ECT理論-牛頓引力理論

返回在牛頓引力場中，粒子運動的拉格朗日量為：

- $$L=\frac{1}{2}m\vec{v}\cdot \vec{v}-m\varphi (\vec{x})$$

其中 $\vec{v}$—粒子速度， $\varphi (\vec{x})$—牛頓引力勢粒子運動方程由最小作用量原理$\delta S=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta L}dt=0$決定：

$$0=\delta S=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta L}dt$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta \left( \frac{1}{2}m\vec{v}\cdot \vec{v}-m\varphi (\vec{x}) \right)}dt$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\vec{v}\cdot \delta \vec{v}-m\delta \varphi (\vec{x}) \right)}dt$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\vec{v}\cdot \frac{d\delta \vec{x}}{dt}-m\nabla \varphi (\vec{x})\cdot \delta \vec{x} \right)}dt$$

$$=m\vec{v}\cdot \delta \vec{x}|_{t1}^{t2}-\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot \delta \vec{x}+m\nabla \varphi (\vec{x})\cdot \delta \vec{x} \right)}dt$$

$$=-\int\limits_{t1}^{t2}{\left( m\frac{d\vec{v}}{dt}+m\nabla \varphi (\vec{x}) \right)}\cdot \delta \vec{x}dt$$

因此有：$m\frac{d\vec{v}}{dt}+m\nabla \varphi (\vec{x})=0$即：$\vec{a}=-\nabla \varphi (\vec{x})$，這是牛頓引力場中的粒子運動方程。

考慮在牛頓引力場中無壓理想流體的運動，則拉格朗日量變為：

- $$L=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x}) \right)dV}$$

其中： $\rho$—流體質量密度， $dV$—體積元。

牛頓引力場本身的拉格朗日量為：

- $${{L}_{g}}=\int{\left( -\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$$

同時考慮引力場和無壓理想流體，其總拉格朗日量為：

- $$L=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$$

為了得到引力場的運動方程，只對$\varphi (\vec{x})$取變分我們有：

$$0=\delta S=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta Ldt}$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\delta \int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}dt}$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})-\frac{1}{4\pi G}\nabla \varphi \cdot \delta (\nabla \varphi ) \right)dV}dt}$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})-\frac{1}{4\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla (\delta \varphi ) \right)dV}dt}$$

$$=\int\limits_{t1}^{t2}{\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})-\frac{1}{4\pi G}(\nabla \cdot (\delta \varphi \nabla \varphi )-\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi ) \right)dV}dt}$$

$=\int\limits_{t1}^{t2}{\int\limits_{\Sigma }{\left( -\frac{1}{4\pi G}\delta \varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S} \right)}+\int{\left( -\rho \delta \varphi (\vec{x})+\frac{1}{4\pi G}\delta \varphi {{\nabla }^{2}}\varphi \right)dV}dt}$，其中$\Sigma$-包圍體積V的邊界

$$=\int{\left( -\rho +\frac{1}{4\pi G}{{\nabla }^{2}}\varphi \right)\delta \varphi (\vec{x})dV}dt$$

因此有引力場運動方程${{\nabla }^{2}}\varphi =4\pi G\rho$。

這樣，我們有包含引力場和無壓理想流體的總拉格朗日密度為：

- $$\not{L}=\frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi$$

按照分析力學原理，我們有守恆量---哈密頓量（其中：$\dot{\varphi }=\frac{\partial \varphi }{\partial t}$）為：

$$\begin{align} <pre> & H=\int{\left( \sum\limits_{i=1}^{3}{{{v}_{i}}\frac{\partial \not{L}}{\partial {{v}_{i}}}}+\dot{\varphi }\frac{\partial \not{L}}{\partial \dot{\varphi }}-\not{L} \right)}dV \\ & =\int{\sum\limits_{i=1}^{3}{{{v}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{v}_{i}}}\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)}dV} \\ & \mathop{{}}^{{}}+\int{\dot{\varphi }\frac{\partial }{\partial \dot{\varphi }}\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ & \mathop{{}}^{{}}-\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ & =\int{\left( \rho \vec{v}\cdot \vec{v} \right)dV}-\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\rho \varphi (\vec{x})-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ & =\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}+\rho \varphi (\vec{x})+\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ </pre> \end{align}$$

其中$\rho \varphi (\vec{x})$代表理想流體與引力場的相互作用能，可以將它歸為理想流體的能量，也可以把它歸為引力場的能量，我們現在把它歸為引力場的能量，這時需要從引力場運動方程解出：$\rho =\frac{1}{4\pi G}{{\nabla }^{2}}\varphi$，代入上式得：

$$\begin{align} <pre> & H=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}+\frac{1}{4\pi G}\varphi {{\nabla }^{2}}\varphi +\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ & =\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}+\frac{1}{4\pi G}\nabla (\varphi \nabla \varphi )-\frac{1}{4\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV} \\ </pre> \end{align}$$

$$=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}+\frac{1}{4\pi G}\int\limits_{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S}}$$

其中： $\Sigma$為包圍體積V邊界。體積V是全空間。

一般我們考慮有限區域的理想流體和引力場的情況，這時邊界是無限遠處，無限遠處的邊界條件是 $\varphi \nabla \varphi \to O(\frac{1}{{{r}^{3}}})$，$d\vec{S}\to O({{r}^{2}})$，其積$\varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S}\to O(\frac{1}{r})$，因此$\int\limits_{\Sigma }{\varphi \nabla \varphi \cdot d\vec{S}}=0$ .考慮到有限區域的理想流體和引力場以及邊界條件，我們有：

- $$H=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$$

在分析力學中我們稱哈密頓量為能量，因此又可寫為：

- $$E=\int{\left( \frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}-\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \right)dV}$$

哈密頓量是守恆量即$\frac{dH}{dt}=0$ 也即$\frac{dE}{dt}=0$。

從上面的結果我們看到： $\frac{1}{2}\rho \vec{v}\cdot \vec{v}$代表理想流體的動能密度${{T}_{m}}$， $\frac{1}{8\pi G}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi$代表引力能密度${{T}_{g}}$，這時我們看到總能量密度是 $\varepsilon ={{T}_{m}}-{{T}_{g}}$，引力能貢獻的是負能。當然，如果將相互作用能歸為理想流體的能量，則引力能貢獻的是正能，數值仍然是${{T}_{g}}$。

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