彼得-魏爾定理

彼得-魏爾定理（Peter–Weyl theorem）是調和分析和群表示論中的一組重要定理，於1927年由赫爾曼·魏爾和他的學生弗里茨·彼得證明。該定理刻畫了緊群不可約表示的完備性，可以視作有限群表示理論中弗羅貝尼烏斯定理的推廣。定理分為三部分：第一部分指出，緊群$G$的所有有限維不可約酉表示的矩陣元，在$G$上所有復值連續群函數構成、配備了一致範數的空間中稠密。第二部分指出，$G$在任何一個可分希爾伯特空間上的酉表示都完全可約。第三部分斷言，$G$的所有有限維不可約酉表示的矩陣元構成了$G$上平方可積的復值函數空間的一組標準正交基。

## 背景

20世紀20年代，魏爾在研究廣義相對論的數學基礎時，對連續群的表示理論產生了興趣。在研究中，他試圖將有限群表示理論中的弗羅貝尼烏斯定理（即有限群正則表示可以約化為其所有不可約表示的直和）推廣到連續群，尤其是特殊線性群。與此同時，伊賽·舒爾等其它數學家的工作也為研究群表示提供了更強有力的工具。1927年，魏爾在其學生彼得的協助下證明了本定理，斷言了緊群不可約表示的完備性。然而，因為魏爾在當時並不知道如何在除緊李群之外的一般緊群上定義群作用下不變的積分，他在證明中不必要地假定了群運算的可微性。這一問題直至1933年才由阿弗雷德·哈爾建立的哈爾測度理論徹底解決。

彼得-魏爾定理在抽象調和分析理論中扮演了重要的角色。正如本尼迪克特·格羅斯所述：「現代調和分析發軔於20世紀20年代......她誕生於1927年，而彼得和魏爾的論文是她的出生證明。」此外，馮諾依曼於1933年利用該定理的一個推論，解決了緊群版本的希爾伯特第五問題。

## 定理的陳述和證明

### 定理I

設$G$為緊群，$C(G)$是$G$上所有復值連續函數構成、配備了一致範數的賦范線性空間，$\Delta$是$G$的所有有限維不可約酉表示的矩陣元張成的線性空間，則$\Delta$在$C(G)$中稠密。

#### 證明概要

對$\forall \chi \in C(G)$，可以定義卷積算子$T_{\chi}:L^{2}(G) \to L^{2}(G)$：

$$T_{\chi}(\phi)(v)=\int \mathrm{d}g \chi(g) \phi(g^{-1}v)$$

利用阿爾澤拉引理可以證明，該算子是$L^{2}(G)$上的緊算子。

設$f \in C(G)$，由$G$的緊性可知$f$在$G$上一致連續。即對任意$\epsilon >0$，存在群單位元$e$的鄰域的$U$，使得任意$u,v \in G, uv^{-1} \in U$，都有$|f(v)-f(u)|< \frac{\epsilon}{2}$。不失一般性，可以假設$U^{-1}=U$。

設$\chi$是定義在$G$上，且支集$supp(\chi) \sub U$的連續實值函數。由烏雷松引理，這樣的函數總是存在的。不失一般性，可以假設$\chi(v)=\chi(v^{-1})$且$\int \mathrm{d}g \chi(g)=1$，因為對任意$\chi$總可以通過如下的變換使其滿足上述條件：

$$\chi(v) \to \frac{\chi(v)+\chi(v^{-1})}{\int \mathrm{d}g (\chi(g)+\chi(g^{-1}))}$$

此時，可以證明$T_{\chi}$為$L^{2}(G)$上的緊自伴算子。利用緊自伴算子的譜定理，可知：

$$L^{2}(G)= (\sum_{i}\oplus V_{\lambda_i}) \oplus V_{0}$$

其中$V_{\lambda_i}$為算子$T_{\chi}$本徵值為$\lambda_i \neq 0$的有限維本徵子空間，$V_{0}$是$T_{\chi}$的核。因此，$T_{\chi}(f) \in Im(T_{\chi}) = C(G)- V_{0}$可以寫成一列絕對一致收斂的函數項級數和：

$$\lim_{i \to \infty}\sum_{i} f_{i} \rightrightarrows T_{\chi}(f), f_{i} \in V_{\lambda_i}$$

故而存在$N$，使得$\forall v \in G$，$|T_{\chi}(f)(v)-\sum_{i=1}^{N}f_{i}(v)| < \frac{\epsilon}{2}$。

另一方面：

$$|T_{\chi}(f)(v) -f(v)|=|\int \mathrm{d}g \chi(g) (f(g^{-1}v)-f(v))|< \frac{\epsilon}{2}$$

