最佳投影方程

最佳投影方程（optimal projection equations）是控制理論中，建構局部最佳降階LQG控制器的充分必要條件。

LQG控制（線性二次高斯控制）問題是最優控制領域中最基礎的問題之一，這問題包括了存在不確定性的線性系統，受到加性高斯白噪聲的影響，沒有完整的狀態資訊（無法量測到所有的狀態變數，也無法透過回授得知），對應二次的成本泛函。不過存在唯一解，而且可以建構線性動態回授的控制律，易於計算以及實現。而LQG控制器也是非線性系統中最佳擾動控制的基礎。

LQG控制器的架構會類似要控制的系統，兩者會有相同的維度。因此若系統本身就是高維度，要實現（全階）LQG控制器會很困難。降階LQG問題（固定階LQG問題）事先固定LQG控制器的階數，因此克服了這個困難。不過在全階LQG控制器中適用的分離原理，在降階LQG問題中已無法適用，因此這方面會更困難，而且其解也不唯一。不過可以找到數值分析的演演算法來求解對應的最佳投影方程。

## 問題的數學表示以及其解

### 連續時間

降階的LQG控制問題幾乎和全階的LQG控制問題相同。令$\hat{\mathbf{x}}_r(t)$表示降階LQG控制器的狀態，唯一的差異是LQG控制器的狀態維度$n_r=dim(\hat{\mathbf{x}}_r(t))$是事先定義好的值，比受控系統的狀態維度$n=dim({\mathbf{x}}(t))$要少。

降階LQG控制器可以表示為下式：

$$\dot{\hat{\mathbf{x}}}_r(t) = A_r(t)\hat{\mathbf{x}}_r(t) + B_r(t){\mathbf{u}}(t)+K_r(t) \left( {\mathbf{y}}(t)-C_r(t)\hat{\mathbf{x}}_r(t) \right),\hat{\mathbf{x}}_r(0)={\mathbf{x}}_r(0),$$

$${\mathbf{u}}(t)= -L_r(t) \hat{\mathbf{x}}_r(t).$$

上述公式刻意寫的類似傳統全階LQG控制器的形式，降階的LQG控制問題也可以改寫為下式：

$$\dot{\hat{\mathbf{x}}}_r(t) = F_r(t)\hat{\mathbf{x}}_r(t) + K_r(t) {\mathbf{y}}(t),\hat{\mathbf{x}}_r(0)={\mathbf{x}}_r(0),$$

$${\mathbf{u}}(t)= -L_r(t) \hat{\mathbf{x}}_r(t),$$

其中

$$F_r(t)=A_r(t)-B_r(t)L_r(t)-K_r(t)C_r(t).$$

降階LQG控制器的矩陣$F_r(t), K_r(t), L_r(t)$和${\mathbf{x}}_r(0)$是由所謂的最佳投影方程（optimal projection equations、OPE）來決定。

$n$維的最佳投影方陣$\tau(t)$是OPE的核心。此矩陣的秩在所有狀態下幾乎都等於$n_r$。相關投影為斜投影（oblique projection）：$\tau^2(t)=\tau(t)$。最佳投影方程包括四個矩陣微分方程。前二個是LQG控制器對應的矩陣Riccati微分方程的擴展。在方程式中$\tau_\perp(t)$表示$I_n-\tau(t)$，而$I_n$為$n$維的單位矩陣

$$\begin{align} \dot{P}(t) = {} & A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t) C(t)P(t)+V(t) \\[6pt] & {} +\tau_\perp (t)P(t)C'(t)W^{-1}(t) C(t)P(t)\tau'_\perp (t), \\[6pt] P(0)= {} & E \left({\mathbf{x}}(0){\mathbf{x}}'(0) \right), \\[6pt] & {} -\dot{S}(t) = A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t) \\[6pt] & {} + \tau'_\perp (t)S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t) \tau_\perp (t), \end{align}$$

$$S(T) = F.$$

若LQG的維度沒有減少，也就是$n=n_r$，則$\tau(t)=I_n, \tau_\perp(t)=0$，上述二個方程就是二個沒有耦合的矩陣Riccati微分方程，對應全階的LQG控制器。若$n_r<n$，則兩個方程會有斜投影項$\tau(t).$。這也是為何降階的LQG控制器無法分離的原因，斜投影$\tau(t)$是由另外二個矩陣微分方程所決定，其中也和秩的條件（rank conditions）有關。這四個矩陣微分方程組成了最佳投影方程。為了要列出另外二個矩陣微分方程，先定義以下二個矩陣：

$$\Psi_1(t)=(A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t))\hat{P}(t)+\hat{P}(t) (A(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t))'$$

$${}+P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t),$$

$$\Psi_2(t)=(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t) C(t))'\hat{S}(t)+\hat{S}(t)(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t))$$

$${}+S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t).$$

則最後二個矩陣微分方程如下：

$\dot{\hat{P}}(t)=1/2 \left(\tau(t)\Psi_1(t)+\Psi_1(t)\tau'(t) \right),\hat{P}(0)=E({\mathbf{x}}(0))E({\mathbf{x}}(0))', \operatorname{rank}(\hat{P}(t))=n_r$ almost everywhere,

$-\dot{\hat{S}}(t)=1/2 \left(\tau'(t)\Psi_2(t)+\Psi_2(t)\tau(t) \right),\hat{S}(T)=0, \operatorname{rank}(\hat{S}(t))=n_r$ almost everywhere,

其中

$$\tau(t)= \hat{P}(t) \hat{S}(t) \left( \hat{P}(t) \hat{S}(t) \right)^*.$$

此處的 * 表示群廣義逆矩陣（group generalized inverse）或Drazin逆矩陣，是唯一的，定義如下

$$A^*=A(A^3)^+A.$$

其中 + 是摩爾－彭若斯廣義逆.

