輸入-狀態穩定性

輸入-狀態穩定性（Input-to-state stability）簡稱ISS，是在有外部輸入時，非線性的控制理論中探討其穩定性的方式。簡單來說，控制系統具有輸入-狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時，系統會漸近穩定，而且在足夠長的時間後，系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。

輸入-狀態穩定性之所以重要，是因為此概念連接了輸入-輸出穩定性以及狀態空間法，這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入-狀態穩定性的標示方式是由Eduardo Sontag在1989年開始使用。

## 定義

考慮非時變常微分方程，其形式如下

$$\dot{x} = f(x,u), \ x(t) \in \mathbb{R}^n,$$

其中$u:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}^m$是勒貝格測度有本質確界的外部輸入，且 $f$是利普希茨連續函數。這可以確保系統(1)有唯一絕對連續的解。

若要定義ISS以及其他相關的性質，需要引入以下的比較函數分類。令$\mathcal{K}$（K類函數）為連續遞增函數$\gamma:\R_+ \to \R_+$，且$\gamma(0)=0$形成的集合，令$\mathcal{K}_{\infty}$為無界函數$\gamma \in \mathcal{K}$，再令$\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$（KL類函數）為若$\beta(\cdot,t) \in \mathcal{K}$在所有的$t \geq 0$都成立，而且針對所有的$r > 0$，$\beta(r,\cdot)$連續，且嚴格遞減至0。

系統(1)稱為在原點全域漸近穩定（0-GAS），若對應的零輸入系統$$\dot{x} = f(x,0), \ x(t) \in \mathbb{R}^n,$$ 是全域李雅普諾夫穩定，也就是存在$\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$使得針對所有的初值$x_0$以及任意時間$t \geq 0$，以下有關(WithoutInputs)解的估計都有效＞：

$$|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t).$$

系統(1)稱為輸入-狀態穩定性（ISS）若存在函數$\gamma \in \mathcal{K}$且$\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$使得針對所有初值$x_0$，所有可行的輸入$u$以及任意時間$t \geq 0$，以下的不等式都成立$$|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty}).$$

上述不等式中的函數$\gamma$稱為增益（gain）。

很明顯的，ISS系統是0-GAS系統，也有有界輸入有界輸出穩定性（若令輸出等於狀態），不過0-GAS系統不一定是ISS系統。

也可以證明若在$t \to \infty$時，$|u(t)| \to 0$，則在$t \to \infty$時，$|x(t)| \to 0$。

## 輸入-狀態穩定性質的特點

為了要瞭解輸入-狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。

系統(1)為全域穩定（GS），若存在$\gamma, \sigma \in \mathcal{K}$，使得對於$\forall u$、$\forall t \geq 0$及$\forall x_0$，下式都成立

$$|x(t)| \leq \sigma(|x_0|) + \gamma(\|u\|_{\infty}).$$

系統(1)滿足漸近增益（AG）特性，若存在$\gamma \in \mathcal{K}$，使得對於$\forall x_0$, $\forall u$，下式都成立

$$\limsup_{t \to \infty}|x(t)| \leq \gamma(\|u\|_{\infty}).$$

以下的描述都是等效的：

- (1)有ISS（輸入-狀態穩定性）
- (1)是GS（全域穩定），且有AG（漸近增益）特性
- (1)是0-GAS（在原點全域漸近穩定），且有AG（漸近增益）特性

在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入-狀態穩定性的特性。

## ISS-李亞普諾夫函數

ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。

光滑函數$V: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_+$是系統(1)的ISS-李亞普諾夫函數，若$\exists \psi_1,\psi_2 \in \mathcal{K}_{\infty}$, $\chi \in \mathcal{K}$，以及正定函數 $\alpha$，使得下式成立：

$$\psi_1(|x|) \leq V(x) \leq \psi_2(|x|), \quad \forall x \in \mathbb{R}^n$$

以及$\forall x \in \mathbb{R}^n, \; \forall u\in \mathbb{R}^m$，下式成立：

$$<pre> |x| \geq \chi(|u|) \ \Rightarrow \ \nabla V \cdot f(x,u) \leq -\alpha(|x|), </pre>$$

