軌道測定

軌道測定（Orbit Determination，亦稱軌道確定或軌道決定）是估算行星、小行星、彗星、月球、行星衛星、人造衛星、和太空船等天體繞行其引力源的軌道的技術。透過確定天體的軌道元素，不僅可以推測天體未來的位置，並透過觀測來驗證；也可以知道還未被發現前的位置。太空船進行星際旅行時，需要不斷變換軌道，也需要確定變換後的軌道，以便準確航向目的地。

觀測是取得一系列資料以送入軌道測定的演演算法。通常一位地基的觀測者的觀測資料包括時間標記、方位角、高度角、斜距和/或範圍率值。因為肉眼的觀測不能滿足精密定軌的需求，所以都要使用望遠鏡或雷達裝置。

軌道測定之後，數學的推演技術可以用於預測物體未來的軌道位置。隨著時間的推移，物體的實際軌道路徑往往會偏離預期的路徑（尤其是天體的攝動是很難預測的，像是大氣阻力等）；新的軌道測定使用新的觀測，並有助於重新角準軌道的知識。

美國和做伙的國家，範圍廣泛的光學、和雷達的資源，允許聯合太空作戰中心觀測與蒐集地球軌道上所有的物體。這些觀測用於新的軌道計算和測定，以及維護衛星目錄的總體精度。防撞計算可以使用這些資料來計算一個軌道上的物體與另一個軌道上的物體碰撞的機率。如果在目前軌道上的碰撞風險是不能接受的，衛星的營運單位可能會決定調整軌道（如果碰撞的機率很低，它是不可能調整軌道的。因為這樣做將會導致衛星的推進劑迅速耗盡）。當觀測的數量和品質提高，軌道測定技術的準確性也會提高，就會減少提醒衛星營運單位注意的假警報。其它國家，包括俄羅斯和中國，都有類似的追蹤資源。

## 方法

軌道確定中有兩個著名的問題，要分別在不同狀況下求得繞軌天體的軌道：

- 高斯問題 (the problem of Gauss)，是要從已知的 3 個連續位置，$P_1$, $P_2$ 和 $P_3$，確定物體的運動軌道. 在1801年, 高斯透過收集到的三筆數據，於 1801 年 1 月重新找到了天文學家觀測後丟失的穀神星 (Ceres)。此舉讓高斯大大出名。因此，這個問題以他的名字命名。
- 藍伯特問題 (the problem of Lambert)，在已知兩組連續位置和日期，{$P_1$,$t_1$} 及 {$P_2$,$t_2$}，的情況下，求解物體的運動軌道。

### 吉伯斯法

高斯問題現在可以用吉伯斯 Gibbs 在 1890 年左右發明的向量進行處理。

軌道測定最基本的原理是由軌道物體的狀態向量，即其位置向量及速度向量求出它的幾個軌道要素。吉伯斯法主要是透過幾個輔助向量，求得物體的速度向量。如此就可以透過狀態向量得出軌道要素。以下將介紹關於這幾個輔助向量的重要的定理，並與一些軌道參數連結。最終，將求得其速度向量，以便與進行軌道測定。

由軌道焦點連結到3個觀察點，可形成 3 個位置向量$\overrightarrow{r_1}$, $\overrightarrow{r_2}$ 及 $\overrightarrow{r_3}$ 並定義出軌道平面。這些向量包含充足的軌道訊息，因此可以透過最小平方法來修正軌道的誤差。在軌道面上我們可以定義出垂直於這個平面的單位向量 $\vec{k}$，指向近地點方向的單位向量 $\vec{i}$ 及與其正交的方向單位向量 $\vec{j} = \vec{k} \times \vec{i}$。

## 吉伯斯法確定速度向量

### 吉伯斯定理 1

由三個位置向量所定義出來的 Gauss-Gibbs 向量 $\vec{G}$ 指向 $\vec{j}$ 的方向 (半短軸方向)，其中 :

$\begin{align} \vec{G} &= \overrightarrow{r_1} (r_2-r_3) + \overrightarrow{r_2} (r_3-r_1) + \overrightarrow{r_3} (r_1-r_2) \\ <pre> &= \| \vec{G} \| \vec{j} \end{align} </pre>$.

