廣群

在數學中，尤其在範疇論和同倫論中，廣群（groupoid，或勃蘭特廣群，Brandt groupoid）是對群的概念的抽象化。廣群可被視為：

- 以偏函數取代二元運算的群。
- 所有態射都可逆的範疇。這一類範疇可被視作增加了一種一元運算，與群論中的逆元相對應。只有一個對象的廣群一般是群。

在存在依賴類型的情況下，一般來說，一個範疇可視作是類型化的么半群；廣群也可簡單視作類型化的群。對象到對象的態射形成類型的依賴族，於是態射可以是類型化的$g:A \rightarrow B$、$h:B \rightarrow C$。於是組合是全函數：$\circ : (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow C$，於是$h \circ g : A \rightarrow C$。

廣群的特例包括：

- 集合體（Setoid），即帶有等價關係的集合。
- G-集合，即帶有G 的作用的集合。

廣群常用於研究流形等幾何物體。廣群最先由海因里希·勃蘭特於1927年引入，其思想暗含在勃蘭特半群的概念中。

## 定義

廣群指的是代數結構$(G,\ast)$，包含非空集G與定義在G上的二元偏函數'$\ast$'。

### 代數定義

廣群是具備一元運算${}^{-1}:G\to G,$與偏函數$*:G\times G \rightharpoonup G$的集合G，當中的*不是二元運算，因為其不一定定義在G中所有的元素對上。這裡不闡述定義*的確切條件，這些條件因情況而異。

運算*、−1有以下公理性質：$\forall a,\ b,\ c\in G$：

- 結合律：若定義了$a*b,\ b*c$，則$(a * b) * c=a * (b * c)$。
- 逆元：$a^{-1} * a$、$a*{a^{-1}}$總有定義。
- 單位元：若定義了$a*b$，則$a*b*{b^{-1}} = a;\ {a^{-1}} * a * b = b$。（由前兩條性質可推知。）

從中可得到兩個簡單方便的性質：

- $(a^{-1})^{-1} = a$。
- 若定義了$a*b$，則$(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}$。

$a^{-1}=a^{-1}*a*a^{-1};\ (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*(a^{-1})*(a^{-1})^{-1}.$

$(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a*a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a=a.$

$a*b$

$(a*b)^{-1}*a*b.$

$(a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}=(a*b)^{-1}*a$

$a*b$

$a*b*b^{-1}=a,\ a*b*b^{-1}*a^{-1}$

$(a*b)^{-1}=(a*b)^{-1}*a*a^{-1}=(a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}*a^{-1}=b^{-1}*a^{-1}.$

### 範疇論定義

廣群是小範疇，其中每個態射都可逆，即是同構。更明確地說，廣群G是對象集合$G_0$，其中

- 每對對象x、y，都有從x到y的態射（或箭頭）的（可能是空）集合$G(x,\ y)$，其中的元素寫作$f:\ x\to y;$
- 每個對象x，$G(x,\ x)$的指定元素$\mathrm{id}_x;$
- 對任意三個元素x、y、z都有函數$\mathrm{comp}_{x,y,z} : G(y, z)\times G(x, y) \rightarrow G(x, z): (g, f) \mapsto gf;$
- 對任意兩個元素x、y都有函數$\mathrm{inv}: G(x, y) \rightarrow G(y, x): f \mapsto f^{-1},\ \forall f:\ x\to y,\ g:\ y\to z,\ h:\ z\to w;$
- $f\ \mathrm{id}_x = f$、$\mathrm{id}_y\ f = f;$
- $$(h g) f = h (g f);$$
- $f f^{-1} = \mathrm{id}_y$、$f^{-1} f = \mathrm{id}_x.$

若$f\in G(x,\ y)$則稱x為f的源，記作$s(f)$；y稱作f的目標，記作$t(f)$。廣群G有時記作$G_1 \rightrightarrows G_0$，當中$G_1$是所有態射的集合，兩個箭頭$G_1 \to G_0$代表源和目標。

更一般地，可以考慮任意範疇中的廣群對象，其允許有限的纖維積。

### 定義比較

代數定義與範疇論定義等價，下面證明。給定範疇論定義廣群，令G為所有集合$G(x,\ y)$的不交並（即x到y的態射的集合）；則$\mathrm{comp}$、$\mathrm{inv}$就成了G上的偏運算，而$\mathrm{inv}$事實上在任意地方都可被定義。我們定義*為$\mathrm{comp}$、−1為$\mathrm{inv}$，這樣就得到了代數定義的廣群。可以不再明確提及$G_0$（及$\mathrm{id}$）。

