平衡流

在大氣科學和海洋科學中，平衡流是大氣與海洋運動的理想化模型。理想化之處在於考慮具有恆定密度的一個孤立流體質點的行為，它在水平面上的運動受到選定的作用力的影響，最後達到近似平衡。平衡流分析往往以大氣運動作為對象，在少數情況下也可以應用到海洋流動的分析中。

平衡流通常是實際氣流的準確近似值，有助於提高對大氣運動的定性理解和解釋。特別是，平衡流的速度可以用作對地球表面特定氣壓分布之下的風速的估計。

## 自然坐標系中的動量方程

### 軌跡

動量方程主要是為獲取在水平面上流體質點運動的一般軌跡的方程。流體質點的位置由它在時間t所經過的軌跡s = s ( t ) 上的距離定義。然而，實際上，軌跡是作用在質點上的力平衡的結果。在本節中，為了方便表示，我們假設從一開始就知道軌跡的位置。當我們考慮由接下來選擇的力所決定的運動時，我們將知道哪種類型的軌跡適合特定的力平衡。

位置s處的軌跡有一個切線單位向量s，它始終指向s增長方向，以及一個垂直於s的單位向量n，它指向局部曲率中心 O。曲率中心位於彎道的「內側」，並且可以根據其形狀在軌跡的任一側移動。宗地位置與曲率中心之間的距離是該位置的曲率半徑R。曲率半徑在軌跡變直的點處接近無限長，並且在這種特殊情況下未確定n的正方向（在地轉流中討論）。參考系 ( s, n ) 由圖中的紅色箭頭表示。這個框架被稱為自然的或內在的，因為軸不斷地適應移動的氣塊，因此它們與它的命運最密切相關。

### 運動學

速度矢量 ( V ) 的方向與s類似，並且具有速率V = d s /d t。這個速率總是一個正數，因為任何包裹都沿著自己的軌跡移動，並且隨著時間的增加（d t >0），踩踏的長度也會增加（d s >0）。

氣塊的加速度矢量分解為平行於s的切向加速度和沿正n的向心加速度。切向加速度僅改變速度V並且等於 D V /D t，其中D/Dt表示物質導數。向心加速度始終指向曲率中心 O 並且僅在包裹移動時改變向前位移的方向s。

### 力

在平衡流理想化中，我們考慮三向力平衡：

- 氣壓梯度力。這是由於周圍大氣氣壓p的空間差異對氣塊產生的作用。（時間變化不重要) 氣壓的空間變化通過等壓線可視化，等壓線是連接氣壓具有相同值的位置的等高線。在圖中，這由等距的直線簡單地表示。作用在氣塊上的氣壓減去p的梯度向量（符號為： grad p）——在圖中繪製為藍色箭頭。在所有點上，氣壓梯度都指向p最大增加的方向，並且始終垂直於該點的等壓線。由於流動包感受到從較高氣壓到較低氣壓的推動，因此有效氣壓梯度力與氣壓梯度方向相反，因此出現梯度矢量之前的負號。
- 摩擦力。這是一個始終與向前運動相反的力，因此該矢量總是沿負方向s作用，從而降低速度。在平衡流模型中起作用的摩擦是由地球表面的粗糙度對上方移動的空氣施加的。為簡單起見，我們在這裡假設摩擦力（每單位質量）通過恆定摩擦係數K成比例地調整到包裹的速度。在更現實的條件下，摩擦對速度的依賴性是非線性的，除了緩慢的層流。
- 科里奧利力。由於地球的自轉，這一作用往往會使任何在北（南）半球行進的物體向其右（左）移動。其每單位質量的強度與速度V成正比，並且從赤道（其為零）向兩極增加的幅度與當地的科里奧利頻率f （赤道以北的正數和負的南部）成正比。因此，科里奧利矢量總是指向側面，即沿n軸。它在平衡方程中的符號可能會改變，因為n的正方向僅根據其曲率在軌跡的左右翻轉，而科里奧利矢量根據數據包在地球上的位置指向任一側。科里奧利力的精確表達比科里奧利參數和氣塊速度的乘積要複雜一些。然而，這種近似與忽略了地球表面的曲率是一致的。

