朗道量子化

朗道量子化是指均勻磁場中帶電粒子的迴旋軌道發生的量子化。這些帶電粒子能量在一系列分立的數值中取值，形成朗道能級。朗道能級是簡併的，每一能級上電子的電子數量與外加磁場的強度成正比。由朗道量子化可以得出外磁場會導致材料中電子性質的振盪。這一理論是由蘇聯物理學家列夫·朗道於1930年提出的。

## 推導

朗道量子化可以通過准經典的方法部分導出。這裡採用量子力學的方法進行推導：

考慮一個帶電粒子組成的二維系統。這些粒子無內部相互作用，所帶電荷為q，自旋量子數為S，並被限制在x-y平面內一個面積A = LxLy的區域內。

對這一系統施加一個沿z軸的均勻磁場$\mathbf{B} = \begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}$。由於自旋對於這個二維系統沒有影響，因而在下面的推導中將忽略自旋。在CGS單位制下，這個系統的哈密頓算符為：

$$\hat{H}=\frac{1}{2m}(\hat{\mathbf{p}}-q\hat{\mathbf{A}}/c)^2.$$

式中$\mathbf{p}$為正則動量算符，$\hat{\mathbf{A}}$為磁場的磁矢勢，與磁感應強度的關係為：

$$\mathbf{B}=\mathbf{\nabla}\times \hat{\mathbf{A}}. \,$$

給定磁場的磁矢勢具有一定的規範自由度。當$\hat{\mathbf{A}}$被添加一個標量場的梯度時，波函數的整體相位也會隨著標量場產生一定的變化，但由於哈密頓算符具有規範不變性，系統的物理性質並不受選定的規範影響。為了簡便計算，這裡選擇朗道規範：

$$\hat{\mathbf{A}}= \begin{pmatrix}0\\Bx \\0 \end{pmatrix}.$$

式中B=|B|，x為位置算符x方向上的分量。

在這一規範下，系統的哈密頓算符為：

$$\hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2}{2m} + \frac{1}{2m} \left(\hat{p}_y - \frac{qB\hat{x}}{c}\right)^2.$$

算符$\hat{p}_y$與這一哈密頓算符是對易的。這是因為在選定規範時，算符$\hat{y}$被忽略掉了，因而算符$\hat{p}_y$可被它的本徵值ħky替代。

如果設定迴旋頻率ωc = qB/m，那麼可以得出此時哈密頓算符為：

$$\hat{H} = \frac{\hat{p}_x^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_c^2 \left( \hat{x} - \frac{\hbar k_y}{m\omega_c} \right)^2.$$

這與量子諧振子的哈密頓算符基本一致，但勢能的最小值需要在位置表象中移動x0 = ħky/mωc。

注意到諧振子勢能的平移並不會影響到系統的能量，也就是說這一系統的能量與標準的量子諧振子一致：

$$E_n=\hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right),\quad n\geq 0~.$$

由於能量與量子數ky無關，因而會存在一定的簡併態。

由於$\hat{p}_y$與哈密頓算符是對易的，因而系統的波函數可以表示為y方向上動量的本徵值與諧振子本徵矢$|\phi_n\rangle$的乘積，但$|\phi_n\rangle$也需要在x方向上移動x0，即：

$$\Psi(x,y)=e^{ik_y y} \phi_n(x-x_0)~.$$

總之，電子的狀態可以通過n與ky這兩個量子數表徵。

## 朗道能級

朗道量子化所造成的效應只能在平均內能小於能級間差值，即kT ≪ ħωc時才能被觀測到。簡單來說就是溫度較低，外磁場較強。

每個朗道能級都具有一定的簡併度，因為量子數ky的取值情況為：

$k_y = \frac{2 \pi N}{L_y}$,

式中N為整數。N所允許的取值受到振子的運動中心坐標x0的影響。振子的運動必須在系統範圍內，也就是說0 ≤ x0 < Lx。這給出了N的取值範圍：

$$0 \leq N < \frac{m \omega_c L_x L_y}{2\pi\hbar}.$$

對於帶電量q = Ze的粒子來說，N的上限可以表記為磁通量的比值：

$$\frac{Z B L_x L_y}{(hc/e)} = Z\frac{\Phi}{\Phi_0},$$

式中 Φ0 = h/e為磁通量的基本量子，Φ = BA是系統的磁通量，面積A = LxLy。

因而對於自旋為S的粒子，每個朗道能級的簡併度的最大值D為：

$$D = Z (2S+1) \frac{\Phi}{\Phi_0}~.$$

上述討論只是在有限尺度內給出的粗略的結果，嚴格來說，諧振子解只對在x方向上不受限的系統有效，如果系統尺度Lx是有限的，那個方向上的束縛態條件會導致磁場中的非標準量子化情況。原則上，兩個都是埃爾米特方程的解。多電子對於朗道能級的填充仍是研究熱點之一。

一般來說，朗道能級可以在電子系統中被觀察到，其中Z=1，S=1/2。隨著磁場增強，越來越多的電子會占據朗道能級。最高的朗道能級的占據情況會導致多種電子性質振盪，如德哈斯-范阿爾芬效應及舒布尼科夫-德哈斯效應。

如果考慮到塞曼效應的話，那麼每個朗道能級都會分裂為一對能級：一個為自旋向上的電子占據的能級，一個是自旋向下的電子占據的能級。此時每個自旋朗道能級的簡併度就會是磁通量的比率：D = Φ/Φ0。兩個能級與分裂前的能級間隔是相同的：2μBB = ħω。然而在多個能級被占滿時，系統的費米能與基態的能量卻是大致相同的，因為塞曼效應造成的影響，在這些能級相加時會被抵消掉。

