Noiselet

Noiselet是一種具有類似雜訊性質的函數。在數學結構上，它們與Haar 小波 (Haar Wavelet) 基底之間存在一種特殊的對偶關係，既兩者是完全不相干(Perfectly Incoherent)的。

這意味著，Noiselet 函數在Harr 小波包分析（Wavelet Packet Analysis）中會表現出「最差情況」——換言之，Noiselet 在 Haar 小波域中是完全不可壓縮的，其能量會最大限度地分散。這種關係可以類比於「傅立葉級數基底」與「時域訊號」或是「標準基底」之間的關係：正如在時域上極為集中的脈衝訊號，在頻域(傅立葉域)上是均勻分布的一樣；如果一個信號在小波域具有緊緻支集(Compact Support）或稀疏性(Sparsity)，那麼該信號在 Noiselet 域中就能被完全展開(Expanded)。

憑藉這種與 Haar 基底的完全不相干性，加上 Noiselet 本身具有能夠高效實作的快速演演算法，使其成為壓縮感知(Compressed Sensing)應用中極為理想的工具，特別適合作為那些在 Haar 域中呈現稀疏特性的信號之採樣基底（Sampling Basis)。

## 定義

Noiselet的基底函數$\chi(x)$定義如下：$\chi(x) = \begin{cases} 1, & x\in[0,1) \\ 0, & otherwise \end{cases}$Noiselet函數族 (The family of noiselets) 是透過以下方式遞迴地 (Recursively) 建構而成：$f_1(x) = \chi(x)$

$$f_{2n}(x) = (1-i)f_n(2x) + (1 + i)f_n(2x - 1)$$

$f_{2n+1}(x) = (1+i)f_n(2x) + (1 - i)f_n(2x - 1)$其中 i 為虛數單位。

### $f_n$的性質

集合$\{f_j |j = 2^N,...,2^{N+1}-1\}$構成空間$V_n$的一組正交基底 (Orthogonal basis)。

- 這裡的$V_n$指的是在解析度$2^N$下，對$L^2[0,1)$空間中函數的所有可能逼近空間 (Space of approximations)。

對於所有$n \geq 1$的，滿足以下積分性質：$\displaystyle \textstyle \int\limits_{0}^{1}f_n(x)dx = 1$對於所有$n \geq 1$的，函數$f_n(x)$也可以表示為以下乘積形式：${\prod_{i=1}^{\ell (n)-1}} \tilde{\tau }_v{_{j(n)}}(2^jx)\in[0,1]$

## Noiselet 的矩陣建構

Noiselet 可以被擴展並離散化。擴展函數 (extended function)$f_m(k,l)$定義如下：$f_m(1,l) = \begin{cases} 1 & l = 0,...,2^m-1 \\ 0, & otherwise \end{cases}$

$$f_m(2k,l) = (1-i)f_m(k,2l) + (1 + i)f_m(k,2l-2^m)$$

$f_m(2k+1,l) = (1+i)f_m(k,2l) + (1 - i)f_m(k,2l-2^m)$利用擴展的 Noiselet $f_m(k,l)$，我們可以生成 $n \times n$ 的 Noiselet 矩陣 $N-n$，其中 n 為 2 的冪次$(n = 2^q)$：$N_1 = [1]$

$N_2n = 1/2 \begin{pmatrix} 1-i & 1+i \\ 1+i & 1-i \end{pmatrix}\otimes N_n$ 在此，$\otimes$表示克羅內克積 (Kronecker product)。

假設$2^m > n$，我們可以發現矩陣元素$N_n(k,l)$等於$f_m(n+k,2^m*l/n)$。

Noiselet 矩陣的元素取值是離散的，並來自於兩個四元素集合之一（取決於 q 的奇偶性）：

$\sqrt{n} N_n(j,k)\in\{1,-1,i,-i\}$ 當q為偶數

$\sqrt{2n} N_n(j,k)\in\{1+i,1-i,-1+i,-1-i\}$ 當q為奇數

### 二維 Noiselet 變換 (2D noiselet transform)

二維 Noiselet 變換是透過一維 Noiselet 變換的克羅內克積獲得的：${N_{n\times k}^{2D}} = N_k \otimes N_n$

## 應用

由於 Noiselet 與小波之間的互補性（Complementarity），Noiselet 可被應用於壓縮感知 (Compressed Sensing) 中，用來重建在小波域中具有緊緻表示（Compact representation）的信號（例如圖像）。具體而言，可以在 Noiselet 域中獲取MRI數據，隨後利用壓縮感知重建演演算法，從欠採樣（Undersampled）的數據中還原出清晰的圖像。

