衝激不變法

衝激不變法是利用連續時間濾波器來設計離散時間無限衝激響應（IIR）濾波器的一種方法，這種方法中對連續時間系統的衝激響應進行採樣以產生離散時間系統的衝激響應。離散時間系統的頻率響應就會是連續時間系統的頻率響應的位移後的拷貝之和；如果連續時間系統的頻帶大致限制在小於採樣的奈奎斯特頻率的範圍內，則離散時間系統的頻率響應會大致與連續系統的頻帶相同，低於奈奎斯特頻率。

## 背景

直接在離散時間域中設計 IIR 濾波器並不容易，因此實務上常採取「先設計類比原型、再映射為數位濾波器」的策略：先在連續時間域中設計一個性能良好的類比原型（例如巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器或橢圓濾波器），再透過某種轉換得到對應的數位濾波器。這類轉換大致可分為兩種思路：一種是在 s 平面與 z 平面之間直接做代數代換（例如雙線性轉換）；另一種則要求轉換前後在時域上對應，脈衝不變法即屬後者——它要求數位濾波器的脈衝響應在取樣點上與類比脈衝響應一致，而非直接對轉移函數做變數代換。脈衝不變法、雙線性轉換與匹配 z 轉換法並列為三種經典的類比－數位濾波器轉換技術。

## 基本原理

### 脈衝響應的取樣與增益正規化

以 $T$ 為取樣週期（取樣頻率 $f_s=1/T$）對連續時間系統的衝激響應 $h_c(t)$ 取樣，並定義離散時間系統的衝激響應為

$$h[n]=Th_c(nT)\,$$

式中乘上係數 $T$ 並非取樣本身的必然結果，而是一種增益正規化：對連續訊號取樣會使其頻譜在疊加各平移副本時整體放大 $1/T$ 倍，乘上 $T$ 恰可補償此縮放，使數位濾波器在低頻處的通帶增益與類比原型一致。

### 頻率響應與混疊

對上式取離散時間傅立葉變換

$$H(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}h[n]e^{-j\omega n}=T\sum_{n=-\infty}^{\infty}h_c(nT)e^{-j\omega n},$$

並利用取樣訊號頻譜與原始連續頻譜之間的卜瓦松求和關係，可得

$$H(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^\infty{H_c\left(j\frac{\omega}{T} + j\frac{2{\pi}}{T}k\right)}\,$$

此式顯示數位頻率響應是把類比頻率響應沿頻率軸以 $2\pi/T$ 為週期反覆平移後疊加而成。如果連續時間濾波器是大致是帶限的（即當 $|\Omega| \ge \pi/T$ 時，$H_c(j\Omega) < \delta$），各平移副本之間的重疊可忽略，則每次採樣的頻率低於 π（即奈奎斯特頻率低於 1/(2T) Hz）的離散時間系統的頻率響應就會大致為連續時間系統的頻率響應：

$H(e^{j\omega}) = H_c(j\omega/T)\,$ for $|\omega| \le \pi\,$

由於映射 $\Omega=\omega/T$ 為線性，脈衝不變法在不發生重疊的範圍內可忠實保留類比原型的頻率響應形狀；但若原型在奈奎斯特頻率以上仍有不可忽略的響應，平移副本便會互相疊加而造成混疊，這是本方法最主要的誤差來源。

### 與雙線性變換比較

注意到會出現混疊，包含有奈奎斯特頻率以下與超過該頻率連續時間濾波器的非零的響應混疊。雙線性轉換使用不同的映射方法，將連續系統能夠達到無限頻率的頻率響應，映射到在離散時間系統中至多能達到奈奎斯特頻率的範圍，避免了衝激不變法線性地對頻率映射產生的循環混疊，從而可以替代衝激不變法。其代價是頻率軸發生非線性扭曲（frequency warping），需以頻率預扭（pre-warping）補償；脈衝不變法則保持線性的頻率對應，但無法處理在奈奎斯特頻率以上仍有顯著響應的原型。

