相交理論

相交理論（Intersection theory）是代數幾何的主要分支之一，給出了給定代數簇的兩個子簇的交點資訊。簇理論更老，源於曲線上的貝祖定理和消去理論；拓撲理論更快地達到了確定形式。

相交理論仍在不斷發展。目前的主要重點是：虛基本循環、量子相交環、格羅莫夫-威滕量及將相交理論從概形推廣到疊。

## 拓撲相交形式

對維度為2n的連通有向流形M，相交形式是通過對H2n(M, ∂M)中的基類M的上積求值，從而定義在第n上同調群（通常稱作「中維」）。確切地說，有雙線性形式

$$\lambda_M \colon H^n(M,\partial M) \times H^n(M,\partial M)\to \mathbf{Z}$$

由下式給出

$$\lambda_M(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf{Z}$$

其中

$$\lambda_M(a,b)=(-1)^n\lambda_M(b,a) \in \mathbf{Z}.$$

n為偶數時這是對稱雙線性形式（因此2n = 4k），這時M的符號數被定義為形式的符號數；n為奇數時，則定義為交替形式。這些形式可統稱為ε對稱形，當中ε = (−1)n = ±1分別表示對稱形和斜對稱形。某些情況下，可以將形式細化為ε二次型，但需要額外數據，如切叢的框架。也可以去除有向性條件，改用Z/2Z係數。

這些形式是重要的拓撲不變量。例如，麥可·弗里德曼的一個定理指出，在同胚意義上，單連通緊4維流形（幾乎）由其相交形式決定。

由龐加萊對偶性，我們可以從幾何角度思考這個問題。試為a、b的龐加萊對偶擇有代表性的n維子流形A、B，則λM (a, b)是A、B的有向交數（oriented intersection number），是良定義的，因為A、B維數之和等於M的維數，所以它們通常交於孤立的點。這就是「相交形式」這一術語的由來。

## 代數幾何中的相交理論

威廉·富爾頓在《相交理論》（1984）中寫道：

... 若A、B是非奇異簇X的子簇，那麼交積A · B應是代數循環的等價類，代數循環與A ∩ B、以及A、B在X中的幾何位置密切相關。有兩種情況最著名。若相交是真相交（proper），即1=dim(A ∩ B) = dim A + dim B − dim X，則A · B是A ∩ B的不可約成分的線性組合，係數是相交乘數。在另一個極端，若1=A = B是非奇異子簇，則自交公式表示A · B由X中A的法叢的頂陳類表示。

安德烈·韋伊《代數幾何基礎》（1946）中主要關注的是在一般情況下給出相交乘法的定義。1920年代，巴特爾·倫德特·范德瓦爾登的工作已經涉及這一問題；在義大利代數幾何學派中，這觀點已廣為人知，但基礎問題並未以同樣的精神得到解決。

### 移動循環

要使循環V、W的相交機制運行良好，就不能只取循環的交集V ∩ W。若兩個循環處於「良位置」，則「交積」V · W就應包含兩個子簇的交集。循環若處於「不良位置」，例如平面上的兩條平行線，或包含直線的平面（在3維空間相交），相交都應該只有一個點，因為若要移動一個循環，這就是交點。兩循環V、W的交集V ∩ W的余維若等於V、W余維之和，就稱相交為「真相交」（proper intersection）。

因此，我們使用循環上適當等價關係的「移動循環」概念。等價必須足夠廣，以至任給兩個循環V、W都有等價循環V′、W′使相交V′ ∩ W′為真相交。當然，另一方面，對第二等價的V′′、W′′，V′ ∩ W′需要等價於V′′ ∩ W′′。

就相交理論而言，「有理等價」是最重要的一種。簡言之，若在簇X的(r + 1)維子簇Y上有有理函數 f，則X上的兩r維循環有理等價；其中Y是函數域k(Y)的元素或等價於函數 f : Y → P1，使得1=V − W = f −1(0) − f −1(∞)（其中 f −1(⋅)用乘法計算）。有理等價滿足上述要求。

### 交乘

定義循環的交乘的指導原則是一定意義上的連續型。請看下面這個簡單例子：拋物線1=y = x2和軸1=y = 0的交點應為2 · (0, 0)，因為若其中一個循環移動、接近所述位置時，兩個交點恰好匯聚於(0, 0)（圖中只描繪了方程的實解，會引起誤解）。

