亥姆霍茲分解

在物理學和數學中的向量分析中，亥姆霍茲定理，或稱向量分析基本定理，指出對於任意足夠光滑、快速衰減的三維向量場可分解為一個無旋向量場和一個螺線向量場的和，這個過程被稱作亥姆霍茲分解。此定理以物理學家赫爾曼·馮·亥姆霍茲為名。

這意味著任何矢量場 F，都可以視為兩個勢場（純量勢 φ 和向量勢 A）之和。

## 定理內容

假定 F 為定義在有界區域 V ⊆ R3 裡的二次連續可微向量場，且 S 為 V 的包圍面，則 F 可被分解成無旋度及無散度兩部份：

$\mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi+\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}$。

其中

$$\Phi\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'$$

$$\mathbf{A}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'$$

如果 V = R3，且 F 在無窮遠處消失的比 $1/r$ 快，則純量勢及向量勢的第二項為零，也就是說

$$\Phi\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{\text{all space}}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'$$

$$\mathbf{A}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi}\int_{\text{all space}}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'$$

## 推導

假定我們有一個向量函數$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)$，且其旋度$\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{F}$及散度$\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{F}$已知。利用狄拉克δ函數可將函數改寫成

$\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)=-\frac{1}{4\pi}\nabla^{2}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}$。

$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)=\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\delta\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)\mathrm{d}V'=\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\left(-\frac{1}{4\pi}\nabla^{2}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\right)\mathrm{d}V'=-\frac{1}{4\pi}\nabla^{2}\int_{V}\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'$。

利用以下等式

$\nabla^{2}\mathbf{a}=\boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{a}\right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}\right)$。

可得

$$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)=-\frac{1}{4\pi}\left[\boldsymbol{\nabla}\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\int_{V}\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left(\boldsymbol{\nabla}\times\int_{V}\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right]$$

$=-\frac{1}{4\pi}\left[\boldsymbol{\nabla}\left(\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\cdot\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)+\boldsymbol{\nabla}\times\left(\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\times\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right]$。

注意到$\boldsymbol{\nabla}\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}=-\boldsymbol{\nabla}'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}$，我們可將上式改寫成

$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)=-\frac{1}{4\pi}\left[-\boldsymbol{\nabla}\left(\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\cdot\boldsymbol{\nabla}'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left(\int_{V}\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)\times\boldsymbol{\nabla}'\frac{1}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\right]$。

利用以下二等式。

$$\mathbf{a}\cdot\boldsymbol{\nabla}\psi=-\psi\left(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{a}\right)+\boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\psi\mathbf{a}\right)$$

$\mathbf{a}\times\boldsymbol{\nabla}\psi=\psi\left(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{a}\right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left(\psi\mathbf{a}\right)$。

可得

$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)=-\frac{1}{4\pi}\left[-\boldsymbol{\nabla}\left( -\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' +\int_{V}\boldsymbol{\nabla}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' \right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left( \int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\int_{V}\boldsymbol{\nabla}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' \right)\right]$。

利用散度定理，方程式可改寫成

$$\mathbf{F}\left(\mathbf{r}\right)=-\frac{1}{4\pi}\left[-\boldsymbol{\nabla}\left( -\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' +\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S' \right)-\boldsymbol{\nabla}\times\left( \int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S' \right)\right]$$

$= -\boldsymbol{\nabla}\left[\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'\right] +\boldsymbol{\nabla}\times\left[\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'\right]$。

定義

$$\Phi\left(\mathbf{r}\right)\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'$$

$$\mathbf{A}\left(\mathbf{r}\right)\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\boldsymbol{\nabla}'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V' -\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'$$

所以

$$\mathbf{F}=-\boldsymbol{\nabla}\Phi+\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}$$

### 利用傅利葉轉換做推導

（疑似有錯誤）

將F改寫成傅利葉轉換的形式：

$$\vec{\mathbf{F}}(\vec{r}) = \iiint \vec{\mathbf{G}}(\vec{\omega}) e^{\displaystyle i \, \vec{\omega} \cdot \vec{r}} d\vec{\omega}$$

純量場的傅利葉轉換是一個純量場，向量場的傅利葉轉換是一個維度相同的向量場。

現在考慮以下純量場及向量場：

$$\begin{array}{lll} G_\Phi(\vec{\omega}) = i\, \frac{\displaystyle \vec{\mathbf{G}}(\vec{\omega}) \cdot \vec{\omega}}{||\vec{\omega}||^2} & \quad\quad & \vec{\mathbf{G}}_\mathbf{A}(\vec{\omega}) = i\, \vec{\omega} \times \left( \vec{\mathbf{G}}(\vec{\omega}) + i G_\Phi(\vec{\omega}) \, \vec{\omega} \right) \\ <pre> && \\ </pre> \Phi(\vec{r}) = \displaystyle \iiint G_\Phi(\vec{\omega}) e^{\displaystyle i \, \vec{\omega} \cdot \vec{r}} d\vec{\omega} & & \vec{\mathbf{A}}(\vec{r}) = \displaystyle \iiint \vec{\mathbf{G}}_\mathbf{A}(\vec{\omega}) e^{\displaystyle i \, \vec{\omega} \cdot \vec{r}} d\vec{\omega} \end{array}$$

所以

$$\vec{\mathbf{G}}(\vec{\omega}) = - i \,\vec{\omega} \, G_\Phi(\vec{\omega}) + i \, \vec{\omega} \times \vec{\mathbf{G}}_\mathbf{A}(\vec{\omega})$$

$$\begin{array}{lll}\vec{\mathbf{F}}(\vec{r}) &=& \displaystyle - \iiint i \, \vec{\omega}\, G_\Phi(\vec{\omega}) \, e^{\displaystyle i \, \vec{\omega} \cdot \vec{r}} d\vec{\omega} + \iiint i \, \vec{\omega} \times \vec{\mathbf{G}}_\mathbf{A}(\vec{\omega}) e^{\displaystyle i \, \vec{\omega} \cdot \vec{r}} d\vec{\omega} \\ &=& - \boldsymbol{\nabla} \Phi(\vec{r}) + \boldsymbol{\nabla} \times \vec{\mathbf{A}}(\vec{r}) \end{array}$$

## 外部連結

- Helmholtz theorem （MathWorld）