經典電磁學

經典電磁學（classical electromagnetism）或經典電動力學（classical electrodynamics）是理論物理學的分支，以麥克斯韋方程組和洛倫茲力定律為基礎，主要研究電、磁現象的基本屬性、運動規律，以及電磁場與帶電荷物質的相互作用，常簡稱電磁學（electromagnetism）或電動力學（electrodynamics）。當相關尺度和場強足夠大以至於量子效應可忽略時（參見量子電動力學），這一套理論能夠對電磁現象提供一個非常漂亮的描述。有關經典電磁理論的綜述以及物理概念的詳細解說可參見費曼、萊頓和桑斯；帕諾夫斯基和菲利普；以及傑克遜等人的專著。

經典電磁理論主要發展於19世紀，以詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的成就達到頂峰。關於這部分的歷史可參見泡利、惠特克、派斯的有關敘述。

Ribarič和Šušteršič在其著作《守恆律和經典電動力學的未解決問題》中基於當前對經典電磁理論的理解，考查了十二個至今尚未解決的電動力學問題；到目前為止，他們研究並引用了1903年至1989年間約240篇參考文獻。如傑克遜所言，經典電動力學中最顯著的問題在於，我們只可能在如下兩種有限的情形下得到及討論基本方程的解：第一種情形為給出電荷和電流的分布，求解激發的電磁場；第二種情形為給出外部的電磁場，求解內部帶電粒子和電流的運動。而有時候這兩種情形會合二為一，此時的處理方法卻只能按次序進行：首先在忽略輻射的情形下確定在外場中帶電粒子的運動，然後將運動粒子的軌跡作為輻射源的分布計算電磁輻射。很明顯，在電動力學中這種處理手段只能近似正確。進一步來說，雖然麥克斯韋方程組本身是線性的，然而某些電學-力學系統中電荷和電流與它們所激發的電磁場之間的相互作用卻無法忽略，對於這類系統我們還不能從電動力學上完全理解。雖然經過了一個世紀的努力，至今人們還沒能得到一組能夠被廣泛接受的描述帶電粒子運動的經典方程，同時也沒有獲得任何有用的實驗數據的支持。

## 洛倫茲力

電磁場會對處於其中的帶電粒子施加如下的力（通常稱作洛倫茲力）：

$$\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$$

其中粗體量表示矢量：$\mathbf{F}\,$是攜帶電荷$q\,$的粒子所受到的洛倫茲力，$\mathbf{E}\,$是粒子所在位置的電場強度，$\mathbf{v}\,$是帶電粒子的速度，$\mathbf{B}\,$是粒子所在位置的磁感應強度。

## 電場

對於靜止電荷而言電場強度$\mathbf{E}$的定義為

$$\mathbf{F} = q_0 \mathbf{E}$$

其中$q_0$被稱作檢驗電荷。電荷本身的尺寸並不重要，只要電荷本身足夠小以至於它的存在對外部電場所產生的影響可忽略。從這個定義很容易得到電場強度的單位為牛頓/庫侖，這個單位等價於伏特/公尺。這一點在下文中可以看到。

在靜電學中，電荷都處於靜止狀態，此時從庫侖定律可得到

$$\mathbf{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 } \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i \left( \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right)} {\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_i \right|^3}$$

其中$n\,$是電荷數，$q_i\,$是第i個電荷所帶的電量，$\mathbf{r}_i\,$是第$i$個電荷的位置，$\mathbf{r}\,$是所討論的電場位置，$\varepsilon_0\,$是真空電容率。

上面給出的庫侖定律描述了多個離散電荷的情形。如果是連續分布電荷所激發的電場，上面的求和變為積分：

$$\mathbf{E} = \frac{1}{ 4 \pi \varepsilon_0 } \int \frac{\rho(\mathbf{r}) \hat{\mathbf{r}}}{r^2} \mathrm{d}V$$

其中$\rho(\mathbf{r})\,$是電荷密度，它是位置的函數；$\hat{\mathbf{r}}$是從源$\rm{d}V\,$到場點的單位矢量；$r\,$是源點到場點的距離。

