克萊布希-高登係數

在量子力學中，克萊布希－高登係數（Clebsch–Gordan coefficients，簡稱 CG 係數，又稱向量耦合係數等）是兩個角動量耦合時，它們的本徵函數的組合係數。

從數學的角度，克萊布希－高登係數出現在緊李群的表示論中，它研究的是兩個不可約表示的張量積如何分解成不可約表示的直和。

克萊布希－高登係數因阿爾弗雷德·克萊布希和保羅·哥爾丹而得名。

## 記號

在本文中，在不引起混淆的情況下，省略算符上的尖號。用粗體來表示向量（算符），用非粗體表示標量（算符）。

## 角動量耦合的一般理論

本文的討論從角動量的一般量子理論出發，以角動量算符的對易關係為基礎，不涉及角動量算符在某個具體表象下的表示。相關內容可參見角動量算符對易關係一文。

給定了 j 之後，本徵函數組

$$|jm\rangle,\quad m=-j,-j+1,\dots,j-1,j$$

張開成一個 2j+1 維的函數空間。

現在給定兩個量子數 j1 和 j2，則其本徵函數組張開的空間分別有 2j1+1 維與 2j2+1 維。現考慮這兩個函數空間的張量積

$$V=V_1\otimes V_2=\operatorname{span}(\{|j_1m_1\rangle|m_1=-j_1,-j_1+1,\dots,j_1-1,j_1\})\otimes \operatorname{span}(\{|j_2m_2\rangle|m_2=-j_2,-j_2+1,\dots,j_2-1,j_2\})$$

顯然有

$$V=\operatorname{span}(\{|j_1m_1\rangle|\otimes|j_2m_2\rangle|m_1=-j_1,-j_1+1,\dots,j_1-1,j_1; m_2=-j_2,-j_2+1,\dots,j_2-1,j_2\})$$

下面為簡便起見，定義新的記號

$$|j_1m_1j_2m_2\rangle=|j_1m_1\rangle\otimes|j_2m_2\rangle$$

一般地，若 f, g 分別是這兩個空間裡的算符，則在積空間上可以定義下列算符：

$$f\otimes g: V_1\otimes V_2\rightarrow V_1\otimes V_2, u\otimes v\rightarrow (fu)\otimes(gv)$$

另一方面，定義在這兩個空間上的算符可以自然地嵌入到積空間中，只需取

$$f\rightarrow f\otimes 1,g\rightarrow 1\otimes g$$

其中 1 表示恆等操作（算符）。

在這樣的定義下，兩個角動量算符的的耦合表達為：

$$j_\alpha=j_{1,\alpha}+j_{2,\alpha}=j_{1,\alpha}\otimes 1+1\otimes j_{2,\alpha},\quad \alpha\in\{x,y,z\}$$

$$\mathbf j=\mathbf j_1+\mathbf j_2=\mathbf j_1\otimes 1+1\otimes \mathbf j_2,\quad \alpha\in\{x,y,z\}$$

容易驗證這樣定義的 j 滿足角動量的基本對易關係，因此是一個角動量算符，稱為總角動量算符。

根據角動量的一般理論，總角動量算符也有自己的本徵函數組，它可以用積空間裡的基來表示

$$|jm\rangle=\sum_{m_1,m_2}\langle j_1m_1j_2m_2|jm\rangle|j_1m_1j_2m_2\rangle$$

這裡的線性組合係數

$$\langle j_1m_1j_2m_2|jm\rangle$$

就被稱為克萊布希－高登係數。在正交歸一性的要求下，克萊布希－高登係數仍然具有相位不確定性。本文中取 Condon-Shortley 慣例，使所有克萊布希－高登係數為實數。

## 耦合表象中量子數的取值

$$j_z=j_{1,z}+j_{2,z}$$

上式兩邊取矩陣元，就得到：

$$\langle j_1m_1j_2m_2|jm\rangle=\delta_{m_1+m_2,m}\langle j_1m_1j_2m_2|jm_1+m_2\rangle$$