在圖中繪製的虛擬情況下，氣壓差將氣塊沿軌跡向前推，並相對於彎道向內；科里奧利力將北（南）半球的彎道向內（向外）推；摩擦力（必然）向後遲滯。

### 主導方程

對於氣塊的動態平衡，加速度的任一分量乘以氣塊的質量等於作用在同一方向上的外力的分量。由於氣塊的平衡方程是用自然坐標編寫的，因此單位質量水平動量的分量方程表示如下：$$\frac{DV}{Dt} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s} - K V$$ $$\frac{V^2}{R} = - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n} \pm f V,$$分別在前向和側向方向，其中 ρ 是空氣的密度。

這些項可以分解如下：

- ${DV}/{Dt}$是氣塊的時間變化率（切向加速度）。
- $-{\partial p}/{\partial s}$是沿軌跡的每單位體積的氣壓分量。
- $-K V$是由於摩擦引起的減速度。
- ${V^2}/{R}$是向心加速度。
- $-{\partial p}/{\partial n}$是垂直於軌跡的每單位體積氣壓的分量。
- $\pm f V$是每單位質量的科里奧利力（符號模糊度取決於力矢量和n的相互方向）。

### 穩態假設

在下面的討論中，我們考慮穩態流動。因此，速度不能隨時間變化，產生切向加速度的分力需要總和為零。換句話說，主動和阻力必須在向前的方向上平衡，以便$DV/Dt=0$ .重要的是，還沒有假設右側的力在那裡是顯著的還是可以忽略不計的。此外，軌跡和流線在穩態條件下重合，並且成對的形容詞切向/正常和流向/交叉流變得可以互換。切向加速度不可忽略的大氣流動稱為等壓流動。

速度方向仍然可以沿著軌跡在空間中改變，不包括慣性流，由氣壓模式設定。

## 總體框架

### 模式化

省略切向和法向平衡方程中的特定項，我們得到以下五種理想化流動之一：反三向流動、地轉流動、旋衡流動、慣性流動和梯度流動。對應大氣科學中的五種風：逆轉風、地轉風、旋衡風、慣性風和梯度風。通過對剩餘項的平衡進行推理，我們可以明白：

- 什麼樣的氣壓場分布支持這種流動。
- 氣團沿著哪個軌跡行進。
- 流速多少。

以下是/否表顯示了在每個理想化中考慮了哪些貢獻。為了完整起見，還提到了埃克曼層的模式化，並單獨處理，因為它涉及空氣的內部摩擦，而不是空氣和地面之間的摩擦。

逆流｜地轉流｜旋轉流｜慣性流｜梯度流｜埃克曼流

慣性離心力（曲率）｜否｜否｜是｜是｜是｜否

摩擦力｜是｜否｜否｜否｜否｜是

氣壓｜是｜是｜是｜否｜是｜是

科里奧利力｜否｜是｜否｜是｜是｜是

### 局限性

#### 空氣特性的垂直差異

據說這些方程適用於在水平面上移動的空氣塊。事實上，當人們考慮一列大氣時，很少出現空氣密度在整個高度上都相同的情況，因為溫度和水分含量，因此密度，確實會隨著高度而變化。這樣一列中的每個包裹都根據其自身高度的空氣屬性移動。

只要較輕的空氣在較重的空氣頂部穩定分層會導致分層良好的空氣層，均勻的空氣層可能會一層一層地滑動。但是，如果某些空氣恰好比周圍的空氣重/輕，則確實會發生垂直運動並反過來改變水平運動。在自然界中，下降氣流和上升氣流有時會比平行於地面的運動更迅速、更強烈。平衡流方程不包含代表下沉/浮力作用的力或速度的垂直分量。

還要考慮氣壓通常是通過地面/海平面附近的儀器（氣壓計）測得的。普通天氣圖的等壓線匯總了這些氣壓測量值，並根據平均海平面調整了在某一特定時間的呈現一致性。這些數值代表了空氣柱頂的重量，並不表示空氣比重的變化細節。此外，根據伯努利定理，如果空氣發生顯著的垂直運動，測得的氣壓並不完全是氣柱的重量。因此，通過測量值並不能真正知道作用在不同高度的單個空氣塊上的氣壓。在平衡流動公式中使用表面氣壓圖中的資訊時，最好將力視為施加於整個空氣柱。

