經典電磁理論的協變形式

經典電磁理論的協變形式是指將經典的電磁學定律（主要包括馬克士威方程組和洛倫茲力）納入狹義相對論的框架，利用洛倫茲協變的四維矢量和四維張量寫成「外在協變」的形式。這種形式的好處在於，經典的電磁學定律在任意慣性坐標系下具有相同的形式，並能夠使場和力在不同慣性系下的變換更加容易表述。

在本文中，閔可夫斯基度規的形式被規定為$diag(1, -1, -1, -1)\,$，這是參考了John David Jackson所編寫的《經典電動力學》中所採用的形式；並且從頭徹尾都使用了經典的張量代數以及愛因斯坦求和約定。

## 協變量

### 電磁張量

將電場和磁場統一起來可寫成一個反對稱張量，即電磁張量。當單位為伏特·秒/米2，其協變形式為

$$F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\ \frac{-E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{-E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{-E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right)$$

通過張量代數可以得到反變形式為

$$F^{\mu \nu} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \eta^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, \eta^{\beta \nu} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{-E_x}{c} & \frac{-E_y}{c} & \frac{-E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix} \right).$$

其中$\mathbf{E}\,$是電場強度，$\mathbf{B}\,$是磁感應強度，$c\,$是真空中的光速。如果採用高斯單位制，光速這個因子將不會出現。

### 四維電流密度

四維電流密度是統一了電流密度和電荷密度的四維矢量。當單位為安培/米2，其反變形式為

$$J^{\alpha} = \, (c \rho, \mathbf{J} )$$

其中$\rho\,$是電荷密度，$\mathbf{J}$是電流密度。

### 電磁四維勢

電磁四維勢是統一了電標勢和磁矢勢的四維矢量。當單位為伏特·秒/米時，其協變形式為

$$A_{\alpha} = \left( \phi/c,- \mathbf{A} \right)$$

電磁張量和四維勢之間的關係為

$$F_{\alpha \beta} = \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha} \,$$

其中

$$\partial_\alpha = \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} = \left( \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \mathbf{\nabla} \right) \,.$$

### 電磁應力-能量張量

電磁應力-能量張量是一個對稱張量，描述了電磁場對全部應力-能量張量的貢獻。當單位為焦耳/米3，它的反變形式為

$$T^{\alpha\beta} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}(\epsilon_{0}E^2 + \frac{1}{\mu_{0}}B^2) & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\ S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\ S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\ S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{bmatrix}$$

其中$\epsilon_0\,$是真空電容率， $\mu_0\,$是真空磁導率，坡印亭矢量為

$$\mathbf{S} = \frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{E} \times \mathbf{B} \,$$

而馬克士威應力張量為

$$\sigma_{ij} = \epsilon_{0}E_{i}E_{j} + \frac{1}{\mu_{0}}B_{i}B_{j} - \tfrac{1}{2}(\epsilon_{0}E^2 + \frac{1}{\mu_{0}}B^2)\delta_{ij} \,.$$

電磁應力-能量張量與電磁場張量之間的關係由下面方程給出：

$$T^{\alpha\beta} = \frac{-1}{\mu_{0}} ( F^{\alpha \gamma}\eta_{\gamma \nu}F^{\nu \beta} + \frac{1}{4}\eta^{\alpha\beta}F_{\gamma \nu}F^{\gamma \nu})$$

其中$\eta \,$是閔可夫斯基度規張量。注意我們這裡使用了關係

$$\epsilon_{0} \mu_{0} c^2 = 1\,.$$

### 其他非電磁學協變量

除上面的電磁學量以外，我們在這裡列出三個非電磁學的四維矢量，它們在本文中也有用到：

- 位置（坐標）矢量，單位為米：

$$x^\alpha = (ct, x, y, z) \,.$$

- 四維速度矢量，單位為米/秒：

$$u^\alpha = \gamma(c,\mathbf{u}) \,$$

其中$\mathbf{u} \,$是（三維）速度矢量，而$\gamma \,$是與$\mathbf{u} \,$有關的洛倫茲因子。

- 四維動量矢量，單位為千克·米/秒：

$$p_\alpha = ( E/c, - \mathbf{p}) = m \, \eta_{\alpha \nu} \, u^{\nu} \,$$

其中$\mathbf{p} \,$是（三維）動量矢量，而E是能量，m是粒子的靜止質量。

## 馬克士威方程組

真空中的馬克士威方程組可以寫作兩個張量方程的形式： :$\frac{\partial F^{\alpha \beta}}{\partial x^\alpha} = \mu_{0} J^\beta \qquad\hbox{and}\qquad 0 = \epsilon^{\alpha \beta \gamma \delta} \frac{\partial F_{\alpha \beta}}{\partial x^\gamma}$

其中F αβ是電磁張量，J α是四維電流密度，є αβγδ是列維-奇維塔符號，所有角標滿足愛因斯坦求和約定。第一個張量方程表述了兩個非齊次的麥克斯韋方程：高斯定律和安培定律；第二個張量方程表述了兩個齊次的麥克斯韋方程：法拉第電磁感應定律和磁場的高斯定律。

