四維多胞體

在四維幾何學中，四維多胞體又稱4-多胞形是一種位於四維空間中的多胞形。

其為由多個多面體作為維面所構成的封閉幾何結構。

這些多胞體的組成元素可分為頂點、邊、面（多邊形）、胞（多面體）。

每個面都與兩個胞相鄰。

四維多胞體最早由瑞士數學家路德維希·施萊夫利在1853之前發現。Coxeter 1973, p. 141, §7-x. Historical remarks.

四維多胞體在二維空間的類比是多邊形、在三維空間的類比是多面體。

從拓樸學的觀點來看，四維多胞體與三維堆砌體密切相關，如立方體堆砌，其為三維空間的空間填充；類似地，三維立方體也與二維的正方形鑲嵌有關。

凸四維多胞體可以切割並展開維三維空間的展開圖。

## 定義

四維多胞體是一個封閉的四維幾何結構。其由頂點（角點）、邊、面和胞組成。胞是面的三維類比，也就是多面體。每個面必須正好連接兩個胞，類似於多面體的每條邊必須正好連接兩個面。另外，也像多面體不能被分為2個或多個同樣是多面體的子部件一樣，四維多胞體不能被分為2個或多個同樣屬於四維多胞體的集合的子部件，也就是說，其不能為複合體。

## 幾何

四維凸正多胞體是三維柏拉圖立體在四維空間的類比。最常見的就是超立方體，立方體的四維類比。

四維凸正多胞體可以在相同半徑的條件下，依其大小（超體積）排序。序列中每一個幾何結構都比前一個更圓、更接近超球體，在相同的半徑範圍內包圍著更大的空間。正五胞體是最小的情況，而正一百二十胞體是最大的情況。其結構複雜度（透過比較排佈 (多胞形)或簡單的頂點數量來衡量）也依照這個順序排列。

四維凸正多胞體

對稱群｜A4｜超八面體群｜F4 (數學)｜H4多胞形

名稱｜正五胞體 超四面體｜正十六胞體 超八面體｜四維超正方體 超立方體｜正二十四胞體｜正六百胞體 超二十面體｜正一百二十胞體 超十二面體

施萊夫利符號｜{3, 3, 3}｜{3, 3, 4}｜{4, 3, 3}｜{3, 4, 3}｜{3, 3, 5}｜{5, 3, 3}

考克斯特圖｜node_1｜node_1｜node_1｜node_1｜node_1｜node_1

鏡像二面角｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅｜𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅

圖

頂點｜5個正四面體狀｜8個正八面體狀｜16個正四面體狀｜24個立方體狀｜120個正二十面體狀｜600個正四面體狀

邊｜10個正三角形分布｜24個正方形分布｜32個正三角形分布｜96個正三角形分布｜720個正五邊形分布｜1200個正三角形分布

面｜10個正三角形｜32個正三角形｜24個正方形｜96個正三角形｜1200個正三角形｜720個正五邊形

胞｜5個正四面體｜16個正四面體｜8個立方體｜24個正八面體｜600個正四面體｜120個正十二面體

Tori｜1個5-四面體｜2個8-四面體｜2個4-立方體｜4個6-八面體｜20個30-四面體｜12個10-十二面體

大多邊形｜2 𝝅 3個正方形｜4 𝝅 3個矩形｜4 𝝅 4個正六邊形｜12 𝝅 6個十邊形｜50 𝝅 4個十二邊形

皮特里多邊形｜1個五邊形｜1個八邊形｜2個八邊形｜2個十二邊形｜4個三十邊形｜20個三十邊形

長半徑｜$1$｜$1$｜$1$｜$1$｜$1$｜$1$

邊長｜$\sqrt{\tfrac{5}{2}} \approx 1.581$｜$\sqrt{2} \approx 1.414$｜$1$｜$1$｜$\tfrac{1}{\phi} \approx 0.618$｜$\tfrac{1}{\phi^2\sqrt{2}} \approx 0.270$

短半徑｜$\tfrac{1}{4}$｜$\tfrac{1}{2}$｜$\tfrac{1}{2}$｜$\sqrt{\tfrac{1}{2}} \approx 0.707$｜$\sqrt{\tfrac{\phi^4}{8}} \approx 0.926$｜$\sqrt{\tfrac{\phi^4}{8}} \approx 0.926$

面積｜$10\left(\tfrac{5\sqrt{3}}{8}\right) \approx 10.825$｜$32\left(\sqrt{\tfrac{3}{4}}\right) \approx 27.713$｜$24$｜$96\left(\sqrt{\tfrac{3}{16}}\right) \approx 41.569$｜$1200\left(\tfrac{\sqrt{3}}{4\phi^2}\right) \approx 198.48$｜$720\left(\tfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{8\phi^4}\right) \approx 90.366$