然而，在靠近地面/海洋的地方，每個氣柱中總是會出現一個空氣速度差異，如果任何地方的空氣密度相同並且沒有發生垂直運動，也是如此。在那裡，接觸面的粗糙度減緩了上方的空氣運動，這種減速效果隨著高度的增加而逐漸減弱。例如，參見行星邊界層。摩擦反絆流適用於地面附近，而其他模式適用於離地面足夠遠的地方，不會感覺到它的「制動」效果（自由氣流）。這是在概念上保持兩個組分開的原因。從低引用模式到高引用模式的過渡由類似埃克曼層的模式連接，其中空氣對空氣的摩擦、科里奧利和氣壓處於平衡狀態。

總之，平衡流速度很好地適用於可以被視為均勻（恆定密度，無垂直運動）或最多穩定分層（非恆定密度，但沒有垂直運動）的空氣柱。如果我們無法驗證這些情況的發生，估計就會出現不確定性。由於摩擦力的開關處理，他們也無法描述整個氣柱從與地球的接觸表面到外層大氣的運動。

#### 空氣特性的橫向差異

即使氣柱在高度上是均勻的，每個氣柱的密度也會因位置而異，首先因為氣團的溫度和水分含量因來源而異；然後由於氣團在流過地球表面時會改變它們的特性。例如，在溫帶氣旋中，圍繞低壓循環的空氣通常帶有一個溫度較高的扇區，該扇區楔入較冷的空氣中。氣旋循環的梯度流動模型不能兼容這些特徵。

平衡流模式可用於估計覆蓋地球表面幾個緯度的氣流中的風速。然而，在這種情況下，假設恆定的科里奧利參數是不現實的，可以局部應用平衡流速。將羅斯貝波作為緯度變化動態有效的示例。

#### 不穩定

平衡流方法確定了從平衡氣壓模式得出的典型軌跡和穩態風速。實際上，氣壓模式和氣團的運動是聯繫在一起的，因為氣團在某處的積累（或密度增加）會增加地面氣壓，反之亦然。任何新的氣壓梯度都會導致新的空氣置換，從而導致連續的重新排列。正如天氣本身所表明的那樣，穩態條件是例外的。

由於摩擦力、氣壓梯度和科里奧利力不一定平衡，氣團實際上會加速和減速，因此實際速度也取決於其過去的值。如下所示，平衡流中氣壓場和流動軌跡的整齊排列，無論是平行還是成直角，都是基於穩定流動的假設。

穩態平衡流方程首先沒有解釋流動是如何運動的。此外，如果氣壓場變化得足夠快，平衡流速無法幫助長距離跟蹤氣塊，這僅僅是因為氣塊在移動時感受到的力發生了變化。與遵循原始氣壓場的情況相比，粒子將最終到達其他地方。

總之，平衡流方程給出了一致的穩態風速，可以估計特定時刻和特定地點的情況。從長遠來看，這些速度不能可靠地用於了解空氣向何處移動，因為強迫自然變化或軌跡相對於氣壓場是傾斜的。

## 逆流

逆流描述了在空間變化的氣壓場中的穩態流動，當

- 整個氣壓梯度完全平衡了摩擦力。
- 所有導致曲率的力都被忽略了。

這個名字來自希臘語「anti」（反對，反）和「triptein」（摩擦）——意思是這種流動通過反摩擦來進行。

### 公式

在流向動量方程中，摩擦力平衡了氣壓梯度分量而不是可忽略的（因此K ≠0）。氣壓梯度矢量僅由沿軌跡切線s的分量構成。

沿流向的平衡決定了逆向速度為$$V = - \frac{1}{K\rho} \frac{\partial p}{\partial s}$$正速度是由逆流沿著氣壓場的向下斜率移動的事實保證的，因此在數學上${\partial p}/{\partial s} <0$ .假設乘積KV是恆定的且 ρ 保持不變，則p會隨s線性變化，並且軌跡是這樣的，即包裹在覆蓋相等距離時感受到相等的壓降。（當然，當使用非線性摩擦模型或在空間中變化的摩擦係數以允許不同的表面粗糙度時，這會發生變化。)

