赫爾曼–莫甘記號

在幾何學中，赫爾曼–莫甘記號（Hermann–Mauguin notation）是一套用於標記點群，平面群和空間群中的對稱要素的表示法，得名於德國晶體學家赫爾曼·卡爾（於1928年提出）和法國礦物學家查爾斯-維克多克·莫甘（於1931年修改）。1935年，在國際晶體學手冊（International Tables For Crystallography）發表第一版時，赫爾曼–莫甘記號就被採用為標準記法，因而赫爾曼–莫甘記號有時也被稱作國際記號（international notation）。

相比於熊夫利記號（Schoenflies notation），赫爾曼–莫甘記號在晶體學中更加常用，其原因在於赫爾曼–莫甘記號更易於包含平移對稱的元素，且指定了對稱軸的方向。

## 點群

赫爾曼–莫甘記號用一個數字 n 來表示旋轉軸：n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ...（轉角 φ = 360°）。對於瑕旋轉，赫爾曼–莫甘記號會標註出旋轉反演（rotoinversion）軸；這點不同於熊夫利記號或舒勃尼科夫記號（Shubnikov notation），後兩者優先表示旋轉反射（rotation-reflection）軸。旋轉反演軸的表示法是在相應的數字上加一個長音符號：n — 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ...等等。鏡面反射的符號（旋轉反演軸2）為 m。鏡面的方向被定義為垂直於其表面的方向（2軸的方向）。

赫爾曼–莫甘記號可表示出非對稱等價的軸和平面。對稱要素的方向是通過其在赫爾曼–莫甘記號中的位置來表示的。如果旋轉軸 n 和鏡面 m 具有相同的方向（即該平面垂直於軸線 n），則把它們記作 n 或 n/m。

如果兩根或更多的軸具有相同的方向，只有對稱性更高的軸會被標記出來。更高的對稱性意味著此軸能夠生成一種包含有更多的點的模式。例如，旋轉軸3, 4, 5, 6, 7, 8 分別可以產生3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-點的模式。瑕旋轉軸線 3, 4, 5, 6, 7, 8 分別可產生6-, 4-, 10-, 6-, 14-, 8-點的模式。如果旋轉和旋轉反演軸生成的點數相同，那麼我們應選擇標記轉動軸而不是旋轉反演軸。例如，3 的組合等價於 6。由於 6 可以生成6個點，而3隻能生成3個，所以我們應該使用 6 來代替 3 （不是 6，因為 6 已經包含鏡面 m)。同理，當 3 軸和 3 軸同時出現時，應只寫 3。然而，我們採用的是 4，而不是 4，因為 4 和 4 都產生四點。對於 6 的組合，其中2、3、6、3、6 軸都有出現；軸線 3、6、6 都可以生成6點的模式，但我們使用後者，因為 6 是一個旋轉軸——標記將會是 6。

最後，赫爾曼–莫甘記號取決於群的類型。

### 不包含更高階（三階或以上）軸的群

這些群可能只包含兩重對稱軸、鏡面對稱面，以及反轉中心。晶體學點群中的 1 和 1（三斜晶系）；2、m、2（單斜晶系）；222、2 2 2、mm2（斜方晶系）都屬於這種情況。如果符號中含有三個位置，那麼他們表示的對稱元素分別在 x、y、z 方向。

### 含有一個更高階軸的群

- 第一位：主方向—— z 方向，分配給高階軸。
- 第二位：對稱等價的次級方向——垂直於 z 軸。可以是 2、m、2 2。
- 第三位：對稱等價的三級方向，從次級方向之間通過。可以是2、m、2 2。

晶體學點群中的3、32、3m、3、3 2（三方晶系）；4、422、4mm、4、42m、4、42m、4、4 2 2（四方晶系）；6、622、6mm、6、6m2、6、6m2、6、6 2 2（六方晶系）都屬於這種情況。同理，非晶群（具有5、7、8、9 ...重對稱軸）的標記也可以如上構造出來。以下表格是對這些群的一個歸納總結：

