完整群

微分幾何中，一個微分流形上的聯絡的完整（holonomy，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移動一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。

流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼幾何中列維-奇維塔聯絡的和樂（稱為黎曼和樂）。向量叢聯絡的和樂、嘉當聯絡的和樂，以及主叢聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。

對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由引入，以用於對稱空間的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年，喬治·德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切叢可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡兒積。稍後，於1953年，馬塞爾·伯格 給出所有不可約和樂的分類。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。

## 定義

### 向量叢聯絡的和樂

設 M 為光滑流形，E 為其上的 k 維向量叢，∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : 0,1 → M, 該聯絡定義了一個平行移動映射 Pγ : Ex → Ex. 該映射是可逆線性映射，因此是一般線性群 GL(Ex) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為

$$\operatorname{Hol}_x(\nabla) = \{P_\gamma \in \mathrm{GL}(E_x) \mid \gamma \text{ 为 以} \ \ x\text{ 为 基 点 的 环 圈 }\}.$$

以 x 為基點的限制和樂群是由可縮環圈 γ 給出的子群$\operatorname{Hol}^0_x(\nabla)$.

若 M 連通，則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說，若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑，則

$$\operatorname{Hol}_y(\nabla) = P_\gamma \operatorname{Hol}_x(\nabla) P_\gamma^{-1}.$$

選取 Ex 的另一組基（即以另一種方式將 Ex 視為與 Rk 等同）同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的重要性質包括：

- $\operatorname{Hol}^0(\nabla)$ 是 GL(k, R) 的連通李子群。
- $\operatorname{Hol}^0(\nabla)$ 是 $\operatorname{Hol}(\nabla)$ 的單位連通支。
- 存在自然的滿群同態 $\pi_1(M) \to \operatorname{Hol}(\nabla)/ \operatorname{Hol}^0(\nabla),$ 其中 $\pi_1(M)$ 是 M 的基本群。該同態將同倫類 $[\gamma]$ 映到陪集 $P_{\gamma}\cdot\operatorname{Hol}^0(\nabla).$
- 若 M 單連通，則 $\operatorname{Hol}(\nabla) = \operatorname{Hol}^0(\nabla).$
- ∇ 為平（即曲率恆零）若且唯若 $\operatorname{Hol}^0(\nabla)$ 為平凡群。

在物理學中，威爾森迴圈是 tr(P)（特徵標理論的跡）。

### 主叢聯絡的和樂

主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群，P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : 0,1 → M, 以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升 $\tilde\gamma : [0,1] \to P$ 使得 $\tilde\gamma(0) = p.$ 水平提升的終點 $\tilde\gamma(1)$ 未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等價關係。

ω 以 p 為基點的和樂群定義為

$$\operatorname{Hol}_p(\omega) = \{ g \in G \mid p \sim p\cdot g\}.$$

若在定義中僅允許可縮環圈 γ 的水平提升，則得到以 p 為基點的受限和樂群 $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$. 其為和樂群$\operatorname{Hol}_p(\omega)$ 的子群。

若 M 和 P 皆連通，則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說，若 q 是另一個基點，則有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 於是。

$$\operatorname{Hol}_q(\omega) = g^{-1} \operatorname{Hol}_p(\omega) g.$$

特別地。

$$\operatorname{Hol}_{p\cdot g}(\omega) = g^{-1} \operatorname{Hol}_p(\omega) g,$$

再者，若 p ~ q, 則 $\operatorname{Hol}_p(\omega) = \operatorname{Hol}_q(\omega).$ 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。

和樂群的若干性質包括：

- $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 是 G 的連通李子群。
- $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 是 $\operatorname{Hol}_p(\omega)$ 的單位連通支。
- 存在自然的滿群同態$\pi_1 (M) \to \operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega).$
- 若 M 單連通，則 $\operatorname{Hol}_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega).$
- ω 為平（即曲率恆零）若且唯若 $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 為平凡群。

### 和樂叢

同上，設 M 為連通仿緊流形，P 為其上的主 G 叢，ω 為 P 上的聯絡。設 p ∈ P 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢，且具有結構群 $\operatorname{Hol}_p(\omega)$（即 H (p) 是主 $\operatorname{Hol}_p(\omega)$ 叢）。此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外，H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。

與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說，若 q ∈ P 是另一個基點，則有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假設，M 是路連通的）。故 H (q) = H (p) g. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.

