巴拿赫代數

泛函分析中，得名於斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代數是實數或複數（或非阿基米德完備賦范域）上的結合代數A，同時也是巴拿赫空間，即在範數導出的度量中完備的賦范空間。範數要滿足$$\|x \, y\| \ \leq \|x\| \, \|y\| \quad \forall x, y \in A.$$

這確保了乘法運算連續。

若巴拿赫代數對乘法有範數為1的單位元，則稱其是含么的（unital）。若其乘法是可交換的，則稱其可交換。任意巴拿赫代數A（無論有無單位元）都可等距同構地嵌入含么巴拿赫代數$A_e$，從而形成$A_e$的閉理想。通常會先驗地假設所考慮的代數是含么的：因為可以先考慮$A_e$，再在原始代數中應用結果，來發展許多理論。不過並非總如此，例如無法在巴拿赫代數中定義不含單位元的三角函數。

實巴拿赫代數的理論可能異於復巴拿赫代數，例如非平凡復巴拿赫代數中元素的譜不會是空的，而實巴拿赫代數中，某些元素的譜可能是空的。

巴拿赫代數也可以定義在P進數域上。這是P進數分析的一部分。

## 例子

巴拿赫代數的典型例子是$C_0(X)$，即定義在局部緊豪斯多夫空間X上在無窮遠處消失的（復值）連續函數空間。若且唯若X是緊空間，$C_0(X)$含么。共軛複數是對合，因此$C_0(X)$實際上是C*-代數。更一般地說，C*-代數都是巴拿赫代數。

- 實數（或複數）集是巴拿赫代數，範數為絕對值。
- 若給所有實數或複數n階方陣集合配備服從乘法範數，就成為含么巴拿赫代數。
- 取巴拿赫空間$\R^n$（或$\Complex^n$），範數為$\|x\| = \max_{} |x_i|$，並定義乘法分量形式：$\left(x_1, \ldots, x_n\right) \left(y_1, \ldots, y_n\right) = \left(x_1 y_1, \ldots, x_n y_n\right).$
- 四元數形成了4維實巴拿赫代數，範數為四元數的絕對值。
- 定義在某集合（具有逐點乘和上確範數）上的有界實值或復值函數的代數是含么巴拿赫代數。
- 某局部緊空間（具有逐點乘和上確範數）上的有界連續實值或復值函數的代數是巴拿赫代數。
- 巴拿赫空間E（以函數複合為乘法，以算子範數為範數）上的連續線性算子的代數是含么巴拿赫代數。E上所有緊算子的集合是巴拿赫代數，也是閉理想。若$\dim E = \infty$，則沒有單位元。
- 若G是局部緊豪斯多夫拓撲群，$\mu$是其哈爾測度，則G上所有$\mu$可積函數的巴拿赫空間$L^1(G)$在卷積$x y(g) = \int x(h) y\left(h^{-1} g\right) d \mu(h),\ \forall x, y \in L^1(G)$下成為巴拿赫代數。
- 一致代數：巴拿赫代數，是復代數$C(X)$的子代數，具有上確範數，包含常數並分離了X的點（必須是緊豪斯多夫空間）。
- 自然巴拿赫函數代數：一致代數，其所有特徵都在X的點上取值。
- C*-代數：某希爾伯特空間上有界算子的代數的閉*-子代數，是巴拿赫代數。
- 測度代數：包含某局部緊群上所有拉東測度的巴拿赫代數，測度之積由卷積給出。
- 四元數代數$\H$是實巴拿赫代數，不是復代數，因為四元數的中心是實數。
- 仿射體代數（affinoid algebra）是非阿基米德域上的一種巴拿赫代數，是剛性解析幾何的基本構件。

## 性質

一些由冪級數定義的初等函數可在任意含么巴拿赫代數中定義，如指數函數和三角函數，及更一般的任意整函數（特別地，指數映射可用於定義抽象索引群）。幾何級數公式在一般含么巴拿赫代數中仍有效。二項式定理對巴拿赫代數中兩個交換元也成立。

任何含么巴拿赫代數中的可逆元集合都是開集，其上的逆運算是連續的（因此是同胚），所以形成了乘法下的拓撲群。

若巴拿赫代數有么元$\mathbf{1}$，則$\mathbf{1}$不可能是交換子；即$xy - yx \neq \mathbf{1},\ \forall x, y \in A$。這是因為$x y,\ y x$若不是$0$，則具有相同的譜。

上述例子給出的各種函數代數具有與標準代數（如實數）迥異的性質，例如：

- 是除代數的實巴拿赫代數同構於實數、複數或四元數。因此，只有是除代數的復巴拿赫代數是復形。（這就是蓋爾范德-馬祖爾定理）
- 沒有零除子的含么實巴拿赫代數的主理想都是閉的，代數同構於實數、複數與四元數。
- 沒有零除子的交換實含么諾特巴拿赫代數同構於實數或複數。
- 交換實含么諾特巴拿赫代數（可有零除子）是有限維的。
- 巴拿赫代數中的永久奇異元是零的拓撲除子，也就是說，考慮巴拿赫代數A的擴張B，使一些在給定代數A中奇異的元素，在B中有乘法逆元。A中零的拓撲除子在A的任意巴拿赫擴張B中都是永久奇異的。

