拓撲斯

數學中, Grothendieck 拓撲斯（topos, ˈ, 複數形式 topoi, ˈ）為一類範疇, 行為類似拓撲空間(或者更一般地, 景上集合的層範疇. 拓撲斯的行為也與集合範疇相當相似, 並具有局部化的概念.Grothendieck 拓撲斯應用於代數幾何, 其由基本拓撲斯所推廣, 後者應用於邏輯中.

研究拓撲斯的數學領域即稱拓撲斯理論.

## 簡介

20 世紀 40 年代數學引入層論以降, 經由研究空間上的層來研究空間本身便躋身核心課題之一. Alexander Grothendieck 通過引入 "拓撲斯" 系統闡述了該思想. 此概念的主要價值在於, 數學中, 大量情景缺乏嚴格意義上的拓撲空間, 但拓撲啟發式方法卻極為有效: 此時往往得以構造一個拓撲斯以形式化此般啟發式思想. 這一綱領性概念存在一個重要範例, 概型中的平展拓撲斯. Grothendieck 拓撲斯得以具象化不同不同數學情景的 "本質", 另一明證在於它們可作為 "橋梁" 連接不同理論: 這些理論或許以迥異的語言寫就, 卻共享著相同的數學內核.

## 等價定義

Grothendieck 拓撲斯為範疇 $C$, 裝配以下三條公理之任一 (按照 Jean Giraud 的定理, 三者等價):

- 存在小範疇 $D$ 及嵌入 $C\hookrightarrow \operatorname{Presh}(D)$, 後者具有一個保持有限極限的左伴隨.
- $C$ 是 Grothendieck 景上的層範疇.
- $C$ 契合下文所述 Giraud 公理.

這裡 $\operatorname{Presh}(D)$ 表示從 $D$ 到 $\mathsf{Set}$ 的反變函子範疇, 此種反變函子常稱之一預層.

### Giraud 公理

範疇 $C$ 上的 Giraud 公理指:

- $C$ 具有小集規模的生成元, 且容許全部小余極限. 此外, 纖維積對余積滿足分配律. 即, 給定集合 $I$、一個以 $I$ 為指標集而映射到 $A$ 的余積、一個態射 $A'\to A$, 分之以指標集 $I$, 諸餘積之拉回同構於諸拉回之餘積:$$\left(\coprod_{i\in I}B_i\right)\times_A A'\cong \coprod_{i\in I}\left(B_i\times_AA'\right).$$
- $C$ 中的和是無交的. 換言之, $X$ 和 $Y$ 於其和上的纖維積為 $C$ 中的始對象.
- 全部 $C$ 中的等價關係均有效.

最後一條公理有必要進一步闡釋. 若 $X$ 為 $C$ 中的對象, 則 $X$ 上的 "等價關係" $R$ 即 $C$ 中的態射 $R\to X\times X$, 使得對任意對象 $Y$, 誘導映射 $\operatorname{Hom}(Y, R)\to \operatorname{Hom}(Y, X)\times \operatorname{Hom}(Y,X)$ 在集合 $\operatorname{Hom}(Y, X)$ 上給出一個通常的等價關係. 鑑於 $C$ 具有餘極限, 可構造上述兩個映射 $R\to X$ 的余等化子, 記之以 $X/R$. 稱該等價關係 "有效", 若典範映射$$R\to X\times_{X/R} X$$為同構.

## 例子

Giraud 定理已然將 "景上的層" 列作完備的範例. 但有必要注意, 不等價的景經常攜有等價的拓撲斯. 同簡介所述, 普通拓撲空間上的層理論為拓撲斯理論的諸多基本定義和結論提供了原型.

### 集合範疇與 $G$-集合範疇

集合範疇為一個重要特例, 其在拓撲斯理論中扮演點這一角色. 事實上, 集合可被視作點上的層, 定義在僅含單個對象與恆等態射的單點範疇上的函子恰為集合範疇中的特定集合.

類似地, 對任意群 $G$, 存在等價於 $G$-集範疇的拓撲斯 $BG$. 我們將其構造為單對象範疇上的預層範疇, 此時態射集由群 $G$ 給出. 任何函子必然在目標上產生 $G$-作用, 這便給出了 $G$-集的範疇. 類似地對於群胚 $\mathcal G$, 其上的預層範疇給出一個由 $\mathcal G$ 中對象集索引的集族, 且其中對象的自同構由對函子目標的作用.

