多重對數函數

多重對數函數（polylogarithm，也稱：Jonquière's function，以數學家 Alfred Jonquière 命名）是數學中一種特殊函數。一個階數（order）為 $s$、自變數為 $z$ 的多重對數函數寫做 $\operatorname{Li}_s(z)$。只有在 $s$ 為某些特殊值時，多重對數函數才能簡化為初等函數，例如自然對數或有理函數。在量子統計力學中，多重對數函數出現在費米-狄拉克分佈及玻色-愛因斯坦分佈解析解的積分之解析解中，因此也稱為費米-狄拉克積分（Fermi–Dirac integral）或玻色-愛因斯坦積分（Bose–Einstein integral）。在量子電動力學中，正整數階的多重對數函數則常出現在計算高階費曼圖的過程中。

多重對數函數與赫爾維茨ζ函數是等價的——兩者皆可互相表示——而且這兩個函數都是 勒奇超越函數的特例。多重對數函數不應與多對數函數混淆，也不應與歐拉對數積分 $\operatorname{Li}(z)$ 混淆。後者的符號相同，但沒有下標。

$\operatorname{Li}_{-3}(z)$｜$\operatorname{Li}_{-2}(z)$｜$\operatorname{Li}_{-1}(z)$｜$\operatorname{Li}_{0}(z)$｜$\operatorname{Li}_{1}(z)$｜$\operatorname{Li}_{2}(z)$｜$\operatorname{Li}_{3}(z)$

多重對數函數由 $z$ 的冪級數定義，為墨卡托級數的推廣，同時也是關於 $s$ 的狄利克雷級數：

$$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k^s} = z + \frac{z^2}{2^s} + \frac{z^3}{3^s} + \dots$$

此定義對於任意複數階數 $s$ 以及所有模數 $|z| < 1$ 的複數自變數 $z$ 均有效；而透過解析延拓的過程，它可以擴展到 $|z| \geq 1$ 的情況（此處分母 $k^s$ 理解為 $\exp(s \ln k)$）。

當 $s = 1$ 時的多重對數函數可以用自然對數表示（即 $\operatorname{Li}_1(z) = -\ln(1-z)$）；而 $s=2$ 與 $s = 3$ 的特殊情況則分別被稱為二重對數函數 （dilogarithm）（亦稱為斯盆司函數）與三重對數（trilogarithm）。該函數的名稱源於它也可以定義為遞迴的積分式：

$$\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t$$

因此 $s = 2$ 的多重對數函數可表示為自然對數的積分，以此類推。若其階數 $s$ 為非正整數，其多重對數函數為有理函數。

## 性質

在階數 $s$ 為整數的情況下，通常表示為 $s=n$（若為負數則表示為 $s=-n$）。為方便運算，通常定義 $\mu = \ln(z)$，其中 $\ln(z)$ 是複對數函數 $\text{Ln}(z)$ 的主分支，使得 $-\pi < \text{Im}(\mu) \leq \pi$。另外，所有的冪運算均假設為單值函數：$z^s = \exp(s \ln(z))$。

根據階數 $s$ 的不同，多重對數函數可能是多值函數。$\operatorname{Li}_s(z)$ 的主分支在 $|z| < 1$ 時由上面的級數定義給出，並且除了正實軸之外皆保持連續；在正實軸上，從 $z=1$ 到 $\infty$ 設有一條分支切割，使得該軸位於 $z$ 複數平面的下半平面。若以 $\mu$ 來表示，相當於 $-\pi < \arg(-\mu) \leq \pi$。多重對數函數對於 $\mu$ 的不連續性有時會令人混淆。

對於實數自變數 $z$ 而言，當 $z < 1$ 時，實數階 $s$ 的多重對數函數為實函數；而當 $z \geq 1$ 時，其虛部為Wood：

$$\text{Im}(\operatorname{Li}_s(z)) = -\frac{\pi \mu^{s-1}}{\Gamma(s)}$$

跨越分支切割時，若 $\epsilon$ 為一極小的正實數，則：

$$\text{Im}(\operatorname{Li}_s(z + i\epsilon)) = \frac{\pi \mu^{s-1}}{\Gamma(s)}$$

以上兩者皆可從 $\operatorname{Li}_s(e^\mu)$ 在 $\mu = 0$ 附近的級數展開式（見下文）推導得出。

多重對數函數的導數遵循其定義的冪級數：

$$z \frac{\partial \operatorname{Li}_s(z)}{\partial z} = \operatorname{Li}_{s-1}(z)$$

$$\frac{\partial \operatorname{Li}_s(e^\mu)}{\partial \mu} = \operatorname{Li}_{s-1}(e^\mu)$$

從級數定義可以看出其平方關係，這與倍增定理有關（另見 ,）：

$$\operatorname{Li}_s(-z) + \operatorname{Li}_s(z) = 2^{1-s} \operatorname{Li}_s(z^2)$$

庫默爾函數也遵循非常相似的倍增公式。對於任何正整數 $p$，這都是乘法定理的一個特例：

$$\sum_{m=0}^{p-1} \operatorname{Li}_s(z e^{2\pi im/p}) = p^{1-s} \operatorname{Li}_s(z^p)$$

