地球坐標系統

地球坐標參考系統，簡稱地球坐標系統（Terrestrial Coordinate System）、地球參考系統（Terrestrial Reference System, TRS）或地球坐標系，是描述物體在地球及近地空間的位置的坐標參考系統。地球坐標系在大地測量學中也常被稱作大地坐標系（Geodetic Coordinate System）。由於地球坐標系描述的是地球及近地物體的相對位置，它與地球體應當是相對固定的，且應與地球體以相同的速率和方向一同自轉，因此又稱地固坐標系（Earth-Fixed Coordinate System）。地球參考框架（Terrestrial Reference Frame, TRF）是地球坐標系統的具體實現。

地球參考系統與天球參考系統常用於大地測量學和地球動力學等研究中，兩個參考系統可以通過地球定向參數進行轉換。根據國際天文聯合會、國際大地測量協會以及國際大地測量學與地球物理學聯合會等機構的決議，國際地球自轉服務負責實現國際上常用的國際地球參考系統（ITRS）、國際天球參考系統（ICRS），並給出它們之間的轉換參數。

## 坐標原點

地球坐標系可根據坐標原點所選取的位置，分為參心坐標系和地心坐標系兩種類型。參心坐標系的建立以同某一地區的大地水準面最佳擬合的參考橢球體為基礎，其原點位於參考橢球體的中心。地心坐標系的建立以同全球範圍內的大地體最為密合的總地球橢球為基礎，其原點位於包含大氣、海洋在內的整個地球的質量中心。以地心為原點建立的地固坐標系又被稱為地心地固坐標系（ECEF）。

### 參心

參心地球坐標系又稱局部地球坐標系，指以參考橢球體的中心為坐標原點建立的地球坐標系，建立參心地球坐標系的目的是使該坐標系使用的參考橢球體與該地區的大地水準面最為密合。在地圖學上，合適的參心坐標系可以使得某一地區的地圖投影變形最小。

### 地心

地心地球坐標系在地球動力學中又常稱地心地固坐標系，是以地球質心為坐標原點建立的地球坐標系。隨著GPS等全球衛星導航系統的發展，地球坐標系的建立越發依賴於全球範圍的的空間測量技術。因此，WGS84、CGCS2000及國際地球參考系統等地心坐標系統，逐漸取代了各國原有的參心坐標系統。

## 坐標形式

地球坐標系既可以以笛卡爾坐標的形式表達，也可以採用大地坐標（或地理坐標）的形式表達。以笛卡爾坐標坐標表達的地球坐標系被稱為空間直角坐標系，其X軸通常指向某一起始子午面，Z軸與地球自轉軸平行或重合，Y軸則與X軸和Z軸向垂直。以大地坐標表達的地球坐標系被稱為空間大地坐標系，也可簡稱為大地坐標系。空間大地坐標系使用大地緯度、大地經度和大地高來描述物體的空間位置。

### 空間坐標與大地坐標的轉換

在同一地球坐標系中，直角坐標系和大地坐標系可以相互轉換。若該直角坐標系是以上述基準建立的，且為右手坐標系，則某一點的空間坐標 $(X,Y,Z)$ 與由大地緯度 $B$、大地經度 $L$ 和大地高 $H$ 存在如下轉換關係：

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (N+H)\cos{B}\cos{L} \\ (N+H)\cos{B}\sin{L} \\ \left[ N(1-e^2)+H \right] \sin{B} \end{pmatrix}$$

其中，$N$為該點在橢球上的投影處的卯酉圈曲率半徑，可由橢球的半長軸 $a$、偏心率 $e$ 和該點的大地緯度 $B$ 求得：

$$N = \frac{a}{\sqrt{1-e^2{\sin}^2{B}}}$$

## 與天球坐標系的關係

地球坐標系和天球坐標系又分別被稱為地固坐標系和慣性坐標系，兩者分別相對靜止於地球體和宇宙天球上的某固定天體。兩者的轉換被大量應用於衛星軌道的計算中。受到歲差、章動和日長變化等因素的影響，天球坐標系與地球坐標系存在相對運動，兩者的轉換模型被稱為地球定向模型。雖然在三維空間中，任意坐標系之間的轉換最少只需通過三次旋轉就能實現。但在地球定向模型中，往往會選用多個過渡坐標系，分步地實現地球坐標系與天球坐標系的轉換。

