鐵木辛柯梁理論

鐵木辛柯梁是20世紀早期由美籍烏克蘭裔科學家與工程師史蒂芬·鐵木辛柯提出並發展的力學模型。模型考慮了剪應力和轉動慣性，使其適於描述短梁、層合梁以及波長接近厚度的高頻激勵時梁的表現。結果方程有4階，但不同於一般的梁理論，如歐拉-伯努利梁理論，還有一個2階空間導數呈現。實際上，考慮了附加的變形機理有效地降低了梁的剛度，結果在一穩態載荷下撓度更大，在一組給定的邊界條件時預估固有頻率更低。後者在高頻即波長更短時效果更明顯，反向剪力距離縮短時也有同樣效果。

如果梁材料的剪切模量接近無窮，即此時梁為剪切剛體，並且忽略轉動慣性，則鐵木辛柯梁理論趨同於一般梁理論。

## 控制方程

### 准靜態鐵木辛柯梁

在靜力學中鐵木辛柯梁理論沒有軸向影響，假定梁的位移服從於

$$<pre> u_x(x,y,z) = -z~\varphi(x) ~;~~ u_y(x,y,z) = 0 ~;~~ u_z(x,y) = w(x) </pre>$$

式中$(x,y,z)$是梁上一點的坐標，$u_x, u_y, u_z$是位移矢量的三維坐標分量，$\varphi$是對於梁的中性面的法向轉角，$w$是中性面的在$z$方向的位移。

控制方程是以下常微分方程的解耦系統：

$$<pre> \begin{align} & \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}\left(EI\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right) = q(x,t) \\ & \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} x} = \varphi - \frac{1}{\kappa AG} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(EI\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right). \end{align} </pre>$$

靜態條件下的鐵木辛柯梁理論，若在以下條件成立時，等同於歐拉-伯努利梁理論

$$\frac{EI}{\kappa L^2 A G} \ll 1$$

此時，可忽略上面控制方程的最後一項，得到有效的近似，式中$L$是梁的長度。

對於等截面均勻梁，合併以上兩個方程。

$$<pre> EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} = q(x) - \cfrac{EI}{\kappa A G}~\cfrac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} x^2}$$

### 動態鐵木辛柯梁

在鐵木辛柯梁理論中若不考慮軸向影響，則給出梁的位移

$$<pre> u_x(x,y,z,t) = -z~\varphi(x,t) ~;~~ u_y(x,y,z,t) = 0 ~;~~ u_z(x,y,z,t) = w(x,t) </pre>$$

式中$(x,y,z)$是梁內一點的坐標，$u_x, u_y, u_z$是位移矢量的三維坐標分量，$\varphi$是對於梁的中性面的法向轉角，$w$是中性面$z$方向的位移.

從以上假設，鐵木辛柯梁，考慮到振動，要用線性耦合偏微分方程描述：

$$\rho A\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} - q(x,t) = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \kappa AG \left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)\right]$$

$$\rho I\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)$$

其中因變量是梁的平移位移$w(x,t)$和轉角位移$\varphi(x,t)$。注意不同於歐拉-伯努利梁理論，轉角位移是另一個變量而非撓度斜率的近似。此外。

- $\rho$是梁材料的密度（而非線密度）。
- $A$是截面面積。
- $E$是彈性模量。
- $G$是剪切模量。
- $I$是軸慣性矩。
- $\kappa$，稱作鐵木辛柯剪切係數，由形狀確定，通常矩形截面$\kappa = 5/6$。
- $q(x,t)$是載荷分布（單位長度上的力）。
- $$m := \rho A$$
- $$J := \rho I$$

這些參數不一定是常數。

對於各向同性的線彈性均勻等截面梁，以上兩個方程可合併成

$$<pre> EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + m~\cfrac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J + \cfrac{E I m}{k A G}\right)\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2~\partial t^2} + \cfrac{m J}{k A G}~\cfrac{\partial^4 w}{\partial t^4} = q(x,t) + \cfrac{J}{k A G}~\cfrac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \cfrac{EI}{k A G}~\cfrac{\partial^2 q}{\partial x^2}$$

#### 軸向影響

如果梁的位移由下式給出

$$<pre> u_x(x,y,z,t) = u_0(x,t)-z~\varphi(x,t) ~;~~ u_y(x,y,z,t) = 0 ~;~~ u_z(x,y,z) = w(x,t) </pre>$$

其中$u_0$是$x$方向的附加位移，則鐵木辛柯梁的控制方程成為

$$<pre> \begin{align} </pre> m \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \kappa AG \left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)\right] + q(x,t) \\ J \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} & = N(x,t)~\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right) <pre> \end{align} </pre>$$

其中$J = \rho I$，$N(x,t)$是外加軸向力。任意外部軸向力的平衡依靠應力

$$<pre> N_{xx}(x,t) = \int_{-h}^{h} \sigma_{xx}~dz$$

式中$\sigma_{xx}$是軸向應力，梁的厚度設為$2h$。

包含軸向力的梁方程合併為

$$<pre> EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + N~\cfrac{\partial^2 w}{\partial x^2} + m~\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J+\cfrac{mEI}{\kappa AG}\right)~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial t^2} + \cfrac{mJ}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^4 w}{\partial t^4} = q + \cfrac{J}{\kappa AG}~\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \cfrac{EI}{\kappa A G}~\frac{\partial^2 q}{\partial x^2} </pre>$$

#### 阻尼

如果，除軸向力外，也考慮與速度成正比的阻尼力，形如

$$<pre> \eta(x)~\cfrac{\partial w}{\partial t}$$

鐵木辛柯梁的耦合控制方程成為

$$m \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} + \eta(x)~\cfrac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \kappa AG \left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)\right] + q(x,t)$$

$$J \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} = N\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)$$

合併方程為

$$<pre> \begin{align} EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} & + N~\cfrac{\partial^2 w}{\partial x^2} + m~\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J+\cfrac{mEI}{\kappa AG}\right)~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial t^2} + \cfrac{mJ}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^4 w}{\partial t^4} + \cfrac{J \eta(x)}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^3 w}{\partial t^3} \\ & -\cfrac{EI}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\eta(x)\cfrac{\partial w}{\partial t}\right) + \eta(x)\cfrac{\partial w}{\partial t} = q + \cfrac{J}{\kappa AG}~\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \cfrac{EI}{\kappa A G}~\frac{\partial^2 q}{\partial x^2} \end{align} </pre>$$

## 切變係數

確定切變係數不是直接的，一般它必須滿足：

$$\int_A \tau dA = \kappa A G \varphi\,$$

切變係數由泊松比確定。更嚴格的表達方法由多位科學家完成，包括史蒂芬·鐵木辛柯、雷蒙德·明德林（Raymond D. Mindlin）、考珀（G. R. Cowper）和約翰·哈欽森（John W. Hutchinson）等。工程實踐中，史蒂芬·鐵木辛柯的表達一般狀況下足夠好。

對於固態矩形截面：

$$\kappa = \cfrac{10(1+\nu)}{12+11\nu}$$

對於固態圓形截面：

$$\kappa = \cfrac{6(1+\nu)}{7+6\nu}$$