居里定律

居里定律是指在順磁性材料中，材料的磁化強度大致與施加的磁場強度成正比。然而，若加熱材料，則比值減小。對於固定場強的磁場，磁化率大致與溫度成反比。

$$\mathbf{M} = C \cdot \frac{\mathbf{B}}{T},$$

其中

$\mathbf{M}$是磁化強度

$\mathbf{B}$是磁感應強度

$T$是溫度，以開爾文為單位

$C$是材料的居里常數

居里定律是在實驗中由皮埃爾·居里得到的，它適用於相對高溫及弱磁場的條件下。而從其物理本源上推導，則能得到在低溫和強磁場條件下，磁化強度趨於飽和的結果，而非由定律預言的持續增加。

## 用量子力學推導

順磁體簡單的數學模型可以看作由沒有相互作用的粒子組成。每一個粒子都有磁矩$\vec{\mu}$。磁場中磁矩的能量由下式給出：

$$E=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}.$$

### 雙態 (自旋-½)粒子

為簡化計算，可將順磁體內的粒子看作是雙態粒子：其磁矩與磁場的方向要麼平行要麼相反。因此，磁矩的可能值只能是$\mu$或者$-\mu$。如果是這樣，那麼這樣的粒子只有兩種可能的能量

$$E_0 = - \mu B$$

以及

$$E_1 = \mu B.$$

順磁體的磁化強度一般意味著粒子磁矩與磁場同向的可能性。換句話說，就是磁化強度$\mu$的期望值：

$$\left\langle\mu\right\rangle = \mu P\left(\mu\right) + (-\mu) P\left(-\mu\right) <pre> = {1 \over Z} \left( \mu e^{ \mu B\beta} - \mu e^{ - \mu B\beta} \right) = {2\mu \over Z} \sinh( \mu B\beta),$$

其中，每一種情況的機率由其玻爾茲曼因子給出，配分函數$Z$為機率提供必要的歸一化（即所有這些機率的總和是歸一的）。

一個粒子的配分函數是

$$Z = \sum_{n=0,1} e^{-E_n\beta} = e^{ \mu B\beta} + e^{-\mu B\beta} = 2 \cosh\left(\mu B\beta\right).$$

因此，在雙態粒子簡單的情形中，下式會成立

$$\left\langle\mu\right\rangle = \mu \tanh\left(\mu B\beta\right).$$

這是單個粒子的磁化強度，固體的總磁化強度由下式給出

$M = n\left\langle\mu\right\rangle = n \mu \tanh\left({\mu B\over k T}\right)$

其中n是磁矩的數密度。上式被稱為朗之萬順磁方程。

皮埃爾·居里（Pierre Curie）在實驗中發現：當順磁體處於相對較高的溫度和較低的磁場中，這個定律的近似成立。在$T$值較大且$B$值較小時，上式中雙曲正切的自變量減少，即：

$$\left({\mu B\over k T}\right) \ll 1$$

上式有時被稱為 居里區間. 同時，如果$|x| \ll 1$，那麼$\tanh x \approx x$，因此

$\mathbf{M}(T\rightarrow\infty)={n\mu^2\over k}{\mathbf{B}\over T},$

因此磁化強度也很小，有$B \approx \mu_0 H$，可以得到

$$M \approx \frac{\mu_0 \mu^2 n}{k} \frac{H}{T},$$

更重要的一點是，磁化率由下式給出

$$\chi = \frac{\partial M}{\partial H} \approx \frac{M}{H}$$

即

$$\chi(T \to \infty) = \frac{C}{T},$$

其中 居里常數 $C = \mu_0 n\mu^2/k$，其單位是開爾文 (K)。

在低溫或高場的情況下，$M$趨向於$n\mu$的最大值，對應於所有粒子與場完全對齊。由於這個計算沒有描述嵌入費米表面深處的電子，泡利不相容原理禁止其自旋翻轉，所以它沒有舉例說明這個問題在低溫下的量子統計。根據費米-狄拉克分布，在低溫下$M$線性依賴於磁場，因此磁化率飽和到一個常數。

### 一般情況

當粒子具有任意自旋（任意數量的自旋狀態）時，公式有點複雜。

在低磁場或高溫下，自旋遵循居里定律，居里常數

$C = \frac{\mu_B^2}{3 k_B}n g^2 J(J+1)$

其中 $J$是總角動量量子數，$g$ 是 自旋的$g$因子 (例如 $\mu = g J \mu_B$ 是磁量子數)。

對於更一般的公式及其推導（包括高場強，低溫），請參閱文章：布里淵函數。當自旋接近無窮大時，磁化公式接近下一節中推導的經典值。

## 用經典統計力學推導

當順磁子被想像為經典的、自由旋轉的磁矩時，適用另一種處理方法。在這種情況下，它們的位置將由它們在球坐標中的角度確定，其中一個粒子的能量是

$$E = - \mu B\cos\theta,$$

其中 $\theta$ 是磁矩和磁場之間的角度（假設磁場指向$z$軸）。對應的配分函數為

$$Z = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta).$$

可以看出上式中被積函數對 $\phi$ 角沒有依賴性，令 $y=\cos\theta$ 以獲得

$$Z = 2\pi \int_{-1}^ 1 d y \exp( \mu B\beta y) = 2\pi{\exp( \mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }= {4\pi\sinh( \mu B\beta ) \over \mu B\beta .}$$

現在，磁化強度的$z$分量的預期值（另外兩個被視為零，由於在$\phi$上的積分），由下式給出

$$\left\langle\mu_z \right\rangle = {1 \over Z} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi}d\theta \sin\theta \exp( \mu B\beta \cos\theta) \left[\mu\cos\theta\right] .$$

為簡化計算, 可以將其寫作$Z$微分：

$$\left\langle\mu_z\right\rangle = {1 \over Z \beta} \frac{\partial Z}{\partial B} = {1 \over \beta} \frac{\partial \ln Z}{\partial B}$$

（這種方法也可以用於上面的模型，但計算非常簡單，所以沒有那麼有用。）

繼續推導發現

$$\left\langle\mu_z\right\rangle = \mu L(\mu B\beta),$$

其中 $L$ 是郎之萬函數:

$$L(x)= \coth x -{1 \over x}.$$

對於小 $x$，此函數似乎是奇異的，但事實並非如此，因為兩個奇異項相互抵消。事實上，它對小參數的極限是$L(x) \approx x/3$，因此居里極限也適用，但在這種情況下，居里常數要小三倍。同樣，對於其參數的較大值，函數在 $1$ 處飽和，並且同樣會恢復相反的極限。