因此：

$$|f-\sum_{i=1}^{N}f_{i}(v)| < \epsilon$$

設$L(g):C(G) \to C(G)$是$G$的左正則表示，不難證明算子$L(g)$與$T_{\chi}$對易，因此本徵子空間$V_{\lambda_i}$也是左正則表示的有限維不變子空間。由於有限維表示完全可約，$V_{\lambda_i}$可以寫成$G$的有限維不可約酉表示的表示空間的直和。在每個這樣的空間$X$上：

$$f_i(g)=L(g^{-1})(f_i)(e)=\sum_{j=1}^{dim X} r_{ij}(g)^{*} f_j(e)$$

其中$r_{ij}$是該不可約表示的矩陣元。這意味著$V_{\lambda_i} \sub \Delta$，進而$\sum_{i=1}^{N}f_{i}(v) \in \Delta$。總之，對於任意$f \in C(G)$，$\epsilon >0$，都存在$\Delta$中的某個元素，使得其與$f$之差的一致範數小於$\epsilon$。這意味著$\Delta$在$C(G)$中稠密。

以上證明的思路來自彼得和魏爾的原始論文。實際上，利用格爾范德-賴科夫定理和魏爾斯特拉斯逼近定理亦可直接推出本定理。

### 定理II

設$R$是緊群$G$在可分希爾伯特空間$H$上的任意酉表示，則$H$可分解為$R$的有限維不變子空間的直和，其中每個子空間都承載了$G$的不可約表示。

#### 證明概要

設$\langle,\rangle$是$H$上定義的內積。對任意$u \in H,||u||=1$，定義算子$T_u: H \to H$：

$$T_u(v)=\int \mathrm{d}g \langle v,R(g)u \rangle R(g)u$$

可證$T_u$是$H$上的非零緊自伴算子，且與$R(g)$對易。利用緊自伴算子的譜定理，可對$H$作如下分解：

$$H=(\sum_{i}\oplus H_{\lambda_i}) \oplus H_{0}$$

其中，$T_u$的每個有限維特徵子空間$H_{\lambda_i}$又是群表示$R$的不變子空間，故其可進一步分解為承載$G$的有限維不可約表示的子空間的直和。

設$H'$是$H$中可以分解為承載有限維不可約表示的子空間的直和的最大子空間，$H'$是$H''$的正交補。（由佐恩引理，這樣做是合法的。）顯然$H''$也是$R$的不變子空間，若$H''$不是零空間，$R$在$H''$上的限制也是$G$的酉表示。因此，將以上的論證中的$H$用$H''$代替，則可立即推出$H''$也有承載$G$的有限維不可約表示的子空間。這與$H'$的定義矛盾。因此$H''=\{0\}$，定理得證。

### 定理III

設$G$是緊群，則$G$的所有不等價不可約酉表示的矩陣元的集合$\{\sqrt{d_\rho}R^{\rho}_{ij}|1\leqslant i,j \leqslant d_\rho\}$構成$L^{2}(G)$的標準正交基。

#### 證明概要

注意到$C(G)$在$L^2(G)$中稠密，利用舒爾正交關係和定理I即可得到本定理。

## 推論

### 點分離推論

由彼得-魏爾定理可以推出如下結論：

設$g$是緊群$G$任意非恆等元，則存在$G$的不可約表示$R$，使得$R(g)$不是單位矩陣。換言之，如果$g$和$h$屬於緊群$G$，對$G$的一切不可約表示，$g$和$h$的表示矩陣都相同，則$g=h$。證明如下：

對任意$g \neq e$，由烏雷松引理，存在$G$上連續函數$f$使得$f(a) \neq f(e)$。由彼得-魏爾定理，$f$可以寫成一列絕對一致收斂的矩陣元$f_i$的級數和。若對一切不可約表示$R$，$R(g)$都是單位陣，則前述級數展開的每一項，都滿足$f_i(g)=f_i(e)$，因此$f(a) = f(e)$。這一矛盾意味著必然存在某個不可約表示$R$，使得$R(g)$不是單位矩陣。

該推論最早出現在彼得和魏爾的原始論文中，並在相關理論日後的發展過程中發揮了重要的作用。馮諾依曼解決緊群版本的希爾伯特第五問題時，就用到了這一推論。

### 特徵標完備性

緊群$G$上群共軛不變的函數構成$L^2(G)$的子空間類函數空間。利用彼得-魏爾定理可以推出，$G$的所有不可約表示的特徵標張成的線性空間在類函數空間稠密：

設$f$是任意共軛不變的函數。由彼得-魏爾定理，對任意$\epsilon >0$，存在$h \in \Delta$，使得$|f(x)-h(x)|< \epsilon$。記$p(x)$為如下積分：

$$p(x)=\int \mathrm{d}g h(gxg^{-1})$$

由於$h \in \Delta$，$p \in \Delta$，且$p(g^{-1}xg)=p(x)$。利用舒爾正交關係可證，$p$可以寫成特徵標的線性組合。此外，因$f$共軛不變，注意到以下事實本推論即證：

$$|f(x)-p(x)|=|\int \mathrm{d}g f(gxg^{-1})-\int \mathrm{d}g h(gxg^{-1})|<\epsilon$$

該推論在連通緊李群表示的分類理論中扮演著重要的角色。