伽羅瓦理論基本定理

伽羅瓦理論基本定理是抽象代數中的定理，通過群的概念來描述特定域擴張的細緻結構。定理說明了，如果某個域擴張L/K是有限伽羅瓦擴張，則此擴張的伽羅瓦群的子群與其中間域（即子擴張K⊂F⊂L中的F）之間有一一對應關係。

## 簡介

伽羅瓦理論最初研究的目標是域上多項式方程的根式通解問題。18世紀時，數學家已經知道，任意的二次方程、三次方程和四次方程可以通過配方法開方求解。但對五次以上的多項式方程，一直沒有發現通用的根式求解方法。19世紀初，伽羅瓦和阿貝爾創造了群論，將多項式的不同根之間的關係用群來表示，從而揭示了多項式的根的根本性質。

從阿廷起，數學家開始使用域擴張的理論，更嚴謹地表述伽羅瓦的理論，先將多項式的性質轉化為域擴張中的性質，然後通過研究域擴張對應的自同構群，利用群論的知識來解析域擴張的結構，從而對多項式及其根的性質進行更深刻的刻畫。

給定域擴張L/K，L上的自同構里，在K上平凡（即為恆等映射）的環自同構稱為L中的K-自同構。所有L中的K-自同構組成一個群，稱為域擴張L/K的K-自同構群，簡記為Aut(L/K)。K-自同構在K上是恆等映射，因此不屬於K的元素在K-自同構的作用下仍被映射到不屬於K的元素上。

如果存在L/K的子擴張K⊂F⊂L，則L/F的F-自同構也構成一個群：Aut(L/F)。它是Aut(L/K)的子群，因為在F平凡的自同構必然也在其子域K上平凡。反過來，給定Aut(L/K)的某個子群H，則可以定義群作用的不動點集合：

$$L^H := \{ x \in L ; \; \forall \tau \in H, \; \tau(x) = x\}$$

可以證明，這個集合是一個域，稱為子群H的不變域。它是K的擴域，是L的子域，即是L/K的中間域。顯然

$$K \subset L^{\mathrm{Aut}(L/K)}.$$

一個自然的猜想是：K = LAut(L/K)，即所有不屬於K的元素，都會在某個K-自同構的作用下被映射到其他的元素上去。然而這個命題只對特定的域擴張成立。

如果某個不屬於K的元素a是K上的代數元，設其為某個K-多項式f的根，則a在L中任一個K-自同構τ的作用下的像仍是f的一個根。事實上，如果設：

$$f = \lambda_0 + \lambda_1 X + \cdots + \lambda_k X^k, \; \, \lambda_0 , \lambda_1 , \cdots , \lambda_k \in K, \; \, f(a) = 0,$$

那麼

$$0 = \tau(0) = \tau(f(a)) = \tau(\lambda_0 + \lambda_1 a + \cdots + \lambda_k a^k) =\lambda_0 + \lambda_1 \tau(a) + \cdots + \lambda_k \tau(a)^k = f(\tau(a)).$$

這說明，K-自同構將K-多項式的根進行重新排列。因此，對K-自同構的研究可以幫助了解K-多項式的根。

為了討論多項式的根，引入正規擴張的概念。給定一個域擴張L/K，任一K-不可約多項式如果有一個根在L中，那麼全部根都在L中。這樣的擴張稱為正規擴張。正規擴張中，K-自同構可以將多項式的根映射到它的任意其他根上。因此，對L中任一個不屬於K的元素，都有K-自同構將其映射到它的極小多項式的任意其他根上。另外再假定任意元素的極小多項式都沒有重根（這樣的擴張稱為可分擴張）。這時，一個K-自同構或某些K-自同構組成的群的不動點集合將和K-多項式的根產生密切聯繫。這樣的域擴張稱為伽羅瓦擴張。若L/K是伽羅瓦擴張，它的K-自同構群稱為伽羅瓦群，記作Gal(L/K)。當L/K是有限擴張時，伽羅瓦群是有限群，其元素個數等於域擴張的次數，並且有K = LAut(L/K)。而伽羅瓦理論基本定理更進一步，給出了Gal(L/K)的子群和L/K的中間域的對應關係。

## 對應關係

從前述中已經知道，給定Aut(L/K)的某個子群H，其不變域：

$$L^H := \{ x \in L ; \; \forall \tau \in H, \; \tau(x) = x\}$$

是L/K的一個中間域。給定中間域F，則Aut(L/F)是Aut(L/K)的子群。如果L/K是有限的伽羅瓦擴張，那麼伽羅瓦理論基本定理說明，L/K的伽羅瓦群Gal(L/K)的子群與L/K的中間域之間有一一對應關係：

