劉維爾定理 (微分代數)

劉維爾定理（Liouville's theorem）揭示了具有初等原函數的初等函數的本質特徵。其最早由約瑟夫·劉維爾於十九世紀三四十年代提出，經後人推廣到一般的微分域上，並被進一步推廣運用在常微分方程組初等首次積分的研究上。

初等函數的原函數並不總是初等函數，例如 $e^{-x^2}$ 的原函數是誤差函數，無法用初等函數表達出來。其它常見的例子還有 $\sin(x)/x$，$x^x$，$1/\ln(x)$ 等。

劉維爾定理指出，一個初等函數如果有初等的原函數，那麼一定能寫成同一個微分域的函數加上有限項該域上函數的對數的線性組合，否則即表明不存在初等的原函數。

## 定義

一個域 $F$（元素是函數）及相應的運算 $\delta$（對函數的導數）構成的代數結構 $(F, \delta)$ 稱為 微分域。若對於 $\forall f,g \in F$ 有

$$\delta(f + g) = \delta(f) + \delta(g),\quad \delta(fg) = \delta(f)g + f\delta(g)$$

由上式可以得到通常導數的一些性質。

$$\delta(g^n) = n g^{n-1} \delta(g)$$

$$\delta( \frac{f}{g}) = \frac{\delta(f)}{g} + f\delta(\frac{1}{g}) = \frac{\delta(f)}{g} - \frac{f}{g^2} \delta(g)$$

設 $(F, \delta)$ 為某個微分域，稱

$$\mathrm{Con}(F, \delta) = \{f \in F | \delta f = 0\}$$

為該微分域的常數域。

設 $h \in K$，K 是 F 的微分域擴張 $K = F(h)$，$h$ 稱為在 $F$ 上基本初等，若以下三種情況任一成立:

- $h$ 是 $F$ 的代數元素。即存在 $F$ 中的多項式 $p(t) (\in F[t])$，使得 $p(h)=0$。注意此處多項式 $p(t)$ 的係數本身也是函數，也即 $p(t)=0$ 隱式地決定了函數 $t(x) = h(x)$（選定某個解析分支）。稱這種情況為代數擴張。
- $h$ 是 $F$ 上的超越元素，且 $\delta h \in F$。可以用對數函數來類比，對於 $f \in F$ 有 $\delta(\ln(f)) = \delta(f)/f \in F$。稱這種情況為對數擴張。$h$ 是 $F$ 上的對數。
- $h$ 是 $F$ 上的超越元素，且 $\delta h / h \in F$。可以用指數函數來類比，對於 $f \in F$ 有 $\delta(\exp(f)) / \exp(f) = \delta(f) \in F$。稱這種情況為指數擴張。$h$ 是 $F$ 上的指數。

微分域的初等擴張是指接連進行如上的擴張得到的微分域 $F(h_1, ..., h_n)$，其中 $h_j$ 在 $F(h_1, ..., h_{j-1})$ 上基本初等。

一個函數 $f(x)$ 稱為初等函數 若它在微分域 $(\mathbb{C}(x), \mathrm{d} / \mathrm{d}x)$（有理函數加普通導數）的某個初等擴張中。

## 基本定理

### 劉維爾第一定理

以下為劉維爾第一定理（Theorem of Liouville-first statement）。

設 $F$ 為微分域，$K$ 為 $F$ 的初等擴張，且 $\mathrm{Con}(K, \delta) = \mathrm{Con}(F, \delta)$，對於 $f \in F$，存在 $g \in K$, 使得 $\delta g = f$，則

$$g = c_1 \ln(u_1)+ \dotsb + c_n \ln(u_n) + v.$$

其中 $c_1, ..., c_n \in \mathrm{Con}(F, \delta)$, $u_1, ..., u_n, v \in F$

### 劉維爾第二定理

以下為劉維爾第二定理（Theorem of Liouville-second statement），又稱強劉維爾定理（Strong Liouville theorem）。

設 $F$ 為微分域，$B = \mathrm{Con}(F, \delta)$，若 $g$ 在 $F$ 上初等，且滿足 $\delta g = f \in F$，則

$$f = c_1\frac{\delta u_1}{u_1}+\dotsb + c_n\frac{\delta u_n}{u_n} + \delta v.$$

其中 $c_1, ..., c_n \in \bar{B}$，$v \in F$, $u_1, ..., u_n, v \in \bar{B}F$，$\bar{B}$ 是 $B$ 的代數閉域.

