層上同調

數學中，層上同調是運用同調代數分析拓撲空間上層的全局截面的領域。廣義地說，層上同調描述了幾何問題能在局部解決時，全局解決問題遇到的障礙。層上同調的核心著作是亞歷山大·格羅滕迪克1957年發表在《東北數學雜誌》上的論文。

層、層上同調與譜序列是讓·勒雷在奧地利戰俘營Oflag XVII-A中提出的。勒雷在1940年到1945年與其他人在集中營組織了「獄中大學」。

1950年代，勒雷的定義得到了簡化與澄清。很明顯，層上同調不僅是代數拓撲中一種新的上同調方法，也是復解析幾何與代數幾何中一種強有力的方法。這些課題通常涉及構建具有特定局部性質的全局函數，層上同調非常適合。黎曼-羅赫定理、霍奇定理等很多早期結果都通過層上同調得到推廣或有了更好理解。

## 定義

拓撲空間X上阿貝爾群的層範疇是阿貝爾範疇，因此問層的態射$f:\ B\to C$是單態射還是滿態射的問題有意義。答案之一是：對X中每個點x，若且唯若相關的莖上同態$B_x\to C_x$是單射（或滿射），f才是單射（或滿射）。由此可知，對X中每個開集U，若且唯若U上截面的同態$B(U)\to C(U)$是單射時，f才是單射。而滿射則更微妙：對X中每個開集U、U上C的每個截面s與U中每一點x，若且唯若存在U中x的開鄰域V使限制於V的s是V上某截面B的像（即：C的每個截面都局部提升到B的截面），f才是滿射。

於是問題來了：給定層的滿射$B\to C$與X上C的截面s，s滿足什麼條件時是B在X上某截面的像？這是幾何中各種局部與全局問題的模型。層上同調給出了令人滿意的一般答案：令A是滿射$B\to C$的核，給定X上層的短正合列

$$0\to A\to B\to C\to 0$$

則有阿貝爾群長正合列，稱作層上同調群：

$$0\to H^0(X,A) \to H^0(X,B) \to H^0(X,C) \to H^1(X,A) \to \cdots,$$

其中$H^0(X,\ A)$是X上A的全局截面群$A(X)$。例如，若群$H^1(X,\ A)$為零，則此正合列可以說明，C的每個全局截面都提升到B的全局截面。更一般地，正合列使高階上同調群的知識成為理解層截面的基本工具。

亞歷山大·格羅滕迪克對層上同調的定義已成為標準定義，使用的是同調代數的語言。其要點是，固定拓撲空間X，將上同調看做X上阿貝爾群層映射到阿貝爾群的函子。更精確地說，從X上阿貝爾群層到阿貝爾群的函子$E\mapsto E(X)$開始。這是左正合函子，但一般不是右正合的。那麼，群$H^i(X,\ E)$（i是整數）可定義為函子$E\mapsto E(X)$的導出函子，這樣i < 0時，$H^i(X,\ E)$自動為零，$H^0(X,\ E)$是全局截面群$E(X)$。上述長正合列也是直接的。

任何拓撲空間X上阿貝爾群層範疇都有足量單射，即對層E，都有具備$E\to I$的單射層I。導出函子的定義運用了這一點。由此可見，層E都有單射消解：

$$0\to E\to I_0\to I_1\to I_2\to \cdots.$$

則，層上同調群$H^i(X,\ E)$是阿貝爾群鏈復形上同調群（同態的核模了前一個的像）：

$$0\to I_0(X) \to I_1(X) \to I_2(X)\to \cdots.$$

同調代數中的標準論證表明，這些上同調群獨立於E的單射消解的選擇。

此定義很少直接用於計算層上同調，不過還是很強大的，因為具有很強的一般性（任何拓撲空間上阿貝爾群的任何層），且很容易隱含層上同調的形式屬性，如上述長正合列。對特定類別的空間或層，有很多計算層上同調的工具，下詳。

## 函子性

對拓撲空間的任意連續映射$f:\ X\to Y$、Y上阿貝爾群任何層E，對任何整數j都有拉回同態

$$f^*\colon H^j(Y,E) \to H^j(X,f^*(E))$$

其中$f^*(E)$表示拉回層。若f是Y的子空間X的含入，$f^*(E)$是E到X的限制，通常就只稱作E，截面s的Y到X的拉回稱作限制$s|_X$。

拉回同態在邁爾–維托里斯正合列有應用，這是一個重要的計算結果。即，設X是拓撲空間，是兩開子集U、V的並，且令E是X上的層，則有阿貝爾群的長正合列：

$$0\to H^0(X,E) \to H^0(U,E)\oplus H^0(V,E) \to H^0(U\cap V, E) \to H^1(X,E) \to \cdots.$$

## 常係數層上同調

對拓撲空間X與阿貝爾群A，常層$A_X$是值在A中的局部常值函數的層。具有常係數的層上同調群$H^j(X,A_X)$通常簡寫為$H^j(X,A)$，除非這會導致與奇異上同調之類相混。

對連續映射$f:\ X\to Y$與阿貝爾群A，拉回層$f^*(A_Y)$同構於$A_X$。因此，拉回同態使得常係數層上同調變為拓撲空間到阿貝爾群的反變函子。

對任意空間X、Y與任意阿貝爾群A，X到Y的兩同倫映射f、g在層上同調上導出相同的同態：

$$f^*=g^*: H^j(Y,A)\to H^j(X,A).$$

由此可見，兩同倫等價空間有同構的常係數層上同調。

令X是仿緊豪斯多夫空間，是局部可收縮空間，甚至在弱意義上，點x的開鄰域U都包含x的開鄰域V，使得含入$V\to U$同倫於常值映射。則，x的奇異上同調群（係數在阿貝爾群A中）同構於常係數層上同調$H^*(X,\ A_X)$。例如，對X是拓撲流形或CW復形的情形，這一點是成立的。

因此，很多常係數層上同調的許多基本計算與奇異上同調的計算相同，球面、射影空間、環面與曲面的上同調見餘調#例子。

對任意拓撲空間，奇異上同調與層上同調（常係數）可能是不同的，$H^0$也可能發生：$H^0(X,\ \Z)$是X的路徑分量集到整數$\Z$的函數群的奇異上同調，而層上同調$H^0(X,\ \Z_X)$是X到$\Z$的局部常值函數群層上同調。例如，當X是康托爾集時，情形就不同了。事實上，在這種情況下，層上同調$H^0(X,\ \Z_X)$是可數阿貝爾群，而奇異上同調$H^0(X,\ \Z)$是x到$\Z$所有函數的群，其勢為

$$2^{2^{\aleph_0}}.$$

對仿緊豪斯多夫空間X、X上阿貝爾群的任意層E，上同調群$H^j(X,\ E)$對大於X的拓撲維數的j都是零（對奇異上同調來說在一般情形下不成立，例如有歐氏空間$\R^3$的緊子集，其在無限多度上具有非零的奇異上同調）。拓撲維數與拓撲流形或CW復形的通常維度概念一致。

## 弛層與軟層

拓撲空間X上阿貝爾群的層E 若對$\forall j>0,\ H^j(X,\ E)=0$，則稱作無環的（acyclic）。根據層上同調的長正合列，任何層的上同調都可從E的任何無環消解（而非單射消解）計算得來。單射層是無環的，但對計算來說，有其他無環層的例子很有用。

X上層E，若E在X某開子集上的每個截面都延伸到E在X全體上的某截面，就稱E是弛（英語：flabby，法語：flasque）的。弛層無環。Godement通過任何層上的規範弛消解，定義了任何層的層上同調。由於弛層無環，Godement的定義與上述層上同調定義一致。

仿緊豪斯多夫空間X上的層E，若E到X閉子集的限制的每個截面都延伸到E在X全體上的某截面，就稱E是軟的。軟層無環。

軟層的一些例子如仿緊豪斯多夫空間上實值連續函數層、光滑流形上光滑（$C^\infty$）函數層。更一般地，交換環軟層上的模層還是軟的，例如光滑流形上向量叢的光滑截面層是軟的。

