隨機微分方程

隨機微分方程（Stochastic differential equation，縮寫：SDE），是常微分方程的擴展，其項是隨機過程，解也是隨機過程。其形容一個隨機變數的變動過程，也就是常微分方程加上一個白噪音項。一般微分方程的對象為可導函數，並以其建立等式。然而，隨機過程函數本身的導數不可定義，所以一般解微分方程的概念不適用於隨機微分方程。SDE在純數學中有許多應用，可用於模擬隨機模型的各種行為，如股價、隨機增長模型或受熱漲落影響的物理系統。

SDE具有隨機的微分，在最基本的情形下是以布朗運動導數計算的白噪聲，更一般地說是半鞅。不過，也可能存在其他隨機行為，如萊維過程等跳躍過程或有跳躍的半鞅。隨機微分方程還可擴展到微分流形。

隨機微分方程的概念最早以布朗運動的形式，由阿爾伯特·愛因斯坦在《熱的分子運動論所要求的靜液體中懸浮粒子的運動》論文中提出。這項研究隨後由保羅·朗之萬繼續。此後伊藤清和魯斯蘭斯特拉托諾維奇完善了隨機微分方程的數學基礎，使得這門領域更加的科學嚴謹。

一般而言，隨機微分方程的解是一隨機過程函數，但解方程需要先定義隨機過程函數的微分。最常見的定義為根據伊藤清所創，假設B為布朗運動，則對於某函數H，作以下定積分之定義：

$$\int_{0}^{t} H \,d B =\lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{t_{i-1},t_i\in\pi_n}H_{t_{i-1}}(B_{t_i}-B_{t_{i-1}}).$$

此稱為伊藤積分。伊藤式的隨機微分方程常用於在金融數學中。

## 背景

隨機微分方程源於愛因斯坦和馬利安·斯莫魯霍夫斯基提出的布朗運動理論（1905），不過路易·巴舍利耶是第一個建立布朗運動模型的人（1900），給出了一個非常早期的SDE實例，即現在所謂巴舍利耶模型。一些早期例子是線性SDE，也稱為郎之萬方程，得名於法國物理學家保羅·郎之萬，描述了諧振子在隨機力作用下的運動。1940年代，日本數學家伊藤清發展了SDE的數學理論，提出了隨機分析的概念，並開啟了非線性隨機微分方程的研究。後來，蘇聯物理學家魯斯蘭·斯特拉托諾維奇提出了另一種方法，產生了類似於普通微積分的隨機積分。

### 術語

文獻中，SDE最常見的形式是常微分方程，右式由一個取決於白噪音變量的擾動項。大多數時候SDE被理解為相應隨機差分方程的連續時間極限，這種SDE理解是模糊的，必須輔以相應積分的適當數學定義。這種數學定義由伊藤清提出於1940年代，產生了伊藤積分。後來，蘇聯物理學家魯斯蘭·斯特拉托諾維奇提出了另一種構造，即所謂隨機積分，與伊藤積分是相關但不同的對象，選擇取決於具體應用。伊藤積分以非預期性或因果性概念為基礎，這在以時間為變量的應用中很自然。而隨機積分的規則則與普通微積分相似，且具有內在的幾何特性，使它在處理流形上的隨機運動等問題時更自然。儘管通過伊藤SDE來模擬流形上的隨機運動也是可能的，且有時更可取，例如在試圖優化逼近子流形上的SDE時。

SDE的另一種觀點是微分同胚的隨機流，這種理解十分確定，相當於隨機差分方程連續時間極限的斯特拉托諾維奇版本。與SDE相關的是Smoluchowski equation或福克-普朗克方程，是描述機率分布函數隨時間演化的方程。隨機演化算符的概念將福克-普朗克演化推廣為微分形式的時間演化。

在物理科學中，「郎之萬SDE」存在歧義：可以是更一般的形式，但通常指一類具有梯度流向量場的狹義SDE。這類SDE很受歡迎，是Parisi–Sourlas隨機量子化過程的起點，產生了與超對稱量子力學密切相關的N=2超對稱模型。但從物理角度來看，這類SDE不怎麼有趣，因為從未表現出拓撲超對稱性的自發破缺：（過阻尼）郎之萬SDE永不混沌。

