塞邁雷迪-特羅特定理

塞邁雷迪－特羅特定理為組合幾何的定理，其斷言給定歐氏平面上任意$n$個點和$m$條直線，至多發生

$$O \left ( n^{\frac{2}{3}} m^{\frac{2}{3}} + n + m \right )$$

次重合（incidence，即二元組$(p, \ell)$，其中$p$為一點，$\ell$為直線，且$p$在$\ell$上）。

此上界已經是最優的上界了，唯一的改進只可能出現在大O符號中隱藏的常數倍數。

考慮隱藏常數的話，保奇·亞諾什、拉多什·拉多伊契奇（Radoš Radoičić）、陶爾多什·加博爾、托特·蓋薩四人給出上界$2.5n^{2/3} m^{2/3} + n + m$。此後，由於交叉數不等式的常數得到改進，塞邁雷迪－特羅特定理的常數也相應得到改進。截至2019年末，最優的常數是$2.44$。另一方面，保奇和托特證明，若將上式的常數$2.5$換成$0.42$，則不再為重合數的上界。

定理也有以下等價形式：若給定$n$個點和整數$k\ge 2$，則經過至少$k$個點的直線數至多為

$$O \left( \frac{n^2}{k^3} + \frac{n}{k} \right ).$$

定理得名自塞邁雷迪·安德烈和威廉·特羅特，其最先的證明較複雜，用到稱為「胞分解」（cell decomposition）的組合技巧。其後，塞凱利·拉茲洛（Székely László）利用圖的交叉數不等式，給出更簡單的證明，詳見下文。

塞邁雷迪－特羅特定理可推導出若干其他定理，例如重合幾何的貝克定理和算術組合學的艾狄胥－塞邁雷迪和積定理。

## 第一形式的證明

先考慮僅經過至多兩點的直線。該些直線產生的重合數至多為$2m$。於是現在僅需考慮餘下的直線，而該些直線每條經過至少三點。

若一條直線上恰有$k$個點，則該些點將直線截斷成$k-1$條線段（不計首尾僅得一端點的射線）。由於假設$k\ge 3$（已無須考慮僅經過至多兩點的直線），有$k-1 \ge k/2$，即每條直線截成的線段數至少為其上點數之半。對所有直線求和，可知該些線段的總數$e$亦至少為總重合數之半，從而只需證明

$$e = O \left ( n^{\frac{2}{3}} m^{\frac{2}{3}} + n + m \right).$$

以該$n$點為頂點，並以該$e$條線段為邊建圖。每條線段皆為$m$條直線中某一條的部分，且每兩條直線交於至多一點，故圖的交叉數至多為$m(m-1)/2$。再由交叉數不等式知，或者有$e \le 7.5 n$，或者有$m(m-1)/2 \ge e^3/33.75 n^2$。兩者皆推出$e \le 3.24(nm)^{2/3} + 7.5n$，從而得到上界

$$e = O \left ( n^{\frac{2}{3}} m^{\frac{2}{3}} + n + m \right ).$$

## 第二形式的證明

因為過兩點至多只有一條直線，且$k \ge 2$，所以經過至少$k$個點的直線至多只有$n(n-1)/2$條。若$k$很小（$k$小於某個絕對常數$C$），則此上界$n(n-1)/2$已足以證明定理的第二形式。於是，以下僅需考慮$k$較大的情況（$k\ge C$）。

設經過至少$k$個點的直線恰有$m$條直線，則其上至少有$mk$次重合，故由定理的第一形式，得

$$mk = O \left ( n^{\frac{2}{3}} m^{\frac{2}{3}} + n + m \right ),$$

所以$mk = O( n^{2/3} m^{2/3} )$、$mk = O(n)$、$mk = O(m)$三式至少有一式成立。第三式不可能，因為已設$k$為大，所以必有前兩者之一。但經初等運算可知，前兩者皆推出$m = O( n^2 / k^3 + n/k )$。

## 取到上界的例子

若不考慮上界隱含的常數，則塞邁雷迪－特羅特定理的上界已是最優。使重合數達到上界的例子如下：對任意正整數$N\in \mathbb{N}$，考慮整數格點集

$$P = \left \{ (a, b) \in \mathbb{Z}^2 \ : \ 1 \leq a \leq N; 1 \leq b \leq 2N^2 \right \},$$

和一族直線

$$L = \left \{ (x, mx + b) \ : \ m, b \in \mathbb{Z}; 1 \leq m \leq N; 1 \leq b \leq N^2 \right \}.$$

於是，有$|P| = 2N^3$個點和$|L| = N^3$條直線。由於每條直線都通過$N$點（每個$x \in \{1, \cdots, N\}$)對應一點），總重合數為$N^4$，已達上界$O(N^4+N^3+N^3) = O(N^4)$。

