規範叢

數學中，域上n維非奇異代數簇V的規範叢是線叢$\,\!\Omega^n = \omega$，是V上餘切叢$\Omega$的n次外冪。

複數上，它是全純餘切叢$T^*V$的行列式叢；等價地，它是V上全純n形式的線叢。這是V上塞雷對偶性的對偶化對象，同樣可視作可逆層。

規範類是V上卡蒂埃除子K的除子類，產生了規範叢。規範類是V上線性等價的等價類，其中任何除子都可稱作規範除子。

反規範叢是相應的逆叢$\omega^{-1}$。V的反規範叢是豐沛的，則稱V是法諾簇。

## 伴隨公式

設X是光滑簇，D是X上的光滑除子。伴隨公式將X與D的規範叢關聯起來。這是個自然同構

$$\omega_D = i^*(\omega_X \otimes \mathcal{O}(D)).$$

用規範類表示就是

$$K_D = (K_X + D)|_D.$$

此式是代數幾何中最強大的公式之一。現代雙有理幾何的一個重要工具是逆伴隨，可以從D的奇點推導出X的奇點的結果。

## 規範叢公式

令X是正交面（normal surface）。X的g虧格纖維化$f:X\to B$是到光滑曲線的緊合平坦態射f，使$f_*\mathcal{O}_X\cong \mathcal{O}_B$，並且f的所有纖維f都有算術虧格g。若X是光滑射影面、f的纖維不含自交$-1$的有理曲線，就稱纖維化是最小的（minimal）。例如，若X允許（最小）0虧格纖維化，則X就是雙有理規則的，即雙有理於$\mathbb{P}^1\times B$。

對最小1虧格纖維化（也稱作橢圓纖維化）$f:X\to B$，除有限多個纖維外，f的所有纖維都是幾何積分，且所有纖維都幾何連通（由扎里斯基連通性定理）。特別地，對f的纖維$F=\sum^{n}_{i=1}a_iE_i$，有$F.E_i=K_X.E_i=0$，其中$K_X$是X的規範除子，因此對$m=\operatorname{gcd}(a_i)$，若$m=1$，則F是幾何積分，否則$m>1$。

考慮最小1虧格纖維化$f:X\to B$。令$F_1,\dots,F_r$是有限多纖維，且不是幾何積分，並記$F_i=m_iF_i^'$，其中$m_i>1$是$F_i$展開為積分組分的係數的最大公除子。這些纖維稱作多重纖維（multiple fiber）。通過上同調與基變換可得$R^1f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{L}\oplus\mathcal{T}$，其中$\mathcal{L}$是可逆層，$\mathcal{T}$是扭層（$\mathcal{T}$受$b\in B$支持，使得$h^0(X_b,\mathcal{O}_{X_b})>1$）。那麼

$$\omega_X\cong f^*(\mathcal{L}^{-1}\otimes \omega_{B})\otimes \mathcal{O}_X\left(\sum^r_{i=1}a_iF_i'\right)$$

其中$\forall i,\ 0\leq a_i<m_i$，且$\operatorname{deg}\left(\mathcal{L}^{-1}\right)=\chi(\mathcal{O}_X)+\operatorname{length}(\mathcal{T})$。

我們注意到

$\operatorname{length}(\mathcal{T})=0\iff a_i=m_i-1$.

例如，對阿爾巴尼態射誘導的（准）雙橢圓曲面的最小1虧格纖維化，規範叢公式給出該纖維無多重纖維。對K3曲面的最小1虧格纖維，也可以做出類似的推論。另一方面，恩里克斯曲面的最小1虧格纖維總包含多重纖維，因此這樣的曲面不含截面。

## 奇異情形

奇異簇X上有幾種方法可定義規範除子。若簇是正規的，則在余維度1上一定是光滑的。特別地，可在光滑軌跡（locus）上定義規範除子，這樣就可在X上得到唯一的韋伊除子，這個除子類記作$K_X$，稱作X上的規範除子。

另外，同樣是在正規簇X上，可以考慮X的正規化對偶化復形的第d上同調$h^{-d}(\omega^._X)$。這個層對應於一個韋伊除子類，等於上面定義的除子類$K_X$。在無正規性假設的情形下，若X是S2或1維葛侖斯坦環，結果也成立。

## 規範映射

若規範類是有效的，則就確定了V到射影空間的有理映射，稱作規範映射（canonical map），由規範類的n倍確定的就稱作n-規範映射。n-規範映射將V送到比n倍規範類的全局截面低1維的射影空間。n-規範映射可能有基點，就是說它們不是處處有定義的（即可能不是簇的態射）。它們可能有正維纖維，即使有0維纖維，也不一定是局部解析同構。

### 規範曲線

研究得最好的是曲線。其中，規範叢與（全純）餘切叢相同。因此，規範叢的全局截面與處處規則（everywhere-regular）微分形式相同，經典上這些微分被稱作第一類微分。對虧格為g的曲線，規範類的度數為$2g-2$。

