沙普利-福克曼引理

沙普利-福克曼引理是凸幾何的一條引理，其於數理經濟學有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數$0$和$1$組成的集合，與自身相加，得到由$0,\ 1,\ 2$組成的集合，以符號可寫成：

$$\{0, 1\} + \{0, 1\} = \{0, 1, 2\}.$$

「許多個集合的閔氏和，是否必定近似凸集？」沙普利-福克曼引理和相關的結果表明，問題的答案為肯定。集合稱為凸，意思是連接其中任意兩點的線段，必為該集合的子集：舉例，實心圓盤 $\bullet$ 為凸集，但圓 $\circ$ 則不然，因為連接相異兩點的線段 $\oslash$ 並不是圓的子集。沙普利-福克曼引理大致斷言，若求和項的數目超出向量空間的維數，則其閔氏和將近凸。

沙普利-福克曼引理引入時，是作為證明沙普利-福克曼定理的一步，該定理斷言閔氏和與其凸包的距離不超過某個上界。所謂集合$Q$的凸包，是包含$Q$的最小凸集。而當且僅當和為凸時，上述距離為零。定理中，距離的上界取決於維數$D$及求和項的形狀，但不取決於求和的項數$N$，而只需$N > D$。只要其中$D$個求和項的形狀，就足以確定$N$個集合的閔可夫斯基平均集

$$\frac{1}{N}\left(Q_1 + Q_2 + \cdots + Q_N\right)$$

與其凸包的距離的上界。當$N$趨向無窮時，該上界遞減至零（需要各求和項的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推論將沙普利-福克曼定理的上界壓得更低，故又稱為沙普利-福克曼-斯塔定理。

勞埃德·沙普利和強·福克曼的引理，最先由經濟學家羅斯·斯塔發表，其時斯塔正在肯尼斯·阿羅門下，研究經濟均衡的存在性。斯塔在論文中，研究凸化（convexified）經濟體，即將非凸集換成其凸包。斯塔證明，凸化之後，有些均衡由原經濟體的「準均衡」（quasi-equilibria）逼近；還證明，每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質，而凸經濟體中則必定存在真均衡。斯塔1969年的論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結果得到廣泛應用，用作證明（凸）經濟理論的若干核心結果，儘管不適用於有非凸部分的大經濟體，但在此等經濟體中，仍是良好的近似。羅歇·蓋內里評論：「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究非凸性 (經濟學)，除了前述的勞埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、羅伯特·約翰·奧曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亞林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸性」，除以上得主著重外，還有里奧尼德·赫維克茲、列昂尼德·維塔利耶維奇·康托羅維奇（1975）、羅伯特·索洛（1987）都著重。

沙普利-福克曼引理在優化論和機率論皆有應用。優化論中，可以引理解釋，在求多個函數之和的最小值時，為何一些解法可以成功。機率論中，引理適用於證明隨機幾何的「大數定律」。此定理先前僅在凸集的情況得證。

## 簡單例子

考慮凸的實數區間$[0, 1]$，其包含整數子集$\{0, 1\}$，且是其凸包（添加了兩點所連線段上的所有點）。僅得兩個元素的集合$\{0, 1\}$，複製成三份，並按元素求和，得到

$$\{0, 1\} + \{0, 1\} + \{0, 1\} = \{0, 1, 2, 3\}.$$

（此處集合的和，是從各集合分別取一個元素相加，得到的可能結果的集合，稱為閔氏和。）和集的凸包則為區間$[0, 3]$。

區間$[0, 3]$中，每個數$x$都可以寫成區間$[0, 1]$中某三個實數（允許重複）之和，例如將$x$等分成三份即可。但使用沙普利-福克曼引理，則有更強的結論：$[0, 3]$的每個數，都可以寫成$\{0, 1\}$中某兩個整數（允許重複），與$[0, 1]$中某一個實數之和。

凸包$[0,1]$中的點，到$\{0, 1\}$的距離，至多為$1/2$：

$$\frac{1}{2} = \left|\frac{1}{2}- 0\right| = \left| \frac{1}{2} -1 \right|,$$

然而，考慮三個區間$[0, 1]$的閔氏平均

$$\frac{1}{3}\left(\{0, 1\} + \{0, 1\} + \{0, 1\}\right) = \left\{0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},\ 1\right\},$$

與其凸包$[0,1]$的距離，僅為$1/6$，即未平均前$\{0, 1\}$與$[0, 1]$距離（$1/2$）的三分之一。越多個集合相加，其閔氏平均就將凸包填得越滿：由閔氏平均至凸包的最遠距離，隨被加項數增加，而趨向於零。此為沙普利-福克曼定理的結論。