反過來，給定代數定義的廣群G，用$\sim$定義其元素上的等價關係：

$a \sim b$，若$a*a^{-1}=b*b^{-1}.$令G0為$\sim$的等價類集合，即$G_0:=G/\!\!\sim$。若$a\in G$且$x\in G_0$，用$1_x$記a ∗ a−1。

現在定義$G(x, y)$為所有使$1_x*f*1_y$存在的f的集合。給定$f \in G(x,y),\ g \in G(y, z),$其組合定義為$gf:=f*g \in G(x,z).$這是良定義的，因為可觀察到$(1_x*f)*1_y$、$1_y*(g*1_z)$都存在，$(1_x*f*1_y)*(g*1_z)=f*g$也存在。這樣，x的恆等態射就是$1_x$，f的範疇論逆是f−1。

上述定義中的集合可用類代替，這在範疇論中很常見。

### 頂點群與軌道

給定廣群G，其中的頂點群或迷向群或軌道群是$G(x,\ x)(x\in G)$的子群。從上述公理不難看出，它們確實是群，因為每對元素都可組合，且逆元都在同一個群中。

廣群G在點$x \in X$處的軌道由集合$s(t^{-1}(x)) \subseteq X$給出，當中包含了可用G中的態射連接到x的每個點。若x、y兩點在相同的軌道上，則它們的頂點群G(x)、G(y)群同構：若$f:\ x\to y$，則同構由$g\to fgf^{-1}$給出。

軌道構成了集合X的一部分。若廣群只有一個軌道（等價地是連通的），則稱之為傳遞的。那麼，所有頂點群都同構（另一方面，這不是傳遞性的充分條件，反例下詳）。

### 子廣群與態射

$G \rightrightarrows X$的子廣群是子範疇$H \rightrightarrows Y$，其本身是一個廣群。若它是寬或滿的子範疇，即$\forall x,y \in Y$都有$X = Y$或$G(x,y)=H(x,y)$，則也稱其為寬或滿。

廣群映射簡單說就是兩個（範疇論）廣群間的函子。

有幾種特殊的廣群態射值得關注。若$\forall x\in E,\ \forall b\in B:\ p(x)\to,$都有$e\in E:\ x\to$，使得$p(e)=b$，則廣群的態射$p: E \to B$稱作纖維化。若這樣的e是唯一的，則纖維化稱作覆蓋態射或廣群的覆蓋。廣群的覆蓋態射很有用，可用來模擬空間的覆蓋映射。

同樣，給點廣群B的覆蓋態射範疇，等同於廣群B對對集合的作用範疇。

## 例子

### 拓撲

給定拓撲空間X，令$G_0$為集合X。從點p到點q的態射是p到q的連續路徑的等價類，若兩條路徑同倫，就稱它們等價。

先沿第一條路徑，再沿第二條路徑，兩個這樣的態射便組合到一起；同倫等價性保證這種組符合結合律。這樣的廣群稱作X的基本廣群，記作$\pi_1(X)$（有時是$\Pi_1(X)$）。通常的基本群$\pi_1(X,x)$於是就是點x的頂點群。

基本廣群$\pi_1(X)$的軌道是X的路徑連通成分。相應地，路徑連通空間的基本廣群是傳遞的，我們恢復了已知的事實，即任意基點上的基本群是同構的。此外，基本廣群和基本群這時作為範疇是等價的（一般理論見下文）。

這一思想的重要推廣是考慮基本廣群$\pi_1(X,A)$，其中$A\subset X$是選定的基點集合。當中$\pi_1(X,A)$是$\pi_1(X)$的（寬）子廣群，這裡只考慮端點屬於A的路徑。集合A可據當前情況的幾何形狀來選擇。

### 等價關係

若X是集合體，即具有等價關係$\sim$的集合，則「表示」這等價關係的廣群可由如下構成：

- 廣群對象是X的元素。
- $\forall x,\ y\in X,$有單態射$(y,x):\ x\to y$，若且唯若$x\sim y$。
- $(z,y)$與$(y,x)$的組合是$(z,x)$。

這個廣群的頂點群總是平凡的；此外，這個廣群一般不傳遞，其軌道正是等價類。有兩個極端例子：

- X每個元素若都與X的其他元素有聯繫，則就得到了X的對廣群，其以整個$X \times X$作為箭頭集，且是傳遞的。
- X每個元素若只與自身有關係，就得到了單位廣群，其以X為箭頭集，$s = t = id_X$，是完全不傳遞的（每個單子$\{x\}$都是軌道）。

#### 例子

- 若$f: X_0 \to Y$是光滑流形的光滑滿射浸沒，則$X_0\times_YX_0 \subset X_0\times X_0$是等價關係，因為在拓撲空間的滿射下，Y與$X_0$的商拓撲拓撲同構。若記$X_1 = X_0\times_YX_0$則可得廣群$X_1 \rightrightarrows X_0$有時稱為光滑流形的滿射浸沒的平庸廣群。
- 若放寬自反性要求、考慮偏等價關係，則就可考慮關於集合的可計算實現子上的半可決定概念。這使得廣群可用於集合論的可計算近似，稱作PER模型。作為一個範疇，PER模型是具有自然數對象與子對象分類子的笛卡兒閉範疇，從而產生了馬丁·海蘭德所謂有效拓撲斯。

### 切赫廣群

切赫廣群5是一類特殊的廣群，與某個流形X的開覆蓋$\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}$所給出的等價關係相關聯。其對象由不交並$\mathcal{G}_0 = \coprod U_i$ 給出，其箭頭是相交$\mathcal{G}_1 = \coprod U_{ij}$.

源映射與目標映射由誘導映射給出$\begin{align} s = \phi_j: U_{ij} \to U_j\\ t = \phi_i: U_{ij} \to U_i \end{align}$包含映射$\varepsilon: U_i \to U_{ii}$則給出了廣群的結構。實際上，還可設置$\mathcal{G}_n = \mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0} \cdots \times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1$為n次迭代的纖維積來進一步擴展，其中$\mathcal{G}_n$表示n個可組合箭頭的多元組。纖維積的結構映射隱含了目標映射，因為$\begin{matrix} U_{ijk} & \to & U_{ij} \\ \downarrow & & \downarrow \\ U_{ik} & \to & U_{i} \end{matrix}$是笛卡兒圖，其中到$U_i$的映射是目標映射。這種構造可看作是某些∞-廣群的模型；此外，這種構造的另一個產物是k-上循環$[\sigma] \in \check{H}^k(\mathcal{U},\underline{A})$對某個阿貝爾群之常數層可表為函數$\sigma:\coprod U_{i_1\cdots i_k} \to A$給出了上同調類的明確表示。

### 群作用

若群G作用於集合X，則可由如下方式組成代表群作用的作用廣群或變換廣群：

- 對象是X的元素。
- $\forall x,\ y\in X$，態射$x\to y$對應$g\in G$，使得$gx = y$。
- 態射的複合解釋了G的二元運算。

更明確地說，作用廣群是小範疇$\mathrm{ob}(C)=X$、$\mathrm{hom}(C)=G\times X$，源映射和目標映射分別為$s(g,x) = x$、$t(g,x) = gx$。通常表示為$G \ltimes X$（對於右作用記為$X\rtimes G$）。廣群中的乘法（或組合）就是$(h,y)(g,x) = (hg,x)$，定義條件是$y=gx$。

$\forall x\in X$，頂點群由$gx=x$的$(g,x)$組成，這只是給定作用在x處的迷向子群（這就是頂點群稱為迷向子群的原因）。同樣，作用廣群的軌道是群作用的軌道，廣群是傳遞的若且唯若群作用也有傳遞性。

另一種描述G集合的方法是函子範疇$[\mathrm{Gr},\mathrm{Set}]$，當中$\mathrm{Gr}$是1個元素的廣群（範疇），同構於群G。事實上，這個範疇的每個函子F都定義了集合$X=F(\mathrm{Gr});\ \forall g\in G$（即對$\mathrm{Gr}$中的每個態射）誘導了雙射$F_g$：$X\to X$。函子F的範疇結構保證了F定義了集合G上的G作用。（唯一）可表函子F：$\mathrm{Gr} \to \mathrm{Set}$是G的凱萊表示。事實上，這個函子與$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},-)$同構，因此將$\mathrm{ob}(\mathrm{Gr})$送到集合$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},\mathrm{Gr})$，後者的定義就是「集合」G和$\mathrm{Gr}$的態射g（即G的元素g）到集合G的置換$F_g$。由米田嵌入推導出：群G同構於G的置換群的子群$\{F_g\mid g\in G\}$。

