派克變換

派克變換（也譯作帕克變換，英語：Park's Transformation），是目前分析同步電動機及感應馬達運行最常用的一種坐標變換，由美國工程師羅伯特·H·帕克在1929年提出。派克變換將定子的a,b,c三相電流投影到隨著轉子旋轉的直軸（d軸），交軸（q軸）與垂直於dq平面的零軸（0軸）上去，從而實現了對定子電感矩陣的對角化，對電動機的運行分析起到了簡化作用。

## 定義

派克正變換：

$${\mathbf{i}}_{dq0} = {\mathbf{P}}{\mathbf{i}}_{abc} = \frac{2} {3}\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {\cos \theta } & {\cos \left( {\theta - 120^ \circ } \right)} & {\cos \left( {\theta + 120^ \circ } \right)} \\ { - \sin \theta } & { - \sin \left( {\theta - 120^ \circ } \right)} & { - \sin \left( {\theta + 120^ \circ } \right)} \\ {\frac{1} </pre> {2}} & {\frac{1} {2}} & {\frac{1} {2}} \\ <pre> \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {i_a } \\ {i_b } \\ {i_c } \\ \end{array} } \right]$$

逆變換：

$${\mathbf{i}}_{abc} = {\mathbf{P}}^{ - 1} {\mathbf{i}}_{dq0} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {\cos \theta } & { - \sin \theta } & 1 \\ {\cos \left( {\theta - 120^ \circ } \right)} & { - \sin \left( {\theta - 120^ \circ } \right)} & 1 \\ {\cos \left( {\theta + 120^ \circ } \right)} & { - \sin \left( {\theta + 120^ \circ } \right)} & 1 \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {i_d } \\ {i_q } \\ {i_0 } \\ \end{array} } \right]$$

派克變換也作用在定子電壓與定子繞組磁鏈上：

${\mathbf{u}}_{dq0} = {\mathbf{P}}{\mathbf{u}}_{abc}$，${\mathbf{\Psi }}_{dq0} = {\mathbf{P}}{\mathbf{\Psi }}_{abc}$

## 用派克變換化簡同步發電機基本方程

### 變換後的磁鏈方程

磁鏈方程：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{\Psi }}_{abc} } \\ {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{L}}_{SS} } & {{\mathbf{L}}_{SR} } \\ {{\mathbf{L}}_{RS} } & {{\mathbf{L}}_{RR} } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{abc} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] </pre>$$

上式中的電感係數矩陣 ${{\mathbf{L}}_{SS}},{{\mathbf{L}}_{SR}},{{\mathbf{L}}_{RS}},{{\mathbf{L}}_{RR}}$ 事實上都含有隨時間變化的角度參數

${\mathbf{L}}_{SS} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {L_{aa} } & {M_{ab} } & {M_{ac} } \\ {M_{ba} } & {L_{bb} } & {M_{bc} } \\ {M_{ca} } & {M_{cb} } & {L_{cc} } \\ \end{array} } \right] </pre>$

$$L_{aa} = l_0 + l_2 \cos \left( 2\theta \right)$$

$$L_{bb} = l_0 + l_2 \cos 2\left( {\theta - 120^ \circ } \right)$$

$$L_{cc} = l_0 + l_2 \cos 2\left( {\theta + 120^ \circ } \right)$$

$$M_{ab} = M_{ba} = - m_0 - m_2 \cos 2\left( {\theta + 30^ \circ } \right)$$

$$M_{bc} = M_{cb} = - m_0 - m_2 \cos 2\left( {\theta - 90^ \circ } \right)$$

$$M_{ca} = M_{ac} = - m_0 - m_2 \cos 2\left( {\theta + 150^ \circ } \right)$$

使得方程求解困難。

現對等式兩邊同時左乘 $\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {\mathbf{P}} & {} \\ {} & {\mathbf{U}} \\ \end{array} } \right]$，其中$</pre> {\mathbf{U}}$為三階單位矩陣。方程化為：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{\Psi }}_{dq0} } \\ {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\mathbf{P}} & {} \\ {} & {\mathbf{U}} \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{L}}_{SS} } & {{\mathbf{L}}_{SR} } \\ {{\mathbf{L}}_{RS} } & {{\mathbf{L}}_{RR} } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{P}}^{ - 1} } & {} \\ {} & {\mathbf{U}} \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{abc} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] </pre>$$

