奈奎斯特穩定判據

在控制理論和穩定性理論中，奈奎斯特穩定判據（Nyquist stability criterion）是貝爾實驗室的瑞典裔美國電氣工程師哈里·奈奎斯特於1932年發現，用於確定動態系統穩定性的一種圖形方法。由於它只需檢查對應開環系統的奈奎斯特圖，可以不必準確計算閉環或開環系統的零極點就可以使運用（雖然必須已知右半平面每一種類型的奇點的數目）。因此，他可以用在由無理函數定義的系統，如時滯系統。與波德圖相比，它可以處理右半平面有奇點的傳遞函數。此外，還可以很自然地推廣到具有多個輸入和多個輸出的複雜系統，如飛機的控制系統。

奈奎斯特準則廣泛應用於電子和控制工程以及其他領域中，用以設計、分析反饋系統。儘管奈奎斯特判據是最一般的穩定性測試之一，它還是限定在線性非時變（LTI）系統中。非線性系統必須使用更為複雜的穩定性判據，例如李雅普諾夫或圓判據。雖然奈奎斯特判據是一種圖形方法，但它只能提供為何系統是穩定的或是不穩定的，或如何將一個系統改變得穩定的有限直觀感受。而波德圖等方法儘管不太具有普遍性，有時卻在設計中更加有用。

## 基礎概念

考慮一個線性系統（例如，一個控制器），它的開環傳遞函數（Open-loop Transfer Function）是 $G(s)\,$，當它與反饋 $H(s)\,$組成閉環系統時，系統的閉環傳遞函數（Closed-loop Transfer Function）則為 $\frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}\,$。當考察這個系統的穩定性時，一般可以考察其特徵方程 $1 + G(s)H(s) = 0\,$ 並求解這個方程的根，例如勞斯表就是基於這種方法，其缺點是比較繁瑣。事實上，只通過考察這個系統的開環傳遞函數（OLTF）$G(s)H(s)\,$，並應用波特圖或奈奎斯特圖就可以得出結論。

任何拉普拉斯域中的傳遞函數 $\mathcal{T}(s)$ 都可表示為兩個多項式的比值：$\mathcal{T}(s) = \frac{N(s)}{D(s)}.$

$\mathcal{T}(s)$ 的零點是方程$N(s) = 0$的根，$\mathcal{T}(s)$的極點是「特徵方程」$D(s) = 0$的根。

$\mathcal{T}(s)$的穩定性由它的極點來決定：只有當系統的每一個極點的實數部分都為負值，即極點都在左半平面時，系統才是穩定的。而對於一個具有單位負反饋的閉環系統，若其開環傳遞函數由$\mathcal{F}(s) = \frac{A(s)}{B(s)}$給出，則閉環系統的穩定性由特徵方程$1 + \mathcal{F}(s) = 0$來決定，即等同於求解方程$A(s) + B(s) = 0$的根。

## 柯西輻角原理

根據複分析理論特別是其中的輻角原理，可以知道對於複平面 $s$ 上的一條圍道 $\Gamma_s$，如果函數 $F(s)\,$ 在圍道上沒有極點或零點，則圍道可通過函數 $F(s)\,$ 映射到另一平面（$F(s)\,$ 平面）。映射後的圍道 $\Gamma_{F(s)}$ 將卷繞 $F(s)$ 平面的原點 $N$ 次，而 $N = Z - P$。這裡 $Z$ 和 $P$ 分別是函數 $F(s)$ 在圍道 $\Gamma_s$ 內的零點數和極點數。注意這裡在數 $F(s)$ 平面內的卷繞數時是和圍道 $\Gamma_s$ 的方向一致的，從而反向的卷繞會被計為負數。

奈奎斯特於1932年發表最初的論文時沒有採用輻角原理，相比之下他所用的方法並不那麼簡潔優美。這裡介紹的方法類似於Leroy MacColl（《伺服系統的基礎理論》，1945年）和亨德里克·波特（《網路分析和反饋放大設計》，1945年）所用的方法，他們兩人都在貝爾實驗室工作過。同時這也是當代大多數有關控制理論的教科書上所介紹的方法。

