拉格朗日力學的逆問題

在數學中，拉格朗日力學的逆問題是這樣一個問題：給定的常微分方程組是否是一個拉格朗日函數的歐拉-拉格朗日方程。

自 20 世紀初以來，已開展了大量的活動來研究這一問題。1941年美國數學家傑西·道格拉斯發表了一篇論文，他在文中給出了拉格朗日力學逆問題有解的充要條件，這是這一領域的一個顯著進步。這些條件現在被冠名於赫爾曼·馮·亥姆霍茲，稱為亥姆霍茲條件。

## 問題的背景和表述

拉格朗日力學$n$ 維歐幾里得空間 $\mathbb R^n$ 上的拉格朗日力學的通常表述如下。考慮一條可微路徑 $u:[0,T]\to\mathbb R^n$，用於表示力學系統在坐標空間 $\mathbb R^n$ 中的軌跡。定義路徑 $u$ 的一個泛函 $S$ 如下：

$$S(u) = \int_{0}^{T} L(t, u(t), \dot{u}(t)) \, \mathrm{d} t,$$

稱為作用量。其中 $L$ 是時間、位置和速度的函數，稱為拉格朗日函數。對於給定的 $\mathbb R^n$ 中的初態 $x_0$ 和末態 $x_1$，平穩作用量原理指出，在這兩個點之間連成的曲線（或者說，滿足邊界條件 $u(0)=x_0,u(T)=x_1$ 的曲線 $u$）中，只有使得作用量取泛函意義上的駐值的才是力學上可實際發生的運動軌跡。嚴格來說，這就是要求各方向的泛函導數為零，物理上通常記作

$$\delta S=0.$$通過變分法可以知道滿足該條件的曲線 $u$ 必須滿足歐拉-拉格朗日方程：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial L}{\partial \dot{u}^{i}} - \frac{\partial L}{\partial u^{i}} = 0 \quad \text{for } 1 \leq i \leq n,$$

其中上標 $i$ 標記 $u=(u^1,\dots,u^n)$ 的分量。

在典型的情況中，拉格朗日函數有如下的形式

$$T(\dot{u}) = \frac{1}{2} m | \dot{u} |^{2},$$

$$V : [0, T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R},$$

$$L(t, u, \dot{u}) = T(\dot{u}) - V(t, u),$$

這時歐拉–拉格朗日方程就是被稱為牛頓運動定律的二階常微分方程組：

$$m \ddot{u}^{i} = - \frac{\partial V(t, u)}{\partial u^{i}} \quad \text{for } 1 \leq i \leq n,$$

$$\mbox{i.e. }m \ddot{u} = - \nabla_{u} V(t, u).$$

給定一個二階常微分方程組

$$\ddot{u}^{i} = f^{i} (u^{j}, \dot{u}^{j}) \quad \text{for } 1 \leq i, j \leq n, \quad \mbox{(E)}$$

其對時間 $t\in[0,T]$ 成立。是否存在拉格朗日函數 $L:[0,T]\times\mathbb R\times\mathbb R\to \mathbb R$，其歐拉-拉格朗日方程就是 (E)？

更一般地，這個問題不必局限於歐幾里得空間 $\mathbb R^n$，所考慮的曲線可以是 $n$ 維流形 $M$ 上的，而這時拉格朗日是函數 $L:[0,T]\times TM\to \mathbb R$，其中 $TM$ 表示 $M$ 的切叢。

## 道格拉斯定理和亥姆霍茲條件

為了簡化記號記號，設

$$v^{i} = \dot{u}^{i}$$

並定義$n^2$ 個函數 $\Phi_{j}^i$ 如下：

$$\Phi_{j}^{i} = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\partial f^{i}}{\partial v^{j}} - \frac{\partial f^{i}}{\partial u^{j}} - \frac{1}{4} \frac{\partial f^{i}}{\partial v^{k}} \frac{\partial f^{k}}{\partial v^{j}}.$$

