單峰

數學中，單峰意味著擁有唯一的眾數。更一般地說，單峰意味著數學對象只有唯一的最大值。

## 單峰機率分布

統計學中，單峰機率分布或單峰分布是具有單一峰值的機率分布。「峰」指分布的任何峰值，不僅僅是統計學中通常的眾數。

若只有一個峰，則分布函數就是「單峰」的。除此之外都叫做「多峰」（multimodal）。圖 1展示的正態分布、柯西分布、T分布、卡方分布、指數分布等都是單峰分布。離散型分布中，二項分布和泊松分布可視作單峰分布，但對於某些參數可以在兩個相鄰值上產生相同的機率。

圖 2、圖 3展示了雙峰分布。

### 其他定義

分布函數的單峰性還有其他定義。

對於連續型分布，單峰性可通過累積分布函數（CDF）的行為定義。若CDF在$x<m$時是凸的、在$x<m$時是凹的，則分布就是單峰分布，$m$為眾數。需要注意的是，根據這一定義，均勻分布也是單峰分布，任何在一定區間內可取到最大分布的也是單峰分布，如梯形分布。這一定義通常允許峰處不連續；在連續分布中，任意單一值的機率通常都是0，而這一定義則允許在峰中存在非零機率點。

單峰的標準也可用分布的特徵函數或拉普拉斯-斯蒂爾切斯變換來定義。

定義單峰離散分布的另一種方法是通過機率差序列的變號。離散分布的機率質量函數為$\{p_n : n = \dots, -1, 0, 1, \dots\}$，若序列$\dots, p_{-2} - p_{-1}, p_{-1} - p_0, p_0 - p_1, p_1 - p_2, \dots$只有一次變號（不計入零），則稱為單峰分布。

### 使用與結果

分布的單峰性之所以重要，是因為它可以得到幾個重要的結果。下面給出的幾個不等式僅適用於單峰分布，因此評估給定數據集是否來自單峰分布非常重要。雙峰分布條目中給出了幾種單峰測試法。

### 不等式

#### 高斯不等式

高斯不等式是第一個重要結果，給出了值與峰的距離超過給定數的機率的上限，其只能用於單峰分布。

#### 維索尚斯基–佩圖寧不等式

第二個是維索尚斯基–佩圖寧不等式，其是切比雪夫不等式的細化。切比雪夫不等式保證在任何分布中，「幾乎所有」值都「接近」均值。而維索尚斯基–佩圖寧不等式則將其細化到更接近的值，前提是分布函數為連續單峰的。Sellke與Sellke得出了進一步的結果。

#### 眾數、中位數與平均數

高斯在1823年也證明了單峰分布的情形

$$\sigma \le \omega \le 2 \sigma$$

及

$$|\nu - \mu| \le \sqrt{\frac{3}{4}} \omega ,$$

其中中位數是ν，平均數是μ， ω是與眾數的均方根誤差。

對於單峰分布，可以證明中位數ν與平均值μ在(3/5)1/2 ≈ 0.7746個標準差的範圍內。用符號表示。

$$\frac{|\nu - \mu|}{\sigma} \le \sqrt{\frac{3}{5}}$$

其中| . |是絕對值。

2020年，Bernard、Kazzi與Vanduffel通過推導對稱分位數均值$\frac{ q_\alpha + q_{(1-\alpha)} }{ 2 }$與均值

$$\frac{ \left| \frac{ q_\alpha + q_{(1-\alpha)} }{2} - \mu \right| }{ \sigma } \le \left\{ <pre> \begin{array}{cl} \frac{\sqrt[]{\frac{4}{9(1-\alpha)}-1} \text{ } + \text{ } \sqrt[]{\frac{1-\alpha}{1/3+\alpha}}}{2} & \text{for }\alpha \in \left[\frac{5}{6},1\right)\!, \\ \frac{\sqrt[]{\frac{3 \alpha}{4-3\alpha}} \text{ } + \text{ } \sqrt[]{\frac{1-\alpha}{1/3+\alpha}}}{2} & \text{for }\alpha \in \left(\frac{1}{6},\frac{5}{6}\right)\!,\\ \frac{\sqrt[]{\frac{3 \alpha}{4-3\alpha}} \text{ } + \text{ } \sqrt[]{\frac{4}{9 \alpha} -1}}{2} & \text{for }\alpha \in \left(0,\frac{1}{6}\right]\!. \end{array} \right.$$

之間的最大距離，推廣了前面的不等式。值得注意的是，$\alpha=0.5$時最大距離取得最小（即當對稱分位均值$= q_{0.5} = \nu$），這也是選擇中位數為均值的穩健估計值的原因之一。此外，當$\alpha = 0.5$，邊界等於$\sqrt{3/5}$，這時單峰分布中位數和均值距離的最大值。

中位數和眾數θ也有類似關係：它們位於31/2 ≈ 1.732個標準差之內：

$$\frac{|\nu - \theta|}{\sigma} \le \sqrt{3}.$$

也可以證明均值和眾數相差在31/2之內：

$$\frac{|\mu - \theta|}{\sigma} \le \sqrt{3}.$$

#### 偏度與峰度

Rohatgi與Szekely聲稱，單峰分布的偏度與峰度可通過不等式相聯繫：

$$\gamma^2 - \kappa \le \frac{ 6 }{ 5 } = 1.2$$

κ為峰度，γ為偏度。Klaassen、Mokveld與van Es發現，這隻適於部分情形，如眾數與均值重合的單峰分布集合。

他們推導出了一個適用於所有單峰分布的較弱不等式：

$$\gamma^2 - \kappa \le \frac{ 186 }{ 125 } = 1.488$$

這個界限很銳，因為它是0, 1上的均勻分布和{0}處的離散分布的等權混合。

## 單峰函數

「峰」適用於數據集合機率分布，而非一般函數，所以上述定義並不適用。「單峰」的定義可擴展到實數函數。

通常定義如下：若對某值m，函數f(x)在$x\le m$時單調遞增、在$x\ge m$時單調遞減，則為單峰函數。也就是說，f(x)的最大值為f(m)，且沒有其他極大值。

證明單峰性通常很難。一種方法是利用定義，但這隻適用於簡單函數。還有基於導數的通用方法，但並不適用於每個函數。

單峰函數有二次項係數為負的二次函數、帳篷映射等等。

上述情形有時被稱為強單調性。如有值m使$x\le m$時，函數f(x)弱單調遞增；$x\ge m$時，函數f(x)弱單調遞減，則稱函數為弱單峰函數。這時，x存在可取到最大值f(m)的區間。楊輝三角的每一行都是弱單峰函數。

單峰函數也可以指只有一個極小值的函數。例如，數值優化中的局部單峰抽樣經常用這樣的函數演示。可以說，這種推廣下的單峰函數具有單一局部極值。

單峰函數的重要特性之一是，可以使用黃金分割搜索、三份查找或逐次拋物線插值等搜索算法找到最值。

## 其他推廣

若$\forall x \ne c$施瓦茲導數均為負，則函數f(x)是「S-單峰」（常稱為「S-單峰映射」）函數，其中$c$是臨界點。

計算幾何中，單峰函數可以設計出高效的找到極值的演算法。

適用於向量自變量X的函數f(X)的更一般定義是，若存在可微單射X = G(Z)使f(G(Z))為凸函數，則f是單峰函數。通常，我們希望G(Z)連續可微，且有可逆雅各布矩陣。

擬凸函數和擬凹函數將單峰性推廣到參數屬於高維歐幾里得空間的函數。