量子上同調

辛拓撲和代數幾何中，量子上同調環是閉辛流形的普通上同調環的推廣。有「小環」和「大環」兩種定義，一般來說後者更複雜，包含的資訊也更多。係數環（一般是諾維科夫環）的選擇也會對其結構產生重大影響。

普通上同調的上積描述了子流形如何相交，而量子上同調的量子上積則描述了子空間如何以「模糊」「量子」的方式相交。更確切地說，若它們通過偽全純曲線相連接，就是相交的。計算曲線的格羅莫夫-威滕不變量在量子上積的展開式中作為係數出現。

量子上同調表達了格羅莫夫-威滕不變量的結構或模式，因此對枚舉幾何有重要意義，還與數學物理和鏡像對稱中的許多觀點相關。特別是，它與辛弗洛爾同調是環同構的。

本文中X是閉辛流形，具有辛形式ω。

## 諾維科夫環

X的量子上同調的係數環有多種選擇，通常我們會選擇能編碼X的第二同調資訊的環，這樣下面定義的量子上積就能記錄X中仿全純曲線的資訊。例如，令

$$H_2(X) = H_2(X, \mathbf{Z}) / \mathrm{torsion}$$

為第二同調模其撓（torsion）。令R為任意有單位元的交換環，Λ是形式為

$$\lambda = \sum_{A \in H_2(X)} \lambda_A e^A,$$

形式冪級數的環，其中

- 係數$\lambda_A$來自R。
- $e^A$為形式變量，服從關係$e^A e^B = e^{A + B}$。
- 對每個實數C，只有有限多個ω(A)小於等於C的A具有非零係數$\lambda_A$。

變量$e^A$的度數為$2 c_1(A)$，其中$c_1$是切叢TX的第一陳類，通過選擇任意與ω相配的殆復結構，可將其視為復向量叢。因此，Λ是分次環，稱作ω的諾維科夫環（其他定義亦常見）。

## 小量子上同調

令

$$H^*(X) = H^*(X, \mathbf{Z}) / \mathrm{torsion}$$

為X模撓（torsion）的上同調。係數為Λ的小量子上同調定義為

$$QH^*(X, \Lambda) = H^*(X) \otimes_\mathbf{Z} \Lambda.$$

其元素是形式為

$$\sum_i a_i \otimes \lambda_i$$

有限和。小量子上同調是分次R模：

$$\deg(a_i \otimes \lambda_i) = \deg(a_i) + \deg(\lambda_i).$$

普通上同調$H^*(X)$通過$a \mapsto a \otimes 1$嵌入$QH^*(X,\ \Lambda)$，後者由$H^*(X)$作為Λ模生成。

對$H^*(X)$中任意兩個純度（pure degree）的上同調類a、b，以及$H_2(X)$中任意的A，定義$(a*b)_A$為$H^*(X)$的唯一元素，使得

$$\int_X (a * b)_A \smile c = GW_{0, 3}^{X, A}(a, b, c).$$

（右式是0虧格3點格羅莫夫-威滕不變量。）接著，定義

$$a * b := \sum_{A \in H_2(X)} (a * b)_A \otimes e^A.$$

根據線性關係，可以推廣為定義良好的Λ雙射

$$QH^*(X, \Lambda) \otimes QH^*(X, \Lambda) \to QH^*(X, \Lambda)$$

即小量子上積（small quantum cup product）。

## 幾何解釋

類$A=0$中唯一的仿全純曲線是常值映射，其像是點。因此

$$GW_{0, 3}^{X, 0}(a, b, c) = \int_X a \smile b \smile c;$$

即

$$(a * b)_0 = a \smile b.$$

於是量子上積包含普通上積；也就是說，這定義將普通上積推廣到了非零類A。

一般來說，$(a*b)_A$的龐加萊對偶對應著通過a、b的龐加萊對偶的類A的仿全純曲線空間。所以，普通上同調認為只有當a、b在一定的點上相遇才算做相交，而量子上同調則記錄了a和b的非零相交，只要有仿全純曲線相連接即可。諾維科夫環僅僅提供了足夠大的記錄系統，可以記錄所有類A的相交資訊。

