梅森素數與完全數集合

梅森素數與完全數是數論里關係密切的自然數。梅森素數以數學家、神學家、修士馬蘭·梅森命名，是能以1=2甲－1表示、且甲為正整數的質數，如梅森素數3就能寫成1=22－1。梅森素數在上述表達式對應的數1=甲一定是質數，但1=甲是質數不代表得出的結果就是梅森素數，如1=211－1＝2047＝23×89。完全數是等於真因數之和的自然數，真因數即自然數除自身外的因數。如6就是完全數，因數分別是1、2、3、6且1=1＋2＋3＝6。

根據歐幾里得部分證明、萊昂哈德·歐拉完全證明的歐幾里得－歐拉定理可知梅森素數與已知完全數一一對應：只有能換算成公式1=2甲－1×（2甲－1），且1=2甲 − 1是梅森素數的偶數是完全數。以1=甲＝2為例，1=22－1＝3為質數，1=22－1×（22－1）＝2×3＝6為完全數。

梅森素數與完全數是否無窮盡目前還是未解決的數學問題，倫斯特拉－波默朗斯－瓦格斯塔夫猜想的主題便是梅森素數頻率，推斷比x小的梅森素數期望個數為（eγ/log2）×log log x，其中e是歐拉數，γ是歐拉常數，是自然對數。已經發現的完全數都是偶數，但尚未排除存在奇數完全數的可能。已證明奇完全數必滿足某些條件，如不小於101500。

下表列出所有已知梅森素數、完全數及對應指數甲。截至2021年10月共發現51個梅森素數（及對應完全數），最大17個均由網際網路梅森素數大搜索分布式計算項目發現。新梅森素數是用盧卡斯－萊默檢驗法發現，這種梅森素數素性測試可用於二進位電腦。

數字按從小到大排列，如果新發現比現有結果小的梅森素數則插入中間。序號後面的問號說明尚待驗證。截至2021年10月，網際網路梅森素數大搜索已經計算至1=甲＝5820萬4879，即第48個梅森素數以前的所有自然數均已驗證。發現時間和發現人均指梅森素數，完全數按歐幾里得－歐拉定理計算。發現人列為「網際網路梅森素數大搜索：姓名」說明此人擁有的設備採用網際網路梅森素數大搜索找到該數。除前八個不超過十位外，後面的結果都非常長，最長的已有數千萬位；下表僅列出前後各六位，中間以省略號表示。

## 梅森素數與完全數集合

下表列出了所有已知的梅森素數：A000668

下表列出了所有已知的梅森素數指數：A000043

序｜甲｜梅森素數｜梅森素數位數｜對應完全數｜完全數位數｜發現時間｜發現人｜發現方法｜參考

1｜2｜3｜1｜6｜1｜100古代尼科馬庫斯100年左右記下前四個完全數，歐幾里得的《幾何原本》便有完全數、梅森素數的定義和實例，但具體發現年代已不可考。｜古希臘數學家已經知曉｜人手計算

2｜3｜7｜1｜28｜2

3｜5｜31｜2｜496｜3

4｜7｜127｜3｜8128｜4

5｜13｜8191｜4｜33550336｜8｜約1456年伊斯蘭數學家伊斯梅爾·伊本·易卜拉欣·伊本·費盧斯等人可能比歐洲人更早發現第五到第七個完全數。｜不明手稿註明年份1456至1461但沒有署名，現存巴伐利亞國立圖書館，編碼「Clm 14908」。｜試除法

6｜17｜131071｜6｜8589869056｜10｜皮特羅·卡達迪

7｜19｜524287｜6｜137438691328｜12

8｜31｜21億4748萬3647｜10｜230584……952128｜19｜萊昂哈德·歐拉

9｜61｜230京5843兆0092億1369萬3951｜19｜265845……842176｜37｜1883年11月｜伊萬·波佛辛｜盧卡斯數列

10｜89｜618970……562111｜27｜191561……169216｜54｜1911年6月｜拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯｜盧卡斯數列

11｜107｜162259……288127｜33｜131640……728128｜65｜1914年6月

12｜127｜170141183460469231731687303715884105727｜39｜144740……152128｜77｜1876年1月｜愛德華·盧卡斯｜盧卡斯數列

13｜521｜686479……057151｜157｜235627……646976｜314｜1952年1月｜拉斐爾·米切爾·羅賓遜｜電腦採用盧卡斯－萊默檢驗法

14｜607｜531137……728127｜183｜141053……328128｜366

15｜1279｜104079……729087｜386｜541625……291328｜770｜1952年6月

16｜2203｜147597……771007｜664｜108925……782528｜1327｜1952年10月

17｜2281｜446087……836351｜687｜994970……915776｜1373

18｜3217｜259117……315071｜969｜335708……525056｜1937｜1957年9月｜漢斯·黎瑟爾

19｜4253｜190797……484991｜1281｜182017……377536｜2561｜1961年11月｜亞歷山大·赫維茨

20｜4423｜285542……580607｜1332｜407672……534528｜2663

21｜9689｜478220……754111｜2917｜114347……577216｜5834｜1963年5月｜唐納德·吉利斯｜電腦採用盧卡斯－萊默檢驗法

22｜9941｜346088……463551｜2993｜598885……496576｜5985

23｜11213｜281411……392191｜3376｜395961……086336｜6751｜1963年6月

24｜19937｜431542……041471｜6002｜931144……942656｜12003｜1971年3月｜電腦採用盧卡斯－萊默檢驗法｜布萊恩特·塔克曼

25｜21701｜448679……882751｜6533｜100656……605376｜13066｜1978年10月｜藍登·克特·諾爾、蘿拉·尼克爾

26｜23209｜402874……264511｜6987｜811537……666816｜13973｜1979年2月｜藍登·克特·諾爾

27｜44497｜854509……228671｜13395｜365093……827456｜26790｜1979年4月｜電腦採用盧卡斯－萊默檢驗法｜哈里·尼爾森、大衛·斯洛文斯基

