自由阿貝爾群

數學中，自由阿貝爾群是有基的阿貝爾群。阿貝爾群是配備了符合結合律、交換律且有逆的運算的集合。若對群中每個元素，可以唯一表示為有限多基元素的整數係數組合，那麼這些基元素就構成了基，也稱作整基，是集合的子集。例如，2維整格形成了一個自由阿貝爾群，其中逐坐標加法是其運算，(1,0)、(0,1)兩個點是基。自由阿貝爾群的性質與向量空間相近，可以叫做自由$\Z$-模，是整數上的自由模。格理論研究實向量空間的自由阿貝爾子群。代數拓撲中，自由阿貝爾群用於定義鏈；代數幾何中，則用於定義除子。

自由阿貝爾群的元素有多種用基$B$描述的方式，如$B$上的形式和，是有限級數$\sum a_i b_i$的表示，其中$a_i$為非零整數，$b_i$為互異的基元素。另外，自由阿貝爾群的元素還可以視作由$B$的元素構成的有符有限多重集，多重集元素的乘法等同於形式和中的係數。

另一種表示方法是$B$到整數的函數，其中有有限個非零值；這種函數表示對應的群運算是函數的逐點加法。

每個集合與自己的基$B$都有自由阿貝爾群，在每兩個基相同的自由阿貝爾群同構的意義上是唯一的。自由阿貝爾群的構造不是通過描述每個元素，而是用基$B$構造為多個整數加群的直和，每個加群對應一個基元；還可以描述為基元素及其生成元的展示，元素對的交換子為其關係元。自由阿貝爾群的秩就是基的勢；一個群的兩個基秩相同，秩相同的兩個自由阿貝爾群同構。自由阿貝爾群的每個子群也是自由阿貝爾群，這使自由阿貝爾群可以視作是自由阿貝爾群按關係（relation）的商，或自由阿貝爾群之間單射同態的余核。屬於自由阿貝爾群的自由群是平凡群和循環群。

## 定義與例子

自由阿貝爾群是有基的阿貝爾群。「阿貝爾群」意味著它可以描述為一個集合$S$的元素及集合上的一個二元運算，習慣上將加法群記作$+$（不必是數之間的加法），有以下性質：

- 運算$+$遵循交換律和結合律，也就是說，對於$S$的任意元素$x$，$y$，$z$，都有$x+y=y+x$與$(x+y)+z=x+(y+z)$。則，如對$S$中多個元素應用運算，元素的排序和組合不會影響運算結果。
- $S$包含單位元（一般記作$0$），對於每個元素$x$，都有$x+0=0+x=x$。
- $S$中每個元素$x$都有逆元$-x$，使得$x+(-x)=0$。

基$B$是$S$的子集，對$S$中的每個元素，都有唯一的表示方法：選擇有限個基元素$b_i$與同樣多的非零整數$k_i$，$k_i$為正則取$k_i$份$b_i$，$k_i$為負則取$-k_i$份$-b_i$。特殊地，根據傳統的空和表示，單位元一定可以由零基元素這樣表示，且只有單位元具有這樣的單位性。

整數集$\mathbb{Z}$在通常的加法下與基$\{1\}$形成了自由阿貝爾群。整數符合結合律和交換律，其中0是加法單位元；每個整數也都有加法逆元，即對應的負數。每個非負的$x$是$x$份$1$的和，每個負整數$x$是$-x$份$-1$的和，所以也滿足基的性質。

群運算不同於普通數加法的例子見正有理數$\mathbb{Q}^+$，它與普通乘法運算形成了自由阿貝爾群，質數是它們的基。乘法符合結合律和交換律，其中$1$是單位元，$1/x$是每個正有理數$x$的運算逆元。由算術基本定理可知，質數構成這些數乘法的基。由於每個正整數都可以唯一分解為有限多個素因子及其逆。如果$q=a/b$已經是互質的最簡分數，則$q$就可以表示為素數$a$、$b$的有限組合。