此公式可利用多重對數函數的級數定義以及指數項的正交性（參見例如離散傅立葉轉換）來證明。

另一個重要的性質是反轉公式（inversion formula），涉及赫爾維茨ζ函數或伯努利多項式，詳細內容可見下方的「與其他函數的關係」章節。

## 特殊值

在特定情況下，多重對數函數可以用其他函數來表示（見下文）。因此，多重對數函數的特殊值也可以透過這些函數的特殊值來求得。

對於多重對數函數階數為整數的情況，透過對 $\operatorname{Li}_1(z)$ 反覆應用算子 $z\cdot \partial/ \partial z$，可以得到以下顯式表達式：

$$\operatorname{Li}_{1}(z) = -\ln(1-z)$$ $$\operatorname{Li}_{0}(z) = {z \over 1-z}$$ $$\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}$$ $$\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z (1+z) \over (1-z)^3}$$ $$\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z (1+4z+z^2) \over (1-z)^4}$$ $$\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z (1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} .$$ 因此，當階數為非正整數時，多重對數函數會簡化為 $z$ 的多項式比值，即為 $z$ 的有理函數。一般情況可以用有限和式表示：$$\operatorname{Li}_{-n}(z) = \left(z {\partial \over \partial z} \right)^n {z \over {1-z}} = \sum_{k=0}^n k! S(n+1, k+1) \left({z \over {1-z}} \right)^{k+1} \qquad (n=0,1,2,\ldots),$$其中 $S(n,k)$ 是第二類史特靈數。適用於負整數階數的等價公式為 Wood：$$\operatorname{Li}_{-n}(z) = (-1)^{n+1} \sum_{k=0}^n k! S(n+1, k+1) \left({{-1} \over {1-z}} \right)^{k+1} \qquad (n=1,2,3,\ldots),$$ 以及：$$\operatorname{Li}_{-n}(z) = {1 \over (1-z)^{n+1}} \sum_{k=0}^{n-1} \left\langle {n \atop k} \right\rangle z^{n-k} \qquad (n=1,2,3,\ldots),$$其中 $\scriptstyle \left\langle {n \atop k} \right\rangle$ 是歐拉的數（此處不是指歐拉數）。$\operatorname{Li}_n(z)$ 的所有根皆為相異實根，其中包括 $z = 0$，其餘根皆為負數，且在對數尺度上以 $z=-1$ 為中心分佈。當 $n$ 變得很大時，這些有理表達式的數值計算會漸漸受到數值抵消的影響 Wood；然而，透過多重對數函數與赫爾維茨ζ函數的一般關係式（見下文）來計算 $\operatorname{Li}_n(z)$，可以獲得完整的精確度。

當自變數 $z=\frac{1}{2}$ 時，一些特定的表達式如下：

$$\operatorname{Li}_1(\tfrac12) = \ln 2$$ $$\operatorname{Li}_2(\tfrac12) = \tfrac1{12} \pi^2 - \tfrac12 (\ln 2)^2$$ $$\operatorname{Li}_3(\tfrac12) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \zeta(3) ,$$

其中 ζ 是黎曼ζ函數。對於更高階的整數，目前尚未發現此類公式 Lewin，但例如 Borwein 給出了：$$\operatorname{Li}_4(\tfrac12) = \tfrac 1{360} \pi^4 - \tfrac 1{24}(\ln 2)^4 + \tfrac1{24} \pi^2 (\ln 2)^2 - \tfrac 1 2 \zeta(\bar3, \bar1),$$這涉及到交錯雙重和：$$\zeta(\bar3, \bar1)=\sum_{m>n>0} (-1)^{m+n} m^{-3} n^{-1}.$$一般而言，當整數階數 $n \ge 2$ 時 Broadhurst：

$$\operatorname{Li}_n(\tfrac12) = -\zeta(\bar1, \bar1, \left\{ 1 \right\}^{n-2}),$$其中 $\zeta(s_1, \ldots, s_k)$ 是 多重ζ函數；例如：

$$\operatorname{Li}_5(\tfrac12) = -\zeta(\bar1, \bar1, 1,1,1)$$

作為級數定義的直接推論，多重對數函數在第 $p$ 個複數單位根處的值由傅立葉和給出：$$\operatorname{Li}_s(e^{2 \pi i m/p}) = p^{-s} \sum_{k=1}^p e^{2 \pi i m k/p} \zeta(s, \tfrac {k}{p}) \qquad (m = 1, 2, \dots, p-1),$$其中 ζ 是赫爾維茨ζ函數。在 $\text{Re}(s) > 1$ 且 $\operatorname{Li}_s(1)$ 為有限值的區域，該關係式對於 $m = 0$ 或 $m = p$ 同樣成立。雖然這個公式不像下文「與其他函數的關係」中所列出的更一般的赫爾維茨ζ函數關係式那麼簡單，但它的優點是同樣適用於非負整數的 $s$。通常這個關係式也可以反過來對於任意 $m = 1, \ldots, p$ 的 $\zeta\left(s, \frac{m}{p}\right)$ 表示為 $\operatorname{Li}_s(\exp\left(2\pi i\frac{k}{p}\right))$ 對 $k = 1, \ldots, p$ 的傅立葉和。

