最小相位

最小相位（minimum-phase）是控制理論及信號處理中有特殊性質的系統，對於線性時不變系統，若本身為因果系統且穩定，且其逆系統也是穩定的因果系統，此系統即為最小相位系統。

相反的，非最小相位（non-minimum phase）系統可以用最小相位系統串接全通濾波器，使部份的零點移到右半面。若有零點在右半面，表示其逆系統不穩定。全通濾波器加入了「額外的相位」（有些可能是傳送遲延），這也是為何所得系統稱為非最小相位的原因。

例如一個離散系統，其有理傳遞函數若其所有的極點都在單位圓內，此系統為符合因果性的穩定系統。不過此系統的零點可以在單位圓內或是圓外的任意位置。若離散系統的零點也都在單位圓內，則這個系統也是最小相位的系統。以下會說明為何這様的系統會稱為最小相位系統。

## 逆系統

一系統$\mathbb{H}$可逆的條件是可以由其輸出找到唯一對應的輸入，也就是可以找到系統$\mathbb{H}_{inv}$使得若將$\mathbb{H}$及$\mathbb{H}_{inv}$二個系統連接，可以得到單位系統$\mathbb{I}$（可以參反矩陣）。

$$\mathbb{H}_{inv} \, \mathbb{H} = \mathbb{I}$$

假設$\tilde{x}$為系統$\mathbb{H}$的輸入，其輸出為$\tilde{y}$

$$\mathbb{H} \, \tilde{x} = \tilde{y}$$

將$\tilde{y}$作為逆系統的輸入，可得：

$$\mathbb{H}_{inv} \, \tilde{y} = \mathbb{H}_{inv} \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{I} \, \tilde{x} = \tilde{x}$$

因此可以用逆系統$\mathbb{H}_{inv}$，找到輸出$\tilde{y}$對應的唯一輸入$\tilde{x}$。

### 離散時間的例子

假設系統$\mathbb{H}$是離散時間的線性非時變系統（LTI），可以用衝激響應$h(n)$（n為整數）表示。而且，假設系統$\mathbb{H}_{inv}$的 衝激響應為$h_{inv}(n)$。二個線性非時變系統的級聯為卷積。上述的關係可以以下式表示：

$$(h * h_{inv}) (n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) \, h_{inv} (n-k) = \delta (n)$$

其中$\delta (n)$為克羅內克函數或是離散時間下的單位矩陣。注意其逆系統$\mathbb{H}_{inv}$不一定要是唯一的。

## 最小相位系統

若系統再加上因果性且穩定性的條件時，其逆系統就是唯一的，而且系統$\mathbb{H}$和逆系統$\mathbb{H}_{inv}$都是最小相位系統。離散系統下因果性及穩定性的條件如下（針對非時變系統，其中的h為系統的沖激響應）：

### 因果性

$$h(n) = 0 \,\, \forall \, n < 0$$

及

$$h_{inv} (n) = 0 \,\, \forall \, n < 0$$

### 穩定性

$$\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h(n)\right|} = \| h \|_{1} < \infty$$

及

$$\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h_{inv}(n)\right|} = \| h_{inv} \|_{1} < \infty$$

在有界輸入有界輸出穩定性條目會看到對應連續系統的條件。

## 頻域分析

### 離散時間系統的頻域分析

將最小相位應用在離散時間系統中可以看出一些其中的特性，其時域方程式如下。

$$(h * h_{inv}) (n) = \,\! \delta (n)$$

進行Z轉換後可以得到以下的關係。

$$H(z) \, H_{inv}(z) = 1$$

由於上述關係，可得

$$H_{inv}(z) = \frac{1}{H(z)}$$

為了簡單起見，只考慮有理傳遞函數 H (z)。因果性及穩定性表示所有的H (z)極點都需要嚴格的在單位圓內（參照有界輸入有界輸出穩定性）。假設

$$H(z) = \frac{A(z)}{D(z)}$$

其中A (z)及D (z)是z的多項式。因果性及穩定性會使得D (z)的零點（根）需要嚴格的在單位圓內（不能在邊界上）。而

$$H_{inv}(z) = \frac{D(z)}{A(z)}$$

因此$H_{inv}(z)$的因果性及穩定性也會使得為A (z)的零點需要嚴格的在單位圓內，上述二個條件下，最小相位系統的零點及極點都需要在嚴格的在單位圓內。

### 連續時間系統的頻域分析

連續時間系統的分析和離散系統類似，不過會使用拉普拉斯變換，其時域的方程式如下。

$$(h * h_{inv}) (t) = \,\! \delta (t)$$

其中$\delta(t)$為狄拉克δ函數。狄拉克δ函數是連續時間下的恆等算子，因為其和任意信號x (t)都會有篩選性質。

$$\delta(t) * x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - \tau) x(\tau) d \tau = x(t)$$