### 隨機分析

人們發現布朗運動或維納過程在數學上異常複雜：維納過程幾乎肯定不可微，因此要有自己的分析規則。隨機分析有伊藤積分和隨機積分兩個版本，各有利弊，初學者往往搞不清楚特定問題用哪個更合適。有些指南(e.g. Øksendal, 2003)，人們可以很方便地將伊藤SDE變換為等價的隨機SDE，反之亦然。不過，最初寫下SDE時還是要決定使用哪種積分。

### 數值求解

解SDE的數值方法有歐拉-丸山法、米爾斯坦法和龍格-庫塔法。

## 物理學中的應用

物理學中，SDE具有廣泛的適用性，從分子動力學到神經動力學，再到天體動力學，不一而足。更具體地說，SDE描述了所有動力系統，其中量子效應要麼不重要，要麼可以作為擾動加以考慮。SDE可被視為動力系統理論對有噪模型的一種概括，這很重要，因為實際系統不可能與其環境完全隔離，總會受外部隨機影響。

有一些標準化手段可通過引入新的未知數，將高階方程轉化為耦合的一階方程組。以下是最常見的一類SDE：

$$\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} = F(x(t)) + \sum_{\alpha=1}^ng_\alpha(x(t))\xi^\alpha(t),\,$$

其中$x\in X$是系統在相（或狀態）空間中的位置，設$X$是可微流形，$F\in TX$是表示確定演化規律的流向量場，$g_\alpha\in TX$是一組向量場，定義了系統與高斯白噪聲$\xi^\alpha$的耦合。若$X$是線性空間，$g$是常數，則稱系統受加性噪聲影響，否則稱系統受乘性噪聲影響。這個術語有點誤導性，它看上去像是有$g(x) \propto x$的約束，實際上意味著一般情形。

對於固定的噪聲，SDE存在唯一解，對初始條件可微。當將各種研究對象平均到噪聲配置上時，隨機情形的非平凡性便顯露出來。乘性噪聲SDE被理解為隨機差分方程的連續時間極限時，並不是唯一確定的實體，而必須輔以所謂「SDE詮釋」，如伊藤或斯特拉托諾維奇解釋。然而，當把SDE看做微分同胚的連續時間隨機流時，則成了唯一確定的數學對象，相當於隨機差分方程連續時間極限的斯特拉托諾維奇法。

物理學中，主要的求解方法是利用等效的福克-普朗克方程（FPE）求出時間函數的機率分布函數。福克-普朗克方程是確定的偏微分方程，給出了機率分布函數隨時間的演變，類似於薛丁格方程給出了量子波函數隨時間的演變，或擴散方程給出了化學濃度隨時間的演變。此外還可用蒙特卡洛方法獲得數值解。其他手段還有利用統計物理學和量子力學之間的類比關係進行路徑積分（例如，福克-普朗克方程可通過縮放幾個變量，變換為薛丁格方程），或寫下機率分布函數矩的常微分方程。

## 在機率論和金融數學中的應用

機率論（及機率論中的許多應用，如信號處理中的濾波問題和金融數學中的應用）使用的符號略有不同。它也是解決SDE數值方法的文獻所用的符號。這種記法使物理公式中時間隨機函數$\eta_m$的奇異特性更加明確。從嚴格的數學角度來說，$\eta_m$不能作為普通函數來選擇，而只能作為廣義函數。數學公式在處理這問題時，比物理公式明確一些。

典型方程的形式是

$$\mathrm{d} X_t = \mu(X_t,t)\, \mathrm{d} t + \sigma(X_t,t)\, \mathrm{d} B_t ,$$

其中$B$表示維納過程（標準布朗運動）。方程被解釋為表達相應積分方程（下式）的一種非正式方式。

$$X_{t+s} - X_{t} = \int_t^{t+s} \mu(X_u,u) \mathrm{d} u + \int_t^{t+s} \sigma(X_u,u)\, \mathrm{d} B_u .$$

