艾倫伯格–麥克萊恩空間

數學中，特別是代數拓撲中，艾倫伯格–麥克萊恩空間是具有單一非平凡同倫群的拓撲空間。

令G為群，n為正整數。連通拓撲空間X的第n同倫群$\pi_n(X)$若同構於G、其他同倫群都平凡，則稱X是$K(G,n)$型艾倫伯格–麥克萊恩空間。設G在$n > 1$時是阿貝爾群，則$K(G,n)$型艾倫伯格–麥克萊恩空間總存在，且都是弱同倫等價的。因此，可以認為$K(G,n)$指空間的弱同倫等價類。通常將任何表示稱作「一個$K(G,n)$」或「$K(G,n)$的模型」，此外通常假定這空間是CW復形（通過CW近似總是可能的）。

艾倫伯格–麥克萊恩空間得名於塞繆爾·艾倫伯格與桑德斯·麥克萊恩，他們在1940年代末引入了此類空間。

因此，艾倫伯格–麥克萊恩空間是一類特殊的拓撲空間，在同倫論中可視作通過波斯尼科夫塔中的纖維化構建CW復形的物件。這些空間在代數拓撲的很多方面都十分重要，如球面同倫群的計算、上同調運算的定義及與奇異上同調的緊密聯繫。

廣義艾倫伯格–麥克萊恩空間是具有艾倫伯格–麥克萊恩空間$\prod_{m}K(G_m,m)$的拓撲積的同倫類的空間。

## 例子

- 單位圓$S^1$是$K(\Z,1)$。
- 無窮維復射影空間$\mathbb{CP}^{\infty}$是$K(\Z,2)$的模型。
- 無窮維實射影空間$\mathbb{RP}^{\infty}$是$K(\Z/2,1)$。
- k個單位圓的楔和$\textstyle\bigvee_{i=1}^k S^1$是$K(F_k,1)$，其中$F_k$是k個生成子上的自由群。
- 3維球$S^3$中任何連通結或圖的補是$K(G,1)$型，這種現象被稱作「結的非球面性」，是赫里斯托斯·帕帕基里亞科普洛斯於1957年提出的定理。
- 緊連通曲率非正流形M是$K(\Gamma,1)$，其中$\Gamma=\pi_1(M)$是M的基本群。這是嘉當–阿達馬定理的結果。
- 無限透鏡空間$L(\infty, q)$由$S^\infty$對自由作用$(z \mapsto e^{2\pi i m/q}z)$（$m \in \Z/q$）的商給出，是$K(\mathbb{Z}/q,1)$。這可以用覆疊空間理論和無窮維球體可收縮來證明。注意這包括作為$K(\Z/2,1)$的$\mathbb{RP}^{\infty}$。
- 平面上n個點的構型空間是$K(P_n,1)$，其中$P_n$是n股上的純辮群。
- 相應地，$\mathbb{R}^2$的第n無序構型空間是$K(B_n,1)$，其中$B_n$表示n股辮群。
- n球的無窮對稱積$SP(S^n)$是$K(\mathbb{Z},n)$。更一般地，$SP(M(G,n))$對所有摩爾空間$M(G,n)$是$K(G,n)$。

利用積$K(G,n) \times K(H,n)$是$K(G\times H,n)$的事實，可構造出更多基本例子，例如n維環面$\mathbb{T}^n$是$K(\mathbb{Z}^n, 1)$。

## 關於構造艾倫伯格–麥克萊恩空間的備註

對$n = 1$、任意群G，$K(G,1)$的構造與G的分類空間的構造相同。注意若G含扭元（torsion element），則K(G,1)型CW復形都是無窮維的。

構造高階艾倫伯格-麥克萊恩空間有很多技術，如為阿貝爾群A構造摩爾空間$M(A,n)$：取n個球的楔，每個球代表一個A的生成子，並通過上述楔和的$\pi_n(\bigvee S^n)$中相應映射附加(n+1)個胞腔（cell），實現生成子之間的關係。注意低階同倫群$\pi_{i < n} (M(A,n))$由構造是平凡的。現在通過附加大於$n + 1$維的胞腔，迭代殺死所有高階同倫群$\pi_{i > n} (M(A,n))$，並定義$K(A,n)$為包含此迭代的直極限。

另一個有用技巧是運用單純阿貝爾群的幾何實現。這給出了代表艾倫伯格-麥克萊恩空間的單純阿貝爾群的明確表述。

喬·彼得·梅的書從分類空間與通用叢角度給出了另一種簡單構造。

由於閉路空間將同倫群降低了一圈（slot），我們有規範同倫等價$K(G,n)\simeq\Omega K(G,n+1)$，因此有纖維化序列

$K(G,n) \to * \to K(G,n+1)$.

