柄分解

數學中，m-流形M的柄分解（handle decomposition）是並

$$\emptyset = M_{-1} \subset M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \dots \subset M_{m-1} \subset M_m = M$$ 其中$M_i$都由$M_{i-1}$附加一個i-柄（handle）而來。柄分解之於流形就像CW分解之於拓撲空間—在很多方面，柄分解的目的是得到一種適用於光滑流形情形的類CW復形的語言。因此，i-柄就是i-胞腔的光滑類似物。流形的柄分解是從莫爾斯理論自然產生的。並結構的修改與瑟夫理論密切相關。

## 動機

考慮n-球的標準CW分解，其中有一個零胞腔與一個n-胞腔。從光滑流形的角度來看，這是球面的退化分解，因為沒有自然方法從分解的角度來看$S^n$的光滑結構—尤其是0-胞腔附近的光滑結構取決於特徵映射$\chi : D^n \to S^n$在$S^{n-1} \subset D^n$的鄰域中的行為。

CW分解的問題在於，胞腔的附著映射不屬於流形間的光滑映射。管狀鄰域定理是糾正這一缺陷的萌芽。給定流形M中的點p，其閉管狀鄰域$N_p$微分同胚於$D^m$，因此我們將M分解為沿$N_p$、$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$的共同邊界膠合的不交並。這裡的關鍵問題是，膠合映射是微分同胚映射。同樣，取$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$中的光滑嵌入弧，其管狀鄰域微分同胚於$I \times D^{m-1}$。這樣就可以把M寫成三個流形的並，沿它們一部分邊界膠合：1) $D^m$ 2) $I \times D^{m-1}$ 3) $M \setminus \operatorname{int}(N_p)$中弧的開管狀鄰域的補。注意所有膠合映射都是光滑的，特別是將$I \times D^{m-1}$膠合至$D^m$時，等價關係由$(\partial I)\times D^{m-1}$在$\partial D^m$中的嵌入生成，根據管狀鄰域定理它是光滑的。

柄分解是史蒂芬·斯梅爾的發明。他的最初表述中，將j-柄附著到m-流形M的過程假定有$f : S^{j-1} \times D^{m-j} \to \partial M$的光滑嵌入。令$H^j = D^j \times D^{m-j}$，流形$M \cup_f H^j$（即M沿f並上一個j-柄）是指M與$H^j$的不交並，$S^{j-1} \times D^{m-j}$與其在$\partial M$中的像相等，即$$M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim$$ 其中等價關係$\sim$由$(p,x) \sim f(p,x)$生成，$\forall (p,x) \in S^{j-1} \times D^{m-j} \subset D^j \times D^{m-j}$。

若M的並具有有限多個j-柄，且微分同胚於流形N，則稱N來自在M上附著j-柄。則柄分解的定義與概述中相同。於是，若流形微分同胚於球的不交並，則流形的柄分解將只有0-柄。連通流形只含有兩種柄（即0-柄與j-柄，其中j為定值），也稱作柄體。

## 術語

M並上j-柄$H^j$時。

$$M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim$$

$f(S^{j-1} \times \{0\}) \subset M$稱作被附著球面（attaching sphere）。

f有時也稱作被附著球面的框架（framing），因為它將其法叢平凡化。

$\{0\}^j \times S^{m-j-1} \subset D^j \times D^{m-j} = H^j$是柄$H^j$在$M \cup_f H^j$中的帶球（belt sphere）。

將g個k-柄附著到圓盤$D^m$所得的流形是虧格為g的(m,k)-柄體。

## 配邊演示

配邊W的柄演示中有$\partial W = M_0 \cup M_1$，且有漸進並$$W_{-1} \subset W_0 \subset W_1 \subset \cdots \subset W_{m+1} = W$$ 其中M是m維的，W是m+1維的，$W_{-1}$微分同胚於$M_0 \times [0,1]$，$W_i$來自$W_{i-1}$附著以i-柄。若說柄分解之於流形好比胞腔分解之於拓撲空間，擇配邊的柄演示之於有界流形就好比相關胞腔分解之於空間對。

## 莫爾斯理論觀點

給定緊無界流形M上的莫爾斯函數$f : M \to \R$，使f的臨界點$\{p_1, \ldots, p_k\} \subset M$滿足$f(p_1) < f(p_2) < \cdots < f(p_k)$，並有

$$t_0 < f(p_1) < t_1 < f(p_2) < \cdots < t_{k-1} < f(p_k) < t_k ,$$ 則$\forall j,\ f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$微分同胚於$(f^{-1}(t_{j-1}) \times [0,1]) \cup H^{I(j)}$，其中$I(j)$是臨界點$p_{j}$的指標，是黑塞矩陣為負定的切空間$T_{p_j}M$的最大子空間的維度。

令指標滿足$I(1) \leq I(2) \leq \cdots \leq I(k)$，則這是M的柄分解；由於流形上必有這樣的莫爾斯函數，所以它們都有柄分解。相似地，給定配邊W滿足$\partial W = M_0 \cup M_1$、函數$f: W \to \R$，其在內部是莫爾斯的，在邊界為常數，且滿足指標遞增，則配邊W有誘導柄演示。

若f是M上的莫爾斯函數，則-f也是莫爾斯函數。相應的柄分解/演示稱作對偶分解。

## 主要定理與觀察

- 閉有向3-流形的希加德分裂將3-流形分解為兩(3,1)-柄體沿共同邊界之並，公共邊界稱作希加德分裂面。3-流形的希加德分裂有好幾種自然的產生方式：給定3-流形的柄分解，0、1-柄之交是(3,1)-柄體，3、2-柄的並也是(3,1)-柄體（從對偶分解的角度來看），於是是希加德分裂。若3-流形有三角化T，則有誘導希加德分裂，其中第一個(3,1)-柄體是1-骨架（skeleton）$T^1$的正則鄰域，其他(3,1)-柄體是對偶1-骨架的正則鄰域。
- 相繼附著兩個柄$(M \cup_f H^i) \cup_g H^j$時，有可能切換附著的階，使得$j \leq i$，即此流形微分同胚於形式為$(M \cup H^j) \cup H^i$的流形。
- $M \cup_f H^j$的邊界與沿有框架球f的邊界$\partial M$是微分同胚。這是割補、柄與莫爾斯函數之間的主要聯繫。
- 因此，若且唯若可通過對$S^m$中的有框架連結（framed link）集進行割補，得到m維流形M時，M是m+1維流形W的邊界。舉例，由從René Thom關於配邊的研究，我們知道每個3-流形都是某4-流形的邊界（相似地，有向、有旋的3-流形分別是有向、有旋的4-流形的邊界）。於是，3-流形都可從3-球中有框架連結的割補得到。在有向情形，常規做法是將這種有框架連結簡化為圓的不交並的有框架嵌入。
- h-配邊定理通過簡化光滑流形的柄分解證明。

## 參考文獻

### 通用文獻

- A. Kosinski, Differential Manifolds Vol 138 Pure and Applied Mathematics, Academic Press (1992).
- Robert Gompf and Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus, (1999) (Volume 20 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI