謝爾賓斯基空間

在數學上，謝爾賓斯基空間（Sierpiński space，又稱兩點連通空間（connected two-point set））是一個包含兩個元素的有限拓樸空間，其中只有一個元素是閉合的。這個空間是所有非密著且非離散的拓樸空間中最小的，而這空間以波蘭數學家瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基的姓氏為名。

因為謝爾賓斯基空間在斯科特拓樸當中，是開集的分類空間（classifying space）之故，因此這集合在可計算性理論和語意處理上有重要的應用。

## 定義及基本性質

謝爾賓斯基空間$S$是一個其點集合為$\{0,1\}$的拓樸空間，其所有的開集如下：

$$\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\}.$$

其所有的閉集如下：

$$\{\varnothing,\{0\},\{0,1\}\}.$$

也就是說，其單點集$\{0\}$是閉集，而其單點集$\{1\}$是開集，另外此處的$\varnothing$代表空集合。

此空間的閉包如下：

$$\overline{\{0\}} = \{0\},\qquad\overline{\{1\}} = \{0,1\}.$$

一個有限的拓樸空間亦可由其特殊化預序唯一定義，當中，這預序是一個偏序，其形式如下：

$$0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.$$

## 拓樸性質

謝爾賓斯基空間$S$是特定點拓樸（particular point topology）（謝爾賓斯基空間的特定點為1）和排除點拓樸（excluded point topology）（謝爾賓斯基空間的排除點為0）的一個特殊例子，因此謝爾賓斯基空間和這兩類拓樸空間有許多共通之處。

### 分離性

- 在謝爾賓斯基空間中，0和1這兩點是拓撲可區分的，這是因為$\{1\}$是一個只包含這兩者其中一點的開集之故，因此謝爾賓斯基空間是一個柯爾莫果洛夫空間（$T_0$空間）。
- 然而謝爾賓斯基空間不是一個$T_1$空間，這是因為$\{1\}$這個單點集不是閉集之故，也因此謝爾賓斯基空間不是豪斯多夫空間或$T_n$空間（其中$n \ge 1$）。
- 然而謝爾賓斯基空間不是正則空間或完全正則空間，這是因為1這個點及其不相交集合$\{0\}$不能以鄰域分離之故（另外點能以鄰域分離的$T_0$空間是豪斯多夫空間）。
- 然而謝爾賓斯基空間可視為正規空間和完全正規空間，這是因為這空間中沒有非空的分離集合所致。
- 然而謝爾賓斯基空間不是完美正規空間，這是因為其彼此不相交的閉合$\varnothing$和$\{0\}$無法由函數完全分離所致。事實上，謝爾賓斯基空間的$\{0\}$不能是任何連續函數$S \to R$的零集（zero set），而這是因為任何這樣的連續函數都是常函數所致。

### 連通性

- 謝爾賓斯基空間同時是個超連通空間（Hyperconnected space）（這是因為其所有的非空開集都包含1所致）和特連通空間（Ultraconnected space）（這是因為其所有的非空閉集都包含0所致）。
- 謝爾賓斯基空間是個連通空間和道路連通空間。
- 一條連通謝爾賓斯基空間當中的0和1的道路$f: I \to S$可定義如次：$f(0)=0$且對於所有的$t > 0$而言$f(t)=1$，這個函數是連續的，因為$f^{-1}(1)=(0,1]$在$I$是開集。
- 和所有的有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個局部道路連通空間。
- 謝爾賓斯基空間是個可壓縮空間（contractible space），因此其基本群是個當然群（這點對高階同倫群（higher homotopy groups）也成立）。

### 緊緻性

- 和所有有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個緊緻空間和第二可數空間。
- 謝爾賓斯基空間的緊子集$\{1\}$不是閉集，而這顯示了$T_0$空間的緊集不必然是閉集。
- 任何謝爾賓斯基空間的開覆蓋都必然包含謝爾賓斯基空間本身，這是因為謝爾賓斯基空間為0的唯一的開鄰域之故，因此任何的謝爾賓斯基空間的開覆蓋都有包含一個集合的子覆蓋，就是$\{S\}$。
- 而這表示說謝爾賓斯基空間是個滿正規空間（fully normal space，仿緊空間的一個子類）。

$T_4$

### 收斂性

- 任何謝爾賓斯基空間當中的序列都收斂至0，這是因為在謝爾賓斯基空間當中，0唯一的鄰域是謝爾賓斯基空間本身。
- 在謝爾賓斯基空間當中一個序列收斂至1，當且僅當該序列僅有有限多項為0。
- 在謝爾賓斯基空間當中，1是某序列的一個聚集點，當且僅當該序列包含無限多項的1。
- 1不是$(0,0,0,0,...)$這序列的聚集點。
- 1是$(0,1,0,1,0,1,...)$這序列的聚集點1，但並非極限點。
- $(1,1,1,1,...)$這序列同時收斂至0和1。