## 與其他函數的關係

- 當 $z=1$ 時，多重對數函數簡化為黎曼ζ函數：$$\operatorname{Li}_s(1) = \zeta(s) \qquad (\operatorname{Re}(s)>1)$$
- 多重對數函數與狄利克雷η函數及狄利克雷β函數 有關：$$\operatorname{Li}_s(-1) = -\eta(s),$$ 其中 $\eta(s)$ 是狄利克雷η函數。對於純虛數自變數，有：$$\operatorname{Li}_s(\pm i) = -2^{-s} \eta(s) \pm i\beta(s),$$ 其中 $\beta(s)$ 是狄利克雷β函數。
- 多重對數函數與完全費米—狄拉克積分的關係為：$$F_s(\mu) = -\operatorname{Li}_{s+1}(-e^\mu)$$
- 多重對數函數與完全玻色—愛因斯坦積分（complete Bose–Einstein integral）的關係為：$$G_s(\mu) = \operatorname{Li}_{s+1}(e^\mu)$$
- 多重對數函數是不完全多重對數函數的一個特例：$$\operatorname{Li}_s(z) = \operatorname{Li}_s(0,z)$$
- 多重對數函數是勒奇超越函數的一個特例 Erdélyi et al.：$$\operatorname{Li}_s(z) = z\Phi(z,s,1)$$
- 多重對數函數與赫爾維茨ζ函數的關係如下：$$\operatorname{Li}_s(z) = {\Gamma(1 - s) \over (2\pi)^{1-s}} \left[i^{1-s} \zeta \left(1 - s, \frac{1}{2} + {\ln(-z) \over {2\pi i}} \right) + i^{s-1} ~\zeta \left(1 - s, \frac{1}{2} - {\ln(-z) \over {2\pi i}} \right) \right],$$然而，此關係式在正整數 $s$ 處會因 伽瑪函數 $\Gamma(1-s)$ 的極點而失效，且在 $s=0$ 處因兩個 zeta 函數的極點而失效；此公式的推導參見下文的「級數表示」。藉助赫爾維茨ζ函數的一個泛函方程，多重對數函數隨後也透過下式與該函數建立聯繫 Jonquière：$$i^{-s} \operatorname{Li}_s(e^{2\pi i x}) + i^s \operatorname{Li}_s(e^{-2\pi i x}) = \frac{(2\pi)^s}{\Gamma(s)} \zeta(1 - s, x),$$當 $\text{Im}(x)\ge 0$ 時，此關係對於 $0 \le \text{Re}(x) < 1$ 成立；當 Im(x) < 0 時，對於 $0 < \text{Re}(x) \le 1$ 成立。等價地，對於所有複數 $s$ 以及 $z \not\in (0,1]$ 的複數 $z$，反演公式（inversion formula）如下：$$\operatorname{Li}_s(z) + (-1)^s \operatorname{Li}_s(1/z) = \frac{(2\pi i)^s}{\Gamma(s)} ~\zeta \left(1 - s, ~\frac{1}{2} + {\ln(-z) \over {2\pi i}} \right),$$而對於所有複數 $s$ 且複數 $z \not\in (1,\infty)$：$$\operatorname{Li}_s(z) + (-1)^s \operatorname{Li}_s(1/z) = {(2\pi i)^s \over \Gamma(s)} ~\zeta \left(1 - s, ~\frac{1}{2} - {\ln(-1/z) \over {2\pi i}} \right)$$對於 $z \not\in (0,\infty)$，有 $\ln(-z) = -ln\left(-\frac{1}{z}\right)$，且上述兩式一致。這些關係提供了多重對數函數在定義冪級數的收斂圓 $|z| = 1$ 之外的解析延拓。（若假設同時使用多重對數和對數的主分支，則 和 中對應的方程是不正確的。）當 $s$ 為整數時，簡化公式見下一項。
- 對於正整數階數 $s$，赫爾維茨ζ函數 $\zeta (1-s,x)$ 會簡化為伯努利多項式 $\zeta(1-n,x)=-\frac{B_n(x)}{n}$，而 Jonquière 的反演公式對於 $n = 1, 2, 3, \ldots$ 變成：$$\operatorname{Li}_{n}(e^{2\pi i x}) + (-1)^n \operatorname{Li}_{n}(e^{-2\pi i x}) = -{(2\pi i)^n \over n!} B_n(x),$$同理，若 $\text{Im}(x)\ge 0$ 則 $0 \le \text{Re}(x) < 1$，若 $\text{Im}(x) < 0$ 則 $0 < \text{Re}(x) \le 1$。若將多重對數函數的自變數限制在單位圓（$\text{Im}(x) = 0$）上，則當 $n$ 為偶數時，此公式左側簡化為 $2 \text{Re}(\operatorname{Li}_n(e^{2\pi ix}))$；當 $n$ 為奇數時，簡化為 $2i\text{Im}(\operatorname{Li}_n(e^{2\pi ix}))$。另一方面，對於負整數階數，$\Gamma(s)$ 的發散代表對於所有 $z$ 都有 Erdélyi et al.：$$\operatorname{Li}_{-n}(z) + (-1)^n \operatorname{Li}_{-n}(1/z) = 0 \qquad (n = 1,2,3,\ldots)$$更一般地，對於 $n = 0, \pm 1, \pm2, \pm3, \ldots$：$$\begin{align} \operatorname{Li}_{n}(z) + (-1)^n \operatorname{Li}_{n}(1/z) &= -\frac{(2\pi i)^n}{n!} B_n \left( \frac{1}{2} + {\ln(-z) \over {2\pi i}} \right) & (z \not\in ]0;1]), \\ \operatorname{Li}_{n}(z) + (-1)^n \operatorname{Li}_{n}(1/z) &= -\frac{(2\pi i)^n}{n!} B_n \left( \frac{1}{2} - {\ln(-1/z) \over {2\pi i}} \right) & (z \not\in ~]1;\infty[), \end{align}$$ 其中兩式在 $z \not\in (0,\infty)$ 時一致。（和 中對應的方程再次是不正確的。）
- 具有純虛數參數 $\mu$ 的多重對數函數可以用克勞森函數 $\operatorname{Ci}_s(\theta)$ 和 $\operatorname{Si}_s(\theta)$ 表示，反之亦然： $$\operatorname{Li}_s(e^{\pm i \theta}) = \operatorname{Ci}_s(\theta) \pm i \operatorname{Si}_s(\theta)$$
- 反正切積分 $\operatorname{Ti}_s(z)$ Lewin 可以用多重對數函數表示： $$\operatorname{Ti}_s(z) = {1 \over 2i} \left[ \operatorname{Li}_s(i z) - \operatorname{Li}_s(-i z) \right]$$ 此關係特別意味著：$$\operatorname{Ti}_0(z) = {z \over 1+z^2}, \quad \operatorname{Ti}_1(z) = \arctan z, \quad \operatorname{Ti}_2(z) = \int_0^z {\arctan t \over t} dt, \quad \ldots~ \quad \operatorname{Ti}_{n+1}(z) = \int_0^z \frac{\operatorname{Ti}_n(t)}{t} dt,$$ 這解釋了該函數名稱的由來。
- 勒讓德χ函數 $\chi_s(z)$可以用多重對數函數表示：$$\chi_s(z) = \tfrac {1}{2} \left[ \operatorname{Li}_s(z) - \operatorname{Li}_s(-z) \right]$$
- 整數階的多重對數函數可以表示為廣義超幾何函數：$$\begin{align} \operatorname{Li}_n(z) &= z\,\; _{n+1\!}F_{n} (1,1,\dots,1; 2,2,\dots,2; z) & (n = 0,1,2,\ldots), \\ \operatorname{Li}_{-n}(z) &= z\,\; _{n}F_{n-1} (2,2,\dots,2; 1,1,\dots,1; z) & (n = 1,2,3,\ldots) ~ \end{align}$$
- 使用不完全 ζ 函數或「德拜函數」Abramowitz：$$Z_n(z) = {1 \over (n - 1)!} \int_z^\infty {t^{n-1} \over e^t-1} dt \qquad (n = 1,2,3,\ldots) ,$$ 對於正整數 $n$，多重對數函數 $\operatorname{Li}_n(z)$ 可以表示為有限和 Wood：$$\operatorname{Li}_{n}(e^\mu) = \sum_{k=0}^{n-1} Z_{n-k}(-\mu) {\mu^k \over k!} \qquad (n = 1,2,3,\ldots)$$ 一個非常相似的表達式將「德拜函數」$Z_n(z)$ 與多重對數函數聯繫起來：$$Z_n(z) = \sum_{k=0}^{n-1} \operatorname{Li}_{n-k}(e^{-z}) {z^k \over k!} \qquad (n = 1,2,3,\ldots)$$
- 使用朗伯級數，若 $J_s(n)$ 是若爾當歐拉函數，則有：$$\sum_{n=1}^\infty\frac{z^nJ_{-s}(n)}{1-z^n}=\operatorname{Li}_{s}(z)$$

