廣義超幾何函數

廣義超幾何函數（generalized hypergeometric function），有時也稱超幾何函數，是一個用冪級數定義的函數，其中冪級數的係數由若干個升階乘的積和商給出。下文中用「超幾何函數」一詞代指廣義超幾何函數，而用「高斯超幾何函數」一詞代指 p=2、 q=1 時的廣義超幾何函數。

## 定義與記號

超幾何函數是用冪級數定義的：

$$\beta_0 + \beta_1 \frac z{1!} + \beta_2 \frac{z^2}{2!} + \dots = \sum_{n \geqslant 0} \beta_n \frac{z^n}{n!}$$

其中相鄰兩項的係數之比 βn+1/βn 是關於 n 的有理函數，分子和分母都可以表示成若干個一次函數的乘積。一般要求分子和分母的多項式的最高次係數均為 1，並取 β0=1，於是

$$\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n}=\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{\prod_{i=1}^p(a_i+n)}{\prod_{i=1}^q(b_i+n)},\quad\forall n\geqslant0$$

於是用階乘冪可以將 βn 表示為

$$\beta_n=\frac{\prod_{i=1}^p(a_i)^{(n)}}{\prod_{i=1}^q(b_i)^{(n)}}$$

一般用下面的記號來表示超幾何函數：

$$_pF_q(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_p;b_1,b_2,b_3,\ldots,b_q;z)=\ _pF_q\left[ \begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\ldots&a_p\\b_1&b_2&b_3&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\prod_{i=1}^p(a_i)^{(n)}}{\prod_{i=1}^q(b_i)^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$$

為了保證在所有的 βn中分母不為零，會有如下限制：

- 當 ai 都不是非正整數（即負整數和 0）時，要求所有的 bi 都不是非正整數。
- 當有至少一個 ai 是非正整數，且其中最大（絕對值最小）者為 k 時，超幾何函數將截斷為 -k 次多項式，這時允許 bi 中存在非正整數，但要求這些非正整數都小於 k。

## 斂散性

下面討論用來定義超幾何函數的冪級數以零為中心的收斂半徑。

當超幾何函數截斷為多項式時，顯然收斂半徑是無窮大。

除去這種特殊情況之外，用比值審斂法可知，當 p0 時，級數在單位圓上絕對收斂。

- 當 0≥r>-1 時，級數在單位圓上除 z=1 外收斂，但不絕對收斂。
- 當 -1≥r 時，級數在單位圓上發散。

## 積分表達式

複平面上的路徑積分可以用來定義所有 ak 都不是非正整數時的廣義超幾何函數，包括上面說到的 p≥q+1 的情形。

下面只介紹 p+1>q 且級數不截斷為多項式的情形（其它情形下，上面的冪級數定義已經是良好的定義，而下面的積分不收斂），這時超幾何函數可以定義為：

$$\left(\prod_{k=1}^p\Gamma(a_k)\right/\left.\prod_{k=1}^q\Gamma(b_k)\right)\,{}_pF_q\left[ \begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\ldots&a_p\\b_1&b_2&b_3&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]=\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty} \left(\prod_{k=1}^p\Gamma(a_k+s)\right/\left.\prod_{k=1}^q\Gamma(b_k+s)\right)\Gamma(-s)(-z)^s\mathrm ds$$

當 p=q 且級數不截斷為多項式時，超幾何函數既可以用上面的積分來定義，也可以用超幾何級數定義。可以證明，兩種定義是等價的，且定義出來的超幾何函數都是整函數。

當 p=q+1 且級數不截斷為多項式時，超幾何函數既可以用上面的積分來定義，也可以用超幾何級數定義，但級數定義只在 |z|<1 時有效，在這個區域內，兩種定義是等價的，上式提供了級數定義的一個解析延拓。