體積（超表面積）｜$5\left(\tfrac{5\sqrt{5}}{24}\right) \approx 2.329$｜$16\left(\tfrac{1}{3}\right) \approx 5.333$｜$8$｜$24\left(\tfrac{\sqrt{2}}{3}\right) \approx 11.314$｜$600\left(\tfrac{\sqrt{2}}{12\phi^3}\right) \approx 16.693$｜$120\left(\tfrac{15 + 7\sqrt{5}}{4\phi^6\sqrt{8}}\right) \approx 18.118$

超體積｜$\tfrac{\sqrt{5}}{24}\left(\tfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^4 \approx 0.146$｜$\tfrac{2}{3} \approx 0.667$｜$1$｜$2$｜$\tfrac{\text{Short}\times\text{Vol}}{4} \approx 3.863$｜$\tfrac{\text{Short}\times\text{Vol}}{4} \approx 4.193$

## 拓樸特徵

四維多胞體的拓樸特徵由貝蒂數和扭轉係數定義。

用於描述多面體的歐拉特徵數並不能有效地推廣到更高的維度，對於所有四維多胞體而言，無論其有合拓樸結構，歐拉特徵數的值都是零。由於歐拉特徵數無法有效地區分高維空間中不同的拓樸結構，因此導致了更複雜的貝蒂數的發現。

同樣地，多面體的定向性也不足以描述四維多胞體表面的扭曲情況，因此需要使用扭轉係數來描述。

## 分類

### 標準

四維多胞體可以依照其特性進行分類，例如凹凸性和對稱性。

- 凸的四維多胞體代表其邊界（包含胞、面和邊）不會自我相交，且任兩點連線皆位於整個幾何結構內部或正好落在其邊界上，若無法滿足上述條件則這個四維多胞體就是非凸的。自我相交的四維多胞體又被稱為四維星形多胞體，其可以視為星形多邊形和星形多面體在四維空間的類比。
- 正的四維多胞體代表其標記可以在其對稱性上傳遞，這意味著該四維多胞體所有胞全等、所有面全等、所有邊等長所有頂點圖全等，其可以視正多面體的類比。
- 半正的四維多胞體代表其具有一個所有頂點皆等價的對稱性（點可遞），且其胞都是正多面體。半正四維多胞體可以有不只一種的胞，但前提是其皆要由同一種面來構成。索羅德·戈塞特在1900年只發現了三種半正四維多胞體，分別為截半正五胞體、截半六百胞體和扭稜二十四胞體。
- 均勻的四維多胞體代表其具有一個所有頂點皆等價的對稱性，且其胞都是均勻多面體，其面也要是正多邊形。
- 三維空間的堆砌體是將三維歐幾里得空間劃分為以多面體為胞的重複性網格。這樣的空間填充是無限的，且並不具有四維超體積，是四維無限胞體的例子。均勻三維堆砌體是指頂點圖全等並與某個空間群相關聯，且其胞為均勻多面體。

### 類別

下面列出了依上述標準分類的四維多胞體：

四維均勻多胞體（點可遞）

- 四維凸均勻多胞體（64個加2個無限集合）
- 47個非柱狀四維均勻多胞體，當中包括：
- 6個四維凸正多胞體
- 柱狀四維均勻多胞體
- {} × {p,q}：18個四維均勻多胞體#多面體柱體 （包括四維超正方體）
- 基於反稜柱的柱體（無限集合）
- {p} × {q}：四維柱體柱（無限集合）
- 四維非凸均勻多胞體（10個已知其餘數量未知）
- 10個（正）施萊夫利-赫斯多胞體
- 57 個基於星形均勻多面體的四維柱。
- 未知總數的四維非凸均勻多胞體：諾曼·詹森 (數學家)和其他合作者已經確定有2189個已知的四維非凸均勻多胞體（凸和星形，不含無限集合）皆由Stella (軟體)透過頂點圖構造。

其他凸四維多胞體

- 多面體錐
- 多面體雙錐
- 多面體柱

基於歐幾里得三維堆砌體的四維均勻無限胞體

- 28個凸均勻堆砌：凸均勻多面體的空間填充，也包括：
- 1個正空間填充，立方體堆砌：{4,3,4}

基於雙曲空間三維堆砌體的四維均勻無限胞體

- 76個威佐夫雙曲空間填充，也包括：
- 4個正緊湊雙曲空間填充：{3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

均勻四維多胞體對偶（胞可遞）

- 41個不相同的凸四維多胞體對偶
- 17個不相同的均勻多面體柱對偶
- 無限集合的四維柱體柱對偶（不規則四面體胞）
- 27個不相同的均勻堆砌對偶，包括：
- Q7321274
- Q5282593

其他

- 韋爾—費倫結構

抽象多胞形

- 四維正十一胞體
- 四維正五十七胞體