掛谷集合

在數學中，掛谷集合（Kakeya set）或者貝西科維奇集合，是一個在歐幾里德空間中的點的集合，包含了在任何方向上的單位線段。例如，歐幾里德平面中的一個半徑為 $\dfrac12$ 的圓盤，或在三維空間中一個半徑為 $\dfrac12$ 的球，形成了一個掛谷集。許多在此方面的研究已經研究了這樣的點集可以有多小。貝西科維奇證明了貝西科維奇集之測度可以為 $0$。

掛谷轉針集合（有時也稱為掛谷集合）是一個要求更強的掛谷集，單位線段在其中可以連續旋轉 $180^\circ$，以顛倒的方位回到原來的位置。半徑為的 $\dfrac12$ 圓盤也是掛谷轉針集合的一個例子。

## 掛谷轉針問題

掛谷轉針問題，詢問在平面上是否有一個面積最小的區域 $D$，在其中針可以旋轉 $360^\circ$。掛谷宗一於 1917 年首次對於凸集提出此問題。朱拉·帕爾的研究顯示，凸集的最小面積可以通過一個高為 $1$ 且面積為 $\dfrac1{\sqrt{3}}$ 的 等邊三角形達到。

掛谷似乎認為面積最小的沒有凸性限制的掛谷集 $D$ 將是一個三尖瓣線。然而這是錯誤的；還有更小的非凸掛谷集合。

## 貝西科維奇集合

亞伯蘭·貝西科維奇成功證明，容許單位長度的針旋轉一周的區域 $D$，其面積沒有一個大於 $0$ 的下界。也許是說，對任何 $\varepsilon>0$，存在面積為 $\varepsilon$ 的區域，可供針在裡面連續的移動並將其方向旋轉 $360^\circ$。這個結論建立於他早期對於包含各向單位線段之平面集的研究，這樣的集合現在被稱作貝西科維奇集合。貝西科維奇在 1919 年的工作證明了，這樣的點集可以有無限小的面積。在此之前，分析學家可能已經考慮過這個問題。

奧斯卡·佩龍簡化了貝西科維奇構造貝西科維奇集合的方法，此法被稱之為「佩龍樹」（相關圖形見圖右）：作一個高為 $1$ 的三角形，分為兩個小三角形，將其中一部分平移到另一部分上，使底部份重合。此新圖形有更小的面積。

現在，把三角形分成八個三角形。對於每對相鄰的三角形，重演如上所述的重疊過程，獲得四個新圖形，每個包括兩個重疊的三角形。接著，將相鄰的新圖形移動，使其底部分重合，所以我們只剩下兩個圖形，最後用同樣方法將這兩個圖形重合。最後得到一個看上去像是樹之類的圖形，但面積遠小於原來的三角形。

為了構造更小的點集，將三角形細分為 $2^n$ 個三角形，每個三角形的底長度為 $2^{-n}$，並執行與我們之前相同的操作。如果我們在每個三角形上所做的重疊量足夠小，並且我們三角形的細分區域的大小 $n$ 足夠大，我們就可以形成一棵我們想要的面積最小的樹。一個貝西科維奇集合可以由等邊三角形產生的佩隆樹的三個旋轉組合而成。

進一步採用該方法，我們可以構造一個集合序列，其交集是一個度量零的貝西哥維奇集合。這樣做的一種方法是觀察，如果我們有一個平行四邊形，兩個邊在 $x=0$ 和 $x=1$ 線上，那麼我們就可以找到一個平行四邊形的併集，這些平行四邊形的邊也在這些線上，它們的總面積是任意小的，並且包含了平行四邊形中將 $x=0$ 上的一個點連接到 $x=1$ 上的一個點的所有直線的平移。這可由貝西奧維奇的構造方法稍變化而得。重複以上，我們可以找到一個集合序列

$$K_0\supseteq K_1 \supseteq K_2 \cdots$$

每一個直線 $x=0$ 和 $x=1$ 之間的平行四邊形的有限併集，其面積趨向於零，並且每一條都包含單位面積中連接 $x=0$ 和 $x=1$ 的所有直線的平移。這些集合的交集是一個包含所有這些線的轉換的度量零集，因此這個交集的兩個副本的併集是一個度量零的貝西科維奇集。

除了「萌芽」方法之外，還有其他方法可以構造貝西科維奇的度量零集。例如讓·皮埃爾·卡漢使用康托爾集在二維平面中構造一個貝西科維奇測量零點集。

## 掛谷轉針集合

通過使用帕爾的技巧，即所謂的帕爾連接（給定兩條平行線，任何單位線段都可以在任意小尺寸的集合上從一個連續移動到另一個），可以從由佩龍樹組成的貝西科維奇集合創建一個單位線段可以在其中連續旋轉 $180^\circ$ 的集合。

