投影值測度

在數學中，特別是在泛函分析中，投影值測度是一種映射，其將給定集合的特定子集映射為給定的希爾伯特空間上的一個自伴投影算子。投影值測度 (projection-valued measure, PVM) 在形式上類似於實值測度，不過其值是自伴投影而不是實數。與普通測度一樣，也可以關於PVM進行復值函數的積分；這種積分的結果是給定希爾伯特空間上的線性算子。

投影值測度用於表達譜理論中的結果，例如自伴算子的譜定理，在這種情況下 PVM 有時被稱為譜測度。自伴算子的博雷爾函數演算是通過關於 PVM 的積分構造的。在量子力學中，PVM 提供了投影測量的數學表述，它們可推廣為正算子值測度（POVM），正如混合態或密度矩陣推廣了純態的概念一樣。

## 定義

設 $H$ 是一可分復希爾伯特空間，而 $(X, M)$ 是一（博雷爾）可測空間，其中 $X$ 是一集合而 $M$ 是 $X$ 上的博雷爾σ-代數。投影值測度 $\pi$ 是定義於 $M$ 上、而取值為 $H$ 上有界自伴算子的一類特定映射，其須滿足以下性質：

- 對任一 $E \in M$， $\pi(E)$ 是一正交投影。
- $\pi(\emptyset) = 0$ 且 $\pi(X) = I$，其中 $\emptyset$ 表示空集、$I$為恆等算子。
- 若 $M$ 中有不交的子集 $E_1, E_2, E_3,\dotsc$，那麼對於任一 $v \in H$。

$$\pi\left(\bigcup_{j=1}^{\infty} E_j \right)v = \sum_{j=1}^{\infty} \pi(E_j) v.$$

- 對任意 $E_1, E_2 \in M$， $\pi(E_1 \cap E_2)= \pi(E_1)\pi(E_2).$

第二、四個性質表明，如果 $E_1$ 和 $E_2$ 不相交（即$E_1 \cap E_2 = \emptyset$），則像 $\pi(E_1)$ 和 $\pi(E_2)$ 之間正交。

令 $V_E = \operatorname{im}(\pi(E))$ 及其正交補 $V^\perp_E=\ker(\pi(E))$ 分別表示 $\pi(E)$ 的像和核。若 $V_E$ 是 $H$ 的閉子空間，則 $H$ 可以寫成如下的正交分解 $H=V_E \oplus V^\perp_E$，而 $\pi(E)\triangleq I_E$ 是 $V_E$ 上唯一滿足所有四個性質的恆等算子。

對於任意 $\xi,\eta\in H$ 和 $E\in M$，可由投影值測度導出一個 $H$ 上的復值測度，其定義為

$$\mu_{\xi,\eta}(E) := \langle \pi(E)\xi | \eta \rangle,$$

而其總變差至多為 $\|\xi\|\|\eta\|$。投影值測度亦可導出下面的實值測度：

$$\mu_{\xi}(E) := \langle \pi(E)\xi | \xi \rangle.$$

當 $\xi$ 是單位向量時，其成為一個機率測度。

### 例子

設 $(X, M, \mu)$ 是一個 σ-有限測度空間，且對於任一$E \in M$，可有一相應的映射

$$\pi(E) : L^2(X) \to L^2 (X)$$

定義為

$$\psi \mapsto \pi(E)\psi=1_E \psi,$$

即L2(X)上關於指示函數 $1_E$ 的乘法算子。那麼 $\pi(E)=1_E$ 定義了一個投影值測度。作為一個例子，若 $X = \mathbb{R}$、 $E = (0,1)$、 $\phi,\psi \in L^2(\mathbb{R})$，於是就有這樣一個復值測度 $\mu_{\phi,\psi}$，使得可測函數 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 關於該測度的積分為

$$\int_E f\,d\mu_{\phi,\psi} = \int_0^1 f(x)\psi(x)\overline{\phi(x)}\,dx.$$

## 投影值測度的擴張

如果 Π 是博雷爾可測空間 $(X, M)$ 上的投影值測度，則映射

$$<pre> \chi_E \mapsto \pi(E) </pre>$$

可映射的擴張到 $X$ 上階躍函數所構成的向量空間上的線性映射。事實上，容易驗證這個映射是一個環同態。該映射以一種典範的方式擴張到 $X$ 上的全體有界復值博雷爾函數，並且有：

對 $X$ 上的任一有界博雷爾函數 $f$，有唯一的一個有界算子 $T : H \to H$ 滿足

$$\langle T \xi \mid \xi \rangle = \int_X f(\lambda) \,d\mu_{\xi}(\lambda), \quad \forall \xi \in H.$$

其中 $\mu_{\xi}$ 是一有限博雷爾測度，定義為：

$$\mu_{\xi}(E) := \langle \pi(E)\xi \mid \xi \rangle, \quad \forall E \in M.$$

於是， $(X,M,\mu)$ 構成一有限測度空間。

該定理對於無界可測函數 $f$ 也成立，但是此時 $T$ 將是希爾伯特空間上 $H$ 的無界線性算子。

這允許為此類算子定義博雷爾函數演算，然後通過里斯-馬爾可夫-角谷表示定理使其可用於可測函數。也就是說，若有可測函數 $g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$，則存在唯一測度使得

$$g(T) :=\int_\mathbb{R} g(x) \, d\pi(x).$$

### 譜定理

設 $H$ 是一個可分復希爾伯特空間， $A:H\to H$ 是有界自伴算子，而 $A$ 的譜是 $\sigma(A)$。譜定理說明，存在唯一的投影值測度 $\pi_A$，其定義於博雷爾子集 $E \subset \sigma(A)$ 上，而使得

