解析信號

在數學和信號處理中，解析信號（analytic signal）是沒有負頻率分量的復值函數。解析信號的實部和虛部是由希爾伯特轉換相關聯的實值函數。

實值函數的解析表示是解析信號，包含原始函數和它的希爾伯特變換。這種表示促進了許多數學變換的發展。基本的想法是，由於頻譜的埃爾米特對稱，實值函數的傅立葉變換（或頻譜）的負頻率成分是多餘的。若是不介意處理復值函數的話，這些負頻率分量可以丟棄而不損失資訊。這使得函數的特定屬性更易理解，並促進了調製和解調技術的衍生，如單邊帶。只要操作的函數沒有負頻率分量（也就是它仍是「解析函數」），從複數轉換回實數就只需要丟棄虛部。解析表示是向量概念的一個推廣：向量限制在時不變的振幅、相位和頻率，解析信號允許有時變參數。

## 定義

若 $s(t)$ 是一個實值函數，其傅立葉變換為 $S(f)$，$S(f)$為一於 $f = 0$ 埃爾米特對稱之函數：

$S(-f) = S(f)^*,$ 其中，$S(f)^*$為 $S(f)$ 的復共軛。

函數：

$$\begin{align} S_\mathrm{a}(f) &\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \begin{cases} 2S(f), &\text{for}\ f > 0,\\ S(f), &\text{for}\ f = 0,\\ 0, &\text{for}\ f < 0 \end{cases}\\ &= \underbrace{2 \operatorname{u}(f)}_{1 + \sgn(f)}S(f) = S(f) + \sgn(f)S(f), \end{align}$$

其中：

- $\operatorname{u}(f)$ 是單位階躍函數。
- $\sgn(f)$ 是符號函數。

僅包含 $S(f)$ 的非負頻率分量。而且由於 $S(f)$ 的埃爾米特對稱性，該運算是可逆的：

$$\begin{align} S(f) &= \begin{cases} \frac{1}{2}S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f > 0,\\ S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f = 0,\\ \frac{1}{2}S_\mathrm{a}(-f)^*, &\text{for}\ f < 0\ \text{(Hermitian symmetry)} \end{cases}\\ &= \frac{1}{2}[S_\mathrm{a}(f) + S_\mathrm{a}(-f)^*]. \end{align}$$

$s(t)$ 的解析信號是 $S_\mathrm{a}(f)$ 的傅立葉逆變換：

$$\begin{align} s_\mathrm{a}(t) &\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \mathcal{F}^{-1}[S_\mathrm{a}(f)]\\ &= \mathcal{F}^{-1}[S (f)+ \sgn(f) \cdot S(f)]\\ &= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)} + \overbrace{ \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{\sgn(f)\}}_{j\frac{1}{\pi t}} * \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)} }^{convolution}\\ &= s(t) + j\underbrace{\left[{1 \over \pi t} * s(t)\right]}_{\operatorname{\mathcal{H}}[s(t)]}\\ &= s(t) + j\hat{s}(t), \end{align}$$

其中

- $\hat{s}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \operatorname{\mathcal{H}}[s(t)]$ 是 $s(t)$ 的希爾伯特轉換。
- $*$ 是卷積符號。
- $j$ 是虛數單位。

## 例子

### 例1

$s(t) = \cos(\omega t),$ 其中 $\omega > 0.$

於是：

$$\hat{s}(t) = \cos(\omega t - \pi/2) = \sin(\omega t),$$

$s_\mathrm{a}(t) = s(t) + j\hat{s}(t) = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t) = e^{j\omega t}.$ 第三個等式為歐拉公式。

歐拉公式的一個推論是 $\cos(\omega t) = \tfrac{1}{2} (e^{j\omega t} + e^{j (-\omega) t}).$ 一般來說，簡單正弦曲線的解析表示是通過用復指數表示它，丟棄負頻率分量，並對正頻率分量加倍得到的。正弦曲線之和的解析表示等於單個正弦波的解析表示之和。

### 例2

這裡我們使用歐拉公式來識別並丟棄負頻率。

$$s(t) = \cos(\omega t+\theta) = \tfrac{1}{2} (e^{j (\omega t+\theta)} + e^{-j (\omega t+\theta)})$$

於是：

$$s_\mathrm{a}(t) = \begin{cases} e^{j(\omega t + \theta)} \ \ = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{j\theta} , & \text{if} \ \omega > 0, \\ e^{-j(\omega t + \theta)} = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{-j\theta} , & \text{if} \ \omega < 0. \end{cases}$$

### 例3

這是使用希爾伯特變換方法去除負頻率分量的另一個例子。我們注意到，對於復值函數 $s(t)$，沒有什麼能阻止我們計算 $s_\mathrm{a}(t)$。但它可能不是一種可逆的表示，因為原頻譜不總是對稱的。所以除了此例以外，一般討論都假設 $s(t)$ 為實值函數。

$s(t) = e^{-j\omega t}$, 其中 $\omega > 0$.

