向量算子

向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定義，包括梯度、散度和旋度。

$$\operatorname{grad} \equiv \nabla$$

$$\operatorname{div} \ \equiv \nabla \cdot$$

$$\operatorname{curl} \equiv \nabla \times$$

拉普拉斯算符表示為：

$$\nabla^2 \equiv \operatorname{div}\ \operatorname{grad} \equiv \nabla \cdot \nabla$$

向量算子必須寫在它們所運算的標量場或向量場的左側，例如：

$$\nabla f$$

得到f的梯度，但是

$$f \nabla$$

是另一個向量算子，沒有對任何量進行運算。

一個向量算子可對另一個向量算子進行運算，得到一個複合向量算子，例如上面的拉普拉斯算符。

## 三維空間中的純量函數與向量函數

### 純量函數

令 $U$ 為空間位置 $(x, y, z)$ 的多變數函數，例如：

$$U(x,y,z) = x^2 + y^2+z^2 = r^2$$

表示了一個球面，這是一個標量場，其中每點的值等於該球半徑的平方。

### 向量函數

令 $V$ 為空間位置 $(x, y, z)$ 的向量函數，它可以被拆成三個分量，寫成以下的向量形式：

$$V(x,y,z)=V_x(x,y,z)\hat{i}+V_y(x,y,z)\hat{j}+V_z(x,y,z)\hat{k}$$

## 梯度與Nabla算子的定義

純量函數 $U(x, y, z)$ 在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率：

$$\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}$$

因為是沿著座標軸的變率，所以可以寫成分量形式：

$$\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i}, \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j}, \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}$$

其加總即為 $U$ 的組合變率：

$$\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}$$

如同微分算子 $D$ 被用來表示某函數的導數，例如 $D(f)$ 或 $Df$，我們使用 $\nabla$ 來表示組合變率：

$$\nabla U = \frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}= V(x,y,z)$$

其中 $V$ 為一向量函數。組合變率 $\nabla U$ 稱為 $U$ 的導數（derivative），$U$ 則稱為 $\nabla U$ 的本原（primitive）。

$\nabla U$ 本身是一個向量函數。在幾何與物理上，它指向變化速率最大的那個方向，在這個意義上，它被稱為 $U$ 的梯度、或斜率。

### Nabla算子的單獨使用

我們可以把 $\nabla$ 當作一個函數，唸為 $del$，記為 $\operatorname{grad}$，它接受一個純量函數，並傳回一個向量函數。其運算式為：

$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}$，因此：

$$\nabla U = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)(U) = \frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k} = \operatorname{grad} U$$

將 $\nabla$ 當作一個形式上的向量，則可以用向量的內積與叉積導出散度與旋度。

## 散度：Nabla算子與向量函數的內積

將 $\nabla$ 當作一個形式向量，與向量函數 $V$ 做內積：

$$\nabla \cdot V = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\cdot \left(V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k}\right)=\frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z} = U(x,y,z)$$

這裡得到一個純量函數 $U$，稱為 $V$ 的散度。

我們也可以將 $\nabla \cdot$ 當作一個算子，唸為 $del\ dot$，記為 $\operatorname{div}$，它接受一個向量函數，但是傳回一個純量函數：

$$\nabla \cdot V = \operatorname{div} V = \hat{i}\cdot\frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j}\cdot\frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k}\cdot\frac{\partial V}{\partial z}$$

## 旋度：Nabla算子與向量函數的叉積

將 $\nabla$ 當作一個形式向量，與向量函數 $V$ 做叉積：

$$\begin{align} \nabla \times V &= \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\times \left(V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k}\right) \\ &= \hat{i} \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) + \hat{j} \left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \right) + \hat{k} \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_x & V_y & V_z \end{vmatrix} \end{align}$$

這裡得到一個向量函數，稱為 $V$ 的旋度。

我們也可以將 $\nabla \times$ 當作一個算子，唸為 $del\ cross$，記為 $\operatorname{curl}$，它接受一個向量函數，並傳回一個向量函數：

$$\nabla \times V = \operatorname{curl} V = \hat{i}\times\frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j}\times\frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k}\times\frac{\partial V}{\partial z}$$

## 拉普拉斯算子

對一個純量函數做梯度運算，可以得到一個向量函數，再對該向量函數做散度運算，又得回一個純量函數，稱為梯度的散度：

$$\nabla \cdot \nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right) \cdot \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

這稱為拉普拉斯算子，記為 $\nabla^2$ 或者 $\Delta$，它接受一個純量函數，並傳回一個純量函數。

## 延伸閱讀

- H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.