上昇時間

在電子學中，若要描述一電路在電壓（或電流）階躍函數下的反應，可用上昇時間（rise time）表示。上昇時間是信號從特定低準位上昇到特定高準位需要的時間，值可以用相對參考輸入的比率或是百分比來表示。在模擬電路中，其較低百分比及較高百分比多半會是輸出階躍高度的10%及90%（或0.1及0.9）。不過，也常會使用其他的值若是在控制理論中，依照，上昇時間定義為「響應從終值的x%上昇到y%所需要的時間」，若是欠阻尼的二階系統，常會以0%至100%的上昇時間為準，若是臨界阻尼系統，則會是5%至95%的，過阻尼系統會是10%到90%的上昇時間。依照，上昇時間可以用在階躍上昇或是階躍下降的階躍響應，不過階躍下降的場合，有時也會稱是下降時間，常用 $\scriptstyle t_f\,$表示。

## 簡介

上昇時間是高速電子電路中重要的類比參數，可以量測在高速輸入信號時，系統響應的能力。針對電路、產生器、資料量測及傳輸設備的上昇時間，已有許多的方法可以進行縮減。這些縮減也開始了更高速電子元件或電路的研究，以及研究如何減少電路中的雜散元件（多半是電感及電容）。不過在高速電子學的領域之外，有些應用會希望有較長的上昇時間，例如燈光的調光器，其上昇時間較長會延長燈泡的壽命，或是用數位信號控制類比開關，較長的上昇時間表示流經雜散電容的量會比較少，因此耦合產生的噪音也會比較少。

### 影響上昇時間的因素

針對給定系統的輸出，其上昇時間和輸入信號的上昇時間有關，也和系統特特性有關。

例如，電阻性電路的上昇時間主要會和雜散電容及雜散電感有關。因為所有電路都不只有電路性的元件，也會有電容性或電感性的元件，在負載到達穩態之前，會有電壓及（或）電流的延遲。若是純RC電路，輸出的上昇時間（10%至90%）約是電阻值（單位為歐姆）和電容值（單位為法拉）乘積的2.2倍，2.2 RC。

### 其他定義

這些定義的差異不只是參考準位的不同，也有些有不同的演算法。例如有一種上昇時間的定義是考慮階躍函數響應50%時的切線，再繪圖計算和X軸的截距得到上昇時間，偶爾會用到這種定義。另一種定義是由引入，用到機率論及統計學的概念。考慮階躍響應 V(t)，重新定義傳播延遲 tD為一次導數V′(t)的矩，也就是

$$t_D = \frac{\int_0^{+\infty}t V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}.$$

最後，用以下的二次矩來定義上昇時間tr

$$t_r^2 = \frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t} \quad \Longleftrightarrow \quad t_r =\sqrt{\frac{\int_0^{+\infty}(t -t_D)^2 V^\prime(t)\mathrm{d}t}{\int_0^{+\infty} V^\prime(t)\mathrm{d}t}}$$

## 典型系統的上昇時間

### 符號及標示

所有分析用到的符號及假設條列如下：

- 根據，定義x%為低準位的百分比，y%為高準位的百分比，參考基準都以要量測上昇時間信號的參考信號為準。
- t1是待分析系統的輸出到達穩態值x%的時間，而t2是輸出到達穩態值y%的時間，兩者單位都是秒。
- tr是待分析系統的上昇時間，單位也是秒。依照定義

$$t_r = t_2 - t_1.$$

- fL為待分析系統較低截止頻率（-3 dB點）的值，單位為赫茲。
- fH為待分析系統較高截止頻率的值，單位也是赫茲。
- h(t)是待分析系統在時域下的衝激響應。
- H(ω)是待分析系統在頻域下的頻率響應。
- 帶寬定義為

$$BW = f_{H} - f_{L}\,$$

因為較低的截止頻率fL往往遠小於較高截止頻率fH，因此

$$BW\cong f_H\,$$

- 所有分析的系統，其頻率響應都延伸到0（低通系統），因此

$f_L=0\,\Longleftrightarrow\,f_H=BW$。

- 為了簡化起見，所有「計算上昇時間的簡單範例」章節中分析的系統都是增益為1的電路，所有信號都假設是電壓：輸入是V0伏特的階躍函數，因此

$$\frac{V(t_1)}{V_0}=\frac{x\%}{100} \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=\frac{y\%}{100}$$

- ζ是特定二階微分方程的阻尼比，ω0則是自然頻率。

### 計算上昇時間的簡單範例

此章節的目的是計算一些簡單系統階躍響應的上昇時間。

#### 高斯響應系統

系統具有高斯響應的條件是其頻率響應特徵如下

$$|H(\omega)|=e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}}$$

其中σ `>` 0為常數，和高截止頻率有以下的關係：

$$f_H = \frac{\sigma}{2\pi} \sqrt{\frac{3}{20}\ln 10} \cong 0.0935 \sigma.$$

即使這類的頻率響應無法用因果濾波器實現。其用途是因為其系統特性可以用多個一級低通濾波器級聯連結而得，其精度會隨著個數增加而變好。對應的衝激響應可以用頻率響應的反傅立葉變換計算而得。

$$\mathcal{F}^{-1}\{H\}(t)=h(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {e^{-\frac{\omega^2}{\sigma^2}}e^{i\omega t}} d\omega=\frac{\sigma}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{1}{4}\sigma^2t^2}$$

