蘭道問題

1912年，德國數學家愛德蒙·蘭道於國際數學家大會就黎曼ζ函數與質數理論的發展發表演說。演說中他列舉了當時數論中經典且懸而未決的四個質數問題，並形容這些問題是「在當前科學水平下無法攻克的（welche ich für unangreifbar beim gegenwärtigen Stande der Wissenschaft halte）」。

這四個問題後來被統稱為蘭道問題（Landau's problems）：

- 哥德巴赫猜想：是否所有大於 $2$ 的偶數都可以寫成兩個質數的和？
- 孿生質數猜想：是否存在無窮多個質數 $p$，使得 $p + 2$ 也是質數？
- 勒讓德猜想：是否對所有的正整數 $n$，區間 $\left(n^2, (n + 1)^2\right)$ 中都存在質數？
- 近平方質數問題：是否存在無窮多個形如 $x^2 + 1$ 的質數？

上述四個問題都仍未得到解決。

## 解答進度

### 哥德巴赫猜想

又稱強哥德巴赫猜想、「$\boldsymbol{1 + 1}$」問題，也是希爾伯特第八問題之一，其原始陳述為：

等式$m = p + p'$是否對任何偶數$m > 2$都有解？

猜想大於5的奇數都可以表示成3個質數之和的弱哥德巴赫猜想是哥德巴赫猜想的一個結果。1937年，蘇聯數學家伊萬·維諾格拉多夫證明了每個充分大的奇數n都可以表示成3個質數之和；2013年，秘魯數學家哈洛德·賀歐夫各特推廣此結果，並完全證明了弱哥德巴赫猜想。

陳氏定理是哥德巴赫猜想的另一個弱化形式，這定理指稱任意大的正整數n都可表示成$2n = p + q$的形式，其中p是質數而q是質數或半質數，Bordignon、Johnston和Starichkova三氏之後對山田的結果進行修正和改進，並證明了陳氏定理的明確形式：任意大於$e^{e^{32.7}} \approx 1.4 \times 10^{69057979807814}$的偶數，都可表示成一個質數和一個至多是兩個質數的乘積的自然數的和。

在假定狄利克雷L函數上的廣義黎曼猜想成立的狀況下，Bordignon和Starichkova兩氏將這下界給改進至$e^{e^{15.85}} \approx 3.6 \times 10^{3321634}$；另外Johnston和Starichkova兩氏在將「至多是兩個質數的乘積的自然數」換成「至多是369個質數的乘積的自然數」的前提下，給出了一個對任意$4\le n$都成立的版本，在廣義黎曼猜想成立的狀況下，可將369降至33。

Hugh Montgomery (mathematician)和Robert Charles Vaughan (mathematician)兩氏證明了說不能表示成兩個質數的和的例外偶數的自然密度為零，但目前未能證明說這集合是有限的。

目前對這例外集合大小最好的結果為對充分大的x而言，有$E(x) < x^{0.72}$，由雅諾·品茨得出；而在假定黎曼猜想成立的狀況下，丹尼爾·哥德斯頓證明了說$E(x) \ll x^{0.5}\log^3 x$。

Yuri Linnik證明了說足夠大的偶數可表示成兩個質數和（某個非有效的）K個2的冪的總和。在做了許多改進後，雅諾·品茨和Imre Z. Ruzsa兩氏證明了說$K=8$，且在廣義黎曼猜想成立的狀況下可將之改進至$K=7$。

### 孿生質數猜想

又稱雙生質數猜想、雙胞胎質數猜想，也是希爾伯特第八問題之一，其原始陳述為：

等式$2 = p - p'$是否存在無窮多組質數解？

2013年張益唐證明了說有無限多對質數，其彼此的間隙小於七千萬，之後在Polymath計畫的合作者努力下，這數值降至246。

在廣義埃利奧特–哈爾伯斯坦猜想成立的狀況下，可藉由詹姆斯·梅納德和丹尼爾·哥德斯頓、雅諾·品茨和謝姆·伊爾迪里姆三氏的結果，將這數值改進至6。

1966年陳景潤證明了說有無限多個質數p，使得p+2是質數或半質數。這類的質數後來被人稱為陳質數。

### 勒讓德猜想

又稱勒讓德素數猜想，其原始陳述為：

是否對於所有的正整數$n$，皆存在一個質數位於$n^2$和$(n + 1)^2$兩數之間？

可以驗證說，p的質數間隙小於$2 \sqrt p$。利用最大質數間隙表，可知此猜想對至少大到$2^{64}\approx1.8\times10^{19}$的質數成立。一個接近如此大小的反例，其質數間隙至少是平均間隙的一億倍。

在改進Heath-Brown和Matomäki結果的基礎下，Järviniemi證明了說至多只有$x^{7/100+\varepsilon}$個例外質數，會出現在大於$\sqrt{2p}$的質數間隙之後；特別地，以下關係式成立：

$$\sum_{\stackrel{p_{n+1}-p_n > \sqrt{p_n}^{1/2}}{p_n \leq x}}p_{n+1}-p_n\ll x^{0.57+\varepsilon}.$$

