事件 (機率論)

在機率論中，隨機事件（或簡稱事件）指的是隨機試驗結果的一個子集，也就是樣本空間中的一個子集。簡單來說，在一次隨機試驗中，某個特定事件可能出現也有可能不出現；但當試驗次數增多，我們可以觀察到某種規律性的結果，就是隨機事件。隨機事件有其出現的機率。基本上，只要樣本空間是有限的，則在樣本空間內的任何一個子集合，都可以被稱為是一個事件。然而，當樣本空間是無限的時候，特別是不可數之時，就常常不能定義所有的子集為隨機事件了。

## 例子

假設我們有一堆52張的撲克牌，並閉著眼睛在這堆牌中抽取一張牌，那麼用機率論的術語來說，我們實際上是在做一個隨機試驗。這時，我們的樣本空間是一個有著52個元素的集合，因為任意一張牌都是一個可能的結果。而一個隨機事件，則是這個樣本空間的任意一個子集（這個任意子集包括空集，一個元素的集合及多個元素的集合）。運用組合知識可以知道，隨機事件一共有$2^{52}$種。當這個事件僅僅包括樣本空間的一個元素（或者說它是一個單元素集合）的時候，稱這個事件為一個基本事件。比如說事件「抽到的牌是黑桃7」。當事件是空集時，稱這個事件為不可能事件。當事件是全集時，則稱事件是必然事件。其它還有各種各樣的事件，比如：

- 「抽到的牌是鬼牌」（也是不可能事件）
- 「抽到的牌是紅桃3」（基本事件）
- 「抽到的牌數字是9」（包含4個元素）
- 「抽到的牌是方塊」（包含13個元素）
- 「抽到的牌是紅顏色的並且數字小於等於10」（包含20個元素）
- 「抽到的牌不是紅桃3」（包含51個元素）

由於事件是樣本空間的子集，所以也可以寫成集合的形式。有時候寫成集合的形式可能會很困難。有時候也可以用文氏圖來表示事件，這時可以用事件所代表圖形的面積來按比例顯示事件的機率。

## 事件與機率空間

當樣本空間有限，試驗中每個基本事件發生的可能性相同的時候，稱為古典概型。這時可以（也是一般用到的）取樣本空間的所有的子集作為事件。然而，當樣本空間不是有限的時候，特別是當樣本空間是實數的時候，就不能取所有的子集作為事件了。其中的根本原因在於機率的定義。一般來說，當研究一個隨機事件的時候，我們希望知道它發生的機率。事件發生的機率是一個介於0和1之間的數。當樣本空間是不可數的時候，如果我們取樣本空間所有的子集，那麼機率論的公理系統會產生數學上的矛盾，也就是說，會有一些子集無法被定義機率。具體地說，機率論的公理系統是由三個部份$(\Sigma, \mathcal{F}, \mathbb{P})$組成的，又稱為機率空間。這個空間包括：樣本空間$\Sigma$、事件集合$\mathcal{F}$（又稱為事件體）以及定義在這上面的一個取機率的運算：$\mathbb{P}$。其中的事件集合$\mathcal{F}$是一個σ-代數，而取機率的運算$\mathbb{P}$ 需要滿足機率的加法公理（σ-Additive）：

如果一系列事件$A_1, A_2, \cdots$兩兩互斥（也就是說對任意的$i , j$，$A_i \cap A_j$都是空集。此亦稱為pairwise disjoint）那麼就有：

$$\mathbb{P}( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( A_i)$$

這個公理是符合一般人的直覺的：如果幾件事情互相之間相互排斥，那麼「它們幾個中有一個發生」的機率應該等於其中每一個發生的機率的和。

然而，對於不可數的樣本空間，如果選全部的子集作為事件的話，會有一些子集，無論怎樣為他們定義機率，都會違反加法公理。

### 一個反例

假設小明和小華玩一個遊戲，讓小華隨意說一個0到1之間的實數。小明爲了研究機率，選擇了所有0,1的子集作為機率集合。他將所有的0到1之間的有理數取出來。由於0到1之間的有理數是可數集合，所以可以做標號：$q_1, q_2, \cdots$。對於每一個0到1之間的實數$a$，小明將$a+q_1, a+q_2, \cdots$作為一個集合，如果其中有大於1的，就減去1。這個集合是由可數個數構成的，小明把它記作$S_a$。構造多個這樣的集合$S_a$滿足其並集是區間0,1，且它們之間兩兩不相交。然後將每個$S_a$寫成：

