局部緊

拓撲學及數學的相近分支中，局部緊拓撲空間的每小塊，單獨看來，都很類似緊空間的一小塊。準確而言，其每點周圍都有一個緊鄰域。

數學分析尤其關注豪斯多夫的局部緊空間，常以「局部緊豪斯多夫」（Locally Compact Hausdorff）的首字母簡稱為LCH空間。

## 嚴格定義

設$X$為拓撲空間。通常稱$X$局部緊的意思是，$X$的每點$x$，都有緊鄰域，即開集$U$和緊集$K$，令$x \in U \subseteq K$。

也有其他常見定義。下列定義在$X$豪斯多夫（預正則空間亦然）時皆等價，但一般則不一定：

- $X$的每點皆有緊鄰域。

- $X$的每點皆有閉的緊鄰域。

2′. $X$的每點皆有相對緊鄰域。

2″. $X$的每點皆有相對緊鄰域組成的局部基。

- $X$的每點皆有緊鄰域組成的局部基。

3′. 對$X$的每點$x$，$x$的每個鄰域都包含其一個緊鄰域。

- $X$為豪斯多夫，且滿足前述以上全部條件。

上述條件中的邏輯關係有：

- 條件2、2′、2″等價。
- 條件3、3′等價。
- 條件2、3互不推出對方。
- 全部皆推出條件1。
- 緊空間必定滿足條件1、2，條件3則不必。

條件1或較常用作定義，因為最易滿足，且當$X$豪斯多夫時，全部條件皆與條件1等價。要證明等價，用到兩個性質：其一，豪斯多夫空間的緊子集必為閉；其二，緊空間的閉子集必為緊。

由於條件2′、2″用相對緊集定義，滿足該條件的空間可以更明確稱為局部相對緊，而與局部緊空間區分。斯蒂恩（Steen）及澤巴赫（Seebach）稱條件2、2′、2″為強局部緊，而稱條件1為局部緊。

採用條件4的例子有布爾巴基。應用中，局部緊空間通常的確豪斯多夫，從而無需區分上述定義。本條目主要討論此種局部緊豪斯多夫（LCH）空間。

## 例子與反例

### 緊豪斯多夫空間

緊豪斯多夫空間必然局部緊，此種例子見於條目緊空間，略舉三例如下：

- 單位區間$[0, 1]$。
- 康托爾集。
- 希爾伯特立方。

### 局部緊但不緊的豪斯多夫空間

- 歐氏空間$\mathbb R^n$（特例有數軸$\mathbb R$）為局部緊（海涅-博雷爾定理的推論）。
- 拓撲流形的局部性質與歐氏空間一樣，故亦為局部緊，甚至長直線之類的非仿緊的流形亦然。
- 離散空間皆局部緊及豪斯多夫（其為零維流形）。僅當離散空間為有限集時，該空間為緊。
- 任意局部緊豪斯多夫空間的開或閉子集，在子空間拓撲的意義下，皆為局部緊。由此有歐氏空間局部緊子集的若干例子，如單位圓盤（不論開或閉）。
- p進數空間$\mathbb Q_p$為局部緊，因為同胚於康托爾集刪去一點。因此，局部緊空間不只在古典數學分析中有用，在P進數分析亦然。

### 非局部緊的豪斯多夫空間

若豪斯多夫空間為局部緊，則必為吉洪諾夫空間，詳見下節。條目吉洪諾夫空間中，可以找到若干例子，是豪斯多夫空間但非吉洪諾夫，故必不局部緊。

此外，也有吉洪諾夫空間非局部緊，例如：

- 有理數空間$\mathbb Q$（配備$\mathbb R$的子空間拓撲），因為每個鄰域都有柯西序列收斂到無理數，而不在$\mathbb Q$中，從而不是緊鄰域。
- $\mathbb{R}^2$的子空間$\{(0, 0)\} \cup ((0, \infty) \times \mathbf{R})$，因為原點並無緊鄰域。
- 實數集$\mathbb R$的下限拓撲（上限拓撲亦同），適用於研究單邊極限。
- 任何無窮維拓撲向量空間，但要柯爾莫果洛夫（T0，從而豪斯多夫），例如無窮維的希爾伯特空間。

首兩個例子說明，局部緊空間的子集不必局部緊，與前節開（或閉）子集的情況相對。末一個例子，則與前節歐氏空間的情況相對；具體言之，豪斯多夫拓撲向量空間為局部緊，當且僅當其為有限維（等同歐氏空間）。此例亦與希爾伯特立方作為緊空間的情況相對，但並無矛盾，因為希爾伯特立方不能是希爾伯特空間某點的鄰域。

