霍爾婚配定理

數學上，霍爾婚配定理婚配之名見於。（Hall's marriage theorem）是菲利浦·霍爾最先證明的圖論定理，又稱霍爾定理，描述二分圖中，能將一側全部頂點牽線匹配到另一側的充要條件。定理另有一個等價的組合敍述，確定一族有限集合在何種充要條件下，可自每個集合各揀選一個元素，而使所選元素兩兩互異（即沒有元素是重復的）。

## 集族表述

設 $S$ 為 $X$ 的有限子集。也可以允許無窮集，但此時須限制族中的集合數有限（考慮重數），見#推廣。然而，不能放寬成無窮多個無窮集。組成的有限$S$ 可以放寬為無窮族，見#推廣。多重即 $S$ 可以有重複的元素，且會考慮其重複次數。族。

$S$ 的一個代表系 (組合學)是 $S$ 至 $X$ 的單射，且該單射 $f$ 將族中任意集合 $s\in S$ 映至該集合的某元素 $f(s)$。換言之，$f$ 從 $S$ 中每個集合，選出一個代表元，使得不同的集合由不同元素代表（「單射」之義）。代表系又稱為「截面」或「遍歷」（transversal）。

族 $S$ 滿足霍爾條件，意思是對每個子族 $W \subseteq S$，有

$$|W| \le \left|\bigcup_{A \in W} A\right|.$$

用文字複述，該條件斷言對於 $S$ 的每個子族，其各集合一共擁有的不同成員數，不小於該子族的集合數。若不滿足該條件，則不存在代表系，因為在某子族 $W$（設有 $k$ 個集合）中，各集合一共衹有少於 $k$ 個互異元素，如此由鴿巢原理，為 $k$ 個集合所選的 $k$ 個代表元之中，必有兩者相等。霍爾定理說明，前述命題的否命題也成立，即若滿足霍爾條件，則必存在代表系。

霍爾定理：一族有限集有代表系，當且僅當其滿足霍爾條件，即其任意子族皆滿足以上不等式。

證明見#圖論表述。

### 例

例一：考慮集族 $S = \{A_1, A_2, A_3\}$，其中

$$\begin{align} A_1 &= \{1, 2, 3\}, \\ A_2 &= \{1, 4, 5\}, \\ A_3 &= \{3, 5\}. \end{align}$$

合適的代表系有 $(1, 4, 5)$，但並不唯一，例如 $(2, 1, 3)$ 亦可。

例二：考慮 $S = \{A_1, A_2, A_3, A_4\}$，其中

$$\begin{align} A_1 &= \{2, 3, 4, 5\},\\ A_2 &= \{4, 5\}, \\ A_3 &= \{5\},\\ A_4 &= \{4\}. \end{align}$$

此時，無合適的代表系。子族 $W = \{A_2, A_3, A_4\}$ 違反霍爾條件，因為該族有 $|W| = 3$ 個集合，但該三個集之並為 $A_2 \cup A_3 \cup A_4 = \{4, 5\}$，僅得兩個元素。

例三：同樣設 $S = \{A_1, A_2, A_3, A_4\}$，但換成

$$\begin{align} A_1 &= \{1, 2, 3\},\\ A_2 &= \{2, 4\}, \\ A_3 &= \{1, 2, 4\},\\ A_4 &= \{2, 4\}. \end{align}$$

此時，$A_2$ 與 $A_4$ 的代表必為 $2, 4$ 或逆序，從而 $A_3$ 的代表須為 $1$。所以，合適的代表系有且衹有 $(3, 2, 1, 4)$ 或 $(3, 4, 1, 2)$。

### 命名

定理命名為「婚配」（marriage），是與以下例子有關。設有兩組人，一組 $n$ 男，一組 $n$ 女。每名女士心目中皆有一份名單（若干男士組成的子集），會接受名單中的男士的求婚，但會拒絕其他人。而該些男士別無所求，願意向任何女士求婚。媒人希望判斷是否存在方案，在尊重諸位女士的意願的前提下，將該兩組人撮合成 $n$ 對夫妻此例子中，為使定理適用，需要假設該些人的婚姻為一夫一妻制。

