餘調

在同調論與代數餘鏈中，餘調（Cohomology）表示由與拓樸空間相關的阿貝爾群組成的序列，經常由餘鏈復形定義。餘調可以被視為給予空間（比同調）更豐富的代數不變量的方式。某些餘調是將同調的建構對偶化產生的。換言之，餘鏈是同調論中鏈群上的函數。

這個概念一開始是在拓撲學中，到20世紀後半變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法，現今同調與餘調理論的應用已遍布幾何與代數。餘調是個反變的理論，而在很多應用中比同調更自然，但術語使上述事實變得不明顯。基礎地看，這與幾何的情況中的函數與拉回有關：給定空間 X、Y、 Y 上的某種函數 F，對任何映射 f : X → Y，與 f 的複合會產生在 X 上的函數 F ∘ f。最重要的一些餘調論有一種積，稱為杯積，使其具有環的結構。所以，餘調常是比同調更強的不變量。

廣義上的同調理論（其他代數或幾何結構的不變式，而不是拓撲空間的不變式）包括：代數K理論，李代數同調，晶體同調等。

## 奇異上同調

奇異上同調是拓撲學中一個強大的不變量，將分次交換環同任意拓撲空間聯繫起來。每個連續映射$f:\ X\to Y$都決定了從Y的上同調環到X的上同調環的同態，這對X到Y的可能映射施加了強有力的限制。上同調環不同於同倫群等更微妙的不變式，對於感興趣的空間來說，實際上往往是可以計算的。

對拓撲空間X，奇異上同調的定義始於奇異鏈復形：

$$\cdots \to C_{i+1}\stackrel{\partial_{i+1}}{\to} C_i \stackrel{ \partial_i}{\to}\ C_{i-1} \to \cdots$$ 由定義，X的奇異同調是這鏈復形的同調（一個同態的核對前一個的像取模）。更詳細地說，$C_i$是從標準i單純形到X（稱作「X中的奇異i單形（simplice）」）的連續映射集的自由阿貝爾群；$\partial_i$是第i個邊界同態。i為負數時，群$C_i$為零。

現固定一個阿貝爾群A，把每個群Ci換成其對偶群$C_i^* := \mathrm{Hom}(C_i,A),$；把$\partial_i$換成對偶同態$$d_{i-1}: C_{i-1}^* \to C_{i}^*.$$

這會把原復形的「所有箭頭都逆轉」，留下上鏈復形$$\cdots \leftarrow C_{i+1}^* \stackrel{d_i}{\leftarrow}\ C_{i}^* \stackrel{d_{i-1}}{\leftarrow} C_{i-1}^* \leftarrow \cdots$$

對任意整數i，X的第i個係數在A中的上同調群定義為${\rm ker}(d_i)/{\rm im}(d_{i-1}),$記作$H^i(X,\ A).$i為負數時，群為零。$C_i^*$的元素稱作奇異i上鏈，係數在A中。（等價地，X上的i上鏈可從X中到A的奇異i單形集函數中辨別出來）ker(d)、im(d)中的元素分別稱作上循環和上邊界（coboundary），${\rm ker}(d)/{\rm im}(d)=H^i(X,\ A)$的元素則稱作上同調類（因為是上循環的等價類）。

