卡羅爾質數

在數論中卡羅爾質數（Carol number）是可以用$4^n - 2^{n + 1} - 1$或$(2^n - 1)^2 - 2$表示的質數，其中 $n \geq 1$。這類形式的數字最早由克萊圖斯·埃馬紐埃爾（Cletus Emmanuel）開始研究，並以其朋友卡羅爾·基蒙（Carol G. Kimon）的名字命名。這些數字最早是由克萊斯圖斯·伊曼紐爾（Cletus Emmanuel）研究，他以以朋友卡羅爾·基農（Carol G. Kirnon）的名字命名。

前幾個卡羅爾數是：-1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759。

## 二進制表示式

在 $n>2$ 時，第 $n$ 個卡羅爾數在二進制下，可以表示為 $n-2$ 個連續的1，中間一個零，$n+1$ 個連續的1，或者可以表示如下：

$$\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}.$$

例如，47的二進制為101111，223的二進制是11011111，第2n個梅森數和第 $n$ 個卡羅爾數的間的差是$2^{n + 1}$，因此可得卡羅爾數的另一個等效表示式$(2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}$。第 $n$ 個凱尼亞質數會比第 $n$ 個卡羅爾質數多2的n+2次方。

## 例子

- 前幾個卡羅爾數如下：a(n) = (2^n-1)^2 - 2.

-1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759, …

A093112

7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087, …

A091516

它們被稱為卡羅爾質數。

- 第七個卡羅爾數 $16127$ 同時是第五個卡羅爾質數，且將其數字反轉後（即 $72161$）仍為質數。

這種數字被稱為卡羅爾艾普斯隆質數（Carol-Mirpzahl）。

目前已知僅有兩個卡羅爾艾普斯隆質數：

16127, 16769023

- 目前已知最大的卡羅爾質數是 $(2^{695631}-1)^2-2$，共有 $418812$ 位數。它是由馬克·羅登克希（Mark Rodenkirch）於 2016 年 7月16日使用 CKSieve 和 PrimeFormGW 程式發現的。這是第 44 個卡羅爾質數。

## 特性

- 對於所有 $n>2$，形式為 $(2^n-1)^2-2$ 的卡羅爾數，其二進制表示長度為 $2n$ 位，開頭為 $n-2$ 個「1」，中間有一個「0」，最後以 $n+1$ 個「1」結尾。換句話說：

$$(2^n-1)^2-2 = \sum_{i=1 \atop i \not= n+2}^{2n} 2^{i-1}$$

範例：

$$223=(2^4-1)^2-2= \underline{1} \cdot 2^7+\underline{1} \cdot 2^6+\underline{0} \cdot 2^5+\underline{1} \cdot 2^4+\underline{1} \cdot 2^3+\underline{1} \cdot 2^2+\underline{1} \cdot 2^1+\underline{1} \cdot 2^0=11011111_2$$

- 第 $2n$ 個梅森數（即 $2^{2n}-1$）與第 $n$ 個卡羅爾數之間的差值為 $2^{n+1}$。

因此，卡羅爾數也可以定義為 $(2^{2n}-1)-2^{n+1}$。

- 第 $n$ 個凱尼亞數 $(2^n+1)^2-2$ 與第 $n$ 個卡羅爾數之間的差值為 $2^{n+2}$。
- 如果從卡羅爾數 7 開始計數，每隔兩個（即每第三個）卡羅爾數就是 $7$ 的倍數。

範例：

$65023=(2^8-1)^2-2$ 是繼 7 之後出現的第六個卡羅爾數，且 $65023=9289 \cdot 7$ 確實是 7 的倍數。

- 當 $n=3k+2$（其中 $k>0$）時，卡羅爾數 $(2^n-1)^2-2$ 不可能是質數。

（此結論直接推導自上述關於 7 的倍數之特性）

## 推廣

以 $b$ 為底的廣義卡羅爾數（generalized Carol number to base $b$）是指形式為 $(b^n-1)^2-2$ 的數，其中 $n \geq 1$ 且底數 $b \geq 2$。

### 特性

- 底數為 $b \geq 4$ 的廣義卡羅爾數，只有當 $b$ 為偶數時才可能是質數。

（若 $b$ 為奇數，則其任何次方 $b^n$ 亦為奇數。減去 $1$ 後變為偶數，該數的平方仍為偶數，再減去 $2$ 後依舊是偶數，因此在 $b \geq 4$ 的情況下絕對不會是質數。由此可同時證明本項與下一項特性。）

- 若底數 $b$ 為奇數，則廣義卡羅爾數恆為偶數。
- 以 $b^n$ 為底數的廣義卡羅爾數，同時也是以 $b$ 為底數的廣義卡羅爾數。
- 使 $((2k)^n-1)^2-2$ 為質數（即底數 $b = 2k$）的最小 $n \geq 1$ 分別如下（針對 $k = 1, 2, 3, 4, \ldots, 100$）：