$$A =\int_{\sigma(A)} \lambda \, d\pi_A(\lambda),$$

當譜 $\sigma(A)$ 無界時，積分須推廣到 $\lambda$ 為無界函數的情況。

### 直積分

首先我們給出一個基於直積分的投影值測度的一般例子。設 $(X, M, \mu)$ 是測度空間，且令 $\{ H_x \}_{x \in X}$ 是 $\mu$-可測的一族可分希爾伯特空間。對於每個 $E \in M$，令 $\pi(E)$ 為希爾伯特空間

$$\int_X^\oplus H_x \ d \mu(x)$$

上關於 $1_E$ 的乘法算子，那麼 $\pi$ 就是 $(X, M)$ 上的一個投影值測度。

設 $\pi,\rho$ 是 $(X, M)$ 上的投影值測度，其值分別為 $H, K$ 的投影算子。稱 $\pi,\rho$ 是么正等價的，若且唯若存在一個么正算子 $U : H \to K$ 滿足

$$\forall E\in M,\quad\pi(E) = U^* \rho(E) U.$$

若 $(X, M)$ 是標準博雷爾空間，則對於 $(X, M)$ 上每個在可分希爾伯特空間之投影算子中取值的投影值測度 $\pi$，都存在一個博雷爾測度 $\mu$ 和一個 $\mu$-可測的希爾伯特空間族 $\{ H_x \}_{x \in X}$，使 $\pi$ 么正等價於這樣一個投影值測度 $\rho$， $\rho(E)$ （$E\in M$）定義為希爾伯特空間

$$\int_X^\oplus H_x \ d \mu(x).$$

上關於 $1_E$ 的乘法算子。

$\mu$ 的等價(測度論)以及測度按重數映射 $x\mapsto\dim H_x$ 之結果歸併而來的等價類完全刻畫了投影值測度（在么正等價的意義上，也就是說凡不能區分的PVM都么正等價）。

一個投影值測度 $\pi$ 稱為是n重齊次(homogeneous)的，若且唯若重數函數具有常數值 $n$。顯然。

任何在可分希爾伯特空間的投影中取值的投影值測度 $\pi$ 都是齊次投影值測度的正交直和：

$$\pi = \bigoplus_{1 \leq n \leq \omega} (\pi \mid H_n)$$

其中

$$H_n = \int_{X_n}^\oplus H_x \ d (\mu \mid X_n) (x)$$

以及

$$X_n = \{x \in X: \dim H_x = n\}.$$

## 在量子力學中的應用

在量子力學中，給定一個投影值測度，其定義域為一個可測空間 $X$，陪域是希爾伯特空間 $H$ 上的連續自同態所構成的向量空間。

- 希爾伯特空間 $H$ 的射影空間被解釋為量子系統的可能狀態集 $\Phi$。
- 可測空間 $X$ 是系統某些量子性質（可觀測量）的值空間。
- 投影值測度 $\pi$ 表示可觀測量取各種值的機率。

$X$ 的常見選擇是實數集，但也可能是

- $\mathbb R^3$（三維中的位置或動量）。
- 離散集（用於角動量、束縛態能量等）。
- 關於 $\varphi\in\Phi$ 的任意命題的真值的二元素集，即「真」和「假」。

令 $E$ 為可測空間 $X$ 的可測子集， $\varphi$ 為 $H$ 中的歸一化態矢，且其範數為一，即 $\|\varphi\|=\sqrt{\langle\varphi,\varphi\rangle} = 1$。對於處於狀態 $\varphi$ 的系統，其可觀測量的值落在子集 $E$ 中的機率為

$$<pre> P_\pi(\varphi)(E) = \langle \varphi|\pi(E)(\varphi)\rangle = \langle \varphi|\pi(E)|\varphi\rangle,$$

其中，物理學中更傾向於使用後一種符號。

我們可以用兩種方式來解析這一點。

其一，對於給定的 $E$，投影 $\pi(E)$ 是 $H$ 上的一個自伴算子，其 1-本徵空間（本徵值 1 所對應的子空間）由可觀測量的值始終落在 $E$ 中的態矢構成，其 0-特徵空間則由可觀測量的值永不落在 $E$ 中的態矢構成。

其二，對於任一給定的歸一化態矢 $\psi$。

$$P_\pi(\psi) : E \mapsto \langle\psi\mid\pi(E)\psi\rangle$$

是 $X$ 上的機率測度，從而使得可觀測量的值成為隨機變量。

可以用投影值測度 $\pi$ 來進行的測量稱為投影測量。

如果 $X$ 是實數集，則存在關聯於 $\pi$ 的 $H$ 上的厄米算子 $A$，其將態矢 $\varphi\in H$ 映射為

$$A(\varphi) = \int_{\mathbb{R}} \lambda \,\mathrm d\pi(\lambda)(\varphi),$$

或者若 $\pi$ 的支撐集是 $\mathbb R$ 的一個離散子集，則可用更易讀的形式寫作

$$A(\varphi) = \sum_i \lambda_i \pi({\lambda_i})(\varphi)$$

上述算子 $A$ 被稱為關聯於該譜測度的可觀測量。

## 推廣

投影值測度的概念可推廣到正算子值測度（POVM）。對於POVM，將恆等算子劃分為投影算子所蘊含的正交性的要求不再是必要的，恆等算子轉而被分解為一族不必正交的算子。這一推廣的動機源於在量子信息理論上的應用。