在無源的情形下，麥克斯韋方程組退化為與場強有關的波方程：

$$\eta^{\gamma \nu} \partial_{\gamma} \partial_{\nu} F^{\alpha\beta} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \Box F^{\alpha\beta} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \nabla^2 F^{\alpha\beta} - {1 \over c^2 } { \partial^2 F^{\alpha\beta} \over {\partial t }^2 } = 0 \,.$$

這裡$\Box$是達朗貝爾算符。

### 其他符號記法

如果不用求和約定或列維-奇維塔符號，方程組將寫為

$$\sum_{x^\alpha =ct,x,y,z}{\partial F^{\alpha \beta}\over\partial x^\alpha} = \mu_{0} J^{\beta} \qquad\hbox{and}\qquad 0 = {\partial F_{\alpha\beta}\over\partial x^\gamma} <pre> + {\partial F_{\beta\gamma}\over\partial x^\alpha} + {\partial F_{\gamma\alpha}\over\partial x^\beta} </pre>$$

其中所有的角標的範圍是0到3（更具體而言，$x^\alpha$的範圍是{ct,x,y,z}）。第一個張量方程對應著四個標量方程，其中$\beta$的值為0到3。第二個張量方程可展開為$4^3=64$個標量方程，但只有四個是獨立的。

為了方便可以將四維梯度寫作更簡潔的形式：

$${\partial F^{\alpha\beta}\over \partial x^\gamma} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \partial_\gamma F^{\alpha\beta} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, {F^{\alpha\beta}}_{,\gamma} \,.$$

從而馬克士威方程組最終的協變形式為$${F^{\alpha \beta}}_{,\alpha} = \mu_0 J^\beta$$ 以及$$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} {F_{\alpha\beta,\gamma}}=0\ .$$

## 連續性方程

由電荷守恆得到的連續性方程的協變形式為

$${J^{\alpha}}_{,\alpha} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \partial_{\alpha} J^{\alpha} \, = \, 0 \,.$$

## 洛倫茲力

電磁場通過洛倫茲力來影響其中粒子的運動。僅考慮洛倫茲力的影響時，牛頓運動定律用場強張量表示的相對論形式為

$$\frac{d p_{\alpha}}{d \tau} \, = q \, F_{\alpha \beta} \, u^\beta$$

其中$p\,$是四維動量，$q\,$是電荷，$u\,$是四維速度，$\tau\,$是粒子的固有時。

如果採用（普通）時間而不是固有時，方程則寫為

$${ d p_{\alpha} \over { d t } } = q \, F_{\alpha \beta} \, \frac{d x^\beta}{d t} \,.$$

在連續性介質中，三維的力密度（空間分量：三維小體元中的洛倫茲力除以體元的體積）和一維的功率密度（時間分量：三維小體元中傳播的功率除以體元的體積）合併為一個協變的力密度矢量$f_{\mu} \,.$。從而洛倫茲力的密度的空間分量為$\mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}$. 寫為外在協變的形式為

$$f_{\mu} = F_{\mu\nu}J^{\nu} .\!$$

## 電磁應力-能量張量的微分方程

電磁應力-能量張量滿足下面的微分方程，此方程將電磁張量和四維電流密度相聯繫：

$$\eta_{\alpha \nu} { T^{\nu \beta } }_{,\beta} + F_{\alpha \beta} J^{\beta} = 0 \,$$

這個方程表述了電磁相互作用中動量和能量的守恆律。

## 洛倫茨規範條件

洛倫茨規範是具有洛倫茲不變性的規範條件。（在規範對稱性下可以選取多種不同的規範條件，例如庫侖規範，通常在一個慣性系下滿足的規範條件將不能同時滿足於另一個慣性系。）

洛倫茨規範用四維勢表示為

$$\eta^{\alpha \nu} \, \partial_{\alpha} A_{\nu} = 0 \,.$$

### 洛倫茨規範下的麥克斯韋方程組

洛倫茨規範下的麥克斯韋方程組可表為

$$\eta^{\sigma \nu} \, \Box A_{\nu} = - \mu_{0} \, J^{\sigma}$$

其中$\Box$是達朗貝爾算符。

## 介質中麥克斯韋方程組的協變形式

如果考慮介質中的麥克斯韋方程組，此時的電流$J^{\alpha}\,$可分為自由電流${J^{\alpha}}_{\text{free}} \,$和束縛電流${J^{\alpha}}_{\text{bound}} \,$：

$$J^{\alpha} = {J^{\alpha}}_{\text{free}} + {J^{\alpha}}_{\text{bound}} \,.$$

其中束縛電流的部分來自介質的磁化和電極化，這兩者構成一個反對稱的反變磁化-極化張量：

$$\mathcal{M}^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & -P_xc & -P_yc & -P_zc \\ P_xc & 0 & M_z & -M_y \\ P_yc & -M_z & 0 & M_x \\ P_zc & M_y & -M_x & 0 \end{pmatrix}$$