## 積分表示

以下任何一種積分表示都能提供多重對數函數在定義冪級數的收斂圓 $|z| = 1$ 之外的解析延拓

- 多重對數函數可以用玻色-愛因斯坦分佈的積分來表示： $$\operatorname{Li}_{s}(z) = {1 \over \Gamma(s)} \int_0^\infty {t^{s-1} \over e^t/z-1} dt$$此積分在 $\operatorname{Re}(s) > 0$ 且 $z$ 不為大於等於 1 的實數時收斂。在這種脈絡下，多重對數函數有時被稱為玻色積分（Bose integral），但更常見的稱呼是玻色-愛因斯坦積分（Bose–Einstein integral）

$$\int_{0}^{\infty}\frac{x^s}{e^x-1}dx = \int_{0}^{\infty}x^s\frac{1}{e^x-1}dx = \int_{0}^{\infty}\frac{x^s}{e^x}\frac{1}{1-\frac{1}{e^x}} dx\quad \wedge \quad \frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty}r^n$$

$$\int_{0}^{\infty}\frac{x^s}{e^x}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{e^x}\right)^n dx = \int_{0}^{\infty}\frac{x^s}{e^x}\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nx}dx = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^s e^{-nx} e^{-x}dx$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^s e^{-(n+1)x}dx\quad\wedge\quad u=(n+1)x,du=(n+1)dx \Rightarrow dx=\frac{du}{n+1}$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{u}{n+1}\right)^s e^{-u}\frac{du}{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{s+1}}u^s e^{-u}du$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{s+1}} \left(\int_{0}^{\infty} u^s e^{-u} du \right) = \left(\int_{0}^{\infty}u^s e^{-u}du \right) \left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{s+1}}\right)=$$

$$\left(\int_{0}^{\infty}u^{(s+1)-1}e^{-u}du\right) \left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s+1}}\right) = \Gamma(s+1)\zeta (s+1)$$

同樣地，多重對數函數也可以用費米-狄拉克分佈的積分來表示： $$-\operatorname{Li}_{s}(-z) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty {t^{s-1} \over e^t/z+1} dt$$ 此積分在 $\operatorname{Re}(s) > 0$ 且 $z$ 不為小於等於 −1 的實數時收斂。在這種脈絡下，多重對數函數有時被稱為費米積分或全費米-狄拉克積分（Fermi–Dirac integral）。這些表示法可以輕易地透過對被積函數關於 $z$ 的泰勒展開並逐項積分來驗證。Dingle 的論文包含了對這兩類積分的詳細研究。多重對數函數也與馬克士威-波茲曼分佈的積分有關： $$\lim_{z \to 0} \frac{\operatorname{Li}_{s}(z)}{z} = {1 \over \Gamma(s)} \int_0^\infty {t^{s-1} e^{-t}} dt = 1$$ 這也給出了多重對數函數在原點附近的漸近行為。

