朗之萬方程

在統計物理中，朗之萬公式（保羅·朗之萬，1908年) 是一個描述自由度的子集的時間演化的隨機微分方程。這些自由度，通常是那些在與系統的其他（微觀的）變量相比，變化較緩慢的集體（宏觀的）變量。快速變化（微觀）的變量導致了朗之萬公式的隨機性。

## 布朗運動為原型

原朗之萬公式 描述了布朗運動，因受到流體分子的碰撞，粒子在流體中做無規則運動。

$$m\frac{d^{2}\mathbf{x}}{dt^{2}}=-\lambda \frac{d\mathbf{x}}{dt}+\boldsymbol{\eta}\left( t\right).$$

這裡，自由度是粒子的位置 $\mathbf{x}$，$m$ 表示粒子的質量。作用在粒子上的力表達成正比於粒子速度（斯托克斯定律）的粘滯力，和一個表示流體分子碰撞影響的噪聲項$\boldsymbol{\eta}\left( t\right)$ （隨機微分方程中表示隨機過程的術語在物理背景中的命名）的和。這個力（漲落力）$\boldsymbol{\eta}\left( t\right)$ 具有高斯分布，其相關函數

$$\left\langle \eta_{i}\left( t\right)\eta_{j}\left( t^{\prime}\right) \right\rangle =2\lambda k_{B}T\delta _{i,j}\delta \left(t-t^{\prime }\right) ,$$

其中 $k_B$ 是玻爾茲曼常數, $T$是溫度， $\eta_i\left( t\right)$ 是矢量 $\boldsymbol{\eta}\left( t\right)$的第 i 分量， δ-函數形式的時間相關性，表示假設該力在時刻 t，與其他任何時刻完全不相關。這是一個近似，實際上隨機力有一個與分子碰撞時長相對應的非零的相關時間。但是，朗之萬方程是用來描述「宏觀」微粒在很長時間尺度下的運動，並且在這種極限情況下 $\delta$-相關 和朗之萬方程是精確的。

朗之萬方程的另一個典型特徵是在隨機力的相關函數中導致了阻尼係數$\lambda$ 出現，這一現象也被稱為愛因斯坦關係。

## 數學方面

一個嚴格的 $\delta$-關係的漲落力 $\boldsymbol{\eta}\left( t\right)$ 不是通常數學意義上的可微函數，即使它的一階導數 $d\mathbf{x}/dt$ 在這種極限下也沒有定義。要求朗之萬方程在這種情況下的解釋，可參見條目伊藤積分。

## 一般朗之萬方程

經典力學有一個對一般朗之萬方程的形式推導。這個一般方程在臨界動力學 和非平衡統計力學的其他領域扮演了核心角色。上述描述布朗運動的方程是一般朗之萬方程的特殊情況。

一個推導一般朗之萬方程的必要條件是對自由度不同快慢類型的標準劃分（熵理論認為影響系統的變量可以分為快變量和慢變量）。例如，在液體中可以在幾次碰撞時間內達到局部熱力學平衡，但對於守恆量的密度，比如質量和能量，卻需要長得多的時間去達到平衡。因此守恆量的密度，尤其是它們的長波分量，是慢變量的候選者。技術上來說這種劃分是以Zwanzig投影算子 來實現的，它是推導中的必要工具。推導不完全嚴格，因為它依賴於(貌似可信的)假設，類似於其他基本的統計力學中的假設。

令 $A=\{A_i\}$ 表示慢變量。則一般朗之萬式表示為

$$\frac{dA_{i}}{dt}=k_{B}T\sum\limits_{j}{\left[ {A_{i},A_{j}}\right] \frac{{d}\mathcal{H}}{{dA_{j}}}}-\sum\limits_{j}{\lambda _{i,j}\left( A\right) \frac{d\mathcal{H}}{{dA_{j}}}+}\sum\limits_{j}{\frac{d{\lambda _{i,j}\left(A\right) }}{{dA_{j}}}}+\eta _{i}\left( t\right).$$

漲落力 $\eta_i\left( t\right)$ 服從高斯分布，其相關函數為

$$\left\langle {\eta _{i}\left( t\right) \eta _{j}\left( t^{\prime }\right) }\right\rangle =2\lambda _{i,j}\left( A\right) \delta \left( t-t^{\prime}\right).$$