### 單延拓群

和樂叢 H (p) 是主 $\operatorname{Hol}_p(\omega)$ 叢，因此受限和樂群 $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$（作為全個和樂群的正規子群）也作用在 H (p) 上。離散群 $\operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 稱為聯絡的單延拓群。其作用在商叢 $H(p)/ \operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 上。存在滿同態$\varphi: \pi_1 \to \operatorname{Hol}_p(\omega)/\operatorname{Hol}^0_p(\omega),$ 使得 $\varphi(\pi_1(M))$ 作用在 $H(p)/ \operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。

### 局域及無窮小和樂

若 π: P → M 為主叢，ω 為 P 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集，則將 ω 限制到 U 上可得叢 π−1U 的聯絡。該叢的和樂群記為 $\operatorname{Hol}_p(\omega, U),$ 而受限和樂群則記為 $\operatorname{Hol}^0_p(\omega, U),$ 其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。

若 U ⊂ V 為包含 π(p) 的兩個開集，則有包含關係

$$\operatorname{Hol}_p^0(\omega, U)\subset\operatorname{Hol}_p^0(\omega, V).$$

p 點的局域和樂群定義為

$$\operatorname{Hol}_p^*(\omega) = \bigcap_{k=1}^\infty \operatorname{Hol}_p^0(\omega,U_k),$$

其中 Uk 為任意一族滿足 $\bigcap_k U_k = \pi(p)$ 的遞降（即 $U_k \subset U_{k+1} \ \forall k$）連通開集。

局域和樂群有以下性質：

- 其為受限和樂群 $\operatorname{Hol}^0_p(\omega)$ 的連通李子群。
- 每點 p 都有鄰域 V 使得 $\operatorname{Hol}^*_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega, V).$ 局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 Uk 的選取。
- 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變，即對任意 g ∈ G, $\operatorname{Hol}^*_{pg}(\omega) = \operatorname{Ad} (g^{-1}) \operatorname{Hol}^*_p(\omega).$（注意由性質 1, 局域和樂群是 G 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。

局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：

- 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即$\operatorname{Hol}^*_p(\omega) = \operatorname{Hol}^0_p(\omega).$

## 詞源

英文Holonomy與「全純」（Holomorphic）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生夏爾·布里奧（1817–1882）和讓-克勞迪·波桂（1819–1895）引入，來自希臘文ὅλος（holos）和μορφή（morphē），意思分別是「全」、「形態」。

"Holonomy"與"holomorphic"的前半（holos）一樣。至於後半：

非常難在網路上找出holonomic（或holonomy）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）：

我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （"holonomic"）系統，所以它的意思「整體法則」（"entire-law"）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（counting）。它與我們的詞數字"number"來自同一個印歐詞根。

——S. Golwala

參見νόμος（nomos）和-nomy。

## 安布羅斯－辛格定理

安布羅斯－辛格定理（得名自）描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射聯絡、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。

引入更多細節，若$\sigma : [0, 1]\times [0, 1] \to M$是$M$中某曲面的坐標表示，則向量$V$可以沿$\sigma$的邊界平行移動，由原點出發，先沿$(x, 0)$，再沿$(1,y)$，再$(x, 1)$（$x$反方向，即由$1$遞減至$0$），最後$(0, y)$，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量$V$沿該圈平行移動的結果，相當於$\sigma$邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在$V$上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應$\sigma$坐標中的區域$[0, x] \times [0, y]$，而$x, y$趨向於$0$），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於$x = y = 0$處的導數：

$$\frac{D}{dx}\frac{D}{dy}V - \frac{D}{dy}\frac{D}{dx}V = R\left(\frac{\partial\sigma}{\partial x}, \frac{\partial\sigma}{\partial y} \right)V$$

其中$R$為曲率張量。所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，$R(X, Y)$是$\operatorname{Hol}_p(\omega)$的李代數的元素。

一般來說，考慮結構群為$G$的主叢$P \to M$某聯絡的和樂。以$\mathfrak g$表示$G$的李代數，則聯絡的曲率形式是$P$上的$\mathfrak g$值2-形式$\Omega$。安布羅斯－辛格定理斷言：

$\operatorname{Hol}_p(\omega)$的李代數，是由$\mathfrak g$中所有形如$\Omega_q(X,Y)$的元素線性張成，其中$q$取遍所有可以用水平曲線$(q \sim p)$與$p$連接的點，而$X, Y$皆是$q$處的水平切向量。