- 另一種補充的積分表示適用於 $\operatorname{Re}(s) < 0$ 且 $z$ 不為大於等於 0 的實數： $$\operatorname{Li}_{s}(z) =\int_0^\infty {t^{-s} \sin[s \pi /2 - t \ln(-z)] \over \sinh(\pi t)} dt$$此積分遵循多重對數函數與赫爾維茨ζ函數（見上文）的一般關係，以及後者常見的積分表示。
- 多重對數函數可以由漢克爾輪廓積分Whittaker 廣義地表示，這將玻色-愛因斯坦表示擴展到了負階數 $s$。只要被積函數的 $t = \mu$ 極點不位於非負實軸上，且 $s \neq 1, 2, 3, \dots$，我們有： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = -{{\Gamma(1 - s)} \over {2\pi i}} \oint_H {{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu}-1}} dt$$其中 $H$ 代表漢克爾輪廓。被積函數在實軸上從 0 到 $\infty$ 有一條割線，該軸屬於 $t$ 的下半平面。積分從上半平面（$\operatorname{Im}(t) > 0$）的 $+\infty$ 開始，繞原點一圈（不包含任何 $t = \mu + 2k\pi i$ 的極點），最後結束於下半平面（$\operatorname{Im}(t) < 0$）的 $+\infty$。對於 $\mu$ 為實數且非負的情況，我們可以簡單地減去所包含的 $t = \mu$ 極點的貢獻： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = -{{\Gamma(1 - s)} \over {2\pi i}} \oint_H {{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu}}-1} dt - 2\pi i R$$ 其中 $R$ 是該極點的留數： $$R = {i \over 2\pi} \Gamma(1 - s) (-\mu)^{s-1}$$
- 將阿貝爾-普拉納公式應用於多重對數函數的定義級數時，會產生一個對所有複數 $z$ 和所有複數 $s$ 都有效的埃爾米特型積分表示： $$\operatorname{Li}_s(z) = \tfrac{1}{2}z + {\Gamma(1 - s, -\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}} + 2z \int_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t - t\ln z)} {(1+t^2)^{s/2} (e^{2\pi t}-1)} dt$$其中 $\Gamma$ 是上不完全伽瑪函數。此表達式中所有的（而非部分）$\ln(z)$ 都可以替換為 $-\ln(1/z)$。另一個同樣適用於所有複數 $s$ 的相關表示為： $$\operatorname{Li}_s(z) = \tfrac{1}{2}z + z \int_0^\infty \frac{\sin[s \arctan t - t \ln(-z)]} {(1+t^2)^{s/2} \sinh(\pi t)} dt$$此式避免了不完全伽瑪函數的使用，但若 $\operatorname{Re}(s) \leq 0$，則此積分在正實軸上的 $z$ 會失效。這個表達式是透過將 $2^{s} \operatorname{Li}_{s}(-z) / (-z) = \Phi(z^2, s, 1/2) - z \Phi(z^2, s, 1)$（其中 $\Phi$ 是勒奇超越函數），並對第一個 $\Phi$ 級數應用阿貝爾-普拉納公式，對第二個 $\Phi$ 級數應用包含 $1 / (e^{2\pi t} + 1)$ 代替 $1 / (e^{2\pi t} - 1)$ 的補充公式而得到的。
- 對於 $s \in \mathbb{N}$，我們可以透過對普通幾何級數進行逐項積分來表示多重對數函數的積分 Borwein： $$\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \frac{z \cdot (-1)^s}{s!} \int_0^1 \frac{\log^s(t)}{1-tz} dt$$

