切比雪夫函數

在數學上，切比雪夫函數（Chebyshev Function）可指一個標量化函數（切比雪夫加權標量化函數），或兩個彼此相關的函數的其中之一。

切比雪夫第一函數（First Chebyshev Function）在文獻中一般記做$\vartheta(x)$或$\theta(x)$，其形式如下：

$$\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p$$

其中$\log$是自然對數，而切比雪夫第一函數就是所有小於等於x的質數p的自然對數的總和。

切比雪夫第二函數（Second Chebyshev Function）在文獻中一般記做$\psi(x)$，其定義類似，為所有小於等於x的質數p的冪的自然對數的總和，而其形式如下：

$$\psi(x) = \sum_{k \in \mathbb{N}}\sum_{p^k \le x}\log p = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p \le x}\left\lfloor\log_p x\right\rfloor\log p,$$

其中$\Lambda$是馮·曼戈爾特函數。切比雪夫函數，尤其切比雪夫第二函數$\psi(x)$，經常出現於與質數相關的數學證明中，而這是因為這些函數比質數計數函數$\pi(x)$還容易處理之故。可見下等式一節說明。

切比雪夫第一及第二函數都與x呈現漸近關係，而這點等價於質數定理。

除了上述的切比雪夫第一及第二函數外，還有個與上述無關無關的切比雪夫加權標量化函數（Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function）或切比雪夫效用函數（Chebyshev utility function），其形式如下：

$f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i f_i(x).$

藉由最小化這方程式不同$w$的數值，可得到帕累托前沿的每個點，甚至是非凸性的部分。很多時候，要最小化的不是$f_i$，而是在給定標量$z_i^*$的狀況下$|f_i-z_i^*|$的數值，而在這種狀況下有$f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i |f_i(x)-z_i^*|.$。

這三個函數皆以帕夫努季·利沃維奇·切比雪夫為名，唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函數，切比雪夫加權標量化函數與這兩函數無關，也不會出現在接下來的討論中。

## 切比雪夫第一及第二函數的關係

切比雪夫第一及第二函數彼此相關，要驗證這點，可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式：

$$\psi(x) = \sum_{p \le x}k \log p$$

其中k是使得$p^k \le x < p^{k+1}$的唯一整數，而k的值可參見。一個更直接的關係如下：

$$\psi(x) = \sum_{n=1}^\infty \vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big).$$

注意的是和的後半段只有有限多個非零數值，而這是因為有下式之故：

$$\vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big) = 0\quad \text{for}\quad n>\log_2 x = \frac{\log x}{\log 2}.$$

切比雪夫第二函數是從1到n所有數的最小公倍數的自然對數：

$$\operatorname{lcm}(1,2,\dots,n) = e^{\psi(n)}.$$

對於n而言，lcm(1, 2, ..., n)的值可參見。

以下定理將$\frac{\psi(x)}{x}$及$\frac{\vartheta(x)}{x}$這兩個分數給聯繫起來。

定理：若$x>0$則有

$$0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}.$$

注意：從此不等式可推出

$$\lim_{x\to\infty}\!\left(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\right)\! = 0.$$

換句話說，若$\psi(x)/x$或$\vartheta(x)/x$其中一個趨近某個極限，則另一個也是如此，也就是兩者的極限相等。

證明：由於$\psi(x)=\sum_{n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n})$，因此有

$$0 \leq \psi(x)-\vartheta(x)=\sum_{2\leq n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n}).$$

而由$\vartheta(x)$的定義，可得以下明顯的不等式：

$$\vartheta(x)\leq \sum_{p\leq x}\log x\leq x\log x$$

因此有

$$\begin{align} 0\leq\psi(x)-\vartheta(x)&\leq \sum_{2\leq n\leq \log_2 x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\ &\leq(\log_2 x)\sqrt{x}\log\sqrt{x}\\ &=\frac{\log x}{\log 2}\frac{\sqrt{x}}{2}\log x\\ &=\frac{\sqrt{x}\,(\log x)^2}{2\log 2}. \end{align}$$

最後，將此不等式兩邊除以$x$，即可得定理的不等式。

## 漸近關係及上下界

對於切比雪夫函數，有以下已知的界線。其中pk是第k個質數，也就是p1 = 2、p2 = 3等等：

$$\begin{align} \vartheta(p_k) &\ge k\left( \log k+\log\log k-1+\frac{\log\log k-2.050735}{\log k}\right)&& \text{for }k\ge10^{11}, \\[8px] \vartheta(p_k) &\le k\left( \log k+\log\log k-1+\frac{\log\log k-2}{\log k}\right)&& \text{for }k \ge 198, \\[8px] |\vartheta(x)-x| &\le 0.006788\,\frac{x}{\log x}&& \text{for }x \ge 10\,544\,111, \\[8px] |\psi(x)-x|&\le0.006409\,\frac{x}{\log x}&& \text{for } x \ge e^{22},\\[8px] 0.9999\sqrt{x} &< \psi(x)-\vartheta(x)<1.00007\sqrt{x}+1.78\sqrt[3]{x}&& \text{for }x\ge121. \end{align}$$

Ghosh在2019年證明了以下和切比雪夫第一函數$\vartheta(x)$相關的陳述：

對於任意的$n\ge6$，有以下關係：

$$n(1-\frac{1}{\log{n}}+\frac{\log{\log{n}}}{4\log^2{n}}) < \frac{\vartheta(p_n)}{\log{p_{n+1}}} < n(1-\frac{1}{\log{n}}+\frac{\log{\log{n}}}{\log^2{n}})$$

