下，系統與環境相互作用的哈密頓量可寫為：

$$H_I(t)=\sum_{\beta,\omega}e^{-i\omega t}A_{\beta}(\omega)\otimes B_\beta(t)=\sum_{\alpha,\omega'}e^{i\omega't}A^{\dagger}_\alpha(\omega')\otimes B^{\dagger}_\alpha(t)$$

將其帶入玻恩-馬爾科夫主方程中，忽略掉快速震盪項，並定義$\Gamma_{\alpha\beta}(\omega)$：

$$\Gamma_{\alpha\beta}(\omega)=\int^{\infty}_0 \text{d}\tau e^{i\omega\tau}\langle B_\alpha^\dagger(t)B_\beta(t-\tau)\rangle$$

基於玻恩近似，假設環境處於穩態，則$[H_B,\rho_B]=0$，那麼$\langle B_\alpha^\dagger(t)B_\beta(t-\tau)\rangle=\langle B_{\alpha}^{\dagger}(\tau)B_\beta(0)$，這表明$\Gamma_{\alpha\beta}(\omega)$不依賴於時間。

最後得到相互作用表象下的林德布拉德方程：

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\rho_S(t)=-i[H_{LS},\rho_S(t)]+\mathcal{D}(\rho_S(t))$$

其中$\mathcal{D}(\rho_S(t))$可表示為：

$$\mathcal{D}(\rho_S(t))=\sum_{\alpha\beta}\sum_{\omega}\gamma_{\alpha\beta}(\omega)\left(A_\beta(\omega)\rho_S(t)A_\alpha^\dagger(\omega)-\frac12{A_\alpha^\dagger(\omega)A_\beta(\omega),\rho_S(t)}\right)$$

$H_{LS}$、$S_{\alpha\beta}(\omega)$、$\gamma_{\alpha\beta}(\omega)$分別為：

$$H_{LS}=\sum_{\alpha\beta}\sum_{\omega}S_{\alpha\beta}(\omega)A_\alpha^\dagger(\omega)A_{\beta}(\omega)$$

$$S_{\alpha\beta}(\omega)=\frac{1}{2i}(\Gamma_{\alpha\beta}(\omega)-\Gamma_{\beta\alpha}^*(\omega))$$

$$\gamma_{\alpha\beta}(\omega)=\Gamma_{\alpha\beta}(\omega)+\Gamma_{\beta\alpha}^*(\omega)$$

## 例子

對於一個二能級系統，取其基態記為$|0\rangle$，激發態記為$|1\rangle$。則系統的哈密頓量為：$H=J(\sigma_x+G\sigma_z)$。$\sigma_x$、$\sigma_z$為泡利矩陣。該體系的林德布拉德方程為：

$$\dot{\rho}=-i[H,\rho]+\sum_{k}l_k\rho l_k^\dagger-\frac12(l_k^\dagger l_k\rho+\rho l_k^\dagger l_k)$$

考慮體系激發態的能量耗散，則上式中的$l_k$應取$\sqrt{\Gamma}\sigma^{-}$，則對應的林德布拉德方程為：

$$\dot{\rho}=-i[H,\rho]+\Gamma\left[\sigma^-\rho\sigma^+-\frac12(\sigma^+\sigma^-\rho+\rho\sigma^+\sigma^-)\right]$$

其中$\sigma^+=|1\rangle\langle0|$，$\sigma^-=|0\rangle\langle1|$，$\Gamma$是與耗散速率有關的常數。

通過解上述方程即可得到體系存在能量耗散時的動力學演化過程。

## 參考文獻

- Manzano, Daniel (2020). "A short introduction to the Lindblad master equation". AIP Advances. 10 (2): 025106. arXiv: 1906.04478
- M. A. Nielsen, and I. L. Chuang, Quantum Computation, and Quantum InformationM, Cambridge, Cambridge University Press, 2010.
- 皇甫鏞.(2018). 主方程方法在開放量子系統動力學中的若干應用.

## 外部連結

- Quantum Optics Toolbox for Matlab
- Master equation solver from QuTiP
- QuantumOptics.jl the quantum optics toolbox in Julia.
- The Lindblad master equation