格蘭迪級數

格蘭迪級數（Grandi's series），即$1-1+1-1+\cdots$，是由義大利數學家路易吉·圭多·格蘭迪在1703年發表的。後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作：

$$\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n$$

它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為$\,\frac{1}{2}$。

格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例（其中$n$為任意自然數），這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，同時也引出了現在所知的狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。

## 簡介

針對以下的格蘭迪級數

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一種求和方式是求它的裂項和：

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若調整括弧的位置，會得到不同的結果：

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，其級數和可以得到0或是1的值。

格蘭迪級數為發散幾何級數，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，可以得到第三個數值：

$S$ = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此

1 − $S$ = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = $S$，即

2$S$ = 1。

可得到$S$ = $\tfrac{1}{2}$。

依照上述的計算，可以得到以下的二種結論：

- 格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + ... 的和不存在。
- 格蘭迪級數的和為$\tfrac{1}{2}$。

上述二個答案都可以精確的證明，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。從17世紀歐洲開始使用微積分起，一直到現在嚴謹的數學成型之前，上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。

## 求和性

### 穩定性及線性

對於格蘭迪級數$\,1-1+1-1+\cdots$，看似可以用以下的方式處理，得到數值$\;\tfrac{1}{2}$：

- 級數內的數兩兩相加或相減。
- 每一項乘以一個係數。
- 調整括弧順序。
- 在級數前面增加新的項。

不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數，而$\, 1-1+1-1+ \cdots \,$不是收斂級數，因此上述處理都不適用。

由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,...... 以一種簡單模式排列，格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和，再透過解方程得出一數值。暫時假設$\, s=1-1+1-1+ \cdots \,$這樣的寫法有意義——其中的$\;s\;$為常數，那麼以下的計算將說明$\;s=\frac{1}{2}$：

$$\begin{smallmatrix} 2s \ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)\quad\, \\ <pre> \\ \ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots)\quad\, </pre> \\ <pre> \\ \ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace{1\,-\,1\,-\,1\,+\,1}_{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace{-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1}_{0}\,)\,+\,\cdots] </pre> \end{smallmatrix}$$

因此，$s=\tfrac{1}{2}$

$\, 1-1+1-1+ \cdots \,$。

再者，有許多的求和方式可以處理發散級數，並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和。

### 切薩羅和

恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法，就是切薩羅和。基本概念類似萊布尼茲的機率法，一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個$\;n\;$，計算前$\;n\;$項的和$\; \sigma_n\;$的平均，當$\;n\;$趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。

以格蘭迪級數而言，而數列 $\tfrac{s_1+\cdots+s_n}{n}$的各項分別為

$\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots$,

而

$$\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} =\frac{1}{2}$$

因此，格蘭迪級數的切薩羅和為 $\tfrac{1}{2}$。

也可以用廣義的切薩羅和$\;\left(C,a\right)\;$來計算。

## 發散性

這個級數的部分和如下：

$$\begin{cases} S_1=1\\ S_2=1-1=0\\ S_3=1-1+1=1\\ S_4=1-1+1-1=0\\ \quad\;\,\vdots \end{cases}$$

由此得出另一個無窮序列：

$S_1, S_2, S_3, S_4, \cdots = 1, 0, 1, 0, \cdots$。

根據無窮級數的定義。

$$\sum_{n=0}^{\infin}\,(-1)^n = \lim_{n\to\infty}S_n$$

但是$\;S_n\;$的無窮序列無法收斂到某個固定值（不斷在0和1之間來回變動），所以$\;\lim_{n\to\infty}S_n\;$發散。

因此$\;\sum_{n=0}^{\infin}\,(-1)^n\;$這個級數也發散。

## 格蘭迪級數的應用

### 冪級數

以下的冪級數和格蘭迪級數有關，也是其母函數：

$$f(x) = 1-x+x^2-x^3+\cdots = \frac{1}{1+x}$$

### 狄拉克梳

格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現：

$$\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cdots = \sum_{k=1}^\infty\cos(kx).$$

若x = π，其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · ·，歐拉認為其值符合以下的關係式Σ cos kx = −1⁄2，不過達朗貝爾不同意此關係式，而拉格朗日認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明。

歐拉的聲明推測

$$1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx) = 0?$$

針對所有的x，此級數都發散，不過對於幾乎所有的x，切薩羅和均為0。不過在x = 2πn時，其級數發散，而且是狄拉克梳的傅立葉級數。其一般和、切薩羅和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、費耶核及泊松核的極限有關。

### 狄利克雷級數

將格蘭迪級數各項乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷級數

$$\eta(z)=1-\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}-\frac{1}{4^z}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^z},$$

上述級數只有在實部大於0的複數z才會收斂，若令z = 0，即為格蘭迪級數。

不同於幾何級數，狄利克雷級數對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。即使在右半平面上，上述的$\eta(z)$也無法用初等函數來表示，也沒有直接證據可以證明當z趨近0時，$\eta(z)$的極值。

另一方面，若使用其他較強的求和法，則上述的$\eta(z)$可定義一個在整個複數平面的函數－狄利克雷η函數，而且此函數為解析函數。若z的實部> −1，就可以用切薩羅和進行求和，因此η(0) = 1⁄2。

狄利克雷η函數和另一個著名的狄利克雷級數及函數有關：

$$\begin{array}{rcl} \eta(z) & = &\displaystyle 1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\cdots - \frac{2}{2^z}\left(1+\frac{1}{2^z}+\cdots\right) \\[1em] <pre> & = & \displaystyle \left(1-\frac{2}{2^z}\right)\zeta(z), </pre> \end{array}$$

其中ζ為黎曼ζ函數。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式，可以得到ζ(0) = −1⁄2。參照1 + 1 + 1 + 1 + …。

上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。由於黎曼ζ函數可表示為η(z)和(1 − 21−z)相除的結果，二個函數在整個複數平面均為解析函數，而後者的零點是在z = 1的簡單零點，因此可得ζ(z)為亞純函數，只在z = 1有一個極點。

### 物理學

格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現，最典型的是量子化的費米子場，其中同時有正的及負的特徵值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中，例如卡西米爾效應。

在光譜非對稱性領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數，而其求和方式是正規化的一部份，例如ζ函數正規化就是其中的一種。