一致有界性原理

數學上，一致有界性原理，又稱巴拿赫–斯坦豪斯定理、共鳴定理，是泛函分析的重要結果。定理斷言，對於任意一族定義在巴拿赫空間上的連續線性算子，該族算子逐點有界，當且僅當其在算子範數意義下一致有界。

定理最早由斯特凡·巴拿赫和胡戈·斯坦豪斯於1927年發表，亦由漢斯·哈恩獨立證出。

## 定理內容

設 X 和 Y 為兩個巴拿赫空間。假設 F 為由 X 映向 Y 的若干個連續線性算子的集合。若對於 X 中的任意一個 x，都有

$$\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y < \infty,$$

則

$$\sup\nolimits_{T \in F,\|x\|=1} \|T(x)\|_Y=\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)} < \infty.$$

### 證明

由於 X 完備，利用貝爾綱定理可以得到以下簡短的證明。

假定對於 X 中的任意一個 x, 都有

$$\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y < \infty.$$

對任意整數 $n \in \mathbb{N},$記

$$X_n = \left \{x \in X \ : \ \sup\nolimits_{T \in F} \|T (x)\|_Y \le n \right \}.$$

則 $X_n$ 為閉集，且由假設有

$$\bigcup\nolimits_{n \in \mathbf{N}} X_n = X \neq \varnothing.$$

貝爾綱定理適用於非空的完備空間 X, 故存在 m 使得 $X_m$ 的內部非空，即存在 $x_0 \in X_m$ 和 ε > 0 使得

$$\overline{B_\varepsilon (x_0)} := \{x \in X \,:\, \|x - x_0\| \le \varepsilon \} \subseteq X_m.$$

設 u ∈ X 滿足 ǁuǁ ≤ 1 和 T ∈ F, 則有：

$$\begin{align} \|T(u) \|_Y &= \varepsilon^{-1} \left \|T \left( x_0 + \varepsilon u \right) - T(x_0) \right \|_Y & [T \text{ 為 線 性 } ] \\ &\leq \varepsilon^{-1} \left ( \left\| T (x_0 + \varepsilon u) \right\|_Y + \left\| T (x_0) \right\|_Y \right ) \\ &\leq \varepsilon^{-1} (m + m). & [ \text{ 因 為 } \ x_0 + \varepsilon u, \ x_0 \in X_m ] \\ \end{align}$$

使 u 歷遍 X 的單位球，並取遍 $T\in F,$ 得到

$$\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)} \leq 2 \varepsilon^{-1} m < \infty.$$

因此定理成立。

也有無需貝爾綱定理的簡單證明，例如 Sokal.

## 推論

該定理可以推出：若一列有界算子 (Tn) 逐點收斂，即對 X 的任意元素 x, 序列 (Tn(x)) 都收斂，則該列有界算子的逐點極限定義了另一個有界算子 T.

注意上述推論並未斷言 Tn 在算子範數的意義下收斂到 T, 即：在有界集上一致收斂。然而，由於 (Tn) 在算子範數意義下有界，且其極限算子為一個連續算子 T, 可以利用標準的 "3-ε" 技巧證明，在任意緊集上，均有 Tn 一致收斂到 T.

另一推論為：賦範空間 Y 的弱有界子集 S 必然有界。

理由是，可以將 S 看成巴拿赫空間 X = Y* (Y的連續對偶）上逐點有界的一族連續線性算子。由一致有界性原理，S 的元素（視為 X 的線性泛函）的算子範數（即雙對偶 Y** 上的範數）有界，但由哈恩－巴拿赫定理可知，S 的任意元素 s 在雙對偶空間的範數，等於其於原空間 Y 的範數。

記 L(X, Y) 為自 X 映向 Y 的連續線性算子空間（賦以算子範數）。若族 F 為 L(X, Y) 的無界子集，則由一致有界性原理，有：

$$R = \left \{ x \in X \ : \ \sup\nolimits_{T \in F} \|Tx\|_Y = \infty \right \} \neq \varnothing$$

更甚者，R 在 X 中稠密。原因是，R 在 X 中的補集是 ∪Xn, 故為閉集 Xn 的可數並。按照定理的證明過程，每個 Xn 都無處稠密，故 ∪Xn 為第一綱集。所以 R 是貝爾空間中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義，這樣的集（稱為剩餘集）是稠密的。如此推理可得奇點凝聚原理，即：

