濫用符號

數學中，濫用符號（Abusing notation英文常用搭配為"by abuse of notation"，意即「藉濫用符號」。）雖然不嚴格，並非按數學符號的字面定義來運用，但有時能使數學論證更清晰，或引導讀者明白其數學直覺，同時減少犯錯和增進理解。不過，符號是否嚴格使用，或句法 (邏輯)上是否正確，很視乎時代和學科背景。某些用法，在某些場合算為濫用，在另一種背景下卻是嚴格正確。某理論在嚴格化前，若已引入新的符號，則該些符號是否屬濫用，就可能取決於時代，因為有時該理論發展後，邏輯根基得到鞏固，統一符號用法，而使符號變成嚴格正確。濫用符號不等於誤用符號，因為前者是表意與嚴格性兩方面的取捨，而後者則僅是錯誤，應當避免。誤用積分常數為後者一例。

相似的概念是濫用語文（abusing language）或濫用術語（abusing terminology），此時濫用的是詞語，而非符號。例如，「表示」的正式含義，是由某個群 $G$ 到某向量空間 $V$ 上的一般線性群 $\mathrm{GL}(V)$ 的群同態，但經常會將 $V$ 稱為 $G$ 的表示。另一個常見濫用，是稱兩個典範同構但不相等的物件為等同。類似還有：視常數函數與其值等同、視群（一個基集與其上二元運算組成的二元組）與其基集等同、視集合笛卡兒積$\mathbb R^3$與三維歐氏空間（配備幾何結構）等同。

## 集合與映射例子

### 函數寫法

許多教科書中，會寫「設函數 $f(x)$ 為⋯⋯（填入關於 $x$ 的式子）」。此為濫用符號，因為函數的名稱應為 $f$，而 $f(x)$ 應表示函數 $f$ 在其定義域中某處 $x$ 的取值。嚴格的寫法為：「設 $f$ 為函數，在 $x$ 處取值為⋯⋯」或「設 $f$ 為函數 $x \mapsto \cdots$」此種濫用非常廣泛，因為可簡化寫法，而嚴格的寫法可能顯得過於執著細節。

類似的濫用尚有「考慮函數 $x^2 + x + 1$⋯⋯」，因為 $x^2 + x+1$ 並非函數，真正的函數是將 $x$ 對應到 $x^2+x+1$ 的運算，用匿名函數的寫法可將該函數寫成 $x \mapsto x^2 + x + 1$。同樣，此種濫用亦廣泛出現，因為避免拘泥小節，同時一般不會造成混淆。

### 數學結構

許多數學物件是由一個集合（通常稱為基集，underlying set）及其上的額外結構組成。此種結構可以是數學運算、關係或拓撲結構。經常濫用同一個符號，同時表示基集及整個數學結構（此現象稱為「壓參數」，suppression of parameters）。舉例，$\mathbb Z$ 表示整數集，但同時可以表示整數集與加法組成的群，還可以是整數集連同加法、乘法組成的環。一般而言，此類用法中，若所指的物件為所熟知，則不會引起讀者混淆；若刻意避免濫用，反而可能略嫌冗餘，使數學論述更難理解。實在混淆時，可以寫出整個結構以作區分，即以 $(\mathbb Z, +)$ 表示整數的加法群，$(\mathbb Z, +, \cdot)$ 表示整數環。

同理，拓撲空間由基集 $X$ 與拓撲結構 $\mathcal{T}$ 兩部分構成，後者是 $X$ 若干子集構成的族，該些子集稱為開集。通常，只考慮 $X$ 上某一個拓撲，於是一經指定，就無需再次提及，可用同一個符號 $X$ 同時表示基集及 $X$ 與拓撲結構 $\mathcal{T}$ 組成的二元組，而不引起混淆，即使嚴格而言，兩者為不同的數學物件。不過，有時要同時考慮同一個基集上的兩個拓撲（如拓撲向量空間上的強拓撲和弱拓撲，或實數線上的歐氏拓撲和下限拓撲），此時則須當心使用結構的全寫，如 $(X, \mathcal{T})$ 和 $(X, \mathcal{T}')$，以作區分。

### 等價類

等價關係中，元素 $x$ 所在等價類嚴格地可記為 $[x]$，但有時亦濫用符號記為 $x$。此處等價類的意思是，若集合 $X$ 分劃成等價關係 $\sim$ 的等價類，則對每個 $x \in X$，等價類 $\{y \in X : y \sim x\}$ 記為 $[x]$。但實用上，若取商集後，餘下討論僅關心等價類，而非原集合的元素，則常會棄用方括號。

