階躍響應

階躍響應是指系統在其輸入為單位階躍函數時，其輸出的變化。在電子工程或自動控制領域中，階躍響應是指系統的輸入在很短時間由0變成1時，其輸出的時域特性。此概念可以延伸到使用抽象數學概念的動力系統，以演化參數表示其特性。

分析系統的階躍響應有助於了解系統的特性，因為當輸入在長時間穩態後，有快速而大幅度的變化，可以看出系統各個部份的特性。而且也可以知道系統的穩定性。

## 階躍響應的時域相關特性

系統的階躍響應可以用與以下時域特性的量來描述：

- 過衝（overshoot）。
- 上昇時間（rise time）。
- 安定時間（settling time）。
- 振鈴（ringing）。

對於線性動態系統來說，從這些特徵中可以推知許多該系統的資訊。

## 一階線性電路的階躍響應

考慮如右圖的RC電路，頻域下輸出電壓Vc和輸入電壓Vin的關係可表示為下式：

$$V_c(s) = \frac{1/Cs}{R + 1/Cs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + RCs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + \tau s}V_{in}(s)$$

其中$\tau = RC$為此系統的時間常數

考慮以下形式的輸入電壓Vin(t)：

$$V_{in}(t) = 0, t \leq 0$$

$$V_{in}(t) = V_{in}, t>0$$

則輸出電壓Vc(t)可以表示為以下的形式：

$$V_c(t) = V_{in} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$$

## 反饋放大器的階躍響應

本節介紹了一個簡單的負反饋放大器的階躍響應如圖1所示。反饋放大器由一個增益為 AOL 的主開環放大器和反饋因子為 β 的反饋迴路。以下會分析此回授放大器，確認其階躍響應和控制響應的時間常數之間的關係，也看階躍響應和回授量之間的關係。

負反饋放大器增益為（見負反饋放大器）：

$A_{FB} = \frac {A_{OL}} {1+ \beta A_{OL}}$。

其中

AOL = 開環增益

AFB = 閉環增益（存在負反饋時的增益）

β = 反饋因子。

### 有一個主導極點

在許多情況下，可以用時間常數 τ 的單一主導極點很好地模擬正向放大器，它的開環增益為：

$A_{OL} = \frac {A_0} {1+j \omega \tau}$。

零頻率增益為 A0，角頻率 ω = 2πf。這種正向放大器有單位階躍響應

$S_{OL}(t) = A_0(1 - e^{-t / \tau})$。

是從零到新平衡值 A0 的指數趨近。

單極點放大器的傳遞函數導出閉環增益：

$$A_{FB} = \frac {A_0} {1+ \beta A_0} \times \frac {1} {1+j \omega \frac { \tau } {1 + \beta A_0} }$$

此閉環增益與開環增益是形式相同：均為單極濾波器。其階躍響應的形式相同：一個趨於新平衡值的指數衰減。但閉環階躍函數的時間常數為 τ / (1 + β A0)，因此因此它比前向放大器的響應快，是其 1 + β A0 倍：

$S_{FB}(t) = \frac {A_0} {1+ \beta A_0}(1 - e^{-t (1 + \beta A_0)/ \tau})$。

由於反饋因子 β 的增加，階躍響應會更快，直到最初假設的一個主導極點不再準確。如果有第二個極點，則隨著閉環時間常數區域第二個極點的時間常數，需要進行雙極點分析。

### 雙極點放大器

在開環增益有兩個極點的情況下（兩個時間常數，τ1和τ2），階躍響應更為複雜。開環增益為：

$$A_{OL} = \frac {A_0} {(1+j \omega \tau_1) (1 + j \omega \tau_2)},$$

零頻率增益為 A0，角頻率 ω = 2πf。

#### 分析

雙極點放大器的傳遞函數可以導出閉環增益：

$$A_{FB} = \frac {A_0} {1+ \beta A_0} \times \frac {1} {1+j \omega \frac { \tau_1 + \tau_2 } {1 + \beta A_0} + (j \omega )^2 \frac { \tau_1 \tau_2} {1 + \beta A_0} }$$

