2i

$2i$在高斯平面上的位置

2倍虛數單位$2i$

$$x^2+4=0$$

$2\sqrt{-1}$ $\sqrt{-4}$

$$(1+i)^2$$

$2i$是在虛數軸正向距離原點兩個單位的純虛數，屬於高斯整數，為虛數單位（$i$）的兩倍，同時也是負四的平方根，是方程式$x^2+4=0$的正虛根。日常生活中通常不會用$2i$來計量事物，例如無法具體地描述何謂$2i$個人，邏輯上$2i$個人並沒有意義。部分書籍或教科書偶爾會使用$2i$來做虛數的例子或題目。

在高斯平面上，與$2i$相鄰的高斯整數有$i$和$3i$（上下相鄰；純虛數）以及$2i-1$和$2i+1$（左右相鄰），然而複數不具備有序性，即無法判斷$2i$與$3i$間的大小關係，因此無法定義$i$與$3i$何者為$2i$的前一個虛數、何者為$2i$的下一個虛數。

$3i$

$2i$

$3i$

$2i$

$3i-2i>0$

$i>0$

$i$

$-1>0$

$-1$

$3i$

$2i$

$2i$

$3i$

$2i-3i>0$

$-i>0$

$-i$

$\left( -i\right)\times\left( -i\right)>\left( -i\right)\times 0\Rightarrow -1 > 0$

$3i$

$2i$

$3i$

$2i$

$2i$

$3i$

−1+3i｜1=3i｜1+3i

−1+2i｜2i｜1+2i

−1+i｜i｜1+i

與$2i$相鄰的高斯整數示意圖

## 性質

- $2i$不屬於實數，是純虛數，同時也是複數，位於複數平面。輻角為90度（$\frac\pi 2$弧度），其也能表達為$2e^{i\pi/2}$或$2\left(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}}\right)$。
- $2i$是高斯整數，高斯整數分解為$(1+i)^2$，或$(1+i)(1+i)$，其中，1+i為2i的高斯質因數。
- 所有的複數皆可以表達為$2i$之冪的線性組合。換句話說若進位制以$2i$為底數，則可獨一無二地表示全體複數。該進制稱為2i進制，由高德納於1955年發現。
- 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以$2i$的商，換言之，則$z-z^*=2i\,Im(z)$。
- $$Im(z)=\frac{z-z^*}{2i}$$
- 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以$2i$的商。
- $$\sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$
- $2i$等於最小的質數和虛數單位的積，即$p_{_1}\times i = 2i$，其中$p_n$為第$n$個質數。
- 虛數單位和虛數單位的倒數相差$2i$。
- 任意數與$2i$相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。

### 2i的冪

$2i$的前幾次冪為1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在1、i、−1、−i中變化。其中，實數項為−4的冪，虛數的正值項為16的冪的2倍、虛數的負值項為16的冪的−8倍，因此這種特性使得$2i$作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，並且有研究以此特性設計複數運算電路。

### 2i的平方根

$2i$的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即$\sqrt{2i}=1+i$，反過來說$2i$正好是實數單位與虛數單位相加的平方，$(1+i)^{2}=2i$。若考慮平方根的正負，則1+i和−1−i都是$2i$的平方根。

## 相關數字

### −2i

$-2i$是$2i$的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。$-2i$的絕對值為2而非2i。此外，$-2i$也是負四的平方根。

### 1+i

$1+i$是$2i$的平方根，同時也是高斯質數。由於其冪次為1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於$-1+i$為底數的進位制，$-1+i$做為底數更為適合。亦有另外一個數也為$2i$的平方根，即$-1-i$，但這個數較少出現於探討進位制底數的文章中，也沒有其他特殊的性質。此外，$-1-i$也不是第一象限高斯質數，因此鮮少被拿出來討論。

### −1+i

$$-1+i$$

$$\sqrt{-2i}$$

$$\sqrt{2}$$

$-1+i$是$-2i$的平方根，也是高斯質數。其距離原點$\sqrt 2$單位，輻角為135度（$\frac{3\pi}4$弧度），實部為負一、虛部為1。由於其冪次為−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，在正負、虛實交替變化，因此可以構建以$-1+i$為底數並用1和0表達複數的進位制。其他複數雖然也可以，如$1-i$，但對高斯整數而言，以$1-i$為底並不是優良的選擇。雖然$1-i$也是$-2i$的平方根，但因為上述原因，所以$1-i$這個數字通不會用來作為進制的底數來使用。

除了$-1+i$外，其他$-n+i$形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以$-1+i$為例，其表達的範圍較為均勻，而$-2+i$、$-3+i$等則會越來越狹長。而底數$2+i$則需要非自然數的位數來表示。

十進制｜二進制｜2i進制｜−1+i進制｜−2+i進制

0｜2｜2i｜-1+i｜-2+i

1｜2｜2i｜-1+i｜-2+i

2｜2｜2i｜-1+i｜-2+i

−1｜2｜2i｜-1+i｜-2+i

−2｜2｜2i｜-1+i｜-2+i

i｜i｜2i｜-1+i｜-2+i

2i｜2i｜2i｜-1+i｜-2+i

3i｜2i｜2i｜-1+i｜-2+i

−i｜−i｜2i｜-1+i｜-2+i

−2i｜2i｜2i｜-1+i｜-2+i

−3i｜2i｜2i｜-1+i｜-2+i

1+i｜1+i｜2i｜-1+i｜-2+i

1−i｜1−i｜2i｜-1+i｜-2+i

−1+i｜−1+i｜2i｜-1+i｜-2+i

−1−i｜−1−i｜2i｜-1+i｜-2+i

2+i｜2+i｜2i｜-1+i｜-2+i

2−i｜2−i｜2i｜-1+i｜-2+i

−2+i｜2+i｜2i｜-1+i｜-2+i

−2−i｜2−i｜2i｜-1+i｜-2+i

## 相鄰的高斯整數

−1+3i｜1=3i｜1+3i

−1+2i｜2i｜1+2i

−1+i｜i｜1+i

與$2i$相鄰的高斯整數示意圖

### 3i

$3i$是在虛數軸正向距離原點3個單位的純虛數，是虛數單位的三倍，同時也是負九（−9）的平方根，與純虛數2i和4i相鄰、並與高斯整數−1+3i和1+3i相鄰。

$3i$的為虛數單位與質數3的乘積，其中，3也是高斯質數，因此$3i$的高斯整數分解為3i。

### −1+2i

$-1+2i$是在虛數軸正向距離原點$\sqrt{5}$個單位的高斯整數，其實部為負一、虛部為2i，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數−1+3i、−1+i和−2+2i相鄰。$-1+2i$是高斯質數。

### 1+2i

$1+2i$是高斯質數，在虛數軸正向距離原點$\sqrt{5}$個單位，其實部為一、虛部為2i，為方程式$x ^ 2 - 2x + 5 = 0$的其中一根，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數1+3i、1+i和3+2i相鄰。

## 基本資料

- 作戰範圍：數表 — 高斯整數、>
- 別名：負四的平方根、二虛數單位
- 面值：2倍虛數單位、$2i$
- 以此為根的多項式或函數：$x^2+4=0$
- 代數形式：$2\sqrt{-1}$、$\sqrt{-4}$
- 絕對值：2
- nav：no
- gaussian integer factorization：$(1+i)^2$
- 製造數量：−1+i
- 面值：$-1+i$
- 代數形式：$\sqrt{-2i}$
- 絕對值：$\sqrt{2}$