例如，這些結果形成了德拉姆定理證明的一部分。對光滑流形X，龐加萊引理指出，德拉姆復形是常層$\R_X$的消解：

$$0\to\mathbf{R}_X\to\Omega^0_X\to\Omega^1_X\to\cdots,$$

其中$\Omega_X^j$是光滑j形式的層，映射$\Omega_X^j\to \Omega_X^{j+1}$是外微分$\rm d$。根據上面的結果，層$\Omega_X^j$是軟的，因此是無環的。可知，X的實係數層上同調同構於X的德拉姆上同調，後者定義為實向量空間復形的上同調：

$$0\to \Omega^0_X(X)\to\Omega^1_X(X)\to\cdots.$$

德拉姆定理的另一部分是識別X的實係數層上同調、奇異上同調；如上所述，這在更大的推廣上成立。

## 切赫上同調

切赫上同調是層上同調的近似，常用於計算。即，令$\mathcal{U}$為拓撲空間X的開覆蓋，令E為X上阿貝爾群的層。記覆蓋中的開集為$U_i$，其中i屬於集合I，且I的順序固定，則切赫上同調$H^j(\mathcal{U},E)$可定義為有j個群的阿貝爾群顯式復形的上同調：

$$C^j(\mathcal{U},E)=\prod_{i_0<\cdots<i_j}E(U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_j}).$$

有自然同構$H^j(\mathcal{U},E)\to H^j(X,E)$，因此切赫上同調是層上同調的近似，僅使用在開集$U_i$的有限交上的E的截面。

若$\mathcal{U}$中開集的每個有限交V都沒有係數在E中的高階上同調，即對$\forall j>0,\ H^j(V,\ E)=0$，則切赫上同調$H^j(\mathcal{U},E)$到層上同調的同態是同構。

將切赫上同調與層上同調相聯繫的另一種方法如下。切赫上同調群$\check{H}^j(X,E)$定義為$H^j(\mathcal{U},E)$在X所有開覆蓋$\mathcal{U}$上的直極限（其中開覆蓋由加細排序）。有切赫上同調到層上同調的同態$\check{H}^j(X,E)\to H^j(X,E)$，對$j\le 1$是同構。對任意拓撲空間，切赫上同調與層上同調在更高的度上會有不同，但方便地說，對仿緊豪斯多夫空間上的任何層，切赫上同調都同構於層上同調。

同構$\check{H}^1(X,E)\cong H^1(X,E)$隱含著對拓撲空間X上阿貝爾群任何層E的$H^1(X,\ E)$的描述：此群在同構意義上分類了X上的E扭子（也叫主E叢）（通過非阿貝爾上同調集$H^1(X,\ G)$，這論述可推廣到群G（不必阿貝爾）的任何層）。由定義，X上的E扭子是集合的層S以及E在X上的群作用，使X中每點都有S同構於E的開鄰域，E通過平移（translation）作用於自身。例如，賦環空間$(X,\ O_X)$上，X上可逆層的皮卡德群同構於層上同調群$H^1(X,\ O_X^*)$，其中$O_X^*$是$O_X$中可逆元的層。

