博雷爾函數演算

在數學的一個分支——泛函分析中，博雷爾函數演算是一種函數演算。例如，將平方函數 $s \mapsto s^2$ 作用到算子 $T$ 上會得到算子 $T^2$。而適用於更大範圍的函數的函數演算使得我們可以（作為一個例子）嚴格地定義（負的）拉普拉斯算子 −Δ 的「平方根」或指數 $e^{it \Delta}$。

這裡的「範圍」是指允許的函數類型。博雷爾函數演算比連續函數演算更通用，其側重點也不同於全純函數演算。

更準確地說，博雷爾函數演算允許將任意博雷爾函數作用於一個自伴算子，同時對於多項式函數有與多項式函數演算一樣的行為。

## 動機

設 $T$ 是有限維內積空間 $H$ 上的自伴算子，則 $H$ 具有由 $T$ 的本徵向量組成的正交基 $\{e_1,\dots,e_\ell\}$，即$$T e_k = \lambda_k e_k, \qquad 1 \leq k \leq \ell.$$

因此，對於任意正整數 $n$。

$$[T \psi](x) = f(x) \psi(x).$$ $$T^n e_k = \lambda_k^n e_k.$$

如果只考慮 $T$ 的多項式，則得到全純函數演算。實際上還可以得到 $T$ 的更一般的函數。給定一個博雷爾函數 $h$，可以通過確定算子在基上的行為來定義一個算子 $h(T)$：

$$h(T) e_k = h(\lambda_k) e_k.$$

一般來說，任何自伴算子 $T$ 都於一個乘法算子（這是譜定理的一種表述）。也就是說，對於許多目的而言， $T$ 可以被視為一個作用於某個測度空間的平方可積函數上的運算符：

$$[T \psi](x) = f(x) \psi(x)$$

這時有

$$[h(T) \psi](x) = [h \circ f](x) \psi(x).$$

對於許多技術目的來說，這種表述已經足夠好了。然而，有時也會希望能有對函數演算的一種表述，其不依賴於作為乘法運算符的 $T$ 的特定表示。這就是下一節要做的事情。

## 有界函數演算

現在正式地定義希爾伯特空間 $H$ 上的自伴算子 $T$ 的有界博雷爾函數演算 πT。設 $L ^ \infty(\mathbb{R},\mathbb{C})$是在實軸上的有界復值博雷爾函數所構成的空間， πT 是其上的一個映射$$\pi_{T}: L^\infty(\mathbb{R},\mathbb{C}) \to\mathcal{B}(\mathcal{H}): f \mapsto f(T),$$ 滿足

- 將 $L ^ \infty(\mathbb{R},\mathbb{C})$ 看作一個環， πT 是其上的同態，且保對合、保單位元。
- 設有 $\xi\in H$，博雷爾集 $E\subset \mathbb R$，那麼$$\nu_\xi:E \mapsto \langle \pi_T(\mathbf{1}_E) \xi, \xi \rangle$$構成一個測度。其中 $1_E$ 是 $E$ 的指示函數。該測度稱為是 $T$ 的譜測度。
- 對於複數上的恆等映射 $\mathrm{id}$，有$$\pi_T\left([\mathrm{id} +i]^{-1}\right)=[T + i]^{-1}.$$

任意自伴算子都有一個唯一的博雷爾函數演算。

這定義了有界函數的函數演算，而這也或可適用於無界自伴算子。使用有界函數演算，可以證明單參數酉群的斯通定理的一部分：

若算子 $A$ 是自伴的，那麼$$U_t = e^{i t A}, \qquad t \in \mathbb{R}$$ 是一個以$iA$為生成元 (么正算子群)的單參數強連續酉群。

作為一個應用，我們考慮薛丁格方程，或者說量子力學系統的動力學。在非相對論量子力學中，哈密頓算子 $\hat H$ 描述了量子力學系統的總能量。$i\hat H$ 生成的酉群對應於系統的時間演化。

