伊藤引理

在隨機分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一條非常重要的性質。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了對於一個隨機過程的函數作微分的規則。

## 伊藤引理較早版本

### 第一引理

對於布朗運動$W_t$和二次可導函數$f(x)$，以下等式成立：

$$df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2} f''(W_t)dt$$

其中過程：

$$dtdt = 0 , dtdW_t = dW_tdt = 0 , dW_tdW_t = dt$$

其主要可通過對多項式環到形式冪級數的拓展，例如：

$$de^{W_t^2}= 2W_t e^{W_t^2} dW_t + (e^{W_t^2} + 2W_t^2 e^{W_t^2} )dt$$

### 第二引理

對於伊藤過程$X_t$和二次可導函數$f(t,x)$，以下等式成立

$$df(t,X_t) = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt + \frac{\partial f}{\partial x} dX_t$$

### 第三引理

定義伊藤過程$X_t$為滿足下列隨機微分方程的隨機過程

$$dX_t= \mu_t \, dt + \sigma_t \, dW_t$$

對於伊藤過程$X_t$和二次可導函數$f(t,x)$，以下等式成立：

$$df(t,X_t) =\left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu_t\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma_t^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}\right)dt + \sigma_t\frac{\partial f}{\partial x} \,dW_t.$$

類似地，定義多維伊藤過程$\mathbf{X}_t = (X^1_t, X^2_t, \ldots, X^n_t)^T$使得

$$d\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}_t\, dt + \mathbf{G}_t\, d\mathbf{B}_t$$

其中$\boldsymbol{\mu}_t$為n維向量，$\mathbf{G}_t$為n階方塊矩陣；有如下等式：

$$\begin{align} df(t,\mathbf{X}_t) &= \frac{\partial f}{\partial t}\, dt + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right )^T\, d\mathbf{X}_t + \frac{1}{2} \left(d\mathbf{X}_t \right )^T \left( H_\mathbf{X} f \right) \, d\mathbf{X}_t, \\ <pre> &= \left\{ \frac{\partial f}{\partial t} + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right)^T \boldsymbol{\mu}_t + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}\left[ \mathbf{G}_t^T \left( H_\mathbf{X} f \right) \mathbf{G}_t \right] \right\} dt + \left (\nabla_\mathbf{X} f \right)^T \mathbf{G}_t\, d\mathbf{B}_t </pre> \end{align}$$

其中，$\nabla_\mathbf{X} f$是f關於X的梯度，HX f 是f關於X的黑塞矩陣，Tr是跡的符號。

## 到半鞅的拓展

### 連續半鞅

$$df(X_t) = \sum_{i=1}^d f_{i}(X_t)\,dX^i_t + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^df_{i,j}(X_t)\,d[X^i,X^j]_t.$$

### 不連續半鞅

$$\begin{align} f(X_t)= & f(X_0)+\sum_{i=1}^d\int_0^t f_{i}(X_{s-})\,dX^i_s + \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d \int_0^t f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^i,X^j]_s\\ &{} + \sum_{s\le t}\left(\Delta f(X_s)-\sum_{i=1}^df_{i}(X_{s-})\,\Delta X^i_s-\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^d f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X^i_s \, \Delta X^j_s\right). \end{align}$$

### 泊松過程

我們也可以定義非連續隨機過程的函數。

定義跳躍強度h，根據跳躍的泊松過程模型，在區間$[t,\ t + \Delta t]$上出現一次跳躍的機率是$h \Delta t$ 加上$\Delta t$的高階無窮小量。h可以是常數、顯含時間的確定性函數，或者是隨機過程。在區間$[0,t]$上沒有跳躍的機率稱為生存機率$p_s(t)$，其變化是：

$$d p_s(t) = -p_s(t) h(t) \, dt.$$

因此生存機率為：

$$p_s(t) = \exp \left(-\int_0^t h(u) \, du \right).$$

定義非連續隨機過程$S(t)$，並把$S(t^-)$記為從左側到達t時S的值，記$d_j S(t)$是一次跳躍導致$S(t)$的非無窮小變化。有：

$$d_j S(t)=\lim_{\Delta t \to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^-))$$

$\eta(S(t^-),z)$是跳躍幅度z的機率分布，跳躍幅度的期望值是：

$$E[d_j S(t)]=h(S(t^-)) \, dt \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz.$$

定義補償過程和鞅$d J_S(t)$：

$$d J_S(t)=d_j S(t)-E[d_j S(t)]=S(t)-S(t^-)-(h(S(t^-)) \int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) \, dt.$$

因此跳躍的非無窮小變化，也就是隨機過程的跳躍部分可以寫為：

$$d_j S(t) = E[d_j S(t)] + d J_S(t) = h(S(t^-)) (\int_z z \eta(S(t^-),z) \, dz) dt + d J_S(t).$$

因此如果隨機過程$S$同時包含漂移、擴散、跳躍三部分，可以寫為：

$$d S(t) = \mu dt + \sigma dW(t) + d_j S(t).$$

考慮其函數$g(S(t),t)$。$S(t)$跳躍$\Delta s$的幅度，會導致$g(t)$跳躍$\Delta g$幅度。$\Delta g$取決於g的跳躍分布$\eta_g()$，有可能依賴於跳躍前的函數值$g(t^-)$，函數微分dg以及跳躍前的自變量值$S(t^-)$。$g$的跳躍部分是：

$$\begin{align} g(t)-g(t^-) & =h(t) \, dt \int_{\Delta g} \, \Delta g \eta_g(\cdot) \, d\Delta g + d J_g(t). \end{align}$$

函數$g(S(t),t)$的伊藤引理是：

$$\begin{align} d g(t) & = \left( \frac{\partial g}{\partial t}+\mu \frac{\partial g}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{\partial^2 g}{\partial S^2}+h(t)\int_{\Delta g} (\Delta g \eta_g(\cdot) \, d{\Delta}g) \, \right) dt + \frac{\partial g}{\partial S} \sigma \, d W(t) + d J_g(t). \end{align}$$

可以看到，漂移-擴散過程與跳躍過程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

## 應用例子

### 布萊克-舒爾茲模型

伊藤引理可以用於推導布萊克-舒爾茲模型。假設一支股票的價格服從幾何布朗運動$dS=\mu Sdt +\sigma SdW$，且其期權的價格是股票價格和時間的函數$V=f(t,S)$。根據伊藤引理，有

$$df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \mu S\frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\sigma S\frac{\partial f}{\partial S}\,dW$$

整理可得

$$df = \left(\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\right)\,dt +\frac{\partial f}{\partial S}\,dS$$

式中$\frac{\partial f}{\partial S}\,dS$項表明期權價格的波動等於持有$\frac{\partial f}{\partial S}$單位股票時的波動。在這個對應下，現金的部分應該以無風險利率$r$增長，即

$$df = r\left(f-S\frac{\partial f}{\partial S}\right)\,dt + \frac{\partial f}{\partial S}\,dS$$

比較兩式$dt$項的係數，可得

$$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} + rS\frac{\partial f}{\partial S}-rf = 0$$

## 參考資料

- Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
- PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
- Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy