Meijer G-函數

Meijer G-函數是荷蘭數學家梅耶爾引入的一種特殊函數。它是廣義超幾何函數的推廣，絕大多數的特殊函數都可以用 Meijer G-函數表示出來。

## 定義

廣義超幾何函數有下列一般的積分表達式（參見相關小節）：

$$\left(\prod_{k=1}^p\Gamma(a_k)\right/\left.\prod_{k=1}^q\Gamma(b_k)\right)\,{}_pF_q\left[ \begin{matrix}a_1&a_2&\ldots&a_p\\b_1&b_2&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]=\frac 1{2\pi i}\int_C \left(\prod_{k=1}^p\Gamma(a_k+s)\right/\left.\prod_{k=1}^q\Gamma(b_k+s)\right)\Gamma(-s)(-z)^s\mathrm ds$$

其中積分路徑 C 視參數 p, q 的相對大小而定。上面的積分表達式具有 Mellin 逆變換的形式。

Meijer-G 函數是上面積分表達式的一個推廣，它的定義為：

$$G^{m,n}_{p,q}\left[ \begin{matrix}a_1&a_2&\ldots&a_p\\b_1&b_2&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]=\frac 1{2\pi i}\int_C z^s\left.\left(\prod_{k=1}^n\Gamma(1-a_k+s)\right/\left.\prod_{k=m+1}^q\Gamma(1-b_k+s)\right)\right/ \left(\prod_{k=n+1}^p\Gamma(a_k-s)\right/\left.\prod_{k=1}^m\Gamma(b_k-s)\right)\mathrm ds$$

其中積分路徑 C 視參數的相對大小而定。但是，為了保證至少一條積分路徑有定義，要求

$$a_k-b_l\notin \mathbb Z^+,\quad \forall k=1,2,\dots, n; l=1,2,\dots, m$$

在書寫 Meijer-G 函數時要注意，上標中的第一個參數和下標中的第二個參數對應的是 bk，而上標中的第二個參數和下標中的第一個參數對應的是 ak。

對比上述兩式可以得到廣義超幾何函數和 Meijer-G 函數的關係：

$$\begin{array}{cl}&\frac{\prod_{k=1}^p\Gamma(a_k)}{\prod_{k=1}^q\Gamma(b_k)}\,{}_pF_q\left[ \begin{matrix}a_1&a_2&\ldots&a_p\\b_1&b_2&\ldots&b_q\end{matrix};z\right]\\ =&G^{1,p}_{p,q+1}\left[ \begin{matrix}1-a_1&1-a_2&\ldots&1-a_p\\0&1-b_1&\ldots&1-b_q\end{matrix};-z\right]\\ =&G^{p,1}_{q+1,p}\left[ \begin{matrix}1&b_1&\ldots&b_q\\a_1&a_2&\ldots&a_p\end{matrix};-\frac 1z\right]\end{array}$$

## 基本性質

和廣義超幾何函數一樣，如果上下兩個向量組在合適的位置有相同的元素，則 Meijer-G 函數可以降階，此處不再贅述。

### 一般關係式

Meijer-G 函數的導函數具有下列性質：

$$z^h \frac{\mathrm d^h}{\mathrm dz^h} \; G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right) = G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q}, h \end{matrix} \; \right| \, z \right) = (-1)^h \; G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p}, 0 \\ h, \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right),$$

注意 h 可以取任意整數值，取負數時表示不定積分。

另一方面。

$$z^{\rho} \; G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right) = G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} + \rho \\ \mathbf{b_q} + \rho \end{matrix} \; \right| \, z \right),$$

$$G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right) = G_{q,p}^{\,n,m} \!\left( \left. \begin{matrix} 1-\mathbf{b_q} \\ 1-\mathbf{a_p} \end{matrix} \; \right| \, z^{-1} \right),$$

$$\left(z \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}-a_1+1\right) \; G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right) = G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} a_1 -1, a_2, \dots, a_p \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right)\quad n \geq 1.$$

$$\left(a_p-z \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}-1\right) \; G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right) = G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} a_1 , a_2, \dots, a_p-1 \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right)\quad n \leq p-1.$$

$$\left(z \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}-b_q\right) \; G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right) = G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ b_1, b_2, \dots, b_q+1 \end{matrix} \; \right| \, z \right)\quad m \leq q-1.$$

$$\left(b_1-z \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}\right) \; G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right) = G_{p,q}^{\,m,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ b_1+1, b_2, \dots, b_q \end{matrix} \; \right| \, z \right)\quad m\geq 1.$$

