拓撲序

在物理學中，拓撲序是在零溫物質（也稱量子物質）相中的一種序。宏觀上，拓撲序是由穩固的基態簡併和簡併基態的量子化非阿貝爾幾何相所定義和描述的。在微觀上，拓撲序對應長程量子糾纏的模式(圖斑)。擁有不同拓撲序（或不同長程糾纏）的量子態，除非相變發生，否則不能相互轉化。

拓撲序具有下列性質，例如（1）拓撲簡併和分數統計或非阿貝爾統計，可實現拓撲量子計算； (2) 完美導電邊緣態，因此具有儀器應用； (3) 湧現的規範場和費米統計，顯示了基本粒子的可能量子信息來源； (4)拓撲糾纏熵，揭示拓撲序的糾纏起源等。因此在自旋液體 和量子霍爾效應 等多種凝聚態體系的研究以及在容錯量子計算的潛在應用中，拓撲序扮演非常重要角色。

拓撲絕緣體和拓撲超導體（超過一維）並不屬於上述定義的拓撲序，其原因是它們的糾纏只是短程的糾纏。

## 背景

由大量原子組織的物質可以具有不同的性質，並且以不同的形態出現，如固體、液體、超流體等。這些不同形式的物質通常稱為物質狀態或相。根據凝聚態物理學和湧現原理，材料的不同性質一般起源於原子的不同組織方式。原子（或其他粒子）的不同組織被稱為有序。

原子可以有多種方式排列，導致許多不同的有序和不同類型的材料。Landau對稱破缺理論提供了對這些不同序的理解。它指出不同的序對應於原子組成的不同對稱性。當一種材料從一種序變為另一種序時（即，材料經歷相變），對應原子組成的對稱性發生變化。

例如，在液體中原子隨機分布，因此當我們將原子移動任意距離時，液體基本上是不變的。我們說液體具有連續的平移對稱性。相變發生後，液體可以變成晶體。在晶體中，原子排列成規則陣列（晶格）。只有當我們將晶格移動特定距離（晶格常數的整數倍）時，晶格才會保持不變，因此晶體只有離散的平移對稱性。液體和晶體之間的相變，對應著將液體的連續平移對稱性降低為晶體的離散對稱性的轉變。這種對稱性的變化稱為對稱破缺。因此，液體和晶體之間差異的本質是原子排列在兩相中具有不同的對稱性。

朗道對稱破缺理論一直是個非常成功的理論。長期以來，物理學家都認為朗道理論描述了凝聚態系統中所有可能的有序態，以及所有可能的（連續）相變。

## 發現和表徵

然而，自 20 世紀 80 年代後期以來，大家逐漸了解到可能無法使用朗道對稱性破缺理論來描述所有可能的有序態。像為了解釋高溫超導性，引入了手性自旋態。起初，物理學家還想用朗道對稱性破缺理論來描述手性自旋態。他們將手性自旋態定為破壞時間反演對稱和宇稱對稱性但不破壞自旋旋轉對稱性的態。根據 朗道的對稱性破缺理論描述，這應該是故事的結局。然而，人們很快意識到，有許多不同的手性自旋態，卻具有完全相同的對稱性，因此僅靠對稱性不足以表徵不同的手性自旋態。這意味著手性自旋態包含一種全新的秩序，這種秩序超出通常的朗道對稱性描述。新的序被命名為「拓撲序」。「拓撲序」這個名稱的靈感來自手性自旋態的低能有效理論，即拓撲量子場論(TQFT)。新的量子數，例如基態簡併 （可以在封閉空間或具有間隙邊界的開放空間上定義，包括阿貝爾拓撲序 和非阿貝爾拓撲序 ) 和簡併基態的非阿貝爾幾何相，被引入以表徵和定義手性自旋態中的不同拓撲序。最近，研究發現拓撲序也可以用拓撲熵來表徵。

但是實驗很快表明手性自旋態不能描述高溫超導體，拓撲序理論成為沒有實驗實現的理論。然而，手性自旋態和量子霍爾態之間的相似性允許我們使用拓撲序理論來描述不同的量子霍爾態。就像手性自旋態一樣，不同的量子霍爾態都具有相同的對稱性，並且在朗道對稱破缺描述之外。發現不同量子霍爾態下的不同序確實可以用拓撲數來描述，所以拓撲序理論確實有實驗實現。

