數學巧合

在數學中，數學巧合指的是兩個數學表達式的值極為接近，卻未有任何理論解釋的現象。

例如，2的10次方非常接近於整數1000：

$$2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3$$

工程學中有時會利用數學巧合，使用某個表達式去近似計算另一個表達式。

## 有理數近似

在某些情況下，用簡單的有理數近似可以極其逼近某個無理數。大部分這類巧合可以用無理數的連分數表示法來解釋；但是，若要進一步探究連分數展開中出現的不尋常大項，則有時是無法通過理論解釋的。

### π

- 圓周率Π的第一個連分數近似——3; 7 = 22/7 = 3.1428...，由阿基米德給出，誤差約為0.04%。Π的連分數近似的前三項——3; 7, 15, 1 = 355/113 = 3.1415929...，由祖沖之給出，精確到小數點後6位。Π之所以會在連分數近似的第三項達到如此高精確度是因為連分數表示3; 7, 15, 1, 292, ...中的下一項——292——是不尋常的大項。
- $\pi \approx 4 / \sqrt{\varphi} = 3.1446\dots$，其中φ為黃金分割率。此式與克卜勒三角有關。有人認為胡夫金字塔的建造利用了一個或多個數學巧合，但不是刻意為之的可能性更大。另一個關於黃金分割率的近似是$\pi\approx\frac{6}{5}\varphi^2$，誤差在0.002%以內。
- 位於圓周率小數點後第762位的連續的六個9。對於一個隨機選取的正規數，能在小數點後762位就出現一組特別的六位數字的機率只有0.08%。Π是否是一個正規數還不為人知。

### e

- 1828這一串數字在e = 2.718281828....的小數點後9位中就連續出現了兩回。
- 在1828後，459045為小數點後第10~15位，到此仍近似於有規律的有理數。
- e 的前50萬位中出現了一串「99999999」（8個9）。

### 2的冪

- $2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3$，誤差為2.4%。對應的有理近似（rational approximation）為：$\textstyle\frac{\log10}{\log2} \approx 3.3219 \approx \frac{10}{3}$ 或 $2 \approx 10^{3/10}$，誤差在0.3%以內。這個數學巧合在工程學中有實際應用：例如兩個功率比為1：2的信號，分貝數大約有-3 dB的差異（準確值為3.0103 dB，見半功率點）；也可以用於聯繫 KiB 與 KB（見二進位乘數詞頭）。
- $2^7 =128 \approx 125 = 5^3$，誤差約為2.4%，對應的有理近似為：$\textstyle\frac{\log5}{\log2} \approx 2.3219 \approx \frac{7}{3}$ 或 $2 \approx 5^{3/7}$，誤差也在0.3%以內。在攝影中，可以應用此近似估計相機的設置：如果曝光時間從1秒減少為1/125秒，若要保持曝光值不變，可以光圈轉動7格（stop）；由於光圈環轉動一格，照度相差一倍，7格光圈對應的就是照度$2^7 = 128$倍的變化，大致符合倒易律的要求。
- $2^{7/12}\approx 3/2$，誤差約為0.1%。十二平均律用7個半音來近似五度相生律的純五度即為此數學巧合的應用。
- $$2^8\approx 3^5$$
- $$2^{19}\approx 3^{12}$$
- $$2^{2^9}\approx 12^{12^2}$$

## 數字表達式

### 包含 π

- $\pi^2\approx10$；誤差約為1.3%，可以通過ζ函數的公式 $\zeta(2)=\pi^2/6$ 來理解這個近似

$\pi^2$。

- $\pi^2\approx 227/23$；誤差約為0.0004%。
- $\pi^3\approx 31$；誤差約為0.02%。
- $\pi^5\approx 306$；誤差約為0.2%。
- $\sqrt[5]{\pi^3+1}\approx 2$；誤差約為0.004%。
- $\pi\approx\left(9^2+\frac{19^2}{22}\right)^{1/4}$ 或 $22\pi^4\approx 2143$ 精確度達到小數點後八位（出自拉馬努金的《Quarterly Journal of Mathematics》, XLV, 1914, pp. 350–372）。拉馬努金寫道，這是通過「經驗性地獲得的」關於 $\pi$ 的一個「令人好奇的近似」，和文章中的其他理論沒有任何聯繫。

