量子操作

量子操作（又稱量子動態映射或量子過程）是對量子系統所能經歷的一系列變換的數學表述。這一概念是由喬治·蘇德爾辛在討論密度矩陣的廣義隨機變換時首度引入。量子操作的表述需要系統採用密度矩陣描述。嚴格而言，量子操作是一個密度算符集到其自身的線性完全正映射。在量子運算領域，量子操作通常稱作量子通道。「量子操作」有時會被一些學者用來描述密度矩陣空間的完全正或非跡增映射，而「量子通道」則特指其中嚴格的保跡映射。量子操作不僅僅涉及孤立系統的么正時間演化及對稱變換，同時還涉及測量效應以及系統與環境間的暫態相互作用。

量子系統所能經歷的一些過程並不能用量子操作描述。原則上，量子系統的密度矩陣可以經過任意的時間演化。量子操作可以通過「量子儀器」這一概念進行推廣。量子儀器可以捕捉測量過程中量子信息外的經典資訊。

## 背景

量子力學的薛丁格繪景可以在一定的前提假設下對於量子系統的時間演化提供充分的描述。這些假設包括：

- 系統是非相對論性的。
- 系統是孤立的。

時間演化的薛丁格繪景有幾種等價的數學表述，其中較為著名的一種為薛丁格方程。它給出了系統狀態對時間的導數，或者更為準確地來說是：

時間經過t個單位對孤立系統S產生的影響通過作用在與S相關的希爾伯特空間H上的么正算符Ut給出。

即如果系統在時刻s處於對應v ∈ H的狀態，那麼經過t個單位的時間後，其狀態為Ut v。對於相對論性系統，儘管沒有全域時標，但特定可逆變換對於量子系統的作用仍是可以描述的。例如，系統狀態在不同參考系間的變換，可以通過么正變換給出。在任意情況下，處於純態的系統經過狀態變化後仍處於純態；相關過程是在理想的框架下描述的，不涉及退相干。

對於開放系統，例如正在進行測量的系統，情況截然不同。首先，這些系統所經歷的狀態變化在描述時不能排除純態集的變換。在這樣的相互作用後，處於純態φ的系統將不再處於原來的純態。一般而言，其會處於純態序列φ1,..., φk的統計混合態，相應狀態的機率為λ1,..., λk。從純態到混合態的過程稱作「退相干」。

目前已經有許多可以處理相互作用中的系統的數學表述。量子操作於1983年由卡爾·克勞斯 (物理學家)提出。他的這項工作是基於蔡文端此前做的數學工作。這一方法可以將測量這樣的操作表述為密度態間的映射。特別地，量子操作的影響僅限制在密度態集內。

## 定義

密度算符是帶有單位跡的希爾伯特空間上的非負算符。數學上，量子操作是希爾伯特空間H與G上跡類算符空間間的線性映射Φ，存在：

- 如果S為密度算符，則Tr(Φ(S)) ≤ 1。
- Φ是完全正的，即對於任意自然數n及任意n行內部元素為跡類算符的非負方陣$\begin{bmatrix} S_{11} & \cdots & S_{1 n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ S_{n 1} & \cdots & S_{n n}\end{bmatrix}$。

存在$\begin{bmatrix} \Phi(S_{11}) & \cdots & \Phi(S_{1 n})\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \Phi(S_{n 1}) & \cdots & \Phi(S_{n n})\end{bmatrix}$也為非負的。

換言之，Φ是完全正的，當對所有n存在$\Phi \otimes I_n$為正。其中$I_n$表示$n \times n$矩陣的C*-代數上的同一映射。

需要注意，在第一個條件下，量子操作不一定能保留統計系綜的歸一性。在機率論中，量子操作可能是個次馬爾可夫鏈。為了使量子操作不會令密度矩陣集發生變化，需要再假定跡守恆。

在量子信息領域，量子操作被定義為不會令跡增加的完全正映射，又稱「量子通道」或「隨機映射」。這裡的表述僅限於量子態間的通道，然而這一概念可以延伸至經典態的通道，從而允許量子信息與經典資訊可以同時處理。

## 克勞斯算符

克勞斯定理給出了表徵量子操作的量子態密度算符間映射的特性：

設H和G分別是n維和m維的希爾伯特空間，而Φ是作用在H上的密度矩陣到作用在G上的密度矩陣的映射，則存在$\{ B_i \}_{1 \leq i \leq nm}$為G到H的映射，令$\Phi(S) = \sum_i B^*_i S B_i.$。相應地，任意這種形式的映射Φ是一種量子操作，令$\sum_i B_i B^*_i \leq 1$。

這裡的矩陣$\{ B_i \}$稱作「克勞斯算符」。斯坦斯普林分解定理可以將上述結果延伸至任意可分希爾伯特空間H和G。此時，S被一個跡類算符取代，而$\{ B_i \}$則被一系列有界算符取代。

### 酉等價性

一般地，一種量子操作Φ並不僅僅確定唯一的克勞斯算符。比如，對於Φ進行的喬列斯基分解不同，得到的克勞斯算符也有所不同。下面的這條定理給出了兩組表徵同一量子操作克勞斯算符的酉等價性：