上面給出的兩個方程使用起來都相當繁瑣，特別是想要將電場$\mathbf{E}\,$表示為一個位置的函數的情形。一個相對簡單的方法是引入一個標量：電勢。電勢的定義為電場強度沿特定路徑的線積分：

$$\varphi_\mathbf{E} = - \int_C \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}$$

其中$\varphi_{\mathbf{E}}\,$是電勢，$C$是積分所沿的路徑。

然而，這個定義有需要留心的地方：根據麥克斯韋方程組，很明顯電場的旋度$\nabla\times\mathbf{E}$並不總是為零的，對於這類旋度不為零的矢量場無法定義勢，也就是說僅用一個標勢無法正確描述這類電場。解決這一問題的途徑是引入一個修正因子，通常是減去一個矢勢$\mathbf{A}\,$對時間的偏導數。只要當電荷隨時間的變化是准靜態的，這一修正條件基本都是能夠得到滿足的，從而避免了一系列相關問題。

從電荷的定義，可以輕易證明一個點電荷的電勢為

$$\varphi = \frac{q}{ 4 \pi \varepsilon_0 \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_q \right|}$$

其中$q\,$是點電荷的電量，$\mathbf{r}\,$是場點的位置，$\mathbf{r}_q\,$是點電荷的位置。對一般的電荷分布，電勢由下面積分給出：

$$\varphi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r})}{r}\mathrm{d}V$$

其中$\rho(\mathbf{r})\,$是電荷密度，同樣是位置的函數，$r\,$是從源$\mathrm{d}V$到場點的距離。注意在這裡$\varphi$是一個標量，從而疊加起來相對矢量要容易很多。從電勢的定義反推出電場強度，可知電場強度是電勢的負梯度：

$$\mathbf{E} = -\nabla \varphi$$

從這個關係可清楚看到場強的單位為伏特/公尺。

## 電磁波

隨時間變化的電磁場會以波的形式離開源點向外傳播。這些波在真空中以光速前進，並覆蓋了範圍很寬的不同波長的頻譜。這其中包括（波長由長到短排列）：無線電波、微波、光波（紅外線、可見光、紫外線）、X射線和伽瑪射線。在量子場論中，電磁輻射是帶電粒子之間電磁相互作用的具體表現形式，即電磁相互作用是通過電磁輻射（光子）為媒介來傳遞的。

## 場方程的推廣

庫侖定律雖然形式簡潔並能對電學作出很好的描述，在經典電動力學中它卻並不是完全正確的。根本問題在於，在考慮含時的情形下庫侖定律描述的是一種超距作用，這種處理方法在場和相對論的觀念中是不成立的。舉例而言，當電荷分布發生變化時，庫侖定律所描述的電場所發生的相應變化也是瞬時而狹義相對論則要求空間中任何一點的電場變化所需時間為非零值。根據電磁場理論我們知道在真空中這種擾動所需的傳播速度為光速，從而含時的電荷分布在空間中激發的電場變化都是被延遲的。對一般的含時電荷及電流分布形成的場，這種推遲勢可被計算求出，對其進行微分運算可得到傑斐緬柯方程。

對於運動中的點電荷，推遲勢還可用李納-維謝爾勢來表述。其中電標勢為

$$\varphi = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\text{ret}}) \right|-\frac{\mathbf{v}(t_{\text{ret}})}{c} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\text{ret}}))}$$

其中$\mathbf{r}_q(t_{\text{ret}})\,$和$\mathbf{v}(t_{\text{ret}})\,$分別是點電荷的位置和速度，它們都是推遲時間$t_{\text{ret}}\,$的函數。而磁矢勢有類似的形式：

$$\mathbf{A} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{q\mathbf{v}(t_{\text{ret}})}{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\text{ret}}) \right|-\frac{\mathbf{v}(t_{\text{ret}})}{c} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t_{\text{ret}}))}$$

對這兩個推遲勢求微分可得到運動點電荷所激發的電磁場的完整場方程。

## 擴展閱讀

- 郭碩鴻．電動力學（第三版）．北京：高等教育出版社，2008．