立方體堆砌

立方體堆砌（Cubic Honeycomb）是三維空間內唯一的正密鋪，也是28個半正密鋪之一，由立方體堆砌而成，其縮寫為chon。它亦可被看作是四維空間中由無窮多個立方體胞組成的二胞角為180°的四維正無窮胞體，因此在許多情況下它被算作是四維的多胞體。

立方形家族裡的多胞形二胞角總是90°，因此總能獨自完成超平面密鋪，這些密鋪又構成了另一家族「立方形堆砌」，具有${\tilde{C}}_n$對稱性，有施萊夫利符號形式4,3,……,3,4。

## 性質

立方體堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。

### 頂點坐標

(i, j, k)

對所有的i,j,k皆為立方體邊長的整數倍

因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

由於立方體堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方體堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而i,j,k值則為相鄰立方體幾何中心距離的整數倍。

## 正交投影

對稱性｜p6m (、632)｜p4m (、442)｜pmm (、2222)

實體圖

框線圖

## 相關堆砌

立方體堆砌是平面正方形鑲嵌{4,4}在三維空間的類比，他們的形式皆為{4,3,...,3,4}，為立方形堆砌家族的一部份，在這個系列的鑲嵌都是自身對偶。他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。

## 自然界中的立方體堆砌

作為少有的三維半正堆砌，自然界中許多晶體都具有類似立方體堆砌的晶體結構，在固體物理學中被稱為「立方晶系」，許多固體化合物，如氯化鈉、硫化鋅、氯化亞銅、螢石、三氧化錸和金屬單質，如鋁、釩、鋰等，都具有這種晶系的結構。

### 簡單立方晶格

簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：

晶系｜單斜三斜｜正交｜四方｜三方｜立方

胞單位晶格｜平行六面體｜長方體｜三方偏方面體｜正方體

點群階旋轉對稱群｜, (、)Order 2 +, (1)｜2,2, (、222)Order 82,2+, (222)｜4,2, (、422)Order 164,2+, (422)｜3, (、33)Order 63+, (33)｜4,3, (、432)Order 484,3+, (432)

圖示

空間群旋轉對稱群｜Pm (6)P1 (1)｜Pmmm (47)P222 (16)｜P4/mmm (123)P422 (89)｜R3m (160)R3 (146)｜Pm3m (221)P432 (207)

考克斯特式｜∞a×∞b×∞c｜4,4a×∞c｜4,3,4a

考克斯特符號｜node_1｜node_1｜node_1

## 表面著色

作為立方形堆砌家族其中一員，立方體堆砌有${\tilde{C}}_4$對稱性，有施萊夫利符號{4,3,4}，考克斯特符號node_1，除此之外，作為一個空間堆砌，它有Pm3m空間平移對稱性。

而然，立方體堆砌亦可以被看作是許多具有不同對稱性的半正堆砌，它們所對應的對稱性、施萊夫利符號、考克斯特符號見下表：

名稱｜考克斯特標記空間群｜考克斯特—迪肯符號｜施萊夫利符號｜有限部分圖像｜顏色組合（字母表示）

立方體堆砌｜4,3,4Pm3m｜node_1｜{4,3,4}｜1: aaaa/aaaa

三次截半半立方體堆砌｜4,31,1Fm3m｜node_1｜{4,31,1}｜2: abba/baab

截面立方體堆砌｜4,3,4Pm3m｜node_1｜t0,3{4,3,4}｜4: abbc/bccd

`[[`4,3,4Pm3m (229)｜branch｜t0,3{4,3,4}｜4: abbb/bbba

正四稜柱堆砌｜4,3,4,2,∞｜node_1｜{4,4}×t{∞}｜2: aaaa/bbbb

截棱正四稜柱堆砌｜4,3,4,2,∞｜node｜t1{4,4}×{∞}｜2: abba/abba

無窮次無窮次無窮邊形｜∞,2,∞,2,∞｜node_1｜t{∞}×t{∞}×{∞}｜4: abcd/abcd

無窮次無窮次無窮邊形｜∞,2,∞,2,∞｜node_1｜t{∞}×t{∞}×t{∞}｜8: abcd/efgh

## 相關多面體和鑲嵌

立方體堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方體堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方體堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為{4,3,5}。

