買賣權平價關係

在金融數學中，買賣權平價關係，是指具有相同的行使價與到期日的歐式看漲期權與歐式看跌期權，其價格之間存在的基本關係。如果平價關係不成立，則存在套利的空間。具體地說，一份由買入歐式看漲期權和賣出歐式看跌期權組合成的投資組合，其價格等於一份與它們有相同標的資產、行使價與到期日的遠期合約的價格。這是因為在到期日，如果資產價格高於行使價，則會執行歐式看漲期權，反之則執行歐式看跌期權。在任一種情況下，都等於用行使價買入一單位標的資產。因此這個投資組合等價於在到期日用行使價買入一單位標的資產的遠期合約。在無套利原則下，兩者在初始的價格應當等同，此即買賣權平價關係。

買賣權平價關係成立，需要若干的假設前提。現實市場中存在交易成本，因此買賣權平價關係不完全成立。然而，在高流通性市場中，可以近似認為買賣權平價關係成立。

## 假設

買賣權平價關係基於靜態複製，因此需要若干基本的假設前提，即存在標的資產的遠期合約。如果不存在標的資產的遠期合約，則要求可以借入固定資本（比如債券）買入標的資產的能力或者借入並賣出標的資產買入固定資本的能力。如此才可以構成自融資組合，作為複製遠期合約的手段。

以上的假設前提並不要求在初始日期和到期日之間有交易，因此相對於那些基於布萊克-舒爾斯模型的關係式來說，前提需求更弱。後者一般要求在全過程中動態複製，並能夠持續買入賣出標的資產。

以上的假設前提包括了允許進行衍生交易，因此要求能夠以保證金交易（以及相應的資金成本），並且牽涉到買賣的交易成本，特別是買賣價差。所以，買賣權平價關係只在理想中的無摩擦資本市場（完美資本市場，無限流通市場）上才完全成立。不過，如果現實市場的流通性足夠高，那麼買賣差價可以忽略不計，平權關係近似成立。比如說，主流貨幣的外匯市場或者主流股指的外匯市場在沒有大波動的情況下，可以認為近似於無摩擦資本市場。

## 表述

買賣權平價關係有多種不同的表述方式。最普遍的方式是：

$C - P = D(F - K) \,$

其中C是歐式看漲期權現價，P是歐式看跌期權現價，D是折現係數，F是遠期合約價格，K是行使價。等式左側是一個買入一單位歐式看漲期權和賣出一單位歐式看跌期權的投資組合的現價，右側括弧中是在到期日以行使價K執行一個遠期合約的價格，因此貼現後（乘以折現係數）即為其現價。注意到標的資產現價S可以表達成遠期合約現價與折現係數的乘積：S = DF。因此以S代替等式中的DF，即得：

$C - P = S - D\cdot K. \,$

重新排列後，可以得到另一種解釋方式：

$C + D\cdot K = P + S \,$

此時，等式左側是一份信用買權，即買入一份歐式看漲期權並加上在到期日可以行使期權（以行使價購買一單位標的資產）的必要現金額（或者等價債券）。等式右側則是一個保護性看跌期權，即買入一單位的標的資產以及一份歐式看跌期權，這樣當標的資產在到期日低於行使價時，可以用行使價賣出。兩側的的投資組合在到期日的價值都是max(ST, K)。即，至少保證有K的價值，而當標的資產價格高於K時則可擁有一單位標的資產的價值。因此根據無套利原則，兩側的投資組合在初始的價值也應當相同。這是另一種證明或闡釋買賣權平價關係的方式。

更具體的表述為：

$C(t) - P(t) = S(t)- K \cdot B(t,T) \,$

其中

$C(t)$ 是歐式看漲期權在$t$時刻的價值。

$P(t)$ 是與上述看漲期權有相同到期日、行使價的歐式看跌期權在$t$時刻的價值。

$S(t)$ 是標的資產在$t$時刻的價值（現貨價）。

$K$ 是行使價。

$B(t,T)$ 是一單位在到期日$T$時價值為1單位金額的零息票債券在$t$時刻的價值，這是折現係數D的具體形式。

要注意的是，上述等式右側也是買入一個在到期日交付K金額的遠期合約的價格。因此，這可以解釋為：一個買入一單位歐式看漲期權並賣出一單位歐式看跌期權的投資組合，等價於買入一單位遠期合約。特別地，如果標的資產不可買賣，但存在其上的遠期合約，那麼可以將右側的表達式以合約價格代替。

如果債券利率在討論的期限內不發生變動，恆定為$r$，那麼

$B(t,T) = e^{-r(T-t)}. \,$

$r$是利息力度的表現。當實際年利率較小時，利息力度大致等於實際年利率。但是，這種近似應當加以小心，特別是當時間跨度較大，利率較高時。而準確的$r$則應當以$r = ln (1+i)$計算，其中$i$是實際年利率。

