極值點

數學中，極值點（arguments of the maxima/minima，分別縮寫為arg max/arg min或argmax/argmin）是使函數輸出值取得極值的輸入點。函數的自變量在定義域上，因變量則在到達域上。

## 定義

給定任意集合X、全序集Y與函數$f\colon X \to Y$，則某子集$S\subseteq X$上的$\operatorname{argmax}$定義為

$$\operatorname{argmax}_S f := \underset{x \in S}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in S ~:~ f(s) \leq f(x),\ \forall s \in S \}.$$

若$S = X$或S在語境中明確，則通常省略S，如$\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{ x ~:~ f(s) \leq f(x),\ \forall s \in X \}.$也就是說，$\operatorname{argmax}$是點x的集合，使$f(x)$到達函數最大值（若存在）。$\operatorname{Argmax}$可以是空集、單元集，或包含多個元素。

在凸分析與變分分析中，$Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}$（是廣義實數）的情形時的定義略有不同。這時，若f等同於S上的$\infty$，則$\operatorname{argmax}_S f := \varnothing$（即$\operatorname{argmax}_S \infty := \varnothing$），否則$\operatorname{argmax}_S f$定義如上，這時$\operatorname{argmax}_S f$也可以寫成

$$\operatorname{argmax}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \sup {}_S f \right\}$$

這裡要強調的是，這個涉及$\sup {}_S f$的等式只有當f在S上不等同於$\infty$時才成立。

### Arg min

$\operatorname{argmin}$（或$\operatorname{arg\,min}$）表示極小值點，定義與之類似。例如

$$\underset{x \in S}{\operatorname{arg\,min}} \, f(x) := \{ x \in S ~:~ f(s) \geq f(x) \text{ for all } s \in S \}$$

是使函數值$f(x)$取得極小值的點x。它是$\operatorname{arg\,max}$的補算子。

在$Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \}$（是廣義實數）的情形時，若f在S上等同於$-\infty$，則$\operatorname{argmin}_S f := \varnothing$（即$\operatorname{argmin}_S -\infty := \varnothing$），否則$\operatorname{argmin}_S f$定義如上，這時它也滿足

$$\operatorname{argmin}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \inf {}_S f \right\}.$$

## 例子與性質

例如，若$f(x)=1 - |x|$，則f只有在$x = 0$這一點上取最大值1。因此

$$\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, (1 - |x|) = \{ 0 \}.$$

$\operatorname{argmax}$算子與$\max$不同，給定相同的函數時，後者返回函數極大值，而不是使函數取得極大值的點。也就是說

$\max_x f(x)$ is the element in $\{ f(x) ~:~ f(s) \leq f(x) \text{ for all } s \in S \}.$

max可以是空集（這時極大值未定義），這與$\operatorname{argmax}$相同；不同的是$\operatorname{max}$可能不含多個元素。

$\leq$

例如，取$f(x)=4 x^2 - x^4,$則$\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\},$但$\underset{x}{\operatorname{max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \{ 4 \}$因為函數在$\operatorname{argmax}$的每個元素上都取相同的值。

等價地，若M是f的極大值，則$\operatorname{argmax}$是極大值的水平集：

$$\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) = \{ x ~:~ f(x) = M \} =: f^{-1}(M).$$

可以將其重排，得到簡單的等式

$$f\left(\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) \right) = \max_x f(x).$$

若極大值點只有一個，那麼$\operatorname{argmax}$應被視為一個點，而非點集。例如

$$\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, (x(10 - x)) = 5$$

（而非單元集$\{ 5 \}$），因為$x (10 - x)$的極大值25僅在$x = 5$時取到。

$x (10 - x) = 25 - (x-5)^2 \leq 25$

$x - 5 = 0$

而若在多個點上都取得極大值，$\operatorname{argmax}$就應被視為點集。例如

$$\underset{x \in [0, 4 \pi]}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \{ 0, 2 \pi, 4 \pi \}$$

因為maximum value of $\cos x$的極大值1在$x = 0, 2 \pi,\ 4 \pi$時取到。在整條實數線上

$\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \left\{ 2 k \pi ~:~ k \in \mathbb{Z} \right\},$因此是無限集。

函數不必達到極大值，因此$\operatorname{argmax}$有時是空集。例如$\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x^3 = \varnothing$，因為$x^3$在實數線上無界。再舉個例子，$\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \arctan(x) = \varnothing$，雖然$\arctan$有界（$\pm\pi/2$），但由極值定理，閉區間上的連續實值函數必有極大值，因此有非空的$\operatorname{argmax}$。