在 1989 年引入拓撲序的概念之前，分數量子霍爾(FQH) 態於 1982 年 被發現。但是分數量子霍爾態並不是第一個被實驗發現的拓撲序態。實際上， 1911 年發現的超導體是第一個被實驗發現的拓撲序態；它具有Z 2拓撲序。

雖然拓撲序態通常出現在強相互作用的玻色子/費米子體系中，但一種簡單的拓撲序也可以出現在自由費米子體系中。這種拓撲序對應於整數量子霍爾態，如果我們考慮晶格上的整數量子霍爾態，則可以用被填充的能帶的陳數來表徵。理論計算指出，可以通過實驗測量自由費米子系統的陳數。眾所周知，陳數可以（可能間接地）通過邊界態來測量。這裡用到體邊界對應: 可以用陳數來預言材料在開邊界條件下受拓撲保護邊界態的性質。

拓撲序最重要的表徵是潛在的分數激發（例如任意子）及其聚變統計和編織統計（可以超越玻色子或費米子的量子統計）。目前的研究工作表明，3+1 維時空中的拓撲序存在環狀和弦狀激發，它們的多環/弦編織統計是識別 3+1 維拓撲序的重要特徵。3+1維拓撲的多環/弦編織統計可以通過4個時空維度的特定拓撲量子場論的連結不變量來描述。

## 機制

一大類 2+1D 拓撲序可以通過一種稱為弦網凝聚的機制來實現。這類拓撲序可以有一個有能隙的邊緣態，並按酉融合範疇（或么半群範疇）理論分類。人們發現弦網凝聚可以產生無限多種不同類型的拓撲序，這可能顯示還有許多不同類型的新材料有待發現。

凝聚弦的集體運動會產生高於弦網凝聚態的激發。這些激發原來是規範玻色子。弦的末端是缺陷，對應於另一種類型的激發。這激發是規範電荷，可以擁有費米統計或分數統計。

「膜」、 「膜網」和分形等其他擴展的凝聚也導致拓撲序相和「量子玻璃態」。

## 數學公式

我們知道群論是對稱破缺序的數學基礎。拓撲序的數學基礎是什麼？發現 2+1D 拓撲序的一個子類——阿貝爾拓撲序——可以通過 K 矩陣方法進行分類。弦網凝聚表明張量範疇（如融合範疇或么半群範疇）是 2+1 維拓撲序的數學基礎的一部分。最近的研究表明（直到沒有分數激發的可逆拓撲序）：

- 2+1D 玻色子拓撲序按酉模張量類別分類。
- 具有對稱性 G 的 2+1D 玻色子拓撲序按 G 交叉張量類別分類。
- 具有對稱性 G 的 2+1D 玻色子/費米子拓撲序按酉編織融合類別分類在對稱融合類別上，具有模塊化擴展。玻色子系統的對稱聚變類別 Rep(G) 和費米子系統的 sRep(G)。

更高維度的拓撲序可能與 n-Category 理論有關。量子算符代數是研究拓撲序的一個非常重要的數學工具。

一些人還建議，拓撲序在數學上可由擴展量子對稱性描述。

## 應用

朗道對稱破缺理論描述的材料對技術產生了重大影響。例如，破壞自旋旋轉對稱性的鐵磁材料可以用作數字資訊存儲的介質。由鐵磁材料製成的硬碟驅動器可以存儲千兆字節的資訊。破壞分子旋轉對稱性的液晶在顯示技術中得到廣泛應用。破壞平移對稱性的晶體會產生明確的電子能帶，這反過來又使我們能夠製造半導體設備，例如電晶體。不同類型的拓撲序甚至比不同類型的對稱破缺序更豐富。這表明它們具有令人興奮的新穎應用潛力。

一個理論上的應用是使用拓撲序作為量子計算的媒介，這種技術被稱為拓撲量子計算。拓撲序是具有複雜非局域量子糾纏的態。非局域性是指拓撲序的量子糾纏分布在許多不同的粒子中。因此，量子糾纏的模式不會被局部擾動破壞。這顯著降低了退相干的影響。這表明，如果我們在拓撲序狀態下使用不同的量子糾纏來編碼量子信息，資訊可能會持續更長時間。由拓撲量子糾纏編碼的量子信息也可以通過將拓撲缺陷相互拖動來操縱。這個過程可以提供用於執行量子計算的物理設備。因此，拓撲序態可以為量子存儲和量子計算提供自然媒介。量子存儲和量子計算的這種實現可能具有容錯能力。

