時空代數

數學物理中，時空代數（STA）指克利福德代數${\rm Cl}_{1,\ 3}(\mathbb{R})$，或等價的幾何代數${\rm G}(M^4)$。據大衛·黑斯廷斯，時空代數與狹義相對論和相對論時空的幾何關係尤為密切。

它是向量空間，不僅有向量還有二重向量（與特定平面相關的有向量，如面積或旋轉）與刃（與特定超體積有關的量），以及轉動、反射或洛倫茲遞升。它也是狹義相對論中旋量的自然母代數。這些特性使得物理學中許多最重要的方程都能以特別簡單的形式表達出來，且非常有助於從幾何角度理解它們的含義。

## 結構

時空代數可由類時間向量$\gamma_0$與3個類空間向量$\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\}$的正交基建立，乘法規則為

$$\gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu \gamma_\mu = 2 \eta_{\mu \nu}$$

其中$\eta_{\mu \nu}$是閔可夫斯基度規，符號為$(+\ -\ -)$。

於是，$\gamma_0^2 = {+1}$、$\gamma_1^2 = \gamma_2^2 = \gamma_3^2 = {-1}$，否則$\gamma_\mu \gamma_\nu = - \gamma_\nu \gamma_\mu$。

基向量$\gamma_k$與狄拉克矩陣有相同的性質，但在STA中不需要使用明確的矩陣表示。

這樣就生成了一套基，其中有1個標量$\{1\}$、4個向量$\{\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\}$、6個二重向量$\{\gamma_0\gamma_1, \, \gamma_0\gamma_2,\, \gamma_0\gamma_3, \, \gamma_1\gamma_2, \, \gamma_2\gamma_3, \, \gamma_3\gamma_1\}$、4個偽向量$\{i\gamma_0, i\gamma_1, i\gamma_2, i\gamma_3\}$、1個贗標量$\{i\}$，其中$i=\gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3$。

時空代數還包含非平凡子代數，只包含偶次元素，即標量、二重向量與贗標量。偶子代數中，標量與贗標量都與所有元素交換，作用類似於複數。贗標量與所有奇次元素反交換，這對應於奇偶變換下向量與偽向量變負的事實。

## 互易框架

與正交基$\{\gamma_\mu\}$相關聯的互易基$\{\gamma^\mu = {\gamma_\mu}^{-1}\}$對$\mu = 0, \dots, 3$，滿足關係

$$\gamma_\mu \cdot \gamma^\nu = {\delta_\mu}^\nu .$$

這些互易框架向量只有一個符號不同：對於$k = 1, \dots, 3$，$\gamma^0 = \gamma_0$、$\gamma^k = -\gamma_k$。

向量可用愛因斯坦求和約定，以上索引坐標或下索引坐標表示為$a = a^\mu \gamma_\mu = a_\mu \gamma^\mu$，在$\mu = 0, \dots, 3$上求和，坐標可以通過與基向量或其對易取點積提取。

$$\begin{align}a \cdot \gamma^\nu &= a^\nu \\ a \cdot \gamma_\nu &= a_\nu .\end{align}$$

如向量微積分一樣，可通過度量與指標實現索引位置的改變：

$$\begin{align}\gamma_\mu &= \eta_{\mu\nu} \gamma^\nu \\ \gamma^\mu &= \eta^{\mu\nu} \gamma_\nu .\end{align}$$

## 多向量除法

時空代數不是可除代數，因為其中有冪等元$\tfrac{1}{2}(1 \pm \gamma_0\gamma_i)$與非零零因子：$(1 + \gamma_0\gamma_i)(1 - \gamma_0\gamma_i) = 0$。這些可以分別解釋為光錐上的投影與投影的正交關係，但有時可用多向量除以多向量解釋：例如，用同一平面內的向量除以有向面積，就得到了與第一個向量正交的另一個向量。

## 時空梯度

時空梯度與歐氏空間中的梯度類似，定義要滿足方向導數關係：

$$a \cdot \nabla F(x)= \lim_{\tau \rightarrow 0} \frac{F(x + a\tau) - F(x)}{\tau} .$$

