菲涅耳方程

菲涅耳方程（或稱菲涅耳條件）是由法國物理學家奧古斯丁·菲涅耳推導出的一組光學方程，用於描述光在兩種不同折射率的介質中傳播時的反射和折射。方程中所描述的反射因此還被稱作「菲涅耳反射」。

## 簡介

當光從一種折射率為$n_1$的介質向另一種折射率為$n_2$的介質傳播時，在兩者的交界處（通常稱作物質的介面）可能會同時發生光的反射和折射。菲涅爾方程描述了光波的不同分量被折射和反射的情況，也描述了波反射時的相變。

方程成立的條件是：介質間界面是光滑平面；介質是均勻並且各向同性的；入射光是平面波；邊際效應可被忽略。

### s 和 p 偏振

由於任何偏振狀態都可以分解成兩個正交的線性偏振波的組合，所以兩個係數就可以描述入射光的兩種不同的線偏振分量。以下是兩種情況（由於電場分量、磁場分量、光的傳播方向由右手螺旋定則確定，所以僅討論電場方向的偏振）：

- 偏振入射光的電場分量與入射光及反射光所形成的平面相互垂直。此時的入射光狀態稱為「s偏振態」，源於德語「垂直（senkrecht）」。
- 偏振入射光的電場分量與入射光及反射光所形成的平面相互平行。此時的入射光狀態稱為「p偏振態」，源於德語「平行（parallel）」。

## 光強方程

在右圖中，入射光線PO到達兩種介質交界面上的點O時，部分光線被反射，反射光為OQ，而另一部分被折射，折射光為OS。定義入射光線、反射光線和折射光線各自與法線形成的夾角分別為$\theta_i\,$、$\theta_r\,$和$\theta_t\,$。

入射角與反射角之間的關係由反射定律給出：

$$\theta_\mathrm{i} = \theta_\mathrm{r}$$

入射角與折射角之間的關係由折射定律給出。普適的折射定律是:

$$\sqrt{n_1^2+\kappa_1^2}\sin\theta_\mathrm{i}=\sqrt{n_2^2+\kappa_2^2}\sin\theta_\mathrm{t}$$

其中n是折射率，$\kappa$是消光係數。對於無吸收損耗介質，$\kappa_1=\kappa_2=0$，折射定律在此特殊情況下就是斯涅爾定律：

$$\frac{\sin\theta_\mathrm{i}}{\sin\theta_\mathrm{t}} = \frac{n_2}{n_1}$$

雖然目前教科書還用複數斯涅爾定律來描述損耗介質中的折射，但最近的理論和實驗已經驗證它是無效的，不能正確描述和模擬電磁波在有吸收損耗介質參與的界面的反射和折射。

一定功率的入射光被界面反射的功率比例稱為反射率（反射比）$R\,$；折射的功率比例稱為透射率（透射比）$T\,$。對反射比和透射比的計算需要用到電動力學中的電磁波傳播理論，具體方法可參考玻恩的《光學原理：光的傳播、干涉和衍射的電磁理論》以及傑克遜的《經典電動力學》。

反射比和透射比的具體形式還與入射光的偏振有關。如果入射光的電矢量垂直於右圖所在平面（即s偏振），反射比為

$$R_s = \left(\frac{n_1\cos\theta_i-n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i+n_2\cos\theta_t}\right)^2$$

其中$\theta_t\,$是由折射定律從$\theta_i\,$導出的。如果是無吸收損耗，還可用三角恆等式化簡。

如果入射光的電矢量位於右圖所在平面內（即p偏振），反射比為

$$R_p = \left(\frac{n_1\cos\theta_t-n_2\cos\theta_i}{n_1\cos\theta_t+n_2\cos\theta_i}\right)^2$$

透射比無論在哪種情況下，都有$T = 1 - R\,$。

如果入射光是無偏振的（含有等量的s偏振和p偏振），反射比是兩者的算數平均值：$R = \frac{R_s + R_p}{2}\,$。

反射和折射光波的振幅與入射光波振幅的比值（通常稱為反射係數和透射係數）也可用類似的方程給出，這些方程也稱作菲涅耳方程:

