庫塔-儒可夫斯基定理

庫塔-儒可夫斯基定理（Kutta–Joukowski theorem）是空氣動力學的基本定理，計算機翼或是二維物體（例如圓柱）在均勻流體中的升力，且此流場的速度夠快，使物體的速度場是穩定及無分離的。定理顯示出，機翼產生的升力與機翼通過流體的速度、流體密度以及環量有所關聯。庫塔-儒可夫斯基定理得名自德國科學家馬丁·威爾海姆·庫塔及俄國科學家尼古拉·葉戈羅維奇·茹科夫斯基，他們在二十世紀初首次提出這様的概念。庫塔-儒可夫斯基定理是考慮壓力及升力的無粘性理論，不過在典型的空氣動力學應用中，可以用來模擬實際的黏性流。

對於圍繞機翼的流體，環量被定義為與閉合迴路相切的「流體切線速度的線積分」，其速度的大小及方向會沿著路徑而改變。

庫塔-儒可夫斯基定理建立升力和環量的關係，類似馬格努斯效應建立旋轉和側向力的關係一樣。不過此處的環量不是因為機翼的旋轉而產生，而是因為以下提及的機制而產生。由於機翼的存在，氣流的變化可以視為平移流場及旋轉流場（渦旋）的疊加。此旋轉流是由翼型的外傾角、攻角及銳利的後緣角所產生，不同於外形像龍捲風的渦旋。若離機翼夠遠時，旋轉流可以視為是由渦旋所引發的，渦旋的中心線平行二維平面。在描述機翼的庫塔-儒可夫斯基定理時，一般會假設機翼是圓柱形或是其他的茹科夫斯基翼型。

## 升力公式

此定理和在二維流場中的翼型（或是翼展無窮大的圓柱）有關，可以計算單位翼展下的升力。當環量$\Gamma\,$已知，其升力$L\,$除以翼展下的單位翼展升力（或表示為$L'\,$）可以表示為以下的方程式：

$$L^\prime = -\rho_\infty V_\infty\Gamma,\,$$ 其中

$\rho_\infty\,$及$V_\infty\,$分別為流體密度及在翼型上游，遠離翼型位置的流體速度。

$\Gamma\,$為以下線積分定義的環量（逆時針為正值）

$$\Gamma= \oint_{C} V \cdot d\mathbf{s}=\oint_{C} V\cos\theta\; ds\,$$

上述環量是沿著一個封閉圍道$C$進行，此圍道包覆著翼型或是圓柱，且沿著其正方向（逆時針）進行。其路徑需在位流的範圍內，不能在圓柱的邊界層內。被積分式$V\cos\theta\,$是局部流體速度沿著曲線$C\,$切線方向的分量，且$ds\,$為曲線$C\,$的無窮小面積。方程式1是庫塔-儒可夫斯基定理中的一個形式。

Kuethe和Schetzer用以下的話描述庫塔-儒可夫斯基定理：

任意截面積的柱形物體，其單位長度的受力等於$-\rho_\infty V_\infty \Gamma$，方向和$V_\infty.$垂直。

在使用庫塔-儒可夫斯基定理時，需注意環量$\Gamma$的計算。

## 環量和庫塔條件

一個產生升力的翼型或者具有彎度，或者是在均勻的流體中以一定攻角$\alpha>0\,$（機翼弦線和平移方向的角度）平移。而且翼型需要有一個銳利的後緣。上述條件類似鳥的翅膀，有銳利的後緣，有彎度，在天空中有一定的攻角。

實際的流體是有黏性的，流體速度在翼型邊緣為零，因此若考慮黏性流體，且以翼型形狀為圍道計算環量，其環量也為零。甚至由翼形上方及下方的流體會在後緣相會，而黏滯耗散會使流體不旋轉。這稱為真實流場的庫塔條件。普朗特發現若雷諾數$Re=\frac{\rho V_{\infty}c_A}{\mu}\,$夠大，攻角夠小，翼型夠薄，則流場可以分為靠近機翼小區域的黏滯層（稱為邊界層），以及其他區域的非黏性流。

庫塔和儒可夫斯基發現在計算雷諾數夠大，攻角夠小，厚度夠薄的翼型之壓力和升力時，若假定已考慮庫塔條件，可以假設整個流場是非黏性流。這稱為位流理論，在實務上結果相當接近。在非黏性流施加庫塔條件相當於計算環量。

