格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理

代數幾何中，格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理是關於相干層上同調的意義深遠的結果。它是關於複流形的希策布魯赫-黎曼-羅赫定理的推廣，其又是對緊黎曼曲面上線叢的經典黎曼-羅赫定理的推廣。

黎曼-羅赫型定理將向量叢上同調的歐拉示性數與其拓撲度，或更一般地與其（上）同調中的示性類或其代數類似物聯繫起來。經典的黎曼-羅赫定理針對的是曲線和線叢，而希策布魯赫-黎曼-羅赫定理將其推廣到流形上的向量叢。格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理將這兩個定理置於兩個流形（或更一般的概形）之間態射的相對情形中，並將該定理叢關於單一叢的陳述變為適用於層的鏈復形的陳述。

格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理對阿蒂亞-辛格指標定理的發展影響深遠，反過來，格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理的複分析類比也可以用族的指標定理來證明。1957年，亞歷山大·格羅滕迪克在一份後來出版的手稿中給出了首個證明。Armand Borel與讓-皮埃爾·塞爾撰寫並發表了他的證明（1958）。後來，格羅滕迪克與合作者對證明進行了簡化與推廣。

## 公式

令X為域上的光滑擬射影概形，凝聚層的有界復形的格羅滕迪克群$K_0(X)$規範同構（canonically isomorphic）於秩有限向量叢的有界復形的格羅滕迪克群。利用這種同構，將陳示性（陳類的有理組合）視作一種函子式變換：

$$\mathrm{ch} \colon K_0(X) \to A(X, \Q),$$

其中$A_d(X,\Q)$是d維的X上的循環的周群，模去有理等價，以有理數張開。若X定義在複數上，則後一個群映射到拓撲上同調群：

$$H^{2\dim(X) - 2d}(X, \Q).$$

現在考慮光滑擬射影概形與$X$上的層${\mathcal F^\bull}$的有界復形之間的真射$f \colon X \to Y$。

格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理涉及前推映射

$$f_{!} = \sum (-1)^i R^i f_* \colon K_0(X) \to K_0(Y)$$

（高階直像的交替和）與前推

$$f_* \colon A(X) \to A(Y),$$

由公式

$$\mathrm{ch} (f_{!}{\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(Y) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(X) ).$$

其中$\mathrm{td}(X)$是X（的切叢）的Todd屬。因此，該定理給出了衡量上述前推映射與陳特徵之間交換性偏差的方法，並表明所需的修正函子只取決於X、 Y。事實上，由於Todd屬在正合序列中是函子、乘法的，可以將格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式重寫為

$$\mathrm{ch}(f_{!}{\mathcal F}^\bull) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(T_f) ),$$

其中$T_f$是f的相對切層，定義為元素$TX - f^*(TY)\in K_0(X)$。例如，當f是光滑態射時，$T_f$就只是向量叢，即沿f的纖維的切叢。

運用A1同倫論，將格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理推廣到f是兩光滑概形間的真映射。

## 泛化與特化

考慮組合$\mathrm{ch}(-)\mathrm{td}(X)$的適當推廣，可將定理推廣到非光滑情況；考慮具有緊支集的上同調，可將定理推廣到非真（non-proper）情況。

算術黎曼-羅赫定理將格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理推廣到算術概形（arithmetic scheme）。

希策布魯赫-黎曼-羅赫定理（本質上）是Y為點、域為複數域的特例。

有向上同調論的黎曼-羅赫定理由Ivan Panin與Alexander Smirnov提出。它涉及代數有向上同調論之間的乘法（如代數配邊）。格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理是這結果的特殊情況，這時自然會出現陳示性。

## 例子

### 曲線上的向量叢

域$k$的光滑射影曲線上秩為$n$、度為$d$（定義為其行列式；或等價地，其第一陳類的度）的向量叢$E \to C$有類似於線叢的黎曼-羅赫形式的公式。若取點$X = C$、$Y = \{*\}$，則格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式可理解為

$$\begin{align} \mathrm{ch}(f_{!}{\mathcal F}^\bull) &= h^0(C,E) - h^1(C,E) \\ f_*(\mathrm{ch}(E)\mathrm{td}(X))&= f_*((n + c_1(E))(1 + (1/2)c_1(T_C))) \\ &= f_*(n + c_1(E) + (n/2)c_1(T_C)) \\ &= f_*(c_1(E) + (n/2)c_1(T_C)) \\ &= d + n(1-g); \end{align}$$

於是

$\chi(C,E) = d + n(1-g).$

此式也適於秩為$n$、度為$d$的相干層。

### 光滑真射

格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式的優點之一是可解釋為希策布魯赫-黎曼-羅赫公式的相對版本。例如，光滑態射$f\colon X \to Y$的纖維都是等維的（在基變為$\Complex$時作為拓撲空間是同構的）。在模理論中考慮由模空間$\mathcal{M}$對光滑真空間進行參數化時，這事實非常好用。例如，戴維·芒福德用它推導了代數曲線模空間上的周環關係。

#### 曲線的模

對$g$屬曲線（且無標記點）的模疊$\overline{\mathcal{M}}_g$，有通用曲線$\pi\colon\overline{\mathcal{C}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g$，其中$\overline{\mathcal{C}}_g = \overline{\mathcal{M}}_{g,1}$是屬$g$曲線和一個標記點的模疊。然後定義重言類

$$\begin{align} K_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g} &= c_1(\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g})\\ \kappa_l &= \pi_*(K^{l+1}_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}) \\ \mathbb{E} &= \pi_*(\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}) \\ \lambda_l &= c_l(\mathbb{E}) \end{align}$$

