本徵態熱化假說

本徵態熱化假說（或ETH）是一組旨在解釋何時以及為何可以使用平衡態統計力學準確描述孤立的量子力學系統的想法。特別的，它致力於了解最初在遠離平衡狀態下製備的系統如何及時演化到似乎處於熱平衡的狀態。「本徵態熱化」一詞最初由 Mark Srednicki 於 1994 年提出，此前 Josh Deutsch 於 1991 年提出了類似的想法本徵態熱化假說的基本原理是，我們不應該像經典力學那樣通過動力學混沌機制來解釋熱力學系統的遍歷性，而應該檢查系統的單個能量本徵態中可觀測量的矩陣元素的性質。

## 動機

在統計力學中，微正則系綜是一種特殊的統計系綜，用於預測在孤立系統上進行的實驗結果，這些系統被認為處於確切已知能量的宏觀平衡狀態。微正則系綜基於這樣的假設：當探測這樣一個平衡系統時，在具有相同總能量的任何微觀狀態下發現它的機率具有相等的機率。有了這個假設，可觀察量的整體平均值是通過對該可觀察量在所有總能量符合的微觀狀態$i$上的平均$A_i$得到的:

$$\bar{A}_{\mathrm{classical}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N A_i$$

重要的是，除了能量之外，這個量與初始狀態的一切無關。

由於動力學混沌的結果，遍歷性假設在經典力學中得到了很好的推動，因為混沌系統通常會在其相空間的相同區域中花費相同的時間。如果我們在相空間的某些區域準備一個孤立的、混沌的經典系統，那麼當允許該系統隨時間演化時，它將對其整個相空間進行採樣，僅服從少量守恆定律（例如守恆定律）的總能量）。如果人們能夠證明給定的物理系統是遍歷的，那麼這一機制將為統計力學為何能夠成功地做出準確的預測提供解釋。例如，硬球氣體已被嚴格證明是遍歷的。

這個論點不能直接擴展到量子系統，即使是類似於混沌經典系統的量子系統，因為量子系統的時間演化並不能以給定的能量對希爾伯特空間中的所有向量進行均勻採樣。在零時刻在能量本徵態基底上給出一個初態

$$| \Psi(0) \rangle = \sum_{\alpha} c_{\alpha} | E_{\alpha} \rangle,$$

任何可觀測值的期望值$\hat{A}$是

$$\langle \hat{A} \rangle_t \equiv \langle \Psi(t) | \hat{A} |\Psi(t) \rangle = \sum_{\alpha, \beta} c_{\alpha}^{*} c_{\beta} A_{\alpha \beta} e^{-i \left ( E_{\beta} - E_{\alpha} \right )t / \hbar }.$$

即使$E_{\alpha}$的分布是不均勻的，因此該觀察量的長時間期望值由下式給出

$$\langle \hat{A} \rangle_t \overset{t\to\infty}{\approx} \sum_{\alpha} \vert c_{\alpha}\vert^2 A_{\alpha \alpha},$$

期望值以係數的形式永久保留初始狀態的知識$c_{\alpha}$。

因此，原則上，一個懸而未決的問題是，在任意初始狀態下製備的孤立量子力學系統是否會接近類似於熱平衡的狀態，在該狀態下，少數可觀測量足以對系統做出成功的預測。然而，在冷原子氣體中進行的各種實驗確實觀察到系統中的熱弛豫，這些系統非常接近地與環境完全隔離，並且具有多種初始狀態。解釋實驗觀察到的平衡統計力學對孤立量子系統的適用性的任務是本徵態熱化假說的主要目標。