由單一變量$x$構成的整係數多項式及多項式加法形成了一個自由阿貝爾群，$x$的冪是其基。作為一個抽象群，這與正有理數乘法群相同（群同構）。要構建能展示兩個群之間同構的映射，可以將有理數乘法群中的第$i$個素數的指數重新詮釋為多項式中$x^{i-1}$的係數，反之亦然。例如，有理數$5/27$可以表示為前三個質數$2, 3, 5$的積，指數分別為$0, -3, 1$，可以對應係數相同的多項式$-3x+x^2$。這樣的映射僅僅重新詮釋了同樣一組數字，所以實際上是定義了群之間的雙射。又由於正有理數乘法對應的群運算在素數的指數上表現得像加法，加法則作用於多項式係數，所以映射保存了群的結構，它們是同態的。雙射同態也就是同構，其存在說明這兩個群有相同的性質。

給定基對每個群元素的表示是唯一的，不過自由阿貝爾群一般不只有一個基，不同的基一般會給出元素的不同表示。例如，如果將基的所有元素都取逆，就得到了另一組基。更具體地說，一個2維整格$\Z^2$（包含平面上所有整數坐標點）形成了自由阿貝爾群，其運算為向量加法，一組基為$\{(1,0),(0,1)\}$。在這組基下，元素$(4,3)$只能寫作$(4,3) = 4 \cdot (1,0) + 3 \cdot (0,1)$，其中定義的「乘法」如$\ 4 \cdot (1,0) := (1,0) + (1,0) + (1,0) + (1,0)$。如果把基換成$\{(1,0),(1,1)\}$，那麼這個元素就只能寫成$(4,3) = (1,0) + 3\cdot (1,1)$。推廣這個例子，每個格子都形成了自由有限生成阿貝爾群。$d$維整格$\Z^d$的自然基包含正整數單位向量，也有許多其他的基：若$M$是$d$階整數方陣，且行列式的值$\pm 1$，則$M$的行構成基，相反地，整格的每個基都可表示為這種形式。

## 構造

每個集合都可以說一個自由阿貝爾群的基，在群同構的意義下是唯一的。給定基集的自由阿貝爾群可通過幾種等價手段構造得來：整數份基元素的直和；整值函數族；有符多重集；或是通過群的展示。

### 積與和

群的直積包含積中各組元素形成的陣列，以及逐指數加法。兩個自由阿貝爾群的直積仍是自由阿貝爾群，基是原來兩個基的不交並。更一般地，有限個自由阿貝爾群的直積仍是自由阿貝爾群。例如，$d$維整格與$d$份整群$\Z$的直積同構。平凡群$\{0\}$也是自由阿貝爾群，基是空集。也可以解釋為空積，即0份$\Z$的直積。

對於自由阿貝爾群的無限族，直積就不是自由阿貝爾的必要條件了。例如，不可數的Baer–Specker群$\mathbb{Z}^\mathbb{N}$形成了可數多份$\mathbb{Z}$的直積，1937年Reinhold Baer證明其不是自由阿貝爾群。不過Ernst Specker在1950年證明了，它所有的可數子集都是自由阿貝爾群。要使群的無限族保持自由阿貝爾性，則應改用直和而非直積。直和與直積應用於有限多群時是相同的，但對無限族來說是不同的。直和的元素也是來自每組的元素組成的陣列，但任意有限多元素都是它們的群的單位元。無限自由阿貝爾群的直和仍是自由阿貝爾群，有一個由除一個元素外都是同一元素的陣列組成的基，其餘元素是其群的基的一部分。

每個自由阿貝爾群都可以描述為多份$\mathbb{Z}$的直和，一份對應基的一個元素。這一構造可以使任何集合$B$成為某個自由阿貝爾群的基。

### 整函數與形式和

給定集合$B$，可以定義群$\mathbb{Z}^{(B)}$，其元素是從$B$映射到實數的函數，上標的圓括號表示只包括有有限多非零值的函數。

若$f(x)$和$g(x)$是符合要求的函數，則$f+g$的值是$f$與$g$值之和；即$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$。這樣的逐點加法運算賦予$\mathbb{Z}^{(B)}$以阿貝爾群的結構。

給定集合$B$中的每個元素$x$對應$\mathbb{Z}^{(B)}$中的一個成員；有函數$e_x$（$e_x(x)=1$，$e_x(y)=0$，這時all $y\ne x$）。