故在克萊布希－高登係數的表達式中可以省略 m 的值。

下面考慮耦合表象中量子數 j 的取值，根據上式，有

$$j_\max=m_\max=m_{1,\max}+m_{2,\max}=j_1+j_2$$

故 j 最大的可能取值是 j1 與 j2 的和，且它只出現一次。此時

$$m=-j_\max,-j_\max+1,\dots,j_\max-1,j_\max$$

考慮下一個可能的 j，顯然第二大的 m=mmax-1，它可以通過兩種方式組合而來。

$$m_1=j_1-1,m_2=j_2 \text{ or } m_1=j_1,m_2=j_2-1$$

它們張開成一個二維的空間，但 j=jmax 的本徵函數組裡面已經出現過 m=jmax-1，這裡占用了一維，因此下一個可能的 j 只能是 jmax-1，它同樣只出現一次。

這樣分析下去，就會知道 j 的所有可能取值只能是

$$j_\min,j_\min+1,\dots,j_\max-1,j_\max$$

其中每個 j 恰好出現一次，且

$$j_\max-j_\min\in\mathbb Z$$

但積空間的維數應該等於兩個空間維數之積，即

$$\sum_{n=j_\min}^{j_\max}(2n+1)=(2j_1+1)(2j_2+1)$$

故有

$$j_\min=|j_1-j_2|$$

## 一個例子

以 $j_1=j_2=\frac{1}{2}$ 為例。

對任意一個算符 $f$，本節中的矩陣元表示

$$\langle j_1m_1j_2m_2|f|j_1m_1j_2m_2\rangle$$

值。

$$j_z=\frac12\left(\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}$$

$$j_+=\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}=j_-^\dagger$$

$$\mathbf j^2=\frac12[j_+,j_-]_++j_z^2=\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}$$

計算最後一個矩陣的本徵值和本徵向量，得到

$$\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\operatorname{diag}\{0,2,2,2\}$$

於是可知克萊布希－高登係數為：

$m_1, m_2 =$

1 1/2, 1/2｜$1\!\,$

m1, m2=

1｜0 1/2, -1/2｜$\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,$｜$\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,$ -1/2, 1/2｜$\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,$｜$-\sqrt{\frac{1}{2}}\!\,$

m1, m2=

1 -1/2, -1/2｜$1\!\,$

從上面的例子可以看到，對於一般的情況，用矩陣來求克萊布希－高登係數將是十分繁瑣的。一般可以採用下面的 Racah 表達式計算，更多的情況是直接查表。

## Racah 表達式

Racah 用代數方法得出了克萊布希－高登係數的有限級數表達式。

$$\begin{array}{cl}&\langle j_1m_1j_2m_2|j_3m_3\rangle\\ =&\delta_{m_3,m_1+m_2}\left[(2j_3+1)\frac{(j_1+j_2-j_3)!(j_2+j_3-j_1)!(j_3+j_1-j_2)!}{(j_1+j_2+j_3+1)!} \times\prod_{i=1,2,3}(j_i+m_i)!(j_i-m_i)!\right]^{1/2}\\ \times&\sum_\nu[(-1)^\nu\nu!(j_1+j_2-j_3-\nu)!(j_1-m_1-\nu)!(j_2+m_2-\nu)!(j_3-j_1-m_2+\nu)!(j_3-j_2+m_1+\nu)!]^{-1}\end{array}$$

其中， ν 的求和限制在使得所有的階乘因子中的數非負的範圍內。

## 對稱性

克萊布希－高登係數有下列的對稱性

$$\begin{align} \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle & = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_1\, {-m_1} j_2 \, {-m_2}|J \, {-M}\rangle \\ & = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M\rangle \\ & = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}} \langle j_1 m_1 J \, {-M}| j_2\,{-m_2} \rangle \\ & = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}} \langle J \, {-M} j_2 m_2| j_1 \, {-m_1} \rangle \\ & = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}} \langle J M j_1 \, {-m_1} | j_2 m_2 \rangle \\ & = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}} \langle j_2 \, {-m_2} J M | j_1 m_1 \rangle \end{align}$$

## 與維格納 3-j 符號的關係

克萊布希－高登係數與維格納 3-j 符號有下列關係：

$$\begin{pmatrix} <pre> j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 </pre> \end{pmatrix} \equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle.$$

後者可以用於計算下列形式的球諧函數積分：

$$\begin{align} & {} \quad \int Y_{l_1m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi \\ & = \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix} <pre> l_1 & l_2 & l_3 \\[8pt] 0 & 0 & 0 </pre> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} <pre> l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3 </pre> \end{pmatrix} \end{align}$$

由球諧函數的正交歸一性，上面的結果也可以用來對球諧函數作展開。