#### 有限集

考慮$\mathbb{Z}/2$在有限集$X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$上的群作用，其將每個數取負，於是$-2 \mapsto 2$、$1 \mapsto -1$。商廣群$[X/G]$是這個群作用的等價類集合$\{[0],[1],[2]\}$，$[0]$在其上有群作用$\mathbb{Z}/2$。

#### 商簇

任何映射到$GL(n)$的有限群G都會在仿射空間$\mathbb{A}^n$上產生群作用（由於這是自同構群）。於是，商廣群的形式可以是$[\mathbb{A}^n/G]$，有一點的穩定子G位於原點。這樣的例子構成了軌形理論的基礎。另一個常研究的軌形族是加權射影空間$\mathbb{P}(n_1,\ldots, n_k)$及其子空間，如卡拉比-丘軌形。

### 廣群的纖維積

給定具有廣群態射的廣群圖

$$\begin{align} <pre> & & X \\ & & \downarrow \\ </pre> Y &\rightarrow & Z \end{align}$$

其中$f:X\to Z$、$g:Y\to Z$，可組成廣群$X\times_ZY$，其對象為三元組$(x,\phi,y)$，其中$x \in \text{Ob}(X),\ y \in \text{Ob}(Y),\ \phi: f(x) \to g(y),\ \in Z$。態射可定義為一對態射$(\alpha,\beta)$，其中$\alpha: x \to x',\ \beta: y \to y'$，使得對三元組$(x,\phi,y), (x',\phi',y'),\ Z$中有$f(\alpha):f(x) \to f(x'),\ g(\beta):g(y) \to g(y'),\ \phi,\phi'$的交換圖。

### 同調代數

具體阿貝爾範疇中對象的二項復形

$$C_1 \overset{d}{\rightarrow}C_0$$

可形成廣群。其對象是集合$C_0$，箭頭是集合$C_1\oplus C_0$；源映射只是到$C_0$的映射，目標映射是對$C_1$與d的組合跟到$C_0$的映射的加法。也就是說，給定$c_1 + c_0 \in C_1\oplus C_0$，有

$$t(c_1 + c_0) = d(c_1) + c_0.$$

當然，若阿貝爾範疇是概形上的凝聚層範疇，則這種構造可用於形成廣群的預層。

### 遊戲

魔方可用群論來建模（見魔方群），也有些遊戲更適合用廣群建模。

數字推盤遊戲的變換就是廣群（不是群，因為並非所有移動都能複合）。這一廣群作用作用於構型。

### 馬蒂厄廣群

馬蒂厄廣群是約翰·何頓·康威提出的作用於13個點的群，這樣固定一個點的元素就構成了馬蒂厄群M12的一個副本。

## 與群的關係

若廣群只有一個對象，則其態射集構成群。由代數定義，這樣的廣群實際上就是群。群論的許多概念都能推廣到廣群，用函子概念取代群同態。

每個傳遞/連通的廣群（即如上所述，任意兩對象都由至少一個態射相連）都與作用廣群（如上定義）$(G, X)$同構。根據傳遞性，這個作用下只有一個軌道。

注意剛才提到的同構不唯一，也沒有自然的選擇。為一個傳遞廣群選擇這樣的同構實際上等於選擇對象$x_0$、群同構$h:\ G(x_0)\to G$、$\forall x\ne x_0,\ $態射$\in G:\ x_0\to x$。

若廣群沒有傳遞性，則就同構於上述類型的廣群的不交並，也稱作其連通成分（每個連通成分可能具有不同的群G與集合X）。

用範疇論的術語來說，廣群的每個連通成分都等價（但不同構）於只有1個對象的廣群，即單群。因此，任何廣群都等價於無關群的多重集；換句話說，對等價（而非同構），我們不需要指定集合X，而只需指定群G。例如。

