實數的構造

在數學裡，實數系統可以透過不同方式被定義。其中，基本方法通過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數域。通過集合論公理，可以證明基本方法中給定的公理是絕對的，即是說如果有兩個模型都符合那些公理，那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的，而多數的模型的建立都是藉助於有理數域。

## 基本方法

一個實數系統由一個集合$R$，$R$當中的兩個不同元素 0 和 1，$R$上的兩種二元運算 $+ , \times$ （分別叫做加法與乘法），以及$R$上的一個二元關係$\leq$（即序關係）構成。

而且這個模型符合以下性質：

- $(R, +, \times)$ 是一個域。即
- $\forall x , y , z \in R , x + ( y + z ) = ( x + y ) + z , x \times ( y \times z ) = ( x \times y ) \times z$（加法與乘法的結合性）
- $\forall x , y \in R , x + y = y + x , x \times y = y \times x$（加法與乘法的交換性）
- $\forall x , y ,z \in R , x \times (y + z) = (x \times y) + (x \times z)$（乘法對加法有分配律）
- $\forall x \in R , x + 0 = x$（存在加法單位元）
- $\forall x \in R , x \times 1 = x$（存在乘法單位元）
- $\forall x \in R , \exists -x \in R , x + (-x) = 0$（存在加法逆元）
- $\forall x \in R , x \neq 0 \Rightarrow \exists x^{-1} \in R , x \times x^{-1} = 1$（存在乘法逆元）
- $( R , \leq )$ 是一個全序集。即
- $\forall x \in R , x \leq x$(自反性)
- $\forall x , y \in R ,$若 $x \leq y$ 且 $y \leq x$，則有$x = y$（反對稱性）
- $\forall x , y , z \in R,$若 $x \leq y$且,$y \leq z$，則有$x \leq z$（傳遞性）
- $\forall x , y \in R , x \leq y$ 或$y \leq x$（完全關係性）
- $R$上的兩個運算$+ , \times$ 均與序關係$\leq$相容。即
- $\forall x , y \in R$,若$x \leq y ,$則$x + z \leq y + z$（加法下保持次序）
- $\forall x , y \in R$,若 $0 \leq x$ 且$0 \leq y$，則$0 \leq x \times y$（乘法下保持次序）
- 序關係$\leq$符合戴德金完備性: 若$R$的一個非空子集$A$有上界，那麼$A$也有上確界。換言之。
- 若 $A$ 是 $R$的一個非空子集，而且$A$有上界，那麼$A$有一上確界$u$，使得對$A$的任何上界$v$，均有 $u \leq v.$

有理數域 $\mathbf{Q}$符合前三條公理，也就是說$\mathbf{Q}$是一個有序域（同時$\mathbf{Q}$還滿足阿基米德性，所以$\mathbf{Q}$是一個阿基米德有序域），但$\mathbf{Q}$ 不符合最後一條公理。所以戴德金完備性這一點在實數的定義中是不可或缺的。戴德金完備性蘊含了阿基米德性質。若有兩個模型符合公理1-4的話，它們必然是同構的，所以在同構意義下只有一個戴德金完備的阿基米德有序域。

附註：當我們說符合以上公理的兩個模型： $(R, 0_R , 1_R , +_R , \times _R , \leq _R )$ 和 $(S , 0_S , 1_S , +_S , \times _S , \leq _S)$是同構時，即是指存在一個保持運算和序的雙射。

確切地說存在$f : R \rightarrow S$滿足

- $f$是一個雙射
- $f(0_R) = 0_S$ 及 $f(1_R) = 1_S$.
- $\forall x,y \in R , f(x +_R y) = f(x) +_S f(y)$ 及 $f(x \times _R y ) = f(x) \times _S f(y).$
- $\forall x , y \in R , x \leq _R y$ 當且僅當 $f(x) \leq _S f(y).$

### 塔斯基實數公理

另外一種公理化實數的方法由阿爾弗雷德·塔斯基提供，只需要如下所示的8條公理以及4個基本概念：一個稱之為實數集的集合（記作$\mathbb R$）、一個稱之為序的二元關係（記作$<$）、一個稱之為加法的二元運算（記作$+$）和常數$1$。

序相關公理 $(\mathbb R,<)$：

- 公理一：如果$x<y$成立，那麼$y<x$不成立，即「$<$」為非對稱關係。
- 公理二：如果$x<z$成立，那麼存在$y$使得$x<y$與$y<z$同時成立，即「$<$」在實數集稠密。
- 公理三：「$<$」滿足戴德金完備性，即對所有$X,Y\subset\mathbb R$，如果對所有$x\in X$以及$y\in Y$均滿足$x<y$，那麼存在$z$使得對所有$x\in X$以及$y\in Y$並且有$z\ne x$以及$z\ne y$，總有$x<z$與$z<y$成立。