當 p>q+1 且級數不截斷為多項式時，超幾何函數只能通過積分表達式定義，對應的超幾何級數只在 z =0 處收斂，其它情況均發散，它是積分定義的超幾何函數在 z=0 處的漸近級數，即

$$_pF_q\left[\begin{matrix}a_1&a_2&a_3&\ldots&a_p\\b_1&b_2&b_3&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]\approx \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\prod_{i=1}^p(a_i)^{(n)}}{\prod_{i=1}^q(b_i)^{(n)}}\frac{z^n}{n!},\quad p>q+1, z\rightarrow 0, |\arg z|<(p+1-q)\frac\pi2$$

## 超幾何函數的性質

### 特殊值

$${}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\ldots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{array} ;0\right]=1$$

### 歐拉積分變換

$${}_{p+1}F_{q+1}\left[ \begin{array}{c} a_{1},\ldots ,a_p,c \\ b_{1},\ldots ,b_q,d \end{array} ;z\right] =\frac{\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)} \int_{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{{}}^{d-c-1}\ {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_{1},\ldots ,a_p \\ b_{1},\ldots ,b_q \end{array} ; tz\right] dt$$

### 導函數

$$\begin{align} \left (z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a_j \right ){}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_j,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{array} ;z\right] &= a_j \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_j+1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q \end{array} ;z\right] \\ \left (z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b_k - 1 \right ){}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_k,\dots,b_q\end{array} ;z\right] &= (b_k - 1) \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_k-1,\dots,b_q \end{array} ;z \right] \\ \frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} \; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q \end{array} ;z \right] &= \frac{\prod_{i=1}^p a_i}{\prod_{j=1}^q b_j}\; {}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1+1,\dots,a_p+1 \\ b_1+1,\dots,b_q+1 \end{array} ;z \right] \end{align}$$

由上面三個關係式可以得到超幾何函數滿足的微分方程：

$z\prod_{n=1}^{p}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a_n\right)w = z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}\prod_{n=1}^{q}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b_n-1\right)w,\quad w(z)={}_pF_q\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{array} ;z\right]$.

## 特例

### 0F0

就是指數函數。

$${}_0F_0(;;z) = e^z$$

### 1F0

$${}_1F_0(a;;z) = (1-z)^{-a}.$$

### 0F1

稱為合流超幾何極限函數（confluent hypergeometric limit functions），與貝塞爾函數有密切關聯。

$$J_\alpha(x)=\frac{(\tfrac{x}{2})^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}\cdot{}_0F_1\left (;\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2 \right ).$$

### 1F1 和 2F0

1F1 就是（第一類）合流超幾何函數，也稱 Kummer 函數。

$${}_1F_1(a;b;z)=M(a;b;z)$$

另一方面，2F0 （此函數的級數表達式不收斂，因此必須通過積分表達式定義）與第二類合流超幾何函數（又稱Tricomi 函數）有如下關係：

$$U(a,b,z)=z^{-a}\cdot{}_2F_0(a,a-b+1;;-z^{-1})$$

事實上，它們都可以表示為高斯超幾何函數的極限。

$${}_1F_1(a;c;z)=\lim_{b\rightarrow\infty}{}_2F_1(a,b;c;z/b)$$

$${}_2F_0(a,b;;z)=\lim_{c\rightarrow\infty}{}_2F_1(a,b;c;cz)$$

類似地，pFq 都可以表示成 p+1Fq 或 pFq+1 的極限。

不完全伽瑪函數與這兩個函數有關聯：

$$\gamma(a,z)=\frac{z^a}aM(a,a+1,-z),\quad a\notin\mathbb Z_0^-$$

$$\Gamma(a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)$$

### 2F1

就是高斯超幾何函數，一般又簡稱超幾何函數。

### 多重對數函數

當 s 為非負整數時，多重對數函數 Lis 可以用超幾何函數表示：

$$\mathrm{Li}_s(z)=z\cdot{}_{s+1}F_s\left[ \begin{array}{c} 1,\ldots,1 \\ 2,\dots,2\end{array} ;z\right]$$