彭羅斯-霍金奇點定理

彭羅斯-霍金奇點定理（以羅傑·彭羅斯和史蒂芬·霍金命名）是廣義相對論中的一系列結果，旨在回答引力何時產生奇點的問題。彭羅斯奇點定理是半黎曼幾何領域的一個定理，其廣義相對論層面的詮釋預測了黑洞形成中的引力奇點。霍金奇點定理基於彭羅斯定理，它被解釋為大爆炸場景中的引力奇點。彭羅斯因「發現黑洞的形成是廣義相對論的穩健預測」而分享了 2020 年諾貝爾物理學獎的一半。

## 奇點

愛因斯坦場方程解中的奇點是以下三種情況之一：

- 類空間奇點：奇點位於某一區域內所有事件的未來或過去。大爆炸奇點和非旋轉、不帶電的史瓦西黑洞內部的典型奇點是類空間的。
- 類時間奇點：這些奇點可以被觀察者避開，因為它們不一定出現在所有事件的未來。觀察者可能能夠圍繞類時間奇點移動。這些在已知的愛因斯坦場方程解中不太常見。
- 零奇點：這些奇點出現在類光表面或零表面上。在某些類型的黑洞內部可以找到一個例子，例如帶電（Reissner–Nordström）或旋轉（Kerr）黑洞的柯西視界。

奇點可以是強的，也可以是弱的：

- 弱奇點：弱奇點是指潮汐力（造成黑洞義大利麵效應的原因）不一定是無限的奇點。陷入弱奇點的觀察者可能不會在到達奇點之前被撕裂，儘管物理定律仍然會在那裡失效。帶電或旋轉黑洞內部的柯西視界可能是弱奇點的一個例子。
- 強奇點：強奇點是潮汐力變得無限大的奇點。在強奇點中，任何物體在接近奇點時都會被無限的潮汐力摧毀。史瓦西黑洞中心的奇點就是強奇點的一個例子。

類空間奇點是史瓦西度規所描述的非旋轉不帶電黑洞的特徵，而類時間奇點則是在帶電或旋轉黑洞精確解中出現的奇點。它們都具有測地線不完備性，即某些光路或某些粒子路徑不能延伸到某個固有時或仿射參數之外（仿射參數是固有時的零類似物）。

彭羅斯定理保證，只要物質滿足合理的能量條件，任何黑洞內部都會出現某種測地線不完整性。黑洞奇點定理所需的能量條件很弱：它表明光線總是被引力聚焦在一起，永遠不會分開，並且只要物質的能量為非負，這一點就成立。

霍金的奇點定理適用於整個宇宙，並且沿著時間倒推：它保證（經典）大爆炸具有無限的密度。該定理的限制更為嚴格，只有當物質遵循更強的能量條件時才成立，稱為強能量條件，即能量大於壓力。所有普通物質，除了標量場的真空期望值外，都遵循這一條件。在宇宙暴脹期間，宇宙違反了主能量條件，最初有人（例如 Starobinsky）認為，暴脹宇宙可以避免最初的大爆炸奇點。然而，此後已經證明，暴脹宇宙仍然是過去不完整的，因此需要膨脹以外的物理學來描述時空膨脹區域的過去邊界。

這仍是一個懸而未決的問題：（經典）廣義相對論是否預測了現實帶電或旋轉黑洞內部的空間奇點，或者這些奇點是否是高對稱性解的產物，並且在添加擾動時會變成零奇點或時間奇點。需要引用

## 解釋和意義

在廣義相對論中，奇點是物體或光線在有限時間內可以到達的地方，此時曲率變為無限大，或者時空不再是流形。奇點可以在所有黑洞時空、史瓦西度規、雷斯納-諾德斯特倫度規、克爾度規和克爾-紐曼度規中找到，也可以在所有沒有標量場能量或宇宙常數的宇宙學解中找到。

我們無法預測過去大爆炸奇點會產生什麼，也無法預測未來落入黑洞奇點的觀察者會發生什麼，因此需要修改物理定律。在彭羅斯之前，人們認為奇點只能在人為的情況下形成。例如，在恆星坍縮形成黑洞的過程中，如果恆星在旋轉並因此具有一定的角動量，那麼離心力可能會部分抵消重力並阻止奇點的形成。奇點定理證明這種情況不可能發生，並且一旦事件視界形成，就總會形成奇點。