#### 證明

透過牛頓力學解刻普勒問題的過程中，會得出一個離心率向量 $\vec{e}$，其大小與軌道離心率相同，方向則指向近心點方向，$\vec{e} = e \vec{i}$。

在克卜勒軌道中，離心率向量是一個不變量，形式為 :

$\vec{e} = \frac{\vec{v} \times \vec{L_0}}{G M m} - \frac{\vec{r}}{r} = \frac{\vec{v} \times \vec{h}}{\mu} - \frac{\vec{r}}{r}$,

$L_0$ 為角動量 (angular momentum)

$\vec{h}=\frac{\vec{L_0}}{m}$ 為相對角動量或比角動量 (specific angular momentum)

$\mu = GM$ 為標準重力參數 (standard gravitational parameter).

由牛頓力學所推導出來的軌道極座標式為 :

$$r = \frac{p}{1 + e \cos(\theta)}$$

$$p = r (1 + e \cos(\theta))$$

其中，$r e \cos(\theta) = \vec{e} \cdot \vec{r}$ 因此，有以下關係式 :

$p-r = \vec{e} \cdot \vec{r}$.

計算 $\vec{G}$ 與 $\vec{e}$ 的內積，並利用以上關係式，即可證明兩者互相垂直。

$\vec{G} \cdot \vec{e} = (p-r_1)(r_2-r_3) + (p-r_2)(r_3-r_1) + (p-r_3)(r_1-r_2) = 0$.

故 $\vec{G}$ 與 $\vec{j}$ (半短軸方向) 同向，可表示為 $\vec{G} = \|\vec{G}\| \vec{j}$。

### 吉伯斯定理 2

令三個位置向量所定義出來的面積向量為:

$$\vec{A} = \vec{r_1} \times \vec{r_2} + \vec{r_2} \times \vec{r_3} + \vec{r_3} \times \vec{r_1} = \|\vec{A}\| \,\vec{k}$$

則:

$$\begin{align} \vec{A} \times \vec{e} = \vec{G} \end{align}$$

且軌道離心率 (eccntricity) 為:

$e = \frac{\|\vec{G}\|}{\|\vec{A}\|}$.

#### 證明

分別計算向量 $\vec{A}$ 各分量與 $\vec{e}$ 的外積, 並考慮 $\vec{e}\cdot\vec{r}=p-r$, 可得:

$\begin{align} (\vec{r_1} \times \vec{r_2}) \times \vec{e} &= p (\vec{r_2} - \vec{r_1}) + r_2 \vec{r_1} - r_1 \vec{r_2} \\ (\vec{r_2} \times \vec{r_3}) \times \vec{e} &= p (\vec{r_3} - \vec{r_2}) + r_3 \vec{r_2} - r_2 \vec{r_3} \\ (\vec{r_3} \times \vec{r_1}) \times \vec{e} &= p (\vec{r_1} - \vec{r_3}) + r_1 \vec{r_3} - r_3 \vec{r_1} \\ \end{align}$.

