可控制性格拉姆矩陣

控制理論中，可控制性格拉姆矩陣（Controllability Gramian）是用來判斷線性動態系統是否可控制的格拉姆矩陣。

若針對以下的線性時變系統

$$\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)$$

$$y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) \,$$

可控制性格拉姆矩陣為

$W_{c}(t_{0},t_{1})=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\Phi(\tau,t_{0})B(\tau)B^{T}(\tau)\Phi^T(\tau,t_{0}) d\tau$ ,

其中$\Phi$為狀態轉換矩陣

系統在$t\in[t_{0},t_{1}]$具有可控制性，若且唯若$W_{c}(t_{0},t_{1})$為非奇異矩陣。

## 連續時間，線性非時變系統

若在連續時間的線性非時變系統中，也可以定義可控制性格拉姆矩陣（不過也有其他判斷可觀測性的方法）。

若考慮以下的系統

$$\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)$$

$$y(t) = C x(t) + D u(t) \,$$

其可控制性格拉姆矩陣是以下$n\times n$的方陣

$$\boldsymbol{W_{c}}(t)=\int_{0}^{t}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau$$

$\boldsymbol{A}$若穩定（所有的特徵值實部均為負），可控制性格拉姆矩陣也是以下李亞普諾夫方程的唯一解

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}$$

$\boldsymbol{A}$若穩定（所有的特徵值實部均為負），而且$\boldsymbol{W}_{c}$也是正定矩陣，則此系統具有可控制性，也就是$(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})$矩陣對具有可控制性。

此一定義也和以下其他可控制性的定義等效：

- $n\times np$的可控制性矩陣

$${\mathcal{C}}=[\begin{array}{ccccc} \boldsymbol{B} & \boldsymbol{AB} & \boldsymbol{A^{2}B} & ... & \boldsymbol{A^{n-1}B}\end{array}]$$

秩為n。

- $n\times(n+p)$矩陣

$$[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}\boldsymbol{-\lambda}\boldsymbol{I} & \boldsymbol{B}\end{array}]$$

對於每個$\boldsymbol{A}$的特徵值$\lambda$，都有滿秩。

## 和李亞普諾夫方程的關係

可控制性格拉姆矩陣是以下李亞普諾夫方程的解

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}$$

假若令

$$\boldsymbol{W_{c}}=\int_{0}^{\infty}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau$$

為一個解，可得：

$$\begin{array}{ccccc} \boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}} & = & \int_{0}^{\infty}\boldsymbol{A}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau & + & \int_{0}^{\infty}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}\boldsymbol{A^{T}}d\tau\\ <pre> & = & \int_{0}^{\infty}\frac{d}{d\tau}(e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau})d\tau & = & e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}|_{t=0}^{\infty}\\ & = & \boldsymbol{0}-\boldsymbol{BB^{T}}\\ & = & \boldsymbol{-BB^{T}} </pre> \end{array}$$

其中用到了對於穩定$\boldsymbol{A}$，在$t=\infty$時，$e^{\boldsymbol{A}t}=0$的事實（所有的特徵值實部均為負），因此$\boldsymbol{W}_{c}$確實是李亞普諾夫方程的解。

### 格拉姆矩陣的性質

因為 $\boldsymbol{BB^{T}}$ 是對稱矩陣，因此$\boldsymbol{W}_{c}$也是對稱矩陣。

若$\boldsymbol{A}$是穩定矩陣（所有的特徵值實部均為負），可以證明$\boldsymbol{W}_{c}$是唯一的。利甪反證法，先假設以下方程有二個不同解

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}$$

分別是$\boldsymbol{W}_{c1}$和$\boldsymbol{W}_{c2}$，因此可得：

$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})+\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})\boldsymbol{A^{T}}=\boldsymbol{0}$$

在左右分別乘以$e^{\boldsymbol{A}t}$和$e^{\boldsymbol{A}^{T}t}$，可得：

$$e^{\boldsymbol{A}t}[\boldsymbol{A}\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})+\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})\boldsymbol{A^{T}}]e^{\boldsymbol{A^{T}}t}=\frac{d}{dt}[e^{\boldsymbol{A}t}[(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})e^{\boldsymbol{A^{T}}t}]=\boldsymbol{0}$$

