平展上同調

在數學中，一個代數簇或概形的平展上同調（Étale cohomology）是一個與一般拓撲空間的有限係數上同調群類似的代數結構。這一概念作為證明韋伊猜想的工具由亞歷山大·格羅滕迪克引入。平展上同調的理論可以用於構建ℓ進上同調，後者則是代數幾何中韋伊上同調理論的一個例子。這一理論有著眾多的應用，包括Weil猜想的證明以及德利涅-路茲庭理論的構造。

## 目的

對於復代數簇的研究而言，代數拓撲中的某些不變量（例如基本群和上同調）是非常有用的。因此我們自然地希望為其他域（例如有限域）上的代數簇也定義類似的概念。（例如，韋伊指出了這樣的上同調理論可以用於證明韋伊猜想。）塞爾指出僅利用代數簇上的扎里斯基拓撲就可以進行定義凝聚層的上同調，而且在復代數簇的情況下，這樣的定義可以與（更細緻的）復拓撲導出相同的上同調群。但是，對於常值層（例如整數層），這樣的定義則不適用，因為使用扎里斯基拓撲定義的上同調群效果不佳。例如，韋伊曾希望可以為有限域上的簇構造一個上同調理論，使其與拓撲空間的奇異上同調有類似的效力；但實際上，任何不可約簇上的常值層都有著平凡的上同調群（所有高階上同調群都是平凡的）。

扎里斯基拓撲之所以不適用，是因為它過於粗糙——換言之，它包含的開集過少。但是，為任意的代數簇賦予更細緻的拓撲似乎也並不可行。格羅滕迪克的創見則在於他認識到一個廣義的「開集」並不需要是代數簇的子集；換言之，層的定義並不需要限制於開子集範疇——事實上它對於任何範疇都一樣適用。於是格羅滕迪克將開子集範疇替換為平展態射範疇，並由此定義了平展上同調。粗略地來說，平展態射可以被看作空間的有限非分支覆蓋上的開集。這樣的構造，（通過大量的工作）被證明提供了恰好足夠多的開集，使得常係數上同調群（在係數為$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$時，其中n與域的特徵互質）有良好的性質。

一些基本的直觀理解如下：

- 若隱函數定理在代數幾何中成立，則平展條件可被看作該定理的前提。（注意：隱函數定理在一般的代數幾何中並不成立）
- 對於阿貝爾簇，在0和1維的情況下，一些常係數層的基本事實可以用其他理論（例如伽羅瓦上同調和泰特模）來推斷。

## 定義

令$f: X \to Y$為一個概形之間的態射，$Z$為一個Y-概形，J為一個Z上的冪零理想層（nilpotent sheaf of ideals），$i: Z_0 \to Z$為$J$所確定的閉浸入。若對於所有的Y-態射$g: Z_0 \to X$，都存在唯一的Y-態射$s: Z \to X$使得$g = si$，我們就稱$f$是形式平展的。若對於$X$的每一點$x$, 都有一個$x$的鄰域$V$和$f(x)$的鄰域$U$使得$f(U) \subseteq V$而且$\mathcal{O}_X(V)$是一個$\mathcal{O}_Y(U)$上的有限表示代數（即，前者可被看作後者的一個有限多項式環約去一個有限生成理想所得到的結果），我們就稱$f$是局部有限表示的。一個形式平展且局部有限表示的態射被稱為一個平展態射（Étale morphism）。一個等效的定義是：一個平坦（flat）且非分歧（unramified）的態射是一個平展態射（參見：概形論術語）。

對於任何一個概形$X$，令$Et(X)$表示其全部平展態射組成的範疇。注意到它與概形的關係類似於開子集範疇與拓撲空間的關係，而該範疇的對象則可以被非正式地看成是X的「平展開子集」。拓撲空間中兩個開集的交集則可以看成兩個平展態射的拉回。稍微需要注意的一點細節是$Et(X)$並非是一個小範疇；但是因為平展態射是局部有限表示的，將其視作小範疇亦無妨。