對伽羅瓦群Gal(L/K)的每一個子群H，唯一對應一個中間域，即其不變域：$H \longrightarrow L^H$

對域擴張L/K的每一個中間域，唯一對應一個群：$F \longrightarrow \mathrm{Gal}(L/F),$ 它是L/K的伽羅瓦群Gal(L/K)的子群。

這兩種敘述是互洽的，也就是說。

$$\forall H \subset \mathrm{Gal}(L/K), \; \mathrm{Gal}(L/L^H) = H.$$

$$\forall K \subset F \subset L, \; L^{\mathrm{Gal}(L/F)} = F.$$

### 基本性質

中間域與伽羅瓦群的子群之間有一個反向的包含對應關係：如果伽羅瓦群的某個子群H1是另一個子群H2的子群，那麼H1對應的中間域LH1是H2對應的中間域LH2的擴域。

伽羅瓦群的子群的元素個數，以及它在伽羅瓦群中的指數，和對應的中間域相關的擴域的次數相同。如果H是Gal(L/K)的子群，那麼，Gal(L/K) : H = LH : K。

給定伽羅瓦擴張L/K的中間域F和L中的K-自同構σ，則σ作用在F上得到的像集$\sigma(F) := \{\sigma(x) ; \; x\in F \}$也是一個中間域。設F對應的伽羅瓦群子群是H，則中間域σ(F)對應的子群是σHσ-1。如果F/K是正規擴張，則對於任意的K-自同構σ，σ(F) = F。這也說明對於任意的K-自同構σ，σHσ-1 = H。這樣的子群H稱為正規子群。域擴張F/K是正規擴張若且唯若其對應的子群H = Gal(L/F)是正規子群。對於正規子群H，可以定義Gal(L/K)對H的商群G = Gal(L/K)/H。這個商群和Gal(F/K)是同構的。

## 例子

### 克萊因四元群

從有理數域$K = \mathbb{Q}$出發。設擴域$L = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$。L是在有理數域中添加根號2與根號3得到的擴域，也可以看成是$L = \mathbb{Q}(\sqrt{2})( \sqrt{3})$，即先在有理數域中添加根號2，再在其中添加根號3得到的擴域。因此其中每個元素可以表達成如下的形式：

$$(a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2})\sqrt{3}, \; a,b,c,d \in \mathbb{Q}.$$

可以證明域擴張L/K是可分正規擴張，即伽羅瓦擴張。它的K-自同構群G = Gal(L/K)為L中所有對有理數為恆等映射的同構。設有K-自同構σ，則σ將任何有理數映射到它自身，將根號2映射到自身或負根號2上，將根號3映射到自身或負根號3上。這是因為：

$$\begin{align} \left(\sigma(\sqrt{2})\right)^2 = \sigma(\sqrt{2})\cdot \sigma(\sqrt{2}) =\sigma(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}) = \sigma(2) = 2, \\ \left(\sigma(\sqrt{3})\right)^2 = \sigma(\sqrt{3})\cdot \sigma(\sqrt{3}) =\sigma(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}) = \sigma(3) = 3. \end{align}$$

這說明自同構群G中包含四個元素：e、σ、τ、τσ。具體為：

$$\begin{array}{ll} e (\sqrt{2}) = \sqrt{2}, \; e (\sqrt{3}) = \sqrt{3}, \; & \sigma(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}, \; \sigma (\sqrt{3}) = \sqrt{3}\\ \tau (\sqrt{2}) = \sqrt{2}, \; \tau (\sqrt{3}) = - \sqrt{3}, \; & (\tau\sigma)(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}, \; (\tau\sigma) (\sqrt{3}) = -\sqrt{3} \end{array}$$

同構於克萊因四元群，它的子群包括以及G自身。考慮在這些子群的作用下，保持不變的元素構成的集合：

- L中所有的元素都在e下不變，所以LHe = L。
- σ將根號2變換到負根號2，而保持根號3不變，所以$L^{H_\sigma} = \mathbb{Q}(\sqrt{3})$。
- τ將根號3變換到負根號3，而保持根號2不變，所以$L^{H_\tau} = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$。
- τσ將根號2與根號3分別變換到負根號2與負根號3，因此只有根號6經歷了兩次變換而保持原號，所以$L^{H_{\tau\sigma}} = \mathbb{Q}(\sqrt{6})$。
- 由於根號2和根號6在σ作用下變號，根號3在τ作用下變號，所以只有有理數能夠在所有的自同構下保持不變，即$L^{G} = \mathbb{Q} = K$。

以上的結論說明域擴張L/K真正的中間域有3個，分別是：$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$和$\mathbb{Q}(\sqrt{6})$。