設Φ不一定保跡是一個有限維希爾伯特空間H上的量子過程，且存在兩組可以表徵該過程的克勞斯矩陣{Bi}i≤ N及{Ci}i≤ N。則存在么正算符 $\; (u_{ij})_{ij}$令：

$$C_i = \sum_{j} u_{ij} B_j . \quad$$

在無窮維情形中，這一結果可以推廣至兩組最小斯坦斯普林表示的關係。由斯坦斯普林定理可以得到，所有的量子操作在給原始系統附加適當的附屬物經由么正演化即可執行。

### 評註

上述結果也可從完全正映射定理導出，由此可以通過一個特定的埃爾米特正密度算符的跡表徵完全正有限維映射。在給定量子通道的所有可能的克勞斯表示中，存在一個正則形式的克勞斯算符集，其中的克勞斯算符互相正交：${\rm Tr} A^{\dagger}_i A_j \sim \delta_{ij}$。這樣的一組正交克勞斯算符的正則集可以通過對相應的上述矩陣進行對角化然後通過本徵矢改造為方陣即可得到。

同時還存在完全正映射定理無窮維情況的代數推廣：通過定義量子通道的一種新的密度算符。這種矩陣可以用來定義相對保真度及量子通道間的互信息。

## 動力學考量

對於一個非相對論性量子系統，其時間演化可以通過Q的自同構單參數群{αt}t描述。這中描述可以簡化至么正變化：在特頂的若技術要求下，存在一個希爾伯特空間上的么正變化的強連續單參數群{Ut}t，令Q中的元素E依下面這個方程演化：

$\alpha_t(E) = U^*_t E U_t.$。

系統的時間演化還可以通過統計態空間的時間演化加以考量。統計態的演化由{βt}t這類算符給出，滿足：

$$\operatorname{Tr}(\beta_t(S) E) = \operatorname{Tr}(S \alpha_{-t}(E)) = \operatorname{Tr}(S U _t E U^*_t )=\operatorname{Tr}( U^*_t S U _t E ).$$

易見，對於每個t，S → U*t S Ut是一個量子操作。此外，這個操作是可逆的。

這個結果可以進行推廣：如果G是Q的連通對稱李群，滿足同樣的弱連續條件，那麼G中任意元素g的群作用有么正算符U給出：

$$g \cdot E = U_g E U_g^*. \quad$$

g → Ug的這一映射稱作G的射影表示。S → U*g S Ug是可逆量子操作。

## 量子測量

量子操作可以用來描述量子測量過程。下面給出的表述描述的是對於可分復希爾伯特空間H上的自共軛射影的測量，即採用投影值測度方法。在一般情形中，測量可以通過正算符值測度採用非正交算符。非正交情形可以用來提高量子儀器的效率。

### 雙態測量

量子系統可以通過一系列的是非問題進行測量。這一組問題可以理解為是從量子邏輯中命題的正交補格Q選取得的。這一補格等價於可分復希爾伯特空間H的自共軛射影空間。

考察處於某態S的系統，為了確定其是否具有某一屬性E。這裡的E是量子是非問題格中的一個元素。這裡的測量指對系統進行一定的處理來確定其是否具有該屬性。在這裡的討論中，對於系統狀態的考察可以通過考慮系統的系綜賦以操作定義。每個測量會產生確定值：0或1。此外對系綜進行測量導致統計態產生可預測變化。統計態的這一變換可以由量子操作給出：

$$S \mapsto E S E + (I - E) S (I - E)$$

這裡的E可以理解為一個投影算符。

### 一般情形

在一般情形中，可觀測量的測量值的可能取值不止於2個。

當可觀測量A具有一個純點譜，那麼其可以以本徵矢為正交基底進行表記。即A可以進行譜分解：

$$A = \sum_\lambda \lambda \operatorname{E}_A(\lambda)$$

其中EA(λ)是一組互相正交的投影。每一個投影都在與測量值λ相關的A的本徵空間上。

可觀測量A的測量值為A的本徵值。對於系統系綜進行的重複測量會得出A的本徵值譜的機率分布。這個分布是離散的，滿足：

$$\operatorname{Pr}(\lambda) = \operatorname{Tr}(S \operatorname{E}_A(\lambda)).$$

對於統計態S的測量由下面這個映射給出：

$$S \mapsto \sum_\lambda \operatorname{E}_A(\lambda) S \operatorname{E}_A(\lambda)\ .$$

即在測量完成後不久，系統統計態是一個與可觀測量測量值λ相關的本徵空間上的經典分布：S是一個混合態。

## 非完全正映射

蘇德爾辛等人後來提出，對於開放量子演化的表述並不一定具有完全正性。他們通過計算得到，當系統與環境在起始時具有一定初始相關性時，對系統所賦以的映射並不一定是正的。然而，這一映射僅在狀態不滿足對於起始相關性做出的假設時才不是正的。他們因而得出為了對量子演化進行充分的理解，非完全正映射也需要納入考察範圍內。