彈道輸運

在介觀物理學中，彈道輸運（Ballistic transport），是指介質中的電荷載流子（通常為電子）或能量攜帶粒子在相對較長距離上的輸運過程中幾乎不會遇到散射。一般而言，介質中的電阻是由電子散射而產生，這可以是因為雜質、缺陷或者在平衡位置附近震盪的原子或分子引起的散射；也可以是由在氣體和液體中自由運動的原子/分子引起的。如果沒有散射的作用，電子的運動僅遵從牛頓定律。

在介質中，我們可以定義一個自由程的概念，表示電子可以自由運動的路程。也就是說，在電子與其它物質發生碰撞，然後背離它初始運動方向之前的運動路程。很多情況下，可以通過減少雜質或者降低溫度的辦法來提高電子的自由程。當電子的自由程（遠）大於介質的尺度時，即可產生彈道輸運，這種情況下，電子只有碰到了邊界才會改變運動方向。例如，對懸浮在空氣/真空中的金屬線，金屬線表面起到反射電子並阻止它們向空曠空間逸出的「盒子」作用。這是因為要將電子從介質中提取出來需要付出能量（功函數）。

彈道輸運通常在准一維結構中觀察到，例如碳納米管或矽奈米線，這是由於這些材料中顯著的尺寸量子化效應。彈道輸運不限於電子（或空穴），也可適用於聲子。理論上彈道輸運可擴展到其他准粒子，但尚未有實驗證實。舉例而言，在金屬納米線中可觀察到彈道輸運：這歸因於導線小尺寸（納米量級，即 10−9米量級）以及在金屬中可能比常規更長的平均自由程。

彈道輸運與超導性的不同在於：1）存在有限的、非零的電阻；2）材料中不存在邁斯納效應。電阻的存在意味著熱量在「彈道」導體之外的引線中耗散，在那裡可發生非彈性散射效應。

## 理論

### 散射機制

一般來說，當$L \le \lambda_{\rm MFP}$時，載流子將表現出彈道輸運，其中$L$是器件活動部分的長度（例如MOSFET中的通道），而$\lambda_{\rm MFP}$是載流子的平均自由程，可用馬西森規則（Matthiessen's rule）給出，這裡寫為電子的形式：

$$\frac{1}{\lambda_\mathrm{MFP}} = \frac{1}{\lambda_\mathrm{el-el}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{ap}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{op,ems}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{op,abs}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{impurity}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{defect}} + \frac{1}{\lambda_\mathrm{boundary}}$$

其中

- $\lambda_\mathrm{el-el}$為電子-電子散射長度。
- $\lambda_\mathrm{ap}$為聲學聲子（發射和吸收）散射長度。
- $\lambda_\mathrm{op,ems}$為光學聲子發射散射長度。
- $\lambda_\mathrm{op,abs}$為光學聲子吸收散射長度。
- $\lambda_\mathrm{impurity}$為電子-雜質散射長度。
- $\lambda_\mathrm{defect}$為電子-缺陷散射長度。
- $\lambda_\mathrm{boundary}$為電子與邊界散射的長度。

就散射機制而言，光學聲子發射通常占主導地位，具體取決於材料和輸運條件。還有其它適用於不同載流子的散射機制（例如遠程界面聲子散射、翻轉散射），此處未加以考慮。要得到這些特徵散射速率，需要為所討論系統導出哈密頓量並使用費米黃金定則求解相應躍遷率。

### Landauer–Büttiker公式

1957 年，羅夫·蘭道爾提出在一維系統中，導電可視為一個透射問題。對於一維石墨烯納米帶場效應管（GNR-FET）（假設通道為彈道通道），由玻爾茲曼輸運方程給出的從A到B的電流為：

$I_{\rm AB} = \frac{g_\text{s}e}{h}\int_{E_{\rm F_B}}^{E_{\rm F_{ A}}}M(E)f^{\prime}(E)T(E)dE$。

其中$g_{s}$= 2（由於自旋簡併），$e$為電子電荷，$h$為普朗克常數，$E_{\rm F_A}$與$E_{\rm F_B}$分別為A、B的費米能級，$M(E)$為通道中的傳播模數，$f^{\prime}(E)$為偏離平衡的電子分布（微擾），且$T(E)$為透射機率（彈道時T = 1）。根據電導的定義：

