電報員方程

電報員方程（或電報方程）是描述電力傳輸線上電壓和電流與距離和時間的一組對偶線性微分方程。奧利弗·黑維塞於19世紀80年代提出的傳輸線模型中給出了這組方程。該模型說明電磁波在導線上可以被反射，這種波形會沿著傳輸線出現。該模型對包括高頻（如電報線和射頻導體）、音訊（如電話線）、低頻（如輸電線與配電線）以及直流等各種頻率的傳輸線都適用。

## 無耗傳輸

當參數 R 與 G 很小時，它們的影響就可以忽略，於是傳輸線就看成是一個理想無耗結構。在此情況下，該模型只取決於 L 和 C 參數。電報員方程描述沿傳輸線的電壓 V 與電流 I 之間的關係，這兩個量都是位置 x 與時間 t 的函數：

$$V = V(x,t)$$

$$I = I(x,t)$$

### 方程

方程本身包含一組對偶一階偏微分方程。第一個方程表明感生電壓是與通過電纜電感的電流的時間變化率相關的，而與之類似，第二個方程表明由電纜電容帶來的電流是與電壓的時間變化率有關的。

$$\frac{\partial V}{\partial x} = -L \frac{\partial I}{\partial t}$$

$$\frac{\partial I}{\partial x} = -C \frac{\partial V}{\partial t}$$

下列文獻中電報員方程的形式類似：

Kraus,

Hayt,

Marshall,

Sadiku,

Harrington,

Karakash, 與Metzger。

這組方程可以繼續結合形成兩個波動方程，其中一個是對電壓 V 的，另一個是對電流 I 的：

$$\frac{\partial^2 V}{{\partial t}^2} - u^2 \frac{\partial^2 V}{{\partial x}^2} = 0$$

$$\frac{\partial^2 I}{{\partial t}^2} - u^2 \frac{\partial^2 I}{{\partial x}^2} = 0$$

其中

$$u = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

為波在傳輸線中的傳播速率。

### 正弦穩態

在正弦穩態情況下，電壓和電流的為單音正弦波形式：

$$V(x,t) = \mathrm{Re} \{ V(x) \cdot e^{ j\omega t } \}$$

$I(x,t) = \mathrm{Re} \{ I(x) \cdot e^{ j\omega t } \}$,

其中 $\omega$ 是穩態波的角頻率。在此情況下，電報員方程化簡為

$$\frac{d V}{d x} = -j \omega L I$$

$$\frac{ d I}{d x} = -j \omega C V$$

同樣，波方程化簡為

$$\frac{d^2 V}{d x^2}+ k^2 V = 0$$

$$\frac{d^2 I}{d x^2} + k^2 I= 0$$

其中 k 為波數：

$$k = \omega \sqrt{LC} = { \omega \over u } .$$

這兩個方程每一個都是亥姆霍茲方程在一維的形式。

對於所有由中間為真空的並聯理想導體構成的傳輸線來說，這個速度為光速。

在此情況下，可以證明

$$V(x) = V_1 e^{-jkx} + V_2 e^{+jkx}$$

以及

$$I(x) = { V_1 \over Z_0 } e^{-jkx} - { V_2 \over Z_0 }e^{+jkx}$$

其中 $Z_0$ 為傳輸線的特性阻抗，對於無耗傳輸線為

$$Z_0 = \sqrt { {L \over C}}$$

而 $V_1$ 和 $V_2$ 是積分的兩個任意常量，由兩個邊界條件（傳輸線的兩端各一個）確定。

這個阻抗不會沿傳輸線發生變化，因為 L 和 C 在線上任意點都是常量，只要該傳輸線橫截面的幾何形狀保持不變。

Sadiku與Marshall討論了無損耗傳輸線與無失真傳輸線。

### 通解

電壓的波動方程的通解是正向行波和反向行波的總和：

$$V(x,t) \ = \ f_1(x - ut) + f_2(x + ut)$$

其中

- $f_1$ 與 $f_2$ 可以是任意函數，並且
- $u = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ 是波形的傳播速度（也被稱為相速度）。

f1 表示波從左到右向 x 軸正方向傳播的波f2 表示從右到左傳播的波。可以看出傳輸線上任意一點 x 的瞬時電壓為兩個波的電壓之和。

由於根據電報員方程，電流 I 是與電壓 V 有關的，因此我們可以寫出

$$I(x,t) \ = \ \frac{f_1(x - ut)}{Z_0} - \frac{f_2(x + ut)}{Z_0}$$

## 有耗傳輸線

當損耗元件的 R 與 G 不可忽略時，描述傳輸線基本段（即無窮小的一段）的原始微分方程變為

$$\frac{\partial}{\partial x} V(x,t) = -L \frac{\partial}{\partial t} I(x,t) - R I(x,t)$$

$$\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) = -C \frac{\partial}{\partial t} V(x,t) - G V(x,t)$$

通過把兩個方程對 x 求導，並進行一些代數操作，我們得到一組雙曲型偏微分方程，每個都只有一個未知量：

$$\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} V = L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} V + (R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} V + G R V$$

$$\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I = L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I + (R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} I + G R I$$

注意到這些方程與含有額外項 V 和 I 以及它們的導數的齊次波動方程類似。這些額外項會讓信號隨著時間和距離發生衰減和擴散。如果傳輸線只是輕微有耗的話（R 較小，G = 0），信號強度隨距離衰減 e-αx，其中 α = R/2Z0

## 電報員方程的解作為電路元件

電報員方程的解可以直接加入電路用作元件。上面的電路圖實現了電報員方程的解。

下面的電路圖是由電源變換導出的。也實現了電報員方程。

電報員方程的解可以表示為ABCD型的二埠網絡定義如下

$$V_1 = V_2 \cosh ( \gamma x) + I_2 Z \sinh (\gamma x) \,$$

$$I_1 = V_2 \frac{1}{Z} \sinh (\gamma x) + I_2 \cosh(\gamma x). \,$$

文獻來源中的符號：$E_s, E_L, I_s, I_L, l \,$ 被替換為了前面兩個方程中的：$V_1, V_2, I_1, I_2, x \,$。

ABCD型的二埠給出了 $V_1 \,$ 與 $I_1 \,$ 表示為 $V_2 \,$ 與 $I_2 \,$ 的函數的形式。上面的方程當對 $V_1 \,$ 與 $I_1 \,$ 作為 $V_2 \,$ 與 $I_2 \,$ 的函數求解時，都會得到相同的方程。

## 外部連結

- SPICE Simulation of Transmission Lines