## 前置概念

沙普利-福克曼引理需要用到凸幾何的若干定義和定理，本節將作簡介。

### 實向量空間

二維的實向量空間上，有笛卡兒坐標系，將每點視為一對實數，稱為「坐標」，按慣例記為$x,\ y$。笛卡兒平面上的兩點，可以逐個坐標相加：

$$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2).$$

此外，點也可以逐個坐標與實數$\lambda$相乘：

$$\lambda (x, y) = (\lambda x, \lambda y).$$

更一般而言，任何$D$維（有限維）實向量空間，均可視為$D$個實數組成的D元組的集合$\{ (v_1, v_2, \ldots, v_D)\}$，並配備兩種運算：向量加法和標量乘法。有限維實空間的此兩種運算，皆定義成逐個坐標運算，與笛卡兒平面上的運算類似。

### 凸集

凸集$Q$中，連接任意兩點的線段仍是$Q$的子集。

非凸集$Q$中，連接某兩點的線段上，有一點不再是$Q$的元素。

實向量空間中，非空子集$Q$稱為凸集，意思是，對於$Q$的任意兩個點，連接兩點成一線段，其上的所有點仍在$Q$中。例如，實心圓盤 $\bullet$ 為凸，但圓 $\circ$ 則不然，因為連接相異兩點的線段 $\oslash$ 並不是圓的子集。三個整數的集合$\{0, 1, 2\}$非凸，但其為區間$[0, 2]$的子集，而該區間為凸。又例如，實心立方體為凸，然而任何空心或凹陷的圖形，如彎月形，則非凸。空集也是凸集，視乎作者偏好，這可能是專門的定義，也可能是因為要滿足的條件是空真命題。

更嚴謹而言，集合$Q$稱為凸，意思是，對$Q$中任意兩點$v_0, v_1$，和單位區間$[0, 1]$中的任意實數$\lambda$，點

$$(1 - \lambda) v_0 + \lambda v_1$$

仍是$Q$的元素。

由數學歸納法，集合$Q$為凸，當且僅當其任意多個元素的凸組合仍在$Q$中。所謂向量空間子集$\{ v_0, v_1, \ldots, v_D\}$的凸組合，是其元素的任意加權平均$\lambda_0 v_0 + \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_D v_D$，而各$\lambda_i$可以是總和為$1$的任意非負實數，即只需$\lambda_0 + \lambda_1 + \cdots + \lambda_D = 1$。

凸集的定義推出，兩個凸集的交集仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作為特例，若取兩個不交的凸集，則其交集為空集，故應當稱空集為凸。

### 凸包

對於實向量空間的每個子集$Q$，其凸包$\mathrm{Conv}(Q)$是包含$Q$的最小凸集。所以，$\mathrm{Conv}(Q)$是所有覆蓋$Q$的凸集的交。等價地，可以將$\mathrm{Conv}(Q)$定義成$Q$的點的所有凸組合的集合。作為例子，整數集合$\{0, 1\}$的凸包，是實數閉區間$[0, 1]$，其兩端為原有的整數$0, 1$。單位圓的凸包則是閉單位圓盤，其包含單位圓。

### 閔可夫斯基和

在任何向量空間（或有定義加法的代數結構）$X$中，兩個非空子集$A, B\subseteq X$的閔可夫斯基和，定義為其元素之和的集合，即 $A+B := \{x+y\mid x\in A,~y\in B\}$（參見)。例如：

$$\{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.$$

此運算定義在非空子集族上，且滿足結合律和交換律。既然有結合律和交換律，就可以遞歸定義多個被加項的運算結果$\sum_{n=1}^{N}Q_{n}=Q_{1}+Q_{2}+\cdots+Q_{N}$。由數學歸納法，可見

$$\sum_{n=1}^{N}Q_{n}= \left\{\left.\sum_{n=1}^{N}q_{n}\right| q_{n}\in Q_{n},~1\leq n\leq N\right\}.$$

