譜 (泛函分析)

在數學中，特別是在泛函分析中，有界算子的譜是矩陣的特徵值集合的推廣。具體來說，對於有界線性算子T，如果T-λI不可逆，其中I是恆等算子，則複數λ會被認為屬於T的譜中。譜和相關性質的研究被稱為譜理論，其具有許多應用，最值得注意的是量子力學的數學表述。

有限維向量空間上的算子的譜就是特徵值的集合。然而，無限維空間上的算子在譜中可能有其他元素，並且可能沒有特徵值。例如，考慮希爾伯特空間ℓ2上的右移算子R。

$(x_1, x_2, \dots) \mapsto (0, x_1, x_2, \dots)$。

該算子沒有特徵值，因為如果Rx=λx，則通過展開表達式可以得到x1=0，x2=0……另一方面，0在譜中，因為算子R-0（即R自身）不可逆：因為第一項非零的任意向量不在它的值域中，所以它不是滿射。事實上，複巴拿赫空間上的每個有界線性算子都必有非空譜。

譜的概念可以擴展到稠定無界算子。在這種情況下，複數λ被認為是在算子T:D→X（其中D在X中稠密）的譜中，如果沒有有界逆(λI-T)−1:X→D。如果T是閉算子（包括T是有界算子的情形），逆的有界性可由逆的存在性直接得到。

巴拿赫空間X上的有界線性算子B(X)是有單位的巴拿赫代數的一個例子。由於除了任何這樣的代數都具有的性質之外，譜的定義沒有涉及B(X)的任何性質，所以譜的概念可以在此逐字地使用相同的定義推廣。

## 有界算子的譜

### 定義

作用在巴拿赫空間$X$上的$T$是標量域$\mathbb{K}$上的有界線性算子，且$I$是$X$上的恆等算子。$T$的譜是所有使得算子$\lambda I-T$沒有有界線性逆的$\lambda\in \mathbb{K}$的集合。

由於$\lambda I-T$是一個線性算子，所以如果它的逆存在，則一定是線性的；並且，通過有界逆定理可知，它的逆是有界的。因此，譜正好由那些使得$\lambda I - T$不是雙射的標量$\lambda$組成。

給定算子$T$的譜通常記為$\sigma(T)$，而它的補集，也即預解集，記為 $\rho(T) = \mathbb{K} \setminus \sigma(T)$。

### 譜和特徵值

如果$\lambda$是$T$的特徵值，則算子$T-\lambda I$不是一一映射，因此其逆$(T-\lambda I)^{-1}$沒有定義。但否命題是不對的：即使$\lambda$不是特徵值,算子$T - \lambda I$可能也沒有逆。因此，算子的譜總是包含其所有特徵值，但卻不限於此。

例如考慮希爾伯特空間$\ell^2(\mathbb{Z})$，它由所有雙向無限實數序列

$$v = (\ldots, v_{-2},v_{-1},v_0,v_1,v_2,\ldots)$$

構成，這些序列須滿足平方和$\sum_{i=-\infty}^{+\infty} v_i^2$有限。雙向移位算子$T$簡單地將序列的每個元素移動一個位置；即如果$u = T(v)$則對所有整數$i$有$u_i = v_{i-1}$。特徵值方程$T(v) = \lambda v$在該空間中無解，因為如果有解則意味著所有$v_i$擁有相同的絕對值（如果 $\lambda = 1$）或者是等比數列（如果 $\lambda \neq 1$）；無論哪種情形，它們的平方和都不可能有限。然而，算子$T-\lambda I$在$|\lambda| = 1$時不可逆。例如滿足$u_i = 1/(|i|+1)$的序列$u$屬於$\ell^2(\mathbb{Z})$；但是不存在$\ell^2(\mathbb{Z})$中的序列$v$使得$(T-I)v = u$（即對所有$i$有$v_{i-1} = u_i + v_i$）。

### 基本性質

有界算子T的譜總是複平面的非空閉有界子集。

如果譜是空的，那麼預解函數

$R(\lambda) = (\lambda I - T)^{-1}$。

在複雜平面上處處有定義且有界。但可以證明，預解函數R在其定義域是全純的。通過向量值情形的劉維爾定理可知這個函數是常數。因為它在無窮遠處為零，所以恆為零。產生矛盾。

譜的有界性由關於λ的諾伊曼級數展開得出；頻譜σ(T)有界

T。類似的，可以證出譜是閉集。

譜的界

T

可以稍作改進。T的譜半徑r(T)是複平面上最小的包含譜σ(T)以原點為圓心的圓的半徑，即

$r(T) = \sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(T)\}$。

譜半徑公式指出，對於巴拿赫代數的任何元素T有

$r(T) = \lim_{n \to \infty} \|T^n\|^{1/n}$。

## 算子譜點分類

巴拿赫空間上的有界算子T可逆（即有有界逆），若且唯若T有正下界且值域稠密。因此，T的譜可以分為以下部分：

- 如果λI-T沒有正下界，則λ∈σ(T)。特別地，這包含λI-T不是單射即λ是特徵值的情形。特徵值集合被稱為T的點譜，記為σp(T)。另一情形，λI-T是一一映射但沒有正下界。這樣的λ不是特徵值，而是T的近似特徵值（特徵值本身也是近似特徵值）。近似特徵值集合（包含點譜）被稱為T的近似點譜，記為σap(T)。
- 如果λI-T值域不稠密，則λ∈σ(T)。這樣的λ的集合被稱為壓縮譜，記為σcp(T)。它的子集，使得λI-T值域不稠密但是單射的λ的集合，被稱為T的剩餘譜，記為σr(T)。

