歐拉方程 (流體動力學)

在流體動力學中，歐拉方程是一組支配無黏性流體運動的方程，以萊昂哈德·歐拉命名。方程組各方程分別代表質量守恆（連續性）、動量守恆及能量守恆，對應零黏性及無熱傳導項的納維-斯托克斯方程。歷史上，只有連續性及動量方程是由歐拉所推導的。然而，流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為「歐拉方程」。

跟納維－斯托克斯方程一樣，歐拉方程一般有兩種寫法：「守恆形式」及「非守恆形式」。守恆形式強調物理解釋，即方程是通過一空間中某固定體積的守恆定律；而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。

歐拉方程可被用於可壓縮性流體，同時也可被用於非壓縮性流體——這時應使用適當的狀態方程，或假設流速的散度為零。

本條目假設經典力學適用；當可壓縮流的速度接近光速時，詳見相對論性歐拉方程。

## 歷史

第一份印有歐拉方程的出版物是歐拉的論文《流體運動的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），發表於1757年，刊載於《柏林科學院論文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它們是最早被寫下來的一批偏微分方程。在歐拉發表他的研究之時，方程組只有動量方程及連續性方程，因此只能完整描述非壓縮性流體；在描述可壓縮性流體時，會因條件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯添加了一條方程，第三條方程後來被稱為絕熱條件。

在十九世紀的後半期，科學家們發現，與能量守恆相關的方程在任何時間都得被遵守，而絕熱條件則只會在有平滑解的情況下會被遵守，因為該條件是由平滑解時的基礎定律所造成的後果。在發現了狹義相對論之後，能量密度、質量密度及應力這三個概念，被統一成應力-能量張量這一個概念；而能量及動量也同樣被統一成一個概念——能量-動量張量。

## 守恆形式（分量）

以下是用微分形式寫成的歐拉方程：

$$\begin{align} &{\partial\rho\over\partial t}+ \nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0\\[1.2ex] &{\partial\rho{\mathbf u}\over\partial t}+ \nabla\cdot(\mathbf u\otimes(\rho \mathbf \mathbf u))+\nabla p=0\\[1.2ex] &{\partial E\over\partial t}+ \nabla\cdot(\mathbf u(E+p))=0, \end{align}$$

其中

- ρ為流體的質量密度。
- u 為流體速度向量，分量為u、v及w。
- E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 )為每一單位容量所含的總能量，其中e為流體每一單位容量所含的內能。
- p為壓力。
- $\otimes$代表張量積。

第二條方程包含了一併矢積的散度，用下標標記（每一個j代表從1至3）表示會較易明白：

$${\partial(\rho u_j)\over\partial t}+ \sum_{i=1}^3 {\partial(\rho u_i u_j)\over\partial x_i}+ {\partial p\over\partial x_j} =0,$$

其中i及j下標各代表直角座標系的三個分量：( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z )及( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )。

注意以上方程是用守恆形式的，而守恆形式強調的是方程的物理起因（因此在計算流體力學中的電腦模擬上使用這種形式最方便）。而代表動量守恆的第二條方程可用非守恆形式表示：

$$\rho\left( \frac{\partial}{\partial t}+{\mathbf u}\cdot\nabla \right){\mathbf u}+\nabla p=0$$

但是在這個形式上，會比較看不出歐拉方程與牛頓第二運動定律的直接關聯。

## 守恆形式（向量）

以下是用向量及守恆形式寫成的歐拉方程：

$$\frac{\partial \mathbf m}{\partial t}+ \frac{\partial \mathbf f_x}{\partial x}+ \frac{\partial \mathbf f_y}{\partial y}+ \frac{\partial \mathbf f_z}{\partial z}=0,$$