## 討論

在上面的推導過程中，x與y似乎並不對稱。然而，考慮到系統的對稱性，並沒有物理量能表徵這兩個坐標的區別。在對x與y進行適當的內部變換後，可以得到相同的結果。

此外，上述推導中電子在z方向上運動受限的情形儘管在實驗中確實存在，如二維電子氣。但這一假設並不基本。如果電子在z方向上可以自由移動，那麼波函數還需要乘以一個因子exp(ikzz)，能量對應地需要加上(ħ kz)2/(2m)。這一項會「填入」能級間隙，從而減小量子化的效果。但在垂直於磁場的平面x-y上的運動仍是量子化的。

## 對稱規範中的朗道能級

選定對稱規範：

$$\hat{\mathbf{A}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -By\\ Bx \\0 \end{pmatrix}$$

對於哈密頓算符進行去量綱化：

$$\hat{H} = \frac{1}{2} \left[\left(-i\frac{\partial}{\partial x} - \frac{y}{2}\right)^2 + \left(-i \frac{\partial}{\partial y} + \frac{x}{2}\right)^2 \right]$$

實際值可以通過引入$q$、$c$、$\hbar$、$\mathbf{B}$及$m$等常數得出。

引入算符

$$\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} + \frac{\partial}{\partial x}\right) -i \left(\frac{y}{2} + \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]$$

$$\hat{a}^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} - \frac{\partial}{\partial x}\right) +i \left(\frac{y}{2} - \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]$$

$$\hat{b} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} + \frac{\partial}{\partial x}\right) +i \left(\frac{y}{2} + \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]$$

$$\hat{b}^{\dagger} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\left(\frac{x}{2} - \frac{\partial}{\partial x}\right) -i \left(\frac{y}{2} - \frac{\partial}{\partial y}\right)\right]$$

這些算符的對易關係為：

$[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}] = [\hat{b},\hat{b}^{\dagger}] = 1$.

哈密頓算符可記為：

$$\hat{H} = \hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}$$

朗道能級序數$n$是$\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$的本徵值。

角動量z方向上的分量為：

$$\hat{L}_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \theta} = - \hbar (\hat{b}^{\dagger}\hat{b} - \hat{a}^{\dagger}\hat{a})$$

利用其與哈密頓算符可對易，即$[\hat{H}, \hat{L}_z] = 0$，我們選定$\hat{L}_z$的本徵值$- m \hbar$為使$\hat{H}$與 $\hat{L}_z$對角化的本徵函數。易見，在第$n$個朗道能級上存在$m \ge -n$。然而$m$的值可能非常大。在下面將推導系統表現出的有限簡併度。

使用$\hat{b}^{\dagger}$可以使$m$減小一個單位同時使$n$保持不變，而$\hat{a}^{\dagger}$則可以使$n$增大一個單位，同時令$m$減小一個單位。類比量子諧振子，可以得到：

$$\hat{H} |n,m\rangle = E_n |n,m\rangle$$

$$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)$$

$$|n,m\rangle = \frac{(\hat{b}^{\dagger})^{m+n}}{\sqrt{(m+n)!}} \frac{(\hat{a}^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}|0,0\rangle$$

在朗道規範與對稱規範下，每個朗道能級上的簡併軌道分別以量子數ky及$m$表徵，每個朗道能級上單位面積的簡併度是相同的。

可以證明選定下面這個波函數時，也可以得到上面得到的結果：

$$\psi_{n,m}(x, y) = \left( \frac{\partial}{\partial w} - \frac{\bar{w}}{4} \right)^n w^{n + m} e^{-|w|^2 / 4}$$

式中$w = x + i y$。

特別地，對於最低的朗道能級，即$n = 0$時，波函數為任意一個解析函數與高斯函數的乘積：$\psi(x,y) = f(w) e^{-|w|^2/4}$。

## 規範變換的影響

進行這樣的規範變換：

$$\vec{A} \to \vec{A}' = \vec{A} + \vec{\nabla} \lambda(\vec{x})$$

運動學動量的定義為：

$$\hat{\pi} = \hat{\mathbf{p}}-q\hat{\mathbf{A}}/c$$

式中$\hat{\mathbf{p}}$為正則動量。哈密頓算符是規範不變的，因而$\langle\hat{\pi}\rangle$與$\langle \hat{x}\rangle$也會在規範變換後保持不變，但$\langle\hat{\mathbf{p}}\rangle$會受到規範變換的影響。

為了考察規範變換帶來的影響，設磁矢勢為$A$與$A'$時的量子態為$|\alpha\rangle$與$|\alpha'\rangle$。

由於$\langle \hat{x}\rangle$和$\langle\hat{\pi}\rangle$是規範不變的，可以得到：

$$\langle\alpha|\hat{x}|\alpha\rangle = \langle\alpha'|\hat{x}|\alpha'\rangle$$

$$\langle\alpha|\hat{\pi}|\alpha\rangle = \langle\alpha'|\hat{\pi'}|\alpha'\rangle$$

$$\langle\alpha|\alpha\rangle = \langle\alpha'|\alpha'\rangle$$

設算符$\mathcal{G}$會使$|\alpha'\rangle = \mathcal{G} |\alpha\rangle$，則：

$$\mathcal{G}^{\dagger}\hat{x}\mathcal{G} = \hat{x}$$

$$\mathcal{G}^{\dagger}\left(\hat{p} - \frac{e\hat{A}}{c} - \frac{e\vec{\nabla} \lambda(x)}{c}\right)\mathcal{G} = \hat{p} - \frac{e\hat{A}}{c}$$

$$\mathcal{G}^{\dagger}\mathcal{G} = 1$$

綜上所述：

$$\mathcal{G} = \exp\left(\frac{ie\lambda(\vec{x})}{\hbar c}\right)$$