於是：

$$\hat{s}(t) = je^{-j\omega t},$$

$$s_\mathrm{a}(t) = e^{-j\omega t} + j^2 e^{-j\omega t} = e^{-j\omega t} - e^{-j\omega t} = 0.$$

## 負頻率分量

由於 $s(t) = \operatorname{Re}[s_\mathrm{a}(t)]$，恢復負頻率分量就是簡簡單單丟棄 $\operatorname{Im}[s_\mathrm{a}(t)]$ 這件事可能與直覺不太一致。我們還可以注意到復共軛 $s_\mathrm{a}^*(t)$ 僅由負頻率分量構成。因此 $\operatorname{Re}[s_\mathrm{a}^*(t)]$ 恢復了被減弱的正頻率分量。

## 應用

### 包絡和瞬時相位

解析信號也可以表示在其隨時間變化的幅度和相位（極坐標）：

$$s_\mathrm{a}(t) = s_\mathrm{m}(t)e^{j\phi(t)},$$

其中：

- $s_\mathrm{m}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} |s_\mathrm{a}(t)|$ 稱作瞬時振幅或包絡 (波)。
- $\phi(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \arg\!\left[s_\mathrm{a}(t)\right]$ 稱作瞬時相位。

在附圖中，藍色曲線描繪 $s(t)$，紅色曲線描繪對應的 $s_\mathrm{m}(t)$。

解纏的瞬時相位的時間導數的單位為rad/s，稱作瞬時角頻率：

$$\omega(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \frac{d\phi}{dt}(t).$$

因此，瞬時頻率（單位赫茲）為：

$f(t)\stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} \frac{1}{2\pi}\omega(t).$

瞬時振幅、瞬時相位與頻率在一些應用中用於測量和檢測的信號的局部特徵。信號的解析表示的另一個應用與調製信號的解調有關。極坐標方便將振幅調變和相位（或頻率）調製的影響分開，對解調某些種類的信號很有效。

### 復包絡/基帶

解析信號通常都會在頻率上移位（下轉換）到 0 Hz，可能會產生非對稱負頻率分量：

$$\underline{s_\mathrm{a}}(t) \stackrel{\mathrm{def}}{{}={}} s_\mathrm{a}(t)e^{-j\omega_0 t} = s_\mathrm{m}(t)e^{j(\phi(t) - \omega_0 t)},$$

其中 $\omega_0$ 是任意參考角頻率。

這個函數有不同的名稱，如復包絡和復基帶。復包絡不是唯一的；它是由 $\omega_0$ 的選取決定的。這個概念通常用於處理通帶。如果 $s(t)$ 是調製信號，$\omega_0$ 可能會等於它的載波頻率。

在其他情況下，$\omega_0$ 選在所需通帶的中間。因此簡單的實係數低通濾波器就可以去除感興趣的部分。另一個動機是減少最高頻率，從而降低最小的無混疊採樣率。頻移不加大覆信號表示的數學處理難度。因此從這個意義上說，下轉換的信號仍然是解析信號。但是恢復實值表示不再是簡簡單單提取實部的問題了。為了避免混疊可能需要上轉換，若信號已被（離散時間）採樣，還可能需要插值（升採樣）。

若選取的 $\omega_0$ 大於 $s_\mathrm{a}(t)$ 的最高頻率，則 $\underline{s_\mathrm{a}}(t)$ 沒有正頻率。在這種情況下，提取實部並恢復它們，但順序要相反；低頻分量現在變為高頻分量，反之亦然。這可用於解調一種叫做下邊帶的單邊帶信號。

參考頻率的其他選擇：

有時 $\omega_0$ 的選取是要最小化

$$\int_{0}^{+\infty}(\omega - \omega_0)^2|S_\mathrm{a}(\omega)|^2\, d\omega.$$

另外， $\omega_0$ 選取還可以是要最小化線性逼近解纏的瞬時相位 $\phi(t)$ 的均方誤差：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}[\omega(t) - \omega_0]^2 |s_\mathrm{a}(t)|^2\, dt$$

再或者（對最佳 $\theta$）：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}[\phi(t) - (\omega_0 t + \theta)]^2\, dt.$$

在信號處理領域，維格納–威利分布定義中需要解析信號，因此該方法在實際應用中具有理想特性。

有時復包絡與復振幅同義。

其他時候它作為一種時間無關的推廣形式。它們的關係並不像實值的情形那樣；變化的包絡 (波)產生恆定的振幅。

## 外部連結

- Analytic Signals and Hilbert Transform Filters