其中

$${\mathbf m}=\begin{pmatrix}\rho \\ \rho u \\ \rho v \\ \rho w \\E\end{pmatrix};$$

$${\mathbf f_x}=\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^2\\ \rho uv \\ \rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix};\qquad {\mathbf f_y}=\begin{pmatrix}\rho v\\ \rho uv \\p+\rho v^2\\ \rho vw \\v(E+p)\end{pmatrix};\qquad {\mathbf f_z}=\begin{pmatrix}\rho w\\ \rho uw \\ \rho vw \\p+\rho w^2\\w(E+p)\end{pmatrix}.$$

在這個形式下，不難看出fx、fy及fz是通量。

以上方程分別代表質量守恆、動量的三個分量及能量。裏面有五條方程，六個未知數。封閉系統需要一條狀態方程；最常用的是理想氣體定律（即p = ρ (γ−1) e，其中ρ為密度，γ為絕熱指數，e為內能）。

注意能量方程的奇特形式；見藍金-雨果尼厄方程。附加含p的項可被詮釋成相鄰的流體元對某流體元所作的機械功。在非壓縮性流體中，這些附加項的總和為零。

取流線上歐拉方程的積分，假設密度不變，及狀態方程具有足夠的剛性，可得有名的伯努利定律。

## 非守恆形式（通量雅可比矩陣）

在構建數值解，例如求雷曼問題的近似解的時候，展開通量可以是很重要的一環。使用上面以向量表示的守恆形式方程，展開其通量可得非守恆形式如下：

$$\frac{\partial \mathbf m}{\partial t} + \mathbf A_x \frac{\partial \mathbf m}{\partial x} + \mathbf A_y \frac{\partial \mathbf m}{\partial y} + \mathbf A_z \frac{\partial \mathbf m}{\partial z} = 0.$$

其中Ax、Ay及Az為通量雅可比矩陣，各矩陣為：

$$<pre> \mathbf A_x=\frac{\partial \mathbf f_x(\mathbf s)}{\partial \mathbf s}, \qquad \mathbf A_y=\frac{\partial \mathbf f_y(\mathbf s)}{\partial \mathbf s}, \qquad \mathbf A_z=\frac{\partial \mathbf f_z(\mathbf s)}{\partial \mathbf s}. </pre>$$

上式中這些通量雅可比矩陣Ax、Ay及Az，還是狀態向量m的函數，因此這種形式的歐拉方程跟原方程一樣，都是非線性方程。在狀態向量m平滑變動的區間內，這種非守恆形式跟原來守恆形式的歐拉方程是相同的。

### 理想氣體的通量雅可比矩陣

將理想氣體定律用作狀態方程，可推導出完整的雅可比矩陣形式，矩陣如下：

理想氣體的通量雅可比矩陣x方向的通量雅可比矩陣： :$\mathbf A_x= \left[ \begin{array}{c c c c c} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hat{\gamma}H-u^2-a^2 & (3-\gamma)u & -\hat{\gamma}v & -\hat{\gamma}w & \hat{\gamma} \\ -uv & v & u & 0 & 0 \\ -uw & w & 0 & u & 0 \\ u[(\gamma-2)H-a^2] & H-\hat{\gamma}u^2 & -\hat{\gamma}uv & -\hat{\gamma}uw & \gamma u \end{array} \right].$ y方向的通量雅可比矩陣： :$\mathbf A_y= \left[ \begin{array}{c c c c c} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -vu & v & u & 0 & 0 \\ \hat{\gamma}H-v^2-a^2 & -\hat{\gamma}u & (3-\gamma)v & -\hat{\gamma}w & \hat{\gamma} \\ -vw & 0 & w & v & 0 \\ v[(\gamma-2)H-a^2] & -\hat{\gamma}uv & H-\hat{\gamma}v^2 & -\hat{\gamma}vw & \gamma v \end{array} \right].$ z方向的通量雅可比矩陣： :$\mathbf A_z= \left[ \begin{array}{c c c c c} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -uw & w & 0 & u & 0 \\ -vw & 0 & w & v & 0 \\ \hat{\gamma}H-w^2-a^2 & -\hat{\gamma}u & -\hat{\gamma}v & (3-\gamma)w& \hat{\gamma} \\ w[(\gamma-2)H-a^2] & -\hat{\gamma}uw & -\hat{\gamma}vw & H-\hat{\gamma}w^2 & \gamma w \end{array} \right].$ 其中$\hat{\gamma}=\gamma-1$.