我們還可以使用博雷爾函數演算來抽象地解決一些線性初值問題，例如熱方程或麥克斯韋方程組。

### 函數演算的存在性

具有上述函數演算性質的映射的存在性需要證明。對於有界自伴算子 $T$，博雷爾函數演算的存在性可以用初等的方式敘述如下：

首先利用魏爾施特拉斯逼近定理來從多項式過渡到連續函數演算。這裡的關鍵事實是，對於有界自伴算子 $T$ 和多項式 $p$，有$$\| p(T) \| = \sup_{\lambda \in \sigma(T)} |p(\lambda)|.$$

因此，映射 $p \mapsto p(T)$構成多項式環上的保距映射和稠定的同態。藉助連續性可以進一步推廣，對 $T$ 譜上的連續函數 $f$ 定義 $f(T)$。然後，里斯-馬爾可夫-角谷表示定理允許我們從連續函數的積分過渡到譜測度，於是就得到了博雷爾函數演算。

或者，在交換巴拿赫代數的背景下，連續函數演算可以通過蓋爾范德變換獲得。然後同上面的一樣利用里斯-馬爾可夫-角谷定理來推廣到可測函數。在這一表述中， $T$只需是正規算子。

給定一個算子 $T$，連續函數演算 $h \to h ( T )$ 的值域是 $T$ 生成的（阿貝爾）C*-代數 $C(T)$。博雷爾函數演算的值域則更大，即 $C(T)$ 在弱算子拓撲下的閉包——一個（同樣是阿貝爾的）馮諾依曼代數。

## 一般函數演算

我們還可以為未必有界的博雷爾函數 $h$ 定義函數演算，所得結果是一個算子，而這個算子也可能不是有界的。用自伴算子譜定理所提供的乘法算子那套表述的話，它就是 $h\circ f$ 的乘法算子。

設 $T$ 是 $H$ 上的一個自伴算子， $h$ 是 $\mathbb R$ 上的一個實值博雷爾函數。存在一個唯一的算子 $S\triangleq h(T)$ 滿足$$\operatorname{dom} S = \left\{\xi \in H: h \in L^2_{\nu_\xi}(\mathbb{R}) \right\}$$ $$\langle S \xi, \xi \rangle=\int_{\mathbb{R}}h(t)d\nu_{\xi} (t), \qquad \xi\in\operatorname{dom} S$$

更一般地，對於（有界）正規算子也存在博雷爾函數演算。

## 單位分解

設有自伴算子 $T$， $E$ 是 $\mathbb R$ 的 博雷爾子集，而 $1_E$ 是 $E$ 的指示函數，則 $1_E(T)$ 是 $H$ 上的正交投影。那麼映射$$\Omega: E \mapsto \mathbf{1}_E(T)$$是一個投影值測度，其被稱為 $T$ 的單位分解（resolution of the identity）。$\mathbb R$ 上的測度相對於 $\Omega$是 $H$ 上的恆等算子。換句話說，恆等算子可以表示為譜積分 $I = \int 1\,d\Omega$。有時，術語「單位分解」也用於上式這樣的將恆等算子描述為譜積分的過程。

在離散測度的情況下（特別是當 $H$ 維度有限時）， $I = \int 1\,d\Omega$ 可以用狄拉克記號寫成$$I = \sum_{i} \left | i \right \rangle \left \langle i \right |$$各 $|i\rangle$ 是 $T$ 的歸一化本徵向量。集合 $\{ |i\rangle \}$ 構成 $H$ 的一組標準正交基。

物理文獻通常是啟發式地把上面的式子延伸到譜測度不再離散的情況，將單位分解寫成$$I = \int\!\! di~ |i\rangle \langle i|$$並討論所謂「連續基」或「基態矢的連續統」 $\{ |i\rangle \}$。從數學上講，除非給出嚴格的論證，否則這種表達式純粹是一種形式記號。