函數$\chi$稱為李亞普諾夫增益（Lyapunov gain）。

若系統(1)沒有輸入（也就是$u \equiv 0$），則最後一式可以簡化如下

$$\nabla V \cdot f(x,u) \leq -\alpha(|x|),\ \forall x \neq 0,$$

因此$V$也是（一般定義的）李亞普諾夫函數。

E. Sontag和Y. Wang得到的重要結論是系統(1)為ISS，若且唯若存在光滑ISS李亞普諾夫函數。

## 例子

考慮一系統

$$\dot{x}=-x^3+ux^2.$$

定義候選的ISS-李亞普諾夫函數$V:\R \to \R_+$如下$$V(x)=\frac{1}{2}x^2, \quad \forall x \in \R.$$

$$\dot{V}(x)=\nabla V \cdot (-x^3+ux^2) = -x^4 + ux^3.$$

選擇李亞普諾夫增益$\chi$為

$\chi(r):= \frac{1}{1-\epsilon}r$.

可以得到在$x,u:\ |x| \geq \chi(|u|)$的條件下，下式成立

$$\dot{V}(x) \leq -|x|^4 + (1-\epsilon)|x|^4 = -\epsilon|x|^4.$$

可得$V$是該系統的ISS-李亞普諾夫函數，李亞普諾夫增益為$\chi$。

## 其他相關概念

### 積分輸入-狀態穩定性（iISS）

系統(1)為積分輸入-狀態穩定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函數$\alpha, \gamma \in \mathcal{K}$及$\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$，使得針對所有初值$x_0$，所有可行的輸入$u$及任意時間$t \geq 0$下，以下不等式都會成立：

$$\alpha(|x(t)|) \leq \beta(|x_0|,t) + \int_0^t \gamma(|u(s)|)ds.$$

積分輸入-狀態穩定性（iISS）系統和ISS系統不同，若系統是iISS系統，在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如，在所有$r \geq 0$，令$\alpha(r)=\gamma(r)=r$，且令$u \equiv c= const$，則估計(3)會變成以下的形式

$$|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \int_0^t cds = \beta(|x_0|,t) + ct,$$

隨著$t \to \infty$，等號右側會趨近無限大 $t \to \infty$。

### 局部輸入-狀態穩定性（LISS）

局部輸入-狀態穩定性也是一種輸入-狀態穩定性的特性。系統(1)為局部輸入-狀態穩定性（locally ISS、LISS）若存在常數$\rho>0$、函數 $\gamma \in \mathcal{K}$及$\beta \in \mathcal{K}\mathcal{L}$使得：針對所有$x_0 \in \mathbb{R}^n: \; |x_0| \leq \rho$，所有可行的輸入$u: \|u\|_{\infty} \leq \rho$及任意時間$t \geq 0$，下式都成立

$$|x(t)| \leq \beta(|x_0|,t) + \gamma(\|u\|_{\infty}).$$

可以觀察到0-GAS系統會有LISS系統的特性。

### 其他的穩定性

也有其他人提出和輸入-狀態穩定性有關的穩定性特性，例如增量輸入-狀態穩定性（incremental ISS）、輸入至輸出動態穩定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）、輸入至輸出實務穩定性（input-to-state practical stability、ISpS）、輸入至輸出穩定性（input-to-output stability、IOS）等。

## 時滯系統的ISS

考慮非時變的時滯微分方程

$$\dot{x}(t)=f(x^t,u(t)), \quad t > 0.$$

其中$x^t\in C([-\theta,0];\R^N)$是系統(TDS)在時間$t$的狀態，$x^t(\tau)=x(t+\tau),\ \tau\in[-\theta,0]$及$f:C([-\theta,0];\R^N) \times \R^m$需滿足特定假設，以確保系統(TDS)的解存在且唯一。

系統(TDS)為ISS，若且唯若存在函數$\beta\in \mathcal{KL}$及$\gamma\in\mathcal{K}$，使得針對所有$\xi\in C(\left[-\theta,0\right],\R^N)$，所有可行的輸入，在任意時間$t\in\R_+$下，下式都成立

$$\left|x(t)\right|\leq \beta(\left\|\xi\right\|_{\left[-\theta,0\right]},t) + \gamma(\left\|u\right\|_{\infty}).$$

在時滯系統的ISS理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理。

## 其他類型系統的輸入-狀態穩定性

以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如時變系統、混合系統。近來也有人提出，將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法。