蓋爾曼–勞定理

蓋爾曼–勞定理（Gell-Mann and Low theorem）是量子場論中的重要定理，它說明了有相互作用的多體系統的基態（真空態）與相應的無相互作用多體系統之間的關係。1951年由默里·蓋爾曼和弗朗西斯·勞證明。該定理的重要意義在於，它將有相互作用系統的格林函數和無相互作用系統的格林函數聯繫起來。儘管一般用於基態，蓋爾曼–勞定理實際上可以應用於體系哈密頓量的任一個本徵態。其原始證明用到微擾理論，它將多體系統中的相互作用視為微擾，並通過無限慢的過程（絕熱過程）引入該微擾，從而將有相互作用的多體系統與對應的無相互作用的系統聯繫起來。

## 原理的表述

設 $|\Psi_0\rangle$ 是 $H_0$ 的一個本徵態，能量為 $E_0$。定義相互作用的哈密頓量為 $H=H_0 + gV$，其中 $g$ 是耦合常數， $V$ 是相互作用項，定義帶參量的哈密頓 $H_\epsilon=H_0 + e^{-\epsilon |t|}gV$，可以看到，當 $|t|\rightarrow\infty$ 時，$H_\epsilon=H_0$。而當$t=0$時，$H_\epsilon=H$。令 $U_{\epsilon I}$ 為對應於$H_\epsilon$的相互作用繪景（用下標I表示）下的時間演化算符。蓋爾曼–勞定理說的是，若 $\epsilon\rightarrow 0^+$ 時。

$$|\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle = \frac{ U_{\epsilon I} (0,\pm\infty) |\Psi_0 \rangle}{\langle \Psi_0 | U_{\epsilon I}(0,\pm\infty)|\Psi_0\rangle}$$

極限存在，則 $|\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle$ 就是 $H$ 的本徵態。

注意當$\epsilon\rightarrow 0^+$時，隨著時間t的增加，相互作用項實際上是以無限慢的速度引入的，這稱為絕熱連續過程，此時稱$H_\epsilon$構成$H_0$與$H$之間的一個絕熱連接。

蓋爾曼–勞定理本身並沒有說當$|\Psi_0\rangle$是基態時，$|\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle$也是基態，也就是說，沒有排除能級在絕熱連接時發生交叉的可能。不過，在微擾論的條件滿足的前提下，一般認為當$|\Psi_0\rangle$為基態時，$|\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle$也是基態。

## 證明

原始的論文是通過演化算符的戴森展開式來完成證明的，而Molinari則將其有效性推廣到微擾論成立的範圍之外。下面介紹Molinari的方法。在 $H_\epsilon$ 中令 $g=e^{\epsilon \theta}$，由時間演化算符滿足的薛丁格方程

$$i\hbar \partial_{t_1} U_\epsilon(t_1,t_2) = H_\epsilon(t_1) U_\epsilon(t_1,t_2)$$

及條件 $U_\epsilon(t,t)=1$，可以寫出方程的形式解

$$U_\epsilon(t_1,t_2) = 1+ \frac{1}{i\hbar} \int_{t_2}^{t_1} dt' (H_0 + e^{\epsilon(\theta -|t'|)} V) U_\epsilon(t',t_2).$$

先集中考慮 $0\geq t_2\geq t_1$ 的情形，換元後得到。

$$U_\epsilon(t_1,t_2) = 1+ \frac{1}{i\hbar} \int_{\theta +t_2}^{\theta+t_1} dt' (H_0 + e^{\epsilon t'} V) U_\epsilon(t'-\theta,t_2).$$

於是有

$$\partial_\theta U_\epsilon(t_1,t_2) = \epsilon g \partial_g U_\epsilon(t_1,t_2) = \partial_{t_1} U_\epsilon(t_1,t_2) + \partial_{t_2} U_\epsilon(t_1,t_2).$$

將上式與前面提到的薛丁格方程及其伴式

$$-i\hbar \partial_{t_1} U_\epsilon(t_2,t_1) = U_\epsilon(t_2,t_1) H_\epsilon(t_1)$$

