維納過程

數學中，維納過程（Wiener process）是一種連續時間隨機過程，得名於諾伯特·維納。由於與物理學中的布朗運動有密切關係，也常被稱為「布朗運動過程」或簡稱為布朗運動。維納過程是萊維過程（指左極限右連續的平穩獨立增量隨機過程）中最有名的一類，在純數學、應用數學、經濟學與物理學中都有重要應用。

維納過程的地位在純數學中與在應用數學中同等重要。在純數學中，維納過程導致了對連續鞅理論的研究，是刻畫一系列重要的複雜過程的基本工具。它在隨機分析、擴散過程和位勢論領域的研究中是不可或缺的。在應用數學中，維納過程可以描述高斯白噪聲的積分形式。在電子工程中，維納過程是建立噪音的數學模型的重要部分。控制論中，維納過程可以用來表示不可知因素。

維納過程和物理學中的布朗運動有密切關係。布朗運動是指懸浮在液體中的花粉微小顆粒所進行的無休止隨機運動。維納運動也可以描述由福克-普朗克方程和郎之萬方程確定的其他隨機運動。維納過程構成了量子力學的嚴謹路徑積分表述的基礎（根據費曼-卡茨公式，薛丁格方程的解可以用維納過程表示）。金融數學中，維納過程可以用於描述期權定價模型如布萊克-斯科爾斯模型。

## 刻畫維納過程

一個維納過程（也稱為標準布朗運動）$W_t$可以用三個性質刻畫

- $$W_0 =0$$
- 映射$t \mapsto W_t$在正實數軸上幾乎處處連續
- $W_t$是獨立增量函數，並且對所有$0 \leqslant s < t$，$W_t-W_s \, \, \sim \mathcal{N}(0,t-s)$

第三條中，$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$表示期望為$\mu$，方差為$\sigma^2$的正態分布隨機變量。獨立增量函數的定義是，如果隨機抽取兩段不重疊的時間段$0 \leqslant s_1 < t_1 \leqslant s_2 < t_2$，$W_{t_1} - W_{s_1}$和$W_{t_2} - W_{s_2}$是互相獨立的隨機變量，並且對更多的不重疊時間段的情況也是如此

另一個等價的刻畫方式是以法國數學家保羅·利維命名的「利維刻畫」：維納過程是幾乎處處路徑連續的零期望連續鞅，並且滿足二次變差：$\langle W, W \rangle_t$，也就是說$W_t^2 - t$仍然是連續鞅。

1923年，維納首次證明維納過程存在。維納過程可以用隨機漫步或任意擁有平穩獨立增量的離散隨機過程的尺度極限來構造。這個構造方法基於Donsker定理。與隨機漫步一樣，一維和二維的維納過程是常返的，也就是說幾乎一定會回到起始的原點，或者說幾乎一定會無限次跌入原點附近的任意鄰域。當維度高於或等於三維時，維納過程不再是常返的。與隨機漫步不同的是，維納過程擁有尺度不變性。如果$W_t$是一個隨機過程，那麼對所有的正實數$\alpha$。

$$\frac{1}{\alpha} W_{\alpha^2 t}\,$$

也是一個維納過程。

維納測度是滿足 $g(0) = 0$ 的連續函數空間上的機率分布。關於維納測度的積分稱為 維納積分.

## 一維維納過程的性質

### 基本性質

對任意的正實數$t$，一維維納過程在$t$時刻是一個隨機變量，它的機率密度函數是：$f_{W_t}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}} e^{-x^2/{2 t} }.$

這是因為按照維納過程的定義，當$s = 0$時，可以推出$W_t$的分布：

$$W_t = W_t-W_0 \sim \mathcal{N}(0,t).$$

它的數學期望是零：$\mathbb{E}(W_t) = 0.$ 它的方差是$t$：$\operatorname{Var}(W_t) =\mathbb{E}(W^2_t) - \mathbb{E}^2(W_t) = \mathbb{E}(W^2_t) - 0 = \mathbb{E}(W^2_t) = t.$

在維納過程的獨立增量定義中，令$t_2 = t$，$s_2 = t_1 = s<t$，$s_1 = 0$，那麼$W_s = W_{t_1} - W_{s_1}\sim \mathcal{N}(0, s)$和$W_t - W_s = W_{t_2} - W_{s_2}\sim \mathcal{N}(0,t-s)$是相互獨立的隨機變量，並且

$$\operatorname{cov}(W_{s}, W_{t}) = \mathbb{E}\left[(W_{s}-\mathbb{E}(W_{s})) \cdot (W_{t }-\mathbb{E}(W_{t }))\right] = \mathbb{E}(W_{s} \cdot W_{t}) = \mathbb{E}[W_{s} \left( W_{t} - W_{s} \right)] + \mathbb{E}(W_{s}^2) = \mathbb{E}(W_{s}) \mathbb{E}\left( W_{t} - W_{s} \right) + s = s \ \ .$$

所以兩個不同時刻$0 \leqslant s , t$，$W_t$與$W_s$的協方差和相關係數是：

$$\operatorname{cov}(W_s,W_t) = \min(s,t) \, , \qquad \quad \operatorname{corr}(W_s,W_t) = {\mathrm{cov}(W_s,W_t) \over \sigma_{W_s} \sigma_{W_t}} = \frac{\min(s,t)}{\sqrt{st}} = \sqrt{ \frac{ \min(s,t) }{ \max(s,t) } } \, .$$

