時頻分析中的核方法

時頻分析的性質由其分布的核所決定，藉由檢視分布核的限制條件我們能很容易的了解時頻分布的優缺點並讓我們快速的選擇符合需求的時頻分布。因此我們將利用時頻分布和核函數之間的關聯研究相對應的時頻分析性質，並以此作為設計時頻分析的基準。

## 時頻分布的形式

所有的時頻分布皆可以表示為$$C(t,\omega)=\frac{1}{4\pi^{2}}\int\int\int s^{*}(u-\frac{1}{2}\tau)s(u+\frac{1}{2}\tau)\phi (\theta \, ,\tau)e^{-j\theta t -j\tau \omega +j\theta u}du d\tau d\theta$$，其中$\phi (\theta \, ,\tau)$被稱作時頻分布的核。

下表列出了幾個常見的時頻分布與其對應的核

時頻分布｜核

維格納分布｜1

科恩分布｜$\frac{\sin\frac{1}{2}\theta \tau}{\frac{1}{2}\theta \tau}$

Choi-Williams分布｜$e^{\frac{-\theta^2 \tau^2}{\sigma}}$

Page分布｜$e^{j\theta |\tau|}$

時頻譜｜$\int h^{*}(u-\frac{1}{2}\tau)e^{-j\theta u}h(u+\frac{1}{2}\tau) du$

## 時頻分布的不同形式

我們可以將廣義的時頻分布形式做變形以便從不同的角度觀察時頻分布與其核的關係，在時頻分布的性質與核中會看到這些表示式提供對核的刻畫與限制，其中常用的幾種等價表示式為

### 特徵函數

若令廣義的模稜函數$M(\theta \, ,\tau)$為

$$M(\theta \, ,\tau)=\int\int s^{*}(u-\frac{1}{2}\tau)s(u+\frac{1}{2}\tau)\phi (\theta \, ,\tau)e^{j\theta u}du=\phi (\theta \, ,\tau)A(\theta \, ,\tau)$$

其中$A(\theta \, ,\tau)$為信號$s(t)$本身的模稜函數,則時頻分布可表為$M(\theta \, ,\tau)$的特徵函數

$$C(t,\omega)=\frac{1}{4\pi^{2}}\int\int M(\theta \, ,\tau)e^{-j\theta t -j\tau \omega}d\theta d\tau$$

### 自相關函數

計算廣義的局部自相關函數$R_t(\tau)$為

$$R_t(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int\int s^{*}(u-\frac{1}{2}\tau)s(u+\frac{1}{2}\tau)\phi (\theta \, ,\tau)e^{j\theta (u-t)}d\theta du$$

則時頻分布可表示成$R_t(\tau)$的傅立葉轉換，可類比功率譜密度和自相關函數之間的關係。

$$C(t,\omega)=\frac{1}{2\pi}\int R_t(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$$

### 傅立葉變換

將核函數對參數$\theta$做傅立葉變換可得

$$r(t,\tau)=\frac{1}{2\pi}\int \phi(\theta , \tau)e^{-jt \theta}d\theta$$

$$C(t,\omega)=\frac{1}{2\pi}\int\int r(t-u ,\tau) s^{*}(u-\frac{1}{2}\tau)s(u+\frac{1}{2}\tau) e^{-j\omega \tau}d\tau du$$

### 雙線性變換

對於廣義時頻分布做變數變換 $x'=u-\frac{1}{2}\tau; x=u+\frac{1}{2}\tau$ 則有

$$C(t,\omega)=\int\int K(t,\omega ,x', x)s^{*}(x')s(x)dx'dx$$

$$K(t,\omega ,x', x)=\frac{1}{2\pi}r(t-\frac{1}{2}(x+x'),x'-x)e^{-j\omega (x'-x)}$$

## 核的分類

由於任意的二維函數都可以作為核而產生時頻分布，事實上我們要面對的是無限多種的核(與時頻分布)，因此在現實應用與討論中我們常常將注意力放在一部份擁有特定足夠好性質的核函數，以下簡介之

### 乘積核

核函數僅依賴的參數$\theta \, \tau$的積$$\phi(\theta \, \tau)=\phi(\theta \tau)$$

### 可分核

核函數可被分解為兩個單變數函數的積$$\phi(\theta \, \tau)=\phi_1(\theta)\phi_2(\tau)$$

### 雙線性核

核函數不依賴時間參數$t$與頻率參數$\omega$，函數$K(t,\omega ,x', x)=\frac{1}{2\pi}r(t-\frac{1}{2}(x+x'),x'-x)e^{-j\omega (x'-x)}$對參數$x, x'$為雙線性

