康威十三進位函數

康威十三進位函數，或簡稱為康威函數，是由英國數學家約翰·康威構造的一個實函數（實變實值）。康威函數滿足強達布性質：它限制在任一非空開區間上的值域都是全體實數。作為推論，康威函數在實軸上無處連續，但和連續函數一樣也滿足介值性。因此，康威函數可用來說明介值定理的逆命題不真，即一個函數有介值性，並不代表它連續。

## 康威十三進位函數

### 定義

為定義康威函數 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},$ 首先將自變量 $x$ 在十三進位下展開，並忽略展式中出現的正負號或小數點. （為保證唯一性，不妨令非零 $x$ 的展式中含有無窮項且不以 $\dot0$ 結尾，並規定 $0=0.\dot0$；對於有限項展式則利用 $1=(0.\dot{C})_{13}$ 將其化為無窮項.）設十三進位所使用的13個字符為 $0,1,\cdots,9,A,B,C,$ 為方便起見，稱其中的 $0,1,\cdots,9$ 為數碼，而 $A,B,C$ 為字母. 康威函數的取值規則如下：

- 若 $x$ 的十三進位展式從某位起右側為$Ax_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots,$ 式中諸 $x_{i}, y_{j}$ 為數碼（$\{0,1,\dots ,9\}$ 中的元素），則定義 $f(x)$ 的十進位展式為 $f(x) = (+x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots )_{10}.$（上式中允許無 $x_i$ 或無 $y_i,$ 此時可認為空字符串對應於0.）
- 類似的，若 $x$ 的十三進位展式從某位起右側為$Bx_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots,$ 其中所有的 $x_{i}, y_{j}$ 都為數碼，則定義 $f(x)$ 的十進位展式為 $f(x) = (-x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots )_{10}.$（同樣允許無 $x_i$ 或無 $y_i,$ 此時適當補0.）
- 其他情形下一律定義 $f(x) = 0.$ 具體包括：
- $x$ 的十三進位展式中有無窮多個字母（屬於 $\{A,B,C\}$），包括 $x$ 非零且為有限位（因而以 $C$ 的循環結尾）的情形。
- 展式中最右一個字母不是 $C,$ 包括展式僅由數碼構成的情形，特別地，包括 $x=0$。
- 展式中最右一個字母是 $C,$ 但其左側無字母或左側第一個字母仍為 $C$.

簡言之，對於 $x$ 的無窮十三進位展式，忽略小數點和正負號，若從右往左數第一個字母為 $C,$ 將其變為小數點，後面照抄；再從那一位開始往左數，遇到的第一個 $A$ 或 $B$ 變為相應的正負號，中間照抄；再左側的全部刪去. 所得的不包含字母的字串可視為一個十進位數，即為 $f(x).$ 其他情況下 $f(x) = 0$.

例如：

$$f((A3C14159)_{13}) = f((-9B8A.03C14159)_{13}) = 3.14159$$

$$f((A.0B3C1415\dot9)_{13}) = -3.1415\dot9 = -3.1416;$$

$$f((0.\dot{A}CC\dot{A})_{13}) = f((1ACC.14159)_{13}) = f((-3C1415\dot9)_{13}) = 0,$$

### 性質

如上定義的康威函數 $f$ 無處連續，卻和連續函數一樣滿足介值性. 具體地說，對任何閉區間 $[a,b],$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可以取到介於 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之間的任何值 . 事實上 $f$ 還滿足更強的性質——強達布性質，即 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 的每個非退化區間（左端點小於右端點的區間）上值域均為 $\mathbb{R}$；或等價地說，對每個 $c\in\mathbb{R},$ $f$ 的水平集$f^{-1}(c) = \{x\in \mathbb{R}: f(x)=c\}$ 在實軸上稠密. 顯然，強達布性質蘊含介值性和無處連續性（因函數在連續點的某個鄰域內有界）.

