標量場論

理論物理學中，標量場論可以指相對論不變的經典或量子的標量場理論。標量場在任何洛倫茲變換下都是不變的。

自然界中唯一觀測到的基本標量量子場是希格斯場。標量量子場也出現在很多物理現象的有效場論描述中，例如π介子，實際上是偽標量。

由於不涉及極化的複雜問題，標量場往往最容易理解二次量子化。所以，標量場論常用於介紹新概念和新技術。

下面所用的度量的符號為。

## 經典標量場論

本節的一般參考文獻是Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. , Ch 1.

### 線性（自由）理論

最基本的標量場論是線性理論。通過場的傅立葉分解，可表示無窮多耦合諧振子的簡正模，其中諧振子的序號i的縮放極限現表示為x。則，相對論不變的標量場論的作用量可寫作

$$\begin{align} <pre> \mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \mathcal{L} \\ &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - \frac{1}{2} m^2\phi^2\right] \\[6pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi \partial_j\phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2\right], </pre> \end{align}$$

其中$\mathcal{L}$稱作拉格朗日密度；${\rm d}^{4-1}x\equiv {\rm d}x\cdot{\rm d}y\cdot{\rm d}z\equiv{\rm d}x^1\cdot{\rm d}x^2\cdot{\rm d}x^3$表示三個空間坐標；$\delta_{ij}$是克羅內克δ函數；$\partial_{\rho}=\partial/\partial x^{\rho}$表示第$\rho$個坐標$x^{\rho}$。

這是二次作用量的一個例子，因為每項都是場φ的二次項。與$m^2$成比例的項有時稱作質量項，這是因為它在量子化版本中被解作粒子質量。

理論的運動方程由極限化上述作用得到，形式如下，與φ呈線性關係：

$$\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi+m^2\phi=\partial^2_t\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0 ~,$$

其中∇2是拉普拉斯算子。這就是克萊因-戈爾登方程，被解釋為經典場方程，而非量子力學波動方程。

### 非線性（相互作用）理論

上述線性理論最常見的推廣是在拉格朗日量中加入標量勢$V(\Phi)$，通常除了質量項之外，V還是$\Phi$的多項式。這種理論有時被稱作相互作用理論，因為歐拉-拉格朗日方程現在是非線性的，意味著自相互作用。最一般的此類理論的作用量是

$$\begin{align} <pre> \mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \mathcal{L} \\[3pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - V(\phi) \right] \\[3pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[ \frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n!} g_n\phi^n \right] </pre> \end{align}$$

如下所述，在量子理論的費曼圖展開中，引入n!因子是有用的。

相應的歐拉-拉格朗日方程是

$$\eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu\phi + V'(\phi) = \partial^2_t \phi - \nabla^2 \phi + V'(\phi) = 0.$$

### 維度分析與縮放

這些標量場論中的物理量可能具有長度、時間或質量維度，或三者的某種組合。

不過，相對論中，任何具有時間維度的量t都可用光速c輕易轉換為長度$l=ct$；任何長度l也可由普朗克常數$\hbar$表示為$\hbar=lmc$。自然單位制中，可以將時間看做長度，將它們看做質量的倒數。

總之可以認為，任何物理量的維度都由一個獨立的維度定義，而非由所有三個維度定義，這通常稱為物理量的質量維。知道了每個量的維度，就可從自然單位表達式中唯一地恢復常規維度，重新插入維度一致所需的$\hbar$與c的冪即可。

可以預想反對意見：這理論是經典理論，因此普朗克常數的地位不明顯。我們確實可以無質量維地重構它，但這會稍微模糊語量子標量場的關係。鑑於有質量維，普朗克常數這裡被認為是本質上隨機地固定的作用參考量（不一定與量子化有關），於是其維度適於在質量和逆長度之間轉換。