## 陳述

假設我們正在研究一個孤立的量子力學多體系統。在本文中，「隔離」是指系統與其外部環境沒有（或至少可以忽略不計）交互。如果系統的哈密頓量表示為$\hat{H}$，然後根據哈密頓量的本徵態給出系統的一組完備本徵基。

$$\hat{H} |E_{\alpha} \rangle = E_{\alpha}|E_{\alpha} \rangle ,$$

此處$|E_{\alpha} \rangle$是具有本徵值值$E_{\alpha}$的哈密頓量本徵態。我們將這些狀態簡稱為「能量本徵態」。為了簡單起見，我們假設系統的能量本徵值不存在簡併性，並且其範圍是有限的，因此能量本徵值形成離散的、非簡併的譜（這並裶是一個不合理的假設，因為任何「現實」的實驗室系統往往具有足夠的無序性和足夠強的相互作用，以消除系統中幾乎所有的簡併性，當然，其規模也是有限的）。這使我們能夠按照能量本徵值遞增的順序來標記能量本徵態。此外，考慮一些其他量子力學可觀察的$\hat{A}$，我們希望對其進行熱力學預測。該算子的矩陣元素，以能量本徵態表示，為

$$A_{\alpha \beta} \equiv \langle E_{\alpha} | \hat{A} | E_{\beta} \rangle .$$

現在，我們假設我們將系統製備在某初態，其$\hat{A}$的期望值，與在適合所討論的能量尺度的微正則系綜中預測的值相去甚遠（我們假設我們的初始狀態是能量本徵態的某種疊加，被疊加的本徵態在能量上都足夠「接近」）。本徵態熱化假說指出，對於任意初始狀態，期望值$\hat{A}$最終將及時演化到微正則系綜所預測的值，此後將僅在該值附近表現出較小的波動，前提是滿足以下兩個條件：

- 對角矩陣元素$A_{\alpha \alpha}$作為能量的函數平滑變化，相鄰值之差， $A_{\alpha + 1,\alpha + 1} - A_{\alpha,\alpha}$，隨系統規模呈指數級減小。
- 非對角矩陣元素$A_{\alpha \beta}$，即$\alpha \neq \beta$，比對角矩陣元素小得多，特別是它們本身在系統規模上呈指數級減小。

這些條件可以寫成

$$A_{\alpha\beta} \simeq \overline{A}\delta_{\alpha\beta}+\sqrt{\frac{\overline{A^2}}{\mathcal{D}}}R_{\alpha\beta},$$

此處$\overline{A}=\overline{A}(E_\alpha)$和$\overline{A^2}=\overline{A^2}(E_\alpha,E_\beta)$是能量的平滑函數， $\mathcal{D}=e^{sV}$是多體希爾伯特空間的維度，並且$R_{\alpha\beta}$是均值為零且方差為一的隨機變量。相反來說，如果量子多體系統滿足 ETH，則任何表示在能量本徵基中的局部算子的矩陣，都有望遵循上述假設。

## 對角系綜和微正則系綜的等價性

我們可以定義算子期望值的長期平均值$\hat A$根據表達式

$$\overline{A} \equiv \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\langle \Psi(t) | \hat A |\Psi(t)\rangle~ dt.$$

如果我們使用該期望值的時間演化的顯式表達式，我們可以寫

$$\overline{A} = \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\left [ \sum_{\alpha, \beta=1}^{D}c_{\alpha}^{*}c_{\beta} A_{\alpha \beta} e^{-i \left (E_{\beta} - E_{\alpha} \right )t/\hbar} \right ]~ dt.$$

該表達式中的積分可以準確得到，結果為

$$\overline{A} = \sum_{\alpha=1}^{D}|c_{\alpha}|^{2}A_{\alpha \alpha} + i \hbar \lim_{\tau \to \infty} \left [ \sum_{\alpha \neq \beta}^{D} \frac{c_{\alpha}^{*}c_{\beta}A_{\alpha \beta}}{E_{\beta}-E_{\alpha}}\left ( \frac{e^{-i \left (E_{\beta} - E_{\alpha} \right )\tau/\hbar}-1}{\tau} \right ) \right ].$$

隨著極限趨於無窮大，第二個求和中的每一項都會變得更小。假設第二個求和中不同指數項之間的相位相干性永遠不會變得足夠大以對抗這種衰減，第二個求和將變為零，並且我們發現期望值的長時間平均值為

$$\overline{A} = \sum_{\alpha=1}^{D}|c_{\alpha}|^{2}A_{\alpha \alpha}.$$

這種對可觀察量$\hat A$的時間平均值的預測被稱為對角系綜中的預測值，對角系綜最重要的方面是它明確依賴於系統的初始狀態，因此似乎保留了系統所有的初始資訊。相反，微正則系綜中的預測值由以系統平均能量為中心的某個能量窗口內所有能量本徵態的等權平均值給出

$$\langle A \rangle_{\text{mc}} = \frac{1}{\mathcal{N}} \sum_{\alpha'=1}^{\mathcal{N}}A_{\alpha' \alpha'},$$

