雷諾傳輸定理

雷諾傳輸定理也稱為萊布尼茲-雷諾傳輸定理或雷諾輸運定理，是以積分符號內取微分聞名的萊布尼茲積分的三維推廣。

雷諾傳輸定理得名自奧斯鮑恩·雷諾（1842–1912），用來調整積分量的微分，用來推導連續介質力學的基礎方程。

考慮在時變的區域$\Omega(t)$積分$\mathbf{f} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t)$，其邊界為$\partial \Omega(t)$，考慮上式對時間的微分：

$$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV} ~.$$

若要求上述積分的導數，會有兩個問題，$\mathbf{f}$的時間相依性，及因$\Omega$動態的邊界而增加或減少的空間，雷諾傳輸定理提供了必要的框架。

## 通用型式

雷諾傳輸定理可表為以下形式是：

$$<pre> \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV} = \int_{\Omega(t)} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t}~\text{dV} + \int_{\partial \Omega(t)} (\mathbf{v}_{b}\cdot\mathbf{n})\mathbf{f}~\text{dA} ~ </pre>$$

其中$\mathbf{n}(\mathbf{x},t)$為向外的單位法向量，$\mathbf{x}$為區域中的一點，也是積分變數，$\text{dV}$ 及$\text{dA}$是位於$\mathbf{x}$的體積元素及表面元素，$\mathbf{v}_{b}(\mathbf{x},t)$為面積元素的速度而非流速。函數$\mathbf{f}$可以是張量、向量或純量函數。注意等式左邊的積分只是時間的函數，所以採用全微分符號。

## 針對流體塊的形式

在連續介質力學中，此定理常用在沒有物質進來或離開的流體塊或固體中。若$\Omega(t)$為一流體塊，則存在速度函數$\mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{x},t)$及邊界元素符合下式

$$\mathbf{v}^{b}\cdot\mathbf{n}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}.$$

上式在替代後，可以得到以下的定理

$$<pre> \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV}\right) = \int_{\Omega(t)} \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t}~\text{dV} + \int_{\partial \Omega(t)} (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{f}~\text{dA} ~. </pre>$$

