接近整數

在趣味數學中，接近整數是指很接近整數的無理數。這類數字中，有些因為其數學上的特性使其接近整數，有些還找不到其特性，看起來似乎只是巧合。

## 有關黃金比例及其他皮索特-維賈亞拉加文數

黃金比例$\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.61803398875\,$的高次方符合此特性。例如

- $$\varphi^{17}=\frac{3571+1597\sqrt5}{2}\approx 3571.00028 \approx F_{16}+F_{18}$$
- $$\varphi^{18}=2889+1292\sqrt5 \approx 5777.999827 \approx F_{17}+F_{19}$$
- $$\varphi^{19}=\frac{9349+4181\sqrt5}{2}\approx 9349.000107 \approx F_{18}+F_{20}$$

其中$F_n$代表費波納契數列的第$n$項

這是因為有恆等式$\varphi^n=F_{n-1}+F_n \times \varphi$此式可利用數學歸納法與性質$\varphi^2=\varphi+1$證明。所以當$n$為足夠大的正整數時。

$$\varphi^n=F_{n-1}+F_n \times \varphi \approx F_{n-1}+F_n \times \left( \frac{F_{n+1}}{F_n} \right)=F_{n-1}+F_{n+1}$$

這些數字接近整數的原因和黃金比例的特性有關，不是數學巧合。其原因是因為黃金比例為皮索特-維賈亞拉加文數，而皮索特-維賈亞拉加文數的高次方會是接近整數。

這些數字與費波納契數有密切的關係，因為費波納契數相鄰兩項的比值會趨近於黃金比例，而如果m整除n，則第m個費波納契數也會整除第n個費波納契數。

皮索特-維賈亞拉加文數是指代數數本身大於1，而且其極小多項式中另一根的絕對值小於1。像黃金比例本身大於1，$\varphi$的最小多項式為$$x^2 - x - 1=0$$

另一根為$$\overline{\varphi}=\frac{1-\sqrt5}{2}\approx -0.618\,$$

絕對值小於1，因此黃金比例為皮索特-維賈亞拉加文數，其高次方會是接近整數。

依照根和係數的關係，可得知

$$\varphi \overline{\varphi} = -1$$

$$\varphi+\overline{\varphi} = 1$$

而$\varphi^n + \overline{\varphi}^n$可以用$\varphi \overline{\varphi}$ 及$\varphi+\overline{\varphi}$來表示，由於二根之和及二根之積均為整數，計算所得的結果也是一個正整數，假設為一正整數K，則$\varphi^n$可以用下式表示

$$\varphi^n = K - \overline{\varphi}^n$$

由於$\overline{\varphi}$的絕對值小於1，在n增大時，其高次方會趨於0，此時可得

$$\varphi^n \approx K$$

除了黃金比例外，其他皮索特-維賈亞拉加文數的無理數也符合此一條件，例如$1+\sqrt2$。

## 有關黑格納數

以下也是幾個非巧合出現的接近整數，和最大三項的黑格納數有關：

- $$e^{\pi\sqrt{43}}\approx 884736743.999777466\,$$
- $$e^{\pi\sqrt{67}}\approx 147197952743.999998662454\,$$
- $$e^{\pi\sqrt{163}}\approx 262537412640768743.99999999999925007\,$$

以上三式可以用以下的式子表示:

$$e^{\pi\sqrt{43}}=12^3(9^2-1)^3+744-2.225\cdots\times 10^{-4}\,$$

$$e^{\pi\sqrt{67}}=12^3(21^2-1)^3+744-1.337\cdots\times 10^{-6}\,$$

$$e^{\pi\sqrt{163}}=12^3(231^2-1)^3+744-7.499\cdots\times 10^{-13}\,$$

其中：$21=3\times7,231=3\times7\times11,744=24\times 31\,$ 由於艾森斯坦級數的關係，使得上式中出現平方項。常數$e^{\pi\sqrt{163}}\,$有時會稱為拉馬努金常數。

## 有關π及e

許多有關π及e的常數也是接近整數，例如

$$e^{\pi}-\pi=19.999099979189\cdots\,$$

以及

$$e^{5\pi}=6635623.999341134233\cdots\,$$

格爾豐德常數（$e^{\pi}\,$）接近$\pi+20\,$，至2011年為止還沒找到出現此特性的原因，因此只能視為一數學巧合。另一個有關格爾豐德常數的常數也是接近整數$$\frac{e^\pi-\pi-1}{6\pi}=1.00793356\cdots\,$$

