連續函數演算

在數學中，特別是在算子理論和C*-代數理論中，連續函數演算是一種允許將連續函數作用於C*-代數中的正規元的函數演算。

在進階的理論中，這種函數演算的應用非常自然，以至於往往它甚至不會被提及。毫不誇張地說，連續函數演算將C*-代數與更一般的巴拿赫代數區分了開來，對於後者只能定義全純函數演算。

## 動機

對於巴拿赫代數 $\mathcal{A}$ 中的成員 $a$，若要將其譜 $\sigma(a)$ 上的多項式函數演算推廣到譜上的連續函數，似乎有一個明顯的思路：依照魏爾施特拉斯逼近定理用多項式來逼近連續函數，然後將多項式中的數換成 $\mathcal{A}$ 中成員 $a$，再證明這些 $a$ 的多項式序列收斂為 $\mathcal A$ 中元素。

譜集 $\sigma(a) \subset \C$ 上的連續函數由 $z$ 和 $\overline{z}$ 的形如 $p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l \; \left( c_{k,l} \in \C \right)$ 的多項式來逼近，其中 $\overline{z}$ 表示 $z$ 的復共軛，而復共軛是複數上的一個對合。在將 $z$ 替換為 $a$ 時，為使 $\overline{z}$ 也有對應，須考慮 $\mathcal{A}$ 為巴拿赫*-代數，即配備了一個對合運算 $*$ 的巴拿赫代數，這時 $\overline{z}$ 就被替換為 $a^*$。由於多項式環 $\C[z,\overline{z}]$ 是交換環，為得到一個 ${\mathbb C}[z,\overline{z}]\rightarrow\mathcal{A}$ 的代數同態，須限制在 $\mathcal A$ 中的正規元（即滿足 $a^*a = aa^*$ 的成員）上。

須保證：若多項式序列 $(p_n(z,\overline{z}))_n$ 在 $\sigma(a)$ 上一致收斂於一連續函數 $f$，則 $\mathcal{A}$ 上的序列 $(p_n(a,a^*))_n$ 收斂於 $f(a)\in\mathcal{A}$。對這個收斂性的問題進行細緻分析之後，就會發現有必要採用C*-代數。這些考量最終將導向所謂的連續函數演算。

## 定義

設有單位元 $e$ 的C*-代數 $\mathcal{A}$ 中有一正規元 $a$，而 $\mathcal C (\sigma(a))$ 是 $a$ 譜集 $\sigma(a)$ 上的連續函數所構成的交換C*-代數。於是存在唯一一個*-同態 $\Phi_a \colon \mathcal C (\sigma(a)) \rightarrow \mathcal{A}$ 滿足 $\Phi_a (\boldsymbol{1}) = e$ 和 $\Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)}) = a$，其中常值函數 $\boldsymbol{1}$ 滿足 $\boldsymbol{1}(z) = 1$， $\operatorname{Id}$ 是恆等映射。

該*-同態 $\Phi_a$ 稱為正規元 $a$ 的連續函數演算，通常也記作 $f(a) := \Phi_a(f)$。

由於*-同態性質，有以下對任意函數 $f,g \in \mathcal C(\sigma(a))$ 與標量 $\lambda,\mu \in \C$ 有效的計算規則：

- $(\lambda f + \mu g)(a) = \lambda f(a) + \mu g(a) \qquad$｜（線性）
- $(f \cdot g)(a) = f (a) \cdot g(a)$｜（乘法）
- $\overline{f}(a) =\colon \; (f^*)(a) = (f(a))^*$｜（對合）

因此，可以同尋常連續函數那樣看待連續函數在正規元上的推廣，它的上述代數運算性質同尋常的連續複函數情況沒有區別。

對於單位元的要求並不是一個強的限制。如果需要，可以添加一個單位元，得到一個擴大了的C*-代數 $\mathcal{A}_1$。對於 $a \in \mathcal{A}$ 和滿足 $f(0) = 0$ 的 $f \in \mathcal C(\sigma (a))$，有 $0 \in \sigma (a)$ 和 $f(a)\in \mathcal{A} \subset \mathcal{A}_1$。