使用小o符號，則可表如下式：

$$\frac{\vartheta(p_n)}{\log{p_{n+1}}} = n(1-\frac{1}{\log{n}}+\frac{\log{\log{n}}}{\log^2{n}}(1+o(1)))$$

若$p_n$為第n個質數，則切比雪夫第一函數$\vartheta(x)$為質數階乘的對數，也就是說，若$N_n=\prod_{i=1}^{n}p_i$是最初n個質數的質數階乘，則$\vartheta(x)=\log{N_n}$。

此外，若n是一個超過剩數，且n最大的質因數為p，那麼切比雪夫第二函數$\psi(x)$與超過剩數之間有以下關係式：

$$\psi(p) < \log{n}$$

以及

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\psi(p)}{\log{n}}=1$$

此外，若黎曼猜想成立，則對於任意的$\varepsilon > 0$而言，有以下關係式：

$$\begin{align} |\vartheta(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big) \\ |\psi(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big) \end{align}$$

Schoenfeld在1976年證明了在黎曼猜想成立的狀況下，有以下關係式：

$$\begin{align} |\vartheta(x)-x| &< \frac{1}{8\pi}\sqrt{x}\log^2{x}, \forall 599\le x\\ |\psi(x)-x| &< \frac{1}{8\pi}\sqrt{x}\log^2{x}, \forall 73.2\le x \end{align}$$

對任意的$x > 0$而言，切比雪夫第一函數$\vartheta(x)$及第二函數$\psi(x)$有以下的上界：

$$\begin{align} \vartheta(x)&<1.000028x \\ \psi(x)&<1.03883x \end{align}$$

對於1.03883這常數的解釋，可見的說明。

## 等式

1895年，漢斯·馮·曼戈爾特證明了$\psi(x)$有以下作為黎曼ζ函數非平凡零點和的L函數的解析解：

$$\psi_0(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \tfrac{1}{2} \log (1-x^{-2}).$$

其中ζ (0)的數值為log(2π)、ρ遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點，而ψ0是一個與ψ類似的函數，但差別是其在跳躍不連續點（質數的冪）的取值為其左邊與右邊值的中間：

$$\psi_0(x) = \frac{1}{2}\!\left( \sum_{n \leq x} \Lambda(n)+\sum_{n < x} \Lambda(n)\right) =\begin{cases} \psi(x) - \tfrac{1}{2} \Lambda(x) & x = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ [5px] \psi(x) & \mbox{otherwise.} \end{cases}$$

就自然對數的泰勒展開式而言，解析解的最後一項可理解為xω對黎曼ζ函數平凡零點ω = −2, −4, −6, ...的求和。也就是說。

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{-2k}}{-2k} = \tfrac{1}{2} \log \left( 1 - x^{-2} \right).$$

類似地，此公式第一項x = x1對應到黎曼ζ函數在1的單純極點。這部分作為極點而非零點的事實，說明了項的變號。

## 性質

一個由埃哈德·施密特證明的結果指稱，對於某個特定的正常數K，存在有無限多個正整數x使得

$$\psi(x)-x < -K\sqrt{x}$$

同時有無限多個正整數x使得

$$\psi(x)-x > K\sqrt{x}.$$

使用小o符號，可將上式重述為

$$\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\right).$$

哈代與李特爾伍德證明了一個更強的結果，表述如下：

$$\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\log\log\log x\right).$$

也就是說有無限多的正整數x，使得$\psi(x)$與x之間的差的絕對值超過$\sqrt{x}\,\log\log\log x$。

## 與質數階乘的關係

切比雪夫第一函數也是x的質數階乘x #的對數：

$$\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p = \log \prod_{p\le x} p = \log\left(x\#\right).$$

這說明了質數階乘x #漸近地等於e(1 + o(1))x，其中o是小o符號（見大O符號一文的說明），而這點與質數定理共同確立了pn #的漸近行為。

## 與質數計數函數間的關係

切比雪夫函數可透過下式與與質數計數函數發生關係。定義

$$\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \frac{\Lambda(n)}{\log n}.$$

那麼有

$$\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \int_n^x \frac{dt}{t \log^2 t} + \frac{1}{\log x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, dt}{t \log^2 t} + \frac{\psi(x)}{\log x}.$$

從Π到質數計數函數π間的轉換可由下式表示：

$$\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi\left(\sqrt{x}\,\right) + \tfrac{1}{3} \pi\left(\sqrt[3]{x}\,\right) + \cdots$$

由於很明顯地，有π (x) ≤ x之故，因此為了估計的目的，最後的關係式可重述如下：

$$\pi(x) = \Pi(x) + O\left(\sqrt{x}\,\right).$$

## 黎曼猜想

黎曼猜想指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為1。在這種狀況下，有x ρ = x，且可證明說

$$\sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} = O\!\left(\sqrt{x}\, \log^2 x\right).$$

由上式可推得

$$\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\!\left(\sqrt{x}\, \log x\right).$$

## 平滑化函數

平滑化切比雪夫函數定義如下：

$$\psi_1(x) = \int_0^x \psi(t)\,dt.$$

顯然有$\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.$

## 外部連結

- Riemann's Explicit Formula , with images and movies