合流超幾何函數

在特殊函數中，合流超幾何函數（confluent hypergeometric function）定義為合流超幾何方程的解。它是高斯超幾何函數的極限情形，相當於超幾何方程中的兩個正則奇點 1 和 ∞ 合流為一個非正則奇點 ∞，因而得名。

根據所選擇的參變量與宗量的不同，合流超幾何函數有多種標準形式，常見的有：

- Kummer 函數（第一類合流超幾何函數）M(a,b,z) 是 Kummer 方程的解。注意有另一個相異且無關的函數也被稱為 Kummer 函數。
- Tricomi 函數（第二類合流超幾何函數）U(a,b,z)是 Kummer 方程的另一個線性無關的解，有時會寫成 Ψ(a,b,z)。
- 惠泰克函數 是惠泰克方程的解，惠泰克方程里的參數與 Kummer 方程的參數所對應的李代數參數相關。

## Kummer 方程

根據廣義超幾何函數的性質，超幾何函數 w(z)=1F1(a;b;z) 滿足的微分方程為：

$z\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a\right)w = z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b-1\right)w$.

展開後就得到 Kummer 方程。

$z\frac{\mathrm d^2w}{\mathrm dz^2} + (b-z)\frac{\mathrm dw}{\mathrm dz} - aw = 0$,

它在正則奇點 0 附近的一個正則解為 Kummer 函數：

$$M(a,b,z)=\,{}_1F_1(a;b;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)^{(n)}}{(b)^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$$

式中 (a)(n) 是升階乘的 Pochhammer 記號。

Kummer 函數是高斯超幾何函數的極限情形：

$${}_1F_1(a;c;z)=\lim_{b\rightarrow\infty}\,{}_2F_1(a,b;c;\tfrac zb)$$

高斯超幾何方程在正則奇點 0 附近的另一個正則解為：

$$z^{1-c} \, _2F_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z)$$

按照相同的極限過程，可知 Kummer 方程的另一個正則解為（這裡的 b 等同於上式的 c）：

$$z^{1-b} \, _1F_1(1+a-b;2-b;z)$$

但是，傳統上並不把這個正則解定義為第二類合流超幾何函數。Tricomi 函數定義為它們的線性組合：

$$U(a,b,z)=\frac{\Gamma(1-b)}{\Gamma(a-b+1)}M(a,b,z)+\frac{\Gamma(b-1)}{\Gamma(a)}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).$$

它與另一個廣義超幾何函數有下列關係：

$$U(a,b,z)=z^{-a}\cdot{}_2F_0(a,a-b+1;;-z^{-1})$$

但此時上面的超幾何函數對應的級數不收斂，需要通過另外的方式來定義（如積分表達式）。更常見的是下面的表述，它將 2F0 對應的超幾何級數視為漸近級數。

$$U(a,b,z)\approx z^{-a}\cdot{}_2F_0(a,a-b+1;;-z^{-1}),\quad z\rightarrow\infty, |\arg z|<\frac{3\pi}2$$

Kummer 函數是整函數，而 Tricomi 函數一般有奇點 0。

### 可轉化為 Kummer 方程的二階線性常微分方程

大部分係數為自變量 z 的一次函數的二階線性常微分方程都可以通過變量代換轉換成 Kummer 方程。對方程

$$(A+Bz)\frac{d^2w}{dz^2} + (C+Dz)\frac{dw}{dz} +(E+Fz)w = 0$$

先將 A+Bz 用一個新的 z 代換，就可以將二階項前面的係數化為 Kummer 方程的形式：

$$z\frac{d^2w}{dz^2} + (C+Dz)\frac{dw}{dz} +(E+Fz)w = 0$$

這裡的 C,D,E,F 是作代換後得到的新的值。然後將 z 用 (D2-4F)-1/2z 代換，並將整個式子乘以相同的常數，得到：

$$z\frac{d^2w}{dz^2}+\left(C+\frac{D}{\sqrt{D^2-4F}}z\right)\frac{dw}{dz}+\left(\frac{E}{\sqrt{D^2-4F}}+\frac{F}{D^2-4F}z\right)w=0$$

它的解為。

$$w(z)=\exp[-(1+\tfrac D{\sqrt{D^2-4F}})\tfrac z2]f(z),\quad f(z)=k_1M(a,C,z)+k_2U(a,C,z),\quad a=(1+\tfrac D{\sqrt{D^2-4F}})\tfrac C2-\tfrac E{\sqrt{D^2-4F}}, k_1,k_2\in\mathbb C$$