上式將連續時間隨機過程Xt的行為表為普通勒貝格積分與伊藤積分的和。對SDE的啟發法（但非常有用）的解釋是，在長為δ的微小時間區間內，隨機過程Xt值的變化遵循期望為μ(Xt, t) δ、方差為σ(Xt, t)2 δ 的正態分布，且與過程過去的行為無關。這是因為，維納過程的增量是獨立的正態分布。函數μ稱為漂移係數，σ稱為擴散係數。隨機過程Xt稱為擴散過程，滿足馬爾可夫性質。

SDE的形式解釋可據SDE解的構成給出。SDE的解主要有兩種定義，有強解和弱解，都要求存在一個能解SDE積分方程形式的過程Xt。兩者的差別在於依賴的機率空間($\Omega,\, \mathcal{F},\, P$)，弱解包括一個機率空間和滿足積分方程的過程，強解則包含滿足方程並定義在給定機率空間上的過程。

一個重要例子是幾何布朗運動方程

$$\mathrm{d} X_t = \mu X_t \, \mathrm{d} t + \sigma X_t \, \mathrm{d} B_t.$$

即金融數學中布萊克-舒爾斯模型中的股價動態方程。

推廣幾何布朗運動還可定義允許強解的SDE，分布是來自不同幾何布朗運動或布萊克-舒爾斯模型的密度的凸組合，從而得到一個單一的SDE，其解的分布是不同布萊克-舒爾斯模型的對數正態分布的混合動力。這就產生了可以處理金融數學中所謂波動性微笑的模型。

更簡單的SDE被稱為算術布朗運動

$$\mathrm{d} X_t = \mu \, \mathrm{d} t + \sigma \, \mathrm{d} B_t$$

Louis Bachelier在1900年將其作為第一個股價模型，即今天所謂Bachelier模型。

還有一些更一般的隨機微分方程，其中的係數μ、σ不僅取決於過程Xt的現值，還取決於過程的前值，還可能取決於其他過程的現值或前值。這樣，解過程X便不是馬爾可夫過程或擴散過程，而稱為伊藤過程。當係數只取決於X的現值和前值時，定義方程稱為隨機延遲微分方程。

將帶斯特拉托諾維奇積分的SDE推廣到帶跳躍的半鞅的是馬庫斯型SDE。馬庫斯積分是McShane隨機積分的推廣。

奧恩斯坦-烏倫貝克過程過程方程在隨機金融學中有創新應用：

$$\mathrm{d} R_t = \mu R_t \, \mathrm{d} t + \sigma_t \, \mathrm{d} B_t.$$

是在收益率呈對數正態分布的條件下，股價收益率的動態方程。在此假設下，Marcello Minenna開發的方法確定了預測區間，能識別可能隱藏市場濫用現象的異常收益。

### 流形上的SDE

更一般地，可以將SDE理論擴展到可微流形上，並使用斯特拉托諾維奇積分。考慮流形$M$、某個有限維向量空間$E$、過濾機率空間$(\Omega,\mathcal{F},(\mathcal{F}_t)_{t\in \R_{+}},P)$，其中$(\mathcal{F}_t)_{t\in \R_{+}}$滿足通常條件，並令$\widehat{M}=M\cup \{\infty\}$為單點緊化，且$x_0$為$\mathcal{F}_0$可測。則$M$上的隨機微分方程可寫為

$$\mathrm{d}X=A(X)\circ dZ$$

是一對$(A,Z)$使得

- $Z$是連續$E$值半鞅。
- $A:M\times E\to TM, (x,e)\mapsto A(x)e$是$M$上向量叢的同態。

$\forall x\in M$，映射$A(x):E\to T_{x}M$都是線性的，$\forall e\in E,\ A(\cdot)e\in \Gamma(TM)$ for each。

