奈馬克擴張定理

在算子理論這一數學領域中，奈馬克擴張定理將正算子值測度與另一空間上的自伴算子的譜測度關聯了起來。此定理冠名於蘇聯數學家馬克·奈馬克。它可看作是斯坦斯普林擴張定理的推論。

## 一些先導概念

設 $X$ 是一個緊豪斯多夫空間， $H$ 是一個希爾伯特空間， $\mathcal B(H)$ 是 $H$ 上有界算子所構成的巴拿赫空間。對於 $X$ 上的博雷爾 σ-代數 $\Sigma(X)$ 到 $\mathcal B(H)$ 的映射 $E$，若它是弱可數可加的，也就是說若對於任何不相交的博雷爾集序列 $\{ B_i \}$ 有$$\forall x,y\in H,\quad \langle E (\cup _i B_i) x, y \rangle = \sum_i \langle E (B_i) x, y \rangle,$$ 則稱其為是一個算子值測度。關於此類測度性質的一些術語是：

- $E$ 稱為是正則的，若標量值測度 $B \mapsto \langle E (B) x, y \rangle$ 是一正則的博雷爾測度。這意味著所有緊集都有有限的總變差，並且集合的測度可由開集的測度來逼近。
- $E$ 稱為是有界算子值測度，若 $|E| = \sup_B \|E(B) \| < \infty$。
- $E$ 稱為是正算子值測度，若對於任意 $B$ 而言 $E(B)$ 都是正算子。
- $E$ 稱為是自伴算子值測度，如果任意 $B$ 而言 $E(B)$ 都是自伴算子。
- $E$ 稱為是譜測度，如果 $E$ 是自伴的，且$E (B_1 \cap B_2) = E(B_1) E(B_2)$ 對任意 $B_1, B_2$ 成立。

下面將始終假設 $E$ 是正則的。

令 $\mathcal C(X)$ 表示 $X$ 上連續函數所構成的交換C*-代數。如果 $E$ 正則且有界，則它可導出一個映射 $\Phi_E : \mathcal C(X)\to\mathcal B(H)$ 如下：

$$\langle \Phi _E (f) h_1, h_2 \rangle = \int _X f(x) \langle E(dx) h_1, h_2 \rangle.$$ 反過來也可以從一個有界線性映射確定出一個有界、正則的有界算子值測度，它們有一一對應關係。

$E$ 的有界性意味著，對於所有範數為一的 $h\in H$，有$$\langle \Phi _E (f) h, h \rangle = \int _X f(x) \langle E(dx) h, h \rangle \leq \| f \|_\infty \cdot |E| .$$

由此可見對於任意 $f$ 給出的 $\Phi _E (f)$ 都是有界算子，且 $\Phi _E$ 本身也是一個有界線性映射。

$\Phi_E$ 的性質與 $E$ 的性質直接相關：

- 若 $E$ 是正的，則 $\Phi_E$ 作為C*-代數之間的映射而言也是正的。
- 根據定義， $\Phi_E$ 成為一個同態的條件是：對於任意的 $X$ 上連續函數 $f$ 以及 $h_1, h_2 \in H$。

$$\langle \Phi_E (fg) h_1, h_2 \rangle = \int _X f(x) \cdot g(x) \; \langle E(dx) h_1, h_2 \rangle = \langle \Phi_E (f) \Phi_E (g) h_1, h_2 \rangle.$$

取 $f,g$ 為博雷爾集的指示函數，可發現上述條件要求 $E$ 是一個譜測度。

- 類似地， $\Phi_E$ 與*運算相容是指

$$\langle \Phi_E ( {\bar f} ) h_1, h_2 \rangle = \langle \Phi_E (f) ^* h_1, h_2 \rangle.$$