## 奈奎斯特判據

首先建立一條奈奎斯特圍道，這條圍道包圍了複平面的右半部分：

- 一條沿虛軸$j\omega$的路徑，範圍從$0 - j\infty$到$0 + j\infty$。
- 一條半徑$r \to \infty$的半圓弧，從$0 + j\infty$起始順時針轉到$0 - j\infty$。

奈奎斯特圍道通過開環傳遞函數$F(s)$的映射即為函數$F(s)$的奈奎斯特圖。根據輻角原理，逆時針為正的情況下卷繞原點的次數等於函數$F(s)$在右半平面中零點的個數減去右半平面中極點的個數。如果考察圍道卷繞（-1, j0）這一點而非原點的次數，則可得知函數$1 + F(s)$在右半平面中零點的數量與右半平面中極點的數量之差。由於方程$1 + F(s) = 0$的根就是閉環傳遞函數的極點，並注意到方程$1 + F(s) = 0$和方程$F(s) = 0$具有相同的根的數量，可以得到奈奎斯特穩定判據：

對於給定的奈奎斯特圍道$\Gamma_s$，假設$P$是開環傳遞函數$F(s)$在圍道內部的極點數量，$Z$是特徵方程$1 + F(s) = 0$在圍道內部的根數量——因而$Z$也是對應的閉環傳遞函數$\mathcal{T}(s) = \frac{1}{1 + F(s)}$在圍道內部的極點數量，從而奈奎斯特圍道在$F(s)$平面內的映射$\Gamma_{F(s)}$，即函數的奈奎斯特圖將卷繞(-1 , j0)$N$次，其中$Z = P - N$。對於一個穩定系統，要求$Z = 0$。也就是說，閉環傳遞函數在右半平面上的極點數必須為零，為此開環傳遞函數$F(s)$的奈奎斯特圖逆時針卷繞(-1 , j0)這一點的次數必須等於$F(s)$在右半平面上的極點數量。

### 極點位於虛軸上的情形

上面的討論都假定了開環傳遞函數$F(s)\,$在虛軸上沒有任何極點（即沒有任何極點具有形式$0 + j\omega\,$）。這個假定來自於輻角原理中圍道不能經過映射函數上任何一個極點的要求。但事實上某些傳遞函數的極點確實是位於虛軸上的，最常見的例子是積分器（極點在原點上）。

若要分析這類極點在虛軸上的系統，需要對奈奎斯特圍道的路徑進行修改，使其繞過極點$0 + j\omega\,$。一種方法是在極點$0 + j\omega\,$附近建立一個很小的半圓弧，其半徑$r\to 0\,$，起始於$0 + j (\omega-r)$並經逆時針繞到$0 + j (\omega+ r)$。這一修改意味著在這一極點處，$F(s)\,$的相矢量在一段無限遠為半徑的圓弧上轉了$-l\pi\,$角度，其中$l\,$是虛軸上這一極點的重數。

## 總結

- 如果開環傳遞函數$F(s)\,$在原點上有$l\,$重極點，則奈奎斯特圖在頻率$\omega = 0\,$有不連續性。在進一步分析中，應當假設相矢量在極點附近沿著一個半徑無限大的半圓轉了$l\,$次。通過附加這一條件，這些位於原點上的極點可以被忽略掉，也就是說，如果系統中沒有其他不穩定的極點，開環傳遞函數$F(s)\,$應被認為是穩定的。
- 如果開環傳遞函數$F(s)\,$在右半平面內沒有極點，則它是穩定的，而若其對應的閉環傳遞函數對（-1+j0）點沒有卷繞，則閉環傳遞函數也是穩定的，否則會是不穩定的。
- 如果閉環傳遞函數對（-1+j0）點有順時針卷繞，則它是不穩定的；如果對（-1+j0）點有逆時針卷繞，且逆時針卷繞數等於開環傳遞函數在右半平面內的極點數，則閉環系統是穩定的，否則會是不穩定的。

## 參考文獻

- Faulkner, E.A. (1969): Introduction to the Theory of Linear Systems; Chapman & Hall; ISBN 0-412-09400-2
- Pippard, A.B. (1985): Response & Stability; Cambridge University Press; ISBN 0-521-31994-3
- Gessing, R. (2004): Control fundamentals; Silesian University of Technology; ISBN 83-7335-176-0