注意到近似點譜和剩餘譜不一定不相交（但點譜和剩餘譜不相交）。

以下小節提供了關於上述σ(T)分類的更多細節。

### 點譜

如果一個算子不是單射（因此有某個非零的x滿足T(x)=0），那它顯然是不可逆的。因此，如果λ是T的特徵值，則必有λ∈σ(T)。T的特徵值集合被稱為T的點譜，記為σp(T)。

### 近似點譜

更一般地，T如果沒有正下界，則不可逆；也就是說，不存在c>0滿足

Tx

≥c

x

對所有 x ∈ X。因此，譜包括近似特徵值集合，即使得 T -λI 沒有正下界的λ；等價地，它是滿足如下條件的λ的集合，存在單位向量x1, x2, ...使得

$\lim_{n \to \infty} \|Tx_n - \lambda x_n\| = 0$。

近似特徵值集合被稱為近似點譜，記為σap(T)。

容易看出特徵值屬於近似點譜。

例子 考慮l2(Z)上雙向移位算子T定義如下

$$T(\cdots, a_{-1}, \hat{a}_0, a_1, \cdots) = (\cdots, \hat{a}_{-1}, a_0, a_1, \cdots)$$

其中ˆ表示第零個位置。直接計算可知T沒有特徵值，但滿足|λ|=1的每個λ都是近似特徵值；令xn表示向量

$$\frac{1}{\sqrt{n}}(\dots, 0, 1, \lambda^{-1}, \lambda^{-2}, \dots, \lambda^{1 - n}, 0, \dots)$$

則對所有n有

xn

=1，但

$\|Tx_n - \lambda x_n\| = \sqrt{\frac{2}{n}} \to 0$。

由於T是酉算子，所以它的譜位於單位圓上。因此T的近似點譜是其整個譜。這對於更一般的一類算子也是正確的。

酉算子是正規的。由譜定理可知，希爾伯特空間H上的有界算子是正規的，若且唯若其等價於（將H等價為L^2空間）乘法算子。可以證出，有界乘法算子的譜與它的近似點譜相等。

### 剩餘譜

算子可以是單射甚至有正下界，但不可逆。l 2(N)上的單向移位算子就是一例。這個移位算子是一個等距同構，因此下界為1。但是它不可逆，因為它不是滿射。滿足λI-T是單射但值域不稠密的λ的集合被稱為剩餘譜，記為σr(T)。

### 連續譜

滿足λI-T是單射且值域稠密但不是滿射的λ的集合，被稱為T的連續譜，記為σc(T)。因此，連續譜由那些不是特徵值且不在剩餘譜中的近似特徵值構成。即

$\sigma_c(T) = \sigma_{ap}(T) \setminus (\sigma_r(T) \cup \sigma_p(T))$。

### 邊緣譜

算子的邊緣譜是其譜中模等於其譜半徑的點的集合。

### 例子

氫原子提供了這種分解的例子。氫原子的哈密頓算子的特徵函數被稱為本徵態，並被分為兩類。氫原子的束縛態對應於譜的離散部分（它們具有離散的特徵值集合，可由里德伯公式計算得到），而電離過程的最終結果由連續部分描述（碰撞/電離的能量不是「量子化的」）。

## 進一步結果

如果T是一個緊算子，則可以證明譜中任意非零λ是特徵值。換句話說，這種算子的譜，被定義為特徵值概念的推廣，在這種情形下僅包括通常的特徵值和0（可能有）。

如果X是希爾伯特空間且T是正規算子，則有被稱為譜定理的顯著結果，給出了正規有限維算子的對角化定理的類比（例如埃爾米特矩陣）。

## 無界算子的譜

可以推廣譜的定義用於巴拿赫空間X上的無界算子，這些算子不再是巴拿赫代數B(X)中的元素。推廣類似於有界情形。複數λ被稱為在預解集中，即線性算子T

$$T: D \subset X \to X$$

譜的補集，如果算子

$$T-\lambda I: D \to X$$

有有界逆，即如果存在有界算子

$$S : X \rightarrow D$$

使得

$S (T - I \lambda) = I_D, \, (T - I \lambda) S = I_X$。

如果該性質不滿足，則複數λ在譜中。可以以與有界情形完全相同的方式來對譜進行分類。

無界算子的譜通常是複平面的閉子集，可能為空集。

對於預解集中的λ（即不在譜中），與有界情形相同，λI-T 必須是雙射，因為它必須有雙邊逆。如前所述，如果逆存在，則其線性直接可得，但一般來說，它可能無界，因此必須單獨檢驗該條件。

然而如果引入了T是閉算子的附加假設，由閉圖像定理可知，逆的有界性可由其存在性直接得到。因此，與有界情情形相同，複數λ位於閉算子T的譜中，若且唯若λI-T不是雙射。注意到閉算子包括所有有界算子。

通過其譜測度，可以定義任何自伴算子的譜分解，有界或其他類型分解為絕對連續、純點和奇異部分。

## 有單位的巴拿赫代數的譜

令B為包含單位e的復巴拿赫代數。我們定義B的元素x的譜σ(x)（或更明確地σB(x)）為使λe-x在B中不可逆的那些複數λ的集合。這推廣了巴拿赫空間X上有界線性算子B(X)的譜的定義，因為B(X)是一個巴拿赫代數。

## 參考文獻

- Dales et al., Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis, ISBN 0-521-53584-0