三相 (電學)

在電子工程學中，三相交流電一般是將可變的電壓通過三組不同的導體。這三組電壓幅值相等、頻率相等、彼此之間的相位差為120度。

通常來說，三相交流電分三角形接法（Δ）和星型接法（Y）兩種。三角形接法即為將各相電源或負載依次首尾相連，形成一個三角環；而星型接法則是將各相電源或負載的一端連接在一點，形成一個中性點，這種接法又稱為三相三線制。如果從該中性點再引出一條中性線，則整個結構變為三相四線制。其中星型接法允許對各相加上不同的電壓。例如常見的230/400伏三相交流電，就是在中性點和任意一相上加上230伏，餘下的兩相各加上400伏的電壓。三角形接法由於各相首尾相連，只能存在一種電壓，但是其優點在於即使三相中有一相失去作用，整個系統仍然可以運作（效率為原來的57.7%）。

## 定義

假設有一台使用星型接法的發電機，將其三個負載的加入點命名為L1、L2、L3,則加在三相上的電壓分別為：

$$V_{L1-N}=\sin \left(\theta\right) * V_P\,\!$$

$$V_{L2-N}=\sin \left(\theta -\frac{2}{3} \pi\right) * V_P = \sin \left(\theta +\frac{4}{3} \pi\right) * V_P$$

$$V_{L3-N}=\sin \left(\theta-\frac{4}{3} \pi\right) * V_P = \sin \left(\theta+\frac{2}{3} \pi\right) * V_P$$

其中：

$V_P$代表最大電壓,

$\theta=2\pi ft\,\!$代表相位角

$t$代表時間，單位為秒

$f$代表頻率，單位為轉/秒

$V_{L1-N}$、$V_{L2-N}$和$V_{L3-N}$則分別代表L1到中性點（N）、L2到中性點和L3到中性點的電壓。

## 電壓和電流

線電壓（Line to Line Voltage, Line Voltage）為兩條相線間的電壓。相電壓（Vph）為負載端所獲得的電壓，隨連接方式而異。

線電流（IL）為相線上的電流大小。相電流（Iph）為負載端的電流大小。

星形接法

在星形接法，線電壓是相電壓的√3倍，線電流等於相電流。

$$V_L = \sqrt3 V_{ph}$$

$$I_L = I_{ph}$$

三角形接法

在三角形接法，線電壓等於相電壓，線電流是相電流的√3倍。

$$V_L = V_{ph}$$

$$I_L = \sqrt3 I_{ph}$$

### 功率

星形接法和三角形接法的總功率，都可使用同一公式計算：

$$P=3 P_{ph}=3 V_{ph}I_{ph} \cos\phi = \sqrt 3 V_L I_L \cos\phi$$

$$P_{\Delta}=3 \times P_{Y}$$

開三角形接法

三角形接法其中一個繞阻被移除，則變成開三角形（Open Delta）。

假設單相變壓器可以輸出電壓V及電流I，兩個變壓器的功率為

$$S = 2\ V I$$

用作三相變壓器時，功率為

$$S = \sqrt 3\ V I$$

換言之，兩個變壓器可使用的功率為原來的86.6%。

對比三個變㱘器，整個系統的功率變成原來的57.7%。因為兩個變壓器的功率因素不同，其中一個提供無功功率，另一個消耗無功功率，所以可用輸出並不是66.7%。

## 穩定輸出

一般在三相的電力系統中，每一相負載的做功的大小均相同。通常會先論證電動機在穩定輸出的情況下運作，再考慮不穩定的情況。

### 恆定功率轉化

三相發電機的特性在於，當各相的負載具有電阻性質時，其輸出功率$\scriptstyle P \,=\, V I \,=\, \frac{1}{R}V^2$是恆定的。

$$P_{Li} = \frac{V_{Li}^{2}}{R}$$

$$P_{TOT} = \sum_i P_{Li}$$

為了使計算更方便，先定義一個無量綱的功率值$\scriptstyle p \,=\, \frac{1}{V_P^2}P_{TOT} R$作為中間量，則：

$$p=\sin^{2} \theta+\sin^{2} \left(\theta-\frac{2}{3} \pi\right)+\sin^{2} \left(\theta-\frac{4}{3} \pi\right)=\frac{3}{2}$$

代回：

$$P_{TOT}=\frac{3 V_P^2}{2R}$$

最終結果中不含$\theta$（相位角）由此可見發電機動率的輸出不會隨著時間的變化而變化。對於大型發電機來說，這點尤為重要。

實際上，發電機的負載不一定要帶有電阻的性質，只需各個相位相等即可，設：

$$Z=|Z|e^{j\varphi}$$

因此最大電流為：

$$I_P=\frac{V_P}{|Z|}$$

所有相位上的瞬時電流大小為：

$$I_{L1}=I_P\sin\left(\theta-\varphi\right)$$

$$I_{L2}=I_P\sin\left(\theta-\frac{2}{3}\pi-\varphi\right)$$

$$I_{L3}=I_P\sin\left(\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)$$

這時各個相位的功率輸出為：

$$P_{L1}=V_{L1}I_{L1}=V_P I_P\sin\left(\theta\right)\sin\left(\theta-\varphi\right)$$

$$P_{L2}=V_{L2}I_{L2}=V_P I_P\sin\left(\theta-\frac{2}{3}\pi\right)\sin\left(\theta-\frac{2}{3}\pi-\varphi\right)$$

$$P_{L3}=V_{L3}I_{L3}=V_P I_P\sin\left(\theta-\frac{4}{3}\pi\right)\sin\left(\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)$$