## 譜理論

複數域上的含么巴拿赫代數為譜理論提供了一個一般環境。元素$x \in A$的譜記作$\sigma(x)$，包含所有使$x - \lambda \mathbf{1}$在A中不可逆的復標量$\lambda$。任意元素x的譜是$\Complex$中半徑為$\|x\|$、圓心在$0$的閉圓盤的閉子集，於是也是緊的。另外，元素x的譜$\sigma(x)$也非空，滿足譜半徑公式：

$$\sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(x)\} = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.$$

給定$x \in A$，全純函數微積分允許為在$\sigma(x)$的鄰域全純的任意函數f定義$f(x) \in A$；此外，譜映射定理成立：

$$\sigma(f(x)) = f(\sigma(x)).$$

若巴拿赫代數A是復巴拿赫空間X上的有界線性算子的代數$L(X)$（例如方陣的代數），則A中的譜與算子理論中的譜重合。對$f \in C(X)$（緊豪斯多夫空間X），可見：

$$\sigma(f) = \{f(t) : t \in X\}.$$

C*-代數的正規元素x的範數與譜半徑重合，這推廣了正規算子的類似事實。

令A為復含么巴拿赫代數，當中非零元x都可逆（是除代數）。$\forall a \in A$，都有$\lambda \in \Complex$使$a - \lambda \mathbf{1}$不可逆（因為a的譜非空），於是$a = \lambda \mathbf{1}:$代數A自然同構於$\Complex$（蓋爾范德-馬祖爾定理的複數情形）。

## 理想與特徵

令A為$\Complex$上的含么交換巴拿赫代數。由於A是含么交換環，A的不可逆元屬於A的某極大理想。由於極大理想$\mathfrak m\in A$是閉的，$A / \mathfrak m$是巴拿赫代數且是域，且由蓋爾范德-馬祖爾定理，A的最大理想集與非零同胚$A\to\Complex$集$\Delta(A)$之間有雙射。集合$\Delta(A)$稱作A的「結構空間」或「特徵空間」，元素為「特徵」。

特徵$\chi$是A上的線性泛函，是乘法函數（$\chi(a b) = \chi(a) \chi(b)$且滿足$\chi(\mathbf{1}) = 1$。）每個特徵都是$A\to\Complex$且自動連續，因為特徵的核是最大理想，是閉的；而且範數（即算子範數）為1。裝備了A上逐點收斂拓撲（即由$A^*$的弱*-拓撲誘導的拓撲）後，特徵空間$\Delta(A)$是豪斯多夫緊空間。

$$\forall x \in A,$$ $$\sigma(x) = \sigma(\hat x)$$ q在$\hat x$是x的蓋爾范德表示，定義如下：$\hat x$是連續函數$\Delta(A)\to \Complex$，由$\hat x(\chi) = \chi(x)$給出。$\hat x$的譜也是作為緊空間$\Delta(A)$上復連續函數的代數$C(\Delta(A))$的元素的譜。顯式地寫。

$$\sigma(\hat x) = \{\chi(x) : \chi \in \Delta(A)\}.$$

作為代數，若且唯若含么交換巴拿赫代數的蓋爾范德表示具有平凡核，其是半單的（即其雅各布森根為零）。這種代數的重要例子是交換C*-代數。事實上，若A是交換含么C*-代數，則其蓋爾范德表示是$A,\ C(\Delta(A))$間的等距*-同構。證明：由於交換C*-代數的元素都是正規的，所以蓋爾范德表示是等距的；特別是，其是單射，像是閉的。蓋爾范德表示的像由魏爾施特拉斯逼近定理是稠密的。

## 巴拿赫*-代數

巴拿赫*-代數A是複數域上的巴拿赫代數，以及映射${}^* : A \to A$，滿足如下性質：

- $\forall x \in A,\ \left(x^*\right)^* = x$（於是映射是對合）
- $$\forall x, y \in A,\ (x + y)^* = x^* + y^*$$
- $\forall \lambda \in \Complex,\ x \in A,\ (\lambda x)^* = \bar{\lambda}x^*$，其中$\bar{\lambda}$表示$\lambda$的共軛複數
- $$\forall x, y \in A,\ (x y)^* = y^* x^*$$

也就是說，巴拿赫*-代數是$\Complex$上的巴拿赫代數，也是*-代數。

在大多數自然例子中，還需要對合是等距的，即$$\|x^*\| = \|x\| \quad \text{ for all } x \in A.$$ 有人把這性質納入了巴拿赫*-代數的定義。

巴拿赫*-代數滿足$\|x^* x\| = \|x^*\| \|x\|$是C*-代數。