阿諾索夫微分同胚

在數學中，尤其是動力系統與幾何拓撲中，流形M上的阿諾索夫映射（Anosov map）是M到自身的一種映射。阿諾索夫系統是A公理系統的特例。

阿諾索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）由德米特里·維克托羅維奇·阿諾索夫引入，他證明了這種微分同胚的行為在某種意義上是普遍的。

## 概述

有三個相互聯繫但又有區別的定義：

- 若M上的可微映射f在切叢上有雙曲結構，則稱f是一個阿諾索夫映射。例子有伯努利映射，以及阿諾爾德貓映射。
- 若這個映射還是一個微分同胚，則稱為阿諾索夫微分同胚。
- 若流形上的一個流把切叢分成三個不變子叢，其中一個子叢呈指數衰減，一個指數增大，第三個不增大也不減小，則這個流稱為阿諾索夫流。

阿諾索夫證明了阿諾索夫微分同胚是結構穩定的，並且組成了全體映射（流）的開子集（$\mathcal{C}^1$拓撲）。

並非每個流形上都可以有阿諾索夫微分同胚；例如，球面上就沒有這樣的微分同胚。容許有阿諾索夫微分同胚的最簡單的緊流形是環面：上面有所謂的線性阿諾索夫微分同胚，這是沒有模1特徵值的同構。可以證明環面上其他的阿諾索夫微分同胚都與這種同胚拓撲共軛。

對容許有阿諾索夫微分同胚的流形進行分類是非常困難的問題，截至2012年仍然沒有解決。

另外，也不清楚是否每個$\mathcal{C}^1$且保持體積的阿諾索夫微分同胚都是遍歷的。阿諾索夫證明了把$\mathcal{C}^1$換成$\mathcal{C}^2$的條件下是成立的。

## 黎曼曲面（的切叢）上的阿諾索夫流

負曲率黎曼曲面的切叢上的阿諾索夫流。這個流可以理解為雙曲幾何的龐加萊半平面模型的切叢上的流。負曲率黎曼曲面可以用福克斯模型來定義，即上半平面與福克斯群的商。設$\mathbb{H}$為上半平面，$\Gamma$為福克斯群，$M=\mathbb{H}/\Gamma$為負曲率黎曼曲面，$T^1M$為流形M上的單位向量的切叢，$T^1\mathbb{H}$是$\mathbb{H}$的單位向量的切叢。注意曲面上單位向量的叢是復直線叢的主叢。

### 李向量場

注意$T^1\mathbb{H}$同構於李群$\text{PSL}(2,\mathbb{R})$。這個群是上半平面的保向等距同構組成的群。$\text{PSL}(2,\mathbb{R})$的李代數是$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$，由以下矩陣表示

$$J=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & -1/2 \end{pmatrix} \quad X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad Y=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$[J,X]=X,\quad [J,Y]=-Y,\quad [X,Y]=2J$$

指數映射

$$g_t=\exp{tJ}=\begin{pmatrix} e^{t/2} & 0 \\ 0 & e^{-t/2} \end{pmatrix}\quad h^*_t=\exp{tX}=\begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\quad h_t=\exp{tY}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \end{pmatrix}$$

定義了流形$T^1\mathbb{H}=\text{PSL}(2,\mathbb{R})$上的右不變流，而$T^1M$與此類似。定義$P=T^1\mathbb{H},Q=T^1M$，這些流定義了P和Q上的向量場。

### 阿諾索夫流

$g_t$是P和Q上的測地流。根據定義李向量場在群元素的作用下是左不變的，可以得到這些場在$g_t$下是左不變的。換句話說，空間$TP$和$TQ$分成了三個一維空間，或子叢，每一個都在測地流作用下不變。最後注意到其中一個子叢的向量場呈指數擴大，另一個不變，第三個呈指數縮小。

精確地說，切叢$TQ$可以寫成直和

$$TQ=E^+\oplus E^0\oplus E^-$$

這些空間在測地流的作用下不變；即，在群元素$g=g_t$的作用下不變。

要比較不同點q處$T_qQ$的向量的長度，需要有度量。$T_eP = \mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$上的任何內積都可擴張成P上的左不變黎曼度量，進而得到Q上的黎曼度量。向量$v\in E^+_q$的長度在$g_t$的作用下指數增大。向量$v\in E^-_q$的長度在$g_t$的作用下指數衰減。$E^0_q$中的向量不變。測地流是不變的

$$g_sg_t=g_tg_s=g_{s+t}$$

但另外兩個分別是衰減和增大的：

$$g_sh^*_t=h^*_{t\exp{(-s)}}g_s$$

$$g_th_t=h_{t\exp{s}}g_s$$

其中$E^+_q$中的切向量由曲線$h_t$在$t=0$處的導數給出。

### 阿諾索夫流的幾何解釋

當作用在上半平面的點$z=i$時，$g_t$對應了上半平面的一條過點$z=i$的測地線。這個作用就是$\text{SL}(2,\mathbb{R})$在上半平面的標準莫比烏斯變換，所以

$$g_t\cdot i=\begin{pmatrix} \exp{(t/2)} & 0 \\ 0 & \exp{(-t/2)} \end{pmatrix}\cdot i=i\exp{t}$$

一般的測地線

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot i\exp{t}=\frac{ai\exp{t}+b}{ci\exp{t}+d}$$

式中$a,b,c,d$是實數，且$ad-bc=1$。曲線$h^*_t$與$h_t$稱為極限圓。極限圓對應於極限球面的法向量在上半平面的運動。

## 參考資料

- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) 1994, " Y-system,U-system, C-system ", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).)
- This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
- Toshikazu Sunada(砂田 利一), Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.