在坍縮恆星的例子中，由於廣義相對論中所有物質和能量都是引力吸引的來源，額外的角動量只會在恆星收縮時將其更強地拉在一起：事件視界之外的部分最終會穩定下來成為克爾黑洞（參見無毛定理）。事件視界內的部分必然在某處存在奇點。證據有一定的建設性 – 它表明，可以通過追蹤來自視界內部表面的光線來找到奇點。但證明並沒有說明會出現什麼類型的奇點，類空間奇點、類時間奇點、零奇點、可摺疊奇點還是度量中的跳躍不連續性。它只是保證如果沿著類時間測地線走向未來，它們所形成的區域的邊界不可能由來自表面的零測地線生成。這意味著邊界要麼來自虛無，要麼整個未來在某個有限的延伸處結束。

奇點定理揭示了廣義相對論的一個有趣的「哲學」特徵。由於廣義相對論預測了奇點的必然發生，因此，如果沒有對撞擊奇點的物質會發生什麼情況進行具體說明，該理論就是不完整的。我們可以將廣義相對論擴展到統一場論，例如愛因斯坦-麥克斯韋-狄拉克系統，其中不存在這樣的奇點。需要引用

## 定理要素

在歷史上，流形的曲率和它的拓撲結構之間存在著深刻的聯繫。博內-邁爾斯定理指出，如果一個完全黎曼流形的里奇曲率處處都大於某個正常數，那麼它一定是緊緻的。正里奇曲率條件最方便的表述方式如下：對於每條測地線，都有一條附近的最初平行的測地線，當延伸時，它會向它彎曲，並且兩條測地線會在某個有限長度處相交。

當兩條相鄰的平行測地線相交（參見共軛點）時，其中任一條測地線的延長線不再是端點之間的最短路徑。原因是兩條平行的測地線路徑在延伸等長後必然會相交，並且如果先沿著一條路逕到達交叉點，然後再沿著另一條路逕到達交叉點，則您將通過等長的非測地線路徑連接端點。這意味著，對於最短路徑而言，測地線絕不能與相鄰的平行測地線相交。

從一個小球開始，從邊界發出平行的測地線，假設流形的里奇曲率在下方由正常數界定，一段時間後，所有測地線都不是最短路徑，因為它們都與相鄰的測地線相撞。這意味著經過一定程度的延伸後，所有潛在的新點都已到達。如果連通流形中的所有點都與小球體有有限的測地線距離，則該流形一定是緊緻的。

羅傑·彭羅斯在相對論中也提出了類似的論點。如果沿著零測地線（光線的路徑）走向未來，則會生成該區域未來的點。如果某個點位於區域未來的邊界上，則只能以光速（不能更慢）才能到達該點，因此零測地線包括區域適當未來的整個邊界。需要引用當零測地線相交時，它們不再位於未來的邊界，而是位於未來的內部。因此，如果所有零測地線都發生碰撞，那麼未來就沒有邊界。

在相對論中，決定測地線碰撞性質的里奇曲率由能量張量決定，其在光線上的投影等於能量動量張量的零投影，且始終為非負。這意味著平行零測地線全等的體積一旦開始減小，將在有限的時間內達到零。一旦體積為零，就會在某個方向上發生坍塌，因此每條測地線都會與某個相鄰的測地線相交。

彭羅斯的結論是：只要存在一個球體，所有出射（和入射）的光線最初都匯聚在一起，該區域未來的邊界將在有限延伸後結束，因為所有的零測地線都會匯聚在一起。這很重要，因為黑洞解視界內任何球體的出射光線都是會聚的，所以該區域未來的邊界要麼是緊湊的，要麼是憑空而來的。內部的未來要麼在有限的延伸之後結束，要麼具有最終由無法追溯到原始球體的新光線產生的邊界。

## 奇點的性質

奇點定理使用測地線不完整性的概念來代替無限曲率的存在。測地線不完備性是指存在測地線（觀察者穿越時空的路徑），其只能延伸有限的時間，以觀察者沿該路逕行進為準。據推測，在測地線的末端，觀察者陷入了奇點，或者遇到了一些其他導致廣義相對論定律失效的病態現象。

### 定理的假設

通常，奇點定理包含三個要素：

- 物質的能量條件。
- 時空整體結構的一個條件。
- 重力足夠強（在某處）以捕獲某個區域。

每種成分都有各種可能性，每種可能性都會導致不同的奇點定理。

### 使用的工具

奇點定理的公式化和證明中使用的一個關鍵工具是Raychaudhuri 方程，它描述了散度$\theta$測地線全等（族）。一致性的散度定義為一致性體積的行列式的對數的導數。Raychaudhuri 方程為

$$\dot{\theta} = - \sigma_{ab}\sigma^{ab} - \frac{1}{3}\theta^2 - {E[\vec{X}]^a}_a$$

在哪裡$\sigma_{ab}$是一致性的剪切張量， ${E[\vec{X}]^a}_{a} = R_{mn} \, X^m \, X^n$也稱為 Raychaudhuri 標量（有關詳細資訊，請參閱一致性頁面）。關鍵在於${E[\vec{X}]^a}_a$假設愛因斯坦場方程成立，則為非負數，且

