費曼-卡茨公式

費曼－卡茨公式是一個數學公式與定理，得名於理察·費曼和馬克·卡茨，將隨機過程和拋物型偏微分方程結合在一起。使用費曼－卡茨公式可以通過將某些拋物型偏微分方程的解寫成隨機過程的條件期望的方式，從而將求此類微分方程的數值解轉化為模擬隨機過程的路徑。反過來，此一類隨機過程的期望可以通過確定性的計算（偏微分方程求解）得到。考慮偏微分方程：

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -V(x,t) u = f(x,t). \qquad \qquad t \in [0, T], \, \, x \in \mathbb{R}$$

滿足邊界條件：$u(x,T)=\psi(x),$

其中的 $\mu,\ \sigma,\ \psi, V$ 是已知的函數， $\ T$ 是給定的參數，$u:\mathbb{R}\times[0,T]\to\mathbb{R}$ 是所求的解函數。費曼－卡茨公式聲明，這個偏微分方程的解函數可以寫成某個隨機過程的（條件）期望：

$$u(x,t) = E\left[ \int_t^T e^{-\int_t^s V(X_\tau)\ , d\tau}f(X_s,s)ds + e^{- \int_t^T V(X_\tau)\, d\tau}\psi(X_T) | X_t=x \right]$$

其中$\ X = \left( X_t; t \geqslant 0 \right)$ 是由以下的隨機動力方程$d X_t = \mu(X_t ,t)\,dt + \sigma( X_t ,t)\,dW_t,$ 決定的伊藤隨機過程。其中的$\ W_t$是維納過程（Wiener過程，又稱為布朗過程），$\ X_t$ 滿足初始條件$\ X_0 = x$。

## 條件

費曼－卡茨公式建立在若干對參數函數的限制性條件下。這些條件主要是要求參數函數足夠「平滑」與「規則」，使得隨機微分方程和偏微分方程的解存在。

首先假設偏微分方程的解函數 u 存在。卡拉查斯和史雷夫在1988年證明了：當其餘函數及 u 滿足以下條件

- 參數函數$\mu,\ \sigma,\ \psi,\ V,\ f$以及函數u 都是連續函數。
- 函數u 關於x 變量保持多項式增長，即存在正常數M和c，使得對所有的x，都有：
- $$\ u(x,t) \leqslant M(1+|x|^c)$$
- 參數函數 $\psi$ 和 $f$ 都要麼是正值函數，要麼也滿足類似以上的多項式增長條件。
- 參數函數 $V$ 有下界，並且
- 參數函數 $\mu,\ \sigma$ 滿足關於x 變量的利普希茨條件，即存在常數K，使得對所有不相等的x 和y，都有：
- $$| \sigma (x,t) -\sigma (y,t)| + | \mu (x,t) - \mu (y,t) | \leqslant K|x - y|$$

時候，解函數可以用費曼－卡茨公式表達為條件期望的形式。這些條件中並不保證解的存在性。要保證後者，需要更強的條件：

- 參數函數 $\mu,\ \sigma$ 有界，並且局部地滿足關於x 變量和t 變量的利普希茨條件（即常數K可以和x相關）。
- 對任意的t，參數函數 $\sigma$ 都滿足赫爾德連續條件，即存在與t無關的常數H和介於0與1之間的常數 $\alpha$，使得
- $$| \sigma (x,t) -\sigma (y,t)| \leqslant K|x - y|^{\alpha}$$
- 參數函數 $V$ 有界，並且對任意的t，都局部地滿足赫爾德連續條件。
- 對任意的t，參數函數 $f$ 都局部地滿足赫爾德連續條件，並關於x 變量滿足多項式增長條件。
- 參數函數 $\psi$ 關於x 變量滿足多項式增長條件。

以上條件由弗里德曼在1975年給出。1980年克里洛夫提出用更簡潔（同時更強）的條件代替，可以是：

所有的參數函數$\mu,\ \sigma,\ \psi,\ V,\ f$滿足利普希茨條件並且二次連續可導，同時滿足多項式增長條件；函數V有下界。

在以上的條件下，偏微分方程的解唯一存在，並且滿足費曼－卡茨公式的期望表達，同時也滿足多項式增長條件。

## 證明

為簡化起見，以下只證明$f(x, t)=0$的情況。

設偏微分方程的解函數為 $u(x, t)$。對以下函數$Y_s = e^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau} u(X_s,s)$ 使用伊藤公式，可以得到：

$$dY_s = de^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau} u(X_s,s) + e^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}\,du(X_s,s) +de^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}du(X_s,s)$$