注意這不是上纖維化序列：空間$K(G,n+1)$不是$K(G,n) \to *$的同倫上纖維。

這個纖維化序列可用於從$K(G,n)$用勒雷譜序列研究$K(G,n+1)$的上同調，讓-皮埃爾·塞爾在利用波斯尼科夫塔和譜序列研究球面同倫群時利用了這一點。

## 性質

### 映射與上同調的同倫類間的雙射

$K(G, n)$的一個重要性質是，對任何阿貝爾群G、任何基CW復形X，X到$K(G,n)$的基映射的基同倫類集$[X, K(G,n)]$，同空間X的第n奇異上同調群$H^n(X, G)$是自然雙射。因此可以說$K(G,n)'s$是係數在G中的奇異上同調的表示空間。由於

$$\begin{array}{rcl} H^n(K(G,n),G) &=& \operatorname{Hom}(H_n(K(G,n);\Z), G) \\ &=& \operatorname{Hom}(\pi_n(K(G,n)), G) \\ &=& \operatorname{Hom}(G,G), \end{array}$$

有一個區別元素$u \in H^n(K(G,n),G)$，對應么元。上述雙射由元素的拉回$f \mapsto f^*u$給出，這與範疇論中的米田引理很相似。

此定理的構造性證明可見參考文獻，另一個利用Omega譜與廣義既約上同調關係的證明可見參考文獻，主要思想也將在後面略述。

### 閉路空間/Omega譜

艾倫伯格–麥克萊恩空間的閉路空間還是艾倫伯格–麥克萊恩空間：$\Omega K(G,n) \cong K(G,n-1)$。此外，在閉路空間與既約緯懸之間還有伴隨關係：$[\Sigma X, Y] = [X,\Omega Y]$，使$[X,K(G,n)] \cong [X,\Omega^2K(G,n+2)]$有阿貝爾群的結構，其中的運算是閉路的連結。這使得上面提到的雙射$[X, K(G,n)] \to H^n(X, G)$是群同構。

這個性質還意味著不同n的艾倫伯格–麥克萊恩空間構成Omega譜，稱作艾倫伯格–麥克萊恩空間譜。這個譜通過$X \mapsto h^n(X):= [X, K(G,n)]$定義了基於CW復形的既約上同調論，對任何CW復形上的既約上同調論$h^*$（$h^n(S^0) = 0$，$n \neq 0$），有自然同構$h^n(X) \cong \tilde{H}^n(X, h^0(S^0)$，其中$\tilde{H^*}$表示既約奇異上同調。因此，這兩個上同調論重合。

在更廣義的語境中，布朗可表性定理指出，基CW復形上的既約上同調論來自Omega譜。

### 與同調的關係

對給定阿貝爾群G，有穩定同倫群

$$\pi_{q+n}^s(X \wedge K(G,n)) \cong \pi_{q+n+1}^s(X \wedge \Sigma K(G,n)) \to \pi_{q+n+1}^s(X \wedge K(G,n+1))$$

上由映射$\Sigma K(G,n) \to K(G,n+1)$導出的映射。取它們的直極限，可驗證這在CW復形上定義了既約同調論

$$h_q(X) = \varinjlim _{n} \pi_{q+n}^s(X \wedge K(G,n))$$

由於$h_q(S^0) = \varinjlim \pi_{q+n}^s(K(G,n))$（$q \neq 0$）為零，$h_*$與CW復形上係數在G中的既約奇異同調$\tilde{H}_*(\cdot,G)$一致。

### 函子性

從上同調的萬有係數定理可以看出，艾倫伯格–麥克萊恩空間是群的准函子，即對每個正整數n，若$a\colon G \to G'$是阿貝爾群的任何同態，則有非空集

$$K(a,n) = \{[f]: f\colon K(G,n) \to K(G',n), H_n(f) = a\},$$

滿足$K(a \circ b,n) \supset K(a,n) \circ K(b,n) \text{ and } 1 \in K(1,n),$

其中$[f]$表示連續映射f、$S \circ T := \{s \circ t: s \in S, t \in T \}$的同倫類。

### 與波斯尼科夫/懷特海塔的關係

連通CW復形X都有波斯尼科夫塔，即空間的逆系：

$$\cdots \to X_3 \xrightarrow{p_3} X_2 \xrightarrow{p_2} X_1 \simeq K(\pi_1(X), 1)$$