這些坐標系之間的轉換關係能夠通過直接測量的方式或是模型計算的方式得到。在求得各個過渡坐標系之間的轉換矩陣後，可以通過乘法將其複合，從而完成坐標轉換。

### 基於春分點的轉換模型

經典的地球定向模型通過春分點的轉換實現，並具有如下形式：

$$\mathrm{\mathbf{r}_{CRF}} = \left[ \mathbf{P}(t_i,t_0) \right] \left[ \mathbf{N}(t_i) \right] \left[ \mathbf{S_{EQX}}(t_i) \right] \left[ \mathbf{W_{EQX}}(t_i) \right] \mathrm{\mathbf{r}_{TRF}}$$

其中，各坐標轉換矩陣的含義如下：

- $\left[ \mathbf{P}(t_i,t_0) \right]$ 是由 $t_0$ 時刻過渡到 $t_i$ 時刻的歲差矩陣，表示在觀測瞬間的平天球坐標系與協議天球坐標系的轉換關係。
- $\left[ \mathbf{N}(t_i) \right]$ 是 $t_i$ 時刻的章動矩陣，表示在觀測瞬間的真天球坐標系與平天球坐標系的轉換關係。
- $\left[ \mathbf{S_{EQX}}(t_i) \right]$ 是 $t_i$ 時刻的地球自轉矩陣，表示在觀測瞬間的真地球坐標系與真天球坐標系的轉換關係。
- $\left[ \mathbf{W_{EQX}}(t_i) \right]$ 是 $t_i$ 時刻的極移矩陣，表示協議地球坐標系與在觀測瞬間的真地球坐標系的轉換關係。

由於天球坐標系在實現為參考框架時，當前的參考框架與定義時刻的協議參考框架存在偏移。因此在國際天球參考框架（ICRF）和國際地球參考框架（ITRF）的轉換過程中，還需加入框架偏移矩陣$\left[ \mathbf{B} \right]$，用於表示當前的參考框架與在$t_0$時刻定義的協議參考框架之間的偏移量。此時公式變為：

$$\mathrm{\mathbf{r}_{ICRF}} = \left[ \mathbf{B} \right] \left[ \mathbf{P}(t_i,t_0) \right] \left[ \mathbf{N}(t_i) \right] \left[ \mathbf{S_{EQX}}(t_i) \right] \left[ \mathbf{W_{EQX}}(t_i) \right] \mathrm{\mathbf{r}_{ITRF}}$$

### 基於無旋轉原點的轉換模型

國際地球自轉服務自2004年發布的IERS2003規範起，開始使用基於無旋轉原點（Non-Rotation Origin (NRO)）實現的地球定向模型，其公式表達為：

$$\mathrm{\mathbf{r}_{CRF}} = \left[ \mathbf{Q}(t) \right] \left[ \mathbf{R}(t) \right] \left[ \mathbf{W}(t) \right] \mathrm{\mathbf{r}_{TRF}}$$

其中，各坐標轉換矩陣的含義如下：

- $\left[ \mathbf{Q}(t) \right]$是因天極在天球坐標系中的運動而產生的旋轉矩陣。
- $\left[ \mathbf{R}(t) \right]$是因地球繞天極旋轉而產生的地球旋轉矩陣。
- $\left[ \mathbf{W}(t) \right]$是因極移而產生的極移矩陣。

## 實例

常用的地球坐標系統包括由國際地球自轉與參考系維持服務（IERS）定義的國際地球參考系統（ITRS），以及由美國建立並使用在GPS中的世界大地坐標系統（WGS-84）等。