利用三角恆等式里的積化和差與和差化積公式：

$$P_{L1}=\frac{V_P I_P}{2}\left[\cos\varphi-\cos\left(2\theta-\varphi\right)\right]$$

$$P_{L2}=\frac{V_P I_P}{2}\left[\cos\varphi-\cos\left(2\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)\right]$$

$$P_{L3}=\frac{V_P I_P}{2}\left[\cos\varphi-\cos\left(2\theta-\frac{8}{3}\pi-\varphi\right)\right]$$

得出瞬時功率輸出為：

$$P_{TOT}=\frac{V_P I_P}{2}\left\{3\cos\varphi-\left[\cos\left(2\theta-\varphi\right)+\cos\left(2\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)+\cos\left(2\theta-\frac{8}{3}\pi-\varphi\right)\right]\right\}$$

中括號中的三項互相抵消，得出最終的結果為：

$$P_{TOT}=\frac{3V_P I_P}{2}\cos\varphi$$

或者

$$P_{TOT}=\frac{3V_P^2}{2|Z|}\cos\varphi$$

### 中線電流

當一個星形接法是平衡負載，即使接上中線也沒有電流。流過中性點的電流即三相電流的向量之和，參見基爾霍夫定律。

$$\begin{align} I_{L1} &= \frac{V_{L1-N}}{R},\; I_{L2}=\frac{V_{L2-N}}{R},\; I_{L3}=\frac{V_{L3-N}}{R}\\ 0&= I_{L1} + I_{L2} + I_{L3}+I_{N} \end{align}$$

定義一個非無量綱量的電流，大小為$i=\frac{I_{N}R}{V_P}$:

$$\begin{align} i &=\sin \theta+\sin(\theta-\frac{2\pi}{3})+\sin(\theta+\frac{2\pi}{3})\\ <pre> &=\sin \theta+2 \sin \theta \cos \frac{2\pi}{3}\\ &=\sin \theta -\sin \theta\\ &=0 </pre> \end{align}$$

流過中線的電流大小為零。因此將中線拿掉而不影響電路本身，證明輸出的功率是恆定的。一般三相三線制只有在三相的電源或者負荷都連接在同一個電路上（例如三相電動機），否則各相的輸入電壓的波動會造成輸出功率的不穩定。

## 不穩定輸出

在實際的應用中，很少出現理論上輸出功率很穩定的情況。利用對稱分量法來簡化電路，一個不恆定輸出的系統可以看作是三個電壓分別為正、零、負的恆定輸出系統的疊加。

在一個限定的三相電路中，只需要知道三相的模量和流過中性點電流的大小。中性點電流的計算一般先求三相電流的複數之和，在代換回極坐標系的形式。假設三相內的電流分別為$I_{L1}$, $I_{L2}$和$I_{L3}$，則流經中性點的電流大小為：

$$I_{L1} + I_{L2} * \cos\frac{2}{3}\pi + j * I_{L2} * \sin\frac{2}{3}\pi + I_{L3} * \cos\frac{4}{3}\pi + j * I_{L3} * \sin\frac{4}{3}\pi$$

$$I_{L1} - I_{L2}*0.5 - I_{L3}*0.5 + j*\frac{\sqrt{3}}{2}*\left(I_{L2} - I_{L3}\right)$$

最後的極坐標系中的三相和的模量：

$\sqrt{I_{L1}^2 + I_{L2}^2 + I_{L3}^2 - I_{L1}*I_{L2} - I_{L1}*I_{L3} - I_{L2}*I_{L3}}$

### 非線性負載

在線性的情況下，只有在三相的電源或者負載不均衡的情況下，中性點的電流才不等於零。但是當在實際的使用中，接入的用電器中會使用飽和電抗，光敏、壓敏電阻等非線性的電路元件，由於用電器本身電抗的變化，也會造成輸出功率的不平衡。

## 旋轉磁場

任何一個多相的電路，根據電流隨著時間的變化，通過旋轉即可生成磁場，這也是異步電動機的工作原理。感應電動機是異步電動機的一種，指的是僅有一套繞組聯接電源的異步電動機。

### 勵磁磁動勢

定子三相對稱繞組流過三相對稱電流時，產生合成基波旋轉磁動勢。將該磁動勢用空間矢量F0表示，其幅值為

$$F_0=\frac{m_1}{2} \frac{4}{\pi} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{N_1 k_{dp1}}{p} I_0$$

式中，N1和kdp1分別為定子繞組的每相串聯匝數和基波繞組因數；p為極對數；m1為定子繞組相數，對於三相異步電動機，m1=3。

## 對於其他多相系統的轉化

任意兩個隨著時間t變化的電壓之間一定存在著相互位移的關係，同樣，一個三相的電源通過變壓器可以轉化為多相。例如，利用特殊的變壓器，能將三相的電源轉變為一個二相電源。此類變壓器一般稱為相位轉換器。當三相的電力通過高壓線傳輸到使用者的社區在傳輸到每一戶家中時，一般利用角接電容或星接電容將三相變為單項，為家庭使用者提供電力。但是相應的，輸出功率會有所下降。

## 輸出功率的測量

用傳感器可以測量三相電路的輸出功率，無中線要用到兩個傳感器，有中性線要用到三個。需要使用傳感器的數量總是比測量的電路的數量少一個。若採用高壓計量，則需要兩個電壓互感器及兩個電流互感器(2VT+2CT)分別用來量度電壓及電流。

若使用功率分析儀用來分析諧波電流，宜使用四個電流互感器測量所有帶電導體的電流，以提高準確度。因為每個電流互感器都有誤差，利有三個測量值計算剩下的未知值，誤差也變成了三倍。