弱測量

在量子力學（以及量子計算、量子信息）中，弱測量是一種量子測量，其觀察者平均來說只獲得很少的有關系統的資訊，但對狀態的干擾也很小。根據的定理可知，系統必然會受到測量的干擾。在文獻中，弱測量也被稱為不清晰（unsharp）、模糊（fuzzy）、遲鈍（dull）、噪聲式（noisy）、漸進（approximate）或平和（gentle）的測量。此外，弱測量常常與一個不同但相關的概念「弱值」相混淆。

## 歷史

弱測量最初是在量子系統的弱連續測量（即量子濾波和量子軌跡）的背景下考慮的。連續量子測量的物理學如下。考慮使用一個輔助系統（例如場或電流）來探測量子系統，系統和探測器之間的相互作用使兩者相互關聯。通常，相互作用僅使系統與輔助系統具有弱關聯（具體而言，相互作用么正算子僅需微擾展開到一階或二階）。通過測量輔助系統並利用量子測量理論，可以確定基於測量結果的系統狀態。為了實現有效的測量，必須耦合進多個輔助系統並測量。在極限情況下，存在一系列輔助系統，使得測量過程可以在時間上是連續的。這一過程首先由以下學者表述：Michael B. Mensky; Viacheslav Belavkin; Alberto Barchielli, L. Lanz, GM Prosperi; Barchielli; Carlton Caves; Caves, Gerald J. Milburn. 後來 Howard Carmichael 和 Howard M.Wiseman 也為該領域做出了重要貢獻。

弱測量的概念經常被錯誤地歸於 Yakir Aharonov、 David Albert 和 Lev Vaidman。在他們的文章中，他們考慮了一個弱的測量的例子（也許也撞上了「弱測量」這個短語），並以此作為動機來定義弱值（他們在此首次定義了弱值）。

## 數學表述

對於弱測量，尚無普遍接受的定義。一種方法是將弱測量聲明為這樣一種廣義測量，其克勞斯算子中的一些或全部接近於恆等算子。下面採用的方法是使兩個系統發生弱相互作用，然後測量其中一個系統。詳細介紹這種方法之後，我們將通過示例進行說明。

### 弱相互作用和輔助耦合測量

考慮一個系統，其初始的量子態為 $|\psi\rangle$，同時輔助系統處於 $|\phi\rangle$，聯合的初始狀態則為 $|\Psi\rangle = |\psi\rangle \otimes |\phi\rangle$。這兩個系統依照哈密頓算子 $H = A \otimes B$ 相互作用，其生成的時間演化算子 $U(t) = \exp[-ixtH]$ （取 $\hbar = 1$ 的單位制），其中 $x$ 是「相互作用強度」且具有時間倒數的量綱。假設相互作用時間固定為 $t = \Delta t$ 且 $\lambda = x \Delta t$ 很小以至於 $\lambda^3 \approx 0$。$U$ 關於 $\lambda$ 的級數展開給出

$$\begin{align} <pre> U &= I \otimes I - i\lambda H - \frac 1 2 \lambda^2 H^2 + O(\lambda^3) \\ &\approx I \otimes I - i\lambda A \otimes B - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \otimes B^2. </pre> \end{align}$$

由於在微擾論中只需要將么正算子展開到低階，所以稱其為一個弱的相互作用。此外，么正算子的主要部分是恆等算子，因為 $\lambda$ 和 $\lambda^2$ 很小，這意味著相互作用後的狀態與初始狀態並沒有太多區別。相互作用後系統的聯合狀態為

$$|\Psi'\rangle = \left(I \otimes I - i\lambda A \otimes B - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \otimes B^2\right) |\Psi\rangle.$$

現在我們對輔助系統進行測量來了解系統，這稱為輔助系統耦合測量。我們將考慮（輔助系統上的）在基 $|q\rangle$ 下的測量，其中 $|q\rangle$ 滿足 $\sum_q |q\rangle \langle q| = I$。兩個系統上的測量都由到聯合狀態 $|\Psi'\rangle$ 的投影算子 $\Pi_q = I \otimes |q\rangle \langle q|$ 來描述。從量子測量理論可知測量後的條件狀態是

$$\begin{align} <pre> |\Psi_q\rangle &= \frac{\Pi_q |\Psi'\rangle}{\sqrt{\langle\Psi'| \Pi_q |\Psi'\rangle}} \\ &= \frac{I \langle q|\phi\rangle - i\lambda A \langle q| B |\phi\rangle - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \langle q| B^2 |\phi\rangle}{\mathcal N} |\psi\rangle \otimes |q\rangle, </pre> \end{align}$$