根據麥克斯韋方程，束縛電流為

$${J^{\mu}}_{\text{bound}} = \partial_{\nu} \mathcal{M}^{\mu \nu} \,.$$

將磁化-極化張量和真空中的電磁張量$F^{\mu \nu} \,,$合併，我們可以得到反對稱的反變電磁位移張量，其中包含了電位移矢量$[D_x,D_y,D_z] \!$和磁場強度矢量$[H_x,H_y,H_z] \,$：

$$\mathcal{D}^{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 0 & D_xc & D_yc & D_zc \\ -D_xc & 0 & H_z & -H_y \\ -D_yc & -H_z & 0 & H_x \\ -D_zc & H_y & -H_x & 0 \end{pmatrix}.$$

它們之間的關係為

$$\mathcal{D}^{\mu \nu} = \frac{1}{\mu_{0}} F^{\mu \nu} - \mathcal{M}^{\mu \nu} \,$$

這個方程等價於經典電磁學中的$\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \,$和$\mathbf{H} = \frac{1}{\mu_{0}} \mathbf{B} - \mathbf{M} \,.$ 並進一步可以推導出介質中的安培定律$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{\text{free}} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$和高斯定律$\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_{\text{free}}$，即

$${J^{\mu}}_{\text{free}} = \partial_{\nu} \mathcal{D}^{\mu \nu} \,.$$

束縛電流和自由電流的定義已經由上面給出，並且各自滿足守恆律：

$\partial_{\mu} {J^{\mu}}_{\text{bound}} = 0 \,$ :$\partial_{\mu} {J^{\mu}}_{\text{free}} = 0 \,.$

由此，如果我們需要求解介質中的電流密度$J^{\alpha}\,,$，可以將其分為求解自由電流密度${J^{\alpha}}_{\text{free}}\,,$和求解磁化-極化張量$\mathcal{M}^{\alpha \beta}\,$的問題。例如，在低頻線性介質中有

$$\mathbf{J}_{\text{free}} = \sigma \mathbf{E} \,$$

$$\mathbf{P} = \epsilon_0 \chi_e \mathbf{E} \,$$

$$\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H} \,$$

其中觀察者在與介質共同運動的參考系中，$\sigma\,$是電導率，$\chi_e\,$是電極化率，$\chi_m\,$是磁化率。

## 拉格朗日量

單位為焦耳/米3時，真空中的經典電磁拉格朗日量為

$$\mathcal{L} \, = \, \mathcal{L}_{\mathrm{field}} + \mathcal{L}_{\mathrm{int}} = - \frac{1}{4 \mu_0} F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta} + A_{\alpha} J^{\alpha} \,.$$

其中包含了表示場強的項和表示相互作用的項。如果我們將自由電流和束縛電流分開，則拉格朗日量寫為

$\mathcal{L} \, = \, - \frac{1}{4 \mu_0} F^{\alpha \beta} F_{\alpha \beta} + A_{\alpha} J^{\alpha}_{\text{free}} + \frac12 F_{\alpha \beta} \mathcal{M}^{\alpha \beta} \,.$ 對應的非相對論形式為

$$\mathcal{L} \, = \, \frac12 (\epsilon_{0} E^2 - \frac{1}{\mu_{0}} B^2) - \phi \, \rho_{\text{free}} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_{\text{free}} + \mathbf{E} \cdot \mathbf{P} + \mathbf{B} \cdot \mathbf{M} \,.$$

## 廣義相對論中的推廣

在廣義相對論中，度規張量$g_{\alpha \beta}\,$不再是恆定的$\eta_{\alpha \beta}\,$，而有可能隨時間和空間變化，度規張量則是引力場的勢。

真空中處於引力場中的麥克斯韋方程組為

$$F_{\alpha \beta} \, = \, \partial_{\alpha} A_{\beta} \, - \, \partial_{\beta} A_{\alpha} \,$$

$$\mathcal{D}^{\mu\nu} \, = \, \frac{1}{\mu_{0}} \, g^{\mu\alpha} \, F_{\alpha\beta} \, g^{\beta\nu} \, \sqrt{-g} \,$$

$$J^{\mu} \, = \, \partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu} \,$$

$$f_\mu \, = \, F_{\mu\nu} \, J^\nu \,$$

其中$g^{\alpha\beta}\,$是度規張量$g_{\alpha\beta}\,$的倒數，而$g\,$是度規張量的行列式，$A_{\alpha}\,$是電磁場的四維勢，$F^{\alpha\beta}\,$是電磁張量，$D^{\mu\nu}\,$是位移電流張量，$f_{\mu}\,$是洛倫茲力的密度，$J_{\mu}\,$是四維電流密度。儘管方程組中使用了偏導數，這些方程仍然在任意曲面坐標變換下是協變的：也就是說如果將偏導數換成協變導數，引入的附加項會自動消去從而保持形式不變。