在橫流動量方程中，科里奧利力和法向氣壓梯度都可以忽略不計，導致沒有淨彎曲作用。作為離心項${V^2}/{R}$當速度不為零時消失，曲率半徑趨於無窮大，軌跡必須是直線。此外，軌跡垂直於等壓線，因為$\partial p/\partial n=0$ .由於這種情況發生在n方向是等壓線的方向時，所以s垂直於等壓線。因此，反三等壓線需要是等距的圓或直線。

### 應用

反三流可能是五種平衡流理想化中使用最少的，因為條件非常嚴格。然而，它是唯一一個下面的摩擦被認為是主要貢獻的。因此，反三向模式適用於發生在地球表面附近的流動，即在稱為恆定應力層的區域中。

實際上，恆定應力層中的流動也有一個平行於等壓線的分量，因為它通常是由更快的流動驅動的。這是由於所謂的高報價下的自由空氣流，往往平行於等壓線，以及中間報價的埃克曼流，這導致自由空氣速度降低和方向轉向，同時接近表面。

由於科里奧利效應被忽略，反三向流動要麼發生在赤道附近（與運動的長度尺度無關），要麼除非流動的埃克曼數很大（通常用於小尺度過程）才能發生在其他地方，而不是出現地轉流動。

反三向流可用於描述一些邊界層現象，例如海風、埃克曼泵送和大平原的低空急流。

## 地轉流

支持准地轉條件的幾乎平行的等壓線全球規模的西風氣流大致沿平行線從拉布拉多（加拿大）穿過北大西洋，直至俄羅斯內陸全球規模的東風西風流從俄羅斯橫跨歐洲至中緯度大西洋，大致沿平行線跨越一股偏北氣流從北極流向北緯 40 度以南的中緯度地區一股西北流位於兩個大規模反向旋轉的彎曲氣流（旋風和反旋風）之間。關閉等壓線表示高速地轉流描述了空間變化氣壓場中的穩態流動，當

- 摩擦效應被忽略。
- 整個氣壓梯度完全平衡了科里奧利力（導致沒有曲率）。

這種情況稱為地轉平衡。「geostrophic」這個名字源於希臘語「ge」（地球）和「strephein」（轉動）。這種詞源並不暗示軌跡的轉向，而是繞地球旋轉。

### 公式

在流向動量方程中，可忽略的摩擦由K = 0 表示，對於穩態平衡，可忽略的流向氣壓隨之而來。

速度不能由這個平衡來決定。然而， $\partial p/\partial s=0$意味著軌跡必須沿著等壓線運行，否則移動的包裹將經歷氣壓變化，就像反三向流一樣。因此，只有當等壓線首先是直線時，才可能發生彎曲。因此，地轉流表現為沿著這些等壓線引導的流。

在橫流動量方程中，不可忽略的科里奧利力由氣壓平衡，以使包裹不會受到任何彎曲作用。由於軌跡不彎曲，因此無法確定n的正方向，因為缺少曲率中心。在這種情況下，法線向量分量的符號變得不確定。然而，氣壓無論如何都必須完全抵消科里奧利力，因此空氣團需要隨著科里奧利力移動，這與氣壓的橫向減小斜率相反。因此，不管形式上設置單位向量n的不確定性如何，包裹在北（南）半球的左（右）總是以較低的氣壓行進。

地轉速度為$$V = \frac{1}{\rho} \left| \frac{1}{f} \frac {\partial p}{\partial n} \right| .$$地轉速度的表達類似於反三向速度的表達：這裡的速度由沿著（而不是穿過）等壓線發展的軌跡上（而不是沿著）軌跡的氣壓梯度的大小決定。

### 應用

建模者、理論家和業務預報員經常使用地轉/准地轉近似。因為摩擦力不重要，地轉平衡適合在地表上方足夠高處的流動。因為科里奧利力是相關的，所以它通常適合具有較小羅斯貝數的過程，通常具有較大的長度尺度。與反三流條件相反，小埃克曼數的流動也實現了地轉條件。

