萊恩-埃姆登方程

萊恩－埃姆登方程（Lane–Emden equation）是天文物理中一個表現自重力位能，球對稱多方流體的無因次泊松方程。此方程式名字由來於強納生·荷馬·萊恩與羅伯特·埃姆登。此方程式的解表示了恆星在半徑 $r$ 時的壓力與密度，方程式中並有重構徑向變數 $\xi$ 和重構溫度變數 $\theta$：

$$\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0$$

當

$$\xi = r \left(\frac{4 \pi G \rho_c^2}{(n+1)P_c}\right)^{\frac{1}{2}}$$

以及

$$\rho = \rho_c \theta^n \,$$

下標 c 代表核心的壓力與密度。$n$是多方指數；多方指數與代表氣體壓力及密度的多方方程式有關係。

$$P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}}\,$$

$P$ 是代表壓力，$\rho$ 則是密度，而 $K$ 則是比例常數。標準的邊界條件則是 $\theta(0)=1$ 和 $\theta'(0)=0$。因此該方程式的解是描述恆星壓力和密度與半徑的關係，並且給定的多方指數 $n$ 也是多方球的多方指數 $n$。流體靜力平衡與位能、密度、壓力梯度有關；泊松方程與位能、密度有關。

## 應用

在物理學上，流體靜力平衡與位能梯度、密度和壓力梯度相關，而泊松方程則可以是位能和密度的關係式。因此如果有一個方程式可以進一步指出壓力和密度如何互相反映，就可以得到一個解。以上多方氣體的特定選項在數學上陳述了這個問題，尤其是該陳述特別簡潔並推導出了萊恩－埃姆登方程。這個方程式對於恆星等自重力位能氣體球是相當有用的近似，但它的假設通常是受到限制。

## 推導

### 以流體靜力平衡推導

考慮到自重力位能、流體靜力平衡下的球對稱流體、質量守恆這些狀況，就可使用以下連續性方程式：

$$\frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho$$

這裡 $\rho$ 是 $r$ 的函數。流體靜力平衡的公式成為：

$$\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} = -\frac{Gm}{r^2}$$

$m$ 也是 $r$ 的公式。再一次求導數可得：

$$\begin{align} \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}\right) &= \frac{2Gm}{r^3}-\frac{G}{r^2}\frac{dm}{dr} \\ &=-\frac{2}{\rho r}\frac{dP}{dr}-4\pi G\rho \end{align}$$

這裡已經使用一個連續性方程式取代質量梯度。再將方程式兩側乘上 $r^2$，並將帶有 $P$ 的導數的項置於左側，方程式成為：

$$r^2\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}\right)+\frac{2r}{\rho}\frac{dP}{dr} =\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr}\right)=-4\pi Gr^2\rho$$

方程式兩側除以 $r^2$，在某些意義上這是一維形式所需的方程式。此外，如果我們以多變方程 $P=K\rho_c^{1+\frac{1}{n}}\theta^{n+1}$ 和 $\rho=\rho_c\theta^n$ 代入，可得到：

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2K\rho_c^\frac{1}{n}(n+1)\frac{d\theta}{dr}\right)=-4\pi G\rho_c\theta^n$$

將常數聚集並以 $r=\alpha\xi$ 取代：

$\alpha^2=(n+1)K\rho_c^{\frac{1}{n}-1}/4\pi G$,

最後得到萊恩－埃姆登方程：

$$\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0$$

### 以泊松方程推導

同樣地，也可以使用泊松方程進行推導：

$$\nabla^2\Phi=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left({r^2\frac{d\Phi}{dr}}\right) = -4\pi G\rho$$

