波前集

在數學分析中，特別是微局部分析中，一個分布 $f$ 的波前集 $\text{WF}(f)$ 在奇異支集 $\text{singsupp}(f)$ 的基礎上進一步刻畫了 $f$ 的奇異性。作為底空間餘切叢的一個錐子集，一個分布的波前集不僅描述了這個分布的奇異點，並且同時描述了在每一點這個分布奇異的方向。「波前集」這個術語是由拉爾斯·霍爾曼德爾在1970年左右引入的。實解析版本的波前集，定義在超函數上，稱為「奇異支集」或「奇異譜」，稍早由佐藤干夫引入。

## 定義

在歐式空間的一個區域 $X\subset\mathbb{R}^n$ 中，一個分布 $u\in\mathcal{D}'(X)$ 在一個點 $x\in X$ 處的奇異纖維 $\Sigma_x(u)$，作為 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$的一個子集，是在這一點所有奇異方向的余集。嚴格的定義用到傅立葉變換，$\xi\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 不屬於 $\Sigma_x(u)$ 若且唯若存在緊支集光滑函數 $\phi\in C_0^\infty(X)$ 以及 $\xi$ 的一個錐鄰域（在正實數乘法下不變） $\Gamma$ 使得 $\phi(x)\neq0$，並且在 $\Gamma$ 中有如下估計：對於任意正整數 $N$，存在正常數 $C_N$ 使得

$$|\widehat{(\phi u)}(\eta)| \leq C_N(1+|\eta|)^{-N} \;\;\;\forall\;\eta\in\Gamma.$$

（我們經常將這個估計寫為$|\widehat{\phi u}(\eta)|=O(\langle\eta\rangle^{-\infty})$。）

$f$ 的波前集 $\text{WF}(u)$ 定義為

$$\text{WF}(u)=\{(x,\xi)\in\mathbb{R}^n\times(\mathbb{R}^n\setminus\{0\}):\xi\in\Sigma_x(u)\}.$$

由下面波前集在坐標變化下的性質，可以定義光滑流形 $X$ 上的分布 $f$ 的波前集 $\text{WF}(f)$ 為餘切叢去掉零截面 $T^\ast X\setminus0$ 的一個錐子集。

如果 $B:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y)$有Schwarz核 $K_B\in\mathcal{D}'(Y\times X)$，定義

$$\text{WF}'(B)=\{(y,\eta,x,\xi)\in T^\ast Y\times T^\ast X:(y,\eta, x,-\xi)\in\text{WF}(K_B).$$

對於擬微分算子 $A\in\Psi^m(X)$，可以驗證 $\text{WF}'(A)$ 包含於 $(T^\ast X\setminus0)\times(T^\ast X\setminus0)$ 的對角線 $\Delta(T^\ast X\setminus0)=\{(x,\xi,x,\xi):(x,\xi)\in T^\ast X\setminus0\}$中。並且如果我們定義 $\text{WF}(A)\subset T^\ast X\setminus0$ 如下：$(x_0,\xi_0)\not\in\text{WF}(A)$ 若且唯若在$(x_0,\xi_0)$的一個錐鄰域中，$A$ 的象徵滿足估計

$$\sigma(A)(x,\xi)=O(\langle\xi\rangle^{-\infty})$$

那麼我們有 $(x,\xi)\in\text{WF}(A)$ 若且唯若 $(x,\xi,x,\xi)\in\text{WF}'(A)$。

### 等價定義

Hormander最早的定義用到了擬微分算子在分布上的作用：$\text{WF}(u)$ 是所有滿足如下性質的點 $(x,\xi)$在$T^\ast X\setminus0$ 中的補集：

存在 $(x,\xi)$ 的錐鄰域 $\Gamma$ 使得對於任意的滿足 $\text{WF}(A)\subset\Gamma$ 的擬微分算子 $A\in\Psi^0(X)$，有 $Au\in C^\infty$。

另一個有用的等價定義用到FBI變換。

## 性質

（1）如果記 $\pi:T^\ast X\setminus0\to X$ 為餘切叢上自然投影，則 $\pi(\text{WF}(u))=\text{sing supp}(u)$。

（2）對於擬微分算子 $A\in\Psi^m$， $\text{WF}(Au)\subset\text{WF}(A)\cap\text{WF}(u)$。特別的，我們有對於任意的光滑係數微分算子$a(x,D)$，$\text{WF}(a(x,D)u)\subset\text{WF}(u)$。

（3）如果 $f:X\to Y$ 是一個光滑映射，記 $N_f=\{(f(x);\eta)\in T^\ast Y, {}^Tf(x)'\eta=0\}$ 為 $f$ 的法叢。如果 $u\in\mathcal{D}'(Y)$滿足 $\text{WF}(u)\cap N_f=\emptyset$，那麼我們可以「唯一的」定義 $u$ 在 $f$ 下的拉回 $f^\ast u\in\mathcal{D}'(X)$。並且我們有 $\text{WF}(f^\ast u)\subset f^\ast\text{WF}(u)$。特別的，如果 $f$ 是一個微分同胚，$\text{WF}(f^\ast u)=f^\ast\text{WF}(u)$。所以波前集定義在餘切叢上是不取決於坐標的。

（4）令 $B:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y)$ 如果將 $\text{WF}'(B)$ 視作從 $T^\ast X$ 到 $T^\ast Y$ 的一個關係，並且記$\text{WF}'_X(B)=WF'(B)^{-1}(0_Y),\;\;\text{WF}'_Y(B)=WF'(B)(0_X)$。這裡$0_X$和$0_Y$分別是$X$和$Y$上餘切叢的零截面。則如果 $u\in\mathcal{D}'(X)$滿足 $\text{WF}(u)\cap\text{WF}'_X(B)=\emptyset$，那麼我們可以「唯一的」定義$Bu\in\mathcal{D}'(Y)$。並且我們有 $\text{WF}(Bu)\subset\text{WF}'(B)(\text{WF}(u))\cup\text{WF}'_Y(B)$。

（5）如果 $A:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Y)$ 和 $B:C_0^\infty(Y)\to\mathcal{D}'(Z)$ 滿足 $\text{WF}'_Y(A)\cap\text{WF}'_Y(B)=\emptyset$，那麼我們可以「唯一的」定義複合算子 $B\circ A:C_0^\infty(X)\to\mathcal{D}'(Z)$。並且我們有

$$\text{WF}'(B\circ A)\subset(\text{WF}'_Z(B)\times(0_X))\cup(0_Z\times\text{WF}'_X(A))\cup(\text{WF}'(B)\circ\text{WF}'(A))$$

這裡最後一項是將波前集視為關係下的複合。

## 推廣

以上所定義的波前集描述的是分布的關於 $C^\infty$ 正則性的奇異性，類似的可以定義關於實解析性的波前集 $\text{WF}_A$，關於Gevery類 $G^s$ 的波前集，關於Sobolev空間 $H^s$ 的波前集等等。在使用FBI變換的定義中，這些波前集有一個很好的統一的描述。

## 參考來源

- Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
- Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities