分布 (數學分析)

數學分析中，分布（distribution）是廣義函數的一種，由法國數學家洛朗·施瓦茨首先於二十世紀五十年代引入，因此又稱施瓦茲分布（Schwartz distribution）、施瓦茲廣義函數（Schwartz generalized function）。分布推廣了普通意義上的函數概念：對於普通意義上不可導甚至不連續的函數，可以具備分布意義上的導數。事實上，任意局部可積的函數都有分布意義上的弱導數。在偏微分方程的研究中，常常使用分布來表示方程的廣義解函數，因為很多時候傳統意義上的解函數不存在或難以求出。分布理論在物理學和工程學中都十分有用，因為在應用中常會出現解或初始條件是分布的微分方程，例如初始條件可能是一個狄拉克δ分布。

廣義函數的概念最早由謝爾蓋·索伯列夫在1935年提出。1940年代末，施瓦茨等人開始建立分布理論，首次提出了一個系統清晰的廣義函數理論。

## 基本理念

很多時候，函數是描述某個對象的性質的手段。傳統的函數是將輸入值和輸出值建立對應關係的映射，是從本質上描述對象性質的方法。分布的概念則源自物理學的發展。二十世紀初發展起來的量子力學理論，特別是不確定性原理的發現，使物理學家拋棄了從本質上確定地表述對象的想法，而是將對象的性質視作它在一定的測量手段下的表現。我們能夠獲得「某個粒子的位置」的資訊，是因為使用了某種測量的工具。對象的性質通過測量才得以表現。分布理論發展了這種概念，通過觀察某個函數$f$與其它函數的「相互作用」來刻畫這個函數。具體來說，我們觀察$f$和一群「測量函數」$\varphi$之乘積的積分：$\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x$。之所以使用積分作為「觀察」的方式，一方面是因為在積分和求導兩種數學分析的基本概念之間，（局部）可積分的函數比（局部）可導的函數要「多得多」；另一方面，則可以用物理上的測量方式解釋。測量某個物理量的時候，我們往往不要求（也無法做到）知道此物理量在某個精確時刻或某個精確位置上的值，而只能通過多次測量，知道它在某一小段時間段或某個小區域內的平均測量值。從實際的角度，這種平均值才是測量和使用函數的最常見方式。而積分則是這種「平均值」的數學表現形式。

分布理論的目的在於建立一種比一般的函數更廣泛的「廣義函數」，稱為分布，並能將微積分的常用結論運用到這類廣義函數上去。也就是說，分布理論建立的分布應當滿足幾個基本的要求：

- 連續的函數屬於分布。
- 可微、可積的函數對應的分布應該也能進行微分/求原函數操作，而且結果應該也是分布，並且應該對應於原函數的微分/原函數。
- 基本的微積分法則適用於分布。
- 存在適當的收斂定理，可以對分布進行極限操作。

對每一個實數值的「測試函數」$\varphi$，將它映射到積分$\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x$，就定義了一個線性泛函。這個線性泛函稱為$f$對應的分布。積分$\int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x$的存在性取決於函數$f$與$\varphi$的乘積，所以對$\varphi$要求越高，就能對越多的$f$定義對應的分布。分布理論中選取的「測試函數」的集合是緊支撐的函數空間D(R)，也就是滿足以下兩個條件的R射到R函數的集合：

- 擁有任意階的導函數，並且導函數連續。
- 除了在某一個緊緻集合（一般可以簡化為一個有限區間）以外，函數的取值都是0.

一般來說，一個分布就定義為 D(R) 射到R的連續線性泛函。一個分布$T$（作用在「測試函數」$\varphi$上）的值一般使用類似內積的符號記為$\langle T , \varphi \rangle$。當「測試函數」空間選為D(R)的時候，只要 $f$局部可積，就能定義它對應的分布。一個函數對應的分布通常記為$T_f$，以和$f$ 區分，而它的值就是：

$$\langle T_f , \varphi \rangle = \int f(x) \varphi(x) \mathrm{d}x$$

對於機率分布函數$\mathbb{P}$，也可以將它定義為分布$T_{ \mathbb{P} }$。對給定的一個測試函數$\varphi$，可以定義分布$T_{ \mathbb{P} }$作用在$\varphi$上的值是：$\langle T_{ \mathbb{P} } , \varphi \rangle = \int \varphi(x) \mathbb{P}(\mathrm{d}x).$ 這樣定義下的$T_{ \mathbb{P} }$是線性的泛函，所以滿足分布的定義。

除了對普通的函數可以定義分布，對一些普通意義上無法定義的「函數」也能定義出相應的分布。例如0點上的狄拉克δ函數就能用分布方式定義為：

$$\delta_0 (\varphi) = \varphi(0).$$

也就是說它對每一個函數的「效果」是取其0點上的值。

## 嚴格定義

接下來，我們定義Rn中開集U上的實值分布。在細微的調整之後，我們可以定義相應的復值分布，也可以將 Rn 替換為任何（仿緊）光滑流形。

首先需要定義U上的檢驗函數空間 D(U) （即所謂的「測試函數」），定義其上的拓撲和極限。D(U)上的所有連續線性泛函構成的空間就是分布空間。

### 檢驗函數空間

函數$\varphi$: U → R具有緊支撐集，若且唯若存在U的緊子集K，使得對任意 U\K 中的元素$x$，都有$\varphi(x)=0$。

定義D(U)為所有在某個緊支撐集上無窮可微的函數（也就是所謂的隆起函數）的集合，則這個集合是一個實向量空間。這個空間中的拓撲可以通過定義序列的極限而定義。具體如下：

