範疇的等價

在數學的一個抽象分支範疇論中，範疇的等價（equivalence of categories）是兩個範疇間的一個關係，在這種關係之下的範疇是「本質上一樣的」。從數學的許多地方都有範疇等價的例子。建立一個等價涉及展示所考慮的數學結構間很強的相似性。在許多情形，這些結構表面或直覺上看並無關聯，這樣就使這種概念特別有用：它提供了在不同數學結構之間翻譯的可能性，本質一語是指在翻譯中保持的定理。

如果一個範疇等價於另一個範疇的反範疇，則我們說「範疇的對偶性」，以及這兩個範疇對偶等價。

範疇的等價由所涉範疇的一個函子組成，這個函子要求有一個「逆」函子。但與通常代數語境的同構不同，這個函子與它的逆不必是恆等映射，二隻要每個對象自然同構與在此複合函子下的像。從而我們可以說這個函子是差一個同構下的逆。這實際上是範疇的同構的概念，其中要求逆函子的嚴格性質，但這比「等價」概念用得要少。

## 定義

正式定義為，給定兩個範疇 C 與 D，一個範疇等價包括函子 F : C → D，函子 G : D → C，以及兩個自然同構 ε: FG→ID 與 η : IC→GF。這裡 FG: D→D 與 GF: C→C 分別為 F 與 G 的複合，而 IC: C→C 與 ID: D→D 分別為 C 與 D 的恆同函子。如果 F 與 G 是反變函子我們則說範疇的對偶。

通常我們不指出如上所有數據。例如，我們說範疇 C 與 D 是等價的（對偶等價）如果它們之間存在一個等價（對偶等價）。進一步，我們說 F 是一個範疇的等價如果如上逆函子 G 以及自然同構存在。但要注意 F 所具有的資訊不足以構造 G 以及自然同構：存在許多不同的選擇（見下面的例子）。

## 等價的刻畫

可以證明函子 F: C → D 給出範疇的等價若且唯若它是：

- 完全，即給定 C 的任何兩個對象 c1 與 c2，由 F 給出的映射 HomC(c1,c2) → HomD(Fc1,Fc2) 是滿射。
- 忠實，即對 C 的任何兩個對象 c1 與 c2，由 F 給出的映射 HomC(c1,c2) → HomD(Fc1,Fc2) 是單射。
- 本質滿，即 D 中每個對象 d 同構與某個形如 Fc 的對象。

這是一個相當有效和常用的判別法，因為不必真正構造出逆 G 以及 FG，G 與恆同函子之間的自然同構。另一方面，儘管上面性質保證了範疇等價的存在性（假定背景集合論具有一個足夠強的選擇公理），缺少的數據沒有完全確定，通常有許多選擇。只要可能，給出缺少的構造是個好主意。正因為如此，具有這些性質的函子有時叫做範疇的弱等價（不幸地是這個術語與同倫論衝突）。

它與伴隨函子概念也有緊密聯繫。如下論斷對函子 F : C → D 與 G : D → C 等價:

- 存在從 FG 到 ID 與從 IC 到 GF 的自然同構，分別叫做余單位與單位。
- F 是 G 的一個左伴隨且兩個函子都完全且忠實。
- F 是 G 的一個右伴隨且兩個函子都完全且忠實。

從而我們可以將兩個函子之間的伴隨關係視為「非常弱的等價」。假設伴隨的自然變化已經給定，所有這些確保了一個明確的構造，且不需要選擇原理。關鍵性質是需要證明伴隨的余單位是同構若且唯若右伴隨是完全且忠實的函子。