熊夫利記號｜赫爾曼–莫甘記號｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜...｜∞

Cn｜n｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9｜10｜11｜12｜...｜∞

Cnv｜nm｜3m｜5m｜7m｜9m｜11m｜∞m

nmm｜4mm｜6mm｜8mm｜10mm｜12mm

S2n｜n｜3｜5｜7｜9｜11

Sn｜4｜8｜12

Cnh｜6｜10

Cnh｜n｜4｜6｜8｜10｜12

Dn｜n2｜32｜52｜72｜92｜(11)2｜∞2

n22｜422｜622｜822｜(10)22｜(12)22

Dnd｜n 2｜3 2｜5 2｜7 2｜9 2｜(11)2｜m

Dnd｜42m｜82m｜(12)2m

Dnh｜6m2｜(10)m2

Dnh｜n 2 2｜4 2 2｜6 2 2｜8 2 2｜10 2 2｜12 2 2

注意到具有奇數階軸 n 和 n 的群，其赫爾曼–莫甘記號總是沒有第三位的，這是因為所有垂直於高階軸的 n 方向都是對稱等價的。例如，對於右圖中的三角形，所有三個鏡面對稱面（S0，S1， S2）都是等價的——他們都通過一個頂點和對邊的中心。對於偶數階軸 n 和 n 有 n 的次級方向和 n 的三級方向。例如，右圖中的正六邊形就有兩組不同的鏡面對稱面：經過對頂點的三個平面；以及經過對邊中心的三個平面。在這種情況下，任意一套都可以被選為次級方向，剩下的那一組就是三級方向。因此，群 42m、62m、82m...可以寫為 4m2、6m2、8m2... 對於點群，該順序通常並不重要；然而對於空間群，順序是非常重要的。空間群中的次級方向，是沿單位晶胞平移向量 b 和 c 的對稱要素的方向，而三級方向對應著單位晶胞平移向量 b 和 c 之間的方向。例如，符號 P6m2 和 P62m 表示的就是兩個不同的空間群。這也適用於具有奇數階軸 3 和 3 的空間群的表示。垂直的對稱要素的方向既可以沿著單位晶胞平移向量 b 和 c，也可以在它們之間。空間群 P321 和 P312 即分別為上述前者（沿著單位晶胞方向）和後者（在它們之間）的例子。

點群 3 2 的記法可能容易令人困惑；所對應的熊夫利記法是 D3d，意味著這個群是由3重旋轉對稱軸、三條垂直的二重旋轉對稱軸和三個垂直且穿過這些二重旋轉對稱軸的對角線平面組成的。似乎這個群可以表示為 32m 或 3m2；然而，不像熊夫利記號，赫爾曼–莫甘記號中平面的方向是被定義為該平面垂直的方向的，而在 D3d 群中的所有鏡面都是垂直於二重對稱軸的，因此他們應該被寫在和 2 相同的位置上。接著，這些 2 複合物會產生一個反演中心，該中心和三重旋轉軸一起會生成一條 3 旋轉反演軸。

n = ∞ 的群被稱為限制群或居里群（Curie group）。

### 包含多個更高階軸的群

立方晶系中的晶體學點群 23、432、23、43m 和 432 都包含有四條對角三重旋轉對稱軸。這幾個記號是通過下述方式來構造的：

- 第一位：坐標軸 x、y、z 的對稱等價方向。由於對角三重旋轉對稱軸的出現，它們是等價的。
- 第二位：對角 3 或者 3 軸。
- 第三位：三條坐標軸 x、y、z 中任意兩條之間的對角方向，可以是 2、m 或 2。

所有上述的赫爾曼–莫甘記號被稱為「全記號（full symbols）」。對於一些群，若旋轉軸能夠無歧義地通過記號中出現的對稱元素的組合來表示，則可以在n位置省略「n」重旋轉軸。例如，222 可被記作 mmm；422 可被記作 4mm；432 可被記作 m3m。在包含有一條高階軸的群中，這條高階軸不可省去。例如，422 和 622 可被簡記為 4/mmm（或 4mm) 和 6/mmm（或 6mm），但不能簡寫為 mmm；32 可被記作 3m。