進行拉普拉斯變換可得到以下S平面的關係。

$$H(s) \, H_{inv}(s) = 1$$

也可以得到下式

$$H_{inv}(s) = \frac{1}{H(s)}$$

為簡化起見，此處也只考慮有理傳遞函數H(s)。因果性及穩定性表示H (s)的所有極點都要嚴格的在左半S平面（參考有界輸入有界輸出穩定性）。假設

$$H(s) = \frac{A(s)}{D(s)}$$

其中A (s)及D (s)是s的多項式。$H(s)$的因果性及穩定性表示D (s)的所有零點都在左半S平面內，而

$$H_{inv}(s) = \frac{D(s)}{A(s)}$$

$H(s)$的因果性及穩定性表示A (s)的所有零點都在左半S平面內，因此最小相位系統的最有極點及零點都需要嚴格的在左半S平面內。

### 增益響應及相位響應的關係

不論是連續時間或是離散時間的最小相位系統，都有一個常會用到的性質：增益頻率響應的自然對數（增益的對數單位為奈培，和分貝成正比），和頻率響應的相角（單位為弧度）有關，兩者的關係是希爾伯特轉換。在連續時間系統下，令

$$H(j \omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ H(s) \Big|_{s = j \omega} \ $$

是系統H(s)的複數頻率響應。在最小相位系統下，系統H(s)的相位響應和增益響應的關係為

$$\arg \left[ H(j \omega) \right] = -\mathcal{H} \lbrace \log \left( |H(j \omega)| \right) \rbrace \ $$

以及

$\log \left( |H(j \omega)| \right) = \log \left( |H(j \infty)| \right) + \mathcal{H} \lbrace \arg \left[H(j \omega) \right] \rbrace \ $.

若用較精簡的方式表示，令

$$H(j \omega) = |H(j \omega)| e^{j \arg \left[H(j \omega) \right]} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ e^{\alpha(\omega)} e^{j \phi(\omega)} = e^{\alpha(\omega) + j \phi(\omega)} \ $$

其中$\alpha(\omega)$和$\phi(\omega)$都是實數下的實函數，則

$$\phi(\omega) = -\mathcal{H} \lbrace \alpha(\omega) \rbrace \ $$

及

$\alpha(\omega) = \alpha(\infty) + \mathcal{H} \lbrace \phi(\omega) \rbrace \ $.

希爾伯特轉換算子定義為

$\mathcal{H} \lbrace x(t) \rbrace \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \widehat{x}(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}\, d\tau \ $ .

在離散時間系統中也有等效的對應關係。

## 時域下的最小相位

針對所有有相同增益響應的因果穩定系統，最小相位系統的能量最集中在衝激響應的開始處，也就是說最小相位系統最小化了以下的函數（可以視為是衝激響應能量的延遲）。

$$\sum_{n = m}^{\infty} \left| h(n) \right|^2 \,\,\,\,\,\,\, \forall \, m \in \mathbb{Z}^{+}$$

## 最小相位及最小群延遲

在所有增益響應相同的因果穩定系統中，最小相位系統的群延遲最小。以下證明可以說明為何該系統有最小的群延遲。

假設考慮傳遞函數$H(z)$中的一個零點 $a$，先讓零點$a$在單位圓內（$\left| a \right| < 1$），看對群延遲的影響。

$$a = \left| a \right| e^{i \theta_a} \, \mbox{ where } \, \theta_a = \mbox{Arg}(a)$$

