矩 (圖像)

在數字圖像處理、電腦視覺與相關領域中，圖像矩是指圖像的某些特定像素灰度的加權平均值（矩），或者是圖像具有類似功能或意義的屬性。

圖像矩通常用來描述 分割 後的圖像對象。可以通過圖像的矩來獲得圖像的部分性質，包括面積(或總體亮度)，以及有關 幾何中心 和 方向 的資訊。

## 原始矩

對於二維連續函數 f (x, y), (p+q) 階的矩 (有時稱為"原始矩") 被定義為

$$M_{pq}=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^py^qf(x,y) \,dx\, dy$$

對於 p,q =0,1,2,... 對於灰度圖像的像素的強度 I(x,y), 原始圖像的矩 Mij 被計算為

$$M_{ij} = \sum_x \sum_y x^i y^j I(x,y)\,\!$$

在某些情況下，這可以通過計算圖像的 機率密度函數 來獲得, 即，將上面的計算結果除以以下公式

$$\sum_x \sum_y I(x,y) \,\!$$

唯一性定理(Hu 1962)指出，如果f(x, y)是分段連續的，並且僅在xy平面的有限部分具有非零值，則存在所有階矩，且矩序列(Mpq)由f(x, y)唯一確定。同樣的，(Mpq)唯一確定f(x, y)。在實踐中，圖像的低階矩具有一些獨特的功能。

### 例

原始矩包含以下的一些的有關原始圖像屬性的資訊：

- 二值圖像的面積 或 灰度圖像的像素總和，可以表示為：$M_{00}$
- 圖像的 幾何中心 可以表示為： $\{\bar{x},\ \bar{y} \} = \left\{ \frac{M_{10}}{M_{00}}, \frac{M_{01}}{ M_{00}} \right\}$

## 中心矩

中心矩 被定義為

$$\mu_{pq} = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} (x - \bar{x})^p(y - \bar{y})^q f(x,y) \, dx \, dy$$

則 $\bar{x}=\frac{M_{10}}{M_{00}}$ 和 $\bar{y}=\frac{M_{01}}{M_{00}}$ 就是物體的 幾何中心.

如果 ƒ(x, y)是一個數字圖像，則前一公式等價於

$$\mu_{pq} = \sum_{x} \sum_{y} (x - \bar{x})^p(y - \bar{y})^q f(x,y)$$

此時圖像的 3 階中心矩是：

$$\mu_{00} = M_{00},\,\!$$

$$\mu_{01} = 0,\,\!$$

$$\mu_{10} = 0,\,\!$$

$$\mu_{11} = M_{11} - \bar{x} M_{01} = M_{11} - \bar{y} M_{10},$$

$$\mu_{20} = M_{20} - \bar{x} M_{10},$$

$$\mu_{02} = M_{02} - \bar{y} M_{01},$$

$$\mu_{21} = M_{21} - 2 \bar{x} M_{11} - \bar{y} M_{20} + 2 \bar{x}^2 M_{01},$$

$$\mu_{12} = M_{12} - 2 \bar{y} M_{11} - \bar{x} M_{02} + 2 \bar{y}^2 M_{10},$$

$$\mu_{30} = M_{30} - 3 \bar{x} M_{20} + 2 \bar{x}^2 M_{10},$$

$$\mu_{03} = M_{03} - 3 \bar{y} M_{02} + 2 \bar{y}^2 M_{01}.$$

也可以被表示為：

$$\mu_{pq} = \sum_{m}^p \sum_{n}^q {p\choose m} {q\choose n}(-\bar{x})^{(p-m)}(-\bar{y})^{(q-n)} M_{mn}$$

中心矩是 平移不變 的。

### 例

有關方向的資訊可以通過以下方式，構建一個 協方差矩陣.

$$\mu'_{20} = \mu_{20} / \mu_{00} = M_{20}/M_{00} - \bar{x}^2$$

$$\mu'_{02} = \mu_{02} / \mu_{00} = M_{02}/M_{00} - \bar{y}^2$$

$$\mu'_{11} = \mu_{11} / \mu_{00} = M_{11}/M_{00} - \bar{x}\bar{y}$$

圖像 $I(x,y)$的 協方差矩陣 是：

$\operatorname{cov}[I(x,y)] = \begin{bmatrix} \mu'_{20} & \mu'_{11} \\ \mu'_{11} & \mu'_{02} \end{bmatrix}$.