### 度量化可能性

- 謝爾賓斯基空間不是可度量化的空間，甚至也不是可偽度量化的空間，這是因為任何偽度量化的空間都必須是完全正則空間，而謝爾賓斯基空間就連正則空間都不是之故。
- 謝爾賓斯基空間可由偽擬度量生成，其中$d(0,1)=0$且$d(1,0)=1$。

### 其他性質

- 謝爾賓斯基空間只有三個映至自身的連續函數：恆等函數、兩個分別映至0和1的常函數。
- 而這表示說謝爾賓斯基空間的同胚群（英語：homeomorphism group）是當然群。

## 映至謝爾賓斯基空間的連續函數

設$X$是一個任意集合，那麼一般會將所有從$X$映至$\{0,1\}$的函數的集合給記做$2^X$，這些函數即是$X$的指示函數，所有的指示函數都有如下的形式：

$$\chi_U(x) = \begin{cases}1 & x \in U \\ 0 & x \not\in U\end{cases}$$

在其中$U$是$X$的一個子集。換句話說$2^X$這個函數的集合和$X$的冪集$P(X)$間，有著雙射的關係。每個$X$的子集$U$都有自己的指示函數$\chi_U$，而每個從$X$映至$\{0,1\}$的函數都有如此的形式。

現在假定$X$是個拓樸空間，而$\{0,1\}$有著謝爾賓斯基拓樸，那麼$\chi_U: X \to S$是個連續函數，當且僅當$\chi_U^{-1}(U): X \to S$在$X$中是個開集；然而根據定義，我們有

$$\chi_U^{-1}(1) = U.$$

因此$\chi_U$是個連續函數，當且僅當$U$在$X$中是個開集。

假定$C(X,S)$是所有從$X$映至$S$的連續函數的集合，並假定$T(X)$是$X$的拓樸（也就是所有開集的集族），那麼就存在一個從$T(X)$映至$C(X,S)$的雙射，這映射會將$U$映至$\chi_U$之上。

$$C(X,S)\cong \mathcal{T}(X)$$

也就是說，假若將$2^X$和$P(X)$對等，那麼其連續映射的子集$C(X,S) \subset 2^X$會是$T(X) \subset P(X)$的拓樸。

一個特別值得注意的例子是在對偏序集合的斯科特拓樸中，謝爾賓斯基空間會在指示函數保持定向連接（directed join）的狀況下，成為其開集的分類空間。

### 範疇論的描述

上述的結構可以用範疇論的語言很好地表達。有個從拓撲空間範疇到集合範疇的反變函子$T: Top \to Set$將每個拓樸空間$X$給指派給其開集的集合$T(X)$，並將每個連續函數$f: X \to Y$給指派給其原像：

$$f^{-1} : \mathcal{T}(Y) \to \mathcal{T}(X).$$

而相關敘述如下：$T$這個函子由$(S, \{1\})$表示，其中$S$為謝爾賓斯基空間，也就是說，$T$和同態函子（Hom functor）$Hom(-,S)$間有著自然同構，而這自然同構由泛元素$\{1\} \in T(S)$決定，而這可由預層的概念一般化。

### 初拓撲

任何的拓樸空間$X$都有由映至謝爾賓斯基空間的連續函數的集族$C(X,S)$所引致的初拓撲。事實上，若要將$X$的拓樸變得更加粗糙，那就必須將一些開集給移除；然而若將開集$U$給移除，那麼$\chi_U$這個函數就會變得不連續，因此在$C(X,S)$當中的每個函數都連續的情況下，$X$有著最粗糙的拓樸。

函數的集族$C(X,S)$區分$X$上的點，當且僅當$X$是個$T_0$空間。$x$和$y$這兩點可由指示函數$\chi_U$區分，當且僅當開集$U$包含其中一點但不同時包含兩者。這也就是$x$和$y$拓樸可區分的確實含意。

也就是說，若$X$是個$T_0$空間，那就可以將$X$給嵌入謝爾賓斯基空間的積空間中，在其中對於每個$X$的開集$U$而言，都有一個$S$的複本與之對應。其嵌入函數

$$e : X \to \prod_{U\in \mathcal{T}(X)}S = S^{\mathcal{T}(X)}$$

可由下列函數得出：

$$e(x)_U = \chi_U(x).\,$$

由於$T_0$空間的子空間和積空間還是$T_0$空間之故，因此一個拓樸空間是$T_0$空間，當且僅當其與謝爾賓斯基空間的積空間的某個子空間同胚。

## 在代數幾何中

在代數幾何中，謝爾賓斯基空間會作為$\mathbb{Z}_p$（整數在質數$p$生成的素理想上的局部化）之類的離散賦值環（Discrete valuation ring）$R$的譜$Spec(R)$出現。其中$Spec(R)$起自零理想的一般點（generic point）會對應至開集點1；而$Spec(R)$起自極大理想的特殊點（special point）會對應至閉集點0。

## 參見

- 有限拓樸空間（Finite topological space）
- 拓樸列表（List of topologies）
- 偽圓（Pseudocircle）

## 參考

- Michael Tiefenback (1977) "Topological Genealogy", Mathematics Magazine 50(3): 158–60