將 3 個乘積相加，消去含 $p$ 的同值異號分項，並合併相同向量的係數，即得,

$$\begin{align} \vec{A} \times \vec{e} &= (r_2 - r_3) \vec{r_1} + (r_3 - r_1) \vec{r_2} + (r_1 - r_2) \vec{r_3} \\ <pre> &= \vec{G} </pre> \end{align}$$

由於三個向量 $\vec{r_1} \times \vec{r_2}, \vec{r_2} \times \vec{r_3}, \vec{r_3} \times \vec{r_1}$ 和他們的總和 $\vec{A}$ 均垂直於軌道平面。所以

$$\vec{A} \times \vec{e} = \|\vec{A}\| \|\vec{e}\| \sin(90^\circ)\, \vec{j} = \|\vec{A}\| \, \, e \, \vec{j}$$

$$\| \vec{A} \times \vec{e} \| = \|\vec{A}\| \, \, e$$

移項即可証

$e = \frac{\| \vec{A} \times \vec{e} \|}{\|\vec{A}\|} = \frac{\| G \|}{\|\vec{A}\|}$.

### 吉伯斯定理 3

最後，令三個位置向量所定義出來的加權體積向量為:

$\vec{V} = (\vec{r_1} \times \vec{r_2}) \cdot r_3 + (\vec{r_2} \times \vec{r_3}) \cdot r_1 + (\vec{r_3} \times \vec{r_1}) \cdot r_2 = \|\vec{V}\| \,\vec{k}$.

則, 軌道的半正焦弦 (semi-latus rectum) 的長度 $p$ 可由體積向量與面積向量求得:

$p = \frac{\vec{V}}{\vec{A}} = \frac{\|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|}$.

且繞軌物體的相對角動量 (specific angular momentum), $h$, 為:

$h = \sqrt{\frac{\mu \|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|}}$.

#### 證明

由於三個位置向量共平面，因此它們可以寫成：

$$\begin{align} \vec{r_1} \times \vec{r_2} &= a_{12}\, \vec{k} \Rightarrow a_{12} = \vec{r_1} \times \vec{r_2} \cdot \vec{k} \\ \vec{r_2} \times \vec{r_3} &= a_{23}\, \vec{k} \Rightarrow a_{23} = \vec{r_2} \times \vec{r_3} \cdot \vec{k} \\ \vec{r_3} \times \vec{r_1} &= a_{31}\, \vec{k} \Rightarrow a_{31} = \vec{r_3} \times \vec{r_1} \cdot \vec{k} \\ \end{align}$$

在此，$\vec{k}$ 是垂直於軌道平面的單位向量，並假設它具有與角動量向量相同的方向：

$\vec{k} = \frac{\vec{r_1} \times \vec{r_2}}{\|\vec{r_1} \times \vec{r_2}\|} <pre> = \frac{\vec{r_2} \times \vec{r_3}}{\|\vec{r_2} \times \vec{r_3}\|} = \frac{\vec{r_3} \times \vec{r_1}}{\|\vec{r_3} \times \vec{r_1}\|} </pre>$.

由於三個向量互相獨立，故存在係數 $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$，使得它們的線性組合為零向量：

$\lambda_1\, \vec{r_1} + \lambda_2\, \vec{r_2} + \lambda_3\, \vec{r_3} = \vec{0}$.

將此方程與 $\vec{e}$ 求內積, 並考慮 $\vec{e}\cdot\vec{r}=p-r$，則有：

$p \,\, (\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3) = \lambda_1\, r_1 + \lambda_2\, r_2 + \lambda_3\, r_3$,

可知

$p =\frac{\lambda_1\, r_1 + \lambda_2\, r_2 + \lambda_3\, r_3}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}$.

如果上式與 $\vec{r_1}, \vec{r_2}, \vec{r_3}$ 分別求外積。則有：

$$\lambda_1\, \vec{r_1} \times \vec{r_1} + \lambda_2\, \vec{r_2} \times \vec{r_1} + \lambda_3\, \vec{r_3} \times \vec{r_1} = \vec{0}$$

$$\lambda_1\, \vec{r_1} \times \vec{r_2} + \lambda_2\, \vec{r_2} \times \vec{r_2} + \lambda_3\, \vec{r_3} \times \vec{r_2} = \vec{0}$$

$\lambda_1\, \vec{r_1} \times \vec{r_3} + \lambda_2\, \vec{r_2} \times \vec{r_3} + \lambda_3\, \vec{r_3} \times \vec{r_3} = \vec{0}$,

展開上式，且消去同值異號項目，合併係數後, 得:

$\begin{align} -\lambda_2\, a_{12} + \lambda_3\, a_{31} &= 0 \\ +\lambda_1\, a_{12} - \lambda_3\, a_{23} &= 0 \\ -\lambda_1\, a_{31} + \lambda_2\, a_{23} &= 0 \end{align}$.

