勃格留波夫變換

在理論物理中，Bogoliubov變換，又稱Bogoliubov-Valatin 變換，是1958年由尼古拉·博戈柳博夫和John George Valatin各自為了求BCS理論在均勻系統中的解而獨立發展起來的。Bogoliubov變換是對正則對易關係或正則反對易關係代數的同構。Bogoliubov變換通常用於對角化哈密頓量，從而產生相應薛丁格方程的穩態解。Bogoliubov變換對於理解安魯效應、霍金輻射、核物理中的配對效應以及許多其他主題也很重要。

Bogoliubov變換通常用於對角化哈密頓量，並相應地對波函數進行變換。因此，在變換後的波函數上使用對角化哈密頓量計算的算子特徵值與之前相同。

## 單玻色子模式案例

考慮簡諧振子中玻色子產生和湮滅算符的正則對換關係

$$\left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ] = 1.$$

對於常複數$u$和$v$，定義一對新的運算符

$$\hat{b} = u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger,$$

$$\hat{b}^\dagger = u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a},$$

其中後者是第一個的厄米共軛。

Bogoliubov變換是映射$\hat{a}$和$\hat{a}^\dagger$到$\hat{b}$和$\hat{b}^\dagger$的一種正則變換。為了使得變換是正則的，可以去算對易子從而找到常數$u$和$v$滿足的條件，即。

$$\left [ \hat{b}, \hat{b}^\dagger \right ] <pre> = \left [ u \hat{a} + v \hat{a}^\dagger, u^* \hat{a}^\dagger + v^* \hat{a} \right ] = \cdots = \left ( |u|^2 - |v|^2 \right ) \left [ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right ].$$

那麼很明顯$|u|^2 - |v|^2 = 1$是轉換能成立的條件。

由於此條件的形式與雙曲恆等式所契合

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1,$$

常數$u$和$v$可以很容易地參數化為

$$u = e^{i \theta_1} \cosh r,$$

$$v = e^{i \theta_2} \sinh r.$$

這一變換可以被解釋為相空間的線性辛變換。通過與Bloch-Messiah分解比較，兩個相位角$\theta_1$和$\theta_2$對應於正交辛變換（即旋轉），而壓縮因子$r$對應於對角變換。

### 應用

Bogoliubov變換最重要的應用自然是尼古拉·博戈柳博夫本人討論的超流背景下的問題。其他應用包括哈密頓量和反鐵磁性理論中的激發。此外，彎曲時空中的量子場論的真空定義發生變化，而這些不同真空之間也可以通過Bogoliubov 變換來嘗試聯繫。這在霍金輻射的推導中有用到。Bogoliubov變換也廣泛用於量子光學，特別是在處理高斯態的么正變換（例如分束器、移相器和壓縮操作）時。

## 費米子模式

對於反對易關係

$$\left\{ \hat{a}, \hat{a}\right\} = 0, \left\{ \hat{a}, \hat{a}^\dagger \right\} = 1,$$

Bogoliubov變換受限於$uv=0, |u|^2+|v|^2=1$。因此，唯一不平凡的可能性是$u=0, |v|=1$，其對應於可能包含相移的粒子-反粒子交換（或多體系統中的粒子-空穴交換）。因此，對於單個粒子，Bogoliubov變換隻能在 (1)狄拉克費米子中實現，其粒子和反粒子是不同的（與馬約拉納費米子或手性費米子相反），或 (2) 對於多費米子系統，在其中有不止一種類型的費米子。

### 應用

這裡面最重要的應用還是Nikolai Bogoliubov本人的針對BCS超導理論的推導。這裡必須要做Bogoliubov變換的原因主要是在平均場近似下，系統的哈密頓量可以寫為原始產生和湮滅算符的雙線性項$\langle a_i^+a_j^+\rangle$之和，從而必須比通常的Hartree–Fock方法更進一步。特別地，在具有超導配對項的平均場Bogoliubov–de Gennes 哈密頓$\Delta a_i^+a_j^+ + \text{h.c.}$里，Bogoliubov變換給出$b, b^\dagger$來湮滅或產生准粒子（每個准粒子都具有明確定義的能量、動量和自旋，但其實際上對應於電子和空穴態的量子疊加的形式），而變換的具體系數$u$和$v$由 Bogoliubov–de Gennes矩陣的特徵向量給出。同樣在核物理中，因為它可以描述重元素中核子的「配對能量」，這種方法也是適用的。