其中 $\mathcal N = \sqrt{\langle\Psi'| \Pi_q |\Psi'\rangle}$ 是歸一化因子。注意輔助系統狀態記錄了測量的結果。$M_q := I \langle q|\phi\rangle - i\lambda A \langle q| B |\phi\rangle - \frac 1 2 \lambda^2 A^2 \langle q| B^2 |\phi\rangle$ 是系統的希爾伯特空間上的算子，稱為克勞斯算子。

在這些克勞斯算子對應的測量後，聯合系統的狀態為

$$|\Psi_q\rangle = \frac{M_q |\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_q^\dagger M_q|\psi\rangle}} \otimes |q\rangle.$$

算子 $E_q = M_q^\dagger M_q$ 是所謂的正算子測量的元素，其須滿足 $\sum_q E_q = I$ 從而使得相應的機率之和為一： $\sum_q \Pr(q|\psi) = \sum_q \langle\psi| E_q |\psi\rangle = 1$。由於輔助系統不再關聯於主系統，它只是記錄測量的結果，我們可以跡掉它。這做法將給出主系統本身的條件狀態：

$$|\psi_q\rangle = \frac{M_q |\psi\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_q^\dagger M_q|\psi\rangle}},$$

這裡仍用 $q$ 標記測量結果。事實上，這些考慮使得人們得以導出量子軌跡。

### 克勞斯算子示例

我們將使用 Barchielli, Lanz, Prosperi以及 Caves, Milburn給出的高斯型克勞斯算子的典型例子。取 $H = x \otimes p$，其中兩個系統的位置和動量算子滿足通常的正則對易關係 $[x, p] = i$。取輔助系統的初態為一高斯分布

$$|\Phi\rangle = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \int dq' \exp[-q'^2/(4\sigma^2)] |q'\rangle.$$

輔助系統的位置波函數為

$$\Phi(q) = \langle q|\Phi\rangle = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \exp[-q^2/(4\sigma^2)].$$

前文的克勞斯算子（在前文的表達式中取 $\lambda = 1$）為

$$\begin{align} <pre> M(q) &= \langle q| \exp[-ix \otimes p] |\Phi\rangle \\ &= \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \exp[-(q - x)^2/(4\sigma^2)], </pre> \end{align}$$

而相應的正算子測量的元素是

$$\begin{align} <pre> E(q) &= M_q^\dagger M_q \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp[-(q - x)^2/(2\sigma^2)], </pre> \end{align}$$

且服從 $\int dq\, E(q) = I$。在文獻中經常能看到另一種表現形式。使用位置算子的譜表示 $x = \int x'dx' |x'\rangle \langle x'|$，有

$$\begin{align} <pre> M(q) &= \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{1/4}} \int dx' \exp[-(q - x')^2/(4\sigma^2)] |x'\rangle \langle x'|, \\ E(q) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int dx' \exp[-(q - x')^2/(2\sigma^2)] |x'\rangle \langle x'|. </pre> \end{align}$$

注意 $\lim_{\sigma \to 0} E(q) = |x = q\rangle \langle x = q|$。也就是說，在特定的極限下，這些算子趨於對位置的強測量；對於 $\sigma$ 的其他值，這種測量則稱為是有限強度的；對於 $\sigma \to \infty$ 的極限情況，則說測量是弱的。

## 資訊獲取與狀態擾動的得失交換

如前所述，Busch的定理阻止了免費午餐的出現：沒有對態的擾動就無法取得資訊。然而，資訊獲取和態的擾動間的得失交換已被許多作者刻畫，其中包括 C.A. Fuchs 和 Asher Peres; Fuchs; Fuchs, KA. Jacobs; K. Banaszek.

最近，人們在所謂的「溫和測量引理」的語境下檢驗了資訊獲取與態的擾動間的交換關係。

## 應用

從很早以前就已經很清楚，弱測量的主要用途是用於量子系統的反饋控制或自適應測量。事實上，這是 Belavkin 大部分工作的動機，而 Caves 和 Milburn 也給出了一個明確的例子。自適應弱測量的一個早期應用是Dolinar接收器，該接收器已在實驗上實現。弱測量的另一個有趣的應用是使用弱測量，然後跟一個么正算子（可能依賴於弱測量的結果）來合成其他廣義測量。Wiseman 和 Milburn 的書是關於許多現代發展的良好參考資料。