拉東變換

數學上，拉東變換（又稱雷登變換）是一種積分變換，這個變換將二維平面函數$f$變換成一個定義在二維空間上的一個線性函數${\cal R} f$(${\cal R} f$的意思是對$f$做拉東變換)，而${\cal R} f$的值為函數$f$對該條線${\cal R} f$做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是$f$，$A$線則是代表${\cal R} f$。

拉東變換是約翰·拉東在西元1917年提出，他也同時提出拉東變換的反變換公式，以及三次空間的拉東變換公式。

三次空間拉東變換，是對一個平面積分(對線積分則是X射線變換)。而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間的拉東變換被提出，更詳盡的廣義拉東變換要參見積分幾何。

在複數上有和拉東變換相似的彭羅斯變換，拉東變換被廣泛的應用在斷層掃描，拉東反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函數。

## 簡介

若函數$f$表示一個未知的密度，對$f$做拉東變換，相當於得到$f$投影後的訊號，舉例來說：$f$相當於人體組織，斷層掃描的輸出訊號相當於經過拉東變換的$f$。

因此，可以用拉東反變換從投影後的密度函數，重建原始的密度函數，它也是重建斷層掃描的數學理論基礎，另一個被廣為人知名詞的是三維重建。

拉東變換後的訊號稱作正弦圖（sinogram），因為一個偏離中心的點的拉東變換是一條正弦曲線。所以對一些小點的拉東變換，會看起來像很多不同振福、相位的正弦函數重疊在一起。

拉東變換可以應用在：X射線電腦斷層掃描、條碼掃描器、大分子裝配（Macromolecular assembly）的電子顯微鏡（例如：病毒、蛋白質複合體）、反射地震學，而且也是雙曲線偏微分方程的解。

## 定義

令密度函數$f({\bf x})=f(x,y)$是一個的定義域為 ${\bf R}^2$ 的緊支撐。令${\cal R}$為拉東變換的運算子(operator)，則${\cal R} f(x,y)$是一個定義在${\bf R}^2$空間中的直線$L$，它的定義如下

$${\cal R} f(L) = \int_L f({\bf x}) |d {\bf x}|$$

可以把直線 $L$改寫成一個弧長$z$的參數式

$$(x(z), y(z)) = \Big( (z\sin\alpha+s\cos\alpha), (-z\cos\alpha+s\sin\alpha) \Big) \,$$

$s$是直線$L$和原點的距離，而$\alpha$是垂直於$L$的法線和$x$軸的夾角。

接下來，我們可以令$(\alpha, s)$當作${\bf R}^2$平面上的新座標系統，把這個座標變換帶入到拉東變換得到

$$\begin{align}{\cal R} f(\alpha,s) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x(z),y(z))\, dz\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f\big( (z\sin\alpha+s\cos\alpha), (-z\cos\alpha+s\sin\alpha) \big)\, dz\end{align}$$

更進一步，我們可以把${\bf R}^2$推廣到${\bf R}^n$的歐幾里得空間，對一個緊支撐的連續函數$f$做拉東變換後的函數${\cal R} f$是定義在$\Sigma_n$的超平面上。

$${\cal R} f(\xi) = \int_\xi f(\mathbf{x})\, d\sigma(\mathbf{x}),\quad {\rm for} \quad \xi \in \Sigma_n$$

積分的對象是自然超平面測度(natural hypersurface measure)，而$d \Delta$是原本的$|d {\bf x}|$的高維推廣。可以觀察到對$\Sigma_n$裡的任意元素。

都是某個軌跡方程式的解

$${\bf x} \cdot \alpha = s .$$

而$\alpha$是一個單位向量且屬於${\rm S}^{n-1}$，$s \in \mathbb{R}$，n維的拉東變換可以改寫成定義在 ${\rm S}^{n-1} \times {\bf R}$上的函數

$${\cal R} f(\alpha,s) = \int_{\mathbf{x}\cdot\alpha = s} f(\mathbf{x})\, d\sigma(\mathbf{x})$$

也可以藉由其他方式將拉東變換推廣，也就是對${\bf R}^n$的k維仿射子空間作(k-dimensional affine subspaces)積分。

而這種推廣拉東變換的特殊情況被廣泛應用在X射線電腦斷層掃描，他的做法是對一條直線積分。

## 與傅立葉變換的關係

拉東變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是

$$\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx$$

而雙變數$({\bf x}) = (x, y)$的傅立葉變換是

$$\hat{f}(\mathbf{w})=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty }^{\infty} f(\mathbf{x})e^{-2\pi i\mathbf{x}\cdot\mathbf{w}}\,dx\, dy$$

把拉東變換的運算子的表記從${\cal R}[f](s)$ 改成 ${\cal R}[f](\alpha, s)$。根據投影切片定理學說。

$$\widehat{\mathcal{R}_{\alpha}[f]}(\sigma)=\hat{f}(\sigma\mathbf{n}(\alpha)), \quad \mathbf{n}(\alpha)= (\cos \alpha,\sin\alpha)$$