$r_\text{s}=\frac{n_1\cos\theta_\text{i}-n_2\cos\theta_\text{t}}{n_1\cos\theta_\text{i}+n_2\cos\theta_\text{t}}$,

$t_\text{s}=\frac{2n_1\cos\theta_\text{i}}{n_1\cos\theta_\text{i}+n_2\cos\theta_\text{t}}\,$,

$r_\text{p}=\frac{n_2\cos\theta_\text{i}-n_1\cos\theta_\text{t}}{n_2\cos\theta_\text{i}+n_1\cos\theta_\text{t}}$,

$$t_\text{p}=\frac{2n_1\cos\theta_\text{i}}{n_2\cos\theta_\text{i}+n_1\cos\theta_\text{t}}\,.$$

根據不同的體系和符號習慣，它們可以有不同形式。反射係數和透射係數通常用小寫的 $r\,$和 $t\,$表示。在某些體系中，它們滿足條件：

$R=|r|^2,$ $T=\frac{n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i} |t|^2$

對於給定的折射率$n_1\,$和$n_2\,$且入射光為p偏振光時，當入射角為某一定值時$R_p\,$為零（無吸收損耗的情況），此時p偏振光被完全透射而無反射光出射。這個角度被稱作布儒斯特角，對於空氣或真空中的玻璃介質約為56°。注意$R_p\,$為零隻是對於兩種折射率都為實數的介質才有可能，對於會吸光的物質，例如金屬和半導體，折射率是一個複數，從而$R_p\,$的最小值一般不為零。

當光從光密介質向光疏介質傳播時（即$n_1\ > n_2\,$時），存在一個臨界的入射角，對於大於此入射角的入射光$R_s = R_p = 1\,$，此時入射光完全被界面反射。這種現象稱作全內反射，臨界角被稱作全反射臨界角，對於空氣中的玻璃約為41°。

當光線以近法線入射（$\theta_i \approx \theta_t \approx 0\,$）時，反射比和透射比分別為：

$$R = R_s = R_p = \left( \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^2$$

$$T = T_s = T_p = 1-R = \frac{4 n_1 n_2}{\left(n_1 + n_2 \right)^2}$$

對於普通的玻璃，反射比大約為4%。注意窗戶對光波的反射包括前面一層以及後面一層，因而少量光波會在兩層之間來回振盪形成干涉。如忽略這種干涉效應，這兩層合併後的反射比為$\frac{2R}{1 + R}\,$（見下）。

需要指出的是這裡所有的討論都假設介質的磁導率$\mu\,$都等於真空磁導率$\mu_0\,$。對於大多數電介質而言這是近似正確的，但對其他類型的物質來說不正確，因而若考慮這一點則菲涅耳方程的形式會更加複雜。

## 多重界面的效應

當光在兩層以上平行表面發生多重反射時，多列反射光波往往會互相發生干涉，從而有可能會使系統總的透射光和反射光振幅表達起來相當複雜，這通常是波長（或頻率）的函數。一個例子是漂浮在水面上的油膜，在光照下會產生多種色彩；其他例子還包括法布里－珀羅干涉儀、透鏡等光學儀器表面所用的能極大降低反射率的鍍膜（增透膜），以及各種光學濾波器。對這些效應的定量計算仍然是基於菲涅耳方程的，但也要考慮額外產生的干涉所帶來的影響，通常可以採用光學中的傳遞矩陣方法來計算這些問題。

## 外部連結

- Fresnel Equations – Wolfram Research
- FreeSnell – 免費的電腦軟體，用於計算多層材料的光學性質
- Thinfilm – 計算薄膜以及多層材料光學性質（反射和透射係數等）的Web網頁
- 計算單界面的反射和折射角、以及光強的Web網頁.
- ReflectionCoefficient.INFO – 光學反射率計算器
- Reflection and transmittance for two dielectrics - 用Mathematica編寫的演示折射率與反射關係的工具