電離層延遲

電磁波在穿透大氣時，因帶電粒子的影響而產生的時間延遲被稱為電離層延遲（Ionospheric delay）。電離層延遲主要產生於距地表50－1000 km的電離層內，帶電粒子對電磁波的折射、衍射與散射等效應改變了電磁波的傳播速度與傳播方向，在依賴於電磁波的距離觀測中引入了系統誤差，對衛星都卜勒測量、GNSS、VLBI等空間大地測量技術產生了不可忽略的影響。

電離層延遲主要影響頻率較低的無線電波信號，對工作於X波段的VLBI與工作於L波段的GNSS導航信號，其量級分別可達米級與十米級。由於太陽活動與中性大氣的電離程度有著密切聯繫，在晝間與太陽活動更為頻繁的時段，電離層延遲的影響亦會更加嚴重。除了規律性的周日變化、季節變化，以及依緯度而改變的地理變化外，電離層延遲還受到電離層時空特徵的不規則性，以及電離層暴、電離層擾動等突變現象的影響，造成導航信號的衰落和畸變等。

在GPS及各GNSS系統建成後，受益於分布在全球各地的地面監測站，GNSS成為了電離層延遲研究中應用最廣的技術手段。一方面，電離層延遲是GNSS測量中最主要、最複雜的誤差來源之一；另一方面，通過雙頻GNSS測量能夠以較高的精度反演大氣中的總電子含量，建立電離層模型，為其他空間大地測量技術提供電離層延遲的修正方法，同時對電離層活動進行大範圍、長期、連續的監測，研究電離層的空間結構與變化特徵等。

## 數學描述

由於電離層的色散效應，當GNSS信號穿越電離層時，調製在載波上的測距碼信號的傳播速度與載波的相位傳播速度發生分離，兩者分別被稱為群速度與相速度。在接收機分別使用載波相位與測距碼獲取距離觀測值時，電離層延遲即分別表現為相位超前和距離延遲。僅考慮電離層折射對觀測值的影響，具體的相位超前值 $I_\text{p}$ 與距離延遲值 $I_\text{g}$，由信號傳播路徑 $l$ 上相折射指數 $n_\text{p}$ 和群折射指數 $n_\text{g}$ 決定：

$$I_\text{p} = \int\left(n_\text{p}-1\right)\operatorname{d}\!l$$

$$I_\text{g} = \int\left(n_\text{g}-1\right)\operatorname{d}\!l$$

### 電離層折射指數

#### 相折射指數

對於L波段上的導航信號，電離層的首要成因是信號在穿越電離層介質產生的折射效應。根據等離子體介質的性質，以及GNSS信號右旋極化模式的特性，可以使用阿普爾頓-哈特里方程推導出電離層的相折射指數，其簡化後的級數表達式為

$$n_\text{p} = 1 - \frac{1}{2}X - \frac{1}{2}XY\cos\theta - \frac{1}{8}X^2$$

式中各項的含義如下：

- $X = \frac{f_\text{p}^2}{f^2} = \frac{Ne^2}{4\pi^2{\varepsilon_0}m}$，$f_\text{p}$ 為等離子體頻率，是電子密度為 $N$ 的等離子體發生簡諧振盪的振盪頻率。
- $Y = \frac{f_\text{g}}{f} = \frac{eB}{2{\pi}m_\text{e}}$，$f_\text{g}$ 為電子磁旋頻率，是電子在場強為 $B$ 的地磁場下發生磁旋的頻率。
- $f$ 為GNSS信號的工作頻率，$e$ 為基本電荷, $\varepsilon_0$ 為真空介電常數，$m_\text{e}$ 為電子質量， $\theta$ 為電磁波法線與磁場方向的夾角。

將級數表達式中的各項表達成頻率 $f$ 的係數，並沿路徑 $l$ 進行積分，得

$$I_\text{p} = I_{1\text{p}} + I_{2\text{p}} + I_{3\text{p}}$$

式中。

- $$I_{1\text{p}} = -\frac{e^2\int{Ne}\operatorname{d}\!l}{8\pi^2{\varepsilon_0}m_\text{e}} \cdot \frac{1}{f^2} <pre> \approx -\frac{40.309\int{Ne}\operatorname{d}\!l}{f^2}$$
- $$I_{2\text{p}} = -\frac{e^2\int{(Ne)B\cos\theta}\operatorname{d}\!l}{16\pi^3{\varepsilon_0}m_\text{e}^2} \cdot \frac{1}{f^3} <pre> \approx -\frac{1.1283\cdot10^{12}\int{(Ne)B\cos\theta}\operatorname{d}\!l}{f^3}$$
- $$I_{3\text{p}} = -\frac{e^2\int{(Ne)^2}\operatorname{d}\!l}{128\pi^4{\varepsilon_0}^2m_\text{e}^2} \cdot \frac{1}{f^4} <pre> \approx -\frac{812.47\int{(Ne)^2}\operatorname{d}\!l}{f^4}$$