1941 年，H. J. 范·阿爾芬（H. J. van Alphen）證明在半徑為 $2+\varepsilon$（任意 $\varepsilon \geq 0$）的圓內存在任意小的掛谷轉針集合。1965 年，人們發現了面積比三尖瓣線小的單連通的掛谷轉針集合。梅爾文·布魯姆（Melvin Bloom）和艾薩克·雅各布·舍恩貝格各自獨立證明了掛谷轉針集合的面積趨近於布盧姆·勛伯格數 $\dfrac{\pi}{24}(5 - 2\sqrt{2})$。勛伯格推測這個數字是單連通掛谷轉針集合面積的下限。然而，在 1971 年，F. 坎寧安（F. Cunningham）指出，當 $\epsilon \geq 0$ 時，半徑為 $1$ 的圓內存在一個面積小於 $\varepsilon$ 的單連通的掛谷轉針集合。

雖然有測量為任意小正數的掛谷轉針集合和測度為 $0$ 的貝西科維奇針組，但沒有測度為 $0$ 量的卡基亞針組。

## 掛谷猜想

### 猜想敍述

貝西科維奇集合可以有多小的問題，也可以在更高維度中探究。此問題衍生了一系列猜想，統稱為掛谷猜想，並開拓了幾何測度論這個數學領域。特別是，如果存在測度為零的貝西科維奇集，那麼若要求它們的 $s$ 維豪斯多夫測度為零，$s$ 是否可以小於原空間的維度？這個問題產生了以下猜想：

掛谷集合猜想：定義 $\mathbb{R}^n$ 中的貝西科維奇集合為包含每個方向的單位線段的集合。此集合的豪斯多夫維數的維度必為 $n$.

已知這對於 $n = 1, 2$ 是正確的，但是在更高維度中僅知道部分結果。

2025年2月26日，王虹和喬舒亞·札爾（Joshua Zahl）的一篇論文，聲稱證明了掛谷集合猜想在三維空間中的情形，被視為幾何測度論中的重大突破。

### 掛谷最大值函數

一種解決這個問題的現代方法，是考慮一種特別的最大函數，我們將其構造如下：將 $\mathbb S^{n-1}\subset\mathbb R^n$ 表示為 $n$ 維空間中的單位球。定義$T_{e}^{\delta}(a)$為長度為 $1$，半徑 $\delta > 0$的圓柱體，並以點 $a\in\mathbb R^n$ 為中心，其長邊平行於單位矢量 $e\in\mathbb S^{n-1}$ 的方向。然後對於局部可積函數 $f$，我們定義 $f$ 的掛谷極大值函數

$$f_{*}^{\delta}(e)=\sup_{a\in\mathbf{R}^{n}}\frac{1}{m(T_{e}^{\delta}(a))}\int_{T_{e}^{\delta}(a)}|f(y)|dm(y)$$

其中 $m$ 表示 $n$ 維勒貝格測度。請注意$f_{*}^{\delta}$只定義在球體 $\mathbb S^{n-1}$ 中的向量 $e$ 上。

然後對這些函數進行猜想，如果猜想是真的，將推得更高維度的掛谷集猜想：

掛谷極大函數猜想：對於所有 $\varepsilon \geq 0$，存在一個常數 $C_\varepsilon > 0$，使得對於任何函數 $f$ 和所有 $\delta \geq 0$，（參見Lp 空間的符號）

$$\left \|f_{*}^{\delta} \right \|_{L^n(\mathbb{S}^{n-1})} \le C_{\varepsilon} \delta^{-\varepsilon}\|f\|_{L^n(\mathbb{R}^{n})}.$$

### 成果

以下是一些有利於證明掛谷猜想的成果：

- 掛谷猜想在 $n = 1$ (平凡地)和 $n = 2$ (戴維斯)時成立。
- 湯瑪斯·沃爾夫表明在任何 $n$ 維空間中，掛谷集的維數必須至少為 $\dfrac{n+2}2$。
- 2000 年，內茨·卡茨、伊莎貝拉·拉巴和陶哲軒證明掛谷集合的閔科夫斯基維數在維數為3時嚴格地大於 $\dfrac52$。
- 2000 年，讓·布爾甘將掛谷問題與算術組合學聯繫起來，其中包括諧波分析和加法理論。
- 2002 年，卡茨和陶哲軒範圍縮小到了$(2-\sqrt{2})(n-4)+3$，在 $n > 4$ 時優於沃爾夫給出的下限。
- 2017 年，卡茨和札爾 將 $3$ 維中貝西科維奇集合的豪斯多夫維數的下限推進到 $\dfrac52+\varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 為一絕對且 $>0$ 的常數。
- 2025 年，王虹與札爾 在arXiv發表了 $n=3$ 時的掛谷猜想研究。