這就要求梯度的定義是

$$\nabla = \gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} = \gamma^\mu \partial_\mu .$$

明確寫出$x = ct \gamma_0 + x^k \gamma_k$時，這些偏微分是

$$\partial_0 = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad \partial_k = \frac{\partial}{\partial {x^k}}$$

## 時空分離

時空分離 – 例子：

$$x \gamma_0 = x^0 + \mathbf{x}$$ $p \gamma_0 = E + \mathbf{p}$ $v \gamma_0 = \gamma (1 + \mathbf{v})$ 其中$\gamma$是洛倫茲因子$\nabla\gamma_0 = \partial_t - \vec{\nabla}$

時空代數中，時空分離（spacetime split）是4維空間向(3+1)維空間的投影，通過以下兩種操作在選定參照系中進行：

- 所選時間軸的坍縮，產生二重向量張成的3D空間，相當於物理空間代數中標準3D基向量。
- 4D空間到所選時間軸上的投影，產生表示標量時間的1D標量空間。

這是通過類時間基向量$\gamma_0$的左乘或右乘實現的，在與$\gamma_0$共動的參照系中，這會將4個向量分解為標量類時間成分與二重向量類空間成分。令$x = x^\mu \gamma_\mu$有

$$\begin{align} x \gamma_0 &= x^0 + x^k \gamma_k \gamma_0 \\ \gamma_0 x &= x^0 - x^k \gamma_k \gamma_0 \end{align}$$

由於這些二重向量的平方$\gamma_k \gamma_0$為一，因此可構成空間基。可以利用泡利矩陣寫成$\sigma_k = \gamma_k \gamma_0$。STA中的空間向量用黑體表示，則在$\mathbf{x} = x^k \sigma_k,\ x^0 = c t$的情形下，$\gamma_0$-時空分離$x \gamma_0$及其逆$\gamma_0 x$是：

$$\begin{align} x \gamma_0 &= x^0 + x^k \sigma_k = ct + \mathbf{x} \\ \gamma_0 x &= x^0 - x^k \sigma_k = ct - \mathbf{x} \end{align}$$

上述公式只適用於符號為(+ - - -)的閔氏度規。時空分離的形式，無論符號都必須使用交替定義：$\sigma_k = \gamma_k \gamma^0$、$\sigma^k = \gamma_0 \gamma^k$

## 洛倫茲變換

在幾何代數中旋轉向量v，要用下列公式：

$v' = e^{-\beta \frac{\theta}{2}} \ v \ e^{\beta \frac{\theta}{2}}$,

其中$\theta$是旋轉角，$\beta$我代表旋轉面的正則化二重向量，使得$\beta\tilde{\beta}=1$。

對給定的類空間二重向量有$\beta^2 = -1$，於是可用歐拉公式，給出旋轉

$v' = \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) - \beta \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) \ v \ \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \beta \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$.

對給定的類時間二重向量有$\beta^2 = 1$，於是「經由時間的旋轉」使用的是類似雙曲複數的方程：

$v' = \left(\cosh\left(\frac{\theta}{2}\right) - \beta \sinh\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) \ v \ \left(\cosh\left(\frac{\theta}{2}\right) + \beta \sinh\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$.

解方程很容易發現，沿時間的旋轉都是雙曲旋轉，相當於狹義相對論中的洛倫茲遞升。

這兩種變換都叫做洛倫茲變換，所有變換的集合組成洛倫茲群。要將STA中的一個物體從基（對應一個參照系）變換到另一個基，必須使用其中的變換。

## 經典電磁學

### 法拉第二重向量

STA中，電場與磁場可統一為單一的二重向量場，叫做法拉第二重向量，等價於電磁張量，定義為

$$F = \vec{E} + I c \vec{B} ,$$

其中E、B是通常的電場與磁場，I是STA偽標量。或者，將F按成分展開，F的定義為

$$F = E^i \sigma_i + I c B^i \sigma_i = E^1 \gamma_1 \gamma_0 + E^2 \gamma_2 \gamma_0 + E^3 \gamma_3 \gamma_0 - c B^1 \gamma_2 \gamma_3 - c B^2 \gamma_3 \gamma_1 - c B^3 \gamma_1 \gamma_2 .$$

