七維叉積

在數學中，七維叉積是七維空間的向量的雙線性算子。對於任何兩個向量a、b在，其叉積a × b也在。七維叉積和三維叉積相似在於，它們滿足反交換律且a × b正交於a和b；不同在於，七維叉積不滿足雅可比恆等式。雖然每對三維向量只有一個叉積（不辨正負），但每對七維向量可以有很多叉積。七維叉積與八元數的關係和三維叉積與四元數的一樣。

七維叉積是將三維以外的叉積廣義化的一個方式，而它和三維叉積是唯二結果為向量、正交於兩個向量，且大小與三維情況相同的二元雙線性向量積。在其他維度中，一些結果為向量的向量積滿足這些條件，但它們是三個或以上的向量的運算；也有一些結果為二重向量的二元積。

## 乘法表

×｜e1｜e2｜e3｜e4｜e5｜e6｜e7

e1｜0｜e3｜−e2｜e5｜−e4｜−e7｜e6

e2｜−e3｜0｜e1｜e6｜e7｜−e4｜−e5

e3｜e2｜−e1｜0｜e7｜−e6｜e5｜−e4

e4｜−e5｜−e6｜−e7｜0｜e1｜e2｜e3

e5｜e4｜−e7｜e6｜−e1｜0｜−e3｜e2

e6｜e7｜e4｜−e5｜−e2｜e3｜0｜−e1

e7｜−e6｜e5｜e4｜−e3｜−e2｜e1｜0

七維叉積可以用乘法表表示。凱萊所提供的乘法表顯示正交規範基向量ei和ej（其中i和j從1到7）的叉積。例如，由該表可知。

$$\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3 =-\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_1$$

乘法表可以用來計算任意兩個向量的叉積。例如，如果要計算x × y的e1部分，我們可以選出叉積等於e1的基向量：

$\left( \mathbf{ x \times y}\right)_1 = x_2y_3 - x_3y_2 +x_4y_5-x_5y_4 + x_7y_6-x_6y_7$。

重複這個步驟，便可以計算其餘六個部分。

七維叉積有480個乘法表，每個都對應一個滿足定義的叉積。以上乘法表可以用以下關係總結：

$\mathbf{e}_i \mathbf{\times} \mathbf{e}_j = \varepsilon _{ijk} \mathbf{e}_k$。

其中$\varepsilon _{ijk}$是一個完全反對稱張量；當ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365時，$\varepsilon _{ijk}$的值為+1。

該表左上的3 × 3區域代表三維的叉積。

## 定義

歐幾里得空間V中的叉積是V × V到V的雙線性映射，將V中的向量x和y映射到V中的x × y，其中x × y具有以下性質：

$$\mathbf{x} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \cdot \mathbf{y}=0$$

$$|\mathbf{x} \times \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 |\mathbf{y}|^2 - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})^2$$

其中(x·y)為歐幾里得點積，而|x|為歐氏範數。

第一個性質表明叉積垂直於其運算數，而第二個性質提供叉積的大小。設向量的夾角為θ，則表示式可以表達為

$|\mathbf{x} \times \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}| \sin \theta$。

而它就是x和y的平面中鄰邊為x和y的平行四邊形的面積。大小條件的第三個表示式是

若$\left( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \right)= 0$，則$|\mathbf{x} \times \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|$

（如果假設x × x = 0是另一個公理。）

## 定義性質的內涵

已知雙線性、正交和大小的性質，非零叉積僅存在於三維和七維。如果假定叉積所需的性質，然後推斷一個只在0、1、3和7維滿足的方程式，我們便可得出這個結論。零維只有零向量，而一維的所有向量都是平行的，所以零維和一維的叉積必定等於零。這個維度限制與胡爾維茲定理有關：賦範可除代數只能存在於1、2、4和8維。如果將代數限制在0、1、3或7個虛維度，叉積則可以由賦範可除代數的積形成，而非零叉積僅存在於三維和七維。

三維叉積是唯一的（不辨正負），但任何一對七維向量都有很多叉積。設一對向量x和y$\isin \mathbb{R}^7$和任一向量v，其中|v| = |x

sin θ且v在垂直於x和y的五維空間中。通過乘法表（和一個有關的基向量集），我們可以求出一個叉積使得x × y = v。不像三維叉積一樣，x × y = a × b不代表a和b位於x和y所在的平面。

根據定義，我們有以下性質和恆等式：

- $$\mathbf{x} \times \mathbf{y} = -\mathbf{y} \times \mathbf{x}$$
- $$\mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) = \mathbf{y} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = \mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y})$$
- $$(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times (\mathbf{x} \times \mathbf{z}) = ((\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z}) \times \mathbf{x} + ((\mathbf{y} \times \mathbf{z}) \times \mathbf{x}) \times \mathbf{x} + ((\mathbf{z} \times \mathbf{x}) \times \mathbf{x}) \times \mathbf{y}$$
- $\mathbf{x} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = -|\mathbf{x}|^2 \mathbf{y} + (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{x}$。

一些性質成立於三維但不成立於七維，包括：

- $$\mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z}$$
- $$\mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \ne 0$$