放大器的時間相關性通過切換變量 s = jω 很容易發現，於是增益變為：

$$A_{FB} = \frac {A_0} { \tau_1 \tau_2 } \times \frac {1} {s^2 +s \left( \frac {1} {\tau_1} + \frac {1} {\tau_2} \right) + \frac {1+ \beta A_0} {\tau_1 \tau_2}}$$

這個表達式的極點（即分母的零點）位於：

$$2s = - \left( \frac {1} {\tau_1} + \frac {1} {\tau_2} \right)$$

$$\pm \sqrt { \left( \frac {1} {\tau_1} - \frac {1} {\tau_2} \right) ^2 -\frac {4 \beta A_0 } {\tau_1 \tau_2 } },$$

這說明對於足夠大 βA0 平方根就會變成虛數，極點的位置是共軛複數，s+ 與 s−；參見圖2：

$$s_{\pm} = -\rho \pm j \mu, \,$$

其中

$$\rho = \frac {1}{2} \left( \frac {1} {\tau_1} + \frac {1} {\tau_2} \right ),$$

而

$$\mu = \frac {1} {2} \sqrt { \frac {4 \beta A_0} { \tau_1 \tau_2} - \left( \frac {1} {\tau_1} - \frac {1} {\tau_2} \right)^2 }$$

$$| s | = |s_{ \pm } | = \sqrt{ \rho^2 +\mu^2},$$

而角坐標 φ 為：

$$\cos \phi = \frac { \rho} { | s | } , \sin \phi = \frac { \mu} { | s | }$$

拉普拉斯變換表告訴我們這樣一個系統的時間響應是由兩個函數的組合而成的：

$e^{- \rho t} \sin ( \mu t) \quad\text{and} \quad$ $e^{- \rho t} \cos ( \mu t),$

也就是說，解在時間上阻尼振盪。特別是，該系統的單位階躍響應為：

$$S(t) = \left(\frac {A_0} {1+ \beta A_0}\right)\left(1 - e^{- \rho t} \ \frac { \sin \left( \mu t + \phi \right)}{ \sin( \phi )}\right)\ ,$$

化簡為

$$S(t) = 1 - e^{- \rho t} \ \frac { \sin \left( \mu t + \phi \right)}{ \sin( \phi )}\ $$

當 A0 趨於無窮大時，反饋係數 β 為1。

注意到響應的阻尼是由 ρ 決定的，也就是由開環放大器的時間常數確定的。相反，振盪的頻率是由 μ 確定的，也就是由, 通過 βA0 由反饋參數確定的。因為 ρ 涉及到時間常數的倒數之和，所以可以發現 ρ 主要受到兩個時間常數中較短的那個影響。

#### 結果

圖3顯示了參數 μ 取3個不同值時，單元階躍輸入的時間響應。可以看出隨著 μ 增加，振盪頻率也會增加，但振盪被包含在由指數型函數 1 − exp (−ρt) 和 1 + exp(−ρt) 確定的兩條漸近線以內。這兩條漸近線是由 ρ 決定的，所以也就由開環放大器的時間常數決定，與反饋無關。

終值的振盪現象被稱為振鈴。過沖是指擺動最大值高於終值，顯然會隨著 μ 增加。同樣，下沖是指擺動最小值低於終值，同樣也會隨著 μ 增加。安定時間是指從終值出發，降到低於某個特定水平（終值的10%）用的時間。

穩定時間對 μ 的依賴性不明顯，而雙極點系統的近似可能不能達到用穩定時間對反饋的依賴性作出現實中的結論的準確性。但漸近線 1 − exp (−ρt) 與 1 + exp (−ρt) 顯然影響穩定時間，它們被開環放大器的時間常數控制，特別是在2個時間常數中的時間較短的。這表明開環放大器的設計必須滿足穩定時間的規定。

此分析的有兩個主要結論：

- 反饋控制了給定開環放大器並給定開環時間常數 τ1 與 τ2 時終值上下振盪的幅度。
- 開環放大器決定了穩定時間。它確定了圖3中的時標，開環放大器越快，時標越快。