### 非豪斯多夫的局部緊空間

- 有理數空間$\mathbb Q$的單點緊化是緊空間，從而在意義1及2下是局部緊，但在意義3下則不然。
- 任何無窮集上的特定點拓撲在意義1及3下是局部緊，但在意義2下則不然，因為任何鄰域的閉包皆是整個空間，故不為緊集。實軸上的上拓撲也同樣。
- 所以，若取前兩項例子的不交並 (拓撲)，則在意義1下局部緊，但在意義2及3下不然。
- 謝爾賓斯基空間在意義1、2、3下皆局部緊，且是緊空間，但不是豪斯多夫空間（甚至並不預正則），故不是意義4下的局部緊空間。可數多個謝爾賓斯基空間的不交並（同胚於亞爾馬·埃克達爾拓撲（Hjalmar Ekdal topology））非緊，但仍是意義1、2、3下的局部緊空間，而不是意義4下的局部緊空間。

## 性質

局部緊的預正則空間必為吉洪諾夫空間（完全正則）。由此推論，局部緊的豪斯多夫空間亦為吉洪諾夫空間。由於「正則」比「預正則」（通常稍弱）或「完全正則」（通常稍強）更常用，文獻一般稱此類空間為局部緊正則空間。同理，局部緊的吉洪諾夫空間一般稱局部緊豪斯多夫空間。

局部緊豪斯多夫空間必為貝爾空間。換言之，貝爾綱定理適用於此類空間：取任意可數多個無處稠密集，其並集的內部必為空集。

局部緊豪斯多夫空間$Y$的拓撲子空間$X$也是局部緊，當且僅當$X$是$Y$某兩個閉子集之差。由此推論，局部緊豪斯多夫空間$Y$的子空間$X$為局部緊當且僅當$X$是開子集。若將$Y$放寬成任意豪斯多夫空間，則由子空間$X$局部緊，仍能推出$X$為$Y$某兩個閉子集之差，反之則不然。

局部緊空間的商空間必為緊生成。反之，緊生成空間必為某個局部緊豪斯多夫空間的商。

對局部緊空間而言，局部均勻收斂與緊收斂等價。

### 無窮遠點

設$X$為局部緊豪斯多夫空間，則$X$作為吉洪諾夫空間，固然能藉斯通－切赫緊化，嵌入到緊豪斯多夫空間$b(X)$，但有了局部緊的特殊性質，則有更簡單的方法嵌入到緊豪斯多夫空間，稱為單點緊化。新空間$a(X)$僅比$X$多一點。（單點緊化適用於其他空間，但所得的$a(X)$為豪斯多夫，當且僅當$X$本身是局部緊且豪斯多夫。）所以，局部緊豪斯多夫空間也可以刻劃成緊豪斯多夫空間的開子集。

$a(X)$多出的一點可直觀視為無窮遠點，此點不在$X$的任何緊子集中。因此，所謂趨向無窮之事，有一些可藉此以局部緊豪斯多夫空間闡明。

舉例，定義在$X$上的連續實值或複值函數$f$稱為消失於無窮遠，是指給定任意正實數$\varepsilon$，$X$皆有緊子集$K$，使$|f(x)| < \varepsilon$對$K$外的一切點$x$成立。前述定義適用於任意拓撲空間$X$，而在$X$為局部緊豪斯多夫的特例，等價於$f$能延拓成單點緊化$a(X) = X \cup \{ \infty \}$上的連續函數$g$，使$g(\infty) = 0$。

消失於無窮遠的連續複值函數之集合$C_0(X)$是C*代數。反之，可交換的C*代數必同構於某個局部緊豪斯多夫空間$X$的$C_0(X)$，其中$X$在同胚意義下唯一。以範疇言之，局部緊空間範疇與交換C*代數範疇對偶，其證法用到蓋爾范德表示。前一範疇中，$X$加入無窮遠點，變成$a(X)$之事，在後一範疇對應向$C_0(X)$添加單位元。

### 局部緊群

拓撲群論中，局部緊是重要概念，因為每個豪斯多夫局部緊群$G$都自然配備哈爾測度，因而在$G$上定義可測函數的積分。實數軸$\R$的勒貝格測度為其特例。

拓撲交換群$A$的龐特里亞金對偶為局部緊，當且僅當$A$是局部緊。又以範疇言之，龐特里亞金對偶是局部緊交換群範疇的自對偶。研究局部緊交換群，為調和分析奠下基礎。此領域現也研究非交換的局部緊群。