形式冪級數

形式冪級數(formal power series)是一個數學中的抽象概念，是從冪級數中抽離出來的代數對象。形式冪級數和從多項式中剝離出來的多項式環類似，不過允許（可數）無窮多項因子相加，但不像冪級數一般要求研究是否收斂和是否有確定的取值。形式冪級數在代數和組合理論中有廣泛應用。

## 簡介

形式冪級數和多項式的形式定義有類似之處。對於熟悉冪級數的讀者，也可以將其看作是不討論冪級數斂散性，也就是將其中的不定元僅僅看作是一個代數對象，而不是任何具體數值的時候寫出的冪級數。舉例來說，以下的級數式子：

$$A = 1 - 3X + 5X^2 - 7X^3 + 9X^4 - 11X^5 + \cdots.$$

如果我們把它當成冪級數來研究的話，重點會放在它的收斂半徑等於1、其對應的冪級數函數是否滿足某些性質等等。但作為形式冪級數來研究時，我們關注的是它本身的結構。我們甚至可以把它簡寫為：$[1,-3,5,-7,9, \cdots]$這樣，只關注它的係數。我們完全可以考慮各種係數的形式冪級數。比如說係數為階乘的形式冪級數：$[1,1,2,6,24,120,, \cdots]$，即使說它對應的冪級數：

$$A = 1 + X + 2X^2+6X^3+24X^4 + 120X^5 + \cdots.$$

在$X$取任何的非零實數值時都不收斂，我們仍然可以將其作為形式冪級數進行運算。

和多項式環中的元素一樣，形式冪級數之間也可以做加減和乘法的運算，具體的計算方式和多項式環一樣。比如說設：

$$B = 2X + 4X^3 + 6X^5 +8X^7 + \cdots.$$

那麼$A$與$B$的和就是：

$$A + B = 1 + 3X + 2X^2+10 X^3+24X^4 + 126X^5 + \cdots.$$

$$AB = 2X - 6X^2 + 14X^3 - 26X^4 + 44X^5 + \cdots.$$

其中$A + B$裡面$X^3$的係數就是$A$與$B$中$X^3$的係數的和；$AB$裡面$X^5$的係數就是$A$與$B$中$X$的階數相加等於5的項的係數乘積的和：

$$44X^5 = (1\times 6X^5) + (5X^2 \times 4X^3) + (9X^4 \times 2X).$$

對每個確定的階數$n$，這個計算是有限項（至多$n+1$項）的相加，所以在計算形式冪級數的加減法和乘法的時候，不需要像在對冪級數進行計算時一樣，考慮諸如是否絕對收斂、條件收斂或是一致收斂的問題。另外，如多項式的形式運算一樣，形式冪級數也滿足加法的交換律、加法的結合律、乘法的交換律、乘法的結合律以及乘法對加法的分配律。

形式冪級數不僅能夠定義乘法，也能定義乘法逆的運算。一個形式冪級數$A$的逆是指另一個形式冪級數$C$，使得$AC = 1$. 如果這樣的形式冪級數$C$存在，就是唯一的，將其記為$A^{-1}$。同時我們也可以定義形式冪級數的除法：當$A$的逆存在時，$B/A = B\cdot A^{-1}.$ 比如說，可以很容易驗證：

$$\frac{1}{1+X} = 1 - X + X^2 - X^3 + X^4 - X^5 + \cdots.$$

形式冪級數上的一個重要映射是係數的提取操作：將一個形式冪級數映射到它的$X^n$的係數。這個操作常常記作$[X^n]$，比如說對形式冪級數$A = 1 - 3X + 5X^2 - 7X^3 + 9X^4 - 11X^5 + \cdots.$，就有：

$$[X^5]A = -11$$

對以上定義的形式冪級數$B$，也有：$[X^3]B = 4$。又比如：$[X^2] ( X + 3 X^2 Y^3 + 10 Y^6) = 3 Y^3$，$[X^2 Y^3] ( X + 3 X^2 Y^3 + 10 Y^6) = 3$。提取映射和多項式環中的對應映射一樣，都可以看做是到一個子空間的投影映射。

## 形式冪級數的環結構

所有的不定元為$X$，係數為某一個交換環$R$上元素的形式冪級數構成一個環，稱為$R$上變量為$X$的形式冪級數環，記作$R[[X]]$。

### 定義

$R[[X]]$可以定義為$R$上變量為$X$的多項式環完備化（對於特定的度量）後得到的。這個定義自然就賦予了$R[[X]]$以拓撲環的結構（同時也賦予了完備度量空間的結構）。不過空間完備化所需要的步驟過於繁瑣，而建構$R[[X]]$所需要的並沒有那麼多。以下將對$R[[X]]$的環結構和拓撲結構分別定義，更為明晰，容易理解。

#### 環結構

首先可以定義集合$R[[X]]$的範圍。作為一個集合，$R[[X]]$可以用和$R^{\mathbb{N}}$一樣的方法構造。$R^{\mathbb{N}}$是所有$R$上元素構成的數列$(a_n)_{n\in \mathbb{N} }$的集合：

$$R^{\mathbb{N}} = \{ (a_n)_{n\in \mathbb{N} }, \, \, \, \forall n\in \mathbb{N} , \, a_n \in R \}.$$