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{\Psi }}_{dq0} } \\ {{\mathbf{\Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{PL}}_{SS} {\mathbf{P}}^{ - 1} } & {{\mathbf{PL}}_{SR} } \\ {{\mathbf{L}}_{RS} {\mathbf{P}}^{ - 1} } & {{\mathbf{L}}_{RR} } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{dq0} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] </pre>$$

其中 ${\mathbf{PL}}_{SS} {\mathbf{P}}^{ - 1} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {L_d } & {} & {} \\ {} & {L_q } & {} \\ {} & {} & {L_0 } \\ \end{array} } \right] \triangleq {\mathbf{L}}_{dq0} </pre>$。

① 變換後的電感係數都變為常數，可以假想dd繞組，qq繞組是固定在轉子上的，相對轉子靜止。

② 派克變換陣對定子自感矩陣 ${\mathbf{L}}_{SS}$ 起到了對角化的作用，並消去了其中的角度變量。${L_d },{L_q},{L_0}$ 為其特徵根。

③ 變換後定子和轉子間的互感係數不對稱，這是由於派克變換的矩陣不是正交矩陣。

④ ${L_d }$ 為直軸同步電感係數，其值相當於當勵磁繞組開路，定子合成磁勢產生單純直軸磁場時，任意一相定子繞組的自感係數。

### 變換後的電壓方程

電壓方程：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{U}}_{abc} } \\ {{\mathbf{U}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{r}}_S } & {} \\ {} & {{\mathbf{r}}_R } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{abc} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{\dot \Psi }}_{abc} } \\ {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] </pre>$$

現對等式兩邊同時左乘 $\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {\mathbf{P}} & {} \\ {} & {\mathbf{U}} \\ \end{array} } \right]$，其中$</pre> {\mathbf{U}}$為三階單位矩陣。方程化為：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{U}}_{dq0} } \\ {{\mathbf{U}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{r}}_S } & {} \\ {} & {{\mathbf{r}}_R } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{dq0} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc} } \\ {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] </pre>$$

由 ${\mathbf{\Psi }}_{dq0} = {\mathbf{P\Psi }}_{abc}$。

對兩邊求導，得 ${\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0} = {\mathbf{\dot P\Psi }}_{abc} + {\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc}$。

所以 ${\mathbf{P\dot \Psi }}_{abc} = {\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0} - {\mathbf{\dot P\Psi }}_{abc} = {\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0} - {\mathbf{\dot PP}}^{ - 1} {\mathbf{\Psi }}_{dq0}$

其中 ${\mathbf{\dot PP}}^{ - 1} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {} & \omega & {} \\ { - \omega } & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ \end{array} } \right] </pre>$，令 ${\mathbf{S}} = {\mathbf{\dot PP}}^{ - 1} {\mathbf{\Psi }}_{dq0} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {} & \omega & {} \\ { - \omega } & {} & {} \\ {} & {} & {} \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\Phi _d } \\ {\Phi _q } \\ {\Phi _0 } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\omega \Psi _q } \\ { - \omega \Psi _d } \\ {} \\ \end{array} } \right] </pre>$

於是有 $\left[ {\begin{array}{*{20}c} <pre> {{\mathbf{U}}_{dq0} } \\ {{\mathbf{U}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{r}}_S } & {} \\ {} & {{\mathbf{r}}_R } \\ \end{array} } \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} { - {\mathbf{i}}_{dq0} } \\ {{\mathbf{i}}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}c} {{\mathbf{\dot \Psi }}_{dq0} } \\ {{\mathbf{\dot \Psi }}_{fDQ} } \\ \end{array} } \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\mathbf{S}} \\ {} \\ \end{array} } \right] </pre>$

上式右邊第一項為繞組電阻的壓降，第二項為變壓器電勢，第三項為發電機電勢或旋轉電勢。

## 參考書目

- 電機電子類科《電力系統暫態分析》，ISBN 978-7-5083-4825-4，作者：李光琦，中國電力出版社。