邏輯斯諦函數

邏輯斯諦函數（logistic function）是一種常見的S型函數，其函數圖像稱為邏輯斯諦曲線（logistic curve）。簡單的邏輯斯諦函數可用下式表示：

$$f(x) = \frac{L}{1 + e^{-k(x-x_0)}}$$

其中：

x0為S形曲線中點的x值。

L為曲線的最大值

k為邏輯斯諦增長率或曲線的陡度。

當x趨向於正無窮時，f(x)的值逼近L，而x趨向於負無窮時，f(x)的值逼近0。

邏輯斯諦函數應用領域廣泛，包括生物學（特別是生態學）、數理生物學、化學、人口學、經濟學、地球科學、數學心理學、機率、社會學、政治學、語言學、統計學和人工神經網絡等。例如，廣義邏輯斯諦曲線可以模仿一些情況人口增長（P）的S形曲線。起初階段大致是指數增長；然後隨著開始變得飽和，增長變慢；最後，達到成熟時增長停止。

實際上，邏輯斯諦函數是雙曲正切函數經過平移縮放獲得。

## 歷史

邏輯斯諦函數是皮埃爾·弗朗索瓦·韋呂勒於1838年至1847年間發表的三篇論文中提出的，他在阿道夫·凱特勒的指導下，通過調整指數增長模型，將其設計為人口增長模型。韋呂勒在1830年代中期設計了該函數，並在1838年發表了一個簡短的說明，然後在1844年進一步分析並命名了這個函數（發表於1845年）第三篇論文調整了比利時人口增長模型中的修正項。

### 命名

原本選用「邏輯斯諦」（logistique，logistic）一詞時，韋呂勒沒有解釋其原由，但在提出該增長模型前，他討論了算術增長和幾何增長（他稱之為「對數曲線」，即指數曲線），因此「邏輯斯諦增長」可能是通過類比命名的，「邏輯斯諦」來自古希臘語λογῐστῐκός（logistikós），是指古希臘數學的一個分支，大致相當於應用數學，韋呂勒可能是暗示他的增長模型比一次函數和指數函數更貼合實際。「邏輯斯諦函數」中的「邏輯」與邏輯學（logic）和軍隊後勤/物流（logistics，自法語，且此詞的來源亦飽受爭議）均沒有關係。

## 數學特性

標準邏輯斯諦函數的參數設定為$k = 1$, $x_0 = 0$, $L = 1$，即

$$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x + 1} = \frac12 + \frac12 \tanh\left(\frac{x}{2}\right)$$

實際上，由於指數函數$e^{-x}$的特性，函數的取值很快會逼近極限，x在很小的實數範圍內（例如−6, +6）的取值就足以計算標準邏輯斯諦函數的極限。

標準邏輯斯諦函數具有如下對稱性：

$$1 - f(x) = f(-x)$$

因此，$x \mapsto f(x) - 1/2$是奇函數。

標準邏輯斯諦函數可視為雙曲正切函數的偏移和縮放：

$$f(x) = \frac12 + \frac12 \tanh\left(\frac{x}{2}\right)$$

或

$$\tanh(x) = 2 f(2x) - 1.$$

推導過程如下：

$$\begin{align} \tanh(x) & = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{e^x \cdot \left(1 - e^{-2x}\right)}{e^x \cdot \left(1 + e^{-2x}\right)} \\ <pre> &= f(2x) - \frac{e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} = f(2x) - \frac{e^{-2x} + 1 - 1}{1 + e^{-2x}} = 2f(2x) - 1. </pre> \end{align}$$

### 導數

標準邏輯斯諦函數的導數稱為邏輯斯諦分布密度，公式如下：

$$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} = \frac{e^x}{1 + e^x},$$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) = \frac{e^x \cdot (1 + e^x) - e^x \cdot e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} = f(x)\big(1 - f(x)\big)$$

邏輯斯諦分布的均值為x0，方差為π2/3k2。

### 積分

標準邏輯斯諦函數的不定積分可用換元積分法求得，令$u = 1 + e^x$，$f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x} = \frac{u'}{u}$，去掉積分常數，得到其不定積分：

$$\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln u = \ln (1 + e^x).$$

在人工神經網絡中，它稱作線性整流函數，（縮放後）可視為平滑近似的斜坡函數，類似於邏輯斯諦函數（縮放後）是平滑近似的單位階躍函數。

### 邏輯斯諦微分方程

標準邏輯斯諦函數是簡單的一階非線性常微分方程的解：

$$\frac{d}{dx}f(x) = f(x)\big(1 - f(x)\big)$$

邊界條件為$f(0) = 1/2$。該方程是邏輯斯諦映射的連續版本。注意倒數邏輯斯諦函數是簡單的一階線性常微分方程的解。

### 邏輯斯諦差分方程

$$x_{n+1} = k x_n (1-x_n)$$

是混沌理論的一個模型。這個函數對初始值和參數的變化很敏感，往往微小的變化會引起混沌。如圖所示，當1=x1=0.3，參數k從0.1變到4時，系統變化很大。

- 當k由0.1變到1時，曲線很快趨向於0
- 當k繼續增加，曲線由0.3上升到 一個穩定值
- k繼續增加，曲線出現擺動，有2個穩定值。
- k繼續增加，曲線相繼出現4個、8個、16個、32個....穩定值
- k增加到一個臨界值，系統進入混沌狀態。
- k再增加，系統突然垮塌。