下文時而省略係數群A不寫。通常取A為交換環R，則上同調群為R模。標準的選擇是整數環Z。

上同調的一些形式性質與同調基本一致：

- 連續映射$f: X \to Y$決定了同調上的前推同態$f_*:H_i(X) \to H_i(Y)$與上同調上的拉回同態$f^*: H^i(Y) \to H^i(X)$，這使上同調成為從拓撲空間到阿貝爾群（或R模）的反變函子。
- X到Y的兩個同倫映射會在上同調引起相同的同態（如在同調上）。
- 邁爾–維托里斯正合列是同調與上同調中重要的計算工具。注意邊界同態增加（而非減少）了上同調的度；即，若空間X是開子集U與V的交，則有長正合序列：$$\cdots \to H^i(X) \to H^i(U)\oplus H^i(V) \to H^i(U\cap V) \to H^{i+1}(X) \to \cdots$$
- 對空間X的任意子空間Y，有相關上同調群$H^i(X,Y;A).$由長正合序列與通常的上同調群相關聯：$$\cdots \to H^i(X,Y) \to H^i(X) \to H^i(Y) \to H^{i+1}(X,Y) \to \cdots$$
- 泛係數定理用Ext群描述了上同調，即有短正合序列$$0 \to \operatorname{Ext}_{\Z}^1(\operatorname{H}_{i-1}(X, \Z), A) \to H^i(X, A) \to \operatorname{Hom}_{\Z}(H_i(X,\Z), A)\to 0.$$相關的說法是，對域F，$H^i(X,F)$正是向量空間$H_i(X,F)$的對偶空間。
- 若X是拓撲流形或CW復形，則對大於X的維度的i，上同調群$H^i(X,A)$為零。1a1=Hatcher若X是緊流形（可能有界），或是在每個維度都有有限多單元的CW復形，且R是交換諾特環，則R模$H^i(X,\ R)$對每個i都是有限生成模。

另一方面，上同調有同調沒有的重要結構：對任意拓撲空間X與交換環R，有稱作上積的雙線性映射：

$$H^i(X,R)\times H^j(X,R) \to H^{i+j}(X,R),$$ 從奇異上鏈的明確公式定義。上同調類u與v的積寫作u ∪ v或只是uv，這個積使得直和$$H^*(X,R)=\bigoplus_i H^i(X,R)$$ 變為分次環，稱作X的上同調環，在如下意義上是分次交換環：

$$uv=(-1)^{ij}vu, \qquad u \in H^i(X,R), v \in H^j(X,R).$$

對任意連續映射$f\colon X\to Y,$，拉回$f^*: H^*(Y,R) \to H^*(X, R)$是分次R代數的同態。可見，若兩空間同倫等價，則它們的上同調環就同構。

下面是上積的一些幾何解釋。除非另有說明，否則默認流形無界。閉流形是（不含邊界）緊流形，而流形M的閉子流形N是M的閉子集的子流形，不必是緊流形（不過，若M緊，則N必緊）。

- 令X為n維閉有向流形，則龐加萊對偶性給出同構$H^iX\cong H_{n-i}X$。於是，X中余維度為i的閉有向子流形決定了$H^iX$中的上同調類，稱作$[S].$在這些術語中，上積描述了子流形的相交：若S、T是余維度為i、j的子流形，並橫截地相交，則$$[S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),$$當中的交S ∩ T是余維度為i+j的子流形，方向由S、T、X的方向確定。在光滑流形的情形下，若S、T不橫截著相交，則這公式仍可計算上積$[S][T]$，方法是擾動S或T使其橫截相交。更一般地，X不需有向，其閉子流形與法叢上的方向決定了X上的一個上同調類。若X是非緊流形，則閉子流形（不需是緊的）決定了X上的上同調類。兩種情形下，上積仍可用子流形之交來描述。注意勒內·托姆在光滑14維流形上構造了度為7的積分上同調類，不是任何光滑子流形的類。另一方面，他證明了光滑流形上所有度為正的積分上同調類都有正倍數，其是光滑子流形的類。而且，流形上的所有積分上同調類都可用「偽流形」（即單純形，在余維度至少為2的閉子集之外是流形）表示。
- 對光滑流形X，德拉姆定理表明，具有實係數的X的奇異上同調與X的德拉姆上同調同構，由微分形式定義。上積對應微分形式的積。這解釋的優點在於微分形式的積是分次交換的，而奇異上鏈的積只在鏈同倫意義上分次交換。事實上，對係數在整數$\Z$或$\Z/p$（p為使積在鼻上分次交換的素數）中的奇異上鏈，無法修改其定義。上鏈層面上分次交換性失效，導致了模p上同調上的斯廷羅德運算。

非常不正式地說，對任意拓撲空間X，$H^i(X)$的元素都可認為是可在X上自由移動的余維度為i的子空間。舉例來說，定義元素的一種方法是給出從X到流形M的連續映射f，以及M的余維度為i的閉子流形N，且在法叢上有向。形式上說，可將結果類$f^*([N]) \in H^i(X)$視為位於X的子空間$f^{-1}(N)$上；這是合理的，因為類$f^*([N])$在開子集$X-f^{-1}(N)$的上同調中限制為零。上同調類$f^*([N])$可在X上自由移動，即N可被M內N的任意連續變形所代替。