定理 (Douglas 1941) 存在拉格朗日函數 $L:[0,T]\times TM\to \mathbb R$ 使得方程 (E) 為其歐拉–拉格朗日方程若且唯若存在一個非奇異對稱矩陣 $g$，其矩陣元 $g_{ij}$ 依賴於 $u$ 和 $v$ 且滿足以下三條亥姆霍茲條件：

$$g \Phi = (g \Phi)^{\top}, \quad \mbox{(H1)}$$

$$\frac{\mathrm{d} g_{ij}}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{2} \frac{\partial f^{k}}{\partial v^{i}} g_{kj} + \frac{1}{2} \frac{\partial f^{k}}{\partial v^{j}} g_{ki} = 0 \mbox{ for } 1 \leq i, j \leq n, \quad \mbox{(H2)}$$

$$\frac{\partial g_{ij}}{\partial v^{k}} = \frac{\partial g_{ik}}{\partial v^{j}} \mbox{ for } 1 \leq i, j, k \leq n. \quad \mbox{(H3)}$$

（使用了重複指標的愛因斯坦求和約定。）

### 應用道格拉斯定理

乍一看，求解亥姆霍茲方程 (H1) – (H3) 似乎是一項極其困難的任務。條件 (H1) 是最容易解決的：總是可以找到一個 $u$ 滿足 (H1)，且單從它並不能推出拉格朗日函數的奇異性。方程 (H2) 是一個常微分方程組，而常微分方程解的存在性和唯一性的柯西-利普希茨定理意味著 (H2) 在原則上是可以求解的。直接積分並不會直接得到積分常數，而是會給出首次積分，因此這一步一般來說在實踐上很難完成。在某些良好的狀況下， (E) 具有足夠多的顯式首次積分（如李群上典範聯絡的測地流），從而得以完成這一步。

最後也是最困難的一步是求解方程 (H3)。(H3) 實際上就是使各微分 1-形式 $g_i$ 成為一個閉形式的一個必要條件，所以這些方程稱作閉條件（closure conditions）。它之所以如此可怕，是因為 (H3) 構成了一個大型的耦合偏微分方程組：若自由度為 $n$， (H3) 中就有$2 \left( \begin{matrix} n + 1 \\ 3 \end{matrix} \right)$條方程（上式括號表示二項式係數），其中有 $2n$ 個自變量（即 $g$ 的分量 $g_{ij}$）。

要構造最一般的拉格朗日函數，必須求解這個龐大的方程組！

幸運的是，可以施加一些輔助條件來幫助求解亥姆霍茲條件。首先， (H1) 是未知矩陣 $g$ 上的純代數條件。$g$ 的輔助代數條件可以如下給出：定義函數

$$\Psi_{jk}^{i} = \frac{1}{3} \left( \frac{\partial \Phi_{j}^{i}}{\partial v^{k}} - \frac{\partial \Phi_{k}^{i}}{\partial v^{j}} \right).$$

於是可給出 $g$ 的輔助條件：

$$g_{mi} \Psi_{jk}^{m} + g_{mk} \Psi_{ij}^{m} + g_{mj} \Psi_{ki}^{m} = 0 \mbox{ for } 1 \leq i, j \leq n. \quad \mbox{(A)}$$

事實上，類似的代數條件可構成無窮多個層次，而方程 (H2) 和 (A) 只是其中的第一層。在平行聯絡的情況下（例如李群上的典範聯絡），高階條件這時會得到自動滿足，因此只需關心 (H2) 和 (A)。注意 (A) 包括$\left( \begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix} \right)$個條件而 (H1) 包括$\left( \begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix} \right)$個條件。因此，(H1) 和 (A) 可能蘊含了拉格朗日函數的奇異性。截至 2006 年，還沒有一般性的定理可以在任意維度上規避這一困難，儘管某些特殊情況已經得到解決。

攻擊的第二個途徑是研究 (E) 是否可以浸沒到一個低維系統中，再嘗試將低維系統的拉格朗日函數「提升」到高維。這並不算是在求解亥姆霍茲條件，而是在嘗試構造拉格朗日方程，然後證明其歐拉–拉格朗日方程確實是 (E)。