由於 $de^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau} =-V(X_s) e^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau} \,ds$，等式右邊第三項是高階無窮小$o(dt)$，因此可以忽略。再一次對$du(X_s,s)$ 使用伊藤公式，會得到

$$dY_s =e^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}\,\left(-V(X_s) u(X_s,s) +\mu(X_s,s)\frac{\partial u}{\partial x}(X_s,s)+\frac{\partial u}{\partial t}(X_s,s)+\frac{1}{2}\sigma^2(X_s,s)\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(X_s,s) \right)\,ds$$

$$\;+e^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}\sigma(X_s,s)\frac{\partial u}{\partial x} (X_s,s) \,dW_s.$$

等式右邊的第一項里的括號中的式子恰好是微分方程的左邊，因此等於0。剩下的是：

$$dY_s=e^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}\sigma(X_s,s)\frac{\partial u}{\partial x} (X_s,s) \,dW_s.$$

將這個等式的兩邊從 $t$ 積分到 $T$，可以得到：

$$Y_T - Y_t = \int_t^T e^{- \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}\sigma(X_s,s)\frac{\partial u}{\partial X} (X_s,s) \,dW_s.$$

兩邊取在已知$X_t = x$下的條件期望，並且注意到等式右邊是一個伊藤積分，因此右邊等於0。所以 $E[Y(T)| X_t=x] = E[Y(t)| X_t=x] = u(x,t)$。注意到

$$E[Y(T)| X_t=x] = E[e^{- \int_t^T V(X_\tau)\, d\tau} u(X_T,T)| X_t=x] = E[e^{- \int_t^T V(X_\tau)\, d\tau} \psi(X_T))| X_t=x]$$

就可以得出需要證明的結論。

## 相關

- 以上的條件期望形式的公式對多維的伊藤過程也適用。與之相應，解函數$u:\mathbb{R}^N\times[0,T]\to\mathbb{R}$相對的偏微分方程是：

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{i=1}^N \mu_i(x,t)\frac{\partial u}{\partial x_i} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\gamma_{ij}(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i x_j} -r(x,t) u = f(x,t),$$

其中的

$$\gamma_{ij}(x,t) = \sum_{k=1}^N\sigma_{ik}(x,t)\sigma_{jk}(x,t),$$

也就是說 $\gamma =\sigma\,\sigma^\prime$，其中$\sigma^\prime$是矩陣 $\sigma$的轉置矩陣。

- 將解函數表示為條件期望的形式後，可以使用蒙特卡羅或准蒙特卡羅方法來求出近似的數值解。
- 此定理最早由卡茨於1949年發表，最初的費曼－卡茨公式是作為一個解決某些維納泛函的分布的公式提出的。假設$\ x(\tau)$ 是滿足初始條件 $\ x(0) = 0$的某個擴散過程。現要求出以下函數的期望值

$$e^{-\int_0^t V(x(\tau))\, d\tau}$$

費曼－卡茨公式說明這個期望值等價於對某個擴散方程（拋物型偏微分方程）的解的積分。特別地，當條件$\ u V(x) \geqslant 0$滿足時，若設$\ w(x,0) = \delta(x)$並滿足$\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} - u V(x) w$，則有

$$E\left( e^{- u \int_0^t V(x(\tau))\, d\tau} \right) = \int_{-\infty}^{\infty} w(x,t)\, dx$$

費曼－卡茨公式也可以闡釋成對某個特定形式的泛函積分求值的一種方法。如果：

$$I = \int f(x(0)) e^{-u\int_0^t V(x(t))\, dt} g(x(t))\, Dx$$

其中的積分對所有的隨機漫步路逕取得，那麼

$$I = \int w(x,t) g(x)\, dx$$

其中$\ w(x,t)$是拋物型偏微分方程 $\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} - u V(x) w,$ 的解。並滿足初始條件 $\ w(x,0) = f(x)$.