數值孔徑

數值孔徑（NA, Numerical aperture）是光學系統的一個無量綱數，用以衡量該系統能夠收集的光的角度範圍。在光學的不同領域，數值孔徑的精確定義略有不同。在光學顯微鏡領域，數值孔徑描述了物鏡收光錐角的大小，而後者決定了顯微鏡收光能力和空間解析度；在光纖領域，數值孔徑則描述了光進出光纖時的錐角大小。

## 普通光學中的數值孔徑概念

在光學領域，尤其是顯微鏡研究領域中，光學系統（如透鏡）的數值孔徑的定義為

$$\mathrm{NA} = n \sin \theta\;$$

其中n為透鏡工作介質的折射率（如空氣的折射率是1.0，純水的折射率是1.33，而油類的折射率則可達到1.56）。θ則是光進出透鏡時最大錐角的一半，或者可以表述為是從物在光軸上一點到光闌邊緣的光線與光軸的夾角。由於數值孔徑的定義中考慮了折射率的因素，因此一束光在通過平面由一種介質進入另一種時，數值孔徑仍是一個常量。這一點可以從斯涅爾定律很容易地加以證明（$n \sin \theta$在界面兩側是一個常數）。

在空氣中，透鏡的孔徑角大小近似等於數值孔徑的兩倍（在近軸近似的條件下）。數值孔徑是相對於物或像上的特定一點而言的，因此其大小也會隨著該點的移動而改變。在顯微學領域，如不特加註明，數值孔徑一般是針對物一側而言的。

在顯微學中，透鏡的數值孔徑決定了其空間分辨能力，因而是非常重要的參數。光學顯微鏡的最高分辨能力與λ/2NA成正比，其中λ為光的波長。具有高數值孔徑的透鏡比具有低數值孔徑者具有更高的分辨空間細節的能力。對於同樣受限於衍射極限的光學系統而言，具有較高數值孔徑者採光更多，因而成像更為明亮，但景深亦同時較淺。

值得一提的是，數值孔徑還被用於在定義光碟格式中的坑徑這一參數。

### 數值孔徑與焦比的關係

數值孔徑的概念在攝影中用得較少，取而代之的是透鏡的焦比這一概念。焦比一般寫作 或 $N$，其定義為透鏡的焦距與入瞳直徑之比：

$$\ N = f/D$$

當透鏡聚焦於無限遠處時，這一比值就可以與像空間的數值孔徑關聯起來。在右圖中，透鏡的數值孔徑為：

$$\mathrm{NA_i} = n \sin \theta = n \sin \arctan \frac{D}{2f} \approx n \frac {D}{2f}$$

因此對於在空氣中使用的透鏡而言（$n=1$）。

$$N \approx \frac{1}{2\;\mathrm{NA_i}}$$

一般而言，上述近似在數值孔徑較小的時候才成立，但一系列分析表明，對於經過良好校正的光學系統（如相機鏡頭）而言，這一近似即便是對較大的數值孔徑也成立。對此魯道夫·京斯萊克做出了如下解釋，「認為$D/2f$ 等於 $\tan \theta$，而非 $\sin \theta$，這是一個普遍性的錯誤想法……如果主平面在實際中真的是平面，那這當然沒錯；但關於阿貝正弦條件的完備理論表明，當透鏡已經針對彗形像差和球面像差進行過校正（所有好的攝影機鏡頭都應當做到這一點），這時透鏡的第二主平面就不再是平面，而成為了以焦點為圓心，以焦距為半徑的圓的一部分……」從這種意義上來說，傳統的薄透鏡定義和焦比的圖示就顯得有些誤導性了，用數值孔徑來定義反倒更有意義一些。

#### 工作焦比（有效焦比）

焦比描述的是在物方的邊緣光線與光軸接近平行的條件下，透鏡接受光的能力。攝影時的情形常常滿足這種條件——即被攝物與攝影機相距較遠。但二者相距較近時，被攝物所成的像將不再出現在透鏡的焦平面上，而焦比此時也已不能準確描述透鏡的收光能力和像方的數值孔徑大小(即數值孔徑與焦比的近似關係不成立)。在這種情況下，像方的數值孔徑就應用所謂的「工作焦比」或「有效焦比」來描述。工作焦比的定義與焦比類似，但引入了表示物像放大的校正因子：

$$\frac{1}{2 \mathrm{NA_i}} = N_\mathrm{w} = (1-m)\, N$$

其中，$N_\mathrm{w}$ 即工作焦比，$m$ 為透鏡對特定物的放大倍數，而NA則仍由邊緣光線與光軸的夾角定義。一般而言此處的 $m$ 取負值，但在攝影術領域，有時將該校正因子寫作 $1+m$， $m$ 取其絕對值。無論哪一種情形，該校正因子均大於或等於1。

