單位換算

單位換算是指同一個量在不同計量單位之間的轉換。它通常會用換算係數實現。

## 概述

換算過程取決於場合和預期目的。它們可以由規定、合同或其他標準控制。在工程學，其他需要考慮的因素包括：

- 量度結果的精準度和精密度以及測量不確定度。
- 最初量度結果的信賴區間和公差範圍。
- 量度結果的有效數字數目。
- 量度結果的用途，包括公差。
- 單位的歷史定義，以及用於舊時量度的派生單位，如英尺和美國測量英尺。

一些從單位系統之間的換算需要準確，不能增加或減少最初量度結果的精密度。這有時稱為「軟換算」。它不涉及改變所量度物品的物理構造。

相反，「硬換算」或「自適應換算」不需要準確。它將量度單位轉為較為好用的數字和單位系統。它有時涉及物品稍微不同的構造或尺寸替換。它通常可以使用標稱值。

## 係數抵消

係數抵消是利用代數換算單位的方法。

係數抵消是將以分數表達的換算係數擺放在一起，讓任何同時出現在分子和分母中的因次單位都可以被抵消，直到只剩下所需的因次單位。例如，10英里每小時可以用以下換算係數轉換為米每秒:

$$\frac{\mathrm{10~\cancel{mi}}}{\mathrm{1~\cancel{h}}} \times \frac{\mathrm{1609.344~m}}{\mathrm{1~\cancel{mi}}} \times \frac{\mathrm{1~\cancel{h}}}{\mathrm{3600~s}} = \mathrm{4.4704~\frac{m}{s}}.$$

每個換算係數的選擇準則是一個原有單位和一個所需單位（或者某個中間單位）之間的關係。例如，因為「英里」是原有分數和$\mathrm{1~mi} = \mathrm{1609.344~m}$中的分子，「英里」需要是換算係數中的分母。將方程式的兩方除以1英里，得$\frac{\mathrm{1~mi}}{\mathrm{1~mi}} = \frac{\mathrm{1609.344~m}}{\mathrm{1~mi}}$，簡化後變成沒有因次的$1 = \frac{\mathrm{1609.344~m}}{\mathrm{1~mi}}$。由於乘法單位元的性質，將任何數量乘以1，都不會改變該數量。原有分數乘以該換算係數以及秒每小時的係數後，「英里」和「小時」會抵消，所以10英里每小時等於4.4704米每秒。

再例如，工業熔爐的煙道氣中氮氧化物（NOx）的濃度可以用以下資料轉為質量流量，以NOx克每小時（g/h）表示：

NOx濃度 := 百萬分比10的體積 = 10 ppmv = 10體積單位/106體積單位

NOx摩爾質量 := 46 kg/kmol = 46 g/mol

煙道氣的流量 := 20立方米每分鐘 = 20 m3/min：煙道氣在0 °C的溫度和101.325 kPa的絕對壓強下離開熔爐。

氣體在0 °C和101.325 kPa下的摩爾體積是22.414 m3/摩爾 (單位)。

$$\frac{1000\ \ce{g\ NO}_x}{1 \cancel{\ce{kg\ NO}_x}} \times \frac{46\ \cancel{\ce{kg\ NO}_x}}{1\ \cancel{\ce{kmol\ NO}_x}} \times \frac{1\ \cancel{\ce{kmol\ NO}_x}}{22.414\ \cancel{\ce{m}^3\ \ce{NO}_x}} \times \frac{10\ \cancel{\ce{m}^3\ \ce{NO}_x}}{10^6\ \cancel{\ce{m}^3\ \ce{gas}}} \times \frac{20\ \cancel{\ce{m}^3\ \ce{gas}}}{1\ \cancel{\ce{minute}}} \times \frac{60\ \cancel{\ce{minute}}}{1\ \ce{hour}} = 24.63\ \frac{\ce{g\ NO}_x}{\ce{hour}}$$

在以上算式中抵消所有同時出現於分子和分母的因次單位後，10 ppmv的NOx濃度等於24.63 克每小時的流量。

### 覆核涉及因次的方程式

係數抵消也可以用於任何數學方程式，檢查左方的因次單位是否與右方的一樣。兩方有相同的單位，不代表方程式完全正確，但兩方有不同的單位（以基本單位表示），則表示方程式有錯誤。