#### 變化

$$x_{n+1} = k x_n (1-x_n^2)$$

## 應用

### 生態學：種群增長模型

邏輯斯諦方程的一個典型應用是種群（或人口）增長的通用模型（另見種群動態），這也是韋呂勒提出該函數的理由，以修正馬爾薩斯模型。韋呂勒推導出他的邏輯斯諦方程來描述生物種群的自限性增長。該方程於1911年被A. G. McKendrick用於描述肉湯中細菌的生長，他使用非線性參數估計的方法進行了實驗測試。在約翰斯·霍普金斯大學的Raymond Pearl（1879–1940）和Lowell Reed（1888–1966）於1920年使用該方程後，這一方程有時也稱為Verhulst-Pearl方程。另一位科學家阿弗雷德·洛特卡在1925年再次推導出該方程，稱其為種群增長律（law of population growth）。

令P為種群（人口）規模（生態學經常用N代替），t代表時間，該模型用以下微分方程表示：

$$\frac{dP}{dt}=r P \left(1 - \frac{P}{K}\right),$$

其中常數r為種群（人口）增長率，K為環境承載力。

方程中，早期的幾乎無阻力的增長率來自+rP。增長率r代表種群（人口）數量P在一個單位時間內的增長比例。後來，隨著人口的增長，第二項-rP2/K變得幾乎和第一項一樣大，種群P內的個體之間開始爭奪某些關鍵資源（例如食物或生存空間）而相互干擾。這種對抗效應稱為「瓶頸」，由參數K代表。競爭會降低總合增長率，直到P停止增長（種群/人口成熟）。方程的解（P0為初始種群/人口數量）為

$$P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0 \left( e^{rt} - 1\right)} = \frac{K}{1+\left(\frac{K-P_0}{P_0}\right)e^{-rt}},$$

其中：

$$\lim_{t\to\infty} P(t) = K.$$

可以說，K是P的極限值，即經過無限長時間後（或在有限時間內近似），種群（人口）規模所能達到的最大值。須注意，只要初始值$P(0) > 0$，無論取值多少，種群數量都會漸近環境承載力的值，包括$P(0) > K$的情況下。

生態學中有時稱一個物種是r策略或K策略的，這是指它們在自然選擇過程形成的生物生命週期策略。選取變量的量綱，使n代表以環境承載力單位計的種群數量，$\tau$代表以$1/r$的單位計量的時間，得出無量綱微分方程：

$$\frac{dn}{d\tau} = n (1-n).$$

#### 時變承載力

由於環境條件會影響環境承載力，因此它可能是隨時間變化的，$K(t) > 0$，得出以下數學模型：

$$\frac{dP}{dt} = rP \cdot \left(1 - \frac{P}{K(t)}\right).$$

其中一種特別重要的情況是承載力隨時期以T為周期變化的情況：

$$K(t + T) = K(t).$$

可見，只要初始值$P(0) > 0$，無論具體取值為多少，$P(t)$會逼近一個周期為$T$的周期解$P_*(t)$。

$T$的典型取值為1年，在此情況下，$K(t)$可表示天氣條件的周期性變化。

另一個有趣的一般化情形是考慮承載能力K(t)作為關於較早時間的種群數量的函數，以表示種群改變其所處環境的延遲。這就構成了一個邏輯斯諦時滯方程，它具有非常豐富的行為，在某些參數範圍內呈現雙穩定，以及單調衰減至零、平滑指數增長、間斷無限增長（即多個S形）、間斷增長或交替到平穩水平、振盪接近穩定水平、持續振盪、有限時間奇異點以及有限時間死亡。

