位置空間與動量空間

位置空間與動量空間是物理學中一對聯繫緊密的矢量空間。

位置空間（或稱實空間、坐標空間）是空間中所有物體的位置向量r的集合。這個空間通常是三維的。位置向量定義了空間中的一個點。如果位置向量隨時間會發生變化的話，那麼它就可以描繪出一個路徑或一個面，如粒子的運動軌跡。

動量空間是空間中所有物體的動量向量的集合。這個空間通常也是三維的。一個物體的動量可以反映它的運動情況。無論在經典力學還是在量子力學中，動量都是非常重要的一個概念。然而，依據量子力學的德布羅意關係，p = ħk，一個自由粒子的動量正比于波矢。系統的所有波矢的集合構成波矢空間。在不嚴格區分動量與波矢時，這兩個概念可以混用。但在晶體中，德布羅意關係並不成立。

位置與動量間的對偶性是龐特里亞金對偶性的一個例子。

位矢r的量綱為L，動量p的量綱為MLT−1，波矢k的量綱為L−1，因而類比於角頻率ω之於時間t，k可以視為系統空間上的頻率。一個系統的物理現象既可以用位矢描述，也可以用動量描述。兩種描述方式所提供的系統資訊是等價的。通常利用r描述更為直觀，但在固體物理學中，k更為常用。

## 經典力學中的位置空間與動量空間

### 拉格朗日力學

在拉格朗日力學中，拉格朗日量$\mathcal{L}(\mathbf{q},\ \dot{\mathbf{q}},\ t)\,\!$通常是在位形空間中給出的。其中，$\mathbf{q} = \left( q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \right)\,\!$是一個n元廣義坐標。描述物體運動的拉格朗日方程為：

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} \,,\quad \dot{q}_i \equiv \frac{dq_i}{dt}\,.$$

引入廣義坐標對應的正則動量：

$$p_i = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \,,$$

拉格朗日方程可以化為：

$$\dot{p}_i = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} \,.$$

拉格朗日量還可以在動量空間中給出，$\mathcal{L}'(\mathbf{p},\ \dot{\mathbf{p}},\ t)\,\!$。其中，$\mathbf{p} = \left( p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n} \right)\,\!$是一個n元的廣義動量。通過勒讓德變換改變廣義坐標空間中拉格朗日量的全微分的變量：

$$d\mathcal{L} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}dq_i + \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial t}dt = \sum_{i=1}^n (\dot{p}_i dq_i + p_i d\dot{q}_i ) + \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial t}dt \,,$$

依據微分的乘積法則存在：

$$\dot{p}_i dq_i = d(q_i\dot{p}_i) - q_i d\dot{p}_i$$

$$p_i d\dot{q}_i = d(\dot{q}_i p_i) - \dot{q}_i d p_i$$

將這兩個式子代入可得：

$$d\left[\mathcal{L} - \sum_{i=1}^n(q_i\dot{p}_i + \dot{q}_i p_i)\right] = -\sum_{i=1}^n (\dot{q}_i d p_i + q_i d\dot{p}_i ) + \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial t}dt \,.$$

由此可得$\mathcal{L}'$的全微分為：

$$d\mathcal{L}' = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial p_i}dp_i + \frac{\partial L'}{\partial \dot{p}_i}d\dot{p}_i\right) + \frac{\partial \mathcal{L}' }{\partial t}dt$$

由此可以得到上述各個量之間的關係：

$$\mathcal{L}' = \mathcal{L} - \sum_{i=1}^n(q_i\dot{p}_i + \dot{q}_i p_i)\,,\quad -\dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial p_i}\,,\quad -q_i = \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial \dot{p}_i} \,.$$

綜合後兩個方程，可以得到動量空間中的拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial \dot{p}_i} = \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial p_i} \,.$$

拉格朗日方程的坐標表述以及動量表述中所包含的系統動力學資訊是相同的。當需要考慮到系統的動量以及角動量時，方程的動量表述形式將可以簡化演算過程。

### 哈密頓力學

與拉格朗日力學中必須全部使用坐標或是全部使用動量的情況不同，在哈密頓力學中，哈密頓方程將坐標與動量放在了對等的地位。對於一個哈密頓量為$H\left(\mathbf{q},\mathbf{p},t\right)$的系統，其運動方程為：

$$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \,,\quad \dot{p}_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i} \,.$$

