泊松求和公式

泊松求和公式（英文：Poisson Summation Formula）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。

## 公式

設無周期函數$s(x)$具有傅立葉變換：

$$S(f) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} s(x)\ e^{-i2\pi fx}\, dx$$

這裡的$S(f)$也可以替代表示為$\hat s(f)$和 $\mathcal{F}\{s\}(f)$。有如下基本的泊松求和公式：

$$\sum_{n=-\infty}^\infty s(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty S(k)$$

對於二者通過周期求和而得到的周期函數：

$$s_{_P}(x) \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty} s(x + nP), \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$S_{1/T}(f) \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} S(f + k/T), \quad k,T \in \mathbb{Z}$$

這裡的參數$T>0$並且$P>0$，它們有著同$x$一樣的單位。有如下普遍的泊松求和公式：

$$s_{_P}(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \underbrace{\frac{1}{P}\cdot S(k/P)}_{S[k]}\ e^{i 2\pi \frac{k}{P} x }, \quad k \in \mathbb{Z}$$

這是一個傅立葉級數展開，其係數是函數$S(f)$的採樣。還有：

$$S_{1/T}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \underbrace{T\cdot s(nT)}_{s[n]}\ e^{-i 2\pi n Tf}, \quad n,T \in \mathbb{Z}$$

這也叫做離散時間傅立葉變換。

## 推導泊松求和公式所需的先備公式

考慮狄拉克δ函數$\delta(t)$，製作一個有無限多個$\delta(t)$，且間隔為$T_0$的週期函數$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)$。

其傅立葉轉換為①$\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}=$②$\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{n}{T_0}\right)$

### 證明①轉換對

$\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right\}$=$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\left\{\delta(t-nT_0)\right\}$=$\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}$。

### 證明②轉換對

設$c_n$為週期函數$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)$的傅立葉級數。

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)$可表示為$\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}}$。

由傅立葉級數得:

$c_n=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta(t-mT_0)e^{-j2\pi{n}\frac{t}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\delta(t)e^{-j2\pi{n}\frac{t}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\delta(t)e^{-j2\pi{n}\frac{0}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}$。

因此，$\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right\}=\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}}\right\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T_0}\mathcal{F}\left\{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}\right\}=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-n\frac{1}{T_0})$。

得到等式:$\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}=$ $\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{n}{T_0}\right)$。

經由適當的變量代換，$T_0$以$\frac{1}{T_0}$代換，$f$以$t$代換，得$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT_0\right)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi n\frac{1}{T_0}t}=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$(因為n從負無限大到正無限大)

## 推導泊松求和公式

### 從對頻域做取樣尋找關係式

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)*\delta(t-nT_0)$$

$$=x(t)*\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)$$

$$=x(t)*\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$$

$$=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)*e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$$

$$=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}(t-\tau)}d\tau$$

$$=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j2\pi n\frac{1}{T_0}\tau}d\tau ]e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}\right\}$$

$$=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}$$

當$t=0$時，得$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})$。

表示一個信號的在時域以$T_0$為間隔做取樣，在頻域以$\frac{1}{T_0}$為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有$T_0$倍的關係。

### 從對時域做取樣尋找關係式

$$\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f-\frac{n}{T_0})$$

$$=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f)*\delta(f-\frac{n}{T_0})$$

$$=X(f)*[\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-\frac{n}{T_0})]$$

$$=X(f)*\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f)*e^{-j2\pi nT_0f}$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X(\lambda)e^{-j2\pi nT_0(f-\lambda)}d\lambda$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{[\int_{-\infty}^{\infty}X(\lambda)e^{j2\pi nT_0\lambda}d\lambda]e^{-j2\pi nT_0f}\right\}$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)e^{-j2\pi nT_0f}$$

當$f=0$時，得$\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)$。

表示一個信號的在時域以$T_0$為間隔做取樣，在頻域以$\frac{1}{T_0}$為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有$T_0$倍的關係。

---------------------------------------------------------------綜合上述，若時域取樣間隔$T_0=1$時，同樣地，頻域取樣間隔$\frac{1}{T_0}=1$時，得泊松求和公式$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k)$。

## 週期信號的傅立葉轉換

考慮一個週期為${T_0}$的週期信號$g(t)$，$G(f)$為$g(t)$的傅立葉轉換，取出g(t)在區間$[-\frac{T_0}{2},\frac{T_0}{2}]$的一個完整週期$x(t)$，亦即$x(t)=g(t)rect(\frac{t}{T_0})$，$X(f)$是$x(t)$的傅立葉轉換，其中$rect(t)$是矩形函數。$a_n$是$g(t)$的傅立葉級數。

則$G(f)$

$$=\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}\right\}$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n \delta(f-\frac{n}{T_0})$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T_0}X(\frac{n}{T_0})\delta(f-\frac{n}{T_0})$$

得出一週期信號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。