光線轉換矩陣分析

光線轉換矩陣分析(又稱ABCD矩陣分析)，是用於某些光學系統，特別是雷射領域的一種光線追蹤技術。它包含一個描述光學系統的光線轉化矩陣(ray transfer matrix)，這個矩陣與一代表光線的向量相乘之後，可以得到光線在該系統中的運行軌跡。這類的分析也被應用於加速器物理(accelerator physics)中，用以追蹤通過粒子加速器中磁鐵裝置的粒子，詳情請見電子光學。

以下介紹的技術使用了近軸逼近法，此逼近法意即假設所有光線相對於系統的光軸(optical axis)都處於小角度(θ為徑度)、短距離(x)。

## 定義

光線追蹤技術以兩個平面為參考面，分別為輸入平面與輸出平面，這兩個平面均垂直於系統的光軸。此外，為了理論的一般性，我們定義系統的光軸即直角坐標系的z軸。一光線與輸入面呈θ1，從距離光軸 x1 的入射面進入系統，並在距光軸的x2的輸出面呈θ2射出，而n1, n2分別是在輸入面與輸出面中介質的折射率。

這些參數可表成下列關係式:

$$\begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix}$$

當

$$A = {x_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad B = {x_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0}$$

且

$$C = {\theta_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad D = {\theta_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0}$$

這個關係式以光線轉化矩陣(RTM, M)將光線向量與輸入、輸出面互相連結，M代表的是在這兩個平面之間的光學系統。根據折射定律與幾何關係，可以證明RTM行列式值(determinant)即是兩個折射率的比值。

$$\det(\mathbf{M}) = AD - BC = { n_1 \over n_2 }$$

因此，若是輸入面與輸出面在同一個介質中，或是在具有同一個折射率的不同介質中，M等於1，相似的技術可以應用於電路學上，見二埠網路。

## 範例

若兩個面中有空間存在，光線轉換矩陣可以表示成:

$$\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

其中d表示兩參考平面的距離(沿著光軸測量)，此矩陣有下列關係:

$$\begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \mathbf{S} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix}$$

兩光線各別的參數可表示如下:

$$\begin{matrix} x_2 & = & x_1 + d\theta_1 \\ \theta_2 & = & \theta_1 \end{matrix}$$

另一個範例為一薄透鏡，其光線轉畫矩陣為:

$$\mathbf{L} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{bmatrix}$$

其中f為透鏡的焦距。若遇表示依複合光學系統，光線轉化矩陣可以交互相乘，形成一總括光線轉化矩陣，以下範例唯為一長度為d的空間與薄透鏡的複合系統:

$$\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{bmatrix}$$

注意，矩陣的乘法並沒有交換率，因此下面的系統先為一薄透鏡，後為一空間。

$$\mathbf{SL} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-\frac{d}{f} & d \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{bmatrix}$$

因此，矩陣必須照順序排好。不同的矩陣可以代表不同折射率的介質，或者是面鏡的反射等等。

## 光線轉化矩陣表格

簡易的光學元素

成分元素｜矩陣｜註解

傳輸在具有常數折射率的空間｜$\begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$｜d為傳輸距離

折射在平坦的表面｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} \end{bmatrix}$｜n1 為入射時的環境折射率 n2 為折射後的環境折射率

折射在曲面｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{R \cdot n_2} & \frac{n_1}{n_2} \end{bmatrix}$｜R 為曲率半徑，當 R > 0 為凸面 n1 為入射時的環境折射率 n2 為折射後的環境折射率

從平坦面鏡反射｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

從曲面鏡反射｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{2}{R} & 1 \end{bmatrix}$｜R 為曲率半徑，當 R > 0 為凹面，可用於近軸近似法

薄透鏡｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 \end{bmatrix}$｜f 為透鏡的焦距，當 f > 0 為凸透鏡 唯有在焦距遠大於透鏡厚度時成立

厚透鏡｜$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_2-n_1}{R_2n_1} & \frac{n_2}{n_1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{n_1-n_2}{R_1n_2} & \frac{n_1}{n_2} \end{bmatrix}$｜n1 為透鏡外的折射率 n2 為透鏡內的折射率 R1 為第一表面的曲率半徑 R2 為第二表面的曲率半徑 t 為透鏡的中心厚度

單直角稜鏡｜$\begin{bmatrix} k & \frac{d}{nk} \\ 0 & \frac{1}{k} \end{bmatrix}$｜k = (cos$\psi$/cos$\phi$) 是beam expansion的因素, 當$\phi$ 為入射角, $\psi$ 為折射角, d 為稜鏡的路徑長, n 為稜鏡的折射率。這個舉證應用在orthogonal beam exit。