如果給定的歐式期權是建立在有定期股息的股票上，而此定期股息又在期權時限內支付，那麼平價關係等式將修正為：

$C(t) - P(t) + D(t) = S(t) - K \cdot B(t,T)\,$

其中的D(t)是從t時刻直至到期日為止，一單位的股權給付的股息的現值。這個等式也可以寫成：

$C(t) - P(t) = S(t) - K \cdot B(t,T)\ - D(t),$

這時，等式右側是一個（支付股息的）股票上，以行使價K交付的遠期合約的價格。

## 推導

我們會假設看漲與看跌期權都是期權交易市場上的產品。但它們的標的資產可以是任何可交易資產。在無套利原則中，能夠買進和賣出標的資產是關鍵條件。

首先注意到，基於無套利原則（價格必然是不可套利的），兩個投資組合如果在到期日T擁有相同的價值，那麼在之前的任何時刻，它們必然也擁有相同的價值。要證明這一點，可以假設，如果在T之前的某個時刻t，其中一個投資組合比另外一個投資組合更便宜，那麼只要買空其中更便宜的投資組合，並且賣空較貴的投資組合，這樣，在T時刻，總的投資組合將會變成零價值（所有的資產和負債抵消）。這說明，在t時刻賺取的差價利潤是無風險的利潤。這違反了無套利原則。

接下來，我們會創造兩個投資組合，它們有相同的支付價值（靜態複製）並且依照以上的原理來推導出買賣權平價關係。

考慮一個歐式看漲期權、一個歐式看跌期權，它們有相同的行使價K、相同的到期日T，建立在相同的標的資產S上，並且在時限內沒有股息。假設存在到期日T的價值為1單位金額的債券。債券價格可以是隨機的（與標的資產價格一樣），但必須在到期日T時刻到期並且價值為1單位金額。

設標的資產S在時刻t的價格為S(t)。現在設立一個投資組合：買入一份歐式看漲期權C，賣出一份歐式看跌期權P，要求在同一個到期日T，行使價都是K。這個投資組合的支付價值為S(T) - K。再設立一個投資組合，買入一單位的標的資產股權，借入K份債券。注意，第二個投資組合在到期日T的支付價值也是S(T) - K，因為到時標的資產股權的單位價格是S(T)，需要返還的債券價值變為K。

以上兩個投資組合在時刻T的價值相同，因此在之前的任意時刻t，兩者的價值也應當相同。於是可推導出如下的關係：

$C(t) - P(t) = S(t)- K \cdot B(t,T) \,$

根據無套利原則，這個等式在任意時刻都成立。已知給定時刻的歐式看漲期權價格、歐式看跌期權價格、標的資產價格和零息票債券價格中的任意三者，都可以通過以上的等式推出第四者的價格。

如果標的資產在時限內有股息，那麼用類似以上的推導方式也可以推導出修正的平價關係。只需要在第一個投資組合補上股息數量的零息債券。

## 歷史

1904年，一位叫尼爾森的紐約期權套利交易員出版了一本名為《期權與套利入門》的書。書中詳細刻畫了買賣權平價關係。這本書在21世紀初被艾斯本·加爾德·豪格重新發現。豪格在自己的著作《模型衍生品的模型》中多次使用了尼爾森的書作為參考。

亨利·德意志在他1910年出版的《金條、金幣、支票、股票、股權和期權的套利》一書第二版中描繪了買賣權平價關係。不過其中的描述沒有尼爾森書中的那麼詳細。

數學教授文曾子·布隆贊在1908年也推導過買賣權平價關係，並將其用於他的套利理論，建立了一系列的數學期權模型。布隆贊的工作是21世紀後由沃夫岡·哈夫那教授與海恩茲·齊默曼教授重新發現的。布隆贊的原作是一本用德文寫的書，現在已經被翻譯成英語並在哈夫那與齊默曼的著作下出版。

現代學術著作中首次提到買賣權平價關係可能是斯投爾1969年的論文《看跌與看漲期權之間的關係》。

## 衍生應用

使用買賣權平價關係可以推演出如下的應用方式：

- 歐式看漲期權與歐式看跌期權的等價性。在構造delta中性的投資組合時，可以用歐式看漲期權來代替歐式看跌期權，或者反之。如果歐式看漲期權的delta是d，那麼買空一個歐式看漲期權同時賣空d份股權，等價於賣空一個歐式看跌期權並買入1 - d份股權。在期權交易中，這種對稱性十分重要。
- 隱含波動率的平價關係。當沒有股息，也沒有其餘買賣成本（比如在尋找買空或賣空時不會出現困難），那麼有著同樣參數的歐式看漲期權和歐式看跌期權的隱含波動率是相同的。

## 參考文獻

- Stoll, Hans R. (1969). "The Relationship Between Put and Call Option Prices". The Journal of Finance 24 (5): 801–824. doi:10.2307/2325677
- Hafner, Wolfgang, Zimmermann, Heinz (2009). "Vinzenz Bronzin's option pricing models". Springer Verlag.

## 外部連結

- 買賣權平價關係
- 買賣權平價關係 , Salman Khan的教程
- 歐式期權平價關係 , putcallparity.net
- Put-Call 平價關係與套利機會 , investopedia.com
- 現代金融革新的歷史根源：監管套利早期歷史, Michael Knoll 著，介紹平價關係歷史
- 其他平價關係
- 期權的套利關係 , Thayer Watkins
- 期權定價的理性規則與邊界條件 , Don M. Chance
- 期權的無套利邊界, Robert Novy-Marx
- 工具
- 期權套利關係 , Campbell R. Harvey