用以下方法，可從F中恢復出獨立的$\vec E,\ \vec B$：

$$\begin{align} <pre> E = \frac{1}{2}\left(F - \gamma_0 F \gamma_0\right), \\ I c B = \frac{1}{2}\left(F + \gamma_0 F \gamma_0\right) . </pre> \end{align}$$

其中，$\gamma_0$項代表給定的參照系，因此使用不同的參照系會產生明顯不同的相對場，與標準狹義相對論中的情形完全相同。

由於法拉第二重向量是相對論不變的，因此可在其平方中找到更多資訊，得到兩個新的洛倫茲不變量，一個是標量，一個是偽標量：

$$F^2 = E^2 - c^2 B^2 + 2 I c \vec{E} \cdot \vec{B} .$$

標量部分對應電磁場的拉格朗日密度，偽標量部分則是較少見的洛倫茲不變量。

### 麥克斯韋方程

麥克斯韋方程組可用時空代數表述，比標準向量分析的形式更簡單。與上述場二重向量類似，電荷密度與電流密度可統一為三個時空向量，等價於1個四維矢量。於是，時空電流$\vec J$為

$$\vec{J} = c \rho \gamma_0 + J^i \gamma_i ,$$

其中，成分$J^i$是經典3維電流密度的分量。這樣組合這些量時，就能十分清楚地看到，經典電荷密度不過是沿$\gamma_0$的時間方向移動的電流。

將電磁場與電流密度與上述時空梯度組合起來，就可以將麥克斯韋方程組合併為時空代數中的1個方程。

$$\nabla F = \mu_0 c J$$

這些量都是時空代數中的協變對象，這自動保證了方程的洛倫茲協變性，比分成4個獨立方程更容易證明。

這種形式下很容易證明麥克斯韋方程的某些性質，如電荷守恆定律。對任何二重向量場，時空梯度的散度都是0。這樣可以進行如下操作：

$$\begin{align} \nabla \cdot \left[\nabla F\right] &= \nabla \cdot \left[\mu_0 c J\right] \\ 0 &= \nabla \cdot J . \end{align}$$

這方程是說，電流密度的散度為零，即隨時間推移，總電荷與電流密度守恆。

右式作為向量與二重向量之積，可能有偽向量部分，描述的是磁單極子。但實驗表明這一項不存在，使得方程有些不對稱。

### 洛倫茲力

帶電粒子所受洛倫茲力也可用時空代數大大簡化：

$$\mathcal F = q F \cdot v$$

### 勢公式

在標準向量分析公式中，有兩個勢函數：電勢（標量）與磁矢勢（向量）。可以用STA的工具，把它們組合為單一向量場A，類似於向量分析中的電磁四維勢。STA中，定義為

$$A = \frac{\phi}{c} \gamma_0 + A^k \gamma_k$$

其中$\phi$是標量勢，$A^k$是磁勢分量。根據定義，場的SI單位是韋伯/米（$\rm V\cdot s\cdot m^{-1}$）。

電磁場也可以用這個勢場表示：

$$\frac{1}{c} F = \nabla \wedge A .$$

這定義不唯一。對任意2次可微標量函數$\Lambda(\vec x)$，勢為

$$A' = A + \nabla \Lambda$$

也會得到原來的F，這是因為

$$\nabla \wedge \left(A + \nabla \Lambda\right) = \nabla \wedge A + \nabla \wedge \nabla \Lambda = \nabla \wedge A .$$

這種現象叫做規範自由（gauge freedom）。選定合適函數$\Lambda$使給定問題變得最簡單的過程稱作規範固定。但在相對論電動力學中，常要求洛倫茲條件，其中$\nabla \cdot \vec{A} = 0$。

為用勢A重新表述STA麥克斯韋方程，首先用上述定義替換F。

$$\begin{align} \frac{1}{c} \nabla F &= \nabla \left(\nabla \wedge A\right) \\ <pre> &= \nabla \cdot \left(\nabla \wedge A\right) + \nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right) \\ &= \nabla^2 A + \left(\nabla \wedge \nabla\right) A = \nabla^2 A + 0\\ &= \nabla^2 A </pre> \end{align}$$

把結果代入，就得到STA中電磁勢的表述：

$$\nabla^2 A = \mu_0 J$$

### 拉格朗日公式

與張量微積分相似，STA中的勢公式會自然引出適當的拉格朗日密度。

$$\mathcal L = \frac{1}{2} \epsilon_0 F^2 - J \cdot A$$

可以推導出場的多向量值歐拉-拉格朗日方程。由於數學上對非標量進行偏導數計算的嚴謹性，相關方程變為

$$\nabla \frac{\partial \mathcal L}{\partial \left(\nabla A\right)} - \frac{\partial \mathcal L}{\partial A} = 0.$$

要從這種形式重新推導勢方程，最簡單的方法是在洛倫茲規範（Lorenz gauge）下工作，置

$$\nabla \cdot A = 0.$$

無論選擇哪種規範，都可以完成這過程，但這樣可以使結果更清晰。由於幾何積的結構，使用這條件的結果是$\nabla \wedge A = \nabla A$。

代入$F = c \nabla A$，很容易得到與上述勢場A相同的運動方程。

## 泡利方程

時空代數允許用實數論代替矩陣論，描述泡利粒子。先看矩陣論描述：

$$i \hbar \, \partial_t \Psi = H_S \Psi - \frac{e \hbar}{2mc} \, \hat\sigma \cdot \mathbf{B} \Psi ,$$

其中$\Psi$是旋量，i是沒有幾何解釋的虛數單位，$\hat\sigma_i$是泡利矩陣（「帽」表示$\hat\sigma$是矩陣算子，不是幾何代數的元素），$H_S$是薛丁格哈密頓量。時空代數中，泡利粒子可用實泡利-薛丁格方程描述：

$$\partial_t \psi \, i \sigma_3 \, \hbar = H_S \psi - \frac{e \hbar}{2mc} \, \mathbf{B} \psi \sigma_3 ,$$

其中i是單位偽標量，滿足$i = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3$；$\psi,\ \sigma_3$是幾何代數的元素，$\psi$是偶多向量；$H_S$是薛丁格哈密頓量。黑斯廷斯稱其為實泡利-薛丁格理論，以強調若去除含磁場的項，就還原為薛丁格理論。這方程更適合物理空間代數，因為其中沒有出現時空代數的基本內容。

## 狄拉克方程

時空代數允許用實數論代替矩陣論，描述狄拉克粒子。先看矩陣論描述：

$$\hat \gamma^\mu (\mathbf{j} \partial_\mu - e \mathbf{A}_\mu) |\psi\rangle = m |\psi\rangle ,$$

其中$\hat\gamma$是狄拉克矩陣。按黑斯廷斯的推導，時空代數中狄拉克粒子由下列方程描述：

$$\nabla \psi \, i \sigma_3 - e \mathbf{A} \psi = m \psi \gamma_0$$ 其中$\psi$是旋量場，$\gamma_0,\ i \sigma_3$是幾何代數的元素，$\mathbf{A}$是電磁四維勢，$\nabla = \gamma^\mu \partial_\mu$是時空向量導數。這就允許用同一個數學算子來描述電磁學和量子力學的運動方程，從而使兩者的統一變得更加簡單。

### 狄拉克旋量

相對論量子波函數有時用旋量場表示：

$$\psi = e^{\frac{1}{2} ( \mu + \beta i + \phi )} ,$$

其中$\phi$是二重向量。

$$\psi = R (\rho e^{i \beta})^\frac{1}{2} ,$$

據黑斯廷斯的推導，其中$\psi = \psi(x)$是時空上的偶多向量值函數，$R = R(x)$是么模旋量（或「旋子」，rotor），$\rho = \rho(x),\ \beta = \beta(x)$是標量值函數。這個構造中，$\psi$的分量可直接對應狄拉克旋量的分量，兩者都有8個標量自由度。