下面給出連續函數演算的存在性和唯一性的證明概要：

設 $C^*(a,e)$ 是 $a$ 和 $e$ 所生成的C*-子代數， $a$ 在 $C^*(a,e)$ 中的譜和在 $\mathcal{A}$ 中時是一樣的，於是證明了 $\mathcal{A} = C^*(a,e)$。實際的構造幾乎直接可從蓋爾范德表示中得出：只需設 $\mathcal{A}$ 是某個緊空間 $X$ 上的連續函數所構成的C*-代數並定義 $\Phi_a(f) = f \circ x$。

考慮到 $\Phi_a(\boldsymbol{1})$ 和 $\Phi_a(\operatorname{Id}_{\sigma(a)})$ 已被固定，由於要求 $\Phi_a$ 為*-同態，它對於所有的多項式 $p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l \; \left( c_{k,l} \in \C \right)$ 來說已經唯一定義。根據魏爾施特拉斯逼近定理，它們構成了 $\mathcal C(\sigma(a))$ 的一個稠密子代數。因此 $\Phi_a$ 是唯一的。

在泛函分析中，常對正規算子 $T$ 的連續函數演算感興趣，即 $\mathcal{A}$ 是希爾伯特空間 $H$ 上的有界算子所構成的C*-代數 $\mathcal{B}(H)$ 的情況。在文獻中，通常僅對此情況的自伴算子的連續函數演算作了證明。在這種情況下，證明不需要用到蓋爾范德表示。

## 性質

### 到子代數的等距同構

連續函數演算 $\Phi_a$ 是到 $a$ 和 $e$ 所生成的C*-子代數 $C^*(a,e)$ 的等距同構，即：

- $$\forall f \in \mathcal C(\sigma(a)),\quad\left\| \Phi_a(f) \right\| = \left\| f \right\|_{\sigma(a)} .$$於是 $\Phi_a$顯然是連續的。
- $$\Phi_a\left( \mathcal C(\sigma(a)) \right) = C^*(a, e) \subseteq \mathcal{A},$$ 也就是說 $C^*(a,e)$ 是連續函數演算的值域。

由於 $a$ 是 $\mathcal{A}$ 中的正規元，由 $a$ 和 $e$ 生成的C*-子代數是一個交換代數。特別地， $f(a)$ 也是一個正規元，且函數演算的所有成員間都對易。

### 與其他函數演算的關係

全純函數演算可無歧義地擴張為連續函數演算。因此，連續函數演算在多項式 $p(z,\overline{z})$ 上重合於多項式函數演算：

$$\forall c_{k,l} \in \C,\quad\Phi_a(p(z, \overline{z})) = p(a, a^*) = \sum_{k,l=0}^N c_{k, l} a^k(a^*)^l,$$ 其中 $p(z, \overline{z}) = \sum_{k,l=0}^N c_{k,l} z^k\overline{z}^l$。

對於 $\sigma(a)$ 上一致收斂於函數 $f \in \mathcal C(\sigma(a))$ 的函數序列 $f_n \in \mathcal C(\sigma(a))$， $f_n(a)$ 收斂於 $f(a)$。對於 $\sigma(a)$ 上絕對且一致地收斂的冪級數 $f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$，就有 $f(a) = \sum_{n=0}^\infty c_na^n$。

### 反函數的連續函數演算

若有 $f \in \mathcal{C}(\sigma(a))$ 和 $g\in \mathcal{ C}(\sigma(f(a)))$，那麼它們的函數演算的複合滿足 $(g \circ f)(a) = g(f(a))$。

設有兩個正規元 $a,b \in \mathcal{A}_N$ 滿足 $f(a) = f(b)$，且無論限制在 $\sigma(a)$ 還是 $\sigma(b)$ 上時 $g$ 都是 $f$ 的反函數，那麼必然有 $a = b$，因為 $a = (f \circ g) (a) = f(g(a)) = f(g(b)) = (f \circ g) (b) = b$。