一個拓撲空間上的預層$F$是一個從開子集範疇到集合範疇（$Set$）的逆變函子；類似地，我們定義一個概形的平展預層為從$Et(X)$到$Set$的一個逆變函子。若層條件（當一個開集$U$被$U_i$覆蓋，且$F(U_i)$均被給定，使得所有的這些$F(U_i)$在任意的$U_i \cap U_j$上都有一致的取值，則$F(U_i)$都是唯一的某個$F(U)$的像）可以得到滿足，我們就將一個預層稱為層；因此類似地，我們稱一個平展預層為平展層，若對應的平展層條件得到滿足。（這裡「併集」被平展映射的拉回代替，而「$f_i: U_i \to U$覆蓋$f: U \to X$」則被定義為$f_i(U_i)$覆蓋$U$。）對於任何範疇上的格羅滕迪克拓撲，我們都可以類似地定義層的概念。

因為一個概形上的阿貝爾層（取值為阿貝爾群的層）的範疇包含足夠多的單射對象，我們可以在其上定義左正合函子的右導出函子。對於一個阿貝爾層的範疇$Sh(X, Ab)$，其全局截面函子是一個將每個層$F$映射到其全局截面（也就是$F(X)$）的映射$g: Sh(X, Ab) \to Ab$。給定一個阿貝爾層$F$，定義其平展上同調群$H^i(F)$為$g$的右導出函子$R^i g$在$F$上的值。特別地，$H^0(F)$便是$g(F)$。

更一般地，若$f$是一個從$X$到$Y$的概形態射，則有$f_*$函子從X的平展層映射到Y的平展層，而其右導出函子則被寫為$R^i f_*$。若Y是一個代數閉域的譜（也就是一個點），則$R^i f_*(F)$與$H^i(F)$相同。

令X為諾特概形。若一個X的阿貝爾平展層被X的一個平展覆蓋所表示，我們則稱其為有限局部常值的。若X可被有限個子概形覆蓋，且F在每個子概形上都是有限局部常值的，則稱F為可構造層的。若對於任何X的平展覆蓋U，$F(U)$都是撓群，則稱F為撓層的。有限局部常值的層都是可構造的，而可構造層都是撓的。每一個撓層都是一個可構造層的濾子歸納極限。

## ℓ進上同調群

在關於有限域$\mathbb{F}_q$的代數幾何中，一個重要的目標是找到可以作為整數（或有理數）係數奇異上同調群的替代結構，因為奇異上同調群在有限域下並不沒有複數域的情況下一樣良好的性質。對於$\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$（其中n互質於域特徵）係數，平展上同調表現尚可，但對於無撓係數則無法給出良好的結果。為了得到無撓的上同調群，我們需要取帶某些撓元係數的平展上同調群的逆極限，而這種構造所得到的結構稱為ℓ進上同調群。（此處ℓ代表一個與域特徵p不同的質數。）對於一個概形V，考慮上同調群

$$H^i(V, \mathbb{Z}/\ell^k\mathbb{Z})$$

並定義其ℓ進上同調群為其逆極限：

$$H^i(V,\mathbb{Z}_\ell) = \varprojlim H^i(V, \mathbb{Z}/\ell^k\mathbb{Z})$$

此處$\mathbb{Z}_\ell$表示ℓ進數，但這一定義則是通過考慮一系列帶$\mathbb{Z}/\ell^k\mathbb{Z})$係數的常值層完成的。（此處有一個著名的陷阱：上同調不與逆極限交換，而用逆極限定義的ℓ進上同調群不是係數在平展層$\mathbb{Z}_\ell$內的上同調群——後者雖然存在，但給出的上同調群是錯誤的）。