分別被稱為電離層延遲的一階項、二階項與三階項。隨著階數的升高，各階電離層延遲的絕對值逐漸減小，其中一階電離層占總電離層延遲的影響通常在99%以上。對於GPS播發的L1導航信號（頻率為1575.42 MHz），前三階電離層的影響一般可達到十米級、厘米級與微米級。即便是在太陽活動的峰值期，低高度角處的二階電離層延遲通常也不會超過12 cm，三階電離層的影響則通常不會超過6 mm。因此，在一般應用中通常只考慮電離層一階項的影響；但在精密定位、精密定軌等高精度應用中，則需要考慮電離層二階與三階項的影響。

#### 群折射指數

對於使用測距碼的偽距測量模式，其受到的電離層延遲由群折射指數決定，其中群折射指數 $n_\text{g}$ 與 相折射指數 $n_\text{p}$ 的關係為

$$n_\text{g} = n_\text{p} + f\frac{\operatorname{d}\!n_\text{p}}{\operatorname{d}\!f}$$

因此有

$$I_\text{g} = I_{1\text{g}} + I_{2\text{g}} + I_{3\text{g}}$$

式中。

- $$I_{1\text{g}} = - I_{1\text{p}} <pre> \approx \frac{40.309\int{Ne}\operatorname{d}\!l}{f^2}$$
- $$I_{2\text{p}} = -2I_{2\text{p}} <pre> \approx \frac{2.2566\cdot10^{12}\int{(Ne)B\cos\theta}\operatorname{d}\!l}{f^3}$$
- $$I_{3\text{p}} = -3I_{3\text{p}} <pre> \approx -\frac{2437.4\int{(Ne)^2}\operatorname{d}\!l}{f^4}$$

在相同的大氣環境下，二階電離層延遲對偽距測量的影響是相位測量的兩倍，三階電離層延遲對偽距測量的影響是相位測量的三倍。然而，對於主要的一階電離層延遲，偽距測量和相位測量受到的影響大小相等且符號相反。依據這一原理，可以組成半和改正觀測值，以抵消電離層延遲一階項的影響。

### 單層電離層模型

由電離層延遲的計算公式，可見決定電離層大小的關鍵因素是信號傳播路徑上的電子密度 $Ne$ 的分布情況。按電離層內電子密度分布的描述方式，可將電離層模型分為二維模型和三維模型。其中二維模型將垂直方向上的電子集中於某一高度確定的薄層上，因此又稱單層電離層模型（Single-Layer Model，縮寫：SLM）。相較於三維模型，二維單層模型的數學結構更為簡單，較有利於描述電離層總電子含量的分布特徵。當前GPS與北斗衛星導航系統使用的廣播電離層模型即為基於電離層薄層假設建立的單層電離層模型。

#### 總電子含量

僅依靠GNSS測量，雖通常無法獲得信號傳播路徑上電子密度的分布資訊，但能較好地測定整個傳播路徑上電子密度的總和，這一概念被定義為總電子含量（Total Electron Content，縮寫：TEC）。其中，斜路徑上的總電子含量（Slant TEC，縮寫：STEC）為沿信號傳播路徑上電子密度的積分：

$$\text{STEC} = \int{Ne}\operatorname{d}\!l$$

而天頂方向上的總電子含量（Vertical TEC，縮寫：VTEC）為沿天頂方向上電子密度的積分：

$$\text{VTEC} = \int{Ne}\operatorname{d}\!h$$

總電子含量的單位一般為 TECU， 1 TECU相當於 1016 電子每平方米。

此時，一階電離層延遲可寫作 STEC 的函數：

$$I_{1\text{p}} \approx -\frac{40.309\,\text{STEC}}{f^2},\quad <pre> I_{1\text{g}} \approx \frac{40.309\,\text{STEC}}{f^2}$$

#### 電離層薄層假設

根據地面測站計算的 VTEC，可將電離層簡化為一個集中了垂直方向上所有自由電子的單層薄層上，薄層的高度通常被固定為自由電子含量最高的350－450 km處。在該模型下，使用者計算電離層延遲所需的 STEC 與由監測或插值、預報等方式得到的 VTEC 通過投影函數進行轉換：

$$M(Z) = \frac{\text{STEC}}{\text{VTEC}} = \frac{1}{\cos\zeta} <pre> = {\left[1-{\left(\frac{R_\text{E}\sin{Z}}{R_\text{E}+H_\text{ion}}\right)}^2\right]}^{-1/2}$$

式中，投影函數 $M$ 是衛星相對於測站的天頂距 $Z$ 的函數，而 $\zeta$ 是衛星相對於電離層穿刺點的天頂距。電離層穿刺點（Ionosphere Pierce Point，縮寫：IPP）是衛星與測站的連線和薄層的交點。上述的投影函數直接由測站、衛星與穿刺點的幾何關係導出，$R_\text{E}$ 為地球平均半徑，$H_\text{ion}$ 為薄層高度。