順便說一句，可以注意到實際中與線性雙極點模型的偏離主要來自兩個方面：其一，實際放大器的極點多於兩個，零點也是；其二，實際放大器是非線性的，所以它們的階躍響應會隨著信號幅度變換。

#### 控制過沖

以下會說明如何用適當的參數選擇來減少過沖。

利用以上的公式，可以將階躍響應微分找最大值來計算過沖量。其過沖量最大值Smax 為：

$$S_\max= 1 + \exp \left( - \pi \frac { \rho }{ \mu } \right)$$

階躍響應的終值為1，因此其指數即為過沖量。可以看出若μ = 0，其過沖量為0，也就是：

$$\frac {4 \beta A_0} { \tau_1 \tau_2} = \left( \frac {1} {\tau_1} - \frac {1} {\tau_2} \right)^2$$

令x = ( τ1 / τ2 )1 / 2，可以求解二個時間常數之間的比例，結果為

$$x = \sqrt{ \beta A_0 } + \sqrt { \beta A_0 +1 } \,$$

因為β A0 >> 1，因此平方根中的1可以省略，得到

$$\frac { \tau_1} { \tau_2} = 4 \beta A_0$$

換句話說，第一個時間常數需遠大於第二個時間常數。有時系統為了一些特性，需要允許一些過沖量，以下的關係中引入一個因子α：

$$\frac { \tau_1} { \tau_2} = \alpha \beta A_0,$$

α可以依允許的過沖量來設計。

圖4就是描述其程序。比較上圖（α = 4）及下圖（α = 0.5）可以看出α較小，可以加快響應的速度，但也讓過沖量變大。中間的圖α = 2為幅度最平坦的濾波器，在波德圖上沒有尖點。此設計有經驗法則內建的安全預度，可以處理像重零點、重極點、非線性（例如和信號振幅相依的特性）及製造的變異，這些都可能造成過大的過沖量。極點擺放位置（也就是α）的調整是頻率補償的主題，其中一個方式是極點分離。

#### 穩定時間控制

圖3中階躍響應中振鈴的幅度是由阻尼因數 exp ( −ρ t ) 決定的。也就是說，如果我們指定出可接受的階躍響應離終值的偏移量 Δ，即：

$$S(t) \le 1 + \Delta, \,$$

在時間長於穩定時間 tS 這個前提下，無論 β AOL 的值為多少時這個條件都能滿足。穩定時間 tS 為：

$$\Delta = e^{- \rho t_S }\text{ or }t_S = \frac { \ln \left( \frac{1} { \Delta} \right) } { \rho } = \tau_2 \frac {2 \ln \left( \frac{1} { \Delta} \right) } { 1 + \frac { \tau_2 } { \tau_1} } \approx 2 \tau_2 \ln \left( \frac{1} { \Delta} \right),$$

因為過沖的條件，τ1 = αβAOL τ2，因此τ1 >> τ2 成立。一般穩定時間條件是指穩定時間和其單位增益的頻寬成反比的情形，原因是1/(2π τ2)接近放大器在典型主極點補償下的頻寬。不過此結果比經驗法則的結果更準確。例如，若Δ = 1/e4 = 1.8 %，其穩定時間為tS = 8 τ2。

一般而言，對過沖量的控制會決定二個時間常數的比例，穩定時間tS 會決定 τ2。

#### 相位裕度

其次，極點比例τ1/τ2也和回授放大器的相位裕度有關。圖5是二個極點放大器的波德圖，頻率到第二個極點的位置。圖5的假設是頻率f0 dB在位在f1 = 1/(2πτ1)的最小極點及位在f2 = 1/(2πτ2)的第二極點之間。如圖5所示，若 α ≥ 1，此假設即成立。