加法相關公理 $(\mathbb R,<,+)$：

- 公理四：$x+(y+z)=(x+z)+y$。
- 公理五：對所有$x$與$y$，總存在$z$滿足$x+z=y$。
- 公理六：如果$x+y<z+w$成立，那麼$x<z$或$y<w$成立。

常數$1$相關公理 $(\mathbb R,<,+,1)$

- 公理七：$1\in\mathbb R$。
- 公理八：$1<1+1$。

## 模型的具體構造

### 柯西序列

首先我們需要一個定義。設$(x_n)$是一個有理數列，如果對於任何正有理數$r > 0$，存在一個正整數$N$使得對於所有的整數$m , n > N$，都有$|x_m - x_n|< r$，則稱$(x_n)$為有理數的柯西序列。

有理數集$\mathbf{Q}$配備上度量$|x-y|$（即一般的絕對值）後便是一個度量空間。而透過一個叫作完備化的過程，可以往度量空間加進新點，從而使得度量空間中的所有柯西序列都收斂到某點。

以下說明實數集$\mathbf{R}$可定義為$\mathbf{Q}$對於度量$|x-y|$的完備化。（關於$\mathbf{Q}$在其他度量下的完備化，參見p進數。）

記$R$為由有理數的柯西序列組成的集合。定義兩個柯西序列的加法和乘法為：

$$(x_n) + (y_n) = (x_n + y_n)$$

$$(x_n) \times (y_n) = (x_n \times y_n).$$

運算得到的序列依然會是柯西序列。

稱兩個柯西序列是等價的，如果它們之間的差收斂到0。這樣便在$R$上定義了一個等價關係。以$[(x_n)]$表示包含序列$(x_n)$的等價類。

設$\mathbf{R}$為包含所有等價類的集合，然後也在$\mathbf{R}$上定義加法和乘法：

$$[(x_n)] + [(y_n)] = [(x_n) + (y_n)]$$

$$[(x_n)] \times [(y_n)]= [(x_n) \times (y_n)]$$

同樣地，這兩個運算是良好定義的。

可以證明$(\mathbf{R},+,\times)$是一個域。我們可以把$\mathbf{Q}$嵌入到$\mathbf{R}$——只要把有理數$r$對應於$(r)$便可。

實數大小的比較也是透過在柯西序列上的定義而達成的：

稱一個實數是正的，即$[(x_n)] > [(0)]$，當且僅當存在自然數$N$和正有理數$r$，使得對一切$n > N$有 $x_n > r$。稱$[(x_n)] > [(y_n)],$當且僅當$[(x_n)] - [(y_n)] > [(0)]$。

較難推導的是$\leq$的完備性，具體可以參考。

常用的小數記法可以自然地理解為柯西序列，比如說， $\pi = 3.1415926...$的記法意味著 $\pi$ 是柯西序列 $(3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)$的等價類。等式$[(0.999...)] = [(1)]$則斷定了序列$(0, 0.9, 0.99, 0.999,...)$ 和$(1, 1, 1, 1,...)$是等價的，即它們之間的差收斂到$0$。

把$\mathbf{R}$作為$\mathbf{Q}$的完備化有一個好處，那就是這種方法並不限於此例；對於其他度量空間也是適用的。

### 戴德金分割

實數可定義為有理數集上的戴德金分割，即是有理數集的一個劃分$(A, B)\,$，其中$A, B$都非空，而且A的每個元素都小於B的任意元素。為方便起見，不妨把劃分$(A, B)\,$以其下組 $A$來代表，因為給定了 $A$ 就唯一確定了 $B$。所以直觀上，實數$r$能被$\{ x\in \textbf{Q}:x<r\}$所代表。