針對一流體塊的證明令$\Omega_0$為區域$\Omega(t)$的參考組態，令其運動及形變梯度為 :$\mathbf{x} = \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{X}, t)~; \qquad\implies\qquad \boldsymbol{F}(\mathbf{X},t) = \boldsymbol{\nabla}_{\circ} \boldsymbol{\varphi} ~.$ 令$J(\mathbf{X},t) = \det[\boldsymbol{F}(\mathbf{X},t)]$. 則目前組態及參考組態的積分有以下的關係 :$\int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV} = \int_{\Omega_0} \mathbf{f}[\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{X},t),t]~J(\mathbf{X},t)~\text{dV}_0 = \int_{\Omega_0} \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~J(\mathbf{X},t)~\text{dV}_0 ~.$ That this derivation is for a material element is implicit in the time constancy of the reference configuration: it is constant in material coordinates. 針對體積積分的微分定義為 :$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \cfrac{1}{\Delta t} \left(\int_{\Omega(t + \Delta t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t+\Delta t)~\text{dV} - \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) ~.$ 將上式轉換為對參考組態的積分，可得 :$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \cfrac{1}{\Delta t} \left(\int_{\Omega_0} \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t+\Delta t)~J(\mathbf{X},t+\Delta t)~\text{dV}_0 - \int_{\Omega_0} \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~J(\mathbf{X},t)~\text{dV}_0\right) ~.$ 因為$\Omega_0$和時間無關，可得 :$\begin{align} \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) & = \int_{\Omega_0} \left[\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \cfrac{ \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t+\Delta t)~J(\mathbf{X},t+\Delta t) - \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~J(\mathbf{X},t)}{\Delta t} \right]~\text{dV}_0 \\ & = \int_{\Omega_0} \frac{\partial }{\partial t}[\hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~J(\mathbf{X},t)]~\text{dV}_0 \\ & = \int_{\Omega_0} \left( \frac{\partial }{\partial t}[\hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)]~J(\mathbf{X},t)+ \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~\frac{\partial }{\partial t}[J(\mathbf{X},t)]\right) ~\text{dV}_0 \end{align}$ 現在，$\det\boldsymbol{F}$的時間導數為 :$\frac{\partial J(\mathbf{X},t)}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t}(\det\boldsymbol{F}) = (\det\boldsymbol{F})(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}) = J(\mathbf{X},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{X},t),t) = J(\mathbf{X},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x},t) ~.$ 因此 :$\begin{align} \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) & = \int_{\Omega_0} \left( \frac{\partial }{\partial t}[\hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)]~J(\mathbf{X},t)+ \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~J(\mathbf{X},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right) ~\text{dV}_0 \\ & = \int_{\Omega_0} \left(\frac{\partial }{\partial t}[\hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)]+ \hat{\mathbf{f}}(\mathbf{X},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right)~J(\mathbf{X},t) ~\text{dV}_0 \\ & = \int_{\Omega(t)} \left(\dot{\mathbf{f}}(\mathbf{x},t)+ \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right)~\text{dV} \end{align}$ 其中$\dot{\mathbf{f}}$為$\mathbf{f}$的材料導數，現在材料導數為 :$\dot{\mathbf{f}}(\mathbf{x},t) = \frac{\partial \mathbf{f}(\mathbf{x},t)}{\partial t} + [\boldsymbol{\nabla} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)]\cdot\mathbf{v}(\mathbf{x},t) ~.$ 因此 :$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\text{dV}\right) = \int_{\Omega(t)} \left( \frac{\partial \mathbf{f}(\mathbf{x},t)}{\partial t} + [\boldsymbol{\nabla} \mathbf{f}(\mathbf{x},t)]\cdot\mathbf{v}(\mathbf{x},t) + \mathbf{f}(\mathbf{x},t)~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}(\mathbf{x},t)\right)~\text{dV}$ 或者 :$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV}\right) = \int_{\Omega(t)} \left( \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \mathbf{f}\cdot\mathbf{v} + \mathbf{f}~\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v}\right)~\text{dV} ~.$ 利用以下的恆等式 :$\boldsymbol{\nabla} \cdot (\mathbf{v}\otimes\mathbf{w}) = \mathbf{v}(\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{w}) + \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}$ 可得 :$\cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV}\right) = \int_{\Omega(t)} \left(\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla} \cdot (\mathbf{f}\otimes\mathbf{v})\right)~\text{dV} ~.$ 利用高斯散度定理及恆等式 $(\mathbf{a}\otimes\mathbf{b})\cdot\mathbf{n} = (\mathbf{b}\cdot\mathbf{n})\mathbf{a}$，可得 :${ \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \int_{\Omega(t)} \mathbf{f}~\text{dV}\right) = \int_{\Omega(t)}\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t}~\text{dV} + \int_{\partial \Omega(t)}(\mathbf{f}\otimes\mathbf{v})\cdot\mathbf{n}~\text{dA} = \int_{\Omega(t)}\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial t}~\text{dV} + \int_{\partial \Omega(t)}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\mathbf{f}~\text{dA} \qquad \square }$

## 錯誤的引用

此定理常被錯誤的引用為只針對物質體積（material volume）的形式，若將只針對物質體積應用於物質體積以外的區域中，就會出現問題。

## 特別形式

若$\Omega$不隨時間改變，則$\mathbf{v}_b=0$，且恆等式化簡為以下的形式

$$<pre> \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega} f~\text{dV} = \int_{\Omega} \frac{\partial f}{\partial t}~\text{dV} ~, </pre>$$

不過若用了不正確的雷諾傳輸定理，無法進行上述的簡化。

### 在一維下的詮釋及簡化

此定理是積分符號內取微分的高維延伸，有些情形下可以簡化為積分符號內取微分。假設$f$和$y$和$z$無關，且$\Omega(t)$為$y-z$平面的單位方塊，且有$a(t)$及$b(t)$的極限，雷諾傳輸定理會簡化為

$$<pre> \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{a(t)}^{b(t)} f~\text{dx} = \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f}{\partial t}~\text{dx} + </pre> \frac{\partial b(t)}{\partial t} f(b(t),t) -\frac{\partial a(t)}{\partial t} f(a(t),t) ~,$$

上述是由積分符號內取微分來的表示式，但x及t變數已經對調。