經驗模態分解

經驗模態分解 （Empirical Mode Decomposition，縮寫EMD）是由黃鍔（N. E. Huang）與其他人在美國國家宇航局於1998年創造性地提出的一種新型自適應信號時頻處理方法，特別適用於非線性非平穩信號的分析處理。

## 簡介

經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition，簡稱EMD）方法被認為是自2000年來，以傅立葉變換為基礎的線性和穩態頻譜分析的一個重大突破1，該方法是依據數據自身的時間尺度特徵來進行信號分解，無須預先設定任何基函數。這一點與建立在先驗性的諧波基函數和小波基函數上的傅里葉分解與小波分解方法具有本質性的差別。正是由於這樣的特點，EMD 方法在理論上可以應用於任何類型的信號的分解，因而在處理非平穩及非線性數據上具有非常明顯的優勢，適合於分析非線性、非平穩信號序列，具有很高的信噪比。

所以，EMD方法一經提出後，就在不同的工程領域得到了迅速有效的應用，例如在海洋、大氣、天體觀測資料與地震記錄分析、機械故障診斷、密頻動力系統的阻尼識別以及大型土木工程結構的模態參數識別方面。

該方法的關鍵是經驗模式分解，它能使複雜信號分解為有限個本徵模函數（Intrinsic Mode Function，簡稱IMF），所分解出來的各IMF份量包含了原信號的不同時間尺度的局部特徵信號。經驗模態分解法能使非平穩數據進行平穩化處理，再進行希爾伯特變換獲得時頻譜圖，得到有物理意義的頻率。與短時傅立葉變換、小波分解等方法相比，這種方法是直觀的、直接的、後驗的和自適應的，因為基函數是由數據本身所分解得到。由於分解是基於信號序列時間尺度的局部特性，因此具有自適應性。

## 基本原理

對數據信號進行EMD分解就是為了獲得本徵模函數，因此，在介紹EMD分析方法的具體過程之前可先介紹EMD分解過程中所涉及的基本概念的定義：本徵模函數，這是掌握EMD方法的基礎。在物理上，如果瞬時頻率有意義，那麼函數必須是對稱的，局部均值為零，並且具有相同的過零點和極值點數目。在此基礎上，有人提出了本徵模函數（Intrinsic Mode Function，簡稱IMF）的概念。本徵模函數任意一點的瞬時頻率都是有意義的。任何信號都是由若干本徵模函數組成，在任何時候，一個信號都可以包含若干個本徵模函數，如果本徵模函數之間相互重疊，便形成復合信號。EMD分解的目的就是為了獲取本徵模函數，再對各個本徵模函數進行希爾伯特變換，得到希爾伯特譜。

一個本徵模函數必須滿足以下兩個條件：

⑴l函數在整個時間範圍內，局部極值點和過零點的數目必須相等或最多相差一個。

⑵在任意時刻點，局部最大值的包絡（上包絡線）和局部最小值的包絡（下包絡線）平均必須為零。

第一個條件是很明顯的，它與傳統的平穩高斯信號的窄帶要求類似。對於第二個條件，是一個新的概念，它把經典的全局性要求修改為局部性要求，使瞬時頻率不再受不對稱波形所形成的不必要的波動所影響。實際上，這個條件應為「數據的局部均值是零」。但是對於非平穩數據來說，計算局部均值涉及到「局部時間尺度」的概念，而這是很難定義的。因此，在第二個條件中使用了局部極大值包絡和局部極小值包絡的平均為零來代替，使信號的波形局部對稱。研究表明，在一般情況下，使用這種代替，瞬時頻率還是符合所研究系統的物理意義。本徵模函數表徵了數據的內在的振動模式。由本徵模函數的定義可知，由過零點所定義的本徵模函數的每一個振動週期，只有一個振動模式，沒有其他複雜的奇波；一個本徵模函數沒有約束為是一個窄帶信號，並且可以是頻率和幅值的調製，還可以是非穩態的；單由頻率或單由幅值調製的信號也可成為本徵模函數。

## 篩選程序 (The Sifting Process)

EMD 的核心在於透過「篩選」將訊號分解為 IMF。由於單純的極值包絡平均往往無法一次就滿足 IMF 的兩個條件（特別是零均值條件），因此需要迭代進行。具體演演算法步驟如下：

初始化：設定原始訊號 $r_0(t) = X(t)$，計數器 $i = 1$。

提取第 i 個 IMF：

初始化 $h_{i,0}(t) = r_{i-1}(t)$，篩選計數器 $k = 1$。

尋找極值：找出 $h_{i,k-1}(t)$ 的所有局部極大值與局部極小值。

包絡線擬合：利用三次樣條插值（Cubic Spline Interpolation）分別連接所有局部極大值形成上包絡線 $U_{i,k-1}(t)$，連接所有局部極小值形成下包絡線 $L_{i,k-1}(t)$。

