構型空間

數學中，構型空間（configuration space）是與物理學中的狀態空間或相空間密切相關的構造，後者將整個系統的狀態描述為高維空間的單點。數學中，這用於描述點集在拓撲空間中的位置分布；更具體地，數學構型空間是幾個非碰撞粒子的物理位形空間的特殊例子。

## 定義

對拓撲空間X和正整數n，令$X^n$為n份X的笛卡兒積，具備積拓撲。X的第n個（有序）構型空間是X中成對不同點的n元組的集合：

$\operatorname{Conf}_n(X) := X^n \smallsetminus \{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in X^n \mid x_i= x_j\ \text{ for some }i\neq j\}.$

這空間通常賦以$\operatorname{Conf}_n(X)$到$X^n$的子空間拓撲，有時也表示為$F(X, n)$、$F^n(X)$、$\mathcal{C}^n(X)$之類。

在$\operatorname{Conf}_n(X)$中的點上有自然的對稱群$S_n$群作用：

$$\begin{align} <pre> S_n\times \operatorname{Conf}_n(X)&\longrightarrow \operatorname{Conf}_n(X) \\ (\sigma,x)&\longmapsto \sigma(x)=(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\ldots,x_{\sigma(n)}). </pre> \end{align}$$

此作用產生了X的第n個無序構型空間。

$$\operatorname{UConf}_n(X) := \operatorname{Conf}_n(X)/S_n,$$

這是該作用的軌道空間。直覺是，這作用「遺忘了點的名字」。無序構型空間有時表為$\mathcal{UC}^n(X)$、 $B_n(X)$、$C_n(X)$等。所有n上的無序構型空間集合就是冉空間（Ran space），具有自然的拓撲結構。

### 其他公式

對拓撲空間X和有限集S，用S標記粒子的X的構型空間是

$$\operatorname{Conf}_S(X) := \{f\mid f\colon S\hookrightarrow X\text{ is injective}\}.$$

$\forall n\in\N$，定義$\mathbf{n}:=\{1,2,\ldots,n\}$，則X的第n個構型空間是$\operatorname{Conf}_{\mathbf{n}}(X)$，簡單表示作$\operatorname{Conf}_n(X).$

## 例子

- $\mathbf{R}^2$中兩點的有序構型空間與歐氏3維空間同圓之積同胚，即$\operatorname{Conf}_2(\mathbf{R}^2)\cong \mathbf{R}^3\times S^1.$
- 更一般地，$\mathbf{R}^n$中兩點的構型空間同倫於球面$S^{n-1}.$
- $\mathbf{R}^2$中n個點的構型空間是第n個辮群的分類空間。

## 與辮群的聯繫

連通拓撲空間X上的n股辮群是

$$B_n(X):=\pi_1(\operatorname{UConf}_n(X)),$$

X的第n個無序構型空間的基本群。X上的n股純辮群是

$$P_n(X):=\pi_1(\operatorname{Conf}_n(X)).$$

最早研究的辮群是阿廷辮群$B_n\cong\pi_1(\operatorname{UConf}_n(\mathbf{R}^2))$。雖然上述定義不是埃米爾·阿廷給出的，但阿道夫·胡爾維茨早在阿廷之前（1891）就已經隱含地將阿廷辮群定義為複平面的構型空間的基本群。

注意$\operatorname{Conf}_n(\mathbf{R}^2)$、$\operatorname{UConf}_n(\mathbf{R}^2)$是$K(\pi,1)$型艾倫伯格–麥克蘭恩空間，平面$\operatorname{UConf}_n(\mathbf{R}^2)$的無序構型空間是阿廷辮群的分類空間；$\operatorname{Conf}_n(\mathbf{R}^2)$是純阿廷變遷的分類空間，此時兩者都被視為離散群。

## 流形的構型空間

若原空間X是流形，則其有序構型空間就是X的冪的開子空間，因此本身也是流形。不同無序點的構型空間也是流形，而不要求不同的無序點的構型空間則是軌形。

構型空間是一種分類空間或（精細）模空間。特別地，有通用叢$\pi\colon E_n\to C_n$，其是平凡叢$C_n\times X\to C_n$的子叢，具有這樣的性質：每個點$p\in C_n$上的纖維是由p分類的X的n元子集。

### 同倫不變性

構型空間的同倫類型並非同倫不變。例如，空間$\operatorname{Conf}_n(\mathbb R^m)$對任意兩個不同的m值來說都不同倫：$\mathrm{Conf}_n(\mathbb{R}^0)$對$n \ge 2$為空，$\operatorname{Conf}_n(\mathbb R)$對$n \ge 2$不連通，$\operatorname{Conf}_n(\mathbb R^2)$為$K(\pi,1)$型艾倫伯格–麥克蘭恩空間，$\operatorname{Conf}_n(\mathbb R^m)$對$m \geq 3$來說是單連通的。

緊流形同倫等價，但其構型空間非同倫等價，這樣流形的存否問題到2005年由Riccardo Longoni & Paolo Salvatore解決。他們發現的例子是兩個3維透鏡空間，及至少含兩個點的構型空間。由後者各自的萬有覆蓋的梅西積可發現，它們不是同倫等價的。單連通閉流形的構型空間的同倫不變性在一般情況下仍是開放的，已經證明在基域$\mathbf{R}$上成立。還證明了維數至少為4的單連通緊流形（且具有單連通邊界）的實同倫不變性。

## 圖的構型空間

有些結果與圖的構型空間有關，可能與機器人學及運動規劃有聯繫：可以想像把幾個機器人放在軌道上，並試圖不碰撞地將它們導航到不同位置。軌跡對應圖（的邊），機器人對應粒子，成功導航對應圖構型空間中的一條路徑。

對任意圖$\Gamma$，$\operatorname{Conf}_n(\Gamma)$是$K(\pi,1)$型艾倫伯格–麥克蘭恩空間，並強形變收縮到維數為$b(\Gamma)$的CW復形，當中$b(\Gamma)$是度至少為3的頂點數。另外，$\operatorname{UConf}_n(\Gamma)$與$\operatorname{Conf}_n(\Gamma)$形變收縮到維數不大於$\min(n, b(\Gamma))$的曲率非正立方復形。

## 機械聯動裝置的構型空間

還可以定義機械聯動裝置的構型空間，以圖$\Gamma$為其底幾何。通常假定這種圖由剛性杆與鏈構成，其構型空間被定義為具有規範測度（proper metric）歐氏空間中所有可容位置的總和。一般聯動裝置的構型空間是光滑流形，例如對旋轉關節連接的n根剛性杆的平凡平面聯動系統，其構型空間是n維環面$T^n$。

此類構型空間中最簡單的奇異點是齊性二次超曲面上的圓錐與歐氏空間之積。這種奇異點見於可分為兩子鏈的連結中，各自的端點軌跡非橫斷地相交，例如可對齊（align）鏈路（即完全摺疊為一條線）。

## 緊化

不同點的構型空間$\operatorname{Conf}_n(X)$不是緊的，兩端是匯。很多幾何應用都要求緊空間，所以很有必要緊化$\operatorname{Conf}_n(X)$，即將其嵌入具有合適性質的緊空間，成為開子集。拉烏爾·博特和克利福德·陶布斯以及威廉·富爾頓和Robert MacPherson都提出了解決這一問題的方法。