可表函子

可表函子是在數學中範疇論里的概念，指從任意範疇到集合範疇的一種特殊函子。這種函子將抽象的範疇表達成人們熟知的結構（即集合與函數），從而使得對集合範疇的了解可以儘可能應用到其它環境中。

從另外一個角度看，範疇的可表函子是隨範疇而生的。因此，可表函子理論可以視作偏序集合理論中的上閉集合以及群論中的凱萊定理的極大的推廣。

## 定義

設 $\mathcal{C}$ 為局部小範疇，並記集合範疇為 $\mathbf{Set}$。對 $\mathcal{C}$ 中的每個對象 $A$ 以 $\operatorname{Hom}(A,-)$ 指代將對象 $X$ 映到集合 $\operatorname{Hom}(A,X)$ 的Hom函子。

函子 $F:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$ 是可表的當存在某個 $\mathcal{C}$ 中的對象 $A$ 使得 $F$ 自然同構於 $\operatorname{Hom}(A,-)$。而滿足

$$\Phi : \operatorname{Hom}(A,-) \to F$$

為自然同構的對 $(A,\Phi)$ 則稱為 $F$ 的一個表示。

從 $\mathcal{C}$ 到 $\mathbf{Set}$ 的反變函子 $G$ 不過是（協變）函子 $G : \mathcal{C}^\mathrm{op}\to\mathbf{Set}$，常被稱作預層。與協變的情況相似，預層是可表的當它自然同構與某個反變的Hom函子 $\operatorname{Hom}(-,A)$，其中 $A$ 是 $\mathcal{C}$ 中的某個對象。

## 泛元素

根據米田引理，從 $\operatorname{Hom}(A,-)$ 到 $F$ 的自然變換與集合 $F(A)$ 一一對應。給定自然變換 $\Phi : \operatorname{Hom}(A,-) \to F$，與之對應的元素 $u\in F(A)$ 由

$$u = \Phi_A(\mathrm{id}_A).\,$$

給出。反之，給定元素 $u\in F(A)$，可以如下定義自然變換 $\Phi : \operatorname{Hom}(A,-) \to F$

$$\Phi_X(f) = (Ff)(u) ,\,$$

其中 $f$ 是 $\operatorname{Hom}(A,X)$ 中的任意元素。為了得到 $F$ 的表示，我們需要確定 $u$ 誘導的自然變換何時會是同構。這引導出如下定義：

函子 $F:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$ 的泛元素是由 $\mathcal{C}$ 中的對象 $A$ 與 $F(A)$ 中的元素 $u$ 組成的一對 $(A,u)$，使得對於任意滿足' $v\in F(X)$ 的對 $(X,v)$，都存在唯一映射 $f:A\to X$ 使得 $(Ff)(u)=v$。

泛元素還可看作從單點集合 $\{\cdot\}$ 到函子 $F$ 的泛態射，又或者看作 $F$ 的元素範疇中的始對象。

這樣，由元素 $u\in F(A)$ 誘導的自然變換是自然同構若且唯若 $(A,u)$ 是 $F$ 的泛元素。由此可以得出 $F$ 的表示與 $F$ 的泛元素之間的一一對應。為此，泛元素 $(A,u)$ 常常也被稱為表示。

## 範例

- 考慮反變函子 $P:\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$，將集合映到其冪集、將函數映到其原像映射。要表示這個函子，我們需要一對 $(A,u)$，其中 $A$ 是集合而 $u$ 是 $A$ 的子集（即 $P(A)$ 中的元素），使得對於任意集合 $X$，態射集合 $\operatorname{Hom}(X,A)$ 通過函數 $\Phi_X(f)=(Pf)u=f^{-1}(u)$ 與 $P(X)$ 雙射。取 $A=\{0,1\}$ 及 $u=\{1\}$，那麼給定任意子集 $S\subseteq X$，對應的函數 $X\to A$ 正是 $S$ 的示性函數。
- 映到 $\mathbf{Set}$ 的遺忘函子常常是可表的。特別地，每當 $A$ 是由單個生成元 $u$ 組成的單元素集合上的自由對象，遺忘函子都由 $(A,u)$ 所表示，如：
- 群範疇上的遺忘函子 $\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ 由 $(\mathbb{Z},1)$ 所表示。
- 環範疇上的遺忘函子 $\mathbf{Ring}\to\mathbf{Set}$ 由整係數單變元多項式環 $(\mathbb{Z}[x],x)$ 所表示。
- $k$-向量空間範疇上的遺忘函子 $k\textrm{-}\mathbf{Vect}\to\mathbf{Set}$ 由 $(k,1)$ 所表示。
- 拓撲空間範疇上的遺忘函子 $\mathbf{Top}\to\mathbf{Set}$ 由單元素拓撲空間和其唯一元素所表示。
- 群 $G$ （甚至廣群）可以視作只有單個對象（記作 $\cdot$）的範疇。從這個範疇 $G$ 到 $\mathbf{Set}$ 的每個函子都對應於一個 $G$-集合；其中從 $G$ 到 $\mathbf{Set}$ 唯一的Hom函子 $\operatorname{Hom}(\,\cdot\,,-)$ 對應於底集合為 $G$、作用為 $G$ 中左乘法的典範 $G$-集合。藉助群論中的標準論證可知從 $G$ 到 $\mathbf{Set}$ 函子可表若且唯若其對應的 $G$-集合為正則的（即自由且可遞；這類 $G$-集合也稱為 $G$-旋子或堆），而為這個函子選擇一個表示即相當於為這個堆選擇一個恆等元。
- 設 $\mathcal{C}$ 為對象是CW復形、態射為連續映射的同倫類的範疇。對於每個自然數 $n$ 存在一個反變函子 $H^n:\mathcal{C}\to\mathbf{Ab}$，將每個CW復形映到其 $n$ 階（整係數）上同調群。與阿貝爾群範疇上的遺忘函子複合後即得到一個從 $\mathcal{C}$ 到 $\mathbf{Set}$ 的反變函子。代數拓撲中的布朗可表性定理聲明這個函子可由一個CW復形 $K(\mathbb{Z},n)$ 所表示；這個CW復形被稱為艾倫伯格-麥克蘭恩空間。