### 譜映射定理

譜映射定理 $$\forall f \in \mathcal C(\sigma(a)),\quad\sigma(f(a)) = f(\sigma(a))$$ 也成立。

對於 $b \in \mathcal{A}$，若有 $ab = ba$，那麼也有$$\forall f \in \mathcal C ( \sigma (a)),\quad f(a)b = bf(a).$$ 也就是說若 $b$ 與 $a$ 對易，則它也與 $a$ 的在連續函數下的像 $f(a)$ 對易。

### 與*-同態相容

設 $\Psi \colon \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$ 是C*-代數 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 間的保單位元的*-同態，那麼 $\Psi$ 與連續函數演算間的複合是對易的。也就是說：

$$\forall f \in C(\sigma(a)),\quad\Psi(f(a)) = f(\Psi(a)).$$ 特別地，連續函數演算與蓋爾范德表示是對易的。

### 函數性質與像的性質間的關係

利用譜映射定理，具有某些性質的函數可以直接關聯到C*-代數成員的某些性質：

- $f(a)$ 是可逆元若且唯若 $f$ 在 $\sigma(a)$ 上沒有零點。於是有 $f(a)^{-1} = \tfrac{1}{f} (a)$。
- $f(a)$ 是自伴元若且唯若 $f$ 是實值函數，也就是$\sigma(a) \subseteq \{ 0,1 \}$說 $f(\sigma(a)) \subseteq \R$.
- $f(a)$ 是正元（$f(a) \geq 0$）若且唯若 $f \geq 0$，也就是說 $f(\sigma(a)) \subseteq [0,\infty )$.
- $f(a)$ 是么正元，若 $f$ 的值落在復單位圓中。也就是說， $f(\sigma(a)) \subseteq \mathbb{T} = \{ \lambda \in \C \mid \left\| \lambda \right\| = 1 \}.$
- $f(a)$ 是一個投影，若 $f$ 僅取值 $0$ 或 $1$，也就是說 $f(\sigma(a)) \subseteq \{ 0, 1 \}$.

這些斷言的基礎是關於特定元素的譜的結論，這些結論會在一節中展示。

### 有界算子代數的譜

在 $\mathcal{A}$ 是希爾伯特空間 $H$ 上的有界算子所構C*-代數 $\mathcal{B}(H)$ 的特殊情況下，正規算子 $T \in \mathcal{B}(H)$ 的對應特徵值 $\lambda \in \sigma(T)$ 的特徵向量 $v \in H$ 也將是算子 $f(T)$ 關於特徵值 $f(\lambda) \in \sigma(f(T))$ 的特徵向量。設 $Tv = \lambda v$，則 $\forall f \in \sigma(T),\quad f(T)v = f(\lambda)v$。

## 應用

下面給出連續函數演算的眾多應用中一些典型且非常簡單的例子。

### 譜

設 $\mathcal{A}$ 是一個C*-代數而 $a \in \mathcal{A}_N$ 為其中一個正規元，則對於譜 $\sigma(a)$ 有以下結論：

- $a$ 是自伴元若且唯若 $\sigma(a) \subseteq \R.$
- $a$ 是么正元若且唯若 $\sigma(a) \subseteq \mathbb{T} = \{ \lambda \in \C \mid \left\| \lambda \right\| = 1 \}.$
- $a$ 是一個投影若且唯若 $\sigma(a) \subseteq \{ 0, 1 \}$.