求解此聯立方程式，（並假定 k 為任選的比例常數）可得:

$\begin{align} \lambda_1\ = k \cdot a_{23} = k \cdot \vec{r_2} \times \vec{r_3} \cdot \vec{u_3}\\ \lambda_2\ = k \cdot a_{31} = k \cdot \vec{r_3} \times \vec{r_1} \cdot \vec{u_3}\\ \lambda_3\ = k \cdot a_{12} = k \cdot \vec{r_1} \times \vec{r_2} \cdot \vec{u_3} \end{align}$.

將這些係數代入 $p$ 的參數式，結果就是,

$$\begin{align} p &=\frac{\lambda_1\, r_1 + \lambda_2\, r_2 + \lambda_3\, r_3}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3} \\ &=\frac{(\vec{r_2} \times \vec{r_3})\, r_1 + (\vec{r_3} \times \vec{r_1})\, r_2 + (\vec{r_1} \times \vec{r_2})\, r_3}{(\vec{r_2} \times \vec{r_3}) + (\vec{r_3} \times \vec{r_1}) + (\vec{r_1} \times \vec{r_2})} \\ &= \frac{\vec{V}}{\vec{A}} = \frac{\vec{\|V\|}}{\vec{\|A\|}} \end{align}$$

又, 由牛頓力學所推導出來的運動軌跡方程式可知,

$$p = \frac{h^2}{\mu}$$

因此, 透過 $p$ 的橋接, 可以得到 $h$ 與 $\vec{A}, \vec{V}$ 的關係：

$$\begin{align} p &= \frac{\vec{V}}{\vec{A}} = \frac{\|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|} = \frac{h^2}{\mu} \\ \Rightarrow h & = \sqrt{\frac{\mu \|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|}} \end{align}$$

而 $\vec{A}, \vec{V}$ 這兩個由觀測位置所定義出來的輔助向量, 也與軌道的幾何性質 $p$ 及運動力學的參數 $h$ 巧妙地結合在一起。

### 速度向量決定

位置向量所對應的速度向量可以透過離心率向量計算出來。

方法是透過 $\vec{k}$ 與 $\vec{e}$ 的外積，取得速度向量的表示式。

計算速度向量的步驟如下：

$\begin{align} \vec{e} &= \frac{\vec{v} \times \vec{h}}{\mu} - \frac{\vec{r}}{r} \\ \vec{k} \times \vec{e} &= \frac{\vec{k} \times (\vec{v} \times \vec{h})}{\mu} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ <pre> &= \frac{(\vec{k} \cdot \vec{h}) \vec{v} - (\vec{k} \cdot \vec{v}) \vec{h}}{\mu} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ </pre> \vec{k} \times e\vec{i} &= \frac{(\vec{k} \cdot h\vec{k}) \vec{v}}{\mu} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ e \vec{j} &= \frac{h \vec{v}}{\mu} - \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ \end{align}$.

因此，以重力參數和位置向量來表示，我們有以下的速度向量方程式：

$$\vec{v} = \frac{\mu}{h} ( e \vec{j} + \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} )$$

($\mu$ 為標準重力參數 standard gravitational parameter).