則$\mathbb{Z}^{(B)}$中的每個函數$f$是有限多基元素的唯一線性組合：

$$f=\sum_{\{x\mid f(x)\ne 0\}} f(x) e_x$$ 則這些元素$e_x$形成了$\mathbb{Z}^{(B)}$的一個基，$\mathbb{Z}^{(B)}$是自由阿貝爾群。

這樣，每個集合$B$都可以構造為某個自由阿貝爾群的基。

$\mathbb{Z}^{(B)}$的元素也可以寫作形式和，是每項都寫成非零整數與$B$中元素之積的有限級數。表達式的項如果相同，則無論項的排列如何，都認為是等價的。計算形式和可以先排列、組合有相同基元素的項，再刪去產生零係數的項。也可以解釋為$B$中有限多元素的有符多重集。

### 展示

群的展示是生成了群的元素組成的集合（即，所有群元素都可以表示為有限多生成元的積），加上「關係元」，生成元的積可以給出單位元。這樣定義的群元素是生成元序列及其逆的等價類，所處的等價關係允許增刪任何關係元或生成元-逆對作為連續子序列。基為$B$的自由阿貝爾群的生成元可以是$B$的元素，關係元則是$B$的元素對的交換子，它們構成了自由阿貝爾群的一種展示。這裡$x$、$y$兩個元素的交換子是$x^{-1}y^{-1}xy$，令其為單位元，可以推出$xy=yx$，則$x$、$y$可交換。更一般地，如果所有生成元對都可交換，則所有生成元積的對也可交換，所以由這種表示生成的群是阿貝爾群，關係元則形成了確保其是阿貝爾群的最小關係子集。

生成元集合有限時，自由阿貝爾群的展示也有限，因為展示中只包含有限多個不同交換子。這一事實與自由阿貝爾群的每個子群仍是自由阿貝爾群一同，可以說明任何有限生成阿貝爾群的展示也有限。例如，若$G$由集合$B$有限生成，則它是$B$上的自由阿貝爾群由一個由$G$的關係元生成的子群構成的商。但子群本身也是自由阿貝爾群，其基（以及$B$上的交換子）形成了$G$的關係元的有限集。

## 作為模

整數上的模的定義與實數或有理數上的向量空間類似，其包含可以互相加和、且可以與整數進行標量乘法的元素系統。阿貝爾群可以視作是整數上的模，其中標量乘法定義如下：

$$0\,x=0$$ $$1\,x=x$$

$n\,x=x+ (n-1)\,x,\quad$｜若$n>1$

$n\,x=-((-n)\,x),$｜若$n<0$

但只有自由阿貝爾群像向量空間那樣有基。自由模可以表示為基環上的直和，因此自由阿貝爾群和自由$\mathbb Z$-模是等價的概念：每個自由阿貝爾群（算上其上的乘法運算）都是自由$\mathbb Z$-模，每個自由$\mathbb Z$-模都來自某個自由阿貝爾群。另一種結合自由阿貝爾群的方法是，$\Z$-模的。兩個自由阿貝爾群的張量積仍是自由阿貝爾群，基是原先兩群之基的笛卡兒積。

自由阿貝爾群的許多重要概念都可以泛化到主理想域上的自由模。例如，主理想域上自由模的子模也自由，認為，這一事實使得同調機制可以「自動泛化」到這些模。另外，「每個投射$\Z$-模都自由」這一定理的泛化，也是同樣的方法。

## 性質

### 泛性質

基為$B$的自由阿貝爾群$F$有以下泛性質：對每個從基到阿貝爾群$A$的函數$f$，都有唯一的從$F$到$A$的群同態，其擴展了$f$。這裡的群同態是群之間的映射，並與群積定律一致：映射與積操作的先後不會改變結果。根據泛性質的一般屬性，這表明基為$B$的自由阿貝爾群在群同態意義上是唯一的。因此，泛性質可用作基為$B$的自由阿貝爾群的定義。據這一性質定義的群的唯一性表明，所有其他定義都等價。