#### 縮放維度

φ的經典縮放維度或質量維度Δ描述了坐標縮放變換下的場變換：

$$x\rightarrow\lambda x$$

$$\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.$$

作用量單位與ħ的單位相同，因此作用量本身的質量維為零。這就將場φ的縮放維度固定為

$$\Delta =\frac{D-2}{2}.$$

#### 標度不變性

某些標量場論在某種意義上是標度不變的。雖然上述作用都被構造為零質量維，但並非所有作用都在縮放變換

$$x\rightarrow\lambda x$$

$$\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~$$

下不變。

並非所有作用量都不變，這是因為人們常把參數m、$g_n$視作定值，在上述變換下不變。因此，標量場論具有標度不變性的條件非常明顯：作用量的所有參數都應是無量綱量。即，標度不變理論就是沒有任何固定尺度的理論。

對D維時空的標量場論，唯一的無量綱參數$g_n$滿足$n=\frac{2D}{D-2}$。例如，D=4維時空中，只有$g_4$是經典無量綱的，因此D=4時空中唯一經典標度不變的標準標量場論是無質量的φ4理論。

不過，由於涉及重整化群，經典標度不變通常不意味著量子標度不變，詳見下文貝塔函數的討論。

#### 共形不變性

變換

$$x\rightarrow \tilde{x}(x)$$

若對某函數$\lambda(x)$，滿足

$$\frac{\partial\tilde{x^\mu}}{\partial x^\rho}\frac{\partial\tilde{x^\nu}}{\partial <pre> x^\sigma}\eta_{\mu\nu}=\lambda^2(x)\eta_{\rho\sigma}$$

則稱作共形的。

共形群包含度量$\eta_{\mu\nu}$的等距子群（龐加萊群），以及上文提到的標度變換（或標度不變性）。事實上，前述標度不變理論也是共形不變的。

### φ4理論

φ4理論說明了標量場論中的許多有趣現象。拉格朗日密度為

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 -\frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{g}{4!}\phi^4.$$

#### 自發對稱破缺

這拉格朗日量在變換$\varphi\to-\varphi$下有$\mathbb{Z}_2$對稱性。這是內部對稱性的一個例子，與時空對稱性不同。

若$m^2$為正，勢

$$V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2 +\frac{g}{4!}\phi^4$$

在原點有單一極小值。解$\varphi=0$在$\mathbb{Z}_2$對稱下顯然是不變的。

反之，若$m^2$為負，則很容易看到勢

$$\, V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{g}{4!}\phi^4\!$$

有兩個極小值。這就是所謂雙阱勢，這種理論中，最低能態（量子場論稱作空穴）在$\mathbb{Z}_2$對稱下並不是不變的（實際上會將兩個空穴映射到對方）。這時，$\mathbb{Z}_2$對稱發生自發破缺。

#### 扭狀解

具有負$m^2$的φ4理論也有扭狀解（kink solution），是孤波的典型例子。這種解的形式為

$$\phi(\vec{x}, t) = \pm\frac{m}{2\sqrt{\frac{g}{4!}}}\tanh\left[\frac{m(x - x_0)}{\sqrt{2}}\right]$$

其中x是空間變量之一（φ、t及其他空間變量彼此無關）。解在雙阱勢的兩個不同空穴之間插值。若沒有能量無窮大的解，就無法將扭變形為恆定解，因此扭狀解也稱作穩定解。對D>2（即具有多個空間維度的理論），這種解稱作疇壁（domain wall）。

另一個具有扭狀解的標量場論的著名例子是正弦-戈爾登方程理論。

### 復標量場論

在復標量場論中，標量場在複數中取值。復標量場表示自旋為零的粒子和帶點和的反粒子。通常考慮的作用形式為

$$\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \mathcal{L} = \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*\partial_\nu\phi -V(|\phi|^2)\right]$$

具有U(1)對稱性，等價於O(2)對稱性，對場空間的作用是旋轉$\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$，相角α為實數。

而實標量場，若$m^2$為負，就會發生自發對稱破缺。這產生了戈德斯通的墨西哥帽勢，是實標量場的雙阱勢繞$V(\phi)$軸旋轉2π弧度。對稱性破缺發生在更高維度，即空穴的選擇，打破了連續的U(1)對稱性，而非離散的。標量場的兩分量被重構為大規模模型（massive mode）與無質量戈德斯通玻色子。