例如，模算術中，有等價關係 $\sim$，其定義中，$x \sim y$ 當且僅當 $x \equiv y \pmod n$。將整數集按 $\sim$ 劃分，可以得到等價類 $[0], [1], \ldots, [n-1]$，關於加法組成一個 $n$ 階循環群，但實用上，該群的元素常簡記為 $0, 1, \ldots, n-1$。

另一個例子是，某測度空間上，可測函數（類）組成的向量空間，或勒貝格可積函數（類）組成的向量空間。此處等價關係為「幾乎處處相等」。

### 相等抑或同構

許多數學構造是以某性質來刻劃其定義（經常是泛性質），如直積、張量積、自由積。選定所需性質後，可能有多種方法構造出具該性質的結構，各結構嚴格而言，固然是不同的物件，但因為性質完全一樣（「同構」），不能藉其性質區分各同構物件，即使實際不等亦常逕稱「相等」。

以笛卡兒積為例，常以為可結合：

$$(E \times F) \times G = E \times (F \times G) = E \times F \times G,$$

實則不然，因為若 $x \in E, y \in F, z \in G$，則有序對之間的等式 $((x, y), z) = (x, (y, z))$ 會推出 $(x, y) = x$ 和 $z = (y, z)$，而 $((x, y), z) = (x, y, z)$ 甚至不合式，是句法錯誤。不過，在範疇論中，得以自然變換的概念，將上述「結合律」修正。

類似濫用亦常見於談論結構「個數」的句子。舉例「恰有兩個8階非交換群」嚴格而言可寫作「8階非交換群的同構類恰有兩個」或「不別同構之異，恰有兩種8階非交換群」。

## 微積分例子

### 導數

數學分析中，導函數的萊布尼茲記法$\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}$，算是濫用了分數符號。此種寫法的好處是，形式上得以沿用分數的運算法則，方便計算，例如複合函數求導的連鎖律，按萊布尼茲記法為：

$$\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} = \frac{\mathrm d y}{\mathrm d u} \cdot \frac{\mathrm d u}{\mathrm d x} ,$$

狀似分數乘法。

類似濫用出現於解微分方程的分離變數法，常將方程 $\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x} = \frac{g(x)}{h(y)}$ 左邊的導數，如分數般「移項」寫成 $h(y) \mathrm d y = g(x) \mathrm d x$，然後兩邊積分。還有積分記號中，將 $\int \frac{1}{x} \mathrm d x$ 的 $\mathrm d x$ 看成因子，與 $\frac{1}{x}$ 的分子相乘，寫成

$$\int {dx \over x} .$$

但在微分形式理論中，有 $\mathrm d y$ 和 $\mathrm d x$ 的嚴格定義，此時，上述寫法不再是濫用。

### 向量叉積

設實向量 $\boldsymbol a = (a_1, a_2, a_3)$，$\boldsymbol b = (b_1, b_2, b_3)$，則兩者的叉積可用形式行列式定義為：

$$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\right|,$$

其中頂行的三項是三個方向的單位向量，沿該行用餘子式展開可得結果。此種濫用有助記憶，實際計算亦有用。其所以為濫用，是因為一般僅定義環上某矩陣的行列式，但向量 $\mathbf i \in \mathbb R^3$ 與純量 $a_1 \in \mathbb R$ 等不在同一環內（除非考慮幾何代數）。

### 倒三角算子

倒三角算子 $\nabla$ 是將偏微分算子組裝成類似向量的形式：

$$\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\,\frac{\partial}{\partial y},\,\frac{\partial}{\partial z}\right),$$

以便用向量運算表示梯度 $\nabla f$、散度 $\nabla \cdot \boldsymbol v$、旋度 $\nabla \times \boldsymbol v$。但是，倒三角算子並未齊備向量的全部性質，例如與其他向量的內積不可換。此觀點下，是濫用向量符號。

### 大O記號

使用大O符號時，常以 $f(x) = O(g(x))$ 表示「當 $x$ 充分大時，$f(x)$ 至多為 $g(x)$ 的常數倍」。這可以看成濫用了等號，因為如尼古拉斯·霍弗特·德布魯因所言，$O(x) = O(x^2)$ 但 $O(x^2) \neq O(x)$。

## 主觀性

一種用法是否屬濫用符號，視乎學科背景和上下文。大部分數學科目中，以 $f : A \to B$ 表示偏函數，皆算為濫用，但範疇論中則不一定，因為 $f$ 在集合和偏函數構成的範疇中，確實是態射。

## 評價

尼古拉·布爾巴基在《數學原本》起首的「本書用法」中，稱任何數學書若不濫用語文或符號，則易拘於小節（pédantesque）甚至不堪卒讀（illisible）。陶哲軒認為，論文的嚴格論證中，所用符號應當明確而不含糊，但即使如此，仍允許一定程度的濫用符號。