弗羅比尼烏斯內積

在數學中，弗羅比尼烏斯內積（Frobenius inner product）是一種基於兩個矩陣的二元運算，結果是一個數值。它常常被記為$\langle \mathbf{A},\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}$。這個運算是一個將矩陣視為向量的逐元素內積。參與運算的兩個矩陣必須有相同的維度、行數和列數，但不局限於方陣。

## 定義

給定兩個n×m維複矩陣 A和B：

$$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}} \,, \quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}$$

弗羅比尼烏斯內積定義為如下的矩陣元素求和

$$\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} =\sum_{i,j}\overline{A_{ij}} B_{ij} = \mathrm{tr}\left(\overline{\mathbf{A}^T} \mathbf{B}\right)$$

其中上劃線表示複數和複矩陣的共軛操作。若將定義詳細寫出，則有

$$\begin{align} \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = & \overline{A}_{11} B_{11} + \overline{A}_{12} B_{12} + \cdots + \overline{A}_{1m} B_{1m} \\ <pre> & + \overline{A}_{21} B_{21} + \overline{A}_{22} B_{22} + \cdots + \overline{A}_{2m} B_{2m} \\ & \vdots \\ & + \overline{A}_{n1} B_{n1} + \overline{A}_{n2} B_{n2} + \cdots + \overline{A}_{nm} B_{nm} \\ </pre> \end{align}$$

此計算與點積十分相似，所以是一個內積的範例。

### 性質

弗羅比尼烏斯內積是半雙線性形式。給定複矩陣A, B, C, D, 以及複數a和b，我們有

$$\langle a\mathbf{A}, b\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = \overline{a}b\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}$$

$$\langle \mathbf{A}+\mathbf{C}, \mathbf{B} + \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} = \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{A}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F}$$

並且，交換複矩陣的次序所得到的是原來結果的共軛矩陣：

$$\langle \mathbf{B}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = \overline{\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}}$$

對於相同的矩陣，有

$$\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} \geq 0 \,.$$

## 樣例

### 實矩陣

給定實矩陣：

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix}$$

則：

$$\begin{align}\langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = 2\cdot 8 + 0\cdot (-3) + 6\cdot 2 + 1\cdot 4 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-5) \\ & = 16 + 12 + 4 - 1 - 10 \\ & = 21 \end{align}$$

### 複矩陣

給定複矩陣

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1+i & -2i \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -2 & 3i \\ 4-3i & 6 \end{pmatrix}$$

那麼它們的共軛 (非轉置) 矩陣為

$$\overline{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix} 1-i & +2i \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \,,\quad \overline{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix} -2 & -3i \\ 4+3i & 6 \end{pmatrix}$$

因此。

$$\begin{align} \langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = (1-i)\cdot (-2) + (+2i)\cdot 3i + 3\cdot (4-3i) + (-5)\cdot 6 \\ & = (-2+2i) + -6 + 12-9i + -30 \\ & = -26 -7i \end{align}$$

但注意

$$\begin{align} \langle \mathbf{B} ,\mathbf{A}\rangle_\mathrm{F} & = (-2)\cdot (1+i) + (-3i)\cdot (-2i) + (4+3i)\cdot 3 + 6 \cdot (-5) \\ & = -26 + 7i \end{align}$$

A、B與其本身的弗羅比尼烏斯內積分別為

$$\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40$$

$$\langle \mathbf{B}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = 4 + 9 + 25 + 36 = 74$$

## 弗羅比尼烏斯範數

從弗羅比尼烏斯內積我們可以誘導出弗羅比尼烏斯範數

$$\|\mathbf{A}\|_\mathrm{F} = \sqrt{\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F}} \,.$$