因這條性質，自由阿貝爾群才是「自由」的：它們是阿貝爾群範疇的自由對象，這個範疇的對象是阿貝爾群，同態是其態射。基（集合）到對應的自由阿貝爾群（阿貝爾群）的映射是函子，即範疇間保持結構的映射，是阿貝爾群到集合的遺忘函子的伴隨。只有兩種自由阿貝爾群是自由群：基為空集的（秩為0，是平凡群），以及基只有一個元素的（秩為1，是無限循環群）。其他阿貝爾群都不是自由群，因為$a$、$b$若是基中的不同元素，則自由群中$ab\ne ba$，而自由阿貝爾群的積符合交換律。在一般群範疇中，$ab=ba$是一種約束，而在阿貝爾群範疇中則是必要性質。

### 秩

同一自由阿貝爾群的兩個基有相同的勢，所以基的勢形成了群的不變量，稱作秩。兩個自由阿貝爾群同構，若且唯若它們的秩相同。自由阿貝爾群是有限生成的，若且唯若其秩為有限數$n$，這時群與$\mathbb{Z}^n$同構。

這樣表示的秩可以泛化到阿貝爾群。阿貝爾群的秩$G$定義為自身的自由阿貝爾子群的秩$F$，且商群$G/F$是撓群。等價地，它也是$G$的極大子集（生成了自由子集）的勢。秩是群不變量：與子群的選擇無關。

### 子群

理察·戴德金證明了自由阿貝爾群的每個子群也是自由阿貝爾群，這是類似的Nielsen–Schreier定理的前身：自由群的子集仍是自由群，是循環群基本定理（無限循環群的非平凡子群都是無限循環群）的推廣，證明要用到選擇公理。運用了佐恩引理（眾多與選擇公理等價的假設之一）的證明可見塞爾日·蘭的《代數》。所羅門·萊夫謝茨和Irving Kaplansky認為，用良序原理代替佐恩引理可以得到更易懂的證明。

在有限生成自由阿貝爾群的情況下，證明不需用到選擇公理，結果更精確。若$G$是有限生成自由阿貝爾群$F$的子群，則$G$是自由的；$F$有基$(e_1, \ldots, e_n)$，有正整數$d_1|d_2|\ldots|d_k$（每個數除以下一個數）使$(d_1e_1,\ldots, d_ke_k)$構成$G$的基。另外，序列$d_1,d_2,\ldots,d_k$只取決於$F$、$G$，與基無關。定理存在部分的構造性證明可由任何計算整數矩陣的史密斯標準形的演算法給出。唯一性來自這樣的事實：$\forall r\le k$，秩為$r$的矩陣的子式的最大公因數在計算史密斯標準形時不變，且是計算結束時$d_1\cdots d_r$的積。

### 扭化與可除

所有自由阿貝爾群都是無撓的，也就是說沒有非單位元素$x$和非零整數$n$使$nx=0$。

相反地，所有有限生成無撓阿貝爾群都是自由阿貝爾群。

有理數的加群$\mathbb{Q}$是無撓阿貝爾群（不是有限生成群），但不是自由阿貝爾群。原因之一是它不可除：$\forall x\in\mathbb{Q}$、$\forall n\in\mathbb{Z}\ (n\ne 0)$，可以將$x$表示為另一個元素$y=x/n$的標量倍數$ny$。相反地，非平凡自由阿貝爾群不可除，因為自由阿貝爾群中，基元素不能表示為其他元素的標量倍數。

### 對稱性

群的對稱性可以描述為自同構，是群到自身的同態的反函數。非阿貝爾群中，又可以分為 內自同構和外自同構，但阿貝爾群的所有非平凡自同構都是外同構。它們形成了給定群的自同構群，運算為複合。秩為有限數$n$的自由阿貝爾群的自同構群是一般線性群$\operatorname{GL}(n,\mathbb{Z})$，可以具體描述為（為自由自同構群的一個特定基）$n\times n$可逆整數矩陣集合，運算為矩陣乘法。它們在自由阿貝爾群$\Z^n$上作為對稱性的作用如同矩陣-向量乘法。