這暗示了阻尼係數 $\lambda$ 具有昂薩格倒易關係 $\lambda_{i,j}=\lambda_{j,i}$。$d\lambda_{i,j}/dA_j$ 對 $A$ 的依賴性在大多數情況下可以忽略不計。符號 $\mathcal{H}=-ln\left(p_0\right)$表示了系統的哈密頓量，其中$p_0\left(A\right)$ 是變量 $A$ 的平衡機率分布。最後，$[A_i,A_j]$是慢變量 $A_i$ 和 $A_j$ 的泊松括號在慢變量空間投影。

在布朗運動的例子中，一個系統的狀態可以有 $\mathcal{H}=\mathbf{p}^2/\left(2mk_BT\right)$，$A=\{\mathbf{p}\}$ 或 $A=\{\mathbf{x}, \mathbf{p}\}$， $[x_i, p_j]=\delta_{i,j}$。對 $\mathbf{x}$ 的運動方程 $d\mathbf{x}/dt=\mathbf{p}/m$ 是精確的，其中沒有漲落力 $\eta_x$ 和阻尼力 $\lambda_{x,p}$.

## 例子

### 流體中的諧振子

一個不理想的諧振子會受到某些阻尼影響，由於漲落耗散定理，系統中一定會有一些波動。右圖展示的是動量 $p=mv$ 以及諧振子的位置 $r$ 隨時間演化的相圖。確定性的運動會沿著這條橢圓軌跡演化，並且不能與其他任何一條軌道交叉而不改變其能量。某些形式的阻尼的存在，例如分子流體環境（由擴散項和阻尼項為代表），會不斷地從系統中得到或失去動能，導致一個諧振子的初始系綜（圖中虛線圈）會逐漸發散開，並最終成為正則系綜（熱平衡）。

### 電阻中的熱噪聲

上述的典型布朗顆粒，與詹森－奈奎斯特噪聲，即由每個電阻中的熱力學漲落引起的電壓，有一個相似的類比。右圖展示了包含一個電阻R和電容C的電路。這個電路的慢變量是電阻兩端的的電壓。其哈密頓量表示為$\mathcal{H}=E/k_BT=CU^2/(2k_BT)$，朗之萬方程則表示為

$$\frac{dU}{dt} =-\frac{U}{RC}+\eta \left( t\right),\;\; \left\langle \eta \left( t\right) \eta \left( t^{\prime }\right)\right\rangle = \frac{2k_{B}T}{RC^{2}}\delta \left(t-t^{\prime }\right).$$

這個方程可以用來確定相關函數

$$\left\langle U\left(t\right) U\left(t^{\prime }\right) \right\rangle =\left( k_{B}T/C\right) \exp \left( -\left\vert t-t^{\prime }\right\vert /RC\right) \approx 2Rk_{B}T\delta \left( t-t^{\prime }\right),$$

當電容C小可以忽略不計時成為白噪聲（詹森噪聲）。

### 臨界動力學

二級相變的序參量的動力學在接近臨界點時變慢，並且可以用朗之萬方程描述。最簡單的例子是具有非保守標量階參量的普適類 「model A」，在軸向鐵磁體中的實現

$$\begin{align} \frac{\partial\varphi\left(\mathbf{x},t\right)}{\partial t}&=-\lambda\frac{\delta\mathcal{H}}{\delta\varphi}+\eta\left(\mathbf{x},t\right),\\ \mathcal{H}&=\int d^{d}x\left\{ \frac{1}{2}\varphi\left[r_{0}-\nabla^{2}\right]\varphi+u\varphi^{4}\right\} ,\\ \left\langle \eta\left(\mathbf{x},t\right)\eta\left(\mathbf{x}',t'\right)\right\rangle &=2\lambda\delta\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}'\right)\delta\left(t-t'\right). \end{align}$$

其他的普適類（命名方法是像 「model A",..., "model J"）包含一個擴散的序參量，有幾個分量的序參量，其他臨界變量和（或）來自泊松括號的貢獻。

### 重現玻爾茲曼分布

朗之萬方程必須能重現玻爾茲曼分布。一維過阻尼布朗運動是一個有啟發性的例子。在顆粒的慣性相對於阻尼力來說可以忽略不計時，就實現了過阻尼條件。在勢能 $V(x)$下粒子的軌跡 $x(t)$ 用朗之萬方程描述

$$\lambda \frac{dx}{dt} = - \frac{\partial V(x)}{\partial x} + \eta(t),$$

噪音項的特徵由 $\left\langle\eta(t) \eta(t')\right\rangle = 2 k_B T \lambda \delta(t-t')$ 決定，其中 $\lambda$ 是阻尼係數。我們想要計算經過一段時間粒子位置的分布 $p(x)$。確定這個分布一個直接的方法是引進一個測試函數$f$，然後看這個函數在所有實現中的平均（統計均值）

$$\lambda\frac{d \left\langle f(x(t))\right\rangle}{d t} = \left\langle f'(x(t))\lambda\frac{dx}{dt} \right\rangle = \left\langle -f'(x(t))\frac{\partial V}{\partial x} + f'(x(t))\eta(t) \right\rangle.$$

