已知最大質數

已知最大質數為2136,279,841 − 1，十進制時有41,024,320位數，由網際網路梅森素數大搜索（GIMPS）的志願者盧克 · 杜蘭特（Luke Durant）於2024年發現。

質數，又名素數，是一個除1與自身之外沒有其他正因數的正整數。歐幾里得定理說明質數沒有上限，不少數學家與嗜好者故一直尋找大質數。

不少大質數為梅森素數，定義為2的冪減去1的正整數。首七個已知大質數皆為梅森素數。近十八次最大質數紀錄皆為梅森素數。所有梅森素數的二進位表示中，所有數字皆為1。

盧卡斯-萊默檢驗法的快速傅立葉變換比起其他方式能更快速尋找到梅森素數。

## 現時紀錄

截至2024年，已知最大質數為2136,279,841 − 1，共有41,024,320位數，由網際網路梅森素數大搜索於2024年10月12日發現。其數值為：

上面只顯示首尾各120位數。

## 獎金

網際網路梅森素數大搜索現為下載其軟體並成功尋找新梅森素數的參與者提供3,000美元獎金，該梅森素數的數位應少於一億位。

電子前哨基金會亦為大質數的找尋設立了數個獎項，網際網路梅森素數大搜索亦有協調一億數位以上的質數搜索，並與成功尋找者分享電子前哨基金會所提供的150,000元美金獎金。

1999年發現首個超過一百萬數位的質數，並取得50,000美元獎金。2008年發現了超過一千萬數位的質數，並取得100,000美元獎金。時代雜誌稱之為2008年第29名最佳發現兩項獎金皆為網際網路梅森素數大搜索的參加者。電子前哨基金會現為首個一億及十億數位的質數提供獎金。

## 已知最大質數歷史

下表列出已知最大質數沿革，並按時序排列。此處Mn = 2n − 1，為2的n次方。時間最長的紀錄保持者為M19 = 524,287，為已知最大質數共計144年。1456年之前未存有關最大質數的紀錄。

數字｜數字展開（僅限小於M5000的數字）｜數位｜發現年份｜發現者

M13｜8,191｜4｜1456｜佚名

M17｜131,071｜6｜1588｜伯多祿·卡塔迪

M19｜524,287｜6｜1588｜伯多祿·卡塔迪

$\tfrac{2^{32}+1}{641}$｜6,700,417｜7｜1732｜萊昂哈德·歐拉歐拉並未正式發表此數，但他於232 + 1的因式分解中已完成此質數的大部分證明過程，故部分專家認為歐拉知道此為質數

M31｜2147483647｜10｜1772｜萊昂哈德·歐拉

$\tfrac{2^{64}+1}{274177}$｜67,280,421,310,721｜14｜1855｜湯馬斯·克勞森

M127｜170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727｜39｜1876｜愛德華·盧卡斯

$\tfrac{2^{148}+1}{17}$｜20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921｜44｜1951｜Aimé Ferrier使用機械計算機發現，非使用電腦發現的最大質數

180×(M127)2+1｜5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221｜79｜1951｜J. C. P.米勒與大衛·惠勒使用劍橋大學數學實驗室的EDSAC電腦

M521｜6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151｜157｜1952

M607｜531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127｜183｜1952

M1279｜104079321946...703168729087｜386｜1952

M2203｜147597991521...686697771007｜664｜1952

M2281｜446087557183...418132836351｜687｜1952

M3217｜259117086013...362909315071｜969｜1957

M4423｜285542542228...902608580607｜1,332｜1961

M9689｜478220278805...826225754111｜2,917｜1963

M9941｜346088282490...883789463551｜2,993｜1963

M11213｜281411201369...087696392191｜3,376｜1963

M19937｜431542479738...030968041471｜6,002｜1971

M21701｜448679166119...353511882751｜6,533｜1978

M23209｜402874115778...523779264511｜6,987｜1979

M44497｜854509824303...961011228671｜13,395｜1979

M86243｜536927995502...709433438207｜25,962｜1982

M132049｜512740276269...455730061311｜39,751｜1983

M216091｜746093103064...103815528447｜65,050｜1985

391581×2216193−1｜148140632376...836387377151｜65,087｜1989｜群組發現，包括約翰·布朗、藍登·克特·諾爾、B. K. 柏拉狄、哲恩·史密夫、喬爾·史密夫、沙治奧，為已知最大質數歷史中最大的非梅森素數。

