唯一素數

唯一素數（Unique prime）是指一個不為2、5（在十進位時），且有以下性質的質數p：不存在其他質數q，其倒數1 / q的循環節長度和1 / p的循環節長度相等。唯一素數是在1980年代由Samuel Yates所提出。

可以證明素數p其倒數的循環節長度為n若且唯若存在一自然數c使得下式成立（下面內容僅限於十進位範疇）：

$$\frac{\Phi_n(10)}{\gcd(\Phi_n(10),n)} = p^c$$

其中Φn(x)為n次的分圓多項式。至2010年為止，已經找到逾50個唯一素數或者有此性質的可能質數，但是小於10100的唯一素數只有23個。以下是這些唯一素數及其循環節位數：

倒數循環節長度素數13 211 337 4101 109,091 129,901 9333,667 14909,091 2499,990,001 36999,999,000,001 489,999,999,900,000,001 38909,090,909,090,909,091 191,111,111,111,111,111,111 2311,111,111,111,111,111,111,111 39900,900,900,900,990,990,990,991 62909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 120100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001 15010,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001 1069,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 93900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991 134909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 294142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143 196999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001

倒數循環節長度294位的唯一素數類似7的倒數（0.142857142857142857...）。

接續上表的第24個唯一素數有128位，倒數循環節長度為320位，可以寫成(932032)2+1，其中下標n表示前面的一個數字或一組數字會重覆出現n次。

所有循環單位素數都是唯一素數。依照循環單位素數及循環單位可能素數出現的頻率來看，唯一素數非常的少見，不過數學家們仍強烈推論有無窮多個唯一素數。

至2010年為止，循環單位(10270343-1)/9是已知最大的可能唯一素數。

至1996年為止，確定是質數的最大唯一素數是(101132 + 1)/10001，若用前文中的表示法，可以表示為(99990000)141+ 1，其倒數循環節長度為為2264位，後來陸續證明更大的唯一素數，至2010年為止，確定是質數的最大唯一素數有10081位數。

## 二進制中的唯一質數

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, ......：

其循環節長度分別為：

2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, ......：

這當中包含了所有費馬質數(循環節長度為2的乘方)，梅森質數(循環節長度為質數)及瓦格斯塔夫質數(循環節長度為奇質數的兩倍)

以下為不超過264之二進制唯一質數列表：

倒數循環節長度素數二進位表示法2311 45101 37111 10111011 12131101 8171 0001 18191 0011 5311 1111 204110 1001 144310 1011 973100 1001 7127111 1111 151511001 0111 242411111 0001 162571 0000 0001 303311 0100 1011 213371 0101 0001 2268310 1010 1011 262,7311010 1010 1011 425,4191 0101 0010 1011 138,1911 1111 1111 1111 3443,6911010 1010 1010 1011 4061,6811111 0000 1111 0001 3265,5371 0000 0000 0000 0001 5487,2111 0101 0100 1010 1011 17131,0711 1111 1111 1111 1111 38174,76310 1010 1010 1010 1011 27262,657100 0000 0010 0000 0001 19524,287111 1111 1111 1111 1111 33599,4791001 0010 0101 1011 0111 462,796,20310 1010 1010 1010 1010 1011 5615,790,3211111 0000 1111 0000 1111 0001 9018,837,0011 0001 1111 0110 1110 0000 1001 7822,366,8911 0101 0101 0100 1010 1010 1011 62715,827,88310 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 312,147,483,647111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 804,278,255,3611111 1111 0000 0000 1111 1111 0000 0001 1204,562,284,5611 0000 1111 1110 1110 1111 0000 0001 0001 12677,158,673,9291 0001 1111 0111 0000 0011 1110 1110 0000 1001 1501,133,836,730,4011 0000 0111 1111 1101 1110 1111 1000 0000 0010 0001 862,932,031,007,40310 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 984,363,953,127,29711 1111 1000 0000 1111 1110 0000 0011 1111 1000 0001 494,432,676,798,593100 0000 1000 0001 0000 0010 0000 0100 0000 1000 0001 6910,052,678,938,0391001 0010 0100 1001 0010 0101 1011 0110 1101 1011 0111 65145,295,143,558,1111000 0100 0010 0101 0010 1001 0110 1011 0101 1011 1101 1111 17496,076,791,871,613,6111 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0100 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 77581,283,643,249,112,9591000 0001 0001 0010 0010 0110 0100 1100 1101 1001 1011 1011 0111 0111 1111 93658,812,288,653,553,0791001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0111 122768,614,336,404,564,6511010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011 612,305,843,009,213,693,9511 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 859,520,972,806,333,758,4311000 0100 0010 0001 0100 1010 0101 0010 1011 0101 1010 1101 0111 1011 1101 1111 19218,446,744,069,414,584,3211111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001

## 外部連結

- The Prime Glossary: Unique prime
- Prime Top Tens
- Unique Period Primes
- Factorization of 11...11 (Repunit)