地轉條件經常在明確的高壓和低壓對之間發展；或者主要的地轉流兩側有幾個高壓和低壓區域（見圖）。儘管平衡流動方程不允許內部（空氣對空氣）摩擦，但地轉流和附近旋轉系統中的流動方向也與它們之間的剪切接觸一致。

地轉流的速度大於（小於）在具有相同氣壓梯度的低壓（高壓）周圍的彎曲流中的速度：這個特徵可以通過更一般的梯度流模式化來解釋。這有助於將地轉速度用作更複雜布置的粗略估計。

顯示的術語和氣壓圖表明地轉流可以描述相當大尺度的大氣運動，儘管實際情況不一定如此。

## 旋衡流

旋衡流（cyclostrophic flow）描述了在空間變化的氣壓場中的穩態流動，當

- 忽略摩擦和科里奧利作用。
- 向心加速度完全由氣壓梯度維持。

軌跡確實彎曲。「cyclostrophic」這個名字源於希臘語「kyklos」（圓圈）和「strephein」（轉身）。

### 公式

與地轉平衡一樣，流動是無摩擦的，對於穩態運動，軌跡遵循等壓線。

在橫流動量方程中，只去掉了科里奧利力，所以向心加速度就是單位質量的橫流氣壓$$\frac{V^2}{R} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n}.$$這意味著軌跡受到彎曲作用，並且旋衡速度為$$V = \sqrt{ -\frac{R}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n}}.$$因此，旋衡速度由軌跡上氣壓梯度的大小和等壓線的曲率半徑決定。流動速度更快，離曲率中心越遠，儘管不是線性的。

交叉流動量方程的另一個含義是旋衡流只能在低壓區域旁邊發展。這隱含在平方根下的數量為正的要求中。回想一下，旋衡軌跡被發現是等壓線。只有當氣壓從曲率中心向外增加時，氣壓導數是負的並且平方根是明確定義的——因此曲率中心的氣壓必須很低。上面的數學沒有給出旋轉最終是順時針還是逆時針的線索，這意味著最終的排列是關係中不允許的效應的結果，即父單元的旋轉。

### 應用

當科里奧利力和摩擦力都可以忽略不計時，即對於具有大羅斯貝數和小埃克曼數的流動，旋衡流是現實的。科里奧利效應在低緯度或更小尺度上通常可以忽略不計。在諸如龍捲風、沙塵暴和水龍捲等系統中可以實現旋轉平衡。迴旋速度也可以看作是梯度平衡速度的貢獻之一，如下所示。

在使用旋衡風模式化的研究中，Rennó 和 Bluestein 使用旋衡速度方程來構建水龍捲理論；和 Winn、Hunyady 和 Aulich 使用旋衡風近似計算 1995 年 6 月 8 日在德克薩斯州艾利森附近經過的大型龍捲風的最大切向風。

## 慣性流

慣性流（inertial flow）與所有其他流動不同，慣性平衡意味著均勻的氣壓場。在這個理想化模型中：

- 流動是無摩擦的。
- 不存在氣壓梯度（和力）。

剩下的力就是科里奧利力，它使得軌跡產生曲率。

### 公式

如前所述，穩態條件下的無摩擦流動意味著$\partial p / \partial s =0$ .但是，在這種情況下，等壓線首先沒有定義。我們無法從氣壓場的排列中得出任何關於軌跡的預期。

在橫流動量方程中，省略氣壓後，向心加速度為單位質量的科里奧利力。符號歧義消失了，因為彎曲完全由科里奧利力決定，該力使彎曲的一側不受挑戰 - 所以這個力總是一個正號。慣性旋轉將在北（南）半球順時針（逆時針）。動量方程：

$$\frac{V^2}{R} = \left| f \right| V ,$$可以推出慣性速度$$V = \left| f \right| R .$$一旦給出了另一個，慣性速度方程僅有助於確定速度或曲率半徑。這種運動產生的軌跡也稱為慣性圓。平衡流模型沒有給出慣性圓的初始速度的任何線索，它需要由一些外部擾動觸發。