### O(N)理論

可用兩個實場表示復標量場論：$\varphi^1={\rm Re}\varphi,\ \varphi^2={\rm Im}\varphi$，在U(1) = O(2)內部對稱的向量表示下進行變換。雖然這些場在內部對稱下轉換為向量，但仍是洛倫茲標量。

這可以推廣到在O(N)對稱的向量表示下變換的N個標量場。O(N)不變的標量場論的拉格朗日量通常是以下形式的：

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\cdot\partial_\nu\phi -V(\phi\cdot\phi)$$

內積需要是適當O(N)不變的。該理論也可用復向量場表示，即$\forall\phi\in\Complex^n$，這時對稱群是李群SU(N)。

### 規範場耦合

標量場論以一種規範不變的方式與楊-米爾斯作用耦合，就得到了超導的金茲堡-朗道方程。這理論的拓撲孤子對應超導體中的渦流；墨西哥帽勢的極小值對應超導體的階參數。

## 量子標量場論

本節的一般參考文獻為Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. , Ch. 4

量子場論中，場與所有可觀測量都表示為希爾伯特空間上的量子算子。這希爾伯特空間建立在真空態上，動力學受到量子哈密頓算符支配，是湮滅真空的正定算符。量子標量場的構造詳見正則量子化條目，依賴於場之間的正則對易關係。根本上，在標量場中作為其（解耦）簡正模組合成的經典諧振子現在以標準方式進行了量子化，於是相應的量子算符場描述了作用於相應福克空間的量子諧振子。

總之，基本變量是量子場φ及其正則動量π。這兩個算子值場都是厄米的。在空間點$\vec{X},\ \vec{y}$、時間相等時，其正則對易關係為

$$\begin{align} <pre> \left[\phi\left(\vec{x}\right), \phi\left(\vec{y}\right)\right] = \left[\pi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= 0,\\ \left[\phi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= i \delta\left(\vec{x} - \vec{y}\right), </pre> \end{align}$$

而自由哈密頓算符則與之相似。

$$H = \int d^3x \left[{1 \over 2}\pi^2 + {1 \over 2}(\nabla \phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2\right].$$

空間傅立葉變換產生動量空間場

$$\begin{align} <pre> \widetilde{\phi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi(\vec{x}),\\ \widetilde{\pi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\pi(\vec{x}) </pre> \end{align}$$

解析為湮滅與創生算子

$$\begin{align} <pre> a(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) + i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right),\\ a^\dagger(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) - i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right), </pre> \end{align}$$

其中$E = \sqrt{k^2 + m^2}$。

算子滿足對易關係

$$\begin{align} <pre> \left[a(\vec{k}_1), a(\vec{k}_2)\right] = \left[a^\dagger(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= 0,\\ \left[a(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= (2\pi)^3 2E \delta(\vec{k}_1 - \vec{k}_2). </pre> \end{align}$$

被所有算子a湮滅的狀態$| 0\rangle$稱作裸真空，對真空施加$a^\dagger(\vec{k})$就會產生動量為$\vec{k}$的粒子。

將所有可能創生算子組合應用於真空，就能構建出相關的希爾伯特空間：這種構造稱作福克空間。真空由哈密頓算符

$$H = \int {d^3k\over (2\pi)^3}\frac{1}{2} a^\dagger(\vec{k}) a(\vec{k})$$

湮滅，其中零點能被Wick排序消除。（見正則量子化）

相互作用可由相互作用哈密頓量實現。對φ4理論，這相當於給哈密頓量添加Wick有序項$g:\ \varphi^4:/4!$，並對x積分。散射振幅可用相互作用繪景中的哈密頓量計算，是由戴森級數在微擾理論中構建的，戴森級數給出了時間有序積或n粒子格林函數$\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle$。格林函數也可從求解施溫格-戴森方程所構建的生成函數中獲得。

### 費曼路徑積分

費曼圖展開也可從費曼路徑積分表述中獲得。φ多項式的時序真空期望值，即n粒子格林函數，是對所有可能的場進行積分，並以無外場時的真空期望值歸一化得到的：

$$\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\}|0\rangle = <pre> \frac {\int \mathcal{D}\phi \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}} {\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}}. </pre>$$