從$0$積分到$\infty$：

$$[e^{\boldsymbol{A}t}[(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})e^{\boldsymbol{A^{T}}t}]|_{t=0}^{\infty}=\boldsymbol{0}$$

再利用此一事實，當$t\rightarrow\infty$時，$e^{\boldsymbol{A}t}\rightarrow0$：

$$\boldsymbol{0}-(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})=\boldsymbol{0}$$

因此，$\boldsymbol{W}_{c}$是唯一的。

也可以看出

$$\boldsymbol{x^{T}W_{c}x}=\int_{0}^{\infty}\boldsymbol{x}^{T}e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}\boldsymbol{x}dt=\int_{0}^{\infty}\left\Vert \boldsymbol{B^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}\boldsymbol{x}}\right\Vert _{2}^{2}dt$$

在任何t時都為正，因此$\boldsymbol{W}_{c}$是正定矩陣。

可控制性系統的其他特性在中，以及可控制性中都有描述。

## 離散時間，線性非時變系統

若考慮以下的離散時間系統

$$\begin{array}{c} \boldsymbol{x}[k+1]\boldsymbol{=Ax}[k]+\boldsymbol{Bu}[k]\\ \boldsymbol{y}[k]=\boldsymbol{Cx}[k]+\boldsymbol{Du}[k] \end{array}$$

其離散可控制性格拉姆矩陣是以下$n\times n$的方陣

$$\boldsymbol{W}_{dc}=\sum_{m=0}^{\infty}\boldsymbol{A}^{m}\boldsymbol{BB}^{T}(\boldsymbol{A}^{T})^{m}$$

$\boldsymbol{A}$若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），也是以下離散李亞普諾夫方程的解

$$W_{dc}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{dc}\boldsymbol{A^{T}}=\boldsymbol{BB^{T}}$$

$\boldsymbol{A}$若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），而且$\boldsymbol{W}_{dc}$也是正定矩陣，則此系統有可控制性。

更多相關的性質及證明在。

## 線性時變系統（LTV）

考慮以下的線性時變系統（LTV）：

$$\begin{array}{c} \dot{\boldsymbol{x}}(t)\boldsymbol{=A}(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{u}(t)\\ \boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{C}(t)\boldsymbol{x}(t) \end{array}$$

其中矩陣$\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$和$\boldsymbol{C}$的元素會隨時間而變化。其可控制性格拉姆矩陣為$n\times n$矩陣，定義如下：

$$\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})=\int_{_{0}}^{^{\infty}}\boldsymbol{\Phi}(t_{1},\tau)\boldsymbol{B}(\tau)\boldsymbol{B}^{T}(\tau)\boldsymbol{\Phi}^{T}(t_{1},\tau)d\tau$$

其中$\boldsymbol{\Phi}(t,\tau)$為$\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}$的狀態轉移矩陣。

系統$(\boldsymbol{A}(t),\boldsymbol{B}(t))$有可控制性的充份必要條是存在$t_{1}>t_{0}$，使得可控制性格拉姆矩陣$\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})$為非奇異矩陣。

### 格拉姆矩陣的性質

可控制性格拉姆矩陣$\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})$有以下的性質：

$$\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})=\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t)+\boldsymbol{\Phi}(t,t_{0})\boldsymbol{W}_{c}(t,t_{0})\boldsymbol{\Phi}^{T}(t,t_{0})$$

可以由$\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})$的定義，以及以下的狀態轉移矩陣性質來推導：

$$\boldsymbol{\Phi}(t_{0},t_{1})=\boldsymbol{\Phi}(t_{1},\tau)\boldsymbol{\Phi}(\tau,t_{0})$$

其他有關可控制性格拉姆矩陣的性質可以參考。

## 外部連結

- Mathematica function to compute the controllability Gramian