空間｜S3｜E3｜Hyperbolic space

來源｜有限｜仿射｜緊湊｜仿緊｜非緊

施式｜{3,3,4}node_1node_1｜{4,3,4}node_1node_1labelinfin｜四階十二面體堆砌node_1node_1｜四階正六邊形鑲嵌蜂巢體node_1node_1node｜{7,3,4}node_1node_1｜{8,3,4}node_1node_1｜... {∞,3,4}node_1node_1

圖像

胞｜{3,3}node_1｜{4,3}node_1｜{5,3}node_1｜{6,3}node_1｜{7,3}node_1｜`{`8,3`}`node_1｜`{`∞,3`}`node_1

考克斯特群4,3,4、node產生15個排列均勻的鑲嵌中，9個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方體堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

空間群｜纖維流形｜擴展對稱群｜擴展標記｜階｜蜂巢體（堆砌）

Pm3m(221)｜4−:2｜4,3,4｜node_c1｜×1｜node_1 1, node 2, node_1 3, node_1 4,node_1 5, node_1 6

Fm3m(225)｜2−:2｜1+,4,3,4↔ 4,31,1｜node_h1↔ nodes_10ru｜Half｜node_h1 7, node_h1 11, node_h1 12, node_h1 13

I43m(217)｜4o:2｜`[[`(4,3,4,2+)｜branch｜Half × 2｜branch (7),

Fd3m(227)｜2+:2｜`[[`1+,4,3,4,1+↔ `[[`34｜branch↔ branch_11｜Quarter × 2｜branch 10,

Im3m(229)｜8o:2｜`[[`4,3,4｜branch_c2｜×2｜branch (1), branch_11 8, branch_11 9

考克斯特群4,31,1, node, 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中，其中4個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方體堆砌。

空間群｜纖維流形｜擴展對稱群｜擴展標記｜階｜蜂巢體（堆砌）

Fm3m(225)｜2−:2｜4,31,1↔ 4,3,4,1+｜node_c1↔ node_c1｜×1｜node 1, node_1 2, node 3, node_1 4

Fm3m(225)｜2−:2｜↔｜node_h1↔ node_1｜×2｜node_h1 (1), node_h1 (3)

Pm3m(221)｜4−:2｜node_c3｜×2｜node_1 5, node 6, node_1 7, node (6), node_1 9, node 10, node_1 11

立方體堆砌是${\tilde{A}}_3$考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性：

空間群｜纖維流形｜方形對稱群｜擴展對稱群｜擴展標記｜擴展階｜蜂巢體（堆砌）

F43m(216)｜1o:2｜a1｜34｜node｜×1｜(None)

Fd3m(227)｜2+:2｜p2｜`[[`34｜branch_11↔ node_h1｜×2｜branch_11 3

Fm3m(225)｜2−:2｜d2｜↔ 4,3,31,1｜node_c3↔ node｜×2｜node 1,node_1 2

Pm3m(221)｜4−:2｜d4｜234↔ 4,3,4｜node_c1↔ node｜×4｜node 4

Im3m(229)｜8o:2｜r8｜434↔ 4,3,4｜branch_c1↔ branch_c1｜×8｜branch_11 5, branch_hh (、)

## 參考

- H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover參與編輯, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
- George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11個凸半正鑲嵌、28個凸半正堆砌、和143個凸半正四維砌的全表）
- Branko Grünbaum, 三維正鑲嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication參與編輯, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (22頁) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10 (1.9 半正空間鑲嵌)
- A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
- flat.htm
- Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon

## 基本資料

- 名稱：立方體堆砌、立方蜂巢體
- 類型：正堆砌
- 家族：立方形堆砌
- 參考索引：J11,15, A1、W1, G22
- Index_references_ref：For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
- 維度：3
- 胞：{4,3} 、棱處相交胞：4×{4,3}、頂點處相交胞：8×{4,3}
- 面：{4} 、棱處相交面：4×{4}、頂點處相交面：12×{4}
- 邊：∞、頂點處相交棱：6
- 頂點圖：、（正八面體）
- 歐拉示性數：0
- 類比：正方形鑲嵌
- 對稱群：${\tilde{C}}_4$
- 空間群：Pm3m
- 纖維流形記號：4−:2
- Coxeter_notation：4,3,4
- 考克斯特群：${\tilde{C}}_3$, 4,3,4
- 屬性：頂點正