香港高級程度會考純粹數學科

香港高級程度會考純粹數學科(HKALE Pure Mathematics)是昔日一個在香港教育制度內的大學預科高等數學課程，公開考試在1980年至2013年間由香港考試及評核局(HKEAA)舉辦。

## 歷史及概述

課程前身為香港大學入學資格考試(University of Hong Kong Matriculation Examination)純粹數學。

1980年，第一屆由香港考試局（今香港考試及評核局）舉辦的香港高級程度會考純粹數學科考試舉行。

2001年4月，發生試題誤植事件，卷二第8題所提供的函數，把「$6-x$」誤印成「$x-6$」，令題目無法算出。考試局在同月27日檢討補救方法後，決定以不重考但調整考生分數的方式處理該題為試卷二乙部第8題，是一條長題目，要求用微積分描繪一個給定函數的圖像。考生須在乙部6題中選答4題，由於描繪曲線題目的解答方式較機械化，選答該題的考生比例達到98%。題目的(a)(iii)部份，要求考生證明該函數的二階導數等於題目印出的數式，然而所印數式中「$6-x$」誤印成「$x-6$」，以致考生誤以為自己計算錯誤，令不少考生浪費時間檢查。

2012年，最後一屆開放予應屆學校考生參加。

2013年，為自修生舉行的最後一屆香港高級程度會考舉行。

## 課程綱要演變

根據香港數學教育學會(Hong Kong Association for Mathematics Education)的部落格，由於不成文規定，香港大學入學資格考試純粹數學科預科課程歸香港大學管理，最早的考試綱要可追溯至1956年，並未有教學課程及評估指引綱要發佈，任教老師只能參考歷屆試題來自製教材，部分學校出現教學課程內容過多過深的「超教」情況。

響應1986年《教育統籌委員會 第二號報告書》就預科課程所作的建議，香港課程發展議會於1992年制訂《中學課程綱要－純粹數學科 (高級程度) (1992)》，是本科首次有教學用的課程綱要，指出課程旨為將來繼續修讀數學、工程學、科學與科技的學生而設計，前設知識僅是會考程度的數學知識，而無需要修讀附加數學。

香港課程發展議會成立全面檢討幼稚園至預科數學課程的專責委員會——「全面檢討數學課程專責委員會」，該委員會於2000年1月發表《數學課程全面檢討報告》指出，沒有修讀附加數學的學生在學習純粹數學時會遇到極大困難。

教師和學生面臨的困境引起後來2000年代香港數學教育的連串重大改革，包括2004年高級程度純粹數學科的課程修訂及重新整理2000年代高中及預科所有數學課程，旨為減輕師生負擔，為2009年實施的三三四高中教育改革轉型作準備。

2004年，香港課程發展議會編制及發佈《數學教育學習領域－純粹數學科課程及評估指引 (高級程度) (2004)》。

2009年9月，香港教育界實施三三四高中教育改革新學制課程，當中並沒有純粹數學科，教育局總課程發展主任（數學）李柏良在新聞報導上指出，純粹數學科及香港高級補充程度會考數學與統計學的內容跟新學制的香港中學文憑考試數學科延伸部分接近。

2013年後，香港高級程度會考純粹數學科連同香港高級程度會考應用數學科正式走入歷史，其部分核心代數與微積分內容被整合至香港中學文憑考試數學科延伸部分（單元二 M2）中。

### 香港大學入學試純粹數學科考試內容(1992年前)

擬題的數學領域｜擬題的數學概念

數理邏輯｜、數學敘述——定義、公設、定理、引理-推論、悖論、猜想、命題、逆命題及逆否命題、對稱關係命題、不失一般性(w.l.o.g.)、或（$\lor$）、非（$\neg$）、與（$\land$）、真值表、邏輯等價、蘊涵（⇒）、反蘊涵（⇐）、當且僅當(⇔)、邏輯等價、充份條件、必要條件、充分必要條件、量化、全稱量化(∀)、存在量化(∃)、唯一量化(∃!)、數學證明、直接證明、反證法——無理數的證明、反例

初等集合論｜、元素、屬於關係 (∈)、集合及集合代數——併集、交集、補集、差集、笛卡兒積、德摩根定律、對稱差、冪集、空集、文氏圖、勢、數系——自然數集($\mathbb{N}$)、整數集($\mathbb{Z}$)、有理數集($\mathbb{Q}$)、實數集(ℝ)和複數集(ℂ)之間的子集關係($\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}$)、數學歸納法、強數學歸納法

序列及級數｜、等差數列、等比數列；及其通項公式、裂項和、求和符號(Σ)；裂項積、求積符號 (Π)、序列的有限差分、遞迴關係式、封閉形式、特徵方程式、生成函數

組合數學｜、乘法公式(交換律、結合律、分配律)、階乘 (n!)、二項式定理、二項式系數$C^n_r$及其性質(遞迴性質、對稱性、遞增性、極值)；、組合恆等式、帕斯卡三角形、排列與組合的機率問題