### 閔可夫斯基和的凸包

閔可夫斯基和與凸包運算可以交換。具體而言，對實向量空間$X$的任意子集$A,B\subseteq X$，其閔氏和的凸包等於其凸包的閔氏和。換言之。

$$\mathrm{Conv}(A+B) = \mathrm{Conv}(A)+\mathrm{Conv}(B).$$

故由數學歸納法得

$$\mathrm{Conv}(\sum_{n=1}^{N}Q_{n}) = \sum_{n=1}^{N}\mathrm{Conv}(Q_{n})$$

對任意$N\in\mathbb{N}$和非空子集$Q_{n}\subseteq X$（$1\leq n\leq N$）成立。

## 各命題的敍述

由前一段的恆等式，對和的凸包中的每點$x\in\mathrm{Conv}\left(\sum_{n=1}^{N}Q_{n}\right)$，都存在各凸包的$q_{n}(x)\in\mathrm{Conv}(Q_{n})$（$n$取遍$1$至$N$），使得$\sum_{n=1}^{N}q_{n}(x)=x$。各點$q_n(x)$的位置取決於$x$。

### 引理

有了以上背景，沙普利-福克曼引理斷言，$x$的表示法

$$x=\sum_{n=1}^{N}q_{n}(x)$$

中，僅需要不多於$D$個被加項$q_{n}(x)$取自凸包，而其他被加項，則只需取自原來的集合$Q_n$。以符號復述，即有以上方法表示$x$，且滿足$|\{l\leq n\leq N\mid q_{n}(x)\in\mathrm{Conv}(Q_{n})\setminus Q_{n}\}|\leq D$。不妨將下標重新排序，然後就有

$$x = \sum_{n=1}^{D}q_{n}(x) + \sum_{n=D+1}^{N} q_n(x)$$

其中對$1\leq n\leq D$，有$q_{n}\in\mathrm{Conv}(Q_{n})$，而對$D+1\leq n\leq N$，則有$q_{n}\in Q_{n}$。注意，倘若重排，則排序的方式也取決於點$x$。再精簡，沙普利-福克曼引理可以寫成

$$\mathrm{Conv}(\sum_{n=1}^{N}Q_{n})\subseteq\bigcup_{I\subseteq\{1,2,\ldots N\}:~|I|=D}\sum_{n\in I}\mathrm{Conv}(Q_{n})+\sum_{n\notin I}Q_{n}.$$

舉例，集合$[0,2]=[0,1]+[0,1]=\mathrm{Conv}(\{0,1\})+\mathrm{Conv}(\{0,1\})$中的每個點，根據引理，必定可以寫成$\{0,1\}$的某個元素，與$[0,1]$的某個元素之和。

#### 實向量空間的維數

反之，沙普利-福克曼引理刻劃了有限維實向量空間的維數。具體而言，若某向量空間，對於某個自然數$D$滿足引理的結論，但對小於$D$的數不滿足，則其維數恰好為$D$。引理僅對有限維向量空間成立。

### 沙普利-福克曼定理及斯塔的推論

沙普利與福克曼運用其引理，證明沙普利-福克曼定理，給出集合的閔氏和與其凸包（稱為凸化（convexified）和）的距離上界。定理的敍述如下：凸化和$\mathrm{Conv}\left(\sum Q_n\right)$的任一點，到（未凸化）和集$\sum Q_n$的歐氏距離平方，不超過各集合$Q_n$的外接半徑中，最大$D$個的平方和。(所謂外接半徑，定義為包圍該集合的最小球面的半徑。）此上界與求和項數$N$無關（但要求$N > D$，且集合不能越來越大）。上述定理給出閔氏和及其凸包之間距離的上界。當且僅當閔氏和為凸集時，此距離為零。該上界取決於維數$D$及各被加項的形狀，但只要$N > D$，就不取決於項數$N$。

通常，外接半徑會大於內半徑，而無論如何，外接半徑總不能小於內半徑。集合$Q_n$的內半徑定義為：

最小的正實數$r$，滿足：若$q$在$Q_n$凸包中，則$q$在$Q_n$若干點的凸包中，而該些點皆在同一個半徑為$r$的球內。

斯塔將沙普利-福克曼定理中的外接半徑換成內半徑，從而壓低沙普利-福克曼定理的上界：

沙普利-福克曼定理的斯塔推論：

凸化和$\mathrm{Conv}\left(\sum Q_n\right)$的任一點，到（未凸化）和集$\sum Q_n$的歐氏距離平方，不超過各集合$Q_n$的內半徑中，最大$D$個的平方和。

斯塔的推論確定，$N$個集合的閔氏和與其凸包之間，歐氏距離的上界。此距離可以衡量閔氏和非凸的程度，故為簡單起見，下文稱為非凸度。於是，斯塔對非凸度的上界，僅取決於$D$個最大內半徑之值，但不取決於求和的項數$N$（假設$N > D$）。

