時頻分析轉換關係

在時間與頻率的分析領域中，有不少的訊號的單純使用頻域或時域表示，而是同時使用時域與頻域來表示。

有幾種方法或轉換被裡昂·柯恩統整組織被稱為"時頻分析"，最常被使用的方法稱為「二次」或「雙線性時頻分析」，而此類方法中，最被廣泛使用的方法中以韋格納分布為其中之一，其他的時頻分布則被稱為維格納分佈的摺積版。另一個被廣泛使用的方法為頻譜圖，為「短時距傅立葉轉換」的平方，頻譜圖有著平方必為正的優點，容易由圖理解，但有著不可逆的缺點，如短時距傅立葉轉換不可逆計算，無法從頻譜圖找回原信號。而驗證這些理論與定義驗證可以參考「二次式時頻分布理論」。

本文主題雖是訊號處理領域，但是藉由量子力學的相空間來推導某些分布從A分布轉換至B分布的過程。一個信號在相同的狀況下，給與不同的時頻分布表示方式，透過簡單的平滑器或濾波器，計算出其他分布。

## 一般化

如果我們用變數ω=2πf，然後，借用量子力學領域中使用的符號，就可以顯示該時間-頻率表示，如維格納分佈函數和其它雙線性時間-頻率分佈，可表示為

$C(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiint s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)\phi(\theta,\tau)e^{-j\theta t-j\tau\omega+j\theta u}\, du\,d\tau\,d\theta ,$ (1)

$\phi(\theta,\tau)$為一定義其分布及特性之二維函數。

維格納分布的核為一。但在一般型式裡任何分布的核為一沒有任何的意義，在其他狀況下維格納分布的核應為其他結果。

## 特徵方程式

特徵方程式為雙傅立葉轉換，從方程式(1)可以得到

$C(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint M(\theta,\tau)e^{-j\theta t-j\tau\omega}\, d\theta\,d\tau$ (2)

$\begin{alignat}{2} <pre> M(\theta,\tau) & = \phi(\theta,\tau)\int s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)e^{j\theta u}\,du \\ & = \phi(\theta,\tau)A(\theta,\tau) \\ \end{alignat}$ (3)

$A(\theta,\tau)$ 為對稱模糊函數，特徵方程式也可易被稱為廣義模糊函式。

## 分布之間轉換關係

假設有兩個分布 $C_1$ and $C_2$,個別對應核為 $\phi_1$ and $\phi_2$，特徵方程式為

$M_1(\phi,\tau) = \phi_1(\theta,\tau)\int s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)e^{j\theta u}\, du$ (4)

$M_2(\phi,\tau) = \phi_2(\theta,\tau)\int s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)e^{j\theta u}\, du$ (5)

方程式(4)、(5)相除得

$M_1(\phi,\tau) = \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}M_2(\phi,\tau)$ (6)

方程式(6)相當重要，其結果使其連接特徵方程式在有線區域內之核不為零。

欲獲得兩分布之間的關係，需使用雙傅立葉轉換並使用方程式(2)

$C_1(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}M_2(\theta,\tau)e^{-j\theta t-j\tau\omega}\, d\theta\,d\tau$ (7)

用$C_2$來表示$M_2$

$C_1(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiiint \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}C_2(t,\omega^')e^{j\theta(t^'-t)+j\tau(\omega^'-\omega)}\, d\theta\,d\tau\,dt^'\,d\omega^'$ (8)

可改寫成

$C_1(t,\omega) = \iint g_{12}(t^'-t,\omega'-\omega)C_2(t,\omega')\,dt^'\,d\omega'$ (9)

其中。

$g_{12}(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}e^{j\theta t+j\tau\omega}\, d\theta\, d\tau$ (10)

## 頻譜與其他雙線性相互關係

我們專注於其中一個從任意代表性的頻譜轉換的情況，在方程式(9)中，$C_1$為頻譜圖而$C_2$ 為任意數，為了簡化符號使用以下表示，$\phi_{SP} = \phi_1$, $\phi = \phi_2$, $g_{SP} = g_{12}$，可被表示為

$C_{SP}(t,\omega) = \iint g_{SP}(t^'-t,\omega^'-\omega)C(t,\omega^')\,dt^'\,d\omega^'$ (11)

頻譜圖的核為

$\begin{alignat}{3} <pre> g_{SP}(t,\omega) & = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{A_h(-\theta,\tau)}{\phi(\theta,\tau)}e^{j\theta t+j\tau\omega}\, d\theta\,d\tau \\ & = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiint \dfrac{1}{\phi(\theta,\tau)}h^*(u-\dfrac{1}{2}\tau)h(u+\dfrac{1}{2}\tau)e^{j\theta t+j\tau\omega-j\theta u}\, du\,d\tau\,d\theta \\ & = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiint h^*(u-\dfrac{1}{2}\tau)h(u+\dfrac{1}{2}\tau)\dfrac{\phi(\theta,\tau)}{\phi(\theta,\tau)\phi(-\theta,\tau)}e^{-j\theta t+j\tau\omega+j\theta u}\, du\,d\tau\,d\theta \\ \end{alignat}$ (12)

令$\phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau) = 1$, $g_{SP}(t,\omega)$為窗函數，然而在$-\omega$狀況下得

$g_{SP}(t,\omega) = C_h(t,-\omega)$ (13)

使其核滿足 $\phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau) = 1$

$C_{SP}(t,\omega) = \iint C_s(t^',\omega^')C_h(t^'-t,\omega^'-\omega)\,dt^'\,d\omega^'$ (14)

其核亦滿足$\phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau) = 1$

其證明可見Janssen4. 當$\phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau)$不等於1時。

$C_{SP}(t,\omega) = \iiiint G(t^{''},\omega^{''})C_s(t^',\omega^')C_h(t^{''}+t^'-t,-\omega^{''}+\omega-\omega^')\,dt^'\,dt^{''}\,d\omega^\,d\omega^{''}$ (15)

$G(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{e^{-j\theta t-j\tau\omega}}{\phi(\theta,\tau)\phi(-\theta,\tau)}\, d\theta\,d\tau$ (16)