## 共振穩定性

RTM在模擬光學共振系統的時候特別有用，像是雷射。在最簡單的情況下由兩個完全相同，具100%反射率、曲率半徑R相互距離為d的面鏡組成。為了達到光學追蹤的目的，上述的系統可以等同於由一系列焦距為R/2，彼此間的距離為d的薄透鏡所組成的系統，此結構又被稱為a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系統每一個波導下的RTM如下:

$$\mathbf{M} =\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{bmatrix}$$

光學轉化矩陣分析此時就可以決定一個波導的穩定性(等同於共振器)，意即RTM可以找出光可以週期性地再聚焦，並待在波導內的狀況。我們可以找到系統中所有光的」eigenrays」，入射向量在每個mentioned sections的波導乘上一個實數或是複數的 λ 將會等於1。使得：

$$\mathbf{M} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix}$$

此為一本徵方程式：

$$\left[ \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} = 0$$

其中I為一2x2單位矩陣。

我們可以進一步計算此轉化矩陣的本徵值：

$$\operatorname{det} \left[ \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] = 0$$

可導出以下特徵方程式：

$$\lambda^2 - \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \lambda + \operatorname{det}( \mathbf{M}) = 0$$

其中

$$\operatorname{tr} ( \mathbf{M} ) = A + D = 2 - { d \over f }$$

是RTM的軌跡，且

$$\operatorname{det}(\mathbf{M}) = AD - BC = 1$$

是RTM行列式值的倒數，帶入消去後我們可以得到:

$$\lambda^2 - 2g \lambda + 1 = 0$$

其中

$$g \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ { \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \over 2 } = 1 - { d \over 2 f }$$

是穩定參數。本徵值是本徵方程式的解，由一元二次方程式可以解出:

$$\lambda_{\pm} = g \pm \sqrt{g^2 - 1} \,$$

現在，考慮一個光線通過系統N次:

$$\begin{bmatrix} x_N \\ \theta_N \end{bmatrix} = \lambda^N \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix}$$

如果此波導是穩定的，所有的光都不會被隨意的引道到偏離主軸很遠的地方，意即λN必須是有限的。吾人假設g2>1，則兩本徵值均為實數，又因為λ*λ- = 1，因此其中一個的絕對值必須大於1，這也暗示了代表本徵向量的光線不會收斂。因此在依穩定的波導中，g2≤1，以及本徵值可以用複數形式表示:

$$\lambda_{\pm} = g \pm i \sqrt{1 - g^2} = \cos(\phi) \pm i \sin(\phi) = e^{\pm i \phi}$$

以g=cos(φ)表示。

假設 $g^2 < 1$ 且 $r_+$, $r_-$是$\lambda_+$, $\lambda_-$的本徵向量，此兩向量橫跨所有向量空間，因為他們是正交因此輸入的向量可以被表示成:

$c_+ r_+ + c_- r_-$,

$c_+$ and $c_-$為某常數

再通過N個波導後，輸出則為:

$$\mathbf{M}^N (c_+ r_+ + c_- r_-) = \lambda_+^N c_+ r_+ + \lambda_-^N c_- r_- = e^{i N \phi} c_+ r_+ + e^{- i N \phi} c_- r_-$$

這代表一個週期函數。

## 高斯光束的光線轉化矩陣

光線轉化矩陣的建立也可以用於描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波長為λ0，曲率半徑為R，光點大小w，折射率n，我們可以定義出一複數光束參數(complex beam parameter) q:

$$\frac{1}{q} = \frac{1}{R} - \frac{i\lambda_0}{\pi n w^2}$$

此光束可以轉移至一具有下列光線轉化矩陣的光學系統:

$$\begin{bmatrix} q_2 \\ 1 \end{bmatrix} = k \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

其中k為標準化常數，此常數可以讓光束向量的第二個成分為1，利用矩陣乘法:

$$q_2 = k(Aq_1 + B) \,$$

且

$$1 = k(Cq_1 + D) \ $$

由上式除以下式可得:

$$q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D}$$

此方程式常以倒數形式表示:

$${ 1 \over q_2 } = { C + D/q_1 \over A + B/q_1 }$$

### 範例：Free space

假設一光束通過一距離為d的空間，光線轉化矩陣為:

$$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}$$ 因此

$$q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D} = \frac{q_1+d}{1} = q_1+d$$

這表示，通過一空間會增加半徑d。

### 範例：薄透鏡

假設一光束通過一焦距為f的薄透鏡，光線轉化矩陣為:

$$\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}$$

因此

$$q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D} = \frac{q_1}{-\frac{q_1}{f}+1}$$

$$\frac{1}{q_2} = \frac{-\frac{q_1}{f}+1}{q_1} =\frac{1}{q_1}-\frac{1}{f}$$

再次強調，只有q的實部會被影響，曲率半徑會減少1/f。

## 外部連結

- Thick lenses (Matrix methods)
- ABCD Matrices Tutorial Provides an example for a system matrix of an entire system.
- ABCD Calculator An interactive calculator to help solve ABCD matrices.
- Simple Optical Designer (Android App) An application to explore optical systems using the ABCD matrix method.