例如，非凸集$\{0, 1, 2\}$的非凸度為$1/2$，因為與其凸包（區間$[0, 2]$）的距離為$\frac{1}{2} = \left|1 - \frac{1}{2}\right| = \left|0 - \frac{1}{2}\right| = \left|2 - \frac{3}{2}\right| = \left|1 - \frac{3}{2}\right|.$所以，既然$\sum Q_n$的非凸度有不取決於項數$N$的上界，就知平均集

$$\frac{1}{N}\left(\sum Q_n\right)$$

非凸度上界，會隨$N$增加而遞減。例如，平均集

$$\frac{1}{2} \left(\{0, 1\} + \{0, 1\}\right) = \{0,\ 1/2,\ 1\}$$

和其凸包$[0, 1]$的距離僅為$1/4$，等於被加項$\{0, 1\}$與其凸包$[0, 1]$的距離（$1/2$）之半。僅要最大$D$個求和項的形狀，已足以計算和集與凸包的距離的上界，故除以$N$後，平均集與凸包的距離，在$N$趨向無窮時，會遞減至零（對均勻有界的求和項成立，即各個求和項的大小需有同一個上界）。若使用斯塔的上界，則前一句結論的條件可以放寬，只需各求和項的內半徑有同一個上界。

### 證明和計算

沙普利-福克曼引理的原證明，僅確定存在該種表示法，而無說明如何構造。阿羅與哈恩、約翰·蓋士利、斯奈德（Schneider）和其他人都曾給出類似的證明。阿特斯泰因（Artstein）擴展了伊瓦爾·埃科蘭德的簡潔抽象證明。也有未經出版的另證。1981年，斯塔發表一種疊代法，可以計算給定點的表示法，然而，此計算方法給出的上界，較非構造性證明的上界差。博賽卡斯的書有講述有限維空間沙普利-福克曼引理的初等證明，並將引理應用於估計可分優化（separable optimization）問題與零和賽局的對偶間隙。

## 應用

有沙普利-福克曼引理，學者就得將有關凸集閔氏和的結果，套用到（無需凸的）一般集合之和。此種和見於經濟學、最優化理論、機率論。此三領域的應用中，非凸性起到重要作用。

### 經濟學

經濟學中，消費者對每一「籃子」商品（basket，即商品的組合）有其偏好程度。每籃子可用一個非負向量表示，其坐標為籃中各商品的量。所有籃子組成的集合中，每個消費者有自己的一族無差異曲線，滿足：在同一條曲線上的各籃子，對該消費者是等價的，即消費者並不覺該曲線上有籃子勝於另一個籃子。每籃子恰好處於一條無差異曲線上。消費者相對於一條無差異曲線的偏好集，定義為該無差異曲線與其更偏好的區域的並集。稱消費者的偏好為凸，意思是其所有偏好集皆為凸。

如圖所示，消費者認為的最優籃子，是在預算線支撐某個偏好集時取到，因為此時，所選的籃子是整條預算線上，達到最高的無差異曲線的一點。所謂預算線，是由商品的價格向量與消費者的收入計算得出的限制，消費者無足夠收入購買高於此線的籃子。所以，最優籃子的集合是各價格的函數，稱為消費者的需求。若偏好集為凸，則不論價格為何，消費者認為的最優籃子總是組成凸集，例如可能是單元集，或是一條線段。

#### 非凸偏好

然而，若有偏好集非凸，則某些價格確定的預算線，可能在兩個分開的最優籃子支撐該偏好集。例如，可以設想，動物園購買獅子或鷹的價錢一樣，且其預算恰好夠買一隻獅子或一隻鷹。此外，假設園主亦認為兩隻動物價值相同，則動物園有可能買獅子，也可能買鷹，但當然不可能買半隻獅子加半隻鷹（獅鷲）。所以，園主的偏好非凸：買兩隻動物中的任一隻，勝於兩者的嚴格凸組合。

若消費者有非凸偏好集，則對於某些價格，需求不連通。不連通的需求，會導致消費者的行為出現不連續的間斷。引述哈羅德·霍特林的話（宜配合所附動圖理解）：

若考慮波浪形的無差異曲線，即在某些區域向原點凸，而在其他區域向原點凹，則我等被迫推論，僅有向原點凸的部分需要理會，因為幾乎不可能觀測到其他部分。要偵測該些部分，唯一方法是，觀察價格之比率變化時，需求的不連續變化。此變化的效果是，當直線旋轉時，切點會突然躍過某凹陷。雖然此種不連續的表現，揭示有凹陷，但卻不可能量度缺口的深度。倘若無差異曲線，或其高維推廣，有凹陷部分，則定必因永遠無法測量，而不為人知。

