環索線

環索線（strophoid）是幾何學中的一種曲線，由給定曲線C、點A（固定點）及點O（極點），依以下方式產生：令L是通過O，和曲線C的交點為K的變動直線。令P1和P2是直線L上的兩點，這兩點到K的距離和A到K的距離相同（因此A、P1、P2在圓心為K為圓上）。P1、P2的軌跡即為曲線C的環索線，相對於極點O及固定點A。

其中AP1和AP2會呈直角。

若C是直線，A在C上，而O不在C上，此曲線稱為斜環索線（oblique strophoid）。若OA和C垂直，此曲線則稱為正環索線（right strophoid），正環索線也稱為logocyclic curve或葉狀線（foliate）。

## 方程式

### 極坐標

令曲線C的極坐標方程為$r = f(\theta)$，其中原點為O，令A的直角坐標為(a, b)，若$K = (r \cos\theta,\ r \sin\theta)$是曲線上的一點。

$d = \sqrt{(r \cos\theta - a)^2 + (r \sin\theta - b)^2} = \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}$.

在OK線上的點，其極座標角度為$\theta$，線上和點K距離為d的點，和原點的距離為$f(\theta) \pm d$。因此，環索線的方程如下

$$r = f(\theta) \pm \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}$$

### 另一種極座標公式

若C是極點為O和A的麥克勞林分角線時，可以用以下的極座標公式。

令O為原點，A為點(a, 0)，令K為曲線上一點，線OK和X軸的夾角為$\theta$，而 $\vartheta$是線AK和和X軸的夾角。假設$\vartheta$可以表示為$\theta$的函數，假設$\vartheta = l(\theta)$。令$\psi$是K的角度，則$\psi = \vartheta - \theta$。可以用正弦定律，將r用l來表示。因為

${r \over \sin \vartheta} = {a \over \sin \psi},\ r = a \frac {\sin \vartheta}{\sin \psi} = a \frac {\sin l(\theta)}{\sin (l(\theta) - \theta)}$。

令P1和P2是OK線上和K點的距離等於AK的點，調整編號使$\psi = \angle P_1KA$，且$\pi-\psi = \angle AKP_2$。$\triangle P_1KA$是頂角為$\psi$的等腰三角形，剩下的兩角$\angle AP_1K$和$\angle KAP_1$角度為$(\pi-\psi)/2$。AP1線和x軸角度為

$l_1(\theta) = \vartheta + \angle KAP_1 = \vartheta + (\pi-\psi)/2 = \vartheta + (\pi - \vartheta + \theta)/2 = (\vartheta+\theta+\pi)/2$。

同理可得AP2和x軸的角度為

$l_2(\theta) = (\vartheta+\theta)/2$.

環索線的極座標式可以表示以下有l1及l2的式子：

$$r_1=a \frac {\sin l_1(\theta)}{\sin (l_1(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2 - \theta)} = a \frac{\cos ((l(\theta)+\theta)/2)}{\cos ((l(\theta)-\theta)/2)}$$

$$r_2=a \frac {\sin l_2(\theta)}{\sin (l_2(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta)/2 - \theta)} = a \frac{\sin((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin((l(\theta)-\theta)/2)}$$

若l是$q \theta + \theta_0$，曲線C是極點為O和A的麥克勞林分角線，此時，l1和l2會有相同的型式，因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線，或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置，也會有較簡單的極座標方程。

## 特例

### 斜環索線

令C是通過A點的直線。依照上式的表示法，$l(\theta) = \alpha$，其中$\alpha$為常數，則$l_1(\theta) = (\theta + \alpha + \pi)/2$且$l_2(\theta) = (\theta + \alpha)/2$。相對原點O點環索線的極座標（斜環索線）方程為

$$r = a \frac{\cos ((\alpha+\theta)/2)}{\cos ((\alpha-\theta)/2)}$$

以及

$r = a \frac{\sin ((\alpha+\theta)/2)}{\sin ((\alpha-\theta)/2)}$.

可以確定上式二式描述的是同一條直線。

將原點移到A點，用−a代替a，可得

$r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)}$,

旋轉角度$\alpha$後可得

$r=a\frac{\sin(2\theta+\alpha)}{\sin(\theta)}$.

在直角坐標系，調整常數的參數，可得

$y(x^2+y^2)=b(x^2-y^2)+2cxy$.

是三次曲線，在極座標下是有理函數，其叉點在(0, 0)，漸近線為直線y=b。

### 正環索線

將$\alpha = \pi/2$代入下式

$$r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)}$$

可得

$r=a\frac{\cos 2\theta}{\cos \theta} = a(2\cos\theta-\sec\theta)$.

此即為正環索線，對應直線C為y軸，A點為原點，O點為點(a,0)的情形。

笛卡爾坐標系方程為

$y^2 = x^2(a-x)/(a+x)$.

此曲線為笛卡兒葉形線，直線x = −a是二個分支的漸近線。此曲線還有二條漸近線，分別是複數平面上的

$x\pm iy = -a$。

### 圓

令圓C是通過O和A的圓，其中O為原點，A的座標為(a, 0)。依以上的表示法，$l(\theta) = \alpha+\theta$，其中$\alpha$是常數。則$l_1(\theta) = \theta + (\alpha + \pi)/2$以及$l_2(\theta) = \theta + \alpha/2$，所得相對於圓O環索線（oblique strophoid）的極座標方程為

$$r = a \frac{\cos (\theta+\alpha/2)}{\cos (\alpha/2)}$$

及

$r = a \frac{\sin (\theta+\alpha/2)}{\sin (\alpha/2)}$.

這是二個通過O和A，在C點形成角度$\pi/4$的圓。