## 量子力學中的位置空間與動量空間

在量子力學中，系統是通過其量子態進行描述的。量子態可以表述為基態依權重的線性疊加。理論上，只要所有基態都是正交的，其就可以用來表述量子態。如果選擇位置算符的本徵矢作為基矢的話，那麼就是在位置表象下表徵一個系統的波函數$\psi\left(\mathbf{r}\right)$。薛丁格方程較為常見的以位矢r表述的形式就是位置表象下表述系統狀態的一個例子。如果選定不同算子的本徵矢作為基矢，那麼對應地，用來描述系統的狀態的表象也將不同。如果選定動量算符的本徵矢作為基矢的話，那麼波函數$\phi\left(\mathbf{k}\right)$也將在動量表象下進行描述。

動量表象下的波函數與傅立葉變換以及頻域這一概念密切相關。由於對於一個自由粒子，其空間頻率與動量成正比。因而，在以動量本徵值之和描述一個系統時，我們也就是在用頻率分量之和來描述一個系統，也就是說，我們對於這個系統進行了傅立葉變換。這一點將在下面進行的表象變換過程中得以體現。

### 位置空間中的函數與算符

假設位置表象下存在一個三維波函數$\psi\left(\mathbf{r}\right)$，其可以表述為正交基矢$\psi_j\left(\mathbf{r}\right)$的權重和：

$$\psi(\mathbf{r})=\sum_j \phi_j \psi_j(\mathbf{r})$$

在連續取值情形時，以積分形式表達則為：

$$\psi(\mathbf{r})=\int_{\mathbf{k}} \phi(\mathbf{k}) \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) {\rm d}^3\mathbf{k}$$

如果我們選定的$\psi_j\left(\mathbf{r}\right)$為動量算符的本徵矢，$\phi(\mathbf{k})$中將保留有重建$\psi\left(\mathbf{r}\right)$的全部資訊，也就是說我們得到了$\psi$的另一種表述形式。

位置表象下，動量算符可以表示為：

$$\mathbf{\hat p} = -i \hbar\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}}$$

其本徵矢為：

$$\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} e^{i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$$

本徵值為ħk。由此可以得到：

$$\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} \int_{\mathbf{k}} \phi(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} {\rm d}^3\mathbf{k}$$

從上面的過程還可以看出，位置表象到動量表象的變換過程實際上是進行了一次傅立葉變換。

### 動量空間中的函數與算符

進行上述過程的逆過程。假設動量表象下的一個三維波函數$\phi(\mathbf{k})$可以表示為正交基矢$\phi_j(\mathbf{k})$的權重和：

$$\phi(\mathbf{k})=\sum_j \psi_j \phi_j(\mathbf{k})$$

積分形式為：

$$\phi(\mathbf{k})=\int_{\mathbf{r}} \psi(\mathbf{r}) \phi_{\mathbf{r}}(\mathbf{k}) {\rm d}^3\mathbf{r}$$

動量表象下，位置算符可以表示為：

$$\mathbf{\hat r} = i \hbar\frac{\partial}{\partial \mathbf p} = i\frac{\partial}{\partial \mathbf{k}}$$

其本徵矢為：

$$\phi_{\mathbf{r}}(\mathbf{k})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} e^{-i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$$

本徵值為r。因而我們可以對於$\phi(\mathbf{k})$進行類似的逆構，逆構過程實際上是反傅立葉變換：

$$\phi(\mathbf{k})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} \int_{\mathbf{r}} \psi(\mathbf{r}) e^{-i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} {\rm d}^3\mathbf{r}$$

### 位置算符與動量算符的酉等價性

當通過傅立葉變換給出一個系統的么正算符時，r與p可以證明是酉等價的，也就是說它們有相同的譜性。用物理語言來說就是，動量算符在動量表象中對于波函數的作用等價於位置算符在位置表象中對于波函數的作用。

## 倒易空間與晶體

晶體中的粒子的波矢k通常與其晶格動量密切相關，而並不與普通動量p成正比。k與p對於系統的作用並不相同。k·p微擾理論中就體現了這一點。晶格動量有一個可以描述波從一個晶胞到另一個晶胞時發生的變化的包絡函數，但這一函數並不能給出晶胞內波的變化情況。

當k與晶格動量有關時，k空間這一概念仍然相當重要，但與上文討論的晶體之外的k空間有所不同。晶體的k空間中有一個無限點集——倒易點陣。其中所有點的k = 0。類似地，k空間中還存在一個體積有限的布里淵區，區域中所有的k值相等。