摺紙公理

摺紙公理，又稱藤田－羽鳥公理或藤田－賈斯汀公理，是摺紙數學的基本公理。假定所有摺紙操作均在理想的平面上進行，並且所有摺痕都是直線，那麼這些公理描述了通過摺紙可能達成的所有數學操作。

摺紙定理最早於1989年由雅克·賈斯汀（Jacques Justin）發現。截至目前為止，共推衍了7個公理，其中，公理1－6又於1991年由日裔義大利數學家藤田文章發現。定理7也於2001年由羽鳥公士郎發現。賈斯汀和羅伯特·朗（Robert J. Lang）也同樣發現了公理7。

## 七個公理

前6個公理又叫做藤田公理，公理7由羽鳥公士郎發現，賈斯汀和羅伯特·朗（Robert J. Lang）也同樣發現了公理7。7條公理如下：

- 給定兩點 $p_1$ 和 $p_2$，有且僅有一條摺痕同時過這兩點。
- 給定兩點 $p_1$ 和 $p_2$，有且僅有一種方法把 $p_1$ 折到 $p_2$ 上。
- 給定兩直線 $l_1$ 和 $l_2$，可以把 $l_1$ 折到 $l_2$ 上。
- 給定一點 $p_1$ 和一條直線 $l_1$，有且僅有一種方法過 $p_1$ 折出 $l_1$ 的垂線。
- 給定兩點 $p_1$ 和 $p_2$ 和一條直線 $l_1$，可以沿過 $p_2$ 的直線將 $p_1$ 折到 $l_1$ 上。
- 給定兩點 $p_1$ 和 $p_2$ 和兩直線 $l_1$ 和 $l_2$，可以一次將 $p_1$、$p_2$ 分別折到 $l_1$、$l_2$ 上。
- 給定一點 $p$ 和兩直線 $l_1$ 和 $l_2$，可以沿著 $l_2$ 的垂線將 $p$ 折到 $l_1$ 上。

公理5可能有最多2個解，公理6可能有最多3個解，而尺規作圖的公理最多只有兩個解。所以，摺紙的作圖能力要強於尺規作圖。就是說，尺規作圖相當於在解二次方程，而摺紙幾何相當於解三次方程。因而諸如三等分角、倍立方等尺規作圖無法解決的問題卻可以用摺紙幾何解決。但是公理6在實踐中需要將紙「滑動」，這其實相當於二刻尺作圖，這在標準的尺規作圖中是不被允許的。

羅伯特·朗證明了這七個公理已經是摺紙幾何的全部公理了。

### 公理 1

給定兩點 $p_1$ 和 $p_2$，有且僅有一條摺痕同時過這兩點。

以參數方程表示的話，過2點的直線可以表示為：

$$F(s)=p_1 +s(p_2 - p_1).$$

### 公理 2

給定兩點 $p_1$ 和 $p_2$，有且僅有一種方法把 $p_1$ 折到 $p_2$ 上。

這條公理相當於是作線段 $\overline{p_1 p_2}$的垂直平分線。這可以通過以下四個步驟完成：

- 使用公理1作出連結 $p_1$ 和 $p_2$ 的直線 $P(s)=p_1+s(p_2-p_1)$
- 找到直線 $P(s)$ 的中點 $p_{mid}$
- 找到垂直於 $P(s)$ 的向量 $\mathbf{v_{perp}}$

$$F(s)=p_\mathrm{mid} + s\cdot\mathbf{v}_{\mathrm{perp}}.$$

### 公理 3

給定兩直線 $l_1$ 和 $l_2$，可以把 $l_1$ 折到 $l_2$ 上。

這條公理相當於是找出 $l_1$ 和 $l_2$ 組成的角的平分線。假設 $p_1$ 和 $p_2$ 是 $l_1$ 上任意兩點，$q_1$ 和 $q_2$ 是 $l_2$ 上任意兩點，$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 分別是 $l_1$ 和 $l_2$ 方向的單位向量：

$$\mathbf{u} = (p_2-p_1) / \left|(p_2-p_1)\right|$$

$$\mathbf{v} = (q_2-q_1) / \left|(q_2-q_1)\right|.$$

如果兩直線不平行，它們的交點為：

$$p_\mathrm{int} = p_1+s_\mathrm{int}\cdot\mathbf{u}$$

其中

$$s_{int} = -\frac{\mathbf{v}_{\perp} \cdot (p_1 - q_1)} {\mathbf{v}_{\perp} \cdot \mathbf{u}}.$$

兩條直線所夾的一個角的平分線方向是：

$$\mathbf{w} = \frac{ \left|\mathbf{u}\right| \mathbf{v} + \left|\mathbf{v}\right| \mathbf{u}} {\left|\mathbf{u}\right| + \left|\mathbf{v}\right|}.$$

