機械利益

機械利益（mechanical advantage）又稱機械效益，指工具、機械設備或機械系統將力放大的比例。設備需在輸入的力及以位移之間取捨，最後得到輸出力的理想放大比例。此模型稱為「槓桿定律」。有些機械零件是為了轉換力以及位移，這種零件稱為機構。假設Fin是輸入的力，Fout是輸出的力，則機械利益MA為：

$$\mathit{MA} = \frac{F_{out}}{F_{in}}.$$

機械利益為正數，若大於一，表示輸出的力比輸入的力大，若小於一，表示輸出的力比輸入的力小，但輸出位移比輸入位移要大。

## 槓桿

槓桿以支點為中心而轉動，離支點越近的地方移動的越慢，離支點越遠的地方移動的越快。輸入槓桿及輸出槓桿的功率相等，而功率是力和速度的乘積，因此離支點越遠的地方，施的力就越小，離支點越近的地方，施的力就越大。

若a和 and b是點A和B距支點的距離，而FA是在A點的輸入力，FB是在B點的輸出力，A點和B點速度的比值為a/b，因此輸出力和輸入力的比值（機械利益）如下：

$$\mathit{MA} = \frac{F_b}{F_a} = \frac{a}{b}.$$

這就是槓桿原理，是阿基米德利用對幾何的理解所證明的。

靜力學分析中，利用速度來分析槓桿的力，也是虛功定理的應用。

## 速比

理想機構輸入功率等於輸出功率，因此可以用系統輸入—輸出的速比（speed ratio）來計算機械利益。

若針對齒輪組，以ωA的角速度給TA的轉矩，其輸入功率為P=TAωA。

因為輸入功率和輸出功率相等，輸出轉矩TB和輸出角速度ωB乘積會滿足以下關係

$$P = T_A \omega_A = T_B \omega_B, \!$$

因此

$$\mathit{MA} = \frac{T_B}{T_A} = \frac{\omega_A}{\omega_B}.$$

速比的定義就是輸出角速度和輸入角速度的比值，因此針對理想機構的速比會等於機械利益，這應用在從機器人一直到連杆機構的所有機器。

## 齒輪系

由於齒輪的設計方式，齒輪的齒數會和其節圓的半徑成正比，因此二個相互嚙合的齒輪，可以由一個齒輪帶動另一個旋轉，不會滑動。一組齒輪的速比可以用其其節圓的半徑比來計算，也可以用二個齒輪齒數的比例（齒比）來計算。

二個齒輪在節圓上接觸點的速度v相等，因此可得

$$v = r_A \omega_A = r_B \omega_B,\!$$

其中輸入齒輪A的半徑是rA，和半徑為rB的輸出齒輪嚙合因此

$$\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{N_B}{N_A}.$$

其中NA是輸入齒輪的齒數，NB是輸出齒輪的齒數。

由輸入齒輪齒數NA，輸出齒輪齒數NB組成的嚙合齒輪，其機械利益為

$$\mathit{MA} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{N_B}{N_A}.$$

因此若輸出齒輪GB比輸入齒輪GA要大，此齒輪系可以放大力矩，但會讓轉速變慢，若輸出齒輪GB比輸入齒輪GA要小，此齒輪系可以縮小力矩，會讓轉速變快。

## 鏈輪或皮帶輪

不論是由鏈條連接兩個鏈輪的機構，或是由皮帶連接兩個皮帶輪的機構，其目的都是為了在傳動系統中改變其機械利益。

兩個鏈輪和鏈條接觸點的速度v會相等，兩個皮帶輪和皮帶接觸點的速度亦同：

$$v = r_A \omega_A = r_B \omega_B,\!$$

其中鏈輪或皮帶輪A是輸入端，其半徑是rA，輸出鏈輪或皮帶輪B的半徑是rB。

因此

$$\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{N_B}{N_A}.$$

其中NA是輸入鏈輪的齒數，NB是輸出鏈輪的齒數。若是齒形帶的皮帶輪機構，也可以使用其齒數。若是只用摩擦力的皮帶輪，一定要使用輸入輪和輸出輪半徑的資訊。

若鏈輪機構（或齒形帶皮帶輪機構），輸入輪齒數為NA，輸出輪齒數為NB，其機械利益是：

$$\mathit{MA} = \frac{T_B}{T_A} = \frac{N_B}{N_A}.$$

針對只使用摩擦力的皮帶輪，其機械利益是：

$$\mathit{MA} = \frac{T_B}{T_A} = \frac{r_B}{r_A}.$$

鏈條和皮帶在傳輸功率時會有摩擦力、伸長及磨損的情形，因此輸出功率會小於輸入功率，實際系統的機械利益會小於理論值。鏈輪機構或皮帶輪機構大約損失5%的功率，是因為摩擦生熱、形變或磨損所產生的熱，此時的效率約為95%。