正規元 $a \in \mathcal{A}$ 的連續函數演算 $\Phi_a$ 是一個保單位元的*-同態，因此若 $\operatorname{Id} \in \mathcal C( \sigma(a))$ 是自伴的/么正的/投影，則 $a$ 也相應地成為自伴元/么正元/投影。

- $\operatorname{Id}$ 自伴的充要條件是 $$\forall z \in \sigma(a),\quad z = \text{Id}(z) = \overline{\text{Id}}(z) = \overline{z},$$ 即 $\sigma(a)$ 是實的。
- $\text{Id}$ 么正的充要條件是 $$\forall z \in \sigma(a),\quad 1 = \text{Id}(z) \overline{\operatorname{Id}}(z) = z \overline{z} = |z|^2,$$ 即 $\sigma(a) \subseteq \{ \lambda \in \C \ | \ \left\| \lambda \right\| = 1 \}$。
- $\text{Id}$ 成為投影的充要條件是 $$(\operatorname{Id}(z))^2 = \operatorname{Id}}(z) = \overline{\operatorname{Id}(z),$$ 即 $$\forall z \in \sigma(a),\quad z^2 = z = \overline{z},$$ 或者說 $\sigma(a) \subseteq \{ 0,1 \}$。

### 開方

設 $a$ 是 C*-代數 $\mathcal{A}$ 中的正元，那麼對於每一個 $n \in \mathbb{N}$ 存在一個唯一確定的正元 $b \in \mathcal{A}_+$ 滿足 $b^n =a$，即唯一的 $n$ 次方根。

對於每個 $n \in \mathbb{N}$，開方函數 $$f_n \colon \R_0^+ \to \R_0^+\colon x \mapsto \sqrt[n]x$$ 是 $\sigma (a) \subseteq \R_0^+$ 上的連續函數。若通過連續函數演算來定義 $b \; \colon = f_n (a)$，那麼根據連續函數演算的性質有 $$b^n = (f_n(a))^n = (f_n^n)(a) = \operatorname{Id}_{\sigma(a)}(a)=a.$$

根據譜映射定理可知 $$\sigma(b) = \sigma(f_n(a)) = f_n(\sigma(a)) \subseteq [0,\infty),$$ 也就是說 $b$ 是正元。

設有另一正元 $c \in \mathcal{A}_+$ 滿足 $c^n = a = b^n$，則有 $c = f_n (c^n) = f_n(b^n) = b$，因為正實數上的開方函數是函數 $z \mapsto z^n$ 的反函數。

若 $a \in \mathcal{A}_{sa}$ 是自伴元，則至少有：對於每個奇數 $n \in \N$，存在唯一確定的自伴元 $b \in \mathcal{A}_{sa}$ 滿足 $b^n = a$。

類似地，對於C*-代數 $\mathcal{A}$ 中正元 $a$ 和任意 $\alpha \geq 0$， $a^\alpha$ 唯一定義了一個 $C^*(a)$ 中的正元，並滿足 $$\forall\alpha, \beta \geq 0,\quad a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta}.$$ 若 $a$ 是可逆元，則還可以推廣到取負值的 $\alpha$。

### 絕對值

若 $a \in \mathcal{A}$ 且 $a^*a$ 是正元，那麼絕對值可由連續函數演算定義為 $|a| = \sqrt{a^*a}$，因為它在正實數上連續。

設 $a$ 是C*-代數 $\mathcal{A}$ 中的自伴元，則存在正元 $a_+,a_- \in \mathcal{A}_+$，使得 $a = a_+ - a_-$ 和 $a_+ a_- = a_- a_+ = 0$ 成立。$a_+$ 和 $a_-$ 也被稱為正部和負部。此外還有 $|a| = a_+ + a_-$。

函數 $f_+(z) = \max(z,0)$ 和 $f_-(z) = -\min(z, 0)$ 是 $\sigma(a) \subseteq \R$ 上的連續函數且滿足

- $$\operatorname{Id} (z) = z = f_+(z) -f_-(z),$$
- $$f_+(z)f_-(z) = f_-(z)f_+(z) = 0.$$

設 $a_+ = f_+(a), a_- = f_-(a)$，由譜映射定理可知 $a_+$ 和 $a_-$ 是正元，且有：

- $$a = \operatorname{Id}(a) = (f_+ - f_-) (a) = f_+(a) - f_-(a) = a_+ - a_-,$$
- $$a_+ a_- = f_+(a)f_-(a) = (f_+f_-)(a) = 0 = (f_-f_+)(a) = f_-(a)f_+(a) = a_- a_+.$$