初始條件為$X_0=x_0$的$M$上的SDE的解是連續的$\{\mathcal{F}_t\}$適應的$M$值過程$(X_t)_{t<\zeta}$（壽命$\zeta$），且滿足：對每個檢驗函數$f\in C_c^{\infty}(M)$，過程$f(X)$都是實值半鞅；對每個停止時間$\tau\ (0\leq \tau < \zeta)$，方程

$$f(X_{\tau})=f(x_0)+\int_0^\tau (\mathrm{d}f)_X A(X)\circ \mathrm{d}Z$$

有$P$的把握成立，其中$(df)_X:T_xM\to T_{f(x)}M$是$X$處的微分形式。若壽命最大，它就是最大解，即

$$\{\zeta <\infty\}\subset\left\{\lim\limits_{t\nearrow \zeta}X_t=\infty \text{ in }\widehat{M}\right\}$$

有$P$把握成立，由$f(X)$對每個檢驗函數$f\in C_c^{\infty}(M)$都是半鞅可知，$X$是$M$上的半鞅。給定最大解，可以將$X$的時間擴展到全部$\R_+$，然後在$\widehat{M}$上延拓$f$，可得

$$f(X_{t})=f(X_0)+\int_0^t (\mathrm{d}f)_X A(X)\circ \mathrm{d}Z, \quad t\geq 0$$

（不可分過程）。

雖然斯特拉托諾維奇 SDE滿足鏈式法則，其漂移、擴散係數在坐標變化時表現為向量場，因此是流形上SDE的自然選擇，但有時伊藤積分更可取。流形伊藤積分理論是首先由洛朗·施瓦茲通過施瓦茲同態的概念提出，另見基於射流叢的流形上伊藤SDE的2-射流解釋。當試圖用給定空間上的SDE解與給定空間子曲面上的SDE解進行最佳近似時，這種解釋很有幫助，因為基於斯特拉托諾維奇的投影達不到最佳效果。這已被應用於濾波問題，從而產生了最優投影濾波器。

## 作為粗糙路徑的SDE

SDE的求解需要機率設置，因為求解中隱含的積分是隨機積分。若能逐路徑處理微分方程，就不需要定義了，也就可以發展出獨立於機率論的理論。

這就需要考慮SDE

$$\mathrm{d} X_t(\omega) = \mu(X_t(\omega),t)\, \mathrm{d} t + \sigma(X_t(\omega),t)\, \mathrm{d} B_t(\omega)$$

$\forall \omega \in \Omega$，都是唯一確定的微分方程，其中$\Omega$是給定機率空間（$\Omega,\, \mathcal{F},\, P$）的樣本空間。然而，從路徑上直接解釋SDE是不可能的，因為布朗運動路徑的變化無界且無處可微的機率為1，因此沒有簡單方法賦予$\mathrm{d} B_t(\omega)$之類的項以直觀意義。這也排除了將隨機積分定義為對每個$\mathrm{d} B_t(\omega)$的積分的簡單路徑定義。不過，受Wong-Zakai結果對規則噪聲的SDE解的極限的啟發，利用粗糙路徑理論，同時添加布朗運動迭代積分的選定定義，有可能為每個$\omega \in \Omega$定義確定的粗糙積分，例如，若特定選擇迭代積分可實現與伊藤積分重合的機率為1。

```
https://doi.org/10.1007/978-3-030-41556-3</ref>迭代积分的其他定义产生不同随机积分的确定性路径等价，如斯特拉托诺维奇积分。在金融数学中，这被用于无概率期权的定价。<ref name="optionswithoutprobability"> Armstrong, J., Bellani, C., Brigo, D. and Cass, T. (2021). Option pricing models without probability: a rough paths approach. Mathematical Finance, vol. 31, pages 1494–1521.</ref>
```

$$\mu : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n};$$

$$\sigma : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n \times m};$$

$$\big| \mu (x, t) \big| + \big| \sigma (x, t) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big);$$

$$\big| \mu (x, t) - \mu (y, t) \big| + \big| \sigma (x, t) - \sigma (y, t) \big| \leq D | x - y |;$$

$$| \sigma |^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} | \sigma_{ij} |^{2}.$$

$$\mathbb{E} \big[ | Z |^{2} \big] < + \infty.$$

$$\mathrm{d} X_{t} = \mu (X_{t}, t) \, \mathrm{d} t + \sigma (X_{t}, t) \, \mathrm{d} B_{t} \mbox{ for } t \in [0, T];$$