### 系統函數的極點映射

若連續極點位於 $s = s_k$，系統函數可以用部分分式展開寫作

$$H_c(s) = \sum_{k=1}^N{\frac{A_k}{s-s_k}}\,$$

因此，使用拉普拉斯逆變換，得到衝激響應為

$$h_c(t) = \begin{cases} <pre> \sum_{k=1}^N{A_ke^{s_kt}}, & t \ge 0 \\ 0, & \mbox{otherwise} </pre> \end{cases}$$

依脈衝不變定義取樣，並將指數項整理為 $e^{s_k nT}=(e^{s_k T})^n$：

$$h[n] = Th_c(nT) = T \sum_{k=1}^N{A_k\left(e^{s_kT}\right)^n u[n]}\,$$

由於 $\sum_{n\ge 0}a^n z^{-n}=1/(1-az^{-1})$，對其取 Z 變換即得離散時間系統函數

$$H(z) = T \sum_{k=1}^N{\frac{A_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}}}\,$$

於是連續時間系統函數位於 $s=s_k$ 的每個極點，被搬移到 $z = e^{s_kT}$ 處的極點，且各項殘數同步縮放 $T$ 倍。零點則不會這樣簡單地映射過去。

### 零極點

如果系統函數既有零點也有極點，可以用相同方式映射，但結果不再是衝激不變的結果：離散時間衝激響應不是簡單地與連續時間衝激響應相等。這種方法名為匹配Z變換方法，或叫做零極點映射。對於全極點濾波器，兩種方法是等價的。

### 穩定性和因果性

由於連續時間系統 s = sk 處的極點轉換到離散時間系統 z = exp(skT) 處的極點， s 左半平面的極點就會映射到 z 平面的單位圓內部；所以若連續時間濾波器是因果穩定的，則離散時間濾波器也會時因果穩定的。

### 修正公式

當一個因果的連續時間衝激響應在 $t=0$ 處不連續時，上述表達式不一致。

這是因為 $h_c (0)$ 應道貢獻一半的值給 $h[0]$。

修正為：

$$h[n] = T \left( h_c(nT) - \frac{1}{2} h_c(0)\delta [n] \right) \,$$

$$h[n] = T \sum_{k=1}^N{A_ke^{s_knT}} \left( u[n] - \frac{1}{2} \delta[n] \right) \,$$

對離散時間衝激響應進行Z變換得到下面的離散時間系統函數

$$H(z) = T \sum_{k=1}^N{\frac{A_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}} - \frac{T}{2} \sum_{k=1}^N A_k}.$$

## 設計步驟

脈衝不變法的設計流程可整理如下：

- 依規格（截止頻率、通帶／止帶衰減等）設計類比原型轉移函數 $H_c(s)$。
- 選定取樣週期 $T$，並將類比規格頻率換算為對應的數位頻率 $\omega=\Omega T$。
- 對 $H_c(s)$ 作部分分式展開，取得各殘數 $A_k$ 與極點 $s_k$。
- 套用映射：殘數改為 $T A_k$、極點改為 $z=e^{s_k T}$，組成 $H(z)=\sum_k \dfrac{T A_k}{1-e^{s_k T}z^{-1}}$。
- 若類比脈衝響應於 $t=0$ 不連續（即 $h_c(0)\neq 0$），可選擇套用上節之修正公式。
- 通分整理為 $H(z)=B(z)/A(z)$，並驗證其頻率響應是否符合規格；若混疊明顯，可提高取樣頻率（縮小 $T$）後重做。

## 設計範例

考慮類比原型

$$H_c(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)},$$

其極點為 $s_1=-1,\;s_2=-2$，殘數為 $A_1=2,\;A_2=-1$，並具一零點於 $s=-3$。由部分分式可得脈衝響應

$$h_c(t)=\left(2e^{-t}-e^{-2t}\right)u(t).$$

取取樣週期 $T=1$（示意值），則離散脈衝響應為 $h[n]=\left(2e^{-n}-e^{-2n}\right)u[n]$，其前幾項數值為

$$h[0]=1,\quad h[1]\approx0.6004,\quad h[2]\approx0.2524,\quad h[3]\approx0.0971.$$