瓦爾特·迪韋爾特書中，稱赫爾曼·沃爾德有強調研究非凸偏好的困難，也引述保羅·薩繆爾森稱凹陷處「被永恆的黑暗遮蔽」。

儘管有上述困難，《政治經濟期刊》（JPE）在1959年至1961年間，刊登一系列的論文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷爾（Farrell）、巴托爾·費倫茨、科普曼斯、羅森博格（Rothenberg）。其中，羅森博格討論非凸集和的近似凸性。該些JPE論文，促使勞埃德·沙普利和馬丁·舒比克也合著論文，研究凸化的消費者偏好，並引入「近似均衡」（approximate equilibrium）的概念。JPE論文和沙普利-舒比克論文又啟發了羅伯特·奧曼提出另一個概念，稱為「準均衡」（quasi-equilibrium）。

#### 斯塔1969年的論文與當代經濟學

肯尼斯·阿羅收集前人研究非凸性 (經濟學)的文獻，列成表，並加入註解，交給羅斯·斯塔。斯塔當時仍是本科生，但已在修讀阿羅開設的高等數理經濟學（研究生）課程。斯塔在學期論文中，考慮將非凸偏好換成其凸包所得的假想經濟體，研究其一般均衡。凸化經濟體中，在每個價位，總需求皆是各消費者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引數學家勞埃德·沙普利和強·福克曼參與，兩人「在私人通信中」證明現以兩人命名的引理和定理，到1969年，斯塔才於論文報告此事。

斯塔1969年的論文中，應用沙普利-福克曼-斯塔定理，證明「凸化」經濟體有一些一般均衡，只要參與者足夠多，能以原經濟體的「準均衡」近似。具體而言，斯塔證明，至少存在一個價格向量為$p_\mathrm{opt}$的準均衡，滿足下列條件：

- 對每個準均衡$p_\mathrm{opt}$，所有消費者都可以選到其最優的籃子（在預算限制內，且最偏好）。
- 在該價格$p_\mathrm{opt}$，凸化經濟體中，每種商品的市場皆均衡，即供給等於需求。
- 每個準均衡的價格，皆「幾乎出清」原經濟體的市場：凸化經濟體均衡組成的集合，與原經濟體的準均衡集合，兩者的距離有上界。此結論是根據沙普利-福克曼定理的斯塔推論得到。

斯塔確立以下結論：

「總體中，［取各消費及生產集的凸包］所得的假想經濟體的分配，與真實經濟體的某個分配，兩者的差異，有不取決於參與者數目的上界。因此，當參與者數目趨向無窮時，平均參與者感受到，與擬作行動的偏差，近乎可以忽略不計。」

斯塔1969年論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟理論獲廣泛應用。羅歇·蓋內里如此總結該結論對經濟學的意義：「假設凸性，所得的若干重要結果，在不具凸性的情況下，仍（近似）適用。例如，若經濟體具有大消費側，則偏好的非凸性不影響適用標準結果」，還稱「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究非凸性 (經濟學)，除了前述的勞埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、羅伯特·約翰·奧曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亞林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸性」，除以上得主著重外，還有里奧尼德·赫維克茲、列昂尼德·維塔利耶維奇·康托羅維奇（1975）、羅伯特·索洛（1987）都著重。

沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟學各分支的文獻都經常出現，包括微觀經濟學、一般均衡理論、公共經濟學（包括市場失靈）、博弈論、數理經濟學、經濟學中的應用數學。沙普利-福克曼-斯塔的結論，也使經濟學更多使用測度論和積分理論。

### 最優化理論

沙普利-福克曼引理可以解釋，為何大規模的最小化問題，即使非凸，仍可用迭代法近似求解（僅對於凸問題，有證明疊代法收斂到最優解）。沙普利-福克曼引理，促使學者將凸優化方法，用於優化多個（無需凸的）函數之和。

#### 最優化理論的前置概念

非線性規劃依賴下列有關函數的若干定義：

- 函數$f$（定義在集合$D$上）的圖像，是所有參數$x$與相應取值$f(x)$組成的二元組的集合：

$$\mathrm{Graph}(f) = \{(x, f(x)): x \in D\}.$$

$$\mathrm{Epi}(f) = \{(x, u): f(x) \le u\}.$$

- 實值函數稱為凸函數，意思是其蓋圖為凸集。

舉例，二次函數$f: x \mapsto x^2$為凸，而絕對值函數$g: x \mapsto |x|$亦然，但正弦函數$\sin$（如圖）則不然，因為在區間$(0, \pi)$的蓋圖非凸（而有向上的凹陷）。