由前面的定理可知,

$e = \frac{\|\vec{G}\|}{\|\vec{A}\|}$,

且

$$h = \sqrt{\frac{\mu \|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|}}$$

故

$\begin{align} \vec{v} &= \sqrt{ \frac{\mu \|\vec{A}\|}{\|\vec{V}\|} } ( \frac{\|\vec{G}\|}{\|\vec{A}\|} \vec{j} + \vec{k} \times \frac{\vec{r}}{r} ) \\ <pre> &= \sqrt{ \frac{\mu \|\vec{A}\|}{\|\vec{V}\|} } ( \frac{ \vec{G}}{\|\vec{A}\|} + \frac{\vec{A}}{\|\vec{A}\|} \times \frac{\vec{r}}{r} ) \\ &= \sqrt{\frac{\mu}{\|\vec{V}\|\,\|\vec{A}\|}} \,\, (\vec{G}+ \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r}) \\ </pre> \end{align}$.

### 由三個位置向量決定速度向量

總結以上結果，速度向量 $\vec{v}$ 與 $\vec{G}, \vec{A}, \vec{V}$ 的關係可表達為以下方程式：

$\vec{v} = \sqrt{\frac{\mu}{\|\vec{V}\|\,\|\vec{A}\|}} \,\, (\vec{G}+\frac{\vec{A}\times\vec{r}}{r})$.

這也可以有另一種證明方式。方法是利用 $\vec{G} = \vec{A} \times \vec{e}$ 的關係及 $\vec{e}$ 與 $[\vec{v}, \vec{r}]$ 的關係，找出 $[\vec{v}, \vec{r}]$ 與 $[\vec{G}, \vec{A}, \vec{V}]$ 的可能關係。證明如下：

$\begin{align} \vec{e} &= \frac{\vec{v} \times \vec{h}}{\mu} - \frac{\vec{r}}{r} \\ \vec{G} &= \vec{A} \times \vec{e} = \frac{\vec{A} \times (\vec{v} \times \vec{h})}{\mu} - \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ <pre> &= \frac{(\vec{A} \cdot \vec{h}) \vec{v} - (\vec{A} \cdot \vec{v}) \vec{h}}{\mu} - \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ </pre> \Rightarrow \vec{G} &= \frac{(\vec{A} \cdot h\vec{k}) \vec{v}}{\mu} - \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} \\ \Rightarrow \vec{v} &= \frac{\mu}{(\vec{A} \cdot h\vec{k})} ( \vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} )\\ \end{align}$.

因此，速度向量也可以表示為：

$\begin{align} \vec{v} &= \frac{\mu}{\|\vec{A}\| \cdot h} ( \vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} )\\ \end{align}$.

由先前的定理已知 $h$ 與 $[\vec{V}, \vec{A}]$ 有關。故可代入:

$h = \sqrt{\frac{\mu \|\vec{V}\|}{\|\vec{A}\|}}$.

最終，透過三個位置向量所定義的輔助向量 $\vec{G}, \vec{A}, \vec{V}$, 可以將速度向量表示為三個位置向量的函數：

$$\begin{align} \vec{v} &= \frac{\mu}{\|\vec{A}\| \cdot h} ( \vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} )\\ <pre> &= \frac{\mu}{\|\vec{A}\|} \sqrt{\frac{\|\vec{A}\|}{\mu \|\vec{V}\|}} ( \vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} )\\ </pre> \vec{v} &= \sqrt{\frac{\mu}{\|\vec{A}\| \|V\|}} ( \vec{G} + \vec{A} \times \frac{\vec{r}}{r} ).\\ \end{align}$$

## 狀態向量軌道確定法

軌道確定的基本任務是由軌道狀態向量 $\vec {r},\vec {v}$，確定一個軌道物體相對於其中心物體參考框架的古典軌道元素或克卜勒元素,$a,e,i,\Omega ,\omega ,\nu$。中心天體是萬有引力的來源，如太陽、地球、月球和其他行星。而軌道天體則包括圍繞太陽的行星、圍繞地球的人造衛星和圍繞行星的太空船等。牛頓運動定律對軌道物體的軌跡, 即克卜勒軌道, 有很好的解釋。

