決定公理

在數學上，決定公理（Axiom of determinacy，常記做AD）是一個在1962年由揚·米切爾斯基和雨果·斯坦豪斯所提出的可能的集合論公理，這公理探討的是特定類型且長度為ω的二人拓樸遊戲，而決定公理聲稱，任何這類的遊戲都是決定性，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果，他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型L(R)中成立，這模型只接受較弱版本的選擇公理，但包括了所有的實數和序數。決定公理的一些結果，可由早前由斯特凡·巴拿赫、斯坦尼斯瓦夫·馬祖爾以及莫頓·戴維斯（Morton Davis）等人證明的定理得出；而米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏則證明了另一個結果，那就是在決定公理下，所有實數的集合都是勒貝格可測的。之後Donald A. Martin等人證明了更多重要的結果，尤其在描述集合論方面更是如此。在1988年，約翰·斯蒂爾與烏丁總結了一長串的研究，並證明說在類似$\alef_0$的不可數基數存在的狀況下，米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏原先的猜想，也就是「決定公理在集合論的最小自然模型L(R)中成立」這點是對的。

## 具決定性的遊戲

決定公理所談論的遊戲具有特定的定義，而其定義如次：

考慮所有自然數的無限序列組成的貝爾空間$\omega^{\omega}$的子集合$A$，而其中兩個玩家1p與2p輪流選取自然數

$$n_0, n_1, n_2, n_3, ...$$

在經過無限步後，可得一序列$(n_i)_{i \in \omega}$，其中玩家1p獲勝當且僅當這序列是$A$的元素。而決定公理講的是任何這類的遊戲都是決定的，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。

不是所有的遊戲的決定性，都需要動用決定公理來證明。在$A$是一個閉開集的情況下，那這遊戲基本是有限的，也因此是決定的；相似地，若$A$是一個閉集，那這遊戲是決定的。在1975年，唐納德·A·馬丁證明說若一個遊戲必勝策略是一個博雷爾集的話，那這遊戲是決定的；此外，在有足夠大的基數存在的狀況下，所有必勝策略是射影集的遊戲都是決定的，而決定公理在L(R)中成立。

另外，決定公理蘊含說對於任何實數線的子空間$X$而言，巴拿赫－馬祖爾遊戲$BM(X)$是決定的（也因此所有的實數集合都具有貝爾性質）。

## 決定公理與選擇公理的不相容性

在假定選擇公理成立的狀況下，我們可以構造決定公理的一個反例。集合$S_1$是$\omega$－遊戲$G$中玩家一的所有策略，其大小與連續統相同；而類似地，$S_2$是同樣遊戲中玩家二的所有策略。設$SG$為$G$中所有可能序列的集合，並假定$A$是$SG$中使玩家一獲勝的子序列，那麼利用選擇公理我們可以為連續統構造一個良序，且我們可以構造出一個任何真初始部分都小於連續統的排序，而我們可利用這樣的良序集$J$來給$S_1$跟$S_2$上指標，並藉此將$A$給構造成決定公理的一個反例。

我們從空集合$A$與$B$開始。設$\alpha \in J$是集合$S_1$跟$S_2$的指標，我們考慮玩家一的所有策略$S_1 = {s1(\alpha)}$及玩家二的所有策略$S_2 = {s2(\alpha)}$以確保對於任何策略，都會有另一個玩家的策略能將之勝過。對於任何玩家考慮的策略，我們都可生成一個序列，使得另一個玩家獲勝。設$t$是時間軸，其長度為$\aleph_0$且這時間軸用於所有的遊戲序列中，我們可以利用$A$上對$\alpha$的超限遞歸來生成反例：

- 首先，考慮玩家一的策略$s1(\alpha)$。
- 將這策略套用於$\omega$－遊戲上，（連同玩家一的策略$s1(\alpha)$一起）可生成$\{a(1), b(2), a(3), b(4)...a(t), b(t+1),...\}$這序列，而這序列不屬於$A$，這是可能的，而這可能性是因為$\{b(2), b(4), b(6)...\}$這些選項的數量與連續統相同，而這數量比$J$的真初始部分$\{ \beta \in J | \beta < J \}$還要大所致。
- 現在（若這序列還不在$B$之內的話）將這序列加入$B$之中以表示$s1(\alpha)$失敗。（輸給$\{b(2), b(4), b(6)...\}$）
- 現在，考慮玩家二的策略$s2(\alpha)$。
- 將這策略套用於$\omega$－遊戲上，（連同玩家二的策略$s2(\alpha)$一起）可生成$\{a(1), b(2), a(3), b(4)...a(t), b(t+1),...\}$這序列，而這序列不屬於$B$，這是可能的，而這可能性是因為$\{a(1), a(3), a(5)...\}$這些選項的數量與連續統相同，而這數量比$J$的真初始部分$\{ \beta \in J | \beta < J \}$還要大所致。
- 現在（若這序列還不在$A$之內的話）將這序列加入$A$之中以表示$s2(\alpha)$失敗。（輸給$\{a(1), a(3), a(5)...\}$）
- 利用對$\alpha$的超限歸納法，對$S_1$跟$S_2$的所有可能策略如是操作，對於所有在這之後不在$A$或$B$中的策略，將之任意分派給$A$或$B$，使得$B$為$A$的補集。

當這一切完成後，準備$\omega$－遊戲$G$，而在這遊戲中，對於任何玩家一的策略$s1$，存在一個$\alpha \in J$使得$s1 = s1(\alpha)$，而$A$的構造方式保證$s1(\alpha)$失敗（輸給$\{b(2), b(4), b(6)...\}$），因此$s1$失敗；類似地，任何玩家的任何其他策略都會失敗，因此決定公理與選擇公理不相容。

## 無窮邏輯與決定公理

在二十世紀晚期，人們提出多種不同的無窮邏輯，其中一個認為決定公理為真的理由是因為這公理可（在某種無窮邏輯當中）寫成以下形式：

$$\forall G \subseteq Seq(S):$$

$\forall a \in S: \exists a' \in S: \forall b \in S: \exists b' \in S: \forall c \in S: \exists c' \in S ... : (a,a',b,b',c,c'...) \in G$ OR

$$\exists a \in S: \forall a' \in S: \exists b \in S: \forall b' \in S: \exists c \in S: \forall c' \in S ... :(a,a',b,b',c,c'...) \notin G$$

註：$Seq(S)$是$S$的所有$\omega$－序列。此處的句子長度無限，且在省略號出現處，有可數無窮多的量化詞序列。

## 大基數與決定公理

決定公理的相容性，與大基數相關公理的相容性息息相關。根據烏丁的一個定理，不帶有選擇公理而帶有決定公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性，等價於帶有選擇公理並帶有烏丁基數的策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性。由於烏丁基數是強不可達基數之故，因此若決定公理是相容的，那不可達基數的無限性也是相容的。

此外，若假設有無窮多個烏丁基數，且其上還存在一個可測基數，大於該些烏丁基數，則可得到一個非常強的、關於勒貝格可測的實數集合的理論，而這是因為可以證明決定公理在L(R)中成立，因此所有在L(R)中的實數集合都是決定的之故。

## 延伸閱讀

- Philipp Rohde, On Extensions of the Axiom of Determinacy, Thesis, Department of Mathematics, University of Bonn, Germany, 2001
- Telgársky, R.J. Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach-Mazur Game , Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227–276. (3.19 MB)
- "Large Cardinals and Determinacy" at the Stanford Encyclopedia of Philosophy