- X的基本廣群等價於X的每個路徑連通成分的基本群的集合，但同構要指定每個成分的點集。
- 具有等價關係$\sim$的集合X等價（作為廣群）於每個等價類的平凡群的一個副本，但同構需要說明每個等價類。
- 具備群G的作用的集合X等價（作為廣群）於作用的每個軌道的G的一個副本，但同構需要說明每個軌道是什麼集合。

即使從範疇論的角度來看，把廣群坍縮為單純的群集合也會失去一些資訊，因為是不自然的。因此，當廣群以其他結構出現時，保持整個廣群是有幫助的；否則就必須選擇一種方法，以從單群的角度看待每個$G(x)$，而這一選擇是任意的。在拓撲學的例子中，必須連貫地選擇路徑（或路徑的等價類），從相同路徑連通成分的每個p點到每個q點。

一個更有啟發性的例子是，有自同態的廣群的分類並不能歸結為單純的群論考慮。這類似於有一個自同態的向量空間的分類並不平凡。

廣群的態射比群的更多樣：例如，有纖維化、覆蓋態射、泛態射、商態射。因此，群G的子群H會產生G對G中H的陪集集的作用，從而產生K到G的覆蓋態射p，其中K是頂點群與H同構的廣群。這樣，群G的表示就可以「提升」到廣群K的表示，這是獲取子群H的表現資訊的有用方法。

## 廣群範疇

對象是廣群、態射是廣群態射的範疇稱作廣群範疇，記作Grpd。

Grpd與小範疇相似，是笛卡兒閉範疇：對任意廣群$H,K$，我們都可以構造廣群$\operatorname{GPD}(H,K)$，其對象是態射$H \to K$、箭頭是態射的自然等價。於是，若$H,K$只是群，則這些箭頭就是態射的共軛。主要結果是，對任何廣群$G,H,K$都有自然雙射

$$\operatorname{Grpd}(G \times H, K) \cong \operatorname{Grpd}(G, \operatorname{GPD}(H,K)).$$

即使所有廣群$G,H,K$都只是群，這個結果也有意義。

Grpd既是完全範疇，又是余完全範疇。

### 與Cat的關係

包含態射$i : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{Cat}$有左右伴隨函子：

$$\hom_{\mathbf{Grpd}}(C[C^{-1}], G) \cong \hom_{\mathbf{Cat}}(C, i(G))$$

$$\hom_{\mathbf{Cat}}(i(G), C) \cong \hom_{\mathbf{Grpd}}(G, \mathrm{Core}(C))$$

當中，$C[C^{-1}]$表示反轉每個態射的範疇局部化，$\mathrm{Core}(C)$表示所有同構的子範疇。

### 與sSet的關係

神經函子$N : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{sSet}$將Grpd嵌入為單純集範疇的子範疇。廣群的神經總是闞復形。

神經有左伴隨

$$\hom_{\mathbf{Grpd}}(\pi_1(X), G) \cong \hom_{\mathbf{sSet}}(X, N(G))$$

當中$\pi_1(X)$表示單純集X的基本廣群。

### Grpd中的廣群

廣群範疇內部的範疇還可派生一種額外結構，即雙重廣群。因為Grpd是2範疇，這些對象構成了2範疇，比1範疇有額外的結構。本質上說，這些對象是具有函子$s,t: \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0$的廣群$\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_0$，以及由恆等函子$i:\mathcal{G}_0 \to\mathcal{G}_1$給出的嵌入。思考這些2廣群的一種方法是其包含對象、態射與可以縱橫組合的方塊。例如，給定方塊$\begin{matrix} \bullet & \to & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \end{matrix}$與$\begin{matrix} \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & \bullet \end{matrix}$其中$a$是同一個態射，則可以垂直相連，得到圖$\begin{matrix} \bullet & \to & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & \bullet \end{matrix}$可將垂直箭頭轉置，得到另一個方塊。方塊的橫向連接也有類似規律。

## 具有幾何結構的廣群

研究幾何對象時，產生的廣群通常帶有拓撲，使其成為拓撲廣群；一些微分結構還能將其變為李廣群。最後這些對象也可根據其相關的李代數胚進行研究，這與李群和李代數之間的關係類似。

從幾何產生的廣群通常具有與群乘法相互作用的結構。例如，泊松幾何中有辛廣群的概念，後者是具有相容辛形式的李廣群。同樣，也可擁有具備相容黎曼度量或複流形等結構的廣群。

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