帕塞瓦爾定理

在數學中，帕塞瓦爾定理（或稱帕塞瓦爾等式），經常指「傅立葉轉換是么正算符」這一結論；簡而言之，就是說函數平方的和（或積分）等於其傅立葉轉換式平方之和（或者積分）。這個定理產生於法國數學家馬克-安托萬·帕塞瓦爾（Marc-Antoine Parseval）在1799年所得到的一個有關級數的定理，該定理隨後被應用於傅立葉級數。它也被稱為瑞利能量定理或瑞利恆等式，以物理學家瑞利命名。

雖說帕塞瓦爾定理這一術語常用來描述任何傅立葉轉換的么正性，尤其是在物理學和工程學上，但這種屬性最一般的形式還是稱為普朗歇爾定理而不是帕塞瓦爾定理才更合適。

該定理是勾股定理在希爾伯特空間或更廣泛的內積空間中的推廣，或者說勾股定理是帕塞瓦爾定理在定義了內積的二維歐氏空間中的特例。

## 帕塞瓦爾定理的陳述

在一般的歐氏平面幾何中，勾股定理說明直角三角形的兩個直角邊之長度的平方加起來等於斜邊的平方。從另一種角度來看，若在平面上定義了一個直角坐標系xOy（單位向量分別是$(e_x, e_y)$），那麼一個向量和它在這兩個坐標軸方向上的投影構成一個直角三角形，因此，向量的長度的平方等於它在兩個坐標軸方向上的投影的長度的平方之和。

對於一個有限維的歐幾里得空間$\mathbb{R}^n$ 以及其中的標準規範正交基$(e_1, e_2, \cdots , e_n)$，空間中的一個向量$v = (v_1, v_2, \cdots , v_n)$ 的長度的平方等於它在各個基向量上的投影的長度的平方之和：

$$\left\| v \right\|^2 = v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2$$

在一般的希爾伯特空間之中，也有類似的等式。設$\mathcal{H}$ 是一個裝備了內積：$\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle$ 的希爾伯特空間。考慮$\mathcal{H}$ 中的一組規範正交基：$(e_1, e_2, \cdots , e_n, \cdots)$，那麼$\mathcal{H}$ 中的每一個向量的範數的平方都等於它在各個基向量上的投影的平方之和。

$\sum_{k} \left| \left \langle x , e_k \right \rangle \right|^2 = \left \| x \right \|^2$

假定A(x)和B(x)都是平方可積的（參照勒貝格測度）複變函數，且定義在R上周期為2π的區間上，分別寫成傅立葉級數的形式:

$$A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx}$$

和

$$B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}.$$

然後

$$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} \, dx,$$

這裡的i是虛數單位而上劃線（horizontal bars）表示復共軛運算。

一般地，給定一個交換的拓撲群 G 和它的Pontryagin對偶 G^, 帕塞瓦爾定理 says the Pontryagin–Fourier transform is a unitary operator between Hilbert spaces L2(G) and L2(G^) (with integration being against the appropriately scaled Haar measures on the two groups.) When G is the unit circle T, G^ is the integers and this is the case discussed above. When G is the real line R, G^ is also R and the unitary transform is the Fourier transform on the real line. When G is the cyclic group Zn, again it is self-dual and the Pontryagin–Fourier transform is what is called discrete-time Fourier transform in applied contexts.