## 例子

下面默認上同調係數為整數。

- 點的上同調環是度為0的環Z。根據同倫不變性，這也是任何可緊空間的上同調環，如歐氏空間Rn。
- 對正整數n，N維球面$S^n$的上同調環是$\mathbb{Z}[x]/(x^2)$（多項式環對給定理想的商環），x的度為n。根據上述龐加萊對偶性，x是球面上一點的類。
- 環面$(S^1)^n$的上同調環是度為1的n個生成器上的Z的外代數。例如，令P表示圓$S^1$中的點，Q為2維環面$(S^1)^2$中的點(P,P)。則，$(S^1)^2$的上同調有如下形式的自由Z模基：度為0的元素1、度為1的$x\mathrel{\mathop:}=[P\times S^1]$及$y\mathrel{\mathop:}=[S^1\times P]$、度為2的$xy=[Q].$（此處隱含地固定了環面和兩個圓的方向）注意由分次交換性可知，$yx=-xy=-[Q].$
- 更一般地，令R為交換環、令X與Y為使$H^*(X,\ R)$為所有度都是有限生成自由R模的任意拓撲空間（Y不需要假設）。則據克奈定理，積空間$X\times Y$的上同調環是R代數的張量積： $$H^*(X\times Y,R)\cong H^*(X,R)\otimes_R H^*(Y,R).$$
- 實射影空間$\mathbb{RP}^n$的上同調環（係數位於$\mathbb{Z}/2$）是$\mathbb{Z}/2[x]/(x^{n+1})$，x的度為1。當中x是$\mathbb{RP}^n$中的超平面$\mathbb{RP}^{n-1}$的類，即使$\mathbb{RP}^j$（j為正偶數）無向也成立，因為$\mathbb{Z}/2$係數的龐加萊對偶性適於任意流形。若係數是整數，就比較複雜了。$\mathbb{RP}^{2a}$的Z上同調具有度為2的元素y，使整個上同調是度為0的元素1張成的Z與$y^i\ (i=1,\ \ldots,\ a)$張成的Z/2的直和。$\mathbb{RP}^{2a+1}$的Z上同調也如此，只是多了一份度為2a+1的Z。
- 復射影空間$\mathbb{CP}^n$的上同調環是$\mathbb{Z}[x]/(x^{m+1})$，其中x的度為2。x是$\mathbb{CP}^n$中超平面$\mathbb{CP}^{n-1}$的類；更一般地說，$x^j$是$\mathbb{CP}^n$中線性子空間$\mathbb{CP}^{n-j}$的類。
- 虧格g ≥ 0的閉有向面X的上同調環有如下形式的自由Z模的基：度為0的元素1、度為1的$A_1,\ \ldots,\ A_g$及$B_1,\ \ldots,\ B_g$、度為2的點的類P。積由下面的定義給出：$A_iA_j=B_iB_j= 0,\ \forall i,\ j;\quad A_iB_j=0\ (i\ne j);\quad A_iB_j=0\ (i\ne j),\ A_iB_i=P,\ \forall i.$由分次交換性，可知有1=BiAi = −P
- 在任意拓撲空間上，上同調環的分次交換性都表明，對任意度為奇的上同調類x都有$2x^2=0.$因此，對包含1/2的環R，$H^*(X,\ R)$中所有度為奇的元素的平方都是零。另一方面，若R是$\mathbb{Z}/2$或$\mathbb{Z}$，則度為奇的元素不必有平方零，正如例子$\mathbb{RP}^2$（係數$\mathbb{Z}/2$）或$\mathbb{RP}^4\times\mathbb{RP}^2$（係數$\mathbb{Z}$）。

## 對角

上積可視作來自對角映射$\Delta:\ X\to X\times X,\ x\mapsto(x,\ x).$也就是說，對於具有上同調類$u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(Y,\ R)$的任意空間X、Y，有外積（或叉積）上同調類$u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,\ R).$類$u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(X,\ R)$的上積可定義為外積的對角線拉回：

$$uv=\Delta^*(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).$$

另外，外積也可用上積定義。對空間X、Y，將兩投影分別寫作$f:\ X\times Y\to X,\ g:\ X\times Y\to Y$，則$u\in H^i(X,\ R),\ v\in H^j(Y,\ R)$兩類的外積就是$$u\times v=(f^*(u))(g^*(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).$$