函數及映射｜、定義域及值域、陪域、區間、單射、雙射與滿射、奇函數與偶函數、週期函數、復合函數、反函數、初等函數——代數函數、冪函數、有理函數、三角函數及反三角函數(三角恆等式)、指數函數及自然對數($ln$)、分段函數、對稱函數、取整函數、符號函數

方程理論｜、整係數多項式、多項式次數、因式分解、因式定理、餘式定理、不可約多項式、艾森斯坦判別法、多項式除法、綜合除法、多項式輾轉相除法及最大公因數、代數方程、代數基本定理、根、解析解、重根、共軛複根、有理數根定理、根與係數、判別式、笛卡兒符號法則、多項式變換、配方法、一元多項式方程求解——二次方程、三次方程、四次方程、介值定理、費馬引理、次方和對稱多項式、牛頓恆等式、有理函數及垂直漸近線、部分分式分解、黑維塞分式拆解法

抽象代數｜、等價關係（$\sim$）、等價類、定義良好、群(群論)、環、體、矩陣群

複數代數｜、複數四則運算及其代數性質(封閉性、結合性、交換性、存在單位元、存在逆元和分配性)、虛數單位、實部、虛部、共軛複數、輻角、複數模、複數平面上的幾何表達及移動點的軌跡集合、複數模不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式、cis函數、棣莫弗公式及其應用——解一元n次方程、n次單位根、三角恆等式

初等微積分學｜、極限的直觀概念（不包括極限嚴謹定義ε-δ語言）、左極限及右極限、自然對數函數的底數$e$、實數數列極限、無窮級數(幾何級數、冪級數)、無窮序列、無窮乘積、斂散性(收斂、發散，不包括審斂法）、單調性(遞增、遞減）、有界性、單調收斂定理、夾擠定理、不定式及洛必達法則、函數極限、連續函數、左導數、右導數及可微函數、求導法則——導數列表、四則運算(微分的線性、乘積法則、除法定則、倒數定則)、反函數的微分、複合函數的微分(鏈式法則)、隱函數的微分、參數方程和極坐標系方程的微分、對數微分法、高階導數及萊布尼茲法則、羅爾定理、拉格朗日中值定理、微分應用——曲線上某點的切線斜率及法線、函數圖形描繪(截距、漸近線、拐點、駐點、極值)、微積分基本定理、黎曼積分及可積函數、積分上限函數、不定積分（原函數）及積分常數、反常積分、積分第一中值定理、積分表、三角函數積分表、三角換元法、正切半角公式換元法、降次積分法、換元積分法、分部積分法、部分分式積分法、定積分應用——曲線弧長、平面面積、旋轉體的體積(圓盤法和外殼法)及旋轉曲面面積

平面解析幾何｜、笛卡爾坐標系、極坐標系、弦、切線及法線、圓錐曲線——圓、橢圓、拋物線、雙曲線、退化圓錐曲線的各標準方程及參數方程，幾何特徵——離心率、焦點、準線、對稱軸，齊次坐標的矩陣表示及其行列式的判別式

線性代數｜、線性方程組、行向量與列向量、初等變換、階梯形矩陣、高斯消去法、克萊姆法則、矩陣代數運算(矩陣加法)及其代數性質、矩陣乘法及其不可交換性、零矩陣、轉置矩陣、方陣及行列式、薩呂法則、拉普拉斯展開、奇異方陣及非奇異方陣、逆矩陣、單位矩陣、n次冪、線性映射及$\mathbb{R}^2$上的仿射變換及其變換矩陣——平移、旋轉(旋轉矩陣)、反射、縮放、錯切

向量代數及立體解析幾何｜、實數域$\mathbb{R}$的向量空間及其代數性質、維度、零空間、$\mathbb{R}^n$歐幾里得空間、內積空間的向量運算(向量加法定律——三角形定律、平行四邊形定律及多邊形定律、純量乘法)及其代數性質(結合性、存在單位元、存在逆元)、單位向量、零向量、範數、方向餘弦、向量截點公式、、點積(純量投影)、叉積及其反交換律(其範數為平行四邊形的面積)、純量三重積$\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$(平行六面體的體積)、向量三重積$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$、歐幾里得度量、向量恆等式、平行四邊形恆等式、向量範數不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式、線性組合、線性相關性、直線方程表示——一般式、斜截式、二點式(行列式)、參數式、向量式，一點與直線的距離，兩條相交直線的相交點、兩條相交直線的夾角、兩條直線的距離、平面方程表示——一般式、點坐標及法向量、行列式，一點與平面的距離、兩個平面的夾角

不等式｜、三分律、放縮法、絕對值、絕對值不等式、三角不等式、分式不等式、對稱多項式不等式、代數不等式——算術-幾何平均值不等式(反向歸納法的證明)、柯西-施瓦茨不等式

### 1992年

《中學課程綱要–純粹數學科(高級程度)1992》發佈。

《中學課程綱要–純粹數學科(高級程度)1992》

範疇A : 代數｜、單元A1 數學語言、單元A2 函數、單元A3 數學歸納法、單元A4 不等式、單元A5 正整指數的二項式定理、單元A6 多項式及方程、單元A7 $\mathbb{R}^2$及$\mathbb{R}^3$的向量、單元A8 矩陣、單元A9 二元及三元線性方程組、單元A10 複數