此處$\mathcal{N}$是符合適當能量的狀態數，求和指標上的撇表示求和僅限於該適當能量的微觀狀態。與對角系綜不同，該預測完全不參考系統的初始狀態。因此，目前尚不清楚為什麼微正則系綜應該對如此廣泛的物理系統中可觀測值的長期平均值提供如此準確的描述。

然而，假設矩陣元素$A_{\alpha \alpha}$在相關能量窗口內實際上是恆定的，波動足夠小。如果這是真的，則可以有效地從總和中提取出這個常數值 A，並且對角系綜的預測簡單地等於該值。

$$\overline{A} = \sum_{\alpha=1}^{D}|c_{\alpha}|^{2}A_{\alpha \alpha} \approx A\sum_{\alpha=1}^{D}|c_{\alpha}|^{2} = A,$$

我們假設初始狀態已歸一化。同樣，微正則系綜的預測變為

$$\langle A \rangle_{\text{mc}} = \frac{1}{\mathcal{N}} \sum_{\alpha'=1}^{\mathcal{N}}A_{\alpha' \alpha'} \approx \frac{1}{\mathcal{N}} \sum_{\alpha'=1}^{\mathcal{N}}A = A.$$

因此，兩個系綜得到的結果是一致的。

這種$A_{\alpha \alpha}$在小能量窗口守恆是本徵態熱化假說的主要思想。請特別注意，它指出了$\hat A$在單個能量本徵態中的期望值等於在該能量尺度上構建的微正則系綜所預測的值。這構成了量子統計力學的基礎，它與建立在動態遍歷性概念之上的經典統計力學完全不同。

## 檢驗

對小晶格系統的一些數值研究似乎暫時證實了相互作用系統中本徵態熱化假說的預測，這些系統預計會熱化。同樣，可積系統往往不遵守本徵態熱化假說。

如果對高激發態的性質做出某些假設，也可以獲得一些分析結果。Mark Srednicki 於 1994 年發表的關於 ETH 的原始論文特別研究了絕緣盒子中的量子硬球氣體的例子。眾所周知，這是一個典型地表現出混沌的系統。對於足夠高能量的狀態，這個硬球粒子多體系統中的能量本徵函數將表現為平面波的疊加，這些平面波以隨機相位和高斯分布的振幅進入疊加 （論文中闡明了這種隨機疊加的精確概念）。在這一假設下，我們可以證明，在熱力學極限內的修正可以忽略不計的情況下，每個單獨的、可區分的粒子的動量分布函數等於麥克斯韋-玻爾茲曼分布

$$f_{\rm MB} \left ( \mathbf{p}, T_{\alpha} \right ) = \left ( 2 \pi m k T \right )^{-3/2}e^{-\mathbf{p}^{2}/2mkT_{\alpha}},$$

此處$\mathbf{p}$是粒子的動量，m 是粒子的質量，k 是玻爾茲曼常數，「溫度」 $T_{\alpha}$根據理想氣體的通常狀態方程與本徵態的能量相關。

$$E_{\alpha} = \frac{3}{2}NkT_{\alpha},$$

其中 N 是氣體中的粒子數。這個結果是 ETH 的具體表現，因為它導致對一種能量本徵態中可觀測值的預測，這與從微正則（或正則）系綜得出的預測一致。請注意，沒有對初始狀態進行任何平均，也沒有調用任何類似於H 定理的東西。此外，如果對構成氣體的粒子施加適當的交換關係，還可以導出適當的玻色-愛因斯坦或費米-狄拉克分布。

目前，人們還不清楚硬球氣體的本徵態能量必須有多高才能遵守 ETH。一個粗略的標準是每個粒子的平均熱波長足夠小於硬球粒子的半徑，以便系統可以探測經典導致混沌的特徵（即粒子具有有限尺寸）。然而，可以想像，這個條件或許可以放寬，也許在熱力學極限下，任意低能量的能量本徵態都會滿足ETH（除了基態本身，它需要具有某些特殊性質，對於例如，缺少任何節點）。

