物理空間代數

物理學中，物理空間代數 （APS）是用三維歐氏空間的克利福德代數或幾何代數${\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})$作為(3+1)維時空的模型，通過副向量（3維向量加1維標量）表示時空中的一個點。

克利福德代數${\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})$在旋量表示$\mathbb{C}^2$上有由泡利矩陣生成的忠實表示；此外，${\rm Cl}_{3,\ 0}(\mathbb{R})$同構於克利福德代數${\rm Cl}_{3,\ 1}(\mathbb{R})$的偶子代數${\rm Cl}_{3,\ 1}^{[0]}(\mathbb{R})$。

APS可為經典力學與量子力學構建一個緊湊、統一的幾何形式。

注意APS與時空代數（STA）不同，後者涉及4維閔氏時空的克利福德代數${\rm Cl}_{1,\ 3}(\mathbb{R})$。

## 狹義相對論

### 時空位置副向量

APS中，時空位置可表為副向量$$x = x^0 + x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3,$$

其中時間由標綠部分$x^0=t$給出，$\vec{e}_1,\ \vec{e}_2,\ \vec{e}_3$是位置空間的標準基。整個過程中使用的單位是$c=1$，稱作自然單位制。在泡利矩陣表述中，單位基向量被泡利矩陣代替，標量部分被單位矩陣代替，這意味著時空位置的泡利矩陣表述為$$x \rightarrow \begin{pmatrix} x^0 + x^3 && x^1 - ix^2 \\ x^1 + ix^2 && x^0-x^3\end{pmatrix}$$

### 洛倫茲變換與轉子

保時間方向、包含旋轉與遞升的受限洛倫茲變換，可用對時空旋轉雙副向量W進行指數化實現：

$$L = e^{\frac{1}{2}W} .$$

在矩陣表示中，洛倫茲轉子被看作是${\rm SL}(2,\ \mathbb{C})$群（複數上度為2的特殊線性群）的一個例子，其是洛倫茲群的雙覆蓋。洛倫茲轉子的么模性可由以下條件，轉為洛倫茲轉子與其克利福德共軛之積：

$$L\bar{L} = \bar{L} L = 1 .$$

此洛倫茲轉子總可以分解為兩個因子，是厄米的$B=B^\dagger$與么正的$R^\dagger=R^{-1}$，使得$$L = B R .$$

酉元R稱作轉子，因為其編碼了旋轉，厄米元B則編碼了遞升。

### 四維速度副向量

四維速度也稱原速，定義為時空位置副向量對原時τ的導數：

$$<pre> u = \frac{d x }{d \tau} = \frac{d x^0}{d\tau} + \frac{d}{d\tau}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3) = \frac{d x^0}{d\tau}\left[1 + \frac{d}{d x^0}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3)\right]. </pre>$$

定義普通速度為$$\mathbf{v} = \frac{d}{d x^0}(x^1 \mathbf{e}_1 + x^2 \mathbf{e}_2 + x^3 \mathbf{e}_3) ,$$

回想伽馬因子的定義：

$$\gamma(\mathbf{v}) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{|\mathbf{v}|^2}{c^2}}} ,$$

於是原速的更緊湊定義是：

$$u = \gamma(\mathbf{v})(1 + \mathbf{v}).$$

原速是正么模副向量，意味著下列克利福德共軛條件：

$$u \bar{u} = 1 .$$

在洛倫茲轉子L作用下，原速變換為$$u \rightarrow u^\prime = L u L^\dagger.$$

### 四維動量副向量

APS中的四維動量可通過將原速與質量相乘得到：

$$p = m u,$$ 質殼條件轉化為$$\bar{p}p = m^2 .$$

## 經典電動力學

### 電磁場、電勢與電流

電磁場可表為雙副向量F：

$$F = \mathbf{E}+ i \mathbf{B} ,$$ 其中厄米部分代表電場E，反厄米部分代表磁場B。在標準泡利矩陣表示中，電磁場為$$F \rightarrow \begin{pmatrix} E_3 & E_1 -i E_2 \\ E_1 +i E_2 & -E_3 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} B_3 & B_1 -i B_2 \\ B_1 +i B_2 & -B_3 \end{pmatrix}\,.$$

場F的源是電磁四維電流$$j = \rho + \mathbf{j}\,,$$ 其中標量部分等於電荷密度ρ，向量部分等於電流密度j。引入電磁勢副向量：

$$A=\phi+\mathbf{A}\,,$$ 當中標量部分等於電勢ϕ，向量部分等於磁勢A。則電磁場為$$F = \partial \bar{A} .$$ 此場也可分為電部分$$E = \langle \partial \bar{A} \rangle_V$$ 與磁部分$$B = i \langle \partial \bar{A} \rangle_{BV}$$ 當中$$\partial = \partial_t + \mathbf{e}_1 \, \partial_x + \mathbf{e}_2 \, \partial_y + \mathbf{e}_3 \, \partial_z$$ 且F在下列規範變換下不變：

$$A \rightarrow A + \partial \chi \,,$$ 其中$\chi$是標量場。

電磁場在洛倫茲變換下是協變的，規律是$$F \rightarrow F^\prime = L F \bar{L}\,.$$

### 麥克斯韋方程組與洛倫茲力

麥克斯韋方程組可用單一方程表示：

$$\bar{\partial} F = \frac{1}{ \epsilon} \bar{j}\,,$$ 其中上橫線表示克利福德共軛。

洛倫茲力方程形式為$$\frac{d p}{d \tau} = e \langle F u \rangle_{R}\,.$$

### 電磁拉格朗日量

電磁拉格朗日量是$$L = \frac{1}{2} \langle F F \rangle_S - \langle A \bar{j} \rangle_S\,,$$ 是實標量不變量。

## 相對論量子力學

對質量為m、電荷為e的帶電粒子，其狄拉克方程的形式為$$i \bar{\partial} \Psi\mathbf{e}_3 + e \bar{A} \Psi = m \bar{\Psi}^\dagger ,$$ 其中$\vec{e}_3'$是任意酉向量，A是如上所述的電磁副向量。電磁相互作用通過最小耦合包含在勢A中。

## 經典旋量

與洛倫茲力一致的洛倫茲轉子的微分方程為$$\frac{d \Lambda}{ d \tau} = \frac{e}{2mc} F \Lambda,$$ 這樣，原速可通過靜止時的洛倫茲變換計算出來：

$$u = \Lambda \Lambda^\dagger,$$ 積分之，就可得到時空軌跡$x(\tau)$，同時還能使用$$\frac{d x}{ d \tau} = u .$$