## 在分析學的應用

有些令人驚訝的是，這些猜想已經被證明與其他領域的一些問題有關，特別是在諧波分析中。例如，在 1971 年，查爾斯·費夫曼能夠使用貝西科維奇集構造來證明，在大於 $1$ 的維度中，當 $p\neq 2$ 時，在球心在原點，半徑趨近無窮大的球上做截斷傅立葉積分，其 Lp 範數不需要收斂（這與一維情況相反，在這種情況下，截斷的積分確實收斂）。

## 掛谷問題的類比和推廣

### 包含圓和球體的集合

掛谷問題的一個類推，是要求集合包含其他形狀，例如圓形或球面，而非原問題的線段。

- 在 1997 年和 1999 年，沃爾夫證明了：若一個集合包含每個半徑的球面，則該集合的維度必須等於等於它所處的空間的維度。其證明方式是先給出圓形最大函數（類似掛谷最大函數）的一個界限。
- 有人猜想，存在一個零測集，其包含以每個點為中心的球面。然而，埃利亞斯·施泰因的結果證明，當 $n\ge3$ 時，所有這些集合必須具有正測度，而對於 $n = 2$ 的情況，約翰·馬斯特蘭（John Marstrand）證明了同樣的結論。

### 包含k維圓盤的集合

掛谷猜想的一個推廣是考慮包含每個k維子空間的一部分的集合，而不是每個方向的線段。定義 $(n, k)$-貝西科維奇集 $K$ 為 $\mathbb R^n$ 中的緊緻集，其勒貝格測度為零，且包含每個方向的 $k$ 維單位圓盤的平移，即：若以 $B$ 表示以零為中心的單位球，則對於每個 $k$ 維子空間 $P$，存在 $x\in\mathbb R^n$ 使得 $P\cap B + x\subseteq K$。因此，$(n, 1)$-貝西科維奇集就是前面描述的標準貝西科維奇集。

$(n, k)$-貝西科維奇猜想：對於 $k>1$，不存在 $(n, k)$-貝西科維奇集。

1979年，馬斯特蘭證明了不存在 $(3, 2)$-貝西科維奇集。大約在同一時間，肯尼斯·福爾科納證明了當 $2k > n$ 時，不存在 $(n, k)$-貝西科維奇集。截至2020年，最優的成果是，讓·布爾甘證明了當 $2^{k-1}+k>n$ 時，不存在這樣的集。

### 在有限域的向量空間的掛谷集

1999年，沃爾夫提出了掛谷問題的有限域模擬，希望解決這一猜想的技術可以推廣到歐幾里德情形。

有限域掛谷猜想：令 $\mathbb F$為有限域，令 $K\subseteq\mathbb F^n$為掛谷集，即對於每個向量 $y\in\mathbb F^n$ 存在 $x\in\mathbb F^n$ 使 $K$ 包含一條直線 $\left\{x+ty\colon t\in\mathbb F\right\}$。集合 $K$ 的大小至少為 $c_n\left|\mathbb F\right|^n$，其中 $c_n>0$ 是只與 $n$ 有關的常量。

澤夫-德維爾在 2008 年證明了這個猜想，並說明此敘述對 $c_n=\dfrac1{n!}$ 成立。在他的證明中，他觀察到 $n$ 元且次數低於 $\left|\mathbb F\right|$ 的多項式，若在掛谷集上值為零，則此多項式必為零。另一方面，次數低於 $\left|\mathbb F\right|$ 的 $n$ 元多項式，形成的向量空間有維數 $k$：

$$k={|\mathbb{F}|+n-1\choose n}\ge \frac{|\mathbb{F}|^n}{n!}.$$

因此，至少有一個次數小於 $\left|\mathbb F\right|$ 的非平凡多項式，在任何點數小於 $k$的集合上為零。結合這兩個觀察結果，掛谷集必須至少有$\dfrac{\left|\mathbb F\right|^n}{n!}$ 個點。

現在仍未清楚這些證明技巧是否可延伸到證明原始掛谷猜想，但這一證明確實使基本代數反例不太可能，從而為原始猜想提供了可信度。德維爾撰寫了一篇關於有限域掛谷問題及其與隨機抽取器關係的綜述文章。

## 參考文獻

- An improved bound on the Minkowski dimension of Besicovitch sets in $\mathbf{R}^3$

## 外部連結

- Kakeya at University of British Columbia
- Besicovitch at UCLA
- Kakeya needle problem at mathworld
- Dvir’s proof of the finite field Kakeya conjecture at Terence Tao's blog
- An Introduction to Besicovitch-Kakeya Sets