等諧數列

等諧數列，又名調和數列（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是數列的一種。在等諧數列中，任何相鄰兩項倒數的差相等，該差值的倒數稱為公諧差（common harmonic difference）。

例如數列：

就是一個等諧數列。在這個數列中，從第二項起，每項與其前一項之公諧差都等於 1/2。

## 性質

如果一個等諧數列的首項記作 a，公諧差記作 h，那麼該等諧數列第 n 項 an 的一般項為：

$$a_n=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}$$

換句話說，任意一個等諧數列 都可以寫成

$$\{a\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}}\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}}\,,\,\cdots\,,\,\,\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}}\}$$

在一個等諧數列中，給定任意兩相連項 an+1 和 an，可知公諧差

$$h=\frac{1}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}}$$

給定任意兩項 am 和 an，則有公諧差

$$h=\frac{m-n}{\frac{1}{a_m}-\frac{1}{a_n}}$$

此外，在一個等諧數列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之倒數和，為原來該項倒數的兩倍。舉例來說，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_3} = \frac{2}{a_2}$。

更一般地說，有：

$$\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2}{a_n}$$

證明如下：

$$\begin{align}\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}} & = \left(\frac{1}{a}+\frac{n-2}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{n}{h}\right) \\ & = \frac{2}{a}+\frac{2n-2}{h} \\ & = 2\left(\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}\right) \\ & = \frac{2}{a_n} \\ \end{align}$$

證畢。

從另一個角度看，等諧數列中的任意一項，是其前一項和後一項的調和平均：

$$a_n=\frac{2}{\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}}}$$

此結果從上面直接可得。

如果有正整數 m, n, p, q，使得 $m+n=p+q$，那麼則有：

$$\frac{1}{a_m}+\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_p}+\frac{1}{a_q}$$

證明如下：

$$\begin{align} \frac{1}{a_m}+\frac{1}{a_n} &=\left(\frac{1}{a}+\frac{m-1}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}\right) \\ &=\frac{2}{a}+\frac{m+n-2}{h} \\ &=\frac{2}{a}+\frac{p+q-2}{h} \\ &=\left(\frac{1}{a}+\frac{p-1}{h}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{q-1}{h}\right) \\ &=\frac{1}{a_p}+\frac{1}{a_q} \\ \end{align}$$

由此可將上面的性質一般化成：

$$\frac{1}{a_{n-k}}+\frac{1}{a_{n+k}} = \frac{2}{a_n}$$

$$a_n=\frac{2}{\frac{1}{a_{n-k}}+\frac{1}{a_{n+k}}}$$

其中 k 是一個小於 n 的正整數。

給定一個等諧數列 $\{a_n\}$，則有：

- $\{b\cdot a_n\}$ 是一個等諧數列。
- $\{\frac{b}{a_n}\}$ 是一個等差數列。

## 等諧數列和

一個等諧數列的首 n 項之和，稱為等諧數列和（sum of harmonic sequence）或調和級數（harmonic series），記作 Sn。

舉例來說，等諧數列 的和是 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 = 248/315。

等諧數列並沒有簡單的求和公式。但使用以下反常積分，可對數列和以數值積分作估算：

$$S_n = a\int_0^1{\left(\frac{1-x^{\frac{a}{h}\cdot n}}{1-x^{\frac{a}{h}}}\right)}\mathrm{d}x$$

公式證明如下：

$$\begin{align} S_n & = a+\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}} + \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}} + \cdots + \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}} \\ & = a+\frac{a}{1+\frac{a}{h}} + \frac{a}{1+\frac{2a}{h}} + \cdots + \frac{a}{1+\frac{(n-1)a}{h}} \\ & = a\left(1+ \frac{1}{\frac{a}{h}+1} + \frac{1}{\frac{2a}{h}+1} + \cdots + \frac{1}{\frac{(n-1)a}{h} + 1} \right) \\ & = a\left[x+\frac{x^{\frac{a}{h}+1}}{\frac{a}{h}+1} + \frac{x^{\frac{2a}{h}+1}}{\frac{2a}{h}+1} + \cdots + \frac{x^{\frac{(n-1)a}{h}+1}}{\frac{(n-1)a}{h} + 1}\right]_{x=0}^{x=1} \\ & = a\int_0^1 \left(1+ x^{\frac{a}{h}} + x^{\frac{2a}{h}} + \cdots + x^{\frac{(n-1)a}{h}} \right) \mathrm{d}x \\ & = a \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{a}{h}\cdot n}}{1-x^{\frac{a}{h}}} \right)\mathrm{d}x \\ \end{align}$$

最後一步，使用了等比數列的求和公式。

使用上面的例子，對於數列：

$$\begin{align} S_4 & = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{2}{3}\cdot 4}}{1-x^{\frac{2}{3}}} \right)\mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{1-x^{\frac{8}{3}}}{1-x^{\frac{2}{3}}} \right)\mathrm{d}x \\ & \approx 0.7873 \end{align}$$

結果相等。

從這公式中容易看出，等諧級數是發散的。

## 等諧數列積

一個等諧數列的首 n 項之積，稱為等諧數列積（product of harmonic sequence），記作 Pn。

舉例來說，等諧數列 的積是 1/3 × 1/5 × 1/7 × 1/9 = 1/945。

等諧數列積的公式可以Γ函數表示：

$$P_n =h^n \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a})}{\Gamma(\frac{h}{a}+n)}$$

證明如下：

$$\begin{align} P_n&=a\cdot\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{h}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{2}{h}} \cdot \cdots \cdot \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{n-1}{h}} \\ &=\frac{1}{\frac{1}{h^n} \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a}+n)}{\Gamma(\frac{h}{a})}} \\ &=h^n \cdot \frac{\Gamma(\frac{h}{a})}{\Gamma(\frac{h}{a}+n)} \\ \end{align}$$

這裡使用了等差數列的求積公式。

使用上面的例子，對於數列：

$$\begin{align} P_4&=\frac{1}{2^4} \cdot \frac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(\frac{3}{2}+4)} \\ &=\frac{1}{16}\cdot\frac{0.88622\dots}{52.342\dots} \\ &=\frac{1}{945} \\ \end{align}$$

結果相等。

## 參考文獻

- Weisstein, Eric W. "Harmonic Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html .
- Yadav, A., Pi, H, G., Mukhopadhyay, S., et al. "Harmonic Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/harmonic-progression/ .