拓撲比較

在拓撲學和其相關的數學領域裡，拓撲比較是指在同一個給定的集合上的兩個拓撲結構之間的關係。在一給定的集合上的所有拓撲會形成一個偏序集合。此一序關係可以用來做不同拓撲之間的比較。

## 定義

$\mathfrak{T}_1$ 和 $\mathfrak{T}_2$ 都是 $X$ 的拓撲，若 $\mathfrak{T}_1 \subseteq \mathfrak{T}_2$ 稱 $\mathfrak{T}_2$ 比 $\mathfrak{T}_1$更細（fine）或更強（strong），或稱 $\mathfrak{T}_1$ 比 $\mathfrak{T}_2$更粗（coarse）或更弱（weak）。

進一步的，若 $\mathfrak{T}_1 \subset \mathfrak{T}_2$，稱 $\mathfrak{T}_2$ 比 $\mathfrak{T}_1$嚴格細（strictly fine），或稱 $\mathfrak{T}_1$ 比 $\mathfrak{T}_2$嚴格粗（strictly coarse）。

直觀上，$\mathfrak{T}_2$ 有更多甚至是「更小」的鄰域去逼近拓撲空間中的一點，所以相較之下，其拓撲結構比較「細緻」。但在 $\mathfrak{T}_2$ 意義下定義的 「極限」要求在更多的鄰域都要能找到逼近點，所以其拓撲結構在收斂的意義下比較「強」。至於嚴格細或粗，就是額外要求 $\mathfrak{T}_1 \neq \mathfrak{T}_2$。

二元關係 $\subseteq$ 在 $X$ 所有的拓撲所組成的集合上定義了一個偏序集合。

### 例子

$X$ 的拓撲裡，最粗的是由空集和全集兩個元素構成的：

$$\mathfrak{T} = \{X,\,\varnothing\}$$

而最細的拓撲是離散拓撲（discrete topology），也就是$X$ 的冪集：

$$\mathfrak{T}_D = \mathcal{P}(X)$$

## 最粗拓撲

設 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的一個子集族，則：

$$\tau_\mathcal{F} = \bigcap \bigg\{ \mathfrak{T} \,\bigg|\, <pre> (\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T}) </pre> \bigg\}$$

也是 $X$ 的拓撲。

根據定理的條件，對所有集合 $A$ 有： : $O \in \tau_\mathcal{F} \Leftrightarrow (\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (O \in \mathfrak{T}) \right\}$ (a) 以下將逐條檢驗拓撲的定義，來驗證 $\tau_\mathcal{F}$ 的確是$X$ 的拓撲： (1) $X,\,\varnothing \in \tau_\mathcal{F}$ 若 $\mathfrak{T}$ 的確是 $X$ 的拓撲，那由拓撲的定義可以得到 $X,\,\varnothing \in \mathfrak{T}$，這樣從式(a)右方就可以得到 $X,\,\varnothing \in \tau_\mathcal{F}$。(2) $U,\,V \in \tau_\mathcal{F}$ 則 $U \cap V \in \tau_\mathcal{F}$ 若 $U,\,V \in \tau_\mathcal{F}$，從式(a)左方有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (U \in \mathfrak{T}) \right\}$ : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (V \in \mathfrak{T}) \right\}$ 所以有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (U,\,V \in \mathfrak{T}) \right\}$ 所以根據拓撲的定義有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (U \cap V \in \mathfrak{T}) \right\}$ 這樣從式(a)右方就可以得到 $U \cap V \in \tau_\mathcal{F}$。(3) $\mathcal{G} \subseteq \tau_\mathcal{F}$ 則 $\bigcup\mathcal{G} \in \tau_\mathcal{F}$ 若 $\mathcal{G} \subseteq \tau_\mathcal{F}$，那對任意 $g \in \mathcal{G}$，從式(a)左方有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (g \in \mathfrak{T}) \right\}$ 所以有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (\mathcal{G} \subseteq \mathfrak{T}) \right\}$ 所以根據拓撲的定義有： : $(\forall \mathfrak{T}) \left\{ [\,(\mathfrak{T} \text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T})\,] \Rightarrow (\bigcup\mathcal{G} \in \mathfrak{T}) \right\}$ 所以從式(a)右方可以得到 $\bigcup\mathcal{G} \in \tau_\mathcal{F}$。綜上所述，來驗證 $\tau_\mathcal{F}$ 的確是 $X$ 的拓撲。$\Box$根據以上的定理，可以做以下的定義：

$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 的一個子集族，則：

$$\tau_\mathcal{F} = \bigcap \bigg\{ \mathfrak{T} \,\bigg|\, <pre> (\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X) \wedge (\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{T}) </pre> \bigg\}$$

稱為包含 $\mathcal{F}$ 的最粗拓撲（或最弱拓撲）。

## 另見

- 初拓撲－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最粗糙的拓撲。
- 終拓撲－可使集合上的一組映射皆為連續的拓撲之中，最精細的拓撲。