計算均值：計算上下包絡線的平均值 $m_{i,k-1}(t) = \frac{U_{i,k-1}(t) + L_{i,k-1}(t)}{2}$。

提取細節：將原訊號減去均值包絡，得到新的原形分量 $h_{i,k}(t) = h_{i,k-1}(t) - m_{i,k-1}(t)$。

檢查停止準則：檢查 $h_{i,k}(t)$ 是否滿足 IMF 的定義以及篩選的停止準則（見下節）。

- * 若不滿足，令 $k = k + 1$，重複步驟 2.2 至 2.6。##: * 若滿足，則認定 $h_{i,k}(t)$ 為第 $i$ 個本質模態函數，記為 $c_i(t) = h_{i,k}(t)$。

分離剩餘訊號：從目前的剩餘訊號中減去剛提取的 IMF：$r_i(t) = r_{i-1}(t) - c_i(t)$。

終止判斷：檢查 $r_i(t)$ 是否為單調函數（Monotonic function）或其振幅小於預設誤差。若否，令 $i = i + 1$，重複步驟 2。

最終，原始訊號可表示為所有 IMF 與最終剩餘量（Residue）的總和： :$X(t) = \sum_{i=1}^{n} c_i(t) + r_n(t)$ 其中 $r_n(t)$ 代表訊號的平均趨勢（Mean Trend）。

## 停止準則 (Stopping Criterion)

在篩選過程中，決定何時停止迭代至關重要。若篩選次數過少，IMF 可能尚未滿足零均值條件；若篩選次數過多，則會破壞訊號的物理意義，使 IMF 變成純粹的調頻訊號（恆定振幅）。常見的停止準則包括：

- 標準差準則 (Standard Deviation, SD) : 黃鍔等人最早提出的準則，計算連續兩次篩選結果的正規化平方差： :$SD = \sum_{t=0}^{T} \frac{|h_{k-1}(t) - h_k(t)|^2}{h_{k-1}^2(t)}$ : 一般建議當 SD 值小於 0.2 到 0.3 之間時停止篩選。

- S 數準則 (S Number Criterion) : 為了改善 SD 準則可能導致過度篩選的問題，後來提出了 S 數準則。該準則規定，當連續 $S$ 次篩選過程中，極值點數量與零交越點數量皆保持不變，即可停止。通常 $S$ 設定為 3 到 5。這能確保 IMF 的拓撲結構穩定，同時保留適度的振幅變化。

- 閾值準則 (Threshold Method) : Rilling 等人引入了雙閾值 $\theta_1, \theta_2$ 與容許比例 $\alpha$，針對包絡線均值 $m(t)$ 與包絡線振幅 $a(t)$ 的比值進行限制，以確保全域與局部的誤差皆在控制範圍內。

## EMD 的主要問題與解決方案

儘管 EMD 具有強大的自適應能力，但在實際應用中仍面臨兩大挑戰：

- 端點效應 (End Effects) : 由於 EMD 依賴三次樣條插值來繪製包絡線，而樣條函數在訊號的兩端（端點）無法確定其發散方向，容易產生巨大的震盪與誤差。隨著篩選次數增加，這種誤差會向內傳播，污染整個數據序列。: 解決方法： :* 鏡像擴充法 (Mirror Extension)：利用訊號在端點附近的極值特徵，將訊號做鏡像對稱延伸，使樣條插值在邊界處平滑過渡。:* 特徵波形擴充法：根據端點附近的波形頻率與振幅，預測並人造出端點外的極值點。

- 模態混疊 (Mode Mixing) : 這是 EMD 最嚴重的問題之一。當訊號中含有間歇性訊號（Intermittency）或雜訊干擾時，會導致同一個 IMF 分量中包含極其不同的頻率尺度，或者同一個頻率尺度的訊號被分解到不同的 IMF 中。這會破壞 IMF 的物理意義。: 解決方法：總體經驗模態分解 (EEMD) : 為了解決混模問題，黃鍔與吳兆華於 2009 年提出了 Ensemble EMD (EEMD)。:* 原理：利用白雜訊（White Noise）頻譜均勻分佈的特性。在原始訊號中加入適量的白雜訊，白雜訊會均勻地填滿整個時頻空間，輔助訊號在分解時能自動對應到正確的尺度。:* 步驟： :# 將原始訊號加入一組白雜訊。:# 對加入雜訊後的訊號進行 EMD 分解。:# 重複上述步驟多次（加入不同的白雜訊序列）。:# 將每次得到的對應 IMF 取總體平均（Ensemble Mean）。:* 由於白雜訊是零均值的，經過多次平均後，加入的雜訊會相互抵消，留下的就是解決了混模問題的穩定 IMF。

## 正交性 (Orthogonality)

在理論上，理想的分解方法應產生彼此正交的基底函數（如傅立葉級數）。對於 EMD，雖然沒有理論保證分解出的 IMF 彼此正交，但在實務上，不同 IMF 往往對應不同的頻譜頻帶，因此具備近似正交性。

我們可以透過正交性指標 (Index of Orthogonality, IO) 來評估分解的品質： :$IO = \sum_{t=0}^{T} \left( \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=j+1}^{n+1} c_j(t) c_k(t) \right) / \sum_{t=0}^{T} X^2(t)$ 一般而言，若 IO 值很小（如小於 0.01），則可視為該次分解具有良好的正交性，各分量之間沒有嚴重的訊息洩漏或混疊。