後牛頓形式論

在不同的引力度規理論中，決定時空度規的場方程具有很大的差異。但是，在弱場和慢運動及低能的情況下，幾乎所有度規理論的時空度規都具有相同的結構，都可以寫成閔可夫斯基度規加上微擾，並按照由系統的物質變量所定義的各種引力勢的冪級數展開。各種度規理論都具有相同形式的度規展開式，它們的區別僅在於展開係數有不同的值。這樣，就可以用一個統一的後牛頓理論來描述各種度規理論。這樣一個統一的理論稱為參數化後牛頓（PPN）形式體系，度規展開式中的展開係數稱為PPN參數。

## 坐標系

採用近整體羅倫茲坐標系，其中的坐標為$\left( t,{{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \right)$。始終用3維歐幾里得矢量記號。所有的坐標任意性（「規範自由度」）已用對標準的PPN規範專門化的坐標除去。

## 物質變量

- （1）$\rho =$在與引力作用著的物質瞬時共動局部自由降落系中測量的靜質量密度。
- （2）${{v}^{i}}=\frac{d{{x}^{i}}}{dt}=$物質的坐標速度。
- （3）${{w}^{i}}=$PPN坐標系（相對於宇宙平均靜系）的坐標速度。
- （4）$p=$在與物質瞬時共動的自由降落系中測量的壓強。
- （5）$\pi =$單位靜質量的內能，它包括所有形式的非靜質量、非引力的能量，即壓力能和熱能。

## PPN參數

$$\gamma ,\beta ,\xi ,{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}},{{\zeta }_{1}},{{\zeta }_{2}},{{\zeta }_{3}},{{\zeta }_{4}}$$

## 度規勢

- 1、$U=\int{\frac{\rho ({x}')}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 2、${{U}_{ij}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}')}{{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}^3}({{x}_{i}}-{{x}_{i}}^{\prime })({{x}_{j}}-{{x}_{j}}^{\prime }){{d}^{3}}{x}'}$
- 3、${{\Phi }_{w}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}')\rho ({\vec{x}}'')}{{{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}^{3}}}\left( \left( \vec{x}-{\vec{x}}' \right)\cdot \left( \frac{\left( {\vec{x}}'-{\vec{x}}'' \right)}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}'' \right|}-\frac{\left( \vec{x}-{\vec{x}}'' \right)}{\left| {\vec{x}}'-{\vec{x}}'' \right|} \right) \right){{d}^{3}}{x}'{{d}^{3}}{x}''}$
- 4、$A=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}'){{\left( {\vec{v}}'\centerdot (\vec{x}-{\vec{x}}') \right)}^{2}}}{{{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}^{3}}}}{{d}^{3}}{x}'$
- 5、${{\Phi }_{1}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}'}){{{{v}'}}^{2}}}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 5、${{\Phi }_{1}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}'}){{{{v}'}}^{2}}}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 6、${{\Phi }_{2}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}')U({\vec{x}}')}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 7、${{\Phi }_{3}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}')\pi ({\vec{x}}')}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 8、${{\Phi }_{4}}=\int{\frac{p({\vec{x}}')}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}}{{d}^{3}}{x}'$
- 9、${{V}_{i}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}'){{{v}_{i}}'}}{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}{{d}^{3}}{x}'}$
- 10、${{W}_{i}}=\int{\frac{\rho ({\vec{x}}')\left( {\vec{v}}'\centerdot (\vec{x}-{\vec{x}}') \right)\left( {{x}_{i}}-{{x}_{i}}^{\prime } \right)}{{{\left| \vec{x}-{\vec{x}}' \right|}^{3}}}{{d}^{3}}{x}'}$