由於雅可比恆等式不成立，七維叉積使R7不具有李代數的結構。

## 坐標表示式

為定義某特定叉積，我們可以選定一個標準正交基{ej}和一個提供{ei × ej}全部的積的乘法表。乘法表一節只展示其中一個乘法表。七維叉積有很多乘法表，因為每對單位向量垂直於五個其他單位向量，所以每個叉積都有很多選擇。

確立一個乘法表後，我們可以將它應用於一般向量x和y：以基向量表示x和y，然後根據二線性展開x × y。

×｜e1｜e2｜e3｜e4｜e5｜e6｜e7

e1｜0｜e4｜e7｜−e2｜e6｜−e5｜−e3

e2｜−e4｜0｜e5｜e1｜−e3｜e7｜−e6

e3｜−e7｜−e5｜0｜e6｜e2｜−e4｜e1

e4｜e2｜−e1｜−e6｜0｜e7｜e3｜−e5

e5｜−e6｜e3｜−e2｜−e7｜0｜e1｜e4

e6｜e5｜−e7｜e4｜−e3｜−e1｜0｜e2

e7｜e3｜e6｜−e1｜e5｜−e4｜−e2｜0

如果我們為e1至e7指定另一個乘法表，根據反交換律，所得的叉積為：

$$\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_4, \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_1, \quad \mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2,$$

$$\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_5, \quad \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3,$$

$$\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_6, \quad \mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_4,$$

$$\mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_7, \quad \mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_4, \quad \mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_5,$$

$$\mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_1, \quad \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_5, \quad \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_6,$$

$$\mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_6, \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_7,$$

$\mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_7, \quad \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_1$。

這個規則可以簡化為

$$\mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+1} = \mathbf{e}_{i+3}$$

其中i = 1...7 mod 7，而指數i、i + 1和i + 3可以循環移位。與反交換律結合，這個規則代表叉積。它直接產生乘法表中與零的對角線相鄰的兩個對角線。此外，根據內涵一節的一個恆等式。

$\mathbf{e}_i \times \left( \mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+1}\right) =-\mathbf{e}_{i+1} = \mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+3}$。

這個規則能產生其他對角線，如此類推。

如果要求出叉積x × y的ej部分，我們可以選定乘法表中所有出現的ej，然後收集左行的對應x部分和上列的對應y部分，結果為：

$$\begin{align}\mathbf{x} \times \mathbf{y} <pre> = (x_2y_4 - x_4y_2 + x_3y_7 - x_7y_3 + x_5y_6 - x_6y_5)\,&\mathbf{e}_1 \\ {}+ (x_3y_5 - x_5y_3 + x_4y_1 - x_1y_4 + x_6y_7 - x_7y_6)\,&\mathbf{e}_2 \\ {}+ (x_4y_6 - x_6y_4 + x_5y_2 - x_2y_5 + x_7y_1 - x_1y_7)\,&\mathbf{e}_3 \\ {}+ (x_5y_7 - x_7y_5 + x_6y_3 - x_3y_6 + x_1y_2 - x_2y_1)\,&\mathbf{e}_4 \\ {}+ (x_6y_1 - x_1y_6 + x_7y_4 - x_4y_7 + x_2y_3 - x_3y_2)\,&\mathbf{e}_5 \\ {}+ (x_7y_2 - x_2y_7 + x_1y_5 - x_5y_1 + x_3y_4 - x_4y_3)\,&\mathbf{e}_6 \\ {}+ (x_1y_3 - x_3y_1 + x_2y_6 - x_6y_2 + x_4y_5 - x_5y_4)\,&\mathbf{e}_7 </pre> \end{align}$$

### 其他乘法表

本條目使用了兩個乘法表，但七維向量乘法表不止這些。這些乘法表可以用法諾平面總結。法諾平面底下的數字表示七個不同叉積的指數集合，其中ijk → ei × ej = ek。我們可以根據連接任意三點的直線或中心的圓，加上箭頭所代表的正負，得出法諾圖所代表的乘法表。例如，第二個乘法表中的e1結果由第二個法諾圖中連接e1的三個路徑得出：圓路徑e2 × e4、斜路徑e3 × e7和邊路徑e6 × e1 = e5。根據上述其中一個恆等式，第三個算式可以寫成：

$$\mathbf{e}_6 \times \left( \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_1 \right) = -\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_5$$

或

$$\mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_6 =\mathbf{e}_1$$

此外，在法諾圖中，一條直線上的任意兩個單位向量與該直線上的第三個單位向量有叉積關係，且正負取決於箭頭（單位向量的排列）。

考慮到基向量的所有可能排列，總共有480個乘法表，所以總共有480種叉積。

### 利用幾何代數

叉積也可以用幾何代數計算。叉積以外積（exterior product）開始，而外積是結果為二重向量的兩個向量的積：

$\mathbf{B} = \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} = \frac{1}{2}(\mathbf{xy} - \mathbf{yx})$。