$R^{\mathbb{N}}$中的元素可以定義加法和乘法：

$$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} + (b_n)_{n\in\mathbb{N}} = \left( a_n + b_n \right)_{n\in\mathbb{N}}$$

$$(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \times (b_n)_{n\in\mathbb{N}} = \left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right)_{n\in\mathbb{N}}.$$

其中乘法的定義方法也叫做求兩個數列的係數的柯西乘積，也是一種卷積。可以證明，在以上的定義下，$R^{\mathbb{N}}$是一個交換環。環的加法零元是$(0, 0, 0, ...)$，乘法么元是$(1, 0, 0,...)$。於是我們可以將$R$中的元素嵌入到$R^{\mathbb{N}}$之中。

$$x \in R \, \, \mapsto \, (x, 0, 0,...)$$

並將$(0, 1, 0, 0, ...)$映射到不定元$X$，這樣通過以上定義的加法和乘法就可以將$R^{\mathbb{N}}$中的有限非零元元素同構為：

$$(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, 0, 0, \ldots) \mapsto a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n = \sum_{i=0 }^n a_i X^i$$

這樣的結構和多項式環是一樣的。所以對於更一般的$R^{\mathbb{N}}$中元素$(a_n)_{n\in \mathbb{N} }$，就可以自然地希望將其對應到$\sum_{i\in \mathbb{N} }a_i X^i$：

但這個對應方式並不能通過有限項的加法和乘法得到，所以需要用一個約定上的映射$\varphi : \, R^{\mathbb{N}} \rightarrow R[[X]]$來做到：

$$(a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots) \mapsto \varphi ( a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots ) = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n + \cdots = \sum_{i\in \mathbb{N} }a_i X^i$$

這個映射涵蓋了之前的多項式的定義，並且可以定義

$$\left(\sum_{i\in \mathbb{N} } a_i X^i\right) + \left(\sum_{i\in \mathbb{N} } b_i X^i\right) = \sum_{n\in \mathbb{N} } \left( a_n + b_{n}\right) X^n.$$

以及

$$\left(\sum_{i\in\N} a_i X^i\right) \times \left(\sum_{i\in\N} b_i X^i\right) = \sum_{n\in\N} \left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) X^n.$$

這個定義使得$\varphi$是一個同態，所以$R[[X]]$也是一個交換環。

#### 拓撲結構

以上的定義中建立了映射

$$\varphi(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i, \qquad (1)$$

但需要注意的是這裡的定義中$\sum_{i=0}^\infty a_i X^i$還是一個符號性的對象，因為我們並沒有定義其中無限求和號的意義。為了更好地定義$\sum_{i=0}^\infty a_i X^i$本身，我們需要引入拓撲的結構，將其作為極限來嚴格地說明。需要注意的是，適合的拓撲結構不止一個。

- 我們可以在$R$上定義離散拓撲的結構，然後將$R^{\mathbb{N}}$作為可數個$R$的積空間，將其上的拓撲定義為積拓撲。
- 我們也可以直接在$R^{\mathbb{N}}$上定義類似於p進數拓撲的$I$進拓撲，其中的$I = (X)$是環結構中由$X$生成的理想，也就是由所有$\sum_{i=1}^\infty a_i X^i$形式的形式冪級數構成的集合。
- 對不熟悉一般的點集拓撲學的讀者，也可以建立一個具體的度量（也就是定義「距離」）來定義拓撲。比如定義兩個數列$a = (a_n)_{n\in \mathbb{N} }$和$b = (b_n)_{n\in \mathbb{N} }$的距離：
- $$d(a, b) = \begin{cases} 2^{-\omega(a - b)} &\quad a - b \neq 0 \\ 0 & \quad a - b = 0 \end{cases}$$

其中$\omega(s)$表示數列$s = (s_n)_{n\in \mathbb{N} }$中第一個不等於0的係數的下標。這樣的定義之下，我們說兩個數列如果越來越「接近」，那麼第一個係數不同的地方會出現的越晚，也就是說它們的距離也越小。對一個數列$a = (a_n)_{n\in \mathbb{N} }$，定義部分和數列為：

$$s_k = (a_0, a_1, \ldots ,a_k , 0 , 0 , \ldots)$$

那麼部分和$s_k$和$a$的距離就會是$2^{-(k+1)}$，所以$k$趨於無窮大的時候，部分和數列和$a$的距離趨於0. 這樣，在定義了有限項非零元的數列和多項式的關係以後，就可以將任意的數列定義為部分和數列的極限。

$$<pre> (a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \lim_{k\to\infty} s_k </pre>$$

然後對形式冪級數也定義類似的距離：

$$d'( \sum_{i=0}^\infty a_i X^i , \sum_{i=0}^\infty b_i X^i ) = \begin{cases} 2^{-\omega' } ,\, \, \omega' = \min_{n} \{ a_n \neq b_n\} & \quad \exists a_n \neq b_n \\ 0 & \quad \forall n, \, \, a_n = b_n \end{cases}$$

然後形式冪級數也就滿足：

$$<pre> \sum_{i=0}^\infty a_i X^i =: \varphi(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \lim_{k\to\infty} \varphi(s_k) = \lim_{k\to\infty} \sum_{i=0}^k a_i X^i </pre>$$

並且可以驗證加法、乘法的交換律和結合律，以及乘法對加法的分配律。於是我們定義出了一個同構於$R^{\mathbb{N}}$的拓撲環，將其稱為$R$上的形式冪級數環$R[[X]]$。