## 龐加萊對偶性

龐加萊對偶性的另一種解釋是，閉有向流形的上同調環在強意義上是自對偶的。也就是說，令X為n維閉緊有向流形，F為域。則$H^n(X,\ F)$同構於F，積

$$H^i(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^n(X,F)\cong F$$

對每個整數i是完美配對。特別地，向量空間$H^i(X,\ F),\ H^{n-i}(X,\ F)$具有相同的（有限）維度。同樣，積分上同調模撓、在$H^n(X,\ \mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$中取值的積是Z上的完美配對。

## 示性類

拓撲空間X上秩為r的有向實向量叢E決定了X上的上同調類，即歐拉類$\xi(E)\in H^r(X,\ \mathbb{Z})$χ。非正式地說，歐拉類是E的一般截面的零集類。E若是光滑流形X上的光滑向量叢E，這種解釋會更明確，因為此時X的一般光滑截面會在X的r余維子流形上歸於零。

在上同調取值的向量叢還有其他幾種示性類，如陳類、施蒂費爾–惠特尼類、龐特里亞金類等。

## 艾倫伯格–麥克蘭恩空間

對任意阿貝爾群A與自然數j，有空間$K(A,j)$，其第j個同倫群同構於A，其他同倫群均為零。這樣的空間叫做艾倫伯格–麥克蘭恩空間，對上同調是分類空間：有$H^j(K(A,j),A)$的自然元素u，每個空間X上每個度為j的上同調類都是u對某連續映射$X\to K(A,j)$的拉回。更確切地說，類u的拉回對每個具有CW復形上同調類型的空間X給出了雙射

$$[X, K(A,j)] \stackrel{\cong}{\to} H^j(X,A)$$

當中$[X,Y]$表示X到Y的連續映射的同倫類集合。

例如，空間$K(\Z,1)$（同倫等價意義上）可看作是圓$S^1$，所以上面的描述說，$H^1(X,\Z)$的每個元素都是通過某映射$X\to S^1$從$S^1$是哪個一點的類u拉回的。

對係數在任意阿貝爾群A（如CW復形X）中的第一上同調，都有相關的描述：$H^1(X,A)$與具有群A的X的伽羅瓦覆疊空間的同構類集（也稱為X上的主A叢）一一對應。對連通的X，$H^1(X,A)$同構於$\operatorname{Hom}(\pi_1(X),A)$，曲線$\pi_1(X)$是X的基本群。例如，$H^1(X,\Z/2)$分類了X的雙覆疊空間，元素$0\in H^1(X,\Z/2)$對應平凡雙覆疊，即兩個X的不交並。

## 下積

對任意拓撲空間X、任意整數i、j、任意交換環R，下積是雙線性映射

$$\cap: H^i(X,R)\times H_j(X,R) \to H_{j-i}(X,R)$$

得到映射

$$H^*(X,R)\times H_*(X,R) \to H_*(X,R)$$

使X的奇異上同調成為X的奇異上同調環上的模。

$i=j$時，下積給出了自然同態

$$H^i(X,R)\to \operatorname{Hom}_R(H_i(X,R),R),$$

其是R域的同構。

例如，令X是有向流形，不必是緊的。則其餘維為i的閉有向子流形Y（不必緊）確定了$H^i(X,\ R)$中的一個元素，X的緊有向j維子流形Z確定了$H_j(X,\ R)$中的一個元素。下積$[Y]\cap[Z]\in H_{j-i}(X,\ R)$可通過擾動Y、Z使其橫截相交，再取交集的類（即j-i維緊有向子流形）進行計算。

n維閉有向子流形X在$H_n(X,\ R)$中具有基本類$[X]$。龐加萊對偶同構$$H^i(X,R)\overset{\cong}{\to} H_{n-i}(X,R)$$ 可通過與X的基本類的下積定義。

## 奇異上同調簡史

上同調是現代代數拓撲的基礎，但在同調論發展了40餘年後，人們才意識到其重要性。亨利·龐加萊證明龐加萊對偶定理用的「對偶單元結構」概念即是上同調思想的雛形，但後來才被發現。