## 性質

### 唯一性

函子的表示在同構的意義下唯一。換言之，如果 $(A_1,\Phi_1)$ 與 $(A_2,\Phi_2)$ 表示同一個函子，那麼存在唯一的同構 $\varphi:A_1\to A_2$ 使得

$$\Phi_1^{-1}\circ\Phi_2 = \mathrm{Hom}(\varphi,-)$$

作為從 $\operatorname{Hom}(A_2,-)$ 到 $\operatorname{Hom}(A_1,-)$ 自然同構相等。這一事實可由米田引理簡單得出。

用泛元素的語言表述如下：如果 $(A_1,u_1)$ 與 $(A_2,u_2)$ 表示同一個函子，那麼存在唯一的同構 $\varphi:A_1\to A_2$ 使得

$$(F\varphi)u_1 = u_2.$$

### 保極限性

可表函子自然同構於Hom函子，因而享有許多後者的性質。尤其值得注意的是，（協變）可表函子保持所有極限。由此可得，未能保持某些極限的函子都不是可表的。

相似地，反變可表函子把餘極限映到極限。

### 左伴隨

如果函子 $K:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$ 帶有左伴隨 $F:\mathbf{Set}\to\mathcal{C}$，那麼它就可由 $(FX,\eta_X(\cdot))$ 表示；這裡 $X=\{\cdot\}$ 是某個單元素集合，而 $\eta$ 是伴隨的單位。

反之，如果 $K$ 由對 $(A,u)$ 表示，且 $A$ 的任意上冪

$I$

$\mathcal{C}$

$A$

$A$

$I$

$\coprod_{i\in I}A$

在 $\mathcal{C}$ 中都存在，那麼 $K$ 擁有左伴隨 $F$，後者將任意集合 $I$ 映到 $A$ 的 $I$ 次上冪。

所以，如果 $\mathcal{C}$ 是帶所有上冪的範疇，則函子 $K:\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$ 是可表的若且唯若它擁有左伴隨。

## 與泛態射及伴隨的關聯

泛態射和伴隨函子這兩個範疇論概念都可以用可表函子表達。

設 $G:\mathcal{D}\to\mathcal{C}$ 為函子，$X$ 為 $\mathcal{C}$ 中的對象。那麼 $(A,\varphi)$ 是從$X$ 到 $G$ 的泛態射若且唯若 $(A,\varphi)$ 是函子 $\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(X,G-):\mathcal{D}\to\mathbf{Set}$ 的表示。由此可知 $G$ 帶有左伴隨（記為 $F$）若且唯若函子 $\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(X,G-)$ 對於任意 $\mathcal{C}$ 中的對象 $X$ 都可表。此外，伴隨正由自然同構 $\Phi_X:\operatorname{Hom}_\mathcal{D}(FX,-)\to\operatorname{Hom}_\mathcal{C}(X,G-)$ 給出，即：

$$\Phi_{X,Y}\colon \mathrm{Hom}_{\mathcal D}(FX,Y) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,GY)$$

對於所有$X$ 和 $Y$ 都是（自然的）雙射。

與之對偶的陳述也成立：設 $F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ 為函子，$Y$ 為 $\mathcal{D}$ 中的對象。那麼那麼 $(A,\varphi)$ 是從$F$ 到 $Y$ 的泛態射若且唯若 $(A,\varphi)$ 是函子 $\operatorname{Hom}_\mathcal{D}(F-,Y):\mathcal{C}\to\mathbf{Set}$ 的表示。由此可知 $F$ 帶有右（記為 $G$）伴隨若且唯若函子 $\operatorname{Hom}_\mathcal{D}(F-,Y)$ 對於任意 $\mathcal{D}$ 中的對象 $Y$ 都可表。