直線運動

直線運動，是軌跡為直線的一維運動。直線運動有兩種類型：具有恆定速度或零加速度的勻速直線運動，具有變化速度或非零加速度的變速直線運動。一個粒子的直線運動可以用位移$x$描述，隨時間$t$的變化而變化。運動員沿直線跑100米就是一個直線運動的典型例子。

直線運動是最基本的運動。根據牛頓第一運動定律，不受任何淨力作用的物體會做勻速直線運動或保持靜止，直到它們受到合力作用。通常，引力、摩擦力等外力會改變物體的運動方向，物體的運動從而不能被描述為直線運動。

比較直線運動與一般的運動。在一般運動中，粒子的位移和速度由矢量描述，矢量具有大小和方向。在直線運動中，描述系統的所有矢量的方向相等且恆定，這意味著物體沿同一軸運動且不改變方向。因此，可以忽略所涉及矢量的方向而僅處理大小來簡化對此類系統的分析。

## 位移

物體的所有粒子在同一時間內通過相同距離的運動稱為平移運動。平移運動分為兩種：直線運動、曲線運動。由於直線運動是單一維度的運動，因此物體在特定方向上移動的距離和位移相同。位移的國際單位制單位是米。如果$x_1$是物體的起點，$x_2$是終點，那麼位移由下式得出：

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

位移在旋轉運動中的等價物是角位移$\theta$，單位為弧度。物體的位移不可能大於距離，因為位移也是距離而且是最短的。一個人每天早上走路去上班，下午回家後他的總位移是零，因為他回到了起點，但走過的距離顯然不是零。

## 速度

速度是相對於時間的位移，它是位移相對於時間的變化率。速度是一個矢量，表示運動的方向和大小。速度的大小叫作速率，速率的國際單位是$\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$，即米每秒。

### 平均速度

運動物體的平均速度是它的總位移與運動用的總時間的比值，它粗略地表示物體在一段時間內的運動情況。由下式得出：

$$\mathbf{\overline{v}} = \frac {\Delta \mathbf{x}}{\Delta t} = \frac {\mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1}{t_2 - t_1}$$

其中。

$t_1$是物體位移為$\mathbf{x}_1$時的時間。

$t_2$是物體位移為$\mathbf{x}_2$時的時間。

平均速度的大小$\left|\mathbf{\overline{v}}\right|$叫作平均速率。

### 瞬時速度

相對於平均速度表現有限時間間隔內的整體運動，瞬時速度描述了特定時間點的物體的運動狀態。定義中，時間變化量$\Delta t$趨於零，即速度是位移隨時間變化的時間導數。

$$\mathbf{v} = \lim_{\Delta t \to 0} {\Delta \mathbf{x} \over \Delta t}$$

瞬時速度的大小$|\mathbf{v}|$叫作瞬時速率。

## 加速度

加速度定義為速度相對於時間的變化率。加速度是位移的二階導數，加速度可以通過將位移和時間二次微分或將速度和時間一次微分求出。加速度的國際單位制單位是$\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$，即米每二次方秒。

若$\mathbf{\overline{a}}$表示平均加速度，$\Delta \mathbf{v} = \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1$是速度在時間變化量$\Delta t$中的變化，那麼。

$$\mathbf{\overline{a}} = \frac {\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac {\mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1}{t_2 - t_1}$$

瞬時加速度是$\Delta t$趨近零時的$\Delta \mathbf{v}$和$\Delta t$的比值，即

$$\mathbf{a} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} = \frac {d\mathbf{v}}{dt} = \frac {d^2\mathbf{x}}{dt^2}$$

## 加加速度

加速度的變化率、位移的三階導數稱作加加速度。加加速度的國際單位制單位是$\text{m}\cdot \text{s}^{-3}$。

## 加加加速度

加加速度的變化率、位移的四階導數稱作加加加速度。加加加速度的國際單位制單位是$\text{m}\cdot \text{s}^{-4}$。

## 運動學方程

在加速度恆定的情況下，四個物理量加速度、速度、時間和位移有如下的運動方程。

$$\mathbf{v_{f}} = \mathbf{v_{i}} + \mathbf{a} \mathbf{t}\;\!$$

$$\mathbf{d} = \mathbf{v_{i}} \mathbf{t} + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \mathbf{a} \mathbf{t}^2$$

$${\mathbf{v_{f}}}^2 = {\mathbf{v_{i}}}^2 + 2 {\mathbf{a}} \mathbf{d}$$

$$\mathbf{d} = \tfrac{1}{2} \left(\mathbf{v_{f}} + \mathbf{v_{i}}\right) \mathbf{t}$$

其中，$\mathbf{v_{i}}$是初速度，$\mathbf{v_{f}}$是末速度，$\mathbf{a}$是加速度，$\mathbf{d}$是位移，$\mathbf{t}$是時間。

這些關係也可以用圖像表示。位移–時間圖像上直線的斜率表示速度，而速度–時間圖像上直線的斜率表示加速度，直線和x軸圍成的面積是位移。加速度–時間圖像直線和x軸圍成的的面積是速度。

## 與旋轉運動的比較

下表是比較了質點的直線運動和剛體的定軸旋轉：定軸旋轉一欄中，$\mathbf s$是某一點運動軌跡的弧長，$\mathbf r$是旋轉軸到該點的距離，$\mathbf{a}_\mathbf{t}$是該點的切向加速度，即平行於運動方向的加速度分量；$\mathbf{a}_\mathbf{c}=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r$為垂直於運動方向的向心加速度。平行於運動方向的力的分量，或等效地垂直於連接作用點和軸的線的分量是$\mathbf{F}_\perp$。求和遍歷粒子或作用點$\mathbf j \ = 1$到$N$。

直線運動｜定軸旋轉｜定義方程

位移 = $\mathbf{x}$｜角位移 = $\theta$｜$\theta = \mathbf{s}/\mathbf{r}$

速度 = $\mathbf{v}$｜角速度 = $\omega$｜$\omega= \mathbf{v}/\mathbf{r}$

加速度 = $\mathbf{a}$｜角加速度 = $\alpha$｜$\alpha= \mathbf{a_\mathbf{t}}/\mathbf{r}$

質量 = $\mathbf{m}$｜轉動慣量 = $\mathbf{I}$｜$\mathbf{I}=\sum \mathbf{m_j}\mathbf{r_j}^2$

力 = $\mathbf{F} = \mathbf{m} \mathbf{a}$｜扭矩 = $\tau = \mathbf{I} \alpha$｜$\tau = \sum\mathbf{r_j} \mathbf{F}_\perp\mathbf{_j}$

動量 = $\mathbf{p} = \mathbf{m} \mathbf{v}$｜角動量 = $\mathbf L = \mathbf{I} \omega$｜$\mathbf L = \sum\mathbf{r_j}\mathbf{p}\mathbf{_j}$

動能 = $\frac 1 2\mathbf{m} \mathbf{v}^2$｜動能 = $\frac 1 2\mathbf{I} \omega^2$｜$\frac 1 2 \sum\mathbf{m_j}\mathbf{v}^2 = \frac 1 2 \sum\mathbf{m_j}\mathbf{r_j}^2\omega^2$

## 參考書目

- Resnick, Robert and Halliday, David (1966), Physics, Chapter 3 (Vol I and II, Combined edition), Wiley International Edition, Library of Congress Catalog Card No. 66-11527
- Tipler P.A., Mosca G., "Physics for Scientists and Engineers", Chapter 2 (5th edition), W. H. Freeman and company: New York and Basing stoke, 2003.