本構方程

本構方程（constitutive equation）是描述介質或場的兩個或多個物理量性質的方程，常涉及與運動學量相關的動理學量；此類反映介質或場特定性質的關係與數學模型，稱為本構關係（constitutive relation），其近似地描述了物理量對外部刺激（通常為施加的場或力）的響應。在字面上，「本」是物理量的本質屬性，「構」是對於物理量受刺激產生響應的構建。

在電磁學的宏觀馬克士威方程組應用中，必須分別找到$\mathbf{D}$場與$\mathbf{E}$場之間，和$\mathbf{H}$場與$\mathbf{B}$場之間的關係。這些稱為本構關係的物理性質，設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於，一個物質響應外場作用而產生的電極化或磁化。

本構關係式的基礎建立於$\mathbf{D}$場與$\mathbf{H}$場的定義式：

$\mathbf{D}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)$。

$\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t)$。

其中，$\mathbf{P}$是電極化強度，$\mathbf{M}$是磁化強度。

本構關係式的一般形式為

$\mathbf{D}=\mathbf{D}(\mathbf{E}, \mathbf{B})$。

$\mathbf{H}=\mathbf{H}(\mathbf{E}, \mathbf{B})$。

在解釋怎樣計算電極化強度與磁化強度之前，最好先檢視一些特別案例。

## 自由空間案例

假設，在自由空間（即理想真空）裏，就不用考慮介電質和磁化物質，本構關係式變得很簡單：

$\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E}$。

$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0$。

將這些本構關係式代入宏觀馬克士威方程組，則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在自由空間裏，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流。

## 線性物質案例

對於線性、各向同性物質，本構關係式也很直接：

$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$。

$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu$。

其中，$\varepsilon$是物質的電容率，$\mu$是物質的磁導率。

將這些本構關係式代入宏觀馬克士威方程組，可以得到方程組

名稱｜微分形式｜積分形式

高斯定律｜$\nabla \cdot(\varepsilon \mathbf{E}) =\rho_f$｜$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset(\varepsilon \mathbf{E})\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = Q_f$

高斯磁定律｜$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$｜$\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\mathbf B\cdot\mathrm{d}\mathbf{s} = 0$

馬克士威-法拉第方程(法拉第電磁感應定律)｜$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$｜$\oint_{\mathbb{L}}\ \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \frac {\mathrm{d} \Phi_{\mathbf{B}}}{\mathrm{d} t}$

安培定律(含馬克士威加法)｜$\nabla \times (\mathbf{B}/\mu) = \mathbf{J}_f + \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ $｜$\oint_{\mathbb{L}}\ (\mathbf{B}/\mu) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= I_f + \frac {\mathrm{d} \Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}}{\mathrm{d} t}$

除非這物質是均勻物質，不能從微分式或積分式內提出電容率和磁導率。通量$\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}$的方程式為

$\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}=\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\varepsilon\mathbf{E} \cdot\mathrm{d}\mathbf{s}$。

這方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，自由空間的電容率和磁導率分別被物質的電容率和磁導率替代；還有，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在均勻物質內部，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流，雖然由於不連續性，可能在表面會有面束縛電荷、面束縛電流或面極化電流。

## 一般案例

對於實際物質，本構關係並不是簡單的線性關係，而是只能近似為簡單的線性關係。從$\mathbf{D}$場與$\mathbf{H}$場的定義式開始，要找到本構關係式，必需先知道電極化強度和磁化強度是怎樣從電場和磁場產生的。這可能是由實驗得到（建立於直接測量），或由推論得到（建立於統計力學、傳輸力學（transport phenomena）或其它凝聚態物理學的理論）。所涉及的細節可能是宏觀或微觀的。這都要視問題的層級而定。

雖然如此，本構關係式通常仍舊可以寫為

$\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}$。

$\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu$。

不同的是，$\varepsilon$和$\mu$不再是簡單常數，而是函數。例如。

- 色散或吸收：$\varepsilon$和$\mu$是頻率的函數。因果論不允許物質具有非色散性，例如，克拉莫-克若尼關係式。場與場之間的相位可能不同相，這導致$\varepsilon$和$\mu$為複值，也導致電磁波被物質吸收。
- 非線性：$\varepsilon$和$\mu$都是電場與磁場的函數。例如，克爾效應和波克斯效應（Pockels effect）。
- 各向異性：例如，雙折射或二向色性（dichroism）。$\varepsilon$和$\mu$都是二階張量：

