模層

數學中，賦環空間$(X,\ O)$上O-模的層或O-模是層F，使得對開的$U\subseteq X$，$F(U)$是$O(U)$-模，$F(U)\to F(V)$的限制映射與$O(U)\to O(V)$的限制映射相容：$\forall f\in O(U),\ s\in F(U)$，fs的限制是f的限制乘以s的限制。

標準情況是當X是概形，O是其結構層。若O是常層$\underline{\mathbf{Z}}$，則O-模的層等同於阿貝爾群層（即阿貝爾層）。

若X是環R的主譜，則R-模會自然地確定一個$O_X$-模，稱作相關層。相似地，若R是分次環，X是R的射影構造，則分次模會自然地確定一個$O_X$-模。這樣產生的$O_X$-模是准凝聚層的例子，事實上在仿射與射影概形上，所有準凝聚層都可這樣生成。

賦環空間上的模層形成阿貝爾範疇。而且這範疇有足內射（enough injective），因此定義了層上同調$\operatorname{H}^i(X, -)$，為全局截面函子$\Gamma(X, -)$的第i右導出函子。

## 例子

- 給定賦環空間$(X,\ O)$，若F是O的O-子模，則稱之為O的理想層，因為對開的$U\subseteq X$，$F(U)$是環$O(U)$的理想。
- 設X為n維光滑簇，則X的切層是餘切層$\Omega_X$的對偶，規範層$\omega_X$是$\Omega_X$的n次外冪。
- 代數層是模層，也是環層。

## 運算

設$(X,\ O)$為賦環空間。若F和G都是O-模，則它們的張量積

$F \otimes_O G$ or $F \otimes G$,

也是O-模，與預層$U \mapsto F(U) \otimes_{O(U)} G(U)$相關聯（計算$O(1) \otimes O(-1) = O$的全局截面，其中$O(1)$是射影空間上的塞爾扭曲層，如此可知層化是不可避免的）。

同樣，若F、G都是O-模，則

$$\mathcal{H}om_O(F, G)$$

表示作為層$U \mapsto \operatorname{Hom}_{O|_U}(F|_U, G|_U)$的O-模。

$$\mathcal{H}om_O(F, O)_x \to \operatorname{Hom}_{O_x} (F_x, O_x),$$

特別地，O-模

$$\mathcal{H}om_O(F, O)$$

稱作F的對偶模，記作$\check F$。注意：對任意O-模E、F，都有規範同態

$\check{E} \otimes F \to \mathcal{H}om_O(E, F)$,

若E是秩有限的局部自由層，則就是同構。特別地，若L局部自由且秩為1（稱這樣的L是可逆層或線叢）。

$F \otimes G \simeq O$

則有

$$\check{L} \otimes L \simeq O,$$

這意味著可逆層的同構類構成群，稱作X的皮卡第群，規範等同於第一上同調群$\operatorname{H}^1(X, \mathcal{O}^*)$（由標準的切赫上同調論證）。

若E是秩有限的局部自由層，則有配對給出的O-線性映射$\check{E} \otimes E \simeq \operatorname{End}_O(E) \to O$，稱作E的跡映射。

對任意O-模F，其張量代數、外代數和對稱代數的定義方式類似。例如，k次外冪

$$\bigwedge^k F$$

是與預層$U \mapsto \bigwedge^k_{O(U)} F(U)$相關聯的層。若F是秩為n的局部自由層，則$\bigwedge^n F$稱作F的行列式（determinant）線叢（嚴格說是可逆層），記作${\rm det}(F)$。有自然的完美配對：

$$\bigwedge^r F \otimes \bigwedge^{n-r} F \to \det(F).$$

設$f(X,\ O)\to(X',\ O')$是賦環空間之間的態射。若F是O-模，則直像層$f_* F$通過自然映射$O'\to f_* O$是O-模（這樣的自然映射是賦環空間態射數據的一部分）。