### 應用

由於大氣運動主要是由氣壓差引起的，慣性流在大氣動力學中不是很適用。然而，慣性速度似乎對梯度速度的解有貢獻（見下文）。此外，在洋流中觀察到慣性流動，由於密度較高，與空氣相比，流動受氣壓差的驅動較少——慣性平衡可以在海洋較深處發生，使得由表面風向下傳遞的摩擦力基本可以忽略。

## 梯度流

梯度流（gradient flow）是地轉流的延伸，因為它也考慮了曲率，使其更準確地近似於高層大氣中的流動。然而，數學上梯度流稍微複雜一些，地轉流可能相當準確，所以梯度近似並不經常被提及。

梯度流也是旋衡流的延伸，因為它允許科里奧利力的影響，使其適用於任何羅斯貝數的流動。最後，它還是慣性平衡的延伸，因為它允許氣壓梯度力來驅動流動。

### 公式

與除反三向平衡外的所有平衡一樣，在流向動量方程中忽略了摩擦力和氣壓，因此它遵循$\partial p / \partial s = 0$流動平行於等壓線。

將完整的交叉流動量方程求解為V的二次方程，得到$$V = \pm \frac{ f R }{2} \pm \sqrt{ \frac{f^2 R^2}{4} - \frac{R}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n} } .$$並非所有梯度風速的解都會產生物理上合理的結果：由於速度的定義，右側作為一個整體需要為正；並且平方根下的數量必須是非負的。第一個符號歧義來自科里奧利力和單位向量n的相互方向，而第二個來自平方根。

接下來討論氣旋和反氣旋環流的重要情況。

#### 低壓和氣旋

對於常規氣旋（氣壓低點周圍的空氣循環），氣壓是向內的（正項），科里奧利力是向外的（負項），與半球無關。交叉軌跡動量方程為$$\frac{V^2}{R} = \frac{1}{\rho}\left|\frac{\partial p}{\partial n}\right| - \left| f \right| V.$$兩邊除以| f | V，可發現：$$\frac{ V_\text{geostrophic} }{ V_\text{cyclone} } = 1 + \frac{ V_\text{cyclone} }{ V_\text{inertial} } > 1 ,$$其中氣旋梯度速度V小於相應的地轉速度，不太準確的估計，並且隨著曲率半徑的增長（隨著慣性速度趨於無窮大）自然地接近它。因此，在旋風分離器中，與地轉速度的無曲率值相比，曲率會減慢流動速度。氣旋方程的正根是$$V_\text{cyclone} = -\frac{ V_\text{inertial} }{2} + \sqrt{ \frac{V_\text{inertial}^2}{4} + V_\text{cyclostrophic}^2 }.$$顯然根號內的項總是非負的值。

#### 高壓和反氣旋

在反氣旋（氣壓高點周圍的空氣循環）中，無論半球如何，科里奧利力總是向內（和正），而氣壓總是向外（和負）。交叉軌跡動量方程為$$\frac{V^2}{R} = -\frac{1}{\rho} \left|\frac{\partial p}{\partial n}\right| + \left| f \right| V.$$兩邊除以| f | V，我們得到$$\frac{ V_\text{geostrophic} }{ V_\text{anticyclone} } = 1 - \frac{ V_\text{anticyclone} }{ V_\text{inertial} } < 1,$$從而反氣旋梯度速度V大於地轉值並隨著曲率半徑變大而接近它。因此，在反氣旋中，與（地轉）無曲率值相比，等壓線的曲率會加速氣流。

V 有兩個正根，但唯一符合地轉條件限制的一個是$$V_\text{anticyclone} = \frac{ V_\text{inertial} }{2} - \sqrt{ \frac{ V_\text{inertial}^2 }{4} - V_\text{cyclostrophic}^2 }$$這就要求$V_\text{inertial} \ge 2 V_\text{cyclostrophic}$。這個條件可以轉化為這樣的要求：給定一個在一定緯度上具有恆定氣壓斜率的高壓區，在高壓區周圍一定有一個沒有風的圓形區域。在其圓周上，空氣以相應慣性速度的一半（以旋衡速度）運動，半徑為$$R^* = \frac{4}{\rho f^2} \left| \frac{\partial p}{\partial n} \right| ,$$通過解決R的上述不等式獲得。在這個圓之外，隨著曲率半徑的增加，速度降低到地轉值。這個半徑的寬度隨著氣壓梯度的強度而增長。