$$\sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.1415926525 \dots$$

$$\sqrt[5]{306} = 3.14155 \dots$$

$$\sqrt[6]{\frac{17305}{18}} = 3.1415924 \dots$$

$$\sqrt[7]{\frac{21142}{7}} = 3.14159 \dots$$

$$\sqrt[11]{294204} = 3.1415926 \dots$$

$$\sqrt[27]{26487841119103} = 3.14159265358979 \dots$$

一些貌似合理的近似甚至達到了極高的精確度，但仍然只是一種數學巧合。例如：

$$\int_0^\infty \cos(2x)\prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{n}\right)\mathrm{d}x \approx \frac{\pi}{8}$$

式子的兩邊直到小數點後第42位才有所不同這個對於cos函數的上限無窮的積分看似是發散的，但實際上，可以證明 $\int_0^\infty \cos(2x)\prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{n}\right)\mathrm{d}x < \frac{\pi}{8}$（詳見所引參考資料的第八個問題）。

### 包含 π 和 e

- $\pi^4+\pi^5\approx e^6$，誤差約為0.000 005%。
- $\sqrt[4]{3^3 e^\pi} \approx 5$，誤差約為0.008%。
- ${ 3 }^{ \frac { \pi +e }{ 4 } } \approx 5$，誤差約為0.000 538%（Joseph Clarke, 2015）。
- $e^\pi - \pi\approx 19.99909998$（Conway, Sloane, Plouffe, 1988），等價於 $(\pi+20)^i=-0.999 999 999 2\ldots -i\cdot 0.000 039\ldots \approx -1$。
- $$\pi^{3^2}/e^{2^3}=9.9998\ldots\approx 10$$
- $$e^{-\frac{\pi}{9}} + e^{-4\frac{\pi}{9}} + e^{-9\frac{\pi}{9}} + e^{-16\frac{\pi}{9}} + e^{-25\frac{\pi}{9}} + e^{-36\frac{\pi}{9}} + e^{-49\frac{\pi}{9}} + e^{-64\frac{\pi}{9}} = 1.00000000000105... \approx 1$$

### 包含 π 或 e 和 163

- ${163}\cdot (\pi - e) \approx 69$，誤差約為0.0005%。
- $\frac{163}{\ln 163} \approx 2^{5}$，誤差約為0.000004%。
- 拉馬努金常數：$e^{\pi\sqrt{163}} \approx (2^6\cdot 10005)^3+744$，誤差約為$2.9\cdot 10^{-28}\%$，於1859年由夏爾·埃爾米特發現。

### 對數

- $\ln 2\approx \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{2}{5}}$，誤差約為0.00024%。
- $$\log_2 (\log_2 3)\approx \frac{2}{3}$$