外積是雙線性的，滿足交錯性且具有所求的大小，但結果不是向量。向量和叉積由這個二重向量的積或三重向量得出。三維中只有一個三重向量（不辨縮放因子），也就是該空間的贗純量。上述二重向量與其中一個單位三重向量的積則是該二重向量的對偶。

七維也有類似的計算方式，但由於三重向量組成一個35維空間，我們可以使用很多三重向量，但不是所有三重向量都有用。其積等於上述坐標變換的三重向量是

$\mathbf{v} = \mathbf{e}_{124} + \mathbf{e}_{235} + \mathbf{e}_{346} + \mathbf{e}_{457} + \mathbf{e}_{561} + \mathbf{e}_{672} + \mathbf{e}_{713}$。

與外積結合，得叉積為

$$\mathbf{x} \times \mathbf{y} = -(\mathbf{x} \wedge \mathbf{y}) ~\lrcorner~ \mathbf{v}$$

其中$\lrcorner$是幾何代數的左縮併（left contraction）算子。

## 與八元數的關係

就像三維叉積可以用四元數表示，七維叉積可以用八元數表達。建立$\mathbb{R}^7$與虛八元數（$\mathbb{O}$中實數線的正交補）的關係後，叉積由以下方程以八元數乘法表示：

$\mathbf x \times \mathbf y = \mathrm{Im}(\mathbf{xy}) = \frac{1}{2}(\mathbf{xy}-\mathbf{yx})$。

相反，設V為一個叉積為某向量的七維歐幾里得空間，則我們可以在$\mathbb{R} \oplus V$上定義一個雙線性乘法如下：

$(a,\mathbf{x})(b,\mathbf{y}) = (ab - \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}, a\mathbf y + b\mathbf x + \mathbf{x}\times\mathbf{y})$。

因此，具有該乘法的空間$\mathbb{R} \oplus V$與八元數同構。

叉積僅存在於三維和七維，因為我們必然可以在高一個維度的空間定義乘法，而該空間需要得證為賦範可除代數。根據胡爾維茲定理，此類代數僅存在於1、2、4和8維，所以叉積必定存在於0、1、3和7維。零維和一維的叉積必然等於零，所以叉積僅存在於三維和七維。

七維叉積之所以不能滿足雅可比恆等式，是因為八元數不滿足交換律。事實上。

$$\mathbf{x}\times(\mathbf{y}\times\mathbf{z}) + \mathbf{y}\times(\mathbf{z}\times\mathbf{x}) + \mathbf{z}\times(\mathbf{x}\times\mathbf{y}) = -\frac{3}{2}[\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z]$$

其中x, y, z是結合子。

## 旋轉

在三維，叉積在旋轉群SO(3)的作用下保持不變，所以x和y被旋轉後，它們的叉積是x × y被旋轉後的像。然而，這個不變性不適用於七維：叉積在七維旋轉群SO(7)的作用下並非不變，但它在SO(7)的子群G2 (數學)李群下不變。

## 廣義化

非零二元叉積僅存在於三維和七維。如果取消二元積的限制，其他維度也可以有叉積。

$\mathbb{R}^n$

我們要求叉積是多重線性且滿足交錯性的，而且結果是一個正交於所有輸入向量ai的向量。由正交的規定得知，在n維中，叉積最多只能接受n − 1個向量。叉積的大小應該等於以這些向量為邊的超平行體的體積，而它可以用格拉姆行列式計算。叉積的條件是：

- 正交：$$\left( \mathbf{a}_1 \times \ \cdots \ \times \mathbf{a}_k\right) \cdot \mathbf{a}_i = 0$$對於$i = 1,\ \dots\ , k$。
- 格拉姆行列式：$$|\mathbf{a}_1 \times \cdots \times \mathbf{a}_k |^2 = \det (\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j) = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_k\\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_k\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_k\\ \end{vmatrix} <pre>$$

格拉姆行列式是以a1, ..., ak為邊的超平行體的體積的平方。

考慮到這些條件，非零叉積

- 在三維和七維中是二元積。
- 在n ≥ 3維中是n − 1個向量的積，而它是這些向量的外積的霍奇對偶。
- 在八維中是三個向量的積。

在八維中，三個向量的叉積可以用以下方程求出：

$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) ~\lrcorner~ (\mathbf{w} - \mathbf{ve}_8)$$ 其中v是七維所用的三重向量，$\lrcorner$是左縮併算子，而w = −ve12...7是一個4-向量。

除此之外，如上文所述，零叉積存在於一維和零維。偶數維度也有其他「叉積」。它是一元函數，用適當的二重向量通過左縮併，輸出一個垂直於輸入向量但大小與其相同的向量。在二維中，這個運算相當於將向量經90度旋轉。

我們也可以解除多線性和大小的限制，考慮一個一般連續函數$V^d \to V$（其中$V$是賦有歐幾里得內積的$\mathbb{R}^n$且$d \geq 2$），它是滿足以下兩個性質的唯一條件：

- 叉積必定垂直於所有輸入函數。
- 如果輸入函數線性無關，則其叉積必定非零。

應用這些限制後，叉積只存在於$n = 3, d = 2$；$n = 7, d = 3$；$n = 8, d = 3$；和$d = n - 1$的情況中。