從艾伯特·英厄姆對質數間隙的結果可得出，對於足夠大的$n$而言，在完全立方數$n^3$及$(n+1)^3$之間總有一個質數。

### 近平方質數問題

又稱$\boldsymbol{x^2 + 1}$質數問題、蘭道第四問題，其原始陳述為：

函數$u^2 + 1$在$u$取整數值時，能否給出無窮多個質數？

或者問：是否存在無窮多個形如$x^2 + 1$的質數？此問題依舊開放。

數值

形如$x^2 + 1$的質數被記錄為A002496，其中小於$10000$的質數（前$19$項）為：$2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837$。

而所有的費馬質數（$2^{2^n} + 1$），也都是近平方質數（$x = 2^{2^{n - 1}}$）。

推廣

設$f(x) = ax^2 + bx + c \in \mathbb{Z}[x]$，可以證明：若存在無窮多個正整數$n$，使得$f(n) \in \mathbb{P}$，則$a, b, c$三數須滿足：

- $a > 0$，這使得$\lim_{x \to \infty}f(x) = \infty$。
- $\Delta = b^2 - 4ac$不是完全平方數，這使得$f$為不可約多項式。
- $\gcd(a, b, c) = 1$，這使得$f$為本原多項式，確保不存在質數$p \ge 3$，對所有正整數$m$，都有$p \mid f(m)$。
- $(a + b), c$不能同為偶數，這使得對所有正整數$m$，都有$2 \nmid f(m)$。

而數學界猜測上述條件具充分性：若$f(x)$的係數滿足上述條件，則存在無窮多個正整數$n$，使得$f(n) \in \mathbb{P}$（$f(x) = x^2 + 1$亦是其中之一）。此猜想為布尼亞科夫斯基猜想和Bateman–Horn猜想在二次多項式上的特例。

歷史進程

1912年，德國數學家蘭道於國際數學家大會發表演說，其中提出四個關於質數的問題，第一個（就紀錄的順序）便是近平方質數問題。

1920年，挪威數學家布朗利用布朗篩法，得到形如$x^2+1$的質數數量的上界：對於不大於$N$的正整數，有$O(\sqrt N)$個形如$x^2+1$的數，而其中只有至多$O\left(\textstyle\frac{\sqrt N}{\log N}\right)$個質數。

1923年，英國數學家哈代與李特爾伍德提出了著名的「猜想F」（是哈代-李特爾伍德猜想的一部份），給出了形如$x^2 + 1$的質數數量的漸近公式估計：

$$\#\left\{x \le \sqrt{N} : x^2 + 1 \in \mathbb{P}\right\} \sim C \frac{\sqrt{N}}{\ln N}.$$ 其中常數$C = \frac{1}{2} \prod_{p > 2} \left[1 - \frac{1}{p - 1}\left(\frac{-1}{p}\right)\right] \approx 0.68641$（$\left(\textstyle\frac{-1}{p}\right)$為勒讓德符號）。

1952年和1955年，美國數學家Nesmith Ankeny和立陶宛數學家Jonas Kubilius分別證明：在對赫克特徵的L函數的擴展黎曼猜想成立的狀況下，存在無窮多個形如$p = x^2 + y^2$且$y = O(\log p)$的質數。而蘭道的問題追求的是更強的$y = 1$的情況。

1978年，波蘭裔數學家伊萬尼克利用篩法證明：存在無窮多個正整數$x$，使得$x^2 + 1$為至多兩個質數的乘積。

1997年，加拿大數學家弗里德蘭德與波蘭裔數學家伊萬尼克證明了弗里德蘭德-伊萬涅茨定理，指出存在無窮多個形如$a^2 + b^4$的質數（若取$b = 1$時，則退化為$a^2 + 1$的形式）。

2001年，英國數學家Harman和美國數學家菲利普·路易斯在無特別假設下，證明了存在無窮多個形如$p = x^2 + y^2$且$y = O(p^{0.119})$的質數。

2006年，德國數學家史蒂芬·拜爾與中國數學家趙良軼證明：存在無窮多個形如$p = an^2 + 1$的質數，其中$a < p^{\frac{5}{9} + \varepsilon}$。若廣義黎曼猜想成立，可將$a$上界改進至$p^{\frac{1}{2} + \varepsilon}$；若類似埃利奧特–哈爾伯斯坦猜想的猜想成立，則可更進一步至$p^\varepsilon$。

2022年，芬蘭數學家梅里科斯基在改進前人結果的基礎下，證明了存在無窮多個形如$n^2 + 1$的數，其最大質因數的大小至少為$n^{1.279}$。若能將此指數項改進為2，即可證明蘭道的猜想。