自然密度

自然密度（natural density），又稱漸進密度（asymptotic density），是數論中度量自然數子集大小的工具之一。

## 簡介

以平方數集和自然數集的大小關係為例：

平方數集與自然數集都是可數無窮集，我們能夠在兩個集合間建立一一映射（對於任意的自然數$n$都可以找到對應的平方數$n^2$與之對應，反之亦然），即兩個集合是等勢的。

然而，這種基於基數的大小比較違反了自然數多於平方數的直觀認識，因為所有平方數都是自然數，而卻有許多自然數不是平方數，且隨著自然數的增大平方數會變得越來越稀少。通過將這種度量集合大小的直覺嚴格化，可以得到自然密度這一概念。

考慮自然數的一個子集$A$和整數區間$[1,n]$：

如果從整數區間$[1,n]$中隨機選取一個整數，那麼這個整數屬於$A$的機率應該等於$A$與整數區間$[1,n]$的交集中的所有元素在整數區間$[1,n]$中的占比。當$n$趨近於無窮時，若上述機率也趨近於某個極限，則將該極限定義為$A$的自然密度。

$A$的自然密度也可以被理解為：任取一個自然數，該自然數屬於$A$的機率。

自然密度（以及一些其他類型的密度）也是機率數論的研究對象。

與施尼勒爾曼密度不同，並不是任何自然數的子集都有自然密度。這是自然密度的一個不足之處。

## 定義

對於一個自然數集的子集$A$，當$n$趨向於無窮時，若$A$中不大於$n$的元素個數與$n$的比值收斂到$\alpha$，則稱$A$的自然密度為$\alpha$。

更進一步，若定義$a(n)$為$A$里不大於$n$的元素個數，那麼命題「$A$的自然密度為$\alpha$」等效於：

$\frac{a(n)}{n}\to\alpha$，當$n\to\infty$

從定義中可以看出，若$\alpha$是某個集合$A$的自然密度，則一定有$0\le\alpha\le 1$。

### 上自然密度

設$A$ 是自然數集$\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$的一個子集。對任何$n\in\mathbb{N}$，定義$A(n)=\{1,2,\ldots,n\} \cap A$，$a(n)=|A(n)|$。

則$A$的上自然密度（upper asymptotic density）為：

$$\overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n}$$

其中$\limsup$是上極限。$\overline{d}(A)$也可簡稱為$A$的上密度。

### 下自然密度

同樣地，定義A的下自然密度（lower asymptotic density）為：

$$\underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ a(n) }{n}$$

### 自然密度的其他定義方法

- 由上自然密度和下自然密度的定義，我們也可以說$A$的自然密度$d(A)$是：

若$\overline{d}(A)=\underline{d}(A)$，則$d(A)$等於$\overline{d}(A)$（或$\underline{d}(A)$）。

$d(A)=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n}$（若極限存在）

- 可以證明，下述命題也是自然密度的定義：

若將自然數集$\mathbb{N}$的子集$A$寫作一個遞增數列：

$$A=\{a_1<a_2<\ldots<a_n<\ldots; n\in\mathbb{N}\}$$

那麼

$$\underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n},$$

$$\overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}$$

$d(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}$（若極限存在）

### 推廣

一個稍弱的密度定義是 上Banach密度（upper Banach density）。對於$A \subseteq \mathbb{N}$，定義$d^*(A)$為：

$$d^*(A) = \limsup_{N-M \rightarrow \infty} \frac{| A \cap \{M, M+1, \ldots , N\}|}{N-M+1}$$

## 性質

- 若對於集合$A$存在$d(A)$，則對於其補集$A^\complement$，$d(A^\complement)=1-d(A)$成立。
- 若$d(A)$，$d(B)$及$d(A\cup B)$均存在，則$\max\{d(A),d(B)\} \leq d(A\cup B) \leq \min\{d(A)+d(B),1\}$成立。
- 自然數集的自然密度為$1$，即$d(\mathbb{N})=1$成立。
- 對於自然數集的任意有限子集$F$, 有$d(F)=0$成立。
- 對於平方數集$A=\{n^2; n\in\mathbb{N}\}$，有$d(A)=0$成立。
- 對於偶數集$A=\{2n; n\in\mathbb{N}\}$，有$d(A)=0.5$成立。更一般地，對於等差級數組成的集合$A=\{an+b; n\in\mathbb{N}\}$，有$d(A)=\frac1{a}$成立。
- 對於質數集合$P$，由質數定理知：$d(P)=0$成立。
- 無平方數因數的數的集合的自然密度為$\frac{6}{\pi^2}$。更一般地，無$n$次方因數的數的集合的自然密度為$\frac{1}{\zeta(n)}$，其中$\zeta(n)$是黎曼ζ函數。
- 過剩數集合具有非零的自然密度。Marc Deléglise在1998年證明了過剩數和完全數的集合的自然密度在0.2474與0.2480之間。
- 所有在二進位表示法中位數為奇數的自然數的集合，即$A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty \{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1\}$，不存在自然密度。這是因為該集合的上自然密度不等於下自然密度。

其上自然密度為：

$$\overline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1} = \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)} = \frac 23$$

而其下自然密度為：

$$\underline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}= \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}= \frac 13$$

- 同樣，所有十進位表示法中以$1$開頭的自然數的集合也不具有自然密度。其上自然密度為$\frac 59$而其下自然密度為$\frac 19$。
- 對區間0,1上的任意Equidistributed序列$\{\alpha_n\}_{n\in\N}$，定義單調集族$\{A_x\}_{x\in[0,1]}$:

$$A_x:=\{n\in\mathbb{N}\,:\, \alpha_n<x \}$$

則依定義有：

對於任意的$x$，$d(A_x)= x$。

- 若$S$有正的上自然密度，則塞邁雷迪定理表明$S$包含了任意長度的等差數列。Furstenberg–Sárközy定理表明，$S$內一定存在差為平方數的兩個元素。

## 其他密度函數

用類似的方法可以定義出自然數集上的其他密度函數。例如，集合$A$的對數密度（logarithmic density）可以定義為：

$\mathbf{\delta}(A) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\log x} \sum_{n \in A, n \le x} \frac{1}{n}$（若極限存在）

同樣也可以定義對應的上對數密度和下對數密度。