左遞歸

在電腦科學裡面，左遞歸是一種遞歸的特殊狀況。

在上下文無關文法內裡的說法，若一個非終結符號（non-terminal）`r`有任何直接的文法規則或者透過多個文法規則，推導出的句型（sentential form）其中最左邊的符號 又會出現`r`，則我們說這個非終結符號`r`是左遞歸的。

使用類似的方式我們可以定義出某文法本身是左遞歸的。

## 定義

"一個文法是左遞歸的，若我們可以找出其中存在某非終結符號A，最終會推導出來的句型(sentential form)裡面包含以自己為最左符號(left-symbol)的句型"

### 直接左遞歸

直接左遞歸（Immediate left recursion）以下面的句型規則出現：

$$A \to A\alpha \mid \beta$$

這裡$\alpha$跟$\beta$代表不同的非終結符號跟終結符號組成的序列，並且$\beta$不一定要包含$A$。舉例來說，以下規則

$$\mathit{Expr} \to \mathit{Expr} + \mathit{Term}$$

就是一個直接左遞歸的例子。這規則的遞歸下降分析器(recursive descent parser)可能會像這樣：

```text
function Expr()
{  
    Expr();  match('+');  Term();
}
```

然後這個遞歸下降分析器在嘗試去解析包含此規則的文法時，會陷入一個無窮的遞歸。

### 間接左遞歸

間接左遞歸(indirect left recursion)最簡單的形式如下：

$$A \to B\alpha \mid C$$

$$B \to A\beta \mid D,$$

這規則可能產生 $A \Rightarrow B\alpha \Rightarrow A\beta\alpha \Rightarrow \ldots$ 這種生成。

簡單的說，間接左遞歸就是，並非在一條規則內完成左遞歸，而是在許多條規則之後，於產生的句子最左邊出現了一開始的非終結符號。

更一般化的說法，對非終結符號$A_0, A_1, \ldots, A_n$，間接左遞歸被定義為以下的型態：

$$A_0 \to A_1\alpha_1 \mid \ldots$$

$$A_1 \to A_2\alpha_2 \mid \ldots$$

$$\cdots$$

$$A_n \to A_0\alpha_{n+1} \mid \ldots$$

這裡的$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$都是一堆終端與非終結符號的序列。

## 在由上而下語法分析(top-down parsing)裡容納左遞歸

一個包含左遞歸的形式文法不能以簡易的 遞歸下降分析器進行語法分析，除非將文法轉變為weakly equivalent 的右遞歸形式 (相對的，在LALR分析器裡面則比較偏好左遞歸，因為比起右遞歸來說會使用比較少的堆疊)；然而，比較複雜的由上而下(top-down)語法分析器裡面可以藉由使用縮減(by use of curtailment)來實做一般的上下文無關文法。在2006年, Frost 和 Hafiz 提出一個演演算法，可以容納包含直接左遞歸生成規則的 模糊文法(ambiguous grammers)。在2007年，Frost，Hafiz和Callaghan 將此演演算法延伸為一個完整的，可以適用並在多項式時間內處理直接或間接左遞歸，而且可以為高度模糊文法接近指數數目的分析樹，產生小一些多項式空間的表示法。這些人後來在Haskell程式語言裡面以這個演演算法實做了一個的分析器組合(parser combinator)的集合。

## 移除左遞歸

### 移除直接左遞歸

一個一般化後移除直接左遞歸的演演算法如下所述。這個方法已經有過許多的改進，包括Robert C. Moore所撰寫，名為"Removing Left Recursion from Context-Free Grammars"的改進。

對於每個規則如下

$$A \rightarrow A\alpha_1\,|\,\ldots\,|\,A\alpha_n\,|\,\beta_1\,|\,\ldots\,|\,\beta_m$$

(注意這裡：

- A 是一個有左遞歸的非終端符號
- $\alpha$ 是一個終端與非終端符號的序列，而且不為空字串 ($\alpha \ne \epsilon$)
- $\beta$ 是一個不以A開頭的，以終端與非終端符號組成的序列)

將A的規則改成以下規則：

$$A \rightarrow \beta_1A^\prime\, |\, \ldots\, |\, \beta_mA^\prime$$

然後對新創造出來非終端符號的規則

$$A^\prime \rightarrow \epsilon\, |\, \alpha_1A^\prime\, |\, \ldots\, |\, \alpha_nA^\prime$$

