粒子衰變

粒子衰變是一基本粒子變成其他基本粒子的自發過程。在這個過程中，一基本粒子變成質量更輕的另一種基本粒子，及一中間粒子，例如μ子衰變中的W玻色子。這中間粒子隨即變成其他粒子。如果生成的粒子不穩定，那麼衰變過程還會繼續。

粒子衰變這種過程，與放射性衰變不一樣，後者為一不穩定的原子核，變成一更小的原子核，當中還伴隨著粒子或輻射的發射。

注意本條目使用自然單位，即

$c=\hbar=1$。

## 粒子壽命列表

所有數值均來自粒子數據小組：

種類｜名稱｜符號｜能量 (MeV)｜平均壽命

輕子｜電子 / 正電子｜$e^- \, / \, e^+$｜0.511｜$> 4.6 \times 10^{26}$ 年

μ子 / 反μ子｜$\mu^- \, / \, \mu^+$｜105.6｜$2.2\times 10^{-6}$ 秒

τ子 / 反τ子｜$\tau^- \, / \, \tau^+$｜1777｜$2.9 \times 10^{-13}$ 秒

介子｜中性π介子｜$\pi^0\,$｜135｜$8.4 \times 10^{-17}$ 秒

帶電π介子｜$\pi^+ \, / \, \pi^-$｜139.6｜$2.6 \times 10^{-8}$ 秒

重子｜質子 / 反質子｜$p^+ \, / \, p^-$｜938.2｜$> 10^{29}$ 年

中子 / 反中子｜$n \, / \, \bar{n}$｜939.6｜$885.7$ 秒

玻色子｜W玻色子｜$W^+ \, / \, W^-$｜80,400｜$10^{-25}$ 秒

Z玻色子｜$Z^0 \,$｜91,000｜$10^{-25}$ 秒

## 生還機率

把一粒子的平均壽命標記為$\tau$，這樣粒子在時間t後仍生還（即未衰變）的機率為

$$P(t) = e^{-t/(\gamma \tau)}$$

其中

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$為該粒子的勞侖茲因子。

## 衰變率

設一粒子質量為M，則衰變率可用下面的通用公式表示

$$d \Gamma_n = \frac{(2\pi)^4}{2M}\left|\mathcal{M} \right|^2 d \Phi_n (P; p_1, p_2,\dots, p_n)$$

其中

n為原衰變所生成的粒子數。

$\mathcal{M}\,$為連接始態與終態的不變矩陣上的元。

$d\Phi_n \,$ 為相空間的元，及

$p_i \,$為粒子i 的四維動量。

相空間可由下式所得。

$$d \Phi_n (P; p_1, p_2,\dots, p_n) = \delta^4 (P - \sum_{i=1}^n p_i) \left( \prod_{i=1}^n \frac{d^3 \vec{p}_i}{(2\pi)^3 2 E_i} \right) \,$$

其中

$\delta^4 \,$為四維的狄拉克δ函數。

### 三體衰變

作為例子，一粒子衰變成三粒子時的相空間元如下：

$$d\Phi_3 = \frac{1}{(2\pi)^9} \delta^4(P - p_1 - p_2 - p_3) \frac{d^3 \vec{p}_1}{2 E_1} \frac{d^3 \vec{p}_2}{2 E_2} \frac{d^3 \vec{p}_3}{2 E_3} \,$$

## 四維動量

一粒子的四維動量又叫其不變質量。

一粒子的四維動量平方，定義為其能量平方與其三維動量平方間的差（注意從這開始，採用的單位都能滿足光速等於1這項條件）：

$$p^2 = E^2 - (\vec{p})^2 = m^2 \quad \quad \quad \quad (1) \,$$

兩粒子的四維動量平方為

$p^2 = \left(p_1 + p_2 \right)^2 = p_1^2 + p_2^2 + 2 p_1 p_2 = m_1^2 + m_2^2 + 2(E_1 E_2 - \vec{p}_1 \cdot \vec{p}_2)\,$。

