蓋爾范德–奈馬克–西格爾構造

在數學分支泛函分析中，對於給定的C*-代數 $\mathcal A$， Gelfand–Naimark–Segal 構造（簡稱GNS構造）在一個C*-代數的循環*-表示與該C*-代數上的某類線性泛函（稱為態）之間建立了對應關係。這種對應關係是通過根據態來顯式地構造*-表示來建立的。其名稱中的三位數學家分別是伊斯拉埃爾·蓋爾范德、 Mark Naimark和Irving Segal。

## C*-代數的態與表示

C*-代數 $\mathcal A$ 在希爾伯特空間 $H$ 上的*-表示是 $\mathcal A$ 到 $B(H)$ 的 *-同態 $\pi$，其中 $B(H)$ 是 $H$ 上有界算子構成的代數。換句話說，$\pi$ 是將 $\mathcal A$ 上的對合映為 $B(H)$ 上的對合的代數同態。

下文提及 *-表示時，將默認討論的是非退化的*-表示。也就是說線性生成空間 $\pi(\mathcal A)H$ 是 $H$ 的稠密子集。注意，若 $\mathcal A$ 有單位元，則非退化性蘊含了 $\pi$ 的保單位元性質，即 $\pi$ 將 $\mathcal A$ 的單位元映射到 $H$ 上的恆等算子 $I$。

C*-代數 $\mathcal A$ 上的態是範數為 1 的正線性泛函 $f$。若 $\mathcal A$ 具有乘法單位元，則此條件等價於 $f(1_{\mathcal A})=I$。

對於希爾伯特空間 $H$ 上的C*-代數 $\mathcal A$ 的表示 $\pi$ 以及 $\xi\in H$，如果向量集

$$\{\pi(x)\xi:x\in A\}$$

在 $H$ 中範數稠密，則 $\xi,\pi$ 分別被稱為是循環向量和循環表示。一個不可約表示的任何非零向量都是循環的。然而，一般的循環表示中的非零向量可能不是循環向量。

### GNS 構造

令 $\pi$ 為C*-代數 $\mathcal A$ 在希爾伯特空間 $H$ 上的*-表示，單位向量 $\xi$ 對於 $\pi$ 而言是循環向量。那麼$$a \mapsto \langle \pi(a) \xi, \xi\rangle$$是 $\mathcal A$ 上的一個態。

反過來，通過選擇一種典範的表示， $\mathcal A$ 的每個態都可以被視為如上所述的向量態。

給定C*-代數 $\mathcal A$ 上的態 $\rho$，必有 $\mathcal A$ 在某個希爾伯特空間 $H$ 上的一個*-表示 $\pi$ 以及一個相對 $\pi$ 而言循環的單位向量 $\xi$，使得 $$\forall a\in\mathcal A,\quad\rho(a)=\langle \pi(a) \xi, \xi \rangle.$$ 構造希爾伯特空間 $H$ 定義 $\mathcal A$ 上的一個正半定半線性形式如下$$\langle a, b \rangle =\rho(b^*a), \; a, b \in A.$$根據柯西-施瓦茨不等式， $\mathcal A$ 中的退化元（也就是說即滿足 $\rho(a^*a)=0$ 的 $a$）構成了 $\mathcal A$ 的一個子空間 $\mathcal I$。通過C*-代數式的論證，可以證明 $\mathcal I$ 是 $\mathcal A$ 的一個左理想（即 $\rho$ 的左核)。實際上，它是 $\rho$ 的核所含的最大的左理想。商空間 $\mathcal A/\mathcal I$ 可配備內積 $\langle a+I,b+I\rangle :=\rho(b^*a),\; a,b\in A$ 而成為內積空間。再利用內積誘導的範數進行完備化便得到被記作 $H$ 的希爾伯特空間. 構造表示 $\pi$ 為定義 $\mathcal A$ 到 $B(H)$ 上的映射 $\mathcal A$，先定義 $\pi$ 到 $B(\mathcal A/\mathcal I)$ 上的映射。為此對於 $a\in\mathcal A$，定義算子 $\pi(a)$ 的行為如下： $\pi(a)(b+\mathcal I)=ab+\mathcal I$，其中 $x+\mathcal I$ 表示商空間中的 $x\in\mathcal A$ 所屬的等價類。類似前面對 $\mathcal I$ 是左理想的證明，可以證明前述的算子 $\pi(a)$ 是有界的，故可以唯一地擴張為 $H$ 上的有界算子。注意希爾伯特空間上算子的伴隨的定義， $\pi$ 顯然是保對合的，至此便證明了它是一個*-同態。找出循環單位向量 $\xi$ 若 $\mathcal A$ 有乘法單位元 $1$，則顯然 $\mathcal A$ 中單位元所在的等價類就是 $H$ 中相對於 $\pi$ 而言的循環向量 $\xi$。若 $\mathcal A$ 沒有乘法單位元，可考慮 $\mathcal A$ 的Approximate identity $\{e_\lambda\}$。由於正線性泛函有界， $\{e_\lambda\}$ 在商空間中的等價類將收斂於某個向量 $\xi\in H$，即所要尋找的循環向量。根據 $H$ 上內積的定義，態 $\rho$ 顯然可由上述循環表示和循環向量構造而來，於是此定理證畢。