## 備選方案

人們經常提出對孤立量子系統熱化的三種替代解釋：

- 對於物理興趣的初態，係數$c_{\alpha}$表現出從本徵態到本徵態的大的漲落，其方式與$A_{\alpha \alpha}$從本徵態到本徵態的漲落完全不相關。由於係數和矩陣元素不相關，對角系綜中的求和有效地執行了值的無偏採樣$A_{\alpha \alpha}$超過適當的能量窗口。對於足夠大的系統，這種無偏採樣應該產生一個接近於$A_{\alpha \alpha}$的真實平均值，在此窗口上將有效地再現微正則系綜的預測。然而，由於以下啟發式原因，該機制可能不受歡迎。通常，人們對物理情況感興趣，在這種情況下，$\hat A$的初始期望值遠離其均衡值。為此，初始狀態必須包含$\hat A$的某種特定信息，因此我們懷疑初始狀態是否真正代表了值的無偏採樣$A_{\alpha \alpha}$超過適當的能量窗口。此外，無論這是否屬實，它仍然無法回答任意初始狀態何時達到平衡（如果達到平衡）的問題。
- 對於物理興趣的初態，係數$c_{\alpha}$實際上是恆定的，並且根本不會漲落。在這種情況下，對角系綜與微正則系綜完全相同，並且它們的預測為何相同並不神秘。然而，這種解釋並不受歡迎，原因與第一種解釋大致相同。
- 證明可積量子系統在參數的簡單規則時間依賴性條件下熱化，這表明宇宙的宇宙膨脹和最基本的運動方程的可積性最終是熱化的原因。

## 期望值的時間漲落

ETH 對可觀測量的對角線元素施加的條件負責對角線和微正則系綜的預測的相等性。然而，這些長時間平均值的相等並不能保證圍繞該平均值的時間漲落會很小。也就是說，長時間平均值的相等並不能確保$\hat A$將穩定在這個長期平均值，然後大部分時間都停留在這個值上。

為了推斷可觀測量的期望值在其時間均值附近表現出小的漲落所需的條件，我們研究時間漲落的均方振幅，定義為

$$\overline{\left (A_{t} - \overline{A} \right )^{2}} \equiv \lim_{\tau \to \infty}\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau } \left (A_{t} - \overline{A} \right )^{2}dt,$$

這裡$A_{t}$是期望值的簡寫符號$\hat A$在時間 t。這個表達式可以顯式計算，且

$$\overline{\left (A_{t} - \overline{A} \right )^{2}} = \sum_{\alpha \neq \beta}|c_{\alpha}|^{2}|c_{\beta}|^{2}|A_{\alpha \beta}|^{2}.$$

只要非對角元滿足 ETH 的限制條件，即它們在系統規模中呈指數級衰減，關於長期平均值的時間漲落就會很小。請注意，這種情況允許出現孤立的復甦時間，其中相位一致排列，以產生遠離長時間平均值的大波動。只要上述均方幅度足夠小，系統遠離長期平均值的時間就保證很小。然而，如果一個系統呈現動態對稱性，它將在長時間平均值附近周期性振盪。

## 量子漲落和熱漲落

量子力學可觀測量的期望值表示對相同準備的量子態系綜進行重複測量後測得的平均值。因此，雖然我們一直在研究這個期望值作為主要感興趣的對象，但尚不清楚它在多大程度上代表了物理相關量。由於量子漲落，可觀測值的期望值通常不是在孤立系統上進行的一次實驗中測量到的值。然而，已經表明，對於滿足 ETH 的可觀測值，其期望值的量子漲落通常與傳統微正則系綜中預測的熱漲落具有相同的數量級。這進一步證實了 ETH 是導致孤立量子系統熱化的潛在機制的觀點。