依設計步驟，將兩項各自映射並通分。分母為

$$\left(1-e^{-1}z^{-1}\right)\left(1-e^{-2}z^{-1}\right)=1-\left(e^{-1}+e^{-2}\right)z^{-1}+e^{-3}z^{-2}=1-0.5032\,z^{-1}+0.0498\,z^{-2},$$

分子為

$$2\left(1-e^{-2}z^{-1}\right)-\left(1-e^{-1}z^{-1}\right)=1+\left(e^{-1}-2e^{-2}\right)z^{-1}=1+0.0972\,z^{-1},$$

故得未修正之數位系統函數

$$H(z)=\frac{1+0.0972\,z^{-1}}{1-0.5032\,z^{-1}+0.0498\,z^{-2}}.$$

可驗證數位極點位於 $z=e^{-1}\approx0.3679$ 與 $z=e^{-2}\approx0.1353$，與「極點映射為 $e^{s_kT}$」一致。然而數位零點位於 $z\approx-0.0972$，並未落在 $z=e^{-3}\approx0.0498$，再次說明零點不滿足不變性。

由於本例 $h_c(0)=2-1=1\neq 0$，屬上節修正公式之適用情形。套用修正（自常數項扣除 $\tfrac{T}{2}\sum_k A_k=0.5$）後得

$$H(z)=\frac{0.5+0.3488\,z^{-1}-0.0249\,z^{-2}}{1-0.5032\,z^{-1}+0.0498\,z^{-2}},$$

此時 $h[0]$ 由 $1$ 修正為 $0.5$，恰為原值之一半，與修正公式之物理意義相符。若比較此數位濾波器與類比原型 $H_c(j\omega/T)$ 的幅度響應，可發現低頻處兩者形狀相符，而在接近 $\omega=\pi$ 處數位響應被抬高，此即高頻成分折回所造成的混疊。

## 取樣週期的選擇

取樣週期 $T$ 是脈衝不變法中需權衡的關鍵參數。由於頻率映射為線性的 $\Omega=\omega/T$，縮小 $T$（提高取樣率）會把類比原型的頻譜壓往較低的正規化頻率，使奈奎斯特頻率以上的殘餘響應更小，從而抑制混疊；但過高的取樣率會使極點 $e^{s_kT}$ 過於接近單位圓上的 $z=1$，可能在有限字長實作中惡化數值敏感度。實務上常選擇足以使原型在奈奎斯特頻率附近衰減至可忽略的取樣率，並在必要時以更高取樣率重新設計後再評估。與雙線性轉換不同，脈衝不變法不需要頻率預扭，因為其頻率對應本身即為線性。

## 優點與限制

### 優點

- 頻率映射為線性（$\Omega=\omega/T$），在無混疊範圍內可精確保留類比原型的頻率響應形狀與相對頻率位置，不會像雙線性轉換產生頻率扭曲。
- 在取樣點上保留了類比脈衝響應的時域波形，適合對時域特性（如暫態響應）有要求的應用。
- 因果穩定的類比原型可保證得到因果穩定的數位濾波器。

### 限制

- 混疊是最根本的限制：若類比原型在奈奎斯特頻率以上仍有顯著響應，平移副本疊加會使數位響應失真。
- 因此本方法僅適用於本質上帶限的原型，例如低通與帶通濾波器；對高通與帶阻濾波器則不適用，因其通帶延伸至無限高頻，必然發生嚴重混疊。
- 零點不滿足不變性，無法直接由類比零點推得數位零點。
- 設計結果對取樣週期 $T$ 的選擇敏感，$T$ 過大會加劇混疊。

## 應用

脈衝不變法常用於由類比低通／帶通原型轉換出數位 IIR 濾波器，尤其是在需要保留原型時域脈衝響應特性、或希望維持線性頻率對應關係的場合，例如部分音訊處理與通訊系統中對類比濾波器的數位化重現。在連續時間 Sigma–Delta 類比數位轉換器的設計中，亦會利用脈衝不變的概念，將離散時間迴路濾波器對應回連續時間原型。由於其先天無法處理高通與帶阻原型，實務上若無此類時域需求，常改採雙線性轉換。

## 外部連結

- Impulse Invariant Transform at CircuitDesign.info Brief explanation, an example, and application to Continuous Time Sigma Delta ADC's.