擾動位

擾動位（Disturbing potential），也稱異常位（Anomalous potential），指地球的真實重力位與正常重力位之間的差異。

擾動位是建立地球重力場模型過程中的關鍵變量，與大地水準面高和高程異常有著緊密的關係。在求解地球形狀和地球重力位的問題的過程中，可以先定義一個簡單的、能夠直接計算得到的正常重力位和正常橢球體，再通過求解擾動位得到大地水準面或似大地水準面與正常橢球體之間的差距（如大地水準面高和垂線偏差），從而得到地球的近似形狀和真實重力位。在選取正常橢球體時，通常定義其與大地水準面密合，擾動位的量級很小（僅占真實重力位的百萬分之五），對真實重力位起到改正項的作用，通常可以用線性近似和球面近似的方法進行求解。

## 數學表達

從數學上的定義來看，擾動位 $T$ 通常表達成真實重力位 $W$ 與正常重力位 $U$ 之間的差距：

$$T = W - U$$

其中，兩個重力位都由引力位部分和離心力位的部分組成，且兩者的離心力位部分可以視作是相同的，因此擾動位表現的是兩者的引力位差，具有引力位滿足拉普拉斯方程的性質：

$$\nabla T \equiv 0$$

### 球諧函數

因此，擾動位 $T$ 在邊界面的外部（$r>R$）展開為球諧函數：

$$T(r,\theta,\lambda) = \sum_{n=0}^{\infin}\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

其中球坐標 $(r,\theta,\lambda)$ 表示外部空間某一點的徑向距離、極角和經度。$T_n(\theta,\lambda)$ 則表示 $n$ 階面諧函數，且有完全形式：

$$T_n(\theta,\lambda) = {GM \over R}\sum_{m=0}^{n}\left(\Delta C_{nm}\cos{m\lambda}+\Delta S_{nm}\sin{m\lambda}\right)P_{nm}(\cos{\theta})$$

上式中各項的含義如下：

- $GM$ 地心引力常數
- $n$為面諧函數的階數
- $R$ 為用以近似的地球半徑
- $P_{nm}$ 是 $n\ $階 $m\ $次的締合勒讓德多項式
- $\Delta C_{nm}$ 和 $\Delta S_{nm}$ 是真實重力位與正常重力位所採用的球諧係數的差值

又根據正常橢球體的定義，其產生的正常重力位應當與真實重力位在球諧展開式的最大項上相同，且具有一階係數為零的性質，所以擾動位也常寫為：

$$T(r,\theta,\lambda) = \sum_{n=2}^{\infin}\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

## 徑嚮導數

由擾動位的球諧表達式，可以求出其一階和二階徑嚮導數的相應表達式：

$${\partial T\over\partial r} = -{1 \over r}\sum_{n=2}^{\infin}(n+1)\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

$${\partial^2 T\over\partial r^2} = {1 \over r^2}\sum_{n=2}^{\infin}(n+1)(n+2)\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

利用縮寫 $T'_n(\theta,\lambda) = (n+1)(n+2)T_n(\theta,\lambda)$，可以得到調和函數 $r^2{\partial^2 T\over\partial r^2}$的球諧展開式：

$$r^2{\partial^2 T\over\partial r^2} = \sum_{n=2}^{\infin}\left({R \over r}\right)^{n+1}T'_n(\theta,\lambda)$$

## 球面近似

在球近似的條件下，以下三個偏微分被視作相同：

$${\partial\over\partial n} = {\partial\over\partial h} = {\partial\over\partial r}$$

$n$、$h$ 和 $r$ 分別表示重力矢量的方向、高程方向和地心方向。

### 大地水準面上的擾動位及其徑嚮導數

以球面對大地水準面進行近似（即假設 $r = R$），不考慮球諧函數是否收斂的問題，則大地水準面上的擾動位可以表達為：

$$T = T(R,\theta,\lambda) = \sum_{n=2}^{\infin}T_n(\theta,\lambda)$$

## 與其他物理量的關係

### 重力擾動

重力擾動是指大地水準面上的一點 $\mathbf{P}$ 處，真實重力 $\vec{\text{g}}_P$ 與同一位置上的正常重力 $\vec{\gamma}_P$ 的差異，即

$$\delta \vec{\text{g}} = \vec{\text{g}}_P - \vec{\gamma}_P$$

利用球面近似，重力擾動可以通過擾動位的一階徑嚮導數來表述：

$$\delta \text{g} = -({\partial W\over\partial n}-{\partial U\over\partial n'}) \longrightarrow \delta \text{g} = -({\partial W\over\partial n}-{\partial U\over\partial n}) = -{\partial T\over\partial n} \longrightarrow \delta \text{g} = -{\partial T\over\partial r}$$

其中 $n$ 和 $n'$ 分別表示真實重力與正常重力方向，即鉛垂線方向和橢球的法線方向。

將其展開作級數，得：

$$\delta \text{g} = {1 \over r}\sum_{n=2}^{\infin}(n+1)\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

### 重力異常

重力異常與重力擾動的區別在於，重力異常比較的重力是點 $\mathbf{P}$ 處的真實重力 $\vec{\text{g}}_P$ 和其在橢球面上的投影 $\mathbf{Q}$ 處的正常重力 $\vec{\gamma}_Q$，即

$$\Delta \vec{\text{g}} = \vec{\text{g}}_P - \vec{\gamma}_Q$$

其與重力擾動和擾動位的一階徑嚮導數的關係由重力測量基本微分方程給出，這一方程的球面近似形式為：

$${\partial T\over\partial r} + {2 \over r}T + \Delta \text{g} = 0 \longrightarrow \Delta \text{g} = -{\partial T\over\partial r}-{2 \over r}T$$

將其展開作級數，得：

$$\Delta\text{g} = {1 \over r}\sum_{n=2}^{\infin}(n-1)\left({R \over r}\right)^{n+1}T_n(\theta,\lambda)$$

### 斯托克斯公式

通過泊松積分公式，可以在表達出大地水準面上的重力異常 $\Delta\text{g}$ 和擾動位 $T$ 之間的關係，即：

$$T = {R\over4\pi}\iint\limits_{\sigma}\Delta g \,S(\psi)\operatorname{d}\!\sigma$$

這一公式由愛爾蘭數學物理學家斯托克斯在1849年給出，又稱為斯托克斯公式。其中的 $S(\psi)$ 被稱為斯托克斯函數，該項由單位球面上的被計算點與重力異常觀測值所在的角元素之間的夾角 $\psi$ 決定：

$$S(\psi) = {1 \over \sin(\psi/2)} - 6\sin{\psi \over 2} + 1 - 5\cos{\psi} - 3\cos{\psi}\ln{(\sin{\psi \over 2} + \sin^2{\psi \over 2})}$$