友誼數

在數論中，友誼數是指二個正整數m和n滿足σ(m)/m = σ(n)/n的關係，其中σ(n)是因數函數，則稱它們是朋友，此二個整數互為友誼數。

例如(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)/80 = (1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200)/200 = 93/40，因此80和200都是友誼數。

友誼數為傳遞關係，若m和n為友誼數，n和p為友誼數，則m和p必為友誼數。

所有的已知的友誼數有6, 12, 24, 28, 30, ...（A074902，按σ(n)/n相同的組對排列：A050973、A050973）

確定不是友誼數的數即為孤獨數。但有些數尚未能證明它是否為孤獨數，例如10。

## 範例

另一個例子：30和140形成友誼數的一對，因為30和140滿足以下的等式$$\dfrac{\sigma(30)}{30} = \dfrac{1+2+3+5+6+10+15+30}{30} =\dfrac{72}{30} = \dfrac{12}{5}$$

$\dfrac{\sigma(140)}{140} = \dfrac{1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140} = \dfrac{336}{140} = \dfrac{12}{5}.$。

數字2480、6200、40640也是該俱樂部成員，因為它們各自的豐度等於12/5。

作為奇數的友誼數，請考慮135和819（友誼數比例16/9），也有一奇一偶的友誼數，例如：42和544635（友誼數比例16/7），奇數的朋友也可能小於偶數，例如：84729645和155315394（友誼數比例896/351）或6517665、14705145、1119251474478和2746713837618（友誼數比例64/27）。

平方數可以是友誼數，例如：693479556（26334的平方）和8640、52416的友誼數比例都是127/36，立方數也可以是友誼數，例如：3375（15的立方）和6975的友誼數比例都是416/225。

## 較小整數的狀況

在下表中，藍色背景數字證明是友誼數，紅色背景數字證明是孤獨數，如果n和σ(n)互質則不標顏色，其他未知狀況用黃色背景數字標示。

$n$｜$\sigma(n)$｜$\frac{\sigma(n)}{n}$

1｜1｜1

2｜3｜3/2

3｜4｜4/3

4｜7｜7/4

5｜6｜6/5

6｜12｜2

7｜8｜8/7

8｜15｜15/8

9｜13｜13/9

10｜18｜9/5

11｜12｜12/11

12｜28｜7/3

13｜14｜14/13

14｜24｜12/7

15｜24｜8/5

16｜31｜31/16

17｜18｜18/17

18｜39｜13/6

19｜20｜20/19

20｜42｜21/10

21｜32｜32/21

22｜36｜18/11

23｜24｜24/23

24｜60｜5/2

25｜31｜31/25

26｜42｜21/13

27｜40｜40/27

28｜56｜2

29｜30｜30/29

30｜72｜12/5

31｜32｜32/31

32｜63｜63/32

33｜48｜16/11

34｜54｜27/17

35｜48｜48/35

36｜91｜91/36

$n$｜$\sigma(n)$｜$\frac{\sigma(n)}{n}$

37｜38｜38/37

38｜60｜30/19

39｜56｜56/39

40｜90｜9/4

41｜42｜42/41

42｜96｜16/7

43｜44｜44/43

44｜84｜21/11

45｜78｜26/15

46｜72｜36/23

47｜48｜48/47

48｜124｜31/12

49｜57｜57/49

50｜93｜93/50

51｜72｜24/17

52｜98｜49/26

53｜54｜54/53

54｜120｜20/9

55｜72｜72/55

56｜120｜15/7

57｜80｜80/57

58｜90｜45/29

59｜60｜60/59

60｜168｜14/5

61｜62｜62/61

62｜96｜48/31

63｜104｜104/63

64｜127｜127/64

65｜84｜84/65

66｜144｜24/11

67｜68｜68/67

68｜126｜63/34

69｜96｜32/23

70｜144｜72/35

71｜72｜72/71

72｜195｜65/24

$n$｜$\sigma(n)$｜$\frac{\sigma(n)}{n}$

73｜74｜74/73

74｜114｜57/37

75｜124｜124/75

76｜140｜35/19

77｜96｜96/77

78｜168｜28/13

79｜80｜80/79

80｜186｜93/40

81｜121｜121/81

82｜126｜63/41

83｜84｜84/83

84｜224｜8/3

85｜108｜108/85

86｜132｜66/43

87｜120｜40/29

88｜180｜45/22

89｜90｜90/89

90｜234｜13/5

91｜112｜16/13

92｜168｜42/23

93｜128｜128/93

94｜144｜72/47

95｜120｜24/19

96｜252｜21/8

97｜98｜98/97

98｜171｜171/98

99｜156｜52/33

100｜217｜217/100

101｜102｜102/101

102｜216｜36/17

103｜104｜104/103

104｜210｜105/52

105｜192｜64/35

106｜162｜81/53

107｜108｜108/107

108｜280｜70/27

$n$｜$\sigma(n)$｜$\frac{\sigma(n)}{n}$

109｜110｜110/109

110｜216｜108/55

111｜152｜152/111

112｜248｜31/14

113｜114｜114/113

114｜240｜40/19

115｜144｜144/115

116｜210｜105/58

117｜182｜14/9

118｜180｜90/59

119｜144｜144/119

120｜360｜3

121｜133｜133/121

122｜186｜93/61

123｜168｜56/41

124｜224｜56/31

125｜156｜156/125

126｜312｜52/21

127｜128｜128/127

128｜255｜255/128

129｜176｜176/129

130｜252｜126/65

131｜132｜132/131

132｜336｜28/11

133｜160｜160/133

134｜204｜102/67

135｜240｜16/9

136｜270｜135/68

137｜138｜138/137

138｜288｜48/23

139｜140｜140/139

140｜336｜12/5

141｜192｜64/47

142｜216｜108/71

143｜168｜168/143

144｜403｜403/144

$n$｜$\sigma(n)$｜$\frac{\sigma(n)}{n}$

145｜180｜36/29

146｜222｜111/73

147｜228｜76/49

148｜266｜133/74

149｜150｜150/149

150｜372｜62/25

151｜152｜152/151

152｜300｜75/38

153｜234｜26/17

154｜288｜144/77

155｜192｜192/155

156｜392｜98/39

157｜158｜158/157

158｜240｜120/79

159｜216｜72/53

160｜378｜189/80

161｜192｜192/161

162｜363｜121/54

163｜164｜164/163

164｜294｜147/82

165｜288｜96/55

166｜252｜126/83

167｜168｜168/167

168｜480｜20/7

169｜183｜183/169

170｜324｜162/85

171｜260｜260/171

172｜308｜77/43

173｜174｜174/173

174｜360｜60/29

175｜248｜248/175

176｜372｜93/44

177｜240｜80/59

178｜270｜135/89

179｜180｜180/179

180｜546｜91/30

## 大的友誼數群

若三個或三個以上的正整數，其因數函數除以自身的比值相等，則這些正整數形成友誼數群（friendly number club）。換言之，友誼數群是友誼數關係的等價類。目前還不知道是否有由無限多個正整數組成的友誼數群。完全數的因數函數為自身的2倍，因此所有完全數形成一個友誼數群，推測應該會有無限多個完全數（至少會和梅森質數的個數一樣多），但尚未被證明。

## 孤獨數

不與其他陣列成友誼數對的正整數稱為孤獨數（solitary number）。

所有滿足( n, σ(n) ) = 1的n（A014567）都是孤獨數，因此所有質數冪都是孤獨數。n, σ(n)非互質的孤獨數已知有18, 45, 48, ... （A095739）。10, 14, 15, 20等數未能證明它是否孤獨數。