倒數伽瑪函數

在數學中，倒數伽瑪函數（英語：Reciprocal gamma function）是指伽瑪函數的倒數：

$$f(z) = \frac{1}{\Gamma(z)}$$

其中，Γ(z)代表伽瑪函數。由於伽瑪函數在整個複數平面上皆非零且為亞純函數，因此其倒數是一個整函數。

倒數伽瑪函數是一個1階整函數，其表示了log log 1/Γ(z)的成長速度不會高過log 1/Γ(z)。雖為1階整函數但屬無窮型，也就是說log 1/Γ(z)的增長速度比任何z的倍數都快，因為它的增長與左手平面上的z log z大致成比例。

由於倒數伽瑪函數不像伽瑪函數快速成長，在程式計算上較伽瑪函數容易，例如其泰勒級數，因此部分軟體使用倒數伽瑪函數作為計算伽瑪函數的起點，一些軟體除了計算伽瑪函數外，會額外提供倒數伽瑪函數。

魏爾斯特拉斯將倒數伽瑪函數稱為「factorielle」表示階乘的倒數，並用於魏爾施特拉斯分解定理的發展。

## 無窮乘積展開

根據萊昂哈德·歐拉以及卡爾·魏爾斯特拉斯給出的伽瑪函數無窮乘積定義，可以推得倒數伽瑪函數即伽瑪函數之倒數的無窮乘積：

$$\begin{align} \frac{1}{\Gamma(z)} &= z \prod_{n=1}^\infty \frac{1+\frac{z}{n}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z} \\ \frac{1}{\Gamma(z)} &= z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}} \end{align}$$

其中$\gamma\approx0.577216...$是歐拉-馬斯刻若尼常數。這個乘積展開式對所有複數z都有效。

## 泰勒級數

倒數伽瑪函數從零展開的泰勒級數為：

$$\frac{1}{\Gamma(z)} = z + \gamma z^2 + \left(\frac{\gamma^2}{2} - \frac{\pi^2}{12}\right)z^3 + \cdots$$

其中γ是歐拉-馬斯刻若尼常數。對n > 2的情形，其zn的系數an可由遞迴定義求出：

$$a_n = \frac{{a_2 a_{n-1} - \sum_{j=2}^{n-1} (-1)^j \, \zeta(j) \, a_{n-j}}}{n-1}$$

其中ζ(s)代表黎曼ζ函數。2014年，Fekih-Ahmed發現這些係數可以用積分表示：

$$a_n = \frac{(-1)^n}{\pi n!}\int_0^\infty e^{-t}\Im[(\log(t)-i\pi)^n]dt.$$

其前幾項的值為：

n｜an

1｜+1.0000000000000000000000000000000000000000

2｜+0.5772156649015328606065120900824024310422

3｜−0.6558780715202538810770195151453904812798

4｜−0.0420026350340952355290039348754298187114

5｜+0.1665386113822914895017007951021052357178

6｜−0.0421977345555443367482083012891873913017

7｜−0.0096219715278769735621149216723481989754

8｜+0.0072189432466630995423950103404465727099

9｜−0.0011651675918590651121139710840183886668

10｜−0.0002152416741149509728157299630536478065

11｜+0.0001280502823881161861531986263281643234

12｜−0.0000201348547807882386556893914210218184

13｜−0.0000012504934821426706573453594738330922

14｜+0.0000011330272319816958823741296203307449

15｜−0.0000002056338416977607103450154130020573

16｜+0.0000000061160951044814158178624986828553

17｜+0.0000000050020076444692229300556650480600

18｜−0.0000000011812745704870201445881265654365

19｜+0.0000000001043426711691100510491540332312

20｜+0.0000000000077822634399050712540499373114

21｜−0.0000000000036968056186422057081878158781

22｜+0.0000000000005100370287454475979015481323

23｜−0.0000000000000205832605356650678322242954

24｜−0.0000000000000053481225394230179823700173

25｜+0.0000000000000012267786282382607901588938

26｜−0.0000000000000001181259301697458769513765

27｜+0.0000000000000000011866922547516003325798

28｜+0.0000000000000000014123806553180317815558

29｜−0.0000000000000000002298745684435370206592

30｜+0.0000000000000000000171440632192733743338

而an的近似值為：

$$a_n\approx(-1)^n\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sqrt n}{n!}\Im\left(e^{-nz_0}\frac{z_0^{1/2-n}}{\sqrt{1+z_0}}\right),$$

其中，$z_0=\frac{e^{W_{-1}(-n)}}{-n}$

而$W_{-1}$是分支為負一的朗伯W函數。

## 漸近展開

當z在arg(z)為一固定值的情形下趨於無窮，則有：

$$\ln (1/\Gamma(z)) \sim -z \ln (z) + z + \tfrac{1}{2} \ln \left (\frac{z}{2\pi} \right ) - \frac{1}{12z} + \frac{1}{360z^3} -\frac{1}{1260 z^5}\qquad \qquad \text{for}\quad |\arg(z)| < \pi$$

## 以圍線積分表示

倒數伽瑪函數可使用圍線積分（contour integration）表示，此表示法由赫爾曼·漢克爾所提出，其為：

$$\frac{1}{\Gamma(z)} = \frac{i}{2\pi} \oint_H (-t)^{-z} e^{-t} \, dt,$$

其中，H為漢克爾圍線。

## 階乘倒數

階乘倒數是指階乘的倒數。其等於所有小於及等於該數的正整數之倒數的積：

$$\prod_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{1}{n!} \quad\forall n\ge1$$

其無窮級數收斂在e：

$$\sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{1}{k} = e$$

由於階乘可以用伽瑪函數來定義，因此階乘倒數也可以表示為：

$\frac{1}{n!} = \frac{1}{\Gamma(z+1)}$.

對於$n \geq 1$的正整數，其階乘倒數可以用一個積分表示：

$\frac{1}{n!} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-n\imath\vartheta} e^{e^{\imath\vartheta}}\ d\vartheta$.

同理，倒數伽瑪函數也可以用類似的方法表示。對所有的實數$c > 0$ 且 $z \in \mathbb{C}$，我們可以寫出倒數伽瑪函數沿著實軸的積分表示式

$1/\Gamma(z)$

$$\frac{1}{\Gamma(z)} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} (c+\imath t)^{-z} e^{c+\imath t} dt,$$

其中在$z := n + 1/2$的特定情況下，則可獲得雙階乘的倒數與倒數伽瑪函數之關係：

$$\frac{1}{(2n-1)

} = \frac{\sqrt{\pi}}{2^n \cdot \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}$$

## 積分

將倒數伽瑪函數在實軸上從零積到無窮的瑕積分為：

$$\int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx \approx 2.80777024,$$

這個值又稱為弗朗桑－羅賓遜常數。

## 參考文獻

- Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
- Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function
- Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
- Eric W. Weisstein, Gamma Function, MathWorld