具體而言，一個實數$r$是$\textbf{Q}$ 的符合以下條件的一個子集：

- $r$ 是非空集合
- $$r \neq \textbf{Q}$$
- $r$ 是向下封閉的，即：$\forall x, y \in \textbf{Q} x < y, y \in r \rightarrow x \in r$
- $r$ 沒有最大元。也就是說，不存在$x \in r$，使得對任何$y \in r$有$y \leq x$
- 記$\textbf{R}$ 為所有實數的集合，也就是說它包含了所有$\textbf{Q}$上的戴德金分割。然後在$\textbf{R}$上定義這樣一個全序：$x \leq y\Leftrightarrow x \subseteq y$
- 有理數可以嵌入到$\textbf{R}$裡，透過把$q$ 對應於集合$\{ x \in \textbf{Q} : x < q \}$。因為有理數在有理數集內是稠密的，所以這個集合沒有最大元，並滿足上述的各條件。
- 加法：$A + B := \{a + b: a \in A \land b \in B\}$
- 減法：$A - B := \{a - b: a \in A \land b \in ( \textbf{Q} \setminus B ) \}$，其中$\textbf{Q} \setminus B$ 代表$B$在$\textbf{Q}$裡的補集，即$\{ x : x \in \textbf{Q} \land x \notin B \}$
- 負號是減法的特例： $-B := \{a - b: a < 0 \land b \in ( \textbf{Q} \setminus B ) \}$
- 若$A, B \geq 0$，那麼$A \times B := \{ a \times b : a \geq 0 \land a \in A \land b \geq 0 \land b \in B \} \cup \{ x \in \mathrm{Q} : x < 0 \}$
- 若$A\,$ 和 $B\,$ 中有一個是負的，可以透過$A \times B = -(A \times -B) = -(-A \times B) = (-A \times -B) \,$這定義式，把$A$, $B$轉化為正數的情況，再採用上面的定義來計算。
- 若$A \geq 0,\ B > 0$，則$A / B := \{ a / b : a \in A \land b \in ( \textbf{Q} \setminus B ) \}$
- 若$A\,$ 和 $B\,$ 中有一個是負的，可以藉助 $A / B = -(A / {-B}) = -(-A / B)= -A / {-B} \,$ 的定義式，把 $A$換成非負數，以及把$B\,$換成正數，再採用上面的定義來計算。
- 上確界：如果$\textbf{R}$的非空子集$S$ 有上界的話，那麼可以證明$\bigcup S$便是其上確界。

以下示範如何以戴德金分割代表根號2：設$A = \{ x \in \textbf{Q} : x < 0 \lor x^2 < 2 \}$。

首先，對於任何自乘小於2的正有理數 $x\,$，都存在一個大於x的有理數$y\,$，而且有$y \times y <2\,$。選擇$y=\frac{2x+2}{x+2}\,$ 便可。所以我們證明了$A$ 是一個實數。

要證明$A \times A \le 2$成立，只需指出如果$r\,$是小於2的有理數，那麼存在正的 $x\in A$，且 $r<x \times x\,$。

這種方法的好處是每個實數都對應於唯一的分割。

### 小數記法

西蒙·斯蒂文 首先提出了以小數來代表一切數（即現今的實數）的想法。具體地，可以將無限小數展開式作為實數的定義，然後規定像0.9999... 和1.0000... 這樣的兩種展開式是等價的，再形式化地定義好四則運算和大小次序。這種方法跟柯西序列和戴德金分割這兩種構造是等價的，而且它還給出了明確的收斂模。這種方法不限於十進制，其他的進位制也是適用的。

用小數來構造的好處是，這跟我們對於實數的基本印象相符。一個證明「完全有序域的所有模型都同構」的標準做法便是，說明任意模型都同構於這個模型，因為我們可以系統地給每個元素建立小數展開式。

### 超實數

首先，透過超濾子從有理數構造出超有理數域*Q。此處的超有理數之定義為兩個超整數的比。考慮由*Q裡所有有界（或者說有限）元素所組成的環B。B 有著唯一的極大理想 I，即無窮小量。商環 B/I 給出了實數域 $R$。注意B 並不是*Q的一個內在集合。

此外，這種構造在自然數集上使用了非主超濾子，而其存在性是依賴於選擇公理的。

這個極大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完備性的證明跟柯西序列一節中的論證類同。

### 超現實數

每個有序域都可以嵌入到超現實數系統內。而實數組成了一個符合阿基米德性質的極大子域（意味著沒有實數是無窮大量）。這種嵌入方式並不是唯一的，儘管有標準的一種方式。

### 通過整數集（歐多克索斯實數）

一個較不為人知的構造方法只需用到整數的加法群。這種方法已由IsarMathLib project正式驗證了。Shenitzer和Arthan將此構造稱為歐多克索斯實數。

設$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$為一函數，若然$\{f(n+m)-f(m)-f(n): n,m\in\mathbb{Z}\}$是有限集，則稱f為殆同態。稱兩個殆同態$f,g$ 是 幾乎相等的，如果集合$\{f(n)-g(n): n\in \mathbb{Z}\}$是有限集。如此便在殆同態上定義了一等價關係。實數被定義為各個等價類，可簡單記為f。實數的加法，對應於殆同態的加法運算；實數的乘法，則對應於殆同態的複合運算。最後，稱$0\leq [f]$，若$f$ 是有界的，或者$f$ 在$\mathbb{Z}^+$上無限多次取正值。這樣便在實數上建立了全序。