輻射轉移

輻射轉移（radiative transfer）是以電磁輻射形式進行能量轉移的物理現象。經由介質傳播的輻射會受到吸收、發射和散射的影響。輻射轉移方程式就是以數學方式描述這些交互作用。描述輻射轉移現象的方程式稱為輻射轉移方程式（radiative transfer equation，RTE），它被廣泛應用在光學、天文物理學、大氣科學和遙測上。輻射轉移方程式在簡單狀況下存在解析解，但在實際狀況下常包含複雜的多重散射效應，此時必須使用數值方式求解。

## 輻射場

輻射轉移現象所描述的對象為輻射場（radiation field），而輻射場通常表達成譜輻射率（spectral radiance）對於輻射相關的物理量而言，「譜」字（spectral）通常意味著該物理量是關於波長或頻率的導數；如果是對頻率微分，記號通常會加一個下標 $\nu$；如果是對波長微分，記號通常會加一個下標 $\lambda$。關於位置 $\mathbf{r}$、方向 $\hat{\mathbf{n}}$ 和時間 $t$ 的的函數，寫成 $I_\nu( \mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)$。

譜輻射率 $I_\nu$ 的定義如下。考慮一個位於 $\mathbf{r}$ 的單位面積 $\operatorname{d}\!a$，如果在單位時間 $\operatorname{d}\!t$ 內，有輻射能量 $\operatorname{d}\!E_\nu$ 從單位立體角 $\operatorname{d}\!\Omega$ 流經單位面積 $\operatorname{d}\!a$，且頻率介於 $\nu$ 和 $\nu + {\operatorname{d}\!\nu}$ 這個區間之內（輻射的極化在這裡被忽略），則

$\operatorname{d}\!E_\nu = I_\nu(\mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t) \cos{\theta}\, {\operatorname{d}\!a}\,{\operatorname{d}\!\Omega}\,{\operatorname{d}\!t}\, {\operatorname{d}\!\nu}$。

其中 $\theta$ 是輻射的單位向量 $\hat{\mathbf{n}}$ 和單位面積法向的夾角。譜輻射率的單位是以能量/(時間⋅面積⋅立體角⋅頻率)表示，在MKS單位制中，就是W·m-2·sr-1·Hz-1。

當一個區域內所有的點在所有方向上某一時刻的 $I_\nu( \mathbf{r},\hat{\mathbf{n}},t)$ 都被指定，就構成一個輻射場。另外，譜輻射率為輻射度量學名詞，在傳統天文學領域常常稱為比強度（specific intensity）。

## 輻射轉移方程式

輻射轉移方程式是譜輻射率的微分方程式。先考慮一維的情形，令 $s$ 是沿著輻射路徑傳播的距離；假如輻射通過真空，則它的譜輻射率不隨著輻射傳遞而改變，於是有

${\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!s}=0$。

現在考慮輻射通介質，則有三種交互作用會導致輻射轉移：

- 因為吸收（absorption）而失去能量
- 因為發射（emission）而獲得能量
- 因為散射（scattering）而重新分配能量

所以輻射轉移方程式可寫為

${\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!s}=j_\nu-\alpha_\nu I_\nu$。

此處 $j_\nu$ 是物質的譜發射係數，$\alpha_\nu$ 是物質的譜衰減係數，而且可寫成 $\alpha_\nu = \alpha_{\nu,{\rm a}} + \alpha_{\nu,{\rm s}}$，下標裡的 a 與 s 分別表示與吸收和散射的成分。在天文物理學中，常引入光深度 $\tau$ 的概念；對上式使用 $\operatorname{d}\!\tau = \alpha \operatorname{d}\!s$ 進行變數變換，可得到

${\operatorname{d}\!{I_\nu}\over\operatorname{d}\!\tau_\nu}=S_\nu-I_\nu$。

其中 $S_\nu \equiv j_\nu/\alpha_\nu$ 是源函數。當所有頻率 $\nu$ 的源函數都等於譜輻射率的時候，可得到 ${\operatorname{d}\! I} / {\operatorname{d}\!s}=0$，彷彿輻射是通過真空一樣，這就是輻射平衡（radiative equilibrium）條件。

如果考慮三維情形，輻射轉移方程式可寫為

$\left[\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \left(\hat{\mathbf{n}} \cdot \nabla\right)\right] I_\nu = j_\nu - (\alpha_{\nu, {\rm a}}+\alpha_{\nu, {\rm s}}) I_\nu + \frac{\alpha_{\nu,{\rm s}}}{4\pi} \int_\Omega I_\nu {\operatorname{d}\!\Omega}$。

其中 $c$是光速。等式左邊的微分算子用法向導數取代了對 $s$ 的導數，還納入了 $I_\nu$ 的時間導數；等式右邊第三項考量的是從四面八方散射而來的輻射，故取 $I_\nu$ 的角度平均。

## 輻射轉移方程式的解

求解輻射轉移方程式是非常耗力的工作。不過可以依據各種形式的吸收和發射係數，進行適當簡化。譬如說，如果將吸收和散射忽略，只考慮物質的發射，則一維輻射轉移方程式的通解可以寫成：

$I_\nu(s)=I_\nu(s_0)\,e^{-\tau(s_0,s)}+\int_{s_0}^s j_\nu(s')\, e^{-\tau(s',s)}{\operatorname{d}\!s'}$。