以下也是一些接近整數的例子

- $$22{\pi}^4=2143.0000027480\cdots\,$$
- $${\pi}^5=306.019684\cdots\,$$
- $${\pi}^3=31.006276\cdots\,$$
- $${\pi}^{13/2}=1704.017978\cdots\,$$
- $${\pi}^3-\frac{\pi}{500}=30.999993494\cdots\,$$
- $${\pi}^2+\frac{\pi}{24}=10.000504\cdots\,$$
- $${\pi}^5-3{\pi}^3=213.0008547\cdots\,$$
- $$e^\pi-\pi+0.0009=19.9999999791\cdots\,$$
- $$e^3=20.0855369\cdots\,$$
- $$e^{9/2}=90.0171313\cdots\,$$
- $$e^{\pi\sqrt{2}}=85.019695\cdots\,$$
- $$e^6-{\pi}^5-{\pi}^4=0.00001767\cdots\,$$
- $$9{\pi}^5-2e^3=2714.00608922\cdots\,$$
- $$e^{13/2}-\pi=662.00004039\cdots\,$$
- $${\pi}^{13/2}-e^{9/2}=1614.00084707\cdots\,$$

## 其他例子

${}_{\cos\left\{\pi\cos\left[\pi\cos\ln\left(\pi+20\right)\right]\right\}\approx -0.9999999999999999999999999999999999606783 }$｜${}_{\sin2017\sqrt[5]2\approx -0.9999999999999999785}$｜${}_{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lfloor n\tanh \pi \rfloor}{10^n}-\frac{1}{81}\approx 1.11\times10^{-269}}$｜${}_{\sqrt{29}\left(\cos\frac{2\pi}{59}-\cos\frac{24\pi}{59}\right)-\frac{19}{5}\approx 3.057684294154\times10^{-6}}$

${}_{1+\frac{103378831900730205293632}{e^{3\pi\sqrt{163}}}-\frac{196884}{e^{2\pi\sqrt{163}}}-\frac{262537412640768744}{e^{\pi\sqrt{163}}}\approx 1.161367900476\times10^{-59}}$｜${}_{\frac{\ln^2262537412640768744}{\pi^2}-163\approx 2.32167\times10^{-29}}$｜${}_{10\tanh\frac{28}{15}\pi-\frac{\pi^9}{e^8}\approx 3.661398\times10^{-8}}$｜${}_{ \sqrt[4]{\frac{91}{10}}-\frac{33}{19}\approx 3.661398\times10^{-8}}$

${}_{ \gamma-{10\over81}\left(11-2\sqrt{10}\right)=\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{xe^x}\right){\rm{d}}x-{10\over81}\left(11-2\sqrt{10}\right)\approx 2.72\times10^{-7}}$｜${}_{\frac{\left(5+\sqrt5\right)\Gamma\left({3\over4}\right)}{e^{\frac{5}{6}\pi}}\approx1.000000000000045422}$｜${}_{{1\over4}\left(\cos{1\over10}+\cosh{1\over10}+2\cos{\sqrt2\over20}\cosh{\sqrt2\over20}\right)\approx 1.000000000000248 }$｜${}_{e^6-\pi^5-\pi^4\approx1.7673\times10^{-5}}$

${}_{\sqrt{29}\left(\cos\frac{2\pi}{59}-\cos\frac{24\pi}{59}\right)\approx 3.0576842941540143382\times 10^{-6}}$｜${}_{ \left(3\sqrt5\right)^{\gamma}=\left(3\sqrt5\right)^{\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{xe^x}\right){\rm{d}}x}\approx 3.000060964}$｜${}_{ e^{\phi_0\left(\frac{2+\sqrt3}{4}\right)}=e^{\int_0^{\infty}\left(\frac{1}{te^t}-\frac{e^{\frac{2-\sqrt3}{4}t}}{e^t-1}\right){\rm{d}}t}\approx 1.99999969}$｜${}_{ \frac{\sqrt[3]9}{3\ln 2}\approx 1.00030887}$

${}_{\sum_{k=-\infty}^{\infty}10^{-\frac{k^2}{10000}}-100\sqrt{\frac{\pi}{\ln10}}=\theta_3\left(0,\frac{1}{\sqrt[10000]{10}}\right)-100\sqrt{\frac{\pi}{\ln10}}\approx1.3809\times10^{-18613}}$｜${}_{ {\pi^9\over e^8}\approx 9.998387}$｜${}_{ e^{\pi}-\pi\approx 19.999099979}$｜${}_{ \frac{e^{\pi}-\ln3}{\ln2}-\frac{4}{5}\approx 31.0000000033}$

${}_{\frac{\pi^{11}}{e^3}-\Gamma\left[\Gamma\left(\pi+1\right)+1\right]=\frac{\pi^{11}}{e^3}-\int_0^{\infty}\frac{t^{\int_0^{\infty}\frac{u^{\pi}}{e^u}{\rm{d}}u}}{e^t} {\rm{d}}t\approx 7266.9999993632596}$｜${}_{ 163\left(\pi-e\right)\approx 68.999664}$｜${}_{ \left(\frac{23}{9}\right)^5=\frac{6436343}{59049}\approx 109.00003387}$｜${}_{ 88\ln 89\approx 395.00000053}$