以 $A_i$ 表示第 $i$ 名女士願意接受的男士集合，則霍爾定理講述，存在方案使每位女士與心儀對象結婚，且無重婚，當且僅當對於任意若干位女士組成的集合 $I$，願意與其中至少一位女士結婚的男士數 $\left|\bigcup_{i \in I} A_i\right|$，不小於該集合的女士數 $|I|$。

後一個條件為必要，否則該 $|I|$ 名女士根本無法找到足夠的配偶。較不明顯的是，該條件亦為充分，此即霍爾定理的要處。

## 圖論表述

設 $G$ 為有限二部圖，頂點集分為 $X$、$Y$ 兩部，以符號記為 $G = (X \sqcup Y, E)$。$X$ 完美匹配是圖上若干條邊組成的匹配，其兩兩無公共端點，且 $X$ 的每個頂點各有一條邊在該匹配中。

對於 $X$ 的任意子集 $W$，設 $N_G(W)$ 為 $W$ 在 $G$ 中的鄰域 (圖論)，即 $Y$ 中與 $W$ 至少一點有連邊的全體頂點之集。霍爾定理斷言，存在 $X$ 完美匹配，若且唯若對 $X$ 的每個子集 $W$，皆有：

$$|W| \leq |N_G(W)|.$$

換言之，與 $W$ 相鄰的頂點，不少於 $W$ 的頂點。上述不等式稱為霍爾條件。

### 證明

「$\Longrightarrow$」：假設有匹配 $M$，覆蓋頂點集 $X$。欲證霍爾條件對全部 $W \subseteq X$ 成立。記 $M(W)$ 為 $W$ 經 $M$ 匹配到的頂點集，其為 $Y$ 的子集。由匹配的定義，必有 $|M(W)| = |W|$，同時 $M(W) \subseteq N_G(W)$，因為 $M(W)$ 的元素皆為 $W$ 的鄰舍。故 $|N_G(W)| \ge |M(W)|$，即 $|N_G(W)| \ge |W|$。

「$\Longleftarrow$」：假設無 $X$ 完美匹配，欲證有某子集 $W\subseteq X$ 違反霍爾條件。設 $M$ 為極大匹配，換言之，若再添加任何一條邊，則不再為匹配。設 $u$ 為 $X$ 中未獲覆蓋的頂點。考慮由 $u$ 出發的全體「交錯路徑」，即圖 $G$ 中的路徑，其首邊不屬 $M$，次邊屬於 $M$，第三邊又不屬 $M$，如此交錯排列。$u$ 藉該些交錯路徑，與 $Y$ 中若干頂點相連，該些頂點組成的子集記為 $Z$；又與 $X$ 中若干頂點相連（此處 $u$ 亦視為與自己相連），得子集 $W$。極長即無法再延伸。交錯路徑不能終於 $Y$，否則其首尾皆不屬 $M$，故為「增廣路徑」：翻轉路徑上所有邊的狀態，將不屬 $M$ 者加入 $M$，屬 $M$ 者移走，則得到嚴格比 $M$ 多邊的匹配，此為不可能。至此，已證 $Z$ 中每個頂點，皆經 $M$ 匹配到 $W \setminus \{u\}$ 中某頂點。反之，$W \setminus \{u\}$ 中任意一個頂點，亦有 $Z$ 中某頂點與之匹配，即沿 $u$ 至 $v$ 的交錯路徑，$v$ 的前一頂點。所以，$M$ 給出 $W \setminus \{u\}$ 與 $Z$ 之間的一一對應，所以 $|W| = |Z|+1$。另一方面，將證明 $N_G(W) \subseteq Z$。設 $v \in N_G(W)$ 是與某頂點 $w \in W$ 鄰接。若邊 $wv$ 在 $M$ 中，則自 $u$ 至 $w$ 的一切交錯路徑中，$v$ 皆在 $w$ 以先，故有 $u$ 至 $v$ 的交錯路徑。否則 $wv$ 不屬 $M$，但已知有 $u$ 至 $w$ 的交錯路徑，末邊屬於 $M$，故可續以 $wv$，亦得自 $u$ 至 $v$ 的交錯路徑。證畢 $N_G(W) \subseteq Z$，故 $\left|N_G(W)\right| \le |Z| = |W| - 1 < |W|$，違反霍爾條件。

