函數極限

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儘管函數$\frac{\sin x}{x}$的定義域中不包括「0」，但當$x$無限接近於零時，$\frac{\sin x}{x}$就無限接近於 1，換句話說，$x$接近於零時，$\frac{\sin x}{x}$的極限是 1。

在數學中，函數極限（Limit of a function）是微積分的一個基本概念。它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵。函數 $f$ 於 $a$ 的極限為 $L$，直觀上意為當 $x$ 無限接近 $a$ 時，$f(x)$ 便無限接近 $L$。

## 正式定義

### 動機

如果取 $\delta$ 為＂ $x$ 與 $a$ 差距的上限＂；類似地，取 $\epsilon$ 為＂ $f(x)$ 與 $L$ 差距的上限＂，那根據直觀，可以將函數極限定義為：

若對所有的 $\delta >0$，存在 $0 < \epsilon \leq \delta$，使得對所有的 $x \in D_f$，只要 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 就有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$

其中 $\epsilon \leq \delta$ 是要確保 $\delta$ 越來越小時， $\epsilon$ 也會越來越小； $0<\left|x-a\right|<\delta$ 是為了凸顯 $x$ 是逼近而非等於 $a$，但對應的 $f(x)$ 是可以等於 $L$ 的。

但對於實函數 $f(x) = x^2$ 逼近 $a = 0$ 時，考慮到 $\delta \geq 1$ 的部分；在 ${\left|x-0\right|}^2<\delta^2$ 下是沒有這樣的 $\epsilon$ 使得 $0 < \epsilon \leq \delta$ 且 $\left|x^2-0\right|<\epsilon$ 的，但數值上 $f(x) = x^2$ 的確在 $a = 0$ 時很靠近 $0$，也就是 $\epsilon \leq \delta$ 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以 $x$ 的變化去限制 $f(x)$ 的變化通常是很困難的，但如果反過來從 $\epsilon$ 出發，去找怎樣的 $x$ 會讓 $f(x)$ 與 $L$ 的差距小於 $\epsilon$，也就是從＂若對所有的 $\epsilon >0$ 存在 $\delta >0$ ＂出發的話，顯然上面 $f(x) = x^2$的例子只要取 $\delta = \sqrt{\epsilon}$ 即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取 $\epsilon$ 和 $\delta$ 的最小值為 $x$ 與 $a$ 差距的上限，還是會有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$，這樣就可以用 $\epsilon$ 控制 $x$ 的變化，而滿足＂ $x$ 趨近於 $a$ 時 $f(x)$ 趨近於 $L$ ＂的直觀想法。

但實際上無法確保對所有 $\delta >0$，都有 $x \in D_f$ 使得 $0<\left|x-a\right|<\delta$，所以定義函數極限之前必須要求 $a$ 為 $D_f$ 的極限點。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 $r >0$ 使得 $f(x)$ 在 $0<\left|x-a\right|<r$ 都有定義，也就是存在 $a$ 的去心鄰域使 $f(x)$ 都有定義，這樣的話 $a$ 會自動成為 $D_f$ 的極限點。

### 自變量趨於有限值時函數的極限

$f$ 為實函數， $a\in\mathbb{R}$ 為 $D_f$ 的極限點且 $L\in\mathbb{R}$，若＂對所有的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$，使得對所有的 $x \in D_f$ 只要 $0<\left|x-a\right|<\delta$ 就有 $\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的邏輯符號表述為$$(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f) [\, (\, 0 < \left| x - a \right| < \delta \,) \Rightarrow (\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,) \,]$$ 則以 $\lim_{x\to a}f(x)= L$ 表示，稱 $L$ 為實函數 $f$ 於 $a$ 的極限。

### 自變量趨於無窮大時函數的極限

由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域 $D_f$ 的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的 $\delta >0$ 存在 $x \in D_f$ 使得 $x > \delta$ ＂。也就是直觀上可以用定義域 $D_f$ 裡的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下，$L\in\mathbb{R}$，且若＂對所有 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得對所有的 $x \in D_f$ 只要 $x > \delta$ 時，有$\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的邏輯符號表述為$$(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in D_f) [\, (\, x > \delta \,) \Rightarrow (\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,) \,]$$ 則稱 $L$ 為實函數 $f$ 於正無窮大（$\infty$）的極限，記作 $\lim_{x\to \infty}f(x)= L$

類似的，若假設＂對所有的 $\delta < 0$ 存在 $x \in D_f$ 使得 $x < \delta$ ＂，那在這種條件下，$L\in\mathbb{R}$，且若＂對所有 $\epsilon >0$，存在 $\delta < 0$，使得對所有的 $x \in D_f$ 只要 $x < \delta$ 時，有$\left|f(x)-L\right|<\epsilon$ ＂，或以正式的邏輯符號表述為$$(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta < 0)(\forall x \in D_f) [\, (\, x < \delta \,) \Rightarrow (\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,) \,]$$ 則稱 $L$ 為實函數 $f$ 於負無窮大（$-\infty$）的極限，記作$\lim_{x\to -\infty}f(x)= L$

## 制限極限

直觀上來講，從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限，為了把這個概念推廣，需要函數限制的極限（也就是縮小定義域後的極限）：

定理

若 $A\cup B = D_f$ 且 $a$ 同時為 $A$ 和 $B$ 的極限點，則

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

等價於

$\lim_{x \to a} f|_A(x) = L$ 且 $\lim_{x \to a} f|_B(x) = L$上述定理的證明只須注意到 $a$ 也必為 $D_f$ 的極限點，然後把函數極限的定義展開，考慮到 $A\cup B = D_f$，還有對 $x \in A$ 取 $\delta_A$ 的和 $x \in B$ 取的 $\delta_B$，那只要取 $\delta$ 為 $\delta_A$ 和 $\delta_B$ 的最小值，對所有 $x \in D_f$ 就有 $(\, 0 < \left| x - a \right| < \delta \,) \Rightarrow (\, \left| f(x) - L \right| < \epsilon \,)$；反過來由原函數 $f$ 推出 $f|_A$ 和 $f|_B$ 的狀況是非常顯然的。

### 左右極限

若取

$$A = \big\{ x \in D_f \,|\, x \geq a \big\}$$

$$B = \big\{ x \in D_f \,|\, x \leq a \big\}$$

如果假設 $a$ 同時為 $A$ 和 $B$ 的極限點，那 $A$ 和 $B$ 顯然符合上面定理的要求的，而這時

$$\lim_{x\to a}f|_A(x)=L$$

這個表達式會被別稱為＂ $L$ 是實函數 $f$ 於 $a$ 的右極限＂，也可以用 $\lim_{x\to a^+}f(x)=L$ 表示。

類似的

$$\lim_{x\to a}f|_B(x)=L$$

這個表達式會被別稱為＂ $L$ 是實函數 $f$ 於 $a$ 的左極限＂，也可以用 $\lim_{x\to a^-}f(x)=L$ 表示。

## 常用公式

### 有理函數

以下公式中，$n>0, a>1$。

- $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$$
- $$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{a^x} = 0$$
- $$\lim_{x \to 0^{+}}{1\over x} = +\infty$$
- $$\lim_{x \to 0^{-}}{1\over x} = -\infty.$$

### 無理函數

- $$\lim_{x \to \infty}\sqrt[x]{x} = 1$$
- $$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$$

### 三角函數

- $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x} {x} = 1$$
- $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x} {x} = 0$$

### 指數函數

- $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$$
- $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1$$
- $$\lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1$$

### 對數函數

- $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$
- $$\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty$$
- $$\lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty$$