緝古算經

《緝古算經》，原名《緝古算術》，初唐數學家王孝通著於武德九年〔626年〕前所著。後被列入算經十書，改名為《緝古算經》。

《緝古算經》一書在中國數學史上有重要影響，王孝通在書中將幾何問題代數化，在世界上首次系統地創立三次多項式方程，對代數學的發展，有重要意義。王孝通在此書中建立 25個三次方程，其中自第二問至第十八問中為三次方程，大部分有如下形式：

$$x^3+px^2+q=0$$

剩下第十九問、二十問各有一個雙二次方程：

$x^4+px^2+q=0$。

## 內容

《緝古算經》全書共二十問，書首為《上緝古算術表》。各問題的形式大致相同，每問以「假令」開頭，以「問：……各幾何？」或「問：……個多少？」結尾；隨後是答案：「答曰……」；最後一段是「術曰」，詳細敘述建立方程的理論依據和具體程序。每題都有答案，但關於解題方法，王孝通則言簡意駭。

### 第一問

「假令天正十一月朔夜半，日在鬥十度七百分度之四百八十。以章歲為母，朔月行定分九千，朔日定小餘一萬，日法二萬，章歲七百，亦名行分法。今不取加時日度。問：天正朔夜半之時月在何處？」。這是一道天文題，求半夜時月亮的赤道經度，王孝通用算術解題。

### 第二問

假令太史造仰觀臺，上廣袤少，下廣袤多。上下廣差二丈，上下袤差四丈，上廣袤差三丈，高多上廣一十一丈，甲縣差一千四百一十八人，乙縣差三千二百二十二人，夏程人功常積七十五尺，限五日役臺畢。羨道從臺南面起，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲縣一十三鄉，乙縣四十三鄉，每鄉別均賦常積六千三百尺，限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀臺，二縣鄉人共造羨道，皆從先給甲縣，以次與乙縣。臺自下基給高，道自初登給袤。問：臺道廣、高、袤及縣別給高、廣、袤各幾何？」。

對於這個建造觀象台和台道的廣度、高度、深度的計算，王孝通列出三個

$x^3+px^2+qx=n$ 形式的三次方程式，和一個$x^3+px^2=n$形式的三次方程式。

### 第三問

「假令築堤，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸。東頭高少於西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多於東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人，丙縣一萬九千四百四十八人，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九鬥二升。每人一日築常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八鬥。古人負土二鬥四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步，上山三當四，下山六當五，水行一當二，平道踟躕十加一，載輸一十四步。減計一人作功為均積。四縣共造，一日役華。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問：給斜、正袤與高，及下廣，並每人一日自穿、運、築程功，及堤上、下高、廣各幾何？

王孝通解此題，建立了一個二次方程，兩個三次方程：

第一個三次方程：

- $$x^3+\frac{3cd}{b-c}x^2+\frac{3(a+c)hd^2}{(H-h)(b-c)}x=\frac{6Vd^2}{(H-h)(b-c)}$$

第二個三次方程：

- $x^3+5004x^2+1169953\frac{1}{3}x=41107188\frac{1}{3}$。

王孝通求得其解：31

### 第四問

「假令築龍尾堤，其堤從頭高、上闊以次低狹至尾。上廣多，下廣少，堤頭上下廣差六尺，下廣少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲縣二千三百七十五人，乙縣二千三百七十八人，丙縣五千二百四十七人。各人程功常積一尺九寸八分，一日役畢，三縣共築。今從堤尾與甲縣，以次與乙、丙。問：龍尾堤從頭至尾高、袤、廣及各縣別給高、袤、廣各多少。」

王孝通 兩個三次方程。

- $x^3+62x^2+696x=38448$；解之得 x=18尺。
- $x^3+594x^2=682803$ 解之得 x=33尺。

### 第五問

「假令穿河，袤一裏二百七十六步，下廣六步一尺二寸；北頭深一丈八尺六寸，上廣十二步二尺四寸；南頭深二百四十一尺八寸；上廣八十六步四尺八寸。運土於河西岸造漘，北頭高二百二十三尺二寸，南頭無高，下廣四百六尺七寸五厘，袤與河同。甲郡二萬二千三百二十人，乙郡六萬八千七十六人，丙郡五萬九千九百八十五人，丁郡三萬七千九百四十四人。自穿、負、築，各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北頭先給甲郡，以次與乙，合均賦積尺。問：逐郡各給斜、正袤，上廣及深，並漘上廣各多少？」

解二次方程，三次方程個一。

三次方程：$x^3+15x^2+66x-360$ 得 方倉上底邊 x=3尺，下底邊=9尺，高=12尺。

### 第六問

「假令四郡輸粟，斛法二尺五寸，一人作功為均。自上給甲，以次與乙。其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六鬥，乙郡輸粟三萬四千九百五石六鬥，丙郡輸粟，二萬六千二百七十石四鬥，丁郡輸粟一萬四千七十八石四鬥。四郡共穿窖，上袤多於上廣一丈，少於下袤三丈，多於深六丈，少於下廣一丈。各計粟多少，均出丁夫。自穿、負、築，冬程人功常積一十二尺，一日役。問：窖上下廣、袤、深，郡別出人及窖深、廣各多少？」

解兩個三次方程。

### 第七問

「假令亭倉上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二鬥。今已運出五十石四斗。問：倉上下方、高及余粟深、上方各多少？」

