格羅斯–皮塔耶夫斯基方程

格羅斯–皮塔耶夫斯基方程（Gross–Pitaevskii equation，以尤金·P·格羅斯命名與列夫·皮塔耶夫斯基) 描述了全同玻色子量子體系的基態，其中使用了哈特里－福克近似與贗勢相互作用模型。

在哈特里－福克近似中，$N$個玻色子體系的總波函數$\Psi$為單粒子波函數$\psi$之積

$$\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\dots,\mathbf{r}_N)=\psi(\mathbf{r}_1)\psi(\mathbf{r}_2)\dots\psi(\mathbf{r}_N)$$

其中$\mathbf{r}_i$為第$i$個玻色子的坐標。

贗勢模型下的哈密頓量為

$$H=\sum_{i=1}^N \left(-{\hbar^2\over 2m}{\partial^2\over\partial\mathbf{r}_i^2}+V(\mathbf{r}_i)\right) +\sum_{i<j}{4\pi\hbar^2a_s\over m}\delta(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j),$$

其中$m$為玻色子質量，$V$為外勢場，$a_s$為玻色子-玻色子散射長度，$\delta(\mathbf{r})$為狄拉克δ函數。

如果單粒子波函數滿足格羅斯–皮塔耶夫斯基方程。

$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2\over\partial\mathbf{r}^2} + V(\mathbf{r}) + {4\pi\hbar^2a_s\over m}\vert\psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\psi(\mathbf{r})=\mu\psi(\mathbf{r}),$$

則總波函數在歸一化條件$\int dV |\psi|^2=N$下可以使贗勢模型哈密頓量的總能量最小。

格羅斯–皮塔耶夫斯基方程是描述玻色-愛因斯坦凝聚單粒子波函數的模型方程。它有類似金茲堡－朗道方程的形式，也會被稱為非線性薛丁格方程.

玻色-愛因斯坦凝聚(BEC) 是處於同一量子態的玻色氣體可以由同一個波函數進行描述。單個粒子可有單粒子波函數描述。真實氣體中粒子相互作用包含在相應的多體薛丁格方程當中。當氣體中粒子間距大於散射長度（即所謂的稀薄極限）時，真實的相互作用勢就可以被替換為贗勢。格羅斯–皮塔耶夫斯基方程的非線性來源於粒子間的相互作用。當把方程中相互作用的耦合常數設為零時，非線性消失，方程以描述單粒子在勢阱中的單粒子薛丁格方程的形式出現。

## 方程形式

皮塔耶夫斯基方程的形式類似於一般薛丁格方程，但是多出一個相互作用項。耦合常數$g$正比於兩個相互作用玻色子間的散射長度$a_s$

$g=\frac{4\pi\hbar^2 a_s}{m}$,

其中$\hbar$為約化普朗克常數。

能量密度為

$$\mathcal{E}=\frac{\hbar^2}{2m}\vert\nabla\Psi(\mathbf{r})\vert^2 + V(\mathbf{r})\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2 + \frac{1}{2}g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^4,$$

其中$\Psi$為波函數，$V$為外部勢場。

對於體系內粒子數守恆的不含時格羅斯–皮塔耶夫斯基方程

$$\mu\Psi(\mathbf{r}) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r})$$

其中$\mu$ 為化學勢。化學勢是從粒子數與波函數間的關係中得到的

$$N = \int\vert\Psi(\mathbf{r})\vert^2 \, d^3r.$$

從不含時格羅斯–皮塔耶夫斯基方程中，我們可以求得各種外勢場中玻色愛因斯坦凝聚的內部結構（例如，諧振子勢阱）。

含時格羅斯–皮塔耶夫斯基方程為

$$i\hbar\frac{\partial\Psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) + g\vert\Psi(\mathbf{r},t)\vert^2\right)\Psi(\mathbf{r},t).$$

利用含時格羅斯–皮塔耶夫斯基方程人們可以研究玻色愛因斯坦凝聚的動力學問題。

## 方程解

鑑於格羅斯–皮塔耶夫斯基方程為非線性偏微分方程，一般很難求得解析解，大多數求解應用近似方法。

### 精確解

#### 自由粒子

最簡單的情況是描述自由粒子，外勢場$V(\mathbf{r}) =0$。

$$\Psi(\mathbf{r}) = \sqrt{\frac{N}{V}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}.$$

該解常被稱為哈特里解。儘管它滿足格羅斯–皮塔耶夫斯基方程，由於相互作用，其能譜中含有間隙

$$E(\mathbf{k}) = N \left[ \frac{\hbar^2k^2}{2m}+ g \frac{N}{2 V}\right].$$

根據Hugenholtz–Pines定理，含斥力相互作用的玻色氣體並無能量間隙。

#### 孤子

一維孤子可以構成玻色愛因斯坦凝聚，取決於相互作用是引力還是斥力，形成亮孤子或暗孤子。兩種孤子都是均勻密度背景下的定域擾動。如若相互作用是斥力形式的， $g>0$，格羅斯–皮塔耶夫斯基方程的可能解為。

$\psi(x) = \psi_0\tanh\left(\frac{x}{\sqrt{2}\xi}\right)$,

其中$\psi_0$為凝聚態波函數在無窮遠處的值，$\xi = \hbar/\sqrt{2mn_0g}$為相干長度。此解代表暗孤子，它描述在空間上原本均勻分布的密度出現了缺失。暗孤子是一種拓撲缺陷，因為$\psi$在經過原點處符號發生翻轉。這對應了數學上$\pi$的相移。

對於$g<0$

$$\psi(x,t) = \psi(0)e^{-i\mu t/\hbar}\frac{1}{\cosh\left[\sqrt{2m\vert\mu\vert/\hbar^2}x\right]},$$

其中化學勢為$\mu = g\vert\psi(0)\vert^2/2$。此解為亮孤子, 代表了空間上的凝聚。

### 變分解

對於難以得到精確解析解的體系，人們可以使用變分法。代入含某可調參數的已知波函數，求解體系自由能，找到使體系能量降為最低的參數。

### 托馬斯-費米近似

如果氣體中粒子數量很多，原子間相互作用極大，以至於原子自身動能可以從格羅斯–皮塔耶夫斯基方程中忽略，此時近似為托馬斯-費米近似。

$$\psi(x,t) = \sqrt{\frac{\mu - V(x)}{NU_0}}$$

### 玻戈留玻夫近似

對格羅斯–皮塔耶夫斯基方程的玻戈留玻夫處理可以找到玻色愛因斯坦凝聚的元激子。凝聚態波函數可以近似為平衡態波函數$\psi_0=\sqrt{n}e^{-i\frac{\mu}{\hbar} t}$與一個小的擾動$\delta\psi$之和

$$\psi = \psi_0 + \delta\psi$$

此波函數與其復共軛代入到含時格羅斯–皮塔耶夫斯基方程中，對$\delta\psi$作展開近似到第一項（線性化）

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla ^2 \delta\psi+V\delta\psi+g(2|\psi_0|^2\delta\psi+\psi^2\delta\psi^*) = i\hbar\frac{\partial\delta\psi}{\partial t}$$

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla ^2 \delta\psi^*+V\delta\psi^*+g(2|\psi_0|^2\delta\psi^*+\psi^2\delta\psi) = i\hbar\frac{\partial\delta\psi^*}{\partial t}$$

假定$\delta\psi$有如下形式

$$\delta\psi = e^{-i\frac{\mu}{\hbar} t}(u(\boldsymbol{r})e^{-i\omega t} - v^*(\boldsymbol{r})e^{i\omega t})$$

可以得到如下$u$和$v$的耦合微分方程

$$(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V+2gn-\mu-\hbar\omega)u-gnv = 0$$

$$(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V+2gn-\mu+\hbar\omega)v-gnu = 0$$

對於各向同性體系，即$V(\boldsymbol{r})=0$，可以假設$u$和$v$是動量為$\boldsymbol{q}$的平面波，可得能譜

$$\hbar\omega = \epsilon_\boldsymbol{q} = \sqrt{\frac{\hbar^2\boldsymbol{q}^2}{2m}(\frac{\hbar^2\boldsymbol{q}^2}{2m}+2gn)}$$

當$\boldsymbol{q}$很大時，色散關係呈現為$\boldsymbol{q}$的平方，正如所料類似於非相互作用的激子。當$\boldsymbol{q}$很小，色散關係為線性。

$$\epsilon_\boldsymbol{q} = s\hbar q$$

其中$s=\sqrt{ng/m}$為凝聚態中的聲速。$\epsilon_\boldsymbol{q}/(\hbar q)>s$表明，根據Landau的判則，該凝聚態為超流體，意味著如果一個物體在凝聚態中以小於$s$的速度運動，它不會形成激子，運動無耗散，此為超流體的特徵。實驗上，採用高度聚焦雷射，雷射頻率較共振頻率小，已經證明了凝聚態的超流性。採用二次量子化公式，微觀方法可以描述凝聚態同樣的色散關係。

## 參考文獻

Theory of Bose_Einstein condensation in trapped gases Franco Dalfovo and Stafano Giorgini Reviews Modern Physics