## 級數表示

- 如上文「積分表示」所述，多重對數函數的玻色-愛因斯坦積分表示可以透過漢克爾輪廓積分擴展到負階數 $s$： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = -{\Gamma(1 - s) \over 2\pi i} \oint_H {(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu}-1} dt$$ 其中 $H$ 為漢克爾輪廓，$s \neq 1, 2, 3, \dots$，且被積函數的 $t = \mu$ 極點不位於非負實軸上。可以修改輪廓積分的路徑使其包圍被積函數在 $t - \mu = 2k\pi i$ 處的極點，則該積分可求得為留數之和： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1 - s) \sum_{k=-\infty}^\infty (2k \pi i - \mu)^{s-1}$$ 這對於 $\operatorname{Re}(s) < 0$ 且除了 $e^\mu = 1$ 之外的所有 $\mu$ 都成立。對於 $0 < \operatorname{Im}(\mu) \leq 2\pi$，該項和可以拆分為： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1-s) \left[ (-2\pi i)^{s-1} \sum_{k=0}^\infty \left(k + {\mu \over {2\pi i}} \right)^{s-1} + (2\pi i)^{s-1} \sum_{k=0}^\infty \left(k+1- {\mu \over {2\pi i}} \right)^{s-1} \right]$$ 此時這兩個級數可以識別為赫爾維茨ζ函數： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = {\Gamma(1 - s) \over (2\pi)^{1-s}} \left[i^{1-s} ~\zeta \left(1 - s, ~{\mu \over {2\pi i}} \right) + i^{s-1} ~\zeta \left(1 - s, ~1 - {\mu \over {2\pi i}} \right) \right] \qquad (0 < \operatorname{Im}(\mu) \leq 2\pi)$$ 此關係式已在上文「與其他函數的關係」中給出，它對所有複數 $s \neq 0, 1, 2, 3, \dots$ 均成立，且最早由 Jonquière 推導得出。
- 為了將多重對數函數表示為關於 $\mu = 0$ 的冪級數，我們將漢克爾輪廓積分導出的級數寫為： $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1 - s) (-\mu)^{s-1} + \Gamma(1 - s) \sum_{h=1}^\infty \left[(-2 h \pi i - \mu)^{s-1} + (2 h \pi i - \mu)^{s-1} \right]$$ 當級數中的二項式冪次關於 $\mu = 0$ 展開並反轉求和順序時，關於 $h$ 的和可以表示為閉合形式：$$\operatorname{Li}_s(e^\mu) = \Gamma(1 - s) (-\mu)^{s-1} + \sum_{k=0}^\infty {\zeta(s-k) \over k!} \mu^k$$ 此結果在 $|\mu| < 2\pi$ 時成立，且歸功於黎曼ζ函數提供的解析延拓，對所有 $s \neq 1, 2, 3, \dots$ 均有效。如果階數為正整數 $s = n$，則 $k = n - 1$ 的項與伽瑪函數都會趨於無窮大，但它們的和卻不會。可以得到： $$\lim_{s \to k+1} \left[ {\zeta(s-k) \over k!} \mu^k + \Gamma(1 - s) (-\mu)^{s-1} \right] = {\mu^k \over k!} \left[\sum_{h=1}^k {1 \over h} - \ln(-\mu) \right]$$ 其中若 $k = 0$，則關於 $h$ 的和消失。因此，對於正整數階數且 $|\mu| < 2\pi$，我們得到級數： $$\operatorname{Li}_{n}(e^\mu) = {\mu^{n-1} \over (n-1)!} \left[ H_{n-1} - \ln(-\mu) \right] + \sum_{k=0,k\ne n-1}^\infty {\zeta(n-k) \over k!} \mu^k$$ 其中 $H_n$ 代表第 $n$ 個調和數： $$H_n = \sum_{h=1}^n {1 \over h}, \qquad H_0 = 0$$ 現在問題項包含 $-\ln(-\mu)$，當乘以 $\mu^{n-1}$ 時，隨著 $\mu \to 0$，除了 $n = 1$ 的情況外，該項都會趨於零。這反映了 $\operatorname{Li}_s(z)$ 在 $s = 1$ 且 $z = 1$ 處表現出真正的對數奇異性，因為： $$\lim_{\mu \to 0} \Gamma(1-s)(-\mu)^{s-1} = 0 \qquad (\operatorname{Re}(s) > 1)$$ 對於接近但不等於正整數的 $s$，關於 $\mu = 0$ 展開式中的發散項預計會導致計算困難 Wood。若假設同時使用多重對數和對數的主分支，則 Erdélyi 對應的關於 $\ln(z)$ 冪次的展開式 Erdélyi et al. 是不正確的，因為 $\ln(1/z)$ 並不一致等於 $-\ln(z)$。對於非正整數的 $s$，關於 $\mu = 0$ 展開式中的 ζ 函數 $\zeta(s-k)$ 會簡化為伯努利數：$\zeta(-n-k) = -B_{1+n+k} / (1+n+k)$。使用此級數對 $\operatorname{Li}_{-n}(z)$ 進行數值評估時，不會出現上文「特殊值」中提到的有限有理表達式在大 $n$ 時所面臨的抵消效應。
- 利用恆等式 $$1 = {1 \over \Gamma(s)} \int_0^\infty e^{-t} t^{s-1} dt \qquad (\operatorname{Re}(s) > 0)$$ 多重對數函數的玻色-愛因斯坦積分表示（見上文）可以改寫為以下形式： $$\operatorname{Li}_s(z) = \tfrac{1}{2}z + {z \over 2 \Gamma(s)} \int_0^\infty e^{-t} t^{s-1} \coth{t - \ln z \over 2} dt \qquad (\operatorname{Re}(s) > 0)$$ 將雙曲餘切替換為雙邊級數： $$\coth{t-\ln z \over 2} = 2 \sum_{k = -\infty}^\infty {1 \over 2 k \pi i + t - \ln z}$$ 接著反轉積分與求和的順序，最後將求和項識別為上不完全伽瑪函數的積分表示，可得： $$\operatorname{Li}_s(z) = \tfrac{1}{2}z + \sum_{k = -\infty}^\infty {\Gamma(1-s, 2k \pi i - \ln z) \over (2k \pi i - \ln z)^{1-s}}$$ 對於此結果的雙邊級數以及雙曲餘切的級數，從 $-k_{\max}$ 到 $k_{\max}$ 的對稱部分和在 $k_{\max} \to \infty$ 時均無條件收斂。只要以對稱方式進行求和，此 $\operatorname{Li}_s(z)$ 的級數對所有複數 $s$ 以及所有複數 $z$ 均成立。
- 將第二類史特靈數的顯式表達式代入非正整數階多重對數函數的有限和（見上文），可以寫成$$\operatorname{Li}_{-n}(z) = \sum_{k=0}^n \left( {-z \over 1-z} \right)^{k+1} \sum_{j=0}^k (-1)^{j+1} {k \choose j} (j+1)^n \qquad (n=0,1,2,\ldots)$$ 將外部求和簡單擴展到 $\infty$ 得到無限級數 Guillera： $$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=0}^\infty \left( {-z \over 1-z} \right)^{k+1} ~\sum_{j=0}^k (-1)^{j+1} {k \choose j} (j+1)^{-s}$$ 結果證明，這對所有複數 $s$ 以及 $\operatorname{Re}(z) < 1/2$ 的複數 $z$ 均收斂到多重對數函數。這可以透過反轉求和順序並使用下式在 $|-z/(1-z)| < 1/2$ 時驗證： $$\sum_{k=j}^\infty {k \choose j} \left( {-z \over 1-z} \right)^{k+1} = \left[ \left( {-z \over 1-z} \right)^{-1} -1 \right]^{-j-1} = (-z)^{j+1}$$ 這些級數的內部係數可以用涉及廣義調和數的史特靈數相關公式表示。例如，參見生成函數轉換以查找以下恆等式的證明（或證明引用）： $$\begin{align} \operatorname{Li}_2(z) &= \sum_{j \geq 1} \frac{(-1)^{j-1}}{2} \left(H_j^2+H_j^{(2)}\right) \frac{z^j}{(1-z)^{j+1}} \\ \operatorname{Li}_3(z) &= \sum_{j \geq 1} \frac{(-1)^{j-1}}{6} \left(H_j^3+3H_j H_j^{(2)} + 2 H_j^{(3)}\right) \frac{z^j}{(1-z)^{j+1}} \end{align}$$ 對於其他滿足 $\operatorname{Re}(z) < 1/2$ 的自變數，結果可由解析延拓導出。此過程等同於對定義多重對數函數的 $z$ 級數應用歐拉變換。

## 漸近展開

對於 $|z| \gg 1$，多重對數函數可以根據 $\ln(-z)$ 展開為漸近級數：

$$\operatorname{Li}_s(z) = {\pm i\pi \over \Gamma(s)} [\ln(-z) \pm i\pi]^{s-1} - \sum_{k = 0}^\infty (-1)^k (2\pi)^{2k} {B_{2k} \over (2k)!} {[\ln(-z) \pm i\pi]^{s-2 k} \over \Gamma(s+1-2k)}$$ $$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k (1-2^{1-2k}) (2\pi)^{2k} {B_{2k} \over (2k)!} {[\ln(-z)]^{s-2 k} \over \Gamma(s+1-2k)}$$

其中 $B_{2k}$ 為伯努利數。這兩個版本對於所有的 $s$ 以及任何 $\arg(z)$ 均成立。在一般情況下，當級數項的幅度開始增長時，應該停止求和。對於負整數 $s$，這些展開式會完全消失；對於非負整數 $s$，它們則在有限項後截斷。描述了一種從玻色-愛因斯坦積分表示獲取這些級數的方法（他在 $\operatorname{Li}_s(e^\mu)$ 的方程 11.2 中要求 $-2\pi < \operatorname{Im}(\mu) \leq 0$）。