簡單來說，類似鳥翅膀的機翼自然會產生升力，在飛行中的流場滿足庫塔條件。若使用位流理論（在計算壓力及升力時假設是非黏性流及無旋轉流，計算阻力時用普朗特邊界層來近似），要求飛行時間符合庫塔條件，會得到一個由=庫塔-儒可夫斯基定理和環量產生的升力，和實際的升力非常接近。

## 推導

以下有二種推導方式，第一個是基於物理的直覺，較啟發式的推導，第二種是比較正式及技術式的推導，需要用到向量分析及複變分析的知識。

### 啟發式的推導

以較啟發式的說法，考慮一個薄的機翼，其翼弦為$c$，有無限長的翼展，在密度為$\rho$的空氣中移動。令翼和氣流有一個攻角，使翼的一側的氣流速度為$V$，另一側的氣流速度為$V + v$，因此其環流為

$$\Gamma = Vc-(V+ v)c = -v c.\,$$

機翼兩側的壓力差$\Delta P$可以由伯努利定律求得

$$\frac {\rho}{2}(V)^2 + (P + \Delta P) = \frac {\rho}{2}(V + v)^2 + P,\,$$

$$\frac {\rho}{2}(V)^2 + \Delta P = \frac {\rho}{2}(V^2 + 2 V v + v^2),\,$$

$$\Delta P = \rho V v \qquad \text{(ignoring } \frac{\rho}{2}v^2),\,$$

因此單位翼展的浮力為

$$L = c \Delta P = \rho V v c =-\rho V\Gamma.\,$$

此理論的微分版本可應用在機翼中的每一個元素，也是薄翼理論（thin-airfoil theory）的基礎。

### 正式的推導

庫塔-儒可夫斯基定理的正式推導首先先計算任何截面積、單位長度的長條物體在流體中的受力。先令單位長度的力（以下簡稱為力）為$\mathbf{F}\,$，因此總受力為： : $\mathbf{F}=-\oint_C p \mathbf{n}\, ds,$ 其中C為長條物體的邊緣、$p$為流體的靜壓、$\mathbf{n}\,$為和長條物體表面垂直的單位向量、ds是截面積邊緣的弧狀元素。令$\phi$為法向量和垂直的夾角，上述力的分量為： : $F_x= -\oint_C p \sin\phi\, ds \quad, \qquad F_y= \oint_C p \cos\phi\, ds.$ 以下是重要步驟：將上述的二維空間當作複數平面，每個向量可以用複數表示，第一個分量對應其實部數值，第二個分量對應其虛部數值，因此上述的力可以表示為： : $F=F_x+iF_y=-\oint_Cp(\sin\phi-i\cos\phi)\,ds .$ 下一步是取力$F$的共軛複數，再做一些處理： : $\bar{F}=-\oint_C p(\sin\phi+i\cos\phi)\,ds=-i\oint_C p(\cos\phi-i\sin\phi)\, ds=-i\oint_C p e^{-i\phi}\,ds.$ 表面元素ds和dz的變化有關： : $dz=dx+idy=ds(\cos\phi+i\sin\phi)=ds\,e^{i\phi} \qquad \Rightarrow \qquad d\bar{z}=e^{-i\phi}ds.$ 將這些代入積分中，可得： : $\bar{F}=-i\oint_C p \, d\bar{z}.$ 接下來為了將壓力移出積分以外，應用伯努利定律。假設沒有其他外在的力場，流體的質量密度為$\rho.$，壓力$p$和速度$v=v_x+iv_y$有以下的關係： : $p=p_0-\frac{\rho |v|^2}{2}.$ 將上式代入力的積分式，可得： : $\bar{F}=-ip_0\oint_C d\bar{z} +i \frac{\rho}{2} \oint_C |v|^2\, d\bar{z} = \frac{i\rho}{2}\oint_C |v|^2\,d\bar{z}.$ 還剩下一個步驟要進行：引入$w=f(z),$，流場的複變勢函數，和速度分量的關係是$w'=v_x-iv_y=\bar{v},$，其中撇號表示對複數變數z的微分。速度會相切於邊緣C，因此$v=\pm |v| e^{i\phi}.$，則$v^2d\bar{z}=|v|^2dz, \,$，受力的表示式可以改寫為下式： : $\bar{F}=\frac{i\rho}{2}\oint_C w'^2\,dz,$ 稱為布拉烏斯-恰普雷金公式（Blasius–Chaplygin formula）。若要得到庫塔-儒可夫斯基定理，需計算上述積分的值，根據複變分析可知，一個全純函數可以用洛朗級數來表示，根據此問題的物理特性，複變勢函數$w$的微分會如以下所示： : $w'(z)=a_0+\frac{a_1}{z}+\frac{a_2}{z^2}+\dots .$ 因為在無窮遠處的速度為有限值，此函數沒有其他高階項。因此$a_0\,$即為此函數在無窮遠處的導數：$a_0=v_{x\infty}-iv_{y\infty}\,$. 下一個任務是找出$a_1\,$的意義，根據留數定理可得 : $a_1=\frac{1}{2\pi i} \oint_C w'\, dz.$ 再計算以下的積分： : $\oint_C w'(z)\,dz =\oint_C (v_x-iv_y)(dx+idy)= \oint_C (v_x\,dx+v_y\,dy)+i\oint_C(v_x\,dy-v_y\,dx)=\oint_C \mathbf{v}\,{ds} +i\oint_C(v_x\,dy-v_y\,dx).$ 第一個積分即為環量，可以用$\Gamma.$表示，第二個積分可以用以下方式計算： : $\oint_C(v_x\,dy-v_y\,dx)=\oint_C\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}dy+\frac{\partial\psi}{\partial x}dx\right)=\oint_C d\psi=0.$ 此處$\psi\,$為流函數，因為邊界C本身即為流線，因此在上面流函數不會變化，即$d\psi=0 \,$，因此第二個積分為零，因此： :$a_1=\frac{\Gamma}{2\pi i}.$ 複變勢函數取平方： : $w'^2(z)=a_0^2+\frac{a_0\Gamma}{\pi i z} +\dots.$ 將上式代入布拉烏斯-恰普雷金公式中，利用留數定理算積分： : $\bar{F}=\frac{i\rho}{2}\left[2\pi i \frac{a_0\Gamma}{\pi i}\right]=i\rho a_0 \Gamma = i\rho \Gamma(v_{x\infty}-iv_{y\infty})=\rho\Gamma v_{y\infty}+ i\rho\Gamma v_{x\infty}=F_x-iF_y.$ 因此庫塔-儒可夫斯基定理為： : $F_x=\rho \Gamma v_{y\infty} \quad, \qquad F_y= -\rho \Gamma v_{x\infty}.$