28｜86243｜536927……438207｜25962｜144145……406528｜51924｜1982年9月｜大衛·斯洛文斯基

29｜11萬0503｜521928……515007｜33265｜136204……862528｜66530｜1988年1月｜電腦採用盧卡斯－萊默檢驗法｜沃爾特·科爾奎特、盧克·韋爾什

30｜13萬2049｜512740……061311｜39751｜131451……550016｜79502｜1983年9月｜電腦採用盧卡斯－萊默檢驗法｜大衛·斯洛文斯基等人（克雷公司）

31｜21萬6091｜746093……528447｜65050｜278327……880128｜13萬0100｜1985年9月

32｜75萬6839｜174135……677887｜22萬7832｜151616……731328｜45萬5663｜1992年2月

33｜85萬9433｜129498……142591｜25萬8716｜838488……167936｜51萬7430｜1994年1月

34｜125萬7787｜412245……366527｜37萬8632｜849732……704128｜75萬7263｜1996年9月

35｜139萬8269｜814717……315711｜42萬0921｜331882……375616｜84萬1842｜1996年11月｜電腦採用盧卡斯－萊默檢驗法｜網際網路梅森素數大搜索：喬爾·阿蒙古德

36｜297萬6221｜623340……201151｜89萬5932｜194276……462976｜179萬1864｜1997年8月｜網際網路梅森素數大搜索：戈登·斯彭斯

37｜302萬1377｜127411……694271｜90萬9526｜811686……457856｜181萬9050｜1998年1月｜網際網路梅森素數大搜索：羅蘭·克拉克森

38｜697萬2593｜437075……193791｜209萬8960｜955176……572736｜419萬7919｜1999年6月｜網際網路梅森素數大搜索：納揚·哈吉拉特瓦拉

39｜1346萬6917｜924947……259071｜405萬3946｜427764……021056｜810萬7892｜2001年11月｜網際網路梅森素數大搜索：麥可·卡梅隆

40｜2099萬6011｜125976……682047｜632萬0430｜793508……896128｜1264萬0858｜2003年11月｜網際網路梅森素數大搜索：麥可·謝弗

41｜2403萬6583｜299410……969407｜723萬5733｜448233……950528｜1447萬1465｜2004年5月｜網際網路梅森素數大搜索：喬希·芬德利

42｜2596萬4951｜122164……077247｜781萬6230｜746209……088128｜1563萬2458｜2005年2月｜網際網路梅森素數大搜索：馬丁·諾瓦克

43｜3040萬2457｜315416……943871｜915萬2052｜497437……704256｜1830萬4103｜2005年12月｜網際網路梅森素數大搜索：柯蒂斯·庫珀、史蒂文·布恩

44｜3258萬2657｜124575……967871｜980萬8358｜775946……120256｜1961萬6714｜2006年9月

45｜3715萬6667｜202254……220927｜1118萬5272｜204534……480128｜2237萬0543｜2008年9月｜網際網路梅森素數大搜索：漢斯－麥可·埃爾維尼奇

46｜4264萬3801｜169873……314751｜1283萬7064｜144285……253376｜2567萬4127｜2009年6月｜網際網路梅森素數大搜索：奧德·麥格納·斯特林莫

47｜43112609｜316470……152511｜1297萬8189｜500767……378816｜2595萬6377｜2008年8月｜網際網路梅森素數大搜索：埃德森·史密斯

48｜5788萬5161｜581887……285951｜1742萬5170｜169296……130176｜3485萬0340｜2013年1月｜網際網路梅森素數大搜索：柯蒂斯·庫珀

不適用｜6868萬9253｜最低未驗證里程碑（截至西元2024年6月23日）截至2021年10月。

49？｜7420萬7281｜300376……436351｜2233萬8618｜451129……315776｜4467萬7235｜2016年1月｜網際網路梅森素數大搜索：柯蒂斯·庫珀｜電腦採用盧卡斯－萊默檢驗法

50？｜7723萬2917｜467333……179071｜2324萬9425｜109200……301056｜4649萬8850｜2017年12月｜網際網路梅森素數大搜索：喬納森·佩斯

51？｜8258萬9933｜148894……902591｜2486萬2048｜110847……207936｜4972萬4095｜December 2018｜網際網路梅森素數大搜索：派屈克·拉羅什

不適用｜1億1748萬5899｜最低未測試里程碑（截至西元2024年6月23日）

## 外部連結

- 整數數列線上大全：完全數
- 整數數列線上大全：梅森素數
- 整數數列線上大全：對應指數
- 網際網路梅森素數大搜索：梅森素數集合，列出完整數字
- 梅森素數史技術報告，蓋伊·霍沃斯著