博雷爾求和

博雷爾, 在他還是一個默默無名的年輕人時，就發現了他的求和方法，而且還可以對許多經興的發散級數給出「正確」的答案。於是，他決心到斯德哥爾摩拜會當時走在複分析領域前沿的哥斯塔·米塔-列夫勒。米塔-列夫勒禮貌地接見了他，聽完博雷爾的說話，然後按手在他老師魏爾斯特拉斯完整的文稿上，用拉丁語說：「大師禁止了它。」

在數學上，博雷爾求和（Borel summation）是一種發散級數的求和方法。這種求和法是由提出的，在處理發散的漸近展開時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是米塔-列夫勒和。

## 定義

博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。

設A(z)是z的一個形式冪級數

$A(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_kz^k$。

則定義A的博雷爾變換為其等價冪級數

$\mathcal{B}A(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k!}t^k$。

### 博雷爾指數求和

設An(z)為下列部分和：

$A_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k$。

博雷爾和的一種較弱的形式定義A的博雷爾和為

$\lim_{t\rightarrow\infty} e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}A_n(z)$。

若此極限在某個z ∈ C時收斂至a(z)，則稱A的弱博雷爾和收斂於z，並記為${\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB})$.

### 博雷爾積分求和

假設上述的博雷爾變換在實數上收斂，且下列的反常積分有意義，則A的博雷爾和定義為

$$\int_0^\infty e^{-t} \mathcal{B}A(tz) \, dt.$$

若積分在某個z ∈ C時收斂於a(z)，則稱A的博雷爾和在z收斂，並記為 ${\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \,(\boldsymbol B)$。

實際上，積分求和法的條件中，博雷爾變換無需對所有t都收斂，只需在0附近收斂為t的一個解析函數，且它在正半軸上解析連續即可。

## 基本性質

### 正定性

(B)和(wB)兩者都是正定的求和法，意味著若A(z)收斂，則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂，並且其值等於原級數的值，亦即：

$\sum_{k=0}^\infty a_k z^k = A(z) < \infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum} a_kz^k = A(z) \,\, (\boldsymbol{B},\,\boldsymbol{wB})$。

(B)的正定性容易由下式看出，若A(z)在z收斂，則

$A(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = \sum_{k=0}^\infty a^k \left( \int_{0}^\infty e^{-t}t^k dt \right) \frac{z^k}{k!} = \int_{0}^\infty e^{-t} \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{(tz)^k}{k!}dt$。

其中最右式正是原級數在z處的博雷爾和。

(B)和(wB)的正定性代表了此方法可以提供A(z)的解析延拓。

### 博雷爾和與弱博雷爾和的等價性

對任意的級數A(z)，若它在z ∈ C處是弱博雷爾可求和的，則必定是博雷爾可求和的。然而，可以構造 一個例子，使得其弱博雷爾和發散，但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。

定理 Hardy

設A(z) 是一個形式冪級數，並限定z ∈ C，則：

- 若${\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB})$，則${\textstyle \sum}a_kz^k = a(z), (\boldsymbol{B})$。
- 若${\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{B})$，且$\lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t}\mathcal B A(zt) = 0$，則${\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB})$。

### 與其他求和法的關聯

- (B) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1時的特殊情況。
- (wB) 可視為廣義歐拉求和法(E,q) 一個有限制的形式，其中$q \rightarrow \infty$。

## 例子

### 幾何級數

考慮幾何級數

$$y(z) = \sum_{k = 0}^\infty z^k$$

當 |z| < 1時，收斂到 1/(1 − z)。它的博雷爾變換為

$$\mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}t^k = e^t$$

因此，上述級數的博雷爾和為

$$\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz) \, dt = \int_0^\infty e^{-t} e^{tz} \, dt =\frac{1}{1-z}$$

然而，這個積分能在更大的範圍 Re(z) < 1 內收斂到 1/(1 − z)，也就是原級數的和。

另外，對原級數使用弱博雷爾求和法，則其部分和為AN(z) = (1-zN+1)/(1-z)，因此其弱博雷爾和為

$\lim_{t \rightarrow \infty}e^{-t} \sum_{n=0}^\infty \frac{1 -z^{n+1}}{1-z} \frac{t^n}{n!} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t}}{1-z} \big( e^t - z e^{tz} \big) = \frac{1}{1-z}$。

同樣在Re(z) < 1時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出，因為對Re(z) < 1。

$\lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t} (\mathcal{B} A)(zt) = e^{t(z-1)} = 0$。

### 一個交替級數

級數

$$y(z) = \sum_{k = 0}^\infty k!\left(-1 \cdot z\right)^k$$

對任意非零的 z 都發散。它的博雷爾變換為

$$\mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \left(-1 \cdot t\right)^k = \frac{1}{1+t}$$

對任意的|t| < 1 都成立，且於 t ≥ 0 上解析連續。

因此，上述級數的博雷爾和為

$$\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz) \, dt = \int_0^\infty \frac{e^{-t}} {1+tz} \, dt = \frac 1 z \cdot e^\frac 1 z \cdot \Gamma\left(0,\frac 1 z \right)$$

（其中Γ是指不完全Γ函數）

這個廣義積分對任意的 z ≥ 0 都收斂，所以原來的發散級數是對任意這樣的 z 博雷爾可求和的. 這個函數實際上是當 z 趨近於 0 時，原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見，一些發散的級數，亦有可能以博雷爾求和的方式求出「正確」的發散漸近展開式。

### 不滿足等價性的例子

以下是Hardy所給出的例子的一個擴展。考慮

$$A(z) = \sum_{k = 0}^\infty \left( <pre> \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l(2l + 2)^k}{(2l+1)!} \right) </pre> z^k.$$

交換求和的順序後，上式的博雷爾變換為

$$\begin{align} \mathcal B A(t)&= \sum_{l = 0}^\infty \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{\big((2l+2) t\big)^k}{k!} \right) \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\ &= \sum_{l=0}^\infty e^{(2l+2)t}\frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\ &= e^t \sum_{l=0}^\infty \big(e^t\big)^{2l+1} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\ & = e^t \sin\left( e^t \right). \end{align} <pre>$$

在 z = 2 處，可求得博雷爾和為

$$\int_{0}^\infty e^t \sin(e^{2t})dt = \int_{1}^\infty \sin(u^2)du = \frac{\sqrt{\pi}}{8} - S(1) < \infty,$$

其中 S(x) 表示菲涅耳積分。於是上述博雷爾積分對任意z ≤ 2 都收儉（但顯然積分對 z > 2發散）。

至於求弱博雷爾和時，注意到

$$\lim_{t \rightarrow \infty} e^{(z-1)t}\sin \left( e^{zt} \right) = 0$$

僅對 z < 1 成立，因此，實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。