每個 $F$ 上 $\bar{B}F$ 的自同構交換求和的順序。

- 註：對於通常所說的初等函數，$\mathrm{Con}(K, \delta) = \mathrm{Con}(F, \delta) = \mathbb{C}$，若限定常數為實數 $\mathrm{Con}(F, \delta) = \mathbb{R}$，則會使得許多通常初等的原函數「不初等」。例如下面的例子 $1/(x^2+1)$，其原函數包含虛數。

## 例子

例如複數域上的有理函數域 $\mathbb{C}(x)$ 與通常的導數即構成了一個微分域 $(\mathbb{C}(x), \mathrm{d}/\mathrm{d}x)$（有理函數的導數仍是有理函數），該微分域的常數集即是複數集$\mathbb{C}$。

函數 $1/x \in \mathbb{C}(x)$ 的原函數 $\ln(x)+C$ 不屬於微分域 $(\mathbb{C}(x), \mathrm{d}/\mathrm{d}x)$，但具有如定理所述的對數形式（注意 $x, C \in \mathbb{C}(x), 1 \in \mathbb{C}$）。

類似的，$1/(x^2+1) \in \mathbb{C}(x)$，其原函數反正切函數可以表達成對數的形式

$$\arctan(x) + C = - \frac{i}{2} \ln \frac{1+ix}{1-ix} + C$$

顯然也有 $C, \frac{1+ix}{1-ix} \in \mathbb{C}(x), - \frac{i}{2} \in \mathbb{C}$。

下面考慮 $f(x) = 1/(x \ln(x))$ 的原函數，顯然這不屬於 $\mathbb{C}(x)$ （$\ln(x)$ 是 $\mathbb{C}(x)$ 上的超越函數）。把 $\ln(x)$ 添加到 $\mathbb{C}(x)$，形成更大的微分域 $(F, \mathrm{d}/\mathrm{d}x), F = \mathbb{C}(x)(\ln(x))$（於是 $f \in F$）。$f(x)$ 的一個原函數是 $\ln(\ln(x))$，於是我們再次看到，使用包含 $f(x)$ 的微分域 $F$ 里的函數的對數，表達出了 $f(x)$ 的原函數。

事實上，Risch 1969 年的論文表明，對於任意複雜的初等函數，總可以找到適當的包含 $f(x)$ 的微分域 $F$，以及從 $\mathbb{C}(x)$ 開始的初等域擴張塔 $\mathbb{C}(x,x_1,...,x_n) = F$。並在此擴張塔的基礎上，基於劉維爾定理找到其初等原函數，或證明不存在這樣的初等原函數（參見 Risch演算法）。

## 定理的應用

設想我們想知道形如 $f(x) e^{g(x)}, f(x),g(x) \in \mathbb{C}(x)$ 的函數是否有初等原函數。由劉維爾定理可以得到，這等價於判斷是否存在 $a(x) \in \mathbb{C}(x)$ 使得

$$f(x) = a'(x) + a(x) g'(x).$$

若存在這樣的 $a(x)$，那麼其原函數即為 $a(x) e^{g(x)}$。

例如對於 $e^{x^2}$，（即$f(x)=1, g(x)=x^2$），應有

$$1 = a'(x) + 2x \cdot a(x).$$

如果存在這樣的 $a(x)$，那麼一定可以作部分分式展開：

$$a(x) = p(x) + \sum_{j=1}^{q}\sum_{k=1}^{e_{j}} \frac{A_{jk}}{(x - r_j)^k}$$

其中 $p(x) \in \mathbb{C}[x]$ 是 $\mathbb{C}$ 上的多項式，$r_j \in \mathbb{C}$ 是 $a(x)$ 分母多項式的根，係數 $A_{jk} \in \mathbb{C}$ 被唯一確定。

代入前式即可證明這樣的 $a(x)$ 不存在（因為 $2x \cdot a(x)$ 會增加多項式的次數，故對照左端項應有 $p(x)=0$，而對 $1/(x - r_j)^k$ 求導會增加分母的次數，對照左端項得到這一部分也應該是 0，這樣就得到矛盾 1=0）。從而函數 $e^{x^2}$ 不存在初等原函數。

藉助完全類似的方法，我們可以證明 $e^{x}/x$（對應 $1/x = a' + a$），以及 $\sin(x)/x$ 也不存在初等原函數. 更進一步，對 $e^{x}/x$ 換元可以得到 $e^{e^x}$ 或者 $1 / \ln(x)$，於是得到後兩個函數也是不存在初等原函數的。