拓撲序通常具有特殊性質，即它們包含非平庸的邊界狀態。在許多情況下，這些邊界態提供完美的導電通道，可以導電而不產生熱量。這可能是拓撲序在電子設備中的另一個潛在應用。

與拓撲序類似，拓撲絕緣體 也具有無間隙邊界態。拓撲絕緣體的邊界態對拓撲絕緣體的檢測和應用起著關鍵作用。這種觀察自然會引出一個問題：拓撲絕緣體是拓撲序的例子嗎？事實上，拓撲絕緣體不同於本文定義的拓撲序。拓撲絕緣體只有短程糾纏，沒有拓撲序，而本文定義的拓撲序是長程糾纏。拓撲序對任何擾動都是穩固的。它具有湧現規範理論、湧現分數電荷和分數統計。相反，拓撲絕緣體僅對滿足時間反演對稱性和 U(1) 對稱性的擾動具有穩固性。它們的准粒子激發沒有分數電荷和分數統計。嚴格來說，拓撲絕緣體是對稱保護拓撲 (SPT) 序的一個例子，其中SPT 序的第一個例子是spin-1 鏈的霍爾丹相。但是spin-2鏈的Haldane序沒有SPT序。

## 潛在影響

朗道對稱性破缺理論是凝聚態物理學的重要基石。它定義了凝聚態研究的領域。拓撲序的存在似乎表明自然界傭有比朗道對稱性破缺理論迄今所定義的更豐富得多。因此，拓撲序開闢了凝聚態物理學的新方向——高度糾纏的量子物質的新方向。我們認識到物質的量子相（即物質的零溫相）可以分為兩類：長程糾纏態和短程糾纏態。拓撲序是描述長程糾纏態的概念：拓撲序 = 長程糾纏的圖斑模式。短程糾纏態是平庸的，意義上都屬於一個相。然而，在存在對稱性的情況下，即使是短程糾纏態也是重要的，因為物質可以屬於不同的相。這些不同的相包含SPT 序。透過SPT 序可以將拓撲絕緣體的概念推廣到相互作用的系統。

一些人認為局部玻色子（自旋）模型中的拓撲序（或更準確地說，弦網凝聚）有可能為宇宙中的光子、電子和其他基本粒子提供統一的起源的解釋。

## 參照

- AKLT模型
- 分餾
- 赫氏鐵礦
- 隱含順序
- 量子拓撲
- 紡液
- 串網液
- 對稱保護拓撲序
- 拓撲缺陷
- 拓撲退化
- 物理學中的拓撲熵
- 拓撲量子場論
- 拓撲量子數
- 拓撲弦理論

## 按類別參考

### 量子算子代數

- Landsman N. P. and Ramazan B., Quantization of Poisson algebras associated to Lie algebroids, in Proc. Conf. on Groupoids in Physics, Analysis and Geometry(Boulder CO, 1999)', Editors J. Kaminker et al.,159{192 Contemp. Math. 282, Amer. Math. Soc., Providence RI, 2001, (also math{ph/001005.)
- Non-Abelian Quantum Algebraic Topology (NAQAT) 20 Nov. (2008),87 pages, Baianu, I.C.
- Levin A. and Olshanetsky M., Hamiltonian Algebroids and deformations of complex structures on Riemann curves, hep-th/0301078v1.
- Xiao-Gang Wen, Yong-Shi Wu and Y. Hatsugai., Chiral operator product algebra and edge excitations of a FQH droplet (pdf),Nucl. Phys. B422, 476 (1994): Used chiral operator product algebra to construct the bulk wave function, characterize the topological orders and calculate the edge states for some non-Abelian FQH states.
- Xiao-Gang Wen and Yong-Shi Wu., Chiral operator product algebra hidden in certain FQH states (pdf),Nucl. Phys. B419, 455 (1994): Demonstrated that non-Abelian topological orders are closely related to chiral operator product algebra (instead of conformal field theory).
- Non-Abelian theory.
- R. Brown, P.J. Higgins, P. J. and R. Sivera, "Nonabelian Algebraic Topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids" EMS Tracts in Mathematics Vol 15 (2011),
- A Bibliography for Categories and Algebraic Topology Applications in Theoretical Physics
- Quantum Algebraic Topology (QAT)