## 相對上同調

對整數j、拓撲空間X的子集Y與X上阿貝爾群的層E，可以定義相對上同調群：

$$H^j_Y(X,E)=H^j(X,X-Y;E)$$

還可稱作在Y中有支持的X的上同調，或（Y對X封閉時）局部上同調。長正合列可在通常意義上將相對上同調與層上同調關聯：

$$\cdots \to H^j_Y(X,E)\to H^j(X,E)\to H^j(X-Y,E)\to H^{j+1}_Y(X,E)\to\cdots.$$

Y對X封閉時，在Y中有支持的上同調可定義為函子

$$H^0_Y(X,E):=\{s\in E(X): s|_{X-Y}=0\},$$

導出函子，即在Y上有支持的E的截面群。

有幾種同構稱作切除。例如，若X是拓撲空間，其子空間Y、U使Y的閉包在U內部，E是X上的層，則約束

$$H^j_Y(X,E)\to H^j_Y(U,E)$$

是同構（因此，在閉子集Y中具有支持的上同調只取決於空間X與層E在Y附近的行為）。另外，若X是仿緊豪斯多夫空間、是閉子集A、B的並、E是X上的層，則約束

$$H^j(X,B;E)\to H^j(A,A\cap B;E)$$

是同構。

## 具有緊支持的上同調

令X是局部緊拓撲空間（本文將局部緊空間理解為豪斯多夫空間）。對X上阿貝爾群的層E，可定義有緊支持的上同調$H_c^j(X,\ E)$。這些群被定義為緊支持截面的函子的導出函子：

$$H^0_c(X,E)=\{s\in E(X): \text{有}X\text{的紧子集}K,\ \text{且}s|_{X-K}=0\}.$$

有自然同構$H_c^j(X,\ E)\to H^j(X,\ E)$，是X緊的同構。

對局部緊空間X上的層E，$X\times \R$的係數在E的拉回中的緊支持上同調是X的緊支持上同調的移位（shift）：

$$H^{j+1}_c(X\times\mathbf{R},E)\cong H^j_c(X,E).$$

舉例來說，若$j=n$，則$H_c^j(\R^n,\ \Z)$同構於$\Z$，否則為零。

就任意連續映射而言，緊支持上同調不是函子性的。而對局部緊空間上的緊合映射$f:\ Y\to X$與X上的層E，緊支持上同調上有拉回同態

$$f^*\colon H^j_c(X,E)\to H^j_c(Y,f^*(E))$$

另外，對局部緊空間X的開子集U與X上的層E，有稱作零點擴張（extension by zero）的前推同態：

$$H^j_c(U,E)\to H^j_c(X,E).$$

對局部緊空間X與閉子集Y，這兩個同態都見於緊支持上同調的長正合局部化列中：

$$\cdots\to H^j_c(X-Y,E)\to H^j_c(X,E)\to H^j_c(Y,E)\to H^{j+1}_c(X-Y,E)\to\cdots.$$

## 上積

對所有i、j以及拓撲空間X上阿貝爾群的任意層A、B，有雙射——上積

$$H^i(X,A)\times H^j(X,B)\to H^{i+j}(X,A\otimes B),$$

當中$A\otimes B$表示在$\Z$上的張量積，但若A、B是交換環的某層$O_X$上的模層，則可進一步從$H^{i+j}(X,\ A\otimes_{\Z}B)$映射到$H^{i+j}(X,\ A\otimes_{O_X}B)$。特別是，對交換環的層$O_X$，上積使得直和

$$H^*(X,O_X) = \bigoplus_j H^j(X,O_X)$$

變為分次交換環，即對$\forall u\in H^i,\ v\in H^j,$

$$vu=(-1)^{ij}uv$$

## 層復形

層上同調是導出函子的定義可進行擴展，定義拓撲空間X的上同調，且係數在層的任何復形E中：

$$\cdots\to E_j\to E_{j+1}\to E_{j+2}\to \cdots$$

特別地，若復形E有下界（對足夠負的j，層$E_j$為零），則E像單層一樣有單射消解I（由定義，I是有下界的單射層復形，其鏈映射$E\to I$是擬同構）。則上同調群$H^j(X,\ E)$定義為阿貝爾群復形的上同調

$$\cdots \to I_j(X)\to I_{j+1}(X)\to I_{j+2}(X)\to\cdots.$$

空間的係數在層復形中的上同調，早先被稱作超同調，現在一般只叫「上同調」。

更一般地，對空間X上層E（不必有下界）的任意復形，上同調群$H^j(X,\ E)$定義為X上層的導出範疇中態射的群：

$$H^j(X,E)=\operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbf{Z}_X,E[j]),$$

