無窮小應變理論

無窮小應變理論（infinitesimal strain theory）也稱為無限小應變理論，是連續介質力學中描述固體形變的數學分析法，適用在其形變量遠小於物體尺寸（無窮小量）的情形，因此若是均質材料，可以假設材料每一點的結構性質（密度及剛度）都相等，不會隨變形而不同。

在此假設下，連續介質力學的方程可以簡化。此作法也稱為是小形變理論、小位移理論或小位移梯度理論。無窮小應變理論和有限應變理論的假設恰好相反，後者假設形變量沒有遠小於物體尺寸。

無窮小應變理論常用在土木工程及機械工程中，其中會進行結構的應力分析，而材料是用強度較高的混凝土及鋼製成，而結構設計的目標也是在一般結構荷重下，希望其形變量可以降到最小。不過若分析的結構物是較細較薄，較容易變形的元件（例如桿、平板及薄殼），用無限小應變理論來分析就不可靠了。

## 無窮小應變張量

在連續體的無限小變形中（位移梯度張量遠小於1，也就是$\|\nabla \mathbf u\| \ll 1$），可以用有限應變理論中的任何一個有限應變張量（例如拉格朗日有限應變張量$\mathbf E$，或是尤拉有限應變張量$\mathbf e$）進行線性化。在線性化中，可以省略有限應變張量中的二次項或是非線性項，因此可得

$$\mathbf E = \frac{1}{2} \left(\nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T\nabla_{\mathbf X}\mathbf u\right)\approx \frac{1}{2}\left(\nabla_{\mathbf X}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf X}\mathbf u)^T\right)$$ 或$$E_{KL}= \frac{1}{2} \left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L} +\frac{\partial U_L}{\partial X_K}+ \frac{\partial U_M}{\partial X_K} \frac{\partial U_M}{\partial X_L}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_K}{\partial X_L}+\frac{\partial U_L}{\partial X_K}\right)$$ 以及$$\mathbf e =\frac{1}{2} \left(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T - \nabla_{\mathbf x}\mathbf u(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T\right)\approx \frac{1}{2}\left(\nabla_{\mathbf x}\mathbf u + (\nabla_{\mathbf x}\mathbf u)^T\right)$$ 或$$e_{rs}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_r}{\partial x_s} +\frac{\partial u_s}{\partial x_r} -\frac{\partial u_k}{\partial x_r} \frac{\partial u_k}{\partial x_s}\right)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_r}{\partial x_s} +\frac{\partial u_s}{\partial x_r}\right)$$

線性化意味著連續體中特定點的物質坐標（material coordinate）和空間坐標（spatial coordinate）差異很小，拉格朗日描述和尤拉描述近似相等。因此，物質位移梯度張量和空間位移梯度張量的分量也相近相等。可得$$\mathbf E \approx \mathbf e \approx \boldsymbol \varepsilon = \frac{1}{2}\left((\nabla\mathbf u)^T + \nabla\mathbf u\right)$$ 或$$E_{KL}\approx e_{rs}\approx\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)$$ 其中 $\varepsilon_{ij}$是無窮小應變張量（也稱為柯西應變張量、線性應變張量、小應變張量）的分量。

$$\begin{align} \varepsilon_{ij} &= \frac{1}{2}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right) \\ &= \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} <pre> \frac{\partial u_1}{\partial x_1} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_1}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_1}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right) & \frac{\partial u_2}{\partial x_2} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_2}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_2}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right) & \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \\ \end{bmatrix} </pre> \end{align}$$ 或者使用不同的表示方式：

$$\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ <pre> \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix} </pre> = \begin{bmatrix} <pre> \frac{\partial u_x}{\partial x} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_x}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial x}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial y}\right) & \frac{\partial u_y}{\partial y} & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y}\right) \\ \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z}\right) & \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_z}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial z}\right) & \frac{\partial u_z}{\partial z} \\ \end{bmatrix}$$

進一步來說，因為形變梯度可以表示成$\boldsymbol{F} = \boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} + \boldsymbol{I}$ 其中$\boldsymbol{I}$是二階單位張量，可得$$\boldsymbol\varepsilon = \frac{1}{2} \left(\boldsymbol{F}^T+\boldsymbol{F}\right)-\boldsymbol{I}$$

另外，根據拉格朗日有限應變張量及尤拉有限應變張量的通用表示法，可得$$\begin{align} \mathbf E_{(m)}& =\frac{1}{2m} (\mathbf U^{2m}-\boldsymbol{I}) = \frac{1}{2m} [(\boldsymbol{F}^T\boldsymbol{F})^m - \boldsymbol{I}] \approx \frac{1}{2m} [\{\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T + \boldsymbol{I}\}^m - \boldsymbol{I}]\approx \boldsymbol{\varepsilon}\\ \mathbf e_{(m)}& = \frac{1}{2m} (\mathbf V^{2m}-\boldsymbol{I})= \frac{1}{2m} [(\boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T)^m - \boldsymbol{I}]\approx \boldsymbol{\varepsilon} \end{align}$$