對強達布性質的證明，關鍵在於康威函數的定義本質上只與自變量十三進位展式的尾部有關. 詳言之，對任意 $y\in\mathbb{R},$ 首先寫出 $y$ 的唯一無限十進位展式，之後將其小數點變為 $C,$ 正負號分別變為 $A$ 或 $B,$ 然後在其頭部（即左側）添加任意一個位數有限的十三進位字串$X$，再隨意添加一個小數點和一個正負號，可得一個新的十三進位數. 根據康威函數的構造，按此法所得的新的十三進位數均在 $f^{-1}(y)$ 中，反之亦然（此時要求 $y\neq 0$）. 事實上這正是康威函數的非零水平集（除零點集之外的其他水平集）之刻畫：以 $c=4/3=1.\dot{3}$ 為例，$f^{-1}(4/3)$ 由所有十三進位展式中（忽略小數點）尾部為 $A1C\dot{3}$ 的實數組成，例如$(-B0A1C33.\dot{3})_{13}.$ 若 $c=-0.1=-0.0\dot9$，$f^{-1}(-0.1)$ 由所有十三進位展式中尾部為 $B1C0\dot{9}$ 的實數組成.

因此，對任何非退化區間 $I\subset\mathbb{R},$ 設其長度$|I|>2\times 13^{-M}(M\in\mathbb{N}^*),$ 並記 $t_0$ 為 $I$ 的中點. 對於 $t_0$ 的十三進位展式，保持其整數部分和小數點後 $M$ 位不動，將其右側修改為任意的十三進位字串 $Y=A a_1\cdots a_n C b_1\cdots b_2 b_n\cdots,$ 其中 $a_i, b_j$ 為數碼，則 $f(t)$ 只由 $Y$ 決定，且所得的新十三進位數 $t$ 與 $t_0$ 的整數部分和小數部分前 $M$ 位都相同，故 $|t-t_0|\leq 13^{-M},$ 即 $t\in I.$ 可見只要適當選取 $Y,$ $f(I)$ 跑遍所有實數，即 $f$ 滿足強達布性質，換言之 $f$ 的所有水平集都稠密.

從水平集的可數性角度考慮，康威函數 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上的所有非零水平集均可數，而其零點集 $f^{-1}(0)$ 不可數. 前一論斷是因為非零水平集的十三進位展式尾部須固定，而其左側僅有有限項；後一論斷是因為 $f^{-1}(0)$ 包含所有十三進位展式僅由數碼構成（不包含字母）的實數，此類數構成的集合到 $(0,1)$ 中實數的小數部分有一個自然的滿射，故不可數（因 $(0,1)$ 不可數），從而 $f^{-1}(0)$ 亦不可數.

康威函數 $f$ 是幾乎處處為0的可測函數，事實上其零點集的補集 $T=\{x\in\mathbb{R}: f(x)\neq 0\}$ 是稠密且不可數的零測集（注意，康威函數的每個非零水平集都可數，但它們的併集不可數）. 由 $f$ 的強達布性質， $T$ 的稠密性顯然，不可數性亦為其推論：$f$ 的每一個水平集都非空，而不可數個非空集合之並必定不可數. $T$ 的零測性蘊含於下述兩個事實：第一， $T$ 中每點的十三進位展式中僅有有限個字母；第二，對於任何一個字符，例如 $A,$ 十三進位展式中僅包含有限個 $A$ 的實數全體為零測集. （後一個事實的證明類似於康托三分集為零測集的證明.）

### 推廣

康威函數 $f$ 的任一非零水平集雖稠密但可數. 一個自然的問題是：是否存在一個函數，其所有水平集不但稠密而且不可數. 答案是肯定的，並可由康威函數稍加改造而說明. 具體地講，在康威函數的定義中，將 $f(x)$ 的十進位小數部分由 $\cdots .y_1 y_2 y_3 y_4\cdots$ 變為 $\cdots .y_1 y_3 y_5 y_7\cdots,$ 其他一律照舊，所構造的新函數稱為 $g,$ 則 $g$ 的任一水平集為不可數稠密集.

證明亦類似. 因 $f^{-1}(0)\subset g^{-1}(0),$ 故 $g$ 的零點集為不可數稠密集. 對於 $g$ 的非零水平集 $g^{-1}(c)$，不妨設 $c=(+Y. b_1b_2\cdots b_n\cdots)_{10}>0,$ 則 $g^{-1}(c)$ 恰為十三進位展式形如$XAYC b_1 a_1 b_2 a_2 b_3 a_3 \cdots a_nb_n\cdots$ 的實數組成的集合（忽略正負號和小數點），其中 $X$ 取遍位數有限的十三進位字串，$\{a_i\}_{i=1}^\infty$ 取遍由數碼組成的無窮序列. 由 $X$ 的任意性，$f^{-1}(c)$ 稠密；其不可數性源於 $\left\{ \{a_i\}_{i=1}^\infty: a_i\in\{0,1,\cdots,9\} \right\}$ 為不可數集.