### 演算法

若 $X$ 的子集 $W$ 滿足 $|N_G(W)| < |W|$，則定義 $W$ 為霍爾犯。若 $W$ 為霍爾犯，則無匹配能覆蓋 $W$ 的全部頂點。所以，也無匹配覆蓋 $X$。霍爾定理斷言，二部圖有 $X$ 完美匹配，當且僅當其不含任何霍爾犯。以下演算法驗證定理較難的方向：輸入一幅二部圖，演算法或輸出一個 $X$ 完美匹配，或輸出一個霍爾犯。

該演算法調用以下子程序：輸入匹配 $M$ 及未匹配的某頂點 $x_0 \in X$，或輸出一條 $M$ 增廣路徑，或輸出一個霍爾犯。該子程序可以深度優先搜索實作。

以下敍述演算法的步驟：

- 初始時，設 $M$ 為空集，未選定任何邊。（其後會加邊入 $M$。）
- 檢查：$M$ 確為 $G$ 的匹配。
- 若 $M$ 已覆蓋 $X$，則為所求的 $X$ 完美匹配，輸出並結束程序。
- 否則，找到未匹配的頂點 $x_0 \in X \setminus V(M)$。
- 調用尋找增廣路徑的子程序，視乎情況：
- 若找到霍爾犯，則輸出並結束。
- 若找到 $M$ 增廣路徑，則將該路徑上各邊的狀態翻轉，使 $M$ 的邊數增加一。返回第2步。

每次找到增廣路徑，都會使 $M$ 多一條邊。所以，前述演算法的迴圈至多執行 $|X|$ 次，就會停機。每次尋找增廣路徑需時 $\mathcal O(|E|)$。總時間複雜度與不加權的最大匹配問題的福特-富爾克森演算法相約。

### 兩種表述等價

設 $S = (A_1, A_2, \ldots, A_n)$，其中 $A_i$ 皆為有限集，不必相異。相應地，構造二部圖 $G$，一側頂點集 $X = \{v_1, \ldots, v_n\}$ 對應該 $n$ 個集合，另一側頂點集 $Y$ 為該些集合之並。若 $A_i$ 有元素 $y \in Y$，則在圖中連一條邊 $v_i y$。如此，族 $S$ 的代表系即是 $G$ 的 $X$ 完美匹配，覆蓋 $X$ 的全部頂點。所以，以集族表述的霍爾問題，容易化成圖論表述的霍爾問題。反之亦然：給定二部圖 $G = (X \sqcup Y, E)$，$X$ 完美匹配相當於鄰域 (圖論)族 $\{\Gamma(x): x \in X\}$ 的代表系。

### 其他證明

利用拓撲組合學的斯佩納引理，可得霍爾定理的非構造性證明。

## 應用

定理有許多「非婚」應用。例如，取一疊啤牌（無鬼牌），洗勻後，派成13磴，每磴4張。由霍爾定理可證，必能從每磴揀選一張牌，使所選13張牌恰好出齊各點數（A、2、3、⋯⋯、Q、K）。更一般地，任意正則二部圖（允許重邊）皆有完美匹配。