## 時頻分布的性質與核

以下我們討論時頻分布的基本性質與為了達到這些性質核函數必須要滿足的條件

### 邊際條件

考慮時頻分布函數$C(t,\omega)$，我們希望對於頻率參數$\omega$積分之後能得到在時間$t$的信號能量,因此我們必須使下式成立

$$\int C(t,\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi}\int\int \phi(\theta, 0)|s(u)|^{2}e^{j\theta (u-t)}=|s(u)|^{2}$$

因此我們必須要求$\phi(\theta,0)=1$。相同的為了得到$\int C(t,\omega) dt=|s(\omega)|^{2}$, 我們必須要求$\phi(0,\tau)=1$

最後，考慮總能量我們則須要求$\phi(0,0)=1$

### 實數性

為了使時頻分布的計算結果為實數，考慮時頻分布的特徵函數計算式，相當於對$M(\theta \,,\tau )$進行兩次傅立葉轉換

$$C(t,\omega)=\frac{1}{4\pi^{2}}\int\int M(\theta \, ,\tau)e^{-j\theta t -j\tau \omega}d\theta d\tau$$

因此廣義模稜函數$M(\theta \,,\tau )$必須滿足共軛對稱性

$$M(\theta \,,\tau )=M^{*}(-\theta \,,-\tau )$$

在信號本身為實數信號時的$s(t)$模稜函數$A(\theta \, ,\tau)$直接滿足共軛對稱，因此條件變為

$$\phi(\theta \,,\tau )=\phi^{*}(-\theta \,,-\tau )$$

### 位移性質

考慮對輸入信號做時頻位移$s'=e^{j\omega_0 t}s(t-t_0)$，若要對應的時頻分布滿足$C'(t,\omega)=C(t-t_0,\omega - \omega_0)$，則核函數必須不依賴時間和頻率。

### 縮放性質

考慮縮放後的信號$s'(t)=\sqrt(a)s(at)$, 我們希望對應的時頻分布滿足$C'(t,\omega)=C(at, \frac{\omega}{a})$，則核函數必須是乘積核$$\phi(\theta \, \tau)=\phi(\theta \tau)$$

### 逆變換

我們希望能從時頻分布$C(t,\omega)$中重新恢復輸入信號$s(t)$

由關係式$A(\theta \, ,\tau)=\frac{M(\theta \, ,\tau)}{\phi(\theta \, ,\tau)}$兩側同時取傅立葉變換可得

$$s^{*}(u-\frac{1}{2}\tau)s(u+\frac{1}{2}\tau)=\frac{1}{2\pi}\int\frac{M(\theta \, ,\tau)}{\phi(\theta \, ,\tau)}e^{-j\theta u}d\theta$$

做變數變換$t=u+\frac{1}{2}\tau, t'=u-\frac{1}{2}\tau$，並取$t'=0$可得

$$s(t)=\frac{1}{2\pi s^{*}(0)}\int\frac{M(\theta \, ,\tau)}{\phi(\theta \, ,\tau)}e^{-j\theta u}d\theta=\frac{1}{2\pi s^{*}(0)}\int\frac{C(t' ,\omega)}{\phi(\theta \, ,\tau)}e^{jt\omega + j\theta (t'-\frac{t}{2})}dt' d\omega d\theta$$

## 不同時頻分布之間的關係

現在我們考慮對同一個信號使用不同的核函數$\phi_1(\theta \, ,\tau),\phi_2(\theta \, ,\tau)$，獲得兩個時頻分布$C_1,C_2$

這兩個時頻分布的特徵函數為$M_i(\theta \, ,\tau)=\phi_i(\theta \, ,\tau)\int s^{*}(u-\frac{1}{2}\tau)s(u+\frac{1}{2}\tau) du, i=1,2$

因此特徵函數和核函數的關聯為$M_1(\theta \, ,\tau)=\frac{\phi_1(\theta \, ,\tau)}{\phi_2(\theta \, ,\tau)}M_2(\theta \, ,\tau)$

因此我們可以將$C_1$以$C_2$表達為:

$$C_1(t,\omega)=\frac{1}{4\pi^2}\int\int\int\int\frac{\phi_1(\theta \, ,\tau)}{\phi_2(\theta \, ,\tau)}C_2(t',\omega')e^{j\theta (t'-t)+j\tau (\omega -\omega')}$$