法捷耶夫-波波夫鬼粒子

在物理學中，法捷耶夫-波波夫鬼粒子（Faddeev–Popov ghost），是一種為了保持路徑積分表述的一致性而引入規範量子場論的附加場，以路德維希·法捷耶夫和維克多·波波夫的名字命名。

## 歷史和路徑積分

法捷耶夫-波波夫鬼粒子之所以是必須要引入的，是因為在路徑積分表述中，量子場論必須給出明確、非奇異的解，而由於規範對稱性的存在，我們無法從大量的因規範變換而相關的物理上等價的不同解挑選出唯一的解。這個問題起源於路徑積分重複考慮的規範對稱相關的場組態，這些其實對應於相同的物理態；路徑積分的測度包含一個係數，其不允許我們直接用一般的方法（例如費恩曼圖方法）從原始的作用量得到各種結果。但是，如果我們修改原始作用量，添加進去一個額外的場，打破規範對稱性，那麼一般方法就可以使用了。這種場就叫做鬼場。這一方法被稱作「法捷耶夫-波波夫方法」（見BRST量子化）。這種鬼場只是一種計算工具，對外部來說並不對應於任何一種實際粒子：鬼粒子在費恩曼圖中只作為虛粒子出現——或者說，只對應於某些規範組態的缺失。但是它對於維持么正性是至關重要的。

描述鬼粒子的公式和其具體形式與所選擇的具體規範有關，但對於所有規範得到的實際結果是相同的。費恩曼-胡夫特規範（Feynman-t'Hooft gauge，庫侖規範）是用於這個目的時最簡單的規範，所以在這篇文章中我們都採用這種規範。

## 法捷耶夫-波波夫方法

設A是規範聯絡形式，$F = dA + A^2$是曲率形式。楊-米爾斯場論的作用量是

$$S = \int YM = \int tr(F\wedge *F) = \int F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}$$

泛函積分是

$$Z = \int DA \exp(iS(A))$$

設

$$\alpha = \sum_a \alpha^a t^a \in TG$$

屬於規範群G的李代數TG。則$g = e^{i\alpha} \in G$以及

$$A \to A_{\alpha} = g(d+A)g^{-1} \approx A + d_D \alpha$$

$d_D$是外共變導數。若$f(A)$是規範固定函數，則

$$\int D\alpha \ \delta(f(A_{\alpha})) \det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) = 1$$

這是有限維公式的推廣，也參看狄拉克δ函數和雅可比行列式。然後

$$Z = \int DA \ D\alpha \ \delta(f(A_{\alpha})) \det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) e^{iS(A)}$$

通過變量的變化$A \to A_{\alpha}$，拉氏量YM和作用量是規範不變：$S(A) = S(A_{\alpha})$。而且測度不變$DA_{\alpha} = DA$。所以因為泛函的富比尼定理：

$$Z = (\int D\alpha) \ \int DA \ \delta(f(A)) \det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) e^{iS(A)}$$

### 電磁理論

若$G=U(1)$，這是電磁理論，規範變換成為$A_{\alpha} = A + d\alpha$，可以選擇

$$f(A) = \partial A - \omega$$

$$\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha} = \partial^2$$

上面不依賴$\alpha$或A。則泛函積分等於

$$Z = \det(\partial^2) (\int D\alpha) \int DA \ \delta(\partial A - \omega) e^{iS(A)} = C \int DA \ \delta(\partial A - \omega) e^{iS(A)} = Z_{\omega}$$

注意配分函數 Z 不依賴 $\omega$，所以可以使用線性組合表述Z。通過泛函的富比尼定理：

$$Z = N(\xi)\int D\omega \ \exp(-i\int \omega^2 / 2\xi) \ Z_{\omega}$$

$$= C' \int DA \ e^{iS(A)} \int D\omega \ \exp(-i\int \omega^2 / 2\xi) \ \delta(\partial A - \omega)$$

$$= C' \int DA \ \exp(iS(A)-i\int (\partial A)^2 / 2\xi)$$

在電磁理論中，楊米作用量成為

$$S(A) = -\int (dA)^2 = -\int (\partial A)^2 / 4 = \int A\partial^2 A / 4$$

所以傳播子是

$$D_{\mu \nu}(k) = \frac{-i}{k^2 + i\epsilon} (g_{\mu \nu} - (1-\xi)\frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2})$$

- $\xi = 0$是朗道規範
- $\xi = 1$是費恩曼規範

上文是法捷耶夫-波波夫方法（Faddeev-Popov method，FP辦法），這個辦法在其他數學和物理分支有應用。量子電動力學沒有FP鬼子。

### 楊-米爾斯場論

但是非阿貝爾群的楊米爾斯場論有FP鬼子。選擇

$$f(A^a) = \partial^{\mu} A_{\mu}^a - \omega^a$$

像上文的冒險一樣，格林函數（correlation函數）是

$$\langle A_{\mu}^a(x)A_{\nu}^b(y)\rangle =D_{\mu \nu}(x-y)^{ab} = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{-ie^{-ik(x-y)}}{k^2 + i\epsilon} \delta^{ab}(g_{\mu \nu} - (1-\xi)\frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2})$$

$\xi = 1$是費恩曼-特·胡夫特規範（Feynman-t' Hooft gauge）。但是這一次雅可比行列式是

$$\det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) = \det(\partial^{\mu} D_{\mu})$$

依賴規範場A。其中規範導數是

$$d_D = D_{\mu} dx^{\mu}$$

可以使用費米積分（高斯積分）表述

$$\det(\partial^{\mu} D_{\mu}) = \int Dc D\bar{c} \exp(i\int \bar{c}(-\partial^{\mu} D_{\mu})c) = \int Dc D\bar{c} \exp(iS(c, \bar{c}))$$

設李代數TG是n維的，則其中$c(x) = (c_a(x), c_b(x), \ldots) \in \Complex^n$是n維旋量，描述鬼粒子。$D_{\mu}^{ab}$是矩陣算子。則鬼子作用量是

$$S(c, \bar{c}) = \int \bar{c}_a(-\partial^{\mu} D^{ab}_{\mu})c_b = \int \bar{c}_a(-\delta^{ac}\partial^{\mu} \partial_{\mu} - g\partial^{\mu} f^{abc}A^b_{\mu})c_c$$

鬼子傳播子是

$$\langle c_a(x) \bar{c}_b(y) \rangle = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{i}{k^2} \delta_{ab} e^{-ik(x-y)}$$

也有高價相互作用費恩曼圖（若耦合常數g很小）。終於的拉氏量是

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}(F^a_{\mu\nu})^2 + \frac{1}{2\xi} (\partial A)^2 + \bar{\psi}(iD\!\!\!\!\big / - m)\psi + \bar{c}(-\partial^{\mu} D_{\mu})c$$

## 相關

- BRST量子化
- 量子場論
- 巴塔林-維爾可維斯基代數

## 延伸閱讀

- L. D. Faddeev and V. N. Popov, "Feynman Diagrams for the Yang-Mills Field", Phys. Lett. B25 (1967) 29.
- Peskin Schroeder. Intro to QFT. Ch 9, 16.
- Anthony Zee. QFT in Nutshell.