消失矩

消失矩(Vanishing Moments)，在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform)，是一項非常重要的參數，用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。

Vanish moment 越高，經過內積後被濾掉的低頻成分越多

在實務上，Vanish moment=5

## 由來

在連續小波變換中，母小波有4個主要限制如下。

母小波不能是一個無限長的函數。

因為要處理的影像不會是複數信號，且為了方便計算。

- 偶對稱(Even Symmetric)或是奇對稱(Odd Symmetric)

這項是最難滿足的一項。

5.

Admissibility Criterion 要存在才存在反小波轉換

## 定義

首先定義第 $k$ 個動量( $k_{th}$ moment):

```
<math> m_k = \int t^k\psi(t)\, dt </math>
```

若 $m_0 = m_1 = m_2 = ... = m_{p-1} = 0$。

則我們說 $\psi(t)$ 有 $p$ 個消失矩。

## 如何計算消失矩

我們可以看到 $m_k = \int t^k\psi(t)\, dt$ 不太好計算，尤其是 $k$ 很大的時候。

此時，可以善用傅立葉轉換來進行計算。

### 計算第0個動量

首先，觀察傅立葉轉換的公式:

```
<math>G(f) = \int g(t)e^{-j2 \pi ft}\, dt</math>
```

當令$f=0$時，可以看到以上公式變成:

```
<math>G(0) = \int g(t)\, dt</math>
```

正是第0個動量 $m_0$。

因此，若要計算 $g(t)$ 的第0個動量，可以先計算 $g(t)$ 的傅立葉轉換，再取直流項(也就是 $f=0$ )。

### 計算第k個動量

我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第 $k$ 個動量。

首先，傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分 $k$ 次，就相當於時域乘上 $t^k$ :

```
<math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(f) = \int t^kg(t)e^{-j2 \pi ft}\, dt</math>
```

當令$f=0$時，可以看到以上公式變成:

```
<math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt</math>
```

正是第 $k$ 個動量 $m_k$。

因此，若要計算 $g(t)$ 的第k個動量，可以先計算 $g(t)$ 的傅立葉轉換的k次微分，再取直流項(也就是 $f=0$ )。

## 一些常用函數的消失矩

分成兩類連續函數與連續函數的離散係數

- 連續函數:哈爾基底、墨西哥帽函數
- 連續函數的離散係數:多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet、 Coiflet

### 連續函數

哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換，使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。

而墨西哥帽函數(Mexican hat function)也常被用來當母小波。

#### 哈爾基底

哈爾基底的數學表示式如下:

```
<math>\psi(t) =  \begin{cases}1 \quad & 0 \leq  t < 1/2,\\
-1 & 1/2 \leq t < 1,\\0 &\mbox{otherwise.}\end{cases}</math>
```

$\psi(t)$ 是一個奇函數，所以

```
<math>m_0= \int \psi(t)\, dt =0</math>
```

但 $t\psi(t)$ 是偶函數，所以

```
<math>m_1= \int t\psi(t)\, dt \neq 0</math>
```

因此，哈爾基底的消失矩為1。

#### 墨西哥帽函數

墨西哥帽函數的數學表示式:

```
<math> \psi(t)=\frac{2^{5/4}}{\sqrt{3}}(1-2 \pi t^2)e^{- \pi t^2} </math>
```

仔細觀察，$\psi(t)$ 其實是高斯函數的二次微分:

```
<math>\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2}, C= </math> 常數。 
```

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數:

```
<math>\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2} \to -C4 \pi ^2 f^2 e^{- \pi f^2} </math>。
```

利用

```
<math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt</math>
```

可以算出

```
<math>m_0=m_1=0, m_2 \neq 0</math>。
```

所以墨西哥帽函數的消失矩為2。

#### 高斯函數的p次微分

墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，所以消失矩為2。

當

```
<math>\psi(t) = \frac{d^p}{dt^p}e^{- \pi t^2}</math>
```

其傅立葉轉換為

```
<math>(j2 \pi f)^p e^{- \pi f^2} </math>。
```

利用

```
<math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt</math>
```

可以算出

```
<math>m_0=m_1=m_{p-1}, m_p \neq 0</math>。
```

所以高斯函數p次微分的消失矩為p。

### 連續函數的離散係數

多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet、 Coiflet都是一些常用的離散小波，而且都是由連續小波的離散係數推導而來。

且這三種都是orthonormal filters

#### 多貝西小波

```
<math>2n </math> 點的多貝西小波，消失矩 <math>=n </math>
```

#### Symlet

```
<math>2n </math> 點的Symlet，消失矩 <math>=n </math>
```

Coiflet

```
<math>6n </math> 點的Coiflet，消失矩 <math>=n </math>
```

三者的比較

- Symlet和多貝西小波非常類似，但是比多貝西小波還要對稱。
- Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment.