M756839｜174135906820...328544677887｜227,832｜1992

M859433｜129498125604...243500142591｜258,716｜1994

M1257787｜412245773621...976089366527｜378,632｜1996

M1398269｜814717564412...868451315711｜420,921｜1996｜網際網路梅森素數大搜索，喬爾·阿孟較得

M2976221｜623340076248...743729201151｜895,932｜1997｜網際網路梅森素數大搜索，戈登·斯彭斯

M3021377｜127411683030...973024694271｜909,526｜1998｜網際網路梅森素數大搜索，羅蘭·克拉克森

M6972593｜437075744127...142924193791｜2,098,960｜1999｜網際網路梅森素數大搜索，拿恩·哈拉華拉

M13466917｜924947738006...470256259071｜4,053,946｜2001｜網際網路梅森素數大搜索，米高·卡梅倫

M20996011｜125976895450...762855682047｜6,320,430｜2003｜網際網路梅森素數大搜索，米高·沙夫

M24036583｜299410429404...882733969407｜7,235,733｜2004｜網際網路梅森素數大搜索，喬許·芬德利

M25964951｜122164630061...280577077247｜7,816,230｜2005｜網際網路梅森素數大搜索，馬田·諾或

M30402457｜315416475618...411652943871｜9,152,052｜2005｜網際網路梅森素數大搜索，柯蒂斯·庫珀與史提夫·布恩

M32582657｜124575026015...154053967871｜9,808,358｜2006｜網際網路梅森素數大搜索，柯蒂斯·庫珀與史提夫·布恩

M43112609｜316470269330...166697152511｜12,978,189｜2008｜網際網路梅森素數大搜索，埃德森·史密夫

M57885161｜581887266232...071724285951｜17,425,170｜2013｜網際網路梅森素數大搜索，柯蒂斯·庫珀

M74207281｜300376418084...391086436351｜22,338,618｜2016｜網際網路梅森素數大搜索，柯蒂斯·庫珀

M77232917｜467333183359...069762179071｜23,249,425｜2017｜網際網路梅森素數大搜索，強納森·佩斯

M82589933｜148894445742...325217902591｜24,862,048｜2018｜網際網路梅森素數大搜索，派翠克·拉羅次

M136279841｜881694327503...219486871551｜41,024,320｜2024｜網際網路梅森素數大搜索，盧克·杜蘭特

網際網路梅森素數大搜索發現了近十五個最大質數紀錄。

## 二十大已知質數

克里斯·科德韋爾設有一列表，內共有已知最大的五千個質數，其中最大二十個列於下表。

排名｜數字｜發現日期｜數位｜種類｜參考資料

1｜2136279841 − 1｜2024-10-12｜41,024,320｜梅森質數

2｜282589933 − 1｜2018-12-07｜24,862,048｜梅森質數

3｜277232917 − 1｜2017-12-26｜23,249,425｜梅森質數

4｜274207281 − 1｜2016-01-07｜22,338,618｜梅森質數

5｜257885161 − 1｜2013-01-25｜17,425,170｜梅森質數

6｜243112609 − 1｜2008-08-23｜12,978,189｜梅森質數

7｜242643801 − 1｜2009-06-04｜12,837,064｜梅森質數

8｜Φ3(−5166931048576)（5166932097152−5166931048576+1）｜2023-10-02｜11,981,518｜廣義唯一素數

9｜Φ3(−4658591048576)（4658592097152−4658591048576+1）｜2023-05-31｜11,887,192｜廣義唯一素數

10｜237156667 − 1｜2008-09-06｜11,185,272｜梅森質數

11｜232582657 − 1｜2006-09-04｜9,808,358｜梅森質數

12｜10223 × 231172165 + 1｜2016-10-31｜9,383,761｜普羅斯數

13｜230402457 − 1｜2005-12-15｜9,152,052｜梅森質數

14｜4 × 511786358 + 1｜2024-10-01｜8,238,312｜廣義普洛斯數

15｜225964951 − 1｜2005-02-18｜7,816,230｜梅森質數

16｜69 × 224612729 − 1｜2024-08-13｜7,409,102

17｜224036583 − 1｜2004-05-15｜7,235,733｜梅森質數

18｜107347 × 223427517 − 1｜2024-08-03｜7,052,391

19｜3 × 222103376 − 1｜2024-09-30｜6,653,780｜塔別脫數

20｜19637361048576 + 1｜2022-09-24｜6,598,776｜廣義費馬數