利用圖5，頻率（用f0 dB表示)為迴路增益 βA0滿足單位增益或是0 dB條件的位置，可以定義為：

$$| \beta A_\text{OL} ( f_\text{0 db} ) | = 1\ $$

波德增益圖中增益下降的斜率是 20 dB/decade，頻率每增加十倍，增益下降的比例相同：

$$f_\text{0 dB} = \beta A_0 f_1\,$$

相位裕度是頻率在f0 dB 處，相位和−180°之間的距離，因此裕度為：

$$\phi_m = 180 ^\circ - \arctan (f_\text{0 dB} /f_1) - \arctan ( f_\text{0 dB} /f_2)\ $$

因為f0 dB / f1 = βA0 >> 1，有關f1的項為90°，因此相位裕度為：

$$\phi_m = 90 ^\circ - \arctan ( f_\text{0 dB} /f_2) \,$$

$$= 90 ^\circ - \arctan \left( \frac {\beta A_0 f_1} {\alpha \beta A_0 f_1 } \right)$$

$$= 90 ^\circ - \arctan \left( \frac {1} {\alpha } \right) = \arctan \left( \alpha \right)$$

若α = 1，則 φm = 45°，若α = 2，則φm = 63.4°. Sansen建議α = 3，對應的φm = 71.6°「是一種很好的啟始條件。」

若τ2縮短，α會增加。穩定時間tS 也會減小。若τ1變大，α也會增加，穩定時間會略有變動。若用到極點分離技巧，τ1和 τ2都會變化。

若放大器有二個以上的極點，圖5的波德圖仍然可以計算相位裕度，只要將f2視為「等效的第二極點」位置即可。

## 數學定義

本節以抽象概念下的動態系統 (定義)$\textstyle\mathfrak{S}$，來提供形式性的數學定義。所有符號及假設列在下方。

- $\textstyle t\in T$是系統的動態系統 (定義)，為方便說明，簡稱為時間。
- $\textstyle\boldsymbol{x}|_t\in M$是系統在時間$t\,$時的動態系統 (定義)，為方便說明，稱為輸出。
- $\textstyle\Phi:T\times M\longrightarrow M$是動態系統的動態系統 (定義)。
- $\textstyle\Phi(0,\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}_0\in M$是動態系統的動態系統 (定義)。
- $\textstyle H(t)\,$是單位階躍函數。

### 非線性動態系統

若針對一個一般的動態系統，其階躍響應可定義如下：

$$\boldsymbol{x}|_t = \Phi_{\{H(t)\} \left(t,{\boldsymbol{x}_0} \right)}\,$$

其階躍響應是系統輸入為單位階躍函數時的演化函數。表示式中H(t)為下標。

### 線性動態系統

對於一個線性非時變系統，令$\textstyle\mathfrak{{S}}\ \equiv \ S$，其階躍響應可以用單位階躍函數$\textstyle H(t)$和系統衝激響應$\textstyle h(t)$的卷積來表示：

$$a(t) = {h*H}(t) = {H*h}(t) = \int_{-\infty }^{+\infty} h(\tau) H(t - \tau ) \, d\tau = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, d\tau$$

對線性非時變系統而言就是將後面的式子積分。相對的，對於線性非時變系統，階躍響應的微分即為衝激響應：

$$h(t) = \frac{d}{dt}\, a(t)$$

不過此關係在非線性系統或是時變系統並不成立。

對於一個線性非時變系統，其階躍響應可以用單位階躍函數$\textstyle H(t)$和系統衝激響應$\textstyle h(t)$的卷積來表示：

$$a(t) = {h*H}(t) = {H*h}(t) = \int_{-\infty }^{+\infty} h(\tau) H(t - \tau ) \, d\tau = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, d\tau$$

## 參照

- 衝激響應
- 過沖
- 上昇時間
- 安定時間
- 時間常數
- 極點分離

## 延伸閱讀

- Robert I. Demrow Settling time of operational amplifiers
- Cezmi Kayabasi Settling time measurement techniques achieving high precision at high speeds
- Vladimir Igorevic Arnol'd "Ordinary differential equations", various editions from MIT Press and from Springer Verlag, chapter 1 "Fundamental concepts"

## 外部連結

- Kuo power point slides; Chapter 7 especially