位力定理

位力定理（Virial theorem，又稱維里定理、均功定理）是力學中描述穩定的多自由度孤立體系的總動能和總勢能時間平均之間的數學關係。考慮一個有N個質點的體系，其數學表達式爲：

$$\langle T \rangle = - \frac 1 2 \sum_{k=1}^N \langle \boldsymbol F_k \cdot \boldsymbol r_k \rangle$$

其中：角括號表示對時間取平均，$T$是系統內部的總動能，$\boldsymbol F_k$是第k個質點所受的力，$\boldsymbol r_k$是第k個質點的位置向量；等式右邊稱作均位力積（virial，簡稱位力），反映體系內相互作用強度。英語virial一詞由德國物理學家魯道夫·克勞修斯於1870年根據拉丁語單詞vīs（意爲力、能量）命名。

特別地，若系統內任何粒子兩兩之間的力來自與粒子間距離$r$的$n$次冪成正比的勢能$V(r) = \alpha r^n$（其中$\alpha ,n$為常數），則定理簡化為：

$$2 \langle T \rangle = n \langle V_\text{Total} \rangle$$

即：體系的總動能2倍等於總勢能的n倍。對於引力勢能，這裏的$n = -1$。

位力定理的一個意義在於，它允許計算平均總動能，即便是對於那些無法精確解的非常複雜的系統，例如在統計力學中考慮的那些；根據能量均分定理，該平均總動能與系統溫度有關。然而，維里定理不依賴於溫度的概念，甚至適用於不處於熱平衡的系統。維里定理已以各種方式推廣，特別是張量形式。

## 命題推導

### 簡單例子

考慮1=N = 2個質量相同的質點構成的孤立體系，它們受萬有引力相互作用。假設兩個質點分別以v1(t)和1=v2(t) = −v1(t)的速度（大小均為v，方向相反）圍繞共同質心做勻速圓周運動，半徑為r，兩者分別受到作用力F1(t)和1=F2(t) = −F1(t)（大小均爲F，方向相反）。則體系的時間平均縂動能為：

$$\langle T \rangle = \sum_{k=1}^N \frac12 m_k \left|\mathbf{v}_k \right|^2 = \frac12 m|\mathbf{v}_1|^2 + \frac12 m|\mathbf{v}_2|^2 = mv^2$$

以共同質心為原點，兩者的位置向量分別爲r1(t)及1=r2(t) = −r1(t)（大小均爲常數r）。引力方向朝向原點，與位置向量方向相反，故。又，向心力大小等於萬有引力大小：1=F = mv2/r。代入得：

$$-\frac12 \sum_{k=1}^N \bigl\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \bigr\rangle = -\frac12(-Fr - Fr) = Fr = \frac{mv^2}{r} \cdot r = mv^2 = \langle T \rangle$$

### 一般推導

預先知識

對於 Virial theorem 的推導, 將需要用到齊次函數的如下性質,

既當 $f(\vec{x})$ 為 $k$ 次 齊次函數時, 有:

$$\frac{d f(\alpha \vec{x})}{d(\alpha \vec{x})} \cdot \vec{x} = \frac{\partial}{\partial{\alpha}}[f(\alpha \vec{x})] = \frac{\partial[\alpha^k f(\vec{x})]}{\partial \alpha} = k \alpha^{k-1} f(\vec{x})$$

對於$a=1$時有:

$$\vec{x} \vec{ \nabla}f(\vec{x} )= k f(\vec{x})$$

具體推導

注意到動能$T$是一個關於速度$\vec{v}$的2次齊次函數:

$\vec{v}\cdot \frac{\partial T}{\partial \vec{v}} = 2T$ , 同時有 $\frac{\partial{T}}{\partial\vec{v}} = \vec{p}$, 從而得到

$$\ 2 T = \vec{v} \cdot \vec{p} = \frac{d}{d t}(\vec{p} \cdot \vec{x}) - \dot{\vec{p}} \cdot \vec{x}$$

計算上式對於時間$\Delta t$的平均:

$$<2T>_{\Delta t} = \frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{\Delta t}(...)\text{( 等 式 右 邊 )}\ dt$$

我們關注$\Delta t \rightarrow \infty$ 的情況, 假設系統的運動是有限的 ($(\vec{p} \cdot \vec{x})$不會有$\infty$出現的情況), 此時等式右邊的前半部分將趨近於$0$:

$$lim_{\Delta t \rightarrow \infty} \frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{\Delta t}\frac{d}{dt}(\vec{p} \cdot \vec{x})dt = lim_{\Delta t \rightarrow \infty} \frac{(\vec{p}\cdot \vec{x})|_{(\Delta t)} - (\vec{p} \cdot \vec{x})|_{(0)}}{\Delta t} \rightarrow 0$$

