估計量的偏差

在統計學中，估計量的偏差（或偏差函數）是此估計量的期望值與估計參數的真值之差。偏差為零的估計量或決策規則稱為無偏的。否則該估計量是有偏的。在統計中，「偏差」是一個函數的客觀陳述。

偏差也可以相對於中位數來衡量，而非相對於均值（期望值），在這種情況下為了與通常的「均值」無偏性區別，稱作「中值」無偏。偏差與一致性相關聯，一致估計量都是收斂並且漸進無偏的（因此會收斂到正確的值），雖然一致序列中的個別估計量可能是有偏的（只要偏差收斂於零）；參見偏差與一致性。

當其他量相等時，無偏估計量比有偏估計量更好一些，但在實踐中，並不是所有其他統計量的都相等，於是也經常使用有偏估計量，一般偏差較小。當使用一個有偏估計量時，也會估計它的偏差。有偏估計量可能用於以下原因：由於如果不對總體進一步假設，無偏估計量不存在或很難計算（如標準差的無偏估計）；由於估計量是中值無偏的，卻不是均值無偏的（或反之）；由於一個有偏估計量較之無偏估計量（特別是收縮估計量）可以減小一些損失函數（尤其是均方差）；或者由於在某些情況下，無偏的條件太強，這種情況無偏估計量不是必要的。此外，在非線性變換下均值無偏性不會保留，不過中值無偏性會保留（參見變換的效應）；例如樣本方差是總體方差的無偏估計量，但它的平方根標準差則是總體標準差的有偏估計量。下面會進行說明。

## 定義

設我們有一個參數為實數 θ 的機率模型，產生觀測數據的機率分布 $P_\theta(x) = P(x\mid\theta)$，而統計量 $\hat\theta$ 是基於任何觀測數據 $x$ 下 θ 的估計量。也就是說，我們假定我們的數據符合某種未知分布 $P_\theta(x) = P(x\mid\theta)$（其中 θ 是一個固定常數，而且是該分布的一部分，但具體值未知），於是我們構造估計量 $\hat\theta$，該估計量將觀測數據與我們希望的接近 θ 的值對應起來。因此這個估量的（相對於參數 θ的）偏差定義為

$$\operatorname{Bias}_\theta[\,\hat\theta\,] = \operatorname{E}_\theta[\,\hat{\theta}\,]-\theta = \operatorname{E}_\theta[\, \hat\theta - \theta \,],$$

其中 $\operatorname{E}_\theta$ 表示分布 $P_\theta(x) = P(x\mid\theta)$ 的期望值，即對所有可能的觀測值 $x$ 取平均。由於 θ 對於條件分布 $P(x\mid\theta)$ 是可測的，就有了第二個等號。

對於參數 θ 的所有值的偏差都等於零的估計量稱為無偏估計量。

在一次關於估計量性質的模擬實驗中，估計量的偏差可以用平均有符號離差來評估。

## 例子

### 樣本方差

隨機變量的樣本方差從兩方面說明了估計量偏差：首先，自然估計量（naive estimator）是有偏的，可以通過比例因子校正；其次，無偏估計量的均方差（MSE）不是最優的，可以用一個不同的比例因子來最小化，得到一個比無偏估計量的MSE更小的有偏估計量。

具體地說，自然估計量就是將離差平方和加起來然後除以 n，是有偏的。不過除以 n − 1 會得到一個無偏估計量。相反，MSE可以通過除以另一個數來最小化（取決於分布），但這會得到一個有偏估計量。這個數總會比 n − 1 大，所以這就叫做收縮估計量，因為它把無偏估計量向零「收縮」；對於正態分布，最佳值為 n + 1。

設 X1, ..., Xn 是期望為 μ、方差為 σ2 的獨立同分布（i.i.d.）隨機變量。如果樣本均值與未修正樣本方差定義為

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i, \qquad S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}\,\right)^2,$$

則 S2 是 σ2 的一個有偏估計量，因為

$$<pre> \begin{align} \operatorname{E}[S^2] &= \operatorname{E}\left[ \frac 1 n \sum_{i=1}^n \big(X_i-\overline{X}\big)^2 \right] = \operatorname{E}\bigg[ \frac 1 n \sum_{i=1}^n \bigg((X_i-\mu)-(\overline{X}-\mu)\bigg)^2 \bigg] \\[8pt] &= \operatorname{E}\bigg[ \frac 1 n \sum_{i=1}^n \bigg((X_i-\mu)^2 - 2(\overline{X}-\mu)(X_i-\mu) + (\overline{X}-\mu)^2\bigg) \bigg] \\[8pt] &= \operatorname{E}\bigg[ \frac 1 n \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 - \frac 2 n (\overline{X}-\mu) \sum_{i=1}^n (X_i-\mu) + \frac 1 n (\overline{X}-\mu)^2 \sum_{i=1}^n 1 \bigg] \\[8pt] &= \operatorname{E}\bigg[ \frac 1 n \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 - \frac 2 n (\overline{X}-\mu)\sum_{i=1}^n (X_i-\mu) + \frac 1 n (\overline{X}-\mu)^2 \cdot n\bigg] \\[8pt] &= \operatorname{E}\bigg[ \frac 1 n \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 - \frac 2 n (\overline{X}-\mu)\sum_{i=1}^n (X_i-\mu) + (\overline{X}-\mu)^2 \bigg] \\[8pt] \end{align} </pre>$$

換句話說，未修正的樣本方差的期望值不等於總體方差 σ2，除非乘以歸一化因子。而樣本均值是總體均值 μ 的無偏估計量。

S2 是有偏的原因源於樣本均值是 μ 的普通最小二乘（OLS）估計量這個事實：$\overline{X}$ 是令 $\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2$ 儘可能小的數。也就是說，當任何其他數代入這個求和中時，這個和只會增加。尤其是，在選取 $\mu \ne \overline{X}$ 就會得出。

$$<pre> \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2 < \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2,$$

於是

$$<pre> \begin{align} \operatorname{E}[S^2] &= \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2 \bigg] < \operatorname{E}\bigg[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 \bigg] = \sigma^2. \end{align}$$

注意到，通常的樣本方差定義為

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X}\,)^2,$$

而這時總體方差的無偏估計量。可以由下式看出：

$$\operatorname{E}\big[ (\overline{X}-\mu)^2 \big] = \frac{1}{n}\sigma^2 .$$

方差的有偏（未修正）與無偏估計之比稱為貝塞爾修正。