亦可用和樂叢的說法，複述如下：

$\operatorname{Hol}_p(\omega)$的李代數，是$\mathfrak g$中形如$\Omega_q(X, Y)$的元素張成的線性子空間，其中$q$取遍$H(p)$的元素，而$X, Y$取遍$q$處的水平向量。

## 黎曼和樂

### 可約和樂與德拉姆分解

設$x \in M$為任意一點，則和樂群$\mathrm{Hol}(M)$作用在切空間$T_x M$上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將$T_x M$分解成正交子空間的直和

$$T_x M = T'_x M \oplus T''_x M,$$

而兩個子空間皆在$\mathrm{Hol}(M)$作用下不變。此時亦稱$M$可約。

設$M$為可約流形。上式說明，在每一點$x$處，切空間可以約化分解成$T'_x M$和$T''_x M$，所以當$x$變動時，就定義出向量叢$T' M$和$T'' M$，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的積分流形皆為完全測地子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察$M$，是笛卡爾積$M' \times M''$。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：

設$M$為單連通黎曼流形，又設在和樂群的作用下，$T M = T^{(0)} M \oplus T^{(1)}M \oplus \cdots \oplus T^{(k)} M$為切叢的完全約化分解，而和樂群在$T^{(0)} M$上的作用平凡（恆等映射），則$M$局部等距同構於乘積

$$V_0\times V_1\times \cdots\times V_k,$$

其中$V_0$是歐氏開集，而每個$V_i$是$T^{(i)} M$的積分流形。更甚者，$\mathrm{Hol}(M)$是$\mathrm{Hol}(M_i)$的直積（$M_i$是$T^{(i)}$過某點的極大積分流形）。

若同時假設$M$測地完備（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各$M_i$本身也是測地完備流形。

### 伯格分類

1955年，馬塞爾·伯格將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地黎曼對稱空間）、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下：

$\mathrm{Hol}(g)$｜$\mathrm{dim}(M)$｜流形類型｜備註

正交群$SO(n)$｜$n$｜可定向流形

酉群$U(n)$｜$2n$｜凱勒流形｜凱勒

特殊酉群$SU(n)$｜$2n$｜卡拉比–丘流形｜里奇平、凱勒

辛群$\mathrm{Sp}(n)$｜$4n$｜超凱勒流形｜里奇平、凱勒

$\mathrm{Sp}(n)\cdot \mathrm{Sp}(1)$｜$4n$｜四元數凱勒流形｜愛因斯坦流形

G2 (數學)$G_2$｜$7$｜G2流形｜里奇平

旋量群$\mathrm{Spin}(7)$｜$8$｜Spin(7)流形｜里奇平

1965年，愛德蒙·博南及Vivian Yoh Kraines同時研究和樂群為$\mathrm{Sp}(n)\cdot \mathrm{Sp}(1)$的流形，構造出其平行4形式。

愛德蒙·博南於1966年最早引入和樂群為$G_2$或$\mathrm{Spin}(7)$的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。

伯格原先的表中，未排除$\mathrm{Spin}(9)$（作為$SO(16)$的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，與布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與凱萊平面$F_4/\mathrm{Spin}(9)$局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見G2流形和Spin(7)流形。

注意$\mathrm{Sp}(n)\subset SU(2n) \subset U(2n) \subset SO(4n)$，故超凱勒流形必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凱勒流形必可定向。

以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（Carlos E. Olmos）於2005年給出。第一步要證，若黎曼流形並非局部對稱空間，而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是$\mathrm{Spin}(9)$（作用於$\mathbb R^{16}$），以及$U(1) \cdot \mathrm{Sp}(m)$（作用於$\mathbb R^{4m}$）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的凱萊射影平面）的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。

伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為：

和樂群｜度量符號

$SO(p, q)$｜$(p, q)$

$U(p, q)$｜$(2p, 2q)$

$SU(p, q)$｜$(2p, 2q)$

$\mathrm{Sp}(p, q)$｜$(4p, 4q)$

$\mathrm{Sp}(p, q)\cdot \mathrm{Sp} (1)$｜$(4p, 4q)$

$SO(n, \mathbb C)$｜$(n, n)$

$SO(n, \mathbb H)$｜$(2n, 2n)$

分裂$G_2$｜$(4, 3)$

$G_2(\mathbb C)$｜$(7, 7)$

$\mathrm{Spin}(4, 3)$｜$(4, 4)$

$\mathrm{Spin}(7, \mathbb C)$｜$(7, 7)$

$(*)\ \mathrm{Spin}(5, 4)$｜$(8, 8)$

$(*)\ \mathrm{Spin}(9, \mathbb C)$｜$(16, 16)$

但是，標$(*)$的兩種和樂群（分裂$\mathrm{Spin}(9)$及複化$\mathrm{Spin}(9)$），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群$SO(n, \mathbb C), G_2(\mathbb C), \mathrm{Spin}(7, \mathbb C)$三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為$SO(n, \mathbb H)$子群的流形，R. McLean證明其為局部平。