在單層電離層模型中，受電離層平衡狀態及電離層水平梯度的影響，投影函數引入的測距誤差可達10 m，當衛星處於低高度角時還可再放大2－3倍。

## 組合觀測模型

由於電離層具有色散特性，其產生的電離層延遲大小與電磁波頻率相關。當使用者能夠獲取多個頻段上的偽距和載波觀測值時，可以利用各階電離層延遲與頻率之間的數學特性，組成電離層延遲組合、電離層殘差組合、無電離層組合、碼相組合等具有特殊性質的組合觀測模型，用以探測電離層TEC或是消除低階電離層延遲的影響。

### 電離層延遲組合觀測

根據電離層一階項的特性，雙頻電離層延遲偽距組合觀測值 $p^\text{s}_\text{r,IC}$ 與雙頻電離層延遲載波組合觀測值 $\varphi^\text{s}_\text{r,IC}$ 的形式分別為

$\begin{array}{ll} p^\text{s}_\text{r,IC} <pre> &= -\frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2}\left(p^\text{s}_\text{r,A}-p^\text{s}_\text{r,B}\right) \\ &= I^\text{s}_\text{r,A} + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} B^\text{s}_\text{r,AB} - \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left[\zeta^\text{s}_\text{r,A}(t)-\zeta^\text{s}_\text{r,B}(t)\right] - \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left[e^\text{s}_\text{r,A}(t)-e^\text{s}_\text{r,B}(t)\right] \\ </pre> \end{array}$ $\begin{array}{ll} \varphi^\text{s}_\text{r,IC} <pre> &= \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2}\left(\varphi^\text{s}_\text{r,A}-\varphi^\text{s}_\text{r,B}\right) \\ &= I^\text{s}_\text{r,A} + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} b^\text{s}_\text{r,AB} + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left(\lambda_\text{A}N^\text{s}_\text{r,A}-\lambda_\text{B}N^\text{s}_\text{r,B}\right) + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left[\zeta^\text{s}_\text{r,A}(t)-\zeta^\text{s}_\text{r,B}(t)\right] + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left(\lambda_\text{A}-\lambda_\text{B}\right)\omega^\text{s}_\text{r}(t) + \frac{f_\text{B}^2}{f_\text{A}^2-f_\text{B}^2} \left[\epsilon^\text{s}_\text{r,A}(t)-\epsilon^\text{s}_\text{r,B}(t)\right] \\ </pre> \end{array}$

式中，$f_\text{A}$、$f_\text{B}$ 是導航信號A與導航信號B的載波頻率，$\lambda_\text{A}$、$\lambda_\text{B}$ 為相應的載波波長；上標 $\text{s}$ 標示衛星序號、下標 $\text{r}$ 標示接收機序號、變量 $t$ 標示曆元序號，被上述序號標示的項會隨相應序號的變化而有所區別；$p^\text{s}_\text{r,A}$、$p^\text{s}_\text{r,B}$是兩個導航信號上的偽距原始觀測值；$\varphi^\text{s}_\text{r,A}$、$\varphi^\text{s}_\text{r,B}$是兩個導航信號上的載波相位原始觀測值，$N^\text{s}_\text{r,A}$、$N^\text{s}_\text{r,B}$ 為相應相位觀測值的整周模糊度；$I^\text{s}_\text{r,A}$ 則為附加在導航信號A上的一階電離層延遲；其他各項為附加在觀測值上的其他誤差：

- $B^\text{s}_\text{r,AB}$ 為導航信號A與導航信號B的差分碼偏差，$b^\text{s}_\text{r,AB}$ 為導航信號A與導航信號B的差分相位偏差。
- $\zeta^\text{s}_\text{r,A}(t)$、$\zeta^\text{s}_\text{r,B}(t)$ 分別為導航信號A與導航信號B的天線相位中心偏差。
- $\omega^\text{s}_\text{r}(t)$ 為天線相位纏繞在載波相位測量中引入的系統誤差。
- $e^\text{s}_\text{r,A}(t)$、$e^\text{s}_\text{r,B}(t)$ 為包含了多路徑效應的偽距測量噪聲， $\epsilon^\text{s}_\text{r,A}(t)$、$\epsilon^\text{s}_\text{r,B}(t)$ 為包含了多路徑效應的載波相位測量噪聲。

由於 $p^\text{s}_\text{r,IC}$與 $\varphi^\text{s}_\text{r,IC}$ 中消除了與衛星和接收機間的幾何距離相關的項，因此此類電離層延遲組合也被稱作無幾何組合（Geometry-free combination）。電離層延遲組合觀測量主要反映一階電離層延遲與硬體偏差的綜合影響，並保持了較小的測量噪聲，常用於探測周跳、反演TEC以及監測電離層狀態等。