升餘弦濾波器

升餘弦濾波器是一種經常用於數位調變的脈衝整形濾波器，它能夠最大限度地減少符碼間干擾（ISI）。之所以會如此命名是因為，該濾波器的最簡形式頻譜（$\beta = 1$）的非零部分為餘弦函數，且被「抬升」至水平軸$f$上方。

## 數學描述

升餘弦濾波器是一種低通奈奎斯特濾波器的實作，即具有殘對稱性的濾波器，這表示它的頻譜呈現約$\frac{1}{2T}$的奇對稱，$T$是通訊系統的符元週期。

其頻域描述為分段定義傳遞函數，由下式給出：

$$H(f) = \begin{cases} <pre> 1, & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\ \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right], & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\ 0, & \text{otherwise} </pre> \end{cases}$$

或以餘的半正矢表示：

$$H(f) = \begin{cases} <pre> 1, & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\ \operatorname{hvc}\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right), & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\ 0, & \text{otherwise} </pre> \end{cases}$$

$$0 \leq \beta \leq 1$$

以兩個值為特徵；滾降係數 $\beta$ 和符元率的倒數$T$。

這種濾波器的脈衝響應由下式給出：

$$h(t) = \begin{cases} \frac{\pi}{4T} \operatorname{sinc}\left(\frac{1}{2\beta}\right), <pre> & t = \pm\frac{T}{2\beta} \\ </pre> \frac{1}{T}\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \left(\frac{2\beta t}{T}\right)^2}, <pre> & \text{otherwise} </pre> \end{cases}$$

以歸一化的sinc函數表示。這裡使用的是通訊領域的定義$\sin(\pi x)/(\pi x )$，而非數學領域所用的定義。

### 滾降係數

滾降係數$\beta$是對濾波器帶寬過量（excess bandwidth）的度量，即所佔帶寬超過奈奎斯特頻寬$\frac{1}{2T}$的部分，有些作者會使用$\alpha$ 表示.

若我們將多餘的頻寬表示為$\Delta f$，則：

$$\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\,\Delta f$$

$R_S = \frac{1}{T}$是符元率。

該圖顯示為$\beta$在0和1之間變化的振幅響應，以及對脈衝響應的相應作用。可以看出，時域的漣波準位會隨著$\beta$減少而增加，這可以減少濾波器的頻寛過量，但只能以伸長脈衝響應為代價。

$$\beta = 0$$

當$\beta$靠近0時，滾降區變得無限窄，因此：

$$\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \operatorname{rect}(fT)$$

$\operatorname{rect}(\cdot)$是矩形函數，所以脈衝響應會趨近$h(t)=\frac{1}{T}\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)$ .因此，在這種情況下，它會收斂到理想或磚牆濾波器。

$$\beta = 1$$

當$\beta = 1$，頻譜的非零部分是純粹的升餘弦，可化簡為：

$$H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix} <pre> \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right], & |f| \leq \frac{1}{T} \\ 0, & \text{otherwise} </pre> \end{matrix} \right.$$

或

$$H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix} <pre> \operatorname{hvc}\left(\pi fT\right), & |f| \leq \frac{1}{T} \\ 0, & \text{otherwise} </pre> \end{matrix} \right.$$

### 頻寬

升餘弦濾波器的頻寬通常定義為其頻譜的非零正頻率部分的寬度，即：

$$BW = \frac{R_S}{2}(\beta+1),\quad(0<\beta<1)$$

### 自相關函數

升餘弦函數的自相關函數如下：

$$R\left(\tau\right) = T \left[\operatorname{sinc}\left( \frac{\tau}{T} \right) \frac{\cos\left( \beta \frac{\pi \tau}{T} \right)}{1 - \left( \frac{2 \beta \tau}{T} \right)^2} - \frac{\beta}{4} \operatorname{sinc}\left(\beta \frac{\tau}{T} \right) \frac{\cos\left( \frac{\pi \tau}{T} \right)}{1 - \left( \frac{\beta \tau}{T} \right)^2} \right]$$

自相關分析可用於分析各種取樣偏移量結果。

## 應用

當用於過濾符元流時，奈奎斯特濾波器具有消除 ISI 的特性，因為除了$n = 0$ 的情形之外，所有$nT$ （$n$是整數）的脈衝響應都是零。

因此，如果傳輸的波形在接收端被正確採樣，原本的符元值就可以完全恢復。

然而，在許多實際的通訊系統，由於受白雜訊之影響，會在接收器中使用匹配濾波器。對於零 ISI，發射和接收濾波器的淨響應必須等於$H(f)$：

$$H_R(f)\cdot H_T(f) = H(f)$$

因此：

$$|H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt{|H(f)|}$$

這些濾波器稱為根升餘弦濾波器。

升餘弦是一種常用於布拉格光纖光柵的變跡濾波器。

## 參考文獻

- Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. .
- Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.
- Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) Comments on "Performance of Asynchronous Band-Limited DS/SSMA Systems" . IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, No. 9

## 外部連結

- Technical article entitled "The care and feeding of digital, pulse-shaping filters" originally published in RF Design, written by Ken Gentile.