此外。

$$f_+(z) + f_-(z) = |z| = \sqrt{z^* z} = \sqrt{z^2},$$ 故$$a_+ + a_- = f_+(a) + f_-(a) = |a| = \sqrt{a^* a} = \sqrt{a^2}.$$

### 么正元

若 $a$ 是有單位元 $e$ 的C*-代數 $\mathcal{A}$ 中的自伴元，那麼 $u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} a}$ 是么正元，其中 $\mathrm{i}$ 表示虛數單位。反過來，若 $u \in \mathcal{A}_U$ 是一個么正元且其譜是復單位圓的真子集（即 $\sigma(u) \subsetneq \mathbb{T}$），那麼存在一個自伴元 $a \in \mathcal{A}_{sa}$ 滿足 $u = \mathrm{e}^{\mathrm{i} a}$。

定義函數 $f \colon \R \to \C,\ x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}$，由於 $a$ 的自伴性使得 $\sigma(a) \subset \R$，那麼 $f$ 在 $a$ 的譜上有定義。取 $u = f(a)$，由於 $f\cdot \overline{f} = \overline{f}\cdot f = 1$，根據函數演算性質可知 $uu^* = u^*u = e$，也就是說 $u$ 是么正元。

對於第二個命題，現在將 $f \colon \R \to \C,\ x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}$ 限制到區間 $[z_0,z_0+2\pi)$ 上（其中 $z_0 \in \R$），從而可以定義其反函數 $g:\mathbb T \to [z_0,z_0+2\pi):\ g(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x})=x$，且 $g$ 在譜集 $\sigma(u)$ 上有定義，且是其上的實值連續函數。那麼它的連續函數函數演算就會將 $u$ 映為自伴元 $a=g(u)$。

### 譜分解定理

設 $\mathcal{A}$ 是一個有單位元的C*-代數，其中有一個正規元 $a \in \mathcal{A}_N$。假設譜由 $n$ 個兩兩不相交的閉子集 $\sigma_k \subset \C,\ (1\leq k\leq n)$ 構成，也就是說 $\sigma(a)=\sigma_1 \sqcup \cdots \sqcup \sigma_n$。那麼就存在投影 $p_1, \ldots, p_n \in \mathcal{A}$，使得下面的命題對任意 $j\geq1,k \leq n$ 都成立：

- 投影的譜滿足 $\sigma(p_k)=\sigma_k.$
- 投影與 $a$ 對易，即 $p_ka=ap_k.$
- 投影是正交的，即 $p_jp_k=\delta_{jk} p_k.$
- 投影之和為單位元，即 $\sum_{k=1}^n p_k = e.$

特別是，有分解 $a = \sum_{k=1}^n a_k$，其中 $\forall 1 \leq k \leq n,\sigma(a_k) = \sigma_k.$

由於 $\sigma_k$ 是閉的，故其指示函數 $\chi_{\sigma_k}$ 在 $\sigma(a)$ 上連續，可以定義其連續函數演算。

令 $p_k := \chi_{\sigma_k} (a)$。

由於 $\sigma_k$ 兩兩不交，有

- $$\chi_{\sigma_j} \chi_{\sigma_k} = \delta_{jk} \chi_{\sigma_k},$$
- $$\sum_{k=1}^n \chi_{\sigma_k} = \chi_{\cup_{k=1}^n \sigma_k} = \chi_{\sigma(a)} = \textbf{1},$$

從而由指示函數的連續函數演算所得的 $p_k$ 滿足性質3、4。

性質2則可由 $$a_k = a p_k = \operatorname{Id} (a) \cdot \chi_{\sigma_k} (a) = (\operatorname{Id} \cdot \chi_{\sigma_k}) (a)$$ 證明。

## 參考資料

- English translation of

## 外部連結

- Continuous functional calculus - PlanetMath