### 源自賦環空間的拓撲斯

一個更奇特的例子, 同時也是拓撲斯理論存在的根本緣由, 源自代數幾何. 拓撲斯的基本粒子來源於概型的 Зари́сский 拓撲斯. 對每個概型 $X$, 總存在一個景 $\operatorname{Open}(X)$ (其中對象由開子集給出, 態射由嵌入給出), 其預層範疇構成 Зари́сский 拓撲斯. 而一旦我們考慮特定的態射類, 即可產生多種推廣, 繼而引出不平凡的數學. 此外, 拓撲斯為純粹地將概型作為代數範疇上的函子進行研究奠定了基礎.

對一個概型乃至一個棧, 可關聯一個平展拓撲斯、一個 fppf 拓撲斯, 或者一個 Nisnevich 拓撲斯. 拓撲斯的另一個重要例子來自晶體景. 就平展拓撲斯而論, 它們構成了遠 Abel 幾何的基本研究對象, 該學科研究代數幾何中那些完全由其平展基本群的結構所決定的對象.

### 病態

某種意義上講, 拓撲斯為經典點集拓撲的推廣. 因此, 應當預期看到各種新舊病態行為的實例. 例如, Pierre Deligne 曾給出一個非平凡拓撲斯卻無點的例子 (其中拓撲斯點的定義見後文).

## 幾何態射

若 $X$ 和 $Y$ 是拓撲斯, 則幾何態射 $u\colon X\to Y$ 為伴隨函子對 $\left(u^*,u_*\right)$ (其中 $u^*\colon Y\to X$ 左伴隨於 $u_*\colon X\to Y$), 使得 $u^*$ 保持有限極限. 注意, $u^*$ 因擁有右伴隨而自動保持余極限.

依 Freyd 伴隨函子定理, 給定幾何態射 $X\to Y$ 等價於給出保持有限極限和所有小余極限的函子 $u^*\colon Y\to X$. 因此, 拓撲斯之間的幾何態射可視作場 (locale)的映射的類似物.

若 $X$ 和 $Y$ 是拓撲空間, 且 $u$ 為二者之間的連續映射, 則層上的拉回和前推操作會在關聯於景 $\operatorname{Open}(X)$, $\operatorname{Open}(Y)$ 的拓撲斯間產生一個幾何態射.

### 拓撲斯的點

拓撲斯 $X$ 的點定義為從集合的拓撲斯到 $X$ 的幾何態射.

若 $X$ 為普通拓撲空間, 而 $x$ 為 $X$ 的點, 則將層 $F$ 映至其莖 $F_x$ 的函子具有又伴隨("摩天大樓層" 函子), 因而 $X$ 通常意義下的點同樣確定了拓撲斯理論意義下的點. 這些點可構造為沿著連續映射 $x\colon \mathit{1}\to X$ 的拉回-前推.

對空間 $X$ 的平展拓撲斯 $(X)_{et}$, 其點為更精細的對象. 給定概型 $X$ 的點 $x\colon\operatorname{Spec}(\kappa(x))\to X$, 拓撲斯 $(X)_{et}$ 的點 $x'$ 則經由 $\kappa(x)$ 的一個可分擴張 $k$ 給出, 使得關聯映射 $x'\colon \operatorname{Spec}(k)\to X$ 穿過原始點 $x$. 如此, 分解映射$$\operatorname{Spec}(k)\to\operatorname{Spec}(\kappa(x))$$即為概型的平展態射.

更準確的說, 這些是全局點. 其本身不足以展示拓撲斯類似空間的性質, 因為非平凡拓撲斯可能根本不存在全局點. 廣義點為從拓撲斯 $Y$ (定義階段) 到 $X$ 的幾何態射. 這些廣義點足以展示類似空間的性質. 例如, 若 $X$ 為幾何理論 $T$ 的分類拓撲斯 $S[T]$, 那麼泛性質biomass其點恰為 $T$ 的模型 (在定義階段 $Y$ 中).

### 本質幾何態射

稱幾何態射 $\left(u^*,u_*\right)$ 為本質的, 若 $u^*$ 擁有一個進一步的左伴隨 $u_!$, 或等價地 (依伴隨函子定理) 若 $u^*$ 同時保持有限極限和所有小極限.

## 賦環拓撲斯

賦環拓撲斯為有序對 $(X, R)$, 分別為拓撲斯和其中的一個交換環對象. 賦環空間的大部分構造都適用於賦環拓撲斯. $X$ 中的 $R$-模對象範疇為具有足夠多內射對象的 Abel 範疇. 一個更有用的 Abel 範疇, 擬凝聚 $R$-模的子範疇: 其為容許展示的 $R$-模.

除賦環空間外, Deligne-Mumford 疊的平展拓撲斯為另一類重要的賦環拓撲斯.

## 拓撲斯的同倫理論

Michael Artin 和 Barry Mazur 將拓撲斯底層的景關聯於一個預單純集 (精確到同倫),(更適合在 Ho(pro-SS) 中考慮; 參見 Edwards) 利用該單純集的逆向系統, 人們時而可將經典拓撲中的同倫不變量關聯為拓撲斯理論中的不變量逆向系統. 對概型的平展拓撲斯所關聯的預單純集之研究, 稱之為平展同倫論. 在良好情形下 (若概型 Noether 且幾何單枝), 該預單純集亦預有限.

## 參考資料

### 補充來源

一些論文:

- John Baez: " Topos theory in a nutshell. " A gentle introduction.
- Steven Vickers: " Toposes pour les nuls " and " Toposes pour les vraiment nuls. " Elementary and even more elementary introductions to toposes as generalized spaces.

以下是對範疇論和拓撲斯易學的介紹。它們適合對數理邏輯和集合論瞭解較少的人，甚至是非數學家。

- F. William Lawvere and Stephen H. Schanuel (1997) Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge University Press. An "introduction to categories for computer scientists, logicians, physicists, linguists, etc." (cited from cover text).
- F. William Lawvere and Robert Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics. Cambridge University Press. Introduces the foundations of mathematics from a categorical perspective.

格羅滕迪克對拓撲斯基礎性的工作：

- Grothendieck and Verdier: Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (known as SGA4)". New York/Berlin: Springer, ??. (Lecture notes in mathematics, 269–270)

以下專著包括對部分或全部拓撲斯理論的介紹，但並非主要為初學者而寫。越靠後難度越高。

- Colin McLarty (1992) Elementary Categories, Elementary Toposes. Oxford Univ. Press. A nice introduction to the basics of category theory, topos theory, and topos logic. Assumes very few prerequisites.
- Robert Goldblatt (1984) Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. A good start. Reprinted 2006 by Dover Publications, and available online at Robert Goldblatt's homepage.
- John Lane Bell (2005) The Development of Categorical Logic. Handbook of Philosophical Logic, Volume 12. Springer. Version available online at John Bell's homepage.
- Saunders Mac Lane and Ieke Moerdijk (1992) Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory. Springer Verlag. More complete, and more difficult to read.
- Michael Barr and Charles Wells (1985) Toposes, Triples and Theories. Springer Verlag. Corrected online version at https://web.archive.org/web/20100821021308/http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html. More concise than Sheaves in Geometry and Logic, but hard on beginners.

專家的參考文獻，不適合初次學習:

- Francis Borceux (1994) Handbook of Categorical Algebra 3: Categories of Sheaves, Volume 52 of the Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. The third part of "Borceux' remarkable magnum opus", as Johnstone has labelled it. Still suitable as an introduction, though beginners may find it hard to recognize the most relevant results among the huge amount of material given.
- Peter T. Johnstone (1977) Topos Theory, L. M. S. Monographs no. 10. Academic Press. ISBN 0123878500. For a long time the standard compendium on topos theory. However, even Johnstone describes this work as "far too hard to read, and not for the faint-hearted."
- Peter T. Johnstone (2002) Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. Oxford Science Publications. As of early 2010, two of the scheduled three volumes of this overwhelming compendium were available.

以拓撲斯的特殊應用為目的的書:

- Maria Cristina Pedicchio and Walter Tholen, eds. (2004) Categorical Foundations: Special Topics in Order, Topology, Algebra, and Sheaf Theory. Volume 97 of the Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. Includes many interesting special applications.