分布參數系統

分佈參數系統（distributed parameter system）不同於集總參數系統，是狀態空間為無限維度的系統。這類系統也稱為是無限維系統。典型的例子是用偏微分方程或是時滯微分方程描述的系統。它是指一個模型的特性不能僅僅由幾個參數來表示，其模型參數與工作特性既是時間的函數還與尺寸與空間坐標有關。在電子資訊領域中的高頻應用中，已經不能只用幾個簡單的參數來描述元件的電特性，這種情況下需要考慮分布參數，其內部相鄰兩個點之間的電壓和電流是不同的，這種時候的電路不能簡單的用克希荷夫電路定律列方程求解，而需要用場的分析方法，根據麥克斯韋方程表徵場的作用和傳遞，通常採取數值分析（如有限元法、矩量法、時域有限差分等）方法來求解其場。在其他領域，如流體力學，控制理論，機械等領域中都廣泛用到了分布參數的分析方法，能夠更好的逼近實際問題，其模型更加準確。與之相對的集總參數的分析方法只用幾個特定參數來分析問題，相比之下分布參數分析的結果要精確得多，當然，問題求解的複雜度也要高得多。以下段落所探討的會以線性非時變分佈式參數系統為主。

## 抽象發展方程

### 離散時間

假設U、X和Y是希爾伯特空間，而$A\,$ ∈ L(X), $B\,$ ∈ L(U, X), $C\,$ ∈ L(X, Y) 和$D\,$ ∈ L(U, Y)，以下方程可確定一個離散時間的線性非時變系統：

$$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,$$

$$y(k)=Cx(k)+Du(k)\,$$

其中$x\,$（狀態）是序列，其值在X內，$u\,$（輸入或是控制）是序列，其值在U內，$y\,$（輸出）為序列，其值在Y內。

### 連續時間

連續時間的例子類似離散時間，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,$,

$$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$$

接下來複雜的部份就是將實際的問題（例如偏微分方程或是時滯微分方程）加到上述的抽象發展方程中，作法是強制使用無界算子。一般會假定A狀態空間X裡的強連續半群。假定B、C和D是有界算子，允許包括多待分析的實際的例子，不過有些實際的例子也會假定B和C是無界的。

## 例子：偏微分方程

$t>0$及$\xi\in[0,1]$的偏微分方程如下

$$\frac{\partial}{\partial t}w(t,\xi)=-\frac{\partial}{\partial\xi}w(t,\xi)+u(t),$$

$$w(0,\xi)=w_0(\xi),$$

$$w(t,0)=0,$$

$$y(t)=\int_0^1 w(t,\xi)\,d\xi,$$

符合上述的抽象發展方程。說明如下：輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合，狀態空間X選定是L2(0, 1)，A算子定義為:$Ax=-x', D(A)=\left\{x\in X: x\text{ absolutely continuous }, x'\in L^2(0,1)\text{ and }x(0)=0\right\}.$ 可以證明A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, C和D定義為

$$Bu=u, Cx=\int_0^1 x(\xi)\,d\xi, D=0$$

## 例子：時滯微分方程

時滯微分方程

$$\dot{w}(t)=w(t)+w(t-\tau)+u(t),$$

$$y(t)=w(t),$$

符合上述的抽象發展方程。說明如下：輸入空間U及輸出空間Y都選定是複數的集合，狀態空間X選定是L2(−τ, 0)複數的乘積，A算子定義為

$$A\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r+f(-\tau)\\f'\end{pmatrix}, D(A)=\left\{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}\in X: f\text{ absolutely continuous }, f'\in L^2([-\tau,0])\text{ and }r=f(0)\right\}.$$

可以證明A可以產生X空間內的強連續半羣。有界算子B, C和D定義為

$$Bu=\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}, C\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}=r, D=0.$$

## 傳遞函數

分佈式參數系統的傳遞函數和有限維度下的情形相同，都是利用拉氏轉換（連續時間）或是Z轉換（離散時間）來定義。不過有限維度下的傳遞函數是真分式的有理函數，而無限維度的傳遞函數會是無理函數（不過仍然是全純函數）。

### 離散時間

離散時間的傳遞函數可以用狀態空間參數，表示為以下的形式$D+\sum_{k=0}^\infty CA^kBz^k$，函數在圓心為原點的圓盤內是全純的。若1/z在A的resolvent set內（可能是另一個以圓心為原點，較小的圓盤），則傳遞函數為$D+Cz(I-zA)^{-1}B$。任何在零點為全純的函數都有對應的離散系統，使該函數為離散系統的傳遞函數。

### 連續時間

若A可產生強連續半群，且B、C及D為有界算子，則傳遞函數可以用狀態空間參數表示為$D+C(sI-A)^{-1}B$，其中s的實部比A產生半群的指數成長上界要大。在更廣泛的情形下，上述公式不一定有意義，不過上述公式適當推廣後的版本仍然會有效。

