快度

在相對論中，快度通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上，快度可以被定義成一個雙曲角，這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之間的差異——它們的時空坐標為洛侖茲變換所聯繫。

對於一維運動，快度可以簡單相加，而速度必須套用愛因斯坦的速度加成式。在低速的情況下，快度和速度是成比例的，但是對於更高速的狀況下，快度將增長得更快。特別地，光的速度為光速，而光的快度是無限大。

我們使用反雙曲函數artanh來定義快度，當速度為v時，其對應的快度w是w = artanh(v / c)，其中c是光速。速度較慢時，w約為v / c。由於在相對論中，速度v被局限於區間−c < v < c，因此比率v / c將滿足−1 < v / c < 1。反雙曲正切函數的定義域為(−1, 1)，而值域為整條實數線，所以可以將區間−c v c映射到−∞ w w即為快度，同時w也是從點$( 1 , 1 )$ 到點$( e^w , \ e^{-w} )$與原點所構成的雙曲線扇形面積。也有許多筆者在討論標準閔考斯基圖時，會使用單位雙曲線$x^2 - y^2$，將快度作為參數曲線的參數。而此時的坐標可以用時鐘和米尺來測量，並選用更加常見的基準，這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲參數，這樣的描述是參考了十七世紀時超越函數理論的發展，以及閔考斯基圖。

## 在一維空間中

快度w出現在勞倫茲變換的線性表示法中，此時勞倫茲變換被表示為向量－矩陣乘積

$$<pre> \begin{pmatrix} c t' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh w & -\sinh w \\ -\sinh w & \cosh w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix} = \mathbf \Lambda (w) \begin{pmatrix} ct \\ x \end{pmatrix}$$

矩陣Λ(w)為$\begin{pmatrix} p & q \\ q & p \end{pmatrix}$的形式，其中p和q滿足關係p2 - q2 = 1，因此(p, q)將會落在上。這樣的矩陣形成了不定正交群 O(1,1)，伴隨著由單位反對角矩陣所張出的一維李代數，顯示出快度是這個李代數上的座標，這個作用可在閔考斯基圖上被描繪出來。

在矩陣指數表示法中，Λ(w)可以被表示為$\mathbf \Lambda (w) = e^{\mathbf Z w}$，其中Z是矩陣

$$\mathbf Z = <pre> \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

不難證明

$$\mathbf{\Lambda}(w_1 + w_2) = \mathbf{\Lambda}(w_1)\mathbf{\Lambda}(w_2)$$

這顯現出了快度實用的求和性質：若A，B和 C為參考座標系，則

$$w_{\text{AC}}= w_{\text{AB}} + w_{\text{BC}}$$

其中 wPQ 表示了參考座標系Q相對於參考座標系P的快度。與速度加成式相比，這個式子更為簡潔。

我們可以從上述的勞倫茲轉換看出，勞倫茲因子等同於cosh w

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2 / c^2}} \equiv \cosh w$$

因此快度w作為一個雙曲角，隱含在勞倫茲轉換中的γ和β中。我們將快度與速度加成式聯繫在一起

$$u=(u_1+u_2)/(1+u_1u_2/c^2)$$

藉由

$$\beta_i = \frac{u_i}{c} = \tanh{w_i}$$

從而得到

$$<pre> \begin{align} \tanh w &= \frac{\tanh w_1 +\tanh w_2}{1+\tanh w_1\tanh w_2} \\ &= \tanh(w_1+ w_2) \end{align} </pre>$$

β和γ的乘積時常出現，從先前的討論可知

$$\beta \gamma = \sinh w \,$$

固有加速度（一個加速物體實質感受到的加速度）是快度對於固有時間（一個加速物體本身所量測到的時間）的變化率。假想在物體的運動過程中，與加速中的物體保持相對靜止的一系列「非物理的」參考系，若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度，則計算結果將是這個物體的快度。

### 指數和對數關係

由上述的表達式可以得到

$$e^{w} = \gamma(1+\beta) = \gamma \left( 1 + \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 + \tfrac{v}{c}}{1 - \tfrac{v}{c}}$$