因為零點 $a$ 在傳遞函數中貢獻了$1 - a z^{-1}$的因子，因此其對相位的貢獻如下：

$$\phi_a \left(\omega \right) = \mbox{Arg} \left(1 - a e^{-i \omega} \right)$$

$$= \mbox{Arg} \left(1 - \left| a \right| e^{i \theta_a} e^{-i \omega} \right)$$

$$= \mbox{Arg} \left(1 - \left| a \right| e^{-i (\omega - \theta_a)} \right)$$

$$= \mbox{Arg} \left( \left\{ 1 - \left| a \right| cos( \omega - \theta_a ) \right\} + i \left\{ \left| a \right| sin( \omega - \theta_a ) \right\}\right)$$

$$= \mbox{Arg} \left( \left\{ \left| a \right|^{-1} - \cos( \omega - \theta_a ) \right\} + i \left\{ \sin( \omega - \theta_a ) \right\} \right)$$

$\phi_a (\omega)$所貢獻的相延遲如下。

$$-\frac{d \phi_a (\omega)}{d \omega} = \frac{ \sin^2( \omega - \theta_a ) + \cos^2( \omega - \theta_a ) - \left| a \right|^{-1} \cos( \omega - \theta_a ) }{ \sin^2( \omega - \theta_a ) + \cos^2( \omega - \theta_a ) + \left| a \right|^{-2} - 2 \left| a \right|^{-1} \cos( \omega - \theta_a ) <pre> }$$

$$-\frac{d \phi_a (\omega)}{d \omega} = \frac{ \left| a \right| - \cos( \omega - \theta_a ) }{ \left| a \right| + \left| a \right|^{-1} - 2 \cos( \omega - \theta_a ) <pre> }$$

若將零點$a$移到單位圓外的對應點，也就是$(a^{-1})^{*}$，上式的分母和$\theta_a$都不會變化，而分子的$\left| a \right|$大小增加，因此讓$a$在單位圓內可以讓群延遲中$1 - a z^{-1}$的貢獻最小化。可以將上述結果延伸到超過一個零點的情形，因為$1 - a_i z^{-1}$的相位是各項次相位相加的結果，因此，對於有$N$個零點的傳遞函數。

$$\mbox{Arg}\left( \prod_{i = 1}^N \left( 1 - a_i z^{-1} \right) \right) = \sum_{i = 1}^N \mbox{Arg}\left( 1 - a_i z^{-1} \right)$$

一個所有零點都在單位圓內的最小相位系統可以讓群延遲降到最小，因為每個零點對群延遲的貢獻都降到最小。

## 非最小相位系統

若系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定，原系統即為非最小相位系統（non-minimum-phase）。非最小相位系統和最小相位系統有相同的增益響應，但非最小相位系統的相位貢獻會比最小相位系統要大。

### 最大相位系統

最大相位系統（maximum-phase）是和最小相位系統有相反特性的系統，最大相位系統也是非最小相位系統（系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定），而且

- 離散時間系統下的零點都在單位圓外。
- 連續時間系統下的零點都在複數平面的右半邊。

也就是其逆系統所有的極點都不穩定。

此系統稱為最大相位系統的原因是在所有有相同增益響應的系統中，最大相位系統有最大的群延遲。在等增益響應的系統的系統中，最大相位系統有最大的能量延遲。

例如以下是二個連續時間LTI系統的傳遞函數

$$\frac{s + 10}{s + 5} \qquad \text{and} \qquad \frac{s - 10}{s + 5}$$

這二個系統的增益響應相同，但第二個系統相位移的貢獻較大，因此第二個系統是最大相位系統，而第一個系統為最小相位系統。

### 混合相位系統

離散時間下的混合相位系統（mixed-phase）有些零點在單位圓內，有些零在單位圓外，其群延遲不是最小值，也不是最大值。連續時間下的混合相位系統則是有些零點在右半平面內，有些零點在右半平面。

例如連續時間系統

$$\frac{ (s + 1)(s - 5)(s + 10) }{ (s+2)(s+4)(s+6) }$$

是因果穩定系統，但有零點在左半平面，也有零點在右半平面，因此是混合相位系統。

### 線性相位

線性相位系統的群延遲是定值。非平凡的線性相位系統或是接近線性相位系統都是混合相位系統。

## 相關條目

- 全通濾波器：一種特殊的非最小相位系統
- 克拉莫-克若尼關係式：物理上的最小相位系統