## 例子

- 考慮範疇 $C$ 只有一個對象 $c$ 以及一個態射 $1_{c}$，以及範疇 $D$ 具有兩個對象 $d_{1}$，$d_{2}$ 以及四個態射：兩個恆同態射 $1_{d_{1}}$，$1_{d_{2}}$ 以及兩個態射 $\alpha \colon d_{1} \to d_{2}$ 與 $\beta \colon d_{2} \to d_{1}$。範疇 $C$ 與 $D$ 是等價的；我們可以（權為一例）構造 $F$ 將 $c$ 映為 $d_{1}$ 與 $G$ 將 $D$ 的兩個對象映為 $c$ 以及所有態射映為 $1_{c}$。
- 相比之下，只有一個對象與一個態射的範疇 $C$ 與具有兩個對象與兩個恆同態射從而這兩個對象不同構的範疇 $E$ 不等價。
- 考慮一個範疇 $C$，有一個對象 $c$，以及兩個態射 $1_{c}, f \colon c \to c$。令 $1_{c}$ 為 $c$ 的恆同映射，設 $f \circ f = 1$。當然 $C$ 等價於自己，在所有需要自然同構的地方可以取 $1_{c}$，便給出函子 $\mathbf{I}_{C}$ 與自己自然同構。但是 $f$ 同樣給出 $\mathbf{I}_{C}$ 到自己的一個自然同構，儘管恆同函子是一個範疇同構，在這個例子中我們仍然可以選取每個方向的自然同構。
- 考慮有限維實向量空間範疇 $C$，以及所有實矩陣範疇 $D = \mathrm{Mat}(\mathbf{R})$（後一二範疇在可加範疇中有解釋）。則 $C$ 與 $D$ 是等價的：函子 $G \colon D \to C$ 將 $D$ 中每個對象 $A_{n}$ 映為向量空間 $\mathbf{R}^{n}$，而 $D$ 中矩陣到對應線性映射是完全、忠實且本質滿的。
- 代數幾何的中心論題是仿射概形與交換環的對偶性。函子 $G$ 將每個交換環映射它的譜，概形定義為此環的主理想。其伴隨 $F$ 將每個仿射概形映為它的環的整體截面。
- 在泛函分析中，有單位的交換C*-代數反變等價於緊豪斯多夫空間範疇。在這個對偶下，每個緊豪斯多夫空間 $X$ 對應於 $X$ 上的連續復值函數代數，而每個交換 C*-代數對應於它的極大理想空間。這就是蓋爾范德表示。
- 在格理論中，有不少對偶，基於將某些格類與拓撲空間類聯繫起來的表示定理。可能最有名的這類定理是布爾代數的斯通表示定理，這是一般概念斯通對偶性的特例。每個布爾代數 $B$ 映為 $B$ 的超濾子集合上的一個特定的拓撲。反之，任何開閉子集上的拓撲給出一個布爾代數。我們得到了布爾代數（與他們的同態）範疇與斯通空間（與光滑映射）。斯通對偶性的另一種情形是伯克霍夫表示定理指出有限偏序與有限分布格之間的對偶性。
- 在無點拓撲學中，空間局部（spatial locale）範疇等價於樸素空間（sober space）的對偶。
- 任何範疇等價於其骨架。

## 性質

大概說來，一個範疇等價保持所有範疇性概念與性質。如果 F : C → D 是一個等價，則如下論斷都成立：

- C 的對象 c 是一個始對象（或終對象，或零對象）若且唯若 Fc 是 D 的一個始對象（或終對象，或零對象）若且唯若。
- C 中態射 α 是單態射（或滿態射或同構），若且唯若 Fα 是 D 中單態射（或滿態射或同構）。
- 函子 H : I → C 有極限（或余極限）若且唯若函子 FH : I → D 有極限（或余極限）Fl。這可以用於等化子、乘積與余乘積，等等。應用於核與余核，我們發現等價 F 是一個正合函子。
- C 是一個笛卡兒閉範疇（或一個拓撲斯）若且唯若 D 是笛卡兒閉（或拓撲斯）。

對偶性將所有概念對換過來：它們將始對象變成終對象，單態射變成滿態射，核變成余核，極限變成余極限，等等。

如果 F : C → D 是一個範疇等價，而 G1 與 G2 是兩個逆，則 G1 與 G2 是自然同構的。

如果 F : C → D 是一個範疇等價，若 C 是一個預可加範疇（或可加範疇，或阿貝爾範疇），則 D 可以變成預可加範疇（或可加範疇，或阿貝爾範疇）並使 F 成為可加函子。另一方面，可加範疇之間的任何等價必然可加。（注意後一個論斷對預可加範疇的等價不成立。）

一個範疇 C 的自等價是一個等價 F : C → C。如果我們將兩個自然同構的自等價視為一樣的，則 C 的自等價在複合下構成一個群。這個群抓住了 C 的本質對稱。（注意：如果 C 不是小範疇，則 C 的自同構可能是一個真類而不是集合。)