更為一般地，令F是一個平展層$F_i$的逆序列，則F的上同調可以定義為$F_i$層的上同調的逆極限：

$$H^i(X, F) = \varprojlim H^i(X, F_i)$$

注意，雖然如下的自然映射存在：

$$H^i(X, \varprojlim F_i) \to \varprojlim H^i(X, F_i)$$

一般來說這個映射並不是一個同構。ℓ進層是一個特殊的平展層逆系統$F_i$，其中i是正整數，$F_i$是一個$\mathbb{Z}/\ell^i \mathbb{Z}$模，而$F_{i+1}$到$F_i$的映射則是模$\mathbb{Z}/\ell^i \mathbb{Z}$的約化。

若V是一個非奇異的代數曲線，$i=1$，則$H^1$是一個自由$\mathbb{Z}_i$模，其秩為$2g$（g是V的虧格），且與V的雅可比簇的泰特模對偶。因為一個黎曼曲面的貝蒂數是2g，該群與複數代數曲線的$\mathbb{Z}_\ell$係數奇異上同調群同構。這個例子也說明了為什麼我們要求ℓ不等於p：在兩者相同的時候，泰特模的秩最多是g。

ℓ進上同調群可能包含撓子群，而麥可·阿廷和戴維·芒福德在處理幾何問題的時候也用到了這樣的性質。若需要從ℓ進上同調群中完全去除撓子群從而得到可以被視作零特徵域上的向量空間的上同調群，則可以使用如下定義：

$$H^i(V, \mathbb{Q}_\ell) = H^i(V, \mathbb{Z}_\ell) \otimes \mathbb{Q}_\ell$$

（注意這裡的符號可能有誤導性：$\mathbb{Q}_\ell$既不是平展層，也不是ℓ進層）。

## 性質

ℓ進上同調群與複數簇的奇異上同調群大致上有著類似的性質，區別在於前者是ℓ進數（或ℓ進有理數）的模而後者是整數（或有理數）的模。在非奇異射影簇上，龐加萊對偶性成立，且複數簇的「模p約化」的ℓ進上同調群與奇異上同調群多數情況下有同樣的秩。Künneth公式同樣也成立。

例如，一個復橢圓曲線的第一上同調群是一個秩為2的整數自由模，而一個有限域橢圓曲線的第一ℓ進上同調群則是一個秩為2的ℓ進數自由模（只要ℓ不是該有限域的特徵），而且後者與泰特模對偶。

ℓ進上同調群在一個意義上優於奇異上同調群：前者往往受伽羅瓦群作用。例如，若一個複數簇在有理數上定義，則其ℓ進上同調群受有理數的絕對伽羅瓦群的作用，因此是一個伽羅瓦表示。

有理數的伽羅瓦群的元素（除去平凡元和共軛元之外），大多不在有理數上定義的複數簇上有連續作用，因此大多不在奇異上同調群上作用。這一現象與拓撲空間的基本群在奇異上同調群上作用的事實有關：格羅滕迪克證明了伽羅瓦群可以被視作伽羅瓦範疇。

## 平展上同調群的例子

- 若X是一個帶有絕對伽羅瓦群G的域K的譜，則X的平展層與受G作用的連續集（或阿貝爾群）有一一對應，而層的平展上同調則等於G的群上同調（伽羅瓦上同調）。
- 若X是一個複數簇，則有限係數的平展上同調同構於有限係數的奇異上同調。（這對於整係數並不成立。）此外，任何可構造層係數的上同調都是一致的。
- 若F是一個凝聚層（或$\mathbb{G}_m$），則F的平展上同調和塞爾的（用扎里斯基拓撲計算得到的）凝聚層上同調等同。若X是複數簇，則該上同調也與用一般複數拓撲計算得到的層上同調等同。
- 對於阿貝爾簇和代數曲線，ℓ進上同調有著初等的表述。對於阿貝爾簇，第一ℓ進上同調群是泰特模的對偶，而高階上同調群由第一ℓ進上同調的外冪（Exterior power）給出。對於曲線，第一ℓ進上同調群則是其雅可比簇的上同調群。這也解釋了為何韋伊可以在這兩個情況下給出韋伊猜想的初等證明：一般來說，若存在ℓ進上同調群的初等描述，則也可能存在相應的初等證明。