上面的式子都可以直接由定義得到。

### 向量組中兩個元素相差整數時的關係式

由

$$\frac{\Gamma(1-u+s)}{\Gamma(1-v+s)}=(-1)^{u-v}\frac{\Gamma(v-s)}{\Gamma(u-s)},\quad u-v\in\mathbb Z$$

又有

$$G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1} \!\left( \left. \begin{matrix} \alpha, \mathbf{a_p}, \alpha' \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right) = (-1)^{\alpha'-\alpha} \; G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1} \!\left( \left. \begin{matrix} \alpha', \mathbf{a_p}, \alpha \\ \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right), \quad n \leq p, \; \alpha'-\alpha \in \mathbb{Z},$$

$$G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \beta, \mathbf{b_q}, \beta' \end{matrix} \; \right| \, z \right) = (-1)^{\beta'-\beta} \; G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p} \\ \beta', \mathbf{b_q}, \beta \end{matrix} \; \right| \, z \right), \quad m \leq q, \; \beta'-\beta \in \mathbb{Z},$$

$$G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1} \!\left( \left. \begin{matrix} \alpha, \mathbf{a_p} \\ \mathbf{b_q}, \beta \end{matrix} \; \right| \, z \right) = (-1)^{\beta-\alpha} \; G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n} \!\left( \left. \begin{matrix} \mathbf{a_p}, \alpha \\ \beta, \mathbf{b_q} \end{matrix} \; \right| \, z \right), \quad m \leq q, \; \beta-\alpha = 0,1,2,\dots,$$

## 微分方程

由上面一般關係式一節的討論知 Meijer-G 函數滿足下列微分方程，它與廣義超幾何函數滿足的微分方程形式上很類似。

$\left[(-1)^{p-m-n}z\prod_{k=1}^{p}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} - a_k+1\right) - \prod_{k=1}^{q}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} - b_k\right)\right]w=0, \quad w(z)=G_{p,q}^{m,n}\left[ \begin{array}{c} a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{array} ;z\right]$.

這是一個 max(p,q) 階的線性微分方程，在 z=0 附近的基本解組可以選取為

$$\begin{cases} G_{p,q}^{\,1,p} \!\left( \left. \begin{matrix} a_1, \dots, a_p \\ b_h, b_1, \dots, b_{h-1}, b_{h+1}, \dots, b_q \end{matrix} \; \right| \, (-1)^{p-m-n+1} \;z \right), \quad h = 1,2,\dots,q,&\text{ if } p\leqslant q\\ G_{p,q}^{\,q,1} \!\left( \left. \begin{matrix} a_h, a_1, \dots, a_{h-1}, a_{h+1}, \dots, a_p \\ b_1, \dots, b_q \end{matrix} \; \right| \, (-1)^{q-m-n+1} \;z \right), \quad h = 1,2,\dots,p,&\text{ if } p\geqslant q\end{cases}$$

當 p=q 時兩種取法都可以。

從 m, n 的取值上就可以看到它們跟廣義超幾何函數有直接的聯繫。事實上的確如此，以第一種情況為例。

$$G_{p,q}^{\,1,p} \!\left( \left. \begin{matrix} a_1, \dots, a_p \\ b_h, b_1, \dots, b_{h-1}, b_{h+1}, \dots, b_q \end{matrix} \; \right| \, (-1)^{p-m-n+1} \;z \right)=z^{b_h} G_{p,q}^{\,1,p} \!\left( \left. \begin{matrix} a_1-b_h, \dots, a_p-b_h \\ 0, b_1-b_h, \dots, b_{h-1}-b_h, b_{h+1}-b_h, \dots, b_q \end{matrix} \; \right| \, (-1)^{p-m-n+1} \;z \right)$$