原因是，R 的補集可以寫成第一綱集的可數並

$$\bigcup\nolimits_{n,m} \left \{ x \in X \ : \ \sup\nolimits_{T \in F_n} \|Tx\|_{Y_n} \le m \right \}.$$

因此其剩餘集 R 稠密。

## 例子：傅立葉級數的逐點收斂

設 $\mathbb{T}$ 為單位圓，$C(\mathbb{T})$ 為 $\mathbb{T}$ 上連續函數在一致範數意義下組成的巴拿赫空間。由一致有界性原理，可以證明 $C(\mathbb{T})$ 中有一個元素，其傅立葉級數不逐點收斂。

對 $f \in C(\mathbb{T}),$ 其傅立葉級數定義為

$$\sum_{k \in \mathbf{Z}} \hat{f}(k) e^{ikx} = \sum_{k \in \mathbf{Z}}\frac{1}{2\pi} \left (\int_0 ^{2 \pi} f(t) e^{-ikt} dt \right) e^{ikx},$$

而級數的第 N 階對稱部分和為

$$S_N(f)(x) = \sum_{k=-N}^N \hat{f}(k) e^{ikx} = \frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} f(t) D_N(x - t) \, dt,$$

其中 DN 為第 N 階狄利克雷核。選定 $x \in \mathbb{T},$ 然後考慮序列 (SN(f)(x)) 的收斂性。以下式定義泛函 $\varphi_{N,x} : C(\mathbb{T})\rightarrow \mathbb{C}$：

$$\varphi_{N, x} (f) = S_N(f)(x), \qquad f \in C(\mathbb{T}),$$

則 φN,x 有界。而 φN,x 於 $C(\mathbb{T})$ 的對偶空間的範數，是帶號測度 (2π)−1DN(x−t) dt 的範數，故

$$\left \| \varphi_{N,x} \right \| = \frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} \left | D_N(x-t) \right | \, dt = \frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} \left | D_N(s) \right | \, ds = \left \| D_N \right \|_{L^1(\mathbb{T})}.$$

可以驗證

$$\frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} | D_N(t) | \, dt \ge \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\left |\sin\left ( (N+\tfrac{1}{2})t \right )\right|}{t/2} \, dt \to \infty.$$

故族 {φN,x} 是 $C(\mathbb{T})^\ast$ ($C(\mathbb{T})$ 的對偶）的無界子集。因此，由一致有界性原理可知，對任意 $x \in \mathbb{T},$傅立葉級數於 x 發散的連續函數在 $C(\mathbb{T})$ 中稠密。

也可運用奇點凝聚原理來得出更強的結論。設 (xm) 為 $\mathbb{T}$ 中的稠密序列。如上定義 φN,xm. 則由奇點凝聚原理，傅立葉級數於每一個 xm 都發散的連續函數在 $C(\mathbb{T})$ 中稠密。（然而要注意，根據卡爾松定理，一個連續函數 f 的傅立葉級數，幾乎於每一點 $x \in \mathbb{T}$ 都收斂到 f(x).

## 推廣

受最少限制，而類似結論仍然適用的空間，是桶型空間。其上的一致有界性原理為Bourbaki:

給定桶型空間 X 和局部凸空間Y, 則任意一族由 X 映向 Y 的逐點有界的連續線性算子都等度連續。

若把 X 換成一個貝爾空間而保持 Y 為局部凸的，則結論同樣成立。Shtern

```
證明了 Fréchet 空間上一個較弱的結論：
```

若 X 為 Fréchet 空間， Y 為賦範空間，H 為由 X 映向 Y 的若干連續線性算子組成的集合，其滿足對 X 中的任意元素 x。

$$\sup\nolimits_{u\in H}\|u(x)\|<\infty,$$

則族 H 等度連續。

## 參見

- 桶型空間是具有最少條件，而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的拓撲向量空間。

## 參考文獻

- Banach–Steinhaus theorem.

泛函分析中的定理阿爾澤拉-阿斯科利定理 • 貝爾綱定理 • 巴拿赫-阿勞格魯定理 • 巴拿赫-馬祖爾定理 • 開映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米爾格拉姆定理