## 物理學和工程學上使用的記號

在 物理學 和 工程學 中, 帕塞瓦爾定理通常描述如下:

$$\int_{-\infty}^\infty | x(t) |^2 \, dt = \int_{-\infty}^\infty | X(f) |^2 \, df$$

其中$X(f) = \mathcal{F} \{ x(t) \}$ 為 x(t) 的連續傅立葉變換（以歸一化酉形式），而f代表x的頻率分量（非角頻率）

帕塞瓦爾定理的此表達形式解釋了波形x(t)依時間域t累積的總能量與該波形的傅立葉變換X(f)在頻率域f累積的總能量相等。

對於離散時間信號，該理論表達式變換為：

$$\sum_{n=-\infty}^\infty | x[n] |^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi | X(e^{i\omega}) |^2 d\omega$$

其中，X為x的離散時間傅立葉變換(DTFT)，而$\omega$為x的角頻率（度每樣本）。

此外，對於離散傅立葉變換 (DFT)，表達式變換為：

$$\sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2$$

其中，Xk為xn的DFT變換，變換前後樣本長度皆為N。

## 證明

### 連續傅立葉變換(CTFT)的帕塞瓦爾定理

$$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2dt$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t)dt$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)[\int_{-\infty}^{\infty}X^*(f)e^{-j2{\pi}ft}df]dt$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}X^*(f)[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j2{\pi}ft}dt]df$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}X^*(f)X(f)df$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}|X(f)|^2df$$

其中，$x^*(t)$是$x(t)$的共軛複數。

### 離散時間傅立葉變換(DTFT)的帕塞瓦爾定理

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]x^*[n]$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n][\frac{1}{2{\pi}}\int_{0}^{2{\pi}}X^*(e^{j\omega})e^{-j{\omega}n}d\omega]$$

$$=\frac{1}{2{\pi}}\int_{0}^{2{\pi}}[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j{\omega}n}]X^*(e^{j\omega})d\omega$$

$$=\frac{1}{2{\pi}}\int_{0}^{2{\pi}}X(e^{j\omega})X^*(e^{j\omega})d\omega$$

$$=\frac{1}{2{\pi}}\int_{0}^{2{\pi}}|X(e^{j\omega})|^2d\omega$$

其中，$x^*[n]$是$x[n]$的共軛複數。

### 連續時間傅立葉級數(CTFS)的帕塞瓦爾定理

令x(t)是周期為$T_0=\frac{1}{f_0}$的連續時間函數。

$c_n$是其連續時間傅立葉級數。$c_n=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}x(t)e^{-j2\pi{n}{f_0}t}dt$

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n{c_n}^*$$

$$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n[\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}x^*(t)e^{j2\pi{n}{f_0}t}dt]$$

$$=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}x^*(t)[\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{j2\pi{n}{f_0}t}]dt$$

$$=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}x^*(t)x(t)dt$$

$$=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0}|x(t)|^2dt$$

### 離散時間傅立葉級數(DTFS)的帕塞瓦爾定理

xn是長度為N的離散時間信號，$a_k$為其離散時間傅立葉級數，亦即$a_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\omega_0kn}$。

其中$\omega_0$是角基頻，$\omega_0=\frac{2\pi}{N}$。

$$\sum_{k=0}^{N-1}|a_k|^2$$

$$=\sum_{k=0}^{N-1}a_k{a_k}^*$$

$$=\sum_{k=0}^{N-1}a_k[\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x^*[n]e^{j\omega_0kn}]$$

$$=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x^*[n][\sum_{k=0}^{N-1}a_ke^{j\omega_0kn}]$$

$$=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x^*[n]x[n]$$

$$=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2$$

### 離散傅立葉變換(DFT)的帕塞瓦爾定理

令$x[n]$為一長度是N點的離散時間信號，僅在0≤n≤N-1有值，$x[n]=0$ for $n<0$ or $n>N-1$。

其DFT為$X[k]$，亦為一長度是N點的離散時間信號，僅在0≤k≤N-1有值，$X[k]=0$ for $k<0$ or $k>N-1$。

設$W_N=e^{j\frac{2\pi}{N}}$。

$$\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|^2$$

$$=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]x^*[n]$$

$$=\sum_{n=0}^{N-1}x[n][\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X^*[k]{W_N}^{-kn}]$$

$$=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X^*[k][\sum_{n=0}^{N-1}x[n]{W_N}^{-kn}]$$

$$=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X^*[k]X[k]$$

$$=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X[k]|^2$$