#### 延伸應用：腫瘤生長模型

在醫學上，邏輯斯諦微分方程可用於腫瘤生長的建模。這一用法可視為上述的生態學/人口學模型的延伸。以$X(t)$表示腫瘤在時間$t$的大小，其變化動態遵循

$$X' = r\left(1 - \frac X K \right)X,$$

屬於以下類型：

$$X' = F(X)X, \quad F'(X) \le 0,$$

其中$F(X)$為腫瘤增殖率。

如果採用化療產生對數殺傷效果，則等式修改為

$$X' = r\left(1 - \frac X K \right)X - c(t) X,$$

其中$c(t)$為治療引起的腫瘤死亡率。在理想化的極長的治療下，$c(t)$可模型化為周期為$T$的周期函數或（在持續的輸液治療下）常數函數，有

$$\frac 1 T \int_0^T c(t)\, dt > r \to \lim_{t \to +\infty} x(t) = 0,$$

即，如果平均治療引起的腫瘤死亡率大於基線增殖率，則疾病能被根除。當然，這是一個過於簡化的生長和治療模型（例如沒有考慮克隆抗性現象）。

### 統計學和機器學習

邏輯斯諦函數在統計學中有多種應用。例如，它們是邏輯斯諦分布的累積分布函數，它們可用於模擬西洋棋棋手在埃洛等級分系統下擊敗對手的機率。以下是一些更具體的案例。

#### 邏輯迴歸

邏輯斯諦迴歸使用邏輯斯諦函數來模擬一個事件的機率p如何可能會受到一個或多個解釋變量的影響：一個案例模型如下

$$p = f(a + bx),$$

其中x為解釋變量，a和b為欲擬合的模型參數，f為標準邏輯斯諦函數。

邏輯斯諦迴歸和其他對數線性模型也常用於機器學習。將邏輯斯諦函數推廣至多元輸入情景即為Softmax激活函數，用於多元羅吉斯回歸。

### 醫學：傳染病模型

在人群中未被免疫的新型傳染性病原體，通常會在早期呈指數級傳播，有大量易感個體尚未被感染。例如2020年初，導致2019冠狀病毒病的SARS-CoV-2病毒在多國的感染過程中呈現出指數級增長。此後，易感宿主減少（持續感染直到超過群體免疫閾值）或通過社交距離措施減少潛在宿主的被傳染機率等因素，可能使呈指數增長的傳染曲線首先線性化，然後趨緩，達到最大值。

邏輯斯諦函數或相關的函數（例如龔珀茲函數）通常以描述性或現象學方的式使用，因為它們非常符合早期的指數上升，也符合隨著人群形成群體免疫而最終趨於平穩的趨勢。它與流行病的實際模型不同，後者試圖根據大流行的動態（例如接觸率、潛伏期、社交距離等）來描述感染狀態。不過，一些簡單的模型有邏輯斯諦解。

#### 早期COVID-19病例數建模

廣義邏輯斯諦函數（又稱Richards增長曲線）已應用於對COVID-19爆發的早期階段建模。研究者將廣義邏輯斯諦函數擬合到累計感染病例數（稱為傳染軌跡）。文獻中對廣義邏輯斯諦函數有不同的參數化。一種常用的形式是：

$$f(t ; \theta_1,\theta_2,\theta_3, \xi) = \frac{\theta_1}{[1 + \xi \exp (-\theta_2 \cdot (t - \theta_3) ) ]^{1/\xi}}$$

其中$\theta_1,\theta_2,\theta_3$取實數，$\xi$為正實數。曲線$f$的靈活性由$\xi$賦予：(i)若$\xi = 1$，則曲線衰減為邏輯斯諦函數，(ii)若$\xi$收斂至0，則曲線收斂至龔珀茲函數。在傳染病模型中，$\theta_1$, $\theta_2$和$\theta_3$分別代表傳染病最終的規模、感染率和滯後期。見右側的範例的傳染軌跡，其中$(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$設定為$(10 000, 0.2, 40)$。

在流行病學建模中，使用類似廣義邏輯斯諦函數的增長函數的好處之一是它相對容易應用於多級模型框架，其中來自不同地理區域的資訊可以匯總在一起。

### 化學：反應模型

自催化反應中，反應物和產物的濃度遵循邏輯斯諦函數。例如燃料電池陰極中不含鉑族金屬（PGM-free）的氧還原反應催化劑的劣化遵循邏輯斯諦衰減函數，表明這是一種自催化分解機制。

### 物理：費米-狄拉克分布

費米子在熱平衡系統的能量狀態上的統計分布遵循邏輯斯諦函數。特別地，根據費米-狄拉克統計，它是每個可能的能級被一個費米子占據的機率分布。

### 語言學：語言變化

語言學中，邏輯斯諦函數可用於對語言變化進行建模：一種最初處於邊緣地位的新詞隨著時間的推移開始傳播得更快，然後傳播速度隨著其普及而減慢。

### 經濟學和社會學：創新擴散

邏輯斯諦函數可用於描繪一項發明創新在其生命周期內擴散的過程.

## 外部連結

- L.J. Linacre, Why logistic ogive and not autocatalytic curve? , accessed 2009-09-12.
- https://web.archive.org/web/20060914155939/http://luna.cas.usf.edu/~mbrannic/files/regression/Logistic.html
- Modeling Market Adoption in Excel with a simplified s-curve
- Online experiments with JSXGraph