### 四維動量守恆

在所有衰變及粒子相互作用中，四維動量都必須守恆，因此始態pi 與終態pf 的關係為

$p_\mathrm{i} = p_\mathrm{f}$。

#### 在二體衰變中

設母粒子質量為M，衰變成兩粒子（標記為1和2），那麼四維動量的守恆條件則為

$p_M = p_1 + p_2$。

整理可得。

$$p_M - p_1 = p_2$$

然後取左右兩邊的平方

$p_M^2 + p_1^2 - 2p_M p_1 = p_2^2$。

現在要用的正是四維動量的定義——方程(1)，展開各p2 得

$$M^2 + m_1^2 - 2 \left(E_M E_1 - \vec{p}_M \cdot \vec{p}_1 \right) = m_2^2 . \quad \quad \quad \quad (2) \,$$

若進入母粒子的靜止系，則

- $\vec{p}_M =0 \,$，及
- $$E_M = M \,$$

將上述兩式代入方程(2)得：

$$M^2 + m_1 ^2 - 2 M E_1 = m_2^2. \,$$

整理後得粒子1於母粒子靜止系中的能量公式。

$$E_1 = \frac{M^2 + m_1^2 - m_2^2}{2 M} . \quad \quad \quad \quad (3) \,$$

同樣地，粒子2在母粒子在靜止系中的能量為

$E_2 = \frac{M^2 + m_2^2 - m_1^2}{2 M}$。

可得

$$|\vec{p}_1| = |\vec{p}_2| = \frac{\sqrt{\left[M^2-\left(m_1+m_2\right)^2\right]\left[M^2-\left(m_1-m_2\right)^2\right]}}{2M}. \,$$

先把$E_1 ^2 = m_1 ^2 + \vec{p}_1 ^2 \,$ 代入方程(3)：

$$\vec{p_1} ^2 = \frac{(M^2 + m_1^2 - m_2^2)^2-4 m_1 ^2 M^2}{4 M^2}\,$$

$$\vec{p_1} ^2 = \frac{M^4 + m_1^4 + m_2^4 - 2 m_1 ^2 M^2 - 2 m_2 ^2 M^2 - 2 m_1 ^2 m_2 ^2}{4 M^2}\,$$

$$\vec{p_1} ^2 = \frac{M^4 - M^2 (m_1 + m_2)^2 -M^2 (m_1 - m_2)^2 + (m_1 ^2 - m_2 ^2)^2}{4 M^2}\,$$

$$\vec{p_1} ^2 = \frac{M^2 \left[ M^2 - (m_1 - m_2)^2\right] - (m_1 + m_2)^2\left[M^2 - (m_1 - m_2 )^2\right]}{4 M^2}\,$$

$$|\vec{p}_1| = \frac{\sqrt{\left[M^2-\left(m_1+m_2\right)^2\right]\left[M^2-\left(m_1-m_2\right)^2\right]}}{2M}. \,$$

$|\vec{p}_2| \,$的推導也一樣。

## 二體衰變

### 從兩個不同的參考系

在實驗室系中發射粒子的角度，與質心系時的關係由下式表示：

$$\tan{\theta'} = \frac{\sin{\theta}}{\gamma \left(\beta / \beta' + \cos{\theta} \right)}$$

### 衰變率

設一母粒子質量為M，衰變成兩粒子，標記為1和2。那麼在母粒子的靜止系中。

$|\vec{p}_1| = |\vec{p_2}| = \frac{[(M^2 - (m_1 + m_2)^2)(M^2 - (m_1 - m_2)^2)]^{1/2}}{2M}$。

另外，用球座標表示則為

$d^3 \vec{p} = |p|^2\, dp d\Omega = p^2\, d \phi\, d\left( \cos \theta \right)$。

已知二體衰變的相空間元（見上文#衰變率一節，n=2），得母粒子參考系中的衰變率為：

$d\Gamma = \frac{1}{32 \pi^2} \left| \mathcal{M} \right|^2 \frac{|\vec{p}_1|}{M^2}\, d\phi_1\, d\left( \cos \theta_1 \right)$。

## 參考資料

- －見第2頁。
- 粒子數據小組
- 粒子大冒險 勞倫斯伯克利國家實驗室粒子數據小組