- 零能量條件成立且測地線全等為零，或
- 強能量條件成立，並且測地線一致性是類時間的。

當這些成立時，發散度在仿射參數的某個有限值處變為無限大。因此，只要適當的能量條件成立，所有離開某一點的測地線最終都會在有限的時間後重新收斂，這一結果也稱為聚焦定理。

由於以下論證，這與奇點相關：

- 假設我們有一個全局雙曲的時空，以及兩個點$p$和$q$可以通過類時間曲線或零曲線連接。然後存在一條最大長度的測地線連接$p$和$q$。稱此為測地線$\gamma$。
- 測地線$\gamma$如果另一條測地線來自$p$相交$\gamma$在另一點，稱為共軛點。
- 根據聚焦定理，我們知道所有測地線$p$在仿射參數的有限值處有共軛點。特別是對於最大長度的測地線來說，這是正確的。但這是一個矛盾 – 因此，我們可以得出結論：時空在測地線上是不完整的。

在廣義相對論中，彭羅斯-霍金奇點定理有多個版本。大多數版本粗略地指出，如果存在捕獲零面且能量密度非負，則存在長度有限且無法延伸的測地線。

嚴格來說，這些定理證明至少存在一條非空間測地線，它只能有限地延伸到過去，但在某些情況下，這些定理的條件以這樣一種方式獲得，即所有指向過去的時空路徑都終止於奇點。

### 版本

有很多版本；下面是空版本：

認為

- 零能量條件成立。
- 我們有一個非緊連通柯西曲面。
- 我們有一個封閉的捕獲零表面$\mathcal{T}$。

然後，我們要麼有零測地線不完備性，要麼有封閉的時間類曲線。

證明概要：矛盾證明。未來的邊界$\mathcal{T}$， $\dot{J}(\mathcal{T})$由源自的零測地線段生成$\mathcal{T}$其切向量與其正交。作為一個捕獲零表面，根據零Raychaudhuri 方程，從$\mathcal{T}$將會遭遇焦散。（焦散線本身沒有問題。例如，兩個空間分離點的未來邊界是兩個未來光錐的併集，其中去掉了交點的內部部分。焦散發生在光錐相交的地方，但那裡沒有奇點。）零測地線產生$\dot{J}(\mathcal{T})$然而，必須終止，即在焦散線處或之前到達其未來的終點。否則，我們可以取兩個零測地線段 – 在腐蝕性下改變 – 然後稍微變形它們，得到一條連接邊界上一點和$\mathcal{T}$，矛盾。但作為$\mathcal{T}$是緊湊的，給定測地線生成器的連續仿射參數化，存在展開參數絕對值的下限。因此，我們知道在仿射參數的統一界限過去之前，每個生成器都會產生焦散。因此， $\dot{J}(\mathcal{T})$必須緊湊。要麼我們有封閉的時間類曲線，要麼我們可以通過時間類曲線構建一個全等，並且它們中的每一個都必須與非緊柯西曲面相交一次。考慮所有這樣的類時曲線穿過$\dot{J}(\mathcal{T})$並觀察它們在柯西曲面上的圖像。作為連續映射，圖像也必須緊湊。作為一個類時一致性，類時曲線不能相交，因此該映射是單射的。如果柯西曲面是非緊緻的，那麼圖像就有邊界。我們假設時空是一個連通的整體。但$\dot{J}(\mathcal{T})$是緊湊且無邊界的，因為邊界的邊界是空的。連續注入映射無法創建邊界，這給我們帶來了矛盾。

漏洞：如果存在封閉的時間曲線，那麼時間曲線不必與部分柯西曲面相交。如果柯西曲面是緊緻的，即空間是緊緻的，則邊界的零測地線生成器可以在處相交，因為它們可以在空間的另一側相交。

該定理還存在涉及弱能量條件或強能量條件的其他版本。

### 修正重力

在修正引力中，愛因斯坦場方程不成立，因此這些奇點不一定會出現。例如，在無限導數引力中，有可能${E[\vec{X}]^a}_a$即使零能量條件成立，也為負。

## 參考

- The classic reference.
- . Also available as
- Kalvakota, Vaibhav R. (2021), " A discussion on Geometry and General Relativity "
- See also hep-th/9409195 for a relevant chapter from The Large Scale Structure of Space Time.
- Witten, Edward (2020), "Light Rays, Singularities, and All That", Rev. Mod. Phys. 92, 45004 (2020), https://doi.org/10.1103/RevModPhys.92.045004 . Also available as https://arxiv.org/abs/1901.03928. An excellent pedagogical review of causal properties of General Relativity.

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