矩陣$P(t),S(t),\hat{P}(t),\hat{S}(t)$都需要是非負對稱矩陣。可以建構最佳投影方程的解，而此解可以決定降階LQG控制器矩陣$F_r(t), K_r(t), L_r(t)$和${\mathbf{x}}_r(0)$：

$$F_r(t)=H(t)\left( A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t) C(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t) \right)G(t)+\dot{H}(t)G'(t),$$

$$K_r(t)=H(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t),$$

$$L_r(t)=R^{-1}(t)B'(t)S(t)G'(t),$$

$${\mathbf{x}}_r(0)=H(0)E({\mathbf{x}}(0)).$$

上式中的矩陣$G(t),H(t)$是符合以下性質的矩陣：

$G'(t)H(t)=\tau(t),G(t)H'(t)=I_{n_r}$幾乎在所有狀態下。

可以由$\hat{P}(t)\hat{S}(t)$的投影分解中得到：

若降階LQG問題中的所有矩陣都是非時變的，且最終時間（horizon）$T$趨近無限大，則最佳降階LQG控制器和最佳投影方程也都會是非時變的。此情形下，最佳投影方程左側的微分項會為零。

### 離散時間

離散時間的情形類似連續時間的例子，要處理的是將$n$階傳統離散時間全階LQG問題轉換為事先已知固定階數的$n_r<n$階降階LQG控制器。為了要表示離散時間的OPE，先引入以下二個矩陣：

$$\Psi^1_i=\left(A_i-B_i(B'_iS_{i+1}B_i+R_i)^{-1}B'_iS_{i+1}A_i)\right)\hat{P}_i \left(A_i-B_i(B'_iS_{i+1}B_i+R_i)^{-1}B'_iS_{i+1}A_i)\right)'$$

$${}+A_iP_iC'_i(C_iP_iC'_i+W_i)^{-1}C_iP_iA'_i$$

$$\Psi^2_{i+1}=\left(A_i-A_iP_iC'_i(C_iP_{i}C'_i+W_i)^{-1}C_i\right)'\hat{S}_{i+1} \left(A_i-A_iP_iC'_i(C_iP_{i}C'_i+W_i)^{-1}C_i\right)$$

$${}+A'_iS_{i+1}B_i(B'_iS_{i+1}B_i+R_i)^{-1}B'_iS_{i+1}A_i$$

則離散時間OPE為

$P_{i+1} = A_i \left( P_i - P_i C'_i \left( C_i P_i C'_i+W_i \right)^{-1} C_i P_i \right) A'_i+V_i+\tau_{\perp i+1}\Psi^1_i \tau'_{\perp i+1}, P_0=E \left( {\mathbf{x}}_0{\mathbf{x'}}_0 \right)$.

$S_i = A'_i \left( S_{i+1} - S_{i+1}B_i \left( B'_iS_{i+1}B_i+R_i \right)^{-1} B'_i S_{i+1} \right) A_i+Q_i+\tau'_{\perp i}\Psi^2_{i+1} \tau_{\perp i}, S_N=F$.

$\hat{P}_{i+1}=1/2(\tau_{i+1}\Psi_i^1+\Psi_i^1\tau'_{i+1}),\hat{P}_0=E({\mathbf{x}}(0)) E({\mathbf{x}}(0))', \operatorname{rank}(\hat{P}_i)=n_r$ almost everywhere,

$\hat{S}_{i}=1/2(\tau'_i \Psi_{i+1}^2+\Psi_{i+1}^2\tau_i),\hat{S}_N=0, \operatorname{rank}(\hat{S}_i)=n_r$ almost everywhere.

斜投影（oblique projection）矩陣為

$$\tau_i=\hat{P}_i\hat{S}_i \left(\hat{P}_i\hat{S}_i \right)^*.$$

非負對稱矩陣$P_i,S_i,\hat{P}_i,\hat{S}_i$是離散時間OPE的解，也決定了降階LQG控制器的矩陣$F_i^r, K_i^r, L_i^r$ and ${\mathbf{x}}_0^r$：

$$F_i^r=H_{i+1}\left( A_i-P_i C'_i \left( C_i P_i C'_i+W_i \right)^{-1}C_i-B_i\left( B'_iS_{i+1}B_i+R_i \right)^{-1} B'_i S_{i+1}\right)G'_i,$$

$$K_i^r=H_{i+1}P_i C'_i \left( C_i P_i C'_i+W_i \right)^{-1},$$

$$L_i^r=\left( B'_iS_{i+1}B_i+R_i \right)^{-1} B'_i S_{i+1}G'_i,$$

$${\mathbf{x}}_0^r=H_0E({\mathbf{x}}_0).$$

在上述的方程中，矩陣$G_i,H_i$是有以下性質的矩陣：

$G'_iH_i=\tau_i, G_iH'_i=I_{n_r}$幾乎在所有狀態下。

這些矩陣可以從$\hat{P}_i\hat{S}_i$的投影因式分解中求得。

如同在連續時間中的例子一樣，若問題中所有的矩陣都是非時變，且且最終時間（horizon）$T$趨近無限大，降階LQG控制器就會是非時變的。因此離散時間OPE會收斂到穩態解，決定非時變的降階LOG控制器。

離散時間OPE也可以應用在狀態維度，輸入維度或是輸出維度可變的離散時間系統（具有時變維度的離散時間系統）。若在數位控制器中的取樣是不同步的，就可能會出現這類的系統。