$D_i = \sum_j \epsilon_{ij} E_j$。

$B_i = \sum_j \mu_{ij} H_j$。

- 雙耦合各向同性（Bi-isotropy）或雙耦合各向異性（Bi-anisotropy）：在雙耦合各向同性物質裏，$\mathbf{D}$場與$\mathbf{H}$場分別各向同性地耦合於$\mathbf{E}$場與$\mathbf{B}$場：

$\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}+\xi \mathbf{H}$。

$\mathbf{B}= \mu \mathbf{H} + \zeta \mathbf{E}$。

其中，$\xi$與$\zeta$是耦合常數，每一種介質的內稟常數。

在雙耦合各向異性物質裏，$\mathbf{D}$場與$\mathbf{H}$場分別各向異性地耦合於$\mathbf{E}$場與$\mathbf{B}$場，係數$\epsilon$、$\mu$、$\xi$、$\zeta$都是張量。

- 在不同位置和時間，$\mathbf{P}$場與$\mathbf{M}$場分別跟$\mathbf{E}$場、$\mathbf{B}$場有關：這可能是因為「空間不勻性」。例如，一個磁鐵的域結構、異質結構或液晶，或最常出現的狀況是多種材料占有不同空間區域。這也可能是因為隨時間而改變的物質或磁滯現象。對於這種狀況，$\mathbf{P}$場與$\mathbf{M}$場計算為

$\mathbf{P}(\mathbf{r}, t) = \varepsilon_0 \int d^3 \mathbf{r}' d t'\; \chi_{\mathrm{e}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{E})\, \mathbf{E}(\mathbf{r}', t')$。

$\mathbf{M}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \int d^3 \mathbf{r}' d t' \; \chi_{\mathrm{m}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B})\, \mathbf{B}(\mathbf{r}', t')$。

其中，$\chi_{\mathrm{e}}$是電極化率，$\chi_{\mathrm{m}}$是磁化率。

實際而言，在某些特別狀況，一些物質性質給出的影響微乎其微，這允許物理學者的忽略。例如，在低場強度狀況，光學非線性性質可以被忽略；當頻率局限於狹窄頻寬內時，色散不重要；對於能夠穿透物質的波長，物質吸收可以被忽略；對於微波或更長波長的電磁波，有限電導率的金屬時常近似為具有無窮大電導率的完美金屬（perfect metal），形成電磁場穿透的趨膚深度為零的硬障礙。

隨著材料科學的進步，材料專家可以設計出具有特定的電容率或磁導率的新材料，像光子晶體。

## 本構關係的演算

通常而言，感受到局域場施加的勞侖茲力，介質的分子會有所響應，從相關的理論計算，可以得到這介質的本構關係式。除了勞侖茲力以外，可能還需要給出其它作用力的理論模型，像涉及晶體內部晶格振動的鍵作用力，將這些作用力納入考量，一併計算。

在介質內部任意分子的位置$\mathbf{r}$，其鄰近分子會被電極化和磁化，從而造成其局域場會與外場或宏觀場不同。更詳盡細節，請參閱克勞修斯-莫索提方程式。真實介質不是連續性物質，其局域場在原子尺度的變化相當劇烈，必需經過空間平均，才能形成連續近似。

這連續近似問題時常需要某種量子力學分析，像應用於凝聚態物理學的量子場論。請參閱密度泛函理論和格林-庫波關係式（Green–Kubo relations）等等案例。物理學者研究出許多近似傳輸方程式，例如，波茲曼傳輸方程式（Boltzmann transport equation）、佛克耳-普朗克方程式（Fokker–Planck equation）和納維-斯托克斯方程式。這些方程式已經廣泛地應用於流體動力學、磁流體力學、超導現象、等離子模型（plasma modeling）等等學術領域。一整套處理這些艱難問題的物理工具已被成功地發展出來。另外，從處理像礫岩（conglomerate）或疊層材料（laminate）一類物質的傳統方法演變出來的「均質化方法」，是建立於以「均質有效介質」來近似「非均質介質」的方法。當激發波長超大於非均質性的尺度時，這方法正確無誤。

理論得到的答案必須符合實驗測量的數據。許多真實物質的連續近似性質，是靠著實驗測量而得到的。例如，應用橢圓偏振技術得到的薄膜的介電性質。