准地轉方程

地轉運動是指由科里奧利力和水平壓力梯度力之間的精確平衡產生的風，准地轉 (Quasi-geostrophic, QG) 運動是指科里奧利力和壓力梯度力幾乎平衡的流動，但並不能排除慣性的影響。

## 起源

大氣和海洋流動發生在水平長度尺度上，遠大於垂直長度尺度，因此可以使用淺水方程來描述。羅斯貝數是一個無量綱數，它與科里奧利力的強度相比，表徵慣性強度。准地轉方程是小羅斯貝數極限下淺水方程的近似，因此慣性力比科里奧利力和壓力小一個數量級。如果羅斯貝數等於 0，則准地轉方程成為精確的地轉方程。

准地轉方程首先由儒勒·查尼提出。

## 單層 QG 方程的推導

在笛卡爾坐標中，地轉風的分量是

${f_0} {v_g} = {\partial \Phi \over \partial x}$ (1a)

${f_0} {u_g} = - {\partial \Phi \over \partial y}$ (1b)

其中${\Phi}$是位勢高度。

地轉渦度

$${\zeta_g} = {\hat{\mathbf{k}} \cdot \nabla \times \mathbf{V_g}}$$

因此可以用位勢高度表示為

${\zeta_g} = {{\partial v_g \over \partial x} - {\partial u_g \over \partial y} = {1 \over f_0} \left({ {\partial^2 \Phi \over \partial x^2} + {\partial^2 \Phi \over \partial y^2}}\right) = {1 \over f_0}{\nabla^2 \Phi}}$ (2)

式（2）可用於從已知位勢高度場${\Phi (x,y)}$ 找到${\zeta_g (x,y)}$。也可以通過反轉拉普拉斯算子從已知分布${\zeta_g}$來確定${\Phi}$。

准地轉渦度方程可由下式得到${x}$和${y}$准地轉動量方程的分量，然後可以從水平動量方程導出：

${D\mathbf{V} \over Dt} + f \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V} = - \nabla \Phi$ (3)

式（3）中的物質導數定義為

${{D \over Dt} = {\left({\partial \over \partial t}\right)_p} + {\left({\mathbf{V} \cdot \nabla}\right)_p} + {\omega {\partial \over \partial p}}}$ (4)

其中${\omega = {Dp \over Dt}}$是運動後的壓力變化。

水平速度${\mathbf{V}}$可以分為地轉部分${\mathbf{V_g}}$和非地轉部分${\mathbf{V_a}}$

${\mathbf{V} = \mathbf{V_g} + \mathbf{V_a}}$ (5)

准地轉近似的兩個重要假設是

- ${\mathbf{V_g} \gg \mathbf{V_a} }$，或者，更準確地說${{|\mathbf{V_a}| \over |\mathbf{V_g}|}} \sim O(\text{罗 斯 贝 数 })$ .

- β平面近似：${f = f_0 + \beta y}$, ${\frac{\beta y}{f_0} \sim O(\text{罗 斯 贝 数 })}$

第二個假設證明，在地轉近似中，讓科里奧利參數具有恆定值${f_0}$是合理的，並通過${f_0 + \beta y}$近似其在科里奧利力項中的變化。但是，由於運動後的加速度（在（1）中作為科里奧利力和壓力梯度力之間的差值給出）取決於實際風與地轉風的偏離，因此不允許簡單地替換科里奧利力這一項中的地轉速度。（3）式中的加速度可以重寫為

${f \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V} + \nabla \Phi} = {(f_0 + \beta y)\hat{\mathbf{k}} \times (\mathbf{V_g} + \mathbf{V_a}) - f_0 \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V_g}} = {f_0 \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V_a} + \beta y \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V_g} }$ (6)

因此，近似水平動量方程具有形式

${D_g \mathbf{V_g} \over Dt} = {-f_0 \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V_a} - \beta y \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{V_g}}$ (7)

用其分量表達方程（7）。

${{D_g u_g \over Dt} - {f_0 v_a} - {\beta y v_g} = 0}$ (8a)

${{D_g v_g \over Dt} + {f_0 u_a} + {\beta y u_g} = 0}$ (8b)

我們進行${{\partial (8b) \over \partial x} - {\partial (8a) \over \partial y}}$，並注意到地轉風是無輻散的（即 ${\nabla \cdot \mathbf{V} = 0}$)，可得渦量方程為

${{D_g \zeta_g \over Dt} = - f_0 \left ({{\partial u_a \over \partial x}+{\partial v_a \over \partial y}} \right) - \beta v_g }$ (9)

因為${f}$只取決於${y}$ （亦即${{D_g f \over Dt} = \mathbf{V_g} \cdot \nabla f = \beta v_g}$) 並且地轉風的散度基於連續性方程可以寫成含${\omega}$的形式：

$${{\partial u_a \over \partial x}+{\partial v_a \over \partial y}+{\partial \omega \over \partial p}=0}$$