因此一個初始函數沿著一條線傾角$\alpha$的二維的傅立葉變換，相當於對拉東變換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到n維

$$\hat{f}(r\alpha) = \int_{-\infty}^\infty \mathcal{R}f(\alpha,s)e^{-2\pi i sr}\, ds$$

## 對偶變換

對偶拉東變換是拉東變換的埃爾米特伴隨。令在空間$\Sigma_n$上的函數$g$，而對偶拉東變換的運算子定義為${\cal R}^*$。作用在$g$上

$$\mathcal{R}^*g(x) = \int_{x\in\xi} g(\xi)\,d\mu(\xi)$$

積分的範圍是所有和$x \in {\bf R}^2$相交的超平面集合，而測度(measure)$d \mu$是集合$\xi | x \in \xi$特殊的機率測度(Probability measure)。

當對著$x$旋轉時，$d \mu$的值不會改變

對於一個二維的拉東變換，其對偶變換是

$$\mathcal{R}^*g(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\alpha=0}^{2\pi}g(\alpha,\mathbf{n}(\alpha)\cdot\mathbf{x})\,d\alpha$$

在影像處理的文章中，對偶變換經常被稱作反向投影(back-projection)，因為它將平面中每條線上定義的函數 投影到該線上，從而生成圖像。

交結性質

根據拉普拉斯算子$\Delta$在 ${\bf R}^n$的定義是

$$\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}$$

這是一個旋轉不變性的二階微分算子，在空間$\Sigma_n$，半徑的二階導數

$$Lf(\alpha,s) \equiv \frac{\partial^2}{\partial s^2} f(\alpha,s)$$

也是旋轉不變性。

而拉東變換與其對偶變換屬於交結運算子(intertwining operator)，是因為

$$\mathcal{R}(\Delta f) = L (\mathcal{R}f),\quad \mathcal{R}^* (Lg) = \Delta(\mathcal{R}^*g)$$

## 重建方法

重建處理是指從投影影像重建一個影像，或是一個函數$f$。重建處理是一種逆問題(inverse problem)。

拉東反變換公式

對於二維拉東變換，最常被使用的解析公式(analytical formula)$f$，是Filtered Backprojection Formula或拉東反變換公式，反變換公式為

$f(\mathbf{x})=\int^{\pi}_{0}(\mathcal{R}f(\cdot,\theta)*h)(\left\langle\mathbf{x},\mathbf{n}_{\theta} \right\rangle) d\theta$

函數$h$滿足$\hat{h}(k) = |k|$，卷積核 (convolution kernel) $h$在一些文章中稱作Ramp filter。

不適定問題 (ill-posedness)

直覺上，反變換公式應該和微分類似，$\widehat{\frac{d}{dx}} f(x) = i k \hat{f}(k)$。我們可以看的出來反變換公式的行為類似微分。大致上來說，這個反變換公式把目標奇異化(singular)；要如何量化拉東反轉化的不適定問題 (ill-posedness)呢？首先可以寫出

$$\widehat{\mathcal{R}^*\mathcal{R}g}(k)=\frac{1}{||\mathbf{k}||}\hat{g}(\mathbf{k})$$

${\cal R}^*$即是前面定義的反變換運算子，且伴隨著(adjoint to)拉東變換，因此$g({\bf x}) = e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x} \rangle}$，上式變成

$${\cal R}^* {\cal R} g = \frac{1}{||{\bf k}||} e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x} \rangle }$$

複數指數函數$e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x} \rangle }$，是${\cal R}^* {\cal R}$的固有函數 (eigenfunction)。

而特徵值 (eigenvalue)為$\frac{1}{||{\bf k}||}$。${\cal R}$的奇異值 (singular values) 是$\sqrt{\frac{1}{||{\bf k}||}}$。

因為這些奇異值 (singular values)會趨近於0，所以${\cal R}^{-1}$是無界的(unbounded)。

## 反變換公式

外顯(explicit)且計算效率好的拉東反變換公式，以及他的對偶是存在的。n維的反拉東變換可以由

$$c_n f = (-\Delta)^{(n-1)/2} {\cal R}^* \{ {\cal R} f \}$$

其中

$$c_n = (4\pi)^{(n-1)/2}\frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma(1/2)}$$

而$\Delta$是拉普拉斯算子(Laplacian)，$(-\Delta)^{(n-1)/2}$是偽微分算子(pseudodifferential operator)

$$\mathcal{F}\left[(-\Delta)^{(n-1)/2}\phi\right](\xi) = |2\pi\xi|^{n-1}\mathcal{F}\phi(\xi).$$

$\mathcal{F}$是傅立葉變換的運算子(operator)。