我們得到:

$$2<T>_{t} = -<\dot{\vec{p}} \cdot \vec{x}>_t$$

$\dot{\vec{p}}$可以通過系統的勢能 $V(\vec{x})$ 寫出: $\dot{\vec{p}} = - \vec{\nabla}V(\vec{x})$; 另外我們最終假設勢能 $V(\vec{x})$ 為,$k$次齊次函數, 並利用預先知識中$a=1$時的等式 就能夠得到位力定理:

$$2 <T>_t = -<\dot{\vec{p}}\cdot \vec{x}>_t = <\vec{x}\cdot \vec{\nabla}V(\vec{x})>_t = k<V(\vec{x})>_t$$

## 各學科中的應用

### 天體物理學

#### 太陽模型

$$\frac{dP}{dr} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} \Rightarrow dP=-\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^{2}}dr.$$

考慮恆星的位力定理在天體物理學中的應用。如果將恆星的物質視為流體，則可以使用流體靜力平衡條件來考慮恆星。這個假設條件允許將恆星的引力與其內部的壓力建立關係，從而將引力勢能與內能聯繫起來，即位力定理。基於引力勢能 $\Omega \propto r^{-1}$，我們期待內能與勢能之間的關係為 $E_{\text{int}} = -\frac{1}{2}\Omega$。

下面是更詳細的推導過程：將恆星視為正球體來簡化推導過程。氣壓 $P$ 是半徑 $r$ 的函數：

$$\frac{dP}{dr} = -\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^2} \Rightarrow dP=-\frac{Gm(r)\rho(r)}{r^{2}}dr.$$

對於理想氣體，內能 $E_{\text{int}}$ 為：

$$E_{\text{int}} = \frac{3}{2}Nk_{B}T = \frac{3}{2}\frac{M}{m_g}k_{B}T,$$

其中 $m_g$ 是粒子的平均質量，$M$ 是恆星的質量，$k_{B}$ 是玻爾茲曼常數，$T$ 是溫度。

考慮恆星的靜力平衡條件，同時乘以體積 $V=\frac{4\pi r^3}{3}$，並積分，得到：

$$\int_0^R Vdp = -\frac{1}{3}\int_0^R \frac{Gm(r)}{r}\rho(r)4\pi r^2 dr = -\frac{1}{3}\int_0^R \frac{Gm(r)}{r}dm(r).$$

右側積分包含了恆星的重力勢能 $\Omega = -\int_0^R \frac{Gm(r)}{r}dm(r)$，所以我們可以得到：

$$\int_0^R Vdp = \frac{1}{3}\Omega.$$

對左側積分使用分部積分可得：

$$\int_0^R VdP = PV|_0^R - \int_0^R PdV = -\int_0^R PdV,$$

其中 $PV|_0^R = 0$，因為恆星最外層壓強為0，最內側體積為0。對於理想氣體，$PV = Nk_{b}T$，將其與理想氣體內能公式結合，得到單位體積內的內能：

$$U = \frac{E_{\text{int}}}{V} = \frac{3}{2}P \Rightarrow P = \frac{2}{3} U,$$

將其應用到上面的積分，得到：

$$-\int_0^R PdV = -\frac{2}{3} \int_0^R UdV = -\frac{2}{3}E_{\text{int}}.$$

將兩側積分結果相等，得到：

$$-\frac{2}{3}E_{\text{int}} = \frac{1}{3}\Omega \Rightarrow E_{\text{int}} = -\frac{1}{2} \Omega.$$

這就是恆星在流體靜力平衡下的位力定理。

通過這個公式，可以推算太陽的平均溫度 $\langle T_{\odot} \rangle$ 大約為 $10^6$ 開爾文，對應的內能大約為 $1 \text{ keV}$。太陽的表面溫度僅在 $5774$ 開爾文左右，因此可以認為太陽的內部溫度比表面高很多。由於電子的結合能僅為 $1 \text{ eV}$，而太陽的平均內能遠大於這個數值，因此可以認為太陽是離子氣體。

### 統計物理

在統計物理中，：

$$\mathbf{p}=\frac 2 V \left ( \frac 1 2 \left \langle \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{v}_i \otimes \mathbf{v}_i \right \rangle + \frac 1 2 \left \langle \sum_{i<j} \boldsymbol r_{ij} \otimes \boldsymbol F_{ij} \right \rangle \right)$$

亦即體系壓強爲（與動能相關的）動理壓強和（與相互作用相關的）內壓強之和。上式中的第二項即爲均位力積相關項。