第一個令人滿意的交乘定義由讓-皮埃爾·塞爾給出：令周圍簇（ambient variety）X光滑（或所有局部環都正則），接著令V、W都為（不可還原的閉）子簇，使其相交為真相交。這個構造是局部的，因此簇可用X的坐標環中的兩個理想I、J表示。設Z是交集V ∩ W中的一個不可約成分，z為其一般點。則Z在交積V · W中的乘法定義為

$$\mu(Z; V, W) := \sum^\infty_{i=0} (-1)^i \text{length}_{\mathcal O_{X, z}} \text{Tor}_i^{\mathcal O_{X, z}} (\mathcal O_{X, z}/I, \mathcal O_{X, z}/J),$$

函子環的撓群（torsion group）z中的X的局部環長度上的交替和，對應子簇。這個表達式也稱作「塞爾Tor公式」。

注釋：

- 第一個和
- $$\left ( \mathcal O_{X, z}/I \right ) \otimes_{\mathcal O_{X, z}} \left (\mathcal O_{X, z}/J \right ) = \mathcal O_{Z, z}$$
- 長度是對乘法的「天真」猜測；但正如塞爾指出的，這還不充分。
- 和是有限的，因為正則局部環$\mathcal O_{X, z}$具有有限的Tor維度。
- 若V、W的相交不是真相交，則上述交乘的結果將為0。若是真相交，則其嚴格為正。（這兩點從定義看並不明顯）
- 用譜序列可以證明1=μ(Z; V, W) = μ(Z; W, V)。

### 周環

周環是循環模有理等價所得的群，以及下面的交換交積：

$$V \cdot W := \sum_{i} \mu(Z_i; V, W)Z_i$$

其中V、 W 橫截著相交，而$V \cap W = \cup_i Z_i$是交集的不可約分解。

### 自交

給定兩子簇V、W，可取其相交V ∩ W，但也可以定義單個子簇的自交，方法要微妙些。

例如，給定面S上的曲線C，其與自身的相交就是自身：1=C ∩ C = C。這雖然對，但不夠好：任給曲面上兩條不同的曲線（沒有共同分量），它們相交於某個點集。可以數出點集包含的點數，得到「交數」。我們希望能對給定曲線左同樣的處理：不同曲線的相交就像兩個數相乘：xy，自交就像乘方：x2。形式上，這種類比就像是對稱雙線性形式（乘法）與二次型（乘方）。

其幾何解法是，將曲線C與略微偏移的自身相交。在平面上這意味著將曲線C向某方向平移，但一般情況下我們談論的是取與C線性等價的曲線C′，計算交C · C′的交點數，記作C · C。這不同於無關曲線C、D的情形，前者的實際交點取決於C′的選擇，但C′′的「自交點」可解釋為C上的k個一般點，且1=k = C · C。更恰當地說，C的自交點是C的一般點，乘法為C · C。

或者，也可通過對偶話來代數地「解」這個問題，並查看C ∪ C的類——這既給出了一個數，又提出了幾何解釋問題。傳遞到上同調類，類似於用線性系統代替曲線。

自交數可以為負，如下所示。

#### 例子

考慮射影空間P2中的直線L：其自交數為1，因為所有直線與之相交1次。可以將L推到L′，對任意的L′的選擇都有1=L · L′ = 1，於是1=L · L = 1。就相交形式而言，我們說平面有x2類型的相交形式（只有一類直線，且都互相相交）。

注意在仿射平面上，可以將L推移到平行線上，於是交點數取決於推離的選擇。有人說「仿射平面沒有很好的相交理論」，而非射影簇上的相交理論要困難得多。

P1 × P1（也可解釋為P3中非奇異二次曲面Q）上的直線自交為0，因為直線可以從自身移開（是直紋曲面）。就相交形式而言，可以說P1 × P1有一個類型——有2類基本直線，相交於1點，但自交為零（沒有x2或y2項）。

#### 拉開

自交數的一個重要例子是拉開的特殊曲線，是雙有理幾何中的一個核心運算。給定代數曲面S，在一點拉開，會產生一條曲線C，其屬（genus）為0，自交數為-1（並不明顯）。推論：P2、P1 × P1是最小曲面（不是拉開），因為它們沒有任何具有負自交的曲線。事實上，卡斯泰爾諾沃收縮定理給出了相反的情況：每條(−1)曲線都是某個拉開的特殊曲線。