雙體模型

在統計力學和圖論中，雙體模型（dimer model）是二維空間密鋪的模型，也稱為骨牌密鋪（Domino tiling，多米諾密鋪）或隨機密鋪模型（random tiling model）。這也是平方格子的完美匹配。

## 介紹

若有 $m \times n$ 平方格子G、以及$mn/2$ 把骨牌，覆蓋數量或密鋪數量是

$$Z = \sqrt{|\det K|} = \prod_{j=1}^{\lceil\frac{m}{2}\rceil} \prod_{k=1}^{\lceil\frac{n}{2}\rceil} \left ( 4\cos^2 \frac{\pi j}{m + 1} + 4\cos^2 \frac{\pi k}{n + 1} \right ).$$

K是G的鄰接矩陣。Z也是統計力學的配分函數。

例如：

- $2 \times n$ 格子：$Z_n$是斐波那契數列
- $m = n = 2k = 0, 2, 4, \ldots$，可以使用普法夫值計算Z

若G是環面，則

$\lim_{m,n\to \infty}Z(m, n) / (mn) = C / \pi$。

其中Z依賴同調、C是卡塔蘭常數。

## 阿茲特克鑽石與北極圈現象

Z也依賴格子的邊界（參看阿茲特克鑽石）。

- 阿茲特克鑽石（Aztec diamond）密鋪，有1024個密鋪
- 一個可能的密鋪

阿茲特克鑽石表示所謂的「北極圈的現象」（Arctic circle phenomena），即邊界看起來很同質（冰凍地區），但是中間的「北極圈」不同質（非冰凍地區）。可以使用高度函數解釋這個現象。

這些文章有更多阿茲特克圖：

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html

## 高度函數

一個密鋪定義一個0微分形式（函數）：

$$s(v) = \pm 1$$

s是自旋（參看易辛模型）、v是頂點。那麼可以定義一個1-形式：

$$ds(e=uv) = s(u) - s(v) = \pm 2$$

這個形式是閉形式。注意上面的形式不等於0因為G是二分圖。也定義密鋪函數

$$\delta(e) = 0, 1$$

若雙體e存在，$\delta(e) = 1$，不然等於0。高度差函數是

$$dh(e) = h(u) - h(v) = (1+\delta(e))ds(e) = \pm 3$$

這個函數定義一個$\Z^2 \to \Z$的隨機函數。這也是閉形式。的確威廉·瑟斯頓表示了若$\delta(e)$真的是密鋪函數，這是一個必要條件。h是高度函數。

NxN平方格子的高度函數在中間逼近O(N)。但是阿茲特克鑽石的高度函數逼近h的平均值。的確，CKP定理說h最小化一個熵（或熱力學自由能）的泛函（變分法）：

$$F = \log Z$$

## 共形場論

### 高斯自由場

雙體模型的縮放極限（即高度函數的縮放極限是高斯自由場），高斯自由場是一種二維布朗運動。所以$h(x) \to \phi(x)$成為二維純量場。

若G是一定的加權圖，K的縮放極限是反全純導數 $\bar{\partial}$。若

$$Kf = f(w+1) - f(w-1) + if(w+i) - if(w-i)= 0$$

f是「反全純函數」。再說 f 是調和函數（和諧函數）。這是因為$KK^* = L$是調和矩陣（harmonic matrix）。

非冰凍地區描述一個極限形（limit shape），比如這張文章描述一個心臟線：（跟代數幾何有關）。高斯自由場也許描述這些極限形。2020年這還是未解決的問題。

數學家知道極限形滿足一個類似伯格斯方程（$\phi_x - \phi \phi_y = 0$）的橢圓型偏微分方程。這些極限形可以相似極小曲面的魏爾斯特拉斯-恩內佩爾參數化。

### 傳播子

鄰接矩陣的反函數$K^{-1}(x, y)$是一種格林函數。

$$D(x, y) = \langle h(x) h(y) \rangle$$

是傳播子（量子場論）。可以表示這等於狄利克雷問題的核子

$$D(u, v) = -\frac{1}{2\pi} \log(v-u)$$

$$d_u D(u, v) = \frac{1}{2\pi} (\frac{du}{v-u} - \frac{d\bar{u}}{v-\bar{u}})$$

由於維克定理。

$$\langle h(x_1)\ldots h(x_{2k})\rangle \propto \sum_{\text{对 }} D(x_{i_1}x_{i_2}) \ldots D(x_{i_{2k-1}}x_{i_{2k}})$$

## 閱讀

- R. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press.
- Olivier Bodini, Matthieu Latapy. Generalized Tilings with Height Functions // Morfismos. — 2003. — Т. 7, вып. 1. — С. 47–68. — ISSN 1870-6525.
- F. Faase. On the number of specific spanning subgraphs of the graphs G X P_n // Ars Combin.. — 1998. — Т. 49. — С. 129–154.
- J. L. Hock, R. B. McQuistan. A note on the occupational degeneracy for dimers on a saturated two-dimenisonal lattice space // Discrete Appl. Math.. — 1984. — Т. 8. — С. 101–104. — DOI:10.1016/0166-218X(84)90083-0.
- P. W. Kasteleyn. The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice // Physica. — 1961. — Т. 27, вып. 12. — С. 1209–1225. — DOI:10.1016/0031-8914(61)90063-5. —Bibcode: 1961Phy....27.1209K..
- Richard Kenyon. Directions in mathematical quasicrystals / Michael Baake, Robert V. Moody. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2000. — Т. 13. — С. 307–328. — ISBN 0-8218-2629-8.
- Richard Kenyon, Andrei Okounkov. What is … a dimer? // Notices of the American Mathematical Society. — 2005. — Т. 52, вып. 3. — P. 342–343. — ISSN 0002-9920..
- David Klarner, Jordan Pollack. Domino tilings of rectangles with fixed width // Discrete Mathematics. — 1980. — Т. 32, вып. 1. — DOI:10.1016/0012-365X(80)90098-9..
- Richard J. Paving rectangular regions with rectangular tiles: tatami and non-tatami tilings. — 2013.
- Lambda-determinants and domino-tilings // Advances in Applied Mathematics. — 2005. — Т. 34, вып. 4. — С. 871–879. — DOI:10.1016/j.aam.2004.06.005. — arXiv:math.CO/0406301..
- Frank Ruskey, Jennifer Woodcock. Counting fixed-height Tatami tilings. — 2009. — Т. 16, вып. 1. — С. R126.
- James A. Sellers. Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers // Journal of Integer Sequences. — 2002. — Т. 5, вып. Article 02.1.2..
- Richard P. Stanley. On dimer coverings of rectangles of fixed width // Discrete Appl. Math. — 1985. — Т. 12. — С. 81–87. — DOI:10.1016/0166-218x(85)90042-3.
- W. P. Thurston.（威廉·瑟斯頓）Conway's tiling groups. — American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1990. — Т. 97. — С. 757–773. — DOI:10.2307/2324578..
- David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — London: Penguin, 1997. — С. 182. — ISBN 0-14-026149-4..
- H. N. V. Temperley, Michael E. Fisher. Dimer problem in statistical mechanics-an exact result // Philosophical Magazine. — 1961. — Т. 6, вып. 68. — С. 1061–1063. — DOI:10.1080/14786436108243366.
- Erickson, Alejandro; Ruskey, Frank (2013), "Domino tatami covering is NP-complete", Combinatorial algorithms, Lecture Notes in Comput. Sci., 8288, Springer, Heidelberg, pp. 140–149, arXiv:1305.6669, doi:10.1007/978-3-642-45278-9_13, MR 3162068