在上述定理的證明中，根據 $\mathcal A$ 上的態產生*-表示的方法稱為GNS構造。

對於C*-代數 $\mathcal A$ 上的一個態，相應的GNS表示本質上由 $\rho(a) = \langle \pi(a) \xi, \xi \rangle$ 唯一確定了。下面的定理說明了這一點：

設 $\pi,\pi'$ 是 $\mathcal A$ 分別在希爾伯特空間 $H,H'$ 上的*-表示，相應的循環單位向量分別是 $\xi,\xi'$。對於 $\mathcal A$ 上給定的態 $\rho$，若其滿足 $$\forall a\in\mathcal A,\quad\rho(a) = \langle \pi(a) \xi, \xi \rangle = \langle \pi'(a) \xi ', \xi ' \rangle$$，則 $\pi,\pi'$ 是么正等價的*-表示，也就是說存在一么正算子 $U:H\to H'$ 使得 $$\forall a\in\mathcal A,\quad\pi'(a)=U\pi(a)U^*.$$ 該算子具有性質$$\forall a\in\mathcal A,\quad U\pi(a)\xi=\pi'(a)\xi'.$$

### GNS構造的重要性

GNS構造是蓋爾范德-奈馬克定理證明的核心，該定理將C*-代數刻畫為算子代數。一個C*-代數具有足夠多的純態（見下文）來使得相應不可約GNS表示的直和成為忠實的。

全體態對應的GNS表示的直和稱為 $\mathcal A$ 的萬有表示，其包含有每個循環表示。由於每個*-表示都是循環表示的直和，因此 $\mathcal A$ 的每個 *-表示可在萬有表示之副本之和的直和分解中找到。

若 $\Phi$ 是 C*-代數 $\mathcal A$ 的萬有表示，則 $\Phi(\mathcal A)$ 在弱算子拓撲中的閉包稱為 $\mathcal A$ 的包絡馮諾依曼代數。它可以視為是雙對偶 $\mathcal A^{**}$。

## 不可約性

不可約*-表示和態所構成的凸集的極點（純態）之間的關係也很重要。$H$ 上的表示 $\pi$ 是不可約的，若且唯若 $H$ 沒有非平凡的在任一 $\pi(x)$ 下不變的閉子空間，這裡所謂平凡的子空間是指 $H, \{0\}$。

有單位元的C*代數 $\mathcal A$ 上的態構成一個弱*-拓撲意義下的緊緻凸集。更普遍的是，（無論C*代數是否有單位元）範數不大於一的正線性泛函構成一緊凸集。

這些結果可由巴拿赫-阿勞格魯定理直接得出。

作為有單位元的交換代數，對於某個緊緻的 $X$ 上的連續函數所構成的C*-代數 $\mathcal C(X)$，里斯-馬爾可夫-角谷表示定理指出，範數不超過一的正泛函可視作 $X$ 上一個總質量不超過一的博雷爾正測度。根據克林-米爾曼定理，極點態則對應於狄拉克測度。

另一方面， $\mathcal C(X)$ 的表示的不可約性等價於其是一維的。因此，為使 $\mathcal C(X)$ 對應於測度 $\mu$ 的GNS 表示是不可約的，須且僅須 $\mu$ 是一極點態。事實上，這對於一般的C*-代數也成立。

設 $\pi$ 是C*-代數 $\mathcal A$ 在希爾伯特空間 $H$ 上的*-表示，相應的循環單位向量是 $\xi$，相應的態是 $f$。若且唯若 $f$ 是範數不大於一的正線性泛函所構成之凸集的極點時，表示 $\pi$ 是不可約的。

為證明此結果，首先須注意，一個表示是不可約的若且唯若 $\pi(\mathcal A)$ 的中心化子（記作 $\pi(\mathcal A)'$）由單位元的標量倍數構成。

$\mathcal A$ 上任一被 $f$ 控制的正線性泛函 $g$ 具有形式$$g(x^*x) = \langle \pi(x) \xi, \pi(x) T_g \, \xi \rangle,$$其中 $T_g\in\pi(\mathcal A)'$ 是某個正算子，其在算子序下滿足 $0\leq T \leq1$。這是拉東-尼科迪姆定理的一個版本。

對於這樣的 $g$，可以將 $f$ 寫為如下正線性泛函的和： $f = g + g'$。因此 $\pi$ 么正等價於 $\pi_g \oplus \pi_{g'}$ 的一個子表示。這表明若且唯若任何這樣的 $\pi_g$ 都么正等價於 $\pi$，即 $g$ 是 $f$ 的標量倍數， $\pi$ 才是不可約的。於是便證明了該定理。

上文提到的極點態往往被稱為純態，但須注意純態的定義是全體態所構成之凸集的極點。

上述C*-代數的定理可推廣到具有漸進單位元的B*-代數。

## 推廣

刻畫完全正映射的斯坦斯普林擴張定理是GNS構造的一個重要推廣。

## 歷史

蓋爾凡德和奈馬克關於蓋爾凡德-奈馬克定理的論文發表於1943年。西格爾意識到了其工作中隱含的構造，並以更明顯的形式呈現出來。

西格爾在其1947年的論文中表明，對於可由希爾伯特空間上的算子代數描述的任何物理系統，考慮 C*-代數的不可約表示就足夠了。在量子理論中，這意味著C*-代數是由可觀測量生成的。正如西格爾所指出的，約翰·馮·諾依曼早先已經證明過這一點，但僅限於非相對論性的薛丁格-海森堡理論的特殊情況。