## 高維推廣

潘卡傑·阿加爾瓦爾及鮑里斯·阿洛諾夫發現定理的高維推廣：給定$d$維空間$\mathbb{R}^d$的$n$點（記其集合為$S$）和$m$個（$d-1$維）超平面（記其集合為$H$），則$S$和$H$之間的重合數有上界

$$O \left (m^{\frac{2}{3}}n^{\frac{d}{3}}+n^{d-1} \right ).$$

也可以等價寫成：$H$中通過至少$k$個點的超平面數目至多為

$$O\left( \frac{n^d}{k^3} + \frac{n^{d-1}}{k} \right ).$$

赫伯特·埃德斯布倫內給出了漸近最優的構造，從而上述上界亦不能再改進。

紹利莫希·約瑟夫和陶哲軒考慮點和高維代數簇的情況，並在其滿足「某些擬直線（pseudo-line）類公設」的情況下，得到近乎最優的重合數上界。其證明運用到多項式火腿三文治定理。

## 複二維平面

實域$\mathbb{R}$上的塞邁雷迪－特羅特定理有若干證明依賴歐幾里得空間的拓撲，所以不能直接推廣到其他域上，塞邁雷迪和特羅特的原證明、多項式分割法、交叉數法皆屬此類，其不能適用於複域上的平面$\mathbb{C}^2$。

托特·喬鮑（Tóth Csaba）將塞邁雷迪和特羅特的原證明推廣到$\mathbb{C}^2$。喬書亞·扎爾（Joshua Zahl）利用另一個方法，也獨立地證明此結論。然而，其所得的上界的隱含常數與實域的情況有異：托特證明了該常數可取為$10^{60}$，而扎爾的證明並無給出具體的常數。

若限定點集為笛卡兒積，則紹利莫希·約瑟夫和陶爾多什·加博爾更簡單地證明了塞邁雷迪－特羅特上界仍成立。

## 有限域上

在一般域$\mathbb{F}$上，塞邁雷迪－特羅特上界不一定成立。例如：取有限域$\mathbb{F}_p$的二維平面上全部$p^2$個點的集合$\mathcal{P} = \mathbb{F}_p\times \mathbb{F}_p$，又取全部$p^2$條直線的集合$\mathcal{L}$，則每條直線經過$p$個點，故有$p^3$次重合。另一方面，塞邁雷迪－特羅特上界僅為$O\left((p^2)^{2/3} (p^2)^{2/3} + p^2\right) = O(p^{8/3})$。此例子說明平凡上界$mn$已為最優。

讓·布爾甘、內茨·卡茨、陶哲軒三人證明，除此例子外，平凡上界可以改進。

有限域上的重合數大致分為兩類：

- 點數與直線數有一者「遠大於」域的特徵。
- 兩者與域的特徵相比皆「不太大」。

### 點集或直線集大的情況

設$q$為奇質數冪。黎英榮（Lê Anh Vinh）證明，$\mathbb{F}_q^2$上$n$點與$m$條直線的重合數至多為

$$\frac{nm}{q} + \sqrt{qnm}.$$

且上式並無隱含常數。

### 點集及直線集皆不大的情況

設$\mathbb{F}$為域，且其特徵為$p\neq 2$。蘇菲·史蒂文斯（Sophie Stevens）和弗蘭克·德齊烏（Frank de Zeeuw）證明，若$m^{-2}n^{13} \leq p^{15}$（$p=0$時無需此條件），則$\mathbb{F}^2$上$n$點和$m$條直線的重合數至多為

$$O\left(m^{\frac{11}{15}}n^{\frac{11}{15}}\right).$$

$m^{7/8} < n < m^{8/7}$時，此上界比塞邁雷迪－特羅特上界更優。

若限定點集為笛卡兒積，則其證明以下更佳的上界：證$\mathcal{P} = A\times B \subseteq \mathbb{F}^2$為有限點集，其中$|A|\leq |B|$，又設$\mathcal{L}$為平面上有限條直線的集合。假設$|A||B|^2 \leq |\mathcal{L}|^3$，而若特徵為正就再加上條件$|A||\mathcal{L}|\leq p^2$，則$\mathcal{P}$和$\mathcal{L}$組成的重合數至多為

$$O\left(|A|^{\frac34}|B|^{\frac12} |\mathcal{L}|^\frac34 + |\mathcal{L}| \right).$$

此上界為最優。由於平面有點線對偶，也可以將上述定理中，點和線的角色互換，得到對偶版本，適用於直線集為笛卡兒積、點集任意的情況。

米沙·魯德涅夫（Misha Rudnev）和伊利亞·什克列多夫（Ilya D. Shkredov）研究了點集和直線集皆為笛卡兒積的情況（不論在實域或任意域），給出該情況下重合數的上界。此上界有時優於上列其他上界。