較抽象的應用有雙邊陪集遍歷。設 $G$ 為群，$H$ 為其有限指數子群，則霍爾定理適用於證明存在集合 $T$，既是 $H$ 各左陪集的代表系，又是各右陪集的代表系。

霍爾定理亦用於證明，若 $r < n$，則任意 $r \times n$ 拉丁矩陣皆可擴展成 $(r+1) \times n$ 拉丁矩陣，並可重複，直至得到完整的拉丁方陣。

## 相關定理

本定理可歸類到組合學的一列強力定理，其彼此關聯。若假設任何一條，則較易證得其他各條，但若要從頭開始，則較難證得任何一條。總括而言，該類定理各自斷言某類組合優化問題具有強對偶性。該些定理包括：

- 克尼格定理：二部圖的最大匹配，與最小頂點覆蓋等大。
- 克尼格-艾蓋瓦里定理（1931年），得名自克尼格·代奈什、艾蓋瓦里·耶內兩位匈牙利數學家，是克尼格定理的加權推廣。定理的名稱，文獻中略有出入。相關的定理既有二分圖匹配的表述，也有 (0,1) 矩陣覆蓋的表述。和稱矩陣表述為克尼格定理，而則稱之為克尼格-艾蓋瓦里定理。二部圖版本，和皆稱為克尼格定理。
- 門格爾定理（1927年）：邊最小割的大小，等於任意在所有頂點對之間可以找到的無公共邊的路徑的最大數量。結論換成頂點最小割與無公共（中間）頂點的路徑仍成立。
- 最大流最小割定理（福特-富爾克森演算法）：任意網路流中，最大流的值等於最小割。
- 伯克霍夫-馮紐曼定理（1946年）：一個方陣為雙隨機方陣即行和與列和皆等於一，且各項非負。當且僅當其為置換方陣的凸組合。
- 迪爾沃思定理：覆蓋某偏序集所需的不交鏈數，與該集的最大反鏈等大。

欲要更具體描述各定理的關係，下列各等價關係有簡單證明：

迪爾沃思定理 ⇔ 霍爾定理 ⇔ 克尼格-艾蓋瓦里定理 ⇔ 克尼格定理。

## 加強

### 無窮族

馬歇爾·霍爾 (數學家)細察菲利浦·霍爾兩人並非親屬。原先的證明，發現可以將結論修改成對（有限集組成的）無窮族 $S$ 仍成立。該證明直接使用佐恩引理。此外，也有較簡短的證明，用到命題邏輯的緊緻性定理：

設 $S = \{A_i: i \in I\}$。對每個 $i \in I$ 和 $a \in A_i$，以命題 $p_{a, i}$ 表示「$a$ 選為 $A_i$ 的代表」。可以列出代表系須滿足的條件如下：

- 對應每個 $i \in I$，各有一條命題斷言恰有一個 $a \in A_i$ 使 $p_{a, i}$ 為真此處的命題需要 $A_i$ 為有限集，纔能用命題邏輯的語言寫出。
- 對應每對互異的 $i, j \in I$ 和 $a \in A_i \cap A_j$，各有一條命題為 $\neg (p_{a, i} \wedge p_{a, j})$。

如此，代表系即等價於同時滿足以上各命題的賦值。由有限族的霍爾定理，對 $I$ 的任意有限子集 $J$，相應的有限子族有代表系，故以上命題中，任意有限條皆可同時滿足。所以，由緊緻性定理，全部命題可同時滿足，即有整個無窮族的代表系。

以上一般情況的證明中，選擇公理（或等價命題如佐恩引理）為必須，因為給定一族無窮多個非空集（無額外條件），欲從每個集合中，選出一個代表（而無須相異），已需要選擇公理。

### 無窮集

馬歇爾·霍爾給出下列反例，表明若允許有無窮集，則所組成的無窮族，即使滿足霍爾條件，亦不保證有代表系。

設族 $S$ 由可數多個集合 $A_0 = \{1, 2, 3, \ldots\},\ A_1 = \{1\},\ A_2 = \{2\}, \ \ldots,\ A_i = \{i\},\ \ldots$ 構成。該族滿足霍爾條件，但無法選出代表系。

