正規序

在量子場論中，一組創生及湮滅算符的乘積稱為是按正規序排列的，如果所有的創生算符排列在所有的湮滅算符的左側，相應的乘積稱為正規乘積。類似地可以定義反正規序，在反正規序中，所有產生算符排列在湮滅算符的右側。

## 記號

令$\hat{O}$為任意創生和湮滅算符之乘積，則我們將$\hat{O}$按照正規序重新排列之後得到的算符用$\mathcal{N}(\hat{O})$ 或 $\mathopen{:} \hat{O} \mathclose{:}$表示。注意正規序只對算符乘積有意義，因為正規序不是線性關係，將正規序用在算符和並無太大作用。

## 玻色子

玻色子符合玻色–愛因斯坦統計。

### 單個玻色子

單個玻色子有一個產生算符和一個湮滅算符：

- $\hat{b}^\dagger$：玻色子的產生算符
- $\hat{b}$：玻色子的湮滅算符

則有：

$$\left[\hat{b}^\dagger, \hat{b}^\dagger \right]_- = 0$$

$$\left[\hat{b}, \hat{b} \right]_- = 0$$

$$\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1$$

其中 $\left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA$ 表示兩個算符的對易子。

#### 例子

- 最簡單的例子是 $\hat{b}^\dagger \hat{b}$ 的正規序，根據正規序的定義，可見這裡的算符已經按照正規序排列，所以$\hat{b}^\dagger \hat{b}$的正規序就是它自身：

$${:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}.$$

- 第二個例子是 $\hat{b} \, \hat{b}^\dagger$ 的正規序。

$${:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}.$$

這裡，按照正規序的要求，產生算符 $\hat{b}^\dagger$ 放到了湮滅算符 $\hat{b}$的左邊。由玻色子算符的對易關係有：

$$\hat{b} \, \hat{b}^\dagger - {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = 1.$$

在維克定理中，兩個產生或湮滅算符的乘積與它們的正規序之間的差，稱為這兩個算符的收縮。

$${:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} = (\hat{b}^\dagger)^3 \, \hat{b}^4.$$

### 多個玻色子

對於 $N$ 個不同的玻色子來說，有 $2 N$ 個算符：

- $\hat{b}_i^\dagger$：第 $i$ 個玻色子的產生算符
- $\hat{b}_i$：第 $i$ 個玻色子的湮滅算符

其中 $i = 1,\ldots,N$.

它們滿足下列對易關係：

$$\left[\hat{b}_i^\dagger, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = 0$$

$$\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j \right]_- = 0$$

$$\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = \delta_{ij}$$

其中 $i,j = 1,\ldots,N$，$\delta_{ij}$ 是克羅內克函數。

#### 例子

1.對於兩個玻色子 ($N=2$)，有：

$$: \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2$$

$$: \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2$$

- 對三個玻色子 ($N=3$)，有：

$$: \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3$$

由於 $\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 = \hat{b}_3 \,\hat{b}_2$ （參見對易關係），湮滅算符之間的順序並不重要。

## 費米子

費米子服從費米-狄拉克統計。

### 單個費米子

單個費米子有一個產生算符和一個湮滅算符：

- $\hat{f}^\dagger$：費米子的產生算符
- $\hat{f}$：費米子的湮滅算符

它們滿足下面的反對易關係：

$$\left[\hat{f}^\dagger, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 0$$

$$\left[\hat{f}, \hat{f} \right]_+ = 0$$

$$\left[\hat{f}, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 1$$

其中 $\left[A, B \right]_+ \equiv AB + BA$ 是反對易子。

與玻色子不同的是，對於費米子的正規序，每當重新排序引起兩個算符的前後順序發生變化時，需要額外引入一個負號。

#### 例子

$$: \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f}$$

由於算符已經按正規序排列，所以其正規序就是它本身。反過來，若是產生算符排列在後面，則如前文所說，其正規序需要引入一個負號，即：

$$: \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f}$$

由費米子算符的反對易關係有：

$$\hat{f} \, \hat{f}^\dagger - : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : = 1.$$

與玻色子的情形一樣，上式用於定義維克定理裡面的收縮。

- 其它情形下的正規序都是零，因為此時同一個湮滅算符或產生算符至少連續出現了兩次。根據費米子的性質，此時結果為零，例如：

$$: \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger : \,= \hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0$$

### 多個費米子

$N$ 個費米子有 $2 N$ 個產生湮滅算符，設：

- $\hat{f}_i^\dagger$為第 $i$ 個費米子的產生算符
- $\hat{f}_i$為第 $i$個費米子的湮滅算符

其中 $i = 1,\ldots,N$.

它們滿足下列反對易關係：

$$\left[\hat{f}_i^\dagger, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = 0$$

$$\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j \right]_+ = 0$$

$$\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = \delta_{ij}$$

其中 $i,j = 1,\ldots,N$， $\delta_{ij}$ 是克羅內克函數。

#### 例子

- 對兩個費米子 ($N=2$)，有：

$$: \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2$$

由於算符已經按正規序排列，所以其正規序就是它本身。

$$: \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2$$

由於兩個算符的順序發生了交換，所以要引入一個負號。

$$: \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}^\dagger_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2^\dagger \,\hat{f}_2 = -\hat{f}_2^\dagger \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2$$

與玻色子的情形不同，此時產生算符之間的順序是有關係的。

- 對三個費米子 ($N=3$)，有：

$$: \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2 \, \hat{f}_3 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \,\hat{f}_3 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \,\hat{f}_2$$

類似地有：

$$: \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_3 : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 = \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2$$

$$: \hat{f}_3 \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3$$

## 量子場論中的應用

任意算符的正規序的真空期望值為零。這是因為對於真空態來說，$\langle 0 | \hat{a}^\dagger$以及$\hat{a} |0\rangle$都是0。

這裡 $\hat{a}^\dagger$ 和 $\hat{a}$ 分別是（玻色子或費米子的）產生和湮滅算符。將正規序的這一性質與維克定理結合起來，便能大大簡化場算符的真空期望值的計算。

## 參考文獻

- F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
- S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
- T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268