動量映射

在數學，尤其在辛幾何中，動量映射是一個與辛流形上的李群的哈密頓作用有關的工具，可用於構造作用的守恆量。動量映射推廣了經典的 動量和角動量。它在各種辛流形的建立中是一個重要的部分，包括將會在後面討論的symplectic (Marsden–Weinstein) quotients，以及symplectic cuts和sums。

## 正式定義

令 M 是一個配有辛形式 ω 的流形。假定一個李群 G 通過辛同胚作用在 M 上（也就是每個 G 中的 g 保持 ω）。令 $\mathfrak{g}$ 是 G 上的李代數，$\mathfrak{g}^*$ 是它的對偶，且令

$$\langle, \rangle : \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g} \to \mathbf{R}$$

是兩者間的pairing。任一$\mathfrak{g}$中的ξ誘導了 M 上的一個向量場 ρ(ξ) 以描述ξ的無限小作用。更精確地說，向量場 $\rho(\xi)_x$ 在M上一點x是

$$\left.\frac{d}{dt}\right|_{t = 0} \exp(t \xi) \cdot x,$$

其中 $\exp : \mathfrak{g} \to G$ 是指數映射並且 $\cdot$ 表示 M 上的 G-作用。令 $\iota_{\rho(\xi)} \omega \,$ 表示 向量場與 ω 的縮並。由於 G 通過辛同胚作用，它意味著對於 $\mathfrak{g}$ 中所有的ξ，$\iota_{\rho(\xi)} \omega \,$ 是閉形式。

一個在(M，ω)上的 G-作用的動量映射是一個映射 $\mu : M \to \mathfrak{g}^*$，對於 $\mathfrak{g}$ 中所有的ξ滿足

$$d(\langle \mu, \xi \rangle) = \iota_{\rho(\xi)} \omega$$。這裡 $\langle \mu, \xi \rangle$ 是通過 $\langle \mu, \xi \rangle(x) = \langle \mu(x), \xi \rangle$ 定義的從 M 到 R 的函數。動量映射在差一個積分的常數的程度上是唯一定義的。

一個動量映射經常也要求是 G-等價的，這裡 G 通過余伴隨作用作用在 $\mathfrak{g}^*$ 上。如果群是緊的或半單的，那麼總是選擇積分常數使動量映射是余伴隨等價的; 但是通常余伴隨作用必須被修正以使映射等價(this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1-cocycle on the group with values in $\mathfrak{g}^*$，as first described by Souriau (1970).

## 哈密頓群作用

動量映射的定義要求 $\iota_{\rho(\xi)} \omega$是閉形式。在實際中一個更強的假定是有用的。G-作用被稱作是哈密頓的若且唯若當以下的條件滿足。首先，對於 $\mathfrak{g}$ 中的每一個ξ，1-形式 $\iota_{\rho(\xi)} \omega$ 是恰當的，這意味著它對於一些光滑函數

$$H_\xi : M \to \mathbf{R}.$$

等於 $dH_\xi$。

如果這成立，那麼我們可以選擇 $H_\xi$ 使映射 $\xi \mapsto H_\xi$ 為線性。第二個使G-作用是哈密頓的要求是映射 $\xi \mapsto H_\xi$ 是一個從 $\mathfrak{g}$ 到 M 在泊松括號下的光滑函數的代數的李代數同態。

如果 G 在(M，ω)上的作用在這個意義上是哈密頓的，那麼一個動量映射是映射 $\mu : M\to \mathfrak{g}^*$，這樣 $H_\xi = \langle \mu, \xi \rangle$ 定義了一個李代數同態 $\xi \mapsto H_\xi$ 滿足 $\rho(\xi) = X_{H_\xi}$. 這裡 $X_{H_\xi}$ 是一個由哈密頓函數 $H_\xi$ 通過

$$\iota_{X_{H_\xi}} \omega = d H_\xi.$$

定義的向量場。

## 例子

In the case of a Hamiltonian action of the circle G = U(1)，the Lie algebra dual $\mathfrak{g}^*$ is naturally identified with R，and the 動量映射 is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

Another classical case occurs when M is the cotangent bundle of R3 and G is the Euclidean group generated by rotations and translations. That is，G is a six-dimensional group，the semidirect product of SO(3) and R3. The six components of the 動量映射 are then the three angular momenta and the three linear momenta.

## Symplectic quotients

Suppose that the action of a compact Lie group G on the symplectic manifold (M，ω) is Hamiltonian，as defined above，with 動量映射 $\mu : M\to \mathfrak{g}^*$. From the Hamiltonian condition it follows that $\mu^{-1}(0)$ is invariant under G.

Assume now that 0 is a regular value of μ and that G acts freely and properly on $\mu^{-1}(0)$. Thus $\mu^{-1}(0)$ and its quotient $\mu^{-1}(0) / G$ are both manifolds. The quotient inherits a symplectic form from M; that is，there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to $\mu^{-1}(0)$ equals the restriction of ω to $\mu^{-1}(0)$. Thus the quotient is a symplectic manifold，called the Marsden–Weinstein quotient，symplectic quotient or symplectic reduction of M by G and is denoted $M/\!\!/G$. Its dimension equals the dimension of M minus twice the dimension of G.