## 一般有效性

目前，一般相互作用系統的本徵態熱化假說還沒有已知的分析推導。然而，在這些方法的不確定性範圍內，使用數值精確對角化技術已經證明它對於各種相互作用的系統都是正確的。在半經典極限的某些特殊情況下，它也被證明是正確的，其中 ETH 的有效性取決於 Shnirelman 定理的有效性，該定理指出，在經典的混沌系統中，算子$\hat A$在能量本徵態中的期望值等於其在相應能量下的經典微正則平均值。在相互作用的量子系統中是否可以更普遍地證明它是正確的仍然是一個懸而未決的問題。眾所周知，某些可積系統會明顯失效，在這些系統中，大量運動常數的存在會阻礙熱化。

同樣需要注意的是，ETH 根據具體情況對特定可觀察量做出聲明 - 它不會對系統中的所有可觀察量是否都會遵守 ETH 做出任何聲明。事實上，這肯定不可能是真的。給定能量本徵態的基礎，人們總是可以顯式構造一個違反 ETH 的算符，只需在此基礎上將該算符寫為一個矩陣，其元素顯式地不遵守 ETH 施加的條件。相反，通過寫下一個矩陣，其元素被專門選擇來服從 ETH，找到滿足ETH 的算符總是可能的。鑑於此，人們可能會認為 ETH 的用處有些微不足道。然而，要記住的重要考慮因素是，如此構建的這些算符可能沒有任何物理相關性。雖然人們可以構建這些矩陣，但尚不清楚它們是否對應於可以在實驗中實際測量的可觀測值，或者是否與物理上有趣的量有任何相似之處。系統希爾伯特空間上的任意厄米算子不需要對應於物理上的可觀測量。

通常，ETH 被假設為對「少體算子」有效，即僅涉及少量粒子的可觀察量。這方面的例子包括粒子氣體中給定動量的占據，或粒子晶格系統中特定位置的占據。請注意，雖然 ETH 通常應用於諸如此類的「簡單」少體算子，但這些可觀測量不需要在空間中是局域的 - 上例中的動量算子並不代表局域量。

儘管傳統統計力學做出了預測，但孤立的、不可積的量子系統未能熱化的情況也引起了相當大的興趣。表現出多體局域化的無序系統是此類行為的候選者，可能存在激發能本徵態，其熱力學性質更接近於基態。一個沒有靜態無序的完全孤立的、不可積的系統是否會無法熱化仍然是一個懸而未決的問題。一種有趣的可能性是「量子解糾纏液體」的實現。在熱化系統中，是否所有本徵態都必須服從 ETH，這也是一個懸而未決的問題。

本徵態熱化假說與混沌的量子性質密切相關（參見量子混沌）。此外，由於經典混沌系統也是遍歷的，因此幾乎所有其軌跡最終都會均勻地探索整個可訪問相空間，這意味著量子混沌系統的本徵態在半經典近似$\hbar \rightarrow 0$下均勻地填充量子相空間（直到隨機漲落）。特別地，有一個量子遍歷定理表明算子的期望值在$\hbar \rightarrow 0$時收斂到相應的微正則經典平均值。然而，量子遍歷定理留下了非遍歷態的可能性，例如量子疤痕。除了傳統的疤痕之外，還有另外兩種類型的量子疤痕，它們進一步說明了量子混沌系統中的弱遍歷性破缺：擾動引起的量子疤痕 和多體量子疤痕。由於前者產生了特殊的近簡併未擾動態和擾動的局部性質的綜合效應，疤痕可以減慢無序量子點和量子阱中的熱化過程，進一步這些量子疤痕可用於在無序納米結構中以高保真度傳播量子波包，這一事實說明了這一點。另一方面，後一種形式的疤痕被推測 是實驗觀察到的冷原子熱化出乎意料緩慢的罪魁禍首。

## 外部連結

- "Overview of Eigenstate Thermalization Hypothesis" by Mark Srednicki, UCSB, KITP Program: Quantum Dynamics in Far from Equilibrium Thermally Isolated Systems
- "The Eigenstate Thermalization Hypothesis" by Mark Srednicki, UCSB, KITP Rapid Response Workshop: Black Holes: Complementarity, Fuzz, or Fire?
- "Quantum Disentangled Liquids" by Matthew P. A. Fisher, UCSB, KITP Conference: From the Renormalization Group to Quantum Gravity Celebrating the science of Joe Polchinski