反餘切

反餘切（arccotangent，記為：$\arccot$、arcctg、ACOT或$\cot^{-1}$）又稱為逆餘切，是一種反三角函數，對應的三角函數為餘切函數，是利用已知直角三角形的鄰邊和對邊這兩條直角邊長度的比值求出其夾角大小的函數，但其輸入值和反正切的輸入值互為倒數，是高等數學中的一種。

反餘切可以視為餘切的反函數，但餘切函數是周期函數且在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但也可以視為多值函數，因此我們必須限制餘切函數的定義域使其成為單射和滿射也是可逆的。

一般最常見的方式是限制餘切函數的定義域在0到π（180°）之間，如下圖所示（以紅色曲線表示），此時反餘切函數不是奇函數也不是偶函數，而是一個單調遞減的有界函數，最大值為$\pi$（180°）、最小值為0且函數連續，但有兩條漸近線。

另外一種定義方式是限制餘切函數的定義域在$\pm\frac{\pi}{2}$（±90°）之間，如下圖所示（以紅色曲線表示），這種限制方式與反正切相同，此時反餘切函數是奇函數，值域與其他相關性質皆與反正切類似，但函數並不連續。

由於餘切是周期函數，而上述二種定義方式皆是取餘切的一個週期，因此其定義域皆為實數集。但當將反餘切函數擴展至複數時，會採用後者的定義方式。

但由於複變分析的定義方式會造成函數不連續，在$x=0$時有斷點，因此應用在測量學上時會採用取最小同界角的方式避免斷點。

反餘切函數經常記為$\cot^{-1}$，在外文文獻中常記為$\arccot$，在一些舊的教科書中也有人記為arcctg，但那是舊的用法。根據ISO 31-11，應將反餘切函數記為$\arccot$，因為$\cot^{-1}$可能會與$\frac{1}{\cot}$混淆，$\frac{1}{\cot}$是正切函數。

## 定義

反餘切表示餘切的反函數，因此是一個多值函數。為了要符合函數定義，因此要對原函數加以限制，從而存在多種定義方式。最常見的定義方式有兩種：

- 將餘切函數限制在$[0 , \pi]$（0, 180°）的反函數，應用於測量學
- 將餘切函數限制在$(-\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2}]$（$(-90^\circ , 90^\circ]$）的反函數，應用於複變分析

在複變分析中則是採用第二種定義延伸至複數，並存在等式：

$$\arccot x = \frac{i}{2}\left[\ln\left(\frac{x-i}{x}\right)-\ln\left(\frac{x+i}{x}\right)\right]$$

這個動作使反餘切被推廣到複數。

此外，反餘切函數也可以使用其他反三角函數進行定義：

$$\begin{align} \arccot(x) = \cot^{-1} (x) & = \begin{cases} \sec^{-1} \left( \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \right) - \pi, & \mbox{for }x < 0 \\ \sec^{-1} \left( \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \right) , & \mbox{for }x > 0 \end{cases} = \begin{cases} -\frac{\pi}{2}-\tan^{-1} x, & \mbox{for }x < 0 \\ \frac{\pi}{2}-\tan^{-1} x, & \mbox{for }x > 0 \lor x = 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} -\sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right), & \mbox{for }x < 0 \\ \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) , & \mbox{for }x > 0 \end{cases} = \begin{cases} -\csc^{-1} \left( \sqrt{x^2+1} \right), & \mbox{for }x < 0 \\ \csc^{-1} \left( \sqrt{x^2+1} \right), & \mbox{for }x > 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} -\cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \right) - \pi, & \mbox{for }x < 0 \\ \cos^{-1} \left( \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \right) , & \mbox{for }x > 0 \end{cases} = \begin{cases} -\frac{\pi}{2}-\sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right), & \mbox{for }x < 0 \\ \frac{\pi}{2}-\sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) , & \mbox{for }x > 0 \end{cases} \\ \end{align}$$

### 直角坐標系中

在直角坐標系中，反餘切函數可以視為已知直線垂線斜率的傾角，但是有可能差一個負號。

### 級數定義

反餘切函數可以使用無窮級數定義：

$\begin{align} \arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\ & {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\ & {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1} ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i \end{align}$

對$x>0$時給出反餘切函數的泰勒展開式為：

$$\arccot x= \frac\pi2-\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= \frac\pi2-x+\frac{x^3}3-\frac{x^5}5+\frac{x^7}7-\cdots$$

以上等式也可以直接用來表示取最小同界角的反餘切函數。

也可以用當$z=\infty$的洛朗級數來定義，對應$\left| z \right| > 1$的情形：

$\arccot z= \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{z^{-(2k+1)}}{2k+1}= \frac{1}{z}-\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}-\frac{1}{7x^7}+\frac{1}{9x^9}-\cdots$

此外也有歐拉導出的無窮級數：

## 性質

反餘切函數滿足等式：

$$\arccot (-x) = \pi - \arccot x = 180^\circ - \arccot x \!$$

反餘切函數是一個遞減函數。

在複變分析中，反餘切函數在當$x$不等於零時是一個奇函數，因此滿足下面等式：

$$\arccot (-x) = - \arccot x \qquad(x\ne0)$$

反餘切雖有多種定義方式，但其在$x=0$時值是一樣的，為$\frac{\pi}{2}$（90°）。在複變分析中$x=0$時不連續左極和右極互為相反數，而反餘切若是取最小同界角則在$x=0$時連續。

反餘切函數的微分導數為：

$${\rm arccot}'x=-\frac{1}{1+x^2}$$

$${\rm arccot}''x=\frac{2x}{\left(1+x^2\right)^2\,}$$

$${\rm arccot}'''x=-\frac{8x^2}{\left(1+x^2\right)^3\,}+\frac{2}{\left(1+x^2\right)^2\,}$$

$${\rm arccot}''''x=\frac{ \; 48x^3 \; }{\;\left(1+x^2\right)^4\,}-\frac{ \; 24x \; }{\;\left(1+x^2\right)^3\,}$$

$$\cdots$$

除了反正切，反餘切函數同樣可以表示梅欽類公式：

$$\frac\pi4=4\arccot{5}-\arccot{239}$$

## 恆等式

下面恆等式均適用於函數2（取最小同界角的反餘切函數）

$$\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x$$

$$\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!$$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ $ 如果 $\ x > 0$

$\arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\ $ 如果 $\ x < 0$

### 和差

$$\arccot x + \arccot y =\arccot{\frac{xy-1}{x+y}}, x > -y$$

$$\arccot x + \arccot y =\arccot {\frac{xy-1}{x+y}}+\pi, x < -y$$

$$\arctan x + \arccot x =\frac{\pi}{2}$$

### 積分

$$\int \arccot \frac{x}{c} \ dx = x \arccot \frac{x}{c} + \frac{c}{2} \ln(c^2 + x^2)$$

$$\int x \arccot \frac{x}{c} \ dx = \frac{c^2 + x^2}{2} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c x}{2}$$

$$\int x^2 \arccot \frac{x}{c} \ dx = \frac{x^3}{3} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c x^2}{6} - \frac{c^3}{6} \ln(c^2 + x^2)$$

$$\int x^n \arccot \frac{x}{c} \ dx = \frac{x^{n + 1}}{n+1} \arccot \frac{x}{c} + \frac{c}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{c^2 + x^2} \ dx, \quad n \neq 1$$

## 參考文獻

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