- 上同調的前身多種多樣。20世紀20年代中期，詹姆斯·韋德爾·亞歷山大和所羅門·萊夫謝茨創立了流形上循環的相交理論。在閉有向n維流形M上，若i循環與j循環在一般位置有非空交，則其交就是(i+j-n)循環。這產生了同調類的乘法

$$H_i(M) \times H_j(M) \to H_{i+j-n}(M),$$

這與M的上同調的上積很相似。

- 1930年，亞歷山大首次定義了上鏈，將空間X上的i上鏈看作是$X^{i+1}$中對角線小鄰域上的函數。
- 1931年，喬治·德拉姆將同調與微分形式聯繫起來，證明了德拉姆定理。這一結果可以更簡單地用上同調表述。
- 1934年，列夫·龐特里亞金證明了龐特里亞金對偶性定理，這是關於拓撲群的一個結果。這（在相當特殊的情形下）提供了用群特徵解釋龐加萊對偶和亞歷山大對偶的方法。
- 1935年的莫斯科一次學術會議上，安德雷·柯爾莫哥洛夫和亞歷山大引入了上同調，並試圖建立上同調積結構。
- 1936年，諾曼·斯廷羅德通過對偶化切赫同調，構造了切赫上同調。
- 1936至1938年，哈斯勒·惠特尼與愛德華·切赫發展了上積（使上同調變為分次環）和下積，意識到龐加萊對偶性可用下積表示。他們的理論仍局限於有限多胞腔的復形。
- 1944年，塞繆爾·艾倫伯格克服了技術限制，給出了奇異同調和奇異上同調的現代定義。
- 1945年，艾倫伯格和斯廷羅德提出了艾倫伯格-斯廷羅德公理，下詳。在1952年他們合著的《代數拓撲基礎》（Foundations of Algebraic Topology）一書中，他們證明了現有的同調和上同調確實滿足他們的公理。
- 1946年，讓·勒雷定義了層上同調。
- 1948年，埃德溫·斯潘尼爾在亞歷山大和柯爾莫哥洛夫的基礎上，提出了亞歷山大–斯潘尼爾上同調。

## 層上同調

層上同調是奇異上同調的豐富推廣，允許更一般的係數，而不限於阿貝爾群。對拓撲空間X上任意的阿貝爾群層，有上同調群$H^i(X,\ E)$（i為整數）。特別地，X上的常層與阿貝爾群A相關聯的情形下，所得的群$H^i(X,\ A)$與X的奇異上同調（流形或CW復形）重合（並非對任意X都成立）。20世紀50年代開始，層上同調成為了代數幾何與複分析的核心部分，部分原因是正則函數層或全純函數層的重要性。

亞歷山大·格羅滕迪克用同調代數優雅地定義、描述了層上同調。其要點在於固定空間X，並將層上同調視作從X上的阿貝爾範疇層到阿貝爾群的函子。首先，取從X上的層E到其在X上的非局部截面的阿貝爾群的函子，即E(X)，它是左正合函子，而不必右正合。格羅滕迪克定義層上同調群為左正合函子$E\mapsto E(X)$的右導出函子。

這定義可以有很多推廣。例如，可定義拓撲空間X的上同調，其係數可以在層的任意復形中，早先稱作超上同調（現在則只叫做「上同調」）。從這角度來看，層上同調成了從X上的層導出範疇到阿貝爾群的函子序列。

更廣義地講，「上同調」常用作阿貝爾範疇上的左正合函子的右導出函子，而「同調」則是右正合函子的左導出函子。例如，對於環R，Tor群${\rm Tor}_i^R(M,\ N)$在每個簇形成「同調」，即R模的張量積$M\otimes_RN$的左導出函子。同樣，Ext群${\rm Ext}^i_R(M,\ N)$可視作是每個簇中的「上同調」，c即Hom函子${\rm Hom}_R(M,\ N)$的右導出函子。

層上同調與一種Ext群相關：對拓撲空間X上的層E，$H^i(X,\ E)$同構於${\rm Ext}^i(\mathbb{Z}_X,\ E)$，當中$\mathbb{Z}_X$表示與整數Z相關聯的常層，Ext取X上的層的阿貝爾範疇。