若G是O-模，則G的模逆像$f^* G$是作為模的張量積的O-模：

$$f^{-1} G \otimes_{f^{-1} O'} O$$

其中$f^{-1} G$是G的逆像層，$f^{-1} O' \to O$由伴隨從$O' \to f_* O$得到。

$f_*$和$f^*$之間有伴隨關係：對任意O-模F、O-模G。

$$\operatorname{Hom}_{O}(f^* G, F) \simeq \operatorname{Hom}_{O'}(G, f_*F)$$

是阿貝爾群。還有射影公式：對O-模F、秩有限的局部自由O-模E。

$$f_*(F \otimes f^*E) \simeq f_* F \otimes E.$$

## 性質

令$(X,\ O)$是賦環空間。O-模F，若有O-模的滿射：

$$\bigoplus_{i \in I} O \to F \to 0.$$

則稱F是由全局截面生成的。明確地說，這意味著存在F的全局截面$s_i$使得$s_i$在每個莖$F_x$中的像生成了作為$O_X$-模的$F_x$。

代數幾何中，R-模M（R是任意交換環）與環的譜${\rm Spec}(R)$相關聯，就是這種層的一個例子。

另一個例子：據嘉當定理A，施坦流形上的凝聚層都是由全局截面張成的（參下列塞爾定理A）。在概形論中，一個相關概念是充足線叢（ample line buldle，例如若L是充足線叢，那麼它的某個冪是由全局截面生成的）。

內射O-模是弛的（flasque，即所有限制映射$F(U)\to F(V)$都是滿射）。由於弛層在阿貝爾層範疇中是非周期性的，所以O-模範疇中的全局截面函子$\Gamma(X, -)$的第i右導出函子與通常的阿貝爾層範疇中的第i層上同調相重合。

## 與模相關聯的層

令M是環A上的模。置$X=\operatorname{Spec}(A)$ and write $D(f) = \{ f \ne 0 \} = \operatorname{Spec}(A[f^{-1}])$。對每對$D(f) \subseteq D(g)$，根據局部化的泛性質，有自然映射

$$\rho_{g, f}: M[g^{-1}] \to M[f^{-1}]$$

有性質$\rho_{g, f} = \rho_{g, h} \circ \rho_{h, f}$。則

$$D(f) \mapsto M[f^{-1}]$$

是對象為集合$D(f)$、態射為集合包含的範疇，到阿貝爾群範疇的反變函子。可以證明它實際上是B-層（即其滿足膠合公理），於是定義了X上的層$\widetilde{M}$，稱作與M相關聯的層。

最基本的例子是X上的結構層，即$\mathcal{O}_X = \widetilde{A}$。此外，$\widetilde{M}$具有$\mathcal{O}_X = \widetilde{A}$-模的結構，因此可得到A上模範疇${\rm Mod}A$到$\mathcal{O}_X$上模範疇的正合函子$M \mapsto \widetilde{M}$。其定義了${\rm Mod}A$到X上准凝聚層範疇的等價，其逆$\Gamma(X, -)$是全局截面函子。X是諾特概形時，函子是從有限生成A-模到X上凝聚層範疇的等價。

此構造有以下性質：對任意A-模M、N與任意態射$\varphi:M\to N$。

- $M[f^{-1}]^{\sim} = \widetilde{M}|_{D(f)}$.
- 對A的任意素理想，$\widetilde{M}_p \simeq M_p$作為$O_p=A_p$-模。
- $(M \otimes_A N)^{\sim} \simeq \widetilde{M} \otimes_{\widetilde{A}} \widetilde{N}$.
- 若M是有限表示模，$\operatorname{Hom}_A(M, N)^{\sim} \simeq \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N})$.
- 由於${\rm Mod}_A$與X上准凝聚層範疇間的等價關係，$\operatorname{Hom}_A(M, N) \simeq \Gamma(X, \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N}))$。
- $(\varinjlim M_i)^{\sim} \simeq \varinjlim \widetilde{M_i}$;特別是，取直和與~交換。
- 若且唯若$\sim$的誘導序列正合，稱A-模序列正合。特別地，$(\ker(\varphi))^{\sim}=\ker(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{coker}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{coker}(\widetilde{\varphi}), (\operatorname{im}(\varphi))^{\sim}=\operatorname{im}(\widetilde{\varphi})$.

## 與分次模相關聯的層

上一節中的構造與等價有一個分次類似物。令R是由$R_0$-代數（$R_0$表示度為0的元素）的度為1的元素生成的分次環，M是分次R-模。令X是R的射影構造（於是若R不是諾特環，則X是射影概形），則有O-模$\widetilde{M}$，使得對R的度數為正的任意齊次元f，有自然同構

$$\widetilde{M}|_{\{f \ne 0\}} \simeq (M[f^{-1}]_0)^{\sim}$$

作為仿射概形$\{f \ne 0\} = \operatorname{Spec}(R[f^{-1}]_0)$上的模層；實際上，這通過膠合定義了$\widetilde{M}$。