摺痕的參數方程是：

$$F(s) = p_\mathrm{int} + s\cdot\mathbf{w}.$$

這兩直線還有另一個角平分線，兩條角平分線互相垂直，且都過點 $p_{int}$。而沿著任意一條角平分線折都能將 $l_1$ 折到 $l_2$ 上。但在實踐中可能因為交點的位置（比如交點在紙外）使沿著其中一條角平分線的摺疊無法實施。

如果兩條直線平行，那麼只要沿著兩直線中間的一條線（與兩直線平行，到兩直線距離相等）摺疊就可以將 $l_1$ 折到 $l_2$ 上

### 公理 4

給定一點 $p_1$ 和一條直線 $l_1$，有且僅有一種方法過 $p_1$ 折出 $l_1$ 的垂線。

向量 $\mathbf{v}$ 是垂直於 $l_1$ 的單位向量，那麼摺痕的參數方程是：

$$F(s) = p_1 + s\cdot\mathbf{v}.$$

### 公理 5

給定兩點 $p_1$ 和 $p_2$ 和一條直線 $l_1$，可以沿過 $p_2$ 的直線將 $p_1$ 折到 $l_1$ 上。

這個公理相當於找出圓和直線的交點，所以有最多2個解，最少也可能無解。這取決於直線 $l_1$ 和以$p_2$ 為圓心，$p_2$ 到 $p_1$ 的距離為半徑的圓的位置關係。如果直線和圓不相交則無解，相切則有1解，相交則有2解.

如果我們知道直線上兩點 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，那麼直線可以表示為：

$$x = x_1 + s(x_2 - x_1)\,$$

$$y = y_1 + s(y_2 - y_1).\,$$

如果圓心 $p_2=(x_c,y_c)$，半徑 $r = \left|p_1 - p_2\right|$。那麼這個圓可以表示為：

$$(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2.\,$$

為了確定圓和直線的交點，將直線方程代入圓方程，得：

$$(x_1 + s(x_2-x_1) - x_c)^2 + (y_1 + s(y_2 - y_1) - y_c)^2 = r^2.\,$$

或者可以簡化為：

$$as^2 + bs + c = 0\,$$

其中：

$$a = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\,$$

$$b = 2(x_2 - x_1)(x_1 - x_c) + 2(y_2 - y_1)(y_1 - y_c)\,$$

$$c = x_c^2 + y_c^2 + x_1^2 + y_1^2 - 2(x_c x_1 + y_c y_1)-r^2.\,$$

然後，只要解以下方程就能確定直線和圓的交點：

$$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

如果判別式 $b^2-4ac<0$，那麼方程無實數解，圓和直線沒有交點；如果辨別式等於0，那麼方程有一解，圓和直線相切；如果辨別式大於0，方程有兩解，圓和直線有兩個交點。令$d_1$ 和 $d_2$ 是兩個交點（如果存在），那麼，我們可以得到線段如下：

$$m_1 = \overline{p_1 d_1} \,$$

$$m_2 = \overline{p_1 d_2}. \,$$

摺痕 $F_1(s)$ 垂直平分 $m_1$，可以將 $p_1$ 折到 $d_1$。同樣，摺痕 $F_2(s)$ 垂直平分 $m_2$，可以將 $p_1$ 折到 $d_2$。只要應用公理2就可以找到垂直平分線。摺痕的參數方程是：

$$\begin{align} F_1(s) & = p_1 +\frac{1}{2}(d_1-p_1)+s(d_1-p_1)_\perp \\[8pt] F_2(s) & = p_1 +\frac{1}{2}(d_2-p_1)+s(d_2-p_1)_\perp. \end{align}$$

### 公理 6

給定兩點 $p_1$ 和 $p_2$ 和兩直線 $l_1$ 和 $l_2$，可以一次將 $p_1$、$p_2$ 分別折到 $l_1$、$l_2$ 上。

這個公理相當於找到同時與兩條拋物線相切的直線，等價於解一個三次方程。兩條拋物線的焦點分別是 $p_1$ 和 $p_2$，準線分別是 $l_1$ 和 $l_2$。

### 公理 7

給定一點 $p$ 和兩直線 $l_1$ 和 $l_2$，可以沿著 $l_2$ 的垂線將 $p$ 折到 $l_1$ 上。

過 $p$ 點作 $l_2$ 的平行線，交 $l_1$ 於 $q$，這個公理就是要找出線段 $\overline{p q}$ 的垂直平分線。沿著這條垂直平分線折，就可以將 $p$ 折到 $q$ 上。

## 外部連結

- Origami Geometric Constructions by Thomas Hull
- A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers by Roger C. Alperin