原始方程組

原始方程組（Primitive Equations）是非線性的微分方程組，可以模擬地球上的大氣流動，許多的大氣模型都用到原始方程組。原始方程組主要由三組平衡方程構成：

- 連續性方程：描述質量守恆。
- 動量守恆：用納維-斯托克斯方程描述地球表面流體動力流動。其假設是垂直方向上的運動遠小於水平方向的運動，且流體層的深度小於球半徑
- 能量守恆：說明系統的整體溫度與熱源、熱沉（heat sink）之間的關係。

原始方程組線性化後，可以得到拉普拉斯潮汐方程（Laplace's tidal equations），是潮汐理論中的特徵值問題，以此可以找到氣流緯度結構的解析解。

幾乎所有形式的原始方程組都涉及五個變量u、v、ω、T、W，以及它們隨時間和空間的變化。

原始方程組是由挪威大氣學家威廉·皮耶克尼斯提出。

## 定義

- $u$ 是緯向速度（與球體相切，東西方向的速度）
- $v$ 是經向速度（與球體相切，南北方向的速度）
- $\omega$ 是等壓坐標中的垂直速度
- $T$ 是溫度
- $p$ 是壓強
- $f$ 是與科里奧利力相關的量，等於$2 \Omega \sin(\phi)$。其中$\Omega$是地球的角速度（每恆星小時$2 \pi/24$弧度），$\phi$是緯度
- $c_p$ 是恆壓表面上的比熱容
- $J$ 是單位時間內每單位質量的熱流量
- $\Phi$ 是位勢
- $W$ 是可降水量
- $R$ 是氣體常數
- $\Pi$ 是艾克納函數
- $\theta$ 是位溫
- $\eta$ 是渦量

## 引起大氣運動的力

引起大氣運動的力包括氣壓梯度力，重力，和粘滯摩擦力，它們共同構成了大氣運動的合力。

氣壓梯度力導致的加速度，迫使空氣從高壓區域流向低壓區域。在數學上可以寫作：

$$\frac{f}{m} = \frac{1}{\rho} \frac{dp}{dx}.$$

重力導致豎直朝向地心，大小大約為9.81m/s2的加速度。

粘滯摩擦力可以近似為：

$$f_r = {f \over a} {1 \over \rho} \mu\left(\nabla\cdot(\mu \nabla v) + \nabla(\lambda\nabla\cdot v) \right).$$

結合牛頓第二定律，可以將這些力（在上述等式中表現為這些力所導致的加速度）加總以生成描述該系統的運動方程。該方程式可以寫成：

$$\frac{dv}{dt} = - (1/\rho) \nabla p - g(r/r) + f_r$$

$$g = g_e \,$$

最後可以完成方程組，並得到六個方程和六個變量：

- $$\frac{dv}{dt} = - (1/\rho)\nabla p - g(r/r) + (1/\rho)\left[\nabla\cdot (\mu \nabla v) + \nabla(\lambda \nabla\cdot v)\right]$$
- $$c_{v} \frac{dT}{dt} + p \frac{d\alpha}{dt} = q + f$$
- $$\frac{d\rho}{dt} + \rho\nabla\cdot v = 0$$
- $$p = n T$$

其中n是以mol為單位的體積摩爾濃度，T:=RT是以J/mol為單位的溫度等效值。

## 原始方程組的形式

原始方程組的精確形式取決於所選擇的垂直坐標系，例如壓強坐標（pressure coordinates），對數壓強坐標（log pressure coordinates）或sigma坐標。此外，還可以使用雷諾分解將速度，溫度和位勢變量分解為均值和攝動分量。

### 垂直壓強，笛卡爾切線平面

在這種形式下，將壓強作為豎直坐標，並將笛卡爾切線平面（即與地球表面上某個點相切的平面）作為水平坐標。這種形式並未考慮地球表面的曲率，但由於其相對簡單，因此一些物理過程的可視化公式上。