### 其他

- $\,\frac {16} {64} = \frac {1\!\!\!\not6} {\not6 4} = \frac {1} {4}$， $\frac {26} {65} = \frac {2\!\!\!\not6} {\not6 5} = \frac {2} {5}$， $\frac {19} {95} = \frac {1\!\!\!\not9} {\not9 5} = \frac {1} {5}$， $\frac{49}{98}=\frac{4\!\!\!\not9}{\not98}=\frac{4}{8}$，並且這四個分數的乘積恰好為1/100。
- $\,127 = -1 + 2^7$。127是最小的好傅利曼數。
- $\,(3 + 4)^3 = 343$
- $\,2^5 \cdot 9^2 = 2592$。2592也是一個好傅利曼數。
- $$\,1^3 + 5^3 + 3^3 = 153$$
- $$\,3^3 + 7^3 + 0^3 = 370$$
- $$\,3^3 + 7^3 +1^3 = 371$$
- $$\,4^3 + 0^3 +7^3 = 407$$
- $\,\sin(666^\circ) = \cos(6\cdot6\cdot6^\circ) = - \varphi/2$，其中 $\varphi$ 是黃金分割率。
- $\,\phi(666)=6\cdot6\cdot6$，其中 $\phi$ 為歐拉函數。
- 生日問題中的 $\lambda=\frac{1}{365}{23\choose 2}=\frac{253}{365}$ 與 $\ln(2)$ 的小數點後前四位是相同的。
- $\,31$、$331$、$3331$、$33331$、$333331$、$3333331$和$33333331$都是素數，但$333333331=17 \cdot 19607843$不是素數。
- $123456789 \cdot 8 = 987654312$。
- $\,2646798 = 2^1+6^2+4^3+6^4+7^5+9^6+8^7$；符合這類條件的數字中最大的一個是12157692622039623539。
- $\,3^3+4^4+3^3+5^5=3435$。
- $\,(8+1)^2=81$。81是除了0和1以外唯一符合這類條件的數字。
- $\,(4 + 9 + 1 + 3)^3 = 4{,}913$、$\,(5 + 8 + 3 + 2)^3 = 5{,}832$和$\,(1 + 9 + 6 + 8 + 3)^3=19{,}683$。
- $\,588^2+2353^2 = 5882353$與$\, 1/17 = 0.0588235294117647\ldots$的小數點後前八位0.05882353有重合。5882353恰好還是一個素數。
- $\,10! = 6! \cdot 7! = 1! \cdot 3! \cdot 5! \cdot 7!$。
- $\,1! + 4! + 5! = 145$。符合這類條件的數只有四個：1、2、145和40585。
- $$3^3+4^3+5^3=6^3$$
- $$5^6 \approx 2 \times 6^5$$

## 物理世界中的數字巧合

### 光速

光速的定義之所以是299,792,458 m/s（非常接近300,000,000 m/s的一個值），是因為一公尺的最初定義是通過巴黎的子午線上從地球赤道到北極點距離的千萬分之一，而地球的周長恰好約為一光秒的2/15。光速也可以被初略地估計為一英尺每納秒（準確值為0.9836 ft/ns）。

### 地球直徑

地球的極直徑約為5億英尺，誤差約為0.1%。

### 重力加速度

雖然地球的重力加速度會隨著緯度和海拔的不同而變化，但其值在9.74m/s2與9.87m/s2之間，接近10m/s2。因此，根據牛頓第二定律，一千克物體在地球表面受到的重力約為10牛頓。這一巧合實際上和之前提到的 Π 的平方接近10有關。公尺的一個早期定義是將半周期為一秒的單擺的擺長定義為一公尺。由於當擺角較小時，單擺的周期公式為：

$$T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}$$

在這個定義下，重力加速度就會和 Π 的平方相等。後來，基於地球的周長非常接近40,000,000倍的此定義下的一公尺的事實，公尺才被重新定義為地球周長的40,000,000分之一。

另外，重力加速度的估計值9.8 m/s2等於1.03 光年/年2；這是一個非常接近1的值。

### 里德伯常量

里德伯常量乘上光速的值接近於$\frac{\pi^2}{3}\times 10^{15}\ \text{Hz}$：

$\underline{3.2898}41960364(17) \times 10^{15}\ \text{Hz} = R_\infty c$

$$\underline{3.2898}68133696\ldots = \frac{\pi^2}{3}$$

### 英里的立方與公里的立方

一英里的立方約等於$\frac{4}{3}\pi$乘以一公里的立方（誤差約為0.5%），意味著一個半徑為 n 公里的球體與邊長為 n 英里的立方體的體積幾乎相等。

### 精細結構常數

精細結構常數 $\alpha$ 的值接近 $\frac1{137}$：$\alpha = \frac1{137.035999074\dots}$。

值得注意的是，因為 $\alpha$ 是一個無量綱量，所以這一巧合與人為選定的單位系統無關。