匹配濾波器

在信號處理中，匹配濾波器可以用來解調基頻帶脈波信號，基頻帶脈波信號意指信號內容為同一波形信號乘上一個常數，在每個周期出現，每個周期中代表著或多或少的資訊量。匹配濾波器解調出來的結果其SNR (Signal Noise Ratio)為最大的，匹配濾波器需要事先知道傳送的訊號和訊號的同步才能解調出傳送的信號。

此外，匹配濾波器也可用於模式識別、相似度測試（similarity measure）。

## 最高SNR證明

假設g(t)：傳送訊號

w(t)：可加性高斯白雜訊

x(t) = g(t) + w(t)

h(t)：未知波形

y(t)：解調結果

$$1. x(t) = g(t) + w(t)$$

$$2. y(t) = [g(t) + w(t)] \ast h(t)$$

$$= g(t) \ast h(t)+ w(t) \ast h(t)$$

$$= G(t) + N(t)$$

$$3. SNR = |G(T)|^2 / E[N^2(T)]|$$

SNR = 信號瞬間功率 / 噪聲平均功率

信號瞬間功率

$$|G(T)|^2 = \int_{-\infty}^{\infty} H(f) G(f) e^{j2\pi fT} \, df$$

雜訊平均功率

$$E[N^2 (T)]= \frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df$$

$$SNR = \frac{\int_{-\infty}^{\infty} H(f) G(f) e^{j2\pi fT} \, df}{\frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df}$$

$$\le \frac{\int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 e^{j2\pi fT} \, df \int_{-\infty}^{\infty} |G(f) e^{j2\pi fT}|^2 \, df }{\frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 \, df}$$

$$= \frac{2}{N_0} \int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2 \, df$$

- 當

$H_{opt}(f) = k[G(f)e^{j2\pi fT}]^*$ , $SNR_{max} = \frac{2} {N_0} \int_{-\infty}^{\infty} |G(f)|^2 \, df$

所以

$$h_{opt}(t) = k \int_{-\infty}^{\infty} G(-f)e^{-j2\pi fT} e^{j2\pi ft} \, df$$

$$= k \int_{-\infty}^{\infty} G(z)e^{-j2\pi f(T-t)} \, dz$$

$$= kg(T-t)$$

(備註) 柯西-施瓦茨不等式

若

$\int_{-\infty}^{\infty} |A(x)|^2 \, dx < \infty$ 且 $\int_{-\infty}^{\infty} |B(x)|^2 \, dx < \infty$

則

$$|\int_{-\infty}^{\infty} A(x)B(x) \, dx|^2 \le \int_{-\infty}^{\infty} |A(x)|^2 \, dx \int_{-\infty}^{\infty} |B(x)|^2 \, dx$$

當 $A=kB^*$時，等號成立。

## 匹配濾波器頻率響應

$$\ x = s + v,\,$$

$$\ R_v = E\{vv^\mathrm{H}\}.\,$$

$$\mathrm{SNR} = \frac{|y_s|^2}{ E\{|y_v|^2\} }.$$

$$\ |y_s|^2 = {y_s}^\mathrm{H} y_s = h^\mathrm{H} s s^\mathrm{H} h.\,$$

$$\ E\{|y_v|^2\} = E\{ {y_v}^\mathrm{H} y_v \} = E\{ h^\mathrm{H} v v^\mathrm{H} h \} = h^\mathrm{H} R_v h.\,$$

$$\mathrm{SNR} = \frac{h^\mathrm{H} s s^\mathrm{H} h}{ h^\mathrm{H} R_v h }.$$

如果我們限制分母為1, 最大化 $\mathrm{SNR}$ 的問題可以被簡化為最大化分子.

於是可以使用 拉格朗乘數

$$\ h^\mathrm{H} R_v h = 1$$

$$\ \mathcal{L} = h^\mathrm{H} s s^\mathrm{H} h + \lambda (1 - h^\mathrm{H} R_v h )$$

$$\ \nabla_{h^*} \mathcal{L} = s s^\mathrm{H} h - \lambda R_v h = 0$$

$$\ (s s^\mathrm{H}) h = \lambda R_v h$$

$$\ h^\mathrm{H} (s s^\mathrm{H}) h = \lambda h^\mathrm{H} R_v h.$$

因為 $s s^\mathrm{H}$ 是一維, 他只有一個非零特徵值. 此特徵值=

$$\ \lambda_{\max} = s^\mathrm{H} R_v^{-1} s,$$

$$\ h = \frac{1}{\sqrt{s^\mathrm{H} R_v^{-1} s}} R_v^{-1} s.$$

## 匹配濾波器模式辨識

若欲偵測一特定信號 hn，我們可以將hn時域反向並取共軛，當做濾波器。

一維信號

$$y[n] = x[n]*h^*[-n] = \sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} x[n-\tau]h^*[-\tau] = \sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} x[n+\tau]h^*[\tau]$$

xn :數入信號，hn：欲偵測的特定信號，且假設當$\tau_1\leq n \leq\tau_2$ 時， hn≠0

二維信號

$$y[m,n] = x[m,n]*h^*[-m,-n] = \sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2}\sum_{\rho=\rho_1}^{\rho_2}x[m+\tau,n+\rho]h^*[\tau,\rho]$$

假設當$\tau_1\leq m \leq\tau_2 , \rho_1\leq m \leq\rho_2$時， hm,n≠0

模擬結果：

但由於卷積是線性的，當信號能量大，算出來的值也會跟著變大而有誤差，因此我們需要標準化。

標準化公式

一維信號

當 $\sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2$ ≠0

$y[n] =$ ${\sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} x[n+\tau]h^*[\tau]} \over \sqrt{\sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2\sum_{s=\tau_1}^{\tau_2} |h[s]|^2}$

當 $\sum_{s=n+\tau_1}^{n+\tau_2} |x[s]|^2$ =0

$$y[n] = 0$$

二維信號

當 $\sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2} |x[s,v]|^2$ ≠0

$y[m,n] =$ ${\sum_{\tau=\tau_1}^{\tau_2} \sum_{\rho=\rho_1}^{\rho_2} x[m+\tau,n+\rho]h^*[\tau,\rho]} \over \sqrt{\sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2} |x[s,v]|^2\sum_{s=\tau_1}^{\tau_2}\sum_{v=\rho_1}^{\rho_2} |h[s,v]|^2}$

當 $\sum_{s=m+\tau_1}^{m+\tau_2}\sum_{v=n+\rho_1}^{n+\rho_2} |x[s,v]|^2$ = 0

$$y[m,n] = 0$$

標準化後的模擬結果：