其中大寫的D時間導數是實質導數（material derivative）。系統有五個未知數和五個方程式組成。

- 無粘性流動量方程

$$\frac{Du}{Dt} - f v = -\frac{\partial \phi}{\partial x}$$

$$\frac{Dv}{Dt} + f u = -\frac{\partial \phi}{\partial y}$$

- 流體靜力學方程。它是沒有垂直背景加速度時，垂直動量方程的特例。

$$0 = -\frac{\partial \phi}{\partial p} - \frac{R T}{p}$$

- 連續性方程，在流體靜力的近似下，將水平方向的擴散或收縮，與垂直方向的運動聯繫起來（$dp=-\rho\, d\phi$）：

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial \omega}{\partial z} = 0$$

- 熱力學能量方程，是熱力學第一定律的結果

$$\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + \omega \left( \frac{\partial T}{\partial p} - \frac{R T}{p c_p} \right) = \frac{J}{c_p}$$

若再加上水蒸氣的物質守恆，共有六個方程式，構成了所有數值天氣預報方案的基礎。

### 使用sigma坐標系的原始方程組，極坐標立體投影

根據美國《國家氣象服務手冊第1號–傳真產品》（National Weather Service Handbook No. 1 – Facsimile Products），原始方程組可以簡化為以下方程式：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \eta v - \frac{\partial \Phi}{\partial x} - c_p \theta \frac{\partial \pi}{\partial x} - z\frac{\partial u}{\partial \sigma} - \frac{\partial (\frac{u^2 + v^2}{2})}{\partial x}$$

$$\frac{\partial v}{\partial t} = -\eta \frac{u}{v} - \frac{\partial \Phi}{\partial y} - c_p \theta \frac{\partial \pi}{\partial y} - z \frac{\partial v}{\partial \sigma} - \frac{\partial (\frac{u^2 + v^2}{2})}{\partial y}$$

$$\frac{\delta T}{\partial t} = \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + w \frac{\partial T}{\partial z}$$

第一項是太陽輻射和長波輻射引起的溫度變化，隨一天當中的時間變化而變化。第二，第三和第四項歸因於對流。另外，帶有下標的變量T是該平面上的溫度變化。每個T實際上是不同的，並且與其各自的平面有關。將其除以各柵格點之間的距離即可得到溫度隨距離的變化。若將x，y和z方向溫度隨距離的變化，乘以各方向的風速後加總就是溫度隨時間的總變化。

$$\frac{\delta W}{\partial t} = u \frac{\partial W}{\partial x} + v \frac{\partial W}{\partial y} + w \frac{\partial W}{\partial z}$$

該方程式和符號的標示方戔與溫度方程式大致相同。該方程式描述了水在某一時刻從一個地方到另一個地方的運動，而沒有考慮水的形態變化。在給定的系統內，水不隨時間變化。但是，水的濃度可以隨風變化。

$$\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial p}{\partial \sigma} = u \frac{\partial}{\partial x} x \frac{\partial p}{\partial \sigma} + v \frac{\partial}{\partial y} y \frac{\partial p}{\partial \sigma} + w \frac{\partial}{\partial z} z \frac{\partial p}{\partial \sigma}$$

上述五個方程的簡化，較容易理解模型中發生的事情。諸如溫度（潛在溫度），可降水量以及一定程度的壓強等隨風從網格上的一個點移動到另一點。風的預測試略有不同，其中用到位勢，比熱，艾克納函數π和在sigma坐標上的變化。

## 線性化原始方程組的解

線性化原始方程組的解析解涉及時間和經度的正弦振盪，由與高度和緯度有關的係數進行調整。

$$\begin{Bmatrix}u, v, \phi \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\hat u, \hat v, \hat \phi \end{Bmatrix} e^{i(s \lambda + \sigma t)}$$

其中s和$\sigma$分別是緯向波數和角頻率。該解對應大氣波和潮汐。

當係數分為高度和緯度分量時，和高度之間的相關性會以波的傳播或漸逝波的形式出現（視相關條件而定），而緯度相關性會依循霍夫函數。

上述的解析解只有在原始方程式線性化，且經過簡化時，才能成立。不過這些簡化（如無耗散，等溫氣體）不符合實際大氣中的情況。因此若要考慮這些因素，一般會依全球循環模式及氣候模式，計算其數值解。