如果 $x(t)$ 保持有限值那麼這個量是沒有意義的。此外，使用斯特拉托諾維奇詮釋，我們就可以擺脫第二項中的$\eta$從而我們最終得到

$$\left\langle -f'(x)\frac{\partial V}{\partial x} + k_B T f''(x) \right\rangle=0,$$

這裡我們利用了機率密度函數 $p(x)$。通過顯式計算平均值

$$\int \left( -f'(x)\frac{\partial V}{\partial x}p(x) + {k_B T} f''(x)p(x) \right) dx = \int \left( -f'(x)\frac{\partial V}{\partial x} p(x) - {k_B T} f'(x)p'(x) \right) dx = 0,$$

第二項為分部積分（因此有負號）。因為需要對任意的函數 $f$ 都成立，所以我們必須有

$$\frac{\partial V}{\partial x} p(x) + {k_B T} p'(x) = 0,$$

因此恢復為玻爾茲曼函數

$$p(x) \propto\exp \left( {-\frac{ V(x)}{k_B T}}\right).$$

## 等價的技巧

在漲落力的具體實現中，朗之萬方程並不關心其本身的解，它關心的是在對漲落力取平均後慢變量的相關函數。這樣的相關函數也可以用其他（等價的）技巧確定。

### 福克-普朗克方程

福克-普朗克方程是關於隨機變量$A$的含時機率密度$P\left(A,t\right)$的一個確定性方程。對應上面一般朗之萬方程的福克-普朗克方程可以由標準技巧推導得到

$$\frac{\partial P\left(A,t\right)}{\partial t}=\sum_{i,j}\frac{\partial}{\partial A_{i}}\left(-k_{B}T\left[A_{i},A_{j}\right]\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial A_{j}}+\lambda_{i,j}\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial A_{j}}+\lambda_{i,j}\frac{\partial}{\partial A_{j}}\right)P\left(A,t\right).$$

平衡分布 $P(A) = p_0(A) = const\times\exp(-\mathcal{H})$ 是一個平穩解。

### 路徑積分

一個等價於朗之萬方程的路徑積分表述可以從相應的福克-普朗克方程得到，或通過將漲落力 $\eta$ 的高斯分布 $P^{(\eta)}(\eta)d\eta$ 轉變成慢變量的機率分布，示意為 $P(A)dA = P^{(\eta)}(\eta(A))\det(d\eta/dA)dA$。如果以自然的（因果的）方式離散化朗之萬方程，式中的函數行列式和相關的數學細節不證自明，$A(t+\Delta t)-A(t)$取決於 $A(t)$ 而不是 $A(t+\Delta t)$。引入輔助反應變量 $\tilde A$ 是方便的。等價於一般朗之萬方程的路徑積分表述為

$$\int P(A,\tilde{A})\,dA\,d\tilde{A} = N\int \exp \left( L(A,\tilde{A})\right) dA\,d\tilde{A},$$

$N$ 是歸一化因子。路徑積分表述沒有引進任何新的東西，但它能夠使用量子場論的工具，比如微擾論（攝動論）和重整化群方法（如果它們有意義的話）。

## 閱讀

- David Tong. Kinetic Theory Ch. 3.
- Applied Stochastic processes. M. Scott.

## 參考文獻

延伸閱讀

- W. T. Coffey (Trinity College, Dublin, Ireland) and Yu P. Kalmykov (Université de Perpignan, France, The Langevin Equation: With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Third edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 27.
- Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation
- R. Friedrich, J. Peinke and Ch. Renner. How to Quantify Deterministic and Random Influences on the Statistics of the Foreign Exchange Market, Phys. Rev. Lett. 84, 5224 - 5227 (2000)
- L.C.G. Rogers and D. Williams. Diffusions, Markov Processes, and Martingales, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, reprint of 2nd (1994) edition, 2000.