由一個狀態向量確定軌道的步驟摘要如下：

- 由狀態向量計算軌道物體的相對角動量 (比角動量) (specific angular momentum) $\vec {h}$：

$$\vec{h} = \vec{r} \times \vec{v} = \left| \vec{h} \right| \vec{k} = h\vec{k}$$

在這裡 $\vec {k}$ 是軌道平面 z 軸的單位向量。比角動量是個軌道物體的常數向量。且它的方向垂直於軌道物體的軌道平面。

- 由 $\vec {h}$ 計算升交點向量 (ascending node vector) $\vec {n}$。假設 $\vec {K}$ 代表參考平面Z軸的單位向量，$\vec {K}$ 將垂直於中心體的參考平面，則：

$$\vec{n} = \vec{K} \times \vec{h}$$

升交點向量是從中心天體指向軌道平面升交點的向量。由於升交點線是軌道平面和參考平面的交線，故它同時垂直於參考平面向量 ($\vec {K}$ ) 和軌道平面法向量 ($\vec {k}$ 或者 $\vec {h}$)。因此，升交點向量可以由這兩個向量的外積來定義。

- 計算軌道的離心率向量 (eccentricity vector) $\vec {e}$。離心率向量具有軌道離心率的大小， $e$，並指向軌道近心點的方向。這個方向通常被定義為軌道平面的 x 軸並且有一個單位向量 $\vec {i}$ .根據運動定律，可表示為：

$$\begin{align} \vec{e} &= {\vec{v}\times\vec{h}\over{\mu}} - {\vec{r}\over{\left|\vec{r}\right|}} = e \vec{i}\\ &= \left ( {{\left |\vec{v} \right |}^2 \over {\mu} }- {1 \over{\left|\vec{r}\right|}} \right ) \vec{r} - {\vec{r} \cdot \vec{v} \over{\mu}} \vec{v} \\ &= \frac{1}{\mu} \left[ \left( {{\left |\vec{v} \right |}^2 }- {\mu \over{\left|\vec{r}\right|}} \right ) \vec{r} - {(\vec{r} \cdot \vec{v})} \vec{v} \right] \\ e &= \left| \vec{e} \right| \\ \end{align}$$

在此 $\mu =GM$ 是質量為 $M$ 之中心體的標準引力參數，而 $G$ 則是萬有引力常數。

- 計算軌道半正焦弦 (semi-latus rectum) $p$ 及其半長軸 $a$ （假定不是拋物線軌道。拋物線軌道的 $e=1$ 且 $a$ 未定義或定義為無窮大）：

$$p = \frac{h^2}{\mu} = a (1-e^2)$$

$a = \frac{p}{1-e^2}$, （如果$e\neq 1$）。

- 計算軌道平面相對於參考平面的軌道傾角(交角) (inclination) $i$：

$$\begin{align} \cos(i) &= \frac{\vec{K}\cdot\vec{h}}{h} = \frac{h_K}{h} \\ \Rightarrow i &= \arccos(\frac{\vec{K}\cdot\vec{h}}{h}), i \in [0,180^\circ], \end{align}$$

在此 $h_{K}$ 是 $\vec {h}$ 在參考框架的 Z 座標。

- 計算升交點經度 (longitude of ascending node) $\Omega$，即升交線與參考框架 X 軸的夾角：

$$\begin{align} \cos(\Omega) &= \frac{\vec{I}\cdot\vec{n}}{n} = \frac{n_I}{n} = \cos(360 -\Omega) \\ \Rightarrow \Omega &= \arccos(\frac{\vec{I}\cdot\vec{n}}{n}) = \Omega_0, \text{ or } \\ \Rightarrow \Omega &= 360^\circ - \Omega_0, \text{ if } n_J < 0, \\ \end{align}$$