因此

$$e^{-w} = \gamma(1-\beta) = \gamma \left( 1 - \frac{v}{c} \right) = \sqrt \frac{1 - \tfrac{v}{c}}{1 + \tfrac{v}{c}}$$

或是更加清楚地表示為

$$w = \ln \left[\gamma(1+\beta)\right] = -\ln \left[\gamma(1-\beta)\right] \,$$

相對論性都普勒效應因子與快度w的關係為$k = e^w$。

## 在多維空間中

相對論性速度$\boldsymbol \beta$與快度$\mathbf{w}$為下列關係所聯繫

$$\mathfrak{so}(3,1) \supset \mathrm{span}\{K_1, K_2, K_3\} \approx \mathbb{R}^3 \ni \mathbf{w} = \boldsymbol{\hat{\beta}} \tanh^{-1}\beta, \quad \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{B}^3,$$

其中的向量$\mathbf w$是勞侖茲群對應的李代數$\mathfrak{o}(3, 1) \approx \mathfrak{so}(3, 1)$中，由三個$K_1, K_2, K_3$張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的$\mathfrak{o}(1, 1)$。因為光速$c$是速度量值的上限（選用單位使得$c = 1$），所以速度符合條件$|\beta| < 1$，因此速度空間可以用一個半徑為$1$的開球$\mathbb B^3$表示。

一般性的快度求和公式為

$\mathbb R^3$

$$\mathbf w = \boldsymbol{\hat \beta}\tanh^{-1}\beta, \quad \boldsymbol \beta = \boldsymbol \beta_1 \oplus \boldsymbol \beta_2,$$

其中$\boldsymbol \beta_1 \oplus \boldsymbol \beta_2$對應到速度加成式，$\boldsymbol \hat \beta$是$\boldsymbol \beta$方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為$\theta$的快度$\mathbf w_1, \mathbf w_2$之和的模$w \equiv |\mathbf w|$（歐氏空間中的長度）由給出

$$\cosh w=\cosh w_1\cosh w_2 +\sinh w_1\sinh w_2 \cos \theta$$

快度空間上的幾何結構，透過對應的映射繼承了速度空間上的雙曲幾何。相應地，這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。因此，二維空間中的快度空間可以有效地透過龐加萊圓盤模型來想像，其上的測地線會對應到勻加速運動。三維空間中的快度空間，可以透過同樣的方法，與雙曲面模型建立。閔考斯基時空的幾何條目中有更多相關的細節。

兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值，整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量$\boldsymbol \theta$來參數化的旋轉，兩者組合而成。

$$\Lambda = e^{-i\boldsymbol \theta \cdot \mathbf J}e^{-i\mathbf w \cdot \mathbf K}$$

這裡使用到了物理學家慣用的指數映射。

這是交換法則所致的結果

$$[K_i,K_j] = -i\epsilon_{ijk}J_k$$

其中$J_k$是旋轉群的生成元，$(k = 1, 2, 3)$，這與湯瑪斯進動現象有關。連結中的文章有關於參數$\boldsymbol \theta$的計算方法。

## 在粒子物理中

一個非零（靜止）質量m粒子的能量E以及動量的大小 為：

$$E = \gamma mc^2$$

$$| \mathbf p | = \gamma mv$$

透過快度w的定義

$$w = \operatorname{artanh} \frac{v}{c}$$

並且

$$\cosh w = \cosh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {1}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \gamma$$

$$\sinh w = \sinh \left( \operatorname{artanh} \frac{v}{c} \right) = \frac {\frac{v}{c}}{ \sqrt { 1- \frac{v^2}{c^2} }} = \beta \gamma$$

能量和動量大小可以被表示為

$$E = m c^2 \cosh w$$

$$| \mathbf p | = m c \, \sinh w$$

所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出：

$$w = \operatorname{artanh} \frac{| \mathbf p | c}{E}= \frac{1}{2} \ln \frac{E + | \mathbf p | c}{E - | \mathbf p | c}$$

然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義

$$y = \frac{1}{2} \ln \frac{E + p_z c}{E - p_z c}$$

其中pz是沿著粒子束方向的動量分量。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度，相關的概念可以參考條目贗快度。