等號左端是$$\int _X {\bar f} \; \langle E(dx) h_1, h_2 \rangle,$$

而右端是$$\langle h_1, \Phi_E (f) h_2 \rangle = \overline{\langle \Phi_E(f) h_2, h_1 \rangle} = \int _X {\bar f}(x) \; \overline{\langle E(dx) h_2, h_1 \rangle} = \int _X {\bar f}(x) \; \langle h_1, E(dx) h_2 \rangle.$$

於是，通過在一個單增收斂於 $B$ 的指示函數的連續函數序列中取 $f$，可得 $\langle E(B) h_1, h_2 \rangle = \langle h_1, E(B) h_2 \rangle$，即 $E(B)$ 是自伴的。

- 結合前兩個事實可以得出以下結論：若且唯若 $E$ 是自伴的且譜的 （這樣的 $E$ 被稱為投影值測度）， $\Phi _E$ 才成為*-同態。

## 奈馬克擴張定理

設算子值測度 $E:\Sigma(X)\to\mathcal B(H)$ 是正的。則存在一個希爾伯特空間 $K$、一個有界算子 $V: K \rightarrow H$ 以及一個自伴且譜的算子值測度 $F:\Sigma(X)\to\mathcal{B}(K)$ 滿足$$\forall B\in\Sigma(X), \quad E(B) = V F(B) V^*.$$

### 證明概要

證明主要是從 $E$ 轉向其誘導的 $\Phi_E$，然後應用斯坦斯普林擴張定理。

由於 $E$ 是正算子值測度，故如前所述 $\Phi_E$ 是C*-代數間的正映射。進一步地，由於 $\mathcal C(X)$ 是交換C*-代數，可知 $\Phi_E$ 是完全正映射。至此已滿足應用斯坦斯普林擴張定理的條件，從而可知存在一個希爾伯特空間 $K$、一個*-同態 $\pi : \mathcal C(X) \to \mathcal B(K)$ 和算子 $V: K \to H$ 使得 $\Phi_E(f) = V\,\pi (f) \,V^*$。

由於 $\pi$ 是*-同態，其對應的算子值測度 $F$ 是自伴譜測度——容易看出 $F$ 滿足所需的性質。

## 有限維情況

在有限維情況下，有一個更明確的表述。

現在設 $X = \{1, \dotsc, n \}$，因此 $C(X)$ 是有限維代數 $\mathbb{C}^n$，並且 $H$ 的維度為有限的 $m$。正算子值測度 $E$ 則將每個 $i\in X$ 映射為一個 $m\times m$ 階的半正定矩陣 $E_i$。奈馬克擴張定理這時所說明的就是， $X$ 上存在一個投影值測度，其限制為 $E$。

特別有趣的是 $\sum_i E_i = I$ 的情況，其中 $I$ 是恆等算子 （相關應用參見正算子值測度。）在這種情況下，誘導出的映射 $\Phi_E$ 是保單位元的。可以不失一般性地假設每個 $E_i$ 具有形式 $x_ix_i^*$，即向量 $x_i \in \mathbb{C}^m$ 的外積（且 $x_i$ 將是次歸一化定義subnormalized的）。在這樣的假設下， $n < m$ 的情況將不可能。

- 要麼 $n = m$，而 $E$ 本身就是一個投影值測度（因為 $\sum_{i=1}^n x_i x_i^* = I$ 若且唯若 $\{x_i\}$ 是一組規範正交基）。
- 要麼 $n > m$，而 $\{ E_i \}$ 並非是由相互正交的投影構成。

對於第二種情況，尋找合適的投影值測度的問題將轉化為以下問題。根據假設，非方矩陣$$M = \begin{bmatrix} x_1 \cdots x_n \end{bmatrix}$$

是余等距的，也就是說滿足 $M M^* = I$。若能找到 $(n-m) \times n$ 階矩陣 $N$ 使得$$U = \begin{bmatrix} M \\ N \end{bmatrix}$$ 是一個 $n \times n$ 階么正矩陣，那麼到 $U$ 的各個列向量上的投影的所構成的投影值測度就具有所需的性質。原則上，總能找到這樣的 $N$。