總焓H為：

$$H = \frac{E}{\rho} + \frac{p}{\rho},$$

及聲速a為：

$$a=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}} = \sqrt{(\gamma-1)\left[H-\frac{1}{2}\left(u^2+v^2+w^2\right)\right]}.$$

### 線性化形式

將含通量雅可比矩陣的非守恆形式，在狀態m = m0的周圍線性化後，可得線性化歐拉方程如下：

$$\frac{\partial \mathbf m}{\partial t} + \mathbf A_{x,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial x} + \mathbf A_{y,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial y} + \mathbf A_{z,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial z} = 0,$$

其中Ax,0、Ay,0及Az,0分別為Ax、Ay及Az於某參考狀態m = m0的值。

### 線性化一維的非耦合波方程

如果棄用守恆變量而改用特徵變量的話，歐拉方程可被變換成非耦合波方程。舉例說，考慮以線性通量雅可比矩陣形式表示的一維（1-D）歐拉方程：

$$\frac{\partial \mathbf m}{\partial t} + \mathbf A_{x,0} \frac{\partial \mathbf m}{\partial x} =0.$$

矩陣Ax,0可被對角化，即可將其分解成：

$$<pre> \mathbf{A}_{x,0} = \mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^{-1}, </pre>$$

$$\mathbf{P}= \left[\mathbf r_1, \mathbf r_2, \mathbf r_3\right] =\left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ u-a & u & u+a \\ H-u a & \frac{1}{2} u^2 & H+u a \\ \end{array} \right],$$

$$\mathbf{\Lambda} = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u-a & 0 & 0 \\ 0 & u & 0 \\ 0 & 0 & u+a \\ \end{bmatrix}.$$

上式中，r1、r2及r3為矩陣Ax,0的右特徵向量（若$A x_R = \lambda_R x_R,\ $，則x_R為右特徵向量），而λ1、λ2及λ3則為對應的特徵值。

設特徵變量為：

$$\mathbf{w}= \mathbf{P}^{-1}\mathbf{m},$$

由於Ax,0不變，原來的一維通量雅可比矩陣方程，乘上P−1後可得：

$$\frac{\partial \mathbf{w}}{\partial t} + \mathbf{\Lambda} \frac{\partial \mathbf{w}}{\partial x} = 0$$

經過這樣的處理後，方程實際上已經被非耦合化，而且可被視作三條波方程，其中特徵值為波速。變量wi為雷曼不變量，或在一般的雙曲系統中為特徵變量。

## 衝擊波

歐拉方程為非線性雙曲方程，而它們的通解為波。與海浪一樣，由歐拉方程所描述的波碎掉後，所謂的衝擊波就會形成；這是一種非線性效應，所以其解為多值函數（即函數內的某自變量會產生多個因變量）。物理上這代表構建微分方程時所用的假設已經崩潰，如果要從方程上取得更多資訊，就必須回到更基礎的積分形式。然後，在構建弱解時，需要使用藍金-雨果尼厄衝擊波條件，在流動的物理量中避開不連續點「跳躍」，上述物理量有密度、速度、壓力及熵。物理量很少會出現不連續性；在現實的流動中，黏性會把這些不連續點平滑化。

許多領域都有研究衝擊波的傳播，尤其是出現流動處於足夠高速的領域，例如空氣動力學及火箭推進。

## 一維中的方程

在某些問題中，特別是分析導管中的可壓縮流，或是當流動呈圓柱或球狀對稱的時候，一維歐拉方程都是很有用的近似法。一般來說，解歐拉方程會用到黎曼的特徵線法。首先需要找出特徵線，這條曲線位於兩個獨立變量（即x及t）所構成的平面上，在這條線上偏微分方程（PDE）會退化成常微分方程（ODE）。歐拉方程的數值解法非常倚賴特徵線法。