Cis函數

一個可以代表cis函數的圖形，藍色是實數部、橘色是虛數部$$\left|\operatorname{cis}x\right| = 1 \, ,\operatorname{cis}x \in \mathbb{C}$$ 在微積分學中，cis函數又稱純虛數指數函數，是複變函數的一種，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數$\operatorname{cis} x = \cos x + i \sin x$來定義，是一種實變數複數值函數，其中$i$為虛數單位，而cis則為cos + i sin的縮寫。

## 概觀

cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫：

$$e^{ix} = \cos x + i\sin x,$$

其中i表示虛數單位$i^2=-1$。因此

$\operatorname{cis} x = \cos x + i\sin x,$

cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》

以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號

其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。

cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式，透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達，例如傅里葉變換和哈特利變換的結合，以及應用在教學上時，因某些因素（如課程安排或課綱需求）因故不能使用指數來表達數學式時，cis函數就能派上用場。

## 性質

cis函數的定義域是整個實數集，值域是單位複數，絕對值為1的複數。它是周期函數，其最小正周期為$2\pi$。其圖像關於原點對稱。

上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是，就如同三角函數，他也算是一種比值，複數和其模的比值:

$\operatorname{cis} \theta = \frac{z}{\left| z\right|}$，其中$z$是輻角為$\theta$的複數

因此，當一複數的模為1，其反函數就是輻角（arg函數）。

$\operatorname{cis}$函數可視為求單位複數的函數。

$\operatorname{cis}$函數的實數部分和餘弦函數相同。

### 微分

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{cis} z = i\operatorname{cis} z = ie^{iz}$

### 積分

$\int\operatorname{cis} z \,\mathrm{d}z = -i\operatorname{cis} z = -ie^{iz}$

### 其他性質

根據歐拉公式，cis函數有以下性質：

$\operatorname{cis}(x+y) = \operatorname{cis} x\,\operatorname{cis} y$

$$\operatorname{cis}(x-y) = {\operatorname{cis} x \over \operatorname{cis} y}$$

上述性質是當$x$與$y$都是複數時成立。在$x$與$y$都是實數時，有以下不等式：

$|\operatorname{cis} x - \operatorname{cis} y| \le |x-y|.$

## 命名

由於$\operatorname{cis}$函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」，取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine，故以$\operatorname{cis}$來表示該函數。

## 歐拉公式

在數學上，為了簡化歐拉公式$e^{ix} = \cos x + i\sin x \ $，因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數，給出了cis函數的定義：

$$\operatorname{cis} \theta = \cos \theta + i\;\sin \theta$$

並且一般定義域為$\theta \in \mathbb{R}\,$，值域為$\theta \in \mathbb{C}\,$。

當$\theta$值為複數時，$\operatorname{cis}$函數仍然是有效的，因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。

## 棣莫弗公式

在數學上，為了方便起見，可以將棣莫弗公式寫成以下形式：

$$\operatorname{cis}^n (x) = \operatorname{cis} (nx)$$

## 指數定義

跟其他三角函數類似，可以用e的指數來表示，依照歐拉公式給出:

$$\operatorname{cis} \theta = e^{i\theta}$$

## 反函數

$\operatorname{cis}$的反函數：$\operatorname{arccis} x$，當代入模為1的複數時，所得的值是其輻角

類似其他三角函數，$\operatorname{cis}$的反函數也可以用自然對數來表示

$$\operatorname{arccis} \, x =-{\mathrm{i}} \ln x \,$$

當一複數經過符號函數後代入$\operatorname{arccis} x$可得輻角。

## 恆等式

$\operatorname{cis}$函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多

### 半形公式

$$\operatorname{cis} \frac{\theta}{2} = \frac{(1+i) + (1-i)\cos \theta}{\sin \theta}$$

$$\operatorname{cis} \frac{\theta}{2} = \sqrt{\operatorname{cis} \theta}$$

### 倍角公式

$$\operatorname{cis} 2\theta = \operatorname{cis}^2 \theta$$

$$\operatorname{cis} n\theta = \operatorname{cis}^n \theta$$

### 冪簡約公式

$$\operatorname{cis}^n \theta = \operatorname{cis} n\theta$$

## 相關函數

### 餘cis函數

就如同三角函數，我們可以令：$\operatorname{cocis} \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) + i\;\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \sin \theta + i\;\cos \theta$，其可用於誘導公式來化簡某些特定的$\operatorname{cis}$函數的式子。

至於指數定義，經過正弦和餘弦的指數定義得:

$$\operatorname{cocis} \theta = \frac{(1-i)e^{i \theta }+(1+i)e^{-i \theta }}{2}$$

有恆等式:

$$\operatorname{cis} (-\theta) = -i\operatorname{cocis} \theta$$

$$\operatorname{cis} \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \operatorname{cocis} \theta$$

$$\operatorname{cis} \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) = i\operatorname{cis} \theta$$

$$\operatorname{cis} (\pi+\theta) = -\operatorname{cis} \theta$$

$$\operatorname{cocis} (-\theta) = i\operatorname{cis} \theta$$

$$\operatorname{cocis} \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right) = \operatorname{cis} \theta$$

$$\operatorname{cocis} \left(\frac{\pi}{2}+\theta \right) = -i\operatorname{cocis} \theta$$

$$\operatorname{cocis} (\pi+\theta ) = -\operatorname{cocis} \theta$$

### 雙曲cis函數

cish函數（$\cosh + i\sinh$）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中，與歐幾里得幾何對應cis函數應為：

$$e^{\theta}= \cosh(\theta) + \sinh(\theta)$$

然而當中的$i$若定義為負一的平方根，則其會變為：

$$\operatorname{cish} \theta = \cosh(\theta) + i \sinh(\theta)$$

雙曲複數

在一般的情況下，cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，考慮數$z=x+jy$，其中$x,y$是實數，而量$j$不是實數，但$j^2$是實數。選取$j^2=-1$，得到一般複數。取$+1$的話，便得到雙曲複數。

而雙曲複數有對應的歐拉公式:$e^{j \theta} = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)$

$$\operatorname{cish} \theta = \cosh(\theta) + j \sinh(\theta)$$

其中j為雙曲複數。

因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。

如此一來，值域將會變成分裂四元數。

### cas函數

cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，為雷夫·赫特利於1942提出，其定義為$\mathrm{cas}(x):=\cos x+\sin x$，是一種實變數實值函數，而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，其表示了實數值的赫特利變換：

$$\mathrm{cas}(x)=\cos x+\sin x$$

cas函數存在一些恆等式：

$$2 \operatorname{cas} (a+b) = \operatorname{cas}(a) \operatorname{cas}(b) + \operatorname{cas}(-a) \operatorname{cas}(b) + \operatorname{cas}(a) \operatorname{cas}(-b) - \operatorname{cas}(-a) \operatorname{cas}(-b). \,$$

角和公式：

$$\operatorname{cas} (a+b) = {\cos (a) \operatorname{cas} (b)} + {\sin (a) \operatorname{cas} (-b)} = \cos (b) \operatorname{cas} (a) + \sin (b) \operatorname{cas}(-a) \,$$

微分：

$$\operatorname{cas}'(a) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \operatorname{cas} (a) = \cos (a) - \sin (a) = \operatorname{cas}(-a).$$