## 度規

- $$\begin{align} <pre> & {{g}_{00}}=-1+2U-2\beta {{U}^{2}}-2\xi {{\Phi }_{w}} \\ & \mathop{{}}_{{}}+(2\gamma +2+{{\alpha }_{3}}+{{\zeta }_{1}}-2\xi ){{\Phi }_{1}} \\ & \mathop{{}}_{{}}+2(3\gamma -2\beta +1+{{\zeta }_{2}}+\xi ){{\Phi }_{2}} \\ & \mathop{{}}_{{}}\text{+}2(1+{{\zeta }_{3}}){{\Phi }_{3}} \\ & \mathop{{}}_{{}}+2(3\gamma +3{{\zeta }_{4}}-2\xi ){{\Phi }_{4}} \\ & \mathop{{}}_{{}}-({{\zeta }_{1}}-2\xi )A-({{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}-{{\alpha }_{3}}){{w}^{2}}U \\ & \mathop{{}}_{{}}-{{\alpha }_{2}}{{w}^{i}}{{w}^{j}}{{U}_{ij}}+(2{{\alpha }_{3}}-{{\alpha }_{1}}){{w}^{i}}{{V}_{i}}+O\left( {{\varepsilon }^{3}} \right) \\ </pre> \end{align}$$
- $$\begin{align} <pre> & {{g}_{0i}}=-\frac{1}{2}\left( 4\gamma +3+{{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}+{{\zeta }_{1}}-2\xi \right){{V}_{i}} \\ & -\frac{1}{2}\left( 1+{{\alpha }_{2}}-{{\zeta }_{1}}+2\xi \right){{W}_{i}}-\frac{1}{2}\left( {{\alpha }_{1}}-2{{\alpha }_{2}} \right){{w}^{i}}U-{{\alpha }_{2}}{{w}^{i}}{{U}_{ij}}+O\left( {{\varepsilon }^{5/2}} \right) \\ </pre> \end{align}$$
- $$\begin{align}{{g}_{ij}}=(1+2\gamma U){{\delta }_{ij}}+O\left( {{\varepsilon }^{2}} \right)\end{align}$$

## 應力能量張量（理想流體）

- $${{T}^{00}}=\rho \left( 1+\pi +{{v}^{2}}+2U \right)$$
- $${{T}^{0i}}=\rho \left( 1+\pi +{{v}^{2}}+2U+\frac{p}{\rho } \right){{v}^{i}}$$
- $${{T}^{ij}}=\rho {{v}^{i}}{{v}^{j}}\left( 1+\pi +{{v}^{2}}+2U+\frac{p}{\rho } \right)+p{{\delta }^{ij}}\left( 1-2\gamma U \right)$$

## 運動方程

- (1)受應力的物質：${{T}^{\mu \nu }}_{;\nu }=0$
- (2)檢驗物體：$\frac{{{d}^{2}}{{x}^{\mu }}}{d{{\lambda }^{2}}}+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }}=0$
- (3)Maxswell方程組：${{F}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{\mu }_{0}}{{J}^{\mu }},{{F}_{\mu \nu }}={{A}_{\nu ;\mu }}-{{A}_{\mu ;\nu }}$

## 各種度規理論的PPN參數比較

理論｜任意常數或函數｜宇宙匹配參數｜$\gamma$｜$\beta$｜$\xi$｜${{\alpha }_{1}}$｜${{\alpha }_{2}}$

標準理論

廣義相對論｜無｜無｜1｜1｜0｜0｜0

標量-張量理論

Brans-Dicke｜${{\omega }_{BD}}$｜${{\phi }_{0}}$｜$\frac{1+{{\omega }_{BD}}}{2+{{\omega }_{BD}}}$｜1｜0｜0｜0

一般｜$A\left( \varphi \right),V\left( \varphi \right)$｜${{\varphi }_{0}}$｜$\frac{1+\omega }{2+\omega }$｜$1+\Lambda$｜0｜0｜0

矢量-張量理論

無限制｜$\omega ,{{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}},{{c}_{4}}$｜$u$｜${\gamma }'$｜${\beta }'$｜0｜${{\alpha }'_{1}}$｜${{\alpha }'_{2}}$

Einstein-Æther｜${{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}},{{c}_{4}}$｜無｜1｜1｜0｜${{\alpha }'_{1}}$｜${{\alpha }'_{2}}$

Rosen理論

Rosen’s bimetric｜無｜${{c}_{0}},{{c}_{1}}$｜1｜1｜0｜0｜$\frac{{{c}_{0}}}{{{c}_{1}}}-1$

ECT理論

不考慮自旋場｜${\beta }$｜無｜$\frac{1}{1-\beta }$｜1｜0｜0｜0

Nordtvedt理論

Will｜${{c}_{1}}=-1,{{c}_{2}}={{c}_{3}}={{c}_{4}}=0$｜無｜1｜1｜0｜0｜$\frac{2{{u}^{2}}}{2+{{u}^{2}}}$

Hellings｜$\begin{align} & {{c}_{1}}=2,{{c}_{2}}=2\omega , \\ & {{c}_{1}}+{{c}_{2}}+{{c}_{3}}=0,{{c}_{4}}=0 \\ \end{align}$｜無｜${{f}_{1}}\left( \omega ,u \right)$｜${{f}_{2}}\left( \omega ,u \right)$｜0｜${{f}_{3}}\left( \omega ,u \right)$｜${{f}_{4}}\left( \omega ,u \right)$