我們可以透過以下數學公式以流體靜力平衡取代位能梯度：

$$\frac{d\Phi}{dr}=\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}$$

最後也可以得到萊恩－埃姆登方程。

## 方程式解

### 解析解

$n$ 只在3個值時有解析解

#### $n=0$

如果 $n=0$，方程式成為：

$$\frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + 1 = 0$$

重新整理並進行一次積分後的公式成為：

$$\xi^2\frac{d\theta}{d\xi} = C_1-\frac{1}{3}\xi^3$$

公式兩側都除以 $\xi^2$，並且再積分一次後得到：

$$\theta(\xi)=C_0-\frac{C_1}{\xi}-\frac{1}{6}\xi^2$$

邊界條件 $\theta(0)=1$ 和 $\theta'(0)=0$ 暗示積分常數是 $C_0=1$ 和 $C_1=0$。

#### $n=1$

當 $n=1$，方程式可展開如下：

$$\frac{d^2\theta}{d\xi^2}+\frac{2}{\xi}\frac{d\theta}{d\xi} + \theta = 0$$

兩端都乘以 $\xi^2$ 可得到 $k=1$ 和 $n=0$ 的球貝索函數。套用了邊界條件以後的解將是：

$$\theta(\xi)=\frac{\sin\xi}{\xi}$$

#### $n=5$

在經過一連串取代的步驟後，方程式可以有進一步的解：

$$\theta(\xi)=\frac{1}{\sqrt{1+\xi^2/3}}$$

當 $n=5$，方程式的解將是循著徑向的無限大值。

### 數值解

一般情形下萊恩－埃姆登方程的解必須以數值積分方式求得。許多數值積分的標準解法要求該問題必須以一階常微分方程表示，例如：

$$\frac{d\theta}{d\xi}=-\frac{\phi}{\xi^2}$$

$$\frac{d\phi}{d\xi}=\theta^n\xi^2$$

在這裡 $\phi(\xi)$ 被視為無因次質量，而質量可使用 $m(r)=4\pi\alpha^3\rho_c\phi(\xi)$ 表示。相關的邊界條件是 $\phi(0)=0$ 和 $\theta(0)=1$。第一個方程式表現了流體靜力平衡，而第二個方程式則表示質量守恆。

## 同調變數

### 同調不變方程

已知如果 $\theta(\xi)$ 是萊恩－埃姆登方程的解，那麼完整的解方程式將是 $C^{2/n+1}\theta(C\xi)$。和這方式相關的解則稱為「同調」，而轉換的過程是同調性的。如果我們選擇不變的變數達到同調性，就可以將萊恩－埃姆登方程降一階計算。

而這類可選擇的變數有多個，一個適當的選擇是：

$$U=\frac{d\log m}{d\log r}=\frac{\xi^3\theta^n}{\phi}$$

和

$$V=\frac{d\log P}{d\log r}=(n+1)\frac{\phi}{\xi\theta}$$

我們可以將相對於 $\xi$ 的變數的對數微分，得到：

$$\frac{1}{U}\frac{dU}{d\xi}=\frac{1}{\xi}(3-n(n+1)^{-1}V-U)$$

和

$\frac{1}{V}\frac{dV}{d\xi}=\frac{1}{\xi}(-1+U+(n+1)^{-1}V)$.

最後，我們將以上兩個方程式相除以消去應變量 $\xi$，留下：

$$\frac{dV}{dU}=-\frac{V}{U}\left(\frac{U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}\right)$$

以上即為單一一階方程式。

### 拓撲結構不變的同調方程

同調性不變的方程式可被視為自主對方程式：

$$\frac{dU}{d\log\xi}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)$$

和

$$\frac{dV}{d\log\xi}=V(U+(n+1)^{-1}V-1)$$

這些方程式的解的形式可透過以下線性穩定性分析來決定。方程式的臨界點（當 $dV/d\log\xi=dU/d\log\xi=0$）和雅可比矩陣的特徵值、特徵向量如下表所示：

臨界點｜特徵值｜特徵向量

$(0,0)$｜$3$｜$-1$｜$(1,0)$｜$(0,1)$

$(3,0)$｜$-3$｜$2$｜$(1,0)$｜$(-3n,5+5n)$

$(0,n+1)$｜$1$｜$3-n$｜$(0,1)$｜$(2-n,1+n)$

$\left(\frac{n-3}{n-1},2\frac{n+1}{n-1}\right)$｜$\frac{n-5\pm\Delta_n}{2-2n}$｜$\left(1-n\mp\Delta_n,4+4n\right)$