${}_{ 510\lg 7\approx 431.00000040727098}$｜${}_{ 272\log_{\pi}97\approx 1087.000000204}$｜${}_{ \frac{53453}{\ln 53453}\approx 4910.00000122}$｜${}_{ \frac{53453}{\ln 53453}+\frac{163}{\ln 163}\approx 4941.99999995925082 }$

${}_{\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}+4\pi e^{\pi}\right)}-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}-4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.570287024592328869357\times 10^{-6}}$｜${}_{10-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}-4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.57055302118\times 10^{-6}}$｜${}_{10-\sqrt[8]{\frac{\sqrt2}{4}\left(\pi^{17}-4e^{2\pi}+4\pi e^{\pi}\right)}\approx 2.65996596963\times 10^{-10}}$｜${}_{ \frac{163}{\ln 163}\approx 31.9999987343}$

$$2^{2^{2/3}}\approx 3.00507511272$$

$$4 \ln 2.117\approx 2.99999996861$$

${}_{ \ln K_0-\ln\ln K_0\approx 1.0000744}$，其中$K_0$是辛欽常數

$${}_{\frac{10}{81}-\sum_{n=1}^\infty\frac{\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}10^{-n\left[k-(10^{n-1}-1)\right]}k}{10^{\sum_{k=0}^{n-1}9\times 10^{k-1}k}}=\frac{10}{81}-\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=10^{n-1}}^{10^n-1}\frac{k}{10^{kn-9\sum_{k=0}^{n-1}10^k(n-k)}}\approx 1.022344\times10^{-9}}$$

$${}_{-\frac{1}{5} +e^{\frac{6}{5}} {}_4F_3\left(-\frac{1}{5},\frac{1}{20},\frac{3}{10},\frac{11}{20};\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)+\frac{2}{25e^{\frac{6}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{9}{20},\frac{7}{10},\frac{19}{20};\frac{3}{5},\frac{4}{5},\frac{7}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)-\frac{4}{125e^{\frac{12}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{2}{5},\frac{13}{20},\frac{9}{10},\frac{23}{20};\frac{4}{5},\frac{6}{5},\frac{8}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)+\frac{7}{625e^{\frac{18}{5}}}{}_4F_3\left(\frac{3}{5},\frac{17}{20},\frac{11}{10},\frac{27}{20};\frac{6}{5},\frac{7}{5},\frac{9}{5};\frac{256}{3125e^6}\right)-\pi\approx 2.89221114964408683\times10^{-8}}$$

$${}_{\qquad\mbox{Root of } x^6-615x^5+151290x^4-18608670x^3+1144433205x^2-28153057165x+39605=0} \,$$

$${}_{\frac{615-55\sqrt5-\sqrt[3]{7451370+3332354\sqrt5+6\sqrt{8890710030+3976046490\sqrt5}}-\sqrt[3]{7451370+3332354\sqrt5-6\sqrt{8890710030+3976046490\sqrt5}}}{6}\approx 1.40677447684\times10^{-6}}$$

$${}_{\qquad\mbox{Root of } 312500000x^5-6843750000x^4+6826250000x^3+10476025000x^2-7886869750x-72099=0} \,$$

$${}_{\tan\left(\frac{\arctan 4}{5}+\frac{4\pi}{5}\right)+\frac{19}{50}=\frac{219}{50}+\frac{-1-\sqrt5+\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{884+799{\rm{i}}}+\frac{-1-\sqrt5-\sqrt{10-2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{884-799{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt5-\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{1156+289{\rm{i}}}+\frac{-1+\sqrt5+\sqrt{10+2\sqrt5}{\rm{i}}}{4}\sqrt[5]{1156-289{\rm{i}}}\approx -9.141538637378949398666277\times 10^{-6}}$$

$${}_{\rm{erfi}\left(\rm{erfi}\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t} e^{u^2} \rm{d} u =\frac{2}{\sqrt\pi}e^{\left(\frac{2\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t\right)^2}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left[\frac{4u\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t\right]}{e^{u^2}}{\rm{d}}u =\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{{}_{\frac{2\sqrt[3]e}{\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{3}\sqrt3t\right)}{e^{t^2}}{\rm{d}}t}} e^{u^2} {\rm{d}} u =\frac{2}{\sqrt\pi}e^{\left(\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t\right)^2}\int_0^{\infty}\frac{\sin\left(\frac{4u}{\sqrt\pi}\int_0^{\frac{\sqrt3}{3}} e^{t^2} \rm{d} t\right)}{e^{u^2}} {\rm{d}} u\approx 1.00002087363809430195879}$$

- $\sin 11 = -0.999990207...$，這是由於$3.5 \pi \approx 10.9956 \approx 11$的緣故，另一個類似的例子為$\sin 355 = -0.00003014435335948844921433...$
- $$\sqrt{1^2+2^2+3^2+4^2+.......+552057^2} \approx 236818619.0000004307$$
- $$\frac{5^6}{6^5} \approx 2$$

## 外部連結

- J.S. Markovitch Coincidence, data compression, and Mach's concept of economy of thought