明渠流

明渠流（open-channel flow）是水力學的分支，是液體在管道或水路中的流動，而且液體存在自由表面，包括未全滿的液體在管道中流動，則稱為管流。流體的重量是這種流體的主要驅動來源。

## 流的狀態

明渠流的行為是由粘滯力和重力以及流體本身的慣性所控制。表面張力有一些影響，不過在大部份的應用中，表面張力不是主要影響因素。由於流體有自由表面，明渠流中重力多半是最重要影響明渠流的因素。慣力和重力的比例就是明渠流裡最重要旳無因次量，此無因次量稱為福祿數，定義為$$\text{Fr} = {U\over{\sqrt{gD}}}$$

其中

- $U$是平均速度
- $D$是表示渠深度的特徵長度
- $g$為重力加速度。

粘滯力相對慣性力的影響可以用雷諾數表示，流體可以分為層流、湍流和過渡流。不過一般會假設其雷諾數夠大，流體的粘滯力可以忽略，流體本身會是湍流。

## 公式

可以用針對質量、動量和能量的守恆定律來描述明渠流。其統御方程可以從考慮流速向量場${\bf v}$（分量${\bf v} = \begin{pmatrix} u & v & w \end{pmatrix}^{T}$）的動態方程求得。在笛卡兒坐標系下，這些分量對應x軸、y軸和z軸的流速。

為了簡化最後的公式，會進行以下的假設：

- 流是不可壓縮流（若是快速變化的流，此假設就不合適)
- 雷諾數夠大，粘滯擴散可以忽略
- 流是沿著x軸的一維流

### 連續性方程式

通用的連續性方程式描述質量的守恆，其形式如下：$${\partial \rho\over{\partial t}} + \nabla \cdot (\rho {\bf v}) = 0$$其中$\rho$是流體密度，$\nabla \cdot()$是散度算子。假設不可壓縮流，有固定的控制體積 $V$，方程可以表示為$\nabla \cdot {\bf v} = 0$。不過，明渠流的截面$A$可能會隨著時間和位置而變化。若從連續性方程式的積分形開始：$${d\over{dt}}\int_{V}\rho \; dV = -\int_{V} \nabla\cdot(\rho {\bf v}) \; dV$$可以將體積積分分解成截面和長度，因此可以得到下式：$${d\over{dt}}\int_{x}\left(\int_{A}\rho \; dA \right) dx = -\int_{x}\left[\int_{A}\nabla\cdot(\rho {\bf v}) \; dA \right] dx$$在流體不可壓縮、一維流的假設下，方程式可以寫成：$${d\over{dt}}\int_{x}\left(\int_{A}dA \right) dx = -\int_{x}{\partial\over{\partial x}}\left(\int_{A} u \; dA \right) dx$$利用$\int_{A}dA = A$並且定義體積流率 $Q = \int_{A}u \; dA$, 方程式可以簡化如下：$$\int_{x}{\partial A\over{\partial t}} \; dx = -\int_{x}{\partial Q\over{\partial x}} dx$$最後，可以得到不可壓縮、一維明渠流的方程：${\partial A\over{\partial t}} + {\partial Q\over{\partial x}} = 0$

### 動量方程

明渠流的動量方程可以從不可壓縮的納維-斯托克斯方程開始：$$\overbrace{\underbrace{{\partial {\bf v}\over{\partial t}}}_{\begin{smallmatrix} \text{Local} \\ \text{Change} \end{smallmatrix}} + \underbrace{{\bf v}\cdot\nabla {\bf v}}_{\text{Advection}}}^{\text{Inertial Acceleration}} = -\underbrace{{1\over{\rho}}\nabla p}_{\begin{smallmatrix} \text{Pressure} \\ \text{Gradient} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\nu \Delta {\bf v}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{\nabla \Phi}_{\text{Gravity}} + \underbrace{{\bf F}}_{\begin{smallmatrix} \text{External} \\ \text{Forces} \end{smallmatrix}}$$其中$p$是壓強，$\nu$是動黏度，$\Delta$是拉普拉斯算子，而$\Phi = gz$ 是重力位。配合高雷諾數以及一維流的假設，可得以下方程：$$\begin{aligned} {\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} &= -{1\over{\rho}}{\partial p\over{\partial x}} + F_{x} \\ -{1\over{\rho}}{\partial p\over{\partial z}} - g &= 0 \end{aligned}$$第二個方程中有流體靜壓$p = \rho g \zeta$，而渠深度$\eta(t,x) = \zeta(t,x) - z_{b}(x)$ 是自由表面$\zeta$和渠底$z_{b}$的距離。將此代入第一個方程，可得：$${\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \zeta\over{\partial x}} = F_{x} \implies {\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \eta\over{\partial x}} - gS = F_{x}$$where the channel bed slope $S = -dz_{b}/dx$。若要考慮渠道上的剪應力,可以定義受力項為：$$F_{x} = -{1\over{\rho}}{\tau\over{R}}$$其中$\tau$為剪應力，$R$為水力半徑。定義摩擦斜率$S_{f} = \tau/\rho g R$，是量化摩擦損失的方式，可以得到以下的動量方程式：${\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \eta\over{\partial x}} + g(S_{f}- S) = 0$

### 能量方程式

若要推導能量方程式，考慮平流加速度項${\bf v}\cdot\nabla {\bf v}$可以分解如下：$${\bf v}\cdot\nabla {\bf v} = \omega \times {\bf v} + {1\over{2}}\nabla\|{\bf v}\|^{2}$$其中$\omega$是流的渦量，$\|\cdot\|$是歐幾里得範數。這可以得到一個不考慮外部力的動量方程，為：$${\partial {\bf v}\over{\partial t}} + \omega \times {\bf v} = -\nabla\left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} + {p\over{\rho}} + \Phi \right )$$將方程兩側對${\bf v}$進行點積，可得：$${\partial\over{\partial t}}\left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} \right ) + {\bf v}\cdot \nabla \left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} + {p\over{\rho}} + \Phi \right ) = 0$$其中有利用三重積 ${\bf v}\cdot (\omega \times {\bf v}) = 0$。定義$E$為能量密度：$$E = \underbrace{{1\over{2}}\rho\|{\bf v} \|^{2} }_{\begin{smallmatrix} \text{Kinetic} \\ \text{Energy} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\rho\Phi}_{\begin{smallmatrix} \text{Potential} \\ \text{Energy} \end{smallmatrix}}$$注意其中的 $\Phi$是非時變的。可以得到下式：$${\partial E\over{\partial t}} + {\bf v}\cdot\nabla (E+p) = 0$$假設能量密度是非時變的，且流是一維流，可以簡化如下：$$E + p = C$$with $C$為常數，這和伯努利定律等效。明渠流中特別關注的是比能 $e = E/\rho g$，可以計算揚程 $h$，定義如下：$\begin{aligned} h &= e + {p\over{\rho g}} \\ &= {u^{2}\over{2g}} + z + {p\over{\gamma}} \end{aligned}$其中 $\gamma = \rho g$是比重量。不過，實際系統需加上揚程損失項 $h_{f}$，這是考慮因為摩擦力和湍流產生的能量耗散，之前因為在動量方程不考慮外力，這些被省略了。