這方程將旋量與虛的偽標量聯繫起來。R被視作洛倫茲轉動，通過運算$e_\mu = R \gamma_\mu \tilde{R}$，將向量系$\gamma_\mu$轉換為向量系$e_\mu$，其中波浪號表示逆（也用匕首符表示，另見幾何代數#轉動）。

這可擴展為局部變向量、標量值可觀測量的框架（framework），並支持埃爾溫·薛丁格提出的量子力學的顫動詮釋。

黑斯廷斯將他的$\psi$表達式與費曼路徑積分表達式進行了比較：

$$\psi = e^{i \Phi_\lambda / \hbar} ,$$

其中$\Phi_\lambda$是沿$\lambda$路徑的經典作用。

### 物理可觀測量

來自場的電流密度可表為

$$J^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi .$$

### U(1)規範對稱

狄拉克方程在某恆定全局相移$\lambda$下是對稱的。進行變換$\psi \rightarrow \psi' = e^{i q \lambda / \hbar} \psi$，其中q是場電荷，i是單位偽標量，如上所示的狄拉克方程不變。

然而，方程中所有物理可觀測量在更強的局部相對稱下不變，即相移可在空間上任意變化。局部相移由標量函數$\Lambda(\vec{x})$給出，變換是

$$\psi \rightarrow \psi' = e^{i q \Lambda / \hbar} \psi = \psi e^{i q \Lambda / \hbar} ,$$

其中變換同$\psi$交換，這來自$e^{i q \Lambda / \hbar}$可分解為標量與偽標量部分，它們都與偶子代數的元素交換。

當在狄拉克方程中使用這種更強的對稱時，時空導數$\nabla\psi$將由乘積法則與鏈式法則轉化為

$$\left( \nabla\psi + iq (\nabla\Lambda)\psi \right) e^{iq\Lambda/\hbar} ,$$

由於變換後的倒數與原導數的形式不同（即有明確依賴於相的額外項），導數阻礙了方程的局部相不變性。

可以引入規範場$\vec A$解決這問題，它將被定義為消除局部相依賴性的變換。可定義規範場為在相同的任意相移$\Lambda(\vec{x})$下的變換$A \rightarrow A' = A + \nabla \Lambda$，這正是$q \mathbf A$相互作用項的來源。

起初，我們可能不清楚這個抽象的規範場代表了什麼，因為它似乎只改變了波函數的相位，沒有任何可觀測效應。但將其引入研究後，就會發現$\vec A$只是電磁四維勢，且常數q是場中給定粒子的電荷。於是，迫使狄拉克方程具有相不變性，使其可以描述電磁相互作用。

類似的規範場也存在於管理電弱相互作用與強相互作用的規範變換的STA中，使一些學者開始在此框架內重建標準模型。

## 廣義相對論

### 廣義相對論的新表述

劍橋大學的Lasenby、Doran、Gull提出了一種新的引力表述，稱作規範理論引力（GTG），其中時空代數用於在閔氏空間上誘導曲率，同時在「任意平滑地將事件重映射到時空」（Lasenby等人）的情形下允許規範對稱；再由非平凡推導，得到測地線方程

$$\frac{d}{d \tau} R = \frac{1}{2} (\Omega - \omega) R$$

及協變導數

$$D_\tau = \partial_\tau + \frac{1}{2} \omega ,$$

其中$\omega$是與引力勢相關的連接，$\Omega$是外部相互作用，如電磁場。

該理論在黑洞方面顯示出一定前景，其史瓦西解形式不會在奇點崩潰；廣義相對論的大多數結果都已在數學上重現，經典電磁學的相對論表述已經推廣到量子力學與狄拉克方程。

## 外部連結

- Imaginary numbers are not real – the geometric algebra of spacetime , a tutorial introduction to the ideas of geometric algebra, by S. Gull, A. Lasenby, C. Doran
- Physical Applications of Geometric Algebra course-notes, see especially part 2.
- Cambridge University Geometric Algebra group
- Geometric Calculus research and development