## 滑輪組

滑輪組是繩子和許多滑輪組合，移動物品的機構。一般來說會有固定不移動的定滑輪，以及隨物品移動的動滑輪，繩子會繞在動滑輪和定滑輪上，以提供機械利益，在滑輪組的輸入端施力，再透過滑輪組將力放大，來移動物品。

為了計算滑輪組的機械利益，考慮最簡單的起重滑車，由一個定滑輪和一個動滑輪組成。繩子繞在定滑輪上，垂下的一端可以施力往下拉，垂下的另一端繞在乘載重物的動滑輪上，繞過動滑輪後固定在定滑輪的支架上。

令S是從定滑輪軸心到繩子末端的長度，這是A，是施力的位置。令R是定滑輪軸心到動滑輪軸心的位置，這是B，是放重物的位置。

繩子的總長L可以寫成

$$L = 2R + S + K, \!$$

其中K是繩子繞過定滑輪及動滑輪需要的長度，此長度不隨滑輪位置而變化。

A點和B點的速度VA和VB的關係和繩子的總長有關，繩子的總長為固定值，因此

$$\dot{L}=2\dot{R} + \dot{S}=0,$$

或者

$$\dot{S} = -2\dot{R}.$$

其中的負號表示重物速度的方向和施力的方向相反，施力往下，重物會向上移動。

令VA向下為正，VB向上為正，因此其關係可以表示為速比

$$\frac{V_A}{V_B} = \frac{\dot{S}}{-\dot{R}} = 2,$$

其中的2是支持動滑輪及重物重量的繩索數量。

令FA是在A點的施力，令FB是動滑輪在B點的受力。其正負號也是FA往下為正，FB往上為正。

若是理想的滑輪組，滑輪沒有摩擦力，繩子也不會形變或磨損，因此輸入功率FAVA會等於輸出功率FBVB，也就是

$$F_A V_A = F_B V_B.\!$$

輸出力和輸入力的比值即為理想起重滑車系統的機械利益

$$\mathit{MA} = \frac{F_B}{F_A} = \frac{V_A}{V_B} = 2.\!$$

此分析可以擴展到理想的滑車組，其動滑輪及重物的重量是由n段繩子所支持

$$\mathit{MA} = \frac{F_B}{F_A} = \frac{V_A}{V_B} = n.\!$$

可以證明理想的滑車組對重物的輸出力是輸入力的n倍，其中n是支持動滑輪及重物重量的繩子數量。

## 效率

在計算機械利益時，會假設能量不會因為形變、摩擦力或是磨損所損失，機械可以以其最佳性能輸出，此情形下計算的機械利益會稱為是理想機械利益（ideal mechanical advantage、IMA）。實際上，形變、摩擦力或是磨損都會降低機械利益。實際機械利益（actual mechanical advantage、AMA）和理想機械利益之間的比值是效率，可以透過實驗求得。

例如有六段繩子支持動滑車的滑車組，有300kg的重物，若是在理想的滑車組，工人需要的施力會是50kg，若要讓重物上移1公尺，工人需要拉6公尺。Fout / Fin和Vin / Vout都可以說明理想機械利益是6。第一個比值是輸出力300kg和輸入力50kg所得的比值。但在真實系統中，輸入力50kg，因此摩擦力、繩子形變等因素的損失，輸出力會小於300kg，因此其實際機械利益會小於6。

### 理想機械利益

理想機械利益（ideal mechanical advantage、IMA）或理論機械利益（theoretical mechanical advantage）是假設沒有能量損失的情形下所得的機械利益。是用設備的實際尺寸計算的，也是實際機械利益的上限。

理想機械的假設也就表示機械本身不會儲存能量，也不會耗散能量。輸入的功率等於輸出的功率。因此，機械的功率是定值，等於力乘以速度，可以得到下式

$$P = F_{in}v_{in}= F_{out}v_{out}.$$

理想機械利益是輸出力和輸入力的比值

$$\mathit{IMA} = \frac {F_{out}} {F_{in}}.$$

若考慮功率守恆的關係式，可得機械利益和速比之間的關係：

$$\mathit{IMA} = \frac {F_{out}} {F_{in}} = \frac {v_{in}} {v_{out}}.$$

機械的速比可以用其幾何尺寸來計算，因此可以用速比求得理想機械利益，也就是實際機械利益的上限。

### 實際機械利益

實際機械利益 (actual mechanical advantage、AMA）是在直接量測輸入力及輸出力所得的機械利益，其中有考慮因為形變、摩擦及磨損產生的能量損失。

機器的AMA可以用量測到的輸入力及輸出力來計算

$$\mathit{AMA} = \frac {F_{out}} {F_{in}},$$

實際機械利益和機械利益之間的比例即為機械效率η

$$\eta =\frac\mathit{AMA}\mathit{IMA}.$$

## 外部連結

- Gears and pulleys
- Nice demonstration of mechanical advantage
- Mechanical advantage — video