模糊函數與韋格納分佈的關係

模糊函數(Ambiguity function,AF):

$$AF_s(\theta,\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)e^{-j\theta t}\, dt$$

韋格納分佈(Wigner distribution,WD):

$$WD_s(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)e^{-j\omega \tau}\, d\tau$$

## 模糊函數與韋格納分佈關係

一個訊號s(t)，自相關函數為$$R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t)s^*(t-\tau)\, dt$$ 如果$R(\tau)$為時間相依性(time-dependent)，則時間相依自相關(time-dependent auto-correlation)為$R(t,\tau)$。

時間相依(時變)頻譜(time-dependent spectrum)可以表示的形式類似於傳統的功率譜，即對時間相依自相關函數做傅立葉變換。

$P(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} R(t,\tau)e^{-j\omega\tau}\, d\tau$ 不同的時間相依自相關會導致不同的時間相依功率譜。

如果$$R(t,\tau)=s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)$$，則時間相依功率譜變成為Wigner distribution 若對$R(t,\tau)$中的t做傅立葉逆轉換，得到另一個時頻表示，對稱模糊函數(symmetric ambiguity function,SAF)

$$SAF_s(\theta,\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)e^{j\theta t}\, dt$$ 模糊函數反映信號在時間和相位的相關性，並已廣泛應用在雷達和聲納系統上。

給一個對稱模糊函數$SAF_s(\theta,\tau)$，透過傅立葉變換可以得到時間相依自相關:

$$\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)e^{-j\theta t}\, d\theta=s\left(t+\frac{\tau}{2}\right)s^*\left(t-\frac{\tau}{2}\right)$$ 由上式可以推得$WD_s(t,\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)e^{-j(\omega \tau+\theta t)}\, d\theta\, d\tau$ 也就是對對稱模糊函數做兩次傅立葉變換可以得到Wigner distribution

## 範例

一個訊號為兩個Gaussian函數的和:

$s(t)=\sum_{i=1}^2 s_i(t)=\sum_{i=1}^2 \sqrt[4]{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\tfrac{\alpha}{2}(t-t_i)^2+j\omega_i t}$ $\Rightarrow SAF_s(\theta,\tau)=\sum_{i=1}^2 SAF_{si}(\theta,\tau)+SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)+SAF_{s2,s1}(\theta,\tau)$

- 其中$SAF_{s1}(\theta,\tau),SAF_{s2}(\theta,\tau)$集中在原點(0,0)，而$SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)$集中在$(t_1-t_2,\omega_1-\omega_2)$，而$SAF_{s2,s1}(\theta,\tau)$相似於$SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)$，除了中心點在$(t_2-t_1,\omega_2-\omega_1)$
- $SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=e^{-\tfrac{1}{4\alpha}(\theta-\omega_d)^2+\tfrac{\alpha}{4}(\tau-t_d)^2}e^{j(\omega_u \tau-\theta t_u+\omega_d t_u)}$ , $t_u=\tfrac{t_1+t_2}{2}$ , $\omega_u=\tfrac{\omega_1+\omega_2}{2}$ , $t_d=t_1-t_2$ , $\omega_d=\omega_1-\omega_2$

### 模糊域(ambiguity domain)的auto-term與cross-term

從範例中得知一項重要事實，即為，在模糊域(ambiguity domain)中的auto-term總是集中在原點(0,0)，而cross-term總是在遠離原點處，所以可以用一個2D lowpass filter在模糊域中抑制cross-term的干擾，如下:

$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)\Phi(\theta,\tau)e^{-j(\theta t+\omega \tau)}\, d\theta \, d\tau$ ,其中$\Phi(\theta,\tau)$為2D lowpass filter

### 兩高斯信號和之模糊函數與韋格納分佈應對關係

如果$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \Phi(\theta,\tau)\, d\theta \, d\tau=\phi(t,\omega)$，則$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} SAF_s(\theta,\tau)\Phi(\theta,\tau)e^{-j(\theta t+\omega \tau)}\, d\theta \, d\tau$ $=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \phi(x,y)WD_s(t-x,\omega-y)\, dx \, dy=SWD(t,\omega)$

- 其中SWD為smoothed Wigner distribution

通常$\Phi(\theta,\tau)$( 和$\phi(t,\omega)$ )當作kernal function，用來控制SWD的特性。

若Wigner分佈和對稱模糊函數用大小(magnitude)及相位(phase)表示，如下:

$WD_{s1,s2}(t,\omega)=A_{WD}(t,\omega)e^{j\varphi_{WD} (t,\omega)}$ $SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=A_{SAF}(\theta,\tau)e^{j\varphi_{SAF} (\theta,\tau)}$ 而$\frac{\partial}{\partial \theta} \varphi_{SAF} (\theta,\tau)=-t_u$ , $\frac{\partial}{\partial \tau} \varphi_{SAF} (\theta,\tau)=\omega_u$ 也就是說對對稱模糊函數的相位做偏微分，會等於Wigner分佈的時頻(time-frequency)中心。

相反地，$\frac{\partial}{\partial \omega} \varphi_{WD} (t,\omega)=t_d$ , $\frac{\partial}{\partial t} \varphi_{WD} (t,\omega)=\omega_d$ 則為對Wigner分佈的相位做偏微分，會等於對稱模糊函數的中心。

如果$\omega_1=\omega_2=\omega_0$，則$SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=e^{-[\tfrac{1}{4\alpha}\theta^2+\tfrac{\alpha}{4}(\tau-t_d)^2]}e^{j(\omega_0 \tau-\theta t_u)}$ 會集中在$\tau$軸上。

如果$t_1=t_2=t_0$，則$SAF_{s1,s2}(\theta,\tau)=e^{-[\tfrac{1}{4\alpha}(\theta-\omega_d)^2+\tfrac{\alpha}{4}\tau^2]}e^{j[\omega_u \tau-(\theta-\omega_d)t_0]}$ 會集中在$\theta$軸上。

## 參考

- Weiss, Lora G. "Wavelets and Wideband Correlation Processing". IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994
- Shie Qian, Introduction to time-frequency and wavelet transforms, Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, c2002
- L. Sibul, L. Ziomek, "Generalised wideband crossambiguity functiom", IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239- 1242.