泊肅葉定律

泊肅葉定律（Poiseuille's law）也稱為泊謖葉方程、帕醉定律、哈根-泊肅葉定律（Hagen-Poiseuille's law）、哈根-帕醉方程（Hagen-Poiseuille's equation），是描述流體流經細管（如血管和導尿管等）所產生的壓力損失，壓力損失和體積流率、動黏度和管長的乘積成正比，和管徑的四次方成反比例。此定律適用於不可壓縮、不具有加速度、層流穩定且長於管徑的牛頓流體。泊肅葉定律是讓·泊肅葉於1838年和戈特希爾夫·哈根於1838和1839年分別實驗獨立發現的，並於1840年和1846年發表。

泊肅葉定律的應用前提有七：

- 假設液體是不可壓縮流體。
- 假設液體是牛頓流體，即它的粘滯係數不隨流速而改變。
- 假設液體的流動是層流，而不是湍流，即管的直徑不能太大。
- Fully Develop，液體在管內速度場為全展開
- Steady state, 穩定流態
- Circular pipe, 流體在圓形管內流動
- 忽略End effect 終端效應

## 公式

### 標準流體力學的表示法

以下是用標準流體力學表示法下的泊肅葉定律：

$$\Delta P = \frac{8 \mu L Q}{ \pi r^4}$$

或

$$\Delta P = \frac{128 \mu L Q}{ \pi d^4}$$

其中

$\Delta P$是壓力損失

$L$是細管長度

$\mu$是黏度

$Q$是體積流率

$r$是半徑

$d$是直徑

### 物理表示法

$$\Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \left( \frac{- \Delta P}{\Delta x}\right) = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \frac{ |\Delta P|}{L}$$

其中的單位如下，單位則是以相容的單位為主（例如國際單位制）

$\Phi$是體積流率（標準流體力學表示法中的$Q$）

$V(t)$是流過的液體體積函數，參數為時間$t$

$v$是沿著細管的平均流體速度

$x$是沿著流體流動方向的距離

$R$是細管的內半徑

$\Delta P$是細管兩端的壓力損失

$\eta$是動黏度，SI制單位為Pa·s

$L$是細管的長度

此公式在細管進口段的誤差較大。

此公式不適用在低黏度、短管、寬管或流體流速高的條件下。低黏度、高流速或寬管的條件會產生紊流，導致該流體的壓力差較此定律所預測的值為大。因此需要用到像是達西-韋史巴赫方程之類較複雜的模型。若管子太短，泊肅葉定律會計算出不實際的高體積流率。此公式所計算出的流體流率，被限制在較寬鬆條件的伯努利定律結果之內：

$$\Phi_{max} = \pi R^2 \sqrt{2 \Delta P / \rho}$$

## 推導

泊肅葉定律可以由納維－斯托克斯方程推導而來，但若已知管子中的層流，其速度分布呈拋物線：

$$v = - \frac{1}{4 \eta} \frac{\Delta P}{\Delta x} (R^2 - r^2)$$

在相同直徑處的速度也會相同，因此將相同直徑處的流體視為一薄層，流過薄層流體的體積流量等於速度乘以薄層的截面積：

$$\Phi (r)dr = \frac{1}{4 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} (R^2 - r^2) 2 \pi rdr = \frac{\pi}{2 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} (rR^2 - r^3)dr$$

再將上述的量對半徑r積分，即可得到總流量。

$$\Phi = \frac{\pi}{2 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} \int_{0}^{R} (rR^2 - r^3)\, dr = \frac{|\Delta P| \pi R^4}{8 \eta \Delta x}$$

## 和達西-韋史巴赫方程的關係

泊肅葉定律不只是有關壓力損失和流速的公式，也和管子中的層流，其速度分布呈拋物線有關。不過只要推定紊流下的有效紊流黏度，也可以將上述壓力損失的公式延伸到紊流的情形，即使紊流速度分布已不呈拋物線也沒關係。在層流和紊流的情形下，壓力損失都和管壁的應力有關，由管壁應力可以定義所謂的摩擦因數。在水力學的領域中，管壁應力可以用達西-韋史巴赫方程求得，其中摩擦因數表示為和雷諾數和其他物理量的函數。若在層流的情形下：

$$\Lambda = {64\over {\it \mathrm{Re}}} \; , \quad\quad \mathrm{Re} = {2\rho v r\over \eta} \; ,$$

其中

$\Lambda$為摩擦因數

$Re$為雷諾數

$\rho$為流體密度

$v$為平均流體速度，在層流的情形下會是最大流體速度的一半

上述式子用平均流體速度來定義雷諾數，因此其實用性提高。因為在紊流其最大流體速度很難計算。此公式可以近似達西摩擦因數。$\Lambda$是圓型管子下流速很低的層流下的摩擦因數。韋德曼（Wiedman）曾在1856年獨立的進行和此定律型式稍微不同的定律的推導，諾伊曼和哈根巴赫（E. Hagenbach）也曾在1858年推導過型式不完全一様的定律。哈根巴赫是第一個稱此定律為泊肅葉定律的人。

泊肅葉定律在生理學中的血液流變學和血液動力學中非常的重要。

1891年時L. R. Wilberforce以哈根巴赫的研究為基礎，將泊肅葉定律擴展到紊流的領域中。

## 可壓縮流體下的泊肅葉定律

若管中的是可壓縮流體，其體積流率及線速度會延著管子變化。流體一般會以出口處的壓力來表示，當流體壓縮或是膨脹時，流體會作功，溫度可能上昇或是下降，因此流體流率和流體與外界的熱交換有關。若是在等溫過程下的理想氣體，也就是氣體溫度和外界平衡時，而且管子兩端的壓力差很小時，其出口處的體積流率可以表示如下式：

$$\Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4} \left( P_{i}-P_{o} \right)}{8 \eta L} \times \frac{ P_{i}+P_{o}}{2 P_{o}} = \frac{\pi R^{4}}{16 \eta L} \left( \frac{ P_{i}^{2}-P_{o}^{2}}{P_{o}} \right)$$

其中

$P_{i}$為入口壓力

$P_{o}$為出口壓力

$L$為管長

$\eta$為動黏度

$R$為半徑

$V$為出口處的流體體積

$v$為出口處的流體速度

當流體的馬赫數小於0.3時，可以用上式近似實際的體積流率。

上式可以視為是增加一修正係數$\frac{P_{i}+P_{o}}{2} \times \frac{1}{P_{o}}$的泊肅葉定律，修正係數是考慮平均壓力相對於出口壓力的比例。

## 和電路的類比

電子一開始也是當作一種流體來了解，水力類比的概念在了解電子電路上仍十分有用。這種類比方式也用來研究流體機械網路的頻率響應，其中流體機械網路會以液壓迴路來表示。

泊肅葉定律對應電路中的歐姆定律（$V=IR$），其中壓力差$\Delta P$對應電壓$V$，而體積流率$\Phi$對應電流，則以下的物理量對應電阻

$$R = \frac{ 8 \eta \Delta x}{\pi r^4}.$$

一個管子的有效阻力和半徑倒數的四次方成正比，因此管子的半俓減半會使管子的阻力變為原來的16倍。

歐姆定律和泊肅葉定律都是對於輸運現象的描述。