直接代入階躍響應的定義

$$V(t) = V_0{H*h}(t) = \frac{V_0}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\frac{\sigma t}{2}}e^{-\tau^2}d\tau = \frac{V_0}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right] \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0} = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{2}\right)\right].$$

為了要確認系統由10%上昇到90%需要的時間，需要求解以下方程：

$$\frac{V(t_1)}{V_0} = 0.1 = \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_1}{2}\right)\right] \qquad \frac{V(t_1)}{V_0} = 0.9= \frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma t_2}{2}\right)\right],$$

利用誤差函數的定義，可以找到t`&nbsp;=&nbsp;` - t1 `=` t2的數值，因為tr `=` t2 - t1 `=` 2t,

$$t_r=\frac{4}{\sigma}{\mathrm{erf}^{-1}(0.8)}\cong\frac{0.3394}{f_H},$$

因此

$t_r\cong\frac{0.34}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.34.$

#### 一階低通RC電路

針對一階低通RC電路，10%至90%的上昇時間和網路時間常數τ `=` RC成正比：

$$t_r\cong 2.197\tau\,$$

比例常數可以用輸入信號為V0的階躍函數時，系統的階躍反應而得：

$$V(t) = V_0 \left(1-e^{-\frac{t}{\tau}} \right)$$

求解時間

$$\frac{V(t)}{V_0}=\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{V(t)}{V_0}-1=-e^{-\frac{t}{\tau}} \quad \Longleftrightarrow \quad 1-\frac{V(t)}{V_0}=e^{-\frac{t}{\tau}},$$

最後可得

$$\ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)=-\frac{t}{\tau} \quad \Longleftrightarrow \quad t = -\tau \; \ln\left(1-\frac{V(t)}{V_0}\right)$$

而t1及t2滿足以下條件

$$\frac{V(t_1)}{V_0}=0.1 \qquad \frac{V(t_2)}{V_0}=0.9,$$

求解方程可得t1和t2的解析式

$$t_1 = -\tau\;\ln\left(1-0.1\right) = -\tau \; \ln\left(0.9\right) = -\tau\;\ln\left(\frac{9}{10}\right) = \tau\;\ln\left(\frac{10}{9}\right) = \tau({\ln 10}-{\ln 9})$$

$$t_2=\tau\ln{10}\,$$

上昇時間和時間常數成正比：

$$t_r = t_2-t_1 = \tau\cdot\ln 9\cong\tau\cdot 2.197$$

另外，根據

$$\tau = RC = \frac{1}{2\pi f_H},$$

則

$$t_r=\frac{2\ln3}{2\pi f_H}=\frac{\ln3}{\pi f_H}\cong\frac{0.349}{f_H},$$

因為上截止頻率等於頻寬

$t_r\cong\frac{0.35}{BW}\quad\Longleftrightarrow\quad BW\cdot t_r\cong 0.35.$

另外，若考慮20%至80%的上昇時間，tr會變成：

$$t_r = \tau\cdot\ln\frac{8}{2}=(2\ln2)\tau \cong1.386\tau\quad\Longleftrightarrow\quad t_r=\frac{\ln2}{\pi BW}\cong\frac{0.22}{BW}$$

#### 一階低通LR電路

等於一個簡單的一階低通RL電路，其10%至90%的上昇時間和電路時間常數τ `=` L成正比。其和RC電路的差異只在於不同電路中時間常數τ的表示方式不同。因此可得到下式

$$t_r=\tau\cdot\ln 9 = \frac{L}{R}\cdot\ln 9\cong \frac{L}{R} \cdot 2.197$$

### 阻尼二階系統

根據，控制系統中欠阻尼系統的上昇時間定義為輸出從0%到達終值100%的時間。二階欠阻尼系統的上昇時間如下：

$$t_r \cdot\omega_0= \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^2}}\left [ \pi - \tan^{-1}\left ( {\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}} \right )\right ]$$

沒有零點的二階系統，其階躍響應下的正規上昇時間可以二次函數近似如下：

$$t_r \cdot\omega_0= 2.230\zeta^2-0.078\zeta+1.12\,$$

中ζ是阻尼比，ω0是電路的自然頻率。

### 級聯模組的上昇時間

考慮n個非交聯的級聯模組組成的系統，每一個的上昇時間為tri, i `=` 1,...,n，其階躍響應沒有過沖，假設第一個模組的輸入信號的上昇時間為trS.。其輸出的上昇時間tr0為

$$t_{r_O}=\sqrt{t_{r_S}^2+t_{r_1}^2+\dots+t_{r_n}^2}$$

依照，此結果可以用中心極限定理來說明，已由證明。此問題的詳細分析可以參考,，他指出Elmore是第一個用比較嚴謹的基礎證明上述公式的人。