$G = \frac{I}{V}$。

且費米能級間的電壓差近似為$eV = E_{\rm F_A}-E_{\rm F_B}$，可得：

$G = G_0MT$，其中 $G_0=\frac{2e^2}{h}$。

此處$M$為輸運通道的模數並包含自旋。$G_0$稱為電導量子。由於接觸器件尺寸相對通道較大，接觸處具有多重模態。相反，一維 GNR通道的量子限制將模數約束到載流子簡併度以及能帶結構（能量色散關係）和布里淵區的限制。例如，碳納米管中的電子具有兩個間谷模和兩個自旋模。由於接觸與GNR通道由引線相連，接觸處A和B的透射機率較小。

$T\approx\frac{M}{M_{\rm contact}}$。

因此若在A、B或C、D處測量，量子電導近似相同。Landauer–Büttiker公式在載流子相干（即活動通道長度小於相位破壞平均自由程）且可由薛丁格方程計算或用半經典近似（如WKB近似）逼近透射函數時成立。因此，即使在完美彈道輸運的情況下，也存在一個基本的彈道電導，它使器件電流飽和，對每一模（含自旋簡併）有大約12.9 kΩ的電阻。然而，存在Landauer–Büttiker公式的推廣，適用於含耗散的時變問題。

## 重要性

彈道輸運使得利用電子波函數的量子力學性質成為可能。從波動力學角度看，彈道輸運是相干的。雙狹縫干涉、空間共振（以及其他類光學或微波效應）等現象可以在納米尺度的電子系統中被利用，系統包括奈米線和納米管。

廣泛遇到的電接觸電阻（electrical contact resistance，ECR）現象源於電流通過粗糙界面時被限制在若干接觸點流動。接觸點的大小與分布由形成電接觸的接觸表面的拓撲結構支配。特別地，對於具有高分形維數的表面，接觸點可能非常小。在這種情況下，當接觸點半徑小於電子的平均自由程$\lambda$時，電阻以沙爾文機制為主導，其中電子在這些微觀接觸處做彈道運動，其電阻可由下式描述：

$$R_{\rm S} = \frac{\lambda(\rho_1+\rho_2)}{2a}.$$

此項中，$\rho_1$與$\rho_2$分別對應兩接觸表面的比電阻，稱為沙爾文電阻。導致彈道電子導電的電接觸稱為「沙爾文接觸」。當接觸點半徑大於電子平均自由程時，接觸電阻可用經典方法處理。

## 光學類比

將光作比較，可在彈道與非彈道輸運之間建立類比。彈道電子的行為類似於在波導或高質量光學組件中的光。非彈道電子的行為則類似於在牛奶中散射的光，或被白牆或紙張反射的光。

電子在導體中可被多種方式散射。電子具有多個屬性：波長（能量）、方向、相位和自旋取向。不同材料的散射機率不同，導致不同的相干破壞率（隨機性）。某些類型的散射只會改變電子方向，其他類型則會導致能量損失。

設想一個相干電子源連接到導體。在有限距離內，電子波函數將保持相干。此時仍可確定性地預測其行為（理論上可用於計算）。但在更遠距離處，散射使得每個電子具有略微不同的相位和/或方向，但幾乎沒有能量損失。類似於單色光通過牛奶，電子經歷彈性相互作用。輸入處電子狀態的資訊隨後丟失。輸運變為統計的、隨機的過程。就電阻而言，隨機（無定向）的電子運動即使載有相同能量也無用——它們表現為熱運動。如果電子還發生非彈性相互作用，它們會失去能量，從而產生第二種電阻機制。發生非彈性相互作用的電子類似於非單色光。

為了正確使用此類比，需考慮若干事實：

- 光子為玻色子，電子為費米子。
- 電子間存在庫侖排斥，因此該類比僅適用於單電子導電，因為電子過程強烈非線性並依賴於其它電子。
- 電子比光子更可能損失更多能量，因為電子具有非零不變質量。
- 電子與環境、相互之間及其它粒子的相互作用通常比光子之間或與光子的相互作用更強。

## 示例

如前所述，納米結構例如碳納米管或石墨烯納米帶常被認為是彈道的，但這些器件僅在很大程度上近似彈道，在室溫下它們的彈道性接近0.9。

### 碳納米管與石墨烯納米帶

在室溫下的主導散射機制是電子發射光學聲子。如果電子與光學聲子的散射不足（例如散射率低），平均自由程往往很長（$\lambda_{MFP} \approx 1{\mu}m$）。因此若電子在傳輸過程中未與過多聲子發生散射且器件長度約為 100 nm，則納米管或石墨烯納米帶可能成為良好的彈道導體。這樣的輸運規制已被發現依賴於納米帶邊緣結構和電子能量。

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