使對每個n都有：

- 有交換映射$X \to X_n$，導出$\pi_i$（$i \leq n$）上的同態。
- $\pi_i(X_n) = 0$（$i > n$）。
- 映射$X_n \xrightarrow{p_n} X_{n-1}$是具有纖維$K(\pi_n(X),n)$的纖維化。

對偶地，還有懷特海塔，是CW復形的序列：

$$\cdots \to X_3 \to X_2 \to X_1 \to X$$

使對每個n都有：

- 映射$X_n \to X$導出$\pi_i$（$i > n$）上的同態。
- $X_n$是n連通的。
- 映射$X_n \to X_{n-1}$是具有纖維$K(\pi_n(X), n-1)$的纖維化。

在塞爾譜序列的幫助下，可計算出球面的高階同倫群。例如，$\pi_4(S^3)$、$\pi_5(S^3)$用$S^3$的懷特海塔，可見參考文獻；更一般地說，使用波斯尼科夫系統的$\pi_{n+i}(S^n) \ i \leq 3$可見參考文獻。

### 上同調運算

對不變的自然數m,n、阿貝爾群G,H，存在所有上同調運算集$\Theta :H^m(\cdot,G) \to H^n(\cdot,H)$與$H^n(K(G,m),H)$之間的雙射，定義為$\Theta \mapsto \Theta(\alpha)$（$\alpha \in H^m(K(G,m),G)$是基本類）。

因此，上同調運算不能降低同調群的度，保度上同調運算對應係數同態$\operatorname{Hom}(G,H)$。這源於上同調的萬有係數定理與$K(G,m)$的(n-1)連通性。

$G=H$是有限循環群時，上同調運算的一些有趣例子是斯廷羅德平方與冪。研究這些時，係數在$\Z /p$中的$K(\Z /p ,n)$的上同調變得非常重要，有關這些組別的詳細列表，請參此處。

### 群（上）同調

可以定義群G的係數在群A中的（上）同調為艾倫伯格–麥克萊恩空間$K(G,1)$的奇異（上）同調，係數在A中。

### 進一步應用

上述閉路空間構造在弦論中用於得到弦群等等，如由短正合列

$$0\rightarrow K(\Z,2)\rightarrow \operatorname{String}(n)\rightarrow \operatorname{Spin}(n)\rightarrow 0$$

產生的懷特海塔，其中$\text{String}(n)$是弦群，$\text{Spin}(n)$是旋量群。$K(\Z,2)$的相關性在於存在分類空間$B\Z$（且$K(\Z,2) \simeq BU(1)$）的同倫等價關係

$$K(\mathbb{Z},1) \simeq U(1) \simeq B\Z$$

注意，由於復旋量群是群擴張

$0\to K(\Z,1) \to \text{Spin}^\Complex(n) \to \text{Spin}(n) \to 0$,

弦群在高階群理論中可看做「高階」復旋量群的擴張，因為空間$K(\Z,2)$就是高階群的一個例子。它可看做是對象為單點、態射為群$U(1)$的廣群$\mathbf{B}U(1)$的拓撲實現。由於這些同倫性質，這個構造可以推廣：任何給定空間$K(\Z,n)$都可以用來啟動一個短正合列，可在拓撲群中去除同倫群$\pi_{n+1}$。

## 另見

- 分類空間，$n = 1$情形
- 布朗可表性定理，關於表示空間
- 摩爾空間，同調中的類似物

## 參考文獻

### 基礎文章

- On the groups $H(\Pi,n)$. III. Operations and obstructions

### 嘉當研討會與應用

嘉當研討會（Cartan seminar）包含很多餘艾倫伯格-麥克萊恩空間的基本結果，包括其同調與上同調、計算球面同倫群的應用等。

- http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/

### 計算整上同調環

- Derived functors of the divided power functors
- Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers
- (Co)homology of the Eilenberg-MacLane spaces K(G,n)

### 其他百科參考文獻

- Encyclopedia of Mathematics