除了五種立方群，點群中還有兩種非晶體學正二十面體群（熊夫立記號中的 I 和 Ih）和兩種極限群（limit groups）（熊夫立記號中的 K 和 Kh）。赫爾曼–莫甘記號不是為非晶體學點群設計的，因此這些點群的記號只是在名義上存在：群 I 可被記為 235、25、532、53；Ih 的簡化記法為 m35、m5、m5m、53m；群 K 可被記為 ∞∞ 或 2∞；對於 Kh，則可被記為 ∞ 或 m 或 ∞∞m。

## 平面群

平面群也可以使用赫爾曼–莫甘記號來描述。第一位總是小寫字母 p 或 c，分別代表原胞（primitive cell）或中心單位晶胞（center unit cell）。第二位數字表示旋轉對稱，一如以上所述。鏡面被記為m，而滑動反射（glide reflection）被記為g。

## 空間群

空間群的標記是通過結合一個描述晶格類型的大寫字母和確定對稱要素的記號來定義的。正如對應點群的記法，這裡的對稱要素是通過同樣的方式寫出的（如果我們在這裡把關於平移的成分移去的話，空間群就會退化成點群）。因為除了旋轉軸和鏡面，空間群可能包含更複雜的對稱要素，所以對於空間群，對稱要素的記法更加多樣化。這些新的對稱要素包括螺軸（screw axis）（旋轉和平移的組合）和滑動面（glide plane）（鏡面反射和平移的組合）。因此，同一個點群可能衍生出許多不同的空間群。例如，選擇不同的晶格類型和滑動面可以從點群mmm中生成28個不同的空間群，例如 Pmmm、Pnnn、Pccm、Pban、Cmcm、Fmmm、Fddd 等。

### 晶格類型

以下是三維空間中的布拉維晶格:

- P——三斜
- I——體心立方（來源於德語「Innenzentriert」）
- F——面心立方（來源於德語「Flachenzentriert」）
- A——A面底心單斜
- B——B面底心單斜
- C——C面底心單斜
- R——菱面體

三斜，P｜底心單斜，C｜面心，F｜體心，I｜六角菱面體， R

### 螺軸（Screw axes）

螺軸被標記為一個數字 n，旋轉角定義為 360°。通過加入一個下標，我們可以表示沿著坐標軸平移的距離。例如，21 的意思是 180°（二重）的旋轉後，再平移 1 格矢量長度。31 指 120°（三重）旋轉後再平移 1 格矢量長度。

可能的螺軸有：21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65。其中有四對手性對映體：(31—32)、(41—43)、(61—65)、(62—64)。這些手性對映體產生了11對手性對應的空間群，即

晶系｜四方｜三角｜六角｜立方

第一組 群數｜P41 76｜P4122 91｜P41212 92｜P31 144｜P3112 152｜P3121 151｜P61 169｜P62 171｜P6122 178｜P6222 181｜P4132 213

第二組 群數｜P43 78｜P4322 95｜P43212 96｜P32 145｜P3212 154｜P3221 153｜P65 170｜P64 172｜P6522 179｜P6422 182｜P4332 212

### 滑移面（Glide plane）

根據沿哪根軸滑動，滑移面被記為 a、b、c。n 滑移指的是沿著一個面的對角線的一半滑動； d 滑移指的是沿著一個面或單位晶胞的空間對角線的四分之一滑動。由於在鑽石結構中出現，d 滑移也常被稱為鑽石滑移面。

- a、b、c 滑移的方向是沿著其表面晶格矢量的一半的平移方向。
- n 滑移的方向是沿著面對角線一半的平移方向。
- d 滑移面是沿著四分之一面對角線的方向。
- e 有著一樣的滑移面的兩個滑動以及沿著兩條（不同）半格矢量的平移。

## 外部連結

- Decoding the Hermann-Maguin Notation - 關於赫爾曼–莫甘記號的一個簡單介紹