## 極限行為

以下極限由多重對數函數的各種表示法導出 Wood：

$$\operatorname{Li}_s(z) \sim_{|z|\to 0} z$$ $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) \sim_{|\mu|\to 0} \Gamma(1 - s) (-\mu)^{s-1} \qquad (\operatorname{Re}(s) < 1)$$ $$\operatorname{Li}_s(\pm e^\mu) \sim_{\operatorname{Re}(\mu) \to \infty} -{\mu^s \over \Gamma(s+1)}\qquad (s \ne -1, -2, -3, \ldots)$$ $$\operatorname{Li}_{-n}(e^\mu) \sim_{\operatorname{Re}(\mu) \to \infty} -(-1)^n e^{-\mu} \qquad (n = 1, 2, 3, \ldots)$$ $$\operatorname{Li}_s(z) \sim_{\operatorname{Re}(s) \to \infty} z$$ $$\operatorname{Li}_s(e^\mu) \sim_{\operatorname{Re}(s) \to -\infty} \Gamma(1-s) (-\mu)^{s-1} \qquad (-\pi < \operatorname{Im}(\mu) < \pi)$$ $$\operatorname{Li}_s(-e^\mu) \sim_{\operatorname{Re}(s) \to -\infty} \Gamma(1 - s) \left[ (-\mu - i\pi)^{s-1} + (-\mu + i\pi)^{s-1} \right] \qquad (\operatorname{Im}(\mu) = 0)$$

Wood 針對 $\operatorname{Re}(\mu) \to \infty$ 的第一個極限已根據其方程 11.3 進行了修正。而 $\operatorname{Re}(s) \to -\infty$ 的極限則是根據多重對數函數與赫爾維茨ζ函數的一般關係（見上文）推導而來。

## 二重對數函數

二重對數函數（Dilogarithm），又稱為斯盆司函數（Spence's function）是階數為 $s = 2$ 的多重對數函數。對於任意複數自變數 $z$，二重對數函數有另一種積分表達式 Abramowitz：

$$\operatorname{Li}_2 (z) = -\int_0^z{\ln (1-t) \over t} dt = -\int_0^1{\ln (1-zt) \over t} dt$$

一個常見的混淆來源是，某些電腦代數系統將二重對數函數定義為 $\operatorname{dilog}(z) = \operatorname{Li}_2(1-z)$

對於實數 $z \ge 1$，二重對數函數的第一個積分表達式可以寫成：

$$\operatorname{Li}_2(z) = \frac{\pi^2}{6} - \int_1^z{\ln(t-1) \over t} dt - i\pi \ln z$$

從中展開 $\ln(t-1)$ 並逐項積分，我們得到：

$$\operatorname{Li}_2(z) = \frac{\pi^2}{3} - \frac{1}{2}(\ln z)^2 - \sum_{k=1}^\infty {1 \over k^2 z^k} - i\pi \ln z \qquad (z \ge 1)$$

二重對數函數的「阿貝爾恆等式」（Abel identity）由 Abel 給出：

$$\operatorname{Li}_2 \left( \frac{x}{1-y} \right) + \operatorname{Li}_2 \left( \frac{y}{1-x} \right) - \operatorname{Li}_2 \left(\frac{xy}{(1-x)(1-y)} \right) = \operatorname{Li}_2(x) + \operatorname{Li}_2(y) + \ln(1-x) \ln(1-y)$$ $$(\operatorname{Re}(x) \le \tfrac{1}{2} \wedge \operatorname{Re}(y) \le \tfrac{1}{2} \vee \operatorname{Im}(x) > 0 \wedge \operatorname{Im}(y) > 0 \vee \operatorname{Im}(x) < 0 \wedge \operatorname{Im}(y) < 0 \vee \dots)$$

此等式在 $x = 0$ 或 $y = 0$ 時顯然成立，對於一般自變數則可以輕易地透過偏微分 $\partial^2/\partial x \partial y$ 來驗證。當 $y = 1-x$ 時，此恆等式簡化為歐拉的「反射公式」（reflection formula）：

$$\operatorname{Li}_2 \left(x \right) + \operatorname{Li}_2 \left(1-x\right) = \frac{1}{6} \pi^2 - \ln(x)\ln(1-x)$$其中已使用 $\operatorname{Li}_2(1) = \zeta(2) = \tfrac{1}{6} \pi^2$，且 $x$ 可取任何複數值。

若使用新變數 $u = x/(1-y)$ 與 $v = y/(1-x)$，阿貝爾恆等式可寫作：

$$\operatorname{Li}_2(u) + \operatorname{Li}_2(v) - \operatorname{Li}_2(uv) = \operatorname{Li}_2 \left( \frac{u-uv}{1-uv} \right) + \operatorname{Li}_2 \left( \frac{v-uv}{1-uv} \right) + \ln \left( \frac{1-u}{1-uv} \right) \ln\left( \frac{1-v}{1-uv} \right)$$這對應於 給出的「五角恆等式」（pentagon identity）。

根據 $x = y = 1-z$ 的阿貝爾恆等式與平方關係，我們可以得到 John Landen恆等式：$$\operatorname{Li}_2(1-z) + \operatorname{Li}_2 \left( 1-\frac{1}{z} \right) = - \frac{1}{2} (\ln z)^2 \qquad (z \not \in ~]-\infty; 0])$$對每個二重對數函數應用反射公式，我們可以發現反演公式：$$\operatorname{Li}_2(z) + \operatorname{Li}_2(1/z) = -\tfrac{1}{6} \pi^2 - \tfrac{1}{2} [\ln(-z)]^2 \qquad (z \not \in [0; 1[)$$對於實數 $z \ge 1$ 亦有：$$\operatorname{Li}_2(z) + \operatorname{Li}_2(1/z) = \tfrac{1}{3} \pi^2 - \tfrac{1}{2} (\ln z)^2 - i\pi \ln z$$