### 應用

梯度流可用於研究圍繞具有小羅斯貝數的高壓和低壓中心旋轉的大氣流動。這是圍繞氣壓中心的流動曲率半徑較小的情況，並且地轉流動不再以有用的準確度應用。

## 平衡流流速比較

在相同條件下，每個平衡流理想化都會對風速給出不同的估計。在這裡，我們主要關注在高層大氣中有效的模式。

首先，假設有一塊空氣樣本在海面以上 500 米處流動，因此摩擦效應已經可以忽略不計。平均海平面以上 500 米處（乾燥）空氣的密度為 1.167 kg/m 3根據其狀態方程。

其次，讓驅動流動的氣壓用變化率來衡量，取為 1hPa/100公里（平均值）。回想一下，重要的不是氣壓的值，而是它在軌跡上變化的斜率。該斜率同樣適用於直線等壓線（地轉流）或彎曲等壓線（旋衡和梯度流）的間距。

第三，讓包裹在 45 度的緯度上移動，無論是在南半球還是北半球——所以科里奧利力在使用 0.000115 赫茲的科里奧利參數時起作用。

平衡流速也隨著軌跡/等壓線的曲率半徑 R 而變化。在圓形等壓線的情況下，如示意圖旋風分離器和反旋風分離器，曲率半徑也是分別與低壓和高壓的距離。

取其中兩個這樣的距離 R： 100公里和 300km，速度為（m/s）

地轉｜旋衡｜慣性｜梯度（H-氣壓）｜梯度（L-氣壓）

7.45｜9.25｜11.50｜不適用｜5.15

7.45｜16.00｜34.50｜10.90｜6.30

該圖表顯示了在上面選擇的條件下以及隨著曲率半徑的增加，不同的速度如何變化。

地轉速度（粉紅色線）完全不依賴於曲率，它表現為一條水平線。然而，隨著曲率半徑變得無限大，氣旋和反氣旋的梯度速度接近它——地轉平衡確實是梯度流動的極限情況，用於消失的向心加速度（即氣壓和科里奧利力完全平衡）。

旋衡速度（黑線）從零開始增加，其與 R 的增長率小於線性。實際上，無限的速度增長是不可能的，因為支持流動的條件在一定距離處發生了變化。還記得旋衡條件適用於小規模過程，因此外推到更高的半徑在物理上沒有意義。

與我們選擇的氣壓梯度無關的慣性速度（綠線）從零開始線性增加，並且很快變得比其他任何速度都大得多。

梯度速度帶有兩條曲線，適用於低氣壓（藍色）和高氣壓（紅色）附近的速度。隨著半徑的增加，氣旋環流中的風速從零開始增長，並且始終小於地轉估計值。

在反氣旋循環的例子中，260km 的距離內沒有風（點 R*）——這是高壓周圍無風/低風的區域。在該距離處，第一個反氣旋風的速度與旋衡風相同（Q 點），是慣性風（P 點）速度的一半。離點 R* 越遠，反氣旋風就越慢，並以越來越大的速度接近地轉值。

曲線中還有另一個值得注意的點，標記為 S，其中慣性、旋衡和地轉速度相等。S 處的半徑始終是 R* 的四分之一，即 65 公里處。

圖解的一些限制也變得明顯。例如，隨著曲率半徑沿子午線增加，緯度的相應變化意味著科里奧利參數的不同值，進而意味著力。相反，如果半徑沿平行線，科里奧利力保持不變。所以，在循環流動的情況下，包裹的速度不太可能圍繞整圈不及時變化，因為空氣包裹在穿越不同緯度時會感受到不同強度的科里奧利力。此外，氣壓場很少採用整齊的圓形等壓線形狀，在整個圓圈周圍保持相同的間距。此外，重要的密度差異也出現在水平平面中，例如當較暖的空氣加入氣旋環流時，從而在冷鋒和暖鋒之間形成了一個暖區。