若妥為敍述，則的確可將霍爾定理推廣至適用於無窮集。給定二部圖，兩側頂點集為 $A, B$，若由 $B$ 的子集 $C$ 出發，在圖中找到單射（意思是衹能用二部圖的邊），射向 $A$ 的子集 $D$，則稱 $C \le D$，而若更甚者，圖中沒有反向的，由 $D$ 至 $C$ 的單射，則稱 $C < D$。前述定義中，若忽略「在圖中」三字，則所得大小的概念等同一般基數的大小比較。無窮集的婚配定理斷言：

圖中有 $A$ 至 $B$ 的單射，當且僅當對每個 $D \subseteq A$，皆有其鄰域 $N(D) \nless D$。

### 代表系的數目

馬歇爾·霍爾也計算出給定有限族 $S$ 的代表系數目的下界，從而加強婚配定理。其敍述為：

設有一列有限集 $(A_1, A_2, \ldots, A_n)$，不必相異，但滿足霍爾條件，又設 $|A_i| \ge r$ 對 $i = 1, \ldots, n$ 成立。則當 $r \le n$ 時，該族有限集至少有 $r!$ 個不同的代表系，而當 $r > n$ 時，至少有 $r(r-1) \cdots (r - n + 1)$ 個。

此處即使兩個代表系的元素一樣，衹要其次序不同，亦視為不同。例如，若 $A_1 = \{1, 2, 3\}$，$A_2 = \{1, 2, 5\}$，則 $(1, 2)$ 和 $(2, 1)$ 為兩個不同的代表系。

### 分數匹配

圖的分數匹配（fractional matching）是對各邊賦予非負權值，使每個頂點所連各邊的權值和不超逾 $1$。所謂 $X$ 完美的分數匹配，即是使 $X$ 中的每一頂點處，各邊權之和恰為 $1$。對於二部圖 $G = (X\sqcup Y, E)$，下列各項等價：

- $G$ 有 $X$ 完美匹配。
- $G$ 有 $X$ 完美分數匹配。（此為前項的直接推論。給定一個 $X$ 完美匹配，將該匹配所選的邊賦權 $1$，其餘邊賦 $0$，則得到 $X$ 完美分數匹配。）
- $G$ 滿足霍爾條件。（若有前項的分數匹配，則對於 $X$ 的每個子集 $W$，其所連各邊之和恰為 $|W|$，故至少要與對面的 $|W|$ 個頂點相連，因為對面每個頂點所連的邊值和不超過 $1$。）

### 虧缺

假如霍爾條件不成立，則原定理僅斷言不存在完美匹配，但並未說明匹配最大可以多大。欲知此事，需要考慮虧度 (圖論)。對於二部圖 $G = (X \sqcup Y, E)$，$G$ 關於 $X$ 的虧度（deficiency）是 $|W| - |N_G(W)|$ 的最大值，其中 $W$ 可取 $X$ 的任意子集。虧度越大，則圖離霍爾條件越遠。

用霍爾定理可證，若二部圖的虧度為 $d$，則有大小為 $|X| - d$ 的匹配。（考慮在 $Y$ 側添加 $d$ 個輔助點，與 $X$ 所有頂點連邊。新圖將滿足霍爾條件。）

### 非二部圖

- 若推廣至一般的圖（不必為二部圖），則其上有完美匹配的充要條件，由塔特定理描述。
- 若推廣至各類二部超圖（二部圖的超圖版本），則相應有各種超圖的霍爾式定理。

## 站外鏈結

- Cut-the-knot站， Marriage Theorem
- Cut-the-knot站， Marriage Theorem and Algorithm
- Lucky的筆記 Hall's marriage theorem explained intuitively .