### 李代數參數與惠泰克方程

Kummer 方程的李代數參數定義為

$$\alpha=b-1, \theta=2a-b,$$

其中第一個李代數參數是 z=0 處兩個正則解的指標之差。而第二個李代數參數對於 z=0 處的兩個正則解給出相同的值。這時 z=0 處的兩個正則解可以表示為

$$F_{\alpha,\theta}(z) \text{ and } z^{-\alpha}F_{-\alpha,\theta}(z)$$

惠泰克方程的形式為：

$$\frac{\mathrm d^2w}{\mathrm dz^2}+\left(-\frac{1}{4}+\frac{\kappa}{z}+\frac{1/4-\mu^2}{z^2}\right)w=0.$$

它的兩個線性無關的解為惠泰克函數，與第一類、第二類合流超幾何函數有下列關係：

$$M_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}M\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)$$

$$W_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}U\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)$$

注意到

$$M_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}F_{2\mu,-2\kappa}(z)$$

故惠泰克方程中的參數實際上與 Kummer 方程對應的李代數參數等價，兩者之間只差一個常數倍。

## 積分表示

合流超幾何函數的很多性質可以通過高斯超幾何函數得到，高斯超幾何函數的積分表示為：

$$\Beta(a,c-a)\,{}_2F_1(a,b;c;\tfrac zb)=\int_1^\infty t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-\tfrac zb)^{-b}\mathrm dt =\int_1^\infty t^{-c}(t-1)^{c-a-1}(1-\tfrac z{bt})^{-b}\mathrm dt, \Re(c)>\Re(a)>0, |\arg(1-\tfrac zb)|<\pi$$

式中的 Β 是beta函數。

兩邊取極限後就得到（第一類）合流超幾何函數的積分表示：

$$\Beta(a,c-a)\,{}_1F_1(a;c;z)=\int_1^\infty t^{-c}(t-1)^{c-a-1}e^{\tfrac zt}\mathrm dt, \Re(c)>\Re(a)>0$$

第二類合流超幾何函數的積分表示為：

$$\Gamma(a)U(a,b,z) = \int_0^\infty e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt, \quad \Re(a)>0$$

## 變換公式

高斯超幾何函數的 Pfaff 變換公式為：

$${}_2F_1(a,b;c;\tfrac zb) =(1-\tfrac zb)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \tfrac 1b\tfrac{bz}{z-b}),\quad |\arg(1-\tfrac zb)|<\pi$$

兩邊取極限得到（第一類）合流超幾何函數的 Kummer 變換公式：

$${}_1F_1(a;c;z) = e^z\, {}_1F_1(c-a;c;-z)$$

第二類合流超幾何函數的 Kummer 變換公式為：

$U(a,b,z)=z^{1-b} U\left(1+a-b,2-b,z\right)$.

## 特殊情形

很多特殊函數都是合流超幾何函數的特殊情形。

### 柱函數

第一類、第二類虛宗量貝塞爾函數可以分別表示為：

$$I_\nu(z)=\frac{z^\nu}{2^\nu e^z\Gamma(\nu+1)}M(\nu+\frac12,2\nu+1,z)$$

$$K_\nu(z)=\sqrt{\pi}(2z)^\nu e^{-z}U(\nu+\frac12,2\nu+1,z)$$

### Γ, 誤差函數

不完全伽瑪函數可以表示為：

$$\gamma(a,z)=\frac{z^a}aM(a,a+1,-z),\quad a\notin\mathbb Z_0^-$$

$$\Gamma(a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)$$

誤差函數可以表示為：

$$\operatorname{erf}(z)=\frac{2z}{\sqrt\pi}M(\frac12,\frac32,-z^2)$$

### 正交多項式及相關函數

拉蓋爾函數可以表示為：

$$L_n^{(\alpha)}(z)= {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,z),\quad \alpha\notin\mathbb Z^-$$

其中的二項式係數用貝塔函數來定義。

（物理學上的）厄米多項式可以表示為：

$$H_n(z)=2^nU(-\frac n2,\frac 12,z^2),\quad n\in\mathbb Z_0^+,\Re(z)>0$$

## 外部連結

- Wolfram 函數大全上的 Kummer 超幾何函數
- Wolfram 函數大全上的 Tricomi 超幾何函數