#### 加性優化問題

許多優化問題中，目標函數$f$可分離變數（可分），即$f$是多個函數之和，而各個函數的參數不同，如：

$$f(\boldsymbol x) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_n f_n(x_n).$$

又例如，線性規劃問題就可分離變數。考慮一個可分問題，及一個最優解

$$\boldsymbol x_\mathrm{min} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)_\mathrm{min},$$

在該點取到最小值$f(\boldsymbol x_\mathrm{min})$。對此可分問題，同時考慮其「凸化問題」的最優解，即將每個求和項$f_n$的圖像換成其凸包。此種最優解，會是凸化問題的某點列$(\boldsymbol x_j, f(\boldsymbol x_j))_{j=1}^\infty$的極限，其中

$(\boldsymbol x_j, f(\boldsymbol x_j)) \in \sum_{n=1}^N \mathrm{Conv}(\mathrm{Graph}(f_n)).$

$\mathrm{Cl}$

$$\mathrm{Cl}(P) + \mathrm{Cl}(Q) \subseteq \mathrm{Cl}(P+Q),$$

當然，因為此點是$N$個圖像凸包的點之和，由沙普利-福克曼引理，就可以寫成原圖像的點與少數圖像凸包的點之和。

以上分析，1974年由伊瓦爾·埃科蘭德發表，以解釋為何可分問題有許多項時，即使各項非凸，總問題仍看似凸。對非線性最小值問題而言，對偶問題的解，不一定就是原問題的解（但若已知原問題為凸，且滿足特定條件，則兩者的的最優解相等），但是，1973年，青年數學家克勞德·勒馬雷沙爾詫異，對已知非凸的問題使用凸問題的方法，竟然也成功。勒馬雷沙爾的問題，正是上段加性可分離變數的形式，而每個和項皆非凸函數，但對偶問題的解，仍近似原問題的最優解。埃科蘭德的分析說明，「大而可分」的最小值問題，即使各和項有凹陷，仍可運用凸優化的方法。埃科蘭德及其後的作者主張，因為變數可以加性分離，所得的總問題近似凸。該等著作以沙普利-福克曼引理為關鍵一步。沙普利-福克曼引理促使學者將凸優化方法，應用到目標函數為多個函數之和的情況。

```
Proceedings of 1981 IEEE Conference on Decision and Control, San Diego,&nbsp;CA, December 1981, pp.&nbsp;432–443.</ref><ref name="Aubin" >: </ref><ref name="Bertsekas99" >: </ref>
```

$d$

$Q$

$Q$

$d + 1$

$Q$

$Q$

$Q$

反之，藉期望值與凸包之間的聯繫，機率論亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利-福克曼-斯塔的結果。沙普利-福克曼-斯塔的結果，廣泛用於隨機幾何，例如證明隨機集的大數定律、中央極限定理、大離差理論。要證明前列機率極限定理，可以使用沙普利-福克曼-斯塔的結果，來避免假設隨機集為凸。

機率測度是有限的測度，而沙普利-福克曼引理還可以應用到非機率的測度論，如體積或向量測度的理論。沙普利-福克曼引理可以加強布倫-閔可夫斯基不等式。該不等式斷言，閔氏和的體積，相較於各和項的體積不能太大，即閔氏和的體積有上界，以各和項的體積的表示。歐氏空間子集的體積，此處定義為其勒貝格測度。

高等測度論中，沙普利-福克曼引理適用於證明李亞普諾夫定理，即向量測度的值域為凸。值域（或像集）是函數所有可能取值的集合，而向量測度則將測度推廣到允許取向量值。例如，若某測度空間有兩種機率測度$p_1$和$p_2$，則可定義一個向量測度$(p_1, p_2)$，是對每個事件$\omega$，將其兩個機率結合為一個二元組，即

$$(p_1, p_2) (\omega) = (p_1(\omega), p_2(\omega)).$$

李亞普諾夫定理在經濟學、(砰砰)控制論、統計理論皆有應用。李亞普諾夫定理是沙普利-福克曼引理的連續版，而沙普利-福克曼引理是李亞普諾夫定理的離散類比。

## 參考文獻

- 1970年 Princeton Mathematical Series 28的重印版。