勞斯–赫爾維茨穩定性判據

勞斯–赫爾維茨穩定性判據（Routh–Hurwitz stability criterion）是控制理論中的一個數學判據，是線性時不變系統（LTI）穩定的充分必要條件。勞斯測試是由英國數學家愛德華·勞斯在1876年提出的快速演演算法，可以判斷一線性系統其特徵方程式的根是否都有負的實部。德國數學家阿道夫·赫維茲在1895年獨立的提出將多項式的係數放到一個方陣中（此方陣稱為赫維茲矩陣），證明多項式穩定若且唯若赫維茲矩陣的主要子矩陣其行列式形成的數列均為正值。二個程序是等價的，而勞斯測試提供一個有效計算赫維茲行列式的方法。滿足勞斯–赫爾維茨穩定性判據的多項式稱為赫爾維茨多項式。

此穩定性判據之所以重要，是因為若線性系統之特徵方程式的根p均有負的實部，表示其解ept為穩定的（BIBO穩定）。因此穩定性判據提供了方式，可以在不求解線性系統的運動方程的情形下，判斷其是否只有穩定解。對於離散系統，對應穩定性的測試可以由Schur–Cohn判據、Jury穩定性判據及Bistritz穩定性判據來判斷。隨著電腦的進步，此穩定性判據變的較少使用，另一種判斷的方式則是用數值方法直接求解多項式，得到其解的近似值。

勞斯測試可以由輾轉相除法以及在計算柯西指標時用施圖姆定理來推導。赫爾維茨利用另一種方式來推導其穩定性判據。

## 利用輾轉相除法求解

勞斯–赫爾維茨穩定性判據和勞斯–赫爾維茨定理有關。由定理的陳述，可得$p-q=w(+\infty)-w(-\infty)$其中：

- p為多項式ƒ(z)的根中實部為負值的個數。
- q為多項式ƒ(z)的根中實部為正值的個數。（此假設ƒ(z)的根都不在虛軸上）
- w(x)為由 $P_0(y)$及$P_1(y)$由施圖姆定理得到的變號數（中間利用連續的輾轉相除法），其中$f(iy)=P_0(y)+iP_1(y)$，y為實數。

根據代數基本定理，每個n次的多項式在複數平面上會有n 個根（也就是，對於根都不在虛軸上的ƒ，p + q = n）。因此可得到ƒ為（穩定的）赫爾維茨多項式若且唯若p − q = n。利用勞斯–赫爾維茨定理，可以將p和q的條件改為以廣義施圖姆鏈組成的條件，也就是以ƒ的係數組合而成的條件。

## 使用矩陣

令 f(z) 為一個復多項式。過程如下：

- 計算多項式 $P_0(y)$ 和 $P_1(y)$ 使得 $f(iy)=P_0(y)+iP_1(y)$ 其中 y 為一實數。
- 計算與 $P_0(y)$ 和 $P_1(y)$ 相關的西爾維斯特矩陣。
- 重新排列每一行，讓奇數行和其下一行起始地零數量相同。
- 計算該矩陣的每個主子式。
- 如果這些子式中至少一個為負（或零），則多項式 f 是不穩定的。

### 範例

- 令 $f(z)=az^2+bz+c$ (為了簡單起見，此處取實係數），其中 $c\neq 0$（為了避免一根為零，可以利用勞斯–赫爾維茨定理）。首先，要計算實多項式 $P_0(y)$ 與 $P_1(y)$：

$$f(iy)=-ay^2+iby+c=P_0(y)+iP_1(y)=-ay^2+c+i(by).$$

接下來，將多項式輾轉相除來得到廣義施圖姆鏈：

- $P_0(y)=((-a/b)y)P_1(y)+c,$ 得到 $P_2(y)=-c,$
- $P_1(y)=((-b/c)y)P_2(y),$ 得到 $P_3(y)=0$，於是輾轉相除法結束。

注意在第一次除法中，必須假設 b 不為零。在此情形下，廣義施圖姆鏈為 $(P_0(y),P_1(y),P_2(y))=(c-ay^2,by,-c)$。令 $y=+\infty$，$c-ay^2$ 的符號與 a 相反，而 by 的符號與 b 相同。當令 $y=-\infty$ 時，該鏈的第一部分符號也與 a 相反，而 by 的符號與 b 相反。最終，-c 的符號總與 c 相反。

現在假設 f 是赫爾維茨穩定的。這意味著 $w(+\infty)-w(-\infty)=2$（f 的階數）。由函數 w 的性質，這與 $w(+\infty)=2$ 及 $w(-\infty)=0$ 相同。因此，a, b 和 c 必須符號相同。因此找到了二階多項式穩定的必要條件.