這裡的 $\tau(s_1,s_2)$ 是兩個位置 $s_1$ 和 $s_2$ 中間介質的光深度：

$\tau(s_1,s_2) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{s_1}^{s_2} \alpha_\nu(s)\,ds$。

### 局部熱力平衡

一個特別有用的輻射轉移方程式簡化是局部熱力平衡（local thermodynamic equilibrium，LTE）狀態。這個狀態中，介質包含許多「局部」達到熱平衡的粒子，因此有一個可定義的溫度。但輻射場並非處在平衡狀態，並且是由大量存在的粒子驅動。在局部熱力平衡的介質中，發射係數和吸收係數只是溫度和密度函數，而且兩者的關係式為

$\frac{j_\nu}{\alpha_\nu}=B_\nu(T)$。

其中 $B_\nu(T)$ 是溫度 $T$ 時的黑體輻射的譜輻射率（即普朗克黑體輻射定律）。此時，輻射轉移方程式的解為

$I_\nu(s)=I_\nu(s_0)e^{-\tau(s_0,s)}+\int_{s_0}^s B_\nu(T(s'))\alpha_\nu(s') e^{-\tau(s',s)}\,{\operatorname{d}\!s'}$。

了解介質的溫度和密度剖面曲線之後，就足以計算輻射轉移方程式的解。

### 愛丁頓近似

愛丁頓近似（Eddington approximation）是輻射轉移方程式的一種近似解，適用於氣象學中的平面平行大氣（plane-parallel atmosphere）模型及天文學中的灰色大氣模型。在這些模型裡，大氣的各種熱力性質呈現層狀（slab-like）分布，換句話說，它們只會在垂直於層狀大氣的方向上（定義為 $z$ 軸）發生變化，而不會在平行方向上出現變化。輻射路徑 $s$ 上的變化量與 $z$ 軸上的變化量的關係為

${\operatorname{d}\!s}=\frac{\operatorname{d}\!z}{\cos{\theta}}=\frac{\operatorname{d}\!z}{\mu}$。

我們稍後會解說定義 $\mu=\cos\theta$ 的作用。由於考慮的是平面平行大氣，所以我們預期譜輻射率也只是 $z$ 和 $\mu$ 的線性函數。使用變數變換 ${\operatorname{d}\!s}={\operatorname{d}\!z}/\mu$，代入一維輻射轉移方程式，則有

$$\mu\frac{\partial {I_\nu}}{\partial z}=j_\nu-\alpha_\nu I_\nu$$

另一方面，我們定義譜輻射率 $I_\nu$ 關於 $\mu$ 的第 $j$ 階動差為了方便起見，以下輻射相關物理量中的下標 $\nu$ 被省略了。

$M_{j} \equiv \frac{1}{2} \int^{+1}_{-1} \mu^j I(\mu) {\operatorname{d}\!\mu}$。

之所以引入動差的概念，是因為在平面平行大氣中，有許多輻射相關的物理量是 $\mu=\cos\theta$ 的函數，只要使用變數變換 ${\operatorname{d}\!\mu}=-\sin{\theta}\; {\operatorname{d}\!\theta}$，就可以在角度積分中簡化算式。具體來說，假設 $A(\cos{\theta})$ 是任意 $\mu=\cos\theta$ 的函數，則 $A(\cos{\theta})$ 對於所有方向的立體角積分為

$\int A(\cos{\theta}){\operatorname{d}\!\Omega} = \int^{2\pi}_{\phi=0} \int^\pi_{\pi=0} { A(\cos{\theta}) \sin{\theta}\, {\operatorname{d}\!\theta}\, {\operatorname{d}\!\phi}} = 2\pi\int^{+1}_{-1}{A(\mu)\,{\operatorname{d}\!\mu}}$。

$I$ 關於 $\mu$ 的前幾階動差是

$J=\frac{1}{2}\int^1_{-1}{I (\mu) {\operatorname{d}\!\mu}}$。

$H =\frac{1}{2}\int^{1}_{-1}{\mu I(\mu) {\operatorname{d}\!\mu}}$。

$K=\frac{1}{2}\int^1_{-1}{\mu^2 I_\nu(\mu){\operatorname{d}\!\mu}}$。

此處 $J$ 是輻射強度的角度平均（angle-averaged intensity），它恰好與能量密度 $U$ 成正比；$H$ 是愛丁頓通量（Eddington flux），與輻射通量 $F$ 成正比；$K$ 也與輻射壓 $P$ 成正比。

所謂的愛丁頓近似就是將平面平行大氣中的輻射場視為「近似於各向同性」、但是有關於 $\mu=\cos{\theta}$ 的一階異向性，簡單來說，就是假定 $I$ 關於 $\mu$ 的泰勒級數只保留到一次項，於是 $I$ 成為 $\mu$ 線性函數：

$I(z, \mu) = a(z) + b(z) \mu$。

將這個函數代入上述動差的公式，可以得到

$J=a(z),\quad\,H=\frac{b(z)}{3},\quad K=\frac{a(z)}{3}$。

於是得到愛丁頓近似的重要結果：

$K=\frac{J}{3}$。

這等價於各項同性輻射場的重要條件 $P=U/3$，不過差別在於愛丁頓近似適用於稍微具有異向性的輻射場。愛丁頓近似是由天文學家亞瑟·愛丁頓在研究恆星大氣時所提出。

愛丁頓近似與雙流近似不同。雙流近似是假設空間分為兩塊區域，輻射在其中一邊固定以某方向傳播，在另一邊固定以另一方向傳播。