結合就有。

$$i\hbar \epsilon g \partial_g U_\epsilon(t_1,t_2) = H_\epsilon(t_1)U_\epsilon(t_1,t_2)- U_\epsilon (t_1,t_2)H_\epsilon (t_2).$$

$H_{\epsilon I}$與$U_{\epsilon I}$ 之間的關係式形式上與上式相同，事實上，將上式兩邊各左乘 $e^{i H_0 t_1/\hbar}$，右乘 $e^{i H_0 t_2/\hbar}$，並利用關係

$$U_{\epsilon I} (t_1,t_2) = e^{i H_0 t_1/\hbar} U_{\epsilon}(t_1,t_2) e^{-i H_0 t_2 /\hbar}.$$

就可以得到$H_{\epsilon I}$與$U_{\epsilon I}$ 之間的關係式。

現在，令$t_1=0, t_2=+\infty$，等式兩邊作用在$|\Psi_0\rangle$上，並注意到$|\Psi_0\rangle$是$H_\epsilon(+\infty)=H_0$的本徵態，就有

$$\left(H_{\epsilon, t=0}-E_0 + i \hbar \epsilon g \partial_g\right) U_{\epsilon I}(0,\infty) |\Psi_0\rangle = 0.$$

對於時間為負值的情況，證明完全類似，最後就得到。

$$\left(H_{\epsilon, t=0}-E_0 \pm i \hbar \epsilon g \partial_g\right) U_{\epsilon I}(0,\pm\infty) |\Psi_0\rangle = 0.$$

下面以時間為負值為例繼續證明，為清晰起見，先把算符寫成簡略形式，即將$U_{\epsilon I}(0,-\infty)$簡寫作$U$。

$$i \hbar \epsilon g \partial_g \left(U|\Psi_0\rangle\right) = (H_\epsilon-E_0)U|\Psi_0\rangle.$$

下面計算 $i \hbar \epsilon g \partial_g | \Psi_\epsilon^- \rangle$，把$| \Psi_\epsilon^- \rangle$的定義式代入，並利用上面的關係式，可得。

$$\begin{align} i \hbar \epsilon g \partial_g | \Psi_\epsilon ^-\rangle &= \frac{1}{\langle\Psi_0| U |\Psi_0 \rangle} (H_\epsilon-E_0) U|\Psi_0\rangle - \frac{U|\Psi_0\rangle }{{\langle\Psi_0 |U| \Psi_0 \rangle}^2} \langle \Psi_0 | H_\epsilon-E_0 | \Psi_0\rangle \\ &= (H_\epsilon-E_0)|\Psi_\epsilon^-\rangle - |\Psi_\epsilon^-\rangle \langle \Psi_0 |H_\epsilon-E_0|\Psi_\epsilon^-\rangle \\ & = \left[ H_\epsilon - E^- \right] |\Psi_\epsilon^-\rangle. \end{align}$$

式中 $E^- = E_0 + \langle\Psi_0 | H_\epsilon-H_0 | \Psi_\epsilon^-\rangle$.

即

$$\left[ H_\epsilon - E^- -i\hbar \epsilon g \partial_g \right] |\Psi_\epsilon^-\rangle=0.$$

類似地可證明 $|\Psi_\epsilon^+\rangle$的關係式，綜合起來可寫成：

$$\left[ H_\epsilon - E^\pm \pm i\hbar \epsilon g \partial_g \right] |\Psi_\epsilon^\pm\rangle=0$$

然後取$\epsilon\rightarrow0^+$的極限，即可證明$|\Psi_\epsilon^\pm\rangle$是$H$的本徵函數，本徵值分別為$E^\pm$。

## 參考文獻

- K. Hepp: Lecture Notes in Physics (Springer-Verlag, New York, 1969), Vol. 2.
- G. Nenciu and G. Rasche: "Adiabatic theorem and Gell-Mann-Low formula", Helv. Phys. Acta 62, 372 (1989).
- A.L. Fetter and J.D. Walecka: "Quantum Theory of Many-Particle Systems", McGraw–Hill (1971)