其中$\Z_X$是與整數相關聯的常層，$E[j]$表示向左移動j步的復形E。

## 龐加萊對偶性與推廣

龐加來對偶性定理是拓撲學的一個核心成果：對n維閉有向連通拓撲流形X、域k，群$H^n(X,\ k)$同構於k，上積

$$H^j(X,k)\times H^{n-j}(X,k)\to H^n(X,k)\cong k$$

是所有整數j的完美配對。即，從$H^j(X,\ k)$到對偶空間$H^{n-j}(X,\ k)^*$的映射是同構，特別是，向量空間$H^j(X,\ k)$與$H^{n-j}(X,\ k)^*$有相同的（有限）維數。

運用層上同調的語言，可以進行很多推廣。若X是有向n維流形（不必緊或連通），k是域，則上同調就是有緊支持的上同調的對偶：

$$H^j(X,k)\cong H^{n-j}_c(X,k)^*.$$

對任意流形X、域k，有X上的層$o_X$——方向層，局部（可能不是全局）同構於常層k。龐加萊對偶關於任意n維流形X的一個版本是同構：

$$H^j(X,o_X)\cong H^{n-j}_c(X,k)^*.$$

更一般地，若E是n維流形上k維向量空間的局部常層，且E的莖有限維，則有同構

$$H^j(X,E^*\otimes o_X)\cong H^{n-j}_c(X,E)^*.$$

係數在任意交換環而非域中時，龐加萊對偶性可以很自然地表述為上同調到博雷爾–摩爾同調的同構。

韋迪耶對偶是很廣的推廣。對任意有限維局部緊空間X與任意域k，在X上層的導出範疇$D(X)$中有對象$D_X$，稱作對偶化復形（dualizing complex，係數位於k中）。韋迪耶對偶的一種情形是同構：

$$H^j(X,D_X)\cong H^{-j}_c(X,k)^*.$$

對n維流形X，對偶化復形$D_X$同構於方向層的移位$o_X[n]$。因此，龐加萊對偶是韋迪耶對偶的特例。

亞歷山大對偶是另一種有用的推廣。對有向n維流形M的任意閉子集X與任意域k，有同構：

$$H^j_X(M,k)\cong H^{n-j}_c(X,k)^*.$$

對$M=\R^n$的緊子集X來說這已經很有趣了，因為它說（粗略地），$\R^n-X$的上同調是X的層上同調的對偶。當中，必須考慮層上同調而非奇異上同調，除非對X有額外假設，如局部可收縮性。

## 高階直像與勒雷譜序列

令$f:\ X\to Y$維拓撲空間的連續映射，E為X上阿貝爾群的層。前推層$f_*E$是Y上的層，對Y的任意開子集U定義為

$$(f_*E)(U) = E(f^{-1}(U))$$

例如，若f是X到點的映射，則$f_*E$是與E的全局截面群$E(X)$對應的點上的層。

X上的層到Y上的層的函子$f_*$是左正合的，但一般不是右正合的。Y上的高階直像層$R^if_*E$定義為函子$f_*$的右導出函子。另一種描述是，$R^if_*E$是與Y上預層相關聯的層

$$U \mapsto H^i(f^{-1}(U),E)$$

因此，粗略地說，高階直像層描述了Y中小開集的逆像的上同調。

勒雷譜序列將X上的上同調與Y上的上同調相關聯，即對任何連續映射$f:\ X\to Y$、X上任何層E，有譜序列

$$E_2^{ij} = H^i(Y,R^jf_*E) \Rightarrow H^{i+j}(X,E).$$

這是一個非常一般的結果。f是纖維化、E是常層的特例在同倫論中扮演著重要角色，這種情形稱作塞爾譜序列。當中，高階直像層是局部常的，其莖是f的纖維F的上同調群，因此塞爾譜序列對阿貝爾群A，可寫作

