藏本模型

藏本模型（Kuramoto model）是一種用來描述同步的數學模型，由日本物理學家藏本由紀（Kuramoto Yoshiki）首先提出。具體說來，它描述了大量耦合振子的同步行為。這個模型原本是為了描述化學振子、生物振子而構建，後發現具有廣泛的應用，例如神經振盪，以及振盪火焰的動力學。驚人的是，一些物理系統的行為也符合這個模型，比如耦合約瑟夫森結的陣列。

這個模型假設，所有振子都是完全相同的或幾乎完全相同的，相互之間的耦合很弱、並且任意兩個振子之間的相互作用強度取決於它們相位差的正弦。

## 定義

在藏本模型最常見的版本中，每個振子都有一個固有的自然頻率$\omega_i$，並與所有其它振子以相同的強度耦合。驚人的是，在$N\to\infty$的極限下，通過巧妙的變換並使用平均場方法，這個完全非線性的模型是可以精確求解的。

這個模型最常見的形式由以下方程組給出：

$$\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sin{(\theta_j-\theta_i)}},\quad i=1,\cdots,N$$

系統由$N$個極限環振子組成，$\theta_i$是第$i$個振子的相位，$K$是耦合強度。

也可以在系統中加入噪聲。這種情況下，方程變為

$$\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sin{(\theta_j-\theta_i)}}+\zeta_i,\quad i=1,\cdots,N$$

其中$\zeta_i$是漲落，並且是時間的函數。如果考慮白噪聲的情況，則：

$$\langle\zeta_i(t)\rangle=0,$$

$$\langle\zeta_i(t)\zeta_j(t')\rangle=2D\delta_{ij}\delta(t-t')$$

其中$D$代表噪聲強度。

## 變換

使得這個模型（至少在$N\to\infty$的極限下）能夠精確求解的變換如下所示：

定義「序」參量

$$Re^{i\psi}=\frac 1N\sum_{j=1}^N{e^{i\theta_j}}$$

$R$表徵了這群振子的相位相關性，$\psi$是平均相位。方程兩邊乘以$e^{-\text{i}\theta_i}$，只考慮虛部得到：

$$\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+KR\sin{(\psi-\theta_i)}$$

因此振子的方程組就不是顯式耦合的；相反，序參量支配了系統的行為。通常還會做進一步的變換，變換到一個轉動的坐標系，其中所有振子相位的統計平均為零（即$\psi=0$）。最終，方程變為：

$$\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i-KR\sin{\theta_i}$$

## 大N極限

在熱力學極限下，即考慮$N\to\infty$的情況。自然頻率的分布記為$g(\omega)$（假設已經歸一化）。設在時刻$t$，在所有自然頻率為$\omega$的振子中，相位為$\theta$的振子所占比例為$\rho(\theta,\omega,t)$。歸一化要求

$$\int_0^{2\pi}{\rho(\theta,\omega,t)d\theta}=1$$

振子密度的連續性方程為

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial\theta}=0$$

其中$v=\omega+KR\sin{(\psi-\theta)}$是振子的漂移速度。

最終，在連續統極限下重新寫出序參量。$\theta_i$應該用系綜平均來代替，求和替換為積分，得到

$$Re^{i\psi}=\int_0^{2\pi}{\int_{-\infty}^\infty{\rho(\theta,\omega,t)g(\omega)e^{i\theta}d\omega}d\theta}$$

## 解

所有振子隨機漂移的不相關態對應均勻分布解$\rho=\frac 1{2\pi}$。這種情況$R=0$，振子之間沒有關聯。系統整體處於統計穩定態，儘管每個振子單獨來看都在以自然頻率不停運動。

當耦合足夠強時，可能會出現完全同步的解。在完全同步態中，所有振子以相同頻率運動，但相位可以不同。

部分同步是只有一些振子同步，而另一些振子自由漂移的狀態。從數學上來說，對鎖相的振子

$$\rho=\delta\left(\theta-\psi-\arcsin{\frac\omega{KR}}\right)$$

對漂移的振子。

$$\rho\propto\frac 1{\omega-KR\sin{(\theta-\psi)}}$$

## 與哈密頓系統的聯繫

耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密頓系統中，哈密頓量具有形式：

$$\mathcal{H}=\sum_{i=1}^N{\frac 12\omega_i(q_i^2+p_i^2)}+\frac K{4N}\sum_{i,j=1}^N{(q_ip_j-q_jp_i)(q_j^2+p_j^2-q_i^2-p_i^2)}$$

用正則變換變成作用量-角度的形式，作用量為$I_i=\frac 12(q_i^2+p_i^2)$，角度（相位）$\theta_i=\arctan{\frac{q_i}{p_i}}$，在作用量$I_i\equiv I$為常數的不變流形上就是藏本動力學。變換後的哈密頓量

$$\mathcal{H}=\sum_{i=1}^N{\omega_i I_i}-\frac KN\sum_{i=1}^N{\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_jI_i}(I_j-I_i)\sin{(\theta_j-\theta_i)}}}$$

哈密頓運動方程為

$$\frac{dI_i}{dt}=-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial\theta_i}=-\frac {2K}N\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_jI_i}(I_j-I_i)\cos{(\theta_j-\theta_i)}}$$

$$\frac{d\theta_i}{dt}=\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial I_i}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_j/I_i}(I_i+I_j)\sin{(\theta_j-\theta_i)}}$$

因為$\frac{dI_i}{dt}=0$，所以$I_i=I$確定的流形是不變的，並且相位動力學$\frac{d\theta_i}{dt}$就是藏本模型的動力學。這類哈密頓系統描述了某些量子-經典系統，包括玻色-愛因斯坦凝聚。

## 模型的變體

模型有兩種類型的變體，一種改變模型的拓撲結構，另一種改變耦合函數的形式。

### 改變拓撲

除了具有全連拓撲的原始模型，足夠稠密的複雜網絡拓撲也可以用同樣的平均場處理。而對於局域的行為，例如鏈形或環形網路上的情況，不能再使用經典的平均場方法，所以只能具體問題具體分析，儘可能利用對稱性獲取解的資訊。

### 改變相位的相互作用

藏本把兩個振子之間的相位相互作用用第1個傅立葉分量來近似，即$\Gamma(\phi)=\sin\phi$，其中$\phi=\theta_j-\theta_i$。通過把高階傅立葉分量包括進來，可以得到更好的近似

$$\Gamma(\phi)=\sin\phi+a_1\sin{(2\phi+b_1)}+\cdots+a_n\sin{(2n\phi+b_n)}$$

例如，對於弱耦合霍奇金-赫胥黎模型的網路，其同步行為可以用一些振子來表示，這些振子的相互作用函數保留前四階傅立葉分量。高階項的引入也能帶來有趣的同步現象，例如異宿環、部分同步態、以及奇美拉態。