$$X_{0} = Z;$$

$$\mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} | X_{t} |^{2} \, \mathrm{d} t \right] < + \infty.$$

$$\mathrm{d}Y_t=\alpha(t,Y_t)\mathrm{d}X_t$$

$X$

$\R^n$

$Y$

$\R^d$

$\alpha:\R_{+}\times U \to \operatorname{Lin}(\R^{n};\R^{d})$

$U\subset \R^d$

$\operatorname{Lin}(\R^{n};\R^{d})$

$\R^{n}$

$\R^{d}$

$\alpha$

$\alpha$

$t\geq 0$

$K\subset U$

$L(t,K)$

$$|\alpha(s,y)-\alpha(s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,$$

$|\cdot|$

$\alpha$

$F:\Omega\to U$

$\zeta:\Omega\to \overline{\R}_{+}$

$\zeta>0$

$U$

$(Y_t)_{t<\zeta}$

$$dY_t=\alpha(t,Y_t)dX_t,\quad Y_0=F$$

$\zeta_n\nearrow\zeta$

$Y^{\zeta_n}$

$$\mathrm{d}Y=\alpha(t,Y)\mathrm{d}X^{\zeta_n}$$

$\{\zeta <\infty\}$

$Y_{t}\to\partial U\ (t\to \zeta)$

則$\zeta$稱為壽命或所謂「爆炸時間」。

## 能寫出解析解的SDE

### 線性SDE的一般解

$$\mathrm{d}X_t=(a(t)X_t+c(t))\mathrm{d}t+(b(t)X_t+d(t))\mathrm{d}W_t$$

$$X_t=\Phi_{t,t_0}\left(X_{t_0}+\int_{t_0}^t\Phi^{-1}_{s,t_0}(c(s)-b(s)\mathrm{d}(s))\mathrm{d}s+\int_{t_0}^t\Phi^{-1}_{s,t_0}\mathrm{d}(s)\mathrm{d}W_s\right)$$

其中

$$\Phi_{t,t_0}=\exp\left(\int_{t_0}^t\left(a(s)-\frac{b^2(s)}{2}\right)\mathrm{d}s+\int_{t_0}^tb(s)\mathrm{d}W_s\right)$$

### 可約SDE: Case 1

$$\mathrm{d}X_t=\frac12f(X_t)f'(X_t)\mathrm{d}t+f(X_t)\mathrm{d}W_t$$

對於一個可微函數 $f$，$\mathrm{d}X_t$ 等價於 斯特拉托諾維奇 SDE

$$\mathrm{d}X_t=f(X_t)\circ W_t$$

其有一般解

$$X_t=h^{-1}(W_t+h(X_0))$$

其中的$h(x)$如下所示：

$$h(x)=\int^{x}\frac{\mathrm{d}s}{f(s)}$$

### 可約SDE: Case 2

$$\mathrm{d}X_t=\left(\alpha f(X_t)+\frac12 f(X_t)f'(X_t)\right)\mathrm{d}t+f(X_t)\mathrm{d}W_t$$

對於一個可微函數 $f$，$\mathrm{d}X_t$ 等價於 斯特拉托諾維奇 SDE

$$\mathrm{d}X_t=\alpha f(X_t)\mathrm{d}t + f(X_t)\circ W_t$$

可以簡化成下列形式:

$$\mathrm{d}Y_t=\alpha \mathrm{d}t+\mathrm{d}W_t$$

其中 $Y_t=h(X_t)$，這裡的$h$ 如上面所定義。他的一般解可以寫成

$$X_t=h^{-1}(\alpha t+W_t+h(X_0))$$

## SDE與超對稱

在SDE的超對稱理論中，隨機動力是通過作用於模型相空間微分形式的隨機演化算子定義的。在這一精確表述中，所有SDE都具有拓撲超對稱性，即通過連續的時間流保持相空間連續性。這種超對稱的自發破缺是混沌、湍流、自組織臨界性等諸多動力現象的數學本質，而南部定理則解釋了相關的長距動力行為，如蝴蝶效應、粉紅噪聲、爆裂聲，以及地震、神經震盪、太陽耀斑等現象的無標統計等等。

## 閱讀更多

- Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, (2021).