特徵方程式

特徵方程式（characteristic equation）或輔助方程式（auxiliary equation）為數學名詞，是對應n階微分方程或遞迴關係式的n多項式的次數代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式。考慮一微分方程，其因變量為 $y$，$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$為常數

$$a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y' + a_{0}y = 0,$$

其特徵方程式如下

$$a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0$$

根據其解 $r_1, r_2, \cdots, r_n$可以產生微分方程的通解。而一個線性差分方程

$$y_{t+n}=b_1y_{t+n-1} + \cdots + b_ny_{t}$$

也有其特徵方程式

$$r^n - b_1r^{n-1} - \cdots - b_n =0,$$

特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程，其應變數穩定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程，穩定的充份必要條件是每一個根的絕對值都小於1。針對這兩種系統，若是有複數根，表示其解會振盪。

線性常係數常微分方程的積分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關。後來法國科學家奧古斯丁·路易·柯西及加斯帕爾·蒙日也提及歐拉的特徵方程，而且提到不少細節。

## 推導

考慮常係數的線性齊次微分方程$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1, a_0$,

$$a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y^\prime + a_{0}y = 0$$

假設 $y(x)=e^{rx}$，而指數函數 $e^{rx}$ 的導數是本身的倍數，$y'=re^{rx}$, $y''=r^2 e^{rx}$，$y^{(n)}=r^n e^{rx}$。因此上式中的每一項都會是 $e^{rx}$ 的倍數。若 $r$ 為特定值，可以讓 $e^{rx}$ 的倍數變為0，這樣即可求解齊次微分方程。為了求解 $r$，可以將 $y=e^{rx}$ 及其導數替換到微分方程中，可以得到

$a_{n}r^{n}e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_{1}re^{rx} + a_{0}e^{rx} = 0$。

因為 $e^{rx}$ 不會為零，因此其係數必須為零，可以得到以下的特徵方程式

$$a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0$$

求解特徵方程式中的 $r$，可以求得微分方程的通解。例如，若 $r$ 為3，其通解為 $y(x)=ce^{3x}$，其中 $c$ 為積分常數。

## 有關通解的公式

找到特徵方程式的根 $r_1, \cdots, r_n$，就可以找到微分方程的通解。特徵方程式的根可能是實數或複數，可能都是不同的值，也可能會有相同的值（重根）。若特徵方程式的根有相異的實根，另外有 $h$ 個重根，或是 $k$ 個複數的根，其解分別為$y_{\mathrm{D}}(x)$ , $y_{\mathrm{R}_1}(x), \cdots, y_{\mathrm{R}_h}(x)$ 及 $y_{\mathrm{C}_1}(x), \cdots, y_{\mathrm{C}_k}(x)$，因此通解為

$$y(x) = y_\mathrm{D}(x) + y_{\mathrm{R}_1}(x) + \cdots + y_{\mathrm{R}_h}(x) + y_{\mathrm{C}_1}(x) + \cdots + y_{\mathrm{C}_k}(x)$$

### 例子

以下是常係數的線性齊次微分方程

$$y^{(5)} + y^{(4)} - 4y^{(3)} - 16y'' -20y' - 12y = 0$$

其特徵方程為

$$r^5 + r^4 - 4r^3 - 16r^2 -20r - 12 = 0$$

將特徵方程因式分解，可得到

$$(r - 3)\left(r^2 + 2r + 2\right)^2 = 0$$

可以看到 $r$ 的解有一個單根，$r_1=3$ 以及重根的複數根 $r_{2,3,4,5}=-1\pm i$，因此其通解為

$$y(x) = c_1 e^{3x} + e^{-x}(c_2 \cos x + c_3 \sin x) + xe^{-x}(c_4 \cos x + c_5 \sin x)$$

其中有常數 $c_1, \cdots, c_5$。

### 相異實根

根據應用在常係數線性齊次微分方程的疊加原理，若 $u_1, \cdots, u_n$是特定微分方程的 $n$ 個線性無關的解，則 $c_1u_1 + \cdots + c_nu_n$ 也是其解，其中 $c_1, \cdots, c_n$ 為任意常數。因此，若特徵方程有相異實根 $r_1, \cdots, r_n$，則通解為

$y_\mathrm{D}(x) = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x} + \cdots + c_n e^{r_n x}$。

### 重根實根

若特徵方程式中有重複 $k$ 次的根 $r_1$，可以確定 $y_{\mathrm{p}}(x)=c_1 e^{r_1 x}$ 會是微分方程的解，不過這個解沒有針對其他 $k-1$ 的根提供線性獨立的解。因為 $r_1$ 為 $k$ 次重根，可以將微分方程改寫為

$\left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right )^k y = 0$.

因為 $y_{\mathrm{p}}(x)=c_1 e^{r_1 x}$ 為其中的一個解，因此可以令通解為以下的形式 $y(x)=u(x)e^{r_1 x}$，其中 $u(x)$ 是待確認的函數。將 $ue^{r_1 x}$ 代入後可得

$$\left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right ) ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}\left(ue^{r_1 x}\right) - r_1 ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_1 x} + r_1 ue^{r_1 x}- r_1 ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_1 x}$$

其中 $k=1$。上述的式子應用 $k$ 次，可以得到

$$\left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right )^k ue^{r_1 x} = \frac{d^k}{dx^k}(u)e^{r_1 x} = 0$$

除以 $e^{r_1 x}$ 後可得

$$\frac{d^k}{dx^k}(u) = u^{(k)} = 0$$

上述式子若且唯若 $u(x)$ 是 $k-1$ 次的多項式，因此 $u(x)=c_1 + c_2 x + c_3 x^2 + \cdots + c_k x^{k-1}$.。因為 $y(x)=ue^{r_1 x}$，因此通解中對應 $r_1$ 的解會是

$$y_\mathrm{R}(x) = e^{r_1 x}\left(c_1 + c_2 x + \cdots + c_k x^{k-1}\right)$$

### 複數根

若二階微分方程有共軛複數根 $r_1=a+bi$ 及 $r_2=a-bi$，其對應的通解為 $y(x)=c_1 e^{(a+bi)x}+c_2 e^{(a-bi)x}$。利用歐拉公式（$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$），可以將通解改寫如下：

$$\begin{align} y(x) &= c_{1}e^{(a + bi)x} + c_{2}e^{(a - bi)x}\\ <pre> &= c_{1}e^{ax}(\cos bx + i \sin bx) + c_{2}e^{ax}( \cos bx - i \sin bx ) \\ &= \left(c_{1} + c_{2}\right)e^{ax} \cos bx + i(c_{1} - c_{2})e^{ax} \sin bx </pre> \end{align}$$

其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是係數，不過可能不是實數，而且隨初始條件而不同（因為 $y(x)$ 是實數，$c_1-c_2$ 需要是虛數或是零，$c_1+c_2$ 為實數，為了要讓等號右邊為實數）

例如，若 $c_1=c_2=\frac{1}{2}$，可以得到特解 $y_1(x)=e^{ax}\cos bx$，另外，若 $c_1=\frac{1}{2i}$ 及 $c_2=-\frac{1}{2i}$，可以得到另一個獨立的解 $y_2(x)=e^{ax}\sin bx$。利用重疊原則，有 $r=a\pm bi$ 複根的常係數線性齊次微分方程，其通解如下：

$$y_\mathrm{C}(x) = e^{ax}\left(c_{1} \cos bx +c_{2} \sin bx \right)$$

上述的分析也可以應用在高階微分方程，其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。