下表列出了二重對數函數在特殊自變數下的已知閉合形式評估值。第一列中的自變數透過反射 $x \leftrightarrow 1-x$ 或反演 $x \leftrightarrow 1/x$ 與 $x = 0$ 或 $x = -1$ 相關聯；第三列中的自變數則全部透過這些運算相互關聯。

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討論了 17 至 19 世紀的相關文獻。反射公式早在 1760 年就由蘭登發表，早於歐拉 1768 年的著作 Maximon；與阿貝爾恆等式等價的公式由斯彭斯於 1809 年發表，早於阿貝爾在 1826 年寫下的手稿 Zagier。「二重對數函數」（bilogarithmische Function）這一名稱是由瑞典隆德大學教授卡爾·約翰·丹尼爾松·希爾於 1828 年引入的 Maximon。曾評論道，二重對數函數是唯一擁有「幽默感」的數學函數。
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$x$｜$\operatorname{Li}_2(x)$｜$x$｜$\operatorname{Li}_2(x)$

$-1$｜$-\tfrac {1}{12} \pi^2$｜$-\phi$｜$-\tfrac {1}{10} \pi^2 - \ln^2 \phi$

$0$｜$0$｜$-1 / \phi$｜$-\tfrac {1}{15} \pi^2 + \tfrac {1}{2} \ln^2 \phi$

$\tfrac {1}{2}$｜$\tfrac {1}{12} \pi^2 - \tfrac {1}{2} \ln^2 2$｜$1 / \phi^2$｜$\tfrac {1}{15} \pi^2 - \ln^2 \phi$

$1$｜$\tfrac {1}{6} \pi^2$｜$1 / \phi$｜$\tfrac {1}{10} \pi^2 - \ln^2 \phi$

$2$｜$\tfrac {1}{4} \pi^2 - \pi i \ln 2$｜$\phi$｜$\tfrac {11}{15} \pi^2 + \tfrac {1}{2} \ln^2(-1 / \phi)$

$\phi^2$｜$-\tfrac {11}{15} \pi^2 - \ln^2(-\phi)$

這裡的 $\phi = \tfrac{1}{2} (\sqrt{5}+1)$ 表示黃金比例。

## 多重對數梯

倫納德·勒溫發現了多重對數函數在特殊值下許多古典關係式的顯著且廣泛的推廣。這些關係式現在被稱為「多重對數梯」（polylogarithm ladders）。定義 $\rho = \tfrac{1}{2} (\sqrt{5}-1)$ 為黃金比例的倒數。那麼，二重對數函數階梯的兩個簡單例子分別是：

$$\operatorname{Li}_2(\rho^6) = 4 \operatorname{Li}_2(\rho^3) + 3 \operatorname{Li}_2(\rho^2) - 6 \operatorname{Li}_2(\rho) + \tfrac {7}{30} \pi^2$$

此式由 給出，以及：

$$\operatorname{Li}_2(\rho) = \tfrac{1}{10} \pi^2 - \ln^2\rho$$

此式由 John Landen 給出。多重對數梯自然且深刻地出現在 K-理論與代數幾何中。此外，多重對數階梯也為透過 BBP 演演算法快速計算各種數學常數提供了基礎 Bailey。

## 單值性

多重對數函數有兩個分歧點：一個位於 $z = 1$，另一個位於 $z = 0$。第二個分歧點 $z = 0$ 在多重對數函數的主黎曼葉（main sheet）上是不可見的；只有當函數解析延拓到其他葉時，它才會變得可見。多重對數函數的單值性群由圍繞這兩個分歧點轉圈的同倫類組成。若將這兩者分別表示為 $m_0$ 與 $m_1$，則單值性群具有以下群展示：

$$\langle m_0, m_1 \vert w = m_0 m_1 m^{-1}_0 m^{-1}_1, w m_1 = m_1 w \rangle$$

對於二重對數函數的特殊情況，還存在 $wm_0 = m_0w$，此時單值性群變為海森堡群（將 $m_0, m_1$ 與 $w$ 識別為 $x, y, z$）Vepstas。

## 參考資料

- Note sur la fonction $\scriptstyle \psi x = x+ \frac{x^2}{2^2}+ \frac{x^3}{3^2}+ \cdots+ \frac{x^n}{n^2}+ \cdots$ （這份 1826 年的手稿僅在作者去世後才出版。）
- The Bose-Einstein integrals $\mathcal{B}_p (\eta ) = (p!)^{ - 1} \int\limits_0^\infty {\varepsilon ^p (e^{\varepsilon - \eta } - 1} )^{ - 1} d\varepsilon$
- The integrals $\mathfrak{A}_p (x) = (p!)^{ - 1} \int\limits_0^\infty {\varepsilon ^p (\varepsilon + x} )^{ - 1} e^{ - \varepsilon } d\varepsilon$ and $\mathfrak{B}_p (x) = (p!)^{ - 1} \int\limits_0^\infty {\varepsilon ^p (\varepsilon + x} )^{ - 2} e^{ - \varepsilon } d\varepsilon$ and their tabulation
- The Fermi-Dirac integrals $\mathcal{F}_p (\eta ) = (p!)^{ - 1} \int\limits_0^\infty {\varepsilon ^p (e^{\varepsilon - \eta } + 1} )^{ - 1} d\varepsilon$
- （此為 1953 年 McGraw–Hill 原版的重印本。）
- 9.55 函數 $\Phi(z,s,v)$：級數表示 9.553, 9.554
- Note sur la série $\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}$
- （見 § 1.2，「廣義 zeta 函數、伯努利多項式、歐拉多項式與多重對數函數」，第 23 頁。）
- On function sum theorems connected with the series $\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}$
- （此版本已多次重印，1996 年的平裝版 ISBN 為。）
- （亦刊載於 Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), 第 131–145 頁，標題為 "The remarkable dilogarithm"，並作為 Zagier 的第一章出現。）

## 外部連結

- Algorithms in Analytic Number Theory provides an arbitrary-precision, GNU多重精度運算庫-based, GPL-licensed implementation.