一列函數$\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$收斂到某個$\varphi_{\infty}\in D(\mathbf{U})$，若且唯若其滿足以下兩條性質：

- 存在緊集$\mathbf{K} \subset \mathbf{U}$包含所有$\varphi_k$的支撐集：
- $$\bigcup_k \operatorname{supp}(\varphi_k)\subset \mathbf{K} \subset \mathbf{U}.$$
- 對任意多重指標$\alpha$, 偏微分序列$\left( \partial^{\alpha}\varphi_k \right)_{k\in\mathbb{N}}$都一致收斂到$\partial^{\alpha}\varphi_{\infty}.$

在如此定義下的拓撲中，D(U)是一個完備、局部凸的拓撲向量空間，且滿足海涅－博雷爾定理，但不是可度量的空間（不同胚於任何的度量空間）。而D(U)上的泛函$u$連續，若且唯若對任意收斂到零的$\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$，都有$\lim_{k\to\infty}u(\varphi_k )=0.$

### 分布

U上的分布定義為D(U)上的連續線性泛函。也就是說，如果一個實線性泛函$S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{R}$（或複線性泛函$S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{C}$）滿足連續性，即對D(U)中任意的收斂函數列$\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$，都有

$$\lim_{n\to\infty}S(\varphi_n)= S\left(\lim_{n\to\infty}\varphi_n\right)$$

那麼就稱此泛函為U上的一個分布。

另一個更具可操作性的定義是，如果D(U)上的一個實線性泛函$S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{R}$（或複線性泛函$S : \quad D(\mathbf{U}) \rightarrow \mathbf{C}$）滿足以下的條件：

對任意的緊子集$K\in \mathbf{U}$，都存在$C_{K} >0$和$p_{K} \in \mathbb{N}$，使得對任意支撐集在$\operatorname{supp}(\varphi)\subset K$的檢驗函數$\varphi$，都有

$$\langle S , \varphi\rangle \leqslant C_K \max_{|\alpha |\leqslant p_K} \sup_{x\in K} \vert \partial^{\alpha}\varphi (x)\vert .$$

就稱之為U上的一個分布。如果存在的正整數$p$使得對任意的$K\in \mathbf{U}$，都有$p_{K} \leqslant p$，那麼最小的這樣的$p$稱為這個分布的階數（order），稱$S$為一個$p$階分布。

U上的分布集合記為D'(U)，是D(U)的拓撲對偶空間。D'(U)中的元素$S$和D(U)中的元素$\varphi$之間的對偶關係可以用尖括號表示：

$$\mathrm{D}'(\mathbf{U}) \times \mathrm{D}( \mathbf{U} ) \ni (S, \varphi) \mapsto \langle S, \varphi \rangle \in \mathbf{R}.$$

在弱＊拓撲下，D'(U)為一個局部凸的拓撲向量空間。其中，弱＊收斂的定義為：D'(U)中序列$\left(S_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$弱＊收斂到$S$若且唯若對於任意的檢驗函數$\varphi$，有

$$\langle S_k, \varphi\rangle \xrightarrow[]{k\to\infty} \langle S, \varphi\rangle$$

### 函數對應的分布

一個局部可積函數$f : \quad \mathbf{U} \rightarrow \mathbf{R}$是指在U的任意緊子集上都勒貝格可積的函數。局部可積函數包括了所有的連續函數和所有的Lp可積函數。在以上定義的D(U)的拓撲中，每個局部可積的函數都對應著一個D(U)上的連續線性泛函，也就是D'(U)中的一個元素，記作$T_f$。線性泛函$T_f$作用在D(U)中任一個檢驗函數$\varphi$上的取值是：

$$\langle T_f,\varphi \rangle = \int_{\mathbf{U}} f\varphi\, \mathrm{d}x.$$

一般約定，在不至於引起混淆的時候，可以將$T_f$和$f$等同起來。比如說以上的取值等式也可以記作：

$$\langle f, \varphi\rangle = \langle T_f,\varphi\rangle = \int_{\mathbf{U}} f\varphi\,\mathrm{d}x.$$

可以證明，兩個局部可積函數$f$和$g$對應的分布相同，若且唯若它們幾乎處處相等。與函數的分布類似，U上的每個Radon測度$\mu$都有一個對應的分布$T_{\mu}$，定義為：

$$\langle T_{\mu},\varphi \rangle = \int_{\mathbf{U}} \varphi\, \mathrm{d}\mu.$$

與函數的對應分布一樣，測度對應的分布在不至於混淆的時候也可以和測度等同起來，比如將上式寫成$\scriptstyle{\langle\mu,\varphi\rangle}$。

可以注意到，檢驗函數也是局部可積的，所以也有對應的分布。這些分布在D'(U)上是稠密的（對於以上定義的拓撲來說）。也就是說，任意一個分布$S\in D\prime(\mathbf{U})$都是某個檢驗函數（分布）序列$\left(\varphi_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$收斂的極限。對任意的檢驗函數$\phi\in D(\mathbf{U})$，都有：

$$\langle\varphi_n,\phi\rangle\to \langle S,\phi\rangle . \;$$

## 拓展閱讀

- M. J. Lighthill (1959). Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (requires very little knowledge of analysis; defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)
- H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006)(also available online here ). See Chapter 11 for defining products of distributions from the physical requirement of coordinate invariance.
- V.S. Vladimirov (2002). Methods of the theory of generalized functions. Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0