範疇B : 微積分與解析幾何｜、單元B1 序列、級數及其極限、單元B2 極限、連續性及可微性、單元B3 微分法、單元B4 微分法的應用、單元B5 積分法、單元B6 積分法的應用、單元B7 解析幾何

### 2004年

《數學教育學習領域－純粹數學科課程及評估指引 (高級程度) (2004)》發佈。

## 擬題

根據香港數學教育學會(Hong Kong Association for Mathematics Education)的期刊《數學教育》(EduMath)，1970年代開始，純粹數學科公開考試以結構式問題(Structured Question)形式擬題(Problem Posing)考核考生對數學基礎的理解、應用及解難(Problem Solving)能力，例如證明命題，推導定理或引理，並著重融會各數學領域之間的關連和數學之美。

早年只有英文版本試題，以下列表以英文為主:

擬題的數學領域｜擬題的數學概念｜試題題號｜備註

正交多項式及多項式序列｜、埃爾米特多項式、勒讓德多項式、切比雪夫多項式｜*

序列及級數｜、Fibonacci polynomials、斐波那契數列、比內公式｜*

實分析｜、上極限和下極限、利普希茨連續、函數項級數、麥克勞林級數、泰勒級數、泰勒公式拉格朗日型餘項、泰勒公式積分型餘項｜*

數學分析｜、富比尼定理｜*

漸近分析｜、漸近分析#漸近等價、史特靈公式｜*

圓周率｜、高斯-勒讓德演算法、巴塞爾問題、Π的萊布尼茨公式、沃利斯乘積、Viète's formula、梅欽類公式、證明22/7大於π｜*

特殊函數｜、高斯積分、歐拉積分、伽瑪函數、Β函數、符號函數 * *｜*

Inequality｜、加權算術－幾何平均值不等式、伯努利不等式、切比雪夫總和不等式、Weierstrass product inequality｜*

李代數及李代數｜、$GL(2, \R)$、李氏括號｜*

算術｜、Nearest integer function｜*

函數方程(Functional Equation)｜、柯西函數方程｜*

數值分析｜、拉格朗日多項式、牛頓法｜*

傅立葉分析｜、帕塞瓦爾恆等式、正交函數｜*

複分析｜、莫比烏斯變換(Möbius transformation)｜*

無理數｜、證明π是無理數、證明e是無理數(Proof that e is irrational)｜*

超越數｜、E的π次方、黃金分割率｜*

組合數學｜、帕斯卡法則、朱世傑恆等式、范德蒙恆等式、多項式定理｜*

Calculus｜、Steiner's calculus problem、積分第一中值定理、積分第二中值定理、Mean of a function、Symmetric derivative、Frullani integral、柯西中值定理、Integral of inverse functions、楊氏不等式、調和級數、歐拉-馬斯刻若尼常數、Euler–Maclaurin formula、P-series、積分判別法｜*

分數微積分｜、Cauchy formula for repeated integration｜*

泛函分析｜、Lp空間、Lp範數 (Lp-Norm)、赫爾德不等式、閔可夫斯基不等式｜*

Operational calculus｜、單位階躍函數｜*

線性代數｜、Vector projection、格拉姆-施密特正交化、極化恆等式｜*

矩陣理論(Matrix Algebra)｜、冪零矩陣、反對稱矩陣、對稱矩陣、正交矩陣、三角矩陣、范德蒙德行列式、跡、相似矩陣、Commuting matrices、凱萊–哈密頓定理、克羅內克積、可對角化矩陣、特徵分解、特徵值和特徵向量、特徵多項式、矩陣多項式｜*

方程理論｜、Cubic equation#Cardano's formula、四次方程、牛頓恆等式、Eisenstein's criterion、高斯-盧卡斯定理｜*

代數曲線｜、心臟線、帕斯卡蝸線、星形線、三尖瓣線、阿基米德螺線｜*

統計學｜、矩｜*

凸分析｜、凸集、凸函數、簡森不等式｜*

## 另見

- 香港中學會考附加數學科
- 香港高級補充程度會考數學與統計學
- 香港高級程度會考應用數學科
- 香港中學文憑考試數學科延伸部分
- 香港高等程度會考高級數學：香港中文大學入學試中的高等數學科
- 梁鑑添：香港高級程度會考純粹數學科參考書作者，香港高級程度會考數學科科務委員會主席
- 郭宇權：香港高級程度會考純粹數學科參考書作者

## 外部連結

- Pure Mathematics Curriculum and Assessment Guide
- 純粹數學科課程及評估指引（高級程度）
- 香港教育局 中學課程綱要－純粹數學科 (高級程度) (1992)
- Education Bureau Syllabuses for Secondary Schools - Pure Mathematics (Advanced Level) (1992)
- 香港考試及評核局 高級程度會考純粹數學
- HKEAA ADVANCED LEVEL PURE MATHEMATICS
- 香港公共圖書館數碼館藏: 香港會考及高考試題特藏 香港高級程度會考 Pure Mathematics 純粹數學