兩個無限秩自由阿貝爾群的自同構群有相同的一階理論，若且唯若它們的秩從二階邏輯來看有相同的基數。這個結果取決於自由阿貝爾群的對合的結構，即作為自身逆的自同構。給定自由阿貝爾群的基，可以找到將任一組不相交的基元素對映射到彼此的對合，或者否定基元素的任何選定子集，而讓其他基元素固定不變的對合。相反地，對某個自由阿貝爾群的每個對合，都可以找到一個基，基上所有元素都被對合成對地交換、否定或保持不變。

### 與其他群的關係

如果自由阿貝爾群是兩個群的商：$A/B$，則$A$是直和$B\oplus A/B$。

給定任意阿貝爾群$A$，則一定存在自由阿貝爾群$F$和一個$F$到$A$的滿射群同態。一種構建到給定群$A$的滿射是使$F=\mathbb{Z}^{(A)}$為$A$上的自由阿貝爾群，表示為形式和。接著要定義滿射，可以把$F$中的形式和映射到對應的$A$中成員的和。也就是說，滿射映射$$\sum_{\{x\mid a_x\ne 0\}} a_x e_x \mapsto \sum_{\{x\mid a_x\ne 0\}} a_x x$$，其中$a_x$是給定形式和中基元素$e_x$的整係數。

第一個和在$F$中，第二個和在$A$中。這個滿射是唯一可以擴展函數$e_x\mapsto x$的群同態，因此其構造可以視作泛性質的一個例子。

若$F$、$A$的定義如上所述，則$F$到$A$的滿射的核$G$也是自由阿貝爾群，因為它是$F$的子群（映射到單位元的元素的子群）。

因此，這些群形成了短正合序列$$0\to G\to F\to A\to 0$$，其中$F$、$G$都是自由阿貝爾群，$A$與商群$F/G$同構。這是$A$的一個自由分解。另外，若假設選擇公理成立的話，自由阿貝爾群精確對應阿貝爾群範疇中的投射對象。

## 應用

### 代數拓撲

代數拓撲中，$k$維單純形的形式和被稱為$k$-鏈，自由阿貝爾群有一系列$k$-單純形，其基形成鏈群。單純形一般取自某些拓撲空間，例如單純復形中的$k$-單純形集合，或流形中的奇異$k$-單純形集合。任何$k$維單純形都有邊界，可以表示為$(k-1)$維單純形的形式和，自由阿貝爾群的泛性質允許邊界算子擴展為$k$-鏈到$(k-1)$-鏈的群同態。由邊界算子這樣聯接的鏈群系統形成了鏈復形，對其的系統研究催生了同調論。

### 代數幾何與複分析

複數上的每個有理函數都可以與一個有符複數$c_i$多重集相聯繫，$c_i$是函數的極點（函數值取0或無限的點）。多重集中點的重數$m_i$是為函數零點時的階，或為軸時階的反。

接著，函數本身可以從數據中還原為標量函子，即$$f(q)=\prod (q-c_i)^{m_i}$$ 如果這些多重集被解釋為複數上自由阿貝爾群的成員，則兩個有理函數的積或商對應兩個群成員的和或差。因此，有理函數乘法群可以函子化為複數乘法群（每個函數的關聯標量函子）和複數上的自由阿貝爾群。在無窮收斂於有限值的有理函數（黎曼球面上的亞純函數）形成了群的子群，其中重數之和為0。

這一構造可以泛化到代數幾何中，作為除子的一種表示。一般來說，除子的幾種定義都形成了代數簇的余維1子簇的抽象，也就是某個多項式方程組的解集。若方程組自由度為1（解可以形成代數曲線或黎曼曲面）、且包含孤點時，解集是一個余維為1的子簇，除子是簇中的點構成的一個有符多重集。緊黎曼曲面上的亞純函數有有限多的極點，它們的除子在面上的點上形成了一個自由阿貝爾群的子群，函數的乘除對應群元素的加減。自由阿貝爾群的元素作為除子，重數和必為0，且要符合由曲面決定的特定附加約束。

### 群環

有整數群環$\Z[G]$，對任何群$G$都是環，其加法群是$G$上的自由阿貝爾群。若$G$是有限阿貝爾群，則$\Z[G]$中可逆元的乘法群的結構與有限群直積的結構、與有限生成的自由阿貝爾群的結構相同。