#### 低虧格

設C是虧格為g的光滑代數曲線。若$g=0$，則C是P1，規範類是$2P$的類，其中P是C的任一點。這源於微積分公式${\rm d}\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{{\rm d}t}{t^2}$，例如黎曼球面上原點處有雙極點的亞純微分。特別地，$K_C$及其倍數不是有效的。若$g=1$，則C是橢圓曲線，$K_C$是平凡叢。平凡叢的全局截面構成餓了1維向量空間，因此對任意n，n規範映射就是到一點的映射。

#### 超橢圓情形

若C的虧格大於等於2，則規範類一般很大，因此任意n-規範映射的像都是曲線。1-規範映射的像稱作規範曲線。虧格為g的規範曲線總位於維數為$g-1$的射影空間中。C是超橢圓曲線時，規範曲線是有理正規曲線，而C是其規範曲線的雙覆蓋。例如，若P是度數為6的多項式（無重根），則

$$y^2=P(x)$$

是虧格2曲線的仿射曲線表示，必然是超橢圓曲線，第一類微分的基用同樣的符號可表為

$\frac{{\rm d}x}{\sqrt{P(x)}},\ x\frac{{\rm d}x}{\sqrt{P(x)}}$.

這意味著，齊次坐標$[1:\ x]$作為到射影線的態射，給出了規範映射。虧格更高的超橢圓曲線的有理正規曲線也以同樣方式產生，x的冪次為高次單項式。

#### 一般情形

否則，對非超橢圓的C（即g大於3），態射是C與其像之間的同構，後者的次數為$2g-2$。因此對$g=3$，規範曲線（非超橢圓情形）是四次平面曲線。所有非奇異四次平面曲線都這樣產生。$g=4$時，規範曲線是二次曲面與三次曲面的交；$g=5$時，規範曲線是3個二次曲面的交。黎曼-羅赫定理有個反向推論：虧格為g的非奇異曲線C嵌入維度為$g-1$的射影空間，只要其線性張成了整個空間，就可成為度數為$2g-2$的線性正規曲線。事實上，規範曲線C（g不小於3的非超橢圓情形）、黎曼-羅赫定理和特殊除子理論的關係相當近。C上不同點組成的有效除子D在規範嵌入中具有維數與所屬線性系統的維數直接相關的線性跨度（span），經過更多討論，這也適用於具有重點的情形。

對更大的g，可以獲得更精細的資訊，但這時規範曲線一般不是完全交，描述時需要更多考慮交換代數。這領域始於馬克斯·諾特定理：經過C的二次曲面嵌入為規範曲線的維數為$\frac12(g-2)(g-3)$。佩特里定理是卡爾·佩特里（1881–1955）於1923年發表的，指出g不小於4時定義規範曲線的齊次理想由其2階元素生成，例外是(a) 三角曲線；(b) $g=6$時的非奇異四次平面曲線。例外中，理想由2階和3階元素生成。歷史上看，這一結果在佩特里之前就已廣為人知，稱作巴貝奇-Chisini-Enriques定理。這結果也稱作諾特–Enriques定理，因此術語上比較混亂。諾特證明超橢圓情形之外（用現代語言來說）規範叢是正規生成（normally generated）的：規範叢的截面空間的對稱冪映射到其張量冪的截面上。比如，這說明由第一類微分生成這類曲線上的二次微分，這對局部Torelli定理有影響。佩特里的研究實際上提供了理想（ideal）的二次、三次生成器，表明除了特殊情形外，三次可用二次表示。特殊情形下，通過規範曲線的二次交分別是直紋曲面和維羅納曲面。

這些經典結果是在複數上證明的，但現代討論表明，這些技術適用於任何示性的域。

### 規範環

V的規範環是分次環

$$R = \bigoplus_{d = 0}^\infty H^0(V, K_V^d).$$

若V的規範類是豐沛線叢，則規範環是規範映射的像的齊次坐標環，V的規範類不豐沛也成立。例如，若C是超橢圓曲線，則規範環還是規範映射的像的齊次坐標環。總之，若上面的環是有限生成的，則很容易看出它是k-規範映射（k是任意充分可分的正整數）的像的齊次坐標環。

最小模型綱領（minimal model program）提出，每個光滑或輕度其一射影簇的規範環都是有限生成的。特別地，眾所周知，這意味著存在規範模型（即V的一個具有輕度奇點的特殊雙有理模型）。若規範環是有限生成的，則規範模型是規範環的Proj。若規範環不是有限生成的，則${\rm Proj}R$就不是簇，因此對V不是雙有理的；特別地，V不允許規範模型。可以證明，若V的規範除子K是nef除子、K的自交數為正，則V將接納一個規範模型（更一般地說，這對正規完全戈倫斯坦代數空間是正確的）。

Birkar–Cascini–Hacon–McKernan (2006)的一個基本定理是：光滑或輕度奇異的射影代數簇的規範環是有限生成的。

V的小平維度是規範環的維度減一。這裡的規範環維度是克魯爾維數或超越度。