比例性質

比例性質是代數學中常用的分式性質，主要包括合比性質、分比性質、合分比性質、等比性質以及它們的推廣。這四條性質多用於分式的計算和證明，以及三角函數、相似三角形、平行線分線段成比例定理的應用中。其中尤其以等比性質的應用最為廣泛。而比例的線性組合也具有多種多樣的性質。

## 合比性質

### 表述

在一個比例等式中，第一個比例的前後項之和與第一個比例的後項的比，等於第二個比例的前後項之和與第二個比例的後項的比。

### 數學表示

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則有$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。

### 證明

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

$$\therefore \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$$

$$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

證畢

## 分比性質

### 表述

在一個比例等式中，第一個比例的前後項之差與第一個比例的後項的比，等於第二個比例的前後項之差與第二個比例的後項的比。

### 數學表示

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則有$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$。

### 證明

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

$$\therefore \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$$

$$\therefore \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

證畢

## 合分比性質

### 表述

在一個比例等式中，第一個比例的前後項之和與第一個比例的前後項之差的比，等於第二個比例的前後項之和與第二個比例的前後項之差的比。

### 數學表示

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則有$\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$。

### 證明

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{bk+b}{bk-b}=\frac{k+1}{k-1}$$

$$\frac{c+d}{c-d}=\frac{dk+d}{dk-d}=\frac{k+1}{k-1}$$

$$\therefore \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}$$

證畢

## 等比性質

### 表述

在一個比例等式中，兩前項之和與兩後項之和的比例與原比例相等

### 數學表示

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則有$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。

### 證法一

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{bk+dk}{b+d}=k$$

$$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

證畢

### 證法二

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

$$\therefore \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

由合比性質$\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}$

$$\therefore \frac{a+c}{b+d}=\frac{c}{d}$$

即$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

證畢

### 推論

已知$a_i,b_i\in\mathbb{C},i=1,2,\ldots,n$，且有$b_i\neq0$，如果$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$，則有$\frac{\sum_i^n{a_i}}{\sum_i^n{b_i}}=\frac{a_i}{b_i}$。

## 比例的線性組合

由上述性質以及其證明方法可以推廣到任意的線性組合的比例性質。例如如下兩條，分別從合分比性質和等比性質推廣得到。

### 合分比性質的線性組合推論

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則有$\frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}$。

證明：

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$\frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda bk+\mu b}{\xi bk+\eta b}=\frac{\lambda k+\mu}{\xi k+\eta}$$

$$\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}=\frac{\lambda dk+\mu d}{\xi dk+\eta d}=\frac{\lambda k+\mu}{\xi k+\eta}$$

$$\therefore \frac{\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}=\frac{\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}$$

證畢

### 等比性質的線性組合推論一

已知$a,b,c,d\in\mathbb{C}$，且有$b\neq0,d\neq0$，如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則有$\frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。

證明：

$$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

令$k=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，則$a=b\cdot k,c=d\cdot k$

$$\frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{\lambda bk+\mu dk}{\lambda b+\mu d}=k$$

$$\therefore \frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$

證畢

### 等比性質的線性組合推論二

已知$a_i,b_i\in\mathbb{C},i=1,2,\ldots,n$，且有$b_i\neq0$，如果$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$，則有$\frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{a_i}{b_i}$。

證明：

令$k=\frac{a_i}{b_i}$，則$a_i=b_i\cdot k$

$$\frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{\sum_i^n{\lambda_i kb_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{k\sum_i^n{\lambda_i b_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=k$$

$$\therefore \frac{\sum_i^n{\lambda_i a_i}}{\sum_i^n{\lambda_i b_i}}=\frac{a_i}{b_i}$$

證畢