### 即時最值

維納過程中的即時最大值$M_t = \max_{0 \leq s \leq t} W_s$與$W_t$的聯合機率分布是：

$$f_{M_t,W_t}(m,w) = \frac{2 ( 2 m - w)}{t\sqrt{2 \pi t}} e^{-\frac{(2m-w)^2}{2t}}, m \ge 0, w \leq m$$

而即時最大值的分布$f_{M_t}$是對$-\infty < w \leq m$的積分：

$$f_{M_t}(m) = \int_{-\infty}^{m} f_{M_t,W_t}(m,w)\,dw = \int_{-\infty}^{m} \frac{2 ( 2 m - w)}{t\sqrt{2 \pi t}} e^{-\frac{(2m-w)^2}{2t}}\,dw = \sqrt{\frac{2}{\pi t}}e^{\frac{-m^2}{2t}}$$

即時最大值的數學期望是：

$$\mathbb{E} M_t = \int_{0}^{\infty} m f_{M_t}(m)\,dm = \int_{0}^{\infty} m \sqrt{\frac{2}{\pi t}}e^{\frac{-m^2}{2t}}\,dm = \sqrt{\frac{2t}{\pi}}.$$

由於維納過程上下對稱，即時最小值顯然是即時最大值的相反數。

### 對稱性質

- 尺度不變性：對任意的正實數$\alpha > 0$，隨機過程$\left(V_t \right)_{t\geqslant 0} : \, \, V_t = \frac{1}{\sqrt \alpha} W_{\alpha t}$都仍然是一個維納過程。
- 時間反轉：對任意的正實數$T > 0$，隨機過程$\left(V_t \right)_{0 \leqslant t\leqslant T} : \, \, V_t = W_T -W_{T - t}$和$\left(W_t \right)_{0 \leqslant t\leqslant T}$性質相同。
- 空間對稱：隨機過程$\left(V_t \right)_{t\geqslant 0} : \, \, V_t = - W_{ t}$也是一個維納過程。
- 時間反演：隨機過程$\left(V_t \right)_{t\geqslant 0} : \, \, V_0 = 0, \, \, \forall t > 0, \, \, V_t = t W_{\frac1t}$也是一個維納過程。

### 時間平移不變性和馬爾可夫性質

維納過程具有馬爾可夫性質，也就是說，在任意一點之後的走勢僅僅和這一點的取值相關，而與之前的取值無關。也就是說，對任何的有界連續函數$\phi$。

$$\mathbb{E}[\phi(W_s, s \geqslant t)|\mathcal{F}_t] = \mathbb{E}[\phi(W_s, s \geqslant t)|W_t]$$

因此維納過程具有時間平移不變性：隨機過程$\left(V_t \right)_{t\geqslant 0} : \, \, V_t = W_{t_0 + t} - W_{t_0}$也是一個維納過程。不僅如此，維納過程還滿足強馬爾可夫性質：對任意的有限停時$\tau$，隨機變量$B_t = W_{\tau + t} - W_{\tau}$獨立於濾波$\mathcal{F}_{\tau}$。也就是說，對任何的有界連續函數$\phi$。

$$\mathbb{E}[\phi(W_s, s \geqslant \tau)|\mathcal{F}_\tau] = \mathbb{E}[\phi(W_s, s \geqslant \tau)|W_\tau].$$

維納過程的強馬爾可夫性質，說明即便給定的時間不是定時而是一個停時，維納過程在停時之後的走勢仍然與之前無關。所以，將停時之後的維納過程上下反轉，仍然會是一個維納過程。用數學語言來說，就是：給定一個停時$\tau$之後，隨機變量：$B_t = W_{t}\mathbf{1}_{t \leqslant \tau} + \left(2W_{\tau} - W_{t} \right)\mathbf{1}_{t>\tau}$也是一個維納過程。這個性質也稱為維納過程的反射原理。

作為推論，可以建立即時最大值$M_t = \max_{0 \leq s \leq t} W_s$與$W_t$的另一種關係。設有正實數$a>0$停時$\tau_a = \inf \{ t>0, \, W_t > a \}$，那麼$\{\tau_a \leqslant t\}= \{ M_t \geqslant a \}$。運用反射原理可以證明，$\mathbb{P} \left( M_t \geqslant a \right) = 2\mathbb{P} \left( W_t \geqslant a \right) = \mathbb{P} \left( |W_t| \geqslant a \right)$。更一般地，設有 $a>b \geqslant 0$，則$\mathbb{P} \left( W_t \leqslant b , \, M_t \geqslant a \right) = \mathbb{P} \left( W_t \geqslant 2a - b \right)$。

## 參考來源

- Kleinert, Hagen, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2004); Paperback ISBN 981-238-107-4 (also available online: PDF-files )
- Stark,Henry, John W. Woods, Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing, 3rd edition, Prentice Hall (New Jersey, 2002); Textbook ISBN 0-13-020071-9
- Daniel Revuz and Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, second edition, Springer-Verlag 1994.