愛因斯坦同步法

愛因斯坦同步（龐加萊–愛因斯坦同步）是以訊號交換來同步位於不同地點時鐘的約定方法。早在19世紀中葉該方法已經為電報員所用，而儒勒·昂利·龐加萊和阿爾伯特·愛因斯坦則進一步的將其用於相對論中，作為同時性的基礎定義。同步約定主要是指慣性座標系下時鐘的同步。

## 愛因斯坦

若一束光訊號由時鐘 A 的時間$\tau_1$開始，從時鐘 A 送至時鐘 B 再反射回來，並在時間 $\tau_2$ 時回到時鐘 A。那麼根據愛因斯坦約定，若時鐘 B 收到訊號時所顯示的時間為 $\tau_3$ 時，時鐘 B 與時鐘 A 同步即定義為：

$\tau_3 = \tau_1 + \tfrac{1}{2}(\tau_2 - \tau_1) = \tfrac{1}{2}(\tau_1 + \tau_2)$

為了使兩個時鐘同步，可以使用第三個時鐘以趨近無限小的速度從時鐘 A 送至時鐘 B 來進行對時調校。另外，愛因斯坦也在他的文獻中提及了許多其他關於時鐘調校的思想實驗。

主要的問題是，同步的時鐘均須要對所有的事件作符合自洽性的時間測量。為了達成此目的，同步必須滿足以下條件：

(a) 同步後的時鐘必須一直保持同步。

(b1) 同步必須滿足自反關係－任何時鐘均需要與自己同步。

(b2) 同步必須滿足對稱關係－若時鐘 A 與時鐘 B 同步，則時鐘 B 也與時鐘 A 同步。

(b3) 同步必須滿足傳遞關係－若時鐘 A 與時鐘 B 同步、且時鐘 B 與時鐘 C 同步，則時鐘 A 也與時鐘 C 同步。

如果 (a) 成立，則當然所有時鐘都是同步的。給定 (a)，則條件 (b1)–(b3) 的成立使得同步法允許我們建立一個全域性的時間函數 t。t 為常數的切面則被稱為等時面。

事實上，條件 (a) 及 (b1)–(b3) 可以由光傳播的物理性質來驗證。不過愛因斯坦當時 (1905) 卻沒進一步提出簡化上述條件的可能性，而只是寫道：「我們假設關於同時性的定義並無矛盾；並且以下的關係 (指 (a) 及 (b1)–(b3)) 在普遍狀況下成立。」

馬克斯·馮·勞厄第一個考察了愛因斯坦同步的自洽性 (當時的紀錄請參考Minguzzi, E. (2011))。

盧迪威格·席柏斯坦在他所著的教科書中也提供了類似的論述，只不過大部分的證明被他留給了讀者作為練習。

漢斯·賴欣巴哈重新討論了馬克斯·馮·勞厄的論證，而最終阿瑟·麥克唐納在他的著作中得到了結論。結果表明，愛因斯坦同步符合前述條件若且唯若以下條件成立：

- (無紅移) 若兩道光訊號從時鐘 A，以時鐘 A 紀錄的時間間隔 $\Delta t$ 分別射向時鐘 B，則時鐘 B 分別收到兩訊號的時間間隔 $\Delta t$ 不變。
- (賴欣巴哈往返條件) 若 ABC 構成一三角形，光束由 A 點出發經由 B 點反射至 C 點再反射回 A 點所花的時間，應該與反向從 C 點至 B 點回來的時間相同。

一但時鐘同步了，單程的光速即可被量測。然而，上面的條件雖然保證了愛因斯坦同步的可行性，卻並沒有帶有光速恆定的假設。我們考慮：

- (勞厄-魏爾往返條件) 若一束光環繞長度為 $L$ 之閉路徑行進，其所需的時間即為 $L / c$。其中，$c$ 為一個獨立於任意路徑的常數。

一個源自於勞厄及魏爾的理論提出－愛因斯坦同步恆可以成立 (即條件 (a)和 (b1)–(b3)成立) 且根據其定義單向光在全座標軸上等速－這樣的情況事實上等價於勞厄－魏爾往返條件。不過，相較之下勞厄－魏爾條件可以只靠著一個時鐘來量測時間、不須倚靠時鐘的同步約定，因此可以實際利用實驗證明的優勢這個給予了其相當的重要性。實際的實驗也證明了任一慣性坐標系中勞厄－魏爾往返條件的確成立。

因為在兩地時鐘同步前量測單向光光速是沒有意義的，多數嘗試量測單向光速的實驗都可以被用來證明勞厄－魏爾往返條件。

很容易被人忘記的是，愛因斯坦同步只是一個約定法，只有在慣性坐標系中才有效。於旋轉坐標系中、甚至於在狹義相對論中，愛因斯坦同步的非遞移性導致其並不再有用。這很明顯可以由以下狀況看出：在旋轉系統中，若時鐘一和時鐘二非直接，而是經過一串中繼的時鐘進行同步，同步的結果將會因中繼時鐘的路徑而有所不同。原因是因為在旋轉的系統中，路徑繞行的不同方向將導致一個一定的同步時間差。此現象可以在及中看到，而現代的全球衛星定位系統也將此現象納入了考量。

賴欣巴哈為愛因斯坦同步約定的有效性提供確實的論證。雖然根據大衛·馬拉門特的論述，愛因斯坦同步約定可以更進一步的由假設因果連結的對稱性而得，不過此論點仍含有爭議性。而此外嘗試取代此約定的論點多數都被認為不再成立。

## 歷史:龐加萊

亨利·龐加萊於1898年所撰的一篇哲學論文中，針對了一些關於愛因斯坦同步的約定特性作了討論。他認為光速在任意方向的恆定性假設有助於簡潔的地解釋物理定律，而對於事件於不同空間位置的同步定義，他亦論證了其最多只具約定性。龐加萊在1900年根據了這些約定，在現今已被取代的框架中提出了以下的約定來定義時鐘的同步：對於乙太具相對速度的 A、B 兩人透過光訊號來同步彼此的時鐘。因為相對性原理，他們各自認為光速在任意方向恆定、且分別相信自己對於乙太是靜止的。也因此，他們只需要由訊號延遲校準之後的時間來確認彼此時鐘的同步即可。

讓我們假設存在不同地點的觀察者們均用光訊號來同步他們的時鐘。當試著調整訊號量測到的時間長時，因為他們都不認為自己具有任何方向的運動，所以都相信自己的光訊號在各方向速度不變。一人自 A 點向 B 運動、另一人則由 B 向 A，各自量測延遲校準過後的訊號。時鐘在調整過後，顯示的時間 $t'$ 由以下方式決定：如果 $V = \frac{1}{\sqrt{K_0}}$ 為光速，且 $v$ 是地球沿 $x$ 軸正方向遠離的速度，則 $t' = t - \frac{v x}{V^2}$。

龐加萊於1904年將同樣的方法描述為：

想像有兩個觀測者藉由光訊號來調正各自的時鐘；他們互相交換訊號，不過因為知道訊號傳遞會有延遲，他們小心地對訊號進行延遲校準。當 B 接收到 A 的訊號，B 的時鐘不應該讀出與 A 送出訊號時相同的時間讀值，而是應該讀出加上了訊號傳遞延遲的時間讀值。舉個例子，假如 A 在時間 0 送出了一個訊號，則如果兩者時鐘同步， B 在收到訊號的時候，其時鐘的讀值$t$即應為訊號傳遞延遲所花的時間。而同樣為了確認，B 也在時間 0 送出了一個訊號，則 A 同步後的時鐘也應在收到訊號的時候顯示 $t$。事實上，如果 A、B 為固定不動的話，兩者的時鐘同樣的時間讀值應代表他們在同一個「瞬間」。不過在其他的情況下，這個「傳遞訊號的延遲」對於兩者會有所不同，例如，A 與 B 同時朝 A 至 B 的方向前進，則 A 隨時都在往前、並早一刻接收 B 所傳遞的訊號，而 B 則在反向逃離 A、因此都會晚一拍才收到訊號。在這情況下同步的時鐘即不會真的同步，而是同步為各自「區域性的時間」－總是有一個時鐘較另一個慢。

## 延伸閱讀

- , Becoming, relativity and locality, in The Ontology of Spacetime, online
- (ed.), The Ontology of Spacetime, Elsevier 2006,
- D. Malament, 1977. "Causal Theories of Time and the Conventionality of Simultaniety," Noûs 11, 293–300.
- Galison, P. (2003), Einstein's Clocks, Poincaré's Maps: Empires of Time, New York: W.W. Norton,
- A. Grünbaum. David Malament and the Conventionality of Simultaneity: A Reply, online
- S. Sarkar, J. Stachel, Did Malament Prove the Non-Conventionality of Simultaneity in the Special Theory of Relativity?, Philosophy of Science, Vol. 66, No. 2
- H. Reichenbach, Axiomatization of the theory of relativity, Berkeley University Press, 1969
- H. Reichenbach, The philosophy of space & time, Dover, New York, 1958
- H. P. Robertson, Postulate versus Observation in the Special Theory of Relativity, Reviews of Modern Physics, 1949
- R. Rynasiewicz, Definition, Convention, and Simultaneity: Malament's Result and Its Alleged Refutation by Sarkar and Stachel, Philosophy of Science, Vol. 68, No. 3, Supplement, online
- Hanoch Ben-Yami, Causality and Temporal Order in Special Relativity, British Jnl. for the Philosophy of Sci., Volume 57, Number 3, pp. 459–479, abstract online

## 外部連結

- Stanford Encyclopedia of Philosophy, Conventionality of Simultaneity (contains extensive bibliography)
- Neil Ashby, Relativity in the Global Positioning System, Living Rev. Relativ. 6, (2003),
- How to Calibrate a Perfect Clock from John de Pillis: An interactive Flash animation showing how a clock with uniform ticking rate can precisely define a one-second time interval.
- Synchronizing Five Clocks from John de Pillis. An interactive Flash animation showing how five clocks are synchronised within a single inertial frame.