在此 $n_{I}$ 和 $n_{J}$ 分別是 $\vec{n}$ 在參考框架中的 X 和 Y 座標。

請注意 $\cos(A)=\cos(-A)=\cos(360-A)=C$，但 $\arccos(C)$ 僅定義在 0, 180 度範圍。所以 $\arccos(C)$ 代表的角度是模稜兩可的，因為在 0,360 度中有兩個角度，即 $A$ 和 $360-A$，都有相同的 $\cos$ 值。所以，實際上它傳回的角度可能是 $A$ 或者 $360-A$. 因此，我們必需根據向量在被測量之平面上的 Y 坐標的正負號來進行象限的判斷。在本案例中，$n_{J}$ 的正負號可用於此例之判斷。

- 計算近心點引數 (argument of periapsis) $\omega$，這是近心點和升交線之間的角度：

$$\begin{align} \cos(\omega) &= \frac{\vec{n}\cdot\vec{e}}{n e} = \cos(360 -\omega) \\ \Rightarrow \omega &= \arccos(\frac{\vec{n}\cdot\vec{e}}{n e}) = \omega_0, \text{ or } \\ \Rightarrow \omega &= 360^\circ - \omega_0, \text{ if } e_K < 0, \\ \end{align}$$

在此 $e_{K}$ 是 ${\vec {e}}$ 在參考框架中的 Z 座標。

- 計算觀測曆元的真近點角 (true anomaly at epoch) $\nu$，它是在觀測時刻（'曆元'）當下的位置向量和近心點之間的角度：

$$\begin{align} \cos(\nu) &= \frac{\vec{e}\cdot\vec{r}}{e r} = \cos(360 -\nu) \\ \Rightarrow \nu &= \arccos(\frac{\vec{e}\cdot\vec{r}}{e r}) = \nu_0, \text{ or } \\ \Rightarrow \nu &= 360^\circ - \nu_0, \text{ if } \vec{r}\cdot\vec{v} < 0.\\ \end{align}$$

在此 ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}$ 的正負號可用於檢查 $\nu$ 所在象限, 並修正 $\arccos$ 傳回的角度，因為它與飛行路徑角 (fly-path angle) $\phi$ 具有相同的正負號 .並且已知，$\nu \in [0,180^{\circ }]$ 時，飛行路徑角的符號始終為正, 而當 $\nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]$ 時，始終為負。兩者關係在於 $h=rv\sin(90-\phi)$, 故 ${\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos(90-\phi )=h\tan(\phi )$, 與 $\phi$ 有相同正負號 .

- 必要時也可以計算觀測曆元的緯度引數 (argument of latitude at epoch) $u=\omega +\nu$，即觀測時刻當下位置向量與升交線的夾角：

$$\begin{align} \cos(u) &= \frac{\vec{n}\cdot\vec{r}}{n r} = \cos(360 -u) \\ \Rightarrow u &= \arccos(\frac{\vec{n}\cdot\vec{r}}{n r}) = u_0, \text{ or } \\ \Rightarrow u &= 360^\circ - u_0, \text{ if } r_K < 0, \\ \end{align}$$

在此 $r_{K}$ 是 ${\vec {r}}$ 在參考框架中的 Z 座標。

## 進階讀物

- Curtis, H.; , Chapter 5; Elsevier (2005) ISBN 0-7506-6169-0.
- Taff, L.; Celestial Mechanics, Chapters 7, 8; Wiley-Interscience (1985) ISBN 0-471-89316-1.
- Bate, Mueller, White; Fundamentals of Astrodynamics, Chapters 2, 5; Dover (1971) ISBN 0-486-60061-0.
- Madonna, R.; Orbital Mechanics, Chapter 3; Krieger (1997) ISBN 0-89464-010-0.
- Schutz, Tapley, Born; Statistical Orbit Determination, Academic Press. ISBN 978-0126836301
- Orbit Determination and Satellite Navigation
- Satellite Orbit Determination