例子：令$R(1)$為分次R-模：$R(1)_n=R_{n+1}$，則$O(1) = \widetilde{R(1)}$稱作塞爾扭曲層，若R次數為1、是有限生成的，則塞爾扭曲層是重言線叢的對偶。

若F是X上的O-模，則$F(n) = F \otimes O(n)$就有規範同態：

$$\left(\bigoplus_{n \ge 0} \Gamma(X, F(n))\right)^{\sim} \to F,$$

若且唯若F是准凝聚層時，它是同構。

## 計算層上同調

層上同調以難以計算而聞名。正因如此，下面的一般事實對任何實際計算都是重要的：

令X是拓撲空間，F是其上的阿貝爾層，$\mathfrak{U}$是X的開覆蓋，使得$\forall i,\ p,\ U_{i_j}\in \mathfrak{U},\ \operatorname{H}^i(U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}, F) = 0$。則對任意i。

$$\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{H}^{i}(C^{\bullet}(\mathfrak{U}, F))$$

其中右式是第i切赫上同調。

塞爾消失定理指出，若X是射影簇、F是其上的凝聚層，則對足夠大的n，塞爾扭曲$F(n)$由有限多全局截面生成。此外。

- $\forall i,\ H^i(X,\ F)$是在$R_0$上有限生成的。
- 有取決於F的整數$n_0$使得

$$\operatorname{H}^i(X, F(n)) = 0, \, i \ge 1, n \ge n_0.$$

## 層擴張

令$(X,\ O)$是賦環空間，F、H是X上O-模的層。H對F的擴張是O-模的短正合列

$$0 \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 0.$$

與群擴張一樣，若固定F、H，則H對F擴張的所有等價類構成阿貝爾群（參Baer和），其與Ext群$\operatorname{Ext}_O^1(H,F)$同構，當中$\operatorname{Ext}_O^1(H,F)$中的么元對應平凡擴張。

H是O的情形下，有：$\forall i\ge 0,$

$$\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{Ext}_O^i(O,F),$$

因為兩側是同一個函子$\Gamma(X, -) = \operatorname{Hom}_O(O, -)$的右導出函子。

注: Hartshorne等學者不寫下標O。

設X是諾特環上的射影概形。令F、G是X上的凝聚層，i是整數，則存在$n_0$使得

$\operatorname{Ext}_O^i(F, G(n)) = \Gamma(X, \mathcal{E}xt_O^i(F, G(n))), \, n \ge n_0$.

### 局部自由消解

$\mathcal{Ext}(\mathcal{F},\mathcal{G})$對任何凝聚層$\mathcal{F}$都可用局部自由消解輕鬆計算：給定復形

$$\cdots \to \mathcal{L}_2 \to \mathcal{L}_1 \to \mathcal{L}_0 \to \mathcal{F} \to 0$$

則

$$\mathcal{RHom}(\mathcal{F},\mathcal{G}) = \mathcal{Hom}(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G})$$

於是

$$\mathcal{Ext}^k(\mathcal{F},\mathcal{G}) = h^k(\mathcal{Hom}(\mathcal{L}_\bullet,\mathcal{G}))$$

### 例子

#### 超曲面

考慮度數為d的光滑超曲面X，則可計算消解

$$\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}$$

並發現

$$\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F}) = h^i(\mathcal{Hom}(\mathcal{O}(-d) \to \mathcal{O}, \mathcal{F}))$$

#### 光滑完全交的並

考慮概形

$$X = \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[x_0,\ldots,x_n]}{(f)(g_1,g_2,g_3)} \right) \subseteq \mathbb{P}^n$$

其中$(f,g_1,g_2,g_3)$是光滑完全交，$\deg(f) = d,\ \deg(g_i) = e_i$。則有復形

$$\mathcal{O}(-d-e_1-e_2-e_3) \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_3 \\ -g_2 \\ -g_1 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_1-e_3) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2-e_3) \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} g_2 & g_3 & 0 \\ -g_1 & 0 & -g_3 \\ 0 & -g_1 & g_2 \end{bmatrix}} \begin{matrix} \mathcal{O}(-d-e_1) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_2) \\ \oplus \\ \mathcal{O}(-d-e_3) \end{matrix} \xrightarrow{\begin{bmatrix} fg_1 & fg_2 & fg_3 \end{bmatrix}} \mathcal{O}$$

消解了$\mathcal{O}_X$，可用於計算$\mathcal{Ext}^i(\mathcal{O}_X,\mathcal{F})$。