若要得到傳遞函數的簡單表示式，較理想的方式是將微分方式進行拉氏轉換，而不是用狀態空間中的參數來表示。

#### 偏微分方程的傳遞函數

令初始條件$w_0$為0，將對t進行過拉氏轉換的函數用大寫表示，可以將偏微分方程轉換為以下的形式

$$sW(s,\xi)=-\frac{d}{d\xi}W(s,\xi)+U(s),$$

$$W(s,0)=0,$$

$$Y(s)=\int_0^1 W(s,\xi)\,d\xi.$$

這是非齊次線性微分方程，變數為$\xi$，s為參數，且初始條件為零。其解為$W(s,\xi)=U(s)(1-e^{-s\xi})/s$。用此式來代入有Y 的方式中並且積分，可以得到$Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^2$，因此傳遞函數為$(e^{-s}+s-1)/s^2$。

#### 時滯微分方程的傳遞函數

類似上述偏微分程的例子，時滯微分方程的傳遞函數為 $1/(s-1-e^{-s})$。

## 可控制性

在有限維的系統中，可控制性的定義只有一種，但無限維的系統中，有幾種不相容的可控制性定義。以下是最重要的三種：

- 精確可控制性（Exact controllability）
- 近似可控制性（Approximate controllability）
- 零可控制性（Null controllability)

### 離散時間下的可控制性

在離散時間系統中，將所有U值序列的集合映射到X的映射$\Phi_n$相當的重要，其表示式為$\Phi_n u=\sum_{k=0}^n A^kBu_k$。$\Phi_nu$是初始條件為零時，給定輸入序列u下達到的狀態。The system is called

- 系統在時間n內為精確可控制（exactly controllable）若$\Phi_n$的值域為X。
- 系統在時間n內為近似可控制（approximately controllable）若$\Phi_n$的值域是X內的稠密集。
- 系統在時間n內為零可控制（null controllable）若$\Phi_n$的值包括An的值域。

### 連續時間下的可控制性

在連續時間系統中，$\Phi_t$（表示為$\int_0^t {\rm e}^{As}Bu(s)\,ds$）有和離散時間系統的$\Phi_n$一樣重要的角色。不過，控制函數所在的空間也會影響定義。一般的選擇是L2(0, ∞;U)，是在(0, ∞)區間內U值平方可積函數的（等效）空間，不過也有其他的定義，例如L1(0, ∞;U)。當$\Phi_t$的定義域選定之後，有以下幾種不同的可控制性。

- 系統在時間t內為精確可控制（exactly controllable）若$\Phi_t$的值域為X。
- 系統在時間t內為近似可控制（approximately controllable）若$\Phi_t$的值域為X內的稠密集。
- 系統在時間t內為零可控制（null controllable）若$\Phi_t$的值包括${\rm e}^{At}$的值域。

### 可觀察性

就如同有限維度下的情形一樣，無限維度的可觀察性也是可控制性的對偶概念。無限維度有很多種的可觀察性定義，最重要的三個如下：

- 精確可觀察性（exactly observable），也稱為連續可觀察性（continuous observability）
- 近似可觀察性（approximately observable）
- 最終狀態可觀察性（final state observable）

#### 離散時間下的可觀察性

在離散時間系統的可觀察性中，$\Psi_n$（將X映射到所有Y值序列空間的映射，若k ≤ n，表示為$(\Psi_nx)_k=CA^kx$，在k > n時，數值為0)。意思是$\Psi_nx$是初始條件x，控制輸入為0時的truncated output。有以下幾種可觀察性

- 在時間n有精確可觀察性（exactly observable），若存在 kn > 0，使得 $\|\Psi_nx\|\geq k_n\|x\|$，在所有 x ∈ X 時都成立
- 在時間n有近似可觀察性（approximately observable），若$\Psi_n$為單射
- 在時間n有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 kn > 0 使得$\|\Psi_nx\|\geq k_n\|A^nx\|$，在所有 x ∈ X 時都成立

#### 連續時間下的可觀察性

在連續時間系統的可觀察性中，$\Psi_t$（表示為$(\Psi_t)(s)=C{\rm e}^{As}x$，其中s∈0,t，若s>t時為零）的角色和$\Psi_n$在離散時間系統中的相當。不過運算子作用的函數空間也會影響其定義。常見的選擇是L2(0, ∞, Y)，是（等效於）在定義域(0,∞)內的Y-值平方可積函數，不過也可以選擇其他的函數空間，例如L1(0, ∞, Y)。只要選擇了$\Psi_t$的輔域，就可以定義不同的可觀察性，有以下幾種可觀察性：

- 在時間t有精確可觀察性（exactly observable），若存在kt > 0，使得$\|\Psi_tx\|\geq k_t\|x\|$，在所有 x ∈ X 時都成立
- 在時間t有近似可觀察性（approximately observable），若$\Psi_t$為單射
- 在時間t有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 kt > 0 使得$\|\Psi_tx\|\geq k_t\|{\rm e}^{At}x\|$，在所有x ∈ X 時都成立

## 可控制性和可觀察性的對偶

和有限維度下的情形類似，可控制性和可觀察性也是對偶的概念（若$\Phi$域以及輔域$\Psi$都選用一般的函數空間L2時），這些不同概念的對偶如下：

- 精確可控制性 ↔ 精確可觀察性。
- 近似可控制性 ↔ 近似可觀察性。
- 零可控制性 ↔ 最終狀態可觀察性。