以下是 Noiselet 已被實際實作的一些應用案例：

### 磁振造影 (Magnetic Resonance Imaging, MRI):

Noiselet 編碼是一種應用於磁振造影（MRI）的技術，旨在減少圖像採集所需的時間。在傳統的 MRI 中，成像過程通常涉及使用梯度場對空間資訊進行編碼。傳統的採集方式依賴於笛卡爾編碼 (Cartesian encoding)，即在笛卡爾網格上對空間資訊進行逐行採樣。然而，這種方法非常耗時，特別是在需要高解析度或動態成像的情況下。作為壓縮感知技術的一部分，利用了圖像本身的稀疏性（Sparsity）來實現更高效的數據獲取。在壓縮感知中，其核心理念是：如果潛在的信號或圖像在某個變換域中是稀疏的，則可以採集遠少於奈奎斯特-香農採樣定理 (Nyquist-Shannon sampling theorem) 所要求的樣本數。在 MRI 中的應用概述如下：使用 Noiselet 變換矩陣對信號進行編碼，產生的係數能有效地將信號能量分散到整個尺度和時間域中。因此，這些變換係數的每一個子集（Subset）都捕捉到了原始信號的整體特徵資訊。當僅使用部分係數（其餘補零）進行獨立重建時，每一個子集都能以較低的解析度還原出原始信號。由於 Noiselet 編碼並非依序採樣所有的空間頻率分量，這種欠採樣策略允許使用更少的測量次數來重建圖像，從而在不顯著犧牲圖像品質的前提下，實現更高效的成像。

### 單像素成像 (Single-pixel Imaging):

單像素成像是利用單個偵測器（而非百萬像素的感光元件陣列）來測量光強度的技術。樣本會被一系列圖樣照明，透過測量反射或透射的總光強來獲取資訊。Noiselet 被應用於此領域以提高計算效率，其原理同樣基於壓縮感知。

Noiselet 帶來的主要優勢包括：

- 減少測量次數：計算所需的測量次數顯著減少。
- 數據壓縮：圖像的壓縮表示減少了傳輸時間與儲存需求。
- 快速成像：整體的採集時間顯著縮短，使得單像素成像適用於需要快速反應的應用場景。

這些特性使獨Noiselet 在單像素成像中有以下應用：將 Noiselet 變換矩陣應用於結構光照明 (Structured illumination) 圖樣中，這會將物體的空間資訊擴散到測量空間中。這些結構化圖樣導致信號資訊的稀疏表示。這允許從一組縮減的測量數據中重建圖像，同時仍能封裝重建高品質圖像所需的核心資訊

### 數位影像加密:

如同將照片化為無形的數位雜訊Noiselet 變換在資訊安全領域展現了獨特的價值，特別是在影像加密上，它扮演著一種極高效率的「數學碎紙機」角色。不同於傳統加密僅僅是移動像素的位置，Noiselet 利用其全域性的能量擴散特性，能將原本清晰的照片瞬間轉換成看似隨機、毫無意義的白雜訊畫面。這種過程在數學上被稱為「雪崩效應（Avalanche Effect）」，意即原始影像中哪怕只有一個像素的微小變動，都會導致加密後的結果產生翻天覆地的變化。這意味著攻擊者若試圖透過統計分析來破解圖像（例如分析色彩分布）將會徒勞無功，因為原始的視覺特徵已被 Noiselet 函數徹底打散並隱藏在複數域的隨機性之中，唯有持有正確密鑰的人才能將這些雜訊重新聚攏回原本的影像。

### 強健數位浮水印:

全息圖般的版權保護在版權保護方面，Noiselet 提供了一種近乎「全息圖（Holographic）」式的解決方案。當我們利用 Noiselet 技術將浮水印（如版權標誌）植入圖片時，這並不是像蓋章一樣蓋在圖片的某個角落，而是將浮水印的能量均勻地「溶解」在整張圖片的每一個像素裡。這種特性使得浮水印對肉眼完全不可見，不會影響圖片的美觀；更重要的是，它賦予了浮水印極強的強健性（Robustness）。即便這張圖片遭到惡意裁切、遮擋或遺失了一半的數據，由於浮水印的資訊散布在全域，版權持有者依然能從剩餘的殘片中，透過逆變換提取出完整的浮水印資訊。這正是利用了 Noiselet 與小波變換之間的互補不相干性，讓版權資訊能在最惡劣的環境下生存。

### 雷達與聲納波形設計:

藏木於林的匿蹤訊號雖然 Noiselet 最初是為了解析影像而生，但其數學構造卻意外地適合用於設計「低截獲率（LPI）」的雷達或聲納波形。在戰場或複雜的偵測環境中，發出的探測波如果太有規律，很容易被敵方鎖定或干擾。Noiselet 產生的波形具有平坦的頻譜，在頻域上看起來就像是毫無規律的背景雜訊。使用這種波形進行探測，就像是在吵雜的派對中用只有自己人懂的「密碼語」輕聲交談；對於敵方的偵測設備而言，這只是無意義的環境噪音，但對於發送者來說，透過其優異的正交特性，卻能精準地從回波中解析出目標的距離與速度。這種「藏木於林」的特性，使得 Noiselet 成為現代隱形偵測技術中極具潛力的波形選擇。