$$S_a = s_{a, 1}, s_{a, 2}, \cdots$$

再令：

$T_1 =$ 遍歷所有$S_a$ 集合中的$s_{a, 1}$ 所構成的集合。

$T_2 =$ 遍歷所有$S_a$ 集合中的$s_{a, 2}$ 所構成的集合。

如此等等。

那麼所得到的事件（也就是集合）$T_1, T_2 , \cdots$的並集也是區間0,1，而且它們之間兩兩不相交。由於這些事件之間地位相等，所以它們的機率$\mathbb{P}(T_n)$都是一樣的。

如果$\mathbb{P}(T_n) >0$，那麼根據加法原則。

$$1 =\mathbb{P}([0,1]) = \mathbb{P}( \bigcup_{i=1}^{\infty} T_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( T_i) =\sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( T_1) = + \infty$$

而如果$\mathbb{P}(T_n) = 0$，那麼根據加法原則，仍然有：

$$1 =\mathbb{P}([0,1]) = \mathbb{P}( \bigcup_{i=1}^{\infty} T_i) = \sum_{i=1}^{\infty} \mathbb{P}( T_i) = 0 + 0 + \cdots = 0$$

因此無論如何，都會導致矛盾。也就是說小明無法為事件$T_1$定出一個機率。在一般的測度理論中，這種集合稱為（勒貝格）不可測集合。

## 事件之間的關係

兩個隨機事件之間可以有各種各樣的關係。

- 包含關係：通常用符號$\subset$表示。一個事件$A$包含另一個事件$B$記作：$B \subset A$。這時只要事件$B$發生，那麼事件$A$也一定發生。這個關係其實就是集合論中的包含關係。舉之前撲克牌的例子來說，假設事件$A$是「抽出的牌上數字是8」，事件$B$是「抽出的牌是梅花8」，那麼事件$A$包含事件$B$：只要抽出的是梅花8，牌上的數字自然就是8。
- 等價關係：兩個事件對應的子集完全相等，記作$A = B$。例子：事件「抽出的牌花色是黑桃並且數字比3小並且數字是偶數」和事件「抽出的牌是黑桃2」就是等價的。
- 對立關係：兩個事件只能有一個發生，並且必然有一個發生，則它們是對立關係。這種關係對應的集合論術語是「補集」。
- 互斥關係：兩個事件只能有一個發生，但並不必然有一個發生。這時也稱兩個事件之間是互不相容的。

### 獨立事件

如果兩個事件同時發生的機率等於它們各自發生的機率的乘積，那麼就稱這兩個事件是相互獨立的。比如說，「抽到的牌是紅桃」和「抽到的牌數字是4」就是相互獨立的，因為兩者同時發生——抽到的牌是紅桃4——的機率是52分之1，而「抽到的牌是紅桃」的機率是4分之1，「抽到的牌數字是4」的機率是13分之1，兩者相乘便是52分之1。

## 事件的運算

- 事件$A\cup B$：是事件$A$和事件$B$的和事件（並事件），指的是事件「事件$A$發生或者事件$B$發生」。
- 事件$A\cap B$：是事件$A$和事件$B$的積事件（交事件），指的是事件「事件$A$發生且事件$B$發生」。
- 事件$A-B$：是事件$A$和事件$B$的差事件，指的是事件「事件$A$發生且事件$B$不發生」。

在機率運算時，還有：

- $P( A\mid B )$：指的是「設 A 與 B 為樣本空間 Ω 中的兩個事件，其中 P(B)>0。那麼在事件 B 發生的條件下，事件 A 發生的條件概率為：」