這個新創造出來的符號常被稱為"尾巴"(tail)，或者"rest"(剩餘)

舉例，考慮以下規則

$$Expr \rightarrow Expr\,+\,Expr\,|\,Int\,|\,String$$

我們可以改寫為

$$Expr \rightarrow Int\,ExprRest\,|\,String\,ExprRest$$

$$ExprRest \rightarrow \epsilon\,|\,+\,Expr\,ExprRest$$

然後最後一個規則可以縮短改寫為

$$ExprRest \rightarrow \epsilon\,|\,+\,Expr$$

來避免掉左遞歸的出現

### 移除間接左遞歸

如果文法內不存在 $\epsilon$(代表空字串)的生成 (不存在$A \rightarrow \ldots | \epsilon | \ldots$這樣的規則)，而且不是循環(cyclic)的文法(對所有非終端符號A，不存在像是$A \Rightarrow \ldots \Rightarrow A$這種形式的規則)，以下這個一般化的演演算法可以用來去除文法的間接左遞歸：

將所有非終端符號以某個固定的順序$A_1, \ldots A_n$排列

從 i = 1 到 n {

從 j = 1 到 i – 1 {

- 設$A_j$的生成規則為

$$A_j \rightarrow \delta_1 | \ldots | \delta_k$$

- 將所有規則 $A_i \rightarrow A_j \gamma$換成

$$A_i \rightarrow \delta_1\gamma | \ldots | \delta_k\gamma$$

- 移除$A_i$規則中的直接左遞歸

## 陷阱

上面的轉換使用右遞歸的文法來避免掉左遞歸的出現；但是這樣會改變規則的結合律。左遞歸會創造出向左的結合律；但是右遞歸則會創造出向右的結合律。

範例 :

一開始我們拿到以下文法：

$$Expr \rightarrow Expr\,+\,Term\,|\,Term$$

$$Term \rightarrow Term\,*\,Factor\,|\,Factor$$

$$Factor \rightarrow (Expr)\,|\,Int$$

在我們使用上面的轉換方式來移除掉左遞歸之後，我們取得了以下文法：

$$Expr \rightarrow Term\ Expr'$$

$$Expr' \rightarrow {} + Term\ Expr'\,|\,\epsilon$$

$$Term \rightarrow Factor\ Term'$$

$$Term' \rightarrow {} * Factor\ Term'\,|\,\epsilon$$

$$Factor \rightarrow (Expr)\,|\,Int$$

我們將字串 'a + a + a'用一個LALR分析器(這種分析器可以處理左遞歸的文法)使用原先的文法來分析，會得到下面的分析樹(parse tree)：

```
                            Expr
                         /   |   \
                       Expr   +   Term
                     /  |  \        \
                   Expr  + Term      Factor
                    |      |       |
                   Term    Factor    Int
                    |      |
                  Factor    Int
                    |
                   Int  
```

整個分析樹是往左邊長，代表在這裡的規則，'+'這個符號是左結合(left associative)的，或者說這規則代表(a + a) + a。

但是我們改變了文法之後，那這個分析樹會變成：

```
                            Expr ---
                           /        \
                         Term      Expr' --
                          |       /  |     \ 
                        Factor   +  Term   Expr' ------
                          |          |      |  \       \
                         Int       Factor   +  Term   Expr'
                                     |           |      |
                                    Int        Factor   <math>\epsilon</math>
                                                 |
                                                Int
```

我們可以看出這棵樹現在是往右邊成長，意思上代表了a + ( a + a)。我們將'+'的結合律改變了, 變成是右結合的規則。在處理加法的文法時這不是甚麼問題，但是如果我們現在處理的是減法，這就會變成是很嚴重的問題。

問題的關鍵在於有很多常用的算術規則要求左結合的規則。我們有幾種解決辦法： (a) 將規則重新改為左遞歸，(b) 使用更多的非終端符號來改寫規則，以強迫文法合乎正確的結合(c) 如果使用YACC 或者Bison，他們有所謂算符宣告(operator declarations)， %left, %right and %nonassoc，這一些算符可以告訴語法分析器產生程式(parser generator)應該遵從哪一種結合。

## 外部連結

- CMU lecture on left-recursion
- Practical Considerations for LALR(1) Grammars
- X-SAIGA - eXecutable SpecificAtIons of GrAmmars