## 簇的上同調

有很多構造可計算代數簇的上同調。最簡單的情形是確定$0$特徵域上光滑射影簇的上同調。霍奇理論有叫做霍奇結構的工具，有助於計算這些簇類的上同調（增加了更精細的資訊）。最簡單的情形下，$\mathbb{P}^n$中的光滑超平面的上同調可僅根據多項式的度確定。

考慮有限或特徵為$p$的域上的簇，需要更有力的工具，因為同調/上同調的經典定義被打破了：有限域上的簇只能是有限點集。格羅滕迪克提出了運用格羅滕迪克拓撲的想法，並用平展拓撲上的層上同調定義有限域上的簇的上同調論。利用特徵$p$域上的簇的平展拓撲，可構造$\ell$進上同調（$\ell\neq p$）：

$$H^k(X;\Q_\ell) := \varprojlim H^k_{et}(X;\Z/(\ell^n)) \otimes_{\Z_\ell} \Q_\ell$$

若有有限類型的概形

$$X = \text{Proj} \left( \frac{\Z \left[x_0,\ldots,x_n \right]}{ \left (f_1,\ldots,f_k \right )} \right)$$

則只要簇在兩個域上都光滑，$X(\Complex)$的貝蒂上同調和$X(\mathbb{F}_q)$的$\ell$進上同調的維度就相等。此外，還有韋爾上同調論，與奇異上同調的行為類似。有一種猜想，其理論動機是所有韋爾上同調論的基礎。

另一個有用的計算工具是爆破序列（blowup sequence）。給定余維度$\geq 2$的子概形$Z \subset X$，有笛卡兒平方

$$\begin{matrix} E & \longrightarrow & Bl_Z(X) \\ \downarrow & & \downarrow \\ Z & \longrightarrow & X \end{matrix}$$

由此，有相關的長正合序列

$$\cdots \to H^n(X) \to H^n(Z) \oplus H^n(Bl_Z(X)) \to H^n(E) \to H^{n+1}(X) \to \cdots$$

若子簇$Z$光滑，則連通態射均平凡，因此

$$H^n(Bl_Z(X))\oplus H^n(Z) \cong H^n(X) \oplus H^n(E)$$

此外，利用法叢$N_{Z/X}$的陳類，爆破的上同調環很容易計算，公式為

$$H^*()$$

## 公理與廣義上同調論

拓撲空間的上同調有多種定義（如奇異上同調、切赫上同調、亞歷山大–斯潘尼爾上同調或層上同調）（此處層上同調只考慮係數在常層中）。這些理論對某些空間給出了不同結果，但對一大類空間都是一致的，這從公理上最容易理解：有一系列屬性稱作艾倫伯格-斯廷羅德公理，任意兩個滿足其的構造至少在所有CW復形上都一致。同調論和上同調論都有公理版本。有些理論可作為計算特殊拓撲空間的奇異上同調的工具，如單純復形的單純上同調、CW復形的胞腔上同調、光滑流形的德拉姆上同調。

上同調論的艾倫伯格-斯廷羅德公理之一是維度公理：若P是單點，則$H^i(P)=0,\ \forall i\ne 0.$1960年左右，George W. Whitehead發現，完全省略維度公理很有意義：這就產生了廣義（上）同調論（定義如下）。K理論或復配邊之類的廣義上同調論，提供了拓撲空間的豐富信息，且是奇異上同調無法直接提供的（這時，奇異上同調通常叫做「普通上同調」）。

由定義，廣義同調論是從CW-拓撲對範疇$(X,\ A)$（於是X是CW復形，A是子復形）到阿貝爾群範疇的函子序列$h_i$（i是整數），以及自然變換$\partial_i:\ h_i(X,\ A)\to h_{i-1}(A)$，稱作邊界同態（其中$h_{i-1}(A)$是$h_{i-1}(A,\ \emptyset)$的簡寫）。公理如下：