反過來，物方的數值孔徑的放大校正因子則是：

$$\frac{1}{2 \mathrm{NA_o}} = \frac{m-1}{m}\, N$$

## 雷射物理中的數值孔徑概念

在雷射物理領域，數值孔徑的定義略有不同。雷射光束在傳播過程中，發生角度很小的發散。在遠離光束最窄點的地方，光束的發散程度與傳播距離大致呈線性關係——相當於光束在「遠場」形成了一個圓錐。在這種情形下，數值孔徑的定義仍然是：

$$\mathrm{NA} = n \sin \theta\;$$

但θ的定義則與之前所述不同。雷射光束的並不是一個因受到光闌限制而產生的銳利圓錐，而是一個輻照度隨著離光束中心距離而逐漸降低的高斯光束。針對這種情況，雷射物理學家們選擇用光束的發散程度來定義θ，也就是θ由光的傳播方向，以及輻照度降低到波前總輻照度1/e2時距光束中軸的距離決定。對於高斯雷射束，其數值孔徑與雷射最小束斑尺寸有關（其數值孔徑表示雷射的發散程度，雷射發散程度與雷射最小光束直徑有關）：

$$\mathrm{NA}\simeq \frac{\lambda_0}{\pi w_0},$$

其中$\lambda_0$是雷射在真空中的波長，$2 w_0$是光束最窄處的束斑直徑（相當於輻照度衰減到1/e2時的全寬）。這意味著聚焦在小束斑上的雷射會很快發散，而束斑直徑較大的雷射則能在很長的傳播距離中幾乎保持直徑不變。

## 光纖光學中的數值孔徑概念

在多模光纖中，只有沿著特定錐角（也就是所謂受光錐角）進入光纖的光線才能沿著光纖傳播。該錐角的半角即被稱為受光角 θmax。對於突變型多模光纖，受光角的大小僅取決於光纖核心與外部包覆層的折射率：

$$n \sin \theta_\max = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$$

其中，n1 是光纖核心的折射率，n2 則是包覆層的折射率。儘管更高角度的光也能進入核心層，但這些光是無法在兩層之間的界面上發生全反射的，因而也無法通過光纖傳播。

該公式可證明如下。當一束光沿著最大受光角從折射率為n的介質中進入折射率為n1 的光纖核心層中時，由斯涅爾定律可知

$$n\sin\theta_\mathrm{max} = n_1\sin\theta_r\ $$

幾何上。

$$\sin\theta_{r} = \sin\left({90^\circ} - \theta_{c} \right) = \cos\theta_{c}\ $$

其中$\theta_{c} = \sin^{-1} \frac{n_{2}}{n_{1}}$，是全內反射的臨界角。

用cos θc 代替 sin θr，則斯涅爾定律寫作：

$$\frac{n}{n_{1}}\sin\theta_\mathrm{max} = \cos\theta_{c}$$

等號兩側分別平方：

$$\frac{n^{2}}{n_{1}^{2}}\sin^{2}\theta_\mathrm{max} = \cos ^{2}\theta_{c} = 1 - \sin^{2}\theta_{c} = 1 - \frac{n_{2}^{2}}{n_{1}^{2}}$$

就得到前面所述的結果：

$$n \sin \theta_\mathrm{max} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$$

由於等式左側的形式與數值孔徑的定義形式相近，因此一般也用此式來定義各種類型光纖的數值孔徑：

$$\mathrm{NA} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$$

應該注意的是，此處n1 指的是沿著光纖中軸方向的折射率。在這種定義下，光纖的數值孔徑與受光角就不是嚴格相等，而只是近似相等了。尤其對於單模光纖來說更是如此（單模光纖的受光角不能由折射率簡單推算，因此製造商提供的數值孔徑與實際受光角可能相差甚大）。

## 外部連結

- "Microscope Objectives: Numerical Aperture and Resolution" by Mortimer Abramowitz and Michael W. Davidson, Molecular Expressions: Optical Microscopy Primer (website), Florida State University, April 22, 2004.
- "Basic Concepts and Formulas in Microscopy: Numerical Aperture" by Michael W. Davidson, Nikon MicroscopyU (website).
- "Numerical aperture" , Encyclopedia of Laser Physics and Technology (website).
- "Numerical Aperture and Resolution" , UCLA Brain Research Institute Microscopy Core Facilities (website), 2007.