等號右邊的 Meijer-G 函數顯然就是廣義超幾何函數。

## 特殊情形

因為廣義超幾何函數是 Meijer-G 函數的特殊情形，故所有可以用廣義超幾何函數表示的特殊函數都可以用 Meijer-G 函數表示，但是，在個別情況下，用 Meijer-G 函數有更簡單的表示式，例子如諾依曼函數，它可以用超幾何函數0F1表示，但表示式僅僅是將（第一類）貝塞爾函數的超幾何函數表示式代入其定義式中，因此含有兩個超幾何函數。而用 Meijer-G 函數就可以直接表示為：

$$Y_\nu (z) = G_{1,3}^{\,2,0} \!\left( \left. \begin{matrix} \frac{- \nu - 1}{2} \\ \frac{\nu}{2}, \frac{-\nu}{2}, \frac{- \nu - 1}{2} \end{matrix} \; \right| \, \frac{z^2}{4} \right), \qquad \frac{-\pi}{2} < \arg z \leq \frac{\pi}{2}$$

另外一個例子是不完全伽瑪函數對參變量的偏導數，它無法用廣義超幾何函數表出，但可以用 Meijer-G 函數表出：

$$\frac{\partial \Gamma (a,z) }{\partial a} = \Gamma (a,z)\ln z + \,G_{2,\,3}^{\,3,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 1, 1 \\ a, 0, 0 \end{matrix} \; \right| \, z \right)$$

事實上，不完全伽瑪函數對參變量的高階偏導數也可以用 Meijer-G 函數表出，詳見不完全Γ函數一文。

## 推廣

如同廣義超幾何函數和Kampé de Fériet函數（雙變量的廣義超幾何函數）的關係那樣，Meijer G-函數也可以被推廣到兩個變量的情況：

$$G_{p,q,u_1,v_1,u_2,v_2}^{m,n,s_1,t_1,s_2,t_2}\left[\begin{array}{lll}a_{1},\dots,a_{p};c_{1,1}, \dots,c_{1, u_{1}};c_{2,1},\dots,c_{2,u_{2}}; \\b_{1},\dots,b_{q};d_{1,1},\dots,d_{1,v_{1}};d_{2,1},\dots,d_{2,v_{2}};\end{array}\ z, w\right]=-\frac{1}{4\pi^2}\int_\mathcal{L}\int_\mathcal{L'}\frac{\prod_{k=1}^m\Gamma(b_k+\sigma+\tau)\prod_{k=1}^n\Gamma(1-a_k-\sigma-\tau)}{\prod_{k=n+1}^p\Gamma(a_k+\sigma+\tau)\prod_{k=m+1}^q\Gamma(1-a_k-\sigma-\tau)}\frac{\prod_{k=1}^{s_1}\Gamma(d_{1,k}+\sigma)\prod_{k=1}^{t_1}\Gamma(1-c_{1,k}-\sigma)}{\prod_{k=t_1+1}^{u_1}\Gamma(c_{1,k}+\sigma)\prod_{k=s_1+1}^{v_1}\Gamma(1-d_{1,k}-\sigma)}\frac{\prod_{k=1}^{s_2}\Gamma(d_{2,k}+\tau)\prod_{k=1}^{t_2}\Gamma(1-c_{2,k}-\tau)}{\prod_{k=t_2+1}^{u_2}\Gamma(c_{2,k}+\tau)\prod_{k=s_2+1}^{v_2}\Gamma(1-d_{2,k}-\tau)}z^{-\sigma}w^{-\tau}d\sigma d\tau/;m,n,s_1,t_1,s_2,t_2,p,q,u_1,v_1,u_2,v_2\in\mathbb{N},m\leq q,n\leq p,s_1\leq v_1,t_1\leq u_1,s_2\leq v_2,t_2\leq u_2$$