- 同倫：若$f:(X,A) \to (Y,B)$同倫於$g: (X,A) \to (Y,B)$，則同調上的誘導同態相同。
- 正合性：由結論f: A → X、g: (X,∅) → (X,A)，每對(X,A)都在同調上誘導了長正合序列：$$\cdots \to h_i(A) \overset{f_*}{\to} h_i(X) \overset{g_*}{\to} h_i (X,A) \overset{\partial}{\to} h_{i-1}(A) \to \cdots.$$
- 切除：若X是子復形A、B的並，則對每個i，包含$f:\ (A,\ A\cap B)\to(X,\ B)$會誘導同構$$h_i(A, A\cap B) \overset{f_*}{\to} h_i(X,B)$$
- 可加性：若(X,A)是一組對$(X_\alpha,\ A_\alpha)$的不交並，則對每個i，包含$(X_\alpha,\ A_\alpha)\to(X,\ A)$會誘導從直積出發的同構：$$\bigoplus_{\alpha} h_i(X_\alpha,A_\alpha)\to h_i(X,A)$$

廣義上同調論的公理大致是通過翻轉箭頭得到的。更詳細地說，廣義上同調論是一系列從CW-拓撲對範疇到阿貝爾群範疇的反變函子序列$h^i$（i是整數），及自然變換d: hi(A) → hi+1(X,A)，稱作邊界同態 （其中$h^i(A)$表示$h^i(A,\ \emptyset)$。公理如下：

- 同倫：同倫映射在上同調誘導相同的同態。
- 正合性：由結論f: A → X、g: (X,∅) → (X,A)，每對(X,A)都在上同調上誘導了長正合序列：$$\cdots \to h^i(X,A) \overset{g_*}{\to} h^i(X) \overset{f_*}{\to} h^i (A) \overset{d}{\to} h^{i+1}(X,A) \to \cdots.$$
- 切除：若X是子復形A、B的並，則對每個i，包含$f:\ (A,\ A\cap B)\to(X,\ B)$會誘導同構$$h^i(X,B) \overset{f_*}{\to} h^i(A,A\cap B)$$
- 可加性：若(X,A)是一組對$(X_\alpha,\ A_\alpha)$的不交並，則對每個i，包含$(X_\alpha,\ A_\alpha)\to(X,\ A)$會誘導到達積群的同構：$$h^i(X,A)\to \prod_\alpha h^i(X_\alpha,A_\alpha)$$

譜決定了廣義（上）同調論。Brown、Whitehead、Adams得到的一個基本結果是：所有廣義同調論都來自一個譜，所有廣義上同調論也來自一個譜。這推廣了艾倫伯格–麥克蘭恩空間對普通上同調的可表性。

一個微妙問題是，從穩定同調範疇（譜的同倫範疇）到CW-拓撲對上的廣義同調論的函子，雖然給出了同構類上的雙射，但是不等價；在穩定同倫範疇中，有非零映射（即幻影映射），其誘導了CW-拓撲對上同倫論間的零映射。同樣，從穩定同倫範疇到XW-拓撲對上的廣義上同調論的函子也不等價。正是穩定同倫範疇具有三角化之類良好性質。

要將（上）同調論的定義域從CW復形推廣到任意拓撲空間，一種標準方法是加入公理：所有弱同倫等價都會在（上）同調誘導一個同構（對奇異（上）同調是正確的，但層上同調等則不然）。由於每個空間都可從CW復形得到弱同倫等價，這公理將所有空間的（上）同調論還原為CW復形的相應理論。

廣義上同調論的一些例子：

- 穩定上同倫群$\pi_S^*(X).$相應的同調論更常用：穩定同倫群$\pi^S_*(X).$
- 各種配邊群，從空間到流形的所有映射的角度研究空間：無向配邊$MO^*(X)$有向配邊$MSO^*(X),$復配邊$MU^*(X),$等等。復配邊在同倫論中尤為強大，經由丹尼爾·奎倫的定理，同形式群密切相關。
- 拓撲K理論的各種形式，從空間上所有向量叢的角度研究空間：$KO^*(X)$（實周期K理論）、$ko^*(X)$（實連通K理論）、$K^*(X)$（復周期K理論）、$ku^*(X)$（復連通K理論），等等。
- 布朗-彼得森上同調、莫拉瓦K理論、莫拉瓦E理論等等由復配邊建立的理論。
- 各種橢圓上同調。

其中許多理論比普通上同調的資訊更豐富，但更難計算。

上同調論E若滿足$E^*(X)$對每個空間X都具有分次環的結構，則稱E具有乘性。用譜的語言來說，有幾個更精確的環譜概念，如E∞環譜，其中的積在很強的意義上是交換、結合的。