2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, …

範例：

對於 $k=3$，可以從上述列表的第 3 個位置得知 $n=6$。

事實上，$((2 \cdot 3)^6-1)^2-2=2176689023 \in \mathbb P$ 是一個質數。

下表列出了以 $b$ 為底的最小廣義卡羅爾質數：

$b$｜形式｜使底數為 $b$ 的廣義卡羅爾數（即 $(b^n-1)^2-2$）為質數的指數 $n \geq 1$｜OEIS 數列

$2$｜$(2^n-1)^2-2$｜2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987, 520363, 653490, 688042, 695631, …｜A091515

$3$｜$(3^n-1)^2-2$｜1 （導致偶質數 $p=2$；不存在更多的指數 $n$）

$4$｜$(4^n-1)^2-2$｜1, 2, 3, 5, 6, 9, 66, 162, 179, 393, 3231, 19506, 50112, 92790, 326745, 344021, …

$6$｜$(6^n-1)^2-2$｜1, 2, 6, 7, 20, 47, 255, 274, 279, 308, 1162, 2128, 3791, 9028, 9629, 10029, 13202, 38660, 46631, 48257, 117991, …｜A100901

$8$｜$(8^n-1)^2-2$｜1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 43, 44, 53, 57, 105, 108, 131, 145, 262, 569, 2154, 4763, 13004, 33408, 58583, 61860, 75583, 82983, 217830, 231877, …

$10$｜$(10^n-1)^2-2$｜1, 8, 21, 123, 4299, 6128, 11760, 18884, 40293, …｜A0100903

$12$｜$(12^n-1)^2-2$｜3, 29, 51, 7824, 15456, 22614, 28312, 47014, 68835, …

$14$｜$(14^n-1)^2-2$｜1, 6, 13, 45, 74, 240, 553, 12348, 13659, 50603, …｜A0100905

$16$｜$(16^n-1)^2-2$｜1, 3, 33, 81, 9753, 25056, 46395, …

$18$｜$(18^n-1)^2-2$｜2, 8, 30, 98, 110, 185, 912, 2514, 4074, 10208, 15123, 19395, 69354, …

$20$｜$(20^n-1)^2-2$｜1, 2, 53, 183, 1281, 1300, 8041, 29936, 72820, …

$22$｜$(22^n-1)^2-2$｜1, 8, 35, 88, 503, 8643, 8743, 14475, 92539, …｜(A0100907)

$24$｜$(24^n-1)^2-2$｜2, 27, 92, 4950, 20047, 46309, 55716, …

$26$｜$(26^n-1)^2-2$｜159, 879, 4744, 5602, 74387, …

$28$｜$(28^n-1)^2-2$｜1, 22, 127, 165, 2520, 6492, 6577, 22960, 25528, …

$30$｜$(30^n-1)^2-2$｜1, 6, 19, 30, 166, 495, 769, 826, 1648, 3993, …

$32$｜$(32^n-1)^2-2$｜2, 3, 5, 11, 35, 63, 87, 37116, 130698, …

$34$｜$(34^n-1)^2-2$｜1, 4, 258, …

$36$｜$(36^n-1)^2-2$｜1, 3, 10, 137, 154, 581, 1064, 4514, 6601, 19330, …

$38$｜$(38^n-1)^2-2$｜1, 2, 13, 560, 28933, …

$40$｜$(40^n-1)^2-2$｜4, 15, 39, 138, 2153, 4084, 5639, …

$42$｜$(42^n-1)^2-2$｜3, 6, 14, 15, 29, 78, 195, 255, 272, 713, 2526, 4852, 10573, …

$44$｜$(44^n-1)^2-2$｜1, 7, 30, 90, 1288, 1947, 12909, 25786, …

$46$｜$(46^n-1)^2-2$｜12, 269, 1304, 5172, …

$48$｜$(48^n-1)^2-2$｜1, 2, 4, 6, 12, 13, 3882, 6123, 15067, 15085, …

$50$｜$(50^n-1)^2-2$｜1, 3, 4, 9, 31, 66, 115, 430, 1233, 2546, 2674, 6360, 53351, 69033, 69157, …

目前已知最大的廣義卡羅爾質數為 $(290^{124116}-1)^2-2$，共有 $611246$ 位數。該數字由卡斯滕·博納斯（Karsten Bonath）於 2019 年 3 月 1 日發現。它是該底數下的第三個凱尼亞質數。

## 其他推廣

形式為 $(2^n-1)^3+2$ 的正整數稱為諾迪數（Noddy number）。

最小的諾迪質數如下：

0, 1, 2, 6, 10, 16, 48, 70, 1196, 3958, 57096, 59556, 62440, 70362, … (A0100899)

## 外部連結

- Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search.
- Carol- und Kynea-Primzahlen