該矩陣的特徵向量對應於圖像強度的長軸和短軸，因此可以從與最大特徵值相關的特徵向量的角度朝向最接近該特徵向量的軸提取方向。可以看出，該角度θ由以下公式給出：

$$\Theta = \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{2\mu'_{11}}{\mu'_{20} - \mu'_{02}} \right)$$

上述公式只要滿足以下條件：

$$\mu'_{20} - \mu'_{02} \ne 0$$

這個協方差矩陣的特徵值可以很容易地表示為

$$\lambda_i = \frac{\mu'_{20} + \mu'_{02}}{2} \pm \frac{\sqrt{4{\mu'}_{11}^2 + ({\mu'}_{20}-{\mu'}_{02})^2 }}{2},$$

並且與特徵向量軸的平方長度成正比。特徵值的大小的相對差異顯示了圖像的偏心率或圖像的細長性。此時 離心率 可以計算為：

$$\sqrt{1 - \frac{\lambda_2}{\lambda_1}}.$$

## 矩的不變性

矩最著名的應用是進行圖像分析，因為它可以被用來獲得相對於特定變換的不變性。

在這種情況下，常使用不變矩一詞。但是，雖然不變矩是由矩形成的不變矩，但不變矩本身對應的矩就是中心矩。

注意，下面詳述的不變性僅在連續域中是完全不變的。在離散域中，縮放和旋轉都沒有很好地定義，因為對離散圖像進行的縮放和旋轉後獲得的圖像通常是某種近似變換，並且大多數情況下這些變換都是不可逆的。因此，當描述離散圖像中的形狀時，這些不變性僅是近似不變的。

### 平移不變性

任意階的中心矩 μi j 都是平移不變的。

### 縮放不變性

關於 平移 和 縮放 的不變性 可以通過將 ηi j 除以適當縮放的第零個中心矩來從中心矩構造：

$$\eta_{ij} = \frac{\mu_{ij}} <pre> {\mu_{00}^{\left(1 + \frac{i+j}{2}\right)}}\,\!$$

其中 i + j ≥2。可以注意到，平移不變性僅僅直接使用中心矩進行計算。

### 旋轉不變性

基於 Hu 的工作，平移, 縮放，以及 旋轉 不變量 可以表示為：

$$<pre> I_1 = \eta_{20} + \eta_{02} </pre>$$

$$<pre> I_2 = (\eta_{20} - \eta_{02})^2 + 4\eta_{11}^2 </pre>$$

$$<pre> I_3 = (\eta_{30} - 3\eta_{12})^2 + (3\eta_{21} - \eta_{03})^2 </pre>$$

$$<pre> I_4 = (\eta_{30} + \eta_{12})^2 + (\eta_{21} + \eta_{03})^2 </pre>$$

$$<pre> I_5 = (\eta_{30} - 3\eta_{12}) (\eta_{30} + \eta_{12})[ (\eta_{30} + \eta_{12})^2 - 3 (\eta_{21} + \eta_{03})^2] + (3 \eta_{21} - \eta_{03}) (\eta_{21} + \eta_{03})[ 3(\eta_{30} + \eta_{12})^2 - (\eta_{21} + \eta_{03})^2] </pre>$$

$$<pre> I_6 = (\eta_{20} - \eta_{02})[(\eta_{30} + \eta_{12})^2 - (\eta_{21} + \eta_{03})^2] + 4\eta_{11}(\eta_{30} + \eta_{12})(\eta_{21} + \eta_{03}) </pre>$$

$$<pre> I_7 = (3 \eta_{21} - \eta_{03})(\eta_{30} + \eta_{12})[(\eta_{30} + \eta_{12})^2 - 3(\eta_{21} + \eta_{03})^2] - (\eta_{30} - 3\eta_{12})(\eta_{21} + \eta_{03})[3(\eta_{30} + \eta_{12})^2 - (\eta_{21} + \eta_{03})^2]. </pre>$$

這些就是著名的 Hu不變矩。

首先，I1 近似於圖像質心周圍的慣性矩，其中像素的強度近似於物理密度。其次，I7 是傾斜不變的，這使它能夠用於區分其他鏡像的相同圖像。

J. Flusser提出了一個關於導出完整的獨立的轉動力矩不變量集的一般理論。他表明傳統的 胡不變矩 集既不獨立也不完整。I3 不是非常有用，因為它取決於其他參數。在原始的 胡不變矩 中，缺少三階獨立矩不變性：

$$I_8 = \eta_{11}[ ( \eta_{30} + \eta_{12})^2 - (\eta_{03} + \eta_{21})^2 ] - (\eta_{20}-\eta_{02}) (\eta_{30}+\eta_{12}) (\eta_{03}+\eta_{21})$$

後來，J。Flusser和T. Suk 專門研究了 N旋轉對稱情況 的理論。

## 應用

Zhang et al. 使用Hu矩來解決的 大腦病理檢測 (PBD) 問題。

## 外部連結

- Analysis of Binary Images , University of Edinburgh
- Statistical Moments , University of Edinburgh
- Variant moments , Machine Perception and Computer Vision page (Matlab and Python source code)
- Hu Moments introductory video on YouTube