### 二階、三階、四階多項式的勞斯–赫爾維茨判據

在下面，假設最高階的係數（例如二階多項式中的 $a_2$）為正。如果有必要，總可以將該多項式乘以 $-1$ 得到。

- 對於二階多項式 $P(s) = a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0$，如果所有係數都滿足 a_1，2.....n 符號相同，則所有根都在左半平面（特徵方程為 $P(s)$ 的系統穩定）.
- 對於三階多項式 $P(s) = a_3s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0$，所有係數都滿足 $a_n > 0$，並且 $a_2a_1 > a_3a_0$
- 對於四階多項式 $P(s) = a_4s^4 + a_3s^3 + a_2s^2 + a_1s + a_0 = 0$，所有係數都滿足 $a_n > 0$，並且 $a_3a_2 > a_4a_1$ 且 $a_3a_2a_1 > a_4a_1^2 + a_3^2a_0$
- 一般地，勞斯穩定性判據要求勞斯表的第一列所有元素符號相同。

滿足上述判據的系統稱為閉環穩定系統，否則會由於第一列元素符號改變而不穩定。

### 高階的例子

當難以求得高階特徵多項式的根的時候，可以用表格的方法來確定穩定性。對一個 n 階多項式

- $$D(s)=a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0$$

該表格由 n + 1 行，結構如下：

$a_n$｜$a_{n-2}$｜$a_{n-4}$｜$\dots$

$a_{n-1}$｜$a_{n-3}$｜$a_{n-5}$｜$\dots$

$b_1$｜$b_2$｜$b_3$｜$\dots$

$c_1$｜$c_2$｜$c_3$｜$\dots$

$\vdots$｜$\vdots$｜$\vdots$｜$\ddots$

其中元素 $b_i$ 和 $c_i$ 可以計算如下：

- $$b_i=\frac{a_{n-1}\times{a_{n-2i}}-a_n\times{a_{n-2i-1}}}{a_{n-1}}.$$
- $$c_i=\frac{b_1\times{a_{n-2i-1}}-a_{n-1}\times{b_{i+1}}}{b_1}.$$

算完之後，第一列中的符號數的變化將是非負極點的數目。

0.75｜1.5｜0｜0

3｜0｜0｜0

6｜0｜0｜0

在第一列中，有2個符號的變化（0.75 → −3，以及 −3 → 3），因此，有2個非負的根，系統是不穩定的。

有時虛軸上的極點會造成臨界穩定的情形。在那種情形中，「勞斯表」的係數一整行都會變為零，因而不能進一步求解出符號的改變了。然後另一種方法可以發揮作用。含有零的這一行的上面一行叫做「輔助多項式」。

- $$s^6+2s^5+8s^4+12s^3+20s^2+16s+16=0.\,$$

可得以下的表格：

1｜8｜20｜16

2｜12｜16｜0

2｜12｜16｜0

0｜0｜0｜0

在這個例子中，輔助多項式為 $A(s)=2s^4+12s^2+16.\,$ 仍為零。下一步是對上面的方程求導，得到下面的多項式。$B(s)=8s^3+24s^1$。包含零的行現在變為 "8" 和 "24"。使用這些值繼續建立勞斯表，就會得出虛軸上的兩個點。這兩個虛軸上的點是邊緣穩定性的主要原因。

## 參考文獻

- Felix Gantmacher (J.L. Brenner translator) (1959) Applications of the Theory of Matrices, pp 177–80, New York: Interscience.

## 外部連結

- A MATLAB script implementing the Routh-Hurwitz test