### 非交換群的例子

以下給出一個伽羅瓦群不是交換群（阿貝爾群）的例子。設有多項式P = X3 - 2，這是一個在$K = \mathbb{Q}$上不可約的有理係數多項式。他在$\mathbb{Q}$上對應的分裂域是$L = \mathbb{Q}(\theta, \omega)$，其中的θ = 2是2的三次方根，ω = e2iπ是三次單位根。域擴張L/K是可分正規擴張，因此是伽羅瓦擴張。考慮其伽羅瓦群G = Gal(L/K)。與上一個例子類似地，它裡面的K-自同構必然也是只可能是對θ和ω產生變換。設有K-自同構σ，則它將θ和ω變換後的結果滿足：

$$\begin{array}{ll} 2 = \sigma(2) = \sigma(\theta^3) = \left(\sigma(\theta)\right)^3, \\ 1 = \sigma(1) = \sigma(\omega^3) = \left(\sigma(\omega)\right)^3. \end{array}$$

所以σ作用在θ上的結果有三種：θ、ωθ或ω2θ，而σ作用在ω上的結果有兩種：ω或ω2。這是因為σ(ω)的結果不可能是1，否則會與σ(1) = 1矛盾。這表明G中元素有六個，可以表示為：其中：

$$f(\theta) = \omega\theta, \; f(\omega) = \omega, \quad g(\theta) = \theta, \; g(\omega) = \omega^2. \quad fg = gf^2.$$

下面給出由伽羅瓦理論基本定理指出的子群與中間域的對應關係：

- 與上例一樣，在平凡子群作用下不變的是L中所有元素，在群G所有元素作用下不變的只有K中元素。所以平凡子群對應著L而G對應著K。
- G僅有一個三元子群，在其作用下不變的是ω，因此它對應的是中間域$\mathbb{Q}(\omega)$。$[\mathbb{Q}(\omega) : \mathbb{Q}] = 2$，等於Hf在G中的指數。Hf是G的正規子群，所以$\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}$是正規擴張

$\mathbb{Q}(\omega)$

$\mathbb{Q}$

$X^2+X+1$。

- G有三個二元子群，分別是它們對應的中間域分別是$\mathbb{Q}(\theta)$、$\mathbb{Q}(\omega\theta)$和$\mathbb{Q}(\omega^2 \theta)$。這些中間域都是有理數域的三次擴域，與對應子群在G中的指數相等。由於這三個二元子群都不是G的正規子群，所以相應的，這些中間域也不是有理數域的正規擴張。事實上，它們各自是在有理數域中添加多項式P的一個根得到的擴域，但另外兩個根都不在其中。

## 應用

從上述例子可見，伽羅瓦理論基本定理的作用是將域擴張的中間域結構，轉化為特定群的子群來描述。將難以用直接的方法刻畫的中間域，和可以用群論中的成熟方法刻畫的有限群子群對應起來。

伽羅瓦基本定理的最初應用是在使用伽羅瓦理論證明五次或以上的多項式方程沒有代數解求根公式的問題上。其證明的主要思路是將「開n次方」的過程轉化為「在基域中添加n次方根」生成的域擴張。將多項式有代數解的問題轉化為某個分裂域是否可以通過有限次特定的域擴張得到的問題。而這些域擴張是否滿足條件，則可以由伽羅瓦基本定理將其轉化為判定「特定的伽羅瓦群是否有某種特殊的子群和商群（稱為可解群）」的問題。阿貝爾-魯菲尼定理說明了：一般的五次或以上的多項式方程，其對應的伽羅瓦群是n元置換群$\mathfrak{S}_n$（n大於等於5），而這個群唯一的非平凡正規子群：n元交替群$\mathfrak{A}_n$是不交換的單群，無法滿足要求。因此，不存在使用根式求解一般的五次或以上的多項式方程的方法。

## 推廣

對於無限的伽羅瓦擴張，伽羅瓦理論基本定理不再成立，因為這時伽羅瓦群的子群個數會比中間域的個數要多。然而，在給伽羅瓦群裝備了一定的拓撲結構（Krull拓撲）後，可以證明域擴張的中間域和所有的閉子群之間有一一對應的關係。因此，在此拓撲下，有推廣的伽羅瓦理論基本定理：

給定無限伽羅瓦擴張L/K，其伽羅瓦群G = Gal(L/K)的所有閉子群與L/K之間存在一一對應關係：

$$H \longrightarrow L^H, \qquad F \longrightarrow \mathrm{Gal}(L/F)$$

子擴張F/K是伽羅瓦擴張，若且唯若中間域F對應的子群H = Gal(L/F)是伽羅瓦群G的正規子群。擴張的次數F : K有限，若且唯若H在G中的指數有限，或當H是G的開子群。