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(t)\, dt \neq0$$

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} t^k\phi(t)\, dt =0 for 1 \leq k \leq p$$

## 消失矩對於函數的意義

消失矩是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說，對於函數

```
<math>f(t) = \frac{\sin(t)}{t^2}</math>
```

當輸入值$t$逐漸往無限大增加時，此函數會以$\frac{1}{t^2}$的速率遞減。

我們可用利用定義中的動量積分式$\int_{-\infty}^{\infty} t^k f(t)\, dt$來評估此函數的遞減速率。

回到此範例中的函數，當$k=0$時，由於分子$\sin(t)$會在$[-1,1]$之間震盪，使得整個函數在$[-\frac{1}{t^2},\frac{1}{t^2}]$震盪。

此性質使得$k=0$時。

```
<math> \int_{-\infty}^{\infty} t^k (\frac{\sin(t)}{t^2})\, dt \to 0</math> 
```

函數積分式必定會收斂於0，代表第0個動量$m_0 = 0$

當$k = 1$時。

```
<math>\int_{-\infty}^{\infty} t^k (\frac{\sin(t)}{t})\, dt = \pi</math>
```

因此第1個動量$m_1 = \pi \neq 0$

對於$k > 1$的情況，動量積分式均會隨著$t \to\infty$而發散。

由以上的範例，我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大$k$值來判斷函數的遞減速率，而此最大$k$值便是函數的消失矩。

在連續小波轉換中，設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的，而母小波在有值區間內如何遞減的特性，則可由消失矩來描述。

## 消失矩的等價敘述

依照定義，小波母函數$\psi(t)$有 $p$ 個消失矩的條件為

```
<math>\int_{-\infty}^{\infty} t^k \psi(t)\, dt = 0,\ for\ 0\leq k < p </math>
```

然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分，因此在設計小波母函數上並不實用。

若定義小波轉換中的尺度函數為$\varphi(t)$，當以下小波母函數和尺度函數的關係成立時。

```
<math>\left| \psi(t) \right| = O((1+t^2)^{-p/2-1}) </math>

<math>\left| \varphi(t) \right| = O((1+t^2)^{-p/2-1}) </math>
```

下列四項敘述便是等價的：

- 小波母函數$\psi(t)$有$p$個消失矩。

- $\psi(t) , \ \varphi(t)$的傅立葉轉換，以及前$p - 1$次微分在$\omega = 0$處均為零。

- $h_\varphi (t) , \ H_\varphi (e^{j\omega})$的傅立葉轉換，以及前$p - 1$次微分在$\omega = 0$處均為零。

- 對於$0 \leq k < p$ 區間內的任意$k$值

$$q_k (t) = \sum_{n=-\infty}^\infty n^k \varphi(t-n)$$

是最高次方為$k$ 的多項式函數。

## 消失矩與小波函數的設計

當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時。

```
<math> {\left| H_\varphi (\omega) \right|}^2 + {\left| H_\varphi (\omega + \pi) \right|}^2 = 2 </math>
```

此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中$H_\varphi (\omega)$代表離散低通濾波器$h_\varphi[n]$離散低通濾波器的傅立葉轉換。

結合共軛鏡像濾波器的條件與消失矩的第3個等價敘述，我們可以將低通濾波器表示為

```
<math> H_\varphi (e^{j\omega}) = \sqrt{2} { (\frac{1+e^{j\omega}}{2})) }^p L(e^{j\omega}) </math>
```

其中$L(x)$為一多項式函數。

利用上述條件與消失矩的等價敘述，可以簡化設計小波函數的步驟。

### 消失矩與濾波器長度

在小波轉換中，尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義：

```
<math>\varphi(t) = \sum_{n}^{} h_\varphi [n] \sqrt{2}\varphi(2t-n) </math>

<math>\psi(t) = \sum_{n}^{} h_\psi [n] \sqrt{2}\varphi(2t-n) </math>
```

其中$h_\varphi[n]$為離散低通濾波器，$h_\psi[n]$則為離散高通濾波器，通常會利用支撐大小(Size of support)來表示濾波器的長度。

從上述$H_\varphi (e^{j\omega}) = \sqrt{2} { (\frac{1+e^{j\omega}}{2})) }^p L(e^{j\omega})$的表示式可得知。

當我們選擇較高的消失矩$p$時，$H_\varphi (e^{j\omega})$將會是具有較高$e^{j\omega}$次方的多項式函數，因此對應到的$h_\varphi[n]$便有較長的濾波器長度。

一般而言，擁有較高的消失矩與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係，無法兩者同時滿足。

因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時，除了消失矩外，也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。

## 參考文獻

- Jian-Jiun Ding (2012), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform viewed 17/01/2012
- Chun-Lin Liu, A Tutorial of the Wavelet Transform , February 2010
- S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Third Edition: The Sparse Way. Academic Press, 3 ed., December 2008.