## 例子

令X為具有標準辛形式（對應富比尼–施圖迪度量）和復結構的復射影平面。令$\ell \in H^2(X)$為線L的龐加萊對偶，則

$$H^*(X) \cong \mathbf{Z}[\ell] / \ell^3.$$

唯一非零的格羅莫夫-威滕不變量是類$A=0$或$A=L$的不變量。可得

$$\int_X (\ell^i * \ell^j)_0 \smile \ell^k = GW_{0, 3}^{X, 0}(\ell^i, \ell^j, \ell^k) = \delta(i + j + k,2)$$

及

$$\int_X (\ell^i * \ell^j)_L \smile \ell^k = GW_{0, 3}^{X, L}(\ell^i, \ell^j, \ell^k) = \delta(i + j + k, 5),$$

其中δ是克羅內克δ函數。於是。

$$\ell * \ell = \ell^2 e^0 + 0 e^L = \ell^2,$$

$$\ell * \ell^2 = 0 e^0 + 1 e^L = e^L.$$

這時，可以方便地將$e^L$重命名為q，並使用更簡單的係數環$\mathbf{Z}[q]$，其中的q之度為$6 = 2 c_1(L)$。則

$$QH^*(X, \mathbf{Z}[q]) \cong \mathbf{Z}[\ell, q] / (\ell^3 = q).$$

## 小量子上積的性質

對純度（pure degree）的a、b。

$$\deg (a * b) = \deg (a) + \deg (b)$$

且

$$b * a = (-1)^{\deg (a) \deg (b)} a * b.$$

小量子上積滿足分配律，是Λ雙線性的。單位元$1 \in H^0(X)$也是小量子同調的么元。

小量子上積還滿足結合律，這是格羅莫夫-威滕不變量的膠合定律（gluing law）的結果。這相當於，格羅莫夫-威滕勢（0虧格格羅莫夫-威滕不變量的母函數）滿足特定的三階微分方程，即WDVV方程。

相交對

$$QH^*(X, \Lambda) \otimes QH^*(X, \Lambda) \to R$$

定義為

$$\left\langle \sum_i a_i \otimes \lambda_i, \sum_j b_j \otimes \mu_j \right\rangle = \sum_{i, j} (\lambda_i)_0 (\mu_j)_0 \int_X a_i \smile b_j.$$

（下標0表示$A=0$係數。）其滿足結合律

$$\langle a * b, c \rangle = \langle a, b * c \rangle.$$

## 杜布羅溫聯絡

基環R是C時，可將向量空間$QH^*(X,\ \Lambda)$的均勻分次部分H看做複流形。小量子上積限制為H上良定義的交換積。在較溫和的假設下，具有相交對$\langle,\ \rangle$的H是弗羅貝尼烏斯代數。

量子上積可視作是切叢TH上的聯絡，稱作杜布羅溫聯絡。則，量子上積的交換性和結合性對應這個聯絡上的零撓率和零曲率條件。

## 大量子上同調

存在$0\in H$的鄰域U，使$\langle , \rangle$和杜布羅溫聯絡賦予U以弗羅貝尼烏斯流形的結構。$\forall a\in U$有量子上積

$$*_a : H \otimes H \to H,$$

定義為

$$\langle x *_a y, z \rangle := \sum_n \sum_A \frac{1}{n!} GW_{0, n + 3}^{X, A}(x, y, z, a, \ldots, a).$$

H上的積統稱為大量子上同調（big quantum cohomology）。所有0虧格格羅莫夫-威滕不變量都可從中恢復；但一般來說，更簡單的小量子上同調並非如此。

小量子上同調只有3點格羅莫夫-威滕不變量的資訊，大量子上同調則有所有n點（n ≧ 4）格羅莫夫-威滕不變量的資訊。為獲得某些流形的枚舉幾何資訊，需要用到大量子上同調。小量子上同調對應物理學中的3點相關函數，大量子上同調則對應所有n點相關函數。

## 參考文獻

- McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications. .
- Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press.