其中$1 \leq l \leq g$與$\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}$是相關的對偶化層。注意$\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}$在點$[C] \in \overline{\mathcal{M}}_g$上的纖維，這就是對偶化層$\omega_C$。可利用格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理找到光滑軌跡的周環$A^*(\mathcal{M}_g)$上的$\kappa_i$之和 (corollary 6.2)，從而找到描述$\lambda_i$的$\lambda_i$、$\kappa_i$間的關係。由於$\overline{\mathcal{M}}_g$是光滑德利涅-芒福德疊，可考慮由概形$\tilde{\mathcal{M}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g$的覆蓋，對某個有限群$G$可給出$\overline{\mathcal{M}}_g = [\tilde{\mathcal{M}}_g/G]$。對$\omega_{\tilde{\mathcal{C}}_g/\tilde{\mathcal{M}}_g}$應用格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理，可得

$$\mathrm{ch}(\pi_!(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}})) = \pi_*(\mathrm{ch}(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/ \tilde{\mathcal{M}}}) \mathrm{Td}^\vee(\Omega^1_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}}))$$

因為

$$\mathbf{R}^1\pi_!({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}) \cong \mathcal{O}_{\tilde{M}},$$

由上式可知

$$\mathrm{ch}(\mathbb{E}) = 1 + \pi_*(\text{ch}(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}}) \text{Td}^\vee (\Omega^1_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}})).$$

這樣，$\mathrm{ch}(\mathbb{E})$的計算可以進一步減少。在偶數維$2k$。

$$\text{ch}(\mathbb{E})_{2k} = 0.$$

另外在1維。

$$\lambda_1 = c_1(\mathbb{E}) = \frac{1}{12}(\kappa_1 + \delta),$$

其中$\delta$是邊界上的一個類。$g=2$時，在光滑軌跡$\mathcal{M}_g$上有如下關係

$$\begin{align} \lambda_1 &= \frac{1}{12}\kappa_1 \\ \lambda_2 &= \frac{\lambda_1^2}{2} = \frac{\kappa_1^2}{288} \end{align}$$

可通過分析$\mathbb{E}$的陳示性推得。

### 閉嵌入

閉嵌入$f\colon Y \to X$也可用格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式描述，其顯示了公式成立的另一種非平凡情形。對$n$維光滑簇$X$及余維為$k$的子簇$Y$，有

$$c_k(\mathcal{O}_Y) = (-1)^{k-1}(k-1)![Y]$$

由短正合序列

$0 \to \mathcal{I}_Y \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \to 0$,

有下式

$$c_k(\mathcal{I}_Y) = (-1)^k(k-1)![Y]$$

for the ideal sheaf since $1 = c(\mathcal{O}_X) = c(\mathcal{O}_Y)c(\mathcal{I}_Y)$.

## 應用

### 模空間的准射影性

過兩天都是-黎曼-羅赫公式可用於證明粗糙模空間$M$（如有尖代數曲線的模空間$M_{g,n}$）可嵌入到射影空間，因此是准射影簇。這可以通過觀察$M$上的規範相伴層（canonically associated sheaf）、研究相伴線叢的度實現。例如，$M_{g,n}$

$M_{g,n}$

$\bar{M}_{g,n}$

有曲線族

$$\pi\colon C_{g,n} \to M_{g,n}$$

有截面

$$s_i\colon M_{g,n} \to C_{g,n}$$

對應標記點。由於每根纖維都有規範叢$\omega_{C}$，有相伴線叢$$\Lambda_{g,n}(\pi) = \det(\mathbf{R}\pi_*(\omega_{C_{g,n}/M_{g,n}}))$$ 及$$\chi_{g,n}^{(i)} = s_i^*(\omega_{C_{g,n}/M_{g,n}}) .$$ 於是

$$\Lambda_{g,n}(\pi) \otimes \left(\bigotimes_{i=1}^n \chi_{g,n}^{(i)}\right)$$

是豐沛線叢，因此粗糙模空間$M_{g,n}$是准射影的。

## 歷史

亞歷山大·格羅滕迪克的黎曼-羅赫定理最初是在1956–1957年左右寫給讓-皮埃爾·塞爾的一封信中提出的。1957年，在第一屆波恩工作會議（Bonn Arbeitstagung）上公開發表，隨後塞爾和Armand Borel在普林斯頓大學組織了一次研討會來理解它。最後發表的論文實際上就是Borel–塞爾的論述。

格羅滕迪克方法的意義在於以下幾點。首先，格羅滕迪克改變了陳述本身：此前人們認為黎曼-羅赫定理是關於單個代數簇的性質，而格羅滕迪克將其重新闡釋為兩個代數簇之間態射的相對性質。他找到了正確的推廣，使證明變得簡單，而結論變得更寬泛。簡言之，格羅滕迪克將一種強範疇方法一項艱巨的分析。此外，如上所述，格羅滕迪克引入了K-群，為代數K-理論鋪平了道路。

## 外部連結

- The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem
- The thread "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow.
- The thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow.
- The thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.

## 基本資料

- 領域：代數幾何
- 最初證明者：亞歷山大·格羅滕迪克
- 最初證明年：1957
- 推廣：阿蒂亞-辛格指標定理
- 可得結果：希策布魯赫-黎曼-羅赫定理、曲面的黎曼-羅赫定理、黎曼-羅赫定理