## 較複雜情形下的升力

庫塔-儒可夫斯基定理預測的升力是以無粘性流的勢流理論為基礎，但若流場是穩定且無分離的，庫塔-儒可夫斯基定理的結果很接近實際的黏性流。

在推導庫塔-儒可夫斯基定理時，有假設流場是無旋轉流，若在物體外有自由渦流，就像許多不穩定流的情形，此流場為旋轉流，在推導升力時就需要一些更複雜的理論。

- 小攻角下突然啟動的流場：若是機翼突然加速，或是攻角較小的情形下突然啟動的流場，在機翼後緣會連續的出現渦片泄離，此時的升力是時變不穩定的。若是小攻角下啟動的流場，渦片會延著平面的路徑，升力係數的曲線會隨時間而變化，其形式會是Wagner函數。此時最終升力會如同庫塔-儒可夫斯基定理所預測的一樣，但初升力只有最終升力的一半。當機翼前進七倍翼弦的距離時，其升力才會達到最終升力的90%。
- 大攻角下突然啟動的流場：若攻角夠大的話，機翼後緣的渦片一開始會是螺旋形的，理論升力在一開始會是無限大。一般認為升力的曲線是隨時間單調遞增的，但在大攻角下，會有一段很短暫的時間會有升力下降的情形。
- 大攻角下啟動，有銳利的機翼前緣：若針對一片平粄，也有銳利的前緣，渦片泄離會出現在前緣，而前緣的渦片泄離有二種不同的效果：

1.若仍接近前緣，可以提昇Wagner升力曲線，可以增加升力。

2.若前緣的渦片泄離和後緣有關，引入新的後緣螺旋形渦片，延著升力增加的方向移動，則會破壞升力。

對於這種流場，渦升力線（VFL）圖可以用來了解不同情形下渦流帶來的效果（包括流場啟動及其他的條件），也可以控制渦流以增強或降低升力。渦升力線圖是一個二維的圖，其中會繪出渦升力線，其對升力的貢獻和其速度、環量及渦升力線和流線的餘弦成正比，因此渦升力線可以看出渦流對升力的提升或破壞程度。

- Lagally定理：若在機翼外面有固定的渦源，其對升力的修正可以表示為渦源的強度，及因其他因素造成渦源處誘導速度，這稱為Lagally定理。

針對二相的非黏性流，傳統的庫塔-儒可夫斯基定理預測阻力為零，不過若機翼外有渦源，會產生阻力，其形成原因類似升力。

## 參考資料

- Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press
- Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
- A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3