$$E_2^{ij} = H^i(Y,H^j(F,A)) \Rightarrow H^{i+j}(X,A).$$

勒雷譜序列的一個簡單而有用的情形是，對拓撲空間Y的任意閉子集X和X上任意層E，用$f:\ X\to Y$表示包含，有同構

$$H^i(Y,f_*E)\cong H^i(X,E).$$

因此，關於閉子空間上層上同調的問題都可轉化為關於環境空間上直像層的問題。

## 上同調的有限性

有個關於層上同調的強有限性結果。令X是緊豪斯多夫空間，R是主理想域，例如域或整數環$\Z$。令E為X上R模的層，並假定E有「局部有限生成上同調」，即對X中每點x、整數j、x的所有開鄰域U，都有x的開鄰域$V\subset U$，使得$H^j(U,\ E)\to H^j(V,\ E)$的像是有限生成R模，則上同調群$H^j(X,\ E)$是有限生成R模。

例如，對局部可收縮緊豪斯多夫空間X（在上文所述的弱意義上），層上同調群$H^j(X,\ \Z)$對整數j是有限生成的。

有限性結果適用於可構造層的一種情形。令X為拓撲層化空間。具體來說，X有閉子集序列

$$X=X_n\supset X_{n-1}\supset\cdots\supset X_{-1}=\emptyset$$

使每個差分$X_i-X_{i-1}$是維數為i的拓撲流形。若E對每層$X_i-X_{i-1}$的限制是局部常的，且莖是有限生成R模，則X上的層E或R模在給定分層下是可構造的。關於給定分層的X上可構造層E具有局部有限的生成上同調。若X是緊的，則X的上同調群$H^j(X,\ E)$（係數在可構造層中）是有限生成的。

更一般地，假設X'是可緊的，即有緊層化空間W，包含X為開子集，W–X是層的連通分量的並，則對X上R模的任意可構造層E，R模$H^j(X,\ E)$與$H_c^j(X,\ E)$都是有限生成的。例如，任何具有經典（歐氏）拓撲的復代數簇X在此意義上都是可緊的。

## 凝聚層上同調

代數幾何與復解析幾何中，凝聚層是一類有特殊幾何意義的層。例如，（局部諾特概形上的）代數向量叢或（復解析空間上的）全純向量叢可視作凝聚層，而凝聚層比向量叢更有優勢，因為凝聚層構成了阿貝爾範疇。在概形上，考慮准凝聚層也是有用的，其中包括秩無限的局部自由層。

關於係數在凝聚層中的概形或復解析空間的上同調群，我們已了解了很多。這一理論是代數幾何中的重要技術工具，主要定理包括在各種情況下上同調變為零、上同調有限維、凝聚層上同調與奇異上同調的比較（如霍奇理論）與凝聚層上同調中歐拉示性數的公式（如黎曼-羅赫定理）等。

## 景上的層

1960年代，格羅滕迪克定義了景（site），即具備了格羅滕迪克拓撲的範疇。景C公理化了這樣一個概念：C中的態射$V_{\alpha}\to U$集合是U的覆蓋。拓撲空間X以自然的方式確定了景：範疇C的對象是X的開子集，態射是包含，若且唯若U是開子集$V_{\alpha}$的並時，態射$V_{\alpha}\to U$的集合稱作U的覆蓋。此外，格羅滕迪克拓撲的激勵性例子是概形上的平展拓撲。此後，代數幾何中還是用了很多其他的格羅滕迪克拓撲：fpqc拓撲、尼斯涅維奇拓撲等等。

層的定義適用於任何景，所以可以談論景上的集合層，景上的阿貝爾群層，等等。層上同調作為導出函子的定義同樣適於景，因此，對於景上的任何對象X、阿貝爾群的任何層E，都有層上同調群$H^j(X,\ E)$。對於平展拓撲，這給出了平展上同調的概念，並由此證明了韋伊猜想。代數幾何中晶體上同調等其他上同調論也被定義為適當的景上的層上同調。

## 參考文獻

- . English translation .

## 外部連結

- The thread "Sheaf cohomology and injective resolutions" on MathOverflow
- The "Sheaf cohomology" on Stack Exchange