## 多模案例

接下來所考慮的希爾伯特空間是描述更高維的量子諧振子的空間（通常是無限維的）。

相應哈密頓量的基態被所有的湮滅算子湮滅：

$$\forall i \qquad a_i |0\rangle = 0.$$

所有激發態都由一些產生算符作用在基態的態的線性組合獲得：

$$\prod_{k=1}^n a_{i_k}^\dagger |0\rangle.$$

可以做線性變換重新定義創建和湮滅算符：

$$a'_i = \sum_j (u_{ij} a_j + v_{ij} a^\dagger_j),$$

其中係數$u_{ij},v_{ij}$必須滿足一定的規則才能保證湮滅算符和生成算符$a^{\prime\dagger}_i$，由Hermitian共軛給出，具有相同的玻色子的對於關係或費米子反對易關係。

上面的等式定義了算子的 Bogoliubov 變換。

被所有$a'_i$作用都等於零的基態不同於原來的基態$|0\rangle$。這裡可以認為是算符或者量子態，二者其一進行了Bogoliubov變換。它們也可以定義為壓縮態。BCS 波函數是費米子壓縮相干態的一個例子。

## 統一的矩陣描述

因為Bogoliubov變換是算符的線性重組，所以將它們寫成矩陣變換更方便簡潔。如果一對湮滅算符$(a, b)$按照下面變化

$$\begin{pmatrix} \alpha\\ \beta \end{pmatrix} = U \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}$$

其中$U$是一個$2\times2$矩陣。那麼自然

$$\begin{pmatrix} \alpha^\dagger\\ \beta^\dagger \end{pmatrix} = U^* \begin{pmatrix} a^\dagger\\ b^\dagger \end{pmatrix}$$

對於費米子算符，對易關係的要求體現在對矩陣$U$的兩個條件，即

$$U= \begin{pmatrix} u & v\\ -v^* & u^* \end{pmatrix}$$

和

$$|u|^2 + |v|^2 = 1$$

對於玻色子算子，對易關係需要

$$U= \begin{pmatrix} u & v\\ v^* & u^* \end{pmatrix}$$

和

$$|u|^2 - |v|^2 = 1$$

這些條件可以統一寫成

$$U \Gamma_\pm U^\dagger = \Gamma_\pm$$

其中

$$\Gamma_\pm = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \pm1 \end{pmatrix}$$

而$\Gamma_\pm$分別適用於費米子和玻色子。

### 使用矩陣描述對角化二次哈密頓量

Bogoliubov變換讓我們通過對角化矩陣$\Gamma_\pm H$ 來對角化二次哈密頓量

$$\hat{H} = \begin{pmatrix} a^\dagger & b^\dagger \end{pmatrix} H \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.$$

在上面的符號中，區分運算符$\hat{H}$和矩陣$H$很重要。這個通過重寫$\hat{H}$看到

$$\hat{H} = \begin{pmatrix} \alpha^\dagger & \beta^\dagger \end{pmatrix} \Gamma_\pm U (\Gamma_\pm H) U^{-1} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$$

而$\Gamma_\pm U (\Gamma_\pm H) U^{-1}=D$若且唯若$U$對角化了$\Gamma_\pm H$，即$U (\Gamma_\pm H) U^{-1} = \Gamma_\pm D$。

下面列出了 Bogoliubov變換的一些有用的性質。

玻色子｜費米子

變換矩陣｜$U=\begin{pmatrix}u & v\\v^* & u^*\end{pmatrix}$｜$U=\begin{pmatrix}u & v\\-v^* & u^*\end{pmatrix}$

逆變換矩陣｜$U^{-1} = \begin{pmatrix}u^* & -v\\-v^* & u\end{pmatrix}$｜$U^{-1}=\begin{pmatrix}u^* & -v\\v^* & u\end{pmatrix}$

伽馬｜$\Gamma = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}$｜$\Gamma = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$

對角化｜$U(\Gamma H) U^{-1} = \Gamma D$｜$U H U^{-1} = D$