非交換代數幾何

非交換代數幾何是非交換幾何的一個方向，研究非交換代數對象（如環）的形式對偶的幾何性質，以及由它們導出的幾何對象（如由沿局部膠合或取非交換疊商）的幾何性質。

例如，非交換代數幾何通過適當地粘合非交換環的譜，來推廣概形，已經取得了部分成功。非交換環推廣了交換概形上的交換正規函數環。在傳統（交換）代數幾何中，空間上的函數有由逐點乘積定義的積，函數的值交換時，函數也交換：$a\times b=b\times a$。值得注意的是，將非交換結合代數視作「非交換」空間上的函數代數是一種意義深遠的幾何直覺，儘管在形式上看像是謬誤。

非交換代數幾何的主要動機來自物理學，尤其是量子物理，當中可觀察量代數被視作函數的非交換類似物，因此有動機觀察其幾何性質。非交換代數幾何還為研究交換代數幾何中的對象（如布饒爾群）提供了新技術。

非交換代數幾何的方法與交換的類似，但基礎往往不同。交換代數幾何中的局部行為由局部環之類的交換代數對象來捕捉，在非交換環境中沒有類似的環論；不過在範疇論情景中，我們可以討論非交換譜上的准凝聚層的局部範疇疊。來自同調代數和K-理論的全局性質更常用於非交換情景。

## 歷史

### 經典方法：非交換局部化問題

交換代數幾何始於構造環的譜。代數簇（更一般的概形）的點是環的素理想，代數簇上的函數是環的元素。但非交換環可能沒有適當的非零雙側素理想，仿射空間上多項式微分算子的外爾代數就如此：外爾代數是單環。因此，可嘗試用主譜代替素譜：還有非交換局部化和下降理論。這在某種程度上是可行的：例如，雅克·迪克斯米耶的包絡代數可看作是為李代數的包絡代數的主譜研究非交換代數幾何。麥可·阿廷的「非交換環」筆記具有相似精神，部分內容嘗試從非交換幾何的角度研究表示論。這兩種方法的關鍵在於，不可約表示，或至少是主理想，可視作「非交換點」。

### 使用層範疇的現代觀點

事實證明，（舉例來說）要從主譜開始發展出一套可行的層理論並不容易。可以想像，這種困難由一種量子現象造成：空間中的點可以影響遠處的點（事實上，單獨處理點、將空間視作點集並不合適）。

於是，人們接受了Pierre Gabriel論文中預設的隱含範式，Gabriel–Rosenberg重構定理也部分證明了：在概形同構的意義下，交換概形可完全從概形上的准凝聚層的阿貝爾範疇重構出來。亞歷山大·格羅滕迪克指出，做幾何不需要空間，只要有空間上的層範疇就夠了。這思想由尤里·馬寧引入了非交換代數。（准）凝聚層的導出範疇中，有些稍弱的重構定理，是導出非交換代數幾何（下詳）的動機。

### 導出代數幾何

最新的方法是通過形變理論，將非交換代數置於導出代數幾何的領域中。

作為一個激勵性例子，考慮複數$\mathbb{C}$上的1維外爾代數，它是自由環$\mathbb{C}\langle x,\ y\rangle$對關係式

$$xy-yx=1$$

商。此環表示單變量x的多項式微分算子；y表示微分算子$\partial_x$。這個環符合$xy-yx=\alpha$關係給出的單參數族。α若非零，則關係決定了與外爾代數同構的環；α為零時，關係就是x與y的交換關係，由此得到的商環就是兩變量多項式環$\mathbb{C}[x,\ y]$。從幾何學角度看，兩變量多項式環表示2維仿射空間$\mathbb{A}^2$，因此單參數族的存在說明，仿射空間允許對外爾代數確定的空間進行非交換形變。這種形變與微分算子符號及$\mathbb{A}^2$是仿射線的餘切叢有關（研究外爾代數可獲得仿射空間資訊：外爾代數的迪克斯米耶猜想等同於仿射平面的雅可比猜想）。

這一思路中，算疇（運算集合或空間）概念變得尤為重要。Francis導言寫道：

我們開始研究一些不太交換的代數幾何。… $\mathcal{E}_n$環上的代數幾何可看作是非交換與交換代數幾何一些導出理論之間的插值。隨著n增加，這些$\mathcal{E}_n$-代數收斂到Toën-Vezzosi和盧里的導出代數幾何。

## 非交換環的射影

交換代數幾何的基本構造之一是分次交換環的射影構造，建立了射影簇和十分豐沛線叢，其齊次坐標環是原環。構造簇的底拓撲空間需要將環局部化，但構造空間上的層則不需要。根據讓-皮埃爾·塞爾的定理，分次環射影上的准凝聚層等同於環上的分次模，都是有限維因子。亞歷山大·格羅滕迪克提出的意象論認為，空間上的層範疇可作為空間本身。因此，在非交換代數幾何中，常以下面的方式定義射影：令R為分次C代數，Mod-R表示分次右R模範疇。令F表示Mod-R包含所有有限長模的子範疇。這樣，Proj R的定義是阿貝爾範疇Mod-R對F的商。等價地，它是Mod-R的局部化，其中若兩模與適當選擇的F對象直接相加後，在Mod-R中同構，則兩模同構。

這種方法引出了非交換射影幾何。非交換光滑射影曲線就是光滑交換曲線，但對於奇異曲線或光滑高維空間，非交換情景允許有新的對象。

## 參考文獻

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## 閱讀更多

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## 外部連結

- MathOverflow, Theories of Noncommutative Geometry