因此式 (9) 可以化為

${{\partial \zeta_g \over \partial t} = {-\mathbf{V_g} \cdot \nabla ({\zeta_g + f})} - {f_0 {\partial \omega \over \partial p}} }$ (10)

### 引入位勢傾向

定義位勢傾向${\chi = {\partial \Phi \over \partial t}}$，並且注意到偏微分可能被反轉，等式（10）可以重寫為${\chi}$的關係式

${{1 \over f_0}{\nabla^2 \chi} = {-\mathbf{V_g} \cdot \nabla \left({{1 \over f_0}{\nabla^2 \Phi} + f} \right)} + {f_0 {\partial \omega \over \partial p}}}$ (11)

等式（11）的右側取決於變量${\Phi}$和${\omega}$ .依賴於這兩個變量的類比方程可以從熱力學能量方程導出

${{{ \left ({{\partial \over \partial t} + {\mathbf{V_g} \cdot \nabla}} \right) \left({-\partial \Phi \over \partial p} \right)}-\sigma \omega}={kJ \over p}}$ (12)

其中${\sigma = {-R T_0 \over p}{d \log \Theta_0 \over dp}}$和${\Theta_0}$是對應於基態溫度的位溫。在對流層中部，${\Theta_0}$ ≈ ${2.5 \times 10^{-6} \mathrm{m}{^2}\mathrm{Pa}^{-2}\mathrm{s}^{-2}}$ .

將 (12) 乘以${f_0 \over \sigma}$並對${p}$微分，結合${\chi}$的定義可得

${{{\partial \over \partial p} \left ({{f_0 \over \sigma}{\partial \chi \over \partial p}} \right )}=-{{\partial \over \partial p}\left({{f_0 \over \sigma}{\mathbf{V_g} \cdot \nabla}{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_0}{\partial \omega \over \partial p}}-{{f_0}{\partial \over \partial p}\left({kJ \over \sigma p}\right)}}$ (13)

簡單起見，${J}$設為 0，消除 (11) 和 (13) 中的${\omega}$得出

${{ \left({\nabla^2 + {{\partial \over \partial p} \left({{f_0^2 \over \sigma}{\partial \over \partial p}}\right)}}\right){\chi}}=-{{f_0}{\mathbf{V_g} \cdot \nabla}\left({{{1 \over f_0}{\nabla^2 \Phi}}+f}\right)}-{{\partial \over \partial p}\left({{-}{f_0^2 \over \sigma}{\mathbf{V_g} \cdot \nabla}\left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}\right)}}$ (14)

方程（14）通常被稱為位勢傾向方程。它將局部位勢趨勢（項 A）與渦度平流分布（項 B）和厚度平流（項 C）聯繫起來。

### 使用准地轉位渦度的相同恆等式

使用微分的鏈式法則，C 項可以寫為

${-{{\mathbf{V_g} \cdot \nabla}{\partial \over \partial p}\left({{f_0^2 \over \sigma}{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_0^2 \over \sigma}{\partial \mathbf{V_g} \over \partial p}{\cdot \nabla}{\partial \Phi \over \partial p}}}$ (15)

但基於熱成風關係。

${{f_0{\partial \mathbf{V_g} \over \partial p}}={\hat{\mathbf{k}} \times \nabla \left({\partial \Phi \over \partial p} \right)}}$ .

換句話說， ${\partial \mathbf{V_g} \over \partial p}$垂直於${\nabla ({\partial \Phi \over \partial p})}$，式（15）中的第二項消失。

第一項可以與式（14）中的項 B 組合，當除以${f_0}$可以用守恆方程的形式表示

${{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf{V_g} \cdot \nabla}}\right)q}={D_g q \over Dt}=0}$ (16)

其中${q}$是由下式定義的准地轉位渦

${q = {{{1 \over f_0}{\nabla^2 \Phi}}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_0 \over \sigma}{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}}$ (17)

方程(17)的三項從左到右分別是地轉相對渦度、行星渦度和伸展渦度。

## 推論

當一個氣團在大氣中移動時，它的相對渦量、行星渦量和拉伸渦量可能會發生變化，但式（17）表明，隨著地轉運動，三者之和必須是守恆的。

式 (17) 可用於用已知高度場${\Phi}$找到${q}$。或者，它也可以用於預測給定初始分布的位勢場的演變${\Phi}$和合適的邊界條件通過使用反演過程。

更重要的是，准地轉系統將五變量原始方程簡化為一個方程系統，其中所有變量如${u_g}$, ${v_g}$和${T}$可以從位渦${q}$或高度場${\Phi}$導出。

另外，因為${\zeta_g}$和${\mathbf{V_g}}$都被定義為${\Phi(x,y,p,t)}$，渦量方程可用於診斷垂直運動，前提是兩者的場${\Phi}$和${\partial \Phi \over \partial t}$是已知的。