例如，考慮理想氣體狀態方程，PV = nRT，其中：

- 壓強（P）以帕斯卡（Pa）表示
- 體積（V）以立方米（m3）表示
- 物質的量（n）以摩爾（mol）表示
- 氣體常數（R）是8.3145 Pa⋅m3/(mol⋅K)
- 溫度T以開爾文（K）表示

$$\mathrm{Pa{\cdot}m^3} = \frac{\cancel{\mathrm{mol}}}{1} \times \frac{\mathrm{Pa{\cdot}m^3}}{\cancel{\mathrm{mol}}\ \cancel{\mathrm{K}}} \times \frac{\cancel{\mathrm{K}}}{1}$$

如上所示，在右方同時出現於分子和分母的因次單位被抵消時，方程式的兩方都有相同的單位。因次分析可用來建立方程式，聯繫本沒有關係的物理化學性質。方程式可以展示物質此前未知或被忽視的性質，而它們以剩下因次的形式出現。需要注意的是，這些「數學技巧」既有前例，也在科學界有一定的重要性。物理學基本常數普朗克常數得到「發現」時，它只是基於瑞利-金斯定律建立的抽象數學概念，以防止紫外災變。它開始在量子物理扮演關鍵角色時，可以是在得到因次分析處理的同時或之後，但不能是之前。

### 限制

係數抵消只能轉換線性關係的單位量，而大多數單位都符合這個關係。

例如，係數抵消不適用於攝氏度和開爾文（或華氏度）之間的換算。攝氏度和開爾文間有恆定的差，而不是恆定的比；攝氏度和華氏度間既沒有恆定的差，也沒有恆定的比。然而，它們之間有仿射變換（$x \mapsto ax+b$，而不是線性變換的$x \mapsto ax$）。

例如，水的冰點是0 °C和32 °F，而5 °C的變化相當於9 °F的變化，因此，要將華氏度轉為攝氏度，則需要減去32 °F（參考點的差），除以9 °F，乘以5 °C（單位的比），最後加0 °C（參考點的差）。反轉這個過程，則是相當於將攝氏度轉換到華氏度。即使這個過程以100 °C和212 °F開始，也不會影響最後的公式。

因此，以下公式可以將華氏度的某個溫度值（TF）轉換至攝氏度的溫度值（TC）：

TC = (TF − 32) × 5/9.

以下公式可以將攝氏度（TC）轉換至華氏度（TF）：

TF = (TC × 9/5) + 32.

## 涉及非SI單位的計算

如果公式使用非SI單位，則可以先求出初步係數，再將數值代入給定/已知的數量，最後完成計算。

例如，在玻色–愛因斯坦凝聚體的研究中，原子質量（m）通常以道爾頓——而不是公斤——表示；化學位能（μ）往往以波茲曼常數乘以奈開爾文表示。

凝聚體的治癒長度由以下公式表示：

$$\xi=\frac{\hbar}{\sqrt{2m\mu}}\,.$$

假設有一個化學位能為（波茲曼常數乘以）128 nK的23Na凝聚體，其治癒長度（微米）可以在兩步內求出：

### 計算初步係數

假設$m=1 \,\text{Da},\mu = k_\text{B}\cdot 1\,\text{nK}\,$，則$$\xi=\frac{\hbar}{\sqrt{2m\mu}} = 15.574 \,\mathrm{\mu m}\,,$$ 是計算需要的初步係數。

### 計算數字

利用$\xi\propto\frac{1}{\sqrt{m\mu}}$。已知$m=23 \,\text{Da},\mu=128\,k_\text{B}\cdot\text{nK}$，$\xi=\frac{15.574}{\sqrt{23 \cdot 128}} \,\text{μm}=0.287\,\text{μm}$。

在編程或製造工作表中，輸入數量有幾種數值，這個方法也特別有用。例如，利用上面計算的初步係數，化學位能為20.3 nK的174Yb的治癒長度是$\xi=\frac{15.574}{\sqrt{174\cdot20.3}} \,\text{μm}=0.262\,\text{μm}$。

## 軟體工具

諸如試算表資料庫、計算器、巨集套件或插件的函數庫都安裝了換算工具。很多獨立應用程式也提供換算服務。例如，自由軟體運動為Linux和Windows提供命令行實用程式GNU units。

## 外部連接

- (35.7 KB)
- NIST Guide to SI Units Many conversion factors listed.
- The Unified Code for Units of Measure
- Units, Symbols, and Conversions XML Dictionary
- Science/Reference/Units_of_Measurement/Software/
- Science/Reference/Units_of_Measurement/Online_Conversion/
- "Instruction sur les poids et mesures républicaines:déduites de la grandeur de la terre,uniformes pour toute la République,et sur les calculs relatifs à leur division décimale"