對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間$G/H$同構，其局部和樂群同構於$H$，經已分類完畢。

最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射聯絡的流形的可能和樂群，見下節。

### 特殊和樂及旋量

一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），尤其有以下各項命題成立：

- $\mathrm{Hol}(\omega) \subseteq U(n)$，當且僅當$M$上存在平行的射影純旋量場。
- 若$M$為旋量結構，則$\mathrm{Hol}(\omega)\subseteq SU(n)$，當且僅當$M$具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到$SU(n)$的典範歸約。
- 若$M$是七維旋量流形，則$M$具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是$G_2$的子群。
- 若$M$為八維旋量流形，則$M$具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是$\mathrm{Spin}(7)$的子群。

么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理論、殆複流形一同研究。

### 應用

#### 弦論

具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超對稱。較重要的緊化是在具$SU(2)$或$SU(3)$和樂的卡拉比–丘流形上，以及G2流形上。

#### 機器學習

在機器學習，尤其流形學習方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量擴散映射），有可能構造出數值近似。所得的演算法「幾何流形分量估計量」（Geometric Manifold Component Estimator，簡寫GeoManCEr「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。

## 仿射和樂

仿射和樂群（affine holonomy groups），是無撓仿射聯絡的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。

伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於對稱空間的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（Berger's first criterion）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。

但伯格的列表，其後證實並未齊全。羅伯特·布萊恩特（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（exotic holonomies）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。

觀察到表中的群和埃爾米特對稱空間、四元數凱勒對稱空間之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。

設$V$為有限維複向量空間，$H \subseteq \mathrm{Aut}(V)$為不可約半單複連通李子群，又設$K\subseteq H$為極大緊子群。

- 若有不可約埃爾米特對稱空間形如$G/(U(1) \cdot K)$，則$H$和$\mathbb C^* \cdot H$兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中$V$為$K$的切表示。
- 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如$G/(\mathrm{Sp}(1) \cdot K)$，則$H$為非對稱不可約仿射和樂群，而當$\dim V = 4$時，$\mathbb C^* \cdot H$亦然。此時，$\mathrm{Sp}(1) \cdot K$的複化切表示是$\mathbb C^2 \otimes V$，而$H$保$V$上某個複辛形式。

上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Sp}(2, \mathbb C) \cdot \mathrm{Sp}(2n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{2} \otimes\mathbb C^{2n}\right),\\ G_2(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^7\right),\\ \mathrm{Spin}(7, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^8\right). </pre> \end{align}$$

利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有：

$$\begin{align} <pre> Z_{\mathbb C} \cdot SL(m, \mathbf C) \cdot SL(n, \mathbf C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^m\otimes\mathbb C^n\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot SL(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^2\mathbb C^n\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot SL(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(S^2\mathbb C^n\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot SO(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^n\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot \mathrm{Spin}(10, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Delta_{10}^+\right) \cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{16}\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot E_6(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{27}\right), </pre> \end{align}$$

其中$Z_{\mathbb C}$可取平凡群，亦可取為$\mathbb C^*$。

同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有：

$$\begin{align} <pre> \mathrm{Sp}(2, \mathbb C) \cdot SO(n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^2\otimes\mathbb C^n\right),\\ (Z_{\mathbb C}\,\cdot)\, \mathrm{Sp}(2n, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{2n}\right),\\ Z_{\mathbb C} \cdot SL(2, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(S^3\mathbb C^2\right),\\ \mathrm{Sp}(6, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^3_0\mathbb C^6\right)\cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{14}\right),\\ SL(6, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\wedge^3\mathbb C^6\right),\\ \mathrm{Spin}(12, \mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\Delta_{12}^+\right) \cong \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{32}\right),\\ E_7(\mathbb C) &\subset \mathrm{Aut}\left(\mathbb C^{56}\right).\\ </pre> \end{align}$$

（第二行中，$Z_{\mathbb C}$必須取為平凡群，除非$n = 2$，此時可取為$\mathbb C^*$。）

從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為預齊性向量空間。但是，未知此事實的概念性證明。

不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。