求穀倉上邊長，王孝通所述方法，相當於解一個三次方程：

$$x^3+(D+G)x^2+(DG +\frac{D^2}{3})x=P-\frac{D^2G}{3}$$

為求余粟深度，王孝通的辦法是建立又一個三次方程：

$$X^+3\frac{hs}{D}x^2+3(\frac{hs}{D})^2x=\frac{P'}{3}\frac{h^2}{D^2}$$

### 第八問

「假令芻甍上袤三丈，下袤九丈，廣六丈，高一十二丈。有甲縣六百三十二人，乙縣二百四十三人。夏程人功當積三十六尺，限八日役。自穿築，二縣共造。今甲縣先到。問：自下給高、廣、袤、各多少？」是關於建築觀象台、河堤、糧窖等工程中的土方問題。

解一個三次方程：

$$x^3+90*x^2-839808$$

得 乙縣工程 高 x=72尺; 甲縣工程高=120-72=48尺、上廣=36尺、袤=66尺。

### 第九問

「假令圓囤上小下大，斛法二尺五寸，以率徑一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六鬥。今已運出二百六十六石四鬥。問：殘粟去口、上下周、高各多少？」

解兩個三次方程。

### 第十問

「假令有粟二萬三千一百二十斛七鬥三升，欲作方倉一，圓窖一，盛各滿中而粟適盡。令高、深等，使方面少於圓徑九寸，多於高二丈九尺八寸，率徑七，周二十二。問：方、徑、深多少？」

解一個三次方程。

### 第十一問

「假令有粟一萬六千三百四十八石八鬥，欲作方倉四、圓窖三，令高、深等，方面少於圓徑一丈，多於高五尺，斛法二尺五寸，率徑七，周二十二。問：方、高、徑多少？」

解一個三次方程。

### 第十二問

「假令有粟三千七十二石，欲作方倉一、圓窖一，令徑與方等，方於窖深二尺，少於倉高三尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問：方、徑、高、深各多少？」

解一個三次方程。

### 第十三問

「假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圓窖各一，令口小底大，方面於圓徑等，兩深亦同，其深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問：方、徑、深各多少？」

解一個三次方程。

### 第十四問

「假令有粟二萬六千三百四十二石四鬥，欲作方窖六、圓窖四，令口小底大，方面與圓徑等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問上下方、深數各多少？」

解一個三次方程。

### 第十五問

「假令有句股相乘冪七百六十五分之一，弦多於句三十六十分之九。問：三事各多少？」

解一個三次方程：

$x^3 +\frac{S}{2}x^2-\frac{P^2}{2S}=0$。

### 第十六問

「假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三，句少於弦五十四五分之二。問：股多少？」

解一個三次方程。

### 第十七問

「假令有句弦相乘冪一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。問：股多少？」

解一個三次方程。「答曰：九十二五分之二。」

「術曰：冪自乘，倍多而一，為立冪。又多再自乘，半之，減立冪，余為實。又多數自乘，倍之，為方法。又置多數，五之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即股（句弦相乘冪自乘，即句冪乘弦冪之積。故以倍股弦差而一，得一股與半差為方，令多再自乘半之為隅，橫虛二立廉……倍之為從隅……多為上廣即二多……法故五之二而一）。」

王孝通所述，相當於建立一個三次方程：

$x^3$+$\frac{5}{2}Dx^2+2D^2x$=$\frac{P^2}{2D}$-$\frac{D^2}{2}$

### 第十八問

「假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三，句少於弦五十四五分之二。問：股多少？」

解一個三次方程。

### 第十九問

「假令有股弦相乘冪七百二十六，句七、十分之七。問：股多少？」

解一個雙二次方程。

### 第二十問

「假令有股十六二分之一，句弦相乘冪一百六十四二十五分之十四。問：句多少？」

解一個雙二次方程：

$x^4+(16\frac{1}{2})^2x^2=(164\frac{14}{15})^2$。

## 版本

《緝古算經》在唐代就有抄本，宋元豐七年（1084年）有秘書監趙彥若等校定刊本，但到明代，刊本幾乎遺失，僅存章丘李開先所藏一部南宋刊本。清代毛晉獲得《緝古算經》，影抄傳世。《緝古算經》影抄本後歸常熟毛扆汲古閣收藏；清乾隆年間孔繼涵得毛扆汲古閣所藏宋元豐七年《緝古算經》影抄本和其他算書六種，連同戴東原從永樂大典中編輯出的《海島算經》等書合為十部，一同刻印刊行；孔繼涵所刻《緝古算經》，世稱為微波謝本。同時《四庫全書》又收入吏部侍郎王傑所藏《緝古算經》的毛晉影抄本。微波謝本後佚，影抄本現存北京故宮博物院。

清代中期，研究《緝古算經》之風盛行，先後有李潢《緝古算經考注》二卷，張敦仁《緝古算經細草》一卷，陳杰《緝古算經細草》一卷，《緝古算經注》二卷，《緝古算經音義》一卷，及按微波謝本抄錄的《緝古算經經文》一卷；揭廷鏘《緝古算經考注圖草》一卷。

1963年中華書局出版錢寶琮校點多《算經十書》，其中包括《緝古算經》

1998年郭書春校點《緝古算經》、《算經十書》由遼寧教育出版社出版。

## 參考文獻

- 白尚恕 《中國數學史研究》 83-105頁 《王孝通緝古算經校證》 ISBN 978-7-703-09242-0
- Jean Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics,p140-141 Springer ISBN 3-540-33782-2