所有這些格林函數都可通過擴展生成函數中$J(x)\varphi(x)$的指數來獲得：

$$<pre> Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right)} = Z[0] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!} J(x_1) \cdots J(x_n) \langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle. </pre>$$

可用威克轉動將時間變為虛數。將符號變為(++++)後，費曼積分即變為歐氏空間中的配分函數：

$$Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{-\int d^4x \left[{1 \over 2}(\nabla\phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2 + {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right]}.$$

通常，這適於定動量粒子的散射，這時傅立葉變換往往有用，可得

$$\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi e^{-\int {d^4p \over (2\pi)^4} \left({1\over 2}(p^2+m^2)\tilde\phi^2-\tilde{J}\tilde\phi+{g \over 4!}{\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)}\right)}.$$

其中$\delta(x)$是狄拉克δ函數。

評估這泛函積分的標準技巧是將其寫成指數因子之積，即

$$\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi \prod_p \left[e^{-(p^2+m^2)\tilde\phi^2/2} e^{-g/4!\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)} e^{\tilde{J}\tilde\phi}\right].$$

後兩個指數因子可展開為冪級數，這種展開的組合可用四次相互作用的費曼圖表示。

g = 0的積分可視作無窮多基本高斯積分之積：結果可用費曼圖之和表示，計算時使用以下費曼法則：

- n點歐氏格林函數中的每個場$\sim\varphi(p)$都由圖中的一條外線（半邊）表示，並與動量p相關聯。
- 每個頂點用因子−g表示。
- 在給定階$g^k$時，所有具有n條外線和k個頂點的圖都是這樣構造的：流入頂點的動量均為零。每條內線表示為傳播子$1(q^2+m^2)$，其中q是流經線的動量。
- 任何無約束動量都對所有值積分。
- 結果除以對稱性係數，即在不改變連通性的前提下，重排圖的線與頂點的方式數。
- 不包括函「真空泡」的圖，即無外線的聯通子圖。

最後一條規則考慮了除以$\sim Z[0]$的影響。閔氏空間的費曼法則與此類似，只是頂點用−ig表示，內線用傳播子$i/(q^2-m^2+i\varepsilon)$表示，$\varepsilon$項代表使{閔氏空間高斯積分收斂的微小威克旋轉。

### 重整化

費曼圖中對無約束動量的積分（稱為「環路積分」，loop integral）通常會發散。這一般用重整化處理，即在拉格朗日量中加入發散的相反項，從而使原拉格朗日量和反項構建的圖收斂。這過程中必須引入重整化標度，耦合常數與質量都取決於它。

耦合常數g在標度$\lambda$上的依賴由β函數$\beta(g)$編碼，定義是

$$\beta(g) = \lambda\,\frac{\partial g}{\partial \lambda} ~.$$

這種對能量標度的依賴稱作「耦合參數的運行」，量子場論中這種系統標度依賴的理論由重整化群描述。

β函數通常用近似方法計算，最常見的是微擾理論，即假定耦合常數很小。然後，便可以對耦合參數進行冪級數展開，並截去高階項（也稱為高環貢獻。與相應費曼圖的環數有關）。

φ4理論的一環β函數（第一微擾貢獻）是

$$\beta(g) = \frac{3}{16\pi^2}g^2 + O\left(g^3\right) ~.$$

最低階項前面的符號為正，表明耦合常數隨著能量增加。這種行為在大規模耦合時若也存在，將表明在有限能量下存在朗道極點，是由量子平凡性引起的。然而，這問題只能以非微擾形式回答，因為涉及強耦合。

當由β函數計算得重整化耦合在紫外截止被移除後歸零時，稱相應的量子場論是平凡的。這樣，傳播子變成了自由粒子的，場不再相互作用。

Michael Aizenman證明，在時空維度D ≥ 5的情形下，φ4相互作用理論是平凡的。

對D = 4，平凡性尚未得到嚴格證明，但晶格計算為此提供了有力證據。這一事實非常重要，因為量子平凡性可用於約束、甚至預測希格斯玻色子質量等量的參數。這也可以導致在漸進安全情形下的可預測希格斯玻色子質量。